[ { "id": "exercice1_0000", "chapitre": "Nombres Complexes", "type": "ENSEMBLE DES POINTS", "exercice": [ { "id_exercice": "variante_exercice1_0000", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 1} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{\\sqrt{3}}{3} + \\frac{3}{2} + i \\left(- \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} - \\frac{1}{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 1} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 9 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -6 + 9 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 9 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 6 - 9 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 4 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 4 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{9} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{9}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + i | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{2}{9} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{85}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{85}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{85}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0001", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 2} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 2} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$6 + 6 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 6 - 6 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{10} $ Alors CM' =$\\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0002", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 3} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =3 - 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 3} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$2 + 2 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 2 - 2 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{1}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{2}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{2}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0003", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 4} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 4} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$4 + 4 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 4 - 4 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = 1$ et $|-\\frac{1}{2} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{5}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{5}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0004", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 5} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 5} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$3 + 2 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 3 - 2 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{3}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{13}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{13}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{13}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0005", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 6} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 6} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -6 + 2 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 6 - 2 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{2} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{2}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{2 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 2 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 2 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$ et $|-3 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 4}$ $= \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{13}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0006", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 7} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 7} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$9 + 6 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 9 - 6 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{3}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{45}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - 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z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -4 + 6 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 4 - 6 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 4 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 4 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{8 \\sqrt{10}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{8 \\sqrt{10}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{8 \\sqrt{10}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0008", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 9} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 9} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow3 + 3 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -3 + 3 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 3 + 3 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 3 - 3 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 6 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 6 x + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 6 x - 6 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{2}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{2}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{2}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0009", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 10} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - 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z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$9 + 9 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 9 - 9 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{3} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{10}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{10}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0010", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 11} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - 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z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{3 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 3 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 3 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$ et $|-3 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 9}$ $= 3 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 9 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$9 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $9 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0011", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 12} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 12} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = \\frac{3 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$6 + 3 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 6 - 3 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{13}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{3 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 3 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 3 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 9}$ $= \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{13}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0012", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 13} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{\\sqrt{2}}{2} + 1 - \\frac{3 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 13} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$2 + i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 2 - iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ i \\overline z + iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{1 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 1}$ $= \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{5}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0013", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 14} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =7 - 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-3 + i } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 14} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow3 + i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -3 + iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 3 + i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 3 - iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 6 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 6 x + 6 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 6 x - 6 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 3 x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 3x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{1 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$ et $|-3 + i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 1}$ $= \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{10}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0014", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 15} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 15} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 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z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{2 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 2 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 2 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$ et $|-2 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 4}$ $= 2 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 8 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$8 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $8 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0015", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 16} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{3 \\sqrt{2}}{2} + 2 + \\frac{\\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\ \\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 16} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$6 + 6 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 6 - 6 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{3}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{5}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{5}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{5}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0016", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 17} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - 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z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$2 + 3 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = 2 - 3 iz - 2\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 2z + 2\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 2 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{2}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 - (\\frac{1}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 = \\frac{13}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - 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z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = -6 + 4 iz + 3\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z + 6 - 4 iz - 3\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{4} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + 1}$ $= \\frac{5}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{5}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{25}{4} $ Alors CM' =$\\frac{25}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{25}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] } ], "difficulte": "moyen", "tags": [ "droite", "cercle", "mediatrice", "z_reel", "z_imaginaire_pure" ], "mots_cles": [ "conjugué", "module", "complexe", "ensemble des points" ], "source": "generateur_math_IA", "date": "2025-10-29T15:36:24.109431" } ]