ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。
右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。
半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。
動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。
負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。
いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。
半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに
となる。また弧度法の単位（rad）はしばしば省略される。
弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。（このことは数学IIIで学ぶ）
扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S は
と表せる。
一般角が

θ

{\displaystyle \theta }
 の半直線と単位円が交わる円を

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 とする。このときの

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 の座標を

(
cos

θ
,
sin

θ
)

{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta)}
 とすることで、関数

sin
,
cos

{\displaystyle \sin ,\cos }
 を定める。また、

tan

θ
=

sin

θ

cos

θ

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}
 とすることで関数

tan

θ

{\displaystyle \tan \theta }
 を定める。

tan

θ

{\displaystyle \tan \theta }
 は一般角が

θ

{\displaystyle \theta }
 の動径の傾きに等しい。
また、三角関数の累乗は

(
sin

θ
)
n

=
sin
n

θ

{\displaystyle (\sin \theta)^{n}=\sin ^{n}\theta }
 と表記される。
cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に

−

π
2

{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
だけ平行移動したものである。
y
=
sin

θ

{\displaystyle y=\sin \theta }
 や

y
=
cos

θ

{\displaystyle y=\cos \theta }
 の形をした曲線のことを 正弦曲線 （せいげんきょくせん）という。
関数

sin
,
cos

{\displaystyle \sin ,\cos }
 の値域はどちらも、

[
−
1
,
1
]

{\displaystyle [-1,1]}
 である。
右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、
直線OPと 直線x＝1 との交点を T とすると、
Tの座標は
になる。
このことを利用して、 y＝tan θ のグラフをかくことができる。
y=tan θ のグラフは、下図のようになる。
y=tan θ のグラフでは、θの値が

π
2

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
 に近づいていくと、
直線

θ
=

π
2

{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}
 に限りなく近づいていく。
このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 （ぜんきんせん）という。
同様に考え、次の直線も y＝tanθ の漸近線である。
は y＝tanθ の漸近線である。
一般に、
はy=tanθのグラフの漸近線である。[1]
一般角が

θ

{\displaystyle \theta }
 の動径は一回転しても等しいので、一般角が

θ
+
2
π

{\displaystyle \theta +2\pi }
 の動径と等しい。これより三角関数の周期性
sin

(
θ
+
2
π
n
)

=
sin

θ

cos

(
θ
+
2
π
n
)

=
cos

θ

tan

(
θ
+
2
π
n
)

=
tan

θ

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi n)&=\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi n)&=\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi n)&=\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
点

(
cos

θ
,
sin

θ
)

{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta)}
 を

π

{\displaystyle \pi }
 回転した点

(
cos

(
θ
+
π
)
,
sin

(
θ
+
π
)
)

{\displaystyle (\cos(\theta +\pi),\sin(\theta +\pi))}
 は原点を中心に点対称移動した点

(
−
cos

θ
,
−
sin

θ
)

{\displaystyle (-\cos \theta ,-\sin \theta)}
 であることから
sin

(
θ
+
π
)

=
−
sin

θ

cos

(
θ
+
π
)

=
−
cos

θ

tan

(
θ
+
π
)

=
tan

θ

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi)&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi)&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi)&=\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
点

(
cos

θ
,
sin

θ
)

{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta)}
 を

x

{\displaystyle x}
 軸で線対称移動移動した点が

(
cos

(
−
θ
)
,
sin

(
−
θ
)
)
=
(
cos

θ
,
−
sin

θ
)

{\displaystyle (\cos(-\theta),\sin(-\theta))=(\cos \theta ,-\sin \theta)}
 であることから
sin

(
−
θ
)

=
−
sin

θ

cos

(
−
θ
)

=
cos

θ

tan

(
−
θ
)

=
−
tan

θ

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta)&=-\sin \theta \\\cos(-\theta)&=\cos \theta \\\tan(-\theta)&=-\tan \theta \end{aligned}}}
を得る。
単位円周上の点

(
cos

θ
,
sin

θ
)

{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta)}
 から原点までの距離は 1 なので、

sin
2

θ
+
cos
2

θ
=
1

{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
 が成り立つ。
また、この式に、

tan

θ
=

sin

θ

cos

θ

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}
 つまり、

sin

θ
=
tan

θ
cos

θ

{\displaystyle \sin \theta =\tan \theta \cos \theta }
 を代入すれば、

1
+
tan
2

θ
=

1

cos
2

θ

{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}}
 が成り立つことがわかる。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 に対して、0 でない実数

p

{\displaystyle p}
 が存在して、

f
(
x
+
p
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle f(x+p)=f(x)}
 となるとき関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は周期関数という。実数

p

{\displaystyle p}
 が上の性質を満たすとき、

−
p
,
2
p

{\displaystyle -p,2p}
 など、実数

p

{\displaystyle p}
 を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数

p

{\displaystyle p}
 の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。
sin

x
,
cos

x

{\displaystyle \sin x,\cos x}
 は周期を

2
π

{\displaystyle 2\pi }
 とする周期関数であり、

tan

x

{\displaystyle \tan x}
 は周期を

π

{\displaystyle \pi }
 とする周期関数である。
演習問題
k

{\displaystyle k}
 を0でない実数とする。関数

sin

k
x

{\displaystyle \sin kx}
 の周期を言え
解答
sin

k
(
x
+

2
π
k

)
=
sin

k
x

{\displaystyle \sin k\left(x+{\frac {2\pi }{k}}\right)=\sin kx}
 なので答えは

2
π
k

{\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}}
 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が

f
(
−
x
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle f(-x)=f(x)}
 を満たすとき、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は偶関数という。偶関数は

y

{\displaystyle y}
 軸に関して対称なグラフになる。
また、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が

f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)

{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
 を満たすとき、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。
関数

cos

θ
,
x
2
n

{\displaystyle \cos \theta ,x^{2n}}
 (

n

{\displaystyle n}
 は整数)は偶関数となる。
関数

sin

x
,
x
2
n
+
1

{\displaystyle \sin x,x^{2n+1}}
 (

n

{\displaystyle n}
 は整数)は奇関数となる。
tan

θ

{\displaystyle \tan \theta }
 は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。
解答
なので、

tan

θ

{\displaystyle \tan \theta }
 は奇関数である。[2]
関数

y
=
sin

(
θ
−

π
3

)

{\displaystyle y=\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)}
 のグラフは、

y
=
sin

θ

{\displaystyle y=\sin \theta }
のグラフを θ軸方向に

π
3

{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
 だけ平行移動させたものになり、周期は

2
π

{\displaystyle 2\pi }
 である。（平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は

2
π

{\displaystyle 2\pi }
 のままである。）
関数 y＝2sin θ のグラフの形は y＝sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y＝sin θ と同じく 2π である。
ー1 ≦  sin θ ≦  1　　なので、
値域は　　ー2 ≦  2sin θ ≦  2　　である。
関数 y＝sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に

1
2

{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
 倍に縮小したものになっている。
したがって、周期も

1
2

{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
 倍になっており、y=sinθ の周期は

2
π

{\displaystyle 2\pi }
 だから、y=sin2θ の周期は

π

{\displaystyle \pi }
 である。
三角関数の加法定理
が成り立つ。
証明
任意の実数

α
,
β

{\displaystyle \alpha ,\beta }
 に対し、単位円周上の点

A
(
cos

α
,
sin

α
)
,
B
(
cos

β
,
sin

β
)

{\displaystyle \mathrm {A} (\cos \alpha ,\sin \alpha),\mathrm {B} (\cos \beta ,\sin \beta)}
 をとる。このとき、 線分

A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 の長さの2乗

A
B

2

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}}
 は余弦定理を使うことにより
A
B

2

=
2
−
2
cos

(
α
−
β
)

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=2-2\cos(\alpha -\beta)}
である。次に三平方の定理を使って
A
B

2

=
(
cos

α
−
cos

α
)
2

+
(
sin

α
−
sin

β
)
2

=
2
−
2
(
cos

α
cos

β
+
sin

α
sin

β
)

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=(\cos \alpha -\cos \alpha)^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta)^{2}=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta)}
これを整理して
cos

(
α
−
β
)
=
cos

α
cos

β
+
sin

α
sin

β

{\displaystyle \cos(\alpha -\beta)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }
を得る。
cos

(
α
+
β
)
=
cos

(
α
−
(
−
β
)
)
=
cos

α
cos

(
−
β
)
+
sin

α
sin

(
−
β
)
=
cos

α
cos

β
−
sin

α
sin

β

{\displaystyle \cos(\alpha +\beta)=\cos(\alpha -(-\beta))=\cos \alpha \cos(-\beta)+\sin \alpha \sin(-\beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }
である。
以上をまとめて
cos

(
α
±
β
)
=
cos

α
cos

β
∓
sin

α
sin

β

{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
を得る。
ここで、
sin

(
α
±
β
)
=
−
cos

(
α
+

π
2

±
β
)
=
−
{
cos

(
α
+

π
2

)
cos

(
β
)
∓
sin

(
α
+

π
2

)
sin

β
}
=
sin

α
cos

β
±
cos

α
sin

β

{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta)=-\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\pm \beta)=-\{\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\cos(\beta)\mp \sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\sin \beta \}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
[3]
さらに、

tan

x

{\displaystyle \tan x}
 についても
tan

(
α
±
β
)

=

sin

(
α
±
β
)

cos

(
α
±
β
)

=

sin

α
cos

β
±
cos

α
sin

β

cos

α
cos

β
∓
sin

α
sin

β

=

sin

α
cos

β

cos

α
cos

β

±

cos

α
sin

β

cos

α
cos

β

cos

α
cos

β

cos

α
cos

β

∓

sin

α
sin

β

cos

α
cos

β

=

tan

α
±
tan

β

1
∓
tan

α
tan

β

{\textstyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta)&={\frac {\sin(\alpha \pm \beta)}{\cos(\alpha \pm \beta)}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}\\&={\cfrac {{\cfrac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\cfrac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\cfrac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\mp {\cfrac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}\\&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}}
が成り立つ。
加法定理を用いて以下が証明できる。
sin

2
α
=
sin

(
α
+
α
)
=
2
sin

α
cos

α

{\displaystyle \sin 2\alpha =\sin(\alpha +\alpha)=2\sin \alpha \cos \alpha }
cos

2
α
=
cos

(
α
+
α
)
=
cos
2

α
−
sin
2

α
=
2
cos
2

α
−
1
=
1
−
2
sin
2

α

{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos(\alpha +\alpha)=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }
tan

2
α
=

2
tan

α

1
−
tan
2

α

{\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}
次に、

cos

{\displaystyle \cos }
 の倍角の公式を変形すると
sin
2

α
=

1
−
cos

2
α
2

{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}
cos
2

α
=

1
+
cos

2
α
2

{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}
である。
演習問題
解答
sin

15
∘

=
sin

(
45
∘

−
30
∘

)
=

6

−

2

4

{\displaystyle \sin 15^{\circ }=\sin(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}
cos

15
∘

=
cos

(
45
∘

−
30
∘

)
=

6

+

2

4

{\displaystyle \cos 15^{\circ }=\cos(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}
tan
2

α
=

sin
2

α

cos
2

α

=

1
−
cos

2
α

1
+
cos

2
α

{\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}}
今までの定理をまとめると、次のようになる。
覚え方
加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。
cos

{\displaystyle \cos }
 の倍角の公式

cos

2
θ
=
2
cos
2

θ
−
1
=
1
−
2
sin
2

θ

{\displaystyle \cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta }
 は

±
1
∓
2

a
a
a

2

θ

{\displaystyle \pm 1\mp 2\mathrm {aaa} ^{2}\theta }
 という形を覚えて

sin

{\displaystyle \sin }
 は符号が

−

{\displaystyle -}
、1 の符号はその逆と覚えます。
2乗の三角関数

sin
2

θ
=

1
−
cos

2
θ
2

,
cos
2

θ
=

1
+
cos

2
θ
2

{\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}
 は、

1
±
cos

2
θ
2

{\displaystyle {\frac {1\pm \cos 2\theta }{2}}}
 という形を覚えて、

sin

{\displaystyle \sin }
 は符号が

−

{\displaystyle -}
 と考えます。
三角関数の和
において、

a
,
b
≠
0

{\displaystyle a,b\neq 0}
 のとき
{

a

a
2

+
b
2

}

2

+

{

b

a
2

+
b
2

}

2

=
1

{\displaystyle \left\{{\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}+\left\{{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}=1}
 であるので、点

(

a

a
2

+
b
2

,

b

a
2

+
b
2

)

{\displaystyle \left({\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)}
 は単位円周上の点なので、
となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。
演習問題
r
,
α

{\displaystyle r,\alpha }
 は

r
>
0
,
−
π
≤
α
<
π

{\displaystyle r>0,-\pi \leq \alpha <\pi }
 を満たすとする。
解答
sin

θ
−

3

cos

θ

=
2
(

1
2

sin

θ
−

3
2

cos

θ
)

=
2
(
sin

θ
cos

π
3

−
cos

θ
sin

π
3

)

=
2
sin

(
θ
−

π
3

)

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -{\sqrt {3}}\cos \theta &=2\left({\frac {1}{2}}\sin \theta -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta \right)\\&=2\left(\sin \theta \cos {\frac {\pi }{3}}-\cos \theta \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)\\\end{aligned}}}
三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ
となる。
加法定理
から、 (1) + (2) より
(1) - (2) より
(3) + (4) より
(3) - (4) より
が得られる。
A
=
α
+
β
,
B
=
α
−
β

{\displaystyle A=\alpha +\beta ,\,B=\alpha -\beta }
 とおくと、

α
=

A
+
B
2

,
β
=

A
−
B
2

{\displaystyle \alpha ={\frac {A+B}{2}},\,\beta ={\frac {A-B}{2}}}
 である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ
が得られる。
覚え方
積→和の公式は、上2つは

α

{\displaystyle \alpha }
 と

β

{\displaystyle \beta }
 を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。

sin

sin

{\displaystyle \sin \sin }
 の公式は

cos

cos

{\displaystyle \cos \cos }
 の公式の符号を2つ

−

{\displaystyle -}
 にしたものになっている。
和→積の公式は、

a
a
a
−

a
a
a

{\displaystyle {\rm {{aaa}-{\rm {aaa}}}}}
 の式は

a
a
a
+

a
a
a

{\displaystyle {\rm {{aaa}+{\rm {aaa}}}}}
 の公式の

cos

{\displaystyle \cos }
 と

sin

{\displaystyle \sin }
 を逆にした形になっている。
オシロスコープで おんさ の音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。
しかし、実際の楽器の音は、正弦波とは違う。オシロスコープでギターやバイオリンなどの楽器の音を測定すると、正弦波でない波形が繰り返されている。
これら実際の楽器の音の波形は、周期の異なる複数個の正弦波を重ね合わせた波形になっている。
ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい)
複素数に拡張した指数関数、三角関数では

e
i
θ

=
cos

θ
+
i
sin

θ

{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }

という関係式が成り立つ。ただし、

e

{\displaystyle e}
 はネイピア数で

e
≈
2.7

{\displaystyle e\approx 2.7}
 である。ここで、

θ

{\displaystyle \theta }
 に

π

{\displaystyle \pi }
 を代入すると

e
i
π

+
1
=
0

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。
(1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ
1)

150

{\displaystyle 150}

2)

720

{\displaystyle 720}
(2)

sin

π
/
2

{\displaystyle \sin \pi /2}
の値を求めよ


ここでは微分積分の概念について理解し、多項式関数の微分積分を学ぶ。また、微分の応用を応用して接線の方程式やグラフの概形などを求めたり、積分を応用してグラフの面積を求める。微分積分は物理学や工学などさまざまな分野で応用されている。
中学校では、一次関数と

y
=
a
x
2

{\displaystyle y=ax^{2}}
の変化の割合を求めただろう。ここでは、同じものを平均変化率と呼ぶことにする。一般の関数

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 の平均変化率を考えてみたい。中学校で学習したことと同様に考えると、

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 において、

x

{\displaystyle x}
 が

a

{\displaystyle a}
 から

b

{\displaystyle b}
 まで変化したときの平均変化率は、「

y

{\displaystyle y}
 の変化量/

x

{\displaystyle x}
 の変化量」で求められる。つまり、

f
(
b
)
−
f
(
a
)

b
−
a

{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
 である。
例
y
=
x
2

+
2
x
+
1

{\displaystyle y=x^{2}+2x+1}
 において、

x

{\displaystyle x}
 が-1から3まで変化したときの平均変化率を求める。
(
3
2

+
2
⋅
3
+
1
)
−
(
(
−
1
)
2

+
2
⋅
(
−
1
)
+
1
)

3
−
(
−
1
)

{\displaystyle {\frac {(3^{2}+2\cdot 3+1)-((-1)^{2}+2\cdot (-1)+1)}{3-(-1)}}}

=
4

{\displaystyle =4}
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 において、

x

{\displaystyle x}
 が

a

{\displaystyle a}
 とは異なる値をとりながら限りなく

a

{\displaystyle a}
 に近づくとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が限りなく

A

{\displaystyle A}
 に近づくことを、

lim
x
→
a

f
(
x
)
=
A

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)=A}
 とかく。
lim
x
→
0

3
x

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}3x}
を求める。
x

{\displaystyle x}
を、

1
,
0.1
,
0.01
,
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots }
と限りなく0に近づけてみる。すると、

3
x

{\displaystyle 3x}
は、

3
,
0.3
,
0.03
,
0.003
,
⋯

{\displaystyle 3,0.3,0.03,0.003,\cdots }
と、限りなく0に近づくことがわかる。
よって、

x

{\displaystyle x}
を限りなく0に近づけると、

3
x

{\displaystyle 3x}
は限りなく0に近づくので、

lim
x
→
0

3
x
=
0

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}3x=0}
である。
次に、

lim
x
→
1

x
2

−
1

x
−
1

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
を求める。
x

{\displaystyle x}
を、

1.1
,
1.01
,
1.001
,
0.0001
,
1.00001
,
⋯

{\displaystyle 1.1,1.01,1.001,0.0001,1.00001,\cdots }
と、限りなく1に近づけてみると、

x
2

−
1

x
−
1

{\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
は、

2.1
,
2.01
,
2.001
,
2.0001
,
2.00001
,
⋯

{\displaystyle 2.1,2.01,2.001,2.0001,2.00001,\cdots }
と、限りなく2に近づく。
なので、

lim
x
→
1

x
2

−
1

x
−
1

=
2

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2}
である。
これは、式に値を代入する前に、式自体を約分してしまった方が簡単に計算できる。すなわち、

x
2

−
1

x
−
1

=

(
x
+
1
)
(
x
−
1
)

x
−
1

{\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}}
であり、

x

{\displaystyle x}
を1とは異なる値を取りながら限りなく1に近づけるとき

x
≠
1

{\displaystyle x\neq 1}
なので、これは約分でき、

x
2

−
1

x
−
1

=

(
x
+
1
)
(
x
−
1
)

x
−
1

=
x
+
1

{\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}
である。
なので、

lim
x
→
1

x
2

−
1

x
−
1

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}}
を求めるには、

lim
x
→
1

(
x
+
1
)

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(x+1)}
を求めれば良い。
lim
x
→
1

(
x
+
1
)
=
2

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(x+1)=2}
であるので、

lim
x
→
1

x
2

−
1

x
−
1

=
2

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2}
と求めることができる。
※発展　最初の例では、

x

{\displaystyle x}
を、

1
,
0.1
,
0.01
,
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots }
と、限りなく0に近づけたが、

2
,
0.2
,
0.02
,
0.002
,
⋯

{\displaystyle 2,0.2,0.02,0.002,\cdots }
や、

−
1
,
−
0.1
,
−
0.01
,
−
0.001
,
⋯

{\displaystyle -1,-0.1,-0.01,-0.001,\cdots }
のように近づけてみても

x

{\displaystyle x}
は限りなく0に近づく。他にも、

1
,
−
0.1
,
0.01
,
−
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,-0.1,0.01,-0.001,\cdots }
や

0.1
,
0.5
,
0.01
,
0.05
,
⋯

{\displaystyle 0.1,0.5,0.01,0.05,\cdots }
など

x

{\displaystyle x}
を0に近づかせる方法はいくらでも考えられる。
もちろん、この例では、

x

{\displaystyle x}
をどのように近づけたとしても極限の値は変わらない。
しかし、

x

{\displaystyle x}
を、

1
,
0.1
,
0.01
,
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots }
と近づけたとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は

α

{\displaystyle \alpha }
に近づくが、

x

{\displaystyle x}
を、

2
,
0.2
,
0.02
,
0.002
,
⋯

{\displaystyle 2,0.2,0.02,0.002,\cdots }
と近づけたら、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は

α

{\displaystyle \alpha }
に近づかない。そんな関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
だってあるだろう。
なぜ

x

{\displaystyle x}
を

1
,
0.1
,
0.01
,
0.001
,
⋯

{\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots }
と、近づけただけで、極限の値を求めることが出来るのか?と疑問に思う人もいるかも知れない。
極限を厳密に定義するには、イプシロンデルタ論法を使う必要がある。しかし、高校生には少し難しいと考える人が多いので高校ではあまり教えられていない。
なので、この本では、イプシロンデルタ論法を使わず、曖昧な方法で極限を定義した。なので、上のような疑問を持った人は、その疑問について深く考えずに先に進むか、イプシロンデルタ論法を学ぶかしてほしい。
関数

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 の傾きについて考えてみよう。
x

{\displaystyle x}
 が

a

{\displaystyle a}
 から

a
+
h

{\displaystyle a+h}
 まで変化したときの平均変化率は
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h

{\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
である。このとき、

h

{\displaystyle h}
 を限りなく0に近づければ

a

{\displaystyle a}
 での傾きを求めることができる。つまり、関数

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 の

a

{\displaystyle a}
 での傾きは
lim
h
→
0

f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h

{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
で与えられる。これを

x
=
a

{\displaystyle x=a}
 における微分係数という。
また
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0

f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h

{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
で与えられる関数

f
′
(
x
)

{\displaystyle f'(x)}
 を関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の導関数という。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の導関数は

d
f

d
x

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}
と表されることもある。
ここで、いくつかの関数の導関数を求めてみよう。
である。
n

{\displaystyle n}
 を自然数とする。関数

f
(
x
)
=
x
n

{\displaystyle f(x)=x^{n}}
 の導関数は二項定理を応用し
と求められる
関数

f
(
x
)
,
g
(
x
)

{\displaystyle f(x),g(x)}
 に対し次が成り立つ。
証明
演習問題
次の関数を微分せよ
1.

f
(
x
)
=
2
x
3

+
4
x
2

−
5
x
−
1

{\displaystyle f(x)=2x^{3}+4x^{2}-5x-1}
2.

f
(
x
)
=
(
2
x
+
3
)
(
3
x
−
5
)

{\displaystyle f(x)=(2x+3)(3x-5)}
解答
1.
2.

f
(
x
)
=
6
x
2

−
x
−
15

{\displaystyle f(x)=6x^{2}-x-15}
 であるから
曲線

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 上の点

(
t
,
f
(
t
)
)

{\displaystyle (t,f(t))}
 における接線の方程式を求める。この接線の傾きは

f
′
(
t
)

{\displaystyle f'(t)}
であり、点

(
t
,
f
(
t
)
)

{\displaystyle (t,f(t))}
 を通るので、方程式は

y
=
f
′
(
t
)
(
x
−
t
)
+
f
(
t
)

{\displaystyle y=f'(t)(x-t)+f(t)}
 で与えられる。実際、

x
=
t

{\displaystyle x=t}
 とすると

y
=
f
(
t
)

{\displaystyle y=f(t)}
 となるのでこの方程式は点

(
t
,
f
(
t
)
)

{\displaystyle (t,f(t))}
 を通ることがわかり、

x

{\displaystyle x}
 の係数は

f
′
(
t
)

{\displaystyle f'(t)}
 なので傾きは

f
′
(
t
)

{\displaystyle f'(t)}
 である。
曲線

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 上の点

(
t
,
f
(
t
)
)

{\displaystyle (t,f(t))}
 における法線の方程式は、

y
=
−

1

f
′
(
t
)

(
x
−
t
)
+
f
(
t
)

{\displaystyle y=-{\frac {1}{f'(t)}}(x-t)+f(t)}
 で与えられる。
f'(x)は、fの傾きを表わすので、

f
′
(
x
)
>
0

{\displaystyle f'(x)>0}
 の点では、fは増大し、

f
′
(
x
)
<
0

{\displaystyle f'(x)<0}
 の点では、fは減少することがわかる。
これをもとに関数の概形を描くことができる。
例
y
=
x
3

{\displaystyle y=x^{3}}
 の増減を調べる
両辺をxで微分すると
f
(
x
)
=
x
3

−
3
x

{\displaystyle f(x)=x^{3}-3x}
を微分すると
増減表は次のようになる。
この関数のグラフは、

x
=
−
1

{\displaystyle x=-1}
を境にして増加から減少の状態に変わり、

x
=
1

{\displaystyle x=1}
を境にして減少から増加の状態に変わる。
このとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は

x
=
−
1

{\displaystyle x=-1}
において極大（きょくだい）になるといい、そのときの

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の値

f
(
−
1
)
=
2

{\displaystyle f(-1)=2}
を極大値（きょくだいち）という。また、

x
=
1

{\displaystyle x=1}
において極小（きょくしょう）になるといい、そのときの

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の値

f
(
1
)
=
−
2

{\displaystyle f(1)=-2}
を極小値（きょくしょうち）という。極大値と極小値を合わせて極値（きょくち）という。
不定積分(indefinite integral)とは、微分したらその関数になる関数を求める操作である。
つまり、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
に対して、

F
′
(
x
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle F'(x)=f(x)}
となる、関数

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
を求める操作である。
このとき

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
を、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数(primitive function)と呼ぶ。
例えば、

1
2

x
2

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}}
は微分すると、

x

{\displaystyle x}
になるので、

1
2

x
2

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}}
は

x

{\displaystyle x}
の原始関数である。
しかし、

1
2

x
2

+
1

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+1}
や、

1
2

x
2

+
3

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+3}
なども微分すると

x

{\displaystyle x}
になるので、

1
2

x
2

+
1

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+1}
や、

1
2

x
2

+
3

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+3}
も

x

{\displaystyle x}
の原始関数である。
一般に、

1
2

x
2

+
C

{\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+C}
(Cは任意の定数)で表される関数は、

x

{\displaystyle x}
の原始関数である。
x

{\displaystyle x}
の原始関数は一つだけではなく、無数にあるのだ。
一般に、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数の一つを

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
 とするとき、原始関数に任意の定数を足した関数

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
 も

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数になる。
なぜなら、

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
が

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数である、つまり、

F
′
(
x
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle F'(x)=f(x)}
のとき、

(
F
(
x
)
+
C
)
′
=
F
′
(
x
)
+

(
C
)
′
=
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle {(F(x)+C)}'=F'(x)+{(C)}'=F'(x)=f(x)}
となるからだ。
また、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数の一つが

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
 であるとき、すべての関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数は

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
 の形に書ける。
F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
 の形に書けない関数

G
(
x
)

{\displaystyle G(x)}
が関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数であると仮定する。このとき、

h
(
x
)
=
F
(
x
)
−
G
(
x
)

{\displaystyle h(x)=F(x)-G(x)}
とすると、関数

h
(
x
)

{\displaystyle h(x)}
 は定数ではない。
このとき、

h
′
(
x
)
=
{
F
(
x
)
−
G
(
x
)
}
′
=
F
′
(
x
)
−
G
′
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
)
=
0

{\displaystyle h'(x)=\{F(x)-G(x)\}'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0}
 であるはずだが、関数

h
(
x
)

{\displaystyle h(x)}
 は定数ではないので

h
′
(
x
)
=
0

{\displaystyle h'(x)=0}
 とならない。これは矛盾なので、すべての関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数は

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
の形に書けることが証明できる。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の全体を、

∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)dx}
 と表す。この表記法は最初は奇妙に思うだろうが、このように表記する理由は後に説明するので、今は、そのまま覚えて欲しい。
まとめると、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数の全体

∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)dx}
は、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の一つを

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
 として、その関数に任意の定数を足した関数

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
で表される。つまり、
C

{\displaystyle C}
は任意の定数としたが、この任意の定数

C

{\displaystyle C}
 を積分定数(constant of integration)と呼ぶ。
※注意

∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)dx}
は定義にもあるように、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の全体を表している。つまり、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の一つを

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
とするとき、

∫
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
+
C

{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
の右辺

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
は、

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
に定数を足した関数の全体を表している。つまり、

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
は、

F
(
x
)
+
1

{\displaystyle F(x)+1}
や、

F
(
x
)
−
23

{\displaystyle F(x)-23}
や、

F
(
x
)
−
5
π

{\displaystyle F(x)-5\pi }
などの、

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
に定数を足した関数すべてをまとめて

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
と表している。このことがあやふやになっていると、重大な間違いを起こす可能性があるので、注意が必要である。
関数

f
(
x
)
=
x
n

{\displaystyle f(x)=x^{n}}
 (ただし

n

{\displaystyle n}
 は自然数)の不定積分を求めてみる。やや天下り的だが、

F
(
x
)
=

1
n
+
1

x
n
+
1

+
C

{\displaystyle F(x)={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}
 (

C

{\displaystyle C}
 は任意の定数)とおくと、

F
′
(
x
)
=
x
n

{\displaystyle F'(x)=x^{n}}
 となるので、

1
n
+
1

x
n
+
1

+
C

{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}
 は原始関数であることがわかる。
したがって

∫
x
n

d
x
=

1
n
+
1

x
n
+
1

+
C

{\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}
関数

f
(
x
)
,
g
(
x
)

{\displaystyle f(x),g(x)}
 の原始関数をそれぞれ、

F
(
x
)
,
G
(
x
)

{\displaystyle F(x),G(x)}
 とする。

a

{\displaystyle a}
 を任意の実数定数とすると
{
F
(
x
)
+
G
(
x
)
}
′
=
F
′
(
x
)
+
G
′
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)

{\displaystyle \{F(x)+G(x)\}'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)}
{
a
F
(
x
)
}
′
=
a
F
′
(
x
)
=
a
f
(
x
)

{\displaystyle \{aF(x)\}'=aF'(x)=af(x)}
となるので、
∫
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}
∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx}
が成り立つことが分かる。
演習問題
不定積分

∫
(
x
8

+
2
x
2

−
6
x
+
9
)
d
x

{\displaystyle \int (x^{8}+2x^{2}-6x+9)dx}
 を求めよ
解答
∫
(
x
8

+
2
x
2

−
6
x
+
9
)
d
x
=
∫
x
8

d
x
+
2
∫
x
2

d
x
−
6
∫
x
d
x
+
9
∫
d
x
=

x
9

9

+

2
x
3

3

−
3
x
2

+
9
x
+
C

{\displaystyle \int (x^{8}+2x^{2}-6x+9)dx=\int x^{8}\,dx+2\int x^{2}\,dx-6\int x\,dx+9\int dx={\frac {x^{9}}{9}}+{\frac {2x^{3}}{3}}-3x^{2}+9x+C}
 (

C

{\displaystyle C}
 は積分定数)
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の一つを

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
とする。この原始関数に値を代入して、その値の差を求める操作を、定積分と呼び、

∫
a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
と書く。つまり、
である。
[
f
(
x
)
]
a

b

=
f
(
b
)
−
f
(
a
)

{\displaystyle [f(x)]_{a}^{b}=f(b)-f(a)}
[1]とする。
このようにすると、

∫
a

b

f
(
x
)
d
x
=
[
F
(
x
)
]
a

b

=
F
(
b
)
−
F
(
a
)

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}
と計算できる。
定積分の値は原始関数の選択によらない。実際、原始関数として、

F
(
x
)
+
C

{\displaystyle F(x)+C}
 を選び、定積分を計算すると、

∫
a

b

f
(
x
)
d
x
=
(
F
(
b
)
+
C
)
−
(
F
(
a
)
+
C
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)}
となり、原始関数としてどれを選んでも定積分の値は一定であることがわかる。[2]
関数

f
(
x
)
,
g
(
x
)

{\displaystyle f(x),g(x)}
 に対して、原始関数をそれぞれ

F
(
x
)
,
G
(
x
)

{\displaystyle F(x),G(x)}
 とする。

k

{\displaystyle k}
 を実数として、
∫
a

b

k
f
(
x
)
d
x
=
k
F
(
b
)
−
k
F
(
a
)
=
k
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
=
k
∫
a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}kf(x)\,dx=kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a))=k\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
∫
a

b

{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
d
x
=
[
F
(
x
)
+
G
(
x
)
]
a

b

=
F
(
b
)
+
G
(
b
)
−
(
F
(
a
)
+
G
(
a
)
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
+
G
(
b
)
−
G
(
a
)
=
∫
a

b

f
(
x
)
d
x
+
∫
a

b

g
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}dx=[F(x)+G(x)]_{a}^{b}=F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx}
∫
a

a

f
(
x
)
d
x
=
F
(
a
)
−
F
(
a
)
=
0

{\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=F(a)-F(a)=0}
∫
b

a

f
(
x
)
d
x
=
F
(
a
)
−
F
(
b
)
=
−
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
=
−
∫
a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
∫
a

b

f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
(
F
(
b
)
−
F
(
c
)
)
+
(
F
(
c
)
−
F
(
a
)
)
=
∫
a

c

f
(
x
)
d
x
+
∫
c

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)=(F(b)-F(c))+(F(c)-F(a))=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx}
が成り立つ。
∫
2

5

x
3

d
x

{\displaystyle \int _{2}^{5}x^{3}dx}
を求める。
1
4

x
4

{\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{4}}
は、微分すると、

x
3

{\displaystyle x^{3}}
なので、

1
4

x
4

{\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{4}}
は

x
3

{\displaystyle x^{3}}
の原始関数の一つである。よって

∫
2

5

x
3

d
x
=

[

1
4

x
4

]

2

5

=

1
4

5
4

−

1
4

2
4

=

609
4

{\displaystyle \int _{2}^{5}x^{3}dx=\left[{\frac {1}{4}}x^{4}\right]_{2}^{5}={\frac {1}{4}}5^{4}-{\frac {1}{4}}2^{4}={\frac {609}{4}}}
である。
1
4

x
4

+
1

{\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{4}+1}
も、微分すると、

x
3

{\displaystyle x^{3}}
なので、

1
4

x
4

+
1

{\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{4}+1}
は

x
3

{\displaystyle x^{3}}
の原始関数の一つである。よって、

∫
2

5

x
3

d
x
=

[

1
4

x
4

+
1
]

2

5

=
(

1
4

5
4

+
1
)
−
(

1
4

2
4

+
1
)
=

609
4

{\displaystyle \int _{2}^{5}x^{3}dx=\left[{\frac {1}{4}}x^{4}+1\right]_{2}^{5}=\left({\frac {1}{4}}5^{4}+1\right)-\left({\frac {1}{4}}2^{4}+1\right)={\frac {609}{4}}}
と求めることもできる。
aを定数とするとき、定積分

∫
a

x

f
(
t
)
d
t

{\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt}
はxの関数になる。
関数

f
(
t
)

{\displaystyle f(t)}
の原始関数の一つを

F
(
t
)

{\displaystyle F(t)}
とすると
この両辺をxで微分すると、

F
(
a
)

{\displaystyle F(a)}
は定数であるから
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が

a
≦
x
≦
b

{\displaystyle a\leqq x\leqq b}
の範囲で常に正であるとする。このとき、定積分

∫
a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
によって、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
のグラフと、直線

x
=
a

{\displaystyle x=a}
、直線

x
=
b

{\displaystyle x=b}
、

x

{\displaystyle x}
軸で囲まれた部分の面積を求めることができる。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
のグラフと、直線

x
=
a

{\displaystyle x=a}
、直線

x
=
c

{\displaystyle x=c}
と、

x

{\displaystyle x}
軸で囲まれた部分の面積を

S
(
c
)

{\displaystyle S(c)}
とすることによって、関数

S
(
x
)

{\displaystyle S(x)}
を定める。(

a
≦
x
≦
b

{\displaystyle a\leqq x\leqq b}
とする)
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
のグラフと、直線

x
=
c

{\displaystyle x=c}
、直線

x
=
c
+
h

{\displaystyle x=c+h}
と、

x

{\displaystyle x}
軸で囲まれた部分の面積を考える(

a
≦
c
+
h
≦
b

{\displaystyle a\leqq c+h\leqq b}
とする)。これは、

S
(
c
+
h
)
−
S
(
c
)

{\displaystyle S(c+h)-S(c)}
である。ここで、

c
<
t
<
c
+
h

{\displaystyle c<t<c+h}
なる

t

{\displaystyle t}
をとってきて、その点における

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の値

f
(
t
)

{\displaystyle f(t)}
を高さとする長方形の面積を考えることで、

t

{\displaystyle t}
を上手にとれば、

S
(
c
+
h
)
−
S
(
c
)
=
h
⋅
f
(
t
)

{\displaystyle S(c+h)-S(c)=h\cdot f(t)}
とできる。両辺を

h

{\displaystyle h}
で割り、

h
→
0

{\displaystyle h\to 0}
の極限を考えると、
であるが、左辺は微分の定義より

S
′
(
c
)

{\displaystyle S'(c)}
であり、

lim
h
→
0

t
=
c

{\displaystyle \lim _{h\to 0}t=c}
であることに注意すると右辺は

f
(
c
)

{\displaystyle f(c)}
である。文字を

c

{\displaystyle c}
から

x

{\displaystyle x}
に取り換えると、結局
が得られる。つまり、

S
(
x
)

{\displaystyle S(x)}
は

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の原始関数の一つであることが分かる。
よって、

∫
a

b

f
(
x
)
d
x
=
S
(
b
)
−
S
(
a
)

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=S(b)-S(a)}
であるが、この式の右辺は、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
のグラフと、直線

x
=
a

{\displaystyle x=a}
、直線

x
=
b

{\displaystyle x=b}
と、

x

{\displaystyle x}
軸で囲まれた面積である。よって、左辺

∫
a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
は、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
のグラフと、直線

x
=
a

{\displaystyle x=a}
、直線

x
=
b

{\displaystyle x=b}
と、

x

{\displaystyle x}
軸で囲まれた面積を表している。
a
≤
x
≤
b

{\displaystyle a\leq x\leq b}
　で、

f
(
x
)
≥
0

{\displaystyle f(x)\geq 0}
　のとき、直線

x
=
a
,
x
=
b

{\displaystyle x=a,x=b}
 と

x

{\displaystyle x}
 軸、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 で囲まれる面積

S

{\displaystyle S}
 は
歴史的には、積分は、関数のグラフで囲まれた部分の面積を求めるために考え出された。この節で述べたような微分との関連は積分自体の発明よりずっと後になって発見されたことである。
例として、

0
≦
x
≦
1

{\displaystyle 0\leqq x\leqq 1}
の範囲で、y = xのグラフとx軸ではさまれた部分の面積を、積分を用いて計算する。
(
実際にはこれは三角形なので、積分を用いなくても面積を計算することが出来る。
答は

1
2

{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
 となる。
)
定積分を行なうと、

∫
0

1

x
d
x

{\displaystyle \int _{0}^{1}xdx}

=

1
2

[
x
2

]
0

1

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[x^{2}]_{0}^{1}}

=

1
2

[
1
2

−
0
2

]

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[1^{2}-0^{2}]}

=

1
2

[
1
−
0
]

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}[1-0]}
=

1
2

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}}

となり確かに一致する。
演習問題
放物線

y
=
5
−
x
2

{\displaystyle y=5-x^{2}}
とx軸および2直線

x
=
−
1

,

x
=
2

{\displaystyle x=-1\ ,\ x=2}
で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
解答
この放物線は

−
1
≤
x
≤
2

{\displaystyle -1\leq x\leq 2}
でx軸の上側にあるから、
a
≤
x
≤
b

{\displaystyle a\leq x\leq b}
　において、常に

f
(
x
)
≥
g
(
x
)

{\displaystyle f(x)\geq g(x)}
　であるとき、2つの曲線

y
=
f
(
x
)

,

y
=
g
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)\ ,\ y=g(x)}
　に挟まれる部分の面積Sは、次の式で表される。
a
≤
x
≤
b

{\displaystyle a\leq x\leq b}
　で、

f
(
x
)
≥
g
(
x
)

{\displaystyle f(x)\geq g(x)}
　のとき、
放物線

y
=
x
2

−
1

{\displaystyle y=x^{2}-1}
と直線

y
=
x
+
1

{\displaystyle y=x+1}
によって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
放物線と直線の交点のx座標は
−
1
≤
x
≤
2

{\displaystyle -1\leq x\leq 2}
の範囲で

x
2

−
1
≤
x
+
1

{\displaystyle x^{2}-1\leq x+1}
より
a
≤
x
≤
b

{\displaystyle a\leq x\leq b}
　で、

f
(
x
)
≤
0

{\displaystyle f(x)\leq 0}
　のとき、x軸

y
=
0

{\displaystyle y=0}
と曲線

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
によって挟まれていると考えられるので、
となる。
a
≤
x
≤
b

{\displaystyle a\leq x\leq b}
　で、

f
(
x
)
≤
0

{\displaystyle f(x)\leq 0}
　のとき、
放物線

y
=
x
2

−
2
x

{\displaystyle y=x^{2}-2x}
とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
放物線とx軸の交点のx座標は
この放物線は

0
≤
x
≤
2

{\displaystyle 0\leq x\leq 2}
でx軸の下側にあるから、
微分積分は、物理学でも運動方程式の計算などに応用されている。
1600年代、ニュートンなどの研究により、運動の法則を微分積分を使った式で表現できることが解明された。
なお、ニュートンは著書として『プリンピキア』をあわらし、その著書でニュートンは運動の法則が微分積分で表されることを述べ、力学（りきがく）の理論を進歩させた。
なお、微分積分を研究した同時代の数学者には、ニュートンの他にもライプニッツがいる。
高校数学をしていると「将来微分とか積分とか何に使う？」と思う人の方が多いと思う。確かに日常生活では、積分などの高度な
数学は使わない。だがその一方裏では積分や
微分、高校数学では収まらないような数学が使われている。例えば台風の進路予想。
これは積分を使い台風の進路を予測している。他にもセキュリティの強化などにも数学は使われている。日常生活では数学は使わないが、数学に親しみを持ってみてはどうだろうか。
(1)

F
(
x
)
=
2
x
2

{\displaystyle F(x)=2x^{2}}
のとき

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
を求めよ。ただし

F
′
(
x
)

{\displaystyle F'(x)}
(3)原始関数、定積分を求めよ
3)

lim
x
→
0

∫
x

5

2
x
d
x

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\int _{x}^{5}2xdx}
4)

∫
−
60

60

sin

x
+
cos
2

x
d
x

{\displaystyle \int _{-60}^{60}\sin x+\cos ^{2}xdx}
(1)

f
(
x
)
=
x
3

{\displaystyle f(x)=x^{3}}

冪乗の微分は

y
′
=
n
x
n

−
1

{\displaystyle y'=nx^{n}-1}

であるため不定積分の定義より

f
(
x
)
=
x
3

{\displaystyle f(x)=x^{3}}
である。


ここでは、極限について学ぶ。微分・積分の考えでは簡単な関数の極限について学んだが、ここでは数列の極限、さらには無理関数や三角関数などの関数の極限について学ぶ。極限は微分積分の基礎となっており重要である。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 が有限個の項しかもたないとき、有限数列といい、項が限りなく続くとき無限数列という。ここでは無限数列を考えるから断りがない場合、無限数列を単に数列と書くことにする。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 において、項の番号

n

{\displaystyle n}
 が限りなく大きくなっていくとき、

a
n

{\displaystyle a_{n}}
 がある一定の値

α

{\displaystyle \alpha }
 に限りなく近づいていくならば、数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 は

α

{\displaystyle \alpha }
 に収束するといい、
または簡単に
とかく。また、

α

{\displaystyle \alpha }
 をこの数列の極限値という。
収束する数列には次のような性質がある。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
,

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 において,

lim
n
→
∞

a
n

=
α

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha }
,

lim
n
→
∞

b
n

=
β

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta }
 とすると、
数列には収束しないものがある。たとえば
は収束しない。収束しない数列は発散（はっさん） するという。発散する数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 で

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
 のとき項

a
n

{\displaystyle a_{n}}
 の値が限りなく大きくなるときこの数列は正の無限大（せい の むげんだい） に発散するといい、「その極限は正の無限大である」のようにいう。このことを次のように表す。
逆に

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
 のとき、項

a
n

{\displaystyle a_{n}}
 が負の値でその絶対値が限りなく大きくなるときこの数列は負の無限大 に発散するといい、その極限は負の無限大であるという。このことを次のように表す。
発散する数列には次のようなものもある。
いずれの数列も正の無限大にも負の無限大にも発散しない。このような数列を振動（しんどう） するという。このときもこの数列には極限値が存在しない。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
,

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 について、

n

{\displaystyle n}
 が十分に大きいとき常に

a
n

≤
b
n

{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}
  を満たしていて、

lim
n
→
∞

a
n

=
α

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha }
 かつ

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 の極限値も存在するならば、
となる。
これを証明するためには、「限り無く近づく」という言葉の、数学的な意味を明確にする必要がある。初学者には難解な証明であるため、高校数学では直感的に成り立ちそうなことを理解してほしい。参考として、以下に証明の一例を挙げておく。
α
>
lim
n
→
∞

b
n

{\displaystyle \alpha >\lim _{n\to \infty }b_{n}}
と仮定すると、

α
−
lim
n
→
∞

b
n

=
ϵ
′
>
0

{\displaystyle \alpha -\lim _{n\to \infty }b_{n}=\epsilon '>0}
である。
b
n

{\displaystyle b_{n}}
は限りなく

α
−
ϵ
′

/
2

{\displaystyle \alpha -\epsilon '/2}
より小さい数に近づくから、

n

{\displaystyle n}
が十分大きいときは常に

b
n

<
α
−
ϵ
′

/
2

{\displaystyle b_{n}<\alpha -\epsilon '/2}
となる。
a
n

{\displaystyle a_{n}}
は限りなく

α

{\displaystyle \alpha }
に近づくため、任意の正の数

ϵ

{\displaystyle \epsilon }
に対して、十分大きな数

N

{\displaystyle N}
であって、

n
≥
N

{\displaystyle n\geq N}
ならば常に

α
−
a
n

<
ϵ

{\displaystyle \alpha -a_{n}<\epsilon }
が成り立つようなものが存在するはずである。いま、

a
n

≤
b
n

{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}
であったから、十分大きな

n

{\displaystyle n}
では常に

b
n

≥
α
−
ϵ

{\displaystyle b_{n}\geq \alpha -\epsilon }
となる。
ϵ

{\displaystyle \epsilon }
は任意の正の数であったから、

ϵ
=
ϵ
′

/
2

{\displaystyle \epsilon =\epsilon '/2}
とすると、十分大きな

n

{\displaystyle n}
について矛盾する式が成立することになる。したがって、背理法により

α
≤
lim
n
→
∞

b
n

{\displaystyle \alpha \leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}
である。■
興味を持った人は大学1年生程度を対象とする微分積分学の教科書を参照してほしい。例えば、解析学基礎など。
次に、はさみうちの原理 を紹介する。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
,

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
,

{
c
n

}

{\displaystyle \{c_{n}\}}
 について、

n

{\displaystyle n}
 が十分に大きいとき常に

a
n

≤
b
n

≤
c
n

{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}}
 を満たしていて、

lim
n
→
∞

a
n

=
lim
n
→
∞

c
n

=
α

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=\alpha }
 ならば、

{
b
n

}

{\displaystyle \{b_{n}\}}
 の極限値も存在して、
となる。
lim
n
→
∞

b
n

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}
 が存在することはあきらか。先の定理より、
であるので、
が成立。■
つぎの極限値を求めよ。
実数の数列

{
a
n

}
,
{
b
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}
があり、全ての

n

{\displaystyle n}
について

a
n

≤
b
n

{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}
とする。
このとき、

lim
n
→
∞

a
n

=
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
ならば

lim
n
→
∞

b
n

=
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty }
である。
同様に、全ての

n

{\displaystyle n}
について

a
n

≥
b
n

{\displaystyle a_{n}\geq b_{n}}
であり

lim
n
→
∞

a
n

=
−
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }
ならば、

lim
n
→
∞

b
n

=
−
∞

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty }
である。
高校レベルでの証明はできないが、数列の各項を折れ線で結んだ

a
n

{\displaystyle a_{n}}
ー

n

{\displaystyle n}
グラフを書くことで成り立つことが直感的に理解できる。
等比数列

{
r
n

}

{\displaystyle \{r^{n}\}}
 の極限について考えてみよう。
r
=
1
+
h

{\displaystyle r=1+h}
 とおくと、
であるので、
したがって、

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
 のとき、

1
+
n
h
→
∞

{\displaystyle 1+nh\to \infty }
 だから、
1

{\displaystyle 1}
 は何乗しても

1

{\displaystyle 1}
 だから、
r
=
0

{\displaystyle r=0}
 ならばあきらかに、
r
≠
0

{\displaystyle r\neq 0}
のとき、

|
r

|

−
1

>
1

{\displaystyle |r|^{-1}>1}
だから、(i) より
したがって、
r
n

{\displaystyle r^{n}}
 は

n

{\displaystyle n}
 が奇数の場合

−
1

{\displaystyle -1}
、

n

{\displaystyle n}
 が偶数の場合

1

{\displaystyle 1}
 となるので振動する。
|
r
|
>
1

{\displaystyle |r|>1}
 より、
となるが、

r
n

{\displaystyle r^{n}}
 は

n

{\displaystyle n}
 が奇数の場合

r
n

<
0

{\displaystyle r^{n}<0}
、

n

{\displaystyle n}
 が偶数の場合

r
n

>
0

{\displaystyle r^{n}>0}
 となるので振動する。
まとめると、次のようになる。
収束
発散
一般項が次のように表される数列の収束・発散について調べ、極限値があるならばこれを求めよ。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 の第

n

{\displaystyle n}
 項までの和を

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 と表すことにする。すなわち、
このとき、

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 は数列の一種とみなすことができ、このようにある数列の初項から第

n

{\displaystyle n}
 項までを順番に足してできる数列を級数（きゅうすう） という。もとの数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 が無限数列である場合、級数

{

∑
k
=
1

n

a
k

}

{\displaystyle \left\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right\}}
 も無限に項を持つことになる。このような級数を無限級数（むげんきゅうすう） という。以下、単に級数というときは無限級数であるとする。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 において、初項から第

n

{\displaystyle n}
 項までの和を第

n

{\displaystyle n}
 部分和（ぶぶんわ）という。

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 から作られる級数の第

n

{\displaystyle n}
 部分和　（つまり、

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
の初項から第ｎ項までの和）を

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 と表すことにし、この級数

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 の極限値が

S

{\displaystyle S}
 であるとき、

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 は

S

{\displaystyle S}
 に収束するといい、

S

{\displaystyle S}
 を級数の和という。このことを次のように表す。
または
または
2番目の表記はシグマ記号を使わない分直感には訴えやすい面もあるが、注意深く表記しないと「…」の指すものがはっきりしないため、あまり好ましくない。
数列

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 が発散するときこの級数は発散するという。
つぎの級数の収束・発散について調べ、和が存在するならば求めよ。
数列

{
a
n

}

{\displaystyle \{a_{n}\}}
 から作られる級数

S
n

{\displaystyle S_{n}}
 が収束する必要条件は、
である。
α
≠
0

{\displaystyle \alpha \neq 0}
 とし、

lim
n
→
∞

a
n

=
α

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha }
とする。

n
>
1

{\displaystyle n>1}
 のとき、
となるので、
しかし、

lim
n
→
∞

S
n

=
lim
n
→
∞

S
n
−
1

=
S

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=S}
 であるから、これは矛盾。したがって、

α
=
0

{\displaystyle \alpha =0}
 でなくてはならない。■
逆に、

lim
n
→
∞

a
n

=
0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}
 であっても、

∑
n

∞

a
n

{\displaystyle \sum _{n}^{\infty }a_{n}}
 が収束するとは限らない。
初項が

a

{\displaystyle a}
 で公比が

r

{\displaystyle r}
 の数列から作られる級数を無限等比級数 または単に等比級数（とうひ きゅうすう） という。
等比級数の収束・発散について考えてみよう。この等比級数の第

n

{\displaystyle n}
 部分和は、
となる。
すべての

n

{\displaystyle n}
 で

a
n

=
0

{\displaystyle a_{n}=0}
となるから、
|
r
|
<
1

{\displaystyle |r|<1}
 とすると、
であるから、
r
>
1

{\displaystyle r>1}
 または

r
≤
−
1

{\displaystyle r\leq -1}
 のときは、

{
a
r
n
−
1

}

{\displaystyle \{ar^{n-1}\}}
 は発散するから、

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 は発散する。また、

r
=
1

{\displaystyle r=1}
のときは、
であるから、先の定理より

{
S
n

}

{\displaystyle \{S_{n}\}}
 は発散する。
このことは次のようにまとめられる。
a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
 のとき、初項

a

{\displaystyle a}
, 公比

r

{\displaystyle r}
 の等比級数は
次の等比級数の収束・発散について調べ、収束するものについてはその和を求めよ。
y
=

1
x

,

y
=

2
x
−
1

x
−
1

{\displaystyle y={\frac {1}{x}}\ ,\ y={\frac {2x-1}{x-1}}}
のように、xの分数式で表される関数をxの分数関数という。
y
=

k
x

{\displaystyle y={\frac {k}{x}}}
のグラフは双曲線（そうきょくせん）で、原点に関して対称である。双曲線

y
=

k
x

{\displaystyle y={\frac {k}{x}}}
の漸近線は、x軸とy軸である。
関数

y
=

k
x
−
p

+
q

{\displaystyle y={\frac {k}{x-p}}+q}
のグラフは、関数

y
=

k
x

{\displaystyle y={\frac {k}{x}}}
のグラフをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したもので、漸近線は2直線

x
=
p

,

y
=
q

{\displaystyle x=p\ ,\ y=q}
である。
分数関数

y
=

2
x
+
3

x
+
1

{\displaystyle y={\frac {2x+3}{x+1}}}
のグラフの漸近線の方程式を求めよ。
ゆえに、この関数のグラフは、双曲線

y
=

1
x

{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
をx軸方向に-1、y軸方向に2だけ平行移動したものである。
漸近線の方程式は

x
=
−
1

,

y
=
2

{\displaystyle x=-1\ ,\ y=2}
である。
x

,

3
x
−
8

3

{\displaystyle {\sqrt {x}}\ ,\ {\sqrt[{3}]{3x-8}}}
のように、根号の中に文字を含む式を無理式（むりしき）といい、変数xの無理式で表される関数をxの無理関数（むりかんすう）という。
y
=

x

{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
のグラフについて考える。
y
=

x

{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
の定義域は

x
≥
0

{\displaystyle x\geq 0}
、値域は

y
≥
0

{\displaystyle y\geq 0}
である。
y
=

x

{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
の両辺を2乗すると、

y
2

=
x

{\displaystyle y^{2}=x}
、すなわち
x
=
y
2

{\displaystyle x=y^{2}}
のグラフは原点を頂点とし、x軸を対称軸とする放物線である。
y
=

x

{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
では

y
≥
0

{\displaystyle y\geq 0}
であるから、

y
=

x

{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
のグラフは

x
=
y
2

{\displaystyle x=y^{2}}
のグラフの上半分である。
無理関数

y
=

a
x
+
b

{\displaystyle y={\sqrt {ax+b}}}
について、
であるから、無理関数

y
=

a
x
+
b

{\displaystyle y={\sqrt {ax+b}}}
のグラフは、

y
=

a
x

{\displaystyle y={\sqrt {ax}}}
のグラフをx軸方向に

−

b
a

{\displaystyle -{\frac {b}{a}}}
だけ平行移動したものである。
無理関数

y
=

−
2
x
−
6

{\displaystyle y={\sqrt {-2x-6}}}
のグラフは

y
=

−
2
x

{\displaystyle y={\sqrt {-2x}}}
のグラフをどのように平行移動したものか。
ゆえに、この関数のグラフは、

y
=

−
2
x

{\displaystyle y={\sqrt {-2x}}}
をx軸方向に-3だけ平行移動したものである。
なお、分母がn次式である分数関数をn次分数関数、根号の中がn次式である無理関数をn次無理関数と呼ぶ場合がある。また、高校で扱う整関数・三角関数・指数関数・対数関数・分数関数・無理関数及びそれらの逆関数を総称して初等関数と呼ぶ。
二つの関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 と

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 が与えられたとき、

f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x))}
 という新しい関数を考えることができる。たとえば

f
(
x
)
=
x
2

+
x
+
2

{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2}
,

g
(
x
)
=
x
+
1

{\displaystyle g(x)=x+1}
 とすると、
一般に二つの関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
,

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 が与えられたとき、関数

f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x))}
 や

g
(
f
(
x
)
)

{\displaystyle g(f(x))}
 を

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 と

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 の合成関数（ごうせい かんすう）という。合成関数

f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x))}
 を

(
f
∘
g
)
(
x
)

{\displaystyle (f\circ g)(x)}
 とかくことがある。
また、

(
f
∘
f
)
(
x
)
=
f
2

(
x
)

{\displaystyle (f\circ f)(x)=f^{2}(x)}
、

(
f
2

∘
f
)
(
x
)
=
f
3

(
x
)

{\displaystyle (f^{2}\circ f)(x)=f^{3}(x)}
のように、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
同士を

n

{\displaystyle n}
回合成した関数を

f
n

(
x
)

{\displaystyle f^{n}(x)}
と表すことがある。ただし、三角関数（と双曲線関数）に限って

f
n

(
x
)

{\displaystyle f^{n}(x)}
は

(
f
(
x
)
)
n

{\displaystyle (f(x))^{n}}
を意味するので注意。また、多階微分の記法

f
(
n
)

(
x
)

{\displaystyle f^{(n)}(x)}
とも混同しないよう注意が必要である。
f
(
x
)
=
x
2

−
1

{\displaystyle f(x)=x^{2}-1}
,

g
(
x
)
=

x
x
+
1

{\displaystyle g(x)={\frac {x}{x+1}}}
 のとき、合成関数

(
f
∘
g
)
(
x
)

{\displaystyle (f\circ g)(x)}
 と

(
g
∘
f
)
(
x
)

{\displaystyle (g\circ f)(x)}
 を求めよ。
この例題のように、一般に

(
f
∘
g
)
(
x
)

{\displaystyle (f\circ g)(x)}
 と

(
g
∘
f
)
(
x
)

{\displaystyle (g\circ f)(x)}
 は等しくない。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 と関数

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 が与えられて、
をすべての定義域内の

x

{\displaystyle x}
 で満たすとき、

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 を

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の逆関数（ぎゃくかんすう）といい、
と表す。
f
(
x
)
=
x
n

(
x
≥
0
)

{\displaystyle f(x)=x^{n}(x\geq 0)}
 の逆関数

f
−
1

(
x
)

{\displaystyle f^{-1}(x)}
 を求めよ。
y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 とおいて

x

{\displaystyle x}
 について解くと、
となる。したがって、

f
−
1

(
x
)
=

x
n

{\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}}
。
この例題のように、ある関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の逆関数

f
−
1

(
x
)

{\displaystyle f^{-1}(x)}
 を求めるには

x

{\displaystyle x}
 について解いて

x

{\displaystyle x}
 と

y

{\displaystyle y}
 を入れ替えればよい。
関数の記号として数学では、よく

f

{\displaystyle f}
を使うが、これは関数が英語で function （ファンクション）ということに由来している。
中国語で function を音訳すると「函数」になるので、日本でも第二次世界大戦が終わるまでは「函数」の字を使っていた。
しかし、戦後の漢字改革により、「函」の字が当用漢字でなくなった事により、「関」は発音が同じことと、「関係している」の意味も兼ねて、functionの日本語訳として 「関数」 と書かれるようになった。（※ ここまで、実教出版の検定教科書に記述あり）
なお、「函」の意味は「箱」である。日本語でも、よく「郵便ポストにハガキを投函（とうかん）する」などと言うが、その「投函」の「函」の字と同じである。このことから、関数の概念を教わる際に「ブラックボックス」を用いて説明される場合がある。
（※ 範囲外）
次に逆関数が存在する条件について考えてみよう。逆関数も関数であるから(逆関数の)定義域に含まれるすべての

x

{\displaystyle x}
 で

f
−
1

(
x
)

{\displaystyle f^{-1}(x)}
 が一意に定まらなくてはならない。すなわち、

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
 において、定義域の

x

{\displaystyle x}
 と値域の

y

{\displaystyle y}
 のどちらかを定めるともう片方が一意に定まるような関数でなくてはならない。このことを関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が全単射（ぜんたんしゃ）である、または一対一 対応（いったいいち たいおう）であるという。関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が全単射であることは

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 に逆関数が存在することの必要十分条件である。
詳しくは大学で写像の概念と共に学ぶ。
（ここまで、範囲外）
ある関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 において、

x

{\displaystyle x}
 が定数

a
1

{\displaystyle a_{1}}
 より小さい値をとりながら

a
1

{\displaystyle a_{1}}
 に限りなく近づくときの関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の値が一定の値

b
1

{\displaystyle b_{1}}
 に限りなく近づくとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の左極限値（左側極限）は

b
1

{\displaystyle b_{1}}
 であるといい、
と表す。同様に

x

{\displaystyle x}
 が定数

a
2

{\displaystyle a_{2}}
 より大きい値をとりながら

a
2

{\displaystyle a_{2}}
 に限りなく近づくときの関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の値が一定の値

b
2

{\displaystyle b_{2}}
 に限りなく近づくとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の右極限値（右側極限）は

b
2

{\displaystyle b_{2}}
 であるといい、
と表す。
右側極限と左側極限を合わせて片側極限と呼ぶ。
ここで、
かつ
であるとき、すなわち

a

{\displaystyle a}
 における左極限値と右極限値が等しいとき

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は

b

{\displaystyle b}
 に収束するといい、

b

{\displaystyle b}
 をそのときの

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の極限値という。このことを、
と表す。
x
→
a

{\displaystyle x\to a}
のとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が限りなく大きくなるならば、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は正の無限大に発散するといい、

lim
x
→
a

f
(
x
)
=
∞

{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty }
 と書く。
x
→
a

{\displaystyle x\to a}
のとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるならば、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 は負の無限大に発散するといい、

lim
x
→
a

f
(
x
)
=
−
∞

{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty }
 と書く。
xを限りなく大きくするとf(x)がある値aに限りなく近づくとき
と、xを負の値をとりながら限りなく絶対値を大きくするとf(x)がある値aに限りなく近づくとき、
と書き、それぞれ正の無限大における極限値、負の無限大における極限値という。
なお、数列の場合と同様にはさみうちの原理、追い出しの原理が成り立つ。
ある関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が定義域内の点

a

{\displaystyle a}
 で連続（れんぞく）であるとは、
その関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
のグラフが

x
=
a

{\displaystyle x=a}
の近傍で途切れることなく続いていることを意味する。数式で表すと次のようになる。
であることをいう。また、ある区間で

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が連続であるとは、区間内のすべての点で連続であることをいう。
くどいかもしれないが、上式は左辺の極限値が存在して、かつ右辺と一致するということを意味する。左辺の極限値が存在しない場合はf(x)は連続ではない。
また、

a

{\displaystyle a}
が定義域の左端・右端に位置する場合、点

(
a
,
f
(
a
)
)

{\displaystyle (a,f(a))}
で関数が連続である条件はそれぞれ、
となる。
関数

f
(
x
)
,
g
(
x
)

{\displaystyle f(x),g(x)}
が定義域に含まれる値

a

{\displaystyle a}
で連続であるとき、以下の関数も

x
=
a

{\displaystyle x=a}
で連続である。
f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が定義域に含まれる全ての

x

{\displaystyle x}
について連続であるとき、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
を連続関数と呼ぶ。一般に、初等関数は連続関数である。
なお、以下のような場合には注意が必要である。
区間について、以下のように定める。
ある区間を

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の定義域と考えたとき、区間に含まれる全ての点において

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が連続ならば

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
はその区間で連続であるという。
一般に、次の定理が成り立つ。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が閉区間

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a,b]}
で連続ならば、この区間においてそのグラフには切れ目がなく、さらに

f
(
a
)
≠
f
(
b
)

{\displaystyle f(a)\neq f(b)}
ならば

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は

f
(
a
)

{\displaystyle f(a)}
と

f
(
b
)

{\displaystyle f(b)}
の間の全ての値を取る。よって、次の定理が成り立つ。
三角関数については、次が成り立つことが基本的である。
まず
を示す。
半径1、中心角θの扇形を考える。後にθ→+0とするので0＜θ＜π/2としてよい。
扇形OABの面積は、θ/2となる。
また、三角形OABを考えると、その面積は
となる。
さらに、点Aを通る辺OAの垂線と、半直線OBとの交点をB'とすると、三角形OAB'の面積は、
となる。
ここで、図から明らかに、面積について以下の不等式が成り立つ。
[三角形OAB]＜[扇形OAB]＜[三角形OAB']
即ち
逆数をとって各辺にsinθを掛けると、
いま、
より、はさみうちの原理から、
が示された。
また、θ＜0のときは、
を考えると、いま-θ＞0であり、かつθ→-0のとき-θ→+0であるから、上の結果を使うことができて、これにより、
となる。以上より、
が成り立つ。■
指数・対数関数に関して、次が成り立つ
また、自然対数は高等学校数学III/微分法で導入されるが、自然対数については、次が成り立つ。
w:ネピア数

e

{\displaystyle e}
の定義より、

lim
n
→
∞

(
1
+

1
n

)
n

=
e

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}=e}
。これの両辺の自然対数をとって

lim
n
→
∞

n
log

(
1
+

1
n

)
=
log

e
=
1

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\log(1+{\frac {1}{n}})=\log e=1}
。ここで、

x
=

1
n

{\displaystyle x={\frac {1}{n}}}
とすると、

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
で

x
→
0

{\displaystyle x\to 0}
なので、

lim
x
→
0

log

(
1
+
x
)
x

=
1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1}
となる。■
また、これを用いてネピア数

e

{\displaystyle e}
については、次が導かれる。
lim
x
→
0

log

(
1
+
x
)
x

=
1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1}
の関係式で、

e
t

=
1
+
x

{\displaystyle e^{t}=1+x}
とおくと、

x
→
0

{\displaystyle x\to 0}
のときに

t
→
0

{\displaystyle t\to 0}
となり、

log

(
e
t

)

e
t

−
1

=

t

e
t

−
1

→
1
(
t
→
0
)

{\displaystyle {\frac {\log(e^{t})}{e^{t}-1}}={\frac {t}{e^{t}-1}}\to 1(t\to 0)}
。
両辺の逆数をとり、tをxに書き換えると、

lim
x
→
0

e
x

−
1
x

=
1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}
となる。■
次の極限を求めよ

ここでは、上述のような極限の説明に「なんかウサンクサイ」と思う生徒を対象に、そのような疑問に少しでも応えることを目標とする。よって、そのような疑問を持たない生徒が読んでも、あまり意味はない。
疑問を抱いた諸君、諸君の疑問はいたって正当である。あまりこのようなことを大っぴらに書くべきではないかもしれないが、高等学校における極限の取り扱いは「子供だまし」であり、近代以降の数学では極限という概念はもっと厳密な形で取り扱われている。しかしその内容は高校生には少し難しいし、詳しい書籍はほかにも存在する（wikibooksでも解析学基礎にある程度の記述がある）。そこでここでは、高校の教科書のように「子供だまし」をするのではなく、かといって厳密な形で議論するのでもなく、諸君を納得させられるかもしれない答えを提示したい。
さて改めて、極限値という概念に次のような疑問を持つ生徒はいないだろうか。
ここでは、この問いに対するひとつの解答例を示したいと思う。分り易さを重視しているので厳密では無いが、ひとつの考え方の例として読んでもらいたい。
分数関数

f
(
x
)
=
1
/
x

{\displaystyle f(x)=1/x}
 を考える。この関数の正の無限大における極限値は

0

{\displaystyle 0}
である。
数式で書くならば以下の通りである。
ここで敢えて、この数式には極々小さな正の誤差が紛れ込んでいる、と考える。

x

{\displaystyle x}
が限りなく無限大に近づいたとしても、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は絶対にx軸とは交わらず、漸近的に近づいていくだけであるため、無限大であっても等号が成り立つはずは無いからである。
そこで、極限という概念で考えるのではなく、直接

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
に無限大を代入した値を誤差として考える。
（この時、この代入の不可能性については考えないものとする。）
当然ながら、この誤差の大きさは、

1
/
∞

{\displaystyle 1/\infty }
という大きさになるのだが、この大きさは一体どのようなものだろうか？
そもそもこの誤差の値は、実数であるかどうかすらも怪しい。何故なら、そもそも無限大という数自体が実数とは思えない性質を持っているからだ。
無限大というのは、どの実数よりも大きい数という定義である。この時点ですでに実数の定義からハズレている事がよくわかるだろう。
実数にこの無限大という数が含まれるのであれば、無限大は無限大より大きい、という矛盾が生まれる。
ゆえに、無限大は実数と言う枠組みから外し、実数でない未知の数であると考えるべきだろう。
さて、この未知の数の逆数である

1
/
∞

{\displaystyle 1/\infty }
はどういう値なのだろうか。当然ながら、これも未知の数であると言わざるを得ない。
無限大の定義より、

1
/
∞

{\displaystyle 1/\infty }
はどの正の実数よりも小さい正の数、という定義になり、無限大の時と同様に、実数でないことが証明できる。
なお、この数は一般に無限小と呼ばれ、実数に無限小と無限大という概念を加えた数を「超実数」と呼ぶ。
さて、この無限小という誤差を実数としてみるとどう見えるだろうか？
無限小はどのような正の実数よりも小さい、というのだから、実数から見たら見かけ上

0

{\displaystyle 0}
に見えるだろう。
そのような視点で考えているのが極限値というものである。
もう少し踏み込んで、値域を実数とする

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の値として、無限小という非実数値が出現した、という事実をどう考えるべきだろうか？
その問いに対しての極限値という概念の答えは、「強引に実数に変換する」という手法なのである。
値域を実数とする関数に、非実数をいきなり登場させるわけにはいかない、というのは誰にでもわかることだろう。
其の様な問題に対して考えられる答えは「関数の値域そのものを超実数に拡張する」又は「超実数を実数に変換して、値域を実数として保つ」というものだ。
極限(lim)と言う操作・概念はこの二つの答えの内、後者の答えを選んだものとなる。
limという記号には、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
に

x
=
a
±
1
/
∞

{\displaystyle x=a\pm 1/\infty }
をそれぞれ代入した数を計算し、その値から無限小を無視して、超実数を実数に変換するという意味合いが有る。
実数という数から見れば、無限小など全く意味の無い数であることから、等式が成り立つ、と解釈できるのである。
前者の答えを選んだ学問は超準解析と呼ばれるが、これは易しい学問ではなく、高校で教えるのには向かない。
少し話をかえて、「無限大」「無限小」というモノ自体の実在について考えてみる。
上の説明では「無限大」というモノが、実数でないので何だかわからないのだが、とにかくある、という前提で話を進めてきた。ここに疑問を感じた生徒もいるかもしれない。そのような生徒に向けて、さらに補足説明する。
上でも述べたが、「超準解析」という学問においては、無限大・無限小は実体のあるものであり、数学的に厳密に取り扱われる。しかし、無限大・無限小を数学的に厳密に取り扱う事は非常に難しく、歴史的にも20世紀後半にようやく確立されたほどであった。つまり普通、数学においては無限大・無限小といったものを表に出して扱わないのである。この教科書の本文をもう一度見直してほしい。このコラムにおいて用いている「無限大に近づける（近づく）」といった表現はなく「限りなく大きくする」という表現を用いているはずである。荒っぽく言えば、「∞」は単体では意味を持たない記号であり、「

lim
x
→
∞

{\displaystyle \lim _{x\to \infty }}
」のような特定の文脈を与えられて初めて意味を持つ「状態を表す記号」なのである。なんらかの数を表すものではない、という事に注意してほしい。この「

lim
x
→
∞

{\displaystyle \lim _{x\to \infty }}
」はひと固まりで初めて意味を持つ記号であり、「xを」「∞に」「近づける」と分解するようなことはナンセンスだ、とも言える。
では、このコラムにおける説明はなんだったのか。実はこれは説明の方便である。はじめに述べたように、厳密な記述は難しいのであえて厳密でない書き方をしている。近代的な（非超準解析的な）立場の極限の取り扱い方は、実質的にはこのコラムの内容と同じことを、∞を表に出さず巧妙に表現したものである。
本文の#三角関数と極限で示されている
という式について、上で示した証明は、「w:循環論法になっていて証明になっていない」と言われることがある。それはどういうことか、興味がある人のために解説を加えておく。
さてここで、どのように「循環論法」が形成されているのかはっきりさせておこう。
論理が循環している構造が分かっただろうか。「極限を求めるために、その極限を利用している」と言ってもいいだろう。
現代の数学では、もちろんこの循環論法は回避できる。もっと言えば、高校数学（新課程）の範囲内でよりよい証明を示すこともできる。しかしそれは今学んでいるより後に学習する内容を利用することにもなり、少々複雑である。
高校数学の目的は完全な論理を組み立てることではなく、むしろ数学の、高校内容の中での体系的な理解を目的としている。このような理由から、現在多くの教科書に上と同様の証明が掲載されていると考えられるし、WIKIBOOKSもこれに倣った。
しかしここでは興味のある諸君のために、「高校内容の範囲（新課程）でのよりよい証明」を示しておこう。面積を利用することは避けて、円弧の長さから問題の極限の値を導いてみよう。ただし、数学IIIの微分、積分（新課程のみの内容も含む）の内容を利用する。
まずは、「ラジアンとは何か」を考え直してみよう。というのも、ラジアンの定義には円弧の長さを利用したが、現代の数学では「w:曲線の長さ」も定義なしには扱えないからである。つまりわれわれは、円弧の長さを数学的に定義すればよいということだ。このあとの積分の単元（新課程）で学習することになるが、区間a≦x≦bで自身と導関数がともに連続である関数f について、y =f (x)(a≦x≦b)で表される曲線C の長さは、次の式で求められる。（証明は該当ページ参照 ※2014/02/08時点でWIKIBOOKS内では未作成）
ここで、f (x)を半円弧

1
−
x
2

(
−
1
≤
x
≤
1
)

{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}(-1\leq x\leq 1)}
とすると、円弧の長さを計算できる。ただし、積分区間にx =-1もしくはx =1を含めると具合が悪いので（被積分関数が値を持たない(極限は正の無限大)）、積分区間を

−

1
2

≤
x
≤

1
2

{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\leq x\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}
としたものを四分円弧の長さとし、円の対称性から円弧一周の長さを決定するとよいとだけ補足しておく。
さて、これでようやく円弧の長さを定義できたので、ラジアンも定義することができる。いよいよ問題の極限の値を求めてみよう。そのために一般的に、再び区間a≦x≦bで自身とその導関数がともに連続である関数f について、y =f (x)(a≦x≦b)で表される曲線C を考えよう。ここで、a≦x≦b, a≦x+Δx≦b, Δx≠0を満たすようにx およびΔxをとる。また、曲線C上に2点P(x,f (x)),Q(x +Δx,f (x +Δx))をとる。いま曲線PQの長さを

P

Q

^

{\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}}
、直線PQの長さをPQで表すこととすると、
が成り立つことを示そう。
w:平均値の定理により、
を満たす実数θが存在する。また、

P

Q

^

{\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}}
を先述の式により定積分で表すと、
であり、ここで、

1
+

{

f
′
(
x
)
}

2

{\displaystyle {\sqrt {1+\left\{f'(x)\right\}^{2}}}}
が、

x
=
x
+
θ
M

Δ
x
,
x
+
θ
m

Δ
x

{\displaystyle x=x+\theta _{M}\Delta x,x+\theta _{m}\Delta x}
 (0≦θM≦1, 0≦θm≦1)でそれぞれxからx +Δxの間での最大値、最小値をとるとすると、xからx +Δxの間の任意の実数t に対して、
が成り立つ。各辺x からx +Δxまで積分することにより、
を得る。よって
ここで、
より、はさみうちの原理から、
さて、今度こそ問題の極限を求めてみよう。
本文と同様にθ>0をまず考える。
として、y =f (x)上のx座標がxである点をP,x+Δxである点をQとし、
とする。すると、ラジアンの定義より、

P

Q

^

=
2
θ

{\displaystyle {\widehat {\mathrm {P} \mathrm {Q} }}=2\theta }
 となり、また図形的考察によりPQ=2sinθであることが分かる（Oから弦PQに垂線を下ろすと分かりやすい）。ここで
を考えると、Δx→0のとき、θ→+0であるから、上で証明したことを用いると、
θ<0のときは本文と同様である。以上より、循環論法に陥ることなく、
が示された。■
このように、この循環論法を避けるのは少々難しい。循環論法を避けるために三角関数の微積分を後回しにして、この証明のための道具が揃うまで話を進めるのはこと「学習／教育」においてはどう考えても非効率的で、そのような回り道をするのは本末転倒である。ということで、「循環論法」と聞いて教科書に不信感を抱いた君も、ここまで読めば致し方ないことに納得してもらえたと思う。
ところでこの循環論法を避ける方法はこれだけではない。sinx及びcosxをxの非負整数乗の無限級数で定義する方法や、w:微分方程式を用いて定義する方法などが考えられるが、前者は少なくとも教科書に載せるには向かないし、後者はどう考えても高校範囲外である。ここで解説することはしないが、興味があれば次に示す参考文献を読んでみるといいかもしれない。
それにしてもこのコラムをここまで読み進めた君の好奇心は大したものである。君の成長を期待している。


ここでは、微分・積分の考えで学んだ微分の性質についてより詳しく扱う。特に、関数の和、差、積、商、更に合成関数や、逆関数の導関数について詳しく扱う。また、三角関数などの複雑な関数の微分についてもここでまとめる。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が任意の点xで極限値
を持つとき、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は微分可能と言い、関数f' を、関数fの導関数と呼ぶ。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
が微分可能ならば、連続関数である。
（証明）
fが微分可能とすると、
なので、fは連続である。
ここでは、関数の和、差、積、商の微分について扱う。これらの方法は以降の計算で常に用いられる内容であるので、十分に習熟しておく必要がある。
f,gを微分可能な関数とする。このとき、fとgの和について次が成り立つ。
これは、関数の和を微分して得られる導関数は、それぞれの関数の和を足し合わせたものに等しいことを表している。
導出
次に、関数の実数倍の導関数について考える。関数の実数倍をしたものを微分したものは、実数倍する前の関数に対する導関数を実数倍したものになる。具体的には次の式が成り立つ。

(
a
f
)
′
=
a
f
′

{\displaystyle (af)'=af'}

(aは定数)
導出
積に関しては、和や実数倍と比べて計算結果がより複雑になる。具体的には次が成り立つ。
これは、それぞれの関数の微分とそれ以外の関数との積が得られるということを表している。これは導出を見ないとなぜこうなるかがわからないかも知れないが、よく導出を検討することが重要である。
導出
ここで、

lim
h
→
0

f
(
x
+
h
)
=
f
(
x
)

{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}f(x+h)=f(x)}
に注意すると、
商の導関数については次式が成り立つ。
この式についても、よく導出を検討することが必要である。
導出
また、商の導関数の式と、積の導関数の式より、次の公式が導かれる。
この式は、積の式と商の式から直接従う式だが、よく現れる形であるので、覚えておくと便利なことがある。
導出
合成関数とは、2つの関数

f
,
g

{\displaystyle f,g}
を用いて、

h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle h(x)=f(g(x))}
という形で書くことができる関数のことである。合成関数は、与えられた変数に対する関数と見ることができ、導関数を取ることも可能である。具体的には、
が成り立つ。
導出
となる。
f
(
x
)
=

x

{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
、

g
(
x
)
=
x
2

+
x
+
1

{\displaystyle g(x)=x^{2}+x+1}
とする。この合成関数は、

f
(
g
(
x
)
)
=

x
2

+
x
+
1

{\displaystyle f(g(x))={\sqrt {x^{2}+x+1}}}
である。
この合成関数の導関数を求めてみよう。
f
′
(
x
)
=

1
2

x

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
g
′
(
x
)
=
2
x
+
1

{\displaystyle g'(x)=2x+1}
なので、

f
(
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
=

2
x
+
1

2

x
2

+
x
+
1

{\displaystyle {f(g(x))}'=f'(g(x))g'(x)={\frac {2x+1}{2{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}}
である。
※関数

f
,
g

{\displaystyle f,g}
の合成関数を

f
∘
g
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f\circ g(x)=f(g(x))}
と書くことがある。
合成関数の微分はライプニッツの記法を用いて、

y
=
f
(
u
)
,
u
=
g
(
x
)

{\displaystyle y=f(u),u=g(x)}
のとき、

d
y

d
x

=
f
(
g
(
x
)
)
′

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(g(x))'}
、

f
′
(
u
)
=

d
y

d
u

{\displaystyle f'(u)={\frac {dy}{du}}}
、

g
′
(
x
)
=

d
u

d
x

{\displaystyle g'(x)={\frac {du}{dx}}}
なので、
と書くことができる。
(
f
−
1

(
y
)
)
′
=

1
(
f
(
x
)
)
′

{\displaystyle (f^{-1}(y))'={\frac {1}{(f(x))'}}}
導出
y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
と置くと、

x
=
f
−
1

(
y
)

{\displaystyle x=f^{-1}(y)}
で、

y
→
y
0

{\displaystyle y\to y_{0}}
のとき

x
→
x
0

{\displaystyle x\to x_{0}}
であるから、
また、
である。
（導出）
ここで、二項定理により
ただし
なので、
この式を、式（１）の右辺に代入すると
である。
となる。
導出
に注意すると、
となり、結果が得られた。
tan

x

{\displaystyle \tan x}
については、
ここで

k
=

h
x

{\displaystyle k={\frac {h}{x}}}
と置くと、
kを0に近づけていくと、

(
1
+
k
)

1
k

{\displaystyle (1+k)^{\frac {1}{k}}}
は、
1.1

1
0.1

=
2.5937424601

{\displaystyle 1.1^{\frac {1}{0.1}}=2.5937424601}
1.01

1
0.01

=
2.7048138294215260932671947108075

{\displaystyle 1.01^{\frac {1}{0.01}}=2.7048138294215260932671947108075}
1.001

1
0.001

=
2.7169239322358924573830881219476

{\displaystyle 1.001^{\frac {1}{0.001}}=2.7169239322358924573830881219476}
1.0001

1
0.0001

=
2.7181459268252248640376646749131

{\displaystyle 1.0001^{\frac {1}{0.0001}}=2.7181459268252248640376646749131}
0.9

1
−
0.1

=
2.8679719907924413133222572312408

{\displaystyle 0.9^{\frac {1}{-0.1}}=2.8679719907924413133222572312408}
0.99

1
−
0.01

=
2.7319990264290260038466717212578

{\displaystyle 0.99^{\frac {1}{-0.01}}=2.7319990264290260038466717212578}
0.999

1
−
0.001

=
2.719642216442850365397553464404

{\displaystyle 0.999^{\frac {1}{-0.001}}=2.719642216442850365397553464404}
0.9999

1
−
0.0001

=
2.7184177550104492651837311208356

{\displaystyle 0.9999^{\frac {1}{-0.0001}}=2.7184177550104492651837311208356}
(計算：Windows付属電卓)
となり、一定の値に近づいていく（証明は数学IIIの範囲ではできない）。
この一定の値、すなわち
lim
k
→
0

(
1
+
k
)

1
k

=
2.718281828...

{\displaystyle \lim _{k\to 0}(1+k)^{\frac {1}{k}}=2.718281828...}
をeで表す。すると、

lim
k
→
0

(
1
+
k
)

1
k

=
e

{\displaystyle \lim _{k\to 0}(1+k)^{\frac {1}{k}}=e}
これを、上の式に代入すると、
特に

a
=
e

{\displaystyle a=e}
のとき、
(
log
e

x
)
′
=

1
x

{\displaystyle (\log _{e}x)'={\frac {1}{x}}}
eを底とする対数を自然対数という。
数学では、

log
e

x

{\displaystyle \log _{e}x}
のeを省略してlog xと書く。
数学以外の分野では、常用対数と区別するために、ln xが用いられることもある。
また、

log

|
x
|

{\displaystyle \log |x|}
の微分は、
x＞0のとき
x＜0のとき
よって、

(
log

|
x
|

)
′
=

1
x

{\displaystyle (\log |x|)'={\frac {1}{x}}}
y
=
a
x

(
a
>
0
)

{\displaystyle y=a^{x}(a>0)}
両辺の自然対数をとると、
log

y
=
x
log

a

{\displaystyle \log y=x\log a}
両辺をxで微分すると、
y
′
y

=
log

a

{\displaystyle {\frac {y'}{y}}=\log a}
y
′
=
y
log

a

{\displaystyle y'=y\log a}
y
′
=
a
x

log

a

{\displaystyle y'=a^{x}\log a}
特にa=eの場合
(
e
x

)
′
=
e
x

{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
aは実数とする。

y
=
x
a

{\displaystyle y=x^{a}}
両辺の絶対値の自然対数をとって
log

|
y
|
=
a
log

|
x
|

{\displaystyle \log |y|=a\log |x|}
両辺をxで微分して、
y
′
y

=
a
∗

1
x

{\displaystyle {\frac {y'}{y}}=a*{\frac {1}{x}}}
よって
導関数f'(x)をf(x)の第1次導関数という。
導関数の導関数を第2次導関数という。
導関数の導関数の導関数を第3次導関数という。
一般に、関数f(x)をn回微分して得られる関数を第n次導関数といい、
y
(
n
)

,
f
(
n
)

,

d
n

y

d
x
n

,

d
n

d
x
n

f
(
x
)

{\displaystyle y^{(n)},f^{(n)},{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}
のいずれかで表す。
また、nが1,2,3の時はそれぞれ

y
′
,
y
″
,
y
‴

{\displaystyle y',y'',y'''}
や

f
′
(
x
)
,
f
″
(
x
)
,
f
‴
(
x
)

{\displaystyle f'(x),f''(x),f'''(x)}
と表す。
2次以上の導関数を高次導関数という。
(例)

f
(
x
)
=
x
5

{\displaystyle f(x)=x^{5}}
の第3次導関数は
f
′
(
x
)
=
5
x
4

{\displaystyle f'(x)=5x^{4}}
f
″
(
x
)
=
20
x
3

{\displaystyle f''(x)=20x^{3}}
f
‴
(
x
)
=
60
x
2

{\displaystyle f'''(x)=60x^{2}}
なので

60
x
2

{\displaystyle 60x^{2}}
である。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
上の点

(
a
,
f
(
a
)
)

{\displaystyle (a,f(a))}
における接線の傾きは

f
′
(
a
)

{\displaystyle f'(a)}
であるので、接線の方程式は
y
−
f
(
a
)
=
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)

{\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)}
となる。
また、接点を通り接線に垂直な直線を法線（ほうせん）という。
垂直な直線同士は傾きの符号が逆であり、傾きの絶対値が逆数であるので、法線の方程式は
y
−
f
(
a
)
=
−

1

f
′
(
a
)

(
x
−
a
)

{\displaystyle y-f(a)=-{\frac {1}{f'(a)}}(x-a)}
となる。
f
′
(
a
)

{\displaystyle f'(a)}
は

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
の点

(
a
,
f
(
a
)
)

{\displaystyle (a,f(a))}
での傾きを表す。
よって、
である。
また、

f
′
(
a
)
=
0

{\displaystyle f'(a)=0}
で、

a

{\displaystyle a}
の前後で

f
′
(
x
)

{\displaystyle f'(x)}
の符号が

+

{\displaystyle +}
から

−

{\displaystyle -}
に変わるならば、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は点

(
a
,
f
(
a
)
)

{\displaystyle (a,f(a))}
で増加から減少に転じる。このときの

f
(
a
)

{\displaystyle f(a)}
を極大値（きょくだいち）という。
また、

−

{\displaystyle -}
から

+

{\displaystyle +}
に変わるならば、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は点

(
a
,
f
(
a
)
)

{\displaystyle (a,f(a))}
で減少から増加に転じるので、このときの

f
(
a
)

{\displaystyle f(a)}
を極小値（きょくしょうち）という。
極大値と極小値をまとめて極値（きょくち）という。

f
′
(
a
)
=
0

{\displaystyle f'(a)=0}
であっても、前後で符号が変わらなければ

f
(
a
)

{\displaystyle f(a)}
は極値ではない。
第二次導関数の図形的な意味を考えてみよう。導関数は各点での接線の傾きを表している。第二次導関数は導関数の導関数だから、接線の傾きの変化率、すなわちグラフの曲がり具合を表していることになる。第二次導関数が正のときは傾きが増加しているのだからグラフは下に凸、負のときは上に凸となる。
グラフの曲がり具合が変わる点のことを変曲点（へんきょくてん）という。上の考察から、変曲点は第二次導関数の符号が変わる点であることがわかる。極値の場合と同様に、たとえ

f
″
(
a
)
=
0

{\displaystyle f''(a)=0}
であっても、符号が変わらなければ変曲点ではない。
関数のグラフを書くときには、変曲点の情報は極値と同様に重要なので、増減表にも第二次導関数の欄をつくり、変曲点を記入するとよい。
数直線上を運動する物体が時刻

t

{\displaystyle t}
 のとき位置

x
(
t
)

{\displaystyle x(t)}
 にあるとする。この物体の速度を求める。
時刻が

t

{\displaystyle t}
 から

t
+
h

{\displaystyle t+h}
 に移動するとき、物体は

x
(
t
)

{\displaystyle x(t)}
 から

x
(
t
+
h
)

{\displaystyle x(t+h)}
 の位置に移動する[1]。このときの平均の速度は

Δ
x

Δ
t

=

x
(
t
+
h
)
−
x
(
t
)

(
t
+
h
)
−
t

=

x
(
t
+
h
)
−
x
(
t
)
h

{\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x(t+h)-x(t)}{(t+h)-t}}={\frac {x(t+h)-x(t)}{h}}}

ここで、

Δ
t
=
h

{\displaystyle \Delta t=h}
 なので、

h

{\displaystyle h}
 を限りなく 0 に近づければ、この物体の瞬間の速度が求められる。時刻

t

{\displaystyle t}
 のときの物体の瞬間の速度を

v
(
t
)

{\displaystyle v(t)}
 とすれば、

v
(
t
)
=
lim
h
→
0

x
(
t
+
h
)
−
x
(
t
)
h

=
x
′
(
t
)
=

d
x

d
t

{\displaystyle v(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {x(t+h)-x(t)}{h}}=x'(t)={\frac {dx}{dt}}}
 である。
同様に、加速度についても、時刻

t

{\displaystyle t}
 のときの物体の加速度を

a
(
t
)

{\displaystyle a(t)}
 とすれば
a
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0

Δ
v

Δ
t

=
lim
Δ
h
→
0

x
′
(
t
+
h
)
−
x
′
(
t
)
h

=
x
″
(
t
)
=

d
2

x

d
t
2

{\displaystyle a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}=\lim _{\Delta h\to 0}{\frac {x'(t+h)-x'(t)}{h}}=x''(t)={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}
これは、平面上を運動する物体にも拡張できる。時刻

t

{\displaystyle t}
 のときの物体の位置ベクトルが

x
→

(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)

{\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}
 で与えられるとき、この物体の速度ベクトル

v
→

{\displaystyle {\vec {v}}}
 は

v
→

=
lim
Δ
t
→
0

Δ

x
→

Δ
t

=

d

x
→

d
t

=
(

d
x

d
t

,

d
y

d
t

)

{\displaystyle {\vec {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right)}
 である。同様に加速度ベクトル

a
→

{\displaystyle {\vec {a}}}
 についても、

a
→

=
(

d
2

x

d
t
2

,

d
2

x

d
t
2

)

{\displaystyle {\vec {a}}=\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)}
。
例えば、角速度

ω

{\displaystyle \omega }
 で原点を中心に半径

r

{\displaystyle r}
 の円運動する物体が

t
=
0

{\displaystyle t=0}
 で

x
→

(
0
)
=
(
r
,
0
)

{\displaystyle {\vec {x}}(0)=(r,0)}
 にあるとき、この物体の時刻

t

{\displaystyle t}
 のときの位置ベクトル

x
→

(
t
)

{\displaystyle {\vec {x}}(t)}
 は

x
→

(
t
)
=
r
(

cos

ω
t

sin

ω
t

)

{\displaystyle {\vec {x}}(t)=r\left({\begin{aligned}\cos \omega t\\\sin \omega t\end{aligned}}\right)}
 である。速度ベクトルは、

v
→

=

d

x
→

d
t

=
r
ω
(

−
sin

ω
t

cos

ω
t

)

{\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=r\omega \left({\begin{aligned}-\sin \omega t\\\cos \omega t\end{aligned}}\right)}
。加速度ベクトルは

a
→

=

d
2

x
→

d
2

t

=
−
r
ω
2

(

cos

ω
t

sin

ω
t

)
=
−
ω
2

x
→

(
t
)

{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {x}}}{d^{2}t}}=-r\omega ^{2}\left({\begin{aligned}\cos \omega t\\\sin \omega t\end{aligned}}\right)=-\omega ^{2}{\vec {x}}(t)}
。ここから、位置ベクトル

x
→

(
t
)

{\displaystyle {\vec {x}}(t)}
 と速度ベクトル

v
→

(
t
)

{\displaystyle {\vec {v}}(t)}
 は直行し、位置ベクトル

x
→

(
t
)

{\displaystyle {\vec {x}}(t)}
 と加速度ベクトル

a
→

(
t
)

{\displaystyle {\vec {a}}(t)}
 は逆向きであり、

|

v
→

(
t
)
|
=
r
ω

{\displaystyle |{\vec {v}}(t)|=r\omega }
 、

|

a
→

(
t
)
|
=
r
ω
2

{\displaystyle |{\vec {a}}(t)|=r\omega ^{2}}
 が成立することが分かる。
また、円運動の

x

{\displaystyle x}
 成分 または

y

{\displaystyle y}
 成分だけに注目すれば、それは単振動である。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
  は

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a,b]}
 で連続、

(
a
,
b
)

{\displaystyle (a,b)}
  で微分可能とする。
f
(
a
)
=
f
(
b
)

{\displaystyle f(a)=f(b)}
 ならば

f
′
(
c
)
=
0

{\displaystyle f'(c)=0}
 となる点

a
<
c
<
b

{\displaystyle a<c<b}
 が存在する。
証明
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 には最大値または最小値が

a
<
x
<
b

{\displaystyle a<x<b}
 の範囲に一つ以上存在する。最大値または最小値では関数の導関数は 0 なので、その点を選び

c

{\displaystyle c}
とすると、

f
′
(
c
)
=
0

{\displaystyle f'(c)=0}
 となる。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
  は

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a,b]}
 で連続、

(
a
,
b
)

{\displaystyle (a,b)}
  で微分可能とする。このとき、

f
(
b
)
−
f
(
a
)

b
−
a

=
f
′
(
c
)

{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}
 となる

a
<
c
<
b

{\displaystyle a<c<b}
 が存在する。
証明
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
A
x

{\displaystyle g(x)=f(x)-Ax}
 とする。定数

A

{\displaystyle A}
 を

g
(
a
)
=
g
(
b
)

{\displaystyle g(a)=g(b)}
 を満たすように定める。
したがって、

f
(
a
)
−
A
a
=
f
(
b
)
−
A
b

{\displaystyle f(a)-Aa=f(b)-Ab}
 より、

A
=

f
(
b
)
−
f
(
a
)

b
−
a

{\displaystyle A={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
 である。
ここで、関数

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 に対して、ロルの定理を用いることにより、

g
′
(
c
)
=
0

{\displaystyle g'(c)=0}
 となる

a
<
c
<
b

{\displaystyle a<c<b}
 が存在する。

g
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
−
A

{\displaystyle g'(x)=f'(x)-A}
であるから、

f
′
(
c
)
=
A
=

f
(
b
)
−
f
(
a
)

b
−
a

{\displaystyle f'(c)=A={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
 となる

a
<
c
<
b

{\displaystyle a<c<b}
 が存在することがいえる。
関数

f
(
x
)
,
g
(
x
)

{\displaystyle f(x),g(x)}
  は

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a,b]}
 で連続、

(
a
,
b
)

{\displaystyle (a,b)}
  で微分可能とする。このとき、

{
g
(
b
)
−
g
(
a
)
}
f
′
(
c
)
=
{
f
(
b
)
−
f
(
a
)
}
g
′
(
c
)

{\displaystyle \{g(b)-g(a)\}f'(c)=\{f(b)-f(a)\}g'(c)}
 となる

c
∈
(
a
,
b
)

{\displaystyle c\in (a,b)}
 が存在する。さらに、

g
′
(
c
)
≠
0
,
g
(
a
)
≠
g
(
b
)

{\displaystyle g'(c)\neq 0,\,g(a)\neq g(b)}
 とすれば、

f
(
b
)
−
f
(
a
)

g
(
b
)
−
g
(
a
)

=

f
′
(
c
)

g
′
(
c
)

{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}

となる

c
∈
(
a
,
b
)

{\displaystyle c\in (a,b)}
 が存在する。
証明
h
(
t
)
=
{
f
(
b
)
−
f
(
a
)
}
g
(
t
)
−
{
g
(
b
)
−
g
(
a
)
}
f
(
t
)

{\displaystyle h(t)=\{f(b)-f(a)\}g(t)-\{g(b)-g(a)\}f(t)}
 とする。ここで、

h
(
t
)

{\displaystyle h(t)}
 は

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a,b]}
 で連続、

(
a
,
b
)

{\displaystyle (a,b)}
 で微分可能、

h
(
a
)
=
h
(
b
)

{\displaystyle h(a)=h(b)}
 なので、ロルの定理より、

h
′
(
c
)
=
0

{\displaystyle h'(c)=0}
 となる

c
∈
(
a
,
b
)

{\displaystyle c\in (a,b)}
 が存在する。

h
′
(
c
)
=
0

{\displaystyle h'(c)=0}
 を変形して

{
g
(
b
)
−
g
(
a
)
}
f
′
(
c
)
=
{
f
(
b
)
−
f
(
a
)
}
g
′
(
c
)

{\displaystyle \{g(b)-g(a)\}f'(c)=\{f(b)-f(a)\}g'(c)}
 を得る。さらに、

g
′
(
c
)
≠
0
,
g
(
a
)
≠
g
(
b
)

{\displaystyle g'(c)\neq 0,\,g(a)\neq g(b)}
 ならば、

f
(
b
)
−
f
(
a
)

g
(
b
)
−
g
(
a
)

=

f
′
(
c
)

g
′
(
c
)

{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}
である。
f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 を区間

I

{\displaystyle I}
 で

n

{\displaystyle n}
 回微分可能な関数とする。任意の

a
,
x
∈
I

{\displaystyle a,x\in I}
 に対して、

ξ

{\displaystyle \xi }
 が

a
,
x

{\displaystyle a,x}
 の中間に存在して、
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+

f
′
(
a
)

1
!

(
x
−
a
)
+

f
″
(
a
)

2
!

(
x
−
a
)
2

+
⋯
+

f
(
n
−
1
)

(
a
)

(
n
−
1
)
!

(
x
−
a
)
n
−
1

+

f
(
n
)

(
ξ
)

n
!

(
x
−
a
)
n

.

{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}(x-a)^{n-1}+{\frac {f^{(n)}(\xi)}{n!}}(x-a)^{n}.}
証明
F
(
x
)
=
f
(
x
)
−
[
f
(
a
)
+

f
′
(
a
)

1
!

(
x
−
a
)
+

f
″
(
a
)

2
!

(
x
−
a
)
2

+
⋯
+

f
(
n
−
1
)

(
a
)

(
n
−
1
)
!

(
x
−
a
)
n
−
1

]

{\displaystyle F(x)=f(x)-\left[f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}(x-a)^{n-1}\right]}
 とする。

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
 と関数

(
x
−
a
)
n

{\displaystyle (x-a)^{n}}
 に対して、コーシーの平均値の定理を適用すると、

F
(
a
)
=
0

{\displaystyle F(a)=0}
 より、

F
(
x
)

(
x
−
a
)
n

=

F
(
x
)
−
F
(
a
)

(
x
−
a
)
n

−
(
a
−
a
)
n

=

F
′
(
x
1

)

n
(
x
1

−
a
)
n
−
1

{\displaystyle {\frac {F(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {F(x)-F(a)}{(x-a)^{n}-(a-a)^{n}}}={\frac {F'(x_{1})}{n(x_{1}-a)^{n-1}}}}
 となる

x
1

{\displaystyle x_{1}}
 が

a
,
x

{\displaystyle a,x}
 の中間に存在する。

F
′
(
a
)
=
F
″
(
a
)
=
⋯
=
F
(
n
−
1
)

(
a
)
=
0

{\displaystyle F'(a)=F''(a)=\cdots =F^{(n-1)}(a)=0}
  であるから、右辺にも同様にコーシーの平均値の定理を適用することで、

F
(
x
)

(
x
−
a
)
n

=

F
′
(
x
1

)

n
(
x
1

−
a
)
n
−
1

=

F
″
(
x
2

)

n
(
n
−
1
)
(
x
2

−
a
)
n
−
2

=
⋯
=

F
(
n
)

(
ξ
)

n
!

{\displaystyle {\frac {F(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {F'(x_{1})}{n(x_{1}-a)^{n-1}}}={\frac {F''(x_{2})}{n(n-1)(x_{2}-a)^{n-2}}}=\cdots ={\frac {F^{(n)}(\xi)}{n!}}}
 となる

x
1

,
x
2

,
⋯
,
ξ

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,\xi }
 が

a
,
x

{\displaystyle a,x}
 の中間に存在する。

F
(
n
)

(
x
)
=
f
(
n
)

(
x
)

{\displaystyle F^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)}
 だから、

F
(
x
)
=

f
(
n
)

(
ξ
)

n
!

(
x
−
a
)
n

{\displaystyle F(x)={\frac {f^{(n)}(\xi)}{n!}}(x-a)^{n}}
 を得る。
関数

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 に対して、

lim
x
→
a

f
(
x
)

g
(
x
)

=
0

{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}
 となるような関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 を一般に

o
g

{\displaystyle og}
 と表す。
ランダウ記号について次が成り立つ。
ランダウの記号は一般には違う関数を同じ記号で表しているので注意が必要である。例えば 1. は任意の

f
=
o
h
,
g
=
o
h

{\displaystyle f=oh,\,g=oh}
 である関数について、

lim
x
→
a

f
+
g
h

=
0

{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f+g}{h}}=0}
 という意味である。
2. は

f
=
o
h

{\displaystyle f=oh}
 とすると、

k
f
h

→
0.

{\displaystyle {\frac {kf}{h}}\to 0.}
 3. は

f
g

→
0
,

g
h

→
0

{\displaystyle {\frac {f}{g}}\to 0,\,{\frac {g}{h}}\to 0}
 ならば、

f
h

=

f
g

g
h

→
0

{\displaystyle {\frac {f}{h}}={\frac {f}{g}}{\frac {g}{h}}\to 0}
 となるから、

f
=
o
h
.

{\displaystyle f=oh.}
ランダウの記号について、

x

{\displaystyle x}
 がどこに近づいたときか（

x
→
a

{\displaystyle x\to a}
）ということは重要だが、文脈から明らかな場合は省略される。
テイラーの定理における右辺最後の項を剰余項といい、これを

R
n

{\displaystyle R_{n}}
 と書く。

f
(
n
)

(
x
)

{\displaystyle f^{(n)}(x)}
 が

x
=
a

{\displaystyle x=a}
 で連続ならば、

lim
x
→
a

R
n

(
x
−
a
)
n

=
lim
ξ
→
a

f
(
n
)

(
ξ
)

n
!

=

f
(
n
)

(
a
)

n
!

.

{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{n}}{(x-a)^{n}}}=\lim _{\xi \to a}{\frac {f^{(n)}(\xi)}{n!}}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}.}
これは、

lim
x
→
a

R
n

−

f
(
n
)

(
a
)

n
!

(
x
−
a
)
n

(
x
−
a
)
n

=
0

{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{n}-{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}{(x-a)^{n}}}=0}
 と書けるから、

R
n

=

f
(
n
)

(
a
)

n
!

(
x
−
a
)
n

+
o
(
x
−
a
)
n

.

{\displaystyle R_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o{(x-a)^{n}}.}
すなわち、
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+

f
′
(
a
)

1
!

(
x
−
a
)
+

f
″
(
a
)

2
!

(
x
−
a
)
2

+
⋯
+

f
(
n
)

(
a
)

n
!

(
x
−
a
)
n

+
o
(
x
−
a
)
n

{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o(x-a)^{n}}
漸近展開を用いると極限の問題を簡単に解くことが出来る。例えば、

lim
x
→
0

e
x

−
e
−
x

x

=
lim
x
→
0

(
1
+
x
+
o
x
)
−
(
1
−
x
+
o
x
)
x

=
lim
x
→
0

2
+

o
x
x

=
2.

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(1+x+ox)-(1-x+ox)}{x}}=\lim _{x\to 0}2+{\frac {ox}{x}}=2.}
例
α

{\displaystyle \alpha }
 を実数とする。

f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
α

{\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}
 について、

f
(
n
)

(
0
)
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)

{\displaystyle f^{(n)}(0)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}
 なので、
(
1
+
x
)
α

=
∑
k
=
0

n

(

α
k

)

x
k

+
o
x
n

{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}{\binom {\alpha }{k}}x^{k}+ox^{n}}
ただし、

(

α
k

)

=

α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
k
+
1
)

k
!

,

(

α
0

)

=
1

{\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}},\,{\binom {\alpha }{0}}=1}
 は一般二項係数。
例えば、
1
+
x

=
1
+

1
2

x
+
o
x

{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x+ox}
1
1
+
x

=
1
−

1
2

x
+
o
x

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+ox}
など。これらは近似公式としてもよく使われる。
テイラーの定理において、関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 が区間

I

{\displaystyle I}
 で無限回微分可能（任意の次数の導関数が存在すること）で剰余項が

lim
n
→
∞

R
n

=
0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}=0}
 ならば、
f
(
x
)
=
∑
n
=
0

∞

f
(
n
)

(
a
)

n
!

(
x
−
a
)
n

.

{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}
これをテイラー級数といい、特に

a
=
0

{\displaystyle a=0}
 のものをマクローリン級数という。
いくつかの関数のテイラー展開を求めよう。
f
(
x
)
=
e
x

{\displaystyle f(x)=e^{x}}
とすると、

f
(
n
)

(
x
)
=
e
x

,
f
(
n
)

(
0
)
=
1

{\displaystyle f^{(n)}(x)=e^{x},f^{(n)}(0)=1}
 で、

|

R
n

|
=
|

e
ξ

n
!

x
n

|
<

e

|
x
|

n
!

|
x

|

n

{\displaystyle |R_{n}|=\left|{\frac {e^{\xi }}{n!}}x^{n}\right|<{\frac {e^{|x|}}{n!}}|x|^{n}}
 より、任意の

x

{\displaystyle x}
 に対して、

lim
n
→
∞

R
n

=
0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}=0}
 となる。すなわち、
e
x

=
∑
n
=
0

∞

1
n
!

x
n

.

{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}.}
sin

x
,
cos

x

{\displaystyle \sin x,\cos x}
 についても同じように計算して、
sin

x
=
∑
n
=
0

∞

(
−
1
)
n

(
2
n
+
1
)
!

x
2
n
+
1

,
cos

x
=
∑
n
=
0

∞

(
−
1
)
n

(
2
n
)
!

x
2
n

{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\,\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}
を得る。


ここでは、数学IIの微分・積分の考えで学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。
積分法について
∫
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x
,

{\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx,}

∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx}
(aは定数)
が成り立つ。
導出
∫
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}
の両辺を微分すると、
左辺 =右辺 =

f
+
g

{\displaystyle f+g}
が従う。
よって、
∫
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}
の両辺は一致する。
(実際には2つの関数の導関数が一致するとき、
それらの関数には定数だけのちがいがある。
仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。
このとき、
(
F
(
x
)
−
G
(
x
)
)
′
=
h
(
x
)
−
h
(
x
)
=
0

{\displaystyle (F(x)-G(x))'=h(x)-h(x)=0}
となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。
よって、両辺を積分すると、
F
(
x
)
−
G
(
x
)
=
C

{\displaystyle F(x)-G(x)=C}
となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。
よって、
∫
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
}
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}
は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。
より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。)
∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx}
についても両辺を微分すると、
左辺=右辺= a f(x)
が従う。
よって、
∫
a
f
d
x
=
a
∫
f
d
x

{\displaystyle \int afdx=a\int fdx}
が成り立つことが分る。
関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 の原始関数を

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}
 とすると
∫
a

b

f
(
x
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
−
(
F
(
a
)
−
F
(
b
)
)
=
−
∫
b

a

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx}
 である。
∫
a

c

f
(
x
)
d
x
+
∫
c

b

f
(
x
)
d
x
=
(
F
(
c
)
−
F
(
a
)
)
+
(
F
(
b
)
−
F
(
c
)
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∫
a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx=(F(c)-F(a))+(F(b)-F(c))=F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
関数の原始関数を求める手段として、
積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。
これを置換積分と呼ぶ。
∫
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
=
∫
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(g(x))dg(x)=\int f(g(x))g'(x)dx}
導出
∫
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
=
F
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle \int f(g(x))dg(x)=F(g(x))}
を

x

{\displaystyle x}
について微分すると、
F
′
(
g
(
x
)
)
=
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)

{\displaystyle F'(g(x))=f(g(x))g'(x)}
再び

x

{\displaystyle x}
について積分すると、
∫
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
=
∫
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(g(x))dg(x)=\int f(g(x))g'(x)dx}
また、特に
例えば、

∫
(
a
x
+
b
)
2

d
x

{\displaystyle \int (ax+b)^{2}dx}
を考える。
t
=
a
x
+
b

{\displaystyle t=ax+b}
と置く。
この両辺を微分すると

d
t
=
a
d
x

{\displaystyle dt=adx}

が成り立つことを考慮すると、
となることがわかる。
実際この式をxで微分すると

(
a
x
+
b
)
2

{\displaystyle (ax+b)^{2}}

と一致することが分る。
置換積分を使わずに計算することも出来る。
(

C
′
=

b
3

3
a

+
C

{\displaystyle C'={\frac {b^{3}}{3a}}+C}
と置き換えた。)
=

(
a
x
+
b
)
3

3
a

+
C

{\displaystyle ={\frac {(ax+b)^{3}}{3a}}+C}

となり確かに一致する。
関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}
 の原始関数を

G
(
x
)

{\displaystyle G(x)}
 とすると
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
G
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
G
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)\,dx}
導出
積の微分法より

{
f
(
x
)
G
(
x
)
}
′
=
f
′
(
x
)
G
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
)

{\displaystyle \{f(x)G(x)\}'=f'(x)G(x)+f(x)g(x)}
 である。これを移項して
f
(
x
)
g
(
x
)
=
{
f
(
x
)
G
(
x
)
}
′
−
f
′
(
x
)
G
(
x
)

{\displaystyle f(x)g(x)=\{f(x)G(x)\}'-f'(x)G(x)}
である。両辺をxで積分して
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
G
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
G
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)\,dx}
が得られる。
例えば、
n
≠
−
1

{\displaystyle n\neq -1}
のとき、

(

1
n
+
1

x
n
+
1

)
′
=
x
n

{\displaystyle \left({\frac {1}{n+1}}x^{n+1}\right)'=x^{n}}
なので、
∫
x
n

d
x
=

1
n
+
1

x
n
+
1

+
C

{\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}
n
=
−
1

{\displaystyle n=-1}
のとき、

(
log

|
x
|

)
′
=

1
x

=
x
−
1

{\displaystyle (\log |x|)'={\frac {1}{x}}=x^{-1}}
なので、
∫
x
−
1

d
x
=
∫

1
x

d
x
=
log

|
x
|
+
C

{\displaystyle \int x^{-1}dx=\int {\frac {1}{x}}dx=\log |x|+C}
が成り立つ。
が成り立つことを考慮すると、
となることが分る。
∫
tan

x
d
x

{\displaystyle \int \tan xdx}
は、置換積分法を使って
より一般に有理関数

R
(
x
,
y
)

{\displaystyle R(x,y)}
 に対して、

∫
R
(
sin

θ
,
cos

θ
)
d
θ

{\displaystyle \int R(\sin \theta ,\cos \theta)\,d\theta }
 について考える。

t
=
tan

θ
2

{\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}
 とおく。

tan
2

θ
2

+
1
=

1

cos
2

θ
2

{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}+1={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}
 よって

cos
2

θ
2

=

1
1
+
t
2

{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{1+t^{2}}}}
である。

d
t

d
θ

=

d
d
θ

tan

θ
2

=

1
2
cos
2

θ
2

=

1
2

(
t
2

+
1
)

{\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\frac {d}{d\theta }}\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}={\frac {1}{2}}(t^{2}+1)}
 であり、

cos

θ
=
2
cos
2

θ
2

−
1
=

1
−
t
2

1
+
t
2

{\displaystyle \cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
 かつ

sin

θ
=
tan

θ
cos

θ
=

2
tan

θ
2

1
−
tan
2

θ
2

cos

θ
=

2
t

1
+
t
2

{\displaystyle \sin \theta =\tan \theta \cos \theta ={\frac {2\tan {\frac {\theta }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}\cos \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
である。よって
∫
R
(
sin

θ
,
cos

θ
)
d
θ
=
∫
R
(

2
t

1
+
t
2

,

1
−
t
2

1
+
t
2

)

2
d
t

1
+
t
2

{\displaystyle \int R(\sin \theta ,\cos \theta)\,d\theta =\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\,{\frac {2dt}{1+t^{2}}}}
と有理関数の積分にもち込める。
幾何学的は、この変換は単位円上の点

P
(
cos

θ
,
sin

θ
)

{\displaystyle P(\cos \theta ,\sin \theta)}
と点

A
(
−
1
,
0
)

{\displaystyle A(-1,0)}
 を結ぶ直線の勾配

t

{\displaystyle t}
 で変換したものである。実際円周角の定理より

∠
x
A
P
=

1
2

∠
x
O
P
=

θ
2

{\displaystyle \angle xAP={\frac {1}{2}}\angle xOP={\frac {\theta }{2}}}
より

t
=
tan

θ
2

.

{\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}.}
被積分関数の周期が

π

{\displaystyle \pi }
 の場合は、被積分関数は

sin

2
θ
,
cos

2
θ

{\displaystyle \sin 2\theta ,\cos 2\theta }
 の有理関数なので、

t
=
tan

θ

{\displaystyle t=\tan \theta }
 と置換すると計算が楽だ。被積分関数が

sin
2

θ
,
cos
2

θ
,
sin

θ
cos

θ

{\displaystyle \sin ^{2}\theta ,\cos ^{2}\theta ,\sin \theta \cos \theta }
 の有理関数となるときもこの範疇に属する。

t
=
tan

θ

{\displaystyle t=\tan \theta }
 と置換したとき、

cos
2

θ
=

1
1
+
tan
2

θ

=

1
1
+
t
2

{\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+t^{2}}}}
,

sin
2

θ
=
tan
2

θ
cos
2

θ
=

t
2

1
+
t
2

{\displaystyle \sin ^{2}\theta =\tan ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}}
 ,

sin

θ
cos

θ
=
±

sin
2

θ
cos
2

θ

=

t
1
+
t
2

{\displaystyle \sin \theta \cos \theta =\pm {\sqrt {\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta }}={\frac {t}{1+t^{2}}}}
 (

sin

θ
cos

θ

{\displaystyle \sin \theta \cos \theta }
 と

tan

θ
=

sin

θ

cos

θ

{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}
 の正負は一致するため),

d
θ
=

d
t

1
+
t
2

{\displaystyle d\theta ={\frac {dt}{1+t^{2}}}}
 となる。
例

∫

1
sin

x
cos

x

d
x

{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx}
 は

t
=
tan

x

{\displaystyle t=\tan x}
 と置換すると、

∫

1
sin

x
cos

x

d
x
=
∫

1
+
t
2

t

d
t

1
+
t
2

=
ln

|
tan

x
|
+
C
.

{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx=\int {\frac {1+t^{2}}{t}}{\frac {dt}{1+t^{2}}}=\ln |\tan x|+C.}

t
=
tan

θ
2

{\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}
 と置換してしまうと、

∫

1
sin

x
cos

x

d
x
=
∫

1
+
t
2

t
(
1
−
t
2

)

d
t
=
ln

|

t
1
−
t
2

|
+
C
′
=
ln

|
tan

x
|
+
C

{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x\cos x}}\,dx=\int {\frac {1+t^{2}}{t(1-t^{2})}}\,dt=\ln \left|{\frac {t}{1-t^{2}}}\right|+C'=\ln |\tan x|+C}
 と計算量が少し増える。
指数関数について

(
e
x

)
′
=
e
x

{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}

が成り立つことを用いると、

∫
e
x

d
x
=
e
x

+
C

{\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C}

が得られる。
また、

(

a
x

ln

a

)
′
=
a
x

{\displaystyle \left({\frac {a^{x}}{\ln a}}\right)'=a^{x}}
 なので、

∫
a
x

d
x
=

a
x

ln

a

{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}}
 である。
また、

log

|
x
|

{\displaystyle \log |x|}
の
原始関数も求めることが出来る。
となる。
有理関数

R
(
x
)

{\displaystyle R(x)}
 に対して、積分

∫
R
(
e
x

)
d
x

{\displaystyle \int R(e^{x})\,dx}
 は

t
=
e
x

{\displaystyle t=e^{x}}
 すると

d
t

d
x

=
e
x

=
t

{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=e^{x}=t}
 より
∫
R
(
e
x

)
d
x
=
∫
R
(
t
)

d
t
t

.

{\displaystyle \int R(e^{x})\,dx=\int R(t){\frac {dt}{t}}.}
有理関数

R
(
x
,
y
)

{\displaystyle R(x,y)}
 に対して、積分

∫
R
(
x
,

a
x
2

+
b
x
+
c

)
d
x

{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx}
 について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、

p
2

−
x
2

,

x
2

+
p
2

,

x
2

−
p
2

{\displaystyle {\sqrt {p^{2}-x^{2}}},{\sqrt {x^{2}+p^{2}}},{\sqrt {x^{2}-p^{2}}}}
のいずれかの形になる。それぞれの場合について、

x
=
p
sin

θ
,
x
=
p
tan

θ
,
x
=

p
cos

θ

{\displaystyle x=p\sin \theta ,x=p\tan \theta ,x={\frac {p}{\cos \theta }}}
 と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。
また、

y
2

=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y^{2}=ax^{2}+bx+c}
 は二次曲線で、特に

a
>
0

{\displaystyle a>0}
 のときは双曲線となる（

y
2

−
a

(
x
+

b
2
a

)

2

=

−
b
2

+
4
a
c

4
a

{\displaystyle y^{2}-a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}
より[1]）。このとき、

y
=
±

a

x
+
t

{\displaystyle y=\pm {\sqrt {a}}x+t}
 すなわち

t
=
∓

a

x
+

a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle t=\mp {\sqrt {a}}x+{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}
 と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が

t

{\displaystyle t}
 の直線

y
=
±

a

x
+
t

{\displaystyle y=\pm {\sqrt {a}}x+t}
 と双曲線のただ一つの交点

(
x
,
y
)

{\displaystyle (x,y)}
 を変数

t

{\displaystyle t}
 で表したものである。
例

∫

d
x

x
2

−
1

{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
 は

t
=
x
+

x
2

−
1

{\displaystyle t=x+{\sqrt {x^{2}-1}}}
 と置換すると、

1
t

=
x
−

x
2

−
1

{\displaystyle {\frac {1}{t}}=x-{\sqrt {x^{2}-1}}}
 なので、

t
+

1
t

=
2
x

{\displaystyle t+{\frac {1}{t}}=2x}
 すなわち

2
d
x
=
(
1
−

1
t
2

)
d
t

{\displaystyle 2dx=\left(1-{\frac {1}{t^{2}}}\right)dt}
 また、

t
−

1
t

=
2

x
2

−
1

{\displaystyle t-{\frac {1}{t}}=2{\sqrt {x^{2}-1}}}
.なので、

∫

d
x

x
2

−
1

=
∫

1
−

1
t
2

t
−

1
t

d
t
=
∫

d
t
t

=
ln

|
x
+

x
2

−
1

|
+
C

{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\int {\frac {1-{\frac {1}{t^{2}}}}{t-{\frac {1}{t}}}}dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C}
 である。
ところで、この変換は双曲線

y
2

=
x
2

−
1

{\displaystyle y^{2}=x^{2}-1}
 と直線

y
=
−
x
+
t

{\displaystyle y=-x+t}
 のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて

t

{\displaystyle t}
 で表すと、

x
=

1
2

(
t
+

1
t

)
,
y
=

1
2

(
t
−

1
t

)

{\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(t+{\frac {1}{t}}\right),\,y={\frac {1}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}
 を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、

t
→
e
t

{\displaystyle t\rightarrow e^{t}}
 とすると、

x
=

e
t

+
e
−
t

2

=
cosh

t
,
y
=

e
t

−
e
−
t

2

=
sinh

t
.

{\displaystyle x={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}=\cosh t,\,y={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=\sinh t.}
 これは

x
>
0

{\displaystyle x>0}
 の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の

h

{\displaystyle \mathrm {h} }
 はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる

cosh
2

t
−
sinh
2

t
=
1

{\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1}
 は

sin
2

θ
+
cos
2

θ
=
1

{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
 とよく似ている。例示の不定積分は

x
=
cosh

t

{\displaystyle x=\cosh t}
 と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。
a
<
b

{\displaystyle a<b}
 とする。積分

∫
a

b

(
x
−
a
)
(
b
−
x
)

d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}\,dx}
 は

y
=

(
x
−
a
)
(
b
−
x
)

{\displaystyle y={\sqrt {(x-a)(b-x)}}}
 とすると、

(
x
−

a
+
b
2

)
+
y
2

=

(

a
−
b
2

)

2

{\displaystyle \left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)+y^{2}=\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}}
 より、被積分関数

y

{\displaystyle y}
 は中心

a
+
b
2

{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
 で半径

b
−
a
2

{\displaystyle {\frac {b-a}{2}}}
の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、

∫
a

b

(
x
−
a
)
(
b
−
x
)

d
x
=

π
2

(

b
−
a
2

)

2

{\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}}
 である。
一般に、関数

f
(
a
−
x
)

{\displaystyle f(a-x)}
 のグラフは関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 のグラフを直線

x
=

a
2

{\displaystyle x={\frac {a}{2}}}
 で対称移動したものである。
従って、連続関数

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
 を区間

[

a
+
b
2

,
b
]

{\displaystyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right]}
 で積分した値

∫

a
+
b
2

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\,dx}
 と、連続関数

f
(
a
+
b
−
x
)

{\displaystyle f(a+b-x)}
 を区間

[
a
,

a
+
b
2

]

{\displaystyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}
 で積分した値

∫
a

a
+
b
2

f
(
a
+
b
−
x
)
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{\frac {a+b}{2}}f(a+b-x)\,dx}
 は等しい：
この等式は単に、

x
→
a
+
b
−
x

{\displaystyle x\to a+b-x}
 の変数変換によっても導出できる。
この等式より、

∫
a

b

f
(
x
)
d
x
=
∫
a

a
+
b
2

f
(
x
)
d
x
+
∫

a
+
b
2

b

f
(
x
)
d
x
=
∫
a

a
+
b
2

[
f
(
x
)
+
f
(
a
+
b
−
x
)
]
d
x

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{\frac {a+b}{2}}f(x)\,dx+\int _{\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{\frac {a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]\,dx}
 が導かれる。
この公式は、

f
(
x
)
+
f
(
a
+
b
−
x
)

{\displaystyle f(x)+f(a+b-x)}
 が簡単な形になる定積分で役に立つ。
例えば、

∫
0

π
2

sin

x

sin

x
+
cos

x

d
x

=
∫
0

π
4

[

sin

x

sin

x
+
cos

x

+

sin

(

π
2

−
x
)

sin

(

π
2

−
x
)
+
cos

(

π
2

−
x
)

]

d
x

=
∫
0

π
4

[

sin

x

sin

x
+
cos

x

+

cos

x

cos

x
+
sin

x

]

d
x

=
∫
0

π
4

d
x
=

π
4

.

{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\left[{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}+{\frac {\sin({\frac {\pi }{2}}-x)}{\sin({\frac {\pi }{2}}-x)+\cos({\frac {\pi }{2}}-x)}}\right]\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\left[{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}+{\frac {\cos x}{\cos x+\sin x}}\right]\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}dx={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}
King Property の応用例は

∫
−
1

1

x
2

1
+
e
x

d
x
=

1
3

{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {x^{2}}{1+e^{x}}}\,dx={\frac {1}{3}}}
 ,

∫
0

π
4

ln

(
1
+
tan

x
)
d
x
=

π
8

ln

2

{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln(1+\tan x)\,dx={\frac {\pi }{8}}\ln 2}
 ,

∫
0

π
2

ln

sin

x
d
x
=
−

π
2

ln

2

{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \sin x\,dx=-{\frac {\pi }{2}}\ln 2}
 などがある。計算してみよ。
演習問題1
次の不定積分を求めよ。
演習問題2
第一問
第二問
ある関数f(x)の原始関数を求める演算は
f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。
このことを用いて
ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。
例えば、

∫
0

1

x
2

d
x
=

1
3

{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}dx={\frac {1}{3}}}

は、放物線

y
=
x
2

{\displaystyle y=x^{2}}
について

0
<
x
<
1

{\displaystyle 0<x<1}
の範囲でかこまれる面積に等しい。
楕円

x
2

a
2

+

y
2

b
2

=
1

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
の面積

S
=
π
a
b

{\displaystyle S=\pi ab}
の導出
楕円

x
2

a
2

+

y
2

b
2

=
1

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
を

y

{\displaystyle y}
について解くと
となる。そのうち

y
=

b
a

a
2

−
x
2

{\displaystyle y={\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}
は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積Sとなるので
となる。
ある立体

V
0

{\displaystyle V_{0}}
の

x
=
t

{\displaystyle x=t}
における断面積が有限な値で、その値が

t

{\displaystyle t}
の関数

S
(
t
)

{\displaystyle S(t)}
となるとき、この立体を平面

x
=
a

{\displaystyle x=a}
，

x
=
b

{\displaystyle x=b}
（ただし、

a
<
b

{\displaystyle a<b}
）で切り取った領域の体積は、底面積

S
(
t
)

{\displaystyle S(t)}
に極めて小さい高さ

d
t

{\displaystyle dt}
[2]の積

S
(
t
)
d
t

{\displaystyle S(t)\,dt}
の区間

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a,b]}
における累積であるので、以下の式で表すことができる。
（例1）
（例2）
y
=
f
(
x
)
(
a
≤
x
≤
b
)

{\displaystyle y=f(x)(a\leq x\leq b)}

で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる
立体の体積Vは、

V
=
∫
a

b

π
(
f
(
x
)
)
2

d
x

{\displaystyle V=\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}dx}

で与えられる。
導出
立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな
定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円
ではさまれた立体となる。
しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で
近似できる。
よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は

h
×
π
(
f
(
c
)
)
2

{\displaystyle h\times \pi (f(c))^{2}}

となる。
これを

a
<
c
<
b

{\displaystyle a<c<b}
満たす全てのcについて足し合わせると、

S
=
∫
a

b

π
(
f
(
x
)
)
2

d
x

{\displaystyle S=\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}dx}

が得られる。
例えば、

y
=
x
2

(
0
<
x
<
1
)

{\displaystyle y=x^{2}~(0<x<1)}

をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、
S
=
∫
0

1

π
(
x
2

)
2

d
x

{\displaystyle S=\int _{0}^{1}\pi (x^{2})^{2}dx}

=
π
∫
0

1

x
4

d
x

{\displaystyle =\pi \int _{0}^{1}x^{4}dx}

=

π
5

{\displaystyle ={\frac {\pi }{5}}}

となる。
球の体積

V
=

4
3

π
r
3

{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
の導出
半径rの球は半円

y
=

r
2

−
x
2

{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
をx軸の周りに回転させてつくることができる。
また体積をrで微分すると球の表面積

S
=
4
π
r
2

{\displaystyle S=4\pi r^{2}}
が得られる。
これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。
右図のようなある曲線

y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
がある。単純のため、ここではつねに

f
(
x
)
>
0

{\displaystyle f(x)>0}
であるものとして考える。この曲線と、x軸、および直線

x
=
a
,
x
=
b
(
a
<
b
)

{\displaystyle x=a,x=b(a<b)}
によって囲まれる領域の面積Sを求める。この面積は#面積の項で学んだように、
と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。
曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積Sに近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[a,b]をn等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、区分求積法と呼ぶ。
y
=
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}
を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。
ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]をn等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、
となる。ここで、一般に第k番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第n-1番目とする。第k番目の長方形の左端のx座標は

k
n

{\displaystyle {\frac {k}{n}}}
であるから、この長方形の高さは

f
(

k
n

)

{\displaystyle f\left({\frac {k}{n}}\right)}
となり、また長方形の幅は

1
n

{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
である。そのため、この長方形の面積

s
k

{\displaystyle s_{k}}
は、
となる。したがって、これらの長方形の面積の総和

S
n

{\displaystyle S_{n}}
は、
この

S
n

{\displaystyle S_{n}}
は、区間[0, 1]をn等分した時の長方形の面積の総和であるが、nを大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、

n
→
∞

{\displaystyle n\to \infty }
の極限を考え、
となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、
が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして
となる。