こちらを参照
3や12などの数（定数）や、

x

{\displaystyle x}
 や

y

{\displaystyle y}
 などの文字（変数）を掛けあわせてできる式を項（こう、term）という。
次のようなものが項である。
このように一つの項だけからできている式を単項式（たんこうしき、monomial）という。
※ あらためて「整式」を定義すると、次のような定義になる。
1つ以上の単項式を足しあわせてできる式を整式（せいしき）という。
以下は整式の例である。
単項式でも、項が1つしかない整式の一つであると考えることができるので、「整式」という概念を使うことにより、多項式と単項式との区別の必要がなくなる。
x
−
y

{\displaystyle x-y}
 のように減法を含む式は、

x
−
y
=
x
+
(
−
y
)
=
−
y
+
x

{\displaystyle x-y=x+(-y)=-y+x}
 と減法を加法に直すことができるので、

x
,
−
y

{\displaystyle x,-y}
 を項にもつ整式であると考えられる。すなわち、多項式の項とは、多項式を足し算の形に直したときの、一つ一つの足しあわさっている式のことである。たとえば

5
+
a
−
13
x
2

y
=
5
+
a
+
(
−
13
x
2

y
)

{\displaystyle 5+a-13x^{2}y=5+a+(-13x^{2}y)}
 の項は

5
,
a
,
−
13
x
2

y

{\displaystyle 5,a,-13x^{2}y}
 の3つである。
次の式のうち単項式であるものを答えよ。
(1), (2) が単項式。 (3) は項が6つあるため単項式ではない。
上の全ての式は整式でもある。
3
x
2

{\displaystyle 3x^{2}}
 +

5
x
2

+
8
x

{\displaystyle 5x^{2}+8x}
 の

3
x
2

{\displaystyle 3x^{2}}
 と

5
x
2

{\displaystyle 5x^{2}}
 のように、多項式の文字と指数がまったく同じである項を総称して同類項（どうるいこう、like terms）という。
同類項は分配法則

a
b
+
a
c
=
a
(
b
+
c
)

{\displaystyle ab+ac=a(b+c)}
 を使ってまとめることができる。たとえば

3
x
2

+
5
x
2

+
8
x
=
(
3
+
5
)
x
2

+
8
x
=
8
x
2

+
8
x

{\displaystyle 3x^{2}+5x^{2}+8x=(3+5)x^{2}+8x=8x^{2}+8x}
である。

8
x
2

{\displaystyle 8x^{2}}
 と

8
x

{\displaystyle 8x}
 は文字は同じであるが指数が異なるので、同類項ではない。
次の多項式の同類項を整理せよ。
3
x

{\displaystyle 3x}
 という単項式は、3という数と

x

{\displaystyle x}
 という文字に分けて考えることができる。数の部分を単項式の係数（けいすう、coefficient）という。
たとえば

−
x
=
(
−
1
)
x

{\displaystyle -x=(-1)x}
 という単項式の係数は -1 である。
256
x
y
2

{\displaystyle 256xy^{2}}
 という単項式は、256という数と

x
,
y
,
y

{\displaystyle x,y,y}
 という文字に分けて考えることができるので、この単項式の係数は256である。一方、掛けあわせた文字の数を単項式の次数（じすう、degree）という。

256
x
y
2

{\displaystyle 256xy^{2}}
 は

x
,
y
,
y

{\displaystyle x,y,y}
 という3つの文字を掛けあわせてできているので、この単項式の次数は3である。0という単項式の次数は

0
=
0
x
=
0
x
2

=
0
x
3

=
⋯

{\displaystyle 0=0x=0x^{2}=0x^{3}=\cdots }
と一つに定まらないので、ここでは考えない。
単項式の係数と次数は、単に数と文字に分けて考えるのではなく、ある文字を変数として見たときに、残りの文字を定数として数と同じように扱うことがある。
たとえば

−
5
a
b
c
x
3

{\displaystyle -5abcx^{3}}
という単項式を、

x
3

{\displaystyle x^{3}}
 だけが変数で、残りの文字

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 は定数と考えることもできる。
このとき

(
−
5
a
b
c
)
x
3

{\displaystyle (-5abc)x^{3}}
 と分けられるので、この単項式の係数は

−
5
a
b
c

{\displaystyle -5abc}
、変数は

x
3

{\displaystyle x^{3}}
 で、次数は3であるといえる。
このことを

−
5
a
b
c
x
3

{\displaystyle -5abcx^{3}}
 という単項式は、「

x

{\displaystyle x}
 に着目すると、係数は

−
5
a
b
c

{\displaystyle -5abc}
、次数は3である」などという場合がある。
あるいは

−
5
a
b
c
x
3

{\displaystyle -5abcx^{3}}
 の

a

{\displaystyle a}
 と

b

{\displaystyle b}
に着目すれば、

(
−
5
c
x
3

)
a
b

{\displaystyle (-5cx^{3})ab}
 と分けられ、

a

{\displaystyle a}
 と

b

{\displaystyle b}
 に着目したときのこの単項式の係数は

−
5
c
x
3

{\displaystyle -5cx^{3}}
、変数は

a
b

{\displaystyle ab}
 で、次数は2であるといえる。
慣習的には

a
,
b
,
c
,
⋯

{\displaystyle a,b,c,\cdots }
 などのアルファベットの最初の方の文字を定数を表すのに使い、

⋯
,
x
,
y
,
z

{\displaystyle \cdots ,x,y,z}
 などのアルファベットの最後の方の文字を変数を表すのに用いるが、一般的にはこの限りでない。
多項式の次数とは、多項式の同類項をまとめたときに、もっとも次数の高い項の次数をいう。たとえば

x
3

+
3
x
2

y
+
2
y

{\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+2y}
 では、もっとも次数の高い項は

x
3

{\displaystyle x^{3}}
 であるので、この多項式の次数は3である。もし

x
3

+
3
x
2

y
+
2
y

{\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+2y}
（

x

{\displaystyle x}
 は定数）であれば、すなわち多項式の

y

{\displaystyle y}
 について着目すると、もっとも次数の高い項は

3
x
2

y

{\displaystyle 3x^{2}y}
 と

2
y

{\displaystyle 2y}
 であるので、この多項式の次数は1である。このとき着目した文字を含まない項

x
3

{\displaystyle x^{3}}
 は定数項（ていすうこう、constant term）として数と同じように扱われる。
次の多項式の

x

{\displaystyle x}
 または

y

{\displaystyle y}
 に着目したときの次数と定数項をそれぞれいえ。
たとえば、
のように、次数の高い項から先に項をならべることを「降べき」（こうべき）という。
さて、式を使う目的によっては、次数のひくい項から先に書いたほうが便利な場合もある。
たとえば、

x

{\displaystyle x}
が 約0.01 のような1未満の小さい数の場合、式

x
2

+
6
x
+
7

{\displaystyle x^{2}+6x+7}
 の値を求めたいなら、文字

x

{\displaystyle x}
の次数の小さい項のほうが影響が高い。
なので、 目的によっては
のように、次数のひくい項から先に書く場合もある。
7
+
6
x
+
x
2

{\displaystyle 7+6x+x^{2}}
 のように、次数の低い項から先に項をならべることを「昇べき」（しょうべき）という。
多項式に2つ以上の文字があるとき、特定の1つの文字に注目して並び変えると、使いやすくなることがある。
たとえば、
の項を、xの次数が多い項から先に並びかえ、同類項をまとめると
となる。
この（例2）のように、特定の文字だけに着目して、その文字の次数の高い順に並びかえると便利なこともしばしばある。
例2は、

x

{\displaystyle x}
について 降べき の順に並び変えた整式である。
着目してない文字については、並び換えのときは定数のように扱う。
いっぽう、

x

{\displaystyle x}
について、次数のひくい項から順に並べると、次のような式になる。
このように、特定の文字の次数が低いものから順に並びかえると便利なこともしばしばある。
例3は、xについて 昇べき の順に並び変えた整式である。
たとえば、式
という式の右辺
の次数は、いくらであろうか。
aとxを等しく文字として扱うのであれば、

a
x

{\displaystyle ax}
の次数は
より 1＋1 ＝2 なので、この式の次数は2である。（項bは次数1なので、

a
x

{\displaystyle ax}
の次数2よりも低いので無視する。）
しかし、もしこの式を、定数

a

{\displaystyle a}
を係数とする変数

x

{\displaystyle x}
についての一次関数とみるのであれば、一次式と思うのが合理的だろう。
このような場合、特定の文字だけに注目したその式の次数を考えるとよい。
たとえば、文字xだけに注目して、式

a
x
+
b

{\displaystyle ax+b}
 の次数を決めてみよう。
すると、文字xに注目した場合の式

a
x
+
b

{\displaystyle ax+b}
 の次数は1になる。
なぜなら
よって、文字

x

{\displaystyle x}
に注目した場合の項

a
x

{\displaystyle ax}
 の次数は、 0＋1 なので、1である。
このように考える場合、必要に応じてどの文字に注目したかを明記して「文字◯◯に注目した次数」のように述べるとよい。
多項式の積は分配法則を使って計算することができる。
このように多項式の積で表された式を一つの多項式に繰り広げることを、多項式を展開（てんかい、expand）するという。
a

{\displaystyle a}
 を

n

{\displaystyle n}
 回掛けたものを

a
n

{\displaystyle a^{n}}
 と書き、aのn乗（-じょう、a to the n-th power）という。ただし

a
1

=
a

{\displaystyle a^{1}=a}
 と定義する。たとえば、
である。

a
,
a
2

,
a
3

,
a
4

,
a
5

,
⋯
,
a
n

{\displaystyle a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},\cdots ,a^{n}}
 を総称して

a

{\displaystyle a}
 の累乗（るいじょう、exponentiation、冪乗、べきじょう、冪、べき）という。

a
n

{\displaystyle a^{n}}
 の n を指数（しすう、exponent）という（a は底（てい、base）という）。ここでは自然数、すなわち正の整数の指数を考える。累乗は次のように考えることもできる。
累乗どうしを掛けあわせた積は、次のように計算することができる。
累乗どうしを割った商は、次のように計算することができる。
累乗の累乗は、次のように計算することができる。
積の累乗は、次のように計算することができる。
これらをあわせて指数法則（しすうほうそく、exponential law）という。
m, n を正の整数とすると、
累乗の定義より明らか。
次の式を計算しなさい。
次の式を展開せよ。
まとめると、次のようになる。
次の式を展開しなさい。
複雑な式の展開は、式の一部分を一つの文字において公式を使うとよい。
次の式を展開しなさい。
次の式を因数分解しなさい。

（備考）
次の式を因数分解しなさい。
次の式を因数分解しなさい。
a
2

+
b
2

{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
 は、

a

{\displaystyle a}
 と

b

{\displaystyle b}
 を入れ替えて

b
2

+
a
2

{\displaystyle b^{2}+a^{2}}
 にしても、値はもとの式と同じままである。
このように、文字を入れ替えても同じままになる式のことを 対称式（ たいしょうしき）という。
a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
 の対称式のうち、式

a
+
b

{\displaystyle a+b}
 と 式

a
b

{\displaystyle ab}
 の2つを 基本対称式 という。
基本対称式いがいの対称式は、基本対称式の加減乗除で表すことができる。たとえば、
である。
a
2

−
b
2

{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
 は、文字を入れ替えると、

b
2

−
a
2

{\displaystyle b^{2}-a^{2}}
 になるが、これはもとの式を ー1 倍したものである。このように、文字を入れ替えることで、もとの式を ー1 倍したものになる式のことを 交代式 （こうたいしき）という。
a=b^2が成り立つとき、a=2となるようなb、すなわち

2

{\displaystyle {\sqrt {2}}}
の具体的な値がどのようなものか、調べてみよう。
このように、bを様々に決めても、aはなかなか2にならない。
実は

2

{\displaystyle {\sqrt {2}}}
は、分母分子共に整数の分数で表すことはできない。このように整数を分母分子に持つ分数で表せないような数を無理数という。例えば、円周率πは無理数である。それに対して、整数や循環小数など、分母分子共に整数の分数で表すことのできる数を有理数という。
有理数と無理数を合わせて実数という。どんな実数でも数直線上の点として表せる。また、どんな実数も、有限小数あるいは無限小数として表せる。
(下記の「無限小数」の節を参照)
2

{\displaystyle {\sqrt {2}}}
 が有理数であると仮定すると、互いに素な（1以外に公約数をもたない）整数 m, n を用いて、
と表わすことができる。このとき、両辺を2乗して分母を払うと、
よって m は2の倍数であり、整数 l を用いて

m
=
2
l

{\displaystyle m=2l}
 と表すことができる。これを (1) の式に代入して整理すると、
よって n も2の倍数であるが、これは m, n が2を公約数にもつことになり、互いに素と仮定したことに矛盾する。したがって

2

{\displaystyle {\sqrt {2}}}
 は無理数である（背理法）。
0.1 や 0.123456789 のように、ある位で終わる小数を有限小数という。
一方、

0.1234512345
⋯

{\displaystyle 0.1234512345\cdots }
 や

3.1415926535
⋯

{\displaystyle 3.1415926535\cdots }
 のように無限に続く小数を 無限小数（むげん しょうすう）という。
無限小数のうち、ある位より下から、ある配列の数字の繰り返しになっているものを 循環小数（じゅんかん しょうすう）という。例えば

0.3333333333
⋯

{\displaystyle 0.3333333333\cdots }
 や

0.1428571428
⋯

{\displaystyle 0.1428571428\cdots }
や

0.1232323232
⋯

{\displaystyle 0.1232323232\cdots }
 などである。繰り返しの最小単位を循環節という。循環小数は循環節1つを用いて

0.

3
˙

{\displaystyle 0.{\dot {3}}}
、

0.

1
˙

4285

7
˙

{\displaystyle 0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}}
、

0.1

2
˙

3
˙

{\displaystyle 0.1{\dot {2}}{\dot {3}}}
のように循環節の最初と最後(循環節が一桁の場合はひとつだけ)の上に点をつけて表す。
全ての循環小数は分数に直せる。
と置くと、
である。(2)ー(1) より

9
a
=
3

{\displaystyle 9a=3}
、よって

a
=

3
9

=

1
3

{\displaystyle a={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}}
 である。
a

=
0.

1
˙

4285

7
˙

1000000
a

=
142857.

1
˙

4285

7
˙

999999
a

=
142857

a

=

142857
999999

=

1
7

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}\\1000000a&=142857.{\dot {1}}4285{\dot {7}}\\999999a&=142857\\a&={\frac {142857}{999999}}\ ={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}
a

=
0.1

2
˙

3
˙

100
a

=
12.3

2
˙

3
˙

99
a

=
12.2

a

=

12.2
99

=

61
495

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.1{\dot {2}}{\dot {3}}\\100a&=12.3{\dot {2}}{\dot {3}}\\99a&=12.2\\a&={\frac {12.2}{99}}\ ={\frac {61}{495}}\end{aligned}}}
実数 a について、a の数直線上での原点との距離を a の絶対値といい、

|
a
|

{\displaystyle |a|}
 で表す。
たとえば
である。
定義より

|
a
|
=
|
−
a
|

{\displaystyle |a|=|-a|}
 がいえる。また、

a
,
b

{\displaystyle a,b}
を任意の実数とするとき、それぞれに対応する数直線上の任意の2点

P
(
a
)
,
Q
(
b
)

{\displaystyle \mathrm {P} (a),\mathrm {Q} (b)}
 間の距離については、次のことがいえる。
数直線上の2点

P
(
a
)

{\displaystyle \mathrm {P} (a)}
 と

Q
(
b
)

{\displaystyle \mathrm {Q} (b)}
 の間の距離

P

Q

{\displaystyle \mathrm {P} \mathrm {Q} }
 は

|
b
−
a
|

{\displaystyle |b-a|}
 で表される。

今、2乗してaになる数bを考える。
a
=
1

{\displaystyle a=1}
のとき、

b
=
1

{\displaystyle b=1}
として終わりにしてはいけない。確かに

b
=
1

{\displaystyle b=1}
も条件を満たすが

b
=
−
1

{\displaystyle b=-1}
も条件を満たす。よって

b
=
1

{\displaystyle b=1}
 または

b
=
−
1

{\displaystyle b=-1}
である。
一般に正の数aについてa=b^2となるbは二つあり、その二つは絶対値が等しい。この二つのbをaの平方根という。aの平方根のうち、正であるものを

a

{\displaystyle {\sqrt {a}}}
、負であるものを

−

a

{\displaystyle -{\sqrt {a}}}
と書く。

a

{\displaystyle {\sqrt {a}}}
は『ルートa』と読む。
一方、負の数aについて考えてみても上手くbを見つけることはできない。実際のところ、負の数の平方根は実数で表すことはできない。
2

,

4

,

9

,

12

{\displaystyle 2\ ,\ 4\ ,\ 9\ ,\ 12}
の平方根を求めよ。
±

2

,

±
2

,

±
3

,

±
2

3

{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}\ ,\ \pm 2\ ,\ \pm 3\ ,\ \pm 2{\sqrt {3}}}
それぞれのルートを計算し、

±

{\displaystyle \pm }
をつければよい。ただし、平方根のルールに従って、簡単化できるものは簡単化することが要求される。
例えば、

2

{\displaystyle 2}
に対しては、

±

2

{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}}
となる。
一般に、

A
2

=
|
A
|

{\displaystyle {\sqrt {A^{2}}}=|A|}
である。
根号について、次の公式が成り立つ。
a
>
0
,
b
>
0

{\displaystyle a>0,b>0}
 のとき
まず、

a
b

{\displaystyle {\sqrt {ab}}}
 とは、定義にもとづいて考えると、2乗すると ab になる数のうち、正のほうの数という意味である。
なので、公式「

a

b

=

a
b

{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}
 　 」を証明するには、そのことを証明すればいい。
なので、まず、

a

b

{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}
 を2乗すると、
となる。
ゆえに

a

b

{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}
は、まず条件「2乗するとabになる」を満たす。
そして、正の数の平方根は正なので、

a

b

{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}
 も正である。よって

a

b

{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}
 は、「2乗するとabになる」数のうちの正のほうである。
（証明おわり）
さらに、上の公式(1)により、次の公式が導かれる。
a
>
0
,
k
>
0

{\displaystyle a>0,k>0}
 のとき
計算せよ。
分母に根号を含まない式にすることを、分母を有理化するという。有理化は、分母と分子に同じ数をかけてもよいことを利用して行う。
たとえば、

1
2

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}
を有理化すると、

1
2

=

1

2

2

2

=

2
2

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\ =\ {\frac {1{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}}\ =\ {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
となる。
また、とくに

a
b
+
c

{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}}
について、

b
2

−
c
2

=
1

{\displaystyle b^{2}-c^{2}=1}
のとき、

a
b
+
c

=

a
(
b
−
c
)

(
b
+
c
)
(
b
−
c
)

=

a
(
b
−
c
)

b
2

−
c
2

=

a
(
b
−
c
)
1

=

a
(
b
−
c
)

{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{(b+c)(b-c)}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{b^{2}-c^{2}}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{1}}\ =\ a(b-c)}
である。
たとえば、

a
=
1
,
b
=

2

,
c
=
1

{\displaystyle a=1,b={\sqrt {2}},c=1}
とすると、

1

2

+
1

=

2

−
1

{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}-1}
である。
分母を有理化せよ。
二重根号とは、根号が2重になっている式のことである。二重根号は常に外せるわけではなく、根号の中に含まれる式によって簡単にできるかどうかが決まる。一般に、根号内の式が、

x
2

{\displaystyle x^{2}}
の形に変形できる場合には、外側の根号を外すことができる。
3
+
2

2

{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}}
を簡単にせよ。
3
+
2

2

{\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}}
が

(
⋯
)
2

{\displaystyle (\cdots)^{2}}
の形にできるかを考える。
仮に、

(

a

+

b

)
2

{\displaystyle ({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}}
(a,bは正の整数)の形にできるとすると、

3
+
2

2

=
a
+
b
+
2

a
b

{\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}=a+b+2{\sqrt {ab}}}
となり、
を満たす整数a,bを探せばよい。この関係は、a=1,b=2(a,bを入れ換えても可。)によって満たされるので、

3
+
2

2

=

(

2

+
1
)
2

{\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}\ =\ ({\sqrt {2}}+1)^{2}}
が成り立つ。
よって、

3
+
2

2

=

(

2

+
1
)
2

=

2

+
1

{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}\ =\ {\sqrt {({\sqrt {2}}+1)^{2}}}\ =\ {\sqrt {2}}+1}
となる。
a
>
0

,

b
>
0

{\displaystyle a>0\ ,\ b>0}
 のとき
a
>
b
>
0

{\displaystyle a>b>0}
 のとき
次の式を計算せよ。
同じ大きさの量を=で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号を導入し、その性質についてまとめる。
ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことを

A
>
B

{\displaystyle A>B}
と表し、AがBより小さいことを

A
<
B

{\displaystyle A<B}
と表す。ここで、<と>のことを不等号と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、

≤
,
≥

{\displaystyle \leq ,\geq }
も似た意味の不等式であるが、それぞれAとBが等しい値である場合を含むものである。
なお、日本の教育においては、

≤
,
≥

{\displaystyle \leq ,\geq }
の代わりに、不等号の下に等号を記した

≦
,
≧

{\displaystyle \leqq ,\geqq }
を使うことが多い。
x
>
7

{\displaystyle x>7}
という不等式があるとき、xは7より大きい実数である。また、

x
≥
7

{\displaystyle x\geq 7}
の時には、xは7以上の実数である。
不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。
x
>
y

{\displaystyle x>y}
が成り立つときには、

x
+
3
>
y
+
3

{\displaystyle x+3>y+3}
、

4
x
>
4
y

{\displaystyle 4x>4y}
も成り立つ。また、

−
x
<
−
y

{\displaystyle -x<-y}
が成り立つ。
不等式の性質を使って
の両辺から3を引くと
よって
となる。
このように、不等式でも移項することができる。
グラフを用いて考えるとき、不等式はグラフ中の領域を表す。領域の境界は不等号を等号に置き換えた部分が対応する。これは、不等号が成立するかどうかがその線上で入れ替わることによっている。（詳しくは数学II 図形と方程式で学習する。）
y
>
x
+
1

{\displaystyle y>x+1}
,

y
<
2
x
+
1

{\displaystyle y<2x+1}
,

x
<
3

{\displaystyle x<3}
のグラフ(正しくは「領域」)を描け。
y
>
x
+
1

{\displaystyle y>x+1}
 のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。
y
<
2
x
+
1

{\displaystyle y<2x+1}
のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。
x
<
3

{\displaystyle x<3}
のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。
次の不等式を解け。
いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、これらの不等式を同時に満たす

x

{\displaystyle x}
の値の範囲を求めることを、連立不等式を解くという。
次の連立不等式を解け。
(i)
(ii)
(i)

x
+
2
<
2
x
+
4

{\displaystyle x+2<2x+4}
から

−
x
<
2

{\displaystyle -x<2}
10
−
x
≥
3
x
−
6

{\displaystyle 10-x\geq 3x-6}
から

−
4
x
≥
−
16

{\displaystyle -4x\geq -16}
(1),(2)を同時に満たす

x

{\displaystyle x}
の値の範囲は
(ii)

x
≥
1
−
x

{\displaystyle x\geq 1-x}
から

2
x
≥
1

{\displaystyle 2x\geq 1}
2
(
x
+
1
)
>
x
−
2

{\displaystyle 2(x+1)>x-2}
から

2
x
+
2
>
x
−
2

{\displaystyle 2x+2>x-2}
(1),(2)を同時に満たす

x

{\displaystyle x}
の値の範囲は
絶対値を含む不等式について考えよう。
絶対値

|
x
|

{\displaystyle |x|}
は、数直線上で、原点

O

{\displaystyle \mathrm {O} }
と点

P
(
x
)

{\displaystyle \mathrm {P} (x)}
の間の距離を表している。
したがって、

a
>
0

{\displaystyle a>0}
のとき
次の不等式を解け。
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
一般の二次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
（

a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
,

c

{\displaystyle c}
 は定数、

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
）の解

x

{\displaystyle x}
 を求める公式について考える。
ここで恒等式

x
2

+
2
y
x
=
(
x
+
y
)
2

−
y
2

{\displaystyle x^{2}+2yx=(x+y)^{2}-y^{2}}
 と (1) の左辺を係数比較すると、
であるから、(1) の式は次のように変形できる（平方完成）。
b
2

−
4
a
c
≥
0

{\displaystyle b^{2}-4ac\geq 0}
 のとき両辺の平方根をとると、
これが二次方程式の解の公式（にじほうていしきのかいのこうしき、quadratic formula; 二次公式）である。解の公式を二次方程式の一般形に代入すると、右辺は0になるはずである。
であることを用いると、
となり、確かに正しいことがわかる。
をそれぞれ解の公式か因数分解を用いて解きなさい。
結果の式に根号が現れない場合には、何らかの仕方で因数分解ができる。しかし、いずれの方法を使うにせよ、根号はできる限りの仕方で簡単化することが重要である。
(i)は簡単に因数分解できるので、解の公式を用いる必要はない。
より、
が答えとなる。(ii)では、因数分解が出来ないので、解の公式を用いる。因数分解ができるかどうかは実際に試行錯誤して見分けるしかない。
に、解の公式を用いると、a=5, b= 2, c=-1より、
となる。(iii),(iv)でも、因数分解は出来ないので、解の公式を用いる。答えは、
(iii)
(iv)
(v)
と因数分解できるので、答えは
となる。
全問を通じて、因数分解が可能な方程式に対しても、解の公式を使用しても構わない。
二次方程式

a
x
2

+
2
b
′
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
)

{\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0(a\neq 0)}
について考える。
解の公式に b= 2b' を代入すると
よって、二次方程式

a
x
2

+
2
b
′
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0}
 の解は
となる。
を上の解の公式を用いて解きなさい。
上の解の公式を用いると、a=3, b'= 3, c=-2より、
となる。
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解は

x
=

−
b
±

b
2

−
4
a
c

2
a

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
 である。
この式の根号の中身だけ取り出したものを判別式と呼び、2次方程式の解の個数を簡単に判別できる。
D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
の値によって次のようになる。
(1)

D
>
0

{\displaystyle D>0}
のとき、異なる2つの解

x
=

−
b
+

b
2

−
4
a
c

2
a

{\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
と

x
=

−
b
−

b
2

−
4
a
c

2
a

{\displaystyle x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
を持つ。
(2)

D
=
0

{\displaystyle D=0}
のとき、

±

b
2

−
4
a
c

=
±
0

{\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}=\pm 0}
 であるので、2つの解は一致して、ただ1つの解

x
=
−

b
2
a

{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
を持つ。これは2つの解が重なったものと考えて、重解という。
(3)

D
<
0

{\displaystyle D<0}
のとき、実数の範囲では解はない。
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解の個数は

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
の値で判定できる。
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解は

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
とするとき
次の2次方程式の解の個数を求めよ。
(I)
だから、実数解はない。
(II)
だから、重解をもつ。
(III)
だから、異なる2つの実数の解をもつ。


ここでは、三角比（さんかくひ）と、それを用いた定理を扱う。
∠
C
,
∠

C
′

{\displaystyle \angle \mathrm {C} ,\,\angle \mathrm {C} '}
 が直角で

∠
A
=
∠

A
′

{\displaystyle \angle \mathrm {A} =\angle {\mathrm {A} '}}
 である直角三角形

△
A
B
C
,
△

A
′

B
′

C
′

{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} ,\,\triangle \mathrm {A'B'C'} }
 について考える。

△
A
B
C
,
△

A
′

B
′

C
′

{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} ,\,\triangle \mathrm {A'B'C'} }
 は2つの角の大きさが等しいので相似である。
このとき、

B
C

A
B

=

B
′

C
′

A
′

B
′

{\displaystyle {\frac {\mathrm {BC} }{\mathrm {AB} }}={\frac {\mathrm {B'C'} }{\mathrm {A'B'} }}}
 である。このことから 対辺/斜辺 は角の大きさのみに依存することが分かる。そこで、

∠
C

{\displaystyle \angle \mathrm {C} }
 が直角である直角三角形

△
A
B
C

{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} }
 において、

sin

A
=

B
C

A
B

{\displaystyle \sin A={\frac {\mathrm {BC} }{\mathrm {AB} }}}
 とする。これを正弦(sine)という。
同様に、直角三角形において 底辺/斜辺 は角の大きさのみに依存する。そこで、

cos

A
=

A
C

A
B

{\displaystyle \cos A={\frac {\mathrm {AC} }{\mathrm {AB} }}}
 とする。これを余弦(cosine)という。
同様に、直角三角形において 対辺/底辺 は角の大きさのみに依存する。そこで、

tan

A
=

B
C

A
C

=

sin

A

cos

A

{\displaystyle \tan A={\frac {\mathrm {BC} }{\mathrm {AC} }}={\frac {\sin A}{\cos A}}}
 とする。これを正接(tangent)という。
これら、

sin
,
cos
,
tan

{\displaystyle \sin ,\,\cos ,\,\tan }
 が三角比である。
覚え方としてしばしば以下の説明が用いられる。数学的には無意味だが、これが覚えやすければ用いてもよい。下の図の中で、小文字のsを筆記体でかくときのつづりに対応するものが

sin

{\displaystyle \sin }
であり、筆記体のcに対応するものが

cos

{\displaystyle \cos }
であり、筆記体のtに対応するものが

tan

{\displaystyle \tan }
である。
三角比について次の性質が成り立つ。
90
∘

−
x

{\displaystyle 90^{\circ }-x}
は、xという大きさの角を持った直角三角形があるとき、直角でもxでもない大きさの角である。(三角形の内角の和が

180
∘

{\displaystyle 180^{\circ }}
であるため。)このため、

90
∘

−
x

{\displaystyle 90^{\circ }-x}
に対する三角比は、xに対する三角比を定義するのに使った三角形を用いて表わすことが出来る。実際にこの定義を導入すると、確かにこの結果が成り立つ。
ここまでで、

0
∘

<
r
<
90
∘

{\displaystyle 0^{\circ }<r<90^{\circ }}
の条件を満たす角度rに対して、三角比を定義した。しかし、これ以降三角形に関する定理を扱う上では、

90
∘

<
r
<
180
∘

{\displaystyle 90^{\circ }<r<180^{\circ }}
までの範囲で三角比を定義しておくと都合がよい。ここでは、三角比の定義の範囲を拡張する方法を説明する。
座標平面上に半径

r

{\displaystyle r}
 の円をかく。つぎに、円周上の第一象限に点

A
(
a
,
b
)

{\displaystyle \mathrm {A} (a,b)}
 をとり、直線

O
A

{\displaystyle \mathrm {OA} }
 と

x

{\displaystyle x}
 軸のなす角を

x

{\displaystyle x}
 とおく。

A

{\displaystyle \mathrm {A} }
 から

x

{\displaystyle x}
 軸におろした垂直の足を

B

{\displaystyle \mathrm {B} }
 とすると、三角形

O
A
B

{\displaystyle \mathrm {OAB} }
 は

∠
O
B
A

{\displaystyle \angle \mathrm {OBA} }
 を直角とする直角三角形である。このとき、三角比の定義から、

sin

x
=

b
r

{\displaystyle \sin x={\frac {b}{r}}}
 ,

cos

x
=

a
r

{\displaystyle \cos x={\frac {a}{r}}}
,

tan

x
=

b
a

{\displaystyle \tan x={\frac {b}{a}}}
 と表せる。
x

{\displaystyle x}
 が

90
∘

<
x
<
180
∘

{\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}
 のときも、上記の式に従って三角比を定義する。
次に、Aを円に沿って第2象限へ移動させる。先ほどと同様に、x軸の正の向きの半直線とOAによって作られる角をxとする。このとき

90
∘

<
x
<
180
∘

{\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}
となるため、角x側に直角三角形を作ることはできない。
ところが、

90
∘

<
x
<
180
∘

{\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}
のときも、先に述べた式の値を考えることはできる。そこで、このときも
ところで、

x
=
90
∘

{\displaystyle x=90^{\circ }}
のとき、Aはy軸上にあるためx=0となる。よって

tan

x

{\displaystyle \tan x}
は、

b
0

{\displaystyle {\frac {b}{0}}}
となってしまうため定義されない。
以上より、

0
∘

<
x
<
180
∘

{\displaystyle 0^{\circ }<x<180^{\circ }}
を満たす角xの正接、正弦、余弦の値は、単位円上に点A(a,b)をとり、
なお、実際には、この定義は任意の角

0
∘

≦
r
<
360
∘

{\displaystyle 0^{\circ }\leqq r<360^{\circ }}
に対して適用できるが、このことは高等学校数学IIの学習範囲である。
また、図形的な性質を用いると、

0
∘

<
x
<
90
∘

{\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}
のとき次の性質が成り立つ。
90

∘

{\displaystyle {}^{\circ }}
 + xという角は、xという角を持った直角三角形を用いて表わすことが出来る。
この時、図から90

∘

{\displaystyle {}^{\circ }}
 + xに対応する正弦は、xに対する余弦の大きさに等しい。90

∘

{\displaystyle {}^{\circ }}
 + xに対応する余弦は、xに対する正弦の大きさに等しく、符号が負になっている。
180

∘

{\displaystyle {}^{\circ }}
 - xという角も、xという角を持った直角三角形を用いて表わすことが出来る。
この時、対応する正弦が等しく、余弦が大きさが等しく符号が負になっていることがわかる。正接の関係式は、
を用いれば、前の2式から得ることが出来る。この式については後述する。
ここまでで、直角三角形を用いる場合と単位円を用いた場合に、三角比の定義を行った。これらの式はそれぞれ、
の関係を満たす。実際直角三角形の場合の定義の式を代入すれば、
となり、上の関係は成立する。これ以外にも三角比には角の大きさに関わらず成立する相互関係があり、これらの関係を用いてある1つの三角比から他の三角比の値を求めることができる。もちろん、直角三角形については1つの三角比を指定することで三角形の形は相似形の自由度を除いて決定されるため、この結果は必然であるのだが。
恒等式
が得られることを示せ。(

sin
2

r

,

cos
2

r

,

tan
2

r

{\displaystyle \sin ^{2}r\ ,\ \cos ^{2}r\ ,\ \tan ^{2}r}
は、それぞれ

(
sin

r
)
2

,

(
cos

r
)
2

,

(
tan

r
)
2

{\displaystyle (\sin r)^{2}\ ,\ (\cos r)^{2}\ ,\ (\tan r)^{2}}
という意味である。)
上で得たような直角三角形を考えると、
となっている。
このとき、三平方の定理より、

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
について、
が成り立つ。
ここで、両辺を

c
2

{\displaystyle c^{2}}

で割ると、
となり、求めたい式が示された。
さらに、

sin
2

r
+
cos
2

r
=
1

{\displaystyle \sin ^{2}r+\cos ^{2}r=1}
の両辺を

cos
2

r

{\displaystyle \cos ^{2}r}
で割ると、
が得られる。
sin

r
=

1
3

{\displaystyle \sin r={\frac {1}{3}}}
のときの

cos

r

{\displaystyle \cos r}
,

tan

r

{\displaystyle \tan r}
の値を求めよ。ただし、

0
∘

<
r
<
90
∘

{\displaystyle 0^{\circ }<r<90^{\circ }}
を満たすとする。
sin
2

r
+
cos
2

r
=
1

{\displaystyle \sin ^{2}r+\cos ^{2}r=1}
に

sin

r
=

1
3

{\displaystyle \sin r={\frac {1}{3}}}
を代入すると、
さらに、

0
∘

<
r
<
90
∘

{\displaystyle 0^{\circ }<r<90^{\circ }}
では、

cos

r
>
0

{\displaystyle \cos r>0}
となることに注目すると、
となる。
さらに、

tan

r
=

sin

r

cos

r

{\displaystyle \tan r={\frac {\sin r}{\cos r}}}
に代入すると、
となる。
３つの角の角度がそれぞれ
とするそれぞれの直角三角形の辺の長さの比を用いることで、
30
∘

,

60
∘

,

45
∘

{\displaystyle 30^{\circ }\ ,\ 60^{\circ }\ ,\ 45^{\circ }}
に対して、

sin
,
cos
,
tan

{\displaystyle \sin ,\cos ,\tan }
の大きさを求めよ。
45
∘

,

45
∘

,

90
∘

{\displaystyle 45^{\circ }\ ,\ 45^{\circ }\ ,\ 90^{\circ }}
の直角二等辺三角形では、斜辺が一番長く、その長さは他の辺の長さの

2

{\displaystyle {\sqrt {2}}}
倍である。このことを用いると、
30
∘

,

60
∘

,

90
∘

{\displaystyle 30^{\circ }\ ,\ 60^{\circ }\ ,\ 90^{\circ }}
の直角三角形では、辺の長さの比は、短い順から、

1
:

3

:
2

{\displaystyle 1:{\sqrt {3}}:2}
となっている。このことを用いると、
これらの角度の三角比は重要なので覚えるべきである。もちろん、これらの有名角ではない三角比も計算することが出来る。その計算方法として、直接作図して測定する方法や、マクローリン展開(数IIIの知識があれば理解できるが、主に大学範囲)を利用して求めることが挙げられる。しかし、その計算方法は煩雑である。有名角ではない三角比の値が知りたい場合は、スマホやパソコンなどにインストールされた電卓アプリまたは、ブラウザで検索すればその値が分かる。試験で三角比の値が必要な場合は、表などの形式で三角比の値が与えられる。
三角形の辺の長さがa,b,cと与えられ、相対する角の大きさがA,B,Cと与えられるとき
が成り立つ。ここで、 R は三角形の外接円の半径である。
最初に三角形が直角三角形であるときについて考える。直角三角形で,

90
∘

{\displaystyle 90^{\circ }}
の角をCとおき、対応する辺をcとする。このとき、外接円の半径をRとすると、
が成り立つ。よって、角Cについて正弦定理が確かめられた。辺aについても図の三角形が直角三角形であることを用いると、
が成り立つ。Bについても同様である。よって、三角形が直角三角形であるとき、正弦定理は示された。
次に三角形が鋭角三角形であるときを考える。特に角Aに注目する。Aと同じ円周角を持つ点の中で、角CBDが

90
∘

{\displaystyle 90^{\circ }}
になるように、点Dをとる。
このとき、三角形BCDについて、

sin

{\displaystyle \sin }
の定義から、
(角BDC = 角Aに注意。これは円周角が互いに等しいことによる。)となり、
が得られて、正弦定理が角Aについて示された。角B、角Cについても同様に示すことが出来る。
最後に鈍角三角形の場合について考える。鈍角三角形の2つの鋭角については上と同じ証明を用いることが出来る。鈍角をCと書き、角ABD=

90

∘

{\displaystyle 90{}^{\circ }}
となるように点Dを取る。
ここで、角BDA =

180
∘

{\displaystyle 180^{\circ }}
 - 角Cが成り立つ。(これは円に内接する四角形の相対する角a,bについてa+b =

180
∘

{\displaystyle 180^{\circ }}
が成り立つことによる。)これを用いると、
となり、確かにこの場合も成立する。よって、全ての三角形について正弦定理が示された。
角度が
の直角三角形において正弦定理が成り立っていることを確かめよ。
ただし、それぞれの三角形の斜辺の長さを

a

{\displaystyle a}
とする。
ここで、直角三角形の外接円の直径は、
直角三角形の斜辺の長さに等しいことに注意せよ。
の直角三角形については、
短い辺の長さを

b

{\displaystyle b}
とすると、
正弦定理は、
となる。
これは、
に対応するが、
の性質からこれは正しい。
一方、
の直角三角形については
正弦定理は、辺の長さを短い順に

b
1

{\displaystyle b_{1}}
 ,

b
2

{\displaystyle b_{2}}
とすると、
となるが、これは
に対応するが、もともとの三角形の性質からいって、
このことは確かに成立している。
次の三角形について、
c
2

=
a
2

+
b
2

−
2
a
b
cos

C

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
が成り立つ。これを余弦定理という。
点

B

{\displaystyle \mathrm {B} }
 から直線

C
A

{\displaystyle \mathrm {CA} }
 におろした垂線の足を点

H

{\displaystyle \mathrm {H} }
 とする。
線分

A
H

{\displaystyle \mathrm {AH} }
 の長さについて
A

{\displaystyle A}
 が鋭角かつ

C

{\displaystyle C}
 が鋭角のとき、

A
H
=
C
A
−
C
H
=
b
−
a
cos

C

{\displaystyle \mathrm {AH} =\mathrm {CA} -\mathrm {CH} =b-a\cos C}
A

{\displaystyle A}
 が鈍角かつ

C

{\displaystyle C}
 が鋭角のとき、

A
H
=
C
H
−
C
A
=
a
cos

C
−
b

{\displaystyle \mathrm {AH} =\mathrm {CH} -\mathrm {CA} =a\cos C-b}
A

{\displaystyle A}
 が鋭角かつ

C

{\displaystyle C}
 が鈍角のとき、

A
H
=
A
C
+
C
H
=
b
−
a
cos

C

{\displaystyle \mathrm {AH} =\mathrm {AC} +\mathrm {CH} =b-a\cos C}
である。
B
H
=
a
sin

C

{\displaystyle \mathrm {BH} =a\sin C}
三平方の定理より、
c
2

=

A
B

2

=

B
H

2

+

A
H

2

=
(
a
sin

C
)
2

+
(
b
−
a
cos

C
)
2

=
a
2

+
b
2

−
2
a
b
cos

C

{\displaystyle c^{2}=\mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {BH} ^{2}+\mathrm {AH} ^{2}=(a\sin C)^{2}+(b-a\cos C)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}
頂点A、Bについても同様にして求めることが出来る。
余弦定理の系
三角形ABCについて、辺の長さ
のとき、辺ACの長さを余弦定理を用いて求めよ。
余弦定理
を用いると、
が得られる！
よって、
が得られる。
上で得た三角形で、
も計算せよ。
元々の条件で三角形ABCは、2辺AB,BCとその間の角
が知られていた。そのため、この三角形は完全に決まっており、それぞれの角の大きさも知られるはずである。
それぞれの角の大きさを計算するためには、角の大きさのための余弦定理を使うのがよい。ただし、2つの角の大きさが求められたら、3つめの角は余弦定理によるまでもなく、
によって計算することが出来る。
まず、角Aを求める。余弦定理を用いると、
となる。
を満たす角度は簡単な形で表すことはできないが、平方根の表と三角比の表を用いておおよその値を知ることは出来る。また、
とすると、角Cは、
で与えられる。
具体的にaのおおよその値を求めてみる。平方根の表より

13

≒
3.6

{\displaystyle {\sqrt {13}}\fallingdotseq 3.6}
なので、

1
13

=

13
13

≒
0.277

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {13}}}={\frac {\sqrt {13}}{13}}\fallingdotseq 0.277}
であり、三角比の表でこれに近い余弦の値を探すことで、
が得られる。
三角形ABCについて、3辺の長さ、3角の大きさのうち、いくつかの量が与えられているとする。このとき、与えられた量以外の量を計算せよ。
(i)
(ii)
(i)
余弦定理によって、
よって、
が得られる。
また、正弦定理を用いると、
が得られるが、この値を用いて
を定めることができる。(余弦定理を用いて計算することもできる。 ）実際に計算すると、
が得られる。
(ii)
三角形の内角の和が
であることを用いて、
が得られる。さらに正弦定理を用いると、
が得られる。これを解くと、
となる。
の値は、最も簡単な計算法は高等学校数学IIで与えられる。詳しくは高等学校数学II いろいろな関数を参照。答えは、
である。この値を用いると、
となる。
三角形の2辺a,bとその間の角Cが与えられているとき、三角形の面積Sは、
で与えられる。
辺aを三角形の底辺と見たとき、三角形の高さは、

b
sin

C

{\displaystyle b\sin C}
で与えられる。よって、三角形の面積公式から、
が得られる。
a=2,b=3,c=60

∘

{\displaystyle {}^{\circ }}
の時、この三角形の面積Sを求めよ。
上の公式を用いると、
となる。
三角形

A
B
C

{\displaystyle \mathrm {ABC} }
 の一辺の長さをそれぞれ

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}
 とし、三角形の面積を

S

{\displaystyle S}
 、内心の半径を

r

{\displaystyle r}
 、内心点を

I

{\displaystyle \mathrm {I} }
 とする。
このとき、

S
=

r
2

(
a
+
b
+
c
)

{\displaystyle S={\frac {r}{2}}(a+b+c)}
 が成り立つ。
証明
S
=
△
A
B
C
=
△
A
B
I
+
△
B
C
I
+
△
C
A
I

{\displaystyle S=\triangle \mathrm {ABC} =\triangle \mathrm {ABI} +\triangle \mathrm {BCI} +\triangle \mathrm {CAI} }
 であるが、後者のそれぞれの三角形の面積は

a
r
2

,

b
r
2

,

c
r
2

{\displaystyle {\frac {ar}{2}},{\frac {br}{2}},{\frac {cr}{2}}}
 である。これを代入すれば、求めていた式が得られる。
w:ヘロンの公式とは、三角形の3辺の長さを用いて、その三角形の面積を表す公式である。三角形の3辺を定めれば三角形は一意に決まるため、当然面積は確定するのだが、その値を具体的に計算する方法を与えるのがヘロンの公式である。
ヘロンの公式は次のように与えられる。三角形の3辺の長さをそれぞれ、a,b,cとする。このとき、
とするとき、三角形の面積Sは、
で与えられる。
余弦定理を用いると、角Aの大きさは、
となる。ここで、

sin

A

{\displaystyle \sin A}
は、
ここで、三角形の面積Sは、
となり、ヘロンの公式が示された。
ヘロンの公式は、三辺の長さやsの値がきれいな整数値となる場合、面積を簡単に求めることができて便利である。一方で、これらの値がキリの悪い値になる場合はあまり便利ではない。これに限らずどの数学公式もそうであるが、用いることで便利になる状況を見極めたうえで用いるのが重要である。


一般に、

y

{\displaystyle y}
が

x

{\displaystyle x}
の関数である場合に、

f

{\displaystyle f}
 などの文字を用いて、
と書き表すことができる。
また、x の関数 y＝f(x) のことを単に f(x) と省略して言う場合もよくある。
関数 y＝f(x) において、変数xの値をaにした場合の関数の値を  f(a) で表す。
つまり、関数f(x) の x＝a の場合でのyの値が f(a) である。ちなみに関数のfとは
英語で関数を意味するfunctionの頭文字
からとっている。2つ以上関数を扱う際にはfの次のgやhを用いることが多い。
（範囲外）

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
のfは「入力値に対してfという操作をする」という意味の記号である。
Aを入力したらBを返す、という操作fを

f
:
A
→
B

{\displaystyle f:A\rightarrow B}
のように表す。このとき、fという操作にAを入力したらBが出力されるので、これを

f
(
A
)
=
B

{\displaystyle f(A)=B}
というふうに表すことにするとわかりやすいであろう。AとBが数であるとき、

f
(
A
)

{\displaystyle f(A)}
は上の等式より数である。つまり、fは操作を、

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}
は操作fにある数xを入力したときの出力値を表すので注意しよう。fは数ではなく操作を表すので、

{
f
(
x
)
}
2

{\displaystyle \{f(x)\}^{2}}
と

f
2

(
x
)

{\displaystyle f^{2}(x)}
は当然異なる。（なお、右側は

f
(
f
(
x
)
)

{\displaystyle f(f(x))}
を表す。詳しくは数Ⅲで習う。）
「AとBが数であるとき」という文からわかるように、AとBは数でなくても良い。そのような場合は大学で詳しく扱う。
xy座標で第1象限（しょうげん）から第4象限までの位置を、図のように定義する。
位置と象限の番号の対応の覚え方は、x軸の正方向を基準に、反時計周り（左回り）に番号が大きくなっていくと覚えればいい。
それぞれの象限と、X、Yの値との関係は、左図のとおり。
定数

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
 と、定数

b

{\displaystyle b}
,

c

{\displaystyle c}
を用いて
と

x

{\displaystyle x}
 の二次式で表す事ができる関数を変数

x

{\displaystyle x}
 の2次関数という。
以下の関数はいずれも2次関数である。
一方以下の関数は2次関数ではない
読者はこれを当然と思うかもしれないが、上の式は
と表記することもできる。しかし、これは

x

{\displaystyle x}
 二次式ではないので2次関数ではない。
そのために、2次関数の定義において

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
でなければならないというルールを設けたのである。
まず、もっとも簡単な

y
=
a
x
2

{\displaystyle y=ax^{2}}
のグラフは

a
>
0

{\displaystyle a>0}
 のとき図1のようになる。（図では

a
=
1

{\displaystyle a=1}
の場合を表記）。また、

a
<
0

{\displaystyle a<0}
 のときは図1 のグラフを上下さかさまにしたものになる。
a
>
0

{\displaystyle a>0}
 のとき2次関数

y

{\displaystyle y}
 は 下に凸 （したにとつ）といい、

a
<
0

{\displaystyle a<0}
 のとき 上に凸 （うえにとつ）という。また、2次関数のグラフを放物線という。
2つの2次関数
のグラフを書くために値を求めると、下記の表のようになる。
表を見ると、(2)　2x2+4　の値は、つねに (1)　2x2 の値よりも4だけ大きい。
したがって(2)　2x2+4　のグラフは、 (1)　2x2 のグラフをy軸方向に4だけ平行移動した放物線であり、
の放物線である。

y＝2(x-3)2　のグラフは、　2x2 のグラフをx軸方向に3だけ平行移動した放物線であり、
の放物線である。
である。
y＝2(x-3)2＋4　のグラフは、　y＝2(x-3)2 のグラフをy軸方向に4だけ平行移動した放物線である。
そして、y＝2(x-3)2 のグラフは　y＝2x2 のグラフをx軸方向に3だけ平行移動した放物線であったので、つまり
y＝2(x-3)2＋4　のグラフは、y＝2x2 のグラフを x軸方向に3, y軸方向に4, 平行移動した放物線である。
よって、
である。
である。
本節では2次関数の一般形と標準形について学ぶ。この知識は後で2次関数をグラフで表す際に役立つ。
先ほど現れた
という形の式 (

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
) を2次関数の一般形といい、
という式を2次関数の標準形という。
（上で、

a
≠
0

{\displaystyle a\neq 0}
、

b

{\displaystyle b}
、

c

{\displaystyle c}
、

p

{\displaystyle p}
、

q

{\displaystyle q}
は定数で、

x

{\displaystyle x}
は変数であるものとする。）
一般形で表記されている2次関数を標準形で表記する事を平方完成という。
後述するように、標準形は2次関数をグラフで表す際に用いる。
標準形
で表記されている2次関数の右辺を展開すると、
となるので、
とすれば一般形になる。
逆に一般形
で表記されている2次関数は以下の手順で標準形に変換できる（この変形手法を平方完成という）。
ここで、
とおくと、
となり標準形で表されたことになる。
一般の2次関数をグラフで表現してみよう。 前述のように2次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
を標準形
に変換する。ここで、
この標準形のグラフは

y
=
a
x
2

{\displaystyle y=ax^{2}}
 のグラフを

x

{\displaystyle x}
 軸方向に

p

{\displaystyle p}
,

y

{\displaystyle y}
 軸方向に

q

{\displaystyle q}
 平行移動させたものと考えることができる。よって以下の事実が結論付けられる。
2次関数にかぎらず、一般に関数 y＝f(x) のグラフをy軸の正の方向に q だけ平行移動したグラフは、
のグラフになる。
また、関数 y＝f(x) のグラフをx軸の正の方向に p だけ平行移動したグラフは、
のグラフになる。
よって、関数 y＝f(x) のグラフをx軸の正の方向に p 、y軸の正の方向にq だけ平行移動したグラフは、
のグラフになる。

2次関数にかぎらず、一般に関数 y＝f(x) のグラフをx軸に関して対称に移動したグラフは、
のグラフになる。
また、関数 y＝f(x) のグラフをy軸に関して対称に移動したグラフは、
のグラフになる。
よって、関数 y＝f(x) のグラフを原点に関して対称に移動したグラフは、
のグラフになる。

2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸に共有点があるとき、その共有点の

y

{\displaystyle y}
座標は0であるから、共有点の

x

{\displaystyle x}
座標は、二次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
の実数解である。
次の2次関数のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸の共有点の座標を求めよ。
(i)
(ii)
(i)　2次方程式

x
2

−
2
x
−
1
=
0

{\displaystyle x^{2}-2x-1=0}
を解くと
よって、共有点の座標は
(ii)　2次方程式

−
4
x
2

−
4
x
−
1
=
0

{\displaystyle -4x^{2}-4x-1=0}
を解くと
よって、共有点の座標は
(ii)のグラフはただ1点

(
−

1
2

,

0
)

{\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\ ,\ 0\right)}
で共有し、共有点の

x

{\displaystyle x}
座標は二次方程式

−
4
x
2

−
4
x
−
1
=
0

{\displaystyle -4x^{2}-4x-1=0}
の重解である。このようなとき、2次関数のグラフは

x

{\displaystyle x}
軸に接するといい、その共有点を接点という。
2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸との共有点の

x

{\displaystyle x}
座標は、二次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
の実数解で、実数解の個数は

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
の符号によって決まる。
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle b^{2}-4ac}
 のことを 2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
の 判別式 （はんべつしき）という。

2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸の位置関係について、

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
とするとき
次の2次関数のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸との共有点の個数を求めよ。
(I)
(II)
(III)
(I)
だから、

x

{\displaystyle x}
軸との共有点はなし。
(II)
だから、

x

{\displaystyle x}
軸との共有点は2個。
(III)
だから、

x

{\displaystyle x}
軸との共有点は1個。
2次間数にかぎらず、一般に関数 y ＝ f(x)において、
変数x のとりうる値の範囲のことを定義域（ていぎいき、domain）という。
また、xの値に対応して y の値のとりうる範囲のことを値域（ちいき、range）という。
多くの場合、値域は定義域の影響を受けて変化する。
また、この例のように、定義域や値域を表す場合に、不等式で表す手法も多い。
略式の記法として、定義域を表す場合に、
のようにカッコ内の不等式で表すことも、よくある。この記法（「  y＝2x 　　 (1 ≦ x ≦ 3) 」）の場合、定義域は 1 ≦ x ≦ 3 であると主張している。
つまり、定義域を数式ではっきりと示す必要がある場合には
のように示すことがよくある。この関数の場合、定義域は

a
≦
x
≦
b

{\displaystyle a\leqq x\leqq b}
である。
特に定義域の指定されてない場合は、可能なかぎり定義域を広くとるのが普通である。

たとえば、さきほどの関数 y＝2x の問題の例 、
では、与えられた定義域で、この関数の値のとりうる最大の値は 6 である。
このように、ある関数が、与えられた条件下でもつ最大の値のことを、その関数の最大値（さいだいち, maximum）という。
または、さきほど習った「値域」という言葉をつかうなら、「最大値」とは、値域の最大の値のことである。
つまり、関数  y＝2x 　　 (1 ≦ x ≦ 3) の最大値は 6 である。
もし、定義域を指定しなければ、関数  y＝2x  に最大値は無い（定義域の指定がなければ、xが どこまでも大きくなるし、それに比例してyも大きくなるので）。
同様に、ある関数が、与えられた条件下でもつ最小の値のことを、その関数の最小値（さいしょうち, minimum）という。
関数  y＝2x 　　 (1 ≦ x ≦ 3) の最小値は 2 である。

定義域が実数全体である2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
 では、右図のように、aの正負によって最小値（a>0 の場合）、または最大値がある（a<0の場合）。

と標準形にし、グラフを書くと右図のようになる。
したがってグラフより答えは最大値は

x
=
0

{\displaystyle x=0}
 のとき

5

{\displaystyle 5}
, 最小値は

x
=
−

5
2

{\displaystyle x=-{\frac {5}{2}}}
 のとき

−

5
4

{\displaystyle -{\frac {5}{4}}}
。
上の例題と同様の問題のように思えるが、定義域が

0
≤
x
≤
3

{\displaystyle 0\leq x\leq 3}
 ではなく、

0
≤
x
<
3

{\displaystyle 0\leq x<3}
 となっている。とりあえずグラフをかいてみることにする。
グラフから、最大値は

x
=
1

{\displaystyle x=1}
 のとき

2

{\displaystyle 2}
, 最小値は存在しない。
二次不等式とは、

x

{\displaystyle x}
 の二次式と不等号で表される式のことをいい、
のような形をしている。グラフを利用して二次不等式の解を考えてみよう。
2次関数

y
=
x
2

+
4
x
=
x
(
x
+
4
)

{\displaystyle y=x^{2}+4x=x(x+4)}
 のグラフは右図のようになる。
x
2

+
4
x
>
0

{\displaystyle x^{2}+4x>0}
 となる

x

{\displaystyle x}
 の値の範囲は右のグラフの

x

{\displaystyle x}
 軸より上側にある部分に対する

x

{\displaystyle x}
 の値の範囲であるから、
この問題をより一般化してみよう。
2次不等式

a
x
2

+
b
x
+
c
>
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c>0}
 を解くには

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
 のグラフをかけば一目瞭然である。しかし、グラフをかいた場合にも我々が注目するのは

x

{\displaystyle x}
 軸より上か下かということと、

x

{\displaystyle x}
 軸との共有点である。

x

{\displaystyle x}
 軸との共有点は二次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解であるが、二次方程式の解の公式を思い出してほしい。それは次のようなものであった。
これを用いると、二次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
が解を持つとき、
と因数分解形で表すことができる。（右辺を展開して左辺と一致することを確かめてみよ。）
ここで、
とおくと、
となる。

a
>
0

{\displaystyle a>0}
 のとき

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
 のグラフは下に凸であるからこの不等式の解は、
となる。

a
<
0

{\displaystyle a<0}
 のときは両辺を

−
1

{\displaystyle -1}
 で割ってから考えると、
となる。
次の二次不等式を解け。
(i)
(ii)
(i)　二次方程式

12
x
2

+
17
x
−
7
=
0

{\displaystyle 12x^{2}+17x-7=0}
を解くと
よって、この二次不等式の解は
(ii)　二次方程式

2
x
2

+
6
x
+
1
=
0

{\displaystyle 2x^{2}+6x+1=0}
を解くと
よって、この二次不等式の解は
y
=
x
2

−
6
x
+
9

{\displaystyle y=x^{2}-6x+9}
の値の符号について考えよう。
平方完成をすると
この関数のグラフは、

x

{\displaystyle x}
軸と点

(
3

,

0
)

{\displaystyle (3\ ,\ 0)}
で接する。

y
=
x
2

−
6
x
+
9

{\displaystyle y=x^{2}-6x+9}
の値の符号について、下の表のようになる。
よって
次の二次不等式を解け。
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
よって、-1以外のすべての実数
(ii)
よって、

x
=
−

2
3

{\displaystyle x=-{\frac {2}{3}}}

(iii)
よって、解はない
(iv)
よって、すべての実数
2次関数

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
のグラフと

x

{\displaystyle x}
軸の位置関係について、

D
=
b
2

−
4
a
c
<
0

{\displaystyle D=b^{2}-4ac<0}
のとき、

x

{\displaystyle x}
軸と共有点をもたなかった。
さらに

a
>
0

{\displaystyle a>0}
という条件を加えると、

y
=
a
x
2

+
b
x
+
c

{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
のグラフは

x

{\displaystyle x}
軸より上側にある。
a
>
0

,

D
=
b
2

−
4
a
c
<
0

{\displaystyle a>0\ ,\ D=b^{2}-4ac<0}
のとき
次の二次不等式を解け。
(i)
(ii)
(iii)
(i)
よって、解はない
(ii)
よって、すべての実数
(iii)
よって、解はない
放物線と直線の共有点について考えよう。
放物線

y
=
x
2

−
4
x
+
5

{\displaystyle y=x^{2}-4x+5}
 と次の直線の共有点の座標を求めよ。
(i)
(ii)
(i)　求める共有点の座標は、連立方程式
の実数の解である。

y
=
x
+
1

{\displaystyle y=x+1}
 を

y
=
x
2

−
4
x
+
5

{\displaystyle y=x^{2}-4x+5}
 に代入すると
すなわち
これを解いて
x
=
1

{\displaystyle x=1}
 のとき

y
=
2

{\displaystyle y=2}

x
=
4

{\displaystyle x=4}
 のとき

y
=
5

{\displaystyle y=5}

よって、共有点の座標は
である。
(ii)　求める共有点の座標は、連立方程式
の実数の解である。

y
=
2
x
−
4

{\displaystyle y=2x-4}
 を

y
=
x
2

−
4
x
+
5

{\displaystyle y=x^{2}-4x+5}
 に代入すると
すなわち
これを解いて
このとき

y
=
2

{\displaystyle y=2}

よって、共有点の座標は
である。
例題の(ii)のように、放物線とその軸に平行でない直線がただ1点を共有するとき、放物線は直線に接するといい、共有点を接点という。


本項は高等学校数学Iのデータの分析の解説です。
中学校課程の資料の散らばりと代表値に続き、データの散布などの概念、また実際の処理がどのように行われるかを身近な事例やコンピュータの表計算ソフトを利用して学習します。大まかな内容は以下の通りです。
資料の散らばりと代表値の内容は既習であるものとして解説を進めていきます。
この分野が基礎になる科目は数学Bの確率分布と統計的な推測があります。統計に加えて確率・数列・微積分の知識も必要となります。
表計算のセクション(第5章・第6章)は2011年度以前の課程「統計とコンピュータ」の範囲で現在の指導要領では学習しません。ここで取り上げた資料の数値確認や演習に活用するといいでしょう。予め各自使用している表計算ソフトの操作を知っておくとスムーズに学習が進められます。このページではMicrosoft Excelの書式に基づいています。実践編は余力があればとりかかってみて下さい。ただしここでは数学Bで学習する確率分布などの関数は扱っていません。演習を始める前に必ず(基礎編)の冒頭にある注意書きをお読み下さい。
この分野の演習問題は大学受験数学 統計とコンピューターをご覧下さい(旧課程のものですが内容に殆ど変更がないのでこのまま使用しています)。表計算演習は該当セクション内の実習と前述のページ演習問題2・3にて代えます。
以降、「資料の散らばりと代表値」でも用いた以下の資料を頻繁に使いますのでメモしておいたほうがよいでしょう。
代表値が同じであってもその分布が代表値近くに密集していたりばらばらであったりと色々なことが考えられる。ここでは資料の散らばり具合の表す量について見てみよう。
資料が取る最大値から最小値を引いた値をその資料の分布の範囲（はんい）と言う。
資料1の範囲は

70.0
−
53.6
=
16.4

{\displaystyle 70.0-53.6=16.4}
(kg)となる。
データを大きさの順に並べた時、25%、50%、75%に当たる数値をその資料の四分位数と言う。特に下位から25%に当たる数値を第1四分位数、
下位から75%に当たる数値を第3四分位数と言われる。下位から50%に当たる数値は第2四分位数と言うこともできるが、中央値と同義である。四分位数の英訳「Quartile」の頭文字を取ってそれぞれ

Q
1

,
Q
2

,
Q
3

{\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}
と表すこととする。
資料1の四分位数を求めてみよう。まずは資料を昇順に並びかえる。
まずは中央値を求めてみる。中央値のセクションでも述べた通り、この資料の中央値は5番目と6番目の平均である61.5kgである。
第1四分位数はこの資料では順位が6番目～10番目の中央値とも読み取ることができる。言い換えると8番目の値となるので56.1kgとなる。
第3四分位数も同様に順位が1番目～5番目の中央値とできるので求める数値は3番目の値の65.4kgである。
第3四分値と第1四分値の差をその資料の四分位範囲、四分位範囲の半分のことをその資料の四分位偏差と言う。
資料1の四分位範囲は

Q
3

−
Q
1

=
65.4
−
56.1
=
9.3
(
k
g
)

{\displaystyle Q_{3}-Q_{1}=65.4-56.1=9.3(kg)}
、四分位偏差は

Q
3

−
Q
1

2

=

9.3
2

=
4.65
(
k
g
)

{\displaystyle {\frac {Q_{3}-Q_{1}}{2}}={\frac {9.3}{2}}=4.65(kg)}
となる。
資料のばらつき具合をグラフにまとめて見やすくしたものを箱ひげ図と言う。
箱ひげ図の見方を以下で示す。なお、以下の図は資料3を参照して作成しているが、0.5kg未満の数値を切り捨てしてあるので正しく作成した図と等しくならないことには注意。
データの中に含まれることがある、他の値とは極端にかけ離れた値のことを外れ値と呼ぶ。データのとる値を変数xとみなしたとき、外れ値の基準を以下のように定める。
外れ値が存在する場合、四分位数は全てのデータを用いて考えるが、箱ひげ図の左右のひげは外れ値を除いて考える。外れ値を箱ひげ図にあえて示す場合は以下のように⚪を用いて表す。
外れ値は必ずしも測定ミス等で発生した異常な値とは限らない。外れ値の背景を調査することで、新たな問題が発見されたり問題解決の糸口が掴めたりする場合がある。
変数xのとる値が
のn個あるとき、各値と平均値

x
¯

{\displaystyle {\overline {x}}}
との差
を、それぞれ平均値からの偏差（へんさ）という。
資料1で、平均値からの偏差は次のようになる。
さて、今知りたいのは資料全体の偏り具合の傾向であった。それを調べるために、試しに偏差の平均値を計算してみよう。
このように、偏差の平均値は常に0になる。
偏差の平均は常に0となるので、これを計算してもデータの散らばりの大きさを知ることはできないことがわかった。そこで、偏差の2乗の平均値を考える。この値を分散(ぶんさん、英：variance）という。分散を

s
2

{\displaystyle s^{2}}
で表すと、次のようになる。
s
2

=

(
x
1

−

x
¯

)
2

+
(
x
2

−

x
¯

)
2

+
⋯
+
(
x
n

−

x
¯

)
2

n

{\displaystyle s^{2}={\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}}{n}}}
この分散の定義は自然なものであるが、たとえば、データが身長の場合、その単位はcmであるが、分散は偏差の2乗の平均なので、その単位は

c
m
2

{\displaystyle cm^{2}}
になってしまう。そのため、単位を変量と合わせるために、分散

s
2

{\displaystyle s^{2}}
の正の平方根sを考えることも多い。このsを資料xの標準偏差(ひょうじゅんへんさ、英：standard deviation)という。
s
=

(
x
1

−

x
¯

)
2

+
(
x
2

−

x
¯

)
2

+
⋯
+
(
x
n

−

x
¯

)
2

n

{\displaystyle s={\sqrt {\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}}{n}}}}
資料1の分散と標準偏差を求めよう。
分散

s
2

{\displaystyle s^{2}}
は
標準偏差sは
度数分布表から分散と標準偏差を求めるときは次のようになる。
階級値を

x
1

,
x
2

,
⋯
,
x
r

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{r}}
とし、それに対応する度数を

f
1

,
f
2

,
⋯
,
f
r

{\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots ,f_{r}}
とする。分散

s
2

{\displaystyle s^{2}}
と標準偏差sは
諸君も興味を持っているかもしれない大学受験の世界では、「偏差値」という数値がしばしば取り上げられる。偏差値は、次の式で計算される。
x
1

,
x
2

,
.
.
.

{\displaystyle x_{1},x_{2},...}
の中の数値

x
i

{\displaystyle x_{i}}
の偏差値は、
10とか50といった定数は、出てきた数値が直感的にわかりやすい大きさとなるようにしている定数（規格化定数という）であり、直接に意味はない。注目すべきは、この計算式の中に、平均と標準偏差が含まれているということである。つまり、同じ学力を持った人どうしであっても、違う試験を受ければ、試験を受けた他の人たちの動向によって偏差値は大きく変化するということである。そのような数値であるので、少しの変化にあまり一喜一憂しすぎないようにしたい。
分散の式は、次のように変形できる。
すなわち、公式の形にするならば、次のように書ける。
この式を使って、資料1の分散を求めよう。
x
2

{\displaystyle x^{2}}
の平均は
xの平均の2乗は
よって、分散は
と、前に出した方法と同じ値になる。
変量xについてのデータ

x
1

,
x
2

,
⋯
x
n

{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots x_{n}}
があり、その平均値、分散、標準偏差をそれぞれ

x
¯

,
s
x

2

,
s
x

{\displaystyle {\overline {x}},s_{x}^{2},s_{x}}
とする。
定数

a
,
b

{\displaystyle a,b}
を用いて新たな変量yを

y
=
a
x
+
b

{\displaystyle y=ax+b}
で定義する。
このときyのデータはn個の値を持ち、それは

y
1

=
a
x
1

+
b
,
y
2

=
a
x
2

+
b
,
⋯
,
y
n

=
a
x
n

+
b

{\displaystyle y_{1}=ax_{1}+b,y_{2}=ax_{2}+b,\cdots ,y_{n}=ax_{n}+b}
となる。
yのデータの平均値は、
y
k

−
y
=
a
x
k

+
b
−
(
a

x
¯

+
b
)
=
a
(
x
k

−

x
¯

)

{\displaystyle y_{k}-y=ax_{k}+b-(a{\overline {x}}+b)=a(x_{k}-{\overline {x}})}
を用いると、yのデータの分散は
また、上式よりyの標準偏差は
このように、変量xを定数a,bを用いた一次式によって別の変量yに変換した際、

y
¯

,
s
y

2

,
s
y

{\displaystyle {\overline {y}},s_{y}^{2},s_{y}}
を

a
,
b
,

x
¯

,
s
x

2

,
s
x

{\displaystyle a,b,{\overline {x}},s_{x}^{2},s_{x}}
のみで表すことができる。このような処理を変量の変換と呼ぶ。
なお、数学Bの「統計的な推測」において、確率変数における変量の変換と期待値の変量変換について取り扱う。
今までは1種類のステータスについてのデータ分析を行ってきた。ここでは2種類のステータスがどのような傾向になっているか見て行くこととしよう。
以下の資料6は資料1に身長の値を加えたものである。
例えば、上の資料6の体重をx（kg）、身長をy（cm）として、点

(
x
,
y
)

{\displaystyle \left(x,y\right)}
を座標平面上にとったとする。
2つの変量からなる資料を平面上に図示したものを散布図（さんぷず）または相関図（そうかんず）という。以下は資料8の相関図である。点の付近にある数字はその数値に該当する人の出席番号を表す。
一般に、散布図において、
2つのデータx , yについて、次のn個の値の組を考える。
xの平均値を

x
¯

{\displaystyle {\overline {x}}}
、yの平均値を

y
¯

{\displaystyle {\overline {y}}}
とすると
また、xの標準偏差を

S
x

{\displaystyle S_{x}}
、yの標準偏差を

S
y

{\displaystyle S_{y}}
とすると
ここで
の値の符号について考える。(1)をxとyの共分散（きょうぶんさん、英：covariance）という。
共分散が正のときは、

(
x
k

−

x
¯

)
(
y
k

−

y
¯

)
>
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})(y_{k}-{\overline {y}})>0}
となるものが、

(
x
k

−

x
¯

)
(
y
k

−

y
¯

)
<
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})(y_{k}-{\overline {y}})<0}
よりも多いと考えられる。
すなわち
(
x
k

−

x
¯

)
>
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})>0}
 かつ

(
y
k

−

y
¯

)
>
0

{\displaystyle (y_{k}-{\overline {y}})>0}
または
(
x
k

−

x
¯

)
<
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})<0}
 かつ

(
y
k

−

y
¯

)
<
0

{\displaystyle (y_{k}-{\overline {y}})<0}
が多いということになる。
よって、共分散が正のとき、xとyには正の相関関係があるといえる。
共分散が負のときは、

(
x
k

−

x
¯

)
(
y
k

−

y
¯

)
<
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})(y_{k}-{\overline {y}})<0}
となるものが、

(
x
k

−

x
¯

)
(
y
k

−

y
¯

)
>
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})(y_{k}-{\overline {y}})>0}
よりも多いと考えられる。
すなわち
(
x
k

−

x
¯

)
>
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})>0}
 かつ

(
y
k

−

y
¯

)
<
0

{\displaystyle (y_{k}-{\overline {y}})<0}
または
(
x
k

−

x
¯

)
<
0

{\displaystyle (x_{k}-{\overline {x}})<0}
 かつ

(
y
k

−

y
¯

)
>
0

{\displaystyle (y_{k}-{\overline {y}})>0}
が多いということになる。
よって、共分散が負のとき、xとyには負の相関関係があるといえる。
共分散の値は、資料x , yの内容によって大きく値が変わるので、x , yの偏差をそれぞれの標準偏差

S
x

,
S
y

{\displaystyle S_{x},S_{y}}
で割った値の積の平均値
を考え、この値を資料x , yの相関係数（そうかんけいすう、英: correlation coefficient）といい、rで表す。
であるから、
xの平均値を

x
¯

{\displaystyle {\overline {x}}}
、yの平均値を

y
¯

{\displaystyle {\overline {y}}}
とすると、相関係数rは
相関係数rは、一般に

−
1
≤
r
≤
1

{\displaystyle -1\leq r\leq 1}
が成り立つ。
ではこれを用いて資料6の相関関係を見てみよう。
よって相関係数rは

r
=

(
−
0.9
)
×
(
−
2.2
)
+
(
−
3.3
)
×
(
−
9.1
)
+
4.2
×
(
−
0.6
)
+
(
−
5.1
)
×
(
−
3.0
)
+
(
−
7.6
)
×
(
−
7.7
)
+
1.5
×
0.1
+
8.8
×
9.1
+
(
−
5.4
)
×
3.0
+
5.9
×
9.8
+
1.9
×
0.6

{
(
−
0.9
)
2

+
(
−
3.3
)
2

+
(
4.2
)
2

+
(
−
5.1
)
2

+
(
−
7.6
)
2

+
(
1.5
)
2

+
(
8.8
)
2

+
(
−
5.4
)
2

+
(
5.9
)
2

+
(
1.9
)
2

}
×
{
(
−
2.2
)
2

+
(
−
9.1
)
2

+
(
−
0.6
)
2

+
(
−
3.0
)
2

+
(
7.7
)
2

+
(
0.1
)
2

+
(
9.1
)
2

+
(
3.0
)
2

+
(
9.8
)
2

+
(
0.6
)
2

}

{\displaystyle r={\frac {(-0.9)\times (-2.2)+(-3.3)\times (-9.1)+4.2\times (-0.6)+(-5.1)\times (-3.0)+(-7.6)\times (-7.7)+1.5\times 0.1+8.8\times 9.1+(-5.4)\times 3.0+5.9\times 9.8+1.9\times 0.6}{\sqrt {\left\{(-0.9)^{2}+(-3.3)^{2}+(4.2)^{2}+(-5.1)^{2}+(-7.6)^{2}+(1.5)^{2}+(8.8)^{2}+(-5.4)^{2}+(5.9)^{2}+(1.9)^{2}\right\}\times \left\{(-2.2)^{2}+(-9.1)^{2}+(-0.6)^{2}+(-3.0)^{2}+(7.7)^{2}+(0.1)^{2}+(9.1)^{2}+(3.0)^{2}+(9.8)^{2}+(0.6)^{2}\right\}}}}}
=
0.755568
⋯

{\displaystyle =0.755568\cdots }
となり、この10人の身長と体重には正の相関関係があることが分かる。
アンケートなど、資料の数が多い場合には手作業で計算をすると膨大な時間がかかる。そこでコンピュータの表計算ソフト（ここではMicrosoft Excelを例に取る）を用いて統計処理を行ってみよう。
コンピュータにMicrosoft Excelが入っていない場合はフリーソフトのOpenoffice Calcなどで代用できる。自身のOS（Windows,Mac,Linuxなど）に合ったバージョンをダウンロードしないと動かないので注意。
「はじめに」のセクションでも述べた通り、ここから先は学習指導要領外となりますので余力のある方が学習するといいでしょう。
表計算ソフトを起動すると長方形の何も書かれていない枠が無数に並んでいる。この枠それぞれのことをセルと言う。また1,2,3,・・・から右に出るラインそれぞれを行と言い、A,B,C,・・・から下に出るラインそれぞれを列と言う。
セルの個々の呼び方は列番号→行番号のように表す。例えば列番号がC、行番号が3であるセルは「C3のセル」であると言う。
ここでは数値が入力されたセルに対しての計算方法を学ぶ。表計算ソフトによって計算式の種類や入力方法など異なる場合があるので事前に確認しておくこと。ここではよく用いられる演算式を示すが、詳細は表計算ソフトのヘルプ・表計算ソフトについて書かれた書籍を参考にして欲しい。
表計算ソフトでは直接セルに計算式を入力することによって、指定されたセルに対して計算を行い、その実行結果が計算式を入力したセルに反映される。またそのセルを複写すると複写先のセルに応じた計算式となって入力され、その実行結果が表示される。（※詳細は実践編「セルの参照」で）
セルに計算式を入力することによって様々な計算ができる。また、その計算に必要な記号のことを（算術-）演算子と言う。一般にX1のセルとY1のセルに入力されている数値の計算は以下のようになる。
一般に関数とはxの値を決めるとyの値が1つに定まるものであるが、コンピュータ分野においての関数は一般のそれとは異なり用途別に予め用意された計算式のことを表す。この時計算対象のセルを括弧で指定するが、括弧内を引数（ひきすう）と言う。X1のセルに入力された数値の演算の代表的な例を以下に挙げる。関数の計算結果を出力することを値を返すと言い、その値のことを返り値と言う。表計算ソフトには膨大な種類の関数が用意されているが、このページでの紹介は極一部に留める。
今の段階ではあまり気にしなくてもよいが三角関数を用いる場合は弧度法（「弧の長さ

÷

{\displaystyle \div }
半径の長さ」で記述する角の測り方で、単位はラジアン：詳細は数学IIで勉強する）での取扱いになる為、度数法での記述の場合は予め弧度法に直しておかなければならない。（※詳細は実践編「関数の仕様」で）
度数法から弧度法への変換は、

n
∘

=
n
×

π
180

{\displaystyle n^{\circ }=n\times {\frac {\pi }{180}}}
とすればよい。
またX1・X2・X3・・・Xnのセルに対して演算を行う場合は以下のようになる。A1・B1・C1・・・x1のセルに対して演算する場合は以下の(X1:Xn)を(A1:x1)と書き換えればよい。
以下の表は資料2を表計算ソフトに入力したものである。ただし階級は、52.0kg以上55.0kg未満の階級のことを52.0-55.0などと表すことにする。セルに入る文字が長くデフォルトの大きさで収まらない場合、セルの大きさを調節して表を見やすくしてみよう。グラフの作成の仕方を以下に示す。
度数折れ線は左右両端に度数が0である階級があるものとして作図をすると前に述べた。故にこのグラフを表計算ソフトで作成する場合は表2の2行の前の行に階級値が50.5であるもの、8行の後の行に階級値が74.5であるもの（それぞれ度数は0）を事前に挿入しておかなければならない。
以下の表3は表2にいくつかの情報を追加したものである。尚、10行については表を見やすくするために空けてある。表の空欄を埋めながら実習をするとよい。
尚、全ての空欄を埋めた表は以下の通りになる。
以下の表4は資料7を表にしたものである。ここでは今まで学んだことを用いて全ての空欄を埋めて欲しい。13行は表の見やすさのために空けてある。いくつかのセルは結合されているがその手順を以下に示す。以下の例ではA1・A2のセルを結合させる場合を考える。
全ての空欄を埋めた表は以下の通りである。各々作成した表と見比べ確かめてみるとよい。
ここではセルの参照など、実際の表計算で知っていると便利な項目を紹介しています。
関数の中に別の関数を書くこともできますし、関数を項とみなして加減乗除などもできます。
例えば30度の正弦を求めたい場合には

=
S
I
N
(
R
A
D
I
A
N
S
(
30
)
)

{\displaystyle =SIN(RADIANS(30))}
と入力します。

=
R
A
D
I
A
N
S
(
d
e
g
r
e
e
)

{\displaystyle =RADIANS(degree)}
は度数法を弧度法に変換する関数のことです。degreeには求めたい角度を入れます。(この行は数学IIの範囲です)
表計算ソフトには統計に必要な関数が揃っており、以下は前セクションまでに扱った関数です。
今までの関数を利用して資料1の代表値等をまとめてみましょう。

=
M
A
X
(
X
1
:
X
n
)

{\displaystyle =MAX(X1:Xn)}
 は最大値を返す関数、

=
M
I
N
(
X
1
:
X
n
)

{\displaystyle =MIN(X1:Xn)}
は最小値を返す関数です。
前の実習のようにいちいち式を書くのは面倒ですし間違いが起こりやすくなります。ここで活躍するのがセルの参照です。実際に見ていきましょう。
下の表は表3のB・C・D列を抜き出し、E列に備考を加えたものです。備考には左隣のセルに対応する式が入ります。
D2のセルは実習3の通り

=
B
2
∗
C
2

{\displaystyle =B2*C2}
でしたね。D3以降は実習では

=
B
3
∗
C
3

{\displaystyle =B3*C3}
や

=
B
4
∗
C
4

{\displaystyle =B4*C4}
・・・とやったはずです。
D2のセルの数式をコピーしD3のセルにペーストしてみましょう。するとD3のセルには169.5と出力されます。ここでD3に代入された式を見ると

=
B
3
∗
C
3

{\displaystyle =B3*C3}
と参照しているセルが自動的にそれぞれが1行下になっていることが分かります。目で見える情報では番地になって出てきますがプログラム内では3つ左のセルの数値と2つ左のセルの数値を掛け合わせなさいという命令に置き換わっているのです。この命令をコピーペーストしているのですから、反映先のセルの命令も全く変わりません。下の表は必要な部分だけ抜き出しています。
同じようにD列の他のセルにペーストしてみましょう。
これで完成しました。コピーペーストをした時に自動的に参照が変わる方法を相対参照と言います。
下の表は表3の平均値の計算まで終わり偏差を求めようとする段階です。F列は備考としておきます。偏差は階級値-平均値でしたね。E2のセルに

=
B
2
−
B
11

{\displaystyle =B2-B11}
と入力しましょう。
E2のセルをコピーしてE3のセルにペーストしてみましょう。4行から9行は割愛しています。
明らかに間違いな数値が出てきてしまいました。E3のセルの式を見ると

=
B
3
−
B
12

{\displaystyle =B3-B12}
 となっています。プログラム内では3つ左のセルの数値から3つ左、9つ下のセルの数値を引きなさいという命令に置き変わっています。コピーペーストしてもその命令は変わらないので、参照先が両方とも移動してしまいます。今の段階ではB12のセルに何も入っていないのですから、そのセルには0が入っているものとして計算されます。他のE列にコピーしてもやはり間違いな数値が出力されます（実験してみて下さい）。ここでは出てきませんが、文字列のセルと数値のセルを計算しようとするとエラーになります。
このような場合は参照するセルを固定することが必要になります。参照セルを固定する場合は固定したい番号の前に $ の文字を入れます。行番号も列番号も固定したい場合はそれぞれの番号の前に$をつけます。
では平均値が出力されているB11を固定してE2のセルをコピーしE3のセルにペーストしてみましょう。この場合は11のほうを固定したいのでB$11のように入力して固定します。
これで正しい結果を得ることができました。参照セルを固定する方法を絶対参照と言います。
「結局$ はどうつければいいの？」という疑問があるかと思いますが、ここでは簡単のために左右に移動させたくない場合はアルファベットの前に$、上下に移動させたくない場合は数字の前に$、どちらにも移動させたくない場合はアルファベット・数字両方の前に$と思っておけばいいでしょう。つまずきやすい場所なので実際に練習してみて動きを見るのも大切です。慣れると考えずとも正しく$をつけられるようになります。
詳しくは旧初級シスアド試験の表計算セクションに記述されています。
ある物事を一定の数値以上ならAを表示、それ未満ならBを表示する・・・などの操作をするためにどのようなことをするか学びましょう。
以下の表はレタス・トマト・ねぎの値段を記したものです。ここで以下のような条件をつけてみます。
値段を比較して昨年と同じか上がっている野菜は「↑」下がっていれば「↓」を比較列に入力する
IF関数は

=
I
F
(
f
o
r
m
u
l
a
,
v
a
l
u
e
1
,
v
a
l
u
e
2
)

{\displaystyle =IF(formula,value1,value2)}
で指定します。formulaには論理式、value1には真の場合の値を、value2には偽の場合の値を入力します。値が半角数字や関数でない場合はvalue1やvalue2に" "をつけるのを忘れずに。" "は" "で囲まれた文字を出力しなさい、という命令です。
論理式には判定の条件となる式を入れます。真（true）であることは論理式を満たすもの、逆に偽（false）はそうでないもののことです。
論理式には比較演算子なるものを入れます。簡単に言えば等号や不等号のことです。気をつけるべき点としてはいわゆる≧や≦、≠の全角記号は使えないということです。
また、真偽を反転させたい場合は

=
N
O
T
(
f
o
r
m
u
l
a
)

{\displaystyle =NOT(formula)}
で記述します。

=
N
O
T
(
t
r
u
e
)

{\displaystyle =NOT(true)}
はfalse、

=
N
O
T
(
f
a
l
s
e
)

{\displaystyle =NOT(false)}
はtrueになります。
レタスを例にすると、D2のセルを選択し、以下のように記述します。昨年を基準として今年はそれ以上なのかどうかを判定するわけですから、論理式には

B
2
<=
C
2

{\displaystyle B2<=C2}
と入力します。真偽の部分には矢印を入れます。
レタスは昨年より値段が下がっているので論理式を満たさず偽に書かれている内容が出力されます。
他の野菜は相対参照を活用することができますので、似た式の入力を2回も3回もやる必要はありません。
IF関数は真・偽の2つの分岐をする関数ですので、3分岐以上させるにはIF関数を複数使う必要があります。以下の表はある娯楽施設の入場料を示したものです。
こちらは上記の娯楽施設の団体予約表です。
まずは40人以上から設定しましょう。C2のセルにIF関数を用います。40人以上ならば入場料を1,000円にするので、以下のように設定します。
ここで偽となった場合、更に2種類の選択肢があります。更に分岐させる場合は1度IF関数を呼び出します。
2つ目のIF関数において今度は30人～39人の入場料は1,100円を設定していきましょう。既に40人以上の設定は1つ目のIF関数で終わっているので30<=B2<=39と書く必要はなく30<=B2だけでよいのです。ここで真の場合は30人～39人、偽の場合は29人以下ですので、これで設定は全て終了です。エラーが出る場合は括弧や" "が正しく閉じているか、カンマに漏れや余計なものがないかに気をつけましょう。
セルに反映してみましょう。4つ以上の場合も偽の場合に更にIF関数を使用することによって分岐できます。ただし、IF関数を同時に使用できるのは64回（Excel2003バージョンは7回）までなことには注意しましょう。
条件が1つでない場合は論理式にAND関数ないしOR関数で複数の条件を記述します。
AND関数の例を見てみましょう。以下はある資格試験の点数状況の受験番号の若い人から数人を示したものです。配点は第1問400点・第2問300点・第3問300点とし、合格ラインは全体7割以上かつ各問5割以上です。
論理式には合格ラインを入れます。点数の条件が全て合格ライン以上でないと合格にならないため、AND関数を使用します。AND関数は

=
A
N
D
(
f
o
r
m
u
l
a
1
,
f
o
r
m
u
l
a
2
,
.
.
.
)

{\displaystyle =AND(formula1,formula2,...)}
で表記します。各formulaには条件式を入れます。
この試験の場合は第1問200点以上・第2問150点以上・第3問150点以上・全体700点以上の全てを満たせば合格です。
これを条件にしたIF文を記述します。受験番号1001Aの人の判定をしてみましょう。
受験番号1001Aの人は合格ラインの全てを満たしていたので合格です。
他の人も見ると受験番号1002Bの人は第1問が下回っていたので不合格、受験番号1003Cの人は全体が下回っていたので不合格となります。
OR関数も同様にして

=
O
R
(
f
o
r
m
u
l
a
1
,
f
o
r
m
u
l
a
2
,
.
.
.
)

{\displaystyle =OR(formula1,formula2,...)}
で記述します。
先程の試験は第1問200点以上・第2問150点以上・第3問150点以上・全体700点以上の全てを満たせば合格でした。この合格ラインを逆に見ると第1問200点未満・第2問150点未満・第3問150点未満・全体700点未満のどれか1つでも満たしてしまうと不合格になるということです。これを条件にしてみましょう。
OR関数が真の時不合格になるわけですから、真偽の振る舞いが先程とは逆になることに注意しましょう。
受験番号1001Aの人の判定に上式を入れても2つ上の表と同じになります。


本項は高等学校数学IIの式と証明・高次方程式の解説である。
(
a
+
b
)
5

=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)

{\displaystyle (a+b)^{5}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)}
 について考えよう。この式を展開するとき、

a
2

b
3

{\displaystyle a^{2}b^{3}}
 の係数は、右辺の5個の

(
a
+
b
)

{\displaystyle (a+b)}
 から

a

{\displaystyle a}
 を3回取る組み合わせに等しいから

5

C

2

=
10

{\displaystyle _{5}\mathrm {C} _{2}=10}
 である。
この考えを拡張して
を展開する。

a
r

b
n
−
r

{\displaystyle a^{r}b^{n-r}}
の項の係数は、右辺の

n

{\displaystyle n}
 個の

(
a
+
b
)

{\displaystyle (a+b)}
 から

a

{\displaystyle a}
 を

r

{\displaystyle r}
 回取る組み合わせに等しいから

n

C

r

{\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}}
 である。
よって、次の式が得られる：
最後の式は数Bの数列で学ぶ総和記号

Σ

{\displaystyle \Sigma }
 である。知らないのなら無視しても良い。
この式を 二項定理（binomial theorem） という。また、それぞれの項にかかる係数を二項係数（binomial coefficient） と呼ぶことがある。
(I)
(II)
(II)
をそれぞれ計算せよ。
二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、
(I)
(II)
(III)
となる。
すべての自然数nに対して
(I)
(II)
(III)
が成り立つことを示せ。
二項定理
についてa,bに適当な値を代入すればよい。
(I)
a = 1,b=1を代入すると、
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
(II)
a=2,b=1を代入すると、
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
(III)
a=1,b=-1を代入すると、
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
二項定理を拡張して

(
a
+
b
+
c
)
n

{\displaystyle (a+b+c)^{n}}
 を展開することを考えよう。

a
p

b
q

c
r

{\displaystyle a^{p}b^{q}c^{r}}

(
p
+
q
+
r
=
n
)

{\displaystyle (p+q+r=n)}
 の項の係数は

n

{\displaystyle n}
 個の

(
a
+
b
+
c
)

{\displaystyle (a+b+c)}
 から

p

{\displaystyle p}
 個の

a

{\displaystyle a}
、

q

{\displaystyle q}
 個の

b

{\displaystyle b}
 、

r

{\displaystyle r}
 個の

c

{\displaystyle c}
 を選ぶ組合せに等しいから

n
!

p
!
q
!
r
!

{\displaystyle {\frac {n!}{p!q!r!}}}
 である。
ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。
上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数についてはたがいに素な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立ち、そのような式を分数式と呼ぶ。
分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて
の性質を満たすことが知られている。整式に対しても似た性質が成立ち、割られる式B(x)が商D(x)と割る式A(x)、余りR(x)を用いて、
の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、
となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、
のような式を考える。この場合、
で、B(x)が3次、A(x)が2次であることから、D(x)は1次であり、また、R(x)は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、D(x)=ax+b,R(x)=cx+dとおくと、
が得られる。右辺を展開すると、
が得られるが、xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならないので、a = 1, b = 0, -a +c = 0, -b +d = 0が得られ、結局a=c=1, b=d=0が得られる。
この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、
のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、

x
(
x
2

−
1
)

{\displaystyle x(x^{2}-1)}
で、

x
3

−
x

{\displaystyle x^{3}-x}
となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から

x
3

−
x

{\displaystyle x^{3}-x}
を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。
x
3

+
2
x
2

+
1

{\displaystyle x^{3}+2x^{2}+1}
、

x
4

+
4
x
2

+
3
x
+
2

{\displaystyle x^{4}+4x^{2}+3x+2}
を、

x
2

+
2
x
+
6

{\displaystyle x^{2}+2x+6}
で割った商と余りを求めよ。
この計算はアニメーションを使って
詳しく表示されている。計算手法は、
整数の場合の筆算と同じような手法が使える。
が得られるので、商

x

{\displaystyle x}
、余り

−
6
x
+
1

{\displaystyle -6x+1}
である。
2つ目の式については、
が得られる。
よって、答は
商

x
2

−
2
x
+
2

{\displaystyle x^{2}-2x+2}
、余り

11
x
−
10

{\displaystyle 11x-10}
である。
ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、
は、分子x+1、分母

x
2

+
4

{\displaystyle x^{2}+4}
の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。
を簡単にせよ。また、
を計算せよ。
について分子と分母を因数分解すると、双方ともに
を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通の因数は約分することが必要である。計算された値は、
となる。
次の問題では、
を計算する。このとき、両辺の分母をそろえる必要があるが、今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、
となる。
分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。
次の計算をせよ。
(I)
(II)
(I)
(II)
等式

(
a
+
b
)
2

=
a
2

+
2
a
b
+
b
2

{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
は、文字

a
,
b

{\displaystyle a,b}
にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を恒等式（こうとうしき）という。
等式

1
x
−
1

+

1
x
+
1

=

2
x

x
2

−
1

{\displaystyle {\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}}
は、両辺とも

x
=
1
,
−
1

{\displaystyle x=1,-1}
を代入することはできないが、その他の値であれば代入することができ、またどのような値を代入しても等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。
いっぽう、

x
2

−
x
−
2
=
0

{\displaystyle x^{2}-x-2=0}
 は、x＝2 または x＝ー1 を代入したときだけ成り立つが、このように文字に特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを方程式と呼び、恒等式とは区別する。
等式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 が

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。
ある式が「

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式である」とは、この式の

x

{\displaystyle x}
 にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば

x

{\displaystyle x}
 に

−
1

,

0

,

1

{\displaystyle -1\ ,\ 0\ ,\ 1}
 を代入した式
はすべて成り立つ必要がある。これを解くと
なので、等式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 が

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式になるならば、

a
=
b
=
c
=
0

{\displaystyle a=b=c=0}
でなければならないことがわかる。
一般に、等式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
a
′

x
2

+
b
′
x
+
c
′

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a'x^{2}+b'x+c'}
 が恒等式であることと、

(
a
−
a
′
)
x
2

+
(
b
−
b
′
)
x
+
(
c
−
c
′
)
=
0

{\displaystyle (a-a')x^{2}+(b-b')x+(c-c')=0}
 が恒等式であることと同じである。
よって
まとめると次のようになる。
P

,

Q

{\displaystyle P\ ,\ Q}
 を

x

{\displaystyle x}
 についての多項式または単項式とする。
次の等式が

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式となるように、

a

,

b

,

c

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c}
 の値を求めよ。
等式の右辺を

x

{\displaystyle x}
 について整理すると
この等式が

x

{\displaystyle x}
 についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって
これを解くと
さきほど紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。
一般に、等式 A＝B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。
(
a
+
b
)
2

−
(
a
−
b
)
2

=
4
a
b

{\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab}

が成り立つことを証明せよ。
（証明）
左辺を展開すると、
となり、これは右辺に等しい。よって、等式

(
a
+
b
)
2

−
(
a
−
b
)
2

=
4
a
b

{\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab}
 は証明された。（終）
(
x
+
y
)
2

+
(
x
−
y
)
2

=
2
(
x
2

+
y
2

)

{\displaystyle (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2})}

が成り立つことを証明せよ。
左辺を計算すると、
これは右辺に等しい。よって等式が成り立つことが証明された。（終）
次の等式が成り立つことを証明せよ。
(I)
(I)
(左辺)

=
(
36
a
2

+
84
a
b
+
49
b
2

)
+
(
49
a
2

−
84
a
b
+
36
a
2

)
=
85
a
2

+
85
b
2

{\displaystyle =(36a^{2}+84ab+49b^{2})+(49a^{2}-84ab+36a^{2})=85a^{2}+85b^{2}}

(右辺)

=
(
81
a
2

+
36
a
b
+
4
b
2

)
+
(
4
a
2

−
36
a
b
+
81
b
2

)
=
85
a
2

+
85
b
2

{\displaystyle =(81a^{2}+36ab+4b^{2})+(4a^{2}-36ab+81b^{2})=85a^{2}+85b^{2}}

両辺とも同じ式になるから

不等式のさまざまな公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。
高校数学では、次の4つの性質が 不等式の「基本性質」などとして紹介されている。
(3)と(4)については、ひとつの性質として まとめている検定教科書もある（※ 啓林館など）。
数学IAで習った「ならば」の意味の記号

⟹

{\displaystyle \Longrightarrow }
 を使うと、
とも書ける。
上述の4つの基本性質から、
を証明してみよう。
（証明）
まず a>0 なので、基本性質(2)より
である。
よって、
なので、基本性質(1)より

a
+
b
>
0

{\displaystyle a+b>0}

が成り立つ。（終）
同様にして、
を証明できる。
ここまでに示したことから、不等式

A
≧
B

{\displaystyle A\geqq B}
 を証明したい場合には、
を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。
不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。
実数 a について、かならず
が成り立つ。
この式で等号が成り立つ場合とは、

a
=
0

{\displaystyle a=0}
 の場合だけである。
この定理（「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」）を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。
（証明）
aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。
[aが正の場合]
このとき、基本性質(3)より、
である。すなわち、
である。
[aが負の場合]
このとき、基本性質(4)より

0
a
<
a
a

{\displaystyle 0a<aa}

である。すなわち、
である。
[aがゼロの場合]
このとき、

a
2

=
0

{\displaystyle a^{2}=0}

である。
よって、すべての場合について

a
2

≧
0

{\displaystyle a^{2}\geqq 0}

(終)
このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。
2つの実数a,b について

a
2

≧
0

{\displaystyle a^{2}\geqq 0}
,

b
2

≧
0

{\displaystyle b^{2}\geqq 0}
 であるから、かならず
が成り立つ。
上式で等号が成り立つ場合とは、

a
2

=
0

{\displaystyle a^{2}=0}
 かつ

b
2

=
0

{\displaystyle b^{2}=0}
 の場合だけであり、つまり

a
=
0

{\displaystyle a=0}
 かつ

b
=
0

{\displaystyle b=0}
 の場合だけである。
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(証明)
を証明すればよい。
左辺を展開して まとめると、
となる。
上式の最後の式の項について、
だから、
である。よって
である。（終）
2つの正の数 a,　b が a＞b または a≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。
つまり、
である。
a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、

(
a
+
b
)
>
0

{\displaystyle (a+b)>0}
 であり、別の仮定より、 a > b なので、

(
a
−
b
)
>
0

{\displaystyle (a-b)>0}
 でもある。よって、

a
2

−
b
2

=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
>
0

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)>0}
逆に、

a
2

−
b
2

>
0

{\displaystyle a^{2}-b^{2}>0}
のとき、

(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
>
0

{\displaystyle (a+b)(a-b)>0}
であり、

a
>
0
,
b
>
0

{\displaystyle a>0,b>0}
なので

a
+
b
>
0

{\displaystyle a+b>0}
である。よって、

a
−
b
>
0

{\displaystyle a-b>0}
なので、

a
>
b

{\displaystyle a>b}
である。
よって、

a
>
b
⟺

a
2

>
b
2

{\displaystyle a>b\quad \Longleftrightarrow \quad a^{2}>b^{2}}
 である。
a≧bの場合も同様に証明できる。
練習として、次の問題を問いてみよう。
a
>
0

{\displaystyle a>0}
,

b
>
0

{\displaystyle b>0}
 のとき、次の不等式を証明せよ。
（証明）
不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は
である。ここで、a,b はともに正の実数なので、
であることを用いた。
であるので、
となる。よって、
である。（終）
実数 a の絶対値 |a| について、
であるから、次のことが成り立つ。
|a|≧a , |a|≧ ーa  ,　|a|2＝a2
また、2つの実数 a, b の絶対値 |ab| については、
が成り立つので、これにさらに |ab|≧0 ,　|a||b|≧0 を組み合わせて、
|ab| ＝ |a| |b|
が成り立つ。
(例題)
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのは どのような場合かを 調べよ。
両辺の平方の差を考えると、
これがもし正なら、与えられた不等式 |a|＋|b| ≧ |a＋b| が正しい。
ここで、 |a| |b| ≧ ab  であるので、
である。
したがって、 |a|＋|b| ≧ |a＋b| である。
等号が成り立つのは |a| |b| ＝ ab の場合、すなわち  ab ≧ 0 の場合である。（証明 おわり）
なお
の関係式のことを「三角不等式」という。
2つの数

a

{\displaystyle a}
,

b

{\displaystyle b}
に対し、

a
+
b
2

{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
を相加平均（そうかへいきん）と言い、

a
b

{\displaystyle {\sqrt {ab}}}
を相乗平均（そうじょうへいきん）という。
平均は、3つ以上のものにも定義される。3つ以上のn個のものの相加平均は

a
1

+
a
2

+
⋯
+
a
n

n

{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}
 で定義される。

本ページでは、2個の数の平均について考察する。
相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。
a
≧
0

{\displaystyle a\geqq 0}
 ，

b
≧
0

{\displaystyle b\geqq 0}
のとき、
等号が成り立つのは、

a
=
b

{\displaystyle a=b}
のときである。
（証明）
a
≧
0
,
b
≧
0

{\displaystyle a\geqq 0,b\geqq 0}
のとき
(

a

−

b

)

2

≧
0

{\displaystyle \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}\geqq 0}
であるから、

(

a

−

b

)

2

2

≧
0

{\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}}{2}}\geqq 0}

したがって

a
+
b
2

≧

a
b

{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqq {\sqrt {ab}}}

等号が成り立つのは、

(

a

−

b

)

2

=
0

{\displaystyle \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}=0}
 のとき、すなわち

a
=
b

{\displaystyle a=b}
 のときである。(証明 おわり)
公式の利用では、上の式

a
+
b
2

≧

a
b

{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqq {\sqrt {ab}}}
 の両辺に2をかけた

a
+
b
≧
2

a
b

{\displaystyle a+b\geqq 2{\sqrt {ab}}}
 の形の式を使う場合もある。
a
>
0

{\displaystyle a>0}
 ，

b
>
0

{\displaystyle b>0}
のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(I)
(II)
(I)

a
>
0

{\displaystyle a>0}
であるから、

1
a

>
0

{\displaystyle {\frac {1}{a}}>0}

よって

a
+

1
a

≧
2

a
×

1
a

=
2

{\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geqq 2{\sqrt {a\times {\frac {1}{a}}}}=2}

したがって
(II)
a
>
0

{\displaystyle a>0}
，

b
>
0

{\displaystyle b>0}
であるから、

b
a

>
0

{\displaystyle {\frac {b}{a}}>0}
，

a
b

>
0

{\displaystyle {\frac {a}{b}}>0}

よって

b
a

+

a
b

+
2
≧
2

b
a

×

a
b

+
2
=
2
+
2
=
4

{\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}+2\geqq 2{\sqrt {{\frac {b}{a}}\times {\frac {a}{b}}}}+2=2+2=4}

したがって
もし読者が指数関数などを知っていれば、
n個のものの相乗平均は、
と書ける。
数学的な「平均」には、相加平均と相乗平均のほかにも調和平均がある。
調和平均は、電気回路の並列計算で使われる考え方である。
n個のものの調和平均は、
で定義される。
一般に数学的には、調和平均、相乗平均、相加平均のあいだに次のような大小関係
という関係が成り立つことが証明されている。
すなわち、数式で書けば
の関係式である。
簡潔に書くと、
となる。
2乗して負になる数、というものを考える。このような数は、中学で習った実数の中にはないことがわかる。なぜならば、正の数でも負の数でも2乗すると符号が打ち消して正の数になってしまうからである。そこで高校では、2乗して負になるという性質を持つ数の概念を新しく導入することにする。
という方程式を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式の解となる数を新しく作り、その単位を文字

i

{\displaystyle i}
 であらわす。
この

i

{\displaystyle i}
 のことを虚数単位（きょすうたんい）と呼ぶ。（虚数単位の記号 i 、英語のアルファベットのアイの小文字で、 imaginary unit に由来すると考えられている。）
1
+
i

{\displaystyle 1+i}
 や

2
+
5
i

{\displaystyle 2+5i}
  のように、虚数単位

i

{\displaystyle i}
と実数

a
,
b

{\displaystyle a,b}
を用いて
と表すことができる数を複素数（ふくそすう）という。このとき、aをこの複素数の実部（じつぶ）といい、bを虚部（きょぶ）という。
例えば、

1
+
i
,
2
+
5
i
,

9
2

+

7
2

i
,
4
i
,
3

{\displaystyle 1+i,\quad 2+5i,\quad {\frac {9}{2}}+{\frac {7}{2}}i,\quad 4i,\quad 3}
 は、いずれも複素数である。
複素数 a＋bi は（ただし aとbは実数）、bが0の場合に、これを実数と見ることができる。
言い方をかえると、複素数を基準に考えると、実数とは、 a＋0i のような、虚部の係数がゼロになる複素数のことであるとも言える。
4iのような、虚部が0以外で実部がゼロの複素数を純虚数（じゅんきょすう）と呼ぶ。純虚数は、2乗すると負になる数である。
実数も虚部が0の複素数と考えられる。
実数でない複素数のことを「虚数」（きょすう）という。
2つの複素数 a+bi と c+di とが等しいとは、
であることである。
つまり、
とくに、複素数a＋bi が 0であるとは、a＝0 かつ b＝0 であることである。
複素数

z
=
a
+
b
i

{\displaystyle z=a+bi}
に対して、虚部の符号を反転させた複素数

a
−
b
i

{\displaystyle a-bi}
のことを「共役（きょうやく）な複素数」または「複素数

z

{\displaystyle z}
の共役」のように呼び、

z
¯

{\displaystyle {\bar {z}}}
 であらわす。なお、「共役」は「共軛」の常用漢字による書き換えである。
実数aと共役な複素数は、その実数 a 自身である。
複素数 z＝a+bi について

複素数にも四則演算（加減乗除）が定義される。
複素数の演算では、虚数単位

i

{\displaystyle i}
を、通常の文字のように扱って計算する。一般に複素数

z

,

w

{\displaystyle z\ ,\ w}
が、

z
=
a
+
b
i

,

w
=
c
+
d
i

{\displaystyle z=a+bi\ ,\ w=c+di}
で与えられるとき(ただし

a

,

b

,

c

,

d

{\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d}
は実数とする)、

というふうに複素数の加減乗除の計算法が定められている。
乗法の定義は、一見すると難しそうにみえるが、実数の分配法則と同様に展開していき最後に i2にマイナス1を代入していっただけである。
除法の定義は、分子と分母に、分母と共役な形の式を 掛け算 しただけである。
乗法や除法の定義式を暗記する必要は無く、計算の際には、必要に応じて分配法則や共役などの、必要な式変形を行えばいい。
例題
2つの複素数
について、

a
+
b

{\displaystyle a+b}
 と

a
b

{\displaystyle ab}
 と

a
b

{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
 を、それぞれ計算せよ。
解答
である。
を、さらに簡単にできないだろうか。実は、ちょっとしたテクニックを用いればより見やすい形にできる。
分数は分母と分子に同じ数をかけてよかったので、分母と分子に分母の共役をかけてみる。すると、
が得られる。この形のほうが元の式よりもずっと見やすい形である。
このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式

(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2

−
b
2

{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
の簡単な応用である。
数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。
例として、 -5 の平方根について考えてみよう。
であるから、 -5 の平方根は

5

i

{\displaystyle {\sqrt {5}}\ i}
 と

−

5

i

{\displaystyle -{\sqrt {5}}\ i}
 である。
a
>
0

{\displaystyle a>0}
とするとき、負の数

−
a

{\displaystyle -a}
の平方根は、

a

i

{\displaystyle {\sqrt {a}}\ i}
と

−

a

i

{\displaystyle -{\sqrt {a}}\ i}
である。
−
5

{\displaystyle {\sqrt {-5}}}
とは、

5

i

{\displaystyle {\sqrt {5}}\ i}
 のこととする。

−

−
5

{\displaystyle -{\sqrt {-5}}}
とは、

−

5

i

{\displaystyle -{\sqrt {5}}\ i}
 のことである。
とくに

−
1

=

i

{\displaystyle {\sqrt {-1}}\ =\ i}
 である。
さて、-5 の平方根は、方程式

x
2

=
−
5

{\displaystyle x^{2}=-5}
 の解でもある。
この方程式を移項することにより、-5 の平方根は、
の解であるともいえる。
さらに因数分解をすることにより、-5 の平方根は方程式
の解でもあるともいえる。
(I)

−
2

−
6

{\displaystyle {\sqrt {-2}}\ {\sqrt {-6}}}
　を計算せよ。
(I)
このように、まず、マイナスの数の平方根が出てきたら、まず虚数単位 i を用いた式に書き換える。
そのあと、かけ算をしていく。
(II)

2

−
3

{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {-3}}}}
　を計算せよ。
(III)  　　2次方程式

x
2

=
−
7

{\displaystyle x^{2}=-7}
　を解け。
(II)
(III)
複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを高等学校数学Iで述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式
の解の公式は、
である。
判別式

D

{\displaystyle D}
は
によって定義される。判別式は、解の公式の根号(ルート記号のこと)の中身に等しく、判別式の正負によって2次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。
D

{\displaystyle D}
が負のときにはこの2次方程式は実数の範囲には解を持たない。
判別式

D

{\displaystyle D}
が負の数であったとき、xの解は異なる2つの虚数になり、その2つの解は 共役 の関係になっている。
複素数を用いて、2次方程式
(1)
(2)
(3)
を解け。
解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、
となる。
他も同じように扱うことが出来る。
以降の解答は、
(2)
(3)
となる。
方程式の解で、実数であるものを 実数解 という。
方程式の解で、虚数であるものを 虚数解 という。
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の解は

x
=

−
b
±

b
2

−
4
a
c

2
a

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
 である。
2次方程式の解の種類は、解の公式の中の根号の中の式

b
2

−
4
a
c

{\displaystyle b^{2}-4ac}
 の符号を見れば判別することができる。
この式

b
2

−
4
a
c

{\displaystyle b^{2}-4ac}
 を、2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の判別式（はんべつしき）といい、記号

D

{\displaystyle D}
 で表す。
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の判別式

D
=
b
2

−
4
a
c

{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
 について
また、重解も実数解であるので、
といえる。
次の2次方程式の解を判別せよ。
(I)
(II)
(III)
(I)
だから、異なる2つの実数解をもつ。
(II)
だから、異なる2つの虚数解をもつ。
(III)
だから、重解をもつ。
また、2次方程式

a
x
2

+
2
b
′
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0}
 のとき、

D
=
4
(
b
′
2

−
a
c
)

{\displaystyle D=4(b'^{2}-ac)}
となるので、
2次方程式

a
x
2

+
2
b
′
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0}
 の判別式には
をもちいてもよい。
これを用いて、前の問題
の解を判別しよう。
a
=
4
,

b
′
=
−
10
,
c
=
25

{\displaystyle a=4\,,\,b'=-10\,,\,c=25}
　であるから
だから、重解をもつ。
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の2つの解を

α

{\displaystyle \alpha }
 ，

β

{\displaystyle \beta }
 とする。 この方程式は、
a
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=
0

{\displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)=0}
と変形できる。
これを展開すると、
a
x
2

−
a
(
α
+
β
)
x
+
a
α
β
=
0

{\displaystyle ax^{2}-a(\alpha +\beta)x+a\alpha \beta =0}
係数を比較して、
c
=
a
α
β
,
b
=
−
a
(
α
+
β
)

{\displaystyle c=a\alpha \beta ,b=-a(\alpha +\beta)}
を得る。
これを変形すれば、

α
+
β
=
−

b
a

,
α
β
=

c
a

{\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},\alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
となる。
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の2つの解を

α

{\displaystyle \alpha }
 ，

β

{\displaystyle \beta }
 とすれば
2次方程式

2
x
2

+
4
x
+
3
=
0

{\displaystyle 2x^{2}+4x+3=0}
 の2つの解を

α

{\displaystyle \alpha }
 ，

β

{\displaystyle \beta }
 とするとき、

α
2

+
β
2

{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}}
 の値を求めよ。
解と係数の関係より、

α
+
β
=
−

4
2

=
−
2

{\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {4}{2}}=-2}
，

α
β
=

3
2

{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {3}{2}}}

α
2

+
β
2

=
(
α
+
β
)
2

−
2
α
β
=
(
−
2
)
2

−
2
×

3
2

=
1

{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta)^{2}-2\alpha \beta =(-2)^{2}-2\times {\frac {3}{2}}=1}
2つの数

α

{\displaystyle \alpha }
 ，

β

{\displaystyle \beta }
 を解とする2次方程式は
と表される。左辺を展開して整理すると次のようになる。
2数

α

{\displaystyle \alpha }
 ，

β

{\displaystyle \beta }
 を解とする2次方程式は
次の2数を解とする2次方程式を作れ。
(I)
(II)
(I)
和

(
3
+

5

)
+
(
3
−

5

)
=
6

{\displaystyle (3+{\sqrt {5}})+(3-{\sqrt {5}})=6}

積

(
3
+

5

)
(
3
−

5

)
=
4

{\displaystyle (3+{\sqrt {5}})(3-{\sqrt {5}})=4}
　であるから
(II)
和

(
2
+
3
i
)
+
(
2
−
3
i
)
=
4

{\displaystyle (2+3i)+(2-3i)=4}

積

(
2
+
3
i
)
(
2
−
3
i
)
=
13

{\displaystyle (2+3i)(2-3i)=13}
　であるから
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の2つの解

α

{\displaystyle \alpha }
 ，

β

{\displaystyle \beta }
 がわかると、2次式
を因数分解することができる。
解と係数の関係

α
+
β
=
−

b
a

{\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}}
，

α
β
=

c
a

{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
 から、
2次方程式

a
x
2

+
b
x
+
c
=
0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
 の2つの解を

α

{\displaystyle \alpha }
 ，

β

{\displaystyle \beta }
 とすると
2次方程式は、複素数の範囲で考えるとつねに解をもつから、複素数まで使ってよいとすると、2次式は必ず1次式の積に因数分解することができる。
複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。
(I)
(II)
(I)
2次方程式

x
2

+
4
x
−
1
=
0

{\displaystyle x^{2}+4x-1=0}
　の解は
よって
(II)
2次方程式

2
x
2

−
3
x
+
2
=
0

{\displaystyle 2x^{2}-3x+2=0}
　の解は
よって
3次以上の整式による方程式を考える。
一般に方程式を

P
(
x
)
=
0

{\displaystyle P(x)=0}
ととる。
ただし、

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
は、任意の次数の整式とする。
P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
を1次式

x
−
a

{\displaystyle x-a}
で割ったときの商を

Q
(
x
)

{\displaystyle Q(x)}
、余りを

R

{\displaystyle R}
とすると、
この両辺の

x

{\displaystyle x}
に

a

{\displaystyle a}
を代入すると、
つまり、

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
を

x
−
a

{\displaystyle x-a}
で割ったときの余りは

P
(
a
)

{\displaystyle P(a)}
である。
整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
を

x
−
a

{\displaystyle x-a}
で割ったときの余りは、

P
(
a
)

{\displaystyle P(a)}
に等しい。
整式

P
(
x
)
=
x
3

−
2
x
+
3

{\displaystyle P(x)=x^{3}-2x+3}
 を次の式で割った余りを求めよ。
(I)
(II)
(III)
(I)

P
(
2
)
=
2
3

−
2
×
2
+
3
=
7

{\displaystyle P(2)=2^{3}-2\times 2+3=7}

(II)

P
(
−
1
)
=
(
−
1
)
3

−
2
×
(
−
1
)
+
3
=
4

{\displaystyle P(-1)=(-1)^{3}-2\times (-1)+3=4}

(III)

P
(

1
2

)
=

(

1
2

)

3

−
2
×
(

1
2

)
+
3
=

17
8

{\displaystyle P\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}-2\times \left({\frac {1}{2}}\right)+3={\frac {17}{8}}}
ある実数

a

{\displaystyle a}
に対して、
が成り立ったとする。
このとき、整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
 は、

(
x
−
a
)

{\displaystyle (x-a)}
 を因数に持つことが分る。
このことを因数定理（いんすうていり）と呼ぶ。
整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
に対して、商

Q
(
x
)

{\displaystyle Q(x)}
、割る式

(
x
−
a
)

{\displaystyle (x-a)}
とする
整式の除法を用いる。このとき、商

Q
(
x
)

{\displaystyle Q(x)}
、
(

Q
(
x
)

{\displaystyle Q(x)}
は、

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
よりも1だけ次数が低い整式である。)
余り

c

{\displaystyle c}
(

c

{\displaystyle c}
は、実数。)とすると、
整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
 は、
と書ける。
ここで、

c
=
0

{\displaystyle c=0}
 でないと、

P
(
a
)
=
0

{\displaystyle P(a)=0}
 は満たされないが、
このとき、

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
は、

(
x
−
a
)

{\displaystyle (x-a)}
によって割り切れる。
よって、因数定理は成立する。
整式

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}
について
因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが
出来るようになる。例えば、3次の整式
について、

x
=
1

{\displaystyle x=1}
を代入すると、
は0となる。よって、因数定理よりこの式は
を因数として持つ。
ここで、実際整式の除法を使って計算すると、
が得られる。
因数定理を用いて
(I)
(II)
を因数分解せよ。
(I)
因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の因数でなければならない。そのため、

±
1
,
±
2
,
±
3
,
±
6

{\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6}
が候補となる。これらについては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、
となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として

x
2

−
5
x
+
6

{\displaystyle x^{2}-5x+6}
が得られるが、これは

(
x
−
2
)
(
x
−
3
)

{\displaystyle (x-2)(x-3)}
に因数分解できる。よって答えは、
となる。
(II)
ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、
となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、

x
2

−
x
−
12

{\displaystyle x^{2}-x-12}
が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、
となる。
因数分解や因数定理を利用して高次方程式を解いてみよう。
高次方程式
(I)
(II)
(III)
を解け。
(I)
左辺を

a
3

−
b
3

=
(
a
−
b
)
(
a
2

+
a
b
+
b
2

)

{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
を用いて因数分解すると
したがって

x
−
2
=
0

{\displaystyle \ x-2=0}
　または

x
2

+
2
x
+
4
=
0

{\displaystyle \ x^{2}+2x+4=0}

よって
(II)

x
2

=
X

{\displaystyle \ x^{2}=X\ }
とおくと、
左辺を因数分解すると
よって

X
=
4

,

X
=
−
2

{\displaystyle X=4\ ,\ X=-2}

ゆえに

x
2

=
4

,

x
2

=
−
2

{\displaystyle x^{2}=4\ ,\ x^{2}=-2}

したがって
(III)

P
(
x
)
=
x
3

−
5
x
2

+
7
x
−
2

{\displaystyle \ P(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-2\ }
とおく。
したがって、

x
−
2

{\displaystyle \ x-2\ }
は

P
(
x
)

{\displaystyle \ P(x)\ }
の因数である。
よって

(
x
−
2
)
(
x
2

−
3
x
+
1
)
=
0

{\displaystyle (x-2)(x^{2}-3x+1)=0}

x
−
2
=
0

{\displaystyle \ x-2=0}
　または

x
2

−
3
x
+
1
=
0

{\displaystyle \ x^{2}-3x+1=0}

したがって
3次方程式

a
x
3

+
b
x
2

+
c
x
+
d
=
0

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
 の3つの解を 、

α

,

β

,

γ

{\displaystyle \alpha \ ,\ \beta \ ,\ \gamma }
 とすると
が成り立つ。
右辺を展開すると
よって
ゆえに
したがって、次のことが成り立つ。
3次方程式

a
x
3

+
b
x
2

+
c
x
+
d
=
0

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
 の3つの解を 、

α

,

β

,

γ

{\displaystyle \alpha \ ,\ \beta \ ,\ \gamma }
 とすると
しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。
だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面（数学Cで習う）の上に存在するのだから、同じではないだろうか。
このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。
複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。
たとえば、

a
+
b
i
<
a
′
+
b
′
i

{\displaystyle a+bi<a'+b'i}
であることを、

a
2

+
b
2

<
a
′
2

+
b
′
2

{\displaystyle a^{2}+b^{2}<a'^{2}+b'^{2}}
であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。
もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。
今度は、複素数の平方根について考えてみよう。
正の数

a

{\displaystyle a}
を考えたとき、
では、
虚数単位

i

{\displaystyle i}
の平方根を考えると、これはzについての方程式

z
2

=
i

{\displaystyle z^{2}=i}
 の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。
zを複素数とすると、

z
=
x
+
y
i

{\displaystyle z=x+yi}
(x,yは実数)と表される。

(
x
+
y
i
)
2

=
i
⇔
x
2

+
2
x
y
i
−
y
2

=
i
⇔
(
x
2

−
y
2

)
+
(
2
x
y
−
1
)
i
=
0

{\displaystyle (x+yi)^{2}=i\Leftrightarrow x^{2}+2xyi-y^{2}=i\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})+(2xy-1)i=0}
x
2

−
y
2

,
2
x
y
−
1

{\displaystyle x^{2}-y^{2},2xy-1}
は実数であるから、実部と虚部が共に０にならねばならないから、

{

x
2

−
y
2

=
0
(
⇔
x
=
±
y
)

2
x
y
−
1
=
0

{\displaystyle {\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0(\Leftrightarrow x=\pm y)\\2xy-1=0\end{cases}}}
x
=
y

{\displaystyle x=y}
のとき、

2
x
2

=
1
⇔
x
=
±

1
2

,
y
=
±

1
2

{\displaystyle 2x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},y=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}
 (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。)
x
=
−
y

{\displaystyle x=-y}
のとき、

−
2
y
2

=
1
⇔
y
2

=
−

1
2

{\displaystyle -2y^{2}=1\Leftrightarrow y^{2}=-{\frac {1}{2}}}
 ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。
よって、

z
=
±
(

1
2

+

1
2

i
)

{\displaystyle z=\pm \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i\right)}
■
実部がゼロを考慮して

x
=
0

{\displaystyle x=0}
か

x
=
±

3

y

{\displaystyle x=\pm {\sqrt {3}}y}
だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき

y
=
−
1

{\displaystyle y=-1}
、後者のとき

y
=
1
/
2

{\displaystyle y=1/2}
となることがすぐにわかる。
2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、代数方程式論で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができる。
5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、ガロア理論を理解する必要がある（日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である）。
なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、

x
5

−
32
=
0

{\displaystyle x^{5}-32=0}
 は解のひとつとして

x
=
2

{\displaystyle x=2}
 をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを高等学校数学C/複素数平面において学ぶ。
「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。w:五次方程式に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。
高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「平面上の曲線と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「複素関数論」というものを扱う。
実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。（ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能）
では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。
複素関数論は物理学の特に波動に関する分野（音・電磁気など）において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。
ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「w:四元数」というものがある。この四元数はベクトルや行列と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。


ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。
座標平面上の2点

A

(

x
1

,

y
1

)

,

B

(

x
2

,

y
2

)

{\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)\ ,\ \mathrm {B} \left(x_{2}\ ,\ y_{2}\right)}
 間の距離

A

B

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} }
 を求めてみよう。直線

A

B

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} }
 が座標軸に平行でないとき[1]、点

C

(

x
2

,

y
1

)

{\displaystyle \mathrm {C} \left(x_{2}\ ,\ y_{1}\right)}
 をとると
△
A

B

C

{\displaystyle \triangle \mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {C} }
 は直角三角形であるから、三平方の定理より
この式は、直線

A

B

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} }
 がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ[2]。
特に、原点

O

{\displaystyle \mathrm {O} }
 と点

A

(

x
1

,

y
1

)

{\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)}
 間の距離は
点

A
(
x
0

,
y
0

)
,
B
(
x
1

,
y
1

)

{\displaystyle \mathrm {A} (x_{0},y_{0}),\mathrm {B} (x_{1},y_{1})}
 と実数

m
,
n
>
0

{\displaystyle m,n>0}
 に対して、線分

A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 上の点

P
(
x
,
y
)

{\displaystyle \mathrm {P} (x,y)}
 が存在して、

A
P
:
P
B
=
m
:
n

{\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n}
 となるとき、点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 を

A
,
B

{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} }
 を

m
:
n

{\displaystyle m:n}
 に内分する点という。
また、線分

A
B

{\displaystyle \mathrm {AB} }
 上でない点

P
(
x
,
y
)

{\displaystyle \mathrm {P} (x,y)}
 が存在して、

A
P
:
P
B
=
m
:
n

{\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n}
 となるとき、点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 を

A
,
B

{\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} }
 を

m
:
n

{\displaystyle m:n}
 に外分する点という。
数直線上の点

A
(
a
)
,
B
(
b
)

{\displaystyle \mathrm {A} (a),\mathrm {B} (b)}
 を

m
:
n

{\displaystyle m:n}
 に内分する点と外分する点を求める。
内分点を

P
(
x
)

{\displaystyle \mathrm {P} (x)}
 とする。

a
<
b

{\displaystyle a<b}
 のとき、

A
P
=
x
−
a
,
P
B
=
b
−
x

{\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {PB} =b-x}
 なので、

m
:
n
=
(
x
−
a
)
:
(
b
−
x
)

{\displaystyle m:n=(x-a):(b-x)}
 なので、

n
(
x
−
a
)
=
m
(
b
−
x
)
⟺
x
=

n
a
+
m
b

m
+
n

{\displaystyle n(x-a)=m(b-x)\iff x={\frac {na+mb}{m+n}}}
 である。

a
>
b

{\displaystyle a>b}
 のときも同様。
次に外分点を求める。外分点を

P
(
x
)

{\displaystyle \mathrm {P} (x)}
 とする。

a
<
b

{\displaystyle a<b}
 で

m
>
n

{\displaystyle m>n}
 のとき、

x
>
b

{\displaystyle x>b}
 となるので、

A
P
=
x
−
a
,
B
P
=
x
−
b

{\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {BP} =x-b}
 なので、

m
:
n
=
(
x
−
a
)
:
(
x
−
b
)

{\displaystyle m:n=(x-a):(x-b)}
 なので、

x
=

−
n
a
+
m
b

m
−
n

{\displaystyle x={\frac {-na+mb}{m-n}}}
これは、

a
>
b

{\displaystyle a>b}
 または

m
<
n

{\displaystyle m<n}
 のときも同様。[3]
2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y
の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。
よって、一般に点

A
(
x
0

,
y
0

)
,
B
(
x
1

,
y
1

)

{\displaystyle A(x_{0},y_{0}),B(x_{1},y_{1})}
を、a:bに内分する点と外分する点は、
で与えられる。
演習問題
点

A
(
1
,
0
)
,
B
(
−
4
,
7
)

{\displaystyle \mathrm {A} (1,0),\mathrm {B} (-4,7)}
 を3:1にそれぞれ内分、外分する点を求めよ。
解答
内分点は

(

−
11
4

,

21
4

)

{\displaystyle \left({\frac {-11}{4}},{\frac {21}{4}}\right)}
外分点は

(

−
13
2

,

21
2

)

{\displaystyle \left({\frac {-13}{2}},{\frac {21}{2}}\right)}
3点

A

(

x
1

,
y
1

)
,
B

(

x
2

,
y
2

)
,
C

(

x
3

,
y
3

)

{\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1},y_{1}\right),\mathrm {B} \left(x_{2},y_{2}\right),\mathrm {C} \left(x_{3},y_{3}\right)}
を頂点とする三角形の重心

G

{\displaystyle \mathrm {G} }
 の座標を求めてみよう。
線分

B

C

{\displaystyle \mathrm {B} \mathrm {C} }
の中点

M

{\displaystyle \mathrm {M} }
の座標は
重心

G

{\displaystyle \mathrm {G} }
は線分

A

M

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {M} }
を2:1に内分する点であるから、

G

{\displaystyle \mathrm {G} }
の座標を

(
x
,
y
)

{\displaystyle (x,y)}
とすると
同様に
よって、重心

G

{\displaystyle \mathrm {G} }
の座標は
ある点

(
x
0

,
y
0

)

{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
 を通って傾きaの直線の式は、

y
−
y
0

=
a
(
x
−
x
0

)

{\displaystyle y-y_{0}=a(x-x_{0})}

で与えられる。これは、傾きがyの変化分

/

{\displaystyle /}
xの変化分で表わされ、

y
−
y
0

{\displaystyle y-y_{0}}
,

x
−
x
0

{\displaystyle x-x_{0}}
はまさに、y,xそれぞれの変化分そのものであることによる。
2点

(
x
0

,
y
0

)

{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
 ,

(
x
1

,
y
1

)

{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
 を通る直線は傾きが

y
0

−
y
1

x
0

−
x
1

{\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}}
 で与えられることを用いると、

y
−
y
0

=

y
0

−
y
1

x
0

−
x
1

(
x
−
x
0

)

{\displaystyle y-y_{0}={\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}(x-x_{0})}

で与えられる。
演習問題
それぞれの直線を表わす式を計算せよ。
(i)
傾き-2で、点(-3,1)を通る直線
(ii)
2点(4,3) ,(5,7)を通る直線
解答
を用いればよい。
(i)
(ii)
また直線の方程式は一般に

a
x
+
b
y
+
c
=
0

{\displaystyle ax+by+c=0}
 で表される。
2直線

y
=
m
1

x
+
n
1

,

y
=
m
2

x
+
n
2

{\displaystyle y=m_{1}x+n_{1}\ ,\ y=m_{2}x+n_{2}}
について
点

(
1
,
4
)

{\displaystyle (1,4)}
を通り、直線

y
=
−
2
x
+
3

{\displaystyle y=-2x+3}
に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。
直線

y
=
−
2
x
+
3

{\displaystyle y=-2x+3}
の傾きは

−
2

{\displaystyle -2}
である。
平行な直線の方程式は
垂直な直線の傾きを

m

{\displaystyle m}
とすると
よって、垂直な直線の方程式は
点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 と直線

l

{\displaystyle l}
 に対し、直線

l

{\displaystyle l}
 上の点と点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 の距離の最小値を点と直線の距離という。これは点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 から直線

l

{\displaystyle l}
 に下ろした垂線

P
H

{\displaystyle \mathrm {PH} }
 の長さに等しい。
直線

a
x
+
b
y
+
c
=
0

{\displaystyle ax+by+c=0}
 と点

(
x
0

,
y
0

)

{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
 の距離は
と表される。
証明
点

P
(
x
0

,
y
0

)

{\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})}
 と直線

l
:
a
x
+
b
y
+
c
=
0
a
,
b
≠
0

{\displaystyle l:ax+by+c=0\quad a,b\neq 0}
 とする。
点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 から直線

l

{\displaystyle l}
 に垂線を下ろし、垂線の足を点

R

{\displaystyle R}
 とする。
また、点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 から

y

{\displaystyle y}
 軸に平行な直線を引き、直線

l

{\displaystyle l}
 との交点を点

S

{\displaystyle \mathrm {S} }
 とする。
次に、図のように、直線

l

{\displaystyle l}
 上の点

T

{\displaystyle \mathrm {T} }
 に対して、直線

T
V

{\displaystyle \mathrm {TV} }
 が

x

{\displaystyle x}
 軸と平行となり、

T
V
=
|
b
|

{\displaystyle \mathrm {TV} =|b|}
 となるように点

V

{\displaystyle \mathrm {V} }
 をとり、直線

V
U

{\displaystyle \mathrm {VU} }
 が

y

{\displaystyle y}
 軸に平行になる点

U

{\displaystyle \mathrm {U} }
 を直線

l

{\displaystyle l}
 上に取る。
直線

l

{\displaystyle l}
 の傾きは

−

a
b

{\displaystyle -{\frac {a}{b}}}
 となるので

V
U
=
|
a
|

{\displaystyle \mathrm {VU} =|a|}
 である。
ここで、

△
P
R
S
,
△
T
V
U

{\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} ,\bigtriangleup \mathrm {TVU} }
 は直角三角形であり、

∠
P
S
R
=
∠
T
U
V

{\displaystyle \angle \mathrm {PSR} =\angle \mathrm {TUV} }
[4] なので、

△
P
R
S
∼△
T
V
U

{\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm {TVU} }
[5] である。したがって
また点

S

{\displaystyle \mathrm {S} }
 の座標を

(
x
0

,
m
)

{\displaystyle (x_{0},m)}
 とすると、

P
S
=
|

y
0

−
m
|

{\displaystyle \mathrm {PS} =|y_{0}-m|}
 で、点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 と直線

l

{\displaystyle l}
 の距離

P
R

{\displaystyle \mathrm {PR} }
 は、
P
R
=

P
S

⋅

T
V

T
U

=

|

y
0

−
m
|

|
b
|

a
2

+
b
2

{\displaystyle \mathrm {PR} ={\mathrm {PS} }\cdot {\frac {\mathrm {TV} }{\mathrm {TU} }}={\frac {|y_{0}-m||b|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
ところで、点

S

{\displaystyle \mathrm {S} }
 は直線

l

{\displaystyle l}
 上の点なので、
である。これを代入すれば
ベクトルを使った証明
すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。
点

P
(
x
0

,
y
0

)

{\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})}
 と直線

l
:
a
x
+
b
y
+
c
=
0

{\displaystyle l:ax+by+c=0}
 とし、点

Q
(
x
1

,
y
1

)

{\displaystyle \mathrm {Q} (x_{1},y_{1})}
 を直線

l

{\displaystyle l}
 上の点とする。直線

l

{\displaystyle l}
 の法線は

n
→

:=
(
a
,
b
)

{\displaystyle {\vec {n}}:=(a,b)}
 で、

Q
P
→

=
(
x
0

−
x
1

,
y
0

−
y
1

)

{\displaystyle {\vec {\mathrm {QP} }}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})}
 であるので、直線

l

{\displaystyle l}
 上の点と点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 の距離

d

{\displaystyle d}
 は

d
=
|

Q
P
→

⋅

n
→

|

|

n
→

|

|

|
=
|
(
x
0

−
x
1

,
y
0

−
y
1

)
⋅

(
a
,
b
)

a
2

+
b
2

|
=

|
a
x
0

+
b
y
0

−
(
a
x
1

+
b
y
1

)
|

a
2

+
b
2

=

|
a
x
0

+
b
y
0

+
c
|

a
2

+
b
2

{\displaystyle d=\left|{\vec {\mathrm {QP} }}\cdot {\frac {\vec {n}}{||{\vec {n}}||}}\right|=\left|(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})\cdot {\frac {(a,b)}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right|={\frac {|ax_{0}+by_{0}-(ax_{1}+by_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
[6] である。
演習問題
直線

x
−
2
y
−
3
=
0

{\displaystyle x-2y-3=0}
 と点

(
1
,
2
)

{\displaystyle (1,2)}
 の距離を求めよ
解答
6
5

{\displaystyle {\frac {6}{\sqrt {5}}}}
中心

C
(
a
,
b
)

{\displaystyle \mathrm {C} (a,b)}
 半径

r

{\displaystyle r}
 の円は、

C
P
=
r

{\displaystyle \mathrm {CP} =r}
 となる点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
 の集合である。つまり、

r
=

(
x
−
a
)
2

+
(
y
−
b
)
2

{\displaystyle r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}}
 となる点

(
x
,
y
)

{\displaystyle (x,y)}
 の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して
(
x
−
a
)
2

+
(
y
−
b
)
2

=
r
2

{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
を得る。これが円の方程式である。
特に原点が中心で半径

r

{\displaystyle r}
 の円の方程式は

x
2

+
y
2

=
r
2

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
 で与えられる。
演習問題
解答
方程式

x
2

+
y
2

+
l
x
+
m
y
+
n
=
0

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0}
 はいつも円であるとは限らない。
方程式を変形して

(
x
−
a
)
2

+
(
y
−
b
)
2

=
k

{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=k}
 となるとき
円

x
2

+
y
2

=
r
2

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
上のある点

(
x
1

,
y
1

)

{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
で接する接線の方程式は
で表される。
同様に、円

(
x
−
a
)
2

+
(
y
−
b
)
2

=
r
2

{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
上のある点

(
x
2

,
y
2

)

{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
で接する接線の方程式は
で表される。
円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。
一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。
円

C
:
(
x
−
p
)
2

+
(
y
−
q
)
2

=
r
2

{\displaystyle C:(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}}
 と直線

l
:
a
x
+
b
y
+
c
=
0

{\displaystyle l:ax+by+c=0}
 について、円

C

{\displaystyle C}
 の中心

(
p
,
q
)

{\displaystyle (p,q)}
 と直線

l

{\displaystyle l}
 の距離

d
:=

|
a
q
+
b
q
+
c
|

a
2

+
b
2

{\displaystyle d:={\frac {|aq+bq+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
 とすると、
他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。
演習問題
直線

3
x
+
4
y
=
1

{\displaystyle 3x+4y=1}
 と円

(
x
−
3
)
2

+
(
y
+
2
)
2

=
14

{\displaystyle (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=14}
 の交点の座標を求めよ
解答
直線の方程式を

x

{\displaystyle x}
 について解き、それを円の方程式に代入すればよい。
答えは

(
2
,
−
1
)
,
(
−

14
5

,

7
5

)

{\displaystyle (2,-1),\left(-{\frac {14}{5}},{\frac {7}{5}}\right)}
ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡という。
2点

A
(
1

,

0
)

,

B
(
3

,

2
)

{\displaystyle \mathrm {A} (1\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 2)}
から等距離にある点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
の軌跡を求めよ。
条件

A

P
=
B

P

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} =\mathrm {B} \mathrm {P} }
より、

A

P

2

=
B

P

2

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} ^{2}=\mathrm {B} \mathrm {P} ^{2}}

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
の座標を

(
x

,

y
)

{\displaystyle (x\ ,\ y)}
とすると
だから
整理して、
したがって、求める軌跡は、直線

y
=
−
x
+
3

{\displaystyle y=-x+3}
である。
1.求める軌跡上の任意の点の座標を

(
x

,

y
)

{\displaystyle (x\ ,\ y)}
などで表し、与えられた条件を座標の間の関係式で表す。
2.軌跡の方程式を導き、その方程式の表す図形を求める。
3.その図形上の点が条件を満たしていることを確かめる。
2点

A
(
0

,

0
)

,

B
(
3

,

0
)

{\displaystyle \mathrm {A} (0\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 0)}
からの距離の比が

2
:
1

{\displaystyle 2:1}
である点

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
の軌跡を求めよ。
P

{\displaystyle \mathrm {P} }
の座標を

(
x

,

y
)

{\displaystyle (x\ ,\ y)}
とする。

P

{\displaystyle \mathrm {P} }
を満たす条件は
すなわち
これを座標で表すと
両辺を2乗して、整理すると
すなわち
したがって、求める軌跡は、中心が

(
4

,

0
)

{\displaystyle (4\ ,\ 0)}
、半径が

2

{\displaystyle 2}
の円である。
m

,

n

{\displaystyle m\ ,\ n}
を異なる正の数とするとき、2点

A

,

B

{\displaystyle \mathrm {A} \ ,\ \mathrm {B} }
からの距離の比が

m
:
n

{\displaystyle m:n}
である点の軌跡は、線分

A

B

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} }
を

m
:
n

{\displaystyle m:n}
に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。
m
=
n

{\displaystyle m=n}
のときは、線分

A

B

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} }
の垂直二等分線である。
このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。
なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。
中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。


指数法則については、数学Iで すでに学んだ。
a が実数のときで、n が2以上の正の整数のとき、  n 乗して a になる数、すなわち
となるx のことを、a の n 乗根という。a の2乗根、3乗根、4乗根、......を総称して、a の累乗根という。
平方根は2乗根である。なお、3乗根のことを立方根（りっぽうこん）ともいう。
この章の学習では、最終的に n を正の整数だけでなく、実数にまで拡張していくが、とりあえず学習当初の当面は n を整数で考えておこう。
2の4乗は16である。-2の4乗も16である。よって、16の4乗根は 2 と -2 である。
単に「n乗根」といった場合、係数に負の数がつくものを除外しないことに注意。
さて、nが奇数の場合のn乗根について、考えてみる。
（-2）を3乗しても、8にはならず、-2 の3乗は -8である。
（-3）を3乗しても、27にはならず、-3 の3乗は -27である。
このように、負の実数の奇数n乗は、かならず、負の数になる。
なので、8の3乗根には、負の数は ふくまれず、8の3乗根は 2だけである。
同様に、27の3乗根は、正の3だけである。
このように、nを奇数の自然数としたとき、実数 a のn乗根 は1通りである。
a のn 乗根 x について考える。
(1) 　n が奇数のとき、実数 a のn乗根 はただ1つであり、これを

a
n

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
 で表す。
(2) 　n が偶数のとき、正の実数aのn乗根は、正と負の2つの数がある。
負のほうは

−

a
n

{\displaystyle -{\sqrt[{n}]{a}}}
 で表す。正の方は

a
n

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
、で表す。
a < 0 のとき、実数の範囲では a のn 乗根はない。
n が偶数か奇数かにかかわらず、0のn乗根は0なので、
である。
特に2乗根

a
2

{\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}
 は

a

{\displaystyle {\sqrt {a}}}
 と書く。
a > 0 のとき、xn = a の解は

x
=

a
n

{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}
 であるから、
また
例
有理数を指数とする累乗を、次のように定義する。
これは、指数が有理数の場合にも、指数法則が成り立つように定義したのである。実際、次が成り立つ。
たとえば、x1/3 は、3乗すると x1 = x に等しいので、x の3乗根

x
3

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}
に等しい。
また、x0 については
と考えることが出来る。よって、0以外の全ての実数x に対して、
が成り立つ。
指数法則1に、r = 3, s = -3 を代入すれば
ゆえに
指数法則2に、r = 2/3, s = 3 を代入すれば
となるから、a2/3 は a2 の3乗根ということになる。つまり、
指数法則1に、r = -2/3, s = 2/3 を代入すれば
ゆえに
たとえば

3

2

{\displaystyle 3^{\sqrt {2}}}
 の場合、 これは、

2

=
1.41421
⋯

{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421\cdots }
 であるが、
を考えると、その項は一定値 4.72880 ・・・ に近づくので、その値を

3

2

{\displaystyle 3^{\sqrt {2}}}
  と定める。
このようにして、累乗の指数が無理数の場合にも定義を拡張することで、指数を実数にまで拡張できる。また、実数の場合も上述の指数法則が成り立つ。
実数aを a>0 で a≠1 とするとき、

y
=
a
x

{\displaystyle y=a^{x}}
 で表される関数のことを「 aを底（てい）とする指数関数」のようにいう。
さて、指数関数の例として、たとえば、
があげられる。
指数関数

y
=
2
x

{\displaystyle y=2^{x}}
 のグラフを右に示す。指数関数はきわめて速く増加する関数であることが分かる。
次に

y
=

(

1
2

)

x

{\displaystyle y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}}
 のグラフを書いてみよう。結果は、右のグラフの実線のようになる。
さきほどのグラフと比較すると分かるように、y軸を対称軸として、

y
=

(

1
2

)

x

{\displaystyle y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}}
 のグラフと

y
=
2
x

{\displaystyle y=2^{x}}
 のグラフは対称になっている。
一般に、

y
=

(

1
a

)

x

{\displaystyle y=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}}
 のグラフは、y軸に関して

y
=
a
x

{\displaystyle y=a^{x}}
 のグラフと対称である。
また、
いっぽう、
なお、グラフの傾きをみれば分かるように、指数関数のグラフは、一次関数や二次関数のグラフと比べると、急激に増加または急激に減少していく。
指数法則を用いて指数関数を簡単化せよ。
(i)

2
x

⋅
3
x

{\displaystyle 2^{x}\cdot 3^{x}}
(ii)

(
1
/
3
)
x

{\displaystyle (1/3)^{x}}
解答
指数関数の値域は正の実数全体である。
また、どんな正の実数も、0乗すると1になるので、よって指数関数

y
=
a
x

{\displaystyle y=a^{x}}
 のグラフは必ず点 (0,1) を通る。
a＞0,　a≠1 のとき、前章で習った指数関数のグラフの形からも分かるように、
任意の正の実数Mに対して、

a
p

=
M

{\displaystyle a^{p}=M}
をみたす p はただ1つに定まる。
この p を

log
a

M

{\displaystyle \log _{a}M}
 と書き
という。 すなわち、
である。
なお、対数は英語で logarithm （ロガリスム）という。
である。この場合、2 を log2 8 = 3 乗すると、8が得られるという関係になっている。
log
a

x

{\displaystyle \log _{a}x}
 について 以下の式が成り立つ。
対数関数を、実数xに対し
を対応させる関数として定義する。
この関数の定義域（ていぎいき）は、x > 0 に限られる。これは、仮に
とすると、
となるが、 a が正の数であることからlがどのような値であろうと左辺は常に正であるから、xも正でなければならないからである。
グラフの概形を右に示す。図を見ると、この関数は非常にゆっくりと増大する関数であることが分かる。
更に、グラフの特徴として、
から、対数関数のグラフは、点 (1, 0) および 点 (a , 1) の2点を必ず通過することが分かる。
右図のように、対数関数のグラフは、対応する指数関数のグラフと y＝x に関して対称である。
一般に

y
=
log
a

x

{\displaystyle y=\log _{a}x}
 のグラフは

y
=
a
x

{\displaystyle y=a^{x}}
 のグラフと直線  y＝x に関して対称である。
指数法則と対数の定義とを組み合わせることにより、次の公式が導かれる。
(1. の証明)
log
a

M
=
p

{\displaystyle \log _{a}M=p}
 ,

log
a

N
=
q

{\displaystyle \log _{a}N=q}
 　とおくと、

M
=
a
p

{\displaystyle M=a^{p}}
 ,

N
=
a
q

{\displaystyle N=a^{q}}
 　であるから
よって

log
a

M
N
=
p
+
q
=
log
a

M
+
log
a

N

{\displaystyle \log _{a}MN=p+q=\log _{a}M+\log _{a}N}
(2. 以降の証明)
※ (1.)の証明法と同様に右辺を指数に置きかえて計算したあとに再び対数に変形することで証明できる。（証明は省略）
上記の公式の特別な場合として、次の公式が成り立つ。
次の公式が成り立つ。
10を底とする対数を常用対数（じょうよう たいすう）という。1.00から9.99までの値に対する常用対数の値は常用対数表に示してある。また、近年ではコンピュータや関数電卓を用いて、対応する対数の値を知ることもできる。ただし、これらの値は計算上の制約を受けるため、盲目的にその値が正しいと考えてはならない。コンピュータ内の計算については、高等学校情報などを参照。
235の桁数を常用対数を使って考えよう。
が成り立つ。各辺の常用対数をとると
すなわち
逆に、235が

2
<
log
10

235
<
3

{\displaystyle 2<\log _{10}235<3}
 を満たすならば、上の計算を逆にたどって
よって、235は3桁の整数である。桁数が不明な大きな数に対して同様に常用対数をとることによって、おおよその大きさを知ることができる。
1

log
10

x

{\displaystyle \log _{10}x}
が実数とする。
上の式を満たすxが無限にあることを示せ
2

x
≦
a
≦
b

{\displaystyle x\leqq a\leqq b}

とする。このとき

R

{\displaystyle R}
を実数全体の集合とする。

a
,
b
,
x
∈
R

{\displaystyle a,b,x\in R}
のとき

log
x

a
=
b

{\displaystyle \log _{x}a=b}
を満たすa,b,xが少なくとも1つはあることを示せ。
3

log
a

1
+
x

{\displaystyle \log _{a}{1+x}}
のグラフを書け。
log
10

x
=
q

{\displaystyle \log _{10}x=q}
と置く。
対数関数の定義より、

10
q

=
x

{\displaystyle 10^{q}=x}
と書けるつまりxは
x=100,10000,1000000•••のようになる。
(qが自然数であるとき)
つまりxを無限に近づけることで命題は示された。
たとえば、星の等級（一等星や六等星など）は、指数で明るさの等級が決められており、
等級が1下がるごとに明るさが
倍となるように定められている。これは、等級とは明るさの対数だということである。
地震のエネルギーを表すマグニチュードも、指数をつかった関係式で地震のエネルギーをEとし、地震のマグニュチュードをMとすると、
となるようにマグニチュードが定められている。
つまり、マグニチュードはエネルギーの対数ということである。
このほか、音の大きさ（音圧レベル）をあらわすデシベルや、化学における水素イオン指数 pH も、対数で定義される。
また、放射性年代測定も、残存している放射性同位体の量の対数を考えることにより可能になる。
一般に、非常に大きくなる量、または非常に小さくなる量をあらわすのに、対数を用いることが便利なのである。上記に紹介した、星の等級、地震のマグニチュード、音の大きさ、酸性度は、すべて、対数を使わないそのままでは桁が大きくなり扱いにくくなので、利便性のために対数を用いているということである。
対数方眼紙というのがあり、右図のようになっている。