[ { "id": "exercice1_0000", "chapitre": "Nombres Complexes", "type": "ENSEMBLE DES POINTS", "exercice": [ { "id_exercice": "variante_exercice1_0000", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 1} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 1} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 6 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -6 + 6 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 6 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 6 - 6 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_B = - i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{3}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{5}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{5}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{5}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0001", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 2} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{5 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{1321}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 2} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{5 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{5 - 4 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow45 + 36 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = -45 + 36 iz + 5\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 45 + 36 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z + 45 - 36 iz - 5\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 36 iz + 36 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 90 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 36 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 90 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 36 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 90 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y - 10 x + 90 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y = 10 x - 90 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{36} x - \\frac{5}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{36}x - \\frac{5}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{5 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|5 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{4 | (z + \\frac{5}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{5}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_B = - \\frac{5 i}{4} ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{9 - z }{5 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + \\frac{9 i}{4} | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{5}{16} + \\frac{9 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (\\frac{9}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + \\frac{81}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{1321}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{1321}}{16}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{1321}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{1321}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{1321}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0002", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 3} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{2 \\sqrt{3}}{3} + \\frac{9}{2} + i \\left(- \\frac{2}{3} + \\frac{9 \\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + 3 i } {z + \\frac{4}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 3} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$36 + 27 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 36 - 27 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 27 i \\overline z + 27 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 27 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 27 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + \\frac{4}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{745}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{745}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{9 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + 3 i } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + 3 i } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + 3 i } {z + \\frac{4}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + 3 i | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{4}{9} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + 9}$ $= \\frac{\\sqrt{745}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{745}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{745}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{745}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{745}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-4*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0003", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 4} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - 7 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 7 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{7 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =14 - 7 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 7 \\sqrt{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 4} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{7 - iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{7 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{7 - iz } = \\frac{7 - \\overline z }{7 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (7 + i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (7 - iz )$\\\\\\\\$49 + 7 i \\overline z - 7z - i z \\overline z = 49 - 7 iz - 7\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 7 i \\overline z + 7 iz - 7z + 7\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 7 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 7 i - 2iy \\times 7 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + 7y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 = \\frac{49}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{7}{2}$) et de rayon r = $\\frac{7 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{7 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{7 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{7 - z + 7i + z } {7 - iz }$ $ = \\frac{7 + 7i } {7 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {7}{- i} + \\frac{7i}{- i} ) } { - i ( z + 7i) }$ $= \\frac{-7 + 7 i } {z + 7i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 7i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-7 + 7 i } {z + 7i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-7 + 7 i } {z + 7i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-7 + 7 i | } { |z + 7i | }| $", "Or $ |z + 7i| = \\frac{1}{2}$ et $|-7 + 7 i | = $ $\\sqrt{(-7)^2 + (7)^2}$ $ = \\sqrt{49 + 49}$ $= 7 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {7 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 14 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$14 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $14 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-7*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0004", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 5} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{8 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + 4 i } {z + 4i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 5} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{8 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{8 - 2 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow64 + 16 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = -64 + 16 iz + 8\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 64 + 16 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z + 64 - 16 iz - 8\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 128 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 128 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 128 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 16 x + 128 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 16 x - 128 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - 4 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{8 - z }{8 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 2 + i (8 - 2 iz)}{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 - 2z + 8i +2z }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 8i }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 8i } {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i}} {\\frac {8}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-2 + 4 i } {z + 4i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + 4 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-2 + 4 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-2 + 4 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{4}$ et $|-2 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 16}$ $= 2 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {2 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 8 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$8 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $8 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0005", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 6} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{5 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{13}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 6} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{5 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{5 - 4 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow15 + 12 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = -15 + 12 iz + 5\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 15 + 12 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z + 15 - 12 iz - 5\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 30 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 10 x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 10 x - 30 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{12} x - \\frac{5}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{12}x - \\frac{5}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{5 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|5 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{4 | (z + \\frac{5}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{5}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{5 i}{4} ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{3 - z }{5 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{4} | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = 1$ et $|-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (\\frac{3}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + \\frac{9}{16}}$ $= \\frac{13}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{13}{16}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{13}{16} $ Alors CM' =$\\frac{13}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{13}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0006", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 7} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{\\sqrt{3}}{3} + \\frac{3}{2} + i \\left(- \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} - \\frac{1}{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 7} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 9 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -6 + 9 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 9 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 6 - 9 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 4 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 4 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{9} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{9}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + i } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + i | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{2}{9} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{85}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{85}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{85}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0007", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 8} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{4 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + 2 i } {z + \\frac{4}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 8} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$24 + 18 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 24 - 18 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 18 i \\overline z + 18 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 18 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 18 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + \\frac{4}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{85}{9}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{85}}{3}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{6 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + 2 i } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + 2 i } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + 2 i } {z + \\frac{4}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + 2 i | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = 1$ et $|-\\frac{4}{9} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + 4}$ $= \\frac{2 \\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{85}}{9}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{85}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{85}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{85}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-4*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0008", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 9} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{7 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{7 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{1}{3} + 10 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 9} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{7 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{7 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{7 - 3 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{7 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (7 + 3 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (7 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow35 + 15 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z = -35 + 15 iz + 7\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 35 + 15 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z + 35 - 15 iz - 7\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 15 iz + 15 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 15 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 70 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 15 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30y - 14 x + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30y = 14 x - 70 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{15} x - \\frac{7}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{15}x - \\frac{7}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{5 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 7i }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 7i } {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i}} {\\frac {7}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{7}{9} + \\frac{5 i}{3} | } { |z + \\frac{7}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{7}{9} + \\frac{5 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{9})^2 + (\\frac{5}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{81} + \\frac{25}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{274}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{274}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{274}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{274}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{274}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0009", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 10} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{9 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{3}{2} + 6 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{15}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 10} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{9 - 4 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{9 - 4 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$27 + 12 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = 27 - 12 iz - 9\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 9z + 9\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 9 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{9}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 = \\frac{225}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{9}{8}$) et de rayon r = $\\frac{15}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{3 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{4} | } { |z + \\frac{9}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{16})^2 + (\\frac{3}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{256} + \\frac{9}{16}}$ $= \\frac{15}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{15}{16}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{15}{4} $ Alors CM' =$\\frac{15}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{15}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-9*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0010", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 11} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{9 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{9 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 11} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{9 - 4 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{9 - 4 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$81 + 36 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = 81 - 36 iz - 9\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 36 i \\overline z + 36 iz - 9z + 9\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 36 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 36 i - 2iy \\times 9 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + \\frac{9}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 = \\frac{1377}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{9}{8}$) et de rayon r = $\\frac{9 \\sqrt{17}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{9 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{9}{16} + \\frac{9 i}{4} | } { |z + \\frac{9}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{9}{16} + \\frac{9 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{16})^2 + (\\frac{9}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{256} + \\frac{81}{16}}$ $= \\frac{9 \\sqrt{17}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{9 \\sqrt{17}}{16}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{45 \\sqrt{17}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{45 \\sqrt{17}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{45 \\sqrt{17}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-9*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0011", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 12} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{5 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-5 + 4 i } {z + 5i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 12} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{5 - iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{5 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{5 - iz } = \\frac{4 - \\overline z }{5 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (5 + i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (5 - iz )$\\\\\\\\$20 + 4 i \\overline z - 5z - i z \\overline z = 20 - 4 iz - 5\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 5z + 5\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 5 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + 5y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 = \\frac{41}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{5}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{41}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{5 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|5 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 5i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 5i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{5 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (5 - iz ) } {5 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 5i + z } {5 - iz }$ $ = \\frac{4 + 5i } {5 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{5i}{- i} ) } { - i ( z + 5i) }$ $= \\frac{-5 + 4 i } {z + 5i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + 4 i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + 4 i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + 4 i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{4}$ et $|-5 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 16}$ $= \\sqrt{41}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{41}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{41} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{41} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{41}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0012", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 13} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{9 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{9 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{17}{2} - 4 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{145}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 13} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{9 - 2 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{9 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{9 - 2 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{9 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (9 + 2 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (9 - 2 iz )$\\\\\\\\$36 + 8 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z = 36 - 8 iz - 9\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 9z + 9\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 9 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + \\frac{9}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{9}{4})^2 - (\\frac{9}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{9}{4})^2 = \\frac{145}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{9}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{145}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{9 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|9 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + \\frac{9}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{9}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{9 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (9 - 2 iz)}{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 9i +2z }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 9i }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 9i } {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i}} {\\frac {9}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{4} + 2 i } {z + \\frac{9}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + 2 i } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + 2 i } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + 2 i | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{9}{4} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{145}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{145}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{145}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{145}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{145}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0013", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 14} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{9 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 14} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{9 - 4 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{9 - 4 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$63 + 28 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = 63 - 28 iz - 9\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 28 i \\overline z + 28 iz - 9z + 9\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 28 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 28 i - 2iy \\times 9 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + \\frac{9}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 = \\frac{865}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{9}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{865}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{7 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - 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z }{8 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 8 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =1 + \\frac{7 \\sqrt{2}}{2} - \\frac{9 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{65}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 15} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{8 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{8 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{8 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{8 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (8 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (8 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow8 + i \\overline z - 8z - i z \\overline z = -8 + iz + 8\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8 + i \\overline z - 8z - i z \\overline z + 8 - iz - 8\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 16 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 16 x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 16 x - 16 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 8 x - 8 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 8x - 8$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{8 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (8 - iz ) } {8 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 8i + z } {8 - iz }$ $ = \\frac{1 + 8i } {8 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{8i}{- i} ) } { - i ( z + 8i) }$ $= \\frac{-8 + i } {z + 8i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 8i| = 1$", "Or $ z'+ i = \\frac{-8 + i } {z + 8i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-8 + i } {z + 8i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-8 + i | } { |z + 8i | }| $", "Or $ |z + 8i| = 1$ et $|-8 + i | = $ $\\sqrt{(-8)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{64 + 1}$ $= \\sqrt{65}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{65}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{65} $ Alors CM' =$\\sqrt{65} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{65}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-8*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0015", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 16} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{7 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{7 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{7}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 16} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{7 - 4 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{7 - 4 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$14 + 8 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = 14 - 8 iz - 7\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 7z + 7\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 7 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{7}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{7}{8})^2 - (\\frac{7}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{7}{8})^2 = \\frac{113}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{7}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{113}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{2 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 - 4z + 7i +4z }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 7i }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 7i } {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i}} {\\frac {7}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{7}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{7}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{7}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{7}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{16})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{256} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{113}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{113}}{16}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{113}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{113}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{113}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0016", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 17} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{7 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - 7 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 5 \\sqrt{2} + 3 - 2 \\sqrt{2} i $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{58}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 17} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{7 - iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{7 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{7 - iz } = \\frac{3 - \\overline z }{7 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (7 + i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (7 - iz )$\\\\\\\\$21 + 3 i \\overline z - 7z - i z \\overline z = 21 - 3 iz - 7\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 7z + 7\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 7 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 7y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 = \\frac{29}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{7}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{58}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 7i + z } {7 - iz }$ $ = \\frac{3 + 7i } {7 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{7i}{- i} ) } { - i ( z + 7i) }$ $= \\frac{-7 + 3 i } {z + 7i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 7i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-7 + 3 i } {z + 7i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-7 + 3 i } {z + 7i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-7 + 3 i | } { |z + 7i | }| $", "Or $ |z + 7i| = \\frac{1}{5}$ et $|-7 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-7)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{49 + 9}$ $= \\sqrt{58}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{58}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{58} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{58} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{58}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-7*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0017", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 18} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{5 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{809}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 18} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{5 - 4 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{5 - 4 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$35 + 28 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = 35 - 28 iz - 5\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 28 i \\overline z + 28 iz - 5z + 5\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 28 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 28 i - 2iy \\times 5 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + \\frac{5}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{5}{8})^2 - (\\frac{5}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{5}{8})^2 = \\frac{809}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{5}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{809}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - 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z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + \\frac{7 i}{4} | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{5}{16} + \\frac{7 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (\\frac{7}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + \\frac{49}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{809}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{809}}{16}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{809}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{809}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{809}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0018", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 19} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{6 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 19} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{6 - 3 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{6 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{6 - 3 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{6 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (6 + 3 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (6 - 3 iz )$\\\\\\\\$12 + 6 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z = 12 - 6 iz - 6\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 6z + 6\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 6 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +1)^2 = 2$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{6 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|6 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{6 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (6 - 3 iz)}{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 6i +3z }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 6i }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 6i } {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i}} {\\frac {6}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{3} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{2}{3} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{3})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{9} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{2}}{3}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0019", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 20} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{7 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{7 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{7}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 20} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{7 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{7 - 4 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow42 + 24 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = -42 + 24 iz + 7\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42 + 24 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z + 42 - 24 iz - 7\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 24 iz + 24 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 24 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 84 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 24 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y - 14 x + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y = 14 x - 84 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{24} x - \\frac{7}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{24}x - \\frac{7}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{6 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 - 4z + 7i +4z }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 7i }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 7i } {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i}} {\\frac {7}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{7}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{7}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{7}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{7}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{16})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{256} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{25}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{25}{16}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{75}{8} $ Alors CM' =$\\frac{75}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{75}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0020", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 21} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{6 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 3 \\sqrt{3} + \\frac{7}{2} + i \\left(-3 + \\frac{7 \\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-6 + 7 i } {z + 6i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 21} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{6 - iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{6 - iz } = \\frac{7 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (6 + i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$42 + 7 i \\overline z - 6z - i z \\overline z = 42 - 7 iz - 6\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 7 i \\overline z + 7 iz - 6z + 6\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 7 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 7 i - 2iy \\times 6 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + 6y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +3)^2 - (3)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +3)^2 = \\frac{85}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $-3$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{85}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{7 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{7 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{7 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{7 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {7}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + 7 i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - 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\\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{6 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{6 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{6 - 4 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow30 + 20 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = -30 + 20 iz + 6\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30 + 20 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z + 30 - 20 iz - 6\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 20 iz + 20 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 20 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 60 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 20 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40y - 12 x + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40y = 12 x - 60 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{10} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{10}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{5 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + \\frac{5 i}{4} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{8} + \\frac{5 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (\\frac{5}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + \\frac{25}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{109}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{109}}{8}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{109}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{109}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{109}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0022", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 23} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 23} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{4 - iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{4 - iz } = \\frac{6 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (4 + i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$24 + 6 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = 24 - 6 iz - 4\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 4z + 4\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 4 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 4y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +2)^2 = 13$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $-2$) et de rayon r = $\\sqrt{13}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{6 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{6 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{6 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{6 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {6}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 6 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 6 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 6 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 6 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{5}$ et $|-4 + 6 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (6)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 36}$ $= 2 \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{13}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 10 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$10 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $10 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0023", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 24} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{5 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + i } {z + \\frac{5}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 24} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{5 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{5 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{5 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{5 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (5 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (5 - 2 iz )$\\\\\\\\$10 + 4 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z = 10 - 4 iz - 5\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 5z + 5\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 5 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{5}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{5}{4})^2 - (\\frac{5}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{5}{4})^2 = \\frac{41}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{5}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{41}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{5 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (5 - 2 iz)}{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 5i +2z }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 5i }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 5i } {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i}} {\\frac {5}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{4} + i } {z + \\frac{5}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{5}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + i } {z + \\frac{5}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{5}{4} + i } {z + \\frac{5}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{5}{4} + i | } { |z + \\frac{5}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{5}{4} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{4})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{16} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{41}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{41}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{41}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{41}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{41}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-5*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0024", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 25} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{4 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{7 \\sqrt{2}}{2} + 9 - \\frac{11 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{85}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 25} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{4 - 2 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{4 - 2 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$36 + 18 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = 36 - 18 iz - 4\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 18 i \\overline z + 18 iz - 4z + 4\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 18 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 18 i - 2iy \\times 4 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{85}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{85}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{9 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{9 i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{9 i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + \\frac{9 i}{2} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + \\frac{9 i}{2} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$ et $|-1 + \\frac{9 i}{2} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{9}{2})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{81}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{85} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{85} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{85}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0025", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 26} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{8 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-1 + 6 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{4} } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 26} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{8 - 4 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{8 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{8 - 4 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{8 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (8 + 4 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (8 - 4 iz )$\\\\\\\\$24 + 12 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z = 24 - 12 iz - 8\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 8z + 8\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 8 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{13}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{8 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|8 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{4 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{3 - z }{8 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 4 + i (8 - 4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{4} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{4} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{4} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{4} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{3}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{9}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{13}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{13}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{13}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0026", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 27} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{5 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{5}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 27} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{5 - 4 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{5 - 4 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$10 + 8 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = 10 - 8 iz - 5\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 5z + 5\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 5 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{5}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{5}{8})^2 - (\\frac{5}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{5}{8})^2 = \\frac{89}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{5}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{89}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{5 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|5 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{4 | (z + \\frac{5}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{5}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{2 - z }{5 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{89}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{89}}{16}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{89}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{89}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{89}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0027", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 28} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{5 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{5 \\sqrt{17}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 28} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{5 - 4 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{5 - 4 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$25 + 20 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = 25 - 20 iz - 5\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 20 i \\overline z + 20 iz - 5z + 5\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 20 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 20 i - 2iy \\times 5 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + \\frac{5}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{5}{8})^2 - (\\frac{5}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{5}{8})^2 = \\frac{425}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{5}{8}$) et de rayon r = $\\frac{5 \\sqrt{17}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{5 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|5 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{4 | (z + \\frac{5}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{5}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{5 - z }{5 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + \\frac{5 i}{4} | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{5}{16} + \\frac{5 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (\\frac{5}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + \\frac{25}{16}}$ $= \\frac{5 \\sqrt{17}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{5 \\sqrt{17}}{16}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{17}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{17}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{17}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0028", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 29} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 7 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 7 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{7 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{7 \\sqrt{3}}{2} + \\frac{9}{2} + i \\left(- \\frac{7}{2} + \\frac{9 \\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{130}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 29} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{7 - iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{7 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{7 - iz } = \\frac{9 - \\overline z }{7 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (7 + i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (7 - iz )$\\\\\\\\$63 + 9 i \\overline z - 7z - i z \\overline z = 63 - 9 iz - 7\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 7z + 7\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 7 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + 7y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 = \\frac{65}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{7}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{130}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{9 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{9 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{9 - z + 7i + z } {7 - iz }$ $ = \\frac{9 + 7i } {7 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {9}{- i} + \\frac{7i}{- i} ) } { - i ( z + 7i) }$ $= \\frac{-7 + 9 i } {z + 7i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 7i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-7 + 9 i } {z + 7i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-7 + 9 i } {z + 7i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-7 + 9 i | } { |z + 7i | }| $", "Or $ |z + 7i| = \\frac{1}{6}$ et $|-7 + 9 i | = $ $\\sqrt{(-7)^2 + (9)^2}$ $ = \\sqrt{49 + 81}$ $= \\sqrt{130}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{130}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{130} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{130} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{130}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-7*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0029", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 30} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{5 \\sqrt{2}}{6} + 1 + \\frac{\\sqrt{2} i}{6} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 30} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$2 + 3 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = 2 - 3 iz - 2\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 2z + 2\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 2 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{2}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 - (\\frac{1}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 = \\frac{13}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{13}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{13}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0030", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 31} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{6 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{7 \\sqrt{2}}{2} + 5 + \\frac{3 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{29}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 31} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{6 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{6 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{6 - 3 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{6 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (6 + 3 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (6 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow30 + 15 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z = -30 + 15 iz + 6\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30 + 15 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z + 30 - 15 iz - 6\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 15 iz + 15 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 15 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 60 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 15 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30y - 12 x + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30y = 12 x - 60 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{5} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{5}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{6 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|6 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{3 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{5 - z }{6 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 3 + i (6 - 3 iz)}{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 - 3z + 6i +3z }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 6i }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 6i } {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i}} {\\frac {6}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{5 i}{3} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{5 i}{3} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{5 i}{3} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{3} + \\frac{5 i}{3} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{2}{3} + \\frac{5 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{3})^2 + (\\frac{5}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{9} + \\frac{25}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{29}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{29}}{3}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{29}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{29}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{29}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0031", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 32} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{9 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{9 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{277}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 32} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{9 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{9 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{9 - 2 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{9 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (9 + 2 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (9 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow63 + 14 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z = -63 + 14 iz + 9\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 63 + 14 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z + 63 - 14 iz - 9\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 14 iz + 14 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 14 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 126 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 14 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y - 18 x + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y = 18 x - 126 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{9}{14} x - \\frac{9}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{9}{14}x - \\frac{9}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{9 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|9 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{2 | (z + \\frac{9}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{9}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_B = - \\frac{9 i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{7 - z }{9 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 2 + i (9 - 2 iz)}{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 - 2z + 9i +2z }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 9i }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 9i } {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i}} {\\frac {9}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{7 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{7 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{7 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + \\frac{7 i}{2} | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{9}{4} + \\frac{7 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (\\frac{7}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + \\frac{49}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{277}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{277}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{277}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{277}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{277}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0032", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 33} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{5 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{89}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 33} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{5 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{5 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{5 - 2 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{5 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (5 + 2 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (5 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow20 + 8 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z = -20 + 8 iz + 5\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 20 + 8 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z + 20 - 8 iz - 5\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 40 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 10 x + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 10 x - 40 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{8} x - \\frac{5}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{8}x - \\frac{5}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{5 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (5 - 2 iz)}{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 5i +2z }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 5i }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 5i } {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i}} {\\frac {5}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{4} + 2 i } {z + \\frac{5}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + 2 i } {z + \\frac{5}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{5}{4} + 2 i } {z + \\frac{5}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{5}{4} + 2 i | } { |z + \\frac{5}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{5}{4} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{4})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{16} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{89}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{89}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{89}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{89}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{89}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-5*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0033", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 34} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-2 + 8 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 34} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{2 - iz } = \\frac{8 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (2 + i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$16 + 8 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 16 - 8 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +1)^2 = 17$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{17}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - 2 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{8 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{8 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{8 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{8 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {8}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 8 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 8 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 8 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 8 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-2 + 8 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (8)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 64}$ $= 2 \\sqrt{17}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{17}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{17} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{17} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{17}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0034", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 35} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{37}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 35} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{2 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{2 - 2 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 12 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = -12 + 12 iz + 2\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 12 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z + 12 - 12 iz - 2\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 4 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 4 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{6} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{6}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{6 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + 3 i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + 3 i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + 3 i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + 3 i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{1}{2} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 9}$ $= \\frac{\\sqrt{37}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{37}}{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{37}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{37}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{37}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0035", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 36} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{8 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{8 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{8 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 36} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{8 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{8 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{8 - 3 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{8 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (8 + 3 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (8 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow8 + 3 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z = -8 + 3 iz + 8\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8 + 3 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z + 8 - 3 iz - 8\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 16 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 16 x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 16 x - 16 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{8}{3} x - \\frac{8}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{8}{3}x - \\frac{8}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{8 i}{3} ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 8i }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 8i } {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i}} {\\frac {8}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{8}{9} + \\frac{i}{3} | } { |z + \\frac{8}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{8}{9} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{8}{9})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{64}{81} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{73}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{73}}{9}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{73}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{73}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{73}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-8*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0036", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 37} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{4 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{37}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 37} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{4 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{4 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{4 - 4 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{4 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (4 + 4 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (4 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 24 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z = -24 + 24 iz + 4\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 24 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z + 24 - 24 iz - 4\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 24 iz + 24 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 24 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 24 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y - 8 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y = 8 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{6} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{6}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{6 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{37}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{37}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{37}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{37}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{37}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0037", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 38} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{3 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{3 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{409}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 38} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{3 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{3 - 4 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow15 + 20 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = -15 + 20 iz + 3\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 15 + 20 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z + 15 - 20 iz - 3\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 20 iz + 20 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 20 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 30 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 20 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40y - 6 x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40y = 6 x - 30 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{20} x - \\frac{3}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{20}x - \\frac{3}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 5 , z_B = - \\frac{3 i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{5 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + \\frac{5 i}{4} | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{16} + \\frac{5 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (\\frac{5}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + \\frac{25}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{409}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{409}}{16}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{409}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{409}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{409}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0038", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 39} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} + i \\left(- \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 39} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow2 + 2 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = -2 + 2 iz + 2\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2 + 2 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z + 2 - 2 iz - 2\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 4 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 4 x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 4 x - 4 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{2}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0039", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 40} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{7 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 7 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =2 + \\frac{5 \\sqrt{2}}{2} - \\frac{9 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-7 + 2 i } {z + 7i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 40} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{7 - iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{7 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{7 - iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{7 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (7 + i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (7 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow14 + 2 i \\overline z - 7z - i z \\overline z = -14 + 2 iz + 7\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14 + 2 i \\overline z - 7z - i z \\overline z + 14 - 2 iz - 7\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 28 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 14 x + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 14 x - 28 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{2} x - 7 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{2}x - 7$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 7i + z } {7 - iz }$ $ = \\frac{2 + 7i } {7 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{7i}{- i} ) } { - i ( z + 7i) }$ $= \\frac{-7 + 2 i } {z + 7i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 7i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-7 + 2 i } {z + 7i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-7 + 2 i } {z + 7i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-7 + 2 i | } { |z + 7i | }| $", "Or $ |z + 7i| = \\frac{1}{3}$ et $|-7 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-7)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{49 + 4}$ $= \\sqrt{53}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{53}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{53} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{53} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{53}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-7*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0040", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 41} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{8 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{9 \\sqrt{2}}{2} + 7 + \\frac{5 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{53}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 41} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{8 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{8 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{8 - 4 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{8 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (8 + 4 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (8 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow56 + 28 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z = -56 + 28 iz + 8\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56 + 28 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z + 56 - 28 iz - 8\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 28 iz + 28 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 28 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 112 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 28 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56y - 16 x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56y = 16 x - 112 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{7} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{7}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{8 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|8 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{4 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{7 - z }{8 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 4 + i (8 - 4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{4} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{4} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{4} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{4} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{7}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{49}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{53}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{53}}{4}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{53}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{53}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{53}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0041", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 42} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{2 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + i } {z + \\frac{1}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 42} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - 4 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{2 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - 4 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{2 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (2 + 4 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (2 - 4 iz )$\\\\\\\\$8 + 16 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z = 8 - 16 iz - 2\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 16 i \\overline z + 16 iz - 2z + 2\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 16 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 16 i - 2iy \\times 2 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + \\frac{1}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 - (\\frac{1}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 = \\frac{65}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{1}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{65}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{2 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|2 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{4 | (z + \\frac{1}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{1}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{4 - z }{2 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 4 + i (2 - 4 iz)}{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 - 4z + 2i +4z }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 2i }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 2i } {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i}} {\\frac {2}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{8} + i } {z + \\frac{1}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + i } {z + \\frac{1}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{8} + i } {z + \\frac{1}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{8} + i | } { |z + \\frac{1}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{8} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{8})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{64} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{65}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{65}}{8}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{65}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{65}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{65}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0042", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 43} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{6 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =1 + \\frac{3 \\sqrt{3}}{4} + i \\left(- \\sqrt{3} - \\frac{3}{4}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{5}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 43} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{6 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{6 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{6 - 4 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 8 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = -12 + 8 iz + 6\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 8 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z + 12 - 8 iz - 6\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 12 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 12 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{2 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{5}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{5}{8}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{25}{8} $ Alors CM' =$\\frac{25}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{25}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0043", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 44} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + i } {z + \\frac{4}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 44} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$12 + 9 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 12 - 9 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{4}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{97}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{97}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{4 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (4 - 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z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + \\frac{5 i}{2} | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{9}{4} + \\frac{5 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (\\frac{5}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + \\frac{25}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{181}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{181}}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{181}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{181}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{181}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0045", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 46} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - 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\\frac{3}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 47} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{6 - 2 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{6 - 2 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$36 + 12 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = 36 - 12 iz - 6\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 6z + 6\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 6 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{45}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{6 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|6 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{2 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{6 - z }{6 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 2 + i (6 - 2 iz)}{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 - 2z + 6i +2z }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 6i }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 6i } {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i}} {\\frac {6}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{2} + 3 i } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + 3 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + 3 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + 3 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{2} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + 9}$ $= \\frac{3 \\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{5}}{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{15 \\sqrt{5}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{15 \\sqrt{5}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{15 \\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0047", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 48} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{8 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{8 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{8 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{4 \\sqrt{3}}{3} + \\frac{5}{2} + i \\left(- \\frac{5 \\sqrt{3}}{2} - \\frac{4}{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{17}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 48} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{8 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{8 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{8 - 3 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{8 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (8 + 3 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (8 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow40 + 15 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z = -40 + 15 iz + 8\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40 + 15 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z + 40 - 15 iz - 8\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 15 iz + 15 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 15 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 80 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 15 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30y - 16 x + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30y = 16 x - 80 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{8}{15} x - \\frac{8}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{8}{15}x - \\frac{8}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{5 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 8i }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 8i } {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i}} {\\frac {8}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{8}{9} + \\frac{5 i}{3} | } { |z + \\frac{8}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{8}{9} + \\frac{5 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{8}{9})^2 + (\\frac{5}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{64}{81} + \\frac{25}{9}}$ $= \\frac{17}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{17}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{68}{9} $ Alors CM' =$\\frac{68}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{68}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-8*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0048", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 49} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 49} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$14 + 14 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 14 - 14 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 14 i \\overline z + 14 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 14 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 14 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{25}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{7 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{2} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{2} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{7 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{7}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{49}{4}}$ $= \\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{15 \\sqrt{2}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{15 \\sqrt{2}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{15 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0049", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 50} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{8 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{8 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{4 \\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 50} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{8 - 3 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{8 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{8 - 3 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{8 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (8 + 3 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (8 - 3 iz )$\\\\\\\\$32 + 12 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z = 32 - 12 iz - 8\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 8z + 8\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 8 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + \\frac{8}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{4}{3})^2 - (\\frac{4}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{4}{3})^2 = \\frac{52}{9}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{4}{3}$) et de rayon r = $\\frac{2 \\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_B = - \\frac{8 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 8i }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 8i } {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i}} {\\frac {8}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{8}{9} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + \\frac{8}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{8}{9} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{8}{9})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{64}{81} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{4 \\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{4 \\sqrt{13}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{13}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{13}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-8*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0050", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 51} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{5 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{1}{2} + \\frac{5 \\sqrt{3}}{8} + i \\left(- \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{5}{8}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{41}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 51} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{5 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{5 - 4 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow5 + 4 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = -5 + 4 iz + 5\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 5 + 4 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z + 5 - 4 iz - 5\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 10 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 10 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 10 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 10 x + 10 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 10 x - 10 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{4} x - \\frac{5}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{4}x - \\frac{5}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{5 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|5 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{4 | (z + \\frac{5}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{5}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{1 - z }{5 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{4} | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{5}{16} + \\frac{i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (\\frac{1}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + \\frac{1}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{41}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{41}}{16}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{41}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{41}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{41}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0051", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 52} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{7 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{7 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 52} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{7 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{7 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{7 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{7 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (7 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (7 - 2 iz )$\\\\\\\\$7 + 2 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z = 7 - 2 iz - 7\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 7z + 7\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 7 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{7}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{7}{4})^2 - (\\frac{7}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{7}{4})^2 = \\frac{53}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{7}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{53}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{7 i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{7}{4} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{7}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{7}{4} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{4})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{16} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{53}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{53}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{53}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{53}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{53}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-7*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0052", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 53} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{8 i}{3} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 53} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 24 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -24 + 24 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 24 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 24 - 24 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 24 iz + 24 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 24 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 24 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y - 6 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y = 6 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{8} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{8}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{8 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{8 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{8 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{8 i}{3} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{8 i}{3} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = 1$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{8 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{8}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{64}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{65}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{65}}{3}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{65}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{65}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{65}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0053", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 54} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{9 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =10 - 7 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{7 i}{3} } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 54} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{9 - 3 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{9 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{9 - 3 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{9 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (9 + 3 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (9 - 3 iz )$\\\\\\\\$63 + 21 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z = 63 - 21 iz - 9\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 21 i \\overline z + 21 iz - 9z + 9\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 21 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 21 i - 2iy \\times 9 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{29}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{58}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{9 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|9 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{3 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{7 - z }{9 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 3 + i (9 - 3 iz)}{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 - 3z + 9i +3z }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 9i }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 9i } {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i}} {\\frac {9}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{7 i}{3} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{7 i}{3} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-1 + \\frac{7 i}{3} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-1 + \\frac{7 i}{3} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$ et $|-1 + \\frac{7 i}{3} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{7}{3})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{49}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{58}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{58}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{58}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{58}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{58}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0054", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 55} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{2 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{445}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 55} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow14 + 21 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -14 + 21 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14 + 21 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 14 - 21 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 21 iz + 21 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 21 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 28 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 21 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42y - 4 x + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42y = 4 x - 28 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{21} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{21}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_B = - \\frac{2 i}{3} ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{7 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{7 i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{7 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{7}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{49}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{445}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{445}}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{445}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{445}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{445}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0055", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 56} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 56} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$9 + 6 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 9 - 6 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{3}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{45}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{5}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{9 \\sqrt{5}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{9 \\sqrt{5}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{9 \\sqrt{5}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0056", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 57} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - 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z }{7 - 2 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{7 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (7 + 2 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (7 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow63 + 18 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z = -63 + 18 iz + 7\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 63 + 18 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z + 63 - 18 iz - 7\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 18 iz + 18 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 18 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 126 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 18 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y - 14 x + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y = 14 x - 126 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{18} x - \\frac{7}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{18}x - \\frac{7}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_B = - \\frac{7 i}{2} ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{9 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{7}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{7}{4} + \\frac{9 i}{2} | } { |z + \\frac{7}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{7}{4} + \\frac{9 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{4})^2 + (\\frac{9}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{16} + \\frac{81}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{373}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{373}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{373}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{373}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{373}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-7*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0057", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 58} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{3 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{\\sqrt{2}}{2} + 4 - \\frac{7 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 5$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 58} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - iz } = \\frac{4 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (3 + i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$12 + 4 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 12 - 4 iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 3 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{25}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{5}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{4 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 4 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 4 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 4 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 4 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$ et $|-3 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 16}$ $= 5$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {5} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 25 $ Alors CM' =$25 $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $25$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0058", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 59} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{6 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{61}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 59} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{6 - iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{6 - iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (6 + i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow30 + 5 i \\overline z - 6z - i z \\overline z = -30 + 5 iz + 6\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30 + 5 i \\overline z - 6z - i z \\overline z + 30 - 5 iz - 6\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 5 iz + 5 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 5 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 60 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 5 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 10y - 12 x + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 10y = 12 x - 60 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{6}{5} x - 6 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{6}{5}x - 6$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{5 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{5 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{5 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{5 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {5}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + 5 i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 6i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-6 + 5 i } {z + 6i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-6 + 5 i } {z + 6i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-6 + 5 i | } { |z + 6i | }| $", "Or $ |z + 6i| = \\frac{1}{5}$ et $|-6 + 5 i | = $ $\\sqrt{(-6)^2 + (5)^2}$ $ = \\sqrt{36 + 25}$ $= \\sqrt{61}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{61}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{61} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{61} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{61}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-6*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0059", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 60} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{2 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{5 i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 60} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{2 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{2 - 2 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - 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z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$ et $|-1 + i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 1}$ $= \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\sqrt{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0061", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 62} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{9 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{9 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{9 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{25 \\sqrt{2}}{4} + 8 + \\frac{7 \\sqrt{2} i}{4} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + 4 i } {z + \\frac{9}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 62} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{9 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{9 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{9 - 2 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{9 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (9 + 2 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (9 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow72 + 16 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z = -72 + 16 iz + 9\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72 + 16 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z + 72 - 16 iz - 9\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 144 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 18 x + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 18 x - 144 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{9}{16} x - \\frac{9}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{9}{16}x - \\frac{9}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{9 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|9 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{2 | (z + \\frac{9}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{9}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{8 - z }{9 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 2 + i (9 - 2 iz)}{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 - 2z + 9i +2z }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 9i }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 9i } {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i}} {\\frac {9}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{4} + 4 i } {z + \\frac{9}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + 4 i } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + 4 i } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + 4 i | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{9}{4} + 4 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + 16}$ $= \\frac{\\sqrt{337}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{337}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{337}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{337}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{337}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0062", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 63} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{8 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{97}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 63} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{8 - 2 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{8 - 2 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$72 + 18 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = 72 - 18 iz - 8\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 18 i \\overline z + 18 iz - 8z + 8\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 18 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 18 i - 2iy \\times 8 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + 4y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +2)^2 = \\frac{97}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $-2$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{97}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{9 - z }{8 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 2 + i (8 - 2 iz)}{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 - 2z + 8i +2z }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 8i }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 8i } {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i}} {\\frac {8}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-2 + \\frac{9 i}{2} } {z + 4i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + \\frac{9 i}{2} } {z + 4i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-2 + \\frac{9 i}{2} } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-2 + \\frac{9 i}{2} | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{4}$ et $|-2 + \\frac{9 i}{2} | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (\\frac{9}{2})^2}$ $ = \\sqrt{4 + \\frac{81}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{97}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{97}}{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{97} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{97} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{97}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0063", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 64} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 8 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 8 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{8 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =1 + 4 \\sqrt{3} + i \\left(-4 - \\sqrt{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{17}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 64} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{8 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{8 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{8 - iz } = \\frac{2 - \\overline z }{8 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (8 + i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (8 - iz )$\\\\\\\\$16 + 2 i \\overline z - 8z - i z \\overline z = 16 - 2 iz - 8\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 8z + 8\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 8 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 8y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +4)^2 - (4)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +4)^2 = 17$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $-4$) et de rayon r = $\\sqrt{17}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{8 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (8 - iz ) } {8 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 8i + z } {8 - iz }$ $ = \\frac{2 + 8i } {8 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{8i}{- i} ) } { - i ( z + 8i) }$ $= \\frac{-8 + 2 i } {z + 8i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - 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8 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + 2 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 65} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow16 + 8 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -16 + 8 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16 + 8 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 16 - 8 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 32 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 8 x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 8 x - 32 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + 2 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + 2 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + 2 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + 2 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{5}$ et $|-1 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 4}$ $= \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\sqrt{5}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0065", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 66} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{9 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{481}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 66} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{9 - 4 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{9 - 4 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$45 + 20 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = 45 - 20 iz - 9\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 20 i \\overline z + 20 iz - 9z + 9\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 20 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 20 i - 2iy \\times 9 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + \\frac{9}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 = \\frac{481}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{9}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{481}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{5 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{9}{4}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{5 i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{9}{16} + \\frac{5 i}{4} | } { |z + \\frac{9}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{4}i| = 1$ et $|-\\frac{9}{16} + \\frac{5 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{16})^2 + (\\frac{5}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{256} + \\frac{25}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{481}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{481}}{16}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{481}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{481}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{481}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-9*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0066", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 67} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{7 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{7 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{149}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 67} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{7 - 2 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{7 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{7 - 2 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{7 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (7 + 2 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (7 - 2 iz )$\\\\\\\\$35 + 10 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z = 35 - 10 iz - 7\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 10 i \\overline z + 10 iz - 7z + 7\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 10 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 10 i - 2iy \\times 7 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + \\frac{7}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{7}{4})^2 - (\\frac{7}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{7}{4})^2 = \\frac{149}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{7}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{149}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{5 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{7}{4} + \\frac{5 i}{2} | } { |z + \\frac{7}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{7}{4} + \\frac{5 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{4})^2 + (\\frac{5}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{16} + \\frac{25}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{149}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{149}}{4}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{149}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{149}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{149}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-7*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0067", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 68} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 5 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{5 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{74}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 68} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{5 - iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{5 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{5 - iz } = \\frac{7 - \\overline z }{5 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (5 + i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (5 - iz )$\\\\\\\\$35 + 7 i \\overline z - 5z - i z \\overline z = 35 - 7 iz - 5\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 7 i \\overline z + 7 iz - 5z + 5\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 7 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 7 i - 2iy \\times 5 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + 5y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 = \\frac{37}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{5}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{74}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{5 - iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|5 - iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i | | ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{1 | (z + 5i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 5i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_C = - i $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{7 - z }{5 - iz } + i$$ = \\frac{7 - z + i \\times (5 - iz ) } {5 - iz }$$ = \\frac{7 - z + 5i + z } {5 - iz }$ $ = \\frac{7 + 5i } {5 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {7}{- i} + \\frac{5i}{- i} ) } { - i ( z + 5i) }$ $= \\frac{-5 + 7 i } {z + 5i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + 7 i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + 7 i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + 7 i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{4}$ et $|-5 + 7 i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (7)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 49}$ $= \\sqrt{74}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{74}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{74} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{74} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{74}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0068", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 69} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{6 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-6 + 8 i } {z + 6i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 69} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{6 - iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{6 - iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (6 + i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow48 + 8 i \\overline z - 6z - i z \\overline z = -48 + 8 iz + 6\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48 + 8 i \\overline z - 6z - i z \\overline z + 48 - 8 iz - 6\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 96 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 12 x + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 12 x - 96 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - 6 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - 6$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{8 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{8 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{8 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{8 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {8}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + 8 i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 6i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-6 + 8 i } {z + 6i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-6 + 8 i } {z + 6i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-6 + 8 i | } { |z + 6i | }| $", "Or $ |z + 6i| = \\frac{1}{5}$ et $|-6 + 8 i | = $ $\\sqrt{(-6)^2 + (8)^2}$ $ = \\sqrt{36 + 64}$ $= 10$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {10} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 50 $ Alors CM' =$50 $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $50$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-6*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0069", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 70} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{6 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{37}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 70} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{6 - iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{6 - iz } = \\frac{1 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (6 + i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$6 + i \\overline z - 6z - i z \\overline z = 6 - iz - 6\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ i \\overline z + iz - 6z + 6\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times i - 2iy \\times 6 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 6y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +3)^2 - (3)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +3)^2 = \\frac{37}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $-3$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{37}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{1 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 6i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-6 + i } {z + 6i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-6 + i } {z + 6i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-6 + i | } { |z + 6i | }| $", "Or $ |z + 6i| = \\frac{1}{4}$ et $|-6 + i | = $ $\\sqrt{(-6)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{36 + 1}$ $= \\sqrt{37}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{37}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{37} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{37} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{37}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-6*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0070", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 71} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{9 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{9 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{15 \\sqrt{2}}{4} + 3 - \\frac{3 \\sqrt{2} i}{4} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 71} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{9 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{9 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{9 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{9 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (9 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (9 - 2 iz )$\\\\\\\\$27 + 6 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z = 27 - 6 iz - 9\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 9z + 9\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 9 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{9}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{9}{4})^2 - (\\frac{9}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{9}{4})^2 = \\frac{117}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{9}{4}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{9 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|9 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + \\frac{9}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{9}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{9 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (9 - 2 iz)}{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 9i +2z }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 9i }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 9i } {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i}} {\\frac {9}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{9}{4} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{13}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{9 \\sqrt{13}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{9 \\sqrt{13}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{9 \\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0071", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 72} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - 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z }{9 - 2 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{9 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (9 + 2 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (9 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow54 + 12 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z = -54 + 12 iz + 9\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54 + 12 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z + 54 - 12 iz - 9\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 108 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 18 x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 18 x - 108 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - \\frac{9}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - \\frac{9}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{9 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|9 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{2 | (z + \\frac{9}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{9}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_B = - \\frac{9 i}{2} ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{6 - z }{9 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 2 + i (9 - 2 iz)}{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 - 2z + 9i +2z }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 9i }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 9i } {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i}} {\\frac {9}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{4} + 3 i } {z + \\frac{9}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + 3 i } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + 3 i } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + 3 i | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{9}{4} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + 9}$ $= \\frac{15}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{15}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{15}{4} $ Alors CM' =$\\frac{15}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{15}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0072", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 73} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{5 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{5 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 73} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{5 - 3 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{5 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{5 - 3 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{5 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (5 + 3 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (5 - 3 iz )$\\\\\\\\$20 + 12 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z = 20 - 12 iz - 5\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 5z + 5\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 5 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + \\frac{5}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{5}{6})^2 - (\\frac{5}{6})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{5}{6})^2 = \\frac{169}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{5}{6}$) et de rayon r = $\\frac{13}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{5 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|5 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + \\frac{5}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{5}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{5 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (5 - 3 iz)}{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 5i +3z }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 5i }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 5i } {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i}} {\\frac {5}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{5}{9} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + \\frac{5}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{5}{9} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{9})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{81} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{13}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{13}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{26}{9} $ Alors CM' =$\\frac{26}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{26}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-5*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0073", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 74} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{5 \\sqrt{2}}{4} + 1 - \\frac{\\sqrt{2} i}{4} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 74} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$3 + 2 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 3 - 2 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{3}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{13}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{13}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{13}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0074", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 75} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - 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2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + 2 i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{3}{4} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{73}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{73}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{73} $ Alors CM' =$\\sqrt{73} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{73}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0075", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 76} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{4 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{7 \\sqrt{2}}{2} + 8 - \\frac{9 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + 2 i } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 76} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{4 - 4 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{4 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{4 - 4 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{4 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (4 + 4 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (4 - 4 iz )$\\\\\\\\$32 + 32 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z = 32 - 32 iz - 4\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 32 i \\overline z + 32 iz - 4z + 4\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 32 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 32 i - 2iy \\times 4 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{65}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{65}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{8 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + 2 i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + 2 i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + 2 i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + 2 i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{4} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{65}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{65}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{65} $ Alors CM' =$\\sqrt{65} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{65}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0076", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 77} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{9 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 77} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{9 - 4 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{9 - 4 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$9 + 4 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = 9 - 4 iz - 9\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 9z + 9\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 9 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{9}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 = \\frac{97}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{9}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{97}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{9 i}{4} ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{1 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{9}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{4} | } { |z + \\frac{9}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{16})^2 + (\\frac{1}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{256} + \\frac{1}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{97}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{97}}{16}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{97}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{97}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{97}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-9*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0077", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 78} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 5 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{5 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{89}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 78} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{5 - iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{5 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{5 - iz } = \\frac{8 - \\overline z }{5 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (5 + i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (5 - iz )$\\\\\\\\$40 + 8 i \\overline z - 5z - i z \\overline z = 40 - 8 iz - 5\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 5z + 5\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 5 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + 5y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 = \\frac{89}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{5}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{89}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{5 - iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|5 - iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i | | ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{1 | (z + 5i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 5i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - 5 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{8 - z }{5 - iz } + i$$ = \\frac{8 - z + i \\times (5 - iz ) } {5 - iz }$$ = \\frac{8 - z + 5i + z } {5 - iz }$ $ = \\frac{8 + 5i } {5 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {8}{- i} + \\frac{5i}{- i} ) } { - i ( z + 5i) }$ $= \\frac{-5 + 8 i } {z + 5i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + 8 i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + 8 i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + 8 i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{5}$ et $|-5 + 8 i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (8)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 64}$ $= \\sqrt{89}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{89}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{89} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{89} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{89}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0078", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 79} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 79} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow8 + 12 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -8 + 12 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8 + 12 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 8 - 12 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 16 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 4 x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 4 x - 16 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{6} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{6}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{37}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{37}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{37}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{37}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{37}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0079", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 80} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{3 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{3 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + 2 i } {z + \\frac{3}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 80} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{3 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{3 - 4 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 32 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = -24 + 32 iz + 3\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 32 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z + 24 - 32 iz - 3\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 32 iz + 32 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 32 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 32 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 64y - 6 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 64y = 6 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{32} x - \\frac{3}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{32}x - \\frac{3}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{8 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + 2 i } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + 2 i } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + 2 i } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + 2 i | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{16} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{1033}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{1033}}{16}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{1033}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{1033}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{1033}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0080", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 81} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{4 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{53}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 81} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow28 + 14 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -28 + 14 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28 + 14 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 28 - 14 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 14 iz + 14 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 14 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 56 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 14 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y - 8 x + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y = 8 x - 56 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{7} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{7}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{7 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{7 i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{7 i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + \\frac{7 i}{2} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + \\frac{7 i}{2} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-1 + \\frac{7 i}{2} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{7}{2})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{49}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{53}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{53}}{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{53}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{53}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{53}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0081", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 82} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - 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4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 2i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = 1$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{2}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{2}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0082", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 83} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 83} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (4 + i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow8 + 2 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -8 + 2 iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8 + 2 i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 8 - 2 iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 16 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 8 x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 8 x - 16 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 2 x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 2x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{2 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 2 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 2 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 2 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 2 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{2}$ et $|-4 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 4}$ $= 2 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0083", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 84} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{8 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-1 + 14 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + \\frac{7 i}{2} } {z + 4i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 84} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{8 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{8 - 2 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow56 + 14 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = -56 + 14 iz + 8\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56 + 14 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z + 56 - 14 iz - 8\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 14 iz + 14 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 14 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 112 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 14 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y - 16 x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y = 16 x - 112 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{7} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{7}x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - 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z_C | = \\frac{3 \\sqrt{65}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{65}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{65}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0084", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 85} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{9 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 9 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{1}{2} + \\frac{9 \\sqrt{3}}{2} + i \\left(- \\frac{9}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{82}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 85} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{9 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{9 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (9 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow9 + i \\overline z - 9z - i z \\overline z = -9 + iz + 9\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 9 + i \\overline z - 9z - i z \\overline z + 9 - iz - 9\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 18 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 18 x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 18 x - 18 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 9 x - 9 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 9x - 9$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{1 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 9i| = 1$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = 1$ et $|-9 + i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 1}$ $= \\sqrt{82}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{82}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{82} $ Alors CM' =$\\sqrt{82} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{82}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0085", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 86} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{9 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{9 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{9}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 86} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{9 - 4 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{9 - 4 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$18 + 8 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = 18 - 8 iz - 9\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 9z + 9\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 9 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{9}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 = \\frac{145}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{9}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{145}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{2 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{9}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{9}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{9}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{9}{16} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{16})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{256} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{145}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{145}}{16}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{145}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{145}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{145}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-9*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0086", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 87} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{9 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 9 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{85}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 87} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{9 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{9 - iz } = \\frac{2 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (9 + i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$18 + 2 i \\overline z - 9z - i z \\overline z = 18 - 2 iz - 9\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 9z + 9\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 9 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 9y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 = \\frac{85}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{9}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{85}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_B = - 9 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{2 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + 2 i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 9i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + 2 i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + 2 i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + 2 i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = \\frac{1}{3}$ et $|-9 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 4}$ $= \\sqrt{85}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{85}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{85} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{85} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{85}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0087", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 88} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{6 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{9 \\sqrt{2}}{2} + 7 + \\frac{5 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{53}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 88} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{6 - 3 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{6 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{6 - 3 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{6 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (6 + 3 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (6 - 3 iz )$\\\\\\\\$42 + 21 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z = 42 - 21 iz - 6\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 21 i \\overline z + 21 iz - 6z + 6\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 21 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 21 i - 2iy \\times 6 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{53}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{53}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{6 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|6 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{3 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{7 - z }{6 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 3 + i (6 - 3 iz)}{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 - 3z + 6i +3z }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 6i }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 6i } {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i}} {\\frac {6}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{7 i}{3} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{7 i}{3} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{7 i}{3} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{3} + \\frac{7 i}{3} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{2}{3} + \\frac{7 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{3})^2 + (\\frac{7}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{9} + \\frac{49}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{53}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{53}}{3}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{53} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{53} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{53}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0088", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 89} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{3 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{265}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 89} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{3 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{3 - 2 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 16 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = -24 + 16 iz + 3\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 16 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z + 24 - 16 iz - 3\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 6 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 6 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{16} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{16}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{8 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + 4 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + 4 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + 4 i } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + 4 i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{4} + 4 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + 16}$ $= \\frac{\\sqrt{265}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{265}}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{265}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{265}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{265}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0089", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 90} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =7 - 5 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{29}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 90} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{2 - iz } = \\frac{5 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (2 + i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$10 + 5 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 10 - 5 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 5 i \\overline z + 5 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 5 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 5 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{29}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{29}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{5 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{5 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{5 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{5 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {5}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 5 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 5 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 5 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 5 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$ et $|-2 + 5 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (5)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 25}$ $= \\sqrt{29}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{29}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{29} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{29} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{29}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0090", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 91} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{7 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{7 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + 2 i } {z + \\frac{7}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 91} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{7 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{7 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{7 - 2 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{7 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (7 + 2 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (7 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow28 + 8 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z = -28 + 8 iz + 7\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28 + 8 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z + 28 - 8 iz - 7\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 56 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 14 x + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 14 x - 56 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{8} x - \\frac{7}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{8}x - \\frac{7}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + 2 i } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + 2 i } {z + \\frac{7}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{7}{4} + 2 i } {z + \\frac{7}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{7}{4} + 2 i | } { |z + \\frac{7}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{7}{4} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{4})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{16} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{113}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{113}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{113} $ Alors CM' =$\\sqrt{113} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{113}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-7*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0091", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 92} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{9 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{10}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 92} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{9 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{9 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{9 - 3 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{9 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (9 + 3 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (9 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow81 + 27 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z = -81 + 27 iz + 9\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 81 + 27 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z + 81 - 27 iz - 9\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 27 iz + 27 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 162 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 27 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 162 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 27 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 162 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54y - 18 x + 162 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54y = 18 x - 162 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{9 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|9 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{3 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_B = - 3 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{9 - z }{9 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 3 + i (9 - 3 iz)}{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 - 3z + 9i +3z }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 9i }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 9i } {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i}} {\\frac {9}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-1 + 3 i } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + 3 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-1 + 3 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-1 + 3 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$ et $|-1 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 9}$ $= \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\sqrt{10}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0092", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 93} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 9 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 9 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{9 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{97}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 93} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{9 - iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{9 - iz } = \\frac{4 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (9 + i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$36 + 4 i \\overline z - 9z - i z \\overline z = 36 - 4 iz - 9\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 9z + 9\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 9 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + 9y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 = \\frac{97}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{9}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{97}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{4 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + 4 i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 9i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + 4 i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + 4 i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + 4 i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = \\frac{1}{3}$ et $|-9 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 16}$ $= \\sqrt{97}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{97}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{97} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{97} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{97}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0093", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 94} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{5 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{5 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{5 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 94} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{5 - 3 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{5 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{5 - 3 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{5 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (5 + 3 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (5 - 3 iz )$\\\\\\\\$25 + 15 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z = 25 - 15 iz - 5\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 15 i \\overline z + 15 iz - 5z + 5\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 15 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 15 i - 2iy \\times 5 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + \\frac{5}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{5}{6})^2 - (\\frac{5}{6})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{5}{6})^2 = \\frac{125}{18}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{5}{6}$) et de rayon r = $\\frac{5 \\sqrt{10}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{5 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|5 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{3 | (z + \\frac{5}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{5}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 5 , z_B = - \\frac{5 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{5 - z }{5 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 3 + i (5 - 3 iz)}{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 - 3z + 5i +3z }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 5i }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 5i } {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i}} {\\frac {5}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{5}{9} + \\frac{5 i}{3} | } { |z + \\frac{5}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{5}{9} + \\frac{5 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{9})^2 + (\\frac{5}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{81} + \\frac{25}{9}}$ $= \\frac{5 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{5 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{10 \\sqrt{10}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{10 \\sqrt{10}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{10 \\sqrt{10}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-5*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0094", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 95} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{7 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{7 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + 4 i } {z + \\frac{7}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 95} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{7 - 2 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{7 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{7 - 2 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{7 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (7 + 2 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (7 - 2 iz )$\\\\\\\\$56 + 16 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z = 56 - 16 iz - 7\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 16 i \\overline z + 16 iz - 7z + 7\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 16 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 16 i - 2iy \\times 7 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + \\frac{7}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{7}{4})^2 - (\\frac{7}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{7}{4})^2 = \\frac{305}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{7}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{305}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{8 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + 4 i } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + 4 i } {z + \\frac{7}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{7}{4} + 4 i } {z + \\frac{7}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{7}{4} + 4 i | } { |z + \\frac{7}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{7}{4} + 4 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{4})^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{16} + 16}$ $= \\frac{\\sqrt{305}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{305}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{305}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{305}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{305}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-7*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0095", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 96} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =5 - 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 96} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -6 + 2 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 6 - 2 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{2} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{2}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{2 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 3i| = 1$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 2 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 2 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = 1$ et $|-3 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 4}$ $= \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{13}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{13} $ Alors CM' =$\\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0096", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 97} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{9 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + 2 i } {z + \\frac{9}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 97} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{9 - 4 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{9 - 4 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$72 + 32 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = 72 - 32 iz - 9\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 32 i \\overline z + 32 iz - 9z + 9\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 32 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 32 i - 2iy \\times 9 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + \\frac{9}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 = \\frac{1105}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{9}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{1105}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{8 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + 2 i } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{9}{4}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + 2 i } {z + \\frac{9}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{9}{16} + 2 i } {z + \\frac{9}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{9}{16} + 2 i | } { |z + \\frac{9}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{4}i| = 1$ et $|-\\frac{9}{16} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{16})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{256} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{1105}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{1105}}{16}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{1105}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{1105}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{1105}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-9*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0097", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 98} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{8 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 98} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{8 - 4 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{8 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{8 - 4 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{8 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (8 + 4 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (8 - 4 iz )$\\\\\\\\$48 + 24 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z = 48 - 24 iz - 8\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 24 i \\overline z + 24 iz - 8z + 8\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 24 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 24 i - 2iy \\times 8 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +1)^2 = 10$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{10}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{8 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|8 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{4 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_B = - 2 i ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{6 - z }{8 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 4 + i (8 - 4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 2i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = 1$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{10}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{10}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0098", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 99} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{8 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - 8 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 4 \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 99} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - 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z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_B = - 8 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{8 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (8 - iz ) } {8 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 8i + z } {8 - iz }$ $ = \\frac{4 + 8i } {8 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{8i}{- i} ) } { - i ( z + 8i) }$ $= \\frac{-8 + 4 i } {z + 8i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 8i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-8 + 4 i } {z + 8i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-8 + 4 i } {z + 8i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-8 + 4 i | } { |z + 8i | }| $", "Or $ |z + 8i| = \\frac{1}{6}$ et $|-8 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-8)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{64 + 16}$ $= 4 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {4 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 24 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$24 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $24 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-8*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0099", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 100} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - 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z }{2 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{2 - 4 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{2 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (2 + 4 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (2 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 36 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z = -18 + 36 iz + 2\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 36 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z + 18 - 36 iz - 2\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 36 iz + 36 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 36 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 36 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y - 4 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y = 4 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{18} x - \\frac{1}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{18}x - \\frac{1}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{2 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|2 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{4 | (z + \\frac{1}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{1}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{9 - z }{2 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 4 + i (2 - 4 iz)}{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 - 4z + 2i +4z }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 2i }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 2i } {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i}} {\\frac {2}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{8} + \\frac{9 i}{4} | } { |z + \\frac{1}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{1}{8} + \\frac{9 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{8})^2 + (\\frac{9}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{64} + \\frac{81}{16}}$ $= \\frac{5 \\sqrt{13}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{5 \\sqrt{13}}{8}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - 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z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{3 - iz } = \\frac{8 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (3 + i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$24 + 8 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 24 - 8 iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 3 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{73}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{73}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_C = - i $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{8 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{8 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{8 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{8 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {8}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 8 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 8 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 8 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 8 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$ et $|-3 + 8 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (8)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 64}$ $= \\sqrt{73}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{73}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{73} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{73} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{73}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0101", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 102} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{2 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{197}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 102} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{2 - 4 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{2 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{2 - 4 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{2 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (2 + 4 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (2 - 4 iz )$\\\\\\\\$14 + 28 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z = 14 - 28 iz - 2\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 28 i \\overline z + 28 iz - 2z + 2\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 28 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 28 i - 2iy \\times 2 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + \\frac{1}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 - (\\frac{1}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 = \\frac{197}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{1}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{197}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{2 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|2 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{4 | (z + \\frac{1}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{1}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{7 - z }{2 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 4 + i (2 - 4 iz)}{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 - 4z + 2i +4z }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 2i }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 2i } {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i}} {\\frac {2}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{8} + \\frac{7 i}{4} | } { |z + \\frac{1}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{8} + \\frac{7 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{8})^2 + (\\frac{7}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{64} + \\frac{49}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{197}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{197}}{8}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{197}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{197}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{197}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0102", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 103} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 5 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{5 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-5 + 9 i } {z + 5i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 103} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{5 - iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{5 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{5 - iz } = \\frac{9 - \\overline z }{5 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (5 + i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (5 - iz )$\\\\\\\\$45 + 9 i \\overline z - 5z - i z \\overline z = 45 - 9 iz - 5\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 5z + 5\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 5 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + 5y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 = \\frac{53}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{5}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{106}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{5 - iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|5 - iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i | | ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{1 | (z + 5i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 5i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{9 - z }{5 - iz } + i$$ = \\frac{9 - z + i \\times (5 - iz ) } {5 - iz }$$ = \\frac{9 - z + 5i + z } {5 - iz }$ $ = \\frac{9 + 5i } {5 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {9}{- i} + \\frac{5i}{- i} ) } { - i ( z + 5i) }$ $= \\frac{-5 + 9 i } {z + 5i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + 9 i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + 9 i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + 9 i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{4}$ et $|-5 + 9 i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (9)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 81}$ $= \\sqrt{106}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{106}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{106} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{106} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{106}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0103", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 104} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{7 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{7 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-4 + 6 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{85}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 104} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{7 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{7 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{7 - 2 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{7 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (7 + 2 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (7 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow21 + 6 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z = -21 + 6 iz + 7\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 21 + 6 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z + 21 - 6 iz - 7\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 42 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 42 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 42 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 14 x + 42 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 14 x - 42 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{6} x - \\frac{7}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{6}x - \\frac{7}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{7}{4} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{7}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{7}{4} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{4})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{16} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{85}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{85}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{85}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-7*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0104", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 105} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{9 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + i } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 105} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{9 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{9 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{9 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{9 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (9 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (9 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow27 + 9 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z = -27 + 9 iz + 9\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 27 + 9 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z + 27 - 9 iz - 9\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 54 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 18 x + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 18 x - 54 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{9 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|9 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - 3 i ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{9 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (9 - 3 iz)}{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 9i +3z }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 9i }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 9i } {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i}} {\\frac {9}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-1 + i } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 3i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + i } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-1 + i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-1 + i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = 1$ et $|-1 + i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 1}$ $= \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\sqrt{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{2} $ Alors CM' =$\\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0105", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 106} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{6 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 106} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{6 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{6 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{6 - 3 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{6 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (6 + 3 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (6 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 12 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z = -24 + 12 iz + 6\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 12 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z + 24 - 12 iz - 6\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 12 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 12 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{6 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|6 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{6 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (6 - 3 iz)}{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 6i +3z }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 6i }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 6i } {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i}} {\\frac {6}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{3} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{2}{3} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{3})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{9} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{5}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{5}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{5}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{5}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{5}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0106", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 107} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 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z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{4 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{4} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{17}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{17}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{17}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{17}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{17}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0107", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 108} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{9 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{5}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 108} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - 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z_C | = \\frac{10}{3} $ Alors CM' =$\\frac{10}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{10}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0108", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 109} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{8 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - 8 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-5 + 3 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-8 + 3 i } {z + 8i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 109} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{8 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{8 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{8 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{8 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (8 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (8 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 3 i \\overline z - 8z - i z \\overline z = -24 + 3 iz + 8\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 3 i \\overline z - 8z - i z \\overline z + 24 - 3 iz - 8\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 16 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 16 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{8}{3} x - 8 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{8}{3}x - 8$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{8 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (8 - iz ) } {8 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 8i + z } {8 - iz }$ $ = \\frac{3 + 8i } {8 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{8i}{- i} ) } { - i ( z + 8i) }$ $= \\frac{-8 + 3 i } {z + 8i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 8i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-8 + 3 i } {z + 8i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-8 + 3 i } {z + 8i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-8 + 3 i | } { |z + 8i | }| $", "Or $ |z + 8i| = \\frac{1}{5}$ et $|-8 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-8)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{64 + 9}$ $= \\sqrt{73}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{73}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{73} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{73} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{73}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-8*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0109", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 110} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 110} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 2 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -4 + 2 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 2 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 4 - 2 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 8 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 8 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 2 x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 2x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - 2 i ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 2i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + \\frac{i}{2} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = 1$ et $|-1 + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{5}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{5}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0110", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 111} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{6 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{19 \\sqrt{2}}{4} + 8 + \\frac{13 \\sqrt{2} i}{4} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{265}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 111} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{6 - 4 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{6 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{6 - 4 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$48 + 32 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = 48 - 32 iz - 6\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 32 i \\overline z + 32 iz - 6z + 6\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 32 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 32 i - 2iy \\times 6 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + \\frac{3}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{265}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{265}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{8 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + 2 i } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + 2 i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{3}{8} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{265}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{265}}{8}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{265}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{265}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{265}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0111", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 112} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{4 \\sqrt{37}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 112} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$32 + 24 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 32 - 24 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 24 i \\overline z + 24 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 24 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 24 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + \\frac{4}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{148}{9}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{2 \\sqrt{37}}{3}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{8 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{8 i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{8 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{8}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{64}{9}}$ $= \\frac{4 \\sqrt{37}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{4 \\sqrt{37}}{9}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{20 \\sqrt{37}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{20 \\sqrt{37}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{20 \\sqrt{37}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-4*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0112", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 113} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - 9 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 9 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{9 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{\\sqrt{2}}{2} + 8 - \\frac{17 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{145}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 113} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{9 - iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{9 - iz } = \\frac{8 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (9 + i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$72 + 8 i \\overline z - 9z - i z \\overline z = 72 - 8 iz - 9\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 9z + 9\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 9 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + 9y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 = \\frac{145}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{9}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{145}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{8 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{8 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{8 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{8 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {8}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + 8 i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 9i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + 8 i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + 8 i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + 8 i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = \\frac{1}{4}$ et $|-9 + 8 i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (8)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 64}$ $= \\sqrt{145}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{145}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{145} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{145} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{145}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0113", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 114} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{3}{2} + 2 \\sqrt{3} + i \\left(- \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} - 2\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-4 + 3 i } {z + 4i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 114} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 3 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -12 + 3 iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 3 i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 12 - 3 iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 8 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 8 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{3} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{3}x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{3 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 3 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 4i| = 1$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 3 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 3 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 3 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = 1$ et $|-4 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 9}$ $= 5$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {5} {1} $ signifie $|z' - z_C | = 5 $ Alors CM' =$5 $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0114", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 115} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{8 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + \\frac{3 i}{2} } {z + 4i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 115} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{8 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{8 - 2 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 6 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = -24 + 6 iz + 8\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 6 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z + 24 - 6 iz - 8\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 16 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 16 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{3} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{3}x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{8 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (8 - 2 iz)}{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 8i +2z }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 8i }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 8i } {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i}} {\\frac {8}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-2 + \\frac{3 i}{2} } {z + 4i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + \\frac{3 i}{2} } {z + 4i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-2 + \\frac{3 i}{2} } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-2 + \\frac{3 i}{2} | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{5}$ et $|-2 + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{4 + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{5}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{5}{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{25}{2} $ Alors CM' =$\\frac{25}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{25}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0115", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 116} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 116} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$15 + 10 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 15 - 10 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 10 i \\overline z + 10 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 10 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 10 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + \\frac{3}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{109}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{109}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{5 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{5 i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{5 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{5}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{25}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{109}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{109}}{4}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{109}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{109}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{109}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0116", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 117} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 4 \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 117} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{4 - iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (4 + i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow32 + 8 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -32 + 8 iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32 + 8 i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 32 - 8 iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 64 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 8 x + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 8 x - 64 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - 4 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{8 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{8 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{8 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{8 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {8}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 8 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 8 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 8 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 8 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{2}$ et $|-4 + 8 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (8)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 64}$ $= 4 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {4 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 8 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$8 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $8 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0117", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 118} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 5 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{5 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{34}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 118} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{5 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{5 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{5 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{5 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (5 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (5 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow15 + 3 i \\overline z - 5z - i z \\overline z = -15 + 3 iz + 5\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 15 + 3 i \\overline z - 5z - i z \\overline z + 15 - 3 iz - 5\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 30 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 10 x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 10 x - 30 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{3} x - 5 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{3}x - 5$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{5 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|5 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 5i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 5i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{5 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (5 - iz ) } {5 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 5i + z } {5 - iz }$ $ = \\frac{3 + 5i } {5 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{5i}{- i} ) } { - i ( z + 5i) }$ $= \\frac{-5 + 3 i } {z + 5i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + 3 i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + 3 i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + 3 i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{2}$ et $|-5 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 9}$ $= \\sqrt{34}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{34}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{34} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{34} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{34}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0118", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 119} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{\\sqrt{3}}{3} + 4 + i \\left(- \\frac{1}{3} + 4 \\sqrt{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{145}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 119} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{2 - 3 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{2 - 3 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$16 + 24 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = 16 - 24 iz - 2\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 24 i \\overline z + 24 iz - 2z + 2\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 24 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 24 i - 2iy \\times 2 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + \\frac{2}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 - (\\frac{1}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 = \\frac{145}{9}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{1}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{145}}{3}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{8 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{8 i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{8 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{8}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{64}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{145}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{145}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{145}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{145}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{145}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0119", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 120} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{4 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 4 \\sqrt{2} + 7 + 3 \\sqrt{2} i $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{7 i}{4} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 120} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{4 - 4 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{4 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{4 - 4 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{4 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (4 + 4 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (4 - 4 iz )$\\\\\\\\$28 + 28 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z = 28 - 28 iz - 4\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 28 i \\overline z + 28 iz - 4z + 4\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 28 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 28 i - 2iy \\times 4 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{25}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{7 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{7 i}{4} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{7 i}{4} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{7 i}{4} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + \\frac{7 i}{4} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{4} + \\frac{7 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (\\frac{7}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{49}{16}}$ $= \\frac{5 \\sqrt{2}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{5 \\sqrt{2}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{2}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{2}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0120", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 121} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{9 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{9 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{27 \\sqrt{2}}{4} + 9 + \\frac{9 \\sqrt{2} i}{4} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{9 \\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 121} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{9 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{9 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{9 - 2 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{9 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (9 + 2 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (9 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow81 + 18 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z = -81 + 18 iz + 9\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 81 + 18 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z + 81 - 18 iz - 9\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 18 iz + 18 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 162 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 18 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 162 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 18 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 162 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y - 18 x + 162 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y = 18 x - 162 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - \\frac{9}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - \\frac{9}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{9 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|9 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{2 | (z + \\frac{9}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{9}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{9 - z }{9 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 2 + i (9 - 2 iz)}{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 - 2z + 9i +2z }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 9i }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 9i } {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i}} {\\frac {9}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + \\frac{9 i}{2} | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{9}{4} + \\frac{9 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (\\frac{9}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + \\frac{81}{4}}$ $= \\frac{9 \\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{9 \\sqrt{5}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 9 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$9 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $9 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0121", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 122} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-2 + i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 122} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$2 + i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 2 - iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ i \\overline z + iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{1 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 1}$ $= \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{5}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0122", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 123} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 6 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{6 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-6 + 6 i } {z + 6i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 123} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{6 - iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{6 - iz } = \\frac{6 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (6 + i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$36 + 6 i \\overline z - 6z - i z \\overline z = 36 - 6 iz - 6\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 6z + 6\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 6 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 6y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +3)^2 - (3)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +3)^2 = 18$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $-3$) et de rayon r = $3 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_B = - 6 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{6 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{6 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{6 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{6 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {6}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + 6 i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 6i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-6 + 6 i } {z + 6i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-6 + 6 i } {z + 6i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-6 + 6 i | } { |z + 6i | }| $", "Or $ |z + 6i| = \\frac{1}{5}$ et $|-6 + 6 i | = $ $\\sqrt{(-6)^2 + (6)^2}$ $ = \\sqrt{36 + 36}$ $= 6 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {6 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 30 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$30 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $30 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-6*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0123", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 124} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{9 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{9 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + i } {z + \\frac{9}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 124} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{9 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{9 - 4 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow36 + 16 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = -36 + 16 iz + 9\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36 + 16 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z + 36 - 16 iz - 9\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 72 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 18 x + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 18 x - 72 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{9}{16} x - \\frac{9}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{9}{16}x - \\frac{9}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_B = - \\frac{9 i}{4} ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{4 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + i } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + i } {z + \\frac{9}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{9}{16} + i } {z + \\frac{9}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{9}{16} + i | } { |z + \\frac{9}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{9}{16} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{16})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{256} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{337}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{337}}{16}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{337}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{337}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{337}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-9*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0124", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 125} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{7 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{7 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{11}{2} - 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{65}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 125} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{7 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{7 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{7 - 2 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{7 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (7 + 2 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (7 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow14 + 4 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z = -14 + 4 iz + 7\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14 + 4 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z + 14 - 4 iz - 7\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 28 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 14 x + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 14 x - 28 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{4} x - \\frac{7}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{4}x - \\frac{7}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + i } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{7}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + i } {z + \\frac{7}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{7}{4} + i } {z + \\frac{7}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{7}{4} + i | } { |z + \\frac{7}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{7}{4} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{4})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{16} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{65}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{65}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{65}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{65}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{65}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-7*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0125", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 126} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{7 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 7 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-7 + i } {z + 7i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 126} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{7 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{7 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{7 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{7 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (7 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (7 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow7 + i \\overline z - 7z - i z \\overline z = -7 + iz + 7\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 7 + i \\overline z - 7z - i z \\overline z + 7 - iz - 7\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 14 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 14 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 14 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 14 x + 14 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 14 x - 14 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 7 x - 7 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 7x - 7$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - 7 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 7i + z } {7 - iz }$ $ = \\frac{1 + 7i } {7 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{7i}{- i} ) } { - i ( z + 7i) }$ $= \\frac{-7 + i } {z + 7i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 7i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-7 + i } {z + 7i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-7 + i } {z + 7i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-7 + i | } { |z + 7i | }| $", "Or $ |z + 7i| = \\frac{1}{4}$ et $|-7 + i | = $ $\\sqrt{(-7)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{49 + 1}$ $= 5 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {5 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 20 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$20 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $20 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-7*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0126", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 127} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - 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\\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (4 + i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$20 + 5 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = 20 - 5 iz - 4\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 5 i \\overline z + 5 iz - 4z + 4\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 5 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 5 i - 2iy \\times 4 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + 4y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +2)^2 = \\frac{41}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $-2$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{41}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 5 , z_B = - 4 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{5 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{5 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{5 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{5 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {5}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 5 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 5 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 5 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 5 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{4}$ et $|-4 + 5 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (5)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 25}$ $= \\sqrt{41}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{41}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{41} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{41} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{41}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0127", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 128} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{8 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\sqrt{3} + \\frac{5}{2} + i \\left(-1 + \\frac{5 \\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{5 i}{4} } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 128} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{8 - 4 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{8 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{8 - 4 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{8 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (8 + 4 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (8 - 4 iz )$\\\\\\\\$40 + 20 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z = 40 - 20 iz - 8\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 20 i \\overline z + 20 iz - 8z + 8\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 20 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 20 i - 2iy \\times 8 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{29}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{29}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{8 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|8 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{4 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{5 - z }{8 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 4 + i (8 - 4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{5 i}{4} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{5 i}{4} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{5 i}{4} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{5 i}{4} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{5 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{5}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{25}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{29}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{29}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{29} $ Alors CM' =$\\sqrt{29} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{29}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0128", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 129} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{5 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{601}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 129} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{5 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{5 - 4 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow30 + 24 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = -30 + 24 iz + 5\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 30 + 24 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z + 30 - 24 iz - 5\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 24 iz + 24 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 24 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 60 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 24 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y - 10 x + 60 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y = 10 x - 60 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{24} x - \\frac{5}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{24}x - \\frac{5}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{5 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|5 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{4 | (z + \\frac{5}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{5}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{6 - z }{5 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{5}{16} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{601}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{601}}{16}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{601}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{601}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{601}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0129", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 130} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - 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z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{7 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 7i }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 7i } {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i}} {\\frac {7}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{7}{9} + \\frac{i}{3} | } { |z + \\frac{7}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{7}{9} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{9})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{81} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{58}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{58}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{58}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{58}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{58}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0130", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 131} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{8 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{8 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{8 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + i } {z + \\frac{8}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 131} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{8 - 3 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{8 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{8 - 3 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{8 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (8 + 3 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (8 - 3 iz )$\\\\\\\\$24 + 9 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z = 24 - 9 iz - 8\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 8z + 8\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 8 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{8}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{4}{3})^2 - (\\frac{4}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{4}{3})^2 = \\frac{145}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{4}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{145}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 8i }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 8i } {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i}} {\\frac {8}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{8}{9} + i } {z + \\frac{8}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + i } {z + \\frac{8}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{8}{9} + i } {z + \\frac{8}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{8}{9} + i | } { |z + \\frac{8}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{8}{9} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{8}{9})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{64}{81} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{145}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{145}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{145}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{145}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{145}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-8*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0131", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 132} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{8 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 2 \\sqrt{3} + \\frac{5}{2} + i \\left(-2 + \\frac{5 \\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{41}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 132} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{8 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{8 - 2 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow40 + 10 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = -40 + 10 iz + 8\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40 + 10 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z + 40 - 10 iz - 8\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 10 iz + 10 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 10 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 80 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 10 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 20y - 16 x + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 20y = 16 x - 80 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{5} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{5}x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{5 - z }{8 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 2 + i (8 - 2 iz)}{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 - 2z + 8i +2z }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 8i }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 8i } {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i}} {\\frac {8}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-2 + \\frac{5 i}{2} } {z + 4i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + \\frac{5 i}{2} } {z + 4i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-2 + \\frac{5 i}{2} } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-2 + \\frac{5 i}{2} | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + \\frac{5 i}{2} | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (\\frac{5}{2})^2}$ $ = \\sqrt{4 + \\frac{25}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{41}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{41}}{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{41}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{41}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{41}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0132", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 133} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 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z }{4 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 4 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{4 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (4 + 4 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (4 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow8 + 8 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z = -8 + 8 iz + 4\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8 + 8 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z + 8 - 8 iz - 4\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 16 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 8 x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 8 x - 16 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{2 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{2} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{2} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - 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2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + 3 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 2i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + 3 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + 3 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + 3 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = 1$ et $|-1 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 9}$ $= \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\sqrt{10}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{10} $ Alors CM' =$\\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0134", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 135} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{10}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 135} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$9 + 9 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 9 - 9 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = 1$ et $|-\\frac{1}{3} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{3}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{10}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{10}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0135", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 136} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{6 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{i}{2} } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 136} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{6 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{6 - 2 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 2 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = -6 + 2 iz + 6\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 2 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z + 6 - 2 iz - 6\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 12 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 12 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 3 x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 3x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{6 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|6 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - 3 i ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{6 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (6 - 2 iz)}{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 6i +2z }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 6i }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 6i } {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i}} {\\frac {6}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{i}{2} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{i}{2} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{i}{2} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + \\frac{i}{2} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{3}{2} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0136", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 137} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 137} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 3 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = -4 + 3 iz + 4\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 3 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z + 4 - 3 iz - 4\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 8 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 8 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{3} x - \\frac{4}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{3}x - \\frac{4}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{4 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{5}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{5}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{20}{9} $ Alors CM' =$\\frac{20}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{20}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-4*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0137", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 138} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{8 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =1 + 2 \\sqrt{3} + i \\left(-2 - \\sqrt{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 138} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{8 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{8 - 2 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow16 + 4 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = -16 + 4 iz + 8\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16 + 4 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z + 16 - 4 iz - 8\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 32 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 16 x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 16 x - 32 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 2 x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 2x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{8 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (8 - 2 iz)}{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 8i +2z }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 8i }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 8i } {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i}} {\\frac {8}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-2 + i } {z + 4i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + i } {z + 4i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-2 + i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-2 + i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 1}$ $= \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\sqrt{5}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0138", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 139} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{9 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{1}{2} + \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} + i \\left(- \\frac{3}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{i}{3} } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 139} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{9 - 3 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{9 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{9 - 3 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{9 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (9 + 3 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (9 - 3 iz )$\\\\\\\\$9 + 3 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z = 9 - 3 iz - 9\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 9z + 9\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 9 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{9 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|9 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{9 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (9 - 3 iz)}{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 9i +3z }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 9i }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 9i } {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i}} {\\frac {9}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{i}{3} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{i}{3} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-1 + \\frac{i}{3} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-1 + \\frac{i}{3} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$ et $|-1 + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{3}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{10}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{10}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0139", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 140} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{7 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{7 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 140} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{7 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{7 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{7 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{7 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (7 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (7 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow14 + 6 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z = -14 + 6 iz + 7\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14 + 6 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z + 14 - 6 iz - 7\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 28 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 14 x + 28 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 14 x - 28 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{6} x - \\frac{7}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{6}x - \\frac{7}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_B = - \\frac{7 i}{3} ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 7i }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 7i } {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i}} {\\frac {7}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{7}{9} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + \\frac{7}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{7}{9} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{9})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{81} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{85}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{85}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{85}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0140", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 141} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{8 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 2 \\sqrt{3} + 2 + i \\left(-2 + 2 \\sqrt{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 141} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{8 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{8 - 2 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow32 + 8 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = -32 + 8 iz + 8\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32 + 8 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z + 32 - 8 iz - 8\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 64 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 16 x + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 16 x - 64 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{8 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (8 - 2 iz)}{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 8i +2z }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 8i }{2(8 - 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4 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 4 \\sqrt{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 142} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (4 + i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow16 + 4 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -16 + 4 iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16 + 4 i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 16 - 4 iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 32 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 8 x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 8 x - 32 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{4 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 4 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 4 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 4 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 4 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{4}$ et $|-4 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 16}$ $= 4 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {4 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 16 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$16 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $16 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0142", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 143} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 143} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{2 - iz } = \\frac{4 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (2 + i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$8 + 4 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 8 - 4 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +1)^2 = 5$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{4 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 4 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 4 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 4 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 4 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 16}$ $= 2 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0143", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 144} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{6 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{7 i}{2} } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 144} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{6 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{6 - 2 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow42 + 14 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = -42 + 14 iz + 6\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42 + 14 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z + 42 - 14 iz - 6\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 14 iz + 14 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 14 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 84 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 14 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y - 12 x + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y = 12 x - 84 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{7} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{7}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{6 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|6 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{2 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{7 - z }{6 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 2 + i (6 - 2 iz)}{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 - 2z + 6i +2z }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 6i }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 6i } {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i}} {\\frac {6}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{7 i}{2} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{7 i}{2} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{7 i}{2} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + \\frac{7 i}{2} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{2} + \\frac{7 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (\\frac{7}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + \\frac{49}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{58}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{58}}{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{58}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{58}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{58}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0144", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 145} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{3 \\sqrt{3}}{4} + 3 + i \\left(- 3 \\sqrt{3} - \\frac{3}{4}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + 3 i } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 145} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{3 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{3 - 2 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 12 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = -18 + 12 iz + 3\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 12 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z + 18 - 12 iz - 3\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 6 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 6 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{4} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{4}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{6 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + 3 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + 3 i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + 3 i } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + 3 i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{4} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + 9}$ $= \\frac{3 \\sqrt{17}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{17}}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{15 \\sqrt{17}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{15 \\sqrt{17}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{15 \\sqrt{17}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0145", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 146} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{5 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{5 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + i } {z + \\frac{5}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 146} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{5 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{5 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{5 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{5 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (5 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (5 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow15 + 9 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z = -15 + 9 iz + 5\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 15 + 9 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z + 15 - 9 iz - 5\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 30 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 10 x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 10 x - 30 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{9} x - \\frac{5}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{9}x - \\frac{5}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{5 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|5 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{5}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{5}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{5 i}{3} ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{5 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (5 - 3 iz)}{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 5i +3z }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 5i }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 5i } {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i}} {\\frac {5}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{9} + i } {z + \\frac{5}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + i } {z + \\frac{5}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{5}{9} + i } {z + \\frac{5}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{5}{9} + i | } { |z + \\frac{5}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{5}{9} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{9})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{81} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{106}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{106}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{106}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{106}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{106}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-5*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0146", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 147} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{8 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{8 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{793}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 147} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - 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\\frac{8}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{8}{27}x - \\frac{8}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{9 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 8i }{3(8 - 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\\frac{5}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{6}x - \\frac{5}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{5 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|5 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{5}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{5}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_B = - \\frac{5 i}{3} ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - 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2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{3}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{6 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|6 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{6 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (6 - 3 iz)}{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 6i +3z }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 6i }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 6i } {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i}} {\\frac {6}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{3} + i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{3} + i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{3} + i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{2}{3} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{3})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{9} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{13}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{13}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0149", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 150} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{7 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{7 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 150} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{7 - 3 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{7 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{7 - 3 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{7 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (7 + 3 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (7 - 3 iz )$\\\\\\\\$28 + 12 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z = 28 - 12 iz - 7\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 7z + 7\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 7 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + \\frac{7}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 - (\\frac{7}{6})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 = \\frac{193}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{7}{6}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{193}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 7i }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 7i } {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i}} {\\frac {7}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{7}{9} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + \\frac{7}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{7}{9} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{9})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{81} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{193}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{193}}{9}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{193}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{193}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{193}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0150", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 151} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{5 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{5 \\sqrt{3}}{4} + 4 + i \\left(- \\frac{5}{4} + 4 \\sqrt{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + 4 i } {z + \\frac{5}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 151} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{5 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{5 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{5 - 2 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{5 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (5 + 2 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (5 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow40 + 16 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z = -40 + 16 iz + 5\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40 + 16 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z + 40 - 16 iz - 5\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 80 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 10 x + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 10 x - 80 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{16} x - \\frac{5}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{16}x - \\frac{5}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{8 - z }{5 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 2 + i (5 - 2 iz)}{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 - 2z + 5i +2z }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 5i }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 5i } {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i}} {\\frac {5}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{4} + 4 i } {z + \\frac{5}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + 4 i } {z + \\frac{5}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{5}{4} + 4 i } {z + \\frac{5}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{5}{4} + 4 i | } { |z + \\frac{5}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{5}{4} + 4 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{4})^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{16} + 16}$ $= \\frac{\\sqrt{281}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{281}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{281}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{281}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{281}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-5*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0151", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 152} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\sqrt{3} + \\frac{9}{2} + i \\left(- \\frac{9 \\sqrt{3}}{2} - 1\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{85}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 152} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{2 - iz } = \\frac{9 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (2 + i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$18 + 9 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 18 - 9 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{85}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{85}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{9 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{9 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{9 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{9 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {9}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 9 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 9 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 9 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 9 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-2 + 9 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (9)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 81}$ $= \\sqrt{85}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{85}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{85} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{85} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{85}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0152", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 153} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =9 - 10 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{5 i}{2} } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 153} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow20 + 10 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -20 + 10 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 20 + 10 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 20 - 10 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 10 iz + 10 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 10 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 40 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 10 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 20y - 8 x + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 20y = 8 x - 40 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{5} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{5}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{5 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{5 i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{5 i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + \\frac{5 i}{2} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + \\frac{5 i}{2} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-1 + \\frac{5 i}{2} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{5}{2})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{25}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{29}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{29}}{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{29}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{29}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{29}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0153", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 154} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{7 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{7 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 154} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{7 - 4 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{7 - 4 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$49 + 28 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = 49 - 28 iz - 7\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 28 i \\overline z + 28 iz - 7z + 7\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 28 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 28 i - 2iy \\times 7 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + \\frac{7}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{7}{8})^2 - (\\frac{7}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{7}{8})^2 = \\frac{833}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{7}{8}$) et de rayon r = $\\frac{7 \\sqrt{17}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{7 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 - 4z + 7i +4z }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 7i }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 7i } {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i}} {\\frac {7}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{7}{16} + \\frac{7 i}{4} | } { |z + \\frac{7}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{7}{16} + \\frac{7 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{16})^2 + (\\frac{7}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{256} + \\frac{49}{16}}$ $= \\frac{7 \\sqrt{17}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{7 \\sqrt{17}}{16}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{35 \\sqrt{17}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{35 \\sqrt{17}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{35 \\sqrt{17}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0154", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 155} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{3 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{5}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 155} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 4 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 4 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$3 + 4 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = 3 - 4 iz - 3\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 3z + 3\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 3 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{3}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{8})^2 - (\\frac{3}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{8})^2 = \\frac{25}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{8}$) et de rayon r = $\\frac{5}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{1 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{4} | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (\\frac{1}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + \\frac{1}{16}}$ $= \\frac{5}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{5}{16}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{25}{16} $ Alors CM' =$\\frac{25}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{25}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0155", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 156} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{9 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{2 i}{3} } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 156} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{9 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{9 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{9 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{9 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (9 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (9 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 6 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z = -18 + 6 iz + 9\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 6 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z + 18 - 6 iz - 9\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 18 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 18 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{2} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{2}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{9 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|9 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{9 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (9 - 3 iz)}{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 9i +3z }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 9i }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 9i } {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i}} {\\frac {9}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{2 i}{3} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{2 i}{3} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-1 + \\frac{2 i}{3} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-1 + \\frac{2 i}{3} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$ et $|-1 + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{13}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{13}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0156", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 157} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{6 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{37}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 157} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{6 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{6 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{6 - 4 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow54 + 36 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = -54 + 36 iz + 6\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54 + 36 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z + 54 - 36 iz - 6\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 36 iz + 36 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 36 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 108 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 36 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y - 12 x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y = 12 x - 108 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{6} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{6}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_B = - \\frac{3 i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{9 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + \\frac{9 i}{4} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{8} + \\frac{9 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (\\frac{9}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + \\frac{81}{16}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{37}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{37}}{8}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{37}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{37}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{37}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0157", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 158} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{5 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{5 \\sqrt{3}}{4} + 3 + i \\left(- 3 \\sqrt{3} - \\frac{5}{4}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + 3 i } {z + \\frac{5}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 158} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{5 - 2 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{5 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{5 - 2 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{5 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (5 + 2 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (5 - 2 iz )$\\\\\\\\$30 + 12 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z = 30 - 12 iz - 5\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 5z + 5\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 5 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + \\frac{5}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{5}{4})^2 - (\\frac{5}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{5}{4})^2 = \\frac{169}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{5}{4}$) et de rayon r = $\\frac{13}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{6 - z }{5 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 2 + i (5 - 2 iz)}{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 - 2z + 5i +2z }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 5i }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 5i } {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i}} {\\frac {5}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{4} + 3 i } {z + \\frac{5}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + 3 i } {z + \\frac{5}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{5}{4} + 3 i } {z + \\frac{5}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{5}{4} + 3 i | } { |z + \\frac{5}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{5}{4} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{4})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{16} + 9}$ $= \\frac{13}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{13}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{13}{2} $ Alors CM' =$\\frac{13}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{13}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-5*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0158", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 159} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{8 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + 3 i } {z + 4i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 159} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{8 - 2 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{8 - 2 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$48 + 12 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = 48 - 12 iz - 8\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 8z + 8\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 8 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 4y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +2)^2 = 13$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $-2$) et de rayon r = $\\sqrt{13}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_B = - 4 i ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{6 - z }{8 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 2 + i (8 - 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z }{6 - 4 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 16 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = -24 + 16 iz + 6\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 16 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z + 24 - 16 iz - 6\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 12 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 12 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{8} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{8}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_B = - \\frac{3 i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{4 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + i } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + i | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{8} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{73}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{73}}{8}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{73}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{73}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{73}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0160", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 161} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{2 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{82}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 161} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 18 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -12 + 18 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 18 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 12 - 18 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 18 iz + 18 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 18 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 18 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y - 4 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y = 4 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{9} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{9}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_B = - \\frac{2 i}{3} ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{6 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + 2 i } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + 2 i } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + 2 i } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + 2 i | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = 1$ et $|-\\frac{2}{9} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + 4}$ $= \\frac{2 \\sqrt{82}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{82}}{9}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{82}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{82}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{82}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0161", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 162} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{8 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{8 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{8 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{4 \\sqrt{3}}{3} + 3 + i \\left(- 3 \\sqrt{3} - \\frac{4}{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{97}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 162} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{8 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{8 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{8 - 3 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{8 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (8 + 3 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (8 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow48 + 18 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z = -48 + 18 iz + 8\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48 + 18 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z + 48 - 18 iz - 8\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 18 iz + 18 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 18 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 96 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 18 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y - 16 x + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y = 16 x - 96 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{9} x - \\frac{8}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{9}x - \\frac{8}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{6 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 8i }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 8i } {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i}} {\\frac {8}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{8}{9} + 2 i } {z + \\frac{8}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + 2 i } {z + \\frac{8}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{8}{9} + 2 i } {z + \\frac{8}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{8}{9} + 2 i | } { |z + \\frac{8}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{8}{9} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{8}{9})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{64}{81} + 4}$ $= \\frac{2 \\sqrt{97}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{97}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{97}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{97}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{97}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-8*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0162", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 163} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{53}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 163} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{2 - iz } = \\frac{7 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (2 + i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$14 + 7 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 14 - 7 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 7 i \\overline z + 7 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 7 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 7 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{53}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{53}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_C = - i $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{7 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{7 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{7 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{7 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {7}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 7 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 7 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 7 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 7 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-2 + 7 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (7)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 49}$ $= \\sqrt{53}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{53}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{53} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{53} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{53}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0163", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 164} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{23}{3} - 10 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{241}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 164} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$20 + 15 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 20 - 15 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 15 i \\overline z + 15 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 15 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 15 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + \\frac{4}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{241}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{241}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{5 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{5 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{5 i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{5 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{5}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{25}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{241}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{241}}{9}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{241}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{241}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{241}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-4*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0164", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 165} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 6$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 4 \\sqrt{2} + 6 + 2 \\sqrt{2} i $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-2 + 6 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 165} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{2 - iz } = \\frac{6 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (2 + i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$12 + 6 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 12 - 6 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 2 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +1)^2 = 10$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{10}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{6 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{6 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{6 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{6 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {6}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 6 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 2i| = 1$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 6 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 6 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 6 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = 1$ et $|-2 + 6 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (6)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 36}$ $= 2 \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{10}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0165", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 166} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 166} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$12 + 6 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = 12 - 6 iz - 4\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 4z + 4\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 4 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{13}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + \\frac{3 i}{2} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-1 + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{13} $ Alors CM' =$\\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0166", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 167} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{7 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{7 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{1345}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 167} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{7 - 4 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{7 - 4 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$63 + 36 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = 63 - 36 iz - 7\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 36 i \\overline z + 36 iz - 7z + 7\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 36 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 36 i - 2iy \\times 7 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + \\frac{7}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{7}{8})^2 - (\\frac{7}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{7}{8})^2 = \\frac{1345}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{7}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{1345}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_B = - \\frac{7 i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{9 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 - 4z + 7i +4z }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 7i }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 7i } {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i}} {\\frac {7}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{7}{16} + \\frac{9 i}{4} | } { |z + \\frac{7}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{7}{16} + \\frac{9 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{16})^2 + (\\frac{9}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{256} + \\frac{81}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{1345}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{1345}}{16}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{1345}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{1345}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{1345}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0167", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 168} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 3 \\sqrt{10}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 168} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{3 - iz } = \\frac{9 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (3 + i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$27 + 9 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 27 - 9 iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 3 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{45}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{9 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{9 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{9 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{9 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {9}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 9 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 9 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 9 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 9 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$ et $|-3 + 9 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (9)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 81}$ $= 3 \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{10}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 9 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$9 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $9 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0168", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 169} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{6 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{10}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 169} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{6 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{6 - iz } = \\frac{2 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (6 + i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$12 + 2 i \\overline z - 6z - i z \\overline z = 12 - 2 iz - 6\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 6z + 6\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 6 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +3)^2 - (3)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +3)^2 = 10$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $-3$) et de rayon r = $\\sqrt{10}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{2 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + 2 i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 6i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-6 + 2 i } {z + 6i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-6 + 2 i } {z + 6i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-6 + 2 i | } { |z + 6i | }| $", "Or $ |z + 6i| = \\frac{1}{3}$ et $|-6 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-6)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{36 + 4}$ $= 2 \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{10}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-6*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0169", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 170} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 170} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$3 + 3 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 3 - 3 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{1}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_B = - i ,z_C = - \\frac{i}{3}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{2}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{2}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{2}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0170", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 171} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{5 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{5 \\sqrt{3}}{8} + 2 + i \\left(- 2 \\sqrt{3} - \\frac{5}{8}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + i } {z + \\frac{5}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 171} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{5 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{5 - 4 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow20 + 16 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = -20 + 16 iz + 5\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 20 + 16 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z + 20 - 16 iz - 5\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 40 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 10 x + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 10 x - 40 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{16} x - \\frac{5}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{16}x - \\frac{5}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{5 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|5 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{4 | (z + \\frac{5}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{5}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{4 - z }{5 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + i } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + i } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + i } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + i | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{5}{16} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{281}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{281}}{16}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{281}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{281}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{281}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0171", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 172} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{8 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 172} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{8 - 4 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{8 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{8 - 4 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{8 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (8 + 4 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (8 - 4 iz )$\\\\\\\\$32 + 16 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z = 32 - 16 iz - 8\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 16 i \\overline z + 16 iz - 8z + 8\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 16 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 16 i - 2iy \\times 8 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +1)^2 = 5$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{8 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|8 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{4 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{4 - z }{8 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 4 + i (8 - 4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{2} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{5} $ Alors CM' =$\\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0172", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 173} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{6 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + i } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 173} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{6 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{6 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$12 + 4 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = 12 - 4 iz - 6\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 6z + 6\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 6 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{13}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{6 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|6 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_B = - 3 i ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{6 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (6 - 2 iz)}{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 6i +2z }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 6i }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 6i } {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i}} {\\frac {6}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{2} + i } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + i } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{3}{2} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0173", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 174} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{7 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{7 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + i } {z + \\frac{7}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 174} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{7 - 4 iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{7 - 4 iz } = \\frac{4 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$28 + 16 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = 28 - 16 iz - 7\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 16 i \\overline z + 16 iz - 7z + 7\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 16 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 16 i - 2iy \\times 7 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + \\frac{7}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +\\frac{7}{8})^2 - (\\frac{7}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +\\frac{7}{8})^2 = \\frac{305}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $- \\frac{7}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{305}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{4 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 - 4z + 7i +4z }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 7i }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 7i } {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i}} {\\frac {7}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{16} + i } {z + \\frac{7}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{7}{4}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + i } {z + \\frac{7}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{7}{16} + i } {z + \\frac{7}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{7}{16} + i | } { |z + \\frac{7}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{4}i| = 1$ et $|-\\frac{7}{16} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{16})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{256} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{305}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{305}}{16}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{305}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{305}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{305}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0174", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 175} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{3 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 6$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{37}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 175} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 18 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -18 + 18 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 18 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 18 - 18 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 18 iz + 18 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 18 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 18 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y - 6 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y = 6 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{6} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{6}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{6 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + 2 i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + 2 i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + 2 i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + 2 i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{3} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{37}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{37}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{37}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{37}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{37}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0175", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 176} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + 3 i } {z + \\frac{2}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 176} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 27 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -18 + 27 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 27 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 18 - 27 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 27 iz + 27 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 27 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 27 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54y - 4 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54y = 4 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{27} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{27}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{9 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + 3 i } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + 3 i } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + 3 i } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + 3 i | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{2}{9} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + 9}$ $= \\frac{\\sqrt{733}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{733}}{9}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{733}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{733}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{733}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0176", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 177} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - 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z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{9 - z }{8 - iz } + i$$ = \\frac{9 - z + i \\times (8 - iz ) } {8 - iz }$$ = \\frac{9 - z + 8i + z } {8 - iz }$ $ = \\frac{9 + 8i } {8 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {9}{- i} + \\frac{8i}{- i} ) } { - i ( z + 8i) }$ $= \\frac{-8 + 9 i } {z + 8i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 8i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-8 + 9 i } {z + 8i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-8 + 9 i } {z + 8i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-8 + 9 i | } { |z + 8i | }| $", "Or $ |z + 8i| = \\frac{1}{3}$ et $|-8 + 9 i | = $ $\\sqrt{(-8)^2 + (9)^2}$ $ = \\sqrt{64 + 81}$ $= \\sqrt{145}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{145}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{145} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{145} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{145}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-8*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0177", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 178} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{5 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 178} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - 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z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{9 - z }{5 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 2 + i (5 - 2 iz)}{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 - 2z + 5i +2z }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 5i }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 5i } {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i}} {\\frac {5}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{5}{4} + \\frac{9 i}{2} | } { |z + \\frac{5}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{5}{4} + \\frac{9 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{4})^2 + (\\frac{9}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{16} + \\frac{81}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{349}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{349}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{349} $ Alors CM' =$\\sqrt{349} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{349}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-5*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0178", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 179} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{5 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{61}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 179} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{5 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{5 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{5 - 2 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{5 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (5 + 2 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (5 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow15 + 6 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z = -15 + 6 iz + 5\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 15 + 6 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z + 15 - 6 iz - 5\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 30 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 10 x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 10 x - 30 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{6} x - \\frac{5}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{6}x - \\frac{5}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{5 i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{5 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (5 - 2 iz)}{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 5i +2z }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 5i }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 5i } {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i}} {\\frac {5}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{5}{4} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{5}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{5}{4} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{4})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{16} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{61}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{61}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{61}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{61}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{61}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-5*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0179", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 180} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{8 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{8 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{8 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{10}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 180} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{8 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{8 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{8 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{8 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (8 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (8 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow16 + 6 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z = -16 + 6 iz + 8\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16 + 6 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z + 16 - 6 iz - 8\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 32 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 16 x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 16 x - 32 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{3} x - \\frac{8}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{3}x - \\frac{8}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 8i }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 8i } {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i}} {\\frac {8}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{8}{9} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + \\frac{8}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{8}{9} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{8}{9})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{64}{81} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{10}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{10}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{20}{9} $ Alors CM' =$\\frac{20}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{20}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-8*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0180", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 181} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{3 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =3 + 4 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 181} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 12 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -12 + 12 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 12 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 12 - 12 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 6 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 6 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{4} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{4}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{17}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{17}}{3}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{17}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{17}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{17}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0181", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 182} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 3$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 6 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{6 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-3 + 3 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 3 \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 182} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{6 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{6 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (6 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 3 i \\overline z - 6z - i z \\overline z = -18 + 3 iz + 6\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 3 i \\overline z - 6z - i z \\overline z + 18 - 3 iz - 6\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 12 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 12 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 2 x - 6 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 2x - 6$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{3 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + 3 i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 6i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-6 + 3 i } {z + 6i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-6 + 3 i } {z + 6i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-6 + 3 i | } { |z + 6i | }| $", "Or $ |z + 6i| = \\frac{1}{3}$ et $|-6 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-6)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{36 + 9}$ $= 3 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 9 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$9 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $9 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-6*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0182", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 183} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{2 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{65}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 183} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{2 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{2 - 2 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow16 + 16 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = -16 + 16 iz + 2\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16 + 16 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z + 16 - 16 iz - 2\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 32 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 4 x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 4 x - 32 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{8} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{8}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - i ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{8 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + 4 i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + 4 i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + 4 i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + 4 i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{1}{2} + 4 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 16}$ $= \\frac{\\sqrt{65}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{65}}{2}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{65} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{65} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{65}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0183", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 184} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{7 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{7 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{17 \\sqrt{2}}{6} + 8 - \\frac{31 \\sqrt{2} i}{6} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{25}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 184} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{7 - 3 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{7 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{7 - 3 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{7 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (7 + 3 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (7 - 3 iz )$\\\\\\\\$56 + 24 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z = 56 - 24 iz - 7\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 24 i \\overline z + 24 iz - 7z + 7\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 24 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 24 i - 2iy \\times 7 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + \\frac{7}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 - (\\frac{7}{6})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 = \\frac{625}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{7}{6}$) et de rayon r = $\\frac{25}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{8 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 7i }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 7i } {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i}} {\\frac {7}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{7}{3}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{7}{9} + \\frac{8 i}{3} | } { |z + \\frac{7}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{3}i| = 1$ et $|-\\frac{7}{9} + \\frac{8 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{9})^2 + (\\frac{8}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{81} + \\frac{64}{9}}$ $= \\frac{25}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{25}{9}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{25}{9} $ Alors CM' =$\\frac{25}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{25}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0184", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 185} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{8 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 6$ , $z_B = - 8 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 10$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 185} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{8 - iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{8 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{8 - iz } = \\frac{6 - \\overline z }{8 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (8 + i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (8 - iz )$\\\\\\\\$48 + 6 i \\overline z - 8z - i z \\overline z = 48 - 6 iz - 8\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 8z + 8\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 8 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +4)^2 - (4)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +4)^2 = 25$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $-4$) et de rayon r = $5$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{6 - z }{8 - iz } + i$$ = \\frac{6 - z + i \\times (8 - iz ) } {8 - iz }$$ = \\frac{6 - z + 8i + z } {8 - iz }$ $ = \\frac{6 + 8i } {8 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {6}{- i} + \\frac{8i}{- i} ) } { - i ( z + 8i) }$ $= \\frac{-8 + 6 i } {z + 8i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 8i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-8 + 6 i } {z + 8i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-8 + 6 i } {z + 8i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-8 + 6 i | } { |z + 8i | }| $", "Or $ |z + 8i| = \\frac{1}{4}$ et $|-8 + 6 i | = $ $\\sqrt{(-8)^2 + (6)^2}$ $ = \\sqrt{64 + 36}$ $= 10$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {10} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 40 $ Alors CM' =$40 $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $40$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-8*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0185", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 186} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{6 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + 2 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 186} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{6 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{6 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{6 - 3 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{6 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (6 + 3 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (6 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow36 + 18 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z = -36 + 18 iz + 6\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36 + 18 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z + 36 - 18 iz - 6\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 18 iz + 18 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 18 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 72 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 18 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y - 12 x + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y = 12 x - 72 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{6 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|6 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{3 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_B = - 2 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{6 - z }{6 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 3 + i (6 - 3 iz)}{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 - 3z + 6i +3z }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 6i }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 6i } {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i}} {\\frac {6}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{3} + 2 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + 2 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{3} + 2 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{3} + 2 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{2}{3} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{3})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{9} + 4}$ $= \\frac{2 \\sqrt{10}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{10}}{3}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{10 \\sqrt{10}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{10 \\sqrt{10}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{10 \\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0186", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 187} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 9 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 9 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{9 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-9 + 9 i } {z + 9i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 187} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{9 - iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{9 - iz } = \\frac{9 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (9 + i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$81 + 9 i \\overline z - 9z - i z \\overline z = 81 - 9 iz - 9\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 9z + 9\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 9 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + 9y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 = \\frac{81}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{9}{2}$) et de rayon r = $\\frac{9 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_C = - i $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{9 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{9 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{9 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{9 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {9}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + 9 i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 9i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + 9 i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + 9 i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + 9 i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = \\frac{1}{3}$ et $|-9 + 9 i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (9)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 81}$ $= 9 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {9 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 27 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$27 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $27 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0187", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 188} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - 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3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{6 - 3 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{6 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (6 + 3 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (6 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 3 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z = -6 + 3 iz + 6\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 3 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z + 6 - 3 iz - 6\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 12 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 12 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 2 x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 2x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - 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z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{3 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 3 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 3 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$ et $|-3 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 9}$ $= 3 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 12 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$12 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $12 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0189", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 190} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{2 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{257}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 190} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{2 - 4 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{2 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{2 - 4 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{2 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (2 + 4 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (2 - 4 iz )$\\\\\\\\$16 + 32 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z = 16 - 32 iz - 2\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 32 i \\overline z + 32 iz - 2z + 2\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 32 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 32 i - 2iy \\times 2 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + \\frac{1}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 - (\\frac{1}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 = \\frac{257}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{1}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{257}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{2 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|2 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{4 | (z + \\frac{1}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{1}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - \\frac{i}{2} ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{8 - z }{2 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 4 + i (2 - 4 iz)}{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 - 4z + 2i +4z }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 2i }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 2i } {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i}} {\\frac {2}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{8} + 2 i } {z + \\frac{1}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{1}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + 2 i } {z + \\frac{1}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{8} + 2 i } {z + \\frac{1}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{8} + 2 i | } { |z + \\frac{1}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{1}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{1}{8} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{8})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{64} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{257}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{257}}{8}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{257}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{257}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{257}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0190", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 191} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{7 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{7 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + i } {z + \\frac{7}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 191} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{7 - 3 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{7 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{7 - 3 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{7 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (7 + 3 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (7 - 3 iz )$\\\\\\\\$21 + 9 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z = 21 - 9 iz - 7\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 9 i \\overline z + 9 iz - 7z + 7\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 9 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 9 i - 2iy \\times 7 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{7}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 - (\\frac{7}{6})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 = \\frac{65}{18}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{7}{6}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{130}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{7 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 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z_C | = \\frac{5 \\sqrt{130}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{130}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{130}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0191", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 192} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{8 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - 8 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{113}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 192} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{8 - iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{8 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{8 - iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{8 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (8 + i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (8 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow56 + 7 i \\overline z - 8z - i z \\overline z = -56 + 7 iz + 8\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56 + 7 i \\overline z - 8z - i z \\overline z + 56 - 7 iz - 8\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 7 iz + 7 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 7 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 112 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 7 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14y - 16 x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14y = 16 x - 112 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{8}{7} x - 8 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{8}{7}x - 8$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_B = - 8 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{7 - 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z }{4 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =9 - 2 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{17}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 193} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -4 + iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 4 - iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 8 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 8 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 4 x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 4x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{1 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{1 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{3}$ et $|-4 + i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 1}$ $= \\sqrt{17}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{17}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{17} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{17} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{17}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0193", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 194} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{6 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-3 + 18 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-6 + 9 i } {z + 6i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 194} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{6 - iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{6 - iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (6 + i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow54 + 9 i \\overline z - 6z - i z \\overline z = -54 + 9 iz + 6\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54 + 9 i \\overline z - 6z - i z \\overline z + 54 - 9 iz - 6\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 108 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 12 x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 12 x - 108 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{3} x - 6 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{3}x - 6$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{9 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{9 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{9 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{9 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {9}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + 9 i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 6i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-6 + 9 i } {z + 6i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-6 + 9 i } {z + 6i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-6 + 9 i | } { |z + 6i | }| $", "Or $ |z + 6i| = \\frac{1}{2}$ et $|-6 + 9 i | = $ $\\sqrt{(-6)^2 + (9)^2}$ $ = \\sqrt{36 + 81}$ $= 3 \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{13}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-6*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0194", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 195} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 4 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{8 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{17}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 195} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{8 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{8 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{8 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{8 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (8 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (8 - 2 iz )$\\\\\\\\$8 + 2 i \\overline z - 8z - 2 i z \\overline z = 8 - 2 iz - 8\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 8z + 8\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 8 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 4y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +2)^2 = \\frac{17}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $-2$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{17}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{8 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|8 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {8}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{8 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (8 - 2 iz)}{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 8i +2z }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 8i }{2(8 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 8i } {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {8}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {8i}{- 4 i}} {\\frac {8}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-2 + \\frac{i}{2} } {z + 4i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-2 + \\frac{i}{2} } {z + 4i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-2 + \\frac{i}{2} } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-2 + \\frac{i}{2} | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{6}$ et $|-2 + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{4 + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{17}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{17}}{2}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{17} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{17} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{17}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0195", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 196} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - 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3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{5 - 3 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{5 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (5 + 3 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (5 - 3 iz )$\\\\\\\\$30 + 18 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z = 30 - 18 iz - 5\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 18 i \\overline z + 18 iz - 5z + 5\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 18 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 18 i - 2iy \\times 5 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + \\frac{5}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{5}{6})^2 - (\\frac{5}{6})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{5}{6})^2 = \\frac{349}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{5}{6}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{349}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - 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3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 5i }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 5i } {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i}} {\\frac {5}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{9} + 2 i } {z + \\frac{5}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + 2 i } {z + \\frac{5}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{5}{9} + 2 i } {z + \\frac{5}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{5}{9} + 2 i | } { |z + \\frac{5}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{5}{9} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{9})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{81} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{349}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{349}}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{349}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{349}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{349}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-5*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0196", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 197} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{6 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 197} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{6 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{6 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{6 - 4 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow36 + 24 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = -36 + 24 iz + 6\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36 + 24 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z + 36 - 24 iz - 6\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 24 iz + 24 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 24 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 72 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 24 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y - 12 x + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y = 12 x - 72 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{4} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{4}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{6 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{17}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{17}}{8}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{15 \\sqrt{17}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{15 \\sqrt{17}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{15 \\sqrt{17}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0197", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 198} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 198} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 3 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = -6 + 3 iz + 2\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 3 i \\overline z - 2z - i z \\overline z + 6 - 3 iz - 2\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 4 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 4 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{3} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{3}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{3 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 3 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 3 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{5}$ et $|-2 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 9}$ $= \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{13}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0198", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 199} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 7 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 7 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{7 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-7 + 6 i } {z + 7i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 199} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{7 - iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{7 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{7 - iz } = \\frac{6 - \\overline z }{7 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (7 + i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (7 - iz )$\\\\\\\\$42 + 6 i \\overline z - 7z - i z \\overline z = 42 - 6 iz - 7\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 7z + 7\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 7 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 7y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 = \\frac{85}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{7}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{85}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_B = - 7 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{6 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{6 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{6 - z + 7i + z } {7 - iz }$ $ = \\frac{6 + 7i } {7 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {6}{- i} + \\frac{7i}{- i} ) } { - i ( z + 7i) }$ $= \\frac{-7 + 6 i } {z + 7i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 7i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-7 + 6 i } {z + 7i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-7 + 6 i } {z + 7i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-7 + 6 i | } { |z + 7i | }| $", "Or $ |z + 7i| = \\frac{1}{2}$ et $|-7 + 6 i | = $ $\\sqrt{(-7)^2 + (6)^2}$ $ = \\sqrt{49 + 36}$ $= \\sqrt{85}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{85}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{85} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{85} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{85}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-7*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0199", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 200} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + 4 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 200} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow32 + 16 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -32 + 16 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32 + 16 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 32 - 16 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 64 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 8 x + 64 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 8 x - 64 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{4} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{4}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - 2 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{8 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + 4 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + 4 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-1 + 4 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-1 + 4 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$ et $|-1 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 16}$ $= \\sqrt{17}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\sqrt{17}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{17} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{17} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{17}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0200", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 201} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 6 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 6 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{6 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 201} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{6 - iz } = \\overline{\\frac{4 - z }{6 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{6 - iz } = \\frac{4 - \\overline z }{6 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (6 + i \\overline z) = (4 - \\overline z ) (6 - iz )$\\\\\\\\$24 + 4 i \\overline z - 6z - i z \\overline z = 24 - 4 iz - 6\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 6z + 6\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 6 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -2)^2 - (2)^2 + (y +3)^2 - (3)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -2)^2 + (y +3)^2 = 13$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($2$ , $-3$) et de rayon r = $\\sqrt{13}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{6 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|6 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {6}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 6i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 6i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{6 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (6 - iz ) } {6 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 6i + z } {6 - iz }$ $ = \\frac{4 + 6i } {6 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{6i}{- i} ) } { - i ( z + 6i) }$ $= \\frac{-6 + 4 i } {z + 6i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 6i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-6 + 4 i } {z + 6i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-6 + 4 i } {z + 6i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-6 + 4 i | } { |z + 6i | }| $", "Or $ |z + 6i| = \\frac{1}{2}$ et $|-6 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-6)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{36 + 16}$ $= 2 \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{13}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-6*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0201", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 202} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{3 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{3 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + i } {z + \\frac{3}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 202} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{3 - 4 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 16 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = -12 + 16 iz + 3\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 16 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z + 12 - 16 iz - 3\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 6 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 6 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{16} x - \\frac{3}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{16}x - \\frac{3}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{4 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 16 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + i } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + i } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + i } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + i | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{3}{16} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{265}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{265}}{16}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{265}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{265}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{265}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0202", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 203} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - 7 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 7 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{7 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{113}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 203} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{7 - iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{7 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{7 - iz } = \\frac{8 - \\overline z }{7 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (7 + i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (7 - iz )$\\\\\\\\$56 + 8 i \\overline z - 7z - i z \\overline z = 56 - 8 iz - 7\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 8 i \\overline z + 8 iz - 7z + 7\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 8 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 8 i - 2iy \\times 7 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + 7y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +\\frac{7}{2})^2 = \\frac{113}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $- \\frac{7}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{113}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{8 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{8 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{8 - z + 7i + z } {7 - iz }$ $ = \\frac{8 + 7i } {7 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {8}{- i} + \\frac{7i}{- i} ) } { - i ( z + 7i) }$ $= \\frac{-7 + 8 i } {z + 7i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 7i| = 1$", "Or $ z'+ i = \\frac{-7 + 8 i } {z + 7i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-7 + 8 i } {z + 7i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-7 + 8 i | } { |z + 7i | }| $", "Or $ |z + 7i| = 1$ et $|-7 + 8 i | = $ $\\sqrt{(-7)^2 + (8)^2}$ $ = \\sqrt{49 + 64}$ $= \\sqrt{113}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{113}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{113} $ Alors CM' =$\\sqrt{113} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{113}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-7*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0203", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 204} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 204} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$28 + 21 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 28 - 21 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 21 i \\overline z + 21 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 21 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 21 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + \\frac{4}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{457}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{457}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{7 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{7 i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{7 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{7}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{49}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{457}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{457}}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{457}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{457}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{457}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-4*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0204", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 205} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{2 \\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 205} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$8 + 6 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 8 - 6 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 4 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{4}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{13}{9}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 2 , z_B = - \\frac{4 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{13}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{13}}{9}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{10 \\sqrt{13}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{10 \\sqrt{13}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{10 \\sqrt{13}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-4*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0205", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 206} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{5 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{5 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{754}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 206} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{5 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{5 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{5 - 3 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{5 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (5 + 3 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (5 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow45 + 27 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z = -45 + 27 iz + 5\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 45 + 27 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z + 45 - 27 iz - 5\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 27 iz + 27 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 90 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 27 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 90 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 27 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 90 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54y - 10 x + 90 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54y = 10 x - 90 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{27} x - \\frac{5}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{27}x - \\frac{5}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{5 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|5 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{3 | (z + \\frac{5}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{5}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{9 - z }{5 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 3 + i (5 - 3 iz)}{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 - 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z_C | = \\frac{5 \\sqrt{754}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{754}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{754}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-5*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0206", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 207} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{4 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-4 + 7 i } {z + 4i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 207} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{4 - iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (4 + i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow28 + 7 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -28 + 7 iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28 + 7 i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 28 - 7 iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 7 iz + 7 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 7 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 56 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 7 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14y - 8 x + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14y = 8 x - 56 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{7} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{7}x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_C = - i $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{7 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{7 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{7 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{7 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {7}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 7 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 7 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 7 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 7 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{2}$ et $|-4 + 7 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (7)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 49}$ $= \\sqrt{65}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{65}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{65} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{65} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{65}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0207", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 208} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{6 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{205}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 208} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{6 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{6 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{6 - 4 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow42 + 28 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = -42 + 28 iz + 6\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42 + 28 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z + 42 - 28 iz - 6\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 28 iz + 28 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 28 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 84 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 28 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56y - 12 x + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56y = 12 x - 84 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{14} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{14}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_B = - \\frac{3 i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{7 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + \\frac{7 i}{4} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{8} + \\frac{7 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (\\frac{7}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + \\frac{49}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{205}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{205}}{8}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{205}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{205}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{205}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0208", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 209} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{6 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{73}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 209} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{6 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{6 - 2 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow48 + 16 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = -48 + 16 iz + 6\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48 + 16 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z + 48 - 16 iz - 6\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 16 iz + 16 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 16 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 96 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 16 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y - 12 x + 96 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 32y = 12 x - 96 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{8} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{8}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{6 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|6 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{2 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - 3 i ,z_C = - \\frac{i}{2}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{8 - z }{6 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 2 + i (6 - 2 iz)}{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 - 2z + 6i +2z }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 6i }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 16 + 6i } {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 16} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i}} {\\frac {6}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{2} + 4 i } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + 4 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + 4 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + 4 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{3}{2} + 4 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + 16}$ $= \\frac{\\sqrt{73}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{73}}{2}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{73} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{73} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{73}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0209", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 210} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{3 \\sqrt{3}}{4} + 1 + i \\left(- \\frac{3}{4} + \\sqrt{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 210} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = -6 + 4 iz + 3\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z + 6 - 4 iz - 3\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i }{2(3 - 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\\frac{8}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - \\frac{8}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{8 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 8i }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 8i } {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i}} {\\frac {8}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{8}{9} + \\frac{8 i}{3} | } { |z + \\frac{8}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{8}{9} + \\frac{8 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{8}{9})^2 + (\\frac{8}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{64}{81} + \\frac{64}{9}}$ $= \\frac{8 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{8 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{40 \\sqrt{10}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{40 \\sqrt{10}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{40 \\sqrt{10}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-8*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0211", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 212} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{3 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + 3 i } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 212} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow27 + 27 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -27 + 27 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 27 + 27 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 27 - 27 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 27 iz + 27 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 27 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 54 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 27 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54y - 6 x + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54y = 6 x - 54 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{9} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{9}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{9 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + 3 i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + 3 i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + 3 i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + 3 i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{1}{3} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + 9}$ $= \\frac{\\sqrt{82}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{82}}{3}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{82} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{82} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{82}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0212", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 213} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - 9 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 9 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{9 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =2 \\sqrt{2} + 5 - 7 \\sqrt{2} i $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-9 + 5 i } {z + 9i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 213} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{9 - iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{9 - iz } = \\frac{5 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (9 + i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$45 + 5 i \\overline z - 9z - i z \\overline z = 45 - 5 iz - 9\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 5 i \\overline z + 5 iz - 9z + 9\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 5 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 5 i - 2iy \\times 9 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + 9y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 = \\frac{53}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{9}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{106}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{5 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{5 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{5 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{5 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {5}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + 5 i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 9i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + 5 i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + 5 i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + 5 i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = \\frac{1}{4}$ et $|-9 + 5 i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (5)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 25}$ $= \\sqrt{106}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{106}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{106} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{106} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{106}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0213", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 214} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 2 \\sqrt{2} + 3 + \\sqrt{2} i $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 214} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - 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1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - 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1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + i | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = 1$ et $|-\\frac{1}{2} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{5}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{5}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0215", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 216} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{9 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{9 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{9 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{9}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 216} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{9 - 4 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{9 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{9 - 4 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{9 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (9 + 4 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (9 - 4 iz )$\\\\\\\\$54 + 24 i \\overline z - 9z - 4 i z \\overline z = 54 - 24 iz - 9\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 24 i \\overline z + 24 iz - 9z + 9\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 24 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 24 i - 2iy \\times 9 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + \\frac{9}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{9}{8})^2 = \\frac{657}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{9}{8}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{73}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{9 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|9 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {9}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{4 | (z + \\frac{9}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{9}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{6 - z }{9 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 4 + i (9 - 4 iz)}{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 - 4z + 9i +4z }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 9i }{4(9 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 9i } {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {9}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {9i}{- 16 i}} {\\frac {9}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{9}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{9}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{9}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{9}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{4}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{9}{16} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{16})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{256} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{73}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{73}}{16}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{73}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{73}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{73}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-9*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0216", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 217} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{3 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-3 + 5 i } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 217} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{3 - iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (3 + i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow15 + 5 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -15 + 5 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 15 + 5 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 15 - 5 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 5 iz + 5 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 5 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 30 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 5 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 10y - 6 x + 30 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 10y = 6 x - 30 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{5} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{5}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 5 , z_B = - 3 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{5 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{5 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{5 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{5 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {5}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 5 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 5 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 5 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 5 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{6}$ et $|-3 + 5 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (5)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 25}$ $= \\sqrt{34}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{34}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{34} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{34} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{34}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0217", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 218} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 9 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 9 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{9 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =-3 + 6 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 3 \\sqrt{13}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 218} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{9 - iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{9 - iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (9 + i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow54 + 6 i \\overline z - 9z - i z \\overline z = -54 + 6 iz + 9\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54 + 6 i \\overline z - 9z - i z \\overline z + 54 - 6 iz - 9\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 108 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 18 x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 18 x - 108 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{2} x - 9 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{2}x - 9$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{6 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{6 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{6 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{6 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {6}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + 6 i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 9i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + 6 i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + 6 i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + 6 i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = \\frac{1}{2}$ et $|-9 + 6 i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (6)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 36}$ $= 3 \\sqrt{13}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{13}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{13} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{13} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{13}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0218", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 219} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{2} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 219} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$18 + 18 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 18 - 18 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 18 i \\overline z + 18 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 18 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 18 i - 2iy \\times 2 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{41}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{82}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{9 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{2} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{2} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{2} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{9}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{81}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{82}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{82}}{2}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{82}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{82}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{82}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0219", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 220} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{6 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{5}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 220} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{6 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{6 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{6 - 4 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 12 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = -18 + 12 iz + 6\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 12 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z + 18 - 12 iz - 6\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 12 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 12 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{3 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{4} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{3}{8} + \\frac{3 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (\\frac{3}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + \\frac{9}{16}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{5}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{5}}{8}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{9 \\sqrt{5}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{9 \\sqrt{5}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{9 \\sqrt{5}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0220", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 221} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{8}{3} + 4 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{4 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 221} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{4 - 3 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow16 + 12 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = -16 + 12 iz + 4\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16 + 12 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z + 16 - 12 iz - 4\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 32 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 8 x + 32 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 8 x - 32 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - \\frac{4}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - \\frac{4}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{4 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 12 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} | } { |z + \\frac{4}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{4}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{4}{9} + \\frac{4 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{4}{9})^2 + (\\frac{4}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{16}{81} + \\frac{16}{9}}$ $= \\frac{4 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{4 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{10}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{10}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-4*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0221", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 222} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{8 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{8 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{8 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{505}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 222} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{8 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{8 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{8 - 3 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{8 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (8 + 3 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (8 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow56 + 21 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z = -56 + 21 iz + 8\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56 + 21 i \\overline z - 8z - 3 i z \\overline z + 56 - 21 iz - 8\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 21 iz + 21 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 21 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 112 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 21 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42y - 16 x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42y = 16 x - 112 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{8}{21} x - \\frac{8}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{8}{21}x - \\frac{8}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{8 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|8 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {8}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{3 | (z + \\frac{8}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{8}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{7 - z }{8 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 3 + i (8 - 3 iz)}{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 - 3z + 8i +3z }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 8i }{3(8 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 8i } {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {8}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {8i}{- 9 i}} {\\frac {8}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{8}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{8}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{8}{9} + \\frac{7 i}{3} | } { |z + \\frac{8}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{8}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{8}{9} + \\frac{7 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{8}{9})^2 + (\\frac{7}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{64}{81} + \\frac{49}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{505}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{505}}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{505}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{505}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{505}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-8*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0222", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 223} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{7 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{7 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{34}{3} - 9 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{778}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 223} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{7 - 3 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{7 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{7 - 3 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{7 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (7 + 3 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (7 - 3 iz )$\\\\\\\\$63 + 27 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z = 63 - 27 iz - 7\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 27 i \\overline z + 27 iz - 7z + 7\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 27 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 27 i - 2iy \\times 7 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + \\frac{7}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 - (\\frac{7}{6})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 = \\frac{389}{18}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{7}{6}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{778}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{9 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 7i }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 7i } {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i}} {\\frac {7}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{9} + 3 i } {z + \\frac{7}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + 3 i } {z + \\frac{7}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{7}{9} + 3 i } {z + \\frac{7}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{7}{9} + 3 i | } { |z + \\frac{7}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{7}{9} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{9})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{81} + 9}$ $= \\frac{\\sqrt{778}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{778}}{9}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{778}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{778}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{778}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0223", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 224} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{2}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 224} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{4 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 4 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{4 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + 4 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (4 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 4 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z = -4 + 4 iz + 4\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 4 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z + 4 - 4 iz - 4\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 8 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 8 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{1 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{4} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{4} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{4} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{4} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{4} + \\frac{i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (\\frac{1}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{1}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{2}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{2}}{4}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{2}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{2}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{2}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0224", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 225} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{7 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{7 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + 2 i } {z + \\frac{7}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 225} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{7 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{7 - 4 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow56 + 32 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = -56 + 32 iz + 7\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 56 + 32 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z + 56 - 32 iz - 7\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 32 iz + 32 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 32 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 112 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 32 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 64y - 14 x + 112 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 64y = 14 x - 112 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{32} x - \\frac{7}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{32}x - \\frac{7}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{8 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 - 4z + 7i +4z }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 7i }{4(7 - 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z_C | = \\frac{5 \\sqrt{1073}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{1073}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{1073}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0225", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 226} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{9 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{5 i}{3} } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 226} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{9 - 3 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{9 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{9 - 3 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{9 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (9 + 3 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (9 - 3 iz )$\\\\\\\\$45 + 15 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z = 45 - 15 iz - 9\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 15 i \\overline z + 15 iz - 9z + 9\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 15 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 15 i - 2iy \\times 9 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{17}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{34}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{9 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|9 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{3 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 5 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{5 - z }{9 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 3 + i (9 - 3 iz)}{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 - 3z + 9i +3z }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 9i }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 9i } {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i}} {\\frac {9}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{5 i}{3} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 3i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{5 i}{3} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-1 + \\frac{5 i}{3} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-1 + \\frac{5 i}{3} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = 1$ et $|-1 + \\frac{5 i}{3} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{5}{3})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{25}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{34}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{34}}{3}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{34}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{34}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{34}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0226", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 227} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{7 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 227} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$21 + 14 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 21 - 14 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 14 i \\overline z + 14 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 14 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 14 i - 2iy \\times 3 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + \\frac{3}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{205}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{205}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{7 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{7 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{7 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{7 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{7 i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{7 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{7}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{49}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{205}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{205}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{205}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{205}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{205}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0227", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 228} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - 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\\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{7 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{7 - 4 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow35 + 20 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = -35 + 20 iz + 7\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 35 + 20 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z + 35 - 20 iz - 7\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 20 iz + 20 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 20 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 70 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 20 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40y - 14 x + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40y = 14 x - 70 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{20} x - \\frac{7}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{20}x - \\frac{7}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{5 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 - 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z_C | = \\frac{3 \\sqrt{449}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{449}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{449}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0228", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 229} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{37}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 229} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - 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\\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{6}x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{9 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{9 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{4} + \\frac{9 i}{2} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{3}{4} + \\frac{9 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{4})^2 + (\\frac{9}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{16} + \\frac{81}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{37}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{37}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{37} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{37} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{37}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0229", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 230} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{10}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 230} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{4 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 4 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{4 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + 4 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (4 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 12 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z = -12 + 12 iz + 4\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 12 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z + 12 - 12 iz - 4\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 8 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 8 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - i ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{3 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{4} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{4} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{4} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{4} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{1}{4} + \\frac{3 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (\\frac{3}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{9}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{10}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{10}}{4}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{10}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{10}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{10}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0230", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 231} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 5 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{5 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =2 + \\frac{3 \\sqrt{2}}{2} - \\frac{7 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{29}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 231} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{5 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{5 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{5 - iz } = \\frac{2 - \\overline z }{5 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (5 + i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (5 - iz )$\\\\\\\\$10 + 2 i \\overline z - 5z - i z \\overline z = 10 - 2 iz - 5\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 5z + 5\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 5 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 5y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 = \\frac{29}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{5}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{29}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{5 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|5 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 5i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 5i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{5 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (5 - iz ) } {5 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 5i + z } {5 - iz }$ $ = \\frac{2 + 5i } {5 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{5i}{- i} ) } { - i ( z + 5i) }$ $= \\frac{-5 + 2 i } {z + 5i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + 2 i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + 2 i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + 2 i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{6}$ et $|-5 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 4}$ $= \\sqrt{29}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{29}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{29} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{29} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{29}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0231", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 232} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =4 - 6 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{37}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 232} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 4 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 4 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{2 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 4 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (2 - 4 iz )$\\\\\\\\$6 + 12 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z = 6 - 12 iz - 2\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 2z + 2\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 2 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{1}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 - (\\frac{1}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 = \\frac{37}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{1}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{37}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{4 | (z + \\frac{1}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{1}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{3 - z }{2 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 4 + i (2 - 4 iz)}{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 - 4z + 2i +4z }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 2i }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 2i } {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i}} {\\frac {2}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{1}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{4} | } { |z + \\frac{1}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{1}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{8})^2 + (\\frac{3}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{64} + \\frac{9}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{37}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{37}}{8}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{37}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{37}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{37}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0232", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 233} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{3 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{3 \\sqrt{3}}{2} + \\frac{7}{2} + i \\left(- \\frac{3}{2} + \\frac{7 \\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{58}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 233} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{3 - iz } = \\frac{7 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (3 + i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$21 + 7 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 21 - 7 iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 7 i \\overline z + 7 iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 7 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 7 i - 2iy \\times 3 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{29}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{58}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{7 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{7 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{7 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{7 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {7}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 7 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 7 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 7 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 7 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{6}$ et $|-3 + 7 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (7)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 49}$ $= \\sqrt{58}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{58}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{58} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{58} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{58}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0233", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 234} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{4 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{9 i}{4} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 234} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{4 - 4 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{4 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{4 - 4 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{4 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (4 + 4 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (4 - 4 iz )$\\\\\\\\$36 + 36 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z = 36 - 36 iz - 4\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 36 i \\overline z + 36 iz - 4z + 4\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 36 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 36 i - 2iy \\times 4 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{41}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{82}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_B = - i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{9 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{9 i}{4} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{9 i}{4} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{9 i}{4} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + \\frac{9 i}{4} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{1}{4} + \\frac{9 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (\\frac{9}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{81}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{82}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{82}}{4}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{82}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{82}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{82}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0234", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 235} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{3 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{3 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 235} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{3 - 4 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{3 - 4 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$21 + 28 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = 21 - 28 iz - 3\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 28 i \\overline z + 28 iz - 3z + 3\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 28 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 28 i - 2iy \\times 3 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + \\frac{3}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{3}{8})^2 - (\\frac{3}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{3}{8})^2 = \\frac{793}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{3}{8}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{793}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{7 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 28 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 28} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{7 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + \\frac{7 i}{4} | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{3}{16} + \\frac{7 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (\\frac{7}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + \\frac{49}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{793}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{793}}{16}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{793}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{793}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{793}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0235", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 236} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{10}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 236} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$3 + i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 3 - iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ i \\overline z + iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times i - 2iy \\times 3 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - 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i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{5}$ et $|-3 + i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 1}$ $= \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{10}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0236", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 237} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 4$ , $z_B = - 7 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 7 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{7 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{7 \\sqrt{3}}{2} + 2 + i \\left(- \\frac{7}{2} + 2 \\sqrt{3}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{65}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 237} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{7 - iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{7 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{7 - iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{7 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (7 + i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (7 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow28 + 4 i \\overline z - 7z - i z \\overline z = -28 + 4 iz + 7\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28 + 4 i \\overline z - 7z - i z \\overline z + 28 - 4 iz - 7\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 56 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 14 x + 56 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 14 x - 56 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{4} x - 7 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{4}x - 7$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{4 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{4 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{4 - z + 7i + z } {7 - iz }$ $ = \\frac{4 + 7i } {7 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {4}{- i} + \\frac{7i}{- i} ) } { - i ( z + 7i) }$ $= \\frac{-7 + 4 i } {z + 7i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 7i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-7 + 4 i } {z + 7i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-7 + 4 i } {z + 7i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-7 + 4 i | } { |z + 7i | }| $", "Or $ |z + 7i| = \\frac{1}{5}$ et $|-7 + 4 i | = $ $\\sqrt{(-7)^2 + (4)^2}$ $ = \\sqrt{49 + 16}$ $= \\sqrt{65}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{65}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{65} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{65} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{65}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-7*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0237", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 238} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{8 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{4} } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 238} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{8 - 4 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{8 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{8 - 4 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{8 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (8 + 4 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (8 - 4 iz )$\\\\\\\\$8 + 4 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z = 8 - 4 iz - 8\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 8z + 8\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 8 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{8 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|8 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{4 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{1 - z }{8 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 4 + i (8 - 4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{4} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 2i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{4} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{4} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{4} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = 1$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{1}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{1}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{5}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{5}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{5}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0238", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 239} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{1}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 239} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 4 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{2 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 4 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (2 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 8 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z = -4 + 8 iz + 2\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 8 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z + 4 - 8 iz - 2\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 4 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 4 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{4} x - \\frac{1}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{4}x - \\frac{1}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{4 | (z + \\frac{1}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{1}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{2 - z }{2 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 4 + i (2 - 4 iz)}{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 - 4z + 2i +4z }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 2i }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 2i } {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i}} {\\frac {2}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{1}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{1}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{1}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{1}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{8})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{64} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{17}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{17}}{8}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{17}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{17}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{17}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0239", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 240} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 5 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{5 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{5 \\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} + i \\left(- \\frac{5}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{26}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 240} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - 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z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{6}$ et $|-5 + i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 1}$ $= \\sqrt{26}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{26}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{26} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{26} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{26}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0240", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 241} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{6 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{13}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 241} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{6 - 4 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{6 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{6 - 4 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{6 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (6 + 4 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (6 - 4 iz )$\\\\\\\\$6 + 4 i \\overline z - 6z - 4 i z \\overline z = 6 - 4 iz - 6\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 6z + 6\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 6 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{3}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{13}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{6 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|6 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {6}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{1 - z }{6 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 4 + i (6 - 4 iz)}{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 - 4z + 6i +4z }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 6i }{4(6 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 6i } {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {6}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {6i}{- 16 i}} {\\frac {6}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{3}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{4} | } { |z + \\frac{3}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{2}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{3}{8} + \\frac{i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{8})^2 + (\\frac{1}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{64} + \\frac{1}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{13}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{13}}{8}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{13}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{13}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-3*I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0241", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 242} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{4 - z }{6 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 4$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + 2 i } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 242} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{6 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{4 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{4 - z }{6 - 2 iz } = -\\frac{4 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (4 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = - (4 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow24 + 8 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = -24 + 8 iz + 6\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24 + 8 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z + 24 - 8 iz - 6\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 48 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 12 x + 48 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 12 x - 48 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{4} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{4}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{4 - z }{6 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|4 - z | }{|6 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|4 - z | }{2 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|4 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 4 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{4 - z }{6 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(4 - z ) \\times 2 + i (6 - 2 iz)}{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 - 2z + 6i +2z }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 6i }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 8 + 6i } {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i}} {\\frac {6}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{2} + 2 i } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + 2 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + 2 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + 2 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{3}{2} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + 4}$ $= \\frac{5}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{5}{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 $ Alors CM' =$5 $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "4", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0242", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 243} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{7 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{7 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{65}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 243} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{7 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{7 - 4 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow7 + 4 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = -7 + 4 iz + 7\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 7 + 4 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z + 7 - 4 iz - 7\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 14 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 14 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 14 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 14 x + 14 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 14 x - 14 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{4} x - \\frac{7}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{4}x - \\frac{7}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{1 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 - 4z + 7i +4z }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 7i }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 7i } {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i}} {\\frac {7}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{4} | } { |z + \\frac{7}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{7}{16} + \\frac{i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{16})^2 + (\\frac{1}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{256} + \\frac{1}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{65}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{65}}{16}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{65}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{65}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{65}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0243", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 244} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{6 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{9 i}{2} } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 244} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{6 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{6 - 2 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow54 + 18 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = -54 + 18 iz + 6\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 54 + 18 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z + 54 - 18 iz - 6\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 18 iz + 18 i \\overline z - 6z - 6\\overline z + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 18 i (z - \\overline z ) - 6( z + \\overline z ) + 108 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 18 i \\times 2iy - 6 \\times 2x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y - 12 x + 108 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36y = 12 x - 108 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{6 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|6 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{2 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{9 - z }{6 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 2 + i (6 - 2 iz)}{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 - 2z + 6i +2z }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 6i }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 18 + 6i } {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i}} {\\frac {6}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{9 i}{2} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{9 i}{2} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{9 i}{2} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + \\frac{9 i}{2} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{3}{2} + \\frac{9 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (\\frac{9}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + \\frac{81}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{10}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{10}}{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{9 \\sqrt{10}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{9 \\sqrt{10}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{9 \\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0244", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 245} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{9 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{9 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{9 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 245} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{9 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{9 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{9 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{9 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (9 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (9 - 2 iz )$\\\\\\\\$9 + 2 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z = 9 - 2 iz - 9\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 9z + 9\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 2 i - 2iy \\times 9 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - x + \\frac{9}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{9}{4})^2 - (\\frac{9}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{9}{4})^2 = \\frac{85}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{9}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{85}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{9 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|9 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + \\frac{9}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{9}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{9 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (9 - 2 iz)}{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 9i +2z }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 9i }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 9i } {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i}} {\\frac {9}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{9}{4} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{85} $ Alors CM' =$\\sqrt{85} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{85}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0245", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 246} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{7 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{7 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{373}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 246} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{7 - 3 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{7 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{7 - 3 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{7 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (7 + 3 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (7 - 3 iz )$\\\\\\\\$42 + 18 i \\overline z - 7z - 3 i z \\overline z = 42 - 18 iz - 7\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 18 i \\overline z + 18 iz - 7z + 7\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 18 i (z+ \\overline z ) - 7 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 18 i - 2iy \\times 7 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + \\frac{7}{3}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 - (\\frac{7}{6})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{7}{6})^2 = \\frac{373}{36}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{7}{6}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{373}}{6}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_B = - \\frac{7 i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{6 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 7i }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 7i } {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i}} {\\frac {7}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{9} + 2 i } {z + \\frac{7}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + 2 i } {z + \\frac{7}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{7}{9} + 2 i } {z + \\frac{7}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{7}{9} + 2 i | } { |z + \\frac{7}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{7}{9} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{9})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{81} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{373}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{373}}{9}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{373}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{373}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{373}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0246", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 247} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 5 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{5 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-5 + 5 i } {z + 5i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 247} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{5 - iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{5 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{5 - iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{5 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (5 + i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (5 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow25 + 5 i \\overline z - 5z - i z \\overline z = -25 + 5 iz + 5\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 25 + 5 i \\overline z - 5z - i z \\overline z + 25 - 5 iz - 5\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 5 iz + 5 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 50 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 5 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 50 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 5 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 50 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 10y - 10 x + 50 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 10y = 10 x - 50 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 5 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 5$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{5 - iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|5 - iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i | | ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{1 | (z + 5i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 5i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{5 - z }{5 - iz } + i$$ = \\frac{5 - z + i \\times (5 - iz ) } {5 - iz }$$ = \\frac{5 - z + 5i + z } {5 - iz }$ $ = \\frac{5 + 5i } {5 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {5}{- i} + \\frac{5i}{- i} ) } { - i ( z + 5i) }$ $= \\frac{-5 + 5 i } {z + 5i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + 5 i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + 5 i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + 5 i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{2}$ et $|-5 + 5 i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (5)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 25}$ $= 5 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {5 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 10 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$10 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $10 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0247", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 248} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{9 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{5}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 248} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{9 - 3 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{9 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{9 - 3 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{9 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (9 + 3 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (9 - 3 iz )$\\\\\\\\$54 + 18 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z = 54 - 18 iz - 9\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 18 i \\overline z + 18 iz - 9z + 9\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 18 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 18 i - 2iy \\times 9 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{45}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{9 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|9 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{3 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{6 - z }{9 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 3 + i (9 - 3 iz)}{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 - 3z + 9i +3z }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 9i }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 18 + 9i } {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 18} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i}} {\\frac {9}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-1 + 2 i } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 3i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + 2 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-1 + 2 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-1 + 2 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = 1$ et $|-1 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{1 + 4}$ $= \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\sqrt{5}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{5} $ Alors CM' =$\\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0248", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 249} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{6 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\sqrt{3} + 4 + i \\left(- 4 \\sqrt{3} - 1\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{8 i}{3} } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 249} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{6 - 3 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{6 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{6 - 3 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{6 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (6 + 3 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (6 - 3 iz )$\\\\\\\\$48 + 24 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z = 48 - 24 iz - 6\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 24 i \\overline z + 24 iz - 6z + 6\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 24 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 24 i - 2iy \\times 6 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +1)^2 = 17$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{17}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{6 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|6 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{3 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{8 - z }{6 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 3 + i (6 - 3 iz)}{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 - 3z + 6i +3z }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 6i }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 6i } {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i}} {\\frac {6}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{8 i}{3} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{8 i}{3} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{3} + \\frac{8 i}{3} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{3} + \\frac{8 i}{3} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{2}{3} + \\frac{8 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{3})^2 + (\\frac{8}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{9} + \\frac{64}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{17}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{17}}{3}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{17} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{17} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{17}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0249", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 250} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{5 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{29}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 250} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{5 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{5 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{5 - 2 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{5 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (5 + 2 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (5 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow5 + 2 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z = -5 + 2 iz + 5\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 5 + 2 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z + 5 - 2 iz - 5\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 10 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 10 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 10 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 10 x + 10 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 10 x - 10 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{2} x - \\frac{5}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{2}x - \\frac{5}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{5 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (5 - 2 iz)}{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 5i +2z }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 5i }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 5i } {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i}} {\\frac {5}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{5}{4} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{5}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{2}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{5}{4} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{4})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{16} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{29}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{29}}{4}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{29}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{29}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{29}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-5*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0250", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 251} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{7 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{7 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{5}{2} + 6 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{193}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 251} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{7 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{7 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{7 - 2 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{7 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (7 + 2 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (7 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow42 + 12 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z = -42 + 12 iz + 7\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42 + 12 i \\overline z - 7z - 2 i z \\overline z + 42 - 12 iz - 7\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 84 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 14 x + 84 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 14 x - 84 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{12} x - \\frac{7}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{12}x - \\frac{7}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{6 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 12 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + 3 i } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{7}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{7}{4} + 3 i } {z + \\frac{7}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{7}{4} + 3 i } {z + \\frac{7}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{7}{4} + 3 i | } { |z + \\frac{7}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{7}{4} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{4})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{16} + 9}$ $= \\frac{\\sqrt{193}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{193}}{4}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{193}}{4} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{193}}{4} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{193}}{4}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-7*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0251", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 252} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{5 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 252} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - 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z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{5 - z }{5 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 2 + i (5 - 2 iz)}{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 - 2z + 5i +2z }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 5i }{2(5 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 5i } {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {5}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {5i}{- 4 i}} {\\frac {5}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{4} + \\frac{5 i}{2} } {z + \\frac{5}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - 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3 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 3 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $1$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-3 + 6 i } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 253} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{3 - iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (3 + i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 6 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -18 + 6 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 6 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 18 - 6 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 6 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 6 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{1}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{6 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{6 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{6 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{6 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {6}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 6 i } {z + 3i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-3 + 6 i } {z + 3i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-3 + 6 i } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-3 + 6 i | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{2}$ et $|-3 + 6 i | = $ $\\sqrt{(-3)^2 + (6)^2}$ $ = \\sqrt{9 + 36}$ $= 3 \\sqrt{5}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{5}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 6 \\sqrt{5} $ Alors CM' =$6 \\sqrt{5} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $6 \\sqrt{5}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0253", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 254} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{9 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - 9 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- 8 \\sqrt{2} + 7 - \\sqrt{2} i $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{130}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 254} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{9 - iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{9 - iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (9 + i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow63 + 7 i \\overline z - 9z - i z \\overline z = -63 + 7 iz + 9\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 63 + 7 i \\overline z - 9z - i z \\overline z + 63 - 7 iz - 9\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 7 iz + 7 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 7 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 126 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 7 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14y - 18 x + 126 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 14y = 18 x - 126 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{9}{7} x - 9 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{9}{7}x - 9$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{7 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{7 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{7 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{7 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {7}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + 7 i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + 9i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + 7 i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + 7 i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + 7 i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = \\frac{1}{5}$ et $|-9 + 7 i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (7)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 49}$ $= \\sqrt{130}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{130}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = 5 \\sqrt{130} $ Alors CM' =$5 \\sqrt{130} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $5 \\sqrt{130}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0254", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 255} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - \\frac{3 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{9}{4} + 3 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 255} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 4 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 4 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$9 + 12 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = 9 - 12 iz - 3\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 12 i \\overline z + 12 iz - 3z + 3\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 12 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 12 i - 2iy \\times 3 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + \\frac{3}{4}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{8})^2 - (\\frac{3}{8})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{8})^2 = \\frac{153}{64}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{3}{8}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{17}}{8}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{3 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{4} | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (\\frac{3}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + \\frac{9}{16}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{17}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{17}}{16}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{9 \\sqrt{17}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{9 \\sqrt{17}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{9 \\sqrt{17}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0255", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 256} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{3 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{3 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{65}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 256} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{3 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{6 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{3 - 4 iz } = -\\frac{6 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = - (6 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow18 + 24 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = -18 + 24 iz + 3\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18 + 24 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z + 18 - 24 iz - 3\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 24 iz + 24 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 24 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 36 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 24 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y - 6 x + 36 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y = 6 x - 36 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{8} x - \\frac{3}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{8}x - \\frac{3}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 6 , z_C = - \\frac{i}{4} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{6 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{16} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{65}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{65}}{16}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{65}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{65}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{65}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0256", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 257} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{6 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{34}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 257} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{6 - 2 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{6 - 2 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$30 + 10 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = 30 - 10 iz - 6\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 10 i \\overline z + 10 iz - 6z + 6\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 10 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 10 i - 2iy \\times 6 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{17}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{34}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{6 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|6 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {6}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{2 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 5 , z_C = - \\frac{i}{2} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{5 - z }{6 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 2 + i (6 - 2 iz)}{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 - 2z + 6i +2z }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 6i }{2(6 - 2 iz) }$$ = \\frac { 10 + 6i } {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {6}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 10} {- 4 i} + \\frac {6i}{- 4 i}} {\\frac {6}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{5 i}{2} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 3i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{5 i}{2} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{5 i}{2} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + \\frac{5 i}{2} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{3}{2} + \\frac{5 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (\\frac{5}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + \\frac{25}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{34}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{34}}{2}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{34} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{34} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{34}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0257", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 258} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - 5 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 5 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{5 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{11 \\sqrt{2}}{2} + 6 + \\frac{\\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-5 + 6 i } {z + 5i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 258} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{5 - iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{5 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{5 - iz } = \\frac{6 - \\overline z }{5 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (5 + i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (5 - iz )$\\\\\\\\$30 + 6 i \\overline z - 5z - i z \\overline z = 30 - 6 iz - 5\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 5z + 5\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 5 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 5 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + 5y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{5}{2})^2 = \\frac{61}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{5}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{61}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{5 - iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|5 - iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- i | | ( \\frac {5}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{1 | (z + 5i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + 5i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{6 - z }{5 - iz } + i$$ = \\frac{6 - z + i \\times (5 - iz ) } {5 - iz }$$ = \\frac{6 - z + 5i + z } {5 - iz }$ $ = \\frac{6 + 5i } {5 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {6}{- i} + \\frac{5i}{- i} ) } { - i ( z + 5i) }$ $= \\frac{-5 + 6 i } {z + 5i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 5i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-5 + 6 i } {z + 5i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-5 + 6 i } {z + 5i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-5 + 6 i | } { |z + 5i | }| $", "Or $ |z + 5i| = \\frac{1}{2}$ et $|-5 + 6 i | = $ $\\sqrt{(-5)^2 + (6)^2}$ $ = \\sqrt{25 + 36}$ $= \\sqrt{61}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{61}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{61} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{61} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{61}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-5*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0258", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 259} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{9 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{9 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{9 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + i } {z + \\frac{9}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 259} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{9 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{9 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{9 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{9 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (9 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (9 - 2 iz )$\\\\\\\\$18 + 4 i \\overline z - 9z - 2 i z \\overline z = 18 - 4 iz - 9\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 9z + 9\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 4 i - 2iy \\times 9 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{9}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{9}{4})^2 - (\\frac{9}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{9}{4})^2 = \\frac{97}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{9}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{97}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{9 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|9 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {9}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + \\frac{9}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{9}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{9 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (9 - 2 iz)}{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 9i +2z }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 9i }{2(9 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 9i } {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {9}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {9i}{- 4 i}} {\\frac {9}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{9}{4} + i } {z + \\frac{9}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{9}{4} + i } {z + \\frac{9}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{9}{4} + i } {z + \\frac{9}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{9}{4} + i | } { |z + \\frac{9}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{9}{2}i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{9}{4} + i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{9}{4})^2 + (1)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{81}{16} + 1}$ $= \\frac{\\sqrt{97}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{97}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{97}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{97}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{97}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-9*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0259", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 260} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - 8 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 8 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{8 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-8 + 8 i } {z + 8i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 260} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{8 - iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{8 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{8 - iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{8 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (8 + i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (8 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow64 + 8 i \\overline z - 8z - i z \\overline z = -64 + 8 iz + 8\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 64 + 8 i \\overline z - 8z - i z \\overline z + 64 - 8 iz - 8\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 128 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 128 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 128 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 16 x + 128 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 16 x - 128 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 8 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 8$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - 8 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{8 - z }{8 - iz } + i$$ = \\frac{8 - z + i \\times (8 - iz ) } {8 - iz }$$ = \\frac{8 - z + 8i + z } {8 - iz }$ $ = \\frac{8 + 8i } {8 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {8}{- i} + \\frac{8i}{- i} ) } { - i ( z + 8i) }$ $= \\frac{-8 + 8 i } {z + 8i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 8i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-8 + 8 i } {z + 8i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-8 + 8 i } {z + 8i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-8 + 8 i | } { |z + 8i | }| $", "Or $ |z + 8i| = \\frac{1}{6}$ et $|-8 + 8 i | = $ $\\sqrt{(-8)^2 + (8)^2}$ $ = \\sqrt{64 + 64}$ $= 8 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {8 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 48 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$48 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $48 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-8*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0260", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 261} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 261} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -4 + 6 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 4 - 6 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 4 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 4 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3}x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} | } { |z + \\frac{2}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{2}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{9})^2 + (\\frac{2}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{81} + \\frac{4}{9}}$ $= \\frac{2 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{2 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{10}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{10}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{10}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-2*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0261", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 262} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{5 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{5 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{37 \\sqrt{2}}{8} + 8 + \\frac{27 \\sqrt{2} i}{8} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + 2 i } {z + \\frac{5}{4}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 262} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{5 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{5 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{5 - 4 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{5 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (5 + 4 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (5 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow40 + 32 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z = -40 + 32 iz + 5\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40 + 32 i \\overline z - 5z - 4 i z \\overline z + 40 - 32 iz - 5\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 32 iz + 32 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 32 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 80 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 32 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 64y - 10 x + 80 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 64y = 10 x - 80 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{32} x - \\frac{5}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{32}x - \\frac{5}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{5 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|5 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {5}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{4 | (z + \\frac{5}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + \\frac{5}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{8 - z }{5 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 4 + i (5 - 4 iz)}{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 - 4z + 5i +4z }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 5i }{4(5 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 5i } {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {5}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {5i}{- 16 i}} {\\frac {5}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{16} + 2 i } {z + \\frac{5}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{5}{16} + 2 i } {z + \\frac{5}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{5}{16} + 2 i } {z + \\frac{5}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{5}{16} + 2 i | } { |z + \\frac{5}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{4}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{5}{16} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{16})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{256} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{1049}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{1049}}{16}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{1049}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{1049}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{1049}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-5*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0262", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 263} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{5}}{8}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 263} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 4 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{2 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 4 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (2 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow2 + 4 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z = -2 + 4 iz + 2\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2 + 4 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z + 2 - 4 iz - 2\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 4 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 4 x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 4 x - 4 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - \\frac{1}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2}x - \\frac{1}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{4 | (z + \\frac{1}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{1}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{1 - z }{2 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 4 + i (2 - 4 iz)}{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 - 4z + 2i +4z }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i } {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i}} {\\frac {2}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{4} } {z + \\frac{1}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{4} | } { |z + \\frac{1}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{1}{2}i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{8} + \\frac{i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{8})^2 + (\\frac{1}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{64} + \\frac{1}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{5}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{5}}{8}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{5}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{5}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{5}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0263", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 264} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{4 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 5$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{5 i}{4} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 264} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{4 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{5 - z }{4 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{4 - 4 iz } = -\\frac{5 - \\overline z }{4 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (4 + 4 i \\overline z) = - (5 - \\overline z ) (4 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow20 + 20 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z = -20 + 20 iz + 4\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 20 + 20 i \\overline z - 4z - 4 i z \\overline z + 20 - 20 iz - 4\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 20 iz + 20 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 20 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 40 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 20 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40y - 8 x + 40 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 40y = 8 x - 40 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{5} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{5}x - 1$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{4 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|4 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {4}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{4 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 5 , z_B = - i ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{5 - z }{4 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 4 + i (4 - 4 iz)}{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 - 4z + 4i +4z }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 4i }{4(4 - 4 iz) }$$ = \\frac { 20 + 4i } {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {4}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 20} {- 16 i} + \\frac {4i}{- 16 i}} {\\frac {4}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{5 i}{4} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{5 i}{4} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{4} + \\frac{5 i}{4} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{4} + \\frac{5 i}{4} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{2}$ et $|-\\frac{1}{4} + \\frac{5 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{4})^2 + (\\frac{5}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{25}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{26}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{26}}{4}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{26}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{26}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{26}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0264", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 265} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 2$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 2 \\sqrt{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 265} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 2 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = -4 + 2 iz + 2\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 2 i \\overline z - 2z - i z \\overline z + 4 - 2 iz - 2\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 4 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 4 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{2 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{2 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-2 + 2 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-2 + 2 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{2}$ et $|-2 + 2 i | = $ $\\sqrt{(-2)^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{4 + 4}$ $= 2 \\sqrt{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {2 \\sqrt{2}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 4 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$4 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $4 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0265", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 266} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{8 - 4 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + 2 i } {z + 2i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 266} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{8 - 4 iz } = \\overline{\\frac{8 - z }{8 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{8 - 4 iz } = \\frac{8 - \\overline z }{8 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (8 + 4 i \\overline z) = (8 - \\overline z ) (8 - 4 iz )$\\\\\\\\$64 + 32 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z = 64 - 32 iz - 8\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 32 i \\overline z + 32 iz - 8z + 8\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 32 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 32 i - 2iy \\times 8 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 8x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -4)^2 - (4)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -4)^2 + (y +1)^2 = 17$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($4$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{17}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{8 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|8 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{4 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 8 , z_B = - 2 i ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{8 - z }{8 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 4 + i (8 - 4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 32 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 32} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + 2 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + 2 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + 2 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + 2 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{3}$ et $|-\\frac{1}{2} + 2 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (2)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + 4}$ $= \\frac{\\sqrt{17}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{17}}{2}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{17}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{17}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{17}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0266", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 267} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{7 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{7 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{7 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{7 \\sqrt{5}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 267} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - 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\\frac{7}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{7 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|7 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {7}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{2 | (z + \\frac{7}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{7}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{2}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{7 - z }{7 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 2 + i (7 - 2 iz)}{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 - 2z + 7i +2z }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 7i }{2(7 - 2 iz) }$$ = \\frac { 14 + 7i } {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {7}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 14} {- 4 i} + \\frac {7i}{- 4 i}} {\\frac {7}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{4} + \\frac{7 i}{2} } {z + \\frac{7}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - 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z }{7 - iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|7 - iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i | | ( \\frac {7}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{1 | (z + 7i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 7i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 5 , z_B = - 7 i ,z_C = - i$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{5 - z }{7 - iz } + i$$ = \\frac{5 - z + i \\times (7 - iz ) } {7 - iz }$$ = \\frac{5 - z + 7i + z } {7 - 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9 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 9 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{9 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = 3 \\sqrt{10}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 270} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{9 - iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{9 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{9 - iz } = \\frac{3 - \\overline z }{9 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (9 + i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (9 - iz )$\\\\\\\\$27 + 3 i \\overline z - 9z - i z \\overline z = 27 - 3 iz - 9\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 9z + 9\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 9 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 3 i - 2iy \\times 9 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 9y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{9}{2})^2 = \\frac{45}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{9}{2}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{9 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|9 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {9}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 9i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 9i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{3 - z }{9 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (9 - iz ) } {9 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 9i + z } {9 - iz }$ $ = \\frac{3 + 9i } {9 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{9i}{- i} ) } { - i ( z + 9i) }$ $= \\frac{-9 + 3 i } {z + 9i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 9i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-9 + 3 i } {z + 9i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-9 + 3 i } {z + 9i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-9 + 3 i | } { |z + 9i | }| $", "Or $ |z + 9i| = \\frac{1}{3}$ et $|-9 + 3 i | = $ $\\sqrt{(-9)^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{81 + 9}$ $= 3 \\sqrt{10}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {3 \\sqrt{10}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 9 \\sqrt{10} $ Alors CM' =$9 \\sqrt{10} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $9 \\sqrt{10}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-9*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0270", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 271} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{9 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 8$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{8 i}{3} } {z + 3i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 271} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{9 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{8 - z }{9 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{8 - z }{9 - 3 iz } = -\\frac{8 - \\overline z }{9 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (8 - z ) (9 + 3 i \\overline z) = - (8 - \\overline z ) (9 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow72 + 24 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z = -72 + 24 iz + 9\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72 + 24 i \\overline z - 9z - 3 i z \\overline z + 72 - 24 iz - 9\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 24 iz + 24 i \\overline z - 9z - 9\\overline z + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 24 i (z - \\overline z ) - 9( z + \\overline z ) + 144 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 24 i \\times 2iy - 9 \\times 2x + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y - 18 x + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 48y = 18 x - 144 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{8} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{8}x - 3$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{8 - z }{9 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|8 - z | }{|9 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {9}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|8 - z | }{3 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|8 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{8 - z }{9 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(8 - z ) \\times 3 + i (9 - 3 iz)}{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 - 3z + 9i +3z }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 9i }{3(9 - 3 iz) }$$ = \\frac { 24 + 9i } {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {9}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 9 i} + \\frac {9i}{- 9 i}} {\\frac {9}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{8 i}{3} } {z + 3i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + 3i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-1 + \\frac{8 i}{3} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-1 + \\frac{8 i}{3} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-1 + \\frac{8 i}{3} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = 1$ et $|-1 + \\frac{8 i}{3} | = $ $\\sqrt{(-1)^2 + (\\frac{8}{3})^2}$ $ = \\sqrt{1 + \\frac{64}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{73}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{73}}{3}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{73}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{73}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{73}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "8", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0271", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 272} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - \\frac{i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 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z }{7 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|7 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {7}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{3 | (z + \\frac{7}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{7}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 7 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{7 - z }{7 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 3 + i (7 - 3 iz)}{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 - 3z + 7i +3z }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 7i }{3(7 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 7i } {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {7}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {7i}{- 9 i}} {\\frac {7}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{7}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{7}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{7}{9} + \\frac{7 i}{3} | } { |z + \\frac{7}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{3}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{7}{9} + \\frac{7 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{9})^2 + (\\frac{7}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{81} + \\frac{49}{9}}$ $= \\frac{7 \\sqrt{10}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{7 \\sqrt{10}}{9}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{35 \\sqrt{10}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{35 \\sqrt{10}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{35 \\sqrt{10}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-7*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0273", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 274} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - \\frac{3 i}{4} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{4} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{3 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{145}}{16}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 274} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{3 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{3 - 4 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow27 + 36 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = -27 + 36 iz + 3\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 27 + 36 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z + 27 - 36 iz - 3\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 36 iz + 36 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 36 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 54 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 36 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y - 6 x + 54 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y = 6 x - 54 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{12} x - \\frac{3}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{12}x - \\frac{3}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{9 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{9 i}{4} } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + \\frac{9 i}{4} | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{3}{16} + \\frac{9 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (\\frac{9}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + \\frac{81}{16}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{145}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{145}}{16}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{9 \\sqrt{145}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{9 \\sqrt{145}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{9 \\sqrt{145}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0274", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 275} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{5 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{5 - 2 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =2 + 14 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{221}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 275} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{5 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{5 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{5 - 2 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{5 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (5 + 2 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (5 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow35 + 14 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z = -35 + 14 iz + 5\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 35 + 14 i \\overline z - 5z - 2 i z \\overline z + 35 - 14 iz - 5\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 14 iz + 14 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 14 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 70 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 14 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y - 10 x + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 28y = 10 x - 70 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{14} x - \\frac{5}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{14}x - \\frac{5}{2}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{5 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|5 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {5}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{2 | (z + \\frac{5}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{5}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - 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z_C | = \\sqrt{221} $ Alors CM' =$\\sqrt{221} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{221}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-5*I/2", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0275", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 276} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{6 - 2 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 3$ , $z_B = - 3 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{3 \\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 276} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{6 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{6 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{6 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{6 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (6 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (6 - 2 iz )$\\\\\\\\$18 + 6 i \\overline z - 6z - 2 i z \\overline z = 18 - 6 iz - 6\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 6z + 6\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 6 i - 2iy \\times 6 - 4 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 3y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{9}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - 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z_B| = 1$ signifie $ |z + 3i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + 3i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{2}i | = |\\frac{-\\frac{3}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + 3i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{2}i | = \\frac{|-\\frac{3}{2} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + 3i | }| $", "Or $ |z + 3i| = 1$ et $|-\\frac{3}{2} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{2})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{4} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{3 \\sqrt{2}}{2}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{2}i| = \\frac {\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{3 \\sqrt{2}}{2} $ Alors CM' =$\\frac{3 \\sqrt{2}}{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{3 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-3*I", "z_C": "-I/2" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0276", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 277} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{3 - 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z }{7 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{7 - 4 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{7 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (7 + 4 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (7 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow21 + 12 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z = -21 + 12 iz + 7\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 21 + 12 i \\overline z - 7z - 4 i z \\overline z + 21 - 12 iz - 7\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 12 iz + 12 i \\overline z - 7z - 7\\overline z + 42 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 12 i (z - \\overline z ) - 7( z + \\overline z ) + 42 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 12 i \\times 2iy - 7 \\times 2x + 42 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y - 14 x + 42 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 24y = 14 x - 42 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{7}{12} x - \\frac{7}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{7}{12}x - \\frac{7}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{7 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|7 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {7}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{4 | (z + \\frac{7}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{7}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", "\\textbf {c°)} On a : $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{7 i}{4} ,z_C = - \\frac{i}{4}$ remarquons que A est un point de (xx') et B et C sont deux points de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle ACB est : $\\frac{BC \\times OA }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{3 - z }{7 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 4 + i (7 - 4 iz)}{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 - 4z + 7i +4z }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 7i }{4(7 - 4 iz) }$$ = \\frac { 12 + 7i } {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {7}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 12} {- 16 i} + \\frac {7i}{- 16 i}} {\\frac {7}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{4} } {z + \\frac{7}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{4} | } { |z + \\frac{7}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{7}{4}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{7}{16} + \\frac{3 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{7}{16})^2 + (\\frac{3}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{49}{256} + \\frac{9}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{193}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{193}}{16}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{193}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{193}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{193}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "3", "z_B": "-7*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0277", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 278} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{5 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 1$ , $z_B = - \\frac{5 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle OCA \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{34}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 278} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - 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\\frac{5}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{3}x - \\frac{5}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{5 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|5 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{5}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{5}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 1 , z_C = - \\frac{i}{3} $ remarquons que A est un point de (xx') et C point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle OCA est : $\\frac{OA \\times OC }{2}$", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{5 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (5 - 3 iz)}{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 5i +3z }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 5i }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 5i } {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i}} {\\frac {5}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{5}{9} + \\frac{i}{3} | } { |z + \\frac{5}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{5}{9} + \\frac{i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{9})^2 + (\\frac{1}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{81} + \\frac{1}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{34}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{34}}{9}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{2 \\sqrt{34}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{2 \\sqrt{34}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{2 \\sqrt{34}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "1", "z_B": "-5*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0278", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 279} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 8$ , $z_B = - \\frac{5 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{5 i}{3} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{8 - z }{5 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle ACB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{8 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 279} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{8 - 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\\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 4 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 4 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 8 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z = -6 + 8 iz + 3\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 8 i \\overline z - 3z - 4 i z \\overline z + 6 - 8 iz - 3\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 8 iz + 8 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 8 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 8 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 16y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{8} x - \\frac{3}{4} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{8}x - \\frac{3}{4}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {3}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{4 | (z + \\frac{3}{4}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{3}{4}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{2 - z }{3 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 4 + i (3 - 4 iz)}{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 - 4z + 3i +4z }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 3i }{4(3 - 4 iz) }$$ = \\frac { 8 + 3i } {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {3}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 8} {- 16 i} + \\frac {3i}{- 16 i}} {\\frac {3}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{4}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{3}{4}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{4}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{4}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{2} | } { |z + \\frac{3}{4}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{3}{4}i| = 1$ et $|-\\frac{3}{16} + \\frac{i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{3}{16})^2 + (\\frac{1}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{9}{256} + \\frac{1}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{73}}{16}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{73}}{16}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{73}}{16} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{73}}{16} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{73}}{16}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "2", "z_B": "-3*I/4", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0280", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 281} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 7$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{7 i}{3} } {z + i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 281} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{7 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{7 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (7 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$21 + 21 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 21 - 21 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 21 i \\overline z + 21 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 21 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 21 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 7x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{7}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{25}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{7}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{7 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{7 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{7 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{7 i}{3} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{7 i}{3} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{7 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{7}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{49}{9}}$ $= \\frac{5 \\sqrt{2}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{5 \\sqrt{2}}{3}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 10 \\sqrt{2} $ Alors CM' =$10 \\sqrt{2} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $10 \\sqrt{2}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0281", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 282} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{5}{2} + i \\left(- \\frac{5 \\sqrt{3}}{2} - \\frac{1}{2}\\right) $ Montrer que le traingle ABD est equilatérale \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{26}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 282} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{3 - 3 iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{3 - 3 iz } = \\frac{5 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$15 + 15 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = 15 - 15 iz - 3\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 15 i \\overline z + 15 iz - 3z + 3\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 15 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 15 i - 2iy \\times 3 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{13}{2}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{26}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{3}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{5 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(5 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 15 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 15} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{5 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{5 i}{3} } {z + i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{5 i}{3} } {z + i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{1}{3} + \\frac{5 i}{3} | } { |z + i | }| $", "Or $ |z + i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{3} + \\frac{5 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{3})^2 + (\\frac{5}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{9} + \\frac{25}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{26}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{26}}{3}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{4 \\sqrt{26}}{3} $ Alors CM' =$\\frac{4 \\sqrt{26}}{3} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{4 \\sqrt{26}}{3}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0282", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 283} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 5$ , $z_B = - 8 i $ et $z_C = - i $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 8 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{5 - z }{8 - iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{13 \\sqrt{2}}{2} + 5 - \\frac{3 \\sqrt{2} i}{2} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ i = \\frac{-8 + 5 i } {z + 8i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 283} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{8 - iz } = \\overline{\\frac{5 - z }{8 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{5 - z }{8 - iz } = \\frac{5 - \\overline z }{8 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (5 - z ) (8 + i \\overline z) = (5 - \\overline z ) (8 - iz )$\\\\\\\\$40 + 5 i \\overline z - 8z - i z \\overline z = 40 - 5 iz - 8\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 5 i \\overline z + 5 iz - 8z + 8\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 5 i (z+ \\overline z ) - 8 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 5 i - 2iy \\times 8 - 2 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 5x + 8y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2 + (y +4)^2 - (4)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{5}{2})^2 + (y +4)^2 = \\frac{89}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{5}{2}$ , $-4$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{89}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{5 - z }{8 - iz }| $ $ = \\frac{|5 - z | }{|8 - iz | } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{|- i | | ( \\frac {8}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|5 - z | }{1 | (z + 8i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|5 - z | }{| z + 8i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{5 - z }{8 - iz } + i$$ = \\frac{5 - z + i \\times (8 - iz ) } {8 - iz }$$ = \\frac{5 - z + 8i + z } {8 - iz }$ $ = \\frac{5 + 8i } {8 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {5}{- i} + \\frac{8i}{- i} ) } { - i ( z + 8i) }$ $= \\frac{-8 + 5 i } {z + 8i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{2}$ alors $ BM = \\frac{1}{2} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{2}$ signifie $ |z + 8i| = \\frac{1}{2}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-8 + 5 i } {z + 8i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-8 + 5 i } {z + 8i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-8 + 5 i | } { |z + 8i | }| $", "Or $ |z + 8i| = \\frac{1}{2}$ et $|-8 + 5 i | = $ $\\sqrt{(-8)^2 + (5)^2}$ $ = \\sqrt{64 + 25}$ $= \\sqrt{89}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{89}} {\\frac{1}{2}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{89} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{89} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{89}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "5", "z_B": "-8*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0283", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 284} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{6 - 3 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =5 + 18 i $ . \\\\\\\\ Ecrire sous la forme algébrique $\\frac{z_D - z_A}{z_B - z_A}$ puis déduire la nature de triangle ABD \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un rectangle \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{85}}{3}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 284} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{6 - 3 iz } = \\overline{\\frac{9 - z }{6 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{6 - 3 iz } = \\frac{9 - \\overline z }{6 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (6 + 3 i \\overline z) = (9 - \\overline z ) (6 - 3 iz )$\\\\\\\\$54 + 27 i \\overline z - 6z - 3 i z \\overline z = 54 - 27 iz - 6\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 27 i \\overline z + 27 iz - 6z + 6\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 27 i (z+ \\overline z ) - 6 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 27 i - 2iy \\times 6 - 6 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 9x + 2y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{9}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{85}{4}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{9}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{85}}{2}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{6 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|6 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {6}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{3 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{9 - z }{6 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 3 + i (6 - 3 iz)}{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 - 3z + 6i +3z }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 6i }{3(6 - 3 iz) }$$ = \\frac { 27 + 6i } {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {6}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 27} {- 9 i} + \\frac {6i}{- 9 i}} {\\frac {6}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{3} + 3 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{6}$ alors $ BM = \\frac{1}{6} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{6}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{3} + 3 i } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{2}{3} + 3 i } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{2}{3} + 3 i | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{6}$ et $|-\\frac{2}{3} + 3 i | = $ $\\sqrt{(- \\frac{2}{3})^2 + (3)^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{4}{9} + 9}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{3}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{3}} {\\frac{1}{6}} $ signifie $|z' - z_C | = 2 \\sqrt{85} $ Alors CM' =$2 \\sqrt{85} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $2 \\sqrt{85}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0284", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 285} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 6$ , $z_B = - \\frac{i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - \\frac{i}{2} $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{6 - z }{2 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{1}{2}i}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 285} \\\\\\\\", " \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{2 - 4 iz } = \\overline{\\frac{6 - z }{2 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{6 - z }{2 - 4 iz } = \\frac{6 - \\overline z }{2 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (6 - z ) (2 + 4 i \\overline z) = (6 - \\overline z ) (2 - 4 iz )$\\\\\\\\$12 + 24 i \\overline z - 2z - 4 i z \\overline z = 12 - 24 iz - 2\\overline z +4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 24 i \\overline z + 24 iz - 2z + 2\\overline z - 4 i z \\overline z - 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 24 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 8 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\", "$2x \\times 24 i - 2iy \\times 2 - 8 i(x^2 + y^2 ) =0 $ \\\\\\\\On divise par : $ - 8 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 6x + \\frac{1}{2}y = 0 $", " \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -3)^2 - (3)^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 - (\\frac{1}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]", "$ \\Leftrightarrow (x -3)^2 + (y +\\frac{1}{4})^2 = \\frac{145}{16}$ \\\\[0.01 em]", "l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($3$ , $- \\frac{1}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{145}}{4}$ \\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{6 - z }{2 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|6 - z | }{|2 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {2}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|6 - z | }{4 | (z + \\frac{1}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|6 - z | }{| z + \\frac{1}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{4}$ alors $ OM'=\\frac{1}{4}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{6 - z }{2 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(6 - z ) \\times 4 + i (2 - 4 iz)}{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 - 4z + 2i +4z }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 2i }{4(2 - 4 iz) }$$ = \\frac { 24 + 2i } {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {2}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 24} {- 16 i} + \\frac {2i}{- 16 i}} {\\frac {2}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{1}{2}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $1$ alors $ BM = 1 $ signifie $ |z - z_B| = 1$ signifie $ |z + \\frac{1}{2}i| = 1$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{1}{2}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{1}{2}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{2} | } { |z + \\frac{1}{2}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{1}{2}i| = 1$ et $|-\\frac{1}{8} + \\frac{3 i}{2} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{8})^2 + (\\frac{3}{2})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{64} + \\frac{9}{4}}$ $= \\frac{\\sqrt{145}}{8}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{145}}{8}} {1} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{\\sqrt{145}}{8} $ Alors CM' =$\\frac{\\sqrt{145}}{8} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{\\sqrt{145}}{8}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "6", "z_B": "-I/2", "z_C": "-I/4" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0285", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 286} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{7 - z }{5 - 3 iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 7$ , $z_B = - \\frac{5 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Soit le point D d'affixe $z_D =- \\frac{8 \\sqrt{2}}{3} + 7 - \\frac{13 \\sqrt{2} i}{3} $ Montrer que le traingle ABD est isocele \\\\\\\\\\textbf {d°)} Déduire l'affixe $z_E $ de point E pour que AEBD soit un losange \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{466}}{9}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 286} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{5 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{7 - z }{5 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{7 - z }{5 - 3 iz } = -\\frac{7 - \\overline z }{5 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (7 - z ) (5 + 3 i \\overline z) = - (7 - \\overline z ) (5 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow35 + 21 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z = -35 + 21 iz + 5\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 35 + 21 i \\overline z - 5z - 3 i z \\overline z + 35 - 21 iz - 5\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 21 iz + 21 i \\overline z - 5z - 5\\overline z + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 21 i (z - \\overline z ) - 5( z + \\overline z ) + 70 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 21 i \\times 2iy - 5 \\times 2x + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42y - 10 x + 70 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 42y = 10 x - 70 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{5}{21} x - \\frac{5}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{5}{21}x - \\frac{5}{3}$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{7 - z }{5 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|7 - z | }{|5 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {5}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|7 - z | }{3 | (z + \\frac{5}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|7 - z | }{| z + \\frac{5}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{7 - z }{5 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(7 - z ) \\times 3 + i (5 - 3 iz)}{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 - 3z + 5i +3z }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 5i }{3(5 - 3 iz) }$$ = \\frac { 21 + 5i } {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {5}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 21} {- 9 i} + \\frac {5i}{- 9 i}} {\\frac {5}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{5}$ alors $ BM = \\frac{1}{5} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{5}$ signifie $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{5}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{3}i | = |\\frac{-\\frac{5}{9} + \\frac{7 i}{3} } {z + \\frac{5}{3}i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{3}i | = \\frac{|-\\frac{5}{9} + \\frac{7 i}{3} | } { |z + \\frac{5}{3}i | }| $", "Or $ |z + \\frac{5}{3}i| = \\frac{1}{5}$ et $|-\\frac{5}{9} + \\frac{7 i}{3} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{5}{9})^2 + (\\frac{7}{3})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{25}{81} + \\frac{49}{9}}$ $= \\frac{\\sqrt{466}}{9}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{3}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{466}}{9}} {\\frac{1}{5}} $ signifie $|z' - z_C | = \\frac{5 \\sqrt{466}}{9} $ Alors CM' =$\\frac{5 \\sqrt{466}}{9} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\frac{5 \\sqrt{466}}{9}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "7", "z_B": "-5*I/3", "z_C": "-I/3" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0286", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 287} \\\\\\\\", " Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \\vec{u}, \\vec{v})$.\\\\\\\\Soit f l'application de plan qui a tout point M d'affixe $z$ associe son image M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{4 - iz } $. \\\\\\\\ Soit A,B et C les points d'affixes respectives : $ z_A = 9$ , $z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $. \\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ OM' = \\mathtt{\\text{}} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera \\\\\\\\ ", " \\textbf {c°)} Calculer l'aire de triangle AOB \\\\\\\\ ", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\sqrt{97}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 287} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{4 - iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (4 + i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow36 + 9 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -36 + 9 iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 36 + 9 i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 36 - 9 iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 72 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 8 x + 72 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 8 x - 72 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{9} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{9}x - 4$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", " lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\", " \\textbf {c°)} On a : $ z_A = 9 , z_B = - 4 i $ remarquons que A est un point de (xx') et B point de (yy') \\\\\\\\ alors l'aire de triangle AOB est : $\\frac{OA \\times OB }{2}$", " \\textbf{2°) a°)} $ z'+ i = \\frac{9 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{9 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{9 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{9 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {9}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 9 i } {z + 4i} $\\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{3}$ alors $ BM = \\frac{1}{3} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{3}$ signifie $ |z + 4i| = \\frac{1}{3}$", "Or $ z'+ i = \\frac{-4 + 9 i } {z + 4i} $ donc $|z'+ i | = |\\frac{-4 + 9 i } {z + 4i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ i | = \\frac{|-4 + 9 i | } { |z + 4i | }| $", "Or $ |z + 4i| = \\frac{1}{3}$ et $|-4 + 9 i | = $ $\\sqrt{(-4)^2 + (9)^2}$ $ = \\sqrt{16 + 81}$ $= \\sqrt{97}$\\\\\\\\Alors $|z' + i| = \\frac {\\sqrt{97}} {\\frac{1}{3}} $ signifie $|z' - z_C | = 3 \\sqrt{97} $ Alors CM' =$3 \\sqrt{97} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $3 \\sqrt{97}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-4*I", "z_C": "-I" } ] }, { "id_exercice": "variante_exercice1_0287", "type": "ensemble des points", "enonce": [ "\\textbf{Exercice 288} \\\\\\\\", "On considère les points A ,B et C d'affixes respectives $ z_A = 9$ , $z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{4} $ à tout point M \\\\\\\\ d'affixe $z$ (avec $ z \\neq - 2 i $ ) on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{9 - z }{8 - 4 iz } $.\\\\\\\\", "\\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\", " \\textbf {b°)}Vérifier que $ |z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM}{BM}.$ Déduire que lorsque M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{4}$ \\\\\\\\alors M décrit une droite que l'on precisera \\\\\\\\", " \\textbf {c°)} Déterminer l'affixe $ z_D $ de point D pour que ACBD soit un prallèlogramme et calculer son aire \\\\\\\\", "\\textbf{2°)a°)} Montrer que $ CM' \\times BM = \\frac{\\sqrt{85}}{4}$\\\\\\\\ ", "\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\" ], "correction": [ "\\textbf{Correction Exercice 288} \\\\\\\\", " \\textbf {a°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\", "$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{8 - 4 iz } = - \\overline{\\frac{9 - z }{8 - 4 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{9 - z }{8 - 4 iz } = -\\frac{9 - \\overline z }{8 + 4 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (9 - z ) (8 + 4 i \\overline z) = - (9 - \\overline z ) (8 - 4 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow72 + 36 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z = -72 + 36 iz + 8\\overline z - 4 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72 + 36 i \\overline z - 8z - 4 i z \\overline z + 72 - 36 iz - 8\\overline z + 4 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 36 iz + 36 i \\overline z - 8z - 8\\overline z + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 36 i (z - \\overline z ) - 8( z + \\overline z ) + 144 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\", "$ \\Leftrightarrow - 36 i \\times 2iy - 8 \\times 2x + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y - 16 x + 144 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 72y = 16 x - 144 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{9} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{9}x - 2$ \\\\\\\\", "\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{9 - z }{8 - 4 iz }| $ $ = \\frac{|9 - z | }{|8 - 4 iz | } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{|- 4 i | | ( \\frac {8}{- 4 i} + z )| } $ $ = \\frac{|9 - z | }{4 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|9 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{4} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{4} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ ", "lorsque M' decrit le cercle de centre O et de rayon $ \\frac{1}{4}$ alors $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc AM = BM alors M décrit la mediatrice de segment [AB] \\\\\\\\", " \\textbf{a°)} $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{9 - z }{8 - 4 iz } + \\frac{1}{4}i$$ = \\frac {(9 - z ) \\times 4 + i (8 - 4 iz)}{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 - 4z + 8i +4z }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 8i }{4(8 - 4 iz) }$$ = \\frac { 36 + 8i } {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {- 16 i ( \\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i})} {- 16 i( \\frac {8}{-4 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 36} {- 16 i} + \\frac {8i}{- 16 i}} {\\frac {8}{-4 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{4} } {z + 2i} $ \\\\\\\\", " \\textbf{b°)} Si M décrit le cercle de centre B et de rayon $\\frac{1}{4}$ alors $ BM = \\frac{1}{4} $ signifie $ |z - z_B| = \\frac{1}{4}$ signifie $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$", "Or $ z'+ \\frac{1}{4}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{4} } {z + 2i} $ donc $|z'+ \\frac{1}{4}i | = |\\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{4} } {z + 2i}|$", "$\\Leftrightarrow |z'+ \\frac{1}{4}i | = \\frac{|-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{4} | } { |z + 2i | }| $", "Or $ |z + 2i| = \\frac{1}{4}$ et $|-\\frac{1}{2} + \\frac{9 i}{4} | = $ $\\sqrt{(- \\frac{1}{2})^2 + (\\frac{9}{4})^2}$ $ = \\sqrt{\\frac{1}{4} + \\frac{81}{16}}$ $= \\frac{\\sqrt{85}}{4}$\\\\\\\\Alors $|z' + \\frac{1}{4}i| = \\frac {\\frac{\\sqrt{85}}{4}} {\\frac{1}{4}} $ signifie $|z' - z_C | = \\sqrt{85} $ Alors CM' =$\\sqrt{85} $ Ainsi M' décrit le cercle de centre C et de rayon $\\sqrt{85}$ \\\\\\\\" ], "donnees": [ { "z_A": "9", "z_B": "-2*I", "z_C": "-I/4" } ] } ], "difficulte": "moyen", "tags": [ "droite", "cercle", "mediatrice", "z_reel", "z_imaginaire_pure" ], "mots_cles": [ "conjugué", "module", "complexe", "ensemble des points" ], "source": "generateur_math_IA", "date": "2025-11-05T13:21:27.057085" } ]