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string | chapitre
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
exercice1_0000
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Nombres Complexes
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ENSEMBLE DES POINTS
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moyen
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"x2_latex": "3",
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"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{3 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{4 - z}{3 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{3 - 3 iz} = \\frac{4 - \\overline{z}}{3 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(4 - z)(3 + 3 i\\overline{z}) = (4 - \\overline{z})(3 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$12 + 12 i\\overline{z} - 3z - 3 iz\\overline{z} = 12 - 12 iz - 3\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$12 i\\overline{z} + 12 iz - 3z + 3\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$12 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$12 i(2x) - 3(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 4x + y = 0$"
}
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"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -4x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -4x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -4x = (x + -2)^2 - (-2)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -2)^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{17}{4}$"
},
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"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
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"id_exercice": "variante_exercice1_0000",
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"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{8 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{8 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{8 - 4 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{8 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(8 + 4 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(8 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$8 + 4 i\\overline{z} - 8z - 4 iz\\overline{z} = 8 - 4 iz - 8\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$4 i\\overline{z} + 4 iz - 8z + 8\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$4 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$4 i(2x) - 8(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + 2y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - (1)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
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},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},-1), \\quad r = \\frac{\\sqrt{5}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
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"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0001",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "sqrt(205)/2",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "7",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-2*I*z + 3)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{3 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{3 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{3 - 2 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{3 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(3 + 2 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(3 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$21 + 14 i\\overline{z} - 3z - 2 iz\\overline{z} = 21 - 14 iz - 3\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$14 i\\overline{z} + 14 iz - 3z + 3\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$14 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$14 i(2x) - 3(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + \\frac{3}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{2}y = (y + \\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{3}{4})^2 = \\frac{205}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{3}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{205}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{3}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{205}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0002",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "4*sqrt(34)/9",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "1",
"z_B": "-5*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-3*I*z + 5)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{5 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{5 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{5 - 3 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{5 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(5 + 3 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(5 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$5 + 3 i\\overline{z} - 5z - 3 iz\\overline{z} = 5 - 3 iz - 5\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$3 i\\overline{z} + 3 iz - 5z + 5\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$3 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$3 i(2x) - 5(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + \\frac{5}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + \\frac{5}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + \\frac{5}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{3}y = (y + \\frac{5}{6})^2 - (\\frac{5}{6})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{5}{6})^2 = \\frac{17}{18}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{5}{6}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{34}}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{5}{6}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{34}}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0003",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "2",
"resultat_calcul": "sqrt(10)/3",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "6",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-3*I*z + 6)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{6 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{6 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{6 - 3 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{6 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(6 + 3 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(6 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$36 + 18 i\\overline{z} - 6z - 3 iz\\overline{z} = 36 - 18 iz - 6\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$18 i\\overline{z} + 18 iz - 6z + 6\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$18 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$18 i(2x) - 6(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - (1)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + 1)^2 = 10$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,-1), \\quad r = \\sqrt{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "-1"
},
"rayon": "\\sqrt{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0004",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "20/9",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "1",
"z_B": "-4*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-3*I*z + 4)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{4 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{4 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{4 - 3 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{4 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(4 + 3 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(4 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$4 + 3 i\\overline{z} - 4z - 3 iz\\overline{z} = 4 - 3 iz - 4\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$3 i\\overline{z} + 3 iz - 4z + 4\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$3 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$3 i(2x) - 4(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + \\frac{4}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + \\frac{4}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + \\frac{4}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{4}{3}y = (y + \\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{2}{3})^2 = \\frac{25}{36}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{2}{3}), \\quad r = \\frac{5}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{2}{3}"
},
"rayon": "\\frac{5}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0005",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(3)",
"resultat_calcul": "sqrt(6)/6",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "1",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-2*I*z + 2)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{2 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{2 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{2 - 2 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{2 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(2 + 2 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(2 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$2 + 2 i\\overline{z} - 2z - 2 iz\\overline{z} = 2 - 2 iz - 2\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$2 i\\overline{z} + 2 iz - 2z + 2\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$2 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$2 i(2x) - 2(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{1}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{2}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0006",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
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"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
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],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{9 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{9 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{9 - iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{9 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(9 + i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(9 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$72 + 8 i\\overline{z} - 9z - iz\\overline{z} = 72 - 8 iz - 9\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$8 i\\overline{z} + 8 iz - 9z + 9\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$8 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$8 i(2x) - 9(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + 9y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 9y = (y + \\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{9}{2})^2 = \\frac{145}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{9}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{145}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{9}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{145}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0007",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/3",
"resultat_calcul": "9*sqrt(5)",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "3",
"z_B": "-6*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-I*z + 6)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{6 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{6 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{6 - iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{6 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(6 + i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(6 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$18 + 3 i\\overline{z} - 6z - iz\\overline{z} = 18 - 3 iz - 6\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$3 i\\overline{z} + 3 iz - 6z + 6\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$3 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$3 i(2x) - 6(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + 6y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - (3)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + 3)^2 = \\frac{45}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},-3), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{5}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "-3"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{5}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0008",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "4*sqrt(409)/25",
"x1": 4,
"x1_latex": "4",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "4",
"z_B": "-3*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(4 - z)/(-5*I*z + 3)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{3 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{4 - z}{3 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{3 - 5 iz} = \\frac{4 - \\overline{z}}{3 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(4 - z)(3 + 5 i\\overline{z}) = (4 - \\overline{z})(3 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$12 + 20 i\\overline{z} - 3z - 5 iz\\overline{z} = 12 - 20 iz - 3\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$20 i\\overline{z} + 20 iz - 3z + 3\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$20 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$20 i(2x) - 3(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 4x + \\frac{3}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -4x + \\frac{3}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -4x + y^2 + \\frac{3}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -4x = (x + -2)^2 - (-2)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{5}y = (y + \\frac{3}{10})^2 - (\\frac{3}{10})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -2)^2 + (y + \\frac{3}{10})^2 = \\frac{409}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(2,- \\frac{3}{10}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{409}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "2",
"y": "- \\frac{3}{10}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{409}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0009",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "2*sqrt(106)/3",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "3",
"z_B": "-5*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-3*I*z + 5)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{5 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{5 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{5 - 3 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{5 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(5 + 3 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(5 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$15 + 9 i\\overline{z} - 5z - 3 iz\\overline{z} = 15 - 9 iz - 5\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$9 i\\overline{z} + 9 iz - 5z + 5\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$9 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$9 i(2x) - 5(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + \\frac{5}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + \\frac{5}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + \\frac{5}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{3}y = (y + \\frac{5}{6})^2 - (\\frac{5}{6})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{5}{6})^2 = \\frac{53}{18}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{5}{6}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{106}}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{5}{6}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{106}}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0010",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "sqrt(1586)/18",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "9",
"z_B": "-8*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-3*I*z + 8)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{8 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{8 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{8 - 3 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{8 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(8 + 3 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(8 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$72 + 27 i\\overline{z} - 8z - 3 iz\\overline{z} = 72 - 27 iz - 8\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$27 i\\overline{z} + 27 iz - 8z + 8\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$27 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$27 i(2x) - 8(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{8}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{8}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{8}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{8}{3}y = (y + \\frac{4}{3})^2 - (\\frac{4}{3})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{4}{3})^2 = \\frac{793}{36}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{4}{3}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{793}}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{4}{3}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{793}}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0011",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(5)",
"resultat_calcul": "sqrt(2245)/80",
"x1": 5,
"x1_latex": "5",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "5",
"z_B": "-7*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(5 - z)/(-4*I*z + 7)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{7 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{5 - z}{7 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{7 - 4 iz} = \\frac{5 - \\overline{z}}{7 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(5 - z)(7 + 4 i\\overline{z}) = (5 - \\overline{z})(7 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$35 + 20 i\\overline{z} - 7z - 4 iz\\overline{z} = 35 - 20 iz - 7\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$20 i\\overline{z} + 20 iz - 7z + 7\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$20 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$20 i(2x) - 7(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 5x + \\frac{7}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -5x + \\frac{7}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -5x + y^2 + \\frac{7}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -5x = (x + - \\frac{5}{2})^2 - (- \\frac{5}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{4}y = (y + \\frac{7}{8})^2 - (\\frac{7}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{5}{2})^2 + (y + \\frac{7}{8})^2 = \\frac{449}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{5}{2},- \\frac{7}{8}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{449}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{5}{2}",
"y": "- \\frac{7}{8}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{449}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0012",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "3",
"resultat_calcul": "sqrt(145)/12",
"x1": 4,
"x1_latex": "4",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "4",
"z_B": "-9*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(4 - z)/(-2*I*z + 9)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{9 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{4 - z}{9 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{9 - 2 iz} = \\frac{4 - \\overline{z}}{9 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(4 - z)(9 + 2 i\\overline{z}) = (4 - \\overline{z})(9 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$36 + 8 i\\overline{z} - 9z - 2 iz\\overline{z} = 36 - 8 iz - 9\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$8 i\\overline{z} + 8 iz - 9z + 9\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$8 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$8 i(2x) - 9(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 4x + \\frac{9}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -4x + \\frac{9}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -4x + y^2 + \\frac{9}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -4x = (x + -2)^2 - (-2)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{9}{2}y = (y + \\frac{9}{4})^2 - (\\frac{9}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -2)^2 + (y + \\frac{9}{4})^2 = \\frac{145}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(2,- \\frac{9}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{145}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "2",
"y": "- \\frac{9}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{145}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0013",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "2",
"resultat_calcul": "5",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "6",
"z_B": "-8*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-I*z + 8)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{8 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{8 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{8 - iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{8 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(8 + i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(8 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$48 + 6 i\\overline{z} - 8z - iz\\overline{z} = 48 - 6 iz - 8\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$6 i\\overline{z} + 6 iz - 8z + 8\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$6 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$6 i(2x) - 8(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + 8y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + 8y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 8y = (y + 4)^2 - (4)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + 4)^2 = 25$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,-4), \\quad r = 5$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "-4"
},
"rayon": "5",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0014",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "sqrt(58)/50",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "1",
"z_B": "-2*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-5*I*z + 2)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{2 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{2 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{2 - 5 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{2 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(2 + 5 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(2 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$2 + 5 i\\overline{z} - 2z - 5 iz\\overline{z} = 2 - 5 iz - 2\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$5 i\\overline{z} + 5 iz - 2z + 2\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$5 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$5 i(2x) - 2(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + \\frac{2}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + \\frac{2}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + \\frac{2}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{2}{5}y = (y + \\frac{1}{5})^2 - (\\frac{1}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{1}{5})^2 = \\frac{29}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{1}{5}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{29}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{1}{5}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{29}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0015",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "4*sqrt(65)/3",
"x1": 8,
"x1_latex": "8",
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"x2_latex": "3",
"z_A": "8",
"z_B": "-I",
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"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{3 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{3 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{3 - 3 iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{3 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(3 + 3 i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(3 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$24 + 24 i\\overline{z} - 3z - 3 iz\\overline{z} = 24 - 24 iz - 3\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$24 i\\overline{z} + 24 iz - 3z + 3\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$24 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$24 i(2x) - 3(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{65}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{65}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{65}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0016",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/5",
"resultat_calcul": "25*sqrt(2)/2",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "7",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/2",
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"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{2 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{2 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{2 - 2 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{2 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(2 + 2 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(2 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$14 + 14 i\\overline{z} - 2z - 2 iz\\overline{z} = 14 - 14 iz - 2\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$14 i\\overline{z} + 14 iz - 2z + 2\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$14 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$14 i(2x) - 2(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{25}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0017",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "4*sqrt(61)",
"x1": 5,
"x1_latex": "5",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "5",
"z_B": "-6*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(5 - z)/(-I*z + 6)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{6 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{5 - z}{6 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{6 - iz} = \\frac{5 - \\overline{z}}{6 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(5 - z)(6 + i\\overline{z}) = (5 - \\overline{z})(6 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$30 + 5 i\\overline{z} - 6z - iz\\overline{z} = 30 - 5 iz - 6\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$5 i\\overline{z} + 5 iz - 6z + 6\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$5 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$5 i(2x) - 6(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 5x + 6y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -5x + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -5x + y^2 + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -5x = (x + - \\frac{5}{2})^2 - (- \\frac{5}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - (3)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{5}{2})^2 + (y + 3)^2 = \\frac{61}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{5}{2},-3), \\quad r = \\frac{\\sqrt{61}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{5}{2}",
"y": "-3"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{61}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0018",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/5",
"resultat_calcul": "5*sqrt(41)/16",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "1",
"z_B": "-5*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-4*I*z + 5)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{5 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{5 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{5 - 4 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{5 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(5 + 4 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(5 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$5 + 4 i\\overline{z} - 5z - 4 iz\\overline{z} = 5 - 4 iz - 5\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$4 i\\overline{z} + 4 iz - 5z + 5\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$4 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$4 i(2x) - 5(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + \\frac{5}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + \\frac{5}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + \\frac{5}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{4}y = (y + \\frac{5}{8})^2 - (\\frac{5}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{5}{8})^2 = \\frac{41}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{5}{8}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{41}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{5}{8}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{41}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0019",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "3*sqrt(290)/32",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "9",
"z_B": "-3*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-4*I*z + 3)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{3 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{3 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{3 - 4 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{3 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(3 + 4 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(3 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$27 + 36 i\\overline{z} - 3z - 4 iz\\overline{z} = 27 - 36 iz - 3\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$36 i\\overline{z} + 36 iz - 3z + 3\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$36 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$36 i(2x) - 3(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{3}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{3}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{3}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{4}y = (y + \\frac{3}{8})^2 - (\\frac{3}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{3}{8})^2 = \\frac{1305}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{3}{8}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{145}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{3}{8}"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{145}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0020",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(5)",
"resultat_calcul": "3*sqrt(185)/40",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "9",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-4*I*z + 6)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{6 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{6 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{6 - 4 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{6 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(6 + 4 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(6 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$54 + 36 i\\overline{z} - 6z - 4 iz\\overline{z} = 54 - 36 iz - 6\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$36 i\\overline{z} + 36 iz - 6z + 6\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$36 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$36 i(2x) - 6(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{3}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{2}y = (y + \\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{3}{4})^2 = \\frac{333}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{3}{4}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{37}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
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},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{37}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
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],
"id_exercice": "variante_exercice1_0021",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
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"x1_latex": "7",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "7",
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"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-2*I*z + 5)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{5 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{5 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{5 - 2 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{5 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(5 + 2 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(5 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$35 + 14 i\\overline{z} - 5z - 2 iz\\overline{z} = 35 - 14 iz - 5\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$14 i\\overline{z} + 14 iz - 5z + 5\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$14 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$14 i(2x) - 5(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + \\frac{5}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + \\frac{5}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + \\frac{5}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{2}y = (y + \\frac{5}{4})^2 - (\\frac{5}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{5}{4})^2 = \\frac{221}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{5}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{221}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
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"y": "- \\frac{5}{4}"
},
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"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
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],
"id_exercice": "variante_exercice1_0022",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/3",
"resultat_calcul": "3*sqrt(53)/2",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "7",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-2*I*z + 4)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{4 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{4 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{4 - 2 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{4 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(4 + 2 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(4 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$28 + 14 i\\overline{z} - 4z - 2 iz\\overline{z} = 28 - 14 iz - 4\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$14 i\\overline{z} + 14 iz - 4z + 4\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$14 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$14 i(2x) - 4(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + 2y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - (1)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + 1)^2 = \\frac{53}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},-1), \\quad r = \\frac{\\sqrt{53}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "-1"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{53}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0023",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "3",
"resultat_calcul": "sqrt(10)/12",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "3",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-4*I*z + 4)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{4 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{4 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{4 - 4 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{4 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(4 + 4 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(4 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$12 + 12 i\\overline{z} - 4z - 4 iz\\overline{z} = 12 - 12 iz - 4\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$12 i\\overline{z} + 12 iz - 4z + 4\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$12 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$12 i(2x) - 4(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{10}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{10}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0024",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "2*sqrt(5)",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
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"z_B": "-3*I",
"z_C": "-I/3",
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"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{9 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{9 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{9 - 3 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{9 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(9 + 3 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(9 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$54 + 18 i\\overline{z} - 9z - 3 iz\\overline{z} = 54 - 18 iz - 9\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$18 i\\overline{z} + 18 iz - 9z + 9\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$18 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$18 i(2x) - 9(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + 3y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 3y = (y + \\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{3}{2})^2 = \\frac{45}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{3}{2}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{5}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{3}{2}"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{5}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0025",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "2",
"resultat_calcul": "sqrt(1289)/50",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "7",
"z_B": "-8*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-5*I*z + 8)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{8 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{8 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{8 - 5 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{8 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(8 + 5 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(8 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$56 + 35 i\\overline{z} - 8z - 5 iz\\overline{z} = 56 - 35 iz - 8\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$35 i\\overline{z} + 35 iz - 8z + 8\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$35 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$35 i(2x) - 8(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + \\frac{8}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + \\frac{8}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + \\frac{8}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{8}{5}y = (y + \\frac{4}{5})^2 - (\\frac{4}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{4}{5})^2 = \\frac{1289}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{4}{5}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{1289}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{4}{5}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{1289}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0026",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
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"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
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],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{9 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{9 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{9 - 3 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{9 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(9 + 3 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(9 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$63 + 21 i\\overline{z} - 9z - 3 iz\\overline{z} = 63 - 21 iz - 9\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$21 i\\overline{z} + 21 iz - 9z + 9\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$21 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$21 i(2x) - 9(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + 3y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 3y = (y + \\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{3}{2})^2 = \\frac{29}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{3}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{58}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
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},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{58}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
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],
"id_exercice": "variante_exercice1_0027",
"type": "ensemble des points"
},
{
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"resultat_calcul": "sqrt(130)/15",
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"x1_latex": "5",
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"z_B": "-I",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(5 - z)/(-3*I*z + 3)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{3 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{5 - z}{3 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{3 - 3 iz} = \\frac{5 - \\overline{z}}{3 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(5 - z)(3 + 3 i\\overline{z}) = (5 - \\overline{z})(3 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$15 + 15 i\\overline{z} - 3z - 3 iz\\overline{z} = 15 - 15 iz - 3\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$15 i\\overline{z} + 15 iz - 3z + 3\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$15 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$15 i(2x) - 3(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 5x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -5x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -5x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -5x = (x + - \\frac{5}{2})^2 - (- \\frac{5}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{5}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{13}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{5}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{26}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{5}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{26}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0028",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
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"resultat_calcul": "sqrt(37)/2",
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"x1_latex": "1",
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"x2_latex": "6",
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"z_C": "-I",
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"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{6 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{6 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{6 - iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{6 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(6 + i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(6 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$6 + i\\overline{z} - 6z - iz\\overline{z} = 6 - iz - 6\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$i\\overline{z} + iz - 6z + 6\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$i(2x) - 6(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + 6y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - (3)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + 3)^2 = \\frac{37}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},-3), \\quad r = \\frac{\\sqrt{37}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
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},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{37}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0029",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "3*sqrt(5)",
"x1": 2,
"x1_latex": "2",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "2",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(2 - z)/(-2*I*z + 2)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{2 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{2 - z}{2 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{2 - 2 iz} = \\frac{2 - \\overline{z}}{2 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(2 - z)(2 + 2 i\\overline{z}) = (2 - \\overline{z})(2 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$4 + 4 i\\overline{z} - 2z - 2 iz\\overline{z} = 4 - 4 iz - 2\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$4 i\\overline{z} + 4 iz - 2z + 2\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$4 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$4 i(2x) - 2(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 2x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -2x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -2x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -2x = (x + -1)^2 - (-1)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -1)^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(1,- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{5}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "1",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{5}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0030",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "sqrt(146)/6",
"x1": 8,
"x1_latex": "8",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "8",
"z_B": "-3*I",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(8 - z)/(-3*I*z + 9)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{9 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{9 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{9 - 3 iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{9 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(9 + 3 i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(9 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$72 + 24 i\\overline{z} - 9z - 3 iz\\overline{z} = 72 - 24 iz - 9\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$24 i\\overline{z} + 24 iz - 9z + 9\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$24 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$24 i(2x) - 9(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + 3y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 3y = (y + \\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{3}{2})^2 = \\frac{73}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{3}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{73}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{3}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{73}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0031",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1",
"resultat_calcul": "sqrt(97)/2",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "9",
"z_B": "-4*I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-2*I*z + 8)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{8 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{8 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{8 - 2 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{8 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(8 + 2 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(8 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$72 + 18 i\\overline{z} - 8z - 2 iz\\overline{z} = 72 - 18 iz - 8\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$18 i\\overline{z} + 18 iz - 8z + 8\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$18 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$18 i(2x) - 8(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + 4y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + 4y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + 4y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 4y = (y + 2)^2 - (2)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + 2)^2 = \\frac{97}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},-2), \\quad r = \\frac{\\sqrt{97}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "-2"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{97}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0032",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "2*sqrt(274)/25",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "3",
"z_B": "-7*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-5*I*z + 7)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{7 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{7 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{7 - 5 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{7 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(7 + 5 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(7 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$21 + 15 i\\overline{z} - 7z - 5 iz\\overline{z} = 21 - 15 iz - 7\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$15 i\\overline{z} + 15 iz - 7z + 7\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$15 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$15 i(2x) - 7(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + \\frac{7}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + \\frac{7}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + \\frac{7}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{5}y = (y + \\frac{7}{10})^2 - (\\frac{7}{10})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{7}{10})^2 = \\frac{137}{50}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{7}{10}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{274}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{7}{10}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{274}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0033",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(5)",
"resultat_calcul": "7*sqrt(85)/80",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "7",
"z_B": "-7*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-4*I*z + 7)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{7 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{7 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{7 - 4 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{7 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(7 + 4 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(7 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$49 + 28 i\\overline{z} - 7z - 4 iz\\overline{z} = 49 - 28 iz - 7\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$28 i\\overline{z} + 28 iz - 7z + 7\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$28 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$28 i(2x) - 7(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + \\frac{7}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + \\frac{7}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + \\frac{7}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{4}y = (y + \\frac{7}{8})^2 - (\\frac{7}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{7}{8})^2 = \\frac{833}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{7}{8}), \\quad r = \\frac{7 \\sqrt{17}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{7}{8}"
},
"rayon": "\\frac{7 \\sqrt{17}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0034",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "3*sqrt(65)",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "7",
"z_B": "-4*I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-2*I*z + 8)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{8 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{8 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{8 - 2 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{8 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(8 + 2 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(8 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$56 + 14 i\\overline{z} - 8z - 2 iz\\overline{z} = 56 - 14 iz - 8\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$14 i\\overline{z} + 14 iz - 8z + 8\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$14 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$14 i(2x) - 8(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + 4y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + 4y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + 4y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 4y = (y + 2)^2 - (2)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + 2)^2 = \\frac{65}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},-2), \\quad r = \\frac{\\sqrt{65}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "-2"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{65}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0035",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/5",
"resultat_calcul": "5*sqrt(82)/2",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "9",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-2*I*z + 2)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{2 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{2 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{2 - 2 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{2 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(2 + 2 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(2 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$18 + 18 i\\overline{z} - 2z - 2 iz\\overline{z} = 18 - 18 iz - 2\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$18 i\\overline{z} + 18 iz - 2z + 2\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$18 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$18 i(2x) - 2(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{41}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{82}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{82}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0036",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "3",
"resultat_calcul": "2*sqrt(2)",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "6",
"z_B": "-6*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-I*z + 6)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{6 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{6 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{6 - iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{6 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(6 + i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(6 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$36 + 6 i\\overline{z} - 6z - iz\\overline{z} = 36 - 6 iz - 6\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$6 i\\overline{z} + 6 iz - 6z + 6\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$6 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$6 i(2x) - 6(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + 6y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - (3)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + 3)^2 = 18$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,-3), \\quad r = 3 \\sqrt{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "-3"
},
"rayon": "3 \\sqrt{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0037",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(5)",
"resultat_calcul": "sqrt(305)/125",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "1",
"z_B": "-6*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-5*I*z + 6)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{6 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{6 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{6 - 5 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{6 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(6 + 5 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(6 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$6 + 5 i\\overline{z} - 6z - 5 iz\\overline{z} = 6 - 5 iz - 6\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$5 i\\overline{z} + 5 iz - 6z + 6\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$5 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$5 i(2x) - 6(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + \\frac{6}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + \\frac{6}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + \\frac{6}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{6}{5}y = (y + \\frac{3}{5})^2 - (\\frac{3}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{3}{5})^2 = \\frac{61}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{3}{5}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{61}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{3}{5}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{61}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0038",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/3",
"resultat_calcul": "9*sqrt(65)/16",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "6",
"z_B": "-3*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-4*I*z + 3)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{3 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{3 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{3 - 4 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{3 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(3 + 4 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(3 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$18 + 24 i\\overline{z} - 3z - 4 iz\\overline{z} = 18 - 24 iz - 3\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$24 i\\overline{z} + 24 iz - 3z + 3\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$24 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$24 i(2x) - 3(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + \\frac{3}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + \\frac{3}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + \\frac{3}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{4}y = (y + \\frac{3}{8})^2 - (\\frac{3}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{3}{8})^2 = \\frac{585}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{3}{8}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{65}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{3}{8}"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{65}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0039",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "24*sqrt(29)/25",
"x1": 4,
"x1_latex": "4",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "4",
"z_B": "-8*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(4 - z)/(-5*I*z + 8)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{8 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{4 - z}{8 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{8 - 5 iz} = \\frac{4 - \\overline{z}}{8 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(4 - z)(8 + 5 i\\overline{z}) = (4 - \\overline{z})(8 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$32 + 20 i\\overline{z} - 8z - 5 iz\\overline{z} = 32 - 20 iz - 8\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$20 i\\overline{z} + 20 iz - 8z + 8\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$20 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$20 i(2x) - 8(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 4x + \\frac{8}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -4x + \\frac{8}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -4x + y^2 + \\frac{8}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -4x = (x + -2)^2 - (-2)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{8}{5}y = (y + \\frac{4}{5})^2 - (\\frac{4}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -2)^2 + (y + \\frac{4}{5})^2 = \\frac{116}{25}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(2,- \\frac{4}{5}), \\quad r = \\frac{2 \\sqrt{29}}{5}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "2",
"y": "- \\frac{4}{5}"
},
"rayon": "\\frac{2 \\sqrt{29}}{5}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0040",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "sqrt(26)/2",
"x1": 2,
"x1_latex": "2",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "2",
"z_B": "-3*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(2 - z)/(-I*z + 3)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{3 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{2 - z}{3 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{3 - iz} = \\frac{2 - \\overline{z}}{3 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(2 - z)(3 + i\\overline{z}) = (2 - \\overline{z})(3 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$6 + 2 i\\overline{z} - 3z - iz\\overline{z} = 6 - 2 iz - 3\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$2 i\\overline{z} + 2 iz - 3z + 3\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$2 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$2 i(2x) - 3(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 2x + 3y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -2x + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -2x + y^2 + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -2x = (x + -1)^2 - (-1)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 3y = (y + \\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -1)^2 + (y + \\frac{3}{2})^2 = \\frac{13}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(1,- \\frac{3}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{13}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "1",
"y": "- \\frac{3}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{13}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0041",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "2*sqrt(2)",
"x1": 2,
"x1_latex": "2",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "2",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(2 - z)/(-4*I*z + 8)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{8 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{2 - z}{8 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{8 - 4 iz} = \\frac{2 - \\overline{z}}{8 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(2 - z)(8 + 4 i\\overline{z}) = (2 - \\overline{z})(8 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$16 + 8 i\\overline{z} - 8z - 4 iz\\overline{z} = 16 - 8 iz - 8\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$8 i\\overline{z} + 8 iz - 8z + 8\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$8 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$8 i(2x) - 8(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -2x + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -2x + y^2 + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -2x = (x + -1)^2 - (-1)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - (1)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -1)^2 + (y + 1)^2 = 2$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(1,-1), \\quad r = \\sqrt{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "1",
"y": "-1"
},
"rayon": "\\sqrt{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0042",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "3",
"resultat_calcul": "sqrt(373)/12",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "9",
"z_B": "-7*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-2*I*z + 7)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{7 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{7 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{7 - 2 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{7 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(7 + 2 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(7 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$63 + 18 i\\overline{z} - 7z - 2 iz\\overline{z} = 63 - 18 iz - 7\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$18 i\\overline{z} + 18 iz - 7z + 7\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$18 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$18 i(2x) - 7(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{7}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{7}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{7}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{2}y = (y + \\frac{7}{4})^2 - (\\frac{7}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{7}{4})^2 = \\frac{373}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{7}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{373}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{7}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{373}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0043",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
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"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "7",
"z_B": "-2*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-3*I*z + 2)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{2 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{2 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{2 - 3 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{2 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(2 + 3 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(2 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$14 + 21 i\\overline{z} - 2z - 3 iz\\overline{z} = 14 - 21 iz - 2\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$21 i\\overline{z} + 21 iz - 2z + 2\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$21 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$21 i(2x) - 2(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + \\frac{2}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + \\frac{2}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + \\frac{2}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{2}{3}y = (y + \\frac{1}{3})^2 - (\\frac{1}{3})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{1}{3})^2 = \\frac{445}{36}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{1}{3}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{445}}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{1}{3}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{445}}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0044",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "3*sqrt(65)/2",
"x1": 8,
"x1_latex": "8",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "8",
"z_B": "-I",
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"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{4 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{4 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{4 - 4 iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{4 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(4 + 4 i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(4 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$32 + 32 i\\overline{z} - 4z - 4 iz\\overline{z} = 32 - 32 iz - 4\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$32 i\\overline{z} + 32 iz - 4z + 4\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$32 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$32 i(2x) - 4(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{65}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{65}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{65}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0045",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "6*sqrt(85)",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "9",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-I*z + 2)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{2 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{2 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{2 - iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{2 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(2 + i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(2 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$18 + 9 i\\overline{z} - 2z - iz\\overline{z} = 18 - 9 iz - 2\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$9 i\\overline{z} + 9 iz - 2z + 2\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$9 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$9 i(2x) - 2(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + 2y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - (1)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + 1)^2 = \\frac{85}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},-1), \\quad r = \\frac{\\sqrt{85}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "-1"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{85}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0046",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "9",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "9",
"z_B": "-9*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-I*z + 9)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{9 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{9 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{9 - iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{9 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(9 + i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(9 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$81 + 9 i\\overline{z} - 9z - iz\\overline{z} = 81 - 9 iz - 9\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$9 i\\overline{z} + 9 iz - 9z + 9\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$9 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$9 i(2x) - 9(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + 9y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 9y = (y + \\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{9}{2})^2 = \\frac{81}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{9}{2}), \\quad r = \\frac{9 \\sqrt{2}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{9}{2}"
},
"rayon": "\\frac{9 \\sqrt{2}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0047",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
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"resultat_calcul": "sqrt(290)/5",
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"z_C": "-I",
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"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{7 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{7 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{7 - iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{7 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(7 + i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(7 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$21 + 3 i\\overline{z} - 7z - iz\\overline{z} = 21 - 3 iz - 7\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$3 i\\overline{z} + 3 iz - 7z + 7\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$3 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$3 i(2x) - 7(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + 7y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + 7y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + 7y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 7y = (y + \\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{7}{2})^2 = \\frac{29}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{7}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{58}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{7}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{58}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0048",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "13",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
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"x2_latex": "5",
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"z_B": "-5*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-2*I*z + 5)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{5 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{5 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{5 - 2 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{5 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(5 + 2 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(5 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$30 + 12 i\\overline{z} - 5z - 2 iz\\overline{z} = 30 - 12 iz - 5\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$12 i\\overline{z} + 12 iz - 5z + 5\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$12 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$12 i(2x) - 5(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + \\frac{5}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + \\frac{5}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + \\frac{5}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{2}y = (y + \\frac{5}{4})^2 - (\\frac{5}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{5}{4})^2 = \\frac{169}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{5}{4}), \\quad r = \\frac{13}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{5}{4}"
},
"rayon": "\\frac{13}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0049",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(5)",
"resultat_calcul": "3*sqrt(130)/125",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "3",
"z_B": "-3*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-5*I*z + 3)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{3 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{3 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{3 - 5 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{3 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(3 + 5 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(3 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$9 + 15 i\\overline{z} - 3z - 5 iz\\overline{z} = 9 - 15 iz - 3\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$15 i\\overline{z} + 15 iz - 3z + 3\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$15 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$15 i(2x) - 3(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + \\frac{3}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + \\frac{3}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + \\frac{3}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{5}y = (y + \\frac{3}{10})^2 - (\\frac{3}{10})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{3}{10})^2 = \\frac{117}{50}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{3}{10}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{26}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{3}{10}"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{26}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0050",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(5)",
"resultat_calcul": "sqrt(10205)/125",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "9",
"z_B": "-4*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-5*I*z + 4)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{4 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{4 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{4 - 5 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{4 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(4 + 5 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(4 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$36 + 45 i\\overline{z} - 4z - 5 iz\\overline{z} = 36 - 45 iz - 4\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$45 i\\overline{z} + 45 iz - 4z + 4\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$45 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$45 i(2x) - 4(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{4}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{4}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{4}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{4}{5}y = (y + \\frac{2}{5})^2 - (\\frac{2}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{2}{5})^2 = \\frac{2041}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{2}{5}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{2041}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{2}{5}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{2041}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0051",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "4",
"resultat_calcul": "sqrt(10)/12",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "3",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-3*I*z + 3)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{3 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{3 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{3 - 3 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{3 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(3 + 3 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(3 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$9 + 9 i\\overline{z} - 3z - 3 iz\\overline{z} = 9 - 9 iz - 3\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$9 i\\overline{z} + 9 iz - 3z + 3\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$9 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$9 i(2x) - 3(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{10}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{10}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0052",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/3",
"resultat_calcul": "30",
"x1": 8,
"x1_latex": "8",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "8",
"z_B": "-6*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(8 - z)/(-I*z + 6)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{6 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{6 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{6 - iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{6 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(6 + i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(6 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$48 + 8 i\\overline{z} - 6z - iz\\overline{z} = 48 - 8 iz - 6\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$8 i\\overline{z} + 8 iz - 6z + 6\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$8 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$8 i(2x) - 6(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + 6y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + 6y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - (3)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + 3)^2 = 25$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,-3), \\quad r = 5$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "-3"
},
"rayon": "5",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0053",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(3)",
"resultat_calcul": "sqrt(219)/3",
"x1": 8,
"x1_latex": "8",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "8",
"z_B": "-3*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(8 - z)/(-I*z + 3)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{3 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{3 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{3 - iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{3 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(3 + i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(3 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$24 + 8 i\\overline{z} - 3z - iz\\overline{z} = 24 - 8 iz - 3\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$8 i\\overline{z} + 8 iz - 3z + 3\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$8 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$8 i(2x) - 3(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + 3y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 3y = (y + \\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{3}{2})^2 = \\frac{73}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{3}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{73}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{3}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{73}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0054",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "3*sqrt(17)",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "1",
"z_B": "-4*I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-2*I*z + 8)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{8 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{8 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{8 - 2 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{8 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(8 + 2 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(8 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$8 + 2 i\\overline{z} - 8z - 2 iz\\overline{z} = 8 - 2 iz - 8\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$2 i\\overline{z} + 2 iz - 8z + 8\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$2 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$2 i(2x) - 8(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + 4y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + 4y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + 4y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 4y = (y + 2)^2 - (2)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + 2)^2 = \\frac{17}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},-2), \\quad r = \\frac{\\sqrt{17}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "-2"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{17}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0055",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1",
"resultat_calcul": "sqrt(2)/3",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "1",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-3*I*z + 3)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{3 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{3 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{3 - 3 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{3 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(3 + 3 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(3 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$3 + 3 i\\overline{z} - 3z - 3 iz\\overline{z} = 3 - 3 iz - 3\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$3 i\\overline{z} + 3 iz - 3z + 3\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$3 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$3 i(2x) - 3(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{1}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{2}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0056",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/5",
"resultat_calcul": "5*sqrt(778)/9",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "9",
"z_B": "-7*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-3*I*z + 7)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{7 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{7 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{7 - 3 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{7 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(7 + 3 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(7 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$63 + 27 i\\overline{z} - 7z - 3 iz\\overline{z} = 63 - 27 iz - 7\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$27 i\\overline{z} + 27 iz - 7z + 7\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$27 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$27 i(2x) - 7(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{7}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{7}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{7}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{3}y = (y + \\frac{7}{6})^2 - (\\frac{7}{6})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{7}{6})^2 = \\frac{389}{18}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{7}{6}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{778}}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{7}{6}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{778}}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0057",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "3",
"resultat_calcul": "sqrt(34)/25",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "3",
"z_B": "-9*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-5*I*z + 9)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{9 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{9 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{9 - 5 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{9 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(9 + 5 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(9 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$27 + 15 i\\overline{z} - 9z - 5 iz\\overline{z} = 27 - 15 iz - 9\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$15 i\\overline{z} + 15 iz - 9z + 9\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$15 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$15 i(2x) - 9(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + \\frac{9}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + \\frac{9}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + \\frac{9}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{9}{5}y = (y + \\frac{9}{10})^2 - (\\frac{9}{10})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{9}{10})^2 = \\frac{153}{50}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{9}{10}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{34}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{9}{10}"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{34}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0058",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "3*sqrt(5)/2",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "3",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-2*I*z + 3)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{3 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{3 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{3 - 2 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{3 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(3 + 2 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(3 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$9 + 6 i\\overline{z} - 3z - 2 iz\\overline{z} = 9 - 6 iz - 3\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$6 i\\overline{z} + 6 iz - 3z + 3\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$6 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$6 i(2x) - 3(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + \\frac{3}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{2}y = (y + \\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{3}{4})^2 = \\frac{45}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{3}{4}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{5}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{3}{4}"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{5}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0059",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "3*sqrt(73)/4",
"x1": 4,
"x1_latex": "4",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "4",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(4 - z)/(-4*I*z + 6)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{6 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{4 - z}{6 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{6 - 4 iz} = \\frac{4 - \\overline{z}}{6 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(4 - z)(6 + 4 i\\overline{z}) = (4 - \\overline{z})(6 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$24 + 16 i\\overline{z} - 6z - 4 iz\\overline{z} = 24 - 16 iz - 6\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$16 i\\overline{z} + 16 iz - 6z + 6\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$16 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$16 i(2x) - 6(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 4x + \\frac{3}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -4x + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -4x + y^2 + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -4x = (x + -2)^2 - (-2)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{2}y = (y + \\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -2)^2 + (y + \\frac{3}{4})^2 = \\frac{73}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(2,- \\frac{3}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{73}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "2",
"y": "- \\frac{3}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{73}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0060",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(5)",
"resultat_calcul": "sqrt(365)/20",
"x1": 4,
"x1_latex": "4",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "4",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(4 - z)/(-2*I*z + 3)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{3 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{4 - z}{3 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{3 - 2 iz} = \\frac{4 - \\overline{z}}{3 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(4 - z)(3 + 2 i\\overline{z}) = (4 - \\overline{z})(3 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$12 + 8 i\\overline{z} - 3z - 2 iz\\overline{z} = 12 - 8 iz - 3\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$8 i\\overline{z} + 8 iz - 3z + 3\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$8 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$8 i(2x) - 3(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 4x + \\frac{3}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -4x + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -4x + y^2 + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -4x = (x + -2)^2 - (-2)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{2}y = (y + \\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -2)^2 + (y + \\frac{3}{4})^2 = \\frac{73}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(2,- \\frac{3}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{73}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "2",
"y": "- \\frac{3}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{73}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0061",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/5",
"resultat_calcul": "25*sqrt(2)",
"x1": 5,
"x1_latex": "5",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "5",
"z_B": "-5*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(5 - z)/(-I*z + 5)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{5 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{5 - z}{5 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{5 - iz} = \\frac{5 - \\overline{z}}{5 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(5 - z)(5 + i\\overline{z}) = (5 - \\overline{z})(5 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$25 + 5 i\\overline{z} - 5z - iz\\overline{z} = 25 - 5 iz - 5\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$5 i\\overline{z} + 5 iz - 5z + 5\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$5 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$5 i(2x) - 5(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 5x + 5y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -5x + 5y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -5x + y^2 + 5y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -5x = (x + - \\frac{5}{2})^2 - (- \\frac{5}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 5y = (y + \\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{5}{2})^2 + (y + \\frac{5}{2})^2 = \\frac{25}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{5}{2},- \\frac{5}{2}), \\quad r = \\frac{5 \\sqrt{2}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{5}{2}",
"y": "- \\frac{5}{2}"
},
"rayon": "\\frac{5 \\sqrt{2}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0062",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "2",
"resultat_calcul": "sqrt(257)/16",
"x1": 8,
"x1_latex": "8",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "8",
"z_B": "-I/2",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(8 - z)/(-4*I*z + 2)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{2 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{2 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{2 - 4 iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{2 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(2 + 4 i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(2 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$16 + 32 i\\overline{z} - 2z - 4 iz\\overline{z} = 16 - 32 iz - 2\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$32 i\\overline{z} + 32 iz - 2z + 2\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$32 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$32 i(2x) - 2(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + \\frac{1}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + \\frac{1}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + \\frac{1}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{1}{2}y = (y + \\frac{1}{4})^2 - (\\frac{1}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{1}{4})^2 = \\frac{257}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{1}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{257}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{1}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{257}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0063",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1",
"resultat_calcul": "sqrt(85)",
"x1": 2,
"x1_latex": "2",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "2",
"z_B": "-9*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(2 - z)/(-I*z + 9)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{9 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{2 - z}{9 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{9 - iz} = \\frac{2 - \\overline{z}}{9 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(2 - z)(9 + i\\overline{z}) = (2 - \\overline{z})(9 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$18 + 2 i\\overline{z} - 9z - iz\\overline{z} = 18 - 2 iz - 9\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$2 i\\overline{z} + 2 iz - 9z + 9\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$2 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$2 i(2x) - 9(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 2x + 9y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -2x + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -2x + y^2 + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -2x = (x + -1)^2 - (-1)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 9y = (y + \\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -1)^2 + (y + \\frac{9}{2})^2 = \\frac{85}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(1,- \\frac{9}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{85}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "1",
"y": "- \\frac{9}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{85}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0064",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/3",
"resultat_calcul": "3*sqrt(809)/16",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "7",
"z_B": "-5*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-4*I*z + 5)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{5 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{5 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{5 - 4 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{5 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(5 + 4 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(5 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$35 + 28 i\\overline{z} - 5z - 4 iz\\overline{z} = 35 - 28 iz - 5\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$28 i\\overline{z} + 28 iz - 5z + 5\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$28 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$28 i(2x) - 5(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + \\frac{5}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + \\frac{5}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + \\frac{5}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{4}y = (y + \\frac{5}{8})^2 - (\\frac{5}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{5}{8})^2 = \\frac{809}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{5}{8}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{809}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{5}{8}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{809}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0065",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "sqrt(178)/50",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "1",
"z_B": "-8*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-5*I*z + 8)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{8 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{8 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{8 - 5 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{8 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(8 + 5 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(8 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$8 + 5 i\\overline{z} - 8z - 5 iz\\overline{z} = 8 - 5 iz - 8\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$5 i\\overline{z} + 5 iz - 8z + 8\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$5 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$5 i(2x) - 8(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + \\frac{8}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + \\frac{8}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + \\frac{8}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{8}{5}y = (y + \\frac{4}{5})^2 - (\\frac{4}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{4}{5})^2 = \\frac{89}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{4}{5}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{89}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{4}{5}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{89}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0066",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(3)",
"resultat_calcul": "sqrt(1119)/27",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "6",
"z_B": "-7*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-3*I*z + 7)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{7 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{7 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{7 - 3 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{7 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(7 + 3 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(7 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$42 + 18 i\\overline{z} - 7z - 3 iz\\overline{z} = 42 - 18 iz - 7\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$18 i\\overline{z} + 18 iz - 7z + 7\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$18 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$18 i(2x) - 7(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + \\frac{7}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + \\frac{7}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + \\frac{7}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{3}y = (y + \\frac{7}{6})^2 - (\\frac{7}{6})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{7}{6})^2 = \\frac{373}{36}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{7}{6}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{373}}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{7}{6}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{373}}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0067",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "2",
"resultat_calcul": "3*sqrt(5)/4",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "6",
"z_B": "-3*I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-2*I*z + 6)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{6 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{6 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{6 - 2 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{6 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(6 + 2 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(6 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$36 + 12 i\\overline{z} - 6z - 2 iz\\overline{z} = 36 - 12 iz - 6\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$12 i\\overline{z} + 12 iz - 6z + 6\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$12 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$12 i(2x) - 6(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + 3y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 3y = (y + \\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{3}{2})^2 = \\frac{45}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{3}{2}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{5}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{3}{2}"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{5}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0068",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
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"x1_latex": "1",
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"x2_latex": "2",
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"z_C": "-I/3",
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"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{2 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{2 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{2 - 3 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{2 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(2 + 3 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(2 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$2 + 3 i\\overline{z} - 2z - 3 iz\\overline{z} = 2 - 3 iz - 2\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$3 i\\overline{z} + 3 iz - 2z + 2\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$3 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$3 i(2x) - 2(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + \\frac{2}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + \\frac{2}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + \\frac{2}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{2}{3}y = (y + \\frac{1}{3})^2 - (\\frac{1}{3})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{1}{3})^2 = \\frac{13}{36}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{1}{3}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{13}}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{1}{3}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{13}}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0069",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "3",
"resultat_calcul": "sqrt(97)/3",
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"x1_latex": "9",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
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"z_B": "-4*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-I*z + 4)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{4 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{4 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{4 - iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{4 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(4 + i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(4 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$36 + 9 i\\overline{z} - 4z - iz\\overline{z} = 36 - 9 iz - 4\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$9 i\\overline{z} + 9 iz - 4z + 4\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$9 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$9 i(2x) - 4(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + 4y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + 4y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + 4y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 4y = (y + 2)^2 - (2)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + 2)^2 = \\frac{97}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},-2), \\quad r = \\frac{\\sqrt{97}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "-2"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{97}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0070",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "4",
"resultat_calcul": "sqrt(130)/4",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "9",
"z_B": "-7*I",
"z_C": "-I",
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"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{7 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{7 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{7 - iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{7 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(7 + i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(7 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$63 + 9 i\\overline{z} - 7z - iz\\overline{z} = 63 - 9 iz - 7\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$9 i\\overline{z} + 9 iz - 7z + 7\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$9 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$9 i(2x) - 7(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + 7y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + 7y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + 7y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 7y = (y + \\frac{7}{2})^2 - (\\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{7}{2})^2 = \\frac{65}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{7}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{130}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{7}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{130}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0071",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(3)",
"resultat_calcul": "2*sqrt(87)/75",
"x1": 2,
"x1_latex": "2",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "2",
"z_B": "-4*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(2 - z)/(-5*I*z + 4)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{4 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{2 - z}{4 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{4 - 5 iz} = \\frac{2 - \\overline{z}}{4 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(2 - z)(4 + 5 i\\overline{z}) = (2 - \\overline{z})(4 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$8 + 10 i\\overline{z} - 4z - 5 iz\\overline{z} = 8 - 10 iz - 4\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$10 i\\overline{z} + 10 iz - 4z + 4\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$10 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$10 i(2x) - 4(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 2x + \\frac{4}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -2x + \\frac{4}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -2x + y^2 + \\frac{4}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -2x = (x + -1)^2 - (-1)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{4}{5}y = (y + \\frac{2}{5})^2 - (\\frac{2}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -1)^2 + (y + \\frac{2}{5})^2 = \\frac{29}{25}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(1,- \\frac{2}{5}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{29}}{5}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "1",
"y": "- \\frac{2}{5}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{29}}{5}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0072",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "18*sqrt(26)/25",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "9",
"z_B": "-9*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-5*I*z + 9)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{9 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{9 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{9 - 5 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{9 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(9 + 5 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(9 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$81 + 45 i\\overline{z} - 9z - 5 iz\\overline{z} = 81 - 45 iz - 9\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$45 i\\overline{z} + 45 iz - 9z + 9\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$45 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$45 i(2x) - 9(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{9}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{9}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{9}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{9}{5}y = (y + \\frac{9}{10})^2 - (\\frac{9}{10})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{9}{10})^2 = \\frac{1053}{50}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{9}{10}), \\quad r = \\frac{9 \\sqrt{26}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{9}{10}"
},
"rayon": "\\frac{9 \\sqrt{26}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0073",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "sqrt(265)/2",
"x1": 8,
"x1_latex": "8",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "8",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(8 - z)/(-4*I*z + 6)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{6 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{6 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{6 - 4 iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{6 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(6 + 4 i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(6 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$48 + 32 i\\overline{z} - 6z - 4 iz\\overline{z} = 48 - 32 iz - 6\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$32 i\\overline{z} + 32 iz - 6z + 6\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$32 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$32 i(2x) - 6(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + \\frac{3}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + \\frac{3}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{2}y = (y + \\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{3}{4})^2 = \\frac{265}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{3}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{265}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{3}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{265}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0074",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(5)",
"resultat_calcul": "sqrt(29)/8",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "6",
"z_B": "-I/2",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-4*I*z + 2)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{2 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{2 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{2 - 4 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{2 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(2 + 4 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(2 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$12 + 24 i\\overline{z} - 2z - 4 iz\\overline{z} = 12 - 24 iz - 2\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$24 i\\overline{z} + 24 iz - 2z + 2\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$24 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$24 i(2x) - 2(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + \\frac{1}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + \\frac{1}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + \\frac{1}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{1}{2}y = (y + \\frac{1}{4})^2 - (\\frac{1}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{1}{4})^2 = \\frac{145}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{1}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{145}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{1}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{145}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0075",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/5",
"resultat_calcul": "20*sqrt(10)/9",
"x1": 4,
"x1_latex": "4",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "4",
"z_B": "-4*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(4 - z)/(-3*I*z + 4)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{4 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{4 - z}{4 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{4 - 3 iz} = \\frac{4 - \\overline{z}}{4 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(4 - z)(4 + 3 i\\overline{z}) = (4 - \\overline{z})(4 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$16 + 12 i\\overline{z} - 4z - 3 iz\\overline{z} = 16 - 12 iz - 4\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$12 i\\overline{z} + 12 iz - 4z + 4\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$12 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$12 i(2x) - 4(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 4x + \\frac{4}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -4x + \\frac{4}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -4x + y^2 + \\frac{4}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -4x = (x + -2)^2 - (-2)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{4}{3}y = (y + \\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -2)^2 + (y + \\frac{2}{3})^2 = \\frac{40}{9}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(2,- \\frac{2}{3}), \\quad r = \\frac{2 \\sqrt{10}}{3}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "2",
"y": "- \\frac{2}{3}"
},
"rayon": "\\frac{2 \\sqrt{10}}{3}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0076",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(3)",
"resultat_calcul": "sqrt(30)/6",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "3",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-2*I*z + 2)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{2 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{2 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{2 - 2 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{2 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(2 + 2 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(2 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$6 + 6 i\\overline{z} - 2z - 2 iz\\overline{z} = 6 - 6 iz - 2\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$6 i\\overline{z} + 6 iz - 2z + 2\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$6 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$6 i(2x) - 2(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{10}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{10}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0077",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "2",
"resultat_calcul": "sqrt(349)/8",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "9",
"z_B": "-5*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-2*I*z + 5)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{5 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{5 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{5 - 2 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{5 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(5 + 2 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(5 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$45 + 18 i\\overline{z} - 5z - 2 iz\\overline{z} = 45 - 18 iz - 5\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$18 i\\overline{z} + 18 iz - 5z + 5\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$18 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$18 i(2x) - 5(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{5}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{5}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{5}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{2}y = (y + \\frac{5}{4})^2 - (\\frac{5}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{5}{4})^2 = \\frac{349}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{5}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{349}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{5}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{349}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0078",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1",
"resultat_calcul": "sqrt(754)/9",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "9",
"z_B": "-5*I/3",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-3*I*z + 5)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{5 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{5 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{5 - 3 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{5 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(5 + 3 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(5 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$45 + 27 i\\overline{z} - 5z - 3 iz\\overline{z} = 45 - 27 iz - 5\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$27 i\\overline{z} + 27 iz - 5z + 5\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$27 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$27 i(2x) - 5(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{5}{3}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{5}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{5}{3}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{3}y = (y + \\frac{5}{6})^2 - (\\frac{5}{6})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{5}{6})^2 = \\frac{377}{18}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{5}{6}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{754}}{6}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{5}{6}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{754}}{6}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0079",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(3)",
"resultat_calcul": "sqrt(219)/16",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "6",
"z_B": "-9*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-4*I*z + 9)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{9 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{9 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{9 - 4 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{9 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(9 + 4 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(9 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$54 + 24 i\\overline{z} - 9z - 4 iz\\overline{z} = 54 - 24 iz - 9\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$24 i\\overline{z} + 24 iz - 9z + 9\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$24 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$24 i(2x) - 9(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + \\frac{9}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + \\frac{9}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + \\frac{9}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{9}{4}y = (y + \\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{9}{8})^2 = \\frac{657}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{9}{8}), \\quad r = \\frac{3 \\sqrt{73}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{9}{8}"
},
"rayon": "\\frac{3 \\sqrt{73}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0080",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "2",
"resultat_calcul": "sqrt(226)/25",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 2,
"x2_latex": "2",
"z_A": "6",
"z_B": "-2*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-5*I*z + 2)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{2 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{2 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{2 - 5 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{2 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(2 + 5 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(2 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$12 + 30 i\\overline{z} - 2z - 5 iz\\overline{z} = 12 - 30 iz - 2\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$30 i\\overline{z} + 30 iz - 2z + 2\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$30 i(z + \\overline{z}) - 2(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$30 i(2x) - 2(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + \\frac{2}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + \\frac{2}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + \\frac{2}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{2}{5}y = (y + \\frac{1}{5})^2 - (\\frac{1}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{1}{5})^2 = \\frac{226}{25}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{1}{5}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{226}}{5}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{1}{5}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{226}}{5}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0081",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "3*sqrt(89)/2",
"x1": 4,
"x1_latex": "4",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "4",
"z_B": "-5*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(4 - z)/(-2*I*z + 5)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{5 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{4 - z}{5 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{4 - z}{5 - 2 iz} = \\frac{4 - \\overline{z}}{5 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(4 - z)(5 + 2 i\\overline{z}) = (4 - \\overline{z})(5 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$20 + 8 i\\overline{z} - 5z - 2 iz\\overline{z} = 20 - 8 iz - 5\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$8 i\\overline{z} + 8 iz - 5z + 5\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$8 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$8 i(2x) - 5(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 4x + \\frac{5}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -4x + \\frac{5}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -4x + y^2 + \\frac{5}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -4x = (x + -2)^2 - (-2)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{2}y = (y + \\frac{5}{4})^2 - (\\frac{5}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -2)^2 + (y + \\frac{5}{4})^2 = \\frac{89}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(2,- \\frac{5}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{89}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "2",
"y": "- \\frac{5}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{89}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0082",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(3)",
"resultat_calcul": "5*sqrt(3)/16",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "3",
"z_B": "-9*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-4*I*z + 9)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{9 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{9 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{9 - 4 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{9 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(9 + 4 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(9 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$27 + 12 i\\overline{z} - 9z - 4 iz\\overline{z} = 27 - 12 iz - 9\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$12 i\\overline{z} + 12 iz - 9z + 9\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$12 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$12 i(2x) - 9(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + \\frac{9}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + \\frac{9}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + \\frac{9}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{9}{4}y = (y + \\frac{9}{8})^2 - (\\frac{9}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{9}{8})^2 = \\frac{225}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{9}{8}), \\quad r = \\frac{15}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{9}{8}"
},
"rayon": "\\frac{15}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0083",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "2*sqrt(1241)/25",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "7",
"z_B": "-4*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-5*I*z + 4)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{4 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{4 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{4 - 5 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{4 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(4 + 5 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(4 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$28 + 35 i\\overline{z} - 4z - 5 iz\\overline{z} = 28 - 35 iz - 4\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$35 i\\overline{z} + 35 iz - 4z + 4\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$35 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$35 i(2x) - 4(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + \\frac{4}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + \\frac{4}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + \\frac{4}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{4}{5}y = (y + \\frac{2}{5})^2 - (\\frac{2}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{2}{5})^2 = \\frac{1241}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{2}{5}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{1241}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{2}{5}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{1241}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0084",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "17*sqrt(2)/50",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 8,
"x2_latex": "8",
"z_A": "3",
"z_B": "-8*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-5*I*z + 8)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{8 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{8 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{8 - 5 iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{8 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(8 + 5 i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(8 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$24 + 15 i\\overline{z} - 8z - 5 iz\\overline{z} = 24 - 15 iz - 8\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$15 i\\overline{z} + 15 iz - 8z + 8\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$15 i(z + \\overline{z}) - 8(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$15 i(2x) - 8(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + \\frac{8}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + \\frac{8}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + \\frac{8}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{8}{5}y = (y + \\frac{4}{5})^2 - (\\frac{4}{5})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{4}{5})^2 = \\frac{289}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{4}{5}), \\quad r = \\frac{17}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{4}{5}"
},
"rayon": "\\frac{17}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0085",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "6*sqrt(949)/25",
"x1": 6,
"x1_latex": "6",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "6",
"z_B": "-7*I/5",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(6 - z)/(-5*I*z + 7)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{7 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{6 - z}{7 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{6 - z}{7 - 5 iz} = \\frac{6 - \\overline{z}}{7 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(6 - z)(7 + 5 i\\overline{z}) = (6 - \\overline{z})(7 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$42 + 30 i\\overline{z} - 7z - 5 iz\\overline{z} = 42 - 30 iz - 7\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$30 i\\overline{z} + 30 iz - 7z + 7\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$30 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$30 i(2x) - 7(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 6x + \\frac{7}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -6x + \\frac{7}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -6x + y^2 + \\frac{7}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -6x = (x + -3)^2 - (-3)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{5}y = (y + \\frac{7}{10})^2 - (\\frac{7}{10})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -3)^2 + (y + \\frac{7}{10})^2 = \\frac{949}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(3,- \\frac{7}{10}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{949}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "3",
"y": "- \\frac{7}{10}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{949}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0086",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "sqrt(53)/2",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 7,
"x2_latex": "7",
"z_A": "1",
"z_B": "-7*I/2",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-2*I*z + 7)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{7 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{7 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{7 - 2 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{7 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(7 + 2 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(7 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$7 + 2 i\\overline{z} - 7z - 2 iz\\overline{z} = 7 - 2 iz - 7\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$2 i\\overline{z} + 2 iz - 7z + 7\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$2 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$2 i(2x) - 7(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + \\frac{7}{2}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + \\frac{7}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + \\frac{7}{2}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{2}y = (y + \\frac{7}{4})^2 - (\\frac{7}{4})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{7}{4})^2 = \\frac{53}{16}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{7}{4}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{53}}{4}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{7}{4}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{53}}{4}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0087",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "sqrt(85)",
"x1": 9,
"x1_latex": "9",
"x2": 4,
"x2_latex": "4",
"z_A": "9",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(9 - z)/(-2*I*z + 4)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{4 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{4 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{4 - 2 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{4 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(4 + 2 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(4 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$36 + 18 i\\overline{z} - 4z - 2 iz\\overline{z} = 36 - 18 iz - 4\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$18 i\\overline{z} + 18 iz - 4z + 4\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$18 i(z + \\overline{z}) - 4(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$18 i(2x) - 4(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + 2y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - (1)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + 1)^2 = \\frac{85}{4}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},-1), \\quad r = \\frac{\\sqrt{85}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "-1"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{85}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0088",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1",
"resultat_calcul": "2*sqrt(2)/3",
"x1": 2,
"x1_latex": "2",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "2",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I/3",
"z_prime_expr": "(2 - z)/(-3*I*z + 6)",
"zimg": "3*I",
"zimg_latex": "3 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{6 - 3 iz} = \\overline{\\left(\\frac{2 - z}{6 - 3 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{2 - z}{6 - 3 iz} = \\frac{2 - \\overline{z}}{6 + 3 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(2 - z)(6 + 3 i\\overline{z}) = (2 - \\overline{z})(6 - 3 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$12 + 6 i\\overline{z} - 6z - 3 iz\\overline{z} = 12 - 6 iz - 6\\overline{z} + 3 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$6 i\\overline{z} + 6 iz - 6z + 6\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} - 3 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$6 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 6 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$6 i(2x) - 6(2iy) - 6 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -2x + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -2x + y^2 + 2y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -2x = (x + -1)^2 - (-1)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - (1)^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -1)^2 + (y + 1)^2 = 2$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(1,-1), \\quad r = \\sqrt{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "1",
"y": "-1"
},
"rayon": "\\sqrt{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0089",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
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"resultat_calcul": "sqrt(5165)/80",
"x1": 8,
"x1_latex": "8",
"x2": 3,
"x2_latex": "3",
"z_A": "8",
"z_B": "-3*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(8 - z)/(-4*I*z + 3)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{3 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{3 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{3 - 4 iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{3 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(3 + 4 i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(3 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$24 + 32 i\\overline{z} - 3z - 4 iz\\overline{z} = 24 - 32 iz - 3\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$32 i\\overline{z} + 32 iz - 3z + 3\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$32 i(z + \\overline{z}) - 3(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$32 i(2x) - 3(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + \\frac{3}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + \\frac{3}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + \\frac{3}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{3}{4}y = (y + \\frac{3}{8})^2 - (\\frac{3}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{3}{8})^2 = \\frac{1033}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{3}{8}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{1033}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{3}{8}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{1033}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
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],
"id_exercice": "variante_exercice1_0090",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
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"x1_latex": "8",
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"x2_latex": "7",
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"z_C": "-I/5",
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"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{7 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{8 - z}{7 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{8 - z}{7 - 5 iz} = \\frac{8 - \\overline{z}}{7 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(8 - z)(7 + 5 i\\overline{z}) = (8 - \\overline{z})(7 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$56 + 40 i\\overline{z} - 7z - 5 iz\\overline{z} = 56 - 40 iz - 7\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$40 i\\overline{z} + 40 iz - 7z + 7\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$40 i(z + \\overline{z}) - 7(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$40 i(2x) - 7(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 8x + \\frac{7}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -8x + \\frac{7}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -8x + y^2 + \\frac{7}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -8x = (x + -4)^2 - (-4)^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{7}{5}y = (y + \\frac{7}{10})^2 - (\\frac{7}{10})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + -4)^2 + (y + \\frac{7}{10})^2 = \\frac{1649}{100}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(4,- \\frac{7}{10}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{1649}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "4",
"y": "- \\frac{7}{10}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{1649}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0091",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "sqrt(2)",
"resultat_calcul": "5*sqrt(34)/32",
"x1": 5,
"x1_latex": "5",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "5",
"z_B": "-5*I/4",
"z_C": "-I/4",
"z_prime_expr": "(5 - z)/(-4*I*z + 5)",
"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{5 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{5 - z}{5 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{5 - 4 iz} = \\frac{5 - \\overline{z}}{5 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(5 - z)(5 + 4 i\\overline{z}) = (5 - \\overline{z})(5 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$25 + 20 i\\overline{z} - 5z - 4 iz\\overline{z} = 25 - 20 iz - 5\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$20 i\\overline{z} + 20 iz - 5z + 5\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$20 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$20 i(2x) - 5(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 5x + \\frac{5}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -5x + \\frac{5}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -5x + y^2 + \\frac{5}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -5x = (x + - \\frac{5}{2})^2 - (- \\frac{5}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{4}y = (y + \\frac{5}{8})^2 - (\\frac{5}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{5}{2})^2 + (y + \\frac{5}{8})^2 = \\frac{425}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{5}{2},- \\frac{5}{8}), \\quad r = \\frac{5 \\sqrt{17}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{5}{2}",
"y": "- \\frac{5}{8}"
},
"rayon": "\\frac{5 \\sqrt{17}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0092",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/5",
"resultat_calcul": "5*sqrt(106)",
"x1": 5,
"x1_latex": "5",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "5",
"z_B": "-9*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(5 - z)/(-I*z + 9)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{9 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{5 - z}{9 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{5 - z}{9 - iz} = \\frac{5 - \\overline{z}}{9 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(5 - z)(9 + i\\overline{z}) = (5 - \\overline{z})(9 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$45 + 5 i\\overline{z} - 9z - iz\\overline{z} = 45 - 5 iz - 9\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$5 i\\overline{z} + 5 iz - 9z + 9\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$5 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$5 i(2x) - 9(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 5x + 9y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -5x + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -5x + y^2 + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -5x = (x + - \\frac{5}{2})^2 - (- \\frac{5}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 9y = (y + \\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{5}{2})^2 + (y + \\frac{9}{2})^2 = \\frac{53}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{5}{2},- \\frac{9}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{106}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{5}{2}",
"y": "- \\frac{9}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{106}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0093",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/4",
"resultat_calcul": "4*sqrt(130)",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "7",
"z_B": "-9*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-I*z + 9)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{9 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{9 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{9 - iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{9 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(9 + i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(9 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$63 + 7 i\\overline{z} - 9z - iz\\overline{z} = 63 - 7 iz - 9\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$7 i\\overline{z} + 7 iz - 9z + 9\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$7 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$7 i(2x) - 9(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + 9y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + 9y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 9y = (y + \\frac{9}{2})^2 - (\\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{9}{2})^2 = \\frac{65}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{9}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{130}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{9}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{130}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0094",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
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"x1_latex": "9",
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"x2_latex": "5",
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"zimg": "4*I",
"zimg_latex": "4 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{5 - 4 iz} = \\overline{\\left(\\frac{9 - z}{5 - 4 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{9 - z}{5 - 4 iz} = \\frac{9 - \\overline{z}}{5 + 4 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(9 - z)(5 + 4 i\\overline{z}) = (9 - \\overline{z})(5 - 4 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$45 + 36 i\\overline{z} - 5z - 4 iz\\overline{z} = 45 - 36 iz - 5\\overline{z} + 4 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$36 i\\overline{z} + 36 iz - 5z + 5\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$36 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 8 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$36 i(2x) - 5(2iy) - 8 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 9x + \\frac{5}{4}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -9x + \\frac{5}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -9x + y^2 + \\frac{5}{4}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -9x = (x + - \\frac{9}{2})^2 - (- \\frac{9}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{5}{4}y = (y + \\frac{5}{8})^2 - (\\frac{5}{8})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{9}{2})^2 + (y + \\frac{5}{8})^2 = \\frac{1321}{64}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{9}{2},- \\frac{5}{8}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{1321}}{8}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{9}{2}",
"y": "- \\frac{5}{8}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{1321}}{8}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
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],
"id_exercice": "variante_exercice1_0095",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/2",
"resultat_calcul": "2*sqrt(1306)/25",
"x1": 7,
"x1_latex": "7",
"x2": 9,
"x2_latex": "9",
"z_A": "7",
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"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(7 - z)/(-5*I*z + 9)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{9 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{7 - z}{9 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{7 - z}{9 - 5 iz} = \\frac{7 - \\overline{z}}{9 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(7 - z)(9 + 5 i\\overline{z}) = (7 - \\overline{z})(9 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$63 + 35 i\\overline{z} - 9z - 5 iz\\overline{z} = 63 - 35 iz - 9\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$35 i\\overline{z} + 35 iz - 9z + 9\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$35 i(z + \\overline{z}) - 9(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$35 i(2x) - 9(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 7x + \\frac{9}{5}y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -7x + \\frac{9}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -7x + y^2 + \\frac{9}{5}y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -7x = (x + - \\frac{7}{2})^2 - (- \\frac{7}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + \\frac{9}{5}y = (y + \\frac{9}{10})^2 - (\\frac{9}{10})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{7}{2})^2 + (y + \\frac{9}{10})^2 = \\frac{653}{50}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{7}{2},- \\frac{9}{10}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{1306}}{10}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{7}{2}",
"y": "- \\frac{9}{10}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{1306}}{10}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0096",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/3",
"resultat_calcul": "3*sqrt(10)/2",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 6,
"x2_latex": "6",
"z_A": "1",
"z_B": "-3*I",
"z_C": "-I/2",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-2*I*z + 6)",
"zimg": "2*I",
"zimg_latex": "2 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{6 - 2 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{6 - 2 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{6 - 2 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{6 + 2 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(6 + 2 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(6 - 2 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$6 + 2 i\\overline{z} - 6z - 2 iz\\overline{z} = 6 - 2 iz - 6\\overline{z} + 2 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$2 i\\overline{z} + 2 iz - 6z + 6\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$2 i(z + \\overline{z}) - 6(z - \\overline{z}) - 4 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$2 i(2x) - 6(2iy) - 4 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + 3y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + 3y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 3y = (y + \\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{3}{2})^2 = \\frac{5}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{3}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{10}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{3}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{10}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0097",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/3",
"resultat_calcul": "3*sqrt(2)/5",
"x1": 1,
"x1_latex": "1",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "1",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/5",
"z_prime_expr": "(1 - z)/(-5*I*z + 5)",
"zimg": "5*I",
"zimg_latex": "5 i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{5 - 5 iz} = \\overline{\\left(\\frac{1 - z}{5 - 5 iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{1 - z}{5 - 5 iz} = \\frac{1 - \\overline{z}}{5 + 5 i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(1 - z)(5 + 5 i\\overline{z}) = (1 - \\overline{z})(5 - 5 iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$5 + 5 i\\overline{z} - 5z - 5 iz\\overline{z} = 5 - 5 iz - 5\\overline{z} + 5 iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$5 i\\overline{z} + 5 iz - 5z + 5\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} - 5 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$5 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 10 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$5 i(2x) - 5(2iy) - 10 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - x + y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -1x + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -1x + y^2 + 1y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -1x = (x + - \\frac{1}{2})^2 - (- \\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 1y = (y + \\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{1}{2})^2 + (y + \\frac{1}{2})^2 = \\frac{1}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{1}{2},- \\frac{1}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{1}{2}",
"y": "- \\frac{1}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{2}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0098",
"type": "ensemble des points"
},
{
"donnees": [
{
"rayon_BM": "1/6",
"resultat_calcul": "6*sqrt(34)",
"x1": 3,
"x1_latex": "3",
"x2": 5,
"x2_latex": "5",
"z_A": "3",
"z_B": "-5*I",
"z_C": "-I",
"z_prime_expr": "(3 - z)/(-I*z + 5)",
"zimg": "I",
"zimg_latex": "i"
}
],
"entrainer": [
{
"etapes": [
{
"explication": "Par définition, un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, ce qui équivaut à dire qu'il est égal à son conjugué.",
"ligne": "$z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline{z'}$"
},
{
"explication": "On remplace l'expression de $z'$ par sa définition et on applique la condition $z' = \\overline{{z'}}$.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{5 - iz} = \\overline{\\left(\\frac{3 - z}{5 - iz}\\right)}$"
},
{
"explication": "On calcule le conjugué du quotient en conjuguant séparément le numérateur et le dénominateur.",
"ligne": "$\\frac{3 - z}{5 - iz} = \\frac{3 - \\overline{z}}{5 + i\\overline{z}}$"
},
{
"explication": "On élimine les dénominateurs en effectuant un produit en croix afin d'obtenir une équation sans fraction.",
"ligne": "$(3 - z)(5 + i\\overline{z}) = (3 - \\overline{z})(5 - iz)$"
},
{
"explication": "On développe chaque produit à l'aide de la distributivité.",
"ligne": "$15 + 3 i\\overline{z} - 5z - iz\\overline{z} = 15 - 3 iz - 5\\overline{z} + iz\\overline{z}$"
},
{
"explication": "On regroupe tous les termes du même côté afin d'obtenir une égalité nulle.",
"ligne": "$3 i\\overline{z} + 3 iz - 5z + 5\\overline{z} - iz\\overline{z} - iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On factorise l'expression en utilisant les identités $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$.",
"ligne": "$3 i(z + \\overline{z}) - 5(z - \\overline{z}) - 2 iz\\overline{z} = 0$"
},
{
"explication": "On écrit le nombre complexe $z$ sous sa forme algébrique afin d'exprimer l'équation en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$z = x + iy \\Rightarrow z + \\overline{z} = 2x, \\; z - \\overline{z} = 2iy, \\; z\\overline{z} = x^2 + y^2$"
},
{
"explication": "On remplace $z + \\overline{{z}}$, $z - \\overline{{z}}$ et $z\\overline{{z}}$ par leurs expressions en fonction de $x$ et $y$.",
"ligne": "$3 i(2x) - 5(2iy) - 2 i(x^2 + y^2) = 0$"
},
{
"explication": "On divise toute l'équation par la constante non nulle afin d'obtenir l'équation cartésienne finale de l'ensemble recherché.",
"ligne": "$x^2 + y^2 - 3x + 5y = 0$"
}
],
"id": "1a",
"resultat": null,
"titre": "Déterminer l'ensemble des points M tel que z' est réel"
},
{
"etapes": [
{
"explication": "On part de l’équation cartésienne obtenue pour l’ensemble des points.",
"ligne": "$x^2 + y^2 + -3x + 5y = 0$"
},
{
"explication": "On regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$.",
"ligne": "$x^2 + -3x + y^2 + 5y = 0$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $x$.",
"ligne": "$x^2 + -3x = (x + - \\frac{3}{2})^2 - (- \\frac{3}{2})^2$"
},
{
"explication": "On complète le carré pour l’expression en $y$.",
"ligne": "$y^2 + 5y = (y + \\frac{5}{2})^2 - (\\frac{5}{2})^2$"
},
{
"explication": "On obtient la forme canonique complète du cercle.",
"ligne": "$(x + - \\frac{3}{2})^2 + (y + \\frac{5}{2})^2 = \\frac{17}{2}$"
},
{
"explication": "On lit directement le centre et le rayon du cercle.",
"ligne": "$I(\\frac{3}{2},- \\frac{5}{2}), \\quad r = \\frac{\\sqrt{34}}{2}$"
}
],
"id": null,
"resultat": {
"centre": {
"x": "\\frac{3}{2}",
"y": "- \\frac{5}{2}"
},
"rayon": "\\frac{\\sqrt{34}}{2}",
"type": "cercle"
},
"titre": "Mise sous forme canonique et interprétation"
}
],
"id_exercice": "variante_exercice1_0099",
"type": "ensemble des points"
}
] |
moyen
|
[
"droite",
"cercle",
"mediatrice",
"z_reel",
"z_imaginaire_pure"
] |
[
"conjugué",
"module",
"complexe",
"ensemble des points"
] |
generateur_math_IA
| 2025-12-24T03:33:06.587108
|
Subsets and Splits
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