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7rouz
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Complex_Number_Exercises_for_AI_Training

Tasks:
Text Generation
Modalities:
Text
Formats:
json
Languages:
French
Size:
< 1K
Tags:
math
education
ai
sympy
complex-numbers
automatic-exercise-generation
Libraries:
Datasets
pandas
License:
Dataset card Data Studio Files
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1
+ [
2
+ {
3
+ "id": "exercice1_0000",
4
+ "chapitre": "Nombres Complexes",
5
+ "type": "ENSEMBLE DES POINTS",
6
+ "exercice": [
7
+ {
8
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0000",
9
+ "type": "ensemble des points",
10
+ "enonce": [
11
+ "\\textbf{Exercice 1} \\\\\\\\",
12
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
13
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
14
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
15
+ " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{\\sqrt{3}}{3} + \\frac{3}{2} + i \\left(- \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} - \\frac{1}{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\ ",
16
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
17
+ ],
18
+ "correction": [
19
+ "\\textbf{Correction Exercice 1} \\\\\\\\",
20
+ " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
21
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 9 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -6 + 9 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 9 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 6 - 9 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
22
+ "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 4 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 4 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{9} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{9}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\",
23
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
24
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
25
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\",
26
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{3}$",
27
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i}|$",
28
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + i | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $",
29
+ "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{2}{9} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{85}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{85}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{85}}{3}$ \\\\\\\\"
30
+ ],
31
+ "donnees": [
32
+ {
33
+ "z_A": "3",
34
+ "z_B": "-2*I/3",
35
+ "z_C": "-I/3"
36
+ }
37
+ ]
38
+ },
39
+ {
40
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0001",
41
+ "type": "ensemble des points",
42
+ "enonce": [
43
+ "\\textbf{Exercice 2} \\\\\\\\",
44
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
45
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
46
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ",
47
+ " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\",
48
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
49
+ ],
50
+ "correction": [
51
+ "\\textbf{Correction Exercice 2} \\\\\\\\",
52
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
53
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$6 + 6 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 6 - 6 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
54
+ "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + y = 0 $",
55
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
56
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]",
57
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ",
58
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
59
+ " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
60
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\",
61
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$",
62
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i}|$",
63
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + i | }| $",
64
+ "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{10} $ Alors CM' =$\\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{10}$ \\\\\\\\"
65
+ ],
66
+ "donnees": [
67
+ {
68
+ "z_A": "3",
69
+ "z_B": "-I",
70
+ "z_C": "-I/2"
71
+ }
72
+ ]
73
+ },
74
+ {
75
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0002",
76
+ "type": "ensemble des points",
77
+ "enonce": [
78
+ "\\textbf{Exercice 3} \\\\\\\\",
79
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
80
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
81
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
82
+ " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =3 - 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\ ",
83
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
84
+ ],
85
+ "correction": [
86
+ "\\textbf{Correction Exercice 3} \\\\\\\\",
87
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
88
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$2 + 2 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 2 - 2 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
89
+ "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + y = 0 $",
90
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
91
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{1}{2}$ \\\\[0.01 em]",
92
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ",
93
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
94
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
95
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\",
96
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{5}$",
97
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i}|$",
98
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | } { |z + i | }| $",
99
+ "Or $ |z + i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{2}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{2}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\"
100
+ ],
101
+ "donnees": [
102
+ {
103
+ "z_A": "1",
104
+ "z_B": "-I",
105
+ "z_C": "-I/2"
106
+ }
107
+ ]
108
+ },
109
+ {
110
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0003",
111
+ "type": "ensemble des points",
112
+ "enonce": [
113
+ "\\textbf{Exercice 4} \\\\\\\\",
114
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
115
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
116
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
117
+ " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i}$ \\\\\\\\",
118
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
119
+ ],
120
+ "correction": [
121
+ "\\textbf{Correction Exercice 4} \\\\\\\\",
122
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
123
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$4 + 4 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 4 - 4 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
124
+ "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + y = 0 $",
125
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
126
+ "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]",
127
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ",
128
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
129
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
130
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ \\\\\\\\",
131
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + i| = 1$",
132
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i}|$",
133
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + i | } { |z + i | }| $",
134
+ "Or $ |z + i| = 1$ et $|-\\frac{1}{2} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{5}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{5}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\"
135
+ ],
136
+ "donnees": [
137
+ {
138
+ "z_A": "2",
139
+ "z_B": "-I",
140
+ "z_C": "-I/2"
141
+ }
142
+ ]
143
+ },
144
+ {
145
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0004",
146
+ "type": "ensemble des points",
147
+ "enonce": [
148
+ "\\textbf{Exercice 5} \\\\\\\\",
149
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
150
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
151
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ",
152
+ " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\ ",
153
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
154
+ ],
155
+ "correction": [
156
+ "\\textbf{Correction Exercice 5} \\\\\\\\",
157
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
158
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$3 + 2 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 3 - 2 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
159
+ "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{3}{2}y = 0 $",
160
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
161
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{13}{16}$ \\\\[0.01 em]",
162
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\ ",
163
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
164
+ " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
165
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\",
166
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$",
167
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$",
168
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $",
169
+ "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{13}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{13}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\"
170
+ ],
171
+ "donnees": [
172
+ {
173
+ "z_A": "1",
174
+ "z_B": "-3*I/2",
175
+ "z_C": "-I/2"
176
+ }
177
+ ]
178
+ },
179
+ {
180
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0005",
181
+ "type": "ensemble des points",
182
+ "enonce": [
183
+ "\\textbf{Exercice 6} \\\\\\\\",
184
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\",
185
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
186
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ",
187
+ " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i}$ \\\\\\\\",
188
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
189
+ ],
190
+ "correction": [
191
+ "\\textbf{Correction Exercice 6} \\\\\\\\",
192
+ " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
193
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -6 + 2 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 6 - 2 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
194
+ "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{2} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{2}x - 3$ \\\\\\\\",
195
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
196
+ " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
197
+ " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{2 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $\\\\\\\\",
198
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$",
199
+ "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 2 i } {z + 3i}|$",
200
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 2 i | } { |z + 3i | }| $",
201
+ "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$ et $|-3 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 4}$ $= \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{13}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\"
202
+ ],
203
+ "donnees": [
204
+ {
205
+ "z_A": "2",
206
+ "z_B": "-3*I",
207
+ "z_C": "-I"
208
+ }
209
+ ]
210
+ },
211
+ {
212
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0006",
213
+ "type": "ensemble des points",
214
+ "enonce": [
215
+ "\\textbf{Exercice 7} \\\\\\\\",
216
+ " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\",
217
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
218
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ",
219
+ " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\",
220
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
221
+ ],
222
+ "correction": [
223
+ "\\textbf{Correction Exercice 7} \\\\\\\\",
224
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
225
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$9 + 6 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 9 - 6 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
226
+ "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{3}{2}y = 0 $",
227
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
228
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{45}{16}$ \\\\[0.01 em]",
229
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$ \\\\\\\\ ",
230
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
231
+ " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
232
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\",
233
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$",
234
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$",
235
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $",
236
+ "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{5}}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{15 \\sqrt{5}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{15 \\sqrt{5}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{15 \\sqrt{5}}{4}$ \\\\\\\\"
237
+ ],
238
+ "donnees": [
239
+ {
240
+ "z_A": "3",
241
+ "z_B": "-3*I/2",
242
+ "z_C": "-I/2"
243
+ }
244
+ ]
245
+ },
246
+ {
247
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0007",
248
+ "type": "ensemble des points",
249
+ "enonce": [
250
+ "\\textbf{Exercice 8} \\\\\\\\",
251
+ " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\",
252
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
253
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
254
+ " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\ ",
255
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
256
+ ],
257
+ "correction": [
258
+ "\\textbf{Correction Exercice 8} \\\\\\\\",
259
+ " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
260
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -4 + 6 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 4 - 6 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
261
+ "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 4 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 4 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\",
262
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
263
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
264
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\",
265
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$",
266
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$",
267
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $",
268
+ "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{8 \\sqrt{10}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{8 \\sqrt{10}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{8 \\sqrt{10}}{9}$ \\\\\\\\"
269
+ ],
270
+ "donnees": [
271
+ {
272
+ "z_A": "2",
273
+ "z_B": "-2*I/3",
274
+ "z_C": "-I/3"
275
+ }
276
+ ]
277
+ },
278
+ {
279
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0008",
280
+ "type": "ensemble des points",
281
+ "enonce": [
282
+ "\\textbf{Exercice 9} \\\\\\\\",
283
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
284
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
285
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
286
+ " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i}$ \\\\\\\\",
287
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
288
+ ],
289
+ "correction": [
290
+ "\\textbf{Correction Exercice 9} \\\\\\\\",
291
+ " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
292
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow3 + 3 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -3 + 3 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 3 + 3 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 3 - 3 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 6 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
293
+ "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 6 x + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 6 x - 6 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 1$ \\\\\\\\",
294
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
295
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
296
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\",
297
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$",
298
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i}|$",
299
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} | } { |z + i | }| $",
300
+ "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{2}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{2}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{2}}{3}$ \\\\\\\\"
301
+ ],
302
+ "donnees": [
303
+ {
304
+ "z_A": "1",
305
+ "z_B": "-I",
306
+ "z_C": "-I/3"
307
+ }
308
+ ]
309
+ },
310
+ {
311
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0009",
312
+ "type": "ensemble des points",
313
+ "enonce": [
314
+ "\\textbf{Exercice 10} \\\\\\\\",
315
+ " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\",
316
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
317
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
318
+ " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{10}}{3}$\\\\\\\\ ",
319
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
320
+ ],
321
+ "correction": [
322
+ "\\textbf{Correction Exercice 10} \\\\\\\\",
323
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
324
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$9 + 9 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 9 - 9 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
325
+ "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + y = 0 $",
326
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
327
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]",
328
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ",
329
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
330
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
331
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ \\\\\\\\",
332
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$",
333
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i}|$",
334
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + i | } { |z + i | }| $",
335
+ "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{3} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{10}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{10}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\"
336
+ ],
337
+ "donnees": [
338
+ {
339
+ "z_A": "3",
340
+ "z_B": "-I",
341
+ "z_C": "-I/3"
342
+ }
343
+ ]
344
+ },
345
+ {
346
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0010",
347
+ "type": "ensemble des points",
348
+ "enonce": [
349
+ "\\textbf{Exercice 11} \\\\\\\\",
350
+ " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\",
351
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
352
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
353
+ " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i}$ \\\\\\\\",
354
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
355
+ ],
356
+ "correction": [
357
+ "\\textbf{Correction Exercice 11} \\\\\\\\",
358
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
359
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - iz } = \\frac{3 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$9 + 3 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 9 - 3 iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
360
+ "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 3 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 3y = 0 $",
361
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
362
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{9}{2}$ \\\\[0.01 em]",
363
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ",
364
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
365
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
366
+ " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{3 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $\\\\\\\\",
367
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$",
368
+ "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 3 i } {z + 3i}|$",
369
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 3 i | } { |z + 3i | }| $",
370
+ "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$ et $|-3 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 9}$ $= 3 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 9 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$9 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $9 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\"
371
+ ],
372
+ "donnees": [
373
+ {
374
+ "z_A": "3",
375
+ "z_B": "-3*I",
376
+ "z_C": "-I"
377
+ }
378
+ ]
379
+ },
380
+ {
381
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0011",
382
+ "type": "ensemble des points",
383
+ "enonce": [
384
+ "\\textbf{Exercice 12} \\\\\\\\",
385
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\",
386
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
387
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
388
+ " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ",
389
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
390
+ ],
391
+ "correction": [
392
+ "\\textbf{Correction Exercice 12} \\\\\\\\",
393
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
394
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = \\frac{3 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$6 + 3 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 6 - 3 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
395
+ "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0 $",
396
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
397
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{13}{4}$ \\\\[0.01 em]",
398
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{2}$ \\\\\\\\ ",
399
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
400
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
401
+ " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{3 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $\\\\\\\\",
402
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$",
403
+ "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 3 i } {z + 2i}|$",
404
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 3 i | } { |z + 2i | }| $",
405
+ "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 9}$ $= \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{13}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\"
406
+ ],
407
+ "donnees": [
408
+ {
409
+ "z_A": "3",
410
+ "z_B": "-2*I",
411
+ "z_C": "-I"
412
+ }
413
+ ]
414
+ },
415
+ {
416
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0012",
417
+ "type": "ensemble des points",
418
+ "enonce": [
419
+ "\\textbf{Exercice 13} \\\\\\\\",
420
+ " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\",
421
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
422
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
423
+ " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{\\sqrt{2}}{2} + 1 - \\frac{3 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ",
424
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
425
+ ],
426
+ "correction": [
427
+ "\\textbf{Correction Exercice 13} \\\\\\\\",
428
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
429
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$2 + i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 2 - iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ i \\overline z + iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
430
+ "$2x \\times i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 2y = 0 $",
431
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
432
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]",
433
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ",
434
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
435
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
436
+ " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{1 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + i } {z + 2i} $\\\\\\\\",
437
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$",
438
+ "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + i } {z + 2i}|$",
439
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + i | } { |z + 2i | }| $",
440
+ "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 1}$ $= \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{5}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\"
441
+ ],
442
+ "donnees": [
443
+ {
444
+ "z_A": "1",
445
+ "z_B": "-2*I",
446
+ "z_C": "-I"
447
+ }
448
+ ]
449
+ },
450
+ {
451
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0013",
452
+ "type": "ensemble des points",
453
+ "enonce": [
454
+ "\\textbf{Exercice 14} \\\\\\\\",
455
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\",
456
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
457
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
458
+ " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =7 - 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-3 + i } {z + 3i}$ \\\\\\\\",
459
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
460
+ ],
461
+ "correction": [
462
+ "\\textbf{Correction Exercice 14} \\\\\\\\",
463
+ " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
464
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow3 + i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -3 + iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 3 + i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 3 - iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 6 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
465
+ "$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 6 x + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 6 x - 6 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 3 x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 3x - 3$ \\\\\\\\",
466
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
467
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
468
+ " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{1 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + i } {z + 3i} $\\\\\\\\",
469
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$",
470
+ "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + i } {z + 3i}|$",
471
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + i | } { |z + 3i | }| $",
472
+ "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$ et $|-3 + i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 1}$ $= \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{10}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\"
473
+ ],
474
+ "donnees": [
475
+ {
476
+ "z_A": "1",
477
+ "z_B": "-3*I",
478
+ "z_C": "-I"
479
+ }
480
+ ]
481
+ },
482
+ {
483
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0014",
484
+ "type": "ensemble des points",
485
+ "enonce": [
486
+ "\\textbf{Exercice 15} \\\\\\\\",
487
+ " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\",
488
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
489
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
490
+ " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\",
491
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
492
+ ],
493
+ "correction": [
494
+ "\\textbf{Correction Exercice 15} \\\\\\\\",
495
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
496
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = \\frac{2 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$4 + 2 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 4 - 2 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
497
+ "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0 $",
498
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
499
+ "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +1)^2 = 2$ \\\\[0.01 em]",
500
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{2}$ \\\\\\\\ ",
501
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
502
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
503
+ " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{2 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $\\\\\\\\",
504
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$",
505
+ "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 2 i } {z + 2i}|$",
506
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 2 i | } { |z + 2i | }| $",
507
+ "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$ et $|-2 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 4}$ $= 2 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 8 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$8 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $8 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\"
508
+ ],
509
+ "donnees": [
510
+ {
511
+ "z_A": "2",
512
+ "z_B": "-2*I",
513
+ "z_C": "-I"
514
+ }
515
+ ]
516
+ },
517
+ {
518
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0015",
519
+ "type": "ensemble des points",
520
+ "enonce": [
521
+ "\\textbf{Exercice 16} \\\\\\\\",
522
+ "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
523
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
524
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
525
+ " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{3 \\sqrt{2}}{2} + 2 + \\frac{\\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\ ",
526
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
527
+ ],
528
+ "correction": [
529
+ "\\textbf{Correction Exercice 16} \\\\\\\\",
530
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
531
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$6 + 6 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 6 - 6 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
532
+ "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + y = 0 $",
533
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
534
+ "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]",
535
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ",
536
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
537
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
538
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\",
539
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{4}$",
540
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i}|$",
541
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + i | }| $",
542
+ "Or $ |z + i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{3}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{5}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{5}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{5}}{3}$ \\\\\\\\"
543
+ ],
544
+ "donnees": [
545
+ {
546
+ "z_A": "2",
547
+ "z_B": "-I",
548
+ "z_C": "-I/3"
549
+ }
550
+ ]
551
+ },
552
+ {
553
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0016",
554
+ "type": "ensemble des points",
555
+ "enonce": [
556
+ "\\textbf{Exercice 17} \\\\\\\\",
557
+ " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\",
558
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
559
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
560
+ " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\ ",
561
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
562
+ ],
563
+ "correction": [
564
+ "\\textbf{Correction Exercice 17} \\\\\\\\",
565
+ " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
566
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$2 + 3 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = 2 - 3 iz - 2\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 2z + 2\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
567
+ "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 2 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{2}{3}y = 0 $",
568
+ " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 - (\\frac{1}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
569
+ "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 = \\frac{13}{36}$ \\\\[0.01 em]",
570
+ "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{6}$ \\\\\\\\ ",
571
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
572
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
573
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\",
574
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{2}$",
575
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$",
576
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $",
577
+ "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{13}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{13}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{13}}{9}$ \\\\\\\\"
578
+ ],
579
+ "donnees": [
580
+ {
581
+ "z_A": "1",
582
+ "z_B": "-2*I/3",
583
+ "z_C": "-I/3"
584
+ }
585
+ ]
586
+ },
587
+ {
588
+ "id_exercice": "variante_exercice1_0017",
589
+ "type": "ensemble des points",
590
+ "enonce": [
591
+ "\\textbf{Exercice 18} \\\\\\\\",
592
+ " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\",
593
+ "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
594
+ " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\",
595
+ " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\",
596
+ "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
597
+ ],
598
+ "correction": [
599
+ "\\textbf{Correction Exercice 18} \\\\\\\\",
600
+ " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
601
+ "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = -6 + 4 iz + 3\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z + 6 - 4 iz - 3\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
602
+ "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\",
603
+ "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ",
604
+ "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\",
605
+ " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\",
606
+ " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$",
607
+ "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i}|$",
608
+ "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $",
609
+ "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{4} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + 1}$ $= \\frac{5}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{5}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{25}{4} $ Alors CM' =$\\frac{25}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{25}{4}$ \\\\\\\\"
610
+ ],
611
+ "donnees": [
612
+ {
613
+ "z_A": "2",
614
+ "z_B": "-3*I/2",
615
+ "z_C": "-I/2"
616
+ }
617
+ ]
618
+ }
619
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