[ { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) για τις οποίες ορίζεται η παράσταση:\n$$Α=\\ln{x}+\\ln{(x+6)}$$\nβ) Να λύσετε την εξίσωση:\n$$\\ln{x}+\\ln{(x+6)}=\\ln{7}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η παράσταση \\(Α\\) ορίζεται για τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) για τις οποίες ισχύει:\n$$\\cases{ x>0 \\\\ \\text{και} \\\\ x+6 > 0 }$$\n$$\\Rightarrow \\cases { x > 0 \\\\ \\text{και} \\\\ x > -6 }$$\n$$\\Rightarrow x > 0$$\nβ) Γνωρίζουμε ότι για \\(α>0\\), \\(α≠1\\) και \\(x_{1},x_{2}>0\\) ισχύει η ισοδυναμία:\n$$\\log_{α}{x_{1}}=\\log_{α}{x_{2}}$$\n$$\\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$$\nΟπότε για \\(x>0\\) έχουμε:\n$$\\ln{x}+\\ln{(x+6)}=\\ln{7}$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{[x⋅(x+6)]}=\\ln{7}$$\n$$\\Leftrightarrow x⋅(x+6)=7$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+6x-7=0$$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)⋅(x+7)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=1>0$$\nπου είναι δεκτή ή \\(x=-7\\) (απορρίπτεται).\nΤελικά η λύση της εξίσωσης είναι \\(x=1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία \\(θ\\) ώστε \\(ημθ=\\dfrac{1}{2}\\) και \\(συνθ=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Έστω \\(θ\\) μια γωνία με \\(θ∈(\\dfrac{3π}{2}, 2π)\\) για την οποία ισχύει \\(συνθ=\\dfrac{1}{2}\\). Να βρείτε το \\(ημθ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοια γωνία, τότε από την ταυτότητα \\(ημ^{2}θ+συν^{2}θ=1\\) θα έχουμε:\n$$(\\dfrac{1}{2})^{2}+(\\dfrac{1}{2})^{2}=1$$\nδηλαδή\n$$\\dfrac{1}{4}+\\dfrac{1}{4}=1$$\nπου αποκλείεται. Επομένως δεν υπάρχει τέτοια γωνία.\nβ) Είναι:\n$$ημ^{2}θ=1-συν^{2}θ$$\n$$=1-\\dfrac{1}{4}=\\dfrac{3}{4}$$\nκαι επειδή \\(θ∈(\\dfrac{3π}{2},2π)\\), έχουμε \\(ημθ<0\\), οπότε\n$$ημθ=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=2συν^{2}(π-x)-3ημ(\\dfrac{π}{2}+x)+α\\), με \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(f(x)=2συν^{2}x-3συνx+α\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \\(f\\) είναι άρτια ή περιττή.\nγ) Να βρείτε το \\(α\\) αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{π}{3},1\\right)\\).\nδ) Για \\(α=2\\) και \\(g(x)=2ημ^{2}x+9συνx-9\\), να εξετάσετε (αν υπάρχουν) κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$συν(π-x)=-συνx$$\nκαι:\n$$ημ(\\dfrac{π}{2}+x)=ημ(\\dfrac{π}{2}-(-x))$$\n$$=συν(-x)=συνx$$\nΆρα:\n$$f(x)=2συν^{2}(π-x)-3ημ(\\dfrac{π}{2}+x)+α$$\n$$=2συν^{2}x-3συνx+α$$\nβ) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \\(R\\).\nΆρα για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) και \\(-x\\in \\mathbb{R}\\).\nΈχουμε:\n$$f(-x)=2συν^{2}(-x)-3συν(-x)+α$$\n$$=2συν^{2}x-3συνx+α=f(x)$$\nΆρα η συνάρτηση \\(f\\) είναι άρτια.\nγ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{π}{3},1\\right)\\) αν και μόνον αν: $$f\\left(\\dfrac{π}{3}\\right)=1 $$\n$$\\Leftrightarrow 2συν^{2}\\dfrac{π}{3}-3συν\\dfrac{π}{3}+α=1 $$\n$$\\Leftrightarrow 2\\cdot \\dfrac{1}{4}-3\\cdot \\dfrac{1}{2}+α=1 $$\n$$\\Leftrightarrow α=2 $$\nδ) Με \\(a=2\\) έχουμε:\n$$f(x)=2συν^{2}x-3συνx+2$$\nΓια να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων των δύο γραφικών παραστάσεων λύνουμε την εξίσωση:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 2συν^{2}x-3συνx+2=2ημ^{2}x+9συνx-9=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2συν^{2}x-3συνx+2=2(1-συν^{2}x)+9συνx-9 $$\n$$\\Leftrightarrow 4συν^{2}x-12συνx+9=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (2συνx-3)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow συνx=\\dfrac{3}{2},\\ \\ \\text{αδύνατη}$$\nΑφού η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, δεν υπάρχουν σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=e^{\\ln{2}}+10^{2\\log{\\sqrt{5}}}$$\nΝα αποδείξετε ότι:\nα) \\(Α=7\\).\nβ) \\(0<\\log{Α}<1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$ Α=e^{\\ln{2}}+10^{2\\log{\\sqrt{5}}} $$\n$$ =e^{\\ln{2}}+10^{\\log{(\\sqrt{5})^{2}}} $$\n$$ =e^{\\ln{2}}+10^{\\log{5}} $$\n$$ =2+5=7 $$\nβ) Είναι:\n$$1 < 7 < 10 $$\n$$\\Leftrightarrow \\log{1} < \\log{7} < \\log{1}0 $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < \\log{Α} < 1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x∈ℝ\\) ορίζεται η εξίσωση:\n\\(\\log(x+1)=−\\log2−\\log(1−x)(1).\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(\\log(x+1)=\\log\\Big( \\dfrac{1}{2}\\Big)−\\log(1−x).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να ορίζεται η εξίσωση (1) πρέπει να είναι \\(x+1>0 \\text{ και } 1−x>0.\\)\nΙσοδύναμα πρέπει \\(x>−1\\) και \\(x \\lt1.\\)\nΟπότε η εξίσωση ορίζεται για \\(x∈(−1,1).\\)\nβ) Για \\(x∈(−1,1)\\) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα\n\\(\\log(x+1)=\\log \\Big( \\dfrac{1}{2} \\Big)−\\log(1−x)\\)\n\\(\\Leftrightarrow \\log(x+1)+\\log(1−x)=\\log(1)−\\log(2)\\)\n\\(\\Leftrightarrow \\log[(x+1)(1−x)]=\\log \\Big( \\dfrac{1}{2} \\Big)\\)\n\\(\\Leftrightarrow (x+1)(1−x)=\\dfrac{1}{2}\\)\n\\(\\Leftrightarrow 1−x^{2}=\\dfrac{1}{2}\\)\n\\(\\Leftrightarrow −x^{2}=\\dfrac{−1}{2}\\)\n\\(\\Leftrightarrow x^{2}=\\dfrac{1}{2}\\)\n\\(\\Leftrightarrow x=±\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}=±\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}∈(−1,1), \\text{ δεκτές και οι δύο λύσεις.}\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ότι \\(ημ18^{0}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{4}\\). Να βρείτε τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αιτιολογώντας την απάντησή σας.\nα) \\(συν72^{0}\\)\nβ) \\(συν108^{0}\\)\nγ) \\(ημ162^{0}\\)" }, { "from": "assistant", "value": "Αναγωγή στο \\(1^0\\) τεταρτημόριο:\nα) \\(συν72^{0}=συν(90^{0}-18^{0})=ημ18^{0}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{4}\\).\nβ) \\(συν108^{0}= συν(90^{0}+18^{0})=-ημ18^{0}=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{4}\\).\nγ) \\(ημ162^{0}= ημ(180^{0}-18^{0})=ημ18^{0}=\\dfrac{\\sqrt{5}-1}{4}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ότι \\(ημθ=\\dfrac{ημ\\dfrac{2π}{3}-συν\\dfrac{π}{3}}{συν^{2}\\dfrac{π}{4}}\\).\nα) Να δείξετε ότι:\n\\(ημ\\dfrac{2π}{3}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\\(ημθ=\\sqrt{3}-1\\)\nβ) Αν για την γωνία \\(θ\\) έχουμε \\(θ∈(0,\\dfrac{π}{2})\\), να βρείτε το \\(συνθ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΈχουμε\n$$ημ\\dfrac{2π}{3}=ημ(π-\\dfrac{π}{3})$$\n$$=ημ\\dfrac{π}{3}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$$\nΈχουμε\n$$ημθ=\\dfrac{ημ\\dfrac{2π}{3}-συν\\dfrac{π}{3}}{συν^{2}\\dfrac{π}{4}}$$\n$$\\overset{i}{=}\\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}-\\dfrac{1}{2}}{(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2})^{2}}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}-\\dfrac{1}{2}}{\\dfrac{1}{2}}=\\sqrt{3}-1$$\nβ) Έχουμε\n$$συνθ=±\\sqrt{1-ημ^{2}θ}$$\n$$=±\\sqrt{1-(\\sqrt{3}-1)^{2}}$$\n$$=±\\sqrt{2\\sqrt{3}-3}$$\n$$=\\sqrt{2\\sqrt{3}-3}$$\nδεδομένου ότι αν μια γωνία ανήκει στο \\(1ο\\) τεταρτημόριο το συνημίτονό της είναι θετικός αριθμός." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα πολυώνυμα:\n$$P(x)=-2x^3+4x^2+2(x^3-1)+9$$\nκαι\n$$Q(x)=αx^2+7,\\ α\\in \\Bbb{R}.$$\nα) Είναι το πολυώνυμο \\(P(x)\\) \\(3^\\text{ου}\\) βαθμού; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Να βρείτε την τιμή του \\(α\\), ώστε τα πολυώνυμα \\(P(x)\\) και \\(Q(x)\\) να είναι ίσα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align} P(x) & =-2x^3+4x^2+2(x^3-1)+9\\\\\nP(x) & =-2x^3+4x^2+2x^3-2+9 \\\\\nP(x) & =0x^3+4x^2+7 \\\\\nP(x) & =4x^2+7 \\end{align}\nΣυνεπώς το πολυώνυμο \\(P(x)\\) είναι \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού.\nβ) Για να είναι τα πολυώνυμα \\(P(x)\\) και \\(Q(x)\\) ίσα, πρέπει να είναι ίδιου βαθμού και να έχουν τους αντίστοιχους συντελεστές ίσους. Άρα, πρέπει \\(α=4.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\log x\\), \\(x>0\\).\nα) Να υπολογίσετε τους αριθμούς \\(f(100)\\), \\(f(\\sqrt{10})\\)\nβ) Για \\(x>1\\), να επιλύσετε την εξίσωση \\(f(x+1)+f(x-1)=\\log10-\\log5\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) \\(f(100)=\\log100=2\\), διότι η βάση του λογαρίθμου είναι το 10, άρα από τον ορισμό έχουμε \\(10^{2}=100\\).\n\\(f(\\sqrt{10})=\\log(\\sqrt{10})=\\log(10^{\\frac{1}{2}})=\\dfrac{1}{2}\\)\nβ) Η εξίσωση γράφεται:\n$$\\log(x+1)+\\log(x-1)=\\log10-\\log5$$\n$$\\Leftrightarrow \\log[(x+1)(x - 1)]=\\log(\\dfrac{10}{5})$$\n$$\\Leftrightarrow \\log(x^{2}-1^{2})=\\log2$$\nΣυνεπώς: \\(x^{2}-1=2 \\Leftrightarrow x^{2}=3\\)\nΑλλά \\(x>1\\), οπότε \\(x=\\sqrt{3}\\). (H λύση \\(x=-\\sqrt{3}\\) απορρίπτεται)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^3+x^2-3x+1\\)\nα) Να αποδείξετε ότι το \\(1\\) και το \\(-1\\) δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου.\nβ) Να κάνετε τη διαίρεση του \\(P(x): (x^2+x-1)\\) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι: \\(P(-1)=2\\cdot (-1)^3+(-1)^2-3(-1)+1=3\\neq0\\)\nκαι \\(P(1)=2\\cdot 1^3+1^2-3\\cdot 1 +1=1\\neq 0\\)\nΆρα το \\(1\\) και το \\(-1\\) δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου.\nβ) Είναι:\nΆρα το πηλίκο της διαίρεσης των δύο πολυωνύμων είναι το \\(π(x)=2x-1\\) και το υπόλοιπο είναι \\(0\\).\nΕπομένως ισχύει: \\(P(x)=(x^2+x-1)\\cdot (2x-1)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το γραμμικό σύστημα:\n\\begin{cases} 3x+2y=8 \\\\\n2x-y=3\\end{cases}\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί το ζεύγος \\((0,\\ 4)\\) δεν αποτελεί λύση του παραπάνω συστήματος.\nβ) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα.\nγ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών \\((ε_1): 3x+2y=8\\) και \\((ε_2): 2x-y=3.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το ζεύγος \\((0,\\ 4)\\) επαληθεύει μόνο την εξίσωση \\(3x+2y=8\\) και όχι την εξίσωση \\(2x - y = 3\\), οπότε δεν αποτελεί λύση του συστήματος.\nβ) Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος έχουμε:\n$$2x - y = 3$$\n$$\\Leftrightarrow -y=-2x+3$$\n$$\\Leftrightarrow y = -2x +3$$\n$$\\Leftrightarrow y = 2x - 3$$\nκαι με αντικατάσταση στην εξίσωση \\(3x+ 2y = 8\\) έχουμε:\n$$3x + 2(2x -3) = 8$$\n$$3x +4x-6 = 8$$\n$$7x = 14$$\n$$x = 2.$$\nΓια \\(x=2\\) στην εξίσωση \\(2x-y=3\\) έχουμε \\(y = 1.\\)\nΣυνεπώς η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \\((2, 1).\\)\nγ) οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών \\((ε_1),\\ (ε_2)\\) είναι η λύση του συστήματος:\n\\begin{cases} 3x+2y=8 \\\\\n2x-y=3\\end{cases}\nδηλαδή το ζεύγος \\((2, 1).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) ισχύει \\(συνΑ = -\\dfrac{3}{5}.\\)\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. \nβ) Να βρείτε το \\(ημΑ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο αριθμός \\(Α\\) περιέχεται στο διάστημα \\((0,\\ π)\\) και επειδή ισχύει \\(συνΑ\\lt 0\\) έχουμε \\(\\dfrac{π}{2} \\lt A \\lt π.\\)\nΆρα, το τρίγωνο έχει τη γωνία \\(Α\\) αμβλεία, οπότε είναι αμβλυγώνιο.\nβ) Από τη βασική ταυτότητα \\(ημ^2Α +συν^2Α=1\\) με \\(συνΑ=-\\dfrac{3}{5}\\), παίρνουμε:\n$$ημ^2Α+\\dfrac{9}{25}=1$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2Α=1-\\dfrac{9}{25}$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2Α=\\dfrac{16}{25}$$\nΕπιπλέον, αφού \\(\\dfrac{π}{2} \\lt A \\lt π\\), έχουμε \\(ημΑ>0\\), οπότε:\n$$ημΑ=\\dfrac{4}{5}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται γωνία \\(ω\\), με \\(π<ω<\\dfrac{3π}{2}\\), για την οποία ισχύει \\(συνω=-\\dfrac{4}{5}\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(ημω=-\\dfrac{3}{5}\\).\nβ) Να υπολογίστε την τιμή της παράστασης \\(Α=\\dfrac{ημω+συνω}{1+εφω}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Από την τριγωνομετρική ταυτότητα \\(ημ^2ω+συν^2ω=1\\) έχουμε ισοδύναμα:\n$$ημ^2ω+συν^2ω=1$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2ω+(-\\dfrac{4}{5})^2=1$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2ω= 1-\\dfrac{16}{25}$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2ω=\\dfrac{9}{25}$$\n$$\\Leftrightarrow ημ^2ω=\\pm{\\dfrac{3}{5}}$$\nΕπειδή \\(π<ω<\\dfrac{3π}{2}\\), \\(ημω=0\\), οπότε: \\(ημω=-\\dfrac{3}{5}\\).\nβ) Έχουμε \\(συνω=-\\dfrac{4}{5}\\) και \\(ημω=-\\dfrac{3}{5}\\), οπότε \\(εφω=\\dfrac{-\\dfrac{3}{5}}{-\\dfrac{7}{4}}=\\dfrac{3}{4}\\).\nΣυνεπώς η τιμή της παράστασης \\(Α\\) είναι:\n$$Α=\\dfrac{ημω+συνω}{1+εφω}$$\n$$=\\dfrac{-\\dfrac{3}{5}-\\dfrac{4}{5}}{1+\\dfrac{3}{4}}$$\n$$=\\dfrac{-\\dfrac{7}{5}}{\\dfrac{7}{4}}=-\\dfrac{4}{5}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=\\ln{2}\\) και \\(β=\\ln{3}\\).\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί \\(0<α<β\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(β-α<1\\).\nΔίνεται \\(e≃2.71\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$1<2<3$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{1}<\\ln{2}<\\ln{3}$$\n$$\\Leftrightarrow 0<α<β$$\nβ) Είναι\n$$β-α=\\ln{3}-\\ln{2}$$\n$$=\\ln{\\dfrac{3}{2}}<\\ln{e}=1$$\nοπότε πράγματι \\(β-α<1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=3συν2x,\\ x\\in \\Bbb{R}.\\)\nα)\nΝα βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \\(f.\\)\nΝα βρείτε την περίοδο της συνάρτησης \\(f.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=−3\\) στο \\(\\Bbb{R}.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΗ συνάρτηση είναι της μορφής \\(f(x)=ρσυνωx,\\ ρ>0\\) με \\(ρ=3\\) και \\(ω=2\\), οπότε η μέγιστη τιμή της \\(f\\) είναι ίση με \\(3\\) και η ελάχιστη τιμή της \\(f\\) είναι ίση με \\(-3.\\)\nΗ περίοδος της \\(f\\) είναι \\(Τ=\\dfrac{2π}{ω}=π.\\)\nβ) \\(f(x)=−3\\) αν και μόνο αν\n$$3συν2x=-3$$\n$$\\Leftrightarrow συν2x=−1$$\n$$\\Leftrightarrow 2x=2κπ\\pm π$$\n$$\\Leftrightarrow x=κπ\\pm \\dfrac{π}{2},\\ κ\\in \\Bbb{Z}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\), με \\(𝜅\\in \\Bbb{R}.\\)\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(𝜅\\in \\Bbb{R}\\) για την οποία \\(𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)\\), για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}.\\)\nβ) Για \\(𝜅=0\\),\nνα δείξετε ότι η συνάρτηση \\(𝑓\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \\((−∞,0],\\)\nνα δείξετε ότι \\(𝑓(𝑥)≥−1\\) για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}\\)\nνα βρείτε τα \\(x\\in \\Bbb{R}\\) για τα οποία η γραφική παράσταση της \\(𝑓\\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓\\) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \\(\\Bbb{R}.\\) Για τη συνάρτηση \\(𝑓\\) έχουμε:\n$$\\begin{align} & 𝑓(−𝑥)= 𝑓(𝑥) \\\\\n\\Leftrightarrow & (−𝑥)^4+𝜅(−𝑥)−1=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^4−𝜅𝑥−1=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\\\\n\\Leftrightarrow & 2𝜅𝑥=0, \\text{ για κάθε } 𝑥\\in \\Bbb{R}.\\end{align}$$\nΆρα, το \\(2𝜅𝑥\\) είναι το μηδενικό πολυώνυμο, οπότε \\(2𝜅=0\\) και ισοδύναμα \\(𝜅=0.\\)\nβ) Για \\(𝜅=0\\), η συνάρτηση \\(𝑓\\) είναι: \\(𝑓(𝑥)=𝑥^4−1.\\)\nΜε \\(𝑥_1<𝑥_2≤0\\) ισοδύναμα είναι:\n$$𝑥_1^4>𝑥_2^4$$\n$$𝑥_1^4−1>𝑥_2^4−1$$\nΆρα: \\(𝑓(𝑥_1)> 𝑓(𝑥_2).\\)\nΕπομένως, η συνάρτηση \\(𝑓\\) είναι γνησίως φθίνουσα για \\(𝑥∈(−∞,0].\\)\nΈχουμε:\n$$𝑓(𝑥)≥−1\\Leftrightarrow 𝑥^4−1≥−1\\Leftrightarrow 𝑥^4≥0$$\nπου ισχύει για κάθε \\(𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nΓια να βρούμε τα \\(𝑥\\in \\Bbb{R}\\) για τα οποία η γραφική παράσταση της \\(𝑓\\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\), λύνουμε την ανίσωση:\n$$\\begin{align} & 𝑓(𝑥)\\lt 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^4−1\\lt 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & (𝑥^2−1)\\cdot (𝑥^2+1)\\lt 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^2−1\\lt 0 \\\\\n\\overset{x^2+1>0}{\\Longleftrightarrow} & (𝑥−1)\\cdot (𝑥+1)\\lt 0.\\end{align}$$\nΆρα \\(𝑥\\in (−1,1).\\)\nΕπομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓\\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\) για \\(𝑥\\in (−1,1).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(log(x^2+1)=1+log3-log6.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γράφεται \\(log(x^2+1)=log5.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση." }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων έχουμε:\n\\begin{align} 1+log3-log6 & =log10+log3-log6 \\\\\n& =log\\Big(\\dfrac{10\\cdot 3}{6}\\Big)\\\\\n&=log5\\end{align}\nOπότε η εξίσωση γράφεται: \\(log(x^2+1)=log5.\\)\nβ) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}\\), αφού \\(x^2+1>0.\\)\nΈτσι με \\(x\\in \\Bbb{R}\\) και με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) η εξίσωση γράφεται:\n$$log(x^2+1)=log5$$\n$$\\Leftrightarrow x^2+1=5$$\n$$\\Leftrightarrow x^2=4$$\n$$\\Leftrightarrow x=2 \\text{ ή } x=-2$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \\(\\ln{(x+1)}=\\ln{(2x)}\\).\nβ)Να λύσετε την ανίσωση: \\(\\ln{(x+1)}>\\ln{(2x)}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)Γνωρίζουμε ότι για \\(α>0\\), \\(α≠1\\) και \\(x_{1},x_{2}>0\\) ισχύει η ισοδυναμία:\n$$\\log_{α}{x_{1}}=\\log_{α}{x_{2}}$$\n$$\\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$$\nΕπίσης η εξίσωση ορίζεται για:\n$$\\cases{x+1 > 0 \\\\ \\text{και} \\\\ 2x > 0}$$\n$$\\Rightarrow \\cases{x > -1 \\\\ \\text{και} \\\\ x>0}$$\n$$\\Rightarrow x > 0$$\nΟπότε έχουμε:\n$$\\ln{(x+1)}=\\ln{(2x)}$$\n$$\\Leftrightarrow x+1=2x$$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nπου είναι δεκτή γιατί \\(x>0\\).\nβ) Η ανίσωση ορίζεται επίσης για \\(x>0\\). Οπότε έχουμε:\n$$\\ln{(x+1)}>\\ln{(2x)}$$\n$$\\Leftrightarrow x+1>2x$$\n$$\\Leftrightarrow x<1$$\nΕπειδή \\(x>0\\), η ανίσωση αληθεύει για \\(00 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x>1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x>e^0 \\\\\n\\Leftrightarrow & x>0 \\end{align}$$\nΣυνεπώς, το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\((0,+\\infty).\\)\nβ) Είναι\n$$\\begin{align} & f(x)=0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\ln(e^x-1)=\\ln1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x-1=1\\\\\n\\Leftrightarrow & e^x=2\\\\\n\\Leftrightarrow & x=\\ln2 \\end{align}$$\nΗ λύση \\(\\ln2\\) είναι δεκτή, αφού \\(\\ln2>\\ln1\\Leftrightarrow \\ln2>0.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε έναν κύκλο ακτίνας \\(ρ\\) θεωρούμε ένα τόξο \\(AB\\) με μήκος ίσο με \\(2ρ\\).\nα) Να βρείτε πόσα ακτίνια είναι η αντίστοιχη στο τόξο \\(ΑΒ\\), επίκεντρη γωνία \\(ω\\).\nβ) Αν \\(ω=2\\) ακτίνια, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία \\(ω\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ένα ακτίνιο είναι το τόξο ενός κύκλου ακτίνας \\(ρ\\) που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου \\(ρ\\). Εφόσον το μήκος του τόξου \\(ΑΒ\\) είναι ίσο με δύο ακτίνες του κύκλου η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία θα είναι ίση με \\(2\\) ακτίνια.\nβ) Είναι γνωστό ότι \\(2π\\) ακτίνια είναι η γωνία η οποία είναι ίση με \\(360\\) μοίρες, άρα η γωνία \\(ω\\) που είναι \\(2\\) ακτίνια θα αντιστοιχεί σε \\(\\dfrac{360}{π}\\) μοίρες." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}+1}{x}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.\nβ) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το \\(Ο(0,0)\\).\nγ) Να υπολογίσετε την παράσταση \\(f(\\ln{2})+f(\\ln{\\dfrac{1}{2}})\\).\nδ) Να αποδείξετε ότι \\(f(ημθ)+f(ημ(π+θ))=0\\), για κάθε \\(θ∈R\\) με \\(ημθ≠0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για κάθε πραγματική τιμή του \\(x\\) για την οποία ισχύει \\(x≠0\\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α=(-∞,0)∪(0,+∞)\\).\nβ) Για κάθε \\(x∈Α\\) και \\(-x∈Α\\). Επίσης,\n$$\\begin{align} f(-x) &=\\dfrac{(-x)^{2}+1}{-x}\\\\\n\\\\&=-\\dfrac{x^{2}+1}{x}\\\\\n\\\\&=-f(x)\\end{align}$$\nγια κάθε \\(x∈Α\\), που σημαίνει ότι η συνάρτηση \\(f\\) είναι περιττή, δηλαδή η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το \\(Ο(0,0)\\).\nγ) Είναι\n$$\\ln{\\dfrac{1}{2}}=\\ln{1}-\\ln{2}=-\\ln{2}$$\nκαι αφού \\(f\\) περιττή είναι\n$$f(\\ln{\\dfrac{1}{2}})=f(-\\ln{2})=-f(\\ln{2})$$\nδηλαδή\n$$f(\\ln{2})+f(\\ln{\\dfrac{1}{2}})=0$$\nδ) Για κάθε \\(θ∈R\\) είναι \\(ημ(π+θ)=-ημθ\\) και αφού \\(f\\) περιττή είναι\n$$f(ημ(π+θ))=f(-ημθ)=-f(ημθ)$$\nδηλαδή\n$$f(ημθ)+f(ημ(π+θ))=0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=ημ\\left(\\dfrac{π}{2}-x\\right)+ημ(π+x),x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(f(x)=συνx-ημx\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(-2\\le f(x)\\le 2\\). Κατόπιν να εξετάσετε αν ο αριθμός \\(2\\) είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.\nγ) Να βρείτε:\nΤο σημείο τομής της γραφικής παράστασης \\(C_{f}\\) της f με τον άξονα \\(y'y\\).\nΔυο σημεία τομής της \\(C_{f}\\) με τον \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή \\(ημ\\left(\\dfrac{π}{2}-x\\right)=συνx\\) και \\(ημ(π+x)=-ημx\\), έχουμε: \\(f(x)=συνx-ημx\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\), έχουμε:\n$$-1\\le συνx\\le 1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$-1\\le ημx\\le 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1\\le -ημx\\le 1\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΜε πρόσθεση των \\((1)\\) και \\((2)\\) προκύπτει ότι:\n$$-2\\le συνx-ημx\\le 2$$\nδηλαδή:\n$$-2\\le f(x)\\le 2$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nΑν υποθέσουμε ότι ο αριθμός \\(2\\) είναι η μέγιστη τιμή της \\(f\\), τότε για κάποιο \\(x_{o}\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει \\(συνx_{o}=1\\) και \\(ημx_{o}=-1\\), οπότε\n$$ημ^{2}x_{o}+συν^{2}x_{o}=1+1=2$$\nπου είναι άτοπο. Άρα ο αριθμός \\(2\\) δεν είναι η μέγιστη τιμή της \\(f\\).\nγ)\nΜε \\(x=0\\) έχουμε:\n$$f(0)=συν0-ημ0$$\n$$=1-0=1$$\nοπότε η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\((0,1)\\).\nΜε \\(y=0\\) δηλαδή \\(f(x)=0\\) έχουμε:\n$$συνx-ημx=0 $$\n$$\\Leftrightarrow συνx=ημx$$\nΜια προφανής λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός \\(\\dfrac{π}{4}\\) και επειδή:\n$$συν\\left(π+\\dfrac{π}{4}\\right)=-συν\\dfrac{π}{4}$$\n$$=-ημ\\dfrac{π}{4}$$\n$$=ημ\\left(π+\\dfrac{π}{4}\\right)$$\nμια άλλη λύση της είναι ο αριθμός:\n$$π+\\dfrac{π}{4}=\\dfrac{5π}{4}$$\nΆρα δυο κοινά σημεία της \\(C_{f}\\) με τον \\(x'x\\) είναι τα \\(\\left(\\dfrac{π}{4},0\\right)\\) και \\(\\left(\\dfrac{5π}{4},0\\right)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=2\\log{5}+2\\log{2}$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(Α=2\\).\nβ) Να βρεθεί η τιμή του \\(λ\\) για την οποία ισχύει ότι: \\(e^{λ}=Α\\).\nγ) Για την τιμή του \\(λ\\) που βρήκατε στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι: \\(\\ln{λ}<0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$Α=2\\log{5}+2\\log{2}$$\n$$=\\log{5^{2}}+\\log{2^{2}}$$\n$$=\\log{2}5+\\log{4}$$\n$$=\\log{(}25\\cdot 4)$$\n$$=\\log{1}00=2$$\nβ) Είναι:\n$$e^{λ}=Α $$\n$$\\Leftrightarrow e^{λ}=2 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=\\ln{2}$$\nγ) Είναι:\n$$ 2 < e $$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{2}<\\ln{e} $$\n$$\\Leftrightarrow λ<1 $$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{λ}<\\ln{1} $$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{λ}<0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=ln2,\\ β=ln4,\\ γ=ln8.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(2β=α+γ.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(β+γ=5α.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align} α+γ & =ln2+ln8 \\\\\n& = ln(2\\cdot 8) \\\\\n& = ln16 \\\\\n& = ln4^2 \\\\\n& = 2\\ ln4 \\\\\n& = 2 β \\end{align}\nβ) Είναι:\n\\begin{align} β+γ & =ln4+ln8 \\\\\n& = ln(4\\cdot 8) \\\\\n& = ln32 \\\\\n& = ln2^5 \\\\\n& = 5\\ ln2 \\\\\n& = 5α \\end{align}\nΣημείωση: Οι αριθμοί \\(2,\\ 4,\\ 8\\) είναι με αυτή τη σειρά διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αφού \\(4^2=2\\cdot 8\\), ενώ οι αριθμοί \\(α=ln2,\\ β=ln4,\\ γ=ln8\\) είναι με αυτή τη σειρά διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αφού όπως δείξαμε \\(2β=α+γ.\\)\nΓενικά αν \\(α,\\ β,\\ γ\\) είναι με αυτή τη σειρά θετικοί διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε οι αριθμοί \\(lnα,\\ lnβ,\\ lnγ\\) είναι με αυτή τη σειρά διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να γράψετε το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^3+x^2−x\\) ως γινόμενο ενός πρωτοβάθμιου και ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου.\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(P(x)=0.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Στο πολυώνυμο μπορούμε να εξάγουμε κοινό παράγοντα το \\(x\\) και έχουμε:\n$$P(x)=2x^3+x^2−x=x\\cdot (2x^2+x−1)$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ) Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:\n$$P(x)=2x^3+x^2−x=0$$\n$$\\Leftrightarrow x\\cdot (2x^2+x−1)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x\\cdot (2x−1) \\cdot (x+1)=0$$\n$$x=0 \\text{ ή } x=\\dfrac{1}{2} \\text{ ή } x=−1.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Η διαίρεση ενός πολυωνύμου \\(P(x)\\) με το \\(x-3\\) έχει πηλίκο \\(x^2+2\\) και υπόλοιπο \\(4.\\)\nα) Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης.\nβ) Να δείξετε ότι \\(P(x)=x^3-3x^2+2x-2.\\)\nγ) Είναι το \\(x=3\\) ρίζα του πολυωνύμου \\(P(x)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης είναι:\n$$P(x)=(x-3)(x^2+2)+4$$\nβ) Έχουμε\n$$P(x)=(x-3)(x^2+2)+4$$\n$$\\Leftrightarrow P(x)=x^3+2x-3x^2-6+4$$\nΤελικά \\(P(x)=x^3-3x^2+2x-2.\\)\nγ) Ο αριθμός \\(x=3\\) είναι ρίζα του πολυωνύμου \\(P(x)\\), αν η διαίρεσή του με το \\(x-3\\) έχει υπόλοιπο \\(0\\), που δεν συμβαίνει εδώ, αφού \\(P(3)=4\\), άρα το \\(x=3\\) δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=2x^{3}-8x^{2}+7x-1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nβ) Έστω \\(Q(x)\\) πολυώνυμο το οποίο δεν έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\ni.Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο \\(R_{1}(x)=P(x)+Q(x)\\) δεν έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nii.Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο \\(R_{2}(x)=P(x)⋅Q(x)\\) έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$P(1)=2⋅1^{3}-8⋅1^{2}+7⋅1-1$$\n$$=2-8+7-1=9-9=0$$\nοπότε το πολυώνυμο έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nβ) Ισχύει: \\(Q(1)≠0\\), οπότε:\ni.Για το πολυώνυμο \\(R_{1}(x)\\) έχουμε:\n$$R_{1}(1)=P(1)+Q(1)$$\n$$=0+Q(1)≠0$$\nΆρα το πολυώνυμο \\(R_{1}(x)\\) δεν έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\).\nii.Για το πολυώνυμο \\(R_{2}(x)\\) έχουμε:\n$$R_{2}(1)=P(1)⋅Q(1)$$\n$$=0⋅Q(1)=0$$\nΆρα το πολυώνυμο \\(R_{2}(x)\\) έχει ρίζα τον αριθμό \\(1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=2ημx+1\\), \\(x∈\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \\(f\\).\nβ)Για ποια τιμή του \\(x∈[0,2π]\\) η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση της μορφής \\(g(x)=2ημx\\) έχει ελάχιστη τιμή \\(-2\\) και μέγιστη \\(2\\). Άρα, η συνάρτηση \\(f(x)=2ημx+1\\) έχει ελάχιστη τιμή \\(-2+1=-1\\) και μέγιστη \\(2+1=3\\).\nβ) Η τιμή του \\(x\\) για την οποία η συνάρτηση \\(f\\) παρουσιάζει μέγιστη τιμή είναι ηλύση της εξίσωσης:\n$$f(x)=3$$\n$$\\Leftrightarrow 2ημx+1=3$$\n$$\\Leftrightarrow 2ημx=2$$\n$$\\Leftrightarrow ημx=1$$\n$$\\Leftrightarrow ημx=ημ\\dfrac{π}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow x=\\dfrac{π}{2}\\ \\text{ή}\\ x=π-\\dfrac{π}{2}=\\dfrac{π}{2}$$\nΆρα, η συνάρτηση \\(f\\) παρουσιάζει μέγιστη τιμή για \\(x=\\dfrac{π}{2}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\log (10^𝑥 − 1)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το διάστημα \\((0,+∞)\\).\nβ) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι \\(𝑓(𝑥)+𝑥=\\log (10^{2𝑥} − 10^𝑥),\\ 𝑥>0\\).\nδ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μοναδικού κοινού σημείου της γραφικής παράστασης της \\(𝑓\\) και της ευθείας \\(𝑦= − 𝑥\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Καθώς υπάρχουν λογάριθμοι μόνο θετικών αριθμών, απαιτούμε\n$$\\begin{align} & 10^𝑥 − 1>0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^𝑥>1 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^𝑥>10^0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥>0\\end{align}$$\nαφού η συνάρτηση \\(𝑔(𝑥)=10^𝑥\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\(\\Bbb{R}\\).\nβ) Πρέπει\n$$\\begin{align} & 𝑓(𝑥)>0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\log(10^𝑥 − 1)>0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\log(10^𝑥 − 1)>\\log 1\\end{align}$$\nκαι καθώς η συνάρτηση \\(ℎ(𝑥)=\\log 𝑥\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\((0,+∞)\\) παίρνουμε:\n$$\\begin{align}& 10^𝑥 − 1>1 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^𝑥>2 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^𝑥>10 \\log 2\\\\\n\\Leftrightarrow & x> \\log 2\\end{align}$$\nΕπομένως \\(𝑥> \\log 2\\), δηλαδή \\(𝑥 \\in (\\log 2,+∞).\\)\nγ) Έχουμε:\n$$\\begin{align} 𝑓(𝑥)+𝑥 & =\\log (10^𝑥−1)+\\log 10^𝑥\\\\\n\\Leftrightarrow & =\\log [10^𝑥(10^𝑥−1)]\\\\\n\\Leftrightarrow & = \\log (10^𝑥\\cdot 10^𝑥 − 10^𝑥)\\\\\n\\Leftrightarrow & = \\log (10^{2𝑥} − 10^𝑥).\\end{align}$$\nδ) Πρέπει να λύσουμε την εξίσωση:\n$$\\begin{align} 𝑓(𝑥)= − 𝑥\\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑓(𝑥)+𝑥= 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\log(10^{2𝑥} − 10^𝑥)=0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 10^{2𝑥} − 10^𝑥=1 \\\\\n\\Leftrightarrow & (10^𝑥)^2 − 10^𝑥 − 1=0.\\end{align}$$\nΘέτοντας \\(10^𝑥=𝑦>0\\), παίρνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση \\(𝑦^2 – 𝑦 – 1=0\\) με διακρίνουσα \\(𝛥=(−1)^2− 4\\cdot 1\\cdot (−1)=5\\), οπότε\n$$\\begin{cases} 𝑦_1=\\dfrac{−(−1)+\\sqrt{5}}{2} =\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2} \\\\\n𝑦_2=\\dfrac{−(−1)-\\sqrt{5}}{2}=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}\\end{cases}$$\nΈτσι \\(𝑦=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}\\), αφού \\(𝑦>0\\).\nΤελικά\n$$10^𝑥=\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}\\Leftrightarrow 𝑥=\\log \\left(\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}\\right).$$\nΆρα το ζητούμενο σημείο είναι το\n$$\\left( \\log \\left(\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}\\right), -\\log \\left(\\dfrac{\\sqrt{5}+1}{2}\\right) \\right)$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ο Κώστας καταθέτει σε μια τράπεζα \\(15\\) χαρτονομίσματα των \\(20\\) € και \\(50\\) €. Συμβολίζουμε με \\(x\\) και \\(y\\) το πλήθος των χαρτονομισμάτων των \\(20\\) € και \\(50\\) € αντίστοιχα.\nα)\ni.Δίνονται οι εξισώσεις:\n\\(y=15 - x\\)\n\\(y-x=15\\)\nΝα επιλέξετε ποια από τις δύο παραπάνω εξισώσεις περιγράφει την σχέση των \\(x\\) και \\(y\\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nii.Η συνολική αξία των χρημάτων είναι \\(480\\) €.\nΔίνονται, ακόμα, οι εξισώσεις:\n\\(50y-20x = 480\\)\n\\(20x+50y = 480\\)\nΝα επιλέξετε ποια από τις δύο παραπάνω εξισώσεις περιγράφει την συνολική αξία των χρημάτων σε σχέση με τα \\(x\\) και \\(y\\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Επιλύοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων που επιλέξατε στα ερωτήματα αi) και αii) να βρείτε πόσα χαρτονομίσματα των \\(20\\) € και \\(50\\) € κατάθεσε ο Κώστας." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni.Όλα τα χαρτονομίσματα είναι \\(15\\), οπότε το άθροισμα των \\(x\\) και \\(y\\) είναι \\(15\\), δηλαδή σωστή είναι η εξίσωση 1: \\(y=15-x\\Leftrightarrow y+x=15\\).\nii.Τα \\(x\\) χαρτονομίσματα των \\(20\\) € έχουν αξία \\(20x\\) €. Αντίστοιχα τα \\(y\\) χαρτονομίσματα των \\(50\\) € έχουν αξία \\(50y\\) €. Η συνολική αξία είναι \\(480\\) €, οπότε σωστή είναι η εξίσωση 4: \\(20x+50y=480\\).\nβ) Επιλύουμε το σύστημα:\n$$\\begin{cases} y=15 - x \\\\ 20x+50y=480\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=15 - x \\\\ 20x+50 (15-x) =480 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=15 - x \\\\ - 30x=480 - 750 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=15 - x \\\\ x=9 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=6 \\\\ x=9 \\end{cases}$$\nΣύμφωνα με την εκφώνηση \\(x=9\\) είναι τα χαρτονομίσματα των \\(20\\) € και \\(y=6\\) τα χαρτονομίσματα των \\(50\\) €." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\ln⁡(𝑥^2−2𝑥+3)\\), με \\(𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nα) Να βρείτε το \\(𝑓(3).\\)\nβ) Να δείξετε ότι \\(\\ln 3+3\\ln2−𝑓(3)=\\ln 4.\\)\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(𝑓(𝑥)=\\ln4.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(𝑓(3)=\\ln(3^2−2⋅3+3)=\\ln6.\\)\nβ) Είναι\n$$\\begin{align}\\ln3+3\\ln2−𝑓(3) & =\\ln3+\\ln2^3−\\ln6 \\\\\n& =\\ln\\dfrac{24}{6} \\\\\n& =\\ln4. \\end{align}$$\nγ) Με \\(𝑥\\in \\Bbb{R}\\), είναι:\n$$\\begin{align} & 𝑓(𝑥)=\\ln4 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\ln(𝑥^2−2𝑥+3)=\\ln4 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^2−2𝑥+3=4 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥^2−2𝑥−1=0.\\end{align}$$\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου \\(𝑥^2−2𝑥−1\\) είναι: \\(𝛥=4+4=8=4\\cdot 2\\) και οι ρίζες:\n$$ 𝑥_{1,2}=\\dfrac{2±2\\sqrt{2}}{2}=\\dfrac{2(1±\\sqrt{2})}{2}=1±\\sqrt{2}.$$\nΆρα: \\(𝑥_1=1+\\sqrt{2}\\) και \\(𝑥_2=1−\\sqrt{2}.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες: \\(ε_{1}:\\ 2x+y=6\\) και \\(ε_{2}:\\ x-2y=-2\\).\nα) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο \\(M\\).\nβ) Να δείξετε ότι η ευθεία \\(ε_{3}:\\ 3x+y=8\\) διέρχεται από το \\(M\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά το κοινό σημείο \\(Μ\\) των ευθειών \\(ε_{1}:\\ 2x+y=6\\) και \\(ε_{2}:\\ x-2y=-2\\), θα λύσουμε το σύστημα (επιλέγουμε τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών):\n$$\\begin{cases} 2x+y=6 \\\\ x-2y=-2 \\end{cases} $$\n$$\\overset{(\\cdot 2)}{\\Leftrightarrow} \\begin{cases} 4x+2y=12 \\\\ x-2y=-2 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(+)}{\\Leftrightarrow} \\begin{cases} 5x=10 \\\\ x-2y=-2 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=2 \\\\ 2-2y=-2 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=2 \\\\ -2y=-4 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=2 \\\\ y=2 \\end{cases}$$\nΆρα το ζητούμενο σημείο είναι το \\(Μ(2,2)\\).\nβ) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου \\(Μ\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \\(ε_{3}:\\ 3x+y=8\\), αφού \\(3 \\cdot 2+2=8\\). Άρα η ευθεία \\((ε_{3})\\) διέρχεται από το \\(Μ(2,2)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\log_4 3+\\log_4α-\\log_4β\\), όπου \\(α, β\\) θετικοί αριθμοί.\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Α=\\log_4 \\dfrac{3α}{β}\\)\nβ) Αν για τους αριθμούς \\(α, β\\) ισχύει \\(3α=16β\\), να βρείτε την τιμή της παράστασης \\(Α.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων, έχουμε:\n$$\\begin{align} A & = \\log_4 3+\\log_4 α + \\log_4 β \\\\\n&= \\log_4(3α)-\\log_4 β\\\\\n& = \\log_4 \\dfrac{3α}{β}\\end{align}$$\nβ) Η παράσταση \\(Α\\) με \\(3α=16β\\), γράφεται:\n$$\\begin{align} A & = \\log_4 \\dfrac{16β}{β} \\\\\n&= \\log_4 16\\\\\n& = \\log_4 4^2\\\\\n& = 2 \\log_4 4 \\\\\n& = 2 \\end{align}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{2}-4x+5\\), \\(x∈\\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι η \\(f\\) γράφεται στη μορφή \\(f(x)=(x-2)^2+1\\).\nβ) Να αναφέρετε με ποιες μετατοπίσεις της \\(y(x)=x^{2}\\) προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\), την οποία και να χαράξετε στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί." }, { "from": "assistant", "value": "α)Ο τύπος της συνάρτησης \\(f\\) διαδοχικά γράφεται:\n$$\\begin{align} f(x) &=x^{2}-4x+5 \\\\\n&=x^{2}-4x+4+1 \\\\\n&=x^{2}-2\\cdot 2\\cdot x+2^{2}+1 \\\\\n&=(x-2)^{2}+1 \\end{align}$$\nβ)Παρατηρούμε ότι \\(f(x)=y(x-2)+1\\). Άρα, ηγραφική παράσταση της \\(f\\) προκύπτει από μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \\(y(x)=x^{2}\\) κατά δύο μονάδες δεξιά και μία μονάδα προς τα πάνω." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=\\ln{(}x^{2}+4)\\) και \\(g(x)=\\ln{x}+\\ln{4}\\).\nα) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=g(x)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει \\(x^{2}+4>0\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x\\), οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) είναι το \\(Α_{f}=R\\). Η συνάρτηση \\(g\\) ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει \\(x>0\\). Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(g\\) είναι το \\(Α_{g}=(0,+∞)\\).\nβ) Γνωρίζουμε ότι για \\(α>0\\), \\(α≠1\\) και \\(x_{1}\\), \\(x_{2}>0\\) ισχύει η ισοδυναμία:\n$$\\log_{α}{x_{1}}=\\log_{α}{x_{2}}$$\n$$\\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$$\nΟπότε έχουμε:\n$$f(x)=g(x)$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{(}x^{2}+4)=\\ln{x}+\\ln{4}$$\n$$\\Leftrightarrow \\ln{(}x^{2}+4)=\\ln{(4x)}$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+4=4x$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-4x+4=0$$\n$$\\Leftrightarrow (x-2)^{2}=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=2>0\\text{,}\\ \\ \\text{δεκτή}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το πολυώνυμο \\(P(x)=x^4-x^3-5x^2+7x-2.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \\(1\\) είναι ρίζα του πολυωνύμου.\nβ) Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο έχει και άλλη ακέραια ρίζα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή\n\\begin{align} P(1) & =1^4-1^3-5\\cdot 1^2+7\\cdot 1-2 \\\\\n& = 1-1-5+7-2\\\\\n& =0 \\end{align}\nο αριθμός \\(1\\) είναι ρίζα του πολυωνύμου.\nβ) Οι πιθανές ακέραιες λύσεις του πολυωνύμου είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου του δηλαδή οι διαιρέτες του \\(2\\) που είναι οι αριθμοί \\(1,\\ 2,\\ -1,\\ -2.\\)\nΟ αριθμός \\(1\\) είδαμε ότι είναι ρίζα του πολυωνύμου. Εξετάζουμε αν κάποιος από τους άλλους αριθμούς είναι ρίζα.\nΕίναι:\n\\(P(2)=16-8-20+14-2=0\\)\n\\(P(-1)=1+1-5-7-2=-12\\neq 0\\)\n\\(P(-2)=16+8-20-14-2=-12\\neq 0\\)\nΕπομένως οι ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί \\(1\\) και \\(2.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίδεται το πολυώνυμο \\(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\\).\nα) Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου \\(P(x)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Ποιο είναι το πηλίκο \\(π(x)\\) και το υπόλοιπο \\(υ(x)\\) που προκύπτει από την διαίρεση \\(P(x):(x-2)\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Γνωρίζουμε ότι ο βαθμός του γινομένου (μη-μηδενικών) πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. Επομένως, ο βαθμός του πολυωνύμου \\(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\\) είναι ίσος με \\(3\\), καθώς το \\(P(x)\\) είναι γινόμενο τριών πολυωνύμων βαθμού \\(1\\).\nβ)\n$$P(x):(x-2)=\\dfrac{P(x)}{x-2}$$\n$$=\\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{x-2}$$\n$$=(x-1)(x-3)$$\nΗ διαίρεση, επομένως, είναι τέλεια, άρα το υπόλοιπο είναι ίσο με μηδέν.\nΣυνεπώς:\n$$P(x)=(x-2)\\cdot \\underbrace{(x-1)(x-3)}_{π(x)}+\\underbrace{0}_{υ(x)}$$\nΆρα, \\(π(x)=(x-1)(x-3)\\) και \\(υ(x)=0\\).\nΣχόλιο:\nΤο θεώρημα «Ταυτότητα της Διαίρεσης» λέει ότι: για κάθε ζεύγος πολυωνύμων \\(Δ(x)\\) και \\(δ(x)\\) με \\(δ(x)\\ne 0\\) υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα \\(π(x)\\) και \\(υ(x)\\) τέτοια ώστε \\(Δ(x)=δ(x)\\cdot π(x)+υ(x)\\) , όπου το \\(υ(x)\\) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του \\(δ(x)\\).\nΑπό την μοναδικότητα που εγγυάται το θεώρημα για τα πολυώνυμα \\(π(x)\\) και \\(υ(x)\\), προκύπτει ότι και μόνο η παρατήρηση ότι:\n$$P(x)=(x-2)\\cdot (x-1)(x-3)+0$$\nαρκεί για να βγει αμέσως το συμπέρασμα ότι \\(π(x)=(x-1)(x-3)\\) και \\(υ(x)=0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln (e^x-1).\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nβ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι κάτω από τον \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για ολες τις πραγματικές τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει:\n$$\\begin{align} & e^x-1>0\\\\\n\\Leftrightarrow & e^x>1\\\\\n\\Leftrightarrow & e^x>e^0\\\\\n\\Leftrightarrow & x>0\\end{align}$$\nΣυνεπώς το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\((0,+\\infty).\\)\nβ) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\), είναι οι λύσεις της εξίσωσης:\n$$\\begin{align} & f(x)=0\\\\\n\\Leftrightarrow & \\ln (e^x-1) = \\ln 1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x-1=1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x =2 \\\\\n\\Leftrightarrow & x= \\ln 2 \\end{align}$$\nΗ λύση \\(\\ln 2\\) είναι δεκτή αφού \\(\\ln 2>\\ln1\\Leftrightarrow \\ln2>0.\\)\nΣυνεπώς το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\) είναι το \\((\\ln 2, 0).\\)\nγ) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι κάτω από τον άξονα \\(x'x\\), για όλες τις τιμές του \\(x\\) που είναι λύσεις της ανίσωσης:\n$$\\begin{align} & f(x)\\lt 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\ln (e^x-1) \\lt \\ln 1 \\\\\n\\Leftrightarrow & (e^x-1) \\lt 1 \\\\\n\\Leftrightarrow & e^x \\lt 2 \\\\\n\\Leftrightarrow & x \\lt \\ln 2 \\end{align}$$\nΌμως πρέπει εξ αρχής \\(x>0\\), οπότε τελικά η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι κάτω από τον άξονα \\(x'x\\) όταν: \\(0\\lt x \\lt \\ln 2.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})\\), \\(x∈R\\).\nα) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης \\(f\\).\nγ) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(xx'\\).\nδ) Να αποδείξετε ότι \\((f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}=4\\), για κάθε \\(x∈R\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η περίοδος της συνάρτησης \\(f\\) είναι:\n$$Τ=\\dfrac{2π}{\\dfrac{π}{2}}=4$$\nβ) Για κάθε \\(x∈R\\) είναι:\n$$-1≤ημ(\\dfrac{πx}{2})≤1$$\nοπότε\n$$-2≤2ημ(\\dfrac{πx}{2})≤2$$\nοπότε\n$$-2+1≤1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})≤2+1$$\nκαι τελικά\n$$-1≤f(x)≤3$$\nΕπίσης\n$$f(1)=1+2ημ(\\dfrac{π}{2})=3$$\nκαι\n$$f(3)=1+2ημ(\\dfrac{3π}{2})=-1$$\nΣυνεπώς η μέγιστη τιμή της \\(f\\) είναι το \\(3\\) και η ελάχιστη το \\(-1\\).\nγ) Οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(xx'\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=0\\). Είναι\n$$f(x)=0$$\n$$\\Leftrightarrow 1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})=0$$\n$$\\Leftrightarrow ημ(\\dfrac{πx}{2})=-\\dfrac{1}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow ημ(\\dfrac{πx}{2})=ημ(-\\dfrac{π}{6})$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} \\dfrac{πx}{2} =2κπ+ (-\\dfrac{π}{6}) \\\\ \\dfrac{πx}{2} =2κπ+π - (-\\dfrac{π}{6})\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} \\dfrac{πx}{2} =2κπ - \\dfrac{π}{6} \\\\ \\dfrac{πx}{2} =2κπ+ \\dfrac{7π}{6} \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} \\dfrac{x}{2} =2κ - \\dfrac{1}{6} \\\\ \\dfrac{x}{2} =2κ+ \\dfrac{7}{6} \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=4κ - \\dfrac{1}{3} \\\\ x=4κ+ \\dfrac{7}{3} \\end{cases}\\ \\ ,\\ κ∈Z$$\nοπότε οι ζητούμενες τετμημένες είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί της μορφής \\(x=4κ-\\dfrac{1}{3}\\) ή \\(x=4κ+\\dfrac{7}{3}\\), όπου \\(κ∈Z\\).\nδ) Για κάθε \\(x∈R\\) είναι\n$$\\begin{align} f(1-x)&=1+2ημ(\\dfrac{π(1-x)}{2})\\\\\n\\\\&=1+2ημ(\\dfrac{π-πx}{2})\\\\\n\\\\&=1+2ημ(\\dfrac{π}{2}-\\dfrac{πx}{2})\\\\\n\\\\&=1+2συν(\\dfrac{πx}{2})\\end{align}$$\nοπότε\n$$\\begin{align}(f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}&=(1+2ημ(\\dfrac{πx}{2})-1)^{2}+(1+2συν(\\dfrac{πx}{2})-1)^{2}\\\\\n\\\\&=4ημ^{2}(\\dfrac{πx}{2})+4συν^{2}(\\dfrac{πx}{2})\\\\\n\\\\&=4(ημ^{2}(\\dfrac{πx}{2})+συν^{2}(\\dfrac{πx}{2}))\\\\\n\\\\&=4 \\cdot 1=4\\end{align}$$\nδηλαδή \\((f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}=4\\), για κάθε \\(x∈R\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σύμφωνα με τον νόμο ψύξης του Νεύτωνα, η θερμοκρασία \\(θ\\), σε βαθμούς Κελσίου, ενός αντικειμένου μειώνεται με την πάροδο του χρόνου \\(t\\), σε λεπτά, σύμφωνα με τη συνάρτηση \\(θ(t)=T+(θ_{0}-Τ)e^{kt}\\), όπου \\(k\\) μια σταθερά με \\(k\\lt 0\\), \\(θ_{0}\\) η αρχική θερμοκρασία του αντικειμένου, ενώ \\(Τ\\) είναι η σταθερή θερμοκρασία του περιβάλλοντος μέσα στο οποίο τοποθετείται το αντικείμενο, με \\(θ_{0}>Τ\\).\nΈνα αντικείμενο έχει θερμανθεί στους \\(100^{ο}C\\) και στη συνέχεια αφήνεται να κρυώσει σε ένα δωμάτιο με σταθερή θερμοκρασία \\(30^{ο}C\\). Γνωρίζουμε ότι \\(5\\) λεπτά μετά την τοποθέτησή του αντικειμένου στο δωμάτιο, η θερμοκρασία του αντικειμένου είναι \\(80^{0}C.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(k=-0,0672\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(θ(t)=30+70\\cdot \\Big(\\dfrac{5}{7}\\Big)^{\\dfrac{t}{5}}\\).\nγ) Να βρείτε, με προσέγγιση εκατοστού, τη θερμοκρασία του αντικειμένου μετά από 1 ώρα και 40 λεπτά.\nΔίνεται ότι \\(\\ln \\Big(\\dfrac{5}{7}\\Big)=-0,336\\) (προσεγγιστικά) και \\(\\Big(\\dfrac{5}{7} \\Big)^{10}≅0,034\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Με βάση τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε:\n\\(θ_{0}=100^{0}C\\), \\(T=30^{0}C\\), ενώ \\(θ(5)=80^{0}C.\\)\nΆρα \\(80^{0}=30^{0}+(100^{0}-30^{0})e^{k}\\), οπότε \\(e^{k}=\\dfrac{50}{70}=\\dfrac{5}{7}\\).\nΈτσι, θα έχουμε \\(5k=\\ln(\\dfrac{5}{7})\\).\nΤελικά, \\(k=\\dfrac{-0,336}{5}=-0,0672\\).\nβ) Στο προηγούμενο ερώτημα βρήκαμε ότι \\(e^{k}=\\dfrac{5}{7}\\) άρα \\((e^{k})^{5}=\\dfrac{5}{7}\\), οπότε \\(e^{k}=(\\dfrac{5}{7})^{\\dfrac{1}{5}}\\).\nΆρα:\n\\begin{align} θ(t) & =30+(100-30)(e^{k})^{t}\\\\\n& =30+70\\cdot \\Big[(\\frac{5}{7})^{\\frac{1}{5}}\\Big]^{t}\\\\\n& =30+70\\cdot \\Big(\\frac{5}{7}\\Big)^{\\frac{t}{5}}\\end{align}\nΕναλλακτικά:\n\\begin{align} θ(t) & =30+(100-30)e^{\\frac{5kt}{5}}\\\\\n& =30+70\\cdot (e^{5k})^{\\frac{t}{5}}\\\\\n& =30+70\\cdot (\\frac{5}{7})^{\\frac{t}{5}} \\end{align}\nγ) Ζητάμε τον αριθμό:\n\\begin{align} θ(100) & =30+70\\cdot (\\dfrac{5}{7})^{20} \\\\\n& =30+70\\cdot [(\\dfrac{5}{7})^{10}]^{2}\\\\\n& ≅30+70\\cdot (0,034)^{2} \\\\\n& =30+70\\cdot 0,001156\\\\\n& =30+0,08092≅30,08^{0}C.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=2𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥)−2𝜂𝜇\\left(\\dfrac{𝜋}{2}−𝑥\\right).\\)\nα) Να δείξετε ότι \\(𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥)=−𝜎𝜐𝜈𝑥.\\)\nβ) Να δείξετε ότι \\(𝑓(𝑥)=−4𝜎𝜐𝜈𝑥.\\)\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(𝑓(𝑥)=−2.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} 𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥) & =𝜎𝜐𝜈(6⋅2𝜋+𝜋+𝑥) \\\\\n&=𝜎𝜐𝜈(𝜋+𝑥)\\\\ &=−𝜎𝜐𝜈𝑥.\\end{align}$$\nβ) Είναι\n$$𝜂𝜇\\left( \\dfrac{𝜋}{2}−𝑥\\right)=𝜎𝜐𝜈𝑥.$$\nΆρα \\(𝑓(𝑥)=−2𝜎𝜐𝜈𝑥−2𝜎𝜐𝜈𝑥=−4𝜎𝜐𝜈𝑥.\\)\nγ) Λύνουμε την εξίσωση:\n$$\\begin{align} & 𝑓(𝑥)=−2 \\\\\n\\Leftrightarrow & −4𝜎𝜐𝜈𝑥=−2 \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝜎𝜐𝜈𝑥=\\dfrac{1}{2} \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝜎𝜐𝜈𝑥=𝜎𝜐𝜈\\dfrac{𝜋}{3} \\\\\n\\Leftrightarrow & 𝑥=2𝜅𝜋±\\dfrac{𝜋}{3},\\ 𝜅\\in \\Bbb{Z}.\\end{align}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται μία συνάρτηση \\(f\\) για την οποία ισχύει ότι \\(f(-1)=2\\) και \\(f(1)=0\\). Να αιτιολογήσετε (αλγεβρικά ή γραφικά):\nα) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι άρτια,\nβ) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι περιττή,\nγ) γιατί η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι γνησίως αύξουσα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(f(-1)\\neq f(1)\\) οπότε η \\(f\\) δεν είναι άρτια.\nβ) Επίσης \\(f(-1)\\neq -f(1)\\) οπότε η \\(f\\) δεν είναι περιττή.\nγ) Είναι \\(f(1) \\lt f(-1)\\), που σημαίνει ότι η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι γνησίως αύξουσα, αφού αν ήταν, θα έπρεπε \\(f(-1) \\lt f(1)\\), που δεν ισχύει." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε οτι \\(εφ500^0=εφ140^0\\).\nβ)\nΝα βρείτε το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \\(εφ500^0\\)\nΝα βρείτε το πρόσημο της παράστασης \\(Α=εφ500^0\\cdot ημ250^0\\cdot συν300^0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι γνωστό οτι \\(εφ(κ\\cdot 360°+ω)=εφω\\) για κάθε ακέραιο \\(κ\\).\nΕπομένως \\(εφ500^0=εφ(360^0+140^0)=εφ140^0\\).\nβ)\nΤο πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \\(εφ500^0\\) είναι το ίδιο με το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \\(εφ140^0\\).\nΑφού \\(90^0<140^0<180^0\\), τότε η τελική πλευρά της γωνίας \\(140^0\\) βρίσκεται στο \\(2ο\\) τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου. Άρα \\(εφ140^0<0\\).\nΕίναι λοιπόν \\(Α=εφ140^0\\cdot ημ250^0\\cdot συν300^0\\).\nΑπό το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι \\(εφ140^0<0\\).\nΑφού \\(180^0<250^0<270^0\\), τότε η τελική πλευρά της γωνίας \\(250^0\\) βρίσκεται στο \\(3ο\\) τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου. Άρα \\(ημ250^0<0\\).\nΑφού \\(270^0<300^0<360^0\\), τότε η τελική πλευρά της γωνίας \\(300^0\\) βρίσκεται στο \\(4ο\\) τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου. Άρα \\(συν300^0>0\\).\nΕπομένως \\(Α>0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε επόμενη σειρά έχει τέσσερα καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η έβδομη σειρά έχει \\(36\\) καθίσματα.\nα) Αποτελούν τα καθίσματα κάθε σειράς του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Αιτιολογήσετε τον συλλογισμό σας.\nβ) Να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων της πρώτης σειράς.\nγ) Πόσα καθίσματα έχει το γήπεδο συνολικά;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς προκύπτει από το πλήθος των καθισμάτων της προηγούμενης σειράς προσθέτοντας πάντα σταθερά τέσσερα καθίσματα.\nΈτσι σύμφωνα με τον ορισμό της αριθμητικής προόδου, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά \\(ω=4\\).\nβ) Έχουμε:\n$$α_{7}=α_{1}+(7-1)\\cdot ω $$\n$$\\Leftrightarrow 36=α_{1}+24 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=36-24 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=12$$\nγ) Αφού το γήπεδο έχει δέκα σειρές, τότε το πλήθος των καθισμάτων συνολικά δίνεται από τον τύπο:\n$$S_{10}=\\dfrac{10}{2}\\cdot [2\\cdot 12+(10-1)\\cdot 4]$$\n$$=5\\cdot (24+36)$$\n$$=5\\cdot 60=300$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση: \\(Α=|3x-6|+2\\), όπου ο \\(x\\) είναι πραγματικός αριθμός.\nα) Να αποδείξετε ότι:\nγια κάθε \\(x\\ge 2\\), \\(Α=3x-4\\).\nγια κάθε \\(x<2\\), \\(Α=8-3x\\)\nβ) Αν για τον \\(x\\) ισχύει ότι \\(x\\ge 2\\) να αποδείξετε ότι:\n$$\\dfrac{9x^{2}-16}{|3x-6|+2}=3x+4$$" }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΙσχύει ότι:\n$$x\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow 3x\\ge 3\\cdot 2$$\n$$\\Leftrightarrow 3x\\ge 6$$\n$$\\Leftrightarrow 3x-6\\ge 0$$\nΆρα \\(|3x-6|=3x-6\\).\nΤότε:\n$$Α=|3x-6|+2=3x-6+2=3x-4$$\nΙσχύει ότι:\n$$x<2$$\n$$\\Leftrightarrow 3x<3\\cdot 2$$\n$$\\Leftrightarrow 3x<6 $$\n$$\\Leftrightarrow 3x-6<0$$\nΆρα \\(|3x-6|=-(3x-6)=6-3x\\).\nΤότε:\n$$Α=|3x-6|+2=6-3x+2=8-3x$$\nβ) Για κάθε \\(x\\ge 2\\) είναι \\(|3x-6|=3x-6\\). Τότε:\n$$\\dfrac{9x^{2}-16}{|3x-6|+2}=\\dfrac{(3x)^{2}-4^{2}}{3x-6+2}=\\dfrac{(3x-4)(3x+4)}{3x-4}=3x+4$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ένα κλειστό στάδιο έχει \\(25\\) σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει \\(12\\) καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη.\nα) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά.\nβ) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του σταδίου.\nγ) Οι μαθητές ενός Λυκείου προκειμένου να παρακολουθήσουν μια εκδήλωση, κατέλαβαν όλα τα καθίσματα από την \\(7η\\) μέχρι και την \\(14η\\) σειρά. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Λυκείου." }, { "from": "assistant", "value": "Επειδή κάθε σειρά καθισμάτων έχει \\(2\\) καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη, ο αριθμός των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο \\(α_{1}=12\\) και \\(ω=2\\).\nα) Η μεσαία σειρά έχει:\n$$α_{13}=α_{1}+12ω=12+12\\cdot 2=36\\ \\text{καθίσματα}$$\nκαι η τελευταία σειρά έχει:\n$$α_{25}=α_{1}+24ω=12+24\\cdot 2=60\\ \\text{καθίσματα}$$\nβ) Η χωρητικότητα του σταδίου είναι:\n$$S_{25}=\\dfrac{25}{2}(α_{1}+α_{25})$$\n$$=\\dfrac{25}{2}(12+60)$$\n$$=\\dfrac{25}{2}\\cdot 72$$\n$$=\\dfrac{1800}{2}$$\n$$=900\\ \\text{καθίσματα}$$\nγ) Το πλήθος των μαθητών του Λυκείου είναι:\n$$S=S_{14}-S_{6}$$\n$$=\\dfrac{14}{2}(2α_{1}+13ω)-\\dfrac{6}{2}(2α_{1}+5ω)$$\n$$=7(2\\cdot 12+13\\cdot 2)-3(2\\cdot 12+5\\cdot 2)$$\n$$=7\\cdot 50-3\\cdot 34$$\n$$=350-102=248$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{2}+2x-15\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να υπολογίσετε το άθροισμα: \\(f(-5)+f(0)+f(3)\\).\nβ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$f(-5)=(-5)^{2}+2\\cdot (-5)-15=25-10-15=0$$\n$$f(0)=0^{2}+2\\cdot 0-15=-15$$\n$$f(3)=3^{2}+2\\cdot 3-15=9+6-15=0$$\nΆρα:\n$$f(-5)+f(0)+f(3)=0-15+0=-15$$\nβ) Για \\(x=0\\), έχουμε από το α) ερώτημα \\(f(0)=-15\\). Άρα η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(y'y\\) άξονα στο σημείο \\((0,-15)\\).\nΑπό το α) ερώτημα παρατηρούμε ότι \\(f(-5)=0\\) και \\(f(3)=0\\). Άρα η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(x'x\\) άξονα στα σημεία \\((-5,0)\\) και \\((3,0)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν για τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει \\(|2x|<2\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(-1 < x < 1\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x\\in (-1,1)\\), ισχύει \\(x^{2}<1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|2x|<2 \\Rightarrow 2|x|<2$$\nδιαιρούμε τα μέλη της ανίσωσης με το \\(2\\) και έχουμε:\n$$|x| < 1 \\Rightarrow -1 < x < 1$$\nβ) H ανίσωση \\(x^{2}<1\\) ισχύει, αν και μόνο αν ισχύει η \\(\\sqrt{x^{2}}<1\\), που ισχύει αν και μόνο αν ισχύει η \\(|x|<1\\), που ισχύει αν και μόνο αν ισχύει \\(-1 0\\) και \\(β > 0\\). Να δείξετε ότι:\nα) \\(α+\\dfrac{4}{α}\\ge 4\\).\nβ) \\(\\left(α+\\dfrac{4}{α}\\right)\\left(β+\\dfrac{4}{β}\\right)\\ge 16\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$α+\\dfrac{4}{α}\\ge 4$$\n$$\\overset{α>0}{ \\Leftrightarrow } α^{2}+α\\cdot \\dfrac{4}{α}\\ge 4α$$\nοπότε:\n$$α^{2}+4\\ge 4α$$\nδηλαδή:\n$$α^{2}-4α+4\\ge 0$$\nκαι τελικά:\n$$(α-2)^{2}\\ge 0$$\nπου ισχύει.\nβ) Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \\(α+\\dfrac{4}{α}\\ge 4\\) και ομοίως \\(β+\\dfrac{4}{β}\\ge 4\\). Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δυο ανισότητες προκύπτει:\n$$\\left(α+\\dfrac{4}{α}\\right)\\left(β+\\dfrac{4}{β}\\right)\\ge 16$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=|3x-12|-|2x-8|-3|x^2-16|\\).\nΑν \\(|x|\\leq4\\), τότε:\nα) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης \\(f\\) χωρίς τις απόλυτες τιμές.\nβ) Αν \\(f(x)=3x^2-x-44\\).i. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τους άξονες.\nii. Αν το σημείο \\(Μ(μ+1,-20)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(f\\), να βρείτε την ακέραια τιμή του \\(μ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(|x|\\leq4\\iff -4\\leq x\\leq 4\\).\nΟ τύπος της συνάρτησης γράφεται:\n\\begin{align}f(x)&=|3x-12|-|2x-8|-3|x^2-16|\\\\\n&=3|x-4|-2|x-4|-3|x^2-16|\\\\\n&=|x-4|-3|x^2-16|.\\end{align}\nΈχουμε\n\\begin{align}&x\\leq4\\\\\n\\iff &x-4\\leq 0\\\\\n\\iff &|x-4|=4-x.\\end{align}\nΕπιπλέον\n\\begin{align}&|x|\\leq4\\\\\n\\iff& |x|^2\\leq16\\\\\n\\iff& x^2-16\\leq 0\\\\\n\\iff& |x^2-16|=16-x^2.\\end{align}\nΆρα:\n\\begin{align}f(x)&=4-x-3(16-x^2)\\\\\n&=4-x-48+3x^2\\\\\n&=3x^2-x-44.\\end{align}\nβ) i. Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\) λύνουμε την εξίσωση \\(f(x)=0\\), δηλαδή \\(3x^2-x-44=0\\).\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:\n$$Δ=1+4\\cdot 3\\cdot 44=529$$\nκαι οι ρίζες:\n$$x_{1,2}=\\frac{1\\pm23}{6}=\\begin{cases}x_1=\\frac{24}{6}=4\\\\x_2=-\\frac{22}{6}=-\\frac{11}{3}\\end{cases},$$\nοι οποίες είναι δεκτές γιατί ανήκουν στο διάστημα \\([-4,4]\\).\nΆρα τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τον άξονα \\(x'x\\) είναι \\(Α(4,0)\\) και \\(Β(-\\frac{11}{3},0)\\).\nΓια να βρούμε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τον άξονα \\(y'y\\), θέτουμε στον τύπο της \\(f\\) όπου \\(x=0\\) και βρίσκουμε \\(y=f(0)=-44\\).\nΆρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τον άξονα \\(y'y\\) είναι \\(Γ(0,-44)\\).ii. Αφού το σημείο \\(M(μ+1,-20)\\) με \\(μ\\) ακέραιο ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(f\\) θα ισχύει \\(μ+1\\in[-4,4]\\) και \\(f(μ+1)=-20\\). Είναι:\n\\begin{align}&f(μ+1)=-20\\\\\n\\iff&3(μ+1)^2-μ-1-44=-20\\\\\n\\iff&3μ^2+6μ+3-μ-45+20=0\\\\\n\\iff&3μ^2+5μ-22=0.\\end{align}\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:\n$$Δ=25-4\\cdot 3\\cdot(-22)=289$$\nκαι οι ρίζες:\n$$μ_{1,2}=\\frac{-5\\pm17}{6}=\\begin{cases}μ_1=\\frac{12}{6}=2\\\\\nμ_2=-\\frac{22}{6}=-\\frac{11}{3}\\end{cases}.$$\nΑπό τις παραπάνω τιμές του \\(μ\\) δεκτή είναι η \\(μ=2\\) καθώς είναι ακέραια και επιπλέον \\((μ+1)\\in[-4,4]\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να δείξετε ότι: \\(3\\lt \\sqrt[3]{30} \\lt 4\\)\nβ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς \\(\\sqrt[3]{30}\\) και \\(6-\\sqrt{30}\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:\n$$3 \\lt \\sqrt{30} \\lt 4$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[3]{3^{3}}\\lt \\sqrt[3]{30} \\lt \\sqrt[3]{4^{3}}$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[3]{27} \\lt \\sqrt[3]{30} \\lt \\sqrt[3]{64}$$\n$$\\Leftrightarrow 27\\lt 30\\lt 64$$\nτο οποίο ισχύει.\nβ) Έστω ότι \\(\\sqrt[3]{30} \\lt 6-\\sqrt[3]{30}\\), τότε:\n$$\\sqrt[3]{30} \\lt 6-\\sqrt[3]{30}$$\n$$\\Leftrightarrow 2\\sqrt[3]{30} \\lt 6$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[3]{30} \\lt 3$$\n$$\\Leftrightarrow (\\sqrt[3]{30})^{3} \\lt 3^{3}$$\n$$\\Leftrightarrow 30\\lt 27$$\nάτοπο.\nΆρα:\n$$\\sqrt[3]{30}>6-\\sqrt[3]{30}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Οι αριθμοί \\(x+6,\\ 5x+2,\\ 11x-6\\) είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_{1}\\) και διαφορά \\(ω\\).\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\) και να αποδείξετε ότι \\(ω=4.\\)\nβ) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_{1}=0\\), να υπολογίσετε το άθροισμα \\(S_{8}\\) των \\(8\\) πρώτων όρων." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(x + 6,\\ 5x + 2,\\ 11x – 6\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$5x+2=\\dfrac{x+6+11x-6}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 5x+2=\\dfrac{12x}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 5x+2=6x$$\n$$\\Leftrightarrow x=2$$\nΕίναι:\n\\begin{align} ω & =5x+2-(x+6)\\\\\n& =5x+2-x-6\\\\\n&=4x-4\\\\\n&=4\\cdot 2-4 \\\\\n&=4 \\end{align}\nβ) Ισχύει ότι:\n$$α_{8}=α_{1}+(8-1)ω=0+7\\cdot 4=28$$\nΤότε είναι:\n$$S_{8}=\\dfrac{8}{2}(α_{1}+α_{8})=4\\cdot (0+28)=4\\cdot 28=112$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν}),\\ ν\\in \\mathbb{N}^*\\) της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι είναι:\n$$α_{1}=x$$\n$$α_{2}=2x^{2}-3x-4$$\n$$α_{3}=x^{2}-2$$\nμε \\(x\\) ακέραιο.\nα) Να αποδείξετε ότι \\(x=3\\).\nβ) Να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου και να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει όρος της προόδου που να είναι ίσος με \\(2014\\).\nγ) Να υπολογίσετε το άθροισμα \\(S=α_{1}+α_{3}+α_{5}+...+α_{15}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:\n$$α_{2}-α_{1}=α_{3}-α_{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-3x-4-x=x^{2}-2-(2x^{2}-3x-4)$$\n$$\\Leftrightarrow 3x^{2}-7x-6=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=3\\ \\text{ή}\\ x=-\\dfrac{2}{3}$$\nΗ τιμή \\(x=-\\dfrac{2}{3}\\) απορρίπτεται διότι δεν είναι ακέραιος.\nβ) Η αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο \\(α_{1}=3\\) και διαφορά \\(ω=2\\). Άρα ο ν-οστός όρος της είναι: \\(α_{ν}=3+(ν-1)\\cdot 2=2ν+1\\).\nΈστω ότι κάποιος όρος της ακολουθίας είναι ίσος με \\(2014\\). Τότε η εξίσωση \\(α_{ν}=2014\\) έχει λύση θετικό ακέραιο αριθμό. Είναι:\n$$α_{ν}=2014 $$\n$$\\Leftrightarrow 2ν+1=2014 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=\\dfrac{2013}{2}$$\nπου δεν είναι θετικός ακέραιος.\nΕπομένως δεν υπάρχει όρος της προόδου που είναι ίσος με \\(2014\\).\nγ) Είναι:\n$$S=α_{1}+α_{3}+α_{5}+...+α_{15}$$\n$$=3+7+11+...+31$$\nοπότε οι όροι του αθροίσματος σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο \\((β_{ν})\\) με πρώτο όρο \\(β_{1}=3\\) και διαφορά \\(ω'=4\\). Αν ν είναι το πλήθος των όρων του αθροίσματος, τότε έχουμε:\n$$β_{ν}=31 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+(ν-1)\\cdot 4=31 $$\n$$\\Leftrightarrow 4ν=32 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=8$$\nΕπομένως το πλήθος των όρων του αθροίσματος είναι \\(ν=8\\) και το ζητούμενο άθροισμα είναι\n$$S=S_{8}=\\dfrac{8}{2}[2\\cdot 3+(8-1)\\cdot 4]=136$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Οι πλευρές \\(x_1, x_2\\) ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης\n$$x^2-4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)x+16=0$$\nόπου \\(λ > 0\\).\nα) Να βρείτε: i. την περίμετρο \\(Π\\) του ορθογωνίου συναρτήσει του \\(λ\\).\n ii. το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου.\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(Π\\geq 16\\), για κάθε \\(λ > 0\\).\nγ) Για ποια τιμή του \\(λ\\) η περίμετρος \\(Π\\) του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με \\(16\\); Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τους τύπους για το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών εξίσωσης \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού έχουμε:\n\\begin{align}S&=x_1+x_2\\\\\n&=-\\frac{β}{α}\\\\\n&=-\\frac{-4(λ+\\frac{1}{λ})}{1}\\\\\n&=4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}P&=x_1\\cdot x_2\\\\\n&=\\frac{γ}{α}\\\\\n&=\\frac{16}{1}\\\\\n&=1.\\end{align}\nΑφού \\(P=x_1 \\cdot x_2 =16 > 0\\) και \\(S =x_1 + x_2= 4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)> 0\\) για κάθε \\(λ > 0\\), οι ρίζες \\(x_1, x_2\\) είναι θετικές και άρα μπορούν να αποτελούν πλευρές ορθογωνίου.\ni. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι:\n\\begin{align}Π&=2x_1+2x_2\\\\\n&=2(x_1+x_2)\\\\\n&=2\\cdot 4\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big)\\\\\n&=8\\Big(λ+\\frac{1}{λ}\\Big).\\end{align}\nii. Το εμβαδόν είναι:\n$$E=x_1\\cdot x_2=16.$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n\\begin{align}&Π\\geq 16\\\\\n\\iff&8\\left(λ+\\frac{1}{λ}\\right)\\geq 16\\\\\n\\iff&λ+\\frac{1}{λ}\\geq 2\\\\\n\\iff&λ+\\frac{1}{λ}-2\\geq 0\\\\\n\\iff&\\frac{λ^2-2λ+1}{λ}\\geq 0\\\\\n\\iff&\\frac{(λ-1)^2}{λ}\\geq 0,\\end{align}\nπου ισχύει για κάθε \\(λ > 0\\).\nγ) Ισοδύναμα βρίσκουμε:\n\\begin{align}&Π=16\\\\\n\\iff&\\frac{(λ-1)^2}{λ}=0\\\\\n\\iff&(λ-1)^2=0\\\\\n\\iff&λ=1.\\end{align}\nΓια \\(λ=1\\) η περίμετρος είναι \\(16\\) (δηλαδή \\(2(x_1+x_2)=16\\) και τελικά \\(x_1+x_2=8\\)) και το εμβαδόν είναι \\(16\\) (δηλαδή \\(x_1\\cdot x_2=16\\)), οπότε \\(x_1=x_2=4\\).\nΕπομένως, το ορθογώνιο είναι τετράγωνο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ανίσωση \\(|2x-5|<3\\).\nα) Να λύσετε την ανίσωση.\nβ) αν ο αριθμός \\(α\\) είναι μια λύση της ανίσωσης να βρείτε το πρόσημο του γινομένου:\n$$A=(α-1)(α-5)$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$|2x-5|<3 $$\n$$\\Leftrightarrow -3<2x-5<3 $$\n$$\\Leftrightarrow -3+5<2x<3+5 $$\n$$\\Leftrightarrow 2<2x<8 $$\n$$\\Leftrightarrow 1 < x < 4 $$\nΆρα, λύση της ανίσωσης είναι κάθε αριθμός \\(x\\), με \\(x\\in (1,4)\\).\nβ) Ο αριθμός \\(α\\) είναι λύση της ανίσωσης, οπότε \\(α\\in (1,4)\\). Έτσι έχουμε \\(α>1\\), οπότε \\(α-1>0\\) και \\(α<5\\), οπότε \\(α-5<0\\).\nΕπομένως οι παράγοντες του γινομένου \\((α-1)(α-5)\\) είναι ετερόσημοι, οπότε\n$$A=(α-1)(α-5)<0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε το τριώνυμο \\(f(x)=x^2-x-3\\).\nα) Να βρείτε τις ρίζες του \\(f(x)\\).\nβ) Να επιλύσετε την ανίσωση \\(-2\\cdot f(x) < 0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι\n\\begin{align}Δ&=(-1)^2-4\\cdot 1\\cdot (-3)\\\\\n&=1+12\\\\\n&=13>0.\\end{align}\nΆρα το \\(f(x)\\) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες\n$$x_1=\\frac{-β-\\sqrt{Δ}}{2α}=\\frac{-(-1)-\\sqrt{13}}{2\\cdot 1}=\\frac{1-\\sqrt{13}}{2}$$\nκαι\n$$x_1=\\frac{-β+\\sqrt{Δ}}{2α}=\\frac{-(-1)+\\sqrt{13}}{2\\cdot 1}=\\frac{1+\\sqrt{13}}{2}$$\nβ)\n\\begin{align}&-2\\cdot f(x) < 0\\\\\n\\iff&-2\\cdot \\Big(-\\frac{1}{2}\\Big)\\cdot f(x) > 0\\cdot \\Big(-\\frac{1}{2}\\Big)\\\\\n\\iff&f(x) > 0\\end{align}\nΚατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου, με βάση το (α) ερώτημα.\nΚαθώς είναι \\(α=1 > 0\\), παρατηρούμε ότι είναι \\(f(x) > 0\\) για\n$$x\\in\\Big(-\\infty,\\dfrac{1-\\sqrt{13}}{2}\\Big)\\cup\\Big(\\frac{1+\\sqrt{13}}{2},+\\infty\\Big)$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ακολουθία \\((α_ν)\\) με γενικό τύπο \\(α_ν=10+3ν\\).\nα) i. Να δείξετε ότι η ακολουθία \\((α_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος.\nii. Nα βρείτε τον πρώτο όρο της \\(α_1\\) και τη διαφορά \\(ω\\) της παραπάνω αριθμητικής προόδου.\nβ) Να βρείτε ποιοι όροι της \\((α_ν)\\) βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς \\(14\\) και \\(401\\). Πόσοι είναι οι όροι αυτοί;\nγ) Να υπολογίσετε το άθροισμα των όρων που βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς \\(14\\) και \\(401\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ακολουθία \\((α_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος, διότι η διαφορά δυο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων της είναι σταθερή:\n\\begin{align}α_{ν+1}-α_ν&=[10+3(ν+1)]-(10+3ν)\\\\\n&=10+3ν+3-10-3ν\\\\\n&=3.\\end{align}\nΟ πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_1=10+3\\cdot1=13\\) και η διαφορά \\(ω=3\\).\nβ) Πρέπει να βρούμε για ποιες τιμές του \\(ν\\in\\mathbb{N}\\) ισχύει:\n\\begin{align}&14<α_ν<401\\\\\n\\iff&14<10+3ν<401\\\\\n\\iff&4<3ν<391\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}<ν<\\frac{391}{3}\\\\\n\\iff&1.\\bar{3}<ν<130.\\bar{3}\\end{align}\nΟι όροι της αριθμητικής προόδου που είναι μεταξύ των αριθμών \\(14\\) και \\(401\\), είναι οι \\(α_1,α_2,\\dots,α_{130}\\) που είναι \\(129\\) όροι.\nγ) Έχουμε:\n\\begin{align}&α_2+α_3+\\dots+α_{130}\\\\\n=&S_{130}-α_1\\\\\n=&\\frac{130}{2}(2α_1+129ω)-α_1\\\\\n=&65(2\\cdot13+129\\cdot3)-13\\\\\n=&26832,\\end{align}\nή εναλλακτικά, αν θεωρήσουμε τον \\(α_2\\) πρώτο όρο, έχουμε άθροισμα \\(129\\) πρώτων όρων και:\n\\begin{align}&α_2+α_3+\\dots+α_{130}\\\\\n=&S_{129}\\\\\n=&\\frac{129}{2}(2α_2+128ω)\\\\\n=&129(α_2+64ω)\\\\\n=&129(α_1+ω+64ω)\\\\\n=&129(α_1+65ω)\\\\\n=&129(13+65\\cdot3)\\\\\n=&26832.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις \\(Α=|2x-4|\\) και \\(B=|x-3|\\), με \\(x\\) πραγματικό αριθμό.\nα) Να αποδείξετε ότι αν \\(2\\le x<3\\), τότε \\(Α+Β=x-1\\).\nβ) Υπάρχει \\(x\\in [2,3)\\) ώστε να ισχύει \\(Α+Β=2\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$2\\le x<3 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ge 2 \\\\ x<3 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 2x\\ge 4 \\\\ x-3<0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 2x-4\\ge 0 \\\\ x-3<0 \\end{cases}$$\nΤότε:\n$$Α=|2x-4|=2x-4$$\nκαι:\n$$B=|x-3|=-(x-3)=3-x$$\nΕπομένως:\n$$Α+Β=2x-4 +3-x=x-1$$\nβ) Είναι:\n$$Α+Β=2 $$\n$$\\Leftrightarrow x-1=2 $$\n$$\\Leftrightarrow x=3$$\nτο οποίο είναι αδύνατο, διότι \\(x\\in [2,3)\\).\nΕπομένως, δεν υπάρχει \\(x\\in [2,3)\\) ώστε να ισχύει \\(Α+Β=2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στη θάλασσα πετρέλαιο που στο τέλος της \\(1^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτει \\(3\\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.), στο τέλος της \\(2^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτει \\(6\\) τ.μ, στο τέλος της \\(3^\\text{ης}\\) ημέρας καλύπτει \\(12\\) τ.μ. και γενικά εξαπλώνεται έτσι ώστε στο τέλος κάθε ημέρας να καλύπτει επιφάνεια διπλάσια από αυτήν που κάλυπτε την προηγούμενη.\nα) Να βρείτε την επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος της \\(5^\\text{ης}\\) ημέρας μετά από το ατύχημα.\nβ) Πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει \\(768\\) τ.μ.;\nγ) Στο τέλος της \\(9^\\text{ης}\\) ημέρας επεμβαίνει ο κρατικός μηχανισμός και αυτομάτως σταματάει η εξάπλωση του πετρελαίου. Στο τέλος της επόμενης ημέρας η επιφάνεια που καλύπτει το πετρέλαιο έχει μειωθεί κατά \\(6\\) τ.μ. και συνεχίζει να μειώνεται κατά \\(6\\) τ.μ. την ημέρα. Να βρείτε πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα \\(12\\) τ.μ." }, { "from": "assistant", "value": "Η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι γεωμετρικής προόδου με \\(α_{1}=3\\) και \\(λ=2\\). Στο τέλος της ν-οστής ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια \\(α_{ν}=α_{1}\\cdot λ^{1}\\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.).\nα) Στο τέλος της \\(6^\\text{ης}\\) ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια:\n$$α_{5}=3\\cdot 2^{5-1}$$\n$$=3\\cdot 2^{4}$$\n$$=3\\cdot 16=48\\ \\text{τ.μ.}$$\nβ) Δεδομένο είναι το \\(α_{ν}=768\\) και ζητούμενο είναι το \\(ν\\). Έχουμε ισοδύναμα:\n$$α_{ν}=768$$\n$$\\Rightarrow 3\\cdot 2^{ν-1}=768$$\n$$\\Rightarrow 2^{ν-1}=256$$\n$$\\Rightarrow 2^{ν-1}=2^{8}$$\n$$\\Rightarrow ν-1=8$$\n$$\\Rightarrow ν=9$$\nΟπότε στο τέλος της \\(9^\\text{ης}\\) ημέρας θα έχει καλυφθεί από πετρέλαιο θαλάσσια επιφάνεια \\(768\\) τ.μ.\nγ) Στο τέλος της \\(10^\\text{ης}\\) ημέρας η επιφάνεια της θάλασσας που έχει καλυφθεί από πετρέλαιο είναι \\(768-6=762\\) τ.μ. και κάθε επόμενη ημέρα θα μειώνεται κατά \\(6\\) τ.μ. Άρα η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που θα καλύπτει εφεξής το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι αριθμητικής προόδου \\((β_{ν})\\) με \\(β_{1}=762\\) και \\(ω=-6\\).\nΔεδομένο είναι ότι \\(β_{ν}=12\\) και ζητούμενο είναι το \\(ν\\). Έχουμε ισοδύναμα:\n$$β_{ν}=762$$\n$$\\Rightarrow 762+(ν-1)\\cdot (-6)=12$$\n$$\\Rightarrow 6ν=756$$\n$$\\Rightarrow ν=126$$\nΣυνεπώς στο τέλος της \\(126^\\text{ης}\\) ημέρας μετά από την κρατική παρέμβαση και συνολικά στο τέλος της \\(9+126=135^\\text{ης}\\) ημέρας μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα \\(12\\) τ.μ." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\(ε_1:\\ y=(3α+4)x-4\\) και \\(ε_2:\\ y=(3-4α)x+4,\\ α\\in \\Bbb{R}\\).\nα) Αν \\(α=1\\), να βρείτε:\ni. Τις εξισώσεις των ευθειών.\nii. Το είδος της γωνίας που σχηματίζει καθεμιά από τις ευθείες με τον άξονα \\(x'x.\\)\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(α\\) οι ευθείες \\(ε_1,ε_2\\) είναι παράλληλες." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. Με \\(α=1\\) οι ευθείες είναι οι: \\(ε_1:\\ y=7x-4\\) και \\(ε_2:\\ y=-x+4\\)\nii. Η ευθεία \\(ε_1\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(a_1=7>0,\\) οπότε σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) οξεία γωνία, ενώ η \\(ε_2\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(α_2=-1\\lt0\\), οπότε σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) αμβλεία γωνία.\nβ) Οι ευθείες είναι παράλληλες μόνο όταν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή μόνο όταν ισχύει \\(3α+4=3-4α\\). Είναι:\n$$3α+4=3-4α \\Leftrightarrow 7α=-1 \\Leftrightarrow α=-\\frac{1}{7}$$\nΆρα η ευθείες είναι παράλληλες μόνο όταν \\(α=-\\dfrac{1}{7}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λυθεί η ανίσωση \\(|y – 3| < 1\\).\nβ) Αν \\(x\\), \\(y\\) είναι μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με \\(1 < x < 3\\) και \\(2 < y < 4\\) τότε να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται η τιμή του εμβαδού \\(Ε\\) του ορθογωνίου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$|y - 3| < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow - 1 < y - 3 < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow - 1 + 3 < y - 3 + 3 < 1 + 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 < y < 4$$\nβ) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο: \\(Ε = xy\\).\nΠολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ανισότητες \\(1 < x < 3\\) και \\(2 < y < 4\\) βρίσκουμε:\n$$1 \\cdot 2 < x \\cdot y < 3 \\cdot 4 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 < E < 12$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Η θερμοκρασία \\(Τ\\) σε βαθμούς Κελσίου (\\(^0\\ C\\)), σε βάθος \\(x\\) χιλιομέτρων κάτω από την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση:\n$$T=15+25\\cdot x\\ \\ \\text{, όταν}\\ \\ 0\\le x\\le 200$$\nα) Να βρείτε τη θερμοκρασία ενός σημείου, το οποίο βρίσκεται \\(30\\) χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης.\nβ) Να βρείτε το βάθος στο οποίο η θερμοκρασία είναι ίση με \\(290^{0}\\ C\\).\nγ) Σε ποιο βάθος μπορεί να βρίσκεται ένα σημείο, στο οποίο η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από \\(440^{0}\\ C\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να βρούμε τη θερμοκρασία ενός σημείου που βρίσκεται \\(30\\) χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης θέτουμε στη δοθείσα σχέση \\(x=30\\) και βρίσκουμε:\n$$Τ=15+25\\cdot 30$$\n$$\\Rightarrow T=15+750$$\n$$\\Rightarrow T=765^{0}\\ C$$\nβ) Για να βρούμε σε ποιο βάθος η θερμοκρασία είναι ίση με \\(290^{0}\\ C\\) θέτουμε στη δοθείσα σχέση \\(Τ = 290\\) και βρίσκουμε ισοδύναμα:\n$$290=15+25\\cdot x $$\n$$\\Rightarrow 275=25x$$\n$$\\Rightarrow x=11\\ \\text{χιλιόμετρα}$$\nγ) Για να βρούμε σε ποιο βάθος η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη από \\(440^{0}\\ C\\) λύνουμε την ανίσωση:\n$$ T>440 $$\n$$\\Leftrightarrow 15+25\\cdot x>440 $$\n$$\\Leftrightarrow 25\\cdot x>425 $$\n$$\\Leftrightarrow x>17\\ \\text{χιλιόμετρα}$$\nΕπομένως η θερμοκρασία είναι μεγαλύτερη των \\(440^{0}\\ C\\) σε βάθος άνω των \\(17\\) χιλιομέτρων." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε αριθμητική πρόοδο \\((α_ν)\\) είναι \\(α_{1}=2\\) και \\(α_{5}=14\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι ίση με \\(3\\).\nβ) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου \\((α_ν)\\) πρέπει να προσθέσουμε, ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με \\(77.\\)\n(Δίνεται: \\(\\sqrt{1849}=43\\) )." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α_{5}=14$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(5–1)ω=14$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+4ω=14$$\n$$\\Leftrightarrow 4ω=12$$\n$$\\Leftrightarrow ω=3$$\n**β)$ Έχουμε:\n$$S_{ν}=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2}[2α_{1}+(ν-1)ω]=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2}[2\\cdot 2+(ν-1)3]=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2}(4+3ν-3)=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2}(3ν+1)=77$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3ν^{2}+ν}{2}=77$$\n$$\\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν=154$$\n$$\\Leftrightarrow 3ν^{2}+ν-154=0,\\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ = β^2 – 4αγ = 12 – 4 3 (– 154) = 1 + 1848 = 1849 > 0.$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n\\begin{align} ν_{\\text{1,2}} & = \\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n&=\\dfrac{-1\\pm \\sqrt{1849}}{23}\\\\\n&=\\dfrac{-1\\pm 43}{6}\\\\\n& =\\begin{cases} \\dfrac{-1+43}{6}=7 \\\\ \\dfrac{-1-43}{6}=-\\dfrac{44}{6} \\end{cases} \\end{align}\nΗ τιμή \\(ν = – \\dfrac{44}{6}\\) απορρίπτεται, καθώς \\(ν\\in \\mathbb{Ν}\\). Άρα πρέπει να προσθέσουμε τους \\(7\\) πρώτους όρους της προόδου ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με \\(77.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Για τη μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου (Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι μετατροπές της θερμοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν, περιγράφονται από τις προτάσεις \\(Π1\\) και \\(Π2\\):\n\\(Π1\\): Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου (\\(^οC\\)) σε βαθμούς Φαρενάιτ (\\(^οF\\)), πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς Κελσίου με \\(1,8\\) και προσθέτουμε \\(32\\).\n\\(Π2\\): Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου (\\(^οC\\)) σε βαθμούς Κέλβιν (\\(^οK\\)), προσθέτουμε στους βαθμούς Κελσίου (\\(^οC\\)) το \\(273\\).\nα) Να εκφράσετε συμβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση.\nβ) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας σε βαθμούς Κέλβιν (\\(^οK\\)) και της θερμοκρασίας σε βαθμούς Φαρενάιτ (\\(^οF\\)) είναι η:\n$$K=\\dfrac{F-32}{1,8}+273$$\nγ) Στη διάρκεια μιας νύχτας η θερμοκρασία σε μια πόλη κυμάνθηκε από \\(278\\ ^οK\\) μέχρι \\(283\\ ^οK\\). Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της θερμοκρασίας σε \\(^οF\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η πρόταση \\(Π1\\) εκφράζεται συμβολικά με τη σχέση:\n$$F=1,8\\cdot C+32\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ πρόταση \\(Π2\\) εκφράζεται συμβολικά με τη σχέση:\n$$K=C+273\\ \\ \\ \\ (2)$$\nβ) Η ισότητα \\((1)\\) ισοδύναμα γράφεται:\n$$F=1,8\\cdot C+32 $$\n$$\\Leftrightarrow F-32=1,8\\cdot C $$\n$$\\Leftrightarrow C=\\dfrac{F-32}{1,8}\\ \\ \\ \\ (3)$$\nΤότε η ισότητα \\((2)\\) ισοδύναμα γράφεται:\n$$K=\\dfrac{F-32}{1,8}+273\\ \\ \\ \\ (4)$$\nγ) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:\n$$278\\le K\\le 283$$\n$$\\overset{(4)}{ \\Leftrightarrow} 278\\le \\dfrac{F-32}{1,8}+273\\le 283 $$\n$$\\Leftrightarrow 278-273\\le \\dfrac{F-32}{1,8}+273-273\\le 283-273 $$\n$$\\Leftrightarrow 5\\le \\dfrac{F-32}{1,8}\\le 10 $$\n$$\\Leftrightarrow 5\\cdot 1,8\\le 1,8\\cdot \\dfrac{F-32}{1,8}\\le 10\\cdot 1,8 $$\n$$\\Leftrightarrow 9\\le F-32\\le 18 $$\n$$\\Leftrightarrow 9+32\\le F-32+32\\le 18+32 $$\n$$\\Leftrightarrow 41\\le F\\le 50$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=(x-1)^2, x\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(f(\\sqrt{3})+f(-\\sqrt{3})=8\\).\nβ) Να βρείτε όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της \\(f\\), με συντεταγμένες ακέραιους αριθμούς, τα οποία βρίσκονται κάτω από την ευθεία \\(y=4\\).\nγ) Έστω \\(α, β\\) πραγματικοί αριθμοί με \\(α\\neq β\\) ώστε να ισχύει \\(f(α)=f(β)\\). Να αποδείξετε ότι \\(α+β=2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}&f(\\sqrt{3})+f(-\\sqrt{3})\\\\\n=&(\\sqrt{3}-1)^2+(-\\sqrt{3}-1)^2\\\\\n=&3+1-2\\sqrt{3}+3+1+2\\sqrt{3}\\\\\n=&4+4\\\\\n=&8\\end{align}\nβ) Ένα σημείο \\(Μ(x,f(x))\\) της γραφικής παράστασης της \\(f\\), βρίσκεται κάτω από την ευθεία \\(y=4\\) μόνο όταν ισχύει \\(f(x)< 4\\).\nΕίναι:\n\\begin{align}&f(x)< 4\\\\\n\\iff&(x-1)^2< 4\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x-1)^2}< \\sqrt{4}\\\\\n\\iff&|x-1|< 2\\\\\n\\iff&-2< x-1< 2\\\\\n\\iff&-1< x< 3\\\\\n\\iff&x\\in(-1,3)\\end{align}\nΟι ακέραιοι που περιέχονται στο διάστημα \\((-1,3)\\) είναι οι: \\(0,1,2\\) και επειδή \\(f(0)=1,f(1)=0, f(2)=1\\), τα ζητούμενα σημεία είναι τα \\(A(0,1), B(1,0), Γ(2,1)\\).\nγ) Αν \\(f(α)=f(β)\\), τότε:\n\\begin{align}&(α-1)^2=(β-1)^2\\\\\n\\Rightarrow&(α-1)^2-(β-1)^2=0\\\\\n\\Rightarrow&(α-1+β-1)(α-1-β+1)=0\\\\\n\\Rightarrow&(α+β-2)(α-β)=0.\\end{align}\nΗ τελευταία ισότητα, με \\(α\\neq β\\) δίνει:\n$$α+β-2=0\\Rightarrow α+β=2$$\nπου είναι το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς \\(3, 7, 11, 15,...\\) και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το \\(4\\). Σταματάει όταν έχει γράψει τους \\(40\\) πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.\nα) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Να βρείτε το άθροισμα των \\(40\\) αυτών αριθμών.\nγ) Είναι ο αριθμός \\(120\\) ένας από αυτούς τους \\(40\\) αριθμούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nδ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του Διονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκεί που είχε σταματήσει ο Διονύσης μέχρι να εμφανιστεί ο αριθμός \\(235\\). Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που έγραψε ο Γιώργος." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή κάθε όρος που προστίθεται προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, που είναι το \\(4\\), οι αριθμοί που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \\(α_1 = 3\\) και \\(ω = 4\\).\nβ) Είναι:\n$$S_{40}=\\dfrac{[2\\cdot 3+(40-1)\\cdot 4]\\cdot 40}{2}$$\n$$=(6+39\\cdot 4)\\cdot 20=3240$$\nγ) Για να είναι ο αριθμός \\(120\\) ένας από τους \\(40\\) αυτούς αριθμούς, πρέπει και αρκεί να υπάρχει φυσικός αριθμός \\(ν\\), ώστε:\n$$α_{ν}=120 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+(ν-1)\\cdot 4=120 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+4ν-4=120 $$\n$$\\Leftrightarrow 4ν=121 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=\\dfrac{121}{4}$$\nΟ αριθμός \\(\\dfrac{121}{4}\\) δεν είναι φυσικός και επομένως δεν μπορεί ο αριθμός \\(120\\) να είναι όρος της αριθμητικής προόδου.\nδ) Θα βρούμε ποιος όρος της προόδου είναι ο αριθμός \\(235\\). Είναι:\n$$α_{ν}=235 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+(ν-1)\\cdot 4=235 $$\n$$\\Leftrightarrow 3+4ν-4=235 $$\n$$\\Leftrightarrow 4ν=236 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=59$$\nΕίναι:\n$$S_{59}=\\dfrac{(α_{1}+α_{59})\\cdot 59}{2}$$\n$$=\\dfrac{(3+235)\\cdot 59}{2}=7021$$\nΤο ζητούμενο άθροισμα είναι:\n$$S=S_{59}-S_{40}$$\n$$=7021-3240=3781$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τριώνυμο \\(f(x)=-x^{2}+2x+3\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου:\n$$f(2,999)\\cdot f(-1,002)$$\nγ) Αν \\(-3<α<3\\), να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \\(-α^{2}+2|α|+3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(f(x)=-x^{2}+2x+3\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=2^{2}-4\\cdot (-1)\\cdot 3$$\n$$=4+12=16>0$$\nΤο άθροισμα των ριζών του είναι:\n$$S=x_{1}+x_{2}$$\n$$=\\dfrac{-2}{-1}=2$$\nκαι το γινόμενό τους είναι:\n$$P=x_{1}\\cdot x_{2}=\\dfrac{3}{-1}=-3$$\nΆρα \\(x_{1}=3\\), \\(x_{2}=-1\\) και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:\nΟπότε το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για \\(x\\in (-1,3)\\) και αρνητικές τιμές για \\(x\\in (-\\infty ,-1)\\cup (3,+\\infty)\\).\nβ) Εφόσον \\(2,999\\in (-1,3)\\), από τον παραπάνω πίνακα προσήμου θα είναι \\(f(2,999)>0\\) και επειδή \\(-1,002<-1\\) θα είναι \\(f(-1,002)<0\\). Άρα:\n$$f(2,999)\\cdot f(-1,002)<0$$\nγ) Αν:\n$$-3<α<3 \\Leftrightarrow |α|<3$$\nδηλαδή \\(0\\le |α|<3\\), τότε ο αριθμός \\(-α^{2}+2|α|+3=-|α|^{2}+2|α|+3=f(|α|)\\) είναι θετικός, όπως προκύπτει από τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου \\(f(x)=-x^{2}+2x+3\\) στο α) ερώτημα." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δύο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν μια επιχείρηση που γεμίζει τόνερ (toner) για φωτοτυπικά μηχανήματα.\nΤα πάγια μηνιαία έξοδα της εταιρείας ανέρχονται στο ποσό των \\(6500\\) ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, μισθούς, φόρους, κ.α.).\nΤο κόστος γεμίσματος ενός τόνερ είναι \\(15\\) ευρώ, η δε τιμή πώλησης του ενός τόνερ καθορίζεται σε \\(25\\) ευρώ.\nα) Να γράψετε μια σχέση που να περιγράφει το μηναίο κόστος \\(Κ(ν)\\) της επιχείρησης, εάν γεμίζει \\(ν\\) τόνερ το μήνα.\nβ) Να γράψετε μια σχέση που να περιγράφει τα μηναία έσοδα \\(Ε(ν)\\) της επιχείρησης από την πώληση \\(ν\\) τόνερ το μήνα.\nγ) Να βρείτε πόσα τόνερ πρέπει να πωλούνται κάθε μήνα ώστε η επιχείρηση\nνα μην έχει ζημιά.\nνα έχει μηνιαίο κέρδος τουλάχιστον \\(500\\) ευρώ." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μηναίο κόστος \\(Κ(ν)\\) της επιχείρησης, εάν γεμίζει \\(ν\\) τόνερ το μήνα, δίνεται από τη σχέση \\(Κ(ν)=6500+15ν\\) ευρώ, με \\(ν\\in N\\).\nβ) Τα μηναία έσοδα \\(Ε(ν)\\) της επιχείρησης από την πώληση \\(ν\\) τόνερ το μήνα, είναι \\(Ε(ν)=25ν\\), \\(ν\\in N\\).\nγ)\nΗ επιχείρηση δεν έχει ζημιά αν και μόνο αν \\(Κ(ν)\\le Ε(ν)\\), δηλαδή \\(6500+15ν\\le 25ν\\), οπότε \\(10ν\\ge 6500\\) και τελικά \\(ν\\ge 650\\). Οπότε πρέπει να πωλούνται τουλάχιστον \\(650\\) τόνερ κάθε μήνα ώστε η επιχείρηση να μην έχει ζημιά.\nΤο μηνιαίο κέρδος δίνεται από τη σχέση:\n\\(Ε(ν)-Κ(ν)=25ν-(6500+15ν)=10ν-6500\\). Η επιχείρηση έχει τουλάχιστον \\(500\\) ευρώ μηνιαίο κέρδος αν και μόνο αν:\n$$10ν-6500\\ge 500 $$\n$$\\Leftrightarrow 10ν\\ge 7000 $$\n$$\\Leftrightarrow ν\\ge 700$$\nΕπομένως η επιχείρηση πρέπει να πουλήσει τουλάχιστον \\(700\\) τόνερ το μήνα." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν \\(α\\), \\(β\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:\n$$α+β=2\\ \\ \\text{και}\\ \\ α^{2}β+αβ^{2}=−30$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(α\\cdot β=−15\\).\nβ) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \\(α\\), \\(β\\) και να τους βρείτε." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$ α^{2}β+αβ^{2}=−30 $$\n$$\\Leftrightarrow αβ(α+β)=−30 $$\n$$\\Leftrightarrow αβ\\cdot 2=−30 $$\n$$\\Leftrightarrow αβ=−15 $$\nβ) Η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής:\n$$x^{2}−Sx+P=0$$\nμε:\n$$S=α+β=2\\ \\ \\text{και}\\ \\ P=αβ=−15$$\nΤελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^{2}−2x−15=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}−2x−15\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}−4αγ$$\n$$=(−2)^{2}−4\\cdot 1\\cdot (−15)$$\n$$=4+60=64 > 0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης είναι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}$$\n$$=\\dfrac{-(-2)\\pm \\sqrt{64}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{2\\pm 8}{2}=5\\ \\ \\text{ή}\\ \\ -3$$\nΆρα είναι \\(α=5\\) και \\(β=−3\\) ή \\(α=−3\\) και \\(β=5\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(α,β\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: \\(0<α<β.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\dfrac{3}{β} \\lt \\dfrac{3}{α}\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(α^3+\\dfrac{3}{β}<β^3+\\dfrac{3}{α}.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Με \\(0<α<β\\) έχουμε \\(\\dfrac{1}{α} \\gt \\dfrac{1}{β}\\), οπότε \\(\\dfrac{3}{α} \\gt \\dfrac{3}{β}\\).\nΕπομένως, \\(\\dfrac{3}{β} \\lt \\dfrac{3}{α}.\\)\nβ) Με \\(0<α<β\\) έχουμε \\(α^3<β^3.\\)\nΕπιπλέον, από το ερώτημα (α) είναι \\(\\dfrac{3}{β} \\lt \\dfrac{3}{α}\\), οπότε με πρόσθεση των δυο ανισοτήτων παίρνουμε: \\(α^3+\\dfrac{3}{β}<β^3+\\dfrac{3}{α}\\) που είναι το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=\\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-1}.$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, \\(A\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(f(x)=x^2-6x+8,\\ x\\in A\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) δεν είναι πάνω από την ευθεία \\(y=3\\).\nδ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) με \\(g(x)=x^4-6x-4\\) τέμνει την γραφική παράσταση της \\(f\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$x-1\\neq 0\\iff x\\neq 1$$\nκαι άρα \\(A=\\mathbb{R}-\\{1\\}\\).\nβ) Το τριώνυμο \\(x^2-5x+4\\) έχει ρίζες τις \\(1\\) και \\(4\\), οπότε είναι\n$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$$\nκαι επομένως:\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{(x-2)(x-4)(x-1)}{x-1}\\\\\n&=(x-2)\\cdot (x-4)\\\\\n&=x^2-6x+8,\\ x\\in A.\\end{align}\nγ) Έχουμε:\n\\begin{align}&f(x)\\leq 3\\\\\n\\iff& x^2-6x+8\\leq 3\\\\\n\\iff& x^2-6x+5\\leq 0.\\end{align}\nΤο πρόσημο του τριωνύμου \\(x^2-6x+5\\) φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και η ανίσωση \\(x^2-6x+5\\leq 0\\) αληθεύει για \\(x\\in[1,5]\\). Όμως \\(x\\neq 1\\), οπότε \\(x\\in(1,5]\\).\nδ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της \\(g\\) με τη γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης:\n\\begin{align}&f(x)=g(x)\\\\\n\\iff&x^4-6x-4=x^2-6x+8\\\\\n\\iff&x^4-x^2-12=0,\\end{align}\nη οποία θέτοντας \\(x^2=ω\\) γίνεται \\(ω^2-ω-12=0\\) με ρίζες \\(ω=-3\\) (απορρίπτεται) και \\(ω=4\\) (δεκτή). Άρα\n$$x^2=4\\iff x=\\pm 2.$$\nΓια \\(x=-2\\) έχουμε\n\\begin{align}f(-2)&=(-2)^2-6\\cdot(-2)+8\\\\\n&=4+12+8\\\\\n&=24\\end{align}\nκαι για \\(x=2\\) έχουμε\n\\begin{align}f(2)&=2^2-6\\cdot 2+8\\\\\n&=4-12+8\\\\\n&=0.\\end{align}\nτελικά τα ζητούμενα κοινά σημεία είναι \\(Β(-2,24)\\) και \\(Γ(2,0)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί: \\(A=\\dfrac{1}{5+\\sqrt{5}}\\), \\(B=\\dfrac{1}{5−\\sqrt{5}}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι:\ni) \\(A+B=\\dfrac{1}{2}\\)\ni) \\(A\\cdot B=\\dfrac{1}{20}\\)\nβ) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \\(Α\\) και \\(Β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni) Είναι:\n$$A+B=\\dfrac{1}{5+\\sqrt{5}}+\\dfrac{1}{5−\\sqrt{5}}$$\n$$ =\\dfrac{5−\\sqrt{5}}{(5+\\sqrt{5})(5−\\sqrt{5})}+\\dfrac{5+\\sqrt{5}}{(5+\\sqrt{5})(5−\\sqrt{5})}$$\n$$=\\dfrac{5−\\sqrt{5}+5+\\sqrt{5}}{(5+\\sqrt{5})(5−\\sqrt{5})}$$\n$$=\\dfrac{10}{5^{2}−\\sqrt{5}^{2}}=\\dfrac{10}{25−5}$$\n$$=\\dfrac{10}{20}=\\dfrac{1}{2}$$\nΙσχύει ότι:\n$$A \\cdot B = \\dfrac{1}{5+\\sqrt{5}}\\cdot \\dfrac{1}{1-\\sqrt{5}}$$\n$$= \\dfrac{1}{(5+\\sqrt{5})(5-\\sqrt{5})}$$\n$$= \\dfrac{1}{5^2-(\\sqrt{5})^2}$$\n$$=\\dfrac{1}{25−5}=\\dfrac{1}{20}$$\nβ) Μία ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: \\(x^{2}−Sx+P=0,\\) με\n$$S=A+B=\\dfrac{1}{2}$$\nκαι\n$$P=A\\cdot B=\\dfrac{1}{20}$$\nΤελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^2-\\dfrac{1}{2}x + \\dfrac{1}{20}=0$$\n$$\\Leftrightarrow 20x^2-10x+1=0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω μία αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με διαφορά \\(ω=3\\). Αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα \\(Δ=[2,8]\\) υπάρχουν ακριβώς \\(3\\) διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\),\nα) Να εξετάσετε αν ο αριθμός μηδέν είναι όρος της \\((α_{ν})\\).\nβ) Να βρείτε τους \\(3\\) διαδοχικούς όρους της \\((α_{ν})\\) που υπάρχουν στο \\(Δ=[2,8]\\).\nγ) Αν \\(α_{6}=14\\),\nνα βρείτε τον \\(α_{1}\\).\nνα βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\) που πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμα να είναι μεγαλύτερο του \\(186\\).\n(Δίνεται \\(\\sqrt{4489}=67\\))" }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν ο μηδέν ήταν όρος της \\((α_{ν})\\), τότε δεδομένου ότι \\(ω=3\\), οι επόμενοι όροι της \\((α_{ν})\\) θα ήταν οι αριθμοί \\(3\\), \\(6\\), \\(9\\), πράγμα άτοπο διότι τότε δεν θα υπήρχαν στο διάστημα \\(Δ=[2,8]\\) ακριβώς \\(3\\) όροι της \\((α_{ν})\\). Συνεπώς ο αριθμός μηδέν δεν μπορεί να είναι όρος της \\((α_{ν})\\).\nβ) Αφού \\(ω=3\\), οι \\(3\\) ζητούμενοι όροι της \\((α_{ν})\\) θα είναι της μορφής \\(x\\), \\(x+3\\), \\(x+6\\) και για να ανήκουν στο διάστημα \\(Δ\\) πρέπει και αρκεί \\(2\\le x\\) και \\(x+6\\le 8 \\Leftrightarrow x\\le 2\\). Συνεπώς \\(2\\le x\\le 2\\) δηλαδή \\(x=2\\) και οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι \\(2\\), \\(5\\), \\(8\\).\nγ)\nΕίναι:\n$$α_{6}=α_{1}+(6-1)\\cdot ω $$\n$$\\Leftrightarrow 14=α_{1}+15 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=-1$$\nΑναζητούμε τη μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \\(ν\\) ώστε \\(S_{v}>186\\) δηλαδή ισοδύναμα\n$$\\dfrac{(2α_{1}+(ν-1)\\cdot ω)ν}{2}>186 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{(-2+(ν-1)\\cdot 3)ν}{2}>186 $$\n$$\\Leftrightarrow 3ν^{2}-5ν>372 $$\n$$\\Leftrightarrow 3ν^{2}-5ν-372>0$$\nΤο τριώνυμο \\(3ν^{2}-5ν-372\\) έχει ρίζες τους αριθμούς \\(12\\) και \\(-\\dfrac{31}{3}\\) και για να είναι θετικό θα πρέπει \\(ν>12\\) ή \\(ν<-\\dfrac{31}{3}\\).\nΣυνεπώς η μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \\(ν\\) ώστε \\(S_{v}>186\\) είναι \\(13\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \\(x\\) για τον οποίο ισχύει \\(|x-3| < 5\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(x\\in(-2,8)\\).\nβ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(|x-3| < 5\\).\nγ) Αν \\(A\\) το σύνολο που έχει στοιχεία τις ακέραιες τιμές του \\(x\\) που βρήκατε στο (β) ερώτημα και \\(B\\) το σύνολο με \\(B=\\{-3,-2,-1,0,3,4\\}\\), να παραστήσετε τα σύνολα \\(A\\cup B\\) και \\(A\\cap B\\) με αναγραφή των στοιχείων τους." }, { "from": "assistant", "value": "α)\n\\begin{align}&|x-3| < 5\\\\\n\\iff&-5 < x-3 <5\\\\\n\\iff&-2 < x < 8\\\\\n\\iff&x\\in(-2,8).\\end{align}\nβ) Οι ακέραιες τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(|x-3| < 5\\) είναι οι ακέραιοι αριθμοί που ανήκουν στο διάστημα \\((-2, 8)\\), δηλαδή οι:\n$$-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4,\\ 5,\\ 6,\\ 7.$$\nγ) Είναι \\(A=\\{-1,0,1,2,3,4,5,6,7\\}\\) και \\(B=\\{-3,-2,-1,0,3,4\\}\\) οπότε:\n$$A\\cup B=\\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\\}$$\nκαι\n$$A\\cap B=\\{-1,0,3,4\\}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τριώνυμο \\(2x^2+3x-5\\).\nα) Να εξετάσετε αν το \\(1\\), είναι ρίζα του τριωνύμου\nβ) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Παρατηρούμε ότι: \\(2\\cdot 1^2 + 3\\cdot 1 -5=2+3-5=0\\), οπότε το \\(x_1=1\\) είναι ρίζα του τριωνύμου.\nβ) Για να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο, θα βρούμε και την δεύτερη ρίζα του χρησιμοποιώντας το γινόμενο των ριζών \\(x_1 \\cdot x_2=\\dfrac{-5}{2}=-\\dfrac{5}{2}\\).\nΟπότε:\n$$x_1 \\cdot x_2=-\\dfrac{5}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 1 \\cdot x_2=-\\dfrac{5}{2}$$\n$$x_2=-\\dfrac{5}{2}$$\nΆρα, το τριώνυμο \\(2x^{2} + 3x - 5\\) παραγοντοποιείται ως εξής:\n\\begin{align} 2x^{2} + 3x - 5 &= 2 (x - 1) \\bigg( x - \\Big( - \\dfrac{5}{2} \\Big) \\bigg) \\\\\n& = 2 (x - 1) \\bigg( x + \\dfrac{5}{2} \\bigg) \\\\\n& = (x-1) (2x+5) \\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με \\(f(x)=\\dfrac{x^2-4}{x-2}.\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(A\\) της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Ανήκει το σημείο \\(M(1,\\ 3)\\) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\);\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει: \\(x-2\\neq 0 \\Leftrightarrow x\\neq 2.\\)\nΣυνεπώς, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το \\(A=\\Bbb{R}-{2}.\\)\nβ) Το σημείο \\(M(1,3)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\), γιατί \\(f(1)=\\dfrac{1-4}{1-2}=\\dfrac{-3}{-1}=3.\\)\nγ) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(y'y\\) άξονα στο σημείο \\((0,\\ 2)\\) και τον \\(x'x\\) άξονα στο σημείο \\((-2,0)\\), αφού\nγια \\(x=0\\), έχουμε:\n$$f(0)=\\dfrac{0-4}{0-2}=\\frac{-4}{-2}=2$$\nκαι για \\(y=f(x)=0\\), έχουμε:\n$$0=\\frac{x^2-4}{x-2}$$\n$$\\Leftrightarrow x^2-4=0$$\n$$\\Leftrightarrow (x+2)(x-2)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x+2=0 \\text{ ή } x-2=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=-2 \\text{(δεκτή) ή } x=2 \\text{(απορρίπτεται).}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας \\((α_ν)\\) είναι\n$$α_1+α_2+\\dots+α_ν=S_ν=2ν^2 + 3ν,$$\nμε \\(ν\\in\\mathbb{N}\\) και \\(ν\\geq 1\\).\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_1\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι\n$$S_{ν-1} = 2ν^2-ν-1,\\ ν\\geq2.$$\nγ) Να αποδείξετε ότι\n$$α_ν=4ν+1,\\ ν\\geq1$$\nδ) Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, της οποίας να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Προφανώς\n$$α_1=S_1=2\\cdot 1^2+3\\cdot 1=5.$$\nβ) Θέτοντας όπου \\(ν\\) το \\(ν-1\\), παίρνουμε:\n\\begin{align}S_ν−1&=2(ν-1)^2+3(ν-1)\\\\\n&= 2(ν^2-2ν+1)+3ν-3\\\\\n&=2ν^2-4ν+2+3ν-3\\\\\n&=2ν^2-ν-1\\end{align}\nγια κάθε \\(ν\\geq 2\\).\nγ) Για κάθε \\(ν\\geq 2\\), έχουμε\n\\begin{align}α_ν&=(α_1+α_2+\\dots+α_{ν-1}+α_ν)\\\\\n&\\phantom{=}-(α_1+α_2+\\dots+α_ν)\\\\\n&= S_ν-𝑆_{ν-1}\\\\\n&= 2ν^2 + 3ν - (2ν^2-ν-1)\\\\\n&= 2ν^2 + 3ν - 2ν^2+ν+1\\\\\n&= 4ν+1.\\end{align}\nΑλλά \\(α_1=5=4\\cdot 1+1\\). Ώστε \\(α_ν=4ν+1\\), για κάθε \\(ν\\geq 1\\).\nδ) Για να είναι η ακολουθία \\((α_ν)\\) αριθμητική πρόοδος, θα πρέπει η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων να είναι σταθερή. Πράγματι:\n\\begin{align}α_{ν+1}-α_ν&=[4(ν+1)+1]-[4ν+1]\\\\\n&=4ν+4+1-4ν-1\\\\\n&=4.\\end{align}\nΆρα η διαφορά \\(ω\\) είναι ίση με \\(4\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x+\\dfrac{1}{x},\\ \\ x\\ne 0\\).\nα) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \\(A=f(\\dfrac{1}{2})+f(1)−f(2)\\).\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=\\dfrac{5}{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύουν:\n$$f(\\dfrac{1}{2})=\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{\\dfrac{1}{2}}$$\n$$=\\dfrac{1}{2}+2=\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{4}{2}=\\dfrac{5}{2}$$\n$$f(1)=1+\\dfrac{1}{1}$$\n$$=1+1=2$$\n$$f(2)=2+\\dfrac{1}{2}$$\n$$=\\dfrac{4}{2}+\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{5}{2}$$\nΟπότε:\n$$A=f(\\dfrac{1}{2})+f(1)-f(2)$$\n$$=\\dfrac{5}{2}+2-\\dfrac{5}{2}=2$$\nβ) Ισχύει ότι:\n$$ f(x)=\\dfrac{5}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow x+\\dfrac{1}{x}=\\dfrac{5}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x^{2}+1}{x}=\\dfrac{5}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2(x^{2}+1)=5x $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}+2=5x $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-5x+2=0$$\nΤο τριώνυμο \\(2x^{2}-5x+2\\) έχει \\(α=2\\), \\(β=-5\\), \\(γ =2\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-5)^{2}-4\\cdot 2\\cdot 2$$\n$$=25-16=9>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}$$\n$$=\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{9}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{5\\pm 3}{4}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{5+3}{4}=2 \\\\ \\dfrac{5-3}{4}= \\dfrac{1}{2} \\end{cases}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\((λ-1)x=λ^{2}-1\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R},\\ (1)\\)\nα) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές τιμές για το \\(λ\\), να γράψετε τρεις εξισώσεις.\nβ)\ni. Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), ώστε η \\((1)\\) να έχει μια και μοναδική λύση.\nii. Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), ώστε η μοναδική λύση της εξίσωσης \\((1)\\) να ισούται με \\(4\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για \\(λ=0\\), η εξίσωση γίνεται: \\(-1x=-1\\).\nΓια \\(λ=1\\), η εξίσωση γίνεται: \\(0x=0\\).\nΓια \\(λ=3\\), η εξίσωση γίνεται: \\(2x=8\\).\nβ)\ni. H \\((1)\\) έχει μια και μοναδική λύση αν και μόνο αν \\(λ-1\\ne 0\\), δηλαδή \\(λ\\ne 1\\).\nii. Για \\(λ\\ne 1\\), η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι: \\(x=\\dfrac{λ^{2}-1}{λ-1}=\\dfrac{(λ-1)(λ+1)}{λ-1}=λ+1\\)\nΗ λύση ισούται με \\(4\\), οπότε \\(λ+1=4 \\Leftrightarrow λ=3\\).\nΆρα, για \\(λ=3\\) η λύση της εξίσωσης ισούται με \\(4\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν οι αριθμοί \\(2α-1\\) και \\(β-1\\) είναι αντίστροφοι, με \\(α \\ne 1\\) και \\(β\\ne 1\\) να δείξετε ότι:\nα) \\(2α+β=2αβ\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(x=α-β\\) και \\(y=α(1-2β)+2β\\) είναι αντίθετοι." }, { "from": "assistant", "value": "α) Εφόσον οι αριθμοί \\(2α-1\\) και \\(β-1\\) είναι αντίστροφοι με \\(α \\ne 1\\) και \\(β\\ne 1\\) έχουμε:\n$$(2α-1)(β-1)=1 $$\n$$\\Leftrightarrow 2αβ-β-2α+1=1 $$\n$$\\Leftrightarrow 2αβ=2α+β$$\nβ) Για να είναι οι αριθμοί \\(x\\) και \\(y\\) αντίθετοι αρκεί να δείξουμε ότι:\n$$x+y=0$$\nΣυνεπώς:\n$$x+y=(α-β)+α(1-2β)+2β$$\n$$=α-β+α-2αβ+2β$$\n$$=2α+β-2αβ=0$$\nΕπομένως είναι πράγματι αντίθετοι." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε ένα γυμναστήριο με \\(10\\) σειρές καθισμάτων, η πρώτη σειρά έχει \\(120\\) καθίσματα και κάθε σειρά έχει \\(20\\) καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της.\nα) Να εκφράσετε με μια αριθμητική πρόοδο το πλήθος των καθισμάτων της \\(ν\\)-οστής σειράς.\nβ) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά;\nγ) Πόσα καθίσματα έχει το γυμναστήριο;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τα δεδομένα της άσκησης είναι \\(α_{1}=120\\) και \\(ω=20\\). Τότε:\n$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=120+(ν-1)20 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=100+20ν$$\nβ) Η τελευταία σειρά έχει:\n$$α_{10}=100+20\\cdot 10 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{10}=100+200 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{10}=300\\ \\text{καθίσματα}$$\nγ) Το γυμναστήριο έχει συνολικά:\n$$S_{10}=\\dfrac{10}{2}(α_{1}+α_{10})$$\n$$=5(120+300)$$\n$$=5\\cdot 420$$\n$$=2100\\ \\text{καθίσματα}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε ότι \\((2-\\sqrt{5})^{2}=9-4\\sqrt{5}\\) και να υπολογίσετε το ανάπτυγμα \\((2+\\sqrt{5})^{2}\\).\nβ) Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών \\(9-4\\sqrt{5}\\) και \\(9+4\\sqrt{5}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$(2-\\sqrt{5})^{2}=4-4\\sqrt{5}+\\sqrt{5}^{2}$$\n$$=4-4\\sqrt{5}+5$$\n$$=9-4\\sqrt{5}$$\nΟμοίως έχουμε:\n$$(2+\\sqrt{5})^{2}=4+4\\sqrt{5}+\\sqrt{5}^{2}$$\n$$=4+4\\sqrt{5}+5$$\n$$=9+4\\sqrt{5}$$\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε:\n$$\\sqrt{9-4\\sqrt{5}}=\\sqrt{(2-\\sqrt{5})^{2}}$$\n$$=|2-\\sqrt{5}|$$\n$$=\\sqrt{5}-2$$\nαφού ο αριθμός \\(2-\\sqrt{5}\\) είναι αρνητικός οπότε:\n$$|2-\\sqrt{5}|=\\sqrt{5}-2$$\nΕπίσης:\n$$\\sqrt{9+4\\sqrt{5}}=\\sqrt{(2+\\sqrt{5})^{2}}$$\n$$=|2+\\sqrt{5}|$$\n$$=2+\\sqrt{5}$$\nαφού ο αριθμός \\(2+\\sqrt{5}\\) είναι θετικός, οπότε:\n$$|2+\\sqrt{5}|=2+\\sqrt{5}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \\(2x^2 - x - 6=0\\ \\ \\ \\ (1)\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση: \\(|x-1|<2\\ \\ \\ \\ (2)\\).\nγ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του \\(x\\) που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις \\((1)\\) και \\((2)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(2x^{2}–x–6\\) έχει \\(α=2\\), \\(β=–1\\), \\(γ=–6\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}–4αγ=(–1)^{2}–4\\cdot 2\\cdot (–6)=1+48=49>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{1,2}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{49}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{1\\pm 7}{4}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{1+7}{4} =2 \\\\ \\dfrac{1-7}{4} = - \\dfrac{3}{2} \\end{cases} $$\nβ) Είναι:\n$$|x–1| < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow –2 < x–1 < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow –2+1 < x–1+1 < 2+1 $$\n$$\\Leftrightarrow –1 < x < 3 $$\nγ) Η τιμή του \\(x\\) που ικανοποιεί ταυτόχρονα τις σχέσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) είναι η \\(x = 2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α,\\ β\\) για τους οποίους ισχύει \\(2\\leq α\\leq 3\\) και \\(-2\\leq β\\leq -1\\).\nα) Να δείξετε ότι \\(|α-3|=3-α\\) και \\(|β+2|=β+2\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(0\\leq α+β\\leq 2\\).\nγ) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης \\(|α+β|+|α-3|-|β+2|\\) είναι ίση με \\(1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(2\\leq α\\leq 3\\) οπότε \\(α-3\\leq 0\\) και άρα \\(|α-3|=3-α\\).\nΕπίσης είναι \\(-2\\leq β\\leq -1\\) οπότε \\(β+2\\geq 0\\) και άρα \\(|β+2|=β+2\\).\nβ) Με πρόσθεση κατά μέλη των \\(2\\leq α\\leq 3\\) και \\(-2\\leq β\\leq -1\\) έχουμε ότι \\(0\\leq α+β\\leq 2\\).\nγ) Από το (β) ερώτημα έχουμε ότι \\(0\\leq α+β\\leq 2\\) οπότε \\(|α+β|=α+β\\).\nΣυνεπώς η παράσταση γίνεται:\n\\begin{align}&\\phantom{=}|α+β|+|α-3|-|β+2|\\\\\n&=α+β+3-α-(β+2)\\\\\n&=α+β+3-α-β-2\\\\\n&=1.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^{2}-x-2=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό \\(-1\\).\nβ) Να βρείτε και τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\).\nγ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: \\(Α=\\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}+x}\\), \\(x\\ne 0\\), \\(x\\ne -1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Παρατηρούμε ότι \\((-1)^{2}-(-1)-2=1+1-2=0\\), οπότε ο αριθμός \\(-1\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\).\nβ) Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης ισούται με \\(\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{-2}{1}=-2\\) και η μια ρίζα της είναι \\(x_{1}=-1\\) Άρα για την δεύτερη ρίζα της εξίσωσης έχουμε:\n$$x_{1}\\cdot x_{2}=-2 $$\n$$\\Leftrightarrow -1\\cdot x_{2}=-2 $$\n$$\\Leftrightarrow x_{2}=2$$\nγ) Από τα προηγούμενα ερωτήματα οι ρίζες του τριωνύμου \\(x^{2}-x-2\\) είναι \\(x_{1}=-1\\) και \\(x_{2}=2\\). Οπότε παραγοντοποιείται ως εξής:\n$$x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$$\nΗ παράσταση γίνεται:\n$$Α=\\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}+x}$$\n$$=\\dfrac{(x-2)(x+1)}{x(x+1)}$$\n$$=\\dfrac{x-2}{x}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\sqrt{x-2}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.\nβ) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \\(f\\) για όποιους από τους αριθμούς \\(-1,\\ \\dfrac{\\sqrt{2}}{2},\\ 6\\) είναι αυτό δυνατό." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\), για τους οποίους ισχύει:\n$$x-2\\geq 0.$$\nΕπομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(A=[2,+\\infty)\\).\nβ) Από τους αριθμούς \\(-1,\\ \\dfrac{\\sqrt{2}}{2},\\ 6\\) ισχύει ότι \\(6\\in A\\), οπότε είναι δυνατό να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης\n$$f(6)=\\sqrt{6-2}=\\sqrt{4}=2.$$\nΌμως, \\(-1 < 2\\), άρα \\(-1\\) δεν ανήκει στο \\(A\\).\nΑκόμα \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} < 2\\), διότι ισοδύναμα \\(\\sqrt{2} < 4\\).\nΣυνεπώς για τους αριθμούς \\(-1\\) και \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) η συνάρτηση \\(f\\) δεν ορίζεται." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \\((α_ν)\\), για την οποία ισχύει \\(\\dfrac{α_{5}}{α_{2}}=27\\).\nα) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι \\(λ = 3.\\)\nβ) Αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι \\(200\\), να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align} & \\dfrac{α_{5}}{α_{2}} = 27 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\dfrac{α_{1}λ^{5-1}}{α_{1}λ^{2-1}} = 27 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\dfrac{λ^{4}}{λ} = 27 \\\\\n\\Leftrightarrow & λ^3 = 27 \\\\\n\\Leftrightarrow & λ^3 = 3^3\\\\\n\\Leftrightarrow & λ = 3 \\end{align}\nβ) Ισχύει ότι:\n\\begin{align} & S_4 = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & α_1 \\dfrac{λ^{4}-1}{λ-1} = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & α_1 \\dfrac{3^{4}-1}{3-1} = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & α_1 \\dfrac{81-1}{2} = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & 40α_1 = 200 \\\\\n\\Leftrightarrow & α_1 = 5 \\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(A=\\sqrt{(x-2)^{2}}\\) και \\(B=\\sqrt[3]{(2-x)^{3}}\\), όπου \\(x\\) πραγματικός αριθμός.\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(A\\) ;\nβ) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(B\\) ;\nγ) Να δείξετε ότι, για κάθε \\(x\\le 2\\), ισχύει \\(A=B\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η παράσταση \\(Α\\) ορίζεται για εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) που ισχύει:\n$$(x–2)^{2}\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow x\\in \\mathbb{R}$$\nβ) Η παράσταση \\(Β\\) ορίζεται για εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού \\(x\\) που ισχύει:\n$$(2–x)^{3}\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow 2–x\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow –x\\ge –2 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\le 2$$\nγ) Για κάθε \\(x \\le 2\\), είναι:\n\\begin{align} A & =\\sqrt{(x-2)^{2}}\\\\\n&=|x–2|=–(x–2)=2–x \\end{align}\nκαι\n$$B=\\sqrt{(2-x)^{3}}=2-x$$\nΆρα \\(Α=Β\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με θετικό λόγο \\(λ\\), για την οποία ισχύει: \\(α_{3}=1\\) και \\(α_{5}=4\\).\nα) Να βρείτε τον λόγο \\(λ\\) της προόδου και τον πρώτο όρο της.\nβ) Να δείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: \\(α_{ν}=2^{ν-3}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$\\begin{cases} α_{3}=1 \\\\ α_{5}=4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α_{1}\\cdot λ^{2}=1 \\\\ α_{1}\\cdot λ^{4}=4 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(:)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} λ^{2}=4 \\\\ α_{1}\\cdot λ^{2}=1 \\end{cases}$$\n$$\\overset{λ>0}{\\Leftrightarrow }\\begin{cases} λ=2 \\\\ α_{1}=\\dfrac{1}{4} \\end{cases}$$\nβ) Ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδουείναι: \\(α_{ν}=α_{1}\\cdot λ^{ν-1}\\), οπότε:\n$$α_{ν}=\\dfrac{1}{4}\\cdot 2^{1}$$\n$$=\\dfrac{1}{2^{2}}\\cdot 2^{ν-1}$$\n$$=\\dfrac{2^{ν-1}}{2^{2}}=2^{ν-3}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ο Θοδωρής γράφει διαδοχικά και επαναλαμβανόμενα τα γράμματα της λέξης «ΑΛΓΕΒΡΑ». Στην πρώτη θέση το \\(Α\\), στη δεύτερη το \\(Λ\\), κοκ. Έτσι, σχηματίζεται η διαδοχή γραμμάτων\n$$ΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑ\\dots$$\nα) Να αποδείξετε ότι οι θέσεις, στην διαδοχή, όπου συναντάμε το γράμμα \\(Β\\) σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο \\(α_ν\\) με \\(α_1=5\\), και να βρείτε τη διαφορά της.\nβ) Να βρείτε σε ποια θέση της διαδοχής συναντάμε για \\(23^\\text{η}\\) φορά το γράμμα \\(Β\\).\nγ) Να βρείτε το γράμμα που βρίσκεται στην \\(200^\\text{η}\\) θέση στην παραπάνω διαδοχή." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το γράμμα \\(Β\\) υπάρχει ακριβώς μια φορά στη λέξη «ΑΛΓΕΒΡΑ». Την πρώτη φορά που το συναντάμε είναι στην \\(5^\\text{η}\\) θέση της διαδοχής και επειδή η λέξη έχει \\(7\\) γράμματα, η δεύτερη εμφάνιση του γράμματος \\(Β\\) είναι στην \\(12^\\text{η}\\) θέση και κάθε εμφάνισή του είναι \\(7\\) θέσεις μετά την προηγούμενη. Έτσι, η ακολουθία που σχηματίζουν οι θέσεις που συναντάμε το γράμμα \\(Β\\) είναι αριθμητική πρόοδος με \\(α_1=5\\) και \\(ω=7\\).\nβ) Αρκεί να βρούμε τον \\(23^\\text{ο}\\) όρο της προόδου. Είναι:\n\\begin{align}α_{23}&=α_1+22ω\\\\\n&=5+22\\cdot 7\\\\\n&=159.\\end{align}\nΕπομένως, η \\(23^\\text{η}\\) φορά που συναντάμε το γράμμα \\(Β\\) είναι στην \\(159^\\text{η}\\) θέση.\nγ) Αν διαιρέσουμε τον αριθμό \\(200\\) με το \\(7\\), βρίσκουμε πηλίκο \\(28\\) και υπόλοιπο \\(4\\), οπότε \\(200=7\\cdot 28+4\\). Έτσι, μέχρι την \\(196^\\text{η}\\) θέση έχουμε \\(28\\) φορές επανάληψη της λέξης «ΑΛΓΕΒΡΑ» οπότε το γράμμα που βρίσκεται στην \\(200^\\text{η}\\) θέση είναι το \\(4^\\text{ο}\\) γράμμα της λέξης, δηλαδή είναι το γράμμα \\(Ε\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Για την ενοικίαση ενός συγκεκριμένου τύπου αυτοκινήτου για μια ημέρα, η εταιρία \\(Α\\) χρεώνει τους πελάτες της σύμφωνα με τον τύπο:\n$$y=60+0,20x$$\nΌπου \\(x\\) είναι η απόσταση που διανύθηκε σε \\(km\\) και \\(y\\) το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.\nα) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας \\(Α\\) ο οποίος, σε μια ημέρα, ταξίδεψε \\(400\\ Km\\);\nβ) Πόσα χιλιόμετρα ταξίδεψε ένας πελάτης ο οποίος για μια ημέρα πλήρωσε \\(150\\) ευρώ;\nγ) Μια άλλη εταιρεία, η \\(Β\\), χρεώνει τους πελάτες της ανά ημέρα σύμφωνα με τον τύπο:\n$$y=80+0,10x$$\nόπου, όπως και προηγουμένως, \\(x\\) είναι η απόσταση που διανύθηκε σε \\(km\\) και \\(y\\) είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε ποια από τις δύο εταιρείες μας συμφέρει να επιλέξουμε, ανάλογα με την απόσταση που σκοπεύουμε να διανύσουμε.\nδ) Αν:\n$$f(x)=60+0,20x\\ \\ \\text{και}\\ \\ g(x)=0,80+0,10x$$\nείναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών \\(Α\\) και \\(Β\\) αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιμή κάθε μιας από τις συντεταγμένες σε σχέση με το πρόβλημα το ερωτήματος γ)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται \\(x=400\\) και βρίσκουμε:\n$$y=60+0,20\\cdot 400=140\\ \\text{ευρώ}$$\nβ) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται \\(y=150\\) και βρίσκουμε:\n$$150=60+0,20x $$\n$$\\Leftrightarrow 90=0,20x $$\n$$\\Leftrightarrow x=450\\ km$$\nγ) Η εταιρεία \\(Α\\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \\(Β\\) αν και μόνο αν:\n$$60+0,20x<80+0,10x $$\n$$\\Leftrightarrow 0,20x-0,10x<80-60 $$\n$$\\Leftrightarrow 0,10x<20 $$\n$$\\Leftrightarrow x<200\\ km$$\nΣυνεπώς η εταιρεία \\(Α\\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \\(Β\\) αν ο πελάτης διανύσει λιγότερα από \\(200\\ km\\). Με τον ίδιο συλλογισμό, συμπεραίνουμε ότι η εταιρεία \\(Β\\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \\(Α\\) αν ο πελάτης διανύσει περισσότερα από \\(200\\ km\\).\nδ) Επειδή o αριθμός \\(x\\) εκφράζει απόσταση θα πρέπει \\(x\\ge 0\\). Άρα, οι συναρτήσεις \\(f\\) και \\(g\\) έχουν πεδίο ορισμού το \\([0,+\\infty)\\). Οι τετμημένες των σημείων τομής προκύπτουν από τις λύσεις της εξίσωσης:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 60+0,20x=80+0,10x $$\n$$\\Leftrightarrow 0,20x-0,10x=80-60 $$\n$$\\Leftrightarrow 0,10x=20 $$\n$$\\Leftrightarrow x=200>0\\ \\ \\text{αποδεκτή}$$\nΓια \\(x=200\\) είναι \\(f(200)=60+0,20\\cdot 200=60+40=100\\). Άρα, το σημείο τομής είναι το \\(Α(200,100)\\).\nΗ τετμημένη \\(x=200\\) του σημείου \\(Α\\) εκφράζει τα χιλιόμετρα που θα πρέπει να διανύσει κάποιος με το αυτοκίνητο ώστε να πληρώσει και στις δύο εταιρείες το ίδιο ποσό, που εκφράζει η τεταγμένη \\(y=100\\), έχοντας διανύσει τα ίδια χιλιόμετρα." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Οι αριθμοί \\(Α=1\\), \\(Β=x+4\\), \\(Γ=x+8\\), είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\).\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\).\nβ) Αν \\(x=1\\) και ο αριθμός \\(Α\\) είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\).\ni. να υπολογίσετε τη διαφορά \\(ω\\).\nii. να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθμητικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$Β=\\dfrac{Α+Γ}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow x+4=\\dfrac{1+x+8}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2(x+4)=9+x $$\n$$\\Leftrightarrow 2x+8=x+9 $$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nβ)\ni. Για \\(x=1\\) είναι \\(Α=1\\), \\(Β=5\\) και \\(Γ=9\\). Τότε:\n$$ω=Β-Α=5-1=4$$\nii. Είναι:\n$$α_{20}=α_{1}+(20-1)ω $$\n$$\\Leftrightarrow α_{20}=1+19\\cdot 4 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{20}=1+76 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{20}=77$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με όρους \\(α_{2}=0\\), \\(α_{4}=4\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(ω=2\\) και \\(α_{1}=-2\\), όπου \\(ω\\) είναι η διαφορά της προόδου και \\(α_{1}\\) ο πρώτος όρος της.\nβ) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστος όρος της προόδου είναι ίσος με \\(α_{ν}=2ν-4\\), \\(ν\\in \\mathbb{N}^{*}\\) και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με \\(98\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε:\n$$α_{2}=0$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(2-1)ω=0$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+ω=0 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=-ω,\\ (1)$$\nκαι\n$$α_{4}=4$$\n$$\\Leftrightarrow α_{4}+(4-1)ω=4$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+3ω=4$$\n$$\\overset{(1)}{\\Leftrightarrow} -ω+3ω=4 $$\n$$\\Leftrightarrow 2ω=4$$\n$$\\Leftrightarrow ω=2$$\nΑντικαθιστούμε στην σχέση \\((1)\\) και βρίσκουμε:\n$$α_{1}=-2$$\nβ) Ο ν-οστός όρος της αριθμητικής προόδου είναι:\n$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=-2+(ν-1)\\cdot 2$$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=2ν-4$$\nΙσχύει επίσης ότι:\n$$α_{ν}=98$$\n$$\\Leftrightarrow 2ν-4=98$$\n$$\\Leftrightarrow 2ν=102 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=51$$\nΆρα ο 51ος όρος της προόδου είναι ίσος με \\(98\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(λx=x+λ^{2}-1\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:\n$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)\\ \\ \\text{,}\\ \\ λ\\in \\mathbb{R}$$\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\) για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε.\nγ) Για ποια τιμή του \\(λ\\) η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:\n$$λx=x+λ^{2}-1 $$\n$$\\Leftrightarrow λx-x=λ^{2}-1 $$\n$$\\Leftrightarrow (λ-1)x=(λ-1)(λ+1)$$\nβ) Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν:\n$$λ-1\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ne 1$$\nΗ μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η:\n$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)$$\n$$\\overset{λ\\ne 1}{\\Leftrightarrow} \\dfrac{(λ-1)x}{λ-1}=\\dfrac{(λ-1)(λ+1)}{λ-1} $$\n$$\\Leftrightarrow x=λ+1$$\nγ) Η εξίσωση είναι ταυτότητα αν και μόνο αν:\n$$λ-1=0\\ \\ \\text{και}\\ \\ (λ-1)(λ+1)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=1\\ \\ \\text{και}\\ \\ (1-1)(1+1)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με:\n$$f(x)=\\begin{cases} 2x-5, x \\le 3 \\\\ x^2, 3 < x < 10 \\end{cases}$$\nα) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) σε μορφή διαστήματος.\nβ) Να υπολογίσετε τις τιμές \\(f(-1)\\), \\(f(-3)\\) και \\(f(5)\\).\nγ) Διέρχεται η γραφική παράσταση της \\(f\\) από την αρχή των αξόνων; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nδ) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της \\(f\\) που έχει τεταγμένη \\(y=21\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι σε μορφή διαστήματος το εξής:\n$$A=[-\\infty ,10)$$\nβ) Έχουμε:\n$$f(-1)=2(-1)-5=-7$$\n$$f(3)=2\\cdot 3-5=1$$\n$$f(5)=5^{2}=25$$\nγ) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της \\(f\\) από την αρχή των αξόνων, πρέπει \\(f(0)=0\\). Όμως \\(f(0)=2\\cdot 0-5=-5\\ne 0\\), οπότε η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων.\nδ) Έχουμε δυο περιπτώσεις:\n\\(y=f(x)=21 \\Leftrightarrow 2x-5=21 \\Leftrightarrow 2x=26 \\Leftrightarrow x=13\\notin (-\\infty ,3]\\)\n\\(y=f(x)=21 \\Leftrightarrow x^{2}=21 \\Leftrightarrow x=\\pm \\sqrt{21}\\). Από τις δυο αυτές τιμές του \\(x\\) δεκτή είναι η \\(\\sqrt{21}\\) διότι \\(\\sqrt{21}\\in (3,10)\\).\nΚατά συνέπεια το ζητούμενο σημείο είναι \\((\\sqrt{21},21)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\begin{cases} 2x-1\\ \\text{,}\\ & x<0 \\\\ x^{2}+1\\ \\text{,}\\ & x\\ge 0 \\end{cases}\\)\nα) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \\(f(-1)\\) και \\(f(1)\\).\nβ) Για \\(x\\ge 0\\) να λύσετε την ανίσωση: \\(f(x)\\ge 2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι: \\(-1<0\\), άρα:\n$$f(-1)=2\\cdot (-1)-1$$\n$$=-2-1=-3$$\nΕίναι: \\(1>0\\), άρα:\n$$f(1)=1^{2}+1=2$$\nβ) Αφού \\(x\\ge 0\\) τότε:\n$$f(x)\\ge 2 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+1\\ge 2 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}\\ge 1 $$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt{x^{2}}\\ge 1 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|\\ge 1$$\nΕπομένως: \\(x\\le -1\\) ή \\(x\\ge 1\\) και \\(x\\ge 0\\).\nΆρα \\(x\\ge 1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Για τους πραγματικούς αριθμούς \\(α , β\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει ότι: \\(|α-2|<1\\) και \\(|β-3|\\le 2\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(1<α<3\\).\nβ) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκεται ο \\(β\\).\nγ) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της παράστασης \\(2α-3β\\).\nδ) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της παράστασης \\(\\dfrac{α}{β}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|α-2|<1$$\n$$\\Rightarrow -1<α-2<1$$\n$$\\Rightarrow -1+2<α<1+2$$\n$$\\Rightarrow 1<α<3$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|β-3|\\le 2$$\n$$\\Rightarrow -2\\le β-3\\le 2$$\n$$\\Rightarrow 3-2\\le β\\le 3+2$$\n$$\\Rightarrow 1\\le β\\le 5$$\nγ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση \\(2α-3β\\) = \\(2α+(-3β)\\).\nΑπό τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:\n\\(1<α<3\\), οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με \\(2\\) έχουμε:\n$$2<2α<6\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι \\(1\\le β\\le 5\\), οπότε πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης με \\(-3\\) έχουμε: \\(-3\\cdot 1\\ge -3β\\ge -3\\cdot 5\\) και ισοδύναμα:\n$$-15\\le -3β\\le -3\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτουμε τις \\((1)\\) και \\((2)\\) κατά μέλη, οπότε:\n$$-13<2α+(-3β)<3$$\n$$\\Rightarrow -13<2α-3β<3$$\nδ) Θα βρούμε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση \\(\\dfrac{α}{β}=α\\cdot \\dfrac{1}{β}\\).\nΑπό τα ερωτήματα α) και β) έχουμε:\n$$1<α<3\\ \\ \\ \\ (3)$$\nκαι \\(1\\le β\\le 5\\), οπότε ισοδύναμα \\(\\dfrac{1}{1}\\ge \\dfrac{1}{β}\\ge \\dfrac{1}{5}\\), δηλαδή:\n$$\\dfrac{1}{5}\\le \\dfrac{1}{β}\\le 1\\ \\ \\ \\ (4)$$\nΠολλαπλασιάζουμε τις \\((3)\\) και \\((4)\\) κατά μέλη, οπότε: \\(1\\cdot \\dfrac{1}{5}<α\\cdot \\dfrac{1}{β}<3\\cdot 1\\), δηλαδή \\(\\dfrac{1}{5}<\\dfrac{α}{β}<3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ανισώσεις \\(|x-1|< 2\\) και \\(x^2-3x+2\\geq0\\).\nα) Να βρείτε τις λύσεις τους.\nβ) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για \\(x\\in(-1,1]\\cup[2,3)\\).\nγ) i. Αν οι αριθμοί \\(ρ_1\\) και \\(ρ_2\\), με \\(ρ_1< ρ_2\\), είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων με \\(ρ_1,ρ_2\\in(-1,1]\\), είναι και ο αριθμός \\(\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\) κοινή τους λύση;\nii. Αν οι αριθμοί \\(ρ_1\\) και \\(ρ_2\\), με \\(ρ_1< ρ_2\\), είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων με \\(ρ_1\\in(1,1]\\) και \\(ρ_2\\in[2,3)\\), είναι και ο αριθμός \\(\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\) κοινή τους λύση;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align}&|x-2|< 2\\\\\n\\iff&-2< x-1< 2\\\\\n\\iff&-1< x< 3.\\end{align}\nΓια να λύσουμε την ανίσωση \\(x^2-3x+2\\geq0\\), θα βρούμε πρώτα τις ρίζες \\(x_1\\) και \\(x_2\\) του τριωνύμου. Έχουμε λοιπόν\n$$x_1+x_2=\\frac{-β}{α}=3$$\nκαι\n$$x_1\\cdot x_2=\\frac{γ}{α}=2,$$\nοπότε \\(x_1=1\\) και \\(x_2=2\\).\nΣτη συνέχεια κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου για το τριώνυμο \\(x^2-3x+2\\), με \\(α=1>0\\):\nΟπότε η ανίσωση αληθεύει για \\(x\\in(-\\infty,1]\\cup[2,+\\infty)\\).\nβ) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών,\nβλέπουμε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για \\(x\\in(-1,1]\\cup[2,3)\\).\nγ) Εφόσον οι αριθμοί \\(ρ_1\\) και \\(ρ_2\\), με \\(ρ_1< ρ_2\\), ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των ανισώσεων, θα ισχύει \\(ρ_1,ρ_2\\in(-1,1]\\cup[2,3)\\).i. Αν \\(ρ_1,ρ_2\\in(-1,1]\\), τότε:\n$$\\begin{cases}-1< ρ_1\\leq1\\\\-3<3ρ_2\\leq3\\end{cases}$$\nκαι προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:\n$$-4<ρ_1+3ρ_2\\leq4,$$\nσυνεπώς\n$$-1<\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\leq1$$\nκαι ο αριθμός \\(\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\) είναι κοινή λύση των ανισώσεων.ii. Αν \\(ρ_1\\in(-1,1]\\) και \\(ρ_2\\in[2,3)\\), τότε:\n$$\\begin{cases}-1<ρ_1\\leq1\\\\6\\leq3ρ_2<9\\end{cases}$$\nκαι προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:\n$$5<ρ_1+3ρ_2<10,$$\nσυνεπώς\n$$\\frac{5}{4}<\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}<\\frac{5}{2}$$\nκαι ο αριθμός \\(\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}\\) είναι κοινή λύση των ανισώσεων μόνο εάν\n$$2\\leq\\frac{ρ_1+3ρ_2}{4}<\\frac{5}{2}$$." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος (\\(α_ν\\)) με διαφορά \\(ω\\).\nα) Να δείξετε ότι: \\(\\dfrac{α_{15}-α_{9}}{α_{10}-α_{7}}=2\\).\nβ) Αν \\(α_{15}-α_{9}=18\\), να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\dfrac{α_{15}-α_{9}}{α_{10}-α_{7}} = \\dfrac{α_{1}+(15-1)ω-[α_{1}+(9-1)ω]}{α_{1}+(10-1)ω-[α_{1}+(7-1)ω]} $$\n$$= \\dfrac{α_{1}+14ω-α_{1}-8ω}{α_{1}+9ω-α_{1}-6ω} $$\n$$= \\dfrac{6ω}{3ω} $$\n$$= 2$$\nβ) Έχουμε:\n$$\\dfrac{α_{15}-α_{9}}{α_{10}-α_{7}} =2 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{18}{α_{1}+9ω-α_{1}-6ω} =2 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{18}{3ω} =2 $$\n$$\\Leftrightarrow 18=6 ω $$\n$$\\Leftrightarrow ω =3 $$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}-5|x|+6}{|x|-3}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(Α\\) της \\(f\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x\\in Α\\) ισχύει \\(f(x)=|x|-2\\).\nγ) Για \\(x\\in Α\\), να λύσετε την εξίσωση \\((f(x)+2)^{2}-4f(x)-5=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$|x|-3\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|\\ne 3 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ne 3 \\\\ \\text{και} \\\\ x\\ne -3 \\end{cases}$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α=\\mathbb{R}-\\{3,-3\\}\\).\nβ) Θα παραγοντοποιήσουμε την παράσταση:\n$$x^{2}-5|x|+6=|x|^{2}-5|x|+6$$\nΘέτουμε \\(|x|=y\\ \\ (1)\\) και η παράσταση \\(|x|^{2}-5|x|+6\\) γίνεται: \\(y^{2}-5y+6\\)\nΤο τριώνυμο \\(y^{2}-5y+6\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 6$$\n$$=25-24=1>0$$\nκαι ρίζες τις:\n$$y_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{1}}{2\\cdot 1}=\\dfrac{5\\pm 1}{2} $$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} y_{1} = \\dfrac{5+1}{2} = \\dfrac{6}{2} =3 \\\\ \\\\ y_{2} = \\dfrac{5-1}{2} = \\dfrac{4}{2} =2 \\end{cases}$$\nΈτσι το τριώνυμο \\(y^{2}-5y+6\\) γίνεται:\n$$y^{2}-5y+6=(y-2)(y-3)$$\nκαι επομένως:\n$$|x|^{2}-5|x|+6=(|x|-2)(|x|-3)$$\nΤελικά ο τύπος της \\(f\\) γίνεται:\n$$f(x)=\\dfrac{x^{2}-5|x|+6}{|x|-3}$$\n$$=\\dfrac{(|x|-2)(|x|-3)}{|x|-3}=|x|-2$$\nγια κάθε \\(x\\in Α=\\mathbb{R}-\\{3,-3\\}\\).\nγ) Η εξίσωση \\((f(x)+2)^{2}-4f(x)-5=0\\) με \\(f(x)=|x|-2\\) γράφεται:\n$$(|x|-2+2)^{2}-4(|x|-2)-5=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|^{2}-4|x|+8-5=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|^{2}-4|x|+3=0$$\nΘέτουμε \\(|x|=z \\ \\ (2)\\) και βρίσκουμε:\n$$z^{2}-4z+3=0$$\nΤο τριώνυμο \\(z^{2}-4z+3\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-4)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 3$$\n$$=16-12=4>0$$\nκαι ρίζες τις:\n$$z_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-4)\\pm \\sqrt{4}}{2\\cdot 1} =\\dfrac{4\\pm 2}{2} $$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} z_{1} = \\dfrac{4+2}{2} = \\dfrac{6}{2} =3 \\\\ \\\\ z_{2} = \\dfrac{4-2}{2} = \\dfrac{2}{2} =1 \\end{cases}$$\nΤότε από την ισότητα \\((2)\\) βρίσκουμε:\n$$z=3 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|=3 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=3 \\\\ x=-3 \\end{cases}$$\nοι οποίες όμως απορρίπτονται αφού δεν ανήκουν στο \\(Α=\\mathbb{R}-\\{3,-3\\}\\).\n$$z=1 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|=1 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=1 \\\\ x=-1 \\end{cases}$$\nοι οποίες είναι δεκτές αφού ανήκουν στο \\(Α=\\mathbb{R}-\\{3,-3\\}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=(x-1)^{2}-4\\) και \\(g(x)=|x-1|+2\\) με \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του \\(x\\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\) αν και μόνο αν \\(f(x)>0\\), οπότε ισοδύναμα έχουμε:\n$$(x-1)^{2}-4>0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)^{2}>4 $$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt{(x-1)^{2}}>4 $$\n$$\\Leftrightarrow |x-1|>2$$\nΗ τελευταία ανίσωση ισχύει αν και μόνο αν:\n$$x-1<-2\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x-1>2$$\nαπό όπου ισοδύναμα βρίσκουμε ότι:\n$$x<-1\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x>3$$\nβ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\) αν και μόνο αν:\n$$g(x)>0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x-1|+2>0$$\nτο οποίο ισχύει για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) αφού \\(|x-1|\\ge 0\\) και \\(2>0\\).\nγ) Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\), προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)^{2}-4=|x-1|+2$$\nη οποία γράφεται:\n$$|x-1|^{2}-4=|x-1|+2 $$\n$$\\Leftrightarrow |x-1|^{2}-|x-1|-6=0$$\nΣτην τελευταία σχέση θέτουμε \\(|x-1|=y\\), οπότε η εξίσωση γράφεται:\n$$y^{2}-y-6=0$$\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-6)$$\n$$=1+24=25>0$$\nκαι ρίζες τις:\n$$y_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{25}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{1\\pm 5}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{1+5}{2}=3 \\\\ \\dfrac{1-5}{2}=-2 \\end{cases}$$\nΆρα για \\(y=|x-1|\\) έχουμε:\n\\(|x-1|=3 \\Leftrightarrow (x-1=3\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x-1=-3) \\Leftrightarrow x=4\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x=-2\\)\n\\(|x-1|=-2\\) που είναι αδύνατη\nΘέτοντας \\(x=4\\) στον τύπο της συνάρτησης \\(g\\) βρίσκουμε:\n$$g(4)=|4-1|+2$$\n$$=|3|+2=5$$\nΘέτοντας \\(x=-2\\) στον τύπο της συνάρτησης \\(g\\) βρίσκουμε:\n$$g(-2)=|-2-1|+2$$\n$$=|-3|+2$$\n$$=3+2=5$$\nΆρα, τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) είναι τα:\n$$Α(-2,5)\\ \\ \\text{και}\\ \\ Β(4,5)$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\frac{x^7-x}{x^3-x}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(Α\\) της \\(f\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) έχει κοινά σημεία με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\).\nγ) Να δείξετε ότι \\(f(x)=x^4+x^2+1\\) για κάθε \\(x\\in A\\).\nδ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση \\(f(x)=3\\) έχει λύση στο σύνολο \\(A\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\) πρέπει και αρκεί\n\\begin{align}&x^3-x\\neq 0 \\\\\n\\iff& x(x^2-1)\\neq0\\\\\n\\iff& x\\neq 0\\text{ και }x^2-1\\neq0\\\\\n\\iff& x\\neq 0\\text{ και }x^2\\neq1\\\\\n\\iff& x\\neq 0\\text{ και }x\\neq\\pm1\\end{align}\nΣυνεπώς το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το σύνολο\n\\begin{align}A&=\\mathbb{R}-\\{-1,0,1\\}\\\\\n&=(-\\infty,-1)\\cup(-1,0)\\cup(0,1)\\cup(1,+\\infty).\\end{align}\nβ) Επειδή το \\(0\\notin A\\) η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν έχει κοινό σημείο με τον \\(y'y\\).\nΟι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τον \\(x'x\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=0\\) με \\(x\\in A\\). Είναι\n\\begin{align}&f(x)=0\\\\\n\\iff&x^7-x=0\\\\\n\\iff&x(x^6-1)=0\\\\\n\\iff&x=0\\text{ ή }x^6-1=0\\\\\n\\iff&x=0\\text{ ή }x^6=1\\\\\n\\iff&x=0\\text{ ή }x=\\pm1.\\end{align}\nΕπειδή \\(0\\notin A, -1\\notin A, 1\\notin A\\) η εξίσωση \\(f(x)=0\\) είναι αδύνατη στο σύνολο \\(A\\) και επομένως η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν έχει κοινό σημείο με τον \\(x'x\\).\nγ) Είναι\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{x^7-x}{x^3-x}\\\\\n&=\\frac{x(x^6-1)}{x(x^2-1)}\\\\\n&=\\frac{(x^2)^3-1}{x^2-1}\\\\\n&=\\frac{(x^2-1)(x^4+x^2+1)}{x^2-1}\\\\\n&=x^4+x^2+1\\end{align}\nγια κάθε \\(x\\in A\\).\nδ) Είναι\n\\begin{align}&f(x)=3\\\\\n\\iff&x^4+x^2+1=3\\\\\n\\iff&x^4+x^2-2=0.\\end{align}\nΘέτουμε \\(x^2=ω\\) και η εξίσωση γίνεται \\(ω^2+ω^2-2=0\\) που έχει ρίζες τις \\(ω=1\\) και \\(ω=-2\\) αφού \\(S=-\\frac{β}{α}=-1\\) και \\(P=\\frac{γ}{α}=-2\\).\nΓια \\(ω=1\\) έχουμε\n$$x^2=1\\iff x=\\pm 1$$\nπου όμως δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού \\(A\\).\nΓια \\(ω=-2\\) έχουμε \\(x^2=-2\\) που είναι αδύνατη.\nΣυνεπώς η εξίσωση \\(f(x)=3\\) δεν έχει λύση στο σύνολο \\(A\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε μία αριθμητική πρόοδο (\\(α_ν\\)) δίνονται \\(α_{1}=41\\) και \\(α_{6}=26\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι ίση με \\(-3\\).\nβ) Να βρείτε το θετικό ακέραιο \\(ν\\), ώστε \\(α_{ν}=ν\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α_{6}=41+(6-1)ω$$\n$$\\Leftrightarrow 41+5ω=26$$\n$$\\Leftrightarrow ω = - 3$$\nβ) Έχουμε:\n$$α_ν = ν $$\n$$\\Leftrightarrow α_1 + (ν - 1)ω = ν$$\n$$\\Leftrightarrow 41 + (ν - 1)(- 3) = ν$$\n$$\\Leftrightarrow 41 - 3ν + 3 = ν$$\n$$\\Leftrightarrow 44 = 4ν $$\n$$\\Leftrightarrow ν = 11$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(|α-1|-3)x=α+2\\quad (1),$$\nμε παράμετρο \\(α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση για \\(α=0\\) και \\(α=5\\).\nβ) i. Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(α\\) ισχύει \\(|α-1|=3\\).\nii. Να λύσετε την εξίσωση \\((1)\\) για τις τιμές του \\(α\\) που βρήκατε στο ερώτημα (β.i)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για \\(α=0\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&(|0-1|-3)\\cdot x=0+2\\\\\n\\iff&(1-3)\\cdot x=2\\\\\n\\iff&-2x=2\\\\\n\\iff& x=-1.\\end{align}\nΓια \\(α=5\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&(|5-1|-3)\\cdot x=5+2\\\\\n\\iff&(4-3)\\cdot x=7\\\\\n\\iff& x=7.\\end{align}\nβ) i. Είναι\n\\begin{align}&|α-1|=3\\\\\n\\iff&α-1=3\\text{ ή }α-1=-3\\\\\n\\iff&α=4\\text{ ή }α=-2.\\end{align}\nii. Για \\(α=4\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&(|4-1|-3)\\cdot x=4+2\\\\\n\\iff&0\\cdot x=6,\\end{align}\nπου είναι αδύνατη.\nΓια \\(α=-2\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&(|-2-1|-3)\\cdot x=-2+2\\\\\n\\iff&0\\cdot x=0,\\end{align}\nπου είναι ταυτότητα (Έχει άπειρες λύσεις ως προς \\(x\\))." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την ανίσωση \\(3x-1\\lt x+9\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση \\(2-\\dfrac{x}{2}\\le x+\\dfrac{1}{2}\\).\nγ) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) και να τις γράψετε σε μορφήδιαστήματος." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$3x-1\\lt x+9$$\n$$\\Leftrightarrow 3x-x \\lt 1+9$$\n$$\\Leftrightarrow 2x\\lt 10$$\n$$\\Leftrightarrow x\\lt 5$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$2-\\dfrac{x}{2}\\le x+\\dfrac{1}{2}$$\n$$\\overset{(\\cdot 2)}{\\Leftrightarrow} 4-x\\le 2x+1$$\n$$3x\\ge 3$$\n$$x\\ge 1$$\nγ) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, βλέπουμε ότι οι κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) είναι οι πραγματικοί αριθμοί \\(x\\) για του οποίους ισχύει \\(x\\in [1,5)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^{2}−2βx+(β^{2}−4)\\ \\ \\ \\ (1)$$\nμε παράμετρο \\(β\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις: \\(x_{1}=β−2\\) και \\(x_{2}=β+2\\).\nβ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) είναι οι ρίζες της \\((1)\\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(β\\), \\(x_{2}\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}−2βx+β^{2}−4\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}−4αγ$$\n$$=(−2β)^{2}−4\\cdot 1\\cdot (β^{2}−4)$$\n$$=4β^{2}−4β^{2}+16=16>0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{−β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}$$\n$$=\\dfrac{2β\\pm 4}{2}$$\nοπότε έχουμε:\n$$x_{1}=β+2\\ \\ \\text{,}\\ \\ x_{2}=β−2$$\nΣημείωση: Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:\nΗ \\(x_{1}=β+2\\) είναι ρίζα της \\((1)\\), διότι την επαληθεύει:\n$$(β+2)^{2}−2β(β+2)+β^{2}−4=β^{2}+4β+4−2β^{2}−4β+β^{2}−4=0$$\nΟμοίως η \\(x_{2}=β−2\\) είναι ρίζα της \\((1)\\), διότι την επαληθεύει:\n$$(β−2)^{2}−2β(β−2)+β^{2}−4=β^{2}−4β+4−2β^{2}+4β+β^{2}−4=0$$\nΣυνεπώς, η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\), με \\(x_{1}\\ne x_{2}\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(β-2\\), \\(β\\), \\(β+2\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, διότι ισχύουν: \\(β-(β-2) = 2\\) και \\((β+2) – β = 2\\), δηλαδή διαφέρουν κατά σταθερό αριθμό: \\(ω = 2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \\(y=αx+β\\), η οποία έχει κλίση \\(-2\\) και διέρχεται από το σημείο \\((1, 1).\\)\nα) Να βρείτε τις τιμές των \\(α\\) και \\(β.\\)\nβ) Να βρείτε το σημείο τομής της παραπάνω ευθείας με τον άξονα \\(y'y.\\)\nγ) Να χαράξετε σε σύστημα συντεταγμένων την παραπάνω ευθεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία έχει κλίση \\(α=-2\\), οπότε η εξίσωσή της γίνεται \\(y=-2x+β\\).\nΗ ευθεία διέρχεται από τη σημείο \\((1, 1)\\), οπότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Δηλαδή: \\(1=-2 \\cdot 1+β \\Leftrightarrow β=3.\\)\nΆρα η εξίσωση της ευθείας είναι: \\(y=-2x+3\\).\nβ) Η ευθεία τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\((0, 3)\\), αφού για \\(x=0\\) βρίσκουμε: \\(y=-2\\cdot 0+3=3\\).\nγ) Παίρνουμε στο σύστημα συντεταγμένων τα σημεία \\((1, 1)\\) και \\((0, 3)\\) και χαράζουμε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία αυτά." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}-1}{x-2}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nβ)\ni. Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(f(x)=0\\).\nii. Να βρείτε τις τιμές \\(f(0)\\) και \\(f(3)\\).\nγ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει:\n$$x-2\\ne 0 \\Leftrightarrow x\\ne 2$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι \\(Α=\\mathbb{R}-\\{2\\}\\).\nβ)\ni. Έχουμε ισοδύναμα:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x^{2}-1}{x-2}=0$$\n$$\\overset{x\\ne 2}{ \\Leftrightarrow } x^{2}-1=0$$\nοπότε:\n$$x^{2}=1$$\nκαι τελικά:\n$$x=-1\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x=1$$\nΆρα για \\(x=-1\\) και \\(x=1\\), \\(f(x)=0\\).\nii. Έχουμε:\n$$f(0)=\\dfrac{0^{2}-1}{0-2}=\\dfrac{1}{2}$$\nκαι:\n$$f(3)=\\dfrac{3^{2}-1}{3-2}=8$$\nγ) Από το βi ερώτημα έχουμε \\(f(-1)=0\\) και \\(f(1)=0\\). Από το βii ερώτημα έχουμε \\(f(0)=\\dfrac{1}{2}\\).\nΆρα η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(x'x\\) άξονα στα σημεία \\((-1,0)\\) και \\((1,0)\\) και τον \\(y'y\\) άξονα στο σημείο \\(\\left(0,\\dfrac{1}{2}\\right)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \\(x,y\\) ισχύει:\n$$(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=x^{2}+y^{2}-2x+6y+10$$\n(Μονάδες12)\nβ) Να βρείτε τους αριθμούς \\(x,\\ y\\), ώστε:\n$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+10=0$$\n(Μονάδες13)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$\\begin{align} (x-1)^{2}+(y+3)^{2} & =(x^{2}-2x+1)+(y^{2}+6y+9)\\\\\n& =x^{2}+y^{2}-2x+6y+10\\end{align}$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$x^{2}+y^{2}-2x+6y+10=0$$\n$$\\overset{(α)}{\\Leftrightarrow} (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=0$$\n$$x-1=0 \\text{ και } y+3=0$$\n$$x=1 \\text{ και } y=-3$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με λόγο \\(λ\\) για την οποία ισχύουν:\n\\(α_{3}=4,α_{5}=16\\) και \\(λ>0\\).\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\) και τον λόγο \\(λ\\) της προόδου.\nβ) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία \\((β_{ν})\\), με \\(β_{ν}=\\dfrac{1}{α_{ν}}\\), \\(ν=1,2,3,..\\) είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με λόγο τον αντίστροφο του λόγου της \\((α_{ν})\\).\nγ) Αν \\(S_{10}\\) είναι το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\) και \\(S_{10}'\\) το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της \\((β_{ν})\\) αντίστοιχα, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:\n$$S_{10}'=\\dfrac{1}{2^{9}}S_{10}$$" }, { "from": "assistant", "value": "Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) με λόγο \\(λ\\) για την οποία ισχύουν:\n\\(α_{3}=4,α_{5}=16\\) και \\(λ>0\\).\nα) Έχουμε:\n$$\\begin{cases} α_{3}=4 \\\\ α_{5}=16 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α_{1}\\cdot λ^{2}=4 \\\\ α_{1}\\cdot λ^{4}=16 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(÷)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} λ^{2}=4 \\\\ α_{1}\\cdot λ^{2}=4 \\end{cases}$$\n$$\\overset{λ>0}{\\Leftrightarrow }\\begin{cases} λ=2 \\\\ α_{1}\\cdot 2^{2}=4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} λ=2 \\\\ α_{1}=1 \\end{cases}$$\nβ) Έχουμε:\n$$\\dfrac{β_{ν+1}}{β_ν}=\\dfrac{\\dfrac{1}{α_{ν+1}}}{\\dfrac{1}{α_{ν+1}}}$$\n$$=\\dfrac{α_ν}{α_{ν+1}}=\\dfrac{1}{\\dfrac{α_{ν+1}}{α_ν}}=\\dfrac{1}{λ}$$\nοπότε \\((β_{ν})\\), με \\(β_{ν}=\\dfrac{1}{α_{ν}}\\), \\(ν=1,2,3,..\\) είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο \\(β_{1}=\\dfrac{1}{α_{1}}=1\\) και λόγο τον αντίστροφο του λόγου της \\((α_{ν})\\), δηλαδή \\(λ'=\\dfrac{1}{2}\\).\nγ) Εφόσον \\(S_{10}\\) είναι το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\), έχουμε:\n$$S_{10}=α_{1}\\dfrac{λ^{10}-1}{λ-1}$$\n$$=1\\cdot \\dfrac{2^{10}-1}{2-1}=2^{10}-1$$\nΤο άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της \\((β_{ν})\\) είναι:\n$$S_{10}'=β_{1}\\dfrac{(λ')^{10}-1}{λ'-1}$$\n$$=1\\cdot \\dfrac{\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{10}-1}{\\dfrac{1}{2}-1}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{1}{2^{10}}-1}{-\\dfrac{1}{2}}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{1-2^{10}}{2^{10}}}{-\\dfrac{1}{2}}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{2^{10}-1}{2^{10}}}{\\dfrac{1}{2}}$$\n$$=\\dfrac{2\\cdot (2^{10}-1)}{2^{10}}$$\n$$=\\dfrac{1}{2^{9}}S_{10}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α\\) και \\(β\\) για τους οποίους ισχύει:\n$$(α-1)(1-β)>0$$\nα) Να δείξετε ότι το \\(1\\) είναι μεταξύ των \\(α\\) και \\(β\\).\n(Μονάδες13)\nβ) Αν επιπλέον \\(|β-α|=4\\), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης\n$$Κ=|α-1|+|1-β|$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Αφού \\((α-1)(1-β)>0\\), οι \\((α-1)\\) και \\((1-β)\\) είναι ομόσημοι, οπότε:\n$$\\begin{cases} α-1>0 \\\\ \\text{και} \\\\ 1-β>0 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α>1 \\\\ \\text{και} \\\\ β<1 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow β<1<α$$\nή\n$$\\begin{cases} α-1<0 \\\\ \\text{και} \\\\ 1-β<0 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α<1 \\\\ \\text{και} \\\\ β>1 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow α<1<β$$\nΣε κάθε περίπτωση το \\(1\\) είναι μεταξύ των \\(α\\) και \\(β\\).\nβ) Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:\nΑν \\(β<1<α\\), τότε:\n\\(0<α-1 \\Rightarrow |α-1|=α-1\\),\n\\(0<1-β \\Rightarrow |1-β|=1-β\\) και\n\\(β-α<0 \\Rightarrow |β-α|=α-β\\) άρα,\n\\(|β-α|=4 \\Leftrightarrow α-β=4\\).\nΟπότε: \\(Κ=|α-1|+|1-β|=α-1+1-β=α-β=4\\).\nΑν \\(α<1<β\\), τότε:\n\\(α-1<0 \\Rightarrow |α-1|=1-α\\),\n\\(1-β<0 \\Rightarrow |1-β|=β-1\\) και\n\\(β-α>0 \\Rightarrow |β-α|=β-α\\) άρα,\n\\(|β-α|=4 \\Leftrightarrow β-α=4\\).\nΟπότε: \\(Κ=|α-1|+|1-β|=1-α+β-1=β-α=4\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(B=\\sqrt[5]{(x-2)^{5}}\\).\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Β\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος.\nβ) Για \\(x=4\\), να αποδείξετε ότι: \\(B^{2}+6B=B^{4}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$(x-2)^{5}\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x-2\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\ge 2 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\in [2,+\\infty)$$\nβ) Για \\(x=4\\), είναι:\n$$B=\\sqrt[5]{(4-2)^{5}}=\\sqrt[5]{2^{5}}=2$$\nΤότε:\n$$B^{2}+6B=2^{2}+6\\cdot 2$$\n$$=4+12=16=2^{4}=B^{4}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Α=|x-1|-|x-2|$$\nα) Για \\(1 < x < 2\\), να δείξετε ότι: \\(Α=2x-3\\).\nβ) Για \\(x<1\\), να δείξετε ότι η παράσταση \\(Α\\) έχει σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του \\(x\\)), την οποία και να προσδιορίσετε." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι:\n$$ 1 < x < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow (1 < x\\ \\ \\text{και}\\ \\ x < 2) $$\n$$\\Leftrightarrow (0 < x-1\\ \\ \\text{και}\\ \\ x-2 < 0)$$\nΤότε:\n$$|x-1|=x-1$$\nκαι:\n$$|x-2|=-(x-2)=2-x$$\nΆρα:\n$$Α=|x-1|-|x-2|$$\n$$=x-1-(2-x)$$\n$$=x-1-2+x=2x-3$$\nβ) Για \\(x<1\\) είναι:\n$$|x-1|=-(x-1)=1-x$$\nκαι:\n$$|x-2|=-(x-2)=2-x$$\nΕπομένως:\n$$Α=|x-1|-|x-2|$$\n$$=1-x-(2-x)$$\n$$=1-x-2+x=-1\\ \\text{, σταθερή}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}-2x-3}{x+1}\\) με \\(x\\ne -1\\).\nα) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης και να δείξετε ότι \\(f(x)=x-3\\) για κάθε \\(x\\ne -1\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,-4)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να απλοποιήσουμε τον τύπο της συνάρτησης παραγοντοποιούμε το τριώνυμο \\(x^{2}-2x-3\\).\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου \\(x^{2}-2x-3\\) είναι: \\(Δ=4-4\\cdot (-3)=16\\).\nκαι οι ρίζες:.\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{2\\pm 4}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow x_{1}=3\\ \\text{και}\\ x_{2}=-1$$\nΆρα:\n$$x^{2}-2x-3=(x+1)\\cdot (x-3)$$\nΕπομένως έχουμε:\n$$f(x)=\\dfrac{x^{2}-2x-3}{x+1}$$\n$$=\\dfrac{(x+1)\\cdot (x-3)}{x+1}$$\n$$=x-3$$\nβ) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) από το σημείο \\(Α(1,-4)\\) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να επαληθεύουν την εξίσωση της συνάρτησης. Δηλαδή θα πρέπει \\(f(1)=-4\\).\nΕίναι \\(f(1)=-2\\ne -4\\). Άρα το σημείο \\(Α(1,-4)\\) δεν ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ορθογώνιο μήκους \\(α\\), πλάτους \\(β\\) και εμβαδού \\(Ε\\). Οι αριθμοί \\(α\\) ,\\(Ε\\), \\(β\\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.\nα) Να υπολογίσετε την τιμή του εμβαδού \\(Ε\\).\nβ) Αν \\(Ε=1\\) και \\(α+β=10\\),\nνα κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες \\(α\\) και \\(β\\).\nνα βρείτε τις διαστάσεις \\(α\\) και \\(β\\) του ορθογωνίου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις \\(α\\) και \\(β\\) είναι:\n$$Ε=α\\cdot β\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΟι αριθμοί \\(α\\), \\(Ε\\), \\(β\\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \\(Ε^{2}=α\\cdot β\\), οπότε λόγω \\((1)\\):\n$$Ε^{2}=Ε$$\nΔηλαδή:\n$$Ε^{2}-Ε=0$$\nΟπότε:\n$$Ε(Ε-1)=0$$\nΚαι επειδή \\(Ε\\ne 0\\):\n$$Ε=1$$\nβ)\nΤο άθροισμα των ριζών της ζητούμενης εξίσωσης είναι \\(S=α+β=10\\) και το γινόμενο των ριζών είναι \\(P=αβ=Ε=1\\). Άρα μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες \\(α\\) και \\(β\\) είναι η:\n$$x^{2}-Sx+P=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-10x+1=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}-10x+1\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=(-10)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 1=96>0\\), οπότε η εξίσωση \\(x^{2}-10x+1=0\\) έχει δύο ρίζες διαφορετικές, τις:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-10)-\\sqrt{96}}{2}$$\n$$=\\dfrac{10-\\sqrt{16\\cdot 6}}{2}$$\n$$=\\dfrac{10-4\\sqrt{6}}{2}$$\n$$=5-2\\sqrt{6}>0$$\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-10)+\\sqrt{96}}{2}$$\n$$=\\dfrac{10+\\sqrt{16\\cdot 6}}{2}$$\n$$=\\dfrac{10+4\\sqrt{6}}{2}$$\n$$=5+2\\sqrt{6}>0$$\nΆρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \\(α=5-2\\sqrt{6}\\) και \\(β=5+2\\sqrt{6}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται δύο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη \\(x\\) και \\(y\\), για τα οποία ισχύουν:\n$$|x-3|\\le 2\\ \\ \\text{και}\\ \\ |y-6|\\le 4$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(1\\le x\\le 5\\) και \\(2\\le y\\le 10\\).\nβ) Να βρείτε την μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις \\(2x\\) και \\(y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι:\n$$|x−3|\\le 2 $$\n$$\\Leftrightarrow −2\\le x−3\\le 2 $$\n$$\\Leftrightarrow −2+3\\le x\\le 2+3 $$\n$$\\Leftrightarrow 1\\le x\\le 5$$\n$$|y−6|\\le 4 $$\n$$\\Leftrightarrow −4\\le y−6\\le 4 $$\n$$\\Leftrightarrow −4+6\\le y\\le 4+6 $$\n$$\\Leftrightarrow 2\\le y\\le 10$$\nβ) Η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις \\(2x\\) και \\(y\\) είναι \\(Π=4x+2y\\).\nΑπό το α) ερώτημα έχουμε:\n$$1\\le x\\le 5 $$\n$$\\Leftrightarrow 1\\cdot 4\\le 4x\\le 5\\cdot 4 $$\n$$\\Leftrightarrow 4\\le 4x\\le 20\\ \\ \\ \\ (1)$$\n$$2\\le y\\le 10 $$\n$$\\Leftrightarrow 2\\cdot 2\\le 2y\\le 10\\cdot 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 4\\le 2y\\le 20\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες \\((1)\\) και \\((2)\\) έχουμε:\n$$4+4\\le 4x+2y\\le 20+20 $$\n$$\\Leftrightarrow 8\\le Π\\le 40$$\nΣυνεπώς, η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος είναι \\(8\\), όταν \\(x=1\\), \\(y=2\\) και η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος είναι \\(40\\), όταν \\(x=5\\), \\(y=10\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\begin{cases} x^{2}-1\\ \\text{,}\\ & x<0 \\\\ 2x+2\\ \\text{,}\\ & x\\ge 0 \\end{cases}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές \\(f(3)\\) και \\(f(-3)\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\) για τις οποίες ισχύει: \\(f(x)=8\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή \\(3>0\\), είναι:\n$$f(3)=2\\cdot 3+2=8$$\nΑφού \\(-3<0\\), είναι:\n$$f(-3)=(-3)^{2}-1=8$$\nβ) Για \\(x<0\\) είναι:\n$$f(x)=x^{2}-1$$\nΆρα:\n$$f(x)=8 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-1=8 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=9 $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm 3$$\nΔεκτή τιμή: \\(x=-3 < 0\\).\nΓια \\(x>0\\) είναι:\n$$f(x)=2x+2$$\nΆρα:\n$$f(x)=8 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x+2=8 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x=6 $$\n$$\\Leftrightarrow x=3$$\nΔεκτή τιμή, αφού \\(x=3>0\\).\nΕπομένως η \\(f(x)=8\\) ισχύει για \\(x=-3\\) και \\(x=3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τη συνάρτηση \\(f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}\\) με τύπο \\(f(x)=-x+\\sqrt{2},\\ x\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να υπολογίσετε τις τιμές \\(f(0),\\ f(\\sqrt{2}),\\ f(-\\sqrt{2}),\\ [f(-\\sqrt{2})]^2\\).\nβ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε: \\(f(0)=-0+\\sqrt{2}=\\sqrt{2}\\).\n\\(f(\\sqrt{2})=-\\sqrt{2}+\\sqrt{2}=0\\).\n\\(f(-\\sqrt{2})=-(-\\sqrt{2})+\\sqrt{2}=\\sqrt{2}+\\sqrt{2}=2\\sqrt{2}\\).\n\\([f(-\\sqrt{2})]^2=(2\\sqrt{2})^2=2^2\\cdot(\\sqrt{2})^2=4\\cdot 2=8\\).\nβ) Για \\(x=0\\), έχουμε βρει από το (α) ερώτημα \\(y=f(0)=\\sqrt{2}\\), ενώ για \\(y=0\\) παίρνουμε\n$$0=-x+\\sqrt{2}\\iff x=\\sqrt{2},$$\nδηλαδή \\(f(\\sqrt{2})=0\\), τιμή που βρέθηκε στο (α) ερώτημα.\nΈτσι, βρήκαμε τα σημεία \\(B(0,\\sqrt{2})\\) και \\(A(\\sqrt{2},0)\\), τα οποία είναι αυτά στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τους άξονες \\(y'y\\) και \\(x'x\\) αντίστοιχα.\nΠαρατηρούμε ότι η συνάρτηση \\(f\\) είναι της μορφής \\(y=f(x)=αx+β\\) με \\(x\\in\\mathbb{R},\\ (α\\cdot β\\neq 0)\\) οπότε η γραφική της παράσταση θα είναι μια ευθεία που δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων και επομένως αρκεί να σχεδιάσουμε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ανίσωση\n$$|x-1|\\leq 3\\quad (1).$$\nα) Να λύσετε την ανίσωση \\((1)\\).\nβ) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης \\((1)\\).\nγ) Να βρείτε μία ανίσωση \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού που να έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με την \\((1)\\).\nδ) Να δείξετε ότι αν το τετράγωνο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά \\(8\\) δεν ξεπερνάει το διπλάσιό του, τότε η απόστασή του από το \\(1\\) δεν ξεπερνάει το \\(3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}&|x-1|\\leq 3\\\\\n\\iff&-3\\leq x-1\\leq 3\\\\\n\\iff&-2\\leq x\\leq 4,\\end{align}\nδηλαδή \\(x\\in[-2,4]\\).\nβ) Οι ακέραιες λύσεις στο διάστημα \\([-2,4]\\) είναι οι\n$$-2,\\ -1,\\ 0,\\ 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4.$$\nγ) Αναζητούμε ένα τριώνυμο με ρίζες \\(-2\\) και \\(4\\) του οποίου το πρόσημο να είναι ετερόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου.\nΤο άθροισμα των ριζών είναι \\(S=-2+4=2\\), το γινόμενο των ριζών είναι \\(P=-2\\cdot 4=-8\\), οπότε ένα τριώνυμο είναι το\n$$x^2-S\\cdot x+P=x^2-2\\cdot x-8$$\nκαι αφού θέλουμε το πρόσημό του να είναι ετερόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου, δηλαδή αρνητικό, έχουμε τελικά ότι η ζητούμενη ανίσωση είναι η\n$$x^2-2x-8\\leq 0.$$\nδ) Έστω λοιπόν ένας αριθμός \\(x\\) του οποίου το τετράγωνο ελαττωμένο κατά \\(8\\) δεν ξεπερνάει το διπλάσιό του, δηλαδή\n$$x^2-8\\leq 2x\\iff x^2-2x-8\\leq 0.$$\nΤότε όπως δείξαμε στο (γ) ερώτημα για αυτόν τον αριθμό \\(x\\) θα ισχύει ισοδύναμα ότι \\(|x-1|\\leq 3\\), δηλαδή η απόστασή του από το \\(1\\) δεν ξεπερνάει το \\(3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$αx^2-2αx-2α-2=0,\\text{ με }α\\in\\mathbb{R}^*\\quad (1).$$\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(α\\in\\mathbb{R}^*\\) για τις οποίες η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζα το \\(3\\).\nβ) Για \\(α=2\\) να λύσετε την εξίσωση \\((1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για \\(x=3\\) η εξίσωση \\((1)\\) γίνεται:\n\\begin{align}&α\\cdot 3^2-2α\\cdot 3-2α−2=0\\\\\n\\iff&9α-6α-2α-2=0\\\\\n\\iff&α=2.\\end{align}\nΆρα \\(α=2\\).\nβ) Στη σχέση \\((1)\\) αντικαθιστούμε το \\(α=2\\) και προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση \\(2x^2-4x-6=0 \\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\\), με \\(α=1,\\ β=-2\\) και \\(γ=-3\\).\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα\n$$Δ=2^2-4\\cdot(-3)\\cdot1=16 > 0$$\nοπότε έχει δύο άνισες ρίζες\n$$x_1=\\frac{-(-2)+4}{2}=3$$\nκαι\n$$x_2=\\frac{-(-2)-4}{2}=-1.$$\nΆρα η εξίσωση έχει λύσεις \\(x=-1\\) ή \\(x=3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(y\\), για τους οποίους ισχύει: \\(|y-2|<1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(y\\in (1,3)\\).\nβ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: \\(Κ=\\dfrac{|y-1|+|y-3|}{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$|y-2|<1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1 < y-2 < 1$$\n$$\\Leftrightarrow -1+2 < y-2+2 < 1+2$$\n$$\\Leftrightarrow 1 < y < 3$$\n$$\\Leftrightarrow y\\in (1,3)$$\nβ) Ισχύει ότι:\n$$1 < y < 3$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 1 < y \\\\ y < 3 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 0 < y-1 \\\\ y-3 < 0 \\end{cases}$$\nΆρα:\n$$|y-1|=y-1$$\nκαι:\n$$|y-3|=-(y-3)=3-y$$\nΤότε:\n$$Κ=\\dfrac{|y-1|+|y-3|}{2}$$\n$$=\\dfrac{y-1+3-y}{2}$$\n$$=\\dfrac{2}{2}=1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\) με τύπο \\(f(x)=\\dfrac{x^2-x}{x^2-3x+2}\\).\nα) i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(A\\) της συνάρτησης \\(f\\).\n ii. Να δείξετε ότι \\(f(x)=\\dfrac{x}{x-2}\\) για κάθε \\(x\\in A\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η ευθεία \\(y=1\\) έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της \\(|f(x)|\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η συνάρτηση ορίζεται για τις τιμές του \\(x\\in\\mathbb{R}\\), για τις οποίες ισχύει\n$$x^2-3x+2\\neq 0\\quad (1).$$\nΤο τριώνυμο \\(x^2-3x+2\\) έχει \\(α=1, β=-3, γ=2\\) και\n\\begin{align}Δ&=β^2-4αγ\\\\\n&=(-3)^2-4\\cdot 1\\cdot 2\\\\\n&=1 > 0.\\end{align}\nΟι ρίζες του είναι\n$$x_1=\\frac{-β-\\sqrt{Δ}}{2α}=1$$\nκαι\n$$x_2=\\frac{-β+\\sqrt{Δ}}{2α}=2.$$\nΆρα η \\((1)\\) ισχύει για \\(x\\neq 1\\) και \\(x\\neq 2\\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(A=\\mathbb{R}-\\{1,2\\}\\). ii. Είναι\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{x^2-x}{x^2-3x+2}\\\\\n&=\\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-2)}\\\\\n&=\\frac{x}{x-2},\\ x\\in\\mathbb{R}-\\{1,2\\}.\\end{align}\nβ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων, αν αυτά υπάρχουν, θα είναι οι λύσεις της εξίσωσης:\n\\begin{align}&|f(x)|=1\\\\\n\\iff&|\\frac{x}{x-2}|=1\\\\\n\\iff&\\frac{x}{x-2}=1\\text{ ή }\\frac{x}{x-2}=-1\\\\\n\\iff&x=x-2\\text{ ή }x=-(x-2)\\\\\n\\iff&0x=-2\\text{ (αδύνατη) ή }x=1\\text{ (απορρίπτεται)}.\\end{align}\nΣυνεπώς η ευθεία \\(y=1\\) δεν έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της \\(|f(x)|\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x\\) με την ιδιότητα \\(5 < x < 10\\),\nα) να γράψετε τις παραστάσεις \\(|x-5|\\) και \\(|x-10|\\) χωρίς τις απόλυτες τιμές.\nβ) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\n$$Α=\\dfrac{|x-5|}{x-5}+\\dfrac{|x-10|}{x-10}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι:\n$$5 < x < 10 $$\n$$\\Leftrightarrow (5 < x\\ \\ \\text{και}\\ \\ x < 10) $$\n$$\\Leftrightarrow (0 < x-5\\ \\ \\text{και}\\ \\ x-10 < 0)$$\nΤότε:\n$$|x-5|=x-5$$\nκαι:\n$$|x-10|=-(x-10)$$\nβ) Είναι:\n$$Α=\\dfrac{|x-5|}{x-5}+\\dfrac{|x-10|}{x-10}$$\n$$=\\dfrac{x-5}{x-5}+\\dfrac{-(x-10)}{x-10}$$\n$$=1+(-1)=0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής προόδου \\((α_ν)\\):\n$$\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2},\\ \\dfrac{81}{2},\\ \\dfrac{81\\sqrt{3}}{2}.$$\nα) Να αποδείξετε ότι:i. Οι παραπάνω όροι δεν μπορούν να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.\nii.\\(\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{1}{2}(\\sqrt{3})^7\\).\nβ) Αν \\(α_7=\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}\\), να βρεθεί ο \\(ν\\)-οστός όρος της γεωμετρικής προόδου.\nγ) Αν \\(α_1=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) και \\(λ=\\sqrt{3}\\), να αποδείξετε ότι το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου \\((α_ν)\\) είναι ίσο με \\(\\dfrac{(\\sqrt{3})^{11}-\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}-2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι αριθμοί αυτοί δεν μπορούν να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, καθώς θα έπρεπε να ισχύει \\(2β=α+γ\\), δηλαδή:\n$$81=\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{81\\sqrt{3}}{2}=54\\sqrt{3},$$\nεπομένως \\(\\dfrac{81}{54}=\\sqrt{3}\\), το οποίο δεν ισχύει αφού \\(\\sqrt{3}\\) άρρητος, ενώ ο \\(\\dfrac{81}{54}\\) είναι ρητός, άρα δεν μπορούν να είναι ίσοι.ii. Οι δύο αριθμοί είναι θετικοί, άρα για να είναι ίσοι αρκεί τα τετράγωνά τους να είναι ίσα μεταξύ τους:\n\\begin{align}&\\left(\\frac{27\\sqrt{3}}{2}\\right)^2=\\left(\\frac{1}{2}(\\sqrt{3})^7\\right)^2\\\\\n\\iff&\\frac{27^2\\cdot3}{4}=\\frac{1}{4}(\\sqrt{3})^{14}\\\\\n\\iff&\\frac{3^6\\cdot3}{4}=\\frac{1}{4}\\cdot3^7,\\end{align}\nτο οποίο ισχύει.\nβ) Η γεωμετρική πρόοδος θα έχει σταθερό λόγο:\n$$λ=\\dfrac{\\dfrac{81\\sqrt{3}}{2}}{\\dfrac{81}{2}}=\\sqrt{3}.$$\nΟ \\(ν\\)-οστός όρος της γεωμετρικής προόδου είναι\n$$α_ν=α_1λ^{ν-1}=α_1(\\sqrt{3})^{ν-1}.$$\nΌμως, εφόσον, ισχύει ότι\n$$α_7=\\dfrac{27\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{1}{2}(\\sqrt{3}^7)$$\nέχουμε ότι\n$$α_1(\\sqrt{3})^{7-1}=\\dfrac{1}{2}(\\sqrt{3})^7,$$\nοπότε\n$$α_1=\\dfrac{1}{2}(\\sqrt{3})^{8-7}=\\dfrac{1}{2}\\sqrt{3}.$$\nΣυνεπώς, ισχύει ότι \\(α_1=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), άρα ο γενικός όρος της γεωμετρικής προόδου είναι\n$$α_ν=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot(\\sqrt{3})^{ν-1}=\\dfrac{(\\sqrt{3})^ν}{2}.$$\nγ) Για το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου ισχύει ότι:\n\\begin{align}S_{10}&=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}^{10}-1}{\\sqrt{3}-1}\\\\\n&=\\dfrac{\\sqrt{3}^{11}-\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}-2}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ένα εργοστάσιο κατασκευής πολυτελών αυτοκινήτων κατασκευάζει ένα νέο μοντέλο. Τον πρώτο μήνα κατασκευάστηκαν \\(5\\) τέτοια οχήματα. Στη συνέχεια όμως, κάθε μήνα κατασκευάζονταν \\(13\\) νέα οχήματα.\nα) Πόσα αυτοκίνητα θα είναι κατασκευασμένα συνολικά στο τέλος κάθε μήνα στο διάστημα του πρώτου εξαμήνου;\nβ) Να αιτιολογήσετε γιατί ο συνολικός αριθμός των αυτοκινήτων που είναι κατασκευασμένα στο τέλος κάθε μήνα αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.\nγ) Πόσα αυτοκίνητα κατασκευάστηκαν τα τέσσερα πρώτα χρόνια;\nδ) Μετά από πόσους μήνες θα έχει κατασκευαστεί το \\(250^\\text{ο}\\) αυτοκίνητο;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Στο τέλος του \\(1^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(5\\) αυτοκίνητα.\nΣτο τέλος του \\(2^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(18\\) αυτοκίνητα.\nΣτο τέλος του \\(3^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(31\\) αυτοκίνητα.\nΣτο τέλος του \\(4^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(44\\) αυτοκίνητα. Στο τέλος του \\(5^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(57\\) αυτοκίνητα και στο τέλος του \\(6^\\text{ου}\\) μήνα θα είναι κατασκευασμένα \\(70\\) αυτοκίνητα.\nβ) Τα αυτοκίνητα που είναι κατασκευασμένα στο τέλος κάθε μήνα είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_1=5\\) και διαφορά \\(ω=13\\) (τα αυτοκίνητα που κατασκευάζονται κάθε μήνα αυξάνονται σταθερά κατά \\(13\\)).\nγ) Τα τέσσερα πρώτα χρόνια (στο τέλος του \\(48^\\text{ου}\\) μήνα δηλαδή) θα έχουν κατασκευαστεί\n$$α_{48}=α_1+47ω=5+47\\cdot 13=616$$\nαυτοκίνητα.\nδ) Ζητάμε τον φυσικό αριθμό \\(ν\\) για τον οποίο ισχύει\n\\begin{align}&α_ν\\geq 250\\\\\n\\iff&5+(ν-1)13\\geq 250\\\\\n\\iff&ν-1\\geq \\frac{245}{13}\\\\\n\\iff&ν\\geq \\frac{245}{13}+1\\\\\n\\iff&ν\\geq 19+\\frac{11}{13}.\\end{align}\nΟπότε, μετά από \\(20\\) μήνες θα έχει κατασκευαστεί το \\(250^\\text{ο}\\) αυτοκίνητο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ο \\(1^{ος}\\) όρος μιας αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\) ισούται με \\(2\\) και ο \\(3^{ος}\\) όρος ισούται με \\(8\\).\nα) Να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου.\nβ) Αν είναι \\(ω=3\\), να βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με \\(35\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(α_{1}=2\\) και \\(α_{3}=8\\), δηλαδή\n$$α_{1}+2ω=8$$\n$$\\Rightarrow 2+2ω=8$$\n$$\\Rightarrow ω=3$$\nβ) Θα πρέπει να βρούμε τον φυσικό αριθμό \\(ν\\), ώστε:\n$$α_{ν}=35$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+(ν-1)ω=35$$\n$$\\Rightarrow 2+(ν-1)\\cdot 3=35$$\n$$\\Rightarrow 3\\cdot (ν-1)=33$$\n$$\\Rightarrow ν-1=11$$\n$$\\Rightarrow ν=12$$\nΕπομένως ο \\(12^{ος}\\) όρος της προόδου είναι \\(35\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει \\(|x-4|<2\\).\nβ) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό \\(x\\) του οποίου η απόσταση από το \\(4\\) πάνω στο άξονα των πραγματικών είναι μικρότερη από \\(2\\).\nΝα δείξετε ότι \\(3x-4>0\\).\nΝα αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθμού \\(x\\) από το \\(4\\) είναι μεγαλύτερη του \\(2\\) και μικρότερη του \\(14\\).\nΝα βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της απόστασης του \\(3x\\) από το \\(19\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$ |x-4|<2 $$\n$$\\Rightarrow -2 < x-4 < 2$$\n$$\\Rightarrow 4-2 < x < 2+4$$\n$$\\Rightarrow 2 < x < 6$$\nΆρα \\(x\\in (2,6)\\).\nβ) Πάνω στο άξονα των πραγματικών αριθμών η απόσταση του \\(x\\) από το \\(4\\) είναι μικρότερη από \\(2\\), δηλαδή:\nΆρα \\(20\\).\nΘα δείξουμε ότι \\(2-3x+19>1\\) οπότε \\(1-1\\) είναι \\(Κ=6+3=9\\).\nΓια \\(x=-2<-1\\) είναι \\(Κ=1-(-2)=1+2=3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x}{x^3-2x^2+x}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \\(Α\\) της \\(f\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(f(x)=\\dfrac{1}{(x-1)^2}\\), για κάθε \\(x\\in Α\\).\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=1\\).\nδ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) είναι πάνω από την ευθεία \\(y=1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει:\n\\begin{align}&x^3-2x^2+x\\neq 0\\\\\n\\iff&x(x^2-2x+1)\\neq 0\\\\\n\\iff&x(x-1)^2\\neq 0\\\\\n\\iff&x\\neq 0\\text{ και }x\\neq 1.\\end{align}\nΆρα \\(A=\\mathbb{R}-\\{1,0\\}\\).\nβ) Έχουμε\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{x}{x^3-2x^2+x}\\\\\n&=\\frac{x}{x(x-1)^2}\\\\\n&=\\frac{1}{(x-1)^2}\\end{align}\nγια κάθε \\(x\\in A\\).\nγ) Για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}-\\{1,0\\}\\) η εξίσωση γίνεται\n\\begin{align}&f(x)=1\\\\\n\\iff&\\frac{1}{(x-1)^2}=1\\\\\n\\iff&(x-1)^2=1\\\\\n\\iff&x-1=\\pm 1\\\\\n\\iff&x=2\\text{ ή }x=0\\text{ (απορρίπτεται)}.\\end{align}\nΆρα έχει μοναδική λύση την \\(x=2\\).\nδ) Αναζητούμε τις τιμές του \\(x\\in\\mathbb{R}-\\{1,0\\}\\) για τις οποίες ισχύει:\n\\begin{align}&f(x) > 1\\\\\n\\iff&\\frac{1}{(x-1)^2}>1\\\\\n\\iff&(x-1)^2 < 1\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x-1)^2} < \\sqrt{1}\\\\\n\\iff&|x-1| < 1\\\\\n\\iff&-1 < x-1 < 1\\\\\n\\iff&0 < x < 2\\end{align}\nκαι επειδή \\(x\\neq 1\\), έχουμε τελικά ότι \\(x\\in(0,1)\\cup(1,2)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\((λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0\\), \\((1)\\) με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), για τις οποίες η \\((1)\\) είναι εξίσωση \\(2ου\\) βαθμού.\nβ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\) που βρήκατε στο ερώτημα (α) η \\((1)\\) παίρνει τη μορφή: \\(λx^{2}-(λ+1)x+1=0\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του \\(λ\\) που βρήκατε στο ερώτημα (α) η \\((1)\\) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.\nδ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της \\((1)\\), αν αυτή είναι \\(2ου\\) βαθμού." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι \\(2ου\\) βαθμού, αν και μόνο αν:\n$$λ^{2}-λ\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ(λ-1)\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ne 0 \\ \\text{και}\\ λ\\ne 1$$\nβ) Με \\(λ\\ne 0\\) και \\(λ\\ne 1\\) έχουμε:\n$$(λ^{2}-λ)x^{2}-(λ^{2}-1)x+λ-1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ(λ-1)x^{2}-(λ-1)(λ+1)x+λ-1=0$$\n$$\\overset{λ\\ne 1}{\\Leftrightarrow }λx^{2}-(λ+1)x+1=0$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nγ) Με \\(λ\\ne 0\\) και \\(λ\\ne 1\\) η εξίσωση \\(λx^{2}-(λ+1)x+1=0\\) έχει διακρίνουσα\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=[-(λ+1)]^{2}-4\\cdot λ\\cdot 1$$\n$$=λ^{2}+2λ+1-4λ$$\n$$=(λ-1)^{2}>0$$\nΕπομένως η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.\nδ) Οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{λ+1\\pm \\sqrt{(λ-1)^{2}}}{2λ}$$\n$$=\\dfrac{λ+1\\pm (λ-1)}{2λ}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{λ+1+λ-1}{2λ}=1 \\\\ \\\\ \\dfrac{λ+1-λ+1}{2λ}=\\dfrac{1}{λ} \\end{cases}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Αν \\(α,β\\in \\mathbb{R}-\\{0\\}\\), να δείξετε ότι:\n$$\\left|\\dfrac{α}{β}\\right|+\\left|\\dfrac{β}{α}\\right|\\ge 2\\ \\ \\ \\ (1)$$\nβ) Πότε ισχύει η ισότητα στην \\((1)\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$\\left|\\dfrac{α}{β}\\right|+\\left|\\dfrac{β}{α}\\right|\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{|α|}{|β|}+\\dfrac{|β|}{|α|}\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{|α|^{2}+|β|^{2}}{|α|\\cdot |β|}\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}\\ge 2|α|\\cdot |β|$$\n$$\\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}-2|α|\\cdot |β|\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow (|α|-|β|)^{2}\\ge 0\\ \\ \\ \\text{που ισχύει}$$\nβ) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:\n$$|α|-|β|=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |α|=|β|$$\nδηλαδή αν και μόνο αν \\(α=β\\) ή \\(α=-β\\) (δηλαδή όταν οι αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) είναι ίσοι ή αντίθετοι)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f,\\) με\n$$f(x)=\\begin{cases} 8-x,\\ \\text{ αν } x\\lt 0 \\\\ 2x+5,\\ \\text{ αν } x\\ge 0 \\end{cases}$$\nα) Να δείξετε ότι \\(f(-5)=f(4)\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R},\\) ώστε \\(f(x)=9\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$f(-5)=8-(-5)=8+5=13$$\nκαι\n$$f(4)=2\\cdot 4+5=8+5=13.$$\nΆρα \\(f(-5)=f(4)\\).\nβ) Για \\(x\\lt 0\\) είναι:\n$$\\begin{align} & f(x)=9\\\\\n\\Leftrightarrow & 8-x=9 \\\\\n\\Leftrightarrow & -x=1 \\\\\n\\Leftrightarrow & x=-1. \\end{align}$$\nΓια \\(x\\ge 0\\) είναι:\n$$\\begin{align} & f(x)=9\\\\\n\\Leftrightarrow & 2x+5=9 \\\\\n\\Leftrightarrow & 2x=4 \\\\\n\\Leftrightarrow & x=2. \\end{align}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) (\\(A=90^0\\)) με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη \\(x\\) και \\(y\\) τέτοια, ώστε \\(x+y=10\\).\nα) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου τριγώνου ως συνάρτηση του \\(x\\) δίνεται από τον τύπο \\(Ε(x)=\\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\\) με \\(x\\in (0,10)\\).\nβ)\nΝα αποδείξετε ότι \\(Ε(x)\\le \\dfrac{25}{2}\\) για κάθε \\(x\\in (0,10)\\).\nΓια ποια τιμή του \\(x\\) το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(\\dfrac{25}{2}\\);\nγ) Αν \\(x=5\\), ποιο συμπέρασμα προκύπτει για το είδος του τρίγωνου ως προς τις πλευρές του;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή \\(x\\) και \\(y\\) είναι μήκη πλευρών έχουμε \\(x>0\\) και \\(y>0\\) με \\(x+y=10 \\Leftrightarrow y=10-x\\).\nΑπό τον τύπο του εμβαδού τριγώνου έχουμε:\n$$Ε(x)=\\dfrac{1}{2}x\\cdot y$$\n$$=\\dfrac{1}{2}x\\cdot (10-x)$$\n$$=\\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})$$\nμε \\(x\\in (0,10)\\).\nβ)\nΑρκεί να αποδείξουμε την σχέση \\(Ε(x)\\le \\dfrac{25}{2}\\) για κάθε \\(x\\in (0,10)\\), αρκεί:\n$$\\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})\\le \\dfrac{25}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 10x-x^{2}\\le 25$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow (x-5)^{2}\\ge 0$$\nισχύει για \\(x\\in (0,10)\\).\nTο εμβαδόν γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(\\dfrac{25}{2}\\) για \\(x=5\\) γιατί:\n$$Ε(x)=\\dfrac{25}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{2}(10x-x^{2})=\\dfrac{25}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow (x-5)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=5$$\nγ) Όταν \\(x=5\\) τότε \\(y=5\\), άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε αριθμητική πρόοδο \\((α_ν),\\ ν\\in\\mathbb{N}^*\\) με \\(α_3=8\\) και \\(α_{11}=32\\) και την αριθμητική πρόοδο \\((β_ν),\\ ν\\in\\mathbb{N}^*\\) που περιέχει τους περιττούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του \\(56\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α_1=2\\) και \\(ω=3\\).\nβ) Να βρείτε αν ο αριθμός \\(β_2\\) περιέχεται στην πρώτη πρόοδο.\nγ) Αν το άθροισμα των \\(2ν\\) πρώτων όρων της \\((α_ν)\\) είναι ίσο με το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων όρων της \\((β_ν)\\) να βρείτε τον αριθμό \\(ν\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύουν \\(α_3=8\\) και \\(α_{11}=32\\), οπότε\n$$α_1+ω=8\\quad (1)$$\nκαι\n$$α_1+10ω=32\\quad (2).$$\nΑν από την \\((2)\\) αφαιρέσουμε την \\((1)\\) βρίσκουμε\n$$8ω=24\\iff ω=3.$$\nΜε αντικατάσταση στην \\((1)\\) παίρνουμε\n$$α_1+6=8\\iff α_1=2$$\nβ) Η πρόοδος \\((β_ν)\\) έχει πρώτο όρο \\(β_1=57\\) και διαφορά \\(ω'=2\\) οπότε \\(β_2=57+2=59\\) και\n\\begin{align}&α_ν=β_2\\\\\n\\iff&α_1+(ν-1)ω=59\\\\\n\\iff&2+3(ν-1)=59\\\\\n\\iff&3ν=60\\\\\n\\iff&ν=20.\\end{align}\nΕπομένως ο εικοστός όρος της πρώτης προόδου είναι ίσος με τον δεύτερο όρο της δεύτερης.\nγ) Το άθροισμα των \\(2ν\\) πρώτων όρων της \\((α_ν)\\) είναι ίσο με το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων όρων της \\((β_ν)\\), οπότε έχουμε\n$$[2α_1+(2ν-1)\\cdot 3]\\cdot\\frac{2ν}{2}=[2β_1+(ν-1)\\cdot 2]\\cdot\\frac{ν}{2},$$\nαπ’ όπου, με αντικατάσταση των πρώτων όρων, παίρνουμε\n\\begin{align}&2\\cdot2+(2ν-1)\\cdot3=2(57+ν-1)\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n\\iff&4+6ν-3=57+ν-1\\\\\n\\iff&5ν=55\\\\\n\\iff&ν=11.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε μια γραπτή εξέταση \\(100\\) ερωτήσεων Σ-Λ (Σωστό - Λάθος) σε κάποιο Πανεπιστήμιο, κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με \\(1\\) μονάδα και κάθε λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται με \\(-\\frac{1}{3}\\) της μονάδας (για κάθε τριάδα λανθασμένων απαντήσεων αφαιρείται μια μονάδα).\nα) Να αποδείξετε ότι αν ένας φοιτητής απαντήσει σωστά σε \\(x\\) από τις \\(100\\) ερωτήσεις, τότε η βαθμολογία του \\(E(x)\\) δίνεται από τον τύπο \\(E(x)=\\frac{4}{3}(x-25)\\).\nβ) Ένας φοιτητής βαθμολογήθηκε με \\(88\\). Πόσες ήταν οι σωστές και πόσες οι λανθασμένες απαντήσεις που έδωσε;\nγ) Να αποδείξετε ότι η βαθμολογία ενός φοιτητή δεν μπορεί να είναι ίση με \\(50\\). Πόσες σωστές απαντήσεις πρέπει να δώσει ένας φοιτητής για να πάρει βαθμολογία μεγαλύτερη από τη βάση που είναι \\(50\\);\nδ) Το άθροισμα των επιδόσεων δυο φοιτητών ήταν \\(140\\). Πόσες ήταν οι λανθασμένες απαντήσεις και των δυο μαζί;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν το πλήθος των σωστών απαντήσεων είναι \\(x\\), τότε το πλήθος των λανθασμένων απαντήσεων είναι \\(100-x\\). Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, ο φοιτητής θα πάρει \\(x\\) βαθμούς για τις σωστές απαντήσεις και θα του αφαιρεθούν (αρνητική βαθμολογία) \\(\\frac{1}{3}(100-x)\\) βαθμοί για τις λανθασμένες απαντήσεις.\nΈτσι, η τελική βαθμολογία του θα είναι\n\\begin{align}E(x)&=x-\\frac{1}{3}(100-x)\\\\\n&=\\frac{3x-(100-x)}{3}\\\\\n&=\\frac{4x-100}{3}\\\\\n&=\\frac{4}{3}(x-25)\\end{align}\nόπου \\(x\\) είναι το πλήθος των σωστών απαντήσεων.\nβ) Είναι:\n\\begin{align}&E(x)=88\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}(x-25)=88\\\\\n\\iff&\\frac{x-25}{3}=22\\\\\n\\iff&x-25=66\\\\\n\\iff&x=91.\\end{align}\nΆρα, ο φοιτητής που βαθμολογήθηκε με \\(88\\), απάντησε σωστά σε \\(91\\) ερωτήσεις και λανθασμένα σε \\(9\\) ερωτήσεις.\nγ) Έστω ότι η βαθμολογία ενός φοιτητή που απάντησε σωστά σε \\(x\\) ερωτήσεις είναι ίση με \\(50\\).\nΤότε έχουμε:\n\\begin{align}&E(x)=50\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}(x-25)=50\\\\\n\\iff&4x-100=150\\\\\n\\iff&4x=250\\\\\n\\iff&x=\\frac{125}{2}\\end{align}\nπου είναι άτοπο, αφού ο αριθμός \\(x\\), που παριστάνει το πλήθος των σωστών απαντήσεων, είναι ακέραιος. Επομένως η βαθμολογία ενός φοιτητή δεν μπορεί να είναι ίση με \\(50\\).\nΈνας φοιτητής θα πάρει βαθμολογία μεγαλύτερη από τη βάση, μόνο όταν \\(E(x) > 50\\). Είναι:\n\\begin{align}&E(x) > 50\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}(x-25) > 50\\\\\n\\iff&4x-100 > 150\\\\\n\\iff&4x > 250\\\\\n\\iff&x > \\frac{125}{2}=62,5.\\end{align}\nΕπομένως η βαθμολογία ενός φοιτητή είναι μεγαλύτερη του \\(50\\) μόνο όταν απαντήσει σωστά σε \\(63\\) τουλάχιστον ερωτήσεις.\nδ) Έστω ότι το πλήθος των σωστών απαντήσεων των φοιτητών είναι \\(x_1, x_2\\) αντίστοιχα. Τότε έχουμε:\n\\begin{align}&E(x_1)+E(x_2)=140\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}(x_1-25)+\\frac{4}{3}(x_2-25)=140\\\\\n\\iff&4x_1-100+4x_2-100=420\\\\\n\\iff&4(x_1+x_2)=620\\\\\n\\iff&x_1+x_2=155.\\end{align}\nΕπομένως, οι δυο φοιτητές απάντησαν σωστά σε \\(155\\) από τις \\(200\\) ερωτήσεις τους και λανθασμένα στις υπόλοιπες \\(200-155=45\\) ερωτήσεις." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε, για ποιες τιμές του \\(x\\), οι αριθμοί \\(x+4\\), \\(2-x\\), \\(6-x\\) με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.\nβ) Αν \\(x=5\\) και ο \\(6-x\\) είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, να βρείτε:\nτο λόγο \\(λ\\) της γεωμετρικής προόδου.\nτον πρώτο όρο \\(α_{1}\\) της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(x+4\\), \\(2-x\\), \\(6-x\\), είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$(2-x)^{2}=(6-x)\\cdot (x+4) $$\n$$\\Leftrightarrow 4-4x+x^{2}=6x+24-x^{2}-4x $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-6x-20=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-3x-10=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-3)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-10)$$\n$$=9+40=49>0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-3)\\pm \\sqrt{49}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{3\\pm 7}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{3+7}{2}=5 \\\\ \\dfrac{3-7}{2}=-2 \\end{cases}$$\nβ) Για \\(x=5\\):\n$$α_{4}=6-x=1$$\n$$α_{3}=2-x=-3$$\n$$α_{2}=x+4=9$$\nΟ λόγος είναι \\(λ=\\dfrac{α_{4}}{α_{3}}=-\\dfrac{1}{3}\\).\nΕίναι:\n$$α_{2}=α_{1}λ^{2-1} $$\n$$\\Leftrightarrow 9=α_{1}(-\\dfrac{1}{3}) $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=-27$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν είναι \\(Α=2-\\sqrt{3}\\), \\(Β=2+\\sqrt{3}\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(A\\cdot B=1\\).\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(Π=Α^{2}+Β^{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align} A\\cdot B & =(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})\\\\\n& =2^{2}-(\\sqrt{3})^{2}\\\\\n& =4-3 \\\\\n&=1\\end{align}\nβ) Ισχύει ότι:\n\\begin{align} Π & =A^{2}+B^{2}\\\\\n&=(2-\\sqrt{3})^{2}+(2+\\sqrt{3})^{2}\\\\\n&=2^{2}-2\\cdot 2\\sqrt{3}+(\\sqrt{3})^{2}+2^{2}+2\\cdot 2\\sqrt{3}+(\\sqrt{3})^{2}\\\\\n&=4+3+4+3\\\\\n&=14\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α)\nΝα βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\), ορίζεται η παράσταση: \\(Α=\\dfrac{x}{x-|x|}\\).\nΓια τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ορίζεται η παράσταση \\(Α\\), να δείξετε ότι \\(Α=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Για \\(x<0\\), να λύσετε την εξίσωση: \\(\\dfrac{x^{3}}{x-|x|}=\\dfrac{3}{2}x+2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΗ παράσταση ορίζεται όταν \\(x-|x|\\ne 0\\), δηλαδή όταν \\(|x|\\ne x\\) και τελικά όταν \\(x<0\\).\n\\(Α=\\dfrac{x}{x-|x|}=\\dfrac{x}{x-(-x)}=\\dfrac{x}{2x}=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Για \\(x<0\\), έχουμε ισοδύναμα:\n$$\\dfrac{x^{3}}{x-|x|}=\\dfrac{3}{2}x+2 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x}{x-|x|}\\cdot x^{2}=\\dfrac{3}{2}x+2 $$\n$$\\Leftrightarrow Α\\cdot x^{2}=\\dfrac{3}{2}x+2$$\n$$\\overset{α)ii}{\\Leftrightarrow}\\dfrac{1}{2}x^{2}=\\dfrac{3}{2}x+2 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-3x-4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=-1,x=4$$\nΔεκτή είναι η λύση \\(x=-1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α=0\\), με παράμετρο \\(α\\ne 0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: \\(Δ=(α^{2}+1)^{2}\\).\nβ) Να βρείτε τις ρίζες \\(ρ_{1}\\) και \\(ρ_{2}\\) της εξίσωσης, ως συνάρτηση του \\(α\\).\nΑν οι ρίζες της εξίσωσης είναι \\(ρ_{1}=α\\) και \\(ρ_{2}=-\\dfrac{1}{α}\\),\nγ) Να βρείτε τις τιμές του \\(α\\) ώστε \\(|ρ_{1}-ρ_{2}|=2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου \\(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α\\), με \\(α\\ne 0\\) είναι:\n$$Δ=[-(α^{2}-1)]^{2}-4\\cdot α\\cdot (-α)$$\n$$=(α^{2}-1)^{2}+4α^{2}$$\n$$=α^{4}-2α^{2}+1+4α^{2}$$\n$$=α^{4}+2α^{2}+1$$\n$$=(α^{2}+1)^{2}$$\nβ) Από το α) ερώτημα προκύπτει ότι \\(Δ>0\\) για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου \\(α\\), οπότε η εξίσωση \\(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α=0\\) έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:\n$$ρ_{1}=\\dfrac{-[-(α^{2}-1)]+\\sqrt{(α^{2}+1)^{2}}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{(α^{2}-1)+(α^{2}+1)}{2α}=α$$\n$$ρ_{2}=\\dfrac{-[-(α^{2}-1)]-\\sqrt{(α^{2}+1)^{2}}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{(α^{2}-1)-(α^{2}+1)}{2α}=-\\dfrac{1}{α}$$\nγ) Έχουμε:\n$$|ρ_{1}-ρ_{2}|=2 $$\n$$\\Leftrightarrow |α-(-\\dfrac{1}{α})|=2 $$\n$$\\Leftrightarrow |α+\\dfrac{1}{α}|=2 $$\n$$\\Leftrightarrow |\\dfrac{α^{2}+1}{α}|=2 $$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}+1=2|α| $$\n$$\\Leftrightarrow |α|^{2}-2|α|+1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (|α|-1)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |α|-1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |α|=1 $$\n$$\\Leftrightarrow α=\\pm 1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=αx+β\\), όπου \\(α,β\\) πραγματικοί αριθμοί.\nα) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) διέρχεται από τα σημεία \\(Α(1,6)\\), \\(Β(-1,4)\\), να βρείτε τις τιμές των \\(α\\), \\(β\\).\nβ) Αν \\(α=1\\) και \\(β=5\\), να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,6)\\) αν και μόνο αν:\n$$f(1)=6$$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot 1+β=6$$\n$$\\Leftrightarrow α+β=6$$\n$$\\Leftrightarrow β=6-α,\\ (1)$$\nΗ γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Β(-1,4)\\) αν και μόνο αν:\n$$f(-1)=4$$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot (-1)+β=4$$\n$$\\Leftrightarrow -α+β=4$$\n$$\\overset{(1)}{\\Leftrightarrow} -α+6-α=4$$\n$$\\Leftrightarrow -2α=-2$$\n$$\\Leftrightarrow α=1$$\nΑντικαθιστούμε την τιμή \\(α=1\\) στη σχέση \\((1)\\) και βρίσκουμε:\n$$β=6-1$$\n$$\\Leftrightarrow β=5$$\nβ) Για τις τετμημένες των σημείων τομής της \\(C_{f}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) λύνουμε την εξίσωση:\n$$f(x)=0$$\n$$\\Leftrightarrow x+5=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=-5$$\nΆρα η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(Α(-5,0)\\).\nΕπίσης έχουμε:\n$$f(0)=0+5=5$$\nΆρα η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(Β(0,5)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$A=(\\sqrt{x-4}+\\sqrt{x+1})\\cdot (\\sqrt{x-4}-\\sqrt{x+1})$$\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Α\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση \\(Α\\) είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του \\(x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει να ισχύει\n$$\\begin{cases} x-4\\ge 0 \\\\ \\text{και } x+1\\ge 0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ge 4 \\\\ \\text{και }x\\ge -1\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow x\\ge 4 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\in [4,+\\infty)$$\nβ) Είναι:\n$$\\begin{align} A & =(\\sqrt{x-4}+\\sqrt{x+1})\\cdot (\\sqrt{x-4}-\\sqrt{x+1})\\\\\n& =(\\sqrt{x-4})^{2}-(\\sqrt{x+1})^{2}\\\\\n& =x-4-(x+1) \\\\\n& =x-4-x-1 \\\\\n& =-5\\end{align}$$\nΕπομένως πράγματι η παράσταση \\(Α\\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \\(x\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Οι αριθμοί \\(κ-2\\), \\(2κ\\) και \\(7κ+4\\), \\(κ\\in Ν\\) είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου \\((α_{ν})\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(κ=4\\) και να βρείτε το λόγο \\(λ\\) της προόδου.\nβ)\nΝα εκφράσετε τον \\(2^ο\\) όρο, τον \\(5^ο\\) και τον \\(4^ο\\) όρο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση του \\(α_{1}\\).\nΝα αποδείξετε ότι \\(α_{2}+α_{5}=4(α_{1}+α_{4})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(κ-2\\), \\(2κ\\) και \\(7κ+4\\) είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$(2κ)^{2}=(κ-2)\\cdot (7κ+4) $$\n$$\\Leftrightarrow 4κ^{2}=7κ^{2}+4κ-14κ-8 $$\n$$\\Leftrightarrow 3κ^{2}-10κ-8=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-10)^{2}-4\\cdot 3\\cdot (-8)$$\n$$=100+96=196>0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$κ_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-10)\\pm \\sqrt{196}}{2\\cdot 3}$$\n$$=\\dfrac{10\\pm 14}{6}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{10+14}{6}=4 \\\\ \\dfrac{10-14}{6}=-\\dfrac{2}{3} \\end{cases}$$\nΗ τιμή \\(κ=-\\dfrac{2}{3}<0\\) απορρίπτεται. Άρα \\(κ=4\\).\nΓια \\(κ=4\\) οι αριθμοί γράφονται \\(2\\), \\(8\\), \\(32\\) οπότε ο λόγος είναι:\n$$λ=\\dfrac{8}{2}=4$$\nβ)\nΕίναι:\n$$α_{2}=α_{1}λ^{2-1}=4α_{1}$$\n$$α_{4}=α_{1}λ^{4-1}=α_{1}4^{3}=64α_{1}$$\n$$α_{5}=α_{1}λ^{5-1}=α_{1}4^{4}=256α_{1}$$\nΙσχύει ότι:\n$$α_{2}+α_{5}$$\n$$=4α_{1}+256α_{1}$$\n$$=4(α_{1}+64α_{1})$$\n$$=4(α_{1}+α_{4})$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{1}{x^2+1}\\) και η ευθεία \\(y=α,α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί η γραφική παράσταση \\(C_f\\) της \\(f\\) είναι πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι αν \\(0 < α < 1\\), τότε η \\(C_f\\) έχει με την ευθεία δυο κοινά σημεία των οποίων να βρείτε τις τετμημένες.\nγ) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει: \\(|xf(x)|\\leq\\dfrac{1}{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\) έχουμε \\(x^2+1 > 0\\), οπότε \\(\\dfrac{1}{x^2+1} > 0\\), δηλαδή \\(f(x) > 0\\), η γραφική παράσταση \\(C_f\\) της \\(f\\) είναι πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση \\(f(x)=α\\) έχει δυο λύσεις και να τις προσδιορίσουμε. Είναι:\n\\begin{align}&f(x)=α\\\\\n\\iff&\\frac{1}{x^2+1}=α\\\\\n\\overset{α\\neq 0}{\\iff}&x^2+1=\\frac{1}{α}\\\\\n\\iff&x^2=\\frac{1}{α}-1\\quad (1)\\end{align}\nκαι επειδή \\(0 < α < 1\\), έχουμε \\(\\dfrac{1}{α}>1\\) οπότε \\(\\frac{1}{α}-1 > 0\\).\nΕπομένως η \\((1)\\) έχει δυο (αντίθετες) λύσεις, τις \\(x_1=\\sqrt{\\dfrac{1}{α}-1}\\) και \\(x_2=-\\sqrt{\\dfrac{1}{α}-1}\\) που είναι και οι τετμημένες των κοινών σημείων τους.\nγ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι\n\\begin{align}&|\\frac{x}{x^2+1}|\\leq\\frac{1}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{|x|}{x^2+1}\\leq\\frac{1}{2}\\\\\n\\iff&2|x|\\leq x^2+1 \\\\\n\\iff & x^2-2|x|+1 \\ge 0 \\\\\n\\iff & |x|^2-2|x|+1\\ge 0 \\\\\n\\iff & (|x|-1)^2\\ge 0.\\end{align}\nπου ισχύει." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ένα ελικόπτερο απογειώνεται από το ελικοδρόμιο και το ύψος του \\(Y_1(t)\\), σε μέτρα, από την επιφάνεια της θάλασσας τα πρώτα \\(5\\) λεπτά της κίνησής του δίνεται από τη συνάρτηση:\n$$Y_1(t)=150+50t, \\ \\ \\ t\\in[0,5]$$\nΤα επόμενα πέντε λεπτά κινείται σε σταθερό ύψος και στη συνέχεια κατεβαίνει αργά για δέκα λεπτά ακόμα, μέχρι να επιστρέψει στο ελικοδρόμιο. Το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας τα τελευταία δέκα λεπτά της κίνησής του δίνεται από τη συνάρτηση:\n$$Y_2(t)=650-25t$$\nα) Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας βρίσκεται το ελικοδρόμιο;\nβ) Σε ποιο ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας πετάει το ελικόπτερο από το \\(5^ο\\) μέχρι το \\(10^ο\\) λεπτό της κίνησής του;\nγ) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(Y_2(t)\\), και να προσδιορίσετε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η απόσταση του ελικοπτέρου από τη θάλασσα είναι \\(250\\) μέτρα.\nδ)\ni. Στα πρώτα \\(5\\) λεπτά της κίνησής του, πόσα μέτρα ανεβαίνει το ελικόπτερο κάθε λεπτό που περνάει;\nii. Στα τελευταία δέκα λεπτά της κίνησής του πόσα μέτρα κατεβαίνει το ελικόπτερο κάθε λεπτό που περνάει;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Την χρονική στιγμή \\(t=0\\) το ελικόπτερο βρίσκεται στο ελικοδρόμιο το οποίο είναι \\(Y_1(0)=150\\) μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας.\nβ) Μετά από \\(5\\) λεπτά, το ελικόπτερο θα βρίσκεται σε ύψος \\(Y_1(5)=150+50\\cdot5=400\\) μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. Άρα θα πετάει σταθερά στο ύψος αυτό για χρόνο \\(t\\in[5,10]\\).\nγ) Το ελικόπτερο κατεβαίνει από το \\(10^ο\\) λεπτό μέχρι να φτάσει πάλι στο ελικοδρόμιο. Θα φτάσει στο ελικοδρόμιο μετά από 10 λεπτά, επομένως το πεδίο ορισμού της \\(Y_2(t)\\) είναι το διάστημα [10, 20].\nΣε ύψος \\(250\\) μέτρων από τη επιφάνεια της θάλασσας θα βρίσκεται και όταν ανεβαίνει και όταν επιστέφει στο ελικοδρόμιο. Δηλαδή θα βρούμε τη χρονική στιγμή κατά την οποία:\n$$Y_1\\left(t\\right)=250\\Leftrightarrow150+50t=250\\Leftrightarrow t=2\\ \\text{λεπτά}$$\n$$\\text{καί}\\ \\ Y_2\\left(t\\right)=250\\Leftrightarrow650-25t=250\\Leftrightarrow t=16\\ \\text{λεπτά}$$\nδ)\ni. Όταν ανεβαίνει το ελικόπτερο, παρατηρούμε ότι κάθε λεπτό που περνάει (μέχρι το \\(5^ο\\) λεπτό της κίνησής του) το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας αυξάνει σταθερά κατά \\(50\\) μέτρα, αφού:\n$$Y_1\\left(t+1\\right)-Y_1\\left(t\\right)=\\left[150+50\\left(t+1\\right)\\right]-\\left(150+50t\\right)=50\\ \\ \\text{μέτρα}$$\nii. Όταν επιστρέφει το ελικόπτερο στη βάση του, παρατηρούμε ότι κάθε λεπτό που περνάει (από το \\(10^ο\\) μέχρι το \\(20^ο\\) λεπτό της κίνησής του) το ύψος του από την επιφάνεια της θάλασσας μειώνεται σταθερά κατά \\(25\\) μέτρα, αφού:\n$$Y_2\\left(t+1\\right)-Y_2\\left(t\\right)=\\left[650-25\\left(t+1\\right)\\right]-\\left(650-25t\\right)=-25\\ \\ \\text{μέτρα}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση \\(x^{2}-1=0\\).\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει: \\(|x|+x=0\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει: \\(|x|+|x^{2}-1|+x=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$x^{2}-1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=1 $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm 1$$\nβ) Ισχύει ότι \\(|x|\\ge -x\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\). Η ισότητα ισχύει για \\(x\\le 0\\). Άρα,\n$$|x|+x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|=-x $$\n$$\\Leftrightarrow x\\le 0$$\nγ) Δεδομένου ότι \\(|x^{2}-1|\\ge 0\\) και \\(|x|\\ge -x \\Leftrightarrow |x|+x\\ge 0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\), έχουμε ισοδύναμα:\n$$|x|+|x^{2}-1|+x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |x^{2}-1|+(|x|+x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\{|x^{2}-1|=0\\ \\text{και}\\ |x|+x=0\\}$$\n$$\\overset{α),β)}{\\Leftrightarrow }\\{x=\\pm 1\\ \\text{και}\\ x\\le 0\\}$$\nΆρα \\(x=-1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x+2}{\\sqrt{9-x^{2}}}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\) με τους άξονες.\nγ) Αν \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα \\(Α\\) και \\(Β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) H συνάρτηση ορίζεται μόνο όταν:\n$$9-x^{2}>0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}<9 $$\n$$\\Leftrightarrow |x|<3 $$\n$$\\Leftrightarrow -3 < x < 3 $$\nΆρα, \\(A_{f}=(-3,3)\\).\nβ) Η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) μόνο όταν για κάποιο \\(x\\in A_{f}\\) ισχύει \\(f(x)=0\\). Είναι:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x+2}{\\sqrt{9-x^{2}}}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x+2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=-2$$\nΕπομένως η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(A(-2,0)\\).\nΕπίσης έχουμε:\n$$f(0)=\\dfrac{0+2}{\\sqrt{9-0}}=\\dfrac{2}{3}$$\nΆρα η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(B(0,\\dfrac{2}{3})\\).\nγ) Έστω \\((ε):y=αx+β\\) η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι:\n$$α=\\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{2}{3}-0}{0-(-2)}$$\n$$=\\dfrac{\\dfrac{2}{3}}{2}=\\dfrac{1}{3}$$\nΆρα η εξίσωση της ευθείας γράφεται:\n$$(ε):y=\\dfrac{1}{3}x+β$$\nΕπιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο \\(Α(-2,0)\\), οπότε οι συντεταγμένες του Α την επαληθεύουν. Έτσι, έχουμε:\n$$0=\\dfrac{1}{3}(-2)+β $$\n$$\\Leftrightarrow β-\\dfrac{2}{3}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow β=\\dfrac{2}{3}$$\nΕπομένως η εξίσωση της ευθείας είναι \\((ε):y=\\dfrac{1}{3}x+\\dfrac{2}{3}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο \\(x^{2}-5x+6\\)\nβ) Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=\\dfrac{x-2}{x^{2}-5x+6}$$\nΝα βρείτε τι πεδίο ορισμού \\(Α\\) της συνάρτησης.\nΝα αποδείξετε ότι για κάθε \\(x\\in A\\) ισχύει\n$$f(x)=\\dfrac{1}{x-3}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-5x+6\\) έχει \\(α=1,\\ β=-5,\\ γ=6\\) και διακρίνουσα\n$$Δ=β^{2}-4αγ=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 6=25-24=1>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$\\begin{align} x_{1,2} & =\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n& =\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{1}}{2\\cdot 1}\\\\\n& = \\dfrac{5\\pm 1}{2}\\\\\n& = \\begin{cases} \\dfrac{5+1}{2} \\\\ \\dfrac{5-1}{2} \\end{cases}\\\\\n& = \\begin{cases} \\dfrac{6}{2} \\\\ \\dfrac{4}{2} \\end{cases} \\\\\n& = \\begin{cases} 3 \\\\ 2 \\end{cases} \\end{align}$$\nΤότε:\n$$x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$$\nβ)\nΠρέπει:\n$$x^{2}-5x+6\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-2)(x-3)\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x-2\\ne 0 \\text{ και } x-3\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\ne 2 \\text{ και } x\\ne 3$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) είναι το \\(A=\\mathbb{R}-\\{2,3\\}\\).\nΟ τύπος της συνάρτησης \\(f\\) γράφεται:\n$$\\begin{align} f(x) & =\\dfrac{x-2}{x^{2}-5x+6}\\\\\n& =\\dfrac{x-2}{(x-2)(x-3)}\\\\\n& =\\dfrac{1}{x-3}\\end{align}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση: \\(x^{2}-2x+λ=0\\), με παράμετρο \\(λ<1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) διαφορετικές μεταξύ τους.\nβ) Να δείξετε ότι: \\(x_{1}+x_{2}=2\\).\nγ) Αν για τις ρίζες \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) ισχύει επιπλέον \\(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\\), τότε:\nΝα δείξετε ότι: \\(x_{1}-x_{2}=4\\).\nΝα βρείτε τις ρίζες \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) και η τιμή του \\(λ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-2)^{2}-4\\cdot 1\\cdot λ$$\n$$=4-4λ>0$$\nαφού:\n$$λ<1$$\n$$\\overset{\\cdot (-4)}{ \\Leftrightarrow }-4λ>-4$$\n$$\\overset{(+4)}{ \\Leftrightarrow }4-4λ>0$$\nΆρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) διαφορετικές μεταξύ τους.\nβ) Έχουμε: \\(x_{1}+x_{2}=S=\\dfrac{-β}{α}=\\dfrac{-(-2)}{1}=2\\).\nγ)\nΈχουμε \\(|x_{1}-2|=|x_{2}+2|\\), οπότε:\n$$\\begin{cases} x_{1}-2=x_{2}+2 \\\\ ή \\\\ x_{1}-2=-x_{2}-2 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\\\ ή \\\\ x_{1}+x_{2}=0 \\end{cases}$$\nπου απορρίπτεται λόγω β) ερωτήματος.\nΆρα \\(x_{1}-x_{2}=4\\).\nΑπό τα ερωτήματα β) και γ) έχουμε \\(x_{1}+x_{2}=2\\) και \\(x_{1}-x_{2}=4\\). Άρα:\n$$\\begin{cases} x_{1}-x_{2}=4 \\\\ x_{1}+x_{2}=2 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(+)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} 2x_{1}=6 \\\\ x_{1}+x_{2}=2 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x_{1}=3 \\\\ x_{2}=-1 \\end{cases}$$\nΤο γινόμενο των ριζών είναι \\(P=\\dfrac{γ}{α}=λ\\), οπότε \\(λ=x_{1}x_{2}=-3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{9-x^2}{3-|x|}\\).\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\).\nβ) Για τις τιμές του \\(x\\) που ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\) να δείξετε ότι \\(f(x)=3+|x|\\).\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης \\(C_f\\) με τους άξονες.\nδ) Αν \\(g(x)=3-x^2\\) να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις \\(C_f\\) και \\(C_g\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\) πρέπει και αρκεί να ισχύει:\n$$3-|x|\\neq 0$$\nΕπειδή ισχύει\n\\begin{align}&3-|x|=0\\\\\n\\iff&-|x|=-3\\\\\n\\iff&|x|=3\\\\\n\\iff&x=\\pm 3\\end{align}\nγια να ορίζεται η συνάρτηση \\(f\\) πρέπει και αρκεί \\(x\\neq\\pm 3\\).\nΕπομένως, η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για\n\\(x\\in(-\\infty,-3)\\cup(-3,3) \\cup(3,+\\infty)\\).\nβ) Για \\(x\\in(-\\infty,-3)\\cup(-3,3)\\cup(3,+\\infty)\\) η συνάρτηση \\(f\\) παίρνει τη μορφή\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{9-x^2}{3-|x|}\\\\\n&=\\frac{3^2-|x|^2}{3-|x|}\\\\\n&=\\frac{(3+|x|)(3-|x|)}{3-|x|}\\\\\n&=3+|x|.\\end{align}\nγ) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης \\(C_f\\) με τον άξονα \\(x’x\\) λύνουμε την εξίσωση\n$$f(x)=0\\iff 3+|x|=0\\iff |x|=-3$$\nη οποία είναι αδύνατη. Επομένως, η γραφική παράσταση \\(C_f\\) δεν τέμνει τον άξονα \\(x'x\\).\nΓια να βρούμε το σημείο τομής της \\(C_f\\) με τον άξονα \\(y’y\\) πρέπει να βρούμε το \\(f(0)\\).\nΙσχύει \\(f(0)=3+|0|=3\\). Άρα, το σημείο τομής της γραφικής παράστασης \\(C_f\\) με τον άξονα \\(y'y\\) είναι το \\(Α(0,3)\\).\nδ) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων \\(C_f\\) και \\(C_g\\) λύνουμε την εξίσωση:\n\\begin{align}&g(x)=f(x)\\\\\n\\iff&-x^2+3=3+|x|\\\\\n\\iff&-|x|^2+3-3-|x|=0\\\\\n\\iff&|x|^2+|x|=0\\end{align}\nΕπειδή \\(|x^2|\\geq0\\) και \\(|x|\\geq0\\) ισχύει \\(|x|^2+|x|=0\\) αν και μόνο αν \\(x=0\\). Άρα το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων \\(C_f\\) και \\(C_g\\) είναι το \\((0, 3)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τριώνυμο \\(-x^{2}+(\\sqrt{3}-1)x+\\sqrt{3}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι :\n$$Δ=(\\sqrt{3}+1)^{2}$$\nβ) Να παραγοντοποιήσετε το αρχικό τριώνυμο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(-x^{2}+(\\sqrt{3}-1)x+\\sqrt{3}\\) έχει συντελεστές \\(a=-1\\), \\(β=\\sqrt{3}-1\\), \\(γ=\\sqrt{3}\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(\\sqrt{3}-1)^{2}-4\\cdot (-1)\\cdot \\sqrt{3}$$\n$$=\\sqrt{3}^{2}-2\\sqrt{3}+1^{2}+4\\sqrt{3}$$\n$$=\\sqrt{3}^{2}+2\\sqrt{3}+1^{2}$$\n$$=(\\sqrt{3}+1)^{2}>0$$\nβ) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}$$\n$$=\\dfrac{-(\\sqrt{3}-1)\\pm \\sqrt{(\\sqrt{3}+1)^{2}}}{2\\cdot (-1)}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{1-\\sqrt{3}+\\sqrt{3}+1}{-2} &=-1 \\\\ \\dfrac{1-\\sqrt{3}+\\sqrt{3}+1}{-2} &= \\sqrt{3} \\end{cases}$$\nΕπομένως η παραγοντοποίηση γίνεται:\n$$-x^{2}+(\\sqrt{3}-1)x+\\sqrt{3}=-(x-(-1))(x-\\sqrt{3})$$\n$$=-(x+1)(x-\\sqrt{3})$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θέμα 4\nΣε ένα γήπεδο καλαθοσφαίρισης, σε μία από τις κερκίδες του, η οποία διαθέτει \\(40\\) σειρές καθισμάτων, στη 10η σειρά υπάρχουν \\(50\\) καθίσματα. Μετά την πρώτη σειρά κάθε επόμενη διαθέτει \\(2\\) καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά.\nα) Αν \\(α_ν\\) το πλήθος των καθισμάτων της \\(ν\\)-οστής σειράς, τότε να αποδείξετε ότι \\(α_ν\\) είναι αριθμητική πρόοδος, της οποίας να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_1\\) και τη διαφορά \\(ω\\).\nβ) Να υπολογίσετε το σύνολο των καθισμάτων που διαθέτει η συγκεκριμένη κερκίδα.\nγ) Αν για λόγους ασφαλείας σε έναν αγώνα επιτρέπεται να καθίσουν θεατές μόνο στις περιττές σειρές καθισμάτων της κερκίδας, να βρείτε πόσους καθήμενους θεατές θα χωρέσει αυτή η κερκίδα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι \\(α_{ν+1}=α_ν+2\\), άρα είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά \\(ω=2\\). Σε μία αριθμητική πρόοδο ισχύει ότι:\n\\begin{align}&α_ν=α_1+(ν-1)ω\\\\\n\\implies& α_{10}=α_1+9ω\\\\\n\\implies&α_1=α_{10}-9ω=50-9\\cdot 2=32.\\end{align}\nΣυνεπώς ισχύει ότι \\(α_1=32\\) και \\(ω=2\\).\nβ) Σε μία αριθμητική πρόοδο το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων όρων της είναι ίσο με:\n$$S_ν=\\frac{ν}{2}(2α_1+(ν-1)ω).$$\nΕπομένως για \\(ν = 40\\) έχουμε:\n\\begin{align}S_{40}&=\\frac{40}{2}(2\\cdot 32+39\\cdot 2)\\\\\n&=20(64+78)\\\\\n&=20\\cdot 142\\\\\n&=2840.\\end{align}\nΣυνεπώς, το σύνολο των καθισμάτων της κερκίδας είναι \\(2840\\).\nγ) Η 1η σειρά καθισμάτων έχει \\(32\\) καθίσματα, η 2η \\(34\\) και η 3η \\(36\\). Αν οι θεατές μπορούν να καθίσουν μόνο στις περιττές σειρές καθισμάτων, τότε δημιουργείται μία αριθμητική πρόοδος με \\(β_1=α_1, β_2=α_3,\\dots\\) με πρώτο όρο \\(β_1=32\\) και διαφορά \\(δ=4\\). Το πλήθος των όρων αυτής της αριθμητικής προόδου που πρέπει να καταμετρηθεί είναι οι \\(20\\) πρώτοι όροι, καθώς σε \\(40\\) σειρές καθισμάτων οι μισές θα είναι περιττές. Οπότε το πλήθος των θεατών που μπορούν να καθίσουν στην κερκίδα είναι:\n\\begin{align}S_{20}&=\\frac{20}{2}(2\\cdot 32+19\\cdot 4)\\\\\n&=10(64+76)\\\\\n&=10\\cdot 140\\\\\n&=1400.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Η ευθεία \\((ε_1)\\) έχει εξίσωση \\(y=-\\dfrac{1}{2}x-2\\) και μια ευθεία \\((ε_2)\\) διέρχεται από το σημείο Α (-4, 1) και είναι παράλληλη στην \\((ε_1)\\).\nα) Να γράψετε την κλίση της ευθείας \\((ε_1)\\) και το σημείο τομής της ευθείας αυτής με τον άξονα \\(y'y\\).\n( \nβ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία \\((ε_2)\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\((ε_2)\\). Ποια είναι τα σημεία τομής της ευθείας αυτής με τους άξονες;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η κλίση της ευθείας \\((ε_1)\\) είναι \\(a_1=-\\dfrac{1}{2}\\) και η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα \\(y’y\\) στο σημείο (0, -2), αφού για \\(x=0\\) βρίσκουμε \\(y=-\\dfrac{1}{2}\\cdot0-2=-2\\).\nβ) Η ευθεία \\((ε_2)\\) είναι παράλληλη στην \\((ε_1)\\), οπότε έχει κλίση \\(a_2=-\\dfrac{1}{2}\\). Επομένως η εφαπτομένη της γωνίας \\(ω\\) που σχηματίζει η ευθεία \\((ε_2)\\) με τον \\(x'x\\) άξονα ισούται με \\(-\\dfrac{1}{2}\\) \\(\\left(εφω=-\\dfrac{1}{2}\\right)\\).\nγ) Η ευθεία \\((ε_2)\\) έχει εξίσωση: \\(y=-\\dfrac{1}{2}x+β\\) και διέρχεται από το σημείο Α (-4, 1), οπότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή:\n$$1=-\\dfrac{1}{2}\\cdot\\left(-4\\right)+β\\ \\Leftrightarrow\\ 1=2+β\\ \\Leftrightarrow\\ β=-1$$\nΆρα η ευθεία \\((ε_2)\\) έχει εξίσωση: \\(y=-\\dfrac{1}{2}x-1\\).\nΗ ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο (0, -1), αφού για \\(x=0\\) βρίσκουμε \\(y=-\\dfrac{1}{2}\\cdot0-1=-1\\) και τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο (2,0), αφού για \\(y=0\\) έχουμε:\n$$0=-\\dfrac{1}{2}x-1\\ \\Leftrightarrow$$\n$$1=-\\dfrac{1}{2}x\\ \\Leftrightarrow$$\n$$2=-x\\ \\Leftrightarrow$$\n$$x=-2$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τις συναρτήσεις:\n$$f(x)=x^{2}+1$$\nκαι\n$$g(x)=x+α$$\nμε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) και \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Για \\(α=1\\), να προσδιορίσετε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(α\\), οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) τέμνονται σε δύο σημεία.\nγ) Για \\(α>1\\), να εξετάσετε αν οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) είναι ομόσημες ή ετερόσημες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για \\(α=1\\) ο τύπος της συνάρτησης \\(g\\) γίνεται: \\(g(x)=x+1, x\\in \\mathbb{R}\\).\nΟι συναρτήσεις \\(f\\) και \\(g\\) έχουν πεδίο ορισμού το \\(\\mathbb{R}\\). Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών τους παραστάσεων είναι οι λύσεις της εξίσωσης:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+1=x+1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x(x-1)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=0 \\\\ x-1=0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=0 \\\\ x=1 \\end{cases}$$\nΕπίσης:\n$$g(0)=0+1=1$$\nκαι\n$$g(1)=1+1=2$$\nΆρα τα σημεία τομής είναι τα \\(Α(0,g(0))\\) και \\(Β(1,g(1))\\) δηλαδή τα \\(Α(0,1)\\) και \\(Β(1,2)\\).\nβ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) τέμνονται σε δύο σημεία αν και μόνο αν η εξίσωση:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+1=x+α$$\nέχει δύο άνισες λύσεις (που θα είναι οι τετμημένες \\(x_{1},x_{2}\\) των σημείων αυτών).\nΔηλαδή αν και μόνο αν η εξίσωση:\n$$x^{2}-x+1-α=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nέχει δύο άνισες ρίζες.\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου \\(x^{2}-x+1-α\\) είναι:\n$$Δ=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (1-α)=$$\n$$=1-4+4α=4α-3$$\nΗ εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο άνισες ρίζες αν και μόνο αν:\n$$Δ>0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4α-3>0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4α>3 $$\n$$\\Leftrightarrow α>\\dfrac{3}{4}$$\nγ) Επειδή \\(α>1>\\dfrac{3}{4}\\), η εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο ρίζες άνισες, τις \\(x_{1},x_{2}\\). Το γινόμενό τους είναι:\n$$P=x_{1}x_{2}$$\n$$=\\dfrac{γ}{α}=1-α$$\nΑλλά, \\(α>1 \\Rightarrow 1-α<0\\), δηλαδή \\(P<0\\). Οπότε οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\) είναι ετερόσημες." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n\\(x^{2}-x+λ-λ^{2}=0\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\ \\ \\ \\ (1)\\)\nα) Να βρείτε τη διακρίνουσα \\(Δ\\) της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Για ποια τιμή του \\(λ\\) η εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο άνισες ρίζες;\nγ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης \\((1)\\), να βρείτε για ποιες τιμές του \\(λ\\) ισχύει \\(0 < d(x_{1},x_{2}) < 2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-x+(λ-λ^{2})\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-1\\), \\(γ=λ-λ^{2}\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (λ-λ^{2})$$\n$$=1-4λ+4λ^{2}$$\n$$=(1-2λ)^{2}\\ge 0,\\ \\ \\text{για κάθε}\\ λ\\in \\mathbb{R}$$\nΕπειδή \\(Δ\\ge 0\\), για κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), η εξίσωση \\(x^{2}-x+λ-λ^{2}\\) = 0 έχει πραγματικές ρίζες.\nβ) Η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν:\n$$Δ>0 $$\n$$\\Leftrightarrow (1-2λ)^{2}>0 $$\n$$\\Leftrightarrow 1-2λ\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ne \\dfrac{1}{2}$$\nγ) Οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{(1-2λ)^{2}}}{2}$$\n$$=\\dfrac{1\\pm (1-2λ)}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{1+1-2λ}{2}=1-λ \\\\ \\dfrac{1-1+2λ}{2}=λ \\end{cases}$$\nΈχουμε ότι:\n$$0 < d(x_{1}, x_{2}) < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < |x_{1}-x_{2}| < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < |1-λ-λ| < 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < |1-2λ| < 2 $$\nΔηλαδή:\n$$0<|1-2λ| $$\n$$\\Leftrightarrow 1-2λ\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2λ\\ne \\dfrac{1}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ne \\dfrac{1}{2}$$\nκαι:\n$$|1-2λ|<2 $$\n$$\\Leftrightarrow -2<1-2λ<2 $$\n$$\\Leftrightarrow -3<-2λ<1 $$\n$$\\Leftrightarrow -\\dfrac{1}{2}<λ<\\dfrac{3}{2}$$\nΟπότε, τελικά:\n$$λ\\in (-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2})\\cup (\\dfrac{1}{2},\\dfrac{3}{2})$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(x^{2}-4x+2-λ^{2}=0\\ \\ \\ (1)\\) με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του \\(λ\\in \\mathbb{R}\\), η \\((1)\\) έχει δύο ρίζες άνισες.\nβ) Αν \\(x_{1}\\) και \\(x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), τότε:\nΝα βρείτε το \\(S=x_{1}+x_{2}\\).\nΝα βρείτε το \\(P=x_{1}\\cdot x_{2}\\) ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού \\(λ\\).\nγ) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\) είναι ο αριθμός \\(2+\\sqrt{3}\\) τότε:\nνα αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης \\((1)\\) είναι ο αριθμός \\(2-\\sqrt{3}\\),\nνα βρείτε τον αριθμό \\(λ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο: \\(x^{2}-4x+2-λ^{2}\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-4\\), \\(γ=2-λ^{2}\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-4)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (2-λ^{2})$$\n$$=16-8+4λ^{2}$$\n$$=8+4λ^{2}$$\nΕίναι \\(Δ=8+4λ^{2}>0\\) για κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\) οπότε η εξίσωση \\(x^{2}-4x+2-λ^{2}=0\\) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε\n\\(S=x_{1}+x_{2}=-\\dfrac{β}{α}=-\\dfrac{-4}{1}=4\\)\n\\(P=x_{1}\\cdot x_{2}=\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{2-λ^{2}}{1}=2-λ^{2}\\)\nγ) Έστω \\(x_{1}=2+\\sqrt{3}\\) και \\(x_2\\) η ζητούμενη ρίζα. Τότε:\nΑπό το άθροισμα των ριζών έχουμε ότι:\n$$x_{1}+x_{2}=4 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+\\sqrt{3}+x_{2}=4 $$\n$$\\Leftrightarrow x_{2}=4-2-\\sqrt{3} $$\n$$\\Leftrightarrow x_{2}=2-\\sqrt{3}$$\nΑπό το γινόμενο των ριζών έχουμε ότι:\n$$x_{1}\\cdot x_{2}=2-λ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow (2+\\sqrt{3})(2-\\sqrt{3})=2-λ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2^{2}-\\sqrt{3}^{2}=2-λ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 4-3=2-λ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}=1 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=\\pm 1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε μία αριθμητική πρόοδο \\((α_{ν})\\) ισχύουν: \\(α_{1}=2\\) και \\(α_{25}=α_{12}+39\\).\nα) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \\(ω=3\\).\nβ) Να βρείτε ποιός όρος της προόδου είναι ίσος με \\(152\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α_{25}=α_{12}+39 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(25-1)ω=α_{1}+(12-1)ω+39 $$\n$$\\Leftrightarrow 24ω=11ω+39 $$\n$$\\Leftrightarrow 13ω=39 $$\n$$\\Leftrightarrow ω=3$$\nβ) Ισχύει ότι:\n$$α_{ν}=152 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=152 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+(ν-1)\\cdot 3=152 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+3ν-3=152 $$\n$$\\Leftrightarrow 3ν=153 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=51$$\nΆρα ο \\(51^{ος}\\) όρος της προόδου είναι ίσος με \\(152\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τριώνυμο:\n$$2x^{2}+x-1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nα) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) είναι ρίζες του τριωνύμου \\((1)\\), να βρείτε την τιμή των παραστάσεων \\(x_{1}+x_{2}\\), \\(x_{1}x_{2}\\) και \\(\\dfrac{1}{x_{1}}+\\dfrac{1}{x_{2}}\\).\nβ) Αν \\(\\dfrac{1}{x_{1}}=-1\\) και \\(\\dfrac{1}{x_{2}}=2\\), να βρείτε μια εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τις \\(\\dfrac{1}{x_{1}}\\) και \\(\\dfrac{1}{x_{2}}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(2x^{2}+x-1\\) έχει \\(α=2\\), \\(β=1\\) και \\(γ=-1\\). Οπότε το άθροισμα των ριζών του είναι:\n$$x_{1}+x_{2}=-\\dfrac{β}{α}=-\\dfrac{1}{2}$$\nκαι το γινόμενό τους:\n$$x_{1}x_{2}=\\dfrac{γ}{α}=-\\dfrac{1}{2}$$\nΕπίσης, έχουμε ότι:\n$$\\dfrac{1}{x_{1}}+\\dfrac{1}{x_{2}}=\\dfrac{x_{2}}{x_{1}x_{2}}+\\dfrac{x_{1}}{x_{1}x_{2}}$$\n$$=\\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\\dfrac{-\\dfrac{1}{2}}{-\\dfrac{1}{2}}=1$$\nβ) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \\(\\dfrac{1}{x_{1}}=-1\\) και \\(\\dfrac{1}{x_{2}}=2\\), είναι η \\(x^{2}-Sx+P=0\\), με \\(S=-1+2=1\\) και \\(P=(-1)\\cdot 2=-2\\).\nΆρα, μια εξίσωση είναι η: \\(x^{2}-x-2=0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) για την οποία ισχύει ότι: \\(α_{1}=19\\) και \\(α_{10}-α_{6}=24\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \\(ω=6\\).\nβ) Να βρείτε τον \\(α_{20}\\).\nγ) Να βρείτε το άθροισμα των \\(20\\) πρώτων όρων της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α_{10}-α_{6}=24 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(10-1)ω-[α_{1}+(6-1)ω]=24 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+9ω-α_{1}-5ω=24 $$\n$$\\Leftrightarrow 4ω=24 \\Leftrightarrow ω=6$$\nβ) Έχουμε:\n$$α_{20}=α_{1}+(20-1)ω$$\n$$=19+19\\cdot 6$$\n$$=19+114=133$$\nγ) Ισχύει ότι:\n$$S_{20}=\\dfrac{20}{2}(α_{1}+α_{20})$$\n$$=10(19+133)$$\n$$=10\\cdot 152=1520$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση: \\(|2x+4|=10\\).\n(Μονάδες9)\nβ) Nα λύσετε την ανίσωση: \\(|x-5|>1\\).\nγ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\n(Μονάδες7)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|2x+4|=10$$\n$$2x+4=10 \\text{ ή } 2x+4=-10$$\n$$2x=6 \\text{ ή } 2x=-14$$\n$$x=3 \\text{ ή } x=-7$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|x-5|>1$$\n$$x-5\\lt -1 \\text{ ή } x-5>1$$\n$$x\\lt 4 \\text{ ή } x>6$$\nγ) Οι λύσεις της εξίσωσης του α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος, διότι και οι δυο είναι αριθμοί μικρότεροι του \\(4\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση:\n$$f(x)=\\frac{(x+2)(x+1)^2}{1+(x+2)x}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.\nβ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση.\nγ) Αν είναι \\(f(x)=x+2,\\ x\\neq -1\\), τότε: i. Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει η γραφική παράσταση της \\(f\\) τη γραφική παράσταση της \\(g(x)=x^2\\).\n ii. Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\), για τις οποίες, η γραφική παράσταση της \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της \\(g\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει:\n\\begin{align}&1+(x+2)x\\neq0\\\\\n\\iff&x^2+2x+1\\neq0\\\\\n\\iff&(x+1)^2\\neq0\\\\\n\\iff&x\\neq -1.\\end{align}\nΆρα \\(A_f=\\mathbb{R}-\\{-1\\}\\).\nβ) Έχουμε:\n\\begin{align}f(x)&=\\frac{(x+2)(x+1)^2}{1+(x+2)x}\\\\\n&=\\frac{(x+2)(x+1)^2}{(x+1)^2}\\\\\n&=x+2\\end{align}\nκαι η γραφική της παράσταση είναι ευθεία με εξίσωση \\(y=x+2\\) και \\(x\\neq -1\\).\nγ) i. Η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τη γραφική παράσταση της \\(g\\) σε σημεία των οποίων οι τετμημένες είναι λύσεις της εξίσωσης \\(x+2=x^2\\), για \\(x\\neq -1\\).\nΈχουμε λοιπόν\n$$x+2=x^2\\iff x^2-x-2=0$$\nπου είναι εξίσωση \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού με ρίζες που έχουν άθροισμα \\(-\\frac{-1}{1}=1\\) και γινόμενο \\(\\frac{-2}{1}=-2\\). Επομένως, \\(x_1=2\\) και \\(x_2=-1\\) (απορρίπτεται).\nΆρα, οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο, το \\((2,4)\\), αφού \\(f(2)=g(2)=4\\). ii. H γραφική παράσταση της \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της \\(g\\) για τις τιμές του \\(x\\) οι οποίες είναι λύσεις της ανίσωσης:\n$$x+2 > x^2\\iff x^2-x-2 < 0.$$\nΗ ανίσωση είναι \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού με \\(α=1>0\\) και ρίζες \\(x_1=2\\) και \\(x_2=-1\\), οπότε αληθεύει για \\(x\\in(-1,2)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την ανίσωση: \\(\\ -\\dfrac{3-2x}{7}\\geq 5\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση: \\(|-x-1|\\leq 23\\).\nγ) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις." }, { "from": "assistant", "value": "α) H δοθείσα ανίσωση γράφεται \\(\\dfrac{-(3-2x)}{7} \\geq 5\\) οπότε\n$$\\frac{2x-3}{7}\\geq 5\\iff 2x-3\\geq 35,$$\nάρα\n$$2x\\geq 38\\iff x\\geq 19.$$\nβ) Καθώς οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές, η δοθείσα ανίσωση γράφεται ισοδύναμα\n\\begin{align}&|x + 1| \\leq 23\\\\\n\\iff&-23\\leq x+1\\leq 23\\\\\n\\iff&-23-1\\leq x\\leq 23-1\\\\\n\\iff&-24\\leq x\\leq 22.\\end{align}\nγ) Παριστάνουμε τις λύσεις των δύο παραπάνω ανισώσεων στον ίδιο άξονα, απ΄όπου προκύπτει ότι \\(19\\leq x\\leq 22\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "*α) Να λύσετε την εξίσωση \\(|2x-1|=3\\).\nβ) Αν \\(α,\\ β\\) με \\(α<β\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση \\(αx^{2}+βx+3=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$|2x–1|=3$$\n$$\\Leftrightarrow 2x–1=3 \\text{ ή } 2x–1=–3$$\n$$\\Leftrightarrow 2x=4 \\text{ ή } 2x=–2$$\n$$\\Leftrightarrow x=2 \\text{ ή } x=–1$$\nβ) Είναι \\(α = – 1\\) και \\(β = 2.\\) Τότε η εξίσωση γράφεται:\n$$–x^{2}+2x+3=0$$\nΓια \\(α = – 1,\\ β = 2\\) και \\(γ = 3\\), βρίσκουμε:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=2^{2}-4\\cdot (-1)\\cdot 3=4+12=16>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης είναι:\n\\begin{align} x_{1,2} & =\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n& =\\dfrac{-2\\pm \\sqrt{16}}{2\\cdot (-1)}\\\\\n& =\\dfrac{-2\\pm 4}{-2}\\\\\n&= \\begin{cases} \\dfrac{2}{-2} = - 1 \\\\ \\dfrac{-6}{-2} =3 \\end{cases} \\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2-6x+λ=0\\quad(1)$$\nόπου \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(λ\\) εξίσωση \\((1)\\) έχει πραγματικές ρίζες.\nβ) Αν δύο πραγματικοί αριθμοί \\(α\\) και \\(β\\) έχουν σταθερό άθροισμα \\(6\\) και γινόμενο \\(α\\cdot β=λ\\), τότε:i. Να δείξετε ότι \\(α\\cdot β\\leq 9\\).\nii. Να δείξετε ότι \\(α\\cdot β=9\\) αν και μόνο αν \\(α=β\\).\nγ) Να δείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διαστάσεις \\(α,\\ β\\) και περίμετρο \\(12\\), μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα \\(Δ=36-4λ\\) και για να έχει πραγματικές ρίζες πρέπει και αρκεί \\(Δ\\geq0\\) ισοδύναμα \\(36-4λ\\geq0\\) οπότε \\(-4λ\\geq-36\\) και τελικά \\(λ\\leq9\\).\nβ) i. Αφού οι πραγματικοί αριθμοί \\(α, β\\) έχουν σταθερό άθροισμα \\(6\\) και γινόμενο \\(λ\\) θα είναι ρίζες της \\((1)\\) και αυτό όπως δείξαμε στο (α) ερώτημα συμβαίνει αν και μόνο αν\n$$λ\\leq9\\iff α\\cdot β\\leq9.$$\nii. Αφού οι πραγματικοί αριθμοί \\(α, β\\) είναι ρίζες της \\((1)\\), θα είναι \\(α=β\\) αν και μόνο αν η \\((1)\\) έχει δύο ρίζες ίσες, δηλαδή ισοδύναμα αν \\(Δ=0\\) δηλαδή \\(36-4λ=0\\) οπότε \\(-4λ=-36\\) και τελικά \\(λ=9\\) πράγμα που σημαίνει ότι \\(α\\cdot β=9\\).\nγ) Έστω \\(α, β\\) οι διαστάσεις τυχαίου ορθογωνίου παραλληλογράμμου με περίμετρο 12. Τότε \\(2α+2β=12\\) δηλαδή \\(α+β=6\\). Το εμβαδόν τους είναι ίσο με \\(α\\cdot β\\). Δείξαμε στο (β) ερώτημα ότι αν για δυο πραγματικούς αριθμούς \\(α, β\\) ισχύει ότι \\(α+β=6\\), τότε \\(α\\cdot β\\leq 9\\) και μάλιστα \\(α\\cdot β=9\\) αν και μόνο αν \\(α=β\\).\nΣυνεπώς η μεγαλύτερη τιμή του εμβαδού είναι \\(9\\) και αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ίσες, δηλαδή αν και μόνο αν είναι τετράγωνο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(α,\\ β,\\ γ\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν \\(α+β+γ=0\\) και \\(αβγ\\neq0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι\n\\(β+γ=-α\\).\n\\(\\dfrac{α^2}{β+γ}=-α\\).\nβ) Με παρόμοιο τρόπο να απλοποιήσετε τα κλάσματα \\(\\dfrac{β^2}{γ+α},\\ \\dfrac{γ^2}{α+β}\\) και να αποδείξετε ότι\n$$\\frac{α^2}{β+γ}+\\frac{β^2}{γ+α}+\\frac{γ^2}{α+β}=0.$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Από την ισότητα \\(α+β+γ=0\\), προκύπτει ότι \\(β+γ=-α\\), που είναι το ζητούμενο.ii. Mε τη βοήθεια του προηγούμενου υποερωτήματος, έχουμε:\n$$\\frac{α^2}{β+γ}=\\frac{α^2}{-α}=-α.$$\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε:\n$$\\frac{α^2}{β+γ}=-α.$$\nΟμοίως, από τη δοσμένη ισότητα παίρνουμε \\(γ+α=-β\\) και \\(α+β=-γ\\), οπότε\n$$\\frac{β^2}{γ+α}=\\frac{β^2}{-β}=-β$$\nκαι\n$$\\frac{γ^2}{α+β}=\\frac{γ^2}{-γ}=-γ.$$\nΕπομένως,\n\\begin{align}&\\phantom{=}\\frac{α^2}{β+γ}+\\frac{β^2}{γ+α}+\\frac{γ^2}{α+β}\\\\\n&=-α-β-γ\\\\\n&=-(α+β+γ)\\\\\n&=0\\end{align}\nπου είναι το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί:\n$$Α=\\dfrac{1}{3-\\sqrt{7}} \\text{ και }Β=\\dfrac{1}{3+\\sqrt{7}}$$\nα) Να δείξετε ότι:\n$$A+B=3 \\text{ και } A\\cdot B=\\dfrac{1}{2}$$\nβ) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \\(Α,\\ Β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} A+B & =\\dfrac{1}{3-\\sqrt{7}}+\\dfrac{1}{3+\\sqrt{7}}\\\\\n& =\\dfrac{3+\\sqrt{7}}{(3+\\sqrt{7})(3-\\sqrt{7})}+\\dfrac{3-\\sqrt{7}}{(3+\\sqrt{7})(3-\\sqrt{7})}\\\\\n&=\\dfrac{3-\\sqrt{7}+3+\\sqrt{7}}{(3+\\sqrt{7})(3-\\sqrt{7})}\\\\\n&=\\dfrac{6}{3^{2}-(\\sqrt{7})^{2}}\\\\\n&=\\dfrac{6}{9-7}\\\\\n&=\\dfrac{6}{2} \\\\\n&=3 \\end{align}\nΙσχύει ότι:\n\\begin{align} A\\cdot B & =\\dfrac{1}{3-\\sqrt{7}}\\cdot \\dfrac{1}{3+\\sqrt{7}}\\\\\n&=\\dfrac{1}{(3+\\sqrt{7})(3-\\sqrt{7})}\\\\\n&=\\dfrac{1}{3^{2}-(\\sqrt{7})^{2}}\\\\\n&=\\dfrac{1}{9-7}\\\\\n&=\\dfrac{1}{2} \\end{align}\nβ) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:\n$$x^{2}-Sx+P=0$$\nμε\n$$S=A+B=3 \\text{ και }P=Α\\cdot B=\\dfrac{1}{2}$$\nΤελικά μια ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^{2}-3x+\\dfrac{1}{2}=0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\cases{2x+4,\\ x < 0 \\\\ x - 1,\\ x \\ge 0}\\)\nα) Να δείξετε ότι: \\(f(-1)=f(3)\\).\nβ) Να προσδιορίσετε τις τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\), ώστε: \\(f(x)=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$f(-1)=2\\cdot (-1)+4=-2+4=2$$\nκαι:\n$$f(3)=3-1=2$$\nΆρα:\n$$f(-1)=f(3)$$\nβ) Για \\(x<0\\) είναι:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x+4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x=-4 $$\n$$\\Leftrightarrow x=-2$$\nΓια \\(x\\ge 0\\) είναι:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x-1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=3x^2+6αx+6β,\\ α,β\\in\\mathbb{R}.$$\nα) Να δείξετε ότι:\n$$f(α)+f(β)\\geq β^2-36.$$\nβ) Να βρείτε τις τιμές των \\(α, β\\in\\mathbb{R}\\) για τις οποίες ισχύει\n$$f(α)+f(β)=β^2-36.$$\nγ) Αν \\(α=2\\) και \\(β=-6\\): i. Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=6x\\).\n ii. Αν \\(x_1,x_2\\) οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (γ.i), να δείξετε ότι ισχύει:\n$$\\frac{1}{x_1}+\\frac{1}{x_2}=\\frac{1}{6}.$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align}&f(α)+f(β)\\geq α^2-36\\\\\n\\iff&3α^2+6α^2+6β+3β^2+6αβ+6β\\geq β^2-36\\\\\n\\iff&9α^2+2β^2+6αβ+12β+36\\geq 0\\\\\n\\iff&(9α^2+β^2+6αβ)+(β^2+12β+36)\\geq 0\\\\\n\\iff&(3α+β)^2+(β+6)^2\\geq 0,\\end{align}\nπου ισχύει σαν άθροισμα τετραγώνων.\nβ) Βάσει του ερωτήματος (α), έχουμε:\n\\begin{align}&f(α)+f(β)\\geq β^2-36\\\\\n\\iff&(3α+β)^2+(β+6)^2\\geq 0\\end{align}\nγια κάθε \\(α, β\\in\\mathbb{R}\\). Η ισότητα ισχύει αν και μόνον αν \\(3α+β=0\\) και \\(β+6=0\\).\nΆρα \\(β=-6\\) και \\(α=2\\).\nγ) Για \\(α=2\\) και \\(β=-6\\) i. Λύνουμε την εξίσωση:\n\\begin{align}&f(x)=6x\\\\\n\\iff&3x^2+12x-36=6x\\\\\n\\iff&3x^2+12x-36-6x=0\\\\\n\\iff&3x^2+6𝑥-36=0\\\\\n\\iff&x^2+2x-12=0.\\end{align}\nΗ διακρίνουσα του τριωνύμου \\(x^2+2x-12\\) είναι:\n$$Δ=4+48=52=4\\cdot 13$$\nκαι οι ρίζες:\n\\begin{align}&x_{1,2}=\\frac{-2\\pm 2\\sqrt{13}}{2}\\\\\n\\iff&x_1=-1+\\sqrt{13}\\text{ και }x_2=-1-\\sqrt{13}.\\end{align}\nii. Ισχύει ότι:\n$$\\frac{1}{x_1}+\\frac{1}{x_2}=\\frac{x_1+x_2}{x_1\\cdot x_2}=\\frac{-2}{-12}=\\frac{1}{6},$$\nαφού \\(x_1+x_2=-2\\) και \\(x_1\\cdot x_2=-12\\).\nΕναλλακτικά:\n\\begin{align}\\frac{1}{x_1}+\\frac{1}{x_2}&=\\frac{1}{-1+\\sqrt{13}}+\\frac{1}{-1-\\sqrt{13}}\\\\\n&=\\frac{-1-\\sqrt{13}-1+\\sqrt{13}}{(-1-\\sqrt{13})\\cdot(-1+\\sqrt{13})}\\\\\n&=\\frac{-2}{1-13}\\\\\n&=\\frac{-2}{-12}\\\\\n&=\\frac{1}{6}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε ότι \\(x^{2}+4x+5>0\\), για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x\\).\nβ) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση:\n$$Β=|x^{2}+4x+5|-|x^{2}+4x+4|$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}+4x+5\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=4\\), \\(γ=5\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=4^{2}-4\\cdot 1\\cdot 5$$\n$$=16-20=-4 < 0$$\nΕπειδή \\(α=1>0\\), ισχύει ότι: \\(x^{2}+4x+5>0\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x\\).\nβ) Είναι:\n$$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}\\ge 0$$\nΤότε:\n$$Β=|x^{2}+4x+5|-|x^{2}+4x+4| $$\n$$\\overset{(α)}{\\Leftrightarrow} Β=x^{2}+4x+5-(x^{2}+4x+4) $$\n$$\\Leftrightarrow Β=x^{2}+4x+5-x^{2}-4x-4 $$\n$$\\Leftrightarrow B=1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(α\\) ένας πραγματικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει \\(α=|3\\sqrt{2}-4|+2|\\sqrt{2}-2|\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α=\\sqrt{2}\\). (Θεωρήστε ότι \\(\\sqrt{2}=1,41\\))\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι \\(α^{3}=2α\\).\nγ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης \\(Α=α^{3}+(α-1)^{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Με \\(\\sqrt{2}=1,41\\) έχουμε \\(3\\sqrt{2}>4\\), οπότε \\(3\\sqrt{2}-4>0\\), άρα \\(|3\\sqrt{2}-4|=3\\sqrt{2}-4\\).\nΕπίσης \\(\\sqrt{2}-2<0\\), οπότε \\(|\\sqrt{2}-2|=-\\sqrt{2}+2\\).\nΈχουμε λοιπόν:\n$$α=3\\sqrt{2}-4+2(2-\\sqrt{2})$$\n$$=3\\sqrt{2}-4+4-2\\sqrt{2}=\\sqrt{2}$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) έχουμε:\n$$α^{3}=α^{2}α=2α$$\nγ) Αφού \\(α^{3}=2α\\), έχουμε:\n$$Α=α^{3}+(α-1)^{2}$$\n$$=2α+α^{2}-2α+1$$\n$$=α^{2}+1=2+1=3$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:\n$$Α=\\big(\\sqrt{2}\\big)^{6},\\ B=\\big(\\sqrt[3]{3}\\big)^{6},\\ Γ=\\big(\\sqrt[6]{6}\\big)^{6}$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(A+Β+Γ=23\\)\nβ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: \\(\\sqrt[3]{3}\\) και \\(\\sqrt[6]{6}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} A+Β+Γ & =\\big(\\sqrt{2}\\big)^{6}+\\big(\\sqrt[3]{3}\\big)^{6}+\\big(\\sqrt[6]{6}\\big)^{6}\\\\\n&=\\Big(2^{\\frac{1}{2}}\\Big)^{6}+\\Big(3^{\\frac{1}{3}}\\Big)^{6}+\\Big(6^{\\frac{1}{6}}\\Big)^{6}\\\\\n&= 2^{\\frac{6}{2}}+3^{\\frac{6}{3}}+6^{\\frac{6}{6}}\\\\\n&=8+9+6\\\\\n&=23\\end{align}$$\nβ) Ισχύουν:\n$$\\sqrt[3]{3}=3^{\\frac{1}{3}}=3^{\\frac{2}{6}}=\\sqrt[6]{3^2}=\\sqrt[6]{9}$$\nΑκόμα:\n$$6\\lt 9$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[6]{6}\\lt \\sqrt[6]{9}$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[6]{6}\\lt \\sqrt[3]{3}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^2+x+1,\\ x\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό \\(α\\neq -\\frac{1}{2}\\), τα σημεία της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τετμημένες \\(α\\) και \\(-α-1\\) έχουν την ίδια τεταγμένη.\nγ) Θεωρούμε μεταβλητό σημείο \\(Μ\\) της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τετμημένη \\(β > 0\\). Από το \\(Μ\\) φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) και έστω \\(Α\\) και \\(Δ\\) τα σημεία τομής αυτών των ευθειών με τους άξονες, όπου το \\(Α\\) ανήκει στον \\(x'x\\) και το \\(Δ\\) στον \\(y'y\\).\nΑποδείξτε ότι η περίμετρος του ορθογωνίου \\(ΟΑΜΔ\\) είναι \\((\\sqrt{2}(β+1))^2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι \\(f(x) > 0\\) για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\), αφού \\(f(x)\\) είναι οι τεταγμένες των σημείων της γραφικής παράστασης της \\(f\\).\nΠαρατηρούμε ότι ο τύπος \\(f(x)\\) της συνάρτησης είναι ένα τριώνυμο με διακρίνουσα\n$$Δ=1^2-4\\cdot 1\\cdot 1=-3 \\lt 0,$$\nάρα το τριώνυμο θα γίνεται ομόσημο του \\(α=1 > 0\\) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού \\(x\\), δηλαδή πάντα θετικό.\nΕπομένως: \\(x^2+x+1 > 0\\) για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει \\(f(-α-1)=f(α)\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(α\\neq-\\frac{1}{2}\\). Πράγματι:\n\\begin{align}f(-α-1)&=(-α-1)^2+(-α-1)+1\\\\\n&=α^2+2α+1-α\\\\\n&=α^2+α+1\\\\\n&=f(α).\\end{align}\nγ) Έστω \\(Μ(β,f(β))\\) και \\(Α, Δ\\) οι προβολές του \\(Μ\\) στους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) αντίστοιχα. Τότε είναι \\(Α(β,0)\\) και \\(Δ(0,f(β))\\). Η περίμετρος \\(Ρ\\) του ορθογωνίου \\(ΟΑΜΔ\\) θα είναι:\n\\begin{align}P&=2β+2f(β)\\\\\n&=2(β+f(β))\\\\\n&=2(β+β^2+β+1)\\\\\n&=2(β^2+2β+1)\\\\\n&=2(β+1)^2\\\\\n&=(\\sqrt{2}(β+1))^2.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{2}-μx-2, μ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε \\(μ\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(μ\\in \\mathbb{R}\\) για τις οποίες οι αριθμοί \\(x=-2\\) και \\(x=3\\) βρίσκονται εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \\(f(x)=0\\) ενώ ο \\(x=1\\) βρίσκεται εντός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \\(f(x)=0\\).\nγ) Αν επιπλέον οι τιμές \\(f(-2), f(1), f(3)\\) με τη σειρά που δίνονταιαποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου τότε:\ni. Να βρείτε τις τιμές του \\(μ\\).\nii. Για \\(μ=\\dfrac{13}{7}\\) να βρείτε το λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:\n\\(Δ=(-μ)^{2}-4\\cdot 1 \\cdot (-2)=μ^{2}+8>0\\) για κάθε \\(μ\\in \\mathbb{R}\\).\nΆρα η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε \\(μ\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Είναι:\n$$f(-2)=4+2μ-2=2μ+2$$\n$$f(1)=1-μ-2=-μ-1$$\n$$f(3)=9-3μ-2=7-3μ$$\nΓια να βρίσκονται τα \\(x=-2\\) και \\(x=3\\) εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \\(f(x)=0\\) ενώ το \\(x=1\\) εντός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \\(f(x)=0\\), θα πρέπει να ισχύει:\n$$\\begin{cases} f(-2)>0 \\\\ f(1)\\lt 0 \\\\ f(3)>0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 2μ+2>0 \\\\ - μ-1 \\lt 0 \\\\ 7-3μ>0\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} μ>-1 \\\\ μ>-1 \\\\ μ\\lt \\dfrac{7}{3} \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow -1\\lt μ\\lt \\dfrac{7}{3}$$\nγ) Για να είναι τα \\(f(-2), f(1), f(3)\\) με τη σειρά που δίνονται διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πρέπει να ισχύει:\n$$(f(1))^{2}=f(-2)\\cdot f(3)$$\n$$\\Leftrightarrow (-μ-1)^{2}=(2μ+2)\\cdot (7-3μ)$$\n$$\\Leftrightarrow (μ+1)^{2}-2(μ+1)\\cdot (7-3μ)=0$$\n$$\\Leftrightarrow (μ+1)\\cdot (μ+1-14+6μ)=0$$\n$$\\Leftrightarrow (μ+1)\\cdot (7μ-13)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow μ=-1 \\text{ ή } 7μ-13=0$$\n$$\\Leftrightarrow μ=-1 \\text{ ή } μ=\\dfrac{13}{7}$$\nΆρα \\(μ=\\dfrac{13}{7}\\) αφού \\(μ\\in \\Big(-1,\\frac{7}{3}\\Big)\\).\nΓια \\(μ=\\dfrac{13}{7}\\) είναι:\n$$f(-2)=\\dfrac{26}{7}+2=\\dfrac{40}{7}$$\n$$f(1)=-\\dfrac{13}{7}-1=-\\dfrac{20}{7}$$\n$$\\text{ και } f(3)=7-\\dfrac{39}{7}=\\dfrac{10}{7}$$\nΆρα ο λόγος της προόδου θα είναι:\n$$λ=\\dfrac{-\\dfrac{20}{7}}{\\dfrac{40}{7}}=-\\dfrac{1}{2}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να δείξετε ότι \\(x^{2}+2x+4>0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nΔίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\left|\\dfrac{x^{3}-8}{x-2}\\right|\\).\nβ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(Α\\).\nγ) Να δείξετε ότι \\(f(x)=x^{2}+2x+4\\) για κάθε \\(x\\in Α\\).\nδ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της \\(g\\), όπου \\(g(x)=6x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$x^{2}+2x+4=x^{2}+2x+1+3$$\n$$=(x+1)^{2}+3>0$$\nΓια κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nΕναλλακτικά, το τριώνυμο \\(x^{2}+2x+4\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=-12<0\\), οπότε είναι για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ομόσημο του \\(α=1>0\\), δηλαδή \\(x^{2}+2x+4>0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για κάθε \\(x\\ne 2\\), οπότε \\(Α=(-\\infty ,2)\\cup (2,+\\infty)\\).\nγ) Είναι:\n$$f(x)=\\left|\\dfrac{x^{3}-8}{x-2}\\right|$$\n$$=\\left|\\dfrac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}\\right|$$\n$$=|x^{2}+2x+4|=x^{2}+2x+4$$\nΑφού δείξαμε στο α) ερώτημα ότι \\(x^{2}+2x+4>0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\). Συνεπώς \\(f(x)=x^{2}+2x+4\\) για κάθε \\(x\\in Α\\).\nδ) Το πεδίο ορισμού της \\(g\\) είναι το \\(R\\). Οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \\(f,g\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=g(x)\\) με \\(x\\ne 2\\).\nΕίναι:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+4=6x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+4-6x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-4x+4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-2)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=2$$\nΗ λύση \\(x=2\\) που βρήκαμε απορρίπτεται οπότε οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\), \\(g\\) δεν έχουν κοινά σημεία." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε αριθμητική πρόοδο (\\(α_ν\\)) με διαφορά \\(ω = 4\\), ισχύει: \\(α_{6}+α_{11}=40\\).\nα) Να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\) της προόδου.\nβ) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α_{6}+α_{11}=40 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(6-1)ω+α_{1}+(11-1)ω=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}+5ω+10ω=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}+15ω=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}+15\\cdot 4=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}+60=40$$\n$$\\Leftrightarrow 2α_{1}=-20$$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}=-10$$\nβ) Έχουμε:\n$$S_{v} =0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2} [2α_{1}+(v-1)ω] =0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2} [2(-10)+( v -1)4]=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{v}{2} (-20+4 v -4)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow -24+4 v =0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4 v =24 $$\n$$\\Leftrightarrow v =6$$\nΆρα πρέπει να προσθέσουμε τους πρώτους έξι όρους ώστε το άθροισμα να είναι ίσο με μηδέν." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε τις εξισώσεις\n$$3x^{2}-14x+8=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι\n$$8x^{2}-14x+3=0\\ \\ \\ \\ (2)$$\n(Μονάδες10)\nβ) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης \\((2)\\) είναι οι αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης \\((1)\\) και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής:\n$$αx^{2}+βx+γ=0\\ \\ \\ \\ (3)$$\nκαι\n$$γx^{2}+βx+α=0\\ \\ \\ \\ (4)$$\nμε\n$$α\\cdot γ\\ne 0$$\nΝα αποδείξετε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι:\nΑν ο αριθμός \\(ρ\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((3)\\) και \\(α\\cdot γ\\ne 0\\), τότε\n\\(ρ\\ne 0\\).\n\\(\\dfrac{1}{ρ}\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((4)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(3x^{2}-14x+8\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-14)^{2}-4\\cdot 3\\cdot 8$$\n$$=196-96=100>0$$\nοπότε η εξίσωση \\(3x^{2}-14x+8=0\\) έχει δυο ρίζες άνισες, τις:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-14)+\\sqrt{100}}{2\\cdot 3}$$\n$$=\\dfrac{14+10}{6}=4$$\nκαι\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-14)-\\sqrt{100}}{2\\cdot 3}$$\n$$=\\dfrac{14-10}{6}=\\dfrac{4}{6}=\\dfrac{2}{3}$$\nΤο τριώνυμο \\(8x^{2}-14x+3\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-14)^{2}-4\\cdot 8\\cdot 3$$\n$$=196-96=100>0$$\nοπότε η εξίσωση \\(8x^{2}-14x+3=0\\) έχει δυο ρίζες άνισες, τις:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-14)+\\sqrt{100}}{2\\cdot 8}$$\n$$=\\dfrac{14+10}{16}=\\dfrac{24}{16}=\\dfrac{3}{2}$$\nκαι\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-14)-\\sqrt{100}}{2\\cdot 8}$$\n$$=\\dfrac{14-10}{16}=\\dfrac{4}{16}=\\dfrac{1}{4}$$\nβ) Ο αριθμός \\(ρ\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((3)\\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:\n$$αρ^{2}+βρ+γ=0\\ \\ \\ \\ (5)$$\nΕάν \\(ρ=0\\), τότε από την σχέση \\((5)\\) προκύπτει \\(γ=0\\), που είναι άτοπο, αφού \\(α\\cdot γ\\ne 0\\). Άρα \\(ρ\\ne 0\\).\nΟ \\(\\dfrac{1}{ρ}\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\((4)\\) αν και μόνο αν\n$$γ(\\dfrac{1}{ρ})^{2}+β\\cdot \\dfrac{1}{ρ}+α=0$$\n$$\\overset{(\\cdot ρ^{2})}{ \\Longleftrightarrow }γ+βρ+αρ^{2}=0$$\nπου ισχύει λόγω της σχέσης \\((5)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Οι αριθμοί : \\(x^{2}+5,\\ x^{2}+x,\\ 2x+4\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.\nα) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού \\(x\\).\nβ) Αν \\(x=3\\) και ο αριθμός \\(x^{2}+5\\) είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε:\ni. τη διαφορά \\(ω\\) της αριθμητικής προόδου,\nii. τον πρώτο όρο της προόδου,\niii. το άθροισμα \\(S=α_{15}+α_{16}+α_{17}+...+α_{24}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί: \\(x^{2}+5,x^{2}+x, 2x+4\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, οπότε ισχύει η σχέση:\n$$2(x^{2}+x)=(2x+4)+(x^{2}+5)$$\nΈχουμε ισοδύναμα:\n$$2x^{2}+2x=x^{2}+2x+9$$\n$$x^{2}=9$$\n$$x=3 \\text{ ή } x=-3$$\nβ)\ni. Αν ο αριθμός \\(x^{2}+5\\) είναι ο 4ος όρος της προόδου, τότε ο \\(x^{2}+x\\) θα είναι ο 5ος όρος της.\nΆρα για \\(x=3\\), \\(α_{4}=3^{2}+5=14\\) και \\(α_{5}=3^{2}+3=12\\).\nΟπότε \\(ω=α_{5}-α_{4}=12-14=-2\\)\nii. Ισχύει \\(α_{4}=α_{1}+3ω\\), δηλαδή \\(14=α_{1}+3\\cdot (-2)\\), οπότε \\(α_{1}=20\\).\niii. Το ζητούμενο άθροισμα είναι:\n$$\\begin{align} S & =α_{15}+α_{16}+α_{17}+...+α_{24}\\\\\n&=\\Big(α_{1}+α_{2}+....+α_{24}\\Big)-\\Big(α_{1}+α_{2}+....+α_{14}\\Big)\\\\\n& =S_{24}-S_{14}\\\\\n&=\\dfrac{24}{2}\\cdot \\Big[2\\cdot 20+23\\cdot (-2)\\Big]-\\dfrac{14}{2}\\cdot \\Big[2\\cdot 20+13\\cdot (-2)\\Big] \\\\\n&=12\\cdot (40-46)-7\\cdot (40-26)\\\\\n&=-170\\end{align}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=αx+β,\\) με \\(α,β\\in \\mathbb{R}\\) για την οποία ισχύει:\n$$f(0)=5 \\text{ και } f(1)=3$$\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α=-2\\) και \\(β = 5.\\)\nβ) Να βρείτε τα σημεία, στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\).\nγ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι:\n$$f(0)=5 $$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot 0+β=5$$\n$$\\Leftrightarrow β=5, \\\\\\ (1)$$\nΑκόμα:\n$$f(1)=3 $$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot 1+β=3 $$\n$$\\overset{(1)}{\\Leftrightarrow} α+5=3$$\n$$\\Leftrightarrow α=-2.$$\nΟπότε: \\(α=-2\\) και \\(β=5\\).\nβ) Ο τύπος της \\(f\\) γίνεται: \\(f(x)=-2x+5\\).\nΓια τις τετμημένες των σημείων τομής της \\(C_{f}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) λύνουμε την εξίσωση:\n$$f(x)=0$$\n$$\\Leftrightarrow -2x+5=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=\\dfrac{5}{2}$$\nΟπότε η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(Α\\Big(\\dfrac{5}{2},0\\Big)\\).\nΕπίσης έχουμε: \\(f(0)=0+5=5\\), οπότε η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(Β(0,5)\\).\nγ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\) διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\), οπότε είναι:" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Η απόσταση \\(y\\) (σε χιλιόμετρα) ενός αυτοκινήτου από μία πόλη \\(Α\\), μετά από \\(x\\) λεπτά, δίνεται από τη σχέση:\n$$y=35+0,8x$$\nα) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη \\(Α\\) μετά από \\(25\\) λεπτά;\nβ) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει \\(75\\) χιλιόμετρα από την πόλη \\(Α\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να βρούμε την απόσταση του αυτοκινήτου μετά από \\(25\\) λεπτά θέτουμε στη δοθείσα σχέση \\(x=25\\) και βρίσκουμε:\n$$y=35+0,8\\cdot 25$$\n$$\\Leftrightarrow y=35+20$$\n$$\\Leftrightarrow y=55 \\text{ χιλιόμετρα}$$\nβ) Για να βρούμε τα λεπτά που θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει \\(75\\) χιλιόμετρα από την πόλη \\(Α\\) θέτουμε στη δοθείσα σχέση \\(y=75\\) και βρίσκουμε:\n$$75=35+0,8x$$\n$$\\Leftrightarrow 40=0,8x$$\n$$\\Leftrightarrow x=50 \\text{ λεπτά}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση:\n$$x^{2}-2x-3=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nβ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) με \\(x_{1} < x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(1\\), \\(x_{2}\\) με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-2x-3\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-2)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-3)$$\n$$=4+12=16>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-2)-\\sqrt{16}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{2-4}{2}=-1$$\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-2)+\\sqrt{16}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{2+4}{2}=3$$\nβ) Δεδομένου ότι \\(x_{1} < x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(1\\), \\(x_{2}\\), δηλαδή οι αριθμοί \\(-1\\), \\(1\\), \\(3\\), με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν \\(2\\cdot 1=-1+3\\), που ισχύει." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Οι πλευρές \\(x_{1}\\) και \\(x_{2}\\) ενός ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης \\(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\\), με \\(λ\\in (0,2)\\).\nα) Να βρείτε\nτην περίμετρο \\(Π\\) του ορθογωνίου.\nτο εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \\(λ\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(Ε\\le 1\\), για κάθε \\(λ\\in (0,2)\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in (0,2)\\) για την οποία το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(1\\). Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\\) έχει ρίζες \\(x_{1}\\) και \\(x_{2}\\) με άθροισμα:\n$$S=x_{1}+x_{2}=-\\dfrac{-2}{1}=2$$\nκαι γινόμενο:\n$$P=x_{1}x_{2}=\\dfrac{λ(2-λ)}{1}=λ(2-λ)$$\nH περίμετρος \\(Π\\) του ορθογωνίου είναι:\n$$Π=2x_{1}+2x_{2}$$\n$$=2(x_{1}+x_{2})$$\n$$=2\\cdot 2=4$$\nTο εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \\(λ\\) είναι:\n$$Ε=x_{1}x_{2}=λ(2-λ), λ\\in (0,2)$$\nβ) Έχουμε:\n$$Ε\\le 1 $$\n$$\\Leftrightarrow λ(2-λ)\\le 1 $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}-2λ+1\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (λ-1)^{2}\\ge 0$$\nπου ισχύει για κάθε \\(λ\\in (0,2)\\).\nγ) Το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(1\\), αν και μόνο αν:\n$$Ε=1$$\n$$\\overset{(β)}{ \\Leftrightarrow }(λ-1)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=1$$\nΓια \\(λ=1\\), η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \\(4\\) και το εμβαδόν του \\(1\\), οπότε το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο πλευράς \\(x_{1}=x_{2}=1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α,\\ β\\) με \\(α=1+\\sqrt{2}\\) και \\(β=1-\\sqrt{2}\\).\nα) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(Α=α^2-β^2\\).\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(Β=\\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}\\).\nγ) Αν \\(Α=4\\sqrt{2}\\) και \\(Β=2\\), να δείξετε ότι\n$$\\sqrt{α^2-β^2} > \\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}.$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε\n\\begin{align}Α&=α^2-β^2\\\\\n&=(α-β)(α+β)\\\\\n&=(1+\\sqrt{2}-1+\\sqrt{2})\\cdot (1+\\sqrt{2}+1-\\sqrt{2})\\\\\n&=2\\sqrt{2}\\cdot 2\\\\\n&=4\\sqrt{2}.\\end{align}\nβ) Έχουμε\n\\begin{align}Β&=\\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}\\\\\n&=|α|-|β|\\\\\n&=(1+\\sqrt{2})-(\\sqrt{2}-1)\\\\\n&=1+\\sqrt{2}-\\sqrt{2}+1\\\\\n&=2.\\end{align}\nγ) Έχουμε ισοδύναμα:\n\\begin{align}&\\sqrt{α^2-β^2} > \\sqrt{α^2}-\\sqrt{β^2}\\\\\n\\overset{\\textbf{(α), (β)}}{\\iff}&\\sqrt{Α} > Β\\\\\n\\iff&\\sqrt{4\\sqrt{2}} > 2\\\\\n\\overset{(...)^2>(...)^2}{\\Longleftrightarrow}&4\\sqrt{2} > 4\\\\\n\\iff&\\sqrt{2} > 1\\\\\n\\iff&2 > 1,\\end{align}\nπου ισχύει." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν \\(α\\) και \\(β\\) πραγματικοί αριθμοί με \\(2\\le α\\le 4\\) και \\(-4\\le β\\le -3\\), να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:\nα) \\(α+2β\\).\nβ) \\(α-β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$2\\le α\\le 4\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$-4\\le β\\le -3$$\n$$\\Rightarrow -4\\cdot 2\\le β\\cdot 2\\le -3\\cdot 2$$\n$$\\Rightarrow -8\\le 2β\\le -6\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \\((1)\\) και \\((2)\\), και έχουμε:\n$$2-8\\le α+2β\\le 4-6$$\n$$\\Rightarrow -6\\le α+2β\\le -2$$\nβ) Επειδή δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε ανισότητες κατά μέλη, η παράσταση \\(α-β\\) γράφεται \\(α-β=α+(-β)\\).\nΕίναι:\n$$2\\le α\\le 4\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$-4\\le β\\le -3$$\nοπότε πολλαπλασιάζουμε με \\((-1)\\) τα μέλη της ανισότητας και αυτή αλλάζει φορά:\n$$-4\\cdot (-1)\\ge β\\cdot (-1)\\ge -3\\cdot (-1)$$\n$$\\Rightarrow 4\\ge -β\\ge 3$$\n$$\\Rightarrow 3\\le -β\\le 4\\ \\ \\ \\ (3)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \\((1)\\) και \\((3)\\), και έχουμε:\n$$2+3\\le α-β\\le 4+4$$\n$$\\Rightarrow 5\\le α-β\\le 8$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(1−𝑥,\\ \\dfrac{𝑥}{2},\\ 2𝑥 - 1,\\ 𝑥\\in \\Bbb{R}.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω αριθμοί, με αυτή τη σειρά, είναι πάντοτε διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.\nβ) Να βρείτε την τιμή του \\(𝑥\\), αν γνωρίζουμε ότι η διαφορά ω αυτής της προόδου είναι \\(5\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί \\(α, β, γ\\), με αυτή τη σειρά, είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, αν και μόνον αν ισχύει \\(𝛽 − 𝛼 = 𝛾 - 𝛽\\).\nΈτσι, θα πρέπει να ισχύει ότι\n$$\\dfrac{𝑥}{2} − (1 − 𝑥) = 2𝑥 − 1 − \\dfrac{𝑥}{2}$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x}{2}-1+x=\\dfrac{3x}{2}-1$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3x}{2}-1=\\dfrac{3x}{2}-1,\\ \\text{που ισχύει}$$\nβ) Πρέπει να ισχύει:\n$$\\dfrac{3x}{2}-1=5$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3𝑥}{2}=6$$\n$$\\Leftrightarrow 3𝑥=12$$\n$$\\Leftrightarrow 𝑥=4.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^2-4x+5,\\ x\\in\\mathbb{R}\\) και η ευθεία \\(y=2x+β,\\ β\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει \\(f(2+x)=f(2-x)\\).\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) ή με όποιο άλλο τρόπο θέλετε, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \\(A=f(3,52)-f(0,52)+f(3,48)-f(0,48)\\).\nγ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση \\(C_f\\) της \\(f\\) έχει κοινά σημεία με την ευθεία, όταν \\(β=-5\\).\nδ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του \\(β\\), ώστε η \\(C_f\\) να έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\) έχουμε:\n\\begin{align}f(2+x)&=(2+x)^2-4(2+x)+5\\\\\n&=x^2+4x+4-4x-8+5\\\\\n&=x^2+1\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}f(2-x)&=(2-x)^2-4(2-x)+5\\\\\n&=x^2-4x+4+4x-8+5\\\\\n&=x^2+1\\end{align}\nοπότε \\(f(2+x)=f(2-x)\\).\nβ) Με \\(x=1,52\\) η ισότητα του ερωτήματος (α) δίνει\n\\begin{align}&f(2+1,52)=f(2-1,52)\\\\\n\\iff& f(3,52)-f(0,48)=0\\quad (1)\\end{align}\nενώ με \\(x=1,48\\) δίνει\n\\begin{align}&f(2+1,48)=f(2-1,48)\\\\\n\\iff& f(3,48)-f(0,52)=0\\quad (2)\\end{align}\nΜε τη βοήθεια των \\((1)\\) και \\((2)\\) παίρνουμε:\n\\begin{align}A&=f(3,52)-f(0,52)+f(3,48)-f(0,48)\\\\\n&=f(3,52)-f(0,48)+f(3,48)-f(0,52)\\\\\n&=0.\\end{align}\nγ) Το πλήθος των κοινών σημείων της \\(C_f\\) με την ευθεία είναι ίσο με το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης \\(f(x)=2x+β\\). Με \\(x=-5\\) έχουμε:\n\\begin{align}&f(x)=2x-5\\\\\n\\iff&x^2-4x+5=2x-5\\\\\n\\iff&x^2-6x+10=0\\end{align}\nπου είναι αδύνατη αφού έχει διακρίνουσα \\(Δ=36-40=4< 0\\).\nΆρα η \\(C_f\\) δεν έχει κοινά σημεία με την ευθεία, όταν \\(β=-5\\).\nδ) Η \\(C_f\\) έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία \\(y=2x+β\\), μόνο όταν η εξίσωση \\(f(x)=2x+β\\) έχει μια τουλάχιστον λύση. Είναι:\n\\begin{align}&f(x)=2x+β\\\\\n\\iff&x^2-4x+5=2x+β\\\\\n\\iff&x^2-6x+5-β=0\\end{align}\nΗ εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση μόνο όταν η αντίστοιχη διακρίνουσα είναι μη αρνητική. Είναι:\n\\begin{align}&Δ\\geq 0\\\\\n\\iff&36-4(5-β)\\geq 0\\\\\n\\iff&9-5+β\\geq 0\\\\\n\\iff&β\\geq -4.\\end{align}\nοπότε η ζητούμενη μικρότερη τιμή του \\(β\\) είναι η τιμή \\(β=-4\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Για τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει: \\(d(2x,3)=3-2x\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(x\\le \\dfrac{3}{2}\\).\nβ) Αν \\(x\\le \\dfrac{3}{2}\\), να αποδείξετε ότι η παράσταση: \\(Κ=|2x-3|-2|3-x|\\) είναι ανεξάρτητη του \\(x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$d(2x,3)=3-2x $$\n$$\\Leftrightarrow |2x-3|=3-2x $$\n$$\\Leftrightarrow |2x-3|=-(2x-3)\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΓνωρίζουμε ότι:\n$$|α|=-α $$\n$$\\Leftrightarrow α\\le 0$$\nΤότε από τη σχέση \\((1)\\) ισοδύναμα βρίσκουμε:\n$$|2x-3|=-(2x-3) $$\n$$\\Leftrightarrow 2x-3\\le 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\le \\dfrac{3}{2}$$\nβ) Επειδή ισχύει \\(x\\le \\dfrac{3}{2}\\) είναι \\(2x-3\\le 0\\) και \\(3-x>0\\). Τότε:\n$$|2x-3|=-(2x-3)\\ \\ \\text{και}\\ \\ |3-x|=3-x$$\nΕπομένως η παράσταση \\(Κ\\) γράφεται:\n$$Κ=|2x-3|-2|3-x|$$\n$$=-(2x-3)-2(3-x)$$\n$$=3-2x-6+2x=-3$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \\(y=αx+β\\).\nα) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \\(α\\) και \\(β\\) αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(45^ο\\) και διέρχεται από το σημείο \\(A(0, 3)\\).\nβ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \\(λ\\) και κ αν η ευθεία \\(y=λx+κ\\) είναι παράλληλη με την ευθεία \\(y=x+3\\) και τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο με τετμημένη \\(2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αφού η ευθεία \\(y=αx+β\\) σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(45^o\\) ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(α\\) θα ισούται με \\(α=\\text{εφ}(45^o)\\). Άρα \\(α=1\\), οπότε η ευθεία παίρνει τη μορφή \\(y=x+β\\).\nΑφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο \\(Α(0,3)\\) θα ισχύει\n$$3=0+β\\iff β=3.$$\nΆρα η ευθεία είναι η \\(y=x+3\\).\nβ) Αφού οι ευθείες \\(y=x+3\\) και \\(y=λx+κ\\) είναι παράλληλες θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, άρα \\(λ=1\\). Οπότε η ευθεία παίρνει τη μορφή \\(y=x+κ\\).\nΑφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο \\(Β(2,0)\\) θα ισχύει\n$$0=2+κ\\iff κ=-2.$$\nΆρα η ζητούμενη ευθεία είναι η \\(y=x-2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(α,\\ β\\) πραγματικοί αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, για τους οποίους ισχύουν \\(α^2=2α+β\\) και \\(β^2=2β+α.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι:\ni. \\(α^2-β^2=α-β.\\)\nii. \\(α+β=1.\\)\nβ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης \\(Α=α^2+β^2.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. Αν αντικαταστήσουμε τα \\(α^2,\\ β^2\\) από τις δοσμένες ισότητες, βρίσκουμε ότι:\n$$α^2-β^2=2α+β-2β-α=α-β$$\nii. H τελευταία ισότητα γράφεται:\n$$(α-β)(α+β)=α-β.$$\nΑλλά, \\(α-β\\neq 0\\), αφού οι αριθμοί \\(α,\\ β\\) είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, οπότε παίρνουμε \\(α+β=1\\), που είναι το ζητούμενο.\nβ) Όπως προηγουμένως, έχουμε:\n\\begin{align} Α & =α^2+β^2 \\\\\n&= 2α+β+2β+α \\\\\n&=3α+3β \\\\\n&=3(α+β) \\\\\n&=3\\cdot 1 \\\\\n&=3 \\end{align}\nαφού \\(α+β=1.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\), \\(y\\) ισχύει η σχέση:\n$$(x- 2y)^{2}- 2(3 - 2xy)= 5y^{2}– 1$$\nα) Να αποδείξετε ότι:\n$$x^{2}-y^{2}= 5$$\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\n$$P=(x+y)^{3}(x - y)^{3}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ανοίγοντας τις παρενθέσεις στη δοθείσα ισότητα, έχουμε:\n$$x^{2}- 4xy+4y^{2}- 6+4xy=5y^{2} - 1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+4y^{2}- 5y^{2}=6 - 1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=5$$\nβ) Παρατηρούμε ότι:\n$$Ρ=[(x+y)(x - y)]^{3}$$\n$$=(x^{2}-y^{2})^{3}$$\n$$=5^{3}=125$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις\n$$A=\\frac{-x^2+4|x|-3}{|x|-1}$$\nκαι\n$$B=\\frac{x^2-4|x|+4}{|x|-2}.$$\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\in\\mathbb{R}\\) ορίζονται οι παραστάσεις \\(Α\\) και \\(Β\\);\nβ) Να δείξετε ότι \\(A=3-|x|\\) και \\(B=|x|-2\\).\nγ) Να λύσετε την ανίσωση:\n$$B-A < 2d(x,4)-5$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η παράσταση \\(Α\\) ορίζεται όταν:\n\\begin{align}&|x|-1\\neq 0\\\\\n\\iff&|x|\\neq1\\\\\n\\iff&x\\neq\\pm1\\end{align}\nκαι η παράσταση \\(Β\\) όταν:\n\\begin{align}&|x|-2\\neq0\\\\\n\\iff&|x|\\neq2\\\\\n\\iff&x\\neq\\pm2\\end{align}\nβ) Έχουμε:\n$$-x^2+4|x|-3=-|x|^2+4|x|-3.$$\nΘέτουμε \\(ω=|x|\\), οπότε\n$$-|x|^2+4|x|-3=-ω^2+4ω-3,$$\nπου είναι τριώνυμο με ρίζες των οποίων το άθροισμα είναι\n$$-\\frac{β}{α}=-\\frac{4}{-1}=4$$\nκαι το γινόμενο είναι\n$$-\\frac{γ}{α}=\\frac{-3}{-1}=3,$$\nοπότε \\(ω_1=3\\) και \\(ω_2=1\\). Άρα\n$$-ω^2+4ω-3=-(ω-1)(ω-3)$$\nκαι\n$$-|x|^2+4|x|-3=-(|x|-1)(|x|-3).$$\nΣυνεπώς:\n\\begin{align}A&=\\frac{-x^2+4|x|-3}{|x|-1}\\\\\n&=\\frac{-(|x|-1)(|x|-3)}{(|x|-1)}\\\\\n&=3-|x|.\\end{align}\nΓια την παράσταση \\(B\\) έχουμε:\n\\begin{align}B&=\\frac{x^2-4|x|+4}{|x|-2}\\\\\n&=\\frac{|x|^2-4|x|+4}{|x|-2}\\\\\n&=\\frac{(|x|-2)^2}{(|x|-2)}\\\\\n&=|x|-2.\\end{align}\nγ) Η ανίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&B-A < 2d(x,4)-5\\\\\n\\iff&|x|-2-3+|x| < 2|x-4|-5\\\\\n\\iff&2|x|-5 < 2|x-4|-5\\\\\n\\iff&|x| < |x-4|\\\\\n\\iff&|x|^2 < |x-4|^2\\\\\n\\iff&x^2 < (x-4)^2\\\\\n\\iff&x^2 < x^2-8x+16\\\\\n\\iff&x < 2\\end{align}\nΔεδομένου ότι για να έχει νόημα η ανίσωση πρέπει \\(x\\neq\\pm1\\) και \\(x\\neq\\pm2\\), τελικά η ανίσωση αληθεύει για\n$$x\\in(-\\infty,-2)\\cup(-2,-1)\\cup(-1,1)\\cup(1,2).$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \\(α,β≠0\\), ισχύει ότι:\n$$(α+β)\\Big(\\dfrac{1}{α}+\\dfrac{1}{β}\\Big)=4$$\nτότε να αποδείξετε ότι:\nα) \\(\\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}=2.\\)\nβ) \\(α=β.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Κάνοντας πράξεις στη δοθείσα σχέση έχουμε διαδοχικά:\n$$α\\cdot \\frac{1}{α}+α\\cdot \\dfrac{1}{β}+β \\cdot \\dfrac{1}{α}+β \\cdot \\dfrac{1}{β}=4$$\n$$\\Leftrightarrow 1+ \\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}+1=4$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}=2$$\nτο οποίο είναι το ζητούμενο.\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε:\n$$\\dfrac{α}{β}+\\dfrac{β}{α}=2$$\n$$\\Leftrightarrow α^2+β^2=2αβ$$\n$$\\Leftrightarrow α^2-2αβ+β^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow (α-β)^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow α-β=0$$\n$$\\Leftrightarrow α=β$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την ανίσωση \\(x^{2}-5x-6<0\\).\nβ) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \\(Κ=\\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)^{2}+5\\cdot \\dfrac{46}{47}-6\\) αιτιολογώντας την απάντησή σας.\nγ) Αν \\(α\\in (-6,6)\\), να βρείτε το πρόσημο της παράστασης \\(Λ=α^{2}-5|α|-6\\) αιτιολογώντας την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-5x-6\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-6)=49>0\\). Το άθροισμα των ριζών του είναι \\(S=x_{1}+x_{2}=-\\dfrac{-5}{1}=5\\) και το γινόμενό τους είναι \\(P=x_{1}x_{2}=\\dfrac{-6}{1}=-6\\), οπότε οι ρίζες είναι \\(x_{1}=-1\\) και \\(x_{2}=6\\).\nO πίνακας προσήμου του τριωνύμου είναι:\nΆρα η ανίσωση \\(x^{2}-5x-6<0\\) αληθεύει για \\(x\\in (-1,6)\\).\nβ) Έχουμε \\(-1<-\\dfrac{46}{47}<6\\).\nΟ αριθμός \\(Κ\\) γράφεται:\n\\(Κ=\\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)^{2}+5\\cdot \\dfrac{46}{47}-6=\\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)^{2}-5\\cdot \\left(-\\dfrac{46}{47}\\right)-6\\), οπότε είναι η τιμή του τριωνύμου \\(x^{2}-5x-6\\) για \\(x=-\\dfrac{46}{47}\\).\nΣυνεπώς από τον πίνακα του ερωτήματος α) προκύπτει ότι ο αριθμός \\(Κ\\) είναι αρνητικός.\nγ) Αν \\(α\\in (-6,6)\\), έχουμε \\(-6<α<6 \\Leftrightarrow |α|<6 \\Leftrightarrow 0\\le |α|<6\\).\nΗ παράσταση \\(Λ=α^{2}-5|α|-6\\) γράφεται \\(Λ=|α|^{2}-5|α|-6\\), που είναι η τιμή του τριωνύμου \\(x^{2}-5x-6\\) για \\(x=|α|\\).\nΣυνεπώς από τον πίνακα του ερωτήματος α) προκύπτει ότι \\(Λ<0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει \\(9\\) θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει \\(12\\) θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει \\(360\\) θερμίδες.\nα) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο \\(32\\) λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά \\(360\\) θερμίδες;\nβ) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυμπήσει ύπτιο και στη συνέχεια υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει \\(360\\) θερμίδες.\nΑν \\(x\\) είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο, να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το χρόνο που πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει \\(360\\) θερμίδες είναι: \\(f(x)=30-\\dfrac{3}{4}x\\).\nΝα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος β (i), στο πλαίσιο του συγκεκριμένου προβλήματος.\nγ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος (β), να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε τη σημασία τους στο πλαίσιο του προβλήματος." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο αθλητής όταν κολυμπάει ύπτιο, καίει \\(9\\) θερμίδες το λεπτό. Άρα σε \\(32\\) λεπτά θα έχει κάψει \\(9\\cdot 32=288\\) θερμίδες.\nΟ αθλητής όταν κολυμπάει πεταλούδα, καίει \\(12\\) θερμίδες το λεπτό. Αν υποθέσουμε ότι κολυμπάει με αυτό το στυλ \\(x\\) λεπτά, τότε θα κάψει \\(12\\cdot x\\) θερμίδες. Επειδή ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει \\(360\\) θερμίδες, ισχύει:\n$$288+12x=360 $$\n$$\\Leftrightarrow 12x=72 $$\n$$\\Leftrightarrow x=6$$\nΆρα ο αθλητής πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα \\(6\\) λεπτά.\nβ)\nΈστω \\(x\\) ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο και \\(y\\) ο χρόνος σε λεπτά που ο αθλητής κολυμπάει πεταλούδα. Τότε, για να κάψει \\(360\\) θερμίδες κολυμπώντας και με τα δυο στυλ, πρέπει να ισχύει:\n$$9x+12y=360 $$\n$$\\Leftrightarrow 12y=360-9x $$\n$$\\Leftrightarrow y=30-\\dfrac{3}{4}x$$\nΆρα \\(f(x)=30-\\dfrac{3}{4}x\\).\nΕπειδή οι \\(x\\), \\(f(x)\\) είναι μεταβλητές χρόνου, πρέπει: \\(x\\ge 0\\) και \\(f(x)\\ge 0\\). Έτσι, έχουμε:\n$$f(x)\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 30-\\dfrac{3}{4}x\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3}{4}x\\le 30 $$\n$$\\Leftrightarrow 3x\\le 120 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\le 40$$\nοπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: \\(A_{f}=[0,40]\\).\nγ) Η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο της με τεταγμένη \\(y=0\\), δηλαδή \\(f(x)=0\\). Είναι:\n$$f(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 30-\\dfrac{3}{4}x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=120 $$\n$$\\Leftrightarrow x=40$$\nΕπομένως η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(A(40,0)\\). Επιπλέον:\n$$f(0)=30-\\dfrac{3}{4}\\cdot 0=30$$\nοπότε η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(B(0,30)\\).\nΗ γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΑΒ\\) (τμήμα της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\)). Επομένως είναι:\nΤο σημείο \\(Α\\) δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει πεταλούδα χρειάζεται \\(40\\) λεπτά ύπτιο για να κάψει \\(360\\) θερμίδες ενώ το σημείο \\(Β\\) δείχνει ότι όταν ο αθλητής δεν κολυμπάει ύπτιο χρειάζεται \\(30\\) λεπτά πεταλούδα για να κάψει \\(360\\) θερμίδες." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν \\(204800\\) βακτήρια. Μετά από \\(1\\) ώρα υπάρχουν \\(102400\\) βακτήρια, μετά από \\(2\\) ώρες υπάρχουν \\(51200\\) βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.\nα) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από \\(6\\) ώρες;\nβ) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν \\(3200\\), ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για \\(5\\) ώρες. Συμβολίζουμε με \\(β_{ν}\\) το πλήθος των βακτηρίων \\(ν\\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (\\(ν\\le 5\\)).\nΝα δείξετε ότι η ακολουθία \\((β_{ν})\\) είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της.\nΝα εκφράσετε το πλήθος \\(β_{ν}\\) των βακτηρίων συναρτήσει του \\(ν\\).\nΠόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό \\(3\\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης;" }, { "from": "assistant", "value": "Το πλήθος των βακτηρίων, στο τέλος κάθε ώρας, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου \\((α_{ν})\\) με πρώτο όρο \\(α_{1}=102400\\) και λόγο \\(λ=\\dfrac{1}{2}\\).\nα) ο ν-στός όρος της προόδου δίνεται από τον τύπο \\(α_{ν}=α_{1}λ^{ν-1}\\) και είναι:\n$$α_{ν}=102400\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{ν-1}$$\nΜετά από \\(6\\) ώρες ο αριθμός των βακτηρίων θα είναι:\n$$α_{6}=102400\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{5}$$\n$$=102400\\cdot \\dfrac{1}{32}=3200$$\nβ)\nΜετά την ξαφνική επιδείνωση του οργανισμού ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Άρα η ακολουθία \\((β_{ν})\\) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο \\(λ=3\\) και πρώτο όρο \\(β_{1}=3200\\cdot 3=9600\\).\nΕίναι:\n$$β_{ν}=β_{1}λ^{ν-1}$$\n$$=9600\\cdot 3^{ν-1},ν\\le 5$$\nΟ αριθμός των βακτηρίων που θα υπάρχουν στον οργανισμό \\(3\\) ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης θα είναι:\n$$β_{3}=9600\\cdot 3^{3-1}$$\n$$=9600\\cdot 3^{2}=86.400$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του \\(y\\) ισχύει:\n\\(|y-3|\\lt 1\\).\nβ) Αν για τους \\(x,y\\) ισχύουν \\(1\\lt x \\lt 3\\) και \\(2\\lt y\\lt 4\\), τότε να αποδείξετε ότι \\(3\\lt x+y\\lt 7\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$|y-3| \\lt1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1\\lt y-3\\lt 1$$\n$$\\Leftrightarrow -1+3\\lt y\\lt 1+3$$\n$$\\Leftrightarrow 2\\lt y\\lt 4$$\nβ) Έχουμε τις σχέσεις:\n$$\\begin{cases} 1\\lt x\\lt 3 \\\\ 2\\lt y\\lt 4 \\end{cases}$$\nτις οποίες προσθέτουμε κατά μέλη και βρίσκουμε:\n$$1+2\\lt x+y \\lt 3+4 $$\n$$\\Leftrightarrow 3\\lt x+y\\lt 7$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης \\(-2x^{2}+10x=12\\).\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(\\dfrac{-2x^{2}+10x-12}{x-2}=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:\n$$-2x^{2}+10x-12=0$$\n$$\\overset{:(-2)}{\\Leftrightarrow} x^{2}-5x+6=0$$\nΓια \\(α=1\\), \\(β=-5\\) και \\(γ=6\\), βρίσκουμε:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 6$$\n$$=25-24=1>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης είναι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{1}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{5\\pm 1}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{5+1}{2} =3 \\\\ \\dfrac{5-1}{2} =2 \\end{cases}$$\nβ) Πρέπει:\n$$x-2\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\ne 2$$\nΤότε ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:\n$$\\dfrac{-2x^{2}+10x-12}{x-2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow -2x^{2}+10x-12=0$$\n$$\\overset{(α)}{\\Leftrightarrow} (x=3\\ \\text{ή}\\ x=2)$$\nΗ ρίζα \\(x=2\\) απορρίπτεται λόγω του περιορισμού. Τελικά η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την \\(x=3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{\\sqrt{1-x}}{5}+3\\).\nα) Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της συνάρτησης.\nβ) Να υπολογίσετε το \\(f(-24)\\).\nγ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\((1,3)\\) ανήκει στην γραφική παράσταση." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται όταν \\(1-x\\ge 0\\), δηλαδή όταν \\(x\\le 1\\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(Α_{f}=(-\\infty ,1]\\).\nβ) Για \\(x=-24 <1\\) η τιμή της συνάρτησης είναι:\n$$f(-24)=\\dfrac{\\sqrt{1-(-24)}}{5}+3$$\n$$=\\dfrac{\\sqrt{25}}{5}+3=1+3=4$$\nγ) Για \\(x=1\\) η τιμή της συνάρτησης είναι:\n$$f(1)=\\dfrac{\\sqrt{1-1}}{5}+3=0+3=3$$\nΆρα το σημείο \\((1,3)\\) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=\\sqrt{3}-1\\) και \\(β=\\sqrt{3}+1\\).\nα) Να δείξετε ότι:\n$$α^{2}+αβ+β^{2}=10$$\n(Μονάδες15)\nβ) Να δείξετε ότι:\n$$\\dfrac{β}{α}+\\dfrac{α}{β}+1=5$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$α^{2}+αβ+β^{2}=(α+β)^{2}-αβ$$\n$$=(\\sqrt{3}-1+\\sqrt{3}+1)^{2}-(\\sqrt{3}-1)\\cdot (\\sqrt{3}+1)$$\n$$=(2\\sqrt{3})^{2}-2=10$$\nβ) Είναι:\n$$αβ=(\\sqrt{3}-1)(\\sqrt{3}+1)$$\n$$=3-1=2$$\nοπότε:\n$$\\dfrac{β}{α}+\\dfrac{α}{β}+1=\\dfrac{β^{2}+α^{2}+αβ}{αβ}$$\n$$=\\dfrac{10}{2}=5$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=1-3x\\) και \\(g(x)=\\sqrt{x+5}\\).\nα) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των παραπάνω συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) Να δείξετε ότι \\(f(-1)=g(11)\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\), ώστε \\(f(x)=g(4)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) είναι \\(A_f=\\mathbb{R}\\). Η συνάρτηση \\(g\\) ορίζεται όταν \\(x+5\\geq 0\\), δηλαδή όταν \\(x\\geq -5\\). Οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(g\\) είναι \\(A_g=[-5,+\\infty)\\).\nβ)\n$$f(-1)=1-3\\cdot (-1)=1+3=4$$\nκαι\n$$g(11)=\\sqrt{11+5}=\\sqrt{16}=4.$$\nΆρα \\(f(-1)=g(11)\\).\nγ) Αναζητούμε την τιμή του \\(x\\) για την οποία:\n\\begin{align}&f(x)=g(4)\\\\\n\\iff&1-3x=\\sqrt{4+5}\\\\\n\\iff&1-3x=3\\\\\n\\iff&x=-\\frac{2}{3}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τη συνάρτηση\n$$𝑓(𝑥)=\\begin{cases} 𝑥^2, \\text{αν} \\ x \\text { άρρητος} \\\\\n2𝑥, \\text{αν} \\ x \\text { ρητός} \\end{cases}$$\nα) Να υπολογίσετε τις τιμές \\(𝑓\\big(\\sqrt{2}\\big)\\) και \\(𝑓(12)\\)\nβ) Αν 𝑥 ρητός, να λύσετε την εξίσωση \\([𝑓(𝑥)]^2=4𝑥−1.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε: \\(𝑓\\big(\\sqrt{2}\\big)=\\big(\\sqrt{2}\\big)^2=2\\) και \\(𝑓(\\dfrac{1}{2})=2\\cdot \\dfrac{1}{2}=1\\).\nβ) Αν \\(𝑥\\) ρητός, τότε \\(𝑓(𝑥)=2𝑥\\), οπότε η δοθείσα εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:\n$$(2𝑥)^2=4𝑥−1$$\n$$\\Leftrightarrow 4𝑥^2−4𝑥+1=0$$\n$$\\Leftrightarrow (2𝑥−1)^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow 2𝑥−1=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=\\dfrac{1}{2}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου \\(Α\\) με πλευρά \\(d \\ cm\\) ή πλακάκια τύπου \\(Β\\) με πλευρά \\((d+1)\\ cm\\).\nα) Να βρείτε ως συνάρτηση του \\(d\\), το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \\(Α\\) και κάθε πλακάκι τύπου \\(Β\\).\nβ) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με \\(200\\) πλακάκια τύπου \\(Α\\) είτε με \\(128\\) τύπου \\(Β\\), να βρείτε:\nΤη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου.\nΤο εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν." }, { "from": "assistant", "value": "α) Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \\(Α\\) είναι \\(E_{A}=d^{2}\\ cm^{2}\\).\nTο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \\(Β\\) είναι \\(E_{B}=(d+1)^{2}\\ cm^{2}\\).\nβ)\nΑν το εμβαδόν της επιφάνειας είναι \\(Ε\\), τότε ισχύει:\n$$E=200d^{2}$$\nκαι:\n$$E=128(d+1)^{2}$$\nοπότε έχουμε:\n$$200d^{2}=128(d+1)^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 25d^{2}=16(d+1)^{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 25d^{2}=16(d^{2}+2d+1) $$\n$$\\Leftrightarrow 25d^{2}=16d^{2}+32d+16$$\n$$\\Leftrightarrow 9d^{2}-32d-16=0$$\nΗ τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-32)^{2}-4\\cdot 9\\cdot (-16)$$\n$$=1024+576$$\n$$=1600=40^{2}$$\nκαι ρίζες τους αριθμούς \\(d_{1}=4\\) και \\(d_{2}=-\\dfrac{4}{9}\\). Η λύση \\(d_{2}=-\\dfrac{4}{9}\\) απορρίπτεται, αφού το μήκος της πλευράς είναι θετικός αριθμός. Άρα \\(d=4\\), οπότε κάθε πλακάκι τύπου \\(Α\\) έχει πλευρά \\(4\\) και κάθε πλακάκι τύπου \\(Β\\) έχει πλευρά \\(5\\).\nΕίναι:\n$$E=200d^{2}$$\n$$=200\\cdot 4^{2}$$\n$$=200\\cdot 16$$\n$$=3.200\\ cm^{2}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση:\n$$Π=\\dfrac{2x^{2}-1}{x^{2}-x}+\\dfrac{1}{1-x}$$\nβ) Για τις τιμές του \\(x\\) που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση:\n$$\\dfrac{2x^{2}-1}{x^{2}-x}+\\dfrac{1}{1-x}=0$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η παράσταση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους ισχύει:\n$$\\begin{cases} x^{2}-x\\ne 0 \\\\ 1-x\\ne 0 \\end{cases}$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} x(x-1)\\ne 0 \\\\ x\\ne 1 \\end{cases}$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} x\\ne 0 \\\\ x\\ne 1 \\end{cases}$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$\\dfrac{2x^{2}-1}{x^{2}-x}+\\dfrac{1}{1-x}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{2x^{2}-1}{x(x-1)}-\\dfrac{1}{x-1}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-1-x=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x^{2}-x-1=0$$\nΗ εξίσωση \\(2x^{2}-x-1=0\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=(-1)^{2}-4\\cdot 2\\cdot (-1)=9>0\\) και ρίζες τις:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-1)-\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}=-\\dfrac{1}{2}$$\nκαι:\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-1)+\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}=1$$\nπου δεν είναι δεκτή, αφού \\(x\\ne 1\\).\nΆρα η εξίσωση έχει μία λύση την \\(x=-\\dfrac{1}{2}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί: \\(Α=(\\sqrt{3})^{6}\\) και \\(Β=(^3\\sqrt{3})^{6}\\).\nα) Να δείξετε ότι: \\(Α-Β=18\\).\nβ) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς: \\(\\sqrt{3}\\), \\(^3\\sqrt{3}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$Α=(\\sqrt{3})^{6}$$\n$$=((\\sqrt{3})^2)^3$$\n$$=3^{3}=27$$\nκαι:\n$$Β=(^3\\sqrt{3})^{6}$$\n$$=((^3\\sqrt{3})^{3})^{2}$$\n$$=3^{2}=9$$\nΆρα:\n$$Α-Β=27-9=18$$\nβ) Αφού οι αριθμοί \\(\\sqrt{3}\\), \\(^3\\sqrt{3}\\) είναι θετικοί θα έχουν την ίδια διάταξη και όταν υψωθούν εις την έκτη.\nΑπό το ερώτημα α) \\((\\sqrt{3})^{6}=Α=27\\) και \\((^3\\sqrt{3})^{6}=Β=9\\).\nΆρα: \\(^3\\sqrt{3}<\\sqrt{3}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(Ω\\) το σύνολο που έχει ως στοιχεία τους αριθμούς που είναι οι ενδείξεις ενός ζαριού.\nα) Να γράψετε με αναγραφή το σύνολο \\(Ω\\).\nβ) Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2-2x+λ-2=0,\\ λ\\in\\mathbb{R}.$$\nΝα βρείτε: i. Το σύνολο \\(Α\\) που περιέχει ως στοιχεία τις τιμές του \\(λ\\in Ω\\), αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.\n ii. Την πραγματική τιμή του \\(λ\\), αν η εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφες.\nγ) Για την τιμή του \\(λ\\) που βρήκατε στο ερώτημα (β.ii) να υπολογίσετε τις ρίζες της εξίσωσης." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι ενδείξεις ενός ζαριού είναι οι ακέραιες τιμές από το \\(1\\) ως το \\(6\\).\nΆρα, \\(Ω=\\{1,2,3,4,5,6\\}\\).\nβ) i. Η εξίσωση \\(x^2-2x+λ-2=0\\) ως δευτεροβάθμια δεν έχει πραγματικές ρίζες όταν \\(Δ < 0\\). Έχουμε\n\\begin{align}Δ&=(-2)^2-4\\cdot 1\\cdot (λ-2)\\\\\n&=4-4\\cdot λ+8\\\\\n&=12-4\\cdot λ.\\end{align}\nΆρα:\n\\begin{align}&Δ < 0\\\\\n\\iff&12-4\\cdot λ < 0\\\\\n\\iff&λ > 3\\\\\n\\iff&λ\\in(3,+\\infty),\\end{align}\nενώ επιπλέον \\(λ\\in Ω=\\{1,2,3,4,5,6\\}\\).\nΤελικά προκύπτει \\(λ=4\\) ή \\(5\\) ή \\(6\\).\nΆρα το ζητούμενο σύνολο είναι \\(Α=\\{4,5,6\\}\\). ii. Έστω \\(x_1\\) και \\(x_2\\) οι ρίζες της εξίσωσης με \\(x_1\\cdot x_2=1\\).\nΣύμφωνα με τους τύπους Vieta\n$$x_1\\cdot x_2=\\frac{α}{γ}=λ-2,$$\nάρα\n$$x_1\\cdot x_2=1\\iff λ-2=1\\iff λ=3.$$\nγ) Για \\(λ=3\\) η εξίσωση γίνεται:\n\\begin{align}&x^2-2x+1=0\\\\\n\\iff&(x-1)^2=0\\\\\n\\iff&x=1\\text{ (διπλή ρίζα)}.\\end{align}\nΆρα, η ρίζα της εξίσωσης είναι η \\(x=1\\) (διπλή)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ευθεία \\((ε): y=αx+5\\).Αν η ευθεία \\((δ): y=-3x-6\\) είναι παράλληλη στην \\((ε)\\), τότε:\nα)i. Να βρείτε την κλίση της ευθείας \\((ε)\\).\nii. Να βρείτε το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία \\((ε)\\) με τον άξονα \\(x'x\\);\nβ) Να βρείτε σε ποια σημεία η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Ισχύει \\((ε) \\parallel (δ)\\) οπότε οι δύο ευθείες θα έχουν την ίδια κλίση. Η κλίση της ευθείας \\((δ)\\) είναι \\(-3\\). Άρα \\(α=-3\\), δηλαδή η κλίση της ευθείας \\((ε)\\) είναι \\(-3\\).ii. Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία \\((ε)\\) με τον \\(x'x\\) είναι αμβλεία διότι η κλίση της \\((ε)\\) είναι \\(α=-3 < 0\\).\nβ) Η ευθεία \\((ε)\\) έχει εξίσωση \\(y=-3x+5\\).\nΗ ευθεία τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) σε σημείο με τεταγμένη \\(y=0\\).\nΓια \\(y=0\\) έχουμε:\n$$-3x+5=0 \\iff x=\\frac{5}{3}.$$\nΆρα, το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα \\(x'x\\) είναι το \\((\\frac{5}{3},0)\\).\nΗ ευθεία τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) σε σημείο με τετμημένη \\(x=0\\).\nΓια \\(x=0\\) έχουμε \\(y=5\\).\nΕπομένως, το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα \\(y'y\\) είναι το \\((0,5)\\).\nΣχόλιο ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ: Η ενδεικτική απάντηση του ΙΕΠ είναι λανθασμένη στο ερώτημα β. Ευχαριστούμε την μαθήτρια που το παρατήρησε." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ανίσωση:\n$$|x - 7|<1\\ \\ \\ \\ (I)$$\nα) Να αποδείξετε ότι \\(x\\in (6, 8)\\).\nβ) Αν γνωρίζουμε ότι \\(k\\in (6,8)\\), να αποδείξετε ότι \\(\\dfrac{24}{k}\\in (3, 4)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ανίσωση \\((I)\\) γράφεται:\n$$|x- 7|< 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1 < x - 7 < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow 7-1 < x < 7+1$$\nΏστε:\n$$6 < x < 8 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\in (6, 8)$$\nβ) Είναι:\n$$k\\in (6, 8) $$\n$$\\Leftrightarrow 6 < k < 8 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{6}>\\dfrac{1}{k}>\\dfrac{1}{8} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{24}{6}>\\dfrac{24}{k}>\\dfrac{24}{8} $$\n$$\\Leftrightarrow 4 >\\dfrac{24}{k}> 3$$\nΆρα:\n$$3 <\\dfrac{24}{k}< 4 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{24}{k}\\in (3, 4)$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) (\\(\\hat{Α}=90^0\\)) με κάθετες πλευρές \\(ΑΒ=x\\) και \\(ΑΓ=y\\), έτσι ώστε \\(x+y=10\\).\nα) Να εκφράσετε το εμβαδόν \\(Ε\\) του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) ως συνάρτηση του \\(x\\) και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(Ε(x)\\).\nβ) Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι \\(Ε(x)=\\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\\), να δείξετε ότι \\(Ε(x)\\le \\dfrac{25}{2}\\), για κάθε \\(x\\in (0,10)\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\in (0,10)\\) ώστε το εμβαδόν \\(Ε(x)\\) να γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \\(\\dfrac{25}{2}\\). Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι \\(x+y=10 \\Leftrightarrow y=10-x\\). Εφόσον \\(x\\) και \\(y\\) είναι πλευρές τριγώνου, πρέπει:\n$$\\begin{cases} x>0 \\\\ y>0 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x>0 \\\\ 10-x>0 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x>0 \\\\ x<10 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow 0 < x < 10,\\ \\ \\text{δηλαδή}\\ x\\in (0,10)$$\nΟπότε το εμβαδόν του \\(ΑΒΓ\\) τριγώνου είναι:\n\\(Ε=\\dfrac{1}{2}\\cdot ΑΒ\\cdot ΑΓ\\), δηλαδή:\n\\(Ε(x)=\\dfrac{1}{2}x(10-x)=\\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\\), με πεδίο ορισμού το διάστημα \\((0,10)\\).\nβ) Έχουμε:\n$$Ε(x)\\le \\dfrac{25}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\\le \\dfrac{25}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow -x^{2}+10x-25\\le 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-5)^{2}\\ge 0,\\ \\ \\text{που ισχύει για κάθε}\\ x\\in (0,10)$$\nγ) Το εμβαδόν \\(Ε(x)\\) γίνεται μέγιστο αν και μόνο αν:\n$$Ε(x)=\\dfrac{25}{2}$$\n$$\\overset{(β)}{ \\Leftrightarrow} (x-5)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=5$$\nΓια \\(x=5\\), είναι και \\(y=10-x=10-5=5\\), οπότε \\(ΑΒ=ΑΓ=5\\) και το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(α=\\dfrac{1}{2}(3+\\sqrt{5})\\) και \\(β=\\dfrac{1}{2}(3-\\sqrt{5})\\).\nα) Να υπολογίσετε το άθροισμα \\(α+β\\) και το γινόμενο \\(α\\cdot β\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(α^2+β^2=7\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}α+β&=\\frac{1}{2}(3+\\sqrt{5})+\\frac{1}{2}(3-\\sqrt{5})\\\\\n&=\\frac{1}{2}(3+\\sqrt{5}+3-\\sqrt{5})\\\\\n&=\\frac{6}{2}\\\\\n&=3\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}α\\cdot β&=\\frac{1}{2}(3+\\sqrt{5})\\frac{1}{2}(3-\\sqrt{5})\\\\\n&=\\frac{1}{4}(3^2-\\sqrt{5}^2)\\\\\n&=\\frac{1}{4}(9-5)\\\\\n&=\\frac{4}{4}\\\\\n&=1.\\end{align}\nΆρα, \\(α+β=3\\) και \\(α\\cdot β=1\\).\nβ) Έχουμε:\n\\begin{align}α^2+β^2&=\\frac{1}{4}(3+\\sqrt{5})^2+\\frac{1}{4}(3-\\sqrt{5})^2\\\\\n&=\\frac{1}{4}(9+5+6\\sqrt{5}+9+5-6\\sqrt{5})\\\\\n&=\\frac{1}{4}\\cdot 28\\\\\n&=7\\end{align}\nπου είναι το ζητούμενο.\nΥπόδειξη για εναλλακτική λύση.\nΤο ερώτημα (β) μπορεί να αποδειχθεί άμεσα από το (α) με τη βοήθεια της ταυτότητας\n$$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Στην Α’ τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύμβουλος των μαθηματικών πρόκειται να πραγματοποιήσει μια δραστηριότητα. Επειδή όμως δεν γνωρίζει το πλήθος των μαθητών της τάξης, συμβουλεύεται τον Γυμναστή του σχολείου, που στοιχίζει τους μαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά με ένα πρόβλημα:\n«Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους μαθητές σε \\(x\\) σειρές με \\(x-1\\) μαθητές σε κάθε σειρά. Αν όμως θελήσω να τους τοποθετήσω σε \\(x+3\\) σειρές με \\(x-3\\) μαθητές σε κάθε σειρά, θα μου λείπει ένας μαθητής».\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\).\nβ) Να αποδείξετε η Α΄ τάξη έχει \\(90\\) μαθητές.\nγ) Η σύμβουλος σκοπεύει να μοιράσει τους παραπάνω \\(90\\) μαθητές σε \\(ν\\) ομάδες εργασίας, ώστε στην πρώτη ομάδα να πάνε \\(2\\) μαθητές και σε κάθε επόμενη ομάδα να πηγαίνουν \\(2\\) παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιμή του \\(ν\\), δηλαδή πόσες ομάδες εργασίας θα δημιουργηθούν." }, { "from": "assistant", "value": "α) Στην πρώτη περίπτωση το πλήθος των μαθητών είναι \\(x(x - 1)\\) ενώ στη δεύτερη \\((x + 3)(x - 3) - 1\\). Άρα πρέπει:\n$$\\begin{align}&x(x - 1) = (x + 3)(x - 3) - 1 \\\\\n\\iff&x^2 - x = x^2 - 3^2 - 1 \\\\\n\\iff&- x = - 9 - 1 \\\\\n\\iff&x = 10\\end{align}$$\nβ) Αντικαθιστούμε στον τύπο \\(x(x - 1)\\) που δίνει το πλήθος των μαθητών όπου x = 10 και βρίσκουμε:\n$$10(10 - 1) = 10 \\cdot 9 = 90$$\nΆρα, οι μαθητές της Α τάξης είναι 90.\nγ) Το πλήθος των μαθητών στις \\(ν\\) ομάδες εργασίας είναι όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_1 = 2\\), διαφορά \\(ω = 2\\) και άθροισμα \\(S_ν = 90\\). Οπότε, από τον τύπο:\n$$S_ν =\\dfrac{ν}{2}[2α_1 + (ν - 1)ω]$$\nέχουμε ότι:\n$$\\begin{align}&90 = \\dfrac{ν}{2}[2 \\cdot 2 + (ν - 1)2] \\\\\n\\iff&90 = \\dfrac{ν}{2}(4 + 2ν - 2) \\\\\n\\iff&90 = 2ν + ν^2 - ν \\\\\n\\iff&ν^2 + ν - 90 = 0\\end{align}$$\nΗ τελευταία εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς \\(ν\\) με \\(α=1\\), \\(β=1\\), και \\(γ=-90\\). Η διακρίνουσα είναι:\n$$\\begin{align}Δ &= β^2 - 4αγ \\\\\n&= 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (- 90) \\\\\n&= 1 + 360 \\\\\n&= 361 > 0\\end{align}$$\nκαι έχει ρίζες τις:\n$$\\begin{align}ν_{1,2} &= \\dfrac{-β\\pm\\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n&=\\dfrac{-1\\pm\\sqrt{361}}{2\\cdot1}\\\\\n&=\\dfrac{-1\\pm19}{2}\\\\\n&=\\begin{cases}\\dfrac{-1+19}{2}=9\\\\ \\dfrac{-1-19}{2}=-10\\end{cases}\\end{align}$$\nΗ τιμή \\(ν = - 10\\) απορρίπτεται διότι \\(ν\\in\\mathbb{N}\\). Άρα θα δημιουργηθούν \\(ν = 9\\) ομάδες εργασίας." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των \\(21\\ \\text{€}\\) ανά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο \\(30\\) μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει \\(51\\) θέσεις.\nΘέλοντας να αυξήσει την πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \\(3\\ \\text{€}\\) και κάθε επόμενος επιβάτης να πληρώνει \\(0,5\\ \\text{€}\\) περισσότερα από τον προηγούμενο.\nα) Να βρείτε πόσο θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης.\nβ) Αν, για κάθε \\(ν\\le 51\\) ο αριθμός \\(α_{ν}\\) εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί \\(α_{1},α_{2},...,α_{51}\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου.\nγ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο \\(51ος\\) επιβάτης.\nδ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε αν πουλούσε \\(30\\) εισιτήρια στην τιμή των \\(21\\ \\text{€}\\) ανά εισιτήριο.\n(Δίνεται: \\(\\sqrt{10201}=101\\))" }, { "from": "assistant", "value": "Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \\(3\\ \\text{€}\\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \\(0,5\\ \\text{€}\\) περισσότερο από τον προηγούμενο.\nα) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει \\(3+0,5=3,5\\ \\text{€}\\), ο τρίτος θα πληρώσει \\(3,5+0,5=4\\ \\text{€}\\) και ο τέταρτος θα πληρώσει \\(4+0,5=4,5\\ \\text{€}\\).\nβ) Δεδομένου ότι ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \\(3\\ \\text{€}\\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \\(0,5\\ \\text{€}\\) περισσότερο από τον προηγούμενο, οι αριθμοί \\(α_{1},α_{2},...,α_{51}\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \\(α_{1}=3\\) και \\(ω=0,5\\).\nγ) Ο \\(51ος\\) επιβάτης θα πληρώσει \\(α_{51}=3+(51-1)\\cdot 0,5=28\\ \\text{€}\\).\nδ) Ζητάμε την μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \\(ν\\) ώστε \\(S_{ν}>30\\cdot 21\\). Είναι:\n$$S_{ν}>30\\cdot 21 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{ν}{2}[2\\cdot 3+(ν-1)\\cdot 0,5]>630$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{ν}{2}\\left(6+\\dfrac{ν-1}{2}\\right)>630 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{ν}{2}\\left(\\dfrac{12+ν-1}{2}\\right)>630$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{ν(ν+11)}{4}>630 $$\n$$\\Leftrightarrow ν^{2}+11ν-2520>0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΤο τριώνυμο \\(ν^{2}+11ν-2520>0\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=11^{2}-4(-2520)=10201$$\nκαι ρίζες τους αριθμούς \\(ν=45\\), \\(ν=-56\\) που απορρίπτεται.\nΕπομένως η ανίσωση \\((1)\\) έχει λύση κάθε θετικό ακέραιο \\(ν\\) με \\(ν>45\\), οπότε για να συμφέρει η προσφορά πρέπει να πουληθούν τουλάχιστον \\(46\\) εισιτήρια." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=x+\\frac{1}{x}\\) και \\(g(x)=x-\\frac{1}{x},\\ x\\neq0\\).\nα) Να βρείτε την τιμή της παράστασης\n$$A=f(2)+g(2)-f\\left(\\frac{1}{2}\\right)-g\\left(\\frac{1}{2}\\right)$$\nβ) Να αποδείξετε ότι \\((f(x))^2-(g(x))^2=4\\) για οποιοδήποτε αριθμό \\(x\\) με \\(x\\neq 0\\).\nγ) Θεωρούμε την ευθεία \\(y=α,\\ α\\in\\mathbb{R}\\). Αν η ευθεία έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\), να αποδείξετε ότι \\(|α|\\geq 2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}A&=2+\\frac{1}{2}+2-\\frac{1}{2}-\\left(\\frac{1}{2}+2\\right)-\\left(\\frac{1}{2}-2\\right)\\\\\n&=4-\\frac{1}{2}-2-\\frac{1}{2}+2\\\\\n&=4-1\\\\\n&=3\\end{align}\nβ) Για οποιοδήποτε αριθμό \\(x\\) με \\(x\\neq 0\\) έχουμε:\n\\begin{align}&(f(x))^2-(g(x))^2\\\\\n=&\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^2-\\left(x-\\frac{1}{x}\\right)^2\\\\\n=&\\left(x+\\frac{1}{x}+x-\\frac{1}{x}\\right)\\left(x+\\frac{1}{x}-x+\\frac{1}{x}\\right)\\\\\n=&2x\\cdot\\frac{2}{x}\\\\\n=&4\\end{align}\nγ) Το πλήθος των κοινών σημείων της ευθείας με τη γραφική παράσταση της fκαθορίζεται από το πλήθος λύσεων της εξίσωσης \\(f(x)=α\\), οπότε αν η ευθεία έχει κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της \\(f\\), η εξίσωση \\(f(x)=α\\) έχει πραγματικές λύσεις. Είναι:\n\\begin{align}&f(x)=α\\\\\n\\iff&x+\\frac{1}{x}=α\\\\\n\\iff&x^2+1=αx\\\\\n\\iff&x^2-αx+1=0\\end{align}\nΗ εξίσωση έχει πραγματικές λύσεις, οπότε ισχύει \\(Δ\\geq0\\). Έτσι, έχουμε:\n\\begin{align}&Δ=α^2-4\\geq0\\\\\n\\Rightarrow&α^2\\geq4\\\\\n\\Rightarrow&\\sqrt{α^2}\\geq\\sqrt{4}\\\\\n\\Rightarrow&|α|\\geq 2,\\end{align}\nπου είναι το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Κ=\\dfrac{\\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2}-\\dfrac{\\sqrt{x^{2}-6x+9}}{x-3}$$\nα) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει o αριθμός \\(x\\), ώστε η παράσταση \\(Κ\\) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού.\nβ) Αν \\(-2 < x < 3\\), να αποδείξετε ότι η παράσταση \\(Κ\\) είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του \\(x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύει ότι:\n$$Κ=\\dfrac{\\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2}−\\dfrac{\\sqrt{x^{2}−6x+9}}{x−3}$$\n$$=\\dfrac{\\sqrt{(x+2)^{2}}}{x+2}−\\dfrac{\\sqrt{(x−3)^{2}}}{x−3}$$\n$$=\\dfrac{|x+2|}{x+2}−\\dfrac{|x−3|}{x−3}$$\nΗ παράσταση \\(Κ\\) έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν:\n$$\\begin{cases} x + 2 \\ne 0 \\\\ x − 3 \\ne 0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x \\ne − 2 \\\\ x \\ne 3 \\end{cases}$$\nΟπότε πρέπει \\(x\\ne −2,3\\).\nβ) Ισχύει ότι: \\(−2 < x < 3\\), οπότε \\(x+2 > 0\\ \\ \\text{και}\\ \\ x−3 < 0\\).\nΆρα \\(|x+2|=x+2\\) και \\(|x−3|=−(x−3)\\).\nΟπότε:\n$$K=\\dfrac{|x+2|}{x+2}−\\dfrac{|x−3|}{x−3}$$\n$$=\\dfrac{x+2}{x+2}−\\dfrac{−(x−3)}{x−3}$$\n$$=1+1=2$$\nπου είναι ανεξάρτητη του \\(x\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τα σημεία \\(Α(2,1),\\ Β(1,5),\\ Γ(27,50)\\) και την ευθεία \\((ε):\\ y=λx-3.\\) Αν το σημείο \\(Α\\) είναι πάνω στην ευθεία, τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(λ=2.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Β\\) είναι πάνω στην ευθεία. Κατόπιν να εξετάσετε αν και το σημείο \\(Γ\\) είναι πάνω στην ίδια ευθεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το σημείο \\(Α\\) είναι πάνω στην ευθεία, οπότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της. Έτσι, έχουμε: \\(2λ-3=1\\), οπότε \\(2λ=4\\), άρα \\(λ=2.\\)\nβ) Θα αποδείξουμε ότι οι συντεταγμένες του \\(Β\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας που είναι η \\((ε):\\ y=2x-3.\\)\nΜε \\(x=-1\\) έχουμε: \\(y=2(-1)-3=-2-3=-5\\), οπότε το σημείο \\(Β\\) είναι πάνω στην ευθεία \\((ε).\\)\nΕξετάζουμε αν το \\(Γ\\) είναι πάνω στην \\((ε).\\)\nΜε \\(x=27\\) έχουμε: \\(y=2\\cdot 27-3=54-3=51\\neq 50\\), οπότε το σημείο \\(Γ\\) δεν είναι πάνω στην ευθεία \\((ε).\\) Άρα, το σημείο \\(Γ\\) δεν είναι πάνω στην ίδια ευθεία με τα \\(Α\\) και \\(Β.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν γνωρίζουμε ότι ο \\(𝑥\\) είναι πραγματικός αριθμός με \\(3≤𝑥≤5\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(𝑥−5≤0<𝑥−2.\\)\nβ) Να λύσετε την εξίσωση \\(|𝑥 − 2| − |𝑥 − 5| =2.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Αφού \\(3≤𝑥≤5\\), θα έχουμε \\(𝑥−5≤5−5\\), άρα \\(𝑥−5≤0\\).\nΑκόμα \\(3≤𝑥\\), οπότε \\(3−2≤𝑥−2\\), άρα \\(1≤𝑥−2 \\Leftrightarrow 𝑥−2>0\\).\nβ) Γνωρίζουμε ότι αν \\(𝑦≥0\\), τότε \\(|𝑦|=𝑦\\), ενώ αν \\(𝑦≤0\\), τότε \\(|𝑦|=− 𝑦\\).\nΈτσι η δοθείσα εξίσωση γράφεται \\(𝑥−2−(5−𝑥)=2\\), άρα \\(𝑥−2−5+𝑥=2\\), οπότε \\(2𝑥=9.\\)\nΤελικά \\(𝑥=\\dfrac{9}{2}\\), λύση η οποία είναι δεκτή, αφού \\(\\dfrac{9}{2}=4,5 \\in [3,5]\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο \\(2x^2-x-1\\).\nβ) Να λύσετε την ανίσωση \\(x(1-2x)\\leq -1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή \\(α=2, β=-1\\) και \\(γ=-1\\) η διακρίνουσα είναι\n$$Δ= (-1)^2-4\\cdot 2\\cdot (-1)=9 > 0.$$\nΤο τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες:\n$$x_1=\\frac{-(-1)+\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}=\\frac{4}{4}=1$$\nκαι\n$$x_2=\\frac{-(-1)-\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}=-\\frac{2}{4}=-\\frac{1}{2}.$$\nΕπομένως το τριώνυμο γίνεται\n\\begin{align}&\\phantom{=}2x^2-x-1\\\\\n&=2(x-1)\\left(x+\\frac{1}{2}\\right)\\\\\n&=(x-1)(2x+1)\\end{align}\nΆρα έχουμε\n$$2x^2-x-1=(x-1)(2x+1).$$\nβ) Η ανίσωση γίνεται\n\\begin{align}&x(1-2x)\\leq-1\\\\\n\\iff&-2x^2+x+1\\leq 0\\\\\n\\iff&2x^2-x-1\\geq 0.\\end{align}\nΈχουμε να λύσουμε ανίσωση δευτέρου βαθμού.\nΠαρατηρούμε πως το τριώνυμο της ανίσωσης είναι το τριώνυμο του πρώτου ερωτήματος. Άρα μηδενίζεται για \\(x_1=1\\) και \\(x_2=-\\frac{1}{2}\\) και επειδή \\(α=2 > 0\\) προκύπτει:\nΣύμφωνα με τον πίνακα προσήμων το τριώνυμο θα είναι ομόσημο του \\(α\\), δηλαδή θετικό για \\(x\\leq-\\frac{1}{2}\\) ή \\(x\\geq 1\\).\nΟι λύσεις της ανίσωσης είναι \\(x\\in(-\\infty,-\\frac{1}{2}]\\cup [1,+\\infty)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θέμα 2\nΔίνεται μία πρόοδος \\(α_ν\\) με πρώτους όρους \\(2,\\ 2\\sqrt{2},\\ 4,\\ 4\\sqrt{2},\\dots\\)\nα) Να εξετάσετε αν η \\(α_ν\\) είναι αριθμητική πρόοδος.\nβ) Να αποδείξετε ότι η \\(α_ν\\) είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε το \\(ν\\)-οστό της όρο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να αποτελούν οι \\(α_1,\\ α_2,\\ α_3,\\dots\\) διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου θα έπρεπε να έχουν την ιδιότητα \\(α_2=\\frac{α_1+α_3}{2}\\).\nΔηλαδή ισοδύναμα\n$$2\\sqrt{2}=\\frac{2+4}{2}\\iff\\sqrt{2}=\\frac{3}{2},$$\nτο οποίο δεν ισχύει, διότι ο \\(\\sqrt{2}\\) δεν είναι ρητός, ενώ ο \\(\\frac{3}{2}\\) είναι ρητός.\nβ) Για την πρόοδο \\((α_ν)\\) ισχύει ότι\n$$\\frac{α_2}{α_1}=\\frac{2\\sqrt{2}}{2}=\\sqrt{2}$$\nκαι\n$$\\frac{α_3}{α_2}=\\frac{4}{2\\sqrt{2}}=\\frac{2}{\\sqrt{2}}=\\frac{2\\sqrt{2}}{2}=\\sqrt{2},$$\nοπότε αποτελεί γεωμετρική πρόοδο με λόγο \\(λ=\\sqrt{2}\\).\nΕφόσον η \\((α_ν)\\) αποτελεί γεωμετρική πρόοδο, ο \\(ν\\)-οστός της όρος θα έχει τη μορφή \\(α_ν=α_1\\cdot λ^{ν-1}\\), όπου \\(α_1,\\ λ\\) ο πρώτος όρος και ο λόγος της προόδου αντίστοιχα.\nΕπειδή \\(α_1=2,\\ λ=\\sqrt{2}\\) ο \\(ν\\)-οστός όρος είναι:\n$$α_ν=2\\cdot(\\sqrt{2})^{ν-1}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν \\(0<α<1\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(0<α^3<α\\).\nβ) Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:\n$$0, α^3, 1, α, \\dfrac{1}{α}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$0<α<1$$\n$$\\overset{\\cdot α^{2}>0}{\\Leftrightarrow}0<α^{3}<α^{2}\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$0<α<1$$\n$$\\overset{\\cdot α>0}{\\Leftrightarrow }0<α^{2}<α\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΑπό \\((1)\\) και \\((2)\\) έχουμε \\(0<α^{3}<α\\).\nβ) Από το δεδομένο και το α) ερώτημα έχουμε \\(0<α^{3}<α<1\\). Επιπλέον επειδή ο \\(α\\) είναι θετικός αριθμός, ομόσημος του \\(1\\) δηλαδή, έχουμε ισοδύναμα:\n$$α<1 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{α}>1$$\nΤελικά:\n$$0<α^{3}<α<1<\\dfrac{1}{α}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν ο πραγματικός αριθμός xικανοποιεί τη σχέση: \\(|x+1|\\lt 2,\\)\nα) Να δείξετε ότι \\(x\\in (-3,1)\\)\nβ) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης \\(K=\\dfrac{|x+3|+|x-1|}{4}\\), είναι αριθμός ανεξάρτητος του \\(x.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$|x+1|\\lt 2 $$\n$$\\Leftrightarrow -2\\lt x+1\\lt 2 $$\n$$\\Leftrightarrow -2-1\\lt x+1-1\\lt 2-1 $$\n$$\\Leftrightarrow -3\\lt x\\lt 1 $$\n$$\\Leftrightarrow x\\in (-3,1)$$\nβ) Από το ερώτημα α) ισχύει ότι:\n$$-3\\lt x\\lt 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -3\\lt x \\text{ και } x\\lt 1 $$\n$$\\Leftrightarrow x+3>0 \\text{ και } x-1\\lt 0$$\nΆρα:\n$$|x+3|=x+3 \\text{ και } |x-1|=-(x-1)=1-x$$\nΤότε:\n$$K=\\dfrac{|x+3|+|x-1|}{4}=\\dfrac{x+3+1-x}{4}=\\dfrac{4}{4}=1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$2x^{2}−5βx+2β^{2}=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nμε παράμετρο \\(β>0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις: \\(x_{1}=2β\\) και \\(x_{2}=\\dfrac{β}{2}\\).\nβ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) είναι οι ρίζες της \\((1)\\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(β\\), \\(x_{2}\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}−4αγ$$\n$$=(−5β)^{2}−4\\cdot 2\\cdot 2β^{2}$$\n$$=25β^{2}−16β^{2}$$\n$$=9β^{2}>0$$\nαφού: \\(β>0\\).\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{−β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{−(−5β)\\pm \\sqrt{9β^{2}}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{5β\\pm 3β}{4}$$\nοπότε:\n$$x_{1}=\\dfrac{5β+3β}{4}=2β$$\nκαι:\n$$x_{2}=\\dfrac{5β−3β}{4}=\\dfrac{β}{2}$$\nΣημείωση: Μία εναλλακτική λύση είναι η εξής:\nΗ \\(x_{1}=2β\\) είναι ρίζα της \\((1)\\), διότι την επαληθεύει:\n$$2(2β)^{2}−5β(2β)+2β^{2}=8β^{2}−10β^{2}+2β^{2}=0$$\nΟμοίως, η \\(x_{2}=\\dfrac{β}{2}\\) είναι ρίζα της \\((1)\\), διότι την επαληθεύει:\n$$2(\\dfrac{β}{2})^{2}−5β(\\dfrac{β}{2})+2β^{2}=2\\dfrac{β^{2}}{4}−5\\dfrac{β^{2}}{2}+2β^{2}$$\n$$=\\dfrac{β^{2}}{2}−5\\dfrac{β^{2}}{2}+2β^{2}$$\n$$=\\dfrac{−4β^{2}}{2}+2β^{2}=0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) με \\(x_{1}\\ne x_{2}\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(2β\\), \\(β\\), \\(\\dfrac{β}{2}\\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, διότι:\n$$\\dfrac{β}{2β}=\\dfrac{1}{2}$$\nκαι:\n$$\\dfrac{\\dfrac{β}{2}}{β}=\\dfrac{β}{2β}=\\dfrac{1}{2}$$\nδηλαδή ο λόγος των όρων με τη σειρά που δίνονται είναι σταθερός ίσος με \\(λ=\\dfrac{1}{2}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(𝛢=𝛼^2+𝛽^2\\) και \\(𝛣=2𝛼𝛽, \\ α,𝛽 \\in \\Bbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές των \\(α,𝛽 \\in \\Bbb{R}\\) για τις οποίες \\(𝛢=0\\).\nβ) Nα αποδείξετε ότι \\(𝛢−𝛣≥0\\) για κάθε \\(α,𝛽 \\in \\Bbb{R}\\).\nγ) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των \\(α,𝛽 \\in \\Bbb{R}\\) ώστε να ισχύει \\(𝛢−𝛣=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να ισχύει για την παράσταση \\(Α\\) ότι: \\(𝛢=0\\), πρέπει \\(𝛼^2+𝛽^2=0\\) που ισχύει αν και μόνο αν \\(𝛼=0\\) και \\(𝛽=0\\).\nβ) Είναι: \\(𝛢−𝛣=𝛼^2+𝛽^2−2𝛼𝛽=(𝛼−𝛽)^2≥0\\), που ισχύει για το τετράγωνο κάθε αριθμού.\nγ) 'Έχουμε: \\(𝛢−𝛣=0\\Leftrightarrow (𝛼−𝛽)^2=0 \\Leftrightarrow 𝛼−𝛽=0 \\Leftrightarrow 𝛼=𝛽\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \\(α\\), \\(β\\) ισχύει \\(α>β\\), με \\(β>1\\) και \\(α>1\\),τότε:\nα) Να δείξετε ότι:\n$$\\dfrac{α-β}{|α-β|}-\\dfrac{|1-α|}{1-α}=2$$\nβ) Να δείξετε ότι:\n$$α+β>\\dfrac{α-β}{|α-β|}-\\dfrac{|1-α|}{1-α}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(α>β\\) και ισοδύναμα \\(α-β>0\\), οπότε \\(|α-β|=α-β\\).\nΕπίσης \\(α>1\\) ισοδύναμα \\(1-α<0\\), οπότε \\(|1-α|=α-1\\).\nΆρα:\n$$\\dfrac{α-β}{|α-β|}-\\dfrac{|1-α|}{1-α}=\\dfrac{α-β}{α-β}-\\dfrac{α-1}{1-α}$$\n$$=1+\\dfrac{1-α}{1-α}=1+1=2$$\nβ) Είναι \\(α>1\\) και \\(β>1\\), οπότε \\(α+β>1+1\\), δηλαδή \\(α+β>2\\) και από το α) ερώτημα έχουμε ότι:\n$$α+β>\\dfrac{α-β}{|α-β|}-\\dfrac{|1-α|}{1-α}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: \\(A=x^{3}-x^{2}+3x-3\\).\nβ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f(x)=\\dfrac{3}{x}\\) και \\(g(x)=x^{2}-x+3\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το \\(Α(1,3)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$A=x^{3}-x^{2}+3x-3$$\n$$= x^{2}(x-1)+3(x-1)$$\n$$= (x-1)(x^{2}+3)$$\nβ) Η συνάρτηση \\(f\\) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο \\(Α=\\mathbb{R}^{*}=\\mathbb{R}-\\{0\\}\\) και η συνάρτηση \\(g\\) το σύνολο \\(Β=\\mathbb{R}\\).\nΤα σημεία τομής τους προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:\n$$\\begin{cases} y = f (x) \\\\ y = g(x) \\end{cases}$$\nΈχουμε:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{3}{x}=x^{2}-x+3 $$\n$$\\Leftrightarrow 3=x(x^{2}-x+3) $$\n$$\\Leftrightarrow 3=x^{3}-x^{2}+3x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}+3x-3=0$$\n$$\\overset{(a)}{ \\Leftrightarrow } \\\\ (x-1)(x^{2}+3)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x-1=0\\ \\text{ή}\\ x^{2}+3=0\\ \\text{αδύνατη}$$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nΓια \\(x=1\\) είναι \\(f(1)=3\\).\nΆρα το σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \\(f\\), \\(g\\) είναι το \\(Α(1,3)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων \\(1\\), \\(2\\), \\(3\\),..., \\(ν\\).\nβ) Να βρείτε πόσοι από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους έχουν άθροισμα \\(45\\).\n(Μονάδες13)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ακολουθία των \\(ν\\) πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων \\(1\\), \\(2\\), \\(3\\), ..., \\(ν\\) είναι αριθμητική πρόοδος με \\(α_{1}=1\\), \\(ω=1\\) και \\(α_{ν}=ν\\). Άρα το άθροισμα των \\(ν\\) πρώτων όρων αυτής, είναι:\n$$S_{ν}=\\dfrac{ν}{2}\\cdot (α_{1}+α_{ν})$$\nδηλαδή:\n$$S_{ν}=\\dfrac{ν}{2}\\cdot (1+ν)$$\nβ) Ψάχνουμε το πλήθος \\(ν\\) των όρων που έχουν άθροισμα \\(45\\), δηλαδή το \\(ν\\) ώστε \\(S_{ν}=45\\), δηλαδή \\(\\dfrac{ν}{2}\\cdot (1+ν)=45\\), οπότε \\(ν\\cdot (ν+1)=90\\). Οι δυο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που έχουν γινόμενο ίσο με \\(90\\) είναι οι αριθμοί \\(9\\) και \\(10\\) (δηλαδή \\(ν=9\\) και \\(ν+1=10\\)). Άρα το άθροισμα των \\(9\\) πρώτων φυσικών αριθμών είναι ίσο με \\(45\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Για τους πραγματικούς αριθμούς \\(x, y\\) ισχύει:\n$$\\dfrac{4x+5y}{x-4y}=-2$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(y=2x.\\)\nβ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\n$$A=\\dfrac{2x^{2}+3y^{2}+xy}{xy}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} \\dfrac{4x+5y}{x-4y} & =-2 \\\\ \\Leftrightarrow 4x+5y & = -2 (x-4y) \\\\ \\Leftrightarrow 4x+5y & = -2x +8y \\\\ \\Leftrightarrow 6x & = 3y \\\\ \\Leftrightarrow y & = 2x \\end{align}$$\nβ) Για \\(y = 2x\\) η παράσταση \\(Α\\) γράφεται:\n$$\\begin{align} A & = \\dfrac{2x^{2}+3y^{2}+xy}{xy} \\\\ & = \\dfrac{2x^{2}+3(2x)^{2}+x \\cdot (2x)}{x \\cdot (2x)} \\\\ & = \\dfrac{2x^{2}+3 \\cdot 4 x^{2}+2 \\cdot x^2}{2 \\cdot x^{2}} \\\\ & = \\dfrac{16x^{2}}{2 x^{2}} \\\\ & = 8 \\end{align}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δυο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόμπι τους δουλειά. Τους άρεσε να ζωγραφίζουν πάνω σε μπλουζάκια και ίδρυσαν μια μικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν μέσω διαδικτύου. Σε διάστημα ενός μηνός τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για \\(x\\) μπλουζάκια δίνονται από τη συνάρτηση \\(K(x)=12,5x+120\\) και τα έσοδα από την πώληση τους (σε ευρώ), από τη συνάρτηση \\(E(x)=15,5x\\).\nα) Αν η επιχείρηση κάποιο μήνα δεν κατασκευάσει μπλουζάκια, έχει έξοδα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nβ) Τι εκφράζει ο αριθμός \\(12,5\\) και τι ο αριθμός \\(15,5\\) στο πλαίσιο του προβλήματος;\nγ) Να βρείτε πόσα μπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και έξοδα (δηλαδή να μην «μπαίνει μέσα» η επιχείρηση).\nδ) Αν πουλήσουν \\(60\\) μπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν η εταιρεία δεν κατασκευάσει μπλουζάκια (κατασκευάσει \\(0\\) μπλουζάκια), τότε έχουμε \\(K(0)=120\\ \\text{€}\\). Επομένως η εταιρεία, χωρίς να κατασκευάζει μπλουζάκια, έχει (πάγια) έξοδα \\(120\\ \\text{€}\\).\nβ) Η μοναδιαία μεταβολή του \\(x\\), δηλαδή αν τα μπλουζάκια που κατασκευάζονται αυξηθούν κατά \\(1\\ \\text{€}\\) (από \\(x\\) γίνουν \\(x+1\\)), θα προκαλέσει σταθερή μεταβολή \\(12,5\\ \\text{€}\\) στο κόστος κατασκευής και σταθερή μεταβολή στα έσοδα \\(15,5\\ \\text{€}\\). Δηλαδή,\n$$K(x+1)-K(x)=12,5$$\nκαι\n$$E(x+1)-E(x)=15,5$$\nγ) Τα μπλουζάκια που πρέπει να πωληθούν ώστε τα έσοδα να είναι ίσα με τα έξοδα είναι η λύση της εξίσωσης \\(E(x)=K(x)\\). Είναι:\n$$E(x)=K(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 15,5x=12,5x+120 $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=120 $$\n$$\\Leftrightarrow x=40$$\nΕπομένως, για να μην μπαίνει μέσα η επιχείρηση, πρέπει να πουλήσει \\(40\\) μπλουζάκια.\nδ) Αν πουλήσουν \\(60\\) μπλουζάκια τα έσοδα θα είναι\n$$E(60)=15,5\\cdot 60=930\\ \\text{€}$$\nκαι τα έξοδα \\(K(60)=12,5\\cdot 60+120=870\\ \\text{€}\\).\nΕπομένως το κέρδος τους θα είναι \\(930-870=60\\ \\text{€}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση:\n$$f(x)=\\dfrac{x^{3}−16x}{x−4}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\) και να αποδείξετε ότι, για τα \\(x\\) που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, ισχύει ότι \\(f(x)=x^{2}+4x\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(x\\) για τις οποίες ισχύει \\(f(x)=32\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει: \\(x-4\\ne 0\\Leftrightarrow x\\ne 4\\).\nΟ τύπος της συνάρτησης \\(f\\) μετά τις σχετικές παραγοντοποιήσεις και απλοποιήσεις γίνεται:\n$$\\begin{align} f(x) & =\\dfrac{x^{3}-16x}{x-4}\\\\\n&=\\dfrac{x(x^{2}-16)}{x-4}\\\\\n&=\\dfrac{x(x-4)(x+4)}{x-4}\\\\\n&=x(x+4)\\\\\n& =x^{2}+4x \\end{align}$$\nβ) Είναι:\n$$f(x)=32$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+4x=32$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+4x-32=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}+4x-32\\) έχει \\(α=1\\), \\(β= 4\\), \\(γ=-32\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=4^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-32)=16+128=144>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$\\begin{align} x_{1,2} & =\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2a}\\\\\n&=\\dfrac{-4\\pm \\sqrt{144}}{2\\cdot 1}\\\\\n&=\\dfrac{-4\\pm 12}{2}\\\\\n&=\\begin{cases} \\dfrac{-4+12}{2}=4 \\\\ \\dfrac{-4-12}{2}=-8 \\end{cases} \\end{align}$$\nΕπειδή η \\(f\\) ορίζεται στο \\(Α=\\mathbb{R}-\\{4\\}\\), δεκτή είναι μόνο η τιμή \\(x=-8\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(Α=\\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}\\), \\(α>0\\). Να αποδείξετε ότι:\nα) \\(α^{3}+2α^{2}+9α+18=(α^{2}+9)(α+2)\\).\nβ) Για κάθε \\(α>0\\) ισχύει\n\\(Α=\\dfrac{α^{2}+9}{α}\\).\n\\(Α\\ge 6\\). Πότε ισχύει η ισότητα \\(Α=6\\) ;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α^{3}+2α^{2}+9α+18=α^{2}(α+2)+9(α+2)$$\n$$=(α+2)(α^{2}+9)$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ)\nΙσχύει: \\(α^{2}+2α=α(α+2)\\), οπότε με \\(α>0\\) έχουμε:\n$$Α=\\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}$$\n$$=\\dfrac{(α^{2}+9)(α+2)}{α(α+2)}$$\n$$=\\dfrac{α^{2}+9}{α}$$\nΕπειδή \\(α>0\\) για την απόδειξη της \\(Α\\ge 6\\), δηλαδή της \\(\\dfrac{α^{2}+9}{α}\\ge 6\\), αρκεί να αποδείξουμε ότι \\(α^{2}+9\\ge 6α\\), ή αρκεί \\(α^{2}-6α+9\\ge 0\\), που ισχύει αφού προκύπτει από την προφανή ανισότητα \\((α-3)^{2}\\ge 0\\).\nΗ ισότητα \\(Α=6\\) ισχύει μόνο όταν \\((α-3)^{2}=0\\), δηλαδή μόνο όταν \\(α=3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "ΘEMA 4\nα) Να λύσετε την ανίσωση:\n$$|x-1|\\leq 3\\quad (1).$$\nβ) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να ερμηνεύσετε το αποτέλεσμα, με βάση τη γεωμετρική σημασία της παράστασης \\(|x-1|\\).\nγ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς \\(x\\) που ικανοποιούν την ανίσωση \\((1)\\).\nδ) Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς \\(x\\) που ικανοποιούν την ανίσωση\n$$||x|-1|\\leq 3.$$\nΝα αιτιολογήσετε την απάντηση σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}&|x-1|\\leq 3\\\\\n\\iff&-3\\leq x-1\\leq 3\\\\\n\\iff&-2\\leq x\\leq 4.\\end{align}\nβ) Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης \\((1)\\) πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών απεικονίζεται ως εξήσ:\nΣτον άξονα των πραγματικών αριθμών βλέπουμε τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\), οι οποίοι απέχουν από το \\(1\\) απόσταση μικρότερη ή ίση του \\(3\\).\nγ) Οι ακέραιοι που ικανοποιούν την ανίσωση \\((1)\\) είναι οι:\n$$-2, -1, 0, 1, 2, 3\\text{ και }4.$$\nδ) Θέτουμε \\(|x|=ω\\) και η ανίσωση γίνεται \\(|ω-1|\\leq 3\\). Από το\n(γ) ερώτημα γνωρίζουμε ότι την επαληθεύουν οι ακέραιοι \\(-2, -1, 0, 1, 2, 3\\) και \\(4\\). Δεδομένου ότι \\(ω=|x|\\geq 0\\), δεκτοί είναι οι ακέραιοι:\n$$0, 1, 2, 3\\text{ και }4.$$\nΣυνεπώς:\n\\begin{align}&|x|=0\\iff x=0,\\\\\n&|x|=1\\iff x=\\pm 1,\\\\\n&|x|=2\\iff x=\\pm 2,\\\\\n&|x|=3\\iff x=\\pm 3\\text{ και}\\\\\n&|x|=4\\iff x=\\pm 4.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το σημείο \\(M(3,4)\\).\nα) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το \\(M\\) και από το \\(O(0,0)\\).\nβ) Δίνεται το σημείο \\(N(-3,λ)\\) με \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), το οποίο ανήκει στην ευθεία \\(OM\\).\ni. Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nii. Αν \\(N(-3,-4)\\) να εξετάσετε αν τα σημεία \\(M,\\ N\\) είναι συμμετρικά ως προς το \\(O\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η κλίση της ευθείας \\(OM\\) είναι \\(α=\\dfrac{4-0}{3-0}=\\dfrac{4}{3}\\) και η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση \\(y=\\dfrac{4}{3}x\\).\nβ)\ni. Το σημείο \\(N\\) ανήκει στην ευθεία \\(OM\\) οπότε οι συντεταγμένες του \\(N\\) επαληθεύουν την εξίσωση της \\(OM\\), δηλαδή ισχύει ότι:\n$$λ=\\dfrac{4}{3}\\cdot(-3)\\iff λ=-4.$$\nii. Τα σημεία \\(M(3,4)\\) και \\(N(-3,-4)\\) έχουν αντίθετες συντεταγμένες, οπότε είναι συμμετρικά ως προς το \\(O\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται πραγματικός αριθμός \\(x\\), για τον οποίο ισχύει:\n$$|x+2| < 1 $$\nΝα δείξετε ότι:\nα)\n$$ -3 < x < -1 $$ \nβ)\n$$|2x+4| < 2$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$ |x+2| < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1 < x+2 < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow -1-2 < x+2-2 < 1-2 $$\n$$\\Leftrightarrow -3 < x < -1$$\nβ) Έχουμε διαδοχικά:\n$$-3 < x < -1$$\nπολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης με το \\(2\\), οπότε:\n$$-6<2x<-2$$\nπροσθέτουμε στα μέλη της ανίσωσης το \\(4\\) και έχουμε:\n$$-2<2x+4<2$$\nοπότε τελικά:\n$$|2x+4|<2$$\nΕναλλακτικά, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης \\(|x+2|<1\\) με το \\(2\\) και έχουμε:\n$$2\\cdot |x+2|<2\\cdot 1$$\nοπότε:\n$$|2\\cdot (x+2)|<2$$\nκαι τελικά:\n$$|2x+4|<2$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση:\n$$Κ=\\dfrac{x^{2}-4x+4}{2x^{2}-3x-2}$$\nα) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο \\(2x^{2}-3x-2\\).\nβ) Για ποιες τιμές του \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ορίζεται η παράσταση \\(Κ\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.\nγ) Να απλοποιήσετε την παράσταση \\(Κ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(2x^{2}-3x-2\\) έχει \\(α=2\\), \\(β=-3\\), \\(γ=-2\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-3)^{2}-4\\cdot 2\\cdot (-2)$$\n$$=9+16=25>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{β^{2}-4αγ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-3)\\pm \\sqrt{25}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{3\\pm 5}{4}=\\begin{cases}\\dfrac{3+5}{4} & =2 \\\\ \\dfrac{3-5}{4} & = - \\dfrac{1}{2} \\end{cases}$$\nΤότε:\n$$2x^{2}-3x-2=2\\left(x-\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\right)(x-2)$$\n$$=(2x+1)(x-2)$$\nβ) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση \\(Κ\\) πρέπει ο παρονομαστής της να είναι διαφορετικός του μηδενός. Δηλαδή:\n$$2x^{2}-3x-2\\ne 0$$\n$$\\overset{α)}{ \\Leftrightarrow } (2x+1)(x-2)\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (2x+1\\ne 0\\ \\ \\text{και}\\ \\ x-2\\ne 0) $$\n$$\\Leftrightarrow (x\\ne -\\dfrac{1}{2}\\ \\ \\text{και}\\ \\ x\\ne 2)$$\nγ) Για \\(x\\ne -\\dfrac{1}{2}\\) και \\(x\\ne 2\\) ισχύει ότι:\n$$Κ=\\dfrac{x^{2}-4x+4}{2x^{2}-3x-2}$$\n$$=\\dfrac{(x-2)^{2}}{(2x+1)(x-2)}$$\n$$=\\dfrac{x-2}{2x+1}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(G\\), με \\(G(x)=\\dfrac{2x+3}{x-4}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \\(G\\) για \\(x=2,\\ x=0,\\ x=-\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\) για την οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση \\(G\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\) που αντιστοιχίζεται, μέσω της \\(G\\), στο \\(3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align}G(2)&=\\frac{2\\cdot 2+3}{2-4}\\\\\n&=\\frac{4+3}{-2}\\\\\n&=-\\frac{7}{2},\\\\ \\\\\nG(0)&=\\frac{2\\cdot 0+3}{0-4}\\\\\n&=-\\frac{3}{4},\\\\ \\\\\nG\\Big(-\\frac{1}{2}\\Big)&=\\frac{2\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)+3}{-\\frac{1}{2}-4}\\\\\n&=\\frac{-1+3}{-\\frac{9}{2}}\\\\\n&=\\frac{2}{-\\frac{9}{2}}\\\\\n&=-\\frac{4}{9}.\\end{align}\nβ) Η συνάρτηση δεν ορίζεται για \\(x=4\\), διότι η τιμή αυτή του \\(x\\) μηδενίζει τον παρονομαστή του κλάσματος στον τύπο της συνάρτησης.\nγ) Αναζητούμε την τιμή του \\(x\\neq 4\\) για την οποία:\n\\begin{align}&G(x)=3\\\\\n\\iff&\\frac{2x+3}{x-4}=3\\\\\n\\iff&2x+3=3(x-4)\\\\\n\\iff&2x+3=3x-12\\\\\n\\iff&x=15.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος \\(x\\) εκατοστά και πλάτος \\(y\\) εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη \\(x\\) και \\(y\\) ισχύει: \\(4\\le x\\le 7\\) και \\(2\\le y\\le 3\\) τότε:\nα) Να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.\nβ) Αν το \\(x\\) μειωθεί κατά \\(1\\) και το \\(y\\) τριπλασιαστεί, και να είναι μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου,τότε να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η περίμετρος ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου είναι \\(Π = 2x + 2y\\). Τότε:\n$$4 \\le x \\le 7 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 \\cdot 4 \\le 2x \\le 2 \\cdot 7 $$\n$$\\Leftrightarrow 8 \\le 2x \\le 14\\ \\ \\ \\ (1)$$\nκαι:\n$$2 \\le y \\le 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 \\cdot 2 \\le 2y \\le 2 \\cdot 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 4 \\le 2y \\le 6\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) και βρίσκουμε:\n$$8+ 4 \\le 2x + 2y \\le 14 + 6 $$\n$$\\Leftrightarrow 12 \\le Π \\le 20$$\nβ) Αν το \\(x\\) μειωθεί κατά \\(1\\) και το \\(y\\) τριπλασιαστεί η νέα περίμετρος θα είναι:\n$$P = 2(x - 1) + 2 \\cdot 3y $$\n$$= 2x + 6y - 2$$\nΤότε:\n$$2 \\le y \\le 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 6 \\cdot 2 \\le 6y \\le 6 \\cdot 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 12 \\le 6y \\le 18$$\n$$\\Leftrightarrow 12 - 2 \\le 6y - 2 \\le 18 - 2 $$\n$$\\Leftrightarrow 10 \\le 6y - 2 \\le 16\\ \\ \\ \\ (3)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \\((1)\\) και \\((3)\\) και βρίσκουμε:\n$$8 + 10 \\le 2x + 6y - 2 \\le 14 + 16 $$\n$$\\Leftrightarrow 18 \\le P \\le 30$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις \\(Α=\\dfrac{−α}{β}\\), \\(Β=α^{2}\\).\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών \\(α\\), \\(β\\) οι αλγεβρικές παραστάσεις \\(Α\\), \\(Β\\) είναι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί του \\(0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί \\(Α\\), \\(Β\\) είναι αντίθετοι, αν και μόνο, αν οι αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) είναι αντίστροφοι." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο αριθμός \\(Α=\\dfrac{-α}{β}\\) ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι διαφορετικός του \\(0\\). Δηλαδή, αρκεί να ισχύει \\(β\\ne 0\\).\nΟ αριθμός \\(Β=α^{2}\\) ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή του \\(α\\in R\\).\nΓια να μην είναι μηδέν οι \\(Α\\), \\(Β\\), αρκεί και \\(α\\ne 0\\).\nβ) Δύο αριθμοί \\(Α\\), \\(Β\\) λέγονται αντίθετοι, αν και μόνο, αν ισχύει \\(Α+Β=0\\).\nΙσχύουν ισοδύναμα:\n$$A+Β=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{-a}{β}+a^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}β-α=0 $$\n$$\\Leftrightarrow α(αβ-1)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow a=0\\ \\ \\text{ή}\\ \\ αβ-1=0$$\nΌμως από τον ορισμό των δύο αριθμών είναι \\(α\\ne 0\\) , οπότε ισχύει ισοδύναμα ότι \\(αβ=1\\), το οποίο σημαίνει ότι οι αριθμοί \\(α\\), \\(β\\) είναι αντίστροφοι." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε αριθμητική πρόοδο \\((α_{ν})\\) είναι \\(α_{2}=κ^{2}\\) και \\(α_{3}=(κ+1)^{2}\\), όπου \\(κ\\) ακέραιος με \\(κ>1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι περιττός αριθμός.\nβ) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι \\(α_{1}=2\\), τότε:\nΝα βρείτε την τιμή του \\(κ\\) και να αποδείξετε ότι \\(ω=7\\).\nΝα εξετάσετε αν ο αριθμός \\(72\\) είναι όρος της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για τη διαφορά \\(ω\\) της προόδου ισχύει ότι:\n$$ω=α_{3}-α_{2}=(κ+1)^{2}-κ^{2}$$\n$$=κ^{2}+2κ+1-κ^{2}=2κ+1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΆρα, η διαφορά \\(ω\\) είναι περιττός αριθμός.\nβ)\nΈχουμε ότι:\n$$α_{2}=α_{1}+ω $$\n$$\\overset{(1)}{\\Leftrightarrow} κ^{2}=2+2κ+1 $$\n$$\\Leftrightarrow κ^{2}-2κ-3=0$$\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-2)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-3)=16>0$$\nκαι ρίζες τις:\n$$κ_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-2)\\pm \\sqrt{16}}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{2+4}{2}=3 \\\\ \\dfrac{2-4}{2}=-1 \\end{cases}$$\nΗ τιμή \\(κ=-1\\) απορρίπτεται γιατί \\(κ>1\\). Άρα, \\(κ=3\\). Οπότε, από τη σχέση \\((1)\\) έχουμε:\n$$ω=2\\cdot 3+1=7$$\nΓια να είναι ο \\(72\\) όρος της προόδου, πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός \\(ν\\) τέτοιος ώστε:\n$$α_{ν}=72 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=72 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+(ν-1)7=72 $$\n$$\\Leftrightarrow 2+7ν-7=72 $$\n$$\\Leftrightarrow 7ν=77 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=11$$\nΆρα, ο αριθμός \\(72\\) είναι ο 11ος όρος της προόδου." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \\(x\\), ώστε οι αριθμοί \\(x+2,\\ x+1,\\ 3x+2\\), με τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.\nβ) Για \\(x=-1\\), να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\) της παραπάνω αριθμητικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(x+2, x+1, 3x+2\\), με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν\n$$2(x+1)=(3x+2)+(x+2)$$\nοπότε ισοδύναμα έχουμε:\n$$2x+2=4x+4$$\n$$\\Leftrightarrow -2x=2$$\n$$\\Leftrightarrow x=-1$$\nβ) Για \\(x=-1\\), οι διαδοχικοί όροι της προόδου είναι \\(-1+2,  -1+1,  3\\cdot (-1)+2\\), δηλαδή \\(1,\\ 0,\\ -1\\).\nΗ διαφορά της αριθμητικής προόδου είναι: \\(ω=0-1=-1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=4x+2\\) και \\(g(x)=x^{2}-9\\) με πεδίο ορισμού το \\(\\mathbb{R}\\).\nα) βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(g\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία \\((3,0)\\) και \\((-3,0)\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\), \\(g\\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες.\nδ) Να βρείτε συνάρτηση \\(h\\) της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το σημείο \\(A(0,3)\\) και τέμνει τη γραφική παράσταση της \\(g\\) σε ένα σημείο του ημιάξονα \\(Ox\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(g\\) με τον άξονα \\(x'x\\) προσδιορίζονται από τις ρίζες της εξίσωσης \\(g(x)=0\\). Είναι:\n$$g(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-9=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=-3 \\\\ x=3 \\end{cases}$$\nΕπομένως, τα ζητούμενα σημεία είναι τα \\(M(-3,0)\\) και \\(N(3,0)\\).\nβ) Είναι:\n$$f(3)=4\\cdot 3+2=14\\ne 0$$\nκαι\n$$f(-3)=4\\cdot (-3)+2=-10\\ne 0$$\nΕπομένως, η γραφική παράσταση της \\(f\\) δεν τέμνει τους άξονες σε κάποιο από τα σημεία \\(M(-3,0)\\) και \\(N(3,0)\\).\nγ) Έστω ότι υπάρχει κοινό σημείο \\((x_{o},0)\\) του άξονα \\(x'x\\) στο οποίο τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις \\(C_{f}\\) , \\(C_{g}\\) των \\(f\\), \\(g\\). Τότε ισχύει:\n$$\\begin{cases} f(x_{o})=0 \\\\ g(x_{o})=0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 4x_{o}+2=0 \\\\ x_{o}^{2}=9 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x_{o}=-\\dfrac{1}{2} \\\\ x_{o}=\\pm 3 \\end{cases}$$\nπου είναι άτοπο. Άρα οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \\(x'x\\).\nΈστω ότι οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \\(y'y\\). Τότε έχουμε:\n$$f(0)=g(0) $$\n$$\\Leftrightarrow 2=-9$$\nπου είναι άτοπο. Άρα οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων \\(f\\), \\(g\\) δεν έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα \\(y'y\\).\nδ) Η γραφική παράσταση της \\(h\\) είναι ευθεία, οπότε ο τύπος της είναι της μορφής \\(h(x)=αx+β\\), \\(α\\), \\(β\\in \\mathbb{R}\\). Η ευθεία διέρχεται από το σημείο \\(Α(0,3)\\), οπότε έχουμε:\n$$h(0)=3 $$\n$$\\Leftrightarrow α\\cdot 0+β=3 $$\n$$\\Leftrightarrow β=3$$\nΕπομένως έχουμε \\(h(x)=αx+3\\), \\(α\\in \\mathbb{R}\\). Επιπλέον, η γραφική παράσταση της \\(h\\) τέμνει την γραφική παράσταση της \\(g\\) σε σημείο του ημιάξονα \\(Οx\\) οπότε ισχύει:\n$$h(3)=g(3) $$\n$$\\Leftrightarrow 3α+3=0 $$\n$$\\Leftrightarrow α=-1$$\nΤελικά η συνάρτηση h έχει τύπο \\(h(x)=-x+3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί α,β, τέτοιοι ώστε:\n\\(α+ β=12\\) και \\(α^{2}+β^{2}=272\\)\nα) Με τη βοήθεια της ταυτότητας \\((α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}\\), να δείξετε ότι:\n\\(α\\cdot β=-64\\)\nβ) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \\(α,\\ β\\).\nγ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς \\(α,\\ β.\\)\n(Μονάδες07)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Αντικαθιστώντας στην ταυτότητα \\((α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}\\) τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε:\n$$12^2 = 272 + 2αβ$$\n$$\\Leftrightarrow 144 = 272 + 2αβ$$\n$$\\Leftrightarrow 2αβ = – 128$$\n$$\\Leftrightarrow αβ = – 64$$\nβ) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: \\(x^2 – Sx + P = 0\\) με\n\\(S = α + β = 12\\) και \\(Ρ = αβ= – 64\\)\nΤελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^2 – 12x – 64 = 0$$\nγ) Για \\(α = 1,\\ β = – 12\\) και \\(γ = – 64\\), βρίσκουμε:\n\\(Δ = β^2 – 4αγ = (– 12)^2 – 4 \\cdot 1 \\cdot (– 64) = 144 + 256 = 400 > 0.\\)\nΟι ρίζες της εξίσωσης είναι:\n\\begin{align} x_{1,2} &= \\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α} \\\\\n& =\\dfrac{-(-12)\\pm \\sqrt{400}}{21} \\\\\n& =\\dfrac{12\\pm 20}{2} \\\\\n& =\\begin{cases} \\dfrac{12+20}{2}=16 \\\\ \\dfrac{12-20}{2}=-4 \\end{cases}\\end{align}\nΆρα είναι:\n\\((α = 16 \\text{ και } β = -4) \\text{ ή } (α = -4 \\text{ και } β = 16)\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Αν \\(α<0\\), να δείξετε ότι: \\(α+\\dfrac{1}{α}\\le -2\\).\nβ) Αν \\(α<0\\), να δείξετε ότι: \\(|α|+\\left|\\dfrac{1}{α}\\right|\\ge 2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$α+\\dfrac{1}{α}\\le -2$$\n$$\\overset{α<0}{ \\Leftrightarrow } α^{2}+α\\cdot \\dfrac{1}{α}\\ge -2α$$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}+1+2α\\ge 0$$\n$$\\Leftrightarrow (α+1)^{2}\\ge 0\\text{ , που ισχύει.}$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|α|+\\left|\\dfrac{1}{α}\\right|\\ge 2$$\n$$\\overset{α<0}{ \\Leftrightarrow } -α-\\dfrac{1}{α}\\ge 2$$\n$$\\Leftrightarrow α+\\dfrac{1}{α}\\le -2$$\nπου από το α) ερώτημα ισχύει για κάθε \\(α<0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(x,y\\) πραγματικοί αριθμοί. Ορίζουμε:\n$$Α=2(x+y)^2−(x−y)^2−6xy−y^2$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(Α = x^2\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι o αριθμός \\(B=2\\cdot 2022^2−2020^2−6\\cdot 2021−1\\) είναι ίσος με το τετράγωνο φυσικού αριθμού τον οποίο να προσδιορίσετε." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$A=2(x+y)^2−(x−y)^2−6xy−y^2$$\n$$A=2(x^2+2xy+y^2)−(x^2−2xy+y^2)−6xy−y^2$$\n$$A=2x^2+4xy+2y^2−x^2+2xy-y^2−6xy−y^2$$\n$$A= 𝑥^2$$\nβ) Παρατηρούμε ότι αν θέσουμε στην α) όπου \\(x = 2021\\) και \\(y=1\\) προκύπτει ότι το αριστερό μέλος είναι της μορφής: \\(2(x^2+2xy+y^2)−(x^2−2xy+y^2)−6xy−y^2\\) άρα θα είναι ίσο με το \\(Α\\), επομένως και ίσο με το \\(𝑥^2=2021^2\\) επομένως ο ζητούμενος φυσικός είναι ο \\(2021\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$g(x)=\\frac{x}{x^2+2}+\\sqrt{x-1}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(g\\).\nβ) Να βρείτε (εφόσον ορίζονται) τις τιμές της συνάρτησης \\(g\\) για \\(x=1,\\ x=-2,\\ x=2\\).\nγ) Τέμνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) τον \\(y'y\\) άξονα;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται όταν \\(x-1\\ge0\\), δηλαδή όταν \\(x\\ge1\\), γιατί \\(x^2+2\\neq 0\\) για κάθε \\(x\\in \\Bbb{R}\\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(A_g=[1,+\\infty)\\).\nβ) Για \\(x=1\\) η τιμή της συνάρτησης είναι: \\(g(1)=\\dfrac{1}{1+2}+\\sqrt{1-1}=\\dfrac{1}{3}.\\)\nΔεν ορίζεται η τιμή της συνάρτησης για \\(x=-2\\), διότι \\(-2 \\notin A_g\\).\nΓια \\(x=2\\) η τιμή της συνάρτησης είναι:\n\\(g(2)=\\dfrac{2}{2^2+2}+\\sqrt{2-1}=\\)\n\\(=\\dfrac{2}{6}+\\sqrt{1}=\\dfrac{1}{3}+1=\\dfrac{4}{3}\\)\nγ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g\\) δεν τέμνει τον \\(y'y\\) άξονα, διότι το \\(0\\) δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις \\(A=α^2+4α+5\\) και \\(B=(2β+1)^2-1\\), με \\(α,β\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι για κάθε \\(α,β\\in\\mathbb{R}\\) ισχύει \\(A=(α+2)^2+1\\).\nβ) i. Να δείξετε ότι \\(A+B\\geq 0\\).\nii. Για ποιες τιμές των \\(α, β\\in\\mathbb{R}\\) ισχύει \\(A+B=0\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ξεκινώντας από το δεύτερο μέλος της ισότητας έχουμε:\n\\begin{align}(α+2)^2+1&=α^2+4α+4+1\\\\\n&=α^2+4α+5\\\\\n&=A.\\end{align}\nβ) i. Ισοδύναμα έχουμε ότι:\n\\begin{align}&A+B\\geq 0\\\\\n\\iff&(α+2)^2+1+(2β+1)^2-1\\geq 0\\\\\n\\iff&(α+2)^2+(2β+1)^2\\geq 0,\\end{align}\nπου ισχύει ως άθροισμα τετραγώνων.ii. Από το ερώτημα (β.i) βλέπουμε ότι η ισότητα ισχύει για\n$$(α+2)^2+(2β+1)^2=0$$\nη οποία ισχύει για:\n\\begin{align}&\\{(α+2)^2=0\\text{ και }(2β+1)^2=0\\} \\\\\n\\iff& \\{α=-2\\text{ και }β=-\\frac{1}{2}\\}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=x^{2}+3x+2\\) και \\(g(x)=x+1\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\)\nα) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\), \\(g\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε.\nβ) Δίνεται η συνάρτηση \\(h(x)=x+a\\). Να δείξετε ότι:\nΑν \\(a>1\\), τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\), \\(h\\) έχουν δύο κοινά σημεία.\nΑν \\(a<1\\), τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \\(f\\), \\(h\\) δεν έχουν κοινά σημεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι τετμημένες των σημείων τομής των \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) αποτελούν λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=g(x)\\). Τότε:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=x+1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x+1)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x+1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=-1$$\nΆρα οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν μόνο ένα κοινό σημείο, το \\(A(-1,g(-1))\\) δηλαδή το \\(A(-1,0)\\). (η ευθεία εφάπτεται της παραβολής).\nβ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \\(C_{f}\\), \\(C_{h}\\) είναι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=h(x)\\). Δηλαδή:\n$$f(x)=h(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=x+a$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x+(2-a)=0,\\ \\ a\\in \\mathbb{R}\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=2^{2}-4\\cdot 1\\cdot (2-a)$$\n$$=4-8+4a$$\n$$=4a-4$$\n$$=4(a-1)$$\nΑν \\(a>1\\) τότε \\(Δ>0\\) και η εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο ρίζες άνισες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\), \\(h\\) έχουν δύο κοινά σημεία.\nΑν \\(a<1\\) τότε \\(Δ<0\\) και η εξίσωση \\((1)\\) δεν έχει πραγματικές ρίζες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\), \\(h\\) δεν έχουν κοινά σημεία." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\sqrt{x-4}+\\sqrt{6-x}\\).\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Α\\); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \\(x\\) σε μορφή διαστήματος.\nβ) Για \\(x=5\\), να αποδείξετε ότι: \\(A^{2}+A-6=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$\\begin{cases} x-4\\ge 0 \\\\ \\text{και } 6-x\\ge 0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ge 4 \\\\ \\text{και } -x\\ge -6 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\ge 4 \\\\ \\text{και } x\\le 6 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow 4\\le x\\le 6$$\n$$\\Leftrightarrow x\\in [4,6]$$\nβ) Για \\(x=5\\) είναι:\n$$A=\\sqrt{5-4}+\\sqrt{6-5}=\\sqrt{1}+\\sqrt{1}=1+1=2$$\nΕπομένως\n$$A^{2}+A-6=2^{2}+2-6=4+2-6=0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να δείξετε ότι \\((2+\\sqrt{5})^{2}=9+4\\sqrt{5}\\) και \\((1-\\sqrt{5})^{2}=6-2\\sqrt{5}\\).\nβ) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) ή με όποιον άλλο τρόπο θέλετε, να δείξετε ότι \\(\\sqrt{9+4\\sqrt{5}}+\\sqrt{6-2\\sqrt{5}}=1+2\\sqrt{5}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ότι:\n$$(2+\\sqrt{5})^{2}=2^{2}+2\\cdot 2\\cdot \\sqrt{5}+(\\sqrt{5})^{2}$$\n$$=4+4\\sqrt{5}+5=9+4\\sqrt{5}$$\nκαι:\n$$(1-\\sqrt{5})^{2}=1^{2}-2\\sqrt{5}+(\\sqrt{5})^{2}$$\n$$=1-2\\sqrt{5}+5=6-2\\sqrt{5}$$\nβ) Από το ερώτημα α) προκύπτει ότι:\n$$\\sqrt{9+4\\sqrt{5}}+\\sqrt{6-2\\sqrt{5}}=\\sqrt{(2+\\sqrt{5})^{2}}+\\sqrt{(1-\\sqrt{5})^{2}}$$\n$$=|2+\\sqrt{5}|+|1-\\sqrt{5}|$$\nΑλλά:\n$$1<5 $$\n$$\\Rightarrow 1<\\sqrt{5} $$\n$$\\Rightarrow 1-\\sqrt{5}<0$$\nΟπότε:\n$$|1-\\sqrt{5}|=\\sqrt{5}-1$$\nΆρα:\n$$|2+\\sqrt{5}|+|1-\\sqrt{5}|=2+\\sqrt{5}+\\sqrt{5}-1$$\n$$=1+2\\sqrt{5}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με τύπο \\(f(x)=\\dfrac{1}{x^{2}-1}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.\nβ) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού αριθμού \\(α\\), ώστε το σημείο \\(Μ\\left(α,\\dfrac{1}{8}\\right)\\) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(f\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$x^{2}-1\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)(x+1)\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1\\ne 0\\ \\ \\text{και}\\ \\ x+1\\ne 0) $$\n$$\\Leftrightarrow (x\\ne 1\\ \\ \\text{και}\\ \\ x\\ne -1)$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α=\\mathbb{R}-\\{-1,1\\}\\).\nβ) Το σημείο \\(Μ\\left(α,\\dfrac{1}{8}\\right)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(f\\) αν και μόνο αν:\n$$f(α)=\\dfrac{1}{8} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{α^{2}-1}=\\dfrac{1}{8} $$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}-1=8 $$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}-9=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α-3)(α+3)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α-3=0\\ \\ \\text{ή}\\ \\ α+3=0) $$\n$$\\Leftrightarrow (α=3\\ \\ \\text{ή}\\ \\ α=-3)$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει \\(20\\) κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του \\(Α\\). Η πρώτη κυψέλη απέχει \\(1\\) μέτρο από την αποθήκη \\(Α\\), η δεύτερη \\(4\\) μέτρα από το \\(Α\\), η τρίτη \\(7\\) μέτρα από το \\(Α\\) και γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη \\(Α\\), \\(3\\) επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη.\nα) Να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη \\(Α\\) αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της;\nβ) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη \\(Α\\) είναι η \\(20η\\) κυψέλη;\nγ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη συλλέγει το μέλι, από μια κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει στην αποθήκη \\(Α\\).\nΠοια είναι η απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι από την \\(3η\\) κυψέλη;\nΠοια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι και από τις \\(20\\) κυψέλες;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αποστάσεις \\((α_{i}),i=1,2,3,...,20\\) των κυψελών \\(K_{1},K_{2},K_{3},K_{4},...,K_{20}\\) από την αποθήκη \\(Α\\) διαφέρουν πάντα κατά τον σταθερό αριθμό \\(3\\). Αποτελούν επομένως διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \\(α_{1}=1\\) (η απόσταση της κυψέλης \\(Κ_{1}\\) από την αποθήκη \\(Α\\)) και διαφορά \\(ω=3\\) (η απόσταση δύο διπλανών κυψελών). Ο ν-οστός όρος της προόδου είναι:\n$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$$\n$$=1+(ν-1)3$$\n$$=3ν-2$$\nβ) Αναζητούμε τον όρο \\(α_{20}\\). Είναι:\n$$α_{20}=3\\cdot 20-2=58\\ m$$\nγ)\nΟι διαδρομές που θα κάνει ο μελισσοκόμος είναι:\n$$Α\\rightarrow Κ_{1}\\rightarrow Α$$\n$$ Α\\rightarrow Κ_{2}\\rightarrow Α$$\n$$Α\\rightarrow Κ_{3}\\rightarrow Α$$\nΆρα θα διανύσει απόσταση:\n$$(1+1)+(4+4)+(7+7)=24\\ \\text{μέτρα}$$\nΕφόσον πρέπει να πάει και να γυρίσει σε κάθε κυψέλη, η συνολική απόσταση για να συλλέξει το μέλι από όλες τις κυψέλες είναι:\n$$(1+1)+(4+4)+(7+7)+...+(58+58)=$$\n$$(1+4+7+...+58)+(1+4+7+...+58)=2S_{20}$$\nΤελικά η ζητούμενη συνολική απόσταση είναι:\n$$2S_{20}=2\\cdot \\dfrac{20}{2}(α_{1}+α_{20})$$\n$$=20(1+58)$$\n$$=20\\cdot 59$$\n$$=1.180\\ \\text{μέτρα}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^2-2|κ| x-2\\) και η ευθεία \\(ε: y=2x-κ^2,\\ κ \\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \\(κ \\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Να δείξετε ότι η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τη γραφική παράσταση της \\(f\\) σε δύο σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου \\(κ\\).\nγ) Για \\(κ = -3\\) να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με την γραφική παράσταση της \\(f\\).\nδ) Αν \\(Α\\) και \\(Β\\) τα σημεία τομής του ερωτήματος (γ), να βρείτε την απόσταση \\((ΑΒ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο έχει \\(Δ=4κ^2+8 > 0\\), άρα η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \\(κ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Τα σημεία τομής έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης\n\\begin{align}&f(x)=y\\\\\n\\iff&x^2-2|κ|x-2=2x-κ^2\\\\\n\\iff&x^2-2(|κ|+1)x+κ^2-2=0.\\end{align}\nΒρίσκουμε\n\\begin{align}Δ&=4(|κ|+1)^2-4(κ^2-2)\\\\\n&=4(2|κ|+3)>0\\end{align}\nγια κάθε \\(κ \\in\\mathbb{R}\\). Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και επομένως η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τη γραφική παράσταση της \\(f\\) σε δύο σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου \\(κ\\).\nγ) Για \\(κ = -3\\),\n$$f(x)=x^2-6x-2$$\nκαι\n$$y=2x-9.$$\nΛύνουμε την εξίσωση\n$$f(x)=y\\iff x^2-8𝑥+7=0$$\nΈχουμε\n$$Δ=(-8)^2-4\\cdot 7=64-28=36$$\nκαι\n$$x_{1,2}=\\frac{8\\pm 6}{2}.$$\nΆρα \\(x_1 = 1\\) και \\(x_2=7\\).\nΤα σημεία τομής είναι \\(Α(1,-7)\\) και \\(Β(7, 5)\\).\nδ) Είναι\n\\begin{align}(ΑΒ)&= \\sqrt{(1-7)^2+(-7-5)^2}\\\\\n&=\\sqrt{36+144}\\\\\n&=\\sqrt{180}\\\\\n&=6\\sqrt{5}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε ότι \\(2<\\sqrt{5}\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\((2 -\\sqrt{5})^{2}=9 - 4\\sqrt{5}\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι \\(\\sqrt{9 - 4\\sqrt{5}}=\\sqrt{5}\\) \\(– 2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Καθώς είναι \\(2=\\sqrt{4}\\), αρκεί να αποδείξουμε ότι \\(\\sqrt{4}<\\sqrt{5}\\), το οποίο όμως είναι αληθές αφού \\(4<5\\).\nβ) Εφαρμόζοντας την ταυτότητα του τετραγώνου διαφοράς, παίρνουμε\n\\begin{align} (2 -\\sqrt{5})^{2} & =2^{2}- 2\\cdot \\sqrt{5}\\cdot 2+(\\sqrt{5})^{2}\\\\\n& =5 - 4\\sqrt{5}+4\\\\\n&=9 - 4\\sqrt{5}\\end{align}\nγ) Με χρήση των ερωτημάτων α) και β) έχουμε:\n\\begin{align} \\sqrt{9 - 4\\sqrt{5}} &=\\sqrt{(2 -\\sqrt{5})^{2}}\\\\\n& =|2 -\\sqrt{5}| \\\\\n& =\\sqrt{5} – 2 \\end{align}\nαφού \\(2<\\sqrt{5} \\Leftrightarrow 2 -\\sqrt{5}<0.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω πραγματικοί αριθμοί \\(κ, λ\\) (\\(κ\\neq0, λ\\neq0\\) και \\(λ\\neq1\\)). Θεωρούμε τους αριθμούς \\(\\frac{κ}{λ},κ,κ\\cdot λ\\).\nα) Να αποδείξετε ότι οι τρεις αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.\nβ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τριών είναι πάντα διάφορο του μηδενός.\nγ) Αν οι αριθμοί \\(\\frac{κ}{λ},κ\\cdot λ\\), (\\(κ>0\\), \\(λ\\neq0\\) και \\(λ\\neq1\\)) είναι ρίζες της εξίσωσης \\(x^2+10x+16=0\\) να βρείτε τους αριθμούς \\(\\frac{κ}{λ}, κ, κ\\cdot λ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να είναι οι αριθμοί \\(\\frac{κ}{λ}, κ, κ\\cdot λ\\) διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πρέπει το γινόμενο πρώτου επί τον τρίτο να ισούται με το τετράγωνο του δευτέρου. Πράγματι\n$$\\frac{κ}{λ}\\cdot(κ\\cdot λ)=\\frac{κ\\cdot κ\\cdot λ}{λ}=κ^2.$$\nΆρα ισχύει.\nβ) Οι αριθμοί \\(\\frac{κ}{λ}, κ, κ\\cdot λ\\) έχουν άθροισμα:\n\\begin{align}&\\frac{κ}{λ}+κ+κ\\cdot λ\\\\\n=&\\frac{κ+κλ+κλ^2}{λ}\\\\\n=&\\frac{κ\\cdot(1+λ+λ^2)}{λ}\\\\\n=&\\frac{κ}{λ}\\cdot(1+λ+λ^2)\\end{align}\nΠροφανώς \\(\\frac{κ}{λ}\\neq0\\).\nΟπότε για να έχουν άθροισμα διάφορο του μηδενός αρκεί \\(λ^2+λ+1\\neq0\\).\nΠράγματι το τριώνυμο \\(λ^2+λ+1\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=1^2-4\\cdot 1\\cdot 1=1-4=-3< 0.$$\nΆρα \\(λ^2+λ+1\\neq 0\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(λ\\).\nγ) Για την εξίσωση δευτέρου βαθμού \\(x^2+10x+16=0\\) το γινόμενο των ριζών ισούται με\n$$P=\\frac{γ}{α}=\\frac{16}{1}=16.$$\nΌμως από το (α) έχουμε \\(\\frac{κ}{λ}\\cdot(κ\\cdot λ)=κ^2\\).\nΟπότε\n$$κ^2=16 \\iff |κ|=4 \\iff κ=4$$\nαφού \\(κ>0\\).\nΓια την εξίσωση δευτέρου βαθμού \\(x^2+10x+16=0\\) το άθροισμα των ριζών ισούται με\n$$S=-\\frac{β}{α}=-\\frac{10}{1}=-10.$$\nΟπότε έχουμε:\n\\begin{align}&\\frac{4}{λ}+4λ=-10\\\\\n\\iff&4+4λ^2=-10λ\\\\\n\\iff&4+4λ^2+10λ=0\\\\\n\\iff&2λ^2+5λ+2=0.\\end{align}\nΗ διακρίνουσα \\(Δ\\) είναι\n$$Δ=5^2-4\\cdot 2\\cdot 2=25-16=9>0,$$\nοπότε έχουμε δύο ρίζες\n\\begin{align}&λ_{1,2}=\\frac{-β\\pm\\sqrt{Δ}}{2\\cdot α}\\\\\n\\iff&λ_{1,2}=\\frac{-5\\pm\\sqrt{9}}{2\\cdot2}\\\\\n\\iff&λ_{1,2}=\\frac{-5\\pm3}{4}\\\\\n\\iff&λ_{1,2}=\\begin{cases}\\frac{-5-3}{4}\\\\\\frac{-5+3}{4}\\end{cases}\\\\\n\\iff&λ_{1,2}=\\begin{cases}-2\\\\-\\frac{1}{2}\\end{cases}\\text{ δεκτές}.\\end{align}\nΕπομένως για \\(λ=-2\\) οι αριθμοί είναι \\(-2,4,-8\\), ενώ για \\(λ=-\\frac{1}{2}\\) οι αριθμοί είναι \\(-8,4,-2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1=0\\), με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}-\\{0\\}\\).\nα) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα \\(Δ\\) της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του \\(λ\\), δηλαδή σταθερή.\nβ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης ως συνάρτηση του \\(λ\\).\nγ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(λ\\) η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με \\(2\\) μονάδες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1\\) έχει \\(α=λ\\), \\(β=2λ-1\\), \\(γ=λ-1\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=(2λ-1)^{2}-4λ(λ-1)=$$\n$$=4λ^{2}-4λ+1-4λ^{2}+4λ=1$$\nΆρα, η διακρίνουσα \\(Δ\\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \\(λ\\).\nβ) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(2λ-1)\\pm \\sqrt{1}}{2λ}$$\n$$=\\dfrac{1-2λ\\pm 1}{2λ}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{2-2λ}{2λ}=\\dfrac{1-λ}{λ} \\\\ \\\\ \\dfrac{-2λ}{2λ}=-1 \\end{cases}$$\nγ) Η απόσταση των ριζών \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι:\n$$|x_{2}-x_{1}|=\\left|-1-\\dfrac{1-λ}{λ}\\right|$$\nΟπότε πρέπει:\n$$\\left|-1-\\dfrac{1-λ}{λ}\\right|=2$$\n$$ \\Rightarrow \\left|\\dfrac{-λ-1+λ}{λ}\\right|=2$$\n$$\\Rightarrow \\left|\\dfrac{1}{λ}\\right|=2$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases} \\dfrac{1}{λ}=2 \\\\ \\\\ \\dfrac{1}{λ}=-2 \\end{cases}$$\n$$\\Rightarrow \\begin{cases}λ=\\dfrac{1}{2} \\\\ \\\\ λ=-\\dfrac{1}{2} \\end{cases}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=αx-α+2\\) και \\(g(x)=x^{2}-α+3\\) με \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\((1,2)\\) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού \\(α\\).\nβ) Αν οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\) και \\(g\\) τέμνονται σε σημείο με τετμημένη \\(1\\), τότε:\nΝα αποδείξετε ότι \\(α=2\\).\nΓια \\(α=2\\) υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των \\(f\\) και \\(g\\) ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.\nγ) Να αποδείξετε ότι το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \\(f\\) και \\(g\\) είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \\(x^{2}-αx+1=0\\) και στη συνέχεια ότι για \\(α=3\\), \\(α=-2\\), \\(α=1\\) έχουν αντίστοιχα δύο, ένα, κανένα σημεία τομής." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(1, 2)\\) αν και μόνο αν \\(f(1)=2\\).\nΕίναι \\(f(1)=α\\cdot 1-α+2=2\\) για κάθε \\(α\\in \\mathbb{R}\\), οπότε πράγματι η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\((1,2)\\) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού \\(α\\).\nβ) Αφού οι γραφικές παραστάσεις των \\(f\\) και \\(g\\) τέμνονται σε σημείο με τετμημένη \\(1\\), ισχύει ότι: \\(f(1)=g(1)\\).\nΕίναι\n$$f(1)=g(1) $$\n$$\\Leftrightarrow α-α+2=1^{2}-α+3 $$\n$$\\Leftrightarrow α=2$$\nΓια \\(α=2\\) έχουμε \\(f(x)=2x-2+2=2x\\) και \\(g(x)=x^{2}-2+3=x^{2}+1\\)\nΗ συνάρτηση \\(f\\) έχει πεδίο ορισμού το \\(Α=R\\) και η \\(g\\) το \\(Β= \\mathbb{R}\\). Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \\(C_{f}\\) και \\(C_{g}\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=g(x)\\). Είναι:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 2x=x^{2}+1 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nΕπομένως δεν υπάρχει άλλο κοινό σημείο εκτός από αυτό με τετμημένη \\(1\\).\nγ) Το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των \\(f\\) και \\(g\\) είναι ίδιο με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow αx-α+2=x^{2}-α+3 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-αx+1=0$$\nΗ παραπάνω εξίσωση είναι 2ου βαθμού και το πλήθος των ριζών της εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσάς της:\n$$Δ=(-α)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 1=α^{2}-4$$\nΓια \\(α=3\\) είναι \\(Δ=3^{2}-4=9-4=5>0\\) οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν δύο κοινά σημεία.\nΓια \\(α=-2\\) είναι \\(Δ=(-2)^{2}-4=4-4=0\\) οπότε η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα και επομένως οι γραφικές παραστάσεις έχουν ένα κοινό σημείο.\nΓια \\(α=1\\) είναι \\(Δ=1^{2}-4=1-4=-3<0\\) οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες και επομένως οι γραφικές παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Υποθέτουμε ότι κάθε κεφάλαιο που κατατίθεται σε έναν λογαριασμό μιας τράπεζας, αυξάνεται στο τέλος κάθε έτους κατά \\(ε\\)% (το επίσημο επιτόκιο αύξησης που δίνει δηλαδή η τράπεζα είναι \\(ε\\)%).\nα) Αποδείξτε ότι αν καταθέσουμε στη συγκεκριμένη τράπεζα κεφάλαιο \\(x\\) € με επιτόκιο \\(ε\\)%, ύστερα από δύο έτη θα εισπράξουμε κεφάλαιο \\(x\\cdot \\Big( 1+\\dfrac{ε}{100}\\Big)^2\\) €.\nβ) Ένα κεφάλαιο \\(15.000\\) € το χωρίζουμε σε δύο ποσά. Το ένα από τα δύο, κατατέθηκε σε μια τράπεζα \\(Α\\) με επιτόκιο \\(2\\)% και το άλλο, κατατέθηκε σε μια άλλη τράπεζα \\(Β\\) με επιτόκιο \\(3\\)%. Ύστερα από \\(2\\) χρόνια, εισπράχθηκε, με βάση το (α) ερώτημα, και από τις δύο τράπεζες συνολικό κεφάλαιο \\(15.811\\) €. Ονομάζουμε \\(y\\) το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \\(Β\\).\ni) Να αποδείξετε ότι το ποσό \\(y\\) είναι λύση της εξίσωσης\n$$(1,03^2-1,02^2)\\cdot y=15.811-15.000\\cdot1,02^2.$$\nii) Να βρείτε το κεφάλαιο που κατατέθηκε σε κάθε τράπεζα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν καταθέσουμε στην τράπεζα κεφάλαιο \\(x\\) € με επιτόκιο \\(ε\\)%, τότε στο τέλος του \\(1^\\text{ου}\\) έτους, το κεφάλαιο στην τράπεζα θα είναι\n$$x+\\frac{ε}{100}\\cdot x=x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big).$$\nΣτο τέλος του \\(2^\\text{ου}\\) έτους, το κεφάλαιο στην τράπεζα θα είναι\n\\begin{align}&\\phantom{=}x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big)+\\frac{ε}{100}\\cdot x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100} \\Big)\\\\\n&=x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big)\\cdot\\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big)\\\\\n&=x\\cdot \\Big(1+\\frac{ε}{100}\\Big)^2.\\end{align}\nβ) i. Αφού ονομάζουμε \\(y\\) το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \\(Β\\), έχουμε ότι \\(15.000-y\\) θα είναι το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \\(Α\\). Σύμφωνα με το (α) ερώτημα το ποσό που θα υπάρχει στην τράπεζα \\(Β\\) μετά από δύο έτη θα είναι\n$$y\\cdot \\Big(1+\\frac{3}{100}\\Big)^2=y\\cdot 1,03^2,$$\nενώ το αντίστοιχο ποσό στην τράπεζα \\(Α\\) θα είναι\n$$(15.000-y)\\Big(1+\\frac{2}{100}\\Big)^2=(15.000-y)\\cdot1,02^2.$$\nΟπότε, θα πρέπει να ισχύει\n\\begin{align}&y\\cdot 1,03^2+(15.000-y)\\cdot 1,02^2=15.811\\\\\n\\iff& y\\cdot1,03^2-y\\cdot1,02^2+15.000\\cdot1,02^2=15.811\\\\\n\\iff& y\\cdot(1,03^2-1,02^2)=15.811-15.000\\cdot 1,02^2.\\end{align}\nii. Η προηγούμενη εξίσωση γράφεται\n\\begin{align}&y\\cdot(1,03-1,02)\\cdot(1,03+1,02)=15811-15.000\\cdot1,0404\\\\\n\\iff& y\\cdot 0,01\\cdot 2,05=15.811-15.606\\\\\n\\iff& y=\\frac{205}{0,01\\cdot2,05}=\\frac{2.050.000}{205}=10.000.\\end{align}\nΆρα το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \\(Β\\) ήταν \\(10.000\\) €, ενώ στην τράπεζα \\(Α\\) είναι \\(5.000\\) €." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(Κ=2α^{2}+β^{2}+9\\) και \\(Λ=2α(3-β)\\), όπου \\(α\\), \\(β\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να δείξετε ότι: \\(Κ-Λ=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\\).\nβ) Να δείξετε ότι: \\(Κ\\ge Λ\\), για κάθε τιμή των \\(α\\), \\(β\\).\nγ) Για ποιες τιμές των \\(α\\), \\(β\\) ισχύει η ισότητα \\(Κ=Λ\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$Κ-Λ=2α^{2}+β^{2}+9-2α(3-β)$$\n$$= 2α^{2}+β^{2}+9-(6α-2αβ)$$\n$$=α^{2}+α^{2}+β^{2}+9-6α+2αβ$$\n$$=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)$$\nβ) Ισοδύναμα και διαδοχικά ισχύει ότι:\n$$Κ\\ge Λ $$\n$$\\Leftrightarrow Κ-Λ\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}\\ge 0$$\nτο οποίο ισχύει για κάθε τιμή των \\(α\\), \\(β\\).\nγ) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:\n$$Κ=Λ $$\n$$\\Leftrightarrow Κ-Λ=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} (α+β)^{2}=0 \\\\ (α-3)^{2}=0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α+β=0 \\\\ α-3=0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α=-β \\\\ α=3 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α=3 \\\\ β=-3 \\end{cases}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Ένα παιχνίδι στον υπολογιστή έχει επίπεδα δυσκολίας. Ένας παίκτης έχει καθορισμένο χρόνο για να ολοκληρώσει κάθε επίπεδο. Στο επίπεδο \\(1\\) (το πιο εύκολο επίπεδο) ο παίκτης έχει χρονικό όριο \\(300\\) δευτερολέπτων για να το ολοκληρώσει. Στο επίπεδο \\(4\\) το χρονικό όριο είναι \\(255\\) δευτερόλεπτα. Οι μέγιστοι επιτρεπόμενοι χρόνοι σε κάθε επίπεδο αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου.\nα) Να υπολογίσετε τη διαφορά \\(ω\\) της αριθμητικής προόδου. Τι δηλώνει η διαφορά \\(ω\\) στο πλαίσιο του προβλήματος;\n + 4)\nβ) Το τελευταίο επίπεδο έχει χρονικό όριο \\(45\\) δευτερολέπτων. Να βρείτε τον αριθμό των επιπέδων στο παιχνίδι.\nγ) Να βρείτε τον μέγιστο επιτρεπόμενο χρόνο που θα χρειαστεί ένας παίκτης για να ολοκληρώσει το παιχνίδι.\nδ) Ένας παίκτης ολοκληρώνει το επίπεδο \\(1\\) σε \\(147\\) δευτερόλεπτα, το επίπεδο \\(2\\) σε \\(150\\) δευτερόλεπτα, το επίπεδο \\(3\\) σε \\(153\\) και κάθε φορά που ανεβαίνει επίπεδο χρειάζεται \\(3\\) επιπλέον δευτερόλεπτα. Μέχρι ποιο επίπεδο θα προλάβει να παίξει; Θα ολοκληρώσει το παιχνίδι;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το χρονικό όριο του επιπέδου \\(1\\) είναι \\(α_1=300\\) δευτερόλεπτα και του επιπέδου \\(4\\) είναι \\(α_4=255\\) δευτερόλεπτα. Σε μια αριθμητική πρόοδο ο γενικός όρος δίνεται από τη σχέση:\n\\begin{align}&α_ν=α_1+(ν-1)ω\\\\\n\\Rightarrow&α_4=α_1+3ω\\\\\n\\Rightarrow&255=300+3ω\\\\\n\\Rightarrow&ω=-15.\\end{align}\nΑυτό σημαίνει ότι όσο αυξάνει το επίπεδο δυσκολίας (από \\(1\\) σε \\(2\\), από \\(2\\) σε \\(3\\), από \\(3\\) σε \\(4\\), κ.ο.κ) το χρονικό όριο που έχει ο παίκτης για να το ολοκληρώσει ελαττώνεται (σταθερά) κατά \\(15\\) δευτερόλεπτα κάθε φορά.\nβ) Αν τα επίπεδα είναι στο σύνολό τους \\(ν\\), τότε \\(α_ν=45\\) (το τελευταίο επίπεδο έχει χρονικό όριο \\(45\\) δευτερολέπτων) και ζητάμε την τιμή του \\(ν\\). Συνεπώς,\n\\begin{align}&α_ν=45\\\\\n\\iff&α_1+(ν-1)ω=45\\\\\n\\iff&300+(ν-1)(-15)=45\\\\\n\\iff&300-15ν+15=45\\\\\n\\iff&15ν=270\\\\\n\\iff&ν=18\\end{align}\nΆρα το παιχνίδι ολοκληρώνεται σε \\(18\\) επίπεδα.\nγ) Ο μέγιστος επιτρεπόμενος χρόνος που θα χρειαστεί ένας παίκτης για να ολοκληρώσει το παιχνίδι θα προκύψει αν προσθέσουμε το μέγιστο χρονικό όριο και των \\(18\\) επιπέδων του παιχνιδιού, δηλαδή\n$$α_1+α_2+\\dots+α_{18}=S_{18}.$$\nΣτην αριθμητική πρόοδο ισχύει η σχέση:\n\\begin{align}&S_ν=\\frac{ν}{2}(α_1+α_ν)\\\\\n\\Rightarrow&S_{18}=\\frac{18}{2}(α_1+α_{18})\\\\\n\\Rightarrow&S_{18}=9(300+45)=9\\cdot 345=3105.\\end{align}\nΟ μέγιστος χρόνος που θα χρειαστεί ένας παίκτης για να ολοκληρώσει το παιχνίδι είναι \\(3105\\) δευτερόλεπτα (δηλαδή \\(51\\) λεπτά και \\(45\\) δευτερόλεπτα).\nδ) Αν \\(β_1=147\\) είναι ο χρόνος που χρειάζεται ο παίκτης για να ολοκληρώσει το επίπεδο \\(1\\), \\(β_ν\\) είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να ολοκληρώσει το επίπεδο \\(ν\\) και \\((β_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος με \\(β_1=147\\) και \\(ω=3\\). Θέλουμε να ελέγξουμε αν ο χρόνος που χρειάζεται ο παίκτης για να ολοκληρώσει κάθε επίπεδο είναι μικρότερος ή ίσος από τον μέγιστο επιτρεπόμενο χρόνο κάθε επιπέδου.\nΘέλουμε τη μέγιστη τιμή του \\(ν\\in\\mathbb{N}\\), ώστε \\(β_ν\\leq α_ν\\).\nΔηλαδή:\n\\begin{align}&147+(ν-1)3\\leq 300+(ν-1)(-15)\\\\\n\\iff&144+3ν\\leq 315-15ν\\\\\n\\iff&18ν\\leq 171\\\\\n\\iff&ν\\leq\\frac{171}{18}\\\\\n\\iff&ν\\leq 9,5\\end{align}\nΆρα η μέγιστη τιμή του \\(ν\\) είναι \\(9\\), που σημαίνει ότι ο παίκτης, με το ρυθμό που παίζει, θα ολοκληρώσει μόνο \\(9\\) από τα \\(18\\) επίπεδα του παιχνιδιού." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\dfrac{2𝑥}{𝑥−1}.\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓.\\)\nβ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(𝛭(2,4)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓.\\)\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράσταση της συνάρτησης \\(𝑓\\) με τους άξονες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(𝑓\\) ορίζεται αν και μόνον αν \\(𝑥−1≠0 \\Leftrightarrow 𝑥≠1\\), άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓\\) είναι \\(𝛢=\\Bbb{R}−\\set{1}.\\)\nβ) Το σημείο \\(𝛭(2,4)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓\\) μόνο όταν \\(𝑓(2)=4.\\)\nΕίναι: \\(𝑓(2)=\\dfrac{2\\cdot2}{2}−1=4\\), άρα το σημείο \\(𝛭(2,4)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓.\\)\nγ) Για να βρούμε τα σημεία τομής με τον άξονα \\(𝑥'𝑥\\) λύνουμε την εξίσωση: \\(𝑓(𝑥)=0 \\Leftrightarrow \\dfrac{2𝑥}{𝑥−1}=0 \\Leftrightarrow 2𝑥=0\\Leftrightarrow 𝑥=0\\)\nΆρα η γραφική παράσταση της \\(𝑓\\) τέμνει και τους δύο άξονες στο κοινό τους σημείο \\(𝛰(0,0).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι αριθμοί \\(2\\), \\(x\\) ,\\(8\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε την τιμή του \\(x\\), ώστε οι αριθμοί \\(2\\), \\(x\\), \\(8\\), με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά \\(ω\\) αυτής της προόδου;\nβ) Να βρείτε τον αριθμό \\(x\\), ώστε οι \\(2\\), \\(x\\) ,\\(8\\), με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος \\(λ\\) αυτής της προόδου;\nγ) Αν \\((α_{ν})\\) είναι η αριθμητική πρόοδος \\(2,5,8,11,...\\) και \\((β_{ν})\\) η γεωμετρική πρόοδος \\(2,4,8,16,...\\) τότε να βρείτε:\nΤο άθροισμα \\(S_ν\\) των \\(ν\\) πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\).\nΤην τιμή του \\(ν\\), ώστε για το άθροισμα \\(S_ν\\) του γi) ερωτήματος να ισχύει:\n$$2\\cdot (S_{ν}+24)=β_{7}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Oι αριθμοί \\(2\\), \\(x\\), \\(8\\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν \\(2x=8+2\\), δηλαδή \\(2x=10\\) και τελικά \\(x=5\\). H διαφορά \\(ω\\) της προόδου είναι \\(ω=5-2=3\\).\nβ) Οι αριθμοί \\(2\\), \\(x\\), \\(8\\), με τη σειρά που δίνονται, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \\(x^{2}=2\\cdot 8\\), δηλαδή \\(x^{2}=16\\) και τελικά \\(x=\\pm 4\\).\nΓια \\(x=-4\\), ο λόγος της προόδου είναι \\(λ=\\dfrac{-4}{2}=-2\\), ενώ για \\(x=4\\) ο λόγος της προόδου είναι \\(λ=\\dfrac{4}{2}=2\\).\nγ) Αν \\((α_{ν})\\) είναι η αριθμητική πρόοδος \\(2,5,8,11,...\\) και \\((β_{ν})\\) η γεωμετρική πρόοδος \\(2,4,8,16,...\\) τότε:\nΤο άθροισμα \\(S_ν\\) των \\(ν\\) πρώτων όρων της \\((α_{ν})\\) με \\(α_{1}=2\\) και \\(ω=3\\), είναι:\n$$S_{ν}=\\dfrac{ν}{2}\\cdot (2\\cdot 2+(ν-1)\\cdot 3)$$\n$$=\\dfrac{ν}{2}\\cdot (1+3ν)$$\n$$=\\dfrac{ν+3ν^{2}}{2}$$\nΟ 7ος όρος της γεωμετρικής προόδου \\((β_{ν})\\) με 1ο όρο \\(β_{1}=2\\) και λόγο \\(λ=2\\) είναι:\n$$β_{7}=2\\cdot 2^{1}=2\\cdot 2^{6}=2^{7}=128$$\nΈχουμε ισοδύναμα:\n$$2\\cdot (S_{ν}+24)=β_{7}$$\nΔηλαδή:\n$$2\\cdot \\left(\\dfrac{ν+3ν^{2}}{2}+24\\right)=128$$\nOπότε:\n$$3ν^{2}+ν-80=0$$\nΤο τριώνυμο \\(3ν^{2}+ν-80\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=1^{2}-4\\cdot 3\\cdot (-80)=961>0\\), οπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:\n\\(ν_{1}=\\dfrac{-1-\\sqrt{961}}{2\\cdot 3}=\\dfrac{-1-31}{6}=-\\dfrac{16}{3}\\), που απορρίπτεται γιατί \\(ν\\in N\\).\n\\(ν_{2}=\\dfrac{-1+\\sqrt{961}}{2\\cdot 3}=\\dfrac{-1+31}{6}=5\\).\nΤελικά \\(ν=5\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(x^{2}-2λx+4λ+5=0\\) με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης όταν \\(λ=-2\\) και όταν \\(λ=3\\).\nβ)\nΝα αποδείξετε ότι αν \\(λ=5\\), τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα.\nΝα εξετάσετε αν υπάρχει άλλη τιμή του \\(λ\\), ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα.\nγ) Αν ισχύει \\(|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5,λ\\in \\mathbb{R}-\\{-1,5\\}\\) να αποδείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\(x^{2}-2λx+4λ+5=0\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=4λ^{2}-16λ-20=4(λ^{2}-4λ-5)$$\nΌταν \\(λ=-2\\), τότε:\n$$Δ=4(4+8-5)=28>0$$\nοπότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.\nΌταν \\(λ=3\\), τότε:\n$$Δ=4(9-12-5)=-32<0$$\nοπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.\nβ)\nΌταν \\(λ=5\\) η εξίσωση έχει διακρίνουσα \\(Δ=4(25-20-5)=0\\), οπότε έχει μια διπλή ρίζα.\nΗ εξίσωση έχει διπλή ρίζα μόνο όταν ισχύει \\(Δ=0\\). Είναι:\n$$Δ=0$$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}-4λ-5=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=5\\ \\text{ή}\\ λ=-1$$\nΕπομένως, εκτός από την περίπτωση \\(λ=5\\) που συναντήσαμε στο ερώτημα βi), η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και όταν \\(λ=-1\\).\nγ) Ισχύει:\n$$|λ^{2}-4λ-5|=4λ-λ^{2}+5$$\n$$=-(λ^{2}-4λ-5),\\ λ\\in \\mathbb{R}-\\{-1,5\\}$$\nοπότε ο αριθμός \\(λ^{2}-4λ+5\\) είναι αρνητικός. Επομένως η διακρίνουσα \\(Δ=4(λ^{2}-4λ-5)\\) είναι αρνητική και η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=x^{2}\\) και \\(g(x)=λx+(1-λ),x\\in \\mathbb{R}\\) και \\(λ\\ne 0\\), παράμετρος.\nα) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου \\(λ\\) ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.\nβ) Να βρείτε για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό;\nγ) Αν \\(λ\\ne 2\\) και \\(x_{1},x_{2}\\) είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\), να βρείτε την τιμή της παραμέτρου \\(λ\\) ώστε να ισχύει \\((x_{1}+x_{2})^{2}=|x_{1}+x_{2}|+2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=g(x)\\). Είναι:\n$$f(x)=g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=λx+1-λ $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-λx+λ-1=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-λ)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (λ-1)$$\n$$=λ^{2}-4λ+4$$\n$$=(λ-2)^{2}\\ge 0$$\nγια κάθε \\(λ\\in \\mathbb{R}\\). Επομένως η \\((1)\\) έχει δυο πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου \\(λ\\), οπότε οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν, για κάθε τιμή του \\(λ\\), ένα τουλάχιστον κοινό σημείο.\nβ) Η \\((1)\\) έχει μια διπλή ρίζα, δηλαδή οι \\(C_{f}\\), \\(C_{g}\\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, αν και μόνο αν:\n$$Δ=0 $$\n$$\\Leftrightarrow (λ-2)^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=2$$\nΓια \\(λ=2\\), η εξίσωση γίνεται:\n$$x^{2}-2x+1=0$$\nη οποία έχει μοναδική λύση \\(x=1\\).\nΤότε \\(f(1)=1\\), άρα το κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων είναι το \\((1,1)\\).\nγ) Από τους τύπους Vieta έχουμε:\n$$S=x_{1}+x_{2}$$\n$$=-\\dfrac{β}{α}=λ$$\nοπότε με \\(λ\\ne 2\\) είναι:\n$$(x_{1}+x_{2})^{2}=|x_{1}+x_{2}|+2 $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}-|λ|+2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow |λ|^{2}-|λ|+2=0$$\nΘέτουμε \\(|λ|=κ,κ>0\\) και η εξίσωση γράφεται:\n$$κ^{2}-κ-2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow κ=2\\ \\text{ή}\\ κ=-1\\ \\ \\text{(απορρίπτεται)}$$\nΆρα, \\(|λ|=2 \\Leftrightarrow -λ=2\\) ή \\(λ=2\\), που απορρίπτεται, οπότε τελικά \\(λ=-2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος \\(y\\) (σε \\(cm\\)) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή \\(t\\) (σε \\(sec\\)) μετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: \\(y=60t-5t^{2}\\).\nα) Μετά πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος;\nβ) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος \\(y=175\\ m\\);\nγ) Να βρείτε το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \\(100\\ m\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Όταν η σφαίρα επανέλθει στο έδαφος θα ισχύει \\(y=0\\). Είναι:\n$$y=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 60t-5t^{2}=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 5t(12-t)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow t=0\\ \\text{ή}\\ t=12$$\nΓια \\(t=0\\ sec\\) η σφαίρα βρίσκεται στην αρχή της κίνησης οπότε η τιμή \\(t=0\\) απορρίπτεται. Άρα η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος μετά από \\(t=12\\ sec\\).\nβ) Ισχύει:\n$$y=175 $$\n$$\\Leftrightarrow 60t-5t^{2}=175 $$\n$$\\Leftrightarrow 5t^{2}-60t+175=0$$\n$$\\Leftrightarrow t^{2}-12t+35=0 $$\n$$\\Leftrightarrow t=5\\ \\text{ή}\\ t=7$$\nΆρα η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος \\(175\\ m\\) τις χρονικές στιγμές \\(5\\ sec\\) και \\(7\\ sec\\).\nγ) Η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \\(100\\ m\\) όταν \\(y>100\\). Είναι:\n$$y>100 $$\n$$\\Leftrightarrow 60t-5t^{2}>100 $$\n$$\\Leftrightarrow 5t^{2}-60t+100 < 0$$\n$$\\Leftrightarrow t^{2}-12t+20 < 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 2 < t < 10$$\nΆρα η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από \\(100\\ m\\) μεταξύ των χρονικών στιγμών \\(2\\ sec\\) και \\(10\\ sec\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν είναι \\(A=\\sqrt[3]{5},\\ B=\\sqrt{3},\\ Γ=\\sqrt[6]{5}\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Α\\cdot Β\\cdot Γ=\\sqrt{15}\\).\nβ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς \\(Α,\\ Β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align} A\\cdot B\\cdot Γ & =\\sqrt{5}\\cdot \\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{5}\\\\\n& =5^{\\frac{1}{3}}\\cdot \\sqrt{3}\\cdot 5^{\\frac{1}{6}} \\\\\n& =\\sqrt{3}\\cdot 5^{\\frac{1}{3}+\\frac{1}{6}} \\\\\n& =\\sqrt{3}\\cdot 5^{\\frac{3}{6}}\\\\\n&=\\sqrt{3}\\cdot 5^{\\frac{1}{2}}\\\\\n&=\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{5}\\\\\n&=\\sqrt{15}\\end{align}\nβ) Είναι:\n$$ A =\\sqrt[3]{5}=5^{\\frac{1}{3}}=5^{\\frac{2}{6}}=\\sqrt[6]{5^{2}}=\\sqrt[6]{25}$$\nκαι\n$$B=\\sqrt{3}=3^{\\frac{1}{2}}=3^{\\frac{3}{6}}=\\sqrt[6]{3^{3}}=\\sqrt[6]{27}$$\nΙσχύει ότι:\n$$25 \\lt 27$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt[6]{25}\\lt \\sqrt[6]{27}$$\n$$\\Leftrightarrow A\\lt B$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^{4}-8x^{2}-9=0$$\nΝα δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.\nβ) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε την εξίσωση: \\(x^{4}+βx^{2}+γ=0\\) \\((1)\\) με παραμέτρους \\(β,γ\\in \\mathbb{R}\\).\nΝα δείξετε ότι αν \\(γ<0\\), τότε:\n\\(β^{2}-4γ>0\\)\nΗ εξίσωση \\((1)\\) έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Θέτοντας στην εξίσωση \\(x^{4}-8x-9=0\\) όπου \\(x^{2}=u\\ge 0\\), γίνεται:\n$$u^{2}-8u-9=0$$\nΤο τριώνυμο έχει \\(α=1\\), \\(β=-8\\), \\(γ=-9\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=(-8)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-9)=64+39=100>0$$\nΟι ρίζες του είναι οι:\n$$u_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-8)\\pm \\sqrt{100}}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{8+10}{2}=\\dfrac{18}{2}=9>0\\ \\ \\text{δεκτή} \\\\ \\dfrac{8-10}{2}=\\dfrac{-2}{2}=-1<0\\ \\ \\text{απορρίπτεται} \\end{cases}$$\nΌμως έχουμε:\n$$x^{2}=u $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=9 $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm \\sqrt{9} $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm 3$$\nβ) Όπως και στο ερώτημα α), η εξίσωση \\(x^{4}-βx^{2}+γ=0\\), αν θέσουμε όπου \\(x^{2}=u\\) με \\(u\\ge 0\\), ισοδύναμα γίνεται:\n$$u^{2}+βu+γ=0$$\nΤο τριώνυμο έχει διακρίνουσα \\(Δ=β^{2}-4γ\\), με \\(β^{2}\\ge 0\\) και \\(γ<0\\) οπότε \\(-γ>0\\).\nΣυνεπώς, \\(Δ>0\\) ως άθροισμα ενός μη αρνητικού και ενός θετικού αριθμού.\nΕπειδή \\(Δ>0\\) το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες \\(u_{1},u_{2}\\). Από τους τύπους Vietaτο γινόμενο των ριζών είναι \\(Ρ=\\dfrac{γ}{α}=γ<0\\). Άρα, οι ρίζες είναι μη μηδενικές και ετερόσημες.\nΈστω:\n\\(\\begin{cases} u_{1}<0\\ \\text{,}\\ &\\text{απορρίπτεται} \\\\ u_{2}>0\\ \\text{,}\\ &\\text{δεκτή} \\end{cases}\\).\nΤότε έχουμε:\n$$x^{2}=u_{2} $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\pm \\sqrt{u_{2}}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση:\n$$2x^{2}-5x+2=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nβ) Αν \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) με \\(x_{1} < x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), να εξετάσετε αν οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(1\\), \\(x_{2}\\) με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(2x^{2}-5x+2\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=(-5)^{2}-4\\cdot 2\\cdot 2$$\n$$=25-16=9>0$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι:\n$$x_{1}=\\dfrac{-(-5)-\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{5-3}{4}=\\dfrac{1}{2}$$\n$$x_{2}=\\dfrac{-(-5)+\\sqrt{9}}{2\\cdot 2}$$\n$$=\\dfrac{5+3}{4}=2$$\nβ) Δεδομένου ότι \\(x_{1} < x_{2}\\) είναι οι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\), οι αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(1\\), \\(x_{2}\\), δηλαδή οι αριθμοί \\(\\dfrac{1}{2}\\), \\(1\\), \\(2\\), με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν \\(1^{2}=\\dfrac{1}{2}\\cdot 2\\), που ισχύει." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έχουμε μπροστά μας τη λίστα με τα ονοματεπώνυμα των μαθητών ενός τμήματος της Α΄ Λυκείου ενός Γενικού Λυκείου.\nΣχηματίζουμε τα σύνολα \\(Α\\), με στοιχεία τα μικρά ονόματα μαθητών της Α΄ τάξης ενός Γενικού Λυκείου και \\(Β\\) με στοιχεία τα επώνυμα μαθητών της Α΄ τάξης του ίδιου Γενικού Λυκείου.\nΟρίζουμε την αντιστοίχιση \\(f:A→B\\) σύμφωνα με την οποία αντιστοιχούμε κάθε μικρό όνομα μαθητή στο επώνυμό του και την \\(g:B→A\\) με την οποία αντιστοιχούμε σε κάθε επώνυμο μαθητή το μικρό του όνομα.\nα) Να εξετάσετε αν η αντιστοίχιση \\(f:A→B\\) ορίζει πάντα συνάρτηση από το σύνολο \\(Α\\) στο σύνολο \\(Β.\\)\nβ) Να προσδιορίσετε υπό ποιες προϋποθέσεις η αντιστοίχιση \\(g:Β→Α\\) αποτελεί συνάρτηση από το σύνολο \\(Β\\) στο σύνολο \\(Α\\) και να προσδιορίσετε ποια είναι η εξαρτημένη και ποια η ανεξάρτητη μεταβλητή." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η αντιστοίχιση \\(f:A→B\\) δεν αποτελεί πάντα συνάρτηση από το σύνολο \\(Α\\) στο \\(Β\\), καθώς μπορεί να υπάρχουν μαθητές με το ίδιο όνομα και διαφορετικό επώνυμο. Δηλαδή να αντιστοιχίζεται ένα στοιχείο του συνόλου \\(Α\\) σε περισσότερα από ένα στοιχεία του συνόλου \\(Β\\).\nβ) Η αντιστοίχιση από το σύνολο \\(Β\\) στο σύνολο \\(Α\\) θα αποτελεί συνάρτηση, αν κάθε επώνυμο στο σύνολο \\(Β\\) αντιστοιχίζεται σε μοναδικό όνομα στο σύνολο \\(Α\\), δηλαδή δεν υπάρχουν μαθητές με ίδιο επώνυμο. Σε αυτήν την περίπτωση η ανεξάρτητη μεταβλητή θα είναι το επώνυμο του μαθητή και η εξαρτημένη μεταβλητή θα είναι το όνομά του." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\), με: \\(f(x)=\\begin{cases} 2x-5\\ \\text{,}\\ &x\\le 3 \\\\ x^{2}\\ \\text{,}\\ &32\\) να γράψετε χωρίς απόλυτο την παράσταση \\(Κ\\) και να αποδείξετε ότι \\(K>3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η αλγεβρική παράσταση \\(Κ\\), που εκφράζει το άθροισμα των αποστάσεων του αριθμού \\(x\\) από τους αριθμούς \\(2\\) και \\(-1\\), πάνω στον άξονα είναι η \\(K=|x+1| + |x-2|\\) διότι το \\(|x+1|\\) δηλώνει την απόσταση του \\(x\\) από το \\(-1\\) και το \\(|x-2|\\) την απόσταση του \\(x\\) από το \\(2\\).\nβ) Είναι \\(K=|x+1| + |x-2|\\) τότε:\ni) για \\(x=\\dfrac{3}{2}\\) γίνεται:\n$$K=|\\dfrac{3}{2}+1|+|\\dfrac{3}{2}−2|$$\n$$=\\dfrac{5}{2}+|\\dfrac{−1}{2}|$$\n$$=\\dfrac{6}{2}=3$$\nii) Αφού είναι \\(x>2\\) τότε \\(x-2 > 0\\) και \\(x+1 > 0\\) οπότε η παράσταση \\(Κ\\) γίνεται:\n$$K=x+1+x−2=2x−1$$\nΑκόμη έχουμε:\n$$x>2 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x>4 $$\n$$\\Leftrightarrow 2x−1>3 $$\n$$\\Leftrightarrow K>3$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Μια υπολογιστική μηχανή έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγματικός αριθμός \\(x\\), να δίνει ως εξαγόμενο τον αριθμό \\(λ\\) που προκύπτει από τη σχέση:\n$$λ=(2x+5)^{2}-8x\\ \\ \\ \\ (1)$$\nα) Αν ο εισαγόμενος αριθμός \\(x\\) είναι ο \\(-5\\), ποιος είναι ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\);\nβ) Αν ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\) είναι ο \\(20\\), ποιος είναι ο εισαγόμενος αριθμός \\(x\\);\nγ)\nΝα δείξετε ότι η σχέση \\((1)\\) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί στη μορφή:\n$$4x^{2}+12x+(25-λ)=0$$\nΝα αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιμή και να έχει ο εισαγόμενος αριθμός \\(x\\), ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\) δεν μπορεί να είναι ίσος με \\(5\\).\nΝα προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \\(x=-5\\) και βρίσκουμε:\n$$λ=(2\\cdot (-5)+5)^{2}-8\\cdot (-5)$$\n$$=(-10+5)^{2}+40$$\n$$=(-5)^{2}+40$$\n$$=25+40=65$$\nβ) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \\(λ=20\\) και έχουμε:\n$$20=(2x+5)^{2}-8x$$\nή ισοδύναμα:\n$$20=4x^{2}+20x+25-8x$$\nκαι τελικά:\n$$4x^{2}+12x+5=0$$\nΤο τριώνυμο \\(4x^{2}+12x+5\\) έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=12^{2}-4\\cdot 4\\cdot 5$$\n$$=144-80=64>0$$\nκαι ρίζες:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-12\\pm \\sqrt{64}}{2\\cdot 4}$$\n$$=\\dfrac{-12\\pm 8}{8}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{-12+8}{8}=-\\dfrac{1}{2} \\\\ \\\\ \\dfrac{-12-8}{6}=-\\dfrac{5}{2} \\end{cases}$$\nγ)\nΗ σχέση \\((1)\\) ισοδύναμα γράφεται:\n$$λ=(2x+5)^{2}-8x $$\n$$\\Leftrightarrow λ=4x^{2}+20x+25-8x $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+(25-λ)=0\\ \\ \\ \\ (2)$$\nΓια να μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\) να είναι \\(5\\), με βάση τη σχέση \\((2)\\) θα πρέπει να υπάρχει \\(x\\) τέτοιος ώστε:\n$$4x^{2}+12x+(25-5)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+20=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+3x+5=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}+3x+5\\) έχει διακρίνουσα \\(Δ=3^{2}-4\\cdot 1\\cdot 5=9-20=-11<0\\). Άρα, η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη. Οπότε, για καμία τιμή του \\(x\\) δεν μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \\(λ\\) να είναι \\(5\\).\nΟι δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο αριθμός \\(λ\\), είναι αυτές για τις οποίες η εξίσωση \\((2)\\) έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό ισχύει αν και μόνο αν \\(Δ\\ge 0\\) όπου \\(Δ\\) η διακρίνουσα του τριωνύμου \\(4x^{2}+12x+(25-λ)\\). Οπότε, ισοδύναμα έχουμε ότι:\n$$ Δ\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 12^{2}-4\\cdot 4\\cdot (25-λ)\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 144-400+16λ\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 16λ\\ge 256 $$\n$$\\Leftrightarrow λ\\ge 16$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\) με\n$$f(x)=\\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-3}$$\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης \\(f\\).\nγ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση ορίζεται για \\(x\\in \\mathbb{R}\\) με:\n$$x – 3 \\ne 0 \\Leftrightarrow x \\ne 3$$\nΆρα, το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α = \\mathbb{R}-{3}.\\)\nβ) Θα παραγοντοποιήσουμε το \\(x^2 – 5x + 6.\\)\nΤο τριώνυμο \\(x^2 – 5x + 6\\) έχει \\(α = 1,\\ β = – 5,\\ γ = 6\\) και διακρίνουσα:\n\\(Δ = β^2 – 4αγ = (– 5)^2 – 4\\cdot 1 \\cdot 6 = 25 – 24 = 1 > 0\\)\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n\\begin{align} x_{1,2} & = \\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}\\\\\n& =\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{1}}{21}\\\\\n&=\\dfrac{5\\pm 1}{2}\\\\\n&=\\begin{cases} \\dfrac{5+1}{2}=3 \\\\ \\dfrac{5-1}{2}=2 \\end{cases} \\end{align}\nΤότε:\n$$x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)$$\nΓια \\(x\\ne 3\\) ο τύπος της \\(f\\) γράφεται:\n$$f(x) = \\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-3} = x – 2.$$\nγ) Για τις τετμημένες των σημείων τομής της \\(C_f\\) με τον άξονα \\(x'x\\) λύνουμε την εξίσωση:\n$$f(x) = 0 \\Leftrightarrow x – 2 = 0 \\Leftrightarrow x = 2$$\nΆρα η \\(C_f\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στo σημείo \\(Α(2, 0).\\)\nΕπίσης έχουμε: \\(f(0) = 0 – 2 = – 2\\)\nΆρα η \\(C_f\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(B(0, – 2).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=\\sqrt{x^2-4x-5}\\) και \\(g(x)=|x+3|\\).\nΝα βρείτε:\nα) τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \\(f\\) και \\(g\\).\nβ) τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων \\(C_f\\) και \\(C_g\\).\nγ) τις τετμημένες των σημείων της \\(C_f\\) που βρίσκονται κάτω από την \\(C_g\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται για \\(x^2-4x-5\\geq0\\) με \\(x\\in\\mathbb{R}\\). Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα\n$$Δ=(-4)^2-4(-5)=36>0$$\nεπομένως έχει δύο άνισες ρίζες\n$$x_1=\\frac{-(-4)+6}{2}=5$$\nκαι\n$$x_2=\\frac{-(-4)-6}{2}=-1.$$\nΤο \\(α=1>0\\) και προκύπτει:\nΣύμφωνα με τον πίνακα προσήμων η ανίσωση \\(𝑥^2-4x-5\\geq0\\) αληθεύει για \\(x\\leq-1\\) ή \\(x\\geq5\\).\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι \\(A_f=(-\\infty,-1]\\cup[5,+\\infty)\\).\nΗ συνάρτηση \\(g\\) ορίζεται για κάθε \\(x\\in\\mathbb{R}\\).\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(g\\) είναι \\(A_g=\\mathbb{R}\\).\nβ) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των \\(C_f\\) και \\(C_g\\) θα λύσουμε την εξίσωση \\(f(x)=g(x)\\), και θα προκύψουν οι κοινές τετμημένες τους. Έχουμε:\n\\begin{align}&\\sqrt{x^2-4x-5}=|x+3|\\\\\n\\iff&x^2-4x-5=|x+3|^2\\\\\n\\iff&x^2-4𝑥-5=x^2+6𝑥+9\\\\\n\\iff&-10𝑥=14\\\\\n\\iff&x=-\\frac{7}{5}.\\end{align}\nΆρα οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων έχουν ένα κοινό σημείο το \\((-\\frac{7}{5}, \\frac{8}{5})\\).\nγ) Οι τετμημένες των σημείων της \\(C_f\\) που βρίσκονται κάτω από την \\(C_g\\) προκύπτουν από την λύση της ανίσωσης\n\\begin{align}&\\sqrt{x^2-4x-5}< |x+3|\\\\\n\\iff&x^2-4x-5< |x+3|^2\\\\\n\\iff&x^2-4𝑥-5\\lt x^2+6𝑥+9\\\\\n\\iff&-10x<14\\\\\n\\iff&x>-75.\\end{align}\nΕπειδή έχουμε τον περιορισμό \\(x\\leq-1\\) ή \\(x\\geq5\\), τελικά \\(x\\in\\left(-\\frac{7}{5},-1\\right]\\cup[5,+\\infty)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση: \\(x^{2}-(λ-1)x+6=0,(1)\\) με παράμετρο \\(λ\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το \\(λ\\).\nβ) Για \\(λ=2\\) να λύσετε την εξίσωση (1)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Εφόσον η εξίσωση: \\(x^{2}-(λ-1)x+6=0,\\ (1)\\) έχει λύση το \\(1\\), ισχύει ότι:\n$$1^{2}-(λ-1)\\cdot 1+6=0$$\n$$\\Leftrightarrow 1-λ+1+6=0$$\n$$\\Leftrightarrow 8-λ=0$$\n$$\\Leftrightarrow λ=8$$\nβ) Για \\(λ=2\\) η εξίσωση \\((1)\\) γράφεται:\n$$x^{2}-(2-1)x+6=0$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x+6=0$$\nΗ διακρίνουσα, με \\(α=1,\\ β=-1,\\ γ=6\\) γίνεται:\n$$Δ=β^{2}-4αγ=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 6=1-24=-23\\lt 0$$\nΆρα η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες για \\(λ=2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \\((ε): y=-\\frac{1}{2}x+4\\).\nα) i. Να βρείτε την κλίση της ευθείας \\((ε)\\).\n ii. Είναι οξεία ή αμβλεία η γωνία \\(ω\\) που σχηματίζει η ευθεία \\((ε)\\) με τον \\(x'x\\) άξονα;\nβ) Να εξετάσετε ποια από τα σημεία \\(Α(6, 1),\\ Β(-2, 3)\\) και \\(Γ(8, 0)\\) είναι σημεία της ευθείας \\((ε)\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(k\\in\\mathbb{R}\\) ώστε το σημείο \\((k, 5)\\) να είναι σημείο της ευθείας \\((ε)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η κλίση της ευθείας είναι \\(α=-\\frac{1}{2}\\).ii. Επειδή \\(α < 0\\) ισχύει \\(\\text{εφ}ω < 0\\), οπότε η γωνία \\(ω\\) είναι αμβλεία.\nβ) Θα εξετάσουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.\nΓια το σημείο \\(Α\\): \\(-\\dfrac{1}{2}\\cdot 6+4=-3+4=1\\), άρα το \\(Α\\) είναι σημείο της ευθείας.\nΓια το σημείο \\(Β\\): \\(-\\dfrac{1}{2}\\cdot(-2)+4=1+4=5\\), άρα το \\(Β\\) δεν είναι σημείο της ευθείας.\nΓια το σημείο \\(Γ\\): \\(-\\dfrac{1}{2}\\cdot 8+4=-4+4=0\\), άρα το \\(Γ\\) είναι σημείο της ευθείας.\nγ) Θα πρέπει:\n\\begin{align}&5=-\\frac{1}{2}\\cdot k+4\\\\\n\\iff&1=-\\frac{1}{2}\\cdot k\\\\\n\\iff&2=-k\\\\\n\\iff&k=-2.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι συναρτήσεις \\(f(x)=x^{2}+β\\), \\(g(x)=x+β\\), όπου \\(x\\in \\mathbb{R}\\) και \\(β\\) σταθερός πραγματικός αριθμός. Είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της \\(g(x)\\) διέρχεται από το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{3β}{2}, -3-\\dfrac{β}{2}\\right)\\).\nα) Να αποδείξτε ότι \\(β=-1\\).\nβ) Για \\(β=-1\\):\n(i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f(x)\\) με τους άξονες \\(x'x\\), \\(y'y\\).\n(ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f(x)\\) βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \\(g(x)\\).\n(iii) Να λύσετε την εξίσωση: \\(\\dfrac{f(x)}{g(x)}+\\dfrac{g(x)}{f(x)}=3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες του σημείου \\(Μ\\) θα πρέπει να επαληθεύουν την εξίσωση \\(y=g(x)\\), άρα θα ισχύει:\n$$g(\\dfrac{3β}{2})=-3-\\dfrac{β}{2}$$\n$$\\Rightarrow \\dfrac{3β}{2}+β=-3-\\dfrac{β}{2}$$\n$$\\Rightarrow \\dfrac{3β}{2}+\\dfrac{β}{2}+β=-3$$\n$$\\Rightarrow 3β=-3$$\n$$\\Rightarrow β=-1$$\nβ) Για \\(β=-1\\):\n(i) Είναι \\(f(x)=x^{2}-1\\). Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f(x)\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\), έχουν τεταγμένη μηδέν, οπότε οι τετμημένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης \\(y=f(x)=0\\), άρα \\(x^{2}-1=0\\) οπότε \\(x^{2}=1\\). Τελικά \\(x=1,x=-1\\).\nΆρα τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της \\(f(x)\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) είναι τα \\(Α(1, 0)\\) και \\(Β(-1, 0)\\).\nΕπίσης \\(f(0)=0^{2}-1=-1\\), άρα το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της \\(f(x)\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) είναι το \\(Γ(0, -1)\\).\n(ii) Θέλουμε να ισχύει \\(f(x)0\\).\nΔιαπιστώνουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τιμές του \\(x\\) μεταξύ \\(0\\) και \\(1\\), δηλαδή \\(00$$\n$$\\Leftrightarrow A>B$$\n$$\\Leftrightarrow (\\sqrt{2})^{6}>(\\sqrt[3]{2})^{6}$$\n$$\\Leftrightarrow \\sqrt{2}>\\sqrt[3]{2}, \\ \\ \\ \\ (2)$$\nΑπό τις ανισώσεις \\((1), (2)\\) βρίσκουμε:\n$$1\\lt \\sqrt[3]{2}\\lt \\sqrt{2}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Αν για τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ισχύει \\(|2x-1|<1\\), τότε:\nα) Να δείξετε ότι \\(00\\), οπότε προκύπτει: \\(00 \\text{ και } x-4 \\lt 0$$\nΆρα \\(|x-1|=x-1\\).\nΙσχύει ακόμα:\n$$2\\lt y\\lt 3$$\n$$\\Leftrightarrow 2\\lt y \\text{ και } y\\lt 3$$\n$$\\Leftrightarrow y-2>0 \\text{ και } y-3\\lt 0$$\nΆρα \\(|y-3|=-(y-3)=3-y\\).\nΤότε:\n$$\\begin{align} A & = |x-1|+|y-3|\\\\\n& = x-1+3-y\\\\\n&= x-y+2\\end{align}$$\nβ) Είναι \\(1\\lt x\\lt 4\\ \\ \\ \\ (1)\\) και:\n$$2\\lt y\\lt 3$$\n$$\\Leftrightarrow -2>-y>-3$$\n$$\\Leftrightarrow -3\\lt -y\\lt -2$$\n$$\\Leftrightarrow -3+2\\lt -y+2\\lt -2+2$$\n$$\\Leftrightarrow -1\\lt -y+2\\lt 0 \\ \\ \\ \\ (2)$$\nΠροσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \\((1), (2)\\) και βρίσκουμε:\n$$1-1\\lt x-y+2\\lt 4+0$$\n$$\\Leftrightarrow 0\\lt x-y+2\\lt 4$$\nΆρα \\(0\\lt A\\lt 4\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση \\(x^2-x-6=0\\).\nβ) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο αριθμό \\(κ\\) ώστε οι αριθμοί \\(κ-2,\\ κ,\\ 2κ+3\\) να είναι διαδοχικοί όροι σε μια γεωμετρική πρόοδο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση έχει συντελεστές \\(α=1,\\ β=-1,\\ γ=-6\\), και διακρίνουσα\n$$Δ=(-1)^2-4\\cdot(-6)=25 > 0$$\nοπότε έχει άνισες ρίζες που είναι οι αριθμοί\n\\begin{align}&x_{1,2}=\\frac{1\\pm 5}{2}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_1=\\frac{6}{2}=3\\\\x_2=-\\frac{4}{2}=-2\\end{cases}.\\end{align}\nβ) Οι αριθμοί \\(κ-2,\\ κ,\\ 2κ+3,\\ κ\\in\\mathbb{Z}\\) με \\(κ > 0\\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, μόνο όταν κανένας από αυτούς δεν είναι \\(0\\) και ισχύει:\n\\begin{align}&κ^2=(2κ+3)(κ-2)\\\\\n\\iff&κ^2=2κ^2-4κ-6+3κ\\\\\n\\iff&κ^2-κ-6=0\\\\\n\\iff&κ=3\\text{ ή }κ=-2\\text{ (από το ερώτημα (α))}.\\end{align}\nΗ τιμή \\(κ=-2\\) απορρίπτεται αφού πρέπει \\(κ > 0\\), ενώ η τιμή \\(κ=3\\) είναι δεκτή. Άρα \\(κ=3\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται πραγματικός αριθμός \\(x\\) για τον οποίο ισχύει: \\(|x-2|<3\\).\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(-10$$\nΟι ρίζες της εξίσωσης \\((1)\\) είναι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-3)\\pm \\sqrt{25}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{3\\pm 5}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{3+5}{2}=4 \\\\ \\\\ \\dfrac{3-5}{2}=-1 \\end{cases}$$\nβ)\nΟ αριθμός \\(\\dfrac{α}{β}\\) είναι λύση της εξίσωσης \\((1)\\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:\n$$(\\dfrac{α}{β})^{2}-3\\dfrac{α}{β}-4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{α^{2}}{β^{2}}-3\\dfrac{α}{β}-4=0 $$\n$$\\overset{β \\ne 0}{\\Leftrightarrow} α^{2}-3αβ-4β^{2}=0$$\nτο οποίο ισχύει από την υπόθεση.\nΣτο ερώτημα α) βρήκαμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \\((1)\\) είναι οι \\(x_{1}=4\\) και \\(x_{2}=-1\\).\nΕπίσης, στο ερώτημα (βi) δείξαμε ότι ο αριθμός \\(\\dfrac{α}{β}\\) είναι λύση της εξίσωσης \\((1)\\). Οπότε, πρέπει:\n$$\\dfrac{α}{β}=4\\ \\ \\text{ή}\\ \\ \\dfrac{α}{β}=-1$$\nΕπειδή οι \\(α\\), \\(β\\) είναι ομόσημοι, η περίπτωση \\(\\dfrac{α}{β}=-1\\) απορρίπτεται. Άρα, ισχύει:\n$$\\dfrac{α}{β}=4 $$\n$$\\Leftrightarrow α=4β$$\nδηλαδή, ο \\(α\\) είναι τετραπλάσιος του \\(β\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τριώνυμο: \\(x^{2}+βx+β^{2}\\), όπου \\(β\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα \\(Δ\\) του τριωνύμου.\nβ)\ni. Αν \\(β≠0\\), τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου;\nii. Πως αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα (i), όταν \\(β=0\\) ;\nγ) Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα\n$$α^{2}+αβ+β^{2}>0$$\n \n για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $α,\\ β$ που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα $0$." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα: \\(Δ=β^{2}-4⋅1⋅β^{2}=-3β^{2}\\)\nβ)\ni. Για \\(β≠0\\) ισχύει ότι: \\(Δ=-3β^{2}\\lt 0.\\)\nΕπειδή ο συντελεστής του \\(x^{2}\\) είναι \\(1>0\\), το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nii. Για \\(β=0\\) είναι \\(Δ=0\\), οπότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}-\\{0\\}\\), αφού για \\(x=0\\) μηδενίζεται.\nγ) Το τριώνυμο \\(α^{2}+αβ+β^{2}\\) προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για \\(x=α\\). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:\nΠερίπτωση 1η\nΑν \\(β≠0\\) τότε από το (βi) συμπεραίνουμε ότι:\n$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$\nΠερίπτωση 2η\nΑν \\(β=0\\) (οπότε \\(α≠0\\) ),από το (βii) συμπεραίνουμε ότι:\n$$α^{2}+αβ+β^{2}>0.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις \\(κ\\) και \\(λ\\) του οποίου η περίμετρος είναι \\(Π=14 \\ cm\\) και μια διαγώνιος \\(δ=5 \\ cm\\).\nα)\nΜε χρήση της ταυτότητας \\((κ+λ)^{2}=κ^{2}+2κλ+λ^{2}\\), να δείξετε ότι για το εμβαδόν \\(Ε\\) του ορθογωνίου ισχύει \\(Ε=12 \\ cm^{2}\\).\nΝα αιτιολογήσετε γιατί οι διαστάσεις \\(κ\\) και \\(λ\\) του ορθογωνίου είναι ρίζες της εξίσωσης \\(x^{2}-7x+12=0\\).\nΝα βρείτε τις διαστάσεις \\(κ\\) και \\(λ\\) του ορθογωνίου.\nβ) Να δείξετε ότι ένα ορθογώνιο με περίμετρο \\(Π=14 \\ cm\\) πρέπει να έχει εμβαδόν \\(Ε\\le \\dfrac{49}{4}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΗ περίμετρος του ορθογωνίου είναι \\(Π=2κ+2λ\\), οπότε:\n$$2κ+2λ=14 $$\n$$\\Leftrightarrow κ+λ=7$$\nΕπίσης, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \\(ΑΒΔ\\) βρίσκουμε ότι\n$$κ^{2}+λ^{2}=δ^{2} $$\n$$\\Leftrightarrow κ^{2}+λ^{2}=25$$\nΑπό την ταυτότητα \\((κ+λ)^{2}=κ^{2}+2κλ+λ^{2}\\), έχουμε ότι:\n$$7^{2}=25+2κλ $$\n$$\\Leftrightarrow 2κλ=49-25 $$\n$$\\Leftrightarrow κλ=12$$\nΆρα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι \\(Ε=κλ=12\\ cm\\).\nΔύο αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης \\(x^{2}-7x+12=0\\) αν και μόνο αν έχουν άθροισμα \\(S=-\\dfrac{β}{α}=-\\dfrac{(-7)}{1}=7\\) και γινόμενο \\(P=\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{12}{1}=12\\). Από το ερώτημα αi) προκύπτει ότι οι διαστάσεις \\(κ\\) και \\(λ\\) ικανοποιούν τις συνθήκες αυτές, οπότε είναι ρίζες της εξίσωσης.\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}-7x+12\\) έχει διακρίνουσα\n$$Δ=(-7)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 12$$\n$$=49-48=1$$\nκαι ρίζες\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-(-7)\\pm \\sqrt{1}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{7+1}{2}=4 \\\\ \\dfrac{7-1}{2}=3 \\end{cases}$$\nΆρα, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \\(3\\ cm\\) και \\(4\\ cm\\).\nβ) Όπως και στο ερώτημα α), oι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο \\(Π=14\\) και εμβαδόν \\(Ε\\) έχουν άθροισμα \\(S=7\\) και γινόμενο \\(P=Ε\\). Άρα, είναι ρίζες της εξίσωσης\n$$x^{2}-7x+E=0$$\nΗ εξίσωση έχει λύσεις, δηλαδή υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο, αν και μόνο αν για τη διακρίνουσα ισχύει\n$$Δ\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (-7)^{2}-4\\cdot 1\\cdot Ε\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow 49-4Ε\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow Ε\\le \\dfrac{49}{4}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση: \\(Α=\\dfrac{x^2-1}{x^2-x},\\ x\\neq0, \\ x\\neq1.\\)\nα) Nα δείξετε ότι \\(A=\\dfrac{x+1}{x}.\\)\nβ)\ni. Nα βρείτε για ποια τιμή του \\(x\\) η παράσταση \\(A\\) μηδενίζεται.\nii. Μπορεί η παράσταση \\(A\\) να πάρει την τιμή \\(2\\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n\\begin{align} A & =\\frac{x^2-1}{x^2-x} \\\\\n& =\\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} \\\\\n& =\\frac{x+1}{x}\\end{align}\nβ)\ni. Πρέπει να βρούμε την τιμή του \\(x\\) για την οποία \\(A=0\\), δηλαδή \\(\\dfrac{x+1}{x}=0\\), που συμβαίνει όταν \\(x+1=0\\), δηλαδή όταν \\(x=-1.\\)\nii. Για να πάρει η παράσταση \\(A\\) την τιμή \\(2\\), πρέπει να ισχύουν ισοδύναμα:\n$$\\frac{x+1}{x}=2$$\n$$\\Leftrightarrow x+1=2x$$\n$$x=1,$$\nπου δεν είναι αποδεκτή τιμή για το \\(x.\\)\nΆρα, η παράσταση \\(A\\) δεν μπορεί να πάρει την τιμή \\(2.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Η Μαρία αγόρασε ένα βιβλίο που το διάβασε δυο φορές γιατί της άρεσε πολύ! Την πρώτη φορά, διάβασε την 1η ημέρα \\(1\\) σελίδα, την 2η ημέρα \\(3\\) σελίδες και γενικά κάθε ημέρα διάβαζε \\(2\\) σελίδες περισσότερες από την προηγούμενη. Τη δεύτερη φορά άλλαξε τρόπο διαβάσματος. Διάβασε την 1η ημέρα \\(13\\) σελίδες, την 2η ημέρα \\(11\\) σελίδες και γενικά κάθε ημέρα διάβαζε \\(2\\) σελίδες λιγότερες από την προηγούμενη. Η Μαρία παρατήρησε ότι και τις δυο φορές χρειάστηκε ακριβώς το ίδιο πλήθος ημερών για να διαβάσει το βιβλίο.\nα) i. Να δείξετε ότι το πλήθος των σελίδων του βιβλίου που διάβαζε κάθε ημέρα την πρώτη φορά είναι όροι αριθμητικής προόδου \\((α_ν)\\) της οποίας να βρείτε το γενικό τύπο \\(α_ν\\), αν ως πρώτο όρο της θεωρήσουμε το πλήθος των σελίδων που διάβασε την πρώτη μέρα.\nii. Να δείξετε ότι το πλήθος των σελίδων του βιβλίου που διάβαζε κάθε ημέρα τη δεύτερη φορά είναι όροι αριθμητικής προόδου \\((β_ν)\\) της οποίας να βρείτε το γενικό τύπο \\(β_ν\\), αν ως πρώτο όρο της θεωρήσουμε το πλήθος των σελίδων που διάβασε την πρώτη μέρα.\nβ) Να δείξετε ότι η Μαρία χρειάστηκε \\(7\\) ημέρες για να διαβάσει το βιβλίο.\nγ) Να βρείτε πόσες σελίδες έχει το βιβλίο.\nδ) Να δείξετε ότι \\(α_ν=β_{8-ν}\\) για κάθε \\(ν=1,2,\\dots,7\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η ακολουθία \\((α_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος αφου κάθε όρος της, πέραν του 1ου, προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του αριθμού \\(2\\), με \\(α_1=1\\) και \\(ω=2\\) οπότε ο γενικός της όρος είναι\n\\begin{align}α_ν&=α_1+(ν-1)\\cdot ω\\\\\n&=1+(ν-1)\\cdot 2\\\\\n&=1+2ν-2\\\\\n&=2ν-1.\\end{align}\nii. Η ακολουθία \\((β_ν)\\) είναι αριθμητική πρόοδος αφού κάθε όρος της, πέραν του 1ου, προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση του αριθμού \\(-2\\), με \\(β_1=13\\) και \\(ω=-2\\) οπότε ο γενικός της όρος είναι\n\\begin{align}β_ν&=β_1+(ν-1)\\cdot ω\\\\\n&=13+(ν-1)\\cdot(-2)\\\\\n&=13-2ν+2\\\\\n&=15-2ν.\\end{align}\nβ) Έστω ότι διάβασε το βιβλίο σε \\(ν\\) μέρες. Τότε\n$$α_1+α_2+\\dots+α_ν=β_1+β_2+\\dots+β_ν$$\nδηλαδή:\n\\begin{align}&\\frac{(2\\cdot 1+(ν-1)\\cdot 2)\\cdotν}{2}=\\frac{(2\\cdot 13+(ν-1)\\cdot(-2))\\cdot ν}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{(2+2ν-2)\\cdot ν}{2}=\\frac{(26-2ν+2)\\cdot ν}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{2ν\\cdot ν}{2}=\\frac{(28-2ν)\\cdot ν}{2}.\\end{align}\nΑφού \\(ν\\neq 0\\), θα είναι\n\\begin{align}&2ν=28-2ν\\\\\n\\iff& 4ν=28\\\\\n\\iff& ν=7\\end{align}\nγ) Προφανώς ανεξάρτητα από τον τρόπο που διάβασε το βιβλίο, το πλήθος των σελίδων του βιβλίου είναι το\n$$S_7=\\frac{(2\\cdot 1+(7-1)\\cdot 2)\\cdot 7}{2}=49.$$\nδ) Για κάθε \\(ν=1,2,\\dots,7\\), είναι\n\\begin{align}β_{8-ν}&=β_1+(8-ν-1)\\cdot(-2)\\\\\n&=13-16+2ν+2\\\\\n&=2ν-1\\\\\n&=α_ν.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(α\\), \\(β\\), \\(γ\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει \\(α < 0 < β < γ\\).\nα) Να αιτιολογήσετε γιατί ο αριθμός \\(Α=α(α-β)(γ-β)β\\) είναι θετικός.\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(α+|α-β|+|γ-β|-γ=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τις \\(α < β\\) και \\(β < γ\\) προκύπτουν αντίστοιχα ότι \\(α-β < 0\\) και \\(γ-β > 0\\), οπότε \\((α-β)(γ-β) < 0\\). Επιπλέον, \\(αβ < 0\\) οπότε το γινόμενό τους \\(α(α-β)(γ-β)β\\), που είναι ο αριθμός \\(Α\\), είναι θετικό.\nβ) Επειδή \\(α-β<0\\) και \\(γ-β>0\\) έχουμε:\n$$|α-β|=-α+β$$\nκαι:\n$$|γ-β|=γ-β$$\nοπότε:\n$$α+|α-β|+|γ-β|-γ=α-α+β+γ-β-γ=0$$\nπου είναι το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \\(x\\) ώστε οι αριθμοί: \\(x\\), \\(2x+1\\), \\(5x+4\\), με την σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.\nβ) Να βρείτε το λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, όταν:\ni. \\(x=1\\)\nii. \\(x=-1\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(x\\), \\(2x+1\\), \\(5x+4\\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$(2x+1)^{2}=x\\cdot (5x+4) $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{2}+4x+1=5x^{2}+4x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=1 $$\n$$\\Leftrightarrow (x=-1\\ \\ \\text{ή}\\ \\ x=1)$$\nβ)\ni. Για \\(x=1\\) οι δοσμένοι αριθμοί γράφονται:\n$$1, 3, 9$$\nΟ λόγος \\(λ\\) είναι:\n$$λ=\\dfrac{3}{1}=3$$\nii. Για \\(x=-1\\) οι δοσμένοι αριθμοί γράφονται:\n$$-1,-1,-1$$\nΟ λόγος \\(λ\\) είναι:\n$$λ=\\dfrac{-1}{-1}=1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{4x^{2}-2(α+3)x+3α}{2x-3}\\), με παράμετρο \\(α\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(f(x)=2x-α\\), για κάθε \\(x\\) που ανήκει στο πεδίο ορισμού της \\(f\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(α\\in \\mathbb{R}\\), αν η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\((1,-1)\\).\nδ) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \\(f\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει \\(2x-3\\ne 0 \\Leftrightarrow 2x\\ne 3 \\Leftrightarrow x\\ne \\dfrac{3}{2}\\).\nΆρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \\(Α_{f}=\\big(-\\infty ,\\frac{3}{2}\\big)\\cup \\big(\\frac{3}{2},+\\infty\\big)\\).\nβ) Παραγοντοποιούμετο τριώνυμο στον αριθμητή του τύπου της συνάρτησης \\(f\\). Έχουμε:\n$$\\begin{align} 4x^{2}-2(α+3)x+3α & =4x^{2}-2αx-6x+3α \\\\\n&=2x(2x-α)-3(2x-α)\\\\\n&=(2x-α)(2x-3)\\end{align}$$\nΆρα:\n$$\\begin{align} f(x) & =\\dfrac{4x^{2}-2(α+3)x+3α}{2x-3}\\\\\n&=\\dfrac{(2x-α)(2x-3)}{2x-3}\\\\\n&=2x-α, \\text{ για κάθε } x\\ne \\dfrac{3}{2}\\end{align}$$\nγ) Η γραφική παράσταση της \\(f\\) διέρχεται από το σημείο \\((1,-1)\\), δηλαδή \\(f(1)=-1\\),οπότε \\(2\\cdot 1-α=-1\\) και τελικά \\(α=3\\).\nδ) Η γραφική παράσταση της \\(f(x)=2x-α\\) είναι ευθεία, εκτός του σημείου με τετμημένη \\(\\dfrac{3}{2}\\), δηλαδή του σημείου \\(\\big(\\frac{3}{2},3-α\\big)\\).\nΑν \\(α=3\\), η ευθεία δεν έχει σημείο τομής με τον \\(x'x\\) άξονα (το σημείο \\(\\big(\\frac{3}{2},0\\big)\\) δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της \\(f\\)). Τέμνει τον \\(y'y\\) άξονα στο \\((0,-3)\\), γιατί \\(f(0)=2\\cdot 0-α=-α=-3\\).\nΑν \\(α\\ne 3\\) :\nΓια \\(y=0\\) έχουμε \\(0=2x-α \\Leftrightarrow x=\\dfrac{α}{2}\\) και η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον \\(x'x\\) άξονα στο σημείο \\(Α\\big(\\frac{α}{2},0\\big)\\).\nΓια \\(x=0\\), έχουμε \\(y=2\\cdot 0-α=-α\\) και η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον τον \\(y'y\\) άξονα στο \\(Β(0,-α)\\).\nΕιδικά στην περίπτωση που \\(α=0\\), τα παραπάνω σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) έχουν συντεταγμένες \\((0,0)\\), οπότε η γραφική παράσταση της \\(f\\) είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{x^{2}-4}{x}\\), \\(x\\ne 0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση \\(C_{f}\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(4,3)\\).\nβ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(Β(-4,-3)\\) είναι σημείο της \\(C_{f}\\).\nγ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης \\(C_{f}\\) της f με την ευθεία \\(y=3\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι \\(f(4)=3\\).\nΜε \\(x=4\\) έχουμε:\n$$f(4)=\\dfrac{4^{2}-4}{4}$$\n$$=\\dfrac{16-4}{4}$$\n$$=\\dfrac{12}{4}=3$$\nΟπότε η \\(C_{f}\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(4,3)\\).\nβ) Ισχύει:\n$$f(-4)=\\dfrac{(-4)^{2}-4}{-4}$$\n$$=\\dfrac{16-4}{-4}$$\n$$=-\\dfrac{12}{4}=-3$$\nΟπότε και το σημείο \\(Β(-4,-3)\\) είναι πάνω στην \\(C_{f}\\).\nγ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων είναι οι λύσεις της εξίσωσης \\(f(x)=3\\).\nΜε \\(x\\ne 0\\) έχουμε:\n$$f(x)=3 $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x^{2}-4}{x}=3 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-4=3x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-3x-4=0$$\nΗ τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς \\(-1\\) και \\(4\\). Επιπλέον, \\(f(-1)=3\\) και \\(f(4)=3\\), οπότε τα αντίστοιχα σημεία της \\(C_{f}\\) έχουν τεταγμένη \\(y=3\\).\nΕπομένως, τα κοινά σημεία της \\(C_{f}\\) με την ευθεία είναι το \\(Α(4,3)\\) και το \\(Γ(-1,3)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) των θετικών περιττών αριθμών: \\(1\\), \\(3\\), \\(5\\) ,\\(7\\) , \\(...\\)\nα)\ni. Να γράψετε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου.\nii. Να βρείτε τον τριακοστό της όρο.\nβ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των \\(30\\) πρώτων όρων της προόδου ισούται με \\(30^{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. Ο πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_{1}=1\\) και η διαφορά της:\n$$ω=α_{2}-α_{1}$$\n$$=3-1=2$$\nii. Ο τριακοστός όρος της προόδου είναι:\n$$α_{30}=α_{1}+29ω$$\n$$=1+29\\cdot 2$$\n$$=1+58=59$$\nβ) Έχουμε:\n$$S_{30}=\\dfrac{30}{2}\\cdot (a_{1}+α_{30})$$\n$$=15\\cdot (1+59)$$\n$$=15\\cdot 60$$\n$$=900=30^{2}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\((λ-1)x -2λ +2=0.\\)\nα)\ni. Να λύσετε την εξίσωση για \\(λ=-2.\\)\nii. Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\) για τις οποίες το \\(x=1\\) είναι ρίζα της εξίσωσης.\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(𝜆\\in \\Bbb{R}\\) για τις οποίες η εξίσωση είναι ταυτότητα." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. Για \\(λ=-2\\) η εξίσωση γίνεται \\(−3x+6=0\\Leftrightarrow −3x=−6 \\Leftrightarrow x=2.\\)\nΆρα η λύση της εξίσωσης είναι \\(x=2.\\)\nii. Για \\(x=1\\) η εξίσωση γίνεται:\n$$(λ−1)1−2λ+2=0$$\n$$\\Leftrightarrow λ−1−2λ+2=0$$\n$$\\Leftrightarrow −𝜆+1=0$$\n$$\\Leftrightarrow λ=1$$\nβ) Για να έχουμε ταυτότητα η εξίσωση θα είναι της μορφής \\(0x=0\\), δηλαδή \\(λ-1=0\\) και \\(2λ-2=0\\), επομένως οι δύο εξισώσεις (ως προς \\(λ\\)) συναληθεύουν για \\(λ=1.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Μια γεωμετρική πρόοδος \\((α_{ν})\\) έχει πρώτο όρο \\(α_{1}=4\\), λόγο \\(λ>0\\) και \\(\\dfrac{α_{3}}{α_{1}}=4\\).\nα) Να αποδείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι \\(λ=2\\).\nβ) Να βρείτε τον δέκατο όρο της προόδου.\nγ) Να βρείτε το άθροισμα των \\(10\\) πρώτων όρων της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε\n$$\\dfrac{α_{3}}{α_{1}}=4$$\n$$\\Rightarrow \\dfrac{α_{1}\\cdot λ^{2}}{α_{1}}=4$$\n$$\\Rightarrow λ^{2}=4$$\n$$\\Rightarrow λ=\\pm 2$$\nΕπειδή \\(λ>0\\), θα είναι: \\(λ=2\\).\nβ) Έχουμε:\n$$α_{10}=α_{1}\\cdot λ^{9}$$\n$$=4\\cdot 2^{9}$$\n$$=4\\cdot 512$$\n$$=2048$$\nγ) Έχουμε:\n$$S_{10}=α_{1}\\cdot \\dfrac{λ^{10}-1}{λ-1}$$\n$$=4\\cdot \\dfrac{2^{10}-1}{2-1}$$\n$$=4\\cdot 1023$$\n$$=4092$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(𝑓(𝑥)=\\dfrac{𝑥−1}{\\sqrt{𝑥}−1}.\\)\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓.\\)\nβ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(Μ(4,3)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓.\\)\nγ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(Ν(-1,-2)\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει και αρκεί να ισχύει: \\(𝑥≥0\\) και \\(\\sqrt{𝑥}−1≠0 \\Leftrightarrow \\sqrt{𝑥}≠1\\Leftrightarrow 𝑥≠1.\\)\nΆρα το πεδίο ορισμού είναι το \\(Α = [0,1)\\cup (1,+∞).\\)\nβ) Έχουμε: \\(𝑓(4)=\\dfrac{3}{\\sqrt{4}−1}=3\\), άρα το σημείο \\(Μ\\) ανήκει στη γραφική παράσταση της \\(𝑓.\\)\nγ) Το \\(𝑥=−1\\) δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(𝑓.\\)\nΆρα το σημείο \\(Ν\\) δεν μπορεί να ανήκει στη γραφική της παράσταση." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \\(α\\), \\(β\\), \\(γ\\), \\(δ\\) με \\(β\\ne 0\\) και \\(δ\\ne γ\\) ώστε να ισχύουν:\n$$\\dfrac{α+β}{β}=4$$\nκαι:\n$$\\dfrac{γ}{δ-γ}=\\dfrac{1}{4}$$\nα) Να αποδείξετε ότι \\(α=3β\\) και \\(δ=5γ\\).\nβ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:\n$$Π=\\dfrac{αγ+βγ}{βδ-βγ}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\dfrac{α+β}{β}=4 $$\n$$\\Leftrightarrow α+β=4β $$\n$$\\Leftrightarrow α=3β$$'\nκαι:\n$$\\dfrac{γ}{δ-γ}=\\dfrac{1}{4} $$\n$$\\Leftrightarrow 4γ=δ-γ $$\n$$\\Leftrightarrow δ=5γ$$\nβ) Για \\(α=3β\\) και \\(δ=5γ\\) η παράσταση \\(Π\\) γράφεται:\n$$Π=\\dfrac{αγ+βγ}{βδ-βγ}$$\n$$=\\dfrac{(3β)γ+βγ}{β(5γ)-βγ}$$\n$$=\\dfrac{3βγ+βγ}{5βγ-βγ}$$\n$$=\\dfrac{4βγ}{4βγ}=1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος \\((α_{ν})\\) για την οποία ισχύει:\n$$α_{4}-α_{2}=10$$\nα) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \\(ω=5\\).\nβ) Αν το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι ίσο με \\(33\\), να βρείτε τον πρώτο όρο \\(α_{1}\\) της προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε\n$$α_{4}-α_{2}=10$$\n$$\\Rightarrow (α_{1}+3ω)-(α_{1}+ω)=10$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+3ω-α_{1}-ω=10$$\n$$\\Rightarrow ω=5$$\nβ) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$α_{1}+α_{2}+α_{3}=33$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+(α_{1}+ω)+(α_{1}+2ω)=33$$\n$$\\Rightarrow 3α_{1}+3ω=33$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+ω=11$$\n$$\\Rightarrow α_{1}+5=11$$\n$$\\Rightarrow α_{1}=6$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(α\\), \\(β\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:\n$$α\\cdot β=4\\ \\ \\text{και}\\ \\ α^{2}β+αβ^{2}=20$$\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(α+β=5\\).\nΒ) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \\(α\\), \\(β\\) και να τους βρείτε." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$α^{2}β+αβ^{2}=20 $$\n$$\\Leftrightarrow αβ(α+β)=20 $$\n$$\\Leftrightarrow 4(α+β)=20 $$\n$$\\Leftrightarrow α+β=5$$\nβ) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:\n$$x^{2}-Sx+P=0$$\nμε:\n$$S=α+β=5\\ \\ \\text{και}\\ \\ P=α\\cdot β=4$$\nΤελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$x^{2}-5x+4=0$$\nΤο τριώνυμο \\(x^{2}-5x+4\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-5\\), \\(γ=4\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-5)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 4$$\n$$=25-16=9>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-5)\\pm \\sqrt{9}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{5\\pm 3}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{5+3}{2}=4 \\\\ \\dfrac{5-3}{2}=1 \\end{cases}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση: \\(f(x)=\\dfrac{x+2}{x^{2}-x-6}\\).\nα) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \\(f\\).\nβ) Να δείξετε ότι: \\(f(2)+f(4)=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το τριώνυμο \\(x^{2}-x-6\\) έχει \\(α=1\\), \\(β=-1\\), \\(γ=-6\\) και διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=(-1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-6)$$\n$$=1+24=25>0$$\nΟι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-(-1)\\pm \\sqrt{25}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{1\\pm 5}{2}$$\n$$=\\cases{\\dfrac{1+5}{2} =3 \\\\ \\dfrac{1-5}{2} = - 2}$$\nΠρέπει:\n$$x^{2}-x-6\\ne 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (x\\ne -2\\ \\ \\text{και}\\ \\ x\\ne 3)$$\nΆρα το πεδίο ορισμού της \\(f\\) είναι το \\(Α=\\mathbb{R}-\\{-2,3\\}\\).\nβ) Είναι:\n$$f(2)=\\dfrac{2+2}{2^{2}-2-6}$$\n$$=\\dfrac{4}{4-2-6}$$\n$$=\\dfrac{4}{-4}=-1$$\nκαι:\n$$f(4)=\\dfrac{4+2}{4^{2}-4-6}$$\n$$=\\dfrac{6}{16-4-6}$$\n$$=\\dfrac{6}{6}=1$$\nΆρα:\n$$f(2)+f(4)=-1+1=0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(x,y\\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:\n$$(x+4y)(x+y)=9xy$$\nα) Να αποδείξετε ότι:\ni.\n$$(2y-x)^{2}=0$$\nii.\n$$y=\\dfrac{x}{2}$$\nβ) Να αποδείξετε ότι:\n$$(2y-\\dfrac{x}{2})^{2}+(2y+\\dfrac{x}{2})^{2}=10y^{2}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. Από τη δοσμένη ισότητα με πράξεις έχουμε:\n$$x^{2}+4xy+xy+4y^{2}-9xy=0$$\nοπότε:\n$$x^{2}+4y^{2}-4xy=0$$\nδηλαδή:\n$$(2y-x)^{2}=0$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nii. Είναι:\n$$(2y-x)^{2}=0$$\nοπότε:\n$$2y-x=0$$\nάρα:\n$$y=\\dfrac{x}{2}$$\nπου είναι το ζητούμενο.\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε:\n$$\\dfrac{x}{2}=y\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΜε τη βοήθεια της \\((1)\\) έχουμε:\n$$(2y-\\dfrac{x}{2})^{2}+(2y+\\dfrac{x}{2})^{2}=(2y-y)^{2}+(2y+y)^{2}$$\n$$=y^{2}+(3y)^{2}$$\n$$=y^{2}+9y^{2}$$\n$$=10y^{2}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Αν οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό \\(x\\).\nβ) Αν οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό \\(x\\).\nγ) Να βρεθεί ο αριθμός \\(x\\) ώστε οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) να είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) είναι διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$x=\\dfrac{4-x+2}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow 2x=6-x $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=6 $$\n$$\\Leftrightarrow x=2$$\nβ) Οι αριθμοί \\(4-x\\), \\(x\\), \\(2\\) είναι διαδοχικοί αριθμοί γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:\n$$x^{2}=(4-x)\\cdot 2 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}=8-2x $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+2x-8=0\\ \\ \\ \\ (1)$$\nΗ εξίσωση έχει διακρίνουσα:\n$$Δ=β^{2}-4αγ$$\n$$=2^{2}-4\\cdot 1\\cdot (-8)$$\n$$=4+32=36>0$$\nΆρα η εξίσωση \\((1)\\) έχει ρίζες τις:\n$$x_{\\text{1,2}}=\\dfrac{-β\\pm \\sqrt{Δ}}{2α}$$\n$$=\\dfrac{-2\\pm \\sqrt{36}}{2\\cdot 1}$$\n$$=\\dfrac{-2\\pm 6}{2}$$\n$$=\\begin{cases} \\dfrac{-2+6}{2} =2 \\\\ \\dfrac{-2-6}{2} = - 4 \\end{cases}$$\nγ) Από τα ερωτήματα α) και β) βρίσκουμε \\(x=2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε την εξίσωση \\(|x-2|=3\\).\n(Μονάδες10)\nβ) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.\n(Μονάδες15)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ισοδύναμα:\n$$|x-2|=3$$\n$$x-2=-3 \\text{ ή } x-2=3$$\n$$x=-1 \\text{ ή } x=5$$\nβ) Μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες \\(x_{1}=-1\\) και \\(x_{2}=5\\) είναι η \\(x^{2}-Sx+P=0\\), όπου\n$$S=x_{1}+x_{2}=-1+5=4$$\nκαι\n$$P=x_{1}\\cdot x_{2}=(-1)\\cdot 5=-5$$\nΆρα \\(x^{2}-4x-5=0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Μια οικογένεια, προκειμένου να χρηματοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει να επιλέξει μεταξύ δυο προγραμμάτων που της προτείνονται:\nΓια το πρόγραμμα \\(Α\\) πρέπει να καταθέσει τον \\(1ο\\) μήνα \\(1\\) ευρώ, το \\(2ο\\) μήνα \\(2\\) ευρώ, τον \\(3ο\\) μήνα \\(4\\) ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.\nΓια το πρόγραμμα \\(Β\\) πρέπει να καταθέσει τον \\(1ο\\) μήνα \\(100\\) ευρώ, το \\(2ο\\) μήνα \\(110\\) ευρώ, τον \\(3ο\\) μήνα \\(120\\) ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει πρέπει να καταθέτει ποσό κατά \\(10\\) ευρώ μεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.\nα) Να βρείτε:\nτο ποσό \\(α_{ν}\\) που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό τον \\(ν^ο\\) (νιοστό) μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\).\nτο ποσό \\(β_{ν}\\) που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό τον \\(ν^ο\\) μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\).\nτο ποσό \\(Α_{ν}\\) που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από \\(ν\\) μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\).\nτο ποσό \\(Β_{ν}\\) που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από \\(ν\\) μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\).\nβ)\nΤι ποσό θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά τους πρώτους \\(6\\) μήνες, σύμφωνα με κάθε πρόγραμμα;\nΑν κάθε πρόγραμμα ολοκληρώνεται σε \\(12\\) μήνες, με ποιο από τα δύο προγράμματα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι μεγαλύτερο;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Από τα δεδομένα προκύπτει ότι:\nτο πρόγραμμα \\(Α\\) περιγράφεται από μια γεωμετρική πρόοδο με \\(α_{1}=1\\), \\(α_{2}=2\\), \\(α_{3}=4\\) και \\(λ=2\\). Ισχύει επομένως ότι:\n$$α_{ν}=α_{1}\\cdot λ^{1}$$\n$$=1\\cdot 2^{1}=2^{1}$$\nτο πρόγραμμα \\(Β\\) περιγράφεται από μια αριθμητική πρόοδο με \\(β_{1}=100\\), \\(β_{2}=110\\), \\(β_{3}=120\\) και \\(ω=10\\). Ισχύει επομένως ότι:\n$$β_{ν}=β_{1}+(ν-1)\\cdot ω$$\n$$=100+(ν-1)\\cdot 10$$\n$$=100+10ν-10$$\n$$=10ν+90$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει μετά από \\(ν\\) μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\) θα είναι:\n$$Α_{ν}=α_{1}\\cdot \\dfrac{λ^{ν}-1}{λ-1}$$\n$$=1\\cdot \\dfrac{2^{ν}-1}{2-1}$$\n$$=2^{ν}-1$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει μετά από \\(ν\\) μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\) θα είναι:\n$$Β_{ν}=\\dfrac{(β_{1}+β_{ν})\\cdot ν}{2}$$\n$$=\\dfrac{(100+10ν+90)\\cdot ν}{2}$$\n$$=\\dfrac{(10ν+190)\\cdot ν}{2}$$\n$$=\\dfrac{10ν^{2}+190ν}{2}$$\n$$=5ν^{2}+95ν$$\nβ)\nΤο ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\), μετά από \\(6\\) μήνες, είναι:\n$$Α_{6}=2^{6}-1=63\\ \\text{ευρώ}$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\), μετά από \\(6\\) μήνες, είναι:\n$$Β_{6}=5\\cdot 6^{2}+95\\cdot 6=180+570=750\\ \\text{ευρώ}$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Α\\), μετά από \\(12\\) μήνες, είναι:\n$$Α_{12}=2^{12}-1=4095\\ \\text{ευρώ}$$\nΤο ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα \\(Β\\), μετά από \\(12\\) μήνες:\n$$Β_{12}=5\\cdot 12^{2}+95\\cdot 12=720+1140=1860\\ \\text{ευρώ}$$\nΕπομένως, ακολουθώντας το πρόγραμμα \\(Α\\), θα έχει συγκεντρώσει μεγαλύτερο ποσό." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παράσταση \\(A=\\sqrt{1-x}-\\sqrt[4]{x^{4}}\\).\nα) Για ποιες τιμές του \\(x\\) ορίζεται η παράσταση \\(Α\\); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \\(x\\) σε μορφή διαστήματος.\nβ) Για \\(x=-3\\) να αποδείξετε ότι \\(A^{3}+A^{2}+A+1=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Πρέπει:\n$$\\begin{cases} 1-x\\ge 0 \\\\ \\text{και } x^{4}\\ge 0 \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} -x\\ge -1\\\\ \\text{και } x\\in \\mathbb{R} \\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\le 1 \\\\ \\text{και } x\\in \\mathbb{R}\\end{cases}$$\n$$\\Leftrightarrow x\\le 1$$\n$$\\Leftrightarrow x\\in (-\\infty ,1]$$\nβ) Για \\(x=-3\\), είναι:\n$$\\begin{align} A & =\\sqrt{1-(-3)}-\\sqrt[4]{(-3)^{4}}\\\\\n& =\\sqrt{1+3}-\\sqrt[4]{3^{4}}\\\\\n&=\\sqrt{4}-3 \\\\\n& =2-3 \\\\\n&=-1\\end{align}$$\nΤότε:\n$$\\begin{align} A^{3}+A^{2}+A+1 & =(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1\\\\\n& =-1+1-1+1\\\\\n& =0\\end{align}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε μια αίθουσα θεάτρου με \\(20\\) σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουμε από σειρά σε σειρά, κατά τον ίδιο πάντα αριθμό καθισμάτων. Η \\(1η\\) σειρά έχει \\(16\\) καθίσματα και η \\(7η\\) σειρά έχει \\(28\\) καθίσματα.\nα) Να δείξετε ότι οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά αυτής της προόδου.\nβ) Να βρείτε τον γενικό όρο της προόδου.\nγ) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο;\nδ) Αν στην \\(1η\\) σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν \\(6\\) κενά καθίσματα, στη \\(2η\\) υπάρχουν \\(9\\) κενά καθίσματα, στην \\(3η\\) υπάρχουν \\(12\\) κενά καθίσματα και γενικά τα κενά καθίσματα κάθε σειράς, από τη \\(2η\\) και μετά, είναι κατά \\(3\\) περισσότερα από αυτά της προηγούμενης, τότε:\nΝα βρείτε από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν μόνο κενά καθίσματα.\nΝα βρείτε πόσοι είναι οι θεατές." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή το πλήθος των καθισμάτων της κάθε σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουμε από σειρά σε σειρά κατά τον ίδιο πάντα αριθμό καθισμάτων \\(ω\\), οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\) με \\(α_{1}=16\\) και διαφορά \\(ω\\).\nΕίναι:\n$$α_{7}=28 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(7-1)ω=28 $$\n$$\\Leftrightarrow 16+6ω=28 $$\n$$\\Leftrightarrow 6ω=12 $$\n$$\\Leftrightarrow ω=2$$\nΆρα \\(α_{1}=16\\) και \\(ω=2\\).\nβ) Έχουμε:\n$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=16+(ν-1)\\cdot 2 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=16+2ν-2 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{ν}=2ν+14\\ \\text{με}\\ 1\\le ν\\le 20$$\nγ) Το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου είναι:\n$$S_{20}=\\dfrac{20}{2}[2α_{1}+(20-1)ω] $$\n$$\\Leftrightarrow S_{20}=10(2\\cdot 16+19\\cdot 2) $$\n$$\\Leftrightarrow S_{20}=10(32+38) $$\n$$\\Leftrightarrow S_{20}=10\\cdot 70 $$\n$$\\Leftrightarrow S_{20}=700$$\nδ) Ο αριθμός των κενών καθισμάτων σε κάθε σειρά είναι αριθμητική πρόοδος \\((β_{ν})\\) με \\(β_{1}=6\\) και \\(ω=3\\). Ο ν-οστός όρος που εκφράζει το πλήθος των κενών καθισμάτων είναι:\n$$β_{ν}=β_{1}+(ν-1)ω $$\n$$\\Leftrightarrow β_{ν}=6+(ν-1)\\cdot 3 $$\n$$\\Leftrightarrow β_{ν}=6+3ν-3 $$\n$$\\Leftrightarrow β_{ν}=3ν+3$$\nΆρα \\(β_{ν}=3ν+3\\) με \\(1\\le ν\\le 11\\) (διότι τα κενά καθίσματα δε μπορεί να είναι περισσότερα από τα καθίσματα της κάθε σειράς, δηλαδή πρέπει \\(β_{ν}\\le α_{ν} \\Leftrightarrow ν\\le 11\\))\nΌλα τα καθίσματα θα είναι κενά της ν-οστής σειράς, όταν:\n$$β_{ν}=α_{ν} $$\n$$\\Leftrightarrow 3ν+3=2ν+14 $$\n$$\\Leftrightarrow ν=11$$\nΆρα από την \\(11η\\) σειρά μέχρι την \\(20η\\), όλα τα καθίσματα είναι κενά.\nΤο πλήθος των κενών καθισμάτων στις \\(10\\) πρώτες σειρές είναι:\n$$S_{10}'=\\dfrac{10}{2}[2β_{1}+(10-1)ω] $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}'=5(2\\cdot 6+9\\cdot 3) $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}'=5\\cdot 39 $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}'=195$$\nΤο πλήθος των καθισμάτων στις πρώτες \\(10\\) σειρές είναι:\n$$S_{10}=\\dfrac{10}{2}[2α_{1}+(10-1)ω] $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}=5(2\\cdot 16+9\\cdot 2) $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}=5\\cdot 50 $$\n$$\\Leftrightarrow S_{10}=250$$\nΟ αριθμός των θεατών που κάθονται στις πρώτες \\(10\\) θέσεις είναι:\n$$S_{10}-S_{10}'=250-195=55$$\nΑυτός είναι και ο συνολικός αριθμός θεατών, αφού από την \\(11η\\) σειρά και μετά όλα τα καθίσματα είναι κενά." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται αριθμητική πρόοδος (\\(α_{ν}\\)) με \\(α_{3}=10\\) και \\(α_{20}=61\\).\nα) Να αποδείξετε ότι ο πρώτος όρος της προόδου είναι \\(α_{1}=4\\) και η διαφορά είναι \\(ω=3\\).\nβ) Να εξετάσετε αν ο αριθμός \\(333\\) είναι όρος της προόδου.\nγ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι \\(x\\) και \\(y\\) της παραπάνω προόδου (\\(α_{ν}\\)), τέτοιοι ώστε να ισχύει: \\(\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{y}{3}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε:\n$$\\begin{cases} α_{3}=10 \\\\ α_{20}=61 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} α_{1}+2ω=10 \\\\ α_{1}+19ω=61 \\end{cases}$$\n$$\\overset{(-)}{ \\Leftrightarrow }\\begin{cases} 17ω=51 \\\\ α_{1}+2ω=10 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} ω=3 \\\\ α_{1}=4 \\end{cases}$$\nβ) Έχουμε:\n$$α_{ν}=333 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=333 $$\n$$\\Leftrightarrow 4+(ν-1)\\cdot 3=333 $$\n$$\\Leftrightarrow (ν-1)=\\dfrac{329}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow ν=\\dfrac{332}{3}\\notin \\mathbb{N}$$\nΣυνεπώς ο \\(333\\) δεν είναι όρος της προόδου.\nγ) Εάν οι \\(x\\) και \\(y\\) είναι διαδοχικοί όροι της παραπάνω προόδου (\\(α_{ν}\\)) και εφόσον:\n$$\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{y}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=2y < 3y $$\n$$\\Leftrightarrow x < y$$\nθα ισχύει \\(y=x+3\\). Οπότε:\n$$\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{y}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{x}{2}=\\dfrac{x+3}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow 3x=2x+6 $$\n$$\\Leftrightarrow x=6$$\nΌμως ο \\(x=6\\) δεν μπορεί να είναι όρος της παραπάνω προόδου, αφού:\n$$α_{ν}=6 $$\n$$\\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=6 $$\n$$\\Leftrightarrow 4+(ν-1)\\cdot 3=6 $$\n$$\\Leftrightarrow (ν-1)=\\dfrac{2}{3} $$\n$$\\Leftrightarrow ν=\\dfrac{5}{3}\\notin \\mathbb{N}$$\nΆρα δεν υπάρχουν διαδοχικοί όροι \\(x\\) και \\(y\\) της παραπάνω προόδου ώστε να ισχύει \\(\\dfrac{x}{2}=\\dfrac{y}{3}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να λύσετε τις εξισώσεις \\(x^{2}=1\\) και \\(x^{2}=9\\).\nβ) Να διατάξετε τις λύσεις των εξισώσεων του α) ερωτήματος σε αύξουσα σειρά και στη συνέχεια:\ni. να δείξετε ότι με αυτή τη σειρά αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\) της οποίας να βρείτε τη διαφορά \\(ω\\).\nii. να δείξετε ότι ο αριθμός \\(46\\) δεν αποτελεί όρο της προόδου \\((α_{ν})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\(x^{2}=1\\) έχει λύσεις τις \\(x=1\\) ή \\(x=-1\\) ενώ η εξίσωση \\(x^{2}=9\\) έχει λύσεις τις \\(x=3\\) ή \\(x=-3\\).\nβ) Οι λύσεις των εξισώσεων του α) ερωτήματος σε αύξουσα σειρά είναι \\(-3\\), \\(-1\\), \\(1\\), \\(3\\).\ni. Αφού \\(3-1=1-(-1)=-1-(-3)=2\\) οι αριθμοί \\(-3\\), \\(-1\\), \\(1\\), \\(3\\) αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου \\((α_{ν})\\) με διαφορά \\(ω=2\\).\nii. Αφού η αριθμητική πρόοδος έχει διαφορά \\(ω=2\\) και περιέχει τους περιττούς όρους \\(1\\) και \\(3\\), όλοι οι όροι της προόδου θα είναι περιττοί και επομένως ο \\(46\\) δεν αποτελεί όρο της προόδου \\((α_{ν})\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι παραστάσεις: \\(K=2a^{2}+β^{2}\\) και \\(Λ=2αβ\\), όπου \\(α,\\ β \\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι: \\(Κ\\ge Λ,\\) για κάθε τιμή των \\(α,β\\).\nβ) Για ποιες τιμές των \\(α,\\ β\\) ισχύει η ισότητα \\(Κ=Λ;\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ισχύουν:\n$$\\begin{align} & Κ\\ge Λ \\\\\n\\Leftrightarrow & Κ−Λ\\ge 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & 2α^{2}+β^{2}−2αβ\\ge 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & α^{2}+α^{2}+β^{2}−2αβ\\ge 0 \\\\\n\\Leftrightarrow & α^{2}+(α−β)^{2}\\ge 0 \\end{align}$$\nη οποία ισχύει για κάθε \\(α,\\ β\\in \\mathbb{R}\\).\nΆρα \\(Κ\\ge Λ,\\) για κάθε τιμή των \\(α,\\ β\\).\nβ) Εκτελώντας τις πράξεις όπως στο (α) ερώτημα έχουμε ότι:\n$$\\begin{align} & Κ=Λ \\\\\n\\Leftrightarrow & α^{2}+(α−β)^{2}=0\\\\\n\\Leftrightarrow & α^{2}=0 \\text{ και } (α−β)^{2}=0\\\\\n\\Leftrightarrow & α=0 \\text{ και } α=β\\end{align}$$\nΟπότε \\(Κ=Λ\\) αν και μόνο αν \\(α=β=0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Το ποσό που θα πληρώσει (σε ευρώ) ένας κάτοικος μιας πόλης \\(Α\\) ο οποίος καταναλώνει \\(x\\) κυβικά μέτρα νερού σε ένα χρόνο, δίνεται από τη συνάρτηση:\n$$f(x)=\\begin{cases} 0,5x+12, &\\text{αν}\\ 0\\le x\\le 30 \\\\ 0,7x+6, &\\text{αν}\\ x>30 \\end{cases}$$\nα) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει κάποιος αν:\nέλλειπε από το σπίτι του και δεν έχει καταναλώσει καθόλου νερό,\nέχει καταναλώσει \\(10\\) κυβικά μέτρα νερού,\nέχει καταναλώσει \\(50\\) κυβικά μέτρα νερού.\nβ) Σε μια άλλη πόλη \\(Β\\), το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση \\(x\\) κυβικών μέτρων δίνεται από τον τύπο:\n$$g(x)=12+0,6x,\\ \\text{για}\\ x\\ge 0$$\nΈνας κάτοικος της πόλης \\(Α\\) και ένας κάτοικος της πόλης \\(Β\\) κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά μέτρα νερού. Αν ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) πλήρωσε μεγαλύτερο ποσό στο λογαριασμό του από τον κάτοικο της πόλης \\(Β\\), να αποδείξετε ότι ο κάθε ένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από \\(60\\) κυβικά μέτρα νερού." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΑν κάποιος λείπει από το σπίτι του έχει καταναλώσει \\(x=0\\) κυβικά μέτρα νερού. Επειδή \\(0\\in [0,30]\\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \\(f(x)=12+0,5x\\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:\n$$f(0)=12+0,5\\cdot 0=12\\ \\text{ευρώ}$$\nΕπειδή \\(10\\in [0,30]\\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \\(f(x)=12+0,5x\\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:\n$$f(10)=12+0,5\\cdot 10=12+5=17\\ \\text{ευρώ}$$\nΕπειδή \\(50\\in (30,+\\infty)\\) θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \\(f(x)=0,7x+6\\), οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:\n$$f(50)=0,7\\cdot 50+6=35+6=41\\ \\text{ευρώ}$$\nβ) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:\nΟ κάτοικος της πόλης \\(Α\\) κατανάλωσε \\(x\\) κυβικά μέτρα νερού με \\(x\\in [0,30]\\). Επειδή ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό, θα ισχύει:\n$$f(x)>g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 12+0,5x>12+0,6x $$\n$$\\Leftrightarrow 12-12>0,6x-0,5x $$\n$$\\Leftrightarrow 0>0,1x $$\n$$\\Leftrightarrow x < 0$$\nΆτοπο διότι \\(x\\in [0,30]\\).\nΕπομένως ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) δεν μπορεί να κατανάλωσε από \\(0\\) έως \\(30\\) κυβικά μέτρα νερού.\nΟ κάτοικος της πόλης \\(Α\\) κατανάλωσε \\(x\\) κυβικά μέτρα νερού, με \\(x\\in (30,+\\infty)\\), Επειδή ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό, θα ισχύει:\n$$f(x)>g(x) $$\n$$\\Leftrightarrow 0,7x+6>12+0,6x $$\n$$\\Leftrightarrow 0,7x-0,6x>12-6 $$\n$$\\Leftrightarrow 0,1x>60 $$\n$$\\Leftrightarrow x>60$$\nΕπομένως, τόσο ο κάτοικος της πόλης \\(Α\\) όσο και αυτός της πόλης \\(Β\\) κατανάλωσαν περισσότερα από \\(60\\) κυβικά μέτρα νερού." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \\(x,y\\) ισχύει:\n$$(x-1)^2+(y+4)^2=x^2+y^2-2x+8y+17$$\nβ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \\(x\\) και \\(y\\) ώστε:\n$$x^2+y^2-2x+8y+17=0.$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να αποδείξουμε την ζητούμενη ισότητα, θα χρησιμοποιήσουμε ευθεία απόδειξη. Έχουμε λοιπόν:\n$$(x-1)^2+(y+4)^2 =(x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)$$\n$$=x^2+y^2-2x+8y+17$$\nβ) Έχουμε διαδοχικά:\n$$x^2+y^2-2x+8y+17=0$$\n$$\\overset{(α)}{\\Leftrightarrow}(x-1)^2+(y+4)^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow (x-1)^2=0 \\text{ και }(y+4)^2=0$$\n$$\\Leftrightarrow x-1=0 \\text{ και }y+4=0$$\n$$\\Leftrightarrow x=1 \\text{ και } y=-4$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{|x-1|-|3-3x|+|2x-4|}{2}\\).\nα) Να δείξτε ότι \\(f(x)=d(x,2)-d(x,1)\\).\nβ) Αν τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς \\(1\\) και \\(2\\), να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης \\(f(x)=0\\) και να προσδιορίσετε τη λύση της.\nγ) Να λύσετε την εξίσωση \\(f(x)=0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}f(x)&=\\dfrac{|x-1|-|3-3x|+|2x-4|}{2}\\\\\n&=\\dfrac{|x-1|-3|1-x|+2|x-2|}{2}\\\\\n&=\\dfrac{|x-1|-3|x-1|+2|x-2|}{2}\\\\\n&=\\dfrac{2|x-2|-2|x-1|}{2}\\\\\n&=\\dfrac{2(|x-2|-|x-1|)}{2}\\\\\n&=|x-2|-|x-1|\\\\\n&=d(x,2)-d(x,1).\\end{align}\nβ) Η εξίσωση γράφεται\n\\begin{align}&f(x)=0\\\\\n\\iff&d(x,2)-d(x,1)=0\\\\\n\\iff&d(x,2)=d(x,1).\\end{align}\nΑν \\(M\\) το σημείο του άξονα που αντιστοιχεί στη λύση \\(x\\) της παραπάνω εξίσωσης, αυτό θα πρέπει να ισαπέχει από τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) και κατά συνέπεια θα είναι το μέσο του τμήματος \\(AB\\). Άρα \\(x=\\dfrac{3}{2}\\).\nγ) Έχουμε\n\\begin{align}&f(x)=0\\\\\n\\iff&|x-2|=|x-1|\\\\\n\\iff&x-2=x-1\\text{ ή }x-2=-x+1\\\\\n\\iff&0x-2=-1\\text{ ή }2x=3\\\\\n\\iff&0x=1\\text{ ή }x=\\frac{3}{2}.\\end{align}\nΗ πρώτη εξίσωση είναι αδύνατη. Άρα \\(x=\\dfrac{3}{2}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα μη συνευθειακά σημεία του επιπέδου \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) και τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΒΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΓΕ}\\) τέτοια ώστε \\(\\overrightarrow{ΒΔ}=\\overrightarrow{ΒΑ}+\\overrightarrow{BΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΓΕ}=\\overrightarrow{ΓΑ}+\\overrightarrow{ΓΒ}\\).\nα) i. Να δείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=\\overrightarrow{ΒΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{AE}=\\overrightarrow{ΓΒ}\\).\nii. Να δείξετε ότι τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{AE}\\) είναι αντίθετα.\nβ) Να δικαιολογήσετε γιατί τα σημεία \\(A\\), \\(Δ\\) και \\(Ε\\) είναι συνευθειακά." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Είναι\n$$\\overrightarrow{ΑΔ}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{ΒΔ}=\\overrightarrow{AB}+(\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{ΒΓ})=\\overrightarrow{ΒΓ}\\quad(1)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AE}=\\overrightarrow{ΑΓ}+\\overrightarrow{ΓΕ}=\\overrightarrow{ΑΓ}+(\\overrightarrow{ΓΑ}+\\overrightarrow{ΓΒ})=\\overrightarrow{ΓΒ}\\quad(2)$$\nii. Από τις σχέσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) συμπεραίνουμε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=-\\overrightarrow{ΑΕ}\\), δήλαδη τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΕ}\\) είναι αντίθετα.\nβ) Από το (α) ερώτημα είναι \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=(-1)\\overrightarrow{ΑΕ}\\), οπότε τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{AE}\\) είναι παράλληλα. Επιπλέον έχουν κοινό σημείο το \\(Α\\), άρα τα \\(Α\\), \\(Δ\\) και \\(Ε\\) είναι συνευθειακά." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,3), Β(-2,2)\\) και η ευθεία \\(ε: 3x+y+α=0\\) με \\(α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από το σημείο \\(Β\\).\nβ) Για ποιες τιμές του \\(α\\) η απόσταση \\(ΑΒ\\) είναι ίση με την απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\(ε\\);\nγ) Για \\(α=4\\) να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\), όπου \\(Γ\\) το σημείο τομής της ευθείας \\(ε\\) με τον άξονα \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Κάνουμε αντικατάσταση τις συντεταγμένες των σημείων \\(Α\\) και \\(Β\\) στο τύπο της απόστασης\n$$(ΑΒ)=\\sqrt{(3-2)^2+(-2-1)^2}=\\sqrt{10}.$$\nβ) Για να βρούμε τη τιμή του \\(α\\) θα λύσουμε την εξίσωση που προέρχεται από τη ισότητα\n\\begin{align}&(ΑΒ)=d(A,ε)\\\\\n\\iff&(ΑΒ)=\\frac{|Αx_0+By_0+Γ|}{\\sqrt{Α^2+Β^2}}\\\\\n\\iff&\\sqrt{10}=\\frac{|6+α|}{\\sqrt{10}}\\\\\n\\iff&|α+6|=10\\\\\n\\iff&α=4\\text{ ή }α=-16.\\end{align}\nγ) Για \\(α=4\\) η ευθεία \\(ε\\) γίνεται\n$$ε: 3x+y+4=0.$$\nΗ ευθεία τέμνει τον \\(y'y\\) για \\(x=0\\). Άρα, το σημείο τομής της \\(ε\\) με τον άξονα \\(y'y\\) είναι το \\((0,-4)\\). Άρα \\(Γ(0,-4)\\). Επίσης, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}\\). Είναι \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=(-3,-1)\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=(-1,-7)\\). Από το τύπο του εμβαδού τριγώνου \\((ΑΒΓ)=\\dfrac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{ΑΒ},\\overrightarrow{AΓ})|\\) υπολογίζουμε ότι\n\\begin{align}(ΑΒΓ)&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}-3&-1\\\\-1&-7\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 20\\\\\n&=10\\text{ τετραγωνικές μονάδες}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,1)\\) και \\(Β(2,3)\\).\nα) i) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα \\(Α,\\ Β.\\)\nii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας \\(ΑΒ\\) είναι η \\((ε): y=2x−1.\\)\nβ) Να εξετάσετε αν το σημείο \\(Γ(2^{100},5)\\) ανήκει στην ευθεία \\((ε).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) i) Η ευθεία που διέρχεται από τα \\(Α,\\ Β\\) θα έχει εξίσωση: \\(y=λx+b\\) αφού \\(x_A≠x_B.\\)\nΟ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι\n$$\\begin{align}λ_{ΑΒ} & =\\dfrac{y_B−y_A}{x_B−x_A} \\\\\n& =\\dfrac{3−1}{2−1} \\\\\n&=\\dfrac{2}{1}\\\\\n&=2.\\end{align}$$\nΆρα η ευθεία θα είναι της μορφής \\(y=2x+b.\\)\nii) Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) θα έχουμε: \\(1=2\\cdot 1+b \\Leftrightarrow b=−1\\).\nΕπομένως, η εξίσωση της ευθείας θα είναι η \\((ε):\\ y=2x−1.\\)\nβ) Αντικαθιστώντας την τεταγμένη του σημείου \\(Γ\\) στην εξίσωση της ευθείας \\((ε)\\) έχουμε: \\(5=2x−1\\Leftrightarrow x=3≠2^{100}\\)\nΆρα το σημείο \\(Γ\\) δεν ανήκει στην \\((ε).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία του επιπέδου \\(Α(-8, 1),\\ Β(4, 5)\\) και \\(Γ(-4, 9)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου \\(K\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Μα δείξετε ότι ο κύκλος (\\(C\\)) που έχε κέντρο το σημείο \\(Κ\\) κα διάμετρο το τμήμα \\(ΑΒ\\) διέρχεται από το σημείο \\(Γ\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (\\(C\\))." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(Κ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει συντεταγμένες \\(\\Bigg( \\dfrac{x_A+x_B}{2}, \\dfrac{y_A+y_B}{2} \\Bigg)\\).\nΆρα \\(Κ\\Bigg( \\dfrac{-8+4}{2}, \\dfrac{1+5}{2} \\Bigg) = (-2, 3).\\)\nβ) Αρκεί να δείξουμε ότι, το μέσο \\(Κ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) απέχει από το σημείο \\(Γ\\) απόσταση ίση με το μισό του τμήματος \\(ΑΒ\\). Δηλαδή \\(ΚΓ = \\dfrac{ΑΒ}{2}\\).\nΤο μήκος του τμήματος \\(ΑΒ\\) είναι:\n$$\\begin{align} (ΑΒ) & = \\sqrt{(-8-4)^2+(1-5)^2} \\\\\n& = \\sqrt{144+16} \\\\\n& = \\sqrt{160} \\\\\n& = 4 \\sqrt{10} \\end{align}$$\nΤο μήκος του τμήματος \\(ΚΓ\\) είναι:\n$$\\begin{align} (ΚΓ) & = \\sqrt{(-2+4)^2+(3-9)^2} \\\\\n& = \\sqrt{4+36} \\\\\n& = \\sqrt{40} \\\\\n& = 2 \\sqrt{10} \\\\\n& = \\dfrac{AB}{2}. \\end{align}$$\nγ) Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο \\(Κ(-2,3)\\) και η ακτίνα του \\(ρ= \\dfrac{ΑΒ}{2}=2 \\sqrt{10}\\).\nΆρα η εξίσωση του κύκλου είναι \\((C):\\ (x+2)^2 + (y-3)^2 = 40\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τα σημεία \\(Α(-1,2)\\), \\(Β(3,2)\\), \\(Γ(1,4)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι ορίζουν τρίγωνο.\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς \\(ΒΓ\\).\nΈστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς \\(ΒΓ\\) είναι η ευθεία \\(ε:y=x+1\\).\nγ) Να βρείτε σημείο \\(Κ\\) στην μεσοκάθετο της πλευράς \\(ΒΓ\\) που ισαπέχει από τα \\(Α\\), \\(Β\\).\nδ) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(\\overrightarrow{AB}=(4,0)\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}=(2,2)\\), και επειδή\n$$\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})=\\begin{vmatrix}4&0\\\\2&2\\end{vmatrix}=8\\neq0,$$\nτα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά, οπότε ορίζουν τρίγωνο.\nβ) Η πλευρά \\(ΒΓ\\) έχει μέσο το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{3+1}{2},\\dfrac{2+4}{2}\\right)\\), δηλαδή το \\(Μ(2,3)\\), και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_{BΓ}=\\frac{4-2}{1-3}=\\frac{2}{-2}=-1,$$\nοπότε η μεσοκάθετος \\((ε)\\) της \\(ΒΓ\\) διέρχεται από το \\(Μ\\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ=1\\). Επομένως, η εξίσωσης της ευθείας \\((ε)\\) είναι\n$$y-3=x-2\\iff y=x+1.$$\nγ) Έστω \\(K(x,y)\\) το σημείο της μεσοκάθετης που ισαπέχει από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\). Με \\(y=x+1\\), έχουμε\n\\begin{align}&(KA)=(KB)\\\\\n\\iff&(KA)^2=(KB)^2\\\\\n\\iff&(x+1)^2+(x-1)^2=(x-3)^2+(x-1)^2\\\\\n\\iff&x^2+2x+1=x^2-6x+9\\\\\n\\iff&8x=8\\\\\n\\iff&x=1,\\end{align}\nοπότε \\(y=2\\). Άρα, \\(K(1,2)\\).\nδ) Το σημείο \\(Κ\\), από τον τρόπο προσδιορισμού του, ισαπέχει από τις κορυφές \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) του τριγώνου, άρα είναι το περίκεντρό του. Σε ότι αφορά στην ακτίνα \\(ρ\\) του περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει\n\\begin{align}ρ&=(KA)\\\\\n&=\\sqrt{(-1-1)^2+(2-2)^2}\\\\\n&=\\sqrt{4}\\\\\n&=2.\\end{align}\nΕπομένως, ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) έχει εξίσωση\n$$(x-1)^2+(y-2)^2=4.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x(x-4)+y(y-2)=2(x+y-4)\\quad(1)$$\nα) Να δείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(3,2)\\) και ακτίνα \\(ρ=\\sqrt{5}\\).\nβ) Δίνονται τα σημεία \\(Α(4,4)\\) και \\(Β(2,0)\\).i. Να δείξετε ότι τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου.\nii. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου οι οποίες είναι παράλληλες στη διάμετρο \\(ΑΒ\\).\nγ) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου \\(λ\\) ώστε η ευθεία \\((η)\\) με εξίσωση \\(y=λx+4\\) να τέμνει τον παραπάνω κύκλο σε δύο σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) ώστε \\((ΓΔ)=\\sqrt{20}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η δοθείσα γράφεται:\n\\begin{align}&x^2-4x+y^2-2y=2x+2y-8\\\\\n\\iff&x^2-6x+y^2-4y=-8\\\\\n\\iff&x^2-2\\cdot 3\\cdot x+3^2+y^2-2\\cdot 2\\cdot y+2^2=3^2+2^2-8\\\\\n\\iff&(x-3)^2+(y-2)^2=5\\quad (2)\\end{align}\nΆρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(3,2)\\) και ακτίνα \\(ρ=\\sqrt{5}\\).\nβ) i. Η \\((2)\\) για \\(x=4\\) και \\(y=4\\) δίνει\n$$(4-3)^2+(4-2)^2=5\\iff 1^2+2^2=5$$\nπου ισχύει. Επίσης η \\((2)\\) για \\(x=2\\) και \\(y=0\\) δίνει\n$$(2-3)^2+(0-2)^2=5\\iff 1^2+2^2=5$$\nπου ισχύει. Συνεπώς τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι πάνω στον κύκλο. Για να είναι αντιδιαμετρικά αρκεί το κέντρο \\(Κ\\) να είναι το μέσο του τμήματος \\(ΑΒ\\). Πράγματι,\n\\begin{align}&x_K=\\frac{x_A+x_B}{2}\\\\\n\\iff&3=\\frac{4+2}{2}\\\\\n\\iff&3=3\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&y_K=\\frac{y_A+y_B}{2}\\\\\n\\iff&2=\\frac{4+0}{2}\\\\\n\\iff&2=2\\end{align}\nπου ισχύουν.ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέτρου \\(ΑΒ\\) είναι \\(λ=\\dfrac{0-4}{2-4}=2\\). Άρα και οι ζητούμενες εφαπτόμενες έχουν κλίση \\(2\\). Έστω\n$$ε:y=2x+β\\iff 2x-y+β=0$$\nη εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου. Για να εφάπτεται στον κύκλο αρκεί\n\\begin{align}&d(K,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|2\\cdot 3-2+β|}{\\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\\sqrt{5}\\\\\n\\iff&|β+4|=5\\\\\n\\iff&β+4=\\pm 5\\\\\n\\iff&β=1\\text{ ή }β=-9.\\end{align}\nΕπομένως οι εφαπτόμενες του κύκλου οι οποίες είναι παράλληλες στη διάμετρο \\(ΑΒ\\) έχουν εξισώσεις \\(ε_1: y=2x+1\\) και \\(ε_2: y=2x-9\\).\nγ) Ισχύει\n$$(ΓΔ)=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}=2ρ.$$\nΑυτό σημαίνει ότι τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) είναι αντιδιαμετρικά, δηλαδή η ευθεία \\((η)\\) πρέπει να διέρχεται από το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου. Άρα αντικαθιστώντας στην εξίσωση της \\((η)\\) τις συντεταγμένες του κέντρου \\(x=3\\) και \\(y=2\\) έχουμε\n$$2=3λ+4\\iff λ=-\\frac{2}{3}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(x-3λ)^2+(y+2λ)^2=1\\quad(1)$$\nόπου \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), και η ευθεία\n$$ε:2x+3y=0.$$\nα) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) τα κέντρα των κύκλων που προκύπτουν από την \\((1)\\) ανήκουν στην ευθεία \\(ε\\).\nβ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών \\(ε_1\\), \\(ε_2\\) που απέχουν μεταξύ τους \\(2\\) μονάδες και έχουν μεσοπαράλληλο την ευθεία \\(ε\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που προκύπτουν από την \\((1)\\) εφάπτονται σε δύο σταθερές ευθείες.\nδ) Να βρείτε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου δύο απέναντι πλευρές ανήκουν στις ευθείες \\(ε_1\\) και \\(ε_2\\), αντίστοιχα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\((1)\\) για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(3λ,-2λ)\\) που ανήκει στην ευθεία \\(ε\\), αφού\n$$2\\cdot 3λ+3\\cdot(-2λ)=6λ-6λ=0.$$\nβ) Αν \\(Μ(x,y)\\) τυχαίο σημείο μιας εκ των ευθειών \\(ε_1\\), \\(ε_2\\), τότε\n\\begin{align}&d(M,ε)=1\\\\\n\\iff&\\frac{|2x+3y|}{\\sqrt{2^2+3^2}}=1\\\\\n\\iff&|2x+3y|=\\sqrt{13},\\end{align}\nοπότε \\(2x+3y=\\sqrt{13}\\) ή \\(2x+3y=-\\sqrt{13}\\), που είναι οι ζητούμενες εξισώσεις των ευθειών \\(ε_1\\), \\(ε_2\\).\nγ) Αφού τα κέντρα \\(Κ(3λ,-2λ)\\) όλων των κύκλων που προκύπτουν από την \\((1)\\) ανήκουν στην \\(ε\\), δηλαδή στη μεσοπαράλληλο των \\(ε_1\\), \\(ε_2\\), έχουμε ότι\n$$d(K,ε_1)=d(K,ε_2)=1=ρ.$$\nΣυνεπώς όλοι οι κύκλοι που προκύπτουν από την \\((1)\\) αφάπτονται στις ευθείες \\(ε_1\\), \\(ε_2\\).\nδ) Ένα τετράγωνο του οποίου οι δύο απέναντι πλευρές ανήκουν στις ευθείες \\(ε_1\\), \\(ε_2\\) θα έχει μήκος πλευράς ίσο με την απόσταση των \\(ε_1\\), \\(ε_2\\), δηλαδή \\(2\\). Συνεπώς το εμβαδόν του θα είναι ίσο με \\(4\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) με εξισώσεις \\(x-3y=4\\) και \\(9x+3y=6\\) αντίστοιχα.\nα) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι κάθετες.\nβ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) τέμνονται στο σημείο \\(Α(1,-1)\\).\nγ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο \\(Α\\) και είναι κάθετη στον άξονα \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία \\((ε_1)\\) έχει εξίσωση \\(x-3y-4=0\\) και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_1=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{1}{-3}=\\frac{1}{3}.$$\nΗ ευθεία \\((ε_2)\\) έχει εξίσωση \\(9x+3y-6=0\\) και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_2=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{9}{3}=-3.$$\nΠαρατηρούμε ότι \\(λ_1λ_2=\\dfrac{1}{3}(-3)=-1\\). Άρα, οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι κάθετες.\nβ) Προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, οπότε\n$$10x=10\\iff x=1.$$\nΑντικαθιστούμε στην εξίσωση \\(9x+3y=6\\) και έχουμε διαδοχικά\n\\begin{align}&9+3y=6\\\\\n\\iff&3y=-3\\\\\n\\iff&y=-1.\\end{align}\nΆρα, το σημείο τομής των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι το \\(Α(1,-1)\\).\nγ) Γνωρίζουμε ότι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο \\(Α(x_0,y_0)\\) και είναι κάθετη στον άξονα \\(x'x\\) έχει εξίσωση \\(x=x_0\\). Επομένως, η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι \\(x=1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(1,2)\\) και \\(\\vec{β}=(2,3)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\vec{γ}=2\\vec{α}+\\vec{β}\\).\nβ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος \\(\\vec{γ}\\).\nγ) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\vec{α} \\cdot \\vec{γ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι: \\(\\vec{γ}=2\\vec{α}+\\vec{β}=2 \\cdot (1,2) + (2,3)=(2+2,4+3)=(4,7)\\).\nβ) Έχουμε: \\(|\\vec{γ}|=\\sqrt{4^2+7^2}=\\sqrt{16+49}=\\sqrt{65}\\).\nγ) Βρίσκουμε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\vec{α} \\cdot \\vec{γ}=(1,2) \\cdot (4,7)= 1 \\cdot 4 + 2 \\cdot 7 = 18\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι εξισώσεις\n$$λx+(λ-1)y-4=0\\quad(1)$$\nκαι\n$$(3λ+1)x-2λy-7=0\\quad(2)$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) παριστάνουν ευθείες για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), ώστε οι ευθείες με εξισώσεις \\((1)\\) και \\((2)\\) να είναι μεταξύ τους κάθετες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) αποτελεί εξίσωση ευθείας αν και μόνο αν\n\\begin{align}&λ\\neq 0\\text{ ή }λ-1\\neq0\\\\\n\\iff&λ\\neq0\\text{ ή }λ\\neq 1.\\end{align}\nΆρα, επειδή δεν υπάρχει τιμή του \\(λ\\) για την οποία να μηδενίζεται και ο συντελεστής του \\(x\\) και ο συντελεστής του \\(y\\), η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\). Ομοίως η εξίσωση \\((2)\\) αποτελεί εξίσωση ευθείας αν και μόνο αν\n\\begin{align}&3λ+1\\neq0\\text{ ή }-2λ\\neq0\\\\\n\\iff&λ\\neq-\\frac{1}{3}\\text{ ή }λ\\neq0.\\end{align}\nΆρα επειδή και πάλι δεν υπάρχει τιμή του \\(λ\\) για την οποία να μηδενίζεται και ο συντελεστής του \\(x\\) και ο συντελεστής του \\(y\\), η εξίσωση \\((2)\\) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Έστω \\(\\vec{δ}_1=(λ-1,-λ)\\) ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία με εξίσωση την \\((1)\\) και \\(\\vec{δ}_2=(-2λ,-3λ-1)\\) ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία με εξίσωση την \\((2)\\). Οι ευθείες αυτές είναι κάθετες αν και μόνο αν\n\\begin{align}&\\vec{δ}_1\\perp\\vec{δ}_2\\\\\n\\iff&\\vec{δ}_1\\cdot\\vec{δ}_2=0\\\\\n\\iff&(λ-1)(-2λ)-λ(-3λ-1)=0\\\\\n\\iff&-2λ^2+2λ+3λ^2+λ=0\\\\\n\\iff&λ^2+3λ=0\\\\\n\\iff&λ(λ+3)=0\\\\\n\\iff&λ=0\\text{ ή }λ=-3.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) θεωρούμε τα σημεία \\(A(-2,-2)\\), \\(B(0,-4)\\) και την παραβολή \\(y^2=4x\\).\nα) Να βρείτε την παράμετρο, την εστία και την διευθετούσα της παραβολής.\nβ) Να βρείτε το σημείο \\(Μ\\) της παραβολής στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην \\(ΑΒ\\).\nγ) Αν \\(Μ(1,-2)\\) και \\(Κ\\) είναι το σημείο τομής της εφαπτομένης ευθείας του προηγούμενου ερωτήματος με τον άξονα \\(x'x\\), να δείξετε ότι το τετράπλευρο \\(ΑΒΜΚ\\) είναι παραλληλόγραμμο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η γενική μορφή της εξίσωσης της παραβολής είναι \\(y^2=2px\\). Για την \\(y^2=4x\\) θα έχουμε ότι \\(2p=4\\), οπότε είναι \\(p=2\\). Η εστία της \\(Ε\\) είναι το σημείο \\(\\left(\\dfrac{p}{2},0\\right)=(1,0)\\).\nΗ διευθετούσα \\((δ)\\) έχει εξίσωση \\(x=-\\dfrac{p}{2}\\), δηλαδή \\(x=-1\\).\nβ) Η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της \\(Μ(x_1,y_1)\\) δίνεται από την εξίσωση \\(yy_1=p(x+x_1)\\), δηλαδή \\(yy_1=2(x+x_1)\\). Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης, όταν αυτός ορίζεται, είναι \\(λ_1=\\dfrac{2}{y_1}\\), ενώ ο συντελεστής διεύθυνσης της \\(ΑΒ\\) είναι\n$$λ_2=\\frac{-4-(-2)}{0-(-2)}=\\frac{-2}{2}=-1.$$\nΓια να είναι η εφαπτομένη παράλληλη στην \\(ΑΒ\\) πρέπει \\(λ_1=λ_2\\) ή \\(\\dfrac{2}{y_1}=-1\\), άρα \\(y_1=-2\\). Επειδή όμως το σημείο \\(Μ\\) ανήκει στην παραβολή, θα επαληθεύει την εξίσωσή της, δηλαδή \\(y_1^2=4x_1\\). Αντικαθιστούμε και έχουμε \\((-2)^2=4x_1\\), άρα \\(x_1=1\\). Επομένως το σημείο \\(Μ\\) θα είναι το \\((1,-2)\\).\nγ)\nΗ εφαπτομένη ευθεία \\((ε)\\) της παραβολής στο σημείο της \\(Μ(1,-2)\\) θα είναι\n\\begin{align}&yy_1=2(x+x_1)\\\\\n\\iff&-2y=2(x+1)\\\\\n\\iff&-y=x+1\\\\\n\\iff&x+y+1=0.\\end{align}\nΓια να βρούμε το σημείο τομής της με τον \\(x'x\\), βάζουμε όπου $y=0 και έχουμε \\(x=-1\\). Επομένως το σημείο τομής με τον άξονα \\(x'x\\) είναι το \\(Κ(-1.0)\\). Από το ερώτημα (β) γνωρίζουμε ότι \\(ΚΜ\\parallel ΑΒ\\). Επιπλέον,\n\\begin{align}(ΚΜ)&=\\sqrt{(x_M-x_K)^2+(y_M-y_K)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{2^2+2^2}\\\\\n&=\\sqrt{8}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}(ΑΒ)&=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(0-(-2))^2+(-4-(-2))^2}\\\\\n&=\\sqrt{2^2+2^2}\\\\\n&=\\sqrt{8}.\\end{align}\nΤα τμήματα \\(ΑΒ\\) και \\(ΚΜ\\) είναι ίσα και παράλληλα, επομένως το τετράπλευρο \\(ΑΒΜΚ\\) είναι παραλληλόγραμμο, γιατί έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2+y^2+(4-2k)x-2(1+k)y+5-2k=0\\quad(1)$$\nόπου \\(k\\in(0,+\\infty)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(M(k-2,k+1)\\) και ακτίνα \\(k\\sqrt{2}\\) για κάθε \\(k > 0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(M\\) ανήκει σε μια σταθερή ευθεία για κάθε \\(k > 0\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία \\((ε):y=-x-1\\) είναι εφαπτομένη του παραπάνω κύκλου για κάθε \\(k > 0\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Παρατηρούμε ότι η \\((1)\\) είναι στη μορφή \\(x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0\\), με\n\\begin{align} &\\phantom{{}={}}Α^2+Β^2-4Γ\\\\\n&=(4-2k)^2+[-2(1+k)]^2-4\\cdot(5-2k)\\\\\n&=16-16k+4k^2+4+8k+4k^2-20+8k\\\\\n&=8k^2.\\end{align}\nΑφού \\(Α^2+Β^2-4Γ > 0\\), η \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με ακτίνα\n$$ρ=\\frac{\\sqrt{8k^2}}{2}=\\frac{2\\sqrt{2}k}{2}=k\\sqrt{2}$$\nκαι κέντρο\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}Μ\\left(-\\frac{Α}{2} ,-\\frac{Β}{2}\\right)\\\\\n&=Μ\\left(-\\frac{4-2κ}{2}, -\\frac{-2(1+k)}{2}\\right)\\\\\n&=Μ(k-2,k+1).\\end{align}\nΚαθώς η παράμετρος \\(k\\) παίρνει άπειρες τιμές, έχουμε άπειρους κύκλους.\nβ) Ας είναι \\(x\\) η τετμημένη των σημείων \\(Μ\\) και \\(y\\) η τεταγμένη των σημείων \\(Μ\\). Τότε \\(x=k-2, y=k+1\\), ώστε \\(y=(x+2)+1\\). Άρα \\(y=x+3\\), η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία ανήκουν τα σημεία \\(Μ\\).\nγ) Προφανώς αρκεί να δείξουμε ότι η απόσταση των κέντρων \\(Μ\\) από την σταθερή ευθεία \\((ε):x+y+1=0\\) ισούται με την ακτίνα. Πράγματι\n\\begin{align}d(Μ,ε)&=\\frac{|1(k-2)+1(k+1)+1|}{\\sqrt{1^2+1^2}}\\\\\n&=\\frac{|2k|}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=k\\sqrt{2}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες\n$$ε_1: y=\\frac{2}{3}x+1$$\nκαι\n$$ε_2: x=\\frac{3}{2}y+9.$$\nα) Να αποδείξετε ότι \\(ε_1\\parallel ε_2\\).\nβ) Να υπολογίσετε την απόσταση των ευθειών \\(ε_1\\) και \\(ε_2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$ε_1: y=\\frac{2}{3}x+1$$\nμε \\(λ_{ε_1}=\\dfrac{2}{3}\\). Επίσης, η εξίσωση της \\((ε_2)\\) γράφεται\n\\begin{align}&x=\\frac{3}{2}y+9\\\\\n\\iff&2x=3y+18\\\\\n\\iff&2x-3y-18=0,\\end{align}\nμε\n$$λ_{ε_2}=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{2}{-3}=\\frac{2}{3}.$$\nΟπότε \\(λ_{ε_1}=λ_{ε_2}\\), άρα \\(ε_1\\parallel ε_2\\).\nβ) Από την εξίσωση της \\(ε_1\\), για \\(x = 3\\) βρίσκουμε \\(y = 3\\), οπότε συμπεραίνουμε ότι \\(Α(3,3)\\in ε_1\\), επομένως\n\\begin{align}d(ε_1, ε_2)&=d(Α, ε_2)\\\\\n&=\\frac{|2\\cdot 3-3\\cdot 3-18|}{\\sqrt{2^2+(-3)^2}}\\\\\n&=\\frac{|-21|}{\\sqrt{13}}\\\\\n&=\\frac{21}{\\sqrt{13}}\\\\\n&=\\frac{21\\sqrt{13}}{13}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο \\(ΑΒΓΔ\\) και έστω \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=\\vec{α}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=\\vec{β}\\). Τα σημεία \\(Ε\\) και \\(Ζ\\) είναι τέτοια ώστε \\(\\overrightarrow{AE}=-\\dfrac{1}{2}\\cdot\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{AZ}=\\dfrac{1}{3}\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{EZ}=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\vec{α}+\\dfrac{1}{3}\\vec{β}\\) και \\(\\overrightarrow{ZΓ}=\\vec{α}+\\dfrac{2}{3}\\cdot\\vec{β}\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ZΓ}=2\\overrightarrow{EZ}\\).\nγ) Να δείξετε ότι τα σημεία \\(Ζ\\), \\(Ε\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αφού είναι \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=\\vec{α}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=\\vec{β}\\), έχουμε ότι τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΕ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΖ}\\) γράφονται\n$$\\overrightarrow{AE}=-\\frac{1}{2}\\cdot\\overrightarrow{AB}=-\\frac{1}{2}\\cdot\\vec{α}$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AZ}=\\frac{1}{3}\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}=\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}.$$\nTότε για τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΕΖ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΖΓ}\\) έχουμε ότι\n\\begin{align}\\overrightarrow{EZ}&=\\overrightarrow{AZ}-\\overrightarrow{AE}\\\\\n&=\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}-(-\\frac{1}{2}\\cdot\\vec{α})\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot\\vec{α}+\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΖΓ}&=\\overrightarrow{AΓ}-\\overrightarrow{AZ}\\\\\n&=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{ΑΔ}-\\overrightarrow{AZ}\\\\\n&=\\vec{α}+\\vec{β}-\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}\\\\\n&=\\vec{α}+\\frac{2}{3}\\cdot\\vec{β}.\\end{align}\nβ) Επειδή \\(\\overrightarrow{ΕΖ}=\\frac{1}{2}\\cdot\\vec{α}+\\frac{1}{3}\\cdot\\vec{β}\\) και \\(\\overrightarrow{ΖΓ}=\\vec{α}+\\frac{2}{3}\\vec{β}\\), έχουμε ότι\n$$\\overrightarrow{ΖΓ}=\\vec{α}+\\frac{2}{3}\\cdot\\vec{β}=2\\left(\\frac{1}{2}\\vec{α}+\\frac{1}{3}\\vec{β}\\right)=2\\overrightarrow{EZ}.$$\nγ) Επειδή είναι \\(\\overrightarrow{ΖΓ}//\\overrightarrow{ΕΖ}\\) και τα διανύσματα έχουν κοινό άκρο το σημείο \\(Ζ\\), έχουμε το συμπέρασμα ότι τα σημεία \\(Ζ\\), \\(Ε\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\((C)\\) με εξίσωση:\n$$y^2=x\\quad(1)$$\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες της εστίας \\(Ε\\) και την εξίσωση της διευθετούσας \\((δ)\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Α(1,-1)\\)\tείναι σημείο της παραβολής.\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης παραβολής στο σημείο της \\(Α(1,-1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αρχικά υπολογίζουμε την παράμετρο \\(p\\) της παραβολής. Είναι\n$$2p=1\\iff p=\\frac{1}{2}.$$\nΗ εστία \\(Ε\\) της παραβολής έχει συντεταγμένες \\(E\\left(\\dfrac{p}{2},0\\right)=\\left(\\dfrac{1}{4},0\\right)\\). Η διευθετούσα \\((δ)\\) της παραβολής έχει εξίσωση \\(x=-\\dfrac{p}{2}=-\\dfrac{1}{4}\\).\nβ) Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωση της παραβολής. Για \\(x=1\\) και \\(y=-1\\) είναι \\((-1)^2=1\\). Η τελευταία ισότητα είναι αληθής, οπότε το σημείο \\(Α\\) είναι σημείο της παραβολής.\nγ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής \\(y^2=2px\\) στο σημείο της \\(Α(x_1,y_1)\\) είναι \\(yy_1=p(x+x_1)\\). Αφού δίνεται \\(Α(1,-1)\\), η ζητούμενη εξίσωση θα είναι\n$$-1\\cdot y=\\frac{1}{2}(x+1)\\iff\tx+2y+1=0.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση \\(x^2+y^2-2x+4y=-1\\).\nα) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(M(3,2)\\) βρίσκεται έξω από τον κύκλο.\nγ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από το \\(Μ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση γράφεται\n\\begin{align}&x^2-2x+1+y^2+4y+4=4\\\\\n\\iff&(x-1)^2+(y+2)^2=4\\end{align}\nοπότε παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(K(1,-2)\\) και ακτίνα \\(ρ=2\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι \\((ΚΜ) > ρ\\). Πραγματικά, είναι\n$$(ΚΜ)=\\sqrt{(3-1)^2+(2+2)^2}=\\sqrt{20}>2$$\nοπότε το \\(Μ\\) βρίσκεται έξω από τον κύκλο.\nγ) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το \\(Μ\\) είναι:\n\\(\\bullet\\) Η κατακόρυφη ευθεία \\(x=3\\). Η ευθεία αυτή απέχει από το κέντρο του κύκλου απόσταση\n$$d=\\frac{|1-3|}{\\sqrt{1+0}}=2=ρ.$$\nΆρα η κατακόρυφη ευθεία \\(x=3\\) εφάπτεται στον κύκλο.\n\\(\\bullet\\) Όλες οι μη κατακόρυφες ευθείες που είναι της μορφής \\(y-2=λ(x-3)\\), δηλαδή \\(λx-y-3λ+2=0\\). Μια τέτοια ευθεία εφάπτεται στον κύκλο, μόνο όταν η απόσταση \\(d\\) του κέντρου \\(Κ\\) από αυτή είναι ίση με την ακτίνα \\(ρ\\). Είναι:\n\\begin{align}&d=2\\\\\n\\iff&\\frac{|λ+2-3λ+2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&\\frac{|-2λ+4|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&\\frac{|λ-2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=1\\\\\n\\iff&λ^2-4λ+4=λ^2+1\\\\\n\\iff&λ=\\frac{3}{4}\\end{align}\nΕπομένως η άλλη εφαπτομένη του κύκλου που διέρχεται από το \\(Μ\\) είναι η \\(y-2=\\dfrac{3}{4}(x-3)\\) που γράφεται \\(y=\\dfrac{3}{4}x-\\dfrac{1}{4}\\).\nΣυμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι κοινές εφαπτόμενες των δυο κύκλων είναι οι ευθείες με εξισώσεις \\(x=3\\) και \\(y=\\dfrac{3}{4}x-\\dfrac{1}{4}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(0,2)\\), \\(B(3,0)\\) και \\(Γ(1,1)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\).\nβ) i. Να εξετάσετε αν τα σημεία \\(A\\), \\(B\\) και \\(Γ\\) ορίζουν τρίγωνο.\nii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Oι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι\n$$\\overrightarrow{AB}=(3-0,0-2)=(3,-2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AΓ}=(1-0,1-2)=(1,-1).$$\nβ) i. Η ορίζουσα των διανυσμάτων είναι\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})\\\\\n&=\\begin{vmatrix}3&-2\\\\1&-1\\end{vmatrix}\\\\\n&=-3+2\\\\\n&=-1.\\end{align}\nΓια να ορίζεται τρίγωνο πρέπει τα διανύσματα να μην είναι παράλληλα, διαφορετικά τα τρία σημεία θα είναι συνευθειακά. Αφού λοιπόν \\(\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})\\neq 0\\), έχουμε ότι τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) ορίζουν τρίγωνο.ii. Αφού είναι \\(\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AΓ})=-1\\), το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) είναι\n\\begin{align}(ABΓ)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AΓ})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|-1|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\text{ τ.μ.}\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Υποθέτουμε, ότι σε ένα επίπεδο που έχουμε εφοδιάσει με ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, κινούνται δύο σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\). Κάθε χρονική στιγμή \\(t\\), με \\(t\\geq 0\\), η θέση του πρώτου σημείου είναι \\(Α(t-1, 2t-1)\\) και του δευτέρου \\(Β(3t-1,-4t-1)\\).\nα) Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο σημεία.\nβ) Υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία τα δύο σημεία ταυτίζονται;\nγ) Να υπολογιστεί η απόσταση των δύο σημείων την χρονική στιγμή \\(t=2\\).\nδ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή \\(t\\) κατά την οποία η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\(ε: 4x+3y+7=0\\) ισούται με \\(6\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(Α(t-1,2t-1)\\), \\(t\\geq 0\\). Αν \\(Α(x, y)\\) τότε\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=t-1\\\\y=2t-1\\\\t\\geq 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=x+1\\\\y=2(x+1)-1\\\\x+1\\geq0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=x+1\\\\y=2x+1\\\\x\\geq -1\\end{cases}\\end{align}\nάρα το σημείο \\(Α\\) κινείται στην ημιευθεία\n$$ε_1: y=2x+1\\text{ με } x\\geq -1.$$\nΕπίσης έχουμε \\(Β(3t-1,-4t-1)\\), \\(t\\geq 0\\). Αν \\(Β(x, y)\\) τότε\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=3t-1\\\\y=-4t-1\\\\t\\geq0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=\\frac{x+1}{3}\\\\y=-4\\frac{x+1}{3}-1\\\\\\frac{x+1}{3}\\geq0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=\\frac{x+1}{3}\\\\3y=-4x-7\\\\x\\geq-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=\\frac{x+1}{3}\\\\4x+3y+7=0\\\\x\\geq-1\\end{cases}\\end{align}\nάρα το σημείο \\(Β\\) κινείται στην ημιευθεία\n$$ε_2: 4x+3y+7=0,\\text{ με } x\\geq -1.$$\nβ) Αν υπάρχει χρονική στιγμή \\(t\\geq 0\\), κατά την οποία τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) ταυτίζονται θα είναι\n\\begin{align}&\\begin{cases}x_Α=x_Β\\\\y_Α=y_Β\\\\t\\geq 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t-1=3t-1\\\\2t-1=-4t-1\\\\t\\geq 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}t=0\\\\t=0\\\\t\\geq 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&t=0,\\end{align}\nάρα τη χρονική στιγμή \\(t=0\\) τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) ταυτίζονται.\nγ) Για \\(t=2\\) είναι \\(Α(1, 3)\\) και \\(Β(5, -9)\\), οπότε\n\\begin{align}(ΑΒ)&=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(5-1)^2+(-9-3)^2}\\\\\n&=\\sqrt{4^2+(-12)^2}\\\\\n&=\\sqrt{16+144}\\\\\n&=\\sqrt{160}\\\\\n&=4\\sqrt{10}.\\end{align}\nδ) Eίναι\n\\begin{align}&d(Α, ε) = 6\\\\\n\\iff&\\frac{|4\\cdot(t-1)+3\\cdot(2t-1)+7|}{\\sqrt{4^2+3^2}}=6\\\\\n\\iff&\\frac{|10t|}{5}=6\\\\\n\\iff&|10t|=30\\\\\n\\iff&|t|=3\\\\\n\\iff&t=\\pm3,\\end{align}\nαλλά \\(t\\geq 0\\), οπότε \\(t=3\\) είναι η ζητούμενη χρονική στιγμή." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται δύο κύκλοι με εξισώσεις\n$$C_1: (x-2)^2+(y-3)^2=8$$\nκαι\n$$C_2: (x-7)^2+(y+2)^2=18.$$\nα) Να υπολογίσετε το μήκος της διακέντρου \\((ΚΛ)\\), όπου \\(Κ\\), \\(Λ\\) τα κέντρα των κύκλων \\(C_1\\), \\(C_2\\), αντίστοιχα. Ακολούθως να δείξετε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.\nβ) i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ΚΛ\\).\nii. Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_1\\) και το σημείο επαφής των δύο κύκλων.\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης των κύκλων." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο κύκλος \\(C_1\\) έχει κέντρο \\(Κ(2,3)\\) και ακτίνα \\(ρ_1=2\\sqrt{2}\\), ενώ ο κύκλος \\(C_2\\) κέντρο \\(Λ(7,-2)\\) και ακτίνα \\(ρ_2=3\\sqrt{2}\\). Οπότε έχουμε\n\\begin{align}(KΛ)&=\\sqrt{(7-2)^2+(-2-3)^2}\\\\\n&=\\sqrt{5^2+5^2}\\\\\n&=5\\sqrt{2}.\\end{align}\nΑκόμα\n$$ρ_1+ρ_2=2\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}=5\\sqrt{2},$$\nδηλαδή \\((ΚΛ)=ρ_1+ρ_2\\). Αφού η διάκεντρος των δύο κύκλων είναι ίση με το άθροισμα των ακτίνων τους, οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.\nβ) i. Έχουμε\n$$λ_{ΚΛ}=\\frac{-2-3}{7-2}=-1,$$\nοπότε\n$$KΛ: y-3=-1(x-2)\\iff y=-x+5.$$\nii. Θα βρούμε τα σημεία τομής της ευθείας \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_1\\). Έχουμε:\n\\begin{align}&\\begin{cases}(x-2)^2+(y-3)^2=8\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}(x-2)^2+(-x+2)^2=8\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}(x-2)^2=4\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x-2=\\pm 2\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=4\\text{ ή }x=0\\\\y=1\\text{ ή }y=5\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε τα κοινά σημεία της \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_1\\) είναι τα \\(Α(4,1)\\) και \\(Α'(0,5)\\). Αντίστοιχα έχουμε:\n\\begin{align}&\\begin{cases}(x-7)^2+(y+2)^2=18\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}(x-7)^2+(-x+7)^2=18\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}(x-7)^2=9\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x-7=\\pm 3\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=4\\text{ ή }x=10\\\\y=1\\text{ ή }y=-5\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε τα κοινά σημεία της ευθείας \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_2\\) είναι τα \\(Α(4,1)\\) και \\(Α΄΄(10,-5)\\). Η κοινή λύση και των δύο συστημάτων είναι το ζητούμενο σημείο επαφής των δύο κύκλων. Αλλά το κοινό σημείο της ευθείας και με τους δύο κύκλους είναι το \\(A(4,10)\\), οπότε αυτό είναι και το σημείο επαφής.\nΕναλλακτική λύση:\nΒρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας \\(ΚΛ\\) με τον κύκλο \\(C_1\\) λύνοντας το σύστημα\n\\begin{cases}(x-2)^2+(y-3)^2=8\\\\y=-x+5\\end{cases}\nκαι βρίσκουμε, όπως και στον προηγούμενο τρόπο λύσης, τα σημεία \\(Α(4,1)\\) και \\(Α'(0,5)\\). Έχουμε\n$$\\overrightarrow{ΚΛ}=(7-2,-2-3)=(5,-5)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΚΑ}=(4-2,1-3)=(2,-2),$$\nδηλαδή \\(\\overrightarrow{KA}=\\dfrac{2}{5}\\overrightarrow{ΚΛ}\\), οπότε το \\(Α\\), ως εσωτερικό σημείο του \\(ΚΛ\\), είναι το μοναδικό ζητούμενο σημείο επαφής.\nγ) Η κοινή εσωτερική εφαπτομένη \\((η)\\) των δύο κύκλων είναι κάθετη στην ευθεία \\(ΚΛ\\) και διέρχεται από το σημείο επαφής \\(Α(4,1)\\). Στο ερώτημα (β.i) έχουμε βρει ότι \\(λ_{ΚΛ}=-1\\), οπότε\n\\begin{align}&λ_{η}\\cdot λ_{ΚΛ}=-1\\\\\n\\iff&λ_η\\cdot (-1)=-1\\\\\n\\iff&λ_η=1,\\end{align}\nκαι η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων έχει εξίσωση\n$$η: y-1=1(x-4)\\iff y=x-3.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται η παραβολή \\(y^2=2px\\) και η έλλειψη \\(\\dfrac{x^2}{α^2}+\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\).\nα) Αν η παραβολή διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,2)\\), να βρείτε:i. Την εξίσωση της παραβολής.\nii. Την εστία \\(Ε\\) της παραβολής.\nβ) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης με κέντρο το \\(Ο\\), αν η μια εστία της είναι το σημείο \\(Ε(1,0)\\) και ο μεγάλος άξονας της έχει μήκος ίσο με \\(4\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η παραβολή \\(y^2=2px\\) διέρχεται από το \\(Α(1,2)\\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωσή της, δηλαδή\n$$2^2=2p\\cdot 1\\iff 4=2p\\iff p=2.$$\nΕπομένως,\n$$y^2=2\\cdot 2x\\iff y^2=4x.$$\nii. Η εστία \\(Ε\\) της παραβολής είναι \\(Ε\\left(\\dfrac{p}{2},0\\right)\\), δηλαδή \\(Ε(1,0)\\).\nβ) Μία από τις εστίες της έλλειψης είναι το σημείο \\(Ε(γ,0)\\) και ο μεγάλος άξονας έχει μήκος \\(2α\\). Αφού η εστία είναι το σημείο \\(Ε(1,0)\\), έχουμε ότι \\(γ=1\\). Επειδή ο μεγάλος άξονας έχει μήκος ίσο με \\(4\\), έχουμε ότι \\(2α=4\\), οπότε \\(α=2\\). Είναι\n\\begin{align}β^2&=α^2-γ^2\\\\\n&=2^2-1^2\\\\\n&=4-1\\\\\n&=3.\\end{align}\nΟπότε, η εξίσωση της έλλειψης γίνεται\n$$\\frac{x^2}{2^2}+\\frac{y^2}{3}=1\\iff\\frac{x^2}{4}+\\frac{y^2}{3}=1.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε διανύσματα \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\) τέτοια ώστε \\(|\\vec{α}|=3,\\ |\\vec{β}|=4\\) και \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{π}{3}\\).\nα) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\).\nβ) Να βρείτε τα \\(\\vec{α}^2\\) και \\(\\vec{β}^2\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι\n$$(3\\vec{α}-\\vec{β})\\cdot (\\vec{α}-3\\vec{β})=15.$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\) δίνεται από το τύπο\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{β}&=|\\vec{α}||\\vec{β}|συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\\\\n&=3\\cdot 4\\cdot συν\\frac{π}{3}\\\\\n&=12\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n&=6.\\end{align}\nΆρα \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=6\\).\nβ)\n$$\\vec{α}^2=|\\vec{α}|^2=3^2=9$$\nκαι\n$$\\vec{β}^2=|\\vec{β}|^2=4^2=16.$$\nγ)\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}(3\\vec{α}-\\vec{β})\\cdot(\\vec{α}-3\\vec{β})\\\\\n&=3\\vec{α}^2-\\vec{β}\\cdot\\vec{α}-9\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+3\\vec{β}^2\\\\\n&=3\\vec{α}^2-10\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+3\\vec{β}^2\\\\\n&=3\\cdot 9-10\\cdot 6+3\\cdot 16\\\\\n&=15.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\(ε_1: 3x-y=5\\) και \\(ε_2:x-y+1=0\\).\nα) Να βρεθεί το σημείο τομής τους \\(Μ\\).\nβ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο \\(Μ(3,4)\\) και είναι κάθετη στην \\((ε_2)\\).\nγ) Να βρεθεί ένα διάνυσμα παράλληλο στην \\((ε_1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να βρούμε το σημείο τομής λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων:\n\\begin{align}&\\begin{cases}3x-y=5\\\\x=y-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3(y-1)-y=5\\\\x=y-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3y-3-y=5\\\\x=y-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2y=8\\\\x=y-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=4\\\\x=3\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως το σημείο τομής είναι το \\(Μ(3,4)\\).\nβ) Η ζητούμενη ευθεία είναι κάθετη στην \\((ε_2)\\), οπότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής της ζητούμενης ευθείας και της \\((ε_2)\\) θα είναι \\(-1\\). Ο συντελεστής διεύθυνσης της \\((ε_2)\\) είναι\n$$λ_2=-\\frac{A}{B}=-\\frac{1}{-1}=1.$$\nΕπομένως ο συντελεστής διεύθυνσης \\(λ\\) της ζητούμενης ευθείας θα είναι \\(-1\\). Η ευθεία διέρχεται από το \\(Μ(3,4)\\), οπότε η εξίσωση θα είναι\n\\begin{align}&y-y_o=λ(x-x_o)\\\\\n\\iff&y-4=-1(x-3)\\\\\n\\iff&y=-x+7.\\end{align}\nγ) Ένα διάνυσμα παράλληλο στην \\(Αx+Βy+Γ=0\\) είναι το \\(\\vec{δ}=(Β,-Α)\\), οπότε για την ευθεία \\(3x-y-5=0\\) ένα διάνυσμα παράλληλο σε αυτήν είναι το \\(\\vec{δ}=(-1,-3)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Οι κορυφές \\(Α\\), \\(Γ\\) ενός τετραγώνου \\(ΑΒΓΔ\\) είναι τα σημεία \\((1,4)\\) και \\((3,0)\\), αντιστοίχως.\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΓ\\) γράφεται στη μορφή \\(y-2=\\dfrac{1}{2}(x-2).\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΑΓ\\) γράφεται στη μορφή \\((x-2)^2+(y-2)^2=5.\\)\nγ) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των δύο άλλων κορυφών \\(Β\\), \\(Δ\\) του τετραγώνου." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(Κ\\) του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΓ\\) έχει συντεταγμένες\n$$x_K=\\frac{x_A+x_Γ}{2}=\\frac{1+3}{2}=2$$\nκαι\n$$y_K=\\frac{y_A+y_Γ}{2}=\\frac{4+0}{2}=2.$$\nΟ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΓ\\) είναι ίσος με\n$$λ_1=\\frac{4-0}{1-3}=-2,$$\nκατά συνέπεια η μεσοκάθετος του τμήματος \\(ΑΓ\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ_2=\\dfrac{1}{2}.\\) Άρα η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος \\(ΑΓ\\) είναι\n$$y-2=\\frac{1}{2}(x-2).$$\nβ) Το κέντρο του κύκλου διαμέτρου \\(ΑΓ\\) είναι το σημείο \\(Κ(2,2)\\) και η ακτίνα του είναι ίση με\n\\begin{align}ρ&=(ΑΚ)\\\\\n&=\\sqrt{(1-2)^2+(4-2)^2}\\\\\n&=\\sqrt{5}.\\end{align}\nΕπομένως η εξίσωση του κύκλου διαμέτρου \\(ΑΓ\\) είναι\n$$(x-2)^2+(y-2)^2=5.$$\nγ) Οι ζητούμενες κορυφές \\(Β\\), \\(Δ\\) του τετραγώνου \\(ΑΒΓΔ\\) ισαπέχουν από τα σημεία \\(Α\\), \\(Γ\\) και βλέπουν το \\(ΑΓ\\) υπό ορθή γωνία, άρα είναι τα σημεία τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος \\(ΑΓ\\) και του κύκλου διαμέτρου \\(ΑΓ\\). Λύνουμε το σύστημα:\n$$\\begin{cases}y-2=\\frac{1}{2}(x-2)\\quad&(1)\\\\(x-2)^2+(y-2)^2=5\\quad&(2)\\end{cases}$$\nΗ εξίσωση \\((2)\\) με τη βοήθεια της \\((1)\\) γράφεται\n\\begin{align}&(x-2)^2+\\frac{1}{4}(x-2)^2=5\\\\\n\\iff&4(x-2)^2+(x-2)^2=20\\\\\n\\iff&5(x-2)^2=20\\\\\n\\iff&(x-2)^2=4\\\\\n\\iff&x-2=\\pm2\\\\\n\\iff&x=4\\text{ ή }x=0.\\end{align}\nΓια \\(x=4\\) βρίσκουμε \\(y=3\\) και για \\(x=0\\) βρίσκουμε \\(y=1.\\) Επομένως οι ζητούμενες κορυφές είναι τα σημεία \\((4,3)\\) και \\((0,1).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(-2,3)\\), \\(B(0,8)\\), \\(Γ(5,3)\\) και \\(Δ(10,5)\\). Να υπολογίσετε:\nα) το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΔ}\\).\nβ) τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{u}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{ΓΔ}\\) με τον άξονα \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(0+2,8-3)\\\\\n&=(2,5).\\end{align}\nΕπίσης:\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΓΔ}&=(x_Δ-x_Γ,y_Δ-y_Γ)\\\\\n&=(10-5,5-3)\\\\\n&=(5,2).\\end{align}\nΟπότε:\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΓΔ}&=(2,5)\\cdot(5,2)\\\\\n&=2\\cdot 5+5\\cdot 2\\\\\n&=10+10\\\\\n&=20.\\end{align}\nβ) Αν \\(ω\\) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{u}\\) με τον άξονα \\(x'x\\), τότε \\(λ_\\vec{u}=εφω\\). Είναι\n$$\\vec{u}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{ΓΔ}=(2,5)+(5,2)=(7,7),$$\nάρα\n$$λ_\\vec{u}=\\frac{y_\\vec{u}}{x_\\vec{u}}=\\frac{7}{7}=1.$$\nΕπομένως \\(εφω=1\\), άρα \\(ω=\\dfrac{π}{4}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με κορυφές \\(Α(1,7), Β(-1,5)\\) και \\(Γ(3,3)\\).\nα) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\).\nβ) Αν \\(Μ\\) είναι το μέσο της πλευράς \\(ΒΓ\\), τότε να υπολογίσετε: i. Τις συντεταγμένες του \\(Μ\\). ii. Την εξίσωση της διαμέσου \\(ΑΜ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) είναι:\n$$(ΑΒΓ)=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΒΓ})|$$\nόπου\n$$\\overrightarrow{ΑΒ}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(-1-1,5-7)=(-2,-2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΒΓ}=(x_Γ-x_B,y_Γ-y_B)=(3+1,3-5)=(4,-2).$$\nΟπότε:\n$$(ΑΒΓ)=\\frac{1}{2}|\\begin{vmatrix}-2&-2\\\\4&-2\\end{vmatrix}|=\\frac{1}{2}|4+8|=6.$$\nβ) i. Το μέσο \\(Μ\\) της πλευράς \\(ΒΓ\\) είναι:\n$$M\\left(\\frac{x_B+x_Γ}{2},\\frac{y_B+y_Γ}{2}\\right)=(1,4).$$\nii. Παρατηρούμε ότι για τα σημεία \\(Α\\) και \\(Μ\\) είναι \\(x_Μ=x_A=1\\). Επομένως, η ευθεία \\(ΑΜ\\) είναι κατακόρυφη (δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας), οπότε έχει εξίσωση \\(x=1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Στο καρτεσιανό επίπεδο δίνονται τα σημεία \\(Α(1,-1)\\), \\(Β(2,2)\\) και \\(Γ(μ-1,3μ-2)\\), \\(μ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι καθώς το \\(μ\\) διατρέχει το \\(\\mathbb{R}\\), το σημείο \\(Γ\\) κινείται στην ευθεία \\(ε: y=3x+1\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι καθώς το \\(μ\\) διατρέχει το \\(\\mathbb{R}\\), τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) είναι κορυφές τριγώνου.\nγ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) είναι σταθερό.\nδ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο \\(Β\\) και από τις οποίες το σημείο \\(Α\\) απέχει απόσταση ίση με \\(1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Καθώς το \\(μ\\) διατρέχει το \\(\\mathbb{R}\\), είναι \\(Γ(μ-1,3μ-2)\\), οπότε αν \\(Γ(x, y)\\) τότε\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=μ-1\\\\y=3μ-2\\\\μ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}μ=x+1\\\\y=3(x+1)-2\\\\μ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=3x+1\\\\μ=x+1\\\\μ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\end{align}\nεπομένως το σημείο \\(Γ\\) κινείται στην ευθεία \\(ε:y=3x+1\\).\nβ) Είναι\n\\begin{align}λ_{ΑΒ}&=\\frac{y_Β-y_Α}{x_Β-x_Α}\\\\\n&=\\frac{2-(-1)}{2-1}\\\\\n&=3\\\\\n&=λ_ε,\\end{align}\nάρα \\(ΑΒ//ε\\). Επιπλέον, για \\(x=1\\) και \\(y=-1\\) από την εξίσωση της \\((ε)\\) παίρνουμε \\(-1=3\\cdot1+1\\), που δεν ισχύει. Άρα το σημείο \\(Α\\) δεν ανήκει στην ευθεία \\(ε\\), αφού οι συντεταγμένες του δεν ικανοποιούν την εξίσωσή της. Οπότε τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά. Επομένως, καθώς το μ διατρέχει το \\(\\mathbb{R}\\), τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) είναι κορυφές τριγώνου.\nγ) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(2-1,2-(-1))\\\\\n&=(1,3)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΓ}&=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(μ-1-1,3μ-2-(-1))\\\\\n&=(μ-2,3μ-1),\\end{align}\nοπότε\n\\begin{align}(ABΓ)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}1&3\\\\μ-2&3μ-1\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|1(3μ-1)-3(μ-2)|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3μ-1-3μ+6|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|5|\\\\\n&=\\frac{5}{2},\\end{align}\nσταθερό για κάθε \\(μ\\in\\mathbb{R}\\).\nΕναλλακτικά: Λόγω των ερωτημάτων (α) και (β), το ύψος του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) από την κορυφή του \\(Γ\\) στην \\(ΑΒ\\), έχει σταθερό μήκος, ίσο με την απόσταση των παραλλήλων ευθειών \\((ε)\\) και \\(ΑΒ\\). Επίσης το μήκος του \\(ΑΒ\\) είναι σταθερό, οπότε το εμβαδό του τριγώνου είναι σταθερό.\nδ) Από το σημείο \\(Β(2,2)\\) διέρχονται οι ευθείες \\(δ':x=2\\) και \\((δ)\\) με εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_Β=λ(x-x_Β)\\\\\n\\iff&y-2=λ(x-2)\\\\\n\\iff&λx-y+2-2λ=0.\\end{align}\nΕίναι\n$$d(A,δ')=|2-x_Α|=|2-1|= 1,$$\nοπότε η ευθεία \\(δ':x=2\\) αποτελεί μια λύση στο πρόβλημα. Θα αναζητήσουμε αν στην οικογένεια ευθειών \\(δ\\) υπάρχει και άλλη ευθεία που να αποτελεί λύση στο πρόβλημα. Είναι\n\\begin{align}d(A,δ)&=\\frac{|λ\\cdot1-1\\cdot(-1)+2-2λ|}{\\sqrt{λ^2+(-1)^2}}\\\\\n&=\\frac{|λ+1+2-2λ|}{\\sqrt{λ^2+1}}\\\\\n&=\\frac{|3-λ|}{\\sqrt{λ^2+1}}.\\end{align}\nΘέλουμε\n\\begin{align}&d(A,δ)=1\\\\\n\\iff&\\frac{|3-λ|}{\\sqrt{λ^2+1}}=1\\\\\n\\iff&|3-λ|=\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&|3-λ|^2=\\sqrt{λ^2+1}^2\\\\\n\\iff&(3-λ)^2=λ^2+1\\\\\n\\iff&9-6λ+λ^2=λ^2+1\\\\\n\\iff&6λ=8\\\\\n\\iff&λ=\\frac{8}{6}=\\frac{4}{3}.\\end{align}\nΓια \\(λ=\\dfrac{4}{3}\\), η ευθεία \\((δ)\\) με εξίσωση\n$$\\frac{4}{3}x-y+2-2\\frac{4}{3}=0\\iff 4x-3y-2=0$$\nαποτελεί μία ακόμη λύση στο πρόβλημα." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$(y-1)^2=(3+x)(1-x)\\quad(1)$$\nΝα αποδείξετε ότι:\nα) Η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(-1,1)\\) και ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) Η αρχή \\(Ο(0,0)\\) των αξόνων είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου \\((Κ,R)\\).\nγ) Η ευθεία\t\\(ε:x+y=2\\) είναι\tτέμνουσα του κύκλου \\((Κ,R)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) γράφεται διαδοχικά\n\\begin{align}&(y-1)^2=(3+x)(1-x)\\\\\n\\iff&(y-1)^2=3-3x+x-x^2\\\\\n\\iff&(y-1)^2=3-2x-x^2\\\\\n\\iff&(x^2+2x+1)+(y-1)^2=4\\\\\n\\iff&(x+1)^2+(y-1)^2=4.\\end{align}\nΆρα, η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(-1,1)\\)\tκαι ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) Υπολογίζουμε την απόσταση \\(ΟΚ\\) της αρχής \\(Ο(0,0)\\) των αξόνων από το κέντρο \\(Κ(-1,1)\\) του κύκλου. Είναι\n\\begin{align}(OK)&=\\sqrt{(x_K-x_O)^2+(y_K-y_O)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(-1-0)^2+(1-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{2} < R=2.\\end{align}\nΆρα, η αρχή \\(Ο\\) των αξόνων είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου \\((Κ,R)\\).\nγ) Υπολογίζουμε την απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) του κύκλου από την ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(x+y-2=0\\). Είναι\n\\begin{align}d(K,ε)&=\\frac{|-1+1-2|}{\\sqrt{1^2+1^2}}\\\\\n&=\\frac{2}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\sqrt{2} < R=2.\\end{align}\nΆρα, η ευθεία \\((ε)\\) είναι τέμνουσα του κύκλου \\((Κ,R)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) με κορυφή \\(Α(1,4)\\). Η πλευρά \\(ΑΔ\\) έχει εξίσωση \\(3x-2y+5=0\\) και η διαγώνιος \\(ΒΔ\\) έχει εξίσωση \\(y=x+2\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η κορυφή \\(Δ\\) έχει συντεταγμένες \\(Δ(-1,1)\\).\nβ) Αν οι διαγώνιοι \\(ΑΓ\\) και \\(ΒΔ\\) του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, να βρείτε την εξίσωση της διαγωνίου \\(ΑΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες της κορυφής \\(Δ\\) προσδιορίζονται από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών \\(ΑΔ\\) και \\(ΒΔ\\) που διέρχονται από το σημείο αυτό:\n\\begin{align}&\\begin{cases}3x-2y+5=0\\\\y=x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x-2(x+2)+5=0\\\\y=x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x-2x-4+5=0\\\\y=x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=-1\\\\y=1\\end{cases}\\end{align}\nΆρα \\(Δ(-1,1)\\).\nβ) Οι διαγώνιοι \\(ΑΓ\\), \\(ΒΔ\\) του τετραπλεύρου \\(ΑΒΓΔ\\) τέμνονται κάθετα, οπότε οι συντελεστές διεύθυνσης \\(λ_{ΑΓ}\\), \\(λ_{Β∆}\\) των διαγωνίων έχουν γινόμενο ίσο με \\(-1\\), δηλαδή \\(λ_{ΑΓ} \\cdot λ_{ΒΔ} = -1\\). Όμως από την εξίσωση της διαγωνίου \\(ΒΔ\\) προκύπτει ότι \\(λ_{ΒΔ}=1\\), άρα \\(λ_{ΑΓ}=-1\\).\nΗ εξίσωση της διαγωνίου \\(ΑΓ\\) είναι επομένως\n\\begin{align}&y-y_A=λ_{ΑΓ}(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-4=-1(x-1)\\\\\n\\iff&x+y-5=0.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δύο εργοστάσια \\(A\\) και \\(B\\) τα οποία σε ένα σύστημα συντεταγμένων έχουν συντεταγμένες \\(A(2,1)\\), \\(B(4,3)\\), βρίσκονται κοντά σε μια ακτή που πρόκειται να κατασκευαστεί μια αποβάθρα και θα εξυπηρετεί τα δύο εργοστάσια.\nα) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που συνδέει τα δύο εργοστάσια.\nβ) Αν η ακτή είναι ευθύγραμμη με εξίσωση \\(ε:y=2x-7\\), να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου της ακτής στο οποίο πρέπει να τοποθετηθεί η αποβάθρα ώστε να απέχει εξ ίσου από τα δύο εργοστάσια.\nγ) Αν το ζητούμενο σημείο του ερωτήματος (β) είναι \\(N(4,1)\\), να βρείτε πόσο απέχει το κάθε εργοστάσιο από το σημείο αυτό." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση της ευθείας \\(AB\\) που συνδέει τα δύο εργοστάσια είναι\n\\begin{align}&y-1=\\frac{3-1}{4-2}\\cdot (x-2)\\\\\n\\iff&y-1=1\\cdot (x-2)\\\\\n\\iff&y=x-1.\\end{align}\nβ) Το σημείο της ακτής που απέχει εξ ίσου από τα δύο εργοστάσια είναι το σημείο τομής της ευθύγραμμης ακτής με τη μεσοκάθετο της \\(AB\\). Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου \\(M(x_M,y_M)\\) της \\(AB\\). Είναι \\(x_M=\\dfrac{2+4}{2}=3\\) και \\(y_M=\\dfrac{1+3}{2}=2\\). Άρα \\(M(3,2)\\). Ο συντελεστής διεύθυνσης της \\(AB\\) είναι \\(λ=1\\). Η μεσοκάθετος \\(ε'\\) της \\(ΑΒ\\) θα έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ'\\) για τον οποίο θα ισχύει\n$$λ\\cdot λ'=-1\\iff λ'=-1.$$\nΕπομένως η εξίσωση της μεσοκαθέτου \\(ε'\\) είναι\n$$y-2=-1(x-3)\\iff y=-x+5.$$\nΛύνουμε το σύστημα:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=2x-7\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2x-7=-x+5\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x=12\\\\y=-x+5\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=4\\\\y=1\\end{cases}\\end{align}\nΆρα το ζητούμενο σημείο είναι το \\(N(4,1)\\).\nγ) Η απόσταση του καθενός από τα δύο εργοστάσια από το σημείο \\(N\\) της ακτής είναι\n\\begin{align}(BN)&=(AN)\\\\\n&=\\sqrt{(2-4)^2+(1-1)^2}\\\\\n&=\\sqrt{2^2+0^2}\\\\\n&=2.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) και σημείο του επιπέδου \\(Μ\\), τέτοιο ώστε\n$$\\overrightarrow{AB}-2\\overrightarrow{AM}+\\overrightarrow{ΑΓ}=\\vec{0}.$$\nα) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Β\\), \\(Γ\\), \\(Μ\\) είναι συνευθειακά.\nβ) Να αποδείξετε ότι το \\(Μ\\) είναι το μέσο του \\(ΒΓ\\).\nγ) Έστω πραγματικοί αριθμοί \\(κ\\), \\(λ\\) τέτοιοι ώστε \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}=κ\\) και \\(\\overrightarrow{AM}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}=λ\\). Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι για τα μη παράλληλα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\), \\(\\overrightarrow{AB}\\) ισχύει ότι \\(κ\\overrightarrow{ΑΓ}=λ\\overrightarrow{AB}\\), τότε:i. Να αποδείξετε ότι \\(κ=λ=0\\).\nii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Να προσδιορίσετε την ορθή γωνία και τις πλευρές που είναι ίσες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αρκεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει \\(μ\\in\\mathbb{R}\\) έτσι ώστε \\(\\overrightarrow{BΓ}=μ\\overrightarrow{BM}\\). Πράγματι, θεωρώντας το \\(Β\\) ως σημείο αναφοράς, είναι:\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AB}-2\\overrightarrow{AM}+\\overrightarrow{ΑΓ}=\\vec{0}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{AB}-2(\\overrightarrow{BM}-\\overrightarrow{BA})+(\\overrightarrow{BΓ}-\\overrightarrow{BA})=\\vec{0}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{AB}+2\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{BΓ}-\\overrightarrow{BA}=2\\overrightarrow{BM}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{BΓ}=2\\overrightarrow{BM}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{ΒΓ}=2\\overrightarrow{BM}.\\end{align}\nβ) Το \\(Μ\\) είναι το μέσο του τμήματος \\(ΒΓ\\), διότι\n\\begin{align}&\\overrightarrow{BΓ}=2\\overrightarrow{BM}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{BΓ}-\\overrightarrow{BM}=\\overrightarrow{BM}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{ΜΓ}=\\overrightarrow{BM}.\\end{align}\nγ) i. Επειδή τα σημεία \\(A\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) ως κορυφές τριγώνου δεν είναι συνευθειακά, έχουμε ότι τα μη μηδενικά διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) δεν είναι παράλληλα. Είναι \\(κ\\overrightarrow{AΓ}=λ\\overrightarrow{AB}\\). Αν \\(κ\\neq 0\\), τότε\n\\begin{align}&κ\\overrightarrow{AΓ}=λ\\overrightarrow{AB}\\\\\n\\implies&\\overrightarrow{AΓ}=\\frac{λ}{κ}\\overrightarrow{AB}\\\\\n\\implies&\\overrightarrow{ΑΓ}\\parallel \\overrightarrow{AB}.\\end{align}\nΑν \\(λ\\neq 0\\), τότε\n\\begin{align}&κ\\overrightarrow{ΑΓ}=λ\\overrightarrow{ΑΒ}\\\\\n\\implies&\\overrightarrow{AB}=\\frac{κ}{λ}\\overrightarrow{AΓ}\\\\\n\\implies&\\overrightarrow{AΓ}\\parallel \\overrightarrow{AB}.\\end{align}\nΕπομένως πρέπει \\(κ=λ=0\\).ii) Είναι:\n$$\\begin{cases}\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}=0\\\\\\overrightarrow{AM}\\cdot\\overrightarrow{BΓ}=0\\end{cases}\nΑφού \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}=0\\) έπεται ότι τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) είναι κάθετα. Επομένως, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με \\(\\hat{A}=90^o\\). Αφού \\(\\overrightarrow{AM}\\cdot\\overrightarrow{BΓ}\\), έπεται ότι η διάμεσος \\(ΑΜ\\) του ορθογώνιου τριγώνου είναι κάθετη στην πλευρά \\(ΒΓ\\), δηλαδή είναι και ύψος. Ως εκ τούτου το τρίγωνο είναι και ισοσκελές με \\(AB=AΓ\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\((ε_1), (ε_2)\\) και \\((ε_3)\\) με εξισώσεις \\(x-2y=-1\\), \\(2x+y=4\\) και \\(y=-1\\) αντίστοιχα.\nα) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι κάθετες.\nβ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1)\\)\tκαι \\((ε_2)\\)\tτέμνονται στο σημείο \\(Α\\left(\\dfrac{7}{5},\\dfrac{6}{5}\\right)\\).\nγ) Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\((ε_3)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία \\((ε_1)\\) έχει εξίσωση \\(x-2y+1=0\\) και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_1=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{1}{-2}=\\frac{1}{2}.$$\nΗ ευθεία \\((ε_2)\\) έχει εξίσωση \\(2x+y-4=0\\) και συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_2=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{2}{1}=-2.$$\nΠαρατηρούμε ότι \\(λ_1λ_2=\\dfrac{1}{2}(-2)=-1\\). Άρα, οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι κάθετες.\nβ) Για το σημείο τομής των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\), λύνουμε αρχικά την εξίσωση \\(x-2y+1=0\\) ως προς \\(x\\), οπότε \\(x=2y-1\\). Αντικαθιστούμε στην εξίσωση \\(2x+y-4=0\\) και έχουμε διαδοχικά\n\\begin{align}&2(2y-1)+y-4=0\\\\\n\\iff&4y-2+y-4=0\\\\\n\\iff&5y=6\\\\\n\\iff&y=\\frac{6}{5}.\\end{align}\nΤότε είναι\n$$x=\\frac{12}{5}-1=\\frac{7}{5}.$$\nΆρα, το σημείο τομής των \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι \\(Α\\left(\\dfrac{7}{5},\\dfrac{6}{5}\\right)\\).\nγ) Η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\((ε_3)\\) με εξίσωση \\(y+1=0\\) είναι\n$$d(Α,ε_3)=\\frac{|0\\cdot\\frac{7}{5}+\\frac{6}{5}+1|}{\\sqrt{0^2+1^2}}=\\frac{11}{5}$$." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$x^2+y^2-x-y-\\frac{7}{2}=0\\quad(1)$$\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(K\\left(\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)\\) και ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το\tσημείο \\(Α\\left(\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{3}{2}\\right)\\) είναι σημείο του κύκλου \\((Κ,R)\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου \\((Κ,R)\\) στο \\(Α\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής\n$$x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0,$$\nμε \\(Α=-1\\), \\(Β=-1\\), \\(Γ=-\\dfrac{7}{2}\\). Είναι\n$$Α^2+Β^2-4Γ=1+1+14=16 > 0,$$\nεπομένως η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο\n$$K\\left(-\\frac{A}{2},-\\frac{B}{2}\\right)$$\nή\n$$K\\left(\\frac{1}{2},\\frac{1}{2}\\right)$$\nκαι ακτίνα\n\\begin{align}R&=\\frac{\\sqrt{Α^2+Β^2-4Γ}}{2}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{16}}{2}\\\\\n&=2.\\end{align}\nβ) Οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου, αφού\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2+\\left(-\\frac{3}{2}\\right)^2-\\frac{1}{2}-\\left(-\\frac{3}{2}\\right)-\\frac{7}{2}\\\\\n&=\\frac{1}{4}+\\frac{9}{4}-\\frac{1}{2}+\\frac{3}{2}-\\frac{7}{2}\\\\\n&=\\frac{10}{4}-\\frac{5}{2}\\\\\n&=0.\\end{align}\nΆρα, το σημείο \\(Α\\) είναι σημείο του κύκλου \\((Κ,R)\\).\nγ) Η εφαπτομένη του κύκλου \\((Κ,R)\\) στο \\(Α\\) είναι κάθετη στην ακτίνα \\(ΚΑ\\). Αφού είναι \\(x_K=x_A\\), η ακτίνα \\(ΚΑ\\) είναι κάθετη στον άξονα \\(x'x\\), οπότε η εφαπτομένη του κύκλου στο \\(Α\\) θα είναι παράλληλη στον άξονα \\(x'x\\). Άρα, θα έχει εξίσωση \\(y=y_A=-\\dfrac{3}{2}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(-2,0)\\) και \\(Β(2,-2)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου \\(Κ\\) και το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Να δείξετε ότι ο κύκλος \\(C\\) με διάμετρο \\(ΑΒ\\) έχει εξίσωση \\(C:x^2+(y+1)^2=5\\).\nγ) Να δείξετε ότι τα σημεία \\(M(x,y)\\) του επιπέδου για τα οποία \\((AMB)=5\\) ανήκουν στις ευθείες \\(ε_1:x+2y-3=0\\) και \\(ε_2:x+2y+7=0\\).\nδ) Να δείξετε ότι οι ευθείες \\(ε_1\\) και \\(ε_2\\) εφάπτονται του κύκλου \\(C\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(K\\) του τμήματος \\(AB\\) έχει συντεταγμένες \\(\\left(\\dfrac{-2+2}{2},\\dfrac{0-2}{2}\\right)\\), δηλαδή \\((0,-1)\\). Το μέτρο του διανύσματος \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι\n\\begin{align}|\\overrightarrow{AB}|&=\\sqrt{(2-(-2))^2+(-2-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{4^2+2^2}\\\\\n&=\\sqrt{20}\\\\\n&=2\\sqrt{5}.\\end{align}\nβ) Ο κύκλος \\(C\\) με διάμετρο \\(AB\\) έχει κέντρο \\(K(0,-1)\\) και ακτίνα \\(ρ=\\dfrac{|\\overrightarrow{AB}|}{2}=\\sqrt{5}\\). Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι\n$$C:x^2+(y+1)^2=5.$$\nγ) Έστω \\(M(x,y)\\). Τότε \\((ABM)=\\dfrac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AM})|\\) με \\(\\overrightarrow{AM}=(x+2,y)\\) και \\(\\overrightarrow{AB}=(4,-2)\\). Οπότε:\n\\begin{align}&\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AM})|=5\\\\\n\\iff&|\\!\\begin{vmatrix}4&-2\\\\x+2&y\\end{vmatrix}|=10\\\\\n\\iff&|4y+2(x+2)|=10\\\\\n\\iff&\\begin{cases}4y+2x+4=10\\\\\\text{ή}\\\\4y+2x+4=-10\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2x+4y-6=0\\\\\\text{ή}\\\\2x+4y+14=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x+2y-3=0\\\\\\text{ή}\\\\x+2y+7=0\\end{cases}\\end{align}\nδ) Για να εφάπτονται οι \\(ε_1\\) και \\(ε_2\\) στο κύκλο \\(C\\) πρέπει\n$$d(K,ε_1)=d(K,ε_2)=\\sqrt{5}.$$\nΕίναι\n\\begin{align}d(K,ε_1)&=\\frac{|0+2(-1)-3|}{\\sqrt{1^2+2^2}}\\\\\n&=\\frac{5}{\\sqrt{5}}\\\\\n&=\\sqrt{5}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}d(K,ε_1)&=\\frac{|0+2(-1)+7|}{\\sqrt{1^2+2^2}}\\\\\n&=\\frac{5}{\\sqrt{5}}\\\\\n&=\\sqrt{5}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Μία φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο \\(A(2,3)\\) και προσπίπτουσα στην ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(x+y+1=0\\), μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο \\(M(1,1)\\).\nα) i. Να αποδείξετε ότι η προβολή του σημείου \\(A\\) πάνω στην ευθεία \\((ε)\\) είναι το σημείο \\(Π(-1,0)\\).\nii. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου \\(A\\) ως προς την ευθεία \\((ε)\\), είναι το σημείο \\(Α'(-4,-3)\\).\nβ) i. Αν γνωρίζετε ότι η ανακλώμενη ακτίνα είναι η ευθεία \\((ε_2)\\), η οποία διέρχεται από τα σημεία \\(Α'\\), \\(Σ\\), \\(Μ\\), τότε να βρείτε την εξίσωσή της.\nii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου πρόσπτωσης \\(Σ\\) της φωτεινής ακτίνας \\((ε_1)\\) πάνω στην ευθεία \\((ε)\\).\nγ) Αν \\(Σ\\left(-\\dfrac{2}{3},-\\dfrac{1}{3}\\right)\\), τότε να βρείτε την εξίσωση της προσπίπτουσας ακτίνας \\((ε_1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Αφού η κλίση της \\((ε)\\) είναι \\(λ_ε=-1\\), έχουμε \\(λ_{ΑΠ}=1\\) γιατί η \\(ΑΠ\\) είναι κάθετη στην \\((ε)\\). Έτσι, η \\(ΑΠ\\) έχει εξίσωση \\(y-3=1\\cdot (x-2)\\), δηλαδή\n$$ΑΠ:y=x+1.$$\nΟι συντεταγμένες του σημείου \\(Π\\) προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=x+1\\\\x+y+1=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x+1\\\\2x+2=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=0\\\\x=-1\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως, \\(Π(-1,0)\\).ii. Το \\(Π\\) είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος \\(AA'\\), και ως εκ τούτου είναι\n\\begin{align}&\\begin{cases}\\dfrac{x+2}{2}=-1\\\\\n\\dfrac{y+3}{2}=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=-4\\\\y=-3\\end{cases}\\end{align}\nδηλαδή \\(A'(-4,-3)\\).\nβ) i. Η \\((ε_2)\\) είναι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(Α'(-4,-3)\\) και \\(Μ(1,1)\\), δηλαδή έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-1=\\dfrac{-3-1}{-4-1}(x-1)\\\\\n\\iff&4x-5y+1=0.\\end{align}\nii. Οι συντεταγμένες του σημείου \\(Σ\\), δηλαδή του σημείου πρόσπτωσης της φωτεινής ακτίνας πάνω στην ευθεία \\((ε)\\), προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος των ευθειών \\((ε)\\) και \\((ε_2)\\):\n\\begin{align}&\\begin{cases}x+y+1=0\\\\4x-5y+1=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}-4x-4y-4=0\\\\4x-5y+1=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x+y+1=0\\\\-9y-3=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x-\\dfrac{1}{3}+1=0\\\\y=-\\dfrac{1}{3}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=-\\dfrac{2}{3}\\\\y=-\\dfrac{1}{3}\\end{cases}\\end{align}\nΆρα \\(Σ\\left(-\\dfrac{2}{3},-\\dfrac{1}{3}\\right)\\).\nγ) Η \\((ε_1)\\) είναι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(Α(2,3)\\) και \\(Σ\\left(-\\dfrac{2}{3},-\\dfrac{1}{3}\\right)\\), δηλαδή έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-3=\\dfrac{3+\\frac{1}{3}}{2+\\frac{2}{3}}(x-2)\\\\\n\\iff&5x-4y+2=0.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία του επιπέδου \\(Α(1,1), Β(4,4)\\) και \\(Γ(3,1)\\).\nα) Να δείξετε ότι τα σημεία αυτά ορίζουν τρίγωνο.\nβ) Να δείξετε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος \\(ΒΓ\\) είναι η ευθεία \\(ε: y=-\\dfrac{1}{3}x+\\dfrac{11}{3}\\).\nγ) Να βρείτε σημείο \\(Κ\\) της ευθείας \\((ε)\\) του (β) ερωτήματος τέτοιο ώστε \\((ΚΑ)=(ΚΒ)\\). Τι ιδιότητα έχει το σημείο \\(Κ\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Θα δείξουμε ότι τα σημεία \\(Α,Β\\) και \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά. Είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{4-1}{4-1}=1$$\nκαι\n$$λ_{ΒΓ}=\\frac{1-4}{3-4}=3.$$\nΑφού \\(λ_{ΑΒ}\\neq λ_{ΒΓ}\\), τα σημεία \\(Α,Β\\) και \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά.\nβ) Για το μέσον \\(Μ\\) της \\(ΒΓ\\) έχουμε\n$$x_Μ=\\frac{x_Β+x_Γ}{2}=\\frac{4+3}{2}=\\frac{7}{2}$$\nκαι\n$$y_M=\\frac{y_Β+y_Γ}{2}=\\frac{4+1}{2}=\\frac{5}{2}.$$\nΆρα \\(Μ\\left(\\dfrac{7}{2},\\dfrac{5}{2}\\right)\\). Ακόμα,\n\\begin{align}&λ_ε\\cdot λ_{ΒΓ}=-1\\\\\n\\iff&λ_ε\\cdot 3=-1\\\\\n\\iff&λ_ε=-\\frac{1}{3}.\\end{align}\nΈχουμε\n$$ε:y-\\frac{5}{2}=-\\frac{1}{3}(x-\\frac{7}{2})\\iff y=-\\frac{1}{3}x+\\frac{11}{3}.$$\nγ) Το σημείο \\(Κ(x,y)\\) ανήκει στην ευθεία \\((ε)\\) αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του απαληθεύουν την εξίσωσή της, άρα \\(Κ\\left(x,-\\dfrac{1}{3}x+\\dfrac{11}{3}\\right)\\). Έχουμε\n\\begin{align}&(ΚΑ)=(ΚΒ)\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x-1)^2+\\left(1+\\frac{1}{3}x-\\frac{11}{3}\\right)^2}=\\sqrt{(x-4)^2+\\left(4+\\frac{1}{3}x-\\frac{11}{3}\\right)^2}\\\\\n\\iff&(x-1)^2+\\left(\\frac{1}{3}x-\\frac{8}{3}\\right)^2=(x-4)^2+\\left(\\frac{1}{3}x+\\frac{1}{3}\\right)^2\\\\\n\\iff&(x-4)^2-(x-1)^2=\\left(\\frac{1}{3}x-\\frac{8}{3}\\right)^2-\\left(\\frac{1}{3}x+\\frac{1}{3}\\right)^2\\\\\n\\iff&-3(2x-5)=-3\\left(\\frac{2}{3}x-\\frac{7}{3}\\right)\\\\\n\\iff&2x-5=\\frac{2}{3}x-\\frac{7}{3}\\\\\n\\iff&6x-15=2x-7\\\\\n\\iff&4x=8\\\\\n\\iff&x=2.\\end{align}\nΟπότε\n$$y=-\\frac{1}{3}\\cdot 2+\\frac{11}{3}=3,$$\nδηλαδή \\(Κ(2,3)\\).\nΤο \\(Κ(2,3)\\) ως σημείο της μεσοκαθέτου του \\(ΒΓ\\) ισαπέχει από τα άκρα του, \\(Β\\) και \\(Γ\\). Επιπλέον, \\((ΚΑ)=(ΚΒ)\\). Άρα τελικά \\((ΚΑ)=(ΚΒ)=(ΚΓ)\\), οπότε το σημείο \\(Κ\\) είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω κύκλος \\(C\\) με κέντρο \\(K(1,2)\\) και ακτίνα \\(ρ=2\\) και ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(3x+4y-1=0\\).\nα) Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου \\(C.\\)\nβ) Να δείξετε ότι η απόσταση του κέντρου \\(K(1, 2)\\) από την ευθεία \\((ε)\\) είναι ίση με \\(2.\\)\nγ) Να δείξετε ότι η ευθεία \\((ε)\\) εφάπτεται στον κύκλο \\(C.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(C:\\ (x-1)^2+(y-2)^2=4.\\)\nβ) Είναι \\(d(K,ε)=\\dfrac{|3\\cdot 1+4\\cdot 2-1|}{\\sqrt{3^2+4^2}}=2\\)\nγ) Αφού \\(d(K,ε)=2=ρ\\) η ευθεία \\((ε)\\) εφάπτεται στον κύκλο \\(C.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο κύκλος \\(C:\\ x^2+y^2-2x-4y+1=0\\) με κέντρο \\(K(1,2)\\) και η ευθεία \\((ε):\\ 3x+4y+1=0.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κύκλου \\(C\\) είναι \\(ρ=2\\). \nβ) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) από την ευθεία \\((ε)\\) είναι \\(\\dfrac{12}{5}\\).\nγ) Να αιτιολογήσετε γιατί η ευθεία \\((ε)\\) και ο κύκλος \\(C\\) δεν έχουν κοινά σημεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$\\begin{align} ρ & =\\dfrac{\\sqrt{Α^2+Β^2-4Γ}}{2}\\\\\n&=\\dfrac{\\sqrt{(-2)^2+(-4)^2-4\\cdot 1}}{2}\\\\\n&=2.\\end{align}$$\nβ) Είναι\n$$d(Κ,ε)=\\dfrac{|3\\cdot 1+4\\cdot 2+1|}{\\sqrt{3^2+4^2}}=\\dfrac{12}{5}.$$\nγ) Αφού \\(d(Κ,ε)=\\dfrac{12}{5}>ρ\\) η ευθεία \\((ε)\\) και ο κύκλος \\(C\\) δεν έχουν κοινά σημεία." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,3), Β(-2,2)\\) και η ευθεία \\((ε): 3x+y+α=0\\), με \\(α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε για ποια τιμή του \\(α\\), η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από το σημείο \\(Β\\) είναι ίση με την απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\((ε)\\).\nβ) Για α=4:i. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\), όπου \\(Γ\\) το σημείο τομής της ευθείας \\((ε)\\) με τον άξονα \\(y'y\\).\nii. Να βρείτε το σημείο της ευθείας \\((ε)\\) που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων." }, { "from": "assistant", "value": "α) Σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε\n\\begin{align}&(ΑΒ)=d(A,ε)\\\\\n\\iff&\\sqrt{(-2-1)^2+(2-3)^2}=\\frac{|3\\cdot 1+1\\cdot 3+α|}{\\sqrt{3^2+1^2}}\\\\\n\\iff&\\sqrt{10}=\\frac{|6+α|}{\\sqrt{10}}\\\\\n\\iff&|α+6|=10\\\\\n\\iff&α+6=10\\text{ ή }α+6=-10\\\\\n\\iff&α=4\\text{ ή }α=-16.\\end{align}\nβ) Για \\(α=4\\) έχουμε \\(ε: 3x+y+4 =0\\).i. Η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(Γ\\) και για \\(x=0\\) έχουμε \\(y=-4\\). Επομένως, οι συντεταγμένες του \\(Γ\\) είναι \\((0,-4)\\). Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\). Είναι \\(\\overrightarrow{AB}=(-3,-1)\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=(-1,-7)\\). Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου \\((ΑΒΓ)=\\dfrac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})|\\) υπολογίζουμε ότι\n\\begin{align}(ΑΒΓ)&=\\frac{1}{2}|\\begin{vmatrix}-3&-1\\\\-1&-7\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 20\\\\\n&=10\\text{ τετραγωνικές μονάδες.}\\end{align}\nii.\nΣχεδιάζουμε σε ένα σύστημα αξόνων την ευθεία \\((ε)\\) και το σημείο που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων, είναι το σημείο τομής της ευθείας \\((ε)\\) με την ευθεία \\((δ)\\) που είναι κάθετη στην \\((ε)\\) και διέρχεται από το \\(Ο\\).\nΓια να υπολογίσουμε το ζητούμενο σημείο αρκεί να βρούμε την εξίσωση της ευθείας \\((δ)\\) και να λύσουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων. Επειδή \\(λ_ε=-3\\) και \\(λ_ε\\cdot λ_δ=-1\\), έχουμε \\(λ_δ=\\dfrac{1}{3}\\). Η ευθεία \\((δ)\\) διέρχεται από το \\((0,0)\\), άρα \\(δ:y=\\dfrac{1}{3}x\\). Από τη λύση του συστήματος\n\\begin{cases}3x+y+4 =0\\\\y=\\frac{1}{3}x\\end{cases}\nβρίσκουμε το κοινό σημείο \\(\\left(-\\dfrac{6}{5},-\\dfrac{2}{5}\\right)\\), που είναι το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Στο καρτεσιανό επίπεδο \\(Oxy\\), με μοναδιαία διανύσματα των αξόνων \\(x'x\\), \\(y'y\\) τα \\(\\vec{i}\\), \\(\\vec{j}\\), αντίστοιχα, τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) έχουν διανύσματα θέσεως \\(\\overrightarrow{OA}=3\\vec{i}+2\\vec{j}\\) και \\(\\overrightarrow{OB}=6\\vec{i}-\\vec{j}.\\) Έστω \\(Μ\\) ένα σημείο τέτοιο ώστε \\(\\overrightarrow{OM}=\\frac{1}{5}(2\\overrightarrow{OA}-\\overrightarrow{OB}).\\)\nα) Να δείξετε ότι:i. \\(\\overrightarrow{AB}=3\\vec{i}-3\\vec{j}.\\)\nii. \\(\\overrightarrow{OM}=\\vec{j}.\\)\nβ) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{OM}.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:i.\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=\\overrightarrow{OB}-\\overrightarrow{OA}\\\\\n&=6\\vec{i}-\\vec{j}-(3\\vec{i}+2\\vec{j})\\\\\n&=6\\vec{i}-\\vec{j}-3\\vec{i}-2\\vec{j}\\\\\n&=3\\vec{i}-3\\vec{j}.\\end{align}\nii.\n\\begin{align}\\overrightarrow{OM}&=\\frac{1}{5}(2\\overrightarrow{OA}-\\overrightarrow{OB})\\\\\n&=\\frac{1}{5}(2(3\\vec{i}+2\\vec{j})-(6\\vec{i}-\\vec{j}))\\\\\n&=\\frac{1}{5}(6\\vec{i}+4\\vec{j}-6\\vec{i}+\\vec{j})\\\\\n&=\\frac{1}{5}5\\vec{j}\\\\\n&=\\vec{j}.\\end{align}\nβ) Για τα μοναδιαία διανύσματα \\(\\vec{i}\\) και \\(\\vec{j}\\) ισχύουν \\(\\vec{i}\\cdot\\vec{j}=0\\) και \\(\\vec{j}^2=1\\). Επομένως,\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{OM}&=(3\\vec{i}-3\\vec{j})\\cdot\\vec{j}\\\\\n&=3\\vec{i}\\cdot\\vec{j}-3\\vec{j}^2\\\\\n&=3\\cdot 0-3\\cdot 1\\\\\n&=-3.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(-1,3)\\), \\(\\vec{β}=(-2,-\\dfrac{1}{2})\\) και \\(\\vec{v}=(x^2,x-1)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\vec{u}=\\vec{α}-2\\vec{β}\\).\nβ) Να βρείτε τους αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους τα διανύσματα \\(\\vec{u}=(3,4)\\) και \\(\\vec{v}\\) είναι κάθετα.\nγ) Να βρείτε τους αριθμούς \\(x\\) για τους οποίους τα διανύσματα \\(\\vec{v}\\) και \\(\\vec{β}\\) είναι συγγραμμικά." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\vec{u}&=\\vec{α}-2\\vec{β}\\\\\n&=(-1,3)-2(-2,-\\frac{1}{2})\\\\\n&=(-1,3)+(4,1)\\\\\n&=(-1+4,3+1)\\\\\n&=(3,4).\\end{align}\nβ) Για να είναι κάθετα τα διανύσματα θα πρέπει το εσωτερικό τους γινόμενο να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή\n\\begin{align}&\\vec{u}\\cdot\\vec{v}=0\\\\\n\\iff&(3,4)\\cdot(x^2,x-1)=0\\\\\n\\iff&3x^2+4(x-1)=0\\\\\n\\iff&3x^2+4x-4=0.\\end{align}\nΗ διακρίνουσα είναι \\(64\\) και οι ρίζες \\(x=\\dfrac{2}{3}\\) και \\(x=-2\\).\nγ) Για να είναι τα διανύσματα \\(\\vec{v}\\) και \\(\\vec{β}\\) συγγραμμικά πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών τους να είναι μηδέν. Είναι\n\\begin{align}&\\begin{vmatrix}x^2&x-1\\\\-2&-\\frac{1}{2}\\end{vmatrix}=0\\\\\n\\iff&-\\frac{1}{2}x^2-(-2)(x-1)=0\\\\\n\\iff&-\\frac{1}{2}x^2+2x-2\\\\\n\\iff&x^2-4x+4=0\\\\\n\\iff&x=2.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση:\n$$\\frac{x^2}{9}+\\frac{y^2}{4}=1\\quad(1)$$\nα) Να προσδιορίσετε, δικαιολογώντας την απάντησή σας, τις συντεταγμένες:i. των σημείων που η έλλειψη τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\),ii. των εστιών \\(Ε\\) και \\(Ε'\\) της έλλειψης.\nβ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο \\(Α(0,4)\\) και εφάπτονται στη καμπύλη που περιγράφει η εξίσωση \\((1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής \\(\\dfrac{x^2}{α^2}+\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\), όπου \\(α^2= 9\\) και \\(β^2=4\\).i. Για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \\(x'x\\) θέτουμε στην εξίσωση \\((1)\\) \\(y=0\\). Έτσι έχουμε\n$$\\frac{x^2}{9}=1$$\n$$\\iff x^2=9$$\n$$\\iff x=\\pm3.$$\nΤα σημεία τομής με τον άξονα \\(x'x\\) είναι, λοιπόν, τα σημεία \\(Κ(3,0)\\) και \\(Κ'(-3,0)\\). Αντίστοιχα, για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα \\(y'y\\) θέτουμε στην εξίσωση \\((1)\\) \\(x=0\\). Έτσι έχουμε\n$$\\frac{y^2}{4}=1$$\n$$\\iff y^2=4$$\n$$\\iff y=\\pm2.$$\nΕπομένως, τα σημεία τομής με τον άξονα \\(y'y\\) είναι τα σημεία \\(B(0,2)\\) και \\(Β'(0,-2)\\).ii. Η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει έλλειψη με εστίες στον άξονα \\(x'x\\). Οπότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες \\(Ε(γ,0)\\) και \\(Ε'(-γ,0)\\), όπου \\(γ=\\sqrt{α^2-β^2}=\\sqrt{5}\\). Άρα οι εστίες της, \\(Ε\\) και \\(Ε'\\), έχουν συντεταγμένες \\(Ε(\\sqrt{5},0)\\) και \\(Ε'(-\\sqrt{5},0).\\)\nβ)\nΤο σημείο \\(Α(0,4)\\) είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης, αφού είναι σημείο στον άξονα \\(y'y\\) και η έλλειψη που μας δόθηκε τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στα σημεία \\(Β(0,2)\\) και \\(Β'(0,-2)\\). Θεωρούμε \\(Μ(x_1, y_1)\\) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης \\((ε)\\) στο σημείο \\(Μ\\) θα είναι της μορφής\n$$\\frac{xx_1}{9}+\\frac{yy_1}{4}=1\\iff 4xx_1+9yy_1=36.$$\nΗ ευθεία \\((ε)\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(0,4)\\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \\((ε)\\). Ισχύει δηλαδή\n$$4\\cdot0 x_1 +9\\cdot 4y_1 = 36\\iff y_1 = 1.$$\nΕπιπλέον, το σημείο \\(Μ(x_1, y_1)\\) είναι σημείο της έλλειψης, οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση \\((1)\\). Άρα ισχύει\n\\begin{align}&\\frac{x_1^2}{9}+\\frac{y_1^2}{4}=1\\\\\n\\iff&\\frac{x_1^2}{9}+\\frac{1^2}{4}=1\\\\\n\\iff&\\frac{x_1^2}{9}=\\frac{3}{4}\\\\\n\\iff&x_1=\\pm\\frac{3\\sqrt{3}}{2}.\\end{align}\nΓια \\(x_1=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\) και \\(y_1=1\\), έχουμε την εφαπτόμενη \\((ε_1)\\) με εξίσωση\n$$4\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x+9y=36\\iff 2\\sqrt{3}+3y=12.$$\nΓια \\(x_1=-\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\) και \\(y_1=1\\), έχουμε την εφαπτόμενη \\((ε_2)\\) με εξίσωση\n$$4\\left(-\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\right)x+9y=36\\iff -2\\sqrt{3}x+3y=12.$$\nΆρα, οι δύο εφαπτόμενες της έλλειψης που διέρχονται από το σημείο \\(Α(0,4)\\) είναι οι:\n$$2\\sqrt{3}+3y=12$$\n$$\\text{και } -2\\sqrt{3}x+3y=12$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(0,3)\\), \\(Β(3,4)\\) και \\(Γ(1,0)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γωνία \\(B\\hat{A}Γ\\) είναι ορθή.\nβ) Να βρείτε το μέσο \\(Κ\\) της υποτείνουσας \\(ΒΓ\\) του ορθογωνίου τριγώνου \\(ΑΒΓ\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε ότι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(3-0,4-3)\\\\\n&=(3,1)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AΓ}&=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(1-0,0-3)\\\\\n&=(1,-3).\\end{align}\nΟπότε\n$$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=3\\cdot 1+1\\cdot(-3)=3-3=0,$$\nάρα \\(\\overrightarrow{AB}\\perp\\overrightarrow{ΑΓ}\\) ή \\(Β\\hat{A}Γ=90^ο\\).\nβ) Το σημείο \\(Κ\\) που είναι το μέσο του τμήματος \\(ΒΓ\\) θα έχει συντεταγμένες\n$$\\left(\\frac{x_B+x_Γ}{2},\\frac{y_B+y_Γ}{2}\\right)=\\left(\\frac{3+1}{2},\\frac{4+0}{2}\\right)=(2,2).$$\nγ) Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι η γωνία \\(Β\\hat{A}Γ\\) είναι ορθή και τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) είναι σημεία του ζητούμενου κύκλου, άρα η γωνία \\(Β\\hat{A}Γ\\) είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε ημικύκλιο, συνεπώς η υποτείνουσα \\(ΒΓ\\) του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) θα είναι διάμετρος του κύκλου. Είναι\n\\begin{align}(ΒΓ)&=\\sqrt{(x_Γ-x_B)^2+(y_Γ-y_B)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(1-3)^2+(0-4)^2}\\\\\n&=\\sqrt{4+16}\\\\\n&=\\sqrt{20}\\\\\n&=2\\sqrt{5}.\\end{align}\nΌμως \\(ΒΓ=2R\\), άρα \\(2R=2\\sqrt{5}\\) ή \\(R=\\sqrt{5}\\). Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) θα έχει ακτίνα \\(R\\) και κέντρο το σημείο \\(Κ\\) του ερωτήματος (β), επομένως η εξίσωσή του θα είναι\n$$(x-2)^2+(y-2)^2=5.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η υπερβολή με εξίσωση:\n$$\\frac{x^2}{4}-y^2=1\\quad(1)$$\nα) Να προσδιορίσετε, δικαιολογώντας την απάντησή σας,:i. τις συντεταγμένες των εστιών της,ii. την εκκεντρότητά της,iii. και τις εξισώσεις των ασύμπτωτων της υπερβολής.\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\((ε)\\) που εφάπτεται στην υπερβολή στο σημείο της \\(Α\\left(\\sqrt{5},\\dfrac{1}{2}\\right).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η υπερβολή με εξίσωση \\(\\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\\) έχει \\(α^2=4\\) και \\(β^2=1\\). Οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα \\(x'x\\) και έχουν συντεταγμένες \\(Ε(γ, 0)\\) και \\(Ε'(-γ, 0)\\), όπου \\(γ=\\sqrt{α^2+β^2}=\\sqrt{5}\\).i. Οι εστίες της υπερβολής έχουν συντεταγμένες \\(Ε(\\sqrt{5},0)\\) και \\(Ε'(-\\sqrt{5},0)\\).ii. Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι \\(ε=\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{\\sqrt{5}}{2}\\).iii. Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι \\(y=\\dfrac{β}{α}x=\\dfrac{1}{2}x\\) και \\(y=-\\dfrac{β}{α}x=-\\dfrac{1}{2}x\\).\nβ) Η εξίσωση της εφαπτόμενης της υπερβολής στο σημείο της με συντεταγμένες \\((x_1, y_1)\\) θα έχει τη μορφή\n$$\\frac{xx_1}{4}-yy_1=1\\iff xx_1-4yy_1=4.$$\nΟπότε για \\(x_1=\\sqrt{5}\\) και \\(y_1=\\dfrac{1}{2}\\) θα έχουμε την \\((ε)\\) με εξίσωση\n$$\\sqrt{5}x-4\\frac{1}{2}y=4\\iff \\sqrt{5}x-2y=4.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(-1,5),\\ Β(3,3)\\). Να υπολογίσετε:\nα) Τις συντεταγμένες του μέσου \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΒ.\\)\nγ) Την εξίσωση της μεσοκαθέτου \\((η)\\) του τμήματος \\(ΑΒ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) είναι:\n$$Μ\\left( \\dfrac{x_Α+x_Β}{2},\\dfrac{y_Α+y_Β}{2}\\right)=(1,4)$$\nβ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΒ\\) είναι: \\(λ_{ΑΒ}=\\dfrac{y_B−y_A}{x_B−x_A}=\\dfrac{3−5}{3−(−1)}=\\dfrac{−2}{4}=−\\dfrac{1}{2}\\)\nγ) Για τη μεσοκάθετο \\((η)\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) ισχύει:\n$$η\\perp ΑΒ$$\n$$λ_η\\cdot λ_{ΑΒ}=−1$$\nΕπομένως, \\(λ_η=2\\). Η εξίσωση της μεσοκαθέτου \\((η)\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) είναι:\n$$y−y_Μ=λ_η (x−x_M)$$\n$$\\Rightarrow y−4=2(x−1)$$\n$$\\Rightarrow y=2x+2$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\(y^2=4x\\), το σημείο της \\(Μ\\left(\\dfrac{1}{4},1\\right)\\) και η ευθεία \\(ε\\) του επιπέδου με εξίσωση \\(ε:\\dfrac{x}{3}-\\dfrac{y}{4}+1=0\\).\nα) i. Να δείξετε ότι η ευθεία \\(ε\\) δεν έχει κοινά σημεία με την παραβολή και να βρείτε την απόστασή του σημείου \\(Μ\\) από την \\(ε\\).\nii. Αν η ευθεία \\(ε\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) στα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) αντίστοιχα, να δείξετε ότι \\((ΜΓΔ)=5\\) τ.μ.\nβ) i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ζ\\) που εφάπτεται της παραβολής και είναι παράλληλη στην ευθεία \\(ε\\).\nii. Ποια είναι η απόσταση των ευθειών \\(ζ\\) και \\(ε\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Αρκεί να δείξουμε ότι το σύστημα των εξισώσεων της παραβολής \\(y^2=4x\\) και της ευθείας \\(\\dfrac{x}{3}-\\dfrac{y}{4}+1=0\\) είναι αδύνατο. Είναι:\n\\begin{align}&\\begin{cases}\\frac{x}{3}-\\frac{y}{4}+1=0\\\\y^2=4x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}4x-3y+12=0\\\\y^2=4x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y^2-3y+12=0\\\\y^2=4x\\end{cases}\\end{align}\nΗ δευτέρου βαθμού εξίσωση \\(y^2-3y+12=0\\) δεν έχει πραγματικές ρίζες, αφού \\(Δ=9-48< 0\\), και άρα το σύστημα είναι πράγματι αδύνατο. Η εξίσωση της ευθείας \\(ε\\) ισοδύναμα γράφεται \\(4x-3y+12=0\\), άρα\n\\begin{align}d(M,ε)&=\\frac{|4\\cdot\\frac{1}{4}-3\\cdot 1+12|}{\\sqrt{4^2+3^2}}\\\\\n&=\\frac{10}{5}\\\\\n&=2.\\end{align}\nii. Τα σημεία τομής της ευθείας \\(ε\\) με τους άξονες τα βρίσκουμε θέτοντας \\(y=0\\) και \\(x=0\\) στην εξίσωσή της.\nΓια \\(y=0\\) έχουμε \\(\\dfrac{x}{3}=-1\\) ή \\(x=-3\\), άρα \\(Γ(-3,0)\\).\nΓια \\(x=0\\) έχουμε \\(\\dfrac{y}{4}=1\\) ή \\(y=4\\), άρα \\(Δ(0,4)\\).\nΓια το εμβαδό του τριγώνου \\(ΜΓΔ\\) θα βρούμε το μήκος του τμήματος \\(ΓΔ\\) γιατί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτό είναι η απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\(ε\\). Έχουμε\n\\begin{align}(ΓΔ)&=\\sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}\\\\\n&=\\sqrt{9+16}\\\\\n&=\\sqrt{25}\\\\\n&=5.\\end{align}\nΆρα\n\\begin{align}(MΓΔ)&=\\frac{1}{2}(ΓΔ)\\cdot d(M,ε)\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 2\\\\\n&=5\\ \\text{τ.μ.}\\end{align}\nβ) i. Η εφαπτομένη \\(ζ\\) της παραβολής σε τυχαίο σημείο της \\((x_1,y_1)\\) με \\(y_1\\neq 0\\) έχει εξίσωση\n$$yy_1=2(x+x_1)\\iff y=\\frac{2}{y_1}x+\\frac{2x_1}{y_1}$$\nμε συντελεστή διεύθυνσης \\(λ_ζ=\\dfrac{2}{y_1}\\). Η ευθεία \\(ε\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ_ε=\\frac{4-0}{0-(-3)}=\\frac{4}{3}.$$\nΓια να είναι η ευθεία \\(ε\\) παράλληλη της εφαπτομένης \\(ζ\\) πρέπει και αρκεί\n\\begin{align}&λ_ζ=λ_ε\\\\\n\\iff&\\frac{4}{3}=\\frac{2}{y_1}\\\\\n\\iff&y_1=\\frac{3}{2}.\\end{align}\nΤο σημείο \\((x_1,y_1)\\) επαληθεύει την εξίσωση της παραβολής, επομένως\n\\begin{align}&y_1^2=4x_1\\\\\n\\iff&\\left(\\frac{3}{2}\\right)^2=4x_1\\\\\n\\iff&x_1=\\frac{9}{16}.\\end{align}\nΓια \\(x_1=\\dfrac{9}{16}\\), \\(y_1=\\dfrac{3}{2}\\) η εφαπτομένη \\(ζ\\) που είναι παράλληλη της ευθείας \\(ε\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y=\\frac{2}{y_1}x+\\frac{2x_1}{y_1}\\\\\n\\iff&y=\\frac{2}{\\frac{3}{2}}x+\\frac{2\\cdot\\frac{9}{16}}{\\frac{3}{2}}\\\\\n\\iff&16x-12y+9=0.\\end{align}\nii. Για να βρούμε την απόσταση των ευθειών \\(ζ\\) και \\(ε\\), αρκεί να βρούμε ένα σημείο, έστω \\(Κ\\), της \\(ζ\\) και να υπολογίσουμε την απόσταση του σημείου αυτού από την ευθεία \\(ε\\). Θέτοντας \\(x=0\\) στην εξίσωση της ευθείας \\(ζ\\) έχουμε \\(y=\\dfrac{9}{12}=\\dfrac{3}{4}\\). Άρα το σημείο \\(Κ\\) της ευθείας \\(ζ\\) είναι το \\(Κ\\left(0,\\dfrac{3}{4}\\right)\\). Η εξίσωση της ευθείας \\(ε\\) είναι \\(4x-3y+12=0\\), επομένως\n\\begin{align}d(ζ,ε)&=d(K,ε)\\\\\n&=\\frac{|4\\cdot 0-3\\cdot\\frac{3}{4}+12|}{\\sqrt{4^2+(-3)^2}}\\\\\n&=\\frac{|-\\frac{9}{4}+\\frac{48}{4}|}{\\sqrt{25}}\\\\\n&=\\frac{\\frac{39}{4}}{5}\\\\\n&=\\frac{39}{20}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \\(y=λ(x-2)+λ-2\\), \\(λ\\in \\mathbb{R}\\ \\ \\ \\ (1)\\).\nα) Να βρείτε τις ευθείες που προκύπτουν όταν \\(λ=1\\) και όταν \\(λ=2\\). Κατόπιν να βρείτε το κοινό σημείο \\(Μ\\) των δυο ευθειών.\nΈστω \\(Μ(1,-2)\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που προκύπτουν από την \\((1)\\) για τις διάφορες τιμές του \\(λ\\), διέρχονται από το \\(Μ\\).\nγ) Να βρείτε:\nτα σημεία τομής \\(Α\\), \\(Β\\) της ευθείας \\((1)\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\).\nγια ποιες τιμές του \\(λ\\) το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) είναι ίσο με \\(\\dfrac{1}{2}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Με \\(λ=1\\) έχουμε:\n$$y=x-2+1-2 $$\n$$\\Rightarrow y=x-3$$\nενώ με \\(λ=2\\) έχουμε:\n$$y=2x-4$$\nΟι συντεταγμένες του \\(Μ\\) προκύπτουν από τη λύση του αντίστοιχου συστήματος. Είναι:\n$$\\begin{cases} y=x-3 \\\\ y=2x-4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} y=x-3 \\\\ x-3=2x-4 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=1 \\\\ y=x-3 \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x=1 \\\\ y=-2 \\end{cases}$$\nΕπομένως το κοινό σημείο των δυο ευθειών είναι το \\(Μ(1,-2)\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι συντεταγμένες του \\(Μ\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Με \\(x=1\\) η εξίσωση γράφεται:\n$$y=λ(1-2)+λ-2 $$\n$$\\Leftrightarrow y=-λ+λ-2 $$\n$$\\Leftrightarrow y=-2$$\nοπότε πραγματικά κάθε ευθεία που προκύπτει από την δοσμένη εξίσωση διέρχεται από το \\(Μ\\).\nγ)\nΜε \\(y=0\\) στην δοσμένη εξίσωση παίρνουμε:\n$$λ(x-2)+λ-2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λx-λ-2=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λx=λ+2 $$\n$$\\Leftrightarrow x=\\dfrac{λ+2}{λ}$$\nΠροφανώς \\(λ\\ne 0\\), αφού με \\(λ=0\\) η εξίσωση είναι αδύνατη.\nΜε \\(x=0\\) στη δοσμένη εξίσωση παίρνουμε:\n$$y=-2λ+λ-2 $$\n$$\\Leftrightarrow y=-λ-2$$\nΕπομένως η ευθεία τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) στο σημείο \\(A(0,-λ-2)\\) και τον \\(x'x\\) στο σημείο \\(B\\left(\\dfrac{λ+2}{λ},0\\right)\\).\nΙσχύει:\n$$(ΟΑ)=|-λ-2|=|λ+2|$$\n$$(ΟΒ)=\\left|\\dfrac{λ+2}{λ}\\right|=\\dfrac{|λ+2|}{|λ|}$$\nκαι το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) είναι:\n$$(ΟΑΒ)=\\dfrac{1}{2}(ΟΑ)(ΟΒ)$$\n$$=\\dfrac{1}{2}\\dfrac{|λ+2|^{2}}{|λ|}$$\nΈτσι, έχουμε:\n$$(ΟΑΒ)=\\dfrac{1}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{1}{2}\\dfrac{|λ+2|^{2}}{|λ|}=\\dfrac{1}{2} $$\n$$\\Leftrightarrow (λ+2)^{2}=|λ|$$\nΑν \\(λ>0\\), τότε έχουμε:\n$$λ^{2}+4λ+4=λ $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}+3λ+4=0$$\nπου δεν έχει πραγματικές ρίζες.\nΑν \\(λ<0\\), τότε έχουμε:\n$$λ^{2}+4λ+4=-λ $$\n$$\\Leftrightarrow λ^{2}+5λ+4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow λ=-1\\ \\ \\text{ή}\\ \\ λ=-4$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται o κύκλος \\(𝐶:\\ (𝑥−1)^2+(𝑦−2)^2=4\\) και η ευθεία \\((𝜀):\\ 3𝑥−4𝑦=8.\\)\nα) Να βρείτε το κέντρο \\(𝛫\\) του κύκλου \\(𝐶\\) και την ακτίνα του.\nβ) Αν \\(𝛫(1,2)\\), να δείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του κύκλου \\(𝐶\\) από την ευθεία \\((𝜀)\\) είναι \\(𝑑(𝛫,𝜀)=\\dfrac{13}{5}.\\)\nγ) Να αιτιολογήσετε γιατί η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο κύκλος \\(𝐶\\) έχει κέντρο \\(𝛫(1,2)\\) και ακτίνα \\(𝜌=2.\\)\nβ) Έχουμε: \\(𝑑(𝛫,𝜀)=\\dfrac{|3−8−8|}{\\sqrt{3^2+4^2}}=\\dfrac{13}{\\sqrt{25}}=\\dfrac{13}{5}.\\)\nγ) Αφού \\(𝑑(𝛫,𝜀)=\\dfrac{13}{5}>2\\), η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα. Άρα ευθεία και κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(2,-1)\\) και \\(\\vec{β}=(-3,2)\\).\nα) Να υπολογίσετε το γινόμενο \\(\\vec{α}\\cdot(2\\vec{α}-\\vec{β})\\).\nβ) Να βρείτε το διάνυσμα \\(\\vec{γ}=(x,y)\\) όταν \\(\\vec{γ}\\perp\\vec{α}\\) και \\(|\\vec{γ}|=\\sqrt{5}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}2\\vec{α}-\\vec{β}&=2\\cdot(2,-1)-(-3,2)\\\\\n&=(4,-2)+(3,-2)\\\\\n&=(7,-4),\\end{align}\nοπότε\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot(2\\vec{α}-\\vec{β})&=(2,-1)\\cdot(7,-4)\\\\\n&=14+4\\\\\n&=18.\\end{align}\nβ) Έχουμε \\(\\vec{γ}=(x,y)\\) και\n\\begin{align}&\\vec{γ}\\perp\\vec{α}\\\\\n\\iff&\\vec{γ}\\cdot\\vec{α}=0\\\\\n\\iff&(x,y)\\cdot(2,-1)=0\\\\\n\\iff&2x-y=0\\\\\n\\iff&y=2x.\\quad(1)\\end{align}\nΛόγω της \\((1)\\), είναι \\(\\vec{γ}=(x,2x)\\). Έτσι,\n\\begin{align}&|\\vec{γ}|=\\sqrt{5}\\\\\n\\iff&\\sqrt{x^2+4x^2}=\\sqrt{5}\\\\\n\\iff&\\sqrt{5x^2}=\\sqrt{5}\\\\\n\\iff&5x^2=5\\\\\n\\iff&x^2=1\\\\\n\\iff&x=\\pm 1.\\end{align}\nΓια \\(x=-1\\) είναι \\(\\vec{γ}=(-1,-2)\\), ενώ για \\(x=1\\) έχουμε \\(\\vec{γ}=(1,2)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\), \\(\\vec{β}\\) και \\(\\vec{γ}\\), για τα οποία ισχύουν \\(|\\vec{α}|=4\\), \\(|\\vec{β}|=5\\), \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{2π}{3}\\) και \\(\\vec{γ}=2\\vec{α}+3\\vec{β}\\). Να υπολογίσετε:\nα) Το εσωτερικό γινόμενο \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}\\).\nβ) το μέτρο του διανύσματος \\(\\vec{γ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{β}&=|\\vec{α}|\\cdot|\\vec{β}|\\cdot συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\\\\n&=4\\cdot 5\\cdot συν\\frac{2π}{3}\\\\\n&=20\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\\\\n&=-10.\\end{align}\nβ) Έχουμε\n\\begin{align}&\\vec{γ}=2\\vec{α}+3\\vec{β}\\\\\n\\implies&\\vec{γ}^2=(2\\vec{α}+3\\vec{β})^2\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=4\\vec{α}^2+12\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+9\\vec{β}^2\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=4|\\vec{α}|^2+12\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+9|\\vec{β}|^2\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=4\\cdot 4^2+12\\cdot(-10)+9\\cdot 5^2\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=64-120+225\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|^2=169\\\\\n\\implies&|\\vec{γ}|=13.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(3,3)\\) και \\(\\vec{β}=(-\\sqrt{3},1)\\).\nα) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης των διανυσμάτων \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\) καθώς και τη γωνία που σχηματίζει το καθένα από αυτά με τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να βρείτε τη γωνία \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(λ_\\vec{α}=\\dfrac{3}{3}=1\\) και \\(λ_\\vec{β}=\\dfrac{1}{-\\sqrt{3}}=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\). Αν \\(ω\\) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{α}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) και \\(φ\\) η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) με τον άξονα \\(x'x\\), τότε \\(εφω=λ_\\vec{α}=1\\) και \\(εφφ=λ_\\vec{β}=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\nΤο διάνυσμα \\(\\vec{α}\\) βρίσκεται στο \\(1^ο\\) τεταρτημόριο, άρα \\(ω=45^ο\\) και το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) βρίσκεται στο \\(2^ο\\) τεταρτημόριο, άρα \\(φ=150^ο\\).\nβ) Η γωνία \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\) ισούται με τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) αν αφαιρέσουμε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{α}\\) με τον \\(x'x\\).\nΔηλαδή \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=150^o-45^o=105^o\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\((C)\\) που έχει εξίσωση:\n$$y^2=4x\\quad (1).$$\nα) Να σχεδιάσετε πρόχειρα την παραπάνω παραβολή και να γράψετε τις συντεταγμένες της εστίας της \\(Ε\\) και την εξίσωση της διευθετούσας \\((δ)\\).\nβ) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο \\(Α(0,2)\\) και εφάπτονται στην παραβολή που περιγράφει η εξίσωση \\((1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "Η εξίσωση \\((1)\\) της παραβολής είναι της μορφής \\(y2=2px\\), όπου \\(2p=4\\), άρα \\(p=2\\). Η εξίσωση αυτής της μορφής παριστάνει τα σημεία του επιπέδου που βρίσκονται σε παραβολή με εστία στον άξονα \\(x'x\\).\nα)\nΤα σημεία του επιπέδου που επαληθεύουν την εξίσωση \\((1)\\) βρίσκονται σε μια παραβολή. Η εστία \\(Ε\\) της παραβολής \\((C)\\) έχει συντεταγμένες \\(Ε\\left(\\dfrac{p}{2},0\\right)\\) και η διευθετούσα της, \\((δ)\\), έχει εξίσωση \\(x=-\\dfrac{p}{2}\\). Επειδή \\(p=2\\), η εστία έχει συντεταγμένες \\(Ε(1,0)\\) και η διευθετούσα \\((δ)\\) έχει εξίσωση \\(δ:x=-1\\).\nβ)\nΤο σημείο \\(Α(0,2)\\) είναι εξωτερικό σημείο της παραβολής, αφού είναι σημείο στον άξονα \\(y'y\\) και η παραβολή που μας δόθηκε έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα \\(x'x\\) και μοναδικό κοινό σημείο με τον άξονα \\(y'y\\) την κορυφή της \\(Ο(0,0).\\) Θεωρούμε \\(Μ(x_1,y_1)\\) το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο \\(Μ\\) θα είναι της μορφής \\(yy_1=p(x+x_1)\\), και επειδή \\(p=2\\), η εφαπτόμενη θα είναι \\(ε:yy_1=2(x+x_1)\\). Η ευθεία \\((ε)\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(0,2)\\), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν την εξίσωση της. Ισχύει δηλαδή\n$$2y_1=2(0+x_1)\\iff y_1=x_1.$$\nΕπιπλέον, το σημείο \\(Μ(x_1, y_1)\\) είναι σημείο της παραβολής, οπότε ικανοποιεί την εξίσωση \\((1)\\). Άρα\n\\begin{align}&y_1^2=4x_1\\\\\n\\iff&x_1^2=4x_1\\\\\n\\iff&x_1(x_1-4)=0\\\\\n\\iff&x_1=0\\text{ ή }x_1=4.\\end{align}\nΓια \\(x_1=0\\) έχουμε \\(y_1=0\\), οπότε η εφαπτόμενη έχει εξίσωση\n$$0=2(x+0)\\iff x = 0,$$\nδηλαδή είναι ο άξονας \\(y'y.\\) Για \\(x_1=4\\) έχουμε \\(y_1=4\\), οπότε η εφαπτόμενη έχει εξίσωση\n\\begin{align}&4y=2(x + 4)\\\\\n\\iff&2y=x+4\\\\\n\\iff&x-2y+4=0.\\end{align}\nΆρα οι δύο εφαπτόμενες της παραβολής που διέρχονται από το σημείο \\(Α(0,2)\\) είναι οι \\(x=0\\) (άξονας \\(y'y\\)) και η ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(x-2y+4=0.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο \\(Ο\\) θεωρούμε κύκλο \\((C)\\) και ευθεία \\((ε)\\) με εξισώσεις\n$$x^2+y^2-9x-3y+10=0\\quad (1)$$\nκαι\n$$4x+3y-10=0\\quad (2)$$\nαντίστοιχα.\nα) i. Να βρείτε το κέντρο \\(Κ\\) και την ακτίνα \\(R\\) του κύκλου \\((C)\\).\nii. Να υπολογίσετε την απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) από την ευθεία \\((ε)\\) και να αποδείξετε ότι η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον κύκλο \\((C)\\) σε δύο σημεία.\niii. Να προσδιορίσετε τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) στα οποία η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον κύκλο \\((C)\\).\nβ) Αν είναι \\(Α(1,2)\\) και \\(Β(4,-2)\\), τότε: i. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}\\).\nii. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο \\(ΑΒ\\) διέρχεται από το σημείο \\(Ο\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής\n$$x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0,$$\nμε \\(Α=-9\\), \\(Β=-3\\), \\(Γ=10\\) και\n$$Α^2+Β^2-4Γ=81+9-40=50>0.$$\nΕπομένως, το κέντρο του κύκλου είναι\n$$Κ\\left(-\\frac{A}{2},-\\frac{B}{2}\\right)=\\left(\\frac{9}{2},\\frac{3}{2}\\right)$$\nκαι η ακτίνα του\n$$R=\\frac{\\sqrt{A^2+B^2-4Γ}}{2}=\\frac{\\sqrt{50}}{2}=\\frac{5\\sqrt{2}}{2}.$$\nΕναλλακτική λύση (με συμπλήρωση τετραγώνου)\nΗ εξίσωση \\((1)\\) γράφεται ισοδύναμα\n\\begin{align}&x^2+y^2-9x-3y+10=0\\\\\n\\iff&x^2-2\\cdot\\frac{9}{2}x+\\left(\\frac{9}{2}\\right)^2+y^2-2\\cdot\\frac{3}{2}y+\\left(\\frac{3}{2}\\right)^2=\\left(\\frac{9}{2}\\right)^2+\\left(\\frac{3}{2}\\right)^2-10\\\\\n\\iff&\\left(x-\\frac{9}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{3}{2}\\right)^2=\\frac{81}{4}+\\frac{9}{4}-\\frac{40}{4}\\\\\n\\iff&\\left(x-\\frac{9}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{3}{2}\\right)^2=\\frac{50}{4}\\\\\n\\iff&\\left(x-\\frac{9}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{3}{2}\\right)^2=\\left(\\frac{5\\sqrt{2}}{2}\\right)^2.\\end{align}\nii. Η απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) από την ευθεία \\((ε)\\) είναι\n\\begin{align}d(K,ε)&=\\frac{|4\\cdot\\frac{9}{2}+3\\cdot\\frac{3}{2}-10|}{\\sqrt{4^2+3^2}}\\\\\n&=\\frac{|\\frac{25}{2}|}{5}\\\\\n&=\\frac{5}{2} < \\frac{5\\sqrt{2}}{2}=R.\\end{align}\nΆρα, η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον κύκλο \\((C)\\) σε δύο σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\).iii. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων \\((1)\\) και \\((2)\\). Η εξίσωση \\((2)\\) γίνεται\n$$3y=10-4x\\iff y=\\frac{10-4x}{3}.$$\nΑντικαθιστούμε στην εξίσωση \\((1)\\), οπότε έχουμε διαδοχικά:\n\\begin{align}&x^2+\\left(\\frac{10-4x}{3}\\right)^2-9x-3\\left(\\frac{10-4x}{3}\\right)+10=0\\\\\n\\iff&x^2+\\frac{(10-4x)^2}{9}-9x-(10-4x)+10=0\\\\\n\\iff&x^2+\\frac{(10-4x)^2}{9}-9x+4x=0\\\\\n\\iff&x^2+\\frac{(10-4x)^2}{9}-5x=0\\\\\n\\iff&9x^2+(100-80x+16x^2)-45x=0\\\\\n\\iff&25x^2-125x+100=0\\\\\n\\iff&x^2-5x+4=0\\quad(3)\\end{align}\nΟι λύσεις της εξίσωσης \\((3)\\) είναι \\(x=1\\), \\(x=4\\).\nΓια \\(x=1\\) είναι \\(y=2\\), ενώ για \\(x=4\\) είναι \\(y=-2\\).\nΆρα, τα σημεία τομής της ευθείας \\((ε)\\) και του κύκλου \\((C)\\) είναι \\(Α(1,2)\\) και \\(Β(4,-2)\\).\nβ) i. Είναι\n$$\\overrightarrow{OA}=(x_A-x_O,y_A-y_O)=(1,2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{OB}=(x_B-x_O,y_B-y_O)=(4,-2).$$\nΟπότε\n$$\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=1\\cdot 4+2\\cdot(-2)=0.$$\nii.\nΑφού είναι \\(\\overrightarrow{OA}\\cdot\\overrightarrow{OB}=0\\), η γωνία \\(A\\hat{O}B\\) θα είναι ορθή. Επομένως, ο κύκλος με διάμετρο \\(ΑΒ\\) είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ορθογωνίου τριγώνου \\(ΟΑΒ\\). Συνεπώς, διέρχεται από το σημείο \\(Ο\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\), \\(\\vec{β}\\) με \\(|\\vec{α}|=2\\), \\(|\\vec{β}|=4\\), \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{π}{3}\\), και τα διανύσματα \\(\\vec{γ}=\\vec{α}-\\vec{β}\\) και \\(\\vec{δ}=2\\vec{α}+\\vec{β}\\).\nα) Να βρείτε το \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}\\).\nβ) Να βρείτε το \\(\\vec{γ}\\cdot\\vec{δ}\\).\nγ) Να βρείτε τα \\(|\\vec{γ}|\\), \\(|\\vec{δ}|\\).\nδ) Να βρείτε τη γωνία \\((\\widehat{\\vec{γ},\\vec{δ}})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{β}&=|\\vec{α}|\\cdot|\\vec{β}|\\cdot συν\\frac{π}{3}\\\\\n&=2\\cdot 4\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n&=4.\\end{align}\nβ) Είναι\n\\begin{align}\\vec{γ}\\cdot\\vec{δ}&=(\\vec{α}-\\vec{β})\\cdot(2\\vec{α}+\\vec{β})\\\\\n&=2\\vec{α}^2+\\vec{α}\\cdot\\vec{β}-2\\vec{α}\\cdot\\vec{β}-\\vec{β}^2\\\\\n&=2|\\vec{α}|^2-\\vec{α}\\cdot\\vec{β}-|\\vec{β}|^2\\\\\n&=2\\cdot 2^2-4-4^2\\\\\n&=-12.\\end{align}\nγ) Είναι\n\\begin{align}|\\vec{γ}|^2&=\\vec{γ}^2\\\\\n&=(\\vec{α}-\\vec{β})^2\\\\\n&=\\vec{α}^2-2\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+\\vec{β}^2\\\\\n&=12,\\end{align}\nοπότε\n$$|\\vec{γ}|=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}.$$\nΕπίσης\n\\begin{align}|\\vec{δ}|^2&=\\vec{δ}^2\\\\\n&=(2\\vec{α}+\\vec{β})^2\\\\\n&=4\\vec{α}^2+4\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+\\vec{β}^2\\\\\n&=48,\\end{align}\nοπότε\n$$|\\vec{δ}|=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}.$$\nδ) Είναι\n\\begin{align}συν(\\widehat{\\vec{γ},\\vec{δ}})&=\\frac{\\vec{γ}\\cdot\\vec{δ}}{|\\vec{γ}|\\cdot|\\vec{δ}|}\\\\\n&=\\frac{-12}{2\\sqrt{3}\\cdot 4\\sqrt{3}}\\\\\n&=-\\frac{1}{2},\\end{align}\nοπότε \\((\\widehat{\\vec{γ},\\vec{δ}})=\\dfrac{2π}{3}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο κύκλος \\(C: x^2+y^2=1\\).\nα) Αν \\(Α\\) και \\(Α'\\) είναι τα σημεία τομής του κύκλου \\(C\\) με τους ημιάξονες \\(Ox\\) και \\(Οx'\\), αντίστοιχα, τότε:i. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες των σημείων \\(Α\\) και \\(Α'\\) είναι \\(Α(1,0)\\) και \\(Α'(-1,0)\\).\nii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\((ε)\\) που διέρχεται από το \\(Α\\) και σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(150^ο\\).\nβ) Αν η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τον κύκλο \\(C\\) και στο σημείο \\(Β\\), να αποδείξετε ότι η χορδή \\(ΑΒ\\) έχει μήκος \\(\\sqrt{3}\\).\nγ) Αν η ευθεία \\((ε)\\) έχει εξίσωση \\(y=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}(x-1)\\), να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\((ζ)\\) που διέρχεται από τα σημεία \\(Α'\\) και \\(Β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Τα σημεία τομής του κύκλου \\(C\\) με τους ημιάξονες \\(Ox\\) και \\(Ox'\\) έχουν τεταγμένη μηδέν. Επομένως, για \\(y=0\\) έχουμε\n$$x^2=1\\iff x=\\pm1.$$\nΆρα \\(Α'(-1,0)\\) και \\(Α(1,0)\\).ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\((ε)\\) που διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,0)\\) είναι\n$$λ_ε=εφ150^ο=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}.$$\nΟπότε η εξίσωση της \\((ε)\\) είναι\n$$y-0=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}(x-1)\\iff y=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}(x-1).$$\nβ) Αν \\(ΟΚ\\) το απόστημα της χορδής \\(ΑΒ\\), τότε\n\\begin{align}OK&=d(O,ε)\\\\\n&=\\dfrac{|-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\cdot 0-0+\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|}{\\sqrt{\\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)^2+1^2}}\\\\\n&=\\frac{|\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}|}{\\sqrt{\\dfrac{12}{9}}}\\\\\n&=\\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}}{2\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}}\\\\\n&=\\dfrac{1}{2}.\\end{align}\nΑν \\(ΑΚ=μ=\\dfrac{AB}{2}\\), με Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \\(ΟΑΚ\\) έχουμε\n\\begin{align}&OK^2+μ^2=ΟΑ^2\\\\\n\\iff&μ^2=1-\\frac{1}{4}\\\\\n\\iff&μ^2=\\frac{3}{4}\\\\\n\\iff&μ=\\frac{\\sqrt{3}}{2}.\\end{align}\nΆρα\n$$ΑΒ=2μ=\\sqrt{3}.$$\nγ) Η γωνία \\(\\widehat{A'BA}\\) είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο, άρα \\(Α'Β\\perp BA\\), δηλαδή \\(ζ\\perp ε\\). Οπότε\n$$λ_ζ=-\\frac{1}{λ_ε}=\\frac{3}{\\sqrt{3}}=\\sqrt{3}$$\nκαι η εξίσωση της \\((ζ)\\) είναι\n$$y-0=\\sqrt{3}(x+1)\\iff y=\\sqrt{3}(x+1).$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(-3,2),\\ Β(1,6)\\) και \\(Γ(-13,-7).\\)\nα) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα \\(Α,\\ Β.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα \\(Α,\\ Β\\) έχει εξίσωση \\(y=x+5.\\)\nγ) Να αιτιολογήσετε γιατί το σημείο \\(Γ\\) δεν είναι πάνω στην \\(ΑΒ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(Α,\\ Β\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ=\\frac{6-2}{1+3}=1$$\nβ) Η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ=1\\) και διέρχεται από το σημείο \\(Α\\), οπότε έχει εξίσωση \\(y-2=1\\cdot (x+3)\\) δηλαδή είναι η \\(y=x+5.\\)\nγ) Το σημείο \\(Γ\\) είναι πάνω στην ευθεία \\(ΑΒ\\) μόνο όταν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \\(ΑΒ.\\)\nΜε \\(x=-13\\) στον τύπο της ευθείας \\(ΑΒ\\) έχουμε:\n$$y=-13+5=-8\\neq -7=y_Γ$$\nΆρα το σημείο \\(Γ\\) δεν είναι πάνω στην \\(ΑΒ.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(1,0)\\) και \\(Β(0,-1)\\), και ο κύκλος \\(c_1\\) με εξίσωση\n$$c_1:\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)^2+\\left(y+\\frac{1}{2}\\right)^2=2.$$\nα) Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων \\(N(x,y)\\) του επιπέδου τα οποία ικανοποιούν τη σχέση \\(\\overrightarrow{NA^2}-\\overrightarrow{NB^2}=4\\) ανήκουν στην ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(y=-x-2\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σημείων \\(P\\) του επιπέδου τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση\n$$2x^2+2y^2+10x+14y+21=0$$\nανήκουν σε κύκλο \\(c_2\\) κέντρου \\(Λ\\left(-\\dfrac{5}{2},-\\dfrac{7}{2}\\right)\\) και ακτίνας \\(R=2\\sqrt{2}\\).\nγ)\nΝα αποδείξετε ότι οι δύο κύκλοι, \\(c_1\\) και \\(c_2\\), εφάπτονται εξωτερικά και στη συνέχεια να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση των σημείων τους.\nΝα αποδείξετε ότι η ευθεία \\((ε)\\) είναι η κοινή εφαπτομένη των κύκλων \\(c_1\\) και \\(c_2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Θεωρούμε σημείο \\(N(x,y)\\) του επιπέδου. Είναι \\(\\overrightarrow{NA}=(1-x,-y)\\) και \\(\\overrightarrow{NB}=(-x,-1-y)\\), οπότε ισχύει\n\\begin{align}&\\overrightarrow{NA^2}-\\overrightarrow{NB^2}=4\\\\\n\\iff&|\\overrightarrow{NA}|^2-|\\overrightarrow{NB}|^2=4\\\\\n\\iff&(1-x)^2+y^2-x^2-(1+y)^2=4\\\\\n\\iff&x+y+2=0.\\end{align}\nΆρα τα ζητούμενα σημεία \\(N\\) ανήκουν σε ευθεία με εξίσωση \\((ε):y=-x-2\\).\nβ) Έστω σημείο \\(P(x,y)\\) του επιπέδου. Τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου, ισχύει\n\\begin{align}&2x^2+2y^2+10x+14y+21=0\\\\\n\\iff&x^2+y^2+5x+7y+\\frac{21}{2}=0\\\\\n\\iff&x^2+2x\\frac{5}{2}+\\left(\\frac{5}{2}\\right)^2+y^2+2y\\frac{7}{2}+\\left(\\frac{7}{2}\\right)^2\\\\\n& =-\\frac{21}{2}+\\frac{25}{4}+\\frac{49}{4}\\\\\n\\iff& c_2: \\left(x+\\frac{5}{2}\\right)^2+\\left(y+\\frac{7}{2}\\right)^2=8.\\end{align}\nΆρα τα σημεία \\(P\\) ανήκουν πράγματι σε κύκλο \\(c_2\\) με κέντρο \\(Λ\\left(-\\dfrac{5}{2},-\\dfrac{7}{2}\\right)\\) και ακτίνα \\(R=2\\sqrt{2}\\).\n2ος τρόπος:\nΈχουμε\n\\begin{align}&2x^2+2y^2+10x+14y+21=0\\\\\n\\iff&x^2+y^2+5x+7y+\\frac{21}{2}=0.\\end{align}\nΑλλά:\n$$5^2+7^2-4\\cdot\\frac{21}{2}=32 > 0$$\nεπομένως η εξίσωση παραστάνει πράγματι κύκλο, με κέντρο \\(Λ\\left(-\\dfrac{5}{2},-\\dfrac{7}{2}\\right)\\) και ακτίνα \\(R=2\\sqrt{2}\\).\nγ)\nΟι κύκλοι \\(c_1\\) και \\(c_2\\) εφάπτονται εξωτερικά, διότι έχουν διάκεντρο\n\\begin{align}δ&=(ΚΛ)\\\\\n&=\\sqrt{\\left(\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{5}{2}\\right)^2+\\left(\\dfrac{-1}{2}+\\dfrac{7}{2}\\right)^2}\\\\\n&=3\\sqrt{2}\\end{align}\nκαι ισχύει \\(δ=ρ+R\\).\nΆρα η ελάχιστη απόσταση των σημείων των δύο κύκλων είναι μηδέν και η μέγιστη απόσταση είναι ίση με \\(ΣΤ=ΣΖ+ΖΤ=2ρ+2R=6\\sqrt{2}\\).\nΕίναι\n$$d(K,ε)=\\frac{|\\dfrac{1}{2}-\\dfrac{1}{2}+2|}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{2}=ρ$$\nκαι\n$$d(Λ,ε)=\\frac{|-\\dfrac{5}{2}-\\dfrac{7}{2}+2|}{\\sqrt{2}}=2\\sqrt{2}=R.$$\nΆρα η ευθεία \\((ε)\\) είναι η ζητούμενη κοινή εφαπτομένη." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων \\(Oxy\\), η εξίσωση ευθείας\n$$ε_λ:λx+(1-λ)y+2=0,$$\nόπου \\(λ\\) αριθμός που μεταβάλλεται στο \\(\\mathbb{R}\\), παριστάνει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος \\(Φ\\). Ακόμη δίνεται ότι ένα φορτηγό πλοίο είναι αγκυροβολημένο στο σημείο \\(O(0,0)\\).\nα) i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου \\(Φ\\).\nii. Να εξετάσετε αν υπάρχει φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το φάρο προς το αγκυροβολημένο πλοίο.\nβ) Ένα ρυμουλκό πλοίο \\(P\\) βρίσκεται βόρεια του φάρου \\(Φ\\). Η φωτεινή ακτίνα που φωτίζει το \\(P\\) έχει εξίσωση \\(x+y+4=0\\). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου \\(P\\) όταν είναι γνωστό ότι η συντομότερη διαδρομή που πρέπει να διανύσει το ρυμουλκό πλοίο για να πάει προς το αγκυροβολημένο φορτηγό πλοίο είναι ίση με \\(4\\) μονάδες μήκους." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Όλες οι φωτεινές ακτίνες που παριστάνει η εξίσωση \\(ε_λ\\) διέρχονται από το φάρο \\(Φ\\). Επομένως οι συντεταγμένες του φάρου \\(Φ(x_Φ,y_Φ)\\) επαληθεύουν την εξίσωση της \\(ε_λ\\) για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\). Δηλαδή είναι:\n\\begin{align}&λx_Φ+(1-λ)y_Φ+2=0\\\\\n\\iff&λx_Φ+y_Φ-λy_Φ+2=0\\\\\n\\iff&(x_Φ-y_Φ)λ+y_Φ+2=0\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Φ-y_Φ=0\\\\y_Φ+2=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Φ=y_Φ\\\\y_Φ=-2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Φ=-2\\\\y_Φ=-2\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε οι συντεταγμένες του φάρου είναι \\(Φ(-2,-2)\\).\nΔεύτερος τρόπος:\nΓνωρίζουμε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο \\(Φ\\). Για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του φάρου αρκεί να βρούμε το σημείο τομής δυο ευθειών της οικογένειας \\(ε_λ\\). Μια ευθεία της οικογένειας \\(ε_λ\\) προκύπτει για \\(λ=1\\) με εξίσωση\n$$1x+(1-1)y+2=0\\iff x+2=0$$\nκαι μια άλλη προκύπτει για \\(λ=0\\) με εξίσωση\n$$0x+(1-0)y+2=0\\iff y+2=0.$$\nΓια την εύρεση του κοινού σημείου \\(Φ\\) των ευθειών με εξισώσεις \\(x+2=0\\) και \\(y+2=0\\), επιλύουμε το σύστημα\n$$\\begin{cases}y+2=0\\\\x+2=0\\end{cases}\\iff\\begin{cases}y=-2\\\\x=-2\\end{cases}$$\nΆρα οι συντεταγμένες του φάρου είναι \\(Φ(-2,-2)\\).ii. Έστω ότι υπάρχει φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το φάρο προς το αγκυροβολημένο πλοίο. Άρα υπάρχει πραγματικός αριθμός \\(λ\\) ώστε η \\(ε_λ\\) να διέρχεται από το \\(O(0,0)\\). Τότε οι συντεταγμένες του \\(O(0,0)\\) επαληθεύουν την εξίσωση της \\(ε_λ\\). Έχουμε\n$$λ\\cdot 0+(1-λ)\\cdot 0+2=0\\iff 2=0,$$\nάτοπο. Οπότε δεν υπάρχει φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από το φάρο προς το αγκυροβολημένο πλοίο.\nβ) Αν είναι \\(P(x_P,y_P)\\) τότε ισχύει\n$$y_P > y_Φ\\iff y_P > -2$$\nαφού το ρυμουλκό πλοίο \\(P\\) βρίσκεται βόρεια του φάρου \\(Φ\\). Επειδή το σημείο \\(P\\) ανήκει στην ευθεία με εξίσωση \\(x+y+4=0\\), ισχύει\n$$x_P+y_P+4=0\\iff x_P=-4-y_P.$$\nΟπότε είναι \\(P(-4-y_P,y_P)\\) με \\(y_P > -2\\). Η συντομότερη διαδρομή που πρέπει να διανύσει το ρυμουλκό πλοίο για να πάει προς το αγκυροβολημένο φορτηγό πλοίο είναι το ευθύγραμμο τμήμα \\(PO\\) με μήκος \\(4\\) μονάδες. Είναι\n\\begin{align}&PO=4\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x_O-x_P)^2+(y_O-y_P)^2}=4\\\\\n\\iff&\\sqrt{(0-(-4-y_P))^2+(0-y_P)^2}=4\\\\\n\\iff&\\sqrt{(4+y_P)^2+y_P^2}=4\\\\\n\\iff&\\sqrt{2y_P^2+8y_P+16}=4\\\\\n\\iff&\\left(\\sqrt{2y_P^2+8y_P+16}\\right)^2=4^2\\\\\n\\iff&2y_P^2+8y_P+16=16\\\\\n\\iff&2y_P^2+8y_P=0\\\\\n\\iff&2y_P(y_P+4)=0\\\\\n\\iff&2y_P=0\\text{ ή }y_P+4=0\\\\\n\\iff&y_P=0\\text{ ή }y_P=-4.\\end{align}\nΔεκτή είναι μόνο η \\(y_P=0 > -2\\) αφού \\(-4 < -2\\). Ακόμη είναι\n$$x_P=-4-y_P=-4-0=-4.$$\nΤελικά, οι συντεταγμένες του ρυμουλκού πλοίου είναι \\(P(-4,0)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(3,2α)\\), \\(Β(4,α)\\), \\(Γ(α+1,1-α)\\) και \\(Δ(α,1)\\), με \\(α\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι: i. Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) έχει εξίσωση \\(y=-αx+5α\\).\n ii. Τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) ανήκουν στην ευθεία \\(ΑΒ\\) αν και μόνο αν \\(α=\\dfrac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\).\n iii. Το τετράπλευρο \\(ABΓΔ\\) είναι παραλληλόγραμμο όταν \\(α\\neq\\dfrac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\).\nβ) Θεωρήστε τον ισχυρισμό:\nΥπάρχει πραγματικός αριθμός \\(α\\) ώστε το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) να είναι τετράγωνο.\nΕίναι αληθής ή ψευδής ο παραπάνω ισχυρισμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) i) Ο συντελεστής διεύθυνσης \\(λ\\) της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α(3,2α)\\) και \\(Β(4,α)\\) είναι\n\\begin{align}λ&=\\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\n&=\\frac{α-2α}{4-3}\\\\\n&=\\frac{-α}{1}\\\\\n&=-α,\\end{align}\nοπότε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_A=λ(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-2α=-α(x-3)\\\\\n\\iff&y-2α=-αx+3α\\\\\n\\iff&y=-αx+5α.\\end{align}\nii) Τα σημεία \\(Γ(α+1,1-α)\\) και \\(Δ(α,1)\\) ανήκουν στην ευθεία \\(ΑΒ\\) αν και μόνο αν οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της, \\(y=-αx+5α\\). Έχουμε διαδοχικά\n\\begin{align}&1-α=-α(α+1)+5α\\\\\n\\iff&1-α=-α^2-α+5α\\\\\n\\iff&α^2-5α+1=0\\\\\n\\iff&α=\\frac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&1=-α\\cdot α+5α\\\\\n\\iff&1=-α^2+5α\\\\\n\\iff&α^2-5α+1=0\\\\\n\\iff&α=\\frac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}.\\end{align}\niii) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(4-3,α-2α)\\\\\n&=(1,-α)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΔΓ}&=(x_Γ-x_Δ,y_Γ-y_Δ)\\\\\n&=(α+1-α,1-α-1)\\\\\n&=(1,-α).\\end{align}\nΠαρατηρούμε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=\\overrightarrow{ΔΓ}=(1,-α)\\). Όμως από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι, όταν \\(α\\neq\\dfrac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\), τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) δεν ανήκουν στην ευθεία \\(AB\\). Τότε, επειδή \\(\\overrightarrow{AB}=\\overrightarrow{ΓΔ}\\), τα ευθύγραμμα τμήματα \\(AB\\) και \\(ΔΓ\\) θα είναι παράλληλα και θα έχουν ίσα μήκη, οπότε το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) είναι παραλληλόγραμμο.\nβ) Έστω ότι το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) είναι τετράγωνο για κάποιο \\(α\\neq\\dfrac{5\\pm\\sqrt{21}}{2}\\). Τότε θα έχουμε \\(|\\overrightarrow{AΒ}|=|\\overrightarrow{ΑΔ}|\\). Από το προηγούμενο ερώτημα είναι \\(\\overrightarrow{AB}=(1,-α)\\), άρα\n$$|\\overrightarrow{AB}|=\\sqrt{1^2+(-α)^2}=\\sqrt{1+α^2}.$$\nΕπίσης είναι\n$$\\overrightarrow{ΑΔ}=(x_Δ-x_A,y_Δ-y_A)=(α-3,1-2α),$$\nάρα\n\\begin{align}|\\overrightarrow{ΑΔ}|&=\\sqrt{(α-3)^2+(1-2α)^2}\\\\\n&=\\sqrt{5α^2-10α+10}.\\end{align}\nΕπομένως θα έχουμε\n\\begin{align}&|\\overrightarrow{AB}|=|\\overrightarrow{AΔ}|\\\\\n\\iff&\\sqrt{1+α^2}=\\sqrt{5α^2-10α+10}\\\\\n\\iff&5α^2-10α+10=1+α^2\\\\\n\\iff&4α^2-10α+9=0.\\end{align}\nΗ τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα\n\\begin{align}Δ&=(-10)^2-4\\cdot 4\\cdot 9\\\\\n&=-44 < 0,\\end{align}\nάρα δεν έχει πραγματικές ρίζες. Οπότε δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός \\(α\\) ώστε το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) να είναι τετράγωνο. Επομένως ο ισχυρισμός είναι ψευδής." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση:\n$$(x-1)(x+3)+(y+1)(y-3)=-4\\quad(1)$$\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(-1,1)\\) και ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) i. Να βρείτε τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) του κύκλου \\((Κ,R)\\) τα οποία έχουν τετμημένη ίση με \\(-1\\).\nii. Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι αντιδιαμετρικά." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) γράφεται διαδοχικά:\n\\begin{align}&(x-1)(x+3)+(y+1)(y-3)=-4\\\\\n\\iff&(x^2+3x-x-3)+(y^2-3y+y-3)=-4\\\\\n\\iff&x^2+2x+y^2-2y=2\\\\\n\\iff&(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=4\\\\\n\\iff&(x+1)^2+(y-1)^2=2^2\\quad(2)\\end{align}\nΆρα, η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο με κέντρο \\(Κ(-1,1)\\) και ακτίνα \\(R=2\\).\nβ) i. Για \\(x=-1\\), η εξίσωση \\((2)\\) γίνεται\n\\begin{align}&(-1+1)^2+(y-1)^2=2^2\\\\\n\\iff&(y-1)^2=4\\\\\n\\iff&y-1=\\pm2\\\\\n\\iff&y=3\\text{ ή }y=-1.\\end{align}\nΕπομένως, τα ζητούμενα σημεία είναι \\(Α(-1,-1)\\) και \\(Β(-1,3)\\).\nii. Τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) βρίσκονται στην ευθεία \\(x=-1\\), η οποία διέρχεται από το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου. Επομένως, τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τετράγωνο \\(ΑΒΓΟ\\) με κορυφές τα σημεία \\(Α(0,4)\\), \\(Β(4,4)\\), \\(Γ(4,0)\\), \\(Ο(0,0)\\). Στην διαγώνιο \\(ΑΓ\\) παίρνουμε σημείο \\(Ζ\\) τέτοιο ώστε \\(\\overrightarrow{ΑΖ}=\\dfrac{3}{4}\\overrightarrow{ΑΓ}\\). Επίσης, θεωρούμε το μέσο \\(Δ\\) της \\(ΒΓ\\).\nα) Να βρείτε:i. Τις συντεταγμένες του σημείου \\(Δ\\).\nii. Τις συντεταγμένες του σημείου \\(Ζ\\).\nβ) Αν το σημείο \\(Δ\\) είναι το \\((4,2)\\) και το σημείο \\(Ζ\\) το \\((3,1)\\), να αποδείξετε ότι η ευθεία \\(ΖΔ\\) είναι κάθετη στην ευθεία \\(ΑΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι συντεταγμένες του μέσου \\(Δ\\) του \\(ΒΓ\\) δίνονται από τους τύπους\n\\begin{align}x_Δ&=\\frac{x_Γ+x_B}{2}\\\\\n&=\\frac{4+4}{2}\\\\\n&=4\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}y_Δ&=\\frac{y_Γ+y_B}{2}\\\\\n&=\\frac{4+0}{2}\\\\\n&=2.\\end{align}\nΕπομένως, είναι \\(Δ(4,2)\\).ii. Έστω \\(Ζ(x,y)\\). Τότε\n\\begin{align}\\overrightarrow{AZ}&=(x_Z-z_A,y_Z-y_A)\\\\\n&=(x-0,y-4)\\\\\n&=(x,y-4)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AΓ}&=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(4-0,0-4)\\\\\n&=(4,-4).\\end{align}\nΌμως \\(\\overrightarrow{AZ}=\\dfrac{3}{4}\\overrightarrow{ΑΓ}\\), άρα\n$$(x,y-4)=\\frac{3}{4}(4,-4)=(3,-3).$$\nΕπομένως \\(x=3\\) και \\(y-4=-3\\), δηλαδή \\(y=1\\). Άρα είναι \\(Ζ(3,1)\\).\nβ) Από το ερώτημα (α) έχουμε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΖ}=(3,-3)\\). Επιπλέον,\n\\begin{align}\\overrightarrow{ZΔ}&=(x_Δ-x_Z,y_Δ-y_Z)\\\\\n&=(4-3,2-1)\\\\\n&=(1,1).\\end{align}\nΕπομένως είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AZ}\\cdot\\overrightarrow{ZΔ}&=(3,3)\\cdot(1,-1)\\\\\n&=3-3\\\\\n&=0\\end{align}\nκαι άρα τα διανύσματα είναι κάθετα. Το ίδιο θα ισχύει και για τους φορείς τους, δηλαδή η \\(ΑΓ\\) είναι κάθετη στην \\(ΖΔ\\).\nΕναλλακτική λύση:\nΟ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΖ\\) είναι\n$$λ_{ΑΖ}=\\frac{y_Z-y_A}{x_Z-x_A}=\\frac{1-4}{3-0}=-1.$$\nΟ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΖΔ\\) είναι\n$$λ_{ΖΔ}=\\frac{y_Δ-y_Z}{x_Δ-x_Z}=\\frac{2-1}{4-3}=1.$$\nΕπειδή \\(λ_{AZ}\\cdot λ_ΖΔ=-1\\), οι ευθείες \\(ΑΖ\\) και \\(ΖΔ\\) είναι κάθετες." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται το σημείο \\(Α(4,-2)\\) και η ευθεία \\((ε_1)\\) με εξίσωση \\(x-y+2=0\\). Να βρείτε:\nα) Την ευθεία \\((ε_2)\\) που διέρχεται από το σημείο \\(Α\\) και είναι κάθετη στην ευθεία \\((ε_1)\\).\nβ) Το σημείο τομής \\(Β\\) των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2):y=-x+2\\).\nγ) Το συμμετρικό \\(Γ\\) του σημείου \\(Α\\) ως προς την ευθεία \\((ε_1)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η ευθεία \\((ε_1)\\) έχει εξίσωση \\(y=x+2\\), συνεπώς έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ_1=1\\). Η ευθεία \\((ε_2)\\) είναι κάθετη στην ευθεία \\((ε_1)\\), συνεπώς το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των δύο ευθειών θα ισούται με \\(-1\\), άρα \\(λ_2=-1\\). Επιπλέον, η ευθεία \\((ε_2)\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α\\), άρα η εξίσωσή της θα είναι\n$$\\begin{align}&y-y_A=λ_2\\cdot(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-(-2)=-1\\cdot(x-4)\\\\\n\\iff&y+2=-x+4\\\\\n\\iff&y=-x+2.\\end{align}$$\nΆρα η εξίσωση της ευθείας (\\(ε_2\\)) είναι \\(y=-x+2\\).\nβ) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής \\(Β\\) των δύο ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=x+2\\\\y=-x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x+2\\\\x+2=-x+2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x+2\\\\2x=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=2\\\\x=0\\end{cases}\\end{align}\nΆρα \\(Β(0,2)\\).\nγ) Αν \\(Γ\\) είναι το συμμετρικό του \\(Α\\) ως προς το \\(Β\\), τότε τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά και μάλιστα το \\(Β\\) είναι το μέσο του τμήματος \\(ΑΓ\\), άρα θα ισχύει:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x_B=\\dfrac{x_A+x_Γ}{2}\\\\y_B=\\dfrac{y_A+y_Γ}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}0=\\dfrac{4+x_Γ}{2}\\\\2=\\dfrac{-2+y_Γ}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Γ=-4\\\\y_Γ=6\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε το συμμετρικό του σημείο \\(Α\\) ως προς την ευθεία \\((ε_1)\\), που ταυτίζεται με το συμμετρικό του ως προς το σημείο \\(Β\\), είναι το σημείο \\(Γ(-4,6)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) πλευράς \\(10\\) και το μέσο \\(Μ\\) της πλευράς \\(ΒΓ\\).\nα) Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών:i. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΒ},\\overrightarrow{ΑΓ}})\\).ii. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΒΓ}})\\).iii. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΓΑ}})\\).iv. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΒΜ},\\overrightarrow{ΓΜ}})\\).v. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΓΜ},\\overrightarrow{ΓΒ}})\\).\nβ) Να υπολογιστούν τα εσωτερικά γινόμενα:i. \\(\\overrightarrow{ΑΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}\\).ii. \\(\\overrightarrow{ΑΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΑ}\\).iii. \\(\\overrightarrow{ΓΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΒ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΒ},\\overrightarrow{ΑΓ}})=60^\\circ\\).ii. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΒΓ}})=90^\\circ\\).iii. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΓΑ}})=\\widehat{xΑΜ}=180^\\circ-30^\\circ=150^\\circ\\), καθώς η διάμεσος προς τη βάση είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής.iv. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΒΜ},\\overrightarrow{ΓΜ}})=180^\\circ\\).v. \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΓΜ},\\overrightarrow{ΓΒ}})=0^\\circ\\).\nβ) Τα μέτρα των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{ΑΒ}, \\overrightarrow{ΑΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) είναι \\(10\\) αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Για το μέτρο του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΑΜ}\\) έχουμε από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \\(ΑΜΓ\\):\n\\begin{align}&ΑΜ^2=ΑΓ^2-ΜΓ^2\\\\\n\\iff&ΑΜ^2=10^2-5^2=75\\\\\n\\iff&ΑΜ^2=25\\cdot 3\\\\\n\\iff&ΑΜ=5\\sqrt{3}.\\end{align}\ni.\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}&=|\\overrightarrow{ΑΜ}||\\overrightarrow{ΒΓ}|συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΒΓ}})\\\\\n&=5\\sqrt{3}\\cdot 10\\cdot συν90^\\circ\\\\\n&=0.\\end{align}\nii.\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΑ}&=|\\overrightarrow{ΑΜ}||\\overrightarrow{ΓΑ}|συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΜ},\\overrightarrow{ΓΑ}})\\\\\n&=5\\sqrt{3}\\cdot 10\\cdot συν150^\\circ\\\\\n&=50\\sqrt{3}\\cdot(-\\frac{\\sqrt{3}}{2})\\\\\n&=75.\\end{align}\niii.\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΓΜ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΒ}&=|\\overrightarrow{ΓΜ}||\\overrightarrow{ΓΒ}|συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΓΜ},\\overrightarrow{ΓΒ}})\\\\\n&=5\\sqrt{3}\\cdot 10\\cdot συν0^\\circ\\\\\n&=5\\cdot 10\\cdot 1\\\\\n&=50.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) και διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,2)\\).\nβ) Δίνεται ο κύκλος \\(x^2+y^2=5\\).i. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενής του στο σημείο \\(Α\\).\nii. Να βρεθεί το σημείο \\(Β\\), το οποίο είναι αντιδιαμετρικό του \\(Α\\) σε αυτόν τον κύκλο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση κύκλου με κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) είναι \\(x^2+y^2=ρ^2\\ (1)\\), όπου \\(ρ\\) η ακτίνα του κύκλου. Επειδή ο κύκλος διέρχεται από το σημείο \\(Α(1,2)\\) θα πρέπει οι συντεταγμένες του \\(Α\\) να επαληθεύουν την εξίσωση \\((1)\\), δηλαδή \\(1^2+2^2=ρ^2\\), άρα \\(ρ^2=5\\). Οπότε, η \\((1)\\) γίνεται:\n$$x^2+y^2=5.$$\nβ) i. Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου \\((1)\\) στο σημείο του \\(A(x_1,y_1)\\) είναι:\n$$xx_1+yy_1=ρ^2\\quad(2)$$\nΈτσι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου \\(x^2+y^2=5\\) στο σημείο του \\(A(1,2)\\) θα είναι \\(x+2y=5\\). ii. Για να είναι το σημείο \\(Β\\) αντιδιαμετρικό του \\(Α\\), θα πρέπει το κέντρο \\(Ο\\) να είναι το μέσο του τμήματος \\(ΑΒ\\). Επομένως θα ισχύουν:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x_0=\\frac{x_A+x_B}{2}\\\\y_0=\\frac{y_A+y_B}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}0=\\frac{1+x_B}{2}\\\\0=\\frac{2+y_B}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}0=1+x_B\\\\0=2+y_B\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_B=-1\\\\y_B=-2\\end{cases}.\\end{align}\nΆρα είναι \\(Β(-1,-2)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) θεωρούμε τα σημεία \\(Μ(x,y)\\), \\(Α(-1,0)\\), \\(Β(1,0)\\) για τα οποία ισχύει\n$$\\overrightarrow{AM}^2+\\overrightarrow{BM}^2=9|\\overrightarrow{AB}|.$$\nα) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \\(Μ\\) είναι ο κύκλος με εξίσωση \\(x^2+y^2=8\\).\nβ) Έστω \\(Γ\\) και \\(Δ\\) δύο σημεία του κύκλου τέτοια ώστε \\(ΓΔ^2=32\\).i. Να δείξετε ότι τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) και η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σημεία.\nii. Αν το σημείο \\(Μ\\) κινείται στον κύκλο, να υπολογίσετε το \\(\\overrightarrow{MΓ}\\cdot\\overrightarrow{ΜΔ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AM}&=(x_M-x_A,y_M-y_A)\\\\\n&=(x-(-1),y-0)\\\\\n&=(x+1,y),\\\\\n|\\overrightarrow{AM}|&=\\sqrt{(x+1)^2+y^2},\\\\\n\\overrightarrow{BM}&=(x_M-x_B,y_M-y_B)\\\\\n&=(x-1,y-0)\\\\\n&=(x-1,y),\\\\\n|\\overrightarrow{BM}|&=\\sqrt{(x-1)^2+y^2},\\\\\n|\\overrightarrow{AB}|&=\\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(1-(-1))^2+(0-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{2^2+0}\\\\\n&=2\\end{align}\nκαι άρα\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AM}^2+\\overrightarrow{BM}^2=9|\\overrightarrow{AB}|\\\\\n\\iff&|\\overrightarrow{AM}|^2+|\\overrightarrow{BM}|^2=9\\cdot 2\\\\\n\\iff&\\left(\\sqrt{(x+1)^2+y^2}\\right)^2+\\left(\\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\right)^2=18\\\\\n\\iff&x^2+2x+1+y^2+x^2-2x+1+y^2=18\\\\\n\\iff&2x^2+2y^2+2=18\\\\\n\\iff&x^2+y^2=8.\\end{align}\nβ) i. Για τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) του κύκλου ισχύει \\(Γ∆^2=32\\), δηλαδή\n$$ΓΔ=\\sqrt{32}=\\sqrt{16\\cdot 2}=4\\sqrt{2}.$$\nΗ εξίσωση του κύκλου είναι \\(x^2+y^2=8\\), οπότε η ακτίνα του \\(ρ\\) είναι \\(ρ=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}\\) και το κέντρο του το \\(Ο(0,0)\\). Παρατηρούμε ότι \\(ΓΔ=2ρ\\), οπότε τα σημεία \\(Γ\\) και \\(Δ\\) είναι αντιδιαμετρικά και επομένως η διάμετρος \\(ΓΔ\\) θα διέρχεται από το κέντρο \\(Ο\\) του κύκλου.ii. Αφού η \\(ΓΔ\\) είναι διάμετρος και το σημείο \\(Μ\\) είναι σημείο του κύκλου, τότε \\(Γ\\hat{Μ}∆=90^o\\) γιατί είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Επειδή τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΜΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{Μ∆}\\) είναι κάθετα, το εσωτερικό τους γινόμενο θα ισούται με μηδέν." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(0,-1)\\), \\(Β(λ,1)\\) και \\(Γ(λ-2,λ-3)\\), όπου \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) ώστε:i. Tα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) να είναι κορυφές τριγώνου.\nii. Το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) να είναι ορθογώνιο με \\(\\hat{A}=90^ο\\).\nβ) Για \\(λ=-2\\), να βρείτε:i. Το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}\\).\nii. Το εμβαδό του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Για να σχηματίζουν τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) τρίγωνο θα πρέπει να μην βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή αλλιώς τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) να μην είναι παράλληλα. Είναι\n$$\\overrightarrow{AB}=(λ, 1+1)=(λ, 2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΑΓ}=(λ-2, λ-3+1)=(λ-2, λ-2).$$\nΓνωρίζουμε ότι\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AB}//\\overrightarrow{AΓ}\\\\\n\\iff&\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})=0\\\\\n\\iff&\\begin{vmatrix}λ&2\\\\λ-2&λ-2\\end{vmatrix}=0\\\\\n\\iff&λ(λ-2)-2(λ-2)=0\\\\\n\\iff&(λ-2)^2=0\\\\\n\\iff&λ=2.\\end{align}\nΔηλαδή τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) είναι παράλληλα αν και μόνο αν \\(λ=2\\). Οπότε τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) σχηματίζουν τρίγωνο για κάθε τιμή του \\(λ\\) που είναι διαφορετική από το \\(2\\). ii. Αν το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο με \\(\\hat{A}=90^ο\\), το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}\\) θα ισούται με μηδέν. Όμως\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=0\\\\\n\\iff&λ(λ-2)+2(λ-2)=0\\\\\n\\iff&(λ+2)(λ-2)=0\\\\\n\\iff&λ+2=0\\text{ ή }λ-2=0\\\\\n\\iff&λ=-2\\text{ ή }λ=2.\\end{align}\nΣτο ερώτημα (α.i) δείξαμε ότι για \\(λ=2\\) τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) δεν ορίζουν τρίγωνο, οπότε το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο με \\(\\hat{A}=90^ο\\) μόνο για την τιμή \\(λ=-2\\).\nβ) Για \\(λ=-2\\), έχουμε \\(\\overrightarrow{AB}=(-2, 2)\\), \\(\\overrightarrow{AΓ}=(-4, -4)\\) και από ερώτημα (α.ii) τα σημεία \\(Α(0, -1)\\), \\(Β(-2, 1)\\) και \\(Γ(-4, -5)\\) ορίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με \\(\\hat{A}=90^ο\\). i. \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AΓ}=0\\).ii. Είναι\n\\begin{align}(ABΓ)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}-2&2\\\\-4&-4\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 16\\\\\n&=8.\\end{align}\nΒ’ τρόπος:\nΕίναι\n$$(ΑΒΓ)=\\frac{1}{2}|\\overrightarrow{ΑΒ}|\\cdot |\\overrightarrow{AΓ}|.$$\nΈχουμε\n$$|\\overrightarrow{AB}|=\\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\\sqrt{2}$$\nκαι\n$$|\\overrightarrow{ΑΓ}=\\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}=4\\sqrt{2},$$\nοπότε\n$$(AΒΓ)=\\frac{1}{2}2\\sqrt{2}\\cdot4\\sqrt{2}=8.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(2,3)\\), \\(\\vec{β}=(-1,1)\\) και \\(\\vec{γ}=(-5,-5)\\).\nα) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) με τον άξονα \\(x'x\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(|\\vec{γ}|=5|\\vec{β}|\\).\nγ) Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς \\(λ\\), \\(μ\\) ώστε το διάνυσμα \\(\\vec{γ}\\) να γραφεί στη μορφή \\(\\vec{γ}=λ\\vec{α}+μ\\vec{β}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για τη γωνία \\(ω\\) που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{β}\\) με τον άξονα \\(x'x\\) είναι\n$$εφω=\\frac{y_{\\vec{β}}}{x_{\\vec{β}}}=\\frac{1}{-1}=-1.$$\nΑφού είναι \\(x_\\vec{β} < 0\\) και \\(y_\\vec{β} > 0\\), για τη γωνία \\(ω\\) θα ισχύει \\(\\dfrac{π}{2} < ω < π\\). Άρα,\n$$ω=π-\\frac{π}{4}=\\frac{3π}{4}.$$\nβ) Είναι\n$$|\\vec{γ}|=\\sqrt{x_\\vec{γ}^2+y_\\vec{γ}^2}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$$\nκαι\n$$|\\vec{β}|=\\sqrt{x_\\vec{β}^2+y_\\vec{β}^2}=\\sqrt{2}.$$\nΕπομένως, \\(|\\vec{γ}|=5|\\vec{β}|\\).\nγ) Ζητάμε τους πραγματικούς αριθμούς \\(λ\\), \\(μ\\) για τους οποίους ισχύει η ισότητα\n$$\\vec{γ}=λ\\vec{α}+μ\\vec{β}.$$\nΈχουμε\n\\begin{align}&(-5,-5)=λ(2,3)+μ(-1,1)\\\\\n\\iff&(-5,-5)=(2λ-μ,3λ+μ).\\end{align}\nΕπομένως, είναι\n$$2λ-μ=-5\\quad(1)$$\nκαι\n$$3λ+μ=-5.\\quad(2)$$\nΜε πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι\n$$5λ=-10\\iff λ=-2.$$\nΑντικαθιστούμε στην \\((2)\\), οπότε\n$$3\\cdot(-2)+μ=-5\\iff μ=-5+6=1.$$\nΆρα, το διάνυσμα \\(\\vec{γ}\\) γράφεται ως εξής:\n$$\\vec{γ}=-2\\vec{α}+\\vec{β}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω υπερβολή \\(C\\) με κέντρο το \\((0,0)\\), εστίες πάνω στον άξονα \\(xx'\\) της οποίας το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο.\nα) Να βρείτε:\nτις εξισώσεις των ασυμπτώτων της \\(C\\).\nτην εκκεντρότητα της \\(C\\).\nβ) Αν η υπερβολή διέρχεται από το σημείο \\((2,0)\\) και \\((ζ)\\) τυχαίαευθεία παράλληλη σε κάποια εκ των ασύμπτωτων της \\(C\\) (που δεν ταυτίζεται με κάποια από αυτές),\nνα δείξετε ότι η \\((ζ)\\) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την \\(C\\).\nείναι η ευθεία \\((ζ)\\) εφαπτόμενη της \\(C\\); Αιτιολογείστε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η υπερβολή \\(C\\) έχει κέντρο το \\((0,0)\\) και εστίες στον άξονα \\(xx'\\), οπότε θα έχει ασύμπτωτες της μορφής \\(y=\\dfrac{β}{α}x , y=-\\dfrac{β}{α}x\\). Αφού το ορθογώνιο βάσης είναι τετράγωνο, συμπεραίνουμε ότι \\(α=β\\) δηλαδή είναι ισοσκελής υπερβολή. Συνεπώς:\nοι εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής \\(C\\) είναι \\(y=x,y=-x\\).\nγια την εκκεντρότητα \\(ε\\) της \\(C\\) ισχύει ότι \\(ε^{2}=1+(\\dfrac{β}{α})^{2}=1+1=2\\) και επειδή \\(ε>0\\) έχουμε τελικά ότι \\(ε=\\sqrt{2}\\).\nβ) Αφού η \\((ζ)\\) είναι παράλληλη σε κάποια εκ των ασύμπτωτων της \\(C\\), θα έχει εξίσωση της μορφής \\(y=x+κ\\) ή \\(y=-x+κ\\) με \\(κ≠0\\). Η ισοσκελής υπερβολή \\(C\\) θα έχει εξίσωση της μορφής \\(x^{2}-y^{2}=α^{2}\\). Αφού διέρχεται από το σημείο \\((2,0)\\) έχουμε ότι:\n$$2^{2}-0^{2}=α^{2}$$\n$$\\Leftrightarrow 4=α^{2}$$\n$$\\overset{α>0}{\\Leftrightarrow }α=2$$\nΤο πλήθος των κοινών σημείων της \\(C\\) και της ευθείας \\((ζ)\\) είναι ίδιο με το πλήθος των λύσεων καθενός από τα συστήματα \\(\\begin{cases}x^{2} - y^{2} =4 \\\\ y=x+κ\\end{cases}\\) και \\(\\begin{cases}x^{2} - y^{2} =4 \\\\ y= - x+κ\\end{cases}\\).\nΛύνουμε το 1ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:\n$$x^{2}-(x+κ)^{2}=4$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}-2xκ-κ^{2}=4$$\n$$\\Leftrightarrow -2xκ=4+κ^{2}$$\n$$\\overset{κ≠0}{\\Leftrightarrow }x=-\\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}$$\nκαι από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:\n$$y=-\\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}+κ$$\nΟμοίως λύνουμε το 2ο σύστημα με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η και έχουμε:\n$$x^{2}-(-x+κ)^{2}=4$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}+2xκ-κ^{2}=4$$\n$$\\Leftrightarrow 2xκ=4+κ^{2}$$\n$$\\overset{κ≠0}{\\Leftrightarrow }x=\\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}$$\nκαι από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι:\n$$y=-\\dfrac{4+κ^{2}}{2κ}+κ$$\nΣε κάθε περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση που σημαίνει ότι η \\((ζ)\\) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με την \\(C\\).\nΕπειδή σε κάθε περίπτωση η μοναδική λύση του συστήματος προέκυψε από εξίσωση 1ου βαθμού και όχι από 2ου με διακρίνουσα \\(0\\), η ευθεία \\((ζ)\\) δεν είναι εφαπτόμενη της \\(C\\). Απλά την τέμνει σε ένα σημείο χωρίς όμως το σημείο αυτό να είναι σημείο επαφής. Δηλαδή η \\((ζ)\\) διαπερνά τη \\(C\\).\nΣημείωση: το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει για κάθε υπερβολή και ευθεία παράλληλη σε κάποια από τις ασύμπτωτες και όχι μόνο για τις ισοσκελείς." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι \\(A(-1,5)\\) και \\(B(2,1)\\). Αν οι πλευρές \\(ΑΓ\\) και \\(ΒΓ\\) βρίσκονται πάνω στις ευθείες \\(ε_1:\\ y=-x+4\\) και \\(ε_2:\\ y=-\\dfrac{1}{2}x+2\\) αντίστοιχα, τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Γ(4,0).\\)\nβ) Να βρείτε:\nτο συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΓ\\)\nτην εξίσωση του ύψους \\(ΒΔ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "**α)**Το σημείο \\(Γ\\) είναι το σημείο τομής των \\(ε_1,\\ ε_2\\) και προσδιορίζεται από τη λύση του αντίστοιχου συστήματος. Είναι:\n$$\\begin{align} & \\begin{cases} y=-x+4 \\\\ y=-\\dfrac{1}{2} x+2 \\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} -x+4 =-\\dfrac{1}{2} x+2 \\\\ y=-x+4 \\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} -2x+8 =-x+4 \\\\ y=-x+4 \\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} -x=4-8 \\\\ y=-x+4 \\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} x=4 \\\\ y=0 \\end{cases} \\end{align}$$\nΟπότε \\(Γ(4,0).\\)\nβ) i. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΓ\\) είναι:\n$$λ_{ΑΓ}=\\dfrac{0-5}{4+1}=-1$$\nTo ύψος \\(ΒΔ\\) είναι κάθετο στην πλευρά \\(ΑΓ\\), οπότε:\n$$λ_{ΒΔ} \\cdot λ_{ΑΓ}=-1 \\overset{(i)}{\\Rightarrow} λ_{ΒΔ}=1$$\nΕπομένως, η εξίσωση του ύψους \\(ΒΔ\\) είναι:\n$$y-1=1\\cdot (x-2)\\Leftrightarrow y=x-1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε την ευθεία \\(ε:3x-4y=0\\) και το σημείο \\(Α(-2,1)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία είναι \\(2\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση ευθείας \\((η)\\) κάθετης στην \\((ε)\\) που διέρχεται από το σημείο \\(Α\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο \\(Α\\) και εφάπτεται στην ευθεία \\((ε)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η απόσταση του σημείου \\((x_0,y_0)\\) από την ευθεία \\(Αx+Βy+Γ=0\\) δίνεται από τον τύπο\n$$d=\\frac{|Ax_0+By_0+Γ|}{\\sqrt{A^2+B^2}}.$$\nΕπομένως έχουμε\n\\begin{align}d(A,ε)&=\\frac{|3\\cdot(-2)-4\\cdot 1|}{\\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}\\\\\n&=\\frac{|-10|}{\\sqrt{25}}\\\\\n&=\\frac{10}{5}\\\\\n&=2.\\end{align}\nβ) Η ζητούμενη ευθεία \\((η)\\) είναι κάθετη στην \\((ε)\\), οπότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης της \\((η)\\) και της \\((ε)\\) θα είναι \\(-1\\). Ο συντελεστής διεύθυνσης της \\((ε)\\) είναι\n$$λ_2=-\\frac{Α}{B}=-\\frac{3}{-4}=\\frac{3}{4}.$$\nΕπομένως ο συντελεστής διεύθυνσης \\(λ_η\\) της ζητούμενης ευθείας \\((η)\\) θα είναι \\(-\\dfrac{4}{3}\\).\nΗ ευθεία διέρχεται από το \\(Α(-2,1)\\), οπότε η εξίσωσή της θα είναι\n\\begin{align}&y-y_o=λ_η(x-x_o)\\\\\n\\iff&y-1=-\\frac{4}{3}(x+2)\\\\\n\\iff&y=-\\frac{4}{3}x-\\frac{8}{3}+1\\\\\n\\iff&y=-\\frac{4}{3}x-\\frac{5}{3}.\\end{align}\nγ) Η εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο \\((x_0,y_0)\\) και ακτίνα \\(ρ\\) είναι η:\n$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=ρ^2\\quad(1).$$\nΓια να εφάπτεται ο κύκλος στην ευθεία \\((ε)\\), θα πρέπει η απόσταση του κέντρου του \\(Α\\) από την \\((ε)\\) να ισούται με την ακτίνα \\(ρ\\). Στο ερώτημα (α) βρήκαμε ότι η απόσταση του \\(Α\\) από την \\((ε)\\) είναι \\(2\\), επομένως \\(ρ=2\\) και η \\((1)\\) γίνεται\n\\begin{align}&(x-(-2))^2+(y-1)^2=2^2\\\\\n\\iff&(x+2)^2+(y-1)^2=4.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2+y^2-4αx-4αy=0\\quad(1)$$\nόπου \\(α\\) είναι πραγματικός αριθμός.\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(α\\) για τις οποίες η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο.\nβ) Να προσδιορίσετε το κέντρο \\(Κ\\) και την ακτίνα \\(R\\) των κύκλων ως συνάρτηση του \\(α\\).\nγ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων για τις διάφορες τιμές του \\(α\\) του ερωτήματος (α).\nδ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του \\(α\\) ώστε ο αντίστοιχος κύκλος που ορίζεται από την εξίσωση \\((1)\\) να εφάπτεται στον άξονα \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής\n$$x^2+y^2+Ax+By+Γ=0$$\nμε \\(Α=-4α\\), \\(Β=-4α\\) και \\(Γ=0\\). Για να παριστάνει κύκλο θα πρέπει \\(Α^2+Β^2-4Γ>0\\). Είναι\n$$A^2+B^2-4Γ=16α^2+16α^2=32α^2,$$\nεπομένως θα πρέπει \\(α^2>0\\). Η τελευταία σχέση ικανοποιείται αν και μόνο αν \\(α\\neq 0\\).\nβ) Τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η εξίσωση \\((1)\\) για \\(α\\neq0\\) είναι\n$$K\\left(-\\frac{A}{2},-\\frac{B}{2}\\right)=(2α,2α)$$\nκαι η ακτίνα\n\\begin{align}R&=\\frac{\\sqrt{A^2+B^2-4Γ}}{2}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{32α^2}}{2}\\\\\n&=\\frac{4\\sqrt{2}|α|}{2}\\\\\n&=2\\sqrt{2}|α|.\\end{align}\nγ) Για τα κέντρα των κύκλων έχουμε:\n$$\\begin{cases}x=2α\\\\y=2α\\\\α\\neq 0\\end{cases}$$\nΕπομένως, τα κέντρα των κύκλων κινούνται πάνω στην ευθεία \\(y=x\\) με εξαίρεση το σημείο \\(Ο(0,0)\\), αφού είναι \\(x\\neq 0\\) και \\(y\\neq 0\\).\nδ) Για να εφάπτεται κάποιος από τους κύκλους που ορίζονται από την εξίσωση \\((1)\\) στον άξονα \\(x'x\\), θα πρέπει να ισχύει \\(|y_K|=R\\). Έχουμε διαδοχικά\n\\begin{align}&|2α|=2\\sqrt{2}|α|\\\\\n\\iff&|α|=\\sqrt{2}|α|\\\\\n\\iff&|α|(1-\\sqrt{2})=0\\\\\n\\iff&α=0.\\end{align}\nΌμως \\(α\\neq 0\\), οπότε δεν υπάρχει τιμή του \\(α\\) ώστε ο αντίστοιχος κύκλος που ορίζεται από την εξίσωση \\((1)\\) να εφάπτεται στον άξονα \\(x'x\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,1), Β(5,5)\\).\nα) Αν για το σημείο \\(Μ(x,y)\\) ισχύει \\(\\overrightarrow{ΑΜ}^2+\\overrightarrow{ΒΜ}^2=32\\), να αποδείξετε ότι:i. Το σημείο \\(Μ\\) βρίσκεται πάνω στην καμπύλη με εξίσωση\n$$x^2+y^2-6x-6y+10=0.\\quad(1)$$\nii. Η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο.\nβ) Αν το κέντρο του κύκλου είναι το \\(Κ(3,3)\\) και η ακτίνα του \\(ρ=2\\sqrt{2\\):i. Nα διερευνήσετε για ποιες τιμές του \\(λ\\) η ευθεία \\(ε:λx+y=2\\) εφάπτεται του κύκλου \\((1)\\).\nii. Υπάρχει τιμή του \\(λ\\) για την οποία η ευθεία \\((ε)\\) σχηματίζει με την \\(ΑΒ\\) γωνία \\(45^ο\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Είναι \\(\\overrightarrow{ΑΜ}=(x-1,y-1)\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΜ}=(x-5,y-5)\\). Άρα\n\\begin{align}&\\overrightarrow{ΑΜ}^2+\\overrightarrow{ΒΜ}^2=32\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}+\\sqrt{(x-5)^2+(y-5)^2}^2=32\\\\\n\\iff&x^2-2x+1+y^2-2y+1+x^2-10x+25+y^2-10y+25=32\\\\\n\\iff&2x^2+2y^2-12x-12y+20=0\\\\\n\\iff&x^2+y^2-6x-6y+10=0.\\quad(1)\\end{align}\nii. Για να παριστάνει η εξίσωση \\(x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0\\) κύκλο θα πρέπει \\(Α^2+Β^2-4Γ > 0\\). Από την \\((1)\\) έχουμε \\(Α=-6, Β =-6\\) και \\(Γ=10\\). Συνεπώς\n$$Α^2+Β^2-4Γ=6^2+6^2-4\\cdot 10=32 > 0.$$\nΕπομένως πρόκειται περί κύκλου.\nβ) i. Για να εφάπτεται ο κύκλος στην ευθεία, πρέπει η απόσταση του κέντρου \\(Κ\\) από την ευθεία να ισούται με την ακτίνα του κύκλου. Είναι\n\\begin{align}&d(K,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|3λ+3-2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\sqrt{2}\\\\\n\\iff&|3λ+1|=2\\sqrt{2}\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&(3λ+1)^2=8(λ^2+1)\\\\\n\\iff&9λ^2+6λ+1=8λ^2+8\\\\\n\\iff&λ^2+6λ-7=0.\\end{align}\nΥπολογίζουμε τις ρίζες και έχουμε \\(λ=-7\\) και \\(λ=1\\). ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της \\(ΑΒ\\) είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{y_Β-y_Α}{x_Β-x_Α}=\\frac{5-1}{5-1}=1.$$\nΈνα διάνυσμα παράλληλο στην \\(ΑΒ\\) είναι το \\(\\vec{δ}_1=(1,1)\\) ενώ ένα διάνυσμα παράλληλο στην \\((ε)\\) είναι το \\(\\vec{δ}_2=(1,-λ)\\). Η γωνία των δύο ευθειών είναι η γωνία των δύο διανυσμάτων που είναι παράλληλα σε αυτές. Έχουμε\n\\begin{align}&συν(\\widehat{\\vec{δ}_1,\\vec{δ}_2})=συν45^ο\\\\\n\\iff&\\frac{\\vec{δ}_1\\cdot\\vec{δ}_2}{|\\vec{δ}_1||\\vec{δ}_2|}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{(1,1)\\cdot(1,-λ)}{\\sqrt{1^2+1^2}\\sqrt{1^2+λ^2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{1-λ}{\\sqrt{2}\\sqrt{1+λ^2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&2(1-λ)=\\sqrt{2}\\sqrt{2}\\sqrt{1+λ^2}\\\\\n\\iff&2(1-λ)=2\\sqrt{1+λ^2}\\\\\n\\iff&1-λ=\\sqrt{1+λ^2}\\\\\n\\implies&(1-λ)^2=(\\sqrt{1+λ^2})^2,\\ (2)\\\\\n\\iff&1-2λ+λ^2=1+λ^2\\\\\n\\iff&λ=0.\\end{align}\nΕφόσον \\(λ=0 < 1\\), η συνεπαγωγή που δίνει τη σχέση \\((2)\\) είναι και αυτή ισοδυναμία, οπότε έχουμε το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε την οικογένεια των ευθειών\n$$ε_α:(α-4)x-2αy+α+4=0,\\ α\\in\\mathbb{R}.$$\nα) Να βρείτε τις ευθείες που προκύπτουν όταν \\(α=0\\) και όταν \\(α=1\\) και κατόπιν να προσδιορίσετε το κοινό τους σημείο \\(Μ\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το \\(Μ\\).\nγ) Έστω ότι μια ευθεία της παραπάνω οικογένειας τέμνει τους θετικούς ημιάξονες \\(Οx, Οy\\) στα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) αντίστοιχα.i. Να αποδείξετε ότι \\(0\\lt α\\lt 4\\).\nii. Να βρείτε για ποια τιμή του \\(α\\) ισχύει \\((ΟΑ)=2(ΟΒ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Με \\(α=0\\) έχουμε\n$$ε_0:-4x+4=0\\iff x=1,$$\nενώ με \\(α=1\\) έχουμε\n$$ε_1:-3x-2y+5=0.$$\nΤο κοινό τους σημείο προσδιορίζεται από τη λύση του συστήματος\n$$\\begin{cases}x=1\\\\3x+2y=5\\end{cases}$$\nΕύκολα βρίσκουμε ότι η μοναδική λύση του συστήματος είναι η \\(x=1\\) και \\(y=1\\). Άρα οι ευθείες \\(ε_0,ε_1\\) τέμνονται στο σημείο \\(M(1,1)\\).\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο \\(M(1,1)\\). Με \\(x=y=1\\) η αρχική εξίσωση γράφεται \\(α-4-2α+α+4=0\\) και προφανώς ισχύει. Άρα, όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το σημείο \\(Μ\\).\nγ) i. Οι ευθείες που προκύπτουν όταν \\(α=4\\) ή \\(α=0\\) δεν τέμνουν και τους δυο άξονες αφού η πρώτη είναι παράλληλη στον \\(x΄x\\) και η δεύτερη στον \\(y΄y\\). Έτσι, βρίσκουμε τα κοινά σημεία των ευθειών της οικογένειας με τους άξονες, όταν \\(α\\neq 0\\) και \\(α\\neq 4\\). Με \\(x=0\\) έχουμε \\(y=\\dfrac{α+4}{2α}\\), ενώ με \\(y=0\\) έχουμε \\(x=-\\dfrac{α+4}{α-4}\\), οπότε τα κοινά σημεία με τους άξονες είναι τα \\(Α\\left(\\dfrac{α+4}{4-α},0\\right)\\) και \\(Β\\left(0,\\dfrac{α+4}{0}\\right)\\). Τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) βρίσκονται στους θετικούς ημιάξονες, μόνο όταν\n$$\\frac{α+4}{4-α}\\gt 0\\quad (1)$$\nκαι\n$$\\frac{α+4}{2α}\\gt 0.\\quad (2)$$\nΕίναι:\n\\begin{align}\n(1) \\iff&(α+4)(4-α)\\gt 0\\\\\n\\iff&α^2-16\\lt 0\\\\\n\\iff&α^2\\lt 16\\\\\n\\iff&-4\\lt α\\lt 4,\\end{align}\nμε \\(α\\neq0\\), και\n\\begin{align}\n(2)\\iff&2α(α+4)\\gt 0\\\\\n\\iff&α\\lt -4\\text{ ή }α\\gt 0,\\end{align}\nμε \\(α\\neq4\\). Η συναλήθευση των δυο αποτελεσμάτων δίνει \\(0\\lt α\\lt 4\\) που είναι το ζητούμενο.ii. Όταν \\(0\\lt α\\lt 4\\), τα σημεία \\(Α, Β\\) είναι στους θετικούς ημιάξονες, οπότε \\((ΟΑ)=\\dfrac{α+4}{4-α}\\) και \\((ΟΒ)=\\dfrac{α+4}{2α}\\). Επομένως\n\\begin{align}&(ΟΑ)=2(ΟΒ)\\\\\n\\iff&\\frac{α+4}{4-α}=2\\frac{α+4}{2α}\\\\\n\\iff&α=4-α\\\\\n\\iff&α=2.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) δίνονται τα σημεία \\(Α(2,4), Β(11,5), Γ(3,7)\\) και ένα σημείο \\(Δ\\) ώστε το \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) να είναι ίσο με το άθροισμα των \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\). Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες:\nα) των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\).\nβ) του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\).\nγ) του σημείου \\(Δ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για τις συντεταγμένες του \\(\\overrightarrow{ΑB}\\) είναι:\n$$\\overrightarrow{ΑΒ}=(x_Β-x_Α,y_Β-y_Α)=(11-2,5-4)=(9,1).$$\nΌμοια:\n$$\\overrightarrow{ΑΓ}=(x_Γ-x_A, y_Γ-y_A)=(3-2,7-4)=(1,3).$$\nβ) Το διάνυσμα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) είναι ίσο με το διάνυσμα \\(\\overrightarrow{ΑΒ}+\\overrightarrow{ΑΓ}\\). Άρα\n$$\\overrightarrow{ΑΔ}=\\overrightarrow{ΑΒ}+\\overrightarrow{ΑΓ}=(9+1,1+3)=(10,4).$$\nγ) Έχουμε \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=(x_Δ-x_Α ,y_Δ−y_Α)\\). Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) και τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\), η τελευταία ισότητα γίνεται:\n\\begin{align}&(10,4)=(x_Δ-2, y_Δ-4)\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Δ-2=10\\\\y_Δ-4=4\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_Δ=12\\\\y_Δ=8\\end{cases}.\\end{align}\nΆρα \\(Δ(12,8)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=(2,1)\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=(3,-1).\\)\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΒΓ}=(1,-2).\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΒ} \\perp \\overrightarrow{ΒΓ}.\\)\nγ) Να αποδείξετε ότι: \\(|\\overrightarrow{ΑΒ}| = |\\overrightarrow{ΒΓ}|.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$\\begin{align} \\overrightarrow{ΒΓ} & = \\overrightarrow{AΓ} -\n\\overrightarrow{AB} \\\\\n& = (3,-1) - (2,1) \\\\\n& = (1,-2). \\end{align}$$\nβ) Είναι:\n$$\\overrightarrow{ΑΒ} \\cdot \\overrightarrow{ΒΓ} = (2,1)\\cdot (1,2)=2-2=0$$\nγ) Είναι\n$$|\\overrightarrow{ΑΒ}|=\\sqrt{2^2+1^2}=\\sqrt{5}$$\nκαι\n$$|\\overrightarrow{ΒΓ}|=\\sqrt{1^2+(-2)^2}=\\sqrt{5}$$\nOπότε: \\(|\\overrightarrow{ΑΒ}| = |\\overrightarrow{ΒΓ}|.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) δίνεται η παραβολή με εξίσωση \\(x^2=12y\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σημείο \\(E(0,3)\\) και να βρείτε τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη \\(3\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι εφαπτομένες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) της παραβολής στα σημεία \\(Α(6,3)\\) και \\(Β(-6,3)\\), αντίστοιχα, έχουν εξισώσεις \\(y=x-3\\) και \\(y=-x-3\\).\nγ) Να βρείτε το σημείο τομής των \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για την παραβολή \\(x^2=12y\\) ή \\(x^2=2\\cdot 6y\\) είναι \\(p=6\\), άρα η εστία της είναι το \\(E\\left(0,\\dfrac{p}{2}\\right)\\) ή \\(E(0,3)\\). Το σημείο \\((x_0,3)\\) ανήκει στην παραβολή, άρα\n\\begin{align}&x_0^2=12\\cdot 3\\\\\n\\iff&x_0^2=36\\\\\n\\iff&x_0=\\pm6.\\end{align}\nΕπομένως \\(A(6,3)\\) και \\(B(-6,3)\\) είναι τα ζητούμενα σημεία.\nβ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο της \\((x_1,y_1)\\) έχει εξίσωση \\(xx_1=p(y+y_1)\\). Για την \\((ε_1)\\) με σημείο επαφής το \\(A(6,3)\\) αντικαθιστούμε ως \\(x_1\\) και \\(y_1\\) τις συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) και \\(p=6\\), άρα έχουμε\n\\begin{align}&6x=6(y+3)\\\\\n\\iff&6x=6y+18\\\\\n\\iff&x=y+3\\\\\n\\iff&y=x-3.\\end{align}\nΑντίστοιχα, για την \\((ε_2)\\) με σημείο επαφής το \\(Β(-6,3)\\) αντικαθιστούμε ως \\(x_1\\) και \\(y_1\\) τις συντεταγμένες του σημείου \\(B\\) και \\(p=6\\). Έτσι έχουμε\n\\begin{align}&-6x=6(y+3)\\\\\n\\iff&-6x=6y+18\\\\\n\\iff&-x=y+3\\\\\n\\iff&y=-x-3.\\end{align}\nγ) Βρίσκουμε το σημείο τομής των \\((ε_1): y=x-3\\) και \\((ε_2): y=-x-3\\) λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=x-3\\\\y=-x-3\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x-3\\\\2y=-6\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}-3=x-3\\\\y=-3\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=0\\\\y=-3\\end{cases}\\end{align}\nΆρα το σημείο τομής των \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι το σημείο \\((0,-3)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με κορυφές τα σημεία \\(Α(2,5), Β(3,6)\\) και \\(Γ(-1,-2)\\).\nα) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας \\(ΒΓ\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους που άγεται από το \\(Α\\).\nγ) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει η ευθεία \\(ΑΒ\\) με τον άξονα \\(x'x\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΒΓ\\) θα είναι:\n\\begin{align}λ_{ΒΓ}&=\\frac{y_Γ-y_B}{x_Γ-x_B}\\\\\n&=\\frac{-2-6}{-1-3}\\\\\n&=\\frac{-8}{-4}\\\\\n&=2.\\end{align}\nβ) Έστω \\(ΑΚ\\) το ύψος από το \\(Α\\). Τότε \\(AK\\perp ΒΓ\\), οπότε \\(λ_{ΑΚ}λ_{ΒΓ}=-1\\). Άρα\n$$λ_{ΑΚ}\\cdot 2=-1\\iff λ_{ΑΚ}=-\\frac{1}{2}.$$\nΗ εξίσωση της ευθείας \\(ΑΚ\\) θα είναι:\n\\begin{align}&y-y_A=λ_{AK}(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-5=-\\frac{1}{2}(x-2)\\\\\n\\iff&y=-\\frac{1}{2}x+1+5\\\\\n\\iff&y=-\\frac{1}{2}x+6.\\end{align}\nγ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΒ\\) είναι\n\\begin{align}λ_{ΑΒ}&=\\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\n&=\\frac{6-5}{3-2}\\\\\n&=\\frac{1}{1}\\\\\n&=1\\end{align}\nκαι ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η \\(ΑΒ\\) με τον \\(xx'\\), δηλαδή \\(λ_{ΑΒ}=εϕω=1\\), άρα \\(ω=\\dfrac{π}{4}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,1)\\) και \\(Β(6,7)\\) του καρτεσιανού επιπέδου \\(Οxy.\\)\nα) Να σχεδιάσετε το διάνυσμα \\(\\vec{AB}.\\)\nβ) Αν \\(\\vec{v}=\\vec{AB}\\) να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\vec{v}.\\)\nγ) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \\(\\vec{u}=(−8,−12)\\) και \\(\\vec{v}\\) του β) ερωτήματος είναι αντίρροπα." }, { "from": "assistant", "value": "α) Σχεδιάζουμε τους άξονες του καρτεσιανού επιπέδου και τα δύο σημεία \\(𝛢(2,1)\\) και \\(𝛣(6,7).\\) Στη συνέχεια σχεδιάζουμε το διάνυσμα \\(\\vec{AB}\\) με αρχή το \\(Α\\) και πέρας το \\(Β.\\)\nβ)\n$$\\begin{align} \\vec{v}=\\vec{AB} & =(𝑥_𝛣−𝑥_𝛢, 𝑦_𝛣−𝑦_𝐴) \\\\\n& =(6−2,\\ 7−1)\\\\\n&=(4,\\ 6).\\end{align}$$\nγ) Παρατηρούμε ότι:\n$$\\begin{align} \\vec{u} & =(−8,−12)\\\\\n& =(−2\\cdot 4,\\ −2\\cdot 6) \\\\\n&=−2\\cdot (4,\\ 6)\\\\\n&=−2\\cdot \\vec{v}.\\end{align}$$\nΕφόσον υπάρχει αρνητικός πραγματικός αριθμός \\(𝜆=−2\\), ώστε \\(\\vec{u}=𝜆\\cdot \\vec{v}\\), τα διανύσματα \\(\\vec{u}\\) και \\(\\vec{v}\\) είναι αντίρροπα." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Η υπερβολή \\(C\\) έχει εστίες τα σημεία \\(Ε(5,0)\\), \\(Ε'(-5,0)\\) και διέρχεται από το σημείο \\(Α(4,0)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι έχει εκκεντρότητα \\(\\dfrac{5}{4}\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της \\(C\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της \\(C\\) στο σημείο της \\(Μ(5,\\dfrac{9}{4})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\(C\\) έχει εστίες τα σημεία \\(Ε(5,0)\\), \\(Ε'(-5,0)\\) οπότε έχει εξίσωση της μορφής \\(\\dfrac{x^{2}}{α^{2}}-\\dfrac{y^{2}}{β^{2}}=1\\) και \\(γ=5\\). Αφού διέρχεται από το σημείο \\(Α(4,0)\\) έχουμε ότι:\n$$\\dfrac{4^{2}}{α^{2}}-\\dfrac{0^{2}}{β^{2}}=1$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{16}{α^{2}}=1$$\n$$\\Leftrightarrow α^{2}=16$$\nκαι επειδή \\(α>0\\) έχουμε τελικά ότι \\(α=4\\). Συνεπώς έχει εκκεντρότητα:\n$$ε=\\dfrac{γ}{α}=\\dfrac{5}{4}$$\nβ) Από τη σχέση \\(γ^{2}=α^{2}+β^{2}\\) έχουμε ότι:\n$$5^{2}=4^{2}+β^{2}$$\n$$\\Leftrightarrow β^{2}=9$$\nκαι επειδή \\(β>0\\) έχουμε \\(β=3\\).\nΤελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:\n$$\\dfrac{x^{2}}{16}-\\dfrac{y^{2}}{9}=1$$\nγ) Η εφαπτόμενη στο \\(Μ(5,\\dfrac{9}{4})\\) έχει εξίσωση:\n$$\\dfrac{5⋅x}{16}-\\dfrac{\\dfrac{9}{4}⋅y}{9}=1$$\n$$\\Leftrightarrow \\dfrac{5x}{16}-\\dfrac{y}{4}=1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Ο(0,0)\\), \\(Α(α,0)\\) και \\(Β(0,β)\\), όπου \\(α,β >0\\).\nα) Να βρείτε συναρτήσει των \\(α,β\\)i. τις συντεταγμένες του μέσου \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\).\nii. την απόσταση \\((ΟΜ)\\).\nβ) Αν \\((ΟΜ)=\\dfrac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}\\), τότε:i. να αποδείξετε ότι \\((ΟΜ)=\\dfrac{(ΑΒ)}{2}\\).\nii. να γράψετε την πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που έχει αποδειχθεί.\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι συντεταγμένες του μέσου \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) είναι \\(Μ\\left(\\dfrac{α}{2},\\dfrac{β}{2}\\right)\\).ii. Η απόσταση \\((ΟΜ)\\) είναι\n\\begin{align}(OM)&=\\sqrt{\\left(\\frac{α}{2}-0\\right)^2+\\left(\\frac{β}{2}-0\\right)^2}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{α^2}{4}+\\frac{β^2}{4}}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{α^2+β^2}{4}}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}.\\end{align}\nβ) i. Είναι\n\\begin{align}(AB)&=\\sqrt{(α-0)^2+(0-β)^2}\\\\\n&=\\sqrt{α^2+β^2}\\\\\n&=2\\cdot(OM),\\end{align}\nάρα \\((ΟΜ)=\\dfrac{(AB)}{2}\\).ii. Η πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που έχει αποδειχθεί είναι η εξής:\nΣε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας.\nγ) Αφού\n$$(OM)=\\frac{(AB)}{2}=(AM)=(BM),$$\nσυμπεραίνουμε ότι το σημείο \\(Μ\\) ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) και επομένως είναι το κέντρο του ζητούμενου περιγεγραμμένου κύκλου. Επίσης, η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου είναι η \\((ΟΜ)=\\dfrac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}\\). Συνεπώς, ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση\n$$\\left(x-\\frac{α}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{β}{2}\\right)^2=\\frac{α^2+β^2}{4}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{α}\\) με \\(|\\vec{α}|=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(|\\vec{β}|=\\dfrac{1}{2}\\) και \\(|3\\vec{α}+2\\vec{β}|=|\\vec{α}-2\\vec{β}|\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=-\\dfrac{3}{8}\\).\nβ) Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "Έχουμε:\n\\begin{align}&|\\vec{α}|=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\quad &(1)\\\\\n&|\\vec{β}|=\\frac{1}{2}\\quad &(2)\\\\\n&|3\\vec{α}+2\\vec{β}|=|\\vec{α}-2\\vec{β}|\\quad &(3)\\end{align}\nα) Από την \\((3)\\) έχουμε\n\\begin{align}&|3\\vec{α}+2\\vec{β}|^2=|\\vec{α}-2\\vec{β}|^2\\\\\n\\iff&(3\\vec{α}+2\\vec{β})^2=(\\vec{α}-2\\vec{β})^2\\\\\n\\iff&9\\vec{α}^2+12\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+4\\vec{β}^2=\\vec{α}^2-4\\vec{α}\\cdot\\vec{β}+4\\vec{β}^2\\\\\n\\iff&16\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=-8\\vec{α}^2\\\\\n\\iff&\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=-\\frac{1}{2}\\vec{α}^2=-\\frac{1}{2}|\\vec{α}|^2.\\end{align}\nΗ τελευταία σχέση, λόγω της \\((1)\\), δίνει\n$$\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=-\\frac{1}{2}\\cdot\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2=-\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{3}{4}=-\\frac{3}{8}.$$\nβ) Είναι\n$$συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\frac{\\vec{α}\\cdot\\vec{β}}{|\\vec{α}|\\cdot|\\vec{β}|}.$$\nΗ τελευταία ισότητα λόγω του ερωτήματος (α) και των \\((1)\\), \\((2)\\) δίνει\n\\begin{align}συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})&=\\dfrac{-\\dfrac{3}{8}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}}\\\\\n&=-\\frac{3\\cdot 4}{8\\cdot\\sqrt{3}}\\\\\n&=-\\frac{3}{2\\cdot\\sqrt{3}}\\\\\n&=-\\frac{\\sqrt{3}}{2},\\end{align}\nάρα \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{5π}{6}\\) ή \\(150^o\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η υπερβολή \\(\\dfrac{x^2}{α^2}-\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\) με ασύμπτωτη την \\(y=\\dfrac{3}{4}x.\\) Η απόσταση των κορυφών της, \\(Α\\) και \\(Α',\\) είναι \\(8\\).\nα) i. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής.\nii. Ποιες είναι οι εστίες της υπερβολής;\nβ) Να βρείτε την εφαπτομένη της \\(\\dfrac{x^2}{16}-\\dfrac{y^2}{9}=1\\) στο σημείο της \\(\\left(5,\\dfrac{9}{4}\\right).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι η \\(y=\\dfrac{β}{α}x\\) και η \\(y=-\\dfrac{β}{α}x.\\) Εφόσον η \\(y=\\dfrac{3}{4}x\\) είναι ασύμπτωτη και \\(α, β > 0\\), έχουμε ότι\n$$\\frac{β}{α}=\\frac{3}{4}\\iff 4β=3α\\iff β=\\frac{3}{4}α.$$\nΗ απόσταση των κορυφών της \\(ΑΑ'\\) είναι ίση με \\(2α\\), οπότε\n$$2α=8\\iff α=4.$$\nΆρα έχουμε \\(β=\\dfrac{3}{4}\\cdot 4=3.\\) Επομένως η εξίσωση της υπερβολής \\(\\dfrac{x^2}{α^2}-\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\) γίνεται \\(\\dfrac{x^2}{4^2}-\\dfrac{y^2}{3^2}=1\\) ή \\(\\dfrac{x^2}{16}-\\dfrac{y^2}{9}=1.\\)ii. Είναι \\(α^2+β^2=γ^2\\) και από το (α.i) ερώτημα έχουμε ότι \\(α=4\\) και \\(β=3\\). Επομένως\n$$4^2+3^2=γ^2\\iff γ^2=25\\overset{γ>0}{\\Leftrightarrow} γ=5.$$\nΟι εστίες είναι της μορφής \\(Ε(γ,0)\\) και \\(Ε'(-γ,0)\\), επομένως \\(Ε(5,0)\\) και \\(Ε'(-5,0).\\)\nβ) Η εφαπτόμενη της υπερβολής \\(\\dfrac{x^2}{α^2}-\\dfrac{y^2}{β^2}=1\\) στο σημείο της \\((x_1,y_1)\\) δίνεται από τον τύπο\n$$\\frac{xx_1}{α^2}-\\frac{yy_1}{β^2}=1\\iff\\frac{xx_1}{16}-\\frac{yy_1}{9}=1.$$\nΣτο σημείο \\(\\left(5,\\dfrac{9}{4}\\right)\\) θα έχουμε\n$$\\frac{5x}{16}-\\frac{\\frac{9}{4}y}{9}=1\\iff \\frac{5x}{16}-\\frac{y}{4}=1.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) και \\(Δ,Ε\\) σημεία εσωτερικά των πλευρών \\(ΑΒ\\) και \\(ΑΓ\\), αντίστοιχα, τέτοια ώστε \\(\\overrightarrow{AB}=κ\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=λ\\cdot\\overrightarrow{AE}\\), όπου \\(κ\\) και \\(λ\\) θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν \\(\\overrightarrow{AB}=\\vec{α}\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=\\vec{β}\\), τότε:\nα) Να εκφράσετε τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) ως γραμμικό συνδυασμό των \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\).\nβ) i. Αν \\(κ=λ\\), να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\parallel \\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(|\\overrightarrow{ΒΓ}|=κ\\cdot|\\overrightarrow{ΔΕ}|\\).\nii. Aν \\(κ=λ=2\\), να γράψετε τη σχέση που συνδέει τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) και να διατυπώσετε λεκτικά ποιο γνωστό θεώρημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχει αποδειχθεί." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΔΕ}&=\\overrightarrow{ΔΑ}+\\overrightarrow{AE}\\\\\n&=-\\frac{1}{κ}\\cdot\\vec{α}+\\frac{1}{λ}\\cdot\\vec{β}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΒΓ}&=\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{ΑΓ}\\\\\n&=-\\vec{α}+\\vec{β}.\\end{align}\nβ) i. Αν \\(κ=λ\\) τότε\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΒΓ}&=-\\vec{α}+\\vec{β}\\\\\n&=κ(-\\frac{1}{κ}\\vec{α}+\\frac{1}{κ}\\vec{β})\\\\\n&=κ\\cdot\\overrightarrow{ΔΕ}\\end{align}\nάρα \\(\\overrightarrow{ΒΓ}//\\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(|\\overrightarrow{ΒΓ}|=κ\\cdot|\\overrightarrow{ΔΕ}|\\).ii.\nΑν \\(κ=λ=2\\), τότε τα σημεία \\(Δ\\) και \\(Ε\\) είναι τα μέσα των \\(ΑΒ\\) και \\(ΑΓ\\), αντίστοιχα, και δείξαμε ότι \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\parallel \\overrightarrow{ΔΕ}\\) και \\(|\\overrightarrow{ΒΓ}|=2\\cdot|\\overrightarrow{ΔΕ}|\\), επομένως \\(ΔΕ\\parallel ΒΓ\\) και \\(ΒΓ=2\\cdot ΔΕ\\). Αποδείξαμε δηλαδή ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά του τριγώνου και ισούται με το μισό της τρίτης πλευράς." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Τα σημεία \\(Α(-7.-1)\\) και \\(Β(3,-5)\\) είναι σημεία ενός κύκλου \\(C\\) κέντρου \\(Κ\\). Το σημείο \\(Μ\\) είναι το μέσο της χορδής \\(ΑΒ\\) και μια ευθεία \\((ε)\\) διέρχεται από τα σημεία \\(Κ\\) και \\(Μ\\).\nα) Να βρείτε:i. Τις συντεταγμένες του σημείου \\(Μ\\).\nii. Την εξίσωση της ευθείας \\(ΚΜ\\).\nβ) Αν από το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου διέρχεται η ευθεία \\(δ:x+y=-12\\), τότε:i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου \\(Κ\\).\nii. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου \\(C\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει συντεταγμένες \\(Μ\\left(\\dfrac{-7+3}{2},\\dfrac{-1-5}{2}\\right)=(-2,3)\\).ii. Το τμήμα \\(ΚΜ\\) ενώνει το κέντρο του κύκλου με το μέσο \\(Μ\\) της χορδής \\(ΑΒ\\), οπότε είναι το απόστημα της χορδής και \\(ΚΜ\\perp ΑΒ\\). Οπότε \\(λ_{ΑΒ}\\cdot λ_{ΚΜ}=-1\\). Είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{-5+1}{3+7}=-\\frac{2}{5},$$\nεπομένως \\(λ_{ΚΜ}=\\dfrac{5}{2}\\). Η εξίσωση της ευθείας \\(ΚΜ\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_M=\\frac{5}{2}(x-x_M)\\\\\n\\iff&y+3=\\frac{5}{2}(x+2)\\\\\n\\iff&2y+6=5x+10\\\\\n\\iff&5x-2y+4=0.\\end{align}\nβ) i. Το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου ανήκει στην ευθεία \\((δ)\\) και στην ευθεία \\(ΚΜ\\). Άρα η τομή των δύο ευθειών, δηλαδή η λύση του συστήματος των δύο εξισώσεών τους, θα είναι οι συντεταγμένες του σημείου \\(Κ\\). Έχουμε:\n\\begin{align}&\\begin{cases}5x-2y=-4\\\\x+y=-12\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}5x-2y=-4\\\\2x+2y=-24\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}7x=-28\\\\x+y=-12\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=-4\\\\y=-8\\end{cases}\\end{align}\nΆρα \\(Κ(-4,-8)\\).ii. Αρκεί να βρούμε την ακτίνα του κύκλου που είναι το μήκος του τμήματος \\(ΚΑ\\). Είναι\n\\begin{align}(KA)&=\\sqrt{(-4+7)^2+(-8+1)^2}\\\\\n&=\\sqrt{9+49}\\\\\n&=\\sqrt{58}.\\end{align}\nΕπομένως, η εξίσωση του κύκλου είναι\n$$C:(x+4)^2+(y+8)^2=58.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\(C:\\ y^2 = 8x\\).\nα) Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα της παραβολής.\nβ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της \\(\\left(\\dfrac{1}{8} ,1\\right)\\) είναι παράλληλη στην ευθεία \\((ε): 8x – 2y + 3 = 0.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι: \\(C:\\ y^2 = 2\\cdot 4x\\), οπότε \\(p = 4\\), άρα \\(Ε\\left( \\dfrac{p}{2} , 0\\right) = (2 , 0)\\) είναι η εστία και \\((δ):\\ x = - \\dfrac{p}{2} \\Leftrightarrow x = - 2\\), είναι η διευθετούσα.\nβ) Η εφαπτομένη της παραβολής \\(C\\) στο \\(\\left(\\dfrac{1}{8} ,1\\right)\\) είναι:\n$$\\begin{align} (ε_1):\\ & yy_1 = p(x + x_1) \\\\\n\\Leftrightarrow (ε_1):\\ & y\\cdot 1 = 4\\left(x + \\dfrac{1}{8}\\right) \\\\\n\\Leftrightarrow (ε_1):\\ & y = 4x + \\dfrac{1}{2} \\text{ με } 𝜆_{𝜀_1}=4 \\end{align}$$\nΕπίσης για την ευθεία \\((ε):\\ 8x – 2y + 3 = 0\\) είναι: \\(𝜆_𝜀 =-\\dfrac{Α}{Β} = -\\dfrac{8}{−2} =4.\\)\nΟπότε \\(𝜆_{𝜀_1}= 𝜆_𝜀\\) επομένως: \\((ε_1)\\parallel (ε).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με \\(Α(-2,5),\\ Β(7,8),\\ Γ(1,-4).\\)\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}.\\)\nβ) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AΓ}.\\)\nγ) Να βρείτε, σε μοίρες, την κυρτή γωνία \\(B\\hat{A}Γ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}\\):\n$$\\overrightarrow{AB}=(7 –(–2),8 – 5)=(9,3)$$\n$$\\overrightarrow{AΓ}=(1 –(–2),– 4 – 5)=(3,–9)$$\nβ) Σύμφωνα με την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου, θα έχουμε:\n$$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AΓ}\n=9 \\cdot 3+3\\cdot (− 9)=27 − 27=0.$$\nγ) Αν \\(θ=(\\widehat{\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AΓ}})=Β\\hat{A}Γ\\), γνωρίζουμε ότι\n$$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=|\\overrightarrow{AB}||\\overrightarrow{ΑΓ}|συνθ,$$\nάρα \\(συνθ=0\\). Αλλά \\(0\\leq θ\\leq π\\), έτσι \\(θ=90^ο\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Στο καρτεσιανό επίπεδο \\(Oxy\\) τα σημεία \\(A\\) και \\(B\\) έχουν διανύσματα θέσεως\n$$\\overrightarrow{OA}=2\\vec{i}+λ\\vec{j}$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{OB}=(λ+1)\\vec{i}+(λ+3)\\vec{j},$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι\n$$\\overrightarrow{AB}=(λ-1)\\vec{i}+3\\vec{j}.$$\nβ) Να βρείτε την απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) ως συνάρτηση του \\(λ\\).\nγ) Για ποιές τιμές του \\(λ\\) η απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) είναι ίση με \\(5\\);\nδ) Θεωρήστε τον ισχυρισμό:\nΥπάρχει πραγματικός αριθμός \\(λ\\) τέτοιος ώστε η απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) να παίρνει τη μικρότερη δυνατή τιμή.\nΕίναι αληθής ή ψευδής ο παραπάνω ισχυρισμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=\\overrightarrow{OB}-\\overrightarrow{OA}\\\\\n&=(λ+1)\\vec{i}+(λ+3)\\vec{j}-2\\vec{i}-λ\\vec{j}\\\\\n&=(λ+1-2)\\vec{i}+(λ+3-λ)\\vec{j}\\\\\n&=(λ-1)\\vec{i}+3\\vec{j}.\\end{align}\nβ) Η απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) είναι ίση με\n\\begin{align}(AB)&=|\\overrightarrow{AB}|\\\\\n&=\\sqrt{(λ-1)^2+3^2}\\\\\n&=\\sqrt{(λ-1)^2+9}\\end{align}\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nγ) Είναι\n\\begin{align}&(AB)=5\\\\\n\\iff&\\sqrt{(λ-1)^2+3^2}=5\\\\\n\\iff&(λ-1)^2+9=25\\\\\n\\iff&(λ-1)^2=16\\\\\n\\iff&(λ-1)^2=4^2\\\\\n\\iff&λ-1=\\pm 4\\\\\n\\iff&λ=5\\text{ ή }λ=-3.\\end{align}\nδ) Για κάθε πραγματικό αριθμό \\(λ\\) έχουμε\n\\begin{align}&(λ-1)^2\\geq 0\\\\\n\\iff&(λ-1)^2+9\\geq 9\\\\\n\\iff&\\sqrt{(λ-1)^2+9}\\geq\\sqrt{9}\\\\\n\\iff&(AB)\\geq 3,\\end{align}\nόπου η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν\n\\begin{align}&(λ-1)^2=0\\\\\n\\iff&λ-1=0\\\\\n\\iff&λ=1.\\end{align}\nΆρα, για κάθε πραγματικό αριθμό \\(λ\\neq 1\\) η απόσταση των σημείων \\(A\\) και \\(B\\) είναι \\((AB) > 3\\). Όταν \\(λ=1\\) η απόσταση των σημείων \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι \\((ΑΒ)=3\\) και αυτή είναι η μικρότερη δυνατή τιμή της.\n(Άλλος τρόπος: Η απόσταση των σημείων \\(Α\\) και \\(Β\\) γράφεται\n\\begin{align}(AB)&=\\sqrt{(λ-1)^2+9}\\\\\n&=\\sqrt{λ^2-2λ+10},\\ λ\\in\\mathbb{R}\\end{align}\nκαι παίρνει τη μικρότερη δυνατή τιμή όταν το τριώνυμο \\(λ^2-2λ+10\\) παρουσιάζει ελάχιστο, το οποίο συμβαίνει διότι ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι \\(1 > 0\\). Συγκεκριμένα, συμβαίνει όταν \\(λ=-\\dfrac{β}{2α}\\). Είναι \\(α=1\\), \\(β=-2\\) και \\(γ=10\\), οπότε το τριώνυμο παρουσιάζει ελάχιστο για \\(λ=-\\dfrac{-2}{2\\cdot1}=1\\).)\nΕπομένως ο ισχυρισμός είναι αληθής." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(0,5)\\) και \\(Β(6,-1)\\).\nα) i. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\).\nii. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \\(AB\\) είναι το σημείο \\(M(3,2)\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης ευθείας \\((ε)\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{-1-5}{6-0}=-1.$$\nii. Aν \\(M(x_M,y_M)\\), ισχύει:\n$$\\begin{cases}x_M=\\dfrac{x_A+x_B}{2}=3\\\\y_M=\\dfrac{y_A+y_B}{2}=2\\end{cases}$$\nβ) Η μεσοκάθετη ευθεία \\((ε)\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\) διέρχεται από το σημείο \\(Μ(3,2)\\) και έχει κλίση \\(λ\\), η οποία προκύπτει από την εξίσωση\n$$λ\\cdot λ_{ΑΒ}=-1$$\n$$\\iff λ\\cdot(-1)=-1\\iff λ=1.$$\nΕπομένως η εξίσωσή της είναι η\n$$y-2=1\\cdot(x-3)\\iff y=x-1.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι \\(Α(3,-2)\\) και \\(Γ(5,2)\\). Αν το σημείο \\(Μ\\left(3,\\dfrac{1}{2}\\right)\\) είναι το μέσο της \\(ΒΓ\\), τότε:\nα) Να αποδείξετε ότι \\(Β(1,-1)\\).\nβ) Να βρείτε το μήκος της πλευράς \\(ΒΓ\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ΑΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν \\(Β(x,y)\\), τότε έχουμε \\(\\dfrac{x+5}{2}=3\\) και \\(\\dfrac{y+2}{2}=\\dfrac{1}{2}\\), οπότε \\(x=1\\) και \\(y=-1\\), άρα \\(Β(1,-1)\\).\nβ) Το μήκος της πλευράς \\(ΒΓ\\) είναι\n\\begin{align}(BΓ)&=\\sqrt{(5-1)^2+(2+1)^2}\\\\\n&=\\sqrt{16+9}\\\\\n&=\\sqrt{25}\\\\\n&=5.\\end{align}\nγ) Η ευθεία \\(ΑΓ\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(3,-2)\\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης\n$$λ=\\frac{2+2}{5-3}=\\frac{4}{2}=2,$$\nοπότε η εξίσωσή της είναι η \\(y+2=2(x-3)\\), που γράφεται \\(y=2x-8\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες\n\\begin{align}&ε_1:8x+y-28=0,\\\\\n&ε_2:x-y+1,\\\\\n&ε_3:3x+4y+5=0.\\end{align}\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής \\(Μ\\) των \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\).\nβ) Αν το σημείο τομής είναι το \\(Μ(3,4)\\) να υπολογίσετε:i. Το μέτρο του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΟΜ}\\), όπου \\(Ο\\) η αρχή των αξόνων.\nii. Την απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\((ε_3)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις των δύο ευθειών\n\\begin{cases}8x+y=28\\\\x-y=-1\\end{cases}\nκαι παίρνουμε \\(9x = 27\\), άρα \\(x=3\\). Αντικαθιστούμε στην \\(x-y=-1\\) το \\(x=3\\) και έχουμε \\(y=4\\). Άρα \\(Μ(3,4)\\).\nβ) i. Είναι \\(Ο(0,0)\\), άρα\n$$\\overrightarrow{OM}=(3-0, 4-0)=(3,4)$$\nκαι\n$$|\\overrightarrow{ΟΜ}|=\\sqrt{3^2+4^2}=\\sqrt{25}=5.$$\nii.\n\\begin{align}d(M,ε_3)&=\\frac{|Αx_0+Βx_0+Γ|}{\\sqrt{A^2+B^2}}\\\\\n&=\\frac{|3\\cdot 3+4\\cdot 4+5|}{\\sqrt{3^2+4^2}}\\\\\n&=\\frac{30}{5}\\\\\n&=6.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(-3,-1)\\), \\(B(0,3)\\) και \\(M(x,y)\\) του καρτεσιανού επιπέδου \\(Oxy\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AM}\\), \\(\\overrightarrow{MB}\\) και \\(\\overrightarrow{AB}\\).\nβ) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AM}\\), \\(\\overrightarrow{MB}\\) και \\(\\overrightarrow{AB}\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι \\(|\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\geq 5\\).\nδ) Θεωρήστε τον ισχυρισμό:\nΥπάρχει ζεύγος πραγματικών αριθμών \\((x,y)\\) τέτοιο ώστε να ισχύει:\n$$\\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2}+\\sqrt{x^2+(y-3)^2}=4.$$\nΕίναι αληθής ή ψευδής ο παραπάνω ισχυρισμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AM}\\), \\(\\overrightarrow{MB}\\) και \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι αντίστοιχα\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AM}=(x_M-x_A,y_M-y_A)=(x+3,y+1),\\\\\n&\\overrightarrow{MB}=(x_B-x_M,y_B-y_M)=(-x,3-y),\\\\\n&\\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(3,4).\\end{align}\nβ) Τα μέτρα των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AM}\\), \\(\\overrightarrow{MB}\\) και \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι αντίστοιχα\n\\begin{align}&|\\overrightarrow{AM}|=\\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2},\\\\\n&|\\overrightarrow{MB}|=\\sqrt{x^2+(y-3)^2},\\\\\n&|\\overrightarrow{AB}|=\\sqrt{3^2+4^2}=\\sqrt{25}=5.\\end{align}\nγ) Για το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων ισχύει\n\\begin{align}&|\\overrightarrow{AM}+\\overrightarrow{MB}|\\leq |\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\\\\n\\iff&|\\overrightarrow{AB}|\\leq |\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\\\\n\\iff&5\\leq |\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\\\\n\\iff&|\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\geq 5.\\end{align}\nδ) Από το (γ) ερώτημα, για οποιοδήποτε σημείο \\(M(x,y)\\) του καρτεσιανού επιπέδου ισχύει\n$$|\\overrightarrow{AM}|+|\\overrightarrow{MB}|\\geq 5,$$\nοπότε αντικαθιστώντας από το (β) ερώτημα θα έχουμε\n$$\\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2}+\\sqrt{x^2+(y-3)^2}\\geq 5.$$\nΟπότε δεν υπάρχει ζεύγος \\((x,y)\\) πραγματικών αριθμών ώστε να ισχύει\n$$\\sqrt{(x+3)^2+(y+1)^2}+\\sqrt{x^2+(y-3)^2}=4.$$\nΕπομένως ο ισχυρισμός είναι ψευδής." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι \\(\\overrightarrow{AB}=(λ,λ+1)\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=(3λ,λ-1)\\) με \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), και το σημείο \\(Μ\\) είναι το μέσο της \\(ΒΓ\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΜ}=(2λ,λ)\\).\nβ) Δίνεται επιπλέον ότι \\(Β\\hat{Α}Γ=90^o\\).i. Να υπολογίσετε το \\(λ\\).\nii. Αν \\(λ=\\frac{1}{2}\\) και \\(Α\\left(2,\\dfrac{3}{2}\\right)\\), να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AM}&=\\frac{\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AΓ}}{2}\\\\\n&=\\frac{(λ,λ+1)+(3λ,λ-1)}{2}\\\\\n&=\\frac{(λ+3λ,λ+1+λ-1)}{2}\\\\\n&=\\frac{(4λ,2λ)}{2}\\\\\n&=(2λ,λ).\\end{align}\nβ) i. Αφού \\(Β\\hat{Α}Γ=90^o\\), θα είναι\n\\begin{align}&\\overrightarrow{ΑΒ}\\perp\\overrightarrow{ΑΓ}\\\\\n\\iff&\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=0\\\\\n\\iff&(λ,λ+1)\\cdot(3λ,λ-1)=0\\\\\n\\iff&3λ^2+(λ-1)(λ+1)=0\\\\\n\\iff&3λ^2+λ^2-1=0\\\\\n\\iff&4λ^2=1\\\\\n\\iff&λ=\\pm\\frac{1}{2}.\\end{align}\nii. Ο ζητούμενος κύκλος διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\). Επειδή όμως η εγγεγραμμένη γωνία \\(Β\\hat{Α}Γ\\) είναι ορθή, η απέναντί πλευρά \\(ΒΓ\\) θα είναι διάμετρος του κύκλου. Το κέντρο του θα βρίσκεται στο μέσο \\(Μ(x,y)\\) της διαμέτρου \\(ΒΓ\\). Από το (α) ερώτημα έχουμε ότι\n$$\\overrightarrow{AM}=(2λ,λ)=\\left(2\\cdot\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)=\\left(1,\\dfrac{1}{2}\\right)$$\nκαι \\(Α\\left(2,\\dfrac{3}{2}\\right)\\). Όμως\n\\begin{align}&\\overrightarrow{AM}=(x_M-x_A,y_M-y_A)\\\\\n\\iff&\\left(1,\\frac{1}{2}\\right)=\\left(x_M-2,y_M-\\frac{3}{2}\\right)\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_M-2=1\\\\y_M-\\frac{3}{2}=\\frac{1}{2}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_M=3\\\\y_M=\\frac{1}{2}+\\frac{3}{2}=2\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως το κέντρο \\(Μ\\) είναι το \\((3,2)\\). Η ακτίνα θα είναι η απόσταση\n\\begin{align}(AM)&=\\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(3-2)^2+\\left(2-\\frac{3}{2}\\right)^2}\\\\\n&=\\sqrt{1+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2}\\\\\n&=\\sqrt{1+\\frac{1}{4}}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{5}{4}}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{5}}{2}.\\end{align}\nΗ εξίσωση του κύκλου με κέντρο \\((x_0,y_0)\\) και ακτίνα \\(ρ\\) δίνεται από την εξίσωση \\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=ρ^2\\). Για κέντρο το \\((3,2)\\) και ακτίνα \\(\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\) έχουμε\n\\begin{align}&(x-3)^2+(y-2)^2=\\left(\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\right)^2\\\\\n&(x-3)^2+(y-2)^2=\\frac{5}{4}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(3,2)\\) και \\(Β(-1,-6)\\). Να βρεθούν:\nα) Οι συντεταγμένες του μέσου \\(Μ\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\).\nγ) Η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας \\((ε)\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το μέσο \\(Μ\\) του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει συντεταγμένες\n$$M\\left(\\frac{3+(-1)}{2},\\frac{2+(-6)}{2}\\right)=M(1,-2).$$\nβ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι\n$$λ_{AB}=\\frac{2-(-6)}{3-(-1)}=\\frac{8}{4}=2.$$\nγ) Επειδή η ευθεία \\(ΑΒ\\) είναι κάθετη στην ευθεία \\((ε)\\), έχουμε \\(λ_{ΑΒ}\\cdot λ_ε=-1\\). Επιπλέον, από το (β), είναι \\(λ_{AB}=2\\), άρα\n$$2\\cdot λ_ε=-1\\iff λ_ε=-\\frac{1}{2}.$$\nΕπομένως η μεσοκάθετος \\((ε)\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει εξίσωση\n$$y+2=-\\frac{1}{2}(x-1)\\iff x+2y+3=0.$$\nΕναλλακτική λύση\nΈνα σημείο \\(M(x,y)\\) ανήκει στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΒ\\) αν και μόνο αν\n$$\\begin{align}&d(M,A)=d(M,B)\\\\\n\\iff&\\sqrt{(3-x)^2+(2-y)^2}=\\sqrt{(-1-x)^2+(-6-y)^2}\\\\\n\\iff&(3-x)^2+(2-y)^2=(1+x)^2+(6+y)^2\\\\\n\\iff&9-6x+x^2+4-4y+y^2=1+2x+x^2+36+12y+y^2\\\\\n\\iff&x+2y+3=0.\\end{align}$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων \\(Oxy\\) η εξίσωση \\(3x+4y=25\\) περιγράφει τη θέση ενός αγωγού ύδρευσης. Σε αυτό το σύστημα θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα κυκλικό σιντριβάνι με κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) και ακτίνα \\(2\\).\nα) i. Ποια είναι η εξίσωση του κύκλου που περιγράφει την θέση του σιντριβανιού;\nii. Να εξετάσετε αν ο αγωγός ύδρευσης διέρχεται από το κέντρο του σιντριβανιού, προκειμένου να ενωθεί με αυτό.\niii. Αν ο αγωγός ύδρευσης δεν διέρχεται από το κέντρο του σιντριβανιού, ποιο σημείο του αγωγού ύδρευσης πρέπει να ενωθεί με το κέντρο του σιντριβανιού ώστε να έχουμε την μικρότερη δυνατή απόσταση, άρα και οικονομικότερη κατασκευή;\nβ) Ο μηχανικός που θέλει να χαράξει έναν ευθύγραμμο δρόμο, κατέληξε στην εξίσωση \\(λx+y+λ-2=0\\), με \\(λ\\neq0\\). Μπορείτε να τον βοηθήσετε να βρει για ποια τιμή του \\(λ\\) ο δρόμος αυτός εφάπτεται του σιντριβανιού;" }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Ο κύκλος έχει κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) και ακτίνα \\(ρ=2\\). Η εξίσωση κύκλου με κέντρο το \\(Ο(0,0)\\) είναι της μορφής \\(x^2+y^2=ρ^2\\). Επομένως η εξίσωση γίνεται \\(x^2+y^2=4\\).ii. Για να διέρχεται ο αγωγός από το κέντρο \\(Ο\\) θα πρέπει οι συντεταγμένες του να επαληθεύουν την εξίσωση \\(3x+4y=25\\), δηλαδή \\(3\\cdot 0+4\\cdot 0=25\\), που δεν ισχύει. Επομένως, ο αγωγός δεν διέρχεται από το κέντρο του σιντριβανιού.iii. Για να έχουμε την ελάχιστη δυνατή απόσταση θα πρέπει να φέρουμε την κάθετη \\(ΟΑ\\) από το κέντρο \\(Ο\\) προς την ευθεία του αγωγού. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας του αγωγού είναι \\(λ_1=-\\dfrac{A}{B}=-\\dfrac{3}{4}\\). Για να είναι η \\(ΑΟ\\) κάθετη στον αγωγό πρέπει\n\\begin{align}&λ_1λ_{ΑΟ}=-1\\\\\n\\iff&-\\frac{3}{4}λ_{ΑΟ}=-1\\\\\n\\iff&λ_{ΑΟ}=\\frac{4}{3}.\\end{align}\nΗ εξίσωση της \\(ΑΟ\\) θα είναι\n\\begin{align}&y-y_0=λ_{ΑΟ}(x-x_0)\\\\\n\\iff&y-0=\\frac{4}{3}(x-0)\\\\\n\\iff&y=\\frac{4}{3}x.\\end{align}\nΤο σημείο \\(Α\\) είναι το σημείο τομής της \\(ΑΟ\\) και της ευθείας του αγωγού. Για να βρεθεί λύνουμε το σύστημά τους:\n\\begin{align}&\\begin{cases}3x+4y=25\\\\y=\\frac{4}{3}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x+4\\frac{4}{3}x=25\\\\y=\\frac{4}{3}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}9x+16x=75\\\\y=\\frac{4}{3}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}25x=75\\\\y=\\frac{4}{3}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=3\\\\y=4\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως το σημείο \\(Α\\) είναι το \\((3,4)\\).\nβ) Για να εφάπτεται ο δρόμος του κυκλικού σιντριβανιού πρέπει η απόσταση του κέντρου \\(Ο\\) από την ευθεία του δρόμου να ισούται με την ακτίνα του κύκλου, δηλαδή \\(d(Ο,ε) = ρ\\). Είναι\n\\begin{align}&d(O,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|λ\\cdot 0+0+λ+2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&\\frac{|λ-2|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&|λ-2|=2\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&|λ-2|^2=(2\\sqrt{λ^2+1})^2\\\\\n\\iff&λ^2-4λ+4=4(λ^2+1)\\\\\n\\iff&3λ^2+4λ=0\\\\\n\\iff&λ(3λ+4)=0.\\end{align}\nΈχουμε \\(λ=0\\), που απορρίπτεται λόγω της υπόθεσης \\((λ\\neq0)\\), ή \\(λ=-\\dfrac{4}{3}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες: \\(ε_1:\\ 2x+y=6\\) και \\(ε_2:\\ x-2y=-2\\)\nα) Να βρείτε το κοινό τους σημείο \\(M.\\)\nβ) Να δείξετε ότι οι ευθείες \\((ε_1), (ε_2)\\) και \\((ε_3):\\ 3x-y=4\\) διέρχονται από το ίδιο σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για να βρούμε το κοινό σημείο των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) θα λύσουμε το σύστημα:\n$$\\begin{align} & \\begin{cases} 2x+y=6 \\\\ x-2y=-2\\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} 2x+y=6 \\\\ 2x-4y=-4\\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} 5y=10 \\\\ x-2y=-2\\end{cases} \\\\\n\\Leftrightarrow & \\begin{cases} y=2 \\\\ x=2\\end{cases}\\end{align}$$\nΟπότε το σημείο \\(Μ\\) έχει συντεταγμένες \\(Μ(2,2).\\)\nβ) Οι ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) και \\((ε_3):\\ 3x-y=4\\) θα διέρχονται από το ίδιο σημείο, εάν η ευθεία \\(3x-y=4\\) διέρχεται από το \\(M(2,2)\\), δηλαδή εάν: \\(3\\cdot 2-2=4\\), που ισχύει." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε μια σύγχρονη πόλη κατασκευάζεται σιδηροδρομικό δίκτυο που περιλαμβάνει:\nτη γραμμή \\(γ_1\\), κάθε σημείο της οποίας στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων είναι της μορφής \\(Α(λ-1,\\ 2λ+1)\\), \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nτη γραμμή \\(γ_2\\), που περνάει από το σταθμό \\(Σ(-4, 2)\\) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα \\(\\vec{u}=(-1, 3)\\).\nα) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι γραμμές \\(γ_1\\) και \\(γ_2\\).\nβ) Η είσοδος του αθλητικού σταδίου μιας συνοικίας θα βρίσκεται στο σημείο \\(Κ(1, 1)\\) του ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Οι κατασκευαστές θέλουν να συνδέσουν την είσοδο του σταδίου απ’ ευθείας με κάθετο δρόμο, με μια από τις γραμμές \\(γ_1\\) και \\(γ_2\\). Να βρείτε με ποια από τις δύο γραμμές είναι πιο συμφέρουσα η σύνδεση. Δίνεται ότι το κόστος σύνδεσης ανά μονάδα μήκους είναι το ίδιο και για τις δύο γραμμές.\nγ) Γύρω από το στάδιο θα δημιουργηθεί κυκλικό πάρκο. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που θα ορίζει το πάρκο, αν το κέντρο του είναι το σημείο \\(Κ\\) και επιπλέον ο κύκλος αυτός εφάπτεται της γραμμής \\(γ_1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(Α(λ-1, 2λ+1)\\), \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), οπότε αν \\(Α(x, y)\\) τότε:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=λ-1\\\\y=2λ+1\\\\λ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}λ=x+1\\\\y=2(x+1)+1\\\\λ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=2x+3\\\\λ=x+1\\\\λ\\in\\mathbb{R}\\end{cases}\\end{align}\nΟπότε \\(γ_1: 2x-y+3=0\\), η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκετε η γραμμή \\(γ_1\\). Επίσης, ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος \\(\\vec{u}=(-1, 3)\\) είναι\n$$λ=\\frac{y}{x}=\\frac{3}{-1}=-3=λ_{γ_2},$$\nοπότε η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκετε η γραμμή \\(γ_2\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_Σ=λ_{γ_2}(x-x_Σ)\\\\\n\\iff&y-2=-3(x+4)\\\\\n\\iff&y-2=-3x-12\\\\\n\\iff&3x+y+10=0.\\end{align}\nβ) Είναι \\(Κ(1, 1)\\), οπότε λόγω του ερωτήματος (α) είναι\n\\begin{align}d(Κ,γ_1)&=\\frac{|2\\cdot 1-1\\cdot1+3|}{\\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\\\\n&=\\frac{|4|}{\\sqrt{5}}\\\\\n&=\\frac{4}{\\sqrt{5}}\\\\\n&=\\frac{4\\sqrt{5}}{5}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}d(Κ,γ_2)&=\\frac{|3\\cdot 1+1\\cdot 1+10|}{\\sqrt{3^2+1^2}}\\\\\n&=\\frac{|14|}{\\sqrt{10}}\\\\\n&=\\frac{14}{\\sqrt{10}}\\\\\n&=\\frac{14\\sqrt{10}}{10}\\\\\n&=\\frac{7\\sqrt{10}}{5}.\\end{align}\nΕφόσον\n$$\\frac{4\\sqrt{5}}{5} < \\frac{7\\sqrt{10}}{5}\\iff d(Κ,γ_1) < d(Κ,γ_2),$$\nπροφανώς συμφέρει η σύνδεση του σταδίου με τη γραμμή \\(γ_1\\).\nγ) Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου που ορίζει το κυκλικό πάρκο γύρω από το στάδιο είναι το σημείο \\(Κ(1,1)\\). Εφόσον ο κύκλος αυτός εφάπτεται στη γραμμή \\(γ_1\\), η ακτίνα του λόγω του ερωτήματος (β), είναι \\(ρ=d(Κ,γ_1)=\\dfrac{4}{\\sqrt{5}}\\). Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι\n\\begin{align}&(x-1)^2+(y-1)^2=\\left(\\frac{4}{\\sqrt{5}}\\right)^2\\\\\n\\iff&(x-1)^2+(y-1)^2=\\frac{16}{5}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(α,0)\\) και \\(Β(0,β)\\) με \\(α,β > 0\\) και \\(α+β=10\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση των κύκλων με διάμετρο την \\(ΑΒ\\), για κάθε τιμή των \\(α\\) και \\(β\\), είναι \\(x^2+y^2-αx-(10-α)y=0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι με διάμετρο την \\(ΑΒ\\), για τις διάφορες τιμές των \\(α\\) και \\(β\\), διέρχονται από δύο σταθερά σημεία, την αρχή \\(Ο\\) των αξόνων και ένα σημείο \\(Ρ\\) του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες.\nγ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων όλων των κύκλων με διάμετρο την \\(ΑΒ\\) για τις διάφορες τιμές των \\(α\\) και \\(β\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Το κέντρο των κύκλων με διάμετρο την \\(ΑΒ\\) είναι το μέσο της \\(Μ\\), επομένως\n$$M\\left(\\frac{α+0}{2},\\frac{β+0}{2}\\right)\\iff M\\left(\\frac{α}{2},\\frac{β}{2}\\right)$$\nκαι η ακτίνα τους είναι\n$$ρ=\\frac{AB}{2}=\\frac{\\sqrt{(0-α)^2+(β-0)^2}}{2}=\\frac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}.$$\nΕπομένως η εξίσωση των κύκλων είναι:\n\\begin{align}&\\left(x-\\frac{α}{2}\\right)^2+\\left(y-\\frac{β}{2}\\right)^2=\\left(\\frac{\\sqrt{α^2+β^2}}{2}\\right)^2\\\\\n\\iff&x^2-2x\\frac{α}{2}+\\frac{α^2}{4}+y^2-2y\\frac{β}{2}+\\frac{β^2}{4}=\\frac{α^2+β^2}{2}\\\\\n\\iff&x^2+y^2-αx-βy+\\frac{α^2}{4}+\\frac{β^2}{4}=\\frac{α^2}{4}+\\frac{β^2}{4}\\\\\n\\iff&x^2+y^2-αx-βy=0 \\quad(1)\\end{align}\nΕίναι όμως \\(α+β=10\\), οπότε \\(β=10-α\\) και η εξίσωση \\((1)\\) γράφεται\n$$x^2+y^2-αx-(10-α)y=0.$$\nβ) Για \\(α=1\\) έχουμε τον κύκλο:\n$$C_1: x^2+y^2-x-9y=0\\quad(2)$$\nΓια \\(α=9\\) έχουμε τον κύκλο\n$$C_2: x^2+y^2-9x-y=0\\quad(3)$$\nΘα βρούμε τα κοινά σημεία των δύο παραπάνω κύκλων, αν υπάρχουν. Αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις των παραπάνω κύκλων έχουμε\n$$8x-8y=0\\iff x=y.$$\nTότε από την εξίσωση \\((3)\\) έχουμε\n\\begin{align}&x^2+x^2-9x-x=0\\\\\n\\iff&2x^2-10x=0\\\\\n\\iff&x=0\\text{ ή }x=5.\\end{align}\nΓια \\(x=0\\) έχουμε \\(y=0\\) και για \\(x=5\\) έχουμε \\(y=5\\), άρα οι δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία \\(Ο(0,0)\\) και \\(Ρ(5,5)\\). Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από το σημείο \\(Ρ(5,5)\\) αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση των κύκλων \\(x^2+y^2-αx-(10-α)y=0\\).\nΠράγματι, αντικαθιστώντας τις τιμές \\(x=5\\) και \\(y=5\\) έχουμε\n$$5^2+5^2-α\\cdot 5-(10-α)\\cdot 5=0\\iff 0=0.$$\nΟμοίως, όλοι οι κύκλοι διέρχονται από την αρχή των αξόνων.\nγ) Έστω τυχαίο σημείο \\(Μ(x, y)\\) είναι σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν\n\\begin{align}&\\begin{cases}x=\\frac{α}{2}\\\\y=\\frac{β}{2}\\\\α+β=10,\\ α > 0,\\ β > 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}α=2x\\\\β=2y\\\\α+β=10,\\ α > 0,\\ β > 0\\end{cases}\\\\\n\\iff&2x+2y=10\\\\\n\\iff&x+y=5.\\end{align}\nΗ παραπάνω ευθεία τέμνει τους άξονες στα σημεία \\((5,0)\\) και \\((0,5)\\). Επειδή \\(α, β > 0\\) έχουμε\n$$α > 0\\iff 2x > 0\\iff x > 0$$\nκαι\n$$β > 0\\iff y > 0.$$\nΣυνεπώς ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΑΒ\\), που ορίζεται από την ευθεία \\(x+y=5\\) με \\(x > 0\\) και \\(y > 0\\), εκτός από τα άκρα του \\(Α(5,0)\\) και \\(Β(0,5)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τα διανύσματα \\(\\vec{α},\\vec{β}\\) με \\(|\\vec{α}|=2,|\\vec{β}|=4,(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})=\\dfrac{π}{3}\\) και το \\(\\vec{γ}=\\vec{α}-\\vec{β}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=4\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{γ}=0\\).\nγ) Να βρείτε τη \\((\\widehat{\\vec{α},\\vec{γ}})\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{β}&=|\\vec{α}|\\cdot|\\vec{β}|\\cdot συν(\\widehat{\\vec{α},\\vec{β}})\\\\\n&=2\\cdot 4\\cdot συν\\frac{π}{3}\\\\\n&=8\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n&=4.\\end{align}\nβ) Είναι\n\\begin{align}\\vec{α}\\cdot\\vec{γ}&=\\vec{α}\\cdot(\\vec{α}-\\vec{β})\\\\\n&=\\vec{α}^2-\\vec{α}\\cdot\\vec{β}\\\\\n&=|\\vec{α}|^2-4\\\\\n&=4-4\\\\\n&=0.\\end{align}\nγ) Είναι\n$$\\vec{α}\\cdot\\vec{γ}=0\\iff\\vec{α}\\perp\\vec{γ}\\iff(\\widehat{\\vec{α},\\vec{γ}})=\\frac{π}{2}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ελλείψεις \\((C_1):\\ \\dfrac{x^2}{12}+\\dfrac{y^2}{6}=1\\) και \\((C_2):\\ \\dfrac{x^2}{6}+\\dfrac{y^2}{12}=1.\\)\nα) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Α(2,2)\\) και \\(Β(-2,2)\\) ανήκουν και στις δύο ελλείψεις.\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης \\((ε_1)\\) της έλλειψης \\(C_1\\) στο σημείο \\(Α\\), και η εξίσωση της εφαπτομένης \\(ε_2\\) της έλλειψης \\((C_2)\\) στο σημείο \\(Β\\) είναι αντίστοιχα \\(x+2y-6=0\\) και \\(-2x+y-6=0.\\)\nγ) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες \\((ε_1),\\) \\((ε_2)\\) είναι κάθετες." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες του σημείου \\(Α\\) επαληθεύουν τις εξισώσεις των δύο ελλείψεων αφού\n$$\\frac{2^2}{12}+\\frac{2^2}{6}=\\frac{4}{12}+\\frac{4}{6}=\\frac{2}{3}+\\frac{1}{3}=1$$\nκαι\n$$\\frac{2^2}{6}+\\frac{2^2}{12}=\\frac{4}{6}+\\frac{4}{12}=\\frac{1}{3}+\\frac{2}{3}=1.$$\nΤο σημείο \\(Β\\) είναι συμμετρικό του σημείο \\(Α\\) ως προς τον άξονα \\(y'y,\\) επομένως επίσης θα ανήκει στις δύο ελλείψεις.\nβ) Η εφαπτομένη \\((ε_1)\\) της έλλειψης \\((C_1)\\) στο σημείο \\(Α\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&\\frac{2x}{12}+\\frac{2y}{6}=1\\\\\n\\iff&\\frac{x}{6}+\\frac{2y}{6}=1\\\\\n\\iff&x+2y=6\\\\\n\\iff&x+2y-6=0.\\end{align}\nΑντίστοιχα, η εφαπτομένη \\((ε_2)\\) της έλλειψης \\((C_2)\\) στο σημείο \\(Β\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&\\frac{-2x}{6}+\\frac{2y}{12}=1\\\\\n\\iff&\\frac{-2x}{6}+\\frac{y}{6}=1\\\\\n\\iff&-2x+y=6\\\\\n\\iff&-2x+y-6=0.\\end{align}\nγ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης \\((ε_1)\\) είναι \\(λ_1=-\\dfrac{1}{2}\\) και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης \\((ε_2)\\) είναι \\(λ_2=2.\\) Οι εφαπτομένες \\((ε_1),\\) \\((ε_2)\\) είναι κάθετες, εφόσον\n$$λ_1λ_2=-\\frac{1}{2}\\cdot2=-1.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Στο καρτεσιανό επίπεδο \\(Oxy\\) δίνονται τα σημεία \\(A(3,4)\\), \\(B(2,1)\\), \\(Γ(3,-1)\\) και \\(Δ(4,2)\\).\nα) Να σχεδιάσετε τα παραπάνω σημεία \\(A\\), \\(B\\), \\(Γ\\) και \\(Δ\\).\nβ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{ΔΓ}\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) είναι παραλληλόγραμμο." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nβ) Είναι \\(A(3,4)\\), \\(B(2,1)\\), \\(Γ(3,-1)\\) και \\(Δ(4,2)\\), οπότε οι συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{ΔΓ}\\) θα είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΒ}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(2-3,1-4)\\\\\n&=(-1,-3),\\\\\n\\overrightarrow{ΔΓ}&=(x_Γ-x_Δ,y_Γ-y_Δ)\\\\\n&=(3-4,-1-2)\\\\\n&=(-1,-3).\\end{align}\nγ) Από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=\\overrightarrow{ΔΓ}\\). Άρα τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{ΔΓ}\\) θα έχουν ίσα μέτρα και θα είναι παράλληλα χωρίς να συμπίπτουν. Επομένως οι πλευρές \\(AB\\) και \\(ΔΓ\\) του τετραπλεύρου \\(ΑΒΓΔ\\) θα είναι ίσες και παράλληλες, οπότε το τετράπλευρο \\(ΑΒΓΔ\\) είναι παραλληλόγραμμο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση\n$$x^2+y^2-4x-8y-5=0$$\nκαι η ευθεία\n$$ε:3x-4y=μ,\\ μ\\in\\mathbb{R}.$$\nα) Να βρείτε το κέντρο του κύκλου και την ακτίνα του.\nβ) Αν η ευθεία \\(ε\\) τέμνει τον κύκλο σε δύο διαφορετικά σημεία \\(Α\\), \\(Β\\):i. Να αποδείξετε ότι \\(-35 < μ < 15\\).\nii. Να βρείτε για ποια τιμή του \\(μ\\) η ευθεία \\(ε\\) διέρχεται από το κέντρο του.\niii. Να βρεθεί σημείο \\(Γ\\) του κύκλου τέτοιο ώστε το τρίγωνο \\(ΓΑΒ\\) να είναι ισοσκελές με βάση τη χορδή \\(ΑΒ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}&x^2+y^2-4x-8y-5=0\\\\\n\\iff&x^2-4x+4-4+y^2-8y+16-16-5=0\\\\\n\\iff&(x-2)^2+(y-4)^2=25.\\end{align}\nΆρα το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο \\(Κ(2,4)\\) και η ακτίνα του είναι \\(ρ=5\\).\nβ) i. Η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου του από την ευθεία \\(ε\\) είναι μικρότερη της ακτίνας του. Δηλαδή\n\\begin{align}&d(K,ε) < ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|3\\cdot2-4\\cdot4-μ|}{\\sqrt{3^2+4^2}} < 5\\\\\n\\iff&\\frac{|-10-μ|}{5} < 5\\\\\n\\iff&|μ+10| < 25\\\\\n\\iff&-25 < μ+10 < 25\\\\\n\\iff&-35 < μ < 15.\\end{align}\nii. Αν η ευθεία \\(ε\\) διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, τότε οι συντεταγμένες του σημείου \\(Κ\\) θα επαληθεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή\n$$3\\cdot2-4\\cdot4=μ\\iff μ=-10.$$\nΗ τιμή \\(μ=-10\\) είναι δεκτή, αφού βρίσκεται στο διάστημα \\((-35, 15)\\) που βρήκαμε στο (β.i) ερώτημα.iii. Το ζητούμενο σημείο \\(Γ\\) θα είναι η κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου \\(ΓΑΒ\\) με βάση τη χορδή \\(ΑΒ\\). Άρα το \\(Γ\\) θα ανήκει στη μεσοκάθετο ευθεία \\(δ\\) της χορδής \\(ΑΒ\\) που είναι ο φορέας του αποστήματος της χορδής αυτής και είναι ευθεία που διέρχεται από το κέντρο \\(Κ\\) του κύκλου. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ΑΒ\\) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας \\(ε\\), δηλαδή \\(λ_{ΑΒ}=λ_ε=\\dfrac{3}{4}\\). Επειδή \\(δ\\perp ε\\), θα είναι\n$$λ_δ\\cdot λ_ε=-1\\iff λ_δ=-\\frac{4}{3}.$$\nΟπότε η εξίσωση της ευθείας \\(δ\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_K=-\\frac{4}{3}(x-x_K)\\\\\n\\iff&y-4=-\\frac{4}{3}(x-2)\\\\\n\\iff&3y-12=-4x+8\\\\\n\\iff&4x+3y=20.\\end{align}\nΤα σημεία τομής της ευθείας \\(δ\\) με τον κύκλο είναι τα ζητούμενα σημεία. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x^2+y^2-4x-8y-5=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2+\\frac{1}{9}(20-4x)^2-4x-8\\frac{1}{3}(20-4x)-5=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}9x^2+400+16x^2-160x-36x-480+96x-45=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2-100x-125=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2-4x-5=0\\\\y=\\frac{1}{3}(20-4x)\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=5\\\\y=0\\end{cases}\\text{ ή }\\begin{cases}x=-1\\\\y=8\\end{cases}\\end{align}\nΆρα υπάρχουν δύο σημεία του κύκλου τέτοια ώστε το τρίγωνο \\(ΓΑΒ\\) να είναι ισοσκελές με βάση τη χορδή \\(ΑΒ\\), τα \\(Γ(5,0)\\) και \\(Γ'(-1,8)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ρόμβος \\(ΑΒΓΔ\\) με κέντρο \\(Ο\\), πλευρά \\(4\\) και \\(\\hat{Α}=60^ο\\). Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:\nα) \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}\\)\nβ) \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}\\)\nγ) \\(\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΟ}\\)\nδ) \\(\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΟΒ}\\)\nε) \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΔ}\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α)\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΒ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΔ}&=|\\overrightarrow{ΑΒ}|\\cdot|\\overrightarrow{ΑΔ}|\\cdot συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΒ},\\overrightarrow{ΑΔ}})\\\\\n&=4\\cdot 4\\cdot συν60^ο\\\\\n&=16\\cdot\\frac{1}{2}\\\\\n&=8.\\end{align}\nβ) Τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) είναι ομόρροπα οπότε σχηματίζουν γωνία \\(0^ο\\). Οπότε,\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΒΓ}&=|\\overrightarrow{ΑΔ}|\\cdot|\\overrightarrow{ΒΓ}|\\cdot συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΒΓ}})\\\\\n&=4\\cdot 4\\cdot συν0^ο\\\\\n&=16\\cdot 1\\\\\n&=16.\\end{align}\nγ) Οι διαγώνιες του ρόμβου διχοτομούνται, οπότε \\(\\overrightarrow{ΑΟ}=\\overrightarrow{ΟΓ}\\), και τέμνονται κάθετα, οπότε τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΟΔ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΟΓ}\\) σχηματίζουν γωνία \\(90^ο\\) και έχουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν. Συνεπώς\n$$\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΑΟ}=\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΟΓ}=0.$$\nδ) Το τρίγωνο \\(ΑΒΔ\\) είναι ισοσκελές αφού οι δυο πλευρές του είναι πλευρές του ρόμβου, με γωνία της κορυφής \\(60^ο\\). Άρα το τρίγωνο \\(ΑΒΔ\\) είναι ισόπλευρο με πλευρά \\(4\\). Το \\(Ο\\) είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου, οπότε \\(ΒΟ=ΟΔ=2\\). Άρα είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΟΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΟΒ}&=|\\overrightarrow{ΟΔ}|\\cdot|\\overrightarrow{ΟΒ}|\\cdot συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΟΔ},\\overrightarrow{ΟΒ}})\\\\\n&=2\\cdot 2\\cdot συν180^ο\\\\\n&=4\\cdot (-1)\\\\\n&=-4.\\end{align}\nε) Για τη γωνία \\((\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΓΔ}})\\) ισχύει\n$$(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΓΔ}})=(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΒΑ}})=180^ο-60^ο=120^ο.$$\nΟπότε,\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΔ}\\cdot\\overrightarrow{ΓΔ}&=|\\overrightarrow{ΑΔ}|\\cdot|\\overrightarrow{ΓΔ}|\\cdot συν(\\widehat{\\overrightarrow{ΑΔ},\\overrightarrow{ΓΔ}})\\\\\n&=4\\cdot 4\\cdot συν120^ο\\\\\n&=16\\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\\\\n&=-8.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η ευθεία \\(ε:-x+y-2=0\\) και τα σημεία \\(Α(-5,1)\\) και \\(Β(-3,5)\\).\nα) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου \\(Α\\) ως προς το σημείο \\(Β\\).\nβ) Να βρείτε:i. την εξίσωση της ευθείας \\(ε'\\) που διέρχεται από το \\(Β\\) και είναι κάθετη στην \\(ε\\).\nii. το σημείο τομής των ευθειών \\(ε\\) και \\(ε'\\).\niii. το συμμετρικό του σημείου \\(Β\\) ως προς την ευθεία \\(ε\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΈστω \\(Α'\\) το συμμετρικό του \\(Α\\) ως προς το \\(Β\\). Τότε το σημείο \\(Β\\) θα είναι το μέσο του \\(ΑΑ'\\), οπότε:\n\\begin{align}&x_B=\\frac{x_A+x_{A'}}{2}\\\\\n\\iff&x_{A'}=2x_B-x_A\\\\\n\\iff&x_{A'}=2\\cdot(-3)-(-5)=-1\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&y_B=\\frac{y_A+y_{A'}}{2}\\\\\n\\iff&y_{A'}=2y_B-y_A\\\\\n\\iff&y_{A'}=2\\cdot 5-1=9.\\end{align}\nΆρα \\(Α'(-1,9)\\).\nβ) i. Είναι\n$$λ_ε=-\\frac{Α}{Β}=-\\frac{-1}{1}=1.$$\nκαι\n\\begin{align}&ε'\\perp ε\\\\\n\\iff&λ_{ε'}\\cdot λ_ε=-1\\\\\n\\iff&λ_{ε'}\\cdot 1=-1\\\\\n\\iff&λ_{ε'}=-1,\\end{align}\nοπότε \\(ε'\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_B=λ_{ε'}(x-x_B)\\\\\n\\iff&y-5=-1\\cdot(x+3)\\\\\n\\iff&y=-x+2.\\end{align}\nii. Έστω \\(Μ\\) το σημείο τομής των ευθειών \\(ε\\), \\(ε'\\). Οι συντεταγμένες του του \\(Μ\\) θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των \\(ε\\), \\(ε'\\). Είναι\n$$\\begin{cases}-x+y=2\\\\x+y=2\\end{cases}\\iff\\begin{cases}x=0\\\\y=2\\end{cases}$$\nάρα \\(Μ(0, 2)\\).iii. Αν \\(Β'\\) είναι το συμμετρικό του \\(Β\\) ως προς την ευθεία \\(ε\\), τότε το \\(Β'\\) είναι σημείο της ευθείας \\(ε'\\) και το \\(Μ\\) θα είναι το μέσο του \\(ΒΒ'\\), οπότε\n\\begin{align}&x_Μ=\\frac{x_Β+x_{B'}}{2}\\\\\n\\iff&x_{B'}=2x_Μ-x_Β\\\\\n\\iff&x_{B'}=2\\cdot 0-(-3)=3\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&y_Μ=\\frac{y_Β+y_{B'}}{2}\\\\\n\\iff&y_{B'}=2y-y_Β\\\\\n\\iff&y_{B'}=2\\cdot2-5=-1,\\end{align}\nάρα \\(Β'(3,-1)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,1), Γ(4,-1)\\) και το διάνυσμα \\(\\overrightarrow{AB}=(3,-1)\\).\nα) Να βρεθεί το σημείο \\(Β\\).\nβ) Αν \\(Β(5,0)\\):i. Να δείξετε ότι τα σημεία \\(Α, Β\\) και \\(Γ\\) ορίζουν τρίγωνο.\nii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n\\begin{align}&\\overrightarrow{ΑΒ}=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n\\iff&(3,-1)=(x_B-2,y_B-1)\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_B-2=3\\\\y_B-1=-1\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x_B=5\\\\y_B=0\\end{cases}.\\end{align}\nΆρα \\(B(5,0)\\).\nβ) i. Είναι\n$$\\begin{align} \\overrightarrow{ΑΓ} &=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(4-2,-1-1)\\\\\n&=(2,-2)\\end{align}$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AB}=(3,-1)$$\nΓια να ορίζουν τρίγωνο αρκεί: \\(\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})\\neq 0\\).\nΠράγματι,\n$$\\begin{vmatrix}3&-1\\\\2&-2\\end{vmatrix}=3(-2)-2(-1)=-6+2=-4.$$\nΕπομένως, τα σημεία \\(Α, Β\\) και \\(Γ\\) ορίζουν τρίγωνο.ii. Το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\) δίνεται από τον τύπο:\n$$(ΑΒΓ)=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AΓ})|=\\frac{1}{2}|-4|=\\frac{1}{2}\\cdot 4=2.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(2,-2)\\) και \\(\\vec{β}=(1,1)\\) τα οποία έχουν κοινή αρχή το σημείο \\(Κ(2,1)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\) είναι κάθετα.\nβ) Αν το σημείο \\(Α\\) είναι το πέρας του διανύσματος \\(\\vec{α}\\), \\(Β\\) είναι το πέρας του διανύσματος \\(\\vec{β}\\) και \\(Γ(x_Γ,y_Γ)\\) ένα τυχαίο σημείο της ευθείας \\(ΑΒ\\),i. να δείξετε ότι οι συντεταγμένες των σημείων \\(Α\\) και \\(Β\\) είναι \\(Α(4,-1)\\) και \\(Β(3,2)\\).\nii. να δείξετε ότι \\(3x_Γ+y_Γ=11\\).\niii. να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου \\(Γ(x_Γ,y_Γ)\\), αν ισχύει ότι το \\(Γ\\) είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\) και \\(|\\overrightarrow{ΚΓ}|=\\dfrac{1}{2}|\\overrightarrow{ΑΒ}|\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε \\(\\vec{α}\\cdot\\vec{β}=2\\cdot 1+(-2)\\cdot 1=0\\), άρα τα διανύσματα \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{β}\\) είναι κάθετα.\nβ) i. Το σημείο \\(Κ(2,1)\\) είναι η αρχή και το σημείο \\(Α\\) είναι το πέρας του διανύσματος \\(\\vec{α}=(2,-2)\\), οπότε\n$$x_Α-x_Κ=2\\iff x_Α-2=2\\iff x_Α=4$$\nκαι\n$$y_Α-y_Κ=-2\\iff y_Α-1=-2\\iff y_Α=-1.$$\nΆρα \\(Α(4,-1)\\). Το σημείο \\(Κ(2,1)\\) είναι η αρχή και το σημείο \\(Β\\) είναι το πέρας του διανύσματος \\(\\vec{β}=(1,1)\\), οπότε\n$$x_Β-x_Κ=1\\iff x_Β-2=1\\iff x_Β=3$$\nκαι\n$$y_Β-y_Κ=1\\iff y_Β-1=1\\iff y_Β=2.$$\nΆρα \\(Β(3,2)\\).ii. Η ευθεία \\(ΑΒ\\) έχει εξίσωση:\n\\begin{align}&y-2=\\frac{2-(-1)}{3-4}\\cdot (x-3)\\\\\n\\iff&y-2=-3\\cdot(x-3)\\\\\n\\iff&3x+y=11.\\end{align}\nΤο σημείο \\(Γ(x_Γ,y_Γ)\\) είναι ένα σημείο της ευθείας \\(ΑΒ\\), άρα οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή \\(3x_Γ+y_Γ=11\\).iii. Έχουμε ισοδύναμα:\n\\begin{align}&|\\overrightarrow{ΚΓ}|=\\frac{1}{2}|\\overrightarrow{ΑΒ}|\\\\\n\\iff&\\sqrt{(x_Γ-2)^2+(y_Γ-1)^2}=\\frac{1}{2}\\sqrt{(3-4)^2+(2+1)^2}\\\\\n\\iff&(x_Γ-2)^2+(y_Γ-1)^2=\\frac{10}{4}\\\\\n\\overset{\\textbf{(β.ii)}}{\\iff}&(x_Γ-2)^2+(10-3x_Γ)^2=\\frac{10}{4}\\\\\n\\iff&5x_Γ^2-32x_Γ+\\frac{203}{4}=0.\\end{align}\nΗ τελευταία εξίσωση είναι \\(2^\\text{ου}\\) βαθμού με \\(Δ=9 > 0\\) και ρίζες \\(x_1=\\dfrac{35}{10}=3,5\\) και \\(x_2=\\dfrac{29}{10}=2,9\\). Επειδή το \\(Γ\\) είναι εσωτερικό του τμήματος \\(ΑΒ\\), η τετμημένη του θα πρέπει να είναι μεταξύ \\(3\\) και \\(4\\). Άρα \\(x_Γ=3,5\\) και\n$$3\\cdot 3,5+y_Γ=11\\iff y_Γ=0,5.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(2λ+1)x-(λ-2)y+λ-7=0\\quad(Ε), \\text{ με }λ\\in\\mathbb{R}$$\nκαι η ευθεία \\((ζ)\\) με εξίσωση \\(6x-8y+3=0\\).\nα) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) η εξίσωση \\((Ε)\\) παριστάνει ευθεία.\nβ) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση \\((Ε)\\), για τα διάφορα \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), διέρχονται από το ίδιο σημείο, του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες.\nγ) Να βρείτε την τιμή του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), ώστε ευθεία \\((ε)\\) που ορίζεται από την εξίσωση \\((Ε)\\) να είναι παράλληλη στη ευθεία \\((ζ)\\). Ποια είναι η εξίσωση της \\((ε)\\);\nδ) Να βρείτε την απόσταση του σημείου \\(Μ(1,3)\\) από την ευθεία \\((ζ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε την εξίσωση\n$$(2λ+1)x-(λ-2)y+λ-7=0\\quad (Ε)$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) που είναι της μορφής \\(Αx+Βy+Γ=0\\), με \\(Α=2λ+1\\) και \\(Β= λ-2\\). Οπότε\n\\begin{align}&\\begin{cases}Α=0\\\\Β=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2λ+1=0\\\\λ-2=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}λ=-\\frac{1}{2}\\\\λ=2\\end{cases}\\end{align}\nκαι άρα για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\) είναι \\(Α\\neq0\\) ή \\(Β\\neq0\\), επομένως η εξίσωση \\((Ε)\\) παριστάνει ευθεία.\nβ) Η εξίσωση \\((Ε)\\) γράφεται\n\\begin{align}&2λx+x-λy+2y+λ-7=0\\\\\n\\iff&(2x-y+1)λ+(x+2y-7)=0.\\end{align}\nΓια να αληθεύει για κάθε \\(λ\\) η παραπάνω εξίσωση πρέπει και αρκεί:\n\\begin{align}&\\begin{cases}2x-y+1=0\\\\x+2y-7=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=2x+1\\\\x+2(2x+1)-7=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=2x+1\\\\x+4x+2-7=0\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=1\\\\y=3\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως, όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση \\((Ε)\\) διέρχονται από το σημείο \\(Μ(1,3)\\).\nγ) Η ευθεία \\((ζ)\\) είναι παράλληλη στο διάνυσμα \\(\\vec{δ}_1=(Β,-Α)=(-8,-6)\\). Οι ευθείες της οικογένειας ευθειών \\((Ε)\\) είναι παράλληλες στο διάνυσμα \\(\\vec{δ}_2=(Β,-Α)=(-λ+2,-2λ-1)\\). Οπότε\n\\begin{align}&\\vec{δ}_1\\parallel \\vec{δ}_2\\\\\n\\iff&\\det(\\vec{δ}_1,\\vec{δ}_2)=0\\\\\n\\iff&\\begin{vmatrix}-8&-6\\\\-λ+2&-2λ-1\\end{vmatrix}=0\\\\\n\\iff&16λ+8-6λ+12=0\\\\\n\\iff&10λ=-20\\\\\n\\iff&λ=-2.\\end{align}\nΓια \\(λ=-2\\) από την εξίσωση \\((Ε)\\) παίρνουμε \\(-3x+4y-9=0\\). Άρα \\(ε:-3x+4y-9=0\\) είναι η ζητούμενη ευθεία.\nδ) Είναι \\((ζ): 6x-8y+3=0\\), οπότε\n\\begin{align}d(M,ζ)&=\\frac{|6\\cdot1-8\\cdot3+3|}{\\sqrt{6^2+(-8)^2}}\\\\\n&=\\frac{|15|}{\\sqrt{100}}\\\\\n&=\\frac{15}{10}\\\\\n&=\\frac{3}{2}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(1,-3)\\) και \\(\\vec{β}=(-2,-1)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\vec{u}=3\\vec{α}-5\\vec{β}\\) και \\(\\vec{v}=5\\vec{α}-9\\vec{β}\\).\nβ) Αν \\(\\vec{w}=2\\vec{u}-\\vec{v}\\), να γράψετε το \\(\\vec{w}\\) ως γραμμικό συνδυασμό των \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\).\nγ) Αν τα \\(\\vec{β}\\), \\(\\vec{w}\\), \\(\\vec{u}\\) είναι τα διανύσματα θέσης των σημείων \\(Κ\\), \\(Λ\\) και \\(Μ\\), αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\vec{u}&=3\\vec{α}-5\\vec{β}\\\\\n&=3(1,-3)-5(-2,-1)\\\\\n&=(3,-9)-(-10,-5)\\\\\n&=(13,-4)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\vec{v}&=5\\vec{α}-9\\vec{β}\\\\\n&=5(1,-3)-9(-2,-1)\\\\\n&=(5,-15)-(-18,-9)\\\\\n&=(23,-6).\\end{align}\nβ) Έχουμε\n\\begin{align}\\vec{w}&=2\\vec{u}-\\vec{v}\\\\\n&=2(3\\vec{α}-5\\vec{β})-(5\\vec{α}-9\\vec{β})\\\\\n&=6\\vec{α}-10\\vec{β}-5\\vec{α}+9\\vec{β}\\\\\n&=\\vec{α}-\\vec{β}.\\end{align}\nγ) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΚΛ}&=\\vec{w}-\\vec{β}\\\\\n&=\\vec{α}-\\vec{β}-\\vec{β}\\\\\n&=\\vec{α}-2\\vec{β}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΛΜ}&=\\vec{u}-\\vec{w}\\\\\n&=3\\vec{α}-5\\vec{β}-\\vec{α}+\\vec{β}\\\\\n&=2\\vec{α}-4\\vec{β}\\\\\n&=2(\\vec{α}-2\\vec{β})\\\\\n&=2\\cdot\\overrightarrow{ΚΛ}.\\end{align}\nΆρα τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΚΛ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΛΜ}\\) είναι παράλληλα, οπότε τα σημεία \\(Κ\\), \\(Λ\\), \\(Μ\\) είναι συνευθειακά." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται ο κύκλος \\(C:x^2+y^2=4\\) και το σημείο \\(Α(2\\sqrt{2},0)\\).\nα) i. Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Α\\) είναι εξωτερικό του κύκλου \\(C\\).\nii. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου \\(C\\) που διέρχονται από το σημείο \\(Α\\) και να αποδείξετε ότι είναι μεταξύ τους κάθετες.\nβ) Αν \\(Β\\), \\(Γ\\) τα σημεία επαφής του κύκλου \\(C\\) με τις εφαπτόμενες ευθείες από το σημείο \\(Α\\), να υπολογίσετε το εμβαδό του τετραπλεύρου \\(ΑΒΟΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\nΤο σημείο \\(Α(2\\sqrt{2},0)\\) είναι εξωτερικό του κύκλου \\(C\\) γιατί είναι σημείο του θετικού ημιάξονα \\(Ox\\) με \\((ΟΑ)=2\\sqrt{2} > 2\\).\nΟι ευθείες που διέρχονται από το σημείο \\(Α(2\\sqrt{2},0)\\) είναι:\n\\(\\bullet\\) Η κατακόρυφη \\(x=2\\sqrt{2}\\) που δεν είναι εφαπτομένη του κύκλου \\(C\\) γιατί \\(d(O,ε)=2\\sqrt{2}\\).\n\\(\\bullet\\) Οι ευθείες \\((ε)\\) με εξίσωση\n$$y-0=λ(x-2\\sqrt{2})$$\n$$\\iff λx-y-2λ\\sqrt{2}=0,\\ λ\\in\\mathbb{R}.$$\nΗ \\((ε)\\) είναι εφαπτομένη του \\(C\\) αν και μόνο αν η απόσταση του κέντρου του, \\(Ο\\), από αυτή ισούται με την ακτίνα του κύκλου. Δηλαδή\n\\begin{align}&d(O,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|λ\\cdot 0-0-2λ\\sqrt{2}|}{\\sqrt{λ^2+1}}=2\\\\\n\\iff&2\\sqrt{2}|λ|=2\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&8λ^2=4λ^2+4\\\\\n\\iff&4λ^2-4=0\\\\\n\\iff&λ^2=1\\\\\n\\iff&λ=\\pm1.\\end{align}\nΓια \\(λ=1\\) είναι\n$$ε_1:y=x-2\\sqrt{2}$$\nκαι για \\(λ=-1\\) έχουμε\n$$ε_2:y=-x+2\\sqrt{2}.$$\nΠαρατηρούμε ότι οι συντελεστές διεύθυνσης \\(λ_1\\) και \\(λ_2\\) των ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) είναι \\(1\\) και \\(-1\\), αντίστοιχα, και \\(λ_1\\cdot λ_2=-1\\). Άρα οι εφαπτόμενες ευθείες \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) του κύκλου από το σημείο \\(Α\\) είναι μεταξύ τους κάθετες.\nβ) Αν \\(Β\\), \\(Γ\\) τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων ευθειών \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) με τον κύκλο \\(C\\), τότε οι ακτίνες του κύκλου στα σημεία αυτά είναι κάθετες στις αντίστοιχες εφαπτόμενες. Δηλαδή το τετράπλευρο \\(ΑΒΟΓ\\) έχει \\(3\\) ορθές γωνίες, οπότε είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Επειδή \\(ΟΑ=ΟΒ=2\\) ως ακτίνες του κύκλου, είναι επιπλέον και ρόμβος. Επομένως το \\(ΑΒΟΓ\\) είναι τετράγωνο με πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου, δηλαδή \\(2\\).\nΣυνεπώς \\((ΑΒΟΓ)=2^2=4\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο \\(Λ(2,6)\\) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο \\(Π(λ-1,2+λ)\\), \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) i. Αν το πλοίο κινείται ευθύγραμμα, να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του.\nii. Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι.\nβ) Αν τελικά το πλοίο δεν περάσει από το λιμάνι, να βρείτε:i. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση του πλοίου από το λιμάνι.\nii. Το σημείο του καρτεσιανού επιπέδου που βρίσκεται το πλοίο όταν απέχει την ελάχιστη απόσταση από το λιμάνι." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Για το σημείο \\(Π(λ-1,2+λ)\\) έχουμε:\n$$\\begin{cases}x_Π=λ-1\\\\y_Π=2+λ\\end{cases}$$\nΑπαλείφοντας το \\(λ\\) από τις \\(2\\) εξισώσεις, έχουμε ότι \\(y_Π=x_Π+3\\). Επομένως η τροχιά του πλοίου είναι η ευθεία \\((ε)\\) με εξίσωση \\(x-y+3=0\\).ii. Το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του λιμανιού \\(Λ(2,6)\\) επαληθεύουν την εξίσωση της τροχιάς του, δηλαδή την εξίσωση \\(x-y+3=0\\). Για \\(y=6\\) και \\(x=2\\) έχουμε\n$$2-6+3=-1\\neq0.$$\nΆρα το πλοίο δεν θα περάσει από το λιμάνι.\nβ)\ni. Η ελάχιστη απόσταση του πλοίου από το λιμάνι είναι το μήκος του κάθετου τμήματος \\(ΛΠ\\), με \\(Π\\) το σημείο τομής της ευθείας \\((ε)\\) με την ευθεία \\((ζ)\\) που είναι κάθετη στην \\((ε)\\) και διέρχεται από το \\(Λ\\). Υπολογίζεται με την απόσταση του σημείου \\(Λ\\) από την \\((ε)\\). Δηλαδή\n\\begin{align}d(Λ,ε)&=\\frac{|2-6+3|}{\\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\\\\n&=\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{2}}{2}.\\end{align}\nii. Η ευθεία \\((ζ)\\) είναι κάθετη στην ευθεία \\((ε)\\), άρα \\(λ_ζ\\cdot λ_ε=-1\\). Επειδή \\(λ_ε=1\\), έχουμε ότι \\(λ_ζ=-1\\) και η εξίσωση της \\((ζ)\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_Λ=-(x-x_Λ)\\\\\n\\iff&y-6=-x+2\\\\\n\\iff&x+y=8.\\end{align}\nΗ θέση του πλοίου είναι το κοινό σημείο των ευθειών \\((ε)\\) και \\((ζ)\\), που προσδιορίζεται από τη λύση του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}x-y=-3\\\\x+y=8\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}2x=5\\\\x+y=8\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=\\frac{5}{2}\\\\y=\\frac{11}{2}\\end{cases}\\end{align}\nΆρα όταν το πλοίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από το λιμάνι, βρίσκεται στο σημείο \\(\\left(\\dfrac{5}{2},\\dfrac{11}{2}\\right)\\) του καρτεσιανού επιπέδου." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Στο χάρτη μίας πεδινής περιοχής, που είναι εφοδιασμένος με ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, δύο κωμοπόλεις \\(Α\\) και \\(Β\\) έχουν συντεταγμένες \\(Α(3,6)\\) και \\(Β(7,-2)\\).\nα) Ανάμεσα στις δύο κωμοπόλεις, θα κατασκευαστεί ευθεία σιδηροδρομική γραμμή, κάθε σημείο της οποίας θα ισαπέχει από αυτές. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, πάνω στην οποία βρίσκεται η σιδηροδρομική γραμμή.\nβ) Πάνω στην σιδηροδρομική γραμμή θα κατασκευαστεί σταθμός \\(Σ\\), ώστε το εμβαδόν της περιοχής που ορίζεται από τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Σ\\) να ισούται με \\(20\\) τετραγωνικές μονάδες. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σταθμού \\(Σ\\) στο χάρτη." }, { "from": "assistant", "value": "α) Εφόσον τα σημεία της ευθείας \\((ε)\\) πάνω στην οποία βρίσκεται η σιδηροδρομική γραμμή ισαπέχουν από τα \\(Α\\), \\(Β\\), αυτή θα είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος \\(ΑΒ\\). Αν \\(Μ\\) το μέσο του \\(ΑΒ\\), τότε\n\\begin{align}&x_M=\\frac{x_A+x_B}{2}=\\frac{3+7}{2}=5,\\\\\n&y_M=\\frac{y_A+y_B}{2}=2,\\end{align}\nάρα \\(Μ(5, 2)\\). Επίσης\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{y_Β-y_Α}{x_Β-x_Α}=\\frac{-2-6}{7-3}=-2,$$\nοπότε\n\\begin{align}&ε\\perp ΑΒ\\\\\n\\iff&λ_ε\\cdot λ_{ΑΒ}=-1\\\\\n\\iff&λ_ε=\\frac{-1}{λ_{ΑΒ}}=\\frac{-1}{-2}=\\frac{1}{2},\\end{align}\nάρα εξίσωση της \\((ε)\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_M=λ_ε(x-x_M)\\\\\n\\iff&y-2=\\frac{1}{2}(x-5)\\\\\n\\iff&2y-4=x-5\\\\\n\\iff&x-2y-1=0.\\end{align}\nβ) Θέλουμε\n$$(ΣΑΒ) = 20\\quad (1)$$\nΑν \\(Σ(x, y)\\), τότε\n\\begin{align}&Σ\\in ε\\\\\n\\iff&x-2y-1=0\\\\\n\\iff&x=2y+1\\quad(2)\\end{align}\nοπότε \\(Σ(2y +1, y)\\). Ακόμη,\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_Β-x_Α, y_Β-y_Α)\\\\\n&= (7-3,-2-6)\\\\\n&= (4, -8)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΣ}&=(x_Σ-x_Α, y_Σ-y_Α)\\\\\n&=(2y+1-3, y-6)\\\\\n&=(2y-2, y-6),\\end{align}\nοπότε από την \\((1)\\) είναι\n\\begin{align}&\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΣ})|=20\\\\\n\\iff&|\\begin{vmatrix}4&-8\\\\2y-2&y-6\\end{vmatrix}|=40\\\\\n\\iff&|4(y-6)-(-8)(2y-2)|=40\\\\\n\\iff&|4y-24+16y-16|=40\\\\\n\\iff&|20y-40|=40\\\\\n\\iff&20|y-2|=40\\\\\n\\iff&|y-2|=2\\\\\n\\iff&y-2=\\pm2\\\\\n\\iff&y=0\\text{ ή }y=4.\\end{align}\nΓια \\(y=0\\) από την \\((2)\\) παίρνουμε \\(x=1\\). Για \\(y=4\\) από την \\((2)\\) παίρνουμε \\(x=9\\). Άρα \\(Σ(1, 0)\\) ή \\(Σ(9, 4)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(1,2)\\), \\(Β(3,4)\\) και \\(Γ(5,-2)\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) και να αποδείξετε ότι η γωνία \\(\\hat{A}\\) είναι ορθή.\nβ) Αν \\(Μ\\) είναι το μέσο του \\(ΒΓ\\), να βρείτε τα μέτρα των \\(\\overrightarrow{AM}\\) και \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\).\nγ) Να γραφτεί το \\(\\overrightarrow{ΒΓ}\\) ως γραμμικός συνδυασμός των \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) και \\(\\overrightarrow{AM}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$\\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{AΓ}=(5-1,-2-2)=(4,-4).$$\nΟπότε\n$$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}=2\\cdot4+2\\cdot(-4)=0$$\nπου σημαίνει ότι \\(\\overrightarrow{AB}\\perp\\overrightarrow{ΑΓ}\\), οπότε \\(\\hat{A}=90^0\\).\nβ) Το \\(Μ\\) είναι το μέσο του \\(ΒΓ\\), άρα οι συντεταγμένες του είναι \\(\\left(\\dfrac{3+5}{2},\\dfrac{-2+4}{2}\\right)\\), δηλαδή \\(Μ(4,1)\\) και \\(\\overrightarrow{AM}=(3,-1)\\), άρα\n$$|\\overrightarrow{AM}|=\\sqrt{3^2+(-1)^2}=\\sqrt{10}.$$\nTo τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) είναι ορθογώνιο στο \\(Α\\) και η \\(ΑΜ\\) είναι διάμεσος, άρα \\((ΒΓ)=2(ΑΜ)\\) και επομένως\n$$|\\overrightarrow{ΒΓ}|=2|\\overrightarrow{AM}|=2\\sqrt{10}.$$\nγ) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΒΓ}&=2\\overrightarrow{ΜΓ}\\\\\n&=2(\\overrightarrow{MA}+\\overrightarrow{AΓ})\\\\\n&=-2\\overrightarrow{AM}+2\\overrightarrow{ΑΓ}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Η ευθεία \\(ε\\) διέρχεται από το σημείο \\(Α(-3,-1)\\) και σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(\\dfrac{3π}{4}\\).\nα) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ε\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία \\(ε\\) με τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) είναι \\(E=8\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Εφόσον η \\(ε\\) σχηματίζει με τον άξονα \\(x'x\\) γωνία \\(\\dfrac{3π}{4}\\), θα είναι \\(λ=εφ\\dfrac{3π}{4}=-1\\), οπότε η \\(ε\\) θα έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_A=λ(x-x_A)\\\\\n&y+1=-1(x+3)\\\\\n&y=-x-3-1\\\\\n&y=-x-4.\\end{align}\nβ) Από την εξίσωση της ευθείας \\(ε\\) για \\(x=0\\) έχουμε \\(y=-4\\). Επίσης για \\(y=0\\) είναι \\(x=-4\\). Άρα η \\(ε\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) στο σημείο \\(Κ(-4,0)\\) και τον \\(y'y\\) στο \\(Λ(0,-4)\\). Επομένως\n\\begin{align}(ΟΚΛ)&=\\frac{1}{2}(ΟΚ)\\cdot(ΟΛ)\\\\\n&=\\frac{1}{2}|x_Κ|\\cdot|y_Λ|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|-4|\\cdot|-4|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 4\\cdot 4\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 16\\\\\n&=8.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Πλανήτης κινείται πάνω σε επίπεδο, ελλειπτικά γύρω από τον ήλιο του. Στο καρτεσιανό επίπεδο ο ήλιος βρίσκεται στην εστία της έλλειψης \\(Ε(γ,0),\\) ενώ η άλλη εστία είναι στο \\(Ε'(-γ,0).\\) Η εκκεντρότητα της τροχιάς είναι \\(0,6\\) ενώ ο μεγάλος άξονας έχει μήκος \\(10.\\)\nα) Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς.\nβ) Θεωρούμε ότι ο πλανήτης κινείται πάνω στην \\(\\dfrac{x^2}{25}+\\dfrac{y^2}{16}=1.\\)i. Τη στιγμή που ο πλανήτης βρίσκεται στο σημείο \\(Γ\\left(3,\\dfrac{16}{5}\\right)\\), εκπέμπεται από αυτόν σήμα που κινείται κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης της τροχιάς του προς τη μεριά του άξονα \\(Οy\\). Να εξετάσετε αν αυτό το σήμα θα περάσει από το σημείο \\(Δ(0,5).\\)\nii. Κομήτης κινείται στο ίδιο επίπεδο με τον πλανήτη και πάνω στην καμπύλη \\(\\dfrac{x^2}{25}-\\dfrac{y^2}{16}=1\\) με \\(x > 0.\\) Ποια είναι τα σημεία συνάντησης των δύο τροχιών;" }, { "from": "assistant", "value": "α) Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης είναι μήκους \\(2α,\\) οπότε \\(2α =10,\\) και άρα \\(α=5.\\) Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι \\(ε=\\dfrac{γ}{α}\\), οπότε\n$$\\frac{γ}{α}=0.6\\iff\\frac{γ}{5}=0.6\\iff γ=3.$$\nΌμως\n$$β^2=α^2-γ^2=5^2-3^2=25-9=16,$$\nάρα η εξίσωση της έλλειψης δίνεται από τον τύπο\n$$\\frac{x^2}{α^2}+\\frac{y^2}{β^2}=1\\iff\\frac{x^2}{25}+\\frac{y^2}{16}=1.$$\nβ) i. Η εφαπτομένη της έλλειψης σε σημείο \\((x_1,y_1)\\) δίνεται από τον τύπο \\(\\dfrac{xx_1}{α^2}+\\dfrac{yy_1}{β^2}=1.\\) Εφόσον το σημείο επαφής είναι το \\(Γ\\left(3,\\dfrac{16}{5}\\right)\\), η εξίσωση της εφαπτομένης θα γίνει\n$$\\frac{3x}{25}+\\frac{\\frac{16}{5}y}{16}=1\\iff\\frac{3x}{25}+\\frac{y}{5}=1.$$\nΓια να διέρχεται από το σημείο \\(Δ(0,5)\\) θα πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου να την επαληθεύουν. Πράγματι,\n$$\\frac{3\\cdot0}{25}+\\frac{5}{5}=1\\iff 1=1,$$\nπου σημαίνει ότι η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο \\(Δ.\\)ii. Σημεία συνάντησης των τροχιών είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεών τους, εφόσον υπάρχουν. Οι εξισώσεις είναι \\(\\dfrac{x^2}{25}+\\dfrac{y^2}{16}=1\\) και \\(\\dfrac{x^2}{25}-\\dfrac{y^2}{16}=1.\\) Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε\n$$2\\frac{x^2}{25}=2\\iff x^2=25\\overset{x>0}{\\Longleftrightarrow} x=5$$\nΗ \\(\\dfrac{x^2}{25}+\\dfrac{y^2}{16}=1\\) για \\(x=5\\) μας δίνει\n\\begin{align}&\\frac{5^2}{25}+\\frac{y^2}{16}=1\\\\\n&\\iff1+\\frac{y^2}{16}=1\\\\\n&\\iff\\frac{y^2}{16}=0\\\\\n&\\iff y=0.\\end{align}\nΣημείο συνάντησης είναι λοιπόν το \\((5,0).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,1)\\), \\(Β(6,3)\\), \\(Δ(1,-2)\\) και \\(Γ(9,2)\\). Να αποδείξετε ότι:\nα) Το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) έχει συντεταγμένες \\((4,2)\\) και το μέσο \\(Ν\\) του τμήματος \\(ΓΔ\\) έχει συντεταγμένες \\((5,0)\\).\nβ) \\(\\overrightarrow{MN}=(1,-2)\\) και \\(\\overrightarrow{ΔΓ}=(8,4)\\).\nγ) \\(\\overrightarrow{MN}\\perp\\overrightarrow{ΔΓ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν \\(Μ(x_M,y_M)\\) και \\(Ν(x_N,y_N)\\), είναι\n\\begin{align}&x_M=\\frac{6+2}{2}=4,\\\\\n&y_M=\\frac{3+1}{2}=2\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&x_N=\\frac{9+1}{2}=5,\\\\\n&y_N=\\frac{2-2}{2}=0.\\end{align}\nβ) Είναι\n$$\\overrightarrow{MN}=(5-4,0-2)=(1,-2)$$\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΔΓ}=(9-1,2-(-2))=(8,4).$$\nγ) 'Εχουμε ότι\n\\begin{align}\\overrightarrow{MN}\\cdot\\overrightarrow{ΔΓ}&=(1,-2)\\cdot(8,4)\\\\\n&=1\\cdot8+(-2)\\cdot4\\\\\n&=8-8\\\\\n&=0.\\end{align}\nΆρα \\(\\overrightarrow{MN}\\perp\\overrightarrow{ΔΓ}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό επίπεδο \\(Οxy\\) δίνονται τα σημεία \\(𝛢(−1,6),\\ 𝛣(1,2)\\) και \\(𝛤(3,−2).\\)\nα) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\) και \\(\\overrightarrow{BΓ}.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Α,\\ Β\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά.\nγ) Να αποδείξετε ότι το \\(Β\\) είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΓ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$\\begin{align} \\overrightarrow{AB} & =(𝑥_𝛣−𝑥_𝐴,\\ 𝑦_𝐵−𝑦_𝐴) \\\\\n&=(1−(−1),\\ 2−6)\\\\\n& =(2,−4).\\end{align}$$\nΕπίσης:\n$$\\begin{align} \\overrightarrow{ΒΓ} & =(𝑥_𝛤−𝑥_𝛣,\\ 𝑦_𝛤−𝑦_𝛣)\\\\\n&=(3−1,\\ −2−2)\\\\\n&=(2,−4).\\end{align}$$\nβ) Από την απάντηση στο ερώτημα α) παρατηρούμε ότι \\(\\overrightarrow{AB} =\\overrightarrow{BΓ}.\\)\nΕπομένως τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και εφόσον το \\(Β\\) είναι κοινό σημείο συμπεραίνουμε ότι τα σημεία \\(Α,\\ Β\\) και \\(Γ\\) είναι συνευθειακά.\nγ) Εφόσον \\(\\overrightarrow{AB} =\\overrightarrow{BΓ}\\) συμπεραίνουμε ότι το \\(Β\\) είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΓ.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$(μ^2-1)x+(3μ^2-2μ-1)y-5μ^2+4μ+1=0\\quad (1)$$\nόπου \\(μ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(μ\\) η \\((1)\\) παριστάνει ευθεία \\((ε)\\).\nβ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(μ\\) οι ευθείες \\((ε)\\):i. είναι παράλληλες στον \\(x'x\\).\nii. είναι παράλληλες στον \\(y'y\\).\niii. διέρχονται από το \\((0,0)\\).\nγ) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες \\((ε)\\) που προκύπτουν από την \\((1)\\) διέρχονται από σταθερό σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής \\(Αx+Βy+Γ=0\\), όπου \\(Α=μ^2-1,\\ Β=3μ^2-2μ-1\\) και \\(Γ=-5μ^2+4μ+1\\). Για να παριστάνει ευθεία πρέπει οι \\(Α,\\ Β\\) να μη γίνονται ταυτόχρονα \\(0\\). Έχουμε\n\\begin{align}&Α=0\\\\\n\\iff&μ^2-1=0\\\\\n\\iff&μ=1\\text{ ή }μ=-1\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&Β=0\\\\\n\\iff&3μ^2-2μ-1=0\\\\\n\\iff&μ=1\\text{ ή }μ=-\\frac{1}{3}.\\end{align}\nΣυνεπώς η \\((1)\\) παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματική τιμή του \\(μ\\) εκτός από την τιμή \\(μ=1\\).\nβ) i. Για να είναι παράλληλη στον \\(x'x\\) πρέπει\n$$Α=0\\iff μ=\\pm 1.$$\nΌμως η τιμή \\(μ=1\\) απορρίπτεται από το (α), οπότε τελικά \\(μ=-1\\).ii. Για να είναι παράλληλη στον \\(y'y\\) πρέπει\n$$B=0\\iff μ=1\\text{ ή }μ=-\\frac{1}{3}.$$\nH τιμή \\(μ=1\\) απορρίπτεται, οπότε τελικά \\(μ=-\\dfrac{1}{3}\\).iii. Για να διέρχεται από το \\((0,0)\\) πρέπει\n\\begin{align}&Γ=0\\\\\n\\iff&-5μ^2+4μ+1=0\\\\\n\\iff&μ=1\\text{ ή }μ=-\\frac{1}{5}.\\end{align}\nH τιμή \\(μ=1\\) και πάλι απορρίπτεται, οπότε τελικά \\(μ=-\\dfrac{1}{5}\\).\nγ) Για \\(μ=-1\\) η \\((1)\\) γίνεται \\(ε_1:4y-8=0\\) ενώ για \\(μ=0\\) γίνεται \\(ε_2:-x-y+1=0\\). Οι \\((ε_1)\\) και \\((ε_2)\\) τέμνονται στο σημείο \\(Μ\\) με συντεταγμένες τη λύση του συστήματος\n$$\\begin{cases}4y-8=0\\\\-x-y+1=0\\end{cases}\\iff\\begin{cases}y=2\\\\x=-1\\end{cases}$$\nοπότε \\(Μ(-1,2)\\).\nΟι συντεταγμενες του \\(Μ\\) επαληθεύουν την \\((1)\\) για κάθε τιμή του \\(μ\\) αφού\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}(μ^2-1)\\cdot(-1)+(3μ^2-2μ-1)\\cdot 2-5μ^2+4μ+1\\\\\n&=-μ^2+1+6μ^2-4μ-2-5μ^2+4μ+1\\\\\n&=0\\end{align}\nοπότε συμπεραίνουμε ότι όλες οι ευθείες που προκύπτουν από την \\((1)\\) διέρχονται από το σταθερό σημείο \\(Μ(-1,2)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{α}=(1,3),\\ \\vec{β} =(3,−1)\\).\nΝα υπολογίσετε:\nα) το εσωτερικό γινόμενο \\(\\vec{α} \\cdot \\vec{β}\\) και τη γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}.\\)\nβ) το διάνυσμα \\(\\vec{γ} =2\\vec{α} - \\vec{β}\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\) δίνεται από τον τύπο\n\\begin{align} \\vec{α} \\cdot \\vec{β} & = x_1 \\cdot x_2 + y_1 \\cdot y_2 \\\\\n& =1\\cdot 3+3\\cdot (−1) \\\\\n& =3−3 \\\\\n& =0\\end{align}\nΕπειδή \\(\\vec{α} \\cdot \\vec{β}=0\\) αν και μόνο αν \\(\\vec{α} \\perp \\vec{β}\\), δηλαδή τα διανύσματα είναι μεταξύ τους κάθετα και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\) είναι ορθή.\nβ) Δίνονται οι συντεταγμένες των διανυσμάτων \\(\\vec{α},\\ \\vec{β}\\), τότε:\n\\begin{align} \\vec{γ} & =2\\vec{α} - \\vec{β} \\\\\n& =2\\cdot (1,3) - (3,-1) \\\\\n& =(2,6)-(3,-1) \\\\\n& =(-1,7)\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.\ni. Αν ισχύει \\(| \\vec{α} | = λ | \\vec{β} |\\) τότε υποχρεωτικά \\(\\vec{α} \\parallel \\vec{β}\\).\nii. Η εφαπτομένη του κύκλου \\((C): x^2 + y^2 = ρ^2\\) σε ένα σημείο του \\(Α(x_1, y_1)\\), έχει εξίσωση \\(xx_1 + yy_1 = ρ^2.\\)\niii. Η διευθετούσα της παραβολής \\(y^2 =2px\\), έχει εξίσωση \\(x = - \\dfrac{𝑝}{2}\\).\niv. Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι μικρότερη της μονάδας.\nv. Η εξίσωση: \\(x^2 + y^2 = α^2\\) είναι εξίσωση ισοσκελούς υπερβολής.\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο \\(Α(x_0, y_0)\\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ\\) είναι \\(y -y_0 = λ(x -x_0).\\)" }, { "from": "assistant", "value": "Απαντήσεις\nα)\ni. Λάθος\nii. Σωστό\niii. Σωστό\niv. Σωστό\nv. Λάθος\nβ) Πρόταση σελίδα 60, 61." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,-4)\\) και \\(Β(0,-2)\\).\nα) Να βρείτε το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου \\((ζ)\\) του ευθύγραμμου τμήματος \\(ΑΒ\\).\nγ) Αν \\((ζ):y=x-4\\) και \\((ε):y=2x-6\\), τότε να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών \\((ζ)\\), \\((ε)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για το μέσο \\(Μ\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) ισχύει\n\\begin{align}&M\\left(\\frac{x_A+x_B}{2},\\frac{y_A+y_B}{2}\\right)\\\\\n\\iff&M\\left(\\frac{2+0}{2},\\frac{-4+(-2)}{2}\\right)\\\\\n\\iff&M(1,-3).\\end{align}\nβ) Η κλίση του \\(ΑΒ\\) είναι\n\\begin{align}λ_{ΑΒ}&=\\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\\\\n&=\\frac{-2-(-4)}{0-2}\\\\\n&=\\frac{2}{-2}\\\\\n&=-1.\\end{align}\nΗ κλίση της μεσοκαθέτου \\((ζ)\\) του \\(ΑΒ\\) θα πρέπει να είναι \\(λ=1\\) (αφού το γινόμενο των δύο κλίσεων θα πρέπει να ισούται με \\(-1\\)). Η εξίσωση της μεσοκαθέτου \\((ζ)\\) του τμήματος \\(ΑΒ\\) θα είναι\n\\begin{align}&y-y_M=λ\\cdot(x-x_M)\\\\\n\\iff&y-(-3)=1(x-1)\\\\\n\\iff&y+3=x-1\\\\\n\\iff&y=x-4.\\end{align}\nγ) Το σημείο τομής των ευθειών \\((ε)\\) και \\((ζ)\\) θα έχει συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}y=x-4\\\\y=2x-6\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=x-4\\\\x-4=2x-6\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}y=-2\\\\x=2\\end{cases}\\end{align}\nΆρα το σημείο τομής των δύο ευθειών είναι το σημείο \\((2,-2)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε το σημείο \\(Μ(2,1)\\).\nα) Μια ευθεία \\((ε)\\) με συντελεστή \\(λ\\) διέρχεται από το \\(Μ\\). Να βρείτε:i. Την εξίσωση της.\nii. Για ποιες τιμές του \\(λ\\) η ευθεία σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες.\nβ) Έστω ότι η ευθεία \\((ε)\\) τέμνει τους άξονες \\(x'x\\) και \\(y'y\\) στα σημεία \\(Α,Β\\).i. Να βρείτε, με τη βοήθεια του \\(λ\\), τα μήκη των τμημάτων \\(ΟΑ, ΟΒ\\).\nii. Να βρείτε για ποιες τιμές του \\(λ\\) η ευθεία σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.\niii. Να υπολογίσετε, σε κάθε περίπτωση, το εμβαδό του ισοσκελούς τριγώνου που σχηματίζεται." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Αφού η ευθεία διέρχεται από το \\(Μ\\) και έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(λ\\), η εξίσωση της είναι \\(y-1=λ(x-2)\\) που γράφεται \\(y=λx-2λ+1\\).ii. Σε κάθε περίπτωση που ισχύει \\(λ\\neq0\\) η ευθεία τέμνει και τους δυο άξονες και όταν δεν διέρχεται από την αρχή \\(Ο\\), δηλαδή όταν \\(λ\\neq\\dfrac{1}{2}\\), σχηματίζει τρίγωνο. Επομένως, η ευθεία σχηματίζει τρίγωνο με τους άξονες μόνο όταν \\(λ\\in\\mathbb{R}-\\left\\{0,\\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).\nβ) i. Με \\(y=0\\) στην εξίσωση της ευθείας, παίρνουμε \\(x=\\dfrac{2λ-1}{λ}\\), οπότε \\(Α\\left(\\dfrac{2λ-1}{λ},0\\right)\\), ενώ με \\(x=0\\) παίρνουμε \\(y=-2λ+1\\), οπότε \\(Β(0,-2λ+1)\\). Επομένως τα μήκη των τμημάτων \\(ΟΑ, ΟΒ\\) είναι \\((ΟΑ)=\\dfrac{|2λ-1|}{|λ|}\\) και \\((ΟΒ)=|-2λ+1|=|2λ-1|\\).ii. Η ευθεία σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο, μόνο όταν \\((ΟΑ)=(ΟΒ)\\). Είναι:\n\\begin{align}&(ΟΑ)=(ΟΒ)\\\\\n\\iff&\\frac{|2λ-1|}{|λ|}=|2λ-1|\\\\\n\\iff&|2λ-1|(|λ|-1)=0\\\\\n\\iff&|λ|-1=0\\end{align}\nαφού \\(λ=\\dfrac{1}{2}\\). Άρα η ευθεία σχηματίζει ισοσκελές τρίγωνο όταν \\(λ=-1\\) ή \\(λ=1\\).iii. Αν \\(λ=-1\\), τότε \\((ΟΑ)=3\\) και \\((ΟΒ)=3\\), οπότε το εμβαδόν \\((ΟΑΒ)\\) του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) είναι \\((ΟΑΒ)=\\dfrac{9}{2}\\).\nΑν \\(λ=1\\), τότε \\((ΟΑ)=1\\) και \\((ΟΒ)=1\\), οπότε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΟΑΒ\\) είναι \\((ΟΑΒ)=\\dfrac{1}{2}\\).\nΣχόλιο:\nΤο τρίγωνο \\(ΟΑΒ\\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε η γωνία που σχηματίζει η ευθεία (υποτείνουσα) με τον άξονα \\(x'x\\) είναι \\(45^\\circ\\) ή \\(135^\\circ\\). Έτσι, έχουμε \\(λ=εφ45^\\circ=1\\) ή \\(λ=εφ135^\\circ\\) που είναι οι τιμές που βρήκαμε παραπάνω." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση της έλλειψης \\(C: 16x^2+25y^2=400\\).\nα) Να βρείτε τα μήκη \\(ΒΒ'\\), \\(ΑΑ'\\) του μικρού και τον μεγάλου άξονα της έλλειψης, καθώς και τις εστίες της \\(Ε\\) και \\(Ε'\\).\nβ) Αν \\(Ε'(-3,0)\\) και \\(Ε(3,0)\\), να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει εστία το σημείο \\(Ε'\\) και διευθετούσα την ευθεία που διέρχεται από το \\(Ε\\) και είναι παράλληλη στον άξονα \\(y'y\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι \\(C: 16x^2+25y^2=400\\) ή \\(C:\\dfrac{x^2}{25}+\\dfrac{y^2}{16}=1\\), οπότε\n$$α^2=25\\iff α=5$$\nκαι άρα\n$$(Α'Α)=2α=2\\cdot 5=10$$\nείναι το μήκος του μεγάλου άξονα. Επίσης\n$$β^2=16\\iff β=4,$$\nάρα\n$$(Β'Β)=2β=2\\cdot 4=8$$\nείναι το μήκος του μικρού άξονα. Ακόμη\n$$γ^2=α^2-β^2=25-16=9,$$\nοπότε \\(γ=3\\). Άρα \\(Ε'(-γ,0)\\) και \\(Ε(γ,0)\\) ή \\(Ε'(-3,0)\\) και \\(Ε(3,0)\\) είναι οι εστίες της έλλειψης.\nβ) Έχουμε \\(Ε'(-3,0)\\) και \\(Ε(3,0)\\). Θέλουμε η \\(Ε'\\) να είναι εστία της ζητούμενης παραβολής, άρα\n$$\\frac{p}{2}=-3\\iff p=-6,$$\nκαι επομένως η ζητούμενη εξίσωση είναι\n\\begin{align}&y^2=2px\\\\\n\\iff&y^2=2\\cdot(-6)x\\\\\n\\iff&y^2=-12x.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται οι ευθείες \\(ε_1:2x+3y=5\\) και \\(ε_2:4x+6y=8\\).\nα) Να δείξετε ότι οι ευθείες \\(ε_1\\), \\(ε_2\\) είναι παράλληλες.\nβ) Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Α(1,1)\\) είναι σημείο της ευθείας \\(ε_1\\).\nγ) Να βρείτε την απόσταση του σημείου \\(Α\\) από την ευθεία \\(ε_2\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι ευθείες \\(ε_1\\), \\(ε_2\\) έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, με \\(λ_1=-\\dfrac{2}{3}\\) και \\(λ_2=-\\dfrac{4}{6}=-\\dfrac{2}{3}\\). Άρα οι ευθείες είναι παράλληλες.\nβ) Οι συντεταγμένες του σημείου \\(A(1,1)\\) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας \\(ε_1\\), αφού \\(2\\cdot 1+3\\cdot 1=5\\). Άρα το σημείο \\(A\\) ανήκει στην ευθεία \\(ε_1\\).\nγ) Είναι\n\\begin{align}d(A,ε_2)&=\\dfrac{|Αx_0+Βy_0+Γ|}{\\sqrt{Α^2+Β^2}}\\\\\n&=\\dfrac{|4\\cdot 1+6\\cdot 1-8|}{\\sqrt{4^2+6^2}}\\\\\n&=\\dfrac{2}{\\sqrt{52}}\\\\\n&=\\dfrac{2}{\\sqrt{4\\cdot 13}}\\\\\n&=\\dfrac{2\\sqrt{13}}{2\\sqrt{13}\\cdot\\sqrt{13}}\\\\\n&=\\dfrac{\\sqrt{13}}{13},\\end{align}\nαφού \\(ε_2:4x+6y-8=0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2+y^2−4κx−2κy+4=0\\quad (1)$$\nμε \\(κ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να βρείτε τις τιμές του \\(κ\\in\\mathbb{R}\\) ώστε η εξίσωση \\((1)\\) να παριστάνει κύκλο.\nβ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα του κάθε κύκλου.\nγ) Να βρείτε την ευθεία στην οποία ανήκουν τα κέντρα των παραπάνω κύκλων.\nδ) Για \\(κ=1\\) να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του αντίστοιχου κύκλου της εξίσωσης \\((1)\\) στο σημείο \\(Γ(2,2)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι της μορφής \\(x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0\\) και για να παριστάνει κύκλο πρέπει \\(Α^2+Β^2-4Γ>0\\), όπου \\(Α=-4κ, Β=-2κ\\) και \\(Γ=4\\). Άρα\n\\begin{align}&\\phantom{{}={}}Α^2+Β^2-4Γ\\\\\n&=16κ^2+4κ^2-16\\\\\n&=20κ^2-16\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&20κ^2-16>0\\\\\n\\iff&κ^2 > \\frac{4}{5}\\\\\n\\iff&|κ| > \\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\\\\n\\iff&κ < -\\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\text{ ή }κ > \\frac{2\\sqrt{5}}{5}.\\end{align}\nβ) Η εξίσωση \\((1)\\) είναι μία παραμετρική εξίσωση με παράμετρο \\(κ\\) και \\(κ\\in\\left(-\\infty,-\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5},+\\infty\\right)\\). Για κάθε \\(κ\\in\\left(-\\infty,-\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5},+\\infty\\right)\\) έχουμε έναν κύκλο με κέντρο \\(Κ\\Big(-\\dfrac{Α}{2},-\\dfrac{Β}{2}\\Big)\\), δηλαδή με \\(Κ(2κ,κ)\\) και ακτίνα\n$$ρ=\\frac{\\sqrt{Α^2+Β^2-4Γ}}{2}=\\frac{\\sqrt{20κ^2−16}}{2}.$$\nγ) Τα κέντρα των κύκλων που προκύπτουν από την παραμετρική εξίσωση \\((1)\\), από το ερώτημα\n(β), έχουν συντεταγμένες \\((2κ,κ)\\), δηλαδή \\(x=2κ\\) και \\(y=κ\\). Άρα\n$$x=2y\\iff x-2y=0\\quad (2),$$\nδηλαδή τα κέντρα ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση την \\((2)\\).\nδ) Για \\(κ=1\\) η εξίσωση \\((1)\\) γίνεται \\(x^2+y^2-4x-2y+4=0\\), με κέντρο \\(Κ(2,1)\\) και ακτίνα \\(ρ=1\\).\nΣε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων σχεδιάζουμε τον παραπάνω κύκλο. Η ευθεία που είναι εφαπτομένη στον κύκλο στο σημείο \\(Γ\\) είναι η ευθεία που είναι κάθετη στο τμήμα \\(ΚΓ=ρ\\) και παράλληλη στον άξονα \\(x'x\\), γιατί \\(Κ\\) και \\(Γ\\) έχουν την ίδια τετμημένη. Άρα έχει εξίσωση \\(y=2\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(2,4)\\), \\(Β(-1,0)\\) και \\(Γ(3,-2)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\), \\(Γ\\) αποτελούν κορυφές τριγώνου \\(ΑΒΓ\\).\nβ) Αν η ευθεία \\(ΑΒ\\) τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) σε ένα σημείο \\(Δ\\) και η ευθεία \\(ΑΓ\\) τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) σε ένα σημείο \\(Ε\\), τότε:i. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων \\(Δ\\) και \\(Ε\\).\nii. Να αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{ΑΔ}=2\\overrightarrow{ΔΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{AE}=2\\overrightarrow{EΓ}\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία \\(ΔΕ\\) είναι παράλληλη της \\(ΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών \\(ΑΒ\\) και \\(ΑΓ\\) ορίζονται και είναι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\\frac{0-4}{-1-2}=\\frac{4}{3}$$\nκαι\n$$λ_{ΑΓ}=\\frac{y_Γ-y_A}{x_Γ-x_A}=\\frac{-2-4}{3-2}=-6.$$\nΕπειδή \\(λ_{ΑΒ}\\neq λ_{ΑΓ}\\), οι ευθείες \\(ΑΒ\\) και \\(ΑΓ\\) δεν είναι παράλληλες, οπότε τα σημεία \\(Α\\), \\(Β\\) και \\(Γ\\) δεν είναι συνευθειακά και αποτελούν κορυφές τριγώνου.\nβ) Η ευθεία \\(ΑΒ\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(\\dfrac{4}{3}\\) από το (α) ερώτημα και διέρχεται από το σημείο \\(Α(2,4)\\), άρα η εξίσωσή της είναι\n\\begin{align}&y-y_A=λ(x-x_A)\\\\\n\\iff&y-4=\\frac{4}{3}(x-2)\\\\\n\\iff&4x-3y+4=0.\\end{align}\nΗ ευθεία \\(ΑΓ\\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \\(-6\\) από το (α) ερώτημα και διέρχεται από το σημείο \\(Γ(3,-2)\\), άρα η εξίσωσή της είναι\n\\begin{align}&y-y_Γ=-6(x-x_Γ)\\\\\n\\iff&y+2=-6(x-3)\\\\\n\\iff&6x+y-16=0.\\end{align}\ni. Στην εξίσωση της ευθείας \\(ΑΒ\\) θέτουμε \\(x=0\\) για να βρούμε το σημείο που τέμνει τον άξονα \\(y'y\\) και έχουμε\n$$4\\cdot 0-3y+4=0\\iff y=\\frac{4}{3}.$$\nΆρα \\(Δ\\left(0,\\dfrac{4}{3}\\right)\\). Ομοίως στην εξίσωση της ευθείας \\(ΑΓ\\) θέτουμε \\(y=0\\) για να βρούμε το σημείο που τέμνει τον άξονα \\(x'x\\) και έχουμε\n$$6x+0-16=0\\iff x=\\frac{8}{3}.$$\nΆρα \\(Ε\\left(\\dfrac{8}{3},0\\right)\\). ii. Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΔ}&= \\left(0-2,\\dfrac{4}{3}-4\\right)\\\\\n&=\\left(-2,-\\dfrac{8}{3}\\right)\\\\\n&=2\\cdot \\left(-1,-\\dfrac{4}{3} \\right)\\end{align}\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΔΒ}=\\left(-1-0,0-\\dfrac{4}{3}\\right)=\\left(-1,-\\dfrac{4}{3}\\right),$$\nοπότε προφανώς \\(\\overrightarrow{AΔ}=2\\overrightarrow{ΔΒ}\\). Για τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΕ}\\) και \\(\\overrightarrow{EΓ}\\) έχουμε\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΕ}&=\\left(\\dfrac{8}{3}-2,0-4\\right)\\\\\n&=\\left(\\dfrac{2}{3},-4\\right)\\\\\n&=2\\cdot \\left(\\dfrac{1}{3},-2\\right)\\end{align}\nκαι\n$$\\overrightarrow{ΕΓ}=\\left(3-\\dfrac{8}{3},-2-0\\right)=\\left(\\dfrac{1}{3},-2\\right)$$\nκαι ισχύει επίσης ότι \\(\\overrightarrow{ΑE}=2\\overrightarrow{ΕΓ}\\).\nγ) Είναι\n$$λ_{ΔΕ}=\\dfrac{\\dfrac{4}{3}-0}{0-\\dfrac{8}{3}}=-\\dfrac{1}{2}$$\nκαι\n$$λ_{ΒΓ}=\\dfrac{-2-0}{3+1}=-\\dfrac{2}{4}=-\\dfrac{1}{2}.$$\nΆρα \\(λ_{ΔΕ}=λ_{ΒΓ}\\), επομένως η ευθεία \\(ΔΕ\\) είναι παράλληλη της ευθείας \\(ΒΓ\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων \\(Οxy\\) θεωρούμε το τρίγωνο που ορίζεται από τα σημεία \\(Ο(0,0)\\), \\(Β(κ,0)\\) και \\(Γ(0,2κ)\\) όπου \\(κ\\) θετικός πραγματικός αριθμός. Εξωτερικά του τριγώνου \\(ΟΒΓ\\) κατασκευάζουμε τετράγωνα \\(ΟΒΔΕ\\) και \\(ΟΓΖΗ\\).\nα) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που ανήκουν τα ευθύγραμμα τμήματα \\(ΓΔ\\) και \\(ΒΖ\\).\nβ) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους του τριγώνου \\(ΟΒΓ\\) που διέρχεται από το \\(Ο\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \\(ΓΔ\\), \\(ΒΖ\\) και το ύψος του (β) ερωτήματος διέρχονται από το ίδιο σημείο." }, { "from": "assistant", "value": "α) Επειδή τα τετράπλευρα \\(ΟΒΔΕ\\) και \\(ΟΓΖΗ\\) είναι τετράγωνα, οι συντεταγμένες των κορυφών τους είναι \\(Δ(κ,-κ)\\), \\(Ε(0,-κ)\\), \\(Ζ(-2κ,2κ)\\) και \\(Η(-2κ,0)\\).\nΗ εξίσωση της ευθείας \\(ΓΔ\\) είναι\n\\begin{align}&\\dfrac{y-2κ}{x-0}=\\dfrac{-κ-2κ}{κ-0}\\\\\n\\iff&\\dfrac{y-2κ}{x}=\\dfrac{-3κ}{κ}\\\\\n\\iff&y-2κ=-3x\\\\\n\\iff&3x+y-2κ=0,\\end{align}\nενώ η εξίσωση της ευθείας \\(ΒΖ\\) είναι\n\\begin{align}&\\dfrac{y-2κ}{x-(-2κ)}=\\dfrac{0-2κ}{κ-(-2κ)}\\\\\n\\iff&\\dfrac{y-2κ}{x+2κ}=\\dfrac{-2κ}{3κ}\\\\\n\\iff&3y-6κ=-2x-4κ\\\\\n\\iff&2x+3y-2κ=0.\\end{align}\nβ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΒΓ\\) είναι\n$$λ_{ΒΓ}=\\frac{2κ-0}{0-κ}=-2.$$\nΗ ευθεία \\((ε)\\) που ορίζεται από το ύψος \\(ΑΔ\\) του ορθογωνίου τριγώνου \\(ΟΒΓ\\) είναι κάθετη της πλευράς \\(ΒΓ\\), επομένως για τους συντελεστές διεύθυνσης τους ισχύει \\(λ_ε\\cdot λ_{ΒΓ}=-1\\). Άρα έχουμε\n$$λ_ε\\cdot(-2)=-1\\iff λ_ε=\\frac{1}{2}.$$\nΗ ευθεία \\((ε)\\) διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει μορφή \\(y=λ_ε\\cdot x\\), δηλαδή \\(y=\\dfrac{1}{2}x\\).\nγ) Για να αποδείξουμε ότι οι ευθείες που ορίζονται από τα ευθύγραμμα τμήματα \\(ΓΔ\\), \\(ΒΖ\\) και η ευθεία \\((ε)\\) διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε σημείο \\(Μ\\) του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις των ευθειών. Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι η τομή δύο ευθειών από τις τρεις ανήκει στην τρίτη ευθεία. Οι συντεταγμένες της τομής \\(Μ\\) των ευθειών \\((ε)\\) και \\(ΓΔ\\) δίνονται από την λύση του συστήματος:\n\\begin{align}&\\begin{cases}3x+y-2κ=0\\\\y=\\frac{1}{2}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}3x+\\frac{1}{2}x-2κ=0\\\\y=\\frac{1}{2}x\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x=\\frac{4}{7}κ\\\\y=\\frac{2}{7}κ\\end{cases}\\end{align}\nΕπομένως \\(Μ\\left(\\dfrac{4}{7}κ,\\dfrac{2}{7}κ\\right)\\). Το σημείο \\(Μ\\) ανήκει στην ευθεία που ορίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΒΖ\\), αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Πράγματι,\n\\begin{align}&2\\cdot\\frac{4}{7}κ+3\\cdot\\frac{2}{7}κ-2κ=\\frac{8}{7}κ+\\frac{6}{7}κ-2κ\\\\\n&=\\frac{14}{7}κ-2κ\\\\\n&=2κ-2κ\\\\\n&=0.\\end{align}\nΕπομένως οι ευθείες που ορίζονται από τα ευθύγραμμα τμήματα \\(ΓΔ\\), \\(ΒΖ\\), και η ευθεία \\((ε)\\) διέρχονται από το ίδιο σημείο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(1,3)\\) και \\(Β(-3,5).\\)\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου \\(Κ\\) του τμήματος \\(ΑΒ.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι \\((ΚΑ)=\\sqrt{5}.\\)\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα \\(ΑΒ.\\)" }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n$$\\begin{cases} x_K=\\dfrac{x_A+x_B}{2}=\\dfrac{1+(-3)}{2}=-1 \\\\\ny_K=\\dfrac{y_A+y_B}{2}=\\dfrac{3+5}{2}=4\\end{cases}$$\nΟπότε: \\(K(-1,4).\\)\nβ) Είναι\n$$\\begin{align} (KA) &=\\sqrt{(x_K-x_A)^2+(y_K-y_A)^2}\\\\\n&=\\sqrt{(-1-1)^2+(4-3)^2}\\\\\n&=\\sqrt{5}.\\end{align}$$\nγ) Ο ζητούμενος κύκλος έχει κέντρο το σημείο \\(Κ(-1,4)\\) και ακτίνα την απόσταση \\((ΚΑ)=\\sqrt{5}\\), οπότε έχει εξίσωση: \\((x+1)^2+(y-4)^2=5.\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η εξίσωση\n$$x^2+y^2+λx+λy+λ-1=0\\quad (1)$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που ορίζεται από την εξίσωση \\((1)\\), ο οποίος εφάπτεται της ευθείας \\(ε:x+y+2=0\\).\nγ) Για \\(λ=1\\), στον κύκλο που προκύπτει από την εξίσωση \\((1)\\), να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του που διέρχονται από το σημείο \\(Μ\\left(-\\dfrac{3}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Έχουμε την εξίσωση\n$$x^2+y^2+λx+λy+λ-1=0\\quad (1)$$\nμε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), για την οποία \\(Α=λ\\), \\(Β=λ\\) και \\(Γ=λ-1\\), οπότε\n\\begin{align}Α^2+Β^2-4Γ&=λ^2+λ^2-4(λ-1)\\\\\n&=2λ^2-4λ+4\\\\\n&=2(λ^2-2λ+2)>0\\end{align}\nγια κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), εφόσον η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι \\(Δ=-4< 0\\). Άρα η εξίσωση \\((1)\\) παριστάνει κύκλο για κάθε \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nβ) Το κέντρο και η ακτίνα των κύκλων που ορίζονται από την \\((1)\\), συναρτήσει του \\(λ\\in\\mathbb{R}\\), είναι το\n$$Κ\\left(-\\dfrac{Α}{2},-\\dfrac{Β}{2}\\right)=\\left(-\\dfrac{λ}{2},-\\dfrac{λ}{2}\\right)$$\nκαι η\n\\begin{align}ρ&=\\frac{1}{2}\\sqrt{A^2+B^2-4Γ}\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\sqrt{2(λ^2-2λ+2)}\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\sqrt{λ^2-2λ+2},\\end{align}\nαντίστοιχα. Για να εφάπτεται ο κύκλος που ορίζεται από την \\((1)\\) της ευθείας \\(ε:x+y+2=0\\), θα πρέπει\n\\begin{align}&d(K,ε)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|-\\frac{λ}{2}-\\frac{λ}{2}+2|}{\\sqrt{1^2+1^2}}=\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\sqrt{λ^2-2λ+2}\\\\\n\\iff&\\frac{|-λ+2|}{\\sqrt{2}}=\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\sqrt{λ^2-2λ+2}\\\\\n\\iff&|2-λ|=\\sqrt{λ^2-2λ+2}\\\\\n\\iff&|2-λ|^2=\\sqrt{λ^2-2λ+2}^2\\\\\n\\iff&(2-λ)^2=λ^2-2λ+2\\\\\n\\iff&4-4λ+λ^2=λ^2-2λ+2\\\\\n\\iff&2λ=2\\\\\n\\iff&λ=1.\\end{align}\nΓια \\(λ = 1\\), το κέντρο του εφαπτόμενου κύκλου στην \\(ε\\) είναι το \\(Κ\\left(-\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)\\) και ακτίνα η \\(ρ=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\).\nγ) Για \\(λ=1\\), από την εξίσωση \\((1)\\) παίρνουμε τον κύκλο \\(C:x^2+y^2+x+y=0\\), που λόγω του ερωτήματος (β) έχει κέντρο το \\(K\\left(-\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)\\) και ακτίνα \\(ρ=\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Από το σημείο \\(Μ\\left(-\\dfrac{3}{2},-\\dfrac{1}{2}\\right)\\) διέρχονται οι ευθείες \\(ζ\\) με εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_M=κ(x-x_M)\\\\\n\\iff&y+\\frac{1}{2}=κ(x+\\frac{3}{2})\\\\\n\\iff&2κx-2y+3κ-1=0\\end{align}\nμε \\(κ\\in\\mathbb{R}\\). Η ευθεία \\(ζ\\) εφάπτεται του κύκλου \\(C\\) αν και μόνο αν\n\\begin{align}&d(K, ζ)=ρ\\\\\n\\iff&\\frac{|2κ(-\\frac{1}{2})-2(-\\frac{1}{2})+3κ-1|}{\\sqrt{(2κ)^2+(-2)^2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{|2κ|}{2\\sqrt{κ^2+1}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{|κ|}{\\sqrt{κ^2+1}}=\\sqrt{2}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{κ^2}{κ^2+1}=\\frac{1}{2}\\\\\n\\iff&2κ^2=κ^2+1\\\\\n\\iff&κ^2=1\\\\\n\\iff&κ=\\pm1.\\end{align}\nΓια \\(κ=1\\) προκύπτει η \\((ζ_1)\\) με εξίσωση\n$$2x-2y+2=0\\iff x-y+1=0,$$\nενώ για \\(κ=-1\\) προκύπτει η \\((ζ_2)\\) με εξίσωση\n$$-2x-2y-4=0\\iff x+y+2=0.$$\nΟι \\((ζ_1)\\), \\((ζ_2)\\) είναι οι ζητούμενες εφαπτόμενες του κύκλου \\(C\\) από το σημείο \\(Μ\\). Παρατηρούμε ότι η \\((ζ_2)\\) είναι η ευθεία \\((ε)\\) που δόθηκε στο ερώτημα (β), κάτι που ήταν αναμενόμενο εφόσον το σημείο \\(Μ\\) ανήκει στην \\((ε)\\) (οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα διανύσματα \\(\\vec{u}=(1,1)\\), \\(\\vec{w}=(-10,2)\\) και τα σημεία \\(Α(-1,2)\\), \\(Β(β,0)\\), \\(Γ(0,γ)\\). Τα διανύσματα \\(\\vec{u}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) είναι κάθετα και το διάνυσμα \\(\\vec{w}\\) είναι παράλληλο στο διάνυσμα \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\).\nα) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{AB}\\) και να αποδείξετε ότι \\(β=1\\).\nβ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) και να αποδείξετε ότι \\(γ=\\dfrac{9}{5}\\).\nγ) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο \\(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Οι συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι\n$$\\overrightarrow{AB}=(β-(-1),0-2)=(β+1,-2).$$\nΑφού τα διανύσματα \\(\\vec{u}\\), \\(\\overrightarrow{AB}\\) είναι κάθετα, θα ισχύει \\(\\vec{u}\\cdot\\overrightarrow{AB}=0\\). Άρα\n\\begin{align}&1\\cdot(β+1)+1\\cdot(-2)=0\\\\\n\\iff&β+1-2=0\\\\\n\\iff&β=1.\\end{align}\nβ) Οι συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{AΓ}\\) είναι\n$$\\overrightarrow{AΓ}=(0-(-1),γ-2)=(1,γ-2).$$\nΑφού τα διανύσματα \\(\\vec{w}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) είναι παράλληλα, η ορίζουσα τους θα ισούται με μηδέν, δηλαδή\n\\begin{align}&\\begin{vmatrix}-10&2\\\\1&γ-2\\end{vmatrix}=0\\\\\n\\iff&-10(γ-2)-2\\cdot 1=0\\\\\n\\iff&γ=\\frac{9}{5}.\\end{align}\nγ) Από τα ερωτήματα (α), (β) έχουμε ότι \\(\\overrightarrow{AB}=(2,-2)\\) και \\(\\overrightarrow{ΑΓ}=\\left(1,-\\dfrac{1}{5}\\right)\\). Tο εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \\(\\overrightarrow{AB}\\), \\(\\overrightarrow{ΑΓ}\\) είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{ΑΓ}&=2\\cdot 1+(-2)\\cdot\\left(-\\frac{1}{5}\\right)\\\\\n&=2+\\frac{2}{5}\\\\\n&=\\frac{12}{5}.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(A(2,0)\\), \\(B(3,4)\\) και \\(λ\\in\\mathbb{R}\\).\nα) i. Να βρείτε την εξίσωση που περιγράφει όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο \\(A\\) και έχουν κλίση \\(λ\\).\nii. Να αποδείξετε οτι η ευθεία, η οποία διέρχεται από το σημείο \\(A\\), έχει κλίση \\(λ\\) και απέχει απόσταση ίση με \\(1\\) από το σημείο \\(B\\), έχει εξίσωση\n$$ε: 15x-8y-30=0.$$\nβ) Να αποδείξετε οτι υπάρχει και άλλη ευθεία \\((ζ)\\), εκτός από την \\((ε)\\), η οποία διέρχεται από το σημείο \\(Α\\) και απέχει απόσταση ίση με \\(1\\) από το σημείο \\(Β\\).\nγ) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες \\((ε)\\) και \\((ζ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) i. Οι ευθείες που έχουν κλίση \\(λ\\) και διέρχονται από το σημείο \\(Α(2,0)\\) ορίζονται από την εξίσωση:\n$$ε_λ:y-0=λ(x-2)\\iff λx-y-2λ=0\\quad(1)$$\nii. Για την απόσταση του σημείου \\(B\\) απο τις ευθείες \\((ε_λ)\\), είναι\n$$d(B,ε_λ)=\\frac{|3λ-4-2λ|}{\\sqrt{λ^2+1}}=\\frac{λ-4}{\\sqrt{λ^2+1}}.$$\nΕπομένως, έχουμε\n\\begin{align}&d(B,ε_λ)=1\\\\\n\\iff&\\frac{|λ-4|}{\\sqrt{λ^2+1}}=1\\\\\n\\iff&|λ-4|=\\sqrt{λ^2+1}\\\\\n\\iff&(λ-4)^2=λ^2+1\\\\\n\\iff&λ=\\frac{15}{8}.\\end{align}\nΑπο την \\((1)\\) έχουμε\n\\begin{align}&\\frac{15}{8}x-y-\\frac{30}{8}=0\\\\\n\\iff&15x-8y-30=0.\\end{align}\nβ) Από το σημείο \\(A(2,0)\\) διέρχεται επίσης η κατακόρυφη ευθεία \\((ζ)\\), για την οποία δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, με εξίσωση \\(x=2\\). Έτσι, έχουμε\n$$d(Β,ζ)=\\frac{|1\\cdot 3+0\\cdot 4-2|}{\\sqrt{1}}=1.$$\nγ) Οι ευθείες \\((ε)\\) και \\((ζ)\\) τέμνονται, διότι έχουν κοινό σημείο το \\(Α\\), αλλά δεν ταυτίζονται αφού \\(λ_ε=\\frac{15}{8}\\) και \\(ζ//y'y\\). Το σημείο \\(B\\) απέχει ίση απόσταση από τις ευθείες \\((ε)\\) και \\((ζ)\\), επομένως ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας των δύο ευθειών. Επιπλέον ισχύει οτι\n$$λ_{ΑΒ}=\\frac{4-0}{3-2}=4.$$\nΕπομένως, η μία εκ των δύο διχοτόμων \\((δ_1)\\), είναι η ευθεία \\(ΑΒ\\) με εξίσωση\n$$y-0=4(x-2)\\iff y=4x-8.$$\nΗ άλλη διχοτόμος \\((δ_2)\\) είναι κάθετη στην \\(ΑΒ\\), επομένως\n$$λ_{δ_2}\\cdot λ_{ΑΒ}=-1\\iff λ_{δ_2}=-\\frac{1}{4}.$$\nΕπιπλέον, διέρχεται από το σημείο \\(A(2,0)\\), οπότε έχει εξίσωση\n$$y-0=-\\frac{1}{4}(x-2)\\iff y=-\\frac{1}{4}x+\\frac{1}{4}.$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Α(0,5)\\) και \\(Δ(4,5)\\) και τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΒ}=(3,-3)\\) και \\(\\overrightarrow{AΓ}=(3,1)\\).\nα)Να αποδείξετε ότι το σημείο \\(Γ\\) έχει συντεταγμένες \\(Γ(3,6)\\).\nβ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος \\(\\overrightarrow{ΓΔ}\\).\nΝα αποδείξετε ότι \\(\\overrightarrow{AΒ}//\\overrightarrow{ΓΔ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αν \\(Γ(x_{Γ},y_{Γ})\\) τότε:\n$$\\overrightarrow{ΑΓ}=(3,1)$$\n$$\\Leftrightarrow (x_{Γ}-0,y_{Γ}-5)=(3,1)$$\n$$\\Leftrightarrow x_{Γ}=3 \\text{ και } y_{Γ}-5=1$$\n$$\\Leftrightarrow y_{Γ}=6$$\nΆρα, \\(Γ(3,6)\\).\nβ)\ni.Είναι\n$$\\overrightarrow{ΓΔ}=(4-3,5-6)$$\n$$\\Leftrightarrow \\overrightarrow{ΓΔ}=(1,-1)$$\nii.Έχουμε ότι:\n$$\\begin{align}\\det{(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΓΔ})}&=|\\array{3\\ \\ -3 \\cr 1\\ \\ -1}|\\\\\n&=3(-1)-(-3)⋅1\\\\\n&=-3+3=0 \\end{align}$$\n(Εναλλακτικά: \\(\\overrightarrow{AB}=(3,-3)=3(1,-1)=3\\overrightarrow{ΓΔ}\\).)\nΆρα, τα διανύσματα \\(\\overrightarrow{ΑΒ}\\) και \\(\\overrightarrow{ΓΔ}\\) είναι παράλληλα." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με κορυφές τα σημεία \\(Α(-2,1)\\), \\(Β(1,5)\\) και \\(Γ(5,-1)\\).\nα) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου \\(ΑΒΓ\\).\nβ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \\(ΒΓ\\).\nγ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου από την κορυφή \\(Α\\). Στη συνέχεια να βρείτε το σημείο \\(Δ\\) της ευθείας \\(ΒΓ\\) από το οποίο το \\(Α\\) απέχει την ελάχιστη απόσταση.\nδ) Να βρείτε το σύνολο των σημείων \\(Μ\\) του επιπέδου για τα οποία ισχύει \\((ΜΑΒ)=\\dfrac{1}{2}(ΑΒΓ)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AB}&=(x_B-x_A,y_B-y_A)\\\\\n&=(1-(-2),5-1)\\\\\n&=(3,4)\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}\\overrightarrow{ΑΓ}&=(x_Γ-x_A,y_Γ-y_A)\\\\\n&=(5-(-2),-1-1)\\\\\n&=(7,-2),\\end{align}\nοπότε\n\\begin{align}(ABΓ)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{ΑΓ})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}x_{AB}&y_{AB}\\\\x_{AΓ}&y_{AΓ}\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}3&4\\\\7&-2\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3\\cdot(-2)-4\\cdot 7|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|-6-28|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|-34|\\\\\n&=\\frac{1}{2}\\cdot 34\\\\\n&=17.\\end{align}\nβ) Η ευθεία \\(ΒΓ\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_B=\\frac{y_Γ-y_B}{x_Γ-x_B}(x-x_B)\\\\\n\\iff&y-5=\\frac{-1-5}{5-1}(x-1)\\\\\n\\iff&y-5=\\frac{-6}{4}(x-1)\\\\\n\\iff&y-5=-\\frac{3}{2}(x-1)\\\\\n\\iff&2y-10=-3x+3\\\\\n\\iff&3x+2y-13=0.\\end{align}\nγ) Έστω \\(υ_α\\) το ύψος του τριγώνου από την κορυφή \\(Α\\). Είναι \\(λ_{ΒΓ}=-\\dfrac{A}{B}=-\\dfrac{3}{2}\\) και\n\\begin{align}&υ_α\\perp ΒΓ\\\\\n\\iff&λ_{υ_α}\\cdot λ_{ΒΓ}=-1\\\\\n\\iff&λ_{υ_α}=\\frac{-1}{λ_{ΒΓ}}=\\frac{-1}{-\\frac{3}{2}}=\\frac{2}{3}.\\end{align}\nΈτσι η εξίσωση του φορέα του \\(υ_α\\) είναι\n\\begin{align}&y-y_Α=λ_{υ_α}(x-x_Α)|\\\\\n\\iff&y-1=\\frac{2}{3}(x-(-2))\\\\\n\\iff&3y-3=2x+4\\\\\n\\iff&2x-3y+7=0.\\end{align}\nΤο σημείο της ευθείας \\(ΒΓ\\) που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το \\(Α\\) είναι το ίχνος, \\(Δ\\), του ύψους από το \\(Α\\) στην ευθεία \\(ΒΓ\\). Από το σύστημα των \\(ΒΓ\\), θα έχουμε\n$$\\begin{cases}3x+2y=13\\\\2x-3y=-7\\end{cases}$$\nοπότε\n\\begin{align}D=\\begin{vmatrix}3&2\\\\2&-3\\end{vmatrix}=-9-4=-13,\\\\\nD_x=\\begin{vmatrix}13&2\\\\-7&-3\\end{vmatrix}=-39+14=-25\\end{align}\nκαι\n$$D_y=\\begin{vmatrix}3&13\\\\2&-7\\end{vmatrix}=-21-26=-47,$$\nάρα η λύση του συστήματος είναι\n$$x=\\frac{D_x}{D}=\\frac{-25}{-13}=\\frac{25}{13}$$\nκαι\n$$y=\\frac{D_y}{D}=\\frac{-47}{-13}=\\frac{47}{13}.$$\nΕπομένως, \\(Δ\\left(\\dfrac{25}{13},\\dfrac{47}{13}\\right)\\) είναι το ζητούμενο σημείο της ευθείας \\(ΒΓ\\).\nδ) Έστω \\(Μ(x, y)\\) σημείο του επιπέδου ώστε \\((ΜΑΒ)=\\frac{1}{2}(ΑΒΓ)\\), η οποία λόγω του ερωτήματος (α) γράφεται \\((ΜΑΒ)=\\frac{17}{2}\\). Είναι\n\\begin{align}\\overrightarrow{AM}&=(x_M-x_A,y_M-y_A)\\\\\n&=(x-(-2),y-1)\\\\\n&=(x+2,y-1),\\end{align}\nάρα\n\\begin{align}(MAB)&=\\frac{1}{2}|\\det(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AM})|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|\\!\\begin{vmatrix}3&4\\\\x+2&y-1\\end{vmatrix}|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3(y-1)-4(x+2)|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3y-3-4x-8|\\\\\n&=\\frac{1}{2}|3y-4x-11|\\end{align}\nοπότε\n\\begin{align}&(MAB)=\\frac{17}{2}\\\\\n\\iff&\\frac{1}{2}|3y-4x-11|=\\frac{17}{2}\\\\\n\\iff&|3y-4x-11|=17\\\\\n\\iff&3y-4x-11=\\pm 17\\\\\n\\iff&4x-3y-6=0\\text{ ή }4x-3y+28=0.\\end{align}\nΆρα το σημείο \\(Μ\\) ανήκει σε μια εκ των ευθείων \\(ε_1:4x-3y-6=0\\) και \\(ε_2:4x-3y+28=0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται το τρίγωνο \\(ΑΒΓ\\) με κορυφές τα σημεία \\(A(3,-3)\\), \\(B(2,-8)\\) και \\(Γ(7,-3)\\). Να βρείτε:\nα) Την εξίσωση της πλευράς \\(ΒΓ\\).\nβ) Την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το \\(Α\\) και εφάπτεται στην πλευρά \\(ΒΓ\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\(ΒΓ\\) έχει εξίσωση\n\\begin{align}&y-y_Γ=\\frac{y_B-y_Γ}{x_B-x_Γ}(x-x_Γ)\\\\\n\\iff&y+3=\\frac{-8+3}{2-7}(x-7)\\\\\n\\iff&y+3=\\frac{-5}{-5}(x-7)\\\\\n\\iff&y+3=x-7\\\\\n\\iff&x-y-10=0.\\end{align}\nβ) Η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου είναι\n\\begin{align}ρ&=d(Α,ΒΓ)\\\\\n&=\\frac{|1\\cdot 3-1\\cdot(-3)-10|}{\\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\\\\n&=\\frac{|-4|}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{4}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=2\\sqrt{2},\\end{align}\nοπότε η ζητούμενη εξίσωση είναι\n\\begin{align}&(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=ρ^2\\\\\n\\iff&(x-3)^2+(y+3)^2=(2\\sqrt{2})^2\\\\\n\\iff&(x-3)^2+(y+3)^2=8.\\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται διανύσματα:\n$$\\vec{α}=3\\vec{i}+3\\sqrt{3}\\ \\vec{j},\\ \\vec{β}=\\sqrt{2}\\ \\vec{i},\\ \\vec{γ}=-3\\vec{j}\\text{ και }\\vec{δ}=(-1,1).$$\nα) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης καθενός από τα διανύσματα \\(\\vec{α},\\vec{β},\\vec{δ}\\).\nβ) Να γράψετε τη γωνία που σχηματίζει καθένα από τα διανύσματα \\(\\vec{α},\\vec{β},\\vec{γ}\\) και \\(\\vec{δ}\\) με το θετικό ημιάξονα \\(Ox\\).\nγ) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων \\(\\vec{α}\\) και \\(\\vec{γ}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "Τα διανύσματα που δίνονται έχουν συντεταγμένες:\n$$\\vec{α}=(3, 3\\sqrt{3})$$\n$$\\vec{β}=(\\sqrt{2}, 0)$$\n$$\\vec{γ}=(0 ,-3)$$\n$$\\text{ και } \\vec{δ}=(-1, 1)$$\nα) Ο συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος, όταν η τετμημένη του δεν είναι μηδέν, ορίζεται ως το πηλίκο τεταγμένη του διανύσματος προς τετμημένη του διανύσματος. Οπότε\n$$λ_\\vec{α}=\\frac{3\\sqrt{3}}{3}=\\sqrt{3}$$\n$$λ_\\vec{β}=\\frac{0}{\\sqrt{2}}=0$$\n$$λ_\\vec{δ}=\\frac{1}{-1}=-1.$$\nβ) Γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει ένα διάνυσμα με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\) ισούται με το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος. Αν \\(ω\\) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{α}\\) με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\), επειδή \\(λ_\\vec{α}=\\sqrt{3}\\) (από ερώτημα (α)), θα ισχύει \\(εφω = \\sqrt{3}\\). Επιπλέον το πέρας του διανύσματος βρίσκεται στο \\(1^ο\\) τεταρτημόριο, αφού έχει θετικές συντεταγμένες, άρα \\(ω=60^ο\\).\nΤο διάνυσμα \\(\\vec{β}=(\\sqrt{2}, 0)\\) έχει τεταγμένη \\(0\\), άρα \\(\\vec{β}//x'x\\), και επειδή το \\(\\vec{β}\\) έχει θετική τετμημένη σχηματίζει με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\) γωνία \\(0^ο\\).\nΤο διάνυσμα \\(\\vec{δ}=(0, -3)\\) έχει τετμημένη \\(0\\), άρα \\(\\vec{γ}//y'y\\), και επειδή το \\(\\vec{γ}\\) έχει αρνητική τεταγμένη σχηματίζει με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\) γωνία \\(270^ο\\).\nΑν \\(φ\\) είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα \\(\\vec{δ}\\) με το θετικό ημιάξονα \\(Οx\\), επειδή \\(λ_\\vec{δ}=-1\\) (από ερώτημα (α)), θα ισχύει \\(εφφ=-1\\). Επιπλέον το διάνυσμα έχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη, οπότε το πέρας του βρίσκεται στο \\(2^ο\\) τεταρτημόριο, άρα \\(φ=135^ο\\).\nγ) Είναι:\n$$|\\vec{α}|=\\sqrt{3^2+(3\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{36}=6$$\n$$|\\vec{γ}|=\\sqrt{0^2+(-3)^2}=3$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνονται τα σημεία \\(Ο(0,0)\\), \\(Α(α,0)\\), \\(Β\\left(\\dfrac{α}{2},β\\right)\\) και \\(Μ\\left(\\frac{α}{2},0\\right)\\), όπου \\(α,\\ β\\) σταθεροί θετικοί πραγματικοί αριθμοί.\nα) Να μεταφέρετε τα παραπάνω σημεία σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Κατόπιν, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \\(ΟΑΒ\\) είναι ισοσκελές και το σημείο \\(Μ\\) είναι το μέσο της βάσης \\(ΟΑ\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις των ευθειών \\(ΟΒ\\) και \\(ΑΒ\\) είναι \\(ΟΒ:\\ 2βx-αy=0\\) και \\(ΑΒ:\\ 2βx+αy-2αβ=0\\), αντίστοιχα.\nγ) Αν \\(d_1\\) είναι η απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\(ΟΒ\\) και \\(d_2\\) η απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\(ΑΒ\\), να αποδείξετε ότι \\(d_1=d_2\\).\nδ) Ποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχει αποδειχθεί." }, { "from": "assistant", "value": "α) Αφού \\(β\\neq 0\\), τα σημεία \\(Ο,Α,Β\\) δεν είναι συνευθειακά. Το τρίγωνο \\(ΟΑΒ\\) είναι ισοσκελές με βάση \\(ΟΑ\\) αφού\n\\begin{align}(OB)&=\\sqrt{\\left(\\frac{α}{2}-0\\right)^2+(β-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{α^2}{4}+β^2}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}(AB)&=\\sqrt{\\left(\\frac{α}{2}-α\\right)^2+(β-0)^2}\\\\\n&=\\sqrt{\\frac{α^2}{4}+β^2}.\\end{align}\nΕναλλακτικά, το σημείο \\(Β\\left(\\dfrac{α}{2},β\\right)\\) ανήκει στη μεσοκάθετο του \\(ΟΑ\\), οπότε ισαπέχει από τα σημεία \\(Ο\\) και \\(Α\\). Τέλος, το μέσο του \\(ΟΑ\\) είναι το σημείο \\(Μ\\left(\\dfrac{α}{2},0\\right)\\), αφού οι συντεταγμένες του \\(Μ\\) είναι ίσες με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των \\(Ο\\) και \\(Α\\).\nβ) Είναι \\(α\\neq 0\\), οπότε\n\\begin{align}&ΟΒ:\\ y-0=\\frac{β-0}{\\frac{α}{2}-0}\\cdot(x-0)\\\\\n\\iff&y=\\frac{2β}{α}\\cdot x\\\\\n\\iff&2βx-αy=0\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}&AB:\\ y-0=\\frac{β-0}{\\frac{α}{2}-α}\\cdot (x-α)\\\\\n\\iff&y=\\frac{β}{-\\frac{α}{2}}\\cdot (x-α)\\\\\n\\iff&y=-\\frac{2β}{α}\\cdot (x-α)\\\\\n\\iff&2βx+αy-2αβ=0.\\end{align}\nγ) Είναι\n\\begin{align}d_1&\\overset{\\hphantom{α,β >0}}{=}\\frac{|2β\\frac{α}{2}-α\\cdot 0|}{\\sqrt{(2β)^2+α^2}}\\\\\n&\\overset{α,β >0}{=}\\frac{αβ}{\\sqrt{4β^2+α^2}}\\end{align}\nκαι\n\\begin{align}d_2&\\overset{\\hphantom{α,β >0}}{=}\\frac{|2β\\frac{α}{2}+α\\cdot 0-2αβ|}{\\sqrt{(2β)^2+α^2}}\\\\\n&\\overset{\\hphantom{α,β >0}}{=}\\frac{|-αβ|}{\\sqrt{4β^2+α^2}}\\\\\n&\\overset{α,β >0}{=}\\frac{αβ}{\\sqrt{4β^2+α^2}},\\end{align}\nοπότε πράγματι \\(d_1=d_2\\).\nδ) Η πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που αποδείχθηκε είναι η εξής:\nΣε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, το μέσο της βάσης ισαπέχει από τις ίσες πλευρές." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραβολή \\(C:x^2=4y\\) και η ευθεία \\(ε:y=x-2.\\)\nα) Να βρείτε την εστία \\(Ε\\) και τη διευθετούσα \\((δ)\\) της παραβολής.\nβ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κοινά σημεία. Στη συνέχεια, σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων \\(Oxy\\) να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις της παραβολής \\(C\\) και της ευθείας \\(ε\\).\nγ) Αν \\(Μ(x,y)\\) είναι σημείο της παραβολής, τότε:i. Nα αποδείξετε ότι η απόσταση του \\(M\\) από την ευθεία \\((ε)\\) είναι \\(d(M,ε)=\\dfrac{\\frac{1}{4}x^2-x+2}{\\sqrt{2}}.\\)\nii. Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση του σημείου \\(Μ\\) από την ευθεία \\((ε)\\) καθώς και τις συντεταγμένες του σημείου \\(Μ\\) της παραβολής που απέχει την ελάχιστη απόσταση από την ευθεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η παράμετρος της παραβολής είναι \\(p=2\\), άρα η εστία είναι το \\(E\\left(0,\\dfrac{p}{2}\\right)=(0,1)\\) και η εξίσωση της διευθετούσας \\(δ:y=-1.\\)\nβ) Τα κοινά σημεία της παραβολής και της ευθείας είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεών τους\n\\begin{align}&\\begin{cases}x^2=4y\\\\y=x-2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2=4(x-2)\\\\y=x-2\\end{cases}\\\\\n\\iff&\\begin{cases}x^2-4x+8=0\\\\y=x-2\\end{cases}\\end{align}\nτο οποίο είναι αδύνατο εφόσον \\(Δ < 0\\). Άρα η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κοινά σημεία.\nγ) i. Έστω σημείο \\(Μ(x,y)\\) σημείο της παραβολής, οπότε \\(Μ\\left(x,\\dfrac{1}{4}x^2\\right).\\) Η απόστασή του από την ευθεία \\(ε: x-y-2=0\\) είναι\n\\begin{align}d(M,ε)&=\\frac{|x-\\frac{1}{4}x^2-2|}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{|\\frac{1}{4}x^2-x+2|}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{\\frac{1}{4}x^2-x+2}{\\sqrt{2}},\\end{align}\nδιότι η διακρίνουσα του τριωνύμου \\(\\dfrac{1}{4}x^2-x+2\\) είναι\n$$Δ=1-4\\cdot\\frac{1}{4}\\cdot2=-1 < 0$$\nκαι άρα \\(\\dfrac{1}{4}x^2-x+2 > 0\\) για κάθε πραγματικό αριθμό \\(x.\\)ii. Είναι\n\\begin{align}d(M,ε)&=\\frac{\\frac{1}{4}x^2-x+2}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{\\left(\\frac{1}{2}x-1\\right)^2+1}{\\sqrt{2}}\\\\\n&\\geq\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\\\\n&=\\frac{\\sqrt{2}}{2}.\\end{align}\nΗ απόσταση του \\(Μ\\) από την ευθεία γίνεται ελάχιστη όταν\n\\begin{align}&\\left(\\frac{1}{2}x-1\\right)^2=0\\\\\n\\iff&\\frac{1}{2}x-1=0\\\\\n\\iff&x=2.\\end{align}\nΕπομένως το ζητούμενο σημείο της παραβολής που απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία \\((ε)\\) είναι το \\(Μ(2,1).\\)" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Θεωρούμε τις συναρτήσεις με τύπους \\(f(x)=x^{2}-x+1\\) και \\(g(x)=\\sqrt{4x-3}\\).\nα) Να αποδείξτε ότι για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) ισχύει \\(f(x)\\ge \\dfrac{3}{4}\\).\nβ) Να βρείτε τη συνάρτηση \\(h=g \\circ f\\).\nγ) Αν \\(h(x)=|2x-1|\\) είναι η σύνθεση του ερωτήματος β), να υπολογίσετε το όριο \\(\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{h(x)-1}{\\sqrt{x+1}-1}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Είναι:\n$$f(x)\\ge \\dfrac{3}{4} $$\n$$\\Leftrightarrow 4(x^{2}-x+1)\\ge 3 $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{2}-4x+1\\ge 0 $$\n$$\\Leftrightarrow (2x-1)^{2}\\ge 0$$\nπου ισχύει. Η ισότητα \\(f(x)=\\dfrac{3}{4}\\) ισχύει μόνο όταν \\(x=\\dfrac{1}{2}\\).\nβ) Οι συναρτήσεις έχουν αντίστοιχα πεδία ορισμού \\(\\mathbb{D}_{f}=\\mathbb{R}\\), \\(\\mathbb{D}_{g}=\\left[\\dfrac{3}{4},+\\infty\\right)\\) και η σύνθεση \\(h=g \\circ f\\) ορίζεται μόνο όταν υπάρχουν αριθμοί \\(x\\) ώστε:\n$$x\\in \\mathbb{D}_{f}\\ \\ \\text{και}\\ \\ f(x)\\in \\mathbb{D}_{g}$$\nΕίναι:\n$$\\begin{cases} x\\in \\mathbb{D}_{f} \\\\ f(x)\\in \\mathbb{D}_{g} \\end{cases} $$\n$$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x\\in \\mathbb{R} \\\\ f(x)\\ge \\dfrac{3}{4} \\end{cases}$$\nπου ισχύει για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) από το ερώτημα (α).\nΆρα \\(\\mathbb{D}_{h}=\\mathbb{R}\\) και:\n$$h(x)=(g\\circ f)(x)$$\n$$=g(f(x))$$\n$$=\\sqrt{4(x^{2}-x+1)-3}$$\n$$=\\sqrt{4x^{2}-4x+1}$$\n$$=\\sqrt{(2x-1)^{2}}$$\n$$=|2x-1|$$\nγ) Ισχύει: \\(\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}(2x-1)=-1 < 0\\), οπότε κοντά στο \\(x_{o}=0\\) είναι \\(2x-1 < 0\\), άρα \\(|2x-1|=-2x+1\\) και:\n$$\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{h(x)-1}{\\sqrt{x+1}-1}=\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{-2x+1-1}{\\sqrt{x+1}-1}$$\n$$=-2\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{x(\\sqrt{x+1}+1)}{(\\sqrt{x+1}-1)(\\sqrt{x+1}+1)}$$\n$$=-2\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}\\dfrac{x(\\sqrt{x+1}+1)}{x+1-1}$$\n$$=-2\\underset{x\\rightarrow 0}{\\lim}(\\sqrt{x+1}+1)=-4$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)}\\), \\(x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδειχθεί ότι για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) είναι \\(f'(x)=-\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}}\\).\nβ) Αφού πρώτα δικαιολογήσετε ότι η συνάρτηση \\(f\\) αντιστρέφεται,να αποδειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το \\(\\mathbb{R}\\).\nγ) Να λυθεί η ανίσωση \\(f^{-1}(x+f(x))>x,x\\in \\mathbb{R}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\) με:\n$$f'(x)=(\\ln{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)})'$$\n$$=\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}-x}\\cdot (\\sqrt{x^{2}+1}-x)'$$\n$$=\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}-x}\\cdot \\left(\\dfrac{2x}{2\\sqrt{x^{2}+1}}-1\\right)$$\n$$=\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}-x}\\cdot \\dfrac{x-\\sqrt{x^{2}+1}}{\\sqrt{x^{2}+1}}$$\n$$=-\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}}$$\nβ) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα αφού είναι συνεχής και ισχύει \\(f'(x) < 0\\) για κάθε \\(x\\in \\mathbb{R}\\). Επειδή η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως μονότονη (γν. φθίνουσα) είναι και \"1-1\", άρα αντιστρέφεται.\nΤο πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το σύνολο τιμών \\(f(\\mathbb{R})\\) της \\(f\\).\nΕπειδή η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής, το σύνολο τιμών της είναι το:\n$$f(\\mathbb{R})=(\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}f(x),\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}f(x))$$\nΕίναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}(\\ln{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)})$$\nΘέτουμε \\(u=\\sqrt{x^{2}+1}-x\\) με \\(u\\rightarrow +\\infty\\):\n$$\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}f(x)= \\underset{u\\rightarrow +\\infty }{\\lim}(\\ln{u})=+\\infty$$\nαφού:\n$$\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}(\\sqrt{x^{2}+1}-x)=\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}\\left(-x\\sqrt{1+\\dfrac{1}{x^{2}}}-x\\right)$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow -\\infty }{\\lim}\\left(-x\\left(\\sqrt{1+\\dfrac{1}{x^{2}}}+1\\right)\\right)=+\\infty$$\nΑκόμη είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}(\\ln{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)})$$\nθέτουμε \\(u=\\sqrt{x^{2}+1}-x>0\\) με \\(u\\rightarrow 0^{+}\\):\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}f(x)= \\underset{u\\rightarrow 0^{+}}{\\lim}(\\ln{u})=-\\infty $$\nαφού:\n$$\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}(\\sqrt{x^{2}+1}-x)=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}\\dfrac{(\\sqrt{x^{2}+1}-x)(\\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}\\dfrac{x^{2}+1-x^{2}}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow +\\infty }{\\lim}\\dfrac{1}{\\sqrt{x^{2}+1}+x}=0$$\nΆρα \\(f(\\mathbb{R})=(-\\infty ,+\\infty)=\\mathbb{R}\\) οπότε \\(\\mathbb{D}_{f^{-1}}=\\mathbb{R}\\).\nγ) Με \\(x\\in \\mathbb{R}\\) έχουμε:\n$$f^{-1}(x+f(x))>x$$\nκαι επειδή η \\(f\\) είναι γν.φθίνουσα, ισοδύναμα παίρνουμε:\n$$f(f^{-1}(x+f(x))) < f(x)$$\n$$\\Leftrightarrow x+f(x) < f(x)$$\n$$\\Leftrightarrow x < 0$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\sqrt{1-\\sqrt{1-x}}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το \\(D_{f}=[0,1]\\).\nβ)\ni. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \\(f\\) είναι “1 – 1”.\nii. Να λύσετε την εξίσωση \\(f(f(x))=0,\\ x∈[0,1]\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) ορίζεται, όταν και μόνο όταν\n\\begin{cases} 1-x\\ge 0 \\\\ \\text{και } 1-\\sqrt{1-x}\\ge 0 \\end{cases}\nΕίναι λοιπόν \\(1-x≥0 \\Leftrightarrow x≤1\\) και\n\\begin{align} & 1-\\sqrt{1-x}≥0 \\\\\n\\Leftrightarrow & \\sqrt{1-x}≤1 \\\\\n\\Leftrightarrow & 1-x≤1 \\\\\n\\Leftrightarrow & x≥0 \\end{align}\nΕπομένως \\(0≤x≤1\\) και ως εκ τούτου \\(D_{f}=[0,1]\\).\nβ)\ni. Έστω \\(x_{1},x_{2}∈[0,1]\\) με \\(f(x_{1})=f(x_{2})\\). Θα δείξουμε ότι \\(x_{1}=x_{2}\\). Πράγματι έχουμε διαδοχικά:\n\\begin{align} & f(x_{1})=f(x_{2})\\\\\n\\Leftrightarrow & \\sqrt{1-\\sqrt{1-x_{1}}}=\\sqrt{1-\\sqrt{1-x_{2}}}\\\\\n\\Leftrightarrow & 1-\\sqrt{1-x_{1}}=1-\\sqrt{1-x_{2}}\\\\\n\\Leftrightarrow & \\sqrt{1-x_{1}}=\\sqrt{1-x_{2}}\\\\\n\\Leftrightarrow & 1-x_{1}=1-x_{2}\\\\\n\\Leftrightarrow & x_{1}=x_{2}\\end{align}\nii. Παρατηρούμε ότι \\(f(0)=0\\). Στη συνέχεια έχουμε:\n\\begin{align} f(f(x)) & =0 \\\\\n\\Leftrightarrow f(f(x)) & =f(0)\\\\\n\\overset{f: \\text{1-1}}{\\Longleftrightarrow} f(x) & =0\\\\\n\\Leftrightarrow f(x) & =f(0)\\\\\n\\overset{f: \\text{1-1}}{\\Longleftrightarrow} x& =0\\end{align}\nΕπομένως η εξίσωση \\(f(f(x))=0,\\ x∈[0,1]\\) έχει μοναδική ρίζα το \\(0\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση \\(f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}\\).\nα) Να λύσετε την ανίσωση \\(f(x^{2})\\ln{2}=f(1)\\). Επιπλέον, η \\(f\\) είναι γνησίως μονότονη και δεν είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι γνησίως φθίνουσα.\nβ) Λόγω της μονοτονίας της \\(f\\), αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε θετικό αριθμό \\(α\\) ισχύει \\(α\\ln{α}\\ge \\ln{α}\\).\nΠραγματικά έχουμε:\nΑν \\(α>1\\), τότε \\(α-1>0\\) και \\(\\ln{α}>0\\), οπότε:\n$$(α-1)\\ln{α}>0 $$\n$$\\Rightarrow α\\ln{α}-\\ln{α}>0 $$\n$$\\Rightarrow α\\ln{α}>\\ln{α}$$\nΑν \\(0<α<1\\), τότε \\(α-1<0\\) και \\(\\ln{α}<0\\), οπότε:\n$$(α-1)\\ln{α}>0 $$\n$$\\Rightarrow α\\ln{α}-\\ln{α}>0 $$\n$$\\Rightarrow α\\ln{α}>\\ln{α}$$\nΑν \\(α=1\\), τότε το ζητούμενο γράφεται \\(0\\ge 0\\) και προφανώς ισχύει.\nγ) Με \\(x>0\\) έχουμε:\n$$f(e^{x+1}+\\ln{x})=\\ln{2} $$\n$$\\Leftrightarrow f(e^{x+1}+\\ln{x})=f(1) $$\n$$\\Leftrightarrow e^{x+1}+\\ln{x}=1\\ \\ \\ \\ (1)$$\nαφού η \\(f\\) ως γνησίως μονότονη είναι «1-1».\nΗ εξίσωση \\((1)\\) έχει προφανή ρίζα τον αριθμό \\(1\\), αφού \\(e^{1-1}+\\ln{1}=e^{o}+0=1\\). Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική.\nΘεωρούμε τη συνάρτηση \\(h(x)=e^{x-1}+\\ln{x}\\), \\(x>0\\). Η \\(h\\) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με \\(h'(x)=e^{x-1}+\\dfrac{1}{x}>0\\) για κάθε \\(x>0\\). Άρα είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και «1-1», οπότε ο αριθμός \\(1\\) είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης.\nδ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχουν δυο διαφορετικοί αριθμοί \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) ώστε \\(g(x_{1})=g(x_{2})\\). Με \\(x=0\\) στον τύπο της συνάρτησης παίρνουμε:\n$$g(0)=f(0)+(3-\\ln{2})\\cdot 0-3$$\n$$=3-3=0$$\nενώ με \\(x=1\\) παίρνουμε:\n$$g(1)=f(1)+(3-\\ln{2})\\cdot 1-3$$\n$$=\\ln{2}+3-\\ln{2}-3=0$$\nδηλαδή για τους αριθμούς \\(x_{1}=0\\) και \\(x_{2}=1\\) ισχύει \\(g(x_{1})=g(x_{2})\\).\nΆρα η συνάρτηση \\(g\\) δεν αντιστρέφεται." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δυο εταιρείες \\(Ε1\\) και \\(Ε2\\) δραστηριοποιούνται στο χώρο της γεώτρησης νερού. Η πολιτική των χρεώσεων προς τους πελάτες τους είναι διαφορετική. Η εταιρεία \\(Ε1\\) χρεώνει \\(1500\\) ευρώ για την εκπόνηση της αρχικής μελέτης και \\(200\\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα \\(15\\) πρώτα μέτρα. Αν δεν βρεθεί νερό μέχρι τα \\(15\\) μέτρα, τότε αλλάζει τη χρέωση από \\(200\\) σε \\(250\\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μετά τα \\(15\\) πρώτα. Η \\(Ε2\\) χρεώνει \\(300\\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους.\nα) Αν \\(f(x)\\) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία \\(Ε1\\) για γεώτρηση \\(x\\) μέτρων βάθους, να βρείτε:\nΤον τύπο της συνάρτησης \\(f\\).\nΤο ποσό που θα χρεώσει η εταιρεία \\(Ε1\\) σε πελάτη που χρειάστηκε να φτάσει σε βάθος \\(12\\) μέτρων μέχρι να βρει νερό.\nΑν κάποιος πελάτης ξόδεψε για τη γεώτρησή του \\(5050\\) ευρώ, σε ποιο βάθος έφτασε;\nβ) Αν \\(g(x)\\) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία \\(Ε2\\) για γεώτρηση \\(x\\) μέτρων βάθους, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \\(g\\).\nγ) Σε ποιο βάθος σταμάτησαν τη γεώτρησή τους δυο γείτονες που συνεργάστηκαν με διαφορετική εταιρεία ο καθένας τους, βρήκαν νερό στο ίδιο βάθος και πλήρωσαν ακριβώς το ίδιο ποσό;\nδ) Να βρείτε για ποιες τιμές της μεταβλητής \\(x\\) (μέτρα βάθους) συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \\(Ε1\\);" }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εταιρεία \\(Ε1\\) κοστολογεί με \\(200\\) ευρώ κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα \\(15\\) πρώτα. Για \\(x\\) μέτρα βάθους το κόστος θα είναι \\(200x\\) αυξημένο κατά \\(1500\\) ευρώ που είναι το κόστος της εκπόνησης της μελέτης, όταν \\(0≤ x ≤ 15\\). Αν όμως χρειαστεί να ξεπεράσει τα \\(15\\) μέτρα βάθους τότε θα χρειαστεί να πληρώσει \\((x-15)250\\) για κάθε επιπλέον μέτρο μετά τα \\(15\\) πρώτα και \\(15 \\cdot 200+1500=4500\\) ευρώ που είναι η χρέωση των \\(15\\) πρώτων μέτρων βάθους. Έτσι σε αυτή την περίπτωση το κόστος θα είναι \\((x-15)250+4500\\) ευρώ για γεώτρηση \\(x\\) μέτρων βάθους με \\(x>15\\). Οπότε:\n\\(f(x) = \\begin{cases} 1500+ 200x\\text{,}\\ \\ \\text{όταν}\\ \\ 0 ≤ x≤15 \\\\ (x-15)250+4500\\text{,}\\ \\ \\text{όταν}\\ \\ x>15 \\end{cases}\\)\nΓια \\(12\\) μέτρα βάθους γεώτρηση το ποσό που θα δαπανήσει είναι \\(f(12) = 1500+200 \\cdot 12 = 3900\\) ευρώ.\nΜέχρι τα \\(15\\) μέτρα βάθους το ποσό που χρεώνει η εταιρεία είναι \\(4500\\) ευρώ. Οπότε \\(x>15\\). Έτσι έχουμε \\(f(x)= 5050\\) ή \\((x-15)250+4500=5050\\) ή \\(x= 17,2\\).\nβ) \\(g(x) = 300x\\) με \\(x>0\\).\nγ) Δίνεται ότι για ίδια μέτρα βάθους πλήρωσαν το ίδιο ποσό. Αναζητούμε τιμή του \\(x\\) ώστε να ισχύει \\(f(x) = g(x)\\) ή \\(1500+200x = 300x \\Leftrightarrow x=15\\) δεκτή (όταν \\(015\\)).\nΆρα για γεώτρηση βάθους \\(15\\) μέτρων οι δύο εταιρείες χρεώνουν ακριβώς το ίδιο ποσό και δεν υπάρχει άλλη τιμή του \\(x\\) (μέτρα βάθους) για την οποία η χρέωση των δυο εταιρειών, για το ίδιο βάθος, να είναι ίδια.\nδ) Για να συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \\(Ε1\\) για γεώτρηση \\(x\\) μέτρων βάθους, θα πρέπει το κόστος \\(f(x)\\) να είναι μικρότερο από το αντίστοιχο κόστος \\(g(x)\\) της εταιρείας \\(Ε2\\). Δηλαδή να ισχύει \\(f(x) < g(x)\\), οπότε:\nΓια \\(015\\) απορρίπτεται.\nΓια \\(x>15\\), \\((x-15)250+4500 < 300x \\Leftrightarrow x>15\\), δηλαδή συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \\(Ε1\\) όταν η γεώτρηση έχει περισσότερο από \\(15\\) μέτρα βάθους." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=x^{4}-4x+2, x∈[0,2]\\).\nα) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.\nβ) Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της συνάρτησης." }, { "from": "assistant", "value": "α) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης \\(f\\) στο διάστημα \\([0,2]\\), είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οποία η \\(f\\) δεν παραγωγίζεταιή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν.\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής, με \\(f'(x)=4x^{3}-4\\) για κάθε \\(x∈[0,2]\\). Είναι:\n$$f'(x)=0 $$\n$$\\Leftrightarrow 4x^{3}-4=0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{3}=1 $$\n$$\\Leftrightarrow x=1$$\nΕπομένως, η \\(f\\) έχει ένα μόνο κρίσιμο σημείο, το \\(x_{0}=1\\).\nβ) Γνωρίζουμε ότι αν μία συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου εργαζόμαστε ως εξής:\nΒρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της \\(f\\).\nΥπολογίζουμε τις τιμές της \\(f\\) στα σημεία αυτά και στα άκρα του διαστήματος.\nΑπό αυτές τις τιμές, η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της \\(f\\).\nΟι τιμές της \\(f\\) στο κρίσιμο σημείο της \\(x_{0}=1\\) και στα άκρα του διαστήματος \\([0,2]\\) είναι:\n$$f(1)=-1\\text{,}\\ \\ f(0)=2\\ \\ \\text{και}\\ \\ f(2)=10$$\nΆρα, η μέγιστη τιμή της \\(f\\) στο \\([0,2]\\) είναι ίση με 10 και η ελάχιστη τιμή της \\(f\\) στο \\([0,2]\\) είναι ίση με \\(-1\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται συνεχής συνάρτηση \\(f :\\mathbb{R} \\rightarrow \\mathbb{R}\\) για την οποία ισχύουν:\n\\(f^{2} (x) - 5 = x^{2}\\) για κάθε \\(x \\in\\mathbb{R}\\)\n\\(f(2)=3\\)\nα) Να αποδείξετε ότι :\n\\(f(x) \\ne 0\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\\(f(x) = \\sqrt{x^{2}+ 5}\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\nβ) Δίνεται η συνάρτηση \\(g\\) με \\(g(x) = x^{2} – συνx\\), με \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Nα αποδείξετε ότι:\nΗ συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \\((-∞, 0]\\) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \\([0, +∞)\\).\nΗ εξίσωση \\(f^{2}(x) = 5 + συνx\\) έχει ακριβώς δυο ρίζες,αντίθετες μεταξύ τους, οι οποίες ανήκουν στο διάστημα \\((-π,π)\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni.Ισχύει ότι \\(f^{2}(x) - 5 = x^{2}\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\) ή \\(f^{2}(x) = x^{2} + 5\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n$$f(x) = 0 $$\n$$\\Leftrightarrow f^{2} (x) = 0 $$\n$$\\Leftrightarrow x^{2}+5=0\\text{,}\\ \\ \\text{αδύνατο}$$\nΟπότε \\(f(x) \\ne 0\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\nii.Η συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(R\\) με \\(f(x) \\ne 0\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Οπότε η \\(f\\) διατηρεί πρόσημο στο \\(\\mathbb{R}\\). Δίνεται ότι \\(f(2) = 3>0\\), οπότε η συνάρτηση \\(f\\) παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Ισχύει:\n$$f^{2} (x) = x^{2} + 5 $$\n$$\\Leftrightarrow |f(x)| = \\sqrt{x^{2}+ 5}$$\nκαι επειδή η \\(f\\) παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\), θα ισχύει \\(f(x) = \\sqrt{x^{2}+ 5}\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\nβ)\ni.Αν \\(g(x) = x^{2} – συνx\\), με \\(x \\in \\mathbb{R}\\), \\(g'(x) = 2x + ημx\\) και \\(g''(x) = 2 + συνx\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Παρατηρούμε ότι \\(g''(x) > 0\\) για κάθε \\(x \\in \\mathbb{R}\\), αφού \\(1≤ 2 + συνx≤ 3\\), και η συνάρτηση \\(g'(x)\\) είναι συνεχής στο \\(\\mathbb{R}\\), οπότε η συνάρτηση \\(g'\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\(\\mathbb{R}\\).\nΓια \\(x < 0\\) ισχύει \\(g'(x) < g'(0) = 0\\), αφού η συνάρτηση \\(g'\\) είναι γνησίως αύξουσα, ενώ για \\(x > 0\\) ισχύει \\(g'(x) > g'(0) = 0\\). Άρα για τη συνάρτηση \\(g\\) έχουμε:\n\\(g\\) συνεχής στο \\((-∞, 0]\\) με \\(g'(x) < 0\\) στο \\((-∞, 0)\\), άρα η συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\((-∞, 0]\\).\nΑντίστοιχα \\(g\\) συνεχής στο \\([0, +∞)\\) με \\(g'(x) > 0\\) στο \\((0, +∞)\\), άρα η συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\([0, +∞)\\).\n(Η συνάρτηση \\(g\\) παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \\(0\\) το \\(g(0) = -1\\)).\nii.Η εξίσωση \\(f^{2}(x) = 5 + συνx\\) με \\(x \\in \\mathbb{R}\\), γράφεται ισοδύναμα:\n$$x^{2} + 5 = 5 + συνx$$\n$$\\Leftrightarrow x^{2} - συνx=0 $$\n$$\\Leftrightarrow g(x) = 0\\ \\ \\text{με}\\ \\ x \\in \\mathbb{R}$$\nΖητείται να δείξουμε ότι η εξίσωση \\(g(x) = 0\\) έχει δύο ρίζες αντίθετες στο \\((-π,π)\\) και δεν έχει άλλες ρίζες στο \\(\\mathbb{R}\\).\nΗ συνάρτηση \\(g\\) είναι συνεχής στο \\([0,π]\\), με:\n\\(g(π)= π^{2} – συνπ = π^{2} +1 >0\\)\n\\(g(0) = -συν0 = -1 <0\\)\nΗ συνάρτηση \\(g\\) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα \\([0,π]\\), οπότε η εξίσωση \\(g(x) = 0\\) έχει τουλάχιστον μια ρίζα \\(ρ \\in (0, π) ⊂(0, +∞)\\). Επιπλέον η συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \\([0, +∞)\\), οπότε η ρίζα \\(ρ\\) είναι μοναδική στο διάστημα αυτό.\nΕπειδή \\(g(-ρ) = (-ρ)^2 - συν(-ρ) = ρ^2 – συνρ = g(ρ) = 0\\), άρα και το \\(-ρ\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\(g(x)=0\\). Επειδή \\(0 < ρ < π \\Leftrightarrow -π < -ρ < 0\\), η ρίζα \\(-ρ\\) της εξίσωσης \\(g(x)=0\\) βρίσκεται στο διάστημα \\((-π, 0)\\).\nΕπιπλέον η ρίζα \\(-ρ\\) είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης \\(g(x)=0\\) στο διάστημα \\((-∞, 0]\\) αφού η συνάρτηση \\(g\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό.\nΆρα η εξίσωση \\(g(x)=0 \\Leftrightarrow x^{2} - συνx=0 \\Leftrightarrow f^{2} (x) = 5 + συνx\\) με \\(x \\in \\mathbb{R}\\) έχει ακριβώς δύο ρίζες αντίθετες μεταξύ τους οι οποίες ανήκουν στο διάστημα \\((-π,π)\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω συνάρτηση \\(f:R\\rightarrow R\\) παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο, η οποία είναι κυρτή και ισχύει \\(f(1)=f'(1)=2\\).\nα) Να βρεθεί η εφαπτομένη της \\(C_{f}\\) στο σημείο \\((1,f(1))\\) και κατόπιν να αποδείξετε ότι \\(f(x)≥2x\\) για κάθε \\(x∈R\\).\nβ) Να βρείτε το \\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}f(x)\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι :\ni. \\(\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}f(x)dx>1\\).\nii. \\(\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}xf'(x)dx<1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η εφαπτομένη της \\(C_{f}\\) στο σημείο της \\((1,f(1))\\) έχει εξίσωση\n$$y-f(1)=f'(1)(x-1)$$\n$$\\Leftrightarrow y-2=2x-2$$\n$$\\Leftrightarrow y=2x$$\nH \\(f\\) είναι κυρτή και επομένως η \\(C_{f}\\) είναι πάνω από κάθε εφαπτομένη της με εξαίρεση το σημείο επαφής. Συνεπώς \\(f(x)≥2x\\) για κάθε \\(x∈R\\) και η ισότητα ισχύει μόνο για \\(x=1\\).\nβ) Είναι \\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}2x=+∞\\) οπότε αφού \\(f(x)≥2x\\) για κάθε \\(x∈R\\) είναι και \\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}f(x)=+∞\\).\nγ) Αφού \\(f(x)≥2x\\) για κάθε \\(x∈R\\) και η ισότητα ισχύει μόνο για \\(x=1\\) έχουμε :\ni.\n$$\\int_{0}^{1}f(x)dx>\\int_{0}^{1}2xdx=[x^{2}]_{0}^{1}=1-0=1$$\nοπότε\n$$\\int_{0}^{1}f(x)dx>1$$\nii.\n\\begin{align} \\int_{0}^{1}xf'(x)dx & =[xf(x)]_{0}^{1}-\\int_{0}^{1}f(x)dx\\\\\n& =f(1)-0-\\int_{0}^{1}f(x)dx\\\\\n&=2-\\int_{0}^{1}f(x)dx<1\\end{align}\nαφού όπως δείξαμε παραπάνω \\(\\int_{0}^{1}f(x)dx>1\\) οπότε \\(-\\int_{0}^{1}f(x)dx<-1\\) και τελικά\n$$2-\\int_{0}^{1}f(x)dx<1$$\nΣυνεπώς\n$$\\int_{0}^{1}xf'(x)dx<1$$" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Έστω \\(f:(1,+\\infty)\\) μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε για κάθε \\(x>1\\) να ισχύει:\n$$xf(x)f'(x)=\\dfrac{1}{2} \\text{ και } f(e)=1.$$\nα) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \\(g(x)=f^2(x)-\\ln{x},\\quad x>1\\) είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της \\(f\\).\nΈστω \\(f(x)=\\sqrt{\\ln{x}},\\quad x>1.\\)\nβ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \\(A(e,0)\\) και \\(B(e,1)\\) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της \\(f\\) στο \\(Β\\).\nγ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x>1\\) ισχύει:\n$$\\dfrac{1}{x+1}\\lt f^2(x+1)-f^2(x)\\lt \\dfrac{1}{x}$$" }, { "from": "assistant", "value": "α) Για κάθε \\(x>1\\) είναι:\n\\begin{align} g'(x) & =2f(x)\\cdot f'(x)-\\dfrac{1}{x} \\\\\n\\Leftrightarrow g'(x) & =\\dfrac{1}{x} (2x\\cdot f(x)\\cdot f'(x)-1) \\\\\n\\Leftrightarrow g'(x) & =\\dfrac{1}{x} (2\\cdot \\dfrac{1}{2}-1) \\\\\n\\Leftrightarrow g'(x) & =0\\end{align}\nοπότε η \\(g\\) είναι σταθερή.\nΙσχύει \\(g(x)=c,\\quad c\\in \\Bbb{R}\\) και \\(g(e)=f^2(e)-\\ln{e} \\Rightarrow c=1-1\\Rightarrow c=0.\\)\nΆρα, \\(g(x)=0\\), οπότε \\(f(x)=\\ln{x}, \\quad x>1\\). Επιπλέον, η \\(f\\) είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη και ισχύει \\(f^2(x)=\\ln{x}\\neq 0\\) για κάθε \\(x>1\\) οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο και \\(f(e)>0\\).\nΆρα, για κάθε \\(x>1\\) έχουμε \\(f(x)>0\\), οπότε \\(f(x)=\\sqrt{\\ln{x}}, \\quad x>1.\\)\nβ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης \\(C_f\\) της \\(f\\) στο \\(Β\\), διέρχεται από το \\(Α\\).\nΗ \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη με \\(f'(x)=\\dfrac{1}{2x \\sqrt{\\ln{x}}}, \\quad x>1\\) και \\(f'(e)=\\dfrac{1}{2e}\\), οπότε η εφαπτομένη της \\(C_f\\) στο \\(Β\\) έχει εξίσωση:\n\\(y-1=\\dfrac{1}{2e}(x-e)\\) δηλαδή \\(y=\\dfrac{1}{2e}x+ \\dfrac{1}{2}\\).\nΜε \\(x=-e\\) έχουμε: \\(y=-\\dfrac{1}{2}+\\dfrac{1}{2}=0\\), οπότε η εφαπτομένη της \\(C_f\\) στο \\(Β\\) διέρχεται πραγματικά από το \\(Α\\).\nγ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε \\(x>1\\) ισχύει:\n$$\\dfrac{1}{x+1} \\lt \\ln{(x+1)}- \\ln{x} \\lt \\dfrac{1}{x}$$\nΘεωρούμε τη συνάρτηση \\(h(x)=\\ln{x}, \\quad x>1\\) η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε διάστημα της μορφής \\([x,x+1],\\quad x>1\\).\nΕπομένως, υπάρχει \\(ξ\\in (x,x+1)\\) ώστε\n$$h'(ξ)=\\dfrac{h(x+1)-h(x)}{x+1-x}$$\n$$\\dfrac{1}{ξ}=\\ln{(x+1)}-\\ln{x}, \\quad (1)$$\nΑλλά,\n$$x\\lt ξ \\lt x+1 \\Rightarrow \\dfrac{1}{x+1} \\lt \\dfrac{1}{ξ} \\lt \\dfrac{1}{x}$$\n$$\\overset{(1)}{\\Rightarrow} \\dfrac{1}{x+1} \\lt \\ln{(x+1)} - \\ln{x} \\lt \\dfrac{1}{x}$$\nπου είναι το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση \\(f:R\\rightarrow R\\) για την οποία ισχύουν:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}}=0$$\nκαι:\n$$f'(x)=\\sqrt{x^{2}+1}\\ \\ \\text{για κάθε}\\ x∈R$$\nα)\ni.Να υπολογίσετε το:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{lnx}{x-1}}$$\nii.Να αποδείξετε ότι \\(f(1)=0\\).\nβ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει μία ακριβώς ρίζα.\nγ) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης \\(f\\) για κάθε \\(x∈R\\).\nδ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου \\(Ε\\), που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \\(f\\), τον άξονα \\(x'x\\) και των ευθειών \\(x=0\\) και \\(x=1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α)\ni.Είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{lnx}{x-1}}=\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{(lnx)'}{(x-1)'}}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{\\dfrac{1}{x}}{1}}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{1}{x}}=1$$\nii.Είναι:\n$$f(x)=f(x)\\cdot \\dfrac{x-1}{lnx}\\cdot \\dfrac{lnx}{x-1}$$\n$$=\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\\cdot \\dfrac{lnx}{x-1}$$\nΆρα:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\left(\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\\cdot \\dfrac{lnx}{x-1}\\right)}$$\n$$=\\left(\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}}\\right)\\cdot \\left(\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{lnx}{x-1}}\\right)$$\nΕπομένως έχουμε:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=0\\cdot 1=0$$\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(R\\) ως παραγωγίσιμη, επομένως είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=f(1) $$\n$$\\Leftrightarrow f(1)=0$$\n2ος τρόπος:\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(R\\) ως παραγωγίσιμη, επομένως είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=f(1)$$\nΑρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)}=0$$\nΘεωρούμε συνάρτηση \\(g\\) με \\(g(x)=\\dfrac{f(x)(x-1)}{lnx}\\), οπότε είναι:\n$$f(x)=\\dfrac{g(x)lnx}{x-1}\\text{,}\\ \\ x∈(0,1)∪(1,+∞)$$\nΕπειδή είναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{g(x)}=0$$\nκαι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{lnx}{x-1}}=\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{(lnx)'}{(x-1)'}}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 1}{lim⁡}{\\dfrac{\\dfrac{1}{x}}{1}}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{1}{x}}=1$$\nΈχουμε:\n$$\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{f(x)=}\\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{g(x)}\\cdot \\underset{x\\rightarrow 1}{\\lim}{\\dfrac{lnx}{x-1}}$$\n$$=0\\cdot 1=0$$\nβ) Το \\(1\\) είναι ρίζα της εξίσωσης \\(f(x)=0\\), διότι \\(f(1)=0\\).\nΕπιπλέον, επειδή \\(f'(x)=\\sqrt{x^{2}+1}>0\\) για κάθε \\(x∈R\\), η \\(f\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\(R\\) και ως εκ τούτου είναι «1 – 1». Επομένως η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει μία το πολύ ρίζα. Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει ότι η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει μία ακριβώς ρίζα, το \\(1\\).\nγ) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\(R\\) και \\(f(1)=0\\). Επομένως, έχουμε:\n$$x>1 $$\n$$\\Leftrightarrow f(x)>f(1) $$\n$$\\Leftrightarrow f(x)>0$$\nΚαι:\n$$x < 1 $$\n$$\\Leftrightarrow f(x) < f(1) $$\n$$\\Leftrightarrow f(x) < 0$$\nδ) Είναι \\(f(x)≤0, x∈[0,1]\\). Επομένως:\n$$Ε=\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}|f(x)|dx$$\n$$=\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}-f(x)dx$$\n$$=-\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}1\\cdot f(x)dx$$\n$$=-\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}(x)'\\cdot f(x)dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}x\\cdot f'(x)dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}x\\cdot \\sqrt{x^{2}+1}dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\dfrac{1}{2}\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}2x\\cdot (x^{2}+1)^{1/2}dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\dfrac{1}{2}\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}(x^{2}+1)^{1/2}\\cdot (x^{2}+1)'dx$$\n$$=-\\left[xf(x)\\right]_{0}^{1}+\\dfrac{1}{2}\\left[\\dfrac{(x^{2}+1)^{\\dfrac{3}{2}}}{3/2}\\right]_{0}^{1}$$\n$$=-(1\\cdot 0-0\\cdot f(0))+\\dfrac{1}{2}\\cdot \\dfrac{2}{3}(2^{3/2}-1)$$\n$$=\\dfrac{1}{3}(2\\sqrt{2}-1)$$\nΣχόλιο: Εναλλακτικά για τον υπολογισμό του \\(\\operatorname{\\Large\\int}_{0}^{1}x\\cdot \\sqrt{x^{2}+1}dx\\) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο αντικατάστασης, θέτοντας \\(u=\\sqrt{x^{2}+1}\\)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f\\) με \\(f(x)=(x-2)e^{x}+(x-1) \\ln{x}\\), \\(x \\in (0, +\\infty)\\).\nα) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(x’x\\) σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη \\(x_0\\) στο διάστημα \\((1,2)\\).\nβ) Να βρείτε την παράγωγο συνάρτηση \\(f'\\) (Μον. 3) και να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της \\(f\\) στο οποίο η εφαπτομένη της είναι οριζόντια (Μον. 8)\nγ) Ένας μαθητής σχεδίασε σε ένα λογισμικό τη γραφική παράσταση της \\(f\\) και διαπίστωσε ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον \\(x’x\\) στο σημείο \\(x_0\\) του α) ερωτήματος αλλά και σε ένα ακόμη σημείο. Βοηθήστε το μαθητή να αποδείξει ότι πράγματι η \\(C_{f}\\) τέμνει τον άξονα \\(x’x\\) σε δύο ακριβώς σημεία." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, άρα και στο κλειστό διάστημα \\([1,2]\\) ως αθροίσματα γινομένων πολυωνυμικής με εκθετική και λογαριθμική.\n\\(f(1)=(1-2)e^{1}+(1-1)\\ln1 = -e < 0\\)\n\\(f(2)=(2-2)e^{2}+(2-1)\\ln2 = \\ln2>0\\) γιατί \\(1<2\\), οπότε \\(\\ln1<\\ln2\\), αφού η \\(\\ln{x}\\) είναι συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο \\((0, +\\infty)\\) και επειδή \\(\\ln1=0\\), έχουμε ότι \\(\\ln2>0\\).\nΆρα \\(f(1) \\cdot f(2) < 0\\), επομένως από Θεώρημα Bolzano η εξίσωση \\(f(x)=0\\) έχει μία τουλάχιστον ρίζα \\(x_0 \\in (1,2)\\), δηλαδή η γραφική παράσταση της \\(f\\) τέμνει τον άξονα \\(x’x\\) σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη \\(x_0 \\in (1,2)\\).\nβ) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, ως αθροίσματα γινομένων πολυωνυμικής με εκθετική και λογαριθμική, με:\n$$f'(x)=e^{x}+(x-2)e^{x}+\\ln{x}+\\dfrac{x-1}{x}$$\n$$= e^{x}(1+x-2)+\\ln{x}+\\dfrac{x-1}{x}$$\n$$= e^{x}(x-1)+\\ln{x}+\\dfrac{x-1}{x} >=0$$\n$$= (x-1)\\left(e^{x}+\\dfrac{1}{x}\\right)+\\ln{x}$$\nΓια να υπάρχει μοναδικό σημείο της \\(C_f\\) στο οποίο η εφαπτομένη ευθεία θα είναι οριζόντια, δηλαδή παράλληλη στον \\(x’x\\), θα πρέπει η εξίσωση \\(f'(x)=0\\) να έχει μοναδική ρίζα.\nΠαρατηρούμε ότι το \\(1\\) είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης \\(f'(x)=0\\), αφού:\n$$f'(1)=(1-1)(e+1)+\\ln1=0$$\n\\(f'(x)>0\\) γιατί για \\(x>1\\) είναι \\(\\ln{x}>0\\) και \\((x-1)\\left(e^{x}+\\dfrac{1}{x}\\right)>0\\), αφού \\(\\left(e^{x}+\\dfrac{1}{x}\\right)>0\\) για κάθε \\(x>0\\) και\n\\(f'(x)<0\\) γιατί για \\(00\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως μονότονη στο \\(\\Bbb{R}\\) οπότε είναι ή γνησίως αύξουσα στο \\(\\Bbb{R}\\) ή γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\).\nΕπίσης διέρχεται από τα σημεία \\(A(3,0)\\) και \\(B(0,8)\\) οπότε \\(f(3)=0\\) και \\(f(0)=8\\). Αφού \\(3>0\\) και \\(f(3)\\lt f(0)\\) η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι γνησίως αύξουσα και άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\).\nβ) Το σημείο \\(A(3,0)\\) της \\(C_f\\) είναι πάνω στον άξονα \\(x'x\\).\nΓια κάθε \\(x\\lt 3\\) δεδομένου ότι η \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\), είναι \\(f(x)>f(3)\\Leftrightarrow f(x)>0\\) που σημαίνει ότι η \\(C_f\\) είναι πάνω από τον άξονα \\(x'x\\).\nΓια κάθε \\(x>3\\) δεδομένου ότι η \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\Bbb{R}\\), είναι \\(f(x)\\lt f(3)\\Leftrightarrow f(x)\\lt 0\\) που σημαίνει ότι η \\(C_f\\) είναι κάτω από τον άξονα \\(x'x\\).\nγ) Με \\(x>0\\) έχουμε ισοδύναμα\n\\begin{align} f(\\ln{x}) & >0 \\\\\n\\Leftrightarrow f(\\ln{x}) & > f(3) \\\\\n\\overset{f \\downarrow}{\\Leftrightarrow} \\ln{x} \\lt 3 \\\\\n\\Leftrightarrow 0 \\lt x \\lt e^3 \\end{align}" } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση\n$$f(x)=\\begin{cases} x^{2} - 3,\\ \\text{αν}\\ x \\in [-1,2] \\\\ x - 1,\\ \\text{αν}\\ x \\in (2,5]\\end{cases}$$\nα) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής.\nβ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση \\(x_{0}=2\\).\nγ) Να εξετάσετε ποιες από τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής, ικανοποιεί η συνάρτηση \\(f\\) στο διάστημα \\([-1,5]\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\(f\\) είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα \\([-1,2)\\), \\((2,5]\\) ως πολυωνυμική.\nΣτο \\(x_{0}=2\\) έχουμε:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}(x^{2}-3)=1$$\nκαι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}(x-1)=1$$\nΕπειδή:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}f(x)=\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}f(x)=1$$\nέπεται ότι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2}{\\lim}f(x)=1$$\n$$f(2)=2^{2}-3=1$$\nΆρα:\n$$f(2)=\\underset{x\\rightarrow 2}{\\lim}f(x)$$\nοπότε η \\(f\\) είναι συνεχής στο \\(2\\).\nΕπομένως, η \\(f\\) είναι συνεχής στο \\([-1,5]\\).\nβ) Έχουμε ότι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{x^{2}-3-1}{x-2}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}(x+2)=4$$\nκαι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}\\dfrac{x-1-1}{x-2}$$\n$$=\\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}\\dfrac{x-2}{x-2}=1$$\nΕίναι:\n$$\\underset{x\\rightarrow 2^{-}}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\\ne \\underset{x\\rightarrow 2^{+}}{\\lim}\\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}$$\nΆρα η συνάρτηση \\(f\\) δεν είναι παραγωγίσιμη στη θέση \\(x_{0}=2\\).\nγ) Το θεώρημα μέσης τιμής για τη συνάρτηση \\(f\\) στο διάστημα \\([-1,5]\\) έχει τις εξής υποθέσεις:\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι συνεχής στο \\([-1,5]\\).\nΗ συνάρτηση \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη στο \\((-1,5)\\).\nΗ υπόθεση της συνέχειας στο \\([-1,5]\\) ικανοποιείται λόγω του ερωτήματος (α) ενώ η υπόθεση της παραγωγισιμότητας στο \\((-1,5)\\) δεν ικανοποιείται λόγω του ερωτήματος (β)." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\ln{(}x+1)-\\dfrac{x}{x+1},x>-1\\) και έστω \\(F\\) αρχική της \\(f\\) με \\(F(1)=\\ln{2}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x>-1\\) ισχύει \\(f'(x)=\\dfrac{x}{(x+1)^{2}}\\) και να μελετήσετε τη συνάρτηση \\(f\\) ως προς τη μονοτονία.\nβ) Να αποδείξετε ότι η \\(F\\) είναι κυρτή στο διάστημα \\([0,+∞)\\).\nγ) i. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \\(F\\) στο \\(x_{0}=1\\).\nii. Να αποδείξετε ότι για κάθε \\(x>0\\) ισχύει \\(\\dfrac{2F(x)-1}{x}≥\\ln{4}-1\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Η \\(f\\) είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με\n$$\\begin{align} f'(x) & =\\dfrac{1}{x+1}-\\dfrac{x+1-x}{(x+1)^{2}}\\\\\n& =\\dfrac{x+1-1}{(x+1)^{2}}\\\\\n& =\\dfrac{x}{(x+1)^{2}}\\end{align}$4\nπου είναι το ζητούμενο.\nΕπειδή \\((x+1)^{2}>0\\) για κάθε \\(x>-1\\), το πρόσημο της παραγώγου της \\(f(x)\\) είναι ίδιο με το πρόσημο του x. Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \\((-1,0]\\) και γνησίως αύξουσα στο διάστημα \\([0,+∞)\\).\nβ) Η συνάρτηση \\(F\\) είναι παραγωγίσιμη στο \\([0,+∞)\\) με \\(F'(x)=f(x)\\) και από το ερώτημα (α) η \\(f\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\([0,+∞)\\). Άρα η \\(F'\\) είναι γνησίως αύξουσα στο \\([0,+∞)\\), οπότε η \\(F\\) είναι κυρτή στο διάστημα αυτό.\nγ) i. Ισχύει \\(F(1)=\\ln{2}\\) και \\(F'(1)=f(1)=\\ln{2}-\\dfrac{1}{2}\\), οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \\(F\\) στο \\(x_{0}=1\\) είναι η:\n$$\\begin{align} y-\\ln{2} & =(\\ln{2}-\\dfrac{1}{2})(x-1)\\\\\n\\Leftrightarrow y & =(\\ln{2}-\\dfrac{1}{2})x-\\ln{2}+\\dfrac{1}{2}+\\ln{2} \\\\\n\\Leftrightarrow y & =(\\ln{2}-\\dfrac{1}{2})x+\\dfrac{1}{2}\\end{align}$$\nii. Η \\(F\\) είναι κυρτή στο \\([0,+∞)\\) οπότε η γραφική της παράσταση είναι από την εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της και πάνω. Έτσι, για την εφαπτομένη στο \\(x_{0}=1\\) έχουμε:\n$$\\begin{align} F(x)≥(\\ln{2}-\\dfrac{1}{2})x+\\dfrac{1}{2}\\\\\n\\Rightarrow 2F(x)≥(2\\ln{2}-1)x+1 \\\\\n\\Rightarrow 2F(x)-1≥(\\ln{4}-1)x \\\\\n\\Rightarrow \\dfrac{2F(x)-1}{x}≥\\ln{4}-1\\end{align}$$\nπου είναι το ζητούμενο." } ] }, { "conversations": [ { "from": "human", "value": "Δίνεται η συνάρτηση \\(f(x)=\\dfrac{1}{e^{x}+1}, x\\in \\mathbb{R}\\).\nα) Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.\nβ) Να αιτιολογήσετε γιατί αντιστρέφεται και να βρείτε την \\(f^{-1}\\)." }, { "from": "assistant", "value": "α) Για κάθε \\(x_{1},x_{2}∈R\\) με \\(x_{1}\\lt x_{2}\\) έχουμε:\n\\begin{align} & x_{1}\\lt x_{2}\\\\\n\\Rightarrow & e^{x_{1}}\\lt e^{x_{2}}\\\\\n\\Rightarrow & 0\\lt e^{x_{1}}+1\\lt e^{x_{2}}+1\\\\\n\\Rightarrow & \\dfrac{1}{e^{x_{1}}+1}>\\dfrac{1}{e^{x_{2}}+1}\\\\\n\\Rightarrow & f(x_{1})>f(x_{2})\\end{align}\nOπότε η συνάρτηση \\(f\\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \\(\\mathbb{R}\\).\nΕπιπλέον η \\(f\\) είναι συνεχής και\n\\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}{f(x)}=\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}\\dfrac{1}{e^{x}+1}=0\\), αφού \\(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}(e^{x}+1)=+∞\\)\n\\(\\underset{x\\rightarrow -∞}{\\lim}{f(x)}=\\underset{x\\rightarrow -∞}{\\lim}\\dfrac{1}{e^{x}+1}=1\\), αφού \\(\\underset{x\\rightarrow -∞}{\\lim}(e^{x}+1)=0+1=1\\)\nοπότε \\(f(\\mathbb{R})=\\Big(\\underset{x\\rightarrow +∞}{\\lim}{f(x)},\\underset{x\\rightarrow -∞}{\\lim}{f(x)}\\Big)=(0,1)\\)\nβ) Η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, οπότε είναι «1-1», άρα αντιστρέφεται.\nΑν \\(f(x)=y,\\ y∈(0,1)\\), τότε για οποιοδήποτε \\(x∈\\mathbb{R}\\) έχουμε:\n\\begin{align}& \\dfrac{1}{e^{x}+1}=y\\\\\n\\Leftrightarrow & e^{x}+1=\\dfrac{1}{y}\\\\\n\\Leftrightarrow & e^{x}=\\dfrac{1}{y}-1\\\\\n\\Leftrightarrow & e^{x}=\\dfrac{1-y}{y}\\\\\n\\Leftrightarrow & x=\\ln{\\Big(\\dfrac{1-y}{y}\\Big)}\\end{align}\nΆρα, \\(f^{-1}(x)=\\ln{\\Big( {\\dfrac{1-x}{x}} \\Big)}, x∈(0,1)\\)." } ] } ]