ここでは、メネラウスの定理、チェバの定理、三角形の五心及び四角形が円に内接する条件や方べきの定理などについて扱う。
任意の直線

l

{\displaystyle l}
 と三角形

A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 において、直線

l

{\displaystyle l}
 と直線

B
C
,
C
A
,
A
B

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} }
 の交点をそれぞれ

D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 とする。このとき
が成り立つ。
証明
点

C

{\displaystyle \mathrm {C} }
 から直線

l

{\displaystyle l}
 に平行な直線をかき、直線

A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 との交点を

G

{\displaystyle \mathrm {G} }
 とする。
平行線による比の移動より、
B
D
:
D
C
=
B
F
:
G
F

{\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =\mathrm {BF} :\mathrm {GF} }
C
E
:
E
A
=
G
F
:
F
A

{\displaystyle \mathrm {CE} :\mathrm {EA} =\mathrm {GF} :\mathrm {FA} }
したがって、
A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=

A
F

F
B

⋅

B
F

G
F

⋅

G
F

F
A

=
1

{\displaystyle {\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD}  \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE}  \over \mathrm {EA} }={\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BF}  \over \mathrm {GF} }\cdot {\mathrm {GF}  \over \mathrm {FA} }=1}
[1]
メネラウスの定理の逆
三角形

A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 に対して、直線

B
C
,
C
A
,
A
B

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} }
 上に点

D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 をとり、

D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 のうち三角形

A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 の辺上にある点が0個あるいは2個で、かつ、

A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD}  \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE}  \over \mathrm {EA} }=1}
 が成り立つとき、3点

D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 は一直線上にある。
証明
2直線

E
F
,
B
C

{\displaystyle \mathrm {EF} ,\mathrm {BC} }
 の交点を

D
′

{\displaystyle \mathrm {D} '}
 とする。このとき、メネラウスの定理より、

A
F

F
B

⋅

B
D
′

D
′
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD'}  \over \mathrm {D'C} }\cdot {\mathrm {CE}  \over \mathrm {EA} }=1}
 である。また、仮定より

A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\mathrm {AF}  \over \mathrm {FB} }\cdot {\mathrm {BD}  \over \mathrm {DC} }\cdot {\mathrm {CE}  \over \mathrm {EA} }=1}
 である。これら2式より、

B
D

D
C

=

B
D
′

D
′
C

{\displaystyle {\mathrm {BD}  \over \mathrm {DC} }={\frac {\mathrm {BD'} }{\mathrm {D'C} }}}
 である。これは、2点

D
,

D
′

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {D} '}
 が線分

B
C

{\displaystyle \mathrm {BC} }
 を同じ比で内分する点であることを示すので、 点

D

{\displaystyle \mathrm {D} }
 と点

D
′

{\displaystyle \mathrm {D} '}
 は一致する。したがって、3点

D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 は一直線上にある。
三角形

A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 に対し、任意の一点

O

{\displaystyle \mathrm {O} }
 と

A
,
B
,
C

{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} }
 を結んだ直線がそれぞれ

B
C
,
C
A
,
A
B

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} }
 と交わる点を

D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 とする。
このとき、

A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1}
 が成り立つ。
証明
点

C

{\displaystyle \mathrm {C} }
 を通り直線

A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 に平行な直線をかき、

A
D
,
B
E

{\displaystyle \mathrm {AD} ,\mathrm {BE} }
 との交点をそれぞれ

G
,
H

{\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {H} }
 とする。
A
F
:
F
B
=
G
C
:
H
C

{\displaystyle \mathrm {AF} :\mathrm {FB} =\mathrm {GC} :\mathrm {HC} }
B
D
:
D
C
=
A
B
:
C
G

{\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =\mathrm {AB} :\mathrm {CG} }
C
E
:
E
A
=
C
H
:
A
B

{\displaystyle \mathrm {CE} :\mathrm {EA} =\mathrm {CH} :\mathrm {AB} }
したがって、
A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=

G
C

H
C

⋅

A
B

C
G

⋅

C
H

A
B

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}={\frac {\mathrm {GC} }{\mathrm {HC} }}\cdot {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {CG} }}\cdot {\frac {\mathrm {CH} }{\mathrm {AB} }}=1}
平行線による比の移動より、

A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=

G
C

H
C

⋅

A
B

C
G

⋅

C
H

A
B

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}={\frac {\mathrm {GC} }{\mathrm {HC} }}\cdot {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {CG} }}\cdot {\frac {\mathrm {CH} }{\mathrm {AB} }}=1}
チェバの定理の逆
三角形

A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 に対し、直線

B
C
,
C
A
,
A
B

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} ,\mathrm {AB} }
 上にそれぞれ点

D
,
E
,
F

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} ,\mathrm {F} }
 があるとき、

A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1}
 ならば、直線

A
F
,
B
D
,
C
E

{\displaystyle \mathrm {AF} ,\mathrm {BD} ,\mathrm {CE} }
 は一点で交わる。
証明
直線

B
D
,
C
E

{\displaystyle \mathrm {BD} ,\mathrm {CE} }
 の交点を

O

{\displaystyle \mathrm {O} }
 とおき、直線

A
O

{\displaystyle \mathrm {AO} }
 と直線

B
C

{\displaystyle \mathrm {BC} }
 との交点を

F
′

{\displaystyle \mathrm {F} '}
 とおく。このとき、チェバの定理より、

A
F
′

F
′
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF'} }{\mathrm {F'B} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1}
 が成り立つ。また、仮定より、

A
F

F
B

⋅

B
D

D
C

⋅

C
E

E
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BD} }{\mathrm {DC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CE} }{\mathrm {EA} }}=1}
 である。これら2つの式から、

A
F

F
B

=

A
F
′

F
′
B

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AF} }{\mathrm {FB} }}={\frac {\mathrm {AF'} }{\mathrm {F'B} }}}
 が得られる。これは、2点

F
,

F
′

{\displaystyle \mathrm {F} ,\mathrm {F} '}
 が線分

A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 を同じ比で内分する点であることを示すので、 点

F

{\displaystyle \mathrm {F} }
 と点

F
′

{\displaystyle \mathrm {F} '}
 は一致する。よって、直線

A
F
,
B
D
,
C
E

{\displaystyle \mathrm {AF} ,\mathrm {BD} ,\mathrm {CE} }
 は一点で交わる。
三角形の頂点から相対する辺の中点に対して下ろした線分のことを 中線 という。三角形の3つの中線の交わる点を重心という。
三角形の3本の中線は1点で交わる。また、その交点は中線を 2:1 に内分する。
証明
チェバの定理の逆より、三角形の3本の中線は一点で交わる。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} }
 について、その重心を

G

{\displaystyle \mathrm {G} }
 、

B
C
,
C
A

{\displaystyle \mathrm {BC} ,\mathrm {CA} }
 の中点をそれぞれ

D
,
E

{\displaystyle \mathrm {D} ,\mathrm {E} }
 とおく。このとき、三角形

A
C
D

{\displaystyle \mathrm {ACD} }
 及び、直線

B
G
E

{\displaystyle \mathrm {BGE} }
 に対してメネラウスの定理を用いることにより、
A
E

E
C

⋅

C
B

B
D

⋅

D
G

G
A

=
1

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {EC} }}\cdot {\frac {\mathrm {CB} }{\mathrm {BD} }}\cdot {\frac {\mathrm {DG} }{\mathrm {GA} }}=1}
 したがって、

D
G

G
A

=

1
2

{\displaystyle {\frac {\mathrm {DG} }{\mathrm {GA} }}={\frac {1}{2}}}
 である。これより、重心は中線を2:1に内分することが分かる。
厚めの画用紙などで三角形をつくり、その三角形を水平にして、右図のように三角形の重心の部分で、棒で支えると、
水平方向の重さのバランスがとれるので、三角形を水平に保つことができる。
そもそも、このように重さのバランスを取れる場所であるので「重心」という名前がついている。重心の英語の center of gravity という英単語も、「重力の中心」という意味である。
理科の「物理」科目で習う「重心」とは、この例のように、重さのバランスを取れる部分という意味である。
なお、このような力学的な「重心」については、三角形だけでなく四角形や五角形などでも、同様に水平方向の重さのつりあいをとれる点として、力学的に「重心」を定義できる。
また、平面図形だけでなく立体図形でも同様、力学的に「重心」を定義できる。

三角形の3つの辺の垂直二等分線は1点で交わる。
△ABCを取り、辺AB,AC のそれぞれに対して垂直二等分線を取り、2直線の交点をOとする。このとき、点OがAB,ACのそれぞれに対する垂直2等分線上にあることから
であるので、
が成り立つ。
よって点Oは辺BCの垂直二等分線上にある。
上の証明から、

O
A
=
O
B
=
O
C

{\displaystyle OA=OB=OC}
 であるので、この点は三角形の3つの頂点から等距離にあることが分かるので、この点Oを中心として円を書くと、三角形ABCの頂点3つを通る円を書くことができる。
このように、三角形の3つの頂点を通る円（右図では赤線の部分）のことを外接円(がいせつえん、 英：circumscribed circle)という。
そして、外接円の中心（右図の点Oの部分）のことを、その三角形の 外心（がいしん）という。
三角形の3角のそれぞれに対して角の2等分線を取ったとき、それぞれの直線は1点で交わる。
△ABCを取り、角A,Bについて角の2等分線を取り2直線の交点をIと呼ぶ。
さらに、点Iから辺BC,CA,ABに下ろした垂線とそれぞれの辺の交点をそれぞれ D,E,F と呼ぶとする。このとき、角Aの二等分線の性質から
が成り立ち、同様に角Bの2等分線の性質から
が成り立つので、
よって
である。
したがって、点Iは角Cの二等分線上にある。
ID＝IE＝IF  なので、図のように三角形の三辺に接する円を書くことができ。この円を △ABCの内接円 （ないせつえん、英：inscribed circle）といい、その中心Iを内心（ないしん）という。
なお、三角形の内接円の半径をrとすると、面積Sと三辺の長さa,b,cとの間に
の関係式が成り立つ（△ABI、△BCI、△CAIの3つの三角形の面積を考えてみよ）。面積Sはヘロンの公式を用いれば、三角形の三辺の長さから内接円の半径が計算できる。
外心の性質を利用して、次の定理が証明できる。
三角形の各頂点から対辺またはその延長に降ろした垂線は、1点で交わる。
点Aを通り辺BCに平行な直線、点Bを通り辺CAに平行な直線、点Cを通り辺ABに平行な直線をかき、これらの直線の交点を図のようにP,Q,Rとする。
すると、四角形RBCA は平行四辺形なので、 RA ＝ BC である。
同様に、四角形ABCQ も平行四辺形なので BC＝AQ である。
よって RA＝BC かつ BC＝AQ なので、 RA ＝ AQ である。
次に、点Aから対辺BCまたはその延長上に垂線ADを引く。
すると、 RQ // BC の仮定により、平行な2直線の同位角が等しい事を利用して、
が導かれる。したがって、この線分ADは、△RQPの辺RQの垂直二等分線である。
同様に考えると、頂点Bから辺ACまたはその延長上に降ろした垂線BEは辺RPの垂直二等分線であり、頂点Cから辺ABまたはその延長上に降ろした垂線CFは辺PQの垂直二等分線であることがわかる。
この3本の垂直二等分線は、△RQPの外心で交わる。すなわち△ABCの各頂点から対辺に引いた3本の垂線 AD,BE,CF は一点で交わる。
三角形の2つの外角のそれぞれの二等分線と、残りの1つの内角の二等分線とは、一点で交わる。
外角Bと外角Cの二等分線の交点をPとする。
図のように、Pから△ABCの3辺またはその延長線上に垂線PD,PE,PFをおろす。
すると、
なので、
である。
よって、直線APは∠Aの二等分線である。
この点 P を 傍心（ぼうしん）という。
三角形には3つの傍心が存在する。
三角形の角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 の

∠
A

{\displaystyle \angle A}
 の2等分線と辺BCとの交点をDとすると、

A
B
:
A
C
=
B
D
:
D
C

{\displaystyle AB:AC=BD:DC}
 となる。
∠
A

{\displaystyle \angle A}
 の2等分線と辺BCとの交点がDだから
Cを通りADに平行な直線とBAの延長との交点をEとする。
ADとECは平行であるから
上の3つの式から
よって
また、ADとECは平行であるから
(1)と(2)より
三角形の外角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 の

∠
A

{\displaystyle \angle A}
 の外角の2等分線と辺BCの延長との交点をDとすると、

A
B
:
A
C
=
B
D
:
D
C

{\displaystyle AB:AC=BD:DC}
 となる。ただし、

A
B
≠
A
C

{\displaystyle AB\neq AC}
 とする。
Cを通りADに平行な直線とABの延長との交点をEとすると、上の定理と同様に
三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 において
（

A
B
<
A
C

⇒

∠
B
>
∠
C

{\displaystyle AB<AC\ \Rightarrow \ \angle B>\angle C}
　の証明）
A
B
<
A
C

{\displaystyle AB<AC}
 とし、辺AC上に点Dを、

A
D
=
A
B

{\displaystyle AD=AB}
 となるようにとれば
ところで、

∠
A
D
B

{\displaystyle \angle ADB}
 は

△
D
B
C

{\displaystyle \triangle DBC}
 の

∠
B
D
C

{\displaystyle \angle BDC}
 の外角だから
また、点Dは辺AC上にあるから
(1),(2),(3)より、

∠
B
>
∠
C

{\displaystyle \angle B>\angle C}
（

∠
B
>
∠
C

⇒

A
B
<
A
C

{\displaystyle \angle B>\angle C\ \Rightarrow \ AB<AC}
　の証明）
∠
B
>
∠
C

{\displaystyle \angle B>\angle C}
 であって、

A
B
<
A
C

{\displaystyle AB<AC}
 ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。
(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、

∠
B
=
∠
C

{\displaystyle \angle B=\angle C}
(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、

∠
B
<
∠
C

{\displaystyle \angle B<\angle C}
どちらの場合も、仮定

∠
B
>
∠
C

{\displaystyle \angle B>\angle C}
 に反する。
よって、

A
B
<
A
C

{\displaystyle AB<AC}
でなければならない。
三角形の3辺について、次のようなことが言える。
三角形の2辺の和は、残りの辺よりも大きい。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 において、

A
B
+
A
C
>
B
C

{\displaystyle AB+AC>BC}
 を証明する。
辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、

A
D
=
A
C

{\displaystyle AD=AC}
 となるようにとる。
△
A
C
D

{\displaystyle \triangle ACD}
 は二等辺三角形であるから
△
B
C
D

{\displaystyle \triangle BCD}
 において、点Aは辺BD上にあるから
よって、三角形の辺と角の大小の定理より
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
 の3辺の長さを、

B
C
=
a

,

C
A
=
b

,

A
B
=
c

{\displaystyle BC=a\ ,\ CA=b\ ,\ AB=c}
 とすると、上の定理より次のことがわかる。
三角形の2辺の差は、残りの辺よりも小さい。
であるから、

b
≥
c

{\displaystyle b\geq c}
 のとき、

c
+
a
>
b

{\displaystyle c+a>b}
 より
b
<
c

{\displaystyle b<c}
 のとき、

a
+
b
>
c

{\displaystyle a+b>c}
 より
が成り立つ。
2つの定理より、三角形の3辺が

a

,

b

,

c

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c}
 であるとき、
が成り立つことがわかる。
逆に、正の数

a

,

b

,

c

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c}
 が不等式

|
b
−
c
|
<
a
<
b
+
c

{\displaystyle |b-c|<a<b+c}
 を満たすとき、3辺の長さが

a

,

b

,

c

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c}
 である三角形が存在する。
円周上に3点A,B,Cがある。直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとり、

∠
A
P
B

{\displaystyle \angle APB}
 と

∠
A
C
B

{\displaystyle \angle ACB}
 の大きさを比べる。
点Pについては、
のいずれかである。
(2)の場合、三角形の外角と内角の間の大小関係より
(3)の場合も、三角形の外角と内角の間の大小関係より
この結果、次のことがいえる。
このことから、次のようなことがいえる。
2点C,Pが直線ABについて同じ側にあるとき、

∠
A
P
B
=
∠
A
C
B

{\displaystyle \angle APB=\angle ACB}
 ならば、4点A,B,C,Pは同じ円周上にある。
上の議論から三角形に外接する円はどのような三角形を取ったとしても常に存在
することが分かった。しかし、四角形に関してはそれに対して外接するような
円は常に存在するわけではない。
一般に円に内接するような四角形に関しては以下の性質が成り立つ。
円に内接する四角形の相対する角の和は

180
∘

{\displaystyle 180^{\circ }}
となる。
内接する四角形の頂点を反時計回りにA,B,C,Dとする。
このとき、角A,角Cはそれぞれ点B,Dを対応する端点とする円弧に対する円周角となっている。ただし、角Aと角Cは互いに逆の円弧を対応する弧としているため、2つの弧を合わせるとそれらの弧はちょうど円周をおおうことになる。
このため、これらの2つの弧に対応する中心角の和は

360
∘

{\displaystyle 360^{\circ }}
に対応し、同じ弧に対応する円周角の和は

180
∘

{\displaystyle 180^{\circ }}
に対応するのである。
また、円に内接する四角形に関して以下の性質も成り立つ。
円に内接する四角形において、1つの内角は、それに向かい合う内角の隣にある外角に等しい。
円に内接する四角形ABCDにおいて、上の定理より
また、頂点Cにおける外角を

∠
D
C
E

{\displaystyle \angle DCE}
 とすると、

∠
D
C
E
+
∠
C
=
180
∘

{\displaystyle \angle DCE+\angle C=180^{\circ }}
 であるから
円に内接する四角形の性質の逆について考えてみよう。
(1)　向かい合う内角の和が

180
∘

{\displaystyle 180^{\circ }}
の四角形は、円に内接する。
(2)　1つの内角が、それに向かい合う内角の隣にある外角に等しい四角形は、円に内接する。
(1)の証明
四角形ABCDで、
とする。
△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}
の外接円Oを書き、円Oに内接する四角形ABCD'を作ると
(I),(II)より
したがって、円周角の定理の逆から、点Dはこの円Oの周上にある。
よって、四角形ABCDは円に内接する。
(2)の証明
四角形ABCDで、頂点Cにおける外角を

∠
D
C
E

{\displaystyle \angle DCE}
 として、
とする。
であるから
四角形が円に内接する条件(1)より、向かい合う内角の和が

180
∘

{\displaystyle 180^{\circ }}
であるから、四角形ABCDは円に内接する。
円Oの外の点Aからその円に2本の接線を引ける。その接点をP,Qとするとき、線分AP,AQの長さを、円Oの外の点Aから円Oに引いた接線の長さという。
2つの接線の長さについて、次のことがいえる。
円外の点からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。
直角三角形APO,AQOにおいて
(I),(II)より
よって、対応する辺APとAQは等しい。
円周上の点Aを通る接線ATがあって、円周上に2点B,Cをとるとき、

∠
T
A
B

{\displaystyle \angle TAB}
 と円周角

∠
A
C
B

{\displaystyle \angle ACB}
 の大きさには、次のような関係がある。
円の弦とその一端から引いた接線とのなす角は、その角内にある弧に対する円周角に等しい。
∠
T
A
B

{\displaystyle \angle TAB}
 が鋭角の場合について考える。
直径ADを引くと、

∠
T
A
D
=
90
∘

{\displaystyle \angle TAD=90^{\circ }}
 であるから、
また、ADは直径であるから
∠
B
A
D

{\displaystyle \angle BAD}
 と

∠
B
C
D

{\displaystyle \angle BCD}
 は弧BDに対する円周角であるから
(I),(II),(III)より
∠
T
A
B

{\displaystyle \angle TAB}
 が直角、鈍角の場合についても同様に証明できる。
中心Oとする円について次の定理が成り立つ。
円周上に異なった2点A,Bを取りその2点を通る直線を取る。また、同様に
A,Bと異なった2点C,Dを通りそれらを通過する直線を取り、直線ABと直線CDの
交点をEと取る。このとき、
が成り立つ。この定理を方べきの定理と呼ぶ。
まず、点Eが円の外部にある場合を考える。このとき、直線AB上で点Eに近い点を点B,
直線CD上で点Eに近い点を点Cとおいたとき、三角形ECBと三角形EADが相似であることを
示す。
まず、四角形ABCDは円に内接していることから、
について、
が成立する。これは円に内接する四角形の相対する角の和が

180
∘

{\displaystyle 180^{\circ }}
になることに
よっている。同様にして
が成立し、2角が等しいことから三角形ECBと三角形EADは相似となる。
このことから、
となるが、このことは
に等しい。
次に、点Eが円の内部にある場合を考える。
このとき三角形EADと三角形EBCが互いに相似であることを示す。
最初に
についてこれらが互いの対頂角であることから
が成り立つ。次に、
についてこれらが円周BDの円周角であることから
が成り立つ。よって、2角が等しいことから三角形EADと三角形EBCは
互いに相似である。このことから
となるが、このことは
に等しい。
よって、どちらの場合にも方べきの定理が示された。
また、中心Oとする円の弦と接線について次の定理が成り立つ。
円の弦ABの延長上の点Pから円に引いた接線をPTとする。このとき、
が成り立つ。
△
P
A
T

{\displaystyle \triangle PAT}
 と

△
P
T
B

{\displaystyle \triangle PTB}
 において
接弦定理より
だから、

△
P
A
T

{\displaystyle \triangle PAT}
 と

△
P
T
B

{\displaystyle \triangle PTB}
 は相似
よって、
したがって、
2つの円を取ったときこれらはいくつかの仕方で関係する。2つの円の関係は2つの円の中心間の距離と、2円の半径によって定まる。
2円の距離をそれぞれ

r
1

{\displaystyle r_{1}}
,

r
2

{\displaystyle r_{2}}
(

r
1

>
r
2

{\displaystyle r_{1}>r_{2}}
),中心間の距離を

l

{\displaystyle l}
とすると、2円の位置関係として
がある。
2つの円がただ1つの共有点をもつとき、この2つの円は接するといい、この共有点を接点（せってん、英：point of contact）という。
1つの直線が、2つの円に接しているとき、この直線を、2つの円の共通接線という。


たとえば、おはじきを一列に並べる場合、並べ方の数には、いくつもの方法がある。じっさいに全ての並び方を試すことも、時間さえあれば実験可能である。
このように、「全部で何通りがあるか」という、その「何通り」の「何」にあたる数字を、場合の数（ばあいのかず） と呼ぶ。
このように事柄には、それらのやり方が全部で何通りあるかを数えることが出来る事柄がある。
ある事柄について（そのことが起こりうる）場合の数を正確に数えることが理解の基礎であり、その事柄について、どのことが起こりやすくどのことが起こりづらいかを見分けるための基礎となる。
つまり、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。
例えば、ポーカーなどのカードゲームでは集めることが難しい役は高いランクが与えられているが、
これは起こりにくい役が出来るトランプの組み合わせの現われる確率が小さいことによる。
このことは、52枚のカードから5枚を引いて来たときに全てのカードを引く確率が同じであるとしたとき、ある役に対応するカードの組み合わせを引く場合の数がより少ないことに対応する。
このように、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。
カードゲームのように確率が具体的に計算できる場合の他にも、確率の考え方を用いて計算される事柄は多くある。
たとえば、保険（ほけん）と呼ばれるものはある事柄に値段をつけるものであるが、
保険を下ろさなくてはならない事柄が起こりにくいと客観的に思われるものほど、そのものの値段が下がるという特徴がある。
例えば、自動車保険に加入するのに必要な代金は若者では高く、年令を重ねるごとに低くなっていく。
これは、若者は自動車の免許を取得して時間が短い場合が多く、保険金の支払を必要とする自動車事故をおこす可能性が高いことによる。
いっぽう、年令を重ねたものについては運転の技量が時とともに上達すると一般に考えられるので保険をかけるための代金は少なくなるのである。
また、同じ若者でも既に何度か事故を重ねたものは同じ年代の他の若者よりも保険料が高くなる傾向がある。
これは、何度か事故を重ねたものは運転の仕方に何らかの問題がある傾向があり、それによってふたたび事故をおこす可能性が通常のものと比べてより高いと考えられることによる。
銀行の融資（ゆうし）でもやはり確率の考えを用いて高い利益を出すことが実践されている。
融資でもやはり保険業とおなじく、より貸倒れになる可能性が高い相手に対しては高い金利で資金を貸し付け、
より安定した資金を持っている相手に対してはより低い金利で資金を貸し付けることを実行して来た。
利益を安定的に稼ぐ方法として、いくつかの会社が発行する互いに性質の異なった株などを合わせて購入先を分散することで株の値段が下がったときでも値段があまり減ることが無いようにする方法が考案されている。
（ただし、値段が減りづらいのと同様に、値段は上がりづらい。）
これは、性質の異なった商品を合わせて扱うことで、値段が急変する確率を下げることが出来ることを表わしている。
しかし、確率では、必ずしも予測した通りに事が進むわけでは無いことに注意する必要がある。
この章では場合の数と確率の計算法を紹介する。まず先に様々な事柄の場合の数の計算法を扱い、その結果を用いてある事柄が起こる確率を計算する方法を紹介する。
ここでは、有限集合 A の要素の個数を n(A) で表す。
たとえば、10以下の自然数の集合を U として、そのうち 偶数の集合を A とする場合、
なので、Aの要素の個数は5個なので
である。
なお、
U=｛1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10｝
で要素の個数は10個なので
である。
次のような問題を考えてみよう。
100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか？
このような問題の解法を考えるため、準備の問題として、まず10までの自然数で考えてみよう。
先程の例題で2の倍数については考えたので、次の問題として10までの3の倍数の個数について考えよう。
10以下の自然数の集合を U として、そのうち 3の倍数の集合を B とする場合、
B=｛3, 6 , 9｝
なので、Bの要素の個数は3個なので
である。
さて、
には共通して 6 という要素が含まれている。
自然数10までにある2または3の倍数にあたる要素は、
であり、要素の個数をかぞえると 7個である。
一方、
であり、1個多い。
このように1個多くなってしまった原因は、 集合Aと集合Bに共通して含まれている要素 6 を二重に数えてしまっているからである。
一般に、2つの集合A,Bの要素の個数 n(A) と n(B) を用いて、AまたはBの条件を満たす要素の個数をかぞえたい場合には、AとBに共通して含まれている要素の個数を差し引かなければならない。
このことを式で表すと
になる。
ただし、「∪」とは和集合の記号で、 A∪B とは 集合Aと集合Bの和集合のことである。
「∩」とは共通部分の記号で、 「A∩B」とは 集合Aと集合Bの共通部分のことである。
では、この公式を参考にして
100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか？
の答えを求めよう。
100までの自然数のうちの、2の倍数の集合をAとして、3の倍数の集合をBとすると
さらに、2の倍数でもあり3の倍数でもある数の集合 A∩B とは、つまり6の倍数の集合のことであり（なぜなら 2 と 3 の最小公倍数が 6 なので）、
96÷6＝16 なので、A∩B の要素の個数は 16 個、つまり n(A∩B)＝ 16 である。
そして、公式
を適用すると、
である。
よって、100までの自然数のうちの2または3の倍数の個数は 67個 である。
3つの有限集合の和集合の要素の個数については、次の公式が成り立つ
n(A∪B∪C) ＝  n(A) ＋ n(B) ＋ n(C) −n(A∩B) −n(B∩C)  −n(C∩A) ＋ n(A∩B∩C)
右の図を参考に、上の公式を証明せよ。
100以下の自然数のうち、2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数を求めよ。
(解法)
まず、100以下の自然数のうち、
とする。
100÷2=50なので、100は50番目の2の倍数であり、よって100以下の2の倍数は50個である。同様に考えて要素の個数を求めると、
である。
一方、100以下の自然数のうち
となる。
よって、先ほどと同様に考えると
また、100以下の自然数のうち、
A∩B∩C の要素の個数は
である。
よって、
なので、100以下の自然数のうちの2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数は 74個である。
たとえば大中小3個のサイコロをふって、目の和が5になる目の組は、何通りあるだろうか。
このような問題を解く方法のひとつとして、図のように、組み合わせを総当たりで書く方法がある。
大中小の合計3個のサイコロをそれぞれ A,B,C として表し、それらの文字に、どの目が出れば合計5になるかを考えると、結果は図のようになる。
このような図を 樹形図（じゅけいず） という。
3個のサイコロをふるとき、目の和が6になる場合は何通りあるか。
最初に、n個の異なったものを並べ換える場合の数を数える。
まず最初に並べるものはn個、次に並べるものは(n-1)個、その次に並べるものは(n-2)個 ... とだんだんと選べるものの数が減って行き、最後には1個しか残らなくなることに注目すると、この事柄に関する場合の数は
となり、1からnまでの自然数の積になる。
この数を 階乗 （かいじょう、factorial）と呼び、階乗nの記号は

n
!

{\displaystyle n!}
 で表す。
すなわち、階乗は
n
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
3
⋅
2
⋅
1

{\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1}
と定義される。この階乗の記号を使えば、この問題のときの場合の数は n!であると言うことが出来る。
をそれぞれ計算せよ。
を用いて計算すればよい。
答えは、
となる。
それぞれに1から5までの数字が書かれた5枚のカードが置いてある。
このカードを並べ換えたとき、
(I)カードの並べ方の数、 (II)偶数が得られるカードの並べ方の数、 (III)奇数が出るカードの並べ方の数を、それぞれ計算せよ。
(I)
カードの数が5枚でそれぞれが区別できることから、カードの並べ方の数は
となり、120となる。
(II)
偶数を得るためには一の位である最も右に出るカードが、偶数となればよい。
このようなカードは2と4であり、それぞれに対して後の4枚は自由に選んでよい。
このため、このようなカードの並べ方は、
となる。
(III)
奇数を得るためには一の位である最も右に出るカードが、奇数となればよい。
このようなカードは1,3,5であり、それぞれに対して後の4枚は自由に選んでよい。
このため、このようなカードの並べ方は、
となる。一方、5枚のカードを並べ換えて得られる数は必ず偶数か奇数の
どちらかであるので、(I)の結果から(II)の結果を引くことによっても
(III)の結果は得られるはずだが、実際にそれを計算すると
となり、確かにそのようになっている。
0,1,2,3,5が書かれた5枚のカードがある。これを並び換えたとき、
をそれぞれ求めよ。
(I)
先頭が0になったときには5桁の数にならないことに注意すればよい。求める場合の数は
となる。
(II)
最初が0でなく最後が0か2である数を数えればよい。まず、最後が0であるときには、残りの4枚は任意であるので
通りの組み合わせがある。
次に、最後が2であるときには最初は0であってはいけないので、
通りある。
2つを合わせた数が5桁の偶数が得られる場合の数である。答えは、
となる。
(III)
(I)の結果から(II)の結果を引けばよいが、ここではその結果が正しいかどうか
確かめるためにも5桁の奇数が得られる組み合わせを数え上げてみる。
5桁の奇数を得るためには最後の数は1,3,5のいずれかでなくてはならない。
このうちのどの場合についても5桁の数を得るためには最初の数が0で
合ってはならないのでそれぞれの場合の数は、
となりこれが5桁の奇数を得る場合の数である。
(II)の結果と足し合わせると確かに(I)の結果と等しい96を得る。
(IV)
5の倍数を得るためには最後の数が0か5であればよい。
このとき最後が0になる場合の数は他の4つが任意であるため
存在する。次に、最後が5になる場合の数は最初の数が0であってはならないため
だけ存在する。
よって答えは
となる。
n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけて並べる仕方の数を、

n

P

r

{\displaystyle {}_{n}\mathrm {P} _{r}}
と書く。
また、このような計算の仕方を 順列 （じゅんれつ、英：permutation） という。
n個の異なったものからr個を選んで順番をつけて並べる仕方の数のこと を、
のように言う。
最初に並べるものはn通り、次に並べるものは (n−1)通り 、その次に並べるものは (n−2)通り ,... 最後には (n−(r−1))通り というように、だんだん選べるものの数が減って行くことに注目すると、順列の総数として
が得られる。
一般に

n

P

r

{\displaystyle {}_{n}\mathrm {P} _{r}}
 では n ≧ r である。
(I)
(II)
(III)
(IV)
(V)
(VI)
をそれぞれ計算せよ。
それぞれ
を用いて計算すればよい。
結果は、
(I)
(II)
(III)
(IV)
(V)
(VI)
となる。
(V)と(VI)については一般的に整数nに対して
が得られる。このとき
は元々の順列の定義からすると"n個のものの中から1つも選ばない場合の数"に対応しており、少々不自然なように思えるが、このように値を置いておくと便利であるため通常このように置くのである。あまり、実際の場合の数の計算でこのような値を扱うことは多くはないといえる。

A, B, C, D, E の5人が円形に手をつないで輪をつくるとき、その並び方は何通りあるか。
このような問題の場合、図のように、回転すると重なる並びは同じ並びであると考える。
解き方の考え方は数種類ある。
どちらにせよ、結果は
である。
一般に 異なる n個 のものを円形に並べたものを円順列という。
円順列の総数として、次のことが成り立つ。
異なる n個 の円順列の総数は

(
n
−
1
)
!

{\displaystyle (n-1)!}
    である。
n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけずに並べる仕方の数を、

n

C

r

{\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}}
と書き、このような計算を 組み合わせ（combination） という。
例えば、いくつもあるボールに番号がふってあるなどの方法で、それぞれのボールが区別できるn個のボールが入った箱の中からr個のボールを取りだす時、取りだしたボールを取りだした順に並べるとすると、この場合の数は順列

n

P

r

{\displaystyle {}_{n}\mathrm {P} _{r}}
に対応する。
一方、取りだしたボールの種類が重要であり取りだした順番が特に必要でないときには、この場合の数は組み合わせ

n

C

r

{\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}}
に対応する。これらの数はお互いに異なった場合の数であり、互いに異なった計算法が必要となる。
n

C

r

{\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}}
は、

n

P

r

{\displaystyle {}_{n}\mathrm {P} _{r}}
通りの並べ方を作った後にそれらの並びを無視したものに等しい。ここで、r個を取りだして作った並びについて、並べ方を無視するとr!個の並びが同一視されることがわかる。
なぜなら、r個のお互いに区別できる数を自由に並び換える場合の数はr!であり、それらが全て同一視されるとすれば全体の場合の数は
r!の分だけ減ることになるからである。よって、
が得られる。
演習問題
次の値を計算せよ
(I)
(II)
(III)
(VI)
それぞれについて
を用いて計算すればよい。
(I)
(II)
(III)
(VI)
となる。(IV)については一般に整数nに対して
を定義する。
これはもともとの組み合わせの計算としてはn個の物体のなかから0個の物体を選ぶ場合の数に対応しており、
実際にはこのような場合の数を計算しようと考えることはあまり無いと思われるが、計算の便宜上のため定義を上のようにする。
また、上の計算では
の式をそのまま用いると、
つまり、
となっている。
実際には階乗の計算は整数nについてはnから1までを下がりながらかけ算していくという仕方で計算されていたので、上の結果は妙に思える。
しかし実際には、より進んだ理論によってこの結果は正当化されるのであり、
この場合も便宜上
を0の階乗の定義として受けいれるのである。
演習問題
5個のボールが入ったボール入れから2つのボールを取りだすとき(ボールはそれぞれ
区別できるものとする。)2つのボールの選び方は、
何通りあるか計算せよ。
ボールの取りだし方は組み合わせの数を用いて計算できる。
5つのボールの中から2つを取りだすのであるからその場合の数は、
となる。よって、ボールの取りだし方は10通りであることがわかる。
演習問題
6個の互いに区別できるボールが入った箱がある。
この中から (I)3つのボールと2つのボールを取りだす方法の場合の数、(II)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できる袋にいれる場合の数、(III)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できない袋にいれる場合の数、をそれぞれ計算せよ。
(I)
最初にボールを取りだすときには、6つのボールの中から3つのボールを取りだすことからその場合の数は
だけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときには
その取りだし方は、
だけある。
よって、このときの場合の数は
だけになる。実際この値を計算すると、
となり、60通りであることが分かる。
(II)
(I)の場合と同様に6つのボールの中から2つのボールを
取りだすことからその場合の数は
だけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときには
その取りだし方は、
だけある。
よって、このときの場合の数は
だけになる。実際この値を計算すると、
となり、90通りであることが分かる。
(III)
(II)と同じ計算で値を求めることが出来るが、今回はボールをいれた袋が
互いに区別できないことに注意しなくてはならない。
このことによって、起こりうる場合の数は(II)の場合の半分になるので
求める場合の数は45通りとなる。
n

C

r

{\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}}
について以下の式が成り立つ。
導出
を用いると、
が得られ、示された。
同様に
を用いると、
となり示された。
最初の式は、異なるn個のもののうちr個にXというラベルをつけ、残りのn-r個にYというラベルをつける場合の数から求めることができる。異なるn個のもののうちからr個を選びラベルXをつけ、残りにラベルYをつける場合の数は

n

C

r

{\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}}
 であり、異なるn個のもののうちからn-r個を選び、ラベルYをつけ、残りにラベルXをつける場合の数は

n

C

n
−
r

{\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{n-r}}
 である。当然、前者と後者の場合の数は等しいので、ここから、

n

C

r

=
n

C

n
−
r

{\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}=_{n}\mathrm {C} _{n-r}}
 が求められる。
2つ目の式は、
"n個のものからr個を選ぶ仕方の数は、次の数の和である。
最初の1つを選ばずに他のn-1個からr個を選ぶ仕方の数と、最初の1つを選んで他のn-1個からr-1個を選ぶ仕方の数との
和である。"
ということを表わしている。
を用いて
(I)
(II)
(III)
(VI)
をそれぞれ計算せよ。
上の式を用いて計算することが出来る。もちろん直接に計算しても
答えを得ることが出来るが、通常は簡単化してから計算した方が楽である。
(I)
(II)
(III)
(VI)
となる。
図のようなルートを左下の点から右上の点まで歩いて行く人がいる。
ただし、この人は右か上にしか進めないとする。このとき、
を計算せよ。ただしa点は*と書かれている点のすぐ下の通路のことをさしている。
それぞれのルートは途切れていない縦4つ、横5つの碁盤目上のルートに
なっていることに注意せよ。
___________
|_|_|_|_|_|
|_|_|*|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
(I)
左下にいる人は9回進むことで右上の点に辿り着ける。そのため、左下にいる人が選びうるルートの数は9回のうちのどの回で右ではなく上を
選ぶかの場合の数に等しい。このような場合の数は、9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法に等しく、組み合わせを用いて書くことが出来る。実際に9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法は、
で書かれる。この量を計算すると、
が得られる。
(II)
a点を通過して進むルートの数はa点の左の点までいってからa点を通過し、a点の右の点を通って右上の点までいく仕方の数に等しい。
それぞれのルートの数は(I)の方法を用いて計算することができる。この数を実際に計算すると、
となり、36通りであることが分かる。
演習問題

r
n

C

r

=
n
n
−
1

C

r
−
1

{\displaystyle r_{n}\mathrm {C} _{r}=n_{n-1}\mathrm {C} _{r-1}}
を示せ
r
n

C

r

=
r

n
!

r
!
(
n
−
r
)
!

=
n

(
n
−
1
)
!

(
r
−
1
)
(
(
n
−
1
)
−
(
r
−
1
)
)
!

=
n
n
−
1

C

r
−
1

{\displaystyle r_{n}\mathrm {C} _{r}=r{\frac {n!}{r!(n-r)!}}=n{\frac {(n-1)!}{(r-1)((n-1)-(r-1))!}}=n_{n-1}\mathrm {C} _{r-1}}
異なるn個の空箱にr個のものを入れる場合の数を重複組み合わせといい、

n

H

r

{\displaystyle _{n}\mathrm {H} _{r}}
 で表す。
重複組合せについて次のように考察する。
x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n

,
r

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},r}
 を非負整数とし、方程式

x
1

+
x
2

+
⋯
+
x
n

=
r

{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=r}
 の解の個数について考える。この解の個数は

x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
 に

r

{\displaystyle r}
 個の1を分配する場合の数と考えることができるので、重複組み合わせの定義から、

n

H

r

{\displaystyle _{n}\mathrm {H} _{r}}
 である。
また、この方程式の非負整数解の個数は、r個の○にn-1個の区切りを置く場合の数とも考えられる。つまり、○○○...○○(r個)にn-1個の区切り｜を並べると○｜○○｜...○｜○のようになる。ここで、左から順に区切りで区切られた○の個数をそれぞれ、

x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
 とすると、これは方程式の解となる。
この場合の数は、r個の○とn-1個の区切り｜を並べえる場合の数なので、

n
+
r
−
1

C

r

{\displaystyle _{n+r-1}\mathrm {C} _{r}}
 である。方程式の非負整数解の個数について2通りの方法で求まったのでこれらは等しく、

n

H

r

=
n
+
r
−
1

C

r

{\displaystyle _{n}\mathrm {H} _{r}=_{n+r-1}\mathrm {C} _{r}}
 が成り立つ。
ある場合の数が、実際に現われる割合のことを確率（かくりつ、英：probability）と呼ぶ。
ある場合の数が実際に現われる割合は、その場合の数を割り算で、その事柄において起こり得る全ての事柄の場合の数で割ったものに等しい。
たとえば、全く等しい割合で全ての面が出るさいころをふったときに1が出る確率は

1
6

{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
である。
これは1が出る場合の数1を、1,2,3,4,5,6のいずれかが出る場合の数6で割ったものに等しい。
起こりうるすべての場合の数をN、事象Aの起こる場合の数をaとするとき、事象Aの起こる確率P(A)は以下の式で求められる。
赤玉2個と白玉3個が入った袋から、玉を2個同時に取り出す。このとき、2個とも白玉が出る確率を求めよ。
赤白あわせて5個の玉から2個を取り出す方法は
このうち、2個とも白玉になる場合は
よって求める確率は

3
10

{\displaystyle {\frac {3}{10}}}
確率の定義から、次の性質が得られる。
（1）どんな事象Aについても、

0
≦
P
(
A
)
≦
1

{\displaystyle 0\leqq P(A)\leqq 1}

（2）決して起こらない事象の確率は 0
（3）必ず起こる事象の確率は 1
2つの事象A,Bが同時に起こらないとき、事象AとBは互いに排反（はいはん、英：exclusive）である、またはAとBは排反事象であるという。
AとBが排反事象のとき、AまたはBが起こる確率は
男子7人、女子5人の中から、くじ引きで3人の委員を選ぶとき、3人とも同性である確率を求めよ。
12人の中から3人の委員を選ぶ場合の数は
ここで、「3人とも男子である」事象をA、「3人とも女子である」事象をBとすると、「3人とも同性である」事象は、和事象A ∪ Bであり、しかも、AとBは排反事象である。
よって求める確率は

P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
=

35
220

+

10
220

=

45
220

=

9
44

{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)={\frac {35}{220}}+{\frac {10}{220}}={\frac {45}{220}}={\frac {9}{44}}}
事象Aに対して、「Aでない」事象を

A
¯

{\displaystyle {\overline {A}}}
で表し、Aの余事象（よじしょう）という。
Aの余事象を

A
¯

{\displaystyle {\overline {A}}}
とすると
赤玉5個、白玉3個の計8個入っている袋から3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個は白玉である確率を求めよ。
8個の玉から3個の玉を取り出す場合の数は
いま、「少なくとも1個は白玉である」事象をAとすると、

A
¯

{\displaystyle {\overline {A}}}
は「3個とも赤玉である」という事象だから
よって求める確率は
たがいに他の結果に対して影響をおよぼさない操作を繰りかえすとき、それぞれの試行は独立（どくりつ、英：independent）であると言う。独立な試行については、ある試行の起こる確率が定められていて、それをn回繰りかえしたとき、それらが起こる確率は、それぞれの試行が起こる確率の積となる。
2つの独立な試行S,Tについて、Sでは事象Aが、Tでは事象Bが起こる確率は
赤玉3個、白玉2個の計5個入っている袋がある。この中から1個の玉を取り出して色を確かめてから袋に戻し、再び1個を取り出すとき、1回目は赤玉、2回目は白玉を取り出す確率を求めよ。
1回目に取り出した玉を袋に戻すので、「1回目に取り出す」試行と「2回目に取り出す」試行とは互いに独立である。
1回目に取り出した1個が赤玉である確率は

3
5

{\displaystyle {\frac {3}{5}}}
2回目に取り出した1個が白玉である確率は

2
5

{\displaystyle {\frac {2}{5}}}

したがって求める確率は
同じ試行を何回か繰り返して行うとき、各回の試行は独立である。この一連の独立な試行をまとめて考えるとき、それを反復試行（はんぷく しこう）という。
ある試行で、事象Eの起こる確率がpであるとする。この試行をn回繰り返すとき、事象Eがそのうちr回だけ起こる確率は
1個のさいころを5回投げるとき、3の倍数の目が4回出る確率を求めよ。
1個のさいころを1回投げるとき、3の倍数の目が出る確率は
よって、1個のさいころを5回投げるとき、3の倍数の目が4回出る確率は
記号「Σ」についてはこちらを参照。
ある試行があったとき、
その試行で得られると期待される値のことを期待値（きたいち、英：expected value）という。期待値は、n個の事象

r
k

(
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)

{\displaystyle r_{k}\ (k=1,2,\cdots ,n)}
に対して、各々

v
k

{\displaystyle v_{k}}
という値が得られ、事象

r
k

{\displaystyle r_{k}}
が起こる確率が

p
k

{\displaystyle p_{k}}
で与えられているとき、
によって与えられる。例えば、さいころをふったとき出る目の期待値は、
となる。


本項は高等学校数学Aの「数学と人間の活動」の解説です。


ここで扱う数列は離散的な現象を扱う際に威力を発揮する。数列はいろいろなところに応用されている。例えば、単利の計算には等差数列が、複利の計算には等比数列が応用できる。
数を一列に並べたもの数列（sequence of numbers）という。数列のそれぞれの数を項という。
1番目から数えて、第1項、第2項、第3項のように、n 番目の項を第 n 項という。特に第1項は初項（first term）ともいう。以下、特に断りのない限り n は 1 以上の自然数とする。
第

n

{\displaystyle n}
 項が

a
n

{\displaystyle a_{n}}
 である数列を

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 と表記する。つまり、数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の第1項から数項並べると
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 において、この数列の第 n 項

a
n

{\displaystyle a_{n}}
 を n の式で表すとき、この式を数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の一般項（general term）という。たとえば、数列 1, 2, 3, 4, 5, ... の一般項は

a
n

=
n

{\displaystyle a_{n}=n}
 である。自然数の偶数の数列 2, 4, 6, 8, 10, ... の一般項は

a
n

=
2
n

{\displaystyle a_{n}=2n}
 である。
項の数が有限である数列を有限数列（finite sequence of numbers）という。有限数列の最後の項を末項（final term）といい、項の総数を項数（arity）という。末項が存在しない数列を無限数列（infinite sequence of numbers）という。数列 1, 2, 3, 4, 5, ... は無限数列である。
演習問題
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の一般項が以下で与えられるとき、この数列の第 1 項から第 5 項を求めよ。
演習問題
次の数列の一般項を推測せよ。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 において、定数

d

{\displaystyle d}
 が存在して、任意の自然数

n

{\displaystyle n}
 に対し

a
n
+
1

=
a
n

+
d

{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}
 となるとき、この数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 を等差数列（arithmetic progression (sequence)）といい、

d

{\displaystyle d}
 を公差(common difference)という。
a
n
+
1

=
a
n

+
d

{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}
 を変形すると

a
n
+
1

−
a
n

=
d

{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d}
 である。等差数列は名前の通り隣り合った項の差が等しい数列である。
例えば、

2
,
5
,
8
,
11
,
14
,
⋯

{\displaystyle 2,5,8,11,14,\cdots }
 は初項 2 、公差 3 の等差数列である。
初項

a
1

{\displaystyle a_{1}}
 、公差

d

{\displaystyle d}
 の等差数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 について
なので、一般項は

a
n

=
a
1

+
(
n
−
1
)
d

{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
 である。
初項

a
1

{\displaystyle a_{1}}
 、公差

d

{\displaystyle d}
 の等差数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の第1項から第 n 項までの和

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 は
S
n

=
a
1

+
(
a
1

+
d
)
+
(
a
1

+
2
d
)
+
⋯
+
(
a
n

−
d
)
+
a
n

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{n}-d)+a_{n}}
である。 これを逆順に並び替えて
S
n

=
a
n

+
(
a
n

−
d
)
+
(
a
n

−
2
d
)
+
⋯
+
(
a
1

+
d
)
+
a
1

{\displaystyle S_{n}=a_{n}+(a_{n}-d)+(a_{n}-2d)+\cdots +(a_{1}+d)+a_{1}}
を得る。この2つをそれぞれ足すと

2
S
n

=
n
(
a
1

+
a
n

)

{\displaystyle 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})}
 である。これより
S
n

=

n
2

(
a
1

+
a
n

)

{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n})}
 を得る。また

a
n

=
a
1

+
(
n
−
1
)
d

{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
 を代入して
S
n

=

n
2

(
2
a
1

+
(
n
−
1
)
d
)

{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(2a_{1}+(n-1)d)}
である。
演習問題
初項3、 公差2の等差数列の一般項を求め、この数列の第 1 項から第 n 項までの和

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 を求めよ。
a
n

=
2
n
+
1

{\displaystyle a_{n}=2n+1}
S
n

=
n
2

+
2
n

{\displaystyle S_{n}=n^{2}+2n}
a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 がこの順に隣り合った等差数列の項であるとき、

c
−
b
=
b
−
a

{\displaystyle c-b=b-a}
 より、

2
b
=
a
+
c

{\displaystyle 2b=a+c}
 である。
また、

2
b
=
a
+
c

{\displaystyle 2b=a+c}
 が成り立つとき、

c
−
b
=
b
−
a

{\displaystyle c-b=b-a}
 より、

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 はこの順に隣り合った等差数列の項である。
以上より、

2
b
=
a
+
c
⟺

{\displaystyle 2b=a+c\iff }

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 はこの順に隣り合った等差数列の項
演習問題
2
,
2
x
−
1
,
x
2

{\displaystyle 2,2x-1,x^{2}}
 がこの順に隣り合った等差数列の項であるとき、

x

{\displaystyle x}
 を求めよ。
2
(
2
x
−
1
)
=
x
2

+
2

{\displaystyle 2(2x-1)=x^{2}+2}
 より

x
=
2

{\displaystyle x=2}
演習問題
150以下の自然数の内、7で割った余りが2である自然数の和を求めよ。
7で割った余りが2 である自然数は

7
n
+
2
(
n
≥
0
)

{\displaystyle 7n+2\,(n\geq 0)}
 と表せる。

7
n
+
2

{\displaystyle 7n+2}
 が 150以下の自然数となる条件は

7
n
+
2
≤
150

{\displaystyle 7n+2\leq 150}
 より

n
≤

148
7

=
21.148...

{\displaystyle n\leq {\frac {148}{7}}=21.148...}
 から、

n

{\displaystyle n}
 が21以下であればいい。150以下の自然数の内、7で割った余りが2である自然数の和は等差数列

7
n
+
2

{\displaystyle 7n+2}
の0項から21項までの和である。この和は1661である。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 において、定数

r

{\displaystyle r}
 が存在して、任意の自然数

n

{\displaystyle n}
 に対し

a
n
+
1

=
r
a
n

{\displaystyle a_{n+1}=ra_{n}}
 が成り立つとき、この数列を等比数列（geometric progression）といい、

r

{\displaystyle r}
 を公比（common ratio）という。
a
n
+
1

=
r
a
n

{\displaystyle a_{n+1}=ra_{n}}
 を変形すると

a
n
+
1

a
n

=
r

{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=r}
 である。等比数列は名前の通り隣り合った項の比が等しい数列である。
例えば、

3
,
6
,
12
,
24
,
48
,
⋯

{\displaystyle 3,6,12,24,48,\cdots }
 は初項 3 、公比 2 の等比数列である。
初項

a
1

{\displaystyle a_{1}}
 、公比

r

{\displaystyle r}
 の等比数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の各項を並べて書くと、
のようになることから、等比数列の一般項は

a
n

=
a
1

r
n
−
1

{\displaystyle a_{n}=a_{1}r^{n-1}}
 で与えられる。
初項

a
1

{\displaystyle a_{1}}
 、公比

r

{\displaystyle r}

(
≠
1
)

{\displaystyle (\neq 1)}
の等比数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の第1項から第 n 項までの和

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 は
S
n

=
a
1

+
a
1

r
+
a
1

r
2

+
⋯
+
a
1

r
n
−
2

+
a
1

r
n
−
1

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}r+a_{1}r^{2}+\cdots +a_{1}r^{n-2}+a_{1}r^{n-1}}
     (1)
である。両辺に

r

{\displaystyle r}
 をかけて
r
S
n

=
a
1

r
+
a
1

r
2

+
a
1

r
3

+
⋯
+
a
1

r
n
−
1

+
a
1

r
n

{\displaystyle rS_{n}=a_{1}r+a_{1}r^{2}+a_{1}r^{3}+\cdots +a_{1}r^{n-1}+a_{1}r^{n}}
     (2)
を得る。
(2) - (1) より

r
S
n

−
S
n

=
a
1

r
n

−
a
1

{\displaystyle rS_{n}-S_{n}=a_{1}r^{n}-a_{1}}
 なので、

S
n

=

a
1

(
r
n

−
1
)

r
−
1

{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}}
 である。
また

r
=
1

{\displaystyle r=1}
 のとき第1項から第 n 項までの和

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 は

S
n

=
n
a
1

{\displaystyle S_{n}=na_{1}}
 である。[2]
演習問題
初項3、 公比が4の等比数列の一般項を求め、この数列の第 1 項から第 n 項までの和

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 を求めよ。
a
n

=
3
⋅
4
n
−
1

{\displaystyle a_{n}=3\cdot 4^{n-1}}
S
n

=
4
n

−
1

{\displaystyle S_{n}=4^{n}-1}
それぞれ 0 ではない数

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 がこの順に隣り合った等比数列の項であるとき、

b
a

=

c
b

{\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}}
 より

b
2

=
a
c

{\displaystyle b^{2}=ac}
 が成り立つ。
また、

b
2

=
a
c

{\displaystyle b^{2}=ac}
 ならば、

b
a

=

c
b

{\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}}
 より、

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 がこの順に隣り合った等比数列の項である。
よって、

b
2

=
a
c
⟺

{\displaystyle b^{2}=ac\iff }

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 がこの順に隣り合った等比数列の項
ここで、総和を効率よく表せる表記法について学ぼう。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 に対し、この数列の第 m 項から第 n 項までの和を

∑
k
=
m

n

a
k

{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}}
 で表す。つまり
∑
k
=
m

n

a
k

=
a
m

+
a
m
+
1

+
a
m
+
2

+
⋯
+
a
n
−
1

+
a
n

{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}
である。[3]
例えば、

∑
k
=
2

4

(
k
2

−
2
k
)
=
(
2
2

−
2
⋅
2
)
+
(
3
2

−
2
⋅
3
)
+
(
4
2

−
2
⋅
4
)

{\displaystyle \sum _{k=2}^{4}(k^{2}-2k)=(2^{2}-2\cdot 2)+(3^{2}-2\cdot 3)+(4^{2}-2\cdot 4)}
 である。
ちなみにこの Σ はギリシア文字のシグマの大文字である。これは、Sum(和)を意味するラテン語 Summa の頭文字 S に対応するギリシャ文字である。
{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 と

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 と実数[4]

c

{\displaystyle c}
 に対し、
∑
k
=
m

n

(
a
k

+
b
k

)

=
(
a
m

+
b
m

)
+
(
a
m
+
1

+
b
m
+
1

)
+
⋯
+
(
a
n

+
b
n

)

=
(
a
m

+
a
m
+
1

+
⋯
+
a
n

)
+
(
b
m

+
b
m
+
1

+
⋯
+
b
n

)

=
∑
k
=
m

n

a
k

+
∑
k
=
m

n

b
k

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}(a_{k}+b_{k})&=(a_{m}+b_{m})+(a_{m+1}+b_{m+1})+\cdots +(a_{n}+b_{n})\\&=(a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n})+(b_{m}+b_{m+1}+\cdots +b_{n})\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}+\sum _{k=m}^{n}b_{k}\end{aligned}}}
[5]
また、
∑
k
=
m

n

c
a
k

=
c
a
m

+
c
a
m
+
1

+
⋯
+
c
a
n

=
c
(
a
m

+
a
m
+
1

+
⋯
+
a
n

)

=
c
∑
k
=
m

n

a
k

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}ca_{k}&=ca_{m}+ca_{m+1}+\cdots +ca_{n}\\&=c(a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n})\\&=c\sum _{k=m}^{n}a_{k}\end{aligned}}}
である。
ここで、

∑
k
=
1

n

k
=
1
+
2
+
⋯
+
n

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n}
 を求めてみよう。
等差数列で習ったことを思い出せば、

∑
k
=
1

n

k

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}
 は第1項が1、公差が1の等差数列の第 n 項までの和なので、

∑
k
=
1

n

k
=

1
2

n
(
n
+
1
)

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n(n+1)}
 である。
また、等比数列の和を総和記号を使って書き直せば、

∑
k
=
1

n

a
r
k
−
1

=

a
(
r
n

−
1
)

r
−
1

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}}
 である。
次に、

∑
k
=
1

n

k
2

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}}
 を求めてみよう。
(
k
+
1
)
3

−
k
3

=
3
k
2

+
3
k
+
1

{\displaystyle (k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1}
 である。ここで

k

{\displaystyle k}
 に 1 から

n

{\displaystyle n}
 までを代入したものはそれぞれ
2
3

−
1
3

=
3
⋅
1
2

+
3
⋅
1
+
1

{\displaystyle 2^{3}-1^{3}=3\cdot 1^{2}+3\cdot 1+1}
3
3

−
2
3

=
3
⋅
2
2

+
3
⋅
2
+
1

{\displaystyle 3^{3}-2^{3}=3\cdot 2^{2}+3\cdot 2+1}
4
3

−
3
3

=
3
⋅
3
2

+
3
⋅
3
+
1

{\displaystyle 4^{3}-3^{3}=3\cdot 3^{2}+3\cdot 3+1}
⋮

{\displaystyle \vdots }
(
n
+
1
)
3

−
n
3

=
3
n
2

+
3
n
+
1

{\displaystyle (n+1)^{3}-n^{3}=3n^{2}+3n+1}
である。この

n

{\displaystyle n}
 式をそれぞれ足し合わせると
左辺はほとんどが打ち消し合い、

(
n
+
1
)
3

−
1

{\displaystyle (n+1)^{3}-1}
 となるので
(
n
+
1
)
3

−
1
=
3
∑
k
=
1

n

k
2

+
3
∑
k
=
1

n

k
+
n

{\displaystyle (n+1)^{3}-1=3\sum _{k=1}^{n}k^{2}+3\sum _{k=1}^{n}k+n}
である。ここで

∑
k
=
1

n

k
=

1
2

n
(
n
+
1
)

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n(n+1)}
 を代入して

∑
k
=
1

n

k
2

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}}
 について整理すれば
∑
k
=
1

n

k
2

=

1
6

n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)}
を得る。
同様に

∑
k
=
1

n

k
3

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{k^{3}}}
 を求めることが出来る。
(
k
+
1
)
4

−
k
4

=
4
k
3

+
6
k
2

+
4
k
+
1

{\displaystyle (k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1}
 であるので、

k

{\displaystyle k}
 に 1 から

n

{\displaystyle n}
 までを代入してそれぞれを足し合わせれば、
(
n
+
1
)
4

−
1
=
4
∑
k
=
1

n

k
3

+
6
∑
k
=
1

n

k
2

+
4
∑
k
=
1

n

k
+
n

{\displaystyle (n+1)^{4}-1=4\sum _{k=1}^{n}k^{3}+6\sum _{k=1}^{n}k^{2}+4\sum _{k=1}^{n}k+n}
 である。これを変形して

4
∑
k
=
1

n

k
3

=
(
n
+
1
)
4

−
1
−
6
⋅

1
6

n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
−
4
⋅

1
2

n
(
n
+
1
)
−
n

=
(
n
4

+
4
n
3

+
6
n
2

+
4
n
)
−
(
2
n
3

+
3
n
2

+
n
)
−
2
(
n
2

+
n
)
−
n

=
n
4

+
2
n
3

+
n
2

=
n
2

(
n
2

+
2
n
+
1
)

=
n
2

(
n
+
1
)
2

{\displaystyle {\begin{aligned}4\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=(n+1)^{4}-1-6\cdot {\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)-4\cdot {\frac {1}{2}}n(n+1)-n\\&=(n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n)-(2n^{3}+3n^{2}+n)-2(n^{2}+n)-n\\&=n^{4}+2n^{3}+n^{2}\\&=n^{2}(n^{2}+2n+1)\\&=n^{2}(n+1)^{2}\end{aligned}}}
なので、

∑
k
=
1

n

k
3

=

1
4

n
2

(
n
+
1
)
2

=

{

1
2

n
(
n
+
1
)
}

2

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}={\frac {1}{4}}n^{2}(n+1)^{2}=\left\{{\frac {1}{2}}n(n+1)\right\}^{2}}
 である。[6]
演習問題
以下を計算せよ。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 に対し
で与えられる数列

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 を数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の階差数列という。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の階差数列

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 および初項

a
1

{\displaystyle a_{1}}
 を利用して

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の一般項を求めてみる
階差数列の定義から
b
1

=
a
2

−
a
1

{\displaystyle b_{1}=a_{2}-a_{1}}
b
2

=
a
3

−
a
2

{\displaystyle b_{2}=a_{3}-a_{2}}
b
3

=
a
4

−
a
3

{\displaystyle b_{3}=a_{4}-a_{3}}
⋮

{\displaystyle \vdots }
b
n
−
1

=
a
n

−
a
n
−
1

{\displaystyle b_{n-1}=a_{n}-a_{n-1}}
である。
それぞれの式を足し合わせれば
a
n

−
a
1

=
∑
k
=
1

n
−
1

b
k

{\displaystyle a_{n}-a_{1}=\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}}
つまり
演習問題
b
n

=
2
n
+
2

{\displaystyle b_{n}=2n+2}
 として数列

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 を定める。初項が 3 で、数列

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 を階差数列とする数列を

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 とする。数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の第 1 項から第 4 項までを求め、さらに、数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の一般項を求めよ。
a
1

=
3

{\displaystyle a_{1}=3}
a
2

=
b
1

+
a
1

=
7

{\displaystyle a_{2}=b_{1}+a_{1}=7}
a
3

=
b
2

+
a
2

=
13

{\displaystyle a_{3}=b_{2}+a_{2}=13}
a
4

=
b
3

+
a
3

=
21

{\displaystyle a_{4}=b_{3}+a_{3}=21}
である。
数列

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 を階差数列とする数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の第 n 項は
であることを思いだそう。
これを元に計算すれば、

n
≧
2

{\displaystyle n\geqq 2}
 のとき、
a
n

=
3
+
∑
k
=
1

n
−
1

(
2
k
+
2
)
=
3
+
(
n
−
1
)
n
+
2
(
n
−
1
)
=
n
2

+
n
+
1

{\displaystyle a_{n}=3+\sum _{k=1}^{n-1}(2k+2)=3+(n-1)n+2(n-1)=n^{2}+n+1}
である。

a
1

=
3

{\displaystyle a_{1}=3}
 だったので、この式は

n
=
1

{\displaystyle n=1}
 でも成り立つことが確かめられる。
数列の隣り合った項どうしの関係を表す式を漸化式（recurrence relation）という。
たとえば、上の漸化式を満たす数列は公差1の等差数列である。これだけでは数列は一意的には定まらないが、さらに初項を

a
1

=
1

{\displaystyle a_{1}=1}
 と与えると、自然数列
を得ることができる。ここでは漸化式が与えられたとき、それを満たす数列

a
n

{\displaystyle {a_{n}}}
 にはどのようなものがあるか、具体的に求める方法を考える。漸化式を満たす数列を求めることを、漸化式を解くという。
簡単なもう一つの例として、
のようなものがある。これは、
と変形することで、公比2の等比数列であることがわかる。

a
1

=
3

{\displaystyle a_{1}=3}
であることをあわせると、一般項は
であることがわかる。
一般に、漸化式

a
n
+
1

=
a
n

+
d

{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}
 を満たす数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 は等差数列なので、一般項は

a
n

=
a
1

+
(
n
−
1
)
d

{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
 である。
漸化式

a
n
+
1

=
r
a
n

{\displaystyle a_{n+1}=ra_{n}}
 を満たす数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 は等比数列なので、一般項は

a
n

=
a
1

r
n
−
1

{\displaystyle a_{n}=a_{1}r^{n-1}}
 である。
隣接二項間漸化式の定義は次のとおりである。
定義 ―
p, q を n に無関係な定数とし、数列

a
n

{\displaystyle {a_{n}}}
 の漸化式が
で表されるとき、この漸化式を（定数係数をもつ線型の）隣接二項間漸化式という。
このような隣接二項間漸化式は等差数列または等比数列に帰着できることが知られている。まず p = 1 のとき、漸化式は

a
n
+
1

=
a
n

+
q

{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+q}
 であるから、これは等差数列である。次に、 p ≠ 1 の場合を考える。
ここで、もし

a
n
+
1

=
p
a
n

+
q

{\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}+q}
 を

a
n
+
1

−
c
=
p
(
a
n

−
c
)

{\displaystyle a_{n+1}-c=p(a_{n}-c)}
 と変形することが出来れば、数列

{
a
n

−
c
}

{\displaystyle \{a_{n}-c\}}
 は等比数列であり、一般項は

a
n

−
c
=
p
n
−
1

(
a
1

−
c
)

{\displaystyle a_{n}-c=p^{n-1}(a_{1}-c)}
 である。よって

a
n

=
p
n
−
1

(
a
1

−
c
)
+
c

{\displaystyle a_{n}=p^{n-1}(a_{1}-c)+c}
 と数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の一般項を求めることができる。
さて、問題は

a
n
+
1

−
c
=
p
(
a
n

−
c
)

{\displaystyle a_{n+1}-c=p(a_{n}-c)}
 を満たす

c

{\displaystyle c}
 をどのように求めるかということだが、

a
n
+
1

−
c
=
p
(
a
n

−
c
)

{\displaystyle a_{n+1}-c=p(a_{n}-c)}
 を変形して

a
n
+
1

=
p
a
n

−
p
c
+
c

{\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}-pc+c}
 となる。これが

a
n
+
1

=
p
a
n

+
q

{\displaystyle a_{n+1}=pa_{n}+q}
 と等しくなるので、

q
=
−
p
c
+
c

{\displaystyle q=-pc+c}
 つまり、

c
=
p
c
+
q

{\displaystyle c=pc+q}
 となる

c

{\displaystyle c}
 を求めればよい。[7]
演習問題
a
1

=
3

{\displaystyle a_{1}=3}
 であり、漸化式

a
n
+
1

=
2
a
n

+
1

{\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}+1}
 を満たす数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 を求めよ。
c
=
−
1

{\displaystyle c=-1}
 は方程式

c
=
2
c
+
1

{\displaystyle c=2c+1}
 を満たすので、

a
n
+
1

+
1
=
2
(
a
n

+
1
)

{\displaystyle a_{n+1}+1=2(a_{n}+1)}
 と変形できる。なので数列

{
a
n

+
1
}

{\displaystyle \{a_{n}+1\}}
 は等比数列であり、一般項は

a
n

+
1
=
2
n
−
1

(
a
1

+
1
)

{\displaystyle a_{n}+1=2^{n-1}(a_{1}+1)}
 よって

a
n

=
2
n
+
1

−
1

{\displaystyle a_{n}=2^{n+1}-1}
 である。
隣接三項間漸化式の定義は次のとおりである。
定義 ―
p, q を n に無関係な定数とし、数列

a
n

{\displaystyle {a_{n}}}
 の漸化式が
で表されるとき、この漸化式を（定数係数をもつ線型の）隣接三項間漸化式という。
ここでは (1) の隣接三項間漸化式を等比数列に帰着して解く方法を考える。公比 β の等比数列
の一般項を

b
n

=
a
n
+
1

−
α
a
n

{\displaystyle b_{n}=a_{n+1}-\alpha a_{n}}
 で定義すると、
(2) の等比数列を (1) と係数比較すると、次の関係が得られる。
これは二次方程式の解と係数の関係であるから、二次方程式
の解 α, β を用いて、(1) の隣接三項間漸化式は (2) の等比数列の漸化式に帰着することができる。この二次方程式を隣接三項間漸化式の特性方程式という。特性方程式の2つの解は便宜上区別したもので、解の取り方によらない（以下の定理は α と β を入れ換えても成立する）。
隣接三項間漸化式

a
n
+
2

=
p
a
n
+
1

+
q
a
n

{\displaystyle a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}}
（p, q は n に無関係な定数）は、特性方程式

x
2

=
p
x
+
q

{\displaystyle x^{2}=px+q}
 の解 α, β を用いて、公比 β の等比数列

a
n
+
2

−
α
a
n
+
1

=
β
(
a
n
+
1

−
α
a
n

)

{\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_{n})}
 に変形することができる。
隣接三項間漸化式は等比数列

a
n
+
2

−
α
a
n
+
1

=
β
(
a
n
+
1

−
α
a
n

)

{\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_{n})}
 に変形することにより、等比数列の一般項の公式

a
n
+
1

−
α
a
n

=
(
a
2

−
α
a
1

)
β
n
−
1

{\displaystyle a_{n+1}-\alpha a_{n}=(a_{2}-\alpha a_{1})\beta ^{n-1}}
 を用いてただちに解くことができる。
(i)
(ii)
(iii)
の

a
n

{\displaystyle a_{n}}
をそれぞれ計算せよ。
ただし、
(aは任意の実数。)
とする。さらに、一般に
(b,cは任意の実数。)についても計算せよ。
(i)
特性方程式は、
となる。よって、この式は、
と書き換えられる。ここで、
と書き換えると、上の式は
となり、通常の等比数列の表式となる。ここで、
を用いると、
となる。ここで、
を再び用いると、
が得られる。
(ii),(iii)についても同様に計算を行うと、
が得られる。
次に、より一般的な場合について計算する。
について特性方程式を用いると、
となる。
よって、上の式は、
となる。
を用いると、
が得られる。
実際、
の結果を代入すると、
が得られ、上の結果と一致する。
(i)
(ii)
について
を計算せよ。
ただし、
漸化式の右辺が通常の数でないときには、それぞれ異なった手法で計算を進める必要がある。このような場合の一般的な計算は指導要領の範囲を超えるため、限られた場合について例を示すことにする。
(i)の場合については、右辺の

n

{\displaystyle n}
について、
を

n

{\displaystyle n}
を

n
+
1

{\displaystyle n+1}
とした
を引くことで右辺が定数に等しくなることに注意する。このとき、実際に引き算した値を計算すると、
が得られる。ただし、
とおいた。この式は、先ほど一般的に計算した式と等しいため、簡単に
を計算できる。ただし、今回は初期値である

b
1

{\displaystyle b_{1}}
の値が求められていないので、まずは

b
1

{\displaystyle b_{1}}
を計算しなくてはならない。ここで、
となり、

b
1

{\displaystyle b_{1}}
が求められた、この値を数列bnの初項として上の

b
n

{\displaystyle b_{n}}
に関する漸化式を解くと、
が得られる。ここで、
は数列

a
n

{\displaystyle a_{n}}
の階差数列に等しい。よって、
が得られる。この和を計算すると、
が得られる。
(ⅱ)
左辺は既に見た漸化式と同じ形であるが右辺に

a
n

{\displaystyle a^{n}}
(aは実数)が加わった点が異なる場合である。この場合にはまず最初に両辺を

a
n

{\displaystyle a^{n}}
で割るとよい。 このとき、上の式は
となる。更に

b
n

=

a
n

2
n
−
1

{\displaystyle b_{n}={\frac {a_{n}}{2^{n-1}}}}
の置き換えをすると、漸化式
が得られるがこれは既に扱った漸化式である。この式は
となり
が得られる。

b
n

=

a
n

2
n
−
1

{\displaystyle b_{n}={\frac {a_{n}}{2^{n-1}}}}
を用いると

b
1

=
a
1

=
a

{\displaystyle b_{1}=a_{1}=a}

が得られるので、これを用いて
が得られるが、この式から

a
n

=
2
n
−
1

b
n

{\displaystyle a_{n}=2^{n-1}b_{n}}
は、
となる。
自然数 1, 2, 3, 4, 5, ... は無限に存在するので、任意の自然数に関しての命題を証明するとき、1つ1つの自然数を列挙していくことは不可能である。そこで、ここでは任意の自然数に関して成り立つ命題を有限の手順で証明する方法を考える。
自然数

n

{\displaystyle n}
 に関する命題

P
(
n
)

{\displaystyle P(n)}
 [8]が任意の自然数に関して成り立つことを証明するには、次の2つの事柄を示せばよい。
2. の条件より n = 1 について P は真であるから、1. の条件より n + 1 = 1 + 1 = 2 についても P は真である。これより n = 2 について P は真であるから、n + 1 = 2 + 1 = 3 についても P が真であることがいえ、以下同様にすべての自然数に対して P は真であると結論できる。
このような証明法を数学的帰納法（mathematical induction）という。
数学的帰納法を用いて
を導出する。まずn=1のとき、
(lhsは左辺の意味。)
,そして
(rhsは右辺の意味。)
となり、確かに正しいことが分かる。次にn = lのときこのことが正しいと仮定する。このとき、
となり、n = l+1 のときにも、この式が正しいことが示された。よって数学的帰納法より、この式は1以上の全てのnについて成立する。
フィボナッチ数列は

1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,
13
,
21
,
⋯

{\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots }
 のように、前とその前の項の和が次の項になる数列である。
フィボナッチ数列の漸化式
は隣接三項間漸化式であるが、

a
n
+
2

−
a
n
+
1

−
a
n

=
0

{\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}-a_{n}=0}
 よりこの特性方程式は
である。これを解くと、
公比 β の等比数列の一般項に初項

a
1

=
1
,
a
2

=
1

{\displaystyle a_{1}=1,a_{2}=1}
 を代入すると、
ただし α + β = 1 より 1 - α = β という関係を使った。これは α と β を入れ換えても成り立つため、次の連立方程式が得られる。
辺々を引いて

a
n

{\displaystyle a_{n}}
 について解くと、
ここで

α
−
β
=

5

{\displaystyle \alpha -\beta ={\sqrt {5}}}
 であるから、求める一般項は次のようになる。
これはフィボナッチ数列の一般項を求める公式（ビネの公式、Binet's formula）として知られている。


本項は高等学校数学Bの「確率分布と統計的な推測」の解説です。
この分野は数学Iのデータの分析、数学Aの確率と関連があります。
同じく数学Bの数列、数学Ⅱの微分・積分の考えを既習であるものとします。また、この分野を学習後に同じく数学Bの数学と社会生活で扱うデータ解析の内容も参照することを推奨します。
k

{\displaystyle k}
は自然数で

1
≤
k
≤
n

{\displaystyle 1\leq k\leq n}
を満たすものとします。
試行の結果によってどの値をとるか定まり、とり得る値の各々に対してその値をとる確率が定まるような変数を確率変数と呼ぶ。
確率変数

X

{\displaystyle X}
のとり得る値が

x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
であるとき、

X

{\displaystyle X}
が値

x
k

{\displaystyle x_{k}}
をとる確率 を

P
(
X
=
x
k

)

{\displaystyle P(X=x_{k})}
、

a
≤
x
k

≤
b

{\displaystyle a\leq x_{k}\leq b}
である確率

P
(
a
≤
X
≤
b
)

{\displaystyle P(a\leq X\leq b)}
のように表す。
P
(
X
=
x
k

)

{\displaystyle P(X=x_{k})}
を

p
k

{\displaystyle p_{k}}
と表すこととすると、

x
k

{\displaystyle x_{k}}
と

p
k

{\displaystyle p_{k}}
の対応関係は以下のようになる。
この対応関係を

X

{\displaystyle X}
の確率分布あるいは単に分布と呼び、確率変数

X

{\displaystyle X}
はこの分布に従うという。
このとき、常に

p
k

≥
0

{\displaystyle p_{k}\geq 0}
であり、

∑
k
=
1

n

p
k

=
1

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=1}
である。
X

{\displaystyle X}
の確率分布が以下の表であるとする。
このとき、

∑
k
=
1

n

x
k

p
k

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}}
を

X

{\displaystyle X}
の期待値と呼び、

E
(
X
)

{\displaystyle E(X)}
または

m

{\displaystyle m}
または

μ

{\displaystyle \mu }
で表す（

μ

{\displaystyle \mu }
はギリシャ文字で、アルファベットの

m

{\displaystyle m}
に対応する文字である）。
次に、確率変数

(
X
−
m
)
2

{\displaystyle (X-m)^{2}}
を考える。この確率変数の期待値を

X

{\displaystyle X}
の分散と呼び、

V
(
X
)

{\displaystyle V(X)}
で表すこととする。このとき、期待値の定義から

V
(
X
)
=
E
{
(
X
−
m
)
2

}
=
∑
k
=
1

n

(
x
k

−
m
)
2

p
k

{\displaystyle V(X)=E\{(X-m)^{2}\}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-m)^{2}p_{k}}
であり、

V
(
X
)

{\displaystyle V(X)}
の単位は測定単位の二乗（例えば

X

{\displaystyle X}
の単位が

c
m

{\displaystyle cm}
なら

V
(
X
)

{\displaystyle V(X)}
の単位は

c
m
2

{\displaystyle cm^{2}}
）である。そこで、

V
(
X
)

{\displaystyle {\sqrt {V(X)}}}
を

X

{\displaystyle X}
の標準偏差と呼び、

σ
(
X
)

{\displaystyle \sigma (X)}
で表すこととする（

σ

{\displaystyle \sigma }
は

Σ

{\displaystyle \Sigma }
の小文字である）。
分散を表す式を変形すると、
V
(
X
)
=
∑
k
=
1

n

(
x
k

−
m
)
2

p
k

{\displaystyle V(X)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-m)^{2}p_{k}}
=
∑
k
=
1

n

(
x
k

2

−
2
m
x
k

+
m
2

)

{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}(x_{k}^{2}-2mx_{k}+m^{2})}
=
∑
k
=
1

n

x
k

2

p
k

−
2
m
∑
k
=
1

n

x
k

p
k

+
m
2

∑
k
=
1

n

p
k

{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}p_{k}-2m\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+m^{2}\sum _{k=1}^{n}p_{k}}
=
∑
k
=
1

n

x
k

2

p
k

−
2
m
⋅
m
+
m
2

⋅
1

{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}p_{k}-2m\cdot m+m^{2}\cdot 1}
=
∑
k
=
1

n

x
k

2

p
k

−
m
2

{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}p_{k}-m^{2}}
となり、

∑
k
=
1

n

x
k

2

p
k

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}p_{k}}
は確率変数

X
2

{\displaystyle X^{2}}
の期待値に等しいので

V
(
X
)
=
E
(
X
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

{\displaystyle V(X)=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}}
が成り立つ。
今までの事項を纏めると以下のようになる。
確率変数

X

{\displaystyle X}
の期待値・分散・標準偏差のことをそれぞれ

X

{\displaystyle X}
の分布の平均・分散・標準偏差とも呼ぶ。標準偏差は分布の平均を中心として

x
k

{\displaystyle x_{k}}
の散らばる傾向の程度を表しており、標準偏差の値が小さいほど

x
k

{\displaystyle x_{k}}
は分布の平均の近傍に集中する。
なお、分散と標準偏差を纏めて散布度、代表値と合わせて分布の特性値と呼ぶ場合がある。

X

{\displaystyle X}
の確率分布が以下の表であるとする。
a
,
b

{\displaystyle a,b}
を定数とすると、一次式

Y
=
a
X
+
b

{\displaystyle Y=aX+b}
で定められる

Y

{\displaystyle Y}
も確率変数となり、そのとる値は

y
k

=
a
x
k

+
b

{\displaystyle y_{k}=ax_{k}+b}
となる。よって

Y

{\displaystyle Y}
の確率分布は以下の表のようになる。
確率変数

X

{\displaystyle X}
に対して上のような

Y

{\displaystyle Y}
を考えることを確率変数の変換と呼ぶ。
Y

{\displaystyle Y}
の期待値・分散・標準偏差は以下のようになる。

E
(
Y
)
=
∑
k
=
1

n

y
k

p
k

=
∑
k
=
1

n

(
a
x
k

+
b
)
p
k

=
a
∑
k
=
1

n

x
k

p
k

+
b
∑
k
=
1

n

p
k

=
a
E
(
X
)
+
b

{\displaystyle E(Y)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}p_{k}=\sum _{k=1}^{n}(ax_{k}+b)p_{k}=a\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+b\sum _{k=1}^{n}p_{k}=aE(X)+b}
V
(
Y
)
=
∑
k
=
1

n

{
y
k

−
E
(
Y
)
}
2

p
k

=
a
2

∑
k
=
1

n

{
x
k

−
E
(
X
)
}
2

p
k

=
a
2

V
(
X
)

{\displaystyle V(Y)=\sum _{k=1}^{n}\{y_{k}-E(Y)\}^{2}p_{k}=a^{2}\sum _{k=1}^{n}\{x_{k}-E(X)\}^{2}p_{k}=a^{2}V(X)}

∵
y
k

−
E
(
Y
)
=
a
x
k

+
b
−
{
a
E
(
X
)
+
b
}
=
a
{
x
k

−
E
(
X
)
}

{\displaystyle \because y_{k}-E(Y)=ax_{k}+b-\{aE(X)+b\}=a\{x_{k}-E(X)\}}
σ
(
Y
)
=

V
(
Y
)

=
|
a
|

V
(
X
)

=
|
a
|
σ
(
X
)

{\displaystyle \sigma (Y)={\sqrt {V(Y)}}=|a|{\sqrt {V(X)}}=|a|\sigma (X)}
確率変数

X
,
Y
,
Z
,
⋯

{\displaystyle X,Y,Z,\cdots }
と実数

a
,
b
,
c
,
⋯

{\displaystyle a,b,c,\cdots }
に対し

X
=
a
,
Y
=
b
,
Z
=
c
,
⋯

{\displaystyle X=a,Y=b,Z=c,\cdots }
が同時に成り立つ確率を

P
(
X
=
a
,
Y
=
b
,
Z
=
c
,
⋯
)

{\displaystyle P(X=a,Y=b,Z=c,\cdots)}
のように表すこととする。
2つの確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
についてとりうる値がそれぞれ

x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
n

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
、

y
1

,
y
2

,
⋯
,
y
m

{\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m}}
であるとする。

P
(
X
=
x
i

,
Y
=
y
j

)
=
r
i
j

{\displaystyle P(X=x_{i},Y=y_{j})=r_{ij}}
とおいたとき、以下の表のように全ての

i
,
j

{\displaystyle i,j}
の組み合わせにおいて

(
x
i

,
y
j

)

{\displaystyle (x_{i},y_{j})}
と

p
i
j

{\displaystyle p_{ij}}
との対応が得られる。
このような対応を

X

{\displaystyle X}
と

Y

{\displaystyle Y}
の同時分布という。
各

i
,
j

{\displaystyle i,j}
について、それぞれ

P
(
X
=
x
i

)
=
∑
j
=
1

m

r
i
j

=
p
i

,
P
(
Y
=
y
j

)
=
∑
i
=
1

n

r
i
j

=
q
j

{\displaystyle P(X=x_{i})=\sum _{j=1}^{m}r_{ij}=p_{i},P(Y=y_{j})=\sum _{i=1}^{n}r_{ij}=q_{j}}
が成り立つので、

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
の確率分布はそれぞれ以下のようになる。
2つの確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
について、和

X
+
Y

{\displaystyle X+Y}
もまた確率変数であり、同時分布表と確率変数変換の等式から、確率変数の和の期待値について

E
(
X
+
Y
)
=
E
(
X
)
+
E
(
Y
)

{\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)}
、

E
(
a
X
+
b
Y
)
=
a
E
(
X
)
+
b
E
(
Y
)

{\displaystyle E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)}
が成り立つことがわかる。これは確率変数が3つ以上であっても同様に成り立つ。
一般に2つの事象

A
,
B

{\displaystyle A,B}
において

P
A

(
B
)
=
P
(
B
)

{\displaystyle P_{A}(B)=P(B)}
が成り立つとき、事象

A

{\displaystyle A}
が起こることは事象

B

{\displaystyle B}
の起こる確率に無関係である。これを事象

A

{\displaystyle A}
は事象

B

{\displaystyle B}
に独立であるという。このとき、確率の乗法定理により

P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)

{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}
が成り立つ。この式は

P
B

(
A
)
=
P
(
A
)

{\displaystyle P_{B}(A)=P(A)}
と同値であるため、事象

B

{\displaystyle B}
が起こることも事象Aの起こる確率に無関係、つまり事象

B

{\displaystyle B}
は事象

A

{\displaystyle A}
に独立であると言える。よって、

P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)

{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}
が成り立つとき、2つの事象

A
,
B

{\displaystyle A,B}
は互いに独立である。独立でない場合は2つの事象

A
,
B

{\displaystyle A,B}
は従属であるという。なお、事象

A
,
B

{\displaystyle A,B}
の独立・従属と対応する確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
の独立・従属は一致する。
2つの確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
について、積

X
Y

{\displaystyle XY}
もまた確率変数である。

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
が互いに独立なとき、同時分布表より確率変数の積の期待値は以下のように計算される。
E
(
X
Y
)
=
∑
i
=
1

n

∑
j
=
1

m

(
x
i

y
j

)
(
p
i

q
j

)
=
∑
i
=
1

n

x
i

p
i

⋅
∑
j
=
1

m

y
j

q
j

=
E
(
X
)
E
(
Y
)

{\displaystyle E(XY)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(x_{i}y_{j})(p_{i}q_{j})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}\cdot \sum _{j=1}^{m}y_{j}q_{j}=E(X)E(Y)}
これは3つ以上の確率変数においても互いに独立ならば成立する。
確率変数

X
+
Y

{\displaystyle X+Y}
の分散について考える。
V
(
X
+
Y
)
=
E
{
(
X
+
Y
)
2

}
−
{
E
(
X
+
Y
)
}
2

{\displaystyle V(X+Y)=E\{(X+Y)^{2}\}-\{E(X+Y)\}^{2}}
=
E
(
X
2

+
2
X
Y
+
Y
2

)
−
{
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
}
2

{\displaystyle =E(X^{2}+2XY+Y^{2})-\{E(X)+E(Y)\}^{2}}
=
E
(
X
2

)
+
2
E
(
X
Y
)
+
E
(
Y
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

−
2
E
(
X
)
E
(
Y
)
−
{
E
(
Y
)
}
2

{\displaystyle =E(X^{2})+2E(XY)+E(Y^{2})-\{E(X)\}^{2}-2E(X)E(Y)-\{E(Y)\}^{2}}
このとき、確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
が互いに独立ならば

E
(
X
Y
)
=
E
(
X
)
E
(
Y
)

{\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y)}
を用いることで、
上式

=
E
(
X
2

)
+
E
(
Y
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

−
{
E
(
Y
)
}
2

{\displaystyle =E(X^{2})+E(Y^{2})-\{E(X)\}^{2}-\{E(Y)\}^{2}}
=
[
E
(
X
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

]
+
[
E
(
Y
2

)
−
{
E
(
Y
)
}
2

]

{\displaystyle =[E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}]+[E(Y^{2})-\{E(Y)\}^{2}]}
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)

{\displaystyle =V(X)+V(Y)}
と変形できる。
同様に、確率変数変換の等式より確率変数

X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
が互いに独立ならば

V
(
a
X
+
b
Y
)
=
a
2

V
(
X
)
+
b
2

V
(
Y
)

{\displaystyle V(aX+bY)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)}
が成り立つ。
これらは3つ以上の確率変数においても互いに独立ならば成立する。
確率変数

X
Y

{\displaystyle XY}
の分散について考える。
分散の性質より

V
(
X
Y
)
=
E
(
X
2

Y
2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

{
E
(
Y
)
}
2

{\displaystyle V(XY)=E(X^{2}Y^{2})-\{E(X)\}^{2}\{E(Y)\}^{2}}
と変形できる。
X
,
Y

{\displaystyle X,Y}
が互いに独立ならば

X
2

,
Y
2

{\displaystyle X^{2},Y^{2}}
も互いに独立であるので、

E
(
X
2

Y
2

)
=
E
(
X
2

)
E
(
Y
2

)

{\displaystyle E(X^{2}Y^{2})=E(X^{2})E(Y^{2})}
が成り立つ。
よって

V
(
X
Y
)
=
E
(
X
2

)
E
(
Y
2

)
−

E
(
X
)

2

E
(
Y
)

2

{\displaystyle V(XY)=E(X^{2})E(Y^{2})-{E(X)}^{2}{E(Y)}^{2}}
となる。
ここで分散の性質より上式は

[
V
(
X
)
+
{
E
(
X
)
}
2

]
[
V
(
Y
)
+
{
E
(
Y
)
}
2

]
−
{
E
(
X
)
}
2

{
E
(
Y
)
}
2

{\displaystyle [V(X)+\{E(X)\}^{2}][V(Y)+\{E(Y)\}^{2}]-\{E(X)\}^{2}\{E(Y)\}^{2}}
と変形できるので、
展開して

V
(
X
Y
)
=
V
(
X
)
V
(
Y
)
+
{
E
(
X
)
}
2

V
(
Y
)
+
{
E
(
Y
)
}
2

V
(
X
)

{\displaystyle V(XY)=V(X)V(Y)+\{E(X)\}^{2}V(Y)+\{E(Y)\}^{2}V(X)}
となる。
これは3つ以上の確率変数においても互いに独立ならば成立する。
なお、上記で紹介した確率変数の和の分散、確率変数の積の期待値・分散については、確率変数が従属である場合には確率変数のとる値を用いて直接計算する必要がある。
確率

p

{\displaystyle p}
で

A

{\displaystyle A}
か

B

{\displaystyle B}
かの2通りの結果をとる試行を独立に

n

{\displaystyle n}
回繰り返したとき、

A

{\displaystyle A}
が起こる回数

X

{\displaystyle X}
の確率分布は反復試行の確率より以下のようになる。ただし、

0
<
p
<
1
,
q
=
1
−
p

{\displaystyle 0<p<1,q=1-p}
である。
表の確率は二項定理の展開式の各項と一致している。
このような分布のことを二項分布と呼び、

B
(
n
,
p
)

{\displaystyle B(n,p)}
のように書く。ここでは、確率変数

X

{\displaystyle X}
が二項分布

B
(
n
,
p
)

{\displaystyle B(n,p)}
に従うことを

X
∼
B
(
n
,
p
)

{\displaystyle X\sim B(n,p)}
と表すこととする。
事象

A

{\displaystyle A}
の起こる確率が

p

{\displaystyle p}
である試行を独立に

n

{\displaystyle n}
回行うとき、第

k

{\displaystyle k}
回目の試行で事象

A

{\displaystyle A}
が起これば

1

{\displaystyle 1}
、起こらなければ

0

{\displaystyle 0}
の値をとる確率変数を

X
k

{\displaystyle X_{k}}
とおく。
このとき、

P
(
X
k

=
1
)
=
p
,
P
(
X
k

=
0
)
=
q

{\displaystyle P(X_{k}=1)=p,P(X_{k}=0)=q}
なので期待値の定義より

E
(
X
k

)
=
1
⋅
p
+
0
⋅
q
=
p

{\displaystyle E(X_{k})=1\cdot p+0\cdot q=p}
である。
また、

E
(
X
k

2

)
=
1
2

⋅
p
+
0
2

⋅
1
=
p

{\displaystyle E(X_{k}^{2})=1^{2}\cdot p+0^{2}\cdot 1=p}
より

V
(
X
k

)
=
E
(
X
k

2

)
−
{
E
(
X
)
}
2

=
p
−
p
2

=
p
(
1
−
p
)
=
p
q

{\displaystyle V(X_{k})=E(X_{k}^{2})-\{E(X)\}^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}
である。
X
=
∑
k
=
1

n

X
k

{\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}
とおくと、確率変数

X

{\displaystyle X}
は

n

{\displaystyle n}
回の反復試行において事象

A

{\displaystyle A}
が起こる回数であるから、

X
∼
B
(
n
,
p
)

{\displaystyle X\sim B(n,p)}
である。
よって、確率変数の和の期待値・分散を求める公式を用いて、
E
(
X
)
=
E
(
∑
k
=
1

n

X
k

)
=
∑
k
=
1

n

E
(
X
k

)
=
∑
k
=
1

n

p
=
n
p

{\displaystyle E(X)=E(\sum _{k=1}^{n}X_{k})=\sum _{k=1}^{n}E(X_{k})=\sum _{k=1}^{n}p=np}
V
(
X
)
=
V
(
∑
k
=
1

n

X
k

)
=
∑
k
=
1

n

V
(
X
k

)
=
∑
k
=
1

n

p
q
=
n
p
q

{\displaystyle V(X)=V(\sum _{k=1}^{n}X_{k})=\sum _{k=1}^{n}V(X_{k})=\sum _{k=1}^{n}pq=npq}
である。
纏めると、以下のようになる。

度数分布表で表された、ある変量

X

{\displaystyle X}
についてのデータがある。このとき、

X

{\displaystyle X}
が階級値をとる確率はその階級の相対度数であると考えて良い。つまり、

X

{\displaystyle X}
は階級値の値をとる確率変数であり、その分布は相対度数の分布と一致する。この確率分布を図示するには、各階級の上の長方形の面積がその階級の相対度数を表すようなヒストグラムを書けば良い。
データの大きさを増し、階級の幅も狭くしていくと、ヒストグラムの形は一つの曲線に近づいていく。そこで、連続的な値をとる確率変数

X

{\displaystyle X}
に対し、

a
≤
X
≤
b

{\displaystyle a\leq X\leq b}
となる確率が

y

{\displaystyle y}
ー

x

{\displaystyle x}
グラフ上の曲線

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
と直線

x
=
a
,
x
=
b

{\displaystyle x=a,x=b}
と

x

{\displaystyle x}
軸で囲まれた領域の面積で表されるように一つの曲線を対応させる。このような曲線を

X

{\displaystyle X}
の分布曲線という。
連続的な値をとる確率変数を連続型確率変数といい、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
を確率密度関数と呼ぶ。なお、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の定義域は実数全体のことも、その一部分のこともある。今まで扱ってきたような、飛び飛びの値をとる確率変数は離散型確率変数と呼ぶ。
以下、特に断りがない場合、確率変数は連続型であるとする。
確率変数

X

{\displaystyle X}
のとる値の範囲が

α
≤
X
≤
β

{\displaystyle \alpha \leq X\leq \beta }
でその確率密度関数が

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
であるとき、期待値・分散・標準偏差は定積分を用いて以下のように定義される。
E
(
X
)
=
m
=
∫
α

β

x
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle E(X)=m=\int _{\alpha }^{\beta }xf(x)\,dx}
V
(
X
)
=
∫
α

β

(
x
−
m
)
2

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle V(X)=\int _{\alpha }^{\beta }(x-m)^{2}f(x)\,dx}
σ
(
X
)
=

V
(
X
)

{\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {V(X)}}}
これは

α
=
−
∞
,
β
=
∞

{\displaystyle \alpha =-\infty ,\beta =\infty }
の場合も含む。
離散型確率変数の期待値・分散の公式と比べると、

∑
k
=
1

n

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}}
を

∫
α

β

{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }}
に、

x
k

{\displaystyle x_{k}}
を

x

{\displaystyle x}
に、

p
k

{\displaystyle p_{k}}
を

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
に置き換えただけで同じ形をしていることがわかる。
確率密度関数のグラフを直線

x
=
u

{\displaystyle x=u}
で区切った左側の面積を

F
(
u
)

{\displaystyle F(u)}
と置くと、

F
(
u
)

{\displaystyle F(u)}
は

x

{\displaystyle x}
が

u

{\displaystyle u}
以下の値を取る確率（累積確率）に一致する。このとき、

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
を累積分布関数と呼ぶ。その定義より、累積分布関数と確率密度関数の間には

F
(
x
)
=
∫
−
∞

x

f
(
t
)
d
t
⟺
f
(
x
)
=
F
′
(
x
)

{\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt\iff f(x)=F'(x)}
という関係がある。つまり、確率密度関数の

x
=
u

{\displaystyle x=u}
における値

f
(
u
)

{\displaystyle f(u)}
は累積分布関数

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
の

x
=
u

{\displaystyle x=u}
における微分係数である。
確率変数

X

{\displaystyle X}
が実数

m

{\displaystyle m}
と正の実数

σ

{\displaystyle \sigma }
を用いて表される関数

f
(
x
)
=

1

2
π

σ

e
−

(
x
−
m
)
2

2
σ
2

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
を確率密度関数に持つとき、この

X

{\displaystyle X}
の分布を正規分布またはガウス分布と呼び、

N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle N(m,\sigma ^{2})}
のように表す。また、曲線

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
を正規分布曲線と呼ぶ。ここでは、確率変数

X

{\displaystyle X}
が正規分布

N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle N(m,\sigma ^{2})}
に従うことを

X
∼
N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle X\sim N(m,\sigma ^{2})}
と表すこととする。
X
∼
N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle X\sim N(m,\sigma ^{2})}
のとき、

m
=
E
(
X
)
,
σ
=
σ
(
X
)

{\displaystyle m=E(X),\sigma =\sigma (X)}
が成り立つ。証明は数Ⅲレベルの積分の知識が必要なため省略する。なお、

e
=
2.71828
⋯

{\displaystyle e=2.71828\cdots }
は「ネイピア数」と呼ばれる無理数である。詳しくは数学Ⅲの微分で扱う。
また、以下のような性質がある。
正規分布は連続型確率変数の分布の代表例である。身の周りの現象の中には、観測される変量の分布が正規分布に近いものが多くあり、正規分布を有効に利用することができる。最も有名な例を出すと、偏差値の導出に利用されている。
正規分布のうち、特に

N
(
0
,
1
)

{\displaystyle N(0,1)}
を標準正規分布と呼ぶ。
X
∼
N
(
m
,
σ
2

)

{\displaystyle X\sim N(m,\sigma ^{2})}
のとき、

Y
=
a
X
+
b

{\displaystyle Y=aX+b}
とすると

Y
∼
N
(
a
m
+
b
,
a
2

σ
2

)

{\displaystyle Y\sim N(am+b,a^{2}\sigma ^{2})}
であることが知られている。そこで

Z
=

X
−
m
σ

{\displaystyle Z={\frac {X-m}{\sigma }}}
とすると

Z
∼
N
(
0
,
1
)

{\displaystyle Z\sim N(0,1)}
であり、

f
(
z
)
=

1
2
π

e
−

z
2

n

{\displaystyle f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {z^{2}}{n}}}}
が成り立つ。
このように、正規分布に従うある確率変数を標準正規分布に従う確率変数に変換することを、標準化と呼ぶ。
標準正規分布に従う確率変数

Z

{\displaystyle Z}
において

P
(
0
≤
Z
≤
u
)
=
p
(
u
)

{\displaystyle P(0\leq Z\leq u)=p(u)}
としたとき、

p
(
u
)

{\displaystyle p(u)}
がとる値を纏めた表を（標準）正規分布表と呼ぶ。正規分布を利用する際には必須になる表であり、大学入試においても問題冊子の最後の方に載せられていることが多い。本書の最終項に載せているので、演習問題を解くときに利用すると良い。
標準正規分布における確率について、次の等式が成り立つ。
P
(
−
u
≤
Z
≤
0
)
=
P
(
0
≤
Z
≤
u
)
=
p
(
u
)

{\displaystyle P(-u\leq Z\leq 0)=P(0\leq Z\leq u)=p(u)}
P
(
−
u
≤
Z
≤
u
)
=
2
p
(
u
)

{\displaystyle P(-u\leq Z\leq u)=2p(u)}
P
(
Z
≤
0
)
=
P
(
Z
≥
0
)
=
0.5

{\displaystyle P(Z\leq 0)=P(Z\geq 0)=0.5}
なお、正規分布表の値は累積密度関数

F
(
x
)
=

1
+
e
r
f
(

x
−
m

2

σ

)
2

{\displaystyle F(x)={\frac {1+{erf}({\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }})}{2}}}
の

x
=
u

{\displaystyle x=u}
における微分係数であり、正規分布表を用いて求める確率ではないことに注意。ここで

e
r
f
(
x
)

{\displaystyle {erf}(x)}
は誤差関数と呼ばれる特殊関数で、

e
r
f
(
x
)
=

2
π

∫
0

x

e
−
t
2

d
t

{\displaystyle {erf}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}
で定義される。
二項分布

B
(
n
,
p
)

{\displaystyle B(n,p)}
に従う確率変数

X

{\displaystyle X}
について、

X
=
r

{\displaystyle X=r}
となる確率を

n

{\displaystyle n}
を大きくしながら計算し、そのグラフを書くと、次第にグラフが左右対称になっていくことがわかる。
そこで、二項分布を正規分布で近似することを考える。
一般に、ある確率分布に従う変数を正規分布に従う変数に近似する変換を正規化あるいは正規近似と呼ぶ。
二項分布に従う確率変数を正規化した後、さらに標準化することで正規分布表を活用することができる。先ほどの標準化の式に

m
=
n
p
,
σ
=

n
p
q

{\displaystyle m=np,\sigma ={\sqrt {npq}}}
を代入するだけなので、そこまで手間はかからない。
なお、二項分布においてはベルヌーイ試行の確率

p

{\displaystyle p}
が0.5に近ければ近いほど正規近似の精度が上がることが知られている。

調べたい対象全体のデータを集める調査を全数調査と呼ぶ。国勢調査などがこれにあたる。全数調査は対象が厖大な場合に多くの労力・時間・費用を必要とする。また、工場等においては調査によって製品が傷つく場合（耐久試験など）には好ましくない。このような場合、対象全体から一部を抜き出して調べ、その結果から全体の状況を推測する調査を行う。このような調査を標本調査と呼ぶ。
標本調査における調べたい対象全体の集合を母集団、調査のために母集団から抜き出された要素の集合を標本と呼び、母集団から標本を抜き出すことを標本の抽出と呼ぶ。また、母集団の要素の個数を母集団の大きさ、標本の要素の個数を標本の大きさと呼ぶ。なお、ここでの「母」は「そこから何かを生じさせるもとになるもの」を意味する（「酵母」、「母校」等と同じ用法）。
標本調査では標本を母集団の正しい縮図にするために、標本が特別な属性を持つものに偏らないようにする必要がある。母集団の各要素を等しい確率で抽出することを無作為抽出と呼び、無作為抽出で選ばれた標本を無作為標本と呼ぶ。無作為抽出では乱数賽や乱数表などが用いられることがある。詳しくは「w:乱数生成」を参照。
全ての要素を母集団全体から無作為抽出することは容易ではないため、層化抽出法、クラスター抽出法、多段抽出法などさまざまな抽出方法が編み出されており、それぞれに長所・短所が存在する。
母集団に属する要素についてのデータをある変量の値の集合と考えることで、 ここまで扱ってきたような統計的手法が使える。
大きさ

N

{\displaystyle N}
の母集団において、変量

x

{\displaystyle x}
のとる値と要素の個数をそれぞれ

x
1

x
2

⋯
x
r

,
f
1

f
2

⋯
f
n

{\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{r},f_{1}f_{2}\cdots f_{n}}
と置く。
このとき、変量xの度数分布表は以下のようになる。
また、変量

x

{\displaystyle x}
の平均

μ

{\displaystyle \mu }
と標準偏差

σ

{\displaystyle \sigma }
は以下のように求められる。
μ
=

1
N

∑
k
=
1

n

x
k

f
k

=
∑
k
=
1

n

x
k

f
k

N

{\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}f_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {f_{k}}{N}}}
σ
=

1
N

∑
k
=
1

n

(
x
k

−
μ
)
2

f
k

=

∑
k
=
1

n

(
x
k

−
μ
)
2

f
k

N

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\mu)^{2}f_{k}}}={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\mu)^{2}{\frac {f_{k}}{N}}}}}
この母集団から大きさ

n
=
1

{\displaystyle n=1}
で無作為抽出するとき、その要素における変量

x

{\displaystyle x}
の値

X

{\displaystyle X}
は偶然に支配されるが、

X
=
x
k

{\displaystyle X=x_{k}}
となる確率

p
k

{\displaystyle p_{k}}
は

p
k

=

f
k

N

{\displaystyle p_{k}={\frac {f_{k}}{N}}}
で与えられる。
よって

X

{\displaystyle X}
は以下のような確率分布を持つ確率変数と考えられる。
この確率分布は母集団の相対度数の分布と一致する。
一般に、母集団における変量xの分布を母集団分布、その平均値を母平均、分散を母分散、標準偏差を母標準偏差と呼ぶ。
上の確率分布から、大きさ1の無作為標本における変量

x

{\displaystyle x}
の値

X

{\displaystyle X}
と母平均

μ

{\displaystyle \mu }
、母分散

σ
2

{\displaystyle \sigma ^{2}}
、母標準偏差

σ

{\displaystyle \sigma }
について、

E
(
X
)
=
μ
,
V
(
X
)
=
σ
2

,
σ
(
X
)
=
σ

{\displaystyle E(X)=\mu ,V(X)=\sigma ^{2},\sigma (X)=\sigma }
が成り立つ。
実際の統計では母集団の大きさが非常に大きく、母集団分布は度数分布と同様に連続型確率変数の分布として近似される。そこで、正規分布に近似することで具合が良くなる場合が多い。
母集団から標本を抽出するのに、毎回元に戻しながら次のものを取り出す抽出を復元抽出と呼ぶ。逆に、取り出したものを戻さずに続けて抽出することを非復元抽出と呼ぶ。
大きさ

n

{\displaystyle n}
の標本の要素における変量

x

{\displaystyle x}
の値を

X
1

,
X
2

⋯
X
n

{\displaystyle X_{1},X_{2}\cdots X_{n}}
と置く。標本が復元抽出によるものならば、母集団から大きさ1の標本を無作為抽出することを

n

{\displaystyle n}
回繰り返す反復試行であるから、

X
k

{\displaystyle X_{k}}
はそれぞれが母集団分布に従う互いに独立な確率変数となる。非復元抽出の場合でも、母集団の大きさ

N

{\displaystyle N}
が標本の大きさ

n

{\displaystyle n}
より十分大きい（

N
>>
n

{\displaystyle N>>n}
）場合には近似的に復元抽出による標本と見なすことができる。
大きさ

n

{\displaystyle n}
の標本について、

X
¯

=

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}}
を標本平均、

S
2

=

1
n

∑
k
=
1

n

(
X
k

−

X
¯

)
2

{\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}
を標本分散、

S
=

1
n

∑
k
=
1

n

(
X
k

−

X
¯

)
2

{\displaystyle S={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}}}
を標本標準偏差と呼ぶ。
X
k

{\displaystyle X_{k}}
は「母集団から標本を抽出する」という試行の結果で値が定まる確率変数なので、

X
¯

,
S
2

,
S

{\displaystyle {\overline {X}},S^{2},S}
も同様の試行の結果で値が定まる確率変数である。
復元抽出の場合、確率変数の値

X
k

{\displaystyle X_{k}}
は大きさ1の標本の確率変数と見なすことができ、それぞれ母集団分布に従うので、

E
(
X
k

)
=
μ
,
V
(
X
k

)
=
σ
2

,
σ
(
X
k

)
=
σ

{\displaystyle E(X_{k})=\mu ,V(X_{k})=\sigma ^{2},\sigma (X_{k})=\sigma }
が成り立つ。
X
k

{\displaystyle X_{k}}
はそれぞれ互いに独立なので、確率変数の和の期待値・分散を求める公式より

E
(

X
¯

)
=
E
(

1
n

∑
k
=
1

n

x
k

)
=

1
n

∑
k
=
1

n

E
(
X
k

)
=

1
n

⋅
n
μ
=
μ

{\displaystyle E({\overline {X}})=E({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k})={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}E(X_{k})={\frac {1}{n}}\cdot n\mu =\mu }

V
(

X
¯

)
=
V
(

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

)
=

1
n
2

∑
k
=
1

n

V
(
X
k

)
=

1
n
2

⋅
n
σ
2

=

σ
2

n

{\displaystyle V({\overline {X}})=V({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k})={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}V(X_{k})={\frac {1}{n^{2}}}\cdot n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}

σ
(

X
¯

)
=

V
(

X
¯

)

=

σ
n

{\displaystyle \sigma ({\overline {X}})={\sqrt {V({\overline {X}})}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}
非復元抽出の場合も

N
>>
n

{\displaystyle N>>n}
ならば同様である。
母集団全体の中である特性Aを持つ要素の割合を特性Aの母比率、標本の中で特性Aを持つ要素の割合を特性Aの標本比率と呼ぶ。
特性Aの母比率が

p

{\displaystyle p}
である十分大きな母集団から、大きさがnの標本を無作為抽出するとき、標本の中で特性Aを持つ要素の個数を

T

{\displaystyle T}
とおくと、

T
∼
B
(
n
,
p
)

{\displaystyle T\sim B(n,p)}
である。ここで、

q
=
1
−
p

{\displaystyle q=1-p}
として正規化すると、近似的に

T
∼
N
(
n
p
,
n
p
q
)

{\displaystyle T\sim N(np,npq)}
である。
特性Aの標本比率を

R

{\displaystyle R}
とおくと、

R
=

T
n

{\displaystyle R={\frac {T}{n}}}
より

R

{\displaystyle R}
は確率変数であり、

E
(
R
)
=

1
n

E
(
T
)
=

1
n

⋅
n
p
=
p

{\displaystyle E(R)={\frac {1}{n}}E(T)={\frac {1}{n}}\cdot np=p}
V
(
R
)
=

1
n
2

E
(
T
)
=

1
n
2

⋅
n
p
q
=

p
q
n

{\displaystyle V(R)={\frac {1}{n^{2}}}E(T)={\frac {1}{n^{2}}}\cdot npq={\frac {pq}{n}}}
であるので、近似的に

R
∼
N
(
p
,

p
q
n

)

{\displaystyle R\sim N(p,{\frac {pq}{n}})}
である。
特性Aの母比率が

p

{\displaystyle p}
である母集団において、特性Aを持つ要素を1、持たない要素を0で表す変量

x

{\displaystyle x}
を考える。このとき、

X
k

{\displaystyle X_{k}}
はそれぞれ1または0である。特性Aの標本比率

R

{\displaystyle R}
はこれらのうち値が1であるものの割合であるから、

R
=

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

=

X
¯

{\displaystyle R={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}={\overline {X}}}
が成り立つ。よって、標本比率は標本平均の特別な場合である。
一般に、標本平均

X
¯

{\displaystyle {\overline {X}}}
について以下の法則が成り立つ。
標本標準偏差について、

lim
n
→
∞

σ
(

X
¯

)
=
lim
n
→
∞

σ
n

=
0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma ({\overline {X}})=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}=0}
より、

n

{\displaystyle n}
が大きくなると

X
¯

{\displaystyle {\overline {X}}}
は母平均

μ

{\displaystyle \mu }
の近くに集中して分布する。すなわち、

X
¯

{\displaystyle {\overline {X}}}
が

μ

{\displaystyle \mu }
に近い値をとる確率を

p

{\displaystyle p}
とすると、

lim
n
→
∞

p
=
1

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }p=1}
である。
lim
n
→
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}
は「

n

{\displaystyle n}
を限りなく大きくする」という意味の記号である。詳しくはこちらを参照。
したがって、以下が成り立つ。
母集団が大きいとき、母平均を求めるには時間も労力も相当にかかる。そこで、標本平均から母平均を推定することを考える。
標本の大きさ

n

{\displaystyle n}
が大きいとき、近似的に

X
¯

∼
N
(
μ
,

σ
2

n

)

{\displaystyle {\overline {X}}\sim N(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}})}
であるのは先程学んだ。

X
¯

{\displaystyle {\overline {X}}}
の標準化を考えて

Z
=

X
¯

−
μ

σ
n

{\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}
とおくと、近似的に

Z
∼
N
(
0
,
1
)

{\displaystyle Z\sim N(0,1)}
である。
ここで正規分布表より

P
(
|
Z
|
≤
1.96
)
≒
0.95

{\displaystyle P(|Z|\leq 1.96)\fallingdotseq 0.95}
なので、
P
(
μ
−
1.96
⋅

σ
n

≤

X
¯

≤
μ
+
1.96
⋅

σ
n

)
≒
0.95

{\displaystyle P(\mu -1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\overline {X}}\leq \mu +1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})\fallingdotseq 0.95}
すなわち

P
(

X
¯

−
1.96
⋅

σ
n

≤
μ
≤

X
¯

+
1.96
⋅

σ
n

)
≒
0.95

{\displaystyle P({\overline {X}}-1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\overline {X}}+1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})\fallingdotseq 0.95}
である。
この式は区間

X
¯

−
1.96
⋅

σ
n

≤
x
≤

X
¯

+
1.96
⋅

σ
n

{\displaystyle {\overline {X}}-1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq x\leq {\overline {X}}+1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}
が値

μ

{\displaystyle \mu }
を含むことが約95%の確実さで期待できることを示している。
この区間を母平均

μ

{\displaystyle \mu }
に対する信頼度95%の信頼区間と呼び、

[

X
¯

−
1.96
⋅

σ
n

,

X
¯

+
1.96
⋅

σ
n

]

{\displaystyle [{\overline {X}}-1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]}
のように表す。
母平均

μ

{\displaystyle \mu }
に対して信頼度95％の信頼区間を求めることを、「母平均

μ

{\displaystyle \mu }
を信頼度95％で区間推定する」という。
信頼度95％とは、大きさ

n

{\displaystyle n}
の無作為抽出を繰り返し、得られたそれぞれの標本平均に対し区間推定をして信頼区間を多数作ると、母平均

μ

{\displaystyle \mu }
の含まれる区間が95%の割合で現れることが期待できることを指している。
信頼度99％で推定する場合、正規分布表より

P
(
|
Z
|
≤
2.58
)
≒
0.99

{\displaystyle P(|Z|\leq 2.58)\fallingdotseq 0.99}
なので、信頼区間は

[

X
¯

−
2.58
⋅

σ
n

,

X
¯

+
2.58
⋅

σ
n

]

{\displaystyle [{\overline {X}}-2.58\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+2.58\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]}
となる。
なお、実際の統計では母標準偏差

σ

{\displaystyle \sigma }
がわからない場合が多いので、

n

{\displaystyle n}
が大きいときは代わりに標本標準偏差

S

{\displaystyle S}
を用いて良い。
母平均と同様、標本比率

R

{\displaystyle R}
から母比率

p

{\displaystyle p}
を区間推定することもできる。
標本の大きさ

n

{\displaystyle n}
が大きいとき、先ほど学んだように

R
∼
N
(
p
,
n
p
q
)

{\displaystyle R\sim N(p,npq)}
である。したがって、母平均の推定の場合と同様に考えて

P
(
R
−
1.96

n
p
n

≤
p
≤
R
+
1.96

p
q
n

)

{\displaystyle P(R-1.96{\sqrt {\frac {np}{n}}}\leq p\leq R+1.96{\sqrt {\frac {pq}{n}}})}
である。
q
=
1
−
p

{\displaystyle q=1-p}
であり、大数の法則より

n

{\displaystyle n}
が大きいとき

p

{\displaystyle p}
は

R

{\displaystyle R}
と見做して良いから、

Q
=
1
−
R

{\displaystyle Q=1-R}
とおくと、母比率

p

{\displaystyle p}
に対する信頼度95％の信頼区間は

[
R
−
1.96

R
Q
n

,
R
+
1.96

R
Q
n

]

{\displaystyle [R-1.96{\sqrt {\frac {RQ}{n}}},R+1.96{\sqrt {\frac {RQ}{n}}}]}
である。
信頼度99％で推定する場合、標本平均の場合と同様に考えて信頼区間は

[
R
−
2.58

R
Q
n

,
R
+
2.58

R
Q
n

]

{\displaystyle [R-2.58{\sqrt {\frac {RQ}{n}}},R+2.58{\sqrt {\frac {RQ}{n}}}]}
となる。
X
k

{\displaystyle X_{k}}
のとる値は1または0であるから、

X
k

2

=
X
k

{\displaystyle X_{k}^{2}=X_{k}}
である。ここで

R
=

X
¯

{\displaystyle R={\overline {X}}}
を用いると、標本分散

S
2

{\displaystyle S^{2}}
について以下のように変形できる。
S
2

=

1
n

∑
k
=
1

n

(
X
k

−

X
¯

)
2

{\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}
=

1
n

∑
k
=
1

n

(
X
k

2

−
2
X
k

X
¯

+

X
2

¯

)

{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(X_{k}^{2}-2X_{k}{\overline {X}}+{\overline {X^{2}}})}
=

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

2

−

2
n

⋅
n

X
¯

⋅
∑
k
=
1

n

X
k

+

X
2

¯

{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}^{2}-{\frac {2}{n}}\cdot n{\overline {X}}\cdot \sum _{k=1}^{n}X_{k}+{\overline {X^{2}}}}
=

1
n

∑
k
=
1

n

X
k

−
2

X
2

¯

+

X
2

¯

{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}X_{k}-2{\overline {X^{2}}}+{\overline {X^{2}}}}
=

X
¯

−

X
2

¯

{\displaystyle ={\overline {X}}-{\overline {X^{2}}}}
=
R
−
R
2

{\displaystyle =R-R^{2}}
=
R
(
1
−
R
)

{\displaystyle =R(1-R)}
先ほど母標準偏差

p
q

(
q
=
1
−
p
)

{\displaystyle {\sqrt {pq}}(q=1-p)}
を確率変数

R
Q

(
Q
=
1
−
R
)

{\displaystyle {\sqrt {RQ}}(Q=1-R)}
で置き換えたが、上式より

R
Q

=
S

{\displaystyle {\sqrt {RQ}}=S}
なので、この置き換えは母平均の推定で行なった「母標準偏差

σ

{\displaystyle \sigma }
を標本標準偏差

S

{\displaystyle S}
で置き換える」ことの特別な場合である。
ここでは信頼区間を大括弧[]で表したが、実は一般に区間

a
≤
x
≤
b

{\displaystyle a\leq x\leq b}
は「閉区間」と呼ばれ、

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a,b]}
で表される。詳しくは数学Ⅲの極限で扱う。
なお、ある区間でもって母集団の特性値を推定する区間推定に対し、一つの値から母集団の特性値を推定することを点推定と呼ぶ。例として、大数の法則を利用して標本平均から母平均を近似することが挙げられる。区間推定と点推定を合わせて統計的推定と呼ぶ。
数学Iで扱ったように、仮説検定とは以下の手順で仮説が正しいか判断する手法である。
なお、仮説[2]が正しくないと判断できないとき、仮説[1]の真偽を判断することはできない
仮説[1]を対立仮説、仮説[2]を帰無仮説と呼び、仮説が正しくないと判断することを「仮説を棄却する」という。棄却の基準となる確率を有意水準あるいは危険率と呼び、

α

{\displaystyle \alpha }
で表す。有意水準にはよく5%（

α
=
0.05

{\displaystyle \alpha =0.05}
）、1%（

α
=
0.01

{\displaystyle \alpha =0.01}
）が用いられる。有意水準に対して帰無仮説が棄却されるような確率変数の値の範囲を棄却域と呼ぶ。また、有意水準

α

{\displaystyle \alpha }
を用いて仮説検定を行うことを「有意水準

α

{\displaystyle \alpha }
で検定する」という。なお、対立仮説、帰無仮説をそれぞれ「仮説

H
1

{\displaystyle H_{1}}
：〇〇」「仮説

H
0

{\displaystyle H_{0}}
：☆☆（〇〇でない）」のように表すこともある。また、仮説が棄却されないことを「仮説を採択する」という場合がある。
数学Iでは、公正なコインを投げて裏表の出る回数を調べる試行の相対度数から帰無仮説のもとで事象が起こる確率を求めたが、ここでは正規分布を利用することを考える。
母比率の検定において、帰無仮説のもとで二項分布に従う確率変数

X

{\displaystyle X}
を設定すると、正規分布表を利用することができる。
上の例題において、正規近似と標準化を同時に行なっていることに注意。
母平均の検定も、同様に行うことができる。
なお、上の例題において

α
=
0.05

{\displaystyle \alpha =0.05}
ならば帰無仮説を棄却できる。このように、有意水準の値を変えると結論が変わる場合がある。
上の二つの例題では、棄却域を正規分布の両側にとっている。このような検定を両側検定と呼ぶ。
両側検定に対し、棄却域を正規分布の片側にとる検定を片側検定と呼ぶ。
両側検定との違いは、対立仮説が「確率（平均）値が示されている値通りである」でなく「確率（平均）値が上がった（下がった）」である点である。
棄却域を片側にとっているため、正規分布で近似する値は

1
−
α

{\displaystyle 1-\alpha }
ではなく

0.5
−
α

{\displaystyle 0.5-\alpha }
であることに注意。
仮説検定の問題を解く際は、文脈から両側検定なのか片側検定なのか判断することになるので、文章読解力が必要になる。
なお、実際に検定を行うとき、「両側検定・片側検定の片方で帰無仮説が棄却されないからもう片方を試す」という操作は「検証が恣意的」と判断されてしまう可能性があるためしてはいけない。
仮説検定を行うと、2種類の誤りが生じる可能性がある。
一つは、帰無仮説が本当は正しいのにも拘らず、得られたデータが棄却域に入ってしまったことにより帰無仮説が棄却されることである。これを第一種の過誤と呼ぶ。このとき有意水準

α

{\displaystyle \alpha }
は第一種の過誤が起こる確率であり、有意水準のことを「危険率」とも呼ぶのはこれが理由である。
もう一つは、帰無仮説が本当は誤っているにも拘らず、得られたデータが棄却域に入らなかったために帰無仮説を採択してしまうことである。これを第二種の過誤と呼ぶ。
纏めると、以下の表のようになる。
この二つの過誤を品質管理に当てはめると、第一種の過誤は「本当は製品に問題がないにも拘らず、製品の検査段階で不良品と判断して出荷しないこと」に対応し、生産者リスクと呼ばれる。また、第二種の過誤は「本当は製品に問題があるにも拘らず、検査段階で問題なしと判断され出荷されてしまうこと」に対応し、消費者リスクと呼ばれる。
p
(
−
u
)
=
p
(
u
)

{\displaystyle p(-u)=p(u)}
なので、

u

{\displaystyle u}
が正の値のときみ記載する。


本項は高等学校数学Bの「数学的と社会生活」の解説です。