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0
$\frac{m}{n}$ is the Irreducible fraction value of \[3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac13}}\], what is the value of $m+n$?
$\frac{m}{n}$은 \[3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac13}}\]의 기약분수 값이다. $m+n$의 값은 얼마인가?
142
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_1
1
How many ways are there to split the integers $1$ through $14$ into $7$ pairs such that in each pair, the greater number is at least $2$ times the lesser number?
정수 $1$부터 $14$까지를 $7$개의 쌍으로 나누는 방법의 수는 몇 개인가? 단, 각 쌍에서 큰 수는 작은 수의 적어도 $2$배 이상이어야 한다.
144
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_10
2
What is the product of all real numbers $x$ such that the distance on the number line between $\log_6x$ and $\log_69$ is twice the distance on the number line between $\log_610$ and $1$?
수직선에서 $\log_6x$와 $\log_69$ 사이의 거리가 $\log_610$과 $1$ 사이의 거리의 두 배가 되는 모든 실수 $x$의 곱은 얼마인가?
81
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_11
3
Let $M$ be the midpoint of $\overline{AB}$ in regular tetrahedron $ABCD$. $\frac{p}{q}=\cos(\angle CMD)$ is irreducible fraction, what is the value of $p+q$?
정사면체 $ABCD$에서 $\overline{AB}$의 중점을 $M$이라고 하자. $\frac{p}{q}=\cos(\angle CMD)$가 기약분수일 때, $p+q$의 값은 얼마인가?
4
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_12
4
Let $\mathcal{R}$ be the region in the complex plane consisting of all complex numbers $z$ that can be written as the sum of complex numbers $z_1$ and $z_2$, where $z_1$ lies on the segment with endpoints $3$ and $4i$, and $z_2$ has magnitude at most $1$. What integer is closest to the area of $\mathcal{R}$?
복소평면에서 영역 $\mathcal{R}$은 두 복소수 $z_1$과 $z_2$의 합으로 나타낼 수 있는 모든 복소수 $z$로 구성된다. 여기서 $z_1$은 끝점이 $3$과 $4i$인 선분 위에 있고, $z_2$은 크기가 최대 $1$인 복소수입니다. $\mathcal{R}$의 넓이에 가장 가까운 정수는 무엇입니까?
13
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_13
5
What is the value of \[(\log 5)^{3}+(\log 20)^{3}+(\log 8)(\log 0.25)\] where $\log$ denotes the base-ten logarithm?
밑이 10인 로그 $\log$를 사용할 때, \[(\log 5)^{3}+(\log 20)^{3}+(\log 8)(\log 0.25)\]의 값은 얼마인가?
2
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_14
6
The roots of the polynomial $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by $2$ units. What is the volume of the new box?
다항식 $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$의 근은 직육면체의 높이, 길이, 너비이다. 원래 직육면체의 각 모서리의 길이를 $2$ 만큼 늘려 새로운 직육면체를 만들었다. 새로운 직육면체의 부피는 얼마인가?
30
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_15
7
A $\emph{triangular number}$ is a positive integer that can be expressed in the form $t_n = 1+2+3+\cdots+n$, for some positive integer $n$. The three smallest triangular numbers that are also perfect squares are $t_1 = 1 = 1^2$, $t_8 = 36 = 6^2$, and $t_{49} = 1225 = 35^2$. What is the sum of the digits of the fourth smallest triangular number that is also a perfect square?
$\emph{triangular number}$ (삼각수)는 어떤 양의 정수 $n$에 대해 $t_n = 1+2+3+\cdots+n$ 형태로 표현될 수 있는 양의 정수이다. 완전제곱수이기도 한 가장 작은 세 삼각수는 $t_1 = 1 = 1^2$, $t_8 = 36 = 6^2$, 그리고 $t_{49} = 1225 = 35^2$이다. 완전제곱수이기도 한 네 번째로 작은 삼각수의 각 자릿수의 합은 얼마인가?
18
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_16
8
Suppose $a$ is a real number such that the equation \[a\cdot(\sin{x}+\sin{(2x)}) = \sin{(3x)}\] has more than one solution in the interval $(0, \pi)$. The set of all such $a$ that can be written in the form \[(p,q) \cup (q,r),\] where $p, q,$ and $r$ are real numbers with $p < q< r$. What is $p+q+r$?
구간 $(0, \pi)$에서 방정식 \[a\cdot(\sin{x}+\sin{(2x)}) = \sin{(3x)}\]이 두 개 이상의 해를 갖도록 하는 실수 $a$가 있다고 가정하자. 이러한 모든 $a$의 집합은 $p < q < r$인 실수 $p, q, r$에 대해 \[(p,q) \cup (q,r)\] 형태로 나타낼 수 있다. $p+q+r$은 얼마인가?
-4
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_17
9
Let $T_k$ be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane $k$ degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the $y$-axis. What is the least positive integer $n$ such that performing the sequence of transformations $T_1, T_2, T_3, \cdots, T_n$ returns the point $(1,0)$ back to itself?
좌표 평면을 원점을 중심으로 반시계 방향으로 $k$도 회전시킨 다음 $y$축에 대해 대칭 이동시키는 변환을 $T_k$라고 하자. 변환 $T_1, T_2, T_3, \cdots, T_n$을 순차적으로 수행했을 때 점 $(1,0)$이 다시 자기 자신으로 돌아오는 가장 작은 양의 정수 $n$은 얼마인가?
359
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_18
10
Suppose that $13$ cards numbered $1, 2, 3, \ldots, 13$ are arranged in a row. The task is to pick them up in numerically increasing order, working repeatedly from left to right. In the example below, cards $1, 2, 3$ are picked up on the first pass, $4$ and $5$ on the second pass, $6$ on the third pass, $7, 8, 9, 10$ on the fourth pass, and $11, 12, 13$ on the fifth pass. For how many of the $13!$ possible orderings of the cards will the $13$ cards be picked up in exactly two passes?
$1$부터 $13$까지 번호가 매겨진 $13$장의 카드가 한 줄로 배열되어 있다. 왼쪽에서 오른쪽으로 반복적으로 작업하면서 숫자가 증가하는 순서대로 카드를 집어 올리는 것이 목표이다. 아래 예에서 카드 $1, 2, 3$은 첫 번째 패스에서, $4$와 $5$는 두 번째 패스에서, $6$은 세 번째 패스에서, $7, 8, 9, 10$은 네 번째 패스에서, $11, 12, 13$은 다섯 번째 패스에서 집어 올린다. $13!$개의 가능한 카드 순서 중 정확히 두 번의 패스로 $13$장의 카드를 모두 집어 올릴 수 있는 경우의 수는 얼마인가?
8,178
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_19
11
The sum of three numbers is $96.$ The first number is $6$ times the third number, and the third number is $40$ less than the second number. What is the absolute value of the difference between the first and second numbers?
세 수의 합은 $96$이다. 첫 번째 수는 세 번째 수의 $6$배이고, 세 번째 수는 두 번째 수보다 $40$ 작다. 첫 번째 수와 두 번째 수의 차이의 절댓값은 얼마인가?
5
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_2
12
Isosceles trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AD}$ and $\overline{BC},$ with $BC < AD$ and $AB = CD.$ There is a point $P$ in the plane such that $PA=1, PB=2, PC=3,$ and $PD=4.$ Let $\frac{r}{s}=frac{BC}{AD}$ is irreducible fraction, what is the value of $r+s$?
등변사다리꼴 $ABCD$는 평행한 변 $\overline{AD}$와 $\overline{BC}$를 가지고 있으며, $BC < AD$이고 $AB = CD$이다. 평면에 $PA=1, PB=2, PC=3,$ 그리고 $PD=4$를 만족하는 점 $P$가 있다. $\frac{r}{s}=frac{BC}{AD}$가 기약분수일 때, $r+s$의 값은 얼마인가?
4
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_20
14
Let $c$ be a real number, and let $z_1$ and $z_2$ be the two complex numbers satisfying the equation $z^2 - cz + 10 = 0$. Points $z_1$, $z_2$, $\frac{1}{z_1}$, and $\frac{1}{z_2}$ are the vertices of (convex) quadrilateral $\mathcal{Q}$ in the complex plane. When the area of $\mathcal{Q}$ obtains its maximum possible value, let $c=\sqrt{m}$. what is the value of m
$c$를 실수라고 하고, $z_1$과 $z_2$를 방정식 $z^2 - cz + 10 = 0$을 만족하는 두 복소수라고 하자. 점 $z_1$, $z_2$, $\frac{1}{z_1}$, 그리고 $\frac{1}{z_2}$는 복소평면에서 (볼록) 사각형 $\mathcal{Q}$의 꼭짓점이다. $\mathcal{Q}$의 넓이가 최댓값을 가질 때, $c=\sqrt{m}$이라고 하자. m의 값은 얼마인가?
20
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_22
15
Let $h_n$ and $k_n$ be the unique relatively prime positive integers such that \[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\frac{h_n}{k_n}.\] Let $L_n$ denote the least common multiple of the numbers $1, 2, 3, \ldots, n$. For how many integers with $1\le{n}\le{22}$ is $k_n<L_n$?
$h_n$과 $k_n$을 \[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\frac{h_n}{k_n}.\] 을 만족하는 유일한 서로소인 양의 정수라고 하자. $L_n$을 $1, 2, 3, \ldots, n$의 최소공배수라고 하자. $1\le{n}\le{22}$인 정수 $n$ 중 $k_n<L_n$을 만족하는 $n$의 개수는 얼마인가?
8
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_23
16
How many strings of length $5$ formed from the digits $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ are there such that for each $j \in \{1,2,3,4\}$, at least $j$ of the digits are less than $j$? (For example, $02214$ satisfies this condition because it contains at least $1$ digit less than $1$, at least $2$ digits less than $2$, at least $3$ digits less than $3$, and at least $4$ digits less than $4$. The string $23404$ does not satisfy the condition because it does not contain at least $2$ digits less than $2$.)
숫자 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$로 이루어진 길이가 $5$인 문자열 중 각 $j \in \{1,2,3,4\}$에 대해 $j$보다 작은 숫자가 적어도 $j$개 이상 있는 문자열은 몇 개인가? (예를 들어, $02214$는 $1$보다 작은 숫자가 적어도 $1$개, $2$보다 작은 숫자가 적어도 $2$개, $3$보다 작은 숫자가 적어도 $3$개, $4$보다 작은 숫자가 적어도 $4$개 있으므로 이 조건을 만족한다. 문자열 $23404$는 $2$보다 작은 숫자가 적어도 $2$개 없으므로 조건을 만족하지 않는다.)
1,296
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_24
17
A circle with integer radius $r$ is centered at $(r, r)$. Distinct line segments of length $c_i$ connect points $(0, a_i)$ to $(b_i, 0)$ for $1 \le i \le 14$ and are tangent to the circle, where $a_i$, $b_i$, and $c_i$ are all positive integers and $c_1 \le c_2 \le \cdots \le c_{14}$. What is the ratio $\frac{c_{14}}{c_1}$ for the least possible value of $r$?
정수 반지름 $r$을 갖는 원의 중심이 $(r, r)$에 있다. 길이가 $c_i$인 서로 다른 선분들이 점 $(0, a_i)$에서 $(b_i, 0)$까지 연결되어 있으며 ($1 \le i \le 14$), 이 선분들은 원에 접합니다. 여기서 $a_i$, $b_i$, $c_i$는 모두 양의 정수이고 $c_1 \le c_2 \le \cdots \le c_{14}$입니다. $r$의 최솟값에 대해 $\frac{c_{14}}{c_1}$의 비율은 얼마인가?
17
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_25
19
The least common multiple of a positive integer $n$ and $18$ is $180$, and the greatest common divisor of $n$ and $45$ is $15$. What is the sum of the digits of $n$?
양의 정수 $n$과 $18$의 최소공배수는 $180$이고, $n$과 $45$의 최대공약수는 $15$이다. $n$의 각 자릿수의 합은 얼마인가?
6
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_4
20
The $\textit{taxicab distance}$ between points $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ in the coordinate plane is given by \[|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|.\] For how many points $P$ with integer coordinates is the taxicab distance between $P$ and the origin less than or equal to $20$?
좌표 평면에서 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$ 사이의 $\textit{taxicab distance}$ (택시 거리)는 다음과 같이 주어진다. \[|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|.\] 정수 좌표를 갖는 점 $P$ 중 원점과의 택시 거리가 $20$ 이하인 점은 몇 개인가?
841
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_5
21
A data set consists of $6$ (not distinct) positive integers: $1$, $7$, $5$, $2$, $5$, and $X$. The average (arithmetic mean) of the $6$ numbers equals a value in the data set. What is the sum of all possible values of $X$?
데이터세트는 $6$개의 (서로 다르지 않을 수 있는) 양의 정수로 구성된다: $1$, $7$, $5$, $2$, $5$, $X$. $6$개 숫자의 평균(산술 평균)은 데이터 세트에 있는 값과 같습니다. $X$의 가능한 모든 값의 합은 얼마인가?
36
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_6
23
The infinite product \[\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{10}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}} \cdots\] evaluates to a real number $\sqrt{m}$. What is the value of m?
무한 곱 \[\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{10}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}} \cdots\] 은 실수 $\sqrt{m}$으로 수렴한다. $m$의 값은 무엇인가?
10
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_8
24
On Halloween $31$ children walked into the principal's office asking for candy. They can be classified into three types: Some always lie; some always tell the truth; and some alternately lie and tell the truth. The alternaters arbitrarily choose their first response, either a lie or the truth, but each subsequent statement has the opposite truth value from its predecessor. The principal asked everyone the same three questions in this order. "Are you a truth-teller?" The principal gave a piece of candy to each of the $22$ children who answered yes. "Are you an alternater?" The principal gave a piece of candy to each of the $15$ children who answered yes. "Are you a liar?" The principal gave a piece of candy to each of the $9$ children who answered yes. How many pieces of candy in all did the principal give to the children who always tell the truth?
할로윈에 31명의 아이들이 사탕을 달라고 교장 선생님 사무실에 들어갔다. 아이들은 세 가지 유형으로 분류할 수 있다: 항상 거짓말을 하는 아이들, 항상 진실을 말하는 아이들, 그리고 거짓말과 진실을 번갈아 말하는 아이들. 번갈아 말하는 아이들은 첫 번째 대답을 거짓말이나 진실 중에서 임의로 선택하지만, 그 이후의 각 진술은 이전 진술과 반대되는 진리 값을 갖는다. 교장 선생님은 모든 아이들에게 다음 세 가지 질문을 같은 순서로 했다. "너는 진실을 말하는 아이니?" 교장 선생님은 "예"라고 대답한 22명의 아이들 각각에게 사탕을 한 개씩 주었다. "너는 번갈아 말하는 아이니?" 교장 선생님은 "예"라고 대답한 15명의 아이들 각각에게 사탕을 한 개씩 주었다. "너는 거짓말쟁이니?" 교장 선생님은 "예"라고 대답한 9명의 아이들 각각에게 사탕을 한 개씩 주었다. 교장 선생님은 항상 진실을 말하는 아이들에게 총 몇 개의 사탕을 주었는가?
7
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12A_Problems/Problem_9
25
Define $x\diamond y$ to be $|x-y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ What is the value of \[((1\diamond2)\diamond3)-(1\diamond(2\diamond3))?\]
모든 실수 $x$와 $y$에 대해 $x\diamond y$를 $|x-y|$로 정의한다. \[((1\diamond2)\diamond3)-(1\diamond(2\diamond3))\]의 값은 무엇인가?
2
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_1
27
Let $f(n) = \left( \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \right)^n + \left( \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \right)^n$, where $i = \sqrt{-1}$. What is $f(2022)$?
$i = \sqrt{-1}$일 때, $f(n) = \left( \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \right)^n + \left( \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \right)^n$이라고 하자. $f(2022)$는 무엇인가?
2
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_11
28
Kayla rolls four fair $6$-sided dice. What is the denominator minus the numerator of the probability that at least one of the numbers Kayla rolls is greater than 4 and at least two of the numbers she rolls are greater than 2?
Kayla는 네 개의 공정한 6면체 주사위를 굴린다. Kayla가 굴려서 얻은 숫자들 중 적어도 하나는 4보다 크고 적어도 두 개는 2보다 클 확률의 분모에서 분자를 뺀 값은 무엇인가?
20
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_12
29
The diagram below shows a rectangle with side lengths $4$ and $8$ and a square with side length $5$. Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the numerator of the simplest fraction that represents the area of the region inside both the square and the rectangle?
아래 그림은 가로 길이가 $4$이고 세로 길이가 $8$인 직사각형과 한 변의 길이가 $5$인 정사각형을 보여준다. 그림과 같이 정사각형의 세 꼭짓점은 직사각형의 세 변 위에 있다. 직사각형과 정사각형 모두에 속하는 영역의 넓이를 나타내는 기약분수의 분자는 무엇인가? [asy] size(5cm); filldraw((4,0)--(8,3)--(8-3/4,4)--(1,4)--cycle,mediumgray); draw((0,0)--(8,0)--(8,4)--(0,4)--cycle,linewidth(1.1)); draw((1,0)--(1,4)--(4,0)--(8,3)--(5,7)--(1,4),linewidth(1.1)); label("$4$", (8,2), E); label("$8$", (4,0), S); label("$5$", (3,11/2), NW); draw((1,.35)--(1.35,.35)--(1.35,0),linewidth(1.1)); [/asy]
5
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_13
30
The graph of $y=x^2+2x-15$ intersects the $x$-axis at points $A$ and $C$ and the $y$-axis at point $B$. What is the numerator of the simplest fraction that represents $\tan(\angle ABC)$?
$y=x^2+2x-15$의 그래프는 $x$-축과 점 $A$와 $C$에서 교차하고 $y$-축과 점 $B$에서 교차한다. $\tan(\angle ABC)$를 나타내는 기약분수의 분자는 무엇인가?
4
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_14
33
How many $4 \times 4$ arrays whose entries are $0$s and $1$s are there such that the row sums (the sum of the entries in each row) are $1, 2, 3,$ and $4,$ in some order, and the column sums (the sum of the entries in each column) are also $1, 2, 3,$ and $4,$ in some order? Output the remainder when the answer is divided by 100. For example, the array \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]\] satisfies the condition.
각 항목이 $0$ 또는 $1$인 $4 \times 4$ 배열 중에서 행 합(각 행의 항목 합)이 어떤 순서로 $1, 2, 3, 4$이고 열 합(각 열의 항목 합)도 어떤 순서로 $1, 2, 3, 4$인 배열은 몇 개인가? 답을 100으로 나눈 나머지를 출력하시오. 예를 들어, 배열 \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]\] 은 조건을 만족한다.
76
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_17
34
Each square in a $5 \times 5$ grid is either filled or empty, and has up to eight adjacent neighboring squares, where neighboring squares share either a side or a corner. The grid is transformed by the following rules: Any filled square with two or three filled neighbors remains filled. Any empty square with exactly three filled neighbors becomes a filled square. All other squares remain empty or become empty. A sample transformation is shown in the figure below. Suppose the $5 \times 5$ grid has a border of empty squares surrounding a $3 \times 3$ subgrid. How many initial configurations will lead to a transformed grid consisting of a single filled square in the center after a single transformation? (Rotations and reflections of the same configuration are considered different.)
$5 \times 5$ 격자의 각 정사각형은 채워져 있거나 비어 있으며, 최대 8개의 인접한 이웃 정사각형을 가진다. 여기서 이웃 정사각형은 변 또는 모서리를 공유한다. 격자는 다음 규칙에 따라 변환된다. 채워진 이웃이 2개 또는 3개인 채워진 정사각형은 채워진 상태로 유지된다. 채워진 이웃이 정확히 3개인 빈 정사각형은 채워진 정사각형이 된다. 다른 모든 정사각형은 계속 비어 있거나 비어 있게 된다. 샘플 변환은 아래 그림에 나와 있다. [asy] import geometry; unitsize(0.6cm); void ds(pair x) { filldraw(x -- (1,0) + x -- (1,1) + x -- (0,1)+x -- cycle,mediumgray,invisible); } ds((1,1)); ds((2,1)); ds((3,1)); ds((1,3)); for (int i = 0; i <= 5; ++i) { draw((0,i)--(5,i)); draw((i,0)--(i,5)); } label("Initial", (2.5,-1)); draw((6,2.5)--(8,2.5),Arrow); ds((10,2)); ds((11,1)); ds((11,0)); for (int i = 0; i <= 5; ++i) { draw((9,i)--(14,i)); draw((i+9,0)--(i+9,5)); } label("Transformed", (11.5,-1)); [/asy] $5 \times 5$ 격자에 $3 \times 3$ 하위 격자를 둘러싼 빈 정사각형 테두리가 있다고 가정하자. 단일 변환 후 중앙에 채워진 정사각형이 하나만 있는 변환된 격자로 이어지는 초기 구성은 몇 개인가? (동일한 구성의 회전 및 반사는 다르게 간주된다.)
22
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_18
35
In $\triangle{ABC}$ medians $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $G$ and $\triangle{AGE}$ is equilateral. Then $\cos(C)$ can be written as $\frac{m\sqrt p}n$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers and $p$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. What is $m+n+p?$
$\triangle{ABC}$에서 중선 $\overline{AD}$와 $\overline{BE}$는 $G$에서 교차하고 $\triangle{AGE}$는 정삼각형이다. 그러면 $\cos(C)$는 $\frac{m\sqrt p}n$으로 쓸 수 있다. 여기서 $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이고 $p$는 어떤 소수의 제곱으로도 나누어지지 않는 양의 정수이다. $m+n+p$는 무엇인가?
44
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_19
36
In rhombus $ABCD$, point $P$ lies on segment $\overline{AD}$ so that $\overline{BP}$ $\perp$ $\overline{AD}$, $AP = 3$, and $PD = 2$. What is the area of $ABCD$? (Note: The figure is not drawn to scale.)
마름모 $ABCD$에서 점 $P$는 선분 $\overline{AD}$ 위에 있어 $\overline{BP}$ $\perp$ $\overline{AD}$, $AP = 3$, 그리고 $PD = 2$를 만족한다. $ABCD$의 넓이는 얼마인가?
20
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_2
37
Let $P(x)$ be a polynomial with rational coefficients such that when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2 + x + 1$, the remainder is $x+2$, and when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2+1$, the remainder is $2x+1$. There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of the squares of the coefficients of that polynomial?
$P(x)$를 유리수 계수를 갖는 다항식이라고 하자. $P(x)$를 다항식 $x^2 + x + 1$로 나누면 나머지가 $x+2$이고, $P(x)$를 다항식 $x^2+1$로 나누면 나머지가 $2x+1$이다. 이 두 가지 성질을 만족하는 최소 차수의 다항식은 유일하게 존재한다. 그 다항식의 계수들의 제곱의 합은 얼마인가?
23
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_20
38
Let $S$ be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations $x^{2}+y^{2}=4$, $x^{2}+y^{2}=64$, and $(x-5)^{2}+y^{2}=3$. What is the sum of the areas of all circles in $S$?Output the remainder when the answer is divided by 100.
$S$를 좌표평면에서 방정식 $x^{2}+y^{2}=4$, $x^{2}+y^{2}=64$, 그리고 $(x-5)^{2}+y^{2}=3$을 갖는 세 원에 각각 접하는 원들의 집합이라고 하자. $S$에 있는 모든 원들의 넓이의 합은 얼마인가? 답을 100으로 나눈 나머지를 출력하시오.
36
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_21
39
Ant Amelia starts on the number line at $0$ and crawls in the following manner. For $n=1,2,3,$ Amelia chooses a time duration $t_n$ and an increment $x_n$ independently and uniformly at random from the interval $(0,1).$ During the $n$th step of the process, Amelia moves $x_n$ units in the positive direction, using up $t_n$ minutes. If the total elapsed time has exceeded $1$ minute during the $n$th step, she stops at the end of that step; otherwise, she continues with the next step, taking at most $3$ steps in all. What is the denominator plus the numerator of thethe probability that Amelia’s position when she stops will be greater than $1$?
개미 Amelia는 수직선에서 $0$에서 시작하여 다음과 같은 방식으로 기어간다. $n=1,2,3,$에 대해 Amelia는 시간 간격 $t_n$과 증분 $x_n$을 구간 $(0,1)$에서 독립적이고 균일하게 무작위로 선택한다. 과정의 $n$번째 단계 동안 Amelia는 $t_n$분을 사용하여 양의 방향으로 $x_n$만큼 이동한다. $n$번째 단계 동안 총 경과 시간이 $1$분을 초과하면 해당 단계의 끝에서 멈춘다. 그렇지 않으면 최대 $3$단계까지 다음 단계를 계속한다. Amelia가 멈출 때의 위치가 $1$보다 클 확률의 분모와 분자의 합은 얼마인가?
5
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_22
40
Let $x_0,x_1,x_2,\dotsc$ be a sequence of numbers, where each $x_k$ is either $0$ or $1$. For each positive integer $n$, define \[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k\] Suppose $7S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$ for all $n \geq 1$. What is the value of the sum \[x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}?\]
$x_0,x_1,x_2,\dotsc$를 각 $x_k$가 $0$ 또는 $1$인 수열이라고 하자. 각 양의 정수 $n$에 대해 \[S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k\] 라고 정의한다. 모든 $n \geq 1$에 대해 $7S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$이라고 가정하자. 합 \[x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}\] 의 값은 얼마인가?
6
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_23
41
The figure below depicts a regular $7$-gon inscribed in a unit circle. [asy] import geometry; unitsize(3cm); draw(circle((0,0),1),linewidth(1.5)); for (int i = 0; i < 7; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { draw(dir(i * 360/7) -- dir(j * 360/7),linewidth(1.5)); } } for(int i = 0; i < 7; ++i) { dot(dir(i * 360/7),5+black); } [/asy] What is the sum of the $4$th powers of the lengths of all $21$ of its edges and diagonals?Output the remainder when the answer is divided by 100.
아래 그림은 단위 원에 내접하는 정$7$각형을 나타낸다. [asy] import geometry; unitsize(3cm); draw(circle((0,0),1),linewidth(1.5)); for (int i = 0; i < 7; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { draw(dir(i * 360/7) -- dir(j * 360/7),linewidth(1.5)); } } for(int i = 0; i < 7; ++i) { dot(dir(i * 360/7),5+black); } [/asy] 모든 21개의 변과 대각선 길이의 4제곱의 합은 얼마인가? 답을 100으로 나눈 나머지를 출력하시오.
47
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_24
42
Four regular hexagons surround a square with side length 1, each one sharing an edge with the square, as shown in the figure below. The area of the resulting 12-sided outer nonconvex polygon can be written as $m \sqrt{n} + p$, where $m$, $n$, and $p$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is the absolute value of $m+n+p$? [asy] import geometry; unitsize(3cm); draw((0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- (0,1) -- cycle); draw(shift((1/2,1-sqrt(3)/2))*polygon(6)); draw(shift((1/2,sqrt(3)/2))*polygon(6)); draw(shift((sqrt(3)/2,1/2))*rotate(90)*polygon(6)); draw(shift((1-sqrt(3)/2,1/2))*rotate(90)*polygon(6)); draw((0,1-sqrt(3))--(1,1-sqrt(3))--(3-sqrt(3),sqrt(3)-2)--(sqrt(3),0)--(sqrt(3),1)--(3-sqrt(3),3-sqrt(3))--(1,sqrt(3))--(0,sqrt(3))--(sqrt(3)-2,3-sqrt(3))--(1-sqrt(3),1)--(1-sqrt(3),0)--(sqrt(3)-2,sqrt(3)-2)--cycle,linewidth(2)); [/asy]
아래 그림과 같이 네 개의 정육각형이 한 변의 길이가 1인 정사각형을 둘러싸고 있으며, 각 육각형은 정사각형과 한 변을 공유한다. 결과적으로 생성된 12각형의 오목 다각형의 넓이는 $m \sqrt{n} + p$로 쓸 수 있다. 여기서 $m$, $n$, $p$는 정수이고 $n$은 어떤 소수의 제곱으로도 나누어지지 않는다. $m+n+p$의 절댓값은 얼마인가? [asy] import geometry; unitsize(3cm); draw((0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- (0,1) -- cycle); draw(shift((1/2,1-sqrt(3)/2))*polygon(6)); draw(shift((1/2,sqrt(3)/2))*polygon(6)); draw(shift((sqrt(3)/2,1/2))*rotate(90)*polygon(6)); draw(shift((1-sqrt(3)/2,1/2))*rotate(90)*polygon(6)); draw((0,1-sqrt(3))--(1,1-sqrt(3))--(3-sqrt(3),sqrt(3)-2)--(sqrt(3),0)--(sqrt(3),1)--(3-sqrt(3),3-sqrt(3))--(1,sqrt(3))--(0,sqrt(3))--(sqrt(3)-2,3-sqrt(3))--(1-sqrt(3),1)--(1-sqrt(3),0)--(sqrt(3)-2,sqrt(3)-2)--cycle,linewidth(2)); [/asy]
4
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_25
43
How many of the first ten numbers of the sequence $121, 11211, 1112111, \ldots$ are prime numbers?
수열 $121, 11211, 1112111, \ldots$의 처음 10개 숫자 중 소수는 몇 개인가?
0
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_3
44
For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^{2}+kx+36$ have two distinct integer roots?
다항식 $x^{2}+kx+36$이 두 개의 서로 다른 정수 근을 갖도록 하는 상수 $k$의 값은 몇개인가?
8
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_4
45
What is the sum of the x and y coordinates of the new position of the point $(-1, -2)$ after rotating $270^{\circ}$ counterclockwise about the point $(3, 1)$?
점 $(3, 1)$을 중심으로 점 $(-1, -2)$를 $270^{\circ}$ 반시계 방향으로 회전한 새로운 점의 위치의 x 및 y 좌표의 합은 얼마인가?
5
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_5
46
Consider the following $100$ sets of $10$ elements each: \begin{align*} &\{1,2,3,\ldots,10\}, \\ &\{11,12,13,\ldots,20\},\\ &\{21,22,23,\ldots,30\},\\ &\vdots\\ &\{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{align*} How many of these sets contain exactly two multiples of $7$?
다음과 같은 10개의 원소를 가진 100개의 집합을 생각해보시오: \begin{align*} &\{1,2,3,\ldots,10\}, \\ &\{11,12,13,\ldots,20\},\\ &\{21,22,23,\ldots,30\},\\ &\vdots\\ &\{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{align*} 이 집합들 중 7의 배수를 정확히 두 개 포함하는 집합은 몇 개인가?
42
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_6
47
Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is $2$ greater than their median, and the median is $2$ greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?
Camila는 다섯 개의 양의 정수를 적는다. 이 정수들의 유일한 최빈값은 중앙값보다 2만큼 크고, 중앙값은 산술 평균보다 2만큼 크다. 최빈값의 최솟값은 얼마인가?
11
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_7
49
The sequence $a_0,a_1,a_2,\cdots$ is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that \[2^{a_7}=2^{27} \cdot a_7.\] What is the minimum possible value of $a_2$?
수열 $a_0,a_1,a_2,\cdots$는 양의 정수로 이루어진 순증가하는 등차수열이며, 다음을 만족한다. \[2^{a_7}=2^{27} \cdot a_7.\] $a_2$의 최솟값은 얼마인가?
12
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2022_AMC_12B_Problems/Problem_9
0
Cities $A$ and $B$ are $45$ miles apart. Alicia lives in $A$ and Beth lives in $B$. Alicia bikes towards $B$ at 18 miles per hour. Leaving at the same time, Beth bikes toward $A$ at 12 miles per hour. How many miles from City $A$ will they be when they meet?
도시 A와 B는 45마일 떨어져 있다. Alicia는 A에 살고 Beth는 B에 산다. Alicia는 시속 18마일로 B를 향해 자전거를 타고 간다. 동시에 Beth는 시속 12마일로 A를 향해 자전거를 타고 간다. 그들이 만날 때 도시 A에서 몇 마일 떨어져 있는가?
27
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_1
1
Positive real numbers $x$ and $y$ satisfy $y^3=x^2$ and $(y-x)^2=4y^2$. What is $x+y$?
양의 실수 $x$와 $y$는 $y^3=x^2$과 $(y-x)^2=4y^2$을 만족한다. $x+y$는 얼마인가?
36
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_10
2
What is the degree measure of the acute angle formed by lines with slopes $2$ and $\frac{1}{3}$?
기울기가 $2$ 와 $\frac{1}{3}$ 인 두 직선이 이루는 예각의 크기는 몇 도인가?
45
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_11
3
What is the value of \[2^3 - 1^3 + 4^3 - 3^3 + 6^3 - 5^3 + \dots + 18^3 - 17^3?\]
다음 식의 값은 무엇인가? \[2^3 - 1^3 + 4^3 - 3^3 + 6^3 - 5^3 + \dots + 18^3 - 17^3?\]
3,159
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_12
4
In a table tennis tournament every participant played every other participant exactly once. Although there were twice as many right-handed players as left-handed players, the number of games won by left-handed players was $40\%$ more than the number of games won by right-handed players. (There were no ties and no ambidextrous players.) What is the total number of games played?
탁구 토너먼트에서 모든 참가자는 다른 모든 참가자와 정확히 한 번씩 경기를 했다. 오른손잡이 선수가 왼손잡이 선수의 두 배였지만, 왼손잡이 선수가 이긴 경기 수는 오른손잡이 선수가 이긴 경기 수보다 $40\%$ 더 많았다. (무승부나 양손잡이 선수는 없었다.) 총 경기 수는 몇 경기였는가?
36
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_13
5
How many complex numbers satisfy the equation $z^5=\overline{z}$, where $\overline{z}$ is the conjugate of the complex number $z$?
복소수 $z$의 켤레복소수를 $\overline{z}$라고 할 때, 방정식 $z^5=\overline{z}$를 만족하는 복소수는 몇 개인가?
7
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_14
7
Consider the set of complex numbers $z$ satisfying $|1+z+z^{2}|=4$. The maximum value of the imaginary part of $z$ can be written in the form $\tfrac{\sqrt{m}}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n$?
$|1+z+z^{2}|=4$를 만족하는 복소수 $z$의 집합을 생각해보자. $z$의 허수 부분의 최댓값은 $\tfrac{\sqrt{m}}{n}$의 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$의 값은 무엇인가?
21
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_16
8
Flora the frog starts at 0 on the number line and makes a sequence of jumps to the right. In any one jump, independent of previous jumps, Flora leaps a positive integer distance $m$ with probability $\frac{1}{2^m}$. What is the probability that Flora will eventually land at 10? Write the answer as a simplified fraction $\frac{m}{n}$, find $m+n$
개구리 Flora는 수직선의 0에서 시작하여 오른쪽으로 점프를 한다. 각 점프에서, 이전 점프와 독립적으로 Flora는 양의 정수 거리 $m$을 확률 $\frac{1}{2^m}$으로 점프한다. Flora가 결국 10에 도착할 확률은 얼마인가? 답을 기약분수 $\frac{m}{n}$으로 쓰고, $m+n$을 구하시오.
3
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_17
10
What is the product of all solutions to the equation \[\log_{7x}2023\cdot \log_{289x}2023=\log_{2023x}2023\]
방정식 \[\log_{7x}2023\cdot \log_{289x}2023=\log_{2023x}2023\] 의 모든 해의 곱은 얼마인가?
1
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_19
11
The weight of $\frac{1}{3}$ of a large pizza together with $3 \frac{1}{2}$ cups of orange slices is the same as the weight of $\frac{3}{4}$ of a large pizza together with $\frac{1}{2}$ cup of orange slices. A cup of orange slices weighs $\frac{1}{4}$ of a pound. What is the weight, in pounds, of a large pizza? The answer can be written in the form $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m-n$?
큰 피자 $\frac{1}{3}$의 무게와 오렌지 조각 $3 \frac{1}{2}$ 컵의 무게는 큰 피자 $\frac{3}{4}$의 무게와 오렌지 조각 $\frac{1}{2}$ 컵의 무게와 같다. 오렌지 조각 한 컵의 무게는 $\frac{1}{4}$ 파운드이다. 큰 피자의 무게는 파운드 단위로 얼마인가? 답은 $\frac{m}{n}$ 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m-n$은 얼마인가?
4
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_2
12
Rows 1, 2, 3, 4, and 5 of a triangular array of integers are shown below. 1 1 1 1 3 1 1 5 5 1 1 7 11 7 1 Each row after the first row is formed by placing a 1 at each end of the row, and each interior entry is 1 greater than the sum of the two numbers diagonally above it in the previous row. What is the units digits of the sum of the 2023 numbers in the 2023rd row?
삼각형 형태의 정수 배열의 1, 2, 3, 4, 5행이 아래와 같이 표시된다. 1 1 1 1 3 1 1 5 5 1 1 7 11 7 1 첫 번째 행 이후의 각 행은 행의 각 끝에 1을 배치하고, 각 내부 항목은 이전 행에서 대각선 위에 있는 두 숫자의 합보다 1만큼 크다. 2023번째 행에 있는 2023개 숫자의 합의 일의 자릿수는 얼마인가?
5
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_20
13
If $A$ and $B$ are vertices of a polyhedron, define the distance $d(A,B)$ to be the minimum number of edges of the polyhedron one must traverse in order to connect $A$ and $B$. For example, if $\overline{AB}$ is an edge of the polyhedron, then $d(A, B) = 1$, but if $\overline{AC}$ and $\overline{CB}$ are edges and $\overline{AB}$ is not an edge, then $d(A, B) = 2$. Let $Q$, $R$, and $S$ be randomly chosen distinct vertices of a regular icosahedron (regular polyhedron made up of 20 equilateral triangles). Find the probability that $d(Q, R) > d(R, S)$. The final answer can be written in the form $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n$?
$A$와 $B$가 다면체의 꼭짓점이면, 거리 $d(A,B)$를 $A$와 $B$를 연결하기 위해 다면체의 모서리를 따라 이동해야 하는 최소 개수로 정의한다. 예를 들어, $\overline{AB}$가 다면체의 모서리이면 $d(A, B) = 1$이지만, $\overline{AC}$와 $\overline{CB}$가 모서리이고 $\overline{AB}$가 모서리가 아니면 $d(A, B) = 2$이다. $Q$, $R$, $S$를 정이십면체(정삼각형 20개로 이루어진 정다면체)의 서로 다른 꼭짓점에서 무작위로 선택했다고 가정하자. $d(Q, R) > d(R, S)$일 확률을 구하시오. 최종 답은 $\frac{m}{n}$ 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$은 얼마인가?
29
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_21
14
Let $f$ be the unique function defined on the positive integers such that \[\sum_{d\mid n}d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1\] for all positive integers $n$. What is $f(2023)$?
양의 정수에서 정의된 유일한 함수 $f$가 모든 양의 정수 $n$에 대해 \[\sum_{d\mid n}d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1\] 을 만족한다고 하자. $f(2023)$의 값은 얼마인가?
96
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_22
15
How many ordered pairs of positive real numbers $(a,b)$ satisfy the equation \[(1+2a)(2+2b)(2a+b) = 32ab?\]
양의 실수 순서쌍 $(a,b)$ 중에서 방정식 \[(1+2a)(2+2b)(2a+b) = 32ab\]를 만족하는 순서쌍은 몇 개인가?
1
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_23
16
Let $K$ be the number of sequences $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ such that $n$ is a positive integer less than or equal to $10$, each $A_i$ is a subset of $\{1, 2, 3, \dots, 10\}$, and $A_{i-1}$ is a subset of $A_i$ for each $i$ between $2$ and $n$, inclusive. For example, $\{\}$, $\{5, 7\}$, $\{2, 5, 7\}$, $\{2, 5, 7\}$, $\{2, 5, 6, 7, 9\}$ is one such sequence, with $n = 5$.What is the remainder when $K$ is divided by $10$?
$n$은 $10$ 이하의 양의 정수이고, 각 $A_i$는 $\{1, 2, 3, \dots, 10\}$의 부분집합이며, $2$ 이상 $n$ 이하의 각 $i$에 대해 $A_{i-1}$은 $A_i$의 부분집합일 때, 수열 $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$의 개수를 $K$라고 하자. 예를 들어, $\{\}$, $\{5, 7\}$, $\{2, 5, 7\}$, $\{2, 5, 7\}$, $\{2, 5, 6, 7, 9\}$는 $n = 5$인 경우의 한 가지 수열이다. $K$를 $10$으로 나눈 나머지는 얼마인가?
5
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_24
17
There is a unique sequence of integers $a_1, a_2, \cdots a_{2023}$ such that \[\tan2023x = \frac{a_1 \tan x + a_3 \tan^3 x + a_5 \tan^5 x + \cdots + a_{2023} \tan^{2023} x}{1 + a_2 \tan^2 x + a_4 \tan^4 x \cdots + a_{2022} \tan^{2022} x}\]whenever $\tan 2023x$ is defined. What is $a_{2023}?$
$\tan 2023x$가 정의될 때마다 \[\tan2023x = \frac{a_1 \tan x + a_3 \tan^3 x + a_5 \tan^5 x + \cdots + a_{2023} \tan^{2023} x}{1 + a_2 \tan^2 x + a_4 \tan^4 x \cdots + a_{2022} \tan^{2022} x}\]를 만족하는 유일한 정수 수열 $a_1, a_2, \cdots a_{2023}$이 존재한다. $a_{2023}$의 값은 얼마인가?
-1
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_25
18
How many positive perfect squares less than $2023$ are divisible by $5$?
$2023$보다 작은 양의 완전제곱수 중에서 $5$로 나누어떨어지는 수는 몇 개인가?
8
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_3
19
How many digits are in the base-ten representation of $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$?
$8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$의 10진법 표현은 몇 자리 숫자인가?
18
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_4
20
Janet rolls a standard $6$-sided die $4$ times and keeps a running total of the numbers she rolls. What is the probability that at some point, her running total will equal $3$? The final answer can be written in the form $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n$?
Janet은 표준 $6$-면 주사위를 $4$번 굴리고 나온 숫자들의 누적 합계를 계속해서 계산한다. 어느 시점에서 그녀의 누적 합계가 $3$이 될 확률은 얼마인가? 최종 답은 $\frac{m}{n}$의 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$은 얼마인가?
265
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_5
21
Points $A$ and $B$ lie on the graph of $y=\log_{2}x$. The midpoint of $\overline{AB}$ is $(6, 2)$. What is the positive difference between the $x$-coordinates of $A$ and $B$? The final answer can be written in the form $m \sqrt{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n$?
점 $A$와 $B$는 $y=\log_{2}x$ 그래프 위에 있다. $\overline{AB}$의 중점은 $(6, 2)$이다. $A$와 $B$의 $x$-좌표 사이의 양의 차이는 얼마인가? 최종 답은 $m \sqrt{n}$의 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$은 얼마인가?
9
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_6
22
A digital display shows the current date as an $8$-digit integer consisting of a $4$-digit year, followed by a $2$-digit month, followed by a $2$-digit date within the month. For example, Arbor Day this year is displayed as 20230428. For how many dates in $2023$ will each digit appear an even number of times in the 8-digital display for that date?
디지털 디스플레이는 현재 날짜를 4자리 연도, 2자리 월, 2자리 일로 구성된 8자리 정수로 표시한다. 예를 들어, 2023년 식목일은 20230405로 표시된다. 2023년에는 8자리 디스플레이에서 각 숫자가 짝수 번 나타나는 날짜가 몇 개인가?
9
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_7
23
Maureen is keeping track of the mean of her quiz scores this semester. If Maureen scores an $11$ on the next quiz, her mean will increase by $1$. If she scores an $11$ on each of the next three quizzes, her mean will increase by $2$. What is the mean of her quiz scores currently?
Maureen은 이번 학기 퀴즈 점수의 평균을 기록하고 있다. Maureen이 다음 퀴즈에서 $11$점을 받으면 평균이 $1$만큼 증가한다. 다음 세 번의 퀴즈에서 각각 $11$점을 받으면 평균이 $2$만큼 증가한다. 현재 그녀의 퀴즈 점수의 평균은 얼마인가?
7
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12A_Problems/Problem_8
25
Mrs. Jones is pouring orange juice into four identical glasses for her four sons. She fills the first three glasses completely but runs out of juice when the fourth glass is only $\frac{1}{3}$ full. What fraction of a glass must Mrs. Jones pour from each of the first three glasses into the fourth glass so that all four glasses will have the same amount of juice? The final answer can be written in the form $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n$?
Jones 부인은 네 아들에게 똑같은 네 개의 잔에 오렌지 주스를 따르고 있다. 그녀는 처음 세 잔을 가득 채웠지만 네 번째 잔은 $\frac{1}{3}$만 채워졌을 때 주스가 다 떨어졌다. 네 잔의 주스 양을 똑같이 만들기 위해 존스 부인은 처음 세 잔에서 네 번째 잔으로 각각 얼마만큼의 주스를 따라야 하는가? 최종 답은 $\frac{m}{n}$의 형태로 쓸 수 있으며, $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$은 얼마인가?
7
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_1
26
In the $xy$-plane, a circle of radius $4$ with center on the positive $x$-axis is tangent to the $y$-axis at the origin, and a circle with radius $10$ with center on the positive $y$-axis is tangent to the $x$-axis at the origin. What is the slope of the line passing through the two points at which these circles intersect? The final answer can be written in the form $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n$?
$xy$-평면에서, 양의 $x$-축 위에 중심이 있고 반지름이 $4$인 원이 원점에서 $y$-축에 접하고, 양의 $y$-축 위에 중심이 있고 반지름이 $10$인 원이 원점에서 $x$-축에 접한다. 이 두 원이 교차하는 두 점을 지나는 직선의 기울기는 얼마인가? 최종 답은 $\frac{m}{n}$의 형태로 쓸 수 있으며, $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$은 얼마인가?
7
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_10
27
Calculate the maximum area of an isosceles trapezoid that has legs of length $1$ and one base twice as long as the other. The final answer can be written in the form $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m^2+n^2$?
평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 $1$이고 한 밑변의 길이가 다른 밑변 길이의 두 배인 등변사다리꼴의 최대 넓이를 구하시오. 최종 답은 $\frac{m}{n}$의 형태로 쓸 수 있으며, $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m^2+n^2$은 얼마인가?
13
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_11
28
For complex number $u = a+bi$ and $v = c+di$ (where $i=\sqrt{-1}$), define the binary operation $u \otimes v = ac + bdi$ Suppose $z$ is a complex number such that $z\otimes z = z^{2}+40$. What is $|z|^2$?
복소수 $u = a+bi$ 와 $v = c+di$ (단, $i=\sqrt{-1}$)에 대해, 이항 연산을 다음과 같이 정의한다. $u \otimes v = ac + bdi$ $z\otimes z = z^{2}+40$을 만족하는 복소수 $z$가 있다고 가정하자. $|z|^2$은 얼마인가?
50
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_12
29
A rectangular box $P$ has distinct edge lengths $a$, $b$, and $c$. The sum of the lengths of all $12$ edges of $P$ is $13$, the areas of all $6$ faces of $P$ is $\frac{11}{2}$, and the volume of $P$ is $\frac{1}{2}$. Find the length of the longest interior diagonal connecting two vertices of $P$. The final answer can be written in the form $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n$?
직육면체 $P$는 서로 다른 모서리 길이 $a$, $b$, $c$를 갖는다. $P$의 모든 $12$개 모서리 길이의 합은 $13$이고, $P$의 모든 $6$개 면의 넓이의 합은 $\frac{11}{2}$이며, $P$의 부피는 $\frac{1}{2}$이다. $P$의 두 꼭짓점을 연결하는 가장 긴 내부 대각선의 길이를 구하시오. 최종 답은 $\frac{m}{n}$의 형태로 쓸 수 있으며, $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$은 얼마인가?
13
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_13
30
For how many ordered pairs $(a,b)$ of integers does the polynomial $x^3+ax^2+bx+6$ have $3$ distinct integer roots?
정수들의 순서쌍 $(a,b)$ 중 다항식 $x^3+ax^2+bx+6$ 이 서로 다른 3개의 정수 근을 갖는 경우는 몇 개인가?
5
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_14
32
In the state of Coinland, coins have values $6,10,$ and $15$ cents. Suppose $x$ is the value in cents of the most expensive item in Coinland that cannot be purchased using these coins with exact change. What is the sum of the digits of $x?$
Coinland라는 나라에서는 동전의 가치가 $6, 10, 15$ 센트이다. $x$ 를 이 동전들을 사용하여 거스름돈 없이 구매할 수 없는 Coinland에서 가장 비싼 물건의 가격(센트 단위)이라고 가정하자. $x$ 의 각 자릿수의 합은 얼마인가?
11
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_16
33
Triangle $ABC$ has side lengths in arithmetic progression, and the smallest side has length $6.$ If the triangle has an angle of $120^\circ,$ Find the area of $ABC$. The final answer can be simplified in the form $m \sqrt{n}$, where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ without square factore. What is $m+n$?
삼각형 $ABC$ 의 변의 길이가 등차수열을 이루고 가장 짧은 변의 길이가 $6$이다. 삼각형의 한 각이 $120^\circ$ 라면, $ABC$ 의 넓이를 구하시오. 최종 답은 $m \sqrt{n}$ 형태로 간소화할 수 있으며, $m$ 과 $n$ 은 양의 정수이고 $n$ 은 제곱 인수가 없다. $m+n$ 은 얼마인가?
18
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_17
36
Carlos went to a sports store to buy running shoes. Running shoes were on sale, with prices reduced by $20\%$ on every pair of shoes. Carlos also knew that he had to pay a $7.5\%$ sales tax on the discounted price. He had $$43$ dollars. What is the original (before discount) price of the most expensive shoes he could afford to buy?
Carlos는 운동화를 사러 스포츠 용품점에 갔다. 운동화는 모든 켤레에 대해 $20\%$ 할인된 가격으로 판매되고 있었다. Carlos는 또한 할인된 가격에 $7.5\%$ 의 판매세를 지불해야 한다는 것을 알고 있었다. 그는 $$43$ 달러를 가지고 있었다. 그가 살 수 있는 가장 비싼 신발의 원래 가격(할인 전)은 얼마인가?
50
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_2
40
When $n$ standard six-sided dice are rolled, the product of the numbers rolled can be any of $936$ possible values. What is $n$?
표준 6면체 주사위 $n$ 개를 던질 때, 나온 숫자들의 곱은 $936$ 개의 가능한 값 중 하나가 될 수 있다. $n$은 얼마인가?
11
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_23
41
Suppose that $a$, $b$, $c$ and $d$ are positive integers satisfying all of the following relations. \[abcd=2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\] \[\text{lcm}(a,b)=2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\] \[\text{lcm}(a,c)=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\] \[\text{lcm}(a,d)=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\] \[\text{lcm}(b,c)=2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\] \[\text{lcm}(b,d)=2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\] \[\text{lcm}(c,d)=2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\] What is $\text{gcd}(a,b,c,d)$?
$a$, $b$, $c$, $d$가 다음 관계식을 모두 만족하는 양의 정수라고 가정하자. \[abcd=2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\] \[\text{lcm}(a,b)=2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\] \[\text{lcm}(a,c)=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\] \[\text{lcm}(a,d)=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\] \[\text{lcm}(b,c)=2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\] \[\text{lcm}(b,d)=2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\] \[\text{lcm}(c,d)=2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\] $\text{gcd}(a,b,c,d)$는 무엇인가?
3
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_24
43
A $3-4-5$ right triangle is inscribed in circle $A$, and a $5-12-13$ right triangle is inscribed in circle $B$. Find the ratio of the area of circle $A$ to the area of circle $B$. The final answer can be written in the form $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n$?
$3-4-5$ 직각 삼각형이 원 $A$에 내접하고, $5-12-13$ 직각 삼각형이 원 $B$에 내접한다. 원 $A$의 넓이와 원 $B$의 넓이의 비율을 구하시오. 최종 답은 $\frac{m}{n}$의 형태로 쓸 수 있으며, $m$과 $n$은 서로소인 양의 정수이다. $m+n$은 무엇인가?
194
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_3
44
Jackson's paintbrush makes a narrow strip with a width of $6.5$ millimeters. Jackson has enough paint to make a strip $25$ meters long. How many square centimeters of paper could Jackson cover with paint?
Jackson의 붓은 너비가 $6.5$ 밀리미터인 좁은 띠를 만든다. Jackson은 $25$ 미터 길이의 띠를 만들 수 있는 충분한 페인트를 가지고 있다. Jackson은 몇 제곱센티미터의 종이를 페인트로 덮을 수 있는가?
1,625
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_4
45
You are playing a game. A $2 \times 1$ rectangle covers two adjacent squares (oriented either horizontally or vertically) of a $3 \times 3$ grid of squares, but you are not told which two squares are covered. Your goal is to find at least one square that is covered by the rectangle. A "turn" consists of you guessing a square, after which you are told whether that square is covered by the hidden rectangle. What is the minimum number of turns you need to ensure that at least one of your guessed squares is covered by the rectangle?
당신은 게임을 하고 있다. $2 \times 1$ 직사각형은 $3 \times 3$ 격자의 인접한 두 정사각형(가로 또는 세로 방향)을 덮지만 어떤 두 정사각형이 덮여 있는지는 알려주지 않는다. 당신의 목표는 직사각형으로 덮인 정사각형을 적어도 하나 찾는 것이다. 한 "턴"은 당신이 정사각형을 추측하는 것으로 구성되며, 그 후에 당신은 그 정사각형이 숨겨진 직사각형으로 덮여 있는지 여부를 알게 된다. 추측한 정사각형들 중 적어도 하나가 직사각형으로 덮여 있도록 하려면 최소 몇 턴이 필요한가?
4
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_5
46
When the roots of the polynomial \[P(x) = (x-1)^1 (x-2)^2 (x-3)^3 \cdot \cdot \cdot (x-10)^{10}\] are removed from the number line, what remains is the union of $11$ disjoint open intervals. On how many of these intervals is $P(x)$ positive?
다항식 \[P(x) = (x-1)^1 (x-2)^2 (x-3)^3 \cdot \cdot \cdot (x-10)^{10}\] 의 근을 수직선에서 제거하면, 남은 것은 11개의 서로소인 열린 구간의 합집합이다. 이러한 구간 중 몇 개에서 $P(x)$가 양수인가?
6
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_6
47
For how many integers $n$ does the expression\[\sqrt{\frac{\log (n^2) - (\log n)^2}{\log n - 3}}\]represent a real number, where log denotes the base $10$ logarithm?
식 \[\sqrt{\frac{\log (n^2) - (\log n)^2}{\log n - 3}}\]이 실수가 되는 정수 $n$은 몇 개인가? 여기서 log는 밑이 $10$인 로그를 나타낸다.
901
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_7
48
How many nonempty subsets $B$ of ${0, 1, 2, 3, \cdots, 12}$ have the property that the number of elements in $B$ is equal to the least element of $B$? For example, $B = {4, 6, 8, 11}$ satisfies the condition.
${0, 1, 2, 3, \cdots, 12}$의 공집합이 아닌 부분집합 $B$ 중에서, $B$의 원소 개수가 $B$의 최소 원소와 같은 부분집합은 몇 개인가? 예를 들어, $B = {4, 6, 8, 11}$은 조건을 만족한다.
144
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_8
49
What is the area of the region in the coordinate plane defined by $| | x | - 1 | + | | y | - 1 | \le 1$?
좌표평면에서 $| | x | - 1 | + | | y | - 1 | \le 1$으로 정의된 영역의 넓이는 얼마인가?
8
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2023_AMC_12B_Problems/Problem_9