diff --git "a/version1.1" "b/version1.1" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/version1.1" @@ -0,0 +1,1287 @@ +[ + { + "id": "exercice1_0000", + "chapitre": "Nombres Complexes", + "type": "ENSEMBLE DES POINTS", + "exercice": [ + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0000", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 1} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 5$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 1} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (3 + i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 4 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -12 + 4 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 4 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 12 - 4 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 6 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 6 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - 3$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{4 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 4 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 4 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 4 i } {z + 3i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 4 i | } { |z + 3i | }| $", + "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$ et $|-3 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 16}$ $= 5$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {5} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 10 $ Alors CM' =$10 $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $10$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-3*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0001", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 2} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{97}}{9}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 2} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$12 + 9 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 12 - 9 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{4}{3}y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{97}{36}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{97}}{6}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + i } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = 1$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + i } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + i } {z + \\frac{4}{3}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + i | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = 1$ et $|-\\frac{4}{9} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{97}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{97}}{9}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{97}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{97}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{97}}{9}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-4*I/3", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0002", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 3} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 3} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 3 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = -6 + 3 iz + 2\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 3 i \\overline z - 2z - i z \\overline z + 6 - 3 iz - 2\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 4 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 4 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{3} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{3}x - 2$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - 2 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{3 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 3 i } {z + 2i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 3 i | } { |z + 2i | }| $", + "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-2 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 9}$ $= \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{13}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-2*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0003", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 4} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 4} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$8 + 6 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 8 - 6 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{4}{3}y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{13}{9}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{6}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{13}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{13}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{13}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-4*I/3", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0004", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 5} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 2 \\sqrt{3} + 2 + i \\left(-2 + 2 \\sqrt{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-4 + 4 i } {z + 4i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 5} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (4 + i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow16 + 4 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -16 + 4 iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16 + 4 i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 16 - 4 iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 32 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 8 x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 8 x - 32 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 4$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{4 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 4 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{5}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 4 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 4 i } {z + 4i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 4 i | } { |z + 4i | }| $", + "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{5}$ et $|-4 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 16}$ $= 4 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {4 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 20 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$20 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $20 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-4*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0005", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 6} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 6} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow9 + 6 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = -9 + 6 iz + 3\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 9 + 6 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z + 9 - 6 iz - 3\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 18 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 6 x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 6 x - 18 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{5}}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{15 \\sqrt{5}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{15 \\sqrt{5}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{15 \\sqrt{5}}{4}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-3*I/2", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0006", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 7} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-2 + 4 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 7} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 2 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = -4 + 2 iz + 2\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 2 i \\overline z - 2z - i z \\overline z + 4 - 2 iz - 2\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 4 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 4 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 2$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{2 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 2 i } {z + 2i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 2 i | } { |z + 2i | }| $", + "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 4}$ $= 2 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-2*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0007", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 8} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 8} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow2 + 3 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -2 + 3 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2 + 3 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 2 - 3 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 4 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 4 x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 4 x - 4 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{3} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{3}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{13}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{13}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{13}}{9}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-2*I/3", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0008", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 9} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{1}{2} + \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} + i \\left(- \\frac{3}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{10}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 9} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$3 + i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 3 - iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ i \\overline z + iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times i - 2iy \\times 3 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 3y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{1 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + i } {z + 3i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + i } {z + 3i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + i | } { |z + 3i | }| $", + "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$ et $|-3 + i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 1}$ $= \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{10}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-3*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0009", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 10} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 10} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow2 + i \\overline z - 2z - i z \\overline z = -2 + iz + 2\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2 + i \\overline z - 2z - i z \\overline z + 2 - iz - 2\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 4 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 4 x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 4 x - 4 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 2 x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 2x - 2$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{1 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + i } {z + 2i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 2i| = 1$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + i } {z + 2i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + i | } { |z + 2i | }| $", + "Or $ |z + 2i| = 1$ et $|-2 + i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 1}$ $= \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{5}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{5} $ Alors CM' =$\\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-2*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0010", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 11} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 11} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$6 + 6 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 6 - 6 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{6}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + i | }| $", + "Or $ |z + i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{2}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-I", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0011", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 12} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{4 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-2 + 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 12} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - iz } = \\frac{2 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (4 + i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$8 + 2 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = 8 - 2 iz - 4\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 4z + 4\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 4 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +2)^2 = 5$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $-2$) et de rayon r = $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{2 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 2 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{5}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 2 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 2 i } {z + 4i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 2 i | } { |z + 4i | }| $", + "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{5}$ et $|-4 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 4}$ $= 2 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 10 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$10 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $10 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-4*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0012", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 13} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 13} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$4 + 2 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = 4 - 2 iz - 4\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 4z + 4\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 4 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 2y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + \\frac{i}{2} | } { |z + 2i | }| $", + "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-1 + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{5} $ Alors CM' =$\\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-2*I", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0013", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 14} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + 2 i } {z + i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 14} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$8 + 8 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 8 - 8 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{17}{4}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{17}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + 2 i } {z + i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{3}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + 2 i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + 2 i } {z + i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + 2 i | } { |z + i | }| $", + "Or $ |z + i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{2} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{17}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{17}}{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{17}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{17}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{17}}{2}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-I", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0014", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 15} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =3 - 3 \\sqrt{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 15} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow9 + 3 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -9 + 3 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 9 + 3 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 9 - 3 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 18 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 6 x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 6 x - 18 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 3$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{3 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 3 i } {z + 3i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 3 i | } { |z + 3i | }| $", + "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$ et $|-3 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 9}$ $= 3 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 12 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$12 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $12 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-3*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0015", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 16} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 16} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = -6 + 4 iz + 3\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z + 6 - 4 iz - 3\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{4} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + 1}$ $= \\frac{5}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{5}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{25}{4} $ Alors CM' =$\\frac{25}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{25}{4}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-3*I/2", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0016", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 17} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 17} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 9 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -6 + 9 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 9 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 6 - 9 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 4 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 4 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{9} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{9}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{2 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{2}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + i | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{2}{9} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{85}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{85}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{85}}{9}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-2*I/3", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0017", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 18} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{4 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 18} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$16 + 12 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 16 - 12 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + \\frac{4}{3}y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{40}{9}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{2 \\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", + "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_B = - \\frac{4 i}{3} ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{4}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{4 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{4 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{16 \\sqrt{10}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{16 \\sqrt{10}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{16 \\sqrt{10}}{9}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-4*I/3", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0018", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 19} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{13}}{2}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 19} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 6 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -12 + 6 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 6 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 12 - 6 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 8 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 8 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{3} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{3}x - 2$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - 2 i ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + \\frac{3 i}{2} | } { |z + 2i | }| $", + "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-1 + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{13} $ Alors CM' =$\\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{13}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-2*I", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0019", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 20} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-2 + 4 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 20} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$8 + 4 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = 8 - 4 iz - 4\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 4z + 4\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 4 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +1)^2 = 2$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 2i| = 1$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + i } {z + 2i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + i | } { |z + 2i | }| $", + "Or $ |z + 2i| = 1$ et $|-1 + i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 1}$ $= \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\sqrt{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{2} $ Alors CM' =$\\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{2}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-2*I", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0020", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 21} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 21} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$6 + 6 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 6 - 6 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + i | }| $", + "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{5}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{5}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{5}}{3}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-I", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0021", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 22} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =1 - \\sqrt{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 22} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$2 + 2 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 2 - 2 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{1}{2}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{4}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | } { |z + i | }| $", + "Or $ |z + i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-I", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0022", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 23} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\sqrt{3} + 2 + i \\left(- 2 \\sqrt{3} - 1\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-2 + 4 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 23} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - iz } = \\frac{4 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (2 + i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$8 + 4 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 8 - 4 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +1)^2 = 5$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{4 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 4 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 4 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 4 i } {z + 2i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 4 i | } { |z + 2i | }| $", + "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$ et $|-2 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 16}$ $= 2 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 12 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$12 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $12 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-2*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0023", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 24} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =3 - 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 24} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$4 + 4 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 4 - 4 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + i | } { |z + i | }| $", + "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{2} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{5} $ Alors CM' =$\\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-I", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0024", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 25} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{10}{3} - 4 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 25} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = 4 - 6 iz - 2\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 2z + 2\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 2 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{2}{3}y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 - (\\frac{1}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 = \\frac{10}{9}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{1}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{8 \\sqrt{10}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{8 \\sqrt{10}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{8 \\sqrt{10}}{9}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-2*I/3", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0025", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 26} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{4 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 26} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow16 + 8 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -16 + 8 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16 + 8 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 16 - 8 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 32 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 8 x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 8 x - 32 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - 2$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + 2 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + 2 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + 2 i } {z + 2i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + 2 i | } { |z + 2i | }| $", + "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-1 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 4}$ $= \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\sqrt{5}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-2*I", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0026", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 27} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-7 + 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-4 + i } {z + 4i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 27} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - iz } = \\frac{1 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$4 + i \\overline z - 4z - i z \\overline z = 4 - iz - 4\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ i \\overline z + iz - 4z + 4\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times i - 2iy \\times 4 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 4y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +2)^2 = \\frac{17}{4}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $-2$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{17}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{1 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + i } {z + 4i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 4i| = 1$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + i } {z + 4i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + i | } { |z + 4i | }| $", + "Or $ |z + 4i| = 1$ et $|-4 + i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 1}$ $= \\sqrt{17}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{17}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{17} $ Alors CM' =$\\sqrt{17} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{17}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-4*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0027", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 28} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 28} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$3 + 2 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 3 - 2 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{3}{2}y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{13}{16}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{3 i}{2} ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{13}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{13}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-3*I/2", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0028", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 29} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{7}{3} - i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 29} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$4 + 3 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 4 - 3 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{4}{3}y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{25}{36}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{5}{6}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{3}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{5}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{5}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5}{3} $ Alors CM' =$\\frac{5}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5}{3}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-4*I/3", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0029", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 30} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{3 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 30} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$12 + 8 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 12 - 8 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + \\frac{3}{2}y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{73}{16}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{73}}{4}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + 2 i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{4} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{73}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{73}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{73}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{73}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{73}}{4}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-3*I/2", + "z_C": "-I/2" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0030", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 31} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 31} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = \\frac{2 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 6 - 2 iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 3 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 3y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{13}{4}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_C = - i $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{2 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 2 i } {z + 3i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 2 i | } { |z + 3i | }| $", + "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$ et $|-3 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 4}$ $= \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{13}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "2", + "z_B": "-3*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0031", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 32} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{2 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{37}}{9}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 32} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow8 + 12 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -8 + 12 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8 + 12 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 8 - 12 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 16 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 4 x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 4 x - 16 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{6} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{6}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", + "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{37}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{37}}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{8 \\sqrt{37}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{8 \\sqrt{37}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{8 \\sqrt{37}}{9}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-2*I/3", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0032", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 33} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 5$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 33} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - iz } = \\frac{3 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$12 + 3 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = 12 - 3 iz - 4\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 4z + 4\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 4 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 4y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +2)^2 = \\frac{25}{4}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $-2$) et de rayon r = $\\frac{5}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", + " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{3 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 3 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{6}$", + "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 3 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 3 i } {z + 4i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 3 i | } { |z + 4i | }| $", + "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{6}$ et $|-4 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 9}$ $= 5$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {5} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 30 $ Alors CM' =$30 $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $30$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-4*I", + "z_C": "-I" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0033", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 34} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", + " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =1 - \\sqrt{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 34} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$3 + 3 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 3 - 3 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{1}{2}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{6}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} | } { |z + i | }| $", + "Or $ |z + i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{3}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "1", + "z_B": "-I", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0034", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 35} \\\\\\\\", + "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{17}}{3}$\\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 35} \\\\\\\\", + " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$12 + 12 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 12 - 12 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", + "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + y = 0 $", + " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", + "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{17}{4}$ \\\\[0.01 em]", + "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{17}}{2}$ \\\\\\\\ ", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{3}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + i | }| $", + "Or $ |z + i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{17}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{17}}{3}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{17} $ Alors CM' =$\\sqrt{17} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{17}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "4", + "z_B": "-I", + "z_C": "-I/3" + } + ] + }, + { + "id_exercice": "variante_exercice1_0035", + "type": "ensemble des points", + "enonce": [ + "\\textbf{Exercice 36} \\\\\\\\", + " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", + "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", + " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", + " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", + "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i}$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" + ], + "correction": [ + "\\textbf{Correction Exercice 36} \\\\\\\\", + " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", + "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow9 + 9 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -9 + 9 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 9 + 9 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 9 - 9 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 18 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", + "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 6 x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 6 x - 18 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - 1$ \\\\\\\\", + "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", + "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", + " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ \\\\\\\\", + " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{3}$", + "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i}|$", + "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + i | } { |z + i | }| $", + "Or $ |z + i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{3} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{3}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{10} $ Alors CM' =$\\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{10}$ \\\\\\\\" + ], + "donnees": [ + { + "z_A": "3", + "z_B": "-I", + "z_C": "-I/3" + } + ] + } + ], + "difficulte": "moyen", + "tags": [ + "droite", + "cercle", + "mediatrice", + "z_reel", + "z_imaginaire_pure" + ], + "mots_cles": [ + "conjugué", + "module", + "complexe", + "ensemble des points" + ], + "source": "generateur_math_IA", + "date": "2025-11-04T01:04:12.984226" + } +] \ No newline at end of file