source: Вариант 1, Задача 2

input: На доске записаны в ряд 26 чисел. Первое число равно 3, двадцатое равно 7, последнее равно 4. Найдите пятнадцатое число, если сумма любых четырёх подряд идущих чисел равна 19?

output:
Ответ: 5.

Решение:
1. Если сумма любых четырёх подряд идущих чисел одинакова, то для соседних четвёрок a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} = a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} + a_{i+4}. Отсюда a_i = a_{i+4}, то есть последовательность периодична с периодом 4.
2. Поэтому 1-е, 5-е, 9-е, 13-е, 17-е, 21-е и 25-е числа равны 3.
3. 26-е число стоит в том же классе остатков, что и 2-е, 6-е, 10-е, 14-е, 18-е, 22-е; значит они равны 4.
4. 20-е число стоит в том же классе, что и 4-е, 8-е, 12-е, 16-е, 24-е; значит они равны 7.
5. Пятнадцатое число стоит в том же классе, что и 3-е, 7-е, 11-е, 19-е, 23-е; обозначим его x.
6. Сумма первой четвёрки: 3 + 4 + x + 7 = 19, значит x = 5.
Следовательно, пятнадцатое число равно 5.

<think>: Равенство сумм соседних четвёрок даёт a_i = a_{i+4}, поэтому последовательность имеет период 4. Известные позиции 1, 20 и 26 задают значения трёх классов остатков: 1 mod 4 равно 3, 2 mod 4 равно 4, 0 mod 4 равно 7. Позиция 15 имеет остаток 3 mod 4, то есть относится к неизвестному классу x. Из суммы первой четвёрки 3 + 4 + x + 7 = 19 получаем x = 5.


source: Вариант 1, Задача 3

input: Мимо наблюдателя поезд проходит за 10 секунд, а по мосту длиной 400 м – за 30 секунд. Считается, что поезд идёт по мосту начиная с того момента, когда локомотив въезжает на мост, и заканчивая моментом, когда последний вагон покидает мост. Определите длину и скорость поезда.

output:
Ответ: длина поезда 200 м, скорость 20 м/с (72 км/ч).

Решение:
1. Пусть длина поезда L, скорость v.
2. Мимо наблюдателя поезд проходит расстояние L за 10 с: L / v = 10.
3. По мосту поезд проходит расстояние L + 400 за 30 с: (L + 400) / v = 30.
4. Вычтем из второго уравнения первое: 400 / v = 20, значит v = 20 м/с.
5. Тогда L = 20 * 10 = 200 м.
6. В км/ч: 20 * 3.6 = 72 км/ч.

<think>: Время мимо наблюдателя соответствует прохождению точки длиной поезда: L/v = 10. Время на мосту соответствует прохождению расстояния L + 400: (L+400)/v = 30. Разность времён 20 с — это время, за которое хвост поезда проходит длину моста 400 м, поэтому v = 400/20 = 20 м/с. Длина L = 20 * 10 = 200 м.


source: Вариант 1, Задача 4

input: Маня с дочерью и Таня с дочерью пошли в лес за грибами. Маня собрала грибов в 7 раз больше своей дочери, а Таня – в 5 раз больше своей дочери. Вместе все они собрали 41 гриб. Кто сколько собрал?

output:
Ответ: Маня собрала 35 грибов, Таня — 5 грибов, дочь Тани — 1 гриб.

Решение:
1. Если бы Маня и её дочь, а также Таня и её дочь были четырьмя разными людьми, то сумма грибов у Мани с дочерью была бы кратна 8, а сумма у Тани с дочерью была бы кратна 6. Общая сумма была бы чётной, но 41 нечётно. Значит, один из взрослых является дочерью другого.
2. Предположим, дочь Мани — Таня. Пусть дочь Тани собрала x грибов. Тогда Таня собрала 5x, а Маня собрала 7 * 5x = 35x.
3. Всего: 35x + 5x + x = 41x = 41, значит x = 1.
4. Получаем: дочь Тани — 1, Таня — 5, Маня — 35.
5. Другой вариант: дочь Тани — Маня. Тогда пусть дочь Мани собрала x; Маня собрала 7x, Таня — 5 * 7x = 35x, всего x + 7x + 35x = 43x, что не может дать 41 при целом x >= 1. Следовательно, единственный вариант — первый.

<think>: Если участники — четыре разных человека, то пара Мани даёт 8 частей, пара Тани даёт 6 частей, сумма чётная, противоречит 41. Значит, дочери и матери пересекаются. Проверяем два варианта: дочь Мани — Таня даёт сумму 41x и x=1; дочь Тани — Маня даёт сумму 43x, что не равно 41. Поэтому верен первый вариант.


source: Вариант 1, Задача 5

input:
Каждый из четырёх гномов: Кили, Дори, Нори и Ори, либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Между ними произошёл следующий разговор:
Кили сказал Дори: «Ты лжец!»;
Нори ответил Кили: «Сам ты лжец!»;
Ори ответил Нори: «Оба они лжецы! Да и ты тоже».
Является Дори лжецом или нет?

output:
Ответ: Дори говорит правду.

Решение:
1. Предположим, Ори говорит правду. Тогда Кили, Дори и Нори — лжецы. Но если Дори лжец, то слова Кили «Дори лжец» были бы правдой, значит Кили не может быть лжецом. Противоречие. Поэтому Ори лжёт.
2. Реплика Ори содержит отдельное утверждение «Нори тоже лжец». Так как Ори лжёт, это утверждение ложно; значит Нори говорит правду.
3. Нори говорит: «Кили лжец». Следовательно, Кили — лжец.
4. Кили сказал: «Дори лжец». Поскольку Кили лжёт, это утверждение ложно. Значит Дори не лжец, то есть Дори говорит правду.

<think>: Если бы Ори был правдив, то Кили, Дори и Нори были бы лжецами, но тогда утверждение Кили о Дори было бы истинным, что невозможно. Значит Ори лжёт. Его отдельное утверждение «Нори лжец» ложно, поэтому Нори правдив. Нори обвиняет Кили, значит Кили лжец. Ложное утверждение Кили «Дори лжец» означает, что Дори правдив.


source: Вариант 2, Задача 2

input: На доске записаны в ряд 26 чисел. Первое равно 5, двадцатое равно 4, последнее равно 3. Найдите пятнадцатое число, если сумма любых четырёх подряд идущих чисел равна 18?

output:
Ответ: 6.

Решение:
1. Для соседних четвёрок сумма одинакова, поэтому a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} = a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} + a_{i+4}. Отсюда a_i = a_{i+4}, то есть последовательность периодична с периодом 4.
2. Поэтому 1-е, 5-е, 9-е, 13-е, 17-е, 21-е и 25-е числа равны 5.
3. 26-е число стоит в том же классе, что и 2-е, 6-е, 10-е, 14-е, 18-е, 22-е; значит они равны 3.
4. 20-е число стоит в том же классе, что и 4-е, 8-е, 12-е, 16-е, 24-е; значит они равны 4.
5. Пятнадцатое число стоит в том же классе, что и 3-е, 7-е, 11-е, 19-е, 23-е; обозначим его x.
6. Сумма первой четвёрки: 5 + 3 + x + 4 = 18, значит x = 6.
Следовательно, пятнадцатое число равно 6.

<think>: Из равенства сумм соседних четвёрок следует период 4. Позиция 1 даёт значение 5 для классов 1 mod 4, позиция 26 даёт значение 3 для классов 2 mod 4, позиция 20 даёт значение 4 для классов 0 mod 4. Позиция 15 относится к классу 3 mod 4, неизвестному x. Из суммы 5 + 3 + x + 4 = 18 получаем x = 6.


source: Вариант 2, Задача 3

input: Мимо наблюдателя поезд проходит за 15 секунд, а по мосту длиной 600 м – за 45 секунд. Считается, что поезд идёт по мосту начиная с того момента, когда локомотив въезжает на мост, и заканчивая моментом, когда последний вагон покидает мост. Определите длину и скорость поезда.

output:
Ответ: длина поезда 300 м, скорость 20 м/с (72 км/ч).

Решение:
1. Пусть длина поезда L, скорость v.
2. Мимо наблюдателя поезд проходит расстояние L за 15 с: L / v = 15.
3. По мосту поезд проходит расстояние L + 600 за 45 с: (L + 600) / v = 45.
4. Вычтем из второго уравнения первое: 600 / v = 30, значит v = 20 м/с.
5. Тогда L = 20 * 15 = 300 м.
6. В км/ч: 20 * 3.6 = 72 км/ч.

<think>: Мимо наблюдателя поезд проходит собственную длину L за 15 с. По мосту он проходит L + 600 за 45 с. Разность времён 30 с соответствует прохождению длины моста 600 м, поэтому v = 600/30 = 20 м/с. Длина L = 20 * 15 = 300 м.


source: Вариант 2, Задача 4

input: Маня с дочерью и Таня с дочерью пошли в лес за грибами. Маня собрала в 5 раз больше своей дочери, а Таня – в 7 раз больше своей дочери. Вместе все они собрали 43 гриба. Кто сколько собрал?

output:
Ответ: Маня собрала 35 грибов, Таня — 7 грибов, дочь Тани — 1 гриб.

Решение:
1. Если бы Маня и её дочь, а также Таня и её дочь были четырьмя разными людьми, то сумма грибов у Мани с дочерью была бы кратна 6, а сумма у Тани с дочерью была бы кратна 8. Общая сумма была бы чётной, но 43 нечётно. Значит, один из взрослых является дочерью другого.
2. Предположим, дочь Мани — Таня. Пусть дочь Тани собрала x грибов. Тогда Таня собрала 7x, а Маня собрала 5 * 7x = 35x.
3. Всего: 35x + 7x + x = 43x = 43, значит x = 1.
4. Получаем: дочь Тани — 1, Таня — 7, Маня — 35.
5. Другой вариант: дочь Тани — Маня. Тогда пусть дочь Мани собрала x; Маня собрала 5x, Таня — 7 * 5x = 35x, всего x + 5x + 35x = 41x, что не может дать 43 при целом x >= 1. Следовательно, единственный вариант — первый.

<think>: Для четырёх разных людей суммы пар были бы 6 частей и 8 частей, то есть чётными, что не даёт 43. Поэтому один взрослый — дочь другого. Если дочь Мани — Таня, получаем 43x = 43 и x = 1. Если дочь Тани — Маня, получаем 41x, что не равно 43. Значит, верен первый вариант.


source: Вариант 2, Задача 5

input:
Каждый из четырёх гномов: Кили, Дори, Нори и Ори, либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Между ними произошёл следующий разговор:
Кили сказал Дори: «Ты лжец!»;
Нори ответил Кили: «Сам ты лжец!»;
Ори ответил Нори: «Оба они лжецы! Да и ты тоже»;
Является Кили лжецом или нет?

output:
Ответ: Кили — лжец.

Решение:
1. Предположим, Ори говорит правду. Тогда Кили, Дори и Нори — лжецы. Но если Дори лжец, то слова Кили «Дори лжец» были бы правдой, значит Кили не может быть лжецом. Противоречие. Поэтому Ори лжёт.
2. Реплика Ори содержит отдельное утверждение «Нори тоже лжец». Так как Ори лжёт, это утверждение ложно; значит Нори говорит правду.
3. Нори говорит: «Кили лжец». Следовательно, Кили — лжец.
4. Дополнительно, поскольку Кили лжёт, его слова «Дори лжец» ложны, значит Дори говорит правду.

<think>: Если Ори правдив, то Кили, Дори и Нори лжецы, но тогда слова Кили о Дори истинны, противоречие. Значит Ори лжёт. Его отдельное утверждение «Нори лжец» ложно, поэтому Нори правдив. Нори обвиняет Кили, следовательно Кили лжец.