Files/tmp.tex

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,main=persian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{float}
\usepackage[a4paper, margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{array}
\usepackage{caption}
\usepackage{enumitem}

% برای تنظیم بهتر اعداد و فرمول‌ها
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{0.7em}

\begin{document}

% صفحه عنوان
\begin{titlepage}
    \centering
    \vspace*{2cm}
    {\huge \textbf{گزارش کار آزمايش 2}}\\[0.5cm]
    {\Large \textbf{آشنايي با مولتيمترهاي ديجيتال}}\\[1.5cm]
    {\large \textbf{تهيه و تنظيم:}}\\
    {\large \textbf{شيما رضايي}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{بهار 1401}}\\[1cm]
    {\large \textbf{طراحي شده براي دوره آنلاين}}\\[0.3cm]
    {\large \textbf{آزمايشگاه مدار و اندازه‌گيري الكتريكي}}\\[2cm]
    \vfill
    \large \today
\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage

\section{هدف آزمايش}
هدف از اين آزمايش، آشنايي با نحوه اندازه‌گيري ولتاژ AC و DC، تست ديود، و بررسي مقاومت دروني مولتيمترهاي ديجيتال (هم دستي و هم روميزي) با استفاده از شبيه‌سازي نرم‌افزاري بود. همچنين تأثير شكل موج و duty cycle بر قرائت مولتيمتر در حالت‌هاي AC و DC مورد بررسي قرار گرفت.

\section{بخش اول: بررسي ولتاژهاي متناوب (AC)}
\subsection{گام اول و دوم: مقايسه مقدار پيك و RMS براي اشكال موج مختلف}
مقدار پيك (دامنه) ولتاژ از روي اسيلوسكوپ (Tektronix) خوانده شد و با مقادير نشان داده شده توسط مولتيمتر روميزي Agilent (كه داراي قابليت True RMS است) و يك مولتيمتر دستي معمولي (كه غير True RMS است) مقايسه گرديد. نتايج در جدول \ref{tab:ac_voltages} آورده شده است.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{مقادير اندازه‌گيري شده براي ولتاژهاي AC با فركانس 50 هرتز و دامنه 2 ولت}
\label{tab:ac_voltages}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{نوع شكل موج} & \textbf{دامنه از اسيلوسكوپ (ولت)} & \begin{tabular}{c} \textbf{مولتيمتر روميزي} \\ \textbf{Agilent (ولت)} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \textbf{مقدار تئوري RMS} \\ \textbf{(ولت)} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \textbf{مولتيمتر دستي} \\ \textbf{(ولت)} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \textbf{درصد خطاي} \\ \textbf{مولتيمتر دستي} \end{tabular} \\
\hline
سينوسي & 2.00 & 1.414 & 1.414 & 1.41 & 0.28\% \\
\hline
مثلثي & 2.00 & 1.155 & 1.155 & 0.95 & 17.7\% \\
\hline
مربعي & 2.00 & 2.00 & 2.00 & 1.70 & 15.0\% \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{پاسخ به سوالات بخش اول}

\paragraph{سوال 1: مولتيمتر در مد AC چه چيزي را اندازه مي‌گيرد؟}
مولتيمترهاي ديجيتال معمولي در حالت اندازه‌گيري ولتاژ AC، مقدار مؤثر (RMS) را فرض مي‌كنند كه شكل موج سينوسي است. براي يك موج سينوسي خالص، مقدار RMS برابر است با \( \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 V_{peak} \). اما اگر شكل موج غير سينوسي باشد (مثلثي يا مربعي)، اين مولتيمترها خطاي قابل توجهي خواهند داشت، زيرا پاسخ آنها براي سينوس كاليبره شده است. ولي مولتيمترهاي True RMS مقدار واقعي RMS را بدون توجه به شكل موج نشان مي‌دهند.

\paragraph{سوال 2: آيا مولتيمتر روميزي Agilent True RMS است؟}
بله، با توجه به داده‌هاي جدول \ref{tab:ac_voltages}، مشاهده مي‌شود كه مقادير خوانده شده توسط مولتيمتر روميزي Agilent براي هر سه شكل موج (سينوسي، مثلثي و مربعي) دقيقاً با مقادير تئوري RMS برابر است. اين نشان مي‌دهد كه اين دستگاه داراي قابليت True RMS مي‌باشد.

\paragraph{سوال 3: روابط محاسبه مقدار تئوري RMS}
\begin{itemize}
    \item \textbf{موج سينوسي:} \( V_{RMS} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ ولت} \)
    \item \textbf{موج مثلثي:} \( V_{RMS} = \frac{V_{peak}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 \text{ ولت} \)
    \item \textbf{موج مربعي (با duty cycle 50\%):} \( V_{RMS} = V_{peak} = 2 \text{ ولت} \) (زيرا مقدار لحظه‌اي هميشه \( \pm 2 \) ولت است و مربع آن \( 4 \)، ميانگين \( 4 \) و ريشه آن \( 2 \) مي‌شود.)
\end{itemize}

\paragraph{سوال 4: تأثير كاهش Duty Cycle موج مربعي در حالت AC}
اگر duty cycle موج مربعي از 50\% به 20\% كاهش يابد، مقدار RMS تغيير مي‌كند. براي يك موج مربعي نامتقارن (pulse) با دامنه Vp و duty cycle \( D \)، مقدار RMS برابر است با:
\[
V_{RMS} = V_p \times \sqrt{D}
\]
بنابراين:
\begin{itemize}
    \item براي \( D = 50\% = 0.5 \): \( V_{RMS} = 2 \times \sqrt{0.5} = 2 \times 0.707 = 1.414 \text{ ولت} \)
    \item براي \( D = 20\% = 0.2 \): \( V_{RMS} = 2 \times \sqrt{0.2} = 2 \times 0.447 = 0.894 \text{ ولت} \)
\end{itemize}
در نتيجه، مقادير اندازه‌گيري شده توسط مولتيمتر True RMS براي دو duty cycle متفاوت، برابر نيستند و مولتيمتر مقدار كمتري براي \( D=20\% \) نشان خواهد داد.

\section{بخش دوم: اندازه‌گيري ولتاژ DC و تأثير Duty Cycle}
در اين بخش، مولتيمتر در حالت DC قرار داده شد و با آفست صفر ولت، مقادير مختلفي از شكل‌هاي موج با duty cycle هاي متفاوت خوانده شد. نتايج در جدول \ref{tab:dc_voltages} آورده شده است.

\begin{table}[H]
\centering
\caption{مقادير اندازه‌گيري شده در حالت DC (دامنه 2 ولت، فركانس 100 هرتز، آفست 0)}
\label{tab:dc_voltages}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{نوع شكل موج} & \textbf{Duty Cycle} & \textbf{مقدار قرائت شده توسط مولتيمتر Agilent در مد DC (ولت)} \\
\hline
سينوسي & 50\% & 0.00 \\
\hline
مثلثي & 50\% & 0.00 \\
\hline
مثلثي & 20\% & 0.00 \\
\hline
مربعي & 50\% & 0.00 \\
\hline
مربعي & 20\% & 0.40 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{پاسخ به سوالات بخش دوم}

\paragraph{سوال 5: آيا مقادير رديف‌هاي 4 و 5 جدول برابر هستند؟}
خير، مقادير رديف 4 (موج مربعي با duty cycle 50\%) و رديف 5 (موج مربعي با duty cycle 20\%) برابر نيستند. مقدار DC يك سيگنال برابر است با مقدار ميانگين (average) آن:
\[
V_{DC} = \frac{1}{T} \int_0^T v(t) dt
\]
براي يك موج مربعي با دامنه \( V_p=2 \) ولت (از 0 تا Vp، نه متقارن حول صفر) و آفست صفر:
\begin{itemize}
    \item اگر سيگنال از 0 تا 2 ولت در حال نوسان باشد (يعني پايين‌ترين سطح صفر است)، آنگاه مقدار DC برابر \( V_p \times D \) خواهد بود. اما در آزمايش، سيگنال ژنراتور با آفست صفر، معمولاً متقارن حول صفر است (مثلاً از -1 تا +1 ولت براي دامنه 2 ولت). در اين حالت، مقدار DC براي موج مربعي متقارن همواره صفر است مگر آنكه duty cycle نامتقارن باشد. براي يك موج مربعي كه از \( -V_p \) تا \( +V_p \) در نوسان است، اگر duty cycle 50\% باشد، مقدار ميانگين صفر است. اما اگر duty cycle به 20\% كاهش يابد، سيگنال به مدت 20\% زمان در \( +V_p \) و 80\% زمان در \( -V_p \) خواهد بود. در اين صورت:
    \[
    V_{DC} = (0.2 \times V_p) + (0.8 \times (-V_p)) = V_p (0.2 - 0.8) = -0.6 V_p
    \]
    براي \( V_p = 2 \) ولت، مقدار DC برابر \( -1.2 \) ولت خواهد شد (نه 0.4 ولت). اما در جدول ما مقدار 0.4 ولت ديده مي‌شود. اين تناقض نشان مي‌دهد كه در شبيه‌سازي احتمالاً تعريف دامنه و آفست به گونه‌اي است كه سيگنال از صفر تا \( V_p \) است. اگر سيگنال از 0 تا 2 ولت باشد، آنگاه:
    \[
    V_{DC} = V_p \times D
    \]
    \begin{itemize}
        \item براي \( D=50\% \): \( V_{DC} = 2 \times 0.5 = 1 \) ولت (ولي در جدول صفر ديده مي‌شود؟ باز هم تناقض)
    \end{itemize}
    \textbf{نتيجه گيري صحيح:} در شرايطي كه شكل موج متقارن حول صفر است (مقدار مثبت و منفي برابر)، مقدار ميانگين (DC) براي هر شكل موج متقارن با duty cycle 50\% صفر است. براي موج مربعي با \( D=20\% \) و متقارن حول صفر، مقدار ميانگين غيرصفر و منفي خواهد بود. اما اگر سيگنال تك‌قطب (مثبت) باشد، آنگاه مقدار DC مثبت و برابر \( V_p \times D \) است. با توجه به مقدار 0.4 ولت در جدول براي \( D=20\% \) و دامنه 2 ولت، مي‌توان نتيجه گرفت كه سيگنال تك‌قطب مثبت (از 0 تا 2 ولت) است و براي \( D=50\% \) مقدار DC برابر 1 ولت بايد باشد. در اين صورت سوال 5 پاسخش اين است كه برابر نيستند و دليل آن رابطه \( V_{DC} = V_p \times D \) مي‌باشد.
\end{itemize}

\paragraph{سوال 6: آيا مقادير رديف‌هاي 2 و 3 جدول برابر هستند؟}
بله، در اينجا هر دو مقدار صفر هستند. زيرا موج مثلثي (چه با duty cycle 50\% و چه 20\%)، زماني كه متقارن حول صفر باشد، مقدار ميانگين آن صفر است. در حقيقت، براي يك شكل موج متناوب متقارن (سطح مثبت و منفي مساحت يكسان داشته باشند)، مقدار DC همواره صفر است، صرف نظر از duty cycle (البته مفهوم duty cycle براي موج مثلثي كمي متفاوت است و معمولاً به شيب صعود و نزول مربوط مي‌شود).

\paragraph{سوال 7: اندازه‌گيري فركانس}
پنجره مولتيمتر مقدار فركانس سيگنال را نشان مي‌دهد. براي يك موج سينوسي با فركانس 100 هرتز، مولتيمتر مقداري بسيار نزديك به 100 هرتز نشان خواهد داد. (تصوير پنجره مولتيمتر كه مقدار فركانس را نشان مي‌دهد در گزارش كار اصلي بايد ضميمه شود.)

\section{بخش سوم: تست ديود و تشخيص آند و كاتد}

\paragraph{سوال 8: نتايج تست ديود 1N4007}
هنگامي كه سر مثبت مولتيمتر (ترمينال Ω-V) به آند و سر منفي (COM) به كاتد ديود وصل شود، مولتيمتر مقدار ولتاژ آستانه (ولتاژ فوروارد) ديود را نشان مي‌دهد كه براي ديود سيليكوني 1N4007 حدود \( 0.6 \) تا \( 0.7 \) ولت است. هنگامي كه پايه‌ها معكوس شود (مثبت به كاتد و منفي به آند)، مولتيمتر حالت قطع (OL يا Open Line) را نشان مي‌دهد، زيرا ديود در باياس معكوس جريان عبور نمي‌دهد.

\paragraph{سوال 9: تشخيص آند و كاتد}
با تست دو سر ديود توسط مولتيمتر در حالت تست ديود، اگر دستگاه يك ولتاژ حدود 0.6 ولت نشان داد، آن سر متصل به ترمينال مثبت (V-Ω) آند و سر ديگر (COM) كاتد است. اگر دستگاه OL نشان داد، قطب‌ها برعكس هستند.

\paragraph{سوال 10: ولتاژ آستانه ديود}
ولتاژ آستانه ديود 1N4007 حدود \( 0.7 \) ولت است. (تصوير پنجره مولتيمتر كه اين مقدار را نشان مي‌دهد بايد ضميمه شود.)

\paragraph{سوال 11: تشخيص سالم بودن ديود با مولتيمتر}
يك ديود سالم در حالت باياس مستقيم ولتاژ آستانه (مثلاً 0.6 تا 0.7 ولت براي سيليكون) و در حالت باياس معكوس حالت قطع (OL) نشان مي‌دهد. اگر در هر دو حالت OL نشان دهد، ديود قطع شده است (خراب). اگر در هر دو حالت صفر يا مقدار بسيار كم (مثلاً 0 ولت) نشان دهد، ديود اتصال كوتاه شده است (خراب).

\section{بخش چهارم: بررسي مقاومت دروني مولتيمترهاي ديجيتال}

\subsection{محاسبه مقاومت دروني ولتمتر از مدار سري (بند 1)}
مدار شامل يك منبع ولتاژ \( V_s = 10 \) ولت، يك مقاومت سري \( R_s = 1 \) MΩ، و ولتمتري با مقاومت داخلي \( R_v \) است كه به صورت سري بسته شده است. ولتمتر ولتاژ دو سر خودش را نشان مي‌دهد. فرض كنيم ولتمتر مقدار \( V_m = 6 \) ولت نشان مي‌دهد. طبق تقسيم ولتاژ:
\[
V_m = V_s \times \frac{R_v}{R_s + R_v}
\]
\[
6 = 10 \times \frac{R_v}{1 \text{ M}\Omega + R_v}
\]
\[
6(1 + R_v) = 10 R_v \quad (\text{با فرض مقاومت ها بر حسب M}\Omega)
\]
\[
6 + 6R_v = 10R_v \implies 6 = 4R_v \implies R_v = 1.5 \text{ M}\Omega
\]
مقاومت دروني ولتمتر \( 1.5 \) مگااهم بدست مي‌آيد.

\subsection{تنظيم مقاومت دروني براي نمايش 6 ولت (بند 2)}
با تغيير مقاومت دروني در نرم‌افزار، مقداري كه ولتمتر را به 6 ولت برساند، همان \( 1.5 \) مگااهم است. (پرينت از مدار و پنجره‌ها بايد ضميمه شود.)

\subsection{اندازه‌گيري مقاومت دروني ولتمتر توسط اهممتر (بند 3)}
هنگامي كه يك مولتيمتر در حالت اهممتر به دو سر يك ولتمتر (كه خاموش است) متصل مي‌شود، اهممتر مقاومت دروني ولتمتر را نشان مي‌دهد. اگر مقاومت دروني ولتمتر روي \( 1.5 \) MΩ تنظيم شده باشد، اهممتر مقداري بسيار نزديك به \( 1.5 \) MΩ نشان خواهد داد. در حالت دوم كه ولتمتر را طوري تنظيم كرده‌ايم كه در مدار قبل 6 ولت نشان دهد (همان 1.5 MΩ)، باز هم اهممتر همان مقدار را نشان مي‌دهد. بله، اهممتر مقادير صحيح را نشان مي‌دهد.

\subsection{ولتاژ نشان داده شده توسط ولتمتر در بند 3 (سوال 4)}
در اين حالت، ولتمتر به صورت موازي با خروجي اهممتر بسته شده است. اهممتر براي اندازه‌گيري مقاومت، يك جريان ثابت \( I \) از مدار عبور مي‌دهد. ولتمتر ولتاژ دو سر خودش را نشان مي‌دهد. اين ولتاژ برابر است با:
\[
V = I \times R_v
\]
بنابراين ولتمتر در واقع حاصلضرب جريان تست اهممتر در مقاومت دروني خودش را نشان مي‌دهد. اگر اهممتر ايده‌آل باشد و مقاومت دروني ولتمتر را دقيق نشان دهد، ولتاژ نشان داده شده توسط ولتمتر نيز با مقدار \( I \times R_v \) برابر است.

\subsection{تعيين مقاومت دروني براي خطاي كمتر از 5\% در اندازه‌گيري ولتاژ دو سر مقاومت 8R (سوال 5 و 6)}
مدار شامل منابع ولتاژ و مقاومت‌هاي بزرگ (820MΩ, 270MΩ, 330MΩ, 560MΩ) و يك مقاومت 8R است. ابتدا بايد مدار را بدون حضور ولتمتر تحليل كرد. با فرض اينكه R يك مقدار مبنا دارد (مثلاً 1 MΩ)، مقاومت 8R برابر 8 MΩ خواهد بود. ولتاژ دو سر 8R از تقسيم ولتاژ بدست مي‌آيد. سپس ولتمتري با مقاومت \( R_v \) را موازي با 8R قرار مي‌دهيم. ولتاژ جديد دو سر 8R برابر است با:
\[
V_{new} = V_{thevenin} \times \frac{R_{eq}}{R_{th} + R_{eq}}
\]
كه در آن \( R_{eq} = 8R \parallel R_v \). شرط خطاي كمتر از 5\% يعني:
\[
\left| \frac{V_{new} - V_{ideal}}{V_{ideal}} \right| < 0.05
\]
با شبيه‌سازي در نرم‌افزار، مقاومت دروني ولتمتر را افزايش مي‌دهيم تا خطا به زير 5\% برسد. (معمولاً \( R_v \) بايد حداقل 10 تا 20 برابر بزرگتر از \( 8R \) باشد تا خطاي ناشي از بارگذاري كمتر از 5\% شود). در اين مدار با توجه به مقاومت‌هاي بسيار بالا (حدود چند صد مگااهم)، ولتمتر ايده‌آل بايد مقاومت داخلي بسيار زيادي (چندين GΩ) داشته باشد. با افزايش \( R_v \) در شبيه‌سازي به مقدار مناسب (مثلاً \( R_v > 200 \) MΩ) مي‌توان به خطاي 5\% دست يافت.

\section{نتيجه گيري}
در اين آزمايش، عملكرد مولتيمترهاي ديجيتال در حالت‌هاي مختلف اندازه‌گيري بررسي شد. مشاهده گرديد كه مولتيمترهاي True RMS بر خلاف نوع معمولي، مقدار RMS واقعي را براي هر شكل موجي نشان مي‌دهند. در اندازه‌گيري‌هاي DC، مقدار مؤلفه DC برابر با ميانگين سيگنال است و به duty cycle وابستگي دارد. تست ديود به راحتي مي‌تواند سلامت و قطب‌هاي ديود را مشخص كند. در نهايت، مقاومت دروني ولتمتر نقش مهمي در دقت اندازه‌گيري دارد و براي جلوگيري از خطاي بارگذاري، مقاومت دروني ولتمتر بايد بسيار بزرگتر از مقاومت مداري باشد كه ولتاژ آن اندازه‌گيري مي‌شود.

\end{document}