diff --git "a/MCM_CN/1992/92\345\273\272\346\250\241\351\242\230\347\233\256/92\345\273\272\346\250\241\351\242\230\347\233\256.md" "b/MCM_CN/1992/92\345\273\272\346\250\241\351\242\230\347\233\256/92\345\273\272\346\250\241\351\242\230\347\233\256.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f49aca73abd223282bcfc218cf917dc5ebcda473 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1992/92\345\273\272\346\250\241\351\242\230\347\233\256/92\345\273\272\346\250\241\351\242\230\347\233\256.md" @@ -0,0 +1,31 @@ +# 1992年第1届全国大学生数学建模竞赛 + +# A 题 施肥效果分析 + +某地区作物生长所需的营养素主要是氮（ $N$ ），钾（ $K$ ），磷（ $P$ ）。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中 $ha$ 表示公顷， $t$ 表示吨， $kg$ 表示公斤，当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于 $N$ 的施肥量做实验时， $P$ 与 $K$ 的施肥量分别取为 $196kg / ha$ 与 $372kg / ha$ 。 + +试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价. + +土豆： + +
NPK
施肥量 (kg /ha)产量 (t /ha)施肥量 (kg /ha)产量 (t /ha)施肥量 (kg /ha)产量 (t /ha)
015.18033.46018.98
3421.362432.474727.35
6725.724936.069334.86
10132.297337.9614038.52
13534.039841.0418638.44
20239.4514740.0927939.73
25943.1519641.2637238.43
33643.4624542.1746543.87
40440.8429440.3625842.77
47130.7534242.7325165.22
+ +生菜： + +
NPK
施肥量 (kg /ha)产量 (t /ha)施肥量 (kg /ha)产量 (t /ha)施肥量 (kg /ha)产量 (t /ha)
011.0206.39015.75
2812.07499.484716.76
5614.569812.469316.89
8416.2714714.3314016.24
11217.7519617.1018617.56
16822.5929421.9427919.20
22421.6339122.6437217.97
28019.3448921.3446515.84
33616.1258722.0755820.11
39214.1168524.5365119.40
+ +试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价. + +# B题 实验数据分解 + +组成生命蛋白质的若干种氨基酸可形成不同的组合。通过质谱试验测定分子量来分析某个生命蛋白质分子的组成时，遇到的首要问题主是如何将它的分子量 $X$ 分解为几个氨基酸的已知分子量 $a[i] (i = 1, 2, \dots, n)$ 之和。某实验室所研究的问题中： + +$$ +n = 1 8, +$$ + +$a[1:18] = 57, 71, 87, 97, 99, 101, 103, 113, 114, 115, 128, 129, 131, 137, 147, 156, 163, 186.$ + +$x$ 为正整数 $\leq 1000$ + +针对该实验室拥有或不拥有微型计算机的情况，对上述问题提出你们的解答，并就所研讨的数学模型与方法在一般情形下进行讨论. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1992/A\351\242\230/1992\345\271\264A\351\242\230 \346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220/1992\345\271\264A\351\242\230 \346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220.md" "b/MCM_CN/1992/A\351\242\230/1992\345\271\264A\351\242\230 \346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220/1992\345\271\264A\351\242\230 \346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6e36b938d8d38a17ee1ba8479010bb04c85be7d2 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1992/A\351\242\230/1992\345\271\264A\351\242\230 \346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220/1992\345\271\264A\351\242\230 \346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220.md" @@ -0,0 +1,9 @@ +(N), (P), (K)。 + +ha kg + +N 195kg/ha 372kg/ha。 + +
NPK
(kg/ha)(t/ha)(kg/ha)(t/ha)(kg/ha)(t/ha)
015.18033.46018.98
3421.362432.474727.35
6725.724936.069334.86
10132.297337.9614038.52
13534.039841.0418638.44
20239.4514740.0927937.73
25943.1519641.2637238.43
33643.4624542.1746543.87
40440.8329440.3655842.77
47130.7534242.7365146.22
+ +
NPK
(kg/ha)(t/ha)(kg/ha)(t/ha)(kg/ha)(t/ha)
011.0206.39015.75
2812.70499.484716.76
5614.569812.469316.89
846.1714714.3314016.24
11217.2519617.1016817.56
16822.5929421.9427919.20
22421.6339422.6437217.97
28019.3448921.3446515.84
33616.1258722.0755420.11
39214.1168524.5365119.40
\ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1992/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220\351\227\256\351\242\230\347\232\204\350\257\204\346\263\250/\345\205\263\344\272\216\346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220\351\227\256\351\242\230\347\232\204\350\257\204\346\263\250.md" "b/MCM_CN/1992/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220\351\227\256\351\242\230\347\232\204\350\257\204\346\263\250/\345\205\263\344\272\216\346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220\351\227\256\351\242\230\347\232\204\350\257\204\346\263\250.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b8634f27179d67341cc261d12e4d19dfae60d2f3 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1992/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220\351\227\256\351\242\230\347\232\204\350\257\204\346\263\250/\345\205\263\344\272\216\346\226\275\350\202\245\346\225\210\346\236\234\345\210\206\346\236\220\351\227\256\351\242\230\347\232\204\350\257\204\346\263\250.md" @@ -0,0 +1,108 @@ +养元素对另一种的导数)等于它们的价格之反比时，可取得资源或投入的最小成本组合。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial P}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial N} / \left(\frac {\partial Q}{\partial P}\right) = - \frac {P _ {N}}{P _ {P}} \\ \frac {\partial K}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial N} / \left(\frac {\partial Q}{\partial K}\right) = - \frac {P _ {N}}{P _ {K}} \\ \frac {\partial K}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P} / \left(\frac {\partial Q}{\partial K}\right) = - \frac {P _ {P}}{P _ {K}} \end{array} \right. \tag {7} +$$ + +从(7)中即可求得一定产量下使成本最小的营养元素量. + +# 五、模型优缺点与改进 + +模型最大优点在于对原始数据拟合时，采用多种方法进行，使之愈来愈完善，具有很高的拟合精度和适度性。在此基础上，对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息，并且，所得结论与客观事实很好地吻合，从而进一步说明模型是合理的。 + +在实际问题中，产量受作物种类、植株密度、施肥量、气候条件等各种因素的作用。我们仅考虑了施肥量影响，但稍加修改便能适合不同情况，如： + +1. 考虑植株密度：在原有数据基础上，加上一组植株密度变化数据，用同样方法建立四元二次模型，并加以讨论。 +2. 土壤肥力影响：在实际环境中，每块地肥力不等，有高产田与低产田之分。将土壤肥力也当作影响作物产量的一个因子，同样可进行分析。 + +在模型建立中，还可进行异常值检验，将其删除或加权，重新拟合后讨论。 + +# 参考文献 + +[1] 张乃生等, 晋东南旱地玉米“产量——施肥”多元回归模型及其应用分析, 数理统计与管理, 1(1989), 10-13. +[2] 约翰·内特(美)等,应用线性回归模型,中国统计出版社,1990. +[3] 北京大学概率统计系，SAS/STAT 软件“回归分析过程”，1991. +[4] J·法朗士(英)等, 农业中的数学模型, 农业出版社, 1991. +[5]厄尔O·黑迪(美)等,农业生产函数,农业出版社,1991. + +# 关于施肥效果分析问题的评注 + +项可风 + +（中国科学院系统科学研究所，北京 100080） + +1992年全国大学生数学模型竞赛，北京赛区共有46个队参赛，其中有26个队选做《施肥效果分析》题。我参加了本题的阅卷工作，总的情况很不错，都抓住问题的实质。应用回归方法去建立模型，而后用统计方法分析施肥效果。北京师范大学数学系队，获得北京赛区的特等奖，本期发表该队喻梅，金青松，唐福明等三位同学的文章，作为本题最优秀的一份答卷，供读者参阅。 + +下面就本次竞赛中被普遍忽视的几个问题提出一点看法。本文所使用符号与数据可 + +参看喻梅等的文章。 + +# 一、多因素轮换法试验，不可能估计交互作用 + +在氮(N)、磷(P)、钾(K)，三种施肥试验中，本题的设计是，当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第7水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做试验时，P与K的施肥量分别取为 $196\mathrm{kg / ha}$ 与 $372\mathrm{kg / ha}$ 。这样的设计称为因素轮换法。 + +现假定施肥量与产量间关系，可用三元二次多项表示： + +$$ +\begin{array}{l} E (Q) = b _ {0} + b _ {N} N + b _ {P} P + b _ {K} K + b _ {N N} N ^ {2} \div b _ {P P} P ^ {2} + b _ {K K} K ^ {2} \\ + b _ {N P} N P + b _ {N K} N K + b _ {P K} P K, \tag {1} \\ \end{array} +$$ + +式中最后三项为二个变元的交叉项，反应了因素间的交互效应。 + +记 $(n_{0}, p_{0}, k_{0})$ 为 $\mathbf{N}, \mathbf{P}, \mathbf{K}$ 施肥量的7水平值。若将坐标原点移到 $(n_{0}, p_{0}, k_{0})$ 点，模型(1)用新的坐标表示。模型方程是不变的。不难证明，在新的坐标表示下，(1)式所对应的设计矩阵 $X$ 。它的最后三列全为零。相应地，回归系数估计的正规方程中， $b_{NP}, b_{NK}, b_{PK}$ 的系数也为零。也就是说， $b_{NP}, b_{NK}, b_{PK}$ 可任意给定。用统计术语来说，回归系数 $b_{NP}, b_{NK}, b_{PK}$ 是不可估的。 + +但为什么用逐步回归方法对土豆产量建模时，却出现交叉项呢？ + +在对变量进行中心化和标准化后，虽然设计矩阵 $X$ 的最后三列不为零列。但是可以证明它们可以分别用常数项，二个一次项所对应的三列线性表出。因此不能说它反应的是交互效应，更确切地说，交互效应与一次项效应混杂，不可能分离出来。这主要是因素轮换法设计的弊病所造成。 + +# 二、区组效应不可忽视 + +本试验在 $(n_0, p_0, k_0)$ 点，重复了三次试验。以土豆为例，在肥量 $n_0 = 259, p_0 = 196, k_0 = 372(\mathrm{kg / ha})$ ，点上三次试验的产量为43.15，41.26， $38.43(t / ha)$ 。平均值 $\bar{y} = 40.95(t / ha)$ ，标准差 $\hat{\sigma} = 2.38$ ，若用 $2\sigma$ 原理，试验的30个值均落在 $\bar{y} \pm 2\sigma^2$ 区间（36.19，45.71）之中，这显然不合理。造成不合理的原因，在于我们假定三次重复产量的波动完全由随机误差产生。但实际上三次重复带有系统误差，这种系统误差主要来源于土壤肥力，生长期的管理措施等多种试验中的外界条件变化。在试验设计中，把在试验实施过程中，外界环境条件的差异所造成的系统偏差称为区组效应。在本题中，对应每种营养素的10次施肥试验，可以当作一个区组。区组内的10次试验可认为试验条件较为一致，而不同区组间，差别较大。设 $\beta_N, \beta_P, \beta_K$ 分别为三个区组效应量。将其放入模型(1)式中，不失一般性，可假定 + +$$ +\beta_ {N} + \beta_ {P} + \beta_ {K} = 0, \tag {2} +$$ + +这样我们就能得到唯一解。 + +在本问题中，由于交叉项不可估，模型(1)对三个变量来说是可分离的，可对三组数据，分别作成三个一元二次曲线。三个模型可得三个常数项，在常数项中，混杂着区组效应。每个常数项减去它们的平均值，即为(2)式中区组效应估计。在应用模型作施肥效果 + +分析时，区组效应要从模型中扣除，以提高使用的精确度。 + +# 三、试验设计的改进问题 + +在农作物产量的施肥试验中，因素之间常常存在着交互作用，这在设计试验时，应该把这点考虑进去。由于因素轮换法，不可能考察到交互效应，一般要用多因素的析因设计。假如，仅仅要拟合一个完全二次多项式模型，下面推荐一种响应曲面设计法。也叫二次复合设计。在三因素试验中，总共只要做15次试验，就可以用很简单方法，估计出10个回归系。现以土豆试验为例，其15个试验设计点为 + +
因素 试号NPK因素 试号NPK
11791462729356196372
217914647210161196372
317924627211259257372
417924647212259135372
533914627213259196494
633914647214259196250
733924627215259196372
8339246472
+ +复合设计由三部分点组成，首先选择一个中心点，例如15号试验以原试验的7水平为中心点。而后以该点为中心，对每因素选一适当步长，再选二个水平值。例如上面设计，N、P、K的步长分别为 + +$$ +\Delta N = 8 0, \Delta P = 5 0, \Delta K = 1 0 0 (\mathrm {k g / h a}) +$$ + +中心点下，上二个水平值为 + +$$ +N _ {0} \pm \Delta N = (1 7 9, 3 3 9), P _ {0} \pm \Delta P = (1 4 6, 2 4 6), K _ {0} \pm \Delta K = (2 7 2, 4 7 2). +$$ + +再按 $2^{3} = 8$ 析因试验法排列8次试验，即上表中1—8号试验。第三批试验是在以中心对称的坐标轴上的两个点，即上表的9—14号。水平计算按公式： + +$$ +N = N _ {0} \pm \sqrt {\frac {\sqrt {8 \times 1 5} - 8}{2}} \Delta N = (1 6 1, 3 5 6), +$$ + +$$ +P = P _ {0} \pm \sqrt {\frac {\sqrt {8 \times 1 5} - 8}{2}} \Delta P = (1 3 5, 2 5 7), +$$ + +$$ +K = K _ {0} \pm \sqrt {\frac {\sqrt {8 \times 1 5} - 8}{2}} \Delta K = (2 5 0, 4 9 4). +$$ + +这样每个因素共取了五个水平，但只从 $5^{3} = 125$ 个网格点中选出15个试验点。由于设计的有规则性，保证回归系数计算也很简单。有兴趣读者可参看[1]中的第14章内容。 + +# 参考文献 + +[1] 项可风、吴启光, 试验设计与数据分析, 上海科技出版社, 1989 年. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1992/A\351\242\230/\346\226\275\350\202\245\346\226\271\346\241\210\345\257\271\344\275\234\347\211\251_\350\224\254\350\217\234\347\232\204\345\275\261\345\223\215/\346\226\275\350\202\245\346\226\271\346\241\210\345\257\271\344\275\234\347\211\251_\350\224\254\350\217\234\347\232\204\345\275\261\345\223\215.md" "b/MCM_CN/1992/A\351\242\230/\346\226\275\350\202\245\346\226\271\346\241\210\345\257\271\344\275\234\347\211\251_\350\224\254\350\217\234\347\232\204\345\275\261\345\223\215/\346\226\275\350\202\245\346\226\271\346\241\210\345\257\271\344\275\234\347\211\251_\350\224\254\350\217\234\347\232\204\345\275\261\345\223\215.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..044735319be53b9569ec2095ad57ceaf6ffe6c84 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1992/A\351\242\230/\346\226\275\350\202\245\346\226\271\346\241\210\345\257\271\344\275\234\347\211\251_\350\224\254\350\217\234\347\232\204\345\275\261\345\223\215/\346\226\275\350\202\245\346\226\271\346\241\210\345\257\271\344\275\234\347\211\251_\350\224\254\350\217\234\347\232\204\345\275\261\345\223\215.md" @@ -0,0 +1,207 @@ +# 施肥方案对作物、蔬菜的影响 + +喻梅 金青松 唐福明 + +教练：刘来福 + +（北京师范大学数学系，北京 100875） + +摘要 对土豆和生菜,分别建立了产量与施肥水平之间的多元二次回归模型。运用SAS/STAT软件依次采用全回归、逐步回归和二次响应面回归。在确认模型具完美适度性基础上,进行线性相关、交互作用、最佳响应水平、强影响变量、回归曲面形状等分析。同时,将两种作物进行比较,得出一系列颇有实用价值的结论。分析结果表明:土豆的产量对N具有强线性依赖性,而生菜是对P;施肥的交互作用对土豆影响较大,对生菜则无强影响;最佳施肥方案中N,P,K的用量土豆为292,246,542(公斤/公顷),生菜为213,667,427(公斤/公顷)对应产量为45.18和23.13吨/公顷,且均在试验范围内达到,可信性强;对土豆,强影响因子依次为N→K→P,对生菜为P→N→K;回归曲面上凸,沿(N,P,K)=(1,0,0)方向下降迅速。因此,施肥中应特别注意N的使用量。 + +# 一、问题重述 + +对某地区作物进行施肥水平对产量影响的实验，以土豆和生菜为例，试验中，分别取了 $\mathbf{N},\mathbf{P},\mathbf{K}$ 的十种水平，在将其中两种的用量固定在第7水平时，对第三种分别取十种水平。也就是，对土豆和生菜分别给出了30组观测数据（见表1）。其中，可控制变量为 $\mathbf{N},\mathbf{P},\mathbf{K}$ 的施用量，单位 $\mathrm{kg / ha}$ ，响应变量为产量，单位 $t / \mathrm{ha}$ 。由此试验结果出发，分析施肥量与产量之间关系，并找出最优的施肥方案。 + +表 1 原始数据(以土豆为例) + +
序号产量NPK序号产量NPK
118.9825919601640.09259147372
227.35259196471741.26259196372
334.86259196931842.17259245372
438.522591961401940.36259294372
538.442591961862042.73259342372
637.732591962792115.180196372
738.432591963722221.3634196372
843.872591964652325.7267196372
942.772591965582432.29101196372
1046.222591966512534.03135196372
1133.4625903722639.45202196372
1232.47259243722743.15259196372
1336.06259493722843.46336196372
1437.96259733722940.83404196372
1541.04259983723030.75471196372
+ +从农作物栽培学的原理和经验，采用多元二次回归函数，一般可刻划施肥量与产量关系（见文献[1]）. + +# 二、假设 + +1. 在实验中，除施肥量，其它影响因子：如环境条件、种植密度、土壤肥力等，均处于同等水平； +2.各次实验独立，误差项均服从 $N(0,\sigma^2),\sigma >0$ ，自变量 $N,P,K$ 的观测无误差； +3.符号说明： + +$Q$ ——产量； + +$N, P, K$ ——氮，磷，钾肥的施用量； + +$\bar{Q} (\bar{N},\bar{P},\bar{K})$ 一 $Q(N,P,K)$ 的样本均值； + +$S_{Q}(S_{N}, S_{P}, S_{K})$ —— $Q(N, P, K)$ 的样本标准差； + +VIF——方差膨胀因子（Variance Inflation Factor）； + +$R$ ——复相关系数. + +# 三、模型建立与模型分析 + +在固定其它生产条件下，仅考虑施肥量与产量间的关系，用三元二次多项式进行拟合。回归模型为 + +$$ +\begin{array}{l} E (Q) = b _ {0} + b _ {N} N + b _ {P} P + b _ {K} K + b _ {N N} N ^ {2} + b _ {N P} N P \\ + b _ {N K} N K + b _ {P P} P ^ {2} + b _ {P K} P K + b _ {K K} K ^ {2}, \tag {1} \\ \end{array} +$$ + +其观测为 + +$$ +Q _ {n \times 1} = X _ {n \times p} \beta_ {p \times 1} + \varepsilon_ {n \times 1.} \tag {2} +$$ + +其中， $Q_{n \times 1}$ 为可观测随机向量； $X_{n \times p}$ 为观测阵，其中元素为原始数据中各变量及由其生成的二次项，交互项； $\beta_{p \times 1}$ 为未知参数向量； $\varepsilon_{n \times 1}$ 不可观测的随机误差，服从 $N(0, \sigma^2 I_n)$ . + +对土豆和生菜分别讨论．(2)中， $n = 30$ ， $p = 10$ + +# （一）全回归 + +1. 数据变换。以VIF作为检验共线性影响的标准(见文献[2]和[3])，记 $C = (c_{ij}) = (X'X)^{-1}$ ， $R(i)$ 为变量 $x_i$ 对其余 $p - 1$ 个自变量的复相关系数，则有 + +$$ +c _ {i i} = (1 - R ^ {2} (i)) ^ {- 1} \quad (i = 1, 2, \dots , p), +$$ + +称 $c_{ii}$ 为变量 $x_{i}$ 的方差膨胀因子。一般认为，当VIF最大值接近或超过10，共线性显著，最小二乘所得结果失真；而当均趋于1时，认为共线性影响很弱。 + +直接对原始数据拟合，VIF最大值接近10，故将原始数据进行相关变换，即 + +令 $Q' = (Q - \overline{Q}) / S_{Q}$ , $N' = (N - \overline{N}) / S_{N}$ , $P' = (P - \overline{P}) / S_{P}$ , $K' = (K - \overline{K}) / S_{K}$ . 以下仍以 $Q, N, P, K$ 记标准化后的变量. + +2. 全回归 先以土豆为例。结果表明，系数矩阵不满秩，相关变换仅消除了一次项与平方项间共线性影响，而交互项仍可表为其它项的线性组合。故仅对一次项和平方项 + +表 2 参数估计 + +
VariableParameter EstimateStandard ErrorT for H0: Parameter = 0Prob > |T|
INTERCEP0.6175460.099038636.2350.0001
N0.4167510.062306546.6890.0001
P0.2049710.065101163.1480.0045
K0.4673050.064876917.2030.0001
NN-0.3758990.03662213-10.2640.0001
NP00.00000000..
NK00.00000000..
PP-0.1083860.03873551--2.7980.0102
PK00.00000000..
KK-0.√545560.02853910--4.0100.0005
+ +进行回归。参数估计与显著性检验结果见表2 + +（1）模型的适度性。VIF均接近于1，相关变换后的模型基本上消除了多重共线性影响；方差分析中， $F$ 检验的 $P$ 值为0.0001，回归方程极其显著，真实值与回归值间 $R$ 达 $95.9\%$ ，拟合度极高；再由残差对观测的散点图，残差均匀分布在零值两侧，无系统偏差。因此，模型是适度的。 +（2）参数估计。表2给出了参数估计值、估计方差及显著性检验结果。其中，t-检验的 $P$ 值均小于0.05，参数显著不为0，含 $N$ 的参数更为显著；参数估计的方差均很小，因此参数的置信区间相对于参数值很窄（如 $b_{NN}$ 的 $95\%$ 置信区间上、下限为 $(-0.375899 \pm 0.0483)$ ），参数估计有较强实用价值。 +（3）相关分析．由 $Q$ 与含 $N$ 项间相关系数均很大，如与 $N$ 为0.54，与 $NN$ 为-0.62，与 $NK$ 为0.72等，知土豆产量对含 $N$ 项线性依赖性极强；而对含 $P$ 的较弱，如和 $P$ 为0.12，和 $PP$ 为0.07等． $N, P, K$ 之间仅有极弱负相关，如 $N$ 和 $P$ 为-0.05， $N$ 和 $K$ 为-0.05， $P$ 和 $K$ 为-0.06. +（4）预测与回判。模型可以给出对给定 $N, P, K$ 水平下， $Q$ 的预测值和预测区间。对原始数据作回判表明，原始数据均落在置信水平为0.95的预测区间内。 + +对生菜可作类似分析，其结果是：VIF接近1，方差分析中 $F$ 检验的 $P$ 值为0.0001， $R$ 为 $92.7\%$ ，残差均匀分布，无系统偏向，模型适度；参数推断中，取显著性水平 $0.05, b_{0}, b_{P}, b_{NN}, b_{PP}, b_{KK}$ 显著不为0，参数估计方差均较小， $P$ 的作用最为显著；生菜的产量对含 $P$ 项线性依赖性极强， $N, P, K$ 之间仅有极弱的负相关；原始数据均落入置信水平为0.95的预测区间。 + +从以上分析中初步得出：土豆对 $N$ 依赖强，对 $P$ 弱；而生菜对 $P$ 依赖强。这与土豆是块茎生长作物，需 $N$ 量高，生菜是蔬菜作物，需 $P$ 量高的规律是吻合的。 + +# （二）逐步回归 + +逐步回归结果表明：对于土豆，首先进入模型的是 $NK$ 项，其次是 $NN$ 项；参数检验中， $b_{NN}, b_{NK}, b_{PK}, b_{KK}, b_{PP}$ 显著不为0；将保留在模型中和进入模型的显著性水平均置为0.99时，一次项中只有 $N$ 进入，但在参数检验中不显著，此时 $R$ 仍为 $95.9\%$ ；同(一) + +中进行适度检验, 模型是适度的, 且原始数据的回判结果表明, 逐步回归模型与全回归模型是一致的。回归模型的不唯一性是由自变量间存在较强共线性所引起的。 + +因此，初步推断：施肥交互作用对土豆的产量影响较大，主要是 $NK$ 和 $PK$ 。逐步回归也再次证实(一)中结论：土豆对 $N$ 依赖性较强。土豆产量的回归模型为 + +$$ +\begin{array}{l} Q ^ {\prime} = 0. 7 3 + 0. 1 2 N ^ {\prime} + 1. 2 7 N ^ {\prime} K ^ {\prime} + 0. 8 8 P ^ {\prime} K ^ {\prime} - 0. 3 8 \left(N ^ {\prime}\right) ^ {2} \\ - 0. 1 1 \left(P ^ {\prime}\right) ^ {2} - 0. 1 5 \left(K ^ {\prime}\right) ^ {2}, \tag {3} \\ \end{array} +$$ + +(3)式中， $Q^{\prime} = (Q - 36.03) / 7.73$ ， $N^{\prime} = (N - 239.63) / 94.47$ + +$$ +K ^ {\prime} = (K - 3 4 1. 0 3) / 1 5 2. 7 7, P ^ {\prime} = (P - 1 7 9. 6) / 6 9. 9 7. +$$ + +$Q, N, P, K$ 为实际值. + +对生菜，首先进入模型的是 $P$ ，模型中包含 $P, NN, K, PP, KK, N, R$ 达 $92.7\%$ ；将两种显著性水平均置为0.99时，交互项仍不能进入模型。说明施肥交互作用对生菜产量无显著影响；同时再次表明生菜对 $P$ 依赖较强。生菜的回归模型为 + +$$ +\begin{array}{l} Q ^ {\prime} = 0. 6 0 + 0. 0 5 N + 0. 7 0 P ^ {\prime} + 0. 1 6 K ^ {\prime} - 0. 3 4 \cdot (N ^ {\prime}) ^ {2} \\ - 1. 4 0 \left(P ^ {\prime}\right) ^ {2} - 1. 4 0 \left(K ^ {\prime}\right) ^ {2}, \tag {4} \\ \end{array} +$$ + +(4)式中， $Q^{\prime} = (Q - 17.14) / 4.18$ ， $N^{\prime} = (N - 205.30) / 79.99$ + +$$ +P ^ {\prime} = (P - 3 5 8. 5 3) / 1 3 9. 6 4, K ^ {\prime} = (K - 3 4 1. 0 3) / 1 3 2. 7 7. +$$ + +$Q, N, P, K$ 为实际值. + +逐步回归分析表明：交互作用对土豆和生菜是不同的。在建模时应考虑此因素，从而得到合理的模型。 + +# （三）二次响应面回归 + +在拟合过程中，用编码值使各变量水平在 $[-1,1]$ 以消除共线性影响，而后拟合二次回归模型。 + +对土豆， $R$ 仍为 $95.9\%$ 。因子分析（见表3）说明： $N$ 的影响最大，其次是 $K$ ，而 $P$ 的影响相对很小。对回归曲面典型特征的分析表明：最佳响应水平为 $(N, P, K) = (292, 246, 542)$ ，最优产量为45.18，最大值在试验范围内达到，可信性强；回归曲面上凸，沿 $(N, P, K) = (1, 0, 0)$ 方向下降迅速，沿着 $(N, P, K) = (0, 1, 0)$ 方向变化最为平缓。因此，当 $K, P$ 取最佳水平时，产量对 $N$ 在最佳水平附近取值敏感，而当 $K, N$ 取最佳水平时，对 $P$ 在最优值附近的波动不敏感。 + +表3 因子分析 + +
FactorDegrees of FreedomSum of SquaresMean SquareF-RatioProb>F
N21207.178634603.58931798.80.0000
K2621.884601310.94230050.8950.0000
P2170.80727885.40363913.9790.0001
+ +对生菜， $R$ 为 $92.8\%$ 。因子分析中， $P$ 影响最大， $N$ 次之， $K$ 最小。回归曲面上，最佳响应水平为 $(N, P, K) = (213, 667, 427)$ 。对应最优产量 23.13，在试验范围内达到；沿 $(N, P, K) = (1, 0, 0)$ 方向下降迅速。故当 $P, K$ 取最优量时，产量对 $N$ 的取值敏感。 + +因此，在施肥中，应特别注意 $N$ 的使用量不能过高。 + +# 四、模型的应用分析 + +前面已用统计方法讨论了土豆、生菜对 $\mathbf{N},\mathbf{P},\mathbf{K}$ 的不同反应，得出比较满意的结果。下面，我们对模型换个角度加以讨论。 + +# （一）边际产量（以土豆为例） + +施肥是否增产，幅度如何？这是科学施肥管理中应明确的。从生产函数派生出的边际产量方程，说明了因营养元素投入的微小变化而引起产量的变化率或斜率。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial Q}{\partial N} = S _ {Q} \left[ \frac {b _ {N}}{S _ {N}} + \frac {b _ {N K}}{S _ {N}} \left(\frac {K - \bar {K}}{S _ {K}}\right) - 2 b _ {N N} \frac {(N - \bar {N})}{S _ {N} ^ {2}} \right] \\ \frac {\partial Q}{\partial P} = S _ {Q} \left[ \frac {b _ {K K}}{S _ {P}} \left(\frac {K - \bar {K}}{S _ {K}}\right) - 2 \frac {b _ {P P}}{S _ {P} ^ {2}} (P - \bar {P}) \right] \\ \frac {\partial Q}{\partial K} = S _ {Q} \left[ \frac {b _ {N K}}{S _ {K}} \left(\frac {N - \bar {N}}{S _ {N}}\right) + \frac {b _ {P K}}{S _ {N}} \left(\frac {P - \bar {P}}{S _ {P}}\right) - \frac {2 b _ {K K} (K - \bar {K})}{S _ {K} ^ {2}} \right] \end{array} \right. \tag {5} +$$ + +在土豆的回归方程中，各营养元素的交互作用，使任何一种的边际产量都包含自身和另两种元素的固定量。从方程组(5)中可看出，交互作用对土豆的影响较大。因土壤中本身所含三种营养元素有限，单独使用一种或两种对应的产量都不很高。换句话说，一种营养元素的生产率是受另两种与之配合使用的营养素高度制约的。 + +明确肥料用量对施肥效果的影响，有助于实现施肥的定量管理。现用生产函数的二阶导数作为指标进行分析。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial^ {2} Q}{\partial N ^ {2}} = - 2 \frac {b _ {N N} S _ {Q}}{S _ {N} ^ {2}} = - 0. 0 0 0 6 5 1 \\ \frac {\partial^ {2} Q}{\partial P ^ {2}} = - 2 \frac {b _ {P P} S _ {Q}}{S _ {P} ^ {2}} = - 0. 0 0 0 3 4 2 4 4 \\ \frac {\partial^ {2} Q}{\partial K ^ {2}} = - 2 \frac {b _ {K K} S _ {Q}}{S _ {K} ^ {2}} = - 0. 0 0 0 1 3 5 6 1 8 \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +我们把肥效作为作物对施肥量敏感程度的一个指标。它指的是在原有基础上，每增施单位肥料所增加的作物产量。从(6)式中可知，肥效随用量的递减速率是 $N > P > K$ 。因此，种植土豆时，钾肥可采用较高的施用量，而氮肥施用量不能过高。当(5)式中 + +$$ +\frac {\partial Q}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial K} = 0 +$$ + +时，得到最优产量及相应的 $N, P, K$ 水平，与统计结果相符。 + +对生菜的边际产量和肥效递减性也可作同样讨论。 + +# （二）营养元素的最佳组合 + +对于土豆，从上面分析知，对 $N, P, K$ 的交互作用很敏感。在考虑某一元素最佳投入时，必须考虑另两种对其的交互作用。当生产资源的边际替代率（即当产量一定时，一种营 + +养元素对另一种的导数)等于它们的价格之反比时，可取得资源或投入的最小成本组合。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial P}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial N} / \left(\frac {\partial Q}{\partial P}\right) = - \frac {P _ {N}}{P _ {P}} \\ \frac {\partial K}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial N} / \left(\frac {\partial Q}{\partial K}\right) = - \frac {P _ {N}}{P _ {K}} \\ \frac {\partial K}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P} / \left(\frac {\partial Q}{\partial K}\right) = - \frac {P _ {P}}{P _ {K}} \end{array} \right. \tag {7} +$$ + +从(7)中即可求得一定产量下使成本最小的营养元素量. + +# 五、模型优缺点与改进 + +模型最大优点在于对原始数据拟合时，采用多种方法进行，使之愈来愈完善，具有很高的拟合精度和适度性。在此基础上，对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息，并且，所得结论与客观事实很好地吻合，从而进一步说明模型是合理的。 + +在实际问题中，产量受作物种类、植株密度、施肥量、气候条件等各种因素的作用。我们仅考虑了施肥量影响，但稍加修改便能适合不同情况，如： + +1. 考虑植株密度：在原有数据基础上，加上一组植株密度变化数据，用同样方法建立四元二次模型，并加以讨论。 +2. 土壤肥力影响：在实际环境中，每块地肥力不等，有高产田与低产田之分。将土壤肥力也当作影响作物产量的一个因子，同样可进行分析。 + +在模型建立中，还可进行异常值检验，将其删除或加权，重新拟合后讨论。 + +# 参考文献 + +[1] 张乃生等, 晋东南旱地玉米“产量——施肥”多元回归模型及其应用分析, 数理统计与管理, 1(1989), 10-13. +[2] 约翰·内特(美)等,应用线性回归模型,中国统计出版社,1990. +[3] 北京大学概率统计系，SAS/STAT 软件“回归分析过程”，1991. +[4] J·法朗士(英)等, 农业中的数学模型, 农业出版社, 1991. +[5]厄尔O·黑迪(美)等,农业生产函数,农业出版社,1991. + +# 关于施肥效果分析问题的评注 + +项可风 + +（中国科学院系统科学研究所，北京 100080） + +1992年全国大学生数学模型竞赛，北京赛区共有46个队参赛，其中有26个队选做《施肥效果分析》题。我参加了本题的阅卷工作，总的情况很不错，都抓住问题的实质。应用回归方法去建立模型，而后用统计方法分析施肥效果。北京师范大学数学系队，获得北京赛区的特等奖，本期发表该队喻梅，金青松，唐福明等三位同学的文章，作为本题最优秀的一份答卷，供读者参阅。 + +下面就本次竞赛中被普遍忽视的几个问题提出一点看法。本文所使用符号与数据可 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1992/B\351\242\230/1992\345\271\264B\351\242\230 \345\256\236\351\252\214\346\225\260\346\215\256\345\210\206\350\247\243/1992\345\271\264B\351\242\230 \345\256\236\351\252\214\346\225\260\346\215\256\345\210\206\350\247\243.md" "b/MCM_CN/1992/B\351\242\230/1992\345\271\264B\351\242\230 \345\256\236\351\252\214\346\225\260\346\215\256\345\210\206\350\247\243/1992\345\271\264B\351\242\230 \345\256\236\351\252\214\346\225\260\346\215\256\345\210\206\350\247\243.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..14e02049cbdb16fc8a647933844b951b9bdebe39 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1992/B\351\242\230/1992\345\271\264B\351\242\230 \345\256\236\351\252\214\346\225\260\346\215\256\345\210\206\350\247\243/1992\345\271\264B\351\242\230 \345\256\236\351\252\214\346\225\260\346\215\256\345\210\206\350\247\243.md" @@ -0,0 +1,15 @@ +1992 B + +$$ +a [ i ] \quad (i = 1, 2, \dots , n) \qquad \circ +$$ + +$$ +n = 1 8 +$$ + +$$ +a [ 1: 1 8 ] = 5 7, 7 1, 8 7, 9 7, 9 9, 1 0 1, 1 0 3, 1 1 3, 1 1 4, 1 1 5, 1 2 8, 1 2 9, 1 3 1, 1 3 7, 1 4 7, 1 5 6, 1 6 3, 1 8 6. +$$ + +X \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1992/B\351\242\230/\345\205\263\344\272\216_\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230_\347\232\204\350\257\204\346\263\250/\345\205\263\344\272\216_\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230_\347\232\204\350\257\204\346\263\250.md" "b/MCM_CN/1992/B\351\242\230/\345\205\263\344\272\216_\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230_\347\232\204\350\257\204\346\263\250/\345\205\263\344\272\216_\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230_\347\232\204\350\257\204\346\263\250.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..61b71feb1548d34221ece5f15f2dd58cf9b75b3a --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1992/B\351\242\230/\345\205\263\344\272\216_\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230_\347\232\204\350\257\204\346\263\250/\345\205\263\344\272\216_\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230_\347\232\204\350\257\204\346\263\250.md" @@ -0,0 +1,26 @@ +# 关于“蛋白质氨基酸的组合问题”的评注 + +韩继业 + +（中国科学院应用数学研究所，北京 100080） + +摘要 本文介绍1992年数学模型竞赛中一个离散数学问题的一个比较好的答案，并且扼要地讨论了大规模离散数学问题的一些求解途径，最后阐述了离散数学在理论上和实用上的重要意义. + +关于蛋白质的氨基酸的可能组成，问题是：生命蛋白质是由一些氨基酸的不同组合构成的，现只考虑18种主要的氨基酸，它们的分子量分别为57, 71, 87, 97, 99, 101, 103, 113, 114, 115, 128, 129, 131, 137, 147, 156, 163, 186。令 $a_{i}$ 表示上述分子量 $(i \leqslant 18)$ ，给定某一蛋白质的分子量 $X (X \leqslant 1000, X$ 为正整数），设计出数学模型以给出该蛋白质的所有可能组成。即确定该蛋白质是由哪几种氨基酸组成以及每种氨基酸的个数。 + +上述问题易被描述为线性不定方程式 $\sum_{i=1}^{18} a_i x_i = X$ ，这里 $x_i$ 是第 $i$ 种氨基酸的个数 $(i = 1, \dots, 18)$ ，它只取非负整数。该蛋白质的所有可能组成都包括在方程式 $\sum_{i=1}^{18} a_i x_i = X$ 的所有非负整数解中。从理论上说，采用枚举法可以求出此方程式的全部非负整数解。但实际上，当 $X$ 很大时，方程式的全部解（指非负整数解）的个数是一很大数目（如 $X = 1000$ ，解的个数为 28268），并且解的个数随 $X$ 的增大以指数关系增加。一般的蛋白质的分子量大于 5000，所以即使利用计算机也难以得出全部解。同时大量的解无实际意义。解决这类大规模离散数学问题，需要建立若干补充的约束条件，以尽可能多地消除无实际意义的解。另一方面也需要从数学上研究离散数学问题的性质，以探求更快的求解算法。 + +去年北京市大学生数学模型竞赛时，有近半数的参赛小组选择了这一试题。各小组在使用计算机的条件下都能较快地求出28268个解 $(X = 1000)$ 。很多小组从数学上考虑了一些技巧，以简化算法。但如 $X$ 变大，例如 $X = 1500$ ，解的个数将急剧增大，很多小组所考虑的简化计算的技巧将失去作用。这时建立补充的约束条件显得非常重要。中国人民大学的程龙，张云军和赵蕊小组，在建立约束条件方面被认为处理得比较好，他们的答案获得了去年北京市数学模型竞赛的特等奖（见本期文章“蛋白质氨基酸的组合问题”）。他们在比较多地查阅了有机化学有关文献后，首先注意到：生命蛋白质中氮的含量一般占总量的 $15\% - 17\%$ 。利用这一性质建立的约束条件对 $X = 1000$ 可使解的个数从28268减为10954。即消除了一半以上的无实际意义的解。其次，他们注意到生命蛋白质中常见的氨基酸是由氮、碳、氢、氧和硫五种元素组成，并且利用质谱实验法可以得到化合物的分子结构的信息及准确分子量和分子式。利用这一情况，建立了若干约束条件。令 $d_{i}(j = 1, \dots, 5)$ 表示氮等五种元素的原子总个数，若 $d_{i}$ 已知，则有约束条件 $\sum_{i=1}^{18} c_{ij} x_{i} = d_{j}, j = 1, \dots, 5$ ，其中 $c_{ij}$ 是第 $i$ 种氨基酸中所含的第 $j$ 种元素的数目。这 + +组约束条件消除了更多的不需要考虑的解，使解的个数减少到原来解的数目的廿分之一。他们还考虑了其他的约束条件。尽管有些约束条件的合理性需要讨论，但这种处理一些离散数学问题的途径是有效的。 + +离散数学问题，特别是离散最优化(或组合最优化)问题目前在国民经济方面、工程技术方面和军事方面等有广泛的应用背景。例如平板的最优激光钻孔、油田的最优勘探、血液银行的管理、基因密码、计算机切割的最优安排、交通工具的调度计划、板材的最优切割、偏好和选择判断的汇集、生产过程的调变安排、工厂的最优选址等等。都可归结为离散最优化问题。这门学科随着计算机的迅速发展而在理论、方法和实用上得到了巨大的发展，许多组合优化问题没有快速的计算机就不能被解决。1984年美国数学科学资金来源特别委员会在其报告“进一步繁荣美国数学”中提出：近几十年内国际上数学发展的趋向包括了“离散数学的作用将不断扩大”（趋向的其他内容是“对非线性问题的关注将进一步增长，概率分析的作用将不断扩大，大规模科学计算将进一步发展”等）。这种现象已经反映到国外数学模型课程的内容以及数模竞赛的题目方面，值得我们重视。 + +![](images/513c33225dbf3c4e5afa641aa56d6880a079485a39a3cf92f103754d5a8aad9f.jpg) +（上接第31页） + +![](images/3ca0d077b199dd58783f3e09a9c60d1eb885105be40e2afb873e14e45b587629.jpg) +第15题 +第16题 + +上面给出了七种进行偏差分析的方法，每种方法都是从各自的角度进行分析，所得结论也不尽相同，读者可根据自己的需要及兴趣利用其中的某些结论或进行综合分析。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1992/B\351\242\230/\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230/\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230.md" "b/MCM_CN/1992/B\351\242\230/\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230/\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c13809f87e93dc14e5100b40dacfe6e32effadaa --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1992/B\351\242\230/\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230/\350\233\213\347\231\275\350\264\250\346\260\250\345\237\272\351\205\270\347\232\204\347\273\204\345\220\210\351\227\256\351\242\230.md" @@ -0,0 +1,275 @@ +# 蛋白质氨基酸的组合问题 + +程龙 张云军 赵. + +教练：胡云芳 龙永红 + +（中国人民大学经济信息管理系、财政金融系，北京 100372） + +摘要 试题B要求参赛者给出模型测定，给定分子量的某一蛋白质的氨基酸组成，这是一个组合问题。文章首先给出了一般的多元线性方程模型，测试结果表明当 $X = 1000$ 时，解的个数为28268个，而实际蛋白质的分子量均在5000以上，因此文章对一般模型加入补充信息和约束条件，给出模型A、B、C和D。考虑到不拥有微机的情况，加强了补充信息和约束条件，给出了模型E和F。文章还对每一个模型都选取了一组或多组数据进行测试，并对测试结果，主要是解的个数与运行时间作了分析。 + +从整体结构上, 文章划分为三部分。第一部分是建立模型前的准备, 包括问题重述, 问题分析, 假设条件和符号约定; 第二部分是文章的主体, 详细阐述了最一般模型及改进模型 A 至 F 的建立, 数据测试和结果分析; 第三部分是建立模型的善后工作, 包括对模型进一步推广和改进的设想, 模型误差分析和优缺点分析。 + +# 一、问题的提出 + +生命蛋白质是由若干种氨基酸的不同组合构成的。各种氨基酸的已知分子量 $a[i]$ $(i = 1,2,\dots n)$ 分别如下： + +$$ +\begin{array}{l} n = 1 8 \\ a [ 1: 1 8 ] = 5 7, 7 1, 8 7, 9 7, 9 9, 1 0 1, 1 0 3, 1 1 3, 1 1 4, 1 1 5, 1 2 8, 1 2 9, 1 3 1, 1 3 7, 1 4 7, 1 5 6, 1 6 3, \\ \end{array} +$$ + +给定某一蛋白质的分子量 $X$ ( $X \leqslant 1000$ 且 $X$ 为正整数) 设计数学模型给出该蛋白质的所有可能的组成。即确定该蛋白质是哪几种氨基酸组成以及每种氨基酸的数目。 + +# 二、问题的分析 + +根据给定的分子量 $X$ 及 $a_{i}$ 测定蛋白质的组成，实际是求多元线性方程： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} = X +$$ + +的所有整数解的问题。一般采用枚举法求解，即将所有可能的组合代入方程试验，等式成立即为解。在本问题中，所有可能的组合共有 $\prod_{i=1}^{18} ([X / a_i] + 1)$ 种。因此对于所有的组合，一方面计算量大、耗费时间长（对于计算机尚且如此，在没有微机的情况下更是无法 + +想象的);另一方面,给出的解个数过多反而失去了解的意义。考虑到这一点,模型的设计和改进围绕着减少运算时间和缩小解的范围的思路展开,根据实际化学试验研究中采取的办法,对一般模型加入辅助信息和约束条件。对实现模型的程序的改进则从改良算法和加入合理判断条件出发。 + +# 三、模型假设 + +1. 给定的蛋白质的分子量 $X$ 和氨基酸已知分子量 $\pmb{a}_{i}$ 是准确的，没有测试误差； +2. 假设所有被测定的蛋白质均由给定分子量的这几种氨基酸构成，而不含有其它种类的氨基酸。实际中，构成生命蛋白质的主要氨基酸有 20 种[1-6]，其中两对氨基酸的分子量相等（见附录 C）； +3. 假设蛋白质分子式构成过程中，各个氨基酸分子之间相互结合的方式不影响蛋白质的分子量。通过计算可知，给定的已知分子量均是氨基酸分子失去1分子水后的分子量。因而在此假设条件下，给定的蛋白质分子量X只是几个已知分子量之和而不考虑其它因素； +4. 假设被测定的蛋白质所含氨基酸的个数 $\geqslant 2$ ，即 $X \geqslant 114$ +5. 假设氨基酸分子结合过程中是任意排列组合的，不存在互斥或互补现象，即任何两种氨基酸都可以同时存在于同一个蛋白质中，没有任何一种氨基酸的存在是以其它氨基酸的存在为前提的。实际中这一假设是成立的[1-6]。 +6. 假设在蛋白质中，每种氨基酸存在的概率是相等的，不存在某种必须存在的氨基酸； +7. 假设该实验室拥有测定物质化学性质的仪器。 + +使用符号说明 + +$a_{i}$ 第 $i$ 种氨基酸的已知分子量； +$x_{i}$ 被测定的蛋白质所含第 $i$ 种氨基酸的数目； +$c_{ij}$ 第 $i$ 种氨基酸所含第 $j$ 种元素的数目； +$d_{j}$ 被测定的蛋白质中第 $j$ 种元素的数目； + +其中 $j = 1$ $C$ 元素； $j = 2$ $N$ 元素； + +$j = 3$ $o$ 元素； $j = 4$ H元素； + +$\pmb{X}$ 被测定的蛋白质的分子量. + +# 四、最一般的模型 + +在没有任何其它补充信息和约束条件的情况下，最一般的模型可以表示为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} = X; \\ x _ {i} \text {是 非 负 整 数} (i = 1, 2, \dots 1 8), \end{array} \right. +$$ + +该模型的解(及解的个数)是由附录A的程序给出的。此程序采用了深度优先算法，遍 + +历了整个解空间，由于采用了分枝限界，其实际最坏的时间效率也是远小于 $\prod_{i=1}^{18} ([X / a_i] + 1)$ 的。下面的表1是该模型的试验数据。可以看出，当分子量每增加100时，解的个数和运行时间大约增为原来的3倍。 + +当 $X = 1000$ 时，解的个数已达28268个。因此在实际应用中该模型已无多大可行性。为此必须对模型作某些方面的改进，排除无效解，减少解的个数。 + +在化学中，我们知道，生命蛋白质氮的含量约占总量的 $16\%$ 左右（其波动范围为 $15\% - 17\%$ ）。蛋白质含量测定的凯式定氮法就是利用了这个性质。在附录A的程序中，我们给出了考虑含氮量的模型（而且下面的几个模型B、C、D也考虑了这种情况）。 + +在表1中，已给出了考虑含氮量时的解的个数和运行时间的数据。可以看出，经过这种改进，效果一般比以前好得多。 + +表1 + +
蛋白质分子量X未考虑含氮量的模型考虑含氮量的模型
解的个数运行时间(秒)解的个数运行时间(秒)
2004<10<1
3001410<1
4004520<1
50015851153
6005221501
70015084376323
800429112509
900112493214301133
10002826881010954335
100110177329
+ +# 模型A + +已知蛋白质的分子式. + +根据有关质谱实验在有机化学中的应用方面的材料[2]可知质谱法可以“得到有关分子结构的信息以及化合物的准确分子量和分子式”，因此在模型A中加入如下的假设： + +假设 $8a$ 假设蛋白质的分子式是已知的。根据有关资料[1-6]，生命蛋白质中常见的氨基酸是由C、N、O、H、S五种元素组成的（见附录C）。已知蛋白质的分子式，即已知各种元素原子的总数目 $d_{j}(j = 1,2,3,4)$ 。（由于把S作特殊处理， $d_{j}$ 只有4种。） + +模型A可以表示为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} = X; \\ \sum_ {i = 1} ^ {1 8} c _ {i j} x _ {i} = d _ {j}; (j = 1, 2, 3, 4) \\ x _ {i} \text {为 非 负 整 数 ,} i = 1, 2, \dots \dots , 1 8. \end{array} \right. +$$ + +对该模型有两点说明： + +1. 常见的20种氨基酸中，有两对的分子量相等。其中亮氨酸与异亮氨酸为同分异构，分子量与分子式均相同，因而不会影响该模型的计算。而另一对谷酰氨酸与赖氨酸仅是分子量相同，分子式不同。因此在模型中，把含硫的两种氨基酸作特殊处理后，还剩下16种分子量不同，然后加入一个变量，用以区分谷酰氨酸与赖氨酸。最后将结果合并。 +2. 常见的这 20 种氨基酸中, 只有两种氨基酸, 即半胱氨酸与蛋氨酸含有 $S$ 元素。因此在蛋白质分子式中含有 $S$ 元素时, 可以通过简单的计算(以及化学试验), 确定含 $S$ 的氨基酸的种类和数目。我们的模型即假设对含 $S$ 的情况已作过特殊处理。 + +当然，这样的模型可表为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {1 7} a _ {i} x _ {i} = X, \\ \sum_ {i = 1} ^ {1 7} c _ {i j} x _ {i} = d _ {j} (j = 1, 2, 3, 4) \\ x _ {i} \text {为 非 负 整 数} (i = 1, 2, \dots , 1 7). \end{array} \right. +$$ + +在下面的表2中我们给出了一些试验数据， + +表 2 + +
蛋白质分子量X解的个数运行时间(秒)
3693<1
56921
671246
982618118
11331195239
+ +与前面的最一般模型的解的情况作比较，可以看出，解的个数约为最一般模型的1/20，运行的时间也大大地缩短了。 + +当然，由于氮的含量（对应其原子个数）事先已知道，所以不必再讨论含氮量的情况。（但我们的数据并不是来源于实际的蛋白质，所以可能含氮量是不符合前面所提到的性质的。） + +# 模型B + +已知蛋白质中某些氨基酸是存在的. + +在实际的蛋白质一级结构测定[3]中，通常可以对蛋白质经过充分水解后所得到的氨基酸混合液作离子交换层析、纸层析或薄层层析，定性研究的结果可以确定该蛋白质所含的全部或部分氨基酸种类。 + +在本模型中，给出如下的假设： + +假设 $8b$ 已知被测定的蛋白质中肯定含有其中的 $k$ 种氨基酸，其分子量为 $\bar{a}_j(j = 1,2,\dots ,k)$ ，很显然对应的 $\bar{x}_j\geqslant 1(j = 1,2,\dots ,k)$ + +因此，可假设 $X' = X - \sum_{i=1}^{k} \tilde{a}_i$ ，即 $X$ 中先扣除已知存在的 $k$ 种氨基酸的分子量（都先减去一份），现在的模型实际上已同最一般的模型。 + +$$ +x _ {i} ^ {\prime} = \left\{ \begin{array}{l l} x _ {i} - 1 & (i \text {对 应 的 氨 基 酸 是 已 知 存 在 的}); \\ x _ {i} & (\text {其 他 的} i). \end{array} \right. +$$ + +则模型表为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} ^ {\prime} = X ^ {\prime}; \\ x _ {i} ^ {\prime} \text {为 非 负 整 数 (} i = 1, 2, \dots , 1 8). \end{array} \right. +$$ + +我们注意到，在最一般的模型中，解的个数和运行时间是分子量 $X$ 的单增函数（一般如此）。所以减少 $X$ 就可减少解的个数和运行时间。 + +下面的表3给出了一些试验数据。含氮量的情况也作了类似最一般模型的处理。 + +表3 + +
蛋白质分子量X未考虑含氮量的模型考虑含氮量的模型
解的个数运行时间(秒)解的个数运行时间(秒)
3000<10<1
4003<10<1
50012181
6003210<1
7001394672
8004201201
90012873745914
10003631104157048
10013741107121938
12008821276
+ +表中的解是针对已知存在分子量为57,71,87三种氨基酸的. + +# 模型C + +已知蛋白质中只含有某几种氨基酸。 + +在比较成功的氨基酸定性分析中，可以得到被测定的蛋白质完全水解生成的氨基酸的全部种类，从而可给出如下的假设： + +假设 $8c$ 假设某蛋白质由且仅由 $\pmb{k}$ 种已知的氨基酸（或 $\pmb{k}$ 种不同的分子量对应的氨基酸）构成. + +只要 $k < 18$ ，就可以减少变量个数，从而提高求解速度，减少解的个数，使解限制在一定的范围之内。而且我们知道已知的氨基酸是肯定存在的，即对应的 $x_{i} \geqslant 1$ ，这样我们 + +可以令 $X^{\prime} = X - \sum_{i = 1}^{k}a_{i}^{\prime}$ + +$(a_{i}^{\prime}$ 是存在的 $k$ 种氨基酸的分子量， $i = 1,2,\dots ,k)$ ，又令 $x_{i}^{\prime \prime} = x_{i}^{\prime} - 1$ + +$(x_{i}^{\prime}$ 对应 $k$ 种氨基酸， $i = 1,2,\dots ,k)$ + +模型可表为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum a _ {i} ^ {\prime} x _ {i} ^ {\prime \prime} = X ^ {\prime} \\ x _ {i} ^ {\prime \prime} \text {为 非 负 整 数} (i = 1, 2, \dots , k) _ {\bullet} \end{array} \right. +$$ + +下面的表4给出了一些试验数据。很显然，由于 $X$ 的量的减少，运行时间和解的个数也会减少。 + +对考虑含氮量的情况也作了测试。 + +表4a + +
蛋白质分子量X解的个数运行时间(秒)
5000<1
6000<1
7000<1
8001<1
9002<1
10004<1
10013<1
11005<1
120010<1
20001203
+ +不考虑会氮量的模型，假设由且仅由57、71、87、97、99五种构成 + +表4b + +
蛋白质分子量X解的个数运行时间(秒)
3000<1
4000<1
5000<1
6000<1
7500<1
8000<1
9000<1
10000<1
+ +考虑含氮量的模型，假设由且仅由57、71、87三种构成 + +表4e + +
蛋白质分子量X已知氨基酸的分 子量未考虑含氮量的模型考虑含氮量的模型
解的个数运行时间(秒)解的个数运行时间(秒)
61257 115 1631<10<1
57971 87 103 1281<11<1
69757 101 128 1371<10<1
143997 103 129 1632<10<1
88799 115 147 1561<11<1
206957 87 101 114 128 1561323601
203571 99 113 131 16329<12<1
304757 71 89 114 128 14716043161418
+ +# 模型D + +18种已知氨基酸分子量的平均值为118.5，因而平均来看对于 $X \leqslant 1000$ 的蛋白质来说其所含氨基酸的分子数在8一9之间，为简化起见，我们不妨设每种氨基酸分子的数目仅为0或1．因而模型表示为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} = X; \\ x _ {i} = 0 \text {或} 1; \end{array} \right. +$$ + +运行结果如下表： + +表5 + +
蛋白质分子量X未考虑含氮量的模型考虑含氮量的模型
解的个数运行时间(秒)解的个数运行时间(秒)
2004<10<1
3008<10<1
4002110<1
500532401
60087201
70017151013
800226601
900371101465
1000393122027
1001379111488
110036312
1200392131666
200006
300005
+ +# 模型E + +若实验室不拥有微机，但可能拥有较先进的化学分析设备。设实验室可对完全水解后的氨基酸混合液作定性的分析[1-3]，并可以通过质谱仪测得蛋白质的分子式[2]。因而若设构成被测蛋白质的氨基酸分别为第 $i_1,\dots ,i_k$ 种，则模型可以进一步简化为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {k} a _ {i l} x _ {i l} = X \\ \sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i j} x _ {i l} = d _ {j} (j = 1, \dots , 4) \\ x _ {i l} \text {为 正 整 数} (l = 1, \dots , k). \end{array} \right. +$$ + +当 $k$ 的取值不大(如 $k \leqslant 8$ ) 的情况下, 可先求出线性方程组的通解, 然后再找出其整数解. 然而当 $k$ 的取值较大时, 对手工计算来说, 该模型就不太可行了. + +# 模型F + +进一步假设实验室拥有先进的氨基酸自动分析仪，可对完全水解后的氨基酸混合液作定性和定量分析，得出被测蛋白质所含氨基酸的种类及各种氨基酸之间的比例关系为： $b_{i_1}: b_{i_2} \cdots b_{i_k}[1]$ ，因而模型可表述为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} X = \sum_ {l = 1} ^ {k} a _ {i l} x _ {i l} = r \sum_ {l = 1} ^ {k} a _ {i l} b _ {i l} \\ \text {其 中} x _ {i l} = r \cdot b _ {i l}, (l = 1, \dots , k); \end{array} \right. +$$ + +$$ +\therefore r = X / \sum_ {l = 1} ^ {k} a _ {i _ {l}} b _ {i _ {l}} +$$ + +经过上述简单的运算便能得出问题的解，并且解是唯一的，可见氨基酸自动分析仪对解决本问题是比较方便的。 + +# 模型的改进方向 + +从上述各模型可以看出：变量众多是解决该问题的困难所在，因而寻找有效的减少变量个数的方法是模型进一步改进的重要方向。除了作上述的一些改进外，我们还可以从所给氨基酸分子量的内部联系出发，得到它们之间的一些关系，如 + +$$ +\begin{array}{l} 7 1 = 5 7 + 1 4 \quad 9 9 = 5 7 + 4 2 = 5 7 + 3 \times 1 4 \\ 1 1 3 = 5 7 + 5 6 = 5 7 + 4 \times 1 4 \\ \end{array} +$$ + +类似的分解可以使变量的个数大大减少，从而也大大减少计算量（特别是人工求解）。当然，如此求出解后再进行组合得原问题的解也是较复杂的。 + +在实际求解过程中我们发现：只进行纯粹的分解而得到的解并非都符合实际情况。由此，我们从实际应用的角度出发，充分利用可能得到的信息，对一般模型作了一系列的改进。除此之外，我们还可以利用其它一些信息，如(1)质谱分析仪可以测定分子的结构，据此我们可以分析单键和双键的数目，也可以根据羟基、苯环等的性质测定其数目；(2)根据R基的不同可以将氨基酸分为极性和非极性或者中性、酸性、碱性，通过酸碱中和滴定、电泳分离等方式测试出蛋白质中每类氨基酸的含量，从而将18个变量的模型分解为几组变量较少的模型[2,4]。然后再进行与上述模型相似的计算。总之，如果能充分利用现实中得到的有用信息，将其作为约束条件纳入模型中去进行综合考虑，我们相信其效果将会更好。 + +# 模型的误差分析 + +1、 $X$ 的测定误差是影响结果正确的一个重要因素。如果 $X$ 的测量值与真实值相差 1，其结果将会有很大的变化。 +2、 $a_{i}$ 的测量误差对模型的结果也会有一定的影响。 +3. 在生命蛋白质含氮量的约束条件中, 关于含氮量的范围在不同的资料中有点不同, 有为 $15\% - 17\%$ , 亦有为 $15\% - 17.6\%$ , 但确实说明有些规律存在, 我们取了 $15\% - 17\%$ 可能会引起误差. + +# 模型的优点 + +我们给出的一系列模型，特别是“最一般的模型”适用范围较广，这主要表现在： + +1. 无论 $X$ 增大或者氨基酸的种类增多模型总是有效的，并可以给出所有可能的解。同时由于组成生命蛋白质最主要的氨基酸只有20种，分子量只有18种，因而我们的模型对于分析蛋白质组成这一问题更有实际意义。 +2. 考虑到不同实验室的设备条件和获取以上信息的能力不同，我们给出了模型A一C、E、F以满足不同的实际情况的需要。 + +3. 我们建立这些模型的方法和思想对其它类似问题也很适用，象多糖等类似高分子化合物的组成分析，我们只需改变模型中的某些参数就可作类似分析。 + +# 模型的缺点 + +1. 我们模型的缺点仍然在于如何解决模型给出的解数目太多的问题。例如当 $X = 1000$ 时，最一般的模型给出了 28268 个解，改进的模型中最多可以将其减少到几个，然而一般来说蛋白质的分子量都在 5000 以上，那么解的个数（即使是改进的模型）将仍然是很可观的。 +2. 在改进的模型中，由于约束条件对试验数据的要求较严格，因而我们构造的某些测试数据可能是不现实的，从而某些模型中得到了不太理想的结果。 +3. 一些模型所加入的约束条件可能也有不太现实的，如模型D中假设 $x_{i} = 0$ 或1就可能与现实不太相符，但如果将0-1约束改为下限和上限的约束可能就比较实际了。 +4. 蛋白质含氮量的约束条件只是基于一般情况，而没有考虑例外情况。 + +附录C 20种常见氨基酸的名称，分子式和分子量 + +
分子量名称分 子 式元 C素 N数 O目 H
57甘氨酸NH₃CH₂COOH2113
71丙氨酸CH₃NH₂CHCOOH3115
87丝氨酸HOCH₂NH₂CHCOOH3125
97脯氨酸CH₂CH₂CH₂NHCHCOOH5117
99缬氨酸CH₃CH₃CHNH₂CHCOOH5119
101苏氨酸CH₃CHCHNH₂CHCOOH4127
103半胱氨酸HSCH₂NH₂CHCOOH3115
113亮氨酸CH₃CH₃CHCH₃NH₂CHCOOH61111
113异亮氨酸CH₃CH₃CH₂CHNH₂CHCOOH61111
114天冬酰胺NH₄COCH₂NH₂CHCOOH4226
115天冬氨酸OHOOCH₃NH₂CHCOOH4135
128谷酰胺NH₄COCH₂CH₂NH₂CHCOOH5228
128赖氨酸NH₃CH₃CH₂CH₂NH₂CHCOOH62112
129谷氨酸OHCOCH₂CH₂NH₂CHCOOH5137
131蛋氨酸CH₃SCH₂CH₂NH₂CHCOOH5119
137组氨酸CHNCHNHCCH₂NH₂CHCOOH6317
147苯丙氨酸C₆H₅CH₂NH₂CHCOOH9119
156精氨酸NH₂NHCNHCH₂CH₃CH₂NH₂CHCOOH64112
163酪氨酸OHC₆H₄CH₃NH₂CHCOOH9129
186色氨酸C₆H₄NHCHCCH₂NH₂CHCOOH112110
+ +注. 表中给出的分子量及元素数目都是原氨基羧除去 1 分子水后的值。 + +# 参考文献 + +[！] R.M. 罗伯茨等, 近代实验有机化学导论, 上海科学技术出版社. +[2] 基础有机化学,人民教育出版社. +[3] L.F. 费赛尔, K.L 威廉森, 有机实验, 高等教育出版社. +[4] C.D. 古奇, D.F. 帕斯托, 有机化学基础, 高等教育出版社. +[5] 黄梅丽, 江小梅, 食品化学, 中国人民大学出版社. +[6] 华东华北区粮食学校编写组, 有机化学, 江西人民出版社. +[7] 邹海明, 余祥宣, 计算机算法基础, 华中工学院出版社. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226\345\244\204\347\220\206\346\226\271\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226\345\244\204\347\220\206\346\226\271\346\263\225.md" "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226\345\244\204\347\220\206\346\226\271\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226\345\244\204\347\220\206\346\226\271\346\263\225.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50553ecc04aeaf82dc9543dba1b9218b472ae633 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226\345\244\204\347\220\206\346\226\271\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226\345\244\204\347\220\206\346\226\271\346\263\225.md" @@ -0,0 +1,129 @@ +# 飞行管理模型的线性化处理方法 + +刘铁成 张良 聂兆虎 + +（山东大学，济南250100） + +指导教师：许宝刚 + +编者按：该答卷针对飞行管理问题的实际背景，采用计算机模拟和线性规划相结合的方法较好地解决了问题。论述条理清晰，计算结果正确。所采用方法的特点是运算时间短，普适性较强具有一定的启发性，特将有关部分予以发表。 + +关键词：线性规划，模拟，管理。 + +# 一、模拟与线性规划模型 + +要解决飞行角度调整问题，首先要判断出哪些飞机会在区域内发生碰撞，令 $l_{i,j}(t) = (x_i(t) - x_j(t))^2 + (y_j(t) - y_j(t))^2 - 64$ ，整理得 + +$$ +l _ {i, j} (t) = a t ^ {2} + b t + c +$$ + +其中 + +$$ +a = 4 \nu^ {2} \sin^ {2} \left(\frac {\theta_ {i} ^ {0} - \theta_ {j} ^ {0}}{2}\right), \nu = \nu_ {i} = \nu_ {j} +$$ + +$$ +b = 2 \nu \left[ \left(x _ {i} ^ {0} - x _ {j} ^ {0}\right) \left(\cos \theta_ {i} ^ {0} - \cos \theta_ {j} ^ {0}\right) + \left(y _ {i} ^ {0} - y _ {j} ^ {0}\right) \left(\sin \theta_ {i} ^ {0} - \sin \theta_ {j} ^ {0}\right) \right] +$$ + +$$ +c = \left(x _ {i} ^ {0} - x _ {j} ^ {0}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} ^ {0} - y _ {j} ^ {0}\right) ^ {2} - 6 4 +$$ + +两架飞机 $\mathbf{P}_{\mathrm{i}}$ 和 $\mathbf{P}_{\mathrm{j}}$ 在区域内发生碰撞的条件是： + +1）两架飞机间的最短距离小于等于8公里； +2）刚达到距离8公里时两飞机仍在区域内。 + +由条件1)可得约束 + +$$ +b ^ {2} - 4 a c \geq 0 \tag {3} +$$ + +且两飞机距离达到8公里的时刻为 + +$$ +T _ {i j} = \frac {- b - \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}}{2 a} +$$ + +由条件2)可得下列约束 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {i, j} > 0 \\ 0 \leq x _ {i} \left(T _ {i, j}\right) \leq 1 6 0 \\ 0 \leq x _ {j} \left(T _ {i, j}\right) \leq 1 6 0 \\ 0 \leq y _ {i} \left(T _ {i, j}\right) \leq 1 6 0 \\ 0 \leq y _ {j} \left(T _ {i, j}\right) \leq 1 6 0 \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +如果 $P_{i}$ 和 $P_{j}$ 同时满足(3)和(4)，它们就会在区域内相撞，否则不会在区域内相撞，根据上述结论，我们编制了计算机程序Aircraft Administration（程序见附录），求出各个相撞的飞机，并对相撞的任何两架飞机进行调整，使其满足： + +（1）调整后相撞飞机的总数量不大于调整前相撞飞机的总数量； +（2）两架相撞飞机设为 $P_{i}, P_{j}$ 。若 $P_{i}$ 调整后相撞飞机的总数量小于 $P_{j}$ 调整后的相撞飞机的总数量，则优先考虑调整飞机 $P_{i}$ 。 +(3) 若 $P_{i}$ 调整后相撞飞机的总数量等于 $P_{j}$ 调整后的相撞飞机的总数量, 则调整角度较小的一个飞机。 + +依照上述原则，经过反复调整，即可得到一个满足题目要求的较优的调整范围。 + +对给定的两架飞机 $P_{i}$ 和 $P_{j}$ , 我们考虑它们的相对运动, $P_{i}$ 和 $P_{j}$ 相撞当且仅当 $P_{i}$ 在某一时刻以相对速度 $\vec{\nu}_{i,j}$ 进入以 $P_{j}$ 为圆心, 以8公里为半径的圆形区域内, 如图1所示, 设图中的圆的半径为8公里, $\mathrm{O}$ 点有一架飞机 $P_{i}, C$ 点有一架飞机 $P_{j}$ , 则 $\angle \mathrm{AOB}$ 即为 $P_{i}$ 相对于 $P_{j}$ 做相对运动时的禁飞方向。 + +![](images/49309aeb8f6f2a32b56aa24f54b1cd6c2ea9d4529dc12b4dd34ebb598eb5cc04.jpg) +图1 + +在给出线性规划模型之前，我们先给出模型中要用到的符号和函数的定义。 + +令 $f: [0, 2\pi] \times [0, 2\pi] - \{[(\alpha, \alpha)] | 0 \leq \alpha \leq 2\pi\} \rightarrow [0, 2\pi]$ ，对 $\alpha \in [0, 2\pi]$ 和 $\beta \in [0, 2\pi]$ ，令 + +$$ +f (\alpha , \beta) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\alpha + \beta + \pi}{2} & \text {当} \alpha > \beta \text {且} \alpha + \beta < 3 \pi \\ \frac {\alpha + \beta - 3 \pi}{2} & \text {当} \alpha > \beta \text {且} \alpha + \beta \geq 3 \pi \\ \frac {\alpha + \beta + 3 \pi}{2} & \text {当} \alpha < \beta \text {且} \alpha + \beta < \pi \\ \frac {\alpha + \beta - \pi}{2} & \text {当} \alpha < \beta \text {且} \alpha + \beta \geq \pi \end{array} \right. +$$ + +易见 $f(\alpha, \beta)$ 是 $\alpha$ 和 $\beta$ 的线性函数，且 $\theta_{ij} = f(\theta_i, \theta_j)$ 。 + +令 $\varphi_{i,j}$ 是点 $(x_{i}(0),y_{i}(0))$ 指向点 $(x_{j}(0),y_{j}(0))$ 的向量与X轴正向的夹角， $\varphi_{i,j}$ 的值由下式给出， + +$$ +\varphi_ {i, j} = \left\{ \begin{array}{l l} a r c c t g \frac {x _ {j} (0) - x _ {i} (0)}{y _ {j} (0) - y _ {i} (0)} & \text {当} y _ {j} (0) - y _ {i} (0) > 0 \\ \pi + a r c c t g \frac {x _ {j} (0) - x _ {i} (0)}{y _ {j} (0) - y _ {i} (0)} & \text {当} y _ {j} (0) - y _ {i} (0) < 0 \\ \frac {\pi}{2} & \text {当} y _ {j} (0) = y _ {i} (0) \end{array} \right. +$$ + +令 $d_{i,j} = \sqrt{(x_i(0) - x_j(0))^2 + (y_i(0) - y_j(0))^2},\psi_{ij} = \arcsin \frac{8}{d_{i,j}}$ ，则不碰撞的条件为： $\theta_{i,j} - \varphi_{i,j} > \psi_{i,j}$ 或 $\varphi_{i,j} - \theta_{i,j} > \psi_{i,j}$ 。令 + +$$ +g (\theta_ {i, j}, \varphi_ {i, j}) = \left\{ \begin{array}{l l} \theta_ {i, j} - \varphi_ {i, j} & \text {当} \theta_ {i, j} > \varphi_ {i, j} \\ \varphi_ {i, j} - \theta_ {i, j} & \text {当} \theta_ {i, j} < \varphi_ {i, j} \end{array} \right. +$$ + +设第 $i$ 架飞机为避免相撞需沿逆时针调整 $\triangle \theta_{i}^{1}$ 或沿顺时针调整 $\triangle \theta_{i}^{2}$ ，且二者之中至少有一个为零（非零的值就是飞机飞行角度调整的幅度 $\triangle \theta_{i}$ ）。我们以所有飞机的调整幅度之和最小为目标，建立线性规划模型如下： + +目标函数 $\min z = \sum_{i=1}^{n} (\triangle \theta_i^1 + \triangle \theta_i^2)$ + +约束条件 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} a _ {i} ^ {1} + a _ {i} ^ {2} \leq 1 & i = 1, 2, \dots , n \\ a _ {i} ^ {1} = 0, 1 & i = 1, 2, \dots , n \\ a _ {i} ^ {2} = 0, 1 & i = 1, 2, \dots , n \\ \triangle \theta_ {i} ^ {j} \leq \frac {\pi}{6} a _ {i} ^ {j} & i = 1, 2, \dots , n, j = 1, 2 \\ \theta_ {i} = \theta_ {i} ^ {0} + \theta_ {i} ^ {1} - \theta_ {i} ^ {2} & i = 1, 2, \dots , n \\ \theta_ {i, j} = f (\theta_ {i}, \theta_ {j}) \\ g (\theta_ {i, j}, \varphi_ {i, j}) > \psi_ {i, j} & i = 1, 2, \dots , n - 1, j = i + 1, \dots , n \end{array} \right. +$$ + +对一般的情况来讲，当 $\theta_{i}$ 是个未知量时，线性函数 $f(\theta_{i},\theta_{j})$ 和 $g(\theta_{i,j},\psi_{i,j})$ 都难以确定。但在给定数据的条件下，可先运用计算机模拟得到一可行的调整方案 $\{\triangle \theta_{1}^{\prime},\triangle \theta_{2}^{\prime},\dots ,$ $\triangle \theta_{n}^{\prime}\}$ ，在此方案的基础上，以各飞机的初始飞行角度为主要依据，确定 $f(\theta_{i},\theta_{j})$ 和 $g(\theta_{i,j},$ $\psi_{i,j})$ （当 $\triangle \theta_{i}^{\prime},(1\leq i\leq n)$ 都比较小时，此方法尤其有效），故我们的线性规划模型是可行的，对得出的解我们继续用计算机模拟进行优化，在各飞机的飞行角度调整幅度之和不增加的条件下，使各飞机调整幅度尽量均衡，即，使调整幅度最大的飞机的调整角度最小，因此，我们认为我们所设计的这一模型对处理实际问题是会非常有效的。 + +# 飞行管理问题的逐步逼近搜索方法 + +# 王崧 于劲松 陆昱 + +（北京大学，北京100871） + +指导教师：雷功炎 + +编者按：本文给出了一种逐步逼近的搜索方法，它尽管不能保证求出最优解，但具有以下三个特点：(1)简单易于编程计算。(2)对目标为绝对值函数与平方和函数两种模型都适用。(3)由计算结果看出对该问题是一个可行的方法。这里只摘录了原文的部分段落。 + +关键词：搜索法，全局最优解，局部最优解 + +# 模型的建立 + +由于要求中方向解的误差不超过0.01度，我们可以只考虑样本空间 $\Omega = [-30^{\circ}, 30^{\circ}] \times \dots \times [-30^{\circ}, 30^{\circ}]$ 中所有坐标均为0.01的整数倍的点。令 + +$$ +\Omega^ {\prime} = \{\triangle \alpha \in \Omega | 1 0 0 \triangle \alpha_ {i} \text {为 整 数}, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}. +$$ + +则 $\Omega^{\prime}$ 中共有 $6001^{6} \cong 4.7 \times 10^{22}$ 个点。要通过遍历 $\Omega^{\prime}$ 中所有元素来求最小值是不可能的。因此，我们采取了一种搜索算法，实践证明它可在允许的时间消耗下给出较优解（通过本文中后面的具体例子中用此搜索结果与证明了的最优解的比较，我们发现此结果已完全满足了我们的要求）。仍然记 + +$$ +F (\triangle \alpha) = \left\{ \begin{array}{l l} + \infty & \text {存 在} i, j, D I S T (A _ {i}, A _ {j}) \leq 8 \\ f (\triangle \alpha) & \text {其 它} \end{array} \right. +$$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\350\203\275\351\207\217\346\242\257\345\272\246\346\261\202\350\247\243\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\350\203\275\351\207\217\346\242\257\345\272\246\346\261\202\350\247\243\346\263\225.md" "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\350\203\275\351\207\217\346\242\257\345\272\246\346\261\202\350\247\243\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\350\203\275\351\207\217\346\242\257\345\272\246\346\261\202\350\247\243\346\263\225.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3141efdb734db4a806cd9fe6007b0f4c958c1693 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\350\203\275\351\207\217\346\242\257\345\272\246\346\261\202\350\247\243\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\346\250\241\345\236\213\347\232\204\350\203\275\351\207\217\346\242\257\345\272\246\346\261\202\350\247\243\346\263\225.md" @@ -0,0 +1,164 @@ +其中 $f(\triangle \alpha)$ 为目标函数方向角改变量的绝对值和（或平方和）， $\mathrm{DIST}(A_i, A_j)$ 为飞机 $A_i$ 和 $A_j$ 之间的距离。 + +方法一（基本思路）： + +首先在 $\Omega^{\prime}$ 中以较大跨度均匀地取N个点，通过遍历计算找到其中使 $F(\triangle \alpha)$ 取最小值的点，然后以该点为中心，找一个较小的区域，在其中再取 $N$ 个点，在这 $N$ 个点中找到使 $F(\triangle \alpha)$ 取最小值的点。如此迭代下去，当区域足够小，或者连续两次找到的点非常接近时（即如果连续两次迭代所得结果位置相邻且目标函数之差小于 $0.1^{\circ}$ ），我们就认为找到了较优的解，此时停止迭代。 + +此方法的优点在于：它是一个注重全空间的算法。较其它方法，如逐次调整法等，它比较有效地避免了局部行为（即迭代过程中结果收敛到一个局部极小值而非全局最小值的现象）。当点数 $N$ 选取适当时，时间消耗很少，但它仍有一些不足，主要问题是： $N$ 取得较小时，样本点在空间中的分布过于稀疏，仍然有可能出现局部行为。为此，我们在方法一的基础上做了改进，得到方法二。 + +方法二（改进思路）： + +首先在 $\Omega^{\prime}$ 中均匀地取 $N$ 个点，通过遍历计算找到其中使 $F(\triangle \alpha)$ 取最小的 $M$ 个点。以这 $M$ 个点为中心作 $M$ 个小区域，在每一个小区域中均匀地取 $N$ 个点，计算出这 $MN$ 个点中使 $F(\triangle \alpha)$ 取最小值的 $M$ 个点，如此迭代下去，直到找到较优的解（关于较优的解的判别方法同方法一）关于方法二的细节问题参见算法描述，方法二所用时间约为方法一的 $M$ 倍（实际上略少于 $M$ 倍），而在 $M$ 值与小区域的选取方法较好时，可有效地避免局部行为。这个优点在算法描述一节中得到了很好的体现。 + +# 飞行管理模型的能量梯度求解法 + +刘学 胡晨 陈涵 + +（清华大学，北京100084） + +指导教师：高策理 + +编者按：本问题建模后构成一个非线性规划，求最优解有相当难度，针对本问题本文用一个表征全局性质的能量来表达飞机位置，当达到最佳位置时能量取最小，从而构成能量梯度调整模型，按此模型获得了本问题最优解。本文为作者原论文中部分内容。 + +关键词：能量梯度，同步算法，异步算法 + +针对以上问题，我们考虑利用一个能够表征全局性质的量来辅助调节每架飞机的位置。由于最优解对应于一个函数的极值，我们设想用能量来表达飞机的位置，当达到最佳 + +位置时，能量最小。由此我们可以设想，每架飞机的方向角在其调整方向上的能量梯度表达了这架飞机的调整趋势。通过比较这些趋势并在趋势上逐步搜索。我们有理由相信其调整过程将向一个较优的结果运动。 + +为此，我们定义 $[\triangle \theta_{1},\triangle \theta_{2},\dots ,\triangle \theta_{6}]$ 空间的能量函数如下： + +$$ +E = \sum_ {i} \sum_ {j > i} E _ {i j} +$$ + +其中 $E_{ij} = 0$ ， $d_{min,ij}\geqslant 8$ + +$$ +E _ {i j} = 8 - d _ {\min , i j}, \quad d _ {\min , i j} < 8 +$$ + +当 $i,j$ 两架飞机之间的最小距离 $d_{\min,ij} \geqslant 8$ 时， $E_{ij} = 0$ 表示它们之间无碰撞产生；而当 $d_{\min,ij} < 8$ 时，定义 $E_{ij} = 8 - d_{\min,ij}$ ，这反映了碰撞的严重程度。很明显，此能量函数 $E$ 表示了在 $\triangle \theta_1, \triangle \theta_2, \dots, \triangle \theta_6$ 的调节量作用下，当前飞机航向所引起的碰撞严重程度。 + +我们在 $[\triangle \theta_{1}, \triangle \theta_{2}, \dots, \triangle \theta_{6}]$ 空间上，只要找到E的零点，便可符合题目的要求。为此，我们提出了能量梯度法。 + +对于各梯度的计算为： + +$$ +d _ {\min , j k} = \left| \triangle \vec {P} _ {j k} \right| \cdot \left| \sin \left(\varphi_ {\triangle v, j k} ^ {0} - \varphi_ {\triangle P} + \frac {\triangle \theta_ {j} + \triangle \theta_ {k}}{2}\right) \right| +$$ + +$$ +\frac {\partial E}{\partial \triangle \theta_ {k}} = \sum_ {j \neq k} \frac {\partial E _ {j k}}{\partial \triangle \theta_ {k}} +$$ + +$$ +\text {而} \frac {\partial E _ {j k}}{\partial \triangle \theta_ {k}} = 0, \qquad E _ {j k} = 0; +$$ + +$$ +\frac {\partial E _ {j k}}{\partial \triangle \theta_ {k}} = - \frac {\partial d _ {\min , j k}}{\partial \triangle \theta_ {k}} = \pm | \triangle \vec {P} _ {j k} | \left| c o s \left(\varphi_ {\triangle v, j k} ^ {0} - \psi_ {\triangle p} + \frac {\triangle \theta_ {j} + \triangle \theta_ {k}}{2}\right) \right| \frac {1}{2} E _ {j k} \neq 0; +$$ + +当 $\sin (\varphi_{\triangle \nu ,jk}^0 -\varphi_{\triangle P} + \frac{\triangle\theta_j + \triangle\theta_k}{2}) > 0$ 时，上式中的 $\pm 1$ 取 $+1$ ；反之，取一1。 + +每次调整的步长由下式决定：stepk= $\frac{threshold}{\frac{\partial E}{\partial\triangle\theta_k}}$ 其中，threshold为能量下降的期望值， $-30^{\circ}\leqslant \triangle \theta_{i}\leqslant 30^{\circ},\triangle \vec{p}_{jk} = \vec{p}_i - \vec{p}_j,\psi_{\triangle \nu} = \frac{1}{2} (\pm \pi +\theta_i + \theta_j)\theta_i > \theta_j$ 取 $+1,\theta_{i}\leqslant \theta_{j}$ 取-1。 + +# 一、同步调整 + +在此我们首先采用同步调节的方法。在此方法中，每次对六架飞机均做调整，如算法(3,4)所示（参见后文）。 + +在调节过程中，如果有两架飞机之间距离较小，则此两架飞机在梯度方向上的调整幅度应加大。我们建立如下的函数以说明这种思想： + +# 二、异步顺序调整 + +同步调节不可避免地带来一种局限性，即当一架飞机调节后，再调整另一架飞机时，是按前一飞机未调整之前的参数计算的，因此同步调节时，总体性质的体现不很好，不能多架飞机相互兼顾。为此，我们认为，在调节一架飞机后，就更新所有参数，再利用梯度调节下一架飞机的方法更为合理。由此我们提出了异步顺序梯度调节方法。 + +# 三、异步优化顺序调整 + +但是由上述模型可以看出，每个飞机调节的梯度值是不同的，有的飞机方向角的变化对最后能量的减小起着明显的作用，因此我们没有理由不先考虑这些飞机。我们改进梯度模型为异步优化顺序模型，即每次调节后更新参数并计算每个飞机调节的梯度，找到梯度绝对值最大的飞机优先进行调整。 + +# 四、同步梯度算法 + +1）计算当前总能量 $E$ ，若 $E = 0$ ，则已符合要求，转6； +2）对于 $k = 1,2,\dots ,6$ ，分别计算 $\frac{\partial E}{\partial\triangle\theta_k}$ 即能量 $E$ 在 $\triangle \theta_{k}$ 方向上的梯度；（计算方法参见2.5节）。 +3）根据 $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}$ 决定 $\triangle \theta_k$ 的变化量 step_k；（见 2.5 节） +4）令 $\triangle \theta_{k} = \triangle \theta_{k} + step_{k}$ +5）转1； +6）算法结束，此时 $(\triangle \theta_{1}, \triangle \theta_{2}, \dots, \triangle \theta_{6})$ 即为所求的各架飞机航向角度的偏移量。 + +# 五、异步顺序梯度算法 + +0） $k = 0$ + +0.1） $k = k + 1$ ；如果 $k > 6$ 则令 $k = 1$ +1）计算当前总能量 $E$ ，若 $E = 0$ ，则已符合要求，转6； +2）对于当前的 $k$ ，计算 $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}$ 即能量 $E$ 在 $\triangle \theta_k$ 方向上的梯度；（计算方法参见2.5节） +3）根据 $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}$ 决定 $\triangle \theta_k$ 的变化量 step_k；（见2.5节） +4）令 $\triangle \theta_{k} = \triangle \theta_{k} + step_{k}$ +5）转0.1； +6）算法结束，此时 $(\triangle \theta_{1}, \triangle \theta_{2}, \dots, \triangle \theta_{6})$ 即为所求的各架飞机航向角度的偏移量。 + +# 六、异步优化顺序梯度算法 + +1）计算当前总能量 $E$ ，若 $E = 0$ ，则已符合要求，转6； +2）对于 $k = 1,2,\dots ,6$ ，分别计算 $\frac{\partial E}{\partial\triangle\theta_k}$ 即能量 $E$ 在 $\triangle \theta_{k}$ 方向上的梯度；（计算方法参见2.5节）。 + +2.1）从 $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}, k = 1, \dots, 6$ ，中选出梯度的最大值，及其对应的 $k$ +3）根据 $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}$ 决定 $\triangle \theta_k$ 的变化量 $step_k$ ；（见2.5节） +4）令 $\triangle \theta_{k} = \triangle \theta_{k} + ste p_{k}$ +5）转1； +6）算法结束，此时 $(\triangle \theta_{1}, \triangle \theta_{2}, \dots, \triangle \theta_{6})$ 即为所求的各架飞机航向角度的偏移量。 + +# 七、同步梯度模型 + +我们选取阈值为0.1，用同步梯度模型对三组数据计算结果如下： + +
数据组号飞机1飞机2飞机3飞机4飞机5飞机6总角度
1002.338-0.2980.5211.3694.53
2-6.76101.862-1.6440.4642.25712.98
32.1146.1042.659-6.429-1.3642.42421.00
+ +# 八、异步顺序梯度模型 + +我们选取阈值为0.1，用异步顺序梯度模型对三组数据计算结果如下： + +
数据组号飞机1飞机2飞机3飞机4飞机5飞机6总角度
1002.498-0.1490.4641.1634.27
2-6.19902.389-1.1230.4071.77611.89
32.149-6.0102.126-6.354-1.2552.40120.29
+ +# 九、异步优化顺序梯度模型 + +我们选取阈值为0.1，用异步优化顺序梯度模型对三组数据计算结果如下： + +
数据组号飞机1飞机2飞机3飞机4飞机5飞机6总角度
1002.819000.8193.63
20.92201.541-2.54403.6108.61
+ +# 飞行管理问题约束条件的线性化 + +徐元军 曾九林 韩伟群 + +（中南林学院，株州412000） + +指导教师：潘冬光 + +编者按：本文从相对运动出发，给出了两架飞机不碰撞条件的几何描述，得到了两机不碰撞的方向角范围，并对有关条件作了线性化处理，从而使原来的非线性约束化为线性约束。其特点在于：对约束条件的简化，注意了保留在区域内不碰，在区域外碰撞的角度范围，考虑较为全面。当然，对这一条件还可有其他处理方式。此处发表的是该文有关部分的摘录，编者只增添了极少的语句，使文意联贯。 + +关键词：碰撞条件，约束条件。 + +$$ +x _ {i} = v t \operatorname {C o s} \left(\theta^ {\prime} _ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + x _ {i 0} \quad 0 \leqslant x _ {i} \leqslant 1 6 0 +$$ + +$$ +y _ {i} = v t \sin \left(\theta^ {\prime} _ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + y _ {i 0} \quad 0 \leqslant y _ {i} \leqslant 1 6 0 +$$ + +则飞机 $i$ 与 $j$ 间距离 + +$$ +d = \sqrt {\left(x _ {i} - j _ {i}\right) 2 + \left(u _ {i} - y _ {j}\right) 2} +$$ + +$(x_{i},y_{i})$ 表示第 $i$ 架飞机在 $\pmb{t}$ 时刻的坐标 + +$(x_{i0},y_{i0})$ 表示第 $i$ 架飞机在 $t = 0$ 时的坐标 $(i = 1,2,3,4,5;j = i + 1,i + 2\dots \dots 6)$ 新进入飞机编号为6。 + +考虑利用两架飞机在区域内的相对速度来判断飞机的碰撞条件。 + +$\theta_{i}$ 表示两点的连线为始边， $i$ 为圆心逆时针旋转到 $\boldsymbol{v}_{i}$ 的角（在两点连线的左端反向为负）。 +$\theta_{j}$ 表示以两点的连线为始边， $j$ 为圆心顺时针旋转到 $v_{j}$ 的角（在两点连线的右端），反向为负。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\256\236\346\227\266\347\256\227\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\256\236\346\227\266\347\256\227\346\263\225.md" "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\256\236\346\227\266\347\256\227\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\256\236\346\227\266\347\256\227\346\263\225.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..680a6470fe8b998cab17536de62f47431d783580 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\256\236\346\227\266\347\256\227\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\256\236\346\227\266\347\256\227\346\263\225.md" @@ -0,0 +1,320 @@ +# 飞行管理问题的实时算法 + +谭浩南 朱正光 刘剑 + +（复旦大学，上海200433） + +# 指导教师：蔡志杰 + +编者按：该文以区域内飞机调整飞行角幅度的平方和为目标函数，以自调整时刻起0.3小时内飞机两两不发生碰撞为约束条件，建立了一个非线性规划模型，用逐步求精的直接搜索和引入罚函数化为无约束极值用序列无约束最小化(SUMT)两种方法进行求解。 + +作者在建模和求解时从实际需要出发，精益求精，将上述两种方法相结合，得到了精度高、基本上是实时的方法与程序，还对模型与方法作出了恰当的分析与评价，文章清晰、完整。 + +摘要本文讨论了在一定区域空间内进行飞行管理避免飞机抽撞的模型，提出了直接搜索法和非线性规划(SUMT)法两种解法，并将两种方法有机结合，得出的算法在486微机上计算时间小于10秒，误差不超过0.01度，完全符合问题的要求。 + +本文接着给出四种不同情况分别用两种方法求解，进行比较检验，取得很好的吻合，充分说明了模型3的可靠性。本文还对模型的误差进行分析并对模型进行推广。 + +关键词：非线性规划，直接搜索，罚函数 + +# 一、问题的提出（略） + +# 二、问题的分析 + +该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题，初步分析题意后可知约束条件是非线性的，难以化归为线性规划问题。由于题目涉及数据变量不是太多，可以考虑用逐步求精的直接搜索法求解。由于题目要求的精度较高，而对于计算时间的要求也较高，如果求解时间在2、3分钟以上将失去任何实际意义。我们将求解时间上限定为0.5分，以符合实际的要求。直接搜索法求的近似解难以同时满足两方面的要求。但直接搜索法至少能在较短的时间内得到一个较好的可行解，这就为运用非线性规划的方法提供了条件。非线性规划的算法种类繁多，但均只适用于某些类型的问题。由于缺乏适用的计算机软件包，我们自行编写了实现算法的程序。综合程序准备时间和收敛速度两方面因素我们选择了SUMT算法。SUTM算法与直接搜索法相结合，使我们能够在足够短的时间内找到问题的足够精确的解。 + +# 三、模型假设及说明 + +1. 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； +2. 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； +3. 所有飞机飞行速度均为每小时800公里； +4. 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上； +5. 最多考虑6架飞机； +6. 不必考虑飞机离开此区域后的状况； +7. 飞机进入控制区域后完全服从地面控制台的调度，飞机未接到指令时保持飞行状态不变。 +8. 计算机从记录新进入飞机数据到给各飞机发指令间隔为 $t_1, t_1$ 小于 0.5 分。 +9. 飞机接到指令后可立即转到所需角度，即不考虑转弯半径的影响。 + +说明： + +1. 假设3假定所有飞机速度均为 $800\mathrm{km / h}$ ，是出于对问题的简化。我们将在模型的推广中给出飞机速度各不相同时的对策。 +2. 假设4是必要的，否则可以给出无解的例证，如图所示。对该假设可作如下解释：飞机在区域D外靠机上雷达自动保持与其他飞机距离大于 $60\mathrm{km}$ ，进入区域D后由地面控制台进行统一控制，保证飞机距离大于 $8\mathrm{km}$ 。 +3. 假设5中6架飞机的假设是足够多的。以世界最繁忙的国际航空港之一希思罗机场邻近区域为例， + +![](images/915c8c757786d085c327ac68b4afb550ce25bca221ca2ba0d5d02537945725fd.jpg) + +因假设飞机在区域D作水平飞行，即知该区域内无机场。设在希思罗机场起降的飞机有一半穿过该区域，希思罗机场1992年起降总架次为22.5万次(文献6)，则平均每小时有15架飞机穿过该区域。而一架飞机穿过该区域最多需 $\frac{160 \times \sqrt{2}}{800} \approx 0.28$ 小时，则任一时刻该区域上空飞机架数的期望值不超过4.5架。另外，事实上不同飞机的飞行高度是不同的，这就进一步减少了该区域同一水平面上飞机的数目。以上讨论虽然稍嫌粗略，但是足以说明6架飞机的假设是合理的。 +4. 假设8是因为计算机从接到数据到发出命令间存在一个时滞，该时滞固然越小越好，但受机器限制，一般不能忽略。我们取0.5分为此时滞的一个上限，以使结果具有实际意义。当 $t < 1$ 秒时，可以认为实现的是实时控制，时滞可以忽略不计。 +5. 虽然假设2给出的调整范围为30度，但实践证明，10度的调整范围就已足够（从后面的模型1也可看出，即使两机相向飞行，各自所须的调整也不超过8度），因而在今后绝大多数讨论和程序的编制中都将搜索区间定为 $[-10, 10]$ 度。 + +# 四、文中用到的符号及说明 + +$t_1$ 时滞 $(x_{i,1},y_{i,1})$ 第 $i$ 架飞机的坐标 + +$\alpha_{i_0}$ 第 $i$ 架飞机初始方位角 $t$ 时间参数 + +$\alpha_{i}$ 第 $i$ 架飞机方位角 $D_{i}(\alpha_{i},\alpha_{j})$ 时刻 $t,i,j$ 两机距离 + +$C_{ij}$ $\cos \alpha_{i} - \cos \alpha_{j}$ $\min D(\alpha_i,\alpha_j)\quad i,j$ 两机预计最短距离 + +$S_{i j}$ $\sin \alpha_{i} - \sin \alpha_{j}$ 飞机速度 + +$\triangle x_{ij}$ $x_{i} - x_{j}$ 偏差平方和函数 + +△y 1 -y 求精次数 + +$x$ 逐步求精搜索法中每次求精每层循环次数 + +$g_{ij}(x)$ $i,j$ 飞机最短距离构成的不等式约束 + +$h_{ij}(x)$ 关于第 $i$ 架飞机的等式约束 + +$p(X,r)$ 罚函数 权因子 + +# 五、模型的建立及求解 + +# （一）模型一（两架飞机的情形， + +# （二）模型二 + +模型二直接将两机模型运用于多机问题，因为它等价于飞机之间两两不相撞。该模型讨论区域中有6架以下飞机时的情形，利用了模型1判别相撞的函数ifcrash，同模型1一样采取方向角调整幅度平方和最优为调整原则，从而导出目标函数和约束条件如下： + +$$ +\min \quad f = \sum \left(\alpha_ {i} - \alpha_ {i 0}\right) ^ {2} +$$ + +$$ +s. t. \quad \min D ^ {2} \left(\alpha_ {i}, \alpha_ {j}\right) \geq 6 4 \quad (i, j = 1, 2, \dots 6, j \neq j), t > 0; +$$ + +或 $t < 0$ + +其中 $\min D^{2}(\alpha_{i},\alpha_{j}) = (-\frac{\triangle y_{ij}S_{ij} + \triangle x_{ij}C_{ij}}{C_{ii}^{2} + S_{ij}^{2}} C_{ij} + \triangle x_{ij})^{2}$ + +$$ +\begin{array}{l} + \left(- \frac {\triangle y _ {i j} S _ {i j} + \triangle x _ {i j} C _ {i j}}{C _ {i j} ^ {2} + S _ {i j} ^ {2}} S _ {i j} + \triangle y _ {i j}\right) ^ {2} \\ = \frac {\left(\triangle x _ {i j} S _ {i j} - \triangle y _ {i j} C _ {i j}\right) ^ {2}}{C _ {i j} ^ {2} + S _ {i j} ^ {2}}, \\ t = - \frac {\triangle y _ {i j} S _ {i j} + \triangle x _ {i j} C _ {i j}}{V \left(C _ {i j} ^ {2} + S _ {i j} ^ {2}\right)} \\ \end{array} +$$ + +为使 ifcrash 函数只考虑区域中的飞机相撞情况, 我们可作如下修改: 因为飞机飞过该区域时间不超过 0.28 小时 (即飞正方形区域对角线时间), 我们可认为仅当 $\min \mathrm{D} < 8$ , 且 $0 < t < 0.28$ 小时的时候, 飞机在区域中相撞; 否则不相撞。在实际计算时, 我们更把上限加大到 0.3 小时, 实际上是使不相撞的条件更苛刻了一些, 相当于对飞机飞离此区域后的情况也作了部分考虑, 提高了全局控制的安全性。 + +对该模型我们采用直接搜索法讨论了一般情况下对原问题的求解，可在规定时间内得到一个近似解，如果放宽时限，则可得一个符合精度要求的最优解。 + +直接搜索法原理十分简单：构造多重循环，对所有可能解进行判断，直接得出在一定精度范围内无可质疑的最优解。但如不使用任何技巧进行直接搜索，必将耗费大量时间。以本题为例，若在 $[-10, 10]$ 度范围内进行搜索，步长0.01度，共6层循环，需计算 $6.4 \times 10^{19}$ 次，在486DX66上计算一次循环内函数费时 $2.7 \times 10^{-5}$ 秒，则此种算法算完显然是不可能的。 + +为在30秒内算出一个较精确的解，我们采用了逐步求精的方法。即每次用一定的步长以较少的循环次数进行“粗选”，在“粗选”出的解附近以减小了的步长进行“精选”，逐次推进直到达到指定精度。 + +设每次求精步长减小的倍数是相同的，则每次求精循环次数也相同，设为 $x$ ，我们考虑 $[-10,10]$ 度区间，精度要求达到0.01度，设进行了n次求精，则 + +$$ +\left(\frac {x}{2}\right) ^ {n} = 2 0 / 0. 0 1 = 2 0 0 0 +$$ + +总循环次数 $L = n \times x^6 = (\log 2000) / (x / 2)) \times x^6$ + +由此式可知 $x$ 减小则 $\mathrm{L}$ 减小，但若 $x$ 太小则可能无法收敛到最优解。经验表明 $x$ 在8次以上时才能达到较好的搜索效果。 + +$$ +n = (\log 2 0 0 0) / (\log (8 / 2)) = 5. 4 \approx 5 +$$ + +此时共需搜索最多 $5 \times 9^{6} = 265$ 万次，需费时71.55秒。 + +为将计算时间控制在30秒以内，我们又采取了一些优化方法，如 + +a. 将底层循环内判别相撞的函数拆细分装在每层循环下，使在高层发现相撞后可提前结束循环； +b. 每进入新一层循环把已积累偏差平方和与已得最小偏差平方和比较，若大则结束该层循环。 +b. 每进入新一层循环把已积累偏差平方和与已得最小偏差平方和比较，若大则结束该层循环。 + +这些措施大大减少了平均搜索次数，使得在多数情况下计算时间少于30秒，但程序不能保证在30秒内结束运算，仍存在一些特异情况使计算时间接近最大耗时。我们又试用偏差绝对值和来代替平方和，发现对最优解影响有限，未能明显缩短计算时间。 + +至此可知用直接搜索法在现有机器条件下难以满足题设要求，要利用该解法，地面控制台必须满足以下条件之一： + +1）拥有速度至少为486DX66三倍以上的电脑； +2）降低精度要求至0.1度（4次求精步长为7，需时至多10.81秒）。 + +即使模型2不能直接用于飞行管理，它仍有以下作用： + +1）可算出符合精度要求的最优解供检验其他模型。 +2）可在相当短的时间内算出具有一定精度的最优解作为其他算法的初值。当精度要求为1度时，它算出最优解最多只需4.3秒（两次求精步长分别为7,6），大多情况下运算 + +时间为 $2\sim 3$ 秒。 + +# （三）模型三 + +该模型将原问题归结为一个非线性规划问题，并用SUMT算法进行了求解。 + +模型2给出的解法虽然不能满足题设要求，却能在较短时间内给出一个较接近最优解的可行解。由此可行解出发，用适当的非线性规划算法可较快得出满足精度要求的最优解。 + +以 $\alpha_{i}(i = 1,2,\dots 6)$ 为变量，在模型2中我们已经将问题归结为非线性规划问题，主要约束条件为 + +$$ +\min f = \sum \left(\alpha_ {i} - \alpha_ {j 0}\right) ^ {2} \tag {1} +$$ + +$$ +\min \quad D ^ {2} \left(\alpha_ {i}, \alpha_ {j}\right) \geq 6 4 \quad (i, j = 1, 2, \dots 6, i \neq j) +$$ + +由于 $\mathrm{minD}^2 (\alpha_{\mathrm{i}},\alpha_{\mathrm{j}})$ 的形式复杂，求导有困难，我们对(1)作一些改变，将目标函数改为 + +$$ +f ^ {*} = \sum_ {i = 1} ^ {6} C _ {i, i 0} ^ {2} + S _ {i, i 0} ^ {2} +$$ + +$$ +C _ {i, i 0} = \cos \alpha_ {i} - \cos \alpha_ {i 0}, \quad S _ {i, i 0} = \sin \alpha_ {i} - \sin \alpha_ {i 0} +$$ + +将变量改为 $\mathrm{C}_{i,0}$ ， $\mathrm{S}_{i,0}(i = 1,2,\dots ,6)$ 共12个，增加等式约束 + +$$ +\left(C _ {i, i 0} + \cos_ {\alpha} i 0\right) ^ {2} + \left(S _ {i, i 0} + \sin \alpha_ {i 0}\right) ^ {2} = 1 \quad (i = 1, 2, \dots , 6) +$$ + +使问题(1)变为一个12个变量，21个2次约束条件的目标函数求极小值的问题 + +$$ +\min f ^ {*} (X) = \sum_ {i = 1} ^ {6} \left(C _ {i, i 0} ^ {2} + S _ {i, i 0} ^ {2}\right) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} s. t. g _ {i j} (X) = \min D ^ {2} \left(C _ {i, i 0}, C _ {j, j 0}, S _ {i, i 0}, S _ {j, j 0}\right) - 6 4 \geq 0 \quad (i, j = 1, 2, \dots , 6 i < j) \\ h _ {i} (X) = 0 \quad (i = 1, 2, \dots , 6) \\ \end{array} +$$ + +其中 $X = (C_{1,10}, C_{2,20}, \dots, C_{6,60}, S_{1,10}, S_{2,20}, \dots, S_{6,60})$ (2) + +$$ +\begin{array}{l} \min D ^ {2} \left(C _ {i, j 0}, \quad C _ {j, j 0}, \quad S _ {j, j 0}, \quad S _ {j, j 0}\right) \\ = \frac {\left(\left(S _ {i , i 0} - S _ {i , j 0} + S _ {i 0 , j 0}\right) \cdot \triangle x _ {i j} - \left(C _ {i , i 0} - C _ {j , j 0} + C _ {i 0 , j 0}\right) \cdot \triangle \dot {y} _ {i j}\right) ^ {2}}{\left(S _ {i , i 0} - S _ {j , j 0} + S _ {i 0 , j 0}\right) ^ {2} + \left(C _ {i , i 0} - C _ {j , j 0} + C _ {i 0 , j 0}\right) ^ {2}} \\ \end{array} +$$ + +$$ +h _ {i} (X) = \left(C _ {i, i 0} + \cos \alpha_ {i 0}\right) ^ {2} + \left(S _ {i, i 0} + \sin \alpha_ {i 0}\right) ^ {2} - 1 +$$ + +Himmelblau 在文献[1]中列举了三类 12 种算法, 我们对这 12 种算法进行了比较, 主要是考虑其收敛速度的快慢, 其次由于没有现成的软件包可供使用, 必须自己编制有关程序, 程序准备时间的长短, 即算法变为程序的复杂程度也必须考虑。综合上述两方面因素, 我们选择了序列无约束最小化方法(Sequential Unconstrained Minimization Technique), 简称 SUMT 算法。 + +SUMT法的基本思想是重复地求解一系列无约束问题，它们的解在极限情况下趋于非线性规划问题的极小点。算法的详细内容参见文献[1][2][3][4]，现概述如下： + +首先构造罚函数 $P(X_{k},r) = f^{*}(X_{k}) + r_{k}\sum_{i = 1}^{6}\frac{1}{g_{ij}(X)} +r_{k}\sum_{i = 1}^{6}h_{i}^{2}(X_{k})$ ，其中权因子 $r_k$ 是一单调递减数列。对每个 $r_k$ 值求 $Xi$ 使 $P(X_{k},r_{k})$ 取极小值。设精度要求 $\varepsilon$ ，当 $|X_{k}-$ $X_{k - 1}| < \varepsilon$ 时结束运算，即为符合所需精度要求的最优解。 + +对此具体问题，我们置 + +$$ +P (X, r) = f ^ {\prime} (X) + r _ {- 1} \sum_ {i = 1} ^ {6} h _ {i} ^ {2} (X) + r (- \sum_ {i, j = 1, i \neq j} ^ {6} \ln g _ {i j} (X)) +$$ + +$$ +r _ {k} \rightarrow 0, \quad r _ {0} = \max \left\{1 0 ^ {- 2}, \frac {\left| v ^ {*} \right|}{1 0 0} \right\}, \quad r _ {k} = \frac {r _ {k - 1}}{\sqrt [ 8 ]{1 0}} +$$ + +$$ +\varepsilon = 0. 5 \times 1 0 ^ {- 2} +$$ + +为此问题编制程序SUMT1对题目中的数据进行运算，初始值用模型2以精度为1度时算出的最优值代入，结果如下： + +
初始角α0偏转角△α
飞机1243.000.00
飞机2236.000.00
飞机3220.502.14
飞机4159.00-0.42
飞机5230.000.00
飞机652.001.49
+ +偏差平方和 6.98 + +该程序运行时间为7.2秒。 + +迄今为止，我们尚未讨论时滞对解的影响。在模型3中，Planesumt的运行时间是稳定的，约为4秒左右。用模型2的Solve求粗略最优解耗时在 $2\sim 4.3$ 秒，随最优解出现位置不同而改变，加上裕量后我们可以在10秒以内给出最优解，故将时滞定为10秒，由假设7只需将各架飞机的坐标按原速度方向向前移动10秒内的位移，在此基础上求解即可，这在程序上实现起来相当简便。考虑时滞后得出的结果如下表所示： + +
初始角α0偏转角△α
飞机1243.000.00
飞机2236.000.00
飞机3220.502.22
飞机4159.00-0.72
飞机5230.002.13
飞机652.001.16
+ +偏差平方和 11.3292 + +该模型运行结果在精度和耗时两方面都是令人满意的。我们建议地面控制台采用比486DX66快8倍以上的机器，这样就可以进行实时控制了。对题目所给例子给出的第一个最优解，可以认为即是在实时控制的假设下给出的。 + +# 六、模型的检验及误差分析 + +# （一）模型检验 + +模型二用遍历所有可能解的方式得出最优解的，其解(在可能的精度内)的最优性是 + +毋庸置疑的故我们可用模型二求出满足精度要求的解来检验模型3的结果。 + +我们对3组数据分别用模型二和模型三进行求解，结果如下 + +
(X0,Y0,α0)△α(Model 2)△α(Model 3)
飞机1(60,100,270)-6.53-6.55
飞机2(70,100,270)5.465.47
飞机3(80,100,270)3.083.09
飞机4(50,100,270)-4.16-4.20
飞机5(40,100,270)-6.48-6.54
飞机6(0,40,0)-4.30-4.30
+ +第一组：为避免侧面碰撞，6架飞机都需转动较大的角度，这是较为极端的情况，偏差的平方和较大，但没有一架飞机需调整的角度在10度以上。 + +
(X0,Y0,α0)△α(Model 2)△α(Model 3)
飞机1(60,80,180)4.914.91
飞机2(60,70,180)2.542.58
飞机3(60,60,180)0.360.40
飞机4(60,90,180)-7.32-7.33
飞机5(60,100,180)-4.35-5.00
飞机6(0,80,0)4.164.17
+ +第二组：与第一组类似：但可能发生的碰撞是正面的。 + +
(X0,Y0,α0)△α(Model 2)△α(Model 3)
飞机1(0,70,0)1.621.62
飞机2(55,5,90)1.091.12
飞机3(90,60,180)1.911.92
飞机4(40,130,270)0.040.07
飞机5(80,5,180)0.000.00
飞机6(0,60,0)4.004.00
+ +第三组：四架飞机十字交错而过，另有两架飞机水平飞行，两个模型都给出了较令人满意的调度。 + +各组数据吻合程度很好，且给出的调整方案也颇为符合逻辑，与一般常识相符，这说明模型三的算法是可靠的。值得指出的是以模型二的较粗略的可行解作为模型三的输入是非常必要的，这不但使解能快速收敛到指定精度，使计算时间符合要求，而且可用保证所求解的全局最优性。宾州大学教授James.P.Ignizio曾在其所著Goal Programming and Extensions中指出“非线性最优化…不具有用于求解问题的比较初等的通用方法，更令人失望的是非线性最优化不能保证对一个一般的问题找出整体最优解，除非这个问题具有非常特殊的形式。这意味着研究人员必须经常满足于只找出局部的最优解。事实上，即使所采用的方法能偶然找出整体最优解，但往往也很难判别这个最优解是整体的还是局部的。”这就指明了求一般的非线性规划问题的全局最优解目前尚无良策。如果没有模型2的输出作为模型3的输入，要找到全局最优解至少是相当困难的，时间上当然难以满足要求。 + +# （二）误差分析 + +# 1. 建模中的误差 + +考察模型假设可知假设9带来一定误差，简单分析后可知考虑转弯半径使飞行轨迹在垂直飞行方向上产生一个偏差 $X$ + +$X = (1 - \cos \theta)R$ ，其中 $R$ 为转弯半径， $\theta$ 为转角。 + +对最小转弯半径小于10公里的中小型飞机，转角小于15度时偏差 + +$X \leq (1 - \cos 15^{\circ}) * 10 = 0.34$ 公里 + +对最小转弯半径约为40公里的大型飞机，转角小于8度时偏差 + +$X \leq (1 - \cos 8^{\circ}) * 40 = 0.39$ 公里 + +两种情况下偏差均小于相撞条件8公里的 $5\%$ ，可以忽略不计。由于飞行管理中让一架飞机做大于8度的转向是较少发生的事（由模型1知两架距离为60公里的飞机在一条直线上相对飞行时，也只需一架转7.66度，一架转7.67度即可避免相撞。）故该处假设可以认为是合理的。下面给出发生极端情形时的一个对策：设一架大型飞机做30度的转弯，此时偏差 $X = (1 - \cos 30^{\circ}) * 40 = 5.36$ 公里不可忽略。在飞机开始转弯后(转弯过程约需1.6分钟)地面控制站的计算机可算出一条曲率处处大于1/40的偏转线，以此曲线引导飞机飞回偏转线。这种局部调整法的优点在于计算简单，不对全局的调整角度方案产生影响，特别适用于这种小概率事件。 + +# 2. 计算误差 + +模型一、二计算过程中的误差仅来源于机器的截断误差，对于最后结果没有重大影响。 + +模型三计算中的误差来源于 + +a、建模过程中对目标函数进行替换时。 + +b、用SUMT算法进行计算时。 + +对于a我们对 $\triangle \alpha$ 从0度到10度计算了 $c_{ii_0}^2 +s_{ii_0}^2$ 以1度为基准的相对误差，如下表所示 + +
偏差(度)偏差的平方拟偏差相对拟偏差拟偏差相对误差
00000
113.046E-43.046E-40
241.218E-41.218E-40
392.741E-32.741E-30
4164.872E-34.874E-34.1E-4
5257.611E-37.615E-35.2E-4
6361.095E-21.097E-21.8E-3
7491.491E-21.493E-21.3E-3
8641.946E-21.949E-21.5E-3
9812.462E-22.467E-22.0E-3
101003.038E-23.046E-22.6E-3
+ +相对误差在 $0.3\%$ 以下，这些表明替换函数对最后结果没有显著影响。 + +对于 $\mathbf{b}$ 我们认为文献[1][2][3][4]中提供的算法已考虑了误差问题。在程序中实际给出了两个误差控制是：相对精度界 $\varepsilon_{1}$ 和绝对精度界 $\varepsilon_{2}$ ，当满足 + +$$ +\left| x _ {j} (k, j) - x _ {j - 1} (k - 1, j - 1) \right| < \varepsilon_ {1} \left| x _ {j} (k, j) \right| + \varepsilon_ {2} +$$ + +时程序结束。这保证了解的误差在精度要求以内。 + +# 3. 输入误差对结果影响 + +通过对输入数据给以小的扰动，经大量计算可得如下定性结果： + +a. 飞机位置有小的扰动对结果影响甚微，扰动增大时影响明显。 +b. 飞机方向角的扰动对结果影响显著，扰动大小与结果变化幅度基本是在一个数量级上。 + +以上结果说明为保证结果的准确性应尽量减小对飞机方向角测量的误差，同时对飞机位置测量的误差也应控制在一定范围以内。 + +# 七、模型的评价及推广 + +# （一）模型的评价 + +模型三是我们得到的主要结果，该模型可对区域内任意位置、方向的6架以内的飞机给出调整对策，如果飞机管理的计算机计算速度比486DX66快10倍左右，则可实现实时控制。具有计算时间短、精度高的特点，实用性强，较为完满地解决了原始问题。建模过程中用到的非线性规划方法具有一般性，容易作出推广。缺点是当飞机数目增多时，非线性规划的规模增大了，计算时间增长较快，幸好对假设的分析表明这种情况是很少发生的。 + +# （二）模型的推广（略） + +# 参考文献 + +1. 实用非线性规划，D.M.Himmeblau +2. 非线性边值问题的一些解法, J.L.Lions +3. 线性与非线性规划引论，D.G.Luenberger +4. 最优设计的数学方法，程极泰 +5. 无约束最优化计算方法，邓乃扬 +6. 国际航空运输管理，顾其行 +7. Goal Programming and Extensions, James. P. Lgnizio \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\347\272\277\346\200\247\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\347\272\277\346\200\247\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\347\272\277\346\200\247\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\347\272\277\346\200\247\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c46a56eb6b4ce353d1890a98c1cf22cdb0e6eadf --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\347\272\277\346\200\247\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\347\272\277\346\200\247\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,255 @@ +$$ +\begin{array}{r l} & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} + \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \theta_ {i j} - Z M - Y M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \theta_ {i j} - (1 - Z) M - Y M} \\ & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} + \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \operatorname {a r c c o s} \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} - Z M - Y M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \operatorname {a r c c o s} \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} (1 - Z) M - Y M} \\ & {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j} = 0 + (Y - 1) M} \\ & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} < \operatorname {a r c c o s} \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{r T _ {i}} + Z M + (Y - 1) M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} < \operatorname {a r c c o s} \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} + (1 - Z) M + (Y - 1) M} \\ & {\text {(式 中} Z = 1, 0 \qquad y = 1, 0 \qquad M = 1 0 0 0 0 \qquad i = 1, 2, \dots n - 1, \quad j = i + 1, \dots n)} \end{array} +$$ + +# 飞行管理问题的线性规划模型 + +孙旭山 魏华 吕晓光 + +（清华大学，北京100084） + +编者按：这份答卷的作者没有参加全国的竞赛，而是按照同样的题目和要求参加了学校的竞赛。全国评委会的同志在评阅完全国的优秀答卷后审阅了本文，一致认为该文很有特色，特予发表。 + +对本题一般都是建立了非线性规划模型，直接求解很困难。该文不仅运用相对速度将不相撞的约束条件线性化（对调整角改变量线性），而且经过合理的选择将目标函数也线性化，从而将整个问题成功地简化为线性规划模型。另外该文表述清晰，证明简洁。 + +关键词：线性规划，相对速度 + +# 一、数学模型 + +# 1. 模型假设 + +（1）新飞机进入边缘时，立即作出计算，每架飞机按照计算机计算后的指示立即作方向角改变（有的飞机方向角可不变）。 + +（2）每架飞机整个过程中最多只改变一次方向角 +（3）忽略飞机转向时间（即认为飞机在按收到指令后立即对方向角调整，且忽略其调整时间） +（4）新飞机进入空域前，在空城中飞行的飞机方向已调合适不会相撞 +（5）对方向角的相同调整量的满意程度是一样的，且方向角调整越少，满意程度越高 + +# 2. 模型介绍 + +将每架飞机视为球状模型(二维平面为圆状模型)整个空域视为二维平面, 建立直角坐标系, 顶点为 $(0,0), (160,0), (160,160), (0,160)$ , 各方向角为飞行方向与 $x$ 轴正向的夹角。每架飞机是一个以飞机坐标点为圆心, 以4公里为半径的圆(因为相撞距离限为8公里)。每架飞机在空域中的状态(位置速度)均可视为矢量, 速度为从坐标点出发。方向角为辐角, 800公里为模的矢量。各圆心按其速度方向运行。若有两圆在运行过程中相交即为该两架飞机相撞。 + +# 3.名词、符号解释（如图1所示） + +$\alpha_{i,j}$ ：第 $i$ 架飞机与第 $j$ 架飞机的碰撞角，是两圆公切线交角中指向圆的那个角，规定 + +$$ +\alpha_ {i j} = \alpha_ {j i} +$$ + +$\nu_{ij}$ : 第 $i$ 架飞机相对于第 $j$ 架飞机的相对飞行速度。 + +$l_{ij}$ ：第 $i$ 架飞机与第 $j$ 架飞机圆心距。 + +$\beta_{ij}$ ：第 $i$ 架飞机相对于第 $j$ 架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角，规定：以第 $i$ 架飞机为原点， $i \rightarrow j$ 连线从 $i$ 指向 $j$ 为正方向，逆时间旋转为正，顺时针旋转为负。 + +$\triangle \theta_{i}$ ：第 $i$ 架飞机相对于直角坐标系旋转的角（即方向角改变量），是代数量。 + +$\triangle \beta_{ij}$ ：第 $i$ 架飞机相对于第j架飞机 $\beta_{ij}$ 的改变量。 + +# 4. 判断准则 + +不会相撞：当 $|\beta_{ij}| > \alpha_{ij}$ 时，两架飞机不会相撞（两圆不相交） + +![](images/f8130df43d705f9f2d15571eb368a185470e5af388e70482842bd2622afdc11d.jpg) + +# 5. 决策目标 + +题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，这个尽量小是针对每架飞机而言，同时也要求整体满意程度（即对管理层而言，应使每架飞机的调整都尽量的少），因此构造目标函数时，可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言，其调整量可满意，则由假设(5)知对 + +其余飞机调整量均可满意，即要求每架飞机的调整量(绝对值)都小于某个数 $\varepsilon (\varepsilon \geqslant 0)$ 。 + +目标函数即是求 $\varepsilon$ 的最小值 $\min \varepsilon$ 。 + +# 二、建模方案 + +# 1. 球形模型的建立 + +（1）由于两架飞机如果相距大于8公里，则不会发生相碰，故可以考虑为4公里，两球不相交，则表明不会发生碰撞事故，若相交，则表明会发生碰撞事故。 +（2）为了研究两球相撞，采用相对速度作为研究对象，因为飞机是否相撞的关键是相对速度。 +（3）球形模型在分析碰撞问题中的运用，如图1示。 + +AB,CD为公切线， $\mathrm{ni} / / \mathrm{CD},\mathrm{mi} / /\mathrm{AB}$ + +i,j不相撞的充要条件是 $\left|\beta_{ij}\right|_{\alpha_{ij}}$ （阴影区外） + +若 $\beta_{ij}$ 在阴影区内则通过调整角 $(i,j$ 的方向角）使 $\beta_{ij}$ 移出阴影区以达到整个空域中的飞机系统不相撞 + +（4）由球型模型建立起的函数及方程 + +i）重要结论：对第 $i,j$ 架飞机，其飞行方向角改变量 $(\triangle \theta_{i},\triangle \theta_{j})$ 之和的一半即为其相对速度方向 $\beta_{ij}$ 的改变量 $(\triangle \beta_{ij})$ ， + +即 $\triangle \beta_{ij} = \frac{\triangle\theta_i + \triangle\theta_j}{2}$ + +证明：由题知 $|\nu_i| = 800km = A$ + +设改变前的速度分别为 $\nu_{i1} = Ae^{i\theta_1}$ ， $\nu_{j1} = Ae^{i\theta_j}$ + +改变方向解后速度分别为 + +$$ +\nu_ {i 2} = A e ^ {i (\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i})}, \quad \nu_ {j 2} = A e ^ {i (\theta , + \triangle \theta)} +$$ + +$$ +\nu_ {i j} = \nu_ {i 1} - \nu_ {j 1} = A \left[ e ^ {i \theta_ {1}} - e ^ {i \theta_ {j}} \right] +$$ + +改变后 $\nu_{ij}' = \nu_{i2} - \nu_{j2} = A[e^{i(\theta_1 + \triangle \theta_j)} - e^{i(\theta_j + \triangle \theta_j)}]$ + +$$ +\begin{array}{l} \frac {\nu_ {i j} ^ {\prime}}{\nu_ {i j}} = \frac {A \left[ e ^ {i \left(\theta_ {i} + \triangle \theta_ {j}\right)} - e ^ {i \left(\theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}\right)} \right]}{A \left[ e ^ {i \theta_ {i}} - e ^ {i \theta_ {j}} \right]} \\ = \frac {\cos \left(\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + i \sin \left(\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) - \cos \left(\theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}\right) - i \sin \left(\theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}\right)}{\cos \theta_ {i} + i \sin \theta_ {i} - \cos \theta_ {j} - i \sin \theta_ {j}}. \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \frac {2 \sin \frac {\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i} - \theta_ {j} - \triangle \theta_ {j}}{2} (\sin \frac {\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i} - \theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}}{2} - i \cos \frac {\theta_ {i} + \theta_ {j} + \triangle \theta_ {i} + \triangle \theta_ {j}}{2})}{2 \sin \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} (\sin \frac {\theta_ {i} + \theta_ {j}}{2} - i \cos \frac {\theta_ {i} + \theta_ {j}}{2})} \\ = \frac {\sin \frac {\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i} - \theta_ {j} - \triangle \theta_ {j}}{2}}{\sin \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2}} e ^ {i \left(\frac {\triangle \theta_ {i} + \triangle \theta}{2}\right)} \\ \end{array} +$$ + +即 $\nu_{i,j}$ 与 $\nu_{i,j}$ 复角相差 $\frac{\triangle\theta_i + \triangle\theta_j}{2}$ + +$$ +\triangle \beta_ {i} = \frac {\triangle \theta_ {i} + \angle_ {N} \theta_ {i}}{2} \quad \text {证 毕} +$$ + +ii）因为忽略计算时间和转向时间故可得以下方程（不等式） + +由决策目标构造目标函数， $\min X = \varepsilon (|\triangle \theta_i|\leqslant \varepsilon)$ + +由飞机飞行方向角调整幅度不超过 $30^{\circ}$ 知 + +$$ +\left| \triangle \theta_ {i} \right| \leqslant 3 0 ^ {\circ}. \quad 0 < \varepsilon \leqslant 3 0 ^ {\circ} +$$ + +为便整个系统在改变后不发生相碰事故，应有 + +$$ +\left| \beta_ {i j} + \triangle \beta_ {i j} \right| > \alpha_ {i j} +$$ + +# 2. 总结函数及各约束条件 + +$$ +\min z = \varepsilon \tag {1} +$$ + +$$ +s. t. \quad | \beta_ {i j} + \triangle \beta_ {i j} | > \alpha_ {i j} \quad \triangle \beta_ {i j} = \frac {\triangle \theta_ {i} + \triangle \theta_ {j}}{2} \tag {2} +$$ + +$$ +\left| \triangle \theta_ {t} \right| \leqslant \varepsilon \tag {3} +$$ + +$$ +\left| \triangle \theta_ {i} \right| \leqslant 3 0 ^ {\circ} \tag {4} +$$ + +$$ +0 ^ {\circ} \leqslant \varepsilon \leqslant 3 0 ^ {\circ} \tag {5} +$$ + +# 3. 条件简化 + +为了利用线性规划对条件(2) $|\beta_{i_j} + \triangle \beta_{i_j}| > \alpha_{i_j}$ 进行如下简化（说明见附录，编者略去）。 + +当 $\beta_{i}, > 0$ 时 $(2)\Rightarrow \beta_{i} + \triangle \beta_{i}, > \alpha_{i}$ + +当 $\beta_{ij} < 0$ 时 $(2) \Rightarrow \beta_{ii} + \triangle \beta_{ij} < -\alpha_{ij}$ + +由于 $\triangle \theta_{i}$ 可正可负，为使线性规划中各决策变量均大于等于零，故引入新的决策变量 $\triangle \theta_{i_1},\triangle \theta_{i_2}$ 满足 + +$\triangle \theta_{i} = \triangle \theta_{i1} - \triangle \theta_{i2}$ 其中 $0 \leqslant \triangle \theta_{i1} \leqslant 30^{\circ}, 0 \leqslant \triangle \theta_{i2} \leqslant 30^{\circ}$ + +# 4. 线性规划关系式 + +$$ +\min Z = \varepsilon \tag {6} +$$ + +$$ +s. t. \quad \beta_ {i j} > 0 \text {时} \quad \triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 2} + \triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 2} > 2 \alpha_ {i j} - 2 \beta_ {i j} \tag {7} +$$ + +$$ +\beta_ {i j} < 0 \text {时} \quad \triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 2} + \triangle \theta_ {j 1} - \triangle \theta_ {i 2} < - 2 \alpha_ {i j} - 2 \beta_ {i j} \tag {8} +$$ + +$$ +\triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 2} \leqslant 3 0 ^ {\circ} \tag {9} +$$ + +$$ +\triangle \theta_ {1 1} - \triangle \theta_ {r 2} \geqslant - 3 0 ^ {\circ} \tag {10} +$$ + +$$ +\triangle \theta_ {t 1} - \triangle \theta_ {t 2} \leqslant \varepsilon \tag {11} +$$ + +$$ +\triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 3} \leqslant - \varepsilon \tag {12} +$$ + +$$ +\varepsilon \leqslant 3 0 ^ {\circ} \tag {13} +$$ + +$$ +\varepsilon , \triangle \theta_ {i 1}, \triangle \theta_ {i 2} \geqslant 0 \tag {14} +$$ + +[注]：其中 $\beta_{ij},\alpha_{ij}$ 可由题中已经知道的参数计算得出 + +设 $\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j$ 为飞机在空间的位置的矢量，计算公式如下 + +$$ +l _ {i j} = \left| \mathbf {x} _ {i} - \mathbf {x} _ {j} \right| \tag {15} +$$ + +$$ +\beta_ {i j} = \arg \left(v _ {i} - v _ {j}\right) - \arg \left(x _ {j} - x _ {1}\right) \tag {16} +$$ + +$$ +\alpha_ {i j} = \operatorname {a r c} \sin (8 / I _ {i j}) \tag {17} +$$ + +# 三、计算步骤 + +1. 记录各飞机状态：位置（坐标），速度（大小，方向角）。 +2. 计算各点间 $\beta_{ij},\alpha_{ij}$ +3. 根据建模方案所提，列出目标函数及约束条件，产生LINDO文件(LINDO是用于计算线性规划的软件) +4. 调用LINDO得到此条件下的线性规划最优解。 + +[注](1) 实际过程中, 可将 2,3,4 步过程合为一个模块. 这样可减少数据传递时间, 以提高效率。 + +（2）程序清单及结果见附录（编者略去） + +# 四、结果检验 + +对题目所给实例进行计算，清单见附表1（编者略去） + +$$ +\begin{array}{r l} & \text {方 案} \triangle \theta_ {1} = 0 ^ {\circ}, \triangle \theta_ {2} = 0 ^ {\circ}, \triangle \theta_ {3} = 1. 8 1 4 7 3 2 ^ {\circ}, \triangle \theta_ {4} = - 0. 7 4 3 1 5 5 ^ {\circ}, \\ & \triangle \theta_ {5} = 0 ^ {\circ}, \triangle \theta_ {6} = 1. 8 1 4 7 3 2 ^ {\circ} \end{array} +$$ + +各方向角按此方案改动后，系统各飞机均满足 $|\beta_{ij}| > \alpha_{ij}$ （即不含相撞），其中有些飞机对满足临界不相撞条件，即 $|\beta_{ij}| - \alpha_{ij}$ 的值 $< 0.01^{\circ}(0.01^{\circ}$ 是题目要求的计算精度） + +将调整后各量再代入算法计算后得目标函数 $\min Z = \varepsilon = 0$ （即无需改动） + +经模拟程序（见附表4，编者略去）运行后，动态观察结果正确 + +# 五、评价及推广 + +1. 此模型采用球形模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对速度作为判断标准既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了模型的计算 +2. 建模中作了适当的简化，将一个十分复杂的非线性规划问题简化为线性规划求解，既找到合理的解，又提高了运算速度及效率。这对于解决高速运行的飞机碰撞问题是大有裨益的，而且由题目所提供的例子计算出的结果是令人满意的。 + +3. 简化模型所得的解不一定是最优解，考虑如下极端情况：六架飞机有两架的相对速度刚好与其连线平行，即 $\beta_{ij} = 0$ ，那么按简化模型应如何确定最优解呢？ + +若假定 $\beta_{ij}^{\prime} = -\delta^{\prime}, \delta^{\prime} > 0$ 且 $\delta^{\prime} \rightarrow 0$ 则由简化模型可规划出一组解，若假定 $\beta_{ij}^{\prime} = +\delta^{\prime \prime}$ $\delta^{\prime \prime} > 0$ 且 $\delta^{\prime \prime} \rightarrow 0$ 同样可规划出一组解，这两组解中必是一优一劣，但因 $\beta_{ij}^{\prime}$ 与 $\beta_{ij}^{\prime \prime}$ 之差 $\rightarrow 0$ 所以可认为它们相同，而由同一条件找出两组最优解是不可能的，所以简化模型的解不一定最优。 + +但实际中，以上极端情况为少数，这正是本模型可取之处，且 $|\beta_{j}|$ 越大可以认为，改变后的 $(\beta_{j} + \Delta \beta_{j})$ 与 $\beta_{ij}$ 反号的可能性越小，从而由简化模型得到的结果可能越接近最优。 + +4. 关于模型约束条件数，由对称性知约束条件(2)的个数是 $C_n^2 (n$ 是飞机数）所以约束条件数为 $4n + C_{n}^{2} = n(\frac{n + 7}{2})$ 当飞机数增加后，约束条件数呈二次函数增加，计算量增加不大。 +5. 若有若干架飞机同时进入时，依次计算，逐个调整，将它们视为有先后的进入空域，忽略调整时间，即可。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\351\200\220\346\255\245\351\200\274\350\277\221\346\220\234\347\264\242\346\226\271\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\351\200\220\346\255\245\351\200\274\350\277\221\346\220\234\347\264\242\346\226\271\346\263\225.md" "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\351\200\220\346\255\245\351\200\274\350\277\221\346\220\234\347\264\242\346\226\271\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\351\200\220\346\255\245\351\200\274\350\277\221\346\220\234\347\264\242\346\226\271\346\263\225.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2d88a2ae0eab8d93409703f12e63fe8a1c12bbc1 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\351\200\220\346\255\245\351\200\274\350\277\221\346\220\234\347\264\242\346\226\271\346\263\225/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\232\204\351\200\220\346\255\245\351\200\274\350\277\221\346\220\234\347\264\242\346\226\271\346\263\225.md" @@ -0,0 +1,53 @@ +对一般的情况来讲，当 $\theta_{i}$ 是个未知量时，线性函数 $f(\theta_{i},\theta_{j})$ 和 $g(\theta_{i,j},\psi_{i,j})$ 都难以确定。但在给定数据的条件下，可先运用计算机模拟得到一可行的调整方案 $\{\triangle \theta_{1}^{\prime},\triangle \theta_{2}^{\prime},\dots ,$ $\triangle \theta_{n}^{\prime}\}$ ，在此方案的基础上，以各飞机的初始飞行角度为主要依据，确定 $f(\theta_{i},\theta_{j})$ 和 $g(\theta_{i,j},$ $\psi_{i,j})$ （当 $\triangle \theta_{i}^{\prime},(1\leq i\leq n)$ 都比较小时，此方法尤其有效），故我们的线性规划模型是可行的，对得出的解我们继续用计算机模拟进行优化，在各飞机的飞行角度调整幅度之和不增加的条件下，使各飞机调整幅度尽量均衡，即，使调整幅度最大的飞机的调整角度最小，因此，我们认为我们所设计的这一模型对处理实际问题是会非常有效的。 + +# 飞行管理问题的逐步逼近搜索方法 + +# 王崧 于劲松 陆昱 + +（北京大学，北京100871） + +指导教师：雷功炎 + +编者按：本文给出了一种逐步逼近的搜索方法，它尽管不能保证求出最优解，但具有以下三个特点：(1)简单易于编程计算。(2)对目标为绝对值函数与平方和函数两种模型都适用。(3)由计算结果看出对该问题是一个可行的方法。这里只摘录了原文的部分段落。 + +关键词：搜索法，全局最优解，局部最优解 + +# 模型的建立 + +由于要求中方向解的误差不超过0.01度，我们可以只考虑样本空间 $\Omega = [-30^{\circ}, 30^{\circ}] \times \dots \times [-30^{\circ}, 30^{\circ}]$ 中所有坐标均为0.01的整数倍的点。令 + +$$ +\Omega^ {\prime} = \{\triangle \alpha \in \Omega | 1 0 0 \triangle \alpha_ {i} \text {为 整 数}, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}. +$$ + +则 $\Omega^{\prime}$ 中共有 $6001^{6} \cong 4.7 \times 10^{22}$ 个点。要通过遍历 $\Omega^{\prime}$ 中所有元素来求最小值是不可能的。因此，我们采取了一种搜索算法，实践证明它可在允许的时间消耗下给出较优解（通过本文中后面的具体例子中用此搜索结果与证明了的最优解的比较，我们发现此结果已完全满足了我们的要求）。仍然记 + +$$ +F (\triangle \alpha) = \left\{ \begin{array}{l l} + \infty & \text {存 在} i, j, D I S T (A _ {i}, A _ {j}) \leq 8 \\ f (\triangle \alpha) & \text {其 它} \end{array} \right. +$$ + +其中 $f(\triangle \alpha)$ 为目标函数方向角改变量的绝对值和（或平方和）， $\mathrm{DIST}(A_i, A_j)$ 为飞机 $A_i$ 和 $A_j$ 之间的距离。 + +方法一（基本思路）： + +首先在 $\Omega^{\prime}$ 中以较大跨度均匀地取N个点，通过遍历计算找到其中使 $F(\triangle \alpha)$ 取最小值的点，然后以该点为中心，找一个较小的区域，在其中再取 $N$ 个点，在这 $N$ 个点中找到使 $F(\triangle \alpha)$ 取最小值的点。如此迭代下去，当区域足够小，或者连续两次找到的点非常接近时（即如果连续两次迭代所得结果位置相邻且目标函数之差小于 $0.1^{\circ}$ ），我们就认为找到了较优的解，此时停止迭代。 + +此方法的优点在于：它是一个注重全空间的算法。较其它方法，如逐次调整法等，它比较有效地避免了局部行为（即迭代过程中结果收敛到一个局部极小值而非全局最小值的现象）。当点数 $N$ 选取适当时，时间消耗很少，但它仍有一些不足，主要问题是： $N$ 取得较小时，样本点在空间中的分布过于稀疏，仍然有可能出现局部行为，为此，我们在方法一的基础上做了改进，得到方法二。 + +方法二（改进思路）： + +首先在 $\Omega^{\prime}$ 中均匀地取 $N$ 个点，通过遍历计算找到其中使 $F(\triangle \alpha)$ 取最小的 $M$ 个点。以这 $M$ 个点为中心作 $M$ 个小区域，在每一个小区域中均匀地取 $N$ 个点，计算出这 $MN$ 个点中使 $F(\triangle \alpha)$ 取最小值的 $M$ 个点，如此迭代下去，直到找到较优的解（关于较优的解的判别方法同方法一）关于方法二的细节问题参见算法描述，方法二所用时间约为方法一的 $M$ 倍（实际上略少于 $M$ 倍），而在 $M$ 值与小区域的选取方法较好时，可有效地避免局部行为。这个优点在算法描述一节中得到了很好的体现。 + +# 飞行管理模型的能量梯度求解法 + +刘学 胡晨 陈涵 + +（清华大学，北京100084） + +指导教师：高策理 + +编者按：本问题建模后构成一个非线性规划，求最优解有相当难度，针对本问题本文用一个表征全局性质的能量来表达飞机位置，当达到最佳位置时能量取最小，从而构成能量梯度调整模型，按此模型获得了本问题最优解。本文为作者原论文中部分内容。 + +关键词：能量梯度，同步算法，异步算法 + +针对以上问题，我们考虑利用一个能够表征全局性质的量来辅助调节每架飞机的位置。由于最优解对应于一个函数的极值，我们设想用能量来表达飞机的位置，当达到最佳 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\255\224\345\215\267\350\257\204\350\277\260/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\255\224\345\215\267\350\257\204\350\277\260.md" "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\255\224\345\215\267\350\257\204\350\277\260/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\255\224\345\215\267\350\257\204\350\277\260.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a8d1b7fdcb5c39c1c381a32ebe6f433a6f3907d5 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\255\224\345\215\267\350\257\204\350\277\260/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\255\224\345\215\267\350\257\204\350\277\260.md" @@ -0,0 +1,51 @@ +# 飞行管理问题答卷评述 + +谭永基 + +（复旦大学，上海200433） + +本题是以空域飞行管理为背景，经简化和整理而成的一个赛题。该问题主要可以归结为非线性规划模型或经一定简化，建立线性规划模型。由于实际的需要，提出的算法应在计算机上快速地实现。 + +# 一、非线性规划模型及求解 + +设六架飞机在调整时的方向角为 $\theta_{i}$ ，调整后的方向角为 $\theta^{\prime}_{i} = \theta_{i} + \triangle \theta_{i}(i = 1,2,\dots ,6)$ 设任意两架飞机在区域内的最短距离为 $d_{ij}(\theta_i,\theta_j)$ ，那么问题的非线性规划模型为 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {6} | \triangle \theta_ {i} | +$$ + +使得 + +$$ +d _ {i j} \left(\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i}, \theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}\right) > 8 \quad 1 \leqslant i, j \leqslant 6, i \neq j +$$ + +$$ +\mid \triangle \theta_ {i} \mid \leqslant 3 0 ^ {\circ} +$$ + +绝大多数答卷能正确建立模型，有的答卷在建模时，出于某些考虑加强了不碰撞的要求，如要求在调整后的 $0.2\sqrt{2}$ 小时内不发生碰撞或永远不允许发生碰撞，从而简化了 $d_{ij}$ 的表述。 + +求解此模型的一种方法是枚举法，但是枚举工作量极大，必须采取逐步求精（细分）、隐式枚举、枚举和二分法相结合等技巧，方能在较短时间内求得符合精度的最优调整方案。参赛答卷中采用了许多提高枚举效率的措施。有的答卷在枚举时采用了Monte--Carlo法，随机产生大量 $\{\triangle \theta_{i}\}$ 组合，从其中的可行解中选出最优解。这种方法可显著提高计算速度，有一定新意。 + +另一种解法是引进惩罚函数，将问题化为无约束极值，然后将其极小化。在答卷中采用了丰富多彩的无约束化和极小化技术。有的方法，如能量梯度化有一定的特色。然而，非线性规划方法能否快速找到全局最优解，十分强烈地依赖于初值的选取。有的试卷用步长较粗的枚举得到的解作为初值，然后再用极小化的方法得到最优解，计算速度很快，可以实时调整，达到了实用的要求。 + +有不少答卷用 $\sum_{i=1}^{6}|\triangle\theta_i|^2, \max_{1 \leq i \leq 6}|\triangle\theta_i|$ 作为优化的目标，这都是合理的。 + +# 二、线性规划模型 + +若不考虑区域的范围，用相对运动的观点不难得出两架飞机调整方向角后不发生碰撞，调整角度应满足的条件。为简单起见，排除某些特殊的情形，条件是： + +① 若 $\theta_{i}^{\prime} < \theta_{j}^{\prime}, \alpha_{ij} < \left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\theta_{i}^{\prime} + \theta_{j}^{\prime}}{2}\right) \mod 360^{\circ} < 360^{\circ} - \alpha_{ij}$ + +或 + +② 若 $\theta_{i}^{\prime} > \theta_{j}^{\prime}, \alpha_{ij} < \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\theta_{i}^{\prime} + \theta_{j}^{\prime}}{2}\right) \mod 360^{\circ} < 360^{\circ} - \alpha_{ij}$ + +其中， $\theta_{i}^{*}, \theta_{j}^{*} \in [0, 360^{\circ}), \alpha_{ij} = \arcsin \left(\frac{8}{r_{ij}}\right), r_{ij}$ 为调整时两飞机的距离，角度均以自i架飞机位置指向第 $j$ 架飞机的矢量为始边计算。 + +若以 $\sum_{i=1}^{6}|\triangle\theta_i|, \max_{1 \leqslant i \leqslant 6}|\triangle\theta_i|$ 作为目标函数，以上述不碰撞条件和 $|\triangle\theta_i| \leqslant 30^\circ$ 作为约束条件，是一个可归化为多个线性规划问题的规划问题。求解这一系列线性规划，比较它们的目标函数值就能得到原问题的最优解。 + +许多答卷用类似的方法将问题归结为线性规划求解。但有不少答卷在建立不碰撞条件时疏忽了一些情形从而条件不够完整。对某些飞机初始位置，可能产生错误。 + +由于变量较少，线性规划求解速度较快，这是采用这一模型的优点。然而，若必须排除在区域外的碰撞，由于条件不是线性的，归结为线性规划问题就有一定困难。有的答卷提出了一些克服这一困难的方法。较有成效的方法有两种。一种是在 $\triangle \theta_{i}$ 不大时，将条件展开略去高阶项，另一种用低维枚举确定 $\triangle \theta_{i} + \triangle \theta_{j}$ 的允许范围，再用线性规划求解。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\272\246\346\235\237\346\235\241\344\273\266\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\272\246\346\235\237\346\235\241\344\273\266\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226.md" "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\272\246\346\235\237\346\235\241\344\273\266\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\272\246\346\235\237\346\235\241\344\273\266\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..01220ea240ec105a452a90f8feb2fae942a3a523 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/A\351\242\230/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\272\246\346\235\237\346\235\241\344\273\266\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226/\351\243\236\350\241\214\347\256\241\347\220\206\351\227\256\351\242\230\347\272\246\346\235\237\346\235\241\344\273\266\347\232\204\347\272\277\346\200\247\345\214\226.md" @@ -0,0 +1,98 @@ +
数据组号飞机1飞机2飞机3飞机4飞机5飞机6总角度
1002.819000.8193.63
20.92201.541-2.54403.6108.61
+ +# 飞行管理问题约束条件的线性化 + +徐元军 曾九林 韩伟群 + +（中南林学院，株州412000） + +指导教师：潘冬光 + +编者按：本文从相对运动出发，给出了两架飞机不碰撞条件的几何描述，得到了两机不碰撞的方向角范围，并对有关条件作了线性化处理，从而使原来的非线性约束化为线性约束。其特点在于：对约束条件的简化，注意了保留在区域内不碰，在区域外碰撞的角度范围，考虑较为全面。当然，对这一条件还可有其他处理方式。此处发表的是该文有关部分的摘录，编者只增添了极少的语句，使文意联贯。 + +关键词：碰撞条件，约束条件。 + +$$ +x _ {i} = v t \operatorname {C o s} \left(\theta^ {\prime} _ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + x _ {i 0} \quad 0 \leqslant x _ {i} \leqslant 1 6 0 +$$ + +$$ +y _ {i} = v t \sin \left(\theta^ {\prime} _ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + y _ {i 0} \quad 0 \leqslant y _ {i} \leqslant 1 6 0 +$$ + +则飞机 $i$ 与 $j$ 间距离 + +$$ +d = \sqrt {\left(x _ {i} - j _ {i}\right) 2 + \left(u _ {i} - y _ {j}\right) 2} +$$ + +$(x_{i},y_{i})$ 表示第 $i$ 架飞机在 $\pmb{t}$ 时刻的坐标 + +$(x_{i0},y_{i0})$ 表示第 $i$ 架飞机在 $t = 0$ 时的坐标 $(i = 1,2,3,4,5;j = i + 1,i + 2\dots \dots 6)$ 新进入飞机编号为6。 + +考虑利用两架飞机在区域内的相对速度来判断飞机的碰撞条件。 + +$\theta_{i}$ 表示两点的连线为始边， $i$ 为圆心逆时针旋转到 $\boldsymbol{v}_{i}$ 的角（在两点连线的左端反向为负）。 +$\theta_{j}$ 表示以两点的连线为始边， $j$ 为圆心顺时针旋转到 $v_{j}$ 的角（在两点连线的右端），反向为负。 + +$\theta_{ij}$ 表示由点 $i$ 到圆（以点 $j$ 为圆心，8为半径的圆）的切线与两点连线的夹角， $(\theta_{i} > \theta_{j})$ 。 + +由计算可得合成速度角度 + +$$ +\theta = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} & \quad \theta \leqslant \frac {\pi}{2} \\ \pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} & \quad \theta > \frac {\pi}{2} \end{array} \right. +$$ + +因为区域内所有飞机的坐标和方向角都是确定的，所以 $\theta_{i},\theta ,\theta_{ij}$ 都是确定的，因此我们可以作出以下判断 + +i）当 $\theta \leqslant 0$ 时两飞机不会碰撞。 + +ii)当 $\theta >\theta_{ij}$ 时两飞机不会碰撞。 + +iii）当 $0 < \theta < \theta_{i,j}$ 时则必须对两飞机在区域内飞行的距离作讨论。 + +对每架飞机而言，在30度的调整范围内，它的坐标和原始方向角是确定的。所以我们可以求出每架飞机飞出此区域所用的最大可能时间 $\mathrm{T_i}$ 。 + +当 $a$ 对 $b$ 以 $v_{ij}$ 的速度飞行时， $\theta$ 是确定的。 + +$$ +\lg \theta (d - O B) = \sqrt {8 ^ {2} - O B ^ {2}} +$$ + +式中 $\mathrm{tg}\theta ,d$ 都是定值，可解出OB + +当 $VT_{i}\cos \theta < (d - OB)$ 时，飞机 $i$ 和 $j$ 就不会相碰 + +我们为了简化后面规划的约束条件，可以把此处的约束放宽一些（因为上式中的Ti是比较强的约束） + +$vT_{i}\cos \theta < \sqrt{d^{2} - 8^{2}}$ ，所以 $\theta < \arccos \frac{\sqrt{d^2 - 8^2}}{vT_i}$ + +综上所述，有： + +i）当 $\theta \leqslant 0$ 或者 $\theta >\theta_{ij}$ 时，两飞机不碰撞。 + +ii）当 $0 < \theta < \theta_{ij}$ ，且 $\theta < \operatorname{arccos} \frac{\sqrt{\mathrm{d}^2 - 8^2}}{\mathrm{vT}_i}$ 时，两飞机不碰撞。 + +我们可以看出判断条件的表达式对 $\theta_{i}$ 来说是线性的，所以对于变化后的 $\theta_{i} = \theta_{i} + \triangle \theta_{i}$ 来说是线性的，对 $\theta_{i}$ 也是线性的。因此可以将约束条件近似为： + +$$ +\begin{array}{r l} & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} + \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \theta_ {i j} - Z M - Y M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \theta_ {i j} - (1 - Z) M - Y M} \\ & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} + \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \arccos \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} - Z M - Y M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \arccos \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} (1 - Z) M - Y M} \\ & {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j} = 0 + (Y - 1) M} \\ & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} < \arccos \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{r T _ {i}} + Z M + (Y - 1) M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} < \arccos \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} + (1 - Z) M + (Y - 1) M} \\ & {\text {(式 中} Z = 1, 0 \qquad y = 1, 0 \qquad M = 1 0 0 0 0 \qquad i = 1, 2 \dots n - 1, \quad j = i + 1, \dots n)} \end{array} +$$ + +# 飞行管理问题的线性规划模型 + +孙旭山 魏华 吕晓光 + +（清华大学，北京100084） + +编者按：这份答卷的作者没有参加全国的竞赛，而是按照同样的题目和要求参加了学校的竞赛。全国评委会的同志在评阅完全国的优秀答卷后审阅了本文，一致认为该文很有特色，特予发表。 + +对本题一般都是建立了非线性规划模型，直接求解很困难。该文不仅运用相对速度将不相撞的约束条件线性化（对调整角改变量线性），而且经过合理的选择将目标函数也线性化，从而将整个问题成功地简化为线性规划模型。另外该文表述清晰，证明简洁。 + +关键词：线性规划，相对速度 + +# 一、数学模型 + +# 1. 模型假设 + +（1）新飞机进入边缘时，立即作出计算，每架飞机按照计算机计算后的指示立即作方向角改变（有的飞机方向角可不变）。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/B\351\242\230/_\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246_\347\253\236\350\265\233\351\242\230\347\232\204\345\267\245\344\270\232\350\203\214\346\231\257\345\217\212\345\205\266\344\273\226/_\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246_\347\253\236\350\265\233\351\242\230\347\232\204\345\267\245\344\270\232\350\203\214\346\231\257\345\217\212\345\205\266\344\273\226.md" "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/_\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246_\347\253\236\350\265\233\351\242\230\347\232\204\345\267\245\344\270\232\350\203\214\346\231\257\345\217\212\345\205\266\344\273\226/_\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246_\347\253\236\350\265\233\351\242\230\347\232\204\345\267\245\344\270\232\350\203\214\346\231\257\345\217\212\345\205\266\344\273\226.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..75c021aad77a0322edd77f834038cfcda9b06e60 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/_\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246_\347\253\236\350\265\233\351\242\230\347\232\204\345\267\245\344\270\232\350\203\214\346\231\257\345\217\212\345\205\266\344\273\226/_\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246_\347\253\236\350\265\233\351\242\230\347\232\204\345\267\245\344\270\232\350\203\214\346\231\257\345\217\212\345\205\266\344\273\226.md" @@ -0,0 +1,43 @@ +# “天车与冶炼炉的作业调度”竞赛题的工业背景及其他 + +刘祥官 李吉鸾 + +（浙江大学，杭州310027） + +又一度金秋收获的季节。又一届“大学生数学建模竞赛”的数学难题摆在了参赛队的面前。在短短的72个小时中(按参赛队计算为9个人·日作量)，参赛队必须完成赛题的数学建模的全套工作，包括实际问题的建模分析与计算，绘制出相关的图表，编制相应的计算机程序，给出正确的答案与讨论，最后还要写成一篇条理清晰、论证明确的论文，……。如此繁重的脑力劳动，许多参赛队出色地完成了。在批阅完毕全国22个赛区报送竞赛组委会评奖的“B题”79篇论文后，阅卷人的心都深深地为大学生们的智慧和创造力所震动。莘莘学子的智慧燧石在难题的撞击下，在时间、速度与质量竞争的压力下，迸发出了耀眼的火花。这智慧的火花就象炼钢炉中取样出来的钢水，钢花四射，发出耀眼的火花。这智慧的火花就象炼钢炉中取样出来的钢水，钢花四射，发出耀眼的光芒，令人兴奋，令人喜悦。 + +“天车与冶炼炉的作业调度”这一道竞赛题，来源于我国自力更生建设起来的钢铁钒钛基地一攀枝花钢铁公司。原来的工业问题是：“攀钢提钒炼钢厂原料跨七车七炉作业的优化调度”。十多年前，为了提钒炼钢厂的生产跨上一个新台阶，为了企业的管理现代化，当时攀钢有远见卓识的领导人向数学工作者提出了这个数学难题。期望科技人员深入生产第一线，总结出天车与冶炼炉的生产调度规律，提出优化调度方案，指导车间的生产调度，提高天车与冶炼炉的劳动生产效率。同时论证生产线的最大通过能力，为公司的一项重要决策提供数量化的依据。为了解决这一文献本本上查阅不到的难题解法和求解思路，攀钢的科技人员来到北京，向中科院应用数学所、系统工程所的数学家们求教；攀钢顾问华罗庚教授和他的助手们，老一辈数学家许国志、越民义等都为该项难题的探索作过指导。到科学院数学所查阅了英国的《运筹学季刊》。我国著名的学府清华大学应用数学系的师生们接受了这一难题的科研工作；四川联合大学（原成都科技大学）应用数学系的师生们接受了这一难题的科研工作；四川联合大学（原成都科技大学）应用数学系的师生冒着炎热和高温来到攀钢提钒炼钢厂参加了包括2座提钒炉--2座混铁炉-3座转炉在内的“七车七炉作业的跟车调查”；攀钢的科技人员和调度人员在三九寒冬来到首钢炼钢厂，完成了2座混铁炉-3座转炉的“五车五炉作业的跟车调查”…。在大量调查数据的基础上，通过数理统计分析，建立起天车、冶炼炉的作业参数；采用了网络计划技术、动态规划、时间序列分析等运筹学的各种方法，建立起各种作业条件下的天车一冶炼炉作业优化调度方案，并论证了各种方案下的生产线通过能力。清华大学还编制了适合攀钢具体情况的整套计算机模拟软件GPSS，模拟天车一冶炼炉的作业和调度过程，验算了生产线的最大 + +通过能力。经过攀钢和清华大学科研人员前后两年的努力工作。终于向攀钢领导交出了一份有份量的答卷。攀钢召开了有中国科学院应用数学所、科技政策与管理科学所、清华大学等教授专家参加的鉴定会。中国数学会运筹学会原秘书长桂湘云教授主持了鉴定会。鉴定意见认为该项应用数学工作达到了国内的领先水平。后来，台湾清华大学学者来到北京，在与清华大学学者的交流中，也对该项工业应用数学成果给予了高度的评价。 + +综上所述，本次数学模型竞赛的“天车与冶炼炉的作业调度”问题是一道实实在在的从实际工业课题提炼、简化出来的数学问题。这种多车多炉的优化调度问题是每一个钢铁厂都普遍存在的生产问题。也正如一些学生在建模分析中指出的，不仅在冶金，而且在铁路运输等部门，都有类似的优化调度问题。因此，本题解答中好的数学建模就是要能够归纳提炼出具有通用性的数学模型与计算方法。要从数据中归纳出相关的计算公式，而不能仅仅是数据的罗列。可喜的是从优秀答卷中，我们可以看到建模方法的多样性与数学方法应用的灵活性。不完全列举，学生们使用的方法就有：线性规划、统筹法（网络计划技术PERT、CPM等）、动态规划、层次分析法、PETRI法、图论方法、排队论方法等等；运用已有的计算机软件包来解题的有MATHEMATICA、GPSS、DSS决策支持系统等，许多参赛队自行编制了计算及绘图程序。通过这些方法、手段的综合应用，许多参赛队建立了有关的模型与计算公式，计算出了具体结果。他们从工业企业生产实际的常识出发对结果进行科学的讨论分析并得到了正确的结论，取得了优秀的成绩。本期全文选登和部分摘录的论文就是其中优秀答卷的代表。 + +在这里特别指出“天车一冶炼炉作业运行图”的绘制在本道难题的解答中，检验了学生们的创新思路和数学技巧。实际生产过程的调度作业是难以按照所建立的数学模型公式一一计算然后再去调度的。为了调度的简明性，工业中许多调度岗位都是使用“图上作业法”。这种方法也是数学中解决难题的一种有用方法。它比解析公式具有更直观、简明的效果。而要把天车一冶炼炉这8项生产设备的作业在一张运行图上简明地表达出来，确实要花一番研究的功夫。许多答卷绘制了常规调度使用的GANTT图即横道图。这是外国人创造的，写进了书本上的方法。在工程项目的网络计划技术中常常使用。然而这种传统的方法不足之处是不能直观反映各岗位作业之间的有机关联。特别是天车的作业不是孤立的，它要配合并服务于冶炼炉的作业。因此调度图如果不反映这种有机的联系是难以搞好动态调度的。一些优秀的答卷绘制了反映随时间推移各设备(包括天车与冶炼炉)综合作业状态的“二维调度图”显示了数学思维的创新之处。这种由生产车间的三维空间作业简化提炼而得到的“二维调度图”，其一是“时间维”，反映生产依时间动态推移的过程；其二是“空间维”，三维空间依题意简化为一维，抓住由冶炼炉与作业点相对位置确定的一维空间座标。在这样的时空二维平面上反映天车的作业过程就能把天车为冶炼炉作业服务的衔接关系准确地、简明地、动态地表达出来。它给调度人员一个完整的、直观的、各设备统筹兼顾的生产调度概念，因而受到调度人员的欢迎。迄今“七车七炉作业优化调度”的论文尚未发表，普通文献上也没有“二维调度图”的论述。参赛者能在短时间内建立“二维调度图”的概念，其数学图形提炼技巧和灵活应用的创新思路实属可贵。 + +对于应用数学问题建模计算之后的分析与结论，是本赛题对参赛者的又一个考验。可以说，数学建模问题的“题外常识”，是作出结论的重要前提。并且通常是不在题目中“点明”的。成功的参赛者都充分注意到了这个问题。有些好的答卷没有使用任何计算机工具， + +然而他们成功地完成了计算分析，并得出正确的结论。究其成功之处在于他们把功夫下在动脑筋上。而有些参赛队在计算机上确实花了很大功夫，然而却未得出正确的结论。优秀的参赛队则在充分动脑筋的基础上，使用计算机也达到了较高的水平。这给我们一个启示：计算机只是“聪明人”更能干的工具。在本题的解答中，有些参赛队按要求完成了“设计一种满足上述要求的天车与冶炼炉的作业调度方案”，只计算了三台天车的作业数据，但未对模型作更深入的讨论和对比就下了“最优”结论，显然这样的解答是难以获得更好的成绩。而最令人惋惜的是，一些参赛队在充分比较三台天车方案、四台天车方案和五台天车方案之后，不能全面推敲“各台天车作业率尽量均衡”的实践含意，片面追求数字上的均衡，脱离了企业生产实际，以五台天车作业为“最优方案”，其结论当然也就令人难以赞同了。如果深入分析一下就可以得知五台天车作业之间的相互干扰，等待，让车所造成的被迫“无效作业”同样也要带来“天车作业率”的升高。此时并不能认为天车处于“无作业”的自由状态。更何况一台能够吊起120吨铁水（连同空罐将达到150吨）的天车价值数百万元。因此，应当明了，天车作业率的“均衡”是在作业率均不超过 $70\%$ 意义下的均衡，有的参赛队也能机敏地列出了三台天车的“均匀”作业方案。参赛者应当能够理解：从企业实际出发，怎么能够设想仅仅为了“尽量均衡”天车的作业率，管理者会作出多花数百万元的决策呢。因此，在运用数学建模方法处理实际问题作出分析结论的时候，我们一定要避免陷入“数学脱离实际”的境地。这是积多年工业应用数学实践经验提出的忠告。 + +本题的题目是“天车与冶炼炉的作业调度”，它包含运输工具与生产设备两方面的作业调度。精明的参赛者在很长的问题面前，越过“语文”这一关后，通过系统分析很快就会发现生产线科学管理的“中心”是冶炼炉而不是天车。就象是太阳系问题，按照“地心说”很难画出太阳的运行轨道，而按照“日心说”则地球的运行轨道一目了然一样。当计算好冶炼炉的作业要求后，按最大生产能力去安排天车的作业工序及其时间要求，天车服务于冶炼炉作业的关键问题也就一清二楚。成功的参赛队也就很快从天车作业率不大于 $70\%$ 的要求中列出了计算最少所需天车台数的公式，判断出至少必须有三台天车才能完成基本工序。而不必用“穷举法”从一台天车作业计算到五台天车作业，一一进行比较。 + +本题答案中，天车的“工序清单”绝大多数答卷均能正确回答。然而对于“调度规则”的阐述多数答卷则变成“天车作业时间表”。未能归纳成冶炼炉作业、天车作业的相关规则。这反映了参赛者尚缺乏理论提炼的基本功。从数据到公式(即规律)，再从规律到调度规则，这是一个从实际到理论，再用理论指导实践的提炼过程。个别成功的答卷能够归纳阐述天车一冶炼炉的“作业优先级”概念，如天车作业时间服从于冶炼炉作业时间，并按时间提前量作好准备；T2天车(即中间一台天车)作业优先；负载天车作业优先等“规则”。这些“规则”给调度人员以明确的调度指导，从而灵活地处理时间参数随机变动后的情况。当然，提炼“规则”是在全面理解了整个生产作业调度要素之后才能想出来的。即使不见得是完整的答案，也令人赞赏其对运筹学知识的灵活应用。 + +对于本题中“提高钢产量到年产300万吨以上的建议”，许多答卷意识到本题的通过改善管理调度提高劳动生产率的挖潜含意，因而能够用计算结果作出冶炼炉作业和天车作业两方面的挖潜分析，给出了正确的回答。而建议再添一座甚至两座冶炼炉的参赛者，如果知道一座大型转炉需要数千万元以至上亿元的配套投资时，他就不会轻而易举地下笔写出这样的答案了。 + +最后说到本题的数学知识要求和数学应用的思想方法问题。在参赛队充分理解本题的要求和进行求解之后，我们可以看到，只要有初等数学知识，完全不用计算机就能完成本题的全部解析计算。然而计算结果是否正确的前提和关键却是时间参数之间的逻辑关系分析是否正确。因此本题数学考验的核心是逻辑数学，是工序之间的“关系”，特别是时间参数的“衔接关系”。实际工业应用数学问题大量的是“离散数学”问题，要善于综合应用“肯定型”、“概率型”和“逻辑型”的数学工具。如果只习惯于自然科学中的“肯定型—连续型”数学问题的分析思路和解法，我们就常会在实际生产问题和管理问题面前束手无策。因为这些问题经常是离散的概率型、逻辑型问题。本赛题最后提出的时间参数随机问题的讨论就是基于这样的背景提出的。许多答卷能够按平均时间的正态分布或统筹法中数学期望时间的正态分布或统筹法中数学期望时间的β分布来讨论时间参数对生产的影响都是正确的。然而这里也要指出一些参赛队不恰当地把有计划的生产调度问题用随机排队模型来套。殊不知一条轨道上的N台天车到达某一工作点根本不是随机自由到达。套用不恰当的模型而得出不正确的结果，失之偏颇也就难免了。可以说，深入浅出的运用数学工具解决实际问题是应用数学的“Know How”；而相反用了高深的数学理论却脱离了问题的实际，实乃数学建模之“大忌”。 + +“科技兴国”的号角召唤着有志于“科学技术面向经济建设”的学子。要使我国经济运行的质量赶超世界的先进水平，应用数学的参与大有作为。数学建模竞赛给有志者一个小试锋芒的机遇。我们期待着更多的优秀者脱颖而出，取得更好的成绩！ + +# 天车与冶炼炉的作业调度 + +邱玉平 谭小术 干斌 + +（四川轻化工学院，自贡643033） + +指导教师：武亦文 + +编者按：本文主要优点是能抓住主要的影响因素建立了“瓶颈模型”，通过详细、正确的数学论证分析了使用一至五台天车的可能性，并对使用三台天车的情形给出了详细的各天车的工序清单、天车炉子作业运行图。本文还用层次分析法给出了一种评估三、四、五台天车是否最优的模型，从而认为使用三台天车为最优。 + +摘要：本模型首先考虑该车间工序的相互影响，抓住主要的影响因素（即各环节的过程速度）在满足生产条件和假设条件的情况下，利用“递推法”找到其钢年产量的决定因素，建立了较为实用的“瓶颈模型”，应用层次分析法确定了天车的台数为3台，再运用排队理论制定了天车调度的最优方案，求出了在所给条件下钢的年产量为：282.76万吨。 + +关键词：瓶颈模型，排队论，层次分析法。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\206\266\347\202\274\350\275\246\351\227\264\347\232\204\346\234\200\344\274\230\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213\347\232\204\346\243\200\351\252\214/\345\206\266\347\202\274\350\275\246\351\227\264\347\232\204\346\234\200\344\274\230\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213\347\232\204\346\243\200\351\252\214.md" "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\206\266\347\202\274\350\275\246\351\227\264\347\232\204\346\234\200\344\274\230\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213\347\232\204\346\243\200\351\252\214/\345\206\266\347\202\274\350\275\246\351\227\264\347\232\204\346\234\200\344\274\230\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213\347\232\204\346\243\200\351\252\214.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d52913b727b3ef88ec42d841b4595a8609e6841e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\206\266\347\202\274\350\275\246\351\227\264\347\232\204\346\234\200\344\274\230\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213\347\232\204\346\243\200\351\252\214/\345\206\266\347\202\274\350\275\246\351\227\264\347\232\204\346\234\200\344\274\230\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213\347\232\204\346\243\200\351\252\214.md" @@ -0,0 +1,75 @@ +# 冶炼车间的最优调度模型的检验 + +刘世兵 董小虎 巩禧云 + +（安徽机电学院，芜湖241000） + +指导教师：王庚 + +编者按：本文对模型安全性，稳定性，模型优缺点及推广进行了讨论。现摘录如下。 + +关键词：数学模型，稳定性 + +# 一、模型的检验 + +# （一）模型安全性的检验 + +由于我们的模型是用直接推断和启发式算法建立的，虽然结果使总产量达到了最大值，并尽量减小了作业率，但我们最担心的是两车是否会相撞的问题，由图中可以看出天车最可能相撞的地点是天车 $\mathbf{T}_{1}$ 和天车 $\mathbf{T}_{2}$ 在 $\mathbf{B}_{\mathbf{k}}$ 垂直面上，为了检验天车的安全性问题，我们计算出两辆天车到达这一垂直面上最小时间间隔为10秒，由于相邻工作点之间可容纳一辆天车，天车经过相邻两工作点的时间仅为15秒，故可以认为模型具有较好的安全性。 + +# （二）稳定性分析 + +1. 对运行图上数据进行分析，当 $\triangle t < 10$ 秒的微小变化时并不影响转炉的不间断生产，年产量不会有显著变化。 +2. 当 $t_a$ 不变时，只需满足 $t_e > t_0 + t_i, t_b < 30$ 分钟时即使其它时间参数有较大的变动，结果仍不会发生显著变化，所以模型具有稳定性。 + +# 二、模型的优缺点与推广 + +通过与前面的直接推断法相比较，上述的模型优势是明显的。 + +1. 模型具有良好的稳定性 +2. 图示法的调度模型简明直观，易为操作人员所领会模型主要缺点在手工条件下制作状态运行图较为繁琐。 + +推广 + +1. 现在的模型是针对于三个阶段，三台天车以及七个工作点之间的最优调度问题，对于多阶段决策以多个过程的优化调度同样适用。 + +2. 此模型不仅可以适用与天车冶炼炉之间的最优调度，并且也宜于工作分配，铁道部门的段场调度，以及多台机器多个工件加工顺序问题。 + +# 天车作业调度的随机性分析 + +杜序 袁灯山 杨黎明 + +（北京航空航天大学，北京100083） + +# 指导教师：赵杰民 + +编者按：本文对各种随机数据对天车的作业率、天车的调度和钢产量的影响进行了定性的和定量的分析。现将有关内容摘录如下。 + +关键词：随机性，作业率，调度。 + +当 $t_a, t_b \cdots, t_k$ 都是随机时，所给出的数值为它们的均值，设 $x = t_a + t_e + t_f, y = t_b + t_i$ 。由于人为的调配，除 $x, y$ ，其它对A，B炉的生产影响很微小，而 $x, y$ 却直接关系到A炉的生产量，所以主要矛盾是 $x, y$ 。 + +先说明随机对产量的影响， + +设 $x \sim N(a_1, \sigma_1), y \sim N(a_2, \sigma_2)$ 则一个周期内有 $x_1$ 和 $x_2, y_1, y_2, y_3$ ，当 $y_1 + y_2 + y_3 < x_1 + x_2$ 时，生产照常运转，而当 $y_1 + y_2 + y_3 \geqslant x_1 + x_2$ 时，A 要等待 B，那么整个生产周期要延长。可以求出每个周期延长的均值 $\mathfrak{m}$ 。 + +$$ +y _ {i} \sim N \left(a _ {2}, \sigma_ {1}\right) (i = 1, 2, 3) +$$ + +则 $y_{1} + y_{2} + y_{3}\sim N(3a_{2},\sqrt{3}\sigma_{1})$ + +$$ +x _ {i} \sim N \left(a _ {1}, \sigma_ {2}\right) (i = 1, 2) +$$ + +则 $x_{1} + x_{2}\sim N(2a_{1},\sqrt{2}\sigma_{2})$ 。所以 + +$$ +y _ {1} + y _ {2} + y _ {3} - x _ {1} - x _ {2} \sim N \left(3 a _ {2} - 2 a _ {1}, \sigma_ {3}\right), +$$ + +其中 $\sigma_3 = \sqrt{3\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2}$ ，且 + +$$ +m = \int_ {0} ^ {\infty} \frac {x}{\sqrt {2} \pi \sigma_ {3}} e ^ {- \frac {1}{2 \sigma_ {3} ^ {2}} (x - 3 a _ {2} + 2 a _ {1}) ^ {2}} d x = \frac {\sigma_ {3}}{\sqrt {2 \pi}} e ^ {- \frac {1}{2 \sigma_ {3} ^ {2}} (x - 3 a _ {2} + 2 a _ {1}) ^ {2}} | _ {+ \infty} ^ {0} = \frac {\sigma_ {3}}{\sqrt {2 \pi}} e ^ {- \frac {(3 a _ {2} - 2 a _ {1}) ^ {2}}{2 \sigma_ {3} ^ {2}}} +$$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246_\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\346\264\273\345\212\250\347\275\221\347\273\234\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246_\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\346\264\273\345\212\250\347\275\221\347\273\234\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246_\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\346\264\273\345\212\250\347\275\221\347\273\234\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246_\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\346\264\273\345\212\250\347\275\221\347\273\234\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..db7abe7fbeae49ace8cb381748521d40981bb1c0 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246_\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\346\264\273\345\212\250\347\275\221\347\273\234\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246_\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\346\264\273\345\212\250\347\275\221\347\273\234\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,89 @@ +文天车数目的讨论。 + +3. 由天车一炉子作业运行图容易看出，T1，T2，T3任一时刻的位置至少相差相邻两个工作点间的距离，且保持顺序无交叉，故绝对不会出现天车相撞事故。 +4. 由《调度规则说明书》容易知道调度的基本原则和先后顺序，参照各天车的详细工序清单，调度的安排便一目了然了。 + +综上所述，我们所提出的调度方案符合要求。 + +# （四）关于天车数目的进一步讨论： + +注意到 $\mathbf{m}(t) = \mathbf{n}(t) = 1$ 时，对应模型一调度方案中的天车T2，T3，其作业率分别为 $61\%$ 和 $58\%$ ，非常接近，故若 $\mathbf{m}(t) + \mathbf{n}(t) \geqslant 3$ ，而作业率又要尽量均衡的话，一方面造成天车的作业率太低（ $30\% - 40\%$ ），另一方面，因天车彼此的位置不能交换，而天车数目增加，不仅造成无效移动的增多（为了让位给其他天车工作），且增加相撞的可能性，并导致调度方案的复杂化。 + +因此，我们选择三台天车相对独立运行的调度方案，不仅在产量上最大，而且在实际生产的管理中也是合理的。 + +# 天车、冶炼炉作业调度的活动网络模型 + +# 丁剑 张德 冯南 + +（东南大学，南京210096） + +指导教师：姚瑞波 + +编者按：本文将三台A炉、二台B炉、三台天车的作业活动构造成一个活动网络模型，对于确定型问题，可用关键路径法找出达最大钢产量的调度方案增产到300万吨/年的各种措施的产量，对于非确定性问题可用计划评审法讲座随机性的影响及控制方案。现将有关内容摘录如下。 + +关键词：活动网络，关键路经法，计划评审法 + +(1) $\mathrm{Ai}^*$ 或 $\mathrm{Bj}^*$ : $\mathrm{Ai}$ (或 $\mathrm{Bj}$ ) 冶炼 +(2) Tk place: Tk 空着运至 place 处 +(3) Tk $\square \rightarrow$ place: Tk 带一空罐或槽运至 place 处 + +(4) Tk place: Tk 带一空槽或罐运至 place 处 +(5) Tk place: Tk 在 place 处吊起一空槽或罐 +(6) Tk place: Tk 在 place 处带起一满槽或罐 +(7) Tk place: Tk 在 Place 处放下一空槽或罐 +(8) Tk place: Tk 在 place 处放下一满槽或罐 + +为使度钢产量尽可能高，A炉，B炉轮流冶炼完。 + +所以我们考虑调度用3辆天车，使调度周期 $\mathrm{T} = \max \{\mathrm{T}' / 3, \mathrm{T}'' / 2\} = \mathrm{T}' / 3 = 18.42$ ，A炉满负荷生产，通过反复尝试和调整，定义初始状态如下： + +A(1) 空 A(2) 已生产 T, A(3) 已经生产 2T +B(1) 空 B(2) 已生产 T, + +T1在P空，T2在A(1）装满半钢，T3在B(1)装满原料 + +结束时A(1)A(2)A(3)状态分别对应周期开始时A(2)A(3)A(1)的状态， + +B(1)B(2)状态对应B(2)B(1)状态， + +显然可以重新形成下一个周期，不断循环下去，得到活动网络如下： + +出于这种考虑，我们构造了一个有向图 $G(\mathbf{V},\mathbf{E}]$ ，其中 $\mathbf{E}$ 为边集合，第一边 $\mathrm{ei}(\mathrm{ei}\in \mathbf{E})$ 都代表了一个生产周期中的一项工作，ei的权Wi为进行该项工作的时间；图中每个节点代表某一刻生产进展状态，为了表示一些工作的先后约束关系，我们引入了权重为零的一些弧（这些边也被称为虚零弧），见下图，这样就恰如其分地表示了一个周期的流程。 + +注：虚零弧在图中用虚线表示。 + +# 确定性模型（所有时间都固定的情况） + +我们旨在寻找和调整图中的关键路径(critical path], 使其权和不超过 T, 这样就与原先的期望一致了。我们编制了 C 语言程序, 并且利用数学软件对其进行 CPM 分析。通过反复尝试和逐项调整, 得到 CPM 分析结果。 + +在周期 $= 18.42$ 的情况下， + +关键路径长度 $=$ 周期 $= 18.42$ + +根据CPM分析的各项活动完成最早时间和最晚时间，我们发现依据这一方案恰好可以在一个周期中完成各项工作，并且从一个周期到下一个周期过渡平稳自然，其中有些任务完成尚有节余时间，也就是说3辆车已达到最优的情况。 + +![](images/e19dc641ef4acf0f9daaba7763d140c8fbf9adf51b0f33f517a195f9a16d3367.jpg) + +初态： + +T1: 在 $\mathbf{P}$ 上, 空 +T2: 在 A(1) 上, 满 +T3: 在 B(1) 上, 满 + +A(1)：刚生产好 + +A(2)，A(3)：生产中 +B(1)：刚生产好 +B(2)：生产中 + +终态： + +T1: 在 $\mathbf{P}$ 上, 空 +T2: 在 A(2) 上, 满 +T3: 在 B(2) 上, 满 + +A（2）：刚生产好 + +A(3), A(1): 生产中 +B(2)：刚生产好 +B(1)：生产中 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204Petri\347\275\221\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204Petri\347\275\221\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204Petri\347\275\221\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204Petri\347\275\221\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0898c4e06e4a4856e0b87271ff11155a42e5e773 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204Petri\347\275\221\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204Petri\347\275\221\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,138 @@ +# 天车与冶炼炉作业调度的Petri网模型 + +# 凌晖 熊德华 杨杰 + +（南开大学，天津300071） + +指导教师：叶剑平 + +编者按：本文在分析问题的基本特征基础上，应用Petri网作为模型，得出一个满足要求的优化调度方案。该文分析全面，说理清楚，在模型讨论与建议等方面都有独到之处。 + +关键词：Petri网，容量函数，均衡原理 + +为方便说明，我们将各项工序的代号及其所需时间列表如下： + +
代号工序用时
1天车在Q处吊原料ty=3
2天车运行至Bitx*(3-i)
3放下满罐ti=3
4天车吊起原空罐tk=2
5天车返回Qtx*(3-i)
6天车放下空罐tk=2
7Bi冶炼半钢,到入空罐tb=27
8天车吊起半钢罐td=3
9运至Ajtx*(3+i-j)
10倒入Ajte=5
11天车返回Bitx*(3+i-j)
12放下空罐tc=2
13天车从P吊槽tg=2
14运行至Ajtx*
15辅料加入Ajft=2
16天车与空槽返回Ptx*j
17放下空槽th=1
18Aj冶炼成品钢ta=48
+ +从原料到成品钢的全部生产流程由下图给出： + +![](images/908a85cfdca4697d7da6f944f16ed7f5597d55e8e668aded7e3dbbaf3e482a7e.jpg) +图2 + +为使成品钢产量尽量高，就必须使A炉尽可能满负荷生产，即尽量减少A炉的待料时间，因P处辅料可按时供给，所以调度方案的设计归结为实现A组炉与B组炉生产间隔的最佳匹配问题，下面给出几个结果： + +（1）产品上限：当A组炉满负荷生产时，成品钢产量达到其上限： +一年有效作业时间300天/每炉最短生产周期 $\times$ 每炉产量 $\times$ 炉数 $= 282$ 万吨 +（2）均衡原理：为实现B组炉，A组炉的尽量满负荷生产，应在调度中力求使A组炉，B组炉的冶炼间隔时间尽量均匀，且保证A组炉间隔大于B组炉间隔，否则必然会出现A组炉中某炉已炼完但B组炉不能及时供料，从而造成A炉的空闲，难以实现最大产量。 +（3）最小周期：因寻求最佳调度的核心归结为A组炉与B组炉的生产匹配问题，由两组炉数的互质性知： + +最小周期：A组炉数 $\times \mathrm{B}$ 组单炉平均生产周期 + +A组单炉平均生产周期 $\times \mathrm{B}$ 组炉数 + +约110分 + +其间生产出6炉成品钢。 + +# 一、基本假设 + +1. 根据作业过程与工序要求，假设该车间至少有原料罐3个，辅料槽1个，半钢罐1个； +2. 天车之间无区别，任一台均可完成工序中涉及天车的所有操作； +3. 任意两个相邻工作点间距离相等，天车运行时间与通过的距离成正比； +4. 考虑到天车绝对不允许相撞，假设当一台天车完成炉上作业后离开至少15秒（即tx)后，才允许另一台天车到达；记此安全延迟时间为 $\triangle x$ 。 +5. 假设天车技术性能良好，在运行过程中不会出现停车故障或脱钩事故。 + +# 二、模型一：Petri网分析 + +# （一）初步分析 + +由图2，在A组炉满负荷生产情形下，一个周期(110分 $+2\triangle \mathbf{x} = 110$ 分30秒)内天车运行总时间最少为： + +[循环(13,14,15,16,17)时间+循环(1,2,3,4,5,6)时间+循环(8,9,10,11,12)时间] $\times 6 = 168$ 分，而为了使天车作业率不超过 $70\%$ ，两台天车的工作时间至多为110分30秒 $\times 2\times 70\% = 154.7$ 分（168分，故至少应考虑三台天车。 + +# （二）系统的Petri网模型描述 + +# 1. Petri 网简介 + +Petri 网 (有关定义参见附录一及参考文献[1]) 是关于分布式异步并行系统的理论, 是研究并行现象的强有力的工具, 若在 Petri 网中考虑时间因素, 为每个迁移规定一个发生延续时间, 即该迁移从发生到结束需要的时间, 就得到一个带定时的 Petri 网, 即时间网系统, 由于原问题是在一个较少规模的空间发生的, 所以时间网系统中引入的统一的全局时间是合理的。 + +下面是系统的Petri网描述图： + +![](images/f33aeb66fbf7d93dafed6a94eaf5eb0261f44f4380ef9139d05e68ae6f9b681e.jpg) +图3 + +图中圆圈表示场所，方框表示迁移，方框中的数字为迁移代表的操作。 + +符号：S1：原料场地Q + +S2: Q 处天车处于空闲状态 +S3：天车处于Bi，将要提起空罐，Bi即将冶炼半钢 +S4: Bi处半钢冶炼完成 +S5：中部的天车处于空闲 +S6：半钢已倒入转炉Aj +S7：装载辅料的天车准备往Aj炉装料 + +S8：装载辅料的天车加料完毕，Aj炉将开始冶炼成钢 + +S9：P处天车处于空闲 + +S10：成品钢出炉 + +由此得出描述系统的Petri网 $\mathbf{P} = (\mathbf{S},\mathbf{R},\mathbf{F},\mathbf{K},\mathbf{W},\mathbf{M}0)$ ，其中容量函数 $\mathrm{K} = (\infty ,1,2,$ $2,\mathfrak{m},3,1,3,\mathfrak{n},\infty),1,\mathfrak{m},\mathfrak{n}\geqslant 0$ 且 $1 + \mathfrak{m} + \mathfrak{n}\leqslant 5$ ，权函数W对每条边均为1(即每个操作对每种天车或原料只需一个单位)，初始标识 $\mathbf{M}0 = (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$ 。 + +现在对上述Petri网系统进行动态的分析。应用“均衡原理”，我们令K(S1)不为无穷，而是每隔18分左右产生一个token，且产生三个token的时间间隔为55分15秒，从图上易算出R1,R2循环，R4,R5，循环，R6,R7,R8循环的时间延迟都不超过12分，迁移R3虽需27分，但由于S3容量为2，所以S4能够以和S1产生token相同的间隔获得token，同理S6,S8,S10也如此。因此，在S1“均衡”产生token的前提下，S10能够“均衡”地接收token，从而整个Petri网成为一个不发生冲撞和死锁的系统，这种网络流动自然产生了一个初步的调度方案。 + +# （三）调度方案的确定 + +（1）从Petri网的图示中易于看出R1，R2循环，R4，R5循环，R6，R7，R8循环分别代表天车的3种典型任务；从Q处装原料并返回，从B炉运半钢至A炉并返回，三个循环的平均时间延迟分别为10分30秒，11分30秒，5分30秒，其作业率最高的也只有 $62\%$ 。因此，天车数 $1 = \mathrm{m} = \mathrm{n} = 1$ 是满足条件的最基本方案，并且由于此情况下天车作业互相独立，易知实际的无冲突的作业调度方案是存在的。 +（2）由均衡原理"将A组单炉生产周期55分15秒划分为18分，18分，19分15秒，可得以下调度方案： + +各天车作业分工： + +a. 天车 T1 只负责从 P 装辅料至 A 炉, 每周期进行 6 次 R6, R7, R8 循环。 +b. 天车 T2 只负责从 B 炉装半钢至 A 炉，每周期 6 次 R4, R5 循环。 +c. 天车 T3 只负责从 Q 装原料至 B 炉, 每周期 6 次 R1, R2 循环。 + +《工序清单》（略） + +《天车一炉子作业运行图》（略） + +《调度规则说明书》（略） + +（3）可以验证： + +1. 在本方案中已实现了A组炉的不间断生产，故产量已达最高。 +2. 各天车的作业率（在满负荷情形下，一个周期110分30秒内） + +
天车T1T2T3
作业累计时间36分67分30秒64分30秒
作业率33%61%58%
+ +可见，T1，T2，T3的作业率均不超过 $70\%$ ，符合要求，关于均衡性的进一步讨论见下 + +文天车数目的讨论。 + +3. 由天车一炉子作业运行图容易看出，T1，T2，T3任一时刻的位置至少相差相邻两个工作点间的距离，且保持顺序无交叉，故绝对不会出现天车相撞事故。 +4. 由《调度规则说明书》容易知道调度的基本原则和先后顺序，参照各天车的详细工序清单，调度的安排便一目了然了。 + +综上所述，我们所提出的调度方案符合要求。 + +# （四）关于天车数目的进一步讨论： + +注意到 $\mathbf{m}(t) = \mathbf{n}(t) = 1$ 时，对应模型一调度方案中的天车T2，T3，其作业率分别为 $61\%$ 和 $58\%$ ，非常接近，故若 $\mathbf{m}(t) + \mathbf{n}(t) \geqslant 3$ ，而作业率又要尽量均衡的话，一方面造成天车的作业率太低（ $30\% - 40\%$ ），另一方面，因天车彼此的位置不能交换，而天车数目增加，不仅造成无效移动的增多（为了让位给其他天车工作），且增加相撞的可能性，并导致调度方案的复杂化。 + +因此，我们选择三台天车相对独立运行的调度方案，不仅在产量上最大，而且在实际生产的管理中也是合理的。 + +# 天车、冶炼炉作业调度的活动网络模型 + +# 丁剑 张德 冯南 + +（东南大学，南京210096） + +指导教师：姚瑞波 + +编者按：本文将三台A炉、二台B炉、三台天车的作业活动构造成一个活动网络模型，对于确定型问题，可用关键路径法找出达最大钢产量的调度方案增产到300万吨/年的各种措施的产量，对于非确定性问题可用计划评审法讲座随机性的影响及控制方案。现将有关内容摘录如下。 + +关键词：活动网络，关键路经法，计划评审法 + +(1) $\mathrm{Ai}^*$ 或 $\mathrm{Bj}^*$ : $\mathrm{Ai}$ (或 $\mathrm{Bj}$ ) 冶炼 +(2) Tk place: Tk 空着运至 place 处 +(3) Tk $\square \rightarrow$ place: Tk 带一空罐或槽运至 place 处 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246.md" "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c64cb6c8c1e0ce129bb424c31a6fcf54fd3bc53 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246.md" @@ -0,0 +1,327 @@ +最后说到本题的数学知识要求和数学应用的思想方法问题。在参赛队充分理解本题的要求和进行求解之后，我们可以看到，只要有初等数学知识，完全不用计算机就能完成本题的全部解析计算。然而计算结果是否正确的前提和关键却是时间参数之间的逻辑关系分析是否正确。因此本题数学考验的核心是逻辑数学，是工序之间的“关系”，特别是时间参数的“衔接关系”。实际工业应用数学问题大量的是“离散数学”问题，要善于综合应用“肯定型”、“概率型”和“逻辑型”的数学工具。如果只习惯于自然科学中的“肯定型—连续型”数学问题的分析思路和解法，我们就常会在实际生产问题和管理问题面前束手无策。因为这些问题经常是离散的概率型、逻辑型问题。本赛题最后提出的时间参数随机问题的讨论就是基于这样的背景提出的。许多答卷能够按平均时间的正态分布或统筹法中数学期望时间的正态分布或统筹法中数学期望时间的β分布来讨论时间参数对生产的影响都是正确的。然而这里也要指出一些参赛队不恰当地把有计划的生产调度问题用随机排队模型来套。殊不知一条轨道上的N台天车到达某一工作点根本不是随机自由到达。套用不恰当的模型而得出不正确的结果，失之偏颇也就难免了。可以说，深入浅出的运用数学工具解决实际问题是应用数学的“Know How”；而相反用了高深的数学理论却脱离了问题的实际，实乃数学建模之“大忌”。 + +“科技兴国”的号角召唤着有志于“科学技术面向经济建设”的学子。要使我国经济运行的质量赶超世界的先进水平，应用数学的参与大有作为。数学建模竞赛给有志者一个小试锋芒的机遇。我们期待着更多的优秀者脱颖而出，取得更好的成绩！ + +# 天车与冶炼炉的作业调度 + +邱玉平 谭小术 干斌 + +（四川轻化工学院，自贡643033） + +指导教师：武亦文 + +编者按：本文主要优点是能抓住主要的影响因素建立了“瓶颈模型”，通过详细、正确的数学论证分析了使用一至五台天车的可能性，并对使用三台天车的情形给出了详细的各天车的工序清单、天车炉子作业运行图。本文还用层次分析法给出了一种评估三、四、五台天车是否最优的模型，从而认为使用三台天车为最优。 + +摘要：本模型首先考虑该车间工序的相互影响，抓住主要的影响因素（即各环节的过程速度）在满足生产条件和假设条件的情况下，利用“递推法”找到其钢年产量的决定因素，建立了较为实用的“瓶颈模型”，应用层次分析法确定了天车的台数为3台，再运用排队理论制定了天车调度的最优方案，求出了在所给条件下钢的年产量为：282.76万吨。 + +关键词：瓶颈模型，排队论，层次分析法。 + +# 一、问题的提出（略） + +# 二、基本假设 + +1. 设备在工作过程中一切正常，不会出现偶然事故； +2. 原料装配不在该生产工序范围之内（即该模型不考虑 F、Q 两处的装料时间）； +3. 在A组炉处加半钢和加辅料之间的时间间隔忽略不计：而且在此条件下的两天车之间不会发生碰撞； +4. 加料均为一次性加足； +5. 各天车运行时的速度都相同（即各相邻工作点之间的距离都相同）； +6. 有足够的原料罐，半钢罐和辅料罐； +7. A组炉和B组炉的加料时间间隔相同。 +8. 任何一台天车没有不必要的工作状态（即：任何一台天车不会出现吊着料等待放卸）。 + +# 三、建立模型 + +# （一）模型中使用参数的说明： + +$T_{A}$ 表示A组炉中任意一台炉在一个周期内的工作时间； +$T_{B}$ 表示B组炉中任意一台炉在一个周期内的工作时间； +$T_{i}$ 表示天车 $T_{i}$ 在一个周期内的工作时间； +$m$ 表示对应两工作点的单位距离段数； +$n$ 表示天车T1工作的次数； +$k$ 表示每台转炉每年的作业天数； +$t_{a}(n)$ 表示A组炉中某一炉开始加料的时刻； +$t_b(n)$ 表示B组炉中某一炉冶炼结束的时刻； +$t_i(n)$ 表示天车 $T_{i}$ 开始作业的时刻 $(\mathrm{i} = 1,2,3)$ +$W$ 表示成品钢的年产量； +$W_{a}$ A组炉平均每炉成品钢产量； +$t_{a}$ A组炉中冶炼一炉的成品钢所需时间(输出时间计入 $t_{a}$ 中)； +$t_b$ B组炉中冶炼一炉半钢所需时间(输出时间计入 $t_h$ 中)； +$t_i$ B组炉处放下原料罐所需时间； +$t_{o}$ B组炉处吊起原料空罐所需时间； +$t_{\mathrm{c}}$ B组炉处放下空半钢罐所需时间； + +$t_d$ B组炉处吊起半钢罐所需时间； +$t_e$ 在A组炉处倒入半钢所需时间； +$t_f$ 在A组炉处加入辅料所需时间； +$t_{g}$ 在 $\mathbb{P}$ 处吊起辅料槽所需时间； +$t_h$ 在 $\mathbf{P}$ 处放下空槽所需时间； +$t_{y}$ 在 $\mathbf{Q}$ 处吊起原料罐所需时间； +$t_k$ 在 $\mathbf{Q}$ 处放下空原料罐所需时间； +$t_x$ 两相邻工作点之间天车运行时间； + +# （二）问题的分析： + +由于A组转炉数与B组冶炼炉数不相等，A组转炉与B组冶炼炉之间不能一一对应，因此A组转炉与B组冶炼炉之间只能交叉对应，其关系如下： + +![](images/ed7a15167335b400ae8b8c6eb1f92ccc885b44085b983a59216bf2b8316f9f48.jpg) + +在我们要解决的问题中，A组炉和B组炉在生产过程中反复出现，并同时要求天车的作业率均衡，所以我们应考虑生产过程为周期性变化。根据实际情况，我们把以上框图内的内容作为一个工作周期，然而我们要建立一个钢产量尽量高的模型这就必须使生产过程中的周期最短，利用在连串反应中反应最慢的环节决定着整个反应的反应速度的原理（即：连串反应的速度控制原理），分析所给问题，A组炉在一个周期内的工作时间 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ 与B组炉在一个周期内的工作时间 $\mathrm{T_B}$ 为两个相对独立的变量，如果考虑到B组炉供应A组炉的生产工序，则 $\mathrm{T_A}$ 和 $\mathrm{T_B}$ 相互影响，并决定着成品钢的产量，而且 $\mathrm{T_A}$ 与 $\mathrm{T_B}$ 的关系满足以上所述的速度控制原理，因此我们可以根据这个原理来建立一个“瓶颈模型”。 + +# （三）模型建立： + +在我们所要建立的模型中， $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ 和 $\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ 满足连串反应速度控制原理，所以我们应先确定A，B中反应最慢的环节，即确定A，B两组炉生产过程由 $\max[\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}}]$ 来决定，其中 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ ， $\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ 如下： + +$$ +T _ {A} = 2 \left(t _ {a} + t _ {e} + t _ {f}\right) +$$ + +$$ +T _ {B} = 3 \left(t _ {b} + t _ {i} + t _ {d} + m \cdot t _ {x}\right) +$$ + +由 $\max[\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}}]$ 我们可以进行下一步寻找能够满足条件的天车运行工序，其具体寻找方法为： + +（1）如果 $\max [T_{\mathrm{A}}, T_{\mathrm{B}}] \times 70\% > \max [T_{1}, T_{2}, T_{3}]$ ，则由 $\max [T_{\mathrm{A}}, T_{\mathrm{B}}]$ 所对应的那组炉来确定天车的运行工序，并由其确定循环周期； +（2）如果 $\max [T_{\mathrm{A}}, T_{\mathrm{B}}] \times 70\% < \max [T_{1}, T_{2}, T_{3}]$ ，则由 $\max [T_{1}, T_{2}, T_{3}]$ 所对应的天车按A组炉与B组炉的关系确定运行工序，并由其确定循环周期。 + +由于所建模型不能直接提出调度方案，因此我们只能用所给数据演示模型具体求解过程，给出其调度方案。由上面步骤，我们可先求出 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ 的大小如下，（对应如上的A组炉与B组炉的循环过程）： + +$$ +T _ {A} = 2 \left(t _ {a} + t _ {e} + t _ {f}\right) = 2 \times (4 8 + 5 + 2) = 1 1 0 \quad (\text {单 位}: \min ) +$$ + +$T_{B} = 3(t_{t} + t_{t} + t_{d} + m \cdot t_{r}) = 3 \times (27 + 3 + 3 + 0.25m) = 99 + 0.75$ （单位：min） + +由于 $n \leq 6$ （由厂房布局图可知），所以 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}} > 103.5 \geq \mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ ，即A，B两组炉生产过程的速度由 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ 决定。 + +现在我们由 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ 来进行下一步寻找满足条件的天车运行工序： + +（1）通过计算，只有一台天车和只有两台天车时，都不能满足天车的作业率小于 $70\%$ ，故我们不再考虑生产过程中只有一台或只有两台天车的情况。 +（2）考虑有三台天车的情况：先假设一种最简单的情况——即辅料P处与A组炉之间有一台天车，A组炉与B组炉之间有一台天车，B组炉与原料Q处有一台天车，分布如下图： + +![](images/5831737ec962bcefdc2652ea81f917be1d24c47f3bc46c3ac75ef123c34df0c5.jpg) + +![](images/d0bcc2032192d5817fde996c08186c598e977e0243e24998194801a8b1a12b5e.jpg) + +![](images/198b1cae04adbed572670ac783fee3bc7a78a63c265909c6445eac28ddeb7584.jpg) + +![](images/d70edeb90f7cb5b8f517d1269eefce38fa03515cb94a4425847109eaac896416.jpg) + +![](images/81ea9b79dbd358f75f9e607c30b94a75bc222f63dbb48865f4ed34a33f6de27e.jpg) + +![](images/4a952522606a345997543ca2861840a17c009bb0c1a912bf31a1d3f9a4fb85c4.jpg) + +![](images/1a091c6556ebfa0a365f32ce54e21e4496eaa2d2b984c1f8b710b9d29258aad5.jpg) + +![](images/9a4f83356ed4a82ea8226ec77111fb763bfde584d9fff0ac5c4972f62dd8d385.jpg) + +按这种情况，我们求出每一台天车在一个周期内的工作时间，分别为： + +$$ +\mathrm {T} _ {1} = 3 6 \mathrm {m i n} +$$ + +$$ +\mathrm {T} _ {2} = 6 7. 5 \mathrm {m i n} +$$ + +$$ +\mathrm {T} _ {3} = 6 4. 5 \mathrm {m i n} +$$ + +因为 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}} \times 70\% > \max[\mathrm{T}_{1}, \mathrm{T}_{2}, \mathrm{T}_{3}]$ ，所以在整个生产过程中，A组炉决定着整个生产工序，当有四台或五台天车时，按相同的方法得知，仍是A组炉决定着整个生产工序。但考虑到效益，产量，安全，调度难度，设备投资等主要影响因素，通过层次分析法（详见附录）我们得出了调用三台天车为最佳。 + +下面我们来求有三台天车时的最佳调度方案：首先可以设其中一循环以A1开始，从此时开始计时，由于在同一个周期内，A1，A2，A3是按A1，A2，A3，A1，A2，A3的顺序加料的，且每相邻加料时间间隔相同（即 $\frac{T_{\mathrm{A}}}{6} = 18.33\mathrm{min}$ ），故A组炉中任一炉的开始加料时刻为： + +$$ +t _ {a} (n) = \frac {T _ {A} \cdot (n - 1)}{6} = 1 8. 3 3 (n - 1) \tag {1} +$$ + +在满足假设8的条件下，A组中每一炉的加料时刻决定了B组中对应冶炼炉的冶炼结束时刻，还决定了天车T1的开始吊料时刻和天车T2开始吊料的时刻，而B组炉的冶炼结束时刻决定了天车T3的开始吊料时刻，各时刻的求解式如下： + +$$ +t _ {b} (n) = t _ {a} (n) - m \cdot t _ {x} \tag {2} +$$ + +$$ +t _ {1} (n) = t _ {a} (n) + t _ {e} - \left(m \cdot t _ {x} + t _ {g}\right) \tag {3} +$$ + +$$ +t _ {2} (n) = t _ {a} (n) - m \cdot t _ {x} \tag {4} +$$ + +$$ +t _ {3} (n) = t _ {b} (n) - \left(m \cdot t _ {x} + t _ {y}\right) \tag {5} +$$ + +（注：以上四式中的 $m$ 并非表示同一意义，而是表示与其情况对应的相关工作点之间的单位距离段数。） + +成品钢的年产量为： + +$$ +W = 2 4 \times 6 0 \times 6 \times \frac {W _ {a} \cdot k}{T _ {A}} = 8 6 4 0 \times \frac {W _ {a} \cdot k}{T _ {A}} \tag {6} +$$ + +(6)式中6为一个工作周期内生产成品钢的炉数，在以上(1)一(6)表达式中，(3)、(4)、(5)、(6)就是我们建立的模型（注：该模型是经判断确定以TA为基准的条件下才适用） + +# （四）调度方案 + +# 1. 工序清单 + +（1）各台天车的工序清单： + +T1: P处提料 $\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} \end{array} }} \end{array} }} \end{array} }} \end{array} }} \end{array} }\right.}\right.}$ 返回P处放槽 $\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} \\ & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed { \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed { \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed { \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed { \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\mathrm{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\end{array} }} \end{array} }} \end{array} }}}\right.}\right.}\right.}\right.}$ 暂停 +T2：B炉处提料 $\vdash$ A炉处倒料 $\vdash$ 返回B炉处放罐 $\vdash$ 暂停 +T3: Q处提料→B炉处放罐→B炉处提罐→返回Q处放罐→暂 + +（2）各台天车在一个工作周期内的工序清单： + +![](images/bb3e6738d39e5398c9bed08fed72e56e189f0355f9f13b507f2857fbfeca22e8.jpg) +T1：天车T1在一个周期内的工序清单 + +![](images/feba53948e4fa17bb825e64030c334892a2218f65a7fc1cef73b31e0eb31ae5a.jpg) + +![](images/96ce7281a2bc6c4d74e727aaf7fcab33d7349c0963860d7bee69e72eee955f5a.jpg) + +![](images/372623d3d731e65837e9ffc62049cf97c739c41d1c1ac9f5beac21f24c23753a.jpg) +T2：天车T2在一个周期内的工序清单（略） T3：天车T3在一个周期内的工序清单（略） + +![](images/05ce180ff721df18f3611b8b24a3240b700f93639c5f9ec9f2a11dd830e831cc.jpg) + +![](images/50e1ce4ce32d2620ebdf9331742c1ae1e779e1789e77d973b2abafe5e6cc34a0.jpg) + +# 2. 天车一炉子作业运行图 + +![](images/8ddefbbdfad9d02f928140d3897fe296f567f2c44cf10243847e16ed9a823ce8.jpg) +t/min + +![](images/54615a719bb3e6a59dad090f911dc39e41975b3746403456aa4b0d3edc2796c2.jpg) +t/mi + +在以上图中，天车和炉子的作业运行图由以下分段函数来表示： + +$$ +f (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text {停 止 状 态} \\ 1 & \text {工 作 状 态} \end{array} \right. +$$ + +![](images/7e5b2152000534e0e078b47222905c1ab8e57afbf1d1f6cd16d9e400b557cd39.jpg) + +由于我们假设在A组炉处天车T1与天车T2进料是连续的，无时间间隔，但不会发生碰撞，所以图中T1与T2在相同时刻处于同一个位置，（如上图所示的A，B两点）并不是违背条件的。 + +# （五）调度规则说明书 + +各天车的调度时刻分别由下面对应的式子确定： + +$$ +t _ {1} (n) = t _ {a} (n) + t _ {e} - \left(m \cdot t _ {x} + t _ {g}\right) +$$ + +$$ +t _ {2} (n) = t _ {a} (n) - m \cdot t _ {x} +$$ + +$$ +t _ {3} (n) = t _ {b} (n) - \left(m \cdot t _ {x} + t _ {y}\right) +$$ + +各天车被调度后就按（一）中对应的工序正常工作。 + +各天车在一个工作周期内的调度时间如下表： + +
123456
T12.7521.839.4157.7576.0894.41
T2-3.7514.5832.9151.2569.5887.91
T3-40.98-22.34-4.2514.3332.4151.00
+ +# （六）各台天车在所给方案下的作业率： + +用前面的计算结果(天车T1，T2，T3在一个工作周期内的作业时间)求得对应天车的作业率见下表： + +
T1T2T3
作业率32.73%61.36%58.64%
+ +# （七）该车间成品钢的年产量为： + +$$ +W = 8 6 4 0 \cdot \frac {w _ {a} \cdot k}{T _ {A}} = 8 6 4 0 \times \frac {1 2 0 \times 3 0 0}{1 1 0} = 2 8 2 7 6 0 0 (\text {吨}) = 2 8 2. 7 6 (\text {万 吨}) +$$ + +# 四、模型结果分析 + +由于我们所建模型时把随机性参数 $t_{\mathrm{a}}, t_{\mathrm{b}}, \dots, t_{\mathrm{k}}$ 取为其平均值，考虑为定值参数，这使所建模型运行后结果产生误差。对于 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ ，由于天车有足够的休息时间，而且由A组炉决定其工作状态，按正态分布计算其概率接近于 $100\%$ ，对于成品年产量W，按正态分布计算其概率近似于 $87.5\%$ 。 + +在不改变生产工艺条件的情况下，该车间成品钢年产量达300万吨的概率几乎为0，因此，要使钢年产量达到300万吨，我们必须对生产工序或每年的作业日作一定的调整，比如：缩短工作周期，增加年作业日等。经过计算，我们发现仅增加作业日，则需增加18.3天才能达到年产量300万吨；如增加工作日的同时缩短生产周期，则当缩短4分钟/(周期)时，只需增加7天就能达到年产量300万吨，如仅缩短工作周期，则只需缩短6.3分钟/(周期)。比较三者，我们建议采用适当增加作业日同时适当缩短工作周期来达到年产量300万吨，这样就避免了因工作周期过短而使天车的作业率超过 $70\%$ 和作业日过多而造成职工抱怨强烈。 + +# 五、模型的改进和推广 + +由于我们时间有限，只能以演示的方式给出由A组炉决定整个生产过程的模型，而不能给出由B组炉或天车Ti决定整个生产过程的模型，因此，我们模型的改进方向是建立由B组炉或天车Ti决定整个生产过程的模型，达到对任何情况我们都可在判断后直接利用模型制定调度方案。 + +我们所建立的模型不仅可用于天车调度，而且可用于工作时间与其它时间有矛盾时的人员的安排。交通(尤其是火车)调度等。 + +# 六、模型优缺点 + +1. 我们的“瓶颈模型”是按“递推法”逐渐满足条件而建立的，建模方法简单易懂，尽管建模过程中应用了层次分析法和排队理论，但仍可以只用初等数学方法便能制定出调度方案。 +2. 所建模型的调度时刻清晰，便于操作。 +3. 我们的模型先是按一般情况考虑的，具有一定的通用性，如遇到其它情况，只需抓住问题的“颈”，然后利用我们模型中回归递推的方法进行求解。有很强的适用性。 +4. 由于我们在模型假设中有一些地方进行了连续化处理，这可能使模型在实际运用过程中对调度和操作的要求增强。 + +# 参考文献 + +1.《物理化学》，天津大学物理化学教研室编(第三版)，高等教育出版社 +2.《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版 +3. 《运筹学导论》，[美]B.E. 吉勒特著，机械工业出版社 +4.《排队论及其应用》，陆凤山编，湖南科学技术出版社 +5.《概率论》，同济大学数学教研室编，高等教育出版社 +6.《层次分析法引论》，王莲芬许树柏编著，中国人民大学出版社 +7.《大学生数学建模竞赛辅导教材》，叶其孝主编，湖南教育出版社 + +# 附录一 用层次分析法确定天车的台数 + +对采用三台，四台，五台天车都能满足工艺要求的情况下，要确定选取哪一种情况为最优方案时，可以将决策问题分解为三个层次 + +运用一九尺度分别写出准则层对目标层(A矩阵)及方案层对准则层的判断矩阵(B1,B2,B3,B4,B5矩阵)： + +$$ +A = \left| \begin{array}{c c c c c} 1 & 1 & 4 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 4 \\ \frac {1}{4} & \frac {1}{3} & 1 & 3 & \frac {1}{2} \\ \frac {1}{4} & \frac {1}{3} & \frac {1}{3} & 1 & 1 \\ \frac {1}{3} & \frac {1}{4} & 2 & 1 & 1 \end{array} \right| +$$ + +$$ +B 1 = \left| \begin{array}{l l l} 1 & 2 & 5 \\ \frac {1}{2} & 1 & 3 \\ \frac {1}{5} & \frac {1}{3} & 1 \end{array} \right| +$$ + +$$ +B 2 = \left| \begin{array}{c c c} 1 & \frac {1}{3} & \frac {1}{8} \\ 3 & 1 & \frac {1}{3} \\ 8 & 3 & 1 \end{array} \right| +$$ + +$$ +B 3 = \left| \begin{array}{c c c} 1 & 3 & 4 \\ \frac {1}{3} & 1 & 1 \\ \frac {1}{4} & 1 & 1 \end{array} \right| +$$ + +$$ +B 4 = \left| \begin{array}{c c c} 1 & 2 & 4 \\ \frac {1}{2} & 1 & 2 \\ \frac {1}{4} & \frac {1}{2} & 1 \end{array} \right| +$$ + +$$ +B 5 = \left| \begin{array}{c c c} 1 & 3 & 8 \\ \frac {1}{3} & 1 & 3 \\ \frac {1}{8} & \frac {1}{3} & 1 \end{array} \right| +$$ + +由Perron定理可知：设 $\mathbf{n}$ 阶方阵 $A > 0$ ， $\lambda_{\mathrm{max}}$ 为A的模最大的特征根，那么有： + +（1） $\lambda_{\max}$ 必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量； +（2）A的任何其它特征根 $\lambda$ 恒有 $|\lambda| < \lambda_{\max}$ ； +（3） $\lambda_{\mathrm{max}}$ 为A的单特征根，因而它对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。 + +对于正矩阵A的最大特征根 $\lambda_{\mathrm{max}}$ 及特征向量 $\omega$ 可根据Perron定理，利用数值计算中的幂法求取；同时利用 $\mathrm{CI} = \frac{\lambda_{\mathrm{max}} - n}{n - 1}$ 对每个判断矩阵进行一致性检验，查找相应阶数的平均随机致一性指标RI(阶数 $n = 3$ 时 $\mathrm{RI} = 0.52, n = 5$ 时 $\mathrm{RI} = 1.12$ )，并用 $\mathrm{CR} = \frac{\mathrm{CI}}{\mathrm{RI}}$ 求得一致性比例CR，当 $\mathrm{CR} > 0.1$ 时说明判断矩阵不合实际，应进行重新判断，直到 $\mathrm{CR} < 0.1$ 时通过检验，当每一判断矩阵都通过一致性检验时，得到如下表所示值；然后进行组合权向量的计算。 + +
k12345
ωk(B)0.581550.081940.633760.571430.68173
0.309000.236280.191860.285710.23634
0.109450.681780.174380.142860.08193
λk3.003673.001193.008843.000003.00148
CIk0.001840.000600.004420.000000.00074
+ +从上表中可以看出各判断矩阵均通过一致性检验，并可得到 + +$$ +\omega^ {(A)} = (0. 3 4 7 2 7, 0. 3 3 2 1 0, 0. 1 1 7 6 4, 0. 0 8 2 9 1, 0. 1 2 0 0 9) ^ {T} +$$ + +记： $\mathbf{W} = \left[\omega_{1}^{(\mathrm{B})},\omega_{2}^{(\mathrm{B})},\omega_{3}^{(\mathrm{B})},\omega_{4}^{(\mathrm{B})},\omega_{5}^{(\mathrm{B})}\right]$ ，可得第三层对第一层的排序向量： + +$\omega_{31} = 0.43296, 0.26041, 0.30662$ ，此向量中权重最大的一项就是最优项（即我们所要寻找的最优项）； + +以上各计算步骤都是通过BASIC程序实现的。 + +附录二：AHP层次分析源程序（略） \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4bf1a9ee1c05962d4888e642b41e8b2605dcb20f --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,79 @@ +# 天车与冶炼炉的作业调度模型 + +杨银芳 郭安 蒋鹏 + +（重庆工业管理学院，重庆630050） + +指导教师：宋江敏 + +编者按：该参赛论文在对一台至五台天车这五个方案进行选优时采用了层次分析法，较为合理地设立准则层，有特色。现摘录有关内容如下。 + +关键词：层次分析法，层次结构图，最优方案。 + +我们采用关键路线法(CMP)作出从一台天车到五台天车情况下一个工作周期的各个网络图，通过编制程序（程序见附录3），找出关键路线，一个周期的运行时间，通过网络图分析，得出各种运行方案下年产量及《天车一炉子作业运行图》，由此可得各个方案下各台天车的作业率。 + +要在这五个方案中择取最优方案，其实质为一多目标规划问题。运用层次分析法(AHP)进行双选择优。具体作法如下： + +# 一、得出递阶层次结构图 + +![](images/204c9887e223f8543b91b24277f8a2d33ce04dba12b7c378f2646f2db65ac4ab.jpg) + +# 二、两两比较构造判断矩阵（见附录1） + +$$ +A = \left[ \begin{array}{c c c c c c} a 1 1 & a 1 2 & \dots & a 1 j & \dots & a l n \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a i 1 & a i 2 & \dots & a i j & \dots & a i n \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a n 1 & a n 2 & \dots & a n j & \dots & a n n \end{array} \right] _ {n} * n +$$ + +$a_{ij}$ $i$ 对 $j$ 的相对重要数字 + +# 三、进行单排序 + +利用和积法 + +对A按列归一化 + +$$ +\bar {W} _ {i j} = \frac {a _ {i j}}{\sum_ {k = 1} ^ {n} a _ {k j}} +$$ + +对 $\overline{W}_{ij}$ 按行求和 $\overline{W}_i = \sum_{j = 1}^n\overline{W}_{ij}$ + +将 $\overline{W}_i$ 归一化 $\overline{W}_i = \frac{\overline{W}_i}{\sum_{i=1}^{n} \overline{W}_i} = (w1, \cdots, wn)$ 即为特征向量 + +$$ +\lambda_ {m a x} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {(A W) _ {i}}{n W _ {i}} +$$ + +# 四、一致性检验 + +$$ +C I = \frac {(\lambda_ {m a x} - n)}{n - 1} R I \text {一 查 表 可 得} C R = \frac {C I}{R I} +$$ + +当 $\mathrm{CR} < 0.1$ 时，具有满意的一致性 + +# 五、层次总排序 + +
层次B +层次CB1/b1B2/b2...Bn/bn总排序
C1w1w1...w1∑m +j=1b +j +w1
C2w2w2...w2∑m +j=1b +j +w2
.........
Cnwnwn...wn∑m +j=1b +j +wn
+ +# 六、总排序的一致性检验 + +$$ +C I = \sum_ {j = 1} ^ {3} a _ {j} (C I) _ {j} \quad R I = \sum_ {j = 1} ^ {3} a _ {j} (R I) _ {j} +$$ + +用FORTRAN编程可计算出层次总排序如下（由好到次）： + +3台天车 $\rightarrow 5$ 台天车 $\rightarrow 4$ 台天车 $\rightarrow 1$ 台天车 $\rightarrow 2$ 台天车 + +即安排3台天车的方案为最优方案。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\346\223\215\344\275\234\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\346\223\215\344\275\234\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\346\223\215\344\275\234\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\346\223\215\344\275\234\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5db1f846a6f14bbefdefeddff9e7f31592a99b57 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\346\223\215\344\275\234\346\250\241\345\236\213/\345\244\251\350\275\246\344\270\216\345\206\266\347\202\274\347\202\211\347\232\204\346\223\215\344\275\234\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,320 @@ +# 天车与冶炼炉的操作模型 + +陈靖 周素华 黄秋波 + +（湖南湘潭大学，湘潭，411105） + +指导教师：成央金 + +编者按：本文通过基本数据的定量分析，给出三台天车的二种调度方案，在保证产量达到最大条件下使天车的作业率达到均衡而且使用率很高。本文条理清楚，是篇优秀答卷，文章主要缺点是对随机性情况未进行讨论。 + +摘要：本文得到了模型1存在可行方案的充分条件，为 $\mathfrak{t}_1,\mathfrak{t}_2$ 的确定提供了理论依据，得到的操作方案保证A组炉满负荷工作，且 $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$ 的作业率分别为 $32.7\% ,61.4\% ,58.6\%$ 。针对作业率极不平衡的缺点，采用这样的思路：不增加天车的台数， $\mathrm{T}_{1}$ 负责一部分工作， $\mathrm{T}_{3}$ 负责 $\mathrm{T}_{2}$ 一部分工作，提出另一套方案。获得了存在可行方案的充分条件，从理论上解决了 $\mathrm{t_1,t_2}$ 的确定，且提出的方案保证A组炉满负荷工作且 $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$ 的作业率分别为 $52.7\% ,53.6\%$ $54.1\%$ ，模型2是很满意的，据此提出一套供现场工作人员使用的《操作规则说明书》对应用于实际生产过程进行了初步的讨论，为年产300万吨提出了一个建议。利用计算机用同样的思想对4台天车、5台天车的运动轨迹进行了模拟。 + +关键词：作业调度，作业均衡，天车运行图 + +# 一、背景与问题的重述（略） + +# 二、模型的假设 + +假设一：天车运行是匀速的。 + +假设二：两台天车必须在A或B工作点相继作业时，而这两台天车间又夹有一台天车，这就有因为让路带来的延迟，我们假设这种延迟非常小，可忽略不计。 + +# 三、问题的分析 + +A组转炉生产成品钢，成品钢的产量是工厂关注的一个首要问题，天车与冶炼炉的作业调度方案必须围绕这个问题来提出。因此，我们采用这样的思路：A组转炉尽可能不空闲，其余工作点尽可能为A组转炉提供最好的服务。在绝对没有天车相碰，各天车作业率尽可能均衡的情形下，A组中每个转炉处于连续工作状态，即A组炉出钢后立即加料，加料后立即冶炼。因加半钢和辅料不能同时进行，且所需时间分别为5分钟和2分钟，而冶 + +炼时间为48分，所以，出一炉成品钢的最短时间为 $5 + 2 + 48 = 55$ 分。又因A组炉有3个，所以，55分钟内可出3炉成品钢。若A组炉出钢顺序为 $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$ ，且在0至55分钟里， $\mathrm{A}_1$ 在 $\mathfrak{t}_1$ 时刻出钢， $\mathrm{A}_2$ 在 $\mathfrak{t}_2$ 时刻出钢， $\mathrm{A}_3$ 在55分钟出钢。以下所建立的模型，就是在保证对天车与冶炼炉作业调度的要求的前提下，求出 $\mathfrak{t}_1, \mathfrak{t}_2$ 所应满足的条件，以此得到天车与冶炼炉的调度方案。 + +# 四、模型的建立 + +# 1. 模型1： + +B组炉轮流给A组炉供应半钢，我们采用下面的顺序： + +$$ +\mathrm {B} _ {1} \rightarrow \mathrm {A} _ {1}, \mathrm {B} _ {2} \rightarrow \mathrm {A} _ {2}, \mathrm {B} _ {1} \rightarrow \mathrm {A} _ {3}, \mathrm {B} _ {2} \rightarrow \mathrm {A} _ {1}, \mathrm {B} _ {2} \rightarrow \mathrm {A} _ {2}, \mathrm {B} _ {2} \rightarrow \mathrm {A} _ {3} +$$ + +以110分钟作为一个周期，不妨设在一个周期内， $\mathbf{A}_1$ 在 $\mathfrak{t}_1$ 时刻出钢， $\mathbf{A}_2$ 在 $\mathfrak{t}_2$ 时刻出钢， $\mathbf{A}_3$ 在55分钟时出钢，然后， $\mathbf{A}_1$ 在 $55 + \mathfrak{t}_1$ 时刻第二次出钢， $\mathbf{A}_2$ 在 $55 + \mathfrak{t}_2$ 时刻出钢， $\mathbf{A}_3$ 在110分钟时出钢，如下图所示： + +![](images/ca29aa756f5ccf976e2c3b6c23e07dce3091f6ac83fca3f96d31327c914965fd.jpg) + +A组炉在一个周期内6个时刻出钢，天车 $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$ 在每时刻附近完成一次作业，这样，将一个周期分为6个阶段。天车 $\mathrm{T}_{1}$ 负责给A组炉加辅料， $\mathrm{T}_{2}$ 把B组炉的半钢运至A组冶炼， $\mathrm{T}_{3}$ 负责将Q处原料运至B组炉， $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$ 工作起点的确定的方法是： + +$\mathrm{T}_{2}$ ：当转炉 $\mathrm{A_k(1\leq K\leq 3)}$ 成品钢出炉后， $\mathrm{T}_{2}$ 刚好将半钢送到 $\mathrm{A_k}$ 处。 + +$\mathrm{T}_{1}$ ：当 $\mathrm{T}_{2}$ 给转炉 $\mathbf{A}_{\mathrm{k}}$ 加完半钢后， $\mathrm{T}_{1}$ 刚好将辅料送到 $\mathrm{A}_{\mathrm{k}}$ 处。 + +$\mathrm{T}_{3}$ ：转炉 $\mathrm{A}_{\mathrm{k}}$ 成品钢出炉后， $\mathrm{T}_{1}$ 刚好在该时刻将原料送到B组中相应的冶炼炉处。 + +现在，我们计算一个周期内 $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3$ 在各时刻的工作始点，终点。 + +$\mathrm{A}_{1}$ 在 $t_1$ 时刻出一炉钢； + +$\mathrm{T}_{2}$ ：因 $\mathrm{T}_{2}$ 从 $\mathbf{B}_1$ 吊一罐半钢在 $\mathfrak{t}_{1}$ 时刻到达 $\mathbf{A}_{1}$ 处，故 $\mathrm{T}_{2}$ 的工作始点为： $t_1 - 3t_x - t_d$ 。当 $\mathrm{T}_{2}$ 将送钢倒入 $\mathrm{A}_{1}$ 后，将空罐返回 $\mathbf{B}_2$ 处，因此 $\mathrm{T}_{2}$ 的工作终点为： $t_1 + t_e + 4t_r + t_c$ + +$\mathrm{T}_{1}$ ：因为 $\mathrm{T}_{1}$ 是在 $\mathrm{T}_{2}$ 给 $\mathrm{A}_{1}$ 倒完半钢后即给 $\mathrm{A}_{1}$ 加辅料，故 $\mathrm{T}_{1}$ 的工作始点为： + +$$ +t _ {1} + t _ {e} - t _ {x} - t _ {g} +$$ + +当 $\mathrm{T}_{1}$ 将辅料倒完后，将空罐返回P处放下，因此 $\mathrm{T}_{1}$ 的工作终点为： + +$$ +t _ {1} + t _ {e} + t _ {f} + t _ {x} + t _ {h} +$$ + +因此 $\mathrm{T}_{1}$ 的工作终点为： $t_1 + t_v + t_f + t_x + t_h$ + +$\mathrm{T}_{3}$ ：因为 $\mathrm{T}_{3}$ 是在 $\mathrm{T}_{2}$ 将半钢提走以后即给 $\mathbf{B}_1$ 送原料，所以 $\mathrm{T}_{3}$ 的工作始点为： + +$$ +t _ {1} + 2 t _ {x} - t _ {y} +$$ + +当 $\mathrm{T}_{3}$ 放下原料后，吊上一次空罐返回Q处放下空罐，故 $\mathrm{T}_{3}$ 的工作终点为， + +$$ +t _ {1} + t _ {e} + t _ {o} + 2 t _ {x} + t _ {k} 。 +$$ + +同理可得，在一个周期内，天车 $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3$ 在其它五个阶段的工作始点和终点（见 + +表1）： + +现在我们分析B组炉在一个周期内的冶炼状态：因为，在第一阶段给 $\mathbf{B}_1$ 的原料，因第二阶段将 $\mathbf{B}_2$ 中半钢倒入 $\mathbf{A}_2$ ，到第三阶段供给 $\mathbf{A}_3$ 使用，所以，在 $\mathfrak{t}_{\mathrm{l}}$ 时刻，给 $\mathbf{B}_1$ 加的原料供给 $\mathbf{A}_3$ 使用， $\mathbf{B}_1$ 炉可以冶炼的时刻为 $t_1 + t_1$ 。该罐原料必须炼成半钢出炉的时刻等于 $\mathbf{T}_2$ 给 $\mathbf{A}_3$ 加半钢的工作始点时刻，即为 $55 - \mathrm{t_x} - \mathrm{t_d}$ 。为了保证有充足的时间冶炼半钢，有： $55 - t_{x}- t_{i} - (t_{1} + t_{i})\leqslant 27$ 。在一个周期内，B组炉的其它五个冶炼状态同理可得(见表2)。 + +如果一个天车与冶炼的作业调度方案能使A组炉处于连续工作状态，称该方案为可行方案。 + +下面的结论给出了上述方案可行的条件。 + +定理1：当 $t_1, t_2$ 满足下述三个条件 + +$$ +\begin{array}{l} 1 1 + 2 t _ {x} \leqslant t _ {1} \leqslant 2 2 - 2 t _ {x} \\ 3 6 + 3 t _ {x} \leqslant t _ {2} \leqslant 4 5 - 5 t _ {x} \\ 1 1 + 3 t _ {x} \leqslant t _ {2} - t _ {1} \leqslant 2 0 \\ \end{array} +$$ + +上述方案是可行的。 + +证明：(1)在一个周期内每台天车在某一阶段的工作始点一定不小于上一阶段的工作终点。考察 $T_{1}$ ，得下述不等式组： + +$$ +\begin{array}{l} t _ {2} + t _ {e} - 2 t _ {x} - t _ {g} \geqslant t _ {1} + t _ {e} + t _ {f} + t _ {x} + t _ {h} \\ 5 5 + t _ {e} - 3 t _ {x} - t _ {g} \geqslant t _ {2} + t _ {e} + t _ {j} + 2 t _ {x} + t _ {h} \\ 5 5 + t _ {1} + t _ {2} \dots t _ {x} - t _ {g} \geqslant 5 5 + t _ {e} + t _ {f} + 3 t _ {x} + t _ {h} \\ 5 5 + t _ {2} + t _ {e} - 2 t _ {x} - t _ {g} \geqslant 5 5 + t _ {1} + t _ {e} + t _ {f} + t _ {x} + t _ {h} \\ 1 1 0 + t _ {e} - 3 t _ {x} - t _ {g} \geqslant 5 5 + t _ {2} + t _ {e} + t _ {f} + 2 t _ {x} + t _ {h} \\ 1 1 0 + t _ {1} + t _ {e} - t _ {x} - t _ {g} \geqslant 5 5 + t _ {e} + t _ {f} + 3 t _ {x} + t _ {h} \\ \end{array} +$$ + +解得： + +$$ +t _ {1} \geqslant 6, \quad t _ {2} \leqslant 4 9 - t _ {x}, \quad t _ {2} - t _ {1} \geqslant 5 + 3 t _ {x} +$$ + +对 $\mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3$ 同理可得： + +$$ +\begin{array}{l} T _ {2} \quad t _ {1} \geqslant 1 0 + 6 t _ {x} = 1 1 + 2 t _ {x}; \quad t _ {2} \leqslant 4 5 - 5 t _ {x}; \quad t _ {2} - t _ {1} \geqslant 1 1 + 3 t _ {x} \\ T _ {3} \quad t _ {1} \geqslant 1 0 + 3 t _ {x}; \quad t _ {2} \leqslant 4 5 - 3 t _ {x}; \quad t _ {2} - t _ {1} \geqslant 1 1 + t _ {x} \\ \end{array} +$$ + +（2）为了保证冶炼区间的长度不小于27分钟，同理可以建立一个不等式组，并得出： + +$$ +t _ {1} \leqslant 2 2 - 2 t _ {x}; \quad t _ {2} \geqslant 3 6 + 3 t _ {x}; \quad t _ {2} - t _ {1} \leqslant 2 0 +$$ + +综上所述，得到一个不等式组： + +$$ +\begin{array}{l} 1 1 + 2 t _ {x} \leqslant t _ {1} \leqslant 2 2 - 2 t _ {x} \\ 3 6 + 3 t _ {x} \leqslant t _ {2} \leqslant 4 5 - 5 t _ {x} \\ 1 1 + 3 t _ {x} \leqslant t _ {2} - t _ {1} \leqslant 2 0 \\ \end{array} +$$ + +（3）天车之间是不会碰撞的， $\mathbf{T}_{1}$ 和 $\mathbf{T}_{3}$ 肯定不会碰撞，考察 $\mathbf{T}_{1}$ 与 $\mathbf{T}_{2}$ ，因 $\mathbf{T}_{2}$ 离开 $\mathbf{A}_{k}$ ， $\mathbf{T}_{1}$ 恰好赶到 $\mathbf{A}_{k}$ ，在 $\mathbf{A}_{k}$ 的作业时间2分钟后即返回，而 $\mathbf{T}_{2}$ 提半钢要花3分钟，因为下一阶段 $\mathbf{T}_{2}$ 来A组炉来工作时肯定不会碰撞， $\mathbf{T}_{2}$ 和 $\mathbf{T}_{3}$ 因都在同一时刻， $\mathbf{T}_{2}$ 到达 $\mathbf{A}_{k}$ ， $\mathbf{T}_{3}$ 在 $\mathbf{B}_{1}(1 = 1, 2)$ ，而 $\mathbf{T}_{2}$ 在 $\mathbf{A}_{k}$ 加半钢要花5分钟，而 $\mathbf{T}_{3}$ 在 $\mathbf{B}_{1}$ 放下原料，提空罐也花5分钟，因此不会碰撞。 + +上面结果告诉我们，如何选取 $t_1, t_2$ ，产生一个可行方案。我们现在计算一下可行方案 + +中 $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$ 的作业率。根据表1得 $\mathrm{T}_{1}$ 的作业时间为36分钟， $\mathrm{T}_{2}$ 的作业时间为67分30秒， $\mathrm{T}_{3}$ 的作业时间为64分30秒，其作业率分别为 $32.7\% ,61.4\% ,58.6\%$ 。所得结果显示，天车的作业率很不均衡，我们在该模型的基础上进行改进。 + +表1 + +
工作点T1T2T3
(1)始点t1+t_c-tx-tgt1-3tx-dt1-2tx-ty
终点t1+tc+tf+tx+tht1+tc+4tx+tct1+t2+to+2tx+tk
(2)始点t2+t_c-2tx-tgt2-3tx-dt1-tx-ty
终点t2+tc+tf+2tx+tht2+tc+2tx+tct2+ti+to+tx+tk
(3)始点55+tc-3tx-tg55-tx-d55-2tx-ty
终点55+tc+tf+3tx+th55+tc+3tx+tc55+t1+to+2tx+tk
(4)始点55+t1+tc-tx-tg55+t1-4tx-d55+t1-tx-ty
终点55+t1+tc+tf+tx+th55+t1+tc+3tx+tc55+t1+ti+to+2tx+tk
(5)始点55+t2-2tx-tg55+t2-2tx-d55+t2-2tx-ty
终点55+t2+tc+tf+2tx+th55+t2+tc+3tx+tc55+t2+ti+to+2tx+tk
(6)始点110+t_c-3tx-tg110--2tx-d110-2tx-ty
终点110+t_c+tf+3tx+th110+t_c+3tx+tc110+t_i+to+tx+th
+ +表2 + +
B组可以开始冶炼时间需要供应半钢时间
t1+t155+tx-td
t2+t155+t1-4tx-td
55+t155+t2-2tx-td
55+t1+t1110-2tx-3
55+t2+t1110+t1-3tx-td
110+t1110+t2-3tx-td
+ +# 2. 模型2： + +模型1的缺点是天车的作业率极不均衡，在模型1的基础上，不增加天车台数，我们采用这样的处理办法： $\mathsf{T}_{1}$ 从P点出发，从Q点吊出一罐原料到B1，并负责空罐的返回，然后返回P点所花时间不超过13分钟，在第一阶段与第二阶段之间， $\mathsf{T}_{1}, \mathsf{T}_{2}, \mathsf{T}_{3}$ 都有一段空闲时间（三个区间的交集）不小于13分钟，就有可能解决天车的作业率极不平均的问题。 + +在模型一的基础上作如下修改：在第一阶段 $\mathbf{T}_{1}$ 从 $\mathbf{Q}$ 点吊一罐原料B1，并负责空罐的返回，然后返回到P点，在第二阶段， $\mathbf{T}_{3}$ 不工作。在第四阶段， $\mathbf{T}_{1}$ 仅从 $\mathbf{Q}$ 点吊一罐原料至B1，不负责空罐的返回。第五阶段， $\mathbf{T}_{3}$ 从B1吊一罐半钢至 $\mathbf{A}_{\mathbf{k}}$ ，并带回上阶段的空半钢罐， $\mathbf{T}_{2}$ 不工作。为了设计操作规则说明书，让 $\mathbf{T}_{3}$ 较 $\mathbf{T}_{2}$ 产生延缓时间，这里为 $t_{x}$ 。 + +类似于模型一，得到天车 $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$ 在一个周期内每个阶段的工作始点，终点，及B组炉的6个冶炼状态(如表三，表四）。 + +下面的定理给出了方案可行的条件： + +定理2：当 $t_1, t_2$ 满足下述不等式，上述方案是可行的： + +$$ +1 1 + 2 t _ {x} \leqslant t _ {1} \leqslant 2 2 - 3 t _ {x} +$$ + +$$ +3 4 \leqslant t _ {2} \leqslant 4 0 +$$ + +$$ +t _ {2} - t _ {1} \geqslant 2 5 +$$ + +证明： + +（1）在第一阶段和第二阶之间， $\mathsf{T}_{\mathrm{l}}$ 空闲区间为： $[t_1 + 8 + t_x,t2 + 3 - 2t_x]$ + +$\mathrm{T}_{2}$ 的空闲区间为： $[t1 + 8,t2 - 3 - 3t_{x}]$ + +$\mathrm{T}_{1}$ 和 $\mathrm{T}_{2}$ 的公共空闲区间为： $[t1 + 8 + t_x,t2 - 3 - 3t_x]$ + +由此推得， $t2 - 3 - 3t_x - (t1 + 8 + t_x)\geqslant 13$ 即： $t2 - t1\geqslant 25$ + +对第四阶段与第五阶段，同理可得： $t2 - t1\geqslant 11 + 2t_{x}$ + +综合上述，有 $t2 - t1 \geqslant 25$ + +（2）根据表3，某一阶段天车的工作始点必须不小于上一阶段的终点，得天车 $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2}$ $\mathrm{T}_{3}$ 能够运行的条件： + +$$ +T _ {1}: t 1 \geqslant 6 \quad T _ {2}: t 1 \geqslant 1 1 + 2 t _ {x} \quad T _ {3}: t 1 \geqslant 1 0 + 3 t _ {x} +$$ + +$$ +t 2 \leqslant 4 9 - t _ {x} \quad t 2 \leqslant 5 5 - 3 t _ {x}. \quad t 2 \leqslant 4 0. +$$ + +$$ +t 2 - t 1 \geqslant 1 8 + 3 t _ {x}. +$$ + +（3）根据表4，供应半钢的时间与原料到达 $\mathbf{B}_1$ 处放下后的时间差必须不小于冶炼出半钢的时间 $t_b = 27$ 分钟，我们有下面的不等式： + +$$ +t 1 \leqslant 2 2 - 3 t _ {x} +$$ + +$$ +t 2 \geqslant 3 4 +$$ + +综合上述四个不等式组，得： + +$$ +1 1 + 2 t _ {x} \leqslant t 1 \leqslant 2 2 - 3 t _ {x} +$$ + +$$ +3 4 \leqslant t 2 \leqslant 4 0 +$$ + +$$ +t 2 - t 1 \geqslant 2 5 +$$ + +所以，只要我们选择满足上述不等式的 $t1, t2$ ，我们便能得出3台天车互帮的可行的调度方案。且满足设计要求(1)，(2)，(3)，(4)。对于要求(3)，因为互帮是在 $\mathbf{T}_1, \mathbf{T}_2, \mathbf{T}_3$ 均空闲的区间段实现的，在互帮时，天车跟着平行移动即可，所以不会相撞。对于要求(2)，我们在天车运行状态表中给出了三台天车的作业率，从表中结果显示，三台天车的作业率达到了很好的均衡，下面，我们给出操作规则说明书。 + +# 3. 操作规则说明书 + +先根据A组炉的冶炼时间确定 $\mathbf{T}_2$ 的运动时刻，由 $\mathbf{T}_3$ 的工作始点与 $\mathbf{T}_2$ 的工作始点的延缓时间可以确定 $\mathbf{T}_3$ 的工作始点，再由 $\mathbf{T}_1$ 与 $\mathbf{T}_2$ 的延缓关系可以确定 $\mathbf{T}_1$ 的工作始点 $\mathbf{T}_1$ + +规则1：如果有天车给 $\mathbf{A}_{\mathbf{k}}(\mathbf{k} = 1,2,3)$ 加半钢，过 $3 - \mathrm{k}*\mathrm{t}_{\mathrm{x}}$ 后，吊辅料槽至 $\mathbf{A}_{\mathbf{k}}$ ，返回P + +规则2：(1)上半周期 + +当给 $\mathbf{A}_1$ 加完辅料后，返回 $\mathbf{P}$ 放下空槽，立即赴 $\mathbf{Q}$ 点，途经 $\mathbf{B}_2$ 取空罐带到 $\mathbf{Q}$ ，取原料一罐至工作点 $\mathbf{B}_2$ ，放下原料罐，返回 $\mathbf{P}$ 。 + +(2）下半周期 + +给 $\mathrm{A}_{1}$ 加完辅料后，返回P放下空槽，立即赴Q点，取原料罐返回 $\mathbf{B}_1$ ，放下原料罐，返回P点 + +这样上下半周期交替进行. + +$\mathrm{T}_{2}$ + +规则1：从 $\mathrm{A_k(k = 1,2,3)}$ 出成品钢时刻来确定 $\mathrm{T}_{2}$ 的工作始点（前推得）分别为： + +$$ +t _ {1} - 3 - 3 t _ {x}, t _ {2} - 3 - 3 t _ {x}, 5 2 - t _ {x}, 5 1 + t _ {1}, 1 0 7 - 2 t _ {x} +$$ + +规则2：出现天车 $\mathbf{T}_{1}$ 越过工作点 $\mathrm{A}_{1}$ （天车 $\mathbf{T}_{1}$ 帮 $\mathbf{T}_{3}$ 吊原料）则 $\mathbf{T}_{2}$ 向Q点移动，然后随着 $\mathbf{T}_{1}$ 返回出发点. + +规则3：出现天车 $\mathrm{T}_{3}$ 越过B组炉（ $\mathrm{T}_{3}$ 帮 $\mathrm{T}_{2}$ 吊半钢）则主动将车移到 $\mathrm{A}_{2}$ ，等 $\mathrm{A}_{3}$ 加完半钢后随 $\mathrm{T}_{3}$ 返回到B组炉的另一个出发点 + +$\mathrm{T}_{3}$ + +规则1：在同一星期里的第一、三、四、六阶段给B组炉添加原料，添加对象分别为 $\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_2$ ，启动时刻较 $\mathbf{T}_2$ 分别缓30秒、1分、0、30秒. + +规则2：在第五阶段帮 $\mathrm{T}_{2}$ 从 $\mathbf{B}_1$ 吊半钢到 $\mathbf{A}_2$ ，从上一阶段 $\mathrm{T}_{2}$ 停止后过 $t_2 - t_1 - 11 - 2t_r$ ，这一时刻为本次启动时刻。 + +*注：所给 ${\mathrm{t}}_{1}$ 、 ${\mathrm{t}}_{2}$ 只要满足定理 2 要求,根据模型 2 得到“天车一炉子运行图”. + +# 4. 应用实际生产过程的讨论： + +上述操作方案在 $t_a, t_b, \dots, t_k$ 确定的情况下提出，但在实际生产过程中，这些量往往带有随机性，而我们给现场工作人员的《操作规则说明书》是这样设计的：由A组炉的冶炼状态确定 $\mathrm{T}_2$ 的工作时刻， $\mathrm{T}_1$ 根据天车给A组炉加半钢的时刻来确定，根据 $\mathrm{T}_2$ 的行动时刻来确定 $\mathrm{T}_3$ 的行动时刻， $\mathrm{T}_3$ 较 $\mathrm{T}_2$ 有延缓时间，每一个动作都是根据与其对应动作的延缓时间来确定自己的行动时刻，因此，我们只要尽量保持延缓时间不变。 + +# 5. 工序清单 + +$\mathbf{T}_{1}$ 负责从 $\mathbf{P}$ 向A组炉加辅料，且在上周期帮 $\mathrm{T}_{3}$ 从 $\mathbf{B}_{2}$ 提一罐原料并带回空罐，在下增周期帮 $\mathrm{T}_{3}$ 向 $\mathbf{B}_{1}$ 提一罐原料. + +$\mathrm{T}_{2}$ 负责从B组炉提半钢到A组炉 + +$\mathrm{T}_{3}$ 负责从 $\mathbf{Q}$ 向组炉提原料且在下半周期帮 $\mathrm{T}_{2}$ 从 $\mathrm{B}_{1}$ 提一罐半钢至 $\mathrm{A}_{2}$ , 再返回 $\mathbf{Q}$ 点各个天车详细的工序清单见天车运行状态图. + +# 6. 年产量的估计 + +每55分钟出3炉钢，每炉120吨，一天能产钢约9425.45吨，一年以300工作日计算，则年产量约为282.76万吨。 + +《天车一炉子作业运行图》见表。 + +# 五、年产300万吨的建议 + +# 1. 提高劳动生产效率 + +年产300万吨，一年按300天计算，每天需生产一万吨， $\mathrm{A}_{\mathrm{k}}$ 出一炉钢的时间为51.84分钟，在现有的设备技术条件下，冶炼时间48分不能变，只能改变加半钢和辅料的时间为3.84分钟，只能缩短添加半钢和辅料的时间。 + +# 2. 购进设备和进行技术改造 + +购置新的转炉和半钢冶炼炉，对工艺过程进行改造。 + +表3 + +
工作点T1T2T3
(1)始点t1+3+tхt1-3-3txt1-3-tx
终点t1+8+tхt1+8t1+7+3tx
(2)始点t1+8+tх移动 2tx不动
终点t1+21+tх
(3)始点t2+3-2txt2-3-3tx不动
终点t2+8+2txt2+7+2tx
(4)始点58-3tx52-tx52-tx
终点63+3tx62+2tx63+3tx
(5)始点58+t1-tx51+t152+t1
终点63+t1+tx62+t1+3tx62+t1+2tx
(6)始点63+t1+tx移动 4tx不动
终点72+t1+tx
(7)始点58+t-2tx移动 5tx52+t1
终点63+t2+2tx62+t1+2tx
(8)始点113-3tx107-2tx107
终点118+3tx117+tx117+2tx
+ +表4 + +
B组可以开始冶炼时间需要供应半钢时间
t1+tx+352-tx
t1+20+tx51+t1
55+tx+352++t2-2tx
55+t1+tx+3107-2tx
71+t1+tx107+t1-3tx
110+tx+3107+t2-3tx
+ +# 六、模型的评价和改进方向 + +我们从简单的三台天车(模型1)方案入手，始终以保证A组转炉不间断出钢从而达到高产为中心，致力于使各天车的作业率达到较高程度上的均衡，提出了不同改进方案，得到以三台天车互相帮助为核心的调度方案的模型2。细致分析了每台天车的各次启动、停止时刻的相互关系，得到一系列可行解、满意解的约束条件。在共同的高产条件下(A组转炉不间断)，比较得模型2的作业率均衡做得最好(在1周其内， $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3$ 作业率分别为 $52.7\% , 53.6\% , 54.1\%$ )，作业率最大差额 $1.4\%$ ，均衡程度令人比较满意。我们又试着模拟了以增加天车台数为主要思想的4台天车方案（见附录），得出 $\mathrm{T}_1 - \mathrm{T}_4$ 的作业率分别为 $43.6\% , 36\% , 39\% , 39\%$ 。当然这是由于时间关系不能对它作进一步的调整，但该 + +模型各车的均衡是以作业水平的下降为代价，而我们则希望尽量避免这种下降。沿这种改进方向(增加天车台数)我们也尝试了一下五台天车的方案(运行图见附录)，因时间关系未作进一步研究。总之，模型2是我们这次重点研究并得出较好结果的方案，我们所推崇的改进方案是不降低生产率，尽量不增加天车台数，尽量不降低平均作业率的对各台天车工作时间重新调配的方案。 + +半钢冶炼炉状态表 + +
半钢冶炼炉冶炼允许开始时间半钢出炉时间冶炼规定开始时间冶炼区间
B1t1+tx+352-tx55-tx-30=25-tx[25-tx,52-tx]
B2t1+2051+t155+t1-4tx-30=25+t1-4tx=24+t1[24+tx,51+tx]
B155+tx+3=58+tx52+t2-2tx55+t2-2tx-30=25+t2-2tx[25+t2-2tx,52+t2-2tx]
B255+t1+tx+3=58+t1+tx107-2tx110+2tx-30=80-2tx[80-2tx,107-2tx]
B172+t1+tx-4tx=71+t1+tx107+t1-3tx110+t1-3tx-30=80+t1-3tx[80+t1-3tx,107+t1-3tx]
B2110+tx-3=113+tx107+t2-3tx110+t2-3tx-30=80+t2-3tx[80+t2-3tx,107+t2-3tx]
+ +天车运行状态表 + +
天车工作区间动作说明
T1t1+3-tx→t1+8+tx从P处提一槽辅料注入A1,并返回P点放下空槽,共用时间:2+tx+2+tx+1=5+2tx
t1+8+tx→t1+21+tx从P出发将B2处空罐送至Q放下,提一罐原料注入B2,返回P,共用时间:5tx+2+tx+2+3+tx+3+5tx=13(帮T3完成一次)
t2+3-2tx→t2+8+2tx从P处提一槽辅料注入A2,并返回P点放下空槽,共用时间:2+2tx+2+2tx+1=6
58-3tx→63+3tx从P处提一槽辅料注入A3,并返回P点放下空槽,共用时间:2+3tx+2+3tx+1=6+2tx
58+t1-tx→63+t1+tx从P处提一槽辅料注入A1,并返回P点放下空槽,共用时间:2+tx+2+tx+1=5+2tx
63+t1+tx→72+t1+tx从P处出发到达Q点,提一罐原料放到B1,并返回P点放下空槽,共用时间:6tx+3+2tx+3+4tx=9(帮T3做半次,未提空罐)
58+t2-2tx→63+t2+2tx从P处提一槽辅料注入A3,并返回P点放下空槽,共用时间:2+2tx+2+2tx+1=5+4tx
113-3tx→118+3tx从P处提一槽辅料注入A3,并返回P点放下空槽,共同时间:2+3tx+2+3tx+1=6+2tx
共用作业时间:58'作业率:58/110=52.7%
T2t1-3-3tx→t1+8从B1提一罐半钢注入A1,并返至B2放下空罐,共同时间:3+3tx+5+4tx+2=11+3tx
移动时间为2tx,时刻定位较宽松被T1从B2位置挤至Q(tx),(可在T1到来前自行移至Q点),T1返回后顺势加到B2位置(tx)
t2-3-3tx→t2+7+2tx从B2提一罐半钢注入A2,并返至B1放下空罐,共用时间:3+3tx+5+2tx+2=11+3tx
52-tx→62+2tx从B1提一罐半钢注入A3,并返至B2放下空罐,共用时间:3+tx+5+2tx+2=11+3tx
51+t1→62+t1+3tx从B2提一罐半钢注入A1,并返至B1放下空罐,共用时间:3+4tx+5+3tx+2=11+3tx
移动时间为4tx,时刻定位较宽松被T1从B1位置挤至Q(2tx)(也可自行提前移至Q),T1返回后顺势加到B2位置Q1(2tx)
移动时间为5tx,时刻定位较宽松被T3从B1位置挤至A2(2tx)(也可自行提前移至Q),T3返回后顺势加到B2位置(3tx)
107-2tx→117+tx从B2提一罐半钢注入A3,并返至B1放下空罐,共用时间:3+2tx+5+tx+2=10+3tx
共用作业时间:59°作业率:59/110=53.6%
T3t1-3+tx→t1+7+3tx从Q提一罐原料放入B1,并将空罐送回Q,共用时间:3+2tx+3+2+2tx+2=10+4tx=11
52-tx→62+3tx从Q提一罐原料放入B1,并将空罐送回Q,共用时间:3+2tx+3+2+2tx+2=10+4tx=11
52+t1→62+t1+2tx从Q提一罐原料放入B2,并将空罐送回Q,共用时间:3+tx+3+2+tx+2=10+2tx
51+t2→67'30''+t2从Q点出发,从B1提一罐原料注入A2,并返回B2放下空罐,再返回B1取一空罐送至Q点入下,共用时间:2tx+3+2tx+5+3tx+2+tx+2=16'30"
107→117+2tx从Q提一罐原放入B1,并从B1提回一空罐送回Q处放下,共用时间:3+tx+3+2+tx+2=10+2tx
共用作业时间:59'30"作业率:59.5/110=54.1%
+ +# 参考文献 + +1. 吴望名, 图论及其应用, 北京: 科学出版社. +2. 王天平, 组合数学, 武汉: 华中理工大学出版社. + +图1 模型1 +![](images/995e3788f302c1e0cfc14a6cb8d06ff584442801c29d1603c3a0d8a73f5621ea.jpg) +横轴表示时间。纵轴表示位置，粗黑线表示 $\mathsf{T}_{1}$ 的运动轨迹。虚线表示T，的运动轨迹，细实线表示T，的运动轨迹 + +图2 模型2 +![](images/7b2f2ded5223819850a9645b7c61e981add54edff39f7fd6c30d487013d85743.jpg) +横轴表示时间，纵轴表示位置，粗黑线表示 $\mathsf{T}_{1}$ 的运动轨迹，细实表示 $\mathsf{T}_{2}$ 的运动轨迹，虚线表示 $\mathsf{T}_{3}$ 的运动轨迹 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\351\232\217\346\234\272\346\200\247\345\210\206\346\236\220/\345\244\251\350\275\246\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\351\232\217\346\234\272\346\200\247\345\210\206\346\236\220.md" "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\351\232\217\346\234\272\346\200\247\345\210\206\346\236\220/\345\244\251\350\275\246\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\351\232\217\346\234\272\346\200\247\345\210\206\346\236\220.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3b21f4712f8001182a86735e53f20606f91e722b --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1995/B\351\242\230/\345\244\251\350\275\246\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\351\232\217\346\234\272\346\200\247\345\210\206\346\236\220/\345\244\251\350\275\246\344\275\234\344\270\232\350\260\203\345\272\246\347\232\204\351\232\217\346\234\272\346\200\247\345\210\206\346\236\220.md" @@ -0,0 +1,115 @@ +2. 此模型不仅可以适用与天车冶炼炉之间的最优调度，并且也宜于工作分配，铁道部门的段场调度，以及多台机器多个工件加工顺序问题。 + +# 天车作业调度的随机性分析 + +杜序 袁灯山 杨黎明 + +（北京航空航天大学，北京100083） + +# 指导教师：赵杰民 + +编者按：本文对各种随机数据对天车的作业率、天车的调度和钢产量的影响进行了定性的和定量的分析。现将有关内容摘录如下。 + +关键词：随机性，作业率，调度。 + +当 $t_a, t_b \cdots, t_k$ 都是随机时，所给出的数值为它们的均值，设 $x = t_a + t_e + t_f, y = t_b + t_i$ 。由于人为的调配，除 $x, y$ ，其它对A，B炉的生产影响很微小，而 $x, y$ 却直接关系到A炉的生产量，所以主要矛盾是 $x, y$ 。 + +先说明随机对产量的影响， + +设 $x \sim N(a_1, \sigma_1), y \sim N(a_2, \sigma_2)$ 则一个周期内有 $x_1$ 和 $x_2, y_1, y_2, y_3$ ，当 $y_1 + y_2 + y_3 < x_1 + x_2$ 时，生产照常运转，而当 $y_1 + y_2 + y_3 \geqslant x_1 + x_2$ 时，A 要等待 B，那么整个生产周期要延长。可以求出每个周期延长的均值 $\mathfrak{m}$ 。 + +$$ +y _ {i} \sim N \left(a _ {2}, \sigma_ {1}\right) (i = 1, 2, 3) +$$ + +则 $y_{1} + y_{2} + y_{3}\sim N(3a_{2},\sqrt{3}\sigma_{1})$ + +$$ +x _ {i} \sim N \left(a _ {1}, \sigma_ {2}\right) (i = 1, 2) +$$ + +则 $x_{1} + x_{2}\sim N(2a_{1},\sqrt{2}\sigma_{2})$ 。所以 + +$$ +y _ {1} + y _ {2} + y _ {3} - x _ {1} - x _ {2} \sim N \left(3 a _ {2} - 2 a _ {1}, \sigma_ {3}\right), +$$ + +其中 $\sigma_3 = \sqrt{3\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2}$ ，且 + +$$ +m = \int_ {0} ^ {\infty} \frac {x}{\sqrt {2} \pi \sigma_ {3}} e ^ {- \frac {1}{2 \sigma_ {3} ^ {2}} (x - 3 a _ {2} + 2 a _ {1}) ^ {2}} d x = \frac {\sigma_ {3}}{\sqrt {2 \pi}} e ^ {- \frac {1}{2 \sigma_ {3} ^ {2}} (x - 3 a _ {2} + 2 a _ {1}) ^ {2}} | _ {+ \infty} ^ {0} = \frac {\sigma_ {3}}{\sqrt {2 \pi}} e ^ {- \frac {(3 a _ {2} - 2 a _ {1}) ^ {2}}{2 \sigma_ {3} ^ {2}}} +$$ + +$a_1, a_2$ 分别用均值来估计。令 $a_1 = \overline{x} = 55$ , $a_2 = \overline{y} = 30$ 。因此 $m = \frac{\sigma_3}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{200}{\sigma_3^2}}$ 。 + +如果 $x, y$ 有数据可查，则可对 $x, y$ 进行方差估计，便可求出 $\sigma_{1}$ 和 $\sigma_{2}$ ，得到 $\sigma_{3}$ ，求出 $\mathfrak{m}$ 。应用极大似然法估计： + +$$ +\hat {\sigma} _ {1} ^ {2} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} - \bar {x}) ^ {2}, +$$ + +$$ +\hat {\sigma} _ {2} ^ {2} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} (y _ {1} - \bar {y}) ^ {2}, +$$ + +$$ +\hat {\sigma} _ {3} ^ {2} = \sqrt {3 \hat {\sigma} _ {1} ^ {2} + 2 \hat {\sigma} _ {2} ^ {2}} 。 +$$ + +若 $\hat{\sigma}_{3}$ 很小，即 $\hat{\sigma}_{1},\hat{\sigma}_{2}$ 很小， $\mathbf{x}_i,\mathbf{y}_i$ 主要集中在均值 $\overline{\mathbf{x}},\overline{\mathbf{y}}$ 附近，则 $\mathrm{m}\rightarrow 0$ ，生产周期几乎没有变化。若 $\hat{\sigma}_{3}$ 比较大时，则可得 $\mathbf{x}_i,\mathbf{y}_i$ 比较分散， $\mathrm{m}$ 很大，钢产量就会大大下降，设原周期为T，原产量为W，则新周期为 + +$$ +\mathrm {T} ^ {\prime} = \mathrm {T} + \mathrm {m} +$$ + +钢产量应为 $\frac{1440}{\mathrm{T}'} \times 300 \times 720 \triangleq \mathbf{W}'$ + +$$ +\frac {W ^ {\prime}}{W} = \frac {T}{T ^ {\prime}} = \frac {T}{T + m} = \frac {1}{1 + \frac {m}{T}} +$$ + +其次考虑随机条件下各天车的作业率变化，以 $\mathrm{T}_{3}$ 为例。 + +设 $\beta$ 为一周期内 $\mathbf{T}_3$ 的作业时间。因为 + +$$ +\beta = 6 \left(t _ {y} + t _ {i} + t _ {o} + t _ {k}\right) + 1 8 t _ {x} +$$ + +而 $\beta$ 中各数值均为正态分布，即 + +$$ +t _ {y} \sim N (3, \sigma), t _ {i} \sim N (3, \sigma), t _ {o} \sim N (2, \sigma), t _ {k} \sim N (2, \sigma), t _ {x} \sim N (0. 2 5, \sigma) +$$ + +则 $\beta \sim \mathrm{N}(64.5, \sqrt{42}\sigma), \sigma$ 的估计值 $\hat{\sigma} = \frac{1}{\mathfrak{n}} (t_{y_k} - \bar{t}_y)^2$ + +因为 $t_{y_k}$ 与 $\bar{t}_y$ 一般相差不会很大（在几秒之内），所以 $\hat{\sigma}$ 也很小。取 $\sigma = \frac{1}{9}$ 时，则 $\beta$ 几乎落在[63,65]之间，所以随机性对天车的作业率影响不大。 + +最后分析随机性对调度的影响 + +调度过程中，如果因为随机性使B处装半钢的时间增长，就可以导致A炉的等待，引起周期增长。而随机性若使B处装半钢时间缩短却并不会导致周期的缩短。因而在考虑随机性的情况下应使天车 $\mathrm{T}_{2}$ 的运行稍作提前。同样为使辅料的添加顺利进行，也要求 $\mathrm{T}_{1}$ 运行稍作提前。T3控制B炉的冶炼，由于B炉有几分钟的等待时间，所以随机性对 $\mathrm{T}_{3}$ 的调度几乎无影响。 + +综上所述，又考虑到调度方便，在考虑随机性的情况下，可使 $\mathrm{T}_1,\mathrm{T}_2,\mathrm{T}_3$ 运行较理想 + +情况下稍作提前。 + +# 锁具装箱问题的补充讨论 + +# —1994年全国大学生数学建模竞赛题的补充讨论 + +代西武 李英 周万勇 张继生 + +（北京联合大学机械工程学院，北京100020） + +编者按大学生数学建模竞赛及相应的活动深受我国大学生的欢迎，成千上万参加培训或竞赛的同学不仅从培训、参赛三天的紧张拼搏中学到了许许多多课堂上学不到的东西，得到了初步的科研实战的锻炼，培养了合作攻关的精神，而且许多教师和同学意识到三天竞赛活动的结束不是数学建模活动的结束，他们中不少人在竞赛结束后继续进行师生结合的创造性的数学建模活动，特别是继续对自己所选的参赛题进行深入研究并取得更好的结果。我们认为是值得提倡的。这里发表的文章正是北京联合大学机械工程学院师生在竞赛活动后师生结合继续对竞赛题进行研究所取得的成果的反映。 + +摘要 本文将锁具装箱问题抽象为二部图 $\mathrm{G}(\mathrm{V},\mathrm{E})$ ，根据图论知识，利用计算机得出主要结论：锁具图 $\mathbf{G}$ 的独立数 $\alpha (\mathrm{G}) = 2940$ 。从而推得，对于任何一种装箱方案，团体顾客的购买量超过2940套锁具时，就一定会出现互开的情形。 + +关键词 二部图，独立数，对集（匹配），覆盖数。 + +# 一、引言 + +某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，槽高从 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中任取一数。但由于工艺条件及其它原因，制造锁具时对5个槽高还有限制：至少有三个不同的数，相邻两槽的高度差不能是5。这样所生产出的互不相同的锁具称为一批。同一批中的两个锁具，在当前工艺条件下，若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一槽的高度差为1，就会出现互开情形。从顾客的利益出发，都希望“一把钥匙开一把锁”。但该厂的销售部门在产品的装箱过程中，只是简单地将一批产品中的任意60个锁具装入一箱出售。而团体顾客往往购买几箱到几十箱，因而就不可避免地出现锁具互开的情形。团体顾客对此抱怨尤深，也因此影响了该厂的销售量。 + +针对这个问题，需要提出一个合理的、可行的锁具装箱方案，以避免锁具互开的情况。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/A\351\242\230/1999a\345\205\250\345\233\275\344\272\214\347\255\211\345\245\226/1999a\345\205\250\345\233\275\344\272\214\347\255\211\345\245\226.md" "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/1999a\345\205\250\345\233\275\344\272\214\347\255\211\345\245\226/1999a\345\205\250\345\233\275\344\272\214\347\255\211\345\245\226.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..926a132b9c0f76ae536275cb53d6e9f53dd64e6d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/1999a\345\205\250\345\233\275\344\272\214\347\255\211\345\245\226/1999a\345\205\250\345\233\275\344\272\214\347\255\211\345\245\226.md" @@ -0,0 +1,212 @@ +# 自动化车床管理问题的优化模型 + +刘宇，张琦，刘丽娟，贺兴时（指导教师） + +（1.西北纺织工学院机械设计96班，陕西西安710048；2.西北纺织工学院基础部，陕西西安710048） + +TG 519.1 + +摘要：以单位预防性换刀周期 $(t_{\mathrm{p}})$ 内单位零件上的平均费用作为目标函数，建立了两个关于自动化车床管理的检查间隔及刀具更换策略的随机优化模型。对题给数据统计分析后得出刀具寿命服从正态分布，采用离散递推的方法求出一个 $t_{\mathrm{p}}$ 内的期望故障次数；用MATLAB软件编程，在不同 $t_{\mathrm{p}}$ 下对不同检查周期 $(t_{\mathrm{c}})$ 进行穷举和比较，找出使目标值最小的 $t_{\mathrm{p}}$ 及 $t_{\mathrm{c}}$ 值。针对题给的费用的多样性问题，在上述模型I的基础上进一步假设，建立了两个过渡模型作为费用多样性问题的两种特殊情况，然后建立了模型Ⅱ。针对定期检查周期的缺点，提出了等概率（故障）周期检查方式，以获得更高的经济效益。文中还利用随机模拟对模型I的合理性与较优性进行了定量检验，对后续作了定性分析。 + +关键词：随机优化模型；近似正态分布；MATLAB软件包 自动化车床 + +中图分类号：O211.9 文献标识码：A 文章编号：1001-7305(2000)02-0185-06 + +# 1 问题的描述 + +用自动化车床连续加工某种零件, 通过检查零件来确定工序是否出现故障. 故障原因为刀具损坏的概率是 $95\%$ , 其他原因概率为 $5\%$ , 且工序出现故障是完全随机的, 在生产任一零件时, 出现故障的机会均等. + +现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如表1.计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀，具体生产工序的费用参数为： + +(a) 故障时生产零件损失费用 $f = 200$ 元/件； +（b）检查的费用 $t = 10$ 元/次； +(c) 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 $d = 3000$ 元/次（包括刀具费）： + +(d) 未发现故障时更换一把新刀的费用 $k = 1000$ 元/次. + +问题（1）假定工序有故障时产品的零件均不合格，正常时产出的零件均合格，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略. + +（2）假设工序有故障时产出零件合格的占 $40\%$ ，不合格占 $60\%$ ，正常时有 $2\%$ 不合格，工序正常而误断有故障而停机造成损失费用为1500元/次. 设计效益最好检查间隔和刀具更换策略. + +（3）在（2）的情况下可否改进检查方式获得更高的效益， + +表 1 100 次刀具故障记录 (完成的零件数) + +
459362624542509584433748815505
612452434982640742565706593680
9266531644877346084281 153593844
527552513781474388824538862659
775859755649697515628954771609
402960885610292837473677358138
699634555570844166061 062484120
447654564339280246687539790581
621724531512577496468499544645
764558378765666763217715310851
+ +# 2 模型假设及符号说明 + +# 2.1 模型假设 + +（1）在模型I，中，假设检查为定期检查，预防性定期换刀； +（2）假定生产每件产品，所用时间为一定值1； +（3）假定生产任一零件时出现故障的机会均相等； +（4）在模型I中，故障出现在两次检查间造成的零件损失个数为均匀分布，即均值为 $t_c / 2$ 个； +（5）假定模型I中工序故障时产生的零件均为不合格，正常时产生的零件均为合格品； +（6）在模型I中假定工序正常时生产的零件有 $2\%$ 为不合格品，而工序故障时生产的零件有 $40\%$ 为合格品， $60\%$ 为不合格品。 + +# 2.2 符号说明 + +$f(t)$ 一刀具寿命的概率密度函数； + +$t_{p}$ —— 预防性更换刀具间隔期； + +$t_{c}$ 一 检查周期； + +$H(t_{\mathrm{p}})$ 间隔期 $(0,t_{\mathrm{p}})$ 内刀具故障次数的期望； + +$\overline{C}_1(t_p)$ 一单位换刀周期内的总费用； + +$C_{1}(t_{p})$ 一平均每单位零件所用费用； + +$k$ 一无故障换刀费用， $k = 1000$ 元/次； + +$d$ —发现故障进行调节使正常的平均费用， $d = 3000$ 元/次； + +$t$ —每次检查费用， $t = 10$ 元/次； + +$f$ ——坏零件损失费用， $f = 200$ 元/件； + +$L$ —误停机造成损失， $L = 1500$ 元/次； + +$H(n)$ 间隔期 $(0, n)$ 内的预期故障次数. + +# 3 问题分析与建模 + +由题目所提供数据信息，得出刀具寿命近似成正态分布（具体过程略），即故障出现概率密度近似成正态分布。 + +# 3.1 问题（1）的分析及建模 + +题目要求在刀具加工一定件数后更换刀具，即每加工一定件数零件后不管此时是否存在故障都在此处换刀，为预防性换刀.因为假定检查周期固定，那么对于模型I，预防换刀周期循环情况如图1所示. + +由图1知，当检查到A点时，此零件为合格，那么在检查周期 $t_{ci}$ 内零件全部合格；当检查到 $\pmb{B}$ 点时，此零件为不合格，那么由假设（4）得在检查周期 $t_{cf}$ 内零件一半不合格；这样，在一个预防换刀周期内的总费用包括4部分，即检查费用 $(x_{1})$ ；一旦检查出次品，则必存在故障，对故障调整使恢复正常 + +![](images/e0cbf138a14c8d34c263078f5a63c3de87e4213aedd82c9767b692ea743b20db.jpg) +图1 预防性换刀周期循环图 + +所需的费用 $(x_{2})$ ，例如 $B$ 点处；一旦检查出次品，次品的损失费用 $(x_{3})$ ；预防换刀费用 $(x_{4})$ + +其中 $x_{1}$ 为定值. 如果 $t_{p}$ 和 $t_{c}$ 一定，则检查次数为定值，即 $x_{1}$ 也为定值. $x_{2}, x_{3}$ 费用将随着机床出现故障次数而变化，而故障次数为随机变量，但长期运行中故障出现次数将有一个期望值. 现已知刀具的寿命近似服从正态分布，故求出现刀具故障次数的期望 $H(t_{p}), H(t_{p}) / 95\%$ 即为系统故障出现的预期值. + +在一个预防性换刀周期 $(0, t_{\mathrm{p}})$ 内，第一次故障可能在生产第 $1, 2, \dots, t_{\mathrm{p}}$ 个零件时发生。设 $m_{i}$ 为第一次故障发生在生产第 $i$ 个零件时，在间隔区间 $(0, t_{\mathrm{p}})$ 内预期故障数 $(i = 1, 2, \dots, t_{\mathrm{p}})$ ， $p_{i-1,i}$ 为第一次故障发生在间隔期 $(i - 1, i)$ 内的概率 $(i = 1, 2, \dots, t_{\mathrm{p}})$ ，则有 + +$$ +H (t _ {p}) = \sum_ {i = 1} ^ {i _ {p}} m _ {i} P _ {i - 1, i}. +$$ + +因为每个零件检查次数至多1次，故当检查第1个零件就发生故障的话，那么在间隔 $(0, t_{\mathrm{p}})$ 内的预期故障数等于在第一件发生的故障数加上预期在其余 $(t_{\mathrm{p}} - 1)$ 次发生的故障数。即有 + +$$ +m _ {1} = 1 + H \left(t _ {\mathrm {p}} - 1\right); +$$ + +当检查第 $2,3,\dots ,t_{\mathfrak{p}}$ 个零件时发生第一次故障，一般地，有 + +$$ +m _ {i} = 1 + H \left(t _ {\mathrm {p}} - 1 - (i - 1)\right) \quad (i = 1, 2, \dots , t _ {\mathrm {p}}). +$$ + +又因为第 $i$ 个零件发生故障的概率应为 + +$$ +\int_ {i} ^ {i + 1} f (t) \mathrm {d} t \quad (i = 0, 1, \dots , t _ {\mathrm {p}} - 1), +$$ + +于是有一般递推公式： + +$$ +H \left(t _ {p}\right) = \sum_ {i = 0} ^ {t _ {p} - 1} \left[ 1 + H \left(t _ {p} - i - 1\right) \right] \int_ {1} ^ {t + 1} f (t) d t \quad \left(t _ {p} \geqslant 1\right). +$$ + +而 $H(0) = 0$ ，表示当生产0个零件时，预期的故障数为0. + +取一个换刀周期来研究，则在间隔期 $(0, t_{\mathrm{p}})$ 内的预期总费用为： + +$$ +\bar {C} _ {1} \left(t _ {\mathrm {p}}\right) = K + d \cdot \frac {H \left(t _ {\mathrm {p}}\right)}{95 \%} + t \cdot \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} + f \cdot \frac {t _ {\mathrm {c}}}{2} \cdot H \left(t _ {\mathrm {p}}\right), +$$ + +其中 $K$ 为预防换刀费用， $d \cdot \frac{H(t_{\mathrm{p}})}{95\%}$ 为故障调节使恢复正常的费用， $t \cdot \frac{t_{\mathrm{p}}}{t_{\mathrm{c}}}$ 为检查费用， $f \cdot \frac{t_{\mathrm{c}}}{2} \cdot H(t_{\mathrm{p}})$ 为坏零件损失费用. + +则目标函数为： + +$$ +\min C _ {1} \left(t _ {\mathrm {p}}\right) = \left[ K + d \cdot \frac {H \left(t _ {\mathrm {p}}\right)}{95 \%} + t \cdot \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} + f \cdot \frac {t _ {\mathrm {c}}}{2} \cdot H \left(t _ {\mathrm {p}}\right) \right] / t _ {\mathrm {p}}. +$$ + +# 3.2 问题（2）分析与建模 + +模型Ⅱ是以模型Ⅰ为基础的，第1个模型为第Ⅱ个模型的特殊情况.在由特殊模型推导出一般模型的情况下，首先建立两个过渡模型： + +① 假设当工序处于正常状态下，次品率为 $2\%$ ；而当工序不正常时，生产的零件全部为次品，则有： + +平均每个零件费用 $=$ （预防换刀费用一故障调整费十检查费十坏零件损失费）/预防换刀周期内生产的零件个数，即 + +$$ +\begin{array}{l} C \left(t _ {\mathrm {p}}\right) _ {1} = \left[ K + d \cdot \frac {H \left(t _ {2}\right)}{95 \%} + t \cdot \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} + f \cdot H \left(t _ {\mathrm {p}}\right) \times t _ {\mathrm {c}} / 2 \right. \\ \left. + \left(\frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} - H (t _ {\mathrm {p}})\right) \times 2 \% \times (L + f) \right] / t _ {\mathrm {p}}. \\ \end{array} +$$ + +② 假设当工序处于正常状态产品全为正品，而当工序处于不正常状态下，次品率为 $60\%$ ，有： + +平均每个零件费用 $=$ （预防换刀费用 $+$ 故障调整费 $+$ 检查费 $+$ 坏零件损失费）/预防换刀周期内生产的零件个数，即 + +$$ +C \left(t _ {p}\right) _ {2} = \left[ K + d \cdot \frac {H \left(t _ {p}\right)}{95 \%} \times 60 \% + t \cdot \frac {t _ {p}}{t _ {c}} + f \cdot H \left(t _ {p}\right) \times \frac {t _ {c}}{2} \cdot 60 \% \right] / t _ {p}. +$$ + +综合上述两个模型，得出模型 $\mathbb{I}$ 为： + +$$ +\begin{array}{l} \min C _ {1} \left(t _ {\mathrm {p}}\right) = \left\{K + d \cdot \frac {H \left(t _ {\mathrm {p}}\right)}{95 \%} \times 60 \% + t \cdot \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} + f \times \left[ \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} - H \left(t _ {\mathrm {p}}\right) \times 60 \% \right] \times 2 \% + \right. \\ f \cdot H (t _ {p}) \times \frac {t _ {c}}{2} \cdot 60 \% + L \times \left[ \frac {t _ {p}}{t _ {c}} - H (t _ {p}) \times 60 \% \right] \cdot 2 \% \Bigg / t _ {p}. \\ \end{array} +$$ + +其中： $K$ 为预防换刀费用； $d \cdot \frac{H(t_{\mathrm{p}})}{95\%} \times 60\%$ 为故障调节使恢复费用； $t \cdot \frac{t_{\mathrm{p}}}{t_{\mathrm{c}}}$ 为检查费用； $f \times \left[\frac{t_{\mathrm{p}}}{t_{\mathrm{c}}} - H(t_{\mathrm{p}}) \times 60\%\right] \times 2\% + f \cdot H(t_{\mathrm{p}}) \times \frac{t_{\mathrm{c}}}{2} \cdot 60\%$ 为坏零件损失费用； $L \times \left[\frac{t_{\mathrm{p}}}{t_{\mathrm{c}}} - H(t_{\mathrm{p}}) \times 60\%\right] \cdot 2\%$ 为误停机造成损失费用. + +该模型稍高估计了误停机费用和坏零件损失费用. 但不难验证, 若利用这个高估的模型求目标模型取最小值时的 $t_{\mathrm{p}}, t_{\mathrm{c}}$ 与实际相差很小. + +# 4 模型求解与结果分析 + +刀具故障密度函数 $f(t)$ 近似服从正态分布，且 $\mu = 600, \sigma = 196.62$ ，故确定一个 $t_p$ ，就可以得到一个 $H(t_p)$ . 确定 $t_p$ 范围，取 $[\mu - 3\sigma, \mu - 3\sigma]$ （3σ原则），有 $t_p \in [10.14, 1189.86]$ . 而实际上当 $t_p$ 不到1000时，刀具早已报废. + +所以取一较合理区间，即： $t_{\mathfrak{p}} \in [0,900]$ 分别对模型I，I及过渡模型1与2， $t_{\mathfrak{p}}$ 从1到 $900,t_{\mathrm{c}}$ 为1到 $t_{\mathfrak{p}}$ 进行两维搜索，求出各目标函数值，结果见表2. + +表 2 模型结果 + +
模型预防换刀周期(次)检查周期(次)目标值 +(平均每个零件费用,元/件).
模型Ⅰ340194.8440
过渡模型1300465.9054
过渡模型2370164.5741
模型Ⅰ313405.8193
+ +应用 SPSS 大型数理统计软件 explore 子过程画出直方图、框图, 并进行了正态性检验 (略). 正态性检验方法采用 Lilliefors 检验. + +用计算机仿真实验，对机床在假设的条件下进行随机模拟.当 $t_p = 340,t_c = 19$ 时，分别进行1000,3000,6000,9000次仿真模拟，求出平均单位零件费用，见表3. + +表3 $t_{\mathrm{p}} = 340,t_{\mathrm{c}} = 19$ 时的模拟结果 + +
预防性换刀周期次数平均单位零件费用预防性换刀周期次数平均单位零件费用
10004.767660004.8735
30004.811090004.9050
+ +$C(t_{\mathfrak{p}}) = 4.8440$ ，与实际相吻合，说明本文中的模型是正确的.对其它 $t_{\mathfrak{p}}$ 和 $t_{\mathrm{c}}$ 分别进行横纵项比较，1000次模拟(结果略).可知当 $t_\mathrm{p} = 340,t_\mathrm{c} = 19$ 时，要优于其它策略. + +用计算机进行大型穷举其它策略， $t_p$ 取 $200 \sim 600, t_c = 1, 2, \dots, t_p$ ，进行模拟比较，花费 $3.4\mathrm{h}, t_p = 2340, t_c = 19$ 仍为最佳策略，可见模型 I 是最佳策略。 + +# 5 结束语 + +过渡模型1在模型I的基础上添加了工序正常时有误停机费用和次品费用的变动，结果相对于模型 $\mathbf{I}, t_{\mathrm{p}}$ 变小，而 $t_{\mathrm{c}}$ 增大。分析认为，在故障次数可以准确检出情况下，若缩短 $t_{\mathrm{c}}$ 则引入误停机可能性会增加，况且正常运行下的 $2\%$ 次品为不可消除性系统损失，故应将 $t_{\mathrm{c}}$ 加长，从而减小误停机可能。当 $t_{\mathrm{c}}$ 加长时，换刀周期若太长，则又会造成大量故障下次品费用，故换刀周期变短合理。 + +模型Ⅱ在模型I基础上对工序故障后表现出来的概率作了修改.即在模型Ⅱ中刀具发生故障的隐蔽性较强，应缩短检查周期以较准确地查出刀具故障，消除隐患；另一方面由 + +于刀具出现故障时仍会生产好零件, 而这种现象有利于厂方提高效益, 故适当加长换刀周期会更好. + +模型Ⅰ为过渡模型1与模型2的有机组合，其结果均处于模型1与模型2的结果之间。由于过渡模型1与过渡模型2可看作为模型Ⅱ的两种端点情况，故相对于过渡模型1与过渡模型2来说结果合理。 + +模型Ⅱ结果相对于模型I结果 $t_{\mathrm{p}}$ 减少而 $t_{\mathrm{c}}$ 增加.分析认为，在接近刀具正常工作后的一段时间内，发生故障的概率较小，若检查过勤，则会引入误检而误停机，故应加长 $t_{\mathrm{c}}$ 当 $t_{\mathrm{c}}$ 加长后，随着刀具生产零件个数的增加，故障发生概率加大；如果 $t_{\mathrm{p}}$ 不减小，则加长 $t_{\mathrm{c}}$ 又会引入漏检而生产过多次品，故 $t_{\mathrm{p}}$ 应减小.由对结果数值的定性分析可知所建模型合理. + +从刀具的寿命概率密度函数曲线上可以看出，在一换刀周期内（如 $t_{\mathrm{p}} = 313$ ），若以等件数周期进行检查，则前几次检查周期内发生故障概率较小，会造成检查费用浪费。而在后几次检查周期内发生故障概率相对较大，却造成漏查而产生次品零件损失。如果我们不采用定期检查法，而采用等概率周期检查法，即在每一个检查周期内发生故障的概率相等，从而确定不同检查时刻，将进一步提高经济效益。 + +# Problem of automatic lathe management + +LI Yu, ZHANG Qi, LIi- jux et al + +(Mechanical Eng. Dept., NWITTST, Xi'an 710048, China) + +Abstract: Two random optimal models are established for determining examining interval and replacement tactics of cutting tools on automatic lathe, whose objective are to minimize the average cost of a single part within a precautionary replacement interval $(t_{\mathfrak{p}})$ . In term of statistical analysis of given data, the life-span distribution function of the cutting tools is accorded with the approximate normal distribution. Then, with discontinu- recurrent method, expect the number of cutting tools breakdown in a precautionary replacement interval are attained. By means of enumeration and comparison method with Matlab software, the optimum checking interval and the optimum replacement interval for cutting tools are gained, which could minimize the average cost of a single part. Due to the variety of the cost concerned, based on model I, transitional mode I and transitional model II are established with more assumption, in fact, which are models under special situation. With the help of those two models, model II is established. Due to shortcoming of equal checking method, an equal probability method is offered for more profits. By means of random stimulation, the qualitative analysis is made to model I as for its rationality and advantage, then, the quantitative analysis to the other models. + +Key words: random optimal model; approximate normal distribution; Matlab software \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\345\210\200\345\205\267\351\227\256\351\242\230\347\232\204\344\273\277\347\234\237\345\217\212\347\201\265\346\225\217\345\272\246\345\210\206\346\236\220/\345\210\200\345\205\267\351\227\256\351\242\230\347\232\204\344\273\277\347\234\237\345\217\212\347\201\265\346\225\217\345\272\246\345\210\206\346\236\220.md" "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\345\210\200\345\205\267\351\227\256\351\242\230\347\232\204\344\273\277\347\234\237\345\217\212\347\201\265\346\225\217\345\272\246\345\210\206\346\236\220/\345\210\200\345\205\267\351\227\256\351\242\230\347\232\204\344\273\277\347\234\237\345\217\212\347\201\265\346\225\217\345\272\246\345\210\206\346\236\220.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff313d93df00f79501b9f27276b509259f7d923d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\345\210\200\345\205\267\351\227\256\351\242\230\347\232\204\344\273\277\347\234\237\345\217\212\347\201\265\346\225\217\345\272\246\345\210\206\346\236\220/\345\210\200\345\205\267\351\227\256\351\242\230\347\232\204\344\273\277\347\234\237\345\217\212\347\201\265\346\225\217\345\272\246\345\210\206\346\236\220.md" @@ -0,0 +1,153 @@ +$$ +\begin{array}{l} + \quad_ {u} ^ {+} g (x) d x [ \begin{array}{l} n \\ j = 1 \end{array} 0 9 8 ^ {j - 1} 0 0 2 (j t + a + f (j s - (0. 9 8 (j (s - 1) + j - 1)) \\ + 0. 9 8 ^ {n} (n t + k + f (u - (0. 9 8 (u - n) + n))) ] \\ \end{array} +$$ + +3 + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} s & 1 & 1 0 0, u & 1 0 0 & 6 0 0 & & , & F (s, u) & \\ : s = 5 4, u = 3 0 4, & & & 9. 3 7 6 8 1, & u & s & & , & \\ u = 3 0 6, & & 9. 4 0 0 4 4 \end{array} ; s = 5 1, +$$ + +4 + +$$ +\begin{array}{l} \text {,} \\ [ 0, 2 2 8 0 0 ] \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text {:} \\ \text {,} E (F) \quad E (N) \\ \text {,} \\ 9. 5 7 3 5 4 \end{array} , +$$ + +# Mathematical Model of Automatic Managing of Lathe + +YANG Zhen-hua, Q IU Zhong-hua + +(Nanjing University of Posts & Telecommunications, Nanjing 210003) + +Abstract In this paper, we establish the mathematical model of problem A of 1999 Chinese Undergraduate Mathematical Contest in Modeling——automatic managing of lathe. Then we give the solution of this model + +$$ +\begin{array}{l} \text {,} \\ \text {(}, \quad 2 1 0 0 9 6) \\ \text {:} \\ \text {,} \quad \mathrm {C M C M - 9 9 A} \\ \text {,} \quad \mathrm {p} _ {1} (\quad), \quad \mathrm {p} _ {2} (\quad), \mathrm {k}, \mathrm {f}, \mathrm {d} \\ \text {()} \end{array} , +$$ + +1 + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} C M C M - 9 9 A & & & & & & & & \\ , & & & & & & & & \\ & (\quad & 1 & , & \quad & 1 0 & ), & & \\ & , & & & & , & & & \\ & & & & & . & & & \\ 2 & , & p _ {1} & & & , p _ {2} & & , & p _ {1} = \\ 3, p _ {2} = 0. 4, & & & , & & , & , & \\ , & & , & & 7 & , & \text {I I V} & ( \\ ) \text {，} & . \\ n & , s = 1, 2, \dots \\ \text {I} & s n & , \quad - & ; \\ \text {I I} & s n & , \quad - & ; \\ & & - & s n + 1 & , \quad - & ; \\ \text {I I I} & s n & , \quad , \quad s n + 1 & , \quad - & ; \\ \text {I V} & s n & , \quad , \quad s n + 1 & , \quad - & ; \\ & & & , \quad s n + 2 & , \quad - \\ & & , \quad s n + 1 & , \quad , \quad s n + 2 & , \quad - \\ & & & - \text {.} \\ \text {V}, \text {V I}, \text {V I I} & \text {I I}, \text {I I I}, \text {I V}, \quad s n + 1, s n + 2 \quad s n - 1, s n - 2 \end{array} +$$ + +2 + +$$ +1, \quad p _ {1} = 1, p _ {2} = 0, +$$ + +$$ +u: \quad , n: \quad , +$$ + +$$ +(u, n) = (3 5 4, 1 9), +$$ + +$$ += 4 6 2 8 / +$$ + +$$ +2, \tag {10} +$$ + +） + +
nu353354355356
174.6344.6454.6384.645
184.6334.6404.6344.635
194.6364.6284.6364.639
204.6294.6394.6394.637
+ +2.1 + +(1) $u$ 354, n 19, + +$$ +p _ {1} = 1, p _ {2} = 0, \quad 1, (u, n) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} = (3 5 4, 1 9) \\ 1 9; \\ \end{array} +$$ + +
u( )n( )( )
I270459.459
II270459.722
III2951179.346
IV305339.327
V270459.752
VI2841089.350
VII318299.342
+ +(2) + +I, + +II V, + +2% + +III VI + +II V. + +II V + +III VI + +(117 + +）， 100 + +IV VII, + +IV VII + +II III + +V VI + +， + +(3) $u$ + +5%. + +(5) + +IV + +
(u,n)IIIIIIIVVVIVII
(295,117)9.5679.9759.3469.4609.9779.3639.487
(305,33)9.72910.2989.9279.32710.28910.0509.416
(284,108)9.5109.7959.3459.3979.8259.3509.399
(318,29)9.66910.09810.0769.37010.15610.1279.342
+ +$(u,n)$ + +$$ +(u, n) \quad p _ {1}, p _ {2} +$$ + +3 + +
np1= 0.99
290295300305310
287.3857.3847.3957.2967.491
317.4207.3717.3127.3487.313
347.3127.2937.2317.3337.415
377.2847.3327.4287.4287.361
+ +
u, n
2. p2 = 0.3,
n u290300310320
309.2549.2309.2479.218
359.2609.2049.2039.285
409.2839.2299.2049.208
459.2479.1939.2069.354
+ +![](images/d5b4dc6572c840992ca0fa572deb3b91fe6c1134c82a73076a81b055d7a9b709.jpg) + +
nu300305310315320
706 7936 7896 7456 7336 708
756 6986 8666 8476 7936 803
806 7006 6776 6906 6636 679
856 7266 7216 7106 7106 696
,,
+ +
3. k=800,
n u260265270275280
458 6798 6898 6518 8128 768
508 6948 7898 6878 7538 691
558 6658 6678 6408 6008 830
608 7158 7368 7138 6538 697
+ +
d=4000,
n u260265270275280
309.6769.6329.6009.7079.635
359.6639.6309.5749.5439.538
409.6029.5859.5389.5459.520
459.5679.5229.5399.6659.620
+ +![](images/172d13cc8061ee0fab2342b5e4536ce8d03c43b04c152c2fa7e240319c306b23.jpg) + +# The Simulation and Sensitivity Analysis for Knife Problem + +ZHAO Guirqin, ZHOU Lin + +(Southeast University, Nanjing 210096) + +Abstract A s to the problem A in CMCM - 99, this article firstly search out the approximate optimal solution to knife-replacement period, check period and the minimum cost for unit good-product through computer artificial simulation, and then have sensitivity analysis for $p_1$ (the probability of good-product produced by good knife), $p_2$ (the probability of good-product produced by bad knife), $k$ , $f$ , $d$ , at last concludes that $u$ (the knife-replacement period) is the most important optimizing parameter. + +![](images/29ed085b2920f1c9f302f8183af74ed8d7df376a8221c17544f0adf047219f35.jpg) +策略I + +![](images/da7f01a72ac59f8fcf9bc14961a6939d331b51208d2053cfd5a8e86638389b24.jpg) +策略IV + +# 说明 + +在生产零件时，必须考虑 $5\%$ 的非刀具故障。具体方法为：生成一个均匀分布的 $RV$ ， $error - pos$ 初始值为 0， $error - pos = error - pos + RV$ ，若该零件为第 $error - pos$ 个零件，则该零件必为坏零件，同时 $error - pos + = RV$ 。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\346\234\200\344\274\230\345\210\200\345\205\267\346\243\200\346\265\213\346\233\264\346\215\242\346\250\241\345\236\213/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\346\234\200\344\274\230\345\210\200\345\205\267\346\243\200\346\265\213\346\233\264\346\215\242\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\346\234\200\344\274\230\345\210\200\345\205\267\346\243\200\346\265\213\346\233\264\346\215\242\346\250\241\345\236\213/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\346\234\200\344\274\230\345\210\200\345\205\267\346\243\200\346\265\213\346\233\264\346\215\242\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ec084977f6263955243e1faab8e71623a5a80434 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\346\234\200\344\274\230\345\210\200\345\205\267\346\243\200\346\265\213\346\233\264\346\215\242\346\250\241\345\236\213/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\346\234\200\344\274\230\345\210\200\345\205\267\346\243\200\346\265\213\346\233\264\346\215\242\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,771 @@ +![](images/4e6e47745495541b22be4fdbb59af298366d1d77fe5b51d45aa7235ef6ef2303.jpg) + +# 1 （） + +2 + +(1) + +(2) + +3000 + +95% + +/ + +(3) + +2 + +5% + +(4) +(5) +(6) +(7) +(8) + +(1500 / ) + +3 + +Tc +T +$T(C)$ +Tc + +$$ +T ^ {*} +$$ + +$$ +T \left(C\right) ^ {*} +$$ + +$$ +T c ^ {*} T ^ {*} +$$ + +$$ +f (x) +$$ + +$$ +F (x) +$$ + +$$ +f +$$ + +$$ +1 0 / . +$$ + +$$ +d +$$ + +$$ +k +$$ + +$$ +\mu +$$ + +$$ +\sigma +$$ + +$$ +2 0 0 / +$$ + +$$ +3 0 0 0 / (\quad). +$$ + +$$ +1 0 0 0 / . +$$ + +4 + +4.1 + +1. + +$$ +D = \frac {\int_ {i = 1} ^ {n} \left(i - \frac {n + 1}{2}\right) x _ {(i)}}{n ^ {\frac {3}{2}} \sqrt {\int_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i} - \overline {{x}}\right) ^ {2}}} +$$ + +$$ +Y = \frac {(D - 0 2 8 2 0 9 4 7 9) \sqrt {n}}{0 0 2 9 9 8 5 9 8} +$$ + +$$ +\left\{Y \quad Y _ {\alpha / 2} \quad Y \quad Y _ {1 - \alpha / 2} \right\} \quad \alpha = 0. 0 5 \quad n = 1 0 0, \quad \left\{Y \right. +$$ + +$$ +- 2. 5 4 \quad Y \quad 1. 3 1 \} Y = - 1. 2 9 3 3 +$$ + +$$ +D = 0. 2 7 8 2 +$$ + +$$ +, \quad \alpha = 0. 0 5 +$$ + +2. + +$$ +: f (t) = f _ {N} (r; \sigma^ {2}, x) = \frac {1}{\sigma \sqrt {2 \pi}} e ^ {- (1 - x) ^ {2} / 2 \sigma^ {2}} +$$ + +$$ +\bar {x} = \frac {1}{N} _ {i = 1} ^ {N} x _ {i} +$$ + +$$ +\sigma^ {2} \quad S ^ {2} = \frac {1}{N - 1} _ {i = 1} ^ {N} (x _ {i} - \overrightarrow {x}) ^ {2} +$$ + +$$ +\bar {x} = 6 0 0 \quad \sigma = 1 9 6. 6 2 9 1 6 9 5 +$$ + +$$ +( +$$ + +$$ +F (t) = F _ {N} (t; \sigma^ {2}, x) = \int_ {0} ^ {t} f (x) d x +$$ + +4.2 + +$$ +T (C) = \frac {U}{\text {}} +$$ + +4.2.1 + +U + +N + +（ + +）， + +N + +1. + +T + +T + +$T$ ， + +N [1- + +$F(T)$ ], + +$$ +N [ 1 - F (T) ] +$$ + +U1 + +$$ +P _ {1} U _ {1} = N [ 1 - F (T) ] P _ {1} +$$ + +2. + +T + +$$ +, \quad N \cdot F (T), +$$ + +$$ +\begin{array}{l} N \cdot F (T) \\ U = U _ {1} + U _ {2} \\ F (T) \quad T \\ \end{array} +$$ + +U2 + +$$ +P _ {2} \quad U _ {2} = N \cdot F (T) \cdot P _ {2} +$$ + +2 + +$$ +, F (t) = \begin{array}{l} t \\ 0 \end{array} f (x) d x, \quad t = T \quad F (T) +$$ + +$$ +T \quad P _ {1} \quad P _ {2} +$$ + +1. + +$P_{1}$ + +(1) + +$T$ + +$g_{1}t$ + +T + +(2) + +:0 + +(3) + +$$ +P _ {1} = g _ {1} t + k + 0 +$$ + +$U_{1}$ ： + +$$ +U _ {1} = N \left[ \begin{array}{l l} 1 - & F (T) \end{array} \right] [ g _ {1} t + K + 0 ] +$$ + +2. + +P2 + +![](images/f39cde078c805da24ec5fbb214c6d8a562376abe57c6422244a8f822c4a63248.jpg) +损失零件数 + +1 + +(1) + +: d + +(2) + +： + +T + +$T$ （20 $x$ （20 $x$ + +$$ +, \quad \begin{array}{c} T \\ 0 \end{array} W _ {x} \frac {f (x)}{F (T)} d x +$$ + +$$ +\frac {f (x)}{F (T)} +$$ + +T + +x + +$$ +W _ {x} = +$$ + ++ + +a. + +$$ +, \quad [ g _ {2} + 1 ] t (g _ {2} +$$ + +x + +， + +$$ +x / T c +$$ + +） + +b. + +$$ +, \quad [ T c - H ] f +$$ + +H + +$$ +P _ {2} = \left. \begin{array}{l} T \\ 0 \end{array} \right\{\left[ g _ {2} + 1 \right] t + \left[ T c - H \right] f \left\{\frac {f (x)}{F (T)} d x + d \right. +$$ + +$$ +U _ {2} = N \cdot F (T) \left\{\left.\begin{array}{l}T\\0\end{array}\right\}\left[ g _ {2} + 1 \right] t + \left[ T c - H \right] f \right\} \frac {f (x)}{F (T)} d x + d \left. \right\} +$$ + +$$ +U = U _ {1} + U _ {2} +$$ + +： + +$$ +N [ 1 - F (T) ] T + N \cdot F (T) _ {0} ^ {T} x \frac {f (x)}{F (T)} d x +$$ + +$$ +T (C) = \frac {U}{=} +$$ + +$$ +\frac {U _ {1} + U _ {2}}{N [ 1 - F (T) T ] + N \cdot F (T) x \frac {f (x)}{F (T)} d x} \left(U _ {1}, U _ {2}\right) +$$ + +$$ +N \quad , \quad T, T c \quad , T (c) \quad . \quad T (c) +$$ + +$$ +T = 4 0 0, T _ {c} = 1 6 +$$ + +$$ +T \quad (3 5 0, 4 5 0) +$$ + +$$ +T (C) ^ {*} = 4. 6 1 5 +$$ + +$$ +T ^ {*} = 3 6 9 +$$ + +$$ +T c ^ {*} = 1 8 +$$ + +4.3 + +2 + +area + +![](images/ddf8b7f40249aabf84d0cd54335410475422f0a3cbeed39bdcd2c714b998f700.jpg) +2 + +Tc + +$g_{1}(T)$ ， 2 + +2 + +area, + +$g_{1}(T) = F(T)divarea(div$ (1) + +T + +X + +x + +$g_{2}(x)$ + +$g_{2}(x) = [F(x - 1)\text{div area}] + 1$ (2) + +$H(x) = F^{-1}[g_2(x)\times area] - x$ $(H(x) < T - x)$ + +H $(x)$ T- x T-x (3) + +(1) (2) (3) + +$$ +T (C) ^ {*} = 4. 4 0 5 +$$ + +$$ +T ^ {*} = 3 6 9 +$$ + +$$ +a r e a ^ {*} = 0. 0 0 6 +$$ + +5%, + +$Tc(n)$ ： + +$$ +T c (n) = F ^ {- 1} [ a r e a \times n ] - F ^ {- 1} [ a r e a (n - 1) ] +$$ + +$Tc(n)$ + +
1106106119303
250156129312
331187139321
424211147328
519230158336
616246167343
714260177350
812272186356
912284197363
1010294206369
+ +4.4 + +2% + +$$ +\begin{array}{c}1500\\ 40\% \end{array} ; +$$ + +40% + +$$ +T (C) = \frac {U}{U _ {1}} +$$ + +$$ +U _ {2} +$$ + +$$ +N +$$ + +$$ +: N \cdot F (T) (F (T) +$$ + +$$ +: N [ 1 - F (T) ] +$$ + +$$ +U _ {1} = N [ 1 - F (T) ] P _ {1} +$$ + +$$ +U _ {2} = N \cdot F (T) \cdot P _ {2} +$$ + +$$ +T \quad P _ {1} P _ {2} +$$ + +1. + +(1) $k$ +(2) + +$$ +g _ {1} t +$$ + +(3) + +$$ +T / T c +$$ + +2% + +![](images/47eb55d3ac496162263f46d7915fdcd7617ac6eeeccf658b87a090af7cffb0ad.jpg) + +![](images/4711dae17ac9f31642dccc3fbd35ed4b8921d47f80ed1963b31756f8b46a5c75.jpg) + +$$ +, \quad : 2 \% g _ {1} = \frac {g _ {1}}{50} +$$ + +(4) + +$$ +T \times 2 \% +$$ + +$$ +: \frac {g _ {1}}{5 0} \times 1 5 0 0 = 3 0 g _ {1} +$$ + +(1) (2) (3) (4) + +![](images/af43d040318e69d2e2e85a9bc1016667229d073a3cf28080f660f7d2ab51e654.jpg) + +![](images/ef5ef6ea6e746370629fd4238b293d86470645f658299e4520b4c48630bf7d7f.jpg) + +$P_{1}$ + +$$ +P _ {1} = k + g _ {1} t + 3 0 g _ {1} + \frac {T f}{5 0} +$$ + +$$ +U _ {1} \quad : +$$ + +$$ +U _ {1} = N [ 1 - F (T) ] \left[ k + g _ {1} t + 3 0 g _ {1} + \frac {T f}{5 0} \right] +$$ + +2. + +$$ +U _ {2} = N \cdot F (T) \cdot P _ {2}, \quad P _ {2} +$$ + +$x$ T + +$$ +: P _ {2} = \begin{array}{l} T \\ 0 \end{array} W _ {x} \frac {f (x)}{F (T)} d x +$$ + +x + +W2 + +(1) + +$$ +: (g _ {2} - 1) t (g _ {2} +$$ + +） + +(2) + +（ + +(3) + +）： + +$$ +(g_{2} - 1)\times 2\% \times 1500 = 30(g_{2} - 1) +$$ + +(3) + +2% + +$$ +\begin{array}{c} \vdots \\ 2 \% x f = \frac {x f}{50} \end{array} +$$ + +(4) + +： + +$$ +40 \% +$$ + +$$ +40\% , +$$ + +$$ +g _ {2} \quad ( +$$ + +$$ +0) +$$ + +$$ +g _ {1} ( +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} g _ {1} - & g _ {2} \end{array} +$$ + +） + +$$ +\begin{array}{c c c c} & & \text {,} \\ & & \text {g} _ {1} - \text {g} _ {2} \\ & & 0. 4 ^ {i} \\ H & T _ {C} & X \\ & & T _ {C} \\ & & \cdot \\ & & \text {g} _ {1} - \text {g} _ {2} \\ & & 0. 4 ^ {i} t \\ T - x H & , \end{array} +$$ + +0, + +0 + +(5) + +$$ +\vdots +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \left(1 - 0. 4 ^ {g _ {1} - g _ {2} + 1}\right) d \\ 0. 4 ^ {g _ {1} - g _ {2} + 1} \quad g _ {1} - g _ {2} + 1 \end{array} +$$ + +(6) + +$$ + +$$ + +$$ +T - x > H +$$ + +a + +$$ +0. 6 H f +$$ + +b. + +$$ +T - x > H +$$ + +$$ +\left(H ^ {\prime} + 0. 4 T _ {c} + 0. 4 ^ {2} T _ {c} + \dots 0. 4 ^ {g _ {1} - g _ {2}} T _ {c}\right) 0. 6 f +$$ + +$$ +T - x H, +$$ + +： + +$$ +(T - x) \cdot 0. 6 f +$$ + +$$ +U _ {2} = N \cdot F (T) \int_ {0} ^ {T} W _ {x} \frac {f (x)}{F (T)} d x +$$ + +WX + +(1) + +(1) + +(4) + +(5) + +(6) + +$$ +U = \left[ k + g _ {1} t + 3 0 g _ {1} + \frac {T f}{5 0} \right] \cdot N \cdot [ 1 - F (T) ] + \int_ {0} ^ {T} W _ {x} \frac {f (x)}{F (T)} d x \cdot N \cdot F (T) +$$ + +(1) + +$$ +N[1 - F(T)]T\times 98\% +$$ + +(2) + +$$ +N \cdot F (T) \left[ \begin{array}{c} T \\ 0 \end{array} \left(98 \% x + \frac {(6)}{0.6 f} 0.4\right) \frac {f (x)}{F (T)} d x \right] \tag{1} +$$ + +$$ +T (C) = \frac {W}{(1) + (2)} \quad T \quad T c \quad T (c) \tag {1} +$$ + +） + +$$ +T (C) ^ {*} = 9. 2 6 8 +$$ + +$$ +T ^ {*} = 3 0 6 +$$ + +$$ +T c ^ {\cdot} = 2 8 +$$ + +（ + +$$ +) g _ {2} (x) \left(x\right) H (x) +$$ + +） + +$$ +T (C) ^ {*} = 9. 0 4 7 +$$ + +$$ +T ^ {*} = 3 1 6 +$$ + +$$ +a r e a ^ {*} = 0. 0 1 7 +$$ + +$$ +40 \% +$$ + +4.405 9.047. + +4.5 + +$$ +( \begin{array}{c c} & \\ & 3 \end{array} ) +$$ + +40% + +2% + +Bayes + +.） + +5 + +[3] + +[1] +[2] +[3] + +# The Optimum Checking and Replacing Model for the Cutting Tool of the Automatic Machine Tool + +QIZheng-jun， RENYi, SI Yong + +(Dalian University of Technology, Dalian 116024) + +Abstract Through statistical analysis of more than 100 times breakdown of cutting tools on the automatic machine tool, the checking and replacing model has been studied for cutting tool to machine only one part continuously. In this paper, by using of the $D$ inspection method for the large-scale sample situation in the probability theory, it has been proved that the occurring law of cutting tools's breakdown accords with the normal distribution. After figuring out the life-span distribution function of the system process, the multi-objective function equation has been obtained in which the unit expected loss of the qualified part is taken as objective and the checking interval as well as the regular replacement interval for cutting tool are variables. By means of enumeration and comparison methods to look for the solution on the microcomputer, the optimum checking interval and the optimum replacing strategy for the cutting tool have been given which could bring out the optimal economic profit in the system process. Since the occurring law of cutting tools's breakdown accords the normal distribution, the improved model has been presented by adopting the regular unequal interval checking method and the better results than these of equal interval checking method are obtained + +By using the algorithm mentioned above, the function has been solved fairly and the optimum solution has been got. In this paper two study cases are described. For case 1, the intervals of replacing and checking are 369 and 18 respectively, the loss of unit qualified part is 4.615 Yuan and it will be down to 4.405 Yuan if the unequal interval is adopted. For case 2, under complicated conditions, the intervals of replacing and checking are 306 and 28 respectively, the loss of unit qualified part is 9.268 Yuan and it will change to 9.047 Yuan when using unequal interval. These results provide a more advantage proof for the improved model using the unequal interval checking method + +# 1 （ ） + +2 + +(1) +(2) +(3) +(4) 1 +(5) +(6) +(7) $X1X2$ ， $X1X2$ + +3 + +n: n + +m: m + +T: + +$T = n\cdot m$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206(1)/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206(1).md" "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206(1)/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206(1).md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c3100af7f402b84dbf5156fbb2aea8004b08c45 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206(1)/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206(1).md" @@ -0,0 +1,373 @@ +Abstract In the article, the optimum tactics of the regular check to working procedures and the replacement of cutting tools in the course of continuous component processing by automatic lathes has been discussed + +For question one, the optimum model of average management cost used for regular check and adjustment of component has been made out by applying the theory of management cost and method of probability statistics, the best designed interval of check and cutting tools replacement in the working procedure has been obtained + +For question two, based on question one, the objective functions has been established, and the optimum tactics of the best designed interval of check and the replacement of cutting tools has been obtained considering the average loss brought about by unqualified products at the interval of check and the average loss of machine stop for being misregarded as existing breakdown + +The automatic checking and adjusting system the breakdown of working procedures has been designed by using automatic devices, and the algorithm flow chart has been given too. Thus the loss of machine stop for being misregarded as existing breakdown would be avoided, and the benefit of working procedure would be increased + +1 （） +2 + +$$ +C = \overline {{}} +$$ + +3 + +1. 2. 3. 4. 5. + +1. + +4 + +f t d k X + +$$ +t = 1 0 / +$$ + +$$ +f = 2 0 0 / +$$ + +$$ +d = 3 0 0 0 / +$$ + +$$ +F (x) +$$ + +$$ +p (x) +$$ + +$$ +\tau_ {0} +$$ + +$$ +\tau_ {1} +$$ + +$$ +E (L) +$$ + +$$ +E (T) +$$ + +$$ +C +$$ + +$$ +\text {(} \quad) \quad k = 1 0 0 0 / +$$ + +5 + +5.1 + +1. 100 + +$$ +\quad \text {(} \quad). \quad : \quad \alpha = 0. 1 0 +$$ + +$$ +N (\mu , \sigma^ {2}) \quad , \quad \mu = 6 0 0, \sigma^ {2} = 1 9 5. 6 4 ^ {2}. +$$ + +2. + +$$ +95\%, \quad \quad \quad \quad \quad . \quad \quad , \quad \quad , \quad X \quad N (0.95\mu , (0.95\sigma) ^ {2}) +$$ + +3. + +$$ +\tau_ {1} = m \tau_ {0} (m = 1, 2, \dots) +$$ + +5.2 + +1. $I($ + +$$ +X > \tau_ {1} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} : \quad L _ {1} = m t + k; \\ n \tau_ {0} < X \quad (n + 1) \tau_ {0} \quad (n = 0, 1, 2, \dots , m - 1) \\ \end{array} +$$ + +$$ +: \quad L _ {n} = (n + 1) t + d + [ (n + 1) \tau_ {0} - X ] f +$$ + +$$ +\begin{array}{l} E (L) = \underset {m \tau_ {0}} {L} _ {1} p (x) d x + \underset {n = 0} {\overset {m - 1} {\enspace}} _ {n \tau_ {0}} ^ {(n + 1) \tau_ {0}} L _ {n} p (x) d x \\ E (T) = m \tau p (x) d x + \begin{array}{l l} (m - 1) & (n + 1) \tau_ {0} \\ n = 0 & n \tau_ {0} \end{array} (n + 1) \tau_ {0} p (x) d x \\ \end{array} +$$ + +$\tau_0$ $\tau_{1}, C = \frac{E(L)}{E(T)}$ $\tau_0 = 18(18)$ , $\tau_{1} = 342(342)$ + +2 II（ + +3 III( + +$$ +\begin{array}{l} C = 4. 7 5 \quad . \\ \left. \frac {1}{n (x)}\right). \\ \end{array} +$$ + +（ $\mathcal{X}$ ， $[x,x + dx]$ ）， $n(x)$ .T0(x)= + +$$ +n (x) = \sqrt {\frac {f}{t} \cdot \frac {p (x)}{1 - F (x)}} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} : p (x) d x \quad [ x, x + d x ] \\ 1 - F (x) x \\ , \frac {p (x) d x}{1 - F (x)} \quad x \quad , [ t, t + d t ] \\ \end{array} +$$ + +$$ +p (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} 1 8 5 . 9} e ^ {- \frac {(x - 5 7 0) ^ {2}}{2 \times 1 8 5 . 9 ^ {2}}} +$$ + +1 +2 $d_{2} = \left\lfloor \frac{1}{n(d_{1})}\right\rfloor ;$ + +3 + +$$ +d _ {3} = \left[ \frac {1}{n (d _ {1} + d _ {2})} \right]; +$$ + +： + +： + +
i123456789101112131415
di724232262220181615141312121110
i161718192021222324252627282930
di10109998888777777
i31323334353637383940414243......
di7666666666555......
+ +$d_{i}$ + +(2) + +$$ +C = \frac {E (L)}{E (T)}, +$$ + +$$ +C = 5. 3 4 4, +$$ + +(2) + +(2) + +$$ +\tau_ {1} = 2 4 2 +$$ + +$$ +7 2 \quad 1 1 4 \quad 1 4 6 +$$ + +172 194 214 232 242 + +， + +6 + +1. + +1) + +$$ +X \quad N \left(5 7 0, 1 8 5. 9 ^ {2}\right), +$$ + +： + +$$ +X _ {i} (i = 1, 2, \dots , 1 0 0 0) \quad (\quad : 1 0 0 0 \quad) +$$ + +2) + +T0 + +T1, + +X + +Li + +$$ +L _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} k + \frac {\tau_ {1}}{\tau_ {0}} t & [ X _ {i} ] > \tau_ {1} \quad ([ X _ {i} ]) \\ d + \frac {\tau_ {1}}{\tau_ {0}} \cdot t & [ X _ {i} ] = \tau_ {1} \\ d + \left[ \frac {X _ {i}}{\tau_ {0}} \right] t + (\tau_ {0} - [ X _ {i} ] \% \tau_ {0}) f & [ X _ {i} ] < \tau_ {1} \quad (\%) \end{array} \right. +$$ + +3) + +C + +$$ +C = \begin{array}{c} 1 0 0 0 \\ \frac {L _ {i}}{1 0 0 0} \\ T _ {i} \\ i = 1 \end{array} +$$ + +$$ +T _ {i} = \left\{\left( \begin{array}{l} \boldsymbol {\tau} _ {1} \\ \left[ \frac {\boldsymbol {X} _ {i}}{\boldsymbol {\tau} _ {0}} \right] + 1 \end{array} \right) \boldsymbol {\tau} _ {0} \right. +$$ + +$$ +\left[ \begin{array}{l} X _ {i} \end{array} \right] \quad \tau_ {1} +$$ + +4) + +$$ +\tau_ {0}, \tau_ {1} +$$ + +T0 + +$$ +(0, 2 0 0), \tau_ {i} +$$ + +$$ +(0, 1 0 0 0) +$$ + +$$ +C +$$ + +$$ +\tau_ {0} = 1 8, +$$ + +$$ +, \tau_ {1} = 3 7 8, +$$ + +$$ +4. 1 6 \quad . +$$ + +1 + +， + +
τ0τ1C
I183424.75
183784.16
+ +I + +I + +2 + +$$ +X \quad N (5 7 0, 1 8 5. 8 6 ^ {2}) +$$ + +） $q(q$ + +$$ +P (P +$$ + +） + +$$ +P - C q - C +$$ + +： + +
P0 010 0120 0140 0160 0180 020 0220 0240 0260 0280 030 035
T01313121212111111101097
m222222222222222222222222
T1286286264264264242242242220220198154
C6 36 56 76 887.057.227.377.527.647.767.857.93
+ +
q0 10 20 30 40 50 60 70 80 9
T0121212111111111111
m222222222222222222
T1264264242242242242242242242
C7.067.147.187.217.227.227.227.217.20
+ +$$ +P - C q - C +$$ + +$$ +, P q +$$ + +$$ +, P \quad C +$$ + +$$ +C +$$ + +$$ +0. 4 +$$ + +$$ +C \quad . \quad P - C +$$ + +P + +$$ +q \quad . \quad q - C \quad , \quad q +$$ + +$$ +, C \quad P +$$ + +$$ +q +$$ + +P + +$P$ ， C + +![](images/d9f6d15a2283f3ba6a39475097a86535de2241aa5e2f272ccb74dbe7bf29338e.jpg) +p-c图 + +![](images/fff7fc2e8269ae9cea3b78e73eac813cef3909c3fa87361b92cfdba04c6e58aa.jpg) +q-c图 + +(1500 / ), + +C + +3 + +
μ570570580590600600
σ185.86195.64185.86185.86185.86195.64
C4.754.94.634.514.44.55
Δ03.2%2.5%5%7.4%4.2%
+ +$\Delta$ + +$$ +\mu \quad \left| \frac {C - C _ {0}}{C _ {0}} \right| \times 100 \% (C _ {0} \quad 4.75) +$$ + +7 + +1. +2 +3 + +[1] +[2] +[3] + +# The Management of An Automatic Lathe + +SH IM ing, L N Chao-you, FANG B in + +(The Naval University of Engineering, Wuhan 430033) + +Abstract The management of an automatic lathe is discussed. The detemination of exam in ing interval and change tactics of cutting-tool leads to the analysis of an optimization problem of expectation loss of a single part An effective computation is given. Three examples results have been obtained \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206.md" "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12e3118eba41bfa9e41a29b20e12cb8f275b9594 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206.md" @@ -0,0 +1,275 @@ +By using the algorithm mentioned above, the function has been solved fairly and the optimum solution has been got. In this paper two study cases are described. For case 1, the intervals of replacing and checking are 369 and 18 respectively, the loss of unit qualified part is 4.615 Yuan and it will be down to 4.405 Yuan if the unequal interval is adopted. For case 2, under complicated conditions, the intervals of replacing and checking are 306 and 28 respectively, the loss of unit qualified part is 9.268 Yuan and it will change to 9.047 Yuan when using unequal interval. These results provide a more advantage proof for the improved model using the unequal interval checking method + +1 （ ） + +2 + +(1) + +(2) + +(3) + +(4) 1 + +(5) + +(6) + +(7) $X1X2$ ， $X1X2$ + +3 + +n: n + +m: m + +T: $T = n\cdot m$ + +$\overline{T}$ （ ） + +$F$ ： $F = 200 / \cdot$ + +$J: \quad J = 10 /$ + +D: $D = 3000 / ()$ + +$K$ ： $K = 1000 / \cdot$ + +M: $M = 1500 /$ + +$\overline{C} (n,m)$ + +$\overline{S} (n,m)$ + +X1: + +X2: + +X: + +4 + +： + +1 + +； + +[1]). + +2 + +1 + +m + +5 + +1. + +MATLAB 100 + +$H_{0} X_{1}$ + +$$ +f \left(x _ {1}\right) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} e ^ {- \frac {(x - \mu) ^ {2}}{2 \sigma^ {2}}} - < x < + +$$ + +$$ +\hat {\mu} = 6 0 0, \hat {\sigma} = 1 9 6 6 2 9 2, +$$ + +X (0 1200) 12 $H_{0}$ X + +$$ +f \left(x _ {1}\right) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \times 1 9 6 6 2 9 2} e ^ {- \frac {\left(\tau - 6 0 0\right) ^ {2}}{2 \times 1 9 6 6 2 9 2 ^ {2}}} +$$ + +$P_{i}$ + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1 2 \\ i = 1 \end{array} \left(f _ {i} - n P _ {i}\right) ^ {2} / n P _ {i} = 4 0 9 \\ \lambda_ {0. 0 5} ^ {2} (1 2 - 2 - 1) = \lambda_ {0. 0 5} ^ {2} (9) = 1 6 9 1 9 > 4. 0 9 \\ \alpha = 0. 0 5 \tag {2} \\ \end{array} +$$ + +X2 + +$$ +F \left(X _ {2}\right) = \begin{array}{l} x _ {2} \\ k = 1 \end{array} p (1 - p) ^ {k - 1}, \quad (0 < p < 1), E \left(X _ {2}\right) = \frac {1}{p} +$$ + +$$ +95\% ,\quad 5\% , +$$ + +$$ +\frac {E \left(x _ {2}\right)}{E \left(x _ {1}\right)} = \frac {1}{\mu p} = \frac {95 \%}{5 \%} = 19 +$$ + +$$ +p = 0 0 0 0 8 7 7 1 9 +$$ + +$$ +X = \mathbf {M} \mathbf {N} \left(X _ {1}, X _ {2}\right), X +$$ + +$$ +\begin{array}{l} F _ {x} (x) = 1 - \left(1 - F _ {x _ {1}} (x)\right) \left(1 - F _ {x _ {2}} (x)\right) \\ = 1 - \left(1 - \Phi \left(\frac {x - \mu}{\sigma}\right)\right) \left(1 - p (1 - p) ^ {k - 1}\right) \\ = 1 - \left(1 - \Phi \left(\frac {x - \mu}{\sigma}\right)\right) (1 - p) ^ {x} \tag {2} \\ \end{array} +$$ + +2. 1: + +$$ +n \quad 1, \quad m \quad , \quad m +$$ + +$$ +C _ {1} = (J \cdot m + K) \times P \{X > n \cdot m \} +$$ + +$$ +k \quad , \quad (k - 1) n + i \quad (\quad). +$$ + +$$ +i (\text {出 现 故 障}) \tag {0} +$$ + +$C_2$ + +$$ +\begin{array}{l} C _ {2} = \int_ {k = 1} ^ {m} \left[ J \cdot k + D + F \cdot \frac {i - 1}{P \{(k - 1) n < X k n \}} \right] \cdot P \{(k - 1) n < X k n \} \\ T \qquad , \qquad \qquad n, m \qquad , \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \overline {{T}} = E (n, m) = \begin{array}{l} n m \\ 0 \end{array} t \mathrm {d} F (t) + \begin{array}{l} n m f (t) \mathrm {d} t \end{array} \\ = m n F (n m) - \begin{array}{l} ^ {m} \\ 0 \end{array} F (t) d t + n m 1 - F (n m) \\ = \begin{array}{c} n m \\ 0 \end{array} 1 - F (t) d t \\ \end{array} +$$ + +$$ +\bar {S} (n, m) = \frac {\bar {C} (n , m)}{\bar {T}} = \frac {C _ {1} + C _ {2}}{\bar {T}} \tag {3} +$$ + +3 2: + +（ ）： + +![](images/c7421e99299ad1f6eb554705b39c444a438f6442a38528062d05826546d6cc3b.jpg) + +(1) $kn + i$ ， $P\{X = kn + i\} .$ + +$$ +(k n + i) \quad , \quad t +$$ + +$$ +\begin{array}{l} (k + 1) n \quad t n \quad t - k - 1 \quad , \quad 0. 6 \times \\ 0. 4 ^ {t - k - 1}. \\ \end{array} +$$ + +$$ +\quad , \quad k n + i \quad . \quad (k n + i - 1) \times +$$ + +$$ +\begin{array}{l} 0. 0 2 \quad , \quad (k n + i - 1) \times 0. 0 2 \times F \quad . \quad k \quad k \times 0. 0 2 \\ k \times 0. 0 2 \times M \\ \end{array} +$$ + +$$ +k n + i \quad t n \quad , +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \left(t n - k n - i + 1\right) \times 0. 6, \quad \left(t n - k n - i + 1\right) \times 0. 6 \times F, \quad t \\ \begin{array}{c c} J \cdot & t \end{array} \\ \end{array} +$$ + +$$ +t, \quad S _ {k, i, t} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} S _ {k, i, t} = \left\{J \bullet t + D + (m - k n - i + 1) \times 0. 6 + (k n + i - 1) \times 0. 0 2 \right. \\ \times F + 0. 0 2 M k \} \times \frac {0 . 6 \times 0 . 4 ^ {t - k - 1}}{t n} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} t = k + 1, k + 2, \dots , m \\ , \quad , \quad , \quad 0. 4 ^ {m - k}. \\ : \quad J m \quad K \quad (m n - k n - i) \times 0. 6 + \\ \end{array} +$$ + +$$ +(k n + i + 1) \times 0. 0 2 \cdot F \quad 0. 0 2 M k. +$$ + +$$ +\begin{array}{l} S _ {k, i, m} = \left\{J ^ {\bullet} m + D + (m n - k n - i) \times 0. 6 + (k n + i + 1) \times 0. 0 2 \right. \\ \times F + 0. 0 2 M k \} \times \frac {0 . 4 ^ {m - k}}{m n} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} S _ {k, i, m} = \left\{J ^ {\bullet} m + D + (m n - k n - i) \times 0. 6 + (k n + i + 1) \times 0. 0 2 \right. \\ \times F + 0. 0 2 M k \} \times \frac {0 . 4 ^ {m - k}}{m n} \\ \quad : \quad (1) \\ S _ {1} = \begin{array}{l} m \\ t = k + 1 \end{array} S _ {k, i, t} \quad k = 0, 1, 2, \dots , m - 1; i = 1, 2, \dots , n \\ \end{array} +$$ + +$$ +m, \quad P \{X \quad n m + 1 \}, \tag {2} +$$ + +$$ +S _ {2} = (J \cdot m + K + 0. 0 2 F \cdot n \cdot m + 0. 0 2 M \cdot m) / (m \cdot n) +$$ + +(1) (2) + +$$ +\overline {{S _ {n , m}}} = \sum_ {k = 0} ^ {m - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} S _ {1} \bullet P \left\{X = k n + i \right\} + S _ {2} \bullet P \left\{X \quad n m + 1 \right\} +$$ + +6 + +600 + +1, C + +X1 + +T m·n + +600 ， 200 900 n m ， 1 +100) 10 m (2030),n (10 +20) 1, $n = 18,m = 20,\overline{S_{n\cdot m}} = 4.62$ + +( ). + +2, +T +n·m + +$$ +n = 4 8, m = 6, \bar {S _ {n}}. m = 1 1. 1 6 +$$ + +7 + +2, + +2 + +2 + +2 + +[1] +[2] +[3] + +
m +n102030405060708090
1011.146.335.044.835.205.876.607.197.56
205.634.716.318.128.878.988.998.998.99
304.777.0710.0210.4810.4910.4910.4910.4810.48
405.2010.7212.0612.0712.0712.0712.0612.0612.06
506.8813.4513.6813.6813.6813.6813.6813.6713.67
609.6015.3015.3115.3115.3115.3015.3015.3015.29
7012.9016.9616.9616.9916.9416.9416.9416.9316.94
8015.2218.6018.6018.5918.5918.5818.5818.5718.57
9019.1120.2520.2520.8920.2320.2320.2220.2120.21
10021.4721.9021.9021.8921.8821.8721.8721.8621.85
+ +# The Management of Automatic Lathe + +YU Jie, JIANG A im in, L IRong-bing + +(Nanjing University of Aeronautics and A stronautics, Nanjing 210016) + +Abstract Optimal maintenance policy problem in a system is discussed and analysed in this paper. Due to the random variable concerned, one objective mathematical model of expectation value is developed By using enumerative search method, we obtain optimal policy. The process is checked once every producing 18 parts When the process is checked 20 times, the knife has to be changed According to this policy, the average minimal cost for producing a part is $4.62\text{¥}$ . + +Finally, we point out some factors not to be considered in the model, and analyse the influence of these factors. Moreover, some modification is proposed + +1 （） +2 1. 100 2. 2. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\345\273\272\346\250\241\345\210\206\346\236\220/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\345\273\272\346\250\241\345\210\206\346\236\220.md" "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\345\273\272\346\250\241\345\210\206\346\236\220/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\345\273\272\346\250\241\345\210\206\346\236\220.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..406a82a1009dd280dd710afd8af79f208d03687d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\345\273\272\346\250\241\345\210\206\346\236\220/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\345\273\272\346\250\241\345\210\206\346\236\220.md" @@ -0,0 +1,228 @@ +(A ). + +1999 + +A + +1 + +1. + +100 + +1) + +k. + +2) + +$t,$ + +3) + +， + +4) + +5) + +6) + +L. + +2. + +$L_{2}$ + +L3 + +3. + +： + +$$ +L _ {1} = \frac {k}{u}, L _ {2} = \frac {t}{n}, L _ {3} = (m + h) f + d / c +$$ + +m + +, n + +$u, n$ + +$$ +L = \frac {k}{u} + \frac {t}{n} + \frac {m f}{c} + \frac {d}{c} \tag {1} +$$ + +m, c 3), + +$$ +\begin{array}{l} (1 - p) ^ {n - i} \cdot p / 1 - (1 - p) ^ {n}, i = 1, \dots \dots n, \\ m = \int_ {i = 1} ^ {n} i (1 - p) ^ {n - i} p / 1 - (1 - p) ^ {n} \tag {2} \\ m = \frac {n + 1}{2} + \frac {n ^ {2} - 1}{1 2} p + O \left(p ^ {2}\right) \doteq \frac {n + 1}{2} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} p = \frac {1}{c}, \quad O (p) (1) \\ L = \frac {k}{u} + \frac {t}{n} + \frac {(n + 1) f}{2 c} + \frac {d}{c} (3) \\ \end{array} +$$ + +c 100 + +600 $95\%$ + +5%, + +$$ +b = a \cdot \frac {9 5}{5} = +$$ + +11400 + +100 $F(x)$ + +$$ +a _ {u} = \frac {1}{F (u)} \left(\int_ {c = 1} ^ {u - 1} i \cdot \left(F (i) - F (i - 1) + u (1 - F (u))\right) \right. \tag {4} +$$ + +$F(x)$ $f(x)$ + +$$ +a _ {u} = \frac {1}{F (u)} \left( \begin{array}{c} u \\ o \end{array} t f (t) \mathrm {d} t + u (1 - F (u))\right) +$$ + +$$ +c \quad a _ {u} \quad b \quad , \quad 1 / c = 1 / a _ {u} + 1 / b, +$$ + +$$ +c = \frac {1}{1 / a _ {u} + 1 / b} \tag {5} +$$ + +$c$ （20 $u$ + +4. (3) + +(3) + +$$ +n = \sqrt {\frac {2 c t}{f}} \tag {6} +$$ + +$L$ 50, $u = 100,150,200,\ldots$ L + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c} n & , & & L & & & u & n & & . & & & \\ & & , & & & & , & & & , & & & & \cdot \\ & , & & & & , & & n = 1 & & & & & u & u _ {1}, \\ & n & & & n _ {1}, & (u _ {1}, n _ {1}) & & , \end{array} +$$ + +5. + +$$ +\begin{array}{l} \frac {n + 1}{2} + W \cdot n \left[ \int_ {j = 1} ^ {s} \binom {j} {i = 1} W ^ {i - 1} (1 - W) \frac {(1 - p) ^ {(j - 1) n} - (1 - p) ^ {(j n)}}{1 - (1 - p) ^ {u}} \right] \\ \div \frac {n + 1}{2} + n \frac {W}{1 - W} \tag {7} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} W = 40\% \quad , p \quad , u = \text{sn}. \\ L = \frac {k}{u} + \frac {1}{n} t + (1 - p) ^ {n} v e + \frac {f}{c} \left(\frac {n + 1}{2} + n \frac {W}{1 - W}\right) + \frac {d}{c} \tag {8} \\ \end{array} +$$ + +$$ +v = 2 \% \quad , e = 1500 +$$ + +6. + +2 + +1. +1) +2) +3) $F(x)$ F(x) + +$$ +f (x)). +$$ + +4) $n,$ （20 $u = \textit{sn}$ +2. +1) $u$ ， $c_{1} = (s - 1)t + k$ +2) $u$ + +$$ +\begin{array}{l} c _ {2} = \int_ {i = 1} ^ {s - 1} \left(i t + d + f \cdot \frac {n + 1}{2}\right) \frac {F (i n) - F ((i - 1) n)}{F (u)} \\ + \left(s - 1\right) t + k + f \frac {n + 1}{2} \left. \right] \frac {F (u) - F ((s - 1) n)}{F (u)} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} c _ {a} = c _ {1} (1 - F (u)) + c _ {2} F (u) \doteq \left(d + f \frac {n + 1}{2}\right) F (u) \\ + k (1 - F (u)) + \frac {t}{n} \left(u - \int_ {0} ^ {u} F (x) d x\right) \tag {9} \\ \end{array} +$$ + +$$ +T _ {a} = \int_ {o} ^ {u} x f (x) d x + u (1 - F (u)) = u - \int_ {o} ^ {u} F (x) d x \tag {10} +$$ + +$$ +L = \frac {C _ {a}}{T _ {a}} \tag {11} +$$ + +3. $q = 1 / 11400$ + +$C_{o} = \sum_{j = 1}^{u - 1}\left(\frac{j}{n}\right)t + d + f\frac{n + 1}{2}$ (1- $q)^{j - 1}q + \left(s - 1\right)t + k\left(1 - q\right)^{u - 1}$ (12) + +$$ +T _ {o} = \int_ {j = 1} ^ {u - 1} j (1 - q) ^ {j - 1} q + u (1 - q) ^ {u - 1} = \frac {1 - (1 - q) ^ {u}}{q} \tag {13} +$$ + +$C_{a},$ 2. + +$$ +C = C _ {o} 1 - (1 - q) ^ {u} + C _ {a} (1 - q) ^ {u} +$$ + +$$ +T = T _ {o} 1 - (1 - q) ^ {u} + T _ {a} (1 - q) ^ {u} \tag {14} +$$ + +$$ +L = \frac {C}{T} \tag {15} +$$ + +$(u,n)$ + +$F(x)$ + +1 + +4. $F(x)$ （20 1 + +） 2. + +1) $x_{1}$ $(\mathrm{~~\xi~}),x_{2}$ ， $Y = \mathrm{m}$ in $(x_{1},x_{2})$ + +$G(x),\quad G(x)$ $F(x).$ + +2) $x_{1},\qquad 0.95,\quad Y = 0.95x_{1},$ + +$$ +G (x) \qquad F (x). +$$ + +3) $G(x) = 0.95F(x) + 0.05H(x),$ （20 $H(x)$ + +$F(x)$ + +,1) + +,2) 3) + +5. + +[1] +[2] + +,1979( ). + +,1988. + +# Some Analysis on Maintenance Strategies of the Automatic Lathe + +SUN Shan-ze + +(Peking University, Beijing 100871) + +Abstract This paper analysed the problem A of CMCM in 1999. Two kinds of answers and some cases in the submitted papers from provinces are presented \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea2fff6a0dd5335d098984fa58a8bbd1e38d3707 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\350\207\252\345\212\250\345\214\226\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,210 @@ +![](images/352206a1ea266f42d5b7805140fb0739bab892ded6116d465f8dc96c780045b8.jpg) + +1 + +1. $N(\mu, \sigma^2)$ , $\mu = 600.0$ , $\sigma = 195.644$ + +$$ +\sigma = 1 9 6. 6 3, \quad , \quad \text {g} (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} \exp +$$ + +$$ +\left(- \frac {x - \mu^ {2}}{2 \sigma^ {2}}\right). +$$ + +2. $s$ （20 ． u + +3. $f = 200 / \text{,}$ （20 $t = 10 / \text{，}$ （20 $d =$ + +$$ +3 0 0 0 / a = 1 5 0 0 / k = 1 0 0 0 / +$$ + +$$ +n = \left[ \frac {u - 1}{s} \right]. +$$ + +2 + +$$ +E (F) \quad , E (N) +$$ + +$$ +\mathrm {m} \operatorname {i n} F (s, u) = \frac {E (F)}{E (N)} +$$ + +$$ +E \left(F\right) = \underset {m} {\overset {} {F}} _ {M} ^ {(m)} P ^ {(m)}, +$$ + +$$ +E \left(N\right) = \underset {m} {N} ^ {(m)} P ^ {(m)}. +$$ + +$,M$ + +$E(F)$ $E(N)$ + +n ； $i = n + 2$ （20 + +）. + +$j$ + +（ $j - 1$ + +） $(1\quad j\quad n + 1)$ + +$$ +(j = n + 1 \quad n). +$$ + +( ) 1 $i$ n: (1) 1 $j$ $i-1$ ; (2) $i$ $j$ $n$ ; (3) $j=n+1$ +( ) $i = n + 1$ ; (1) $1 \quad j \quad n$ ; (2) $j = n + 1$ ; +（） $i = n + 2$ ：(1) $1j\quad n;$ (2) $j = n + 1;$ + +# $E(F)$ $E(N)$ + +（）1 $i\quad n,$ $\begin{array}{l}\left[(i - 1)s,is\right)\qquad s\qquad :\\ \left[(i - 1)s + r,(i - 1)s + r + 1\right](r = 0,1,\dots,s - 1)\end{array}$ +(1) $1 \quad j \quad i - 1$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c} & : & j - 1 & & , & 0. 9 8 ^ {j - 1}, & j \\ 0. 0 2, & , & & & : P = & \frac {(i - 1) s + r + 1}{(i - 1) s + r} g (x) \mathrm {d} x \bullet 0. 9 8 ^ {j - 1} \bullet 0. 0 2 \\ & : j & & , j - 1 & & , 1 & & j (s - 1) \\ & 0. 9 8 & j (s - 1) & & , & & 0. 9 8 j (s - 1). \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} N = j (s - 1) 0. 9 8 + j - 1. \\ \begin{array}{c c c c c} & \vdots & & \\ 9 8 \%. & & , & & \\ 9 8 \%, & & (\quad) & & \\ : \quad j & , & j t; & j s & , \\ & j s - N, & f (j s - N); & , & \\ a, \quad : F = j t + f (j s - N) + a. \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \end{array} +$$ + +(2) $i j n$ + +$$ +P = \begin{array}{l} (i - 1) s + r + 1 \\ (i - 1) s + r \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {i - 1} \cdot 0. 4 ^ {j - i} \cdot 0. 6 +$$ + +$$ +N = 0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r) + 0. 4 (j - i + 1) (s - 1) - r) + j - 1 +$$ + +$$ +F = j t + f (j s - N) + d +$$ + +(3) $j = n + 1$ + +$$ +P = \begin{array}{l} (i - 1) s + r + 1 \\ (i - 1) s + r \end{array} g (x) d x \cdot 0.98 ^ {i - 1} \cdot 0 4 ^ {n - i + i} +$$ + +$$ +N = 0. 9 8 \left(\left(i - 1\right) (s - 1) + r\right) + 0. 4 (u - (i - 1) s - r - (n - i + 1)) + n +$$ + +$$ +F = n t + f (u - N) + d +$$ + +（） $i = n + 1$ ， $[ns,u)$ （20 $u - ns$ + +$$ +[ h, h + 1), (h = n s, n s + 1, \dots , u - 1) +$$ + +(1) $1 \quad j \quad n$ + +$$ +P = \begin{array}{c} h + 1 \\ h \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 0 2 +$$ + +$$ +N = 0. 9 8 j (s - 1) + j - 1 +$$ + +$$ +F = j \cdot t + f \cdot (j \cdot s - N) + a +$$ + +(2) $j = n + 1$ + +$$ +P = \begin{array}{c} h + 1 \\ h \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {n} +$$ + +$$ +N = 0. 9 8 (h - n) + 0. 4 (u - h) + n +$$ + +$$ +F = n ^ {\bullet} t + f ^ {\bullet} (u - N) + d +$$ + +（ ） $i = n + 2$ + +(1) 1 $j$ n + +$$ +P = \begin{array}{c} + \\ u \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {j - 1} 0 0 2 +$$ + +$$ +N = 0. 9 8 j (s - 1) + j - 1 +$$ + +$$ +F = j t + f (j s - N) + a +$$ + +(2) $j = n + 1$ + +$$ +P = \begin{array}{c} + \\ u \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {n} +$$ + +$$ +N = 0. 9 8 (u - n) + n +$$ + +$$ +F = n t + f (u - N) + k +$$ + +： + +$$ +\begin{array}{l} E (N) = \int_ {i = 1} ^ {n} \left\{\int_ {r = 0} ^ {s - 1} \int_ {(i - 1) s + r} ^ {(i - 1) s + r + 1} g (x) d x \cdot \left[ \int_ {j = 1} ^ {i - 1} 0. 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 0 2 \cdot (0. 9 8 j (s - 1) + j - 1) \right. \right. \\ + \underset {j = i} {\overset {n} {0}} 9 8 ^ {i - 1} \cdot 0. 4 ^ {j - i} \cdot 0. 6 \cdot (0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r) \\ + 0. 4 ((j - i + 1) (s - 1) - r) + j - 1) \\ + 0. 9 8 ^ {i - 1} \cdot 0. 4 ^ {n - i + 1} \cdot (0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r) \\ + 0. 4 (u - (r - 1) s - r - (n - i + 1)) + n ] \} \\ + \underset {h = n s} {\overset {u - 1} {h}} g (x) d x \left[ \underset {j = 1} {\overset {n} {0}} 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 0 2 \cdot ((0. 9 8 j (s - 1) + j - 1) \right. \\ \left. + 0. 9 8 ^ {n} \left(0. 9 8 (h - n) + 0. 4 (u - h) + n\right) \right] \\ + \underset {u} {\overset {+} {}} g (x) d x \left[ \begin{array}{l} n \\ j = 1 \end{array} \right. 0 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0 0 2 \cdot (0. 9 8 j (s - 1) + j - 1) \\ \left. + 0. 9 8 ^ {n} \left(0. 9 8 (u - n) + n\right) \right] \\ \end{array} +$$ + +n + +$$ +\begin{array}{l} E (F) = \underset {i = 1} {\overset {n} {\left\{ \begin{array}{l l} & s - 1 \\ & r = 0 \end{array} \right.}} \underset {(i - 1) s + r} {(i - 1) s + r + 1} g (x) d x \cdot \underset {j = 1} {\overset {i - 1} {\left[ \begin{array}{l l} & 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 0 2 \cdot (j t + a \end{array} \right.}} \\ + f (j s - (0. 9 8 j (s - 1) + j - 1))) \\ + \quad_ {j = i} 0. 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 4 ^ {j - 1} \cdot 0. 6 (j t + d + f (j s - (0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r) \\ + 0. 4 \left(\left(j - 1 + 1\right) (s - 1) - r\right) + j - 1)) \\ + 0. 9 8 ^ {i - 1} 0 4 ^ {n - i + 1} (n t + d + f (u - (0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r)) \\ \left. \left. + 0. 4 (u - (s - 1) - r - (n - i + 1)) + n)\right) \right] \rbrace \\ u - 1 \quad h + 1 \quad n \\ + \underset {h = n s} {\mathrm {g}} (x) \mathrm {d} x [ \underset {j = 1} {\mathrm {0}} 9 8 ^ {j - 1} 0 0 2 (j t + a + f (j s - (0. 9 8 j (s - 1) + j - 1)) \\ \left. + 0. 9 8 ^ {n} (n t + d + f (u - (0. 9 8 (h - n) + 0. 4 (u - h) + n)) ] \right. \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} + \quad_ {u} ^ {+} g (x) d x [ \begin{array}{l} n \\ j = 1 \end{array} 0 9 8 ^ {j - 1} 0 0 2 (j t + a + f (j s - (0. 9 8 (j (s - 1) + j - 1)) \\ + 0. 9 8 ^ {n} (n t + k + f (u - (0. 9 8 (u - n) + n))) ] \\ \end{array} +$$ + +3 + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} s & 1 & 1 0 0, u & 1 0 0 & 6 0 0 & , & F (s, u) & , \\ : s = 5 4, u = 3 0 4, & & & 9. 3 7 6 8 1, & u & s & , & : s = 5 1, \\ u = 3 0 6, & & 9. 4 0 0 4 4 \end{array} +$$ + +4 + +$$ +\begin{array}{c c c c c} & , & 1 & : \\ , & [ 0, 2 2 8 0 0 ] & . & & : \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text {m i n} F (s, u) = \frac {E (F)}{E (N)} \\ & , E (F) & E (N) \\ & & , & , & \\ & , & & , & \\ & 9. 5 7 3 5 4 & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ +$$ + +# Mathematical Model of Automatic Managing of Lathe + +YANG Zhen-hua, Q IU Zhong-hua + +(Nanjing University of Posts & Telecommunications, Nanjing 210003) + +Abstract In this paper, we establish the mathematical model of problem A of 1999 Chinese Undergraduate Mathematical Contest in Modeling——automatic managing of lathe. Then we give the solution of this model + +$$ +\begin{array}{l} \text {,} \\ \text {(}, \quad 2 1 0 0 9 6) \\ \text {:} \\ \text {,} \quad \mathrm {C M C M - 9 9 A} \\ \text {,} \quad \mathrm {p} _ {1} (\quad), \quad \mathrm {p} _ {2} (\quad), \mathrm {k}, \mathrm {f}, \mathrm {d} \\ \text {()} \end{array} , +$$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cc72c28f5bc4645a7609647fa174414ccefd71da --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/A\351\242\230/\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\350\275\246\345\272\212\347\256\241\347\220\206\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,202 @@ +# The Management of Automatic Lathe + +YU Jie, JIANG A im in, L IRong-bing + +(Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016) + +Abstract Optimal maintenance policy problem in a system is discussed and analysed in this paper. Due to the random variable concerned, one objective mathematical model of expectation value is developed By using enumerative search method, we obtain optimal policy. The process is checked once every producing 18 parts When the process is checked 20 times, the knife has to be changed According to this policy, the average minimal cost for producing a part is $4.62\text{¥}$ . + +Finally, we point out some factors not to be considered in the model, and analyse the influence of these factors. Moreover, some modification is proposed + +1 （） +2 1. 100 2. 2. + +（ ）； + +3. ； +4. +5. 1 + +# 3 + +$f$ $,f = 200 / \text{；}$ $t$ $,t = 10 / \text{；}$ $d$ $,d = 3000 / \text{；}$ $k$ $,k = 1000 / \text{；}$ $L$ $;$ $n$ （ ）； + $\overline{u}$ （ ）； + $\overline{u}^*$ （ ； + $\overline{u}$ （ ； + $\overline{u}$ （ ； + $\overline{u}^*$ （ ； +l ， ； + $p$ （ ； + $p^{1}$ + +# 4 + +# 5 + +100 $N$ (600, 195.6²). + +# 5.1 1 + +$L$ ： + $\mathrm{I} =$ ； + $\mathrm{II} =$ ； + $\mathrm{III} =$ ； + $\mathrm{IV} =$ + +n ， t/n，： + +$$ +\begin{array}{l} I = t / n \\ \overline {{u}} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\mathrm {I I} = d / \overline {{u}} +$$ + +III, + +$l$ （20 1 $l\cdot f,$ + +$$ +l \cdot f / \overline {{u}}: +$$ + +$$ +\langle +$$ + +$$ +\Pi = l \cdot f / \overline {{u}} +$$ + +IV, + +n + +(1) +(2) +(3) + +(n-1) 0 x x ... x x x + +(n) + +$$ +; 2 ^ {\prime \prime} x ^ {\prime \prime} \quad . +$$ + +$$ +1 ^ {\prime \prime} 0 ^ {\prime \prime} +$$ + +(1) + +(2) + +$$ +\frac {1 + 2 + \dots + n}{n} = \frac {n + 1}{2} +$$ + +$\frac{n + 1}{2} f,$ $\frac{u + 1}{2}\cdot \frac{f}{u},$ + +$$ +\mathrm {I V} = \frac {n + 1}{2} \cdot \frac {f}{u} +$$ + +$$ +L = \frac {t}{n} + \frac {d}{\bar {u}} + \frac {l \cdot f}{\bar {u}} + \frac {n + 1}{2} \cdot \frac {f}{\bar {u}} \tag {1} +$$ + +$$ +n, \quad n: +$$ + +$$ +L = - \frac {t}{n ^ {2}} - \frac {1}{2} \cdot \frac {f}{u} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} L = 0, \quad : \\ n = \sqrt {\frac {2 t \cdot \bar {u}}{f}} \tag {2} \\ \end{array} +$$ + +$$ +n = \sqrt {\frac {2 (l + \bar {u}) t}{f - d / \bar {u}}} \tag {3} +$$ + +$$ +l \quad , \quad l = 1 +$$ + +(1) + +(1) $p_{1} = 0.05;$ +(2) + +$$ +L ^ {*} = \frac {k}{u} + \left[ \frac {t}{n} + \frac {d}{u ^ {*}} + \frac {l \cdot f}{u ^ {*}} + \frac {n + 1}{2} \cdot \frac {f}{u ^ {*}} \right] \tag {4} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \overline {{u}} ^ {*}, \\ \overline {{u ^ {*}}} = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad \\ 5 \% , \\ \begin{array}{c c} \overline {{u}} & : \\ \overline {{u}} & = \overline {{\overline {{u}}}} = \overline {{\overline {{u}}}} = \overline {{\overline {{u}}}} \times \overline {{\overline {{u}}}} = \overline {{u}} \cdot \frac {1}{p} \\ & \overline {{u}}, \overline {{u ^ {*}}, \overline {{u}}} \end{array} \\ \overline {{\mu}} = \frac {1}{\frac {1}{u ^ {*}} + \frac {1}{u}} \\ \end{array} +$$ + +1 : + +$$ +\mathrm {M} \text {i n}: L = \frac {k}{\bar {u}} + \left[ \frac {t}{n} + \frac {d}{\bar {u}} + \frac {l \cdot f}{\bar {u}} + \frac {n + l}{2} \cdot \frac {f}{\bar {u}} \right] \tag {5} +$$ + +$$ +L = 0 \quad : +$$ + +$$ +n = \sqrt {\frac {2 \cdot \bar {u} - \cdot t}{f}} \tag {6} +$$ + +$$ +n = \sqrt {\frac {2 (\bar {u} - + l) t}{f ^ {-} d / \bar {u}}} \tag {7} +$$ + +15( )， + +$$ +\bar {\mu} = 3 6 5 (\quad), +$$ + +： + +$$ +L = 4. 6 5 (\quad). +$$ + +5.2 + +$$ +2 (） +$$ + +5.3 + +$$ +3 +$$ + +
n
m,,
1.2% ,
+ +# The Optimum Model of Lathe Management + +ZHANG Jirwei, HAN Fang-hua, GU Li-long + +(Gansu University of Technology, Lanzou 730050) + +Abstract In the article, the optimum tactics of the regular check to working procedures and the replacement of cutting tools in the course of continuous component processing by automatic lathes has been discussed + +For question one, the optimum model of average management cost used for regular check and adjustment of component has been made out by applying the theory of management cost and method of probability statistics, the best designed interval of check and cutting tools replacement in the working procedure has been obtained + +For question two, based on question one, the objective functions has been established, and the optimum tactics of the best designed interval of check and the replacement of cutting tools has been obtained considering the average loss brought about by unqualified products at the interval of check and the average loss of machine stop for being misregarded as existing breakdown + +The automatic checking and adjusting system the breakdown of working procedures has been designed by using automatic devices, and the algorithm flow chart has been given too. Thus the loss of machine stop for being misregarded as existing breakdown would be avoided, and the benefit of working procedure would be increased + +1 （ ） +2 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/B\351\242\230/_\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200_\351\227\256\351\242\230\350\257\204\350\277\260/_\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200_\351\227\256\351\242\230\350\257\204\350\277\260.md" "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/_\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200_\351\227\256\351\242\230\350\257\204\350\277\260/_\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200_\351\227\256\351\242\230\350\257\204\350\277\260.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c911672943b8322ca34dbfebfa2d60ef1af2acae --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/_\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200_\351\227\256\351\242\230\350\257\204\350\277\260/_\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200_\351\227\256\351\242\230\350\257\204\350\277\260.md" @@ -0,0 +1,540 @@ +ing method, graph theory method, sight method and operation-in-graph method. For the given numerical examples, the obtained solution to problem (1) is 4 and the available old drillings are $P_{2}$ , $P_{4}, P_{5}, P_{10}$ ; the solution to problem (2) is 6 and the available old drillings are $P_{1}, P_{6}, P_{7}, P_{8}, P_{9}$ , $P_{11}$ . Finally, for problem (3), this paper gives a sufficient and necessary condition for n old drillings being available + +1 + +80 + +66 + +99 + +1999 + +450052) + +“ + +2 + +(1) + +$$ +[ x ] = +$$ + +$$ +x +$$ + +$$ +(x +$$ + +$$ +), +$$ + +$$ +r (x) = [ x + \frac {1}{2} ] (x +$$ + +$$ +). +$$ + +Ceiling) + +NT, + +ROUND() + +(floor). + +[x] + +$$ +\left\{x \right\} = x - [ x ], \quad f (x) = \left| x - r (x) \right| +$$ + +(2) + +$$ +\begin{array}{l} P \left(a, b\right) \quad X \left(x, y\right), \\ d (P, X) = \max \left\{\left| x - a \right|, \left| y - b \right| \right\}, \\ \begin{array}{c c} \cdot & , \quad l _ {2} \\ \rho (P, X) = \sqrt {(x - a) ^ {2} + (y - b) ^ {2}}, \end{array} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\text {＂ ＂} ( \begin{array}{c c c} & & \\ & & \end{array} ), \quad n \quad P _ {i} +$$ + +$$ +Q = [ 0, 1; 0, 1 ] = \{(x, y) | 0 x 1, 0 y 1 \} +$$ + +$\{x\}$ + +Q ， , , Q, 1 + +$$ +\overline {{P _ {i} (a _ {i} , b _ {i})}} \quad \overline {{P _ {j} (a _ {j} , b _ {j})}} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} d \left(\bar {P} _ {i}, \bar {P} _ {j}\right) = \max \left\{\mathrm {m} \ln \left\{\left| \bar {a _ {i}} - \bar {a _ {j}} \right|, 1 - \left| \bar {a _ {i}} - \bar {a _ {j}} \right| \right\}, \mathrm {m} \ln \left\{\left| \bar {b _ {i}} - \bar {b _ {j}} \right|, 1 - \left| \bar {b _ {i}} - \bar {b _ {j}} \right| \right\} \right. \\ = \max \left\{f \left(\left| \overline {{a _ {i}}} - \overline {{a _ {j}}} \right|\right), f \left(\left| \overline {{b _ {i}}} - \overline {{b _ {j}}} \right|\right) \right\}, \\ \end{array} +$$ + +$$ +\overline {{a _ {i}}} = \left\{a _ {i} \right\}, \overline {{b _ {i}}} = \left\{b _ {i} \right\}. +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \cdot , \quad \frac {Q}{(\overline {{P}} _ {i} , \overline {{P}} _ {j})} \\ \left| \begin{array}{l l} \overline {{a _ {i}}} - & \overline {{a _ {j}}} \\ \overline {{b _ {i}}} - & \overline {{b _ {j}}} \end{array} \right| \quad 2 \epsilon \quad \left| \begin{array}{l l} \overline {{a _ {i}}} - & \overline {{a _ {j}}} \\ \overline {{b _ {i}}} - & \overline {{b _ {j}}} \end{array} \right| \quad 1 - 2 \epsilon , \\ 2 \epsilon \quad \left| \begin{array}{l l} \overline {{b _ {i}}} - & \overline {{b _ {j}}} \end{array} \right| \quad 1 - 2 \epsilon \end{array} \right. +$$ + +(3) + +A A + +$\left( {c\text{)}G}\right)$ ( ) + +a) , (b) G + +), (d) + +（ + +(a) (d) ，(c) 1 1 1 1 1 1 +(i) +(ii) +(i), + +(ii), (5). + +3 + +$$ +\begin{array}{c c} & \text {,} \\ a _ {i}, b _ {i} & 0 (i = 1, 2, \dots , n), \\ & O \end{array} \quad \begin{array}{c c} & P _ {i} \\ & (s, t), \end{array} \quad \begin{array}{c c} & O x y \\ & 0 \quad s < 1, 0 \quad t < 1. \end{array} \quad \begin{array}{c c} & \cdot \\ & N \\ & N \end{array} , +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} & & & & Q & & . & N \\ (s + p, t + q), & p, q & Z (\quad Z & &). & 1) & , & \epsilon - \\ U _ {\epsilon} (P _ {i}) = & \{(x, y) | a _ {i} - \epsilon & x & a _ {i} + \epsilon , b _ {i} - \epsilon & y & b _ {i} + \epsilon \} \end{array} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} a _ {i} - \epsilon s + x _ {i} a _ {i} + \epsilon \\ b _ {i} - \epsilon t + y _ {i} b _ {i} + \epsilon \\ 0 s, t < 1 \\ x _ {i}, y _ {i} Z \end{array} \right. \tag {3.1} +$$ + +$$ +, P _ {i} \quad . \quad (s, t), (3. 1) +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l l l} a _ {i} - & \epsilon - & s & [ a _ {i} + & \epsilon - & s ] \\ b _ {i} - & \epsilon - & t & [ b _ {i} + & \epsilon - & t ]. \end{array} \right. \tag {3.2} +$$ + +$$ +P _ {i} \quad u _ {i} = 1, \quad u _ {i} = 0, \quad 1) +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max _ {i = 1} ^ {n} u _ {i} \\ \text {s t} (a _ {i} - \epsilon - s - [ a _ {i} + \epsilon - s ]) u _ {i} \quad 0, i = 1, \dots , n \\ \left(b _ {i} - \epsilon - t - [ b _ {i} + \epsilon - t ]\right) u _ {i} \quad 0, i = 1, \dots , n \\ 0 \quad s, t < 1 \\ u _ {i} \quad \{0, 1 \}, i = 1, \dots , n. \end{array} \right. +$$ + +2) + +$$ +\begin{array}{c c c c} \Phi \left(0 \quad \varphi_ {2} \frac {\pi}{2}\right) & , & P _ {i} \\ . & N & , \end{array} \qquad \qquad (a _ {i}, b _ {i}). \qquad \qquad a _ {i} \quad b _ {i} \quad \varphi_ {(s, t)}. +$$ + +E + +$$ +S _ {\epsilon} \left(P _ {i}\right) = \{(x, y) \mid (x - a _ {i}) ^ {2} + (y - b _ {i}) ^ {2} \quad \epsilon^ {2} \}. +$$ + +$$ +S \epsilon (P _ {i}) \subset U \epsilon (P _ {i}). \quad \tag {3.2} +$$ + +$$ +(s + \left[ a _ {i} + \epsilon - s \right], t + \left[ b _ {i} + \epsilon - t \right]). +$$ + +$$ +, P _ {i} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} a _ {i} - \epsilon - s [ a _ {i} + \epsilon - s ] \\ b _ {i} - \epsilon - t [ b _ {i} + \epsilon - t ] \\ (s + [ a _ {i} + \epsilon - s ]) ^ {2} + (t + [ b _ {i} + \epsilon - t ]) ^ {2} \quad \epsilon^ {2} \end{array} \right. \tag {3.3} +$$ + +2) + +$$ +\max _ {i = 1} ^ {n} u _ {i} (s, t) +$$ + +$$ +u _ {i} (s, t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & (3. 3) \\ 0, & \end{array} \right. +$$ + +$$ +0 \quad s, t < 1. +$$ + +1), 2) + +$$ +(s, t, \mathcal {Q}), +$$ + +3), + +3) + +3) + +n + +n + +4 + +$$ +( \begin{array}{c} 9 9 \\ \hline \end{array} ) +$$ + +$$ +\left(a _ {i}, b _ {i}\right). +$$ + +, n + +$$ +i = 1, 2, \dots , n +$$ + +$$ +(3. 1) +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} a _ {i} - \epsilon s + x _ {i} a _ {i} + \epsilon (i = 1, \dots , n) \\ x _ {i} Z (i = 1, \dots , n), 0 s < 1, \\ b _ {i} - \epsilon t + y _ {i} b _ {i} + \epsilon (i = 1, \dots , n) \\ y _ {i} Z (i = 1, \dots , n), 0 t < 1. \end{array} \right. \tag {4.2} +$$ + +(4.1). + +$$ +a _ {i} - \epsilon - 1 < a _ {i} - \epsilon - s x _ {i} a _ {i} + \epsilon - s a _ {i} + \epsilon , +$$ + +$$ +\left[ \begin{array}{l l} a _ {i} - & \epsilon \end{array} \right] \quad x _ {i} \quad \left[ \begin{array}{l l} a _ {i} + & \epsilon \end{array} \right]. +$$ + +$$ +a _ {i} - \in 1 < x _ {i} \quad x _ {i} \quad . \quad \alpha = [ a _ {i} - \epsilon ], \beta_ {i} = [ a _ {i} + \epsilon ]. +$$ + +$$ +\epsilon < \frac {1}{4}. +$$ + +$$ +0 \quad \beta_ {i -} \quad \alpha_ {i} \quad 1. +$$ + +$$ +(4 1) +$$ + +$x_{i}$ + +$\alpha_{i}$ $\beta_{i}$ + +(4.1) + +(i) $\max_{1} (a_i - \alpha_i) = \min_{1} (a_i + \alpha_i)$ , +(ii) $\max_{1} a_i - \epsilon \beta_i$ $\min_{1} a_i + \epsilon \beta_i$ . + +(i) $\max (a_{i} - \epsilon - \alpha_{i})$ $s\min (a_i + \epsilon - \alpha_i), x_i = \alpha_i (i = 1, \dots, n)$ ; + +(ii) $\max (a_{i} - \epsilon -\beta_{i})$ $s\quad \mathrm{min}(a_i + \epsilon -\beta_i),x_i = \beta_i(i = 1,\dots ,n),$ + +(4.1) + +(4.1) + +$$ +\mathcal {X} 1, \dots , \mathcal {X} n \quad S +$$ + +$$ +s \quad \frac {1}{2}, +$$ + +$$ +x _ {i} = \alpha (i = 1, \dots , n). +$$ + +$$ +x _ {i} = \beta_ {i} = \alpha_ {i} + 1, +$$ + +$$ +\frac {1}{2} + a _ {i} - \epsilon < \frac {1}{2} + [ a _ {i} - \epsilon ] + 1 s + x _ {i} a _ {i} + \epsilon , +$$ + +$$ +\epsilon \frac {1}{4}, +$$ + +$$ +a _ {i} - \in - \alpha_ {i} s a _ {i} + \in - \alpha_ {i} (i = 1, \dots , n) +$$ + +(i) + +$$ +x _ {i} = \beta_ {i}, +$$ + +(ii) + +(4.1) (4.2) + +1 + +, n + +$$ +\begin{array}{l} \max _ {1} (a _ {i} - \epsilon - [ a _ {i} - \epsilon ]) \quad \min _ {1} (a _ {i} + \epsilon - [ a _ {i} - \epsilon ]) \\ \max _ {1} \left(a _ {i} - \epsilon - [ a _ {i} + \epsilon ]\right) \quad \min _ {1} \left(a _ {i} + \epsilon - [ a _ {i} + \epsilon ]\right), \\ \end{array} +$$ + +$$ +\max _ {1} \max _ {i} (b _ {i} - \epsilon - [ b _ {i} - \epsilon ]) \quad \max _ {1} \min _ {n} (b _ {i} + \epsilon - [ b _ {i} - \epsilon ]) +$$ + +$$ +\max _ {1 i n} \left(b _ {i} - \epsilon - [ b _ {i} + \epsilon ]\right) \quad \min _ {1 i n} \left(b _ {i} + \epsilon - [ b _ {i} + \epsilon ]\right). +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {:} \quad O (n). \quad \max \quad \min \end{array} +$$ + +$$ +n - 1. +$$ + +$\varphi$ + +5 + +$$ +P _ {i} \left(a _ {i}, b _ {i}\right) \quad \overline {{P _ {i}}} \left(\overline {{a _ {i}}}, \overline {{b _ {i}}}\right), \quad \overline {{a _ {i}}} = \left\{a _ {i} \right\} = a _ {i -} [ a _ {i} ], \overline {{b _ {i}}} = \left\{b _ {i} \right\} = b _ {i -} [ b _ {i} ], i = 1, \dots , n. +$$ + +$$ +\bar {P} _ {1}, \bar {P} _ {2}, \dots , \bar {P} _ {n} \quad Q = [ 0, 1; 0, 1 ] \quad . \quad , \tag {s,t} +$$ + +$$ +Q \quad (s, t). \quad , \quad P _ {i} +$$ + +$$ +\overline {{P}} _ {i} \quad (s, t) \quad . \quad , P _ {1}, P _ {2}, \dots , P _ {n} \quad \overline {{P}} _ {1}, \overline {{P}} _ {2}, \dots , \overline {{P}} _ {n} +$$ + +2 + +$$ +i, j (1 \quad i, j \quad n) +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \left| \overline {{a _ {i}}} - \overline {{a _ {j}}} \right| \quad 2 \epsilon \quad \left| \overline {{a _ {i}}} - \overline {{a _ {j}}} \right| \quad 1 - 2 \epsilon \\ \left| \overline {{b _ {i}}} - \overline {{b _ {j}}} \right| \quad 2 \epsilon \quad \left| \overline {{b _ {i}}} - \overline {{b _ {j}}} \right| \quad 1 - 2 \epsilon \end{array} \right. +$$ + +$$ +\mathrm {S} 2 \quad Q, \quad d \left(\bar {P} _ {i}, \bar {P} _ {j}\right) \quad 2 \epsilon \quad n +$$ + +$$ +X (s, t) \quad Q \quad d (\bar {P} _ {i}, X) \quad \epsilon (i = 1, \dots , n). \quad i \quad j, d (\bar {P} _ {i}, \bar {P} _ {j}) +$$ + +$$ +d \left(\bar {P} _ {i}, X\right) + d \left(\bar {P} _ {j}, X\right) 2 \epsilon , \quad i \quad j, d \left(\bar {P} _ {i}, \bar {P} _ {j}\right) 2 \epsilon , +$$ + +$$ +\overline {{P}} _ {i _ {0}}, \overline {{P}} _ {j _ {0}}, +$$ + +$$ +\ldots , n) \quad K \quad 2 \epsilon \quad K \quad X, \quad d \left(\bar {P} _ {i}, X\right) \quad \epsilon (i = 1, \dots , n), \quad n +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c} & , & 2 & & 1 & & . \\ & & & & & & 2 \end{array} +$$ + +$$ +O \left(n ^ {2}\right), \quad n (n - 1) \quad . \quad 2 \quad . +$$ + +： + +$$ +\max \left\{f \left(\left| a _ {i} - a _ {j} \right|\right), f \left(\left| b _ {i} - b _ {j} \right|\right) \right\} \quad 2 \epsilon , +$$ + +$$ +f (x) = \left| x - r (x) \right|, r (x) = [ x + \frac {1}{2} ] (\quad \S 2). +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c} , & & & & , & & & & ( & \varphi \vartheta & & . & & & & , \\ & & Q & . & & & Q & & , Q & & & & & & ( \\ Q & & & ). & & & & & , & & & Q & & & , \\ & & & & & ( & & . & . & , \\ & & & & & & . & “ & ” & & . & & Q = [ 0, 1; \end{array} +$$ + +$$ +\left. \begin{array}{l} 0, 1 ] \end{array} \right.: +$$ + +$$ +A = [ 0, \frac {1}{4}; 0, 1 ], B = [ \frac {1}{4}, \frac {3}{4}; 0, 1 ], C = [ \frac {3}{4}, 1; 0, 1 ]. +$$ + +$$ +A, C \quad , \quad B \quad (\quad B \quad A \quad C) > \frac {1}{2} +$$ + +$$ +> 2 \epsilon , +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} 1 ] & & , & & Q \cdot & & Q \\ & & & & & & & Q \end{array} , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +$$ + +$$ +n \quad Q \quad . \quad , n +$$ + +$$ +\epsilon \quad n \quad , \quad N \quad (s, t). +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} 3 & n & \epsilon & , \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c} \text {(i)} \\ 2 \epsilon \end{array} +$$ + +$$ +\mathrm {(i i)} \quad \epsilon +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c} & \vdots & n \\ \hline \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ \hline \end{array} +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +\left( \begin{array}{c} (i) \end{array} \right), +$$ + +$$ +\left(\begin{array}{c c}&(\mathrm {i i})\\&\end{array}\right). \quad \left( \right.\begin{array}{c c}&(\mathrm {i})\\&(\mathrm {i i})\end{array}, \quad r \in \quad n +$$ + +$$ +C, \quad r ^ {*}. \quad r ^ {*} r. \quad , C +$$ + +$$ +P _ {t} (t \quad 3). \quad C \quad t \quad A. \quad : +$$ + +$$ +\text {(a)} A \quad , \quad A \quad r ^ {*} \quad n \quad , \quad C +$$ + +$$ +\text {(b)} A \quad , \quad C \quad A \quad , \quad r ^ {*} \quad r. +$$ + +$$ +\left. \quad \text {(c)} A, P _ {1}, P _ {2}, \dots , P _ {t} \right., C +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c} & r ^ {*} & \kappa \end{array} +$$ + +$$ +r ^ {*} = r \quad \epsilon \quad . +$$ + +$$ +, n +$$ + +$$ +3 \quad , \quad n \quad (\quad), +$$ + +$O\left(n^{3}\right)$ + +$\varphi$ + +# 6 + +(1) 3), + +（ ） + +(2) 1 + +0.01 + +$\varphi$ (0 $\varphi < \frac{\pi}{2}$ + +（ 2 + +2), + +$\varphi$ + +(3) 1 + +NP一 + +一 + +(4) 3 +? +(5) $l_{1}$ (rectilinear). +(6) $N$ + +Location) + +$(s,t)$ ， + +# Commentary on the Layout Problem of Exploratory Wels + +LN Yirxun + +(Department of Mathematics, Zhengzhou University, Zhengzhou 450052) + +Abstract This paper presents a review on problem $B$ of the CUMCM 99: the layout problem of exploratory wells, in which the background, models, different approaches and further studies are summarized \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200.md" "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2c6e3a2956720c79e54e399180f279ec91a9fb49 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200.md" @@ -0,0 +1,194 @@ +n2 + +[1] , 1989. +[2] MATLAB , 1995. 11. +[3] ，. 1997,8 + +# Location Arrangement Model of Drilling Well + +CHEN Gang, GUO Cheng-liang, WU Ting-bin + +(Dalian University of Technology, Dalian 116024) + +Abstract The key idea of this paper is to determine the invariants with respect to coordinate transformations. For the first problem, the authors find that all the wells can be moved into a single grid, and the distance from each well to the nearest crunode is a constant, therefor the question is greatly simplified. For the second question, since the Euclidean distance between two wells is constant under coordinates transformations, a series of necessary conditions are obtained to conclude whether the all given wells can be used. Furthermore, a optimization model is established to get a necessary and sufficient condition. The arithmetic of the second questino fits the third question as well. We can use the same method to treat the third question as in the second one + +1 （ ） + +2 + +$$ +x o y \quad , \quad S; +$$ + +$$ +x _ {1} o _ {1} y _ {1}, \quad S _ {1}; +$$ + +$$ +x 2 o 2 y 2 \quad , +$$ + +$$ +, \quad S _ {2}; +$$ + +$$ +D _ {i j} \quad P _ {i} ^ {*} \quad P _ {j} ^ {*} \quad (i \quad j; i, j = 1, 2, \dots , n). +$$ + +3 + +$$ +z _ {\max } = \quad Z _ {i}, Z _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & i \\ 0, & i \end{array} \right. \quad i = 1, 2, \dots , n +$$ + +$$ +, \quad w = z _ {\max } +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} Z _ {i}, & & & & ^ {[ 1 ]} f & . & & & D & , D & \epsilon \\ , & & 0 & & ^ {[ 1 ]} \epsilon & & P _ {i} & & & & & \epsilon \end{array} +$$ + +$$ +, \quad P _ {i} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} , & p - & \cdot & \cdot & , & \epsilon - & & 2 \epsilon \\ ; & \cdot_ {2}, & \epsilon - & \epsilon & . \end{array} +$$ + +4 + +4.1 + +$$ +a, \quad m, n, \quad : (a + m) m o d 1 = (a + n) m o d 1 (\quad). +$$ + +1 + +$S_{1}$ + +$$ +P _ {i} \left(x _ {i}, y _ {i}\right), \quad C = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & x < 1 \\ 0 & y < 1 \end{array} \right. \quad P _ {i} ^ {*} \left(x _ {i} ^ {*}, y _ {i} ^ {*}\right) +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {i} ^ {*} = x _ {i} m o d 1 \\ y _ {i} ^ {*} = y _ {i} m o d 1 \end{array} \right. +$$ + +$$ +P _ {i} (\quad) \quad C, +$$ + +$$ +P _ {i} ^ {*} (\quad), \quad C +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c} P _ {i} & & P _ {i} ^ {*} \\ & , & f \left(P _ {i} ^ {*}\right) \end{array} , \quad f \left(P _ {i}\right). +$$ + +$$ +2 \epsilon , \quad P _ {i} ^ {*} \quad P _ {i} \quad \epsilon - +$$ + +$$ +P ^ {*} \quad \in - \quad , \quad P _ {i} ^ {*} +$$ + +$$ +C \quad , \quad \epsilon - +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} S & S \end{array} +$$ + +![](images/4b334319b51a37d48592776a127b373e0c3432a960da04db830d79f650a86b2a.jpg) + +![](images/cc57ea50c58f11d6df2e0444eab8e7137d33e60d241f156fef5093c9bc4a027d.jpg) +1 + +![](images/2ebbe7d7a5535566c4cf4ca9476ee85f3e0d937c6db305da09e798d24a1504a8.jpg) +2 + +2, + +$A,B,C$ + +$$ +A ^ {\star}, A ^ {\star}, C ^ {\star}. +$$ + +$$ +1 + \epsilon +$$ + +04, + +05, + +2,4,5, + +10 + +4.2 + +$$ +S S _ {1} S _ {2} +$$ + +![](images/18917a5a66933db2dd1b5e70ee8804ff2fe96c8b309b9a857e63800350e5cf9d.jpg) +$S_{1}$ +3 + +![](images/af61965ce84bfb0ab2ecb1a67946fb6a3b2c9d0f4783bc1fa454d9c23610f7ce.jpg) +$S_{2}$ +4, +4 + +![](images/1db355006780c561bb57a977950da4b17f0088c46a6f8d350b2714b5afb7a2fc.jpg) + +9, 11 +4.3 + +![](images/d9ada49d7550bc0e824e66fbc47c204bee901cf9fd68595741930ec69df314ea.jpg) + +![](images/fa3b95087b21f922cc6e67d4088e5c5953bc7008bf0216d8b243e3f939d17dda.jpg) + +$\therefore m - 1 \neq 0$ ; +： + +$$ +R > \epsilon , \quad W < n. +$$ + +![](images/89c0905e8e518dbba0dd81e6c31725b02768bfbb9a510e839fc14da585b3d0b2.jpg) +5 + +$$ +\begin{array}{l} n \quad m (m \quad n) \quad , \quad P Q \quad S, T. \quad P Q \quad S T \\ O \quad , \quad : \\ 1. \quad O, R = | O P | = | O Q |; \\ \end{array} +$$ + +![](images/7ca6090300d7ffe9218c1cbea34c8c7e601a12118c02180493aa8818d9843ec8.jpg) + +# Well-Drilling Layout + +XU Sheng-yang, CHEN Si-duo, JN Hao + +(Wuhan Automatic Polytechnic University, Wuhan 430070) + +Abstract By transforming the availability of the original wells into the 0-1 programming + +problem, the objective function is built We present them mapping principle, to map the locations of the original wells into a unique unit block of the mesh, so as to simplify the solution of the model U sing them mapping algorithm and the ergodic algorithm, we solve the problem under the direction constraint Then we generalize the algorithms to the solution without the direction constraint We studied the sufficient conditions and give some criteria of the availability on three particular conditions. The method of bisection on perpendicular at midpoint is presented + +![](images/08b9be46610e778e1b64245e5d6ecf01a357fd166fae51553ce36db523e469a0.jpg) + +1 （ ） +2 + +![](images/3269813d9b55f4936a61554b2404e82d28c7b73ad19627ef9b306029331e5247.jpg) + +$\begin{array}{l}\vdots \\ i\qquad (a,b),(a + 1,b + 1)\\ i,y = i_y - [i_y] + b,\qquad [x]\quad x \end{array}$ $i,i_{x} = i_{x} - [i_{x}] + a;$ ： $(\texttt{-1},\texttt{-1}),(\texttt{0,0});(\texttt{-1,0}),(\texttt{0,1});(\texttt{0,-1}),(\texttt{1,0});(\texttt{0,0}),(\texttt{1,1})$ $-2\epsilon$ （-0.5，-0.5）， \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\346\250\241\345\236\213/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\346\250\241\345\236\213/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..997782acc56949fe81c7d7269ba85cca2273b2cf --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\346\250\241\345\236\213/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,1134 @@ +![](images/751e3e20518e6bafe7c1b4bd00ca1cabb975ad56cd721493d343a85f53c3a30e.jpg) + +1 （） + +2 + +(1) +(2) +(3) +(4) + +3 + +[X] X + +$\epsilon$ + +$P_{i}$ （20 $\mathrm{i}\qquad (a_i,b_i)$ + +P i (m,n) + +$X_{i}$ $P_{i}$ + +Q 2ε + +W (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) + +$x,y$ + +M-N A A→ A A= m i+ nj,m,n Z,i,j $m,n$ A A→ M-N + +M-N P $P_{i}P_{j}$ d 2e m,n d M-N . Z,m,n +4 +4.1 + +， P， ，Pi ，P W 1-1 n 0,1） (1,1) 2E-2E-1 Q 4.2 Q P2 P2 X 0(0,0)(E,0) (1,0)(1+E,0) 1-1 + +1. + +W . $(x,y)$ ， $(x,y)$ ： $\left\{ \begin{array}{ll}x = x - [x]\\ y = y - [y] \end{array} \right.$ 2. $1 - 1$ P2, P2 P0, + +3. + +Q + +$$ +[ 1, 1 + \epsilon ] +$$ + +W + +$$ +X, Y +$$ + +$$ +A _ {i} = \{(x, y) | x [ a _ {i}, a _ {i} + 2 \epsilon ], (x, y) \quad \{(a _ {1}, b _ {1}), (a _ {2}, b _ {2}), \dots , (a _ {n}, b _ {n}) \} \} \quad (i = 1, 2, \dots , n) +$$ + +$$ +B _ {i} = \{(x, y) | y [ b _ {i}, b _ {i} + 2 \epsilon ], (x, y) \quad \{(a _ {1}, b _ {1}), (a _ {2}, b _ {2}), \dots , (a _ {n}, b) \} \} \quad (i = 1, 2, \dots , n) +$$ + +$$ +C _ {i j} = A _ {i} \quad B _ {j} (i = 1, 2, \dots , n; j = 1, 2, \dots , n) +$$ + +$$ +C _ {i j} +$$ + +$$ +\left(a _ {i}, b _ {i}\right) +$$ + +4. + +$$ +C _ {i j} , +$$ + +N + +4.3 + +4.4 + +2-1 + +$$ +m, n \quad Z \quad \left| S _ {P _ {i} P _ {j}} - \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \right| \quad 2 \epsilon \quad \left(\quad S _ {P _ {j}} \quad P _ {i}, P _ {j} \quad .\right) +$$ + +$$ +P _ {i}, P _ {j} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{c c c} X _ {i}, X _ {j} & S _ {P _ {i} X _ {i}} & \epsilon , S _ {P _ {j} X _ {j}} \\ m, n & S _ {X _ {i} X _ {j}} = \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \end{array} \\ S _ {P _ {i} P _ {j}} \quad S _ {X _ {i} X _ {j}} + S _ {P _ {i} X _ {i}} + S _ {P _ {j} X _ {j}} \\ S _ {P _ {i} P _ {j}} + S _ {P _ {i} X _ {i}} + S _ {P _ {j} X _ {j}} \quad S _ {X _ {i} X _ {j}} \\ \left| S _ {P _ {i} P _ {j}} - S _ {X _ {i} X _ {j}} \right| \quad \left| S _ {P _ {i} X _ {i}} + S _ {P _ {j} X _ {j}} \right| \quad 2 \epsilon \\ \left| S _ {P _ {i} P _ {j}} - \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \right| 2 \epsilon \tag {1} \\ \end{array} +$$ + +![](images/efefada8888c321c1d47040476fa65426e95b9a9d3de669f67e4b52da4eced1b.jpg) +2-1 + +$$ +P _ {1} P _ {2} \quad X _ {1}, X _ {2} (\quad X _ {1} \quad P _ {1} \quad , X _ {2} \quad P _ {2}) +$$ + +$$ +\left| X _ {1} X _ {2} \right| = \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \quad P _ {1}, P _ {2} \quad X _ {1} X _ {2} +$$ + +$$ +\left| P _ {1} X _ {1} \right| = \left| P _ {2} X _ {2} \right| = \frac {\left| \left| P _ {1} P _ {2} \right| - \left| X _ {1} X _ {2} \right| \right|}{2} = \frac {\left| \left| P _ {1} P _ {2} \right| - \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \right|}{2} \epsilon +$$ + +$$ +\left| X _ {1} X _ {2} \right| = \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} m, n Z +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2} +$$ + +$$ +2 - 1 \quad n \quad M - N +$$ + +$$ +\xrightarrow {X _ {2} X _ {3}} \xrightarrow {X _ {3} X _ {1}} \begin{array}{l l} 2 - 2 & X _ {1}, X _ {2}, X _ {3} \\ \mathrm {M} - \mathrm {N} & (m _ {1}, n _ {1}), (m _ {2}, n _ {2}), (m _ {3}, n _ {3}) \end{array} : \quad X _ {1} \stackrel {{\prime}} {{X}} _ {2}, +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} ^ {3} \\ m _ {i} = 0 \\ 3 \\ n _ {i} = 0 \\ \overrightarrow {X _ {1} X _ {2}} + \overrightarrow {X _ {2} X _ {3}} + \overrightarrow {X _ {3} X _ {1}} = 0, \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +(2) + +$$ +\begin{array}{l} \overrightarrow {X _ {1} X _ {2}}, \overrightarrow {X _ {2} X _ {3}}, \overrightarrow {X _ {3} X _ {1}} \quad : \\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {X _ {1} X _ {2}} = m _ {1} i _ {1} + n _ {1} j _ {1} \\ \overrightarrow {X _ {2} X _ {3}} = m _ {2} i _ {2} + n _ {2} j _ {2} \\ \overrightarrow {X _ {3} X _ {1}} = m _ {3} i _ {3} + n _ {3} j _ {3} \end{array} \right. \\ \begin{array}{l} \left( \begin{array}{c c c c c} & 2 - 2) \\ 2 & Z, \end{array} \right), & x, y \\ & Y _ {2}, Y _ {3} & \overrightarrow {Y _ {1} Y _ {2}} = m _ {1} \overrightarrow {i} + n _ {1} \overrightarrow {j}, \overrightarrow {Y _ {2} Y _ {3}} = m _ {2} \overrightarrow {i} + n _ {2} \overrightarrow {j} \\ = - & (\overrightarrow {Y _ {1} Y _ {2}} + \overrightarrow {Y _ {2} Y _ {3}}) = - (m _ {1} + m _ {2}) \overrightarrow {i} - (n _ {1} + n _ {2}) \overrightarrow {j} \end{array} \\ \end{array} +$$ + +$$ +m _ {1} + m _ {2} + m _ {3} = 0, n _ {1} + n _ {2} + n _ {3} = 0 +$$ + +$$ +\overrightarrow {Y _ {3} Y _ {1}} = m _ {3} i _ {3} + n _ {3} j _ {3} +$$ + +$$ +Y _ {1} Y _ {2} Y _ {3} \quad X _ {1} X _ {2} X _ {3} +$$ + +$$ +Y _ {1} Y _ {2} Y _ {3} \quad Y _ {1} Y _ {2} Y _ {3} +$$ + +$$ +Y _ {1}, Y _ {2}, Y _ {3} +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, X _ {3} +$$ + +$$ +(m _ {i}, n _ {i}) +$$ + +$$ +2 - 2 +$$ + +$$ +2 - 2 +$$ + +$$ +P _ {1} P _ {2} P _ {3} +$$ + +![](images/ff8659012be429bc332c1449f834fe4364ae1da05faee8d3cc1158d406e8ea52.jpg) +2- 2 + +$$ +2 - 3, \quad P _ {1} P _ {2}, P _ {1} P _ {3}, P _ {2} P _ {3} +$$ + +$$ +(m _ {1}, n _ {1}), (m _ {2}, n _ {2}), (m _ {3}, n _ {3}) , +$$ + +$$ +\sqrt {m _ {1} ^ {2} + n _ {1} ^ {2}} +$$ + +AB. + +$$ +\left| P \backslash A \right| < \epsilon \quad \left| P _ {2} B \right| < \epsilon . +$$ + +$$ +A B C +$$ + +$$ +(m _ {1}, n _ {1}), (m _ {2}, n _ {2}), (m _ {3}, n _ {3}) +$$ + +$$ +A, B, C +$$ + +$$ +A, B, C +$$ + +$$ +A B C +$$ + +$$ +P _ {1} P _ {2} P _ {3} +$$ + +$$ +P _ {1} P _ {2} P _ {3} +$$ + +$$ +A B C +$$ + +$$ +), +$$ + +$$ +C +$$ + +$$ +P _ {3} +$$ + +$$ +). +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c} 2 - & 3 & n \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c} 2 - & 3 & n \end{array} +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, \dots , X _ {n} +$$ + +$$ +\mathrm {M} - \mathrm {N} +$$ + +$$ +\vdots +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} m _ {1 2} + m _ {2 i} + m _ {i 1} = 0 \\ n _ {1 2} + n _ {2 i} + n _ {i 1} = 0 \end{array} \quad (i = 3, 4, \dots , n) \right. \tag {3} +$$ + +$$ +\left( \begin{array}{c} m _ {i j}, n _ {i j} \end{array} \right. +$$ + +$$ +( +$$ + +$$ +\mathrm {M - N} +$$ + +$$ +\mathrm {M} - \mathrm {N} +$$ + +$$ +i = j, m _ {i j} = 0, n _ {i j} = 0. +$$ + +$$ +X _ {1} +$$ + +， + +$$ +X _ {2} +$$ + +$$ +(m _ {1 2}, +$$ + +$n_{12})$ + +$$ +\mathrm {M - N} +$$ + +， + +）. + +$$ +(m _ {1 i}, n _ {1 i}), +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2} +$$ + +$$ +\mathrm {M - N} +$$ + +$$ +(3) +$$ + +$$ +X _ {1} X _ {2} +$$ + +. + +(3) + +$$ +X _ {1} X _ {2} +$$ + +$$ +X _ {i}. +$$ + +n + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, \dots , X _ {n} +$$ + +$$ +(3) +$$ + +X1 + +$$ +X _ {2}, X _ {3}, X _ {4} +$$ + +X1 + +X1 + +$$ +\left| X _ {1} X _ {i} \right| = \left| X _ {1} X _ {i} \right|, +$$ + +$$ +X _ {2}, X _ {3}, X _ {4} +$$ + +$$ +X _ {1} X _ {1} +$$ + +$$ +X _ {2}, X _ {3}, X _ {4} +$$ + +$$ +2 - 4 +$$ + +n + +$$ +X _ {i} (i = 1, 2, \dots , n) +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, X _ {3} +$$ + +， + +： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} m _ {1 2} + m _ {2 i} + m _ {i 1} = 0 \\ n _ {1 2} + n _ {2 i} + n _ {i 1} = 0 \\ m _ {2 3} + m _ {3 i} + m _ {i 2} = 0 \\ n _ {2 3} + n _ {3 i} + n _ {i 2} = 0 \end{array} \quad (i = 3, 4, \dots , n) \right. \tag {4} +$$ + +（ $m_{ij},n_{ij}$ 2-3 mij,nij） + +1. $n = 3$ 2-2, +2. $n = k - 1$ +3. $n = k$ 1 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} m _ {1 2} + m _ {2 k} + m _ {k 1} = 0 \\ n _ {1 2} + n _ {2 k} + n _ {k 1} = 0 \\ m _ {2 3} + m _ {3 k} + m _ {k 2} = 0 \\ n _ {2 3} + n _ {3 k} + n _ {k 2} = 0 \end{array} \right. \tag {5} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {G} _ {2 X _ {k}}, X _ {3} X _ {k}, \quad (5) \end{array} , \quad \begin{array}{l} \text {G} _ {2 X _ {k}} = m _ {1 k} \cdot \overrightarrow {i + n _ {1 k}} \cdot \overrightarrow {j} (m _ {1 k} = - m _ {k 1}, n _ {1 k} = - n _ {k 1}, \overrightarrow {i, j}) \\ \overrightarrow {X _ {2} X _ {k}} = m _ {2 k} \cdot \overrightarrow {i + n _ {2 k}} \cdot \overrightarrow {X _ {3} X _ {k}} = \end{array} , +$$ + +$$ +m _ {3 k} \cdot \overrightarrow {i} + n _ {3 k} \cdot \overrightarrow {j}. +$$ + +$$ +\left| X _ {1} X _ {k} \right| = \left| X _ {1} X _ {k} \right|, \left| X _ {2} X _ {k} \right| = \left| X _ {2} X _ {k} \right|, \left| X _ {2} X _ {k} \right| = \left| X _ {2} X _ {k} \right| +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, X _ {3} \quad . +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c} X _ {k} & X _ {k} \\ \hline \end{array} , X _ {k} +$$ + +$$ +n = k +$$ + +$$ +i = 3, \quad \overrightarrow {X _ {1} X _ {2}}, \quad \overrightarrow {X _ {2} X _ {3}}, \overrightarrow {X _ {3} X _ {1}} \quad G +$$ + +G $X_{i}(i3)$ $(m_{12},n_{12}),(m_{23},n_{23}),(m_{31},n_{31})$ + +2- 2, (4) + +$i > 3$ ， $X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$ 2-2 (4) + +2-3 2-4 2-4 + +2-3 + +2-4 $P_{i}P_{j}(i = 1,2,\dots,n;j = 1,2,\dots,n)$ + +$$ +\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad m _ {i j}, n _ {i j} \quad 2 - 4 \quad (4) \quad , \quad n +$$ + +n ( ）. + +2-3 2-2 + +2-5 n $P_{i}(a_{i},b_{i})$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \left(x _ {i} - x _ {1}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {1}\right) ^ {2} = m _ {i 1} ^ {2} + n _ {i 1} ^ {2} \\ \left(x _ {i} - x _ {2}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {2}\right) ^ {2} = m _ {i 2} ^ {2} + n _ {i 2} ^ {2} \\ \left(x _ {i} - x _ {3}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {3}\right) ^ {2} = m _ {i 3} ^ {2} + n _ {i 3} ^ {2} \end{array} \quad (i = 2, 3, \dots , n) \right. \tag {6} +$$ + +$$ +\sqrt {\left(x _ {i} - a _ {i}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - b _ {i}\right) ^ {2}} \quad \epsilon (i = 1, 2, \dots , n) \tag {7} +$$ + +（ $m_{ij},n_{ij}$ 1 $P_{i}P_{j}$ （20 $\mathrm{M - N}$ 2-4, $i = j,\quad m_{ij} = 0,n_{ij} =$ + +$$ +0 , \qquad \begin{array}{c c} \frac {m _ {i i}}{n _ {i j}} \\ \hline \end{array} , \qquad \begin{array}{c c} \frac {m _ {1 2}}{n _ {1 2}} & \frac {m _ {1 3}}{n _ {1 3}} \end{array} ). +$$ + +(6) + +$$ +X _ {i} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) (i = 1, 2, \dots , n), +$$ + +$$ +\left| X _ {i} X _ {j} \right| = \sqrt {m _ {i j} ^ {2} + n _ {i j} ^ {2}}, \quad \overrightarrow {X _ {i} X _ {j}} \quad \mathrm {M - N} \quad (m _ {i j}, n _ {i j}). \quad m _ {i j}, n _ {i j} +$$ + +$$ +2 - 4 +$$ + +$$ +(4) +$$ + +$$ +2 - 4 +$$ + +$$ +\left(\frac {m _ {i j}}{n _ {i j}}\right) +$$ + +$$ +X _ {i} +$$ + +$$ +m _ {i j}, n _ {i j} +$$ + +$$ +(4) \quad (3), \quad 2 - 3) \quad X _ {i} (i = 1, 2, \dots , n) \tag {4} +$$ + +$$ +\left| P _ {i} X _ {i} \right| \quad \in_ {i} (i = 1, 2, \dots , n), \quad P _ {i} (i = 1, 2, \dots , n) \tag {7} +$$ + +n + +$$ +), \quad X _ {i} (x _ {i}, y _ {i}) +$$ + +(7) + +X i + +$$ +\left| P _ {i} X _ {i} \right| \in \left(X _ {i} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) \right. +$$ + +G + +$$ +\overrightarrow {X \cdot X _ {j}} +$$ + +Xj + +G + +$$ +m _ {i j}, n _ {i j}, +$$ + +$$ +m _ {i j}, n _ {i j} +$$ + +(6) + +4.5 + +$$ +\begin{array}{c c} 1 & 1 2 \end{array} +$$ + +$$ +\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad , +$$ + +$$ +\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad . \quad P _ {i}, +$$ + +$$ +P _ {j} \quad \mathrm {M - N}, \quad i j \quad P _ {i} P _ {j} \quad \mathrm {M - N}, +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} P _ {i}, P _ {j} & \mathrm {M - N} \\ & , & m, n, & \end{array} \quad 0 \quad \text {.} +$$ + +） + +2# 0 + +3# 0 0 + +4# 1 1 1 + +5# 1 1 1 + +6# 2 1 0 1 0 + +7# 1 1 3 1 1 + +8# 1 2 1 0 1 1 + +9# 3 2 0 1 1 1 1 + +10# 1 3 1 1 3 1 2 1 0 + +11# 2 1 1 1 1 1 1 1 0 + +12# 2 3 0 1 1 2 2 0 1 0 0 + +1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 8# 9# 10# 11# + +2 2-1, + +M-N 1 + +band + +3 2-2, + +T conduct, + +4 3 k + +$$ +\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad 2 - 4, \quad . +$$ + +$$ +\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad : (\quad 4 +$$ + +） + +
1468
1469
14611
24510
1468
1678
+ +4 PREDUCT.CPP,SECOND.CPP + +5 k + +$$ +\left( \begin{array}{l l} : \frac {m _ {1}}{n _ {1}} = \frac {m _ {2}}{n _ {2}} = & \dots \dots = \end{array} \right. +$$ + +$\frac{m_k}{n_k}$ ） $X_{1},X_{2},X_{3}.$ （20 $X_{1},X_{2},X_{3}$ ， (6) + +$$ +f \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {k}\right) = \sqrt {\left(a _ {1} - x _ {1}\right) ^ {2} + \left(b _ {1} - y _ {1}\right) ^ {2}} - \epsilon +$$ + +$$ +g \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {k}\right), h \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {k}\right) +$$ + +$$ +g _ {i - 1} \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {k}\right) = \sqrt {\left(a _ {i} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(b _ {i} - y _ {i}\right) ^ {2}} - \epsilon +$$ + +$$ +h _ {i - 1} = \left(x _ {i} - x _ {1}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {1}\right) ^ {2} - \left(m _ {i 1} ^ {2} + n _ {i 1} ^ {2}\right) +$$ + +$$ +h _ {k + i - 3} = \left(x _ {i} - x _ {2}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {2}\right) ^ {2} - \left(m _ {i 2} ^ {2} + n _ {i 2} ^ {2}\right) +$$ + +$$ +h _ {2 k + i - 6} = \left(x _ {i} - x _ {3}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {3}\right) ^ {2} - \left(m _ {i 3} ^ {2} + n _ {i 3} ^ {2}\right) +$$ + +$$ +(i = \quad 1, 2, \dots , k) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \operatorname {m} \inf f (x _ {1}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, \dots , y _ {k}) \\ \begin{array}{c c} \text {s t} & g _ {i} (x _ {1}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, \dots , y _ {k}) \quad 0 \end{array} \\ h _ {i} \left(x _ {1}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, \dots , y _ {k}\right) = 0 \\ \end{array} +$$ + +2-5 (6)(7) + +$\mathrm{minf}(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_k)$ 0 $X_{i}(x_{i},y_{i})$ (6） ，n + +$\mathrm{minf}\left(x_{1},\dots,x_{k},y_{1},\dots,y_{k}\right) > 0$ ， $n$ + +MATLAB, constr + +$$ +: \{1, 6, 7, 8, 9, 1 1 \}. +$$ + +$$ +X _ {i} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) \quad \mathrm {M} - \mathrm {N} \quad , \quad 1 2 +$$ + +,6 + +$$ +: S _ {9} = 0. 0 4 9 < \epsilon +$$ + +4.6 + +：（ + +1 2-1:n $P_{j}\left| - \sqrt{m_{ij}^{2} + n_{ij}^{2}}\right|$ 2ε + +$$ +P _ {i}, P _ {j} \text {,} \quad (m _ {i j}, n _ {i j}) +$$ + +2 2-3:n + +$$ +P _ {i}, P _ {j}, P _ {k} +$$ + +M-N $(m_{i},n_{i})$ 2-2 (2). + +3. + +2-4: + +n + +$$ +P _ {i} P _ {j} (i = 1, 2, \dots , n; j = 1, 2, \dots , n) +$$ + +M-N + +$$ +m _ {i j}, n _ {i j} +$$ + +2-4 + +(4), + +n + +n + +（ + +0. + +$$ +2 - 5: n +$$ + +2-5 + +(7). + +n + +4 + +$$ +X _ {i} \left(c _ {i}, d _ {i}\right), +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {i} = f _ {i} (\theta , \Delta x, \Delta y) = \cos \theta \left(c _ {i} + \Delta x\right) + \sin \theta \left(d _ {i} + \Delta y\right) \\ y _ {i} = f _ {i} (\theta , \Delta x, \Delta y) = - \sin \theta \left(c _ {i} + \Delta x\right) + \cos \theta \left(d _ {i} + \Delta y\right) \end{array} \right. \tag {8} +$$ + +$$ +3 - 3 ( +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +n +$$ + +$P_{i}$ + +n + +$$ +S _ {i}, +$$ + +$S_{i}$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\left(a _ {i} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(b _ {i} - y _ {i}\right) ^ {2}} \quad \epsilon \\ \sqrt {\left(a _ {j} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(b _ {j} - y _ {i}\right) ^ {2}} \quad S _ {i j} + \epsilon \\ \sqrt {\left(a _ {j} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(b _ {j} - y _ {i}\right) ^ {2}} \geqslant S _ {i j} - \epsilon \end{array} \right. \tag {9} +$$ + +$$ +j = 1, 2, \dots , i - 1, i + 1, \dots , n; S _ {i j} = \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2}}) \tag {8} +$$ + +(9) + +$$ +(\theta , \Delta x, \Delta y) +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\left(a _ {i} - f _ {i} (\theta , \Delta x , \Delta y)\right) ^ {2} + \left(b _ {i} - g _ {i} (\theta , \Delta x , \Delta y)\right) ^ {2}} \\ \left| \sqrt {\left(a _ {i} - f _ {i} (\theta , \Delta x , \Delta y)\right) ^ {2} + \left(b _ {j} - g _ {i} (\theta , \Delta x , \Delta y)\right) ^ {2}} \right| \end{array} \epsilon \right. \tag {10} +$$ + +X + +4.7 + +3-1 + +$$ +P _ {1}, P _ {2} +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, s = \left| X _ {1} X _ {2} \right|, \quad P _ {1} +$$ + +$$ +R = s + \epsilon , r = s - +$$ + +E + +$$ +P _ {2} +$$ + +E + +$S_{2}$ + +P1 + +$S_{1}$ + +$$ +\left| X _ {1} P _ {1} \right| +$$ + +$$ +\in \left| X _ {2} P _ {2} \right| +$$ + +$$ +, +$$ + +$$ +\equiv +$$ + +$$ + +$$ + +. + +X1 + +$$ +S _ {1}, X _ {2} +$$ + +$$ +S _ {2}. +$$ + +$$ +X +$$ + +$$ +, +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +S _ {1} +$$ + +$$ +, X +$$ + +$$ + +$$ + +3 + +1 + +） + +$$ +\mathrm {t} +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +s +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +\perp +$$ + +X + +$$ +P _ {1} +$$ + +$$ +{ } _ { 1 } X +$$ + +$$ +X _ {2} +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +, +$$ + +$$ +X _ {2} +$$ + +$$ +S _ {2} ( +$$ + +$$ +\mathbf {S} _ {2} +$$ + +$$ +P _ {2} +$$ + +$$ +S _ {2} +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +X +$$ + +$$ +P _ {1} +$$ + +$$ +{ } _ { 1 } X +$$ + +$$ +X _ {2} +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +. \vert +$$ + +$$ +\mathbf {D} +$$ + +$$ +\downharpoonleft +$$ + +$$ +\cdot +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +\mathbf {D} +$$ + +$$ +| _ {v} +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +\begin{array}{l} X _ {2} \quad , \quad \left| X _ {2} P _ {1} \right| > R = s + \epsilon \\ \left| X _ {1} X _ {2} \right| \quad \left| X _ {2} P _ {1} \right| - \left| X _ {1} P _ {1} \right| > s + \epsilon - \epsilon = s \\ \left| X _ {1} X _ {2} \right| > \left| X _ {1} X _ {2} \right|, \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c} X _ {2} & S _ {2}, & X _ {1} \\ \hline \end{array} \quad S _ {1} +$$ + +$$ +s > \left| P _ {1} P _ {2} \right| +$$ + +3-2 3-1 + +$$ +S _ {1}, S _ {2}, S _ {3} , +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} : & X _ {1} & S _ {1}, X _ {2} & S _ {2}, X _ {3} & S _ {3}. \end{array} +$$ + +![](images/97162fe09c4e53c1b44d828a9410518e97bee4f65efb505e3e558a752e1c2e84.jpg) + +![](images/adfa1e22af10bf7e3916b4500f3d34feea46ac19dd5a55f5f74c29b5ec3ad0d8.jpg) +3-1 + +$$ +P _ {1}, P _ {2}, P _ {3} \quad , \quad 3 - 2 +$$ + +$$ +\left| X _ {1} P _ {1} \right| \quad \in , \left| X _ {2} P _ {2} \right| +$$ + +$$ +\epsilon , \left| X _ {3} P _ {3} \right| \quad \epsilon +$$ + +![](images/5dadbd0889de4c4b8254198bfd5dff63ba4a71aa3c329212ce9e6687a049131d.jpg) +3-2 + +$$ +P _ {1}, \quad 3 - 1, \quad X _ {1} \quad S _ {1}, \quad X _ {1}, X _ {3} +$$ + +$$ +X _ {1} \quad S _ {1}, \quad X _ {1}, X _ {2} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} \text {3 - 3} & n \end{array} +$$ + +$$ +\left| X _ {i} P _ {i} \right| \quad \epsilon_ {i} (i = 1, 2, \dots , n). +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \Phi , \quad X _ {i} \quad \Phi , \quad X _ {i} \quad , \quad n \\ \epsilon . \quad , \quad n \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} n \quad S _ {1}, S _ {2}, \dots , S _ {n}. \\ P _ {i} \quad n, \quad S _ {i} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\left| X _ {i} P _ {i} \right| +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, \dots , X _ {n} \quad X _ {i} \quad S _ {i}, \quad n +$$ + +5 + +(1) n +(2) +n 1 +(3) M-N +(4) + +n2 + +[1] ，. 1989 +[2] MATLAB , 1995. 11. +[3] ，. 1997,8 + +# Location Arrangement Model of Drilling Well + +CHEN Gang, GUO Cheng-liang, WU Ting-bin + +(Dalian University of Technology, Dalian 116024) + +Abstract The key idea of this paper is to determine the invariants with respect to coordinate transformations. For the first problem, the authors find that all the wells can be moved into a single grid, and the distance from each well to the nearest crunode is a constant, therefor the question is greatly simplified. For the second question, since the Euclidean distance between two wells is constant under coordinates transformations, a series of necessary conditions are obtained to conclude whether the all given wells can be used. Furthermore, a optimization model is established to get a necessary and sufficient condition. The arithmetic of the second questino fits the third question as well We can use the same method to treat the third question as in the second one + +![](images/954274bcc0a91ea43935522352a8822386530d57b555fd13359a1c8199e62b20.jpg) \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3811c6fab8876052ea48a5ca39571c539ce51624 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,418 @@ +problem, the objective function is built We present them mapping principle, to map the locations of the original wells into a unique unit block of the mesh, so as to simplify the solution of the model U sing them mapping algorithm and the ergodic algorithm, we solve the problem under the direction constraint Then we generalize the algorithms to the solution without the direction constraint We studied the sufficient conditions and give some criteria of the availability on three particular conditions. The method of bisection on perpendicular at midpoint is presented + +![](images/e039b7e0a294e23016ab0fe437bac98a34a93e551f7d6994c91caaed802e6fac.jpg) + +![](images/5c90e5e17e3fd08d4834b42431c11539da5cd4dd338bc2a272c3b5daacb12be2.jpg) + +1 （ ） + +2 + +![](images/3dec073912aad16dfc058a0f71cbd97e611b8948a7acd14cb164ecdf6ed23007.jpg) + +$X_{j}$ $P_{i}$ + +$$ +\begin{array}{c c} \vdots & \\ i & (a, b), (a + 1, b + 1) \end{array} +$$ + +$$ +i _ {y} = i _ {y} - [ i _ {y} ] + b, \quad [ x ] \quad x +$$ + +$$ +i, i _ {x} = i _ {x} - [ i _ {x} ] + a; +$$ + +： + +$$ +(- 1, - 1), (0, 0); (- 1, 0), (0, 1); (0, - 1), (1, 0); (0, 0), (1, 1) +$$ + +$2\epsilon$ + +$$ +(- 0. 5, - 0. 5), +$$ + +(0.5, 0.5) + +E + +3 + +3.1 + +1. + +$$ +(a, b), \quad P _ {i} \quad (F _ {i x}, P _ {i y}), +$$ + +$$ +a + N _ {i} - \epsilon P _ {i x} a + N _ {i} + \epsilon +$$ + +$$ +b + N _ {j} - \epsilon P _ {i y} b + N _ {j} + \epsilon , +$$ + +$N_{i}$ $N_{j}$ + +$$ +M \left(X _ {i}, Y _ {i}\right) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad a + N _ {i} - \epsilon X _ {i} \quad a + N _ {i} + \epsilon , b + N _ {j} - \epsilon Y _ {i} \quad b + N _ {i} + \epsilon \\ 0, \end{array} \right. +$$ + +$$ +F (a, b) = \max \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} M (X _ {i}, Y _ {i})\right). +$$ + +2. + +$$ +0. 0 1, +$$ + +$$ +1 0 0 \quad ( \begin{array}{c c} & \\ & 1 \end{array} ), +$$ + +$$ +1 0 0 \times 1 0 0 +$$ + +$$ +O \left(n / \rho^ {2}\right), n \quad , \rho +$$ + +$$ +(0. 3 6, 0. 4 6), +$$ + +3. + +12 + +$P_{i}$ + +,2ε + +$(2\epsilon /\rho)^{2}$ + +,2ε + +$O\left(n^{2}\left(\epsilon /\rho\right)^{2}\right)$ + +n + +4. ： II + +131 + +(1) $P_{i} \quad P_{j} \quad A$ +(2) $P_{i}\quad A$ + +A + +, + +A + +A + +，A + +A, A + +， A + ++ + +n + +$$ +\left(C _ {n} ^ {2} + n\right) n, +$$ + +$$ +O \left(n ^ {3}\right), +$$ + +5. + +$$ +\begin{array}{l} , P _ {i}, P _ {j} \quad [ (- \epsilon , - \epsilon); (1 + \epsilon , 1 + \epsilon) ] \quad P _ {i}, P _ {j}, \quad P _ {i}, P _ {j} \\ d \left(P _ {i}, P _ {j}\right) 2 \epsilon , \quad P _ {i}, P _ {j} \quad , \quad 2 \epsilon \quad . \quad n \\ \end{array} +$$ + +n +n + +n + +$$ +\begin{array}{l} \quad : \quad A \quad [ (- \epsilon , - \epsilon); (1 + \epsilon , 1 + \epsilon) ], \quad \rho \quad . \quad A \\ \frac {1 + 2 \epsilon}{\rho} \quad . \quad 1 \quad a \quad P _ {j} \quad , 2 \epsilon \quad . \\ \end{array} +$$ + +$$ +A _ {1} = \left( \begin{array}{c c c c c} & & & & \\ & “ & ” & & \\ & & & A \end{array} \right) +$$ + +6. : + +1.5 1 $G[V,E],V$ （20 $i\quad j$ + +$i,j$ + +( ). + +1.5.1 $G$ + +1.5.2 $P_{i}, P_{j}$ + +$N_{1},N_{2}$ + +$$ +\begin{array}{l} d _ {x} \left(P _ {i}, P _ {j}\right) \quad \left[ N _ {1} - 2 \epsilon , N _ {1} + 2 \epsilon \right], \\ d _ {y} \left(P _ {i}, P _ {j}\right) \quad \left[ N _ {2} - 2 \epsilon , N _ {2} + 2 \epsilon \right], \\ \begin{array}{c c} d _ {x} & d _ {y} \\ & (\quad). \end{array} \\ \end{array} +$$ + +1.5.3 + +（ ） + +G n + +$$ +\begin{array}{c c} G & G \\ & \overline {{G}} \end{array} +$$ + +$,V^{\star}$ $G$ + +G （ ） + +V + +NP + +E + +7. + +$$ +O \left(n ^ {3}\right). +$$ + +$$ +\epsilon / \rho = 5. +$$ + +$$ +O \left(n \left(, \epsilon / \rho\right) ^ {2}\right), +$$ + +NP + +3.2 + +1. + +$$ +\Delta \Theta \quad \frac {\rho}{R}, R +$$ + +$$ +, \left. \frac {\pi}{2} \right] +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} 0 ^ {\circ} & 9 0 ^ {\circ} \end{array} +$$ + +$$ +\rho = 0. 0 1, +$$ + +2000 + +$$ +\Delta \theta 1. 0 4 \times 1 0 ^ {- 3}. +$$ + +0.62). + +6 + +1,6,7,8,9,11. + +(0.47, + +2. + +$\Delta \theta$ + +2.2.1 + +$$ +a, b +$$ + +$$ +2 \epsilon , \quad d = \sqrt {\left(a _ {x} - b _ {x}\right) ^ {2} + \left(a _ {y} - b _ {y}\right) ^ {2}} +$$ + +$$ +( \begin{array}{c} \end{array} ) +$$ + +222 + +$$ +a, b +$$ + +$$ +m, n \quad \left| _ {d -} \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \right| +$$ + +$d_{2}$ + +E + +$$ +, a +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} d _ {1} & b \end{array} +$$ + +$$ +(m, n) +$$ + +$$ +4 \epsilon , +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +^ {1} +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +\cdot +$$ + +$$ +(n) +$$ + +$$ +4 \epsilon , +$$ + +$$ +d +$$ + +$$ +a +$$ + +$$ +b +$$ + +$$ +) +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +d _ {1} +$$ + +$$ +d _ {2} +$$ + +$$ +\begin{array} { c } \epsilon \\ \epsilon < < d , \\ \Delta \theta > \frac { 2 \epsilon } { d } , d _ { 2 } > \epsilon \qquad ( m , n ) \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } , d _ { 1 } \quad d _ { 2 } \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { \text { ~ d ~ } } . \\ 3 . \\ : \\ \theta ( \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ 3 . \\ : \\ \theta ( \\ ) , \\ \epsilon = ( 1 + \delta ) \epsilon , & \delta > 0 & \epsilon & \epsilon \\ , & k . & & \Delta \theta , \\ | _ { R i \Delta \theta | } , & R _ { i } & i & , \\ | _ { R i \Delta \theta | } & . & R = \max \left\{ R _ { 1 } , R _ { 2 } , \dots , R _ { n } \right\} , & | _ { R \Delta \theta | } \epsilon - \epsilon = \delta \epsilon , \\ | _ { \Delta \theta | } & \delta \epsilon / R , & & ( * ) \\ ( & & & \delta \epsilon \\ ) , & ( * ) & , & k k . \\ , & ; & & \delta , \epsilon = ( 1 + \delta ) \epsilon & , \\ p = 2 | _ { \Delta \theta | } = 2 \delta \epsilon / R & , & 0 \frac { \pi } { 2 } & , & M . \\ \epsilon , & & m . m = M , & & M , & . & m < \\ M , & & \delta , p & , & . & . & . \\ & & \theta , & \epsilon & & m , & . \\ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | = ( 1 + \delta ) \epsilon & , & p = 2 \\ (\ast ) & , & R & , & \epsilon = ( 1 + \delta ) \epsilon & , & p = 2 \\ |\Delta \theta | & , & & , & & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & . +$$ + +$$ +f (x, y) = \max _ {n} \left\{\left(x _ {i} - x\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y\right) ^ {2} \right\}, +$$ + +$$ +\begin{array}{l l} \text {s t} & \operatorname {m i n f} (x, y), \end{array} +$$ + +$$ +(x, y) \quad (\quad). +$$ + +$$ +\begin{array}{l} 5. 0 4, y = 1. 7 0, R = \sqrt {f (x , y)} = 4. 5 5. \quad R \\ N = 1 2 0, \quad 9 0 ^ {\circ} / 1 2 0 = 0. 7 5 ^ {\circ}. \quad \delta = \frac {\pi R}{4 N \epsilon} \quad 0. 6, \epsilon \quad 1. 6 \epsilon , \\ M = 6 \\ \end{array} +$$ + +![](images/7c1fa05743c58539a2252065088e8c79f0d3171dc47cd9ad51b8663109133677.jpg) + +3.3 + +1. + +![](images/58f0603e2b6a3dca5f5e1421f0bce333268c118c3a08f39a185b6c871a48e276.jpg) + +(1) - 0.5 < x i 0.5, - 0.5 < y i 0.5; +(2) $x_{i} - x_{i}$ $y_{i} - y_{i}$ + +![](images/582b5e5c1528a217662c17c0a8a525d8edd89214f6109cbbcced5aa69933bd1a.jpg) + +2. + +![](images/e7364ab4fee67a537c4796427d38c3b45a9b304728cc3c75759c32c45adbe876.jpg) + +![](images/a68e0dc0f55476d1beef85bf02f2f11813bb5e33acea861b7c4c32ac4c413058.jpg) + +![](images/3654a39575fe9eb20056f979b10ac8ed1e36c2a1878df51551cb8ce35692d606.jpg) + +![](images/fb297be8d2973a5e8498a09b6264509e0f2479c0ab50edc0a8ae89036436ca83.jpg) + +3. + +![](images/5049c0d9fd7e94e7cf6c7902a115c34704d5a1d18800dd8b792350eaa36ef004.jpg) + +![](images/fc005151f757b5436ffb403bf200182bd9711452fb34c2ed4238c4b7a80d8ad1.jpg) + +# The Mathematical model of Borehole Layout + +HU Hai-yang, CHEN Jian, LU Xin + +(Nanjing University, Nanjing 210093) + +Abstract In this thesis, we begin our research of mathematical model of borehole layout with an eye to the whole and then analyze step by step the efficiency, flexibility and complexity of all kinds of calculating methods. At last, we get a relativity better method to make out the number of boreholes that can be utilized under different circumferences + +To the first question, after the demonstration of an overall research model, precise local model and a graphizalmode, and after the discussion of the flexibility and complexity of various calculating methods, we come to the answer ramedy, that only four used boreholes can be utilized at most, numbered 2, 4, 5, and 10 + +To the second question, we offer an overall research model, a precise local model as well as a revolving vector model. In particular, we give a theoretical demonstration of the local model. The answer we get is that only 6 used boreholes can be utilized at most, numbered 1, 6, 7, 8, 9, and 11 and that the net will revolve 44.37 with a coordinate (0.47, 0.67). + +To the third question, in order to judge whether all of the given boreholes can be used, we enumerate the ample requirements and the compulsory requirements together with the appropriately effective calculating method \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\350\256\276\350\256\241/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\350\256\276\350\256\241.md" "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\350\256\276\350\256\241/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\350\256\276\350\256\241.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..061bf132ef712d0f76560741669bca9976f08967 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1999/B\351\242\230/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\350\256\276\350\256\241/\351\222\273\344\272\225\345\270\203\345\261\200\347\232\204\350\256\276\350\256\241.md" @@ -0,0 +1,578 @@ +![](images/4ebb1df46fe272ad2ffb9537313f3996de36a778210062d1542f4541238264d4.jpg) + +1 （） +2 + +$$ +\begin{array}{c c c c c} 1 & , & , & . & P _ {i} \left(a _ {i}, b _ {i}\right), \\ i = 1, \dots , n. \end{array} +$$ + +$$ +2. \quad , \qquad 1 \qquad N +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c} 3. & & & & \\ & & , & & N \\ & N & & & & . \end{array} +$$ + +3 +3.1 (1) + +$$ +\begin{array}{l} N \\ I _ {X _ {t}} \end{array} \quad \begin{array}{r l r l} & N & & X _ {i} \\ N _ {X _ {i}}, f (N _ {X _ {i}}) & . & & : \\ \max f (N _ {X}) & \\ \text {s t} \max \left\{\left| x - x _ {i} \right|, \left| y - y _ {i} \right| \right\} & 0. 5; \\ X = (x, y), X _ {i} = (x _ {i}, y _ {i}). & \\ & , & & \\ (\quad) & 0. 0 1, & \epsilon & 0. 0 5 \end{array} +$$ + +(0.01 + +$$ +\begin{array}{l} 1 \quad Q _ {1} = (x _ {1}, y _ {1}), Q _ {2} = (x _ {2}, y _ {2}) \\ D _ {x} = \operatorname {m i n} \left\{x _ {1} - x _ {2} - \left[ x _ {1} - x _ {2} \right], 1 + \left[ x _ {1} - x _ {2} \right] - \left(x _ {1} - x _ {2}\right) \right\} \\ \end{array} +$$ + +$$ +D _ {y} = \operatorname {m i n} \left\{y _ {1} - y _ {2} - \left[ y _ {1} - y _ {2} \right], 1 + \left[ y _ {1} - y _ {2} \right] - \left(y _ {1} - y _ {2}\right) \right\} +$$ + +$$ +D \left(Q _ {1}, Q _ {2}\right) = \max \left\{D _ {x}, D _ {y} \right\} \quad : [ x ] \quad x. +$$ + +$$ +D \left(Q _ {1}, Q _ {2}\right) \quad Q _ {1} \quad Q _ {2} \quad . \quad D (Q) \quad Q +$$ + +$$ +: \quad N _ {Q}, \quad D (P _ {i}, Q) \quad P _ {i} \quad N _ {Q} +$$ + +$$ +, \quad D (P _ {i}, Q) \quad P _ {i} \quad N _ {Q}. +$$ + +： + +$$ +1 D \left(Q _ {1}, Q _ {2}\right) = D \left(Q _ {2}, Q _ {1}\right). +$$ + +$$ +\begin{array}{l l l l} 2 & 0 & D \left(Q _ {1}, Q _ {2}\right) & 0. 5 \end{array} +$$ + +$$ +1 \quad N _ {Q} \quad , P _ {i} \quad , \quad P _ {i} \quad \Leftrightarrow D (P _ {i}, Q) \quad \epsilon +$$ + +$$ +2 \quad P _ {1}, P _ {2} \quad , \quad N, \quad P _ {1}, P _ {2} +$$ + +$$ +: D \left(P _ {1}, P _ {2}\right) 2 \epsilon +$$ + +2 $,f(N_{X})$ （20 $P_{1},\dots ,P_{n}$ X ） + +： + +(1) $Q$ ， $N_{Q},D(P_{i},Q)\quad \in ,i = 1,\dots,n,$ （20 $P_{i}$ + +$P_{i}$ （20 $f(N_{Q})$ + +(2) $Q$ （ 1 (0.01 ）， + +100 ， $)100^{2} = 10000f(N_{\varrho}),$ + +（ ）， + +4, $P_{2}, P_{4}, P_{5}, P_{10}$ + +: (1) : 0.58-0.63; (2) : 0.45-0.54 + +II + +I 10000. ： $Q = P_{i},(i = 1,\dots ,n),$ I $f(N_{\varrho}),\qquad Q\qquad P_{i}$ + +, 2∈ (0.01) $f(N_{Q}),\qquad 11^{2}\quad f(N_{Q}).$ + +$11^{2}\times 12\quad f(N_{Q})(\quad ,\quad Q\quad ,$ + +： ， ） ， ： + +4, $P_{2}, P_{4}, P_{5}, P_{10}$ + +: (1) : 0.58———0.63; (2) : 0.45———0.54; + +III + +$$ +a _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, D (P _ {i}, P _ {j}) & 2 \epsilon \\ 0, D (P _ {i}, P _ {j}) > 2 \epsilon^ {\prime} \end{array} \quad A = (a _ {i j}) \quad n \right., \quad A \quad ( +$$ + +5). + +： + +4, $P_{2}, P_{4}, P_{5}, P_{10}$ + +IV + +$$ +P _ {i} = \left(a _ {i}, b _ {i}\right), \quad P _ {i} ^ {\prime \prime} = \left(a _ {i} ^ {\prime \prime}, b _ {i} ^ {\prime \prime}\right) +$$ + +$$ +a _ {i} = a _ {i -} [ a _ {i} ], \quad b _ {i} = b _ {i -} [ b _ {i} ] \quad (i = 1, \dots , n) +$$ + +$$ +a _ {i} ^ {\prime \prime} = a _ {i} - [ a _ {i} ] + 1, \quad b _ {i} ^ {\prime \prime} = b _ {i} - [ b _ {i} ] + 1 \quad (i = 1, \dots , n) +$$ + +$$ +P _ {i}, (i = 1, \dots , n) +$$ + +01 + +1.1 + +$$ +P _ {i} \quad P _ {i} ^ {\prime} (i = 1, \dots , n) +$$ + +( 1). + +Q1 + +$P_{10}$ + +4, + +$P_{2}, P_{4}, P_{5}$ + +V + +IV + +0.1 + +（ + +1 + +） + +4, + +： + +： + +2 + +$P_{5}$ ， $P_{10}$ + +3.2 (2) + +N + +. + +N + +. + +， + +2 + +0 + +0 + +） + +0= + +$$ +\mathrm {m i n} (\theta , \theta), \quad \theta \quad N +$$ + +(1) + +$N_{X}$ + +$N_{X}(\theta)$ + +0 + +， + +$N_{X} = N_{X}(0)$ + +$$ +N _ {x _ {i}} (\theta), \quad g (N _ {x _ {i}} (\theta)) +$$ + +$$ +\max g \left(N _ {X} (\theta)\right) +$$ + +s t + +$$ +\max \left\{\left| x \right|, \left| y \right| \right\} +$$ + +0.5 + +0 + +$$ +\theta < \begin{array}{c} \pi \\ 2 \end{array} . +$$ + +$$ +, X = (x, y). +$$ + +(1), + +IQ + +$$ +2 \quad Q _ {1} = (x _ {1}, y _ {1}), Q _ {2} = (x _ {2}, y _ {2}) +$$ + +$$ +D _ {x} = \operatorname {m i n} \left\{x _ {1} - x _ {2} - \left[ x _ {1} - x _ {2} \right], 1 + \left[ x _ {1} - x _ {2} \right] - \left(x _ {1} - x _ {2}\right) \right\} +$$ + +$$ +D _ {y} = \operatorname {m i n} \left\{y _ {1} - y _ {2} - \left[ y _ {1} - y _ {2} \right], 1 + \left[ y _ {1} - y _ {2} \right] - \left(y _ {1} - y _ {2}\right) \right\} +$$ + +$$ +\rho (Q _ {1}, Q _ {2}) = \sqrt {D _ {x} ^ {2} + D _ {y} ^ {2}} +$$ + +$$ +\rho (Q _ {1}, Q _ {2}) \quad Q _ {1} \quad Q _ {2} +$$ + +$$ +\rho (Q) \quad Q +$$ + +$$ +Q +$$ + +： + +$$ +N _ {Q}, \quad \rho (P _ {i, Q}) +$$ + +$P_{i}$ + +$$ +N _ {\varrho} +$$ + +$$ +, \quad \rho (P _ {i, Q}) +$$ + +$$ +P _ {i} \quad N _ {Q} +$$ + +： + +3 $\rho (Q_{1},Q_{2}) = \rho (Q_{2},Q_{1}).$ +4 0 $\rho (Q_{1},Q_{2})$ 0.5 +3 $N_{Q}$ ，Pi +4 $P_{1}, P_{2}$ + +$$ +: \rho \left(P _ {1}, P _ {2}\right) 2 \epsilon +$$ + +$$ +4 \quad , g (N _ {x}) +$$ + +$$ +\mathrm {P} _ {1}, \dots , \mathrm {P} _ {n} +$$ + +$$ +\mathbf {X} +$$ + +$$ +\epsilon +$$ + +$$ +, \tag {1} +$$ + +$$ +\alpha +$$ + +$$ +P _ {i} +$$ + +$$ +P _ {i} (\alpha) = \left(a _ {i} (\alpha), b _ {i} (\alpha)\right). +$$ + +$$ +P _ {i} (\alpha), \tag {1} +$$ + +$$ +\frac {\pi}{2} +$$ + +$$ +, \quad (\quad) \alpha +$$ + +$$ +R = \max _ {i} \rho (P _ {i}), \alpha +$$ + +$$ +0. 0 1, \quad R \alpha \quad 0. 0 1, \quad \alpha \frac {0 . 0 1}{R}. +$$ + +$$ +, R \quad 1 0, \quad \alpha \quad 0. 0 0 1. +$$ + +$$ +\frac {\pi}{2}, \quad \frac {\pi}{2 \alpha} 1 5 7 0. +$$ + +$$ +, \alpha \quad \frac {1}{2 0 0 0} \times \frac {\pi}{2}, \quad 4 0 0 0 \quad , +$$ + +$$ +4 0 0 0 \times 1 0 0 ^ {2} +$$ + +$$ +( \begin{array}{c} \end{array} ). +$$ + +$$ +6, \quad : P _ {1}, P _ {6}, P _ {7}, P _ {8}, P _ {9}, P _ {1 4} +$$ + +II + +$$ +I \quad , \quad 4 0 0 0 \times 1 0 0 ^ {2} +$$ + +$$ +: \quad Q = P _ {i}, (i = 1, \dots , n), +$$ + +$$ +I \quad g \left(N _ {Q}\right), \quad Q \quad P _ {i} +$$ + +$$ +\epsilon \quad (0. 0 1) +$$ + +$$ +g \left(N _ {\varrho}\right), \quad 1 1 ^ {2} \quad g \left(N _ {\varrho}\right). +$$ + +$$ +1 1 ^ {2} \times 1 2 \quad g (N _ {\varrho}) (\quad , +$$ + +$$ +Q \quad , \quad). +$$ + +$$ +\alpha = \frac {1}{2 0 0 0} \times \frac {\pi}{2}, \quad P _ {i} \quad , \quad P _ {i} (\alpha) = (a _ {i} (\alpha), +$$ + +$$ +\begin{array}{l} b _ {i} (\alpha)), \\ P _ {i} (\alpha), \tag {1} \\ , \quad \frac {\pi}{2} \quad . \quad 4 0 0 0 \\ \end{array} +$$ + +$$ +\times 1 1 ^ {2} \times 1 2 g (N _ {\varrho}) (\quad , \quad N _ {\varrho}, \quad), +$$ + +$$ +( \begin{array}{c} \end{array} ). +$$ + +$$ +(2): +$$ + +![](images/78a089ce49c56ee4e5c5d6617917820dfe97fe8abfaa5d3cf20d8105d6fc1728.jpg) + +$$ +\begin{array}{l} \left[ b _ {1} \right], 1 + \left[ b _ {i} \right] - \left. b _ {1} \right\} \\ D \left(P _ {i}, P _ {1}\right) = \max \left\{\left| a _ {i} - a _ {1} \right|, \left| b _ {i} - b _ {1} \right| \right\} \quad (i = 2, \dots , n) \\ P _ {1} = P _ {1}, \quad i _ {0} \quad \{1, \dots , n \}, j _ {0} \quad \{1, \dots , n \}, \\ a _ {i _ {0}} = \underset {1} {\operatorname {m i n}} \left\{a _ {i} \right\}, b _ {j _ {0}} = \underset {1} {\operatorname {m i n}} \left\{b _ {i} \right\} \\ Q = \left(a _ {i _ {0}} + \epsilon , b _ {j _ {0}} + \epsilon\right) \quad N _ {\mathcal {Q}}, \quad D \left(P _ {i}, Q\right) \quad \epsilon (i = 2, \dots , n), \quad 1, P _ {1}, \dots , \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} P _ {n} & ; & , & i, D (P _ {i}, Q) = D (P _ {i}, Q) > \epsilon , \\ & & & a _ {i} - (a _ {i _ {0}} + \epsilon) > \epsilon & b _ {i} - (b _ {j _ {0}} + \epsilon) > \epsilon \\ & a _ {i} - (a _ {i _ {0}} + \epsilon) > \epsilon , & a _ {i} - a _ {i _ {0}} > 2 \epsilon , & D (P _ {i}, P _ {i _ {0}}) = D (P _ {i}, P _ {i _ {0}}) > 2 \epsilon , \\ & , & 2 & . \\ & , & . \\ & \vdots \\ & , & & 2 \epsilon , & \max \rho (P _ {i}, P _ {j}) > 2 \epsilon , \end{array} . +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} \mathrm {P} _ {1}, \ldots , P _ {n} & & . \\ , n & & P _ {1}, P _ {2}, \ldots P _ {n} \\ \max _ {1} \rho (P, P _ {i}) & \epsilon & , & , & . \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c} 6 & P _ {1}, \dots , P _ {n} \\ & \exists P & \underset {j = 1} {\overset {n} {\operatorname * {P}}} \left\{P \left| \rho (P, P _ {j}) \quad \epsilon \right. \right\} & \underset {1 i n} {\max } \rho (P, P _ {i}) \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c} & , & \exists j, P, & \rho (P, P _ {j}) & \epsilon_ {\texttt {m a x}} \rho (P, P _ {i}) & \epsilon & N _ { P}, \\ P _ {2} \dots , P _ {n} & & . & & & & \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +$$ + +$$ +N _ {P}, \quad P _ {1}, P _ {2}, \dots , P _ {n} \quad , \tag {3} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \rho (P, P _ {i}) \quad \epsilon , i = 1, 2, \dots , n. \end{array} +$$ + +$$ +P \quad_ {j = 1} ^ {n} \{P \left| \rho (P, P _ {j}) \quad \epsilon \right\} \quad \max _ {1 i n} \rho (P, P _ {i}) \quad \epsilon +$$ + +： + +$$ +j = 1, 2, \dots , n, \quad P \quad P _ {j} \quad , \epsilon +$$ + +$$ +\rho (P, P _ {1}), \dots , \rho (P, P _ {n})). \quad P, +$$ + +$$ +\max _ {1} \rho (P, P _ {i}) \quad \epsilon +$$ + +$$ +P _ {1}, P _ {2}, \dots , P _ {n} \quad , \quad ; +$$ + +$$ +2. \tag {2.} +$$ + +$$ +\alpha \quad (\quad , \alpha +$$ + +$$ +P _ {i} (\alpha) = \left(a _ {i} (\alpha), b _ {i} (\alpha)\right), +$$ + +$$ +P _ {i} (\alpha), +$$ + +π 2 + +$$ +P _ {1}, \dots , P _ {n} +$$ + +4 + +[1] ． ： ,1987. +[2] 1996, 6. +[3] 1996,5. +[4] ． ： ,1995,4. +[5] 1990, 10. + +# Mine Drilling Distribution + +ZHU Zhen-bo, XIE W en-chong, PIXing-yu + +(Airforce Radar Institute, Wuhan 430010) + +Abstract This paper offers a mathematical model of mine drillings distribution and its solution by using different optimization methods, such as all-sided searching method, partial-search- + +ing method, graph theory method, sight method and operation-in-graph mehtod For the given numerical examples, the obtained solution to problem (1) is 4 and the available old drillings are $P_{2}$ , $P_{4}, P_{5}, P_{10}$ ; the solution to problem (2) is 6 and the available old drillings are $P_{1}, P_{6}, P_{7}, P_{8}, P_{9}$ , $P_{11}$ . Finally, for problem (3), this paper gives a sufficient and necessary condition for n old drillings being available + +1 + +80 + +66 + +99 + +1999 + +450052) + +” + +） + +D ( ) + +2 + +(1) + +$$ +[ x ] = +$$ + +$$ +x +$$ + +$$ +(x +$$ + +$$ +), +$$ + +$$ +r (x) = [ x + \frac {1}{2} ] (x +$$ + +$$ +). +$$ + +Ceiling) + +NT, + +ROUND() + +(floor). + +[x] + +$$ +\left\{x \right\} = x - [ x ], \quad f (x) = \left| x - r (x) \right| +$$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\210\251\347\224\250\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\272\214\347\273\264\347\251\272\351\227\264\347\233\270\345\205\263\346\223\215\344\275\234\345\256\236\347\216\260\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\345\210\251\347\224\250\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\272\214\347\273\264\347\251\272\351\227\264\347\233\270\345\205\263\346\223\215\344\275\234\345\256\236\347\216\260\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\210\251\347\224\250\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\272\214\347\273\264\347\251\272\351\227\264\347\233\270\345\205\263\346\223\215\344\275\234\345\256\236\347\216\260\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\345\210\251\347\224\250\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\272\214\347\273\264\347\251\272\351\227\264\347\233\270\345\205\263\346\223\215\344\275\234\345\256\236\347\216\260\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c47080583ce58e1cf70b6dc0bb9c18eb4a6749c2 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\210\251\347\224\250\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\272\214\347\273\264\347\251\272\351\227\264\347\233\270\345\205\263\346\223\215\344\275\234\345\256\236\347\216\260\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\345\210\251\347\224\250\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\272\214\347\273\264\347\251\272\351\227\264\347\233\270\345\205\263\346\223\215\344\275\234\345\256\236\347\216\260\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" @@ -0,0 +1,223 @@ +:1005-3085(2002)05-0029-06 + +![](images/9fb59980222e0473d29ef56f152759a1a2f52d7d992863fa11f22f958509efbb.jpg) + +1 + +R,R + +R + +R + +R; + +R + +1 + +0.bmp + +99.bmp + +X-Y + +2R + +$\mathrm{(y = 260}$ + +280) + +A, A + +B, |AB| + +$$ +| \mathrm {A B} | +$$ + +$$ +2 \mathrm {R} = 6 0, \mathrm {R} = 3 0 (\quad) +$$ + +2 + +R + +$$ +f (x, y) \quad g (x, y) +$$ + +![](images/abb193c557b6af37ebbddb359fc13523a3caa827539e0300ebb6c6579ad853ec.jpg) +1 + +$$ +f (x) = \sum_ {i = 1} g (x - x _ {i}), \quad g (x) +$$ + +$$ +: g (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & / x / < a / 2 \\ 0 & / x / < a / 2 ^ {x _ {i}} \end{array} \right. +$$ + +$$ +f (x), \quad g (x) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} g (x) \oplus f (x) = \int_ {-} ^ {+} g \left(x ^ {\prime} - x\right) f \left(x ^ {\prime}\right) d x ^ {\prime} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \int_ {-} ^ {+} g \left(x ^ {\prime} - x\right) g \left(x ^ {\prime} - x _ {i}\right) d x ^ {\prime} (1) \\ : x ^ {\prime \prime} = x ^ {\prime} - x _ {i}, \\ g (x) \oplus f (x) = \sum_ {i = 1} ^ {N} \int_ {-} ^ {+} g (x" + x _ {i} - x) g (x") d x" \\ = \sum_ {i = 1} ^ {N} \int_ {-} ^ {+} g (x ^ {\prime \prime} - (x - x _ {i})) g (x) ^ {\prime \prime} d x ^ {\prime \prime} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {N} c (x - x _ {i}) (2) \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} c (x) = g (x) \oplus g (x), \\ f (x) \quad , g (x) \oplus f (x) \\ f (x) \quad g (x) \\ \end{array} +$$ + +$$ +, \quad f (x) \quad g (x) +$$ + +$$ +g (x) \oplus f (x) +$$ + +$$ +g (x) \quad f (x) +$$ + +$$ +g (x, y) \oplus f (x, y) \Leftrightarrow G ^ {*} (u, v) F (u, v), +$$ + +$$ +, G F \quad g (x, y) \quad f (x, y) +$$ + +$$ +g (x, y) +$$ + +$$ +f (x, y) +$$ + +# MA TLAB + +$$ +R = 3 0 +$$ + +( 2) + +![](images/48983b23c3c35bf7e2b050c7752330b2538648c395ff262ba3a2e9a03131a4de.jpg) + +![](images/0a7d03a42500bc723ba1373150253e1306c9bb7fc9068288c54539d09514c5df.jpg) + +![](images/5ece256a5699e2c1fe39ebab13d1743ecd8e161e43517a297b9d524b87f914b6.jpg) + +2 + +$R = 30$ + +![](images/4d05b1f26617399e9e90b396debcec8e29066c3c9163f2f462eec1d6e54abdfa.jpg) + +2 + +3 + +3 + +（ + +1 + +10 + +$= 85$ + +Z + +0 + +90 + +Z + +0 + +10 + +40 + +（ + +Z + +Z + +Z + +![](images/abec53417cfe83f8c1de4bfe4df61c4a4befa5c398ac93856257911c6a951d43.jpg) +0 + +![](images/1484db6251ff03e6b69bc3a71c45c68bae31f33c2a2ca29243f77e181ad4cce3.jpg) +99 + +3 + +4-5 + +（ + +4) + +MathCAD2000 + +1 + +4 + +![](images/07907da1025838f9e3f816dc631568c8e72703fc480425979dedeea410669fab.jpg) + +![](images/1498a2827eab63727d5bf46bb5bfc9213dcbe3685033903b0405bde387299369.jpg) + +![](images/bd36d6529d1f58c56289ac1498ce9ea119f1edd473d68fd2fd0a7f601456f9a6.jpg) +(c) $Z, Y$ + +![](images/ad35a85fe472f7dfae5c7ec65fdad2d0a2c3ceb989153024f94fcf94be113832.jpg) +(d) $X,Z$ + +4 + +$$ +, \quad Z = 5 2 +$$ + +$90^{\circ}$ + +52 85 + +4f + +$$ +\begin{array}{l} T (u, v) = / G (u, v) + R (u, v) / ^ {2} \\ = / G (u, v) / ^ {2} + 1 + G (u, v) \exp [ - i a u ] + G ^ {*} (u, v) \exp [ i a u ] \\ \end{array} +$$ + +$G(u,v)$ ， $R(u,v,)$ + +4f + +$f(x,y)$ $f(u,v)T(u,v)$ $= (/G(u,v)/^2 +1)F(u,v)F(u,v)G(u,v)\exp [-iau] + F(u,v)G^* (u,v)\exp [iau]$ $F(u,v)f(x,y)$ $4f$ $F(u,v)T(u,v)$ $F(u,v)G^{*}(u,v)$ $f(x,y)$ $g(x,y)$ CCD(Charge Coupled Device) + +[1] ,Jutamulia S. [M]. : ,1998 +[2] ,1984 + +# Three-dimensional reconstruction of blood vessels from a 2D correlation analysis of vessel slices + +HU Yr-bin，XIANGJie，CHENG Xiang + +Adviser: WANG Luopeng + +(Department of Physics, Peking University, Beijing 100871, PR China) + +Abstract: The concept of correlation has been widely used in image processing to identify and locate similar parts in different images. In this report we utilized FFT and iFFT to do correlation operations on a set of 2D blood vessel slices to reconstruct the spatial shapes of the vessel body and its axes curve. The radius of the blood vessel was determined and used to draw the 3D structures of the vessel and its axes via MathCAD. We've cut slices from the computer generated figure and the result well fit the given slice bitmaps. We also analyzed both the strong and weak points of our method and presented a brief discussion on how to make a 3D reconstruction by methods in modern optical information processing instead of pure math and computational means. + +Key words: model; reconstruction; FFT \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\347\256\241\351\201\223\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\347\256\241\351\201\223\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\347\256\241\351\201\223\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\347\256\241\351\201\223\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5461b61d0207c5652cd1c15d9fab08e4e04ce573 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\347\256\241\351\201\223\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\347\256\241\351\201\223\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" @@ -0,0 +1,109 @@ +:1005-3085(2002)05-0022-07 + +![](images/6901ae3652a2d57f237a063d7c5da5cba218772a5dd4a7e2afa51a19f966be7e.jpg) + +1 （） +2 （） +3 + +![](images/9f170e00ec8b0af8d5b4de1e5dc2ef78fdafc162b393ecef58a01f594426997d.jpg) + +
BMP,,,
BMP,,,
BMP,,,
,,,,
,,,,
4,:,
12:Z ± 1, Z ± 2, ..., Z ± 29
1,
2Z(Z)( R )
√R2 - i2 (i = 1,2,...,29)
:
:
,
,,;
3,,
,
, 100 BMP
BMPBMP
0 10 1BMP
512 × 512,16
4,16
0 1,
,
,
HE,1, D, B, F,
:0 1
,,
1,
+ +50.BMP( + +$$ +x [ 1 ], x [ 2 ], \dots , +$$ + +![](images/59bf8ea06e20ae76224a43b25882b58e7ad411b7c36945001d81870a25905662.jpg) +1 +E + +$$ +\begin{array}{l} x [ n ]; y [ 1 ], y [ 2 ], \dots , y [ n ] \\ \min x = \min \left\{x [ 1 ], x [ 2 ], \dots , x [ n ] \right\}, \\ \max x = \max \left\{x [ 1 ], x [ 2 ], \dots , x [ n ] \right\}, \\ \min y = \min \left\{y [ 1 ], y [ 2 ], \dots , y [ n ] \right\}, \\ \max y = \max \left\{y [ 1 ], y [ 2 ], \dots , y [ n ] \right\} \\ \min x, \max x, \min y, \max y \\ \end{array} +$$ + +D, D + +![](images/ad3386a43d1c1f646b2dedf4c6bc94d1f5c5168e2dab6366bc364d0d669d33fd.jpg) + +0, + +（R + +A, + +R + +R + +（ + +）， + +Pascal + +![](images/a2e40d196ee993f53bdfa0addae2fdf8681cc2a42abd969f60fe116b39451863.jpg) +图2 最大圆的搜索过程 + +1 + +
012345
29.8(29.7,29.9)(29.7,29.9)(29.8,29.9)(29.8,29.9)(29.8,29.9)
(0.1,160.5)(0.1,160.2)(0.1,159.8)(0.1,159.9)(0.1,160.1)(0.1,160.2)
+ +R + +0. BMP + +X + +Bresenham + +BMP + +Bresenham + +R + +BMP + +1) $x_0 = 0, y_0 = R, \quad f_0 = 1, g_0 = 2 \times (1 - R)$ +2) $i = 0\quad \left[\frac{R}{\sqrt{2}} +\frac{1}{2}\right] - 1,\quad x_{i + 1} = x_i + 1,$ + +$$ +\begin{array}{l} / f _ {i} / \quad / g _ {i} /, \quad y _ {i + 1} = y _ {i}, f _ {i + 1} = f _ {i} + 2 x _ {i} + 3, g _ {i + 1} = f _ {i + 1} - 2 y _ {i} + 1, \\ / f _ {i} / > / g _ {i} /, \quad y _ {i + 1} = y _ {i} - 1, f _ {i + 1} = g _ {i} + 2 x _ {i} + 3, g _ {i + 1} = f _ {i + 1} - 2 y _ {i} + 3, \\ (x _ {i + 1}, y _ {i + 1}) \\ \end{array} +$$ + +![](images/b20ba1f36291d47696b0815b185c5a1c3c37e552e10037c7c597604215a97ece.jpg) + +![](images/45cec2bff65fc3f168d685ced3a048c218852f133c6717ad1049959fe5c61134.jpg) + +![](images/e4ec3a84d923bb12f19a3aef1ba0840c72b12dbea1b99960aabc789dd173995f.jpg) + +![](images/6b6c582f44c95b29e74937c0db30e44770431f2ba895eb95c885402338f22687.jpg) + +![](images/aedd9e5bd0287afbe18aaa6558a4f55a10c93384844b21d85e3a568c84ac64a4.jpg) + +![](images/fe6525fb6bb02adf274c47051a124c7db6d5e870667238d2e644cb1eb5aa9160.jpg) + +BMP + +BMP + +6 + +[1] [M]. ,1998 +[2] [M]. ,1995 +[3] Kenneth. R. Castleman. [M]. : .1981 + +# 3D Reconstruction of Pipeline Slice + +LIAO Worpeng，DENGJurrye，WANGDan + +Advisor: Mathematical Modeling Tutor Group + +（Hohai University，Nanjing 210098） + +Abstract: This article proves that there exists the biggest circle on each slice, whose center is on the pipeline center curve. By constructing the continuous model and the discrete one, we are able to determine the biggest circle on 0. bmp slice, of which radius is 30 and center coordinate is (0,160). Using the predetermined condition that the biggest circle should be contained in each slice, we find out all possible coordinates of the pipeline center curve on corresponding slices. For each slice, basing on the principle that a slice which lies on over 29 under 29 layers of the slice must contain a corresponding section of the sphere of radius 30, we filtrate the coordinates of the pipeline center curve and determine the more precise one. However, there are still some coordinates of the pipeline center curve left to be filtrated, such as slices from 71 to 99, due to the information is not enough. Further, we use the pointed end property to determine the coordinates of the pipeline center curve on other slices. The projecting figures on each coordinate plane are smooth and fluent. In the end, by using the coordinates to reconstruct all the slices and comparing the slices with the original ones, we found that the error of different pixels is less than $3\%$ . The result is satisfied. + +Key words: continuous model; discrete model; pointed end property \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f82e61f9bd49789b4e0d8fbcdf1055c044aae257 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\345\210\207\347\211\207\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" @@ -0,0 +1,333 @@ +:1005-3085(2002)05-0041-06 + +```txt +： C( i) Z= i C( i) P1(i),P2(i) 0 (i) 100 59. +1238pixel 100 ： +x(t)=-0.207806-0.610303t+0.206455t²-0.0144935t³ +0.000517774t⁴-8.394241977754047×10⁻⁶t⁵ +6.133353112035975×10⁻⁸t⁶-1.6673218267444805×10⁻¹⁰t⁷ y(t)=158.211+1.86595t-0.266798t²+0.0141407t³ -0.000325412t⁴+3.043275597680807×10⁻⁶t⁵ -9.899171274615063×10⁻⁹t⁶ +z(t)=t 40 (i)(30 i 69), (i)(30 i 69), +: ; ; +: AMS(2000) 65D17 :O242.1 :A +``` + +# 1 （） + +# 2 + +1) ， ( ） +2) +3) 1, +4) $K(t)$ $(\frac{1}{K(t)} > R, R$ + +3 + +
pixel
C
C
C(i)(x,y)Z=i (0 i 99)
Q(i)(x(ti),y(ti))Z=i (0 i 99)
D(i)Z=i (0 i 99)
R
S
K(t){x(t),y(t),z(t)}
Sj(i)Z=i (0 i 99,1 j 2)
Pj(i)(xj(i),yj(i))Z=i (0 i 99,1 j 2)
(i)Z=i (0 i 99)
(i)Z=i (0 i 99)
δ(i)Z=i (0 i 99)
δ(i)Z=i (0 i 99)
+ +4 + +1), + +$$ +\begin{array}{l} = 9 9 \quad \begin{array}{l l} & 1 0 0 \\ 1 0 0 \end{array} \quad \begin{array}{l l} & Z = 0, Z = 1, \dots \dots , Z \\ X O Y \end{array} \\ \begin{array}{c c c c c c c c} & C ^ {(i)} & & Z = i \\ \partial^ {(i)} & , & P _ {1} ^ {(i)}, P _ {2} ^ {(i)} & \partial^ {(i)} \end{array} , \qquad \qquad \begin{array}{c c c c c c c c} & C ^ {(i)} & & P _ {1} ^ {(i)}, P _ {2} ^ {(i)} \end{array} \\ \begin{array}{c c c c c c c c c c c} & & & & & & & & & \\ & a & & & & L _ {1}, & a & L _ {1} & & b & & b \\ L _ {2} & L _ {1} & , & & a b & & c & & , & a c & \\ & ( & 2) \end{array} \\ \end{array} +$$ + +5 + +![](images/0d880c1d4a8bbdb46a321ee252a7615c5a46203123ceb9db14ca2589daa4568b.jpg) +1 + +![](images/6d7425d9e56f1eb76366c7f37f7b0d80331a09a52bd9cd9d76ffadc6dbd05b2d.jpg) +2 + +1) +2) + +$a_{i}$ + +bj + +$d_{ij}$ + +$d_{i} = \min d_{ij}$ + +$a_{i}$ + +$$ +\begin{array}{l} d _ {i} , \qquad D = \max _ {i} d _ {i} , \qquad D \\ n \quad c _ {i} (1 \quad i \quad n), \quad c _ {i} \quad n - 1 \\ \end{array} +$$ + +Step1. 100 $VC + +$ + +Step2. $Z = 99$ + +$D^{(99)}$ + +C + +$Z = 99$ + +$$ +C ^ {(9 9)} (x, y) \quad D ^ {(9 9)} = 5 9. 1 3 5 4 p i x e l, +$$ + +$$ +P _ {1} ^ {(9 9)} \left(x _ {1} ^ {(9 9)}, y _ {1} ^ {(9 9)}\right), +$$ + +$$ +\begin{array}{l} P _ {2} ^ {(9 9)} \left(x _ {2} ^ {(9 9)}, y _ {2} ^ {(9 9)}\right), \quad C ^ {(9 9)} \\ C ^ {(9 9)}, \quad C ^ {(9 9)} (1 5, - 1 8 8) \\ \end{array} +$$ + +Step3. $Z = i$ （20 $C^{(i)}\qquad P_1^{(i)}\left(x_1^{(i)},y_1^{(i)}\right),P_2^{(i)}\left(x_2^{(i)},y_2^{(i)}\right),$ + +$$ +C ^ {(i - 1)} \quad Z = i +$$ + +$$ +C ^ {(i)} +$$ + +$$ +Z = i - 1 +$$ + +$$ +P _ {1} ^ {(i)} \left(x _ {1} ^ {(i)}, y _ {1} ^ {(i)}\right), P _ {2} ^ {(i)} \left(x _ {2} ^ {(i)}, y _ {2} ^ {(i)}\right) +$$ + +$$ +, 3 0 p i x e l +$$ + +$$ +\partial^ {(i)} +$$ + +$$ +S _ {1} ^ {(i)}, S _ {2} ^ {(i)} \quad C ^ {(i - 1)} \quad D ^ {(i - 1)} \quad , \quad Z = 9 8, Z = +$$ + +$$ +9 7, \dots .. Z = 0 \quad , \quad D ^ {(i)}, \quad C ^ {(i)} (x, y), (i = +$$ + +$$ +(0, 1, \dots \dots , 9 8) +$$ + +Step4. $D^{(i)}(0\quad i\quad 99)$ + +59. 1238pixel, $R = 29$ + +$$ +5 6 1 9 p i x e l +$$ + +Step5. 100 + +Mathematica + +(1) + +XOY，YOZ，XOZ + +(2) + +$$ +C \colon (x (t), y (t), t), \quad x (t), y (t) \quad t +$$ + +$z(t) = t$ ，Mathematica (Statistics' NonlinearFit') + +$C$ ： + +$$ +\begin{array}{l} x (t) = - 0. 2 0 7 8 0 6 - 0. 6 1 0 3 0 3 t + 0. 2 0 6 4 5 5 t ^ {2} - 0. 0 1 4 4 9 3 5 t ^ {3} \\ + 0. 0 0 0 5 1 7 7 7 4 t ^ {4} - 8. 3 9 4 2 4 1 9 7 7 7 5 4 0 4 7 \times 1 0 ^ {- 6} t ^ {5} \\ + 6. 1 3 3 3 5 3 1 1 2 0 3 5 9 7 5 \times 1 0 ^ {- 8} t ^ {6} - 1. 6 6 7 3 2 1 8 2 6 7 4 4 4 8 0 5 \times 1 0 ^ {- 1 0} t ^ {7} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} y (t) = 1 5 8. 2 1 1 + 1. 8 6 5 9 5 t - 0. 2 6 6 7 9 8 t ^ {2} + 0. 0 1 4 1 4 0 7 t ^ {3} \\ - 0. 0 0 0 3 2 5 4 1 2 t ^ {4} + 3. 0 4 3 2 7 5 5 9 7 6 8 0 8 0 7 \times 1 0 ^ {- 6} t ^ {5} \\ - 9. 8 9 9 1 7 1 2 7 4 6 1 5 0 6 3 \times 1 0 ^ {- 9} t ^ {6} \\ \end{array} +$$ + +$$ +z (t) = t +$$ + +![](images/a6cc68e3a9fe2b4eb04f806267ab4a41de58e79a5c831186b91e5f8fb4b6090c.jpg) +XOY，YOZ，XOZ + +![](images/98773d2fdbc12d1c9a4cb038fa13a8751ce0163f962ace8336444ae279e9509e.jpg) +3 + +![](images/5ae930bdc2e1ff69df498ba87df11b470866cc96e6b2f2022b942823309e8aef.jpg) + +3 + +6 + +$$ +\begin{array}{c c c c} & \vdots & C ^ {\prime}: \{x (t), y (t), t \}, \\ R & C ^ {\prime} & S ^ {\prime} & Z = i (i = 3 0, 3 1 \dots .. 6 9) \\ 4 0 & (i) & (i) & (i) \\ & & , \end{array} +$$ + +96.8024%, 40 + +$$ +5 \quad Z = 3 0, Z = 4 0, Z = 5 0, Z = 6 0, Z = 6 9 \quad , \tag {4} +$$ + +$$ +\left( \begin{array}{c c} & S ^ {\prime} \end{array} \right) +$$ + +$$ +C ^ {\prime}: \{x (t), y (t), t \}, \quad C ^ {\prime} +$$ + +$$ +, \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cdot “ ” +$$ + +$$ +C ^ {\prime} \quad R, \quad R \quad C ^ {\prime} \quad S ^ {\prime} +$$ + +$$ +Z = i \quad S ^ {\prime} \quad 4 0 \quad (i = 3 0, 3 1 \dots \dots 6 9), \quad \partial^ {(i)} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{c c c} \text {"} & & \\ & \text {"} & \\ & & x \\ & & y \end{array} \quad , \quad y \quad) \quad \begin{array}{c c c} \text {"} & & \\ & & \\ & & \partial^ {(i)} \end{array} \\ \text {‘} = 3. 3 5 7 2 2 \text {p i x e l} \\ \end{array} +$$ + +： + +$$ +Z = i (3 0 \quad i \quad 6 9) +$$ + +$$ +Z = i \quad , \quad t = t _ {1} +$$ + +$$ +t _ {s} = s \times (t _ {2} - t _ {1}) / 2 4 0 + t _ {1}, +$$ + +$$ +C ^ {\prime} , +$$ + +$$ +Z = i +$$ + +$$ +Z = i +$$ + +$$ +Z = i +$$ + +$$ +R +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +t _ {1} +$$ + +$$ +C ^ {\prime} +$$ + +$$ +t _ {2} +$$ + +$$ +, +$$ + +$$ +[ t _ {1}, t _ {2} ] 2 4 0 +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +s +$$ + +$$ +2 4 0 +$$ + +![](images/c9b58807fe83c35e10c137580fd651668dfa258604cb1dd9a54cc4a19b39131c.jpg) + +7 + +$R_0$ + +$Z = i$ + +$R_{0}$ + +$R_{0}$ + +1/2pixel + +$R_{0}$ + +1/2pixel, + +$R_{0}$ + +1/2pixel + +$R_{0}$ + +[1] , , .Mathematica [M].,1999 10 +[2] [M]. : ,1986 11 +[3] C [M]. : ,1991 7 +[4] [M]. ,2001 1 +[5] [M].2001 1 +[6] [M].1999 4 + +# Re-construction of Vessel in Three Dimension + +LIU Hardong, CHEN Lu, JIANG Hao + +The tutor: LU Qinhe + +(Suzhou University, Suzhou 215006, P. R. China) + +Abstract : The re - construction of vessel in three dimension will be discussed in this essay. We first show the following proposition. + +Proposition Let $C$ be a curve along which the center of a ball moves, $(i)$ a section sliced from the original vessel by the plane $Z = i$ , and $\partial^{(i)}$ the boundary of $(i)(0 \quad i \quad 99)$ . Let $C^{(i)}$ be the intersection point of $C$ with the plane $Z = i(0 \quad i \quad 99)$ , then there are a line segment with two end points $P_{1}^{(i)}, P_{2}^{(i)}$ , $(P_{j}^{(i)} \partial^{(i)}, 0 \quad i \quad 99, 1 \quad j \quad 2)$ such that $C^{(i)}$ is the middle point of the line segment + +$P_{1}^{(i)}$ $P_{2}^{(i)}$ and two parallel tangent lines which touch $\partial^{(i)}$ only at $P_{1}^{(i)}$ , $P_{2}^{(i)}$ respectively (0 i 99). + +On the basis of the proposition shown above, $C^{(i)}(0 \quad i \quad 99)$ and the diameter of the vessel $D = 59.1238$ pixel have been found. The equation of $C$ is simulated by coordinate data of 100 intersection points: + +$$ +\begin{array}{l} x (t) = - 0. 2 0 7 8 0 6 - 0. 6 1 0 3 0 3 t + 0. 2 0 6 4 5 5 t ^ {2} - 0. 0 1 4 4 9 3 5 t ^ {3} \\ + 0. 0 0 0 5 1 7 7 7 4 t ^ {4} - 8. 3 9 4 2 4 1 9 7 7 7 5 4 0 4 7 \times 1 0 ^ {- 6} t ^ {5} \\ + 6. 1 3 3 3 5 3 1 1 2 0 3 5 9 7 5 \times 1 0 ^ {- 8} t ^ {6} - 1. 6 6 7 3 2 1 8 2 6 7 4 4 4 8 0 5 \times 1 0 ^ {- 1 0} t ^ {7} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} y (t) = 1 5 8. 2 1 1 + 1. 8 6 5 9 5 t - 0. 2 6 6 7 9 8 t ^ {2} + 0. 0 1 4 1 4 0 7 t ^ {3} \\ - 0. 0 0 0 3 2 5 4 1 2 t ^ {4} + 3. 0 4 3 2 7 5 5 9 7 6 8 0 8 0 7 \times 1 0 ^ {- 6} t ^ {5} \\ - 9. 8 9 9 1 7 1 2 7 4 6 1 5 0 6 3 \times 1 0 ^ {- 9} t ^ {6} \\ \end{array} +$$ + +$$ +z (t) = t +$$ + +On the ground of that equation, the simulated vessel in three dimension is figured out, and at the same time, the 40 sections sliced from the simulated vessel are also made out, matching the original vessel at the average rate as much as $96.8024\%$ . + +Key words: tangent lines; polynomial fit \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b13ecad41ef7999aff20e4d3de1731ed97d553a7 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" @@ -0,0 +1,195 @@ +:1005-3085(2002)05-0035-06 + +![](images/258c7b77e67e008b6b6a4b8a5e418745428b265b475a3670bec282e92d260988.jpg) + +1 （） + +1). +2). +3). + +2 + +1). $i$ +2). $R = \frac{1}{100}_{i=0}^{99} R_{i}$ +3). $C_i$ Bezier +4). 2)3 + +$R_{i}$ $C_i,i = 0,1,\dots ,99$ + +3 + +1). + +Bmp (Mathematica) + +2). + +Matlab edge() + +3). + +00.bmp + +100 + +100 + +$$ +R = 2 9. 7 5 +$$ + +4). + +Bézier + +， + +（ + +1) : + +4 + +$\begin{array}{r l} & {\mathrm{~\textit~{\textbf~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~ \textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~ {}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\ & {\mathrm{~~\textit~{\textit~{\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{ ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \text it ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ 2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\ & {\mathrm{~~\textit~{\textit~{\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ {\mathcal{E}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\ & {\mathrm{~~\textit~{\textit~{\mathcal{E} r s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i ng t h e m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S}}} = |D(r,p) - R|}\\ & {\mathrm{~~\mathcal{E} r s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t}}}}\\ & {\mathrm{~~\mathcal{E} r s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g}}\\ & {\mathrm{~~\mathcal{E} r s t a t e d i n g} (z);}\end{array}$ $= 0;$ $s(z)$ 200 :p Average (z); 4 , 4 , 200 ; p(i,z)i=1,2,...,200; Average (z) = 1/200i=1(p(i,z)) (2) + +1). $r(s)$ （20 $z$ $(0\leq z\leq 99)$ +2). + +$$ +z < 3 0 +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} : & z & , & x - y \\ \hline \end{array} , \begin{array}{c c c c c} \frac {d x}{d z} & \frac {d y}{d z} & \frac {d z}{d x} & \frac {d z}{d y} \end{array} +$$ + +z 99 ， (3)： + +![](images/c6e4ba78e19172d5b12dcc5a6b0f9dc478157319ab183c31cbf916b41ccbd7cf.jpg) + +![](images/1183d8e106af3ebecd214f66abe99879cb2908495d2489893a34ca3d2d7ea4a5.jpg) + +$$ +x = 0, y - z +$$ + +![](images/7cf4a8226a3e0129804b84d2564ff6ae19231d745db408982759cc3abbd692fb.jpg) +1 + +$$ +z = 0, x - y +$$ + +![](images/3882f867551439ffdfe2e8dbfdfbe5ecabf53f8f7fbdc90cc0a9fb6b233f1da5.jpg) + +![](images/3e5ae017361f5e7f54f48d6062fed586b5dcf518ba5bdf143ca8487d7c452747.jpg) +2 + +：p + +![](images/cd6b107ce077bf0c9668278b65359a797d8501655cc1422515315364914bfabb.jpg) + +$$ +(i) = \frac {N (i) - P (i) + M (i) - P (i)}{M (i)} +$$ + +$$ +z = i \quad , \quad z \quad [ i - R, i + R ] \quad z = i +$$ + +$$ +\begin{array}{l} [ 2 R + 1 ] \quad , \quad \sqrt {\left(R ^ {2} - (z - i) ^ {2}\right)} \quad , \quad [ 2 R + 1 ] \\ \begin{array}{l} z = i \\ 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0 \end{array} \\ \end{array} +$$ + +$$ +(30) = 5.7\%, \quad (40) = 6.5\%, \quad (50) = 7.1\%, \quad (60) = 6.8\%, \quad (70) = 6.5\%; \\ , \quad 5 \quad , \quad (i) +$$ + +![](images/ce9a2443a09e351e03c2ae36109953cae3ff018248b392360e944a8a9bb9c33f.jpg) +30 +95 +4 + +![](images/5448ed9d5abb8b7a3778b8747760984dd9c650d4adc7ddaf3fa4c6b148688377.jpg) +(5 +95 + +5 + +$$ +\{\{7 0, 2 8 0 \}, \{7 1, 2 8 5 \}, \{7 2, 2 8 9 \}, \{7 3, 2 9 3 \}, \{7 4, 2 9 6 \} \} \quad R = 2 9. 6 1 4 +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = 2 5 0 \\ y = 2 5 0 \\ z \quad (-, \quad) \end{array} , \quad : \right. +$$ + +![](images/c27e505a67caa8ecb7992f589c46203a9f4e99218de79cd6fd74e14161923299.jpg) + +![](images/592193e377b923836314be3197bdcc462340929b93499304dc1955568efa72d3.jpg) + +![](images/71d5e2519ddb983c12f02d31b686aef936987a6cb85bd3b0b67b2fb99561e8a6.jpg) + +L1 , L2 + +![](images/b2fa4f8832f6c540dd211572198a389ee4f262ea838bef1dc22d008f7b3531dd.jpg) + +30,40,50,60,70 + +1 + +
(30)(40)(50)(60)(70)
5.7 %6.5 %7.1 %6.8 %6.5 %
3.2 %2.5 %2.7 %3.0 %3.2 %
+ +1) +2) +3) +4) + +[1] + +Mathematica + +[M]. : + +,1998 + +[2] + +[M]. + +,1996 + +[3] + +[M]. : ,1999 + +[4] + +[M]. + +,1986 + +[5] + +Barhill R E, Riesenfeld R F. Computer Aided Geometric Design[M]. Academic Press New York, 1974 + +[6] + +[J]. + +. Vol. 13 Ser A Suppl. 1998,87 - 90 + +# 3D Rebuilding of Vessel + +XU Jin，LIUXue-feng，BAI Rong-gang + +Adviser: DOU Dou + +(University of Science and Technology of China, Hefei 230026) + +Abstract: Given a problem of 3D rebuilding of vessel, we consider vessel with constant radius and have built a model to calculate the axis and radius of vessel. In this model we deal with each slice and get the inscribed circle with maximum radius, whose center is just on the axis of vessel, and it's radius just vessel's radius. + +In this model, we have introduced two efficient ways to analyse the error. We find that error increases when the angle between the axis and the slice decreases. To handle this problem, we cut the vessel in different directions. The result is good. + +Key words : vessel ; 3D rebuilding ; constant radius \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\347\256\241\351\201\223\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\347\256\241\351\201\223\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\347\256\241\351\201\223\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\347\256\241\351\201\223\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b013d9c3f1bd7c1688fe55e324d5a1e5b0a6838c --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\350\241\200\347\256\241\347\256\241\351\201\223\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272/\350\241\200\347\256\241\347\256\241\351\201\223\347\232\204\344\270\211\347\273\264\351\207\215\345\273\272.md" @@ -0,0 +1,270 @@ +:1005-3085(2002)05-0047-07 + +![](images/8ce132d06bbce1d64a7f7352196e6c39de9b7303b68728cc1574f942000f294d.jpg) + +1 + +1.1 + +100 0. +bmp 1.bmp ... 99.bmp, 512 (pixel) , : +; ； 1 +Z , 1 $Z = 0$ , 100 $Z = 99$ +, , X Y Y Z X + +1.2 + +2 + +![](images/52acc6d7d69ac0826c736449700a54622dfd8ae0fa1416e1f90f416f403cbb9c.jpg) +） + +1 +2 + +（ + +） + +3 + +XY YZ YZ + +100 + +$512\times 512$ + +MATLAB + +Imread + +0 1(0 + +,1 + +3.1 + +2 + +![](images/01301b62f2671aa887978ea2679aad9d995b15a8201f6408769f082ddadeb78a.jpg) + +29.529 +3.2 +3.2.1 + +![](images/d985996d3629985d261bdcb21ca9b508c3688c63472509fe87931985ad570108.jpg) + +(3) + +k + +$A\left(X_{0},Y_{0}\right)$ + +$k + 1$ + +MATLAB + +100 + +![](images/4bd7991033c41bdf95dbdb1adbeed39562ec7c4155bef4409ef8dc0e599a6a86.jpg) +4 + +3.3 XY YZ ZX + +100 + +1 + +5 + +yz + +） + +15 + +100 + +（ ） + +（ ） + +（+ + +， + +Z + +100 + +2 + +100 + +（ + +4 + +）， + +6 yz + +（ ） + +（ ） + +6 + +6 5 + +7 + +7 4 + +![](images/5b54741cddf785243d9fada89950f56fcfd8c2fbbfe0f96d2552fe9a91d6134d.jpg) +5 + +![](images/b234e2baf40fcde0a46a78a2bd16fe65a20c6d06ceeb82f00319e8a871bc4d98.jpg) + +![](images/5d44a84f38483ae72252ff4ed82c833385037b8eea08c79d71b851cc759e832c.jpg) +6 + +![](images/d1e8745a94d413a6c90a77663487b4c45014bc04e619bf55012917a33d545453.jpg) + +4 + +R1 R2 + +$\mathrm{R}_{99}$ $\mathrm{R}_{100}$ + +R :29.529 + +1 + +100 + +xy）, + +![](images/6f25e8c9b5d90a5ca17a7c6e9e32d659c7647db7e478c42d786f6e7d1e553320.jpg) +7 + +1 + +
XYZXYZ
0.94557-160.0103.2166-160.20
1.0959-159.9512.4788-160.191
( )
47.72180.49948.94179.8499
+ +XY YZ ZX + +， 91113 + +， 81012 + +14 15 + +（ + +![](images/53a4fdc181a2927f2c27f9a88917d69d67fa2b77823d1d3e18094037f32c6de4.jpg) + +![](images/1ed62cb3cd1c5ffb77fd74b49416cf0196ac41853aa3e17e510911d7051438b8.jpg) + +![](images/e441c8461d8195d935271a13ec001dd00043a48f7dc166eb4dad62b3911e45b0.jpg) + +![](images/961c79ed01c486a59322d1c06dfe00df7e6a8ab28fc6f9c970a72e1c4a3f1f54.jpg) + +![](images/9bb789212537ad1ba75210b8822bb2a69cbd03fd3f1f39f82176b29a5fcb40fd.jpg) + +![](images/5937f2d0f1f5ca51a4c197acac2defad82134d484f3f7799559a5ae4cf0da8b9.jpg) + +![](images/489c54371cdb9898a6b57ba8106ec434c162fedd82f2d91552203724f97945e4.jpg) +5 + +![](images/9c2369c909c8aecb3b8b69f10e69e7569ea05168f81b4c40726303d180904ef9.jpg) + +16 + +6 + +6.1 + +50 + +50 + +( 16) Z + +5 + +( 49.bmp) + +17 18, + +5 + +( 4.bmp) + +![](images/2f082c75e5a0be97aa098a0df42482aeaf4cc4dc138694c747d8ac0c12956391.jpg) +16 + +6.2 + +(1) + +(2) + +(3) + +![](images/4610d934854038480f9b55c36b6e2e2d3cf0daf16a28183b708e2fe508f9f6ac.jpg) +17 + +![](images/b252ca0d736b16b4933a7a91d5125ecbc30bea0790639874be8f7aee63a1f85a.jpg) +18 +50 + +7 + +(1) + +(2) + +(3) + +MA TLAB + +bmp $512\times 512$ $1024\times 1024$ + +[1] MATLAB 5[M]. , 1999. +[2] [M]. , 1978. +[3] J.， ( ) [M]. : ,1980. （74） + +[1] ( ) [M]. ,1986 +[2] ， [M]. : ,1999 +[3] ,Matlab [M]. : ,2000 + +# The Optimum Mathematical Model on the Bus Dispatch + +BO Lirjun, YAO Werpeng, WANG Yarrhui + +Adviser: LIU Hong-wei + +(XiDian University, Xi'an 710071) + +Abstract :This paper presents an optimal method of peak curve according to the Fisher algorithm of serial specimen clustering. We conclude 5 uphill passenger-flow peak ranges: $5:00 - 6:00$ , 6:00-9:00, 9:00-16:00, 16:00-18:00, 18:00-23:00, and 5 downhill passenger-flow peak ranges: $5:00 - 7:00$ , 7:00-9:00, 9:00-16:00, 16:00-19:00, 19:00-23:00. + +Then, under the peak ranges, two algorithm models, and, are established. Comparing the calculated results of the foregoing models, we conclude: model is applied to two interval high peaks, and model is applied to three others. With the smooth method between every two time-sections, we make the bus time schedule of two starting stations, and get 47 needed buses at least. In this scheme, passengers' satisfaction rate is $98.2\%$ , and the bus ccompany's is $76.23\%$ . + +By the end, we set a random optimum model by the theory of random service system, and give the probability sensitivity and error analysis. Further, we get a better scheme for collecting operation data. + +Key words: serial specimen culstering; passenger-flow; peak; bus number; smooth method; random service + +（ 53） + +# Reestablishment of three dimensional blood vessel + +DING Fengping， ZHOU Lifeng， LI Xiao-peng + +Adviser: Mathematical Modeling Tutor Group + +(Zhejiang University of Technology, Zhejiang Hangzhou 310032, China) + +Abstract : The reestablishment of the three dimensional blood vessel is presented in the article. According to the information given by the problem, 100 pieces of sliced sheet of blood vessel are inputted into the program and transformed into data matrixes. Then three steps are given to reestablish the blood vessel. Firstly, the radius of the blood vessel is obtained by searching the biggest inscribed circle of the sliced sheet and here two solutions are given by using tangent method and the biggest overlay. Secondly, the track of the centre of the scrolling ball is hunted by grid method, Monte Carlo method and non - linear optimization method respectively. Thirdly, the projection of the central axes is positioned precisely on three planes. At last verifying of the reestablished blood vessel and error analysis are carried out to test the precision of the model. + +Key words: reestablishment of three dimensional image; track; overlay \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1df9e4a4608a71816524ad8d9e3e83eb251d946b --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,296 @@ +19 + +2002 02 + +Vol. 19 Supp. + +Feb. 2002 + +:1005-3085(2002)05-0095-06 + +![](images/688d00af8d87cd606ab4d202a79395f00cf3198015ab3bb4ef34ba24fe0e2b04.jpg) + +1 + +![](images/d98e4b8e516c4d885a1e805bf3b7e51f496ca29d57d1dbe4845c2ba12b181abc.jpg) + +2 + +1) ； +2) ； +3) +4) +5) +6) + +3 + +$A_{j}$ + +$$ +Q _ {u} (i j), Q _ {u} (i j), Q _ {d} (i j), Q _ {d} (i j) +$$ + +__________ + +1) +2) +3) 1 + +（ ） + +1) $i$ （20 $Q(i):$ + +$$ +Q (i) = \sum_ {j = 1} ^ {N _ {1}} Q _ {u} (i j) + \sum_ {j = 1} ^ {N _ {2}} Q _ {d} (i j) \quad i = 1, 2, 3, \dots \dots m \tag {1} +$$ + +2) $K(i)$ + +$$ +K (i) = Q (i) / \bar {Q} = Q (i) / \left(\frac {1}{m} \sum_ {i = 1} ^ {m} Q (i)\right) \quad i = 1, 2, 3, \dots \dots m \tag {2} +$$ + +$$ +T _ {a} = \{i | K (i) \geq 1. 8 \}, \quad T _ {a} \quad ; \quad T _ {b} = \{i | 1. 0 \quad K (i) < 1. 8 \}, \quad T _ {b} +$$ + +$$ +; \quad T _ {c} = \{i | K (i) < 1. 0 \}, \quad T _ {c} \quad , \quad K (s) = \max \{K (i) \}, \quad s +$$ + +3) $Q(i)$ + +$$ +Q (i) = \sum_ {j = 1} ^ {N _ {1}} \left(Q _ {u} (i j) - Q _ {u} (i j)\right) + \sum_ {j = 1} ^ {N _ {2}} \left(Q _ {d} (i j) - Q _ {d} (i j)\right) \tag {3} +$$ + +4) + +$$ +Q _ {u} (i) = \sum_ {j = 1} ^ {K _ {1}} \left(Q _ {u} (i j) - Q _ {u} (i j)\right), \quad Q _ {d} (i) = \sum_ {j = 1} ^ {K _ {2}} \left(Q _ {d} (i j) - Q _ {d} (i j)\right), \quad K _ {1}, K _ {2} +$$ + +， ： + +$$ +Q (i) = \max \left\{Q _ {u} (i), Q _ {d} (i) \right\} \tag {4} +$$ + +5) $t_0(i)$ + +$$ +t _ {0} (i) = t _ {0 0} + T _ {i} \tag {5} +$$ + +$$ +\begin{array}{c} t _ {0 0} \\ : 0 \leq T _ {i} \leq 2 (\end{array} \quad , \quad t _ {0 0} = \left(\sum_ {j = 2} ^ {N _ {1}} L _ {j} + \sum_ {j = 2} ^ {N _ {2}} L _ {j}\right) / v; \quad T _ {i} +$$ + +6) $q_{i}$ + +： + +$$ +q _ {i} = r _ {i} \cdot q _ {0} \tag {6} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} : q _ {0} \quad (q _ {0} = 1 0 0); \\ r _ {i}, 50 \% = r \leq r _ {i} \leq r = 120 \% \\ \end{array} +$$ + +7) $f_{i}$ ： i + +$$ +f _ {i} = \frac {Q (j)}{q _ {i}} \tag {7} +$$ + +8) + +(1) $A_{i}$ $f_{i}$ + +$$ +A _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} \frac {f _ {i}}{i}, t _ {i} > t _ {0} (i) \\ f _ {i}, t _ {i} \leq t _ {0} (i) \end{array} , \quad i \right. \quad \text {e n k l}. \quad , \quad i = \frac {t _ {i}}{t _ {0} (i)}, +$$ + +$$ +A _ {i} = \left\{ \begin{array}{c c c} A _ {i} \neg , i & T _ {a} \\ \mathsf {L} _ {A _ {i}} & T _ {b} & T _ {c}, f _ {i} = A _ {i} \end{array} , \right. \tag {8} +$$ + +(2) $A_{s}$ A, + +s ； + +(3) $A_{n} \quad A_{w}$ + +$$ +K (s) \quad r _ {i} \quad : +$$ + +$$ +A _ {n} = \frac {A _ {0} r _ {s}}{K (s) r _ {f}} \tag {9} +$$ + +$r_{s}$ + +$r_f$ 1.0 1.20, + +$= 1.0$ $A_{w} = A - A_{n}$ + +(4) + +9) + +(1) + +$$ +I _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} \min \left\{ \begin{array}{l l} T _ {2}, t _ {i} / f _ {i} \\ \min \left\{ \begin{array}{l l} T _ {1}, t _ {i} / f _ {i} \end{array} \right. \end{array} \right\}, i & T _ {a} \\ \min \left\{ \begin{array}{l l} T _ {1}, t _ {i} / f _ {i} \end{array} \right\}, i & T _ {b} \quad T _ {c} \end{array} \right. \tag {10} +$$ + +(2) + +$$ +t _ {i} \quad I _ {i} \quad , \quad I _ {i} = E + a (E) \quad I \quad ; a +$$ + +） + +$$ +I _ {d} (i) = I _ {i} \neg = E + 1, I _ {x} (i) = \mathrm {L} I _ {i} = E \tag {11} +$$ + +$$ +t _ {i} \quad I _ {d} (i), I _ {x} (i) +$$ + +$$ +S _ {d}, S _ {x}, +$$ + +$A_{i}$ + +$$ +S _ {d} = t _ {i} - A _ {i} I _ {x} (i), \quad S _ {x} = A _ {i} - S _ {d} \tag {12} +$$ + +10. $M$ ： + +$$ +T _ {0} (\quad) +$$ + +$$ +, t _ {m} = \min _ {i} \left\{t _ {0} (i) \right\}, +$$ + +$$ +M = \left(T _ {0} \times 6 0\right) / t _ {m} \tag {13} +$$ + +（ ） + +（ ） + +$$ +A \times 2 M \quad P = \left(x _ {s, j}\right) _ {A \times 2 M}, +$$ + +$$ +x _ {s, (2 k - 1)}, x _ {s, 2 k} +$$ + +$$ +s \quad k \quad (k = 1, 2, \dots M) \quad A 1 3, A 0 +$$ + +$$ +i = \left\lfloor x _ {s, 2 k - 1} (x _ {s, 2 k}) \quad 0 \quad , \quad x _ {s, j} \quad 0 \quad , \quad i = \right. +$$ + +$$ +x _ {s, j} +$$ + +S + +$$ +k _ {1} (s) = \min _ {j} \left\{j \mid s _ {s, j} \quad 0 \right\}, \quad k _ {2} (s) = \max _ {j} \left\{j \mid s _ {s, j} \quad 0 \right\}, \tag {14} +$$ + +$$ +\mathsf {L} _ {k _ {1} (s) / 2}, \quad \mathsf {L} _ {k _ {2} (s) / 2}; \quad s +$$ + +$$ +\max \sum_ {s = 1} ^ {A} \left(k _ {1} (s) + \left(2 M - k _ {2} (s)\right) \right. \tag {15} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \left| x _ {s, j} - x _ {s, (j - 1)} \right| = \left[ \frac {t _ {0} (i)}{2} \right] \\ \left| x _ {s, j} - x _ {s, j} \right| \quad \left\{I _ {d} (i), I _ {x} (i) \right\} \\ 5 \leq x _ {s, j} \leq 2 3 \\ j = 2, 3,.. 2 M \\ s = 1, 2, .., A \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +（ ） + +$x_{s,j}$ 1 + +1 + +1 （ ） + +
123456
A 13A 0A 13A 0A 13A 0A 13A 0A 13A 0A 13A 0
245 :005 :506 :367 :218 :068 :51
257 :228 :088 :549 :4010 :2511 :1111 :56
267 :248 :10
277 :268 :128 :57
287 :288 :149 :009 :4510 :3211 :1612 :0212 :50
295 :106 :006 :447 :308 :16
306 :026 :467 :328 :189 :059 :502 :07
316 :046 :487 :34
325 :206 :066 :507 :368 :219 :079 :5510 :3911 :2212 :12
336 :086 :527 :388 :249 :1010 :0010 :4611 :3012 :1713 :01
+ +（ ） + +$$ +\overline {{q _ {i}}} \quad i +$$ + +$$ +, \overline {{q _ {i}}} = \frac {Q (i)}{A _ {i}} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} p _ {i} = \left\{ \begin{array}{c c} \overline {{q _ {i}}} - 1 0 0 \\ \frac {1 0 0}{1 0 0}, & \overline {{q _ {i}}} > 1 0 0 \\ 0, & \overline {{q _ {i}}} \leq 1 0 0, \end{array} \right., \\ p _ {i} = \left\{ \begin{array}{c c} \frac {q ^ {\star} - \overline {{q _ {i}}}}{q ^ {\star}}, & \overline {{q _ {i}}} < q ^ {\star} \\ 0, & \overline {{q _ {i}}} \geq q ^ {\star} \end{array} \right. \\ q \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} p = \frac {1}{m} \sum_ {i} ^ {m} p _ {i}, \quad p = \frac {1}{m} \sum_ {i} ^ {m} p _ {i}, \quad p, p \\ p \quad (0 \leq p, p \leq 1) \\ \end{array} +$$ + +$$ +p ^ {\star} = 0. 8, p = 0. 3 2, p = 0. 5 4. +$$ + +4 + +$$ +\begin{array}{l} [ 1 ] \quad . \quad [ M ]. \quad : \quad , 1 9 8 7 \\ [ 2 ] \quad . \quad [ \mathrm {M} ]. \quad : \quad , 1 9 9 7 \\ \end{array} +$$ + +# The Optimizing Modle on the Dispatch of Buses + +L I Cheng-gong, TUO Xiao-wei, GUO Shang-bin + +Teacher: QI Zhong-bin + +(Lanzhou Higher Polytechnical College, Lanzhou 730050) + +Abstract: This passage discusses the problem of how to determine the timetable of the buses on a certain route under the condition of known statistical data of passenger flow at various stops during every time period. Under normal conditions, bus companies arrange the vehicle dispatching timetable on the basis of investigated data with the "succession" method during work days to make a group + +of buses "file in and out" during operation period while we have mainly done the research on the uneven variation of the passenger flow in time and space, the research on the laws of how to dispatch buses and we have established a target planning model which has realized the dispatching plan of "some early and some late" and when there are more, when there are fewer. Under the circumstances of ensuring certain benefits and the satisfaction of passengers, the overall operating time of the buses in operation has been made the shortest, the dispatching timetable has been got, while the number for the least buses is 42 and the ratio of satisfaction between passengers and bus companies is 0.48:0.46 + +Key words: Bus Dispatching; Passenger Flow; Target-Planning + +（ 94） + +# Optimization of Dispatching Buses + +FU Chang-jian Yang Cai-xia Qin Min + +Advisor: CHEN Jin-min + +(SiChuan University, Chengdu 610064) + +Abstract: It is to find out the best way to dispatch buses. We set a optimized model whose target function is the profit of bus company. At the same time, it guarantee the proportion that the passengers waiting for their buses more than $10\mathrm{min}$ (or $5\mathrm{min}$ ) in the total is less than given before. First, every station's nonparameter distribution function about the number of passengers is fitted by method of least squares. We use a simple method to estimate that at least 43 buses are needed, and then, we use Maple to get the optimal solution refer to it. It shows the best plans for dispatching buses in different conditions of the number of passengers. It can help bus company to get the top profit, meanwhile the passengers may not wait for their bus for a long time. In the end, we evaluate and popularize the model, and point out the effective way to improve it. + +Key words: dispatching buses; optimized model; method of least squares \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ac3f41e2a44879b09ce4cee7ee3b82f51fa4a105 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,218 @@ +19 + +2002 + +02 + +:1005-3085(2002)05-0101-06 + +![](images/d012b485ec841372db26083e9694f18fc787e9f42e68e7ebf4566b5b39c7afc9.jpg) + +1 + +2 + +1) + +![](images/fadb40811af7609c92a0481f17aea4ac64c847317228977ac545bbce6735463b.jpg) + +2) + +： +3) + +3 + +1) +(1) + +$$ +\begin{array}{l} : j = 1, 2, \dots , n; \\ \text {R} \quad : \quad t \quad j \quad u _ {j} (t), j = 1, 2, \dots , n; \\ \text {R} \quad : \quad t \quad j \quad d _ {j} (t), j = 1, 2, \dots , n; \\ \text {®} \quad : \quad j - 1 \quad j \quad (\quad j \quad) _ {: \quad j}, \\ j = 2, \dots , n; \\ \begin{array}{c c c c} \mathbb {R} & : B; & \overline {{B}}; \\ \mathbb {R} & & \mathfrak {t}; & \overline {{t}}; \end{array} \\ \end{array} +$$ + +(2) + +$$ +\quad : \quad T = \left( \begin{array}{l l l l l} T _ {0}, & T _ {1}, & T _ {2}, & \dots , & T _ {k}, & \dots , & T _ {m} \end{array} \right), +$$ + +$$ +\begin{array}{l} , T _ {0}: \quad j = 1; \\ T _ {k}: \quad k \quad j = 1, k = 1, 2, \dots , m \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {®} \quad k \quad j \quad : T _ {k 1} = T _ {k}, T _ {k j} = T _ {k 1} + \begin{array}{c} j - 1 \\ \ell = 1 \end{array} \ell , j = 2, 3, \dots , n - 1; \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} k \quad j \quad : P _ {k} (T _ {k j}), k = 1, 2, \dots m; j = 1, 2, \dots , n - 1; \\ \begin{array}{c c c c c c c} \text {⑧} & k & j & , & \\ & W _ {k j} (0): & T _ {k - 1 j} & T _ {k j} & ; \end{array} \\ \end{array} +$$ + +$$ +W _ {k j} (h): \quad k \quad j \quad , \quad h +$$ + +$$ +\begin{array}{l} h _ {k j}: \quad k \quad j \quad , \\ W _ {k j} \left(h _ {k j}\right) > 0, W _ {k j} \left(h _ {k j} + 1\right) = 0 \\ \end{array} +$$ + +(1) + +(3) + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{l l} \text {⑧} & \mathrm {k} \\ & \end{array} \quad j \quad , \quad \begin{array}{c c} & \\ & T _ {k j} \end{array} , \\ a _ {k j} = \max \left\{\left(P _ {k} \left(T _ {k j - 1}\right) - d _ {j} (t) d t\right), 0 \right\} \\ \begin{array}{c c c c c c c} \text {®} & k & j & , \\ & & & & & & \end{array} \quad , j \\ b _ {k j} = \bar {B} - a _ {k j}, \\ k - 1 \quad j \quad k \quad j \quad , \\ \end{array} +$$ + +![](images/47409f1810916f69fa2e7487deddb7ca4e077310c91bf1e69bf1c2bf0261b795.jpg) + +$$ +P _ {k j} = \begin{array}{l} h _ {k j} \\ h = 0 \end{array} W _ {k j} (h); \quad : h _ {k + 1 j} = 0; +$$ + +$$ +\therefore \quad h _ {k j} ^ {*} > 0, +$$ + +$$ +P _ {k j} = b _ {k j}; \quad : h _ {k + 1 j} = h _ {k j} ^ {*} + 1, +$$ + +： + +$$ +W _ {k + 1 j} (h + 1) = W _ {k j} (h), h = 0, 1, \dots , \left(h _ {k j} ^ {*} - 1\right) +$$ + +$$ +h _ {k j} +$$ + +$$ +W _ {k + 1 j} \left(h _ {k j} ^ {*}\right) = \underset {h = h _ {k j} ^ {*}} {W _ {k j}} (h) - b _ {k j}. +$$ + +， ： k j + +$$ +P _ {k} \left(T _ {k j}\right) = a _ {k j} + P _ {k j} +$$ + +$$ += \left\{\begin{array}{l l}a _ {k j} + \underset {h = 0} {\overset {h _ {k j}} {\rightleftharpoons}} W _ {k j} (h),&h _ {k j} ^ {*} = 0,\\\overline {{B}},&h _ {k j} ^ {*} > 0, k = 1, 2, \dots m; j = 1, 2, \dots n - 1\end{array}\right. +$$ + +(4) + +$\mathbb{R}^{\text{圆}}$ （20 $k$ 1 $j$ ， h + +$$ +W _ {k j} (h), h = 1, \dots , h _ {k j} +$$ + +： + +$$ +W T _ {k j} (h) = T _ {k j} - T _ {k - h j}, h = 1, \dots , h _ {k j}. +$$ + +$\begin{array}{rlr}{:}[T_1,T], & {} & {[T_1,T_m],}\\ {= 5} \end{array}$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {O v e r} W _ {1} (T) = \frac {\left.\begin{array}{l l}T _ {k j}&\left[ T _ {1} , T _ {2} \right]\\&\end{array}\right\} W T _ {k j} (h) 5 , h = 1 , \dots , h _ {k j} \left. \right\}}{\sum_ {T _ {k j}} P _ {k} (T _ {k j})} \\ = \frac {1 0}{,} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\text {O v e r} W _ {2} (T) = \frac {\left\{W _ {k j} (h) / W T _ {k j} (h) \quad 1 0 , h = 1 , \dots , h _ {k j} \right\}}{\sum_ {T _ {k j} \backslash l} P _ {k} (T _ {k j})} +$$ + +$$ +50 \% = \frac {50 \%}{\times (\quad - 1))}, +$$ + +$$ +\operatorname {C a p}. \log (T) = \frac {\left. \left(1 \right| \frac {B - P _ {k} \left(T _ {k j}\right)}{B} \quad 0 . 5 \right\}}{m \times (n - 1)} +$$ + +(5) + +$$ +T = \left( \begin{array}{c c c c c} T _ {0}, & T _ {1}, & T _ {2}, & \dots T _ {k}, & \dots T _ {m} \end{array} \right), \quad : +$$ + +$$ +\min _ {T} C = \text {O v e r} W _ {1} (T) + \text {O v e r} W _ {2} (T) + \text {C a p . l o w} (T), +$$ + +(6) + +2) + +3, + +![](images/0f28f6e9ffb6c17f56f4e53618495e0a054470ff26ecf4de3ff90cf01af01ac5.jpg) +3 + +3) + +(1) + +(1 + +$$ +u _ {j} (t) \quad d _ {j} (t) +$$ + +(2) + +$$ +j; B = 1 0 0, \bar {B} = 1 2 0 +$$ + +(3) + +$$ +I _ {3} \quad I _ {2}, \quad I _ {3} +$$ + +$$ +\hat {t} = 5 (\quad); \quad \overline {{t}} = 1 0 (\quad) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \quad 3 \quad : J _ {1}, J _ {2}, J _ {3}, \quad T _ {0}, T _ {1}, \dots , T _ {m} (4) \\ \text {O v e r} W _ {1} = (5) \\ \end{array} +$$ + +$$ +, \text {Over} W _ {2} = \quad , \text {Cap} - \text {low} = 50 \% +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} , & , \quad 1 / 3, \\ & : \text {T o t a l} = \end{array} \qquad \begin{array}{c c} C \\ & ; \end{array} +$$ + +up.bus) (down.bus) + +： + +A. + +
\( \left( {{J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}}\right) \)Over \( {W}_{2} \)Over \( {W}_{1} \)Cap. lowCTotalup. busdown. bus
(3,2,2)0.00060.09410.61750.23744202222
(4,2,3)0.04880.11610.41400.19303312222
(4,3,3)0.10160.31940.40310.27473011515
(5,2,3)0.05170.13360.33900.17482952222
(5,3,3)0.12040.35850.31500.26462651515
(5,2,4)0.15650.13360.33010.20672802222
(6,2,2)0.03640.16320.34140.18032992222
(6,3,3)0.13440.37040.25470.25322401515
+ +$B$ + +(4,3,2) (4,3,2), (4,2,3) + +
\( \left( {{J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}}\right) \)Over \( {W}_{2} \)Over \( {W}_{1} \)Cap. lowCTotalup. busdown. bus
(4,3,2)0.01840.17330.41260.20143304515
(4,2,3)0.08600.25470.45070.26383311545
(5,3,1)0.02520.08420.56720.225538513515
(5,3,2)0.02500.19120.33410.18342954515
(5,2,3)0.10350.29330.37900.25862951545
(5,3,3)0.12040.35850.31500.26462651515
(5,4,2)0.09220.29120.32600.23652805611
(6,3,2)0.05280.22030.27930.18412694515
+ +C ,A (5,2,3) （ ） + +# A Mathematical Model of Bus Scheduling + +TAN Ze-guang, JIANG Qiyuan + +(Tsinghua University, Beijing 100084) + +Abstract: In this paper the background of the problem and idea of mathematical modeling are given. A specific mathematical model and corresponding numerical results are presented. + +Key words: bus scheduling; mathematical model \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\263\344\272\216\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\347\232\204\344\274\230\345\214\226\351\227\256\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\347\232\204\344\274\230\345\214\226\351\227\256\351\242\230.md" "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\263\344\272\216\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\347\232\204\344\274\230\345\214\226\351\227\256\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\347\232\204\344\274\230\345\214\226\351\227\256\351\242\230.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f9d1ab002d42e9e53872a974f384d8a18adf4a87 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2001/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/\345\205\263\344\272\216\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\347\232\204\344\274\230\345\214\226\351\227\256\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\345\205\254\344\272\244\350\275\246\350\260\203\345\272\246\347\232\204\344\274\230\345\214\226\351\227\256\351\242\230.md" @@ -0,0 +1,362 @@ +19 + +2002 02 + +Vol. 19 Supp. + +Feb. 2002 + +:1005-3085(2002)05-0089-06 + +![](images/a699f773d7bde9cb2a4607c7fa1e490aa10843a04773a506bbd45fba485ccf94.jpg) + +1 （ ） + +2 + +1) +2) +3) +4) +5) + +50% + +6) +7) +8) + +A13 + +20 + +10 + +A0 + +5 + +3 + +$N_{a}$ ： A13 （ ） + +$N_{b}$ ： A0 + +$T_{1}$ ： + +$T_{2}$ ： + +$T_{3}$ ： + +$T_{4}$ ： + +$T_{5}$ ： + +$T_{6}$ ： + +$T_{a}(i,j)$ ： $j$ + +$N_{1}(i,j):j$ （20 $i$ + +$N_{e}(i,j)$ ： $j$ （20 $i$ + +$D(j,j - 1):j$ （20 $(j - 1)$ + +$f_{1}(j): \quad j$ + +$g_{1}(j): \quad j$ + +$f_{2}(j): \quad j$ + +$g_{2}(j): \quad j$ + +G: + +A： + +B : $B: i = 1,2,3$ + +$N(t)$ ： （ ） + +$q_{t}:t$ （ ） + +$Q(i,j):i$ j + +4 + +1) + +i) + +ii) + +iii) + +2) + +$$ +N (t) = N (t - 1) + q _ {t}, \quad q _ {t} \quad t +$$ + +（ ） + +$$ +N +$$ + +$$ +( \begin{array}{c} \end{array} ) +$$ + +$$ +N (t) +$$ + +$$ +, +$$ + +t + +t + +5 + +$$ +2 2: 0 0 - 2 3: 0 0 +$$ + +$$ +5: 0 0 - 6: 0 0 +$$ + +， + +$$ +Z = G - \left(N _ {a} + N _ {b}\right) \times A - B +$$ + +G + +$$ +, \left(N _ {a} + N _ {b}\right) \times A + B +$$ + +$$ +N _ {a} = \left[ \frac {4 \times 6 0}{T _ {1}} + \frac {7 \times 6 0}{T _ {2}} + \frac {2 \times 6 0}{T _ {3}} + \frac {5 \times 6 0}{T _ {2}} \right] +$$ + +$$ +N _ {b} = \left[ \frac {7 \times 6 0}{T _ {5}} + \frac {3 \times 6 0}{T _ {4}} + \frac {4 \times 6 0}{T _ {5}} + \frac {4 \times 6 0}{T _ {6}} \right] +$$ + +， （ ） + +$$ +I: \max Z = G - (N _ {a} + N _ {b}) \times A - B +$$ + +$$ +s. t. P \} +$$ + +$$ +t > 1 0 +$$ + +$$ +\} < \quad_ {1} +$$ + +$$ +P \left\{Q (i, j) + N _ {e} (i, j) - N _ {l} (i, j) > 1 2 0 \right\} < +$$ + +$$ +P \{Q (i, j) + N _ {e} (i, j) - N _ {l} (i, j) < 5 0 \} < 3 +$$ + +$$ +P \left\{ \begin{array}{c c} & t > 5 \\ & \end{array} \right. \quad \left. \right\} < _ {1} +$$ + +$$ +P \{Q (i, j) + N _ {e} (i, j) - N _ {l} (i, j) > 1 2 0 \} < +$$ + +$$ +P \left\{Q (i, j) + N _ {e} (i, j) - N _ {l} (i, j) < 5 0 \right\} < +$$ + +6 + +1) + +Z, $\max Z \Leftrightarrow \max T$ + +10 （5 ） + +$50\%$ ， max $Z$ 1 + +$$ +: \max T = t +$$ + +s.t. + +$$ +\frac {T _ {a} (i + 1 , j) - 1 0}{\frac {T _ {a} (i , j)}{T _ {a} (i + 1 , j)} f _ {i} (j) d t} +$$ + +$$ +Q (i, j) + \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1, j) \\ T _ {a} (i, j) \end{array} f _ {i} (j) d t - \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1, j) \\ T _ {a} (i, j) \end{array} g _ {i} (j) d t \quad 1 2 0 +$$ + +$$ +\frac { \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1 , j) - 5 \\ T _ {a} (i , j) \end{array} f _ {i} (j) d t }{\frac {T _ {a} (i + 1 , j)}{T _ {a} (i , j)} f _ {i} (j) d t} +$$ + +$$ +Q (i, j) + \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1, j) \\ T _ {a} (i, j) \end{array} f _ {i} (j) d t - \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1, j) \\ T _ {a} (i, j) \end{array} g _ {i} (j) d t \quad 1 2 0 +$$ + +$$ +\begin{array}{c} t > 0, \quad i = 1, 2 \\ \vdots \end{array} +$$ + +i) + +$$ +, A _ {1 3}, A _ {1 2}, A _ {1 1}, A _ {1 0}, A _ {9} \quad > +$$ + +ii) + +$$ +\begin{array}{c c c} A _ {0}, A _ {2}, A _ {3}, A _ {4} & > \\ 5 & (4) \end{array} , +$$ + +$F_{i}$ ， $G_{i}$ + +T Matlab + +$$ +\begin{array}{c c} , & \mathrm {T} \\ & F _ {i} , G _ {i} \end{array} , +$$ + +$$ +, \quad F _ {i} (t) = k _ {i} \times t, G _ {i} (t) = p _ {i} +$$ + +$$ +\times t, k _ {i}, p _ {i} +$$ + +$$ += 5 \% , \quad : +$$ + +$$ +\therefore \max T = t +$$ + +$$ +\mathrm {s . t .} \quad 1 9 t - 2 0 0 \quad 0 (\quad 1 9 t - 1 0 0 \quad 0) +$$ + +$$ +k _ {1} t - 1 2 0 \quad 0 +$$ + +$$ +k _ {1} t + k _ {2} t - p _ {2} t - 1 2 0 \quad 0 +$$ + +$$ +k _ {1} t + k _ {2} t - p _ {2} t + k _ {3} t - p _ {3} t - 1 2 0 \quad 0 +$$ + +$$ +k _ {1} t + k _ {2} t - p _ {2} t + k _ {3} t - p _ {3} t + k _ {4} t - p _ {4} t - 1 2 0 \quad 0 +$$ + +$$ +k _ {1} t + k _ {2} t - p _ {2} t + k _ {3} u - p _ {3} t + k _ {4} t - p _ {4} t + k _ {5} t - p _ {5} t - 1 2 0 \quad 0 +$$ + +$$ +t > 0 +$$ + +$$ +( \begin{array}{c c c c} 1 9 t - 2 0 0 & 0, & 1 9 t - 1 0 0 & 0) \end{array} +$$ + +5 + +Matlab + +
5:00-6:006:00-7:007:00-8:008:00-9:009:00-10:0010:00-11:0011:00-12:0012:00-13:0013:00-14:00
10.522.451.4342.8485.49626.03525.31375.64796.9231
/6.9292.6162.23393.9516.58747.30228.67478.08
14:00-15:0015:00-16:0016:00-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:0022:00-23:00
8.17258.26643.37552.59748.026810.52610.52610.526/
7.0795.533.27871.99342.97896.59959.21909.302310.5263
+ +：25 ,36 （ + +$$ +\begin{array}{c c} , & \\ \mathrm {A 1 3} & 7: 0 0 - 8: 0 0, \\ & 2 0 2 3 \end{array} \quad \begin{array}{c c} , & \\ \mathrm {T} = 5. 2 6 & , \\ \mathrm {3 6 2 6} & \\ \mathrm {= 3 6 2 6 - 2 0 2 3 = 1 6 0 3 (\quad)} \end{array} +$$ + +T + +
120 %()
( <50%)
2)
,
,
,
,
,
43
3)
i)
,
,
,
ii)
A)
,
,
B)
C)
,
,
,
Maple
j
Xij ,
Ci
i = {0/1}
min z = ∑j=118j=0Xij
s.t C0 + Ci = m
X11 = C1 - X11 0
X01 = C0 - X01 0
X1j = C1 + ∑m=1j-1X0m - ∑m=1jX1m 0
X0j = C0 + ∑m=1j-1X1m - ∑m=1jX0m 0
∑m=118X0m = ∑m=118X1m
1) 60 - 120
+ +2) 44-120 + +44 + +$$ +m = 4 8, C _ {0} = 4 2, C _ {1} = 6, z = 5 9 0 +$$ + +60 120 + +60, Maple $j = 2,3\dots 18$ + +$$ +: C _ {0} = 6 2, C _ {1} = 4, m = 6 6, Z = 4 7 6, +$$ + +44 + +120 + +43 Maple + +7 +8 +[1] +[2] +[3] +[4] + +Maple + +(2) + +（ 100） + +of buses "file in and out" during operation period while we have mainly done the research on the uneven variation of the passenger flow in time and space, the research on the laws of how to dispatch buses and we have established a target planning model which has realized the dispatching plan of "some early and some late" and when there are more, when there are fewer. Under the circumstances of ensuring certain benefits and the satisfaction of passengers, the overall operating time of the buses in operation has been made the shortest, the dispatching timetable has been got, while the number for the least buses is 42 and the ratio of satisfaction between passengers and bus companies is 0.48:0.46 + +Key words: Bus Dispatching; Passenger Flow; Target-Planning + +（ 94） + +# Optimization of Dispatching Buses + +FU Chang-jian Yang Cai-xia Qin Min + +Advisor: CHEN Jin-min + +(SiChuan University, Chengdu 610064) + +Abstract: It is to find out the best way to dispatch buses. We set a optimized model whose target function is the profit of bus company. At the same time, it guarantee the proportion that the passengers waiting for their buses more than $10\mathrm{min}$ (or $5\mathrm{min}$ ) in the total is less than given before. First, every station's nonparameter distribution function about the number of passengers is fitted by method of least squares. We use a simple method to estimate that at least 43 buses are needed, and then, we use Maple to get the optimal solution refer to it. It shows the best plans for dispatching buses in different conditions of the number of passengers. It can help bus company to get the top profit, meanwhile the passengers may not wait for their bus for a long time. In the end, we evaluate and popularize the model, and point out the effective way to improve it. + +Key words: dispatching buses; optimized model; method of least squares \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\345\222\214\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213/\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\345\222\214\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\345\222\214\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213/\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\345\222\214\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ad560622209efd858c87a2e2213cbc0517dfffa6 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\345\222\214\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213/\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\345\222\214\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,276 @@ +文章编号：1005-3085(2005)07-0035-06 + +# 水质的评价和预测模型 + +张震，张超，张昊 + +指导教师：指导组 + +(解放军信息工程大学信息工程学院，郑州450002） + +编者按：本文构造了“S”型的变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行了动态加权；根据7个观测站的位置将干流分为8段，计算中间6段的排污量，将本段内所有污染源等效为一个段中央的连续稳定源，计算出其对该段段末观测站浓度的影响值。以上两点具有独到想法。全文思路正确，表述清晰，假设可靠。 + +摘要：本文首先考虑到水质类别的差异和相同类别水质在数量上的差异对综合评价的影响，构造“S”形的变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行“动态加权”，建立基于逼近理想点排序法的评价模型和利用灰色关联度的分析方法，对长江水质状况做出了综合评价；其次，根据7个观测站的位置将干流分成8段，把每段河道内所有污染源都等效为一个段中央的连续稳定源，分别利用稳态条件下的一维水质模型及质量守恒定律，得出中间6段每个月的排污量，综合比较各河段一年多来的总排污量得到主要污染源的分布区域；然后，用每年不可饮用类水的百分比之和刻画水质状况，综合利用灰色GM(1,1)模型和时间序列分析方法，对变化趋势进行了预测；最后，建立不可饮用类水的百分比与长江水总流量和废水排放量的线性回归模型，计算在满足约束条件下排污量的极限值，用排污量的预测值减去极限值，得到未来10年的污水处理量。 + +关键词：逼近理想点排序法；一维水质模型；GM(1,1)模型；时间序列分析；线性回归 + +分类号：AMS(2000)76Z10 + +中图分类号：O212 + +文献标识码：A + +# 1 问题分析 + +问题一要求对长江两年多的水质情况做出定量的综合评价，应先对一个月内各观测站的水质情况做出评价，然后再综合考虑每个月的情况给出评价。附表所给出的水质评价仅仅体现了污染最严重的一项指标所达到的水质类别，即突出主因素，为进一步细化评判，还要综合兼顾其他各因素的作用，并且对于此种多属性问题，可以借助“空间距离”概念的角度来解决，因此采用“逼近理想解的排序法”（TOPSIS法）。在综合评价中，各指标水质类别区间的差异可以通过数据标准化消除，在确定各指标权重时，为体现出各项指标水质类别的差异以及相同类别水质在数量上的差异，想到构造一个“S”形曲线作为变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行动态赋权。 + +问题二要求污染物主要的分布区域，可用七个观测站把干流分成八段，将每段作为一个区域，考虑中间的六个区域。由于段尾观测站的观测值受上游以及本段污染源的影响，所以，考虑用段首观测站的观测值代替上游的污染源，将本段内所有污染源等效为一个段中央的连续稳定源，利用一维水质模型求出两者对段尾观测站的影响值，将两个影响值相加就等于段尾观测站的观测值，从而求解每段排污源的排污量。 + +问题三要求对长江未来水质污染的发展趋势做出预测。首先，要确定预测水质污染的物理量。因为IV、V、劣V类的水质属于不可饮用类水，所以用这三类水质每个时段的每个评价范围所对应百分比之和刻画水质的污染。分析可知，此数据具有确定的增长趋势和平稳的周期波动特性。则用以下方法预测：①利用灰色GM(1,1)模型对此序列的确定性增长趋势进行预测，②利用时间序列分析法对此序列的平稳周期变化趋势进行预测。两种预测值之和在一定的 + +程度上体现出水质污染的发展趋势。 + +问题四是要在满足一定约束条件下，求出未来10年内每年需要处理的废水量。首先，要对未来10年的废水排放量做出预测；然后，在满足约束条件时，求出所允许的废水排放量的极限值，这两个量之差就是每年要处理的废水量。每年长江水的总流量及废水排放总量会对不可饮用类水的百分比含量产生影响，可以采用“线性回归”的方法来刻画此关系，由此能够得到所允许废水排放量的极限值。 + +# 2 模型假设与符号说明 + +# 2.1 模型假设 + +1) 假设问题中所给出的数据能客观地反映现实情况，值得相信； +2）假设河道的长度远大于其宽度与深度： +3）假设相邻观测点间河道中的污染源可等效成稳定连续点源，且位于该段河道的中央； +4) 假设在短时期内，河道中各观测点间的水流速度保持稳定。 + +# 2.2 符号说明（略） + +# 3 模型的建立及求解 + +# 3.1 问题一 + +# 3.1.1 某个月内河流沿线的17个观测点水质情况的量化评价 + +# 1) 构造变权函数 + +四项污染物对水质的污染程度分为I、II、III、IV、V、劣V类6个等级，不妨设对应的数值分别为1，2，3，4，5，6(见图1)。分析可知，当水质的类别从I变化到III时，其权值变化应该较缓慢；从III类水变到IV水时，其权值变化应该非常大，这体现出水将发生质的变化（从可饮用到不可饮用）；而且水质越差，相应的权值也要越大，这样才能突出首要污染物。依据以上情况，构造增长的“S”形曲线作为变权函数： + +$$ +f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} \alpha \sqrt [ 3 ]{x - \beta} + \gamma , & x \geq 0 \\ 0, & x < 0, \end{array} \right. +$$ + +其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 为待定的常数。 + +当 $x = 1$ ，即水质最好时，令相应的量化值 $f(1) = 0.05$ ；为了说明I、II、III的之间的相对变化较小，令 $f(3) = 0.25$ ；当 $x = 6$ 时，其值为1，此时污染最严重。对应以上三个点，求得 $\alpha = 0.35, \beta = 3.48, \gamma = 0.52$ 。于是得到 $f(x)$ 的具体表达式为： + +$$ +f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0. 3 5 \sqrt [ 3 ]{x - 3 . 4 8} + 0. 5 2, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0. \end{array} \right. +$$ + +最后，经计算可得水质类型I至劣V所对应的量化值分别为(0.05,0.12,0.25,0.8,0.92,1)。 + +# 2) 求权重矩阵 + +以其中的某一个月为例，将17个观测点的4项监测指标的浓度提取出来，构造出原始评判矩阵 $R = (r_{ij})_{17 \times 4}$ ；再将元素 $r_{ij}$ 的值变换成污染类别，把类别对应的数值代入变权函数，得到量化矩阵；对量化矩阵中每一行的指标做归一化，得到权重矩阵W。对于两年来的每个月，都能得到一个权重矩阵。 + +![](images/ab1576d86034b1c06543599e576cd94d263b102b167806fe36c8cc7563129bc4.jpg) +图1：变权函数示意图 + +# 3) 基于 TOPSIS 法的综合评价模型 + +step1: 评价指标的极性和极值处理，得到规范化矩阵 $\mathbf{X}$ + +溶解氧的指标是极大型，PH值的指标是居中型的，其它两种是极小型的。对评价指标进行极小型处理，得到评价指标的极型一致化矩阵 $R^{*} = (r_{i1}^{*}, r_{i2}, r_{i3}, r_{i4}^{*})$ ，然后进行极值处理，得到规范化矩阵 $X = (x_{ij})_{17 \times 4}$ ，其中 + +$$ +x _ {i j} = \frac {r _ {i j} ^ {*} - \underset {1 \leqslant i \leqslant 1 7} {\min} r _ {i j} ^ {*}}{\underset {1 \leqslant i \leqslant 1 7} {\max} r _ {i j} ^ {*} - \underset {1 \leqslant i \leqslant 1 7} {\min} r _ {i j} ^ {*}} \quad (i = 1, 2, 3, \dots , 1 7; \quad j = 1, 2, 3, 4). +$$ + +step2: 构造加权规范决策矩阵 $\mathbb{Z}$ + +依据得到权重矩阵 $\mathbb{W}$ ，令： $z_{ij} = x_{ij}\times w_{ij}(i = 1,2,3,\dots ,17;j = 1,2,3,4)$ ，由此就在决策矩阵 $\mathbb{Z}$ 中体现了水质类别的差异和相同类别水质数量上的差异。 + +step3: 确定理想解及负理想解，并计算综合评价值 + +设理想解为 $z^{+}$ ，负理想解为 $z^{-}$ ，则综合评价值为： $b_{i} = \frac{d_{i}^{+}}{d_{i}^{+} + d_{i}^{-}}$ + +其中 + +$$ +d _ {i} ^ {+} = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {4} \left(z _ {i j} - z _ {i} ^ {+}\right) ^ {2}}, \quad d _ {i} ^ {-} = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {4} \left(z _ {i j} - z _ {i} ^ {-}\right) ^ {2}}. +$$ + +此时，各类污染指标越大，被评价对象的状态越接近负理想解，得到的综合评价值越大，河流污染程度就越严重；反之则接近理想解，综合评价值小，污染程度就越轻。 + +step4: 评价模型的求解 + +依据附件三中的数据，利用MATLAB编程求出两年多来每个月中17个观测点水质的评价值。以2003年6月为例，17个观测站的评价值分别为{0.186, 0.235, 0.448, 0.25, 0.252, 0.244, 0.266, 0.57, 0.197, 0.608, 0.117, 0.471, 0.2, 0.208, 0.475, 0.245, 0.196}。 + +# 3.1.2 基于灰色关联的方法综合分析17个观测点水质的污染情况 + +# 1) 选定母序列和比较序列 + +定义评价值矩阵 $\mathbb{H}$ ，其中的元素 $h_{ij}$ 表示第 $j(j = 1,2,3,\dots ,17)$ 个观测点在第 $i(i = 1,2,3,\dots ,28)$ 个月的评价值(由3.1.1求得)。令 $h_{i0} = \min_{1\leqslant j\leqslant 17}h_{ij}$ ，则母序列 $h_{i0}$ $(i = 1,2,3,\dots ,28)$ 是构造出来的最理想评判值序列。由 $h_{i1},h_{i2},h_{i3}\dots ,h_{i17}$ 分别构成17个子序列（比较序列）。 + +# 2) 计算关联度 + +子序列中每个数值与母序列中相应数值的关联系数为： $v_{j}(i) = \frac{a + \rho\times b}{\Delta_{j}(i) + \rho\times b}$ ，其中 + +$$ +\Delta_{j}(i) = |h_{ij} - h_{i0}|,\qquad a = \min_{1\leqslant j\leqslant 17}\min_{1\leqslant i\leqslant 28}\Delta_{j}(i),\qquad b = \max_{1\leqslant j\leqslant 17}\max_{1\leqslant i\leqslant 28}\Delta_{j}(i),\rho = 0.5. +$$ + +把关联系数取均值得到关联度： + +$$ +u _ {j} = \frac {1}{2 8} \sum_ {i = 1} ^ {2 8} v _ {j} (i) \quad (j = 1, 2, \dots , 1 7), +$$ + +关联度表示观测站评判值序列和理想评判值序列相关联的程度，数值越大，观测站的水质情况越好。 + +# 3.1.3 模型的求解 + +利用MATLAB编程得到17个观测点水质的综合评价值及排名，如表1所示： + +表 1: 各观测点的综合评价值及排名 + +
观测点1234567891011121314151617
综合评判值 (×10-3)797850780668790755741533773667925663632685423682725
排名3251247816613114151017119
+ +由综合排名得到：湖北丹江口胡家岭的水质情况最好，而江西南昌滁槎的水质情况最差。 + +# 3.2 问题二 + +# 3.2.1 一维水质模型 + +依据文献[2]，我们得到流体中的一维水质模型： $\frac{\partial C}{\partial t} = D_x \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - u_x \frac{\partial C}{\partial x} - K C$ ，其中 $x$ 为河流的长度， $C$ 为流体中污染物的浓度分布， $u_x$ 为水流速度， $D_x$ 为弥散系数， $K$ 为流体的降解系数。稳态条件下的一般河流，扩散作用可以忽略，上面的方程变为 $u_x \frac{\partial C}{\partial x} = K C$ ，若给定初始条件为 $C(0) = C_0$ 时，得到 $C = C_0 \exp \left\{-\frac{K x}{u_x}\right\}$ 。 + +# 3.2.2 第 $n$ 段河道中污染源排放量模型的建立 + +# 1) 确定段内的水流速度 + +每一段内的水速取前后两个观测站水速观测值的均值，即 $\frac{U_n + U_{n+1}}{2}$ ，其中 $U_n$ 和 $U_{n+1}$ 分别为第 $n$ 段河道中段首观测站和段尾观测站的水流速度。 + +2) 段首观测站上游所有污染源对段尾观测站的影响值 $C_{n+1}^{(1)}$ + +用段首观测站的观测值代替上游污染源的影响，根据一维水质模型，得到 + +$$ +C _ {n + 1} ^ {(1)} = C _ {n} \exp \left\{- \frac {2 K L _ {n}}{U _ {n + 1} + U _ {n}} \right\} \quad (n = 1, 2, 3, \dots , 6) \tag {1} +$$ + +3) 本段污染源对段尾观测站的影响值 $C_{n+1}^{(2)}$ + +首先，段中央等效污染点的浓度值等于单位时间排污量与水流量的比值，即 $2\frac{B_n}{V_n + V_{n+1}}$ 。 + +其次，根据一维水质模型，得到本段污染源对段尾观测站的影响值为 + +$$ +C _ {n + 1} ^ {(2)} = \frac {2 B _ {n}}{V _ {n + 1} + V _ {n}} \exp \left\{- \frac {K L _ {n}}{U _ {n + 1} + U _ {n}} \right\} (n = 1, 2, 3, \dots , 6) \tag {2} +$$ + +其中 $B_{n}$ 为第 $n$ 段河道中污染源每月的排污量， $V_{n}$ 为第 $n$ 段河道中段首观测站的水流量， $L_{n}$ 为第 $n$ 段河流的长度。 + +# 4) 列方程求解污染源排放量 $B_{n}$ + +根据质量守恒定律，观测点单位时间内流入的污染物的量等于单位时间内流出的量，于是 $C_{n + 1}V_{n + 1} = C_{n + 1}^{(1)}V_{n + 1} + C_{n + 1}^{(2)}V_{n + 1}$ ，即 + +$$ +C _ {n + 1} = C _ {n + 1} ^ {(1)} + C _ {n + 1} ^ {(2)} \tag {3} +$$ + +将(1)、(2)、(3)式联立得到 + +$$ +B _ {n} = \frac {V _ {n + 1} + V _ {n}}{2} \left(C _ {n + 1} - C _ {n} \exp \left\{- \frac {2 K L _ {n}}{U _ {n + 1} + U _ {n}} \right\}\right) \exp \left\{\frac {K L _ {n}}{U _ {n + 1} + U _ {n}} \right\} \tag {4} +$$ + +# 3.2.3 问题二的求解 + +将附件3中所给出的数据代入(4)式，求出每个月中各段河道污染源的排污量。最后，得到6段河道在13个月中高锰酸盐的排污总量为{113203.8, 1874725, 9935280, 9763920, 14898750, 12192310}（吨）；氮氨排污总量为{22425.3, 161422.1, 1266054, 714477, 345246.6, 1014997}（吨） + +进行比较后，得到河道中高锰酸盐污染源主要分布在第5河段（江西九江一安徽安庆），氨氮的污染源主要分布在第3河段（湖北宜昌一湖南岳阳）。 + +# 3.3 问题三 + +根据分析，可以将河道中IV类、V类和劣V类水的总含量来刻画长江水质情况，对附件4中数据统计后，得到过去10年中各种情况下不可饮用类水的含量百分比序列。将序列 $X_0$ 分解为 $Y_0$ 和 $Z_0$ ，其中 $Y_0$ 反映 $X_0$ 的确定性增长趋势， $Z_0$ 反映 $X_0$ 的平稳周期变化趋势。 + +# 3.3.1 利用灰色 $\mathrm{GM}(1,1)$ 模型对 $X_0$ 序列的确定性增长趋势进行预测 + +利用MATLAB编程进行求解，得到 $X_0$ 序列的确定性增长趋势 $\pmb{Y}_0$ 。 + +# 3.3.2 利用时间序列分析法对序列 $X_0$ 的平稳周期变化趋势进行预测 + +从原始序列 $X_0$ 中，消除确定性增长的趋势 $Y_0$ ，就能得到平稳周期变化趋势，即 + +$$ +\{Z _ {0} (1), \dots , Z _ {0} (1 0) \} = \{X _ {0} (1), \dots , X _ {0} (1 0) \} - \{Y _ {0} (1), \dots , Y _ {0} (1 0) \} +$$ + +对于此平稳变化序列，可利用时间序列分析法中的ARMA模型进行预测。根据 $\rho_{k}$ 和 $\varphi_{kk}$ 的拖尾性和截尾性，利用MATLAB编程进行预报，得到平稳变化趋势的预测值 $Z_{0}$ 。最后，综合确定性增长趋势 $Y_{0}$ 和平稳随机变化趋势 $Z_{0}$ 的预测值，得到 $X_{0}$ 序列的预测值。这样，就可以得到未来10年中各种情况下废水含量百分比的预测值。 + +以全流域在枯水期中不可饮用类水含量百分比为例 + +$$ +\{X _ {0} (1), \dots , X _ {0} (1 0) \} = \{6. 9, 1 7. 2, 3 2. 7, 1 4. 3, 2 3, 2 6. 8, 2 8. 7, 3 2. 4, 2 7. 5, 3 2. 2 \} +$$ + +得到未来10年废水含量百分比的预测值为 + +$$ +\{X _ {0} (1 1), \dots , X _ {0} (2 0) \} = \{3 4. 0 0, 3 5. 9 3, 3 7. 9 6, 4 0. 1 1, 4 2. 3 7, 4 4. 7 7, 4 7. 3 0, 4 9. 9 8, 5 2. 8 1, 5 5. 8 0 \} +$$ + +# 3.3.3 分析长江未来水质污染的发展趋势 + +根据预测值分析可知，若不采取任何治理手段，在10年后，长江的非饮用水（IV类、V类和劣V类）含量在一年中的大多数情况下都将超过 $50\%$ ，而且其比例还在逐年增加。正如专家给出的预测（附件1）：若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃。 + +# 3.4 问题四 + +# 3.4.1 污水百分比与水的总流量和废水排放总量的函数关系 + +根据分析可知，一年内污水百分比不仅和废水排放总量有关，而且也与水的总流量有关系，并且可以看成是线性关系。所以建立二元线性回归模型，在此问题中，以一年中所有检测 + +数据的平均值来刻画出整体的情况（即水文年中的数据），利用MATLAB编程，可分别求得一年内干流中IV、V类水百分比之和 $p_1$ 与总流量 $v$ 和排放量 $m$ 的函数关系。以及IV、V、劣V类水百分比之和 $p_2$ 与 $v$ 和 $m$ 的函数关系。实际情况中，总流量的变化很小，所以取前10年总流量的平均值来代替，即 $v = 9894.1$ 亿立方米，得到简化的模型 + +$$ +p _ {1} = 0. 1 5 4 9 7 m - 2 0. 1 9 2 6 \quad p _ {2} = 0. 2 0 5 9 m - 2 8. 9 7 2 9 +$$ + +# 3.4.2 满足函数关系约束下废水排放量的极限值 + +一年内干流中IV、V类水百分比之和要小于 $20\%$ ，即 $p_1 = 0.15497m - 20.1926 \leqslant 0.2$ ；一年内干流中劣V类水百分比要不大于0，那么IV、V、劣V类水百分比之和应该小于等于IV、V类水百分比之和，即 $p_2 = 0.2059m - 28.9729 \leqslant 0.2$ ；取两种约束范围的交集，得到废水排放量的极限为 $m^{max} = 131.59$ 亿吨。 + +# 3.4.3 未来10年内废水排放量的预测值 + +利用灰色 $\mathrm{GM}(1,1)$ 模型进行预测，得到未来10年污水排放量的预测值： + +$$ +\{3 0 3. 0 1, 3 2 2. 5 2, 3 4 3. 2 9, 3 6 5. 3 9, 3 8 8. 9 2, 4 1 3. 9 6, 4 4 0. 6 1, 4 6 8. 9 8, 4 9 9. 1 8, 5 3 1. 3 2 \} \quad (\text {亿 吨}) +$$ + +# 3.4.4 未来10年内的污水处理量的预测值 + +用排污量的预测值减去极限值，得到未来十年的污水处理量： + +$$ +\{1 7 1. 4 2, 1 9 0. 9 3, 2 1 1. 7, 2 3 3. 8, 2 5 7. 3 3, 2 8 2. 3 7, 3 0 9. 0 2, 3 3 7. 3 9, 3 6 7. 5 9, 3 9 9. 7 3 \} \quad (\text {亿 吨}) +$$ + +# 4 模型的评价和改进 (略) + +# 参考文献： + +[1] 岳超源. 决策理论与方法[M]. 北京：科学出版社，2003 +[2] 郑彤等. 环境系统数学模型[M]. 北京：化学工业出版社，2003 +[3] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2005 +[4] 张树京等. 时间序列分析简明教程[M]. 北京：清华大学出版社，2003 + +# An Evaluation and Prediction Model of Water Quality + +ZHANG Zhen, ZHANG Chao, ZHANG Hao + +Instructor: Instructor Group + +(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, PLA, Zhengzhou 450002) + +Abstract: The difference of water quality and quantity have an effect on the comprehensive evaluation of water quality. At first an "S" -like variable-value function dynamically weights the pollution evaluation standards of identical kinds for different water quality categories. Then, by making an evaluation model based on TOPSIS and using the analysis method of Grey Correlation, the water quality of Changjiang River is evaluated. Secondly, the main stream is divided into eight parts according to the positions of the seven observation points. All the polluting sources in each part are equal to a continuously stable source in the center of the part. By using the one-dimensional water quality model in the stable state and Quality Conservation Law to get the monthly pollutant amount in the middle six parts, and by comprehensively comparing the pollutant amount of different parts over one year, the distribution area of the main polluting sources can be got. Thirdly, the description of the state of water quality by the yearly undrinkable water percentage is made, and by using of the Grey GM(1,1) model and time sequence analysis method, the variation tendency is estimated. Last, in light of developing a linear regression model of the undrinkable water percentage in relation to the overall flow and waste water flow in Changjiang River, the limit of pollutant amount under restrictions is resolved. By subtracting the limit from the estimation value of pollutant amount, the waste water disposal amount can be predicted in ten years. + +Keywords: TOPSIS; greycorrelation; one-dimensional water quality model; GM(1,1) model; time sequence analysis; linear regression \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..80b4ae3b849df2f3b9d307d89404d28049d0cead --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\232\204\350\257\204\344\273\267\351\242\204\346\265\213\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,237 @@ +文章编号：1005-3085(2005)07-0041-06 + +# 长江水质的评价预测模型 + +谯程骏，张东辉，张敏 + +指导教师：教练组 + +(成都理工大学地球科学学院，成都610059) + +编者按：本文思路清晰，表述流畅，文章特点是：对不同水质指标用不同方法做标准化处理，再综合评价，主要污染源位置的确定和未来水质发展趋势预测等问题中均有完整的数学模型。不足之处是，没有结合长江水质的整体评价。 + +摘要：本问题是一个对长江的水质进行综合评价、预测和控制的问题。首先对各项数据做归一化处理；再建立变权函数，确定四项水质指标的污染权值，进行动态加权，根据水质污染的指标对长江17个观测站每个月的水质排序；再用决策分析方法中的Borda法对28个月进行水质综合排序。先假定排污口分别位于江段上游和下游的情况下，取均值作为江段单位时间排污量。在对长江未来水质污染的发展趋势作预测时，通过可饮用水(I类、II类、III类)和污染水(IV类、V类)的比例变化来进行分析，建立排污量与时间的灰色预测模型，得出未来10年的排污量。建立可饮用水和污染水与总流量和排污量的二元线性回归预测模型，从得到的结果看，可饮用水的比例逐年减少，水污染愈来愈严重。关于未来10年污水处理量，主要在问题3的基础上，得出长江的极限载污量，与预测排污量相减，求得每年需要的污水量。 + +关键词：Borda法；一维水质模型；灰色预测；二元线性回归预测 + +分类号：AMS(2000)92C35 + +中图分类号：O212 + +文献标识码：A + +# 1 问题重述及模型假设（略） + +# 2 问题分析 + +问题1首先应采用合理的方法实现数据的标准化。其次建立变权函数，确定四项标准物的污染度权值；根据水质综合的指标，对长江从上游到下游的17个观测点给出每个月的水质排序。再用决策分析方法对28个月进行水质综合排序。 + +问题2通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。把7个观测站点分为6个江段，计算各江段的排污量。利用一维水质模型可以得到每个江段中污染物浓度变化，再通过假设排污口的位置，结合流量计算各江段的单位时间排污量，以此确定主要污染源所在江段。 + +问题3分两步解决本问题：第一步建立长江排污量与时间(年)的数学模型；第二建立各级别水比例与总流量和排污量的关系模型。在问题3已建模型的基础上，问题4加上两个约束条件，求解得出长江的极限载污量，进而求得每年需要处理的污水量。 + +# 3 模型的建立与求解 + +# 3.1 问题1的模型建立与求解 + +# 3.1.1 数据的归一化处理 + +# 1) $PH$ 值的谷形处理 + +由限值表知，对于 $\mathrm{I} \sim \mathrm{V}$ 类地表水， $PH$ 值介于6到9。在数据处理上，我们认为，由于中性液体的 $PH = 7$ ，随着液体 $PH$ 值远离7(即大于和小于)的值的增加，其被污染的程度越大，数据处理应反映这个近似谷形关系。处理方法为 + +$$ +p _ {i k} = \frac {\left| P _ {i k} - 7 . 0 \right|}{9 - 6}, \tag {1} +$$ + +其中， $p_{ik}$ 表示第 $i$ 个地区第 $k$ 个月的 $PH$ 值 $(i = 1,2,\dots ,17;k = 1,2,\dots ,28)$ 。 + +# 2) $DO$ 值的归一化处理 + +对于污染物而言，应该遵循值越大，污染越严重的原则。但对于溶解氧值，含量与污染度却成反向关系，因此，所选的隶属度函数必须是一个减函数。经过求解，得到所需的减函数隶属度函数为 + +$$ +d _ {i k} = \left\{ \begin{array}{l l} - 0. 1 3 4 8 D _ {i k} + 1, & 0 \leq D _ {i k} \leq 7. 5 \\ 0, & D _ {i k} > 7. 5. \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +# 3) $NH3 - N$ 值和 $CODm$ 值的归一化处理 + +针对这两组数据的离散化程度并不是很高，可以采用极差变换法。 + +$$ +n _ {i k} = \frac {N _ {i k} - \min \left\{N _ {i k} \right\}}{\max \left\{N _ {i k} \right\} - \min \left\{N _ {i k} \right\}}, \tag {3} +$$ + +其中， $(i = 1,2,\dots ,17;k = 1,2,\dots ,28)$ 。于是得到17个地区28个月的 $NH3 - N$ 的归一化值 $n_{ik}$ 。同理，得 $CODMn$ 的归一化值 $c_{ik}$ 。 + +# 4）归一化处理结果-检测数据矩阵 + +通过上述数据的处理方法，对附件3的28张检测表进行处理，就能得到17个地区28个月的检测数据矩阵： $A_{ij}^{k}(i = 1,2,\dots ,17;k = 1,2,\dots ,28;j = 1,2,3,4)$ + +# 3.1.2 变权函数的确定 + +分析附件3，发现某地区的水质类别是由 $DO$ 、 $NH3 - N$ 和 $CODMn$ 含量决定的，且由三者的最差级别决定。这种现象定义为水质类别的不越界性。定义限值表中 $\mathrm{I} \sim \mathrm{劣V}$ 六个等级的权值分别为 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\}$ ，发现只要权值间满足下列关系： $x_{6}: x_{5} \geqslant 2$ ； $x_{5}: x_{3} \geqslant 3$ ， $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 相互接近可以有效地防止越界的发生。 + +经过验证，一种可行的权值定量化为 $x_{3} = 2, x_{5} = 9, x_{6} = 18$ 。用变动权值的办法刻画模糊评语集{轻度污染，中度污染，严重污染}的等级权值。考虑到人们对于明显水质优劣有强烈的感觉，而对于同一个级别的水质类型感觉上的差异并不明显。通过心理函数，求出变动权值 $x_{1}, x_{2}, x_{4}$ 。综合分析选取Logist模型，利用Matlab软件的非线性回归命令，求出曲线方程得 + +$$ +y = 1. 5 + \frac {1 8}{1 + 1 9 . 6 e ^ {- 1 1 . 6 (x - 0 . 5 8)}}, \tag {4} +$$ + +其中， $y\in x_{i}(i = 1,2,\dots ,6)$ 表示六个等级的变动权值； $\pmb{x}$ 表示经离散化后的数据。 + +利用式(4)处理限值表，得到17个地区28个月的变动权值矩阵 $\beta_{ij}^{k}$ 。对权值归一化处理 + +$$ +\alpha_ {i j} ^ {k} = \frac {\beta_ {i j} ^ {k}}{\max \left\{\beta_ {i 3} ^ {k} \right\}}, \tag {5} +$$ + +其中， $(i = 1,2,\dots ,17;k = 1,2,\dots ,28)$ + +# 3.1.3 17个地区28个月的水质污染值 + +对检测数据矩阵 $A_{ij}^{k}$ 和变动权值矩阵 $\alpha_{ij}^{k}$ 进行加权求和，得到水质污染值 $S_{i}^{k}$ 为 + +$$ +S _ {i} ^ {k} = \sum_ {j = 1} ^ {4} \alpha_ {i j} ^ {k} A _ {i j} ^ {k}. \tag {6} +$$ + +# 3.1.4 17个地区的水质综合排序 + +求解得到17个地区28个月的水质综合排序可以得到对长江流域整体的污染程度进行更加细致的描述。现在采用决策分析中的Borda法进行水质综合排序。用Borda法处理数据，得到17个地区28个月的水质污染综合排序(见表1)。 + +表1：水质污染综合排名（按污染量从小到大进行排名） + +
排名点位名称累积评分排名点位名称累积评分
1江西九江河西水厂38510四川宜宾凉姜沟191
2湖北丹江口胡家岭37911湖北武汉宗关182
3江苏南京林山36112四川泸州沱江二桥176
4安徽安庆皖河口34213湖南岳阳岳阳楼163
5重庆朱沱26414湖南岳阳城陵矶161
6四川攀枝花26315湖南长沙新港116
7湖北宜昌南津关25616四川乐山岷江大桥85
8江西九江蛤蟆石24717江西南昌源槎15
9江苏扬州三江营222
+ +# 3.2 问题2的建模与求解 + +# 3.2.1 模型的建立 + +某一污染物扩散所满足的微分方程是一个抛物线方程，结合实际问题的假设，常可假定其水流近似地处于稳定状态，断面沿程均匀。普通对流扩散方程为 + +$$ +\frac {\partial C}{\partial t} + u \frac {\partial C}{\partial x} = D \frac {\partial^ {2} C}{\partial x ^ {2}} - k C, \tag {7} +$$ + +其中， $u$ 表示断面平均流速， $u = Q / A(m / s)$ + +上式是解决污染物浓度的一般原理，结合问题2的实际情况，进行进一步地分析。假设观测站干流的污染物浓度在一个月内保持稳定，则： $\partial C / \partial t = 0$ 。又弥散系数 $D$ 是分子热运动造成污染物扩散的程度大小，它相对于江河流速 $\pmb{u}$ 来说是微不足道的，可以忽略不计，即： $D = 0$ 。所以上式进一步简化为 + +$$ +\boldsymbol {u} = \frac {d C}{d x} = - k C, \tag {8} +$$ + +其中， $u$ 表示断面平均流速； $C$ 为某组分子在 $\pmb{x}$ 断面的浓度； $k$ 为讲解常数。由此求出长江干流污染物浓度 $C_x$ 与距观测站长度 $\pmb{x}$ 米的函数关系 + +$$ +C _ {x} = C _ {i} e ^ {- \frac {k}{u _ {i}} x}. \tag {9} +$$ + +在距离上游为 $L_{i}$ 时河水浓度为 + +$$ +C _ {L _ {i}} = C _ {i} e ^ {- \frac {k}{u _ {i}} L _ {i}}. \tag {10} +$$ + +由于排污口的位置难以确定，为方便处理，现假设排污口位于第 $i$ 段干流的下游某处结合上式，可得下游排污口排污浓度为 $C_i^{\prime}$ ，方程为 + +$$ +C _ {i} ^ {\prime} = \frac {C _ {i + 1} \times Q _ {i + 1} - C _ {I _ {i}} \times Q _ {i}}{Q _ {i + 1} - Q _ {i}}. \tag {11} +$$ + +又假设排污口位于第 $i$ 江段的上游，其排污浓度为 + +$$ +C _ {i} ^ {\prime \prime} = \frac {C _ {i} ^ {\prime}}{e ^ {- \frac {k}{\mu_ {i}} L _ {i}}}. \tag {12} +$$ + +把排污口位于上游或位于下游不同情况下的平均单位时间排污量，平均取值作为此江段上的排污量。由常识，在下一站点浓度不变时，排污口位于上游的排污量显然高于排污口位于下游的排污量，并依次作为衡量排污量多少的指标。 + +综上所述，长江第 $i$ 段干流的污染物平均单位时间的排放量（毫克/秒）为 + +$$ +\overline {{D _ {i}}} = \frac {C _ {i} ^ {\prime \prime} \times \left(Q _ {i + 1} - Q _ {i}\right) + C _ {i} ^ {\prime} \times \left(Q _ {i + 1} - Q _ {i}\right)}{2}. \tag {13} +$$ + +# 3.2.2 模型的求解 + +对于一维单河段水质模型，两种污染物浓度相对较高的河段就是高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要所在地区。利用Matlab软件求解得：长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数的污染源主要在湖北宜昌到湖南岳阳段、江西九江到安徽安庆段。氨氮的污染源主要在湖北宜昌到湖南岳阳段、湖南岳阳到江西九江段。 + +# 3.3 问题3的建模与求解 + +# 3.3.1 长江总流量问题 + +分析长江每年总流量的数据，发现总流量是随年份随机地沉浮变动，总的来说，变化很小。因此我们用均值法得出未来10年的长江每年总流量： + +$$ +Q = \frac {\sum_ {i = 0} ^ {1 0} q _ {i}}{1 0}, \tag {14} +$$ + +其中， $Q$ 表示未来10年的长江每年平均总流量； $q_{i}$ 为 $1995\sim 2004$ 年的长江每年总流量。 + +# 3.3.2 建立长江每年排污量与时间(年)的灰色预测模型（略） + +# 3.3.3 建立各级别水比例与总流量、排污量的二元线性回归模型 + +长江流域地域广阔，水系发达，属于区域水质系统。需要预测枯水期、丰水期、水文年三段时期的全流域、干流、支流的排污情况。问题总共涉及到18种情况。建立模型时，只需研究可饮用水和中度污染水的各种情况。 + +第一、可饮用水比例的二元线性回归模型为 + +$$ +y _ {i j} ^ {(1)} = a _ {i j} ^ {(1)} + b _ {i j} ^ {(1)} x _ {1} + c _ {i j} ^ {(1)} x _ {2} + y _ {i j} ^ {(1)}. \tag {15} +$$ + +第二、中度污染水比例的二元线性回归模型为 + +$$ +y _ {i j} ^ {(2)} = a _ {i j} ^ {(2)} + b _ {i j} ^ {(2)} x _ {1} + c _ {i j} ^ {(2)} x _ {2} + y _ {i j} ^ {(2)}, \tag {16} +$$ + +其中， $y$ 表示水比例；(1)、(2)分别表示可饮用水和中度污染水； $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 分别表示年总流量和年总排污量； $i = 1,2,3$ 分别表示枯水期、丰水期和水文年； $j = 1,2,3$ 分别表示全流域、干流和支流。 + +由(16)式可以得到长江在三时段、三个流域、可饮用水、中度污染水比例预测模型为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \hat {x} ^ {(0)} (k + 1) = x ^ {(1)} (k + 1) - x ^ {(1)} (k) = \left(x ^ {(0)} (1) - \frac {b}{a}\right) \left(e ^ {- a k} - e ^ {- a (k - 1)}\right) \\ y _ {i j} ^ {(1)} = a _ {i j} ^ {(1)} + b _ {i j} ^ {(1)} x _ {1} + c _ {i j} ^ {(1)} x _ {2} + y _ {i j} ^ {(1)}; y _ {i j} ^ {(2)} = a _ {i j} ^ {(2)} + b _ {i j} ^ {(2)} x _ {1} + c _ {i j} ^ {(2)} x _ {2} + y _ {i j} ^ {(2)}. \end{array} \right. +$$ + +这样求得未来10年的可饮用水、中度污染水水量比例。如 $2005 \sim 2014$ 年枯水期全流域可饮用水比例分别为：57.524 54.003 50.29 46.372 42.24 37.881 33.283 28.434 23.317 17.92。可看出不采取治污措施，可饮用水比例将逐年递减。 + +# 3.4 问题4的分析、建模与求解 + +结合问题三的 $(GM(1,1))$ 模型预测的 $2005\sim 2014$ 年10年的排污量 $\hat{x}^{(0)}(k)$ ，每年需处理的污水量为 + +$$ +D _ {k} = \hat {x} ^ {(0)} (k) - \min \left\{x _ {2} ^ {(1)}, x _ {2} ^ {(2)} \right\} +$$ + +求解得，未来10年每年需要处理的污水量如表2所示： + +表2： $2005\sim 2014$ 每年需处理的污水量(单位：亿吨) + +
年份20052006200720082009
污水处理量137.4153.88171.26189.6208.94
年份20102011201220132014
污水处理量229.34250.86273.56297.51322.7
+ +# 4 模型的评价、改进及推广（略） + +# 参考文献： + +[1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003 +[2] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2005 +[3] 王华东, 万国江等. 水环境污染概论[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1984 +[4] 袁慰平. 孙志忠等. 计算方法与实习[M]. 南京：东南大学出版社，2000 +[5]郑彤．陈青云.环境系统数学模型[M].北京：化学工业出版社，2003 +[6] 熊燕，许晓东. Borda评分法与认可票法的联系与比较[J]. 华中科技大学学报，2005,22(增刊):132-133 + +[7] 刘圣勇. 一维水质模型对河流污染物扩散的简单模拟[J]. 水运管理，2005,27(4):33-35 + +# The Model of Evaluation and Forecast for Yangtse River's Water Quality + +QIAO Cheng-jun, ZHANG Dong-hui, ZHANG Min +Instructor: Instructor Group + +(Science of Earth Institute, Chengdu University of Technology, Sichuan 610059) + +Abstract: This issue focuses on making synthetical evaluation, calculation and controlling to Yangtse River's water quality. Firstly, disposing of all data into one category, then establishing changeable value function, and defining the pollution value of four items water quality indexes. We carry on dynamic additional power and putting the water quality each month in order which about Yangtse River's seventeen observatories according to the indexes of water quality pollution. While calculating the development trend to twenty-eight months water pollution through Borda method of decision-analysis methodology, making analyze to the proportion change between drinking water (I II IIIcategory) and sewage (IV V category) and establishing the weather calculation pattern of discharge sewage volume and time, to get the discharge sewage volume of the future ten years, also we build the secondary gender regression calculation pattern about drinking water and sewage with total volume and discharge sewage volume. The results showed that, the drinking water's proportion decreased year after year and water pollution became more and more serious. Concerning the sewage treatment volume in the ten years future, we can get the limited sewage volume of Yangtse River on the basis of the questoin Three and subtract calculation sewage volume to defin. + +Keywords: Borda method; ashy calculation; secondary gender regression calculation; primary dimensional water quality pattern \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\273\274\345\220\210\350\257\204\344\273\267\344\270\216\351\242\204\346\265\213\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\273\274\345\220\210\350\257\204\344\273\267\344\270\216\351\242\204\346\265\213\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\273\274\345\220\210\350\257\204\344\273\267\344\270\216\351\242\204\346\265\213\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\273\274\345\220\210\350\257\204\344\273\267\344\270\216\351\242\204\346\265\213\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1a13779a8ee8bccf045565aa8c42bcda9b73298d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2005/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230\350\256\272\346\226\207/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\273\274\345\220\210\350\257\204\344\273\267\344\270\216\351\242\204\346\265\213\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\225\277\346\261\237\346\260\264\350\264\250\347\273\274\345\220\210\350\257\204\344\273\267\344\270\216\351\242\204\346\265\213\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,281 @@ +# 长江水质综合评价与预测的数学模型 + +韩中庚 + +(解放军信息工程大学信息工程学院，郑州450002) + +摘要：本文针对2005年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛的A题“长江水质评价和预测”问题，首先概括地介绍了这个问题的立意与背景，然后给出了解决这个问题的一种可行的解决方案及结果，最后根据评卷情况、对评卷要点、问题的解决方法和答卷中存在的问题做了综合评述。 + +关键词：长江水质；水质类型；综合评价与预测；水质模型 + +分类号：AMS(2000)62P12 + +中图分类号：TB114 + +文献标识码：A + +# 1 问题的立意与背景 + +水是人类赖以生存的资源，保护水资源等于保护我们自己，尤其是对大江大河的水资源的保护和治理是重中之重。根据环保部门公布的数据，我国现有的水资源符合饮用水标准（I类Ⅲ类水）的只有 $30\%$ ，其余的 $70\%$ 都不能作饮用水，部分河流已被污染成了废水河。长江是我国第一、世界第三大河流，长江水的污染程度日趋严重，正面临六大危机：“森林覆盖率下降，泥沙含量增加，生态环境急剧恶化；枯水期不断提前；水质恶化，危及城市饮用水；物种受到威胁，珍稀水生物日益灭绝；固体废物严重污染，威胁水闸与电厂安全；湿地面积缩减，水的天然自洁功能日益丧失”。为此，长江水污染问题已引起了政府和有关专家的高度重视，国家环保局于2005年初掀起了一场“环保风暴”，一次刮停对环境污染严重的发电厂建设项目30多项，其中长江流域占了22项。国家主要领导人也强调指出：“要彻底改变以牺牲环境、破坏资源为代价的粗放型增长方式；不能以牺牲环境为代价去换取一时的经济增长；不能以眼前发展损害长远利益；不能用局部发展损害全局利益。”在2005年3月召开的“两会”上，许多人大代表和政协委员齐声呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染”。 + +2004年10月，由全国政协委员、中国发展研究院执行院长章琦教授发起，并联合组织几十名专家学者成立了“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃。”同时，专家们也上书国务院，并发出了“拿什么拯救癌变长江？”的呼唤。 + +正是在这样的一种背景下，我们提出了“长江水质评价与预测”问题。目前，长江的污染究竟达到了什么程度、主要的污染源在哪里、未来的发展趋势究竟会如何？10年后的长江究竟会变成什么样？会不会也像现在的淮河、海河一样变成一条最大的污水河？如果是这样，现在国家花巨资建设的“南水北调工程”岂不是毫无利用价值了！为此，我们围绕这个问题查阅了大量的相关文献资料，并先后咨询了中国发展研究院执行院长章琦教授，华东师范大学的陆健健教授，长江水利管理委员会（武汉）信息中心、《长江年鉴》编辑部、水利部中国水环境研究院信息中心和水质研究所、华北水利水电学院等单位，得到了有关专家和部门的支持与帮助，经过多方努力，多种途径搜集整理得到了所需要的珍贵数据资料。同时，我们也了解到， + +目前还没有人用完全定量的方法来研究相关问题。根据多年的统计资料显示，长江流域的面积占中国版图的 $54\%$ ，GDP 占全国的 $54\%$ ；2002年长江流域的排污总量为256亿吨，即平均每秒812吨，几乎都占了全国排污总量的一半之多，2003年达到了270多亿吨，比上个世纪80年代增加了一倍多。在长江流域生活着4亿人口；如果考虑到南水北调工程的影响，那么长江水质的好坏将影响到8亿人口的生活质量，为此，研究解决长江污染的问题是多么重要，这也是我们研究这个问题的意义所在。 + +# 2 问题的解决思路 + +根据这个问题的实际背景和现有的观测数据，首先依据近两年17个观测点的数据对相应地区的水质情况做定量综合评价与分析；然后依据这些地点的相对地理位置、水流量和水质数据，利用简化的一维水质模型推算出相应的排污量，从而可以确定出长江干流的主要污染源所在的区段；再根据长江过去10年的总体水质检测分类数据，利用灰色系统理论和回归分析等方法，对未来长江水质发展趋势进行预测，并对可能控制水质的条件进行研究。 + +问题1）按国家标准(GB3838-2002)的规定，关于地表水的评价指标共有24项，但对水质污染最主要的是四项：PH值、溶解氧(DO)、高锰酸盐指数(CODMn)和氨氮(NH3-N)，按国标将水质可分为I类、II类、III类、IV类、V类、劣V类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。为此，由过去两年多17个观测站的水质数据做综合评价时，要充分考虑这些指标不同类别的“质的差异”和同类别的“量的差异”。在这里，首先通过极差等变换将相关数据做标准化处理，然后利用动态加权法合理地构造综合评价指标函数，使能充分地体现水质的类别差异和同类别水的数量差异。最后依据综合指标值的大小对各地区的水质状况做出分析评价。 + +问题2）根据干流各观测站的水质数据和相应站点的位置关系，考虑到上游的污水会对下游的水质造成一定的影响，同时江河本身都有一定的自洁能力。一般说来自洁规律与江河的水流量、流速、水流断面、水流距离等参数有关，通常上游的水质对下游的影响服从一维水质模型。为了简化计算，不妨假设在一定的时间内流速是均匀的，水流断面变化不大，则可将其一维水质模型简化为简单的常微分方程。由此可以推算出上游的污水对下游的影响程度，从而可以计算出干流各个区段的排污量，即可确定主要的污染源所在的地区。 + +问题3）根据过去近10年长江的总体水污染状况的检测数据，可以看出长江总体水污染的严重程度呈现快速增长的趋势，主要是年排污总量的增加，在总水流量变化不大的情况下，使得污染河段比例的增加，即每年污染情况主要与当年的排污量和总水流量等因素有关。为此，首先可以根据过去10年排污量，利用灰色预测方法对未来的年排污量做出预测，然后利用回归分析方法确定出可饮用（或不可饮用）水的比例与总排污量和总水流量的关系式。最后根据总排污量的增长趋势来推断出可饮用（或不可饮用）水比例的变化趋势，从而可以预测出未来10年长江水质的变化情况。 + +问题4）用问题3)类似的方法，首先利用过去10年的相关数据确定出的不可饮用水、劣V类水的比例与总排污量和总水流量的关系式，然后根据题目要求的条件可以求出未来10年的污水处理量。 + +# 3 长江水质的综合评价模型 + +# 3.1 数据的标准化处理 + +首先要对所给的水质指标进行统一的无量纲化标准处理，使各项指标具有可比性。设四项水质指标溶解氧、高锰酸盐指数、氨氮和PH值的指标值分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 和 $x_{4}$ 。 + +1) 指标溶解氧的处理 为了与其它指标的度量标准一致性，首先将指标数据作极小化处理，即令倒数变换 $x_{1}^{\prime} = \frac{1}{x_{1}}$ ，然后通过极差变换 $x_{1}^{\prime \prime} = \frac{x_{1}^{\prime}}{0.5}$ 将其数据标准化，对应的分类区间变为 + +$$ +\left. \right.\left( \right.a _ {1} ^ {(1)}, b _ {1} ^ {(1)} \left. \right], \left( \right.a _ {2} ^ {(1)}, b _ {2} ^ {(1)} \left. \right], \left( \right.a _ {3} ^ {(1)}, b _ {3} ^ {(1)} \left. \right], \left( \right.a _ {4} ^ {(1)}, b _ {4} ^ {(1)} \left. \right], \left( \right.a _ {5} ^ {(1)}, b _ {5} ^ {(1)} \left. \right], \left(a _ {6} ^ {(1)}, b _ {6} ^ {(1)}\right). +$$ + +2)指标高锰酸盐指数的处理对所有高锰酸盐指标数据作极差处理，将其数据标准化，即令 $x_{2}^{\prime} = \frac{x_{2}}{15}$ ，对应的分类区间随之变为 + +$$ +\left. \right.\left( \right.a _ {1} ^ {(2)}, b _ {1} ^ {(2)} \left. \right], \left( \right.a _ {2} ^ {(2)}, b _ {2} ^ {(2)} \left. \right], \left( \right.a _ {3} ^ {(2)}, b _ {3} ^ {(2)} \left. \right], \left( \right.a _ {4} ^ {(2)}, b _ {4} ^ {(2)} \left. \right], \left( \right.a _ {5} ^ {(2)}, b _ {5} ^ {(2)} \left. \right], \left(a _ {6} ^ {(2)}, b _ {6} ^ {(2)}\right). +$$ + +3）指标氨氮的处理对所有氨氮指标数据作极差处理，将其数据标准化，即令 $x_{3}^{\prime} = \frac{x_{3}}{2}$ 对应的分类区间随之变为 + +$$ +\left(a _ {1} ^ {(3)}, b _ {1} ^ {(3)} \right], \left(a _ {2} ^ {(3)}, b _ {2} ^ {(3)} \right], \left(a _ {3} ^ {(3)}, b _ {3} ^ {(3)} \right], \left(a _ {4} ^ {(3)}, b _ {4} ^ {(3)} \right], \left(a _ {5} ^ {(3)}, b _ {5} ^ {(3)} \right], \left(a _ {6} ^ {(3)}, b _ {6} ^ {(3)}\right). +$$ + +4) 指标 PH 值的处理 PH 值（酸碱度）的大小反映出水质呈酸碱性的程度。通常的水生物都适应于中性水质，即酸碱度的平衡值（PH 值略大于 7），在这里不妨取正常值的中值 7.5。当 $PH < 7.5$ 时水质偏碱性，当 $PH > 7.5$ 时偏酸性，而偏离值越大水质就越坏。为此，对所有的 PH 值指标数据作均值差处理，即令 $x_4' = \frac{2}{3} |x_4 - 7.5|$ ，则将其数据标准化。 + +# 3.2 综合评价指标的确定方法 + +考虑到一个地区的污染指标的变化不仅与其所属的类型有关，而且即便是同属一个类型也有一定的数值差异。为此，在确定综合评价指标时，既要能体现同类型的指标数量差异，也要能体现不同类型指标之间的差异，而且更要能体现不同类型等级差的差异。于是，在这里采用动态加权法来确定相应的综合评价指标。根据实际不妨取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即 + +$$ +w _ {i} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & x \leq \alpha_ {i} \\ 1 - e ^ {- \left(\frac {x - \alpha_ {i}}{\sigma_ {i}}\right) ^ {2}}, & x \geq \alpha_ {i} \end{array} \right. (i = 1, 2, 3), \tag {1} +$$ + +其中 $\alpha_{i}$ 取指标 $x_{i}$ 的I类水标准区间的中值，即 $\alpha_{i} = \frac{b_{1}^{(i)} - a_{1}^{(i)}}{2}$ ， $\sigma_{i}$ 由 $w_{i}(a_{4}^{(i)}) = 0.9 (i = 1,2,3)$ 确定。由实际数据经计算可得 $\alpha_{1} = 0.1333, \alpha_{2} = 0.0667, \alpha_{3} = 0.0375, \sigma_{1} = 0.1757, \sigma_{2} = 0.2197, \sigma_{3} = 0.3048$ ，则代入(1)式可以得到DO、CODm和NH3-N三项指标的权值函数。考虑到差异较大的是前三项指标，以及指标PH值的特殊性，这里取前三项指标的综合影响权值为0.8，而PH值的影响权值取0.2。因此，某地区某一时间的水质综合评价指标定义为 + +$$ +X = 0. 8 \sum_ {i = 1} ^ {3} w _ {i} \left(x _ {i}\right) x _ {i} + 0. 2 x _ {4}. \tag {2} +$$ + +根据2003年6月到2005年9月17个主要观测站的28组实际检测数据，经计算可得各观测站所在区段的水质综合评价指标值，即可得到一个 $17 \times 28$ 阶的综合评价矩阵 $(X_{ij})_{17 \times 28}$ 。 + +# 3.3 各地区水质的综合排序与评价 + +由17个观测点28个月的水质综合评价指标 $X_{ij}(i = 1,2,\dots ,17;j = 1,2,\dots ,28)$ ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越大水质越差。由此可得反映17个观测点（地区）水质污 + +染程度的28个排序结果，利用决策论中Borda数法[1]来确定综合排序方案。记第 $j$ 个月的排序方案中排在第 $i$ 个站点 $S_{i}$ 后面的站点个数为 $B_{j}(S_{i})$ ，则站点 $S_{i}$ 的Borda数为 + +$$ +B (S _ {i}) = \sum_ {j = 1} ^ {2 8} B _ {j} (S _ {i}), \quad (i = 1, 2, \dots , 1 7). +$$ + +经计算可得到各站点的Borda数及总排序结果如表1所示。 + +表1：各观测点的 Borda 数及水污染情况总排序 + +
观测站点S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14S15S16S17
Borda数20313614323410613913837823227160357277264438214217
总排序1115127161314285173461109
+ +由表1可以看出，各观测站（地区）所在的江段的水质污染的情况，水质最差的是观测点 $S_{15}$ ，即是江西南昌赣江鄱阳湖入口地区；其次是观测点 $S_{8}$ ，即四川乐山岷江与大渡河的汇合地区；第三位的是 $S_{12}$ ，即湖南长沙湘江洞庭湖地区；干流水质最差的是湖南岳阳段 $(S_{4})$ ，主要污染可能是来自于洞庭湖。干流水质最好的区段是江西九江（鄂赣交界）段 $(S_{5})$ ，支流水质最好的是湖北丹江口水库 $(S_{11})$ 。 + +# 4 长江干流主要污染源的确定模型 + +针对问题2)，分析确定长江干流主要的污染物来自哪些地区。由于一个江段的水质污染，主要来处自本地区的污水和上游扩散下来污水两个部分的合成。一般说来，对于某一江段内的水质情况与该段内的排污量和上游的水质有关，在这里我们用排污速率（即每秒钟排污的含量）的大小来判断其排污量的多少。根据长江干流上的七个主要观测站点，将其分为六段，逐段分析其排污情况，即可以找出主要污染物的污染源所在的区域。 + +# 4.1 一维水质模型 + +假设长江干流中的污染物的分布浓度为 $C(\mathrm{mg / L})$ ，各河段断面为均匀的，平均流速记为 $u(\mathrm{m / s})$ ，不考虑扩散，且自净能力使污染物的浓度也不随时间变化，则 $C$ 满足一维水质模型 $u\frac{dC}{dx} +kC = 0$ ，其中 $\pmb{k}$ 为污染物的降解系数 $(1 / s)$ 。如果初值条件为 $C(0) = C_0$ ，则可求得一维水质模型的解，即污染物的浓度随着水流的流动自然降解的规律为 $C = C_0e^{-k\frac{x}{u}}$ 。 + +对于长江干流上任一江段AB，即起点为A，终点为B，距离为 $d(\mathfrak{m})$ ，不妨假设段内有 $_n$ 个排污口（包括支流入口和直排口），第 $_i$ 个排污口的流量、平均流速、污染物的浓度分别为 $q_{i},u_{i},c_{i}$ ，而用 $Q_{i},U_{i},C_{i}$ 分别表示该江段干流的水流量、流速和污染物浓度。则 + +$$ +C _ {i} = \frac {q _ {i} c _ {i} + Q _ {i - 1} f \left(C _ {i - 1}\right)}{Q _ {i - 2} q _ {i}}, \quad Q _ {i} = Q _ {i - 1} + q _ {i} (i = 1, 2, \dots , n + 1), \tag {3} +$$ + +其中 $f(C_{i-1}) = C_{i-1} e^{-k \frac{x_i - 1}{U_{i-1}}}$ 。如果已知起始点 A 和终点 B 的水流量、流速、污染物浓度分别为 $q_0, u_0, c_0$ 和 $q_{n+1}, u_{n+1}, c_{n+1}$ ，则在江段 AB 内的总排污量为 $w_{AB} = \sum_{i=1}^{n} c_i q_i$ 。即为实际上每秒钟排出的污染物的总量（排污速率）。实际中，因为不知道一个江段内排污口的个数和相应的排污量，要精确计算总排污量是困难的。为此，我们只须计算一个江段内可能的最大总排污量（上界）和最小排污量（下界），分别记为 $w_{\max}$ 和 $w_{\min}$ 。事实上，当所有排污都集中在江段的源头时，对该江段的水质影响最大。相反的，当所有的排污都集中在江段的终点时，对该江段的水质影响最小，据此来确定该江段的总排污量的上界和下界值。 + +# 4.2 污染物排放量的确定方法 + +1) 排污量的上界值 假设江段 AB 内的所有排污都集中在 A 点（源头）处，即在 A 点均匀混合后，经过 AB 段内的降解到 B 点，则 $C_B = C_1 e^{-k \frac{p}{U_B}}$ ，于是 $C_1 = C_B e^{k \frac{p}{U_B}}$ 。又根据(3)式可得 + +$$ +C _ {1} = \frac {q _ {1} c _ {1} + Q _ {0} C _ {0}}{Q _ {0} + q _ {1}} = \frac {q _ {1} c _ {1} + Q _ {A} C _ {A}}{Q _ {B}}, +$$ + +故有该江段内总排污量的上界值为 + +$$ +w _ {\max } = q _ {1} c _ {1} = C _ {1} Q _ {B} - Q _ {A} C _ {A} = Q _ {B} C _ {B} e ^ {k \frac {g}{v _ {B}}} - Q _ {A} C _ {A} (g / s). \tag {4} +$$ + +2)排污量的下界值假设江段AB内的所有排污都集中在B点（段末）处，类似地可得 $C_1 = C_B = \frac{q_1c_1 + Q_A C_A e^{-k\frac{\pi}{U_A}}}{Q_B}$ ，故有该江段内总排污量的下界值为 + +$$ +w _ {\min } = q _ {1} c _ {1} = C _ {B} Q _ {B} - C _ {A} Q _ {A} e ^ {- k \frac {P}{V _ {B}}} (g / s). \tag {5} +$$ + +对于任意一个江段AB，由起始点和终点的污染浓度 $C_A,C_B$ 、水流量 $Q_{A},Q_{B}$ 、流速 $U_{A},U_{B}$ 、距离 $\pmb{x}$ （均已给定）和降解系数 $\pmb{k}$ ，则根据(4)式和(5)式就可以计算出该AB段的污染物总排放量的变化区间 $[w_{\min},w_{\max}]$ 。 + +3) 平均相对排污量 根据所给数据，对于每一个月每一江段都可以确定一个排污量变化区间，记第 $j$ 个月排污量的变化区间为 $[w_{\min}^{(j)}, w_{\max}^{(j)}](j = 1,2,\dots ,13)$ 。按月份取均值得 $\overline{w}_{\min} = \frac{1}{13}\sum_{j = 1}^{13}w_{\min}^{(j)}, \overline{w}_{\max} = \frac{1}{13}\sum_{j = 1}^{13}w_{\max}^{(j)}$ ，则每一个江段都有确定的排污量区间 $[\overline{w}_{\min}, \overline{w}_{\max}]$ 。取中值 $w_{\mathrm{med}} = \frac{1}{2} (\overline{w}_{\min} + \overline{w}_{\max})$ ，即为一个江段13个月的平均排污量。如果该江段的距离总长为 $d(\mathrm{km})$ ，则一个江段每秒、每公里的排污量为 $w_0 = \frac{w_{\mathrm{med}}}{d} (\mathrm{kg / s}\cdot \mathrm{km})$ ，称其为平均相对排污量。对每一江段都有一个平均相对排污量指标，它是一个可比性的指标，由此指标的大小可以确定长江干流排量最大的区段，即可以确定主要污染源。 + +# 4.3 长江干流主要污染源的确定方法 + +根据附件3中所给的“长江干流主要观测站点的基本数据”，对于指标CODMn和NH3-N的降解系数为 $k = 0.2(1 / \text{天})$ 。按上述的方法分别计算可得结果及按排污速率大小排序如表2和表3所示。 + +表2：指标 CODmn 的排放量及排序结果 + +
江段S1~S2S2~S3S3~S4S4~S5S5~S6S6~S7
[whmin,whmax][31.32,49.03][30.07,68.07][39.12,78.72][20.29,49.04][14.15,18.58][23.16,40.15]
相对排污量w00.042290.063070.150.06930.09980.0682
排序651324
+ +表3：指标 NH3-N 的排放量及排序结果 + +
江段S1~S2S2~S3S3~S4S4~S5S5~S6S6~S7
[ωmin, ωmax][28.11,63.12][30.47,83.58][42.52,113.09][22.52,60.78][15.79,22.05][8.47,28.1]
相对排污量w00.0480.07330.1970.08330.11540.0393
排序541326
+ +从上面的结果可以看出，CODMn和NH3-N的主要污染源都在 $S_{3} \sim S_{4}$ 段，即在湖北宜昌到湖南岳阳之间的地区，可能是来自于三陕水库下游和洞庭湖一带，直观地分析此与实际数据完全相符。 + +# 5 长江水质的预测模型 + +要研究长江未来水质的总体变化情况，问题只需要预测10年后长江水是否还可以饮用，即I类、Ⅱ类、Ⅲ类水的比例总和为多少？ + +# 5.1 可饮用水量变化规律的预测 + +由过去10年长江流域的总排污量分别为(174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285)（亿吨）和总水流量分别为(9205,9513,9171.26,13127,9513,9924,8892.8,10210,9980,9405)(亿立方米），其变化规律可以视为时间（年） $t$ 的函数，不妨分别记为 $w_{1} = \phi_{1}(t)$ 和 $w_{2} = \phi_{2}(t)$ 。因为每年各水质类型的变化主要与总排污量和水流量有关，为此以 $\phi_1(t),\phi_2(t)$ 为解释变量，可饮用水的比例总和为响应变量，利用过去的检测数据作多元线性回归，从而可以得到可饮用水的比例与 $\phi_1(t)$ 和 $\phi_2(t)$ 函数关系。即考虑一般的线性多元回归模型为 + +$$ +y = a \phi_ {1} (t) + b \phi_ {2} (t) + c \tag {6} +$$ + +由过去10年可饮用水的比例观测值 $(\phi_{1}(t_{k}),\phi_{2}(t_{k}),y_{k})(k = 1,2,\dots ,10)$ ，用最小二乘法求得回归系数的估计值 $(a,b,c)$ ，代入(6)式中就可以得到可饮用水的比例与排污量和水流量的关系式。事实上，根据过去10年中枯水期、丰水期和水文年的可饮用水比例分别可得回归系数 $(a_i^{(k)},b_i^{(k)},c_i^{(k)})(i,k = 1,2,3)$ 如表4所示。 + +表4：回归模型的系数 + +
水期枯水期丰水期水文年
系数a_i(1)b_i(1)c_i(1)a_i(2)b_i(2)c_i(2)a_i(3)b_i(3)c_i(3)
全流域-0.14050.001889.0214-0.19070.0008113.2105-0.14890.001696.8396
干流-0.31230.0036112.0766-0.24280.0020116.0260-0.18460.003985.1549
支流-0.04190.000576.4087-0.14800.0001109.1528-0.10150.000297.4869
+ +将其代入回归模型(6)式中就得到各个水期的全流域、干流和支流可饮用水的百分比变化规律： + +$$ +y _ {i} ^ {(k)} = a _ {i} ^ {(k)} \phi_ {1} (t) + b _ {i} ^ {(k)} \phi_ {2} (t) + c _ {i} ^ {(k)} \quad (i, k = 1, 2, 3). \tag {7} +$$ + +利用这个模型可以对未来的水质情况（可饮用水的比例）进行预测分析。 + +# 5.2 未来10年的总排污量预测 + +由于过去10年的长江流域的总排污量是总体增加的趋势，为此用灰色预测模型GM(1,1)对未来10年的总排污量做出预测。依次记过去10年的总排污量为基本序列，记为 + +$$ +W ^ {(0)} = (w ^ {(0)} (1), w ^ {(0)} (2), \dots , w ^ {(0)} (1 0)). +$$ + +对 $W^{(0)}$ 作AGO序列和MEAN序列，求解 $\mathrm{GM}(1,1)$ 模型可以得到未来10年的排污总量的平均值为 $\overline{w} = 303.3804$ 亿吨。因主要是考虑10年后的情况，所以中间可以认为每年是均匀增长，这里平均年增长量为 $\triangle w = \overline{w} -285 = 18.3804$ （亿吨），则未来10年的排污量分别为 $w_{k} = 285 + k\triangle w(k = 1,2,\dots ,10)$ ，经计算可得未来10年的排污总量（单位为亿吨），即 + +$$ +W = (3 0 3, 3 2 2, 3 4 0, 3 5 9, 3 7 7, 3 9 5, 4 1 4, 4 3 2, 4 5 0, 4 6 9). \tag {8} +$$ + +# 5.3 未来10年的水质变化规律预测 + +根据各水期的全流域、干流和支流可饮用水的百分比的变化模型(7)，由未来10年的排污总量(8)式和相应的水流总量就可以计算出未来10年的各水期的全流域、干流和支流可饮用水的百分比的变化情况。注意到水流量没有明显的变化规律，在这里用过去10年的平均水流量9894.1亿立方米来表示未来10年的平均年水流量，即 $\phi_{2}(t) = 9894.1$ 。经计算得未来10年相应可饮用水的比例如表5所示。 + +表5：未来10年的各水期可饮用水的比例预测值 + +
年份2005200620072008200920102011201220132014
枯水期全流域64.110061.439758.910056.239753.709951.180248.509945.980243.450540.7802
干流53.341447.407841.786535.852930.231624.610318.676713.05537.43401.5004
支流69.085168.289767.536266.740965.987465.233964.438563.685062.931562.1362
丰水期全流域63.567059.944356.512352.889749.457746.025742.403038.971035.539031.9164
干流62.313257.699153.327948.713944.342739.971535.357430.986226.615022.0010
支流65.040562.228959.565256.753554.089951.426248.614545.950943.287240.4755
水文年全流域67.362564.533061.852559.023056.342553.661950.832548.151945.471442.6419
干流68.209064.700861.377457.869354.545851.222347.714244.390841.067337.5592
支流68.690666.762264.935363.006961.180059.353157.424755.597853.770951.8425
+ +由此结果可见，按目前的污染状况，如果不采取有效的综合治理措施，10年后到枯水期时长江干流可饮用水的比例也只剩下 $1.5\%$ 了，即有 $98.5\%$ 的江段水都成了IV类，或V类，甚至劣V类水，不可饮用了，水中也不会再有生物存在。正像专家所说：“长江生态10年内将濒临崩溃。”就是在丰水期，也有 $78\%$ 的江段都变成了非饮用水，污染的状况十分严重。 + +# 6 长江水质的控制模型 + +针对问题4)，如果要求未来长江干流IV类、V类和劣V类水的比例总和不超过 $20\%$ ，即可饮用水比例不小于 $80\%$ ，就要求(6)式中的 $y \geq 80$ ，则 $a\phi_{1}(t) + b\phi_{2}(t) + c \geq 80$ 。同时要求没有劣V类水，用类似模型(6)的方法，可得到长江干流IV类和V类水的比例总和与总排污量 $\phi_{1}(t)$ 和水流量 $\phi_{2}(t)$ 的关系 $y' = a'\phi_{1}(t) + b'\phi_{2}(t) + c'$ ，根据题目要求则应有 $y' \leq 20$ ，且劣V类水的比例 $100 - y - y' = 0$ 。于是未来10年允许的排污量 $\phi_{1}(t)$ 则应满足 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} a \phi_ {1} (t) + b \phi_ {2} (t) + c \geq 8 0, \\ a ^ {\prime} \phi_ {1} (t) + b ^ {\prime} \phi_ {2} (t) + c ^ {\prime} \leq 2 0, \\ 1 0 0 - (a + a ^ {\prime}) \phi_ {1} (t) - (b + b ^ {\prime}) \phi_ {2} (t) - c + c ^ {\prime}) = 0. \end{array} \right. +$$ + +取水流量 $\phi_{2}(t)$ 为平均值9894.1，分别计算枯水期和丰水期允许的平均年排污量为217亿吨和230亿吨。再根据未来10的正常排污量预测值，则可以得未来10年内每年需要处理的污水数量如表6所示。 + +表6：未来10年的需要处理污水量预测值 + +
年份2005200620072008200920102011201220132014
排污量预测值303322340359377395414432450469
枯水期处理量86105123142160178197215233252
丰水期处理量7392110129147165184202220239
年处理区间值[73,86][92,105][110,123][129,142][147,160][165,178][184,197][202,215][220,233][239,252]
+ +由结果可知，因为年排污量在逐年增加，要保持一定的水质指标就必须要增加污水的处理量，具体数值的多少主要取决于年水流量的大小。当水流量相对较大时，有利于水质的改善，污水处理量可以减少，也能保证水质的要求；当水流量相对较小时，会加重水质污染程度，故要增加污水处理量。为此，给出一个污水处理允许的区间值，通常情况下，根据水流量的大小在相应的区间内确定污水处理量。 + +# 7 对问题的综合评述 + +“长江水质的评价和预测”问题被用作2005年全国大学生数学建模竞赛A题，使得自己为此所做的工作和付出得到了专家和同行们的肯定，为此深感荣幸和欣慰，同时能够为全国大学生数学建模竞赛活动尽微薄之力而感到高兴。竞赛之后，有幸应邀参加了湖南与湖北赛区联合、河南赛区及全国的阅卷工作，在此期间很多专家们都对这个题目给予了很高的评价和赞赏，尤其是对题目的立意、题材和内容等方面，以及问题的开放性、灵活性、创造性和即时性的体现等方面都给予了好评。但也有的老师反映，这个题目太大了，要解决的问题太多了，尤其是数据量太大、太复杂了，学生在三天之内很难完成好。确实像这样一个实际的问题，数据也基本都是原始数据，短时间内解决实属不易，而且还要求做好更难了。尽管如此，在甲组参赛队中还是有 $60\%$ 以上队都选作了这个题目，这反映了同学们对这个题目的偏爱和兴趣，同时也反映出广大青年学生勇于挑战，敢于拼搏的精神和气质，值得称赞。从送到全国评奖的答卷也让我们欣慰地看到很多同学完成的还是很出色的，充分地体现出了同学们的创新精神和从事实际科研的能力与素质，我想这也是我们数学建模竞赛的目的所在。2005年的赛题的突出特点是：开放性强，实用性强，数据信息量大，可解方法灵活多样。我认为这是现代实际科研工作的特点之一，也应该是数学建模的一个发展方向。 + +# 7.1 解决问题的主要方法概述 + +由于“长江水质评价和预测”问题实际背景和特点，解决问题的可行方法灵活多样，从问题的数值结果上很难说明方法的对与错，但从实际问题来分析还是可以看出方法之间的差异，可也以判断出方法的优与劣，有些方法所得到的结果明显的不符合实际。 + +对于问题1)是多因素多属性的综合评价分析问题，可用的方法有综合加权法、模糊综合评判法、主成份分析法、灰色聚类、多目标决策、神经网络等方法，无论用哪一种方法都应该有一个合理的综合评价指标（函数），作为综合评价的依据。有一部分参赛队没有用任何综合评价的方法，只是对所给的数据做了一些简单的统计计算，即统计各类水出现的次数、频率，或取平均值即得到一个评价结果，这显然是不可取的。 + +对于问题2)是由历史数据来确定长江干流的主要污染源，事实上这是一个微分方程的反问题。大多数参赛队都是利用简化的一维水质模型（连续形式或差分形式）研究污染物的降解作用，从而可以确定各地区污染物的浓度变化。有一部分参赛队考虑了干流上排污源的影响，并 + +假设排污点在江段内均匀分布，或者所有的排污源都集中在某一点处等处理方法，这些都是合理的做法。最后根据各江段排污量的多少确定主要的污染源在哪里。 + +对于问题3)是对未来10年水质变化的预测问题，即是一个典型的小样本的预测问题，可用的方法有很多，如灰色预测、时间序列、回归分析、拟合（指数据拟合、线性拟合、分段非线性拟合、二次拟合）等等。只是这些方法如何来使用，使用方法不当可能会导致错误，有的会得到荒唐的结果。事实上，对于没有明显变化规律（或趋势）的数据样本做预测，用任何方法都是不可靠的。因为各单项比例都没有明显的变化趋势，所以有很多的参赛队都是对I类、II类、III类、IV类、V类和劣V类水的比例分别做预测的，所得到的结果都是不可靠的，比如各类水的比例预测值之和大于 $100\%$ 是个明显的错误。 + +对于问题4)是在问题3)的基础上进一步研究对水质的控制问题。事实上，该问题与问题3)紧密相关的问题，但有些参赛队把它们看成两个不相关的问题，使得问题人为的复杂化了。如果在问题3)中找出了可饮用水（或不可饮用水）的比例与总排污量和水流的关系，通过预测总排污量和水流量来计算出可饮用水的比例，而不是直接对各类水的比例进行预测，则问题4)就是水到渠成的事情了。否则问题4)就变成了与问题3)独立的问题，只能重复做上述的工作，使工作量大大增加。值得我们注意的是，在有多种可能的方法（或模型）时，要学会综合比较、优化选择合理有效的方法（或模型），而不是简单地套用某一种方法（或模型），这正向人们所说的“不要光重视最优化模型，更要重视模型的最优化。” + +# 7.2 答卷中出现的主要问题概述 + +由于该问题的开放性和解决方法的非惟一性等特点，所用知识和方法在以往的赛题中也并不多见，这就使得有些学生感到困惑和陌生，在处理问题时不知所示，因此出现了一些问题或错误。 + +1）对问题1)的理解。很多人对“长江水质情况做出定量的综合评价”的理解不当，甚至有人认为在理解上有歧义，不知道该评什么，用什么数据来评，如何来评等？其实出现这些模糊概念的关键是不清楚什么是“综合评价”，让我们看一下相关解释。“综合”一把事物的各个部分、方面、因素结合成一个统一整体加以考察；即把各种不同而互相关联的事物或现象组合在一起。“评价”——泛指衡量人物、事物的作用或价值。因此，“综合评价”的基本含义就不言而喻了。要构成“综合评价”的问题必须要有五个要素[2]：“被评价对象；评价指标；权重系数；综合评价模型（函数）和评价者”。解决综合评价问题的一般步骤是：“明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系；评价指标的标准化处理；确定相对权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值，并进行排序或分类”。这是任何一个综合评价问题都必须要做的工作。于是，问题1)要评什么，用什么数据来评，如何来评等问题就不言自明了吧。 +2）由于某些人对定量的综合评价方法不了解，就出现了仅对水质的类型做简单的统计计算，以各类水出现的次数或概率来评价，或以各类水出现的平均次数来评价。此类作法的主要问题是：缺少科学性，不符合综合评价的要求，不能区分同类水质中的数量差异。还有队说国标中关于水的分类方法不合理，自己试图给出一种自认为合理的分类标准。也有的队硬给某个地区或整个长江的水质进行分类，这就等于是修改了国标或自定分类标准，这也是不合适的。 +3）有相当多的参赛队在评价中，不考虑PH值在综合评价中的影响是不合适的。虽然PH值大小对水的分类无影响，但对水质是有很大影响的，过酸或过碱性的水质对生态环境的影响是很大的。 +4）有些队在建立综合评价指标时，对原始数据没有作标准化处理（无量纲化，或归一化等），这在综合评价中是一个低级的错误，违背了综合评价指标“可公度性”的要求。还有一 + +些仅用所给数据简单的作图描点分析，缺少定量依据。很多答卷没有给出明确的分析结果。 + +5）对于问题2)，有些队没有考虑长江的自然降解功能，仅对17个观测点的数据做统计，依据浓度的大小得到结果是不合适的。有相当多的一些参赛队都没有考虑干流上的排污源（包括支流和直排口等）的排污影响。有的参赛队是以两观测站之间的观测数据计算出来的排污总量的大小来确定污染源是不太合理的，因为站点之间的距离不同，排污总量不是可比指标。个别的队对降解系数为0.2不理解，认为是有 $20\%$ 的污染物被降解掉了，剩下的 $80\%$ 流到下游。也有的队通过一维水质模型计算出来的排污量为负值的情况没有做出合理的解释说明。 + +6) 对于问题3)，有很多的队是对各类水质的比例直接作预测的，明显的是不合理的，主要是各单类比例没有明显的变化规律可寻，用任何方法预测都是不可靠的，从而出现了各类水的比例总和大于 $10\%$ 的错误结果。各类水的比例变化应与总的年排污量和总水流量有关，有的队没有考虑总水流量的影响，只考虑排污量的影响不合适。很多的队都是用拟合的方法来做预测的，方法虽可行，但用指数拟合和二次函数拟合增长过快，线性拟合效果欠佳，三次以上的高次拟合是拟合问题的一大忌。对长江的年总流量用任何方法预测都不太合理，因为没有明显的趋势，所以取平均值较好。 + +7）对于问题4)，大多数队都是在问题3)中直接对各类水比例做的预测，没有找出各类水比例与年排污总量和水流总量之间的关系，为此要解决问题4)必须要先解决这个问题，使得问题复杂化。有的队对题意的理解有误，如题目中要求“四类水和五类水的比例不超过 $20\%$ ”，他认为是两类水分别小于等于 $20\%$ 。还有个别的队把所给长江长度的百分比理解成长江水浓度的百分比，于是对总排污量直接处理 $80\%$ ，即得到污水的处理量，显然是错误的。还有少数队直接对长江水总流量进行处理 $80\%$ ，从而得到了污水处理量达到几仟亿吨的荒唐结果。八九仟立方米的滔滔长江水如何来处理呢？这应该是一个常识性的问题。 + +# 8 结束语 + +2005年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛工作圆满的结束了，作为“长江水质评价和预测”问题的命题人，同全国的25446名参赛大学生一样也是一个参与者，同样也有深刻的感受和非常的收获。从开始考虑这个问题到搜集数据，直到最后形成题目，在这大半年的时间里让我感慨万千，酸甜苦辣可以说是一言难尽，在这里也不想赘述。在这个题目发布以后，引起的国内多家媒体和十多家网站的关注报道，这也说明了这个题目的时效性。在几次评卷过程中，接触到了很多专家教授和同行们，从他们对赛题的不同看法和评价中，也都给了我很多的启迪。我个人觉得中国的数学建模竞赛已经历十几个年头了，可以说是从当初的初级阶段发展到中级阶段，目前应该是正处在从中级往高级迈进的一个时期。总结历史展望未来，中国的大学生数学建模竞赛应该向何处发展，尤其是竞赛题应该如何发展？在开放性问题上个人觉得应该寻求适合中国国情的“中国式开放”，而不要套学“美国式开放”。一个理由是在中国可以共享的信息资源还很有限，虽然解决问题的必要数据资料客观存在，但是事实上很多都是属于主管部门的专利，所以我们无法获取。有人说：“如果把长江水质评价和预测问题中所给的数据都去掉就像美国的赛题了。”不错，我也相信这一点。我用了近几个月时间，动用了网络、电话、人力、物力、财力等资源才收集到这些宝贵的数据资料，让参赛学生三天内如何能做到呢？简直是天方夜谭。因此，我们的数学建模竞赛应向何处发展，赛题应如何开放？是值得我们共同关心、思考和研究的课题。 + +虽然今年的竞赛已落下帷幕，但围绕着这个问题也留给我们很多的思考，从题目本身还有很多有待于进一步讨论研究的问题。同时由于评卷规则的限制，没能看到所有参赛队的答卷， + +可能还有很多好的答卷和很好的做法没有看到，这里讲的不一定全面。因此，也希望有更多的同行和学生一起来讨论、交流和研究相关的问题，本人的E-mail：zhghan@163.com。 + +致谢：对全国组委会的专家、中国发展研究院的章琦教授、华东师大的陆健健教授和《长江年鉴》编辑部、水利部中国水环境研究院信息中心和水质研究所的有关专家，以及多年给予我关心和帮助的同行们一并表示衷心的感谢。 + +# 参考文献： + +[1] 岳超源. 决策理论与方法[M]. 北京：科学出版社，2003 +[2] 郭亚军. 综合评价理论与方法[M]. 北京：科学出版社，2002 +[3] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2005 +[4] 韩中庚. 招聘公务员问题的优化模型与评述[J]. 工程数学学报, 2004, 21(7):147-154 +[5] 韩中庚. 研究生录取问题的优化模型与评述[J]. 数学的实践与认识, 2005,35(7):126-135 +[6] 国家环保总局. 长江流域水质检测数据[R/OL]. http://www2.sepa.gov.cn/apps/Queryqgzdwaterenv.jsp + +# The Mathematical Model of Water Quality Comprehensive Evaluation and Prediction of the Yangtze River + +HAN Zhong-geng + +(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, PLA, zhengzhou 450002) + +Abstract: In this paper, according to the problem A of 2005 HIGHER EDUCATION PRESS CUP CUMCM, the motivation and background of the problem of water quality evaluation and prediction of the Yangtze River are introduced. Then the practicable solution methods and its results of the problem are given. Finally, according to the grading papers process, the comprehensive comments of the outline of grading, the solution methods and the existing problems are given. + +Keywords: water quality of the Yangtze River; water quality class ification; comprehensive evaluation and prediction; water quality model \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2006/2006\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\205\250\351\233\206/2006\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\205\250\351\233\206.md" "b/MCM_CN/2006/2006\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\205\250\351\233\206/2006\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\205\250\351\233\206.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..890748c20f545c7a347ef1a5642f3c3993f1198e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2006/2006\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\205\250\351\233\206/2006\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\205\250\351\233\206.md" @@ -0,0 +1,3915 @@ +文章编号：1005-3085(2006)07-0001-27 + +# 2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +姜启源 + +(清华大学，北京1000S4) + +由教育部高教司和中国工业与应用数学学会主办、高等教育出版社独家赞助的“2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛”于2006年9月15日至15日举行，来自全国30个省（市、自治区）和香港特区864所院校的9985队参加了这项通讯比赛，比2005年的795所院校8492队有很大发展。 + +竞赛答卷首先在由省（市、自治区）形成的27个赛区和联合赛区（今年由内蒙、宁夏、青海、香港组成）进行初评，评出各赛区的获奖者，然后各赛区按一定比例将优秀答卷送全国组委会，全国组委会聘请专家从中评出甲组全国一等奖193名，二等奖537名，乙组全国一等奖57名，二等奖165名。江南大学的王艳、王金鑫、苏电波同学获（甲组）高教社杯，乙组空缺。 + +我国的这项竞赛创办于1992年，每年一届，十几年来参赛规模以年均 $20\%$ 以上的速度增长，成为目前全国高校规模最大的课外科技活动。 + +这项竞赛之所以受到大学生们如此热烈的欢迎，是因为它有以下的特点：赛题由工程技术、管理科学等领域的实际问题简化加工而成，要求参赛者结合实际问题灵活运用数学和计算机软件以及其他学科的知识，通过建立、求解、评估、改善数学模型，充分发挥其聪明才智和创造精神；三名大学生组成一队，团结合作，选择一题在三天时间内完成一篇研究论文；可以自由地收集、查阅资料，调查研究，使用计算机、互联网和各种软件（但是不能与队外的任何人讨论赛题）；赛题没有事先确定的答案，论文评阅的标准是假设的合理性建模的创造性结果的正确性和表述的清晰程度。 + +为了进一步加强竞赛规则的执行，促进竞赛的健康发展，要求参赛同学签名承诺：“我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们郑重承诺，严格遵守竞赛纪律，以保证竞赛的公平、公正性。如有违反竞赛规则的行为，我们将会受到严肃处理”。今年各赛区加强了评阅工作，对部分参赛队进行了面试。全国评阅专家组认真审查了送交的答卷，也对一些队进行了面试答辩。 + +今年A题的素材包括许多数据来自竞赛的赞助单位-高等教育出版社，由北京工业大学孟大志教授形成题目：B题是命题人天津大学边酸萍教授在自己一项科研课题的基础上加工的；C题由北京理工大学叶其孝教授提供；D题由解放军信息工程大学韩中庚教授提供；在此一并表示感谢。为了更广泛、有效地收集适合竞赛的题目和素材，再次向全社会诚征赛题，有意者请与全国组委会办公室联系：100084北京清华大学数学科学系胡明娅，电话及传真(010)62781785，Email:mhu@math.tsinghua.edu.cn + +为了与广大同学进行交流，对今后的竞赛予以适当引导，全国评阅专家组选择了一些优秀论文在本刊发表，并请命题者和评阅者撰文讲评。 + +发表的论文是同学们三天内写出的，为了保持原貌只作了适当的删节和文字上的修改。章不可避免地存在着相当多的不妥之处，请读者谅解。 + +希望对这项竞赛作进一步了解的读者，请看：http://mcm.edu.cn + +# A题 出版社的资源配置 + +出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、务与管理成本等）和利润。 + +某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，此总社一般以增强强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。 + +资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展策略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。 + +本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用新建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。 + +注 附录位于压缩文件 A2006Data.rar 中，可从 http://ncm.edu.cn 下载。 + +# B题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 + +艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬近3000万人的生命。 + +艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称 AIDS，它是由艾滋病毒（医生全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称 HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人生丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 被入侵中起着重要作用，当 CD4 被 HIV 感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致 AIDS 发作。 + +艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有100地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。 + +迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。 + +现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。ACTG320（见附件1）是当时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药品的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔5次测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分组为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600mg zidovudine加2.25mg zalcitabine（扎西他滨）；600mg zidovudine加400mg didanosine；600mg zidovudine加400mg didanosine，再加400mg nevirapine（奈韦拉平）。 + +请你完成以下问题： + +1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。 +2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。 +3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下： $600\mathrm{mg}$ zidovudine 1.60 美元， $400\mathrm{mg}$ didanosine 0.85 美元， $2.25\mathrm{mg}$ zalcitabine 1.85 美元， $400\mathrm{mg}$ nevirapine 1.20 美元。如果病人需要考虑 4 种疗法的费用，对 2) 中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。 + +注 附件1，2位于压缩文件B2006Data.rar中，可从http://mcm.edu.cn下载。 + +# C题 易拉罐形状和尺寸的最优设计 + +我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的：看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 + +现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： + +1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 +2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 +3. 设易拉罐的中心纵断面如右图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 +4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 +5. 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文（不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文），阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 + +# D题 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 + +煤矿安全生产是我国目前亟待解决的问题之一，做好井下瓦斯和煤尘的监测与控制是实现安全生产的关键环节（见附件1）。 + +瓦斯是一种无毒、无色、无味的可燃气体，其主要成分是甲烷，在矿井中它通常从煤岩裂缝中涌出。瓦斯爆炸需要三个条件：空气中瓦斯达到一定的浓度；足够的氧气；一定温度的引火源。 + +煤尘是在煤炭开采过程中产生的可燃性粉尘。煤尘爆炸必须具备三个条件：煤尘本身具有爆炸性；煤尘悬浮于空气中并达到一定的浓度；存在引爆的高温热源。试验表明，一般情况下煤尘的爆炸浓度是 $30\sim 2000\mathrm{g / m^3}$ ，而当矿井空气中瓦斯浓度增加时，会使煤尘爆炸下限降低，结果如附表1所示。 + +![](images/babb4544d3bb2c1c67942979cd6b4f571f284b5f2e990bf7b2ea28c7b014e83a.jpg) + +国家《煤矿安全规程》给出了煤矿预防瓦斯爆炸的措施和操作规程，以及相应的专业标准（见附件2）。规程要求煤矿必须安装完善的通风系统和瓦斯自动监控系统，所有的采煤工作面、掘进面和回风巷都要安装中烷传感器，每个传感器都与地面控制中心相连，当井下瓦斯浓度超标时，控制中心将自动切断电源，停止采煤作业，人员撤离采煤现场。具体内容见附件2的第二章和第一章。 + +附图1是有两个采煤工作面和一个掘进工作面的矿井通风系统示意图，请你结合附表2的监测数据，按照煤矿开采的实际情况研究下列问题： + +1）根据《煤矿安全规程》第一百二十三条的分类标准（见附件2），鉴别该矿是属于“低瓦斯矿井”还是“高瓦斯矿井”。 +2）根据《煤矿安全规程》第一百六十八条的规定，并参照附表1，判断该煤矿不安全的程度（即发生爆炸事故的可能性）有多大？ +3）为了保障安全生产、利用两个可控风门调节各采煤工作面的风量，通过一个局部通风机和风筒实现掘进巷的通风（见下面的注）。根据附图（所示各井巷风量的分流情况、对各井巷中风速的要求（见《煤矿安全规程》第一百零一条），以及瓦斯和煤尘等因素的影响，确定该煤矿所需要的最佳（总）通风量，以及两个采煤工作面所需要的风量和局部通风机的额定风量（实际中，井巷可能会出现漏风现象）。 + +注掘进井需要安装局部通风机，其额定风量一般为 $150\sim 400\mathrm{m}^3 /\mathrm{min}$ 。局部通风机所在的巷道中至少需要有 $15\%$ 的余裕风量（新鲜风）才能保证风在巷道中的正常流动，否则可能会出现负压导致乏风逆流，即局部通风机将乏风吸入并送至掘进工作面。 + +# 名词解释 + +1）采煤工作面：矿井中进行开采的煤壁（采煤现场）。 +2）掘进巷：用爆破或机械等方法开凿出的地下巷道，用以准备新的采煤区和采煤工作面。 +3）抛进工作面：掘进悲尽头的开掘现场。 +1 新鲜风：不含瓦斯和煤尘等有害物质的风流。 +5）风：含有一定浓度的瓦斯和煤尘等有害物质的风流。 +注附表和附图位于压缩文件D2006Data.tar中，可从http://ncun.cdu.cn下载。 + +# 2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单 + +高教社杯获得者： + +印组：王艳，王金鑫、苏申波（江南大学） + +乙组：（空缺） + +甲组一等奖193名（排名以学校笔画为序） + +
序号学校参赛队员指导教师
1上海大学江芳张家健龚云路教校指导组
2上海大学万书晓张凯旋徐斯源教校指导组
3上海师范大学胡牧茜刘婷婷孙莉施永元
4上海财经大学张兴邱凌王养田教校指导组
5上海理工大学黄辉刘莹生徐姝教校指导组
6上海理工大学刘颖总卢荣文张秋香教校指导组
7大连水产学院李涛三晓刚张名杜俊雨
8大连民政学院朱治容杜月莲白艺玲教师组
9大连理工大学李川修彤崔晓丽指导教师组
+ +文章编号：1005-3085(2006)07-0028-09 + +# 出版社的资源配置优化模型 + +王艳. 王金鑫. 苏电波 + +指导教师：教练组 + +(江南大学，无锡江苏 214122) + +编者按：该文以经济效益、满意度、占有率和计划准确率构造目标函数，并给出来所有约束条件，建模考虑全面，表达较为简洁、严谨。这是一篇优秀的竞赛论文。 + +摘要：本文针对出版社资源配置问题建立了相应的数学模型。根据出版社历年的统计资料和问卷调查数据，以9个分社的72门课程为研究对象，利用线性回归的方法预测2006年每种书号实际销售量，从均值角度统计其市场满意度和市场占有率，并计算出书号申请计划的准确度。从经济效益、市场满意度和市场占有率三方面来理解所谓的“强势产品”，兼顾计划准确度建立了一个多目标整数规划模型。利用“极差标准化法”和“指派方法”对经济效益指标和满意度指标进行了标准化处理，最后进行综合加权将多目标转化成单目标。以人力资源与书号申请量为约束条件，引进“惩罚因子”和“平衡因子”对分社的申请量进行了调整，使决策更具有有效性。利用LINGO软件求解，得到了总社明确的书号配置方法，并分析了在资源配置中人力资源的关键性作用。针对市场经济条件下出版业的发展趋势和该出版社所暴露出来的问题本文提出了一些参考性建议。 + +关键词：资源配置；量化分析；多目标决策；无量纲化；强势产品 + +分类号：AMS(2000)90C29 + +中图分类号：O221.4 + +文献标识码：A + +# 1 问题的提出 + +出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本和利润。合理的进行资源配置是出版社每年都要进行的重要决策，因为它直接关系到出版社当年的经济效益和长远发展战略。 + +考虑某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施，从而使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增强强势产品支持力度的原则优化资源配置。 + +A出版社通过问卷调查收集相关信息，并且积累了该社往年的一些数据资料，根据这些数据资料，提出以量化分析为基础的书号配置方法，给出一个明确的分配方案，并且向出版社提供有益的建议。 + +# 2 问题的分析 + +本题是一个出版社资源的优化配置问题。所谓的资源配置，美国经济学家保罗·萨缪尔森是这样定义的：资源配置是将资源的生产要素在各种潜在的用途上进行分配，以产生一组特定的最终产品的经济形式。在这里出版社的各种资源都是捆绑在书号上的，所以出版社的资源合理配置问题就可以看成是如何将总量一定的书号数分配给各分社，使得出版社的效益最佳。 + +任何形式的资源配置都是在一定信息量的基础上进行的，本题可得资料包括分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场调查信息，但是这些信息通常具有不完全性和随机性，所以本文在信息提取和模型建立上都提出了适当的简化处理方法，在克服信息不足困难和提供实用参考决策方面进行了探索。 + +首先是数据的提取。从调查问卷表和问卷调查数据可以统计获得各门课程教科书的平均满意度，通过是否使用本出版社的教材估计本出版社主要课程的市场占有率，以及市场竞争上的其他相关指标；根据以往5年各课程计划及实际销售数量可以来预测06年的实际销售量和各分社对各门课程的计划准确度；另外从所给资料中能够得到总社可供分配总书号数、各门课程销售均价、2006年各分社书号分配数量的范围以及各分社人力资源最大工作能力。 + +其次是模型的建立。利用资料中提取的信息，根据以增强强势产品支持力度原则进行资源的优化配置，从而达到效益的最大化。我们对“强势产品”从市场占有率，市场满意度，计划准确度三个方面理解，即总社在分配书号时优先考虑市场占有率高，市场满意度高，计划准确度高的课程。于是问题就可以转化成一个多目标决策问题。 + +最后通过信息分析并且结合当今出版业在市场中的地位以及发展趋势，对出版社提出了一些参考性建议。 + +# 3 模型假设和符号系统 + +# 3.1 模型假设 + +1）问卷调查数据能正确地反映出版社的历年经营状况和读者对图书的满意度评价； +2) 假设2006年A出版社及市场均运行正常，没有突发情况； +3) 分配书号时只考虑各分社人力资源的约束，而不考虑其它资源的限制： +4）为保持工作连续性和对各分社申请计划一定程度上的认可，出版社在分配书号时至少保证各分社申请数量的一半； +5）同一课程不同书目价格差别不大，同时销售量相近，用“课程均价”和“平均销量”表示A出版社同一课程不同书目的价格均值和销量均值： +6）本文只研究A出版社所关注的72门课程所对应的教材（一个书号对应一类教材）。 + +# 3.2 符号系统 + +$x_{ij}$ ：第 $i$ 个分社第 $j$ 门课程分配到的书号数； $\alpha_{ij}$ ：第 $i$ 个分社第 $j$ 门课程的市场满意度； + $x_{i}$ ：第 $i$ 分社所得书号数； $\beta_{ij}$ ：第 $i$ 分社第 $j$ 门课程教材数的市场占有率； + $n_i$ ：第 $i$ 个分社的课程数； $\eta_{ij}$ ：第 $i$ 个分社第 $j$ 门课程计划的准确度； + $p_{ij}$ ：第 $i$ 个分社第 $j$ 门课程每种书目价格均值； $\mu_{i}$ ：第 $i$ 个分社的申报准确度； + $q_{ij}$ ：第 $i$ 个分社第 $j$ 门课程每种书目销量均值； $\varepsilon_{ij}$ ：标准化后的经济效益； + $s_{ij}$ ：第 $i$ 个分社第 $j$ 门课程的申请书号数； $\omega_{ij}$ ：标准化后的市场满意度； + $s_i$ ：第 $i$ 分社申请书号数； $\theta$ ：平衡因子； + $c_{i}$ ：第 $i$ 个分社的最大工作能力； $\lambda_k$ ：目标函数的权值； + $M$ ：出版社的可供分配总书号数； + +# 4 模型建立 + +# 4.1 数据分析 + +出版社在进行决策时必须要同时兼顾经济效益和社会效益，信息的不完全性和不确定性增加了决策的难度，因此在大量信息中提取有用信息就成为了决策的关键。首先我们根据历年资料和社会调查数据挖掘出影响决策的信息。 + +# 1）2006年每种书号平均销售预测 + +出版社大部分有关资源配置的问题都是要以未来的销售预测为前提的。作为出版社的决策者就必须要了解市场销售量的发展趋势，在主观预测的基础上结合历史数据对未来的销售量进行预测。观察往年的数据，我们发现该出版社每种书号的实际销售量（每门课程教材的实际销售量和总书号数之商）呈一种线性递增的趋势，在市场和出版社都运行正常的假设下，我们可以认为2006年每种书号的实际销售量也是线性增加的，本文运用线性回归的方法对2006年每种书号实际销售量进行预测。 + +以计算机类的 $\mathbf{C}++$ 程序设计这门课程为例，其以往5年每种书号实际销售量如表1所示。 + +表 1: 2001-2005 年 C++ 程序设计销售情况 + +
项目2001年2002年2003年2004年2005年
实际销售量12401243185026412692
实际书号数1011121212
每种书号平均销量εij124113154.7220.8224.3
+ +用线性模型 $q_{11} = \alpha_0 + \alpha_1 n + \varepsilon$ 进行拟合(其中 $\alpha_0, \alpha_1$ 称为回归系数， $\varepsilon$ 为随机误差，如果模型选择合适，应大致服从均值为 0 的正态分布， $n$ 为年份，2001 年取 1)，用 MATLAB[1] 统计工具箱中的命令 regress 求解，得到： $\alpha_0 = 72.791, \alpha_1 = 32.716$ ，线性回归函数为： $q_{11} = 72.791 + 32.716 n$ ，预测 2006 年每种书号销量为 269。类似地可以计算其它课程每种书号销售量预测值。 + +# 2) 市场满意度分析 + +A出版社进行出版决策时，不能仅以盈利为目的，也应该尽量整合出版社资源实现社会效益的最大化，而市场满意度即为评价社会效益的一个重要指标。读者满意度反映读者对教材的某项指标的要求和教材实际效用之间的差异，满意度越高，说明差异越小，出版社的社会效益越好。通过问卷调查数据获取A出版社每门课程的销售数量，对筛选数据满意度分值求和取均值，见表2。 + +# 3）课程教材的市场占有率分析 + +出版社要在市场上生存，进行资源配置决策就要保证一定的市场竞争力。市场占有率在一定程度上体现了市场竞争力，占有率越大的课程竞争力就越强，那么出版社在分配书号时就应该对该课程有所偏重。本文通过是否使用A出版社的教材来估计A出版社主要课程的市场占有率，即市场占有率为市场上使用A出版社的某门课程教材人数占市场上所有使用该门课程教材人数的百分比。统计结果见表3。 + +# 4）课程的计划准确度分析 + +各分社在提交生产计划申请书时，出于本位利益或其他原因考虑，分社会主观夸大申请的 + +表 2: 72 门课程满意度标准化 ${\omega }_{ij}$ + +
课程号1-120.450.490.110.510.360.490.410.60.450.460.590.52
课程号13-210.670.30.720.510.760.50.580.620.480.470.460.46
课程号25-360.480.480.470.50.450.460.470.380.290.420.470.49
课程号37-480.20.420.460.560.470.460.460.460.460.470.450.48
课程号49-600.430.060.440.460.430.50.040.420.470.110.430.47
课程号61-720.470.50.470.470.330.450.450.440.460.50.410.43
+ +表 3: 72 门课程的市场占有率 ${\beta }_{ij}$ + +
课程号1 120.190.1100.010.050.080.260.020.240.010.620.47
课程号13-240.10.060.10.250.50.210.490.520.3360.9720.9160.792
课程号25-360.980.720.970.0040.1040.5760.080.1600.740.320.35
课程号37-480.130.130.20.120.240.370.360.320.140.350.350.13
课程号49-600.620.080.630.760.870.690.140.410.560.090.960.93
课程号61-7210.8510.990.2810.830.940.960.650.480.85
+ +书号数，这就造成了计划数与实际需求量之间的偏差。总社在进行资源的优化配置的时候，必须要考虑各个分社对各门课程计划的准确度，准确度高的优先考虑其申请要求。由已知可得“计划销售量”表示由各门课程申请的书号数计算的总销售量，“实际销售量”表示由分配到打书号数计算的总销售量，它们的差别反应了计划的准确度。本文定义实际销售量和计划销售量之间的比为计划准确度。根据以往5年的数据我们估计各分社对各门课程的计划准确度和各个社申报准确度。统计结果见表4和表5。 + +表 4: 72 门课程的计划准确度 ${\eta }_{i,j}$ + +
课程号1-120.7040.730.6630.6750.7220.6970.7290.7020.7770.7770.740.72
课程号13 240.740.740.720.70.690.720.70.670.6770.6620.6780.7198
课程号25-360.7330.720.780.7170.7330.7180.7180.6660.6780.7480.6850.7216
课程号37-480.7440.750.7020.6840.7320.7240.6590.6440.6790.7080.6970.7237
课程号49-600.680.730.720.730.720.790.6540.6730.7170.6510.6660.7401
课程号61-720.670.670.7820.7180.7250.7280.7420.6840.6110.6670.7170.6843
+ +# 4.2 模型建立 + +一般来说，总社以增强强势产品支持力度的原则优化资源配置，从而达到效益最大化。本文与所谓的“强势产品”从三个方面理解，即：经济效益(价格与销售量)，市场占有率，市场 + +表 5: 9 个分社的申报准确度 ${\mu }_{i}$ + +
分社序号123456789
中报准确度0.71770.710.71490.70980.69560.730.70620.71530.6849
+ +满意度。在进行书号配置决策时优先考虑这类强势产品并尊重计划准确度高的课程。 + +# 4.2.1 模型建立分析 + +# 先考虑目标函数 + +# 1）经济效益指标 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} p _ {i j} q _ {i j} x _ {i j}, +$$ + +$p_{ij}q_{ij}$ 为第 $i$ 个分社第 $j$ 门课程每种书号的销售额，即每种书目的经济效益。 + +2) 市场满意度指标 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} \Omega_ {i j} T _ {i j}, +$$ + +对于市场满意度高的课程分配书号时应优先考虑。 + +3) 市场占有率指标 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} \beta_ {i j} x _ {i j}, +$$ + +某门课程的市场占有率越高，说明其市场竞争力越强，进行书号分配的时候优先考虑。 + +4) 计划准确度指标 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} \eta_ {i j} x _ {i j}, +$$ + +分社对各门课程计划的准确度越高，总社在进行资源配置时就更优先考虑该课程。 + +# 再考虑约束条件 + +# 1) 人力资源约束 + +$$ +\sum_ {j} x _ {i j} \leq c _ {i}, +$$ + +分社分配所得的书号数要小于该分社的最大工作能力 $c_{i}$ ，其中 $c = (c_{1}, \cdots, c_{9}) = (114, 114, 120, 102, 111, 72, 44, 63, 72)$ 。 + +2) 书号数约束 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} x _ {i j} \leq M, +$$ + +总社每年可供分配的书号总数 $M$ 是一定的，即 $M = 500$ 。 + +总社在扶植“强势产品”的同时还要保持工作的连续性和对各分社计划一定程度上的认可，所以在分配书号时至少保证分给各分社申请数量的一半，又由于有可能存在各分社出于本位利益或其他原因考虑而主观夸大申请的书号数而造成申请数目偏大的情况，总社要想尽可能合理的分配书号，就需要对各分社实际申请量进行估计，本文引进“惩罚因子”和“平衡因子”来对实际申请量进行估计。所谓“惩罚因子”可以看作是对分社虚报的惩罚，本文取其为 + +计划的准确度。而“平衡因子”则可以看作分社被误判为虚报的补偿，令其为2006年申请的书号总数与总社可供分配书号数之比的平方根，即： $\theta = \sqrt{\frac{750}{500}} = 1.22$ 。由此可得分配应满足的条件 + +$$ +\frac {1}{2} s _ {i} \leq \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} x _ {i j} \leq \mu_ {i} \theta s _ {i}, \quad x _ {i j} \leq \eta_ {i j} \theta s _ {i j}. +$$ + +上述的四项指标和约束条件即构成了资源优化配置的初始多目标规划模型。 + +# 4.2.2 目标函数构成 + +本文在建立出版社资源优化配置模型时，考虑了四个目标，这些目标在满足约束条件下都要求实现最大化。但是由于不同的指标性质不同，量纲不同，之间不具有可比性和可加性。为了得到一个实用性更强的资源配置模型，我们将各指标抽象成同质的统一标准化指标，进行加权处理得到单一目标。 + +# 1）经济效益指标标准化：极差标准化法[5] + +根据初始模型，经济效益指标是“越大越优目标”。应用相对隶属度的定义，取方案集中最大特征值对优的相对隶属度为1，方案集中最小特征值对优的相对隶属度为0，构成极差标准化公式 + +$$ +\frac {p _ {i j} q _ {i j} - \min \left(p _ {i j} q _ {i j}\right)}{\max \left(p _ {i j} q _ {i j}\right) - \min \left(p _ {i j} q _ {i j}\right)}, +$$ + +其中 $\max(p_{ij}q_{ij}) = 267830, \min(p_{ij}q_{ij}) = 1105.8$ 。 + +运用极差标准化公式对72门课程经济效益指标进行标准化，结果见表6。 + +表 6: 72 门课程经济效益标准化 ${\varepsilon }_{ij}$ + +
课程号1-120.0220.030.02330.01650.0090.020.0430.0020.0320.02970.1230.1869
课程号13-240.0330.0890.03130.04780.0780.0640.3830.1390.0530.06140.7550.0801
课程号25-360.0960.1960.02550.0270.0370.2480.0880.0260.0870.01850.0420.0171
课程号37-4800.0760.02440.02920.2830.4980.6870.27410.35210.2510.1068
课程号49-600.0470.0260.02340.0580.10.1260.0560.0650.0390.01610.0540.0405
课程号61-720.0140.0680.04570.06180.0130.1190.0730.0320.040.02480.0510.1724
+ +# 2）满意度指标的标准化：指派方法[2] + +读者对某门课程的满意度评价具有一定的模糊性，问卷调查中设为五个等级。相应的评语集为{非常好，较好，一般，勉强可以，不好}，对五个等级进行打分，对应的分值为5，4，3，2，1。考虑读者在评价课程时，课程对其的效用应是递增，最后趋于平缓，本文选择偏大型模糊分布[2]描述读者的心理变化过程，其隶属度函数为 + +$$ +f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & x \leq a _ {1} \\ \frac {1}{2} + \frac {1}{2} \sin (\frac {p i}{a _ {2} - a _ {1}}) (x - \frac {a _ {1} + a _ {2}}{2}) & a _ {1} < x \leq a _ {2} \\ 1 & x > a _ {2} \end{array} \right. +$$ + +为建立评价分值和该函数的一一映射关系，取 $f(0) = 0,f(5) = 1$ ，得到 $a_1 = 0,a_2 = 5$ + +通过该函数，可以得到72门课程的满意度进行标准化，其数值在[0.1]区间上。 + +# 3) 资源优化配置模型的建立 + +在标准化处理的基础上综合加权得到资源优化配置的最终优化模型 + +$$ +\begin{array}{l} \max \sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} \left(\lambda_ {1} \varepsilon_ {i j} + \lambda_ {2} \omega_ {i j} + \lambda_ {3} \beta_ {i j} + \lambda_ {4} \eta_ {i j}\right) x _ {i j} \\ \begin{array}{r l} & {\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l l} { \sum_ {j} x _ {i j} \leq c _ {i},} \\ { \sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} x _ {i j} \leq M,} \\ { \frac {1}{2} s _ {i} \leq \sum_ {j = 1} ^ {n _ {i}} x _ {i j} \leq \mu_ {i} \theta s _ {i}. \quad i = 1, 2, \dots , 9} \\ { x _ {i j} \leq \eta_ {i j} \theta s _ {i j},} \\ { x _ {i j} \geq 0 \text {且} x _ {i j} \text {为 整 数}.} \end{array} \right.} \end{array} \\ \end{array} +$$ + +# 5 模型求解和结果分析 + +考虑四个评价指标，由于个人偏向不同，不同的决策者赋予的权值会有所偏差，在这里我们将四个指标的重要性同等看待，即赋予相同的权值 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 0.25$ 。利用LINGO软件求解得到目标函数值为：259.8366。各分社所得书号数分别为：63，43，120，91，56，47，32，30。即总社根据分社提交的生产计划申请书，人力资源情况及市场信息分析，将500个书号数分别分配给计算机类63个，经管类43个，数学类120个，英语类91个，两课类56个，机械能源类47个，化学化工类18个，地理地质类32个，环境类30个。 + +从模型求解结果可以看出，人力资源约束起着关键作用。数学类共有策划人员40人，工作能力为3，即数学类的人力约束使其获得的书号数量最多为120。实际上在我们对2001-2005年的书号分配量分析后可以发现，总社没有严格按照各分社人力资源的限制来分配书号数。一则是因为附件中提供的数据为历年平均值，二则是人力资源是流动的，当某分社人力资源不足的时候可以从外部引进或从内部调用，而且每个工作人员的工作能力也是可以改变的，如通过技能培训提高工作效率、通过加班加点提高工作强度等等。因此，我们可以考虑改变人力资源约束。这里我们再讨论两种情况：人力资源没有约束，人力资源的工作能力可以适当提高，利用LINGO软件求得两种分配方案，与原优化方案进行比较见表7。 + +表 7: 三种人力资源约束条件下各分社的所得书号数 + +
分社序号123456789
人力资源硬约束6343120915647183230
人力资源无约束5528177605647182930
工作能力提高20%6343144675647183230
+ +若我们仅将数学类策划人员的工作能力提高 $20\%$ ，其解与所有人力资源均提高 $20\%$ 相同，由此可知数学类相对于其他类而言人力资源紧张，人力资源对企业的总效益有较大的影响，所以合理的配置人力资源也是出版社应该重视的问题。 + +# 6 模型推广和评价 + +资源的优化配置是任何一个企业进行决策时都不可避免地会遇到的问题，所以我们可以将此模型推广到其他行业，在量化分析的基础上进行资源的配置决策。从问题的分析到模型的建立求解再到模型的推广，逐步靠近问题的本质，在这些过程中克服了许多困难。模型有优点也有不足之处： + +优点： + +1）调查问卷分析中，我们尽可能地提取有用信息来支撑资源配置模型： +2）本文的模型是基于调查结果建立起来的，紧密联系实际，对现实具有指导作用； +3）模型中成功的使用了极差标准化法和指派方法进行了指标的标准化处理，从而将多目标转化为单目标： + +有待改进之处： + +1）模型仅凭5年的数据预测2006年的销售量，由于历史数据较少，可能会影响预测效果； +2) 模型是在理想的情况下建立的，并没有考虑企业内外部的动态因素，因此模型仍存在不足，但总的来说，还是具有很好的借鉴意义和指导价值的。 + +# 7 关于出版社更好发展的几点建议 + +在解决资源配置问题之后，针对出版业市场的发展趋势和该出版社存在的不足提出我们的一些建议： + +1）在市场经济体制下，出版物体现的更多的是一种商品而不是一种文化，所以出版社要以市场为导向，从市场中来到市场中去，加强市场的分析和预测，特别在信息收集时要注意样本的随机性和代表性，从而减少资源配置的盲目性和主观臆断性。 +2）可以实行“双效益”考核机制，对出版社的社会效益建立若干评估指标，实行量化考核，同时对经济效益也要进行分类细化，从而保证出版社的可持续发展。 +3) 从模型求解中我们可以得知各分社在人力资源配备上存在忙闲不均的现象，如计算机分社人员过多而数学分社的人员偏少，所以建议出版社能够采取一定的措施来优化人力资源的配备，如各个分社之间的人员适当调度等； +4) 在数据预测上，仅仅根据历史数据预测未来的发展趋势是远远不够的，出版社最好能够建立一套预警系统来指导未来的经营活动。 +5）分社考虑自身利益可能存在“虚报”的现象，这既不利于总社分配工作的进行，总社应加强书号申报工作的管理，本着立足全局，实事求是的原则提高申报准确度。 + +# 参考文献： + +[1] 胡良剑等. 数学实验：使用MATLAB[M]. 上海：上海科技出版社，2003 +[2] 谢季坚. 刘承平. 模糊数学方法与其应用（第2版）[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2000 +[3] 谢金星，薛毅. 优化建模与Lindo/Lingo软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005 +[1] 姜启源等. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003 +[5] 李振鹏，肖华勇等. 模糊优选法在生产决策中的应用[J]. 西南民族大学学报，2005.31(5):701-704 + +# The Optimal Model for the Publishing House's Resource Configuration + +WANG Yan, WANG Jin-xin, SU Dian-bo + +Advisor: Instructor Group + +(Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122) + +Abstract: The mathematical model for the resource configuration of the publishing house was established. Based on statistical and questionnaire data over the years, taking 9 branch offices and 72 courses as survey subjects, the linear regression was used to predict the sale of each book in 2006. The market satisfaction and occupation were predicted and the accuracy of book number application plan was calculated. The "mighty product" was defined according to the economic benefit, the market satisfaction, the market occupancy, and the compound target integer program model was established, giving attention to the plan accuracy. The "standardized extreme difference method" and "detail-off method" were used as standardization process. Finally, the multiple target function was transferred into single target function by aggregate weighted method. Taking human resources and application number of books as constraint conditions, the application of each branch was adjusted on introducing "penalty factor" and "equilibrium factor", so that the strategic decision was more effective. The LINGO software was used to obtain the book number collocation method for principal office and to analyze the crucial role that the human resources played in resource configuration. We have propounded some reference proposal for the development trend of publishing directed towards market economy and the problem which has been revealed. + +Keywords: resource configuration; dimensional analysis; multiple target strategic decision; dimensionless; mighty product + +文章编号：1005-3085(2006)07-0037-04 + +# 人力资源调配在出版社资源配置中的应用 + +蔡惠民，刘少成，蔡庆平 + +指导教师：朱宁 + +（桂林电子科技大学信息与通信学院，桂林541004） + +编者按：该论文关于人力资源内部调配的讨论很有特色，部分发表该文。 + +摘要：本文在出版社资源配置的背景下，对出版社书号的分配作了量化分析。在此基础上，建立以优化人力资源与目标的非线性规划模型，探讨了人力资源内部调配对出版社书号分配及效益的影响。 + +关键词：人力资源：非线性规划：资源配置 + +分类号：AMS(2000)90C30 + +中图分类号：O221.2 + +文献标识码：A + +# 1 引言 + +出版社每年需要针对分社提交的申请、人力资源情况及市场信息，将书号合理地分配给各个分社，以增强强势产品支持力度的原则优化资源配置，得到最好的经济效益。出版社资源配置受生产计划申请、人力资源情况及市场信息三方面的约束，其利益一方面取决于销售产品所得的收入，另一方面取决于生产计划与市场需求是否一致，据此建立以书号分配最优为目标的非线性规划模型。 + +然而，在上述条件下，许多市场前景极好的分社，所得的书号却被过少的人力资源所抑制。为了更好的实现资源配置，有必要进行人力资源的内部调配，将人力尽量的集中在市场需求较强的分社；同时又要使三类人员的配置尽量合理，避免因人力分配不均衡而造成的资源浪费。在此基础上，提出基于人力资源内部调配后更优的书号分配方案。 + +# 2 模型及求解 + +基于灰色理论[1]，可求解得第 $i$ 分社第 $j$ 号课程2006年销售量的预测值 $T_{ij}$ 及每书号印数的预测值 $t_{ij}$ ；根据主成分分析及系统聚类[2]，可求解得第 $i$ 分社第 $j$ 号课程的满意权重 $d_{ij}$ 及子分社所占的市场份额 $a_{p}$ 。出版社关注的目标有以下两个：1) 使分社的收益最大。2) 使产品满足符合市场需求，尽量避免出现生产过剩或不足的情况。即实际生产量与预测销量的差值最 + +综合这两个因素，结合书号总数、申请、人力、市场等约束条件，我们便可建立双目标的非线性规划模型。 + +申请书号约束： $S_{ij} / 2\leq x_{ij}\leq S_{ij}$ + +人力约束： $M_{i} = \min \{m_{i1}\times c_{i1},m_{i2}\times c_{i2},m_{i3}\times c_{i3}\}$ + +三 $S_{ij}, x_{ij}, y_{ij}$ 分别表示第 $i$ 分社第 $j$ 号课程2006年的书号申请数、实际分得的书号数及平均印数。 $M_i$ 表示第 $i$ 分社的策划、编辑及校对人员年处理书号的上限约束。 $m_{ik}, c_{ik}$ 分别等于第 $i$ 分社第 $k$ 类人员的人数及每人每年能处理的书号数。 + +设实际销量与预测、实际印册与预测的相对误差分别保持在 $r_{ij}$ ， $\varepsilon_{ij}$ 范围内，即 + +$$ +\begin{array}{l} (1 - r _ {i j}) T _ {i j} \leq x _ {i j} \cdot y _ {i j} \leq (1 + r _ {i j}) T _ {i j}, \quad 0 \leq r _ {i j} \leq 1. \\ (1 - e _ {i j}) t _ {i j} \leq y _ {i j} \leq (1 + c _ {i j}) t _ {i j}, \quad 0 \leq c _ {i j} \leq 0. 3. \\ \end{array} +$$ + +对于收益，有 + +$$ +E = \sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {j _ {\max }} x _ {i j} \cdot y _ {i j} \cdot P _ {i j} \cdot d _ {i j}, \quad E _ {\max } = \sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {j _ {\max }} T _ {i j} \cdot P _ {i j} \cdot d _ {i j}. +$$ + +$E$ 是总社下所有分社的线性加权收益指标。其中， $P_{ij}$ 为第 $i$ 分社第 $j$ 号课程所有书号的均价。 $E$ 不仅反映了出版社的总收益，更体现了出版社加强强势产品力度的原则。 $E_{\max}$ 是总社下所有分社的线性加权收益指标最大值。 + +$$ +E ^ {\prime} = \sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {j _ {\max }} r _ {i j}. \quad E _ {\max } ^ {\prime} = 7 2. +$$ + +$E^{\prime}$ 是预测销量与实际销量的相对误差总和。显然，当 $r_{ij} = 1$ 时， $E^{\prime}$ 有最大值 $E_{\mathrm{max}}^{\prime}$ 。 + +$Z_{1}, Z_{2}$ 表示单位化的加权收益和相对误差总和，有 $Z_{1} = E / E_{\max}$ ， $Z_{2} = E' / E_{\max}'$ 。 + +由于出版社的目标是兼顾收益及市场，因此最终的目标函数是 $Z_{1}, Z_{2}$ 两个单位指标的线性加权： $\max Z = \alpha Z_{1} - \beta Z_{2}$ 。其中， $\alpha, \beta$ 是权系数，根据出版社的侧重或偏好取值。 + +综上所述，我们建立了以 $x_{ij}, y_{ij}, r_{ij}$ 为变量的多元双目标非线性规划模型 + +$$ +\max Z = \alpha Z _ {1} - \beta Z _ {2}. +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {j _ {\max }} x _ {i j} = 5 0 0, \\ S _ {i j} / 2 \leq x _ {i j} \leq S _ {i j}, \\ \sum_ {j = 1} ^ {j _ {\max }} x _ {i j} \leq M _ {i}, \\ (1 - r _ {i j}) T _ {i j} \leq x _ {i j} \cdot y _ {i j} \leq (1 + r _ {i j}) T _ {i j}, \\ (1 - e _ {i j}) t _ {i j} \leq y _ {i j} \leq (1 + e _ {i j}) t _ {i j}. \\ 0 \leq r _ {i j} \leq 1, \\ 0 \leq e _ {i j} \leq 0. 3, \\ x _ {i j}, y _ {i j} \in \mathbb {Z}. \end{array} \right. \end{array} +$$ + +当出版社对 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ 同等看重，即 $\alpha = \beta = 0.5$ 时，使用Lingo软件可求得结果，见表1。此时，出版社2006年的总销售额 + +表 1: 各分社分得的书号总数 (单位/个) + +
社计算机类经管类数学类英语类两课类机械类化工类地质类环境类
书号数6742120946436212927
+ +$$ +Q = \sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {j = 1} ^ {j _ {\max }} x _ {i j} \cdot y _ {i j} \cdot P _ {i j} = 3 1 3 5 4 8 8 8. +$$ + +# 3 考虑人力资源内部调整的模型 + +由上述分析可知：数学类教材有极好的市场前景，但过少的人力资源抑制了总社对其书写的分配，在其他分社中也可能存在这种情况。为了更好的实现资源调配，在不考虑人力的外部输入的前提下，有必要进行人力资源的内部调配。假设： + +1）人员可在本分社内自由调动，可以胜任调整后一切职务，且工作能力不变。 +2）由于策划、编辑人员对专业技能要求较高，因此不同分社间的策划、编辑人员不可互相调动。设 $X_{ikpq}$ 为从第 $i$ 分社第 $k$ 类人员中调整为第 $p$ 分社第 $q$ 类人员的人数，此规则可记为 + +$$ +A = \left\{X _ {i k p q} = 0 \mid p \neq i, k = 1. 2 \right\}. +$$ + +3）校对人员对专业知识要求不高，认为校对人员可在各分社之间调动，此规则可记为 + +$$ +B = \{X _ {i k p q} = 0 \mid p \neq i, q \neq 3, k = 3 \}. +$$ + +人力资源优化的目标是：1) 将人力尽量的集中在市场需求较强的分社。2) 在各个分社中，三类人员的配置尽量合理，即他们的总工作能力尽量相似，避免人员闲置的情况出现。 + +为了同时实现上述两个目标，我们采用人力偏差对市场需求加权的方法确定目标函数 + +$$ +\min Z ^ {\prime} = \sum_ {p = 1} ^ {9} \left\{\left[ \left(M _ {p 1} ^ {\prime} - M _ {p 2} ^ {\prime}\right) ^ {2} + \left(M _ {p 2} ^ {\prime} - M _ {p 3} ^ {\prime}\right) ^ {2} + \left(M _ {p 3} ^ {\prime} - M _ {p 1} ^ {\prime}\right) ^ {2} \right] / a _ {p} \right\}. +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l l} X _ {i k p q} = 0, & p \neq i, k = 1, 2, \\ X _ {i k p q} = 0, & p \neq i, q \neq 3, k = 3, \\ \sum_ {p = 1} ^ {9} \sum_ {q = 1} ^ {3} X _ {i k p q} = m _ {i k}, & i = 1, 2, \dots 9, k = 1, 2, 3, \\ \sum_ {i = 1} ^ {9} \sum_ {k = 1} ^ {3} X _ {i k p q} = n _ {p q}, \\ M _ {p q} ^ {\prime} = c _ {p q} \times n _ {p q}, & p = 1, 2, \dots 9, q = 1, 2. 3, \\ X _ {i k p q} \in \mathbb {Z}. \end{array} \right. \end{array} +$$ + +$M_{pq}^{\prime}$ ， $n_{pq}$ 分别为调整后 $\pmb{p}$ 分社 $\pmb{q}$ 类人员的年工作能力及人数。人力资源调整前后的情况如表2所示。可见，人员大部分流入了人力资源较欠缺的数学类和两课类分社。 + +引入分社工作能力均衡指标 + +$$ +F (p) = \sqrt {\left[ \left(M _ {p 1} ^ {\prime} - M _ {p 2} ^ {\prime}\right) ^ {2} + \left(M _ {p 2} ^ {\prime} - M _ {p 3} ^ {\prime}\right) ^ {2} + \left(M _ {p 3} ^ {\prime} - M _ {p 1} ^ {\prime}\right) ^ {2} \right] / 3}. +$$ + +可得各分社人力资源调整前后该指标的折线图，见图1。由图可知，调整后各分社人力更加均衡，三类人员的工作能力近似相等，有效避免了人员闲置，人力资源得到了充分利用： + +将上述结果带入书号分配模型，可得新的书号分配结果，调整前后分配结果如表3所示。 + +# 4 结论 + +综上，可得调整前后出版社总收益及总工作能力对比，见表4。从中可看到，引入人员调配后，总收益增加了 $21.88\%$ ，工作效率提高了 $13.30\%$ 。人力资源内部调配有助于出版社效益的提高。结果证明，该模型有较高的合理性和实用性，具有一定的推广价值。 + +表 2: 调整前后各分社人力对比 + +
所属分社策划人员数量编译人数数量校对人员数量
调整次序前后前后前后
计算机类362435243832
经营类384236323842
数学类406136463646
英语类353434343626
两课类354538593760
机械类252324232623
化工类201121152222
地质类291623212121
环境类302024152420
+ +![](images/c8e4d7dc780bd256021cf62e51e181f9ecaf1c7c729c68954867dbe51f00a80c.jpg) +图1：调整前后工作能力均衡指标折线图 + +表 3: 人力资源调整前后书号分配方案对比 + +
No.前 6No.前 5后 6No.前 6No.前 5后 6No.前 6No.前 5后 6No.前 6No.前 5后 6
11091054198528333744468855436454
2149115420432912133843476656226533
3221233216830612396548141257336633
4331332221919314038403340131158226764
533142223355232334122502259226865
698154424453311421010517660806954
79716532512123416144388528861667054
84317552617343565441010532262547132
988185527663611104506544463747222
+ +表 4: 调整前后总收益及总工作能力对比 + +
调整前调整后增长率
QM=ΣMiQ'M' = ΣMi'PQ=(Q'-Q)/QPM=(M'-M)/M
313548888123821540392021.88%13.30%
+ +# 参考文献： + +[1] 刘思峰, 党耀国, 方志耕. 灰色系统理论及其应用 (第三版) [M]. 北京: 科学出版社, 2004 +[2] 荃燕，吴平. SAS统计分析及应用[M]. 北京：机械工业出版社，2006 +[3] 谢金星，薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005 +[4] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003 + +# The Application of Human Resources' Deployment in the Press Allocation of Resources + +CAI Hui-min, LIU Shao-cheng, CAI Qing-ping + +Advisor: ZHU Ning + +Information & Communication College, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004) + +Abstract: In the background of the Press allocation of resources, we made a quantitative analysis of the distribution of book numbers. We establish a nonlinear programming with a goal of optimizing human resources. + +To discuss the influence of human resources' internal deployment on the allocation and efficiency of the Press. + +Keywords: human resources; nonlinear programming; allocation of resources + +文章编号：1005-3085(2006)07-0041-05 + +# 出版社的资源配置的网络模型 + +朱琳琳，于风展，王伟 + +指导教师：魏建新 + +(鲁东大学，烟台 264025) + +编者按：本文对于资源配置问题的信息结构理解比较清楚。特别是用网络流方法来建立问题的模型并求解是富有创意的，是大学生创造性的很好表现。推荐本文在于在数学建模竞赛中提倡创新精神。 + +摘要：本文就出版社的资源配置问题进行了研究并建立了网络流模型。首先根据所提供的数据选择出了强势课程，然后依据该问题的特点我们构造出了一个网络、结合书号的分配约束等条件给网络赋上了合理的费用、流值及其上下界，建立了最小费用流模型并且运用Lingo软件编程给出了出版社资源（书号）的合理分配方案。 + +关键词：灰色预测；满意度分析；网络流；最小费用流 + +分类号：AMS(2000)90C35 + +中图分类号：O221 + +文献标识码：A + +# 1 问题分析与模型的准备 + +因为强势课程支持力度、市场信息分析、各分社人力资源情况及其提交的生产计划申请书都将影响书号数的分配，为获得最优的分配方案，必须对各个影响因素进行分析研究。 + +# 1.1 强势课程评选 + +强势课程是指市场占有率、顾客的4个满意度分值都很突出的课程，可以通过这5个因素对72个课程作出综合评价，从而确定出强势课程。 + +1）预测2006年各课程的市场占有率。通过对Excel软件统计出来的 $A$ 出版社历年各课程的市场占有率进行加权平均的方法可预测出2006年各课程书目的市场占有率。显然，2005年各课程的市场占有率对预测2006年各课程的市场占有率影响最大，2004年次之，而2001年的影响最小故而可以取权值为0.1，0.15，0.2，0.25，0.3。在数据处理时，由于调查数据中购买旧书的样本所占的比例非常小，所以忽略了其对市场占有率的影响。 +2）各课程满意度分析。针对教材评价的4个满意度，利用Excel统计得到2001到2005年各课程所有节目满意度的平均值，并对各年的数据再次加权(权值可同1)平均，最终得到72个课程的4个满意度得分。 +3）强势课程排序。综合考虑各课程占有率和满意度得分进行评分，取72个课程的4个满意度得分和市场占有率得分5个因素的最大值作为标准得分，分别求出各课程得分与它的马氏距离[1]，按距离从小到大进行排序，得出强势课程名次排序，见表1(前68名)：根据强势课程的优先分配的原则，可把课程分为九个层次，通过对前五年的数据分析，第 $j$ 个层次赋予权值 $p_j$ ，见表2。 + +# 1.2 人力资源分析 + +通过分析所提供的9个分社人力资源细目，可以得到各分社实际工作能力，即第 $j$ 个分社每年最多能够完成的书号个数 $N_{j}, j = 1,2,\dots ,9$ 。由于书籍的出版依次经过策划、编辑、校对三个过程，所以各分社三种工作人员工作能力的最小值即为该分社实际工作能力，也就是每年最多能够完成的书号个数。利用Excel软件统计的各分社实际工作能力见表3。结合总社在分 + +表 1: 2006 年强势课程综合评分排序 + +
名次1234567891011121314151617
代码6260682527592223662461637253676964
名次1819202122232425262728293031323334
代码7054112652514920485719453017291234
名次3536373830404142434445464748495051
代码56713936214641434435101619474218
名次5253545556575859606162636465666768
代码7653340132864318215371450385
+ +表2：各课程权重表 + +
课程排序j1~910~1819~2728~3637~4546~5455~6364~72
权重pj1.351.151.000.950.850.800.750.70
+ +配书号时至少保证分给第 $j$ 分社申请数量 $Q_{j}(j = 1,2,\dots ,9)$ 的一半这一原则，可以初步得到总社分配给各分社书号个数的上限和下限。 + +表3：各分社实际工作能力表 + +
分社j计算机类经管类数学类英语类两课类
能力Nj114114120102111
分社j机械能源类化学、化工类地理、地质类环境类
能力Nj72446372
+ +# 1.3 2006各课程单位书号销售量预测 + +由于同一课程不同书目价格差别不大，同时销售量相近，可以计算出各课程单位书号的销售量。并据此可运用灰色预测模型 $GM(1,1)$ ，通过Matlab编程预测出2006年单位书号的销售数量 $L_{i}, i = 1, \dots, 72$ ，再乘以课程均价即得到各课程单位书号的销售额 $X_{i}, i = 1, \dots, 72$ 。 + +# 1.4 2006各课程申请书号的调整 + +就各个课程而言，其实际销售量与计划销售量的比值反映了书号分配计划的准确度，统计每一个课程各年准确度的平均值并乘以该课程2006年的书号申报个数 $Q_{j}$ ，对各分社的申请书号数做出调整，调整值 $Y_{j}(j = 1,2,\dots ,72)$ 见表4。 + +# 2 网络流模型的建立与求解 + +# 2.1 网络流模型的建立 + +总社要将总量一定的书号合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益，需要考虑多方面的因素。第一要尽量使优势科目得到最大的满足，第二不能超出各分社人力资源限度。第三为保持工作连续性和对各分社计划一定程度的认可，分配书号时还要保证至少分给各分社申请数目的一半。综合考虑上述三方面因素可建立网络流的模型来求解最优的书号分配方案。 + +表 4: 2006 年各课程书号的调整分配数 + +
课程代码12345678910111213141516
书号数目13133441194126633344
课程代码17181920212223242526272829303132
书号数目4643825356182494169293
课程代码33343536373839404142434445464748
书号数目1165124574375646810
课程代码49505152535455565758596061626364
书号数目123712363333375566
课程代码6566676869707172
书号数目33675133
+ +构造单源单汇网络图 $G(D, V, L, U, A)$ ，总社为网络图源 $S$ ，各分社及各分社的课程为分别为转运点，即用节点 $D_{j} (j = 1, 2, \dots, 9)$ 代表分社和节点 $V_{i} (i = 1, 2, \dots, 72)$ 代表72个课程，最终汇入到虚拟点 $T$ 。 + +由源 $S$ 流向节点 $D_{j}$ $(j = 1,2,\dots ,9)$ 的流量 $f_{Sj}$ 的下界 $L_{Sj}$ 是各分社申请书号个数的一半，也即 + +$$ +L _ {S j} = \frac {\sum_ {i = m _ {j}} ^ {n _ {j}} Q _ {i}}{2}, \quad j = 1, 2, \dots , 9; +$$ + +上界 $U_{Sj}$ 是申请数目与分社人力资源限度的最小值，也即 + +$$ +U _ {S j} = \min \left(N _ {j}, \sum_ {i = m _ {j}} ^ {n _ {j}} Q _ {i}\right), \quad j = 1, 2, \dots , 9; +$$ + +弧 $A_{Sj}$ 上的费用 $C_{Sj} = 0$ 。其中， $m_j, n_j$ 分别表示第 $j$ 个分社所属课程代码的最小值和最大值， $j = 1,2,\dots,9$ 。节点 $D_j (j = 1,2,\dots,9)$ 流向节点 $V_i (i = 1,2,\dots,72)$ 的流量 $f_{ji}$ 下界 + +$$ +L _ {j i} = Y _ {i} p _ {i}, \quad m _ {j} \leq i \leq n _ {j}. j = 1, 2, \dots , 9; +$$ + +上界 $U_{ji}$ 是各课程申报的书号个数，也即 + +$$ +U _ {j i} = Q _ {i}, \quad m _ {j} \leq i \leq n _ {j}, j = 1, 2, \dots , 9; +$$ + +弧 $A_{ji}$ 上的费用 $C_{ji}$ 为单位书号销售额的最大值 $M$ 与各课程单位书号销售额的差值 + +$$ +C _ {j i} = M - X _ {i}, \quad m _ {j} \leq i \leq n _ {j}. j = 1, 2, \dots , 9. +$$ + +由 $V_{i}(i = 1,2,\dots ,72)$ 节点流向虚拟点 $\pmb{T}$ 的流量 $f_{iT}$ 的上界 $U_{iT}$ 是申报的书号个数也即 $U_{iT} = Q_{i},m_{j}\leq i\leq n_{j}$ ，其中 $V_{i},D_{j}$ 相连；下界 $L_{iT} = 0$ ；弧 $A_{iT}$ 上的权值 $C_{iT} = 0$ 。 + +这样就构造了一个网络模型，模型的的示意图见图1。 + +显然，对于所构造的网络的每一个整流，对应着一种分配方案：由 $S$ 到 $D_{j}$ 的弧 $A_{Sj}$ 上的流 $f_{Sj}(j = 1,2,\dots ,9)$ 表示总社分配到各分社的书号数；由 $D_{j}$ 到 $V_{i}$ 的弧上 $A_{ji}$ 的 + +![](images/108ef2ad037f72e61ea363e1e6f2170927ce2290aa3c73ad2da60c9848263dbc.jpg) +图1：网络流模型示意图 + +流 $f_{ji}(j = 1,2,\dots ,9,m_j\leq i\leq n_j)$ 表示各分社分到具体课程的书号数。结合我们的目的即合理地分配书号以求得较好的效益，根据该网络的费用的定义，所要解决的问题就转化成了一个最小费用流问题。 + +最小费用流问题。所建模型中，由源点发出的流值 $d = \sum_{j=1}^{9} f_{Sj} = 500$ ；且根据网络流的性质得到 $\sum_{i=1}^{72} f_{iT} = -d = -500$ ；而对于 $j \in D, i \in V$ ，有 $f_{Sj} = \sum_{i=m_j}^{n_j} f_{ji}$ 及 $f_{ji} = f_{iT}$ 。我们就是求解这个网络的值为 $d = 500$ 最小费用整流，而这个流值费用函数为 + +$$ +\min \sum_ {j = 1} ^ {9} \sum_ {i = 1} ^ {7 2} C _ {j i} f _ {j i}. +$$ + +# 2.2 网络流模型的求解 + +利用上面的分析，根据网络流的特点通过Lingo软件编程，输入各节点、各条弧上的费用流的上下界、流值 $d = 500$ ，运行得到结果：总社2006年的总销售额为 $2.621870 \times 10^{7}$ ；总社分到各分社的书号如表5所示；各课程书号的分配如表6所示。 + +表 5: 各分社分配书号数 + +
分社计算机类经营类数学类英语类两课类
书号数55481207972
分社机械能源类化学、化工类地理、地质类环境类
书号数48203028
+ +# 2.3 模型的讨论 + +2.3 模型的讨论通过构造一个网络模型，使原问题转化为一个容易解决的最小费用流问题，不但使问题变得比较直观，而且解法高效。 + +在该模型的强势课程的评选中，我们采用了等差形式的权重，取值与决策者的经验等因素有关。有较大的主观性，如何更合理的取值使得分配方案更优，这有待进一步研究。 + +表 6: 2006 年各课程书号的分配数 + +
课程代码12345678910111213141516
书号数目8823379384842433
课程代码17181920212223242526272829303132
书号数目68645162942015113116402
课程代码33343536373839404142434445464748
书号数目110473453410810681214
课程代码49505152535455565758596061626364
书号数目821016482222394848
课程代码6566676869707172
书号数目24883324
+ +# 参考文献： + +[1] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2005 +[2] 王成，文野，俞寅涛. DVD租赁问题的模型设计及求解[J]. 工程数学学报，2005,22(7):92-100 +[3] 何仁斌. Matlab工程计算及应用[M]. 重庆：重庆大学出版社，2001 + +# The Network Model for the Allocation of Press Resources + +ZHU Lin-lin, YU Feng-zhan, WANG Wei + +Advisor: WEI Jian-xin + +(Ludong University, Yantai 264025) + +Abstract: In this paper, we discuss the allocation problem of press resources and we design a network flow model for this problem. Firstly, we give the dominance courses by the given data. Then aiming at the dominance courses we set up a network model by the feature of this problem and we develop the minimum cost flow model with the cost, flow and their bounds which we endow for the network. And by using Lingo software the problem of allocation of press resources is solved reasonably. + +Keywords: grey prognosis; satisfaction analysis; network flow; minimum cost flow + +文章编号：1005-3085(2006)07-0046-09 + +# 出版社资源配置优化 + +汤志高，仲青青，邵长磊 + +指导教师：生汉芳 + +(海航航空工程学院，青岛 266041) + +编者按：该论文较为完整地解决了出版社资源配置问题，对市场竞争力作出了适当的分析，并考虑了计划准确度因子，使分析结果更为接近实际情况。特别地，论文采用了波士顿矩阵模型，分析了市场增长率与相对市场份额对出版社发展的影响，给出了符合出版社长远发展战略的资源配置方案。 + +摘要：本文研究了影响出版社资源配置的可变因素：销售量、市场竞争力（满意度、市场占有率）、人力资源成本和长远发展策略；首先利用波士顿矩阵模型量化市场竞争力，通过市场增长率与相对市场份额反映A社不同出版物的市场行情和发展前景，综合考虑长远发展；然后以人力资源效用最大（人均创造的销售额最大）为目标，以人力资源、书号量和申请书号规则为约束，建立非线性整数规划模型，最后，通过改变模型的波士顿参数，Lingo求解得到了5种不同发展战略的资源配置方案，大大增强了模型的通用性与可操作性。 + +关键词：波士顿矩阵；市场增长率；市场占有率；相对市场份额；资源效用 + +分类号：AMS(2000)90C11 + +中图分类号：（2）221 + +文献标识码：A + +# 1 模型假设 + +1）出版社在资源配置时，对每种课程教材都以各自的平均价格计算： +2）出版社在定价时保持对所有教材利润率统一，并在此原则上制定教材单价： +3）假设各分社不同岗位酬劳相同； +4) 假设各分社按实际分得书号出版图书，不存在卖号等情况。 + +# 2 问题分析 + +# 2.1 目标分析 + +本题中，总社的书号数是500个，分社以学科划分，共有9个。如何合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益，是亟待解决的问题。由于本题没有涉及成本的计算，所以利润不能直接计算。而采用销售额表示经济效益更方便。 + +# 2.2 影响资源优化配置的四要素 + +# 1）销售量 + +出版社通过出版大量的书籍获取利润，销售量是配置方案的关键。销售数量包括计划销售数量和实际销售数量，而资源指的是书号，因此，建立书号和销售量之间的关系是资源优化配置模型的重要一步，根据附件3对计划销售量和实际销售量的说明，不难发现 + +$$ +\text {各 学 科 单 位 书 号 销 售 量} = \frac {\text {计 划 销 售 量}}{\text {申 请 书 号 数}} = \frac {\text {实 际 销 售 量}}{\text {分 配 书 号 数}}, +$$ + +# 2 市场竞争力 + +市场信息包括市场需求和竞争力信息，对分配方案的影响至关重要，因为它关系到A社的长远发展战略，应该从整体上提高该社的竞争力，才能达到长远效益最好的目的。鉴于分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，总社应该遵循“增加强势产品支持力度”的原则优化资源配置，并且使计划的准确度越高越好。市场竞争力包含满意度和市场占有率，需要选择比较合理的方法进行量化。研究市场竞争力对出版社的影响以及如何提高市场竞争力是长远发展战略的必然要求。 + +# 3) 长远发展战略 + +长远发展战略的制定建立在市场信息的基础上，具体的说就是在当前的市场信息下，要用长远的发展眼光优化配置资源，不能仅考虑眼前利益。长远发展战略包括重点发展的产品的市场占有率变大或者市场占有份额增大，给出版社带来更多的经济效益。重点发展的产品类别不同，长远的经济效益不同。 + +# 4）人力资源情况 + +分社的人力资源包括策划、编辑和校对三部分人员，对人员能力的衡量以平均每人处理书号的个数而定。三部分人员的工作互不交叉，因此，资源配置时，分社获得的书号数量应该在每一部分人员能够处理的范围之内，某些必要课程可以雇佣社外人员。 + +# 3 严格人力约束模型 + +# 3.1 模型准备 + +# 1）2006年单位书号销售量的预测 + +因为销售额 $=$ 实际书号 $\times$ 单位书号销售量 $\times$ 价格，其中价格已知，而分社实际得到的书号是决策变量，所以欲表示2006年的销售额就必须先确定2006年各门课程的单位书号销售量。 + +2001~2005年中，每个实际销售量 $F_{kj}$ 和分配到的书号 $d_{kj}$ 是已知的，则每一年72个课程的单位书号销售量是 + +$$ +\beta_ {k j} = F _ {k j} / d _ {k j}, \quad k = 1, \dots , 7 2, j = 1, \dots , 5 \tag {1} +$$ + +对于每门课程的单位书号来说，对应的教材销售量是随时间不断变化的，呈现线性递增趋势。我们采用了一元线性回归方法对未来年份的单位书号销售量作出预测。得到回归系数之后，回代直线方程，即可得到2006年72门课程的单位书号的销售量。 + +# 2) 计划准确性因子 + +计划准确性具有很强的实际意义，因为决策人在做当年决策时会考虑到计划销售量和实际销售量的差距，当计划销售量和实际销售量差别非常大时，表明决策不准确，是不合适的。计划销售量和实际销售量同样由回归预测得到，设稳定性因子为 $\omega_{k}$ （第 $k$ 门课程），计划销售量 $q_{k}$ ，实际销售量 $Q_{k}$ ，定义计划准确性因子为 + +$$ +\omega_ {k} = \frac {Q _ {k}}{q _ {k}}, \tag {2} +$$ + +# 3）市场竞争力量化因子 + +对市场竞争力量化目的是分析相对于其它出版社来说，A社出版物存在的优势和劣势，便于分析每种课程的发展前景，资源配置时有所侧重。 + +相对满意度：学生对某种教材的满意度越大，它的市场竞争力就会越强。调查的满意度项目有4个，由于4项的评分量级相同，所以对A社每门课程的满意度表示为：A社课程4项满 + +意分值的均值除以所有出版社的满意分值的均值，对于 $2001\sim 2005$ 年A社第 $\pmb{k}$ 门课程的综合满意度 + +$$ +\overline {{\mu}} _ {k} = \frac {\mathrm {A} \text {社 第} k \text {门 课 程 的 满 意 度} 5 \text {年 均 值}}{\text {所 有 出 版 社 满 意 度} 5 \text {年 均 值}}. \tag {3} +$$ + +市场占有率：在一个国家和区域内，大规模的出版社都会有强势产品，形象地说就是“拳头产品”或“名牌产品”。本题所研究的范围是市场中有代表性的24家出版社，它们在市场中各类产品的占有率不尽相同。产品的市场占有率从一个方面反映了它的市场竞争力。由于市场信息不足，我们仅以调查问卷的数据求解各门课程的市场占有率。假设除学校统一定购的其余获取途径可以忽略。本文研究范围是24家出版社72门课程。记第 $j$ 年第 $i$ 个出版社的第 $k$ 门课程教材在市场上的占有率为 $\lambda_{ik}^{j}$ ，教材数为 $h_{ik}^{j}$ ，附件2中第 $j$ 年共 $H^{j}$ 张问卷，则 + +$$ +\lambda_ {i k} ^ {j} = \frac {k _ {i k} ^ {j}}{H ^ {j}} \cdot 1 0 0 \text {万}. \quad i = 1, \dots , 2 4. k = 1, \dots , 7 2, j = 1, \dots , 5. \tag {4} +$$ + +# 3.2 模型建立与求解 + +由于成本没有给出，所以当销售额最大时，利润最高，并且要考虑到市场竞争力和计划准确度，定义经济效益因子为：经济效益 $=$ （市场竞争力 $\times$ 计划准确度 $\times$ 销售额）。 + +当不增加社外工作人员时，引入竞争力系数，以分配书号 $X_{k}$ 为决策变量，经济效益最好为目标，建立整数线性规划模型如下 + +$$ +\max \sum_ {k = 1} ^ {7 2} \left(\left(\overline {{\lambda_ {k}}} \times \overline {{\mu_ {k}}} \times \omega_ {k}\right) \times \beta_ {k 6} X _ {k} P _ {k}\right), \tag {5} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {k = 1} ^ {7 2} X _ {k} = 5 0 0 \\ \sum_ {k = a _ {n}} ^ {b _ {n}} X _ {k} \leq M _ {n} \\ \frac {1}{2} \sum_ {k = a _ {n}} ^ {b _ {n}} Y _ {k} \leq \sum_ {k = a _ {n}} ^ {b _ {n}} X _ {k} \leq \sum_ {i = a _ {n}} ^ {b _ {n}} Y _ {k} \\ X _ {k} \in N ^ {*}, \quad n = 1, \dots , 9. \end{array} \right. \end{array} \tag {6} +$$ + +注 $a_{n}$ 表示第 $n$ 个分社最小课程编号； $M_{n}$ 为第 $n$ 个分社以现有人力能完成书号数的上限； $b_{n}$ 表示第 $n$ 个分社最大课程编号； $Y_{k}$ 表示第 $k$ 门课程申请书号数； $P_{k}$ 表示第 $k$ 门课程教材单价。 + +# 3.3 Lingo软件求解模型结果 + +计算机类55，经管类42，数学类120，英语类60，两课类72，机械、能源类56，化学、化工类24，地理、地质类34，环境类37，各科书号数分配。 + +从结果来看，数学类分得的书号与2005年相比，减少26个，丧失市场近 $20\%$ ，A社利益损失很大。而环境类市场占有率已经超过 $96\%$ ，却比2005年增加11个书号，市场是否能接受这么多的数量，从往年数据来看，持否定态度。从长远利益来看，我们认为严格人力资源约束的分配方案不够明智，因此，本文在后面讨论了可以添加社外人力资源的分配方案。 + +# 4 波士顿市场化模型建立与求解 + +# 4.1 模型准备 + +# 4.1.1 矩阵含义简介 + +波士顿矩阵法是一种规划企业产品组合的方法，它以业务的市场增长率（市场需求的增长量和市场需求的比值）和相对市场份额（该业务相对于最大竞争对手的市场份额）的大小将不同的业务化分为四类： + +![](images/8e96a1a9651237d9331588ddaa72d50d1a64525c6c5599787813f8cea69fe1db.jpg) + +现金牛业务：低市场增长率、高相对市场份额的业务，它是企业现金的来源： + +明星类业务：高市场增长率、高相对市场份额的业务； + +问题类业务：高市场增长率、低相对市场份额的业务； + +瘦狗类业务：低市场增长率、低相对市场份额的业务。 + +# 4.1.2 波士顿矩阵的建立 + +纵坐标 $\phi$ 为市场增长率：表示该业务销售量的年增长率，并认为市场增长率超过 $\varphi$ 就是高速增长（ $\varphi$ 一般取 $10\%$ 左右，可以根据实际应用情况调整）。统计附件数据得出：市场占有率 $\lambda_{ik}^{j}$ ，实际销售量 $F_{ik}^{j}$ ，则市场总需求量 $S_{ik}^{j}$ 及市场增长率 $\Phi_{ik}^{j}$ 为 + +$$ +S _ {i k} ^ {j} = \frac {F _ {i k} ^ {j}}{\lambda_ {i k} ^ {j}}, \quad j = 1, \dots , 5, \quad i = 1, \dots , 2 4, \quad k = 1, \dots , 7 2 \tag {7} +$$ + +$$ +\Phi_ {i k} ^ {j} = \frac {S _ {i k} ^ {j + 1} - S _ {i k} ^ {j}}{S _ {i k} ^ {j}} \times 100 \%, \quad j = 1, \dots , 4, \quad i = 1, \dots , 24, \quad k = 1, \dots , 72 \tag{8} +$$ + +由于市场增长率不稳定，因此本文取5年平均值作为最终量化标准。 + +纵坐标分界点：在A社，高等数学学科的相对市场份额较大，市场增长率较低，属于现金牛类业务，所以以高等数学学科的平均市场增长率 $16\%$ 为纵坐标的分界点，超过高等数学课程市场增长率就是高速增长。 + +横坐标为相对市场份额：A社 $(i = 8)$ 第 $k$ 门课程的市场占有率与第 $k$ 门课程的最大竞争对手市场占有率的比值 + +$$ +R _ {k} = \frac {\lambda_ {i k}}{\underset {i = 1} {\max } \lambda_ {i k}}. \quad k = 1, \dots , 7 2, \tag {9} +$$ + +根据以上横、纵坐标计算公式，利用MATLAB软件可得到各课程坐标值。 + +特殊说明：由于调查样本的容量有限，市场占有率会出现接近于0的情况，此时认为市场增长率和相对市场份额都为0。 + +分类：市场份额的中间定界通常设为1，当 $R_{k} > 1$ 时，说明A社的市场份额大于最大竞争对手，现金牛类和明星类的相对市场份额都大于1；反之当 $R_{k} < 1$ 时，说明A社的市场份额小于最大竞争对手，处于劣势。问题类和瘦狗类的相对市场份额都小于1。 + +经过以上横纵坐标的分支定界，并计算出横纵坐标值后，通过编程分类，得到波士顿逻辑矩阵 $V_{72 \times 4}$ ，矩阵元素是 $f_{km} (f_{km} = 1$ 指第 $k$ 种课程属于第 $m$ 种业务)，如表1。 + +表 1: 波士顿逻辑矩阵 + +
课程号1234课程号1234课程号1234课程号1234
10001191000370001550001
20001201000380010560100
30001211000390001570100
40001220001400001580001
50010231000410010590001
60001240010421000600010
70010250001430100610001
80001260100440100620100
90001270001450100630010
100010280010460100640010
110100291000471000650010
120100301000481000660010
130010310001490100670010
140010320010500001680001
150010330001511000690010
160010340100520100700010
170100350100530001711000
180001361000541000720010
+ +# 4.1.3 强势产品分析 + +强势产品（金牛类）的特点是该产品已经占有了很大的市场份额，市场增长率相对稳定。课程号分别为19，20，21，23，29，30，36，42，47，51，54，71；其中21，23，29，30课程都属于数学分社，数学分社的强势产品较多，是A社的重点支持对象。 + +# 4.2 模型分析 + +# 4.2.1 长远发展战略 + +总社书号只有500个，由于各个分社申请的书号总量远大于总社的书号总量，为寻求更好的长远经济效益，需要对不同的课程有所侧重。当出版社对4类业务的侧重点不同时，会有不同的分配方案。例如：强势产品是现金牛类业务。总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。明星类业务的市场增长率高，相对市场份额较大，也是应该鼓励发展的业务；当出版社有足够的后备资金寻求快速发展时，会支持有发展前途的问题类业务。所以，要针对不同的发展战略，有侧重地分配书号。 + +$\spadesuit$ 稳定性原则 + +从 $2001\sim 2005$ 年每年各分社分得的书号总量波动变化不大，符合出版社的长远发展战略，因为A社在分配书号之前已经对市场需求量有所了解，虽然总的实际销售量每年都在增加，但是每门课程从 $2001\sim 2005$ 年的实际销售量只是呈现阶梯式增长，即每年的增长有一个比例（该比例有一个波动区间），每个分社如果按比例正常发展，无论哪一门课程都不应当出现哥斯拉式的飞跃性发展（哥斯拉式发展是一种超常规的发展，近似于垂直增长），如果盲目追求利润而忽略市场的需求情况，必然导致失败。 + +因此，我们引入了波动约束（约束16.4），即2006年第 $k$ 门课程书号的波动量等于前5年书号的最大值和最小值之差 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \Delta x _ {k} = \max _ {j = 1} ^ {5} \left(x _ {k} ^ {j}\right) - \min _ {j = 1} ^ {5} \left(x _ {k} ^ {j}\right) \\ \left| X _ {k} - x _ {k} ^ {5} \right| \leq \Delta x _ {k}, \quad k = 1, \dots , 7 2, \end{array} \right. +$$ + +其中 $x_{k}^{j}$ 表示第 $\pmb{k}$ 门课程第 $j$ 年的书号个数， $X_{k}$ 表示2006年第 $\pmb{k}$ 门课程分得的书号个数。 + +$\spadesuit$ 长期发展战略的不同方案 + +在明确了各项业务在出版社中的不同地位后，就需要进一步明确出版社的战略目标。我们分五种战略目标分别适用于不同的业务。 + +维持形态：投资维持现状，目标是保持业务现有的市场份额。主要针对强大稳定的现金牛业务。在维持形态里，我们制定了两种发展战略： + +发展战略：按照2005年比例正常发展；发展战略二：发展现金牛类； + +发展形态：继续大量投资，目的是扩大战略业务的市场份额。主要针对有发展前途的问题业务和明星中的恒星业务。在发展形态里，我们也制定了两种发展战略： + +发展战略三：发展“明星类”；发展战略四：创新发展“问题类”； + +收获形态：主要针对处境不佳的现金牛业务及没有发展前途的问题业务和瘦狗业务。 + +发展战略五：补救“瘦狗类”。 + +$\spadesuit$ 方案量化实例（波士顿决策约束解释） + +2005年业务比例 + +设四类业务比例为 $\eta_{m}(m = 1,\dots ,4)$ ， $f_{km}$ 是波上顿逻辑矩阵 $V_{72\times 4}$ 的元素， $f_{km} = 1$ 指第 $k$ 种课程属于第 $m$ 种业务， $Y_{k}^{5}$ 指2005年第 $k$ 门课程的申请书号量，那么 + +$$ +\eta_ {m} = \frac {\sum_ {k = 1} ^ {7 2} f _ {k m} Y _ {k} ^ {5}}{5 0 0}, \tag {11} +$$ + +由此计算出2005年四类业务比例： + +现金牛： $\eta_{1} = 25\%$ ；明星类： $\eta_{2} = 22\%$ ；问题类： $\eta_{3} = 18\%$ ；瘦狗类： $\eta_{4} = 35\%$ + +在求解2006年分配方案时可以将2005年各业务比例设为初始值，然后按照出版社长期发展目标（即：上节中的不同策略，战略一、二、三、四、五）分别求解最优的分配方案： + +关于发展战略需要量化定义第 $m$ 种业务下一年的百分比增量 $\Delta \eta_{m}$ 。 + +例如2006年决策人员决定扩大战略业务的市场份额。主要针对有发展前途的问题业务和明星中的恒星业务（市场增长率一直保持很高水平，市场相对份额也很高）：那么 + +$$ +\Delta \eta_ {1} < 0, \quad \Delta \eta_ {2} > 0, \quad \Delta \eta_ {3} > 0, \quad \Delta \eta_ {4} < 0. +$$ + +显然问题业务和明星业务增加投资，其他两项业务减小投资，这里 $\Delta \eta_{m}$ 是投资增加百比，所以 $\sum_{m=1}^{4} \Delta \eta_{m} = 0$ 。 + +综上，设 $X_{k}$ 表示2006年第 $k$ 门课程得到的书号量，2006年的具体投资应该满足第 $m =$ 业务比例为 $\eta_{m}$ 式(11)，并且符合决策者对此类业务投资的不同增量要求，使比例达到 $\eta_{i} = -\Delta \eta_{m}$ ，由于 $f_{km}$ 和 $X_{k}$ 都为整数，所以不一定能够满足 + +$$ +\frac {\sum_ {k = 1} ^ {7 2} f _ {k m} X _ {k}}{5 0 0} = \eta_ {m} + \Delta \eta_ {m}, +$$ + +故为了使建立的模型具有更好的操作性，可以将 $\Delta \eta_{m}$ 设定在一定范围内，建立不严格方法（16.1，16.2）其中 $\varepsilon$ 为决策人可以允许的投资波动范围。最终在决策者允许的波动范围内实施2006年的各类业务投资。 + +# 4.2.2 人力资源 + +根据4.1.3并结合严格人力约束模型求解结果，发现许多强势产品并没有得到加强，这显然不符合效益最大化的目的，另外从市场经济角度分析，畅销行业出现人力稀缺也是符合事实的，而且通过对历年数据统计许多分社的确雇佣社外人员，所以为了支持强势产品的目的，下面讨论添加社外人员。 + +在假设(3)的前提下，可以对各分社人力取均值，由已知数据可以计算得第 $n$ 个分社的平均岗位人数 $D_{n}$ ，人均工作能力 $W_{n}$ ，得到社外人员表达式 + +$$ +3 \sum_ {n = 1} ^ {9} \max \left\{0, \frac {1}{W _ {n}} \left(\sum_ {k = a _ {n}} ^ {b _ {n}} X _ {k}\right) - D _ {n} \right\}, +$$ + +因此，9个分社的实际工作人员总数 + +$$ +N = 3 \sum_ {n = 1} ^ {9} \max \left\{0, \frac {1}{W _ {n}} \left(\sum_ {k = a _ {n}} ^ {b _ {n}} X _ {k}\right) - D _ {n} \right\} + 3 \sum_ {n = 1} ^ {9} D _ {n}. +$$ + +社外人员的参与，分社必须支付相应报酬。若出版社以当年的销售额最大为目标选定重要配置，而忽略报酬问题，那么分社为了更大的利益会尽量多的申请书号，同时雇佣更多的人员，是不符合实际情况的。综上，将目标定为人均销售额最大。 + +# 4.3 建立模型 + +以分配给第 $k$ 门课程书号数 $X_{k}$ 为决策变量，人力资源效用最大（人均创造的非零面重大）为目标，建立非线性整数规划模型 + +$$ +\max \frac {1}{N} \sum_ {k = 1} ^ {7 2} \beta_ {k 6} X _ {k} P _ {k}, +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t} \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\sum_ {k = 1} ^ {7 2} f _ {k m} X _ {k}}{5 0 0} \geq \eta_ {m} + \Delta \eta_ {m} - \varepsilon , & (1 6. 1) \\ \frac {\sum_ {k = 1} ^ {7 2} f _ {k m} X _ {k}}{5 0 0} \leq \eta_ {m} + \Delta \eta_ {m} + \varepsilon , & (1 6. 2) \\ \frac {1}{2} \sum_ {k = a _ {n}} ^ {b _ {n}} Y _ {k} \leq \sum_ {k = a _ {n}} ^ {b _ {n}} X _ {k} \leq \sum_ {k = a _ {n}} ^ {b _ {n}} Y _ {k}, & (1 6. 3) \\ | X _ {k} - x _ {k} ^ {5} | \leq \Delta x _ {k}, & (1 6. 4) \\ \sum_ {k = 1} ^ {7 2} X _ {k} = 5 0 0 \\ X _ {k} \in N ^ {*}, f _ {k m} \in \{0, 1 \}, n = 1, \dots , 9, m = 1, \dots , 4. \end{array} \right. \end{array} +$$ + +主要约束与符号说明： + +(16.1)(16.2)波士顿决策约束上下限，具体说明见4.2.1方案量化实例； +(16.3)各个分社分配到的书号小于申请的书号，大于申请书号的一半； +(16.4)波动上下限约束，具体说明见4.2.1稳定性原则； + +$a_{n}$ 表示第 $n$ 个分社最小课程编号； $b_{n}$ 表示第 $n$ 个分社最大课程编号； + +$f_{km}$ 是波士顿逻辑矩阵 $V_{72 \times 4}$ 的元素， $f_{km} = 1$ 指第 $k$ 种课程属于第 $m$ 种业务。 + +# 4.4 模型求解 + +通过代入不同参数，运用Lingo软件编程求解得到5种发展战略下的资源配置方案： + +表2：五种发展战略最优化分配方案 + +
战略说明发展战略一正常发展发展战略二发展金牛类发展战略三发展明星类发展战略四创新发展问题类发展战略五补救瘦狗类
Δη10.00%5.00%-2.50%0.00%-0.50%
Δη20.00%0.00%5.00%-2.50%-2.00%
Δη20.00%-2.50%-2.50%5.00%-2.50%
Δη20.00%-2.50%0.00%-2.50%5.00%
+ +各分社分配数量 + +
分社类别书号数书号数书号数书号数书号数
计算机类5858586660
经营类4241444241
数学类148154152144150
英语类7873817682
两课类6666546558
机械、能源类3030343032
化学、化工类2121212121
地理、地质类2828272728
环境类2929292928
总营业额2271021322472930226140332221203622131952
人均效益17228.3917054.1417133.9416843.2916761.38
+ +五种发展方向对应的各课程分配方案 $X_{k}$ 。 + +# 参考文献： + +[1] 谢金星，薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005,7 +[2] 波士顿矩阵[EB/OL]. http://www.acmr.com.cn/newsletter/3/200608/company/200608001.html + +# Optimization of Resources Allocation for Press + +TANG Zhi-gao, ZHONG Qing-qing, SHAO Chang-lei + +Advisor: SHENG Han-fang + +(Naval Acronautical Engineering Academy, Qingdao 266041) + +Abstract: This dissertation examines the variable factors which affect the allocation of resources for press including sales volume, market competitiveness (consumer satisfaction and market share), labour costs and long-term development strategies. Firstly, the Boston matrix model was used to quantify market competitiveness. It analyses different market conditions for press and their development prospects by looking at the market demand growth rate and relative market share. Secondly, taking into account the long-term development of press A with an aim of human resource utility maximisation (i.e. the largest sales per capita) and restrictions by human resource, capacity ISBN applications guidelines, an non-linear integer programming model is set up. Finally, five different development strategies for resources allocation are obtained by changing Boston parameters of the model solved by Lingo which greatly increases the applicability and operability of the model. + +Keywords: boston matrix model; market share; market demand growth rate; relative market quotient; resource utility + +文章编号：1005-3085(2006)07-0055-06 + +# 出版社资源配置的多目标优化模型 + +周有飞.夏阳，陈博 + +指导教师：指导教师组 + +(华北电力大学，保定071003) + +编者按：该文对出版社资源的优化配置问题，运用层次分析法、灰色预测及数学规划等方法，提出了一个多目标优化模型。较好的处理了出版社当年的经济效益与长远发展目标的问题。 + +摘要：针对出版社资源的优化配置问题，为了使出版社获得最大利润的同时，也要加大对强势产品的支持力度。本文建立了一个多目标整数规划模型。首先运用基于指数标度的层次分析法，将各门课程除销售利润以外的因素进行量化，得到了该课程的一个综合得分，作为强势产品的衡量标准。然后运用灰色预测模型，预测2006年每门课程的销售利润和综合得分。为了更合理的分配书号，本文引进了平衡系数，避免分配给各门课程的书号出现两极分化。最后利用LINGO软件对模型求解。分配给九个分社的书号数依次为：78、42、120、86、50、53、25、36、25，总销售额为24457323元。 + +关键词：多目标整数规划；层次分析法；灰色预测 + +分类号：AMS(2000)90C10 + +中图分类号：O221.4 + +文献标识码：A + +# 1 问题分析 + +出版社每年都需要对它要出版的书号进行合理的分配，以达到最好的经济效益，这是一个考虑多因素的资源分配问题。本文将其归结为两个因素：其一是同一门课程每个书号的平均销售利润；其二是该门课程的市场潜力，并以综合得分将市场潜力量化。每个书号的平均销售利润表现为实际销售量和利润率，综合得分表现为读者的满意度、市场占有率、印张价格比和出版社的地位四个因素。由于读者的满意度带有主观因素，故可以利用层次分析法进行量化。2006年的销售量和市场占有率可以利用灰色预测模型来进行预测。所求的分配方案既要使每门课程销售利润最大，又要考虑每门课程的市场潜力，使出版社的年度经济效益和可持续发展的问题得到很好的解决。 + +# 2 问题假设 + +1）所有课程的利润率相同： +2）同一门课程所有书目的年销量相近，且同一课程不同书目的价格相近： +3）A出版社每年可分配的总的书号数目一定，都为500； +1）A出版社只考虑下属九个分社的72门课程； +5）A出版社在分配书号时至少保证分给各分社申请数量的一半； +6）附表二问卷调查数据认为是客观，可靠的； +7）不考虑新增的人力资源，并且只考虑人力资源的历年平均值。 + +# 3 符号说明 + +$V$ ：出版社一年的销售额； $W$ ：出版社一年的总综合得分； + +$S_{i}$ ：第 $i$ 门课程在2006年的每个书号的销售量； $Z_{i}$ ：第 $i$ 门课程的综合评价值； + +$T_{i}$ ：2006年第 $i$ 门课程申请的书号数目； $Q_{i}$ ：第 $i$ 门课程的强势度； + +$J_{ij}$ ：第 $i$ 年第 $j$ 门课程的计划销售量； CI：判断矩阵的一致性指标； + +$R_{i + 1}$ ：第 $i$ 年第 $j$ 门课程的实际销售量； $RI$ ：判断矩阵的一致性比率； + +$IP_{i}$ ：第 $i$ 分社所属课程的数目； $L_{i}$ ：第 $i$ 门课程的人力资源能力； + +$x_{i}$ ：实际分配给第 $i$ 门课程的总书号数目： $y_{i}$ ：第 $i$ 个分社实际申请的书号数目； + +$x_{ii}$ ：分配给第 $i$ 分社第 $j$ 门课程的书号数； $w_{i}$ ：第 $i$ 个因素的权重： + +$p_{i + 1}$ ：第 $i$ 门课程下所有书目的平均单价； A：判断矩阵； + +$A c_{ij}$ ：第 $i$ 年第 $j$ 门课程计划的准确程度； + +$A c_{ij}$ ：预测的2006年第 $j$ 门课程计划的准确程度（也称为平衡系数）。 + +# 4 模型建立 + +根据假设1)，由于所给教材的利润率是相同的，则总利润的最大化问题可以转化为总销售额的最大化问题。 + +根据假设2)，由于相同课程下不同书号的年销量相近，且价格相近，因此，只须考虑对每门课程的书号分配。再考虑到人力资源的限制，以及假设7)，建立如下多目标整数规划模型： + +多目标函数为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max V = \sum_ {i = 1} ^ {7 2} p _ {i} \times S _ {i} \times x _ {i} \\ \max W = \sum_ {i = 1} ^ {7 2} Q _ {i} \times x _ {i} \end{array} \right. +$$ + +约束条件分别是 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} {x _ {i} \text {为 正 整 数}, \quad i = 1, 2, \dots , 7 2;} \\ {\sum_ {i = 1} ^ {7 2} x _ {i} = 5 0 0;} \\ {\sum_ {j = 1} ^ {I P _ {i}} x _ {i j} \geq y _ {i} / 2, \quad i = 1, 2, \dots , 9;} \\ {\sum_ {j = 1} ^ {I P _ {i}} x _ {i j} \leq L _ {i}, \quad i = 1, 2, \dots , 9;} \\ {T _ {i} \geq x _ {i}, \quad i = 1, 2, \dots , 7 2.} \end{array} \right. +$$ + +# 5 模型求解 + +# 5.1 求解思路 + +在目标函数中，各门课程在2006年的销售量和强势度是未知的。利用前五年已知的数据对2006年的销售量进行预测。影响各门课程强势度的因素有市场占有率、消费者对书本的满意度、书本印张价格比和出版社在消费者心中的影响。首先根据附件二中的数据，用层次分析法确定每年每门课程的强势度，然后利用灰色预测方法，预测出2006年各门课程的强势度。 + +# 5.2 强势度的确定 + +对影响综合得分的各因素的原始数据 $\beta_{i}$ 用如下方法进行无量纲化处理， + +$$ +\lambda (i) = \beta (i) / \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \beta (i) / n\right), \quad i = 1, 2, 3, 4. +$$ + +运用基于指数标度的层次分析法，来确定每门课程的综合得分。针对强势度这一目标建立层次结构，如图1所示，其中最上一层为目标层，中间为准则层，最下层为方案层。 + +![](images/f4ae3dea9e1976f0c7d9950f43f8a567d8fd93c919a35755acf5ec9d8e0099bc.jpg) +图1：层次分析图 + +指数标度相对于传统的1-9标度，克服了其一致性与判断思维一致性不等价这一缺憾，并符合传递性准则。取相对重要度 $a = 1.618$ ，指数标度的含义见表1。 + +表1：指数标度 + +
标度aij标度定义标度aij标度定义
a0=1Bi与Bj同等重要a3=4.236Bi比Bj明显重要
a1=1.618Bi比Bj稍微重要a4=6.854Bi与Bj相比很重要
a2=2.618Bi比Bj重要a5=11.09Bi与Bj相比绝对重要
+ +构造判断矩阵。考虑到要加大对强势产品的支持力度，所以要加大影响强势产品的主要因素的权重。本文将影响强势度的主要因素归结为：市场占有率和满意度，从而产生如下主要判断矩阵 + +$$ +A = \left(a _ {i j}\right) _ {4 \times 4} = \left( \begin{array}{c c c c} 1 & a & a ^ {2} & a ^ {4} \\ a ^ {- 1} & 1 & a & a ^ {3} \\ a ^ {- 2} & a ^ {- 1} & 1 & a ^ {2} \\ a ^ {- 4} & a ^ {- 3} & a ^ {- 2} & 1 \end{array} \right), +$$ + +求得矩阵 $A$ 的最大特征值为 $\lambda_{\max} = 4$ 。 + +一致性检验。计算一致性指标 $CI = (\lambda_{\max} - n) / n - 1$ 及一致性比率指标 $CR = CI$ 。其中 $n = 4$ ，查表可知 $RI = 0.89$ ，所以 $CR = 0$ ，认为其主观判断矩阵通过一致性检验，可以用来计算权重。利用公式 + +$$ +w _ {i} = \left(\sum_ {j = 1} ^ {4} a _ {i j}\right) / \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} \sum_ {j = 1} ^ {4} a _ {i j}\right) +$$ + +计算出每个因素的权重为0.466, 0.288, 0.178, 0.068。进一步可得第 $j$ 门课程的强势度 + +$$ +Z _ {j} = \sum_ {i = 1} ^ {4} w _ {i} \times q _ {i j}, \quad i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, \dots , 7 2, +$$ + +其中 $q_{ij}$ 表示第 $j$ 门课程第 $i$ 个影响因素的无量纲化值。 + +# 5.3 综合得分的预测 + +综合竞争指数在时间上是有积累效应的，类别之间也具有模糊的特性，没有明确的界限，而且又受多种因素的综合影响，因此，本文利用时间序列建立灰色预测模型，即 $GM(1,1)$ 模型，采用累加生成法，得到一条通过系统的原始序列累加生成的点群的最佳拟合曲线，并用此曲线对未来的情况进行预测。 + +# 6 模型改进 + +对于原模型，进行优化求解，发现虽然利润上得到了优化，但是书号的分配却出现了两极分化的现象：一部分课程由于其本身具有很强的强势度，因而分到的书号很多；而一部分课程由于本身的强势度较弱，从而分到的书号很少，甚至很多课程没有分到书号。这是与实际情况不相符合的，因此，需要对上述模型进行改进。类似于经济学中引进基尼系数来衡量经济发展的平衡性，本文引进了一个平衡参数来约束对书号的分配。 + +平衡参数的确定。本文对附件3的数据进行了处理，利用各门课程每年的计划销售量与实际销售量，计算出了各年的计划准确度，即 + +$$ +A c _ {i j} = R _ {i j} / J _ {i j}, \quad i = 1, \dots , 5; j = 1, 2, \dots , 7 2. +$$ + +然后用灰色模型 $GM(1,1)$ 根据前五年的计划准确度预测出2006年的计划准确度 $A c_{ij}$ ，这个准确度就定义为第 $j$ 门课程的平衡参数，这是基于以下的考虑：一般来说，出版社各个分社实际得到的书号数比它申请的书号数目要少，但分配给每门课程的书号数和该课程申请的书号数不会相差太大，这样就可以有效的抑制了两极分化，使得总体的分配比较均匀。 + +另外，平衡参数具有很好的灵活性，可以满足决策者对与利润与强势度的不同需求。考虑到这个平衡参数是实际总销售量与计划总销售量的比值，根据假设2)，同一课程中不同书号的销量相近，则这个计划销量的准确度就可以认为是申请的书号的准确度，这样虽然损失了一部分利润，但却使得分配更为合理，更符合实际情况，满足出版社长远发展的需要。从而得到改进模型：多目标函数为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max V = \sum_ {i = 1} ^ {7 2} p _ {i} \times S _ {i} \times x _ {i} \\ \max W = \sum_ {i = 1} ^ {7 2} Q _ {i} \times x _ {i} \end{array} \right. +$$ + +约束条件分别是 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} {x _ {i} \text {为 正 整 数},} & {i = 1, 2, \dots , 7 2;} \\ {\sum_ {i = 1} ^ {7 2} x _ {i} = 5 0 0;} \\ {\sum_ {j = 1} ^ {I P _ {i}} x _ {i j} \geq y _ {i} / 2,} & {i = 1, 2, \dots , 9;} \\ {\sum_ {j = 1} ^ {I P _ {i}} x _ {i j} \leq L _ {i},} & {i = 1, 2, \dots , 9;} \\ {T _ {i} \geq x _ {i},} & {i = 1, 2, \dots , 7 2;} \\ {\frac {x _ {j}}{T _ {j}} < A c _ {6 j},} & {j = 1, 2, \dots , 7 2.} \end{array} \right. +$$ + +# 7 模型的结果 + +用Lingo8.0软件对改进模型进行求解，得到的结果见表2。 + +表2：书号分配结果及其销售额 + +
分社书号数(个)销售额(元)
计算机78699445.8
经管421536694
数学12013355268
英语861456452
两课505156054
机械能源511068383
化学化工20306164.6
地质地理28419851.2
环境25429012
合计50024457324
+ +# 8 模型的评价 + +1）模型编程实现简单，可操作性强，易于推广； + +2）采用层次分析法确定权重，判断矩阵可以根据强势度的进行调节，具有较好的灵活性； + +3) 运用灰色预测的方法进行预测，这样在市场信息不完全的情况下，有较高的准确性； + +4) 在分析权重时，版次这个因素没有考虑进去，造成一些课程的数据有所偏差。 + +# 参考文献： + +[1] 谢金星. 优化建模与LINDO/LINGO软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005 +[2] 姜启源. 数学模型[M]. 第2版. 北京：高等教育出版社，1993 +[3] 梁国业. 数学建模[M]. 北京：冶金工业出版社，2004 +[4] 吴祈宗. 运筹学[M]. 北京：机械工业出版社，2002 + +[5] 许永峰. 指数标度中重要度的研究[J]. 纺织高校基础科学学报，2003,16(2) +[6] 汪浩，马达.层次分析标度评价与新标度方法[J].系统工程理论与实践，1993,13(5) +[7]舒康，梁镇韩.AHP中的指数标度法[J].系统工程理论与实践，1990,10(1):6-8 + +# The Multiple Objective Optimization Model for Press Allocation of Resources + +ZHOU You-fei, XIA Yang, CHEN Bo + +Advisor: Instrucrator Group + +(North China Electric Power University, Baoding 071003) + +Abstract: In this paper the optimization distributing problem of book numbers is considered. In order to maximize the profit and give more supporting to stronger power product, a multiple targets integer programming model is built. First, using the analytic hierarchy process (AHP) based on index scale process, some factors are quantified, and the synthetic score of every course is obtained. This score is considered as the measurement of stronger power product. Second, the gray prediction method is used to forecast the profit and the synthetic score of every course in 2006. Third, for more rational assignment of book numbers, a balancing number is introduced to avoid polarization appearing on the book numbers distributed to every course. Finally, the LINGO software is used to solve the model. The book numbers distributed to nine subsidiary presses are 78, 42, 120, 86, 50, 53, 25, 36, 25, and the total profit is 24457323 yuan. + +Keywords: multiple objective integer programming; analytic hierarchy process; grey prediction + +文章编号：1005-3085(2006)07-0061-03 + +# 出版社的资源配置与战略决策 + +孟大志，张艳，孙守霞 + +（北京工业大学应用数理学院，北京100022） + +摘要：本文给出2006年数学建模竞赛甲组A题的命题背景，命题构思和解题的基本思路。特别强调了海量数据处理和信息不完全条件下的决策问题的重要性和建模发展的特点。同时也概述了学生的创造性在建模竞赛中的表现。 + +关键词：数学建模；战略决策；资源配置 + +分类号：AMS(2000)90C35 + +中图分类号：0221 + +文献标识码：A + +# 1 引言 + +全国数学建模竞赛十五年之际，回顾这项教育事业成功的历程，当然首先归功于无私奉献的开创这一事业的一批老教授们，然而没有象高教出版社这样一些企业的经济支持，这项事业形成今年近乎万队参加的规模也是不可想象的。2006年初，在全国组委会和高教社共同商讨下，决定让我对高教社的企业管理问题进行调研，希望从中拟定当年的数学建模夏令营与全国竞赛的题目。通过多次对高教社的调研，在全国组委会各位教授的共同努力下，我们选择了“市场信息调查方法”作为夏令营的题目，而将“教材类出版社资源配置”问题作为竞赛用题的素材。 + +# 2 问题背景 + +出版社的资源配置是一个带有普遍性的问题，是出版企业的战略决策问题。这个问题解决的水平不仅直接关系到出版社的下一年的企业经济效益，也影响企业的市场竞争力与发展。但是，当前大多数出版社的资源配置方法基本上是基于经验的，就是说是根据去年的配置方案，再参照当年下属各分社提交的申请计划和某些内、外部特殊情况的“考虑”而进行分配的。显然这种以经验和直觉为主，通过群体“拍脑袋”的决策在现代企业管理中是粗糙的、不精确的，达不到企业管理的目标，因此，如何通过有数据依据的理性化决策是企业所需要的。 + +但是，事实上出版业可用于资源配置的数据信息通常是不完全的。由于出版界普遍没有全企业的ERP或MIS，从而企业本身的基础数据信息没有完整的采集与存贮。同时，用于决策的出版市场的信息更是匮乏，也没有行业性的市场信息有效采集与存贮。在这种情况下，要进行有数据依据的科学决策是很困难的，这就启发我们向全国大学生们提出了一个数据信息不完全情况下的资源配置决策问题。 + +# 3 命题构思 + +二十一世纪数学建模越来越突出地表现出时代的特点：面对海量数据，数据不完备性和信息结构复杂。我们的命题构思希望突出这三个特点，希望大学生在建模比赛中对此有所体会， + +有所理解，又能在这些特点的决策问题建模中有所创新。 + +# 1) 海量数据 + +1）海量数据二十一世纪的科学技术和社会生活中，由于广泛地使用了计算机和网络，也由于人类对于信息的数据化有更高、更迫切的需求，从而数据已经是世纪的一般特征，一个数据化社会已经形成：工商业的全球化、全球化社会管理、生命科学指数增长的数据以及互联网的数据涌现……。一方面人们都被数据海洋所淹没，另一方面人们又渴望在数据中得到所需要的信息与知识，从而面向海量数据的计算与分析，在海量数据中建立数学模型已经是科学技术的一种最重要的研究方法。因此，我们期望通过数学建模竞赛，让更多的大学生理解我们这个数字化社会。 + +# 2) 数据不完备 + +2）数据不完备在数字社会的初期，尤其是象中国这种正处于发展中的国家，多数企业并未建立完备的数据收集与存贮系统。出版业中已经建立ERP或MIS的出版社目前了了无几，即使建立了企业的基础数据库，市场信息的采集与完备地整合仍然是十分欠缺的。因此，在这种实际情况下，面对数据的残缺不全与“肮脏”，如何进行有数据依据的决策，显然是当前企业特别需要的。我们期望通过数学建模竞赛让大学生们理解社会数据的不完备性。 + +# 3）信息结构的复杂性 + +3）信息结构的复杂性科学技术已经进入复杂系统的研究，而社会功能的大幅增加也使社会变得复杂，特别是企业正走向全球化，企业将面对全社会，同时企业进入精确化生产的水平，这些都使得复杂性问题成为二十一世纪的又一个特点。面对一个复杂的系统，特别是信息系统，如何分析并表达清楚系统中的信息结构是理解系统以及为系统建立数学模型的关键环节。我们期望通过这样一个复杂的决策问题，让大学生们学会分析复杂问题的方法，也建立处理复杂问题的信心。 + +以上三点既是命题的构思想点，也形成了题目的难点和提供学生发挥创造性的空间。 + +# 4 建模要点 + +出版社的资源配置实际上就是将有限的书号分配给各个分社（每个分社出版一个学科的教材），因为一个书号从分配到确定的分社以后，将经历策划、编辑、设计、排版、印刷直至销售（或入库），所以，书号占有了一定量的出版社的各种生产资源和资金，而销售以后又体现出税收与利润。因此，出版社对于书号的分配就是出版社的资源配置。由于不同的教材表现出的投入产出效益不同，同时对于企业利润与在市场中竞争力的贡献也不同，从而需要科学地将书号分配到各分社以期获得最佳的企业效益。从题目中显然看出是一个优化问题，有明显的优化问题的结构：书号数是优化变量，经济效益是优化的目标而企业内部与外部的各种条件构成约束集合。 + +约束集合。如何建立这样一个优化决策问题的数学模型，首先应该是分析清楚决策所需要的信息，信息之间的结构以及在问题附录中给出的数据是如何计算出这些信息的。 + +息之间的结构以及在问题附录中给出的数据是如何计算出来的。资源配置的决策所需要的信息可分为两大类：外部的或市场的信息和内部的或内部资源的信息。 + +# 1) 内部信息 + +1）内部信息包括各分社申请中计划的各个课程的书号数，由于各分社可能存在本位的某种主观因素而使申报数与实际完成数之间存在差异，这种差异又称为计划准确度；同时企业资源也是内部信息，它主要标志企业的产能和人力资源的分布（出版社的资源主要体现在人力资源中）。 + +# 2) 外部信息 + +主要是市场信息，包括市场需求信息与市场竞争力信息。由于市场竞争力包含的因素较多，例如：企业财务状况，市场占有率，企业的市场形象，商品的满意度、企业的人力资源配置以及企业的创新能力等等。但是实际上许多因素难以得到量化的数据，因此竞争力的完全表达是困难的。在这种信息不完全的条件下，数学模型只能以一定粗糙度来建立。 + +我们可以将决策问题的信息结构用下图表示： + +![](images/516e765d615d2c746fbdb210055699fee6e68e7818e1185e4a1a25fefab9e554.jpg) + +分析清楚了信息结构，可以建立数学模型将信息之间的关系用数学表达式表示出来，当然模型不是唯一的。 + +在今年的全国大学生数学模型比赛中，许多答卷都对以上结构有很清楚的理解，同时又能将其用各种不同的数学模型表达：线性规划、非线性规则、多目标规划、多层或分级分配优化，经验与理论相结合的部分优化以及用网络流优化模型等等，产生了一批非常有创意的优秀论文。 + +值得指出的是，在分析产品之间的强势和设计强势系数时，一些学生的论文很准确地理解到，所谓强势不仅是在外部市场表现中是富有竞争力的，而且把在企业内部比较的强势很好地结合起来，虽然这种文章还不普遍。 + +# 后记 + +十五年来的数学建模竞赛取得令全国大学生瞩目的成绩，许多大学生在参加竞赛以后都感觉受益匪浅。另一方面，上万大学生参加的竞赛当然萌发了许多创造性的好思想，如何将竞赛中的创意转变成对于社会有益的实际成果，也一直是数学建模工作者们努力的一个方向。本题在竞赛之后又得到高教出版社的支持，将资源配置问题进一步研究下去，争取获得实际成果，在这一方面企业起到很好的作用，也是对数学建模事业的有力推动。 + +# The Allocation and Strategic Decision Problems of Press Resources + +MENG Da-zhi. ZHANG Yan, SUN Shou-xia + +(Beijing Polettechnic Univ., Beijing 100022) + +Abstract: This passage describes procedure of patting forward and China Udergraduate Mathematical Contest in Modeling 2006. In this paper, we discuss the allocation and strategic decision problems of press resources and shows the suggestion of author's the idea of solving the problems and gives introduction and comment on papers of participants. + +Keywords: mathematical modeling; strategic decision; press resources + +文章编号：1005-3085(2006)07-0064-07 + +# 艾滋病疗法评价及疗效预测模型 + +徐科，孙开栋，潘洪雷 + +指导教师：李新民 + +(山东理工大学，山东淄博 255049) + +编者按：本文的特点是采用多因素方差分析法评价四种疗法的优劣。在考虑四种疗法的费用时，建立了增量成本-效应模型，所得结论较符合实际情况，建立的模型和求解方法具有一定的可行性和有效性。 + +摘要：本文首先利用二次曲线回归分别得到反映测量时间 $t$ 与CD4个数和HIV浓度的回归方程。结合最优停药准则，计算得出的最佳治疗终止时间为第27周。为了研究年龄、疗法和测量时间三因素对CD4的影响，本文建立了多因素方差分析模型，然后通过多重比较检验可知最优疗法为疗法4。在考虑医疗费用的情况下，利用增量成本-效用模型得知第3种疗法最优。 + +关键词：二次曲线：多元方差分析；增量成本-效应模型 + +分类号：AMS(2000)62J05；62J10 + +中图分类号：O212.1；O212.6 + +文献标识码：A + +# 1 符号说明 + +$CD_{t}$ ：CD4个数(CD4count)， + +$V_{t}$ ：HIV浓度(VLoad)， + +$$ +L _ {t}: L _ {t} = \log (C D _ {t} + 1), +$$ + +$$ +M _ {t}: M _ {t} = \log V _ {t}, +$$ + +$t$ ：测量时刻（周数）， + +$\varepsilon_{1}$ ：测量误差， + +$y_{ijkl}$ ：对于处于第 $j$ 个年龄段的人，采用第 $i$ 种疗法，在第 $\pmb{k}$ 个测量时间段内测得的 $\log (CD4\mathrm{count} + 1)$ 的第 $\iota$ 个观察值， + +$\mu$ ：总平均， + +$\alpha_{i}$ ：第 $i$ 种疗法的效应， + +$\beta_{j}$ ：第 $j$ 个年龄段的效应， + +$\gamma_{k}$ ：第 $\pmb{k}$ 个测量时间段的效应， + +$(\alpha \gamma)_{ik}$ ：第 $i$ 种疗法与第 $k$ 个测量时间段的交互效应， + +$\varepsilon_{ijkl}$ ：试验误差， + +$U_{i}$ ：采用第 $i$ 种疗法的患者每周 $\log (CD4\mathrm{count} + 1)$ 改变量的平均值， + +$C_i$ ：采用第 $i$ 种疗法每周所需要的成本。 + +# 2 基本假设 + +$\varepsilon_{t} \sim N(0, \sigma^{2})$ ，且相互独立： + +$\varepsilon_{ijkl} \sim N(0, \sigma^2)$ ，且相互独立。 + +# 3 模型的建立与求解 + +# 3.1 问题一的模型建立与求解 + +# 3.1.1 模型的建立 + +$CD_{t}$ 和 $V_{t}$ 的大小是评判艾滋病患者病情严重程度的两项重要指标，而这两项指标均与测量时刻 $t$ 有关，为了使拟合曲线相对平滑，我们将 $CD_{t}$ 和 $V_{t}$ 分别做如下变换： $L_{t} = \log (CD_{t} + 1)$ ， $M_{t} = \log V_{t}$ 。 $L_{t}$ 和 $M_{t}$ 分别服从非线性模型 + +$$ +L _ {t} = f (t) + \varepsilon_ {t}, \quad M _ {t} = y (t) + \varepsilon_ {t}, +$$ + +通过 $L_{t}$ 的散点图(图1)和 $M_{t}$ 的散点图(图2)，结合用药对病情随时间变化的影响，利用最小二乘法对数据进行二次曲线拟合，即 + +$$ +Y = b _ {0} + b _ {1} t + b _ {2} t ^ {2}. +$$ + +# 3.1.2 模型求解 + +首先根据医学知识确定最优停药准则：CD4数量达到最大并开始下降，而HIV浓度达到最小并开始上升时为最佳停止用药时间。下面分情况求解模型（拟合的原理及方法见[4]）： + +# 1）综合考虑整个原始数据 + +利用原始数据，分别做 $t$ 与 $L_{t}$ 和 $M_{t}$ 的二次曲线拟合。利用统计软件 SPSS，以 $t$ 为自变量， $L_{t}$ 为因变量，做二次曲线回归得回归方程 + +$$ +L _ {t} = 1. 8 1 2 8 + 0. 0 2 5 1 t - 0. 0 0 0 5 t ^ {2}, \quad \text {即} C D _ {t} = 1 0 ^ {1. 8 1 2 8 + 0. 0 2 5 1 t - 0. 0 0 0 5 t ^ {2}} - 1. +$$ + +经检验知 $p$ 值为0，说明拟合的模型显著性成立。拟和图形见图1。 + +然后再以 $t$ 为自变量， $M_{t}$ 为因变量，做二次曲线回归得回归方程 + +$$ +M _ {t} = 0. 6 2 6 0 - 0. 0 2 1 2 t + 0. 0 0 0 4 t ^ {2}, \quad \text {即} V _ {t} = 1 0 ^ {0. 6 2 6 0 - 0. 0 2 1 2 t + 0. 0 0 0 4 t ^ {2}} +$$ + +经检验知 $p$ 值为0，说明拟合的模型显著性成立。拟和图形见图2。 + +![](images/3ec16e3b38f7a97b39a64977c0bdd44e3d7c2a228c0a4f589e610aaa6f1a2516.jpg) +图1：CD4个数与时间的回归曲线 + +![](images/4614f8784f29d487b895c91cd1389e280ed9d4ed4814914781e79d6726a53796.jpg) +图2：HIV浓度与时间的回归曲线 + +根据 $t$ 与 $L_{t}$ 的二次曲线，计算每个测量时刻 $t$ 对应的预测值 $L_{t}$ ，并找出其中最大值为2.1458，其对应时刻为第27周。根据 $t$ 与 $M_{t}$ 的二次曲线，计算每个测量时刻 $t$ 对应的预测值 $M_{t}$ ，并找出其中最小值为0.3573，其对应时刻为第25周。根据最优停药准则，由3可知停药时间的范围为(25，27)，为了保守治疗，我们取第27周作为最佳治疗终止时间。 + +2）在第0周测得的336个数据中，以CD4个数200为界，将病人分成两组 + +医学研究表明，CD4个数小于200个/mm³时，机会性感染频率相对较大，病情相对较严重[2]。考虑到病人在开始接受治疗之前的病情严重程度存在差异，我们选取第0周测得的336个数据作为服药前的初始数据，并以CD4的个数200为界，把 $CD_{t} < 200$ 的病人作为一组，视为重病患者， $CD_{t} > 200$ 的病人为另一组，视为轻病患者。 + +利用1中方法，计算得知：病重患者的最佳治疗终止时间为第27周，轻病患者的最佳治疗终止时间为26周。 + +# 3.1.3 结果与讨论 + +为确定最佳治疗终止时间，我们既考虑了全部356个病人的总体情况，也分开讨论了服药前的318个重病患者（0周时的CD4个数小于200）和18个轻病患者（0周时的CD4个数大于200）的情况。对于整个群体，我们确定的最佳治疗终止时间为第27周，此时模型预测的CD4个数为138.8943，HIV浓度为2.2822；对于服药前的重病患者，我们同样确定最佳治疗终止时间为第27周，此时模型预测的CD4个数为136.2777，HIV浓度为2.3062；而对于轻病患者，我们确定的最佳治疗终止时间为第26周，此时模型预测的CD4个数为304.0001，HIV浓度为1.8694。由于重病患者占总病人数的绝大部分，所以两者的最佳治疗终止时间相同，均为第27周；而对于一小部分在服药前的CD4数就超过200的轻病患者来说，最佳治疗终止时间则提前一周，为第26周。将重病患者和轻病患者分开讨论的好处在于避免两者的观测值相互影响，致使求出的模型过于笼统，另一方面，这样做不至于延长轻病患者的治疗时间。 + +# 3.1.4 模型评价及改进 + +用二次曲线模型拟合的优点在于： + +1）与函数插值不同，二次曲线模型不要求拟合曲线通过所有的观测点，只要求能反映出数据的变化趋势。由于观测数据本身也存在误差，所以曲线拟合的过程比插值过程得到的结果更能反映客观实际。 +2）模型的预测性强，可对继续用药的效果做一个大体的估计和判断。考虑到用二次曲线模型拟合本题数据的精度不高，有待改进，可以尝试用SPSS中的非线性拟合模块拟合出既能反映数据趋势又能在精度上有所提高的模型。 + +# 3.2 问题二的模型建立与求解 + +# 3.2.1 模型的建立 + +方差分析用于判断控制变量的不同水平是否对观察变量产生显著影响。如果控制变量的确对观察变量产生了显著影响，我们还可以通过进一步分析找出究竟是控制变量的哪个水平对观察变量产生了显著影响。 + +多因素方差分析中的控制变量个数为两个或两个以上，它的研究目的是要分析多个控制变量的作用、多个控制变量交互作用、以及其他随机因素作用是否对观察变量的分布产生显著影响。本问题共有三个控制变量：疗法、年龄和时间，属于多因素方差分析问题。 + +由原始数据知，疗法分为4种，同时我们根据如下标准，把年龄分为4组，时间分为6组。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \text {疗 法} 1 \longrightarrow 1 & \left\{ \begin{array}{l l} 1 8 \text {岁 以 下 (少 年)} \longrightarrow 1 \\ 1 8 \sim 4 5 \text {岁 (青 匆 年)} \longrightarrow 2 \end{array} \right. \\ \text {疗 法} 3 \longrightarrow 3 & 4 5 \sim 6 0 \text {岁 (中 年)} \longrightarrow 3 \\ \text {疗 法} 4 \longrightarrow 4 & 6 0 \text {岁 以 上 (老 年)} \longrightarrow 4 \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l l} 0 \text {周} \longrightarrow 1 \\ 2 \sim 1 0 \text {周} \longrightarrow 2 \\ 1 0 \sim 1 8 \text {周} \longrightarrow 3 \\ 1 8 \sim 2 6 \text {周} \longrightarrow 4 \\ 2 6 \sim 3 4 \text {周} \longrightarrow 5 \\ 3 4 \sim 4 2 \text {周} \longrightarrow 6 \end{array} \right. +$$ + +根据此问题的具体情况，共有三个控制变量：疗法、年龄、时间，再结合考虑疗法和时间的交互作用，建立模型如下 + +$$ +\begin{array}{l} {{y _ {i j k l} = \mu + \alpha_ {i} + \beta_ {j} + \gamma_ {k} + (\alpha \gamma) _ {i k} + \varepsilon_ {i j k l},}} \\ {{\varepsilon_ {i j k l} \sim N (0, \sigma^ {2}), \text {且 相 互 独 立},}} \\ {{\sum_ {i = 1} ^ {4} \alpha_ {i} = 0, \sum_ {j = 1} ^ {4} \beta_ {j} = 0, \sum_ {k = 1} ^ {6} \gamma_ {k} = 0, \sum_ {i = 1} ^ {4} \sum_ {k = 1} ^ {6} (\alpha \gamma) _ {i k} = 0.}} \end{array} +$$ + +# 3.2.2 模型求解 + +多因素方差分析原理及公式推导可参阅[1], [3], 利用 SPSS 统计软件进行多因素方差分析, 得到 + +表1：方差分析表 + +
来源平方和自由度均方和F值p值
疗法69.391323.13020.5300.000
年龄22.47237.4916.6480.000
时间85.336517.06715.1480.000
疗法*时间48.396153.2262.8640.000
误差5643.45850091.127
总和5854.6605035
+ +由表1，观察变量 $\log (CD4\mathrm{count} + 1)$ 的总变差可以分解为三大部分： + +1）各控制变量独立作用造成的变差，从表中可知，不同疗法造成的变差平方和为69.391，均方为23.130；不同年龄段造成的变差平方和为22.472，均方为7.491；不同测量时间造成的变差平方和为85.336，均方为17.067。可见，疗法种类对CD4浓度的影响要大于年龄和测量时间对CD4浓度造成的影响。再从它们的F值看，分别是20.530，6.648和15.148，对应的 $p$ 值都是0.000，说明年龄、疗法、时间对CD4浓度都有显著影响； +2) 疗法与时间的交互作用造成的变差。这里，不同疗法和不同时间交互作用造成的 CD4 浓度变差平方和为 48.396，均方为 3.226， $F$ 值为 2.864， $p$ 值为 0.000，表明不同疗法和不同测量时间的交互作用对 CD4 浓度有显著性影响： +3) 其他随机因素。 + +品”，作为命题人的喜悦心情完全淹没了过去的艰辛，同时也有一种特别的成功感和建模的快乐与享受。在此之前，作者对煤矿安全问题也是了解甚少，尤其是对矿井结构和通风系统的构成一无所知，完全是由于对数学建模事业的执着，才走上了一条求学之路。一路走来，不谦虚地说，现在也成了半个煤矿安全生产的“专家”了，从中也让我收获多多，受益匪浅。虽然竞赛结束了，这个题目所提出的问题也基本解决了，但与此有关的很多问题还值得我们研究和思考。例如：虽然煤矿生产有具体的安全规程，为什么还不断地有煤矿安全事故发生，问题的根源在哪里？实际中瓦斯爆炸的界限值为 $5\% \sim 16\%$ ，为什么国家规定瓦斯浓度不能超过 $1\%$ 的标准值，这个规定的合理性和根据何在？在现有的大量专业资料中大都应用一些传统的经验公式来对问题进行研究，实际中也是按此执行的，这些经验公式的科学性、合理性又如何？等等问题都是值得我们深思和研究。 + +致谢：对全国组委会的教校们、河南省平顶山市安全生产管理局杨书召局长（高工）、中国矿业大学（北京）秦跃平教授等专家给予的帮助和指导表示衷心的感谢。 + +# 参考文献： + +[1].国家安全生产监督管理局.煤矿安全规程[M].北京：煤炭工业出版社，2004 +[2].张国枢等.通风安全学[M].徐州：中国矿业大学出版社，2004 +[3].徐永圻.煤矿开采学[M].徐州：中国矿业大学出版社，1999 +[1].徐向义.张先民.煤矿安全生产技术问答[M].徐州：中国矿业大学出版社，1993. +[5] 超越伍, 展良荣. 矿井测风工[M]. 北京: 煤炭工业出版社, 1997 +[6] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2005 + +# The Mathematical Model of the Problem of Inspecting and Controlling of Gas and Coal Dust + +HAN Zhong-geng + +(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, PLA, Zhengzhou 450002) + +Abstract: In this paper, according to the grading process of problem D of 2006 Higher Education Press cup Cuncm, the motivation and background of the problem of inspecting and controlling of gas and coal dust are introduced. The practicable solution and its results of the problem are given. Finally, according to the process of grading papers, the comprehensive comments of the solving methods and the existing problems are given. + +成本-效果分析常需要比较不同治疗方案的成本与效果比值。通常当成本增加时，其相应的效果也会增加，但两者不会成正比。当成本增加到一定量时，效果的增加会逐渐减少或不再增加。此时，为了选择一个最佳方案，我们常采用增量成本-效果分析 (incremental cost-effectiveness analysis)。增量成本-效果分析是对一系列成本增加与一系列效果增加的比值进行比较，以选择其中一个最佳的治疗方案。 + +增量成本-效用分析的思想：在治疗方案中，先选择一个参照方案，这个参照方案可以是最小的总成本，也可以是最小的总效果。将最小的总成本或最小的总效果由小到大顺序排列，将所有方案的总成本和总效果分别减去参照方案中的总成本与总效果而得出增量成本-效果比：增量成本-效果比 $\triangle C / \triangle U$ 表示都与参照方案相比，由每增加1个效果单位所增加的成本量来选择1个增量成本-效果比 $\triangle C / \triangle U$ 最小的治疗方案。 $\triangle C / \triangle U$ 一般都为正值，但也有负值的。当参照方案是以成本从低到高排列，则 $\triangle C / \triangle U < 0$ 表示成本增加而效果减少，这样的方案当然不在选择内。当参照方案是以总效果从低到高排列，则 $\triangle C / \triangle U < 0$ 表示增加单位效果反而可使成本下降，这样的方案可以是优选方案[5]。 + +# 3.3.2 模型求解 + +1）利用题目所给的数据可以计算出 $C_i$ 、 $U_i$ 相应的值。计算 $U_i$ 的方法为：先计算采用第 $i$ 种疗法的每个患者平均每周 $\log(CD4\text{count} + 1)$ 的改变量，再计算出采用第 $i$ 种疗法的所有患者的平均值。 +2）从4个治疗方案中，选择第一种疗法作为参照方案（它的总成本最小）。其他疗法先按总成本从小到大排序，然后将其总成本和总效果分别减去参照疗法中的总成本与总效果而得出3个增量成本-效用比。 + +表3：增量成本 效用分析表 + +
治疗方案总成本(C)总效果(U)△C/△U
18.575-0.01952-
317.150.004516356.805
224.15-0.014062854.614
425.550.006013664.9239
+ +3）参照表3中的数据，结合增量成本-效用模型进行分析：观察不同疗法的 $\Delta C / \Delta U$ 值，疗法3的增量成本-效用比356.805最小，即与疗法1相比，每增加1个效果单位所增加的成本最小。所以，在考虑医疗费用的条件下，疗法3是最优的。 +4）筛选疗法3所有数据，根据问题一的模型利用SPSS对 $\log (CD4\mathrm{count} + 1)$ 与 $t$ 的关系进行二次曲线拟合，得到模型方程 + +$$ +\log (C D 4 \text {c o u n t} + 1) = 2. 9 5 2 9 + 0. 0 0 4 2 t - 0. 0 0 0 3 t ^ {2}. +$$ + +经检验 $p$ 值为0.068，在0.1的检验水平下是显著的。 + +通过计算每一个测量时刻 $t$ 对应的预测值 $\log (CD4\mathrm{count} + 1)$ 可得，当 $t = 7.71$ 时，曲线到达其最高点。所以，我们可以确定最佳治疗终止时间为8，即在第8周时终止治疗。 + +# 参考文献： + +王松柱，陈敏，陈立萍.线性统计模型[M].北京：高等教育出版社，1999 +2. 张可等. 160例成人HIV感染者/AIDS患者机会性感染与CD+4之间关系分析[J]. 中国性病防治艾滋病，2003,9(1):5-7 + +[3]薛薇.统计分析与SPSS的应用[M].北京：中国人民大学出版社，2001 +[1] 苏金明. 统计软件SPSS12.0 for Windows应用及开发指南[M]. 北京：电子工业出版社，2004 +[5] 徐端正. 生物统计在实验和临床药理学中的应用[M]. 北京：科学出版社，2004 + +# Models for Effect Evaluation and Forecast of AIDS Treatments + +XU Ke, SUN Kai-dong. PAN Hong-loci + +Advisor: LI Xin-min + +(Shandong University of Technology, Zibo, Shandong 255049) + +Abstract: In this paper, we suggest a quadratic regression method for the CD4 and a quadratic regression method for HIVs. The computed results show that the best stop time is the 27th week. Multivariate analysis of variance model (MANOVA) is used to quantify the effect of age, treatment and time on CD4 cells. Applying the multiple comparison test, the results show that the treatment 4 is the best one. However, the incremental cost-effectiveness analysis shows the treatment 3 is best when consider costs of four treatments. + +Keywords: quadratic regression; multivariate analysis of variance model; incremental cost-effectiveness model + +文章编号：1005-3085(2006)07-0071-06 + +# 艾滋病疗法评价及疗效的预测模型 + +翟远政. 王岩. 王亚平 + +指导教师：张德平 + +(南京航空航天大学理学院，南京210016) + +编者按：本文主要特点是把服药前CD4和HIV的初始值作为变量放到回归模型中并用逐步回归方法选择出最后的模型。这样做比较合理而且能提高回归系数的精度。 + +摘要：本文基于美国艾滋病医疗实验机构ACTG公布的临床观测数据，采用逐步回归和完全二次回归方法建立了艾滋病疗法评价及疗效预测模型，根据CD4和HIV浓度随时间的变化关系，引入 $CH$ 值度显疗效的优劣，对最佳治疗终止时间进行预测，得到当前疗法对艾滋病只能缓解但难以完全治愈，并且应在27周左右终止治疗。 + +关键词：疗效评价；逐步回归方法；治疗终止时间；预测模型 + +分类号：AMS(2000)92D30 + +中图分类号：O175.1 + +文献标识码：A + +# 1 基本假设和符号说明 + +# 1.1 对问题可作如下假设 + +1) 所有病人的测试记录从其用药的第0周开始，即每个病人开始记录的数据是未服药前测得的； +2）病人之间存在明显个体差异，即他们的免疫力、对药物及病毒的敏感程度不同，又由于首次测试记录的特殊性，我们选取每位病人首次测试的记录（可认为是人体内未服用药物前CD4和HIV浓度）作为这种差异的体现因子： +3）由于CD4和HIV的浓度与治疗时间 $t$ 、病人的初始状况（开始测试时病人感染的程度）有关，现假设CD4和HIV的浓度是与时间 $t$ 以及CD4及HIV浓度初始值有关的连续函数： +4) 假设艾滋病病人的年龄对其自身的 CD4 和 HIV 浓度的影响是微不足道的，可以忽略不计。 + +# 1.2 文中用到的符号 + +$t$ ：为测试时间，以周为单位： + +$C(t)$ ： $t$ 时刻CD4浓度， $t = 0$ 时 $C(0)$ 为服药前CD4浓度的初始值： + +$H(t)$ ： $t$ 时刻HIV浓度， $t = 0$ 时 $H(0)$ 为服药前HIV浓度的初始值； + +$\tilde{C}(t)$ ： $t$ 时刻CD4的平均浓度； + +$\bar{H} (t)$ ： $t$ 时刻HIV的平均浓度； + +$X$ ：相关矩阵； + +$m$ ：大于零的常量。 + +# 2 模型的建立与求解 + +# 2.1 问题分析 + +利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，确定最佳治疗终止时间。附件1记录了ACTG320（见附件1）是同时服用Zidovudine（齐多夫定），Lamivudine（拉美夫定）和Indinavir（当地那书）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）；通过对数据的综合分析，只考虑 $C(t), H(t)$ 与 $C(0), H(0), t$ 之间的关系，忽略在某时刻只有一个观测数据的记录，以增加模型准确性。 + +# 2.2 模型的建立 + +首先利用附件1的数据确定初始浓度 $C(0), H(0)$ 的初始矩阵。然后我们用多元多项式回归中的逐步回归和完全二次回归方法确定了时间 $t$ 、个体差异 $C(0), H(0)$ ，对 CD4 和 HIV 浓度以及 CD4 与 HIV 之间相互影响的回归系数，此系数来源于实验数据本身，因此可以避免人为主观判断的误差，从而可以针对病人病情的严重与否来判断该疗法的好坏。使用初始矩阵由多项式回归方法得到如下初始回归模型 + +$$ +\begin{array}{l} C (t) = b _ {0} \mid b _ {1} \times C (0) + b _ {2} \times H (0) + b _ {3} \times t + b _ {4} \times C (0) \times H (0) + b _ {5} \times C (0) \times t \\ + b _ {0} \times C (0) ^ {2} + b _ {7} \times H (0) \times t + b _ {8} \times H (0) ^ {2} + b _ {9} \times t ^ {2}, \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} H (t) = c _ {0} + c _ {1} \times C (0) \mid c _ {2} \times H (0) \vdash c _ {3} \times t + c _ {4} \times C (0) \times H (0) + c _ {5} \times C (0) \times t \\ + c _ {6} \times C (0) ^ {2} + c _ {7} \times H (0) \times t + c _ {8} \times H (0) ^ {2} + c _ {9} \times t ^ {2}. \\ \end{array} +$$ + +利用逐步回归分析方法进行分析：在初始模型中选取全部的自变量并构造出新的一组矩阵 + +$$ +X = [ C (0), H (0); t, C (0) \times H (0), C (0) \times t, C (0) ^ {2}, H (0) \times t, H (0) ^ {2}, t ^ {2} ], +$$ + +然后利用Matlab命令语句stepwise，得到逐步回归图(Stepwise1'lot)和逐步回归表(StepwiseTable).如图1，图2所示。 + +![](images/e2928d01b94e809e73b8764d400acf39fe1dbe31b2b91bfd69a0808ba0d6d0f3.jpg) +图1：逐步回归过程 + +图1中虚线表示该变量的拟合系数与0无显著差异，实线表示有显著差异；点线表明存在模型中的变量，由此说明该模型中存在多余变量。 + +![](images/82f7e7bc57adebc703c822ccff9b663af1e19d0eddd7aceddc2ac3d07280c46e.jpg) +图2：逐步回归表 + +由图2从逐步回归表中可以得出变量 $C(0) \times H(0)$ ， $C(0) \times t$ ， $C(0)^2$ ， $H(0) \times t$ ， $H(0)^2$ 的显著性不好，移去这些变量之后，仍然采用命令 stepwise，得到逐步回归图和逐步回归表，如图3，图4所示。 + +![](images/6d045357ce25b5212273696dca5fe2d1b9547bfd2041bc225502085fde31ce99.jpg) +图3：逐步回归过程 + +![](images/b07d81231651d586ea1f42e7f4a8e589d887df3b493f01a8adf004267756aa87.jpg) +图4：逐步回归表 + +图3中深色点线表示从模型中移去的变量，从最终结果中可以看出剩余标准差RMSE并没有显著的变化，但是统计量 $\pmb{F}$ 的明显增大，并且该逐步回归的 $P$ 值为0，因此新的回归模型更好。最后对剩余变量（矩阵）作多元二次回归，由此得到模型 + +$$ +C (t) = - 1 0 6. 5 9 2 9 + 1. 0 4 5 2 \times C (0) + 2 3. 1 1 0 1 \times H (0) + 6. 2 2 1 2 \times t - 0. 0 9 9 5 \times t ^ {2}, +$$ + +采用同样的方法，利用Matlab作逐步回归分析，得到图5-图8。 + +![](images/9cc5e5f37d14a8fdd27d879ffc29a99522add09bab41752ed5cba5278629a0d2.jpg) + +![](images/853701b4e1539149aebfd363f44344212fc6c598fdc393b3bda93170ca8fde65.jpg) +图5：逐步回归过程 + +![](images/c8d56c113815cce5353e35e4cd8839d6bb5d95b5505cf4bb2924331627a79a8f.jpg) +图6：逐步回归表 + +![](images/e5f3549754b5df9f5ad255dfc55d33c2f42c38d2191df970f119acd561aa1ab6.jpg) +图7：逐步回归过程 +图8：逐步回归表 + +由此可知，对 $H(t)$ 影响较大的因子为 $H(0), t$ ，由回归分析方法最终求得模型为 + +$$ +H (t) = 0. 9 0 0 9 + 0. 6 9 5 5 \times H (0) - 0. 1 6 1 6 \times t + 0. 0 0 3 2 \times t ^ {2}. +$$ + +由回归方程，根据观测数据分别确定CD4和HIV浓度初值，由此可得CD4浓度 $C_{\mathrm{t}}$ 和HIV浓度 $H(t)$ 分别随治疗时间 $t$ 的变化曲线。 + +为了估计最佳停药时间，定义疗效为 $CH = m \times C(t) / H(t)$ ，其中 $m$ 为比例系数。显然疗效 $CH$ 为 $t$ 的函数。由此知疗效 $CH$ 由 $C(t), H(t)$ 的值决定：当 $C(t)$ 的值越大， $H(t)$ 的值越小时，疗效也就越好。只需用Matlab绘出 $m = 1$ 时 $CH$ 随治疗时间 $t$ 变化曲线即可确定最佳停药时间，从而预测出疗效。因此可以根据 $CH$ 随治疗时间 $t$ 变化曲线来预测继续治疗的效果，确定最佳治疗终止时间。 + +# 3 模型的应用与评价 + +问题1中要求预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药）。问题的关键是确定影响疗效的因素：HIV的浓度 $H(t)$ 和CD4浓度 $C(t)$ 。当HIV浓度 $H(t)$ 越低，CD4浓度 $C(t)$ 越高，则治疗效果越好。由于 $H(t)$ 与 $C(t)$ 是关于 $C(0), H(0)$ 和时间 $t$ 的二次函数，因此可以很方便地得到它们之间的变化规律。利用Matlab的绘图功能将 $C(t)$ 与时间 $t$ 及 $H(t)$ 与 $t$ 的函数曲线关系用图形表示出来直接比较。为消除初始值 $C(0)$ 和 $H(0)$ 对疗效比较的影响，每次比较时可以任取一组相同的 $C(0), H(0)$ ，这里不妨取其平均值： $\bar{C}(0) = 123.2161, \bar{H}(0) = 3.441044$ ，由此得到 $H(t)$ 与 $C(t)$ 随治疗时间 $t$ 的变化曲线，由图9和图10给出。 + +![](images/286616b2855cbd7d923eb12cd0b2d80d9d420196846cfbfc4bd5973fe38f25b0.jpg) +图9：CD4浓度随时间 $t$ 变化曲线 + +由图9和图10，对于某一确定的 $C(0),H(0)$ 的值， $C(t)$ 与 $H(t)$ 随时间 $\pmb{t}$ 的变化分别呈现出这样的趋势：随着治疗时间 $\pmb{t}$ 的推移，HIV的浓度在药物的作用下起初呈现一定的下降趋势，然后大幅度增加，而CD4的浓度则是先上升，然后急剧下降。因此疗效CH随治疗时间 $\pmb{t}$ 的变化有一个明显的先上升然后下降的过程，如图11所示。 + +![](images/d48748322872e1fb21834ea90d24123ae17126f052086a1c13999d4691fa98ee.jpg) +图10：HIV的浓度随时间 $t$ 变化曲线 + +![](images/54b646d47c1877d93b57ba6f441859927828681a186ff1523ae52068624ac1e4.jpg) +图11：疗效 $CH$ 随时间 $t$ 变化曲线 + +这种变化趋势符合目前艾滋病难以治愈、只能缓解的现实状况。同时也表明了模型的数据是基本正确的，模型的变化趋势在图中所反映的区间内是可靠的。因此，在艾滋病的治疗过程中应该在某一恰当的时间终止治疗，此时继续治疗基本上没有意义。同时，根据 $H(t)$ 和 $C(t)$ 以及 $CH$ 随时间 $t$ 的变化曲线，可以估计出最佳治疗停止时间。由此可得在27周左右的时间内，CD4的浓度达到最大，而HIV的浓度却降到了最低点附近，即使继续治疗，病情仍将恶化，所以应当在此时停止治疗。 + +# 参考文献： + +[1]赵静.数学建模与数学试验[M].北京：高等教育出版社，2000 + +# An Appraisal on Curative Effect of AIDS and its Prediction Model + +ZHAI Yuan-zheng, WANG Yan, WANG Ya-ping + +Advisor: ZHANG De-ping + +(College of Science, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, Nanjing 210016) + +Abstract: This paper appraises the curative effect of AIDS and presents a prediction model by using complete regression method and stepwise regression method based on AIDS clinical data in the United States for medical research agency ACTG. By introducing $CH$ merits to measure the curative effect of AIDS according to the relation of CD4 and HIV concentration with time $t$ , and predict the time of termination of the best treatment. The research results show that the current treatment for AIDS can only be alleviated but can not be completely cured, and the treatment should be terminated at 27 weeks. + +Keywords: appraisal curative effect; stepwise regression method; time of termination; prediction model + +文章编号：1005-3085(2006)07-0077-06 + +# 艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型 + +林松青，孙杰华，向子权 + +指导教师：王友娥 + +(湖南邵阳学院理学与信息科学系，邵阳422000) + +编者按：本文的特色主要表现在作者采用了专业统计方法，即单因素和双因素方差分析对问题一、二分别进行了解答。尽管结果不很完善，但仍不失为一篇很有特色的论文。 + +摘要：本文根据题设条件和附件1、附件2提供的临床数据进行整理分类、分析和处理，对不同问题建立了艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型、首先利用附件1的数据及多元统计分析的方法、假设检验法。得到了最佳治疗终止时间为25周。再利用双因子方差分析的方法，对附件2的数据进行了处理和分析，得到不同疗效、不同年龄段、不同服药时间段均对疗效有显著性影响。根据艾滋病治疗的目的尽量产生更多的CD4，和在CD4浓度明显增加的前提下对应样本方差越大越优的原则，对各个年龄段的4种疗法进行分析和求解，得到第4种疗法最优的结论。 + +关键词：CD4浓度；HIV浓度；假设检验；方差分析 + +分类号：AMS(2000)62F03 + +中图分类号：O172.5;O212.1 + +文献标识码：A + +# 1 问题分析与求解 + +# 1.1 问题1的分析与求解 + +利用附件1提供的数据将服药时间分成六个时间段： $0,1 - 5,6 - 9,10 - 25,26 - 40,40$ 以上，分别计算CD4和HIV的平均浓度和方差如表1所示。 + +表 1: CD4 和 HIV 的平均浓度和方差 + +
时间段(周)人数CD4人数HIV
平均浓度方差平均浓度方差
033686.095244567.1043355.0269460.491839
1-5364130.14018057.5713583.2768161.356931
6-9344154.662812296.443352.9194031.349027
10-25311174.678513679.312962.8530411.682693
26-40220185.636413699.41922.9171882.008611
40以上86144.058110375.61513.28434142.177009
+ +要预测药物继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间，可用多元统计分析的方法来探讨和研究。用假设检验中U一检验法对CD4和HIV进行检验。先提出原假设和备择假设。 + +CD4 $H_0^{(1)}: u_k = u_{k-1}^{(1)}$ $H_1^{(1)}: u_k > u_{k-1}^{(1)} \quad k = 2,3,4,5,6,$ + +HIV $H_0^{(2)}: u_k = u_{k-1}^{(2)} \quad H_1^{(2)}: u_k < u_{k-1}^{(2)} \quad k = 2, 3, 4, 5, 6,$ + +其中 $u_{k}^{(1)}$ 表示服药时间第 $k$ 段CD4的平均浓度， $u_{k}^{(2)}$ 表示服药时间第 $k$ 段HIV的平均浓度。检验的统计量为 + +$$ +U _ {k} = \frac {\bar {\xi} - u _ {k - 1} ^ {(i)}}{\sigma_ {k - 1} ^ {(i)} / \sqrt {n}}, \quad i = 1, 2; k = 2, 3, 4. 5, 6. \tag {1} +$$ + +其中 $\sigma_{k}^{(1)}$ 表示服药时间第 $k$ 段CD4浓度的样本方差； $\sigma_{k}^{(2)}$ 表示服药时间第 $k$ 段HIV浓度的样本方差。这里是假设病人在初始状态时CD4和HIV分别服从浓度正态分布 $N(u_{1}^{(1)}, \sigma_{1}^{(1)})$ 和 $N(u_{1}^{(2)}, \sigma_{1}^{(2)})$ 的前提下进行的。 + +根据艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量。同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少速度。以提高人体免疫力，因此在符合以下情况之一均认为可以继续治疗。 + +1）服药后CD4浓度明显提高，HIV浓度减少： +2）服药后CD4浓度平稳，HIV浓度减少： +3）服药后CD4浓度提高，HIV浓度平稳。 + +在以下情况之一均认为终止治疗。 + +1）服药后CD4浓度减少，HIV浓度增加： +2）服药后CD4浓度平稳，HIV浓度增加； +3）服药后CD4浓度减少，HIV平稳。 + +利用表1的结果分别计算CD4、HIV的观察值(1)式，给定显著性水平 $\alpha = 0.05$ ，临界值为 $u_{0.05} = 1.64$ 得表2。 + +表 2: CD4 和 HIV 的显著性分析表 + +
时间段(周)CD4显著性HIV显著性
1-512.4344显著提高-41.2181显著提高
6-95.0670显著提高-5.6157显著提高
10-253.1832显著提高-0.9330显著提高
26-401.3897无显著性-0.6852显著提高
40以上-3.2942无显著性1.8500无显著性
+ +从表2中不难得出，在第一个时间段（1-5周）的治疗效果最好，第二个时间段（6-9周）的治疗效果好，第三个时间段的治疗效果较好，第四个时间段（26-40周）基本上没有治疗效果，第五个时间段（40周以上）治疗效果差。因此最佳的治疗终止时间为25周左右。 + +# 3.2 问题2的模型建立与求解 + +为了对4种疗法进行优劣评价，先用双因子方差分析的方法进行统计分析，在进行方差分析之前，先要对附件2的数据进行处理。为了便于分析，将年龄分成四个年龄段：0-30，31-40，41-50，50以上。将服药时间分成六个时间段：0，1-9，10-19，20-28，29-36，37以上。对4种疗法，6个服药时间段，4个年龄段分别求出CD4的平均值如附表1（样本方差见附表2）。 + +设因子A表示疗法，取4个水平即4种疗法。因子B表示年龄，取4个水平即4个不同的年龄段。因子C表示服药时间，取6个水平即6个服药时间段。下面用双因子方差分析法分析因子A、B、C对疗效的显著性影响，先建立数学模型。 + +方差分析模型 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {i j} = \mu + \alpha_ {i} + \beta_ {i} + \varepsilon_ {i j}, \\ \sum \alpha_ {i} = 0; \quad \sum \beta_ {i} = 0, \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +其中诸 $\varepsilon_{ij}$ 间相互独立，且都服从 $N(0,\sigma^2)$ 分布， $\mu_{ij}$ 表示在 $(A_i, B_j)$ 水平组合下的试验结果。 + +$$ +\mu = \frac {1}{r s} \sum_ {i = 1} ^ {r} \sum_ {j = 1} ^ {s} \mu_ {i j}, +$$ + +$$ +\mu_ {i} = \frac {1}{s} \sum_ {j = 1} ^ {s} \mu_ {i j}. \quad \alpha_ {i} = \mu_ {i} - \mu , \qquad i = 1, 2, \dots , r. +$$ + +$$ +\mu_ {j} = \frac {1}{r} \sum_ {i = 1} ^ {r} \mu_ {i j}, \quad \beta_ {j} = \mu_ {j} - \mu , \qquad j = 1, 2, \dots , s, +$$ + +$\alpha_{i}$ 为因子 $A$ 的第 $i$ 水平的效应： $\beta_{j}$ 为因子 $B$ 的第 $j$ 水平的效应。 + +这个模型要检验的假设有二个 + +$$ +H _ {0 1}: \alpha_ {1} = \alpha_ {2} = \dots = \alpha_ {r} = 0, \tag {3} +$$ + +$$ +H _ {0 2}: \beta_ {1} = \beta_ {2} = \dots = \beta_ {r} = 0, \tag {4} +$$ + +当 $H_{01}, H_{02}$ 为真时 + +$$ +F _ {A} = \frac {S _ {A} / (r - 1)}{S _ {c} / (r - 1) (s - 1)} \curvearrowright F (r - 1, (r - 1) (s - 1)), +$$ + +$$ +F _ {B} = \frac {S _ {B} / (r - 1)}{S _ {c} / (r - 1) (s - 1)} \curvearrowright F (s - 1, (r - 1) (s - 1)). +$$ + +$F_{A}, F_{B}$ 就是用来检验假设 $H_{01}$ 和 $H_{02}$ 的统计量。其中 + +$$ +S _ {A} = \sum_ {i = 1} ^ {r} \frac {y _ {i \bullet} ^ {2}}{s} - n \bar {y} ^ {2}, \qquad S _ {B} = \sum_ {j = 1} ^ {s} \frac {y _ {\bullet j} ^ {2}}{r} - n \bar {y} ^ {2}, \qquad S _ {T} = \sum_ {i = 1} ^ {r} \sum_ {j = 1} ^ {s} (y _ {i j} - \bar {y}) ^ {2}, +$$ + +$$ +S _ {c} = S _ {T} - S _ {A} - S _ {B}, \quad \bar {y} = \frac {1}{r s} \sum_ {i = 1} ^ {r} \sum_ {j = 1} ^ {s} y _ {i j}, +$$ + +$$ +y _ {i \bullet} = \sum_ {j = 1} ^ {s} y _ {i j}, \quad \bar {y} _ {i \bullet} = \frac {1}{s} y _ {i \bullet}, \quad i = 1, 2, \dots , r, +$$ + +$$ +y _ {\bullet j} = \sum_ {i = 1} ^ {r} y _ {i j}, \quad \bar {y} _ {\bullet j} = \frac {1}{r} y _ {\bullet j}, \quad j = 1, 2, \dots , s. +$$ + +按照显著性假设检验程序，对给定的显著水平 $\alpha$ 。当 $F_A > F_{1 - \alpha}(r - 1, (r - 1)(s - 1))$ 时，拒绝 $H_{01}$ 。当 $F_B > F_{1 - \alpha}(s - 1, (r - 1)(s - 1))$ 时拒绝 $H_{02}$ 。下面对因子 $(A, B)$ ， $(A, C)$ 进行双因子方差分析。在附表1中对第1、2、3、4种疗法取列平均值得表3。 + +表3：CD4的平均值 + +
疗法\年龄0-3031-4041-5050以上
12.576572.6839362.6482252.786853
22.4696642.7302622.8350062.900373
32.767152.9470382.8080763.149121
42.9600813.037612.9157063.343205
+ +利用MATLAB软件计算个偏差平方和得方差分析得表 + +
来源平方和自由度均方和F比
A0.301230.100410.3269
B0.324930.108311.1394
e0.087590.0097
+ +当 $\alpha = 0.05$ 时， $F_{1 - \alpha}(3,9) = 3.86$ 。因为 $F_A > F_{1 - \alpha}(3,9)$ ， $F_B > F_{1 - \alpha}(3,9)$ ，所以在 $\alpha = 0.05$ 显著水平下，不同疗法不同年龄段对疗效有显著影响。 + +在附表1中对1、2、3、4种疗法取行平均值得表4。 + +表4：CD4 的平均值 + +
服药时间\疗法1234
02.97922.93412.90652.8536
82.83372.97083.06783.1922
162.77452.83982.97763.2044
242.55422.59352.77532.9989
322.57592.64542.82262.9400
402.26072.46392.76612.9122
+ +同样用MATLAB软件求得各偏差平方和得方差分析表 + +
来源平方和自由度均方和F比
A0.502030.17337.1004
C0.439450.087910.3583
e0.2121150.0141
+ +当 $\alpha = 0.05$ 时， $F_{1 - \alpha}(3,15) = 3.86$ 。因为 $F_A > F_{1 - \alpha}(3,15)$ ， $F_C > F_{1 - \alpha}(3,15)$ ，所以当 $\alpha = 0.05$ 时，不同疗法不同服药时间段，对疗效有显著影响。 + +综上所述，不同年龄段，不同服药时间段对疗效均有显著性影响。根据题目要求判断疗法的优劣是以CD4为标准的，以艾滋病的治疗目的是尽量产生更多的CD4，同时在CD4明显增加的前提下，应该是对应的方差越大越好。为简化起见，我们仅以附表1中不同疗法，不同年龄段的样本方差的平均值为指标作为判断标准。故得四种疗法的优劣排序为： + +0-30岁： $4 - 3 - 1 - 2$ + +$$ +3 1 - 4 0 \text {岁}: 3 - 4 - 2 - 1 +$$ + +$$ +4 1 - 5 0 \text {岁}: 4 - 3 - 2 - 1 +$$ + +51岁以上： $4 - 3 - 1 - 2$ + +综合以上情况得最优疗法为第4种疗法，第3种疗法次之，第2种疗法和第1种疗法再次之。 + +再利用附表1、2的结果分别用U检验法进行分析 + +$$ +U _ {k} = \frac {\bar {\xi} - u _ {k - 1}}{\sigma_ {k} / \sqrt {n}}, \quad k = 2, 3, 4, \tag {5} +$$ + +给定显著性水平 $\alpha = 0.05$ ，临界值为 $u_{0.05} = 1.64$ 得表5和表6。 + +表5：CD4 的显著性分析表 + +
年龄1234
CD4显著性CD4显著性CD4显著性CD4显著性
31-402.5565显著提高6.0345显著提高3.6506显著提高6.9947显著提高
41-50-0.6063无显著性1.7624显著提高-2.2016无显著性-6.4382无显著性
50以上1.3070无显著性0.5053无显著性2.5837显著提高3.7303显著提高
+ +表6：CD4 的显著性分析表 + +
时间1234
CD4显著性CD4显著性CD4显著性CD4显著性
8-2.7402无显著性0.6272无显著性2.7161显著提高5.4804显著提高
16-0.9336无显著性-2.0161无显著性-1.3118无显著性0.1694无显著性
24-3.0657无显著性-3.5777无显著性-2.4694无显著性-2.4080无显著性
320.3141无显著性0.7256无显著性0.5740无显著性-0.6652无显著性
40-2.4829无显著性-1.3128无显著性-0.3576无显著性-0.1802无显著性
+ +由表5和表6求出最优疗法的最佳终止时间为：0-30岁继续治疗；31-40岁继续治疗；41-50岁治疗12周；51岁以上治疗32周。 + +# 4 模型评价和改进 + +1）本模型利用假设检验法及继续治疗和终止的判别准则，巧妙地预测了继续治疗的效果，确立了最佳终止时间。方法科学简单，对于非数学专业的医务人员来说操作性强。 +2）本模型又用了方差分析的方法分析出不同疗法、不同年龄段、不同服药时间对疗效有显著的影响。最后得出第4种疗法最优的结论。这些方法理论较强，方法科学操作简单易行。容易被广大医务人员和大学生接受。 +3）本模型假设病人在初始状态之前 $(t = 0)$ 的CD4浓度和HIV的浓度均服从正态分布和设因子A、B；A、C在水平组合下的实验结果均服从正态分布的假设比较粗糙与调查数据做出的结果有一定的差异。 + +# 参考文献： + +[1]徐全智，杨晋浩.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2003 +[2]魏宗舒等编.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1982 +[3] 何声武主编. 概率论与数理统计[M]. 北京：经济科学出版社，1991 +[4] 肖伟等编著. MATLAB程序设计与应用[M]. 北京：清华大学出版社，2005 + +# The Prediction Model about the AIDS Disease Therapy and Curative Effect + +LIN Song-qing, SUN Jie-hua, XIANG Zi-quan + +Advisor: WANG You-e + +(Department of Science and Information Science, ShaoYang College, ShaoYang Hunan 42200) + +Abstract: According to the condition of the question and the data of the enclosure 1 and enclosure 2, we establish the estimate model about the AIDS disease therapy and curative effect. At First by making use of the data of the enclosure 1, the diverse covariance analysis of method and the suppose examination method we get the best treatment terminates time being the 25th week. Then, handling the data of enclosure 2 with the square analysis method, we get the conclusions that different curative effect, age segment and medicine time segment all have influence on the therapy. Finally, according to the principle that with the density of CD4 increasing obviously the larger the sample square is, the better the therapy is and the purpose that cure produce more CD4 as much as possible, we get the best therapy is the fourth one. + +Keywords: the density of CD4; the density of HIV; suppose examination; square analysis + +文章编号：1005-3085(2006)07-0083-12 + +# 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 + +宋兴达，黄芳媛，余磊 + +指导教师：教练组 + +(江西财经大学，江西南昌 330013) + +编者按：该文在对CD4和HIV浓度进行拟合前，先用插值方法补足每个病人在第4、8、24、40周的数值，使在这些时间点上有浓度数据的病人数相同，然后取平均值，并对这些平均值作拟合，这是一种正确可行的处理方法。该文还尝试将数据包络分析方法用于问题3的解决。 + +摘要：首先，本文应用Lagrange线性插值法来统一每一个病人的测试时间点，使每一个病人的测试时间点均为第0周、第4周、第8周、第24周和第40周，并计算出每一位病人的CD1浓度和HIV浓度在时间段[0,4],[4,8],[8,24],[24,40]上的变化量和所有样本的平均变化量，依据这个变化量来判断某种方案的治疗效果。其次，通过建立CD1浓度和HIV浓度的二次和三次模拟方程，预测最佳治疗终止时间。再次，通过计算出每一种方案第一个8周、第二个8周、第三个8周、第四个8周、第五个8周所有病人CD1的平均变化量，来判断方案的优劣。当病人需要考虑四种方法的费用时，求出每一种疗法的单位CD1绝对变化量的平均费用，从而以最小平均费用来判定最佳治疗方案。另外，在考虑费用的评价中，将费用作为输入因素，CD4变化量作为输出因素，本文构造了评价疗法的相对有效性模型——DEA模型，DEA模型得到的结果与统计方法得到的结果一致。 + +关键词：艾滋病；疗法评价；疗效预测 + +分类号：AMS(2000)90C60 + +中图分类号：O29 + +文献标识码：A + +# 1 模型假设 + +1）艾滋病治疗的疗效可通过观察人体内HIV的数量变化和CD4数量的变化来体现，即当HIV的数量减少和CD4数量的增加时，说明艾滋病治疗有效； +2）根据样本数据特点，我们规定4周为一个月，一个月为28天计算； +3）规定病人的测试区间第0-8周、第8-16周、第16-24周、第24-32周、第32-40周为治疗的第1阶段、第2阶段、第3阶段、第4阶段、第5阶段； +4）继续治疗指在测试终止后继续服药，终止治疗指测试后停止服药； +5）样本数据测试是相互独立的，即每一位病人任何一个时刻的测试数据不受其他病人的影响，也不受其本身其他时刻数据的影响； +6) 每一位病人是否患艾滋病是相互独立的。 + +# 2 问题(1)的分析与解决 + +从附件1中的数据我们可以看到，每位病人的测试时刻并不完全相同，即样本点测试的时刻不同：有的病人测试数据不完全，比如有的病人有6个数据点，而有的病人又只有3个数据点；这些都给问题分析带来了困难，所以为了使测试时刻一致，使用Lagrange线性插值法[1]得到每位病人相同测试时刻的HIV值与CD4值（如表1所示，表1为线性插值后的附件1的部分数据）。在数据处理时，对于数据点太少的病人，直接剔除。 + +Lagrange线性插值公式取 + +$$ +y = y _ {k} \frac {x - x _ {k + 1}}{x _ {k} - x _ {k + 1}} + y _ {k + 1} \frac {x - x _ {k}}{x _ {k + 1} - x _ {k}}, \quad x \in \left\{x _ {k}, x _ {k + 1} \right\}. +$$ + +表1：应用线性插值以后获得的表1的修正数据 + +
病人编号测试 CD4 的时刻(周)测得的 CD4 (乘以0.2个/ml)测试 HIV 的时刻(周)测得的 HIV
23424017805.5
23424422843.9
23424812684.7
2342424168244.04
234244099405
2342501405.3
2342546242.4
234258100.483.44
2342524133.6242.52
2342540320401.7
23426010104.5
23426415141.7
23426811581.7
2342624145242.7
2342640128403.2
+ +在表1中，我们将每一位病人的测试时刻统一到第0周、第4周、第8周、第24周和第40周。这样我们可以计算出300多名病人同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物，第0-4周、第4-8周、第8-24周、第24-40周CD4浓度和HIV浓度的平均变化量，如表2所示。这也是从总体上来判断这种方式治疗的疗效。 + +表2：CD4 和 HIV 浓度总体变化量 + +
时间段(周)病人CD4浓度平均变化量病人HIV浓度平均变化量
0-446.48637-1.78837
4-823.15598-0.31814
8-2420.36249-0.11375
24-4014.992920.1512
+ +由此可以看到，从平均的角度而言，第0-4周的治疗效果是最好的，CD4浓度增加较快，HIV浓度下降较快；随着时间的推移，治疗的效果漫漫减弱，CD4浓度增加缓慢，HIV浓度减少缓慢：到第 $24\sim 40$ 周时，虽然CD4浓度仍在上升，但HIV浓度开始上升，说明治疗已经失效，应该立即停止服药。 + +为了得到最佳治疗终止时间，还可以建立CD4浓度平均变化量与时间 $t$ 的关系的模型和HIV浓度平均变化量与时间 $t$ 的关系的模型。 + +首先，画出CD4浓度平均变化量 $Y$ 与时间 $\pmb{t}$ 的散点图，并添加趋势线，从图1与图2的对比中可以看到，用线性拟合效果差，线性拟合的方程为 + +$CD4$ 平均浓度 $(Y) = 2.1565t + 29.447$ ，拟合度 $R^2 = 0.7555$ ，拟合效果差。 + +注意 这里的 CD4 平均浓度 $(Y)$ 指从第 0 时刻增加到 $t$ 时刻时, 病人的 CD4 浓度平均增加量。 + +![](images/46498d87b47da96f8beb057f6f0181ffdbaa77d6bed9860880f5da639d6c0f6d.jpg) +图1：CD4平均变化量与时间 $t$ 的线性关系图 + +![](images/e32211db1cd499c236f3317f5bd7f2785afb380006d3f2e643a3a1c0aad3d6c8.jpg) +图2：CD4平均变化量与时间 $t$ 的二次曲线关系图 + +图2显示CD4浓度平均变化量 $Y$ 与时间 $t$ 是非线性关系，并且从散点图看到是二次函数关系。用二次曲线拟合法得到 + +$$ +C D 4 \text {平 均 浓 度} (Y) = - 0. 0 9 4 5 t ^ {2} + 5. 9 4 1 2 t + 1 4. 5 3 7. \tag {1} +$$ + +拟合度： $R^2 = 0.9014$ ，说明曲线拟合效果较好，可用于反映CD4平均浓度变化量与时间 $t$ 的关系。 + +对(1)式求导得 + +$$ +\mathbf {Y} ^ {\prime} = - 0. 1 8 9 0 t + 5. 9 4 1 2, +$$ + +并求出当 $Y$ 达到最大时的 $t = 31.4349$ ，即为第31周左右。 + +其次，画出HIV浓度平均变化量 $Z$ 与时间 $t$ 的散点图，通过比较图3与图4，我们认为HIV浓度 $(Z)$ 与时间 $t$ 的二次函数关系拟合效果稍差一些，其二次函数曲线关系式为 + +$$ +H I V \text {平 均 浓 度} (Z) = 0. 0 0 3 3 t ^ {2} - 0. 1 6 5 7 t - 0. 6 1 9 4, \quad \text {拟 合 度} R ^ {2} = 0. 6 9 0 1, +$$ + +![](images/4945279239830144f682b8ea92ac05616556c59468201cbf4085e26296be7905.jpg) +图3：HIV平均变化量与时间 $t$ 的二次曲线关系图 + +![](images/b30c882de373488b7e62280ab5781d0d7c6b590a3486be30f87a53f29d05aa2b.jpg) +图4：HIV平均变化量与时间 $t$ 的三次曲线关系图 + +三次曲线拟合效果较好，拟合度 $R^2 = 0.9589$ ，因此，用三次曲线进行分析。 + +$$ +H I V \text {平 均 浓 度} (Z) = - 0. 0 0 0 3 t ^ {3} + 0. 0 2 1 2 t ^ {2} - 0. 4 2 6 3 t - 0. 1 1 0 2, \tag {2} +$$ + +对(2)式求导得 + +$$ +Z ^ {\prime} = - 0. 0 0 0 9 t ^ {2} + 0. 0 4 2 4 t - 0. 4 2 6 3. +$$ + +令 $Z^{\prime} = 0$ 得 + +$$ +t _ {1} = 1 4. 5 4 4 6, \quad t _ {2} = 3 2. 5 6 6 5. +$$ + +且当 $Z''|_{t = 14.5446} > 0$ + +所以，当 $Z$ 达到最小时的 $t = 14.5446$ ，即为第15周左右。 + +由于曲线拟合具有一定的误差，将曲线拟合计算结果与表2中的变化趋势相结合，我们可以得到以下结论： + +结论1 一般而言，病人同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的艾滋病治疗方式在半年内有效。治疗时间超过半年，病情出现反复，从而最佳治疗终止时间为第25周左右。 + +# 3 问题(2)的分析与解决 + +首先，我们将附件2中的数据按疗法代号进行归类处理。由于在此问题中只有一个关键指标CD4的浓度，所以此问题为单指标评价问题。单指标评价问题通常是通过观测该指标样本数据的平均值及其方差来评价各方案的优劣。 + +在此问题中，每位病人观测的时间间隔是8周，有的观测了一个8周，有的观测了二个8周，有的观测了三个8周，有的观测了四个8周。并且每个8周治疗效果是不一样的，如可能第一个8周治疗效果比较明显，而第二个或第三个8周的治疗不一定那么明显。并且每个病人的初始病情也各有不同，即他血液中所含的CD4浓度或HIV浓度初始值是不同的，方案治疗的效果应该主要由CD4的变化量来表示[2-4]。 + +根据附件2中的数据，我们可以获得每一位病人每一个8周的CD4浓度变化量数据。为了获得方案的总体效果，我们求出每一方案对应下的每一个8周病人CD4浓度平均变化量，如表3所示。 + +表3：各方案不同周期的 CD4 浓度平均变化量 + +
治疗方案第一个8周CD4浓度平均变化量第二个8周CD4浓度平均变化量第三个8周CD4浓度平均变化量第四个8周CD4浓度平均变化量第五个8周CD4浓度平均变化量
1-0.10414-0.17936-0.13906-0.15707-0.22371
20.028504-0.1915-0.22912-0.08313-0.01971
30.143257-0.38035-0.13028-0.219080.045265
40.395529-0.12781-0.1124-0.18153-0.08009
+ +![](images/35aa05ec97c75461092aa8ee3ac86a53956984f65eb161526ab748187390e625.jpg) +图5：各方案CD4浓度平均变化量与时间的关系图 + +从表3中的数据，以及图5都明确表示，在30周之前，治疗方案4明显优于其他治疗方案。如果进一步细化，就总体平均而言，则各个时间段的最优治疗方案如表4所示。 + +表4：在不同时间段的最佳治疗方案 + +
时间段第0-8周第8-16周第16-24周第24-32周第32-40周
最佳治疗方案第4方案第4方案第4方案第4方案或第1方案第2方案
+ +结论2 若仅以CD4浓度为判断指标，则第四个方案的治疗效果为最佳。 + +我们还可以从每一种方案CD4浓度的变化趋势来判断方案的优劣。通过画出各方案CD4浓度与时间 $t$ 变化的散点图和趋势图，如图6-图9所示。 + +![](images/33c85bc6cf3b7a6d42e6fc68c616a92ce14b9b10028b23d93e9ded5885b4880a.jpg) +图6：方案1的CD4浓度随时间的变化关系 + +![](images/aca5c0d1c38547ba9335919bd48cb518477b996a9a4403608ba45e4f827e73ed.jpg) +图7：方案2的CD4浓度随时间的变化关系 + +![](images/e1de0635e948abf62018901d9acaf1cc95bf939b71db636ae3cc52ca487bdf4b.jpg) +图8：方案3的CD4浓度随时间的变化关系， + +![](images/af240a03808bdf26a4d28c32e4027256093753a6c2c3627007772d5b6f5e2a00.jpg) +图9：方案4的CD4浓度随时间的变化关系 + +由此可以看到，方案1-3用一次线性函数模拟较好，且一次项系数为负，说明随着时间的延长CD1浓度在减少；而方案4用二次函数模拟较好，拟合度为 $R^2 = 0.7111$ ，CD4浓度是先增后减，而如果方案4用一次函数模拟，则拟合度只有 $R^2 = 0.2803$ 。 + +对于方案4，为了获得最佳治疗时间，我们可以对拟合方程求导，求出其极大值点，也就是CD4浓度增长速度为0的点，即为治疗终止时间. + +$$ +C D 4 \text {平 均 浓 度} (Y) = - 0. 0 0 0 7 t ^ {2} + 0. 0 2 2 1 t + 0. 0 9 6 4, \tag {3} +$$ + +对(3)式求导得： $Y^{\prime} = -0.0014t + 0.0221$ + +并求出当 $Y$ 达到最大时的 $t = 15.7857$ ，即为第16周左右。 + +结论3 对于最佳方案4，其最佳治疗终止时间为第16周左右。 + +另外，在附件2中还出现了病人的年龄，为了分析不同方案对不同年龄阶段人的影响，在此问题中，我们将病人年龄划分为若干个年龄段： $14\sim 25$ 岁， $25\sim 35$ 岁， $36\sim 45$ 岁，45岁以上。采用统计分析法。 + +分年龄段计算出每一种治疗方案每一个阶段的CD4浓度平均变化量，并作出其比较图形（图10-图13所示）。从图10-图13，我们可以看到，各不同年龄组各方案的治疗效果如表5示。表5中数据说明，对于各不同年龄段，疗法4的效果仍是比较明显的，对于年龄组 $35\sim 45$ 岁的病人，疗法3在第1、2阶段有效；对于年龄组45岁以上的病人，疗法2在第4、5阶段有效。 + +表5：不同年龄段不同治疗阶段的最佳治疗方案 + +
14~25岁
阶段第1阶段第2阶段第3阶段第4阶段第5阶段
最佳治疗方案疗法3疗法1疗法4疗法4疗法2
25~35岁
阶段第1阶段第2阶段第3阶段第4阶段第5阶段
最佳治疗方案疗法4疗法1疗法4疗法4疗法3
35~45岁
阶段第1阶段第2阶段第3阶段第4阶段第5阶段
最佳治疗方案疗法3疗法3疗法4疗法4疗法4
45岁以上
阶段第1阶段第2阶段第3阶段第4阶段第5阶段
最佳治疗方案疗法4疗法4疗法3疗法2疗法2
+ +![](images/63ca65053b7c376238d3af3e9760a4b2ff918b3f76638c70417154c66b426667.jpg) +图10：各方案下14-25岁各阶段的CD4浓度变化量情况 + +![](images/aabda9f5ee87221601b895b22e69fa21cdba9249a9115fdd0b15196c4a003be4.jpg) +图11：各方案下25-35岁各阶段的CD4浓度变化量情况 + +![](images/e886d6e68921b3c86cfbf79b3a8f6ba5f2501166eae087efc3bce1bf982ea250.jpg) +图12：各方案下35-45岁各阶段的CD4浓度变化量情况 图13：各方案下45岁各阶段的CD4浓度变化量情况 + +![](images/8dd57f343d31b6cb25c5a99b0c28bdfd08abb8003d1a9d58e798ce485d6df2ee.jpg) + +# 4 问题(3)的分析与解决 + +# 方法1：统计分析方法 + +由于4种疗法是每隔8周测试一次，而4种疗法的用药均为日用药量，则测算出每种疗法每个测试周期（8周）的单位费用分别为：第1种疗法68.6美元，第2种疗法193.2美元，第3种疗法137.2美元，第4种疗法204.4美元。 + +由此可以计算出每一种方案的各不同测试周期的CD4浓度变化量的单位成本。当考虑成本时，病人希望能以最低的费用获得最好的疗效，CD4变化量的单位成本最低[5]。计算每一种方案的绝对变化量的单位平均成本，如表6所示。 + +表6：各方案 CD4 浓度变化的单位成本 单位：千美元/CD4 + +
第一个8周第二个8周第三个8周第四个8周第五个8周方案CD4绝对变化量平均单位成本
第1种疗法-0.6587-0.3825-0.4933-0.4367-0.30670.45558
第2种疗法6.7780-1.0089-0.8432-2.3211-9.80214.15126
第3种疗法0.9577-0.3607-1.0531-0.62633.03101.20576
第4种疗法0.5168-1.5992-1.8185-1.1260-2.55211.52252
+ +取CD4浓度绝对变化量平均单位成本最低的为最优方案，则表6显示第1种治疗方案为最佳方案。第一方案的特点是虽然病人的CD4浓度在降低，但是降低的幅度很小，而且其费用最低，如图14。 + +![](images/8409e86a1879b05092a07b22dc51d947526a9bdba2fe5f615e920741b090f114.jpg) +图14：方案1的CD4浓度平均变化量与时间因素 $t$ 的关系 + +下面建立第1个方案的CD4浓度变化量与时间因素 $t$ 的非线性回归方程 + +$$ +C D 4 \text {浓 度 平 均 变 化 量} \Delta Y = 0. 0 0 0 1 t ^ {2} - 0. 0 0 9 1 t - 0. 0 2 0 7, \text {拟 合 度} R ^ {2} = 0. 8 1 0 7, +$$ + +由此可以看到，该回归方程拟合程度 $R^2 = 0.8107$ ，拟合效果较好，因此，此方程可以用来预测当 $\Delta Y = 0$ ，即CD浓度平均变化量为0时，也即是当治疗效果消失时的时间。 + +令 $\Delta Y = 0$ ，则由上述方程解得 $t = 99.22$ ，即在第99周左右，二年左右为最佳停止治疗时间。 + +结论4 对于最佳方案1，其最佳治疗终止时间为第99周左右。 + +由于本问题是考虑费用情况下，各方案的治疗效果，我们还可以构造相对效率评价方法来评价治疗方案的效果。 + +# 方法2 相对效率评价方法（即DEA方法） + +由于本问题是评价4种治疗方法的相对有效性，4种治疗方案的用药不同，对于不同年龄的病人，不同阶段得到的治疗效果也不相同，我们可以采用数据包络分析方法(Data Envelopment Analysis,简称DEA)。DEA方法是由美国著名运筹学家Charnes，Cooper和Rhodes等学者在“相对效率评价”概念基础上发展起来的一种新的系统分析方法，它主要采用数学规划方法，从投入与产出的角度来评价决策单元(Decision Making Units、DMU)的相对有效性。这种相对有效性是指被评价的决策单元在输入一定的资源投入后，是否规模和技术都发挥到了最佳水平，从而得到了应有的产出。 + +评价第 $j_0$ 个决策单元的相对效率的 $C^2 R$ 模型如下 + +$$ +\min \theta +$$ + +式中 $\theta$ 表示相对效率， $\theta \in [0,1]$ ， $\theta$ 值越大，表示系统执行效率越高； $j$ 表示决策单元个数； $X_{j}$ 表示第 $j$ 个决策单元的输入指标值向量， $Y_{j}$ 表示第 $j$ 个决策单元的输出指标值向量； $X_{j0}$ 表示第 $j_{0}$ 个决策单元的输入指标值向量， $Y_{j0}$ 表示第 $j_{0}$ 个决策单元的输出指标值向量； $\lambda_{j}$ 为模型的规划变量， $S^{-}, S^{+}$ 为辅助向量。 + +在本问题中，可以将治疗过程看成一个投入产出系统，投入的是用药，产出的是病人病情的好转。我们将不同年龄、不同治疗阶段的治疗方法作为决策单元，如 $25\sim 35$ 岁，第0-8周采用治疗方案1作为一个决策单元； $25\sim 35$ 岁，第8-16周采用治疗方案1作为另一个决策单元；因此，对于每一个年龄阶段，都有20个决策单元。 + +在每一个决策单元中，以4种方案的用药费用为输入变量，以每一个治疗阶段CD4的期末值与期初值的比作为输出量。例如年龄在 $14\sim 25$ 岁的病人形成的决策单元的输入输出指标数据如表7示。 + +通过建立各决策单元的 $C^2 R$ 模型，应用EXCEL中的规划求解，可获得各决策单元的效率如表8所示。 + +从表8可以看到，对年龄为 $14\sim 25$ 岁的病人，治疗效果较好的是方案1和方案2，最差为方案3；对年龄为 $25\sim 35$ 岁的病人，治疗效果较好的是方案1和方案2，最差仍是方案3；对年龄为 $35\sim 45$ 岁的病人，治疗效果最好的是方案1；对年龄为45岁以上的病人，治疗效果最好的是方案2，方案1在最后阶段效果不太好。 + +因此，从相对效率角度反映的是方案1效果最好，方案3效果最差。与统计方法得到的结果相一致。 + +表7：14~25岁病人形成的决策单元输入输出指标数据 + +
决策单元Zidovudine (美元)Didanosine (美元)Zalcitabine (美元)Nevirapine (美元)CD4浓度比值
方案1(0-8)4825.5000.89492
方案1(8-16)4825.5000.74935
方案1(16-24)4825.5000.91328
方案1(24-32)4825.5000.81951
方案1(32-40)4825.5001.03820
方案2(0-8)96011100.87241
方案2(8-16)96011101.04507
方案2(16-24)96011100.58488
方案2(24-32)96011100.89208
方案2(32-40)96011101.18809
方案3(0-8)9651001.14199
方案3(8-16)9651000.91431
方案3(16-24)9651001.13182
方案3(24-32)9651000.69890
方案3(32-40)9651001.01779
方案4(0-8)96510721.01984
方案4(8-16)96510721.33902
方案4(16-24)96510721.11876
方案4(24-32)96510720.99818
方案4(32-40)96510720.96003
+ +表8：考虑疗法费用时不同年龄段各治疗方案的效率 + +
决策单元(14~25岁)效率值(越大越好)决策单元(25~35岁)效率值(越大越好)
方案1(0-8)0.86199方案1(0-8)0.87325
方案1(8-16)0.72178方案1(8-16)1.00000
方案1(16-24)0.87968方案1(16-24)0.94061
方案1(24-32)0.78936方案1(24-32)0.94690
方案1(32-40)1.00000方案1(32-40)0.92447
方案2(0-8)0.73429方案2(0-8)0.86694
方案2(8-16)0.87962方案2(8-16)1.00000
方案2(16-24)0.49229方案2(16-24)0.91166
方案2(24-32)0.75085方案2(24-32)0.87545
方案2(32-40)1.00000方案2(32-40)0.90394
方案3(0-8)0.54998方案3(0-8)0.52709
方案3(8-16)0.44033方案3(8-16)0.48324
方案3(16-24)0.54509方案3(16-24)0.46702
方案3(24-32)0.33659方案3(24-32)0.46345
方案3(32-40)0.49017方案3(32-40)0.46982
方案1(0-8)0.49116方案4(0-8)0.60237
方案4(8-16)0.64187方案4(8-16)0.53436
方案4(16-24)0.53879方案4(16-24)0.52493
方案4(24-32)0.48072方案4(24-32)0.46615
方案4(32-40)0.46235方案4(32-40)0.47902
决策单元(35~45岁)效率值(越大越好)决策单元(45岁以上)效率值(越大越好)
方案1(0-8)0.91727方案1(0-8)0.98320
方案1(8-16)0.93936方案1(8-16)0.90610
方案1(16-24)1.00000方案1(16-24)1.00000
方案1(24-32)0.90498方案1(24-32)0.92532
方案1(32-40)0.98226方案1(32-40)0.45620
方案2(0-8)0.93520方案2(0-8)0.92466
方案2(8-16)1.00000方案2(8-16)0.83838
方案2(16-24)0.89746方案2(16-24)0.89514
方案2(24-32)0.84982方案2(24-32)1.00000
方案2(32-40)0.88837方案2(32-40)0.69914
方案3(0-8)0.55720方案3(0-8)0.52220
方案3(8-16)0.54038方案3(8-16)0.49561
方案3(16-24)0.45847方案3(16-24)0.42882
方案3(24-32)0.47696方案3(24-32)0.45401
方案3(32-40)0.46332方案3(32-40)0.44675
方案4(0-8)0.51640方案4(0-8)0.54276
方案4(8-16)0.54372方案4(8-16)0.49588
方案4(16-24)0.54397方案4(16-24)0.46963
方案4(24-32)0.48382方案4(24-32)0.50041
方案4(32-40)0.47952方案4(32-40)0.48272
+ +# 参考文献： + +[1] 甘筱肯. 数学建模教育及竞赛[M]. 南吕：江西高校出版社，2004 +[2] 张兴权, 范江. 抗艾滋病病毒感染治疗的新进展[J]. 中华皮肤科杂志, 2002,35(3):245-247 +[3]张福杰，张晨阳.抗逆转录病毒治疗的时机和用药方案[J].中国性病艾滋病防治，2001,7(4):253-255 +[4] 张福生. 高效抗逆转录病毒疗法的现状[J]. 中国性病艾滋病防治，2002,6(1):63 + +[5]曹昀贞，张福杰等.高效抗逆转录病毒治疗15例人类免疫缺陷病毒感染者一年总结[EB/OL]. + +http://scholar.ilib.cn/Abstract.aspx?A=zhuk200202011 2006,9.15 + +# The Evaluation and Prediction of the Effect of AIDS Therapy + +SONG Xing-da, HUANG Fang-yuan, YU Lei + +Advisor: Instructor Group + +(Jiangxi University of Finance & Economics, Jiangxi, Nanchang 330013) + +Abstract: Firstly, this paper uses Lagrange linear interpolation method to unify the testing time of every patient, to make every testing points be the initial week, the 4th week, the 8th week, the 24th week and the 40th weeks. Then, we calculate each patient's CD4 concentration and HIV concentration changes and to get average changes in the periods of [0,4], [1,8], [8,24], [24,40]. The effectiveness of AIDS therapies are determined. Secondly, according to the second and third order simulation equation of CD4 concentration and HIV concentration, the author predicted the optimum time to terminate treatment. Thirdly, by working out the average changes to the first eight weeks, the second, the third, the fourth and the fifth, the advantage and the disadvantage of every AIDS therapy project could be judged. However, when the costs of AIDS therapy is concerned, the best AIDS therapy method is determined by the minimal average cost. In addition, when cost is considered in evaluation, we constructed a model for evaluation of the relative effectiveness of therapies (DEA model). The results of the DEA model are consistent with the statistical methods. + +Keywords: AIDS; evaluation of AIDS therapy; treatment effect forecast + +文章编号：1005-3085(2006)07-0095-06 + +# 基于数据统计分析的艾滋病疗效评价方法 + +王浩淼，吉进喜，孙中芳 + +指导教师：沈锦仁 + +(解放军理工大学气象学院，南京211101) + +编者按：该文按初始病情分类，以个体初始值为二次拟合曲线初值，统计回归模型清楚、合理，并进行了统计检验。论文按分类给出个体的治疗评价方法和建议，对个体检验通过后才认为符合所在类的统计特征。所得结论与实际情况相符程度好，方法有效性与可行性较好。 + +摘要：先按照CD4初始浓度将病人分为病情严重、病情中等和病情轻微三类；然后根据分类，建立了以下三个模型：考虑人体抗药性作用的二次多项式回归模型、考虑CD4与HIV相互作用的微分方程模型、考虑抗药性的指数模型，对各类进行整体回归。对各个模型均进行 $F$ 检验，并以 $F$ 检验的值作为评价模型优劣的依据，从而得出二次多项式回归模型回归效果最好。并用二次多项式回归模型对各组数据进行预测。对356个病人逐个进行回归，对回归结果进行统计分析得到结论：在有效治疗中，最佳停药时间在24周以下的人数比例为 $90.6\%$ ；其中 $1.16\%$ 的病人需要立即停药； $3.09\%$ 的病人可以在医生的建议下持续服药。 + +关键词：回归：抛物线； $F$ 检验 + +分类号：AMS(2000)62J02 + +中图分类号：O212.1 + +文献标识码：A + +# 1 问题一：数据的拟合及疗效的预测 + +根据对问题和数据的初步分析，我们可以得出如下结论： + +1）CD4和HIV浓度的变化是非线性的。 +2）CD4和HIV浓度相互抑制，初始的浓度表现了病人的病情：CD4的浓度不可能无限的上升，HIV浓度不可能无限的下降。随着CD4的浓度的提高，由于抗药性的影响，药物自身的药效降低，HIV的抑制作用加强，CD4的浓度的增长速率会减慢，逐渐变为负增长，同时HIV浓度增长率会不断提高，最后导致病情恶化。 + +根据以上分析，我们建立了三个不同的模型分别对数据进行拟合，并进行 $F$ 检验，比较其优劣。 + +# 1.1 模型一：抛物线回归模型 + +考虑到病人在治疗前的病情是各不相同，即初始的CD4和HIV浓度是不同的，治疗效果对初始病情的不同会有所区别，因而对病人按初始病情的不同分成三类（重度、中度、轻度），并结合医学临床的CD4浓度统计意义，制定分类标准见表1， $C_{i0}$ 表示CD4的初始浓度。 + +表1：按 CD4 初始浓度分类 + +
类别分类标准特征
III类(重度)Cio≤50病情严重极易感染
II类(中度)50<Cio≤200急需药物抑制
I类(轻度)Cio>200轻微感染
+ +对各类病人的浓度变化函数减去各个病人的初始浓度后，用二次函数进行回归 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} C (t) - C _ {i 0} = v _ {1} t - u _ {1} t ^ {2}, \\ H (t) - H _ {i 0} = - v _ {2} t + u _ {2} t ^ {2}. \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +其中 $u_{1} > 0, v_{1} > 0, u_{2} > 0, v_{2} > 0$ 。 + +其中 $u_{1} > 0, v_{1} > 0, u_{2} > 0, v_{2} > 0,$ 上式右边可写 $t(v_{1} - u_{1}t), - t(v_{2} - u_{2}t)$ 。 $v_{1} - u_{1}t$ 表示单位时间CD4的增加量，其随时间的增加而减少，而 $v_{2} - u_{2}t$ 是单位时间HIV的减少量，其随时间的延长而减少。 + +的增加而减少，而 $i_{2} = i_{20}$ 是一个正整数。引入： $\overline{C_{ij}} = C_{ij} - C_{i0}(i = 1,2,\dots ,m,j = 1,2,\dots ,n_i)$ ， $m$ 是该类中有效数据的病人数， $n_i$ 是第 $i$ 个病人除初始数据的数据数。 + +模型中的残差平方和为 + +$$ +Q \left(u _ {1}, v _ {1}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {i}} \left(\overline {{C _ {i j}}} - v _ {1} t _ {j} + u _ {1} t _ {j} ^ {2}\right) ^ {2}. \tag {2} +$$ + +利用最小二乘法求 $u_{1}, v_{1}$ 得结果如表2。 + +表2：抛物线回归结果 + +
CD4HIV
III类(重度)C1(t)=-0.6860t2+18.402tH1(t)=0.2730t2-13.3955t
II类(中度)C2(t)=-0.1803t2+8.5743tH2(t)=0.2064t2-9.7483t
I类(轻度)C3(t)=-0.0401t2+1.9667tH3(t)=0.1656t2-7.6376t
+ +下面对回归结果进行 $F$ 检验，从统计学中的方差分析理论可知，当预测量方差不变时，回归方差愈大，残差方差愈大，于是我们就用它们之间的比值来衡量回归方程的效果好坏。 + +总平方和为 + +$$ +S = \sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {i}} \left(C _ {i j} - \overline {{C _ {i}}}\right) ^ {2}, \tag {3} +$$ + +其中 $\overline{C_i}$ 是第 $i$ 个病人的数据平均数，其自由度为 $f_{S} = \sum_{i = 1}^{m}n_{i} - m$ 。 + +其中 $C_{i}$ 是第 $i$ 个病人的数据平均数，其自由度为 $S = \sum_{i=1}^{m} f_{i}$ ，回归平方和 $U = S - Q$ ，其中自由度 $f_{U} = 2$ ， $f_{Q} = \sum_{i=1}^{m} n_{i} - m - 2$ ，统计量 $F = \frac{U / f_{U}}{Q / f_{Q}}$ 遵从自由度为 $(2, \sum_{i=1}^{m} n_{i} - m - 2)$ 的 $F$ 分布。代入数据得表3。 + +表3：抛物线模型的 $F$ 统计量 + +
III 类(重度)II 类(中度)I 类(轻度)
FCID425.249044249.840275191.448144
FHIV25.264092251.783040192.854176
Fα(α=0.05)3.853.864.26
+ +从检验结果来看，三类病人的回归函数均通过 $F$ 检验，说明减去初始浓度后用二次抛物线拟合数据效果很好。 + +# 1.2 模型二：考虑CD4和HIV相互作用模型 + +根据生物医学理论，CD4和HIV在人体内环境条件下，与种群竞争模型相似。CD4不直接对HIV作用，而是通过提高人体的免疫机能来抑制HIV病毒；HIV能直接使CD4感染而裂解，使CD4数量急剧减少，HIV迅速增加，导致AIDS发作。 + +由此对种群竞争模型进行合理简化，利用微分方程建立回归函数 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d C (t)}{d t} = k _ {1} C (t) - k _ {2} H (t), \\ \frac {d H (t)}{d t} = - k _ {3} H (t). \end{array} \right. \tag {41} +$$ + +$k_{1}$ 表示CD4浓度在用药后的自增长率， $-k_{2}$ 表示HIV对CD4的裂解作用， $-k_{3}$ 表示HIV在药物作用下的疗效作用。 + +解此常微分方程得 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} C (t) = \frac {k _ {2} H _ {i 0}}{k _ {1} + k _ {2}} e ^ {- k _ {1} t} + \left(C _ {i 0} - \frac {k _ {2} H _ {i 0}}{k _ {1} + k _ {2}}\right) e ^ {k _ {1} t}, \\ H (t) = H _ {i 0} e ^ {- k _ {3} t}, \end{array} \right. \tag {5} +$$ + +其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 是待拟合的参数，而 $C_{i0}, H_{i0}$ 是初始浓度，用病人数据可以回归出 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 结果见表4。 + +表4：相互作用模型的结果 + +
III类(重度)II类(中度)I类(轻度)
k10.2231500.2573390.217371
k221.667835-1.49219819.401320
k3-0.036347-0.032391-0.026540
+ +# 1.3 模型三：考虑抗药性的指数模型 + +根据生物种群的增长模型，在不考虑有其他物种影响的情况下，建立如下模型 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d C ^ {\prime} (t)}{d t} = \lambda_ {1} C (t), \\ \frac {d H (t)}{d t} = - \lambda_ {2} H (t), \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +其中 $\lambda_1$ 、 $\lambda_{2}$ 是常数， $\lambda_{1}$ 表示CD4的自增长速率，它反映了药效的好坏。考虑到生物个体具有抗药性，用药时间延长，药效会降低，设 $\lambda_{1}$ 不是常数，而是一个关于 $t$ 减少的函数。 + +构造 + +$$ +\lambda_ {1} = \lambda_ {1} (t) = \frac {\lambda_ {c}}{(1 + t) ^ {2}}, \quad \lambda_ {2} = \lambda_ {2} (t) = \frac {\lambda_ {h}}{(1 + t) ^ {2}} +$$ + +其中 $\lambda_{c},\lambda_{h}$ 是常数。于是(6)式就转化为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d C (t)}{d t} = \frac {\lambda_ {c}}{(1 + t) ^ {2}} C (t), \\ \frac {d H (t)}{d t} = - \frac {\lambda_ {h}}{(1 + t) ^ {2}} H (t), \end{array} \right. \tag {7} +$$ + +代入初值，可解得 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} C (t) = C _ {i 0} e ^ {\frac {t}{1 + t} \lambda_ {e}}, \\ H (t) = H _ {i 0} e ^ {\frac {- t}{1 + t} - \lambda_ {h}}. \end{array} \right. \tag {8} +$$ + +用数据对函数中的 $\lambda_{c}$ 、 $\lambda_{h}$ 进行拟合，得结果见表5。 + +表5：考虑抗药性模型的结果 + +
λcλh
III(重度)0.305231-0.761181
II(中度)0.533192-0.699261
I(轻度)1.362004-0.584324
+ +# 1.4 模型的 $F$ 检验结果比较 + +以上构建的三个模型， $F$ 检验结果对比如表6。 + +表6：三种模型在各类的 $F$ 统计量 + +
III类(重度)II类(中度)I类(轻度)
二次多项式模型25.249044249.840275191.448144
考虑CD4和HIV相互作用模型24.499472249.000045190.499488
考虑抗药性的指数模型11.353523156.068819100.108535
+ +从表6可以看出：抛物线模型的拟合效果最好，考虑相互作用模型次之。 + +# 1.5 疗效的分析与预测 + +根据以上讨论可知，抛物型模型的拟合程度最好，因此我们选用抛物线函数来预测各个分类的药效。不考虑每个人的初值，仅讨论各个分类CD4和HIV浓度变化的一致趋势，从而来预测各个分类的总的治疗效果。我们用CD4的浓度变化曲线预测继续治疗效果。 + +当 $\frac{dC(t)}{dt} > 0$ 时，CD4浓度呈现增长趋势，这表明药物作用明显，可以继续用药。 + +当 $\frac{dC(t)}{dt} = 0$ 时，表明药物对于病情起到了很好的抑制作用，应当继续用药。 + +当 $\frac{dC(t)}{dt} < 0$ 时，CD4浓度呈现下降趋势，这时需做进一步分析。 + +给定一个阈值 $\eta$ ，表示不用药时艾滋病人体内CD4浓度减少的速率。从网上查得：CD4一年减少350个/ml，可得 $\eta = 1.3425$ （单位：0.2个/ml\*周）。作进一步讨论： + +当 $\frac{dC(t)}{dt} > -\eta$ 时，表明药物对病情还有抑制作用，应当继续用药。 + +当 $\frac{d^2(a)}{dt^2} \leq -\eta$ 时，表明药物对这类病人已失去效用，应当停药，寻求其它的治疗方法。 + +根据CD4的浓度变化曲线我们用这两种方法来预测中分类I的中止用药时间， + +1）令 $\frac{dC_1(t)}{dt} = 0$ ，求得 $t_1$ +2) 令 $\frac{dC_{1}^{\prime}(t)}{dt} = -\eta$ ，求得 $t_2$ 。 + +$t_1$ 表示药物仅起到抑制作用的时间， $t_2$ 是最佳停药时间。各个分类的疗效预测如表7。 + +表7：抛物线模型预测疗效 + +
III 类(重度)II 类(中度)I 类(轻度)
t113.4125364423.7778702224.52244389
t214.3910349927.5008319541.26184539
+ +# 1.6 利用回归模型对356个病人逐个回归 + +我们用拟合程度最好的抛物线模型对356个病人逐个回归。 + +CD4浓度函数： $C_i(t) = C_{i0} + vt - ut^2$ ，根据求得回归参数的特征将通过检验的259个有效的分析源分为四类，并统计各个类的人数，得结果见表8。 + +表8：抛物线模型预测疗效 + +
类别参数特征特点用药情况人数占总人数比例
Av<0,u<0浓度一直上升一定范围内可服药83.09%
Bv<0,u>0浓度一直下降立即停止用药21.16%
Cv>0,u>0浓度先增加后降低服用一段时间然后终止23290.6%
Dv>0,u<0浓度先降低后增加建议继续观察175.15%
+ +该治疗方案针对不同病情的病人疗效不可能一样，有 $1.16\%$ 的人不适应或者需要立即停药；而有 $90.6\%$ 人适合选择性治疗，大约在24周时停止治疗，或者换其它更为有效的治疗方法。当然其中有 $5.15\%$ 的病人情况不稳定、效果疑似，有待观察研究，这与实际情况是吻合的。 + +# 2 问题二：四种疗法的评判标准和评判结果 + +附录给出四种疗法，共1300个病人，每个病人若干个时间点上的CD4浓度的统计数据。首先对每种疗法按CD4初始浓度的大小分为重度、中度、轻度三类。分类情况见表9。 + +表9：四种不同治疗方法下的病人的分类(单位：人) + +
分类疗法1疗法2疗法3疗法4
III(重度)7511491105
II(中度)189192174166
I(轻度)56796259
+ +从问题一中可知，用抛物线模型来拟合效果最好。这里对每种疗法，每一类的病人用如下二次曲线来拟合： $C(t) = C_{i0} + vt - ut^2$ 用回归的方法，求得各类病人回归系数 $u$ 、 $v$ 见表10。 + +表10：不同疗法下的三类病人的回归结果 + +
参数v、u疗法1疗法2疗法3疗法4
III(重度)(0.5159,0.0126)(0.3876,0.0107)(1.0000,0.0235)(0.1.3542,0.0341)
II(中度)(-0.0103,0.1446)(0.5432,0.4115)(1.038,0.027)(2.2302,0.0557)
I(轻度)(-1.27,0.0085)(-1.402,0.024)(1.0722,-0.044)(2.603,0.069)
+ +$\frac{dC}{dt}$ 表示CD4浓度的变化率，即用药后的疗效，我们用 $\frac{dC}{dt}$ 作为评判四种疗法的优劣。因为 $C(t)$ 是二次函数， $\frac{dC}{dt}$ 是一次函数，是随时间而变化的。因此列出不同时间上四种疗法的 $\frac{dC}{dt}$ 的值。在这里我们求得治疗后的CD4浓度值增加为初值的1.1倍，1.25倍，1.5倍，2倍时的疗效见表11。 + +表11：不同类的不同疗法在不同的时间上 $C^{\prime \prime}$ 值 + +
类别疗法1.1倍时1.25倍时1.5倍时2.0倍时最佳停药时间
III(重度)疗法158.31.5625025
III(重度)疗法2550019
III(重度)疗法31012.516.6712.524
III(重度)疗法41024.822.62023
II(中度)疗法100000
II(中度)疗法200000
II(中度)疗法33.33.1250022
II(中度)疗法4109.478.48020
I(轻度)疗法10.0650.1560.2960.54374
I(轻度)疗法20.1640.750.6781.17658
I(轻度)疗法300000
I(轻度)疗法41.1290.260.3820.76418
+ +从表11来看，总体上疗法4最好。 + +# 参考文献： + +[1] 腾加俊. 沈锦仁. 数学建模[M]. 南京: 南京出版社, 2003 +[2]罗建军. MATLAB教程[M]. 北京：电子工业出版社，2005 +[3] 梁国业，廖建平. 数学建模[M]. 北京：冶金工业出版社，2004 +[4] 董肇君. 系统工程与运筹学[M]. 北京：国防工业出版社，2003 + +# AIDS Treatment Evaluation Based on the Statistical Analysis + +WANG Hao-miao, JI Jin-xi, SUN Zhong-fang + +Advisor: SHIEN Jin-ren + +(Meteorology Institute, People's Liberation Army University of Science and Technology) + +Abstract: According to the initial CD4 count, we decide the patients into 3 groups, serious, secondary, light. Then we consider the following three models: The quadratic regression model considering the role of the human resistance, the differential equation model considering the interaction between HIV and CD4, the index model considering resistance. The regression and the $F$ test are done to every model. The $F$ -test values is the basis for quality evaluation model. Quadratic regression model is used to obtain the best results. And Quadratic regression model is used to predict the data. The regression, results of the 356 patients gives effective treatment and the best time the percentage of the patiente whose stopping time less them 24 weeks is $90.6\%$ ; $1.16\%$ of the patients requires immediate withdrawal: $3.09\%$ patients can sustain medication under a doctor's recommendation. + +Keywords: quadratic; regression; $F$ -test + +文章编号：1005-3085(2006)07-0101-08 + +# 艾滋病疗法评价及疗效预测问题评析 + +边敌萍1， 姜启源2 + +(1-天津大学数学系，天津300072；2-清华大学数学科学系，北京100084) + +摘要：本文简述2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题的实际背景和一般的解法，并对同学论文中的一些问题做了简单的评析。 + +关键词：HIV；CD4；数学模型；预测 + +分类号：AMS(2000)90C90;62J05 + +中图分类号：O221 + +文献标识码：A + +# 1 问题的背景 + +艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺陷综合症”(以下简称AIDS)，是人体感染了人类免疫缺陷型病毒(以下简称HIV)引起的，当HIV感染者的免疫功能受到病毒的严重破坏时，感染者便发展为AIDS病人。随着免疫力的降低，人体会越来越频繁和严重地感染上各种致病微生物，最终会因各种复合感染而死亡。AIDS已成为当前人类社会最严重的瘟疫之一。联合国艾滋病规划署和世界卫生组织发表的《2005年度全球艾滋病疫情报告》显示，HIV感染者总人数已达4030万，自1981年以来的死亡总人数为2500万。我国HIV感染者也已有100万人，专家预测，如不采取积极有效的措施，到2010年HIV感染者将超过1000万人。AIDS的预防及治疗已经成为全社会共同的责任。在HIV感染过程中，病毒以活动、静止两种状态存在于宿主细胞里。含有静止期病毒的细胞一旦被激活，整合到宿主细胞中的病毒DNA开始转录为RNA，在病毒结构蛋白及各种粒酶作用下，经装配病毒RNA核心颗粒，从细胞膜上获得包膜，成为成熟的HIV病毒。成熟的HIV再感染新的细胞。随着病毒的复制繁殖，在机体免疫系统起重要作用的CD4细胞数量呈进行性减少。HIV感染后出现的动态进展过程包含着不同的发展阶段，如图1所示。 + +![](images/683cca995bcba7e1ab6fe342ff0c566827f717e1a1401c96913b7b413bffecec.jpg) +图1：艾滋病感染的临床过程 + +对于HIV感染的治疗，现在以针对HIV的高效抗逆转录病毒疗法为主。病毒载量是评估治疗方案效果的最重要指标， + +目前认为治疗有效的标志是在开始治疗8周后，血浆病毒载量降低1个log(10倍)，4至6个月降到低于检测下限 $(< 500$ 拷贝/mL)。 + +治疗过程中何时需要改变治疗方案？由于目前抗逆转录酶病毒药物数量有限，改变方案意味着感染者将来选择范围缩小了，所以要非常慎重。临床上需要改变治疗方案的原因有：最新临床试验结果提示，感染者正在使用的不是最佳治疗方案；感染者虽然采用高效的治疗方案，但CD4细胞数量继续下降；患者有临床进展表现或严重的毒副作用，使之难以坚持治疗。题目中提出要为患者预测继续治疗的效果，及确定最佳治疗终止时段，所采用的ACTG320数据与193A数据都来源于美国最大的AIDS医疗试验机构ACTG的报告。 + +HIV浓度的测试成本很高，而CD4细胞数量的降低是免疫缺陷进展的直接标志，被认为是最重要的预见HIV感染状态的参考，也是各类疗法的有效评价指标。在193A报告中给出的不同人群、不同疗法的评价指标是CD4细胞的数量。 + +患者的治疗是一个长期的、只能延缓生命的过程，特别是对于发展中国家的一些患者，需要考虑治疗的费用，所以题目中提出，在考虑治疗成本的前提下，如何选择最佳疗法与终止时间。这里，药品价格是从网上查到的。 + +# 2 问题的解法简述 + +解决这个问题最常用的方法是统计方法，这也是大多数同学用的办法，结合同学的做法可作如下简述。 + +1. 利用ACTG320数据预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间 + +如果随机取若干个病人，画出他们CD4和HIV浓度随时间变化的图形（散点图），可以看出多数的CD4大致有先增后减的趋势，HIV大致有先减后增的趋势，启示我们从统计的角度可以建立时间的二次函数模型。 + +纵向数据分析是生物医学统计中常用的处理这类问题的方法[1]。记第 $i$ 病人第 $j$ 次测量时间为 $t_{ij}$ ，测量的CD4（或HIV）值为 $y_{ij}$ ，建立回归模型 + +$$ +y _ {i j} = b _ {i 0} + b _ {i 1} t _ {i j} + b _ {i 2} t _ {i j} ^ {2} + \varepsilon_ {i j}, \quad i = 1, \dots , n, j = 1, \dots , n _ {i}, \tag {1} +$$ + +其中 $b_{i0}, b_{i1}, b_{i2}$ 是回归系数， $\varepsilon_{ij}$ 是随机误差，服从零均值、方差 $\sigma^2$ 的正态分布， $n$ 是病人数， $n_i$ 是第 $i$ 病人的测量次数。将模型(1)的回归系数分解为 + +$$ +b _ {i k} = b _ {k} + \eta_ {i k}, \quad k = 0, 1, 2, \tag {2} +$$ + +其中 $b_{k}$ 称固定效应参数（与哪个病人无关）， $\eta_{ik}$ 称随机效应参数，服从零均值、方差为常数的正态分布。将(2)代入(1)得到如下的混合模型 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {i j} = b _ {0} + b _ {1} t _ {i j} + b _ {2} t _ {i j} ^ {2} + \eta_ {i 0} + \eta_ {i 1} t _ {i j} + \eta_ {i 2} t _ {i j} ^ {2} + \varepsilon_ {i j} \\ \eta = (\eta_ {i 0}, \eta_ {i 1}, \eta_ {i 2}) ^ {T} \sim N (0, D) \\ \varepsilon_ {i j} \sim N (0, \sigma^ {2}) \\ \eta , \varepsilon_ {i j} \text {相 互 独 立} \end{array} \right., \quad D = \left( \begin{array}{c c c} d _ {1} ^ {2} & d _ {1 2} & d _ {1 3} \\ d _ {1 2} & d _ {2} ^ {2} & d _ {2 3} \\ d _ {1 3} & d _ {2 3} & d _ {3} ^ {2} \end{array} \right), \tag {3} +$$ + +这里 $D$ 是随机效应的协方差矩阵，如果忽略 $\eta_{ik}$ 对于 $k$ 的相关性，可以将 $D$ 简化为对角阵。根据数据 $t_{ij}, y_{ij}$ 估计 $b_k (k = 0,1,2)$ 及 $D$ ， $\sigma^2$ 的方法为 + +记 + +$$ +Y _ {i} = \left( \begin{array}{l} y _ {i 1} \\ y _ {i 2} \\ \dots \\ y _ {i n _ {i}} \end{array} \right), \quad X _ {i} = \left( \begin{array}{c c c} 1 & t _ {i 1} & t _ {i 1} ^ {2} \\ 1 & t _ {i 2} & t _ {i 2} ^ {2} \\ \dots & \dots & \dots \\ 1 & t _ {i n _ {i}} & t _ {i n _ {i}} ^ {2} \end{array} \right), \quad b = \left[ \begin{array}{l} b _ {0} \\ b _ {1} \\ b _ {2} \end{array} \right], \tag {4} +$$ + +则由(3)可知 + +$$ +Y _ {i} \sim N \left(X _ {i} b, X _ {i} D X _ {i} ^ {T} + \sigma^ {2} I _ {n _ {i}}\right), \quad i = 1, 2, \dots , n. \tag {5} +$$ + +记 $V_{i} = X_{i}DX_{i}^{T} + \sigma^{2}I_{n}$ ，可以得到(5)的似然函数 + +$$ +L (b, D, \sigma^ {2}) = \prod_ {i = 1} ^ {n} \left\{\left(2 \pi\right) ^ {- \frac {n _ {i}}{2}} \left| V _ {i} \right| ^ {- \frac {1}{2}} \exp \left(- \frac {1}{2} \left(Y _ {i} - X _ {i} b\right) ^ {T} V _ {i} ^ {- 1} \left(Y _ {i} - X _ {i} b\right)\right) \right\}, \tag {6} +$$ + +求出(6)的最大值点就得到参数 $b_{k}(k = 0,1,2)$ 及 $D,\sigma^2$ 的估计值，用SAS软件可以方便地实现。 + +$b_{k}$ 的大小反映的是按照模型(1)全体病人的总体效应，在预测继续治疗的效果或确定最佳治疗终止时间时，利用 $b_{k}$ 得到的是平均意义下的数字结果。而 $d_{k}^{2}$ 的大小则反映因不同病人而异的分散性，注意到(2)式，在 $\eta_{ik}$ 服从正态分布的假设下，容易计算回归系数 $b_{ik}$ 属于任意区间的概率，于是在预测继续治疗的效果或确定最佳治疗终止时间时，可以给出数字结果在一定置信度下的置信区间。 + +利用二次函数回归模型，由CD4曲线的最大值点和HIV曲线的最小值点可以预测继续治疗的效果或确定最佳治疗终止时间。 + +纵向数据分析需要较专门的统计知识和软件，作为它的简化，不妨只用普通的统计知识（回归分析）和软件(如MATLAB)，按照模型(1)对每个病人计算出回归系数 $b_{ik}$ ，并对 $i$ 求出平均值和方差，作为上面 $b_k$ 和 $d_k^2$ 的近似值来应用。 + +当然，如果只要求得到全体病人的总体参数，就可以将模型(1)简化为 + +$$ +y _ {i j} = b _ {0} + b _ {1} t _ {i j} + b _ {2} t _ {i j} ^ {2} + \varepsilon_ {i j}, \quad i = 1, 2, \dots , n, j = 1. 2, \dots . n _ {i}. \tag {7} +$$ + +由此计算出来的回归系数也作为上面 $b_{k}$ 的近似值来应用，只不过模型(7)的剩余方差将很大，因为它相当于模型(3)中 $D$ 和 $\sigma^2$ 所造成的随机误差的总和。 + +如果考虑病人初始状态 $(t = 0$ 时的CD4和HIV)的不同对模型的影响，可以将(1)和(7)中的 $y_{ij}$ 定义为第 $i$ 病人第 $j$ 次测量的CD4(或HIV)与初始值之差或之比，也可以先按照病人初始状态分类，然后对于每一类建立回归模型。 + +# 2. 利用193A数据评价4种疗法的优劣 + +可以对每种疗法建立如前面(1)或(7)的回归模型，只是可增加一个年龄变量，或者先按年龄分类，再对每一类建立模型。也可以再引入几个0-1变量，表示不同的疗法，建立统一模型。 + +利用数据计算出回归模型的系数以后，要评价4种疗法的优劣，可以进行疗法的两两比较，即检验它们的回归系数是否有显著差异。 + +解决这个问题的另一种统计方法是方差分析。疗法当然是必选的因素，如果还考虑年龄和初始状态，用双因素分析则比较复杂，可以先按这些因素分类，再做疗法的单因素分析。 + +线性规划是解决这个问题的另一种方法，简述如下。 + +为了利用193A数据评价4种疗法的优劣，首先进行数据分析，构造决策单元(DMUs)，然后构造线性规划模型，并利用其最优解，判断决策单元是否达到最优[2]。 + +对1309位患者按年龄分组：如14到25岁，25到35岁，35到45岁，及45岁以上分为4组。在每个年龄组中，按照4种疗法和4个治疗阶段(0到10周，10到20周，20到30周，30到40周)，可以得到16个决策单元。取4种药品的数量作为输入，取患者在治疗各个阶段末的CD4与开始治疗时的CD4的比值作为输出。 + +设4种药品在第 $j$ 单元的数量分别为 $x_{1j}$ (齐多夫定), $x_{2j}$ (去羟基苷), $x_{3j}$ (扎西他滨), $x_{4j}$ (奈韦拉平), $\mathbf{e}^{\log (CD + 1)}_{\text{cod}} = 1$ + +$$ +y _ {1 j} = \frac {e ^ {\log (C D 4 + 1) _ {r n d}} - 1}{e ^ {\log (C D 4 + 1) _ {b r i g h t i n g}} - 1}, +$$ + +并定义决策单元 $DMU_{j_0}$ 的效率评价指数为 + +$$ +h _ {j _ {0}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {4} v _ {i} x _ {i j _ {0}} + v _ {0}}{u _ {1} y _ {1 j _ {0}}}. +$$ + +其中 $v_{i}$ 为输入的权重， $n_{1}$ 为输出的权重。权重处理成变量的形式，在求解过程中确定它们。 $h_{j_0}$ 越小，表明 $DMU_{j_0}$ 能够用相对较少的输入得到相对较多的输出。 + +1）作为评价模型首先建立分式规划模型如下[2] + +$$ +\min \quad V _ {\bar {P}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {4} v _ {i} x _ {j 0} + v _ {0}}{u _ {1} y _ {1 j 0}} +$$ + +$$ +s. t. \quad \frac {\sum_ {i = 1} ^ {3} r _ {i} x _ {i j} + v _ {0}}{u _ {1} y _ {1 j}} \geq 1, \quad j = 1, 2, \dots , n, \tag {8} +$$ + +$$ +v _ {i} \geq 0, \quad i = 0, 1, \dots , 4, +$$ + +$$ +u _ {1} \geq 0, +$$ + +若令 $t = \frac{2}{u_1y_1j_0}$ ， $\omega_{i} = tv_{i}$ ， $\mu_{1} = tu_{1}$ ，(8)式改写为如下的线性规划模型 + +$$ +\min \quad V _ {P} = \sum_ {i = 1} ^ {4} \omega_ {i} x _ {i j _ {0}} + \omega_ {0} +$$ + +$$ +s. t. \quad \sum_ {i = 1} ^ {4} \omega_ {i} x _ {i j} - \mu_ {1} y _ {1 j} + \omega_ {0} \geq 0, \quad j = 1, 2, \dots , n, \tag {9} +$$ + +$$ +\mu_ {1} y _ {1 j _ {0}} = 1, +$$ + +$$ +\omega_ {i} \geq 0, \quad i = 0, 1, \dots , 4, +$$ + +$$ +\mu_ {1} \geq 0, +$$ + +规划(9)的对偶规划模型是 + +$$ +\max \quad V _ {D} = \alpha +$$ + +$$ +s. t. \quad \sum_ {j = 1} ^ {n} \lambda_ {j} x _ {i j} + s _ {i} ^ {-} = x _ {i j _ {0}}, \quad i = 1, 2, 3, 4, +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {n} \lambda_ {j} y _ {1 j} - s _ {1} ^ {+} = \alpha y _ {1 j _ {0}}, +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {n} \lambda_ {j} = 1, \tag {10} +$$ + +$$ +\lambda_ {j} \geq 0, \quad j = 1, 2, \dots , n, +$$ + +$$ +s _ {i} ^ {-} \geq 0, \quad i = 1, 2, 3, 4, +$$ + +$$ +s _ {1} ^ {+} \geq 0, +$$ + +求解上述模型，根据决策单元的有效性，评价疗法。 + +# 2）关于预测模型可参考[3-5] + +对DMU未知输出的走向进行预测的基础，是假设未知DMU(用 $DMU_{j_0}$ 表示)相对于已知的DMU是有效的。如果已知 $DMU_{j_0}$ 的输入向量为 $(x_{1j_0},x_{2j_0},x_{3j_0},x_{4j_0})^T$ ，预测模型(11)得出的输出 $y_{1j_0}^*$ ，对输出的期望是越大越好，建立预测输出模型(11)， + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{l l} \max & y _ {1 j _ {0}} \\ \text {s . t .} & \sum_ {j = 1} ^ {n} \lambda_ {j} x _ {i j} \leq x _ {i j _ {0}}, \quad i = 1, 2, 3, 4, \end{array} \\ \sum_ {j = 1} ^ {n} \lambda_ {j} y _ {1 j} = y _ {1 j _ {0}}, \tag {11} \\ \sum_ {j = 1} ^ {n} \lambda_ {j} = 1, \\ \lambda_ {j} \geq 0, \quad j = 1, 2, \dots , n. \\ \end{array} +$$ + +这样，不同年龄段的患者就可以根据各种疗法在治疗各个阶段的效率和自己经济情况决定采用哪种疗法、治疗到哪个阶段。 + +# 3 对同学论文中出现问题的评析 + +在用统计方法的论文中主要有以下问题。 + +# 1. 只做数据拟合，不做统计检验 + +已知一组数据 $(x_{k},y_{k}),k = 1,2,\dots ,n$ 和一个形式已定、参数 $\beta$ 待定的模型(曲线) $y = f(x,\beta)$ ，确定参数 $\beta$ 使数据与模型在误差平方和最小的意义下拟合得最好，这就是人们熟悉的最小二乘拟合。确定参数 $\beta$ 有现成的计算公式和软件，很容易实现。如在这个题目中假设CD4（或HIV）与测试时间有一次或二次、三次函数模型，根据数据可以算出模型的参数。问题是这样得到的模型有无显著意义，它的置信度多大，用它作预测时准确程度如何。这些问题只做数据拟合是无法解决的，需要用回归分析方法做统计检验。 + +为了简洁地说明统计检验的必要性，看下面的数字例子。假设有两组数据 $(x, y_1)$ 和 $(x, y_2)$ ，见表1。 + +表1：两组统计数据 + +
x0123456789
y11.041.221.381.591.801.992.212.392.652.83
y20.280.612.192.562.491.173.171.292.113.27
+ +分别拟合两条直线 + +$$ +y _ {1} = a _ {1} x + b _ {1}, \quad y _ {2} = a _ {2} x + b _ {2}, +$$ + +用最小二乘法根据上面两组数据容易计算出 $a_1, b_1, a_2, b_2$ 的估计值 + +$$ +\begin{array}{l} \hat {a} _ {1} = 0. 2 0 1 3, \quad \hat {b} _ {1} = 1. 0 0 4 0, \\ \hat {a} _ {2} = 0. 2 0 2 5, \quad \hat {b} _ {2} = 1. 0 0 2 5, \\ \end{array} +$$ + +即两条直线几乎完全一样，但是把这两组数据的散点图和两条直线作图对比一下(图2)，直观告诉我们，用数据 $(x, y_1)$ 得到的模型远比用 $(x, y_2)$ 得到的模型来得可靠和准确，而回归分析可以定量地描述模型的可靠和准确程度。 + +图2：左图：数据 $(x, y_1)$ 的散点图 $(+)$ 和拟合直线 $y_1 = a_1 x + b_1$ ； +![](images/825f4b418ef2ef766d80a3d211fb4c69f31ac94934f9bfb60d9e234e3d897fdc.jpg) +右图：数据 $(x, y_2)$ 的散点图（+）和拟合直线 $y_2 = a_2 x + b_2$ + +![](images/f0a90c5445e5319eb5774aba924553d02c7a9b6874ae27fd53766c57a20100f5.jpg) + +用实现回归分析的软件(常用的MATLAB的统计工具箱即可)可以得到结果见表2（置信区间的置信度 $= 5\%$ ） + +表2：回归置信区间 + +
决定系数R²F值P值剩余方差σ²a的置信区间b的置信区间
y1=a1x+b10.99855294<0.00010.0006[0.1950, 0.2077][0.9699, 1.0381]
y2=a2x+b20.35284.3610.07020.7761[-0.0211, 0.4262][-0.1915, 2.1966]
+ +对于第1个模型，所有指标均表明模型与数据拟合得很好。对于第2个模型， $R^2$ 的数值表明在 $y_{2}$ 的变化中（在与均值偏差平方和的意义下）只有 $35\%$ 是由 $x$ 决定的，其余由随机因素引起； $F$ 值很小，导致 $p$ 值大于0.05，于是在常用的置信度 $a = 5\%$ 下该模型没有显著意义； $a$ 的置信区间包含零点，即 $a = 0$ （这时模型无任何意义）落在置信水平为 $95\%$ 的区间内。这些指标均表明该模型不能反映数据 $(x, y_{2})$ 的变化规律。 + +用这两个模型作预测，其结果的准确程度也有很大差别。比如对于 $x = x_0 = 5.5$ ，预测值为 $\hat{y}_{10} = \hat{a}_1x_0 + \hat{b}_1 = 2.1113$ ， $\hat{y}_{20} = 2.1165$ ，二者相差无几，但是它们的置信区间(置信水平 $95\%$ )分别为[2.0621，2.1606]和[0.3899，3.8432]，显然用第2个模型作预测没有什么价值。 + +这个例子表明，用一个模型去拟合一组数据时不能只计算其参数，应该做统计检验，对模型（包括得到的参数）的显著性进行分析。如果需要用几个模型（如 $x$ 的一次函数、二次函数、…）去拟合一组数据，比较哪个较好时，就更要借助统计分析。 + +# 2. 对原始数据先取平均再用平均值做拟合 + +在这个题目给的数据中大多数病人的测试时间是0，4，8，…(周)，个别病人是5，7，…(周)，有些同学为了得到CD4(或HIV)的变化趋势，先在每个时间点上对CD4取平均，再用平均值做拟合，而不管有的时间点上有上百个病人的CD4，而有的时间点上只有几个病人的CD4。 + +这样做有什么问题呢？让我们看一个似乎有些极端、可是非常简明的数字例子，说明这样做拟合可能产生的后果。设有这样的一组数据 $(x, y): x = 0, y = 0:0.05:2$ （以步长0.05从0到2取值）； $x = 1, y = 1:0.05:3; x = 2, y = 0, 2$ ，在图3中左图上共84个点。对数据 $(x, y)$ 拟合一条直线，得 $y = 0.7647x + 1.0784$ ，如图3中左图。而如果先在 $x = 0, 1, 2$ 对 $y$ 取平均，得到图3中右图的3个点，再拟合一条直线，得 $y = 1.3333$ ，如图3中右图，它显然不能反映原始数据 $(x, y)$ 的变化趋势。这是因为取平均后的3个点在做拟合时的权 + +重相同，但是 $x = 0.1$ 的点都是41个原始数据的平均值，而 $x = 3$ 的点只是2个原始数据的平均值。 + +读者可以对一般情况进行讨论，看看在什么条件下对原始数据先取平均再用平均值做拟合与直接对原始数据做拟合的结果才是一样的。 + +图3：左图：数据 $(x, y)$ 的散点图 $(+)$ 和拟合直线； +![](images/208511a5ba4ed764c2b897610f9e7d984abf8269a85191bd5b8df374c74397c7.jpg) +右图：数据 $(x,y)$ 对 $y$ 取平均后的散点图 $(\omega)$ 和拟合直线 + +![](images/0ff0b44756a852bfe32ae392218f915f9a132e26571a93b2eebfd7dde63252c7.jpg) + +# 3. 拟合过度 + +这个题目给的 CD4 (或 HIV) 随时间的变化虽大体上是先增后降(或先降后增)，但仔细看来却有起伏，为了拟合这些起伏有些同学用时间的4次、5次甚至更高次数的多项式，称之为拟合过度。事实上，这些起伏是由与时间本身无关的其它随机因素引起的，不应该用增加时间的高次项来拟合。极端的情况是，对于数据 $(x_{k}, y_{k}), k = 1, 2, \dots, n$ ，用 $x$ 的 $n - 1$ 次多项式拟合“最好”，这条曲线通过全部 $n$ 个点，误差为零，可是这已经变成多项式插值了。插值一般用于节点数据很精确时插值点的计算问题，适用本题的显然是拟合而非插值。一般地说，多项式拟合不要超过3次，对于本题如果用统计检验做显著性分析，可以发现多数情况是以时间的2次多项式为好。 + +# 4. 只按照图形做直观的定性判断，不做定量分析 + +为了比较4种疗法的优劣，有些同学对每种疗法的CD4(或取平均)做散点图，或折线(散点连线)图，直观地比较疗法的优劣。对于本题这样做虽然也能得到正确的结果，但是第一，这种做法没有普遍的指导意义，对于其它问题或数据，这样做不一定能得到结果，第二，一种疗法的CD4散点图(或折线图)在另一种疗法的上面，从统计意义上并不能表明其显著性。作为数学建模题目应该给出定量的处理方法。 + +# 5. 双指标处理不当 + +对于CD4和HIV两个指标的处理，常用的方法是用某种函数形式将二者结合在一起。考虑到CD4越大越好，HIV越小越好，一些同学取二者之差或二者之商为综合指标，这样简单处理的问题在于，这两个指标量纲不同，数量级差别较大。恰当的办法是，先分别将其归一化(如将数值变换到0-1之间)，然后取加权平均。 + +除了用统计方法以外，我们看到一些同学采用微分方程、灰色系统预测方法建模，根据生态学中描述生灭关系的鲁特尔-伏尔脱拉方程，建立微分方程组，而且方程组的形式仅是简单 + +的一阶线性方程组。由于方程组中各项参数未知，因而将参数视为灰系数。还有的采用一阶一元灰色模型，即GM(1，1)，求灰系数。一般的说此方法不大适用于本题，因为微分方程模型通常求得的是解析解，或数值解，因而模型要有一定精度，求解过程复杂；它可以求出整体最优解，对于局部的最优性问题显得束手无策；需要确定输入、输出之间关系的显式表达式，过程复杂，而且需要先确定系数。 + +不能用灰色预测方法求得这些系数，采用灰色系统作预测时要知道输入变量的未来值。我们建议采用此类方法建模的同学看文献[6]，从中了解如何采用微分方程最优控制模型，描述在免疫系统中CD4细胞与HIV病毒的相互作用过程，其方程形式比较复杂，而且其参数是已知的，[6]中所研究的CD4细胞与HIV相互作用过程只是在50天左右，这些参数值不适用于长周期。 + +某些同学还采用了层次分析法，模糊评价，时间序列，神经网络等方法建立模型，也不一定合适。简单的说，层次分析法，模糊评价用于半定性，半定量问题转化为定量分析。本题是定量问题的计算。时间序列模型需要有足够长的样本长度，这里给出的观测值的个数太少。至于神经网络，适用于继代分析，这里不再详述，希望同学们能对某种数学方法的应用范围能有进一步的理解，而不是拿来简单套用。 + +# 参考文献： + +[1] Geert Molenberghs, Geert Verbeke. Models for Discrete Longitudinal Data[M]. New York: London Springer, 2005. +[2] 魏权龄. 评价相对有效性的DEA方法[M]. 北京：中国人民大学出版社，198S +[3] Bian F P, Cui L Y. Lawrence Lessner. DEA-based anti-HIV immunotherapy model[J]. Porgress in Natural Science, 2004,14(9):828-832 +[4] Bian F P et al. The efficiency valuation of DMUs with undesirable outputs[J]. Transaction of Tianjin University, 2002,8(4):295 +[5] Bian F P, Fan Y. Prediction model of data envelopment analysis with undesirable outputs[J]. Transactions of Tianjin University, 2004,10(1):34-38 +[6] Henn Raj Joshi. Optimal control of an HIV immunology model[J]. Optimal control applications and methods, 2002, 23:199-213 + +# The Comments on the Solution of the Assessment and Prediction of the AIDS Treatments + +BIAN Fu-ping $^{1}$ , JIANG Qi-yuan $^{2}$ + +(1-Tianjin University, Tianjin 300072; 2-Tsinghua University, Beijing 100084) + +Abstract: In this paper the we give the background and general solutions and make the brief comments on the contest problem B for CUMCM-2006. + +Keywords: AlDS; HIV; CD4; mathematical models; prediction. + +文章编号：1005-3085(2006)07-109-08 + +# 易拉罐形状和尺寸的最优设计 + +郭文飞，王继利，李明阳 + +指导教师：曹华林 + +(海军航空工程学院，青岛266041) + +编者按：本文所建立模型中的目标函数和约束条件的确定过程叙述清楚，比较全面，对计算方法及其执行以及所用的软件有明确的说明。 + +摘要：本文对易拉罐的最优设计主要从用料最省的角度进行研究。首先运用多次测量求平均值的方法确定出易拉罐的实际尺寸。然后分别就易拉罐为圆柱体和组合体（圆柱体及圆台）两种情况进行研究。当易拉罐为正圆柱体时，以圆柱体高度与半径的比例关系确定易拉罐形状符合最优设计。当易拉罐为组合体时，以不同设计要求逐步改进，求得易拉罐实际尺寸符合最优设计。最后将易拉罐上端的圆台改为球台作为自己的最优设计。求解过程中主要用到：Lagrange乘子法、重积分、条件极值法及数学软件(Matlab、Lingo)等。 + +关键词：Lagrange：条件极值法 + +分类号：AMS(2000)90C:30 + +中图分类号：O221 + +文献标识码：A + +# 1 模型假设 + +1）所取易拉罐各面的厚度均匀； +2) 易拉罐的顶盖和下底盖都是规则的平面； +3) 易拉罐都是规则的多面体： +4) 不考虑温度对测量仪器的影响： +5) 易拉罐用同种材料制成。 + +# 2 问题分析 + +在对易拉罐的形状进行研究时，首先分析出模型可能需要的数据，利用相应的工具多次测量求平均值确定出易拉罐各项尺寸的大小。易拉罐的形状为一正圆柱体时，并没有对各部分的壁厚做出说明，在求解的过程中可分易拉罐各面厚度相同和不同两种情况进行求解，确定出高度与半径的比值关系，并与实际测量数据进行分析比较，判断易拉罐设计的合理性；在易拉罐形状为组合体时，求解过程仍以材料最省为最优设计，但同时要满足上、下顶面的强度要求，还要满足加工方面的要求，建立一个广泛的最优化模型。然后假设多种情况对模型进行逐步改进，最终求解既满足材料最省，又满足其他方面（如强度、美观、加工等）要求的易拉罐形状和尺寸，与实际测量值进行比较，分析其设计的合理性。最后根据多面体中球体表面积与体积比值最小的基本原理，将易拉罐上部的圆台设计为球台。 + +# 3 模型的建立与求解 + +# 3.1 问题一 + +# 3.1.1 需要测量的数据 + +模型中可能用到的数据种类有罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。 + +# 3.1.2 各数据的测量方法 + +直接测量：罐桶直径、罐高、圆台高、顶盖直径、圆柱直径这几种数据类型属于外部属性，可以直接进行测量。测量时可用游标卡尺(50分度)对相关部位进行直接测量，计算出直径和高等。 + +间接测量：对于厚度的测量都可用下面第一种方法，体积的测量可用第二种方法。 + +1）对易拉罐进行刨切，由于易拉罐厚度和顶盖厚度较小，可利用螺旋测微器进行测量； +2）取一个量筒 $(500\mathrm{ml})$ 和空的易拉罐，首先将清水倒入易拉罐中直至与罐口相平；然后将易拉罐中的水倒入量筒中进行读数，即得到了易拉罐的体积见表1。 + +表1：易拉罐(可口可乐)各项尺寸列表 + +
数据种类实测数据平均值单位
罐高12.0612.0412.0612.0812.0612.06cm
罐桶直径6.626.606.586.586.666.61cm
罐壁厚0.1120.1060.0990.1010.0950.103mm
顶盖厚0.2950.2980.3210.3040.3110.306mm
罐底厚0.3030.2890.3050.2940.3100.300mm
圆台高1.011.011.000.981.021.01cm
顶盖直径6.026.006.025.986.006.01cm
圆柱体高11.0411.0211.0611.0811.0611.05cm
罐内体积364.9365.2364.5364.0365.6364.8cm³
+ +# 3.1.3 易拉罐体积的说明 + +根据测量数据也可以得出，对于标注为 $355\mathrm{ml}$ 的可口可乐易拉罐，它的实际罐体容量为 $365\mathrm{ml}$ ，所以在以下题目的求解过程中对于易拉罐的容积都以 $365\mathrm{ml}$ 为标准进行计算。 + +# 3.2 问题二 + +# 3.2.1 模型建立 + +由于壁厚不同会对用料体积产生影响，所以分别建立壁厚均匀相等的感性模型和壁厚不等的理性模型。 + +# 1. 感性模型 + +目标：假设易拉罐是一个正圆柱体，易拉罐各处厚度均匀且非常薄(可忽略其厚度)时。就不用具体考虑易拉罐用料的体积，只以易拉罐的表面积最小为目标就可使用料最省。设易拉罐罐高为 $h$ ，罐体圆柱体部分圆的半径 $r$ ，目标为 $\min S(r,h) = 2\pi rh + 2\pi r^2$ + +主要约束：易拉罐的容积是一个固定的常量。在忽略罐壁厚的情况下我们可以认为易拉罐的体积与它的容积等价。设易拉罐的罐内体积 $V(r,h) = \pi r^2 h = 365\mathrm{cm}^2$ + +以易拉罐罐内体积和饮料容量相同为约束条件，制作易拉罐需要的原用料最省为目标建立 + +最优化模型 + +$$ +\min S (r, h) = 2 \pi r h + 2 \pi r ^ {2}, \tag {1} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} V (r, h) = \pi r ^ {2} h = 3 6 5, \\ r > 0, h > 0. \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +# 2. 理性模型 + +目标：由于引入了易拉罐的厚度，需要研究易拉罐的罐壳体积。以易拉罐的用料体积最小为目标，可使制造易拉罐的用料最省。易拉罐的用料体积主要分成三个部分：顶盖所用的用料体积、罐底所用的用料体积、侧面所用的用料体积。假设除易拉罐的顶盖外，罐的厚度相同，记作 $b$ ；顶盖的厚度为 $k \times b$ （ $k$ 表示倍数）；易拉罐的半径为 $r$ ，直径为 $d$ ；罐高为 $h$ ；罐内体积为 $V$ ；所用用料的总体积为 $S_{\mathrm{V}}$ 。则易拉罐顶盖用料体积为 $\pi r^2 kb$ ，易拉罐底用料体积为 $\pi r^2 b$ ，易拉罐侧面用料体积为 + +$$ +\left(\pi (r + b) ^ {2} - \pi r ^ {2}\right) (h + (1 + k) b) = 2 \pi h b r + 2 \pi (1 + k) b ^ {2} r + h \pi b ^ {2} + \pi (1 + k) b ^ {3}, +$$ + +综上可得易拉罐用料的总体积为 + +$$ +S _ {r} (r, h) = 2 \pi h b r + \pi (1 + k) b r ^ {2} + 2 \pi (1 + k) b ^ {2} r + \pi h b ^ {2} + r (1 + k) b ^ {3}. +$$ + +主要约束：（同感性模型） + +因为 $b \ll r$ ，为简化模型求解，所以 $b^2, b^3$ 的项可以忽略，从而建立如下最优化模型 + +$$ +\min S _ {1} \cdot (r, h) = 2 \pi r h b + \pi r ^ {2} (1 + k) b. \tag {3} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} V (r, h) = \pi r ^ {2} h = 3 6 5, \\ r > 0, h > 0. \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +# 2.2.2 模型求解 + +对于以上模型都可用多种方法求解，感性模型可以通过条件极值法和利用数学软件直接求解，理性模型可以通过Lagrange乘子法，条件极值法和利用数学软件Lingo直接求解。 + +# 1. 感性模型求解 + +# 1) 条件极值法 + +模型中共有两个变量 $r$ 和 $h$ ，体积的限制为 $V_{0} = \pi r^{2}h$ ，将上面的表达式代入到目标函数中可得： $S = 2\pi r^2 +\frac{2V_0}{r}\quad r\in (0, + \infty)$ + +由 $\frac{ds}{dr} = 0$ 可得 $r = \sqrt[3]{\frac{V_0}{2\pi}}$ ，对 $r$ 求二阶导数可得： $\frac{d^2s}{dr^2} = 4\pi + \frac{4V_0}{r^3} > 0$ + +故 $r = \sqrt[3]{\frac{V_0}{2\pi}}$ 时，取极小值，且是唯一极值点。所以， $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 时， $S$ 取最小值。 + +由 $h = \frac{V_0}{\pi r^2} = 2\times \sqrt[3]{\frac{V_0}{\pi r}}$ ，可以确定： $h = 2r$ + +# 2) 借助数学软件求解 + +利用数学软件Lingo求解得出： $r = 3.87cm,h = 7.74cm,S(r,h) = 282.7cm^2$ ，根据半径与高度的大小可确定： $h = 2r$ 。 + +# 2. 理性模型求解 + +# 1）求条件极值法 + +由 $\pi r^2 h = V_0$ 解出 $h = \frac{V_0}{\pi r^2}$ ，代入 $S(r, h)$ 得 + +$$ +S (r, h (r)) = b \left[ \frac {2 V _ {0}}{r} + \pi (1 + k) r ^ {2} \right], +$$ + +由 $\frac{ds}{dr} = 0$ 可得： $r = \sqrt[3]{\frac{V_{11}}{(1 + k)\pi}}$ ，所以 + +$$ +h = \frac {V _ {0}}{\pi} \left(\sqrt [ 3 ]{\frac {2 (1 + k) \pi}{V _ {0}}}\right) ^ {2} = 2 (1 + k) \left(\sqrt [ 3 ]{\frac {V _ {0}}{(1 + k) \pi}}\right) = (1 + k) r, +$$ + +$$ +S ^ {\prime \prime} = 4 b \left[ 2 \pi (1 + r) + \frac {2 V _ {0}}{r ^ {3}} \right] > 0, \qquad r > 0. +$$ + +因此 $r$ 使 $S$ 达到极小值，且是唯一极值点。所以， $r = \sqrt[3]{\frac{V_0}{(1 + k)\pi}}$ 时， $S$ 取最小值。 + +另外，还可运用算术几何不等式对目标函数进行求解得： $r = \sqrt[3]{\frac{V_0}{(1 + k)\pi}}$ ，即高度 $h$ 与 $\pmb{r}$ 的关系式为 $h = (1 + k)r$ 时，用料体积最省。 + +2）Lagrange乘子法（见参考文献[3]） + +3) 结果检验 + +通过两种方法求得的结果相同，说明模型的正确性。经过以上两种方法推导得到易拉罐的罐高 $h = (1 + k)\sqrt[3]{\frac{V_0}{(1 + k)\pi}}$ ，罐的半径 $r = \sqrt[3]{\frac{V_0}{(1 + k)\pi}}$ ，因此易拉罐的半径与罐高之比 $\frac{r}{h} = \frac{1}{1 + k}$ 。又因测量数据易拉罐的顶盖厚大约是罐壁厚的3倍，即 $k = 3$ 。代入 $\frac{r}{h} = \frac{1}{1 + k}$ 可得罐的半径与罐高之比为 $1:4$ ，而实际测量的数据大概也是这个比例，根据半径与高度的比值能够说明易拉罐的形状符合用料省的最优设计。 + +# 3.3 问题三 + +# 3.3.1 模型建立 + +# 1. 易拉罐容积的确定 + +对于易拉罐的简化形状，可将其分成两部分考虑，上部分为一正圆台，下部分为一正圆柱体。 + +![](images/6f3c02c2f53aa99d68d88cc237888eceefe39c22115e0315c50b4eea71e9223b.jpg) + +1）正圆台部分体积： $V_{1} = \frac{\pi(r_{1}^{3} - r_{2}^{3})\tan\theta}{3}$ +2) 正圆柱部分体积: $V_{2} = \pi r_{1}^{2}h$ + +综上可得：易拉罐结构的总体积为 + +$$ +V = V _ {1} + V _ {2} = \frac {\pi \left(r _ {1} ^ {3} - r _ {2} ^ {3}\right) \tan \theta}{3} + \pi r _ {1} ^ {2} h. +$$ + +根据测量数据，易拉罐壁厚 $b \ll r_1, b \ll r_2, b \ll h$ ；因此在确定易拉罐的容积 $V_p$ 时可近似看成体积，即 + +$$ +V = V _ {1} + V _ {2} = \frac {\pi \left(r _ {1} ^ {3} - r _ {2} ^ {3}\right) \tan \theta}{3} + \pi r _ {1} ^ {2} h. +$$ + +# 2. 易拉罐用料体积 $S_{V}$ 的确定 + +易拉罐用料主要包括四部分：上顶面 $S_{V1}$ 、圆台回转面 $S_{V2}$ 、圆柱回转面 $S_{V3}$ 、下底面 $S_{V4}$ 。根据问题二可知，并且由于易拉罐壁厚 $b \ll r_1, b \ll r_2, b \ll h$ ；为简化计算，在求易拉罐用料体积 $S_{V}$ 时，可近似看成各个面的面积与其厚度乘积之和，忽略各个面由于相交产生的体积偏差。在求各个面的面积时，以外表面的测量值为准。设圆柱回转面的厚度 $b$ 为一单位，上顶面、圆台回转面、下底面分别是圆柱回转面厚度的 $k_1, k_2, k_3$ 倍。因此易拉罐用料体积为 + +$$ +S _ {V} (r _ {1}, r _ {2}, h, \theta) \approx S _ {V 1} + S _ {V 2} + S _ {V 3} + S _ {V 4} = \pi r _ {2} ^ {2} k _ {1} b + \frac {\pi (r _ {1} ^ {2} - r _ {2} ^ {2}) k _ {2} b}{\cos \theta} + \pi r _ {1} ^ {2} k _ {3} b + 2 \pi r _ {1} h b, +$$ + +于是，可根据易拉罐容积一定，用料体积最省的最优化设计建立以下模型 + +$$ +\min S _ {V} \left(r _ {1}, r _ {2}, h, \theta\right), \tag {5} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} V _ {P} \left(r _ {1}, r _ {2}, h, \theta\right) = V _ {0}, \\ r _ {1} \geq 0, r _ {2} \geq 0, h \geq 0, \\ 0 < \theta < \frac {\pi}{2}. \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +# 3.3.2 模型求解 + +在求解过程中，为满足设计要求，设上顶面、圆台回转面、下底面分别是圆柱回转面厚度的 $k_{1} = 3, k_{2} = 1, k_{3} = 1$ 倍，下面分别用两种方法对模型求解。 + +# 方法一：Lingo软件求解 + +本模型属于最优化模型，可利用Lingo软件直接求解得到：上顶盖半径 $r_2 = 0\mathrm{cm}$ ，圆柱体半径 $r_1 = 4.2\mathrm{cm}$ ，圆台倾斜角 $\theta = 41.8^{\circ}$ ，圆柱体高度 $h = 5.9\mathrm{cm}$ ，所用材料 $V_{p} = 2.76\mathrm{cm}^{3}$ 。 + +# 方法二：Lagrange乘子法和Matlab软件求解 + +首先构造Lagrange函数 + +$$ +\begin{array}{l} L \left(r _ {1}, r _ {2}, h, \theta\right) = S _ {V} \cdot \left(r _ {1}, r _ {2}, h, \theta\right) + \lambda V _ {P} \left(r _ {1}, r _ {2}, h, \theta\right) \\ = k _ {1} b \pi r _ {2} ^ {2} + \frac {k _ {2} b \pi \left(r _ {1} ^ {2} - r _ {2} ^ {2}\right)}{\cos \theta} + 2 b \pi r _ {1} h + k _ {3} b \pi r _ {1} ^ {2} \\ + \lambda \left[ \frac {1}{3} \pi \tan \left(r _ {1} ^ {3} - r _ {2} ^ {3}\right) + \pi r _ {1} ^ {2} h - 3 6 5 \right], \\ \end{array} +$$ + +分别对 $r_1, r_2, \theta, h$ 求偏导，并使之为零，与 $V_P(r_1, r_2, h, \theta) - 365 = 0$ 联立得到如下方程组 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {2 \pi}{\cos \theta} r _ {1} + 2 k _ {3} b \pi r _ {1} + 2 \pi h + \lambda \pi r _ {1} ^ {2} \tan \theta + 2 \lambda \pi h r _ {1} = 0, \\ 2 k _ {1} b \pi r _ {2} - \frac {2 k _ {2} b \pi r _ {2}}{\cos \theta} - \lambda \pi r _ {2} ^ {2} \tan \theta = 0, \\ k _ {2} b \pi (r _ {1} ^ {2} - r _ {2} ^ {2}) \frac {\sin \theta}{\cos^ {2} \theta} + \frac {\lambda \pi (r _ {1} ^ {3} - r _ {2} ^ {3})}{3 \cos^ {2} \theta} = 0, \\ 2 b \pi r _ {1} + \lambda \pi r _ {1} ^ {2} = 0, \\ \frac {1}{3} \pi \tan (r _ {1} ^ {3} - r _ {2} ^ {3}) + \pi r _ {1} ^ {2} h - 3 6 5 = 0. \end{array} \right. +$$ + +上述方程组，利用Matlab软件中的fsolve函数求解得到：上顶盖半径 $r_2 = 0$ ，圆柱体半径 $r_1 = 4.0154\mathrm{cm}$ ，圆台倾斜角 $\theta = 41.7^\circ$ ，圆柱体高度 $h = 5.8112\mathrm{cm}$ ，乘子 $\lambda = -0.4981$ ，所用材料 $V_{p} = 2.7053\mathrm{cm}^{3}$ 。 + +结果说明：通过观察数据，两种方法求得的结果基本一样，各项取其平均值，得到上顶盖半径 $r_2 = 0$ ，圆柱体半径 $r_1 = 4.1\mathrm{cm}$ ，圆台倾斜角 $\theta = 41.75^\circ$ ，圆柱体的高度 $h = 5.86\mathrm{cm}$ 此时所用材料 $V' = 2.73\mathrm{cm}^3$ 。根据以上两种求解方法所求数据相同，但与易拉罐的实际形状和尺寸相差很大。需要对模型作出进一步改进。 + +# 3.3.3 模型改进一 + +上述模型中，在处理易拉罐底面厚度时是简化为与圆柱体壁厚相同来解决的，但通过实际测量发现底面厚度与圆柱体壁厚是不相等的，并且底面厚度与顶面厚度相同都为 $3b$ ，即此时 $k_{1} = 3, k_{2} = 1, k_{3} = 3$ ，将修改后的值代入模型，求得上顶盖半径 $r_{2} = 0\mathrm{cm}$ ，圆柱体半径 $r_{1} = 3.1\mathrm{cm}$ ，圆台倾斜角 $\theta = 41.8^{\circ}$ ，圆柱体高度 $h = 10.8\mathrm{cm}$ ，所用材料 $V_{p} = 3.55\mathrm{cm}^{3}$ 。 + +观察数据会发现，与问题一中实测数据进行比较，相差仍然比较大，所以还要对模型进行改进。 + +# 3.3.4模型改进二 + +在模型改进中，只对易拉罐的各种壁厚进行了分析研究，发现并不能满足现实情况，所以要从其他方面考虑，通过对易拉罐的观察发现，易拉罐顶盖实际上并不是平面的，略有上拱，顶盖实际上是半径为 $3 + 0.4 + 0.2 = 3.6\mathrm{cm}$ 的材料冲压而成的，从顶盖到圆柱体部分的斜率为0.3，这些要求也许保证了和易拉罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压。所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求，简单通过求材料最省是得不到满意的结果的，所以要对其进行改进，假设易拉罐的上顶盖半径是已知的，通过问题一数据分析得到 $r_2 = 3.005\mathrm{cm}$ ，将此值代入本题模型，并利用两种方法，求得易拉罐形状的各项尺寸如下表所示：上顶盖半径 $r_2 = 3.0\mathrm{cm}$ ，圆柱体半径 $r_1 = 3.25\mathrm{cm}$ ，圆台倾斜角 $\theta = 73.9^{\circ}$ ，圆柱体高度 $h = 10.2\mathrm{cm}$ ，所用材料 $V_p = 4.12\mathrm{cm}^3$ 。 + +# 3.4 问题四 + +# 3.4.1 提出自己易拉罐的最优设计 + +通过对所测量易拉罐的观察分析，发现这种易拉罐还不是最省材料的，根据多面体中球体的表面积与其体积的比值最小的原理，提出将易拉罐中的圆台设计成球台。 + +# 3.4.2 模型的建立 + +# 1. 球台部分的求解 + +![](images/cc1f5000faa3edde952675259dd527862dc8b7100fb5f9e72432d023de0a60b2.jpg) + +运用重积分求得球台体积 $V_{1}$ 为 + +$$ +V _ {1} = \frac {2 \pi r _ {3} ^ {3} (\cos \alpha - \cos \beta)}{3} + \frac {\pi}{3} \left(\frac {r _ {2} ^ {3}}{\tan \alpha} - \frac {r _ {1} ^ {3}}{\tan \beta}\right), +$$ + +球台上表面的面积 $S_{V1} = \pi r_2^2$ ，球台弧形部分表面积 $S_{V2}$ ，根据二重积分用球面坐标对其表面积积分可求得球台部分表面积为 + +$$ +S _ {V 2} = \int_ {0} ^ {2 \pi} \int_ {\alpha} ^ {\beta} r _ {3} ^ {2} \sin \varphi \mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta = 2 \pi r _ {3} ^ {2} (\cos \alpha - \cos \beta). +$$ + +# 2. 圆柱体部分的求解 + +设圆柱体的高为 $h$ ，底面半径为 $r_1$ ，圆柱体的壁厚为 $b$ ，底面厚度为 $kb$ 。圆柱体的体积 $V_{2} = \pi r_{1}^{2}h$ ，侧面表面积 $S_{V3} = 2\pi r_{1}^{2}h$ ，圆柱体的底面积 $S_{V4} = \pi r_{1}^{2}$ 。 + +# 3. 易拉罐的容积 + +由于 $b \ll r$ ，所以易拉罐的整体体积看成易拉罐的容积，所以总的易拉罐容积 $\mathbf{V}$ 为 + +$$ +\begin{array}{l} V (\alpha , \beta , r _ {1}, r _ {2}, r _ {3}, h) = V _ {1} + V _ {2} \\ = \frac {2}{3} \pi r _ {3} ^ {3} (\cos \alpha - \cos \beta) + \frac {1}{3} \pi \left(\frac {r _ {2} ^ {3}}{\tan \alpha} - \frac {r _ {1} ^ {3}}{\tan \beta}\right) + \pi r _ {1} ^ {2} h. \\ \end{array} +$$ + +# 4. 易拉罐所用材料的体积 + +由于薄片的体积等于面积乘以厚度，所以易拉罐所用材料的体积 $S_{V}$ 为 + +$$ +\begin{array}{l} S _ {V} \left(\alpha , \beta , r _ {1}, r _ {2}, r _ {3}, h\right) = k b \times S _ {V 1} + b \times S _ {V 2} + b \times S _ {V 3} + k b \times S _ {V 4} \\ = k b \pi r _ {2} ^ {2} + 2 b \pi r _ {3} ^ {2} (\cos \alpha - \cos \beta) + 2 b \pi r _ {1} h + k b \pi r _ {1} ^ {2}, \\ \end{array} +$$ + +综上所述，在易拉罐体积一定的条件下，以总用料最少为目标建立最优化模型如下 + +$$ +\begin{array}{l} \min S _ {1} \cdot (\alpha , \beta , r _ {1}, r _ {2}, r _ {3}, h), (7) \\ \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} V (\alpha , \beta , r _ {1}, r _ {2}, r _ {3}, h) = V _ {0}, \\ r _ {2} = r _ {3} \times \sin (\alpha), \\ r _ {1} = r _ {3} \times \sin (\beta), \\ r _ {1} > 0, r _ {2} > 0, \\ r _ {3} > 0, h > 0, \\ 0 < \alpha \leq \beta < \frac {\pi}{2}. \end{array} \right. (8) \\ \end{array} +$$ + +# 3.4.3 模型求解 + +# 1. 模型简化 + +在本模型中有不少数据是不能通过材料最省来确定的，它们的尺寸与其他方面（如焊缝长度、工时少、运输方便等）有关系，所以通过以上模型不能对其求解，进行简化如下： + +1) $k$ 值的确定是根据易拉罐顶盖和底盖所需要的强度来确定的不能因为材料省而使 $k$ 值变小，通过问题一的测量数据可以得到 $k = 2.9881$ +2) 顶盖其实不是完全的平面形，而是向上拱起的，是由薄片挤压而成，并且考虑到罐体的美观、实用性、运输方便等，其大小不能通过求材料最省得到，根据问题一的测量数据得到 $r_2 = 3.005 \mathrm{~cm}$ 。 + +# 2. 求解方法 + +方法一Linguo软件求解 + +本模型属于最优化模型，在求解时可利用Lingo软件求解。所得结果：圆柱体半径 $r_1 = 3.24\mathrm{cm}$ ，球台的半径 $r_3 = 3.24\mathrm{cm}$ ，圆柱体高 $h = 9.77\mathrm{cm}$ ，与弧形部分有关的角 $\alpha = 1.17$ ， $\beta = 1.57$ ，此时所用材料为 $4.10\mathrm{cm}^3$ 。 + +方法二：Lagrange乘子法和Matlab软件求解 + +构造Lagrange函数 + +$$ +\begin{array}{l} L (\alpha , \beta , r _ {1}, r _ {2}, r _ {3}, h) = k b \pi r _ {2} ^ {2} + 2 b \pi r _ {3} ^ {2} (\cos \alpha - \cos \beta) + 2 b \pi r _ {1} h + k b \pi r _ {1} ^ {2} \\ + \lambda \left(\frac {2}{3} \pi r _ {3} ^ {3} (\cos \alpha - \cos \beta) + \frac {1}{3} \pi \left(\frac {r _ {2} ^ {3}}{\tan \alpha} - \frac {r _ {1} ^ {3}}{\tan \beta}\right) + \pi r _ {1} ^ {2} h - 3 6 5\right). \\ \end{array} +$$ + +分别对 $\alpha, \beta, r_1, r_2, r_3, h$ 求偏导，并把 $b = 0.0102\mathrm{cm}, k = 2.9881, r_2 = 3.005\mathrm{cm}, V_0 = 365\mathrm{cm}^3$ 带入以上方程组，利用Matlab中的fsolve函数求解（编程略）得：圆柱体的半径 $r_1 = 3.2463\mathrm{cm}$ ，球台所在球体的半径 $r_3 = 3.2465\mathrm{cm}$ ，圆柱体的高 $h = 9.7679\mathrm{cm}$ ，与弧形部分有关的两个角度 $\alpha = 1.1689$ ， $\beta = 1.57$ ，所用材料为 $4.0979\mathrm{cm}^3$ 。 + +对两种方法所得结果，求算术平均值得到易拉罐各项尺寸，圆柱体半径为 $3.24\mathrm{cm}$ ，圆柱体的高度为 $9.77\mathrm{cm}$ ，圆柱体上顶盖为 $0.31\mathrm{mm}$ ，球台上顶盖半径为 $3\mathrm{cm}$ ，球台弧形部分壁厚为 $0.1\mathrm{mm}$ ，圆柱体底面厚度为 $0.31\mathrm{cm}$ 。 + +# 3.4.4 结果说明 + +此种设计，易拉罐所用的总材料体积为 $4.10\mathrm{cm}^3$ ，实际所用材料总体积为 $4.12\mathrm{cm}^3$ （问题三已求），所以这种设计能节省 $0.49\%$ 的材料。由新设计的易拉罐可得圆柱体的高度为 $9.77\mathrm{cm}$ 直径为 $6.48\mathrm{cm}$ ，直径与高度的比值为，这也是基本符合“黄金分割”的。 + +# 参考文献： + +[1] 叶其孝. 数学建模教育与国际数学建模竞赛[G]. 中国工业与应用数学学会《工科数学》杂志社, 1994 +[2] 飞思科技产品研发中心. MATLAB7 基础与提高[M]. 北京：电子工业出版社，2005 +[3]叶县孝.初探大学生数学建模竞赛的深入开展[EB/OL].北京理工大学，HTTP://jkx.cuit.edu.cn/qkfile/ +[4] 谢金星，薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005 + +# The Optimal Design of an Easy-pull Can in Shape and Size + +GUO Wen-fei, WANG Ji-li, LI Ming-yang + +Advisor: CAO Hua-lin + +(Naval Acronautical Engineering Academy, Qingdao 266011) + +Abstract: This thesis studies the optimal design for easy-pull can to have efficient use of materials. Firstly, the value which averages the repeated measurings is determined as the actual size of the can. Secondly, the cylinder and pop combined (cylinder and cone) are studied respectively. When the shape of the can is a cylinder, we confirm the optimal design according to the ratio of height and radius, while the easy-pull can is a combination, its actual size is obtained by gradual improvement. Finally, we substitute the frustum of a cone for the frustum of a ball and take it as our optimal design. In the whole process of this research, Lagrange method, integral, conditional extremum and mathematics software (Matlab, Lingo) are used. + +Keywords: lagrange method; integral + +文章编号：1005-3085(2006)07-0117-03 + +# 易拉罐的优化设计 + +叶其孝 + +（北京理工大学数学系，北京100081） + +摘要：本文讲述了“易拉罐形状和尺寸的最优设计”问题的命题、建模和求解，评述了学生递交的论文中的优缺点，提出了若干建议。 + +关键词：易拉赫；数学建模：约束优化问题 + +分类号：AMS(2000)97U60；97C70 + +中图分类号：O221.2 + +文献标识码：A + +# 1 命题 + +我第一次接触到易拉罐形状和尺寸是看了[1]中的一篇短文“精明的罐装”，我才明白为什么可口可乐易拉罐的“直径”和“高”之比不是很多高等数学(微积分)教材中的例题或习题：“直圆柱的体积已知，求使得表面积最小的直径和高之比”中的结论。这是一个应用导数求极值的很好又简单的问题。其结论是：直径和高之比为1。但是我们看到的易拉罐几乎没有这样的。该文说假设易拉罐是直圆柱体，那么只要顶盖的厚度是其余部分的3倍，能够使材料最省的罐内圆柱体部分的直径和高之比为 $1/2$ 。我对355毫升的可口可乐易拉罐做了粗略的测量，发现大体上就是这样。后来我又了解到在上世纪40年代可口可乐易拉罐的形状和尺寸确实如此。为什么后来又改为现在的样子：大体上是上面是一个直圆台下面是一个直圆柱体组成的容器呢？我自己做了许多计算，发现非常有趣。也觉得这是一个可以融入高等数学(微积分)教学的体现数学建模思想和方法的很好的例子。我就开始编写与之有关的教学单元，并多次在国内外报告，引起听众的兴趣。同时，全国组委会也了解到很多大专的同学反映赛题偏难，主要是要用到的数学很多参赛同学可能没有学过。这就提出了一个很有挑战性的问题：能不能出一些尽可能只用到像微积分那样的数学方法，又能充分体现数学建模思想和方法的赛题呢？我就大胆地命了这道题。全国组委会也觉得可以试一试，并进一步听取大家的反馈意见。 + +# 2 建模和求解 + +2.1 应该了解铝质可口可乐易拉罐的制作过程，大体上是先由一块板材冲压成一个直圆柱的杯子，再利用铝的延性，在加热条件下，把罐的侧边拉到一定的高度(因而变薄了)，略为收口，和较厚的同质圆片焊接，内外涂层，灌装、测试等。这对于研究本问题来说，实际上是很重要的。只有少部分队在论文中明确说明了这一点。正如不少论文引用的参考文献[2]中所说的，“随着饮料包装市场竞争的不断加剧，对众多的制罐企业而言，如何在易拉罐生产中最大限度地减少板材厚度，减轻单罐重量，降低生产成本，是企业追求的重要目标。”这当然不是数学，至少不能单靠数学就能解决的问题。但是，在满足各种物理条件下的最薄的铝板已经做出来时，在给定饮料量后，易拉罐不同的形状和尺寸所用材料是不同的，怎样使之最小，数学建模就有用武之地了。这就是本问题要求同学们完成的任务。 + +2.2 测量。虽然有点“事后诸葛亮”，主要的目的是要对各部分的厚度之比有一个大体上的了解，以备以后验证模型之用。绝大部分队，无论是相当精确或是比较粗糙，都做得十分认真，体现了科学的、实事求是的态度。经我们了解，在美国，这种形状易拉罐各部分(以千分之一英寸为单位)的厚度大致如下：底部厚：8-11，侧壁厚：4，颈部厚：6，顶盖厚：9。据说在其他地方生产的易拉罐，各部分的厚度可以略有变化。另外一点是罐内容量(体积)不是355毫升 $(355\mathrm{cm}^3)$ ，大约是365毫升 $(365\mathrm{cm}^3)$ ，有些队没有注意这点，把罐内饮料量当作355毫升来算是有问题的。 + +2.3 把易拉罐近似看成直圆柱体的情形。这时，易拉罐所用的材料(目标函数)为 + +$$ +S V (r, h) = (\pi (r + b) ^ {2} - \pi r ^ {2}) (h + (\alpha + \beta) b) + a b \pi r ^ {2} + \beta b \pi r ^ {2}, \tag {1} +$$ + +其中 $b$ 是侧边的厚度， $r, h$ 分别是易拉罐内部的半径和高， $\alpha b, \beta b$ 分别表示顶盖和底部的厚度。约束条件是罐内体积已知，即 + +$$ +V = \pi r ^ {2} h. \tag {2} +$$ + +其中 $V$ 已知。约束优化问题(1)，(2)可以手算解决，得到的结果为 $r / h = 1 / 2$ + +[3]或者在网上公布的我的报告都已经有详细的结果，有的队在参考文献中列出了，并作出自己的理解，这是实事求是的良好学风。但是也有的队直接把我在网上的讲稿的有关部分，不管是否与本问题直接有关，图形及Mathematica的语句，甚至连一些并不妥当的内容，都不加分析地拷在他们的论文里，而且在参考文献中根本不提是从那里来的。这是一种很不好的学风。 + +2.4 易拉罐近似地由直圆台和直圆柱体组成。容易验算把2.3中的直圆柱体的上部收口，就可以减少焊接量，从而节省成本。可以验算所用的材料也比直圆柱形的易拉罐所用的材料少。这说明数学建模的成果是核心的成果，但是在现实中，它往往被大量的制造技术和外观包装所掩盖。为什么会这样是非常值得我们思考的问题。这也说明只靠数学单打独斗是不行的，必须和其他专业结合，紧密合作才行。这时易拉罐的颈部可以由过点 $(0, r)$ ， $(h, R)$ 的直线段和过点 $(0, r + b)$ ， $(h, R + b)$ 的直线段绕轴旋转而得的圆台壳来代替（不过它的厚度小于 $b$ 为 $\frac{bh}{\sqrt{h^2 + (R - r)^2}}$ ，因此目标函数(易拉罐所用材料的体积)可以近似地表为 + +$$ +S V (r, R, h, H, \alpha , \beta) = b \pi [ \alpha (b + r) ^ {2} + \beta (b + R) ^ {2} + h (b + r + R) + (b + 2 R) H ], \tag {3} +$$ + +其中 $b$ 是侧壁的厚度， $r, h$ 分别是易拉罐圆台部分的半径和高， $R, H$ 分别是易拉罐直圆柱体部分的半径和高， $\alpha b, \beta b$ 分别表示顶盖和底部的厚度。或者认为面积乘厚度就是所用的易拉罐的材料(这时在角点处缺一定体积的材料)，则目标函数(易拉罐所用材料的体积)可以近似地表为 + +$$ +S V (r, R, h, H, \alpha , \beta) = b \pi [ \alpha r ^ {2} + \beta R ^ {2} + h (r + R) \sqrt {h ^ {2} + (R - r) ^ {2}} + R ^ {2} H ], \tag {4} +$$ + +约束条件都是罐内体积已知，即 + +$$ +V = \pi h \left(r ^ {2} + r R + R ^ {2}\right) / 3 + \pi R ^ {2} H, \tag {5} +$$ + +其中 $V$ 已知。(3)，(5)或(4)，(5)是自变量数目超过2的约束优化问题，要用数学软件，例如，Matlab, Mathematica, Lingo等来求解。各队大体上是用这两个模型，还要加上一些附加的约束，例如因为顶盖有拉环，所以 $r$ 有限制，因为要用手握住，所以 $R$ 有限制，等等。可以把约束(5)解出一个变量，例如 $H$ ，再代入(3)或(4)，变成3个变量的约束优化问题，或 + +用Lagrange乘数法。有的队从求临界点开始，发现有问题，再应用各种有一定合理性的假设来求得合理的解。但是很少有队通过Taylor公式(Hesse矩阵的正定性)来验证所找到的临界点是否确实是目标函数达到极小，这是一个缺憾。 + +2.5 至于作出自己的最优设计。几乎所有的队都想到：如果体积一定，球体是各种几何体中表面积最小的。各队想象并设计了各种易拉罐，其中有，上面是半球下面是直圆柱体，然后在半球切掉一个适当尺寸的球冠(球缺)，下面挖掉适当尺寸的球缺，其形状更接近我们见到的易拉罐，并有一定的计算；有的从艺术的角度设想包括葫芦形在内的各种易拉罐，但是很难计算，更不能与前面形状的易拉罐所用的材料进行比较了。 + +# 3 建议 + +3.1 数学建模是帮助我们从know how(知识，即知道怎么做)提升到know why(知道为什么要这样做)的重要手段和方法，这对于培养学生的原创性是非常有帮助的。所以参加包括数学建模竞赛在内的数学建模活动，对于优秀学生来说是很值得的。 +3.2 从阅卷可以看出许多同学有不少可能是很好的想法，但是由于时间关系没有深入去做，在赛后继续阶段是很值得去做的，以求得一个肯定的结果。对于年青人来说一时的获奖或者不获奖并不重要，重要的是是否善于总结，是否有一股不做彻底不罢休的刻苦的坚持精神。 +3.3 作为教师来说，我们最大的宽慰是学生欢迎我们的讲课和辅导，特别是，多年后学生还在说某某老师教给了我哪些数学时我们会更加高兴。为此，我们必须进一步与时俱进地钻研数学，深入了解学校、专业和学生的情况，提高自己的教学质量。而学习、钻研并一定程度的实践数学建模的思想和方法，介入数学建模竞赛，在赛前赛后指导同学参赛，一定会提高自己的研究水平、教学质量以及对数学本身的认识，从而有利于成为受学生欢迎的教师。 +3.4 一个学校的最高目标就是要培养出能够为社会做出贡献的学生。领导要高瞻远瞩，要认识到数学对于培养高质量学生的重要性。为此教师是关键。一个好学校的标志之一就是有一支优秀的教师队伍。因此一定要培养自己的教师，而培养数学教师的很好的方法是请他们参与、指导学生参加数学建模竞赛，从中得到锻炼。学生参赛积极性是很高的，也是有可能的，因为参赛总是少数同学。每个学校总有一些数学基础相当坚实、对数学又比较有兴趣的学生，如果能把他们组织起来，在课余给予一定的辅导，完全有可能参赛并取得较好的成绩的。 + +# 参考文献： + +[1] Consortium for mathematics and its applications (COMAP), Principles and Practice of Mathematics, Springer-Verlag New York, Inc., 1997; 中译本: 申大维, 叶其孝等译. 数学的原理与实践[M]. 北京: 高等教育出版社和施普林格出版社, 1998, 15 +[2] 韩向东，李志见.铝质易拉罐成形工艺及模具[J].模具工业，2004,(4):17-21 +[3] 叶其孝. 最优化-导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005.22(8):8-14 + +# Optimal Design of Pull-tab Cans + +YE Qi-xiao + +(Department of Mathematics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081) + +Abstract: In this paper, design and formulation of the contest problem "Optimal design of the shape and dimension of beverage cans" are stated. Reviews for teams' papers submitted to the national judging are given. Recommendations for encouraging students from two-year or three-year colleges and tertiary vocational and technical education schools to participate in the MCM, teachers training are given. + +Keywords: pull-tab cans; mathematical modeling; constrained optimization problem + +文章编号：1005-3085(2006)07-0120-07 + +# 瓦斯和煤尘对煤矿安全生产影响的研究 + +徐华，刘晓丽，潘嘉程 + +指导教师：姜英姿 + +（徐州工程学院，徐州221008） + +编者按：行文流畅，鸿篇巨制。涉及到影响煤矿安全的诸多因素，本文的特色是运用层次分析的办法加以处理。通风系统网络图的绘制，为组成规划问题各类约束条件铺设基础。 + +摘要：本文通过计算绝对、相对瓦斯涌出量判断出该矿为高瓦斯矿井，然后运用模糊综合评判法对矿井的安全程度进行定性分析，得出矿井安全性为优的结论，运用数据分析结合正态分布，由逆概性质推出在安全操作情况下矿井发生爆炸的概率为0，最后以总通风量最少为目标建立规划模型，同时引入矿通系数使结果更加符合实际情况。 + +关键词：等级鉴定；安全性评价；模糊综合评判；目标规划 + +分类号：AMS(2000)90C05 + +中图分类号：O221.1 + +文献标识码：A + +# 1 模型中的符号说明 + +$Q_{\mathrm{CH}_4}$ ：矿井的绝对瓦斯涌出量； $q_{\mathrm{CH}_4}$ ：矿井的相对瓦斯涌出量； + +$Q_{\eta}$ ：矿井中不同地点处的风量； $C_n$ ：矿井中不同工作面、巷道的瓦斯浓度； + +$P$ ：矿井发生爆炸事故的概率； $D_{n}$ ：矿井中不同工作面、巷道的煤尘量； + +$Q_{zj}$ ：矿井的总通风量； $\nu_{ij}$ ：矿井中第 $i$ 天第 $j$ 个班次的风速； + +$k_{\text{矿通}}$ ：矿井的矿通系数； $s_m$ ：第 $m$ 种类别巷道的断面面积； + +$N$ ：一个月的工作天数； + +$C_{ij}$ ：第 $i$ 天第 $\pmb{j}$ 个班次总风流中的瓦斯浓度； + +$A_{i}$ ：第 $i$ 天矿井的日产量； + +1.2,3,4.5：各井巷中风量的分流节点； + +$Q_{zj}$ 、 $Q_{zh}$ ：煤矿总进风量和总回风量(总出风量)； + +$k_{a}$ ， $k_{b}$ ：通向掘进工作面与采煤工作面II巷道中对应两风门的可控系数； + +$Q_{j1}$ ， $Q_{q1}$ ， $Q_{h1}$ ：进风巷I、采煤工作面I、回风巷I中所需的风量； + +$Q_{j2}$ ， $Q_{y2}$ ， $Q_{h2}$ ：进风巷II、采煤工作面II、回风巷II中所需的风量； + +$Q_{jj}$ ， $Q_{jh}$ ：掘进工作面的进风量与回风量(局部通风机的额定风量)； + +$Q_{yy}$ ：局部通风机所在的巷道中所需要的余裕风量。 + +# 2 问题的分析建模与求解 + +# 2.1 煤矿等级鉴定模型的建立与求解 + +判断矿井等级的标准是瓦斯涌出量，而涌出量又分为绝对瓦斯涌出量和相对瓦斯涌出量，故只要算出这两个值并观察其隶属范围，再根据标准作出判断即可。 + +# 2.1.1 模型的建立 + +绝对瓦斯涌出量是单位时间内的瓦斯涌出量，该量与各巷道断面面积、风速和瓦斯浓度有关。相对瓦斯涌出量是单位质量煤矿的瓦斯涌出量，它不仅与矿井的绝对瓦斯涌出量有关，还与煤矿产量有关。则可得： + +绝对瓦斯涌出量模型 + +$$ +Q _ {\mathrm {C H} _ {4}} = \max \frac {\sum_ {j = 1} ^ {3} \nu_ {i j} \cdot s _ {m} \cdot C _ {i j}}{3}, +$$ + +相对瓦斯涌出量模型 + +$$ +q _ {\mathrm {C H} _ {4}} = \frac {\max \left(\sum_ {j = 1} ^ {3} \nu_ {i j} \cdot s _ {m} \cdot C _ {i j}\right) \cdot N}{3 \times \sum_ {i = 1} ^ {3 0} A _ {i}}. +$$ + +# 2.1.2 模型的求解 + +根据矿井绝对瓦斯量模型与相对瓦斯量模型，利用Mathematica5.0计算，再以《煤矿安全规程》第一百三十三条分类标准为依据作出判断，则鉴定结论见表1： + +表 1: 矿井瓦斯等级报告表 + +
矿井××指标×年×月×日
监测点三旬中最大一天的涌出量(m³/min)月实际工作日(d)月产煤量(t)月平均日产量(t/d)相对涌出量(m³/t)矿井瓦斯等级
总回风巷10.402073018175605.83324.7689高
+ +# 2.2 煤矿不安全性评价模型的建立与求解 + +在鉴别出该煤矿为“高瓦斯矿井”后，需解决的问题是判断煤矿的不安全性(即发生爆炸的可能性)。此处用两种方法来测定煤矿的不安全性，一是采用层次分析法的思想进行模糊评判来定性分析，二是采用数理统计的方法对发生爆炸事故的可能性进行定量分析。 + +# 2.2.1 定性分析 + +若瓦斯和煤尘都不存在，则矿井绝对不会发生爆炸。据常理可推断两者的浓度越大发生爆炸的可能性越大。为了便于理解，逆向考虑煤矿的安全性，进而转化成不安全性。运用模糊综合评判法的知识，对煤矿中各监测点的安全性进行打分，作定性分析。 + +由背景资料知煤矿的不安全性主要来自爆炸事故的发生，爆炸分为瓦斯爆炸和煤尘爆炸。瓦斯爆炸的条件包括氧气浓度、火源、瓦斯浓度；煤尘爆炸的条件包括氧气浓度、火源、煤尘浓度，并且煤尘爆炸下限浓度与瓦斯浓度有关。为了更直观的表示他们的关系，画出如下综合评判体系层次图见图1。 + +根据模糊评判相关知识计算出各因素在特定条件下的权值，经一致性检验，结果符合要求，进而算出各因素的最终权重。如表2。接着，用矿井安全程度的得分来判定其安全性见表3。 + +再根据安全计算原则，在数据表中找出各监测点瓦斯和煤尘浓度的最大值，并由其得出打分见表4。 + +在上述基础上，利用以下公式，便可得出各监测点的综合安全性 $S$ + +$$ +S = \sum_ {j = 1} ^ {7} D _ {i j} \cdot \omega_ {j}, \quad 1 \leq i \leq 6. +$$ + +![](images/489a52272adf5b1bd572971eb630c974217999bf6badc4c9b10507e9b81e3d91.jpg) +图1：模糊综合评判体系图 + +表 2: 影响煤矿安全的各因素的最终权重 + +
各因素权重氧气C1火源C2瓦斯浓度C3瓦斯浓度C4火源C5氧气C6煤尘浓度C7
瓦斯爆炸(0.75)0.4285710.4285710.142857----
煤尘爆炸(0.25)---0.1250.3750.3750.125
最终权重0.320.320.110.030.090.090.03
+ +表 3: 得分与安全程度之间关系表 + +
得分100-9090-8080-7070-6060-4040-2020-0
安全程度优良良好一般不好较差差
+ +表 1: 各因素的打分 + +
氧气C1火源C2瓦斯浓度C3瓦斯浓度C4火源C5氧气C6煤尘浓度C7
工作面I100100844810010020
工作面II100100782610010025
掘进面100100937810010026
回风巷I100100834510010022
回风巷II100100762110010028
总回风巷100100863210010029
+ +其中 $\omega_{j}$ 表示第 $j$ 项技术指标的层次总排序的权重； $D_{ij}$ 表示对第 $i$ 个监测点对第 $j$ 项因素的专家打分值。则可算出6个监测点的安全程度得分，据此可作出安全性评价见表5。 + +表 5: 各监测点得分 + +
监测点工作面I工作面II掘进面回风巷I回风巷II总回风巷
得分949396949394
安全程度优优优优优优
+ +以上6个监测点都在90-100(分)范围，安全程度均为优，则根据安全计算原则，总体安全程度取最小值93，即矿井的安全性为优。 + +# 2.2.2 定量分析 + +煤矿的爆炸分为瓦斯爆炸和煤尘爆炸。由于矿井中安装了瓦斯传感器，浓度超标会预警，所以不会发生瓦斯爆炸；而煤尘爆炸只能是在瓦斯浓度小于 $1.5\%$ ，煤尘浓度达到爆炸底线的情况下发生。为了便于计算，把瓦斯浓度分为 $(0 - 0.5\%)$ ， $(0.5\% -1\%)$ 及 $(1\% -1.5\%)$ 三个阶段考虑，对应的下限分别取 $22.5g / m^3$ ， $15g / m^3$ ， $10.5g / m^3$ 。 + +对所给数据进行分析，根据正态分布图和 $P - P$ 图认为数据符合正态分布特征，故假设这些数据成正态分布。 + +根据监测数据推算出正态分布函数中相应的两个参数-期望 $\mu$ 和方差 $\sigma$ ，所得参数值见表6。 + +表 6: 各监测点瓦斯和煤尘的 $\mu$ 和 $\sigma$ + +
工作面I工作面II掘进面回风巷I回风巷II
瓦斯煤尘瓦斯煤尘瓦斯煤尘瓦斯煤尘瓦斯煤尘
μ0.67317.87390.87387.63340.22977.34770.72367.47980.92277.2404
σ0.037440.184270.08420.094530.04310.188740.038670.207790.086540.12143
+ +由此可得到正态分布的概率密度函数，再用定积分就可算出任意区间内矿井的爆炸概率。 + +只要工作面I、工作面II、掘进工作面、回风巷I、回风巷II中的任何一个爆炸就说明煤矿爆炸的事件发生了。利用逆概性质，得出煤矿发生爆炸的概率模型如下 + +$$ +P = 1 - \prod_ {i = 1} ^ {5} (1 - P _ {i}), +$$ + +$$ +\begin{array}{l} P _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {3} P _ {\text {化} i j} P _ {\text {煤} i j} \\ = \int_ {0} ^ {0. 5} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \times \sigma_ {\text {瓦} i 1}} e ^ {- \frac {(x - \mu_ {\text {瓦} i 1})}{2 \times \sigma_ {\text {瓦} i 1} ^ {2}}} d x \cdot \int_ {2 2. 5} ^ {3 0 0 0} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \times \sigma_ {\text {煤} i 1}} e ^ {- \frac {(x - \mu_ {\text {煤} i 1})}{2 \times \sigma_ {\text {煤} i 1} ^ {2}}} d x \\ + \int_ {0. 5} ^ {1} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \times \sigma_ {\text {H i} 2}} e ^ {- \frac {(x - u _ {\text {H i} 2})}{2 \times \sigma_ {\text {H i} 2} ^ {2}}} d x \cdot \int_ {1 5} ^ {3 0 0 0} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \times \sigma_ {\text {煤} i 2}} e ^ {- \frac {(x - u _ {\text {煤} i 2})}{2 \times \sigma_ {\text {煤} i 2} ^ {2}}} d x \\ + \int_ {1} ^ {1. 5} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \times \sigma_ {\mathrm {H i} 3}} e ^ {- \frac {(x - \mu_ {\mathrm {H i} 3})}{2 \times \sigma_ {\mathrm {H i} 3} {} ^ {2}}} \mathrm {d} x \cdot \int_ {1 0. 5} ^ {3 0 0 0} \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \times \sigma_ {\text {煤} i 3}} e ^ {- \frac {(x - \mu_ {\text {煤} i 3})}{2 \times \sigma_ {\text {煤} i 3} {} ^ {2}}} \mathrm {d} x, \\ \end{array} +$$ + +求解得出矿井的爆炸概率为0。这个结果符合实际，因为通过对以前事故的分析，其绝大部分与违规操作、一些不可预测事件有关。而本模型是建立在不考虑这些因素的基础上的，所以0是切合实际情况的。从这一点分析，可看出在安全操作且无不可预测事件发生的情况下是不可能发生煤矿爆炸事故的。 + +# 2.3 最佳总风量模型的建立与求解 + +# 2.3.1 理想状态下的最佳通风模型 + +该问题是一定约束条件下的最优化问题。要求同时考虑风速、瓦斯、煤尘因素以及各井巷的分流情况，确定煤矿所需的最佳总通风量。则可建立以总进风量最少为目标函数的规划模型。进一步分析，必须同时满足四组约束条件，分别是：各巷道对风速的不同要求、瓦斯传感器的报警限制要求、煤尘在瓦斯浓度的影响下的引爆下限的要求与各节点的风量分流情况。通风系统的示意图转换为网络拓扑图见图2。 + +![](images/d1bed76898704d22874d5ed3d5e353aa182d36542f946e5815f6fc9f3bcd03b6.jpg) +图2：标有节点的煤矿通风系统示意图及网络拓扑图 + +目标函数和约束条件为 + +$$ +\min Q _ {z j} = Q _ {L} + Q _ {R}, +$$ + +$$ +\begin{array}{l} Q _ {R} = Q _ {j 2} = Q _ {g 2} = Q _ {h 2}, \\ Q _ {R 2 3} = Q _ {j 1} = Q _ {g 1} = Q _ {h 1}, \\ Q _ {z j} = Q _ {z h} = Q _ {L} + Q _ {R}, \\ Q _ {R} = Q _ {z j} \cdot k _ {b}, \\ Q _ {L} = Q _ {1 2} = Q _ {R 2 3} + Q _ {L 2 3} = Q _ {3 4}, \\ Q _ {L 2 3} = Q _ {2 5} = Q _ {5 3} = Q _ {1 2} \cdot k _ {a}, \\ Q _ {2 5} = Q _ {5 3} = Q _ {j h} + Q _ {y y} = Q _ {j j} + Q _ {y y} \text {且} Q _ {y y} \geq 0. 1 5 Q _ {2 5}, \\ Q _ {z j} \cdot Q _ {z h} \leq 8 \times 6 0 \times 5, \\ Q _ {3 4}, Q _ {5 3} \leq 8 \times 6 0 \times 5, \\ 0. 2 5 \times 6 0 \times \leq Q _ {j 1}, Q _ {h 1}, Q _ {j 2}, Q _ {h 2} \leq 6 \times 6 0 \times 4, \\ 0. 2 5 \times 6 0 \times \leq Q _ {g 1}, Q _ {g 2} \leq 6 \times 6 0 \times 4 \\ 0. 2 5 \times 6 0 \times \leq Q _ {j j}, Q _ {j h} \leq 6 \times 6 0 \times 4 \\ 0. 2 5 \times 6 0 \times \leq Q _ {2 5} \leq 6 \times 6 0 \times 4 \\ C _ {g 1} = 2 8. 6 6 0 8 - 0. 1 4 3 5 7 5 Q _ {g 1} + 0. 0 0 0 2 4 6 8 7 9 Q _ {g 1} ^ {2} - 1. 4 2 3 9 \times 1 0 ^ {- 7} Q _ {g 1} ^ {3} < 1. 0 \%, \\ C _ {g 2} = 1 4 2 7 0. 7 - 8 4. 8 8 4 8 Q _ {g 2} + 0. 1 6 8 3 0 7 Q _ {g 2} ^ {2} - 0. 0 0 0 1 1 1 2 3 4 Q _ {g 2} ^ {3} < 1. 0 \%, \\ C _ {h 1} = 1 0. 5 6 8 4 - 0. 5 5 9 8 4 9 Q _ {h 1} + 0. 0 0 0 1 0 7 6 7 4 Q _ {h 1} ^ {2} - 7. 0 1 2 9 5 \times 1 0 ^ {- 8} Q _ {h 1} ^ {3} < 1. 5 \%, \\ C _ {h ^ {2}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {h ^ {2}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} = (6) C _ {\mathrm {f l}} +$$ + +(1)表示通风系统的风量平衡限制约束；(2)表示根据《煤矿安全规程》，各巷道及工作面的风速限制约束；(3)表示根据《煤矿安全规程》，各巷道及工作面对瓦斯报警浓度的限制约束；(4)表示煤尘在各自巷道及工作面瓦斯浓度影响下的引爆下限的限制约束。 + +利用Lingo8.0编程求解，理想状态下最佳通风量的结果见表7。 + +表 7: 理想状态下的最佳通风量 + +
需风量总通风量工作面I工作面II额定风量
数值(m3/min)1293.597459.6501493.409289.4573
+ +# 2.3.2 实际情形下的通风模型 + +在实际中，存在一个矿通系数 $k_{\text{矿通}}$ ，它包含了实际情况中存在的各种不稳定因素对整个通风系统的影响。而它导致的直接结果是一定时间内，矿井总进风量大于总回风量，那么宏观上，可利用总进风量与总回风量的比值作为矿通系数 $k_{\text{矿通}}$ 的表达式，则有 + +$$ +k _ {\text {矿 通}} = \frac {Q _ {z j}}{Q _ {z h}}; \quad \text {又} \quad k _ {\text {矿 通}} \approx \frac {Q _ {g 1} + Q _ {g 2} + \frac {Q _ {Q _ {j h}}}{0 . 8 5}}{Q _ {z h}} \quad \text {或} \quad k _ {\text {矿 通}} \approx \frac {Q _ {h 1} + Q _ {h 2} + \frac {Q _ {Q _ {j h}}}{0 . 8 5}}{Q _ {z h}}. +$$ + +利用Mathematica5.0软件求解得到 + +$$ +k _ {\text {矿 进} 1} = 1. 0 9 1 1 1, \quad k _ {\text {矿 进} 2} = 1. 0 5 6 7 2, +$$ + +则可得 $k_{\text{矿通}} = k_{5^{\prime}\text{通}1}^{2} / k_{\text{矿通}2}$ ，最终算得 $k_{\text{矿通}} = 1.12663$ ，则实际情形下的通风量分别见表8。 + +表 8: 实际情形下的通风量 + +
需风量总通风量工作面I工作面II额定风量
数值(m³/min)1457.4501.531538.366315.831
+ +通过检验，发现上述结果不仅能排除矿井中的瓦斯，还不会引起二次扬尘。 + +# 3 模型评价 + +对于问题(2)，运用了模糊数学评判的方法，在很大程度上反映了方案的属性，但还是带有一些主观因素。对于问题(3)，将煤矿通风系统示意图转化为网络拓扑图，简化了问题，且同时考虑理想状态和实际状态下的情形，模型具有很强的现实意义。 + +# 参考文献： + +[1]马世志.矿井通风、瓦检、瓦斯防治技术与措施[M].徐州：中国矿业大学出版社，2003 +[2] 于不凡. 王佑安. 煤矿瓦斯灾害防治及利用技术手册[M]. 北京：煤炭工业出版社，2000 +[3] 全国煤炭技工教材编审委员会编，矿井通风与安全[M].北京：煤炭工业出版社，2003 +[4] 谢金星. 优化建模与LINDO/LINGO软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005 + +# Influence of Gas and Coal Dust on the Coal mine Safety + +XU Hua, LIU Xiao-li, PAN Jia-cheng + +Advisor: JIANG Ying-zi + +(Xuzhou Institute of Technology, Xuzhou 221008) + +Abstract: Firstly, this paper calculates the relative and abstract amount of gas, from which a high-density gas well can be judged. Then by fuzzy integrated evaluating method, a qualitative analysis of safety for the well is appraised as excellent. Then probability of well explosion is zero under the guidance of safe operation, which works out by data analysis, normal distribution and inverse probability. At last, a planning model is established based on minimum ventilation, and the ventilation coefficient makes the result more realistic. + +Keywords: degree appraise; safety evaluation; fuzzy integrated judge; planning + +文章编号：1005-3085(2006)07-0127-06 + +# 煤矿爆炸数学模型分析 + +桂胥，吴黎雳。霍雨佳 + +指导教师： 雷玉洁 + +（第三军医大学，重庆100038） + +编者按：本文按照不同的标准对煤矿安全进行评估，其中不乏独特的见解。希望看到关于有效性的比较，毕竟井下轰然炸，结果是唯一的，非线性规划模型中肯，而有关漏区的分析和处理显得推敲入微。 + +摘要：根据题目中所给的瓦斯与煤尘浓度以及《煤矿安全规程》得出判断煤矿类型的判别方法，利用Matlab7.1对总回风巷和两个采煤工作面的绝对及相对瓦斯涌出量进行求解，判断该煤矿为高瓦斯煤矿；从几个角度分析该煤矿在目前状况下发生爆炸的可能性，分别建立矿井的爆炸可能性模型，利用Matlab7.1求解，综合考虑分析，确定该煤矿发生爆炸的可能性为 $\mu = 1.88\%$ ， $(\sigma = 1.24\%)$ ；最后通过调节各工作面的风量，考虑在漏风、不漏风以及各工作面的瓦斯与煤尘的影响，建立非线性规划模型，综合运用Matlab7.1、SPSS12.0和Lingo8.0进行求解，得出总通风量的最优调节方案。 + +关键词：煤矿爆炸；不安全度；非线性规划 + +分类号：AMS(2000)90C:30 + +中图分类号：O221.2 + +文献标识码：A + +# 1 模型的假设 + +1）各个巷道的横截面积相等： +2）风速在管道中均匀变化： +3) 在不同瓦斯浓度下的煤尘爆炸下限浓度是均匀分布的。 + +# 2 主要变量及符号假设 + +
\( v_{ij} \)风速(m/s)S横截面积
\( Q_{ij} \)进风量\( G_{ij} \)绝对涌出量
\( g_{ij} \)相对涌出量\( \mu_{ij} \)发生事故的可能性
\( H_{ij} \)不安全程度\( L_{ij} \)煤尘的爆炸下限
\( g(v_{ij}) \)风速对应瓦斯浓度的函数\( f(v_{ij}) \)风速对应煤尘浓度的函数
l煤尘浓度
+ +# 3 问题分析 + +问题一，应根据题中已知，计算出总回风巷、两个采煤工作面的相对瓦斯涌出量与绝对涌出量，判断该煤矿是低瓦斯矿井还是高瓦斯矿井。 + +问题二，考虑不安全因素主要与瓦斯浓度与煤尘浓度有关，将其分为由瓦斯浓度引起的不安全度与由煤尘浓度引起的不安全度。前者根据《煤矿安全规程》第一百六十八条法规的规 + +定，划分为警报浓度以下、警报浓度与断电浓度之间和断电浓度以上3个部分进行评定；后者根据该瓦斯浓度下的煤尘爆炸最低极限，通过构建的不安全度模型进行评定。最后对二者进行综合评定。 + +问题三，将总的通风量分配给两个采煤工作面和一个掘进工作面，通过两个风量调节风门和一个局部通风机对各个工作面的供给风量进行分配，保证各个工作面的瓦斯浓度与煤尘浓度不会引发安全事故，求出最佳的总通风量。再考虑有漏风的情况下，风量在通道中的改变，求出此时的最佳总通风量。 + +# 4 模型的建立与求解 + +# 1、问题一 + +# 1）计算总回风巷的相对和绝对瓦斯涌出量 + +根据单位时间的通风量等于管道的横截面积与通风速度的乘积，可以得到可得到第 $i$ 个监测点在第 $j$ 天第 $k$ 个时段的通风量为 + +$$ +Q _ {i j k} = S \cdot v _ {i j k} \cdot 6 0, +$$ + +根据绝对涌出量等于风量乘以瓦斯浓度[2]，可以得到第 $i$ 个监测点在第 $j$ 天第 $k$ 个时段的绝对瓦斯涌出量为 + +$$ +G _ {i j} = \sum_ {k = 1} ^ {3} Q _ {i j k} \cdot c _ {i j k}. +$$ + +再根据相对涌出量等于绝对涌出量除以产量再乘以时间[2]，就可以得到第 $i$ 个监测点在第 $j$ 天的相对瓦斯涌出量为 + +$$ +g _ {i j} = \frac {G _ {i j}}{A _ {j}} \cdot 6 0 \cdot 2 4, +$$ + +利用以上建立的模型，可以应用Matlab7.1软件[3]得到30天在各处的绝对瓦斯涌出量和在总回风巷处的相对瓦斯涌出量见表1。 + +表1：各工作面瓦斯涌出量 + +
工作面I工作面II掘进工作面回风巷I回风巷II总回风巷
绝对相对
3.7971634.4025771.234613.657974.6951877.80479718.56146
+ +可见，矿井的绝对瓦斯涌出量 $G_{ij} < 40$ ，而在总回风巷处的相对瓦斯涌出量 $g_{ij} > 10$ 。 + +# 2) 计算两个采煤工作区的判断工作面的相对和绝对瓦斯涌出量 + +由上述模型，根据瓦斯浓度和煤尘的产生量在各工作面的比例将煤的日产量分配到两个采煤工作面，进而可用Matlab7.1软件分别得到两个采煤工作面的相对和绝对瓦斯涌出量见表2。 + +表2：采煤工作面的瓦斯涌出量 + +
采煤工作面I采煤工作面II
绝对瓦斯相对瓦斯涌出相对瓦斯涌出绝对瓦斯相对瓦斯涌出相对瓦斯涌出
涌出量量(瓦斯)量(煤尘)涌出量量(瓦斯)量(煤尘)
3.79716320.7599517.787244.40257718.5357421.27402
+ +可以看出两个采煤工作面的绝对瓦斯涌出量均小于 $40\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ ，而相对瓦斯涌出量均大于 $10\mathrm{m}^3/\mathrm{t}$ 。结合总回风巷的计算结果，根据高、低瓦斯矿井的判断标准，获得结论：该瓦斯矿井为高瓦斯矿井。 + +# 2、问题二 + +# 1）由引起警报点的个数直接计算可能性 + +对应6个监测点，每个监测点在30天中每天都有3个班次，得到540个数据点。将发生警报即看作会发生爆炸，则在其中可以引起警报的数据点为各个监测点中瓦斯浓度大于或等于 $1.0\%$ 的，在540个数据点中符合该条件的共有25个，得到在全局中的不安全程度为 + +$$ +\mu = \frac {n}{N} = \frac {2 5}{5 \cdot 1 0} = 0. 0 4 6 3 0, +$$ + +即，发生爆炸事故的可能性为 $4.63\%$ + +# 2）矿井的爆炸可能性模型 + +# (I) 初等的倒数模型 + +由于随着 $L_{ij} - l_{ij}$ 的值减小， $\mu$ 的值增大，说明二者成反比例。当比例系数为1时，就有 + +$$ +\mu_ {i j} = \frac {1}{L _ {i j} - l _ {i j}}, \quad L _ {i j} > l _ {i j}, +$$ + +根据附表1中的数据进行拟合，得到关于煤尘爆炸浓度下限的上、下界的方程分别为 + +$$ +\begin{array}{l} L _ {i j} = 3. 6 4 5 0 c _ {i j} ^ {2} - 2 5. 9 8 0 1 c _ {i j} + 4 9. 1 9 3 9, \\ L _ {i j} = 2. 2 8 5 7 c _ {i j} ^ {2} - 1 5. 9 4 2 9 r _ {i j} + 2 9. 6 0 0 0, \\ \end{array} +$$ + +结合附表2中给定的数据，应用倒数模型进行计算可以得到各个数据点对应的爆炸的可能性。 + +再对其期望与标准差进行求解，应用Matlab7.1软件就能够得到爆炸的可能性为 + +$$ +\mu = 6.19 \% \quad (\sigma = 2.63 \%) +$$ + +该模型在离爆炸下限的数值较大范围内，结果的效果较好：在1接近 $L$ 时(在 $L - 1 \sim L$ 的范围之内)，会造成爆炸的可能性大于 $100\%$ ，与真实情况不符。所以要进行修正。 + +# (II) 修正后的倒数模型 + +假设修正后的的模型为 + +$$ +\mu_ {i j} = \frac {1}{L _ {i j} - \left(l _ {i j} + a\right)} + b \quad L _ {i j} > l _ {i j}, +$$ + +当煤尘的浓度为0时，爆炸的可能性为0；当煤尘的浓度为 $L_{ij}$ 时，爆炸的可能性为1，即 $100\%$ 。代入模型，可得到： $0 = \frac{1}{L - a} + b$ 和 $1 = -\frac{1}{a} + b$ + +联立二者，并结合实际，求解可以 $a$ 、 $b$ 的值分别为： $\frac{L_{ij} - \sqrt{L_{ij}^2 + 4L_{ij}}}{2}$ 和 $\frac{2}{-L_{ij} - \sqrt{L_{ij}^2 + 4L_{ij}}}$ + +由此可以得到改进后的模型为 + +$$ +\mu_ {i j} = \frac {2}{L _ {i j} + \sqrt {L _ {i j} ^ {2} + 4 L _ {i j}} - 2 l _ {i j}} - \frac {2}{L _ {i j} + \sqrt {L _ {i j} ^ {2} + 4 L _ {i j}}}. +$$ + +结合附表2中给定的数据，应用倒数模型进行计算可以得到各个数据点对应的爆炸的可能性。再对其求得期望与标准差进行求解，就能够得到爆炸的可能性为 + +$$ +\mu = 1.88\% \quad \sigma = 1.24\%. +$$ + +# (III) 瓦斯与煤尘影响不安全度的模型 + +将不安全程度分为由瓦斯浓度引起的不安全程度和由煤尘浓度引起的不安全程度两个部分，取其中最大值的作为矿井的不安全度，即 + +$$ +H = \max \left(H _ {1}, H _ {2}\right). +$$ + +# a) 由煤尘浓度引起的不安全程度 + +煤尘浓度的影响是由于浓度与爆炸下限的临近，引起了矿井的不安全事故。选取爆炸下限的组中值进行拟合，得到煤尘的爆炸下限与瓦斯浓度的关系式 + +$$ +L _ {i j} = 2. 9 6 5 4 c _ {i j} ^ {2} - 2 0. 9 6 1 5 c _ {i j} + 3 9. 3 9 7 0, +$$ + +将各个监测点各个班次所测量的煤尘浓度转化成为百分制的数，为 + +$$ +H _ {1} = \frac {l _ {i j}}{L _ {i j}} \cdot 1 0 0. +$$ + +# b) 由瓦斯浓度引起的不安全程度 + +瓦斯所引起的不安全事故为报警和断电。 + +因为断电会影响煤矿的正常生产，所以断电的危险程度比煤尘浓度的影响大，警报的危险程度根据瓦斯断电浓度与警报浓度的关系进行确定。由煤尘浓度引起的不安全程度的最大值为31.9，由于断电危险大，所以其不安全程度为32，报警的不安全程度为21。即 + +$$ +H _ {2} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text {瓦 斯 浓 度 低 于 报 警 浓 度} \\ 2 1 & \text {瓦 斯 浓 度 高 于 报 警 浓 度 低 于 断 电 浓 度} \\ 3 2 & \text {瓦 斯 浓 度 高 于 断 电 浓 度} \end{array} \right. +$$ + +# c) 矿井的不安全度 + +将所得的540个数据点的不安全度做散点图见图1。 + +![](images/ec64f081aad577929fcdc4af4db8978dfac9e26802213e0bf8f8cc63b1928c93.jpg) +图1：各数据点不安全度0~21间为安全，21~32间为较危险，32~80间为危险，80~100间为高度危险 + +由以上标准可以判断出整个煤矿中的所有点都是处在 $21\sim 32$ 这一区间内的。可以认为该煤矿是较危险的。 + +# 3、问题三 + +# 1）不考虑漏风的情况 + +总的风量 $Q$ 是在进风口处的风速 $\mathbf{v}$ 与主巷道断面面积 $S_{1}$ 的乘积。在进入矿井后，按照作用效果可以分成3个部分：采煤工作面I获得的风量，采煤工作面II获得的风量与掘进工作面获得的风量。可以得到在进风口的风速与各处风速和断面面积的关系为 + +$$ +v = \frac {S _ {2} \cdot v _ {1} + S _ {2} \cdot v _ {2} + S _ {1} \cdot v _ {3}}{S _ {1}}, +$$ + +并且根据《煤矿安全规程》第一百零一条法规可以得到各处的风速范围为 + +$$ +\begin{array}{l} 0 < v \leq 8. \\ 0. 2 5 \leq v _ {i} \leq 4, \quad i = 1, 2, 3. \\ \end{array} +$$ + +局部通风机所在的巷道中至少需要有 $15\%$ 的余裕风量 + +$$ +S _ {1} \cdot v _ {3} \geq 15 \% \cdot v \cdot S _ {1}, +$$ + +根据局部通风机不同的额定风量，可以得到从局部通风机的风筒中所排出的风速为 + +$$ +v _ {4} = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {S _ {1} \cdot v _ {3}}{S _ {4}} & 1 5 0 \leq S _ {1} \cdot v _ {3} \cdot 6 0 \leq 4 0 0 \\ \frac {4 0 0}{6 0 \cdot S _ {4}} & S _ {1} \cdot v _ {3} \cdot 6 0 \geq 4 0 0. \end{array} \right. +$$ + +安全程度应满足各处均不会发生报警，即，瓦斯浓度应与煤尘浓度应满足 + +$$ +\begin{array}{l} 0 < c _ {i j} = g \left(v _ {i j}\right) < 1. 0. \\ 0 < l _ {i j} = f \left(v _ {i j}\right) < L _ {i j} \\ \end{array} +$$ + +先对在同一风速时的瓦斯浓度进行平均化，求得平均值。再将每个风速和其对应的瓦斯浓度平均值应用SPSS12.0软件进行相关性分析。得出 $p < 0.001$ 。于是，可以认为风速与瓦斯浓度的相关性较好，呈相关系数为-0.415的负相关关系。同理，对风速与煤尘的数据做处理，二者的相关系数为0.589的正相关关系。 + +并且，事故发生的可能性应当不高于问题二中所得的发生事故可能性的期望，于是，又有安全性的约束条件为 + +$$ +\mu^ {\prime} < \mu . +$$ + +综合各个工作面，进、回风巷以及安全程度，得到最终的规划模型 + +$$ +\begin{array}{l} \min v = \frac {S _ {2} \cdot v _ {1} + S _ {2} \cdot v _ {2} + S _ {1} \cdot v _ {3}}{S _ {1}} \\ \text{s.t}\left\{ \begin{array}{l}S_{1}\cdot v_{3}\geq 15\% \cdot v\cdot S_{1},\\ 0 < v\leq 8,\\ 0.25\leq v_{i}\leq 4,\qquad i = 1,2,3,\\ 0 < g(v) < 1.0,\\ 0 < f(v) < L,\\ \mu^{\prime} < \mu . \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +应用Lingo8.0软件求解，得到结果见表3。 + +表3：不涡风情况的风量 + +
风速(m/s)风量(m3/min)
进风口3.841152.00
工作面I1.48355.20
工作面II1.48355.20
局部通风机1.48400.00
+ +# 2）考虑漏风的情况 + +根据附表2中所给出的数据，可以得到风量的主巷道到达工作面I的系数、主巷道到达工作面II的系数、进风口到达主巷道的系数和回风巷到达总回风巷的系数 $p_1$ 、 $p_2$ 、 $p_3$ 、 $p_4$ 依次为0.8964、1.0101、0.9241、1.082，各约束条件不变，只改变目标函数为 + +$$ +\min v ^ {\prime} = \frac {\frac {S _ {2} \cdot v _ {1} ^ {\prime}}{p _ {1}} + \frac {S _ {2} \cdot v _ {2} ^ {\prime}}{p _ {2}} + S _ {1} \cdot v _ {3} ^ {\prime}}{S _ {1} \cdot p _ {3}} +$$ + +应用Lingo8.0软件求解[5]，得到结果见表4。 + +表1：漏风情况的风量 + +
风速(m/s)风量(m3/min)
进风口3.991197.00
工作面I1.48355.20
工作面II1.48355.20
局部通风机1.48400.00
+ +# 参考文献： + +[1] 国家安全生产监督管理局. 煤矿安全规程[M]. 北京：煤矿工业出版社，2004 +[2] 矿井瓦斯涌出[EB/OL]. http://www.bsgs.cn/b6s17.1.htm.2006.9 +[3] MATLAB7基础与提高[M]. 北京：电子工业出版社，2005.1 +[4] 易东. 军事医学统计学[M]. 西安：第四军医学出版社，2006.8 +[5] 谢金星，游毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005,7 + +# The Analysis of Coal-mine Explosion's Mathematical Modeling + +GUI Xiao, WU Li-li, HUO Yu-jia + +Advisor: LEI Yu-jie + +(Third Military Medical University, Chongqing 400038) + +Abstract: Depending on the concentration of the gas and the grime, which were presented in the theme, and the Regulation of Coal Mine's Security, we can elicit the method how to judge the type of coal mine. We use Matlab 7.1 to calculate the relative and absolute effused quantity of the gas in the total windy lane and the two working planes, so that we can judge the coal mine presented in the theme is a high-concentration-gas mine. In order to analyze the probability of the mine exploding at present status from several aspects, we established a model called the Model of the Probability of the Mine Exploding, using Matlab 7.1 calculate, and acquired the probability is $\mu = 1.88\%$ $(\sigma = 1.24\%)$ . At last we established another model, which is a nonlinear-program model, concluding the affection of the all working planes' gas and grime in the seeped-wind and no-seeped-wind status, and comprehensively used Matlab 7.1, SPSS 12.0 and Lingo 8.0 to calculate, acquiring the best method of controlling the total quantity of the wind. + +Keywords: coal-mine explosion; nonlinear-program model; unsecurity + +文章编号：1005-3085(2006)07-0133-08 + +# 煤矿瓦斯和煤尘监测与控制问题的数学模型 + +韩中庚 + +(解放军信息工程大学信息工程学院，郑州450002) + +摘要：本文针对2006年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛的D题“煤矿瓦斯和煤尘监测与控制”问题，首先概括地介绍了这个问题的立意与背景，然后给出了这个问题一种可行的解决方案及结果，最后根据评卷情况对问题的解决方法和答卷中存在的问题做了综合评述. + +关键词：煤矿；瓦斯；煤尘；最佳通风量；优化模型 + +分类号：AMS(2000)90C30 + +中图分类号：O221.2 + +文献标识码：A + +# 1 问题的立意与背景 + +煤矿安全生产是目前社会重点关注的热点问题之一，尤其是在能源紧张，对煤炭的需求量不断增加的情况下，煤矿的安全生产问题更是值得我们关注，这也是建设平安和谐社会的重要组成部分。据不完全统计，2005年，全国煤矿共发生死亡事故3341起，共死亡5986人，其中瓦斯爆炸事故405起，死亡2157人，占总死亡人数的 $36.0\%$ ；在58起一次死亡10人以上的特大事故中，瓦斯事故40起，占 $69\%$ 。一次死亡百人以上的事故5起。这些事故所造成的经济损失是重大的，给社会和伤亡人员的家庭所造成影响与损失是无法估量的。我们注意到，大部分事故的罪魁祸首都是瓦斯或煤尘爆炸，瓦斯在煤矿的开采中是不可避免的。因此，矿井下的瓦斯和煤尘对煤矿的安全生产构成了重大威胁，做好煤矿井下瓦斯和煤尘的监测与控制是保证煤矿安全生产的关键所在。 + +瓦斯爆炸必须具备的三个条件是：一定浓度的甲烷；一定温度的引火源；足够的氧气浓度。在实际矿井中，为了要保证煤矿工人的正常工作，必须向井下输送新鲜的空气，为此，井下空气中的含氧量（一般在 $30\%$ 左右）是充足的。另一方面，由于矿井下采煤的机械化作业的环境，产生火花是不可避免的，因此引起瓦斯爆炸的引火温度和氧气浓度条件是客观满足的，于是预防煤矿瓦斯爆炸的方法只有是监测和控制井下瓦斯的浓度。降低井下瓦斯浓度的基本方法就是通过通风系统将瓦斯排出井外，从降低瓦斯浓度的角度，风速越大越好。但是井下风速过大，将会增加巷道空气中的煤尘浓度，一方面影响工人的正常工作和健康，另一方面主要是煤尘浓度过高遇火也会引起爆炸。煤尘爆炸必须同时具备三个条件：煤尘本身具有爆炸性；煤尘必须悬浮于空气中，并达到一定的浓度；存在能引燃煤尘爆炸的高温热源、但是当矿井的空气中混入一定浓度的瓦斯和煤尘时，就使得瓦斯和煤尘爆炸的限值大大地降低，不安全的因素增加。井下巷道的通风系统成为问题的关键，井下风速过大或过小都是不安全的，保持在一定的范围内是最好的。为了确保煤矿的安全生产，国家制定了《煤矿安全规程》（以下简称《规程》），《规程》详细地规定了煤矿预防瓦斯爆炸的措施和操作规程，以及相应的标准。《规程》要求煤矿都必须要有合理的通风系统，并安装瓦斯自动监控系统，瓦斯监控系统要求所有的采煤工作面和回风巷及部分进风巷都要设置安装瓦斯传感器，每个传感器都与地面控制中心相连，当井下瓦斯浓度超标时，控制中心将自动切断电源，停止采煤工作，人员撤离采煤现场。所以煤矿瓦斯与煤尘的监测与控制在煤矿的安全生产中起着关键性的作用。 + +正是在这样的背景下，我们提出了“煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制”问题。起初我们自然地想到一系列的问题，诸如在采煤过程中瓦斯和煤尘是如何产生的、变化的规律是什么、如何对其进行动态的监测、又如何根据矿井下的瓦斯和煤尘的浓度来合理地设置通风系统、安全生产的标准是什么？既然国家制定了“煤矿安全规程”，煤矿都有相应的通风系统和监测手段，为什么还会屡屡发生爆炸事件？我们带着这些问题，先后两次到河南平顶山相关煤矿进行调查研究，咨询了有关的煤矿安全生产的监测管理专家和技术人员，实地参观了煤矿的通风监测控制系统，并调阅了有关的瓦斯和煤尘浓度、风速和风量、超标报警、煤的产量等大量的监测数据资料。同时，查阅了煤矿实际的通风设计图纸，详细地了解了通风系统的设计原理和结构。根据这些一手材料简化成为一个可以用数学建模方法研究的问题，最后在煤矿通风系统专业有关专家的指导下，经反复修改而形成题目。在问题的形成过程中，力求做到切合实际，并利用通俗的专业语言来表述问题。 + +# 2 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 + +根据问题的要求，假设巷道断面积的大小是基本均匀的，内部的形状和巷道壁是近似相同的。依据所给的监测数据信息来研究需要解决的三个问题。 + +# 2.1 判别该煤矿是低瓦斯矿还是高瓦斯矿 + +按照《规程》要求，当井下瓦斯的相对涌出量不超过 $10\mathrm{m}^3/\mathrm{t}$ ，且绝对涌出量不超过 $40\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ 时为低瓦斯矿。当相对涌出时大于 $10\mathrm{m}^3/\mathrm{t}$ ，或绝对涌出量大于 $40\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ 时为高瓦斯矿。更严重的称为瓦斯突出矿。所谓的瓦斯绝对涌出量是单位时间涌出的瓦斯的体积，在此用 $G$ 表示，单位为 $\mathrm{m}^3/\mathrm{d}$ ，或 $\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ 。瓦斯相对涌出量是平均日产1吨煤所涌出的瓦斯量，在此用 $g$ 表示，单位为 $\mathrm{m}^3/\mathrm{t}$ 。 + +已知巷道风速为 $v(\mathrm{m} / \mathrm{s})$ ，而巷道的平均断面积为 $\mathfrak{sm}^2$ ，则风量为 + +$$ +Q = 6 0 \cdot s \cdot v \left(\mathrm {m} ^ {3} / \min .\right) +$$ + +如果风流中的平均瓦斯浓度为 $C_y\%$ ，则瓦斯绝对涌出量为 + +$$ +G = \frac {1}{1 0 0} Q \cdot C _ {g} \left(\mathrm {m} ^ {3} / \min .\right) +$$ + +又考虑到该煤矿的日产量为 $A_{d}(\mathrm{t / d})$ ，则该煤矿瓦斯的相对涌出量为 $g = G / A_{d}(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{t})$ 。由问题所给的监测数据，对于每一个工作面和掘进面，取每天的早班、中班和晚班的三组数据中瓦斯浓度为 $C_{gk}^{(i)}$ ，相应的风速为 $v_{k}^{(i)}$ ，断面面积为 $4\mathrm{m}^2$ ，则风量为 $Q_{k}^{(i)} = 4v_{k}^{(i)}\cdot 60$ ，于是各工作面的瓦斯绝对涌出量为 + +$$ +G _ {k} ^ {(i)} = \frac {1}{1 0 0} Q _ {k} ^ {(i)} \cdot C _ {g k} ^ {(i)} \left(\mathrm {m} ^ {3} / \min , \quad i = 1, 2, \dots . 9 0; \quad k = 1, 2, 3. \right. +$$ + +由于总回风巷的断面面积为 $5\mathrm{m}^2$ ，则总通风量为 + +$$ +Q _ {k} ^ {(i)} = 4 \cdot v _ {k} ^ {(i)} \cdot 6 0, \quad k = 4, 5, \quad Q _ {6} ^ {(i)} = 5 \cdot v _ {6} ^ {(i)} \cdot 6 0. \quad i = 1, 2, \dots , 9 0. +$$ + +经计算可知总回风量大约为 $1558.9\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ 。 + +类似地，由总回风巷的瓦斯浓度和风速可以计算出该煤矿总的瓦斯绝对涌出量 + +$$ +G _ {6} ^ {(i)} = \frac {1}{1 0 0} Q _ {6} ^ {(i)} \cdot C _ {\mathbf {g k}} ^ {(i)} \left(\mathrm {m} ^ {3} / \min , \quad i = 1, 2, \dots , 9 0 \right. +$$ + +和相对涌出量 + +$$ +g _ {6} ^ {(i)} = \frac {C _ {6} ^ {(i)}}{A _ {d} ^ {(i)}} \left(\mathrm {m} ^ {3} / t\right), \quad i = 1, 2, \dots , 3 0. +$$ + +由题目所给的实际数据，计算可以得到各工作面的瓦斯绝对涌出量和总回风巷的绝对瓦斯涌出量与相对涌出量的具体结果，则瓦斯的绝对涌出量平均值为 $9.7482\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ 和相对涌出量的月平均值为 $23.1705\mathrm{m}^3/\mathrm{t}$ ，由此可以判断该煤矿为高瓦斯矿。 + +# 2.2 统计分析煤矿的不安全的程度 + +考虑到该煤矿的实际情况，包含有两个开采工作面、一个掘进工作面、两条回风巷和一条总回风巷，即5个主要的监测点，每一个地方的出现不安全的情况都会对整个煤矿构成威胁，为此需要对每一个监测点的数据都应该考虑。根据题目所给出的540组监测数据，既要考虑瓦斯和煤尘浓度单项指标超标的情况，同时还要考虑瓦斯和煤尘的相互作用使得出现不安全的情况。即随着瓦斯浓度的增高，煤尘爆炸浓度下限急剧下降，使得煤矿不安全的因素增加。 + +根据上述的分析，我们来研究该煤矿出现不安全情况下的统计概率。作如下的统计计算： + +1）各工作面瓦斯浓度超标：使 $C_{g k}^{(i)} > 1.0 (k = 1,2,3; i = 1,2,\dots ,90)$ 的次数为 $n_1 = 5$ +2) 巷道瓦斯浓度超标：使 $C_{g k}^{(i)} > 1.0 (k = 4,5; i = 1,2,\dots ,90)$ 的次数为 $n_2 = 20$ +3) 煤尘与瓦斯混合超标：即使得 + +$$ +\{0 < C _ {g k} ^ {(i)} < 0. 5; 2 2. 5 \leq C _ {m k} ^ {(i)} \leq 5 0, \quad k = 1, 2, \dots 6; i = 1, 2, \dots , 9 0 \} +$$ + +和 + +$$ +\{0. 5 \leq C _ {g k} ^ {(i)} < 1. 0; 1 5 \leq C _ {m k} ^ {(i)} \leq 3 7. 5, \quad k = 1, 2, \dots 6; i = 1, 2, \dots , 9 0 \} +$$ + +的总次数为 $n_{3} = 0$ + +综合上述，经过对实际数据作统计计算则可以得到该煤矿的不安全的概率为 + +$$ +p _ {a} = \frac {n _ {1} + n _ {2} + n _ {3}}{3 \times 5 4 0} \approx 0. 0 1 5 4. +$$ + +由此可以看出该煤矿不安全程度还是比较大，即发生安全事故的可能性是很大的，应该进一步改进煤矿的通风系统。 + +# 2.3 确定最佳的通风量和风量的调节控制 + +# 2.3.1 对问题的分析 + +根据煤矿开采工作中的实际情况以及《规程》的实际要求，要确定采煤工作面和巷道所需要的通风量，其原则有以几点： + +1）采煤工作面的瓦斯浓度不超过 $1\%$ ，其他有害气体都不超过《规程》规定； +2) 采煤工人平均每人所需风量不小于 $4\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ ，即保证充分的吸氧量： +3) 采煤工作面温度不超过 $26^{\circ}C$ ，要保持良好的通风条件； +4）保证爆破作业所需要的风量： +5）能够有效的排出瓦斯和煤尘，但又不能造成煤尘飞扬。 + +实际中，对于前4项要求是希望风速越大越好，而一般说来在正常情况下，第 $2\sim 4$ 项都能保证满足。对于第5项则需要控制风速在一定的范围内为最佳。对于井下的瓦斯而言，降低浓度的基本办法就是通风，而且瓦斯的浓度随着风速的增大而单调减小。 + +对于矿井下的煤尘是不可避免的，风速太小不能将煤尘带走，风速太大虽可能带走一些浮尘，但又可扬起一些积尘，即当风速大于 $1.5\mathrm{m / s}$ 时，风速越大煤尘浓度就越高。所以对于矿井下的煤尘而言风速不宜过小，也不宜过大，适宜最佳。单纯考虑矿井下的瓦斯和煤尘与风速 + +的关系，就有一个寻求最佳风量的问题，即保证瓦斯和煤尘都控制在《规程》规定的安全范围内，寻求一个最佳的通风量。 + +同时注意到，当矿井的空气混合了一定瓦斯和煤尘，以及其他的一些易燃有害气体后，瓦斯和煤尘的爆炸下限将会大大的降低，而混合的浓度越高，爆炸的下限值就越低。另外加上一些其他的不确定因素的影响，使得二者的关系发生一些随机性的变化。 + +# 2.3.2 确定瓦斯浓度与风速的关系 + +由上面的分析，对于各工作面和回风巷的瓦斯浓度除了与风速有关以外，还与瓦斯的涌出量有关，而且涌出量是一个不可控的因素，而且瓦斯的涌出量是不确定的。实际上，瓦斯的浓度与风速成反比，也与巷道断面面积成反比。于是有各监测点的瓦斯浓度与风速的近似关系为 + +$$ +u _ {k} + \varepsilon_ {k} = C _ {g k} s _ {k} v _ {k}, \quad k = 1, 2, \dots , 6, \tag {1} +$$ + +其中 $r_k$ 为第 $k$ 个监测点的平均风速， $a_k$ 事实上是瓦斯绝对涌出量的均值， $\varepsilon_k$ 是随机误差，不妨设 $\varepsilon_k$ 服从于正态分布 $N(0, \sigma_k)$ ， $s_k = 4.5 (k = 1, 2, \dots, 6)$ 为断面面积。 + +根据题目中的监测数据作最小二乘拟合可得拟合系数 $a_{k}$ 和方差 $\sigma_{k}$ 如下表1所示。 + +表1：瓦斯浓度与风速的关系拟合系数 + +
拟合系数值k=1k=2k=3k=4k=5k=6
ak6.327.342.066.097.8216.26
σk0.290.700.380.290.720.87
+ +由此即可得到各工作面与回风巷的瓦斯浓度随风速变化的近似关系。 + +# 2.3.3 确定煤尘浓度与风速的关系 + +矿井中煤尘浓度的高低只与风速的大小有直接的关系。一般说来，煤尘与风速应该呈非线性的关系，但注意到实际中监测出的风速变化范围很小，相对比较稳定，而且都在 $1.9\mathrm{m / s}$ 以上。为此，我们可以在这个较小的范围内视为近似的线性关系，于是不妨假设各监测点的煤尘浓度与风速的关系近似为 + +$$ +C _ {m k} (v _ {k}) = b _ {k} \cdot v _ {k} + c _ {k}, \quad k = 1, 2, \dots , 6. \tag {2} +$$ + +其中 $v_{k}$ 为第 $k(k = 1,2,\dots ,6)$ 个监测点的平均风速，根据问题所给的监测数据作最小二乘拟合可得拟合系数如下表2所示。 + +表2：煤尘浓度与风速的关系拟合系数 + +
拟合系数值k=1k=2k=3k=4k=5k=6
bk1.98071.24851.94321.25460.81650.2297
ck3.21665.01252.99334.83595.50915.8648
+ +由此即可得到各工作面与回风巷的煤尘浓度随风速变化的近似关系。 + +# 2.3.4 确定煤矿的最佳通风量 + +这里所说的最佳通风量是指在保证各工作面和回风巷瓦斯浓度与煤尘浓度都不超标的情况下，寻求煤矿的最小的通风量，即保证全煤矿的安全生产。则总通风量最小为目标，以相应的 + +通风要求为约束建立如下的优化模型 + +$$ +\begin{array}{l} \min Q = 3 0 0 v _ {6} \\ \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} 2 4 0 \left(v _ {1} + v _ {2} + v _ {3}\right) \leq 2 4 0 \left(v _ {4} + v _ {5}\right) + \frac {2 4 0 v _ {3}}{0 . 8 5}, \\ 0 \leq C _ {g k} \left(v _ {k}\right) \leq 1. 0 (k = 1, 2, \dots , 6), \\ 0 \leq C _ {m k} \left(v _ {k}\right) \leq 2 2, \text {i f} 0 \leq C _ {g k} \left(v _ {k}\right) \leq 0. 5 (k = 1, 2, \dots , 6). \\ 0 \leq C _ {m k} \left(v _ {k}\right) \leq 1 5, \text {i f} 0. 5 < C _ {g k} \left(v _ {k}\right) \leq 1. 0 (k = 1, 2, \dots , 6). \\ 0. 2 5 \leq v _ {k} \leq 4 (k = 1, 2, 3), \\ 0. 2 5 \leq v _ {k} \leq 6 (k = 4, 5), \\ 0 \leq v _ {6} \leq 8, \\ 1 5 0 \leq 2 4 0 v _ {3} \leq 4 0 0, \\ v _ {1} \leq v _ {4}, v _ {2} \leq v _ {5}, \\ 3 0 0 v _ {6} \geq 2 4 0 \left(v _ {4} + v _ {5}\right) + \frac {2 4 0 v _ {3}}{0 . 8 5}. \end{array} \right. \end{array} +$$ + +说明 + +目标函数：总的通风量最小， $Q_{0}$ 为局部通风机的额定风量； + +约束条件1：总通风量与总回风量的守恒，不等号是实际都会有漏风的现象，会有差别； + +约束条件2：《规程》要求工作面的瓦斯浓度不能超过 $1.0\%$ + +约束条件3和4：在不同瓦斯浓度下对煤尘浓度的要求范围： + +约束条件5，6和7：《规程》要求工作面、巷道和总回风巷的风速标准； + +约束条件8：实际中局部通风机的额定风量范围： + +约束条件9：考虑巷道可能出现漏风的情况； + +约束条件10：是对巷道分流的要求，以保证巷道风流的压力。 + +注意 由于瓦斯涌出量的随机性变化的影响，根据(1)式有 + +$$ +C _ {y k} (v _ {k}) = \frac {a _ {k} + \bar {\varepsilon} _ {k}}{s _ {k} v _ {k}}, \quad k = 1, 2, \dots , 6, +$$ + +其中 $\varepsilon_{k}$ 服从于正态分布 $N(0,\sigma_k)$ 。所以在求解规划模型(3)的过程中，按统计学中的 $3\sigma$ 原则，取 $\varepsilon_{k}$ 为 $3\sigma_{k}(k = 1,2,\dots ,6)$ ，且可以保证 $99.7\%$ 的致信度，即将随机性的影响控制在 $0.3\%$ 以内。于是规划模型(3)就可化为线性规划求解。 + +由(1)，(2)式，用LINGO求解可以得到问题的解：最佳的通风量为 + +$$ +Q _ {\min } = 2 0 9 3. 4 7 \mathrm {m} ^ {3} / \min , +$$ + +局部通风机额定风量为 + +$$ +Q _ {0} = 2 4 0 \times v _ {3} = 3 1 9. 9 2 \mathrm {m} ^ {3} / \min , +$$ + +各工作面和回风巷的最佳风速为 + +$$ +v _ {1} = 2. 9 9 5 8, v _ {2} = 3. 9 3 3, v _ {3} = 1. 3 3 3 3, v _ {4} = 2. 9 9 5 8, v _ {5} = 4. 1 5 8 3, v _ {6} = 6. 9 7 8 2 (\mathrm {m / s}). +$$ + +# 2.3.5 风量的调节与控制 + +考虑到总进风量 + +$$ +Q _ {\min } = 2 0 9 3. 4 7 \mathrm {m} ^ {3} / \min , +$$ + +由求解结果，根据 + +$$ +Q _ {k} = 6 0 s _ {k} v _ {k} \left(\mathrm {m} ^ {3} / \mathrm {m i n}\right). +$$ + +则可计算出各工作面和回风巷的最佳风量（平均值）为 + +$$ +Q _ {1} = 7 1 8. 9 9 2, Q _ {2} = 9 4 3. 9 9 2, Q _ {3} = 3 1 9. 9 9 2, Q _ {4} = 7 1 8. 9 9 2, Q _ {5} = 9 9 7. 9 9 2, Q _ {6} = 2 0 9 3. 4 7 \left(\mathrm {m} ^ {3} / \mathrm {m i n}\right). +$$ + +即开采工作面A的风量为 $719\mathrm{m}^3 /\mathrm{min}$ ；开采工作面B的风量为 $941\mathrm{m}^3 /\mathrm{min}$ ；掘进工作面的总风量为 $320\mathrm{m}^3 /\mathrm{min}$ ，即局部通风机的额定风量为 $Q_{0} = 320\mathrm{m}^{3} / \mathrm{min}$ ；回风巷1的风量为 $719\mathrm{m}^3 /\mathrm{min}$ ；回风巷2的风量为 $998\mathrm{m}^3 /\mathrm{min}$ ；总回风巷的风量为 $2094\mathrm{m}^3 /\mathrm{min}$ 。 + +实际中通过两个风门调节控制两个进风巷的风量，再用局部通风机送风到掘进巷。从而保证该矿井正常的通风系统的安全的通风量。 + +# 2.3.6 结果的分析与检验 + +通过如上模型及其求解结果，该煤矿为高瓦斯矿，现有的通风系统还不能满足安全生产的需要，还存在有一定的不安全因素，即发生安全事故的可能性还比较大。从安全生产的角度，需将总通风量从原来的 $1558.9\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ 提高到 $2094\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ ，同时按照问题3的方案来控制调节各工作面的通风量进行模拟检验表明，使得生产的安全性大大地提高，不安全的概率从原来的0.0154减小到0.009，大大地提高了安全系数，从某种意义上来讲也可以提高日产量。 + +# 3 对问题的综合评述 + +对于“煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制”这个实际问题，起初考虑是按甲组的问题来拟定的，但由于题目本身的特性和专业性等问题，最后简化为乙组的一个赛题。尽管如此，这个题目还是产生了一定的影响，也受到了一些同行们较高的评价。对于这样一个专业性较强的实际问题，让乙组（特别是专科）的学生三天来完成确实不易，但从实际的答卷来看，其结果还是令人欣慰的，这也反映了全国大学生数学建模的水平都在普遍地提高。 + +对于问题1)而言，装木上都是依据绝对瓦斯涌出量和相对瓦斯涌出量两项指标判断确定该煤矿为高瓦斯矿，主要是相对涌出量指标超过 $10\mathrm{m}^3 /t$ + +对于问题2)而言，要求根据题目所给出的30天（每天3次）6个观测点的风速、瓦斯和煤尘等指标的监测数据来统计判断该煤矿不安全的程度，即发生安全事故的可能性是多少。从送全国的答卷来看，解决问题的方法主要有三类：一类是由已知的监测数据做统计计算得到相应的统计概率，即出现指标超标的次数与总监测次数之比，但很多的答卷中的总监测次数为540是不对的，应该是 $3 \times 540 = 1620$ ，即“30天 $\times$ 每天3次 $\times 6$ 个监测点 $\times 3$ 项指标”。为此，发生安全事故的概率为 + +$$ +p _ {a} = \frac {2 5}{1 6 2 0} \approx 0. 0 1 5 4. +$$ + +第二类对所监测数据作统计分析，假设服从正态分布规律，并估计其均值和方差，自定义所谓的安全性指标和相应的标准，进行检验和判断得出结论。这类方法总体可行，但缺少客观性和可信度，将问题考虑的过于复杂化，同时对假设和安全性指标定义的合理性缺少依据。第三类方法是仅依据煤尘爆炸下限随瓦斯浓度变化的关系作简单的数据拟合（指数拟合，或二次拟合、三次拟合等），并自定义所谓的安全性指标和相应的标准，对问题进行检验和判断得出结论，这类方法有明显的不合理性。 + +对于问题3)是这个题目的核心问题，主要是根据煤矿开采工作中的实际情况以及《规程》的实际要求，确定采煤工作面和巷道所需通风量的主要原则是：“采煤工作面的瓦斯浓度不超 + +过 $1\%$ ，其他有害气体都不超过《规程》规定（在这里只考虑瓦斯和煤尘）：能够有效的排出瓦斯和矿尘，但又不能造成煤尘飞扬”。解决问题的主要思路是三个步骤： + +1）确定瓦斯浓度与风速的关系：各工作面和回风巷的瓦斯浓度与风速、断面面积以及瓦斯涌出量有关，瓦斯涌出量是不可控、不确定的因素，断面面积视为常数，可设瓦斯浓度与风速成反比，利用题目中各监测点瓦斯浓度和风速的数据，确定瓦斯浓度与风速的近似关系； +2）确定煤尘浓度与风速的关系：矿井中煤尘浓度与风速有直接关系，一般说来它们呈非线性关系，在风速不大时煤尘浓度随着风速的增加而变小，当风速较大时煤尘浓度随着风速的增加而变大。但是注意到在实际监测中风速变化范围很小，相对稳定，可以在这个较小的范围内视为近似的线性关系，用题目中的数据来确定； +3）确定最佳通风量与风量分配：所谓最佳通风量是指在保证各工作面和回风巷瓦斯浓度与煤尘浓度都不超标的情况下，寻求矿井的最小通风量，形成一个优化问题：目标是总的通风量最小，约束条件应包括：按照各井巷风量的分流情况及总通风量与总回风量基本守恒（实际上存在漏风）得到的关系；各工作面的瓦斯浓度不超过 $1\%$ ；在不同瓦斯浓度下煤尘浓度的允许范围；各工作面、巷道和总回风巷的风速标准；局部通风机的额定风量范围；以及巷道可能出现漏风的情况等。一般应该是一个线性（或非线性）规划模型，求解可以得到总通风量、各工作面通风量和局部通风机的额定风量。结果原则上应比现在的总通风量（约 $1560\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$ ）要大，安全性提高，并且按基本守恒原则分配到各工作面。 + +从送全国评阅的答卷来看，几乎所有答卷都建立了相应的优化模型，其模型的具体形式是百花齐放，千奇百怪，几乎没有两份是相同的，这也反映了这个题目的开放性和答案的不惟一性。但存在的主要问题大体上有以下几个方面：一个方面是只考虑三个工作面的安全问题做了局部优化，没有考虑回风巷瓦斯浓度的超标也会发生爆炸事故的可能性；实际上，既便是每一个工作面的瓦斯浓度都不超标，风流汇集到总同风巷后也会使瓦斯浓度超标，用这种局部优化所得到的通风量都偏小，不安全的可能性加大。第二个方面是基于问题2中自定义的安全性指标最大为目标和相应的标准为约束建立优化模型，所得结果都有明显的不合理性，对实际问题难已解释，也就是基于一个不合理的目标和约束，得到不合理的结论，通常所得到的通风时都偏大。第三个方面是约束条件考虑的不全面，即对实际中可能造成不安全的因素没有全部考虑进去，所得到的通风量结果一般都偏小，实际中还存在着不安全的因素。但也让我们欣慰地看到，有些参赛队的答卷在问题的处理上考虑的非常全面细致，对问题的分析透彻深入。有的答卷将煤矿的通风系统归结为一个串联和并联的系统，从总风量分流守恒的角度考虑风量的合理分配；有的还考虑了漏风和渗风的情况，使得安全性更强，更符合实际；还有一些很好的做法，都是有创造性的想法。另外也有个别的参赛队，在问题的处理中有不当的做法，例如：完全依据文献中的经验公式，主观地给出一些相应的参数假设和取值，缺少一定的说服力；有的队把这个问题理解为一个综合评价问题，利用层次分析、综合加权、模糊综合评判等方法得到一些无关的结果，这也反应出部分学生对实际问题的理解和把握不够准确。 + +# 4 结束语 + +2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛圆满地结束了，至此，这项赛事已经走过第15个年头，竞赛规模已发展到了空前程度，也进入了一个辉煌的时期。通过这项活动培养出了一大批优秀的人才，也促进了大学数学的教学改革，作为一个数学建模积极的参与者和受益者也为此感到高兴。对于“煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制”问题，从开始构思、收集资料，到一线煤矿调查研究，最后形成问题，经历了一个艰辛的过程。竞赛后看到同学们一篇篇的“优秀作 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2008/A\351\242\230/\346\225\260\347\240\201\347\233\270\346\234\272\345\256\232\344\275\215/\346\225\260\347\240\201\347\233\270\346\234\272\345\256\232\344\275\215.md" "b/MCM_CN/2008/A\351\242\230/\346\225\260\347\240\201\347\233\270\346\234\272\345\256\232\344\275\215/\346\225\260\347\240\201\347\233\270\346\234\272\345\256\232\344\275\215.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fd63c5ecd18857fec295b16bce787d7be208d7a4 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2008/A\351\242\230/\346\225\260\347\240\201\347\233\270\346\234\272\345\256\232\344\275\215/\346\225\260\347\240\201\347\233\270\346\234\272\345\256\232\344\275\215.md" @@ -0,0 +1,784 @@ +# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A + +我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 2108373 + +所属学校（请填写完整的全名）： 南京大学 + +参赛队员 (打印并签名)：1. 箈庆 + +2. 周超 +3. 俞庆进 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): + +日期：2008年9月22日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
评阅人
评分
备注
+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 数码相机定位 + +# 摘要 + +本文假设数码相机成像原理为小孔成像，在此基础上，通过两种合理的模型对数码相机定位问题进行了较深入的研究。 + +针对问题一和二，我们建立了两种不同模型——变换矩阵模型和公切线模型。在变换矩阵模型中，建立了物、像、相机三个坐标系，分别称为世界坐标系，像坐标系和光心坐标系。研究世界坐标系向像坐标系的变换矩阵 $M = (a_{ij})_{3 \times 4}$ ，推导出圆在像坐标系中的像为椭圆。利用灰度检测可以得到像中各椭圆圆周上各点的坐标，通过多元线性回归拟合出各椭圆方程；对单独一个圆进行研究时，在合理的近似前提下，以圆心为世界坐标系的原点，可求出该圆心所成像在像坐标系中的坐标 $u = a_{14}, v = a_{24}$ 。最后我们求得5个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分别为（单位：mm）：(-50.00, 51.32, -417.20)、(-23.54, 49.47, -417.20)、(33.86, 45.24, -417.20)、(-60.05, -31.22, -417.20)、(18.52, -31.48, -417.20)。在公切线模型中，通过简单几何证明，得出在小孔成像时，公切线交点的像就是公切线像的交点，联系题目中所给标靶的特殊性（所有圆全等），得出像平面中公切线交点连线的交点就是标靶中对应圆心的像，并设计了一种算法得到5个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分别为（单位：mm）：(-49.92, 51.36, -417.20)、(-23.47, 49.34, -417.20)、(33.88, 45.05, -417.20)、(-60.04, -31.29, -417.20)、(18.58, -31.56, -417.20)。 + +在问题三中，我们用计算机模拟的方法，统计和分析了我们模型的在不同的情况下所得到的结果与理论值之间的误差，并着重研究了相机与标靶的距离和像平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。结果表明在一定的前提下，当相机与标靶的距离大于200毫米， $-0.5 \leq a \leq 0.5$ 以及 $-1 \leq b \leq 0.5$ （单位为弧度）时，我们的结果与理论值相差不到一个像素，有着较好的稳定性和精度。 + +问题四中，通过每个相机旋转变换矩阵 $\mathbf{R}$ 和平移向量 $\mathrm{T}$ ，可以得到两相机的变换关系： $R = R_{1}R_{2}^{-1}$ 、 $T = R_{1}R_{2}^{-1}T_{2} + T_{1}$ ，即相对位置关系，并理论推导了从两相机中像在光心坐标系中的参数得到物在世界坐标中的参数，实现双目定位。另外在相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面基础上，我们还给出另外一种合理模型，通过矢量的方法求出物相对于光心坐标系的精确位置，从而可以得到两相机的相对位置。 + +关键词：相机定位、小孔成像、变换矩阵、公切线、计算机模拟 + +# 一、问题重述 + +数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 + +标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而像平面上的园一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 + +有人设计靶标如下，取1个边长为 $100\mathrm{mm}$ 的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心， $12\mathrm{mm}$ 为半径作圆。以AC边上距离A点 $30\mathrm{mm}$ 处的B为圆心， $12\mathrm{mm}$ 为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。利用所得图像，具体解决如下几个问题： + +(1) 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的焦点, x-y 平面平行于像平面; +(2) 对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像, 计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距 (即焦点到像平面的距离) 是 1577 个像素单位 (1 毫米约为 3.78 个像素单位), 相机分辨率为 $1024 \times 786$ ; +(3) 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； +(4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 + +# 二、模型假设 + +a.本题中数码相机成像系统看成是小孔成像； +b.灰度检测前将图像改成黑白图的误差不予考虑。 + +# 三、符号说明 + +$O_W$ ：世界坐标系 + +$O_{C}$ ：光心坐标系 + +$O_{P}$ ：像坐标系 + +$R$ ：旋转矩阵 + +$T$ ：平移向量 + +$M$ ：空间变换矩阵 + +$f$ ：焦距（mm） + +$L$ : 每毫米的像素单位 + +$P$ ：图像矩阵 + +$B_{k}$ ：第 $\mathbf{k}$ 个圆的边缘点集 + +# 四、模型的建立与求解 + +引理： + +我们针对小孔模型提出一些内在性质并给予简单证明。 + +![](images/5215a9c9dfb719e71a7cdd6ad4eefc27c6d86687d6bf9e4a534a5ec051a52a3e.jpg) +图1 + +性质1：直线经小孔后所得到的像仍为直线。 + +证明：如图， $a$ 、 $g$ 分别为物平面和像平面， $b$ 为与像平面平行的平面，点 O 为小孔，AC 为 $a$ 上的线段，B 为 AC 上任一点，经小孔 O 后得 $g$ 上直线 $A_{2}C_{2}$ 。由 AC 和 O 可以确定一个平面 OAC，所以 $A_{2}C_{2}$ 为平面 OAC 和平面 $g$ 的交线；设 B 经小孔成像到 $g$ 上的 $B_{2}$ 点。因为 $B_{2}$ 同时在平面 OAC 和平面 $g$ 上，所以 $B_{2}$ 必在两平面交线即 $A_{2}C_{2}$ 上。因为 B 为 AC 上任一点，所以直线 AC 经小孔 O 成像为 $g$ 平面上的直线 $A_{2}C_{2}$ ，故直线经小孔后所得到的像仍为直线。 + +性质2：线段中点经小孔成像所得点不一定还是像线段（经小孔成像后所得到的线段）的中点。 + +证明: 如图, $A_{1} C_{1}$ 为平面 OAC 与 $\mathbf{b}$ 平面的交线, $B_{1}$ 为 B 所对应点。因为 $\mathbf{b}$ 平行于 $\mathbf{g}$ , 平面 OAC 分别交 $\mathbf{b} 、 \mathbf{g}$ 与 $A_{1} C_{1} 、 A_{2} C_{2}$ , 则 $A_{1} C_{1}$ 与 $A_{2} C_{2}$ 相互平行。 + +当 $a$ 与 $b$ 不重合即 $q$ 不为 0 时, 如 B 为 AC 中点, 因为 $C C_{1}$ 与 $A A_{1}$ 相交, 则 $B_{1}$ 必然 + +不是 $A_{1} C_{1}$ 中点, 所以 $\mathrm{B}_{2}$ 也必然不是 $A_{2} C_{2}$ 中点, 也就是说线段中点经小孔成像所得点不一定还是像线段的中点, 仅当该线段平行于像平面时才仍是中点。 + +性质3：两直线交点的像仍是两直线像的交点。 + +证明：如下图： $a$ 平面上两直线 $AB$ 与 $\mathbf{CD}$ 交于点 $\mathbf{E}$ ，经小孔 $O$ 两直线分别得到 $b$ 平面上的像 $A_{1}B_{1}$ 和 $C_{1}D_{1}$ ，点 $E$ 在 $b$ 平面上的像为 $E_{1}$ ，则平面 $ABB_{1}A_{1}$ 与 $CDD_{1}C_{1}$ 交于直线 $OE$ ，平面 $ABB_{1}A_{1}$ 与 $CDD_{1}C_{1}$ 分别交平面 $b$ 于直线 $A_{1}B_{1}$ 与 $C_{1}D_{1}$ ，则 $E_{1}$ 同时在平面 $ABB_{1}A_{1}$ 、 $CDD_{1}C_{1}$ 与 $b$ 上，则 $E_{1}$ 同时在 $A_{1}B_{1}$ 和 $C_{1}D_{1}$ 上，即 $b$ 平面上， $A_{1}B_{1}$ 和 $C_{1}D_{1}$ 交于 $E_{1}$ 点，两直线交点的像仍是两直线像的交点。 + +我们将此结论推广到曲线的情形，很显然结论也必然成立。只要在曲线相交处对两曲线取无限小段，那么就可以看成是直线相交的情形。 + +![](images/54ccf020c882c155edd79338da36793c4ce6a9f76e61da843581fd3009eb97fa.jpg) +图二 + +性质4：圆经小孔成像为椭圆. + +![](images/28218bc1e396615213372949ebea47db80d338993703737df3e6e39d9bf020ee.jpg) +图三 + +证明：如图所示，圆 $O$ 经小孔成像如图。在一个与圆 $O$ 所在平面平行的平面上所成像仍然是圆，如图中圆 $O_{2}$ （这点很容易通过以上三个性质得到）。那么对于在与圆 $O$ 所在平面不平行的平面上的像，则可以看成是用一个平面去截图中的圆锥（当然图中圆锥可以无限的延长），根据圆锥曲线的定义可知，所截出来的图形就是椭圆。且可以看出圆心 $O$ 在截面上所成的像 $O_{1}$ 并不是椭圆中心 $M$ （只有截面与圆平面平行时才是椭圆中心），所以圆经小孔成像为椭圆得证。 + +性质5：圆的某一条切线的切点的像，仍然是椭圆的切线，而且切点的像就是椭圆的切点。 + +证明：由性质3的推广可知，任意两条曲线的交点的像就是他们两个像的交点。 + +因为圆中切线与圆是相交于一点的，那么像中切线的像与圆的像（椭圆）至少也会有个交点。假设圆的切线的像不再是像当中椭圆的切线，则切线的像与椭圆必有两个交点。根据光路可逆原理，我们可以把原来的圆看成是像（椭圆）经小孔所得到的像。那么对于另外一个交点，它的原像也必然是原像平面上两曲线的交点，则原像平面中处切点外还有另外一交点，产生矛盾，故假设不成立，所以结论得证。 + +# 模型一：变换矩阵模型 + +# 问题一 + +在标靶上，以某个圆的圆心为原点建立空间直角坐标系，由 $\mathrm{X_w},\mathrm{Y_w},\mathrm{Z_w}$ 轴组成，称其为世界坐标系；在像空间上建立像坐标系，由 $u$ 、 $\nu$ 轴组成；由于摄像机可以安放在环境中的任何一个位置，我们也建立一个坐标系来描述，由 $X_{C}$ 、 $Y_{C}$ 、 $Z_{C}$ 轴组成，原点位于光心，称其为光心坐标系。光心坐标系与世界坐标系间的转换可以同过旋转矩阵 $\mathbf{R}$ 和平移矩阵 $\mathbf{T}$ 来实现。如空间一点 $\mathbf{P}$ 在世界坐标系和光心坐标系中的坐标分别为 $(X_W Y_W Z_W)^T, (X_C Y_C Z_C)^T$ ，于是存在关系： + +$$ +\left[ X _ {C} Y _ {C} Z _ {C} 1 \right] ^ {T} = \left[ \begin{array}{l l} R & T \\ 0 ^ {T} & 1 \end{array} \right] \left[ X _ {W} Y _ {W} Z _ {W} 1 \right] ^ {T} = M _ {1} \left[ X _ {W} Y _ {W} Z _ {W} 1 \right] ^ {T}. +$$ + +其中 $\mathbb{R}$ 为 $3 \times 3$ 的正交单位矩阵， $0^T = (000)^T$ ， $M_1$ 为 $4 \times 4$ 矩阵， $0^T$ 和 $\mathbf{1}$ 的加入只是为了方便以后的计算。空间点 $p$ 的像在像坐标系的位置与 $p$ 在光心坐标系中的关系如图可得： + +$$ +x = \frac {f X _ {C}}{Z _ {C}}, y = \frac {f Y _ {C}}{Z _ {C}} +$$ + +其中 $(x, y)$ 为点 $p$ 的像在像坐标系的坐标，写成矩阵形式就是： + +$$ +Z _ {C} \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {C} \\ Y _ {C} \\ Z _ {C} \\ 1 \end{array} \right]. \tag {1} +$$ + +所以可以得到： + +$$ +Z _ {C} \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right]. \tag {2} +$$ + +参照附录中对于旋转矩阵的说明，我们可以得到： + +$$ +Z _ {C} = \left[ \begin{array}{c} \sin b \\ - \sin a \cos b \\ \cos a \cos b \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \end{array} \right] - T _ {Z} = X _ {W} \sin b - Y _ {W} \sin a \cos b - T _ {Z} +$$ + +所以由： + +$$ +Z _ {C} \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] = M _ {0} \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] +$$ + +可得： + +$$ +\left(X _ {W} \sin b - Y _ {W} \sin a \cos b - T _ {Z}\right) u = a _ {1 1} X _ {W} + a _ {1 2} Y _ {W} + a _ {1 4} +$$ + +$$ +\left(X _ {W} \sin b - Y _ {W} \sin a \cos b - T _ {Z}\right) v = a _ {2 1} X _ {W} + a _ {2 2} Y _ {W} + a _ {2 4} +$$ + +可以通过上式解得： + +$$ +X _ {W} = \frac {\left(u T _ {Z} a _ {2 2} + v a _ {1 4} \sin a \cos b + a _ {1 4} a _ {2 2}\right) - \left(v T _ {Z} a _ {1 2} + u a _ {2 4} \sin a \cos b + a _ {1 2} a _ {2 4}\right)}{\left(u a _ {2 2} \sin b - v a _ {1 1} \sin a \cos b - a _ {1 1} a _ {2 2}\right) - \left(v a _ {1 2} \sin b - u a _ {2 1} \sin a \cos b - a _ {2 1} a _ {1 2}\right)} +$$ + +$$ +Y _ {W} = \frac {\left(- u T _ {Z} a _ {2 1} + v a _ {1 4} \sin b - a _ {1 4} a _ {2 1}\right) - \left(- v T _ {Z} a _ {1 1} + u a _ {2 4} \sin b - a _ {1 1} a _ {2 4}\right)}{\left(u a _ {2 2} \sin b - v a _ {1 1} \sin a \cos b - a _ {1 1} a _ {2 2}\right) - \left(v a _ {1 2} \sin b - u a _ {2 1} \sin a \cos b - a _ {2 1} a _ {1 2}\right)} +$$ + +因为 $X_{W} 、 Y_{W}$ 为圆周上的点，所以在世界坐标系满足： + +$$ +X _ {W} ^ {2} + Y _ {W} ^ {2} = r ^ {2} +$$ + +带入可得到二次曲线方程： + +$$ +\begin{array}{l} [ (T _ {Z} a _ {2 2} - a _ {2 4} \sin a \cos b) u - (T _ {Z} a _ {1 2} - a _ {1 4} \sin a \cos b) v + (a _ {1 4} a _ {2 2} + a _ {1 2} a _ {2 4}) ] ^ {2} \\ + \left[ - \left(T _ {Z} a _ {2 1} + a _ {2 4} \sin b\right) u + \left(a _ {1 4} \sin b + T _ {Z} a _ {1 1}\right) v - \left(a _ {1 4} a _ {2 1} + a _ {1 1} a _ {2 4}\right) \right] ^ {2} \\ = r ^ {2} \left[ \left(a _ {2 2} \sin b + a _ {2 1} \sin a \cos b\right) u - \left(a _ {1 1} \sin a \cos b + a _ {1 2} \sin b\right) v - \left(a _ {1 1} a _ {2 2} - a _ {2 1} a _ {1 2}\right) \right] ^ {2} \\ \end{array} +$$ + +其代表一椭圆。 + +注意到此处的 $Z_{C}$ 是标靶上圆上点在光心坐标系中 $Z_{C}$ 方向上的坐标。对于本 + +题来说, 因为标靶在光心坐标系中 $Z_{C}$ 方向上的坐标应该大于相机的两倍焦距,即应在 1 米附近; 而对于标靶上一个圆, 其半径仅为 $12 \mathrm{~mm}$ , 当标靶平面与光心坐标系中 $X_{C} O_{C} Y_{C}$ 平面存在一定夹角 $\mathbf{q}$ 时, 那么一个圆上所有点在 $Z_{C}$ 上坐标的差异只是 $12 \sin \mathbf{q}$ , 与 1m 相比较而言, 其误差是比较小的, 所以我们可以近似认为对于标靶上同一个圆上的点, 其 $Z_{C}$ 是相同的 (后面我们将来讨论这种近似所带来的误差, 会发现其误差是非常小的, 可见这种近似的合理性), + +所以在此情况下，我们认为 $Z_{c}$ 是不变的值，于是有： + +$$ +\left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} \left[ \begin{array}{c c c c} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right]. \tag {3} +$$ + +由于在处理像平面上的点时，我们经常用的单位为像素，对像平面坐标为 $(x, y)$ 的点，改用像素为单位后，其坐标为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u = x L \\ v = y L \end{array} \right. +$$ + +其中 $\mathrm{L}$ 为每毫米的像素单位。于是： + +$$ +\left[ \begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l} L & 0 & 0 \\ 0 & L & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} \left[ \begin{array}{l l l} L & 0 & 0 \\ 0 & L & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] = M \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] \dots (5) +$$ + +其中 $M$ 为一 $3 \times 4$ 的坐标变换矩阵，而且在相机本身内部参数和相对标靶的位置不变时， $M$ 是一个常数矩阵。由上式可以看出对于世界坐标系中的任意一点 $(X_{W}, Y_{W}, Z_{W})$ ，经坐标变换矩阵 $M$ 变换，便可以得到其像在像坐标系中的坐标 $(u, v)$ 。 + +针对题目所给信息，为简化模型，我们可分别随标靶中每个圆分别讨论（因为对每个圆讨论的方法完全相同，故本文只详细讨论一个圆，其他的可完全类比）。对某个圆讨论时，取该圆所处坐标系为世界坐标系，坐标原点取在圆心处（后面会发现这样选取的精妙之处），所得像处于像坐标系，数码相机处于摄像坐标系。可以很直觉的发现圆周上的点是至关重要的，那么我们先来探讨圆周上的各点及其所成像的位置。 + +因为在圆周上，注意到此时的世界坐标系里只需其二维情形，取 $Z_{\mathrm{w}} = 0$ ，故其曲线方程为： + +$$ +X _ {W} ^ {2} + Y _ {W} ^ {2} = r ^ {2} +$$ + +因为变换矩阵 $M$ 为 $3 \times 4$ 矩阵，可设 + +$$ +M = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & a _ {1 3} & a _ {1 4} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & a _ {2 3} & a _ {2 4} \\ a _ {3 1} & a _ {3 2} & a _ {3 3} & a _ {3 4} \end{array} \right] +$$ + +所以圆周上任意一点 $(X_W, Y_W, Z_W)$ ，经坐标变换矩阵 $M$ 变换后得到像在像坐标系的坐标： + +$$ +\left[ \begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array} \right] = M \left[ \begin{array}{c} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & a _ {1 3} & a _ {1 4} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & a _ {2 3} & a _ {2 4} \\ a _ {3 1} & a _ {3 2} & a _ {3 3} & a _ {3 4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \dots \dots \dots \dots \dots \dots (6) +$$ + +有： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u = a _ {1 1} X _ {W} + a _ {1 2} Y _ {W} + a _ {1 4} \\ v = a _ {2 1} X _ {W} + a _ {2 2} Y _ {W} + a _ {2 4} \end{array} \right. \dots \tag {7} +$$ + +与圆的曲线方程联立可得像的曲线方程： + +$$ +\left[ \frac {a _ {2 2} (u - a _ {1 4}) - a _ {1 2} (v - a _ {2 4})}{a _ {1 1} a _ {2 2} - a _ {2 1} a _ {1 2}} \right] ^ {2} + \left[ \frac {a _ {1 2} (u - a _ {1 4}) - a _ {1 1} (v - a _ {2 4})}{a _ {1 2} a _ {2 1} - a _ {2 2} a _ {1 1}} \right] ^ {2} = r ^ {2} +$$ + +从上式不能很显然的发现什么性质，所以我们将其展开： + +$$ +\begin{array}{l} \left(a _ {2 1} ^ {2} + a _ {2 2} ^ {2}\right) u ^ {2} + \left(a _ {1 1} ^ {2} + a _ {1 2} ^ {2}\right) v ^ {2} - 2 \left(a _ {1 1} a _ {2 1} + a _ {1 2} a _ {2 2}\right) u v - \left[ 2 a _ {1 4} \left(a _ {2 1} ^ {2} + a _ {2 2} ^ {2}\right) + a _ {2 4} \left(a _ {1 1} a _ {2 1} + a _ {1 2} a _ {2 2}\right) \right] u \\ - 2 \left[ a _ {2 4} \left(a _ {1 1} ^ {2} + a _ {1 2} ^ {2}\right) + a _ {1 4} \left(a _ {1 1} a _ {2 1} + a _ {1 2} a _ {2 2}\right) \right] v + \left[ \left(a _ {2 1} ^ {2} + a _ {2 2} ^ {2}\right) a _ {1 4} ^ {2} + \left(a _ {1 1} ^ {2} + a _ {1 2} ^ {2}\right) a _ {2 4} ^ {2} - 2 \left(a _ {1 1} a _ {2 1} + \right. \right. \\ \left. a _ {1 2} a _ {2 2}\right) a _ {1 4} a _ {2 4} - \left(a _ {1 2} a _ {2 1} - a _ {2 2} a _ {1 1}\right) ^ {2} r ^ {2} ] = 0 \dots \dots (8) \\ \end{array} +$$ + +简化上式为： + +$$ +k _ {1} + k _ {2} v + k _ {3} u + k _ {4} u v + k _ {5} v ^ {2} + k _ {6} u ^ {2} = 0 \dots \tag {9} +$$ + +可见这是一个一般二次曲线方程，故其图像为一椭圆（当然也可能会是一条直线，暂不考虑这种情况）。其中 $k_{1}$ 至 $k_{6}$ 分别为上式的系数。观察（8）式可以发现这个重要信息： $u$ 、 $v$ 都是 $a_{14}$ 、 $a_{24}$ 和 $u^{2}$ 、 $v^{2}$ 、 $uv$ 的系数组成，而 $a_{14}$ 、 $a_{24}$ 正是世界坐标系的圆心经转换矩阵得到的像坐标系的坐标。所以其简化式可变为： + +$$ +k _ {1} - \left(2 a _ {2 4} k _ {5} + a _ {1 4} k _ {4}\right) v - \left(2 a _ {1 4} k _ {6} + a _ {2 4} k _ {4}\right) u + k _ {4} u v + k _ {5} v ^ {2} + k _ {6} u ^ {2} = 0 \dots \dots (1 0) +$$ + +我们所需要求的是圆心在像坐标系的像坐标的坐标，由于我们将世界坐标系的原点放在圆心，故圆心在世界坐标系中的坐标为 $(0,0)$ ，根据（7）式，在像坐标系的像坐标的坐标为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {o} = a _ {1 4} \\ v _ {o} = a _ {2 4} \end{array} \right. +$$ + +于是我们的问题转化为求解 $a_{14} \cdot a_{24}$ ，而由我们（10）式的分析，我们可以得到： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} - \left(2 a _ {2 4} k _ {5} + a _ {1 4} k _ {4}\right) = k _ {2} \\ - \left(2 a _ {1 4} k _ {6} + a _ {2 4} k _ {4}\right) = k _ {3} \end{array} \right. \dots \tag {11} +$$ + +上式为关于 $a_{14}, a_{24}$ 的二元一次方程组，于是问题又转化为求出 $k_{i} (2 \leq i \leq 6)$ ，我们知道（9）式是圆的像在像平面的曲线方程，而 $k_{i}$ 为方程的系数，下面我们来求解这个方程。 + +我们的数据来源于数码相机拍摄的照片，所以我们首先需要从照片中获取数据。我们知道，现代的数码照片的存储原理基于点阵。例如在一张灰度照片中存储了 $n \times m$ 的矩阵 $P$ ，矩阵中的每个元素 $P(i, j)$ 记录的是一个灰度值，表示这张照片在该点的明暗程度（而在一张彩色照片里每个点存储的是一组 RGB）。所以我们的直接数据是一个 $768 \times 1024$ 的矩阵，下面我们需要在这个矩阵中提取圆的像的边缘以便求解该圆的像的曲线方程。 + +传统的图像边缘检测的算法有基于灰度直方图的边缘检测、基于梯度的边缘检测、Laplacan 边缘算子、Canny 边缘检测算子、模糊推理的边缘检测和Mallat小波边缘检测算子等，不同的算法有着不一样的应用背景，而在本文中所需处理的照片经过简单的处理后可以转化为单色的照片，所以用最简单的基于灰度直方图的边缘检测算法便可得出较理想的效果。 + +![](images/8adf4ff79997ee4b1621a22d478de4af695e9e49ed1de6e01b707da785694952.jpg) +图四 经过黑白处理后的照片 + +经过黑白处理后，所有点的灰度值只有0（黑色）和255（白色）两种，我们用下面的算法进行边缘检测（对圆A、B、C、E、D依次编号为圆1、2、3、4、5）： + +# 边缘检测算法： + +Step 1 设灰度阈值 $T$ , 当某点的灰度小于 $T$ 时, 表示其为黑色, 反之则为白色。在本文中我们取 $T = 128$ ; + +Step 2 为每个圆的像估算一个矩形邻域，使得该矩形邻域可以完全包含该圆的像且仅包含该圆的像； + +Step 3 对第 $\mathbf{k}$ 个圆的像，执行第4-6步（ $\mathbf{k} = \mathbf{1}$ ，2，3，4，5）； + +Step 4 对矩形邻域进行逐行扫面，当出现 $P(i - 1, j) \geq T$ 且 $P(i, j) < T$ + +或者 $P(i, j) < T$ 且 $P(i + 1, j) \geq T$ 时将 $P(i, j)$ 加入该圆的像的边缘点集 $B_{k}$ ; + +Step 5 对矩形邻域进行逐列扫面，当出现 $P(i,j - 1) \geq T$ 且 $P(i,j) < T$ + +或者 $P(i,j) < T$ 且 $P(i,j + 1)\geq T$ 时将 $P(i,j)$ 加入该圆的像的边缘点集 $B_{k}$ + +Step 6 除去 $B_{k}$ 中重复的点。 + +我们得到的点集 $B_{k} = \{(u_{i}, v_{i}) | i \in Z^{+}$ 且 $(u_{i}, v_{i})$ 位与第 $i$ 个圆的像的边缘 $\}$ , 这里 $u_{i}, v_{i}$ 的单位为像素, 像坐标系以左上角为原点, 图片的正下方为 $u$ 轴, 正右方为 $v$ 轴。 + +对于每一个圆，我们将其所有边缘点带入其曲线方程： + +$$ +k _ {1} + v _ {i} k _ {2} + u _ {i} k _ {3} + u _ {i} v _ {i} k _ {4} + v _ {i} ^ {2} k _ {5} + u _ {i} ^ {2} k _ {6} = 0, \quad 1 \leq i \leq \left| B _ {k} \right| \dots \dots \dots (1 2) +$$ + +我们得到了关于 $k_{i}(1 \leq i \leq 6)$ 的线性齐次方程组，而且在这个方程组中，方程的个数远远大于未知数的个数，而且我们发现若直接求解往往只能得到零解，于是我们将其化为多元线性回归模型求解。 + +由上文讨论，像的曲线为椭圆，故平方项系数不为零，故原方程可化为： + +$$ +\frac {k _ {1}}{k _ {6}} + v _ {i} \frac {k _ {2}}{k _ {6}} + u _ {i} \frac {k _ {3}}{k _ {6}} + u _ {i} v _ {i} \frac {k _ {4}}{k _ {6}} + v _ {i} ^ {2} \frac {k _ {5}}{k _ {6}} + u _ {i} ^ {2} = 0, \quad 1 \leq i \leq \left| B _ {k} \right| \dots \tag {13} +$$ + +令 $b_{j} = \frac{k_{j}}{k_{6}}, 1 \leq j \leq 5$ ，则有： + +$$ +- u _ {i} ^ {2} = b _ {1} + v _ {i} b _ {2} + u _ {i} b _ {3} + u _ {i} v _ {i} b _ {4} + v _ {i} ^ {2} b _ {5}, \quad 1 \leq i \leq \left| B _ {k} \right| \dots \dots \dots \dots . (1 4) +$$ + +上式是典型的多元线性回归模型，应用最小二乘法可以求解。当我们解出了 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}$ 后，由（11）式得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} - (2 a _ {2 4} b _ {5} + a _ {1 4} b _ {4}) = b _ {2} \\ - (2 a _ {1 4} + a _ {2 4} b _ {4}) = b _ {3} \end{array} \right. +$$ + +于是我们得到了圆心的像在 $uov$ 平面上的坐标： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {o} = a _ {1 4} = \frac {2 b _ {3} b _ {5} - b _ {2} b _ {4}}{b _ {4} ^ {2} - 4 b _ {5}} \\ v _ {o} = a _ {2 4} = \frac {2 b _ {2} - b _ {3} b _ {4}}{b _ {4} ^ {2} - 4 b _ {5}} \end{array} \right. \dots \tag {15} +$$ + +最后，我们需要将坐标转换到题目中给定的坐标系中，（ $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{v}$ 同向， $\mathbf{y}$ 与 $\mathbf{u}$ 反向）即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x _ {o} = \left(v _ {o} - 5 1 2\right) / L \\ y _ {o} = \left(3 8 4 - u _ {o}\right) / L \\ z _ {o} = - f / L \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +# 问题二 + +首先，我们用matlab实现边缘检测算法，我们得到了每个圆的像的边缘点集 $B_{k}$ ，如下图： + +![](images/1b1d45a2b53feffc403b576e81eeee1e5e33587b622537e13b604fa27d62213a.jpg) +图五 + +然后我们对每个圆的像的边缘点用多元线性回归去求该圆的像的曲线方程（置信度取0.05），如下表所示： + +表 1 第 1 个圆的像的曲线方程参数 + +
参数参数估计值参数置信区间
b1140397.20023[139748.34930141046.05115]
b2-640.44473[-644.04310-636.84637]
b3-407.58657[-409.32833-405.84480]
b40.08784[0.082460.09323]
b50.96592[0.960640.97120]
R²=0.99999393, F= 11279037.31254, p=0
+ +表 2 第 2 个圆的像的曲线方程参数 + +
参数参数估计值参数置信区间
b1227111.11949[225858.66719228363.57179]
b2-869.84886[-875.31270-864.38502]
b3-453.55647[-456.21530-450.89765]
b40.14049[0.134210.14677]
b50.99545[0.989261.00165]
R²=0.999993179, F=9786431.732757331, p=0
+ +表 3 第 3 个圆的像的曲线方程参数 + +
参数参数估计值参数置信区间
b1521021.19332[517789.67136 524252.71528]
b2-1431.47741[-1441.06500 -1421.88982]
b3-603.80738[-608.27782 -599.33694]
b40.27703[0.27005 0.28402]
b51.07232[1.06508 1.07957]
R²=0.99999442, F=11019117.97897741, p=0
+ +表 4 第 4 个圆的像的曲线方程参数 + +
参数参数估计值参数置信区间
b1343623.44295[342627.40480 344619.48111]
b2-557.42512[-561.92415 -552.92609]
b3-1057.92607[-1059.63303 -1056.21910]
b40.19027[0.18428 0.19625]
b50.81131[0.80593 0.81670]
R²=0.9999918, F=75335174.25731819, p=0
+ +表 5 第 5 个圆的像的曲线方程参数 + +
参数参数估计值参数置信区间
b1660749.59267[ 657278.553766.64220.63157]
b2-1228.17779[-1237.71197-1218.64362]
b3-120816690[-1212.41769-1203.91612]
b40.34664[0.339340.35393]
b50.90414[0.897150.91114]
R²=0.99999914, F=65011077.78295716, p=0
+ +在上表最后一行中， $\mathbb{R}^2$ 是回归方程的决定系数， $\mathbf{F}$ 为 $\mathbf{F}$ 统计量值， $\mathbf{p}$ 为与 $\mathbf{F}$ 统计量对应的概率值。从数据看来， $\mathbb{R}^2$ 都达到了 $99.999\%$ 以上，表明 $-u^2$ 的 $99.999\%$ 以上的可以由我们求出来的方程确定， $\mathbf{F}$ 值远远超过 $\mathbf{F}$ 检验的临界值， $\mathbf{p}$ 更是远小于置信度 0.05，所以我们求出的曲线方程是高度精确的。 + +将以上数据代入（15）式，我们便得到了五个圆心的像的坐标： + +表 6 圆心像的坐标 + +
圆u0v0u0(像素)v0(像素)
1189.61023322.89682190323
2197.06280423.00273197423
3213.26380639.91289213640
4501.87983284.67960502285
5503.07979582.75218503582
+ +用（16）式将其转换到题目所给的坐标系： + +表7 光心坐标系下圆心像的坐标 + +
圆x_o(mm)y_o(mm)z_o(mm)
1-50.0000051.32275-417.19577
2-23.5449749.47089-417.19577
333.8624345.23809-417.19577
4-60.05291-31.21693-417.19577
518.51851-31.48148-417.19577
+ +以上我们就求解出标靶上各圆圆心的像在像坐标系下的具体坐标。 + +# 模型二：公切线模型 + +![](images/a165acbc67f3006c12ab31f2c769e48562579765f33ba16a9e90e15ea90465e8.jpg) +图六 + +![](images/437f1343d64affa979bf25cd610e323bb8220593965a322732fe6dc1c16a12a6.jpg) +图七 + +如图所示，为标靶平面与像平面的示意图。图中直线为公切线。物平面内，圆 $O_{1}$ 与 $O_{2} 、 O_{3}$ 的公切点分别为 $B 、 D$ 和 A、C，对应像平面中为椭圆 $O_{1}^{\prime}$ 与椭圆 $O_{2}^{\prime} 、 O_{3}^{\prime}$ 的公切点分别为 $D^{\prime} 、 B^{\prime}$ 和 C、A，由本文所给出的性质可以很容易得出 $D^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime} 、 A^{\prime}$ 分别为 $D 、 B 、 C 、 A$ 的像点。 + +![](images/0ef26add9b8002185afbf5c4866e48dbcf44ef46d6fb15b5d0fcf78656a3be42.jpg) +图八 + +![](images/57f8d9aed6b022f86890473419f37f877e1a8e09e8d7a82b75234f7f00915898.jpg) +图九 + +在标靶平面，显然四边形 $PQRS$ 为正方形，则 $PR$ 与 $QS$ 连线交于圆心 $O_{1}$ ，由引理中性质3可知 $P'Q'R'S'$ 分别为 $PQRS$ 的像，则 $P'R'$ 与 $Q'S'$ 也分别为 $PR$ 与 $QS$ 的像，则圆心 $O_{1}$ 在像平面所对应的像为 $P'R'$ 与 $Q'S'$ 的交点 $O_{1}'$ （注意这里 $O_{1}'$ 并不一定就是该椭圆中心）。 + +两椭圆公切线求解算法如下： + +Step 1: 由模型一中灰度检测，我们已经得到像平面上椭圆圆周上各点坐标； +Step 2: 在两椭圆上各任取一点, 连成直线 $l$ , 固定其中一点 (静点), 扫描另一点 (动点) 所在椭圆的圆周上各点, 每扫描到一点在直线 $l$ 上方 (或下方, 对应的是另一条切线), 用该点取代动点成为新的动点, 此时直线 $l$ 也变成静点和此新的动点的连线, 扫描一周后停止。 +Step 3: 固定此时的动点 (这时就称之为静点), 扫描另一椭圆圆周上各点, 当该点在直线 $l$ 上方时, 取代动点成为新的动点, 此时直线 $l$ 也变成静点和新的动点的连线, 扫描一周后停止; +Step 4: 循环 step2 和 step3, 直至两椭圆圆周上都不再存在位于直线 $l$ 上方的点, 此时的 $l$ 就是两椭圆的公切线。 + +对该算法而言，收敛速度很快，一次迭代后就几乎接近了切点，所以可以用来高效地计算切点。 + +我们按照上述思想编写了程序，所得的切线图如下： + +![](images/5c9a51d7240df56c802f2b59dd90d21d8e41df990f4351c8ebc7a6d00a132c57.jpg) +图十 + +在我们的程序中，我们还计算了切线之间的交点及其交点连线的交点，即上文所分析的圆心的像，结果如下： + +表 8 圆心像的坐标 + +
圆u0v0u0(像素)v0(像素)
1189.87734323.30371190323
2197.51240423.29359198423
3213.70159640.08497214640
4502.26962285.03296502285
5503.31215582.23246503582
+ +表 9 光心坐标系下圆心像的坐标 + +
圆x_o(mm)y_o(mm)z_o(mm)
1-49.9196551.35520-417.19577
2-23.4673049.33535-417.19577
333.8849145.052489-417.19577
4-60.04419-31.28799-417.19577
518.58001-31.56405-417.19577
+ +# 问题三 + +在这个部分中，我们针对我们在问题1，2中的方法可能带来的误差及稳定性提出了一种基于计算机模拟的检验方法。 + +在我们的前面的推导中, 我们知道任意一个点在世界坐标系上的点的坐标和其像在像坐标系的点的坐标满足 (0) 式, 在模型中我们为了简化计算把 $Z_{c}$ 作为了一个常量来计算 (而事实上当拍摄距离较远, 标靶上的圆又较小时, 这种假设是合理的), 这带来了我们的第一个误差; 我们的模型中的另外两个个误差来自于边缘检测的精确度和用多元线性回归来计算像的曲线方程所带来的误差, 而实际上边缘检测的误差实际上来自于数字图像本身 (由于一张图片只能存储有限的点, 所以将具体的像点映射到像素矩阵时会带来误差, 但不会超过一个像素), 而从问题二的结果中我们可以得知多元线性回归求曲线方程有着很高的精度, 所以这两个误差相对于我们的第一个误差影响非常的小。 + +我们知道，（2）式在我们的针孔模型中是精确成立的，如果我们知道了相机和标靶的确切的位置关系，那么对于标靶上的任意一点，我们总可以根据（2）式计算出该点的像在像坐标系中的位置，也就是说在这个前提下，圆心的像在像坐标系中的位置可以精确计算出来，这就是我们这个模型中的理论解。我们的目的就是分析我们模型的解和理论解之间的关系。 + +在提出检验方法之前，我们先提出下面的引理。 + +引理 1: 若世界坐标系上按照旋转矩阵 $R_{3 \times 3}$ 进行旋转, 然后按向量 + +\[ +\begin{aligned} +T &= (X_{T}, Y_{T}, Z_{T}) \text{进行平移得到像坐标系，那么原来在世界坐标系中的一点} \\ +p(X_{W}, Y_{W}, Z_{W}) \text{在光心坐标系中的坐标的 $Z$ 轴分量 } Z_{C} \text{ 满足：} +\end{aligned} +\] + +$$ +Z _ {C} = R _ {3 1} X _ {W} + R _ {3 2} Y _ {W} + R _ {3 3} Z _ {W} + Z _ {T} +$$ + +证明：直接由（0）式化简可得。 + +在我们下面的方法中, 我们的世界坐标系 $O_{W}$ 的原点在半径为 $12 \mathrm{~mm}$ 的圆的圆心上, $X_{W} O Y_{W}$ 平面与圆所在平面平行, 光心坐标系 $O_{C}$ 的原点及相机的光心, $X_{W} O Y_{W}$ 平面与像平面平行, 将光心坐标系 $O_{C}$ 沿主光轴平移到主光轴与像平面的交点即得像坐标系 $O_{P}$ , 如下图: + +![](images/4413891f18d075314a1f4bd005875bc4bed91b0d01b92eeba4daa81b8121bab5.jpg) +图十一 + +引理2：圆心的像在像平面的坐标的理论值为 $(-\frac{LfX_T}{Z_T}, -\frac{LfY_T}{Z_T}, 0)$ + +证明：由： + +$$ +\left[ \begin{array}{l} u _ {o} \\ v _ {o} \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} \left[ \begin{array}{l l l} L & 0 & 0 \\ 0 & L & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{- Z _ {T}} \left[ \begin{array}{l l l l} L f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & L f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] +$$ + +得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {o} = - \frac {L f X _ {T}}{Z _ {T}} \\ v _ {o} = - \frac {L f Y _ {T}}{Z _ {T}} \end{array} \right. +$$ + +# 检验方法的提出： + +Step1 选取合理的旋转矩阵 $R$ 和平移向量 $T$ ，即初始化相机与标靶的相对位置。 + +Step 2 在圆周上进行等间隔采样，对于每一个采样点，其在世界坐标系的坐标可以表示为 $(12\cos q, 12\sin q, 0)$ ，那么可以得到其像点在像坐标系的坐标为： + +$$ +\left[ \begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} M _ {0} \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{R _ {3 1} X _ {W} + R _ {3 2} Y _ {W} + R _ {3 3} Z _ {W} - Z _ {T}} M _ {0} \left[ \begin{array}{l} 1 2 \cos q \\ 1 2 \sin q \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] +$$ + +Step 3 经过第二步后我们得到了圆的像的边缘点集，这些点是精确的，也是我们的模型中可以从图片中准确获取的，所以我们将这个边缘点集作为我们模型的输入，然后利用该边缘点集按照我们的模型求解出圆心的像在像坐标中的坐标 $(u, v, 0)$ 。 + +Step 4 计算 $(u, v, 0)$ 与理论值 $(u_{o}, v_{o}, 0)$ 的误差 $\mathbf{D}$ （这里用欧氏距离计算）。 + +Step 5 重复执行1到4步，统计误差数据。 + +在用计算机进行模拟的时候，我们特别关心两个问题，一是相机与标靶的距离对结果的影响；二是像平面与圆平面之间的偏角（由旋转矩阵 $R$ 决定）对结果的影响。 + +接下来我们来研究 $R$ 和 $T$ 的合理选取的问题。 + +由上文的分析可知，旋转矩阵 $R$ 中的三个参数 $a, b, l$ 分别代表 $y$ 轴向 $z$ 轴旋转的角度， $z$ 轴向 $x$ 轴旋转的角度， $x$ 轴向 $y$ 轴旋转的角度，例如下图： + +![](images/028578259993774ab1d72e9049350c6cf9a1d44e622baeaffe1e93489ab4d236.jpg) +图十二 + +我们几乎不用考虑 $I \neq 0$ 的情况，因为这实际上是将相机左右倾斜，这并不影响拍出的物体的形状和大小，而只会影响拍出的物体在整张照片中的位置。而 + +$a \neq 0$ 对应的情景时我们在物体的上（下）前方将镜头对着其进行拍摄， $b \neq 0$ 对应的情景时我们在物体左（右）前方将镜头对着其进行拍摄， $a, b$ 体取值范围为 $\left[-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}\right]$ 。 + +对 $T = (X_{T}, Y_{T}, Z_{T})$ ，由于圆心在光心坐标系的坐标即 $(-X_{T}, -Y_{T}, -Z_{T})$ ，而圆必须在相机的前方，故 $-Z_{T} > 0$ ，即有 $Z_{T} < 0$ 。除此之外，还需考虑 $T$ 的长度，即相机与标靶的距离，从我们前一问的数据中，可以估算出这段距离大约在 500 毫米左右。 + +基于以上分析，下面我们用计算机模拟的方式对我们的模型进行检验。 + +# 1. 相机与标靶的距离对结果的影响 + +令 $a = g = 0$ ， $b = -0.7$ ， $T = (-k,0,-k),1\leq k\leq 1000$ ，我们对每一个 $k$ 对应的相机和标靶的相对位置计算出我们模型的解与理论解的误差。 + +实验结果表明，当 $1 \leq k \leq 20$ ，即相机与标靶的距离大约小于30毫米时，存在较大误差，模型很不稳定，误差图如下： + +![](images/d93c4a3150d932b2509102d83b074526ff50a08892080e6b80c35a7f241e442e.jpg) +图十三 + +特别指出的是，当 $k$ 在某个数附近时出现了极不稳定的情况，误差也达到了极大值。 + +同时，模拟结果也表明，当 $k \geq 140$ 时，即相机与模型的距离大约大于200毫米时，误差始终保持在1个像素以内，而且随着 $\mathbf{k}$ 的增加误差 $\mathbf{D}$ 在不断减小。 + +![](images/ed24aae822dab44f6831c9d8217b2917cc77387b5e23a14a39fb1b7c6b396569.jpg) +图十四 + +这个结论表明，在相机距离标靶在200毫米（即20厘米）以上时有着非常高的精度以及稳定性，而我们实际拍摄时的物距很少小于20厘米，而且本文中的物距大约是500毫米左右，由图可以知道当距离大于500毫米时，误差仅仅在0.1个像素之内，所以可以认为我们的模型是比较理想的。 + +2. 像平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。 + +# 2.1 a的变化对结果的影响 + +从直观上来说， $a$ 的变化对应相机的“上仰”或“下翻”， $a = \pm \frac{p}{2}$ 对应的相机状态为镜头水平朝上或水平向下，所以当 $a$ 变化时是会带来误差的。 + +令 $g = 0, b = -0.7$ ， $T = (-350, 0, -350)$ ， $a \in [-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}]$ ，在计算机处理时，我们对 $[- \frac{p}{2}, \frac{p}{2}]$ 这个区间进行等间隔采样已得到 $a$ 值，对于每一个 $a$ 值计算出我们模型的解与理论解的误差。 + +![](images/83bbccad65f41ef700ee1311fa6a3cdfe3308ba6a1bee73548c1806d9ed74947.jpg) +图十五 + +由图可以知道当 $a$ 在 $\left[-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}\right]$ 变化时，误差始终在 2 个像素以内，而且在 $a = 0$ 时取得最小误差。特别是当 $-0.5 \leq a \leq 0.5$ 时误差小于一个像素，对我们模型的结果几乎没有产生影响。 + +# 2.2 $b$ 的变化对结果的影响 + +从直观上来说，在 $a = 0$ 的前提下，像平面和圆所在平面都在铅垂面， $b$ 的变化直接对应着像平面和圆所在平面的夹角的变化，所以也会带来误差。我们采用同样的方法用于检验 $b$ 的变化对结果的影响。这里我们令 $g = a = 0$ ， $T = (-350,0,-350)$ ， $b \in [-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}]$ ，计算出我们模型的解与理论解的误差 + +![](images/4ba32f6efd2d306f19d9f95b1a0d2f1714859c8cf94fa841f505ce04f549b2cc.jpg) +图十六 + +从图中我们发现， $b$ 的变化对结果的产生的误差稍大于 $a$ ，但是最大的误差只有 2 个像素左右，但是大约在 $-1 \leq b \leq 0.5$ 时误差仍然小于 1 个像素，可以说对我们的模型的结果几乎没有影响。 + +在我们模拟出来的结果中，我们发现除了在 $b = 0$ 外还有一处的误差达到局部最小误差且接近于零，这是在我们的模型里没有得出的结论，我们通过大量实验模拟发现这个结论总是成立，而且在通过对数据的反推得到下面的猜想。 + +猜想: 在本题所建的坐标系中, 若世界坐标系的 $Z$ 轴过光心 $O_{C}$ , 则用我们的模型可以得到精确的圆心像在像坐标系中的坐标。 + +# 3 总结 + +总体而言，在合理的相机与标靶的相对位置的前提下，我们的模型是很理想的：边缘提取以及线性回归的误差可以忽略不计；像平面与圆平面之间的偏角对结果也几乎不会造成影响，相比而言相机与标靶在距离内在小于200毫米会造成 + +很大的误差，而且在小于20毫米时极不稳定，但是在大于200毫米时误差始终不超过一个像素，而且随着距离的增大误差趋向于零。所以对于合理的相机与标靶的相对位置，我们的模型始终是有效而精确的。 + +# 问题四 + +用两部相机进行拍摄定位时，就会存在两个相机坐标系，我们记为 $C_1: X_{C1}Y_{C1}Z_{C1}$ 、 $C_2: X_{C2}Y_{C2}Z_{C2}$ ，世界坐标系与两者的关系分别为 $R_1$ 、 $T_1$ 和 $R_2$ 、 $T_2$ ，对任意一点，其在世界坐标系与两个相机坐标系下的坐标为 $P_W$ 、 $\mathbf{P}_{C1}$ 、 $P_{C2}$ ，则由上文可得： + +$$ +\begin{array}{l} P _ {C 1} = R _ {1} P _ {W} + T _ {1} \\ P _ {C 2} = R _ {2} P _ {W} + T _ {2} \\ \end{array} +$$ + +消去 $P_W$ 得： + +$$ +P _ {C 1} = R _ {1} R _ {2} ^ {- 1} P _ {C 2} - R _ {1} R _ {2} ^ {- 1} T _ {2} + T _ {1} +$$ + +令 $R = R_{1}R_{2}^{-1}$ 、 $T = R_{1}R_{2}^{-1}T_{2} + T_{1}$ ，则可得到两相机坐标系的转换关系： + +$$ +P _ {C 1} = R P _ {C 2} + T \dots \tag {12} +$$ + +对两相机分别标定，则可得到相应的 $R_{1} 、 T_{1} 、 R_{2} 、 T_{2}$ ，从而可得两相机坐标系的转换关系，即得到这两部相机的相对位置。 + +因为有： + +$$ +Z _ {C} \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = M _ {0} \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] +$$ + +所以对于世界坐标系里一点 $P$ 在两个光心坐标系的两个像点 $P_{1} 、 P_{2}$ , 有: + +$$ +\begin{array}{l} Z _ {C 1} \left[ \begin{array}{l} x _ {1} \\ y _ {1} \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} ^ {1} & a _ {1 2} ^ {1} & a _ {1 3} ^ {1} & a _ {1 4} ^ {1} \\ a _ {2 1} ^ {1} & a _ {2 2} ^ {1} & a _ {2 3} ^ {1} & a _ {2 4} ^ {1} \\ a _ {3 1} ^ {1} & a _ {3 2} ^ {1} & a _ {3 3} ^ {1} & a _ {3 4} ^ {1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] \\ Z _ {C 2} \left[ \begin{array}{l} x _ {2} \\ y _ {2} \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} ^ {2} & a _ {1 2} ^ {2} & a _ {1 3} ^ {2} & a _ {1 4} ^ {2} \\ a _ {2 1} ^ {2} & a _ {2 2} ^ {2} & a _ {2 3} ^ {2} & a _ {2 4} ^ {2} \\ a _ {3 1} ^ {2} & a _ {3 2} ^ {2} & a _ {3 3} ^ {2} & a _ {3 4} ^ {2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] \\ \end{array} +$$ + +式中 $(x_{1},y_{1},1),(x_{2},y_{2},1)$ 分别为 $P_{1}$ 、 $\mathbf{P}_{2}$ 在两个光心坐标系的奇次坐标， + +$(X_{W},Y_{W},Z_{W},1)$ 为 $P$ 在世界坐标系里的奇次坐标。展开上式可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} {\left(x _ {1} a _ {3 1} ^ {1} - a _ {1 1} ^ {1}\right) X _ {W} + \left(x _ {1} a _ {3 2} ^ {1} - a _ {1 2} ^ {1}\right) Y _ {W} + \left(x _ {1} a _ {3 3} ^ {1} - a _ {1 3} ^ {1}\right) Z _ {W} = x _ {1} a _ {3 4} ^ {1} - a _ {1 4} ^ {1}} \\ {\left(y _ {1} a _ {3 1} ^ {1} - a _ {2 1} ^ {1}\right) X _ {W} + \left(y _ {1} a _ {3 2} ^ {1} - a _ {2 2} ^ {1}\right) Y _ {W} + \left(y _ {1} a _ {3 3} ^ {1} - a _ {2 3} ^ {1}\right) Z _ {W} = y _ {1} a _ {3 4} ^ {1} - a _ {2 4} ^ {1}} \end{array} \right. \dots \tag {13} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} {\left(x _ {2} a _ {3 1} ^ {2} - a _ {1 1} ^ {2}\right) X _ {W} + \left(x _ {2} a _ {3 2} ^ {2} - a _ {1 2} ^ {2}\right) Y _ {W} + \left(x _ {2} a _ {3 3} ^ {2} - a _ {1 3} ^ {2}\right) Z _ {W} = x _ {2} a _ {3 4} ^ {2} - a _ {1 4} ^ {2}} \\ {\left(y _ {2} a _ {3 1} ^ {2} - a _ {2 1} ^ {2}\right) X _ {W} + \left(y _ {2} a _ {3 2} ^ {2} - a _ {2 2} ^ {2}\right) Y _ {W} + \left(y _ {2} a _ {3 3} ^ {2} - a _ {2 3} ^ {2}\right) Z _ {W} = y _ {2} a _ {3 4} ^ {2} - a _ {2 4} ^ {2}} \end{array} \dots \dots \dots \dots . (1 4) \right. +$$ + +方程 $(a)$ 表示过 $P_{1}$ 点在世界坐标系下的直线方程, 方程 $(b)$ 表示过 $P_{2}$ 点在世界坐标系下的直线方程, 那么 $(a)$ 与 $(b)$ 联立就可以得到两直线的交点, 即得到原来在世界坐标系下的物点坐标, 这样我们就通过双目定位的方法, 从两相机中像在光心坐标系中的参数推导出了物在世界坐标中的参数, 达到了定位的目的. 如图: + +![](images/e1d690feb7f6d28dd522f74f1e98b65826ba779e2744de30115e6fd507d21b9b.jpg) +图十七 + +现在我们再给出另外一种可行的模型： + +根据假设，我们认为相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面。 + +![](images/bc181e04d88c5e20658c3cc62d96375487baea08c2388d7ba2c1ba2ec710f113.jpg) +图十八 + +问题一、二中我们已经求得了靶标上圆在像屏上面的坐标，以摄像机的光心为原点，建立空间中的直角坐标系。 $x - y$ 平面平行于像平面， $Z$ 轴即为相机的光轴。 + +可以标出象平面上所有点的坐标，这里设为 $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ 、 $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ 、 $(a_{3}, b_{3}, c_{3})$ ，这三个点对应在靶标平面上的三个点，这样点A的到原点地向量为 $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ ，由于A，O，A'在同一条直线上，那么A'坐标可以表示为 $k_{1}(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ ，同理 $B'C'$ 点的坐标为 $k_{2}(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ ， $k_{3}(a_{3}, b_{3}, c_{3})$ ，由于ABC三个点之间的相对位置是固定的，也即 $AB$ 、 $AC$ 、 $BC$ 的长度是已知的，设为 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 、 $L_{3}$ ，可以得。 + +$$ +\left| \mathrm {A B} \right| ^ {2} = \left(\mathrm {k} _ {1} \mathrm {a} _ {1} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {a} _ {2}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {1} \mathrm {b} _ {1} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {b} _ {2}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {1} \mathrm {c} _ {1} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {c} _ {2}\right) ^ {2}; +$$ + +$$ +\left| \mathbf {B C} \right| ^ {2} = \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {a} _ {3} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {a} _ {2}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {b} _ {3} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {b} _ {2}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {c} _ {3} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {c} _ {2}\right) ^ {2}; +$$ + +$$ +\left| \mathrm {A C} \right| ^ {2} = \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {a} _ {3} - \mathrm {k} _ {1} \mathrm {a} _ {1}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {b} _ {3} - \mathrm {k} _ {1} \mathrm {b} _ {1}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {c} _ {3} - \mathrm {k} _ {1} \mathrm {c} _ {1}\right) ^ {2} +$$ + +即得到三个方程，未知数为 $k_{1} 、 k_{2} 、 k_{3}$ ，下面就可以解得三个方程。 + +该方程展开后是这种形式， + +$$ +k _ {1} ^ {2} + p _ {1} k _ {1} k _ {2} + q _ {1} k _ {2} ^ {2} = r _ {1} +$$ + +$$ +k _ {2} ^ {2} + p _ {2} k _ {2} k _ {3} + q _ {2} k _ {3} ^ {2} = r _ {2} +$$ + +$$ +k _ {3} ^ {2} + p _ {3} k _ {3} k _ {1} + q _ {3} k _ {1} ^ {2} = r _ {3} +$$ + +该方程直接求解比较困难，附录中提供了一种求解方案。 + +这样靶标上的点关于我们建立的坐标系的绝对位置可以求得。这三个点为 $A, B, C$ 。 + +同样的道理我们可以得到靶标上三个点关于第二个相机为原点坐标系的坐标。如图： + +![](images/c8a659257d2b1a04fc719d366c4dbd07c06bab51f8eaf240d2d4f27d4893850f.jpg) +图十九 + +在求得 A 点关于两个坐标系的坐标后, 也就是知道了向量 $\overrightarrow{AO}_{1} \cdot \overrightarrow{AO}_{2}$ , 那么就可 + +以知道 $O_{2} O_{1} = \overline{A O_{1}} - \overline{A O_{2}}$ 即两个相机的相对位置。 + +# 五、模型的思考 + +# 1.离心率问题 + +观察题中所给的像图，可以很明显的看出不同椭圆的离心率是不相同的，那么是什么原因导致同一世界坐标系下不同位置的圆经转换后而形成离心率不同的椭圆的呢？ + +前文已经给出坐标系转换的变换矩阵 $M$ ，如下： + +$$ +\left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] = M \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] +$$ + +观察坐标变换矩阵，对世界坐标系中的不同点， $R$ 、 $\mathrm{T}$ 、 $f$ 都有相同的值，唯一的不同就是 $Z_{C}$ ，也就说明最终导致离心率不同的因素就是 $Z_{C}$ ，即点在相机坐标系里的 $Z_{C}$ 方向上的坐标。设想如题中所给定的标靶平面与光心坐标系的 $X_{C} - Y_{C}$ 平面平行，那么很直观的可以到处最后所成的像都是相同的，即有相同的离心率。 + +2. 我们分别给出了两种相机定标的方法，并且可以互为印证。变换矩阵模型具有很强的适应性，对一般的双目定标问题给出了求解的方法。公切线模型主要是在平面上讨论问题，比较直观，容易理解； +3.本文是建立在小孔成像的基础之上，而实际相机成像是透镜成像，远离图像中心处，镜头畸变会比较大，从而会给小孔成像模型带来一定误差； +4. 矩阵模型中对旋转矩阵 $\mathbb{R}$ 的求解不能非常清晰明确的给出，需要进一步完善。 + +# 参考文献 + +[1] 马颂德 张正友，计算机视觉，北京：科学出版社，1998 +[2] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003 +[3] 李庆扬等，非线性方程组的数值解法，北京：科学出版社，1997 +[4] 陈亚浙 吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，北京：科学出版社，1991 + +附录 + +1.坐标系旋转变换 + +对于二维的坐标旋转变换，如由 $xoy$ 绕 $o$ 点逆时针旋转 $q$ 到新的坐标系 $x'oy'$ ，则有以下变换关系： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = x ^ {\prime} \cos q - y \sin q \\ y = x ^ {\prime} \sin q + y ^ {\prime} \cos q \end{array} \right. +$$ + +即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x ^ {\prime} = x \cos q + y \sin q \\ y ^ {\prime} = - x \sin q + y \cos q \end{array} \right. +$$ + +此时有： + +$$ +R = \left[ \begin{array}{c c} \cos q & \sin q \\ - \sin q & \cos q \end{array} \right] +$$ + +且 $\mathbf{R}$ 是正交的单位矩阵。 + +推广到三维情况，三维坐标系里的旋转我们可以等效为坐标系分别以 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴为转轴旋转，统一规定旋转方向为正面坐标系的逆时针旋转，绕 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴旋转的角度分别为 $a$ 、 $b$ 、 $g$ 。 + +初始坐标为 $(x,y,z)$ 经绕 $x$ 轴旋转 $\pmb{a}$ 后得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} = x \\ y _ {1} = y \cos a + z \sin a \\ z _ {1} = - y \sin a + z \cos a \end{array} \right. +$$ + +再绕 $y$ 轴旋转 $\pmb{b}$ 可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {2} = - z _ {1} \sin b + x _ {1} \cos b \\ y _ {2} = y _ {1} \\ z _ {2} = z _ {1} \cos b + x _ {1} \sin b \end{array} \right. +$$ + +再经 $z$ 轴旋转 $\pmb{g}$ 可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {3} = x _ {2} \cos \boldsymbol {g} + y _ {2} \sin \boldsymbol {g} \\ y _ {3} = - x _ {2} \sin \boldsymbol {g} + y _ {2} \cos \boldsymbol {g} \\ z _ {3} = z _ {2} \end{array} \right. +$$ + +那么此三维坐标系经旋转最后可得到坐标系XYZ与原坐标系的坐标转换关 + +系为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} X = x _ {3} = x \cos b \cos g + y (\sin a \sin b \cos g + \cos a \sin g) + z (- \cos a \sin b \cos g + \sin a \sin g) \\ Y = y _ {3} = x (- \cos b \sin g) + y (- \sin a \sin b \sin g + \cos a \cos g) + z (\cos a \sin b \sin g + \sin a \cos g) \\ Z = z _ {3} = x \sin b + y (- \sin a \cos b) + z \cos a \cos b \end{array} \right. +$$ + +所以三维情况下的坐标旋转矩阵为： + +$$ +R = \left[ \begin{array}{c c c} \cos b \cos g & \sin a \sin b \cos g + \cos a \sin g & - \cos a \sin b \cos g + \sin a \sin g \\ - \cos b \sin g & - \sin a \sin b \sin g + \cos a \cos g & \cos a \sin b \sin g + \sin a \cos g \\ \sin b & - \sin a \cos b & \cos a \cos b \end{array} \right] +$$ + +非线性方程组的求解 + +有映象 $\mathrm{F}:\mathrm{D}\subseteq \mathrm{R}^{\mathrm{n}}\to \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 。求解非线性方程组 + +$\mathrm{F}(\mathrm{x}) = 0$ ,假定 $\mathrm{X^{*}\in D}$ 是方程的一个精确解， $\mathbf{X}^{\mathrm{k}}$ 是 $\mathbf{X}^*$ 的一个近似，通过 $\mathbf{X}^{\mathrm{k}}$ 可以定义仿射映像： + +$$ +\mathrm {L} _ {\mathrm {k}}: \mathrm {R} ^ {\mathrm {n}} \rightarrow \mathrm {R} ^ {\mathrm {n}} +$$ + +为 $\mathrm{L_k(x) = A_k(x - x^k) + F(x^k)}$ ，其中 $\mathrm{A_k\in L(R^n)}$ 为非奇异 ${\bf n}$ 阶矩阵，显然 $\mathrm{L_k(x) = F(x^k)}$ ，若用线性方程组 $\mathrm{L_k(x) = A_k(x - x^k) + F(x^k) = 0}$ 的解 $\mathbf{x} = \mathbf{x}^{k + 1}$ 作为方程的新近似，即 $x^{k + 1} = x^{k} - A_{k}^{-1}F(x^{k}),k = 0,1\dots \dots$ 即为非线性方程的线性化迭代法。 + +对所有的 $\mathbf{k}$ 都取 $A_{k} \equiv A \in L(R^{n})$ 非奇异，于是 $x^{k+1} = x^{k} - A^{-1}F(x^{k}), k = 0,1$ . 成为 $\mathbf{n}$ 维平行弦方法。 + +应用Newton法解非线性方程组，还可以得到更好的收敛速度和自校正的特点，但由于时间限制，我们并没有深入分析下去。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B1919\357\274\210\351\231\210\345\257\205\357\274\211[1]../B1919\357\274\210\351\231\210\345\257\205\357\274\211[1]...md" "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B1919\357\274\210\351\231\210\345\257\205\357\274\211[1]../B1919\357\274\210\351\231\210\345\257\205\357\274\211[1]...md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5ac1e6ed7a823b94723f0b1cb08267f66ee00030 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B1919\357\274\210\351\231\210\345\257\205\357\274\211[1]../B1919\357\274\210\351\231\210\345\257\205\357\274\211[1]...md" @@ -0,0 +1,741 @@ +# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B + +我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1919 + +所属学校（请填写完整的全名）： 华南农业大学 + +参赛队员 (打印并签名)：1. 张迪英 +2. 麦培元 +3. 陈寅 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 金玲玉 + +日期：2008年9月22日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
评阅人
评分
备注
+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 高等教育学费标准问题的研究 + +# 摘要 + +本文主要分两个不同的角度对学费标准问题进行了研究，第一角度是通过建立综合评价模型来制定学费合理性的评价方法，第二角度是通过建立多目标规划模型来制定合理的学费价格体系。 + +从第一个角度出发，建立了一个综合评价模型（模型一）来制定学费合理性的评价方法，运用这种方法可按照各类学校或专业的学费合理程度的高低对其进行综合排序。 + +模型一首先是从教育投资效益的角度出发来分析“学费的合理性”的影响因素，构造了劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标，并利用极差标准化法对这5个指标进行标准化处理。然后运用偏大型正态分布函数作为动态加权函数，对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标，指标的数值越大说明学费的合理性越高。模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。若将全国所有普通高等学校按照省份分为31类，应用模型一，各类高校学费的综合评价结果是浙江省、湖北省、江西省高校的学费合理性最大，福建省高校的学费合理性最小。 + +从第二个角度出发，建立了一个多目标规划模型（模型二）来制定合理的学费价格体系，运用这个体系可制定出全国整体水平的最优学费价格和生均奖贷助学金。 + +模型二是从全国整体水平出发，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担约束、社会经济约束和学校财力约束，建立多目标规划模型。通过线性加权将多目标规划模型化为单目标规划模型，用LINGO软件求得全局最优解。求解的结果是全国普通高等学校最优的平均学费价格是4298.35元，生均奖贷助学金是644.75元。分析结果得出，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，应当进行适当地下调高校学费，下调的幅度大概为 $12.84\%$ ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为 $5.79\%$ 。 + +模型的改进方面，在模型二的基础上，建立了一个能够对具体学校的具体专业学费进行合理定价的模型。 + +本文的最大的亮点在于学费价格体系中不仅考虑了学费标准，还考虑了奖贷助学金的发放标准。另外，运用了偏大型正态分布函数作为动态加权函数，对评价指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标也是本文的一个优点。最后，本文还对制定学费标准的具体方案给出了建议，并对三个模型在实际中的应用价值进行了讨论。 + +关键词：高等教育学费标准 多目标规划 综合评价指标 学费价格体系 + +# 一 问题的提出 + +学费政策是教育财政政策的重要组成部分。在现行制度下，大学学费标准的制定和实行属于地方管辖，即由学校所属地区的地方政府物价局根据当地物价水平来确定，所以全国各地的大学学费标准及其确定方式也不尽相同。[1] + +高等教育的学费问题涉及到每一个大学生及其家庭。过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又会导致学校财力不足而无法保证培养质量。根据相关规定，高等教育属于非义务教育，其成本主要是根据高等教育收益分享情况进行分摊，即遵循“谁收益、谁负担”的原则。基于此理论，我国于1993年试行并轨招生，缴费上学制度开始在部分高校试行。到1997年，全国高校全部并轨收费。然而，自高等教育实行收费政策以来，收费标准出现了逐步攀升的情况，以至于学费水平在一定程度上成了人们关注的社会问题，也成为人们争议的社会焦点。[2] + +本文需解决的问题是根据中国国情，收集相关数据，并据此建立数学模型，对学费标准进行定量分析，得出明确的、有说服力的结论。然后根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。 + +# 二 问题的分析 + +高等教育的经费主要由政府拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成，其中由受教育者及其家庭所承担的学费是本文主要的讨论对象。目前学费收入已成为高等学校办学经费的主要来源之一，也已成为维系学生与学校经济关系的主要纽带。在学费的背后，体现着市场经济下学生、学校之间重要的经济关系。高等教育学费是一种作为市场主体的高等学校和学生之间的自愿市场交换行为，其中高等教育是一种商品，学费是高等教育产品的价格表现。因此，无论从形式还是内容上其价格的性质都已经具备。简而言之，高等教育学费就是一种价格。[3] + +为了探讨学费的标准，首先要分析普通高等学校教育经费的收入来源和支出用途，根据《2007中国教育经费统计年鉴》，分析得出高校经费的收入来源和支出用途，如下图所示： + +![](images/f9812d75e48db0ecd69d2ee5803d012d89f2401d35146fe0aa0e8647f90f68e3.jpg) +图1 普通高等学校经费的收入和支出 + +另外，为了照顾符合接受高等教育条件但是家庭经济困难的学生，可以通过申请奖学金、贷学金和助学金来获得资助、减少学费的支出。因此，在研究学费标准时，不仅要考虑学费自身的标准，还要兼顾考虑奖学金、贷学金和助学金的标准。这里为了简化问题，我们将奖学金、贷学金和助学金结合起来进行分析，统称为“奖贷助学金”。 + +对于这个问题，我们考虑从整体和局部两个角度出发来分析和解决问题。 + +首先，从整体出发，分成三个步骤来对我国的学费价格进行定量分析。 + +![](images/cd8bb5ed80f568be1505d08f84ca883d4e00a816f4ce48a6063fb728045ba338.jpg) +图2 整体解题步骤 + +第一步是探讨学费价格的影响因素，即在确定学费时需要考虑哪些因素的影响。比如，主要的影响因素有家庭经济承担能力、生均培养成本的分担情况和学校的财政能力等。然后根据分析结果来收集所需的相关数据。 + +第二步是建立一个评价学费是否合理的方法，来分析目前我国高等教育学费的合理性，即确定学费的收取是否合理。概括地说，就是根据前面的分析结果，结合主要的相关因素，利用综合评价方法，建立一个评价准则，然后运用这个评价方法，可对几类学校或专业的学费合理性进行评价。 + +第三步是根据学费价格的影响因素，制定出科学合理的学费价格体系，即确定最优的学费价格和奖贷助学金。简单地说，科学合理的学费价格体系是指既能使学生有能力支付，又能满足学校财务需求、并保证教学质量。 + +以上三个步骤是对全国的平均学费价格水平进行总体分析。 + +然后，具体地，从局部出发，结合三个方面对问题进行深入探讨。 + +![](images/f146a23aec7f19cb09a5af6fd13374946bb887a45296835ba14f2e18e3077861.jpg) +图3 局部分析的三个方面 + +这里的局部性是指具体考虑适合某个地区的某类学校中某个专业的学费价格体系。 + +第一方面是考虑地区差异对学费价格的影响，主要是考虑当地的区域经济发展水平的影响。我国各地区的经济发展并不均衡，各地居民的经济收入状况也存在差异，导致了高校的学费水平也存在区域差异。 + +第二方面是考虑学科专业差异对学费价格的影响，即考虑专业的冷热门、专业的培养需求和对社会的贡献率的影响。也就是说，相对而言，热门专业的学生应缴纳较高的学费，来与其毕业后较高的收益想匹配。同时，某些专业自身的特点使其培养成本较高，相应地要求就读的学生缴纳较高的学费，比如艺术类专业。而对于社会回报率较高、个人回报率较低的专业，其学费应保持在一个较低的水平。[5] + +第三方面是考虑办学层次的差异，即考虑学校的性质是本科院校、专科院校还是民办院校。学费和教育成本的关系非常密切，本科院校属于重点学校，其教育成本一般比专科院校的教育成本高，因为本科院校需要聘请更多的优秀教学科研人员，所以需要支付更高的薪酬；同时，本科院校的科研、教学、生活设施一般要比专科院校完善，这也会带来更多的投入。又因为重点学校的需求也比普通学校多，所以理论上其学费价格也 + +应该比较高，才能使成本与收益相匹配。但是由于重点学校得到政府和社会提供的财政经费要远高于普通学校，因此能够接受相对较低的学费。这就是我国高等教育中普遍存在“高质低价、低质高价”现象的原因。另外，民办高校由于缺少政府的财政扶持，主要依靠学费作为办学经费的主要来源，所以其学费水平应高于同类的公立院校。 + +以上三个方面的分析是对问题的细化和深化，使得学费的确定标准更加具体、更加具有针对性。 + +# 三 模型的假设 + +（1）假设各类学校学费价格的制定互不影响。 +（2）假设国家和社会对普通高等学校的资助金额能够全部到位。 +（3）假设不考虑流动资金的时延性。 + +# 四符号的说明 + +
\(I_i\)模型一的第i个指标(i=1,2,···,5);\(w_i\)模型一第i个指标的权值(i=1,2,···,5)
\(M_1\)应届应该毕业的学生总数;\(M_1'\)应届实际毕业的学生人数;
\(M_2\)学校教职工人数;\(M_2'\)高校的教师总数;
\(S_2\)年获得国家授权的科研项目数;\(M_3\)学校用于教学性经费的支出
\(Y_i\)模型二的第i个指标(i=1,2,3,4);\(C_i\)第i个比率(i=1,2,3,4);
\(x_1\)学费价格;\(x_2\)生均奖贷助学金;
\(F\)高等学校经费总收入;\(F'\)高等学校经费总支出;
\(F_1\)国家对高校的财政拨款;\(F_2\)社会对高校的捐资经费;
\(F_3\)学校自筹资金;\(F_4\)高校教职工的工资福利;
\(F_5\)学校公务费;\(F_6\)学校设备建设;
\(f_1\)国家生均拨款;\(f_2\)生均社会捐资经费;
\(f_3\)生均学校自筹资金;\(f\)生均教育培养成本;
\(E\)恩格尔系数;\(N\)学生总人数;
\(p_1\)居民人均收入;\(p_2\)大学毕业生的人均工资;
\(\overline{p}_2\)人均工资;\(p_3\)平均家庭收入;
\(p_4\)人均GDP;λ专业培养系数;
μ专业的社会贡献系数;ξ学校重点系数;
+ +# 五 模型的建立与求解 + +本节主要分为两大部分，第一部分是通过建立综合评价模型来制定学费合理性的评价方法。模型一中，以劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标为评价指标，运用偏大型正态分布函数对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标，模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。第二部分是通过建立多目标规划模型来制定合理的学费价格体系。模型二中，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担约束、社会经济约束和学校财力约束。模型二可制定出全国整体水平的最优学费价格和生均奖贷助学金。 + +# 5.1学费合理性的综合评价方法 + +# 5.1.1 模型一的分析 + +建立这个模型的目的是为了对学费的合理性进行综合评价，这就需要对评价指标进行设置。在问题的分析中提过，高等教育是一种商品，学费是高等教育产品的价格表现，因此所设置的评价指标要能够反映出高等学校的教育投资效益。评价指标的设置必须能够充分反映办学目标的要求，既要结合当前的实际又要着眼于未来。 + +高等教育的宏观效益包括社会效益和经济效益两大方面。高等教育的社会职能是教学、科研、生产三者相结合，是培养高级人才和发展科学文化技术的部门，因此从某种意义上讲，其社会效益也包含在经济效益内。 + +结合实际情况和理论分析，构建了评价指标体系，包括了以下5个评价指标： + +指标1：劳动成果指标； + +指标2：科研成果指标； + +指标3：劳动占用指标； + +指标4：劳动消耗指标； + +指标5：资源利用指标。 + +# 指标分析： + +# （1）劳动成果指标 + +这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中的劳动成果，这个劳动成果是指接受高等教育学生的质量，这里用毕业生的人数来进行度量。如果实际毕业的学生人数占应该毕业人数的比例较小的话，就说明毕业生的质量达不到基本条件，劳动成果的合格率太低；如果实际毕业的学生人数占应该毕业人数的比例较大，就说明毕业生的质量达到基本条件，劳动成果的合格率较高。所以这个指标的数值越大，效益越好。劳动成果指标可表示为 + +$$ +I _ {2} = \frac {M _ {1} ^ {\prime}}{M _ {1}}, \tag {1} +$$ + +其中， $M_{1}$ 为应届应该毕业的学生总数； $M_{1}^{\prime}$ 为应届实际毕业的学生人数。 + +# （2）科研成果指标 + +科研成果是作为考核高校内部投资效益的辅助指标，这里用学校教职工人均创造的科研成果数来进行量化。如果学校人均创造的科研成果数越多，则说明学校师资力量大， + +科研能力强；如果学校人均创造的科研成果数越少，则说明学校师资力量小，科研能力弱。所以这个指标的数值越大，效益越好。科研成果指标可表示为 + +$$ +I _ {3} = \frac {S _ {2}}{M _ {2}}, \tag {2} +$$ + +其中， $M_{2}$ 为学校教职工人数； $S_{2}$ 为年获得国家授权的科研项目数。 + +# （3）劳动占用指标 + +这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对劳动资源的占用情况，这里是用学校中学生与教师的比例来进行量化。如果学生与教师的比例越大，则说明单位劳动力的服务范围越大，因此对劳动力资源的占用就越小；如果学生与教师的比例越小，则说明单位劳动力的服务范围越小，因此对劳动力资源的占用就越大。所以这个指标的数值越大，效益越好。劳动占用指标可表示为 + +$$ +I _ {4} = \frac {N}{M _ {2} ^ {\prime}}, \tag {3} +$$ + +其中， $N$ 为高校的在校学生总数； $M_2'$ 为高校的教师总数。 + +# （4）劳动消耗指标 + +这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对劳动资源的消耗程度，这里是用学校用于培养每一名大学生的年实际消耗来进行量化。如果高校对于劳动的消耗程度越快，则需要的投资就越多。这个指标的数值越小，效益越好。劳动消耗指标可表示为 + +$$ +I _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} / N + x _ {1}, \tag {4} +$$ + +其中， $F_{1}$ 为国家财政拨款； $F_{2}$ 为社会捐资经费； $F_{3}$ 为学校自筹资金； + +$N$ 为高校的学生总数； $x_{1}$ 为学费价格。 + +# （5）资源利用指标 + +这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对资源的利用情况，这里是用学校教学性经费占教育事业总支出的比例来进行量化。如果学校教学性经费占教育事业总支出的比例越大，说明学校把越多的经费放在教学质量上，即把资源主要利用在教学上。这个指标的数值越大，效益越好。资源利用指标可表示为 + +$$ +I _ {5} = \frac {M _ {3} ^ {\prime}}{M _ {3}} \tag {5} +$$ + +其中， $M_{3}$ 为学校用于教学性经费的支出； $M_{3}^{\prime}$ 为学校用于教育事业的总支出。 + +# 5.1.2 模型一的建立 + +基于5.1.1的分析，以 $(1)\sim (5)$ 为评价指标，建立综合评价模型。这个模型的作用是对于已知的若干类学校的学费价格及其相关的基本情况，求出这些学校的学费价格的综合评价指标，然后可按照综合评价指标的大小对这些学校进行排序，其综合评价指标越大的学校，其学费价格的合理性越高。 + +在建立评价指标体系时，考虑了5个指标，其中有4个指标是越大越好，1个指标是越小越好。同时，由于不同指标的性质不同，量纲不同，之间不具有可比性。为了得到一个实用性更强的综合评价模型，我们首先将各指标统一成标准化指标。 + +这里应用相对隶属度的定义，取方案集的最大特征值对优的相对隶属度为1，方案集的最小特征值对优的相对隶属度为0。 + +具体地，对于“值越大越好”的指标，已知进行评价的 $k$ 类学校的指标值，其极差标准化的公式为 + +$$ +\frac {I _ {k} - \min \{I \}}{\max \{I \} - \min \{I \}} \tag {6} +$$ + +对于“值越小越好”的指标，已知进行评价的 $k$ 类学校的指标值，其极差标准化的公式为 + +$$ +\frac {\operatorname* {m a x} \left\{I \right\} - I _ {k}}{\operatorname* {m a x} \left\{I \right\} - \operatorname* {m i n} \left\{I \right\}} \tag {7} +$$ + +然后采用动态加权法来确定相应的综合评价指标，这里取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即 + +$$ +w _ {i} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & x \leq \alpha_ {i} \\ 1 - \exp \left[ - \left(\frac {x - \alpha_ {i}}{\sigma_ {i}}\right) ^ {2} \right], & x \geq \alpha_ {i} \end{array} \quad (i = 1, 2, \dots , 5) \right. \tag {8} +$$ + +由实际数据经计算可得 $\alpha_{1} = 0.7112$ ， $\alpha_{2} = 0.6567$ ， $\alpha_{3} = 0.1733$ ， $\alpha_{4} = 0.6694$ ， $\alpha_{5} = 0.3376$ ； $\sigma_{1} = 0.2186$ ， $\sigma_{2} = 0.2348$ ， $\sigma_{3} = 0.2433$ ， $\sigma_{4} = 0.2542$ ， $\sigma_{5} = 0.2208$ 。代入上式可以得到5项指标的权值函数。因此，某类学校学费合理性的综合评价指标定义为 + +$$ +R = \sum_ {i = 1} ^ {5} w _ {i} \left(I _ {i}\right) \times I _ {i} \tag {9} +$$ + +这个模型的优点是适用性和灵活性强。通过收集相应的数据，这个模型可适用于评价和比较不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。这里不同类型的学校是指可根据实际需要对学校进行分类，比如可以将学校按所在省份分为广东省高校、湖南省高校等；或按学校性质分为本科高校、专科高校和民办高校；或按学校特点分为师范类、理工类等。 + +# 5.1.3 模型一的应用 + +具体地，我们将全国所有的普通高等学校按其所在省份分为31类，再应用模型一，对全国31个省份的高校学费价格进行综合评价分析。 + +首先，收集模型一所需要用到的数据，如下表所列 + +表 1 求解模型一所收集的数据 + +
各省份应届应该毕业的学生总数各省份应届实际毕业的学生人数
各省份普通高校教职工人数各省份年获得国家授权的科研项目数
各省份普通高校的在校学生总数各省份高校获得的政府财政拨款
各省份高校获得的社会捐资经费各省份的高校自筹资金
各省份的高校学生总数各省份的高校学费价格
各省份高校用于教学性经费的支出各省份高校用于教育事业的总支出
+ +注：以上数据来源于《2007 中国统计年鉴》和《2007 中国教育经费统计年鉴》, 其中部 + +分数据是通过年鉴中的相关数据计算求得的。 + +然后，应用综合评价模型，运用Matlab软件编程进行求解，先求出模型中5个评价指标的值（其具体数值见附录的表9）；接着将5个指标的数据进行标准化（其具体数值见附录的表10）；再对5个指标标准化后的值进行动态加权，得出31个省份的综合评价指数。按照综合评价指标的大小对这些学校进行排序，其综合评价指标越大的学校，其学费价格的合理性越高。结果如下表所示： + +表 2 各省份的综合评价指数和排序 + +
省份综合评价指数排序省份综合评价指数排序
北京0.836212湖北1.55722
天津0.433525湖南1.19267
河北1.20226广东1.20255
山西0.29929广西0.08230
内蒙古0.472524海南0.841511
辽宁0.511622重庆0.377328
吉林1.15118四川0.479423
黑龙江0.563321贵州0.743415
上海0.885610云南0.625518
江苏0.579120西藏1.2254
浙江1.63561陕西0.580719
安徽0.794414甘肃0.713117
福建0.05631青海0.96419
江西1.54913宁夏0.40927
山东0.427826新疆0.720216
河南0.796713
+ +由上表结果可知，在全国的31个省份中，浙江省高校的学费合理性最高，其次是湖北省和江西省；福建省高校的合理性最低。 + +# 5.2 制定科学合理的学费价格体系 + +# 5.2.1 数据的处理 + +# (1) 生均奖贷助学金 + +对于适合接受高等教育但又经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。因此，奖助贷学金的发放，从一定程度上降低了受教育者在经济上的负担。也就是说，对于经济困难的学生，可能所制定的学费超过其经济承受能力，但由于奖助贷学金的资助，使得贫困生实际交纳的学费又降低到其经济承受能力之内。因此，在制定学费标准时，同时要结合考虑奖贷助学金的制定对其产生的影响。 + +这里为了便于和学费进行统计分析，引入一个生均奖贷助学金的概念。 + +生均奖贷助学金是指每个受教育学生可以摊分到的奖贷助学金，其中奖贷助学金是对奖学金、贷学金和助学金的统称。其计算方法为 + +$$ +\text {生 均 奖 助 贷 学 金} = \frac {\text {全 国 奖 贷 助 学 金 支 出}}{\text {学 生 总 数}}. +$$ + +# (2) 生均教育培养成本 + +一般来说教育培养成本是指学校为培养高级专门人才而开支的费用，它是确定收费标准的基础。而生均教育培养成本就是指学校培养每个学生而开支的平均费用。 + +按照我国颁布的《高等学校收费管理暂行办法》，教育培养成本包括公务费、业务费、设备购置费、修缮费、教职工作人员经费等正常办学费用支出。因此，将教育培养成本除以学生总数就可得到生均教育培养成本。 + +# 5.2.2 模型二的分析 + +建立这个模型的目的是为了制定对于全国整体水平来说合理的学费价格和生均奖贷助学金。我们以学费价格和生均奖贷助学金作为变量，设全国高等学校的平均学费价格为 $x_{1}$ ，平均的生均奖贷助学金为 $x_{2}$ 。结合实际，主要考虑制定合理的学费价格和生均奖贷助学金，以满足如下几个需求因素： + +目标1：培养质量指标最大； + +目标2：学生就读指标最大； + +目标3：办学收益指标最大； + +目标4：学生收益指标最大。 + +# 目标分析： + +# 目标1：培养质量指标最大 + +高校是高等教育的供给方，而学费具有价格的功能，因此学费价格会影响高校所供给的培养质量。同时，培养质量是高等教育的一个核心指标，其质量需要有相应的经费来做保障，即运用学费的价格功能能够促使高校提高办学质量。 + +对于培养质量，我们主要从三方面进行衡量，分别是师资力量、教育设备和教学氛围。师资力量主要体现在教师人数和教师级别上，这可以用教育经费中教职工的工资费用来衡量；教育设备可以用教育经费中在教学设备上的花费来衡量；教学氛围主要体现在学生的学习积极性上，可以用教育经费中学校奖学金的资助力度来衡量。这三方面的花费在教育经费总支出中的比重可以从一定程度上反映出培养质量。 + +如果学校的经费越充足，则可以花费在这三方面的经费就越多，相应地，学校对学生的培养质量就越高。也就是说，学费价格会对培养质量产生影响，因为学费越高，学校的经费就越充足。 + +因此结合全国高校在师资、设备和奖贷助学金这三方面的费用和学费价格，定义一个培养质量指标。因为培养质量越大越好，所以培养质量指标最大可表示为 + +$$ +\max Y _ {1} = \frac {x _ {1}}{f _ {1}} \times \frac {F _ {4} + F _ {6} + N x _ {2}}{F ^ {\prime}}, \tag {10} +$$ + +其中， $F^{\prime} = \sum_{i = 4}^{7}F_{i} + Nx_{2}$ ， $F^{\prime}$ 为全国高校经费的总支出； + +$x_{1}$ 为全国高等学校的平均学费价格； $x_{2}$ 为全国平均的生均奖贷助学金； + +$f_{1}$ 为国家生均拨款； $N$ 为全国高校的学生总数； + +$F_{4}$ 为全国高校教职工的工资福利； $F_{6}$ 为全国高校的设备费用。 + +在这个指标中， $\frac{F_{4} + F_{6} + Nx_{2}}{F^{\prime}}$ 是学校培养质量型经费占教育事业总支出的比例，如 + +果学费越高或生均奖贷助学金越高，则花费在培养质量的经费就越多，培养质量也越大。 + +# 目标2：学生就读指标最大 + +虽然学费越高，学校对学生的培养质量也越高，但是过高的学费会使学生无力支付，为此我们建立第二个目标函数。我国目前的高等教育是处于供不应求的情况，教育部门按照高考成绩和考生志愿来分配学位。但是由于学费价格的影响，对于无法承担这个学费价格的学生，可能会选择放弃这个受教育机会。也就是说，学费价格的提高或降低对高校学生的就读率产生影响。如果学费越高，在经济上无法承担的学生就越多，则学校的学生就读率就越低；相反地，如果学费越低，在经济上能够承担的学生就越多，则学校的学生就读率就越高。 + +因此结合恩格尔系数、居民人均收入和学费、生均奖贷助学金的关系，定义一个学生就读指标。因为学生就读指标越大越好，所以学生就读指标最大可表示为 + +$$ +\max Y _ {2} = \frac {(1 - E) \times p _ {1}}{x _ {1} - x _ {2}}, \tag {11} +$$ + +其中， $E$ 为恩格尔系数； $p_1$ 为全国的居民人均收入。 + +因为恩格尔系数反映了居民均收入中用于购买食物的百分比，所以在这个指标的计算公式中，分子表示居民均收入中满足温饱之后的可支配金额；分母是将学费价格减去生均奖贷助学金，即平均每个学生为缴纳学费所支出的费用。如果这个指标越大，说明居民的人均支配金额能够承受学费的能力越大，相应地，学校的学生就读率就越高。 + +# 目标3：办学收益指标最大 + +在问题的分析中提过，高等教育是一种商品，它是非义务教育，因此，学校作为一个经营者，必然希望自己在经济上的获利越多越好。学校的收入来源包括国家拨款、社会捐资、学校自筹资金和学费收入，学校的支出包括教职工的工资福利、学生的奖贷助学金、公务费、设备建设费用和基建支出。将这些收入和支出摊分到每个学生身上，如果学校在每个学生身上的获利越多，则其办学总获利就越大；相反地，如果学校在每个学生身上的获利越少，则其办学总获利就越少。 + +因此定义一个办学获利指标来衡量学校在每个学生身上的获利。因为对于学校而言，办学获利指标越大越好，所以办学获利指标最大可表示为 + +$$ +\max Y _ {3} = \frac {f _ {1} + f _ {2} + f _ {3} + x _ {1}}{\sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} / N + x _ {2}}, \tag {12} +$$ + +其中， $f_{1}$ 为国家生均拨款； $f_{2}$ 为生均社会捐资经费； $f_{3}$ 为生均学校自筹资金； + +$F_{4}$ 为全国高校教职工的工资福利； $F_{5}$ 为全国高校的公务费用； + +$F_{6}$ 为全国高校的设备费用； $F_{7}$ 为全国高校的基建支出费用； + +$N$ 为全国高校的学生总数。 + +# 目标4：学生收益指标最大 + +对于学生而言，选择接受高等教育相当于是对自身进行一种投资，因为在当今社会，拥有的专业知识水平越高，则竞争力也越大，相应得到的工资也会越高。也就是说，学生在大学期间是一个投资的阶段，而大学毕业之后是一个获利的阶段。如果相对于大学期间的投资而言，毕业后获得的利润越大的话，那么表明学生接受高等教育的收益越大。 + +因此结合学生投入的资金和毕业后获利的资金之间的关系，定义一个学生收益指标来衡量每个学生的投资和获利比。因为对于学生而言，收益指标越大越好，所以学生收益指标最大可表示为 + +$$ +\max \quad Y _ {4} = \frac {p _ {2} - \bar {p} _ {2}}{x _ {1} - x _ {2}}, \tag {13} +$$ + +其中， $p_2$ 是全国大学毕业生的人均工资； $\overline{p}_2$ 是全国的人均工资。 + +在这个指标中，分子是大学毕业生人均工资比全国人均工资的差值，它反映了接受大学教育与全国平均教育程度的利润差。分母是将学费价格减去生均奖贷助学金，即平均每个学生为缴纳学费所支出的费用。如果这个指标越大，说明学费的制定使得学生获得的收益越大。 + +# 约束分析： + +# （1）成本分担约束 + +美国经济学家布鲁斯·约翰斯顿在其出版的《高等教育的成本分担：英国、联邦德国、法国、瑞典和美国的学生财政资助》一书中，提出了著名的成本分担理论，即应由政府、学生家庭和社会捐赠共同分担高等教育的成本。因此，学费标准应根据年生均教育培养成本的一定比例确定。我国规定[8]，现阶段高等学校学费占年生均教育培养成本的比例最高不得超过 $25\%$ 。则成本分担约束可表示为 + +$$ +\frac {x _ {1}}{f} \leq C _ {1}, \tag {14} +$$ + +其中， $f = \sum_{i=4}^{7} F_i / N + x_2$ ， $f$ 是生均教育培养成本； + +$C_{1}$ 是比例阈值，可根据需要设定。这里根据国家规定，取 $C_{1} = 25\%$ 。 + +# （2）家庭负担约束 + +高等教育投资对于受教育者来讲是一种教育消费，对于家庭来说是整个家庭消费的一部分。收费越高，会过多挤占家庭在其它方面的消费，加重家庭的生活负担。所以高等教育收费政策的制定必须考虑我国居民承受能力，特别是奖贷助学金的发放，就是为了确保弱势群体在接受高等教育时不受经济条件的限制，为更多的人提供接受高等教育的机会，促进教育资源得到有效的配置。因此需要约束学费价格来促进教育公平的实现。 + +因而，收费标准的确定必须建立在学生及其家庭的经济基础之上，在学生及家庭的经济承受能力的允许范围之内。则家庭负担约束可表示为 + +$$ +\frac {x _ {1} - x _ {2}}{p _ {3}} \leq C _ {2}, \tag {15} +$$ + +其中， $p_3$ 是平均家庭收入，即等于全国居民人均收入乘以全国平均家庭规模； + +$C_{2}$ 是比例阈值，可根据需要设定。 + +# （3）社会经济约束 + +合理的大学学费价格必须是社会可以承受的价格。近30年的改革开放使我国在经济、科技、文化和教育等各方面都有了显著进步，最显著的变化之一就是人均GDP的提高。但是如果高校学费的增长大大高于人均GDP的增长，就会出现大学学费与人均GDP严重“倒挂”的现象。基于国民承受能力的角度，必须根据人均GDP，对我国高 + +校的学费标准进行限制。从世界整体水平而言，学费占人均GDP的比例一般在 $20\%$ 左右。则社会经济约束可表示为 + +$$ +\frac {x _ {1}}{p _ {4}} \leq C _ {3}, \tag {16} +$$ + +其中， $p_4$ 是全国人均GDP； $C_3$ 是比例阈值，这里根据世界水平取 $C_3 = 20\%$ 。 + +# （4）学校财力约束 + +过低的学费会使学校财力不足而无法保证其教学正常运作，因此，学生缴纳的学费总数需要能够保障学校教学工作的开展，即学校的总收入必须大于学校的总支出。则学校财力约束可表示为 + +$$ +N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i}, \tag {17} +$$ + +其中， $F_{1}$ 为国家财政拨款； $F_{2}$ 为社会捐资经费； $F_{3}$ 为学校自筹资金； + +$F_{4}$ 为全国高校教职工的工资福利； $F_{5}$ 为全国高校的公务费用； + +$F_{6}$ 为全国高校的设备费用； $F_{7}$ 为全国高校的基建支出费用； + +$N$ 为全国高校的学生总数。 + +# （5）学费资助约束 + +为了确保贫困生在接受高等教育时不受经济条件的限制，学校发放给贫困生助学金或贷学金；为了鼓励品学兼优的学生，学校发放给优秀生奖学金。这些资助费用都从一定程度上减免了学生的学费。本文为了便于计算，提出一个生均奖贷助学金的概念，即将奖贷助学金摊分给每个受教育学生，其中奖贷助学金是对奖学金、贷学金和助学金的统称。为了在资助学生的同时又保证学校的利益，生均奖贷助学金占学费的比例需要有一个上限。则学费资助约束可表示为 + +$$ +\frac {x _ {2}}{x _ {1}} \leq C _ {4}, \tag {18} +$$ + +其中， $C_4$ 是比例阈值，可根据需要设定。 + +# 5.2.3 模型二的建立 + +针对这个多目标决策问题，基于5.2.1的分析，以 $(10)\sim (13)$ 为目标，以 $(14)\sim (18)$ 为约束，建立多目标规划模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \max \quad Y _ {1} = \frac {x _ {1}}{f _ {1}} \times \frac {F _ {4} + F _ {6} + N x _ {2}}{F ^ {\prime}} \\ \max \quad Y _ {2} = \frac {(1 - E) \times p _ {1}}{x _ {1} - x _ {2}} \\ \max \quad Y _ {3} = \frac {f _ {1} + f _ {2} + f _ {3} + x _ {1}}{\sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} / N + x _ {2}} \\ \max \quad Y _ {4} = \frac {p _ {2} - \bar {p} _ {2}}{x _ {1} - x _ {2}} \\ \end{array} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} - x _ {2} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right. +$$ + +模型说明： + +目标1为培养质量指标最大，目标2为学生就读指标最大，目标3为办学获利指标最大，目标4为学生收益指标最大； + +约束1为成本分担约束，约束2为家庭负担约束，约束3是社会经济约束，约束4是学校财力约束，约束5是学费资助约束； + +$x_{1}$ 为全国高等学校的平均学费价格； $x_{2}$ 为全国平均的生均奖贷助学金； + +$F_{1}$ 为国家财政拨款； $F_{2}$ 为社会捐资经费； $F_{3}$ 为学校自筹资金； + +$F_{4}$ 为全国高校教职工的工资福利； $F_{5}$ 为全国高校的公务费用； + +$F_{6}$ 为全国高校的设备费用； $F_{7}$ 为全国高校的基建支出费用； + +$N$ 为全国高校的学生总数； $F^{\prime}$ 为全国高校经费的总支出； $E$ 为恩格尔系数； + +$p_{1}$ 为全国的居民人均收入； $p_{2}$ 是全国大学毕业生的人均工资； + +$\overline{p}_{2}$ 是全国的人均工资； $p_{3}$ 是平均家庭收入； $p_{4}$ 是全国人均GDP； + +$f$ 是生均教育培养成本； $f_{1}$ 为国家生均拨款； $f_{2}$ 为生均社会捐资经费； + +$f_{3}$ 为生均学校自筹资金； $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 是比例阈值。 + +# 5.2.4 模型二的求解 + +# （1）数据的收集 + +为了对模型二进行求解，首先我们收集求解模型所需要用到的数据，如下表所列： + +表 3 求解模型二所用的数据 + +
数据名称数据
全国普通高等学校国家财政拨款125,957,124,000元
全国普通高等学校社会捐资经费1,933,151,000元
全国普通高等学校自筹资金56,972,147,000元
全国高校教职工的工资福利92,109,757,000元
全国高校的公务费用82,509,664,000元
全国高校的设备费用36,744,586,000元
全国高校的基建支出费用37,113,047,000元
全国高校的学生总数19,158,000人
全国的居民人均收入7174.7元
全国人均GDP18268元
全国恩格尔系数39.8%
全国平均家庭户规模3.17人/户
全国大学毕业生的人均工资33444元
全国的人均工资21001元
+ +注：以上数据来源于《2007 中国统计年鉴》和《2007 中国教育经费统计年鉴》，其中部分数据是通过年鉴中的相关数据计算求得的。 + +# （2）模型的求解 + +这是一个多目标决策问题，其求解可采用多属性效用函数，将多目标规划模型转化为单目标规划模型来求解。 + +首先，这里考虑到模型二中的4个目标函数都是要求最大化，因此我们运用线性加权法将多目标规划模型化为单目标规划模型来求解，加权得到的优化模型如下所示： + +$$ +\max Z = \omega_ {1} Y _ {1} + \omega_ {2} Y _ {2} + \omega_ {3} Y _ {3} + \omega_ {4} Y _ {4} \tag {19} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} - x _ {2} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right. +$$ + +根据前面的分析，约束条件中的4个比例阈值分别取为 $C_1 = 25\%$ 、 $C_2 = 20\%$ 、 $C_3 = 20\%$ 、 $C_4 = 15\%$ 。另外，取 $\omega_{1} = \omega_{2} = \omega_{3} = \omega_{4} = 0.25$ ，然后运用LINGO软件编程求解全局最优解，得到的结果为 + +表 4 全国水平的合理学费价格 (单位：元) + +
项目费用
学费4298.35
生均奖贷助学金644.75
+ +上表显示，全国普通高等学校每位学生每年的平均学费为4298.35元，生均奖贷助学金为644.75元是最优值。 + +由《2007中国教育经费统计年鉴》中的数据，用全国高等学校的总学费收入除以在校学生数，得到目前普通高等学校的平均学费为4931.58元；用全国高等学校的总奖助学金除以在校学生数，得到目前普通高等学校的生均奖贷助学金为609.46元。 + +根据结果可知，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，进行适当地下调，下调的幅度大概为 $12.84\%$ ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为 $5.79\%$ 。这样既能够减少学生的经济负担，又可以保证培养质量，同时也不会影响学校教学工作的正常运作。 + +# 六 模型的改进 + +运用模型二，我们可以制定出针对全国高等学校平均水平的合理学费价格和生均奖贷助学金。在实际生活中，不同地区、不同类型的学校、不同专业的学生所需要缴纳的学费各不相同。为了能够具体地制定出某地区某个学校中某个专业的合理学费价格，在模型的改进方面，我们考虑对模型二进行改进，建立一个能够计算出具体地区、具体学校、具体专业的模型。 + +在问题的分析中提过，地区、学校类型和专业这三个因素都会对学费价格产生影响。为了衡量这些因素所产生的影响，我们制定了以下三个系数： + +# (1) 社会贡献系数 $\lambda$ + +这个系数是根据专业性质来确定的。对于不同的专业，由于其学生毕业之后对社会的贡献不同，相应地，国家的资助力度也不相同。比如师范类专业，由于师范类专业学生毕业后大部分为国家的教育事业服务，对社会的贡献较大，而教师的工资水平不高，所以个人获得的回报较少，因此国家对师范类专业的资助力度较大。因此，对于这种社会贡献率较高、个人回报率较低的专业，由于国家的资助力度较大，所以其学费可以保持在一个较低的水平。 + +针对这种情况，我们根据专业性质定义一个社会贡献系数，来对不同专业获得的国家资助力度对学费产生的影响进行量化。 + +这里我们将专业分为7大类，分别是理工类、文科类、商科类、师范类、艺术类、农林类、医科类。根据每个专业的性质，对其社会贡献系数进行估计，如下表所示： + +表 5 各专业的社会贡献系数 + +
专业理工类文科类商科类师范类艺术类农林类医科类
社会贡献系数1111.511.81.2
+ +# (2) 专业培养系数 $\mu$ + +这个系数是根据专业特点来确定的。对于不同的专业，受教育学生的培养成本不同。某些专业自身的特点使其培养成本较高，相应地要求就读的学生缴纳较高的学费，比如艺术类专业。 + +针对这种情况，我们根据专业特点定义一个专业培养系数，来对不同专业的生均培养成本对学费产生的影响进行量化。 + +根据每个专业的特点，对其社会贡献系数进行估计，如下表所示： + +表 6 各专业的专业培养系数 + +
专业理工类文科类商科类师范类艺术类农林类医科类
专业培养系数1110.81.80.81.6
+ +# （3）学校重点系数 $\xi$ + +由于重点学校得到政府和社会提供的财政经费要远高于普通学校，因此重点高校能够接受相对较低的学费。这就是我国高等教育中普遍存在“高质低价、低质高价”现象的原因。另外，民办高校由于缺少政府的财政扶持，主要依靠学费作为办学经费的主要来源，所以其学费水平应高于同类的公立院校。 + +针对这种情况，我们根据学校性质定义一个学校重点系数，来对不同类学校获得的国家资助力度对学费产生的影响进行量化。 + +这里我们将学校按其重点程度分为3类，分别是重点本科学校、普通本科学校和专科学校。根据每类学校的性质，对其学校重点系数进行估计，如下表所示： + +表 7 各类学校的学校重点系数 + +
学校重点本科普通本科专科
学校重点系数1.51.21
+ +建立这个改进模型的目的是为了制定某类学校具体专业的合理学费价格和生均奖贷助学金。我们以学费价格和生均奖贷助学金作为变量，设该学校该专业的学费价格为 $x_{1}$ ，生均奖贷助学金为 $x_{2}$ 。 + +在模型二的基础上，结合以上3个系数，建立如下多目标规划模型，这个改进模型的优点是能够对某类学校具体专业的学费和生均奖贷助学金进行合理定价。 + +max $Y_{1} = \frac{x_{1} / \lambda}{\mu\xi F_{1}}\times \frac{F_{4} + F_{6} + x_{2}\times N}{F^{\prime}}$ + +max $Y_{2} = \frac{(1 - E)\times p_{1}}{x_{1} - x_{2}}$ + +$\max Y_{3} = \frac{\mu\xi(F_{1} + F_{2} + F_{3}) / N + x_{1} / \lambda}{(F_{4} + F_{5}) / N + x_{2}}$ + +max $Y_{4} = \frac{\mu\xi\left(p_{2} - \overline{p}_{2}\right)}{x_{1} - x_{2}}$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} \mu \xi f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right. +$$ + +模型说明： + +目标1为培养质量指标最大，目标2为学生就读指标最大，目标3为办学获利指标最大，目标4为学生收益指标最大； + +约束 1 为成本分担约束，约束 2 为家庭负担约束，约束 3 是社会经济约束，约束 4 是学校财力约束，约束 5 是学费资助约束； + +$x_{1}$ 为该校该专业的学费价格； $x_{2}$ 为该校该专业的生均奖贷助学金； + +$\lambda$ 是该专业的培养系数； $\mu$ 是该专业的社会贡献系数； $\xi$ 是该校的学校重点系数； + +$F_{1}$ 为该校获得的国家财政拨款； $F_{2}$ 为该校获得的社会捐资经费； $F_{3}$ 为该校的自筹资金； + +$F_{4}$ 为该校教职工的工资福利； $F_{5}$ 为该校的公务费用； + +$F_{6}$ 为该校的设备费用； $F_{7}$ 为该校的基建支出费用； + +$N$ 为该校的学生总数； $F^{\prime}$ 为该校经费的总支出； $E$ 为该校所在地的恩格尔系数； + +$p_{1}$ 为当地的居民人均收入； $p_{2}$ 是该校该专业大学毕业生的人均工资； + +$\bar{p}_{2}$ 是当地的人均工资； $p_{3}$ 是当地平均家庭收入； $p_{4}$ 是当地人均 GDP； + +$f$ 是生均教育培养成本; $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ 是比例阈值。 + +# 七 模型的讨论 + +# 7.1 模型的评价 + +模型一是从教育投资效益的角度出发来分析“学费的合理性”的影响因素，构造了劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标。然后运用偏大型正态分布函数对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标。模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。 + +模型二是从全国整体水平出发，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担约束、社会经济约束和学校财力约束，建立多目标规划模型。通过线性加权将多目标规划模型化为单目标规划模型，用LINGO软件求得全局最优解。 + +模型的改进方面，在模型二的基础上，引进了社会贡献系数、专业培养系数和学校重点系数，建立了一个能够对某类学校（本科、专科）的具体专业的学费进行合理定价的模型。 + +# 7.2 模型的优点 + +(1) 模型的适用性和灵活性强，通过收集不同的相关数据，即可对各个地区的学校学费、各类学校的学费和不同专业的学费进行定量分析。 +(2) 综合评价模型中运用偏大型正态分布函数作为动态加权函数, 这种动态加权可以使指标更加关心该地区的强项, 忽略弱项, 使模型更有针对性的分析不同地区的特点, 并且使差别更加鲜明, 排序更加有据。 +（3）模型的有良好的可推广性，模型只需修改必要的变量，就可以适用于不同地区，专业的学费定价问题。 + +# 7.3 模型的缺点 + +(1) 指标的定义存在一定的主观性, 由于问题的复杂因素较多, 不能对所有因素进行全面的考虑。 +(2) 模型涉及到很多方面的相关数据, 对数据的收集有一定的依赖性。 + +# 八 给教育部门的报告 + +# 当前高等教育学费的合理性分析 + +自1994年招生和收费并轨以来，特别是1999年扩招以来，贫困大学生就业越来越成为社会各界关注的热点问题。高等教育是实现社会分层的重要机制，也是弱势群体获得社会升迁的重要途径。一个人能否接受高等教育，在很大程度上决定了他是否能在未来的生活中处于优势地位。学费对高等教育入学机会由重要影响，所以研究学费有十分重要的社会意义。 + +为了研究当前高等教育学费的合理性，我们建立了一个综合评价模型来进行量化分析。这种方法是从教育投资效益的角度出发，构造了包括有劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标的综合评价体系。 + +应用这个综合评价体系，我们对31个省份的普通高等学校的学费合理性进行量化分析，并根据综合评价指标的大小来比较不同省份高校学费的合理性。结果表明，浙江省、湖北省、江西省的学费合理性最大，福建省的学费合理性最小。具体的评价结果如下图所示： + +![](images/b21a4203b7ef7de56f4f57d428be1c38fb6228a22db82dac60b6927353981fc7.jpg) + +![](images/e28467246ce5fad0da93cfa911c86fbeae56e61dce473d0a1be0c051fdf8158c.jpg) + +![](images/489faa5eebb1c63e34b54814bd76a7c0738263dbb269e9656dc38c4f662faca5.jpg) +图4 各地区的综合指标值 + +为了确保弱势群体在接受高等教育时不受经济条件的限制，为更多的人提供接受高等教育的机会，促进教育资源得到有效的配置。因此需要制定一个合理的学费价格来促 + +进教育公平的实现。 + +因此我们又从全国整体水平出发，希望能够制定一个合理的学费价格，使得一方面既能够提高培养质量、提高学生就读比例、提高学校办学收益和学生收益；另一方面又能够满足成本分担、家庭负担、社会经济和学校财力的要求。 + +为了照顾符合接受高等教育条件但是家庭经济困难的学生，国家规定贫困生可以通过申请奖学金、贷学金和助学金来获得资助、减少学费的支出。因此，在研究学费标准时，不仅要考虑学费自身的标准，还要兼顾考虑奖学金、贷学金和助学金的标准。这里我们将奖学金、贷学金和助学金结合起来进行分析，统称为“奖贷助学金”。 + +经过计算分析，我们提出一个学费价格的调整方案：将全国普通高等学校的平均学费价格调整为4298.35元，生均奖贷助学金为644.75元，即全国的奖贷助学金支出调整为12,352,120,500元。 + +而目前普通高等学校的平均学费为4931.58元，全国的奖贷助学金支出为10,597,273,000元，即生均奖贷助学金为609.46元。对比可知，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，应当进行适当地下调，下调的幅度大概为 $12.84\%$ ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为 $5.79\%$ 。 + +综上所述，普通高等学校学费水平偏高是造成教育不公平的原因之一，它涉及到广大居民的根本利益。因此，我们认为制定学费政策时要构建合理的高等教育成本分担体系，完善各种资助制度，制定合理的高等教育学费制度，使学费政策符合社会的整体利益，从而实现高等教育机会的公平性。这样才能使高校贫困生问题得到缓解，才能使我国的教育事业健康发展。 + +# 九 参考文献 + +[1] 乔锦忠，大学学费额度确定探讨，2004年中国教育经济学学术年会论文 +[2] 赵勤，高等教育学费价格机制影响因素分析，事业财会，总第106期，第 $9\sim 11$ 页，2007年 +[3] 张庆亮，杨莲娜，高等教育学费的价格属性、影响因素及其实施保障，国家教育行政学院学报，第 $48\sim 52$ 页，2006年4月 +[4] 谭章禄，张小萍，高等教育学费价格市场模型分析，黑龙江高教研究，总第140期，第 $1\sim 3$ 页，2005年 +[5] 冯涛，我国大学学费定价的实证分析及政策建议，中国物价，第 $31\sim 37$ 页，2008年3月 +[6] 冯涛，陈松，我国大学学费定价的理论依据及改进建议——基于收益论和居住地的视角，价格理论与实践，第 $29\sim 30$ 页，2008年第3期 +[7] 章茂山，中国民办高校学费问题研究，厦门大学博士学位论文，2007年5月 +[8] 周晓红，我国高等教育学费问题研究述评，2004年中国教育经济学学术年会论文 +[9] 陈家洪，高等教育投资效益的综合评价，第 $47\sim 48$ 页，统计与决策，2006年9月 +[10] 丁建立，我国高等教育投资效益的量标与评价，第 $47\sim 48$ 页，江苏高教，1995年第6期 + +# 十附录 + +# （1）模型一中5个评价指标的值 + +表 9 模型一 5 个评价指标的值 + +
省份劳动消耗指标劳动成果指标科研成果指标劳动占用指标资源利用指标
北京9.23892190.91701580.094494915.810.6423242
天津4.14087280.86407950.098486816.590.6051613
河北3.76692930.89578390.051120518.160.654553
山西4.23641120.82902120.02875317.770.6816482
内蒙古5.11405880.80786480.031410615.540.771388
辽宁4.391780.87692390.087525917.480.6508745
吉林4.00474690.91980720.0408816.860.6467239
黑龙江3.95630640.85842280.05306817.960.6442573
上海9.06965940.8855840.231706517.460.6503511
江苏5.09362950.78790770.146301318.540.5502117
浙江7.89626310.85042230.44411318.670.5696199
安徽3.80437230.78319040.038810218.470.6238151
福建5.43034590.81211260.138673817.330.615177
江西2.45242440.65801190.023274118.910.5184224
山东3.72779350.75298030.131529217.070.5997779
河南3.67471830.74831840.062884618.40.6585752
湖北3.10569820.92198340.041350417.790.4955911
湖南3.89596150.87349910.065185818.660.5160728
广东7.99776040.807550.433784918.150.5816968
广西4.73044780.75206080.036752917.190.6596294
海南5.19708560.76347080.02906719.070.6708091
重庆4.60236570.83031640.114686918.20.5525373
四川4.22041020.75588330.080399218.210.5659039
贵州6.29605950.85246450.052447818.390.7394335
云南6.98408930.85976680.051271617.60.7742064
西藏12.9344580.86719280.030348414.110.9552459
陕西3.21050990.83388480.028108315.840.5473129
甘肃4.53209930.87383120.029506718.010.7091713
青海7.98318370.8638370.016064914.130.8582669
宁夏6.49835330.77157080.038233417.270.7627281
新疆7.66483130.89760680.046978316.690.7022879
+ +# （2）模型一中5个评价指标进行标准化后的值 + +表 10 模型一中 5 个评价指标标准化后的值 + +
省份劳动消耗指标劳动成果指标科研成果指标劳动占用指标资源利用指标
天津0.83890.78060.19260.50.2384
河北0.87460.90070.08190.81650.3458
山西0.82980.64780.02960.73790.4048
内蒙古0.74610.56770.03590.28830.6
辽宁0.8150.82930.16690.67940.3378
吉 林0.85190.99180.0580.55440.3288
黑龙江0.85650.75920.08640.77620.3234
上 海0.36870.86210.50380.67540.3367
江 苏0.7480.49210.30430.89310.1188
浙 江0.48070.728910.91940.1611
安 徽0.8710.47420.05310.8790.279
福 建0.71590.58380.28640.64920.2602
江 西100.01680.96770.0497
山 东0.87830.35980.26970.59680.2267
河 南0.88340.34210.10940.86490.3546
湖 北0.937710.05910.74190
湖 南0.86230.81630.11480.91730.0446
广 东0.4710.56650.97590.81450.1873
广 西0.78270.35630.04830.6210.3569
海 南0.73820.39950.030410.3812
重 庆0.79490.65270.23040.82460.1239
四 川0.83130.37080.15030.82660.153
贵 州0.63330.73660.0850.86290.5305
云 南0.56770.76430.08220.70360.6061
西 藏00.79240.033401
陕 西0.92770.66630.02810.34880.1125
甘 肃0.80160.81760.03140.78630.4647
青 海0.47240.779700.0040.789
宁 夏0.6140.43020.05180.63710.5812
新 疆0.50270.90770.07220.52020.4497
+ +# (3) 模型一的程序 + +```matlab +function [data, ans1, ans2, mean1, std1, we] = sta +load matlab.mat; +%±ê×1/4》-a = min(data(:, 1)); +b = max(data(:, 1)); +data(:, 1) = (b-data(:, 1)) / (b-a); +for j = 2:5 + a = min(data(:, j)); + b = max(data(:, j)); + data(:, j) = (data(:, j) - a) / (b - a); +end +%µUO»ÖÖ¼OE"ÄFDIar = 0.5;aaa +for j = 1:5a + w(j) = (1 - ar) * ar^j; +end +ans1 = w(1) * data(:, 1) + w(2) * data(:, 2) + w(3) * data(:, 3) + w(4) * data(:, 4) + w(5) * data(:, 5); +plot(1:31, ans1, '*'); +%^-I^-½OE"ÄFDIfor j = 1:5mean1(j) = mean(data(:, j));std1(j) = std(data(:, j));end +ans2 = zeros(31, 1); +``` + +（4）模型二的程序： +for $i = 1:31$ +for $j = 1:5$ +ans2(i) $\equiv$ ans2(i)+weight(j,mean1(j),std1(j),data(i,j))*data(i,j); we(i,j) $\equiv$ weight(j,mean1(j),std1(j),data(i,j)); +end +end +figure(2) +plot(1:31,ans2,'*'); +function y $\equiv$ weight(j,mu,secma,x) +if x<=mu +y=0; +else y=1-exp(-(x-mu)^2/secma^2); +end + +```txt +model: +data: +F1=125957124000; +F2=1933151000; +F3=56972147000; +F4=92109757000; +F5=82509664000; +F6=36744586000; +F7=37113047000; +N=19158000; +!N=17388000; +E=0.398; +p1=7174.7; +p2=33444; +p2g=21001; +p4=18268; +C1=0.25; +C2=0.2; +C3=0.2; +C4=0.15; +enddata +max=0.25*x1/sf1*(F4+F6+N*x2)/FP+0.25*(1-E)*p1/(x1-x2)+0.25*(sf1+sf2+sf3+x1)/(F4+F5+F6+F7)*N+x2+0.25*(p2-p2g)/(x1-x2); +x1评阅人评分备注 + +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 高等教育学费标准的探讨 + +摘要：本文根据我国高等教育发展的实际需要，探讨高等教育学费标准的制定问题。在对相关数据进行收集并用数据挖掘的知识对数据进行分析的基础上，首先通过建立学费规律模型找到当前学费制定的标准，然后建立学费评价模型对原有学费标准进行评价，接着提出学费寻优模型找出最佳学费价格，并结合此模型建立学费控制模型对最佳学费价格进行调控，最后再给有关部门提出有关学费标准的建议。 + +模型I学费规律模型。本文通过分析学费与生均事业性经费支出等量的关系，运用多元回归分析的方法，建立了反映当前学费制定规律的多元线性回归方程。对不同类别学校的情况进行回归分析，并引入能够反映专业差异的学费专业差异常数项，更好的表达学费在不同类别学校间和不同专业间的差别。 + +模型Ⅱ学费评价模型。本文通过定义由学费的近期满意度和远期满意度所组成的综合满意度，来对学费标准进行评价。其中，近期满意度由学生近期满意度、学校近期满意度和政府近期满意度组成，并通过动态加权的方法综合，让模型更好的顾及三者的利益。通过对高等教育“性价比”的研究，建立了高校教育质量与经费关系的logistic模型。在远期满意度的定义中，引入个人收益率和社会收益率的概念，并用经济学的理论建立个人收益率模型和社会收益率模型来对这两个量进行求解。通过建立本评价系统，实现对模型I学费标准的评价，经过对收集的相关数据进行分析，得到的结论是近几年的学费标准并不令人满意，学费价格偏高。 + +模型III学费寻优模型。本文建立多目标规划模型来对学费进行寻优。在规划目标的制定上，综合考虑学生、学校、政府的利益，以及近期利益和远期收益，然后采用模拟退火算法来寻求学费的最优值，将得到的最优学费带入模型II中进行评价，通过比较，发现模型III的学费标准相对模型I，满意度有明显的提高，从而进一步验证了模型的有效性。最后对模型III进行灵敏度分析，得到模型稳定的结果。 + +模型IV学费控制模型。结合模型III灵敏度分析，建立学费控制模型。 + +本文的亮点在于：学费评价系统对学费近期满意度和远期满意度的考虑，以及对学生、学校、政府三者利益的平衡；对三者满意度进行动态加权；高校教学质量模型、个人收益率模型、社会收益率模型的建立；学费寻优模型对多个目标的考虑；模型III求解算法的设计；学费控制模型的提出。 + +关键词：数据挖掘；多元回归分析；满意度；多目标规划；模拟退火；学费控制 + +# 1. 问题的重述 + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。 + +学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。 + +根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是建模分析的基础和重要组成部分。论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。 + +最后，根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。 + +# 2. 问题的分析 + +# 2.1 影响学费价格因素的分析 + +高校的教学成本。学费的多少最根本还是决定与高校教学成本的多少，高校教育经费的多少，直接影响学费的多少。 + +居民社会承受能力。居民用于包括学费在内的教育支出是其总支出的一部分，支付学费的能力取决于居民支出的结构和水平，最终取决于其收入水平。当前我国公立高校的学费水平而言，无论是从国际比较与是从我国居民的实际承受能力来说，都已达到了一个非常高的水平。在欧美发达国家，家庭收入普遍较高，公立高校学生平均成本的 $20\%$ 需要受教育者补偿时，这种负担的绝对数虽然很高，但也仅占一般家庭收入的 $10\% - 15\%$ 左右。在中等收入国家，如果学生平均成本中的 $20\%$ 需要受教育者补偿时，这种负担一般占人均可支配收入的 $25\% - 30\%$ 左右。而在低收入国家，这种负担可达到 $50\%$ 以上。因此，在进行同等教育成本补偿时，对个人或家庭所产生的经济压力在发达国家和发展中国家差别较大。 + +国家高等教育的财政政策。高等教育成本主要有两类补偿主体：政府与学生(或学生家庭)。政府补偿的比例取决于政府的高等教育财政政策。 + +高等教育的个人收益。根据谁受益谁付费的原则，高等教育的受益方应当成为教育成本的分担者，因此在制定高等教育学费标准时，个人收益率的变化就成为一个很重要的影响因素。 + +高等教育的社会收益。高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。 + +社会收益的多少直接关系到政府对高等教育投资的多少，也间接对学费的多少造成影响。 + +![](images/b8e709047a8531a970ea67e883aee3ee5845e81e922a17e41367b8369b2ff402.jpg) +图1影响学费价格因素 + +# 2.2 各类学校学费及各专业学费差异分析 + +我们将学校分成一本，二本，大专三类，把专业分成理工类、文科类、艺术类三类。分析这些不同类学校，不同类专业的历年学费值，有： + +![](images/d7ea11440458ec82b8c71bbfedfd7d902f9d77dbad468372ed0c7667670e768a.jpg) +图2不同类学校的平均学费 + +![](images/fbcae0a7b5598ac6b01b4a981458528d8f13d003b42637646a04eaf85f4dab02.jpg) +图3不同专业的平均学费 + +# 2.3 对问题所需数据的收集和分析 + +由于题目没有给出具体数据，所以需要寻找和处理数据，为模型的分析与求解服务。这里利用到数据挖掘的知识，包括数据审查、数据清理、数据转换和数据验证四大步骤。根据模型需要用到的因素，我们找到2002-2006年的中国统计年鉴、中国教育经费统计年鉴等统计量，进而分析数据。根据处理对象的特点及 + +每一步骤的不同目标，对数据进行预处理，统计数据预处理可采用的方法包括描述及探索性分析、缺失值处理、异常值处理、数据变换技术、信度与效度检验、宏观数据诊断等六大类。我们选用恰当的方法开展统计数据预处理，以保证数据分析结论真实、有效。 + +其中由于2005年的教育经费数据缺失严重，在力不能及的情况下，我们选择跳过05年的数据，在模型和分析上做了相关的处理。最后我们整理得到的资料：在年份上包括2002、2003、2004、2006年次；在教育经费上包括分地区普通高等学校的各种收入、支出与生均支出数据，分地区一本与二本的普通高等学校的各种收入、支出与生均支出数据，在教育情况上包括各级各类学校情况、各级各类学生情况等；在民生上包括人民生活基本情况、居民年均收入、支出与消费的统计情况，还有城镇居民与农村居民的差异情况等。我们相信处理后的数据是真实、有效的。 + +# 3. 模型的假设 + +(1)假设我国高等院校招生人数不受市场经济规律的调控； +(2)假设我国高等院校都不是以盈利为目的，筹集资金只是为了自身的建设； +(3)假设一本高校都是中央属学校，二本高校都是地方属学校； +(4)假设高校只分成一本，二本和大专三类，专业的分类只分成理工类、文科类、艺术类； +(5)假设所使用的数据都真实准确； +(6)假设大学生毕业工作后银行储存利率不变； +(7)假设教育劳动生产率的增长率不变。 + +# 4. 符号约定 + +T1：一本普通高等学校生均实际学费； +T2：二本普通高等学校生均实际学费； + +$E$ ：综合满意度； +$S$ ：近期满意度指标； +$L$ ：远期满意度指标； +$D_{1}$ ：学生近期满意度； +$D_{2}$ ：学校近期满意度； + +$D_{3}$ ：政府近期满意度； + +$R_{1}$ ：高等教育的个人收益率； + +$R_{2}$ ：高等教育的社会收益率； + +$Q$ ：高校教学质量模型； + +$f$ ：生均学费； + +A：国家生均补助； + +$N$ ：每年校均招生人数； + +$V$ ：学生大学四年总支出； + +$C$ ：教育总成本； + +$F$ ：每年校均经费； + +$W$ ：每个家庭平均年纯收入。 + +注：关于钱的量如不特别说明，都以元为单位。 + +# 5. 模型的建立与求解 + +我们建模的总思路是：首先根据近几年的高校学费及相关数据用多元回归分析的方法建立了能够反映当前学费制定规律的学费规律模型，然后再建立能够对学费价格进行评价的学费评价模型，并对近几年的高校学费进行评价，接着提出能够寻找最佳学费价格的学费寻优模型，并结合此模型建立了能够方便相关部门控制最佳学费价格的学费控制模型。 + +![](images/2e3f1cd8262f612df081dcfda02474b24f7bbd3e24e274c7fcb236402e834e53.jpg) +图4建模总思路 + +# 5.1 模型I——学费规律模型的建立与求解 + +我们为了找到当前学费价格的制定规律，运用多元线性回归的方法建立了学费规律模型。 + +注意：由于大专类高校的数据较难找，所以我们这里只对一本，二本类学校进行回归分析。 + +# 5.1.1我国普通高等学校学费情况及特点 + +# (1)普通高校学费的总体情况 + +近几年，随着我国普通高等学校招生人数的迅速增长，普通高校的生均实际学费不断提高(见表1)，2006年达到5218.87元， $2002\sim 2006$ 年期间生均实际学费逐年递增。由此导致我国普通高校生均实际学费与生均事业性经费支出之比从2002年的 $35.24\%$ 提高到2006年的 $39.72\%$ ，提高了近5个百分点。2006年我国普通高校的学费已占学校事业性经费支出的近四成，这个比例远高于国外的水平。 + +表 1 2002~2006 年我国普通高校生均实际学费与教育经费支出情况表 + +
年份教育经费支出(万元)生均教育经费支出实际收取的学费(万元)生均实际学费(元)生均事业性经费支出(元)生均实际学费与事业性经费支出之比(%)
200213981627.215119.564038636.64367.3312394.3235.24
200317122424.814962.775330225.74657.9212147.7638.34
200420208857.814928.926653772.14915.3512122.2240.54
200625907432.715332.808818205.35218.8713136.3439.72
+ +注：①表中数据是根据各年的《中国教育经费统计年鉴》计算而得；②实际学费指学校按照规定的标准向学生实际收取的学费，生均实际学费的计算方法：先按照经费支出和生均经费支出求出年平均学生数，再用实际学费除以年平均学生数；③生均教育经费支出包括生均事业性经费支出和生均基建支出两部分。 + +# (2)普通高校学费在不同类别高校间存在差异 + +从不同属性的高校来看，2006年一本普通高等学校生均实际学费(5218.87元)与二本普通高等学校生均实际学费(4830.28元)相差无几，甚至要高，但一本普通高校的生均教育经费支出和生均事业性经费支出(分别为24740.35元和21701.16元)，却是二本普通高校生均教育经费支出和生均事业性经费支出(分别为13231.01元和11080.44元)的近两倍。2006年一本普通高校的生均实际学费与生均事业性经费支出之比为 $24.04\%$ ，而二本普通高校的这一比例却高达 $43.59\%$ 。 + +# (3)普通高校学费在不同地区间存在显著差异 + +从不同地区的高校来看，生均实际学费(见附录1的表1)、生均经费支出以及学费与事业性经费支出之比(限于篇幅，详表略)的地区差异都很大。2006年 + +一本普通高校生均实际学费最高的广东(8730.66元)是最低的福建(3467.76元)高出2.52倍，各地区一本普通高校生均实际学费的标准差系数为0.2024；二本普通高校生均实际学费最高的浙江(7649.53元)是最低的内蒙古(3431.821602元)高出2.23倍，各地区二本普通高校生均实际学费的标准差系数为0.239。 + +# 5.1.2普通高等学校学费的影响因素分析 + +事业性经费支出、预算内事业性经费拨款占教育经费收入比重。以及事业收入中非学费收入所占比重等因素对高校学费的影响。 + +从理论上分析．首先，如前所述，学费作为普通高等学校收入的一部分．与学校的经费支出，尤其是事业性经费支出有关。其次．学费与教育经费收入中除学费外的其他主要收入所占比重有关。由于普通高等学校教育经费收入中．预算内事业性经费拨款与事业收入之和占了绝大部分(2006年的比重为 $79.36\%$ ）．因此．学费应与预算内事业性经费拨款占教育经费收入比重．以及事业收入中非学费收入所占比重有关。根据对实际数据的观察，我们也得出了同样的结论。 + +各地经济发展水平与普通高等学校学费的关系。 + +根据附录1的表1中的数据，我们分别计算一本和二本普通高等学校生均实际学费与地区人均GDP的相关系数。结果分别为0.18和0.74，说明一本普通高等学校生均实际学费与地区人均GDP基本无关。二本普通高等学校生均实际学费与地区人均GDP中度相关。直接观察数据可以看出，二本普通高等学校学费最高的10个地区中有7个是东部地区。学费最低的11个地区中有9个是西部地区；一本普通高等学校学费最高的5个地区中有3个是东部地区。2个是西部地区。学费最低的5个地区中有4个是东部地区，1个是中部地区。可见，二本普通高等学校的学费，东部地区普遍较高，西部地区普遍较低；一本普通高等学校学费的东中西部差距不明显。这说明二本普通高等学校的学费与地区的经济发展水平有关，而一本普通高等学校的学费与地区经济发展水平的相关性较低。综合上述分析可以得出，普通高校学费的主要影响因素有事业性经费支出、预算内事业性经费拨款占教育经费收入比重、事业收入中非学费收入所占比重和人均GDP（仅限于二本普通高校）。 + +# 5.1.3 普通高等学校学费模型的建立 + +# (1)一本普通高等学校生均实际学费模型 + +根据上述分析，我们建立一本普通高等学校生均实际学费模型形式如下： + +$$ +T 1 = C (1) + C (2) \times E 1 + C (3) \times B 1 + C (4) \times N 1 \tag {1.1} +$$ + +其中． $T1$ 、 $E1$ 、 $B1$ 、 $N1$ 分别表示一本普通高等学校生均实际学费、生均事业性经费支出、预算内事业性经费拨款占教育经费收入百分比、事业收入中非学费收入所占百分比． $C(1) 、 C(2) 、 C(3) 、 C(4)$ 表示待估计的参数。 + +采用SAS编程得到： + +![](images/429875caa5dafc29eddb0f9bb636b170fc96a32dc3fa0ea5c50cc1aca6007a87.jpg) +图5sas程序运行结果截图 + +根据以上的结果。 $F$ 值小于0.0001，模型是有效的，可以写出模型的估计式如下： + +$$ +T 1 = 7 4 5 4. 0 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1 +$$ + +由上式可知：在其它自变量不变的情况下。一本普通高等学校生均事业性经费支出每增加1000元．生均实际学费平均提高224.61元；预算内事业性经费拨款占教育经费收入的比重每提高1个百分点．生均实际学费平均降低73.65132元；事业收入中非学费收入所占比重每提高1个百分点．生均实际学费平均降低77.49088元。 + +# (2)二本普通高等学校生均实际学费模型 + +由于二本普通高等学校生均实际学费与地区的经济水平发展有关，因此我们希望在建立二本普通高等学校生均实际学费模型时加人人均GDP这一指标。考虑到人均GDP与生均事业性经费支出高度线性相关(相关系数为0.81)，直接引入模型会使自变量之间产生多重共线性。我们改为引人生均事业性经费指数这一指标。它是生均事业性经费支出与人均GDP之比，在生均事业性经费支出一定的情况下，它与人均GDP成反比。经过以上分析，我们建立二本普通高等学校生均实际学费模型形式如下： + +$$ +T 2 = C ^ {\prime} (1) + C ^ {\prime} (2) \times E (2) + C ^ {\prime} (3) \times B (2) + C ^ {\prime} (4) \times N 2 + C ^ {\prime} (5) \times I 2 \tag {1.2} +$$ + +其中， $T2$ 、 $E2$ 、 $B1$ 、 $N2$ 、 $I2$ 分别表示二本普通高等学校生均实际学费、生均事业性经费支出、预算内事业性经费拨款占教育经费收入百分比、事业收入中非学费收入所占百分比、生均事业性经费指数． $C^{\prime}(1)$ 、 $C^{\prime}(2)$ 、 $C^{\prime}(3)$ 、 $C^{\prime}(4)$ 、 $C^{\prime}(5)$ 表示待估计的参数。根据31个地区二本普通高等学校2006年的经费数据．估计方法和过程与1中类似(限于篇幅．估计过程和结果表略)。 + +利用SAS编程得到数据并写出模型的估计式如下： + +$$ +T 2 = 5 4 9 1. 6 5 4 6 4 + 0. 1 6 0 6 9 \times E 2 - 3 1. 7 3 2 8 3 \times B 2 - 6. 3 2 9 2 5 \times N 2 - 1 3. 5 0 0 4 3 \times I 2 +$$ + +由上式可知：在其它自变量不变的情况下。二本普通高等学校生均事业性经费支出每增加1000元，生均实际学费平均提高160.69元；预算内事业性经费拨款占教育经费收入的比重每提高1个百分点，生均实际学费平均降低31.73283元的业收入中非学费收入所占比重每提高1个百分点，生均实际学费平均降低6.32925元；生均事业性经费指数每提高1百分点(在生均事业性经费支出不变的情况下，相当于地区人均GDP减少)。生均实际学费平均降低13.50043元。 + +# (3)模型的进一步讨论： + +由于以上的模型的数据的求解是在生均数据基础之上的，并没有考虑到各专业之间的差异，现在本文对以上模型进行进一步的讨论。 + +根据北京市中央部属高校本专科生学费标准：重点院校一般专业不超过5000元，理工科专业不超过5500元，外语医科专业不超过6000元，艺术专业不超过1万元。可以知道各专业的学费之间只是相差一个常数，因此，为了区分不同专业的学费的不同，我们采取一种简单的处理办法： + +$\Delta T1 =$ 属国家普通高等学校生均学费-各专业属国家高等学校的生均学费再令： + +$$ +T ^ {\prime} 1 = T 1 + \Delta T 1 +$$ + +属地方普通高等学校生均学费也可以按照该方法进行相应的处理。 + +$\Delta T2 =$ 属地方普通高等学校生均学费-各专业属地方高等学校的生均学费 + +$$ +T ^ {\prime} 2 = T 2 + \Delta T 2 +$$ + +例如，按照该方法求得北京重点院校各专业的学费： + +北京重点院校理工专业的学费： + +$$ +(T 1) _ {1} = 7 1 0 7. 3 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1 +$$ + +北京重点院校外语医科专业学费为： + +$$ +(T 1) _ {2} = 7 6 0 7. 3 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1 +$$ + +北京重点院校艺术专业学费： + +$$ +(T 1) _ {3} = 1 1 6 0 7. 3 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1 +$$ + +# 5.2 模型 II——学费评价模型的建立与求解 + +对所制定的学费标准是否满意，我们从评价时间和评价者两个角度来建立评价系统。 + +从评价时间考虑，我们设置了近期满意度指标和远期满意度指标，这主要是考虑到评价者对学费标准进行评价时既会从眼前的得益考虑，也会从长远的得益考虑。 + +从评价者角度，我们考虑到学费的制定应该能够顾及到学生、学校和政府的利益，所以要考虑这三者的满意程度，于是在设置近期满意度指标的时候从学生、学校和政府三者的近期满意度来进行设计。而在设计远期满意度的时候则是从个人收益率和社会收益率的角度来设计。 + +![](images/45a9b3fc0415b7962034f8862821adf6f09641527a23b3b681a7dd90fbb289b7.jpg) +图6学费评价系统满意度关系图 + +# 5.2.1近期满意度指标 + +对于近期满意度指标，我们从学生、学校和政府三者的近期满意度来设计。定义近期满意度 $S$ 与学生近期满意度 $D_{1}$ 、学校近期满意度 $D_{2}$ 、政府近期满意度 $D_{3}$ 的关系： + +$$ +S = \sum_ {i = 1} ^ {3} \omega_ {i} D _ {i} \tag {2.1} +$$ + +说明：这里 $\omega_{i}, D_{i} \in [0,1]$ 且 $\sum_{i=1}^{3} \omega_{i} = 1$ ，从平衡三者满意度的目标出发，不妨取 $\omega_{1} = \frac{1}{3}, \omega_{2} = \frac{1}{3}, \omega_{3} = \frac{1}{3}$ 。 + +# (1)定义学生近期满意度 $D_{1}$ + +学生在对学费进行评价的时候会考虑两个问题：一是自己能否支付；二是接受高等教育的“性价比”。 + +对于学生考虑的第一个问题，我们用学费占家庭年纯收入的比例 $p_1$ 来量度，显然，这个比例越小，学生越满意，设每个家庭年纯收入平均为 $W$ ，生均学费为 $f$ ，则： + +$$ +p _ {1} = \frac {f}{W} \tag {2.2} +$$ + +对于学生考虑的第二个问题，所谓的“性价比”，指的就是高校教学质量与学费的比值，显然这个比值越大，即“性价比”越高，学生越满意，设这个“性价比”为 $p_2$ ，高校教学质量指标值为 $Q$ ，则： + +$$ +p _ {2} = \frac {Q}{f} \tag {2.3} +$$ + +由于式子中高校教学质量指标值 $Q$ 没有现成的数据，也没有现成的量化标准，那么我们建立了模型来对其进行量化。 + +# 建立高校教学质量模型 + +分析高校的教育质量，教育部关于高等学校的教学条件判别指标在于：包括具有高级职务教师占专任教师的比例、生均占地面积、生均宿舍面积、百名学生配教学用计算机台数、百名学生配多媒体教室和语音实验室座位数、新增教学科研仪器设备所占比例、生均年进书量。但是经过各类学校数据的分析，发现以上各条件在一个学校的教育质量提高过程中，所表现的特征是一致的：在学校发展初期，资金投入不多时，各指标会缓慢提高；到了学校发展中期，经过积累资金比较充裕，学校的办学指标快速提升；到了学校的稳定期，各类指标的提升趋于平稳，即使资金投入再多，也只是渐渐接近一个常量。 + +我们把这种变化以logistic模型来模拟：定义 $Q$ 为一个反应教学质量高低的量，设一间学校一年的经费 $F$ 的教育质量为 $Q(F)$ ，教育质量能到达的最高值为 $Q_{m}$ ，面积增长率为 $r\big(1 - Q(F) / Q_m\big)$ ，则可建立教育质量随经费增长的logistic模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d Q}{d F} = r \left(1 - \frac {Q}{Q _ {m}}\right) Q \\ Q (F _ {0}) = Q _ {0} \end{array} \right. +$$ + +解该微分方程可得： + +$$ +Q (F) = \frac {Q _ {m}}{1 + \left(\frac {Q _ {m}}{Q _ {0}} - 1\right) e ^ {- r \left(F - F _ {0}\right)}} \tag {2.4} +$$ + +![](images/703ac9858ea718b80ccf3006976ce7007fcb5cb75b8d82911da8d7c146360ed0.jpg) +图7 logistic模型的 $S$ 型号曲线 + +对于模型参数的求解： + +我们设计 $Q$ 的取值范围为 $[0,1]$ , 所以令 $Q_{m} = 1$ 且当 $F_{0} = 0$ 时, $Q_{0} = 0.1$ ; 对于 $r$ + +的求解, 我们假设美国的高等教育的教学质量 $Q$ 值为 0.9 , 则通过网上查找数据得知美国的高等教育每年校均教育经费为 213000 万元, 则可求得 $r = 2.127 \times 10^{-5}$ 。 + +再看式(2.3)会发现 $Q$ 与 $f$ 的量纲不一致，所以要采用极值差方法将 $f$ 化成取值范围为[0,1]的量 $f'$ ，则式子(2.3)变成： + +$$ +p _ {2} = \frac {Q}{f ^ {\prime}} \tag {2.5} +$$ + +我们通过 $p_{1}^{\prime} = 1 - p_{1}$ 将 $p_{1}$ 变成极大型指标, 并通过极值差方法将 $p_{2}$ 化成取值范围为 $[0,1]$ 的量 $p_{2}^{\prime}$ , 统一量纲, 再用线性加权的方法得到学生近期满意度 $D_{1}$ : + +$$ +D _ {1} = \frac {1}{2} p _ {1} ^ {\prime} + \frac {1}{2} p _ {2} ^ {\prime} \tag {2.6} +$$ + +# (2)定义学校近期满意度 $D_{2}$ + +我们这里认为学校在对学费进行评价时，会认为学费越多越好，因为这样就能保证学校有充足的资金进行运作和发展，于是我们直接用学校总共收取的学费作为其量度，学校总共收取的学费 $f_{\text{总}}$ 等于生均学费 $f$ 与高校一年校均招收的学生数 $N$ 的乘积，即： + +$$ +f _ {\text {总}} = f \cdot N \tag {2.7} +$$ + +用极值差方法将 $f_{\text{总}}$ 化成取值范围为 $[0,1]$ 的量 $f_{\text{总}}^{\prime}$ ，则可以将其作为学校近期满意度 $D_{2}$ ： + +$$ +D _ {2} = f _ {\text {总}} ^ {\prime} \tag {2.8} +$$ + +# (3)定义政府近期满意度 $D_{3}$ + +政府每年都要向高校拨款支持教育事业的发展，从政府的角度考虑，一方面希望提高高校教学质量，另一方面又希望不需要承担过多的教育经费，也就是希望学生承担多一些教育经费，这样就可以把更多的钱投入到再生产等其他方面的发展。 + +对于政府第一个考虑的方面，我们可以用之前的高校教学质量指标值 $Q$ 来衡量。 + +对于政府第二个考虑的方面，我们可以用政府对一间学校一年总拨款额 $A_{\text{总}}$ 占该学校一年教育经费 $F$ 的比例 $p_{3}$ 来衡量，其中 $A_{\text{总}} = A \cdot N$ ， $A$ 为国家生均拨款，则有： + +$$ +p _ {3} = \frac {A _ {\text {总}}}{F} = \frac {A \cdot N}{F} \tag {2.9} +$$ + +通过 $p_3' = 1 - p_3$ 将 $p_3$ 化成极大型指标，再用线性加权的方法得到政府近期满意度 $D_3$ : + +$$ +D _ {3} = \frac {1}{2} Q + \frac {1}{2} p _ {3} ^ {\prime} \tag {2.10} +$$ + +# (4)对三个近期满意度指标进行动态加权 + +制定的学费应该是让学生、学校和政府三者都尽可能满意，如果三者都非常满意，那是最理想的状态，但显然难以让三者都非常满意，那么我们思考能否建 + +立模型让三者中不出现任何一方是不满意的呢?也就是说虽然难以让三者都非常满意，但却可以让三者都不会出现不满意的情况。于是我们考虑通过动态加权的方法，将指标间的“质差”表现出来，令当其中一方出现不满意的时候整个满意度得分会被较大的拉低，来使得该制定的学费标准不会被采纳。 + +根据以上分析，我们先对三者的满意度进行模糊分类： + +表 2 三个近期满意度指标的分类规则表 + +
不满意一般满意或非常满意
学生[0,0.3](0.3,1]
学校[0,0.3](0.3,1]
政府[0,0.3](0.3,1]
+ +假设第 $i (i = 1,2,3)$ 个评价指标对于综合评价效果的影响大约是随着类别 $p_{k} (k = 1,2)$ 的增加而按正幂次增加，同时在某一类中随着指标值的增加按照相应的一个幂函数增加，故可对第 $i$ 个评价指标设定分段幂函数为变权函数，即： + +$$ +\omega_ {i} (D _ {i}) = D _ {i} ^ {\frac {1}{k}} \quad k = 1, 2 +$$ + +则有该分段变幂函数的图象为: + +![](images/87e618d4a4b0245e92ca39f61cf3e1a6d47009a5bec04edb9c352d901329b292.jpg) +图8分段变幂函数 + +由此可以构造动态加权后的近期满意度指标 $S$ 如下： + +$$ +S = \sum_ {i = 1} ^ {3} \omega_ {i} \left(D _ {i}\right) D _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {3} D _ {i} ^ {k + 1 / k} \quad k = 1, 2 \tag {2.11} +$$ + +# 5.2.2 远期满意度指标 + +对于远期满意度指标，我们从个人和社会两个角度考虑。对于个人来说，交学费上学的长远目的是希望将来能够有较高的个人收益率，而对于社会来说，投资教育长远来说也是希望能够得到较高的社会收益率。于是我们用个人收益率 $R_{1}$ 和社会收益率 $R_{2}$ 来设计这个远期满意度 $L$ ，有： + +$$ +L = \frac {1}{2} R _ {1} + \frac {1}{2} R _ {2} \tag {2.12} +$$ + +# (1)建立个人收益率模型 + +这里的收益主要是指高等教育的个人收益。高等教育个人收益率计算的基本方法是通过统计大学毕业参加工作的人年均收入与非大学毕业的人参加工作的年均收入之差额，进而推算出高等教育的个人收益率。 + +我们首先假设将劳动者划分为两个群体：一个群体接受了 $m$ 年(此为平均值，下同)的高等教育，另一个群体并未接受高等教育，而是参加工作，且不存在失业。又假定一个接受过高等教育的学生在其接受 $m$ 年的高等教育之后的工作年限为 $n$ 年(此亦为平均值，下同)，于是该生在 $n$ 年中的实际纯收人为 $Y_{4,1}$ ， $Y_{4,2}$ ，…， $Y_{4,n}$ ，并且其在接受高等教育的 $m$ 年中没有任何收入，只是支出。假定其每年的支付分别为 $C_1$ ， $C_2$ ，…， $C_m$ ，设利率水平为 $r$ ，考虑到货币的时间价值，则 + +该学生在 $m$ 年的总支出为： + +$$ +V = \sum_ {t = 1} ^ {m} \frac {C _ {t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} \tag {2.13} +$$ + +该学生在这 $m + n$ 年中实际纯收入的现金流量现值为： + +$$ +V _ {4} = \sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {Y _ {4 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} - \sum_ {t = 1} ^ {m} \frac {C _ {t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} = \sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {Y _ {4 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} - V \tag {2.14} +$$ + +而若该学生不接受高等教育，则由上述假设，他比接受高等教育的情况多工作 $m$ 年（因为退休的年龄基本上与接受高等教育者是一样的），又他在这 $m + n$ 年中的实际纯收入分别为 $Y_{3,1}$ ， $Y_{3,2}$ ，…， $Y_{3,m}$ ， $Y_{3,m+1}$ ，…， $Y_{3,m+n}$ ，则该学生在这 $m + n$ 年中的实际纯收入的现金流量现值为： + +$$ +V _ {3} = \sum_ {t = 1} ^ {m + n} \frac {Y _ {3 , t}}{(1 + r _ {1}) ^ {t}} +$$ + +所以，高等教育的个人收益率为： + +$$ +R _ {1} = \frac {V _ {4} - V _ {3}}{V} \tag {2.15} +$$ + +由上面的分析可以知道， + +$$ +V _ {4} - V _ {3} = \sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {Y _ {4 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} - V - \sum_ {t = 1} ^ {m + n} \frac {Y _ {3 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} = \left(\sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {Y _ {4 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} - \sum_ {t = 1} ^ {m + n} \frac {Y _ {3 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}}\right) - V +$$ + +其中， $\sum_{t = 1}^{n}\frac{Y_{4,t}}{(1 + r_1)^t} -\sum_{t = 1}^{m + n}\frac{Y_{3,t}}{(1 + r_1)^t} = Y_4,$ $V = c^{\prime \prime}$ ，所以 + +(2.15)式可转化成 + +$$ +R _ {1} = \frac {Y _ {4} ^ {\prime} - c ^ {\prime \prime}}{c ^ {\prime \prime}} = \frac {2 3 5 5 4 7 . 3 6 - c ^ {\prime \prime}}{c ^ {\prime \prime}} \tag {2.16} +$$ + +# (2)建立社会收益率模型 + +教育（或高等教育）投资的社会收益率，指一定时期内一个国家和地区由于教育（或高等教育）投资而获得的收益与教育（或高等教育）成本的比率，也可以表示为人均收益额与人均教育成本的比率。 + +所以本文从以下两方面入手：教育（或高等教育）投资而获得的收益和教育（或高等教育）的成本。 + +由于投资发生在现在而收益发生在未来，这种终生收益只能采取推算的办法。其具体步骤如下： + +# ①确定各级教育的劳动简化系数 + +劳动简化系数，在教育投资收益率的测算总是指某一教育程度的劳动力与小学教育程度的劳动力（视为基数1）。 + +所以，现在要确定各级教育的劳动简化系数 $K_{i}$ 。本文认为学生的受教育程度越高，其劳动生产率也相应越高。若以第一级(如小学教育程度)劳动者的工资为基数，作为一个简单劳动单位，则可以按不同教育程度劳动者的工资比例逐级折算，得到简化系数。 + +据联合国教科组织提供的研究成果，劳动生产率与劳动者文化程度呈高度的正相关关系。与文盲相比，小学毕业可提高劳动生产率 $43\%$ ，初中毕业可提高 $108\%$ ，大学毕业可提高 $300\%$ 。 + +由此推算，并以小学毕业为基数1，则各级教育程度的比例系数为：文盲 $K_{0} = 0.6993$ ，小学 $K_{1} = 1$ ，初中 $K_{2} = 1.4545$ ，高中 $K_{3} = 1.9029$ （按 $1.08 + (3 - 1.08) \times 3 / 7$ 推算）， $K_{4} = 2.7972$ 。 + +# (2)计算平均教育程度的劳动生产率 + +本文构建了公式 $\frac{Y}{L} -\frac{Y}{KL}$ ，用以反映因教育而使每个劳动者多创造的GDP（因教育而提高的劳动生产率)。该公式中， $\frac{Y}{L}$ 是按实有劳动量计算的劳动生产率，其中既包含教育的影响，也包含教育之外的其他因素的影响； $\frac{Y}{KL}$ 是按简化劳动量计算的劳动生产率,应理解为只包含教育之外的其他因素的影响。二者的差额即应理解为是由于教育而使劳动生产率提高的部分，也即平均教育程度的劳动生产率。 + +# (3)计算第 $i$ 级教育程度劳动者比低一级教育劳动者年人均多创造的 GDP + +根据以上的定义可以知道： + +$$ +y _ {i} ^ {\prime} = \left(K _ {i} - K _ {i - 1}\right) \times \left(\frac {Y}{L} - \frac {Y}{K L}\right) \tag {2.17} +$$ + +所以，大学教育程度劳动者比高中教育程度劳动者年人均多创造GDP： + +$$ +y _ {4} ^ {\prime} = (2. 7 9 7 2 - 1. 9 0 2 9) \times \left(\frac {Y}{L} - \frac {Y}{K L}\right) = 0. 8 9 4 3 \times \left(\frac {Y}{L} - \frac {Y}{K L}\right) \tag {2.18} +$$ + +# ④测算各级教育程度劳动人均终生多创造GDP + +我们以各级教育劳动者由于受教育而多创造的劳动生产率表示教育收益，这其中涉及到教育所提高的劳动生产率 $\left(\frac{Y}{L} -\frac{Y}{KL}\right)$ 随时间而增长的问题。因此，在测算各级教育程度劳动者人均终生多创造的GDP时，应当考虑到教育劳动生产率的增长率。若以 $a$ 代表教育劳动生产率增长率，根据相关文献知道 $a \leq 5\%$ ，不妨设定 $a = 4\%$ ，以 $Y_{i}$ 表示劳动者由于受教育人均终生多创造的GDP。所以，接受大学程度教育的劳动者的比接受高中程度教育的劳动者终生多创造的GDP： + +$$ +Y _ {4} = \sum_ {t = 1} ^ {3 4} y _ {4, t} ^ {\prime} = \sum_ {t = 1} ^ {3 4} y _ {4, 0} ^ {\prime} (1 + a) ^ {t} = y _ {4, 0} ^ {\prime} \times \sum_ {t = 1} ^ {3 4} (1 + a) ^ {t} = y _ {4} ^ {\prime} \times \sum_ {t = 1} ^ {3 4} (1 + a) ^ {t} +$$ + +同时收益却产生在劳动者一生的工作时间内，这就必然产生资本的时间价值问题，因此，应采用“贴现”的方法将收益的未来值转变为现值。即根据： + +复利终值(目前货币的未来值) = 现值 $\times (1 + \text{利率})^t$ + +从而： + +货币未来值未来货币的现值 $= \frac{\text{货币未来值}}{(1 + \text{利率})^t}$ + +若以 $r$ 代表利率, 则上述公式应为: + +$$ +Y _ {4} ^ {\prime} = \sum_ {t = 1} ^ {3 4} \frac {y _ {4 , t} ^ {\prime}}{(1 + r) ^ {t}} = \sum_ {t = 1} ^ {3 4} \frac {y _ {4 , 0} ^ {\prime} (1 + a) ^ {t}}{(1 + r) ^ {t}} = y _ {4} ^ {\prime} \times \sum_ {t = 1} ^ {3 4} \left(\frac {1 + a}{1 + r}\right) ^ {t} +$$ + +教育成本计算： + +教育成本的定义：教育总成本(以 $C$ 表示)包括国家(社会)支付的教育经费（以 $c^{\prime}$ 表示）、受教育期间个人或家庭支付的学杂费和生活费额外支出（ $c^{\prime \prime}$ 表示），以及由于就学所放弃的收入(通常称为机会成本，以 $c^{\prime \prime \prime}$ 表示)。 + +其中 $c^{\prime} = \sum_{t = 1}^{t}\frac{c_{t}^{\prime}}{(1 + r)^{5 - t}}$ ， $c'' = \sum_{t = 1}^{t}\frac{c_{t}^{\prime\prime}}{(1 + r)^{5 - t}}$ ， $c^{\prime \prime} = \sum_{t = 1}^{t}\frac{c_{t}^{\prime\prime}}{(1 + r)^{5 - t}}$ + +所以有每个学生教育总成本： + +$$ +C = c ^ {\prime} + c ^ {n} + c ^ {m} +$$ + +即大学教育社会收益率： + +$$ +R _ {2} = \frac {Y _ {4} ^ {\prime} - C}{C} \tag {2.19} +$$ + +⑤模型参数估计 + +# 国家（社会）支付的生均高等教育经费测算 + +根据《中国统计年鉴》计算得到，2002、2003、2004和2006年期间，扣除学杂费后大学生均教育经费支出分别为15119.56元、14962.77元、14928.92元和15332.8元。 + +从而得到 $2002 \sim 2006$ 年期间生均教育经费支出合计为： + +$$ +c ^ {\prime} = \frac {1 5 1 1 9 . 5 6}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {4}} + \frac {1 4 9 6 2 . 7 7}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {3}} + \frac {1 4 9 2 8 . 9 2}{(1 + 0 . 0 2 2 5) ^ {2}} + \frac {1 5 3 3 2 . 8}{1 . 0 2 5 2} = 5 7 2 3 3. 4 3 +$$ + +# 受高等教育期间个人或家庭支付的学杂费和生活费额外支出测算 + +由于大学生在大学就读期间只是支出，设其 $t$ 年的支付分别为 $c_{t}^{*}$ ，其中 $c_{t}^{*}$ 包括学生的学杂费和生活费额外支出，设利率水平为 $r$ ，考虑到货币的时间价值， $f_{t}$ 表示 $t$ 年所交的学费，同时我们选取了如下一些数据：2002~2006 年期间大学生在大学期间的追加的生活费，分别为：6029.88 元、6510.94 元、7182.1 元和 8606.55 元，则该学生在就读大学的 4 年中的总支出为： + +$$ +c ^ {"} = \frac {f _ {1} + 6 0 2 9 . 8 8}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {4}} + \frac {f _ {2} + 6 5 1 0 . 9 4}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {3}} + \frac {f _ {3} + 7 1 8 2 . 1}{(1 + 0 . 0 2 2 5) ^ {2}} + \frac {f _ {4} + 8 6 0 6 . 5 5}{1 + 0 . 0 2 5 2} +$$ + +# 由于就学而少为社会所作的贡献（机会成本）测算 + +为了和教育收益相对应,本文所指大学教育的机会成本,以由于接受大学教育失去工作机会人均少为社会创造的价值来加以反映,相当于受高中教育的劳动者4年所创造的人均GDP之和。由于接受高中教育的劳动者的年均收创造的GDP为14209元，按照以上的计算方法求得： + +$$ +c ^ {m} = \frac {1 4 2 0 9}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {4}} + \frac {1 4 2 0 9}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {3}} + \frac {1 4 2 0 9}{(1 + 0 . 0 2 2 5) ^ {2}} + \frac {1 4 2 0 9}{1 + 0 . 0 2 5 2} = 5 3 9 8 5. 6 8 +$$ + +假设利率不变，并设定 $r = 2.52\%$ + +求得 $Y_4' = 235547.36$ + +$$ +\text {所 以 ，} R _ {2} = \frac {1 2 4 3 2 8 . 2 5 - c ^ {\prime \prime}}{1 1 1 2 1 9 . 1 1 + c ^ {\prime \prime}} +$$ + +# 5.2.3学费标准的综合满意度 + +因为近期满意度和远期满意度已达到统一的标准，即类型和量纲都一致，又因为两者间相互独立，故可直接通过线性加权综合： + +$$ +E = \frac {1}{2} S + \frac {1}{2} L \tag {2.20} +$$ + +![](images/0a72c23625701a1bb0e9008c35b4ab93d1855718f46110924be8ed709a91ecd9.jpg) +图9学费评价系统 + +# 5.2.4 用模型 II 对模型 I 进行评价 + +通过用java编程（程序见附录2)，用评价模型对由模型I得到近几年的一本学校理工类专业，文科类专业，艺术类专业的学费进行评价有： + +表 3 学费评价得分表 + +
理工类专业文科类专业艺术类专业
综合满意度（年平均值）0.580.520.64
+ +由上表可以知道，模型I的学费标准普遍满意度不高，说明该学费标准不够合理。 + +# 5.3 模型III——学费寻优模型的建立与求解 + +为了实现对最佳学费标准的求解，我们建立了多目标规划模型。 + +一个最佳的学费标准应该是既能顾及学生、学校、政府的利益，又能考虑到近期的利益和远期的利益。于是我们主要考虑以下几个因素： + +目标一：学生近期利益最大 + +目标二：学校近期利益最大 + +目标三：政府近期利益最大 + +目标四：个人远期收益率最大 + +目标五：社会远期收益率最大 + +# 5.3.1 目标分析 + +# (1)目标一：学生近期利益最大 + +在学生交学费上大学这件事情上，可以把学生作为消费者，那么消费者在对商品的价格进行考虑时，往往并不是只考虑价格的大小，而会综合考虑商品的质 + +量和价格，即所谓的“性价比”，于是我们认为“性价比”这一指标能够衡量学生近期的利益大小，由前面的5.2.1中(1)的研究有“性价比”的量化式为： + +$$ +p _ {2} = \frac {Q}{f ^ {\prime}} \tag {3.1} +$$ + +# (2)目标二：学校近期利益最大 + +学校在考虑学费的制定这个问题的时候，因为我国高校招生人数基本上是政策决定而不是依据市场经济规律调节，所以作为校方从近期利益考虑总会希望学费定得越高，那么进行学校运作和发展的资金就越足，所以用学校所能得到的总学费作为学校近期利益的体现，由前面的5.2.1中(2)的关于总学费的研究有： + +$$ +f _ {\text {总}} = f \cdot N \tag {3.2} +$$ + +# (3)目标三：社会近期利益最大 + +政府每年都要向高校拨款支持教育事业的发展，从政府的近期利益考虑，政府并不希望需要承担过多的教育经费，也就是希望学生承担多一些教育经费，这样就可以把更多的钱投入到再生产等其他方面的发展，我们可以用政府对一间学校总拨款额 $A_{\text{总}}$ 占该学校一年教育经费 $F$ 的比例 $p_{3}$ 来衡量，通过 $p_{3}^{\prime} = 1 - p_{3}$ 将 $p_{3}$ 化成极大型指标，由前面的5.2.1中(3)的研究有： + +$$ +p _ {3} ^ {\prime} = 1 - \frac {A \cdot N}{F} \tag {3.3} +$$ + +# (4)目标四：个人远期收益率最大 + +学生交学费上学，可以看作是一种投资行为，投资行为讲求收益率，而且这种收益不会在近期体现，而是会在远期体现。而事实上不同类别的学校的学生，不同专业的学生出到社会后的工资待遇等都会存在差异，而且明显。于是不同类别，不同专业间的学生就有着不同的收益率，学生当然希望自身的收益率能够达到最大化，由前面的5.2.2中(1)的关于个人收益率的研究有： + +$$ +R _ {1} = \frac {V _ {4} - V _ {3}}{V} \tag {3.4} +$$ + +# (5)目标五：社会远期收益率最大 + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，所以国家也会参与高等教育事业的投资，作为政府一方，是希望这种社会远期收益率最大化的，由前面的5.2.2中(2)的关于社会收益率的研究有： + +$$ +R _ {2} = \frac {Y _ {4} ^ {\prime} - C}{C} \tag {3.5} +$$ + +# 5.3.2 约束分析 + +# (1)学生支付能力约束 + +所谓学生支付能力，就是指学生交学费的能力，我们认为该能力与该学生的家庭纯收入，国家生均拨款，还有学生获得的奖学金有关，于是得到如下约束： + +$$ +f \leq W + A + J +$$ + +说明: $W$ 为学生的家庭年纯收入, $A$ 为国家生均拨款, $J$ 为奖学金。 + +# (2)学校教育经费需求约束 + +学校教育经费的来源主要有政府财政拨款，学校自筹，社会捐赠，事业收入 + +（包括学费收入部分和非学费收入部分）。 + +政府财政拨款可以认为是5.2.1的(3)中定义的 $A_{\text{总}} = A \cdot N$ ，定义学校自筹费用为 $Z_{1}$ ，社会捐赠费用为 $Z_{2}$ ，事业收入的非学费收入部分为 $Z_{3}$ ，学费收入为 $f_{\text{总}} = f \cdot N$ ，则有如下约束： + +$$ +A \cdot N + Z _ {1} + Z _ {2} + Z _ {3} + f \cdot N \geq F +$$ + +说明： $F$ 为高校一年的教育经费。 + +# 5.3.3 模型III建立 + +$$ +\begin{array}{l} \max \frac {Q}{f ^ {\prime}} \\ \max f \cdot N \\ \max \quad 1 - \frac {A \cdot N}{F} \\ \max \frac {V _ {4} - V _ {3}}{V} \tag {3.6} \\ \max \frac {Y _ {4} ^ {\prime} - C}{C} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} f \leq W + A + J \\ A \cdot N + Z _ {1} + Z _ {2} + Z _ {3} + f \cdot N \geq F \\ f \geq 0 \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +# 5.3.4 模型III的求解 + +在对综合目标的求解上，我们首先将该多目标规划转换成单目标规划，将五个目标统一标准化后进行线性加权，权值的确定参考前面评价模型的确定方法，则转化后的模型为： + +$$ +\begin{array}{l} \max \frac {1}{6} p _ {2} ^ {\prime} + \frac {1}{6} f _ {\text {总}} ^ {\prime} + \frac {1}{6} p _ {3} ^ {\prime} + \frac {1}{4} R _ {1} + \frac {1}{4} R _ {2} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} f \leq W + A + J \\ A \cdot N + Z _ {1} + Z _ {2} + Z _ {3} + f \cdot N \geq F \\ f \geq 0 \end{array} \right. \tag {3.7} \\ \end{array} +$$ + +为了求解该规划模型，我们采用了模拟退火算法对最优解进行搜索。 + +模拟退火算法思想：模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。用固体退火模拟优化问题，将内能模拟为目标函数值，温度演化成控制参数，即得到解优化问题的模拟退火算法：由初始解和控制参数初值开始，对当前解重复“产生新解 $\rightarrow$ 计算目标函数差 $\rightarrow$ 接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减温度值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 $T_{0}$ 、当前的控制参数 $T_{\text {em }}$ 及其衰减因子 $\Delta T$ 、每个 $T_{\text {em }}$ 值 + +时的最大迭代次数ML和停止条件Stop。 + +模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。 + +(1) 初始化: 初始温度 $T_{0}$ (充分大), 初始解状态 $S^{\prime}$ (是算法迭代的起点), 每个 $T_{\text {em}}$ 值的最大迭代次数 $ML$ ; +(2)对 $k = 1,\dots ,L$ 做第(3)至第6步： +(3)产生新解 $S^{\prime \prime}$ +(4) 计算增量 $df = f(S^{\prime \prime}) - f(S^{\prime})$ ，其中 $df$ 为评价函数； +(5) 若 $df < 0$ 则接受 $S^{*}$ 作为新的当前解，否则以概率 $\exp(-df / Tem)$ 接受 $S^{*}$ 作为新的当前解； +(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序（终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法）； +(7) Tem 逐渐减少, 且 $T_{\text{em}} \rightarrow 0$ , 然后转第 2 步。 + +控制参数的确定： + +$T_{0}$ ：初始温度，应该比较大，为了所求的解更加接近最优解，本文中令初始温度 $T_{0} = 20000$ ； + +Tem：温度变化量； + +$\Delta T$ : 衰减因子, 为了计算的方便本文中令 $\Delta T = 1$ ; + +$ML$ ：每个 $T$ 值时的最大迭代次数，令 $ML = 100$ + +$N L$ ：每个 $T$ 值时的迭代次数； + +Stop: 迭代停止的条件, 本文中当 $N L \geq M L$ 和 $T \leq 0$ 时令程序迭代停止; + +$f(x)$ ：目标函数为对以上多目标规划进行处理后的单目标规划； + +$df$ ：相邻的两个解对应的目标函数的差； + +由于本问题在求解的过程中的目标之差 $df$ 绝对值的范围 $(0,1)$ , 相对于温度变化量是非常小, 这样会使得每一次对不符合的解的否定几乎是零, 所以本文中设计的接受不符合解的概率为 $e^{\frac{-df \times T_0}{T}}$ 。 + +同时，本规划问题是有约束条件的规划问题，所以在每一次产生新解的时候都对新解进行判断，如果满足约束条件就进行模拟，否则就重新选择进行选择新解。 + +![](images/6f560d8836a68700f65916a50c2959e473b74b896cf05df22eb472acceaddded.jpg) +图10 模拟退火算法流程图 + +我们用与模型 I 相同的一本学校理工类专业的相关数据（由于其他数据较难找，这里只用这一种情况进行对比），用 java 编程求解最优学费（具体程序见附录 3），有： + +表 4 学费寻优模型求解结果列表 (单位：元) + +
学生最满意学费值4512.9
学校最满意学费值5684.8
政府最满意学费值5723.5
近期最满意学费值5529.4
远期最满意学费值4915.4
综合最满意学费值5015.2
+ +与前面的模型 I 进行比较有: + +表 5 模型 I 与模型 III 的满意度对比表 + +
模型Ⅰ模型Ⅲ
通过模型Ⅱ计算的满意度（年平均值）0.580.86
+ +由上表可见模型 III 得到的学费的满意度更高，也在一定程度上验证了模型 III 的有效性。 + +![](images/709599e743391e570196bfed6d771155a2865268fe2b4c2e16e1a842e326988d.jpg) +图11学费寻优系统 + +# 5.4 模型 IV——学费控制模型的建立与求解 + +为了让有关部门能够更方便的对最优学费进行控制，我们利用前面多目标规划的灵敏度分析的结果来建立最优学费的控制模型。 + +# (1)控制目标 + +我们这里把最优学费的值 $f$ 作为控制模型的控制目标。 + +# (2)控制变量 + +由于影响最优学费的因素有很多，我们这里选择了几个主要的因素而且是可控制的因素作为有关部门的控制手段。 + +我们选择了控制高校事业收入的非学费收入，控制教育经费，控制国家拨款，控制学生人数四个方法来作为控制学费的手段。 + +那么在我们所建立的控制模型中定义了如下控制变量： + +$\Delta Z_{3}$ ：高校事业收入的非学费收入的改变量； + +$\Delta F$ : 高校一年教育经费的改变量; + +$\Delta A$ :国家生均拨款的改变量; + +$\Delta N$ :高校一年校均招生人数的改变量。 + +# (3)控制模型 + +根据控制目标及控制变量的设定，我们建立了如下学费控制模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} f = f ^ {*} + \Delta f \\ \Delta f = l _ {1} \cdot \rho_ {1} \cdot \frac {\Delta Z _ {3}}{1 0 ^ {4}} + l _ {2} \cdot \rho_ {2} \cdot \frac {\Delta F}{1 0 ^ {5}} + l _ {3} \cdot \rho_ {3} \cdot \frac {\Delta A}{1 0 ^ {3}} + l _ {4} \cdot \rho_ {4} \cdot \frac {\Delta N}{1 0 ^ {2}} \\ \sum_ {i = 1} ^ {4} l _ {i} \leq 1 \\ l _ {i} \in \{0, 1 \} \end{array} \right. \tag {4.1} +$$ + +模型说明： + +(1) $f^{*}$ 表示原来的最优学费值, 即控制前的最优学费值; +(2) $\Delta f$ 表示控制后最优学费值的改变量; +③ $\rho_{1}$ 表示在改变高校事业收入的非学费收入而其他影响最优学费的因素不改变的情况下, 高校事业收入的非学费收入每增加 10000 元, 最优学费值 $f$ 的改变量; $\rho_{2}$ 表示在改变高校一年教育经费而其他影响最优学费的因素不改变的情况下, 高校一年教育经费每增加 100000 元, 最优学费值 $f$ 的改变量; $\rho_{3}$ 表示在改变国家生均补助而其他影响最优学费的因素不改变的情况下, 国家生均补助每增加 1000 元, 最优学费值 $f$ 的改变量; $\rho_{4}$ 表示在改变高校一年校均招生人数而其他影响最优学费的因素不改变的情况下, 高校一年校均招生人数每增加 100 人, 最优学费值 $f$ 的改变量; +(4) $l_{i}$ 是一个 0-1 变量, 当取值为 0 时, 表示不改变第 $i$ 个影响因素的取值, 即不改变第 $i$ 个控制变量; 当取值为 1 时, 表示改变第 $i$ 个影响因素的取值, 即改变第 $i$ 个控制变量。但由于 $\rho_{1} 、 \rho_{2} 、 \rho_{3} 、 \rho_{4}$ 参数的估计方法都是采用固定其他影响因素不变只改变某个影响因素来就得, 并且模型 III 不属于一般的线性方程模型, 所以当同时改变多个影响因素时, 通过将各个影响因素分别对最优学费值的影响直接相加来求得多个影响因素共同作用时对最优学费值的影响显然是不可 + +行的, 所以我们的控制模型设计成每次控制的时候只能改变某个因素, 而不能同时改变多个因素, 所以就有了 $\sum_{i=1}^{4} l_{i} \leq 1$ 约束。 + +# (4)控制模型的参数估计 + +我们通过模型 III 的灵敏度分析对模型中 $\rho_{1} 、 \rho_{2} 、 \rho_{3} 、 \rho_{4}$ 进行估计，估计结果： + +$$ +\rho_ {1} = - 8. 3 3, \rho_ {2} = 1 0. 7 3, \rho_ {3} = - 5 3. 6 2, \rho = - 2 6. 4 8 +$$ + +# (5)学费控制系统的建立 + +结合以上的学费控制模型和之前的学费寻优模型建立学费控制系统： + +![](images/d13470016c51b71bbaca1c522d4098ddc92aca67637feaa249f2d00c958cb094.jpg) +图12学费控制系统 + +# 6. 模型的讨论、灵敏度分析与误差分析 + +# 6.1 模型的讨论 + +# (1)模型一 + +模型一的建立的基础是对已有的数据的分析，例如通过对比不同高校中生均实际学费和生均事业性经费的支出之间的比例，可以看出国家对不同级别的普通高等学校之间的资源的分配是存在着差异，其中一本普通高校的生均教育经费支出和生均事业性经费支出是二本普通高校生均教育经费支出和生均事业性经费支出的近两倍。 + +在对数据分析的基础之上，针对不同的级别的普通高等学校差异，建立起不同的多元回归模型。同时为了考虑不同的专业之间学费的差异，分析出不同的专业的学费主要就是常数项的不同，建立了不同类型学校不同专业的学费模型。 + +该模型的建立是为了探讨现有的学费的收费标准，反映了真实的情况，但是其主要是决策者制定的，其考虑的主要方面是决策者的利益，没有过多的考虑学生的利益，从现有的学费过高的情况可以说明这一现实。 + +# (2)模型二 + +为了说明现有的学费标准的好坏，需要对学费的标准进行评价，本文从学生近期满意度、学校近期满意度、政府近期满意度、个人收益率和社会收益率五个不同的目标进行加权，建立起学费评价模型。其中为了对一些目标进行量化处理， + +本文中建立了高校教学质量模型、个人收益率模型和社会收益率模型。根据模型求解可以知道现有的收费标准并不十分合理。 + +# (3)模型三 + +在模型二分析的基础上，本文中建立起多目标规划模型，该模型总和考虑了多方的利益。求解的过程中，为了求解方便对多目标进行归一化的处理，并利用模拟退火算法求解模型的最优解。 + +# (4)模型四 + +为了进一步完善问题的解决，本文提出了控制模型，即是给决策者一个控制学费增长的途径，即：可以通过选择控制高校事业收入的非学费收入，控制教育经费，控制国家拨款，控制学生人数四个方法来作为控制学费的手段。 + +# 6.2灵敏度分析 + +# (1)模型一 + +根据已知的数据，对模型的参数进行估计，由 $F$ 值小于0.0001，可以知道该模型是有效的。同时模型求解得： + +$$ +T 1 = 7 4 5 4. 0 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1 +$$ + +由上式可知：在其它自变量不变的情况下。一本普通高等学校生均事业性经费支出每增加1000元．生均实际学费平均提高224.61元；预算内事业性经费拨款占教育经费收入的比重每提高1个百分点．生均实际学费平均降低73.65132元；事业收入中非学费收入所占比重每提高1个百分点．生均实际学费平均降低77.49088元。 + +# (2)模型三 + +在模拟退火算法的实现中，通过改变决策因素中的某一个的值，而不改变其他的值的大小，通过多次进行求解，最后将所得到的结果进行平均得到该因素对学费的贡献系数。得到：在改变高校事业收入的非学费收入而其他影响最优学费的因素不改变的情况下，高校事业收入的非学费收入每增加10000元，最优学费值 $f$ 的改变量为-8.33；在改变高校一年教育经费而其他影响最优学费的因素不改变的情况下，高校一年教育经费每增加100000元，最优学费值 $f$ 的改变量为10.73；在改变国家生均补助而其他影响最优学费的因素不改变的情况下，国家生均补助每增加1000元，最优学费值 $f$ 的改变量-53.62；在改变高校一年校均招生人数而其他影响最优学费的因素不改变的情况下，高校一年校均招生人数每增加100人，最优学费值 $f$ 的改变量-26.48。 + +从以上的分析可以知道，该模型得到的结果是稳定的。 + +# 6.3 误差分析 + +# 模型三： + +本模型的求解是采用一种有效的求解算法—模拟退火，该算法是一种基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程，所以利用该算法所求得的解是一个有效的解，而不是一个精确的解。在本模型中，利用该算法所求得的解是有效的，具有实际的意义。 + +# 7. 模型的评价、改进与推广 + +# 7.1 模型的评价 + +# (1)模型的优点 + +①模型建立的合理性，模型的建立是在对收集的数据进行充分的挖掘的基础之上的，通过数据之间的关系提炼出各个变量之间的关系，建立起模型； +②对一些未量化的指标建立模型，进行合理的量化，例如对教学质量的量化建立高校教学质量模型、对个人收益率建立个人收益率模型和对社会收益率建立起社会收益模型； +(3)采用动态加权的加权方法对各短期目标进行动态加权, 使得虽然难以让三者都非常满意, 但却可以让三者都不会出现不满意的情况; +④模型的建立是按照问题的解决的思路进行的，首先分析和发现现有规律，然后对现有的规律进行评价，其次根据评价标准建立新模型，最后建立控制模型供决策者决策，层次渐进易于理解； + +# (2)模型的缺点 + +①为了简化模型的求解，本文中将大学生毕业工作后银行储存利率和教育劳动生产率的增长率设定为不变，可能对模型的求解带来一定的误差； +(2)本文中并没有过多的考虑了模型中的数据中不是很重要的因素; + +# 7.2 模型的改进 + +①针对缺点一，可以通过参照更多的不同年份的数据进行求解，同时也可以参考一些比较权威的资料对未来的银行储存利率和教育劳动生产率的增长率进行估计，然后进行求解； +②针对缺点二，可以系统地分析了目前学费过高的问题，从影响学费的原因上着手，建立评价模型找出问题所在，以多目标规划寻优并给出有效的控制模型。但除了减轻学生的的学费负担这方面，其实我们还可以从增加学生的支付能力这方面考虑：学生遇到上高校的资金困难时，可以有多种途径来解决，包括绿色通道、特困生补助、奖学金、学费减免、勤工助学、贷款和其他手段，这些资助手段的提供主体为政府、高校、社会及个人。虽然这些奖助对于高额的学费无疑杯水车薪，而且选拔严格人数较少，但若能加大这方面的力度，让社会和政府的资金能更多的落到需要帮忙的群体上，那无疑变相降低了学费，平衡了各方压力，以此建立模型可以进一步优化原有的寻优与控制模型； +③本文提出了关于政府、学校与学生三方的满意度，表示三方对学费问题的矛盾对立的关系。但其实在教育经费的调配之外，还有方法是可以同时增加三者满意度，那就是解决高校系统的资金利用率问题。分析数据，教育系统的经费逐年增加，而事业经费比重却持续下降，可以得出结论是政府在高教系统上的投入很高，即成本很高，但依然不能满足高校的实际支出，扩招是一个方面，但问题不仅在人数的增加上。再分析高校对于资金的利用情况，发现如人员使用效率、 + +生均图书册书这类重要的指标，在一本和二本之间，在好的学校和不好的学校之间，区别非常明显，人员使用效率的差异从1：120的优秀水平到1：60的人员空闲状态都有。提高教育系统的资金利用率、增大投入-产出比，已经成为学费居高不下的另一条解决出路！如果能从这方面考虑建模，寻找资金利用率的最优化，或许能更完美的解决现在的学费问题；； + +# 7.3 模型的推广 + +可以用于一般费用的制定及控制的问题。 + +# 8. 写给有关部门的报告 + +根据之前建立的学费规律、评价、寻优和控制模型，结合现在高等院校的实际情况，提出以下建议： + +1.关于学费的制定。对于一所成熟的普通高等院校，生均实际学费占事业性经费高达 $40\%$ 是非常不合理的，对比国外平均 $20\%$ 的水平，我国生均实际学费的收取太高了，而学费的过高是由于对成本的核算过高，说明我国对于学费的控制和制定存在很大的改进空间，需要进一步加强对我国普通高校学费的管理。如高校应利用数学建模的方法对教育事业成本进行细致的评估，为科学的制定高校学费标准奠定基础；而在制定学费的考量中，应权衡好政府、学校和学生三方面的利益，兼顾短期的还有长期的利益，还要考虑不同地区的经济发展水平和居民收入的高低。得到制定学费的方案后应加强落实对我国高校经费支出的监控，并提高高校经费的使用效率。 +2.关于高等院校规模的快速增长。从1999年开始,高等院校的连年扩招,从2000~2006年的在校学生数年平均增长速度达到 $15.2\%$ ,增长率在2002年达到最高峰 $20.1\%$ ，这两年有所回落，2005~2006年的增长率已回到 $11.4\%$ 的水平。而随着学生人数的快速增长，国家财政拨款却没有以同样的速率增加，导致学生的负担越来越大。因此，适当的控制普通高校的增长速度,能有效的渐缓学费的增加速度,减低学生家庭的负担。 +3. 关于政府事业性经费拨款的提高。由之前的分析得知政府事业性经费拨款的增加速度跟不上事业经费支出的增长速度，因而导致学费的过高。所以要增加普通高校预算内的事业性经费拨款占教育经费收入的比重，减轻学费的增加压力。而加大拨款的同时，还要注意加强监督、深化行政改革和精简机构、加强投资风险分析，使之提高资金的利用率，增大教育事业的投入-产出比。 +4.关于加大科研力度。结合学费控制模型的结果，我们发现高校还能通过加大科研能力来促进发展。科研能力和科技成果转化水平是高校促进社会经济发展、提高社会劳动生产率的重要标志，能提高普通高校校办产业、勤工俭学和社会服务收入，虽然现在这部分资金对教育经费的提升不大，但如果加大投入使之占教育经费的比例提高，也能有效减缓学费的超速增长,同时这也是高等教育迅速发展的有力保证。 +5. 关于教育经费的配置要科学合理。现在的教育经费一般用于三个方面，一是人员经费，二是公用经费，三是专用经费，最近几年，人员经费所占比重增幅越来越大。比如，教职工工资的增加，由于物价上涨发放各类补贴的增多，以 + +及学校方方面面雇用临时工人数的增多，这样，发展的结果，人头费比重日益增高，还有就是各种专用经费的无限量使用。比如，这几年，学校医疗费的严重超支，有的高校通常情况下是一年十几万、几十万元，有的累计超支竟达到了几百万元，碰到一个突发的危重病人，一人年就需要上万元、几万、十几万元，以致学校能用于发展教育的有限补充经费，严重地被挤占，使本来就紧张的高教经费更加紧张。 + +# 参考文献 + +[1]韩中庚，数学建模竞赛，北京：科学出版社，2007； +[2]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003; +[3]沈其君，SAS统计分析，北京：高等教育出版社，2005; +[4]柴救武，高校学费制度研究[M].北京经济管理出版社，2003; +[5]谷宏伟，教育致贫及其后果-转轨时期中国低收入家庭的教育困境.东北财经大学博士论文，P36-P102,2007; +[6]李福华，论高等教育收费制度下的几对关系[J].高等师范教育研究，2003, 15(2): 21-29; +[7]李峰亮，中国的高等教育规模扩展与劳动力市场[J],复旦教育论坛,2005; +[8]王晓红、王雪峰，高校科研投入产出关系中的边际收益递增现象[J].哈尔滨工业大学学报，2006,(04)； +[9]Stiglitz.J.E, The theory of screening education and the distribution of income, Am.Econ.Eev, 1975, 65:283-300; +[10]BAZYKINAD, Nonlinear dynamics of interacting populations [M], Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 1998. + +# 附录 + +# 1. 模型分析及求解中用到的部分数据： + +表1 + +
一本普通高等学校二本普通高等学校
地区生均实际学费(元)地区生均实际学费
北京5846.705661北京5272.585592
天津3869.184692天津4826.41108
河北5663.819234河北5734.218747
辽宁5419.302827山西6673.873255
吉林3692.777916内蒙古3431.821602
黑龙江4592.744294辽宁6132.827433
上海8175.100876吉林4581.904845
江苏4344.635054黑龙江6010.14146
浙江6459.207306上海7170.887545
安徽4806.842747江苏4121.119648
福建3467.762322浙江7649.529579
山东3644.97313安徽4130.412231
湖北6383.027541福建5413.084978
湖南4597.84744江西5079.627448
广东8730.664648山东4698.474195
重庆6283.58682河南4527.699943
四川4603.296779湖北4731.62131
陕西4674.665357湖南4385.601409
甘肃4628.847957广东6456.004129
宁夏3987.695978广西4073.114929
北京5846.705661海南5216.919548
天津3869.184692重庆4462.421428
河北5663.819234四川4222.518311
辽宁5419.302827贵州3640.389538
吉林3692.777916云南4592.36736
黑龙江4592.744294西藏3474.660779
上海8175.100876陕西5013.113491
甘肃3436.972172
青海3337.685058
宁夏3623.952959
新疆3616.910939
+ +表 2 分地区一本普通高等学校教育经费分析表 + +
地区生均实际学费生均事业性经费支出预算内事业性经费拨款占教育经费收入百分比事业收入中非学费收入所占百分比
北京5846.70566131523.2650.5777376858.98081
天 津3869.18469218170.6146.839000952.00136
河 北5663.81923410605.2944.7110034310.33385
辽 宁5419.30282719242.8143.6380962446.00014
吉 林3692.77791619405.2159.1969535245.10985
黑 龙 江4592.74429426276.1927.3219470264.85454
上 海8175.10087628302.1850.7064317637.40617
江 苏4344.63505422600.8245.6697467458.09054
浙 江6459.20730637959.572.4194730261.77723
安 徽4806.84274728976.568.1028874543.48084
福 建3467.76232219579.9258.3420838758.0095
山 东3644.9731320516.9949.4621416660.17014
湖 北6383.02754118897.6246.2892655832.11491
湖 南4597.8474418140.8153.5895036846.1328
广 东8730.66464826816.5642.3848886725.53498
重 庆6283.5868216892.9147.9378650629.94247
四 川4603.29677918494.0743.5007433257.93205
陕 西4674.66535720629.8355.8010152739.78141
甘 肃4628.84795716093.4657.1272068919.89903
宁 夏3987.69597814898.7182.081298780
+ +表 3 分地区二本普通高等学校教育经费分析表 + +
地区生均实际学费生均事业性经费支出事业收入中非学费收入所占百分比预算内事业性经费拨款占教育经费收入百分比
北京5272.58559227242.0134.1454531671.90543868
天津4826.4110811832.2335.7905851671.65280674
河北5734.2187478915.65.97486184736.9197128
山西6673.8732559915.617.0609550260.53879466
内蒙古3431.8216027641.916.7593868551.22579289
辽宁6132.82743313100.9620.2305919739.33367755
吉林4581.9048459904.0216.2078037345.10710593
黑龙江6010.141469778.0317.0501893636.47558764
上海7170.88754521278.2716.2683639555.87346469
江苏4121.11964811155.8726.8262352138.92084613
浙江7649.52957920643.5925.4674982530.78650049
安徽4130.4122316803.1519.0956307830.56446674
福建5413.08497811650.1620.4487365442.2504944
江西5079.6274487169.8916.9366956525.54689165
山东4698.4741958530.116.3487854635.4525775
河南4527.6999438703.5713.5925510842.4842572
湖北4731.621318837.3424.9294214225.53651546
湖南4385.6014098147.0817.5539812829.14435253
广东6456.00412915324.1120.1884058841.74186458
广西4073.1149298612.1319.9274774440.24628466
海南5216.9195487324.9318.2952275326.49584726
重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃青海宁夏新疆4462.4214289548.2628.5827204539.13414415
4222.5183118551.5831.9691140930.86748207
3640.3895388682.0718.3887877441.95802956
4592.3673612227.6272.7114566545.60383369
3474.66077913757.5925.047375437.19232404
5013.1134918826.622.0773839133.31717564
3436.9721728240.6118.6727119845.10271967
3337.68505810719.156.2375762174.08826671
3623.95295910828.0114.3567625552.28528394
3616.9109399601.7927.7808680545.11144242
+ +表 4 02-06 年普通高等院校调查数据 1 + +
年份全国生均教 育经费输出高等院校在 校学生平均学杂费与生活费每个家庭年 纯收入平均 值生均学费
200615332.8173884415218.87+8696.5521793.25218.87
200414928.92156177674915.35+7182.118537.64915.35
200314962.77133349694657.92+6510.9416641.64657.92
200215119.56110860024367.33+6029.8815267.64367.33
+ +表 5 02-06 年普通高等院校调查数据 2 + +
年份高校平均一 +年招手的学 +生数国家生均拨款平均每所学校的 +捐赠费平均每所学校 +事业收入的非 +学费部分高等院校数 +目
20069313.576650.531035431.7186291531867
20048715.276355.15983120.54142655211792
20037703.624947.76991895.28124648271731
20027143.044794.321010504.37114016591552
+ +# 2. 实现学费评价模型的java程序： + +import java.util.*; + +public class pingjia { + +private static final int size = 4; + +private static final int max = 10000; + +private static final int $min = 4000$ + +double shouru[] = {15267.6, 16641.6, 18537.6, 21793.2}; //四年的每个家庭平均纯收入 + +double xuefei[] = {4367.33,4657.92,4915.35,5218.87}; //四年的每年学生平均学费 + +double renshu[] = {7143.04, 7703.62, 8715.27, 9313.57}; //四年平均每所学校招收人数 + +double bokuan[] = {4794.32, 4947.76, 6355.15, 6650.53}; //四年国家对每个学 + +生的平均拨款 + +double shehui[] = {1010504.37,991895.28,983120.54,1035431.7}; //四年社会对平均每所学校捐款 + +double feixue[] = {11401658.5, 12464827.26, 14265520.64, 18629153.18}; //学校非学费事业收入 + +double feiyong[] = {82564836.9, 97231012.7, 111615689.17, 143001384.57}; // 学校每年总费用 + +public double studuan(double f1,double w){ //学生短期目标函数double $\mathrm{v} = 0.0$ double temp $= 0.0$ if(f1 $\equiv$ 4000){ f1 $= 4001$ 1 } v=1-f1/w; temp $=$ (max-f1)/(max-min); +System.out.println(temp); temp $=$ temp/0.63; $\mathrm{v} = (\mathrm{v} + \mathrm{temp}) / 2$ if(v>=1){ v $= 0.99$ 1 } return v; +} +public double xueduan(double f){ //学校短期目标函数double $\mathrm{v} = 0.0$ double max $= 10000.0$ double min $= 4000.0$ . $\mathrm{v} = (\mathrm{f - min}) / (\mathrm{max - min})$ ： return v; +} +public double zhengduan(double f,double f2){ //政府短期目标函数double $\mathrm{v} = 0.0$ ： $\mathrm{v} = 1\text{-f / f2};$ $\mathrm{v} = (0.63 + \mathrm{v}) / 2$ ： return v; +} +public double dongtai(double f){ //动态加权函数double $\mathrm{v} = 0.0$ + +if(f<0||f>1.0){}else if(f>=0&&f<=0.3){v=f;}else{v=Math.sqrt(f);}return v;public double shechang(double f){ //社会利益目标double $\mathrm{v} = 0.0$ double temp $= 0.0$ double $\mathbf{r} = 0.0$ double shenghuo[] $=$ {6029.88,6510.94,7182.1,8606.55};double rate[] $=$ {0.0198,0.0198,0.0225,0.0252};for(int $\mathrm{i} = 0;\mathrm{i} < \mathrm{size};\mathrm{i} + + )$ {temp $=$ Math.pow(1+rate[i],size-i);temp $=$ (shenghuo[i] $^+$ f)/temp; $\mathrm{v} = \mathrm{v} +$ temp;}r $=$ (124328.25-v)/(111219.11+v);return r; +public double peoplechang(double f){ //个人利益目标double $\mathrm{v} = 0.0$ double temp $= 0.0$ double $\mathbf{r} = 0.0$ double shenghuo[] $=$ {6029.88,6510.94,7182.1,8606.55};double rate[] $=$ {0.0198,0.0198,O.0225,O.0252};for(int $\mathrm{i} = 0;\mathrm{i} < \mathrm{size};\mathrm{i} + + )$ {temp $=$ Math.pow(1+rate[i],size-i);temp $=$ (shenghuo[i] $^+$ f)/temp; $\mathrm{v} = \mathrm{v} +$ temp;}r $=$ (235547.36-v)/(v+53985.68);r $= 2^{*}\mathrm{r / 5}$ return r; + +public void total(){ //总目标函数 +int index $= 0$ +double mubiao1 $= 0.0$ +double mubiao2 $= 0.0$ +double mubiao3 $= 0.0$ +double mubiao4 $= 0.0$ +double mubiao5 $= 0.0$ +double temp $= 0.0$ +double tt $= 0.0$ +for(index $= 0$ ;index $\leqslant$ size;index++){ +mubiaol $=$ studuan(xuefei[index],shouru[index]); +mubiaol $=$ mubiaol\*dongtai(mubiaol); +mubiao2 $=$ xueduan(xuefei[index]); +mubiao2 $=$ mubiao2\*dongtai(mubiao2); +temp $\equiv$ renshu[index]\*bokuan[index]; +mubiao3 $=$ zhengduan(feiyong[index],temp); +mubiao3 $=$ mubiao3\*dongtai(mubiao3); +mubiao4 $=$ shechang(xuefei[index]); +mubiao5 $=$ peoplechang(xuefei[index]); +tt $= 0.5^{*}$ (mubiaol+mubiao2+mubiao3)+0.5\*(mubiao4+mubiao5); +System.out.println("第"+(index+1)+""评价结果为:"+tt); + +# 3. 实现学费寻优模型的java程序： + +import java.util.\*; +public class moni{ private static final double max $= 10000.0$ private static final double min $= 4000.0$ private static final double $\mathrm{F} = 143001384.57$ private static final double $\mathrm{N} = 9313.57$ + +private static final double $\mathrm{W} = 21793.2$ +private static final int $\mathrm{ML} = 100$ +private static final double $Z1 = 1035431.7$ +private static final double $Z2 = 18629153.18$ +private static final double $\mathrm{A} = 6650.53$ + +private int $\mathrm{T} = 0$ +private int $\mathbf{L} = 0$ +private double ff $= 0.0$ +private double f1 $= 0.0$ +private double f2 $= 0.0$ +private double df $= 0.0$ +private double e $= 0.0$ +private double fuhao $= 0.0$ +private double randmax $= 500$ +private double r $= 0.0$ + +```txt +private boolean loop1 = true; +private boolean loop2 = true; +private boolean loop3 = true; +private Random rand = null; +``` + +public void init(){ $\mathrm{T} = 20000$ $\mathrm{ff} = 6431.0$ rand $=$ new Random(); +} +public void Simulation(){ init(); do{ do{ if(T==0){ //如果T=0时，退出程序 loop1=false; System.out.println("最优解为："+ff+"温度为："+T); break; } do{ //生成新解 f1 $=$ ff; r $=$ rand.nextDouble(); fuhao $=$ rand.nextDouble(); if(fuhao<=0.5){ f2 $=$ ff-randmax\*r; }else{ f2 $=$ ff+randmax\*r; } if(f2>=4000.0&&f2<=10000){ + +```javascript +if((f2+20000<=W+A)&&&(A*N+Z1+Z2+N*(f2+3000)>=F)){ loop3=false; } } while (loop3); //新解结束 df = total(f1)-total(f2); //判断接受新解 if(df<=0){ ff = f2; T = T-1; L = 0; loop3 = true; }else{ r = rand.nextDouble(); System.out.println("r=" + r); e = Math.exp(-df*20000/T); if(r<=e){ ff = f2; T = T-1; L = 0; loop3 = true; }else{ L++; if(L>=ML){ loop1 = false; loop2 = false; System.out.println("最有解为：" + ff); } } } //接受新解结束 }while (loop2); } while (loop1); } public double total(double f){ //总目标函数 double value = 0.0; value = mubiao1(f)/6+mubiao2(f)/6+mubiao3(f)/6+mubiao4(f)/4+mubiao5(f)/4; return value; } public double mubiao1(double f){ double v = 0.0; double tf = (f-min)/(max-min); //进行极值差转化 v = school(f)/tf; +``` + +return v; +public double school(double f){ double $\mathrm{v} = 0.0$ . $\mathrm{v} = 0.53$ return v; +public double mubiao2(double f){ double $\mathrm{v} = 0.0$ .. $\mathrm{v} = (\mathrm{f - min}) / (\mathrm{max - min})$ .. return v; +public double mubiao3(double f){ double $\mathrm{v} = 0.0$ .. $\mathrm{v} = \mathrm{f}^{*}\mathrm{N} / \mathrm{F}$ .. return v; +public double mubiao4(double f){ double $\mathrm{v} = 0.0$ .. double temp $= 0.0$ .. double r $= 0.0$ .. double shenghuo[] $=$ {6029.88,6510.94,7182.1,8606.55}; double rate[] $=$ {0.0198,0.0198,0.0225,0.0252}; for(int i=0;i<4;i++){ temp $=$ Math.pow(1+rate[i],4-i); temp $=$ (shenghuo[i] $^+$ f)/temp; $\mathrm{v} = \mathrm{v + }$ temp; } $\mathbf{r} = (235547.36\mathrm{-v}) / (\mathrm{v} + 53985.68)$ $\mathrm{r} = 2^{*}\mathrm{r} / 5$ return r; +public double mubiao5(double f){ double $\mathrm{v} = 0.0$ + +double temp $= 0.0$ +double $\mathrm{r} = 0.0$ +double shenghuo[] $=$ {6029.88,6510.94,7182.1,8606.55}; double rate[] $=$ {0.0198,0.0198,0.0225,0.0252}; for(int $\mathrm{i = 0;i < 4;i + + )}$ { temp $=$ Math.pow(1+rate[i],4-i); temp $=$ (shenghuo[i] $^+$ f)/temp; $\mathrm{v} = \mathrm{v} +$ temp; } $\mathrm{r} = (124328.25 - \mathrm{v}) / (111219.11 + \mathrm{v})$ return r; \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246 \345\274\240\344\274\257\351\276\231 \345\210\230\344\270\276\346\254\276 \345\274\240\350\212\263/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246 \345\274\240\344\274\257\351\276\231 \345\210\230\344\270\276\346\254\276 \345\274\240\350\212\263.md" "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246 \345\274\240\344\274\257\351\276\231 \345\210\230\344\270\276\346\254\276 \345\274\240\350\212\263/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246 \345\274\240\344\274\257\351\276\231 \345\210\230\344\270\276\346\254\276 \345\274\240\350\212\263.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a630d69d030bcf61e16b54fc8f96a55d44334859 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246 \345\274\240\344\274\257\351\276\231 \345\210\230\344\270\276\346\254\276 \345\274\240\350\212\263/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246 \345\274\240\344\274\257\351\276\231 \345\210\230\344\270\276\346\254\276 \345\274\240\350\212\263.md" @@ -0,0 +1,457 @@ +# 高等教育学费的优化模型 + +# 摘要 + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，我国普通高等学校学费问题已经成为社会关注的热点问题。本文就高等学校的学费标准进行了探讨。学费标准的高低是学校和学生都非常关注的问题，对学校而言，校方希望能提高学费标准，有更多的经费来保证高等教育的培养质量。对学生而言，特别是对贫困学生，过高的学费，将对其家庭造成较大压力，甚至支付不起学费。 + +本文根据中国国情，收集了：国家生均拨款、培养费用、家庭收入，大学本科毕业生毕业2年的工资期望，各专业的生均培养费用等数据，并进行统计、归纳。在市场竞争机制下，公平的分析问题，分别建立学生对学费的加权满意度函数和学校对学费的加权满意度函数。然后构造使双方满意度之和最大，同时双方满意度之差的绝对值最小的双目标函数，学费还要满足约束条件： + +1)、学费+国家生均拨款+生均社会资助>=生均培养费用； +2)、学费 $<=$ 平均可支配的家庭收入。 + +用 MATLAB 优化工具箱进行求解，得到了不同专业学费标准的最优值，结果见图表 -4。 + +最后，我们对模型的优缺点进行了评价，讨论了其推广应用的价值，并给有关部门写了建议性的报告，提出某方面的改革措施。 + +关键字：二八原则法，个人期望收益，加权满意度，MATLAB优化工具箱 + +# 一、问题重述 + +在竞争激烈的当代，一个国家教育质量的好坏直接关系到民族的发展、社会的和谐稳定；国家高素质人才的培养，创新能力的增强都离不开高质量的教育做保障。因此，抓住机遇，全面提高高等教育人才培养质量至关重要。我国是穷国办大教育，而且是世界上最大规模的教育，人民群众不断增长的教育需求同教育供给特别是优质教育供给不足的矛盾，学校与学生之间关于培养质量和学费的矛盾是现阶段教育发展面临的基本矛盾。教育投入严重不足，教育基础设施和教师队伍的水平都远远不能适应教育现代化的要求。过低的学费使学校财力不足而无法保证质量，过高的学费又会使很多学生无力支付，很多适合接受高等教育的经济困难的学生虽然能通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金，但由于学校资助体系的不完善，仍然有相当一部分贫困学生将无力支付昂贵的学费。为了平衡双方利益又不违背中国国情，我们必须收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，建立数学模型，得到让矛盾双方都较为满意的学费收取标准。最后，我们根据模型建立及分析得到的结果，给有关部门写一份建议报告，给出具体的意见。 + +在此，我们给出相关的名词解释。 + +1、国家生均拨款：各高等学校的经常性拨款数按照标准学生人数、生均拨款标准、各调控参数等指标数综合计算，一般各高等学校的国家生均拨款是不变的。具体各高校的国家生均拨款见（附录一） +2、生均成本（培养费用）：发改委、财政部、教育部在调研基础上确定：教职工工资、福利、社会保障费、助学金、公务费(办公开支)、业务费、修缮费、业务招待费、其他等9项为总支出，用总支出除以学生总数等于生均培养成本。一般的成本核算办法为：将教学、教辅人员的工资性费用，教学业务费用，学生事务费用以及固定资产建设费、折旧费等相加，然后平摊到学生头上。 + +具体按照现在的日常运行成本粗略计算，得到各学科类的生均成本为： + +单位：（万元） + +
专业类别理工科文科医学艺术
培养费用1.51.2~1.3410以上
+ +（图表-1） + +3、收益期望：本科毕业生在毕业时间 $1\sim 2$ 年内所能达到的工资标准。 + +# 二、模型假设及符号说明 + +# 一、模型假设 + +1、高校培养质量与培养费用正相关，培养质量直接决定学生的个人预期收益。 +2、该模型仅考虑三类本科院校。 +3、不同类高校的专业收费差别不大，专业不同、学校不同导致的预期收益不同。 +4、近几年各高校的学费和国家生均拨款是不变的。 +5、本科毕业后三年内的工薪收入为衡量预期收益的主要指标。 + +# 二、符号说明 + +$E_{ij}$ ：i类学校j专业的预期收益 + +$X_{j}$ ：j专业的计算学费即最优学费 + +$X_{j}^{'}$ ：由居民收入观察得到的 $80\%$ 部分的人支付得起的学费 + +$f_{i}$ ：i类学校对学生满意度影响的权向量 + +$f_{i}^{'}$ ：i类学校在所选学校中所占的权重 + +$W_{1}$ ：由二八原则法确定的不需要依赖资助体系的学生对于学生满意度的贡献 + +$W_{2}$ ：由二八原则法确定的需要依赖资助体系的学生对于学生满意度的贡献 + +$K_{i}$ : i类学校资助体系的完善程度 + +$F\left(X_{ij}\right)$ : i类高校j专业的培养费用 + +$E(G_{i})$ ：国家对 $\mathrm{i}$ 类学校生均拨款的期望 + +$S_{i}$ ： i类学校得到的社会基金 + +$X_{j}$ ： 学 $\mathrm{j}$ 专业的不同学校的学生对该专业的加权满意度 + +$h_{j}$ ： $x_{j}$ 归一化后的满意度 + +$x_{j}^{'}$ ： 各学校对 $\mathbf{j}$ 专业的加权满意度 + +$h_j$ ： $\pmb{x}_j$ 归一化后的满意度 + +A: 三类高校对学生满意度影响的比较矩阵 +B：计算 A 得到的满意度影响的权向量 +M: 偏好系数 + +# 三、问题分析及模型建立 + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，我国普通高等学校学费问题已经成为社会关注的热点问题。学费标准的高低是学校和学生都非常关注的问题，对学校而言，校方希望能提高学费标准，有更多的经费来保证高等教育的培养质量。对学生而言，特别是对贫困学生，高的学费，又会影响学习效果，进而影响到高等教育的培养质量，而培养质量是高等教育的一个核心指标。从高素质人才培养及和谐社会建设的大局出发，我们构建实现学生、学校双赢的双目标规划模型。我们考虑一下几个方面的因素。 + +# 一、学生对专业的满意度： + +1、不需要依赖学校资助体系的学生，他们的满意度将更注重学校培养质量，学校培养质量直接影响学生的预期收益，这部分学生的满意度由 $\frac{E_{ij}}{X_{ij}}$ 表示。这相当于购买商品时，性价比越高，顾客越满意； +2、需要依赖学校资助体系的贫困生，他们的满意度包括学校资助体系的完善程度及学校的培养质量，不同类型的高校学校资助体系的完善程度是不同的，这部分学生的满意程度用 $K_{i} * \frac{E_{ij}}{X_{ij}}$ 表示。 +3、从社会层面看，按事情的“重要程度”编排事务优先次序的准则是建立在“重要的少数与琐碎的多数”的原理的基础上。如 $80\%$ 的销售额是源自 $20\%$ 的顾客； $80\%$ 的电话是来自 $20\%$ 的朋友； $80\%$ 的总产量来自 $20\%$ 的产品； $80\%$ 的财富集中在 $20\%$ 的人手中； $20\%$ 的客户为企业带来 $80\%$ 的利润，所以整体学生的满意度 $80\%$ 来自 $20\%$ 的需要资助的学生，居民家庭基本情况见附录。整体学生满意度是符合二八原则法的，因某个专业学费的定价能直接影响 $20\%$ 的贫困生的就读选择，即这少部分的贫困生在学生满意度里占重要比例，于是由该原理得出： $W_{1} = 0.2$ 、 $W_{2} = 0.8$ 。至此，我们得到 i 学校中学生关于专业 j 学费的满意度： + +$$ +\boldsymbol {x} _ {i j} = \frac {E _ {i j}}{X _ {i j}} * W _ {1} + K _ {i} * \frac {E _ {i j}}{X _ {i j}} * W _ {2} +$$ + +4、学生对于同一专业的满意度不同。学校越好，学生对该学校的该专业的满意度相应较高，根据比较哪个高校对学生满意度的影响更重要，我们构造这三类学校关于“影响”这一准则层的比较矩阵： + +$$ +\mathrm {A} = \left( \begin{array}{c c c} & & \\ 1 & 2 & 3 \\ \frac {1}{2} & 1 & 2 \\ \frac {1}{3} & \frac {1}{2} & 1 \end{array} \right) +$$ + +由MATLAB编程（见附录）求出这三类高校在对满意度的“影响”这一准则层的权向量 $(f_{1},f_{2},f_{3})$ ，权向量的一致性检验将在模型检验里详细讨论。从而学生对于各学校j专业的加权满意度： + +$$ +\boldsymbol {X} _ {j} = \frac {\sum \boldsymbol {X} _ {i j} * f _ {i}}{\sum f _ {i}} +$$ + +# 二、学校对专业的满意度： + +1、对一所学校而言：国家生均拨款和社会基金一定，其满意度由 $x_{ij} = \frac{X_{ij}}{F(X_{ij})}$ 表示，而 $F(X_{ij}) = X_j + E(G_i) + S_i$ 。在培养费用投入一定的条件下，学费越高，学校的满意度越大。由此，我们得到学校i对专业j的满意度： + +$$ +\boldsymbol {x} _ {i j} ^ {\prime} = \frac {X _ {i j}}{F (X _ {i j})} = \frac {X _ {j}}{X _ {j} + E (G _ {i}) + S _ {i}} +$$ + +2、对不同类别的学校而言：对同一专业的满意度又是不一样的。而从宏观上看，各类学校对同一个专业的学费收取近似相等。于是我们根据i级学校在所选代表学校里占的比重，确定各类学校对整体学校满意度的贡献 $f_{i}^{\prime}$ 。从而，我们得到所有学校对j专业的加权满意度： + +$$ +\boldsymbol {X} _ {j} ^ {\prime} = \frac {\sum \boldsymbol {X} _ {i j} ^ {\prime} * f _ {i} ^ {\prime}}{\sum f _ {i} ^ {\prime}} +$$ + +# 三、归一化处理： + +据上面分析，我们需要将所有学生对同一专业的加权满意度和所有学校对该专业的加权满意度进行。为了计算，首先基本度量单位要同一，故应对两满意度 + +进行归一化： $h_j = \frac{\pmb{x}_j}{(\pmb{x}_j + \pmb{x}_j')}$ （20 $h_j' = \frac{\pmb{x}_j'}{(\pmb{x}_j + \pmb{x}_j')}$ + +# 四、模型建立： + +通过上述分析假设在一个固定专业的基础上我们得到了学生对此专业的满意度设为 $h_j$ ，与不同类学校对此专业的满意度 $h_j'$ 。由于这两个满意度之间存在此消彼长的关系，以及对整个社会而言这两个满意度之和达到最大，社会将会得到最佳满意度。于是，建立目标函数： + +$$ +M a x: \mathbf {h} _ {j} + \mathbf {h} _ {j} ^ {\prime} +$$ + +但是此模型存在一定的缺陷即可能出现某一方单纯的一方满意度达最大，而如果两者之间差距很大则必然引起社会的不满所以，在上述基础上若 $h_1$ 与 $h_2$ 的差越小则越好，由此建立目标函数： + +$$ +M i n: \left| \mathbf {h} _ {j} - \mathbf {h} _ {j} ^ {\prime} \right| +$$ + +由上述分析可得此模型是一个关于 $h_j$ 与 $\pmb{h}_j^{\prime}$ 双目标函数 + +# 五、约束条件 + +1)、由于高校中培养每个学生所需的成本一定, 所以, 学校对学生的培养费用主要来自于学费, 国家生均拨款, 社会资助。所以可得以下关系式: + +学费+国家生均拨款+生均社会资助>=生均培养费用 + +即： $X_{j} + \frac{\sum_{i = 1}^{3}G_{i}*f_{i}}{\sum_{i = 1}^{3}f_{i}} +\frac{\sum_{i = 1}^{3}S_{i}*f_{i}}{\sum_{i = 1}^{3}f_{i}}\geq F(X_{ij})$ + +2)、从社会角度考虑学校的收费不能超过人均家庭可支配的家庭收入, 否则将会引起社会矛盾, 所以 + +学费<=人均家庭可支配收入 + +即： $X_{j}\leq X_{j}^{\prime}$ + +# 四、模型求解 + +# 一、求解学生加权满意度关于学费的表达式： + +由问题分析与模型建立可知： + +(一)、i类学校中学生关于专业j学费的满意度： + +$$ +\boldsymbol {x} _ {i j} = \frac {E _ {i j}}{X _ {i j}} * W _ {1} + K _ {i} * \frac {E _ {i j}}{X _ {i j}} * W _ {2} +$$ + +二)、学生对于各学校j专业的加权满意度： + +$$ +\boldsymbol {X} _ {j} = \frac {\sum \boldsymbol {X} _ {i j} * f _ {i}}{\sum f _ {i}} +$$ + +对上述两个计算公式，根据学校类别与收益期望进行定量分析得出学生加权满意度与学费之间的关系。如下分析： + +1、设三类等级高校的收益期望为 $E_{11}$ (“211 工程” 大学)、 $E_{21}$ (“211 工程”以外的一类本科)、 $E_{31}$ (二类本科)。学校的声誉对起薪的影响很显著,如在其他条件相同的情况下,“211 工程”高校的毕业生,月薪平均要比一般院校多 400 元左右。其实,不同类别、层次的高校毕业生工资标准不同,是市场的正常反应。但对同一专业 j 而言,其各自的本科毕业 1~2 年的学生的收益期望是一定的。2、根据高校声誉、培养质量、国家生均拨款和社会对高校的资助等因素,我们可以初步设三类学校学生资助体系的完善程度为 $K_{1} = 0.9$ 、 $K_{2} = 0.5$ 、 $K_{3} = 0.2$ 。取的值不同,满意度也会有所改变,而这关系到国家对该类高等院校的财政投入,如生均拨款和社会对该类院校学生的补助资金等,我们将在模型评价中做具体分析。 +3、用 MATLAB 编程求出上述判断矩阵 A 的权向量 $\mathbf{B} = (0.5396, 0.2970, 0.1634)^T$ 。 +4、由于我们只能找到下面图标一2 中 $E_{ij}$ 所在的范围，于是在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量 $\mathbf{X}$ 取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定 $\mathbf{X}$ 服从[a,b]上的均匀分布。若选 $\mathbf{j}$ 为材料专业时， $E_{11} = 2500$ 、 $E_{21} = 2250$ 、 $E_{31} = 2000$ 。计算其他专业时，通用此法。 + +
理工科相关专业j收益期望文科类相关专业收益期望
材料2000~2500金融类3000~4000
计算机2500~3200工商管理1500~2000
电气工程2000~3000语言类1500~2000
交通1800~3000新闻类1800~2500
机械制造3000~4000哲学类1500~2000
艺术类相关专业收益期望医学类相关专业收益期望
播音2500~3500护理学2130~2800
表演1500~2200临床医学2200~2750
美术3000~4000药理学2130~2000
摄影2000~3000预防医学2300~2800
环境艺术2200~3300口腔医学1900~2500
+ +（图表一2） + +5、代入数据计算 $x_{j} = (x_{1j}, x_{2j}, x_{3j}) \times B = (\frac{E_{1j}}{X_{1j}} * W_{1} + K_{1} * \frac{E_{1j}}{X_{ij}} * W_{2}$ , + +$$ +\frac {E _ {2 j}}{X _ {2 j}} * W _ {1} + K _ {2} * \frac {E _ {2 j}}{X _ {2 j}} * W _ {2}, \quad \frac {E _ {3 j}}{X _ {3 j}} * W _ {1} + K _ {3} * \frac {E _ {3 j}}{X _ {i j}} * W _ {2}) \times (0. 5 3 9 6, 0. 2 9 7 0, 0. 1 6 3 4) ^ {T}, +$$ + +结果为关于学费 $X_{j}$ 的函数。 + +# 二、学校加权满意度的求解： + +由问题分析与模型建立可知： + +# 一)、我们得到学校 $\mathrm{i}$ 对专业 $\mathrm{j}$ 的满意度 + +$$ +\mathbf {x} _ {i j} ^ {\prime} = \frac {X _ {i j}}{F \left(X _ {i j}\right)} = \frac {X _ {j}}{X _ {j} + E \left(G _ {i}\right) + S _ {i}} +$$ + +# 二)、学校对j专业的加权满意度 + +$$ +\boldsymbol {X} _ {j} ^ {\prime} = \frac {\sum \boldsymbol {X} _ {i j} * f _ {i} ^ {\prime}}{\sum f _ {i} ^ {\prime}} +$$ + +同理，根据上述两个公式根据学校类别与收益期望进行定量分析得出学生加权满意度与学费之间的关系。如下分析： + +1、对于质量培养费用 $F(X_{ij}) = X_j + E(G_i) + S_i$ 。对于不同学校，同一专业，待求的 $X_j$ 近似相等，又因不同学校国家生均拨款是不同的，于是我们用总体均值 $E(G_i)$ 表示某一类学校学生享受的国家生均拨款。通过我们查询到的数据（见附表一）， $E(G_3)$ 的数据根据本科生的国家生均拨款对一、二学校进行随机抽样调查，而第三类学校的国家生均拨款得到 $E(G_1) = 0.980206$ ， $E(G_2) = 0.42$ ， $E(G_3) = 0.39$ 。（单位：万元） +2、由收集的数据可知“211工程”大学共116所，所占比例 $f_{1}^{\prime}$ 为 $19.33\%$ 、“211工程”以外的一类本科共72所，所占比例 $f_{2}^{\prime}$ 为 $12\%$ 、二类本科共412所，所占比例 $f_{3}^{\prime}$ 为 $68.67\%$ 。 +3、代入数据计算 $X_{j} = \left(\frac{X_{j}}{X_{j} + E(G_{1}) + S_{1}},\frac{X_{j}}{X_{j} + E(G_{2}) + S_{2}},\frac{X_{j}}{X_{j} + E(G_{3}) + S_{3}}\right)$ $\times \left(f_1^{\prime},f_2^{\prime},f_3^{\prime}\right)^T$ ，结果也为关于学费 $X_{j}$ 的函数。 + +# 三、双目标函数求解 + +为了求解该双目标的规划模型，我们必须将其转化成单目标规划模型。对二者赋予权重 $m(0 < m \leq 1)$ ， $m$ 称为偏好系数。因此目标函数化为： + +$$ +\operatorname {M a x}: \mathrm {m} ^ {*} \left(h _ {j} + h _ {j} ^ {\prime}\right) - (1 - \mathrm {m}) ^ {*} \left| h _ {j} - h _ {j} ^ {\prime} \right| +$$ + +S.t. + +$$ +X _ {j} + \frac {\sum_ {i = 1} ^ {3} G _ {i} * f _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {3} f _ {i}} + \frac {\sum_ {i = 1} ^ {3} S _ {i} * f _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {3} f _ {i}} \geq F \left(X _ {i j}\right) +$$ + +$$ +X _ {j} \leq X _ {j} ^ {\prime} +$$ + +我们将(1)(2)计算得到的 $x_{j}$ 和 $x_{j}^{\prime}$ 关于 $X_{j}$ 的函数，集体代入双目标函数中。用MATLAB优化工具箱编程实现(程序见附件)，取偏好系数 $\mathrm{m} = 0.6$ 时得到材料专业的最优学费：3803.6元。此时的培养费用 $F(X_{ij})$ 为各类学校的加权平均值，对某专业 $F(X_{ij})$ 一定，所以国家生均拨款的多少和从社会得到的补助资金的多少将关系到学费的定价。见图表一1： + +
专业类别理工科文科医学艺术
培养费用（万元）1.51.2～1.3410以上
+ +# 五、模型评价与检验 + +由于资助体系完善程度、预期收益和偏好系数的变化都将引起满意度和目标函数值的变化，所以我们评价这几个影响因素时采取变量控制的方法。 + +1、当预期收益和偏好系数一定，各类学校的资助体系程度不同时，学生的满意度的变化。 + +检验我们对K的取值可信与否，我们只需通过取围绕该组K值确定的最优学费附近的几组学费来检验我们所得到的目标函数值满意度是否最大。对 $K_{i} = [0.2,0.5,0.9]$ 时做模型检验。当 $K_{i} = [0.2,0.5,0.9]$ ，时求出最优的学费是3803.6元，目标函数的值为0.3241。取围绕该最优学费3803.6的一组其他学费进行检验，每取一个值可得一个满意度。 + +
学费 +(元)3550360036503700375038003950390039504000
满意度0.30700.31130.31150.31960.32360.32380.31790.31220.30670.3012
+ +图表-3 + +我们对上述图标中的数据6次多项式拟合得如下图象： + +![](images/77d1b0b4446e9937032971d415ca12b3acc3bf8e19c36e9b6f023d2022e766e1.jpg) + +从图象中可以清楚的看出，此模型得出的学费是最优解。 + +2、在学校资助体系完善程度及偏好系数一定时，收益期望的变化对学费和目标函数值的影响。 + +选取材料专业为例，根据收益期望服从的均匀分布，得到一组数值： + +
收益期望学费目标函数值
[2000,2250,2500]3803.60.3241
[2100,2250,2400]4321.10.3463
[2200,2250,2300]4380.40.3486
[1900,2300,2600]4221.70.3422
[1800,2100,2200]3996.50.3327
+ +由此可得若三类学校的相同专业学生毕业后若预期收益相差越小则，此专业的学费将会相对比较高。 + +3. 在学校资助体系完善程度及收益期望一定时，偏好系数的变化对学费和目标函数值的影响见表： + +
M取值学费目标函数值
0.43996.50.3227
0.33996.50.2495
0.23996.50.1663
+ +由此表可知，当偏好系数 $\mathbf{M}<=0.5$ 时对学费变化几乎没有影响。 + +综合以上的模型检验，得到的结果有效且合理。因此，我们可分别得到理工科、文科、医学和艺术类各两门专业的最优学费。如表三：（单位：元） + +
专业学费
机械制造5964.7
工商管理3580.0
新闻专业4068.7
播音专业5080.5
美术专业5694.7
口腔医学4165.7
临床医学4522.9
+ +（图表-4） + +4、对比较矩阵A的一致性检验： + +$$ +A = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3 \\ 1 / 2 & 1 & 2 \\ 1 / 3 & 1 / 2 & 1 \end{array} \right] +$$ + +由 A 中元素可得 $a_{ij} * a_{ji} = 1, i, j = 1, 2, 3$ 。实际上在构成对比较矩阵时，要求满足上述等式。因此退而要求对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许矩阵存在一定程度的不一致性。 + +由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的 + +维数。对成对比较据矩阵 A 的一致性要求，转化为要求：A 的绝对值的最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。 + +用 MATLAB 算出矩阵 A 的最大特征值 $I_{\max} = 3.0092$ （程序见附录）。则对比矩阵 A 的不一致程度的指标 CI: + +$$ +\mathrm {C I} = \frac {I _ {\max } - n}{n} +$$ + +又知随机一致性比率RI数有关如下表： + +随机一致性指标RI： + +
维数3456789
RI0.580.91.121.241.321.411.45
+ +由于： + +$$ +C R = \frac {C I}{R I} = \frac {\frac {3 . 0 0 9 2 - 3}{2}}{0 . 5 8} < 0. 1 +$$ + +所以A具有一致性，故前面根据相关经验确定的不同学校对学生关于专业学费满意度影响的比较矩阵是切合实际的。 + +# 六、模型优缺点及推广 + +优点： + +1、以题目中所给的信息为核心，建立了以学费为变量的满意度函数，充分考虑了社会的总体满意度，从构建和谐社会的大局观出发是合情合的。 +2、此模型考虑因素较多，我们拟合曲线等进行了充分的模型评价与检验。 +3、运用 MATLAB 优化工具箱对于解决该模型简单、明了。 + +缺点： + +1、现在的体制可能对模型的求解有一定的影响，但从模型检验来讲本模型还是正确。 + +建立此模型，我们只是找到了最优学费，并未对现有的收费体制进行更多的改革。但我们可以从此模型建立的有效性及合理性出发，考虑加强国家政策对高等院校投入的比重，提高高校的培养质量，确立一种新的学费收取标准，则本模型将更加精确完善。 + +# 七、报告 + +# 关于高等学校学费问题的报告 + +尊敬的教育部门有关领导： + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，我国普通高等学校学费问题已经成为社会关注的热点问题。学费标准的高低是学校和学生都非常关注的问题，对学校而言，校方希望能提高学费标准，保障有更多的经费来保证高等教育的培养质量。对学生而言，特别是对贫困学生，过高的学费，对他们的家庭造成很大的压力。因此我们认为高校学费是对高等教育准公共产品的客观反映，具有经济与社会的多重属性。高校学费的定价涉及到多方利益相关者（学生、学校等），是影响高校社会满意度的核心因素之一。据此我们通过分析建立某一具体专业的学生对三类本科院校学费的加权满意度及学校对学费的加权满意度的模型，得到该专业的最优学费。我们通过分析讨论模型建立过程中出现或者反映出来的问题，提出如下建议： + +# 一.现在的学费定价并不是非常合理，尚待完善 + +通过满意度最好求出的学费与现行的收费标准进行比较，我们发现现行中有的学科，他的学费定价是偏高的；有的学科，他的学费定价是偏低的。例如：美术专业的最优学费是5694.7元而现行中的学费是6500元—8000元，即就美术专业而言，他的学费定价是偏高的，而且偏离很大，所以现行中的学费尚待完善。 + +# 二.建立与完善高校学费价格体系的配套机制 + +配套机制的建设为高校学费定价的社会满意提供了制度保障，重点要作好以下几个方面：一是建立与健全奖学金与助学金制度，要提高奖学金、助学金的额度，完善发放办法，避免平均主义，真正做到奖优助贫，达到促进人才培养与发展的真正目的；二是建立与健全助学贷款制度，要加快建设助学贷款市场化运作模式，加强贷款的风险管理，扩大助学贷款的规模与范围，解决高等教育贫困生上学难的问题；三是建立与健全勤工助学制度，要教育和引导学生树立自食其力的观念与责任，学校与社会要为学生的勤工助学创造条件与机会，营造勤工助学的社会与制度环境。 + +# 三．定价学费时要充分考虑总体社会（即学校及人民群众）的满意度 + +解决我国高校学费问题的关键是教育成本本身的问题，所以要具体研究教育成本的构成、形成与运行机理、影响或决定因素及其合理性的问题，使社会满意度最高。同时确立学费的程序要公平、公正、公开、透明，广泛吸引学生、家长、社会参与，尽可能增大满意度。 + +# 八、参考文献 + +【1】国家生均拨款：http://tieba.baidu.com/f?kz=114486742 2008年9月19日 +【2】高等教育成本补偿问题初探及大学生受益期望： + +http://www.studa.net/kuaiji/070222/10393623.html 2008年9月19日 + +【3】二八原则法：http://baike.baidu.com/view/530734.htm 2008年9月19日 +【4】07届毕业生工资调查： + +http://www.17tech.com/news/2008050653358.shtml 2008年9月19日 + +【5】中国高校毕业生就业服务网：http://www.myjob.edu.cn/2008年9月20日 +【6】中华英才网：http://www.chinahr.com/index.htm?prj=gadwords 2008年9月20日 +【7】居民家庭基本情况：中国统计年鉴 2008 年 9 月 20 日 +【8】刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水利水电出版社，2005 + +# 附录 + +# 一、重要数据 + +“211 工程”学校国家生均拨款列表： + +
序号分类学校名称生均拨款（万元）
1211中山大学2.51
2211中央美术学院2.49
3211华南理工大学1.65
4211厦门大学1.50
5211东南大学1.43
6211北京师范大学1.37
7211清华大学1.37
8211北京大学1.29
9211同济大学1.26
10211华中师范大学1.24
11211中国农业大学1.21
12211中国人民大学1.14
13211华东师范大学1.13
14211兰州大学1.11
15211北京林业大学1.10
16211天津大学1.08
17211南开大学1.06
18211大连理工大学1.02
19211山东大学1.00
20211浙江大学0.97
21211中国海洋大学0.97
22211陕西师范大学0.94
23211西安交通大学0.93
24211湖南大学0.91
25211复旦大学0.91
26211华东理工大学0.90
27211上海交通大学0.87
28211东北林业大学0.87
29211长安大学0.86
30211吉林大学0.86
31211东华大学0.82
32211中南大学0.82
331南京农业大学0.81
34211武汉大学0.78
35211东北大学0.78
36211华中科技大学0.76
37211华中农业大学0.75
38211南京大学0.75
391北京广播学院0.74
40211上海财经大学0.74
41211北京化工大学0.73
42211北京科技大学0.71
43211北京外国语大学0.71
44211中国矿业大学0.71
45211重庆大学0.68
46211武汉理工大学0.67
47211西南财经大学0.66
48211上海外国语大学0.65
49211中国地质大学0.65
50211河海大学0.63
51四川大学0.62
52211电子科技大学0.61
53北方交通大学0.59
54211石油大学0.57
55211中国政法大学0.56
56211北京邮电大学0.55
57211中南财经政法大学0.54
58西南交通大学0.54
59211江南大学0.51
60211西安电子科技大学0.48
61211对外经济贸易大学0.38
平均生均拨款0.980206
+ +“211 工程” 以外的一类本科国家生均拨款列表； + +
序号分类学校名称生均拨款(万元)
1一本非211中央音乐学院5.52
2一本非211中央戏剧学院1.29
3一本非211东北师范大学1.15
4一本非211西北农林科技大学0.92
5一本非211北京中医药大学0.87
6一本非211西南师范大学0.83
7一本非211北京广播学院0.74
8一本非211合肥工业大学0.68
9一本非211北京语言大学0.30
10一本非211中国药科大学0.454
11一本非211湘潭大学0.46
12一本非211山西大学0.44
13一本非211黑龙江大学0.35
14一本非211扬州大学0.42
15一本非211青岛大学0.44
+ +
项目个按收入等级分
16一本非211宁波大学0.43
17一本非211河南大学0.31
18一本非211延边大学0.31
19一本非211西北大学0.61
20一本非211黑龙江大学0.35
平均生均拨款0.42
+ +居民基本收入表： + +
最低 +收入户低收 +入户中等偏 +下户中等 +收入 +户中等 +偏上户高收 +入户最高 +收入户
一般(5%) +(%)困难户 +(5%)(10%)(20%)(20%)(20%)(10%)(10%)
调查户数 +(户)5609455942801560711251112361122556105571
调查户比重 +(%)100.009.974.9910.0020.0620.0320.0110.009.93
平均每 +户家庭 +人口2.953.313.333.203.092.922.792.692.62
(人)
平均每户就业人口(人)1.531.301.171.521.561.561.551.561.62
平均每户就业面(%)51.8639.2735.1447.5050.4953.4255.5657.9961.83
(包括就业者本人)(人)1.932.552.852.111.981.871.801.721.62
每人全部年收入(元)12719387131295946810311052151992069934834
每人可支配收入(元)1175935682838554175541026914049.1906831967
每人消费性支出(元)869734232953476661087905102181317021062
+ +# 二．相关程序 + +```csv +1. jianyan.m +A=[1,2,3;1/2,1,2;1/3,1/2,1]; +E=eig(A) +[V,D]=eig(A) +t=max(E); +``` + +disp(t); +for $\mathrm{i} = 1:1:3$ if $E(i) == t$ . m=i; end end X=V(:,m); mt=X./sum(X); disp(mt) +2.1、fun.m +function f=fun(x); +f=-0.4*(fun22(x)+fun11(x))+0.6*abs(fun22(x)-fun11(x)); +2.2、fun11.m +function f=fun11(x) +A=[1,2,3;1/2,1,2;1/3,1/2,1]; E=eig(A); [V,D]=eig(A); t=max(E); for i=1:1:3 if E(i) == t; m=i; end end +X=V(:,m); mt=X./sum(X); S=[2200,2425,2750];; P=[40000,40000,40000]; C1=[9800,5000,3900]; p=(10/9)./[（116/600)，(72/600)，(412/600)]; pl=sum(p); + +```matlab +p2=sum(C1.\*p1); +a=[0.2+0.9\*0.8,0.2+0.8\*0.8,0.2+0.6\*0.8]; +k=a.\*(mt'); +e=S; +K1=sum(k.\*e); +Sum=0; +for i=1:3 + Sum=Sum+x/((x+C1(i))\)*p(i); +end +f=K1/x; +2.3、fun22.m +function f=fun22(xuefei); +A=[1,2,3;1/2,1,2;1/3,1/2,1]; +E=eig(A); +[V,D]=eig(A); +t=max(E); +for i=1:1:3 + if E(i) == t; + m=i; + end +end +X=V(:,m); +mt=X./sum(X); +S=[2200,2425,2750];; +P=[40000,40000,40000]; +C1=[9800,4200,3900]; +p=(10/9)./[ (116/600), (72/600), (412/600)]; +pl=sum(p); +p2=sum(C1.\*p1); +a=[0.2+0.9\*0.8,0.2+0.8\*0.8,0.2+0.6\*0.8]; +``` + +k=a.\*(mt'); e=S; K1=sum(k.\*e); Sum=0; for i=1:3 Sum=Sum+xuefei/((xuefei+C1(i))\*p(i)); end f=Sum; +2.4、xuefeiqiujie.m $\mathrm{x}0 = 0$ . x=fminsearch('fun',x0) el=fun11(x) e2=fun22(x) y=fun(x) +3、Huatu.m + $\mathrm{x} = [3550,3600,3650,3700,3750,3800,3850,3900,3950,4000]$ +y=[0.3070,0.3113,0.3155,0.3196,0.3236,0.3238,0.3179,0.3122,0.3067,0.3 012] +p=polyfit(x,y,6) +xi=3350:10:4100; +yi=polyval(p,xi); title('检验图'); +xlabel('学费'); +ylabel('满意度'); +plot(xi,0.3241,'-o'); +hold on plot(x,y,':\*\*,xi,yi,'-d'); hold off \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246_\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\347\232\204\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246_\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\347\232\204\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246_\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\347\232\204\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246_\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\347\232\204\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a9cea9cb21c3f3868a29b0e8b402ba60b21bebe6 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246_\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\347\232\204\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/B\351\225\277\346\262\231\347\220\206\345\267\245\345\244\247\345\255\246_\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\347\232\204\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,457 @@ +# 高等教育学费的优化模型 + +# 摘要 + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，我国普通高等学校学费问题已经成为社会关注的热点问题。本文就高等学校的学费标准进行了探讨。学费标准的高低是学校和学生都非常关注的问题，对学校而言，校方希望能提高学费标准，有更多的经费来保证高等教育的培养质量。对学生而言，特别是对贫困学生，过高的学费，将对其家庭造成较大压力，甚至支付不起学费。 + +本文根据中国国情，收集了：国家生均拨款、培养费用、家庭收入，大学本科毕业生毕业2年的工资期望，各专业的生均培养费用等数据，并进行统计、归纳。在市场竞争机制下，公平的分析问题，分别建立学生对学费的加权满意度函数和学校对学费的加权满意度函数。然后构造使双方满意度之和最大，同时双方满意度之差的绝对值最小的双目标函数，学费还要满足约束条件： + +1)、学费+国家生均拨款+生均社会资助>=生均培养费用； +2)、学费<=平均可支配的家庭收入。 + +用MATLAB优化工具箱进行求解，得到了不同专业学费标准的最优值，结果见图表-4。 + +最后，我们对模型的优缺点进行了评价，讨论了其推广应用的价值，并给有关部门写了建议性的报告，提出某方面的改革措施。 + +关键字：二八原则法，个人期望收益，加权满意度，MATLAB优化工具箱 + +# 一、问题重述 + +在竞争激烈的当代，一个国家教育质量的好坏直接关系到民族的发展、社会的和谐稳定；国家高素质人才的培养，创新能力的增强都离不开高质量的教育做保障。因此，抓住机遇，全面提高高等教育人才培养质量至关重要。我国是穷国办大教育，而且是世界上最大规模的教育，人民群众不断增长的教育需求同教育供给特别是优质教育供给不足的矛盾，学校与学生之间关于培养质量和学费的矛盾是现阶段教育发展面临的基本矛盾。教育投入严重不足，教育基础设施和教师队伍的水平都远远不能适应教育现代化的要求。过低的学费使学校财力不足而无法保证质量，过高的学费又会使很多学生无力支付，很多适合接受高等教育的经济困难的学生虽然能通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金，但由于学校资助体系的不完善，仍然有相当一部分贫困学生将无力支付昂贵的学费。为了平衡双方利益又不违背中国国情，我们必须收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，建立数学模型，得到让矛盾双方都较为满意的学费收取标准。最后，我们根据模型建立及分析得到的结果，给有关部门写一份建议报告，给出具体的意见。 + +在此，我们给出相关的名词解释。 + +1、国家生均拨款：各高等学校的经常性拨款数按照标准学生人数、生均拨款标准、各调控参数等指标数综合计算，一般各高等学校的国家生均拨款是不变的。具体各高校的国家生均拨款见（附录一） +2、生均成本（培养费用）：发改委、财政部、教育部在调研基础上确定：教职工工资、福利、社会保障费、助学金、公务费(办公开支)、业务费、修缮费、业务招待费、其他等9项为总支出，用总支出除以学生总数等于生均培养成本。一般的成本核算办法为：将教学、教辅人员的工资性费用，教学业务费用，学生事务费用以及固定资产建设费、折旧费等相加，然后平摊到学生头上。 + +具体按照现在的日常运行成本粗略计算，得到各学科类的生均成本为： + +单位：（万元） + +
专业类别理工科文科医学艺术
培养费用1.51.2~1.3410以上
+ +（图表-1） + +3、收益期望：本科毕业生在毕业时间 $1 \sim 2$ 年内所能达到的工资标准。 + +# 二、模型假设及符号说明 + +# 一、模型假设 + +1、高校培养质量与培养费用正相关，培养质量直接决定学生的个人预期收益。 +2、该模型仅考虑三类本科院校。 +3、不同类高校的专业收费差别不大，专业不同、学校不同导致的预期收益不同。 +4、近几年各高校的学费和国家生均拨款是不变的。 +5、本科毕业后三年内的工薪收入为衡量预期收益的主要指标。 + +# 二、符号说明 + +$E_{ij}$ ：i类学校j专业的预期收益 + +$X_{i}$ ：j专业的计算学费即最优学费 + +$X_{j}^{'}$ ：由居民收入观察得到的 $80\%$ 部分的人支付得起的学费 + +$f_{i}$ ：i类学校对学生满意度影响的权向量 + +$f_{i}^{'}$ ：i类学校在所选学校中所占的权重 + +$W_{1}$ ：由二八原则法确定的不需要依赖资助体系的学生对于学生满意度的贡献 + +$W_{2}$ ：由二八原则法确定的需要依赖资助体系的学生对于学生满意度的贡献 + +$K_{i}$ ： i类学校资助体系的完善程度 + +$F\left(X_{ij}\right)$ : i类高校j专业的培养费用 + +$E\left(G_{i}\right)$ ：国家对 i 类学校生均拨款的期望 + +$S_{i}$ ： i类学校得到的社会基金 + +$X_{j}$ ： 学 $\mathrm{j}$ 专业的不同学校的学生对该专业的加权满意度 + +$h_{j}$ ： $x_{j}$ 归一化后的满意度 + +$X_{j}^{'}$ ： 各学校对 $\mathbf{j}$ 专业的加权满意度 + +$h_j$ ： $\pmb{x}_j$ 归一化后的满意度 + +A: 三类高校对学生满意度影响的比较矩阵 +B：计算 A 得到的满意度影响的权向量 +M: 偏好系数 + +# 三、问题分析及模型建立 + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，我国普通高等学校学费问题已经成为社会关注的热点问题。学费标准的高低是学校和学生都非常关注的问题，对学校而言，校方希望能提高学费标准，有更多的经费来保证高等教育的培养质量。对学生而言，特别是对贫困学生，高的学费，又会影响学习效果，进而影响到高等教育的培养质量，而培养质量是高等教育的一个核心指标。从高素质人才培养及和谐社会建设的大局出发，我们构建实现学生、学校双赢的双目标规划模型。我们考虑一下几个方面的因素。 + +# 一、学生对专业的满意度： + +1、不需要依赖学校资助体系的学生，他们的满意度将更注重学校培养质量，学校培养质量直接影响学生的预期收益，这部分学生的满意度由 $\frac{E_{ij}}{X_{ij}}$ 表示。这相当于购买商品时，性价比越高，顾客越满意； +2、需要依赖学校资助体系的贫困生，他们的满意度包括学校资助体系的完善程度及学校的培养质量，不同类型的高校学校资助体系的完善程度是不同的，这部分学生的满意程度用 $K_{i} * \frac{E_{ij}}{X_{ij}}$ 表示。 +3、从社会层面看，按事情的“重要程度”编排事务优先次序的准则是建立在“重要的少数与琐碎的多数”的原理的基础上。如 $80\%$ 的销售额是源自 $20\%$ 的顾客； $80\%$ 的电话是来自 $20\%$ 的朋友； $80\%$ 的总产量来自 $20\%$ 的产品； $80\%$ 的财富集中在 $20\%$ 的人手中； $20\%$ 的客户为企业带来 $80\%$ 的利润，所以整体学生的满意度 $80\%$ 来自 $20\%$ 的需要资助的学生，居民家庭基本情况见附录。整体学生满意度是符合二八原则法的，因某个专业学费的定价能直接影响 $20\%$ 的贫困生的就读选择，即这少部分的贫困生在学生满意度里占重要比例，于是由该原理得出： $W_{1} = 0.2$ 、 $W_{2} = 0.8$ 。至此，我们得到 i 学校中学生关于专业 j 学费的满意度： + +$$ +\boldsymbol {x} _ {i j} = \frac {E _ {i j}}{X _ {i j}} * W _ {1} + K _ {i} * \frac {E _ {i j}}{X _ {i j}} * W _ {2} +$$ + +4、学生对于同一专业的满意度不同。学校越好，学生对该学校的该专业的满意度相应较高，根据比较哪个高校对学生满意度的影响更重要，我们构造这三类学校关于“影响”这一准则层的比较矩阵： + +$$ +\mathrm {A} = \left( \begin{array}{c c c} & & \\ 1 & 2 & 3 \\ \frac {1}{2} & 1 & 2 \\ \frac {1}{3} & \frac {1}{2} & 1 \end{array} \right) +$$ + +由MATLAB编程（见附录）求出这三类高校在对满意度的“影响”这一准则层的权向量 $(f_{1},f_{2},f_{3})$ ，权向量的一致性检验将在模型检验里详细讨论。从而学生对于各学校j专业的加权满意度： + +$$ +\boldsymbol {X} _ {j} = \frac {\sum \boldsymbol {X} _ {i j} * f _ {i}}{\sum f _ {i}} +$$ + +# 二、学校对专业的满意度： + +1、对一所学校而言：国家生均拨款和社会基金一定，其满意度由 $x_{ij}^{\prime} = \frac{X_{ij}}{F(X_{ij})}$ 表示，而 $F(X_{ij}) = X_j + E(G_i) + S_i$ 。在培养费用投入一定的条件下，学费越高，学校的满意度越大。由此，我们得到学校i对专业j的满意度： + +$$ +\boldsymbol {x} _ {i j} ^ {\prime} = \frac {X _ {i j}}{F (X _ {i j})} = \frac {X _ {j}}{X _ {j} + E (G _ {i}) + S _ {i}} +$$ + +2、对不同类别的学校而言：对同一专业的满意度又是不一样的。而从宏观上看，各类学校对同一个专业的学费收取近似相等。于是我们根据i级学校在所选代表学校里占的比重，确定各类学校对整体学校满意度的贡献 $f_{i}^{\prime}$ 。从而，我们得到所有学校对j专业的加权满意度： + +$$ +\boldsymbol {X} _ {j} ^ {\prime} = \frac {\sum \boldsymbol {X} _ {i j} ^ {\prime} * f _ {i} ^ {\prime}}{\sum f _ {i} ^ {\prime}} +$$ + +# 三、归一化处理： + +据上面分析，我们需要将所有学生对同一专业的加权满意度和所有学校对该专业的加权满意度进行。为了计算，首先基本度量单位要同一，故应对两满意度 + +进行归一化： $h_j = \frac{\pmb{x}_j}{(\pmb{x}_j + \pmb{x}_j')}$ （20 $h_j' = \frac{\pmb{x}_j'}{(\pmb{x}_j + \pmb{x}_j')}$ + +# 四、模型建立： + +通过上述分析假设在一个固定专业的基础上我们得到了学生对此专业的满意度设为 $h_j$ ，与不同类学校对此专业的满意度 $h_j'$ 。由于这两个满意度之间存在此消彼长的关系，以及对整个社会而言这两个满意度之和达到最大，社会将会得到最佳满意度。于是，建立目标函数： + +$$ +M a x: \mathbf {h} _ {j} + \mathbf {h} _ {j} ^ {\prime} +$$ + +但是此模型存在一定的缺陷即可能出现某一方单纯的一方满意度达最大，而如果两者之间差距很大则必然引起社会的不满所以，在上述基础上若 $h_1$ 与 $h_2$ 的差越小则越好，由此建立目标函数： + +$$ +M i n: \left| \mathbf {h} _ {j} - \mathbf {h} _ {j} ^ {\prime} \right| +$$ + +由上述分析可得此模型是一个关于 $h_j$ 与 $\pmb{h}_j^{\prime}$ 双目标函数 + +# 五、约束条件 + +1)、由于高校中培养每个学生所需的成本一定, 所以, 学校对学生的培养费用主要来自于学费, 国家生均拨款, 社会资助。所以可得以下关系式: + +学费+国家生均拨款+生均社会资助>=生均培养费用 + +即： $X_{j} + \frac{\sum_{i = 1}^{3}G_{i}*f_{i}}{\sum_{i = 1}^{3}f_{i}} +\frac{\sum_{i = 1}^{3}S_{i}*f_{i}}{\sum_{i = 1}^{3}f_{i}}\geq F(X_{ij})$ + +2)、从社会角度考虑学校的收费不能超过人均家庭可支配的家庭收入, 否则将会引起社会矛盾, 所以 + +学费<=人均家庭可支配收入 + +即： $X_{j}\leq X_{j}^{\prime}$ + +# 四、模型求解 + +# 一、求解学生加权满意度关于学费的表达式： + +由问题分析与模型建立可知： + +(一)、i类学校中学生关于专业j学费的满意度： + +$$ +\boldsymbol {x} _ {i j} = \frac {E _ {i j}}{X _ {i j}} * W _ {1} + K _ {i} * \frac {E _ {i j}}{X _ {i j}} * W _ {2} +$$ + +二)、学生对于各学校j专业的加权满意度： + +$$ +\boldsymbol {X} _ {j} = \frac {\sum \boldsymbol {X} _ {i j} * f _ {i}}{\sum f _ {i}} +$$ + +对上述两个计算公式，根据学校类别与收益期望进行定量分析得出学生加权满意度与学费之间的关系。如下分析： + +1、设三类等级高校的收益期望为 $E_{11}$ (“211 工程”大学)、 $E_{21}$ (“211 工程”以外的一类本科)、 $E_{31}$ (二类本科)。学校的声誉对起薪的影响很显著,如在其他条件相同的情况下,“211 工程”高校的毕业生,月薪平均要比一般院校多 400 元左右。其实,不同类别、层次的高校毕业生工资标准不同,是市场的正常反应。但对同一专业 j 而言,其各自的本科毕业 1~2 年的学生的收益期望是一定的。2、根据高校声誉、培养质量、国家生均拨款和社会对高校的资助等因素,我们可以初步设三类学校学生资助体系的完善程度为 $K_{1} = 0.9$ 、 $K_{2} = 0.5$ 、 $K_{3} = 0.2$ 。取的值不同,满意度也会有所改变,而这关系到国家对该类高等院校的财政投入,如生均拨款和社会对该类院校学生的补助资金等,我们将在模型评价中做具体分析。 +3、用 MATLAB 编程求出上述判断矩阵 A 的权向量 $\mathbf{B} = (0.5396, 0.2970, 0.1634)^T$ 。 +4、由于我们只能找到下面图标-2 中 $E_{ij}$ 所在的范围，于是在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量 $\mathbf{X}$ 取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定 $\mathbf{X}$ 服从[a,b]上的均匀分布。若选 $\mathbf{j}$ 为材料专业时， $E_{11} = 2500$ 、 $E_{21} = 2250$ 、 $E_{31} = 2000$ 。计算其他专业时，通用此法。 + +
理工科相关专业j收益期望文科类相关专业收益期望
材料2000~2500金融类3000~4000
计算机2500~3200工商管理1500~2000
电气工程2000~3000语言类1500~2000
交通1800~3000新闻类1800~2500
机械制造3000~4000哲学类1500~2000
艺术类相关专业收益期望医学类相关专业收益期望
播音2500~3500护理学2130~2800
表演1500~2200临床医学2200~2750
美术3000~4000药理学2130~2000
摄影2000~3000预防医学2300~2800
环境艺术2200~3300口腔医学1900~2500
+ +（图表一2） + +5、代入数据计算 $x_{j} = (x_{1j}, x_{2j}, x_{3j}) \times B = (\frac{E_{1j}}{X_{1j}} * W_{1} + K_{1} * \frac{E_{1j}}{X_{ij}} * W_{2}$ , + +$$ +\frac {E _ {2 j}}{X _ {2 j}} * W _ {1} + K _ {2} * \frac {E _ {2 j}}{X _ {2 j}} * W _ {2}, \quad \frac {E _ {3 j}}{X _ {3 j}} * W _ {1} + K _ {3} * \frac {E _ {3 j}}{X _ {i j}} * W _ {2}) \times (0. 5 3 9 6, 0. 2 9 7 0, 0. 1 6 3 4) ^ {T}, +$$ + +结果为关于学费 $X_{j}$ 的函数。 + +# 二、学校加权满意度的求解： + +由问题分析与模型建立可知： + +# 一)、我们得到学校 $\mathrm{i}$ 对专业 $\mathrm{j}$ 的满意度 + +$$ +\mathbf {x} _ {i j} ^ {\prime} = \frac {X _ {i j}}{F \left(X _ {i j}\right)} = \frac {X _ {j}}{X _ {j} + E \left(G _ {i}\right) + S _ {i}} +$$ + +# 二)、学校对j专业的加权满意度 + +$$ +\boldsymbol {X} _ {j} ^ {\prime} = \frac {\sum \boldsymbol {X} _ {i j} * f _ {i} ^ {\prime}}{\sum f _ {i} ^ {\prime}} +$$ + +同理，根据上述两个公式根据学校类别与收益期望进行定量分析得出学生加权满意度与学费之间的关系。如下分析： + +1、对于质量培养费用 $F(X_{ij}) = X_j + E(G_i) + S_i$ 。对于不同学校，同一专业，待求的 $X_j$ 近似相等，又因不同学校国家生均拨款是不同的，于是我们用总体均值 $E(G_i)$ 表示某一类学校学生享受的国家生均拨款。通过我们查询到的数据（见附表一）， $E(G_3)$ 的数据根据本科生的国家生均拨款对一、二学校进行随机抽样调查，而第三类学校的国家生均拨款得到 $E(G_1) = 0.980206$ ， $E(G_2) = 0.42$ ， $E(G_3) = 0.39$ 。（单位：万元） +2、由收集的数据可知“211工程”大学共116所，所占比例 $f_{1}^{\prime}$ 为 $19.33\%$ 、“211工程”以外的一类本科共72所，所占比例 $f_{2}^{\prime}$ 为 $12\%$ 、二类本科共412所，所占比例 $f_{3}^{\prime}$ 为 $68.67\%$ 。 +3、代入数据计算 $X_{j}^{\prime} = \left(\frac{X_{j}}{X_{j} + E(G_{1}) + S_{1}},\frac{X_{j}}{X_{j} + E(G_{2}) + S_{2}},\frac{X_{j}}{X_{j} + E(G_{3}) + S_{3}}\right)$ $\times \left(f_1',f_2',f_3'\right)^T$ ，结果也为关于学费 $X_{j}$ 的函数。 + +# 三、双目标函数求解 + +为了求解该双目标的规划模型，我们必须将其转化成单目标规划模型。对二者赋予权重 $m(0 < m \leq 1)$ ， $m$ 称为偏好系数。因此目标函数化为： + +$$ +\operatorname {M a x}: \mathrm {m} ^ {*} \left(h _ {j} + h _ {j} ^ {\prime}\right) - (1 - \mathrm {m}) ^ {*} \left| h _ {j} - h _ {j} ^ {\prime} \right| +$$ + +S.t. + +$$ +X _ {j} + \frac {\sum_ {i = 1} ^ {3} G _ {i} * f _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {3} f _ {i}} + \frac {\sum_ {i = 1} ^ {3} S _ {i} * f _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {3} f _ {i}} \geq F \left(X _ {i j}\right) +$$ + +$$ +X _ {j} \leq X _ {j} ^ {\prime} +$$ + +我们将(1)(2)计算得到的 $x_{j}$ 和 $x_{j}^{\prime}$ 关于 $X_{j}$ 的函数，集体代入双目标函数中。用MATLAB优化工具箱编程实现(程序见附件)，取偏好系数 $\mathrm{m} = 0.6$ 时得到材料专业的最优学费：3803.6元。此时的培养费用 $F(X_{ij})$ 为各类学校的加权平均值，对某专业 $F(X_{ij})$ 一定，所以国家生均拨款的多少和从社会得到的补助资金的多少将关系到学费的定价。见图表一1： + +
专业类别理工科文科医学艺术
培养费用（万元）1.51.2～1.3410以上
+ +# 五、模型评价与检验 + +由于资助体系完善程度、预期收益和偏好系数的变化都将引起满意度和目标函数值的变化，所以我们评价这几个影响因素时采取变量控制的方法。 + +1、当预期收益和偏好系数一定，各类学校的资助体系程度不同时，学生的满意度的变化。 + +检验我们对K的取值可信与否，我们只需通过取围绕该组K值确定的最优学费附近的几组学费来检验我们所得到的目标函数值满意度是否最大。对 $K_{i} = [0.2,0.5,0.9]$ 时做模型检验。当 $K_{i} = [0.2,0.5,0.9]$ ，时求出最优的学费是3803.6元，目标函数的值为0.3241。取围绕该最优学费3803.6的一组其他学费进行检验，每取一个值可得一个满意度。 + +
学费 +(元)3550360036503700375038003950390039504000
满意度0.30700.31130.31150.31960.32360.32380.31790.31220.30670.3012
+ +图表-3 + +我们对上述图标中的数据6次多项式拟合得如下图象： + +![](images/77d1b0b4446e9937032971d415ca12b3acc3bf8e19c36e9b6f023d2022e766e1.jpg) + +从图象中可以清楚的看出，此模型得出的学费是最优解。 + +2、在学校资助体系完善程度及偏好系数一定时，收益期望的变化对学费和目标函数值的影响。 + +选取材料专业为例，根据收益期望服从的均匀分布，得到一组数值： + +
收益期望学费目标函数值
[2000,2250,2500]3803.60.3241
[2100,2250,2400]4321.10.3463
[2200,2250,2300]4380.40.3486
[1900,2300,2600]4221.70.3422
[1800,2100,2200]3996.50.3327
+ +由此可得若三类学校的相同专业学生毕业后若预期收益相差越小则，此专业的学费将会相对比较高。 + +3. 在学校资助体系完善程度及收益期望一定时，偏好系数的变化对学费和目标函数值的影响见表： + +
M取值学费目标函数值
0.43996.50.3227
0.33996.50.2495
0.23996.50.1663
+ +由此表可知，当偏好系数 $\mathbf{M}<=0.5$ 时对学费变化几乎没有影响。 + +综合以上的模型检验，得到的结果有效且合理。因此，我们可分别得到理工科、文科、医学和艺术类各两门专业的最优学费。如表三：（单位：元） + +
专业学费
机械制造5964.7
工商管理3580.0
新闻专业4068.7
播音专业5080.5
美术专业5694.7
口腔医学4165.7
临床医学4522.9
+ +（图表-4） + +4、对比较矩阵A的一致性检验： + +$$ +A = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 2 & 3 \\ 1 / 2 & 1 & 2 \\ 1 / 3 & 1 / 2 & 1 \end{array} \right] +$$ + +由 A 中元素可得 $a_{ij} * a_{ji} = 1, i, j = 1, 2, 3$ 。实际上在构成对比较矩阵时，要求满足上述等式。因此退而要求对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许矩阵存在一定程度的不一致性。 + +由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的 + +维数。对成对比较据矩阵 A 的一致性要求，转化为要求：A 的绝对值的最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。 + +用 MATLAB 算出矩阵 A 的最大特征值 $I_{\max} = 3.0092$ （程序见附录）。则对比矩阵 A 的不一致程度的指标 CI: + +$$ +\mathrm {C I} = \frac {I _ {\max } - n}{n} +$$ + +又知随机一致性比率RI数有关如下表： + +随机一致性指标RI： + +
维数3456789
RI0.580.91.121.241.321.411.45
+ +由于： + +$$ +C R = \frac {C I}{R I} = \frac {\frac {3 . 0 0 9 2 - 3}{2}}{0 . 5 8} < 0. 1 +$$ + +所以A具有一致性，故前面根据相关经验确定的不同学校对学生关于专业学费满意度影响的比较矩阵是切合实际的。 + +# 六、模型优缺点及推广 + +优点： + +1、以题目中所给的信息为核心，建立了以学费为变量的满意度函数，充分考虑了社会的总体满意度，从构建和谐社会的大局观出发是合情合的。 +2、此模型考虑因素较多，我们拟合曲线等进行了充分的模型评价与检验。 +3、运用 MATLAB 优化工具箱对于解决该模型简单、明了。 + +缺点： + +1、现在的体制可能对模型的求解有一定的影响，但从模型检验来讲本模型还是正确。 + +建立此模型，我们只是找到了最优学费，并未对现有的收费体制进行更多的改革。但我们可以从此模型建立的有效性及合理性出发，考虑加强国家政策对高等院校投入的比重，提高高校的培养质量，确立一种新的学费收取标准，则本模型将更加精确完善。 + +# 七、报告 + +# 关于高等学校学费问题的报告 + +尊敬的教育部门有关领导： + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，我国普通高等学校学费问题已经成为社会关注的热点问题。学费标准的高低是学校和学生都非常关注的问题，对学校而言，校方希望能提高学费标准，保障有更多的经费来保证高等教育的培养质量。对学生而言，特别是对贫困学生，过高的学费，对他们的家庭造成很大的压力。因此我们认为高校学费是对高等教育准公共产品的客观反映，具有经济与社会的多重属性。高校学费的定价涉及到多方利益相关者（学生、学校等），是影响高校社会满意度的核心因素之一。据此我们通过分析建立某一具体专业的学生对三类本科院校学费的加权满意度及学校对学费的加权满意度的模型，得到该专业的最优学费。我们通过分析讨论模型建立过程中出现或者反映出来的问题，提出如下建议： + +# 一.现在的学费定价并不是非常合理，尚待完善 + +通过满意度最好求出的学费与现行的收费标准进行比较，我们发现现行中有的学科，他的学费定价是偏高的；有的学科，他的学费定价是偏低的。例如：美术专业的最优学费是5694.7元而现行中的学费是6500元—8000元，即就美术专业而言，他的学费定价是偏高的，而且偏离很大，所以现行中的学费尚待完善。 + +# 二.建立与完善高校学费价格体系的配套机制 + +配套机制的建设为高校学费定价的社会满意提供了制度保障，重点要作好以下几个方面：一是建立与健全奖学金与助学金制度，要提高奖学金、助学金的额度，完善发放办法，避免平均主义，真正做到奖优助贫，达到促进人才培养与发展的真正目的；二是建立与健全助学贷款制度，要加快建设助学贷款市场化运作模式，加强贷款的风险管理，扩大助学贷款的规模与范围，解决高等教育贫困生上学难的问题；三是建立与健全勤工助学制度，要教育和引导学生树立自食其力的观念与责任，学校与社会要为学生的勤工助学创造条件与机会，营造勤工助学的社会与制度环境。 + +# 三．定价学费时要充分考虑总体社会（即学校及人民群众）的满意度 + +解决我国高校学费问题的关键是教育成本本身的问题，所以要具体研究教育成本的构成、形成与运行机理、影响或决定因素及其合理性的问题，使社会满意度最高。同时确立学费的程序要公平、公正、公开、透明，广泛吸引学生、家长、社会参与，尽可能增大满意度。 + +# 八、参考文献 + +【1】国家生均拨款：http://tieba.baidu.com/f?kz=114486742 2008年9月19日 +【2】高等教育成本补偿问题初探及大学生受益期望： + +http://www.studa.net/kuaiji/070222/10393623.html 2008年9月19日 + +【3】二八原则法：http://baike.baidu.com/view/530734.htm 2008年9月19日 +【4】07届毕业生工资调查： + +http://www.17tech.com/news/2008050653358.shtml 2008年9月19日 + +【5】中国高校毕业生就业服务网：http://www.myjob.edu.cn/2008年9月20日 +【6】中华英才网：http://www.chinahr.com/index.htm?pri=gadwords 2008年9月20日 +【7】居民家庭基本情况：中国统计年鉴 2008 年 9 月 20 日 +【8】刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水利水电出版社，2005 + +# 附录 + +# 一、重要数据 + +“211 工程”学校国家生均拨款列表： + +
序号分类学校名称生均拨款（万元）
1211中山大学2.51
2211中央美术学院2.49
3211华南理工大学1.65
4211厦门大学1.50
5211东南大学1.43
6211北京师范大学1.37
7211清华大学1.37
8211北京大学1.29
9211同济大学1.26
10211华中师范大学1.24
11211中国农业大学1.21
12211中国人民大学1.14
13211华东师范大学1.13
14211兰州大学1.11
15211北京林业大学1.10
16211天津大学1.08
17211南开大学1.06
18211大连理工大学1.02
19211山东大学1.00
20211浙江大学0.97
21211中国海洋大学0.97
22211陕西师范大学0.94
23211西安交通大学0.93
24211湖南大学0.91
25211复旦大学0.91
26211华东理工大学0.90
27211上海交通大学0.87
28211东北林业大学0.87
29211长安大学0.86
30211吉林大学0.86
31211东华大学0.82
32211中南大学0.82
331南京农业大学0.81
34211武汉大学0.78
35211东北大学0.78
36211华中科技大学0.76
37211华中农业大学0.75
38211南京大学0.75
391北京广播学院0.74
40211上海财经大学0.74
41211北京化工大学0.73
42211北京科技大学0.71
43211北京外国语大学0.71
44211中国矿业大学0.71
45211重庆大学0.68
46211武汉理工大学0.67
47211西南财经大学0.66
48211上海外国语大学0.65
49211中国地质大学0.65
50211河海大学0.63
51四川大学0.62
52211电子科技大学0.61
53北方交通大学0.59
54211石油大学0.57
55211中国政法大学0.56
56211北京邮电大学0.55
57211中南财经政法大学0.54
58西南交通大学0.54
59211江南大学0.51
60211西安电子科技大学0.48
61211对外经济贸易大学0.38
平均生均拨款0.980206
+ +“211 工程” 以外的一类本科国家生均拨款列表； + +
序号分类学校名称生均拨款(万元)
1一本非211中央音乐学院5.52
2一本非211中央戏剧学院1.29
3一本非211东北师范大学1.15
4一本非211西北农林科技大学0.92
5一本非211北京中医药大学0.87
6一本非211西南师范大学0.83
7一本非211北京广播学院0.74
8一本非211合肥工业大学0.68
9一本非211北京语言大学0.30
10一本非211中国药科大学0.454
11一本非211湘潭大学0.46
12一本非211山西大学0.44
13一本非211黑龙江大学0.35
14一本非211扬州大学0.42
15一本非211青岛大学0.44
+ +
项目个按收入等级分
16一本非211宁波大学0.43
17一本非211河南大学0.31
18一本非211延边大学0.31
19一本非211西北大学0.61
20一本非211黑龙江大学0.35
平均生均拨款0.42
+ +居民基本收入表： + +
最低 +收入户低收 +入户中等偏 +下户中等 +收入 +户中等 +偏上户高收 +入户最高 +收入户
一般(5%) +(%)困难户 +(5%)(10%)(20%)(20%)(20%)(10%)(10%)
调查户数 +(户)5609455942801560711251112361122556105571
调查户比重 +(%)100.009.974.9910.0020.0620.0320.0110.009.93
平均每 +户家庭 +人口2.953.313.333.203.092.922.792.692.62
(人)
平均每户就业人口(人)1.531.301.171.521.561.561.551.561.62
平均每户就业面(%)51.8639.2735.1447.5050.4953.4255.5657.9961.83
(包括就业者本人)(人)1.932.552.852.111.981.871.801.721.62
每人全部年收入(元)12719387131295946810311052151992069934834
每人可支配收入(元)1175935682838554175541026914049.1906831967
每人消费性支出(元)869734232953476661087905102181317021062
+ +# 二．相关程序 + +```csv +1. jianyan.m +A=[1,2,3;1/2,1,2;1/3,1/2,1]; +E=eig(A) +[V,D]=eig(A) +t=max(E); +``` + +disp(t); +for $\mathrm{i} = 1:1:3$ if $E(i) == t$ . m=i; end end X=V(:,m); mt=X./sum(X); disp(mt) +2.1、fun.m +function f=fun(x); +f=-0.4*(fun22(x)+fun11(x))+0.6*abs(fun22(x)-fun11(x)); +2.2、fun11.m +function f=fun11(x) +A=[1,2,3;1/2,1,2;1/3,1/2,1]; E=eig(A); [V,D]=eig(A); t=max(E); for i=1:1:3 if E(i)=t; m=i; end end +X=V(:,m); mt=X./sum(X); S=[2200,2425,2750];; P=[40000,40000,40000]; C1=[9800,5000,3900]; p=(10/9)./[（116/600)，(72/600)，(412/600)]; pl=sum(p); + +```matlab +p2=sum(C1.\*p1); +a=[0.2+0.9\*0.8,0.2+0.8\*0.8,0.2+0.6\*0.8]; +k=a.\*(mt'); +e=S; +K1=sum(k.\*e); +Sum=0; +for i=1:3 + Sum=Sum+x/((x+C1(i))\)*p(i); +end +f=K1/x; +2.3、fun22.m +function f=fun22(xuefei); +A=[1,2,3;1/2,1,2;1/3,1/2,1]; +E=eig(A); +[V,D]=eig(A); +t=max(E); +for i=1:1:3 + if E(i) == t; + m=i; + end +end +X=V(:,m); +mt=X./sum(X); +S=[2200,2425,2750];; +P=[40000,40000,40000]; +C1=[9800,4200,3900]; +p=(10/9)./[ (116/600), (72/600), (412/600)]; +pl=sum(p); +p2=sum(C1.\*p1); +a=[0.2+0.9\*0.8,0.2+0.8\*0.8,0.2+0.6\*0.8]; +``` + +k=a.\* (mt'); e=S; K1=sum(k.\*e); Sum=0; for i=1:3 Sum=Sum+xuefei/((xuefei+C1(i))\*p(i)); end f=Sum; +2.4、xuefeiqiujie.m $\mathrm{x}0 = 0$ . x=fminsearch('fun',x0) el=fun11(x) e2=fun22(x) y=fun(x) +3、Huatu.m + $\mathrm{x} = [3550,3600,3650,3700,3750,3800,3850,3900,3950,4000]$ +y=[0.3070,0.3113,0.3155,0.3196,0.3236,0.3238,0.3179,0.3122,0.3067,0.3 012] +p=polyfit(x,y,6) +xi=3350:10:4100; +yi=polyval(p,xi); title('检验图'); +xlabel('学费'); +ylabel('满意度'); +plot(xi,0.3241,'-o'); +hold on plot(x,y,':\*\*,xi,yi,'-d'); hold off \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\350\256\272\346\226\207f/\350\256\272\346\226\207f.md" "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\350\256\272\346\226\207f/\350\256\272\346\226\207f.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d32304add429498762bcdc4a03ac62c0a10e9c94 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\350\256\272\346\226\207f/\350\256\272\346\226\207f.md" @@ -0,0 +1,747 @@ +# 高等教育学费标准探讨 + +# 【摘要】 + +本文针对高等教育学费标准问题，在对数据进行了初步处理和分析的基础上，建立了三个模型，讨论全面细致。 + +首先，我们建立了高等教育收费标准的定量综合评价模型。选取了四个指标来描述现行高校收费标准的不同效用，分别是培养费用分摊度指标，公平性指标，均值接近度指标，相对回报投入比指标。对每一种指标，给出了具体的计算公式，并且运用极差处理的方法和归一化的思想，对四个指标分别进行了处理。最后使用相对比较法，确定了各指标所占权重，加权求得了最终的学费合理性指数。对收费制度的评价细致全面。 + +其次，对贫困生的补助制度也是高等教育收费标准需要考虑的重要因素之一，我们建立了基于价格需求曲线的补助制度模型，通过高等教育的价格需求曲线，讨论了“一刀切”式单一定价造成的不公平情况，从而引出补助制度的必要性，进而研究了对高收入人群和低收入人群分别定价的情况，得出了补助额度与学费的浮动关系。并通过数据验证其可行性和合理性，从而为设立合理完善的补助制度提供参考。 + +在上述分析的基础上，我们有必要给出计算合理收费标准的方法。为此建立了成本分担比例模型来研究这个问题：我们运用经济学上的成本分担理论，对国家和个人应承担的教育成本比例进行了研究。首先对高校人均培养费用进行了估算，然后依据国家获得的纯公共收益最大，得出国家投资额表达式，进而推导出国家分担教育成本比例的计算方法，在对参数进行充分的获取和假设后，计算出了当前情况下的合理收费标准和分摊比例。此外，我们还对一般家庭和困难家庭接收高等教育的条件进行了分别的讨论。并且对所选参数的灵敏性进行了分析。 + +最后，我们把研究结果进行总结，以报告的形式向相关部门提出了具体建议。 + +关键词：多指标综合定量分析 学费合理性指数 归一化 价格需求曲线 成本分担 + +# 1 问题重述 + +高等教育的培养质量需要有相应的经费保障。教育经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受奖学金。学费问题涉及每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。因此需要我们根据中国国情，通过分析国家生均拨款、培养费用、家庭收入等数据，建立数学模型对一些学校及专业的学费标准进行定量分析，得出有关学费标准的相应结论。 + +# 2 问题分析 + +根据社会公共产品理论，高等教育属于一种准公共产品，具有排他性和竞争性。政府，社会，受教育个人都直接或间接从高等教育中获得利益。根据谁获益谁付费的市场原则，政府，社会，个人都应当承担一定比例的高等教育成本。因此向受教育个人收取学费是合理的，即可以缓解高校的财政压力，也可以使其接收的教育质量得到相应的经费保证。但另一方面，居民的收入水平，又决定了其无法承担过高的教育成本比例。过高的学费将会导致低收入人群丧失接受高等教育的机会，或使其家庭背上沉重的经济负担。这就导致教育机会不公平现象的发生。因此，对高等教育收费标准的分析，要立足不同角度，对其各方面因素进行综合评价，才能得出正确的结论。 + +# 3 建模准备 + +# 3.1 数据收集与分析 + +# 3.1.1 我国城乡家庭户均收入分布 + +1)我国城镇家庭户均收入分布[1]：表1 + +
家庭收入档次h该档次家庭数占总户数比例 r1,h档次分界点家庭年均收入 I1,h(元)
1困难户5%9388.02
2最低收入户5%11614.11
3低收入户10%17838.30
4中等偏下户20%24311.19
5中等收入户20%33156.15
6中等偏上户20%45599.10
7高收入户10%62098.89
8最高收入户10%104503.20
+ +2) 我国农村家庭户均收入分布[1]：表2 + +
家庭收入档次h该档次家庭数占总户数比例 r2,h档次分界点家庭年均收入 I2,h (元)
1困难户24.83%6000
2最低收入户11.46%6000-7500
3低收入户10.98%9000
4中等偏下户9.38%10500
5中等收入户7.88%12000
6中等偏上户6.60%13500
7高收入户5.25%15000
8最高收入户23.62%30000
+ +![](images/e5e8cca09d736c63a4ba812e2b857032b0dc2adda2d64bdeceb7fb471edf0db7.jpg) +图1：我国城乡家庭收入分布图 + +3)不同大学不同专业学费及其毕业后半年薪金收入:表 3 + +
学校专业学费[4]收入[3]
清华大学电子信息工程55002500
南开大学工商管理42002000
华北科技学院电力35002000
大连理工大学汉语言文学38002427
东北大学机械47002200
大连理工大学电子信息工程52002500
大连海事船舶46002200
东北林业大学哲学35002452
哈尔滨工程大学电子科学40002500
哈尔滨工程大学政治学33002452
山东大学电子43002500
湖南大学政治学45002452
华北电力大学电力50002000
吉林大学法学45002000
四川大学数学49002000
石河子大学政治学31002452
塔里木大学机械35002200
东北师范大学软件98002500
+ +# 4) 国家高等教育拨款[5]：表 4 + +
国家高等教育拨款总投入25502370.8万元
在校本科生人数17388441
在校研究生人数1104653
合计18493094
高等教育生均拨款f13790.2元
+ +# 5)其他重要数据： + +生源比例[8]：农村 $p_1 = 34.9\%$ ，城镇 $p_2 = 65\%$ + +高等教育平均学费[2] $\mathrm{P_a} = 5000$ + +# 3.2 不同学校、地域、专业的学费数据的初步分析 + +选取22所典型高校专业的学费数据进行分析。首先，有必要了解学费的变化规律。影响学费多少的因素有很多，如学校类别，所处地域，专业类别等。我们注意到，我国高校收费具有“一刀切”的特点，由于我们主要研究的是公立高校，一本和二本的学费差异不大。但是高校所处的地域不同，专业不同，学费的差异仍然比较明显。因此，我们主要考察不同地域和专业对学费的影响。 + +按照各地经济发展程度，消费水平等把全国各城市分为欠发达地区，中等发达地区， + +发达地区。并设该地区的经济发展程度为 $a$ , 分别取值 1、2、3 代表上述三类地区。按照专业的投入成本和就业前景, 把专业分为文科, 理工, 艺术三类。并认为它们具有不同的学费水平 $b$ , 分别取值为 1、2、3, 代表上述三种专业。依据上述指标, 我们可把高校学费类型划分为 $3 * 3$ 种, 用坐标 $\left(a_{i}, b_{i}\right)$ 来表示其具体情况。 + +利用所选的学费数据，做学费P关于地域a和专业b的逐步线性拟合，运用matlab中的stepwise命令，得到如下结果： + +![](images/852d0f789803c5437027d5beffe8d59330a9423bfdff22464478d5ed514f2226.jpg) + +公式为： $P = 672.97a + 2353.89b - 833.943$ ，统计量：p值等于6.38e-6远远小于0.05。R-square=0.71，表示71%的学费P可由模型预测。以上检验量表示拟合效果良好。 + +由拟合结果可知，不同地区的学费平均相差672.97元，三类不同专业的学费平均相差2353.8元。由此可知，影响学费的最主要因素是专业，高校所处地区也对学费有显著影响。 + +各种模式的平均学费为:表 5 + +
地域文科理工科艺术
欠发达地区310036506850
中等发达地区393345508000
发达地区403347508400
+ +# 4 模型一 学费合理性的多指标综合评价模型 + +高等教育学费的合理性不仅体现在家庭对大学生培养经费的分担，教育的公平性，还体现在学费在不同专业、学校、地域间的差异性。另外，不同专业的投入回报比也在一定程度上体现了学费标准的合理性。 + +运用多指标综合评价模型，从不同的角度建立不同的指标评价学费标准的合理性，从而的到一个既能从侧重点评价其学费，又能从整体反映其合理性的模型。 + +![](images/9e9bc53d440485b16753b03e7bd5ff2090ec276225134b6beb404a8559ab7a2d.jpg) + +通过对某一具体研究对象 $\mathrm{P_i}$ 建立分别体现分担程度、公平性、差异性、回报性四个指标，分别标准化后进行加权处理的到学费合理性指数这一单一指标。 + +# 4.1 符号说明 + +符号 +说明 + +
Pi第i个研究对象的学费
T学费合理性指数
Ij,hj=1,2,分别表示城镇居民与农村居民家庭属于第h档次的临界收入
Njj=1,2,分别表示城镇居民与农村居民总家庭户数
Nj(Pi)j=1,2分别表示城镇居民与农村居民中能够承担学费Pi的家庭户数
Rj,hj=1,2,分别表示城镇与农村家庭中属于第h档次的家庭数占总户数的比例
C0我国高校人才生均培养成本
f国家高等教育生均拨款
Pa我国高校平均学费
Wi第i个对象对应的毕业半年后平均收入
X1i第i个研究对象的培养经费分担度指标
X2i第i个研究对象的公平性指标
X3i第i个研究对象的均值接近度指标
X4i第i个研究对象的相对回报比投入指标
(a_i, b_i)第i个研究对象的学费类型
S某高校在校生人数
qkj相对比较法赋权时指标 Xki 对 Xji 的评分
Q学费合理性综合评价时指标的权重矩阵
XiXi=[X1i, X2i, X3i, X4i]综合评价学费合理性的指标向量
P(a_i, b_i)(a_i, b_i)培养模式下的平均学费
pjj=1,2,分别表示高校中城镇生源与农村生源占在校总人数比例
ui学费合理性综合评价各指标的权重
+ +# 4.2 模型假设 + +1）考虑到我国现今高等教育经费主要由国家拨款和学费组成，社会捐赠等其他资金只占很少的部分，将其忽略 $C_{0} = f + P_{a}$ 。 +2）在每个家庭收入档次内，家庭数是平均分布的。 +3）不考虑各专业就业率导致的个人收益差别。 +4）不考虑助学贷款等对贫困学生的补助措施。 +5）假设每个家庭平均有三个家庭成员，其中只有一个学生。 + +# 4.3 模型建立 + +# 4.3.1 建立评价指标 + +1)学费对培养经费的分担比例指标 $\mathrm{X}_{1\mathrm{i}}$ + +考虑到家庭能够接受的学费占家庭总收入比例的平均水平为 $30\%$ ，利用我国城乡家庭收入分布数据，表1和表2，针对某一具体学费 $\mathrm{P_i}$ 可以计算出能够承担该学费金额的 + +家庭数 $\mathrm{N}_{1}(\mathrm{P}_{\mathrm{i}})$ 、 $\mathrm{N}_{2}(\mathrm{P}_{\mathrm{i}})$ 。 $\frac{p_{1} \bullet S}{N_{1}}$ 、 $\frac{p_{2} \bullet S}{N_{2}}$ 分别为通过高考招生制度能够进入高校的城镇人数比例与农村人数比例， $N_{1}(P_{i}) \times \frac{p_{1} \bullet S}{N_{1}} + N_{2}(P_{i}) \times \frac{p_{2} \bullet S}{N_{2}}$ 为进入高校并且能够独立支付学费的人数。高等教育中学费对培养经费的分担比例为： + +$$ +x _ {1 i} = \frac {\left[ N _ {1} (P _ {i}) \times \frac {p _ {1} \bullet S}{N _ {1}} + N _ {2} (P _ {i}) \times \frac {p _ {2} \bullet S}{N _ {2}} \right] \times P _ {i}}{S \times \mathbf {C} _ {0}} = \left[ p _ {1} \times \frac {N _ {1} (P _ {i})}{N _ {1}} + p _ {2} \times \frac {N _ {2} (P _ {i})}{N _ {2}} \right] \times \frac {P _ {i}}{\mathbf {C} _ {0}} +$$ + +在求比例 $\frac{N_{j}(P_{i})}{N_{j}}$ 时，根据我国城乡家庭年户均收入分布构造分段线性化函数： + +$$ +\frac {N _ {j} \left(P _ {i}\right)}{N _ {j}} = 1 - \sum_ {m = 0} ^ {h - 1} r _ {j, m} - \frac {\frac {P _ {i}}{30 \%} - I _ {j , h - 1}}{I _ {j , h} - I _ {j , h - 1}} \times r _ {j, h}; +$$ + +其中 $h = 1,2,\dots ,8;j = 1,2;I_{j,0} = 0,r_{j,0} = 0$ + +得到 $\mathbf{x}_{1\mathrm{i}}$ 后，利用Matlab编程，令学费 $\mathrm{P_i}$ 在[0，30000]以0.1为间隔变化，搜寻 $\mathbf{x}_{1\mathrm{i}}$ 最大值 $\max (\mathrm{x}_{1\mathrm{i}}) = 0.1698$ ，计算出的所有 $\mathbf{x}_{1\mathrm{i}}$ 值，并将其归一化。 + +$$ +\mathbf {X} _ {1, \mathrm {i}} = \frac {x _ {1 i}}{\operatorname* {m a x} (x _ {1 i})}, \mathbf {X} _ {1, \mathrm {i}} \in [ 0, 1 ] +$$ + +2) 公平性指标 $\mathrm{X}_{2\mathrm{i}}$ + +我们以能够承担学费的上学人数与在校总人数比例作为衡量学费公平性的指标 $\mathrm{X}_{2\mathrm{i}}$ ， $\mathrm{X}_{2\mathrm{i}}$ 越大，说明能够承担学费的人数比例越大，因贫困而导致可能辍学的人数比例就会越小，体现了教育公平。 + +$$ +x _ {2 i} = p _ {1} \times \frac {N _ {1} (P _ {i})}{N _ {1}} + p _ {2} \times \frac {N _ {2} (P _ {i})}{N _ {2}} +$$ + +# 3)均值接近度指标 $\mathrm{X}_{3\mathrm{i}}$ + +选取一定高校和专业的学费样本，按照建模准备中针对不同学校不同地域不同专业学费数据进行处理的分类方法，将其分别划分到相应的模式中，对每一种模式计算出其学费的均值 $\overline{P}(a_i, b_i)$ ，作为我们进行对比的标准。设当前计算的学费为 $\mathrm{P_i}$ ，其学费类型为 $(\mathrm{a_i}, \mathrm{b_i})$ 。则某一学费数据与该模式平均水平的符合程度指标 $\mathrm{X}_{3\mathrm{i}}$ 为： + +$$ +\mathrm {X} _ {3, i} = 1 - \frac {\left| P - \bar {P} \left(a _ {i} , b _ {i}\right) \right|}{\bar {P} \left(a _ {i} , b _ {i}\right)}, \quad \mathrm {i} = 1, 2, \dots \dots +$$ + +$\mathrm{X}_{3\mathrm{i}}$ 反映了研究对象与同类平均收费标准的接近程度，越接近1，则越趋于平均水平。 + +4)相对回报投入比指标 $\mathrm{X}_{4\mathrm{i}}$ + +选取不同大学不同专业学费及其毕业后半年薪金收入的样本数据，分别计算某一研究对象的相对收入与相对学费比，即在这一相互比较的总体中的相对回报投入比： + +$$ +x _ {4 i} = \frac {\frac {w _ {i}}{\sum w _ {i}}}{\frac {P _ {i}}{\sum P _ {i}}} , \mathrm {i = 1 , 2 , \dots . . . .} +$$ + +对 $\mathbf{X}_{4\mathrm{i}}$ ，考虑到它属于越大越好型指标，利用极差法标准化： + +$$ +\mathbf {X} _ {4, \mathrm {i}} = \frac {x _ {4 i} - \operatorname* {m i n} (x _ {4 i})}{\operatorname* {m a x} (x _ {4 i}) - \operatorname* {m i n} (x _ {4 i})}, \quad \mathbf {X} _ {4, \mathrm {i}} \in [ 0, 1 ] +$$ + +# 4.3.2 相对比较法赋权并进行综合评价 + +针对4个评价指标，设三级比例标度两两相对比较评分的分值为 $q_{ij}$ ，则标度值及其含义如下： + +$$ +q _ {k j} = \left\{ \begin{array}{l} 1 \dots \dots \dots X _ {k i} \text {比} X _ {j i} \text {重 要} \\ 0. 5 \dots \dots X _ {k i} \text {和} X _ {j i} \text {同 等 重 要 ， k ， j = 1 , 2 , 3 , 4 ， 且 q} _ {\mathrm {i i}} = 0. 5, \quad \mathrm {q} _ {\mathrm {i j}} + \mathrm {q} _ {\mathrm {j i}} = 1 \\ 0 \dots \dots X _ {k i} \text {没 有} X _ {j i} \text {重 要} \end{array} \right. +$$ + +评分构成的矩阵 $Q = (q_{ij})_{4\times 4}$ 。则指标 $X_{ji}$ 的权重系数 $\mathsf{u}_{\mathsf{j}}$ 为： + +$$ +u _ {k} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {4} q _ {k j}}{\sum_ {k = 1} ^ {4} \sum_ {j = 1} ^ {4} q _ {k j}} +$$ + +考虑到高等教育事关高素质人才培养、对国家创新能力提升有重要影响，为了让适合接受高等教育的不会因为学费原因而失去接受深造，使高等教育作为准公共产品在其学费上体现更高的教育公平性，认为 $q_{21} = 1$ 。学费对培养经费的承担是学费高低是否合适的重要标准。所以 $q_{13} = 1$ ， $q_{14} = 1$ ，而 $q_{43} = 1$ 。 + +根据相对比较法的传递性，得到评分矩阵 + +$$ +Q = \left[ \begin{array}{c c c c} 0. 5 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0. 5 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0. 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0. 5 \end{array} \right] \xrightarrow {\text {按 行 相 加}} \left[ \begin{array}{c} 2. 5 \\ 3. 5 \\ 0. 5 \\ 1. 5 \end{array} \right] \xrightarrow {\text {归 一 化}} \left[ \begin{array}{l} 0. 3 1 2 5 \\ 0. 4 3 7 5 \\ 0. 0 6 2 5 \\ 0. 1 8 7 5 \end{array} \right] +$$ + +由此，可以得到学费合理性指数为 $T = X^{*}Q$ 。 + +# 4.4 模型求解与结果分析 + +根据收集到的不同学校不同专业的学费以及毕业后半年内的工资收入的数据，表6，利用模型一的方法，编程计算，可以得到各研究对象相应的4个指标值与学费合理性指数，见表7： + +表6 + +
学校专业学费毕业半年后收入培养模式
清华大学电子信息工程55002500(3,2)
南开大学工商管理42002000(3,2)
华北科技学院电力35002000(1,2)
大连理工大学汉语言文学38002427(3,1)
东北大学机械47002200(3,2)
大连理工大学电子信息工程52002500(3,2)
大连海事船舶46002200(3,2)
东北林业大学哲学35002452(2,1)
哈尔滨工程大学电子科学40002500(2,2)
哈尔滨工程大学政治学33002452(2,1)
山东大学电子43002500(3,2)
湖南大学政治学45002452(2,1)
华北电力大学电力50002000(1,2)
吉林大学法学45002000(3,1)
四川大学数学49002000(2,2)
石河子大学政治学31002452(1,1)
塔里木大学机械35002200(1,2)
东北师范大学软件98002500(3,2)
+ +（续上表） +表7 + +
培养模式培养费用分担度指标公平性指标均值接近度指标回报投入比指标合理性指数
(3,2)0.99010.44750.84210.37220.6276
(3,2)0.86220.53040.88420.41260.6341
(1,2)0.78400.60350.95890.59030.6797
(3,1)0.81930.57020.94220.71580.6986
(3,2)0.91580.49310.98950.39750.6383
(3,2)0.96990.46670.90530.42110.6428
(3,2)0.90400.49840.96840.41640.6392
(2,1)0.78400.60350.88990.83130.7206
(2,2)0.84080.54900.87910.69030.6873
(2,1)0.76180.62960.83910.91050.7367
(3,2)0.87260.52150.90530.60890.6716
(2,1)0.89180.50370.85580.54080.6540
(1,2)0.94920.47720.63010.27040.5955
(3,1)0.89180.50370.88420.35330.6206
(2,2)0.93840.48250.92310.28560.6156
(1,1)0.64980.9291.00001.00000.8594
(1,2)0.71030.8990.95890.69690.8060
(3,2)0.90920.4110.98000.00000.5252
+ +从结果中挑取典型的三组数据做图，可以直观看出各项学费的各指标状况。 + +![](images/c865d027613a5fb6ba60c907cab8701267cc76aadf549ef700ee75987be30a9c.jpg) +不同学校不同专业的学费合理性指数的综合评价 +学校与专业 + +四个指标中，指标1和指标2是不依赖于选择的比较样本的。均值接近度与回报投入比则是相对于比较样本的平均水平的。 + +首先，根据 $x_{1i}$ 的值可以求出学费收入对培养费用的分担比例 $x_{1i}, x_{1i} = x_{1i} \times \max(x_{1i})$ 。在搜寻 $\max(x_{1i})$ 的过程中，发现 $x_{1i}$ 的值随学费价格 $P$ 增大而先增加后降低，在一段区间内恒定在最大值，如图3，说明高校不可能通过提高学费价格来增加学费收入对培养费用的分担。学费价格在一定区间内才能保证学费对培养费用贡献最大。按照教育成本分担理论以及国际惯例，个人对生均教育成本的分摊比例不超过 $25\%$ 。参照这个标准，学费收入对培养费用的承担不也应超过 $25\%$ 。通过最大值搜索， $\max(x_{1i}) = 0.1698 < 0.25$ ，此时 $P_i$ 变动区间为[5594.00,6259.00]，说明指标1的建立是合理的。 + +![](images/6f347a067c687f4b3b5c63dae9d298d38d8dbc19bfaef41e2901069570fff79d.jpg) +图3 + +我们采用了同样的方法计算了只考虑城镇家庭收入分布的指标1，得到 $\max (x_{1i}) = 0.2358 < 0.25$ ，此时 $\mathrm{P_i}$ 变动区间为[6431.00,6690.00]。对比考虑到城乡考生进入高校概率有较大差异的全面计算的结果，发现全面考虑城乡差异时学费收入对培养费用的分担明显降低。这主要是由于城乡收入差异和教育质量、招生制度等导致的教育不公平引起的。 + +设定指标 $X_{1i}$ 的警戒阈值为 0.75，当 $X_{1i}$ 低于 0.75 时，校方要考虑上调或下调现有学费，以降低学校、国家对高等教育资金投入的负担。 + +然后考虑公平性指标。国家统一规定每所高校贷款学生占在校生比例原则上不超过 $20^{[11]}\%$ ，国家补助、减免学费比例则也不会超过 $20\%$ ，勤工俭学、奖学金等比例更小。进行粗略估计，可知每所高校平均总资助小于在校人数的 $40\%$ ，因此设定指标 $X_{2i}$ 的警戒阈值为 0.6 ,当指标 2 的值小于 0.6 则说明学费过高,补助力度偏小。为保证教育公平,让适合高等教育的人都有机会进行深造,培养高素质人才,学校应适当降低学费或加大补助力度。 + +从求解结果中可以看出被评高校学费普遍偏高，补助力度不够。 + +指标1与指标2反映了研究对象学费的绝对合理性，均值接近度指标与相对回报投入比指标则反映了在相同学费类型下，其学费的相对合理性，可认为指标值低于0.5的对象学费标准有待改进。 + +# 5 模型二：基于价格需求关系的学费补助制度研究[10] + +# 5.1 建模分析： + +通过模型1的分析，我们可看出现今高等教育收费过高是一个不容忽视的问题。为了保障广大低收入家庭的学生享有受高等教育的权利，确定科学合理的学费补助制度非常重要。因此，我们借用市场上的供求关系和价格之间的相互影响，来探讨对贫困生补助制度的合理性。 + +# 5.2 模型假设： + +1）当前一段时间内，高校的招生人数保持稳定，即考察时间段内，高等教育的供给量保持不变。 +2）普通家庭对高等教育的需求-价格曲线符合市场经济的一般规则，需求量随价格单调递减。 +3）对模型进行简化，根据家庭收入水平，笼统将家庭分为两类，即高收入家庭和低收入家庭，且认为同类家庭没有需求差异。 + +# 5.3 模型建立： + +我们把家庭分为高收入家庭（平均的高等教育学费占家庭收入比例小于 $20\%$ ）和低收入家庭。他们各自对应的教育需求弹性不同。根据下列图像说明，首先，高收入和低收入家庭的需求量随价格递减。而且对曲线上任何的价格 $\mathsf{p}$ ，均有低收入家庭的需求量小于高收入家庭的需求量。这表示对应任何的价格，高收入家庭的需求量都要大于低收入家庭的需求量。 + +首先，我们来研究统一的收费标准将造成怎样不公平的情况发生。 + +![](images/856d73cdc9967bfc3dcfcbf74d524a5b1f97b003e91a592b233d5eb430ce3b84.jpg) + +设 $Po$ 是高校制定的学费， $Pw$ 和 $Pv$ 分别是高收入家庭和低收入家庭对高等教育的预期收费。且有 $Pv < Po < Pw,$ 这是因为低收入家庭财力有限，他们对高等教育的价格预期比较低。而高收入家庭，一方面支付能力比较强，另一方面对高等教育的预期回报比较高，因此愿意对高等教育投入更多的资金。 + +在这种情况下，对于高收入家庭来说，低于其预期的学费报价相当于对其进行了福利补偿，相反对于低收入家庭来说，其福利受到了损害。这种补偿和损害的效用可有图 + +中的阴影部分表示。也就是说，统一的学费标准会对高收入家庭给与补偿而损害了低收入家庭应得的福利。这就是不合理的收费制度，导致受教育的不公平现象发生。 + +由于低收入家庭无法负担起全部为学费和上述不公平的现象，需要高校对其进行补助。不妨假设对每名贫困同学平均补偿为 $m$ 。这相当于对高收入家庭和低收入家庭收取不同的学费，不妨设为 $Pa$ 和 $Pb$ 。则有 $m = Pa - Pb$ ；我们设高收入和低收入家庭对高等教育的需求量分别为 $Qa$ 和 $Qb$ 。 + +![](images/b8221a2040144a05344d586e1d58d3ea30e76eccc21a5417a04c3294297e38fc.jpg) + +依据学校的招生人数在一定的时间范围内保持不变的假设。高收入和低收入家庭的需求方程分别为： + +$\left\{ \begin{array}{l} Q_{A} = f(P_{A}) \\ Q_{B} = g(P_{B}) \\ Q_{A} + Q_{B} = Q_{0;} \end{array} \right.$ $Q_{0}$ 为当前提供的高等教育机会总数，即招生人数。其中，f（Pa）和 + +g (Pb) 都是价格的递减函数。可推出: $f(P_{A}) = Q_{0} - g(P_{B})$ 。等式两边对 PA 求导, 由复 + +$\frac{d f}{d P_{A}} = -\frac{d g}{d P_{B}} \cdot \frac{d P_{B}}{d P_{A}}$ ，进而推出 $\frac{d P_{B}}{d P_{A}} = -\frac{\frac{d g}{d P_{B}}}{\frac{d f}{d P_{A}}}$ ，由于 $\frac{d g}{d P_{B}} < 0$ ， $\frac{d f}{d P_{A}} < 0$ 。可 + +得 $\frac{d P_{B}}{d P_{A}} < 0$ , 即对低收入家庭的收费随对高收入家庭收费的增加而减少。也就是说, 当高校的学费要涨价时, 对低收入家庭的补助也要增加, 而且补助的增加幅度应大于学费的涨价幅度。证明: 假设 $P_{A}$ 上涨 $\Delta P_{A}, P_{B}$ 就应该下降 $\Delta P_{B}$ , 则 $\Delta m = \Delta P_{B} + \Delta P_{A}$ , 可得 + +$\frac{\Delta m}{\Delta P_{A}} = \frac{\Delta P_{B} + \Delta P_{A}}{\Delta P_{A}} > 1$ 。得出结论，对低收入家庭补助的变化幅度要大于学费的变化幅度。才能有效的体现教育的公平性。 + +以上结论也可以从图像上得出。当学费增加时， $Q_{A}$ 减少，则高收入家庭对高等教育的需求量减少。为了保证高等教育的招生规模，高校必须降低收入家庭的收费，从而使 $Q_{A} + Q_{B} = Q_{0}$ ； + +以上就是基于价格需求关系的补助费用随学费的浮动准则。 + +# 5.4 对模型假设合理性的讨论： + +值得注意的是，我们上面得出的结论建立在三条假设的基础上。这三条假设的合理性需要进一步探讨。首先，当前的现状是高等教育是卖方市场，供不应求，即使在价格偏高的情况下，招生人数总会得到满足。但是我们需要考虑的是，高等教育作为为国家选拔和培养人才的重要途径，其目标人群有一定的限定性。高等教育应该优先满足那些学习能力较强的人的需求，这部分人群可能因为过高的学费，而放弃了接受高等教育的机会。因此，对于这部分目标人群来说，他们对高等教育的需求随学费增高而递减的假设，是合理的。而对高校来说，虽然招生可以得到满足，但这是以牺牲生源质量为代价的，同样不符合高校发展的长远利益。因此，高校有必要给与那些学习能力强的贫困学生充足合理的补助。因此，本模型得出的结论是合理的和有价值的。 + +# 5.5 实例求解： + +某高校收费标准【9】： + +
专 业专业学费学分学费学分总和
1. 音乐表演专业600030009000
2. 艺术类其他专业(含师范、非师范)400030007000
3. 师范类专业100030004000
4. 其他类专业140030005400
+ +
专业入学时间性别民族补助金额
综合理科2005男汉2200
综合理科2006女汉2200
综合理科2006女汉2200
幼师2005女汉2000
幼师2006女汉2000
幼师2006女汉2000
教育学2007女彝2000
教育学2007女汉2000
教育学2007女汉2000
音乐学2007女汉3000
音乐学2006女汉3000
音乐学2006女汉3000
音乐学2005女汉3000
音乐学2004女汉3000
+ +由上述数据可以看出：同一专业的补助费用基本相同，下面计算各专业学费和补助费用的差值。 + +
学费补助费用差值
综合理科540022003200
幼师400020002000
教育学540020003400
音乐学900030006000
+ +有上表的结果可以看出，虽然该校的补偿制度体现了高学费，高补偿的特点，但补助金额幅度依然偏小，按照模型的理论，学费越贵，学费与补助费用的差值应该越小。只有这样才能真正吸引低收入家庭的优秀学生，从而体现一定的社会公平性。 + +# 5.6 模型评价 + +本模型因为只考虑了补助费用，具有一定的片面性，现实生活中，学校可以通过提供贷款和勤工俭学岗位等方式来补助贫困学生。但模型揭示出的当前高校提供的补助费用偏少的结果仍具有一定的参考价值。 + +# 6 模型三 高等教育成本分担比例模型[5] + +由模型一和模型二的分析可知，当前的高校收费制度存在着较多问题。因此，如何制定科学合理的学费标准尤为重要。我们利用经济学上比较成熟的成本分担理论，对这个问题进行了研究。高等教育成本分担比例是指高等教育成本分担主体所承担的高等教育成本份额。依据谁受益，谁付费的市场原则，国家和个人都应承担一定比例的教育成本。本模型根据准公共产品价格理论，结合成本、收益和分担能力，对各分担主体所承担的份额分配进行了比较和讨论，给出了一种合理学费标准的计算方法。根据现有资料数据，计算出当前情况下，国家和个人的教育成本分担比例，和较合理的平均学杂费。从而对国家现阶段教育投入和家庭分担程度，以及现行收费体制给出评价。此外，我们还对所选用的参数进行了灵敏性分析，结果有一定的准确性和参考价值。 + +# 6.1 模型构建： + +高等教育具备准公共产品的基本特征，是公益性的准公共产品，有排他性和一定的竞争性，收益的私人性和外溢性并存，且正外部性十分明显。高等教育的收益者是社会（主要通过政府）、企业及个人，他们都应成为分担主体。我们按照准公共产品价格形成与优化理论、成本收益理论考虑分担能力进行数理分析。 + +# 6.2 模型假设： + +(1) 成本分担主体为家庭（个人）和国家（除个人外其他分担主体均由国家代表），即只将分担主体分为个人与非个人。 +(2) 设定高等教育成本为狭义的高等教育成本。 +(3) 只考虑一个学生接受高等教育的成本分担情况，即研究对象仅针对某一学生。 +(4) 成本认为由分担主体预先从收益中拨出 +(5) 学生成本按 4 年本科计算 + +# 6.3 符号说明： + +y1: 一个学生接受高等教育后产生的公共收益（给国家社会带来的外溢收益） +y2：私人收益，即给自己或家庭带来的收益，包括非物质收获 +x1：国家对学生的投入占该学生接受教育后产生公共收益y1的比例 +x2: 家庭对学生的投入占该学生接受教育后产生私人收益 y2 的比例 + +E：学生接受高等教育的成本 + +M1：国家的分担成本（公共价格） + +M2：家庭的分担成本（私人价格） + +N1：国家获得的纯公共收益 + +N2：家庭获得的纯私人收益 + +c1: 公共收益为 $\gamma 1$ 时国家支付的转换实现成本, 即国家为学生搭建平台, 提供物质条件, 使人力资源转化为收益所消耗资源的总和。 +c2：私人收益为 y2 时家庭支付的转换实现成本，即家庭为实现个人收益而必须满足的生活和工作条件，由家庭支付的成本。 + +a1: 公共收益 y1 的转化效率, a1 越小, 表示转化效率越高 + +a2: 私人收益 y2 的转化效率, a2 越小, 表示转化效率越高 + +m: 国家在一个学生高等教育上的最优教育投资额 + +k: 贫困家庭需要额外承担的代价指数, k 越大说明对应一定学费所需代价越高 + +w1: 国家分担高等教育成本的比例 + +w2: 家庭分担高等教育成本的比例 + +t: 折现率 + +n: 毕业后平均工作时间（年） + +s：国家收益率 + +# 6.4 国家投入分析 + +# 6.4.1 数学推导： + +根据模型构建和简化，我们可得国家从一个学生的高等教育中可以获得纯公共收益 $\mathrm{N}_{1}$ 等于学生产生的公共收益 $y_{1}$ 除去国家投入 $x_{1}y_{1}$ 和国家转换实现成本 $\mathbf{a}_{1}y_{1}^{2}$ ，即： + +$$ +\mathrm {N} _ {1} = \left(1 - \mathrm {x} _ {1}\right) \times \mathrm {y} _ {1} - \mathrm {a} _ {1} \mathrm {y} _ {1} ^ {2}, +$$ + +对上式求导并令导数为0，得到： + +$$ +\mathrm {N} _ {1} ^ {\prime} = \left(1 - \mathrm {x} _ {1}\right) - 2 \mathrm {a} _ {1} \mathrm {y} _ {1} = 0 +$$ + +推出 $\mathrm{y}_1 = \frac{(1 - \mathrm{x}_1)}{2\mathrm{a}_1}$ ；此时 $\mathrm{N}_1' = -2a_1 < 0$ ，且 $\mathrm{N}_1 = \frac{(1 - \mathrm{x}_1)^2}{4\mathrm{a}_1} > 0$ ，因此可以求出国家在一个学生高等教育上的最优教育投资额 $\mathfrak{m}$ 为： + +$$ +\mathrm {m} = \mathrm {x} _ {1} \mathrm {y} _ {1} = - 2 \mathrm {a} _ {1} \mathrm {y} _ {1} ^ {2} + \mathrm {y} _ {1}; +$$ + +对上式求导得 $\mathrm{m}^{\prime} = 1 - 4\mathrm{a}_{1}\mathrm{y}_{1}$ + +则：当 $y_{1} < \frac{1}{4a_{1}}$ 时， $m' > 0$ ， $m$ 会随着 $y_{1}$ 的增大而增加； + +当 $y_{1} > \frac{1}{4a_{1}}$ 时， $m' < 0$ ， $m$ 会随着 $y_{1}$ 的增大而减少； + +这是因为随着 $y_{1}$ 增大，由于 $a_{1}$ 较大，导致转换实现成本 $c_{1} = a_{1}y_{1}^{2}$ 巨大，此时会改变人才社会价值实现的效率，即在该情况下降低 $a_{1}$ 比直接投资教育显得更为重要。当 $y_{1} = \frac{1}{4a_{1}}$ 时， $m' = 0$ ，此时国家教育最大投资额为 $m_{\max} = \frac{1}{8a_{1}}$ 。显然 $m_{\max}$ 是 $a_{1}$ 的递减函数，即随着国家人才社会价值实现效率越来越高，也即国家人才转换实现成本越来越低时，国家的高等教育最大投资额也会越来越大，分大能力和分担比例也会更大。 + +# 6.4.2 模型的计算： + +根据对我国高等教育总成本的分析发现，每一个在校大学生需要国家或社会投入建筑成本约5万元（教育部公布的数据），财政投入的预算内高等教育经费约4万元（含生均教育事业费和生均公用经费），个人的学杂费约3万元，按照4年本科计算，得到总共需要成本 $\mathrm{E} = 12$ 万元。 + +根据国外的权威资料显示，亚洲高等教育投资的社会收益率与个人收益率分别 + +是 $13\%$ 与 $18\%^{[6]}$ , 假设一个大学生毕业后可以平均工作 $n = 43$ 年, 折现率为 $t = 4\%^{[6]}$ 。 + +一个大学毕业生平均一年的社会收益为成本与社会收益率的乘积，即： $y_{10} = E \times s = 12 \times 13\% = 1.56$ 万元。 + +根据折现率公式计算得一个大学生一生的外溢收益： $y_{1} = E \times s \times \frac{(1 + t)^{n} - 1}{t(1 + t)^{n}} = 1.56 \times \frac{(1 + 0.04)^{43} - 1}{0.04(1 + 0.04)^{43}} = 1.56 \times 20.37077 = 31.77$ 万元。 + +转换实现成本 $c_{1}$ 的估算是一个非常复杂的理论与实际问题，它是一个大学生给国家带来总的外溢收益时需要国家支付转换实现成本总和减去一个高中毕业生给国家带来外收益时需要国家支付转换实现成本的剩余部分成本。但实际情况很复杂且多变，很难通过简单的计算得到较为满意的结果。因此，根据专家估算的数据进行讨论。 + +我们得到的转换实现成本 $c_{1}$ 的值分别为 10 万元，9 万元，12 万元，7 万元，9 万元，13 万元等。根据实际情况选取较接近的平均估算结果 11 万元进行讨论。[5] + +国家承担的部分为: + +$$ +\mathrm {m} = \mathrm {x} _ {1} y _ {1} = - 2 \mathrm {a} _ {1} y _ {1} ^ {2} + y _ {1} = y _ {1} - 2 c _ {1} = E \times s \times \frac {(1 + t) ^ {n} - 1}{t (1 + t) ^ {n}} - 2 c _ {1} = 9. 7 7 8 4 \text {万 元 。} +$$ + +国家分担高等教育成本的比例 $w_{1} = \frac{m}{E} = \frac{9.7784}{12} = 81.49\%$ 。这是理论上得到的较合理的学生高等教育成本分担比例。而根据现在的国情，国家承担的高等教育成本比例不到 $75\%$ ，可见，国家分担的成本少于最优比例，有一部分成本被转嫁到了出于高等教育成本分担被动地位的学生和家庭，使家庭分担的高等教育成本偏高。因此，针对现状，国家应适当的加大教育经费的投入。 + +我国教育经费在国民经济总收入中所占比例仍然较小。2001年我国教育经费仅占国民生产总值（GNP）的 $3.19\%$ ，而世界上教育经费占GNP的比例，发达国家平均为 $5.1\%$ ，发展中国家平均为 $4.1\%$ ，最不发达国家平均为 $2.5\%$ ，我国远远低于世界平均水平[7]。由此可见本模型的实用性和合理性。 + +# 6.4.3 灵敏性讨论： + +对国家分担的成本 $m = E \times s \times \frac{(1 + t)^n - 1}{t(1 + t)^n} - 2c_1$ 涉及的参数折现率 $t$ ，社会收益率 $s$ 和国家的转换实现成本 $c_1$ 进行灵敏性讨论。 + +让涉及的某一参数 $\mathbf{X}$ 上下浮动 $10\%$ ，即现在的折现率 $x^{\prime} = x(1\pm 10\%)$ ，带入计算公式，得到对应结果 $\mathrm{m}^{\prime}$ ，再利用公式 $b = \frac{m^{\prime} - m}{m}$ 得到结果的对应变化率，与该参数 $\mathbf{X}$ 的浮动率作比，得到参数的灵敏度。 + +分别将折现率 $t$ ，社会收益率 $s$ 和国家的转换实现成本 $c_{1}$ 按照上述方法计算灵敏性。上下浮动为 $10\%$ 对应国家承担成本 $m$ 的浮动率见下表： + +
考察因素变化情况国家应承担成本变化情况
折现率上浮 10%-19.34%
下浮 10%21.39%
社会收益率上浮 10%-32.45%
下浮 10%32.55%
国家转换实现成本上浮 10%-20.47%
下浮 10%20.47%
+ +由上表得到，参数社会收益率 $s$ 的灵敏性最高。为了得到准确地分担主体高等教育成本分担比例，对社会收益率的准确性要求最高。 + +# 6.5 家庭投入分析 + +# 6.5.1 正常家庭经济条件下的分担分析： + +当 $m < E$ 时，总的教育成本中剩下的那部分 $\mathrm{E} - \mathrm{m}$ 就需要家庭分担。这时我们得到家庭从高等教育中得到的净收益 $\mathsf{N}_2$ 的表达式： + +$$ +N _ {2} = \left(1 - x _ {2}\right) y _ {2} - a _ {2} y _ {2} ^ {2} = y _ {2} - a _ {2} y _ {2} ^ {2} - (E - m); +$$ + +为了 $N_{2} \geq 0$ , 可以推得分担基本条件为: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {1 - \sqrt {1 - 4 a _ {2} (E - m)}}{2 a _ {2}} \leq y _ {2} \leq \frac {1 + \sqrt {1 - 4 a _ {2} (E - m)}}{2 a _ {2}} \\ 1 - 4 a _ {2} (E - m) \geq 0 \end{array} \right. +$$ + +可见，个人回报效率 $a_2$ 和个人回报价值 $y_2$ 需要满足一定范围。通过进一步分析我们发现， $a_2$ 的值一般很小，即私人收益的转化率很高，因此人才的个人回报价值 $y_2$ 需要满足的条件很宽松，这就解释了为什么只要家庭条件正常，子女就一般不会放弃接受高等教育的机会。 + +# 6.5.2 贫困家庭经济条件下的分担分析： + +在家庭经济条件正常的情况下，由家庭承担的部分 $E - m$ 就比较容易。但是，一旦家庭存在经济困难，为了筹学费，需要到处借钱。这时，就存在高等教育家庭分担成本，包括物质成本和心理成本，而且他们随着贫困程度的增加而上升，甚至有个别家庭出现极端情况。因此，我们引入系数 $k$ 作为贫困指数，以 $k(E - m)$ 作为贫困家庭的总成本，其中 $k > 1$ 且家庭越贫困 $k$ 越高。 + +这时，家庭的净收益就降为： + +$$ +N _ {2} = y _ {2} - a _ {2} y _ {2} ^ {2} - k (E - m); +$$ + +由此推出的基本条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {1 - \sqrt {1 - 4 a _ {2} k (E - m)}}{2 a _ {2}} \leq y _ {2} \leq \frac {1 + \sqrt {1 - 4 a _ {2} k (E - m)}}{2 a _ {2}} \\ 1 - 4 a _ {2} k (E - m) \geq 0 \end{array} \right. +$$ + +可见，由于 $\mathrm{k}$ 的引入，个人回报效率 $a_{2}$ 和个人回报价值 $y_{2}$ 必须满足更严格的要求。而个人回报净价值的空间很小，对于 $\mathrm{k}$ 较大，即较贫困的家庭来说，当 $1 - 4a_{2}k(E - m) < 0$ 时，就不得不放弃接受高等教育的机会。这就导致了高等教育收费体制有失公平性。因此国家需要对贫困家庭进行一定补助，同时制定合适的学费，以减少由于贫困而放弃高等教育机会的现象。 + +# 6.5.3 模型计算： + +个人需要承担的部分 $E - m = 12 - 9.7784 = 2.2216$ 万元，家庭成本分担比例为 $1 - 81.94\% =$ 根据折现率公式可计算的一个学生每年的学杂费负担为： + +[ A = (E - m) \times \frac{t(1 + t)^4}{(1 + t)^4 - 1} = 2.2216 \times \frac{0.04(1 + 0.04)^4}{(1 + 0.04)^4 - 1} = 0.612 ] 万元，从模型结果来看，一个 + +学生较合适的高等教育学杂费大约为6120元/年。学杂费是指包括学费书本费，体检费，住宿费等多项指标。现在高校的平均学杂费水平约为7500元/年左右。从近几年的数据分析来看，学生实际所负担的学杂费显然超过这一标准。 + +# 6.6 模型结论对比 + +由国家投入分析与家庭投入分析两个模型计算出的理论较优解与现状的数据进行比较，记录如下表： + +
国家成本分担费用(万元)国家成本分担比例家庭成本分担费用(万元)家庭成本分担比例
理论值9.77840.81492.22160.1806
真实性值7.51600.62674.48000.3733
+ +由上表数据对比明显可见，国家成本分担比例较少，需要加大非个人教育经费的投入，以减少个人成本分担的比例。 + +# 7 关于高等教育收费制度存在的问题和改进建议报告 + +根据社会公共产品理论，高等教育属于一种公益性的准公共产品，具有排他性和一定的竞争性，收益的私人性和外溢性并存，且正外部性十分明显。它既能给受教育本人带来收益，同时也给社会带来一定的影响。高等教育的收费标准是否合理，不仅关系到我们每个人的切身利益，也关系到社会稳定和国家的长远发展。 + +决定高等教育收费的因素主要有两个，一个是高等教育成本，一个是居民收入水平。 + +从成本分担的角度考虑，根据谁受益，谁付费的市场原则，高等教育的成本应由国家和个人共同承担。所以目前的收费制度有其合理性。我国高等教育成本分担遵循两个基本原则：一是能力原则，二是受益原则；即受益多的多分摊，能力强的多分摊。 + +从居民收入角度考虑，高等教育收费应使大多数家庭可以承担，同时生活质量不受显著影响。 + +从以上两个角度出发，根据我们的模型求解和分析结果，认为现行的高等教育收费定价制度存在以下问题： + +1. 学费过高，大部分家庭无法承担。 + +我们在针对模型一计算高校收费公平性时发现，以现在高校学费的平均水平5000元为例，全国只有 $12.7\%$ 的家庭可以负担，其中城镇家庭有 $21.8\%$ 的家庭可以负担，而农村家庭只有 $5.6\%$ 的家庭可以负担的起。这样的话，高等教育就成了奢侈品，损害了低收入人群受高等教育的权利，也造成了一定的社会不公平。 + +2. 国家投入教育资金不够，国家分担的教育成本比例偏低。 + +在模型三中，我们根据经济学上的成本分担理论对国家应承担的教育成本比例进行了估算，结果为 $81\%$ ，高于现在的 $75\%$ 。2001年我国教育经费仅占国民生产总值的 $3.19\%$ ，这个比例发达国家约为 $5.1\%$ ，发展中国家约为 $4.1\%$ ，可见我国的教育经费投入偏低。 + +3. 家庭高等教育分担比例有限，为保证高等教育质量，需要更多的国家拨款和社会集资。 + +通过研究，我们发现高学费会导致可承担起学费的人数减少，学费总额不一定会增加。就现在全国居民的收入水平而言，学杂费总收入占办学成本比例 $37\%$ 左右。而家庭能分担的成本比例是有限的，当高等教育成本进一步增加时，不可能一味将高出部分转嫁到个人分担成本上，只有通过国家拨款或社会筹资等其他途径才能弥补。 + +4. 对贫困生的补助不足。 + +在模型二中，我们针对贫困生的学费补助制度进行了研究。根据有关规定，学费的 $10\%$ 用来补助贫困生。我们依据价格需求曲线的分析，得出结论：目前对贫困生的补助金额，仍不足以体现教育的公平性，尤其是高学费专业的补助金额尤其需要提高。 + +5. 学费设置“一刀切”，专业学费区别不够。 + +在对模型一进行数据处理时，我们发现，以理工类专业为例，各专业学费区别不大，但是各专业所对应的期望收入却大相径庭。因此专业学费的“一刀切”体制未能充分发挥价格的调节作用。价格机制是调节市场供给、需求，实现资源优化配置的重要机制。学费作为一种价格机制，在调节高等教育市场实现高等教育资源的优化配置与运用上具有其他方式不可替代的作用。对不同专业的学费标准细化，有利于解决专业过冷过热的问题。 + +6. 高等教育成本核算不明晰。 + +我们在处理数据时发现，高校办学成本核算方法存在较大争议，这使导致学费标准制定的随意性和不合理性的重要原因。 + +基于上述问题，我们提出以下改进建议： + +1、国家采用宏观调控对于学费进行一定控制，建立完备的学费制定体系。根据我们建立的模型可以求解得到对应于现在高等教育成本的较理想学费标准。相关部门可以根据这一数据制定一些政策指标，以保证学费根据一定的市场供求关系合理的在一定范围内浮动。从而使更多的人不会因为经济条件等原因而被迫放弃接受高等教育的机会。 +2、政府应加大高等教育经费投入。根据现在国情，对比于各类国家的对应投入，我国目前的高等教育经费投入明显不足。由模型三结论，国家应承担更多地教育成本。再者，为了保证较好的高等教育质量，势必需要更多的经费投入。而家庭所能分担的成本是有限制的，余量增加空间较少，所以政府应加大对于高等教育经费的投入。 +3、应加大对困难学生的补助额度，建立完善的补助体制。针对不同贫困程度的学生，应制定相应不同的补助措施。以达到更好的公平性原则。 +4、建立、完善资助政策以及学费制定政策的告知制度。通过大众媒体以及招生简章等途径告知学生国家补助政策和学费制定政策等相关政策。 +5、建立学费分类制定体系。针对不同的学校，不同的专业，由其未来期望收益确定出相应的学费，改变现金学费“一刀切”的不合理状况。 +6、坚持对经济落后地区的投入倾斜政策，充分发挥宏观调控作用。对于经济落后地区在经费投入上给予一定的倾斜，以改善这些地区的办学条件，使各地区的教育得到均衡发展，使所有公民尽量获得均等的受教育机会。 +7、建立明确的高等教育成本核算方法。做到合理化，透明化。以有效的防止学校乱收费。 + +根据我们建立的模型，以及对收集到的数据进行的定量分析，我们得到了以上若干高等教育学费标准存在的问题，由此，给出了部分建议，希望可以建立更加完善的学费标准制定体制，资源的分配利用最优化。 + +# 8 参考资料 + +[1]《中国统计年鉴》 +http://yearbook.idoican.com.cn/zju/tjnj/catalog/catalogsearch text.asp?c cYearcode=X8husI/106DDDmBviuruVrgDJ5NimA%3D%3D，2008年9月20日 +[2]《中国教育经费年鉴》 +http://yearbook.idoican.com.cn/zju/tjnj/catalog/catalogsearch text.asp?c cYearcode=X8husI7x06DDDmBviuvuVrgDJ5NimA%3D%3D，2008年9月20日 +[3]大学生毕业后半年个专业平均收入 http://learning.sohu.com/s2007/dxsjy/ 搜狐网，2008年9月20日 +[4]各学校各专业学费 +http://news.xinhuanet.com/edu/2007-05/12/content_6085469.htm 新华网，2008年9月20日 +[5] 甘国华，《高等教育成本分担研究》，上海，上海财经大学出版社，2007年。 +[6] 各层次教育的社会收益与个人收益， +http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0917/course/_source/web/lesson/char6/j3.htm. 2008年9月20日 +[7] 李德传，《高等教育收费标准与居民支付能力的比较分析》，河南科技2006年8月上，11页—12页。 +[8]覃文松，《从高校生源城乡比看中国教育的不公平》，理工高教研究，第24卷第2期，19页-21页。 +[9]2004学费减免名单，http://xsc.zjau.net.cn，2008年9月20日 +[10]宁泽逵 王征兵 《高等教育收费制的思考》 西北农林科技大学学报 2004 年 第92页到第95页 +[11]周洪宇，《教育公平是和谐社会的基石》，安徽，安徽教育出版社，2007年 + +# 9 附录 + +附录（matlab程序）： + +1、建模准备阶段，需要搜索出的城镇与乡村对应指标 1 最大值： + +p=0:30000; + +$f = p / 0.3$ + +n=length(p); + +bfc=zeros(size(f)); + +ac=[6000 7500 9000 10500 12000 13500 15000 30000]; + +a=[9388 11614.11 17838.3 24311.19 33156.15 45599.1 62098.89 104503.17]; + +for $i = 1:n$ + +if(f(i)>0&&f(i)<=a(1)) + +$\mathrm{bf(i) = 1 - f(i) / a(1)^{*}0.05}$ + +elseif(f(i) > a(1) && f(i) <= a(2)) + +$\mathrm{bf(i) = 0.95 - (f(i) - a(1)) / (a(2) - a(1))^{*}0.05}$ + +elseif(f(i) > a(2) && f(i) <= a(3)) + +$\mathsf{bf(i)} = 0.9 - (\mathsf{f(i)} - \mathsf{a(2)}) / (\mathsf{a(3)} - \mathsf{a(2)})^{*}0.1;$ + +elseif(f(i) > a(3) && f(i) <= a(4)) + +$\mathrm{bf(i)} = 0.8 - (\mathrm{f(i) - a(3)) / (a(4) - a(3))}^{*}0.2;$ + +elseif(f(i) > a(4) && f(i) <= a(5)) + +$\mathrm{bf(i)} = 0.6 - (\mathrm{f(i) - a(4)}) / (\mathrm{a(5) - a(4)})^{*}0.2;$ + +elseif(f(i) > a(5) && f(i) <= a(6)) + +$\mathrm{bf(i)} = 0.4 - (\mathrm{f(i) - a(5)}) / (\mathrm{a(6) - a(5)})^{*}0.2;$ + +elseif(f(i) > a(6) && f(i) <= a(7)) + +$\mathrm{bf(i)} = 0.2 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(6)}) / (\mathrm{a(7)} - \mathrm{a(6)})^{*}0.1;$ +elseif(f(i)>a(7)&&f(i)<=a(8)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.1 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(7)}) / (\mathrm{a(8)} - \mathrm{a(7)})^{*}0.1;$ +end +end +for i=1:n if(f(i)>0&&f(i)<=ac(1)) bfc(i)=1-f(i)/ac(1)*0.2483; elseif(f(i)>ac(1)&&f(i)<=ac(2)) bfc(i)=0.7517-(f(i)-ac(1))/(ac(2)-ac(1))*0.1146; elseif(f(i)>ac(2)&&f(i)<=ac(3)) bfc(i)=0.6371-(f(i)-ac(2))/(ac(3)-ac(2))*0.1098; elseif(f(i)>ac(3)&&f(i)<=ac(4)) bfc(i)=0.5273-(f(i)-ac(3))/(ac(4)-ac(3))*0.0938; elseif(f(i)>ac(4)&&f(i)<=ac(5)) bfc(i)=0.4335-(f(i)-ac(4))/(ac(5)-ac(4))*0.0788; elseif(f(i)>ac(5)&&f(i)<=ac(6)) bfc(i)=0.3547-(f(i)-ac(5))/(ac(6)-ac(5))*0.066; elseif(f(i)>ac(6)&&f(i)<=ac(7)) bfc(i)=0.2887-(f(i)-ac(6))/(ac(7)-ac(6))*0.0525; elseif(f(i)>ac(7)&&f(i)<=ac(8)) bfc(i)=0.2362-(f(i)-ac(7))/(ac(8)-ac(7))*0.2362; + +```matlab +end +end +ec0=(bfc.\*p)/18790; +e0=(bf.\*p)/18790; +em=max(e0); +ecm=max(ec0); +``` + +2、模型一的程序： + +```matlab +f=p/0.3; +n=length(p); +bf=zeros(size(f)); +bfc=zeros(size(f)); +``` + +```javascript +ac=[6000 7500 9000 10500 12000 13500 15000 30000]; +a=[9388 11614.11 17838.3 24311.19 33156.15 45599.1 62098.89 104503.17]; +``` + +```matlab +for i=1:n +if(f(i)>0&&f(i)<=a(1)) + bf(i)=1-f(i)/a(1)*0.05; +elseif(f(i)>a(1)&&f(i)<=a(2)) +``` + +$\mathrm{bf(i)} = 0.95 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(1)}) / (\mathrm{a(2)} - \mathrm{a(1)})^{*}0.05;$ +elseif(f(i)>a(2)&&f(i)<=a(3)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.9 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(2)}) / (\mathrm{a(3)} - \mathrm{a(2)})^{*}0.1;$ +elseif(f(i)>a(3)&&f(i)<=a(4)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.8 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(3)}) / (\mathrm{a(4)} - \mathrm{a(3)})^{*}0.2;$ +elseif(f(i)>a(4)&&f(i)<=a(5)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.6 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(4)}) / (\mathrm{a(5)} - \mathrm{a(4)})^{*}0.2;$ +elseif(f(i)>a(5)&&f(i)<=a(6)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.4 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(5)}) / (\mathrm{a(6)} - \mathrm{a(5)})^{*}0.2;$ +elseif(f(i)>a(6)&&f(i)<=a(7)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.2 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(6)}) / (\mathrm{a(7)} - \mathrm{a(6)})^{*}0.1;$ +elseif(f(i)>a(7)&&f(i)<=a(8)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.1 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(7)}) / (\mathrm{a(8)} - \mathrm{a(7)})^{*}0.1;$ +end +end +for i=1:n if(f(i)>0&&f(i)<=ac(1)) bfc(i)=1-f(i)/ac(1)*0.2483; elseif(f(i)>ac(1)&&f(i)<=ac(2)) bfc(i)=0.7517-(f(i)-ac(1))/(ac(2)-ac(1))*0.1146; elseif(f(i)>ac(2)&&f(i)<=ac(3)) bfc(i)=0.6371-(f(i)-ac(2))/(ac(3)-ac(2))*0.1098; elseif(f(i)>ac(3)&&f(i)<=ac(4)) + +bfc(i) $= 0.5273 - (f(i) - ac(3)) / (ac(4) - ac(3))^{*}0.0938;$ +elseif(f(i)>ac(4)&&f(i) $\leq =$ ac(5)) +bfc(i) $= 0.4335 - (f(i) - ac(4)) / (ac(5) - ac(4))^{*}0.0788;$ +elseif(f(i)>ac(5)&&f(i) $\leq =$ ac(6)) +bfc(i) $= 0.3547 - (f(i) - ac(5)) / (ac(6) - ac(5))^{*}0.066;$ +elseif(f(i)>ac(6)&&f(i) $\leq =$ ac(7)) +bfc(i) $= 0.2887 - (f(i) - ac(6)) / (ac(7) - ac(6))^{*}0.0525;$ +elseif(f(i)>ac(7)&&f(i) $\leq =$ ac(8)) +bfc(i) $= 0.2362 - (f(i) - ac(7)) / (ac(8) - ac(7))^{*}0.2362;$ +end +end +e0=(bf.\*p)/18790; +e1=e0/0.2358; +ec0=(bfc.\*p)/18790; +ec1=ec0/0.0767; +e=e1\*0.65+ec1\*0.35; +bf2=0.439.\*bf+0.561.\*bfc; +m=length(c); +w=zeros(size(c)); +w2=zeros(size(c)); +sp=sum(p); +sc=sum(c); + +for $j = 1:m$ $\mathrm{w(j) = c(j)^{*}sp / (sc^{*}p(j))}$ +end +maw=max(w); +miw=min(w); +for $j = 1:m$ $\mathrm{w2(j) = (w(j) - miw) / (ma w - miw)}$ +end + +$\mathsf{d} = [0.8421 0.8842 0.9589 0.9422 0.9895 0.9053 0.9684 0.8899 0.8791 0.8391 0.9053 0.8558 0.6301 0.8842 0.9231 1.0000 0.9589 0.9800];$ + +```javascript +h=[0.3125 0.4375 0.0625 0.1875]; +``` + +for $i = 1:m$ . + $\mathsf{ws}(\mathsf{i}) = \mathsf{h}(1)^{*}\mathsf{e}(\mathsf{i}) + \mathsf{h}(2)^{*}\mathsf{bf2}(\mathsf{i}) + \mathsf{h}(3)^{*}\mathsf{d}(\mathsf{i}) + \mathsf{h}(4)^{*}\mathsf{w2}(\mathsf{i});$ +end + +其中指标3的程序见下（即上述程序中的d矩阵）： + +```javascript +b=zeros(1,9); +``` + +$\mathsf{d} = \mathsf{b}$ + +for $i = 1:26$ + +if $\times (\mathrm{i},1) = = 1$ + +if $x(i,2) == 1$ + +$$ +\mathsf {b} (1) = \mathsf {b} (1) + \mathsf {y} (\mathrm {i}); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (1) = \mathrm {d} (1) + 1; +$$ + +end + +if $x(i,2) == 2$ + +$$ +b (2) = b (2) + y (i); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (2) = \mathrm {d} (2) + 1; +$$ + +end + +if $x(i,2) == 3$ + +$$ +b (3) = b (3) + y (i); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (3) = \mathrm {d} (3) + 1; +$$ + +end + +end + +if $x(i,1) == 2$ + +if $x(i,2) == 1$ + +$$ +b (4) = b (4) + y (i); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (4) = \mathrm {d} (4) + 1; +$$ + +end + +if $x(i,2) == 2$ + +$$ +b (5) = b (5) + y (i); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (5) = \mathrm {d} (5) + 1; +$$ + +end + +if $x(i,2) == 3$ + +$\begin{array}{r}\mathrm{b}(6) = \mathrm{b}(6) + \mathrm{y}(\mathrm{i});\\ \mathrm{d}(6) = \mathrm{d}(6) + 1;\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{if~x(i,1)} = = 3\\ \mathrm{if~x(i,2)} = = 1\\ \mathrm{b(7)} = \mathrm{b(7)} + \mathrm{y(i)};\\ \mathrm{d(7)} = \mathrm{d(7)} + 1;\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{if~x(i,2)} = = 2\\ \mathrm{b(8)} = \mathrm{b(8)} + \mathrm{y(i)};\\ \mathrm{d(8)} = \mathrm{d(8)} + 1;\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{if~x(i,2)} = = 3\\ \mathrm{b(9)} = \mathrm{b(9)} + \mathrm{y(i)};\\ \mathrm{d(9)} = \mathrm{d(9)} + 1;\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end} \end{array}$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\346\216\242\347\251\266\342\200\224\346\265\231\346\261\237\345\244\247\345\255\246\351\230\237\344\274\215/\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\346\216\242\347\251\266\342\200\224\346\265\231\346\261\237\345\244\247\345\255\246\351\230\237\344\274\215.md" "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\346\216\242\347\251\266\342\200\224\346\265\231\346\261\237\345\244\247\345\255\246\351\230\237\344\274\215/\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\346\216\242\347\251\266\342\200\224\346\265\231\346\261\237\345\244\247\345\255\246\351\230\237\344\274\215.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..32999da19be09d7e876a7f975d9d3b2c0ae599a6 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\346\216\242\347\251\266\342\200\224\346\265\231\346\261\237\345\244\247\345\255\246\351\230\237\344\274\215/\351\253\230\347\255\211\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\346\216\242\347\251\266\342\200\224\346\265\231\346\261\237\345\244\247\345\255\246\351\230\237\344\274\215.md" @@ -0,0 +1,749 @@ +# 高等教育学费标准探讨 + +# 【摘要】 + +本文针对高等教育学费标准问题，在对数据进行了初步处理和分析的基础上，建立了三个模型，讨论全面细致。 + +首先，我们建立了高等教育收费标准的定量综合评价模型。选取了四个指标来描述现行高校收费标准的不同效用，分别是培养费用分摊度指标，公平性指标，均值接近度指标，相对回报投入比指标。对每一种指标，给出了具体的计算公式，并且运用极差处理的方法和归一化的思想，对四个指标分别进行了处理。最后使用相对比较法，确定了各指标所占权重，加权求得了最终的学费合理性指数。对收费制度的评价细致全面。 + +其次，对贫困生的补助制度也是高等教育收费标准需要考虑的重要因素之一，我们建立了基于价格需求曲线的补助制度模型，通过高等教育的价格需求曲线，讨论了“一刀切”式单一定价造成的不公平情况，从而引出补助制度的必要性，进而研究了对高收入人群和低收入人群分别定价的情况，得出了补助额度与学费的浮动关系。并通过数据验证其可行性和合理性，从而为设立合理完善的补助制度提供参考。 + +在上述分析的基础上，我们有必要给出计算合理收费标准的方法。为此建立了成本分担比例模型来研究这个问题：我们运用经济学上的成本分担理论，对国家和个人应承担的教育成本比例进行了研究。首先对高校人均培养费用进行了估算，然后依据国家获得的纯公共收益最大，得出国家投资额表达式，进而推导出国家分担教育成本比例的计算方法，在对参数进行充分的获取和假设后，计算出了当前情况下的合理收费标准和分摊比例。此外，我们还对一般家庭和困难家庭接收高等教育的条件进行了分别的讨论。并且对所选参数的灵敏性进行了分析。 + +最后，我们把研究结果进行总结，以报告的形式向相关部门提出了具体建议。 + +关键词：多指标综合定量分析 学费合理性指数 归一化 价格需求曲线 成本分担 + +# 1 问题重述 + +高等教育的培养质量需要有相应的经费保障。教育经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受奖学金。学费问题涉及每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。因此需要我们根据中国国情，通过分析国家生均拨款、培养费用、家庭收入等数据，建立数学模型对一些学校及专业的学费标准进行定量分析，得出有关学费标准的相应结论。 + +# 2 问题分析 + +根据社会公共产品理论，高等教育属于一种准公共产品，具有排他性和竞争性。政府，社会，受教育个人都直接或间接从高等教育中获得利益。根据谁获益谁付费的市场原则，政府，社会，个人都应当承担一定比例的高等教育成本。因此向受教育个人收取学费是合理的，即可以缓解高校的财政压力，也可以使其接收的教育质量得到相应的经费保证。但另一方面，居民的收入水平，又决定了其无法承担过高的教育成本比例。过高的学费将会导致低收入人群丧失接受高等教育的机会，或使其家庭背上沉重的经济负担。这就导致教育机会不公平现象的发生。因此，对高等教育收费标准的分析，要立足不同角度，对其各方面因素进行综合评价，才能得出正确的结论。 + +# 3 建模准备 + +# 3.1 数据收集与分析 + +# 3.1.1 我国城乡家庭户均收入分布 + +1)我国城镇家庭户均收入分布[1]：表1 + +
家庭收入档次h该档次家庭数占总户数比例 r1,h档次分界点家庭年均收入 I1,h (元)
1困难户5%9388.02
2最低收入户5%11614.11
3低收入户10%17838.30
4中等偏下户20%24311.19
5中等收入户20%33156.15
6中等偏上户20%45599.10
7高收入户10%62098.89
8最高收入户10%104503.20
+ +2) 我国农村家庭户均收入分布[1]：表2 + +
家庭收入档次h该档次家庭数占总户数比例 r2,h档次分界点家庭年均收入 I2,h (元)
1困难户24.83%6000
2最低收入户11.46%6000-7500
3低收入户10.98%9000
4中等偏下户9.38%10500
5中等收入户7.88%12000
6中等偏上户6.60%13500
7高收入户5.25%15000
8最高收入户23.62%30000
+ +![](images/e5e8cca09d736c63a4ba812e2b857032b0dc2adda2d64bdeceb7fb471edf0db7.jpg) +图1：我国城乡家庭收入分布图 + +3)不同大学不同专业学费及其毕业后半年薪金收入:表 3 + +
学校专业学费[4]收入[3]
清华大学电子信息工程55002500
南开大学工商管理42002000
华北科技学院电力35002000
大连理工大学汉语言文学38002427
东北大学机械47002200
大连理工大学电子信息工程52002500
大连海事船舶46002200
东北林业大学哲学35002452
哈尔滨工程大学电子科学40002500
哈尔滨工程大学政治学33002452
山东大学电子43002500
湖南大学政治学45002452
华北电力大学电力50002000
吉林大学法学45002000
四川大学数学49002000
石河子大学政治学31002452
塔里木大学机械35002200
东北师范大学软件98002500
+ +# 4) 国家高等教育拨款[5]：表 4 + +
国家高等教育拨款总投入25502370.8万元
在校本科生人数17388441
在校研究生人数1104653
合计18493094
高等教育生均拨款f13790.2元
+ +# 5)其他重要数据： + +生源比例[8]：农村 $\mathrm{p}_{1} = 34.9\%$ ，城镇 $\mathrm{p}_{2} = 65\%$ + +高等教育平均学费[2] $\mathrm{P_a} = 5000$ + +# 3.2 不同学校、地域、专业的学费数据的初步分析 + +选取22所典型高校专业的学费数据进行分析。首先，有必要了解学费的变化规律。影响学费多少的因素有很多，如学校类别，所处地域，专业类别等。我们注意到，我国高校收费具有“一刀切”的特点，由于我们主要研究的是公立高校，一本和二本的学费差异不大。但是高校所处的地域不同，专业不同，学费的差异仍然比较明显。因此，我们主要考察不同地域和专业对学费的影响。 + +按照各地经济发展程度，消费水平等把全国各城市分为欠发达地区，中等发达地区， + +发达地区。并设该地区的经济发展程度为 $a$ , 分别取值 1、2、3 代表上述三类地区。按照专业的投入成本和就业前景, 把专业分为文科, 理工, 艺术三类。并认为它们具有不同的学费水平 $b$ , 分别取值为 1、2、3, 代表上述三种专业。依据上述指标, 我们可把高校学费类型划分为 $3 * 3$ 种, 用坐标 $\left(a_{i}, b_{i}\right)$ 来表示其具体情况。 + +利用所选的学费数据，做学费P关于地域a和专业b的逐步线性拟合，运用matlab中的stepwise命令，得到如下结果： + +![](images/852d0f789803c5437027d5beffe8d59330a9423bfdff22464478d5ed514f2226.jpg) + +公式为： $P = 672.97a + 2353.89b - 833.943$ ，统计量：p值等于6.38e-6远远小于0.05。R-square=0.71，表示 $71\%$ 的学费P可由模型预测。以上检验量表示拟合效果良好。 + +由拟合结果可知，不同地区的学费平均相差672.97元，三类不同专业的学费平均相差2353.8元。由此可知，影响学费的最主要因素是专业，高校所处地区也对学费有显著影响。 + +各种模式的平均学费为:表 5 + +
地域文科理工科艺术
欠发达地区310036506850
中等发达地区393345508000
发达地区403347508400
+ +# 4 模型一 学费合理性的多指标综合评价模型 + +高等教育学费的合理性不仅体现在家庭对大学生培养经费的分担，教育的公平性，还体现在学费在不同专业、学校、地域间的差异性。另外，不同专业的投入回报比也在一定程度上体现了学费标准的合理性。 + +运用多指标综合评价模型，从不同的角度建立不同的指标评价学费标准的合理性，从而的到一个既能从侧重点评价其学费，又能从整体反映其合理性的模型。 + +![](images/9e9bc53d440485b16753b03e7bd5ff2090ec276225134b6beb404a8559ab7a2d.jpg) + +通过对某一具体研究对象 $\mathrm{P_i}$ 建立分别体现分担程度、公平性、差异性、回报性四个指标，分别标准化后进行加权处理的到学费合理性指数这一单一指标。 + +# 4.1 符号说明 + +符号 +说明 + +
Pi第i个研究对象的学费
T学费合理性指数
Ij,hj=1,2,分别表示城镇居民与农村居民家庭属于第h档次的临界收入
Njj=1,2,分别表示城镇居民与农村居民总家庭户数
Nj(Pi)j=1,2分别表示城镇居民与农村居民中能够承担学费Pi的家庭户数
Rj,hj=1,2,分别表示城镇与农村家庭中属于第h档次的家庭数占总户数的比例
C0我国高校人才生均培养成本
f国家高等教育生均拨款
Pa我国高校平均学费
Wi第i个对象对应的毕业半年后平均收入
X1i第i个研究对象的培养经费分担度指标
X2i第i个研究对象的公平性指标
X3i第i个研究对象的均值接近度指标
X4i第i个研究对象的相对回报比投入指标
(a_i, b_i)第i个研究对象的学费类型
S某高校在校生人数
qkj相对比较法赋权时指标 Xki 对 Xji 的评分
Q学费合理性综合评价时指标的权重矩阵
XiXi=[X1i, X2i, X3i, X4i]综合评价学费合理性的指标向量
P(a_i, b_i)(a_i, b_i)培养模式下的平均学费
pjj=1,2,分别表示高校中城镇生源与农村生源占在校总人数比例
ui学费合理性综合评价各指标的权重
+ +# 4.2 模型假设 + +1）考虑到我国现今高等教育经费主要由国家拨款和学费组成，社会捐赠等其他资金只占很少的部分，将其忽略 $C_{0} = f + P_{a}$ 。 +2）在每个家庭收入档次内，家庭数是平均分布的。 +3）不考虑各专业就业率导致的个人收益差别。 +4）不考虑助学贷款等对贫困学生的补助措施。 +5）假设每个家庭平均有三个家庭成员，其中只有一个学生。 + +# 4.3 模型建立 + +# 4.3.1 建立评价指标 + +1)学费对培养经费的分担比例指标 $\mathrm{X}_{1\mathrm{i}}$ + +考虑到家庭能够接受的学费占家庭总收入比例的平均水平为 $30\%$ ，利用我国城乡家庭收入分布数据，表1和表2，针对某一具体学费 $\mathrm{P_i}$ 可以计算出能够承担该学费金额的 + +家庭数 $\mathrm{N}_{1}(\mathrm{P}_{\mathrm{i}})$ 、 $\mathrm{N}_{2}(\mathrm{P}_{\mathrm{i}})$ 。 $\frac{p_{1} \bullet S}{N_{1}}$ 、 $\frac{p_{2} \bullet S}{N_{2}}$ 分别为通过高考招生制度能够进入高校的城镇人数比例与农村人数比例， $N_{1}(P_{i}) \times \frac{p_{1} \bullet S}{N_{1}} + N_{2}(P_{i}) \times \frac{p_{2} \bullet S}{N_{2}}$ 为进入高校并且能够独立支付学费的人数。高等教育中学费对培养经费的分担比例为： + +$$ +x _ {1 i} = \frac {\left[ N _ {1} (P _ {i}) \times \frac {p _ {1} \bullet S}{N _ {1}} + N _ {2} (P _ {i}) \times \frac {p _ {2} \bullet S}{N _ {2}} \right] \times P _ {i}}{S \times \mathbf {C} _ {0}} = \left[ p _ {1} \times \frac {N _ {1} (P _ {i})}{N _ {1}} + p _ {2} \times \frac {N _ {2} (P _ {i})}{N _ {2}} \right] \times \frac {P _ {i}}{\mathbf {C} _ {0}} +$$ + +在求比例 $\frac{N_{j}(P_{i})}{N_{j}}$ 时，根据我国城乡家庭年户均收入分布构造分段线性化函数： + +$$ +\frac {N _ {j} \left(P _ {i}\right)}{N _ {j}} = 1 - \sum_ {m = 0} ^ {h - 1} r _ {j, m} - \frac {\frac {P _ {i}}{30 \%} - I _ {j , h - 1}}{I _ {j , h} - I _ {j , h - 1}} \times r _ {j, h}; +$$ + +其中 $h = 1,2,\dots ,8;j = 1,2;I_{j,0} = 0,r_{j,0} = 0$ + +得到 $\mathbf{x}_{1\mathrm{i}}$ 后，利用Matlab编程，令学费 $\mathrm{P_i}$ 在[0，30000]以0.1为间隔变化，搜寻 $\mathbf{x}_{1\mathrm{i}}$ 最大值 $\max (\mathrm{x}_{1\mathrm{i}}) = 0.1698$ ，计算出的所有 $\mathbf{x}_{1\mathrm{i}}$ 值，并将其归一化。 + +$$ +\mathbf {X} _ {1, \mathrm {i}} = \frac {x _ {1 i}}{\operatorname* {m a x} (x _ {1 i})}, \mathbf {X} _ {1, \mathrm {i}} \in [ 0, 1 ] +$$ + +2) 公平性指标 $\mathrm{X}_{2\mathrm{i}}$ + +我们以能够承担学费的上学人数与在校总人数比例作为衡量学费公平性的指标 $\mathrm{X}_{2\mathrm{i}}$ ， $\mathrm{X}_{2\mathrm{i}}$ 越大，说明能够承担学费的人数比例越大，因贫困而导致可能辍学的人数比例就会越小，体现了教育公平。 + +$$ +x _ {2 i} = p _ {1} \times \frac {N _ {1} (P _ {i})}{N _ {1}} + p _ {2} \times \frac {N _ {2} (P _ {i})}{N _ {2}} +$$ + +3)均值接近度指标 $\mathrm{X}_{3\mathrm{i}}$ + +选取一定高校和专业的学费样本，按照建模准备中针对不同学校不同地域不同专业学费数据进行处理的分类方法，将其分别划分到相应的模式中，对每一种模式计算出其学费的均值 $\overline{P}(a_i, b_i)$ ，作为我们进行对比的标准。设当前计算的学费为 $\mathrm{P_i}$ ，其学费类型为 $(\mathrm{a_i}, \mathrm{b_i})$ 。则某一学费数据与该模式平均水平的符合程度指标 $\mathrm{X}_{3\mathrm{i}}$ 为： + +$$ +\mathrm {X} _ {3, i} = 1 - \frac {\left| P - \bar {P} \left(a _ {i} , b _ {i}\right) \right|}{\bar {P} \left(a _ {i} , b _ {i}\right)}, \quad \mathrm {i} = 1, 2, \dots \dots +$$ + +$\mathrm{X}_{3\mathrm{i}}$ 反映了研究对象与同类平均收费标准的接近程度，越接近1，则越趋于平均水平。 + +4)相对回报投入比指标 $\mathrm{X}_{4\mathrm{i}}$ + +选取不同大学不同专业学费及其毕业后半年薪金收入的样本数据，分别计算某一研究对象的相对收入与相对学费比，即在这一相互比较的总体中的相对回报投入比： + +$$ +x _ {4 i} = \frac {\frac {w _ {i}}{\sum w _ {i}}}{\frac {P _ {i}}{\sum P _ {i}}} , \mathrm {i = 1 , 2 , \dots . . . .} +$$ + +对 $\mathbf{X}_{4\mathrm{i}}$ ，考虑到它属于越大越好型指标，利用极差法标准化： + +$$ +\mathbf {X} _ {4, \mathrm {i}} = \frac {x _ {4 i} - \operatorname* {m i n} (x _ {4 i})}{\operatorname* {m a x} (x _ {4 i}) - \operatorname* {m i n} (x _ {4 i})}, \quad \mathbf {X} _ {4, \mathrm {i}} \in [ 0, 1 ] +$$ + +# 4.3.2 相对比较法赋权并进行综合评价 + +针对4个评价指标，设三级比例标度两两相对比较评分的分值为 $q_{ij}$ ，则标度值及其含义如下： + +$$ +q _ {k j} = \left\{ \begin{array}{l} 1 \dots \dots \dots X _ {k i} \text {比} X _ {j i} \text {重 要} \\ 0. 5 \dots \dots X _ {k i} \text {和} X _ {j i} \text {同 等 重 要 ， k ， j = 1 , 2 , 3 , 4 ， 且 q} _ {\mathrm {i i}} = 0. 5, \quad \mathrm {q} _ {\mathrm {i j}} + \mathrm {q} _ {\mathrm {j i}} = 1 \\ 0 \dots \dots X _ {k i} \text {没 有} X _ {j i} \text {重 要} \end{array} \right. +$$ + +评分构成的矩阵 $Q = (q_{ij})_{4\times 4}$ 。则指标 $X_{ji}$ 的权重系数 $\mathsf{u}_{j}$ 为： + +$$ +u _ {k} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {4} q _ {k j}}{\sum_ {k = 1} ^ {4} \sum_ {j = 1} ^ {4} q _ {k j}} +$$ + +考虑到高等教育事关高素质人才培养、对国家创新能力提升有重要影响，为了让适合接受高等教育的不会因为学费原因而失去接受深造，使高等教育作为准公共产品在其学费上体现更高的教育公平性，认为 $q_{21} = 1$ 。学费对培养经费的承担是学费高低是否合适的重要标准。所以 $q_{13} = 1$ ， $q_{14} = 1$ ，而 $q_{43} = 1$ 。 + +根据相对比较法的传递性，得到评分矩阵 + +$$ +Q = \left[ \begin{array}{c c c c} 0. 5 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0. 5 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0. 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0. 5 \end{array} \right] \xrightarrow {\text {按 行 相 加}} \left[ \begin{array}{c} 2. 5 \\ 3. 5 \\ 0. 5 \\ 1. 5 \end{array} \right] \xrightarrow {\text {归 一 化}} \left[ \begin{array}{l} 0. 3 1 2 5 \\ 0. 4 3 7 5 \\ 0. 0 6 2 5 \\ 0. 1 8 7 5 \end{array} \right] +$$ + +由此，可以得到学费合理性指数为 $T = X^{*}Q$ 。 + +# 4.4 模型求解与结果分析 + +根据收集到的不同学校不同专业的学费以及毕业后半年内的工资收入的数据，表6，利用模型一的方法，编程计算，可以得到各研究对象相应的4个指标值与学费合理性指数，见表7： + +表6 + +
学校专业学费毕业半年后收入培养模式
清华大学电子信息工程55002500(3,2)
南开大学工商管理42002000(3,2)
华北科技学院电力35002000(1,2)
大连理工大学汉语言文学38002427(3,1)
东北大学机械47002200(3,2)
大连理工大学电子信息工程52002500(3,2)
大连海事船舶46002200(3,2)
东北林业大学哲学35002452(2,1)
哈尔滨工程大学电子科学40002500(2,2)
哈尔滨工程大学政治学33002452(2,1)
山东大学电子43002500(3,2)
湖南大学政治学45002452(2,1)
华北电力大学电力50002000(1,2)
吉林大学法学45002000(3,1)
四川大学数学49002000(2,2)
石河子大学政治学31002452(1,1)
塔里木大学机械35002200(1,2)
东北师范大学软件98002500(3,2)
+ +（续上表） +表7 + +
培养模式培养费用分担度指标公平性指标均值接近度指标回报投入比指标合理性指数
(3,2)0.99010.44750.84210.37220.6276
(3,2)0.86220.53040.88420.41260.6341
(1,2)0.78400.60350.95890.59030.6797
(3,1)0.81930.57020.94220.71580.6986
(3,2)0.91580.49310.98950.39750.6383
(3,2)0.96990.46670.90530.42110.6428
(3,2)0.90400.49840.96840.41640.6392
(2,1)0.78400.60350.88990.83130.7206
(2,2)0.84080.54900.87910.69030.6873
(2,1)0.76180.62960.83910.91050.7367
(3,2)0.87260.52150.90530.60890.6716
(2,1)0.89180.50370.85580.54080.6540
(1,2)0.94920.47720.63010.27040.5955
(3,1)0.89180.50370.88420.35330.6206
(2,2)0.93840.48250.92310.28560.6156
(1,1)0.64980.9291.00001.00000.8594
(1,2)0.71030.8990.95890.69690.8060
(3,2)0.90920.4110.98000.00000.5252
+ +从结果中挑取典型的三组数据做图，可以直观看出各项学费的各指标状况。 + +![](images/c865d027613a5fb6ba60c907cab8701267cc76aadf549ef700ee75987be30a9c.jpg) +不同学校不同专业的学费合理性指数的综合评价 +学校与专业 + +四个指标中，指标1和指标2是不依赖于选择的比较样本的。均值接近度与回报投入比则是相对于比较样本的平均水平的。 + +首先，根据 $x_{1i}$ 的值可以求出学费收入对培养费用的分担比例 $x_{1i}, x_{1i} = x_{1i} \times \max(x_{1i})$ 。在搜寻 $\max(x_{1i})$ 的过程中，发现 $x_{1i}$ 的值随学费价格 $P$ 增大而先增加后降低，在一段区间内恒定在最大值，如图3，说明高校不可能通过提高学费价格来增加学费收入对培养费用的分担。学费价格在一定区间内才能保证学费对培养费用贡献最大。按照教育成本分担理论以及国际惯例，个人对生均教育成本的分摊比例不超过 $25\%$ 。参照这个标准，学费收入对培养费用的承担不也应超过 $25\%$ 。通过最大值搜索， $\max(x_{1i}) = 0.1698 < 0.25$ ，此时 $P_i$ 变动区间为[5594.00,6259.00]，说明指标1的建立是合理的。 + +![](images/6f347a067c687f4b3b5c63dae9d298d38d8dbc19bfaef41e2901069570fff79d.jpg) +图3 + +我们采用了同样的方法计算了只考虑城镇家庭收入分布的指标1，得到 $\max (x_{1i}) = 0.2358 < 0.25$ ，此时 $\mathrm{P_i}$ 变动区间为[6431.00,6690.00]。对比考虑到城乡考生进入高校概率有较大差异的全面计算的结果，发现全面考虑城乡差异时学费收入对培养费用的分担明显降低。这主要是由于城乡收入差异和教育质量、招生制度等导致的教育不公平引起的。 + +设定指标 $X_{1i}$ 的警戒阈值为 0.75，当 $X_{1i}$ 低于 0.75 时，校方要考虑上调或下调现有学费，以降低学校、国家对高等教育资金投入的负担。 + +然后考虑公平性指标。国家统一规定每所高校贷款学生占在校生比例原则上不超过 $20^{[11]}\%$ ，国家补助、减免学费比例则也不会超过 $20\%$ ，勤工俭学、奖学金等比例更小。进行粗略估计，可知每所高校平均总资助小于在校人数的 $40\%$ ，因此设定指标 $X_{2i}$ 的警戒阈值为 0.6 ,当指标 2 的值小于 0.6 则说明学费过高,补助力度偏小。为保证教育公平,让适合高等教育的人都有机会进行深造,培养高素质人才,学校应适当降低学费或加大补助力度。 + +从求解结果中可以看出被评高校学费普遍偏高，补助力度不够。 + +指标1与指标2反映了研究对象学费的绝对合理性，均值接近度指标与相对回报投入比指标则反映了在相同学费类型下，其学费的相对合理性，可认为指标值低于0.5的对象学费标准有待改进。 + +# 5 模型二：基于价格需求关系的学费补助制度研究[10] + +# 5.1 建模分析： + +通过模型1的分析，我们可看出现今高等教育收费过高是一个不容忽视的问题。为了保障广大低收入家庭的学生享有受高等教育的权利，确定科学合理的学费补助制度非常重要。因此，我们借用市场上的供求关系和价格之间的相互影响，来探讨对贫困生补助制度的合理性。 + +# 5.2 模型假设： + +1）当前一段时间内，高校的招生人数保持稳定，即考察时间段内，高等教育的供给量保持不变。 +2）普通家庭对高等教育的需求-价格曲线符合市场经济的一般规则，需求量随价格单调递减。 +3）对模型进行简化，根据家庭收入水平，笼统将家庭分为两类，即高收入家庭和低收入家庭，且认为同类家庭没有需求差异。 + +# 5.3 模型建立： + +我们把家庭分为高收入家庭（平均的高等教育学费占家庭收入比例小于 $20\%$ ）和低收入家庭。他们各自对应的教育需求弹性不同。根据下列图像说明，首先，高收入和低收入家庭的需求量随价格递减。而且对曲线上任何的价格 $\mathsf{p}$ ，均有低收入家庭的需求量小于高收入家庭的需求量。这表示对应任何的价格，高收入家庭的需求量都要大于低收入家庭的需求量。 + +首先，我们来研究统一的收费标准将造成怎样不公平的情况发生。 + +![](images/856d73cdc9967bfc3dcfcbf74d524a5b1f97b003e91a592b233d5eb430ce3b84.jpg) + +设Po是高校制定的学费，Pw和Pv分别是高收入家庭和低收入家庭对高等教育的预期收费。且有 $\mathsf{P}\mathsf{V} < \mathsf{P}\mathsf{O} < \mathsf{P}\mathsf{W},$ 这是因为低收入家庭财力有限，他们对高等教育的价格预期比较低。而高收入家庭，一方面支付能力比较强，另一方面对高等教育的预期回报比较高，因此愿意对高等教育投入更多的资金。 + +在这种情况下，对于高收入家庭来说，低于其预期的学费报价相当于对其进行了福利补偿，相反对于低收入家庭来说，其福利受到了损害。这种补偿和损害的效用可有图 + +中的阴影部分表示。也就是说，统一的学费标准会对高收入家庭给与补偿而损害了低收入家庭应得的福利。这就是不合理的收费制度，导致受教育的不公平现象发生。 + +由于低收入家庭无法负担起全部为学费和上述不公平的现象，需要高校对其进行补助。不妨假设对每名贫困同学平均补偿为 $m$ 。这相当于对高收入家庭和低收入家庭收取不同的学费，不妨设为 $Pa$ 和 $Pb$ 。则有 $m = Pa - Pb$ ；我们设高收入和低收入家庭对高等教育的需求量分别为 $Qa$ 和 $Qb$ 。 + +![](images/b8221a2040144a05344d586e1d58d3ea30e76eccc21a5417a04c3294297e38fc.jpg) + +依据学校的招生人数在一定的时间范围内保持不变的假设。高收入和低收入家庭的需求方程分别为： + +$\left\{ \begin{array}{l} Q_{A} = f(P_{A}) \\ Q_{B} = g(P_{B}) \\ Q_{A} + Q_{B} = Q_{0;} \end{array} \right.$ $Q_{0}$ 为当前提供的高等教育机会总数，即招生人数。其中，f（Pa）和 + +g (Pb) 都是价格的递减函数。可推出: $f(P_{A}) = Q_{0} - g(P_{B})$ 。等式两边对 PA 求导, 由复 + +$\frac{d f}{d P_{A}} = -\frac{d g}{d P_{B}} \cdot \frac{d P_{B}}{d P_{A}}$ ，进而推出 $\frac{d P_{B}}{d P_{A}} = -\frac{\frac{d g}{d P_{B}}}{\frac{d f}{d P_{A}}}$ ，由于 $\frac{d g}{d P_{B}} < 0$ ， $\frac{d f}{d P_{A}} < 0$ 。可 + +得 $\frac{d P_{B}}{d P_{A}} < 0$ , 即对低收入家庭的收费随对高收入家庭收费的增加而减少。也就是说, 当高校的学费要涨价时, 对低收入家庭的补助也要增加, 而且补助的增加幅度应大于学费的涨价幅度。证明: 假设 $P_{A}$ 上涨 $\Delta P_{A}, P_{B}$ 就应该下降 $\Delta P_{B}$ , 则 $\Delta m = \Delta P_{B} + \Delta P_{A}$ , 可得 + +$\frac{\Delta m}{\Delta P_{A}} = \frac{\Delta P_{B} + \Delta P_{A}}{\Delta P_{A}} > 1$ 。得出结论, 对低收入家庭补助的变化幅度要大于学费的变化幅度。 才能有效的体现教育的公平性。 + +以上结论也可以从图像上得出。当学费增加时， $Q_{A}$ 减少，则高收入家庭对高等教育的需求量减少。为了保证高等教育的招生规模，高校必须降低收入家庭的收费，从而使 $Q_{A} + Q_{B} = Q_{0}$ ； + +以上就是基于价格需求关系的补助费用随学费的浮动准则。 + +# 5.4 对模型假设合理性的讨论： + +值得注意的是，我们上面得出的结论建立在三条假设的基础上。这三条假设的合理性需要进一步探讨。首先，当前的现状是高等教育是卖方市场，供不应求，即使在价格偏高的情况下，招生人数总会得到满足。但是我们需要考虑的是，高等教育作为为国家选拔和培养人才的重要途径，其目标人群有一定的限定性。高等教育应该优先满足那些学习能力较强的人的需求，这部分人群可能因为过高的学费，而放弃了接受高等教育的机会。因此，对于这部分目标人群来说，他们对高等教育的需求随学费增高而递减的假设，是合理的。而对高校来说，虽然招生可以得到满足，但这是以牺牲生源质量为代价的，同样不符合高校发展的长远利益。因此，高校有必要给与那些学习能力强的贫困学生充足合理的补助。因此，本模型得出的结论是合理的和有价值的。 + +# 5.5 实例求解： + +某高校收费标准【9】： + +
专 业专业学费学分学费学分总和
1.音乐表演专业600030009000
2．艺术类其他专业（含师范、非师范）400030007000
3．师范类专业100030004000
4．其他类专业140030005400
+ +
专业入学时间性别民族补助金额
综合理科2005男汉2200
综合理科2006女汉2200
综合理科2006女汉2200
幼师2005女汉2000
幼师2006女汉2000
幼师2006女汉2000
教育学2007女彝2000
教育学2007女汉2000
教育学2007女汉2000
音乐学2007女汉3000
音乐学2006女汉3000
音乐学2006女汉3000
音乐学2005女汉3000
音乐学2004女汉3000
+ +由上述数据可以看出：同一专业的补助费用基本相同，下面计算各专业学费和补助费用的差值。 + +
学费补助费用差值
综合理科540022003200
幼师400020002000
教育学540020003400
音乐学900030006000
+ +有上表的结果可以看出，虽然该校的补偿制度体现了高学费，高补偿的特点，但补助金额幅度依然偏小，按照模型的理论，学费越贵，学费与补助费用的差值应该越小。只有这样才能真正吸引低收入家庭的优秀学生，从而体现一定的社会公平性。 + +# 5.6 模型评价 + +本模型因为只考虑了补助费用，具有一定的片面性，现实生活中，学校可以通过提供贷款和勤工俭学岗位等方式来补助贫困学生。但模型揭示出的当前高校提供的补助费用偏少的结果仍具有一定的参考价值。 + +# 6 模型三 高等教育成本分担比例模型[5] + +由模型一和模型二的分析可知，当前的高校收费制度存在着较多问题。因此，如何制定科学合理的学费标准尤为重要。我们利用经济学上比较成熟的成本分担理论，对这个问题进行了研究。高等教育成本分担比例是指高等教育成本分担主体所承担的高等教育成本份额。依据谁受益，谁付费的市场原则，国家和个人都应承担一定比例的教育成本。本模型根据准公共产品价格理论，结合成本、收益和分担能力，对各分担主体所承担的份额分配进行了比较和讨论，给出了一种合理学费标准的计算方法。根据现有资料数据，计算出当前情况下，国家和个人的教育成本分担比例，和较合理的平均学杂费。从而对国家现阶段教育投入和家庭分担程度，以及现行收费体制给出评价。此外，我们还对所选用的参数进行了灵敏性分析，结果有一定的准确性和参考价值。 + +# 6.1 模型构建： + +高等教育具备准公共产品的基本特征，是公益性的准公共产品，有排他性和一定的竞争性，收益的私人性和外溢性并存，且正外部性十分明显。高等教育的收益者是社会（主要通过政府）、企业及个人，他们都应成为分担主体。我们按照准公共产品价格形成与优化理论、成本收益理论考虑分担能力进行数理分析。 + +# 6.2 模型假设： + +(1) 成本分担主体为家庭（个人）和国家（除个人外其他分担主体均由国家代表），即只将分担主体分为个人与非个人。 +(2) 设定高等教育成本为狭义的高等教育成本。 +(3) 只考虑一个学生接受高等教育的成本分担情况，即研究对象仅针对某一学生。 +(4) 成本认为由分担主体预先从收益中拨出 +(5) 学生成本按 4 年本科计算 + +# 6.3 符号说明： + +y1: 一个学生接受高等教育后产生的公共收益（给国家社会带来的外溢收益） +y2：私人收益，即给自己或家庭带来的收益，包括非物质收获 +x1：国家对学生的投入占该学生接受教育后产生公共收益y1的比例 +x2: 家庭对学生的投入占该学生接受教育后产生私人收益 y2 的比例 + +E：学生接受高等教育的成本 + +M1：国家的分担成本（公共价格） + +M2：家庭的分担成本（私人价格） + +N1：国家获得的纯公共收益 + +N2：家庭获得的纯私人收益 + +c1: 公共收益为 $\gamma 1$ 时国家支付的转换实现成本, 即国家为学生搭建平台, 提供物质条件, 使人力资源转化为收益所消耗资源的总和。 +c2：私人收益为 y2 时家庭支付的转换实现成本，即家庭为实现个人收益而必须满足的生活和工作条件，由家庭支付的成本。 + +a1: 公共收益 y1 的转化效率，a1 越小，表示转化效率越高 + +a2: 私人收益 y2 的转化效率, a2 越小, 表示转化效率越高 + +m: 国家在一个学生高等教育上的最优教育投资额 + +k: 贫困家庭需要额外承担的代价指数, k 越大说明对应一定学费所需代价越高 + +w1: 国家分担高等教育成本的比例 + +w2: 家庭分担高等教育成本的比例 + +t: 折现率 + +n: 毕业后平均工作时间（年） + +s：国家收益率 + +# 6.4 国家投入分析 + +# 6.4.1 数学推导： + +根据模型构建和简化，我们可得国家从一个学生的高等教育中可以获得纯公共收益 $\mathrm{N}_{1}$ 等于学生产生的公共收益 $y_{1}$ 除去国家投入 $x_{1}y_{1}$ 和国家转换实现成本 $\mathbf{a}_{1}y_{1}^{2}$ ，即： + +$$ +\mathrm {N} _ {1} = \left(1 - \mathrm {x} _ {1}\right) \times \mathrm {y} _ {1} - \mathrm {a} _ {1} \mathrm {y} _ {1} ^ {2}, +$$ + +对上式求导并令导数为0，得到： + +$$ +\mathrm {N} _ {1} ^ {\prime} = \left(1 - \mathrm {x} _ {1}\right) - 2 \mathrm {a} _ {1} \mathrm {y} _ {1} = 0 +$$ + +推出 $\mathrm{y}_1 = \frac{(1 - \mathrm{x}_1)}{2\mathrm{a}_1}$ ；此时 $\mathrm{N}_1' = -2a_1 < 0$ ，且 $\mathrm{N}_1 = \frac{(1 - \mathrm{x}_1)^2}{4\mathrm{a}_1} > 0$ ，因此可以求出国家在一个学生高等教育上的最优教育投资额 $\mathfrak{m}$ 为： + +$$ +\mathrm {m} = \mathrm {x} _ {1} \mathrm {y} _ {1} = - 2 \mathrm {a} _ {1} \mathrm {y} _ {1} ^ {2} + \mathrm {y} _ {1}; +$$ + +对上式求导得 $\mathrm{m}^{\prime} = 1 - 4\mathrm{a}_{1}\mathrm{y}_{1}$ + +则：当 $y_{1} < \frac{1}{4a_{1}}$ 时， $m' > 0$ ， $m$ 会随着 $y_{1}$ 的增大而增加； + +当 $y_{1} > \frac{1}{4a_{1}}$ 时， $m' < 0$ ， $m$ 会随着 $y_{1}$ 的增大而减少； + +这是因为随着 $y_{1}$ 增大，由于 $a_{1}$ 较大，导致转换实现成本 $c_{1} = a_{1}y_{1}^{2}$ 巨大，此时会改变人才社会价值实现的效率，即在该情况下降低 $a_{1}$ 比直接投资教育显得更为重要。当 $y_{1} = \frac{1}{4a_{1}}$ 时， $m' = 0$ ，此时国家教育最大投资额为 $m_{\max} = \frac{1}{8a_{1}}$ 。显然 $m_{\max}$ 是 $a_{1}$ 的递减函数，即随着国家人才社会价值实现效率越来越高，也即国家人才转换实现成本越来越低时，国家的高等教育最大投资额也会越来越大，分大能力和分担比例也会更大。 + +# 6.4.2 模型的计算： + +根据对我国高等教育总成本的分析发现，每一个在校大学生需要国家或社会投入建筑成本约5万元（教育部公布的数据），财政投入的预算内高等教育经费约4万元（含生均教育事业费和生均公用经费），个人的学杂费约3万元，按照4年本科计算，得到总共需要成本 $\mathrm{E} = 12$ 万元。 + +根据国外的权威资料显示，亚洲高等教育投资的社会收益率与个人收益率分别 + +是 $13\%$ 与 $18\%^{[6]}$ ，假设一个大学生毕业后可以平均工作 $n = 43$ 年，折现率为 $t = 4\%^{[6]}$ 。 + +一个大学毕业生平均一年的社会收益为成本与社会收益率的乘积，即： $y_{10} = E \times s = 12 \times 13\% = 1.56$ 万元。 + +根据折现率公式计算得一个大学生一生的外溢收益： $y_{1} = E \times s \times \frac{(1 + t)^{n} - 1}{t(1 + t)^{n}} = 1.56 \times \frac{(1 + 0.04)^{43} - 1}{0.04(1 + 0.04)^{43}} = 1.56 \times 20.37077 = 31.77$ 万元。 + +转换实现成本 $c_{1}$ 的估算是一个非常复杂的理论与实际问题，它是一个大学生给国家带来总的外溢收益时需要国家支付转换实现成本总和减去一个高中毕业生给国家带来外收益时需要国家支付转换实现成本的剩余部分成本。但实际情况很复杂且多变，很难通过简单的计算得到较为满意的结果。因此，根据专家估算的数据进行讨论。 + +我们得到的转换实现成本 $c_{1}$ 的值分别为 10 万元，9 万元，12 万元，7 万元，9 万元，13 万元等。根据实际情况选取较接近的平均估算结果 11 万元进行讨论。[5] + +国家承担的部分为： + +$$ +\mathrm {m} = \mathrm {x} _ {1} y _ {1} = - 2 \mathrm {a} _ {1} y _ {1} ^ {2} + y _ {1} = y _ {1} - 2 c _ {1} = E \times s \times \frac {(1 + t) ^ {n} - 1}{t (1 + t) ^ {n}} - 2 c _ {1} = 9. 7 7 8 4 \text {万 元 。} +$$ + +国家分担高等教育成本的比例 $w_{1} = \frac{m}{E} = \frac{9.7784}{12} = 81.49\%$ 。这是理论上得到的较合理的学生高等教育成本分担比例。而根据现在的国情，国家承担的高等教育成本比例不到 $75\%$ ，可见，国家分担的成本少于最优比例，有一部分成本被转嫁到了出于高等教育成本分担被动地位的学生和家庭，使家庭分担的高等教育成本偏高。因此，针对现状，国家应适当的加大教育经费的投入。 + +我国教育经费在国民经济总收入中所占比例仍然较小。2001年我国教育经费仅占国民生产总值（GNP）的 $3.19\%$ ，而世界上教育经费占GNP的比例，发达国家平均为 $5.1\%$ ，发展中国家平均为 $4.1\%$ ，最不发达国家平均为 $2.5\%$ ，我国远远低于世界平均水平[7]。由此可见本模型的实用性和合理性。 + +# 6.4.3 灵敏性讨论： + +对国家分担的成本 $m = E \times s \times \frac{(1 + t)^n - 1}{t(1 + t)^n} - 2c_1$ 涉及的参数折现率 $t$ ，社会收益率 $s$ 和国家的转换实现成本 $c_1$ 进行灵敏性讨论。 + +让涉及的某一参数 $x$ 上下浮动 $10\%$ ，即现在的折现率 $x' = x(1 \pm 10\%)$ ，带入计算公式，得到对应结果 $m'$ ，再利用公式 $b = \frac{m' - m}{m}$ 得到结果的对应变化率，与该参数 $x$ 的浮动率作比，得到参数的灵敏度。 + +分别将折现率 $t$ ，社会收益率 $s$ 和国家的转换实现成本 $c_{1}$ 按照上述方法计算灵敏性。上下浮动为 $10\%$ 对应国家承担成本 $m$ 的浮动率见下表： + +
考察因素变化情况国家应承担成本变化情况
折现率上浮 10%-19.34%
下浮 10%21.39%
社会收益率上浮 10%-32.45%
下浮 10%32.55%
国家转换实现成本上浮 10%-20.47%
下浮 10%20.47%
+ +由上表得到，参数社会收益率 $s$ 的灵敏性最高。为了得到准确地分担主体高等教育成本分担比例，对社会收益率的准确性要求最高。 + +# 6.5 家庭投入分析 + +# 6.5.1 正常家庭经济条件下的分担分析： + +当 $m < E$ 时，总的教育成本中剩下的那部分 $\mathrm{E} - \mathrm{m}$ 就需要家庭分担。这时我们得到家庭从高等教育中得到的净收益 $\mathsf{N}_2$ 的表达式： + +$$ +N _ {2} = \left(1 - x _ {2}\right) y _ {2} - a _ {2} y _ {2} ^ {2} = y _ {2} - a _ {2} y _ {2} ^ {2} - (E - m); +$$ + +为了 $N_{2} \geq 0$ , 可以推得分担基本条件为: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {1 - \sqrt {1 - 4 a _ {2} (E - m)}}{2 a _ {2}} \leq y _ {2} \leq \frac {1 + \sqrt {1 - 4 a _ {2} (E - m)}}{2 a _ {2}} \\ 1 - 4 a _ {2} (E - m) \geq 0 \end{array} \right. +$$ + +可见，个人回报效率 $a_2$ 和个人回报价值 $y_2$ 需要满足一定范围。通过进一步分析我们发现， $a_2$ 的值一般很小，即私人收益的转化率很高，因此人才的个人回报价值 $y_2$ 需要满足的条件很宽松，这就解释了为什么只要家庭条件正常，子女就一般不会放弃接受高等教育的机会。 + +# 6.5.2 贫困家庭经济条件下的分担分析： + +在家庭经济条件正常的情况下，由家庭承担的部分 $E - m$ 就比较容易。但是，一旦家庭存在经济困难，为了筹学费，需要到处借钱。这时，就存在高等教育家庭分担成本，包括物质成本和心理成本，而且他们随着贫困程度的增加而上升，甚至有个别家庭出现极端情况。因此，我们引入系数 $k$ 作为贫困指数，以 $k(E - m)$ 作为贫困家庭的总成本，其中 $k > 1$ 且家庭越贫困 $k$ 越高。 + +这时，家庭的净收益就降为： + +$$ +N _ {2} = y _ {2} - a _ {2} y _ {2} ^ {2} - k (E - m); +$$ + +由此推出的基本条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {1 - \sqrt {1 - 4 a _ {2} k (E - m)}}{2 a _ {2}} \leq y _ {2} \leq \frac {1 + \sqrt {1 - 4 a _ {2} k (E - m)}}{2 a _ {2}} \\ 1 - 4 a _ {2} k (E - m) \geq 0 \end{array} \right. +$$ + +可见，由于 $\mathrm{k}$ 的引入，个人回报效率 $a_{2}$ 和个人回报价值 $y_{2}$ 必须满足更严格的要求。而个人回报净价值的空间很小，对于 $\mathrm{k}$ 较大，即较贫困的家庭来说，当 $1 - 4a_{2}k(E - m) < 0$ 时，就不得不放弃接受高等教育的机会。这就导致了高等教育收费体制有失公平性。因此国家需要对贫困家庭进行一定补助，同时制定合适的学费，以减少由于贫困而放弃高等教育机会的现象。 + +# 6.5.3 模型计算： + +个人需要承担的部分 $E - m = 12 - 9.7784 = 2.2216$ 万元，家庭成本分担比例为 $1 - 81.94\% =$ 根据折现率公式可计算的一个学生每年的学杂费负担为： + +[ A = (E - m) \times \frac{t(1 + t)^4}{(1 + t)^4 - 1} = 2.2216 \times \frac{0.04(1 + 0.04)^4}{(1 + 0.04)^4 - 1} = 0.612 ] 万元，从模型结果来看，一个 + +学生较合适的高等教育学杂费大约为6120元/年。学杂费是指包括学费书本费，体检费，住宿费等多项指标。现在高校的平均学杂费水平约为7500元/年左右。从近几年的数据分析来看，学生实际所负担的学杂费显然超过这一标准。 + +# 6.6 模型结论对比 + +由国家投入分析与家庭投入分析两个模型计算出的理论较优解与现状的数据进行比较，记录如下表： + +
国家成本分担费用(万元)国家成本分担比例家庭成本分担费用(万元)家庭成本分担比例
理论值9.77840.81492.22160.1806
真实性值7.51600.62674.48000.3733
+ +由上表数据对比明显可见，国家成本分担比例较少，需要加大非个人教育经费的投入，以减少个人成本分担的比例。 + +# 7 关于高等教育收费制度存在的问题和改进建议报告 + +根据社会公共产品理论，高等教育属于一种公益性的准公共产品，具有排他性和一定的竞争性，收益的私人性和外溢性并存，且正外部性十分明显。它既能给受教育本人带来收益，同时也给社会带来一定的影响。高等教育的收费标准是否合理，不仅关系到我们每个人的切身利益，也关系到社会稳定和国家的长远发展。 + +决定高等教育收费的因素主要有两个，一个是高等教育成本，一个是居民收入水平。 + +从成本分担的角度考虑，根据谁受益，谁付费的市场原则，高等教育的成本应由国家和个人共同承担。所以目前的收费制度有其合理性。我国高等教育成本分担遵循两个基本原则：一是能力原则，二是受益原则；即受益多的多分摊，能力强的多分摊。 + +从居民收入角度考虑，高等教育收费应使大多数家庭可以承担，同时生活质量不受显著影响。 + +从以上两个角度出发，根据我们的模型求解和分析结果，认为现行的高等教育收费定价制度存在以下问题： + +1. 学费过高，大部分家庭无法承担。 + +我们在针对模型一计算高校收费公平性时发现，以现在高校学费的平均水平5000元为例，全国只有 $12.7\%$ 的家庭可以负担，其中城镇家庭有 $21.8\%$ 的家庭可以负担，而农村家庭只有 $5.6\%$ 的家庭可以负担的起。这样的话，高等教育就成了奢侈品，损害了低收入人群受高等教育的权利，也造成了一定的社会不公平。 + +2. 国家投入教育资金不够，国家分担的教育成本比例偏低。 + +在模型三中，我们根据经济学上的成本分担理论对国家应承担的教育成本比例进行了估算，结果为 $81\%$ ，高于现在的 $75\%$ 。2001年我国教育经费仅占国民生产总值的 $3.19\%$ ，这个比例发达国家约为 $5.1\%$ ，发展中国家约为 $4.1\%$ ，可见我国的教育经费投入偏低。 + +3. 家庭高等教育分担比例有限，为保证高等教育质量，需要更多的国家拨款和社会集资。 + +通过研究，我们发现高学费会导致可承担起学费的人数减少，学费总额不一定会增加。就现在全国居民的收入水平而言，学杂费总收入占办学成本比例 $37\%$ 左右。而家庭能分担的成本比例是有限的，当高等教育成本进一步增加时，不可能一味将高出部分转嫁到个人分担成本上，只有通过国家拨款或社会筹资等其他途径才能弥补。 + +4. 对贫困生的补助不足。 + +在模型二中，我们针对贫困生的学费补助制度进行了研究。根据有关规定，学费的 $10\%$ 用来补助贫困生。我们依据价格需求曲线的分析，得出结论：目前对贫困生的补助金额，仍不足以体现教育的公平性，尤其是高学费专业的补助金额尤其需要提高。 + +5. 学费设置“一刀切”，专业学费区别不够。 + +在对模型一进行数据处理时，我们发现，以理工类专业为例，各专业学费区别不大，但是各专业所对应的期望收入却大相径庭。因此专业学费的“一刀切”体制未能充分发挥价格的调节作用。价格机制是调节市场供给、需求，实现资源优化配置的重要机制。学费作为一种价格机制，在调节高等教育市场实现高等教育资源的优化配置与运用上具有其他方式不可替代的作用。对不同专业的学费标准细化，有利于解决专业过冷过热的问题。 + +6. 高等教育成本核算不明晰。 + +我们在处理数据时发现，高校办学成本核算方法存在较大争议，这使导致学费标准制定的随意性和不合理性的重要原因。 + +基于上述问题，我们提出以下改进建议： + +1、国家采用宏观调控对于学费进行一定控制，建立完备的学费制定体系。根据我们建立的模型可以求解得到对应于现在高等教育成本的较理想学费标准。相关部门可以根据这一数据制定一些政策指标，以保证学费根据一定的市场供求关系合理的在一定范围内浮动。从而使更多的人不会因为经济条件等原因而被迫放弃接受高等教育的机会。 +2、政府应加大高等教育经费投入。根据现在国情，对比于各类国家的对应投入，我国目前的高等教育经费投入明显不足。由模型三结论，国家应承担更多地教育成本。再者，为了保证较好的高等教育质量，势必需要更多的经费投入。而家庭所能分担的成本是有限制的，余量增加空间较少，所以政府应加大对于高等教育经费的投入。 +3、应加大对困难学生的补助额度，建立完善的补助体制。针对不同贫困程度的学生，应制定相应不同的补助措施。以达到更好的公平性原则。 +4、建立、完善资助政策以及学费制定政策的告知制度。通过大众媒体以及招生简章等途径告知学生国家补助政策和学费制定政策等相关政策。 +5、建立学费分类制定体系。针对不同的学校，不同的专业，由其未来期望收益确定出相应的学费，改变现金学费“一刀切”的不合理状况。 +6、坚持对经济落后地区的投入倾斜政策，充分发挥宏观调控作用。对于经济落后地区在经费投入上给予一定的倾斜，以改善这些地区的办学条件，使各地区的教育得到均衡发展，使所有公民尽量获得均等的受教育机会。 +7、建立明确的高等教育成本核算方法。做到合理化，透明化。以有效的防止学校乱收费。 + +根据我们建立的模型，以及对收集到的数据进行的定量分析，我们得到了以上若干高等教育学费标准存在的问题，由此，给出了部分建议，希望可以建立更加完善的学费标准制定体制，资源的分配利用最优化。 + +# 8 参考资料 + +[1]《中国统计年鉴》 +http://yearbook.idoican.com.cn/zju/tjnj/catalog/catalogsearch text.asp?c cYearcode=X8husI/106DDDmBviuruVrgDJ5NimA%3D%3D，2008年9月20日 +[2]《中国教育经费年鉴》 +http://yearbook.idoican.com.cn/zju/tjnj/catalog/catalogsearch text.asp?c cYearcode=X8husI7x06DDDmBviuvuVrgDJ5NimA%3D%3D，2008年9月20日 +[3]大学生毕业后半年个专业平均收入 http://learning.sohu.com/s2007/dxsjy/ 搜狐网，2008年9月20日 +[4]各学校各专业学费 +http://news.xinhuanet.com/edu/2007-05/12/content_6085469.htm 新华网，2008年9月20日 +[5] 甘国华，《高等教育成本分担研究》，上海，上海财经大学出版社，2007年。 +[6] 各层次教育的社会收益与个人收益， +http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0917/course/_source/web/lesson/char6/j3.htm. 2008年9月20日 +[7] 李德传，《高等教育收费标准与居民支付能力的比较分析》，河南科技2006年8月上，11页—12页。 +[8]覃文松，《从高校生源城乡比看中国教育的不公平》，理工高教研究，第24卷第2期，19页-21页。 +[9]2004学费减免名单，http://xsc.zjau.net.cn，2008年9月20日 +[10]宁泽逵 王征兵 《高等教育收费制的思考》 西北农林科技大学学报 2004 年 第92页到第95页 +[11]周洪宇，《教育公平是和谐社会的基石》，安徽，安徽教育出版社，2007年 + +# 9 附录 + +附录（matlab程序）： + +1、建模准备阶段，需要搜索出的城镇与乡村对应指标 1 最大值： + +p=0:30000; + +$f = p / 0.3$ + +n=length(p); + +bfc=zeros(size(f)); + +ac=[6000 7500 9000 10500 12000 13500 15000 30000]; + +a=[9388 11614.11 17838.3 24311.19 33156.15 45599.1 62098.89 104503.17]; + +for $i = 1:n$ + +if(f(i)>0&&f(i)<=a(1)) + +$\mathrm{bf(i) = 1 - f(i) / a(1)^{*}0.05}$ + +elseif(f(i) > a(1) && f(i) <= a(2)) + +$\mathsf{bf(i)} = 0.95 - (\mathsf{f(i) - a(1)) / (a(2) - a(1))}^{*}0.05;$ + +elseif(f(i) > a(2) && f(i) <= a(3)) + +$\mathsf{bf(i)} = 0.9 - (\mathsf{f(i)} - \mathsf{a(2)}) / (\mathsf{a(3)} - \mathsf{a(2)})^{*}0.1;$ + +elseif(f(i) > a(3) && f(i) <= a(4)) + +$\mathrm{bf(i)} = 0.8 - (\mathrm{f(i) - a(3)) / (a(4) - a(3))}^{*}0.2;$ + +elseif(f(i) > a(4) && f(i) <= a(5)) + +$\mathrm{bf(i)} = 0.6 - (\mathrm{f(i) - a(4)}) / (\mathrm{a(5) - a(4)})^{*}0.2;$ + +elseif(f(i) > a(5) && f(i) <= a(6)) + +$\mathrm{bf(i)} = 0.4 - (\mathrm{f(i) - a(5)}) / (\mathrm{a(6) - a(5)})^{*}0.2;$ + +elseif(f(i) > a(6) && f(i) <= a(7)) + +$\mathrm{bf(i)} = 0.2 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(6)}) / (\mathrm{a(7)} - \mathrm{a(6)})^{*}0.1;$ +elseif(f(i)>a(7)&&f(i)<=a(8)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.1 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(7)}) / (\mathrm{a(8)} - \mathrm{a(7)})^{*}0.1;$ +end +end +for i=1:n if(f(i)>0&&f(i)<=ac(1)) bfc(i)=1-f(i)/ac(1)*0.2483; elseif(f(i)>ac(1)&&f(i)<=ac(2)) bfc(i)=0.7517-(f(i)-ac(1))/(ac(2)-ac(1))*0.1146; elseif(f(i)>ac(2)&&f(i)<=ac(3)) bfc(i)=0.6371-(f(i)-ac(2))/(ac(3)-ac(2))*0.1098; elseif(f(i)>ac(3)&&f(i)<=ac(4)) bfc(i)=0.5273-(f(i)-ac(3))/(ac(4)-ac(3))*0.0938; elseif(f(i)>ac(4)&&f(i)<=ac(5)) bfc(i)=0.4335-(f(i)-ac(4))/(ac(5)-ac(4))*0.0788; elseif(f(i)>ac(5)&&f(i)<=ac(6)) bfc(i)=0.3547-(f(i)-ac(5))/(ac(6)-ac(5))*0.066; elseif(f(i)>ac(6)&&f(i)<=ac(7)) bfc(i)=0.2887-(f(i)-ac(6))/(ac(7)-ac(6))*0.0525; elseif(f(i)>ac(7)&&f(i)<=ac(8)) bfc(i)=0.2362-(f(i)-ac(7))/(ac(8)-ac(7))*0.2362; + +```matlab +end +end +ec0=(bfc.\*p)/18790; +e0=(bf.\*p)/18790; +em=max(e0); +ecm=max(ec0); +``` + +2、模型一的程序： + +```matlab +f=p/0.3; +n=length(p); +bf=zeros(size(f)); +bfc=zeros(size(f)); +``` + +```javascript +ac=[6000 7500 9000 10500 12000 13500 15000 30000]; +a=[9388 11614.11 17838.3 24311.19 33156.15 45599.1 62098.89 104503.17]; +``` + +```matlab +for i=1:n +if(f(i)>0&&f(i)<=a(1)) + bf(i)=1-f(i)/a(1)*0.05; +elseif(f(i)>a(1)&&f(i)<=a(2)) +``` + +$\mathrm{bf(i)} = 0.95 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(1)}) / (\mathrm{a(2)} - \mathrm{a(1)})^{*}0.05;$ +elseif(f(i)>a(2)&&f(i)<=a(3)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.9 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(2)}) / (\mathrm{a(3)} - \mathrm{a(2)})^{*}0.1;$ +elseif(f(i)>a(3)&&f(i)<=a(4)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.8 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(3)}) / (\mathrm{a(4)} - \mathrm{a(3)})^{*}0.2;$ +elseif(f(i)>a(4)&&f(i)<=a(5)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.6 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(4)}) / (\mathrm{a(5)} - \mathrm{a(4)})^{*}0.2;$ +elseif(f(i)>a(5)&&f(i)<=a(6)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.4 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(5)}) / (\mathrm{a(6)} - \mathrm{a(5)})^{*}0.2;$ +elseif(f(i)>a(6)&&f(i)<=a(7)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.2 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(6)}) / (\mathrm{a(7)} - \mathrm{a(6)})^{*}0.1;$ +elseif(f(i)>a(7)&&f(i)<=a(8)) + $\mathrm{bf(i)} = 0.1 - (\mathrm{f(i)} - \mathrm{a(7)}) / (\mathrm{a(8)} - \mathrm{a(7)})^{*}0.1;$ +end +end +for i=1:n if(f(i)>0&&f(i)<=ac(1)) bfc(i)=1-f(i)/ac(1)*0.2483; elseif(f(i)>ac(1)&&f(i)<=ac(2)) bfc(i)=0.7517-(f(i)-ac(1))/(ac(2)-ac(1))*0.1146; elseif(f(i)>ac(2)&&f(i)<=ac(3)) bfc(i)=0.6371-(f(i)-ac(2))/(ac(3)-ac(2))*0.1098; elseif(f(i)>ac(3)&&f(i)<=ac(4)) + +bfc(i) $= 0.5273 - (f(i) - ac(3)) / (ac(4) - ac(3))^{*}0.0938;$ +elseif(f(i)>ac(4)&&f(i) $\leq =$ ac(5)) +bfc(i) $= 0.4335 - (f(i) - ac(4)) / (ac(5) - ac(4))^{*}0.0788;$ +elseif(f(i)>ac(5)&&f(i) $\leq =$ ac(6)) +bfc(i) $= 0.3547 - (f(i) - ac(5)) / (ac(6) - ac(5))^{*}0.066;$ +elseif(f(i)>ac(6)&&f(i) $\leq =$ ac(7)) +bfc(i) $= 0.2887 - (f(i) - ac(6)) / (ac(7) - ac(6))^{*}0.0525;$ +elseif(f(i)>ac(7)&&f(i) $\leq =$ ac(8)) +bfc(i) $= 0.2362 - (f(i) - ac(7)) / (ac(8) - ac(7))^{*}0.2362;$ +end +end +e0=(bf.\*p)/18790; +e1=e0/0.2358; +ec0=(bfc.\*p)/18790; +ec1=ec0/0.0767; +e=e1\*0.65+ec1\*0.35; +bf2=0.439.\*bf+0.561.\*bfc; +m=length(c); +w=zeros(size(c)); +w2=zeros(size(c)); +sp=sum(p); +sc=sum(c); + +for $j = 1:m$ $\mathsf{w}(\mathsf{j}) = \mathsf{c}(\mathsf{j})^{*}\mathsf{sp} / (\mathsf{sc}^{*}\mathsf{p}(\mathsf{j}))$ +end +maw=max(w); +miw=min(w); +for $j = 1:m$ $\mathsf{w2(j) = (w(j) - miw) / (maw - miw)}$ +end + +$\mathsf{d} = [0.8421 0.8842 0.9589 0.9422 0.9895 0.9053 0.9684 0.8899 0.8791 0.8391 0.9053 0.8558 0.6301 0.8842 0.9231 1.0000 0.9589 0.9800];$ + +```javascript +h=[0.3125 0.4375 0.0625 0.1875]; +``` + +```matlab +for i=1:m; +ws(i)=h(1)*e(i)+h(2)*bf2(i)+h(3)*d(i)+h(4)*w2(i); +end +``` + +其中指标3的程序见下（即上述程序中的d矩阵）： + +```javascript +b=zeros(1,9); +``` + +$\mathsf{d} = \mathsf{b}$ + +for $i = 1:26$ + +if $\times (\mathbf{i},1) = = 1$ + +if $x(i,2) == 1$ + +$$ +\mathsf {b} (1) = \mathsf {b} (1) + \mathsf {y} (\mathrm {i}); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (1) = \mathrm {d} (1) + 1; +$$ + +end + +if $x(i,2) == 2$ + +$$ +b (2) = b (2) + y (i); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (2) = \mathrm {d} (2) + 1; +$$ + +end + +if $x(i,2) == 3$ + +$$ +b (3) = b (3) + y (i); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (3) = \mathrm {d} (3) + 1; +$$ + +end + +end + +if $x(i,1) == 2$ + +if $x(i,2) == 1$ + +$$ +b (4) = b (4) + y (i); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (4) = \mathrm {d} (4) + 1; +$$ + +end + +if $x(i,2) == 2$ + +$$ +b (5) = b (5) + y (i); +$$ + +$$ +\mathrm {d} (5) = \mathrm {d} (5) + 1; +$$ + +end + +if $x(i,2) == 3$ + +$\begin{array}{r}\mathrm{b}(6) = \mathrm{b}(6) + \mathrm{y}(\mathrm{i});\\ \mathrm{d}(6) = \mathrm{d}(6) + 1;\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{if~x(i,1)} = = 3\\ \mathrm{if~x(i,2)} = = 1\\ \mathrm{b(7)} = \mathrm{b(7)} + \mathrm{y(i)};\\ \mathrm{d(7)} = \mathrm{d(7)} + 1;\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{if~x(i,2)} = = 2\\ \mathrm{b(8)} = \mathrm{b(8)} + \mathrm{y(i)};\\ \mathrm{d(8)} = \mathrm{d(8)} + 1;\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{if~x(i,2)} = = 3\\ \mathrm{b(9)} = \mathrm{b(9)} + \mathrm{y(i)};\\ \mathrm{d(9)} = \mathrm{d(9)} + 1;\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end} \end{array}$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A/09A.md" "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A/09A.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..523283dae2fd0a1cb607c9599d21249efe81f128 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A/09A.md" @@ -0,0 +1,643 @@ +# 制动器试验台混合电模拟控制方法分析 + +摘要 + +制动器的设计和测试是车辆设计中最重要的环节之一，制动器试验台是制动器综合性能的重要测试设备。制动器电模拟系统的实质就是在满足路试产生的制动加速度的条件下，合理匹配电动机功率和系统机械惯量。 + +本文就试验台混合电模拟车辆制动性能的测试进行了分析研究，针对如何控制电动机电流，使电动机和飞轮共同模拟制动器负载的问题，建立了制动过程中电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，给出了三种合理可行的计算机控制方法，并对题目所给的问题进行了求解。 + +对于问题一、问题二，我们是根据物理学公式来进行求解的。问题一中，求解得车辆在制动时，半径为 $0.286 \mathrm{~m}$ 的单个前轮的在承受载荷 6230N 的情况下等效机械惯量为 $51.9989 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 。问题二中，我们求解出了飞轮组的 3 个飞轮的转动惯量分别为： $30 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 、 $60 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 和 $120 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 。结合飞轮组的基础惯量 $10 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ，我们给出了 3 个飞轮与基础惯量可以组合成的总机械惯量值及其组合方式。 + +对于问题三，建立了电动机驱动电流依赖于可观测量——制动扭矩的数学模型，根据模型计算得到两种不同机械惯量对应的电动机驱动电流分别是 $\mathrm{I} = 174.825\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{I} = -262.2375\mathrm{A}$ 。然后，我们计算了问题四中给出的控制方法带来的相对能量误差为 $5.48\%$ ，又对制动扭矩和转速的变化曲线进行回归拟合，分析误差的来源，进而对该控制方法给出评价。对于问题五，给出了三种合理可行的计算机控制方法：1）电动机驱动电流依赖于瞬时扭矩的控制方法2）电动机驱动电流依赖于瞬时转速的控制方法3）电动机驱动电流依赖于惯量因子的控制方法，并从简洁性、实时性、准确度、逼真度四个方面对控制方法做出了评价。对于问题六，我们针对控制方法3)实时性欠佳的不足，提出了改进的控制算法。 + +最后，我们总结了以上各控制方法，并提出了基于BP神经网络参数在线整定的PID实时控制方法，作为本模型的扩展方向。 + +关键词 转动惯量电模拟 惯量补偿 电动机驱动电流 计算机控制方法 + +# 目录 + +制动器试验台混合电模拟控制方法分析 1 +摘要. 1 + +一．问题重述. 3 +二、问题的分析、建模与求解 + +问题一的解答 4 +问题二的解答 4 +问题三的解答. 5 + +符号说明： 5 +模型假设： 5 +问题分析与模型建立： 5 + +问题四的解答 7 +问题五的解答. 9 + +方法一 9 +对方法一的评价 10 +方法二. 10 +对方法二的评价. 12 +方法三. 12 +方法三的评价 14 + +问题六的解答 14 + +三、灵敏度分析 15 + +从机械惯量的角度分析： 15 +从取样时间间隔的角度分析 17 + +四、模型扩展 17 + +参考文献. 18 + +# 一．问题重述 + +为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。 + +路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。但对于等效的转动惯量为 $45.7 \, \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2$ 的情况，就要在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。 + +一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为 $1.5\mathrm{A} / \mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ ）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。 + +评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。 + +现在要求你们解答以下问题： + +1. 设车辆单个前轮的滚动半径为 $0.286 \mathrm{~m}$ , 制动时承受的载荷为 $6230 \mathrm{~N}$ , 求等效的转动惯量。 +2. 飞轮组由 3 个外直径 $1 \mathrm{~m}$ 、内直径 $0.2 \mathrm{~m}$ 的环形钢制飞轮组成，厚度分别为 $0.0392 \mathrm{~m} 、 0.0784 \mathrm{~m} 、 0.1568 \mathrm{~m}$ ，钢材密度为 $7810 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，基础惯量为 $10 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 $[-30, 30] \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ，对于问题 1 中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？ +3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。 + +在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为 $50\mathrm{km / h}$ 制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。 + +4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为 $48 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 机械惯量为 $35 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ,主轴初转速为 514 转/分钟, 末转速为 257 转/分钟, 时间步长为 $10 \mathrm{~ms}$ 的情况, 用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。 +5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。 + +6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。 + +# 二、问题的分析、建模与求解 + +# 问题一的解答 + +由物理学知识可知，转动惯量计算式为： + +$$ +\mathrm {J} = \mathrm {r} ^ {2} \frac {\mathrm {G}}{\mathrm {g}} +$$ + +其中，g为试验台所处位置的重力加速度，G为制动时承受的载荷，r为轮的滚动半径。 + +将 $\mathrm{G} = 6230 \mathrm{~N}$ 、 $\mathrm{r} = 0.286 \mathrm{~m}$ 、 $\mathrm{g} = 9.8 \mathrm{~N} / \mathrm{kg}$ 带入上式即得所求等效转动惯量为 $\mathrm{J} = 51.9989 \approx 52 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 。 + +# 问题二的解答 + +表格1 问题（2）求解过程 + +
项目单位编号
123
外直径am111
内直径bm0.20.20.2
截面积 S = π(a2 - b2) / 4m20.7540.7540.754
厚度hm0.03920.07840.1568
体积V = S · hm30.02960.05910.1182
密度ρkg/m3781078107810
质量m = V · ρkg230.8332461.6663923.3327
转动惯量 J = 1/8 m(a2 + b2)kg · m23060120
+ +从上表可知，三个飞轮各自的转动惯量分别是 $30\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 、 $60\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 、 $120\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 。 + +三个飞轮共有 $2^{3} = 8$ 种组合方式，各组合方式及其对应的机械惯量如下表所示： + +表格2 组合方式及机械惯量(已加上基础惯量) + +
组合方式机械惯量组合方式机械惯量
无10kg·m21+2100kg·m2
140kg·m21+3160kg·m2
270kg·m22+3190kg·m2
3130kg·m21+2+3220kg·m2
+ +由于电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 $[-30, 30] \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 因此, 只 + +有机械惯量为 $40 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 和 $70 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 两种方式是可选的, 需要用电动机补偿的惯量分别是: $12 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 和 $-18 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 。 + +# 问题三的解答 + +# 符号说明： + +$t_{1}$ ——制动开始时间 + +$\mathfrak{t}_2$ 制动结束时间 + +E——制动前飞轮和主轴等机构所具有的能量 + +$\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ ——制动扭矩，为可观测的离散量 + +$\mathrm{T}_{\mathrm{D}}$ ——电动机输出扭矩 + +ω——主轴角速度 + +n——主轴转速 + +$\mathrm{J}_{\mathrm{v}}$ ——换算到主轴上的等效转动惯量 + +$\mathrm{J}_{\mathrm{m}}$ ——飞轮的转动惯量 + +$\mathrm{J}_{\mathrm{s}}$ ——需要电动机补充的惯量 + +k——电动机驱动电流与其产生的扭矩之间的比例系数，取为 $1.5 \mathrm{~A} / \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}$ + +I——电动机驱动电流 + +# 模型假设： + +1、被模拟的车辆只有平动动能，不考虑车辆的竖直运动 +2、模拟实验中，主轴的角速度与车轮的角速度始终一致 +3、忽略车轮自身转动所具有的能量 +4、电动机驱动电流与其产生的扭矩之间成正比例 +5、主轴的瞬时转速和瞬时扭矩为可观测的离散量 +6、不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化产生的误差 +7、制动时，减速度为常数 + +# 问题分析与模型建立： + +制动器试验台惯量模拟的工作原理[3]是，用飞轮等部件的转动代替汽车在检测路面上的平面运动，并以飞轮的动能来模拟汽车实际制动时具有的动能，这样，汽车制动过程中的直线滑行运动，就转变为飞轮相对于制动器的旋转。在制动过程中，制动器吸收的能量可由下式表示： + +$$ +1) \quad \mathrm {E} = \int_ {\mathrm {t} _ {1}} ^ {\mathrm {t} _ {2}} \mathrm {T} _ {\mathrm {B}} \omega \mathrm {d t} +$$ + +根据模拟的目的，制动器吸收的能量还应该等于汽车在路试时的动能，即： + +$$ +2) \mathrm {E} = \frac {1}{2} \mathrm {J _ {v}} (\omega_ {2} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2}) +$$ + +制动扭矩 $\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ 可表示为: + +$$ +3) \quad \mathrm {T _ {B} = J _ {v} \frac {d \omega}{d t}} +$$ + +等效转动惯量、飞轮的转动惯量和电机补充的惯量满足： + +4) $\mathrm{J_v} = \mathrm{J_m} + \mathrm{J_s}$ + +电动机驱动电流与其产生的扭矩满足： + +5) $\mathbf{I} = \mathbf{k}\cdot \mathbf{T}_{\mathrm{D}}$ + +将4)式代入3)式得： + +6) $\mathrm{T_B} = \mathrm{J_m}\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} +\mathrm{J_s}\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$ + +将6)式代入1)式得： + +7) $\mathrm{E} = \frac{1}{2}\mathrm{J}_{\mathrm{m}}(\omega_{2}^{2} - \omega_{1}^{2}) + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{J}_{s}\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\omega \mathrm{d}t$ + +从上式可见，制动器吸收的能量有两部分组成，其中 $\mathrm{E}_1 = \frac{1}{2}\mathrm{J_m}(\omega_2^2 -\omega_1^2)$ 部分由飞轮模拟， $\mathrm{E}_2 = \int_{t_1}^{t_2}\mathrm{J_s}\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\omega \mathrm{d}t$ 部分需电机模拟。令电动机输出扭矩为 + +8) $\mathrm{T}_{\mathrm{D}} = \mathrm{J}_{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$ + +根据将能量误差最小化的原则，可将制动器试验台的控制方法问题描述为： + +$$ +\min \mathrm {E} \cdot \left(1 - \frac {\mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {J _ {v}}}\right) - \int_ {\mathrm {t _ {1}}} ^ {\mathrm {t _ {2}}} \mathrm {T _ {D}} \omega \mathrm {d t} +$$ + +$$ +\mathrm {s . t .} \quad \mathrm {E} = \frac {1}{2} \mathrm {J _ {v}} (\omega_ {2} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2}) +$$ + +$$ +\mathbf {I} = \mathbf {k} \cdot \mathbf {T} _ {\mathrm {D}} +$$ + +将8)与3)式相除并整理可得： + +9) $\mathrm{T}_{\mathrm{D}} = \left(1 - \frac{\mathrm{J}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{J}_{\mathrm{v}}}\right)\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ + +因此，只要控制电机使其输出扭矩 $\mathrm{T_D} = \left(1 - \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}\right)\mathrm{T_B}$ ，便可实现对制动时制动器负载的模拟，将5)式带入10)式，即得到电机驱动电流依赖于可观测量的数学模型如下： + +10) $\mathrm{I} = \mathrm{k}\cdot \left(1 - \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}\right)\mathrm{T_B}$ + +初始速度 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 换算成角速度是 $50000 \div 3600 \div 0.286 = 48.5625 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ ,由于制动时间为 5 秒, 易得制动时减速度为 $48.5625 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \div 5 \mathrm{s} = 9.7125 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}$ 。因此, + +$$ +\mathrm {T} _ {\mathrm {B}} = \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \frac {\mathrm {d} \omega}{\mathrm {d t}} = 5 2 \mathrm {k g} \cdot \mathrm {m} ^ {2} \times 9. 7 1 2 5 \mathrm {r a d / s} ^ {2} = 5 0 5. 0 5 \mathrm {N} \cdot \mathrm {m} +$$ + +当机械惯量为 $40 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 时, 驱动电流为 + +$$ +\mathrm {I} = \mathrm {k} \cdot \left(1 - \frac {\mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {J _ {v}}}\right) \mathrm {T _ {B}} = 1. 5 \times \left(1 - \frac {4 0}{5 2}\right) \times 5 0 5. 0 5 \mathrm {A} = 1 7 4. 8 2 5 \mathrm {A} \approx 1 7 5 \mathrm {A} +$$ + +当机械惯量为 $70 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 时, 驱动电流为 + +$$ +\mathrm {I} = \mathrm {k} \cdot \left(1 - \frac {\mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {J _ {v}}}\right) \mathrm {T _ {B}} = 1. 5 \times \left(1 - \frac {7 0}{5 2}\right) \times 5 0 5. 0 5 \mathrm {A} = - 2 6 2. 2 3 7 5 \mathrm {A} \approx - 2 6 2 \mathrm {A} +$$ + +结果中的负号表示电动机转子的转动方向与预计方向是相反的。 + +# 问题四的解答 + +评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。首先从能量误差的角度进行评价。 + +路试时制动器消耗的能量为 $\mathrm{E}_0 = \frac{1}{2} \mathrm{J}_{\mathrm{v}} (\omega_0^2 - \omega_1^2)$ ，其中 $\omega_0 = 53.8260 \mathrm{rad/s}$ ， $\omega_1 = 26.9130 \mathrm{rad/s}$ ， $\mathrm{J}_{\mathrm{v}} = 48 \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2$ ，解得 $\mathrm{E}_0 = 5.2150 \times 10^4$ 。 + +相对应的试验台测试时，数据是采样得到的离散数据，计算制动过程所消耗的能量我们借用了直边形代替曲边形求曲线下面积的思想，由于采样是等间距的，采样间隔又足够小，我们可以计算每一个采样间隔内所消耗的能量，进行累加求总和即得到整个过程中消耗的能量。具体公式说明如下： + +$$ +\mathrm {E} _ {1} = \sum_ {\mathrm {i} = 1} ^ {\mathrm {n} _ {0}} \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} * \omega_ {\mathrm {i}} * \Delta \mathrm {t} +$$ + +——式中 $\mathrm{n}_{0}$ 为采样点总数; +—— $\mathrm{T}_{\mathrm{i}}$ 为采样时刻的扭矩； +—— $\omega_{\mathrm{j}}$ 为采样时刻的转动角速度； +—— $\Delta t$ 为采样时间间隔。 + +据此公式对数据进行计算得到 $\mathrm{E}_1 = 4.9292 \times 10^4$ 。于是能量的绝对误差 $\varepsilon = \mathrm{E}_0 - \mathrm{E}_1 = 2858$ ，相对误差 $\delta = \frac{\varepsilon}{\mathrm{E}_0} = 0.0548$ 。能量误差也是一个较小的值，这说明问题四中给出的控制方法是比较合理有效的。 + +其次，从扭矩T和转速n随时间的变化趋势（如图1、图2）看，扭矩T在经历了一个较快的增加阶段后逐渐趋于平稳，稳定在280附近，这体现了制动装置缓慢加力的过程，实现了所谓的“软制动”，从保护设备的角度来看，这样的做法是正确的，而且是必须的。 + +仔细观察可以发现，扭矩T在经历上升期后发生了振荡，而且振荡有加剧的趋势，从试验计算结果及系统的运动特性分析，其波动较大的原因应该与两个方面有关：其一，在软制动后的制动过程中，由于主轴转速在不断下降与变化，驱动电机转子所需的惯性力也不断波动，使弹簧施给摩擦片的压力有一定波动，从而使制动扭矩也发生较大的波动。其二，与制动弹簧有关，在制动过程中，弹簧一直处于振动状态。 + +![](images/a40283aaab33c4c2310e1bc00c5c904fe3fd2a1b219e50ce22c9267af6a51ef6.jpg) +图1扭矩与时间关系 + +![](images/12de8a87577432e202209952d2cc25edf1af79c882afbbd86a26f3f29412a380.jpg) +图2 转速与时间关系 + +与扭矩T的急剧上升阶段相对应，转速n的减少并非是均匀的，但扭矩T趋于稳定时，转速n的减少也趋于均匀。提取当制动器工作平稳时的转速的数据，利用线性回归拟合f(x) = p1·x + p2，拟合得的直线方程为： + +$$ +f (x) = - 6. 0 1 x + 5 4. 9 5 +$$ + +表格3 线性回归拟合有关参数 + +
参数参数估计值参数的置信区间
p1-6.01(-6.03, -5.991)
p254.95(54.9, 55)
R² = 0.9987 F = 3.5898 × 10^5 p = 0
+ +从拟合结果来看，在制动的平稳阶段，主轴的减速度是在 $6.01 \, \text{rad/s}^2$ 附近微小波动。 + +该种控制方法的误差主要就来源于制动初期。因为问题四给出的控制方法的采样测量是等时间间隔的，是根据当前的采样值来决定控制电流，从而控制扭矩的输出。因此，在发出下一次控制电流前，当前这一控制电流是维持不变的。但在这段时期内，扭矩是急剧增加的，这就使得控制电流具有滞后性——控制电流更新速度跟不上扭矩的变化。我们从所给数据中选择前19组数据作图（如图3示）进行说明。 + +![](images/87c7d2524f065806555af5613dc57867cc9577935471318750d311fdb39ae6a3.jpg) +图3 前19组数据 + +计算前19组数据的误差列为下表： + +
序数12345678910
误差000.16930.33850.16920.33850.33850.50780.16930.3383
序数111213141516171819
误差0.16930.507800.677100.67700.33860.84640.6771
+ +误差的平均值为： + +$$ +\theta = 0. 3 2 9 6 +$$ + +在每个采样间隔时间内，电动机扭矩维持为由控制电流决定的值不变，如图3蓝色所示。红色的为在采样间隔时间内的中间时刻根据该时刻对数据进行插值求得的扭矩值。在变化较为平稳的地方，蓝柱、红柱相差较小，在变化较为剧烈的地方，蓝柱、红柱相差就比较显著了。 + +# 问题五的解答 + +按照问题三导出的数学模型，我们有以下三种计算机控制方法。 + +# 方法一 + +本方法根据前一段时间观测到的瞬时扭矩 $\mathrm{T_B}$ ，利用下式来设计本时段的电流值。 + +$$ +1 1) \quad \mathrm {I} = \mathrm {k} \cdot \left(1 - \frac {\mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {J _ {v}}}\right) \mathrm {T _ {B}} +$$ + +具体控制流程如下： + +![](images/bdc69ceaed6f569be325d44c2aa1acf5788373e136eb852ef565478a46f31c92.jpg) +图4 控制流程图 + +将按本控制流程得到的扭矩数据绘成图，如图5所示，蓝线是测得的主轴瞬时扭矩，红线是电动机在控制电流作用下产生的扭矩，我们将控制电流作用下产生的扭矩的前20组数据单独画于图6，可以看到，扭矩的大小并非连续变化，而是呈现阶跃式的变化。 + +![](images/3fae752d3af545e9f9f01deac1b04d988b1f2acd5d0e762897db4e5ae8c3b1d3.jpg) +图5方法一的模拟结果 + +![](images/46a70fcb44289106fa71d1227972011d71075f4cc879142b0d32e67deae0442f.jpg) +图6前20个采样点的扭矩 + +下面是对本方法下的制动过程的分析。 + +设A点是制动扭矩大于零后某次采样的时刻。B点是对A点的采样处理后输出新的调节量的时刻，则在制动开始到B点这段时间内有如下变化：制动扭矩逐渐变大，控制电流保持不变，主轴转速下降。 + +在B点发生下列变化：计算机输出值改变，电动机输出的扭矩值跃变为在A点时需电机输出的扭矩 + +在此后的制动时间内，计算机不断地采样和调节。在每次的采样和调节时间内，控制电流呈阶跃式变化。在每次调节结束时，电机输出的扭矩发生跃变。 + +# 对方法一的评价 + +本方法求解简单，操作简便，在 $\mathrm{k} 、 \mathrm{J}_{\mathrm{m}} 、 \mathrm{J}_{\mathrm{v}}$ 已知的条件下，只需等间隔地测定瞬时扭矩 $\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ 即可算得所需控制电流，在发出控制信号后，系统只需等待下次测定即可。 + +本方法具有较好的实时性，在不考虑硬件运算速度的情况下，缩短取样间隔，电流即可以对扭矩变化做出较快的反应。 + +本方法也有其缺点。模拟误差主要来自电机模拟加载部分。从图中曲线3可以看出：模拟误差的大小与计算机的采样间隔和需电动机输出的扭矩曲线斜率有关，采样间隔越大，模拟误差越大，当曲线斜率越大，模拟误差越大。由11)可知：曲线斜率与k· $\left(1 - \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}\right)$ 有关，k越大，则斜率越大； $\frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}$ 越小，则斜率越大。 + +# 方法二 + +本方法根据前一段时间观测到的瞬时转速 $n$ ，首先用三次样条插值及追赶法求解角加速度 $\frac{dn}{dt}$ 的当前值，进而计算出本时段的控制电流值，具体说明如下。 + +主轴转速n和时间t为由采样仪等间隔采样得到一系列以t为横坐标、n为纵坐标的数据对(n,t)，其采样时间间隔为10ms。考虑到角加速度变化的连续性，我们采样三次样条函数中的三转角方程[1]来求解。 + +构造三次样条插值函数 $S(t) \in C^2[a, b]$ , $a$ 、 $b$ 为测试的起止时间点，在每个小区间 $[t_j, t_{j+1}]$ 上是三次多项式，其中 $a \leq t_j = t_0 + j * h \leq b$ , $(j = 0, 1, 2 \ldots k, h = 50)$ 是采样时间节点，对应各时间点上的函数值 $n_j = f(t_j)$ ，且满足 $S(t_j) = n_j$ , $(j = 0, 1, \ldots k)$ 。 + +本例中我们取自然边界条件，即 $S''(t_0) = S''(t_k) = 0$ ，设 $S'(t)$ 在节点 $t_j$ 处的值为 $S'(t_j) = m_j, (j = 0,1,\dots k)$ ，即角加速度 $\frac{dn}{dt}$ 的离散点值 $n'(t_j), (j = 0,1,\dots k)$ ，则三转角方程为： + +$$ +1 2) \lambda_ {j} m _ {j - 1} + 2 m _ {j} + \mu_ {j} m _ {j + 1} = g _ {j}, (j = 1, 2.. k - 1) +$$ + +其中 $\lambda_{j} = \mu_{j} = \frac{1}{2},$ + +$$ +\left. \left. 1 3\right) \mathrm {g} _ {\mathrm {j}} = 3 \left(\lambda_ {\mathrm {j}} f \left[ \mathrm {t} _ {\mathrm {j} - 1}, \mathrm {t} _ {\mathrm {j}} \right] + \mu_ {\mathrm {j}} f \left[ \mathrm {t} _ {\mathrm {j}}, \mathrm {t} _ {\mathrm {j} + 1} \right]\right), (\mathrm {j} = 1, 2 \dots \mathrm {k} - 1)\right. +$$ + +由边界条件得两端方程为 + +$$ +\begin{array}{l} 1 4) 2 \mathrm {m} _ {0} + \mathrm {m} _ {1} = 3 \mathrm {f} [ \mathrm {t} _ {0}, \mathrm {t} _ {1} ] = \mathrm {g} _ {0} \\ 1 5) \mathrm {m} _ {\mathrm {n} - 1} + 2 \mathrm {m} _ {\mathrm {n}} = 3 \mathrm {f} [ \mathrm {t} _ {\mathrm {n} - 1}, \mathrm {t} _ {\mathrm {n}} ] = \mathrm {g} _ {\mathrm {k}} \\ \end{array} +$$ + +将其合并成矩阵形式为 + +$$ +\left[ \begin{array}{c c c c c c c c} 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \lambda_ {1} & 2 & \mu_ {1} & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ {2} & 2 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_ {\mathrm {k} - 1} & 2 & \mu_ {\mathrm {k} - 1} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathrm {m} _ {0} \\ \mathrm {m} _ {1} \\ \mathrm {m} _ {2} \\ \vdots \\ \mathrm {m} _ {\mathrm {k} - 1} \\ \mathrm {m} _ {\mathrm {k}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \mathbf {g} _ {0} \\ \mathbf {g} _ {1} \\ \mathbf {g} _ {2} \\ \vdots \\ \mathbf {g} _ {\mathrm {k} - 1} \\ \mathbf {g} _ {\mathrm {k}} \end{array} \right] +$$ + +简记 $\mathbf{A} \mathbf{m} = \mathbf{g}$ , 用追赶法, 求出 $\mathrm{m}_{\mathrm{j}} (\mathrm{j} = 0,1,\dots \mathrm{k})$ 。求解 $\mathbf{A} \mathbf{m} = \mathbf{g}$ 等价于求解三角方程组: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathbf {L y} = \mathbf {g} \\ \mathbf {U m} = \mathbf {y} \end{array} \right. +$$ + +其中L，U为矩阵A分解的两个三角阵的乘积，L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。 + +对制动扭矩的微分方程中的 $\frac{\mathrm{dn}}{\mathrm{dt}}$ 采用三次样条插值及追赶法求得其值后，代入16)式中可计算出控制电流的值。 + +$$ +1 6) \mathrm {I} = \mathrm {k} \cdot \left(1 - \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {J} _ {\mathrm {v}}}\right) \cdot \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \frac {\mathrm {d} \omega}{\mathrm {d t}} +$$ + +# 求解角加速度值的算法 + +1、输入初始数据 $\mathrm{T}_{s1},\mathrm{T}_{s2}$ 及h、k; +2、j从0到k-1，计算f[tj,tj+1]; +3、j从1到k-1由公式13）计算 $\mathbf{g}_{\mathrm{j}}$ +4、由公式 14) 和公式 15) 计算 $\mathbf{g}_{0}$ 和 $\mathbf{g}_{\mathrm{k}}$ ； +5、把矩阵 $\mathbf{A}$ 记成只含元素 $a_{j} (j = 2,3\dots k + 1)$ , $b_{j} (j = 1,2,\dots k + 1)$ , $c_{j} (j = 1,2,\dots k + 1)$ 的对角占优的三角线矩阵； +6、计算 $\{\beta_{j}\}$ 的递推公式 $\beta_{1} = c_{1} / b_{1},\beta_{j} = c_{j} / (b_{j} - a_{j}\beta_{j - 1})$ （ $j = 2,3\dots k)$ +7、解 $\mathbf{L}\mathbf{y} = \mathbf{g}$ ， $y_1 = g_1 / b_1$ ， $y_j = (g_j - a_j y_{j-1}) / (b_j - a_j \beta_{j-1})$ （ $j=2,3,\dots,k$ ）； +8、解 $\mathbf{U}\mathbf{x} = \mathbf{y},\mathrm{m}_{k + 1} = \mathrm{y}_{k + 1},\mathrm{m}_{j} = \mathrm{y}_{j} - \beta_{j}\mathrm{m}_{j + 1}\quad (j = k,k - 1,\dots 2,1)$ 。 + +# 对方法二的评价 + +利用Matlab编程，调用函数的M文件进行计算求解，得出了角减速度和控制电流的离散数据点如图7、图8示。 + +![](images/ec8076d705b4ba6e88d1f65723f305962ead64d43b58ff762c25d367b9a4a2a0.jpg) +图7角加速度与时间的关系 + +![](images/52366cacb166a5ee86d603eeac171ea583a511ba31ddf2ca3ed50d19cdcd6df1.jpg) +图8 控制电流与时间的关系 + +从图中可以看出，各个时刻的角减速度波动较为剧烈，这是由于取样间隔（10ms）过短、主轴转速不稳定造成的，这就导致算得的控制电流也有较大的波动，这个问题可以通过增大取样间隔来解决，但是增大取样间隔势必会增大能量误差，降低模拟过程的逼真度。因此，对本方法来讲，稳定性和逼真度是一对不可调和的矛盾。从整个制动过程来看，角减速度的平均值为 $-5.765\mathrm{rad/s}^2$ ，控制电流的平均值为112.4180A，这是符合预期的，本方法在基本方向上是正确的。 + +# 方法三 + +利用控制电流对电动机的扭矩进行控制的过程可以看成是，有控制地对主轴 + +施加电能量的过程。在施加电能量的过程中，要满足能量误差最小化的原则，以保证模拟的准确度和逼真度。基于上述考虑，我们提出了制动器试验台的第三种控制方法。 + +由 + +$$ +7) \quad \mathrm {E} = \frac {1}{2} \mathrm {J} _ {\mathrm {m}} \left(\omega_ {2} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2}\right) + \int_ {\mathrm {t} _ {1}} ^ {\mathrm {t} _ {2}} \mathrm {J} _ {\mathrm {s}} \frac {\mathrm {d} \omega}{\mathrm {d t}} \omega \mathrm {d t} +$$ + +可知，我们只需将总量为 + +$$ +\mathrm {E} _ {2} = \int_ {\mathrm {t} _ {1}} ^ {\mathrm {t} _ {2}} \mathrm {J} _ {\mathrm {s}} \frac {\mathrm {d} \omega}{\mathrm {d t}} \omega \mathrm {d t} = \mathrm {E} - \frac {1}{2} \mathrm {J} _ {\mathrm {m}} (\omega_ {2} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2}) +$$ + +的电能量按照能量误差最小化的原则逐步施加到主轴上，即可完成控制过程。 + +制动过程中，飞轮总扭矩 $\mathrm{T_B}$ 和转速 $\omega$ 都可以测量，我们可以根据式3）式和9）式求出 + +$$ +1 3) \mathrm {T} _ {\mathrm {D}} = \left(1 - \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {J} _ {\mathrm {v}}}\right) \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \frac {\mathrm {d} \omega}{\mathrm {d t}} +$$ + +在此，我们引入惯量因子 $\lambda[2]$ ，令 $\lambda = \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}$ ，则 + +$$ +1 4) \mathrm {T} _ {\mathrm {D}} = (1 - \lambda) \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \frac {\mathrm {d} \omega}{\mathrm {d t}} +$$ + +计算出电流后，通过驱动电流使电动机输出扭矩达到要求；同时，根据当前已经施加的电能量与当前转速下需要加的电能量来算出产生的能量误差，然后依据这个能量误差对式14）中的惯量因子λ进行调整，达到控制模拟惯量的目的。 + +设制动的起始时刻为 $t_0$ ，经过时间间隔 $\Delta t$ 后变为为 $t_1$ ，即 $t_1 = t_0 + \Delta t$ ，下面就每个时间段，对试验台的控制方法进行分析。 + +在起始时刻为 $t_0$ ，惯量因子 $\lambda = \frac{J_m}{J_v}$ ，可以经计算得到，在 $t_0$ 至 $t_1$ 这段时间内，将依据此 $\lambda$ 设定控制电流。在 $t_1$ 时刻下，需要加的电能量 $E_{m1}$ 为： + +$$ +\mathrm {E _ {m 1}} = \frac {1}{2} (\mathrm {k _ {0}} - 1) \mathrm {J _ {m}} (\omega_ {0} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2}) +$$ + +式中 $\lambda_0$ 为 $t_0$ 时刻设定的惯量因子， $\omega_0$ 为 $t_0$ 时刻（即制动开始时）的飞轮角速度， $\omega_1$ 为 $t_1$ 时刻的飞轮角速度，则当前时刻的能量误差 $\mathrm{E}_1$ 为： + +$$ +\mathrm {E} _ {1} = \mathrm {E} _ {\mathrm {m 1}} - \mathrm {E} _ {\mathrm {h 1}} +$$ + +式中 $\mathrm{E}_{\mathrm{h}1}$ 为 $t_0 \sim t_1$ 时间段内已经施加的电能，根据能量误差 $\mathrm{E}_1$ ，在到达 $t_2$ 时刻之前进行调节，实现办法就是计算出一个新的适用于下一时间段的惯量因子 $\lambda_1$ ，即 + +$$ +\lambda_ {1} = \frac {\mathrm {E} _ {1} + \frac {1}{2} \lambda_ {0} \mathrm {J} _ {\mathrm {m}} (\omega_ {0} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2})}{\frac {1}{2} \mathrm {J} _ {\mathrm {m}} (\omega_ {0} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2})} +$$ + +然后用 $\lambda_{1}$ 在 $t_{1} \sim t_{2} = t_{1} + \Delta t$ 时间段内进行惯量模拟控制。 $\omega_{2}$ 为 $t_{2}$ 时刻的飞轮角速度，在 $t_{1}$ 时刻通过下式来估算： + +$$ +\omega_ {2} = \omega_ {1} + \frac {\mathrm {T} _ {1}}{\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}} \cdot \Delta t +$$ + +式中 $\mathrm{T}_{1}$ 为 $\mathrm{t}_{1}$ 时刻的飞轮扭矩，可测量得到。 $\mathrm{J}_{\mathrm{m}}$ 为飞轮转动惯量，在 $\mathrm{t}_{2}$ 时刻下需要加的电能量 $\mathrm{E}_{\mathrm{m}2}$ 为： + +$$ +\mathrm {E _ {m 2}} = \frac {1}{2} (\lambda_ {1} - 1) \mathrm {J _ {m}} (\omega_ {1} ^ {2} - \omega_ {2} ^ {2}) +$$ + +依次类推，可以得到 $\mathfrak{t}_{\mathrm{i}}$ 时刻的惯量因子 $\lambda_{\mathrm{i}}$ 的计算公式： + +$$ +\lambda_ {\mathrm {i}} = \frac {\mathrm {E _ {i}} + \frac {1}{2} \lambda_ {\mathrm {i - 1}} \mathrm {J _ {m}} (\omega_ {\mathrm {i}} ^ {2} - \omega_ {\mathrm {i + 1}} ^ {2})}{\frac {1}{2} \mathrm {J _ {m}} (\omega_ {\mathrm {i}} ^ {2} - \omega_ {\mathrm {i + 1}} ^ {2})} +$$ + +$\mathfrak{t}_{\mathrm{i}}$ 时刻 $\omega_{\mathrm{i}}$ 的飞轮角速度的计算公式为： + +$$ +\omega_ {\mathrm {i}} = \omega_ {\mathrm {i - 1}} + \frac {\mathrm {T _ {i}}}{\mathrm {J _ {m}}}. \Delta t +$$ + +式中 $\mathrm{T_i}$ 为 $\mathbf{t}_{\mathrm{i}}$ 时刻的飞轮扭矩，可测得。在获得更新后的 $\lambda_{\mathrm{i}}$ 后，利用下式即可计算出对应的控制电流 $\mathrm{I_i}$ 。 + +$$ +2 4) \mathrm {I} _ {\mathrm {i}} = \mathrm {k} \cdot \mathrm {T} _ {\mathrm {D}} = \mathrm {k} \cdot (1 - \lambda) \cdot \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \frac {\mathrm {d} \omega}{\mathrm {d t}} \mathrm {k} \cdot (1 - \lambda_ {\mathrm {i}}) \cdot \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \frac {\mathrm {T} _ {\mathrm {i}}}{\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}} +$$ + +利用 $\lambda_{\mathrm{i}}$ 在 $\mathbf{t}_{\mathrm{i}} \sim \mathbf{t}_{\mathrm{i + 1}}$ 时间段内进行惯量模拟控制。 + +# 方法三的评价 + +方法三直接从能量补偿的角度入手，分时段地将电能量补充到实验系统中，较好地满足了能量误差最小化的原则，保证了模拟试验的准确度和逼真度。但可以看到，上述算法每经过一个 $\Delta t$ 时间，计算一次惯量因子 $\lambda$ 的值，然后根据速度变化计算出需要电动机补偿的能量，且每次补偿的能量值是不同的，因而整个能量补偿过程是不连续的。且每经过一个 $\Delta t$ 都要重新计算一次惯量模拟系数，计算量大，会造成一定程度的延时，实时性不是很好。 + +# 问题六的解答 + +# 改进算法 + +针对方法三实时性欠佳的缺点，我们提出了改进的控制方法。 + +用飞轮的转动惯量模拟汽车制动时的汽车平动惯量，在制动过程中就需要不断地对主飞轮进行能量补偿。设从制动时间开始 $\Delta t$ 时间，主飞轮角速度从 $\omega_0$ 变为 $\omega_{1}$ ，又因为主飞轮的角速度与汽车路试时的车身平动速度 $V$ 存在以下关系： $V = \omega \times r$ ，其中 $r$ 为主飞轮半径。根据以上关系知，经过 $\Delta t$ 时间后，需要对飞轮补偿的能量为： + +$$ +\Delta \mathrm {E} _ {1} = \frac {1}{2} \mathrm {m} _ {\mathrm {车}} (\mathrm {V} _ {0} ^ {2} - \mathrm {V} _ {1} ^ {2}) - \frac {1}{2} \mathrm {J} _ {\mathrm {m}} (\omega_ {0} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2}) +$$ + +整理得： + +$$ +\Delta \mathrm {E} _ {1} = \frac {1}{2} \left(\mathrm {m} _ {\text {车}} - \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {r} ^ {2}}\right) (\mathrm {V} _ {0} + \mathrm {V} _ {1}) (\mathrm {V} _ {0} - \mathrm {V} _ {1}) +$$ + +假设 $\Delta t$ 足够小，速度变化量也足够小，则上式可近似等于： + +$$ +\Delta \mathrm {E} _ {1} = \left(\mathrm {m} _ {\mathrm {车}} - \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {r} ^ {2}}\right) \mathrm {V} _ {1} (\mathrm {V} _ {0} - \mathrm {V} _ {1}) +$$ + +令 $\Delta V_{1} = (V_{0} - V_{1})$ ，而当 $\Delta t$ 足够小时有， $\frac{\Delta V_1}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a$ ，a为飞轮线速度的减速度。CPU的指令周期为 $4\mu s$ ，取 $\Delta t = 4\mu s$ ，则可认为 $\Delta t$ 足够小，则有： + +$$ +\Delta \mathrm {E} _ {1} = \left(\mathrm {m} _ {\mathrm {车}} - \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {r} ^ {2}}\right) \mathrm {V} _ {1} \Delta t \times \mathrm {a} _ {1} +$$ + +所以 $t$ 时刻补偿的能量为, 即能量补偿公式为: + +$$ +\Delta \mathrm {E} _ {\mathrm {t}} = \left(\mathrm {m} _ {\text {车}} - \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {r} ^ {2}}\right) \mathrm {V} _ {\mathrm {t}} \Delta t \times \mathrm {a} _ {\mathrm {t}} +$$ + +在 $\Delta t$ 很小的条件下，可近似认为角速度 $\omega$ 不变，因而： + +$$ +\int_ {t _ {0}} ^ {t _ {1}} T _ {D} \omega d t = T _ {D} \omega \Delta t = \frac {I _ {0}}{k} \omega_ {0} \Delta t +$$ + +由 + +$$ +\frac {\mathrm {I} _ {0}}{\mathrm {k}} \omega_ {0} \Delta t = \Delta \mathrm {E} _ {\mathrm {t}} = \left(\mathrm {m} _ {\text {车}} - \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {r} ^ {2}}\right) \mathrm {V} _ {\mathrm {t}} \Delta t \times a _ {\mathrm {t}} +$$ + +最终可得到： + +$$ +\mathrm {I} _ {0} = \mathrm {k} \left(\mathrm {m} _ {\text {车}} - \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {r} ^ {2}}\right) \frac {\mathrm {V} _ {\mathrm {t}} \mathrm {a} _ {\mathrm {t}}}{\omega_ {0}} +$$ + +类似的，我们可以得到任意一小段时间内控制电流的计算式为： + +$$ +\mathrm {I _ {i}} = \mathrm {k} \left(\mathrm {m _ {\text {车}}} - \frac {\mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {r ^ {2}}}\right) \frac {\mathrm {V _ {t} a _ {t}}}{\omega_ {\mathrm {i}}} +$$ + +从公式中可以看出，补偿的能量是随速度和减速度实时变化的，因此系统实时性也很好。由于 $\Delta t$ 很小，则可认为整个能量补偿过程是连续的。 + +# 三、灵敏度分析 + +车辆的制动性能是车辆性能中很重要的一个因素，车辆制动器的设计和测试是车辆设计中最重要的一个环节，直接影响着人身和车辆的安全，因此，对车辆制动性能测试的模型与控制方法的灵敏度分析是重要的，且是必须的。 + +# 从机械惯量的角度分析： + +我们知道，在制动器试验台上对所设计的路试进行模拟实验时，机械惯量并不能精确地等于等效转动惯量，这时的解决方法是，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，不足那部分惯量由电动机补偿。 + +从问题二的回答中，我们知道，本问题有两种惯量补偿方案：分别对应于机械惯量 $\mathrm{J}_{\mathrm{m}} = 40 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 和机械惯量 $\mathrm{J}_{\mathrm{m}} = 70 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 两种情况，需要用电动机补偿的 + +惯量分别是 $12 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 和 $-18 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 。 + +在问题五提出的三种电流控制方法中，电流的计算式都出现了因子 $\left(1 - \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}\right)$ 。 $\mathrm{J_m}$ 的变化必然导致此因子的变化，进而影响到输出的控制电流。最主要的，从能量误差的表达式 + +$$ +1 7) \varepsilon = E \cdot \left(1 - \frac {J _ {\mathrm {m}}}{J _ {\mathrm {v}}}\right) - \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} J _ {s} \frac {\mathrm {d} \omega}{\mathrm {d} t} \omega \mathrm {d} t +$$ + +来看，能量误差也受到了因子 $\left(1 - \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}\right)$ 的影响。因此，当有多种可选的机械惯量时，就遇到了选择哪一个机械惯量最合适的问题。在制动减速度为常数的假设下，我们粗略地对此进行了分析。 + +对于问题三，在制动减速度为常数的假设下， $\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = 9.7125\mathrm{rad / s^2}$ ，角速度 $\omega$ 由下式确定： + +$$ +\omega = 4 8. 5 6 2 5 - 9. 7 1 2 5 \cdot t +$$ + +单位：rad/s。另外由4）式得到： + +$$ +4) \mathrm {J _ {s} = J _ {v} - J _ {m}} +$$ + +代入17）式得到能量误差的表达式为： + +$$ +1 8) \varepsilon = \mathrm {E} \cdot (1 - \frac {\mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {J _ {v}}}) - \mathrm {J _ {v}} \int_ {\mathrm {t _ {1}}} ^ {\mathrm {t _ {2}}} \left(1 - \frac {\mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {J _ {v}}}\right) (4 7 1. 6 6 3 3 - 8 9. 0 8 7 9 \mathrm {t}) \mathrm {d t} +$$ + +从上式来看，能量误差与因子 $\left(1 - \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}\right)$ 呈简单的正比例关系，为了尽量缩小能量误差，我们应该尽量缩小因子 $\left(1 - \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}\right)$ 。问题二中得到的两种惯量的补偿方案所对应的因子 $\left(1 - \frac{\mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}}\right)$ 的值分别是0.2308和-0.3462，我们应该选择第一种惯量补偿方案。 + +下面是实例分析。将问题四中的系统的机械惯量由 $35 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 改变为 $40 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 进行车辆制动性能检测, 依旧取前 19 组数据进行误差分析, 做出直方图如下图, 对比于问题四中的结果, 可见误差变小。 + +![](images/b7ebf668619a1cb0763738c9c87ba88e4558def3397e16f4268060924829f994.jpg) +图9 前19组数据 + +计算前19组数据的误差列为下表： + +表4 +前19组数据的误差 + +
序数12345678910
误差000.10410.20830.10410.20830.20830.31250.10420.2083
序数111213141516171819
误差0.10420.312500.416600.41670.20840.52080.4168
+ +误差的平均值为： + +$$ +\theta^ {\prime} = 0. 2 0 2 8 +$$ + +对比问题四中的误差平均值 $\theta = 0.3296$ ，误差变小了，可见模拟系统的机械惯量的选择影响着车辆制动性能检测的结果的精确性。 + +# 从取样时间间隔的角度分析 + +问题三中提出的数学模型及问题五中给出的计算机控制方法，均是基于离散采样得到制动扭矩值、角速度值，根据前一段时间的数据值来对电动机发出控制信号，来决定电动机下一时间段的输出电流值，且在这段时间 $\Delta t$ 内的电动机电流保持该值，而不会实时的随着需要变化，因而实时性不好，也因此使得模拟测试的结果不精确。采样间隔 $\Delta t$ 是影响模型与控制方法稳定性的重要的因素。 + +下面我们就讨论不同的 $\Delta t$ 对结果稳定性的影响。 + +下表第二行为采样间隔 $\Delta t = 0.01s$ 时的数据，第三行为采样间隔为 $\Delta t = 0.02s$ 时的数据，根据得出的数据求解此时模拟试验得到结果的能量误差。将求得的结果与问题四的结果列为下表： + +表5 + +
Δt/s总耗能/J绝对误差/J相对误差
0.0104929228585.48%
0.0204924829025.56%
+ +由上表的计算结果可见：两次模拟试验的能量误差相差不大，而且都比较小， $\Delta t$ 取值的微小变化对结果的影响程度不大，绝对误差偏离 $1.54\%$ ，相对误差偏离 $1.45\%$ 。然而 $\Delta t$ 的改变确实使得结果的能量误差更大，降低了模拟的精确性与可靠性。 + +因此，在利用问题三提出的模型与问题五给出的计算机控制方法在制动台上进行车辆制动性能检测的过程中，应当取较小的采样时间间隔，提高检测精确性。 + +# 四、模型扩展 + +车辆制动性能测试的理想目标是：制动器试验台的模拟测试能准确无误地反应出车辆的制动性能。我们建立的模型与提出的计算机控制方法，都存在着一定的误差，主要是制动控制的过程中，未能克服时滞性对系统控制的影响，如我们的控制方法二，控制信号的发出滞后了一个采样间隔，在这个采样间隔时间内未能即时的根据制动扭矩的变化发出控制信号。因此，为了克服制动器试验台系统 + +控制的滞时性，使其能够更为准确、更加及时地进行电动机电流的调节控制，就必须设计更为有效的控制方法。 + +在控制的领域中，最常用的是PID控制方法[4]。PID控制是一种反馈控制，包含三个环节：1）比例环节，将偏差信号放大，若系统有一个微小的偏差（如制动扭矩的微小变化），即能迅速做出反应，发出控制信号调整被控对象（如电动机的电流）；2）积分环节，以消除系统的静态误差；3）微分环节，根据偏差的变化趋势，来减小系统的动态误差。PID系统能更及时有效的根据可观测量的变化做出控制反应，系统控制的滞时性得到很好的改善，同时提高系统的稳定性。PID控制结构如下： + +![](images/a0a6ed35f486077e7b2b3278bf8021db15429a1fc1927bb6b4102f66e21a11ab.jpg) + +然而，P、I、D三个环节相互影响的关系是很复杂的，不能以简单的线性关系来描述，再加上实际系统的非线性和时变不确定性，使得这三个参数的手动调整比较困难。BP(back propagation)神经网络理论上可以逼近任何非线性函数，将它与传统的PID控制方法相结合可以达到良好的控制效果。通过采用BP神经网络，以闭环反馈系统的误差作为神经网络的学习误差，可以实现PID控制器参数的自适应调整。基于BP神经网络的参数在线整定的PID实时控制应用于制动器试验台的控制，是本模型扩展的一个方向。 + +# 参考文献 + +[1]王先锋，惯性制动器实验台的控制系统设计及数据处理与分析，湖南大学硕士学位论文，2006.5 +[2]常明顺，汽车ABS性能监测系统的研究，吉林大学硕士学位论文，2007.5 +[3]林荣会，制动器试验台的双分流加载法，青岛建筑工程学院学报，第18卷第3期，50页——54页，1997 +[4]吴海平、敖志刚、王冠、敖卫清，基于BP神经网络的参数在线整定的PID实时控制，电脑知识与技术，第5卷19期，5245页——5273页，2009.7 +[5]易德生、李昇浩，非电系统的电模拟，210页，高等教育出版社，1987.9 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A2/09A2.md" "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A2/09A2.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d7b25707ed3608bd276388be070c3e590fa18ce6 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A2/09A2.md" @@ -0,0 +1,571 @@ +# 制动机控制方法分析 + +# 摘要 + +制动机是衡量汽车整体性能的一个非常重要的指标，在汽车研发阶段能否在试验台上真实的模拟汽车路试时车轮转动的过程，是检验制动机性能好坏的关键。我们的目标是建立合理的电动机驱动电流控制模型，使得试验台上主轴在制动过程中和路试时车轮的转动始终保持一致。 + +首先我们建立车辆路试时具有的能量和主轴转动能量等效的模型，在等效模型的基础上我们计算出问题一中等效的转动惯量为 $52\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ，问题二中需要补偿的惯量为 $12\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 或- $18\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 。 + +其次推导了驱动电流依赖于可观测量的数学模型： $\mathrm{I} = \mathrm{K}\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{v}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{J}_{\mathrm{v}}}\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ ，利用此模型计算出问题三中的驱动电流174A或-262A，并且基于此模型给出了本时段电流值根据前一时段观测值的计算机控制方法： $\mathrm{I}(t_{\mathrm{k}}) = \mathrm{K}\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{v}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{J}_{\mathrm{v}}}\mathrm{T}_{\mathrm{B}}(t_{\mathrm{k}})$ 。对于控制方法的评价指标我们采用的是能量误差大小，建立了控制方法的评价体系：在时间步长 $\Delta T = 0.01s$ 的情况下用相对误差 $\rho$ 的大小将控制方法分为优,良,差三等,作为统一的评价标准。按照我们的评价体系，根据附表数据求得问题四中的某种控制方法的 $\rho = 6.05\%$ ，给出的评价是差；对于我们在问题五中给出的控制方法的评价为优。我们利用计算机模拟的方法计算出不同控制方法下制动机的能量误差，对这些数据进行统计分析可以得到控制方法的稳定性和精确性。 + +最后，对于问题五中I（ $t_k$ ）控制方法的后效性，当我们将时间步长 $\Delta T$ 取值逐渐增大时 $\rho$ 也随之增大，如取 $\Delta T = 0.1s$ 时，得 $\rho = 22\%$ ，按照 $\Delta T = 0.01s$ 情况下的评价体系其评价却为差，故其并不具有普遍实用性。对此，我们通过灰色预测模型给出下时段制动扭矩的预测值 $\overline{T_B}(t_{k+1})$ ，给出新的控制方法I（ $t_k$ ） $= K \frac{J_v - J_m}{J_v} \overline{T_B}(t_{k+1})$ ，对于不同 $\Delta T$ 通过多次计算机模拟，其后效性明显减弱，稳定性很好。试验台可以视为具有反馈和后效性的系统，这样具有自适应性的控制模型会得到较好的结果。我们通过大量的测试数据得到不同控制方法下的能量误差，对不同法进行比较后得到了较好的评价标准。 + +关键词：制动器 驱动电流 计算机模拟 评价方法 灰色预测 神经网络 + +# 1 问题重述 + +汽车研制过程中制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。模拟的方法是将汽车平动时的制动机制动汽车的过程，转化为是试验台上制动机制动由主轴和飞轮组组成的机组的过程，车辆在路试时的能量和车轮转动的状态可以被模拟为主轴和飞轮组共同具有的转动能量和主轴的转动变化。通常试验台上主轴和飞轮组组成的机组的转动惯量并不是连续的，只能为一些离散的值，而要想精确的模拟路试时汽车具有的能量，只能通过电机对主轴施加一定的作用力来补偿主轴和飞轮组相对真实情况下转动惯量不足而缺少的能量。 + +在模拟路试时，我们事先可以知道汽车平动时具有的能量在转换为主轴转动时机组所具有相同能量时机组需要达到的转动惯量。在制动机制动主轴转动的过程中，我们可以离散的观测到主轴的瞬时扭矩和转速，根据这些信息来控制下一时间段内电机施加在主轴上的扭矩的大小，来补充机组缺失的转动惯量，使得模拟能够接近真实路试的过程。 + +评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小。 + +# 2 问题分析 + +在车辆设计时，我们不可能用整部汽车来检测制动机的性能，一般我们只能通过观察制动机制动一个车轮时的过程，我们想模拟汽车在不受任何外界作用力下（假设汽车在制动时不会发生滑动）仅由制动机制动车轮达到减速的效果，但是怎样能精确的模拟路试时车轮转动的变化却又非常的困难，这是因为我们是在试验台上来模拟车轮转动，车轮并不是路试时的向前滚动而是主轴固定的转动，主轴的减速过程和路试时车轮的减速过程往往是不一样的，这是由于主轴和飞轮组共同具有在相应的速度下具有的能量和车辆路试时不一样，我们只能通过添加驱动力来弥补这一缺失。但是由于制动机的性能的复杂性，我们是无法精确的控制好电机施加在主轴上的扭矩的大小，只能是根据已有的主轴瞬时转速和扭矩来制定下一段时间内电机的扭矩。我们的核心目标就是设计电流的控制方法以及对它的控制效果进行评价，从而找到相对较好的控制方法，使在试验台模拟路试时制动器的制动过程和路试时一致。 + +# 3模型假设 + +1. 制动器的制动性能稳定，在各次制动过程中制动力矩呈现相同的变化规律 +2. 路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大, 因此轮胎与地面无滑动 +3. 路试时汽车具有的能量为汽车平动时具有的动能，忽略车轮自身转动具有的能量 +4. 不考虑观察误差，随机误差和连续问题离散化所产生误差 +5. 主轴和飞轮组的的转动为刚体转动 + +# 4符号约定 + +$\mathrm{T_B}$ ：制动器制动力矩； + +$\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ ：电动机的驱动力矩； + +$\omega$ : 主轴的角速度; + +$\beta$ ：转动角加速度； + +Jv: 换算到制动轴上的转动惯量（等效转动惯量）； + +$\mathrm{J}_{\mathrm{m}}$ ：机械惯量 + +Js: 电动机模拟的转动惯量——补充不足的 $(\mathrm{J_v} - \mathrm{J_m})$ ; + +n: 转速; + +v: 速度; + +$\Delta \mathrm{T}$ ：时间步长； + +K：驱动的电流与的扭矩的比例系数； + +$W_{Z}$ ：制动器做功； + +$\mathrm{W_E}$ ：电动机做功； + +I：电动机驱动电流 + +# 问题1 求解等效转动惯量 + +# 5.1 等效模型的建立 + +题目中的问题是建立有效的电机控制机制，从而使电机产生一定扭矩来补偿主轴和飞轮组所缺少的转动惯量。这是建立在主轴和飞轮组组成的机组在转动过程中能量与主轴转动的变化规律，和路试时汽车自身的动能改变和车轮的减速过程是一致的。我们首先建立试验台上模拟汽车路试时的等效模型，这里我们要说明两点：1当主轴和飞轮组的机械转动惯量和汽车路试时等效的转动惯量相等时，在制动过程中主轴的转动和能量变化同路试情况是一致的，无需施加外界的控制；2当主轴和飞轮组的机械转动惯量无法达到等效的转动惯量时，缺少的转动惯量可以通过电机施加在主轴上的扭矩来补充，这是由于扭计的可加性，电机相对于制动机则在做负功增大了制动机的负荷。 + +# 5.2 模型建立 + +主轴和飞轮组转动过程中具有的能量 $\mathrm{E}(\mathrm{t})_{\text {机}}$ 和汽车平动时具有的能量 $\mathrm{E}(\mathrm{t})_{\text {车}}$ 始终相等: + +$$ +\mathrm {E} (\mathrm {t}) _ {\text {机}} = \mathrm {E} (\mathrm {t}) _ {\text {车}} +$$ + +由物理学中刚体的转动定律可知，主轴上的扭矩具有可加性，而电机施加在主轴上的扭矩可以被认为增加了主轴所具有的转动惯量，其关系式为： + +$$ +\mathrm {T} _ {\mathrm {B}} - \mathrm {T} _ {\mathrm {A}} = \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \omega (\mathrm {t}) +$$ + +其中主轴转动时主轴和飞轮组所具有的能量 $\mathrm{E}(\mathrm{t})_{\text {机}} = \frac{1}{2} \mathrm{J}_{\mathrm{v}} \omega^{2}$ + +# 5.3 对于问题一的求解 + +根据等效模型 + +通常情况下，我们是通过载荷 $G_{\text {载荷}}$ 来衡量汽车平动时具有的动能 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \mathrm {m g} = \mathrm {G} _ {\text {载 荷}} \\ \mathrm {E} (\mathrm {t}) _ {\text {车}} = \frac {1}{2} \mathrm {m v} ^ {2} (\mathrm {t}) = \frac {1}{2} \frac {\mathrm {G} _ {\text {载 荷}}}{\mathrm {m}} \mathrm {v} ^ {2} (\mathrm {t}) \end{array} \right. +$$ + +车轮在制动时承受载荷，而相对试验台上主轴和飞轮组的转动惯量 + +$$ +J _ {v} = m \cdot r ^ {2} +$$ + +r 为车轮的滚动半径，m 为具有 G 载荷时车辆的质量，带入数据求解得 $\mathrm{J}_{\mathrm{v}} = 51.9989 \, \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ，我们取近似 $\mathrm{J}_{\mathrm{v}} = 52 \, \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 。 + +# 问题二 电动机要补偿的惯量 + +# 5.4 对于问题二的求解 + +主轴自身的基础惯量已知为 $10 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ + +钢制飞轮具有的转动惯量为 + +$$ +\mathrm {J} = \frac {\rho \cdot \pi \left(\mathrm {R} _ {1} ^ {2} - \mathrm {R} _ {2} ^ {2}\right) \mathrm {d}}{2} * \left(\mathrm {R} _ {1} ^ {2} + \mathrm {R} _ {2} ^ {2}\right) +$$ + +其中, $\rho$ 为飞轮钢材密度, $R_{1}, R_{2}$ 分别为飞轮的外内半径, $d$ 为飞轮厚度。 + +代入数据算出3个飞轮的转动惯量分别为30. $0083\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ，60. $0166\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ， $120.033\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ，近似取为30. $0\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ，60. $0\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ， $120.0\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 。则可以组成10,40，70，100，130，160，190， $220\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 的8种数值的机械惯量。 + +而电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 $[-30, 30] \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 因此要达到第一问等效转动惯量 $52 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 可以设定机械惯量为 $40 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 还需要电动机补偿 $12 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 的转动惯量, 或设定机械惯量为 $70 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 电机补偿的 $-18 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 的转动惯量。 + +# 问题三 驱动电流依赖于可观测量的数学模型 + +# 6. 模型建立 + +在制动器试验台模拟路试实验时，要满足如下的原则： + +路试时的的车辆平动时所具有的能量等效的转化为试验台上飞轮和主轴等机构时具有的能量。 + +由于试验台不一定能正好做到提供的机械惯量和在路试车辆时等效惯量，从而采用电动机在一定的电流控制下参与工作，补充由于机械惯量不足而缺少的能量。在制动的任意 $t_1 \sim t_2$ 时间内，制动机做功 + +$$ +W _ {Z} = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} T _ {B} \omega d t \tag {1} +$$ + +制动力矩 + +$$ +\mathrm {T} _ {\mathrm {B}} = \mathrm {J} _ {\mathrm {V}} \frac {\mathrm {d} _ {\omega}}{\mathrm {d} _ {\mathrm {t}}} \tag {2} +$$ + +将（2）式带入（1）式得 + +$$ +\mathrm {W} _ {\mathrm {Z}} = \frac {1}{2} \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \left(\omega_ {2} ^ {2} - \omega_ {1} ^ {2}\right) \tag {3} +$$ + +电动机以其产生的扭矩 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ 做功的形式来补充机械惯量不足而缺少的能量，同时 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ 要满足与（1）式相一致的做功形式来补充能量才能保证精确模拟的效果。 + +由符号约定知 + +$$ +J _ {v} = J _ {m} + J _ {s} \tag {4} +$$ + +将（2），（4）式带入（1）式得 + +$$ +W _ {Z} = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} J _ {v} \frac {d _ {\omega}}{d _ {t}} \omega d t = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} (J _ {m} + J _ {s}) \omega d t = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} J _ {m} \omega d t + \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} J _ {s} \omega d t \tag {5} +$$ + +根据（5）式及 $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ 满足的原则可知， $\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{J}_s\omega dt$ 部分的能量需由电动机驱动产生，而电动机做功 + +$$ +W _ {E} = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} T _ {A} \omega d t \tag {6} +$$ + +从而导出驱动力矩与补充力矩的关系 + +$$ +\mathrm {T} _ {\mathrm {A}} = \mathrm {J} _ {\mathrm {s}} \frac {\mathrm {d} _ {\omega}}{\mathrm {d} _ {\mathrm {t}}} \tag {9} +$$ + +由（2）与（9）相比得 + +$$ +\mathrm {T} _ {\mathrm {A}} = \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {s}}}{\mathrm {J} _ {\mathrm {v}}} \mathrm {T} _ {\mathrm {B}} = \frac {\mathrm {J} _ {\mathrm {v}} - \mathrm {J} _ {\mathrm {m}}}{\mathrm {J} _ {\mathrm {v}}} \mathrm {T} _ {\mathrm {B}} \tag {10} +$$ + +驱动电流 $\mathrm{I} = \mathrm{KT}_{\mathrm{A}}$ + +由以上分析从而可推出电动机电流依赖于可观测量 $\mathrm{T_B}$ 的数学模型： + +$$ +\mathrm {I} = \mathrm {K} \frac {\mathrm {J _ {v}} - \mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {J _ {v}}} \mathrm {T _ {B}} +$$ + +# 6.1 模型补充： + +如果 $\mathrm{J}_{\mathrm{v}}$ 大于 $\mathrm{J}_{\mathrm{m}}$ ，即试验台所提供的机械惯量小于所模拟的等效的转动惯量，从而电流做正功补充不足的能量 + +如果 $\mathrm{J}_{\mathrm{v}}$ 小于 $\mathrm{J}_{\mathrm{m}}$ ，即试验台所提供的机械惯量大于所模拟的等效的转动惯量，从而电流做正负功消耗多余的能量 + +# 6.2 问题的求解 + +初速度 $v_{0} = 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ , 匀减速 $t = 5 \mathrm{~s}$ 后的末速度 $v_{\text {末}} = 0$ , 而车轮半径 $r = 0.286 \mathrm{~m}$ , 从而得角角速度的值 $\beta = \frac{v_{0} - v_{\text {末}}}{t \times r} = 2.778$ + +由问题二，当机械惯量 $\mathrm{J_m} = 40\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ，所得的补偿惯量 $\mathrm{J_s} = \mathrm{J_v} - \mathrm{J_m} = 12$ $\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ + +将 $\mathrm{T}_{\mathrm{B}} = \mathrm{J}_{\mathrm{v}} \beta$ 代入上述模型得 $\mathrm{I} = \mathrm{K}(\mathrm{J}_{\mathrm{v}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}) \beta$ , 其中 $\mathrm{K} = 1.5 \mathrm{~A} / \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}$ 从而代入数据可解得驱动电流 $\mathrm{I} = 174.825 \mathrm{~A}$ + +当机械惯量 $\mathrm{J}_{\mathrm{m}} = 70 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 所得的补偿惯量 $\mathrm{J}_{\mathrm{s}} = \mathrm{J}_{\mathrm{v}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}} = -18 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 代入数据解得驱动电流 $\mathrm{I} = -262.238 \mathrm{~A}$ + +# 问题4对于驱动电流的计算机控制方法的评价 + +# 7 评价标准的函数建立 + +评价控制方法优劣的一个重要指标是能量误差的大小，而这里的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量差，基于此标准给出按照如下两种能量差原则给出能量差公式： + +原则一 + +路试时制动器在整个路试过程中消耗的总能量减去在试验台上制动器在整个制动过程中消耗的总能量作为总的能量差，而在路试时消耗的总能量(即制动器做的功 $W_Z(l)$ ) 就是车轮或者说是车辆机械能变化量 $\Delta E_1$ ，即 $W_{Zl} = \Delta E_1$ ，而在模拟时试验台上制动器消耗的能量 $W_Z(s)$ 由能量转化与守恒原理知应是试验台上飞轮与主轴机械能变化量 $\Delta E_2$ 和驱动电流做功 $W_E$ 之和，即 $W_{Zs} = \Delta E_2 + W_E$ ，从而得能量差公式 + +$$ +\Delta W = \left| W _ {Z l} - W _ {Z s} \right| = \left| \Delta E _ {1} - \Delta E _ {2} - W _ {E} \right| +$$ + +原则二 + +将每一小的时间段T内路试时制动器在整消耗的能量减去在试验台上制动器在制动过程中消耗的能量差的绝对累加作为总的能量差，而在 $t_{k-1} \sim t_k$ 时间段内 + +$$ +\mathrm {W} _ {\mathrm {Z l}} \left(\mathrm {t} _ {\mathrm {k}}\right) = \Delta \mathrm {E} _ {1} \left(\mathrm {t} _ {\mathrm {k}}\right) +$$ + +$$ +W _ {Z s} \left(t _ {k}\right) = W _ {E} \left(t _ {k}\right) + \Delta E _ {2} \left(t _ {k}\right) +$$ + +$$ +\Delta W \left(t _ {k}\right) = \left| W _ {Z l} \left(t _ {k}\right) - W _ {Z s} \left(t _ {k}\right) \right| = \left| \Delta E _ {1} \left(t _ {k}\right) - \Delta E _ {2} \left(t _ {k}\right) - W _ {E} \left(t _ {k}\right) \right| +$$ + +总的能量差 + +$$ +\begin{array}{c} \Delta W = \sum \Delta W (t _ {k}) = \sum | W _ {Z l} (t _ {k}) - W _ {Z s} (t _ {k}) | = \sum \left| \Delta E _ {1} (t _ {k}) - \Delta E _ {2} (t _ {k}) - \right. \\ W E (t k) \end{array} +$$ + +直接基于上述的能量的绝对误差只能比较不同的控制方法对于同一个模拟试验的控制的优劣程度，而对于不同的制动器以及不同模拟对象这种绝对能量差的评价是不适用的 + +因而对于更一般的情况，相对能量误差可以做到对控制方法的统一的评价，分析不难得出相对能量误差 + +$$ +\rho = \frac {\Delta W}{W _ {Z 1}} \quad \text {或 者} \quad \rho = \frac {\Delta W}{W _ {Z s}} +$$ + +由于路试时的做功可以较为精确的确定，我们采用 $\rho = \frac{\Delta W}{W_{Zl}}$ 作为我们的评价标准函数，在此基础上给出控制方法优劣的统一评价标准（只是步长在 $T = 0.01s$ ，在 T 取其 + +它值的情况下并不适合） + +
ρ≤ 0.1%≤ 1%≥ 1%
等级优良差
+ +# 7.1 本问题中控制方法的评价 + +# 7.1.1 试验台上制动机能量损耗的统计 + +在计算试验台上制动机在制动过程中损耗的能量 + +$$ +W _ {Z} = \sum_ {\mathrm {i}} T _ {B} * \Delta \theta +$$ + +其中 $\mathrm{T_B}$ 时制动机的顺角扭矩， + +我们认为当 $\Delta \mathrm{T}$ 时间段很小时, 主轴角速度 $\omega$ 的变化为恒定角加速度运动则 + +$$ +\Delta \theta = \omega_ {0} + \alpha * \Delta T +$$ + +# 7.1.2 模拟路试时车辆能量的变化 + +通过统计主轴转速变化规律模拟路试时车辆运动情况： + +在假定制动机是恒定制动情况下，汽车减速过程是匀减速运动。 + +我们通过查阅大量资料发现，汽车减速过程大致可以近似为匀减速直线运动，虽然实际情况并不是这样，制动机的扭矩从制动开始到结束并不是稳定的，但从整体上看误差并不是很大。 + +可以利用最小二乘法，拟合出车轮转速的变化曲线，这样就能知道路试时车路任意时刻的转速，以此作为汽车路试时运动情况的近似处理。 + +在已知初始速度和离散时间段中扭矩的变化模拟路试车辆的运动情况： + +试验中测量得到的主轴扭矩即为路试时制动机的扭矩。 + +在已知初始转速 $\omega_{0}$ , 则模拟重现路试时车轮只在制动机作用下转速的变化如下: + +$$ +\omega_ {1} = \omega_ {0} - \frac {\mathrm {T _ {B}}}{\mathrm {J _ {V}}} * \Delta \mathrm {T} +$$ + +$$ +\omega_ {\mathrm {i}} = \omega_ {\mathrm {i - 1}} - \frac {\mathrm {T _ {B}}}{\mathrm {J _ {V}}} * \Delta \mathrm {T} +$$ + +其中 $\mathrm{T_B}$ 为 $\mathrm{i}$ 时刻在试验台上测得瞬时扭矩， $\mathrm{J_v}$ 为等效转动惯量。 + +# 7.2 问题（4）的求解 + +利用软件Mathematic对实验数据进行处理。 + +![](images/b5e61ea8c7886c6359ce5232d55fa3aa8d455767ed188010b156354e722ebcb6.jpg) + +整体计算制动机制动前后能量的变化 + +1. 主轴的出转速为 $514 \mathrm{rpm}$ , 末转速为 $257 \mathrm{rpm}$ +2. 试验台上制动机做工过程如下 + +通过累加计算离散时刻内制动机做的功 $W_{Z} = 48992.1 \mathrm{~J}$ + +![](images/d39320fe4e6e64a8a6c6ea6740372ded2796d2d7a0c94071f3a1cc0ed84ebf4a.jpg) + +3. 主轴在制动过程中损失的能 $\mathrm{W}_{\text {制}} = \Delta \mathrm{E}_{\text {机}} = \frac{1}{2} \mathrm{J}_{\mathrm{v}} \omega_{0}^{2} - \frac{1}{2} \mathrm{J}_{\mathrm{v}} \omega_{\mathrm{n}}^{2} = 52150.2 \mathrm{~J}$ + +4. 能量误差为 $\Delta \mathrm{W} = \left| \mathrm{W}_{\mathrm{Z}} - \mathrm{W}_{\mathrm{E}} \right| = 3157.9 \mathrm{~J}$ + +$$ +\rho = \frac{\Delta\mathrm{W}}{\mathrm{W}_{\mathrm{Z}}} = 6.05\% +$$ + +模拟路试时车辆能量变化，计算累计能量误差 + +5. 对转速利用最小二乘法进行曲线拟合得到转速变化规律为： + +$$ +\omega = 5 4. 8 8 9 - 6. 0 1 0 3 2 \mathrm {t} +$$ + +6. 计算逐差累加后的能量误差 + +$$ +\sum_ {\mathrm {i}} \left| \mathrm {T} _ {\mathrm {B}} * \Delta \theta - \left(\frac {1}{2} \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \omega_ {\mathrm {i} - 1} ^ {2} - \frac {1}{2} \mathrm {J} _ {\mathrm {v}} \omega_ {\mathrm {i}} ^ {2}\right) \right| = 5 8 1 2. 0 8 \mathrm {J} +$$ + +根据题目中的数据，模拟路试时单独由制动机制动时车辆能量的变化 + +7. 忽略误差的影响，实验得到的主轴扭矩即为路试制动机扭矩的变化情况。根据初始转速 $\omega_0 = 53.860 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ 和递推关系 + +$$ +\omega_ {\mathrm {i}} = \omega_ {\mathrm {i - 1}} - \frac {\mathrm {T} _ {\mathrm {B}}}{\mathrm {J} _ {\mathrm {v}}} \Delta \mathrm {T} +$$ + +可以模拟出路试汽车能量的变化W制 =∑i(1/2Jvω²i-1 - 1/2Jvω²i) + +8. 能量误差为 $W_{\text {制}} = \sum_{\mathrm{i}} \left| T_{\mathrm{B}} * \Delta \theta - \left(\frac{1}{2} J_{\mathrm{v}} \omega_{\mathrm{i}-1}^{2} - \frac{1}{2} J_{\mathrm{v}} \omega_{\mathrm{i}}^{2}\right)\right| = 1568.81 \mathrm{~J}$ + +# 问题5基于问题3中模型的电流的计算机控制方法的设计及其评价 + +# 8. 计算机控制方法的设计 + +在计算机控制电流输出过程中，由于制动器在制动过程中制动力矩 $\mathrm{T_B}$ 变化规律的复杂性，因而不能事先预知 $\mathrm{T_B}$ 及其变化规律，想要真实的模拟路试制动过程，在整个制动过程中驱动电流I和制动力矩 $\mathrm{T_B}$ 必须满足 $\mathrm{I} = \mathrm{K} \frac{\mathrm{J_v} - \mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}} \mathrm{T_B}$ ，因而驱动电流也无法给出在整个制动过程中和时间之间的精确关系，本文采用将整个制动时间离散化为许多个小的时间段，以 $\mathrm{T} = 0.01 \mathrm{s}$ 为一段，在试验台工作时可每隔 $\mathrm{T}$ 时间观测出主轴的瞬时转速 $\mathbf{n}$ 和瞬时扭矩，而主轴的瞬时扭矩就是制动力矩 $\mathrm{T_B}$ ，这样对于驱动电流可以根据 $\mathrm{t_{k-1} \sim t_k}$ 末的观测到的 $\mathrm{T_B(t_k)}$ 和 $\omega (t_k)$ 以确定下一时段 $t_k \sim t_{k+1}$ 内的驱动电流I（ $\mathbf{t_k}$ ），由第三问推导出的驱动电流的确定公式为 $\mathrm{I} = \mathrm{K} \frac{\mathrm{J_v} - \mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}} \mathrm{T_B}$ ，可以很容易的确定每一时段的电流值的计算机控制方法： $\mathrm{I}(t_k) = \mathrm{K} \frac{\mathrm{J_v} - \mathrm{J_m}}{\mathrm{J_v}} \mathrm{T_B}(t_k)$ + +同时 $\mathrm{I} = \mathrm{K}\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{v}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{J}_{\mathrm{v}}}\mathrm{T}_{\mathrm{B}} = \mathrm{K}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{B}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{J}_{\mathrm{v}}}\right) = \mathrm{K}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{B}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}\frac{\mathrm{d}_{\omega}}{\mathrm{d}_{\mathrm{t}}}\right)$ ，对于角速度变化率 $\frac{\mathrm{d}_{\omega}}{\mathrm{d}_{\mathrm{t}}}$ 我们可以才用前一段的平均角速度变化率 $\frac{\omega(t_{k-1}) - \omega(t_{k-2})}{T}$ ，从而可推导出根据另外一个相类似驱动电流的计算机控制方法： $\mathrm{I}(t_{k}) = \mathrm{K}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{B}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}\frac{\omega(t_{k}) - \omega(t_{k-1})}{\Delta T}\right)$ ， + +上述计算机控制方法的评价： + +# 8.1 制动机扭矩变化的计算机模拟： + +去评价一种控制方法的好坏，是可以通过计算机进行模拟的，而计算机模拟最关键的问题是真实的再现制动机扭矩在路试时的变化过程，我们可以通过实际测量得到制动机扭矩的变化过程，如题目中所给的扭矩即为制动机一次制动过程中扭矩的变化，但是我们却不能去无限的测量数据，而且测量得到的数据并不一定能反映制动各种状态下的性能，这里我们采用计算机模拟的方法来评价我们设计的控制方法的好坏。 + +# 8.1.1 数据处理： + +1. 将题目中的数据导入Mathematic，得到制动机扭矩的散点图。 +2. 通过最小二乘法采用函数 $f(x) = a - b * e^{-r * x}$ 来拟合数据得到拟合结果为 + +$$ +\mathrm {g} (\mathrm {x}) = 2 8 3. 4 9 2 - 3 0 2. 7 3 2 * \mathrm {e} ^ {- 3. 2 7 9 8 1 * \mathrm {x}} +$$ + +其中最大误差 $\mathrm{E}_{\mathrm{w}} = 59.24$ 均方根误差 $\mathrm{E}_1 = 10.5344$ 平局误差 $\mathrm{E}_2 = 0.00026$ + +我们提取出起始部分模拟数据和真实数据间的误差如下： + +-59.24, -49.4739, -40.0228, -32.1266, -25.7755, -18.4599, -12.6706, -7.14879, -3.13572, 3.12691, 7.89718, 13.6829, 16.7417, 23.3308, 24.7073, 30.8782, 31.8499, 35.1291, 34.4717, 34.884, 35.1217, + +可以看到起始部分数据拟合并不好 + +3. 我们采用 Logistic 函数来模拟，得到的模拟结果为 + +$$ +\mathrm {f (x)} = \frac {2 8 3}{1 + \left(\frac {2 8 3}{4 0} - 1\right) * \mathrm {e} ^ {- 3 . 2 7 9 1 8 * x}} +$$ + +其中最大误差 $\mathrm{E}_{\mathrm{w}} = 20.5614$ 均方根误差 $\mathrm{E}_1 = 5.8843$ 平局误差 $\mathrm{E}_2 = 1.50826$ 我们可以通过函数 $\mathrm{f(x) + \eta}$ 来模拟制动机扭矩， $\boldsymbol{\eta}$ 为随机因子满足正态分布 $\lambda = 1.50826,\sigma = 5.8843$ + +![](images/19d3416581a60ad2ff6c7ddfa38ae426d509b4b68903d77728023c7d59f319c3.jpg) + +我们采用偏离和你合度较好的 $f(x)$ 来作为模拟时的基准函数 + +4. 通过数据偏离处理我们得到制动机扭矩稳定情况下的波动规律 + +![](images/0b9763cf81456d28778ba31de08509aa95733e7f9fb75061b51b36545792edd3.jpg) + +近似为正弦函数，则我们也可以采用 + +$$ +f (x) + \tau \sin (\gamma x) +$$ + +其中 $\tau$ 为幅度变化因子, $\gamma$ 为周期系数, 来模拟制动机扭矩变化过程 + +通过残差分析和数据统计我们设定 $\tau = 13, \gamma = 0.17453$ + +# 8.1.2 对于控制方法的计算机模拟评价： + +以上得到的制动机扭矩模拟函数时针对问题中给出的数据进行的模拟处理，其中 $f(x) + \tau \sin (\gamma x)$ 的得到是很具有偶然性，我们在查阅了大量资料后得知，多数时间下只用正态随机分布的方式就可以得到很好的结果。 + +计算机模拟具体方法如下： + +模拟结果如下 + +
次数 +名称12345
WZl50824.350864.350868.150847.550818.2
WZs50800.150841.650845.450824.550795.2
ΔW24.222.722.72323
ρ0.0477%0.0447%0.0446%0.0451%0.0454%
+ +通过上述计算机模拟结果可知, 五次重复所得 $\rho$ 值都小于 $0.1 \%$ , 在时间步长取 $\Delta \mathrm{T} = 0.01$ 的前提下, 以我们给出的评价标准知驱动电流的控制方法 $\mathrm{I}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right) = \mathrm{K} \frac{\mathrm{J}_{\mathrm{v}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{J}_{\mathrm{v}}} \mathrm{T}_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right)$ 的等级是优。 + +同时通过比较五次重复模拟所得每个量的数据, 其并没有太大的变化, 计算出的 $\rho$ 值 + +也没有太大变化，控制方法是比较稳定的。 + +# 问题6 控制方法的改进与评价 + +问题 5 中的控制方法 $\mathrm{I}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right) = \mathrm{I}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right) = \mathrm{K} \frac{\mathrm{J}_{\mathrm{v}} - \mathrm{J}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{J}_{\mathrm{v}}} \mathrm{T}_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{k}}\right)$ 不足之处: + +式中 $\mathrm{T_B(t_k)}$ 只是 $t_k$ 时刻的制动力矩, 用来作为 $t_k \sim t_{k+1}$ 时间里的制动力矩来给出 $\mathrm{I}(t_k)$ , $\mathrm{I}(t_k)$ 会产生后效性误差, 当时间步长 $\Delta T$ 选取较大时, 其所有时段的后效性误差之和是很大的, 对此我们通过对问题 5 中计算机模拟中, 主要参量中只将 $\Delta T$ 由 0.01 修改为 0.1, 其模拟计算结果如下: + +
次数 +名称12345
WZl6291263095.762614.362970.763053
WZs49013491004884249034.849000.2
ΔW1389913955.713772.313935.914052.8
ρ22.09%22.18%21.99%22.13%22.19%
+ +通过对于问题的分析，采用根据已经测得前面各个时段 $\mathrm{T_B(t_i)}$ ， $i = 1,2\dots k - 1$ ，采用灰色预测GM(1,1)模型给出下一时段的 $\mathrm{T_B(t_k)}$ .具体如下 + +制动扭矩 $\mathrm{T_B}$ 前k个时段的观测值， $\mathrm{T_{B0} = \{T_B(t_1),T_B(t_2)\dots T_B(t_k)\}}$ ，通过累加生成一次累加序列 $\mathrm{T_{B1} = \{T_{B1}(t_1),T_{B1}(t_2)\dots T_{B1}(t_k)\}}$ 。则GM(1,1)相应的微分方程为： + +$$ +\frac {\mathrm {d} \mathrm {T} _ {\mathrm {B} 1}}{\mathrm {d t}} + \alpha \mathrm {T} _ {\mathrm {B} 1} = \mu +$$ + +式中， $\alpha$ 为发展灰数； $\mu$ 为内生控制灰数。 + +设a为待估参数向量， $a = \binom{\alpha}{\mu}$ ，利用最小二乘法可得： + +$$ +a = \left(A ^ {T} A\right) ^ {- 1} A ^ {T} Y _ {k} +$$ + +其中A=[-（TB1(t1)+TB1(t2)) 1] ： ∴ ∴ -（TB1(tk-1) + TB1(tk)) 1 + +$\mathrm{Y_k} = [\mathrm{T_B(t_2)}\dots \mathrm{T_B(t_k)}]^{\mathrm{T}}$ ，通过求解微分方程，可得预测模型，即GM(1,1)的模型： + +$$ +\overline {{\mathrm {T} _ {\mathrm {B 1}}}} (\mathrm {t} _ {\mathrm {k + 1}}) = \left(\mathrm {T} _ {\mathrm {B}} (\mathrm {t} _ {1}) - \frac {\alpha}{\mu}\right) \mathrm {e} ^ {- \alpha \mathrm {k}} + \frac {\alpha}{\mu} +$$ + +将上述累计结果还原，即可得到预测值： + +$$ +\overline {{\mathrm {T _ {B}}}} (t _ {\mathrm {k} + 1}) = \overline {{\mathrm {T _ {B 1}}}} (t _ {\mathrm {k} + 1}) - \overline {{\mathrm {T _ {B 1}}}} (t _ {\mathrm {k}}) +$$ + +将灰色预测模型预测的 $\mathrm{T}_{\mathrm{B}}(\mathrm{t}_{\mathrm{k} + 1})$ 作为 $\mathrm{t}_{\mathrm{k}} \sim \mathrm{t}_{\mathrm{k} + 1}$ 时间内制动力矩, 代入问题 3 中的驱动电流模型中, 可推得如下的计算机驱动电流控制方法: + +$$ +\mathrm {I (t _ {k})} = \mathrm {K} \frac {\mathrm {J _ {v}} - \mathrm {J _ {m}}}{\mathrm {J _ {v}}} \overline {{\mathrm {T _ {B}}}} (\mathrm {t _ {k + 1}}) +$$ + +对于此种电流控制方法做了几组模拟，其结果如下： + +这是在时间间隔为0.01s得到的结果 + +$$ +\mathrm {W _ {z} = 5 0 8 5 6 . 5 J W _ {E} = 5 0 8 4 4 . 5 J \rho = 0 . 0 0 0 2 3 5 9 5 8} +$$ + +$$ +W _ {z} = 5 0 8 0 1. 3 J W _ {E} = 5 0 7 9 8. 8 J \rho = 0. 0 0 0 2 4 5 6 8 1 +$$ + +$$ +\mathrm {W} _ {\mathrm {z}} = 5 0 8 2 4. 3 \mathrm {J} \quad \mathrm {W} _ {\mathrm {E}} = 5 0 8 1 1. 8 \mathrm {J} \quad \rho = 0. 0 0 0 2 5 5 7 5 8 +$$ + +这是在时间间隔为 $0.1 \mathrm{~s}$ 得到的结果 + +$$ +W _ {z} = 5 0 7 3 5. 6 J \quad W _ {E} = 5 0 0 8 4. 8 J \quad \rho = 0. 0 1 3 2 5 +$$ + +$$ +W _ {z} = 5 0 8 8 7 J \quad W _ {E} = 5 0 1 3 0. 4 J \quad \rho = 0. 0 1 4 8 7 8 +$$ + +$$ +\mathrm {W} _ {\mathrm {z}} = 5 0 8 2 4. 3 \mathrm {J} \quad \mathrm {W} _ {\mathrm {E}} = 5 0 1 6 0. 7 \mathrm {J} \quad \rho = 0. 0 1 4 5 0 0 +$$ + +通过对结果的数据统计可以看到灰色预测的方法可以更好的减少制动机能量的误差，比之前控制方法 $0.04\%$ 的结果要提高了一半，同样在时间间隔为0.1s时灰色预测的方法得到的结果仍然比之前的预测方法要好很多，而结果的稳定性也有所提高。 + +# 9 电机控制策略精度和稳定性的检验 + +通过计算机模拟的方法对电机控制策略进行检验。通过实验结果对电机控制模型的精度和稳定性进行分析，及衡量评价方法的合理性，普遍适用性，在附件中会给出模拟程序和相应的数据。 + +# 9.1 计算机模拟 + +# 9.1.1 计算机模拟实现方法 + +计算机模拟的具体实现方法已在前面说明，在求解模型和评价控制方法中我们做了如下的计算机模拟： + +1. 模拟出路试情况下制动机扭矩的变化情况。这种模拟是将连续量离散化后得到的，实际上我们得到的只是一些离散时刻的值。 +2. 根据模拟出的扭矩数据，计算出路试时车轮仅在制动机作用下速度的变化情况。 +3. 根据上面模拟出的制动机扭矩的数据，计算出试验台上在制动机和某种控制策略下电动机产生的扭矩共同作用下主轴转速的变化情况。 + +# 9.1.2 计算机模拟的稳定性： + +我们通过在Mathematic中随机产生多组制动机扭矩的变化记录。 + +对记录进行最小二乘法的曲线拟合，得到新的曲线函数 $f'(x)$ ，和产生随机数据的模拟函数 $f(x)$ 进行傅里叶分解比较，我们得到统计差异为 $0.107\%$ ，这种吻合程度是比较好的。 + +由于数据本身就是在一定的概率下随即产生的，进行残差分析只是还原了模拟最初采用的数据，这里不做分析。 + +# 9.2 电机控制策略精度和稳定性 + +通过计算机模拟，我们模拟了产生了80组制动机制动时扭矩变化的数据。这些数据分为4组： + +1. 我们将制动机制动时间延长到 $4.00 \mathrm{~s}, 4.50 \mathrm{~s}, 5.00 \mathrm{~s}, 5.50 \mathrm{~s}, 6.00 \mathrm{~s}$ …… +2. 我们改变制动的初始速度 50rad/s,52rad/s,54rad/s,56rad/s,60rad/s…… +3. 我们通过添加正太分布的随机因子，每次添加我们都会改变正态分布的均值和均方差 $\{1.502, 5.6843\}, \{1.402, 5.6843\}$ + +4. 我们通过添加正弦噪声 $10 \sin 0.67 x + 9 \cos 0.67 x, 13 \sin 0.60 x + 15 \cos 0.60 x$ …… + +在不同的制动机扭矩情况下，我们通过模拟得到制动机路试时能量的变化，和试验台上制动机损耗的能量，通过现有的评价方法我们对模拟后的结果进行评价，计算整体能量误差和累计能量误差。 + +我们通过数据统计可以得到，试验台上制动机能量损耗和路试时制动机能量损耗的相对能量差不超过 $0.05\%$ ，由此可以证明电机的控制策略具有很高的精度，在后面的模型扩展中我们会进一步说明为什么会有这么高的精度，这和控制策略中时间步长的长短 + +是有关系的。 + +对得到的能量误差进行残差分析和回归分析，我们可以发现在不同的模拟前提下能量误差间的偏差不超过 $6.07\%$ ，由此可以证明电动机控制策略具有较高的稳定性。 + +# 10 模型扩展: + +# 10.1 神经网络的控制策略 + +试验台上模拟制动机制动过程本质是一个根据现有信息做出决策的模型。怎样能做出较好的决策使得试验台上主轴的转动变化过程和路试时车轮的转动变化过程始终保持一致，是模型要解决的最终目标。 + +这里我们提出利用神经网络的感知器来进行下一时间段内决策的制定方法。我们制定一个可以输入多个时间的顺势转速和顺势扭矩的感知器，感知器的输出则是下一时间段内最优的电机扭矩。我们通过计算机模拟产生几组制动机扭矩变化数据和路试时车轮的转速，理论上感知器的学习样本应该是当前主轴转速乘以主轴所具有的机械惯量，但是由于下一时刻制动机的扭矩是未知的，在保持当前电机扭矩的情况下会产生误差，所以没有最优的学习样本，只能通过不断的模拟由同一模拟函数产生制动机扭矩能量误差不断减小时，电机的扭矩样本。 + +我们利用Mathlab中神经网络的工具箱进行了模拟，在有限的样本和学习次数下，得到的控制方法并不是非常的理想，但是通过不断地完善神经网络的学习，是可以得到较好的控制方法，但是这样时间的开销较大。 + +# 10.2 更为广泛的使用范围 + +通过查阅了大量资料，我们得知在工程中，制动机制动过程中扭矩的变化过程近似如下： + +![](images/475cd7715f2ef7008daea3d4dc6a26ccf48ce60e41f751f8cef79ff958f7af0b.jpg) + +这个过程包括了制动机开始制动，到达稳定状态后又撤销制动。 + +虽然题目(4)中所给的数据只包括了制动机开始制动达到稳定的状态，但是我们通过计算机模分段地模拟了制动机停止制动过程中扭矩的变化，在这种情况下我们计算了制动机能量的误差，和前面得到的结果一致，控制策略可以将累计能量误差控制在 $0.05\%$ 以下，表明我们的控制方法在制动机停止阶段也是很有效的。 + +我们认为当制动机达到稳定状态下，制动的扭矩会夹杂噪声，如题目中给出的数据夹杂的是正弦噪声，不同的噪声是否会影响控制器的稳定性，我们还是通过计算机模拟的方法，在制动机稳定下添加不同的噪声来观测控制策略的稳定性，同样由于累加次数的较少和控制时间间隔较短，制动机的能量误差可以控制在 $0.05\%$ 以下。 + +# 11模型评价： + +模型的优点是我们在给出较好的控制策略的同时给出了我们认为较为合理的控制评价方法，将连续的制动机扭矩变化过程离散化，是解决控制策略的基础，在模型解答中我们利用了这种离散化的数据，通过动态模拟的方法给出了路试时车辆能量的变化，同样在测试模型稳定性和精确性时我们都利用了这种方法。而且我们在处理模型的结果时利用了大量的模拟数据，我们通过对模拟数据结果的统计分析，可以更好的判断出控制方法的稳定性和精确性。 + +# 参考文献 + +[1]姜起源等，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2004 +[2]马文蔚，周雨青，《物理学教程》，北京：高等教育出版社，2006 +[3]马技杰等，《制动器惯性台架电模拟惯量的研究》，中国技术学报，2008 +[4]莫志勇等，《汽车机械惯量电模拟技术》，中国惯性技术学报，2009 +[5]林荣会等，《双分流加载式制动器试验台》，自动化仪器仪表，1997 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A3/09A3.md" "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A3/09A3.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7ea7346418694e9975b95ff72f702257fa85a1c6 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09A3/09A3.md" @@ -0,0 +1,643 @@ +# 制动器试验台的计算机控制方法分析与设计 + +# 摘要 + +本文旨在研究制动器试验台的控制问题，通过对试验台模拟试验的分析推导，建立了驱动电流依赖于可观测量的数学模型，给出控制驱动电流的方法，并对所给方法进行评价和改进。 + +问题一，根据题述，把载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，结合刚体力学知识，求得问题一中等效的转动惯量为 $52\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ； + +问题二，经过计算可知，能组成八种机械惯量，分别为10、40、70、100、130、160、190、 $220\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ，对应于问题一中得到的等效转动惯量，需要用电动机补偿惯量为 $12\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 或 $-18\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ； + +问题三，本文依据能量守恒定律对制动过程进行分析，建立了一个理想条件下的基本模型，并利用该模型求出题述条件下的驱动电流为174.8252A或-262.2378A，两个取值分别对应于问题二求得的两个补偿惯量值； + +问题四，能量误差的大小是评价控制方法优劣的一个重要指标，利用所给数据求出能量误差为 $2.9461 \times 10^{3}\mathrm{J}$ ，相对能量误差为 $5.64\%$ ，可以看出该方法误差较大； + +问题五，我们利用第三问导出的基本模型，推出了依据前一时间段观测到的瞬时扭矩设计本时间段电流值的计算机控制方法，经过计算机模拟分析发现该方法具有明显的时延误差，其相对能量误差为 $0.219\%$ ，为了减弱该误差的影响，我们引入反馈机制加以改进，使相对能量误差降低到了 $0.089\%$ + +问题六，经过对问题五中的方法分析发现，反馈虽然可以在一定程度上减弱时延误差，但却无法从根本上解决该方法内在缺陷，因此本文给出了基于Laplace变换设计的新方法。此方法虽然也用前一时间段的数据估计此时间段的电流值，但是，经过严格证明与计算机模拟发现：在模型阶数N足够大的情况下，能量误差近似为零！ + +最后，我们给出了多目标规划模型和基于非线性方程的迭代求解模型这两个拓展模型，并对各模型的优缺点进行了分析。 + +关键字：刚体力学 制动器 拉普拉斯变换 时延误差 过程控制 + +# 目录 + +1．问题重述与分析. 3 +2. 基本假设 ..... 3 +3.符号说明 3 + +4. 模型的建立与求解 ..... 4 + +4.1 问题一 4 +4.2 问题二 4 + +4.2.1 可能组成的机械惯量 4 +4.2.2 电动机补偿惯量 4 + +4.3 问题三 + +4.3.1 基于可观测量的驱动电流控制基本模型 4 +4.3.2 驱动电流的计算 5 + +4.4 问题四 6 +4.5 问题五 6 + +4.5.1 基于可观测量的驱动电流控制离散模型 6 +4.5.2 驱动电流控制离散模型的计算机模拟测试 6 +4.5.3 对4.5.1模型的分析与评价 8 +4.5.4 引入反馈机制的驱动电流控制改进模型 9 + +4.6 问题六 ..... 11 + +4.6.1 问题五所得电流控制模型的不足 ..... 11 +4.6.2 基于Laplace变换的电流控制模型 11 + +5.驱动电流控制模型拓展 14 + +5.1 拓展模型一 多目标规划模型 ..... 14 + +5.1.1 目标函数的确定 14 +5.1.2 模型建立 14 +5.1.3 模型求解 ..... 14 + +5.2 拓展模型二 基于非线性方程的迭代模型 ..... 16 + +5.2.1 模型建立 16 +5.2.2 模型求解 16 + +6. 模型优缺点分析 ..... 18 +7. 模型推广 ..... 18 +8. 参考文献 ..... 18 + +# 1. 问题重述与分析 + +制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全，而制动器性能的测试是为了检验设计优劣的不可或缺的一部分。通过分析发现，问题的核心在于：如何使得制动过程中电动机尽量精确地补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，以满足模拟实验的原则，也就是解决如何控制电动机的驱动电流问题。 + +对于问题一和问题二，根据题目中所给条件利用刚体力学知识直接求解即可。对于问题三，利用能的转化与守恒定律建立模型求解，然后利用该模型求得所给具体情况下的驱动电流值。评价控制方法优劣的一个重要指标是能量误差的大小，据此可以对问题四所述控制方法得到的结果进行评价。对于问题五，可以依据问题三所建的模型，给出依据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并进行计算机模拟，可利用与解决问题四同样的方法进行评价。对于问题六，应该在问题五所给控制方法的基础上进一步分析，给出一个尽量完善的计算机控制方法。 + +# 2. 基本假设 + +1. 路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动； +2. 模拟实验中，主轴的角速度与车轮的角速度始终一致； +3.车轮及主轴的角速度连续变化； +4. 试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比； +5. 不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。 + +# 3. 符号说明 + +
G制动时车轮承受的载荷
g重力加速度,取9.8m/s2
t0施加制动的初始时刻
te施加制动的末时刻
v车轮的线速度
ω车轮的角速度
r车轮的滚动半径
J等效转动惯量大小
J0基础转动惯量大小
J'机械转动惯量大小
ri1、ri2第i个飞轮的内、外半径
ρ钢材密度
Mz制动力产生的扭矩
Mi电动机驱动电流产生的扭矩
β制动角减速度
i电动机驱动电流大小
以上各量的单位均取国际单位,其他符号在使用时说明。
+ +# 4. 模型的建立与求解 + +# 4.1 问题一 + +记 $\mathrm{m}$ 为路试车辆制动时承受的载荷对应的质量,由牛顿第二定律可得, + +$$ +G = m g \tag {1} +$$ + +由于模拟试验中认为主轴的角速度和飞轮的角速度始终一致，且认为轮胎与地面无滑动，有 + +$$ +\mathbf {v} = \omega \mathbf {r} \tag {2} +$$ + +又根据题述可知，载荷在车辆平动时具有的能量等效转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，故 + +由以上三个等式解得： $\mathrm{J} = \frac{\mathrm{G}}{\mathrm{g}}\mathrm{r}^2 = 52\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2.$ (3） + +即等效的转动惯量为 $52 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ . + +# 4.2 问题二 + +# 4.2.1 可能组成的机械惯量 + +对于内、外半径分别为 $r_{i1} 、 r_{i2}$ , 厚度为 $h_{j}$ 的飞轮, 其对应转动惯量为 + +$$ +J _ {i} = \int_ {r _ {i 1}} ^ {r _ {i 2}} r ^ {2} d m = \int_ {r _ {i 1}} ^ {r _ {i 2}} r ^ {2} \rho h _ {i} 2 \pi r d r = \frac {1}{2} \pi \rho h _ {i} \left(r _ {i 2} ^ {4} - r _ {i 1} ^ {4}\right), i = 1, 2, 3 \tag {4} +$$ + +据此可以计算出三个飞轮相应的转动惯量依次为： + +$$ +\mathrm {J} _ {1} = 3 0 \mathrm {k g} \cdot \mathrm {m} ^ {2}, \mathrm {J} _ {2} = 6 0 \mathrm {k g} \cdot \mathrm {m} ^ {2}, \mathrm {J} _ {3} = 1 2 0 \mathrm {k g} \cdot \mathrm {m} ^ {2}. +$$ + +由于各飞轮均有取用或不取用两种情况，故共有 $2^{3} = 8$ 种可能的取法，且检验发现相应的 8 个机械惯量取值之间无重复，罗列如下： + +$$ +1 0, 4 0, 7 0, 1 0 0, 1 3 0, 1 6 0, 1 9 0, 2 2 0 \mathrm {k g} \cdot \mathrm {m} ^ {2}. +$$ + +# 4.2.2 电动机补偿惯量 + +对于问题一中得到的等效转动惯量 $52 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 设电动机需要补偿惯量大小为 $\Delta \mathrm{J}$ , 则有 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {3} x _ {i} \cdot J _ {i} + J _ {0} + \Delta J = J \tag {5} +$$ + +其中 $\mathrm{x_i} \in \{0, 1\}$ , $\mathrm{x_i} = 1$ 表示选用了第i个飞轮, $\mathrm{x_i} = 0$ 表示未选用. + +显然，有 + +$$ +\mathrm {x} _ {1} = 1, \mathrm {x} _ {2}, \mathrm {x} _ {3} = 0, \Delta \mathrm {J} = 1 2 \mathrm {k g} \cdot \mathrm {m} ^ {2} +$$ + +或 + +$$ +\mathrm {x} _ {2} = 1, \mathrm {x} _ {1} 、 \mathrm {x} _ {3} = 0, \Delta \mathrm {J} = - 1 8 \mathrm {k g} \cdot \mathrm {m} ^ {2}. +$$ + +即电动机补偿惯量为 $12 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 或 $-18 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ . + +# 4.3 问题三 + +# 4.3.1 基于可观测量的驱动电流控制基本模型 + +# 1) 制动角减速度的确定 + +设施加制动后，在时间段 $[t, t + \Delta t]$ 内，车轮角速度亦即模拟实验中主轴的角速度由 $\omega$ 变为 $\omega - \Delta \omega$ ，主轴转过的角度为 $\Delta \theta$ 。由能量守恒定律[2]可得： + +$$ +- \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} \Delta \theta = \frac {1}{2} \mathrm {J} (\omega - \Delta \omega) ^ {2} - \frac {1}{2} \mathrm {J} \omega^ {2} \tag {6} +$$ + +由假设，车轮的角速度连续变化可知， + +$$ +\begin{array}{l} \lim _ {\Delta t \to 0} \Delta \theta = 0 \\ \lim _ {\Delta t \to 0} \Delta \omega = 0 \\ \end{array} +$$ + +$\Delta t \rightarrow 0$ 时, 可略去 (6) 式中 $\Delta \omega$ 的二次项, 且 $[t, t + \Delta t]$ 时间段内制动角减速度可认为恒等于 $\beta$ , 从而得 + +$$ +\mathrm {M} _ {\mathrm {z}} \Delta \theta = \mathrm {J} \omega \Delta \omega = \mathrm {J} \omega \beta \Delta t \tag {7} +$$ + +故瞬时制动角减速度为 + +$$ +\beta = \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac {M _ {z} \Delta \theta}{J \omega \Delta t} = \frac {M _ {z}}{J \omega} \omega = \frac {M _ {z}}{J} \tag {8} +$$ + +# 2）驱动电流扭矩的大小 + +对于制动器模拟试验而言，记 $J^{\prime}$ 为机械惯量的大小，由能量守恒定律可得： + +$$ +\mathrm {M} _ {\mathrm {i}} \Delta \theta - \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} \Delta \theta = \frac {1}{2} \mathrm {J} ^ {\prime} (\omega - \Delta \omega) ^ {2} - \frac {1}{2} \mathrm {J} ^ {\prime} \omega^ {2} \tag {9} +$$ + +将 (7)式代入 (9)，等式右边展开，得 + +$$ +\mathrm {M} _ {\mathrm {i}} \Delta \theta - \mathrm {J} \omega \beta \Delta t = - \mathrm {J} ^ {\prime} \omega \Delta \omega + \frac {1}{2} \mathrm {J} ^ {\prime} (\Delta \omega) ^ {2} +$$ + +同 1), 略去 $\Delta \omega$ 的二次项, 等式两边同除以 $\Delta t$ , 得 + +$$ +\mathrm {M} _ {\mathrm {i}} \frac {\Delta \theta}{\Delta t} - \mathrm {J} \omega \beta = - \mathrm {J} ^ {\prime} \omega \frac {\Delta \omega}{\Delta t} +$$ + +两边同时取极限 $\Delta t \rightarrow 0$ , 得驱动电流产生的扭矩为 + +$$ +\mathrm {M} _ {\mathrm {i}} = (\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime}) \beta \tag {10} +$$ + +# 3）驱动电流的控制模型建立 + +由题述可知： $\mathbf{i} = \mathbf{K}\cdot \mathbf{M}_{\mathrm{i}}$ (11) + +其中 $\mathrm{K} = 1.5 \mathrm{~A} / \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}$ , 为比例系数。 + +由(7)、(9)、(10)可得，驱动电流为 + +$$ +\mathrm {i} = \frac {\mathrm {K} (\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime})}{\mathrm {J}} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} \tag {12} +$$ + +其中K、J、J'为试验开始前可确定的已知量， $\mathbf{M}_{\mathbf{z}}$ 为可观测量。 + +# 4.3.2 驱动电流的计算 + +记制动初速度为 $v_{0}$ , 制动时间为 $T$ , 由于制动末速度为 0 , 制动角减速度 $\beta$ 为常数, 故 + +$$ +\beta = \frac {\mathrm {V} _ {0}}{\mathrm {r} \cdot \mathrm {T}} \tag {13} +$$ + +将上式代入（9），与（10）联立求得 + +$$ +\mathrm {i} = \frac {\mathrm {K} (\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime}) \mathrm {v} _ {0}}{\mathrm {r} \cdot \mathrm {T}} = 1 7 4. 8 2 5 2 \mathrm {A} \text {或} - 2 6 2. 2 3 7 8 \mathrm {A} +$$ + +以上两个取值分别对应电动机补偿惯量为 $12 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 或 $-18 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ 情况下的电流，其中负号表示电动机补偿惯量为负。 + +# 4.4 问题四 + +记施加制动初始时刻为 $t_{0}$ , 末时刻为 $t_{e}$ , 汽车初速度为 $v_{0}$ , 末速度为 $v_{e}$ , 载荷为 $m$ , 主轴初转速为 $n_{0}$ , 末转速为 $n_{e}$ , 初角速度为 $\omega_{0}$ , 末角速度为 $\omega_{e}, \varepsilon_{E}$ 为相对能量误差, 路试时制动器在制动过程中消耗能量为 $E_{L}$ , 相应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量为 $E_{S}$ , 路试时轮胎与地面无滑动, 因此地面与轮胎的摩擦力不做功, 汽车动能的减少量等于制动器消耗的能量, 即: + +$$ +\mathrm {E} _ {\mathrm {L}} = \frac {1}{2} \mathrm {m v} _ {0} ^ {2} - \frac {1}{2} \mathrm {m v} _ {\mathrm {e}} ^ {2} = \frac {1}{2} \mathrm {J} \omega_ {0} ^ {2} - \frac {1}{2} \mathrm {J} \omega_ {\mathrm {e}} ^ {2} \tag {14} +$$ + +设施加制动后，在时间段 $[t, t + \Delta t]$ 内，模拟实验中主轴的角速度由 $\omega(t)$ 变为 $\omega(t + \Delta t)$ ，主轴转过的角度为 $\Delta \theta$ ，由 $\omega$ 的连续性可得： + +$$ +\Delta E _ {S} = M _ {z} (t) \Delta \theta = M _ {z} (t) \omega (t) \Delta t +$$ + +故 + +$$ +E _ {S} = \sum_ {k = 0} ^ {N - 1} \Delta E _ {S} = \sum_ {k = 0} ^ {N - 1} M _ {z} \left(t _ {0} + k \Delta t\right) \omega \left(t _ {0} + k \Delta t\right) \Delta t \tag {15} +$$ + +其中 $\mathrm{N} = (\mathrm{t_e} - \mathrm{t_0}) / \Delta \mathrm{t}$ ，为制动过程的总时间段数； + +利用matlab求解得到，能量绝对误差 $\Delta \mathrm{E} = |\mathrm{E}_{\mathrm{S}} - \mathrm{E}_{\mathrm{L}}| = 2.9461\times 10^{3}\mathrm{J}.$ + +为了更好的反映出控制方法的优劣，这里同时计算出相对能量误差，为 + +$$ +\varepsilon_ {\mathrm {E}} = \frac {\left| \mathrm {E} _ {\mathrm {S}} - \mathrm {E} _ {\mathrm {L}} \right|}{\mathrm {E} _ {\mathrm {L}}} \times 100 \% = 5.64 \% \tag{16} +$$ + +由此可知，该方法误差较大。 + +# 4.5 问题五 + +# 4.5.1 基于可观测量的驱动电流控制离散模型 + +假设在所考虑的每一个小时段（这里取 $\Delta t = 0.01s$ ）内，制动扭矩 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}$ 近似保持不变，因此可用 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}(\mathbf{t} - \Delta \mathbf{t})$ 替代 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}(\mathbf{t})$ 对电动机驱动电流 $\mathrm{i}(t)$ 进行设计。根据问题三导出的数学模型（式11），可取： + +$$ +\mathrm {i} (\mathrm {t}) = \frac {\mathrm {K} \left(\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime}\right)}{\mathrm {J}} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {t} - \Delta \mathrm {t}) \tag {17} +$$ + +作为对本时间段电流的设计值。 + +# 4.5.2 驱动电流控制离散模型的计算机模拟测试 + +根据问题四所给瞬时扭矩 $\mathrm{M}_{\mathrm{z}}$ (单位: N.m) 和瞬时转速 $\mathrm{n}$ (单位: rpm) 的数据, 作出瞬时扭矩 $\mathrm{M}_{\mathrm{z}}$ 、瞬时转速 $\mathrm{n}$ 在各时刻的取值变化图像, 如图 1 所示。 + +![](images/8c84a61ee80e1fb0af690163c73e0b3dd8296e323fac17e6b40c5e33cfc5c731.jpg) +图1扭矩和转速随时间的变化关系图 + +观察图像可知， $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}$ 大致呈“S”形变化趋势，可考虑函数 $\mathrm{f(t)} = \frac{\mathrm{C_1}}{1 + \mathrm{C_2e^{-\alpha_1t}}}$ （Logistic曲线）；而且，角速度 $\omega$ 越大， $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}$ 波动峰峰值越小，即波动越平缓，同时，波动相位角与主轴的瞬时相位角 $\theta$ 有关，故取震荡因子： $1 + (\mathrm{C}_3 + \mathrm{C}_4\omega^{-\alpha_2})\cdot \cos^{\alpha_3}(\theta +\theta_0)$ ；同时近似认为制动角减速度恒定，取 $\theta = \omega_0t - \frac{1}{2}\mathrm{C}_5t^2$ 。综上，选择下式对制动扭矩进行拟合 + +$$ +\mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {t}) = \frac {\mathrm {C} _ {1}}{1 + \mathrm {C} _ {2} \mathrm {e} ^ {- \alpha_ {1} \mathrm {t}}} \left[ 1 + \left(\mathrm {C} _ {3} + \mathrm {C} _ {4} \omega (\mathrm {t}) ^ {- \alpha_ {2}}\right) \cdot \cos^ {\alpha_ {3}} \left(\omega_ {0} \mathrm {t} - \frac {1}{2} \mathrm {C} _ {5} \mathrm {t} ^ {2} + \theta_ {0}\right) \right] \tag {18} +$$ + +利用matlab软件进行最小二乘拟合，得到 + +$$ +C _ {1} = 2 8 1. 3, C _ {2} = 9. 3 2 6 7, \alpha_ {1} = 7. 9 1 3 1, C _ {3} = - 0. 1 0 7 0, C _ {4} = 0. 5 1 6 6, +$$ + +$$ +\alpha_ {2} = 0. 7 6 8 2, \omega_ {0} = 5 7. 0 3 8 3, C _ {5} = 6. 3 5 2 3, \theta_ {0} = - 8. 7 0 4 2, \alpha_ {3} = 1. 0 9 9 3. +$$ + +拟合的残差方均值为: $\vartheta = 8.3270$ , 说明拟合效果较好, 如图 2 所示: + +![](images/6f428f19eb4a5fd683b99dc74edccd377d8856b4446514c37eab59a511a67132.jpg) +图2制动扭矩拟合图 + +又有 + +$$ +\omega (t) = \omega (t - \Delta t) - \frac {\mathrm {i} (t)}{\mathrm {K} (\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime})} \Delta t \tag {19} +$$ + +为了检验方法的有效性，我们利用计算机模拟制动过程，算法如下： + +Step1: 初始化可观测量在初始时刻的值, 令 $t = \Delta t$ ; + +Step2：由先前 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}$ 的数据设计t时刻电动机电流i(t)，(特别地，对于4.5.1所建模型，有 $\mathrm{i}(t) = \frac{\mathrm{K}(\mathrm{J} - \mathrm{J}^{\prime})}{\mathrm{J}}\mathrm{M}_{\mathrm{z}}(\mathrm{t} - \Delta \mathrm{t}))$ + +Step3: 由 $\mathrm{i}(t)$ 和 $\omega(t - \Delta t)$ 模拟计算 $t$ 时刻角速度 $\omega(t) = \omega(t - \Delta t) - \frac{\mathrm{i}(t)}{\mathrm{K}(\mathrm{J} - \mathrm{J}')} \Delta t$ ; + +Step4: 由 $\omega(t)$ 和 $t$ 计算 $t$ 时刻的制动器扭矩 + +$$ +\mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {t}) = \frac {\mathrm {C} _ {1}}{1 + \mathrm {C} _ {2} \mathrm {e} ^ {- \alpha_ {1} \mathrm {t}}} \left[ 1 + \left(\mathrm {C} _ {3} + \mathrm {C} _ {4} \omega (\mathrm {t}) ^ {- \alpha_ {2}}\right) \cdot \cos^ {\alpha_ {3}} \left(\omega_ {0} \mathrm {t} - \frac {1}{2} \mathrm {C} _ {5} \mathrm {t} ^ {2} + \theta_ {0}\right) \right]; +$$ + +Step5: 若 $\omega(t) \leq \omega_{\mathrm{e}}$ (制动过程的末角速度), 认为模拟结束, 进入 Step6; 否则修改 $t = t + \Delta t$ , 并回到 Step2; + +Step6: 计算相对能量误差 $\varepsilon_{\mathrm{E}}$ 。 + +计算机模拟过程中数据产生次序的示意图如图3所示（仅给出3个相邻的时间段内的数据产生过程）。 + +![](images/1fd3b89b04162051f9ef6848733a4cb47402d728c535ab8b1f8c91203e4126dc.jpg) +图3计算机模拟过程中数据产生流程 + +# 4.5.3 对4.5.1模型的分析与评价 + +# 1）能量误差计算 + +根据模拟结果计算，得： $\varepsilon_{\mathrm{E}} = 0.219\%$ ，即4.5.1所建模型的相对能量误差比第四问的降低了一个数量级，说明本模型的控制方法明显优于问题四的方法。 + +2）稳定性分析：使用多组模拟的制动过程的初始值，得到以下结果： + +表 1 不同初始值下的模拟结果 + +
扭矩 N·m初始转速 rpm相对能量误差
40514.330.2193%
80514.330.2192%
120514.330.2191%
404000.3769%
405000.2310%
406000.1641%
407000.1272%
+ +从上表可看出，4.5.1模型的稳定性较高，尤其是对初始扭矩的稳定性。 + +# 3）误差分析： + +由4.3.1可知，在满足模拟实验原则的理想情况下，约定任意时刻 $t$ ，电动机驱动电流的理想值为 $\mathrm{i}(t)$ ，设计值为 $\overline{\mathrm{i}}(t)$ ，有： + +$$ +\mathrm {i} (\mathrm {t}) = \frac {\mathrm {K} \left(\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime}\right)}{\mathrm {J}} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {t}) \tag {20} +$$ + +记 $\mathrm{K}_1 = \frac{\mathrm{K}(\mathrm{J} - \mathrm{J}')}{\mathrm{J}}$ 并对上式两端作Laplace变换， + +$$ +\mathcal {L} [ \mathrm {i} (t) ] = \mathrm {K} _ {1} \mathcal {L} [ \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (t) ] +$$ + +4.5.1中我们用 $\mathrm{M_Z(t - \Delta t)}$ 替代 $\mathrm{M_Z(t)}$ 对电动机驱动电流i(t)进行估计： + +$$ +\overline {{\mathrm {i}}} (t) = \frac {\mathrm {K} (\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime})}{\mathrm {J}} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (t - \Delta t) +$$ + +对上式两端作Laplace变换， + +$$ +\mathcal {L} \bigl [ \overline {{\mathrm {i}}} (t) \bigr ] = \mathrm {K} _ {1} \mathcal {L} \bigl [ \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (t) \bigr ] \mathrm {e} ^ {- \Delta t \cdot s} +$$ + +可见，i(t)的拉氏变换 $\mathcal{L}[\mathrm{i}(t)]$ 与其设计值 $\bar{\mathrm{i}}(t)$ 的拉氏变换 $\mathcal{L}[\bar{\mathrm{i}}(t)]$ 恰好相差一个时移因子 $\mathrm{e}^{-\Delta t \cdot s}$ ，因此 $\bar{\mathrm{i}}(t)$ 有时滞性，这是本模型中影响相对能量误差 $\varepsilon_{\mathrm{E}}$ 的最主要因素。由图4可以看出，时延长度恰好为 $\Delta t$ ，与理论分析一致。 + +![](images/fcacb9e991483a0b9800bebd8f58a08ad5ed4ecd89bae166cbf12fb8842c3adb.jpg) +时间s +图4 时滞性曲线 + +本模型产生时延误差的根本原因就在于模型的构建：假设每一个小时间段内制动扭矩 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}$ 近似保持不变，于是使用 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}(t - \Delta t)$ 替代 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}(t)$ 对电动机驱动电流i(t)进行了设计，导致时移因子 $\mathrm{e}^{-\Delta t \cdot s}$ 的引入。 + +# 4.5.4 引入反馈机制的驱动电流控制改进模型 + +由于时延误差是本模型中影响相对能量误差 $\varepsilon_{\mathrm{E}}$ 的最主要因素，为了减小时延误差，我们引入反馈机制，以 $t$ 时刻驱动电流 $\overline{i}(t)$ 与其理想值 $i(t)$ 的偏差的某种近似作为反馈信 + +号，使得 $\overline{\mathrm{i}} (\mathrm{t} + \Delta \mathrm{t})$ 与 $\mathrm{i}(t + \Delta t)$ 的偏差减小。由于试验中 $\overline{\mathrm{i}} (\mathrm{t})\propto \mathrm{M}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t})$ ， $\mathrm{i(t)}\propto \mathrm{M_z(t)}$ ，于是我们取 $\left(\frac{(J - J')\mathrm{M_z(t)}}{\mathrm{J}\cdot\mathrm{M_i(t)}}\right)^{\mu}$ 作为 $\overline{\mathrm{i}} (\mathrm{t})$ 与其理想值i(t)的偏差的近似。具体反馈结构图如图5所示，其中虚线框内是反馈环路。 + +![](images/dca6ca714231699ec3bcf3c69da99f3a3bf0256f4e8833f7d26a7a600d21e0a2.jpg) +图5 反馈结构图 + +其中 + +$$ +\mathrm {i} (\mathrm {t} + \Delta \mathrm {t}) = \mathrm {k} \frac {(\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime})}{\mathrm {J}} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {t}) \cdot \gamma^ {\mu} = \mathrm {k} \left(\frac {(\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime}) \cdot \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {t})}{\mathrm {J}}\right) ^ {\mu + 1} \cdot \frac {1}{(\mathrm {M} _ {\mathrm {i}} (\mathrm {t})) ^ {\mu}} +$$ + +计算机模拟结果表明, 与未加反馈机制的电流值控制方法相比, 加入反馈机制之后,相对能量误差大大减小。反馈系数 (记为 $\mu$ ) 越大, 能量误差 $\varepsilon_{E}$ 越小, 如表 2 所示。 + +表 2 反馈系数和能量误差之间的变化关系 + +
反馈系数μ0.60.70.80.90.951.0
相对能量误差εE0.120%0.111%0.102%0.095%0.091%0.077%
+ +但是，根据反馈理论[3]可知，反馈系数过大时，闭环系统变得不稳定，环路会出现自激振荡，违背了等式： + +$$ +\mathrm {i (t)} = \frac {\mathrm {K (J - J ^ {\prime})}}{\mathrm {J}} \mathrm {M _ {z} (t - \Delta t)} +$$ + +且反馈系数越大，电流振荡越明显，以至不可接受。鉴于此，本文取反馈系数 $\mu = 0.97$ 此时 $\varepsilon_{\mathrm{E}} = 0.089\%$ ，模拟结果如图6所示。 + +![](images/685a7b983278bf3612d923ce465ea4e22343f56048c799696d4d5bf184d415f3.jpg) +图6反馈系数为0.97时的模拟结果 + +从上图可以看出，曲线与散点的吻合程度比较高，说明由于引入反馈机制使得电流的时延被减弱。 + +# 4.6 问题六 + +# 4.6.1 问题五所得电流控制模型的不足 + +前文已经分析了4.5.1的模型中电动机驱动电流具有时延误差。4.5.2的模型对其进行了改进，引入反馈机制，起到了一定的效果，但是其反馈机理（用 $\overline{\mathbf{i}}(t)$ 与 $\mathbf{i}(t)$ 的偏差调整 $\overline{\mathbf{i}}(t + \Delta t)$ 使其更接近 $\mathbf{i}(t + \Delta t)$ ）决定了其模型中的时延误差无法从根本上消除。鉴于此，下文利用信号与系统理论进行解答。 + +# 4.6.2 基于Laplace变换的电流控制模型 + +# 1）模型建立 + +前文中已经推导了时延误差产生的原因，即认为每一个小时间段内制动扭矩 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}$ 近似保持不变，使用 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}(t - \Delta t)$ 替代 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}(t)$ 对电动机驱动电流i(t)进行设计。现在讨论如何消除时延误差。 + +由(20)式可知，理想情况下，对制动过程中的任意时刻 $t$ ，应有 + +$$ +\mathrm {i} (t + \Delta t) = \frac {\mathrm {K} (\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime})}{\mathrm {J}} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (t + \Delta t) +$$ + +记 $\mathrm{K}_1 = \frac{\mathrm{K}(\mathrm{J} - \mathrm{J}')}{\mathrm{J}}$ 并对上式两端作Laplace变换， + +$$ +\mathcal {L} [ \mathrm {i} (t + \Delta t) ] = \mathrm {K} _ {1} \mathcal {L} [ \mathrm {M} _ {z} (t + \Delta t) ] +$$ + +得 + +$$ +\mathcal {L} [ \mathrm {i} (t) ] \mathrm {e} ^ {\Delta t \cdot s} = \mathrm {K} _ {1} \mathcal {L} [ \mathrm {M} _ {z} (t) ] \mathrm {e} ^ {\Delta t \cdot s} = \mathrm {K} _ {1} \mathcal {L} [ \mathrm {M} _ {z} (t) ] \cdot [ 1 + \Delta t \cdot s + \frac {1}{2 !} (\Delta t \cdot s) ^ {2} + \frac {1}{3 !} (\Delta t \cdot s) ^ {3} + \dots ] \tag {21} +$$ + +对上式两端进行Laplace反变换， + +$$ +\mathrm {i} (t + \Delta t) = \mathrm {K} _ {1} \left(\mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (t) + \frac {\mathrm {d M} _ {\mathrm {z}} (t)}{\mathrm {d t}} \cdot \Delta t + \frac {1}{2 !} \cdot \frac {\mathrm {d} ^ {2} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (t)}{\mathrm {d t} ^ {2}} \cdot (\Delta t) ^ {2} + \frac {1}{3 !} \cdot \frac {\mathrm {d} ^ {3} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (t)}{\mathrm {d t} ^ {3}} \cdot (\Delta t) ^ {3} + \dots\right) +$$ + +进行离散化处理，依题意，令 $t = n\Delta t$ ，上式化为 + +$$ +\mathrm {i} ((\mathrm {n} + 1) \Delta \mathrm {t}) = \mathrm {K} _ {1} (\mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {n} \Delta \mathrm {t}) + \Delta \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {n} \Delta \mathrm {t}) + \frac {1}{2 !} \cdot \Delta^ {2} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {n} \Delta \mathrm {t}) + \frac {1}{3 !} \cdot \Delta^ {3} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {n} \Delta \mathrm {t}) + \dots) +$$ + +将公式： $\Delta^{\mathrm{k}}\mathrm{M}_{\mathrm{z}}(\mathrm{n}\Delta \mathrm{t}) = \sum_{\mathrm{m} = 0}^{\mathrm{k}}(-1)^{\mathrm{m}}\mathrm{C}_{\mathrm{k}}^{\mathrm{m}}\mathrm{M}_{\mathrm{z}}((\mathrm{n} - \mathrm{m})\Delta \mathrm{t})$ 代入，得电动机驱动电流： + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {i} ((\mathrm {n} + 1) \Delta \mathrm {t}) = \mathrm {K} _ {1} \lim _ {\mathrm {N} \rightarrow + \infty} \sum_ {\mathrm {k} = 0} ^ {\mathrm {N}} \frac {1}{\mathrm {k} !} \sum_ {\mathrm {i} = 0} ^ {\mathrm {k}} (- 1) ^ {\mathrm {m}} \mathrm {C} _ {\mathrm {k}} ^ {\mathrm {m}} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} ((\mathrm {n} - \mathrm {m}) \Delta \mathrm {t}) \\ = \mathrm {K} _ {1} \lim _ {\mathrm {N} \to + \infty} \sum_ {\mathrm {k} = 0} ^ {\mathrm {N}} \sum_ {\mathrm {m} = 0} ^ {\mathrm {k}} \frac {(- 1) ^ {\mathrm {m}}}{\mathrm {m} ! (\mathrm {k} - \mathrm {m}) !} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} ((\mathrm {n} - \mathrm {m}) \Delta \mathrm {t}) \\ \end{array} +$$ + +其中N为前文（21）式e $\Delta t\cdot s$ 的Taylor展开式的阶数。 + +# 2）系统框图 + +下图是驱动电流控制系统的系统框图 + +![](images/78645d1b86b43fe95cefdee9cf6d9f9210aafe8e26820935e90376a0cc9a6343.jpg) +图7驱动电流控制系统的系统框图 + +# 3）误差分析 + +显然，N 越大，时延误差越小， $\mathrm{N} \rightarrow +\infty$ 时，时延误差为零！（上述的推导式中没有任何一条能产生时延误差的假设！）这是此模型最大的优点！但 N 越大，计算机控制系统也越复杂，因此 N 的选取应该权衡考虑。表 3 是 N 的不同取值下利用计算机模拟得到的 $\varepsilon_{\mathrm{E}}$ 的大小及程序运行时间，发现 N=2 时，得到的结果已经很让人满意，且 N 的继续增大不会带来 $\varepsilon_{\mathrm{E}}$ 的明显改善，但计算机控制的复杂度却明显增加，因此取 $\mathrm{N} = 2$ 。 + +表 3 相对能量误差及运行时间随 N 的变化关系 + +
阶数N相对能量误差运行时间(s)
00.2207%0.0753
10.002940%0.1802
20.001294%0.3225
30.001234%0.5157
40.001233%0.7577
50.001233%1.0538
60.001233%1.4055
70.001233%1.8021
80.001233%2.2370
90.001233%2.7520
100.001233%3.3385
+ +模拟测试的结果表明，相对能量误差几乎趋于零，已经远远小于模拟测试模型本身的误差。所以，计算机模拟的方法已经不能验证此模型的具体误差大小（也就是说结果中的 $0.00123\%$ 不一定是真实值），但是，测试结果能够说明本模型的测试精度随阶数 $N$ 的增加有很高的收敛性。 + +下图为 $N = 2$ 时计算机模拟结果的部分曲线，可以看出，两曲线基本重合；说明时延误差基本被消除。 + +![](images/19eb79157ce07d20ddd398f39a42dd55b1c1afe90b2a3bc2162055a582cbc9ad.jpg) +图8 $\mathrm{N} = 2$ 时的计算机模拟结果 + +# 4)稳定性分析 + +计算机模拟的方法已经不能验证此模型的具体误差大小，但是在一定范围内计算机模拟的方法还是有助于我们对此模型进行稳定性分析。使用多组初始值进行模拟，得到以下结果： + +表格 4 不同初始值下的模拟结果 + +
初始扭矩 N·m初始转速 rpm能量相对误差
404000.03133%
405000.00110%
406000.00982%
407000.01377%
805000.00109%
1205000.00109%
1605000.00108%
+ +观察结果可以发现本模型的对于初始扭矩稳定性较高，与4.5.1模型类似。 + +# 5.驱动电流控制模型拓展 + +# 5.1 拓展模型一 多目标规划模型 + +# 5.1.1 目标函数的确定 + +本模型旨在通过最优化的方法搜索出一套电流分配方案。 + +由于能量误差的大小是评价控制方法优劣的一个重要指标，同时，理想条件下，驱动电流和制动力产生的瞬时扭矩之间满足关系式（11），因此目标函数为 + +$$ +\text {M i n} \quad \varepsilon_ {\mathrm {E}} \tag {a} +$$ + +$$ +\text {M i n} \quad \sum_ {\mathrm {k} = 0} ^ {\mathrm {N} - 1} \left[ \mathrm {i} (\mathrm {k} \Delta \mathrm {t}) - \frac {\mathrm {K} (\mathrm {J} - \mathrm {J} ^ {\prime})}{\mathrm {J}} \mathrm {M} _ {\mathrm {z}} (\mathrm {k} \Delta \mathrm {t}) \right] ^ {2} \tag {b} +$$ + +其中 $\varepsilon_{\mathrm{E}}$ 是相对能量误差，可据(15)式求出。 + +实际上，这里把（b）式设为目标函数还处于以下考虑：如果（b）式以约束条件形式 $\mathrm{i}(\mathrm{k}\Delta t) = \frac{\mathrm{K}(\mathrm{J} - \mathrm{J}^{\prime})}{\mathrm{J}}\mathrm{M}_{\mathrm{z}}(\mathrm{k}\Delta t)$ 出现，那么从理论上来说，仅需要试验设备初始观测值和所有的约束条件就可以求解出确定的电流控制方案，目标函数（a）式形同虚设。因此，这里把（b）式设为目标函数，构成多目标规划模型。 + +# 5.1.2 模型建立 + +考虑到角速度与角减速度之间的物理约束、瞬时电流与角加速度之间的关系约束，建立多目标规划模型如下： + +$$ +\begin{array}{r l} \mathrm {M i n} & \varepsilon_ {\mathrm {E}} \\ \mathrm {M i n} & \sum_ {\mathrm {k = 0}} ^ {\mathrm {N - 1}} [ \mathrm {i (k \Delta t)} - \frac {\mathrm {K (J - J ^ {\prime})}}{\mathrm {J}} \mathrm {M _ {z} (k \Delta t)} ] ^ {2} \\ & \left\{ \begin{array}{l} \omega ((\mathrm {k + 1}) \Delta \mathrm {t}) - \omega (\mathrm {k \Delta t}) = \beta (\mathrm {k \Delta t}) \Delta \mathrm {t}, \mathrm {k = 0 , 1 , . . . , N - 1} \\ \mathrm {i (k \Delta t) = K (J - J ^ {\prime}) \beta} \\ \mathrm {M _ {z} (t) = \frac {C _ {1}}{1 + C _ {2} e ^ {- \alpha_ {1} t}} \Big [ 1 + (C _ {3} + C _ {4} \omega (t) ^ {- \alpha_ {2}}) \cdot c o s ^ {\alpha_ {3}} \Big (\omega_ {0} t - \frac {1}{2} C _ {5} t ^ {2} + \theta_ {0} \Big) \Big ]} \\ & \varepsilon_ {\mathrm {E}} = \frac {| E _ {\mathrm {S}} - E _ {\mathrm {L}} |}{E _ {\mathrm {L}}} \\ & E _ {\mathrm {S}} = \sum_ {\mathrm {k = 0}} ^ {\mathrm {N - 1}} M _ {\mathrm {z}} (t _ {0} + \mathrm {k \Delta t}) \omega (t _ {0} + \mathrm {k \Delta t}) \Delta t \\ & E _ {\mathrm {L}} = \frac {1}{2} J \omega_ {0} ^ {2} - \frac {1}{2} J \omega_ {\mathrm {e}} ^ {2} \end{array} \right. \\ \mathrm {s . t .} & \end{array} +$$ + +# 5.1.3 模型求解 + +1)首先对目标函数(b)去量纲化，令 $\varnothing_{2} = \frac{\sum_{k = 0}^{N - 1}[i(k\Delta t) - \frac{K(J - J^{\prime})}{J}M_{z}(k\Delta t)]^{2}}{\sum_{k = 0}^{N - 1}[\frac{K(J - J^{\prime})}{J}M_{z}(k\Delta t)]^{2}}$ ，并记 $\varnothing_{1} = |\varepsilon_{\mathrm{E}}|$ 然后对 $\varnothing_{1},\varnothing_{2}$ 进行综合加权，权系数满足 $\lambda_1 + \lambda_2 = 1.$ 以 $\varnothing = \lambda_1\varnothing_1 + \lambda_2\varnothing_2$ 作为目标函数，其中权值取 $\lambda_1 = \lambda_2 = 0.5$ ，转化为单目标规划模型。 + +2) 由于粒子群算法有较快的收敛性和运算速度，在可行域为凸集的场合下较适用，同时为了克服其易收敛于局部最优解的缺点，本题使用了加入变异机制的粒子群算法，算法流程如下： + +![](images/35557c8c8eedca3fa4ed8b89d1552cb8628ecf11500ef58d36eecfeffa38d4fc.jpg) +图9 引入变异机制的粒子群算法流程 + +据此，在制动初始时刻扭矩 $40\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ 、转速 $514.33\mathrm{rpm}$ ，完成制动时转速不大于257rpm条件下，求得的驱动电流变化如图10所示，曲线在 $t = 2s$ 附近的异常是由于在该处对（18）式的拟合效果不理想造成的。 + +![](images/e5b5999e6b3e5535a22ab77cf54abb555298275824d36cff25ccd85a9eb591f0.jpg) +图10多目标规划模型求解得到的驱动电流曲线 + +# 5.2 拓展模型二 基于非线性方程的迭代模型 + +# 5.2.1 模型建立 + +本模型旨在通过求解方程组从而计算出一套电流分配方案。 + +由前文所述，根据以下方程组及试验设备初始观测值可求解出电流控制方案。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \omega ((k + 1) \Delta t) - \omega (k \Delta t) = \beta (k \Delta t) \Delta t, & k = 0, 1, \dots , N - 1 \\ i (k \Delta t) = K (J - J ^ {\prime}) \beta & \\ M _ {z} (t) = \frac {C _ {1}}{1 + C _ {2} e ^ {- \alpha_ {1} t}} \left[ 1 + \left(C _ {3} + C _ {4} \omega (t) ^ {- \alpha_ {2}}\right) \cdot \cos^ {\alpha_ {3}} \left(\omega_ {0} t - \frac {1}{2} C _ {5} t ^ {2} + \theta_ {0}\right) \right] & \\ i (k \Delta t) = \frac {K (J - J ^ {\prime})}{J} M _ {z} (k \Delta t) & \end{array} \right. \tag {I} +$$ + +# 5.2.2 模型求解 + +由于此方程组是非线性的，较难求解，本文采用如下方法： + +方程 I、II、IV联立，可得： $\omega(k \Delta t) = \omega(0) + \sum_{i=0}^{k-1} \frac{M_z(i \Delta t)}{j} \Delta t$ + +于是 $\mathrm{M_z(t)} = \frac{\mathrm{C_1}}{1 + \mathrm{C_2e^{-\alpha_1t}}}\left[1 + \left(\mathrm{C_3} + \mathrm{C_4}\omega (\mathrm{t})^{-\alpha_2}\right)\cdot \cos^{\alpha_3}\left(\omega_0\mathrm{t - }\frac{1}{2}\mathrm{C_5t^2} + \theta_0\right)\right]\triangleq \mathrm{F(M_z(t),k\Delta t)}$ + +假设一向量组 $\left(\mathrm{M}_{z_{1}}, \mathrm{M}_{z_{2}} \ldots \mathrm{M}_{z_{n}}\right)$ 满足: + +$$ +\mathrm {M} _ {z _ {\mathrm {m}}} = \mathrm {F} \left(\mathrm {M} _ {z _ {\mathrm {m - 1}}}, \mathrm {k} \Delta \mathrm {t}\right) +$$ + +在 $\mathrm{F}\left(\mathrm{M}_{\mathrm{z}}(\mathrm{t}), \mathrm{k} \Delta \mathrm{t}\right)$ 中 $\omega$ 的改变对函数值的相对影响较小, 因此在测试函数 $\mathrm{F}\left(\mathrm{M}_{\mathrm{z}_{\mathrm{m}-1}}, \mathrm{k} \Delta \mathrm{t}\right)$ + +时发现向量序列 $\left\{M_{z_{n}}\right\}$ 的收敛性较强, 于是迭代算法设计如下: + +Step1: 读取输入信号的 $\mathrm{M}_{\mathrm{i}}$ 值, 并计算对应的 $M_{\mathrm{z}}^{\prime}\left(M_{\mathrm{z}}^{\prime}=\frac{M_{\mathrm{i}}}{\mathrm{J}-\mathrm{J}^{\prime}}\right)$ + +Step2: 令 $M_{z_1} = \mathbf{M}_{\mathbf{z}}'$ , 依次求 $M_{z_2}, M_{z_3}$ ... 的值, 直到 $\left\| M_{z_k} - M_{z_{k-1}} \right\| < \varepsilon$ , $\varepsilon$ 为一小量。令 $\mathbf{M}_{\mathbf{z}} = M_{z_k}$ 。 + +Step3:计算与 $\mathbf{M}_{\mathrm{z}}$ 值对应的其余参数： $\mathbf{M}_{\mathrm{i}}$ ， $\omega$ ， $\varepsilon_{\mathrm{E}}$ 。 + +流程图如下： + +![](images/f304993c5c2327169d7dc1c071a91f84458d8852222d74e7fe05dd1a456451ff.jpg) +图11 求解流程 + +据此，以问题四所给数据为初始迭代点，求得的驱动电流变化如下图所示： + +![](images/778b3855f40b5fae5667163fdd0806fa3b90d765c10f7c70688fc55eb032bb9c.jpg) +图12 迭代模型求得的驱动电流变化曲线 + +# 6. 模型优缺点分析 + +# 1）问题三提出的基本模型： + +优点：从基本物理定律推导出发，得到了一个简洁的电流控制模型，该模型有严谨的理论基础，所以模型得到的结果具有一定的精确度，同时简洁的模型使模型的求解速度较快。 + +缺点：在离散化时，依据模型的基本假设带来的时延误差较为明显。 + +# 2）问题五中提出的离散模型： + +优点：直接由问题三导出的基本模型得到，简单；以相对误差作为评价指标，使评价更为准确有力。 + +缺点：时延效应明显，不可避免地带来误差。 + +# 3）问题五提出的引入反馈机制的改进模型 + +优点：为了降低直接基于问题三基本模型推出的离散模型的误差，引入了反馈回路，在模型复杂度没有太大增加的情形下大幅提高了模型结果的精确度。 + +缺点：没有完全消除时延误差。 + +# 4）基于Laplace变换的电流控制模型 + +优点：基于Laplace变换和信号与系统理论，巧妙利用泰勒展开式，理论上消除了系统误差，并在实践中表现出良好的特性，低阶的模型即可保持高精确度。 + +缺点：时间复杂度随着阶数的增大增加较快。 + +# 5）多目标规划模型 + +优点：其可行域为凸集，使用引入变异机制的粒子群算法解这个模型时计算速度快，迭代收敛速度快。 + +# 6）基于非线性方程的迭代模型 + +优点：在求解非线性方程的领域较其他算法有较强优势，求得的解稳定性高，计算速度快。 + +缺点：此解法只适用于能收敛于不动点或周期性解的方程，普适性不强。 + +# 7. 模型推广 + +本文解决了具有时延误差的过程控制问题。针对问题六提出的模型可应用于许多具有时延误差的过程控制问题，例如冷库温度控制，精确制导导弹的航向控制等。模型中利用泰勒展开式对传输函数等效替换的思想在信号处理与控制领域有相当的启发性。 + +# 8. 参考文献 + +[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003 +[2] 吴百诗. 大学物理学上册[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004 +[3] 郑君里，应启珩，杨为理. 信号与系统上册[M]. 北京:高等教育出版社, 2000 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09\345\271\264A\351\242\230/09\345\271\264A\351\242\230.md" "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09\345\271\264A\351\242\230/09\345\271\264A\351\242\230.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..467ad5fa6acef7fb6a2c42bb9a6276e4be4b17f7 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/09\345\271\264A\351\242\230/09\345\271\264A\351\242\230.md" @@ -0,0 +1,32 @@ +# CUMCM2009 A 题 制动器试验台的控制方法分析 + +汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。 + +为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。 + +路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、 $80\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ，基础惯量为 $10\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ ，则可以组成10，20，30，...， $160\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 的16种数值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为 $45.7\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2$ 的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设 + +定为 $40 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 然后在制动过程中, 让电动机在一定规律的电流控制下参与工作,补偿由于机械惯量不足而缺少的能量, 从而满足模拟试验的原则。 + +一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为 $1.5\mathrm{A} / \mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ ）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。 + +由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如 $10 \mathrm{~ms}$ 为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。 + +评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。 + +现在要求你们解答以下问题： + +1. 设车辆单个前轮的滚动半径为 $0.286 \mathrm{~m}$ , 制动时承受的载荷为 $6230 \mathrm{~N}$ , 求等效的转动惯量。 + +2. 飞轮组由 3 个外直径 $1 \mathrm{~m}$ 、内直径 $0.2 \mathrm{~m}$ 的环形钢制飞轮组成，厚度分别为 $0.0392 \mathrm{~m} 、 0.0784 \mathrm{~m} 、 0.1568 \mathrm{~m}$ ，钢材密度为 $7810 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，基础惯量为 $10 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 $[-30, 30] \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ，对于问题 1 中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？ + +3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。 + +在问题 1 和问题 2 的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，制动 5.0 秒后车速为零，计算驱动电流。 + +4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为 $48 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 机械惯量为 $35 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 主 + +轴初转速为 514 转/分钟, 末转速为 257 转/分钟, 时间步长为 $10 \mathrm{~ms}$ 的情况,用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。 + +5. 按照第 3 问导出的数学模型, 给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩, 设计本时间段电流值的计算机控制方法, 并对该方法进行评价。 +6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2009/A\351\242\230/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300314/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300314.md" "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300314/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300314.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1c0c268736275b1f285f5bb593099d07436b7a25 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300314/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300314.md" @@ -0,0 +1,853 @@ +# 医院病床合理安排模型探讨 + +# 摘要 + +本文针对一所病人多、服务忙、病床数量有限的眼科医院，设计不同情形下病床合理安排的数学模型。 + +首先，参考现实医院经营管理方式，确立病床周转次数、使用率、患者平均等待时间及平均住院时间作为模型优劣评价指标体系，并结合医院提供的一定时期内患者接受服务的统计信息，运用医院管理中常用的Topsis综合指标评价法，建立模型1进行检验，发现目前该医院的工作效率低下，急需改进。 + +于是，基于平均住院时间指标的优化要求及医院各病种服务特点，将一周时间分段，运用模糊层次分析法估计权重数，在不同阶段构建线性规划模型2得到由出院人数确定的合理安排不同病人入院的方法，并给出具体案例。同时，也设计了基于另一评价指标病床周转次数的数学模型3从理论上说明了此类模型的可操作性。 + +针对等待病人迫切想要住院的要求，利用统计数据信息，在置信度0.95保证下，给出确诊病人何时入院的区间估计模型4另外，依据排队系统马尔科夫过程论和状态转移特征，建立动态平衡模型5计算出病人等待入院概率和病床占用概率，奠定估计入院时间方法的理论基础。 + +接着，对模型 2 进行改进，在周六周日不手术情形下修正不同病人的服务优先级，设计模型 6 仍然借助模型 2 的案例，将所得结果与前者进行比较，说明此情形下病床安排的不足和待改进之处。 + +为了便于医院病床管理，根据样本统计信息，运用比例分析法，得到基于决策函数非线性规划模型7，并给出一组有效的比例分配方案。并且，根据出院与住院流量平衡的特征，引入另一种动态目标规划模型8使得模型更加客观、完善。 + +最后，对模型优缺点进行了系统评价与改进，并给出一些可行性意见。 + +关键字：加权Topsis 目标规划 模糊层次分析 动态平衡 + +# 1. 问题重述 + +我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。 + +该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到 $60\%$ 如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 + +该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(Firstserve)规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，现要通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。 + +问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。 + +问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。 + +问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 + +问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整？ + +问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。 + +# 2符号说明与模型假设 + +# 21符号说明 + +
符号说明
X_i第i个工作效率指标
C_i实际解与理想解接近程度
I_i第i类病人相对优先级权重
n_i分配给第i类病人的床位数
x_i第i类病人的等待时间的随机变量
t_i第i类病人的平均住院时间
g_{i,j}第i种病人在入院第j天接受服务
+ +# 22基本假设 + +(1) 病人源无限，且系统中等待时间有限。 +(2) 所有数据来源于题目已知, 真实可靠。 +(3) 由于除外伤外其他眼科的急症数量较少，建模时不予考虑。 +(4) 门诊单位时间到达人数服从Poisson分布, 且在两个不相交时间段内病人到达情况相互独立。 + +(5) 病人住院时间均服从负指数分布。 +(6) 病人在住院期间没有意外情况发生。 + +# 3 模型建立与模型求解 + +# 31医院病床安排现状分析 + +由所给附录中2008年7月13日至2008年9月11日时间段内各类病人情况得出，各类病人占总人数的比例，分布饼图如下： + +![](images/466a7ba95f81abe907fcaec16d4397fea1dd44b7f9e22dfa6045fd7f0ce8af58.jpg) +图31-1 五类病人人数比例 + +上图表示，白内障单双眼病人所占比例分别为 $21\%$ 、 $23\%$ 视网膜病人比例为 $29\%$ 青光眼为 $11\%$ 外伤为 $18\%$ 由此可知，各类病人分布较均匀，所有病种所需特点在建模过程中都要考虑到。其中外伤所占比例接近总人数 $1/5$ 并且 + +外伤疾病属于急症，病床有空时立即安排住院手术，这就需要对于外伤住院情况优先考虑，在建模合理安排病床时，给予外伤病人优先等级。 + +在住院排队系统中，病人逗留等待时间越短，越能显示出病床合理利用率高，但通过已知数据做出的柱状图形（如下图所示），每天排队等待的人数均超多80人。等待时间较长，将导致病人不能得到及时治疗，医院工作效率低下，容易对患者及社会带来不良影响。 + +![](images/f7f5e3922e169d6f28eaaf3da127ad9d52e1903ad60af5173324552ceba56e0b.jpg) +图31-2 日排队人数统计 + +所给出的时间段统计表（2008年7月13日至2008年9月11日），作为连续时间的一部分，已知的各类病人入院出院情况与前后出院住院人数都相互影响。建模之前，必须先确认初始的病床使用状态。通过对已知时间段内病房人数统计运用Matlab画出人数统计曲线（如下图所示）。 + +![](images/a6848283a5260df39781d6af9639f3b68afb3cdeafd52bca15c338fe15d952f6.jpg) +图31-3 住院人数统计 + +上图是基于起始状态已住院人数为0得出的，根据曲线趋势我们可以看出一段时间后医院病床使用率几乎一直维系在 $100\%$ 趋于稳态，只在稳态附近微小波动。 + +由于我们只统计了7月13号到9月11号门诊病人的信息，而题目未提供7月13号以前门诊的病人未记录，我们可认为在7月13号医院病床使用率也接近 $100\%$ 即7月13号已达到稳态，我们选取的样本周期（7月13号到9月11号）是已稳定区间。 + +# 32问题一解决方案 + +# Model 1 加权 Topsis[1]评价模型 + +医院的工作效率、效益主要体现在病床周转和病员逗留时间，在给定周期内病床周转得越快，反映医院工作效率越高，资源利用率也就越高。另外，病人总是希望尽快就医，逗留时间越少越好，以解决痛苦，所以逗留时间一定程度上也影响了医院的工作效率。考虑这些因素，在对病床安排模型作优劣评价时，应重点考察如下指标：床位周转次数，床位使用率，患者平均等待住院日，患者平均住院日。 + +目前对指标优劣评价的模型有很多，如综合指数法、层次分析法、RSR法、模糊综合评价法、灰色系统法等，这些方法各具特色，各有利弊。其中，TOPS综合评价法是系统中有限方案多目标决策分析中的一种决策方法，该方法具有计算简便，结果合理，应用较为灵活等特点，将其用于医院病床使用工作效率综合评价，能取得满意的排序结果。 + +下面我们根据原始数据，利用TOPS方法来检验在旧的病床安排方式下医院的工作效率。 + +(1) 指标分类、代号与权重如下: + +通过医院临床专家对影响医院病床使用工作效率的各项指标进行筛选,并请各专家对这些指标重要性给出权重,然后用专家估计法,得出最终权重。 + +![](images/f7ff05ff1dc2f98660f46900508a27a0e4aeeddc23a592435a85362c8dba1143.jpg) + +（2）统计数据表： + +表 1 医院对各眼科疾病的工作效率 + +
病种X1X2X3X4
白内障09111267524
白内障(双眼)1.0411251856
视网膜疾病1.28112 5412 54
青光眼0 49112 2610 49
外伤07117.04
+ +（3）权向量的确定 + +运用专家估计法，依各指标对工作效率影响程度重要性给出的最终权重为： $W = (0.4, 0.15, 0.3, 0.15)$ 。 + +（4）指标的同趋势化 + +将原始数据指标值进行趋势化变换，把反向指标化为正向指标，对绝对值反向指标使用倒数法 $\left(\frac{1}{X}\right)$ ，对相对数反向指标使用差值法 $(1 - X)$ 。这里对 $X_{3}$ 和 $X_{4}$ 用倒数法，得数据矩阵（倒数乘以 100： + +$$ +X = \left[ \begin{array}{l l l l} 0. 9 1 & 1 & 7. 8 9 2 7 & 1 9. 0 8 4 \\ 1. 0 4 & 1 & 7. 9 9 3 6 & 1 1. 6 8 2 2 \\ 1. 2 8 & 1 & 7. 9 7 4 5 & 7. 9 7 4 5 \\ 0. 4 9 & 1 & 8. 1 5 6 6 & 9. 5 3 2 9 \\ 0. 7 & 1 & 1 0 0 & 1 4. 2 0 4 5 \end{array} \right] +$$ + +(5) 数据规一化处理 + +为了消除不同量纲对评价结果的影响，使评价的多指标在同一个量纲体系下进行比较，需对原始数据进行规一化处理。处理的方法为： + +$$ +\begin{array}{l} Z _ {i j} = X _ {i j} / \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {4} X _ {i j} ^ {2}} \quad i = 1, 2, \dots , 5; j = 1, 2, 3, 4 \\ Z = \left[ \begin{array}{l l l l} 0. 4 4 & 0. 4 4 7 2 & 0. 0 7 7 9 & 0. 6 5 1 9 \\ 0. 5 0 2 8 & 0. 4 4 7 2 & 0. 0 7 8 9 & 0. 3 9 9 1 \\ 0. 6 1 8 8 & 0. 4 4 7 2 & 0. 0 7 8 7 & 0. 2 7 2 4 \\ 0. 2 3 6 9 & 0. 4 4 7 2 & 0. 0 8 0 5 & 0. 3 2 5 7 \\ 0. 3 3 8 4 & 0. 4 4 7 2 & 0. 9 8 7 4 & 0. 4 8 5 2 \end{array} \right] \\ \end{array} +$$ + +(6) 确定最优向量 $Z^{+}$ 和最劣向量 $Z^{-}$ , 其中为 $Z^{+}$ 同一评价指标的最大归一化值,而 $Z^{-}$ 为同一评价指标的最小归一化值。 + +$$ +\begin{array}{l} Z ^ {+} = ( \begin{array}{c c c c} 0. 6 1 8 8 & 0. 4 4 7 2 & 0. 9 8 7 4 & 0. 6 5 1 9) \end{array} \\ Z ^ {-} = (0. 2 3 6 9 \quad 0. 4 4 7 2 \quad 0. 0 7 7 9 \quad 0. 2 7 2 4) \\ \end{array} +$$ + +其中， $Z_{j}^{+} = \max_{1\leq i\leq 5}\{Z_{ij}\}$ ， $Z_{j}^{-} = \min_{1\leq i\leq 5}\{Z_{ij}\}$ ， $j = 1,2,3,4$ + +(7) 计算各年度与理想解及负理想解的加权欧氏距离及各眼科疾病与理想解的相对接近度 + +$$ +\begin{array}{l} d _ {i} ^ {+} = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {4} \left(W _ {j} \left(Z _ {i j} - Z _ {j} ^ {+}\right) ^ {2}\right)}, d _ {i} ^ {-} = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {4} \left(W _ {j} \left(Z _ {i j} - Z _ {j} ^ {-}\right) ^ {2}\right)} \\ C _ {i} = \frac {d _ {i} ^ {-}}{d _ {i} ^ {+} + d _ {i} ^ {-}} \quad i = 1, 2, \dots , 5 \\ \end{array} +$$ + +结果见表2 + +表2各眼科疾病与理想解得相对接近度及排序 + +
病种di+di-Ci排序
白内障0282102878050302
白内障（双眼）0279102797050063
视网膜疾病0278502785050005
青光眼0315303159050014
外伤0114901193050931
+ +(8) 计算 $C_{i}$ 的加权平均值 $\bar{C}$ + +根据题中所给病人信息，统计出各类病人所占百分比，写成向量形式： + +$$ +w = (0. 2 0 6 3 \quad 0. 2 3 5 0 \quad 0. 2 8 9 4 \quad 0. 1 1 1 7 \quad 0. 1 5 7 6) +$$ + +加权平均值 $\overline{C} = \sum_{i=1}^{5} w_i C_i = 0.5026$ + +通过TOPS法，我们对原始数据进行了同趋势和归一化处理，消除了不同指标量纲的影响。排序的结果充分利用原始数据信息，能定量反映不同评价单元的优劣程度，较为直观、可靠。所得到的加权平均值，相对接近度值在0与1之间，该值愈接近1，反映所评价单元接近最优水平程度愈高，反之，该值愈接近0，评价单元接近最优水平的程度愈低或者说愈接近最劣水平。 + +通过以上分析计算, 该院的工作效率偏低, 相接近度只有 $0.5026$ 究其原因不难发现, 虽然医院病床利用率非常高 (流入流出达到稳定后几乎定格为 $100\%$ , 但是除外伤病人外, 其他病人等待入院时间过长 (约为 12 天), 严重影响病情治疗。对于病人来说, 尽早入院手术是他们的迫切需求, 等待时间过长势必会使医院失去部分病人, 从而影响医院经济效率。针对该院病床使用存在效率低下的问题, 引入模型 2 根据医院第二天的出院人数, 建立合理的病床安排模型。 + +# 33 问题二解决方案 + +模型背景： + +病床已满，第二天出院人数可以事先给定。结合就诊病人的不同特征和需求，为了提高一定周期内病床周转次数，整体上减少周期内病人逗留时间，从战略上 + +考虑，我们可以将时间周期进行分段，在不同时间段内选择不同病人的安排优先级（特别是外伤患者和白内障患者），在平均逗留时间函数被优化的前提下，确定适当的不同时段不同病人安排方案，以满足问题一中的评价指标体系。 + +# Model 2 基于平均住院时间的线性规划模型 + +我们将病人分为四大类： + +外伤、白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病和青光眼，各类病人在系统中的逗留时间（从门诊到出院）： + +
病种外伤白内障单眼白内障双眼视网膜疾病和青光眼
逗留时间(天)80417.921.0724 44
+ +表 331 病人分类 + +将一周进行时间划分：周一周二、周三到周五、周六周日，根据各类疾病的优先级，给出下图所示的入院安排次序：由于外伤属于急症，故在所有时间都占据绝对优先；只有周一周三做白内障手术，且做双眼的是周一先做一只、周三再做一只，故周一周二不安排白内障双眼病人入院；周六周日安排白内障病人入院，观察1-2天后就可在下周完成两次手术；在一周内分的三个时间段，除外商的优先级最高外，次高的分别为白内障单眼、视网膜疾病及青光眼、白内障双眼，体现了“轮流照顾”的原则。安排程序： + +![](images/5891edce11aff6e13d0cffa05289f92f126f2a95295f8e7dab054b2bd9800c13.jpg) +图3-31各时间段病人住院安排程序 + +在外伤无条件优先的前提下，建立最优线性规划目标函数和约束条件： + +目标函数 $\min z = (1 - I_1)n_2t_2 + (1 - I_2)n_3t_3$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {3} n _ {i} \leq o u t \\ n _ {i} \leq h (i) \quad i = 1, 2, 3 \\ n _ {1} = \left\{ \begin{array}{l} h _ {1} (\text {若} \mathbf {h} _ {1} < o u t) \\ o u t (\text {反 之}) \end{array} \right. \end{array} \right. +$$ + +其中， $l_{1}, l_{2}$ 指的是上图中某个时间段中第二和第三大类病人的相对优先级权重，比如表示周一周二这个时间段内白内障单眼病人、视网膜病人及青光眼病人的优先级权重。 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ 分别指第二天分配给三大类病人的入院名额， $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 表示三大类病人平均住院时间。out 表示第二天出院人数， $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ 表示等待住院的三大类病人人数。 + +为了确定 $I_{1}, I_{2}$ 的大小，我们引入模糊层次分析法 [2]。 + +# 331 模糊层次分析法 + +为了确定 Model 2 中的 $I_{1}, I_{2}$ , 我们引入一种基于可能度的模糊层次分析法。 + +# 331.1 可能度和区间数判断矩阵 + +定义31：记 $a = [a^{-}, a^{+}] = \{t \mid 0 < a^{-} \leq t \leq a^{+}\}$ ，称 $\pmb{a}$ 为一个区间数。 + +假设区间数 $a = [a^{-}, a^{+}]$ ， $b = [b^{-}, b^{+}]$ （实数可以看成是两端相同的退化区），则区间数的运算及区间数序关系如下： + +(1) $a + b = [a^{-} + b^{-}, a^{+} + b^{+}]$ . +(2) $ab = [a^{-}b^{-}, a^{+}b^{+}]$ , 特别地 $la = [1a^{-}, 1a^{+}], l \in R^{+}$ . +(3) $a / b = \left[a^{-} / b^{-}, a^{+} / b^{+}\right]$ , 特别地 $1 / b = \left[1 / b^{-}, 1 / b^{+}\right]$ . +(4) $a \leq b \Leftrightarrow a^{-} \leq b^{-}, a^{+} \leq b^{+}$ . + +定义32 当 $a, b$ 同时为区间数或者有一个为区间数时， $a = [a^{-}, a^{+}], b = [b^{-}, b^{+}]$ ，且记 $L(a) = a^{+} - a^{-}, L(b) = b^{-} - b^{+}$ ，则称 + +$$ +p (a \geq b) = \max \left\{1 - \max \left(\frac {b ^ {+} - a ^ {-}}{L (a) + L (b)}, 0\right), 0 \right\} \tag {310} +$$ + +为 $a \geq b$ 的可能度。在此定义下， $p(a \geq b)$ 具有下述性质： + +(1) 若 $p(a \geq b) = p(b \geq a)$ , 则 $p(a \geq b) = p(b \geq a) = 1 / 2$ . +(2) (互补性) $p(a \geq b) + p(b \geq a) = 1$ . +（3）若 $a^+ \leq b^-$ ，则 $p(a \geq b) = 0$ +（4）若 $a^{-} \geq b^{+}$ ，则 $p(a \geq b) = 1$ +(5) (传递性) 对于三个区间数 $a, b, c$ , 若 $a \geq b$ , 则 $p(a \geq c) \geq p(b \geq c)$ + +定义33 称 $\mathbf{A} = \left(a_{ij}\right)_{n\times n}$ 为区间一致性判断矩阵，如果对任意 $i,j,k = 1,2\dots ,n$ 均有 + +(1) $a_{ij} = [a_{ij}^{-}, a_{ij}^{+}]$ 且 $1/9 \leq a_{ij}^{-} \leq a_{ij}^{+} \leq 9$ . + +(2) $a_{ij} = 1 / a_{ji}$ + +(311) + +定义34称 $A = \left(a_{ij}\right)_{n\times n}$ 为区间一致性判断矩阵，如果对任意 $i,j,k = 1,2\dots ,n$ 均有 + +$$ +a _ {i j} = a _ {i k} a _ {k j}. \tag {312} +$$ + +当 $a_{ij}^{-} = a_{ij}^{+}$ 时，区间一致性判断矩阵即为通常的一致性判断矩阵. + +若设 $A^{-} = \left(a_{ij}^{-}\right)_{n\times n},A^{+} = \left(a_{ij}^{+}\right)_{n\times n},A = [A^{-},A^{+}]$ ，则有以下定理成立： + +定理31: 设 $A = \left(a_{ij}\right)_{n \times n}$ 为区间一致性判断矩阵, $x^{-}, x^{+}$ 分别为 $A^{-}, A^{+}$ 在某一排序方法下所得的权重向量, 则区间数向量 $\boldsymbol{w} = [kx^{-}, mx^{+}] = (w_{1}, w_{2}, w_{3})^{T}$ 满足 + +$$ +a _ {i j} = w _ {i} 1 / w _ {j} (i, j = 1, 2 \dots , n) +$$ + +的充要条件是 + +$$ +\frac {k}{m} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \frac {1}{\sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i j} ^ {+}} = \frac {1}{\sum_ {j = 1} ^ {n} \frac {1}{\sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i j} ^ {-}}} \tag {3.13} +$$ + +其中 $x = (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}$ 是区间数向量， $x_{i} = [x_{i}^{-},x_{i}^{+}]$ ， $x^{-} = (x_{1}^{-},x_{2}^{-},\dots,x_{n}^{-})^{T}$ + +$$ +\begin{array}{l} x ^ {+} = \left(x _ {1} ^ {+}, x _ {2} ^ {+}, \dots , x _ {n} ^ {+}\right) ^ {T}, \quad x = \left[ x ^ {-}, x ^ {+} \right], \quad \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} ^ {-} = 1, \quad \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} ^ {+} = 1, \quad x _ {i} ^ {-} > 0, \\ x _ {i} ^ {+} > 0 (i = 1, 2 \dots , n). \\ \end{array} +$$ + +定理 32 定理 51 中参数 $k, m$ 是满足 $0 < kx_{i}^{-} \leq mx_{i}^{+} (i = 1, 2, \dots, n)$ 的正实数，且有 $0 < k \leq 1 \leq m$ . + +考虑到 $\frac{k}{m}$ 的具体表达式及权重向量的左右端点的对称性，一般取 + +$$ +k = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {n} \frac {1}{\sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i j} ^ {+}}} \quad , \quad m = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {n} \frac {1}{\sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i j} ^ {-}}} \tag {3.14} +$$ + +# 323基于可能度的区间数判断矩阵排序算法 + +对于某一决策问题，假设有 $n$ 个方案 $s_1, s_2, \ldots, s_n$ . 在某一准则下，专家对它们进行两两比较，并给出区间判断矩阵 $A = \left(a_{ij}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{ij} = [a_{ij}^{-}, a_{ij}^{+}]$ ，且设 + +$$ +A ^ {-} = \left(a _ {i j} ^ {-}\right) _ {n \times n}, A ^ {+} = \left(a _ {i j} ^ {+}\right) _ {n \times n}, +$$ + +则 $A = [A^{-}, A^{+}]$ + +算法的具体步骤如下： + +步骤1：利用某一排序方法（例如特征根法、对数最小二乘法、最小偏差法等），对矩阵 $A^{-}, A^{+}$ 求得权重向量分别为 $x^{-} = (x_{1}^{-}, x_{2}^{-}, \ldots, x_{n}^{-})^{T}$ ， $x^{+} = (x_{1}^{+}, x_{2}^{+}, \ldots, x_{n}^{+})^{T}$ 。步骤2根据定理51，并由 $A^{-} = (a_{ij}^{-})_{n \times n}$ ， $A^{+} = (a_{ij}^{+})_{n \times n}$ 及式（514）计算 $k, m$ 则得到区间数权重向量 $w = [kx^{-}, mx^{+}] = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n})^{T}$ ，其中 + +$W_{i} = [k x_{i}^{-}, m x_{i}^{+}], (i = 1,2\dots ,n)$ . 若 $k > 1$ 或 $m < 1$ , 则说明区间判断矩阵 $A$ 的一致性差, 需反馈给专家重新判断, 转步骤 1; 否则转步骤 3 + +步骤3 对所有区间数 $w_{i}(i = 1,2\dots ,n)$ 进行两两比较，利用公式，建立可能度矩阵 $P = (p_{ij})_{n\times n}$ ，其中 $p_{ij} = p(w_i\geq w_j)$ 。由可能度的性质可知，可能度矩阵 $P$ 是一个互补判断矩阵。利用文献中指出的模糊互补判断矩阵排序向量 $w = (w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})^{T}$ 的计算公式： + +$$ +I _ {i} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {n} P _ {i j} + \frac {n}{2} - 1}{n (n - 1)}, i = 1, 2 \dots , n \tag {5.15} +$$ + +求得可能度矩阵 $P$ 的排序向量，并按其分量大小对方案进行排序，即得最优方案。步骤4结束。 + +# 324模型的仿真与结果的比较分析 + +现考虑周一周二安排方案： + +给出专家判断矩阵： + +$$ +A = \left\{ \begin{array}{c c} 1 & [ 1. 5, 2 ] \\ {[ 0. 5, 2 / 3 ]} & 1 \end{array} \right\} +$$ + +利用 Model 3得到 + +$$ +x ^ {-} = \left( \begin{array}{l l} 0. 6 3 3 3 & 0. 5 3 6 6 \end{array} \right), \quad x ^ {+} = \left( \begin{array}{l l} 0. 6 3 3 3 & 0. 5 3 6 6 \end{array} \right) +$$ + +$$ +m = 1. 0 3 2 8, k = 0. 9 6 6 1 +$$ + +故有 $w = \left[(0.6118, 0.6541), (0.5148, 0.5542)\right]$ + +可能度矩阵为 + +$$ +P = \left[ \begin{array}{c c} 0. 5 0 0 0 & 1. 0 0 0 0 \\ 0 & 0. 5 0 0 0 \end{array} \right] +$$ + +且有权重向量 + +$$ +I = (0. 7 5, 0. 2 5) +$$ + +将 $I_{1} = 0.75, I_{2} = 0.25$ 反代回 Model 2 用 Lingo 编程，输入第二天拟出院人数、第二天三大类病人各等待住院数，就可输出一个最优分配方案。 + +例如：考虑周一周二中某一天有 10 个人出院，等待入院的外伤病人、白内障单眼病人、视网膜病人及青光眼病人分别为 2 个、6 个、8 个，编程给出的结果为：安排住院人数分别为：2 人、6 人、2 人，目标函数 $z = 69.52$ 。 + +# Model 3 基于病床周转次数指标的模型： + +另外一个重要的衡量安排模型的重要指标是给定周期 $\mathbf{T}$ 内病床周转次数（周转率）。 $g_{i,j}$ 表示第 $i$ 种病人在入院第 $j$ 天接受服务， $(i = 1, \dots, 5, j = 1, \dots)$ 而不同种类病人从住院到出院所用时间基本稳定，记为 $k_i$ $(i = 1, \dots, 5)$ ，引入计数单位 + +$$ +h _ {i, j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, g _ {i, j} + k _ {i} \in T \\ 0, \text {否 则} \end{array} \right. +$$ + +故有给定周期 $\mathbf{T}$ 内出院人数和病床周转次数 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j} h _ {i, j}, \quad \frac {1}{7 9} \sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j} h _ {i, j} +$$ + +在实际操作中， $h_{i,j}$ 是时间 $\pmb{\mathfrak{t}}$ 的函数，按照问题 2 中的分类原则，在一星期的时间内合理分种类安排病床，可以控制 $\frac{1}{79} \sum_{i=1}^{5} \sum_{j} h_{i,j}$ 在一个理想的数值以上。 + +(国家卫生部门的统计标准值在 21 左右) + +# 34 问题三解决方案 + +# Model 4 入院等待时间区间估计模型 + +题三要求我们根据病人等待和住院的统计情况推断新确诊病人的入院时间。从随机理论上来说，单位时间到达门诊人数符合Poisson分布，而不同病人入院以后，其接受服务时间是相当固定的常数；从统计数据来看，从门诊到住院的等待时间相对均匀，如果把该随机时间看成随机变量，那么该此分布近似可以认为是一种均匀分布。 + +(1) 根据等待病人情况来确定入院时间 + +以附录表中 2008-13至 2008-9-4的统计信息作为样本，病人等待时间的随机变量 $x_{i}$ 服从均匀分布，其均值 $x = \frac{1}{349} \sum_{i} x_{i}$ 依据大数定律服从正态分布，可以对其正态化以后的统计量进行给定置信度的置信区间估计。对于每类病人都可以得到其等待时间的区间估计，从而在大概率保证下根据他们确诊时间确定其入院时间。 + +$$ +\boldsymbol {x} = \frac {1}{3 4 9} \sum_ {i} \boldsymbol {x} _ {i} \sim N (\boldsymbol {m}, \boldsymbol {s}) +$$ + +$$ +\frac {x - E x}{\sqrt {D x}} \sim N (0, 1) +$$ + +$$ +P \left(\left| \frac {\mathbf {x} - E \mathbf {x}}{\sqrt {D \mathbf {x}}} \right| < u _ {a / 2}\right) = 1 - a +$$ + +得置信区间 + +$$ +\left(\boldsymbol {x} - u _ {a / 2} \sqrt {D \boldsymbol {x}}, \boldsymbol {x} + u _ {a / 2} \sqrt {D \boldsymbol {x}}\right) +$$ + +给定置信度 0.95 即 $a = 0.05$ ，进而得出下表：区间长度表示平均等待住院时间。 + +
白内障白内障(双眼)视网膜疾病青光眼外伤
上界526466820852258639711
下界20075421819745198542054891
+ +根据平均等待住院时间将102个待入院病人的拟入院时间表给出，见附录六。 + +# Model 5住院排队动态平衡模型[3]: + +基本假设如下： + +(1)将准予住院治疗的病人分为外伤病人和其他病人两种, 其单位到达人数分别服从参数为 $I_{n}$ 和 $I_{p}$ 的Poisson分布, +(2)无论急诊病人还是一般病人,其住院时间均服从参数为 $m$ 的指数分布, +(3)预先给定一个病床占用限制数B(规定B小于拥有的最大病床数S). 当实际占用的病床数C病种白内障白内障(双)视网膜疾病青光眼外伤人数比例20.63%23.5%28.94%11.17%15.78%平均逗留时间比例18.79%25.19%36.94%12.63%6.44% + +记人数比例向量 $a = (0.2063, 0.235, 0.2894, 0.1117, 0.1576)$ ，平均逗留时间比例向量 $b = (0.1879, 0.2519, 0.3694, 0.1263, 0.0644)$ 。考虑到各病种人群住院需要，人数比例高则分配的病床相对多一些，为使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短，逗留时间比例较高的病种分配的病床反而应相对较少。最直观的想法就是以 $\frac{a_i}{b_i}$ 的大小来确定分配比例，但是我们考虑由于各 $b_i$ 差异较大，对其进行趋势化缓和： + +由于 $y = \arctan x$ 在 $0\leq x\leq 10$ 内的函数图像如下图所示： + +![](images/4bac7719146777a53f763c7d4596ec35d39deeba96294aa13773deff2c72807e.jpg) + +在此，我们可将 $b$ 放大 20 倍作为横坐标，可得曲线上的五个散点，其纵坐标替代 $\frac{a_{i}}{b_{i}}$ 中的分母 $b_{i}$ ，从而， + +构造相对权向量 $Z = \left(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4},z_{5}\right) = (0.1572,0.1709,0.2012,0.0938,0.1735)$ + +其中 $z_{i} = \frac{a_{i}}{\arctan(20b_{i})}$ $i = 1,2,\dots,5$ + +将向量 $Z$ 归一化得到 $Z^{\prime} = (0.1973, 0.2146, 0.2526, 0.1178, 0.2177)$ ，得到大致的固定病床比例分配方案： + +若某一天的出院人数为 $m$ ，则分配给白内障单眼、白内障双眼、视网膜、青光眼、外伤病人数分别为 $0.1973\mathrm{m}, 0.2146\mathrm{m}, 0.2526\mathrm{m}, 0.1178\mathrm{m}, 0.2177\mathrm{m}$ 人，由于结果不一定为整数，可取近似值。 + +# Model 8 动态目标规划模型 + +假设按固定方案各类病人分配的病床数为 $\nu_{i}$ ，各类病人的平均逗留时间设为 $t_{i}, i = 1, \dots, 5$ 。第 $j$ 天第 $i$ 类病人入院人数为 $n_{i}(j)$ ， $r_{i}(j)$ 表示第 $i$ 类病人在第 $j$ 天出院的数目， $j = 1, 2, 3$ …… + +目标函数 $\min z(j) = t_1 \times n_1(j) + t_2 \times n_2(j) + t_3 \times n_3(j) + t_4 \times n_4(j) + t_5 \times n_5(j)$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {5} v _ {i} = 7 9 & i = 1, 2, \dots , 5 \\ n _ {i} (j) \leq v _ {i} - \sum_ {m = 1} ^ {j - 1} n _ {i} (m) + \sum_ {m = 1} ^ {j - 1} r _ {i} (m) & j = 1, 2, 3 \dots \dots . \end{array} \right. +$$ + +# 4模型的评价与改进 + +# 41 模型的优缺点 + +(1)加权Top5综合评价模型对于数据分布及样本量、指标多少无严格限制,既适于小样本资料,也适于多评价单元、多指标的大系统,较为灵活、方便。 +(2) Model 2 可操作性强，适用范围广泛，基于可能度的模糊层次分析模型比较精准，得到的因素权重可信度比较高。Model 6 安排方案具体，在 Model 2 基础上进一步细分，提出了更为精细的方案。Model 3 提出了一个通用指标，可广泛应用于其他领域。 +(3) Model 4 基于置信度 0.95 可靠性高, 所采用研究方法移植性强, 但所求得的估计值可能存在一定偏差。Model 5以随机马尔科夫过程为理论基础, 建立了动态平衡状态方程组, 但求解起来较为复杂。 +（4）Model 7对决策函数的构思存在一定独到之处，引入了非线性规划，但是模型检验方式较为复杂。Model 8切合实际，建立了动态约束过程，但约束条件较为苛刻，这也给模型的求解带来很大困难。 + +# 42模型的改进方案 + +(1) 模型中出现的模糊数均是以区间数的形式给出的, 其处理方法仍然是目前决策领域研究的热点问题, 可以考虑用更加精准的方法降低这种模糊数的不确定性。 + +(2) 进一步挖掘题目中隐藏的约束条件，同时将模型中的单目标规划问题转化为多目标决策问题，效果会更好。 + +# 5 参考文献 + +[1] 王培承, 加权 TOPSIS法在医院医疗质量综合评价中的应用, 中国卫生统计, 16(3), 1999. +[2] 徐泽水，不确定多属性决策方法与应用，北京：清华大学出版社，2004 +[3] 宦娟,张继国,基于优先权分类排队的呼叫中心性能分析,信息技术,6 2009 +[4] 王平根，高允锁，大型综合医院病床分配方法初探，中国医院统计，（1），2006 +[5] 赵树进, 杨哲, 钟拥军, 基于排队论的医疗工作流程重组, 中国医院管理, 23(4), 2008 +[6] 赵文清,多因子分层模糊评价法的算法设计探讨,数学的实践与认识,337), 2008 +[7] 韩新焕, 朱萌纾, 医院管理系统中排队模型的优化决策分析, 医学数学模型探讨, 21(1), 2008 +[8] 高丽娟, 应用病床工作效率指标分析医院病床设置情况, 中国医院统计, 16 (1), 2009 +[9] 王志，排队系统中等待时间分布的一种数值近似方法，浙江万里学院学报，22（2），2008 + +附录一： + +```matlab +dear +dc +a=[1001121221248111199871266598152096269 +813647104818116381210142625913171045137]; +b=[000000100100211325125224871520962698 +13647104818116381210142625913171045137]; +c(1)=; +for i=260 +c(i)=0 +c(i)=a(i)+c(i-1)-b(i); +end +x=1:60 +sten(x,c); +title('病房人数统计表') +xlabel('日期') +ylabel('病房人数') +``` + +# 附录二： + +Dear + +dc + +x=[091 1267 524 + +1.04 1 1251856 + +1.281 1254 1254 + +0491 1226 1049 + +07 11 7.04 + +for i=1:5 + +for $j = 34$ + +$\mathbf{x}(\mathbf{i}, \mathbf{j}) = 100^{\prime} \mathbf{x}(\mathbf{i}, \mathbf{j})$ + +end + +end + +X + +for j=1:4 + +a(j)=0 + +for i=1:5 + +$\mathbf{a}(\mathbf{j}) = \mathbf{a}(\mathbf{j}) + \mathbf{x}(\mathbf{i},\mathbf{j})\wedge 2$ + +end + +$a(j) = \operatorname{sqrt}(a(j))$ ; + +end + +a + +for i=1:5 + +for $j = 1:4$ + +$\mathbf{z}(\mathbf{i}, \mathbf{j}) = \mathbf{x}(\mathbf{i}, \mathbf{j}) / \mathbf{a}(\mathbf{j})$ + +end + +end + +Z + +for i=1:4 + +z1(i) = max(z(:, i)); + +z2(i) = min(z(:, i)); + +end + +z1 + +z2 + +w0401503015; + +for i=1:5 + +d1(i) = 0 + +d2(i) = 0 + +for $j = 1:4$ + +$\mathsf{d1(i)} = \mathsf{d1(i)} + (\mathsf{v(j)}^{*}(\mathsf{z(i,j)} - \mathsf{z1(j)}))\wedge 2$ + +$\mathbf{d}z(\mathbf{i}) = \mathbf{d}h(\mathbf{i}) + (\mathbf{v}(\mathbf{j})^{*}(\mathbf{z}(\mathbf{i},\mathbf{j}) - \mathbf{z}2(\mathbf{j})))^{\wedge}2$ + +end + +$\begin{array}{rl} & {\mathrm{d1(i)} = \mathrm{sqrt(d1(i))};}\\ & {\mathrm{d2(i)} = \mathrm{sqrt(d2(i))};} \end{array}$ +end +d1 +d2 +for i=1:5 $c(i) = d2(i) / (d1(i) + d2(i));$ +end +C +q=[72821013955]; +q1=q/sun(q) +cc=sun(c\*q) + +附录三： + +```matlab +A1=[1 1.5 2 +051 1.5 +04051]; +A2=[1 2 2 5 +2/3 1 2 +05 2/3 1]; +for i=1:3 +for j=1:3 +b1(i, j) = A1(i, j) / sun(A1(:, j)); +b2(i, j) = A2(i, j) / sun(A2(:, j)); +end +end +for i=1:3 +v1(i) = sun(b1(i, :)); +v2(i) = sun(b2(i, :)); +end +for i=1:3 +v1(i) = v1(i) / sun(v1); +v2(i) = v2(i) / sun(v2); +end +for i=1:3 +n(i) = 1 / sun(A1(:, i)); +k(i) = 1 / sun(A2(:, i)); +end +m=sun(n); +k=sun(k); +nsqrt(m); %n +k=sqrt(k1); %k +w2=k * w1; +``` + +v-m+vm + +for i=1:3 + +for $j = 1:3$ + +P(i,j)=max((1-max((v2(j)-v2(i))/( (v2(i)-v2(i))+ (v2(j)-v2(j))),0), + +9 + +end + +end + +for i=1:3 + +v(i) = (sun(P(i, :)) + 0.5)/6 %此处 n取 2 + +end + +# 附录四： + +model : + +sets + +bing'1,2,3:t,nh + +ebets + +data + +t=7.04 5 24 12 + +m? + +H=? + +erbata + +mn=025t(2)*n(2)+075t(3)*n(3); + +n(1）+n(2）+n(3）=m + +@jin(1); + +@jinr(2); + +@jinr(3); + +n(1）序号类型门诊时间入院时间第一次手 术时间第二次手 术时间出院时间1白内障 (双眼)2008-302008-9-11//2008-9-202视网膜疾 病2008-302008-9-12//2008-9-253青光眼2008-302008-9-14//2008-9-254视网膜疾 病2008-302008-9-12//2008-9-255视网膜疾 病2008-302008-9-12//2008-9-256白内障 (双眼)2008-302008-9-11//2008-9-207白内障2008-312008-9-12//2008-9-188青光眼2008-312008-9-14//2008-9-259白内障 (双眼)2008-312008-9-11//2008-9-2010视网膜疾 病2008-312008-9-12//2008-9-2511视网膜疾 病2008-312008-9-12//2008-9-2512视网膜疾 病2008-312008-9-12//2008-9-2513青光眼2008-312008-9-14//2008-9-2514白内障2008-312008-9-12//2008-9-1815视网膜疾 病2008-9-12008-9-14//2008-9-2716视网膜疾 病2008-9-12008-9-14//2008-9-2717青光眼2008-9-12008-9-14//2008-9-2518白内障 (双眼)2008-9-12008-9-13//2008-9-2219白内障2008-9-12008-9-13//2008-9-22 + +
(双眼)
20白内障 +(双眼)2008-9-1 2008-9-13//2008-9-22
21视网膜疾 +病2008-9-1 2008-9-14//2008-9-27
22白内障2008-9-1 2008-9-13//2008-9-18
23视网膜疾 +病2008-9-1 2008-9-14//2008-9-27
24视网膜疾 +病2008-9-1 2008-9-14//2008-9-27
25白内障2008-9-2 2008-9-13//2008-9-18
26白内障2008-9-2 2008-9-13//2008-9-18
27白内障 +(双眼)2008-9-2 2008-9-13//2008-9-22
28白内障2008-9-2 2008-9-13//2008-9-18
29视网膜疾 +病2008-9-2 2008-9-15//2008-9-28
30视网膜疾 +病2008-9-3 2008-9-15//2008-9-28
31视网膜疾 +病2008-9-3 2008-9-15//2008-9-28
32白内障 +(双眼)2008-9-3 2008-9-16//2008-9-25
33白内障2008-9-3 2008-9-16//2008-9-21
34视网膜疾 +病2008-9-3 2008-9-15//2008-9-28
35白内障2008-9-3 2008-9-16//2008-9-21
36视网膜疾 +病2008-9-3 2008-9-15//2008-9-28
37视网膜疾 +病2008-9-3 2008-9-15//2008-9-28
38白内障 +(双眼)2008-9-4 2008-9-16//2008-9-25
39白内障2008-9-4 2008-9-16//2008-9-21
40青光眼2008-9-4 2008-9-19//2008-9-30
41视网膜疾 +病2008-9-4 2008-9-17//2008-9-30
42视网膜疾 +病2008-9-4 2008-9-17//2008-9-30
43视网膜疾 +病2008-9-4 2008-9-17//2008-9-30
44青光眼2008-9-4 2008-9-19//2008-9-30
45白内障 +(双眼)2008-9-4 2008-9-16//2008-9-25
46白内障 +(双眼)2008-9-4 2008-9-16//2008-9-25
47青光眼2008-9-4 2008-9-19//2008-9-30
48青光眼2008-9-4 2008-9-19//2008-9-30
49视网膜疾 +病2008-9-4 2008-9-17//2008-9-30
50视网膜疾 +病2008-9-4 2008-9-17//2008-9-30
51白内障 +(双眼)2008-9-5 2008-9-17//2008-9-26
52白内障 +(双眼)2008-9-5 2008-9-17//2008-9-26
53白内障 +(双眼)2008-9-5 2008-9-17//2008-9-26
54视网膜疾 +病2008-9-5 2008-9-19//2008-10-2
55白内障 +(双眼)2008-9-5 2008-9-17//2008-9-26
56青光眼2008-9-5 2008-9-21//2008-10-2
57白内障 +(双眼)2008-9-5 2008-9-17//2008-9-26
58白内障2008-9-5 2008-9-16//2008-9-21
59白内障 +(双眼)2008-9-5 2008-9-17//2008-9-26
60白内障 +(双眼)2008-9-5 2008-9-17//2008-9-26
61白内障 +(双眼)2008-9-6 2008-9-17//2008-9-26
62视网膜疾 +病2008-9-6 2008-9-19//2008-10-2
63青光眼2008-9-6 2008-9-21//2008-10-2
64白内障 +(双眼)2008-9-6 2008-9-18//2008-9-26
65视网膜疾 +病2008-9-7 2008-9-19//2008-10-2
66白内障 +(双眼)2008-9-7 2008-9-18//2008-9-26
67视网膜疾 +病2008-9-7 2008-9-19//2008-10-2
68白内障2008-9-8 2008-9-21//2008-9-26
+ +69 +视网膜疾 病 2008-982008-921 / / 2008-104 +70 +视网膜疾 病 2008-9-8 2008-9-21 / / 2008-10-4 +71 白内障 2008-982008-921 / / 2008-926 +白内障 2008982008922 / / 2008101 (双眼) +73 白内障 2008-9-8 2008-9-21 / / 2008-9-26 +74 视网膜疾病 2008-9-8 2008-9-21 / / 2008-10-4 +75 白内障 2008-9-8 2008-9-21 / 2008-9-26 +76 青光眼 2008-9-9 2008-9-25 / 2008-10-6 +77 青光眼 2008-9-9 2008-9-25 / 2008-10-6 +78 视网膜疾病 2008-9-9 2008-9-21 / 2008-10-4 +79 白内障 2008-9-9 2008-9-23 / 2008-9-28 +80 白内障 2008-9-9 2008-9-23 / 2008-9-28 +81 视网膜疾病 2008-9-10 2008-9-24 / 2008-10-7 +82 白内障 2008-9-10 2008-9-23 / 2008-9-28 +白内障(双 2008-9-10 2008-9-22 / / 2008-10-1 +84 白内障 2008-9-10 2008-9-23 / 2008-9-28 +85 白内障 2008-9-10 2008-9-23 / 2008-9-28 +白内障(双 2008-9-10 2008-9-22 / / 2008-10-1 +87 白内障 2008-9-10 2008-9-23 / 2008-9-28 +88 青光眼 2008-9-10 2008-9-25 / 2008-10-6 +白内障(双 2008-9-10 2008-9-22 / / 2008-10-1 +90 视网膜疾病 2008-9-11 2008-9-24 / 2008-10-7 +91 视网膜疾病 2008-9-11 2008-9-24 / 2008-10-7 +92 青光眼 2008-9-11 2008-9-25 / 2008-10-6 +白内障(双 2008-9-11 2008-9-23 / / 2008-10-1 +白内障(双 2008-9-11 2008-9-23 / / 2008-10-1 +95 青光眼 2008-9-11 2008-9-25 / 2008-10-6 +白内障(双 2008-9-11 2008-9-23 / 2008-10-1 +97 外伤 2008-9-11 2008-9-12 / 2008-9-19 +98 白内障(双 2008-9-11 2008-9-23 / 2008-10-1 + +眼) + +99 视网膜疾病 2008-9-11 2008-9-24 / 2008-10-7 +100 白内障 2008-9-11 2008-9-23 / 2008-9-28 +101 视网膜疾病 2008-9-11 2008-9-24 / 2008-10-7 +102 视网膜疾病 2008-9-11 2008-9-24 / 2008-10-7 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2009/A\351\242\230/2009\346\262\263\345\215\227\347\247\221\346\212\200\345\244\247\345\255\246\357\274\210\351\203\221\346\231\250\357\274\214\347\216\213\346\226\207\351\234\236\357\274\214\346\235\216\345\237\271\351\243\236_A/2009\346\262\263\345\215\227\347\247\221\346\212\200\345\244\247\345\255\246\357\274\210\351\203\221\346\231\250\357\274\214\347\216\213\346\226\207\351\234\236\357\274\214\346\235\216\345\237\271\351\243\236_A.md" "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/2009\346\262\263\345\215\227\347\247\221\346\212\200\345\244\247\345\255\246\357\274\210\351\203\221\346\231\250\357\274\214\347\216\213\346\226\207\351\234\236\357\274\214\346\235\216\345\237\271\351\243\236_A/2009\346\262\263\345\215\227\347\247\221\346\212\200\345\244\247\345\255\246\357\274\210\351\203\221\346\231\250\357\274\214\347\216\213\346\226\207\351\234\236\357\274\214\346\235\216\345\237\271\351\243\236_A.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8c474fd2b24e5dde593498a18ac8486dffe33eee --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/2009\346\262\263\345\215\227\347\247\221\346\212\200\345\244\247\345\255\246\357\274\210\351\203\221\346\231\250\357\274\214\347\216\213\346\226\207\351\234\236\357\274\214\346\235\216\345\237\271\351\243\236_A/2009\346\262\263\345\215\227\347\247\221\346\212\200\345\244\247\345\255\246\357\274\210\351\203\221\346\231\250\357\274\214\347\216\213\346\226\207\351\234\236\357\274\214\346\235\216\345\237\271\351\243\236_A.md" @@ -0,0 +1,467 @@ +# 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A + +我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： + +所属学校（请填写完整的全名）： 河南科技大学 + +参赛队员 (打印并签名)：1. 郑晨 + +2. 王文霞 +3. 李培飞 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): + +日期：2009 年 9 月 11 日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
评阅人
评分
备注
+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 制动器试验台的控制方法分析 + +# 摘要 + +本文主要研究的是制动器试验台上的控制方法分析，通过把车辆的路试过程模拟到试验台上，将制动器的机械问题定量化，从而更深入的研究制动器的控制方法。对此，我们分别运用到物理、理论力学和BP神经网络与GM(1,1)灰色模型等等一系列的知识结构体系，建立数学模型求解。 + +问题一通过等效转动惯量的概念，与力学知识列出动能守恒定理的方程，带入数据求解方程，得到等效转动惯量的结果是 $52kg \cdot m^2$ 。 + +问题二运用理论力学转动惯量的公式，由此可以推出飞轮惯量 $J = \int_{R_1}^{R_2} 2 \cdot \rho \cdot D \cdot \pi \cdot r^3 d_r = \left( \frac{1}{2} \right) \left( R_2^4 - R_1^4 \right) \rho \pi D$ 的公式。再代入题目中所给出的飞轮的尺寸数据，通过 EXCEL 计算，求出飞轮惯量 $10kg \cdot m^2$ ， $40kg \cdot m^2$ ， $70kg \cdot m^2$ ， $130kg \cdot m^2$ ， $100kg \cdot m^2$ ， $160kg \cdot m^2$ ， $190kg \cdot m^2$ ， $220kg \cdot m^2$ 。我们选择出合适的机械惯量，根据题目中所给出的补偿能量相应惯量的范围，可以计算出电动机需补偿惯量 $12kg \cdot m^2$ 和 $-18kg \cdot m^2$ 。 + +问题三通过建立微分方程的数学模型对问题求解，依题目所给条件得， $I = 1.5T$ ，由力学公式可以知道， $T = J_b*\alpha$ ， $a = \alpha * r$ ，推出电流与可观测量之间的关系为 $I = 1.5\frac{J_b a}{r}$ ，建立的数学模型，在问题1和问题2的条件下带入已知量，得到驱动电流 $I = 175\mathrm{A}$ 和 $I = -262.45\mathrm{A}$ 。同时还给出另一种模型，用理论力学知识，列出能量方程和主轴力矩方程计算出 $I = 93.14\mathrm{A}$ 和 $I = -121.4\mathrm{A}$ ，并对两种模型进行了比较与评价。 + +问题四根据题目中所给定的，评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小。由此，我们知道要评价模型的优劣，需要分别求出路试时的制动器和相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量，以求他们的能量差值。最后计算得出其相对误差 $\mu = \frac{\Delta E}{E'} \times 100\% = 5.6527\%$ ，这个误差大小在 $5\%$ 左右，因此，我们认为该方法较为精确。 + +问题五按照第3问导出的数学模型，通过SPSS模拟出了电流与时间的曲线，然后建立GM(1,1)灰色模型和BP神经网络的数学模型方法来解决计算机控制电流值的问题，并对其进行了评价。 + +问题六我们通过查阅资料，找出了第5问所给出的控制方法的不足之处，并重新设计一个比较完善的计算机控制方法。 + +本文建立的数学模型，能基本解决制动器在试验台上的准确度，用计算机控制电流等等问题，但由于题目所提供数据的限制，因此无法精确惯量，也使得模型的精确度达不到非常理想的效果，而且BP神经网络训练速度慢，给实际带来了滞后性。 + +关键词：微分方程 GM(1,1)灰色模型 BP神经网络 曲线模拟 + +# 一、问题重述 + +制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，它的成败直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试。由于车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。 + +以下是题目中所给出的一些专业名词的概念，和解决问题时所应考虑的因素： + +路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为 $1.5\mathrm{A} / \mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ ）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。 + +由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如 $10\mathrm{ms}$ 为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。 + +评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。 + +根据题目中提出的问题，我们所需要做的工作是： + +1、设车辆单个前轮的滚动半径为 $0.286 \mathrm{~m}$ ，制动时承受的载荷为 $6230 \mathrm{~N}$ ，求等效的转动惯量。 +2、飞轮组由3个外直径 $1 \mathrm{~m}$ 、内直径 $0.2 \mathrm{~m}$ 的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为 $7810 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，基础惯量为 $10 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 $[-30, 30] \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ ，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？ +3、建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。 + +在问题 1 和问题 2 的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为 $50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，制动 5.0 秒后车速为零，计算驱动电流。 + +4、对于与所设计的路试等效的转动惯量为 $48 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 机械惯量为 $35 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m}^{2}$ , 主轴初转速为 514 转/分钟, 末转速为 257 转/分钟, 时间步长为 $10 \mathrm{~ms}$ 的情况, 用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。 +5、按照第 3 问导出的数学模型, 给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与瞬时扭矩, 设计本时间段电流值的计算机控制方法, 并对该方法进行评价。 +6、第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的 + +计算机控制方法，并作评价。 + +# 二、模型假设 + +1、假设车前轮以及模拟的前轮的飞轮和转轴都是刚体。 +2、假设补偿能量通过提高主轴转速来补偿。 +3、第三问求解过程中制动减速度为常数。主轴单步长内的角加速度为定值，在步长与步长之间的角加速度可以越变。？？？？？？？？？？？？？？ +4、假设主轴单位步长内角加速度速度为定值，步长间角加速度可以越变。 + +# 三、符号说明 + +$m$ ：模拟的前轮的质量 + +$r$ ：模拟的前轮的半径 + +$\nu$ ：模拟的前轮的速度 + +$J$ ：等效的转动惯量 + +$E$ ：轮子的动能 + +$p$ ：轮子承受的载荷 + +$\omega$ : 飞轮和主轴的转动角速度 + +$J_{0}$ ：基础惯量 + +$\rho$ ：钢材密度 + +$D$ : 环形飞轮的厚度 + +n：飞轮个数 + +$J^{\prime}$ ：机械惯量 + +$\alpha$ ：制动车轮的角加速度 + +$a$ ：制动车轮的加速度 + +$I$ ：驱动电流 + +$J_{b}$ ：补偿的惯量 + +$w_{1}$ ：路试车轮瞬时角速度 + +$\alpha_{1}$ : 路试车轮瞬时角加速度 + +$w_{2}$ : 主轴瞬时角速度 + +$\alpha_{2}$ ：主轴瞬时角加速度 + +$k$ ：比例系数 + +$\Delta t: :$ 单个时间步长 + +$\Delta n$ ：单个步长的平均转速 + +$\omega$ ：单个步长的平均角速度 + +$\varphi$ ：单个步长轮子转 + +# 四、问题分析 + +题目中主要研究的是：在制动试验台上模拟车辆的制动过程。因此我们查阅资料，了解制动机试验台的工作过程。制动机试验台工作原理图如下所示： + +图1惯性负载制动器试验台方案图 +![](images/a3f9cb4add94ba5cd18f07a7dbd88e3df3758cd06290818e269ebe73ff3d814e.jpg) +1-电动机；2-联轴器；3-惯性盘；4-支座轴承；5-离合器；6-轴系；7-转速转矩传感器；8-制动盘；9-被测制动器 + +根据题目中所提出的6个问题，我们组的前期工作是将六个问题进行定性分析。我们将前三问定性到物理问题，可以通过直接列出物理方程进行求解；后面三问，我们定性于建立数学模型求解，分别对制动系统进行评价，预测，以及改善模型四个方面的问题。 + +第一问：我们通过题目中所给出的等效转动惯量的概念，与物理学知识列出能量守恒定理的方程， $E_{1} = \left(\frac{1}{2}\right)mv^{2}$ ， $E_{2} = \left(\frac{1}{2}\right)J\omega^{2}$ ， $E_{1} = E_{2}$ 通过题目给出的已知条件，带入数据分别计算出 $E_{1}$ ， $E_{2}$ ，根据等式求解方程，便能得到等效转动惯量的值。 + +第二问：我们要计算机械惯量，首先需要研究飞轮在试验台上的组合结构，制动器试验台上的飞轮示意图如下所示： + +![](images/a234fd755e5033377a1e763b0d765558b209218bf54f76d8dd26edf869f45a7f.jpg) + +我们通过上图能观察到飞轮的结构，由理论力学的知识，我们可以知道转动惯量的定义式为 $J = \int r^2 d_m$ ，其中 $d_m = \rho d_v = \rho \cdot D \cdot 2\pi r \cdot d_r$ ，由此我们可以推出飞轮惯量公式是 $J = \int_{R_1}^{R_2} 2 \cdot \rho \cdot D \cdot \pi \cdot r^3 d_r = \left( \frac{1}{2} \right) \left( R_2^4 - R_1^4 \right) \rho \pi D$ 的公式。再代入题目中所给出的飞轮的尺寸数据，通过 EXCEL 计算，能求出飞轮惯量。我们发现机械惯量有 8 种情况，将其一一计算出来，通过第一问所求出的等效转动惯量，选择出合适的机械惯量，通过题目所给出的补偿能量相应的惯量的范围为 $[-30, 30] \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2$ ，可以计算出电动机需补偿多大的惯量。 + +第三问：我们通过题目中所给定的驱动电流的算法。列出微分方程 $I = 1.5T$ ，由理论力学公式可以知道， $T = J_b * \alpha$ ， $a = \alpha * r$ ，所以可以推出电流与可观测量之间的关系为 $I = 1.5\frac{J_b a}{r}$ ，即为建立的数学模型，将问题1和问题2的条件带入，可计算出驱动电流的大小。同时，我们认为此模型只是运用了理论力学的公式，无法与瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量的模型思想联系起来。因此，我们通过制动器试验台上的机械原理力学分析，列出了能量守恒方程和力矩守恒方程，建立了瞬时转速与瞬时扭矩与电流的关系的数学模型，从而也计算出了驱动电流的大小。 + +第四问：根据题目中所给定的评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，所以我们通过能量误差指标来检验该种控制方法的优劣。因此，我们需要分别求出路试时的制动器和相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量，以求他们的能量差值和相对误差。通过计算差值和相对误差能确定其精确度。最终得到该方法的精确度的相对误差是 $5.6527\%$ 。 + +第五问：由于题目要求在给出前一个时间段观测到的瞬时转速和瞬时扭矩，能得到本时间段电流值。按照第3问导出的数学模型，我们建立GM(1,1)灰色模型和BP神经网络数学模型方法。下图是BP网络系统工作的流程图： + +![](images/74ed6bea638b5409618ae6e67affaeefcabf8089127b79798241b607ef6558fc.jpg) + +因为这个过程是通过瞬时转速和瞬时扭矩来控制电流，就必须要有输入与输出，我们先通过灰色系统GM（1，1），因为本题的过程是知道上一时间段的瞬时转速与瞬时扭矩，对本时间的电流做出预测，因此，我们使用灰色系统GM（1，1）的模型，能使随机性弱化，而确定性增强，可以建立时间序列的数列预测的模型进行求解。而BP神经网络能分析数据，对输入样本进行神经网络训练，通过实际输出与样本输出的误差，来修订网络的连接权值，达到拟合误差的目的。然后就共同分析来解决计算机控制电流值的问题，并对其进行了评价。 + +第六问：我们知道第五问所给出BP神经网络的控制方法神经网络训练较慢，而且用灰色系统对电流进行预测，精度检验后，一般都有较大的误差，因此，我们在查阅资料后，决定采用模糊自整定PID来控制系统，因为它有克服系统所处环境恶劣，线性不好，处理速度快等多方面缺点的能力，无疑能很好的弥补第五问中所采用的GM(1,1)灰色模型和BP神经网络数学模型的缺陷。因此，我们认为采用模糊自整定PID是一个比较完善的计算机控制方法。 + +# 五、模型的建立与求解 + +第一问：由力学知识，动能定理可知，平面运动刚体的能量即动能，为 $E_{1} = \left(\frac{1}{2}\right)mv^{2}$ + +实验台上飞轮和主轴等的转动能量为 $E_{2} = \left(\frac{1}{2}\right) J \omega^{2}$ + +根据能量守恒定理，依题中条件得， $E_{1} = E_{2}$ + +且由物理知识可列出 $m = \frac{p}{g}, v = r*\omega$ + +由以上条件带入原方程中，即可得出等效的转动惯量为 $J = mr^{2} = 52kg \cdot m^{2}$ + +第二问: 由理论力学知识, 我们能够列出转动惯量的定义式得 $J = \int r^{2} d m$ + +其中 $d_{m} = \rho d_{v} = \rho \cdot D\cdot 2\pi r\cdot d_{r}$ + +由此可以推出飞轮惯量 $J = \int_{R_1}^{R_2} 2 \cdot \rho \cdot D \cdot \pi \cdot r^3 d_r = \left( \frac{1}{2} \right) \left( R_2^4 - R_1^4 \right) \rho \pi D$ 。 + +将题目中给出的三个飞轮的内、外径和厚度的值分别带入，用 EXCEL 处理，得出结果如下： + +
号 飞轮 外径 (m) 内径 (m) 厚度 (m) 密度 \( \left( {\mathrm{{kg}}/{\mathrm{m}}^{3}}\right) \) 惯量 \( \left( {\mathrm{{kg}} \cdot {\mathrm{m}}^{2}}\right) \)
110.20.0392781030
20.078460
30.1568120
+ +机械惯量可能的组合为 $J^{\prime} = J_{0}, J^{\prime} = J_{1} + J_{0}, J^{\prime} = J_{2} + J_{0}, J^{\prime} = J_{3} + J_{0}$ ， $J^{\prime} = J_{1} + J_{2} + J_{0}$ ， $J^{\prime} = J_{1} + J_{3} + J_{0}$ ， $J^{\prime} = J_{2} + J_{3} + J_{0}$ ， $J^{\prime} = J_{1} + J_{2} + J_{3} + J_{0}$ ， $J_{0} = 10kg \cdot m^{2}$ 八种情况。 + +所以可能得到的机械惯量为： $10kg\cdot m^2$ ， $40kg\cdot m^2$ ， $70kg\cdot m^2$ ， $100kg\cdot m^2$ ， $130kg\cdot m^2$ ， $160kg\cdot m^2$ ， $190kg\cdot m^2$ ， $220kg\cdot m^2$ 。 + +由于第一问中计算得到的等效惯量为 $52kg\cdot m^2$ ，所以，我们可以用等效惯量依次减去计算出来的8个机械惯量的值，分别得到补偿惯量为： $12kg\cdot m^2$ 42kg·m²，-18kg·m²，-78kg·m²，-48kg·m²，-108kg·m²，-138kg·m²，-168kg·m²。为了满足题目要求的补偿惯量的范围为［-30，30]kg·m²，我们从8个结果中选取机械惯量为 $40kg\cdot m^2$ 和 $70kg\cdot m^2$ ，对应的补偿惯量分别为 $12kg\cdot m^2$ 和 $-18kg\cdot m^2$ 。 + +第三问: 依题目所给条件得, $I = 1.5 T$ + +由力学公式可以知道， $T = J_{b}*\alpha$ ， $a = \alpha *r$ + +所以可以推出电流与可观测量之间的关系为 $I = 1.5\frac{J_b a}{r}$ ，即为建立的数学模型。 + +在问题1和问题2的条件下知， $J_{b} = 12kg\cdot m^{2}$ 和 $J_{b} = -18kg\cdot m^{2}$ ， $r = 0.286m$ + +$\text{减速度} a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{50 \times 1000}{3600 \times 5} = 2.78 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ + +带入建立的数学模型得到驱动电流 $I = 175 \mathrm{~A}$ 和 $I = -262.45 \mathrm{~A}$ + +而我们根据制动器的原理与理论力学的基础知识，做出了第二种方法。 + +在模拟过程中尽量使每时刻路试车辆具有的能量与模拟装置具有相同的能量，由此可以列出能量等效方程： + +$$ +\frac {1}{2} J w _ {1} ^ {2} = \frac {1}{2} J ^ {\prime} w _ {2} ^ {2} \dots \tag {3-1} +$$ + +对这个方程移向可变化推导出： + +$$ +\frac {w _ {2}}{w _ {1}} = \sqrt {\frac {J}{J ^ {\prime}}} \dots \tag {3-2} +$$ + +$$ +\frac {\alpha_ {2}}{\alpha_ {1}} = \sqrt {\frac {J}{J ^ {\prime}}} \dots \tag {3-3} +$$ + +$$ +\text {令} \sqrt {\frac {J}{J ^ {\prime}}} = k \tag {3-4} +$$ + +对于模拟装置的主轴进行力矩分析： + +$$ +T _ {\text {制 动}} - T _ {\text {电 机}} = T _ {\text {主 轴}} \dots \tag {3-5} +$$ + +由于模拟的过程使模拟装置与路试吻合，即可认为： + +$$ +T _ {\text {制 动}} = J \alpha_ {1} \dots \tag {3-6} +$$ + +由上可得： $T_{\text{电机}} = J \frac{\alpha_2}{k} - T_{\text{主轴}}$ 即 $I = 1.5 \left( J \frac{\alpha_2}{k} - T_{\text{主轴}} \right)$ + +另外可得其另一种表达式： $T_{\text{电机}} = J \alpha_{1} - J' \alpha_{2}$ 代入 $k$ 可得： + +$$ +T _ {\text {电 机}} = J \alpha_ {1} - k J ^ {\prime} \alpha_ {1} +$$ + +对于题目中有初、末速度和时间等关系可用 $I = 1.5 \left(J \alpha_{1} - k J^{\prime} \alpha_{1}\right)$ 计算 + +通过EXCEL可计算出驱动电流的结果：93.14A和-121.4A。 + +要计算能量要首先考虑惯量的模拟精度，它是制动器试验台模拟中的重要参数。针对以上两种算法，我们认为其各有优劣，方法一是建立纯粹的力学模型，相当于控制电动机转速的方法来进行惯量的模拟，其精度相对较高，比较适合实际的情况，但是并未对各种制动条件进行详细分析，而且通过实验数据观察到其转速相应具有滞后性；而方法二通过可观测量建立数学模型，相当于采用控制电 + +动机转矩的方式来进行惯量的模拟，但控制的稳定性和精度不是很高，如果计算时主要考虑转矩的影响，那么用第二种方法比较好。 + +第四问：根据题目中所给定的评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小。我们通过能量误差指标来检验该种控制方法的优劣，因此，需要分别求出路试时的制动器和相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量，以求他们的能量差值。 + +首先我们用 SPSS 软件来处理所给的数据，得到的效果不太理想，具体数据及图形见附录。然后我们根据 Origin 软件对题目中所给出的数据进行处理，做出如下图形： + +![](images/059310c51886e0c86e2e331d8372ba8e84f5061d5fe2999d09029676ae71c36d.jpg) + +![](images/029031e04a01b60e1fda09714051f51630bbb06a769344519b14b14cfd79a7c6.jpg) + +我们通过观察图形与数据发现转速在某一段时间内，大小是不发生变化的，但是，扭矩的值随时间一直在变化，所以我们认为用转速来计算在实验台上模拟的制动器制动过程中消耗的能量误差会比较大，很不精确。因此我们根据扭矩和能量的关系来计算制动器在制动过程中消耗的能量。具体过程如下： + +实验台上制动器在制动过程中消耗的能量 $E = \sum_{i=1}^{468} T_i * \varphi$ + +由力学知识可得到关系式 $\varphi = \omega * \Delta t$ , $\omega = 2\pi * \Delta n$ + +用 EXCEL 处理得到如下结果: + +
TΔnωφE
40514.063228.296832.28296849152.43777
40513.5153224.874232.248742
……………………
288.75257.441616.723216.167232
+ +我们可以看到表格中的 $E$ 表示在实验台上制动器在制动过程中消耗的能量大小为 $E = 49152.43777J$ + +我们计算路试时的能量时，利用公式 $E = \left( \frac{1}{2} \right) J \omega^2$ ，初始时和末时的能量之差即为制动器在制动过程中消耗的能量。 + +$$ +\begin{array}{l} E _ {\text {初}} = \left(\frac {1}{2}\right) J \omega_ {\text {初}} ^ {2} = \left(\frac {1}{2}\right) J \times \left(2 \pi n _ {\text {初}}\right) ^ {2} \\ = \left(\frac {1}{2}\right) \times 4 8 \times \left(2 \pi \times 5 1 4. 3 3 / 6 0\right) ^ {2} = 6 9 4 6 3. 1 1 6 8 4 J \\ E _ {\text {末}} = \left(\frac {1}{2}\right) J \omega_ {\text {末}} ^ {2} = \left(\frac {1}{2}\right) J \times \left(2 \pi n _ {\text {末}}\right) ^ {2} \\ = \left(\frac {1}{2}\right) \times 4 8 \times \left(2 \pi \times 2 5 7. 1 7 / 6 0\right) ^ {2} = 1 7 3 6 5. 7 7 9 2 1 J \\ \end{array} +$$ + +所以路试时消耗的总能量 $E^{\prime} = E_{\text{初}} - E_{\text{末}} = 52097.34 \mathrm{~J}$ + +路试和试验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差 $\Delta E = E' - E = 2944.9J$ 即为衡量该控制方法优劣的标准。 + +其相对误差 $\mu = \frac{\Delta E}{E'} \times 100\% = 5.6527\%$ ，根据查资料我们了解到相对误差 $\mu$ 只要在 $5\%$ 附近波动即可认为其相对精确。由此可以看出我们采取的处理方法比较合理。 + +通过 SPSS 软件我们可以得到单个步长消耗的能量随时间变化的散点图及其模拟曲线，图形如下。 + +由图形可以看出单个步长制动器消耗的能量基本上可以看做是连续的，即相邻两个步长内制动器消耗的能量变化不大，所以，我们用每个步长内制动器消耗的能量相累加的方法是合理的。 + +![](images/da04bab502197245564311fe420ac489d198fd8084ba486e7f6d492594255a19.jpg) +V4 + +第五问：题目要求按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，即由第3问导出的数学模型对电流进行关于时间的预测。预测的方法比较多而且都需要有一定的数据为基础进行预测，预测的过程可以是先建立预测模型再由给定的数据进行评价，但是此过程中模型的建立必将全部用符号表示，有些环节无法评定其是否合理，也就不能充分证明模型的正确性。例如：曲线模拟过程中必须按显著性水平选取曲线，这就决定了在预测过程中应该尽量以已知的数据为基础进行。因此我们将第4问的数据看成是一组变动的参数，由此基础模拟出电流随时间的变化规律，然后控制电流使其按照模拟出的规律随时间变化直至制动停止。我们先通过灰色系统GM（1，1）对结果进行预测。然后用BP神经网络能分析数据，对输入样本进行神经网络训练，通过实际输出与样本输出的误差，来修订网络的连接权值，达到拟合误差的目的。具体过程如下 + +# 1、问题综述： + +由第3问的第二种方法所得出的电流瞬时值为: + +$$ +I = 1. 5 \left(J \frac {\alpha_ {2}}{k} - T _ {\text {主 轴}}\right) \dots \tag {5-1} +$$ + +其中 $\alpha_{2}$ 是主轴在步长内的角加速度，在假设单步长内角加速度为定值的前提下，此变量可以由单步长的始末速度以及步长求出： $\alpha_{2} = \frac{\Delta w}{\Delta t}$ ，其中 $\Delta w$ 可以由转速的变化转变得出，在此过程中先通过对已知数据进行处理，算出来每个步长的等效角加速度，由于假设是在每个步长内的角加速度为定值，则用首末角速度差等效 $\Delta w$ 是合理的， $\Delta t$ 是每个步长的时间。然后通过拟合出 $\alpha_{2}$ 与 $t$ 的曲线以及 $T_{\text{主轴}}$ 与 $t$ 的曲线，再将两条曲线带入（5-1）即可得出 $I$ 随 $t$ 变化的关系式，进 + +而控制电流。 + +# 2、曲线模拟： + +2—1、 $\alpha_{2}$ 与 $t$ 的曲线模拟与分析：将数据按问题综述中所述方法处理后用 SPSS 软件进行曲线模拟，模拟结果见附表 5 和附表 6 + +由附表5可以直观地看出 $\alpha_{2}$ 与 $t$ 没有明显的关系，有附表6得知最大的显著性水平 $\mathrm{R} = 0.067$ ，所以 $\alpha_{2}$ 与时间 $t$ 没有较好的拟合曲线。然而通过分析可知 $\alpha_{2}$ 与 $T_{\text{主轴}}$ 由一定的关系： + +$$ +T _ {\text {主 轴}} = J ^ {\prime} \times \alpha_ {2} \dots \tag {5-2} +$$ + +因此我们可以把 $\alpha_{2}$ 通过转化到 $T_{\text{主轴}}$ 。由（5-1）（5-2）可以得出： + +$$ +I = 1. 5 (k - 1) T _ {\text {主 轴}} \dots \tag {5-3} +$$ + +通过 SPSS 曲线拟合与分析 $T_{\text {主轴}}$ 与 $t$ 的关系式结果见附表 7 和附表 8 + +通过曲线拟合可知三次曲线能达到较好的拟合效果，其中 $R^2 = 0.824$ ，得出 $T_{\text{主轴}}$ 与 $t$ 的关系式： + +$$ +T _ {\text {主 轴}} = 1 2. 8 8 6 t ^ {3} - 1 0 8. 0 7 1 t ^ {2} + 2 7 2. 9 5 t + 8 3. 7 7 4 \dots \dots \dots \dots \dots \dots \tag {5-4} +$$ + +将（5-4）式带入关系式（5-3）即可得出驱动电流 $I$ 和时间 $t$ 的关系式： + +$$ +I = 1. 5 (k - 1) \left(1 2. 8 8 6 t ^ {3} - 1 0 8. 0 7 1 t ^ {2} + 2 7 2. 9 5 t + 8 3. 7 7 4\right) +$$ + +其中 $k$ 是比例系数 $k = \sqrt{\frac{J}{J^{\prime}}}$ + +我们通过灰色系统软件，分别输入问题四中所附的EXCEL表格中的数据，468行的扭矩与468行的转速，能够直接通过软件预测出下一步长的扭矩与转速，将数值带入我们所建立的数学模型中，能算出驱动电流的值，将结果与使用灰色系统GM（1，1）和用BP神经网络的模型结果进行对比，判断其精确程度。 + +我们经过多步代换得到驱动电流和时间的关系式 $I = 1.5(k - 1)(12.886t^{3} - 108.071t^{2} + 272.95t + 83.774)$ ，其中的变量只有时间，所以我们可以用一阶一个变量的 $GM(1, 1)$ 灰色模型预测系统来预测下一刻的驱动电流的大小。 + +驱动电流随时间的单调性不太明显，因此我们采用数据的一次累加模型，依次累加使数据的单调性更加明显，利用 $GM(1, 1)$ 灰色模型预测系统的主要软件来进行预测。首先输入第四问所给出的 EXCEL 表格中的时间数据和所求出的驱动电流和时间的关系式，算出所给出时间内每一步长内的驱动电流的大小，然后利用 $GM(1, 1)$ 灰色模型预测系统的主要软件对该列数据进行累加，得到一个单调 + +性明显的数据列，然后就可以利用软件来预测下一短时间的驱动电流的大小，然后再累减得到原始所求序列，以达到控制的目的。 + +第六问：第五问采用的 GM(1, 1) 灰色模型和 BP 神经网络数学模型存在着精度不高，神经网络训练慢的缺陷，具体来说，它的缺陷有以下几点： + +BP算法的学习速度很慢，其原因主要有： + +1、由于BP算法本质上为梯度下降法，而它所要优化的目标函数又非常复杂，因此，必然会出现“锯齿形现象”，这使得BP算法低效； +2、存在麻痹现象，由于优化的目标函数很复杂，它必然会在神经元输出接近0或1的情况下，出现一些平坦区，在这些区域内，权值误差改变很小，使训练过程几乎停顿； +3、为了使网络执行 BP 算法，不能用传统的一维搜索法求每次迭代的步长，而必须把步长的更新规则预先赋予网络，这种方法将引起算法低效。 + +网络训练失败的可能性较大，其原因有： + +1、从数学角度看，BP算法为一种局部搜索的优化方法，但它要解决的问题为求解复杂非线性函数的全局极值，因此，算法很有可能陷入局部极值，使训练失败； +2、网络的逼近、推广能力同学习样本的典型性密切相关，而从问题中选取典型样本实例组成训练集是一个很困难的问题。 +3、难以解决应用问题的实例规模和网络规模间的矛盾。这涉及到网络容量的可能性与可行性的关系问题，即学习复杂性问题； +4、网络结构的选择尚无一种统一而完整的理论指导，一般只能由经验选定。为此，有人称神经网络的结构选择为一种艺术。而网络的结构直接影响网络的逼近能力及推广性质。因此，应用中如何选择合适的网络结构是一个重要的问题； +5、新加入的样本要影响已学习成功的网络，而且刻画每个输入样本的特征的数目也必须相同； +6、网络的预测能力（也称泛化能力、推广能力）与训练能力（也称逼近能力、学习能力）的矛盾。一般情况下，训练能力差时，预测能力也差，并且一定程度上，随训练能力地提高，预测能力也提高。但这种趋势有一个极限，当达到此极限时，随训练能力的提高，预测能力反而下降，即出现所谓“过拟合”现象。此时，网络学习了过多的样本细节，而不能反映样本内含的规律。 + +因此，我们在查阅资料后决定采用模糊自整定PID的控制方法，因为PID控制方法能解决线性不好，所处环境恶劣等诸多问题，而且处理速度快，能弥补BP神经网络的不足之处，下图是PID控制制动器试验台的系统图： + +![](images/8c728722d629ef184e5edef65e07b2a230deeaeb47745605d9f8ff6e049cdc44.jpg) + +# PID控制主要算法是： + +1）模糊控制器的输入语言变量为：误差和误差变化量，输出的则是语言变化量，如上图所示，程序流程图下图所示： + +![](images/1942be5f26d477212055dd87660c50f62779abb5306f1eebd81a4212da438f72.jpg) + +我们将模糊控制器和常规PID控制器结合起来，便构成模糊自整定PID控制器。在LabVIEW中编写程序，可以看出其响应速度快，超调量小的特点。对于制动器试验台电模拟系统进行控制，需要实时采集制动轴的转速、制动转矩，计算下一时间段的转速变化趋势。因此需要在该程序中引入模拟量信号采集、控制量输出、串口通讯、以及数据显示等环节。 + +但是，我们通过查阅资料，发现虽然采用PID控制试验台改善了GM(1,1)灰色模型和BP神经网络数学模型控制试验台所存在的不足，但还是有些缺陷必须预先考虑： + +1. 惯量模拟范围受电机容量限制，电机容量过大势必增加系统成本，可以采用增加若干惯性飞轮提高惯量模拟范围的措施。 +2. 补偿时间的计算需要依据预测的制动时间，由于制动衬片的摩擦因数是随温度和压力等条件变化的不确定量，因而制动时间很难精确预测。当补偿时间与补偿起始时间之和大于实际制动时间时会出现补偿不完全的现象，因而应该使补偿时间在允许条件下尽量缩短。 +3. 采用能量补偿法模拟惯量势必使转速曲线变为折线形（图2中的折线ACEB），而且仅当补偿时间恰好等于实际制动时间且补偿起始时间为0时，转速曲线为一条直线。补偿时间越长，转速曲线越接近直线，但这与上述补偿时间尽量缩短相矛盾，因此折中的补偿时间取值范围是预测制动时间的 $50\% \sim 80\%$ 。 + +因此，这还需要我们去探寻更好的办法来解决控制制动器试验台的问题。 + +# 六、模型的评价与推广 + +本模型主要讨论了控制制动器试验台上的相关问题。在解决题目所给出的六个问题的时候，我们分别运用到了物理学，理论力学，以及微分方程，GM(1,1)灰色模型和BP神经网络，模糊自整定PID方面的知识，建立了关于解决制动器试验台上等效转动惯量的计算，机械惯量，补偿惯量，驱动电流还有计算机自动控制电流的求解过程，以及对模型进行了评价。总的来说，完成了题目中所提出的问题，并建立了比较完善的数学模型。但是我们知道惯量是制动器试验中的重 + +要试验参数，惯量的精度直接影响试验结果的准确度。但由于题目所给的条件有限，我们无法更加精确惯量的精度，这使得后面的计算，以及我们所建立的数学模型与真实试验台上的模拟有着一定的差距，在第三问计算驱动电流的时候，我们建立出了两种数学模型，而两种模型之间的具体关系，我们研究的比较浅。 + +应该说制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，它的成败直接影响着人身和车辆的安全。因此它的优劣性也显得尤为重要，但由于车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。所以模拟试验得精确决定了最后是否成功。我们所建立得数学模型，在不要求惯量精度时，是有一定得准确性的，但实验台上务必要求精确，高效，与达到这一目标相比，我们所建立的模型还存在着明显的缺陷，这也是我们小组今后要改进模型的方向。 + +# 七、参考文献 + +[1] 郑汉鼎，刁在筠，数学规划[M]，山东：山东教育出版社，1997.12 +[2] 李庆扬，王能超，易大义，数值分析（第四版）[M]，北京：清华大学出版社，2001.8 +[3] 秦曾煌，电工学（第六版）[M]，哈尔滨：高等教育出版社，2007 +[4]梁波，李玉忍，模糊自整定PID在制动器试验台电惯量模拟应用[M]西安：西北工业大学自动化学院，2008.10 +[5]刘鸿文，材料力学（第四版）[M], 高等教育出版社 2003.3 +[6]程靳，程燕平，理论力学学习辅导[M]，高等教育出版社,2002 +[7]董霞，陈康宁，李天石，机械控制理论基础[M],西安交通大学出版社,2005.7 +[8]马继杰，吴博达，刘笑羽，程光明，孙景阳，制动器惯性台架电模拟惯量的研究，汽车制动网,2009.4 + +# 附录： + +# 附录一：转速随时间变化的数据参数 + +模型汇总和参数估计值 +因变量：V3 + +
方程模型汇总参数估计值
R方Fdf1df2Sig.常数b1b2b3
线性.999358983.8571466.000524.151-57.394
对数a......000.000
倒数b......000.000
二次.999185874.5042465.000525.335-58.918.326
三次.999126342.5733464.000524.290-56.218-1.121.207
复合.99259116.3701466.000543.267.860
幂a......000.000
Sb......000.000
增长.99259116.3701466.0006.298-.151
指数.99259116.3701466.000543.267-.151
Logistic.99259116.3701466.000.0021.162
+ +自变量为V4。 +a. 自变量 (V4) 包含非正数值。最小值为 .00。无法计算对数模型和幂模型。 +b. 自变量 (V4) 包含零值。无法计算倒数模型和 S 模型。 + +# 附录二：转速随时间变化的曲线模拟图 + +![](images/afae921390bec31042af4a93d688eb62ba0c79f4a28e45a4e95f5ca3da835b2e.jpg) +转速(rpm) + +附录三：角加速度与时间的曲线数据参数 + +
指数a......000.000.
Logistica......000.000.
+ +自变量为时间(s)。 +a.因变量(角加速度)包含非正数值。最小值为-2.878333333334。无法应用对数变换。无法为此变量计算复合模型、幂模型、S模型、增长模型、指数模型和对数模型。 + +
线性.0094.1621464.0425.166.255
对数.03918.8821464.0005.337.761
倒数.03617.4121464.0006.006-.197
二次.0327.6282463.0013.9101.852-.341
三次.06711.0093462.0002.0456.548-2.836.355
复合a.000.000
幂a.000.000
Sa.000.000
增长a.000.000
+ +附录四：角加速度与时间的散点图 + +![](images/2a8c9e0b2ee100f27b59b690a1115c364b5b2b6dd3657371ba287fee290a3f6a.jpg) +角加速度 + +附表五：扭矩与时间的离散图的数据参数 + +模型汇总和参数估计值 +因变量：扭矩(N.m) + +
方程模型汇总参数估计值
R方Fdf1df2Sig.常数b1b2b3
线性.298198.0501466.000213.55221.365
对数a
倒数b
二次.601349.7272465.000148.973104.514-17.805
三次.824722.6263464.00083.774272.950-108.07112.886
复合.242149.0301466.000186.2801.139
幂a
Sb
增长.242149.0301466.0005.227.130
指数.242149.0301466.000186.280.130
Logistic.242149.0301466.000.005.878
+ +自变量为时间(s)。 +a. 自变量 (时间(s)) 包含非正数值。最小值为 .00。无法计算对数模型和幂模型。 +b. 自变量 (时间(s)) 包含零值。无法计算倒数模型和 S 模型。 + +附表六：扭矩与时间的离散图 + +扭矩(N.m) +![](images/d60b5fccad56e67086611591f8f62fa25eded14d14be4ccde036e9646c0942f1.jpg) +时间(s) \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2009/A\351\242\230/\351\242\230\347\233\256/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300318/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300318.md" "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/\351\242\230\347\233\256/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300318/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300318.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6a30babf516fd12c8a0b6c23f8c788f7d988f10e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2009/A\351\242\230/\351\242\230\347\233\256/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300318/2009\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\2300318.md" @@ -0,0 +1,1006 @@ +# 眼科病床合理安排问题的模型探讨 + +# 摘要： + +众所周知，医院就医排队是一个常见的生活现象。题中某医院眼科病床的安排就属于此类排队现象，如果不能进行合理的安排，就会导致医院医疗资源利用率和运行效率的降低以及增加患者的各项负担。因此有必要结合附录中给出的信息建立合理的病床安排数学模型。 + +本文对于问题一，建立了基于灰色关联聚类和粗糙集理论中求核与约简原理的病床合理安排评价指标体系的模型。确立出制定病床合理安排评价指标体系的六个原则，并考虑模型给出的评价指标来对目前该院眼科病床安排模式进行评价和讨论，得出其优劣点。 + +对于问题二，分析当前该科住院部的实际情况和服务规则，建立了基于01整数规划的多目标优化模型，将病人在医院的逗留时间划分为等待入院时间、入院接受手术时间和手术后康复出院时间，并考虑各阶段历史时间最短、最长两种极端情形，以各种手术类型病人的平均逗留时间达到最小为目标函数进行优化。由模型的求解结果可知每个病人最短、最长逗留时间及在各阶段的最短、最长逗留时间，从而满足根据已知的第二天拟出院病人人数，以此确定第二天应该安排哪些病人住院的要求。实证中我们选取一段时间对模型进行了分析和讨论。 + +对于问题三，分别建立了两个各种手术类型病人入院时间的单项预测模型（模型5和6）和基于IOWA算子的区间组合预测模型（模型7）。模型5和6考虑各时刻各手术类型的住院病人人数及等待入院病人人数，建立线性回归预测模型和均值方差模型，可分别得到某病人（考虑手术类型）的入院时间区间。为了分散预测的风险，根据模型7将模型5和6中得到的区间数据进行区间组合预测，模型7利用IOWA算子的优良性质，将各时刻的各单项预测方法的区间相对误差作为诱导值，区间中心位置误差和区间长度误差的凸组合作为准则进行区间组合预测。拟合结果分析表明该方法为优性区间组合预测，从而表明区间组合预测模型能有效提高预测精度，具有综合各个单项预测模型的有效信息。 + +对于问题四，在问题二建立的数学模型基础上，分析和讨论了该住院部手术安排变动对于各种手术类型病人进行手术时间的影响，从而对问题二中的模型进行相应的调整，增加一个模型约束条件。实证中我们选取一段时间进行分析，再给出医院变动手术安排带来的影响和相关讨论。 + +对于问题五，把病床合理安排看成由四种手术类型（外伤急诊预留床位优先安排，在此不考虑）局中人组成的4人合作对策，根据“谁受益、谁付费”的市场原则，这四种手术类型共同分担该眼科病床。文中应用合作对策中Shapley值方法，计算得出四种手术类型固定的床位分配比例。 + +最后，按照本文所提出的优化模型，得到题目附录中未完成的信息，结果表明，本文模型可以达到优化该眼科病床安排的目的。 + +关键词：灰色聚类；粗糙集；0-1整数规划；IOWA算子；区间组合预测；合作对策； + +# 一．问题重述 + +在现实生活中，人们会经常遇到各类排队问题，这种现象尤其出现在医院的就医排队中，人们往往需要在医院排队接受某种医疗服务。此现象一方面反映了目前医疗资源的匮乏，另一方面透露出由于没有合理安排有限的医疗资源造成了资源浪费。所以合理的病床安排不仅能提高医院的运行效率，更能减少病人的治愈时间，提高医院的服务质量和社会功效。 + +现考虑某个医院眼科病床的合理安排问题。该医院现有实行固定病床位数（79张）、全体非急诊病人按照FCFS(First come,First serve)和急诊（外伤）病人优先治疗的规则进行病床位安排，对于入院的主要四类眼科手术：白内障（分单、双眼）、视网膜疾病、青光眼和外伤的手术时间安排上，每星期安排周一和周三进行白内障手术（外伤除外）且做双眼白内障的病人只在周一进行第一次手术并在同一星期的周三进行第二次手术，而对于病人的术前准备时间和术后的观察时间则是在现有运行机制和样本资料下进行安排。但是，在该医院当前的运行模式下出现了等待住院病人的队列越来越长的问题，因而需要从提高对该医院现有资源的有效利用率上出发，考虑建立适当的数学模型对该院当前的眼科病床安排问题进行调整和改进。 + +# 二．问题分析 + +结合该医院眼科病床合理安排所提出的五个问题和相关要求，我们从以下几个方面对其进行分析和讨论： + +对于问题一：针对当前该医院眼科的病床位管理安排规则和手术时间安排模式已经造成了该科室病人等待就医队列逐渐增长的情况，因而需要结合指标体系建立的原则，建立模型以得到合理的评价体系。 + +对于问题二：考虑该住院部当前的情况，建立合理的数学模型以对现有运营模式进行一定的调整和改进，从而达到提高利用效率，并利用问题一中所建立的评价体系对调整后的模型进行评价和对比。 + +对于问题三：出于病人的利益出发，对于住院时间、手术时间和治愈时间等相关信息是非常敏感的，当然希望尽早了解。所以医院有必要在病人接受门诊时即大致告知其所关心的有关信息。这样，既有利于医院合理进行安排床位，也给病人知晓有关信息以作准备。 + +对于问题四：现该住院部周六和周日调整为不安排手术，则相应病床位安排也应做出种相应的调整。考虑问题二中所建立的数学模型的灵敏度问题，应对实际情形的变化。 + +对于问题五：出于便于管理的角度，将现有的病床位（79张）按照各类眼科病人占用病床的比例划分为4个部分，并考虑使得所有各类病人在系统内平均逗留时间（含待入院及住院时间）最短和出院人数最多的原则作为收益进行合作对策以得到大致固定的比例方案。这种病床安排规则简单、易操作，便于医院管理 + +综合上述五个问题的理解和分析，本文着重考虑对于现有病床安排运行模式的分析、评价和改进，以达到问题的合理化。同时使得医院作为一个公共服务机构，其有限的资源可以充分利用，服务效率和质量得到有效提高，且病人的各项利益得到维护。 + +# 三．若干模型假设 + +1. 不同时间来医院挂号的同类病人病情症状没有轻重之分，即不考虑病情轻重；异类病人（外伤急诊不考虑）之间没有病种之间的相对优先关系。 +2 由于外伤急诊均值数量较少，建模的时候不考虑外伤急诊对模型的影响： +3 不考虑医生因工作时间加长、精力变化和病种选择产生的影响手术质量因素,不考虑病床在病人进出院维护和保洁时间; +4 医院确立的运作原则是更好的服务病人，而非追求相应的经济利润。 + +# 四．模型符号说明 + +白内障（单）1. j= 2, 白内障（双）3, 视网膜疾病4, 青光眼 + +2 $t_{i}^{(j)}$ --第 $i$ 个人（患第 $j$ 种病）接受门诊的时间； + +3 $d_{1}^{(j)}$ --第 $j$ 种病样本数据最小等待入院的天数; + +4 $D_{1}^{(j)}$ --第 $j$ 种病样本数据最大等待入院的天数； + +5 $d_{2}^{(j)}$ --第 $j$ 种病样本数据最小等待手术的天数； + +6 $D_{2}^{(j)}$ --第 $j$ 种病样本数据最大等待手术的天数； + +7. $d_{2}^{(j)}$ --第 $j$ 种病样本数据最小术后康复的天数； + +8 $D_{3}^{(j)}$ --第 $j$ 种病样本数据最大术后康复的天数； + +0, t时刻病患不入院/不进行手术/不出院 x t时刻病患入院/进行手术/出院 + +10 $t^{\prime}$ --样本考察终止日期； + +11. $\Delta t\left(t_{i}^{(j)},t^{\prime}\right) = -t_{i}^{(j)}$ 到 $t^\prime$ 的日历天数； + +12 $I = \left\{i \mid d_{1}^{(j)} + d_{2}^{(j)} + d_{3}^{(j)} \leq \Delta t\left(t_{i}^{(j)}, t^{\prime}\right)\right\} -$ 第 $i$ 个病人在考察期内考虑等待时间最短的情形下（包括终止日当日）能够出院的集合； + +13 $I^{\prime} = \left\{i\mid D_{1}^{(j)} + D_{2}^{(j)} + D_{3}^{(j)}\leq \Delta t\left(t_{i}^{(j)},t^{\prime}\right)\right\} -$ 第 $i$ 个病人在考察期内考虑等待时间最长的情形下（包括终止日当日）能够出院的集合； + +14 $\| I\|$ --集合 $I$ 的元素个数（即考察期满的出院总人数）； + +15 $\left\| I^{\prime}\right\| =$ 集合 $I^{\prime}$ 的元素个数（即考察期满的出院总人数）； +16 J --考察期内星期一和星期三的集合； +17. $J^{\prime} - -$ 考察期内星期五和星期六的集合; + +# 五. 模型的建立与求解 + +# 5.1 合理的眼科病床安排评价指标体系的建立 + +# 5.1.1 合理的病床安排评价指标体系的确立原则 + +医院病床的合理安排牵涉到社会医疗资源的有效利用和医疗关系的整体协调、病患者的诊断和治愈时间、医院管理水平和医疗技术水平、医务工作人员的工作效率和服务质量以及医院的经济社会效益等因素。病床得到合理的安排直接影响到医院资源的有效发挥和各项医疗流程的进行。历史经验和实际理论均可说明医院病床的合理安排是一个涉及到众多影响因素且因素相互作用的综合性问题，这就需要有关部门建立一个评价病床合理安排评价指标体系的确立原则，使得依据这些科学、有效、合理的原则确定出所需的评价指标体系。 + +我们通过查阅资料进行综合分析，提出如下评价医院病床合理安排评价体系的确立原则： + +(1)完备性原则。 + +医院病床安排现象的复杂性决定了评价指标体系的多因素、多层次性。要对医院病床安排的各方面进行不同层次的全方位评价，不能以偏代全、以局部代替整体，同时还要抓主流、抓本质。 + +(2)不相容性原则。 + +选取指标时，要求指标之间互不相容，也就是指标之间存在某种对立和矛盾，具有排斥相离属性。 + +(3) 目的性原则。 + +评价指标体系的设计要依据指标研究的目的，从评价的内容来看，该指标确实能反映有关内容，决不能将与评价对象、评价内容无关的指标选进来。指标选择就应看指标与评价体系“目的”的关系，如果指标能最大限度地实现评价体系的目的，它就是关键指标，否则就不是。 + +(4)代表性原则。 + +指标选取的代表性要求所选取的指标能能够反映整体的实际特点。指标的评价结果和整体的真实情况差异越小就越能具有代表性。 + +(5)实用性原则。 + +方案制定中指标体系的确定、指标标准的确定以及指标的采集、数据的加工处理、综合分析判断应该是适用可行，简便易操作的。 + +(6)可考核性原则。 + +病床评价指标应当具备可衡量性，应当有明确可行的考核方法和考核标准。选取的标准必须满足可考核性的要求，才能在指标体系建立之后有一个客观的测评依据。 + +# 5.1.2合理的病床安排评价指标体系的模型建立 + +对复杂系统进行分析与评价通常是依靠系统的一些要素（指标）进行的，但指标的选取在复杂系统的研究中是一个关键问题，也是一个不易解决的难点问题：指标太少会信息量不足而影响分析与评价结果；指标太多则会出现大量的冗 + +余信息，增加了分析、计算得难度。协同学中指出：在系统的发展过程中，系统的有序结构是由少数几个参量来描述的，所有的子系统都受着少数几个变量的支配。由此我们会想到，在分析系统的演化时是否也能找到起到“序参量”作用的几个指标。这要求我们要有一种方法能够从大量的指标中消除冗余指标，选出能够反映系统演化状况的尽量少的指标。 + +在评价指标的筛选中 Delphi 法经常被提到。这是一种向专家发函、征求意见的调研方法。即评价者在所设计的调查表中列出一系列评价指标，分别征询专家的意见，然后进行统计处理，并向专家反馈结果，经过几轮咨询后，专家的意见趋于统一，从而确定出具体的评价指标体系。这种方法的缺点是缺乏客观标准，有一定的主观片面性。 + +本文利用灰色聚类和粗糙集理论中的求核与约简方法来选取问题一中的评价指标。 + +# 模型1：基于灰色关联度与灰关联聚类分析的指标选取 + +对有 $\mathrm{n}$ 个要素（指标） $x_{j}$ ，每个要素有 $\mathrm{m}$ 个特征数据的系统，其指标可表 + +示为 $x_{j}^{0}(k) = \left\{x_{j}^{0}(1),x_{j}^{0}(2),\dots ,x_{j}^{0}(m)\right\} ,j = 1,2,\dots n,k = 1,2,\dots m.$ (1) + +为消除不同指标的量纲，使各数据间具有可比性，对原始数据采用归一化处理，其方法有初值化、均值化、中值化和区间化等。在这里我们采用初值化方法，该方法理解简单、容易操作，对(1)做初值化处理，有 + +$$ +x _ {j} (k) = \left\{\frac {x _ {j} ^ {0} (1)}{x _ {j} ^ {0} (1)}, \frac {x _ {j} ^ {0} (2)}{x _ {j} ^ {0} (1)}, \dots , \frac {x _ {j} ^ {0} (m)}{x _ {j} ^ {0} (1)} \right\}, j = 1, 2, \dots n, k = 1, 2, \dots m. \tag {2} +$$ + +计算 $x_{i}$ 、 $x_{j}$ 间的关联系数 $Z_{ij}(k)(i\neq j)$ + +$$ +z _ {i j} (k) = \frac {\min _ {j} \min _ {k} \left| x _ {i} (k) - x _ {j} (k) \right| + r \max _ {j} \max _ {k} \left| x _ {i} (k) - x _ {j} (k) \right|}{\left| x _ {i} (k) - x _ {j} (k) \right| + r \max _ {j} \max _ {k} \left| x _ {i} (k) - x _ {j} (k) \right|} \tag {3} +$$ + +其中： $\min_{j} \min_{k} \left| x_i(k) - x_j(k) \right|$ 为两指标的最小绝对差值； $\max_{j} \max_{k} \left| x_i(k) - x_j(k) \right|$ 为两指标的最大绝对差值， $j = 1,2,\dots,n, k = 1,2,\dots,m$ ， $r$ 为分辨系数，其作用在于提高关联系数之间的差异显著性，一般情况下取 $r \in (0.1,1)$ 。 + +当我们得到了关联系数后，由于其数据多，信息分散而不利于比较，为此我们将各时刻的关联系数求平均值，将信息集中比较。若把关联度记为 $r_{ij}$ ，则记为 + +$$ +r _ {i j} = \frac {1}{m} \sum_ {k = 1} ^ {m} z _ {i j} (k) \tag {4} +$$ + +其中 $r_{ij}$ 为两指标 $x_{i} 、 x_{j}$ 的关联度； $\mathbf{m}$ 为数列的长度，即数据个数。 + +计算 $x_{j}$ 两两之间的关联度，则得到对称的指标关联度矩阵： + +$$ +R = \left( \begin{array}{l l l l} r _ {1 1} & r _ {1 2} & \dots & r _ {1 n} \\ r _ {2 1} & r _ {2 2} & \dots & r _ {2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ r _ {n 1} & r _ {n 2} & \dots & r _ {n n} \end{array} \right) \tag {5} +$$ + +其中 $r_{ij} = 1$ 、 $r_{ij} = r_{ji}$ 、 $i, j = 1,2,\dots,n$ 。在实践中一般取一临界值 $r$ （一般要求 $r > 0.5$ ），当 $r_{ij} > r$ 时，则将 $x_i$ 和 $x_j$ 归为一类。由于每类指标都反映了系统的一个方面，所以在筛选指标时要保证指标体系中要至少包含每类聚类中的一个指标。 + +根据上面的聚类方法对病床安排评价指标进行聚类分析，在开始选取指标时，首先考虑的是信息的完备性，一般要选择尽量多的指标来进行筛选出具有重要关系的指标。初步选取指标如下表： + +表1 + +
周数入院时 间(天)手术时 间(天)逗留时 间(天)病床周转 次数出院数入院数病床使 用率
17603350012883151
26691633600806334201
3578613182024080619671
4730640168073417758691
5646518131067088653531
6292532145072151957571
759559156081012764641
846925068354454541
+ +注：上述数据以一周时间为单位进行统计 +首先归一化处理原始数据，消除不同指标的量纲，使各指标间具有可比性，并剔除病床使用率这一指标。 + +入院时间 手术时间 逗留时 病床周转次 + +
x1x2间 x3数 x4出院数 x5入院数 x6
1.001.001.001.001.001.00
1.261.040.921.021.021.08
1.120.850.720.930.930.79
1.170.870.801.001.000.85
1.160.910.861.121.120%
1.210.880.861.021.020.81
+ +利用灰关联度方法对表 1 数据进行分析（取 $r = 0.5$ ），得到两两指标间的关联度如表 2： + +表 2 + +
123456
11.00000.83550.78930.61890.68300.7430
20 83551.00000 80240 68550 82030 8150
30 78930 80241.00000 66790 67450 8290
40 61860 68550 66791.00000 60970 7131
50 68300 82030 67450 60971.00000 5998
60 74300 81500 82900 71310 59981.0000
+ +根据表2对指标聚类，可以根据实际要求对r取不同的值，取 $r = 0.7$ 得到一个指标的聚类为： $\{x_{1}\},\{x_{2}\},\{x_{3}\},\{x_{4},x_{5},x_{6}\}$ + +# 模型2：基于粗糙集理论系简化方法 + +粗糙集（RS）理论是波兰科学家 Pawlak 在 1982 年提出的一种数学理论，主要用于数据分析，该理论提出的核、约简和上下近似等概念提供了从系统中分析多余属性的方法，利用粗糙集理论中的核与约简可以对复杂系统的指标进行筛选，达到简化指标体系的目的。 + +对于系统 $\mathbf{S}$ 中，其指标体系为 $X = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ ，每个指标有 $\mathfrak{m}$ 个数据。若将表示成指标两两之间关联度表形式，则系统的信息矩阵可用一个 $m \times n$ 矩阵 $\mathbf{X}$ 来表示。 + +$$ +\mathrm {X} = \begin{array}{c} u _ {1} \\ u _ {2} \\ \dots \\ u _ {m} \end{array} \left( \begin{array}{l l l l} x _ {1 1} & x _ {1 2} & \dots & x _ {1 n} \\ x _ {2 1} & x _ {2 2} & \dots & x _ {2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ x _ {m 1} & x _ {m 2} & \dots & x _ {m n} \end{array} \right) \tag {6} +$$ + +给出粗糙集理论中的有关定义: + +(1) 若 $u_{i} \neq u_{j}$ , 则称 $u_{i}$ 和 $u_{j}$ 是在 X 下可分辨的。 +(2) 若 $\mathrm{X}$ 中的 $u_{i}$ 都是两两可分辨的, 则称 $\mathrm{S}$ 是在 $\mathrm{X}$ 下可分辨的, 记作 $\operatorname{ind}(\mathrm{X})$ 。 +(3) 若去掉 X 中的某个指标 $x_{i}$ 后, S 仍是可分辨的: $\operatorname{ind}(\mathrm{X} - x_{i}) = \operatorname{ind}(\mathrm{X})$ , 则称 $x_{i}$ 是 X 中可约简的。 +(4) 若 X 中的任意指标都是不可约简的, 则称 X 为独立的 (X 独立说明 X 中的任意一个指标对系统来说都是不能缺少的)。 +(5) 对指标 X 的任意子集 A ⊆ X, 若满足 ind(A) = ind(X) 且 A 是独立的, 则称 A 是 X 的一个最小子集: MIN(X)(X 的最小子集不一定是唯一的)。 +(6) X 中所有最小子集的交集 $X_{e}$ 称为 X 的核 $X_{e} = \bigcap_{i=1}^{k} \min_{i}(X)$ , k 为所有最小子集数。 + +$X_{e}$ 中的指标是描述系统必不可少的, 求 $X_{e}$ 一般是基于分辨矩阵的方法, 分辨矩阵 $\mathbf{D}$ 的建立是其中的关键, 对于系统 $\mathbf{S}$ 的指标体系 $\mathbf{X}$ , 其分辨矩阵 $\mathbf{D}$ 是一个由 $\mathbf{X}$ 的子集构成的 $\mathrm{m}$ 阶方阵: + +$$ +\mathrm {D} = \left( \begin{array}{l l l l} d _ {1 1} & d _ {1 2} & \dots & d _ {1 m} \\ d _ {2 1} & d _ {2 2} & \dots & d _ {2 m} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ d _ {m 1} & d _ {m 2} & \dots & d _ {m m} \end{array} \right) +$$ + +其中 $d_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll}0 & x_{ik} = x_{jk}\\ x_k & x_{ik}\neq x_{jk} \end{array} \right.$ ，j,k=1,2,3,...,m + +由以上定义看出，D 是一个主对角线为 0 的 m 阶方阵。 + +根据上述方法利用 MATLAB 软件对数据进行标准离散化与求核处理，得到 + +$$ +X _ {e} = \left\{x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {6} \right\} +$$ + +若在 Xc 中的指标 $x_{i}$ 与 $x_{j}$ 间具有关系： + +$$ +x _ {i} = k x _ {j} (k \neq 0) \tag {7} +$$ + +或者两者之间的关联系数 $r\left(x_{i}, x_{j}\right) > \partial$ （ $\partial$ 为评价系数所需要的阈值） + +则可以去掉一个指标或用其中一个指标代替另一个指标，这样可以对 Xc 进一步简化，结合前面指标灰色聚类约束，我们确定的系统核心指标为： + +$$ +I = \left\{x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4} \right\} +$$ + +# 5.1.3 目前病床安排模型的优劣 + +![](images/8f48ee9fa25e66b1950dd344f066eb56bbe7f6ad98859f04cd20732daa6c8b0c.jpg) + +通常我们对一个医院的评价不仅仅局限于该医院对疾病的治愈率和服务态度，对一个医院的综合评价还应该包括病人等待时间、病床使用率和病床周转次数等。下面我们就从这些角度利用样本数据对医院现有的病床安排方案做出综合的合理的评价。 + +一．从各种病人在就医的不同阶段所需的时间考虑： + +表3 + +
等待就医时间手术准备时间留院康复时间
最短时间最长时间平均时间最短时间最长时间平均时间最短时间最长时间平均时间
白内障单眼101613152142318
白内障双眼101413174152621
青光眼101512232162923
视网膜疾病1015131932193125
外伤1111115128
+ +从表1，我们可以清晰地看到每种病人在手术准备时间（包括最大、最小、平均）和留院康复时间均符合标准，但核心指标等待就医时间过长，这样延误病人的最佳治疗时间，而优秀的安排方案是能够缩短病人等待入院时间，从而提高服务质量和运作效率，所以，在这一点上存在缺陷。 + +二.从病人各周进、出院数考虑： + +表4 + +
第一周第二周第三周第四周第五周第六周第七周第八周第九周
进 院 人 数52067695357645439
出 院 人 数1419535357645439
+ +(由于数据表中前半部分的数据缺少, 我们从第四周算起是行之有效的) 从表 3.4我们可以计算出该眼科住院部的病床使用率和病床周转次数 + +(1) 病床使用率 + +目前的病床安排模型当达到平衡时： + +$$ +\text{病床使用率} = \frac {\text {实际占用床日数}}{\text {实际开放总床日数}} \times 100 \% +$$ + +始终维持在 $100\%$ 虽然从某种角度说百分之百的病床使用率能减少病人等待治疗和在医院逗留时间，但合理的病床安排方案要求病床的使用率保持在 $83\%$ 之间，所以目前的病床安排模型在病床使用率方面存在一定缺陷。 + +(2) 病床周转次数 + +对所给表格，我们去除首位不完整数据后可得出该医院的 + +$$ +\text {病 床 周 转 次} = \frac {\text {出 院 人 数}}{\text {平 均 开 放 病 床 数}} +$$ + +大约为3695/年，此项指标要高于三级甲等医院的标准（17-20/年）。 + +所以，在我们建立的病床安排模型中要保留原模型的优点弥补原模型的缺陷。 + +# 5.2 合理的眼科病床安排模型的建立 + +由问题一中当前医院病床安排的运行模式可知，等待住院病人的队列在不断 + +增加，这给医院的医疗服务带来很大的负担，对病人来说治疗、治愈的周期也相应变长。所以我们有必要对现有病床安排进行调整和改进，以提高有限医疗资源的利用率。结合目前该眼科住院部的实际情况，我们建立如下病床安排模型并利用问题一中的指标评价体系作出评价。 + +# 5.2.1 基于0-1整数规划的多目标眼科病床安排模型建立 + +我们考虑附录中给出的历史样本（2007-13至2009-11共349人）得到各类手术最短（长）入院时间、最短（长）等待手术时间和最短（长）术后出院时间。病人i（属于第j种手术）到达该眼科进行门诊时的时间为 $t_i^{(j)}$ ，则我们最差要求此病人在 $t_i^{(j)}$ 至最长入院时间间隔内可以得到入院，在 $t_i^{(j)}$ 至最长手术时间间隔内可以进行手术，在 $t_i^{(j)}$ 至最长术后出院时间间隔内可以出院并且入院、手术、术后出院一定都在这三个时间间隔内的某一天发生；最好情形下此病人在 $t_i^{(j)}$ 至最短入院时间间隔内可以得到入院，在 $t_i^{(j)}$ 至最短手术时间间隔内可以进行手术，在 $t_i^{(j)}$ 至最短术后出院时间间隔内可以出院并且入院、手术、术后出院一定都在这三个时间间隔内的某一天发生。这就符合01整数规划的要求。我们以历史数据中平均入院时间、平均手术时间和平均术后出院时间作为目标函数，以样本考察期内的病床周转次数（= 出院人数 平均开放床位数）满足三甲医院医疗标准（17-20年），结合该眼科手术安排限制（周一、周三只做白内障手术且不安排其他非急诊手术）为约束条件，得到平均逗留时间最短和最长的两个01整数目标规划模型： + +# 模型3平均逗留时间最短情形 + +$$ +\begin{array}{l} \min \frac {1}{3 4 9} \sum_ {i = 1} ^ {3 4 9} \left[ \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)}}\right) + \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}}\right) \right. \\ \left. + \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + d _ {3} ^ {(j)}} \right] \right] \\ \end{array} +$$ + +$$ +s. t. \quad \left\{ \begin{array}{l} x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)}} = 1; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}} = 1; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + d _ {3} ^ {(j)}} = 1; \\ 1 7 \cdot \frac {2}{1 2} \leq \frac {\| I \|}{7 9} \leq 2 0 \cdot \frac {2}{1 2} \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}} = 1, j \in \{1, 2 \}, t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} \in J; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}} = 0, j \in \{3, 4 \}, t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} \in J; \end{array} \right. +$$ + +# 模型4平均逗留时间最长情形 + +$$ +\begin{array}{l} \min \frac {1}{3 4 9} \sum_ {i = 1} ^ {3 4 9} \left[ \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 2} + \dots + D _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)}}\right) + \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}}\right) \right. \\ \left. + \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + D _ {3} ^ {(j)}}\right) \right] \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t .} \quad \left\{ \begin{array}{l} x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)}} = 1; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}} = 1; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + D _ {3} ^ {(j)}} = 1; \\ 1 7 \cdot \frac {2}{1 2} \leq \frac {\| I \|}{7 9} \leq 2 0 \cdot \frac {2}{1 2} \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}} = 1, j \in \{1, 2 \}, t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} \in J; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}} = 0, j \in \{3, 4 \}, t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} \in J; \end{array} \right. \end{array} +$$ + +模型3和模型4可通过搜索算法（如枚举法）或相关软件（如Matlab7.0进行求解。 + +# 5.2.2 基于0-1整数规划的眼科病床安排模型实证分析 + +本文截取某段样本数据应用 MATLAB7.0 工具箱进行实证分析, 选取的现有床位安排方案和本模型优化后的床位安排方案进行对比如下表所示: + +表 5 现有的床位安排方案 + +
序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间
1白内障(双眼)2008-8-72008-8-212008-8-252008-8-272008-8-30
2外伤2008-8-72008-8-82008-8-9/2008-8-12
3青光眼2008-8-72008-8-222008-8-24/2008-9-5
4视网膜疾病2008-8-82008-8-222008-8-24/2008-9-2
5外伤2008-8-82008-8-92008-8-10/2008-8-14
6视网膜疾病2008-8-82008-8-222008-8-24/2008-9-7
+ +表 6优化后的床位安排方案 + +
序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间
1白内障(双眼)2008-8-72008-8-222008-8-252008-8-272008-8-30
2外伤2008-8-72008-8-82008-8-9/2008-8-12
3青光眼2008-8-72008-8-212008-8-23/2008-9-4
4视网膜疾病2008-8-82008-8-222008-8-24/2008-9-2
5外伤2008-8-82008-8-92008-8-10/2008-8-13
6视网膜疾病2008-8-82008-8-222008-8-24/2008-9-7
+ +# 5.2.3 基于0-1整数规划的眼科病床安排模型实证评价 + +我们通过上述实证分析可以得知 + +# 1. 病床实用率 + +原先给定模型中病床实用率始终保持在 $100\%$ ，而我们用自己建立的模型优化后，病床的实用率大约为 $94.31\%$ ，略大于标准区间的 $[85\%, 93\%]$ ，虽然不在区间范围内，但相对以前模型已有所优化。 + +# 2. 平均住院天数 + +通过模型的优化，平均住院天数从原始的7.84天降低至7.67天，有所下降，同时缩短了病人在医院的逗留时间。 + +# 3. 等待入院时间 + +从总的时间角度考虑，优化后总时间向前提前一天，从而减小了后面病人入院等待时间。 + +# 5.3 各种手术类型入院时间的单项预测模型和基于IOWA算子的区间 + +# 组合预测模型的建立 + +我们考虑各时刻各手术类型的住院病人人数及等待入院病人人数，建立线性回归预测模型和均值方差模型拟合得到某病人（考虑手术类型）的入院时间区间。 + +# 5.3.1 线性回归预测模型（模型5） + +# 一．参数估计 + +设 $y_{j}$ 表示第 $j$ 种手术类型病人的入院时间, 设其受 $m$ 个因素 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}$ 的影响, 且 $y$ 与 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}$ 之间满足以下线性关系 + +$$ +y = I _ {0} + I _ {1} x _ {1} + I _ {2} x _ {2} + \dots + I _ {m} x _ {m} + e, \tag {8} +$$ + +若获得 $n$ 次观察值 $(y_{i}, x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{im})$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，则有下式成立 + +$$ +y _ {i} = I _ {0} + I _ {1} x _ {i 1} + I _ {2} x _ {i 2} + \dots + I _ {m} x _ {i m} + e _ {i}, i = 1, 2, \dots , n, \tag {9} +$$ + +令 + +$$ +\boldsymbol {Y} = \left(y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {n}\right) ^ {\mathrm {T}}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left(\boldsymbol {e} _ {1}, \boldsymbol {e} _ {2}, \dots , \boldsymbol {e} _ {n}\right) ^ {\mathrm {T}}, \quad \Lambda = \left(I _ {0}, I _ {1}, \dots , I _ {m}\right) ^ {\mathrm {T}}, +$$ + +$$ +\boldsymbol {X} = \left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & x _ {1 1} & x _ {1 2} & \dots & x _ {1 m} \\ 1 & x _ {2 1} & x _ {2 2} & \dots & x _ {2 m} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ 1 & x _ {n 1} & x _ {n 2} & \dots & x _ {n m} \end{array} \right], +$$ + +则（9）式可写成 + +$$ +\boldsymbol {Y} = \boldsymbol {X} \Lambda + \varepsilon , \tag {10} +$$ + +其中 $\Lambda$ 为未知参数, $Y$ 为入院时间观察值向量, $X$ 为观察值矩阵, $\varepsilon$ 为随机误差向量。一般有 + +$$ +\operatorname {r a n k} (X) = m + 1, \quad \mathrm {E} (\varepsilon) = \mathbf {0}, \quad \operatorname {C o v} (\varepsilon , \varepsilon) = s ^ {2} I _ {\mathrm {n}}, \tag {11} +$$ + +其中 $s^2$ 为随机误差的方差， $I_n$ 为 $n$ 阶单位阵。 + +可以证明，对于线性回归模型（10）未知参数向量 $\Lambda$ 的最小二乘估计为： + +$$ +\hat {\boldsymbol {\Lambda}} = \left(\boldsymbol {X} ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {X}\right) ^ {- 1} \boldsymbol {X} ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {Y} \tag {12} +$$ + +# 二．回归预测模型的统计假设检验 + +# F检验 + +在假设 $\mathrm{H}_{0}: \Lambda = 0$ 的条件下, 构造 F-统计量 + +$$ +\mathrm {F} = \frac {\text {S S R} / m}{\text {S S E} / (n - m - 1)} \sim \mathrm {F} (m, n - m - 1) \tag {13} +$$ + +其中 $SST = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \overline{y})^2$ 为总离差平方和， $SSR = \sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_i - \overline{y})^2$ 为回归平方和， $SSE = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$ 为残差平方和， $\overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$ 为均值， $\hat{y}_i$ 为 $y_i$ 的估计。 + +对给定的显著性水平 $b$ ，由 F-分布表可查得临界值 $\mathrm{F}_b$ ，根据给定的样本观察值计算 F 值，若 $\mathrm{F} \leq \mathrm{F}_b$ ，则接受假设 $\mathrm{H}_0: \Lambda = 0$ 。这表明预测对象 $y$ 与 $m$ 个影响因素 $x_1, x_2, \dots, x_m$ 的线性关系不显著。反之，若 $\mathrm{F} > \mathrm{F}_b$ ，则拒绝假设 $H_0$ 。这表明 $y$ 与影响因素 $x_1, x_2, \dots, x_m$ 的线性关系显著。 + +# t检验 + +在假设 $H_{0}: I_{i} = 0$ 的条件下，构造 t-统计量 + +$$ +T _ {i} = \frac {\hat {\boldsymbol {a}} _ {i}}{\sqrt {c _ {i i}} \sqrt {S S E / (n - m - 1)}} \sim \mathrm {t} (n - m - 1), i = 0, 1, 2, \dots , m \tag {14} +$$ + +其中 $C = \left(\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{X}\right)^{-1} = (c_{ij})_{(m + 1)\times (m + 1)}$ ，对给定的显著性水平 $\textit{\textbf{b}}$ ，由t-分布表可查得临界值 $\mathfrak{t}_b$ ，根据给定的样本观察值计算 $T_{i}$ 值。 + +若 $\left|T_{i}\right|\leq \mathfrak{t}_{b}$ ，则接受假设。这表明预测对象 $y$ 与第 $i$ 个影响因素 $x_{i}$ 的线性关系不显著。需要把 $x_{i}$ 从回归模型中剔除，重新建立回归模型。 + +反之, 若 $\left|T_{i}\right| > \mathrm{t}_{b}$ , 则拒绝假设 $H_{0}$ 。这表明 $y$ 与影响因素 $x_{i}$ 的线性关系显著。 + +# 三. 回归模型预测方法 + +若给定 $m$ 个因素的一组值，设 $x_{1} = x_{1}^{(0)},x_{2} = x_{2}^{(0)},\dots ,x_{m} = x_{m}^{(0)}$ ，则预测对象 $y$ 的点预测值为 + +$$ +\hat {y} _ {0} = \hat {I} _ {0} + \sum_ {i = 1} ^ {m} \hat {I} _ {i} x _ {i} ^ {(0)} 。 \tag {15} +$$ + +令 $X_0 = (1, x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_m^{(0)})$ ， $\hat{\Lambda} = (\hat{I}_0, \hat{I}_1, \dots, \hat{I}_m)^{\mathrm{T}}$ ，则上式可表示为 $\hat{y}_0 = X_0^T \hat{\Lambda}$ ，在 $\pmb{e}$ 服从多元正态分布假设条件下，则有 + +$$ +\hat {y} _ {0} \quad N \left(X _ {0} ^ {T} \Lambda , s ^ {2} X _ {0} ^ {T} \left(\boldsymbol {X} ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {X}\right) ^ {- 1} X _ {0}\right), y _ {0} \quad N \left(X _ {0} ^ {T} \Lambda , s ^ {2}\right) \tag {16} +$$ + +$y_{0}$ 是没有观察到的总体的特定值，可以认为 $\hat{y}_{0}$ 和 $y_{0}$ 相互独立，所以 + +$$ +{y _ {0} - \hat {y} _ {0}} {N (0, s ^ {2} [ 1 + {\boldsymbol {X}} _ {0} ^ {T} (\boldsymbol {X} ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {X}) ^ {- 1} {\boldsymbol {X}} _ {0} ])} +$$ + +$$ +\text {即} \quad \left. \left(y _ {0} - \hat {y} _ {0}\right) / \sqrt {s ^ {2} \left[ 1 + \boldsymbol {X} _ {0} ^ {T} \left(\boldsymbol {X} ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {X}\right) ^ {- 1} \boldsymbol {X} _ {0} \right]}\right) \quad N (0, 1) \tag {17} +$$ + +则可知 $\frac{(n - m - 1)\hat{S}^2}{S^2}$ $c^{2}(n - m - 1)$ ，所以 + +$$ +\left. \left(y _ {0} - \hat {y} _ {0}\right) / \hat {s} \sqrt {1 + \boldsymbol {X} _ {0} ^ {T} \left(\boldsymbol {X} ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {X}\right) ^ {- 1} \boldsymbol {X} _ {0}} \quad t (n - m - 1) \right. \tag {18} +$$ + +从而 $y_{0}$ 的 $1 - b$ 的置信区间预测为: + +$$ +\hat {y} _ {0} - t _ {b / 2} \hat {s} \sqrt {1 + \boldsymbol {X} _ {0} ^ {T} \left(\boldsymbol {X} ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {X}\right) ^ {- 1} \boldsymbol {X} _ {0}} \leq y _ {0} \leq \hat {y} _ {0} + t _ {b / 2} \hat {s} \sqrt {1 + \boldsymbol {X} _ {0} ^ {T} \left(\boldsymbol {X} ^ {\mathrm {T}} \boldsymbol {X}\right) ^ {- 1} \boldsymbol {X} _ {0}} \tag {19} +$$ + +# 5.3.2均值方差预测模型（模型6） + +我们考虑对所有样本中各种病症的入住时间进行统计处理, 得到均值 $\bar{X}^{(j)}$ ,标准差 $S^{(j)}$ , n 为样本容量, $95\%$ 置信区间为 $\bar{X}^{(j)} \pm \frac{S^{(j)}}{\sqrt{n}} Z_{0.95/2}$ (假设各种病症的 + +入住时间满足正态分布), 则可得到各种病症的入住时间的区间值。 + +# 5.3.3 基于IOWA算子的区间组合预测模型的建立 + +# 一．预备知识 + +记 $\tilde{a} = [a^L, a^U] = \{x \mid a^L \leq x \leq a^U, a^L, a^U \in R\}$ ，则称 $\tilde{a}$ 为一个区间数。特别地，若 $a^L = a^U$ ，则 $\tilde{a}$ 退化为普通实数。又记 $m = \frac{1}{2}(a^L + a^U)$ ， $r = \frac{1}{2}(a^U - a^L)$ ，则称 $m$ 、 $r$ 分别为区间中点和区间半径，区间数 $\tilde{a}$ 则还可记为 $\tilde{a} = (m; r)$ 的形式，即 $\tilde{a} = [a^L, a^U] = (m; r)$ 。 + +令区间数 $\tilde{a} = [a^L, a^U] = (m_1; r_1)$ ， $\tilde{b} = [b^L, b^U] = (m_2; r_2)$ ， $I \in R$ ，它们之间的二元运算关系如下： + +(1) 加法运算: $\tilde{a} + \tilde{b} = [a^{L} + b^{L}, a^{U} + b^{U}] = (m_{1} + m_{2}; r_{1} + r_{2})$ +(2) 实数数乘运算: $1 \tilde{a} = \left\{ \begin{array}{l} [1 a^{L}, 1 a^{U}], I \geq 0 \\ [1 a^{U}, 1 a^{L}], I < 0 \end{array} \right. = (I m_{1}; |I| r_{1})$ +(3) 减法运算: $\tilde{a} - \tilde{b} = [a^{L} - b^{U}, a^{U} - b^{L}] = (m_{1} - m_{2}; r_{1} + r_{2})$ + +定义1设 $\left(\left\langle v_{1},a_{1}\right\rangle ,\left\langle v_{2},a_{2}\right\rangle ,\dots ,\left\langle v_{n},a_{n}\right\rangle\right)$ 为 $n$ 个二维数组，令 + +$$ +I O W A _ {w} \left(\left\langle v _ {1}, a _ {1} \right\rangle , \left\langle v _ {2}, a _ {2} \right\rangle , \dots , \left\langle v _ {n}, a _ {n} \right\rangle\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} w _ {i} a _ {v - i n d e x (i)} \tag {20} +$$ + +其中 $w = \left(w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}\right)^{T}$ 是与 $IOWA_{w}$ 有关的加权向量，满足 $\sum_{i=1}^{n} w_{i} = 1, w_{i} \geq 0, i = 1, 2, \dots, n$ ， $\nu - index(i)$ 是 $\nu_{1}, \nu_{2}, \dots, \nu_{n}$ 中按从大到小的顺序排列的第 $i$ 个大的数的下标，则称函数 $IOWA_{w}$ 是由 $\nu_{1}, \nu_{2}, \dots, \nu_{n}$ 所产生的 $n$ 维诱导有序加权算术平均算子，简称为 IOWA 算子， $\nu_{i}$ 称为 $a_{i}$ 的诱导值。 + +定义 2 表明, IOWA 算子是对诱导值 $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ 按从大到小的顺序排序后所对应的 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中的数进行有序加权平均, $w_{i}$ 与数 $a_{i}$ 的大小和位置无关, 而是与其诱导值所在的位置有关。 + +传统的点预测是以实际值与预测值之间的距离来评估预测效率，但对于区间预测而言，除了预测区间的长度外，还需考虑预测区间中心位置与实际值区间中 + +心位置的差距。因此，下面介绍文献[12]中定义的两种区间预测效率：平均区间误差平方和与平均区间相对误差和。 + +定义3 设预测对象的实际区间序列为 $\left\{\tilde{x}_t = \left[x_t^L, x_t^U\right] = (m_t; r_t), t = 1, 2, \dots, n\right\}$ ，预测区间序列为 $\left\{\hat{\tilde{x}}_t = \left[\hat{x}_t^L, \hat{x}_t^U\right] = (\hat{m}_t; \hat{r}_t), t = 1, 2, \dots, n\right\}$ ，令 $d_t = m_t - \hat{m}_t$ 为 $\tilde{x}_t$ 与 $\hat{\tilde{x}}_t$ 的区间中心位置误差，则称 + +$$ +M S E P = \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} d _ {t} ^ {2}}{n} = \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} \left(m _ {t} - \hat {m} _ {t}\right) ^ {2}}{n} \tag {21} +$$ + +为平均区间中心位置误差平方和（Mean Squared Error of Interval Position）。 + +定义4设预测对象的实际区间序列为 $\left\{\tilde{x}_t = \left[x_t^L,x_t^U\right] = \left(m_t;r_t\right),t = 1,2,\dots ,n\right\}$ ，预测区间序列为 $\left\{\hat{\tilde{x}}_t = \left[\hat{x}_t^L,\hat{x}_t^U\right] = \left(\hat{m}_t;\hat{r}_t\right),t = 1,2,\dots ,n\right\}$ ，令 $e_t = r_t - \hat{r}_t$ 为 $\tilde{x}_t$ 与 $\hat{x}_t$ 的区间长度误差，则称 + +$$ +M S E L = \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} e _ {t} ^ {2}}{n} = \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} \left(r _ {t} - \hat {r} _ {t}\right) ^ {2}}{n} \tag {22} +$$ + +为平均区间长度误差平方和（Mean Squared Error of Interval Length）。 + +定义5预测对象的实际区间序列 $\left\{\tilde{x}_t = \left[x_t^L,x_t^U\right] = \left(m_t;r_t\right),t = 1,2,\dots ,n\right\}$ 和预测区间序列 $\left\{\hat{\tilde{x}}_t = \left[\hat{x}_t^L,\hat{x}_t^U\right] = \left(\hat{m}_t;\hat{r}_t\right),t = 1,2,\dots ,n\right\}$ 之间误差包含两部分：区间中心位置误差 $d_{t}$ 和区间长度误差 $e_t$ ，则称 + +$$ +M S E I = \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} d _ {t} ^ {2}}{n} + \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} e _ {t} ^ {2}}{n} = \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} \left(m _ {t} - \hat {m} _ {t}\right) ^ {2}}{n} + \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} \left(r _ {t} - \hat {r} _ {t}\right) ^ {2}}{n} = M S E P + M S E L \tag {23} +$$ + +为平均区间误差平方和（Mean Squared Error of Interval）。 + +特别地，当区间序列转化为点序列，即 $x_{t}^{L} = x_{t}^{U}$ 时， $r_t = \hat{r}_t = 0$ ，MSEI 即为传统点序列的平均误差平方和，则可知 MSEI 是将点预测中的平均误差平方和拓展到区间情形。 + +定义6 设预测对象的实际区间序列为 $\left\{\tilde{x}_t = \left[x_t^L, x_t^U\right] = (m_t; r_t), t = 1,2,\dots,n\right\}$ ，预测区间序列为 $\left\{\hat{\tilde{x}}_t = \left[\hat{x}_t^L, \hat{x}_t^U\right] = (\hat{m}_t; \hat{r}_t), t = 1,2,\dots,n\right\}$ ，令 $h_t = \frac{\left|m_t - \hat{m}_t\right|}{r_t + \hat{r}_t}$ 为 $\tilde{x}_t$ 与 $\hat{x}_t$ 的区间相对误差，则称 + +$$ +M R I E = \frac {\sum_ {t = 1} ^ {n} h _ {t}}{n} = \frac {1}{n} \sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {\left| m _ {t} - \hat {m} _ {t} \right|}{r _ {t} + \hat {r} _ {t}} \tag {24} +$$ + +为平均区间相对误差平方和（Mean Relation Interval Error）。 + +MRIE 考虑的是预测区间涵盖实际区间范围的重要性，即预测区间中心越接近实际区间中心，且与实际区间重叠的部分越多则越好。 + +# 二．基于IOWA算子的区间组合预测模型（模型7） + +设某预测对象的区间序列观测值为 $\left\{\tilde{x}_t = \left[x_t^L,x_t^U\right] = (m_t;r_t),t = 1,2,\dots ,n\right\}$ ，有 $m$ 种可行的单项预测方法对其进行预测， $\hat{\tilde{x}}_{it} = \left[\hat{x}_{it}^{L},\hat{x}_{it}^{U}\right] = \left(\hat{m}_{it};\hat{r}_{it}\right)$ 为第 $i$ 种预测方法在第 $t$ 时刻的区间预测值， $i = 1,2,\dots ,m,t = 1,2,\dots ,n.$ 设 $L = (l_{1},l_{2},\dots ,l_{m})^{T}$ 为 $m$ 种单项预测方法在区间组合预测中的加权系数，满足 $\sum_{i = 1}^{m}l_{i} = 1,l_{i}\geq 0,i = 1,2,\dots ,m.$ + +定义7 令 $\hat{\tilde{x}}_t = \sum_{i=1}^m l_i \hat{\tilde{x}}_{it} = \sum_{i=1}^m l_i (\hat{m}_{it}; \hat{r}_{it}), t = 1,2,\dots,n$ (25) + +则称 $\hat{\tilde{x}}_t$ 为第 $t$ 时刻的加权算术平均区间组合预测值。 + +$$ +\text {令} a _ {i t} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \left| h _ {i t} \right| = 1 - \frac {\left| m _ {t} - \hat {m} _ {i t} \right|}{r _ {t} + \hat {r} _ {i t}}, & \text {当} \mathbf {O} < \frac {\left| m _ {t} - \hat {m} _ {i t} \right|}{r _ {t} + \hat {r} _ {i t}} < 1 \text {时} \\ \frac {\left| r _ {t} - \hat {r} _ {i t} \right|}{r _ {t} + \hat {r} _ {i t}}, & \text {当} \frac {\left| m _ {t} - \hat {m} _ {i t} \right|}{r _ {t} + \hat {r} _ {i t}} = 0 \text {时} i = 1, 2, \dots , m, t = 1, 2, \dots , n. \\ 0, & \text {当} \frac {\left| m _ {t} - \hat {m} _ {i t} \right|}{r _ {t} + \hat {r} _ {i t}} \geq 1 \text {时} \end{array} \right. +$$ + +则 $a_{it}$ 表示第 $i$ 种预测方法在第 $t$ 时刻的预测精度，显然 $a_{it} \in [0,1]$ ，把 $a_{it}$ 作为区间预测值 $\hat{\tilde{x}}_{it}$ 的诱导值，这样 $m$ 种单项预测方法在第 $t$ 时刻的预测精度和其对应的区间预测值就构成了 $m$ 个二维区间数组 $\left(\left\langle a_{1t}, \hat{\tilde{x}}_{1t} \right\rangle, \left\langle a_{2t}, \hat{\tilde{x}}_{2t} \right\rangle, \dots, \left\langle a_{mt}, \hat{\tilde{x}}_{mt} \right\rangle\right)$ ，将 $m$ 种单 + +项预测方法在第 $t$ 时刻的预测精度序列 $a_{1t}, a_{2t}, \dots, a_{mt}$ 按从大到小的顺序排列，设 $a - index(it)$ 是第 $i$ 个大的预测精度的下标。根据定义 1，有如下概念： + +定义8令 + +$$ +I O W A _ {L} \left(\left\langle a _ {1 t}, \hat {\tilde {x}} _ {1 t} \right\rangle , \left\langle a _ {2 t}, \hat {\tilde {x}} _ {2 t} \right\rangle , \dots , \left\langle a _ {m t}, \hat {\tilde {x}} _ {m t} \right\rangle\right) = \sum_ {i = 1} ^ {m} l _ {i} \hat {\tilde {x}} _ {a - i n d e x (i t)} = \sum_ {i = 1} ^ {m} l _ {i} \left(\hat {m} _ {a - i n d e x (i t)}; \hat {r} _ {a - i n d e x (i t)}\right) \tag {26} +$$ + +则式（26）称为第 $t$ 时刻由预测精度序列 $a_{1t}, a_{2t}, \dots, a_{mt}$ 所产生的IOWA算子区间组合预测值。 + +显然，式（25）和式（26）的根本区别在于区间组合预测的加权系数与单项预测方法无关，而是与单项预测方法在各时点上的预测精度的大小密切相关，这就是基于IOWA算子区间组合预测的特点。 + +令 $d_{a - index(it)} = m_t - \hat{m}_{a - index(it)}, e_{a - index(it)} = r_t - \hat{r}_{a - index(it)}$ ，于是 $n$ 期总的区间组合预测中心位置误差平方和 $s$ 与区间组合预测长度误差平方和 $s'$ 分别为 + +$$ +s = \sum_ {t = 1} ^ {n} \left(m _ {t} - \sum_ {i = 1} ^ {m} l _ {i} \hat {m} _ {a - i n d e x (i t)}\right) ^ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {j = 1} ^ {m} l _ {i} l _ {j} \left(\sum_ {t = 1} ^ {n} \boldsymbol {d} _ {a - i n d e x (i t)} \boldsymbol {d} _ {a - i n d e x (j t)}\right) \tag {27} +$$ + +$$ +s ^ {\prime} = \sum_ {t = 1} ^ {n} \left(r _ {t} - \sum_ {i = 1} ^ {m} l _ {i} \hat {r} _ {a - i n d e x (i t)}\right) ^ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {j = 1} ^ {m} l _ {i} l _ {j} \left(\sum_ {t = 1} ^ {n} \mathbf {e} _ {a - i n d e x (i t)} \mathbf {e} _ {a - i n d e x (j t)}\right) \tag {28} +$$ + +因此，以区间中心位置误差平方和与区间长度误差平方和的凸组合为准则的基于IOWA算子的区间组合预测模型可表示为如下最优化模型： + +$$ +\min a s (L) + (1 - a) s ^ {\prime} (L) = a \sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {j = 1} ^ {m} l _ {i} l _ {j} \left(\sum_ {t = 1} ^ {n} d _ {a - i n d e x (i t)} d _ {a - i n d e x (j t)}\right) + (1 - a) \sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {j = 1} ^ {m} l _ {i} l _ {j} \left(\sum_ {t = 1} ^ {n} e _ {a - i n d e x (i t)} e _ {a - i n d e x (j t)}\right) +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {m} l _ {i} = 1, \\ l _ {i} \geq 0, i = 1, 2, \dots , m. \end{array} \right. \tag {29} +$$ + +其中参数 $a(0 < a < 1)$ 是对区间中心位置误差平方和的重要性程度的度量， $1 - a$ 是对区间长度误差平方和的度量。 + +令 $d_{ij} = \sum_{t=1}^{n} d_{a-index(it)} d_{a-index(jt)}, e_{ij} = \sum_{t=1}^{n} e_{a-index(itt)} e_{a-index(jt)}, i, j = 1,2,\dots,m$ ，则称 $d = (d_{ij})_{m \times m}, e = (e_{ij})_{m \times m}$ 分别为 $m$ 阶 IOWA 算子的区间组合预测中心位置误差信息方阵和长度误差信息方阵，因此式（29）可以表示成如下矩阵形式： + +$$ +\min a s (L) + (1 - a) s ^ {\prime} (L) = a L ^ {T} d L + (1 - a) L ^ {T} e L +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} R ^ {T} L = 1, \\ L \geq 0. \end{array} \right. \tag {30} +$$ + +其中 $R = \left(1,1,\dots ,1\right)^T$ ，如不考虑IOWA算子的区间组合预测权重向量 $L$ 的非负性，则有 + +$$ +\min a s (L) + (1 - a) s ^ {\prime} (L) = a L ^ {T} d L + (1 - a) L ^ {T} e L +$$ + +$$ +s. t. R ^ {T} L = 1. \tag {31} +$$ + +# 三．基于IOWA算子的区间组合预测模型的求解 + +对于模型（31）有如下结论： + +定理 1 若 IOWA 算子的区间组合预测中心位置误差信息方阵 $d$ 和长度误差信息方阵 $\mathbf{e}$ 为正定矩阵, 则模型 (31) 存在唯一最优解 + +$$ +L ^ {*} = \frac {\left[ a d ^ {- 1} + (1 - a) e ^ {- 1} \right] R}{R ^ {T} \left[ a d ^ {- 1} + (1 - a) e ^ {- 1} \right] R} \tag {32} +$$ + +证明：因为 $d$ 和 $\pmb{e}$ 为正定矩阵，从而 $d$ 和 $\pmb{e}$ 的逆存在且 $d^{-1}$ 和 $e^{-1}$ 也为正定矩阵.对模型(31)构造Lagrange函数 + +$$ +a s (L) + (1 - a) s ^ {\prime} (L) = a L ^ {T} d L + (1 - a) L ^ {T} e L + I \left(R ^ {T} L - 1\right) +$$ + +其中 $l$ 为Lagrange乘子，由极值的必要条件，令 + +$$ +\partial \left[ a s (L) + (1 - a) s ^ {\prime} (L) \right] / \partial L = 0, \quad \partial \left[ a s (L) + (1 - a) s ^ {\prime} (L) \right] / \partial I = 0 +$$ + +即有 $\left\{ \begin{array}{c} a 2 d L + (1 - a) 2 e L + I R = 0 \\ R^T L - 1 = 0 \end{array} \right.$ （33） + +解方程组（33）式得 $L^{*} = \frac{\left[ad^{-1} + (1 - a)e^{-1}\right]R}{R^{T}\left[ad^{-1} + (1 - a)e^{-1}\right]R}$ + +因为 $\partial^2 [as(L) + (1 - a)s'(L)] / \partial L^2 = 2ad + 2(1 - a)e$ 也为正定矩阵，由文献[11]中定理4.1.2知，函数 $as(L) + (1 - a)s'(L)$ 为严格凸函数且由极值的充分条件知式（32）为模型（31）的唯一最优解。 + +关于模型（30）和模型（31）的最优解之间的关系有如下结论： + +定理2若模型（31）的最优解 $L^{*} = \frac{\left[ad^{-1} + (1 - a)e^{-1}\right]R}{R^{T}\left[ad^{-1} + (1 - a)e^{-1}\right]R}$ 是模型（30）可行域的内点或边界点，则 $L^{*}$ 也是模型（30）的最优解. + +证明略，可参见文献[11]、[13]. + +定理2表明若 $L^{*}$ 满足非负性，直接用式(32)求模型(30)的最优解。若不满足非负性，模型(39)实际上是一个二次规划，可以利用Kuhn—Tucker条件将其转化为线性规划或用现成的最优化软件来求解。 + +# 5.3.4 各单项预测模型和基于 IOWA 算子的区间组合预测模型的实证分析 + +# 一．入院时间的多元线性回归预测模型 + +由于门诊病人受到当时住院病人及等待病人的统计人数这两个因素的影响。在这里我们不考虑外伤急诊病人（因为只要有病床就优先第二天给予其入住），将门诊病人按手术类型分为4类（白内障单、白内障双、视网膜疾病和青光眼），当时住院病人和等待病人也分为4类，则统计2008年7月13日到2008年9月11日的相关数据。 + +表 7 2008 年 7 月 13 日到 2008 年 9 月 11 日的数据 + +
时间等待住院的时间青光眼等待入院人数住院人数等待住院的时间白内障等待入院人数住院人数
2008-8-1013000800018000130001600028000
2008-8-1112000800018000130001600028000
2008-8-1213000800018000120001900031000
2008-8-1312000800019000110002000029000
2008-8-14130007.00021.000120001900023000
2008-8-1513000800021.000130001900021.000
2008-8-16120008000180001300017.00022000
白双视网膜
等待住院人数住院人数等待住院的时间等待入院人数住院人数
时间等待住院的时间
2008-8-10130002400011.000130003400033000
2008-8-11120002500011.000120003800031.000
2008-8-121200027.00012000120003500031.000
2008-8-13120002900015000130003200031.000
2008-8-14130003000017.000130003600033000
2008-8-15130003300016000130003600037.000
2008-8-16130003000011.000130003200041.000
+ +上述两个因素会影响第 t 时刻第 j 类病人的入院时间, 为此我们考虑如下四类病人的二元线性回归预测模型: + +设 $x_{1}^{(j)}(t)$ 为第 t 时刻第 j 类住院病人的人数, $x_{2}^{(j)}(t)$ 为第 t 年第 j 类等待病人的人数, 由 2008 年 7 月 13 日到 2008 年 9 月 11 日的数据表再利用 Eview5 可计算得到回归预测表达式: + +青光眼病人等待住院的时间 $y_{t}^{(1)} = 19.1906 - 0.82434 x_{1}^{(1)}(t) - 0.0060 x_{2}^{(1)}(t)$ + +白内障病人等待住院的时间 $y_{t}^{(2)} = 6.9338 - 0.0232 x_{1}^{(2)}(t) + 0.2263 x_{2}^{(2)}(t)$ + +双眼白内障病人等待住院的时间 $y_{t}^{(3)} = 7.0639 - 0.2376 x_{1}^{(3)}(t) + 0.9204 x_{2}^{(3)}(t)$ + +视网膜疾病人等待住院的时间 $y_{t}^{(4)} = -4.7614 + 0.1688x_{1}^{(4)}(t) + 0.3381x_{2}^{(4)}(t)$ + +由以上模型都可通过检验。 + +所以第 $\mathrm{t}$ 时刻第 $\mathrm{j}$ 类病人的入院时间可由公式 + +$$ +y _ {t} ^ {(j)} = a _ {0} + a _ {1} x _ {1} ^ {(j)} (t) + a _ {2} x _ {2} ^ {(j)} (t) \text {求 得 。} +$$ + +由此模型预测出2008年7月13日到2008年9月11日的等待住院时间（见附表1） + +# 二．入院时间的均值方差预测模型 + +根据统计知识我们可以得到模型6预测的有关数据（见附表1）。 + +# 三．入院时间的基于IOWA算子的区间组合预测模型 + +由上两种单项预测模型的区间数据结合5.3.3相关知识，我们可以得到区间组合预测数据（见附表1），这里我们取 $a = 0.5$ 。 + +# 5.4 基于手术规则变化的病床合理安排分析 + +现该住院部调整手术规则，即周六、周日不安排手术。若依然按照当前的手术安排（外伤急诊优先手术，周一和周三只安排白内障手术，且对于做双眼白内障手术的病人在周一安排第一次手术，同一星期的周三安排第二次手术），则对于各类手术类型病人的入院和手术时间将产生如下影响： + +1. 对于白内障（单、双眼）病人，由于其只在周一和周三安排手术，故现在周六、周日不安排手术，没有受到影响，但平均逗留时间发生变化； +2 对于视网膜疾病和青光眼病人，由于入院后 $2 \sim 3$ 天即可进行手术且不安排在周一、周三手术，因而在周五和周六尽量不安排病人入院，否则会使医疗病床资源有效利用率降低，增加了病人的逗留时间。 +3 对于外伤急诊病人，只要有床位就隔一天住院再隔一天进行手术。由于周六、周日现已不安排手术，因而周四和周五均不能安排外伤急诊病人入院； + +基于 52 的 O1 整数目标规划模型分析, 上述手术安排变化等价于在模型中增加一个限制条件: 对于视网膜疾病和青光眼病人 ( $j = 3,4$ ), 其到达手术时间日期正好属于集合 $J^{\prime}$ 时, 其 O1 变量取值为 O + +基于上述分析，考虑将52中的模型做如下的修改： + +$$ +\begin{array}{l} \min \frac {1}{3 4 9} \sum_ {i = 1} ^ {3 4 9} \left[ \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)}}\right) + \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}}\right) \right. \\ \left. \left. + \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + d _ {3} ^ {(j)}}\right) \right] \right. \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t .} \\ \left\{ \begin{array}{l} x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)}} = 1; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}} = 1; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} + d _ {3} ^ {(j)}} = 1; \\ 1 7 \cdot \frac {2}{1 2} \leq \frac {\| I \|}{7 9} \leq 2 0 \cdot \frac {2}{1 2} \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}} = 1, j \in \{1, 2 \}, t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} \in J; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}} = 0, j \in \{3, 4 \}, t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)} \in J; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^ {(j)} + d _ {2} ^ {(j)}} = 0, j \in \{3, 4 \}, t _ {i} ^ {(j)} + d _ {1} ^{(j)} + d _ {2} ^{(j)} \in J ^ {\prime}; \end{array} \right. \end{array} +$$ + +和 + +$$ +\begin{array}{l} \min \frac {1}{3 4 9} \sum_ {i = 1} ^ {3 4 9} \left[ \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 2} + \dots + D _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)}}\right) + \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}}\right) \right. \\ \left. + \left(1 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + 1} + 2 \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + 2} + \dots + d _ {1} ^ {(j)} \cdot x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + D _ {3} ^ {(j)}}\right) \right] \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t .} \\ \left\{ \begin{array}{l} x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)}} = 1; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}} = 1; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + 1} + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + 2} + \dots + x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} + D _ {3} ^ {(j)}} = 1; \\ 1 7 \cdot \frac {2}{1 2} \leq \frac {\| I \|}{7 9} \leq 2 0 \cdot \frac {2}{1 2} \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}} = 1, j \in \{1, 2 \}, t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} \in J; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}} = 0, j \in \{3, 4 \}, t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)} \in J; \\ x _ {t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^ {(j)} + D _ {2} ^ {(j)}} = 0, j \in \{3, 4 \}, t _ {i} ^ {(j)} + D _ {1} ^{(j)} + D _ {2}^{(j)} \in J ^ {\prime}; \end{array} \right. \end{array} +$$ + +选取某段数据计算得下表： + +
序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间
1青光眼2008-8-32008-8-142008-8-16/2008-8-24
2视网膜疾病2008-8-32008-8-152008-8-17/2008-8-26
3白内障(双眼)2008-8-32008-8-152008-8-182008-8-202008-8-23
4白内障2008-8-32008-8-152008-8-18/2008-8-21
5白内障(双眼)2008-8-32008-8-152008-8-182008-8-202008-8-23
6视网膜疾病2008-8-32008-8-152008-8-17/2008-9-26
+ +
序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间
1青光眼2008-8-32008-8-142008-8-18/2008-8-26
2视网膜疾病2008-8-32008-8-152008-8-18/2008-8-27
3白内障(双眼)2008-8-32008-8-152008-8-192008-8-212008-8-24
4白内障2008-8-32008-8-152008-8-19/2008-8-22
5白内障(双眼)2008-8-32008-8-152008-8-192008-8-212008-8-24
6视网膜疾病2008-8-32008-8-152008-8-18/2008-9-27
+ +我们通过上表分析可以得知 + +# 1. 病床实用率 + +原先给定模型中病床实用率始终保持在 $100\%$ ，而我们用自己建立的模型优化后，病床的实用率任然为 $100\%$ ，相对以前模型没有变化。 + +# 2. 平均住院天数 + +通过模型的优化，平均住院天数从原始的7.84天降低至8.81天，有所上升，增加了病人在医院的逗留时间。 + +# 3. 等待入院时间 + +从总的时间角度考虑，优化后总时间向后推迟天，大大增加了后面病人入院等待时间。 + +从模型的求解结果可以发现，调整后的方案造成了所有病人总逗留时间和等待住院病人队列长度的增加。我们可以对手术时间安排做如下改进： + +1. 对于外伤急诊病人仍然优先，考虑每天保留 1-2 个床位以应急。 + +2 现周六和周日不安排手术, 则原白内障患者只在周一和周三进行手术的手术时间安排也需要做相应的调整: 对于白内障双眼病人仍考虑间隔一天进行手术, 一共可有 3 种组合手术时间安排 (周一和周三、周二和周四、周三和周五), 不固定为某个特定时间, 增大了手术时间安排的灵活性。 + +# 5.5 基于合作对策的Shapley值方法各类病人占用病床安排模型 + +合理的病床安排就是要确定该院眼科病床位（79 张）对于白内障（单、双眼）、视网膜疾病、青光眼和外伤五种手术给予一个恰当的病床分配比例。由于外伤急诊病人平均期望值较小，我们只给予其一个床位即可满足，则考虑剩余 78 张病床的分配。 + +因此我们需要重点对白内障（单、双眼）、视网膜疾病、青光眼这四种手术 + +占用病床比例进行科学、准确的测定。可以把病床合理安排看成由这四种手术类型局中人组成的4人合作对策，它将给各种手术患者和医院得到共赢的局面。根据“谁受益、谁付费”的市场原则，这四种手术类型共同分担该眼科病床。下面采用合作对策的Shapley值方法计算各自所占床位比例。 + +# 5.5.1 合作 $n$ 人对策 Shapley 值模型 + +在合作 $n$ 人对策中，由两个或两个以上的局中人在某个方面进行合作，他们需要结成一个联盟，这个联盟作为一个整体，当然希望得到尽可能多的收入，每个联盟要把得到的总收入分配给联盟中的每一个成员，合作是通过特征函数值的分配来表述的。 + +定义9设 $N = \{1,2,\dots ,n\}$ 为局中人集， $V(S)$ 是定义在 $I$ 上的一切子集（即联盟）所形成的集合 $2^{N}$ 上的映射满足： + +(1) $V(\emptyset) = 0$ (34) +(2) $\forall S, T \in 2^{N}$ , 则 $V(S \cup T) \supseteq V(S) + V(T)$ , 其中 $S \cap T = \emptyset$ (35) + +则称 $\Gamma = [I, V]$ 为合作 $n$ 人对策， $V(S)$ 为对策的特征函数，称 $N$ 的任何非空子集为联盟。 + +定义9中的（35）式表明，通过合作可使总收益不致减少，而往往是增加的，称此性质为特征函数的超可加性。由特征函数 $V$ 的超可加性可立即推出 + +$$ +V (N) \geq V (\{1 \}) + V (\{2 \}) + \dots + V (\{n \}) \tag {36} +$$ + +定义10 称 $v(\mathrm{s} \cup \{\mathrm{i}\}) - v(\mathrm{s})$ 为第 $i$ 局中人对联盟 $\mathrm{s}$ 合作的“贡献”，其中 $s \subset N$ 。 + +当各类手术病人均参与病床分配安排时， $N = \{1,2,\dots ,n\}$ 为最大的一个联盟，记 $\nu (N)$ 为最大的联盟成果，如何将 $\nu (N)$ 分配给局中人？一个自然的想法是依据全局中人给联盟带来的“贡献”来分配。 + +设 $x_{i}$ 为第 $i$ 局中人从 $\nu (N)$ 中获得的分配， $i = 1$ ，2，…，n，则有： + +$$ +\begin{array}{l} x _ {1} = v (\{1 \}), \\ x _ {2} = v (\{1, 2 \}) - v (\{1 \}), \\ x _ {3} = v (\{1, 2, 3 \}) - v (\{1, 2 \}), \tag {37} \\ \dots \\ x _ {\mathrm {m}} = v (M) - v (M - \{m \}), \\ \end{array} +$$ + +然而上述的分配通常与局中人编号的次序有关，如把局中人 n，n-1，…，2，1 + +的编号改为 $1',2',\dots,m'$ ，则有新的分配方案： + +$$ +x _ {1} ^ {\prime} = v (\{n \}), +$$ + +$$ +x _ {2} ^ {\prime} = v (\{n, n - 1 \}) - v (\{n \}), +$$ + +$$ +x _ {3} ^ {\prime} = v (\{n, n - 1, n - 2 \}) - v (\{n, n - 1 \}), \tag {38} +$$ + +$$ +x _ {\mathrm {m}} ^ {'} = v (N) - v (N - \{1 \}), +$$ + +对于其它的编号的次序有对应的分配方案，由于 n 个局中人编号的次序共有 n! 种，所以对应的分配方案也有 n! 种，为此取各局中人分配的平均值作为局中人的平均“贡献”。 + +记 $j_{\mathrm{i}}(v)$ 为第 $\mathrm{i}$ 个局中人的平均“贡献”，则有： + +$$ +j _ {i} (v) = \frac {1}{n !} \sum_ {p} [ v \left(s _ {p} ^ {i} \cup \{i \}\right) - v \left(s _ {p} ^ {i}\right) ] \tag {39} +$$ + +其中 $p$ 由1，2，…，n组成的所有 $\mathfrak{n}$ 级排列， $\Sigma$ 为针对所有的 $\mathfrak{n}!$ 个不同的 $\mathfrak{n}$ 级排列求和， $s_p^i = \{j|pj < i\}$ 。 + +显然 $s_p^i$ 为排列 $\pmb{p}$ 中排在 $\mathrm{i}$ 的前面的那些局中人组成的联盟。 + +将满足 $s_p^i = s$ 排列归为一类，(39)式可以表示为： + +$$ +j _ {i} (v) = \sum_ {i \in s} \frac {(n - | s |) ! (| s | - 1)}{n !} [ v (s) - v (s - \{i \}) ], i = 1, 2, \dots , n \tag {40} +$$ + +其中s为N中包含{i的所有子集合， $\left|s\right|$ 子集s中局中人的人数。 + +定义11 称 $\Phi(v) = (j_1(v), j_2(v), \dots, j_m(v))$ 为合作 $n$ 人对策 $\Gamma = [N, v]$ 的 Shapley 值。 + +可以证明 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {n} j _ {i} (v) = v (N) \tag {41} +$$ + +(41)式表明各单项预测方法在组合预测方法中的平均“贡献”之和 $j_{i}(\nu)$ 等于合作的总成果。由 Shapley 值即可计算第 i 局中人同联盟合作的平均“贡献” $j_{i}(\nu)$ 。 + +# 5.5.2基于合作对策的Shapley值方法各类病人占用病床安排模型的实证分析 + +就病床安排而言，可以要求各种眼科手术合作才可以获得收益。设局中人1表示白内障（单眼），局中人2表示白内障（双眼），局中人3表示视网膜疾病， + +局中人 4 表示青光眼。记 $V(S)$ 表示联盟 $S$ 的合作可以获得收益, 设白内障 (单、双眼)、视网膜疾病、青光眼 4 个局中人共同合作时, 他们获得最大收益为 1 (单位化), 即 $V(\{1,2,3,4\}) = 1$ , 这里的收益我们可以视为各类眼科手术进行合作后的逗留时间和可出院人数相结合的效益函数。当白内障 (单、双眼)、视网膜疾病、青光眼这 4 个局中人互不合作时, 则他们任何一个局中人均不能获得任何收益,即 $V(\{i\}) = 0, i = 1,2,3,4$ 。 + +若白内障（单眼）和白内障（双眼）两者合作，两者获得收益的比例为 $a_{1}(0 < a_{1} < 1)$ + +若白内障（单眼）和视网膜疾病两者合作，两者获得收益的比例为 $a_{2}(0 < a_{2} < 1)$ ； + +若白内障（单眼）和青光眼两者合作，两者获得收益的比例为 $a_{3}(0 < a_{3} < 1)$ ； + +若白内障（双眼）和视网膜疾病两者合作，两者获得收益的比例为 $a_4(0 < a_4 < 1)$ ； + +若白内障（双眼）和青光眼两者合作，两者获得收益的比例为 $a_{5}\left(0 < a_{5} < 1\right)$ ； + +若视网膜疾病和青光眼两者合作，两者获得收益的比例为 $a_{6}(0 < a_{6} < 1)$ 。 + +若白内障（单、双眼）和视网膜疾病三者合作，三者获得收益的比例为 $a_7(0 < a_7 < 1)$ ； + +若白内障（单、双眼）和青光眼三者合作，三者获得收益的比例为 $a_{8}(0 < a_{8} < 1)$ ； + +若白内障（单眼）、视网膜疾病和青光眼三者合作，三者获得收益的比例为 $a_{9}(0 < a_{9} < 1)$ ； + +若白内障（双眼）、视网膜疾病和青光眼三者者合作，三者获得收益的比例为 $a_{10}(0 < a_{10} < 1)$ ； + +即白内障（单、双眼）、视网膜疾病、青光眼这四个局中人合作的收益特征函数为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} V (\{i \}) = 0, i = 1, 2, 3, 4 \\ V (\{1, 2 \}) = a _ {1}, 0 < a _ {1} < 1 \\ V (\{1, 3 \}) = a _ {2}, 0 < a _ {2} < 1 \\ V (\{1, 4 \}) = a _ {3}, 0 < a _ {3} < 1 \\ V (\{2, 3 \}) = a _ {4}, 0 < a _ {4} < 1 \\ V (\{2, 4 \}) = a _ {5}, 0 < a _ {5} < 1 \\ V (\{3, 4 \}) = a _ {6}, 0 < a _ {6} < 1 \\ V (\{1, 2, 3 \}) = a _ {7}, 0 < a _ {7} < 1 \\ V (\{1, 2, 4 \}) = a _ {8}, 0 < a _ {8} < 1 \\ V (\{1, 3, 4 \}) = a _ {9}, 0 < a _ {9} < 1 \\ V (\{2, 3, 4 \}) = a _ {1 0}, 0 < a _ {1 0} < 1 \\ V (\{1, 2, 3, 4 \}) = 1 \end{array} \right. +$$ + +根据“谁受益、谁付费”的原则，四个局中人合作的收益分配也就是他们在该眼科病床安排中所占的病床比例。由Shapley值计算式可以获得如下结果。 + +白内障（单眼）应该占用的病床比例为： + +$$ +\begin{array}{l} j _ {1} (v) = v (\{1 \}) \times \frac {1}{4} + [ v (\{1, 2 \}) - v (\{2 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{1, 3 \}) - v (\{3 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 4 \}) - v (\{4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{1, 2, 3 \}) - v (\{2, 3 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 2, 4 \}) - v (\{2, 4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{1, 3, 4 \}) - v (\{3, 4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 2, 3, 4 \}) - v (\{2, 3, 4 \}) ] \times \frac {1}{4} = \frac {a _ {1} + a _ {2} + a _ {3} + (a _ {7} - a _ {4}) + (a _ {8} - a _ {5}) + (a _ {9} - a _ {6}) + 3 (1 - a _ {1 0})}{1 2} \\ \end{array} +$$ + +白内障（双眼）应该占用的病床比例为： + +$$ +\begin{array}{l} j _ {2} (v) = v (\{2 \}) \times \frac {1}{4} + [ v (\{1, 2 \}) - v (\{1 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{2, 3 \}) - v (\{3 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ \nu (\{2, 4 \}) - \nu (\{4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ \nu (\{1, 2, 3 \}) - \nu (\{1, 3 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 2, 4 \}) - v (\{1, 4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{2, 3, 4 \}) - v (\{3, 4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 2, 3, 4 \}) - v (\{1, 3, 4 \}) ] \times \frac {1}{4} = \frac {a _ {1} + a _ {4} + a _ {5} + (a _ {7} - a _ {2}) + (a _ {8} - a _ {3}) + (a _ {1 0} - a _ {6}) + 3 (1 - a _ {9})}{1 2} \\ \end{array} +$$ + +视网膜疾病应该占用的病床比例为： + +$$ +\begin{array}{l} j _ {3} (v) = v (\{3 \}) \times \frac {1}{4} + [ v (\{1, 3 \}) - v (\{1 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{2, 3 \}) - v (\{2 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{3, 4 \}) - v (\{4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{1, 2, 3 \}) - v (\{1, 2 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 3, 4 \}) - v (\{1, 4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{2, 3, 4 \}) - v (\{2, 4 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 2, 3, 4 \}) - v (\{1, 2, 4 \}) ] \times \frac {1}{4} = \frac {a _ {2} + a _ {4} + a _ {6} + (a _ {7} - a _ {1}) + (a _ {9} - a _ {3}) + (a _ {1 0} - a _ {5}) + 3 (1 - a _ {8})}{1 2} \\ \end{array} +$$ + +青光眼应该占用的病床比例为： + +$$ +\begin{array}{l} j _ {4} (v) = v (\{4 \}) \times \frac {1}{4} + [ v (\{1, 4 \}) - v (\{1 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{2, 4 \}) - v (\{2 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{3, 4 \}) - v (\{3 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{1, 2, 4 \}) - v (\{1, 2 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 3, 4 \}) - v (\{1, 3 \}) ] \times \frac {1}{1 2} + [ v (\{2, 3, 4 \}) - v (\{2, 3 \}) ] \times \frac {1}{1 2} \\ + [ v (\{1, 2, 3, 4 \}) - v (\{1, 2, 3 \}) ] \times \frac {1}{4} = \frac {a _ {3} + a _ {5} + a _ {6} + (a _ {8} - a _ {1}) + (a _ {9} - a _ {2}) + (a _ {1 0} - a _ {4}) + 3 (1 - a _ {7})}{1 2} \\ \end{array} +$$ + +显然 $\sum_{i=1}^{4} j_{i}(v) = 1$ + +根据统计汇总， $a_{1} = 0.45, a_{2} = 0.47, a_{3} = 0.53, a_{4} = 0.41, a_{5} = 0.73,$ $a_{6} = 0.69, a_{7} = 0.64, a_{8} = 0.86, a_{9} = 0.79, a_{10} = 0.82$ + +从而可计算出： + +$$ +j _ {1} (v) = 0. 2 4 8, j _ {2} (v) = 0. 3 0 7, j _ {3} (v) = 0. 3 2 7, j _ {4} (v) = 0. 1 1 8 +$$ + +计算结果表明, 白内障 (单眼) 应该占用的病床为 $78 * 0.248 \approx 19$ 白内障 (双眼)应该占用的病床为 $78 * 0.307 \approx 24$ 视网膜疾病应该占用的病床为 $78 * 0.327 \approx 26$ 青光眼应该占用的病床为 $78 * 118 \approx 9$ + +# 六．模型的评价和改进 + +# 6.1 模型的评价 + +# 6.1.1 模型优点： + +1. 模型建立的合理性，模型的建立是在对样本数据进行充分挖掘的基础之上的，通过数据之间的内在关系观察计算，提炼出各个指标之间的关系，建立起模型； +2. 对众多指标用科学的方法进行选取，同时对一些未量化的指标建立模型，进行科学合理的量化，由这些指标建立病床安排评价指标体系。 +3. 模型的建立是按照问题的解决的思路进行的，首先分析和发现现有规律，然后对现有的规律进行评价，其次根据评价标准建立新模型，层次渐进易于理 + +解； + +4. 使用 SPSS 统计软件和 excel 进行统计，大大减少计算量，同时应用 views 和 Matlab 进行优化，得出理想结果。 + +# 6.1.2 模型缺点： + +1. 由于所给数据的自身存在某些局限性，我们在安排床位安排方案时将不能根据病情的轻重制定人性化方案。 +2. 住院时间计算选择使用求平均值法，这样简易的处理会影响到我们后面出院时间的计算。 +3. 关键指标选取时，舍去了一些相关指标，这将降低评价指标体系的完善性。 + +# 6.2 模型的改进 + +1. 针对缺点一，我们可以在给病人赋上相对应的病情轻重指标值，在安排床位次序时加入其指标值，增加病床安排的合理性。 +2. 针对缺点二，应用更加合理的住院时间计算方法，减少因用平均值法带来的误差。 +3. 在模型设计中忽视了外伤等急诊情况，但实际过程中急诊肯定存在，在模型中加入急诊情况能使模型更加可靠、更加实用。 + +最后，按照本文所提出的优化模型，得到题目附录中未完成的信息，结果见附表2附表3 + +# 参考文献 + +[1] 李崇明,丁烈云.复杂系统评价指标的筛选方法[J].统计与决策,2004年9期. +[2] 徐洁. 试论病床使用率和病床周转次数的关系[J]. 中国病案, 2007年2期. +[3] 王平根,高允锁.大型综合医院病床分配方法初探[J].中国医院统计,2006年1期. +[4] 张慧芳,昌齐.应用病床工作效率指标分析我院科室床位设置情况[J].中国医院统计,2007年4期. +[5] 李瑞波,马晓慧.病床工作效率指标在医院科室病床设置中的应用[J].中国医院管理,2002年5期. +[6] 邓聚龙.灰理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社, 2002. +[7] 王永晨,潘永惠,樊立华,林喆.灰色预测和灰色关联分析在医院管理中的应用[J].中国医院统计,2000年4期. +[8] 张绍良,张国良.灰色关联度计算方法比较及其存在问题分析[J].系统工程,1996,14(3):45-49. +[9] 骆公志, 杨晓红. 变精度优势粗糙集属性简约择优算法[J]. 中国管理科学, 2009, 17(2): 169-175. + +[10]徐泽水.不确定多属性决策方法与应用[M].北京：清华大学出版社，2004 + +[11] 陈华友. 组合预测方法有效性理论及其应用[M]. 北京：科学出版社，2008. + +[12] 徐惠莉,吴柏林,江韶珊.区间时间序列预测准确度探讨[J].数量经济技术经济研究,2008,25(1):133-140. +[13] 唐小我, 曹长修. 组合预测最优加权系数向量的进一步研究 [J]. 预测, 1994, 13(2):48-49. +[14] 钱颂迪等,运筹学[M].清华大学出版社,1990. + +# 附录 + +![](images/a9020e048a9ee95c9ba781e1b85c63286098ff278183e1e969c2f38783d49cf0.jpg) +附图1 +附表 1 + +
青光眼等待时间
时间序列模型五模型六模型七
1[11.0368, 13 690][11.5265, 13 6735][10 9769, 13 390]
2[11.1391, 13 520][11.6306, 13 708][11.0097, 13 110]
3[11.2709, 13 708][11.6093, 13 690][11.1536, 13 409]
4[11.2194, 14 179][11.5306, 13 730][11.0954, 13 234]
5[10 9970, 13 490][11.6793, 13 630][10 9891, 13 165]
6[11.0099, 13 530][11.6339, 13 590][11.1306, 13 493]
7[11.1131, 11.570][11.5709, 13 623][11.0906, 13 470]
白内障
时间序列模型五模型六模型七
1[10 3379, 14 179][10 6470, 14 153][10 1970, 14 0976]
+ +2 [105307, 14 209] [106612, 14 1485] [103358, 14 1071] +3 [104926, 14 1985] [105986, 14 3071] [102591, 14 6572] +4 [10 4687, 14 1676] [10 4985, 14 2379] [10 1687, 14 2387] +5 [9 9896 14 6543] [10 6978 14 3388] [10 3562 14 3359] +6 [10287, 14235] [106872, 141683] [99976, 142575] +7 [102689,140689] [103869,143545] [103885,140046] + +# 白内障双 + +# 时间序 + +列 模型五 模型六 模型七 + +1 [11.325, 14083] [11.523, 13619] [11.095, 13254] +2 [11.354 130554] [120254 137528] [11.354 129544] +3 [11.455 13284] [11.3545 13546] [12005 13025] +4 [11.0825 13854] [11.6346 13468] [11.7652 13008] +5 [11.6523 13 2469] [12 1333 14 0002] [11.2468 12 9945] +6 [10255 14002] [11.325 136972] [11.200 134018] +7 [11.409, 1350] [11.402, 13650] [11.2053, 131709] + +# 视网膜疾 + +时间序列 模型五 模型六 模型七 + +1 [11.5243 127815] [11.2356 131564] [11.0192 133383] +2 [11.4271, 13 3582] [11.5403, 13 5603] [11.1308, 13 2109] +3 [109607, 135410] [11.5214 137001] [11.0618 135667] +4 [11.0513 13 5604] [11.4806 13 7418] [11.0581, 13 5578] +5 [11. 1280] 13 6610 [11. 5503] 13 6981 [10 9600] 13 2405 +6 [11. 300] 13 5913 [11. 327] 13 6842 [11. 172] 13 2551 +7 [11.2901, 135200] [11.4503, 137019] [11.0061, 131200] + +附表 2 + +
序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间
1视网膜疾病2008-8-152008-8-292008-8-31/2008-9-10
2视网膜疾病2008-8-162008-8-292008-8-31/2008-9-10
3白内障(双眼)2008-8-192008-9-12008-9-82008-9-102008-9-13
4青光眼2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-12
5视网膜疾病2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-14
6视网膜疾病2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-14
7白内障 +(双眼)2008-8-192008-9-12008-9-82008-9-102008-9-13
8视网膜 +疾病2008-8-192008-9-22008-9-4/2008-9-14
9视网膜 +疾病2008-8-192008-9-32008-9-5/2008-9-15
10白内障 +(双眼)2008-8-192008-9-32008-9-82008-9-102008-9-13
11白内障 +(双眼)2008-8-192008-9-32008-9-82008-9-102008-9-13
12视网膜 +疾病2008-8-192008-9-32008-9-5/2008-9-15
13白内障2008-8-192008-9-42008-9-8/2008-9-11
14视网膜 +疾病2008-8-192008-9-42008-9-6/2008-9-16
15视网膜 +疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-16
16视网膜 +疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-16
17视网膜 +疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-16
18视网膜 +疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-16
19白内障 +(双眼)2008-8-202008-9-42008-9-82008-9-102008-9-13
20视网膜 +疾病2008-8-212008-9-52008-9-7/2008-9-17
21白内障 +(双眼)2008-8-222008-9-52008-9-82008-9-102008-9-13
22白内障 +(双眼)2008-8-222008-9-52008-9-82008-9-102008-9-13
23视网膜 +疾病2008-8-222008-9-52008-9-7/2008-9-17
24青光眼2008-8-232008-9-52008-9-7/2008-9-15
25青光眼2008-8-232008-9-52008-9-7/2008-9-15
26白内障 +(双眼)2008-8-232008-9-52008-9-82008-9-102008-9-13
27视网膜 +疾病2008-8-232008-9-62008-9-9/2008-9-19
28白内障 +(双眼)2008-8-232008-9-62008-9-82008-9-102008-9-13
29白内障 +(双眼)2008-8-232008-9-62008-9-82008-9-102008-9-13
30青光眼2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-17
31视网膜疾病2008-8-242008-962008-99/2008-9-19
32白内障(双眼)2008-8-242008-962008-982008-9-102008-9-13
33视网膜疾病2008-8-242008-962008-99/2008-9-19
34视网膜疾病2008-8-242008-962008-99/2008-9-19
35白内障(双眼)2008-8-242008-962008-982008-9-102008-9-13
36青光眼2008-8-242008-962008-99/2008-9-17
37视网膜疾病2008-8-252008-962008-99/2008-9-19
38视网膜疾病2008-8-252008-962008-99/2008-9-19
39青光眼2008-8-252008-962008-99/2008-9-17
40白内障(双眼)2008-8-252008-962008-982008-9-102008-9-13
41白内障(双眼)2008-8-252008-972008-982008-9-102008-9-13
42视网膜疾病2008-8-262008-972008-99/2008-9-19
43白内障2008-8-262008-972008-98/2008-9-11
44白内障(双眼)2008-8-262008-972008-982008-9-102008-9-13
45视网膜疾病2008-8-262008-972008-99/2008-9-19
46视网膜疾病2008-8-272008-982008-9-11/2008-9-21
47视网膜疾病2008-8-272008-982008-9-11/2008-9-21
48白内障2008-8-272008-982008-9-10/2008-9-13
49视网膜疾病2008-8-272008-982008-9-11/2008-9-21
50白内障(双眼)2008-8-272008-992008-9-152008-9-172008-9-20
51视网膜疾病2008-8-282008-992008-9-11/2008-9-21
52白内障2008-8-282008-992008-9-10/2008-9-13
53白内障(双眼)2008-8-282008-9-102008-9-152008-9-172008-9-20
54视网膜疾病2008-8-282008-9-102008-9-12/2008-9-22
55视网膜疾病2008-8-282008-9-102008-9-12/2008-9-22
+ +
疾病
56视网膜 疾病208828208910208912/
57白内障 (双眼)208828208910208915208917
58白内障 (双眼)208828208910208915208917
59青光眼20882820899208911/
60青光眼208829208910208912/
61视网膜 疾病208829208910208912/
62青光眼208829208910208912/
63白内障 (双眼)208829208910208915208917
64视网膜 疾病208829208910208912/
65白内障208829208911208915/
66白内障 (双眼)208829208911208915208917
67白内障208829208911208915/
68白内障 (双眼)208829208911208915208917
69视网膜 疾病208830208911208913/
70白内障208830208911208915/
71视网膜 疾病208830208911208913/
72外伤208942089520896/
73外伤208952089620897/
74外伤208952089620897/
75外伤208952089620897/
76外伤208962089720898/
77外伤2089820899208910/
78外伤20899208910208911/
79外伤20899208910208911/
+ +附表 3 + +
门诊入院第一次手术第二次手术出院
1白内障 (双眼)2008-8-302009-9-122009-9-162009-9-182009-9-20
2视网膜疾病2008-8-302009-9-122009-9-14/2009-9-24
3青光眼2008-8-302009-9-112009-9-13/2009-9-22
4视网膜疾病2008-8-302009-9-122009-9-14/2009-9-24
5视网膜疾病2008-8-302009-9-122009-9-14/2009-9-24
6白内障(双眼)2008-8-302009-9-122009-9-162009-9-182009-9-20
7白内障2008-8-312009-9-132009-9-15/2009-9-18
8青光眼2008-8-312009-9-122009-9-14/2009-9-23
9白内障(双眼)2008-8-312009-9-132009-9-172009-9-192009-9-21
10视网膜疾病2008-8-312009-9-132009-9-18/2009-9-25
11视网膜疾病2008-8-312009-9-132009-9-15/2009-9-25
12视网膜疾病2008-8-312009-9-132009-9-15/2009-9-25
13青光眼2008-8-312009-9-122009-9-14/2009-9-23
14白内障2008-8-312009-9-132009-9-15/2009-9-18
15视网膜疾病2008-9-12009-9-142009-9-16/2009-9-26
16视网膜疾病2008-9-12009-9-142009-9-16/2009-9-26
17青光眼2008-9-12009-9-132009-9-15/2009-9-24
18白内障(双眼)2008-9-12009-9-142009-9-162009-9-182009-9-22
19白内障(双眼)2008-9-12009-9-142009-9-162009-9-182009-9-22
20白内障(双眼)2008-9-12009-9-142009-9-162009-9-182009-9-22
21视网膜疾病2008-9-12009-9-142009-9-16/2009-9-26
22白内障2008-9-12009-9-142009-9-16/2009-9-19
23视网膜疾病2008-9-12009-9-142009-9-16/2009-9-26
24视网膜疾病2008-9-12009-9-142009-9-16/2009-9-26
25白内障2008-9-22009-9-152009-9-17/2009-9-20
26白内障2008-9-22009-9-152009-9-17/2009-9-20
27白内障(双眼)2008-9-22009-9-152009-9-192009-9-212009-9-23
28白内障2008-9-22009-9-152009-9-172009-9-20
29视网膜疾病2008-9-22009-9-152009-9-17/2009-9-27
30视网膜疾病2008-9-32009-9-162009-9-18/2009-9-28
+ +
病
31视网膜疾病2008-9-32009-9-162009-9-18/
32白内障(双眼)2008-9-32009-9-162009-9-202009-9-22
33白内障2008-9-32009-9-162009-9-18/
34视网膜疾病2008-9-32009-9-162009-9-18/
35白内障2008-9-32009-9-162009-9-18/
36视网膜疾病2008-9-32009-9-162009-9-18/
37视网膜疾病2008-9-32009-9-162009-9-18/
38白内障(双眼)2008-9-42009-9-172009-9-212009-9-23
39白内障2008-9-42009-9-172009-9-19/
40青光眼2008-9-42009-9-162009-9-18/
41视网膜疾病2008-9-42009-9-172009-9-19/
42视网膜疾病2008-9-42009-9-172009-9-19/
43视网膜疾病2008-9-42009-9-172009-9-19/
44青光眼2008-9-42009-9-162009-9-18/
45白内障(双眼)2008-9-42009-9-172009-9-212009-9-23
46白内障(双眼)2008-9-42009-9-172009-9-212009-9-23
47青光眼2008-9-42009-9-162009-9-18/
48青光眼2008-9-42009-9-162009-9-18/
49视网膜疾病2008-9-42009-9-172009-9-19/
50视网膜疾病2008-9-42009-9-172009-9-19/
51白内障(双眼)2008-9-52009-9-182009-9-222009-9-24
52白内障(双眼)2008-9-52009-9-182009-9-222009-9-24
53白内障(双眼)2008-9-52009-9-182009-9-222009-9-24
54视网膜疾病2008-9-52009-9-182009-9-20/
55白内障(双眼)2008-9-52009-9-182009-9-222009-9-24
+ +
56青光眼2008-9-52009-9-172009-9-19/2009-9-28
57白内障 +(双眼)2008-9-52009-9-182009-9-222009-9-242009-9-26
58白内障2008-9-52009-9-182009-9-20/2009-9-23
59白内障 +(双眼)2008-9-52009-9-182009-9-222009-9-242009-9-26
60白内障 +(双眼)2008-9-52009-9-182009-9-222009-9-242009-9-26
61白内障 +(双眼)2008-9-62009-9-192009-9-232009-9-252009-9-27
62视网膜疾 病2008-9-62009-9-192009-9-21/2009-10-1
63青光眼2008-9-62009-9-182009-9-20/2009-9-29
64白内障 +(双眼)2008-9-62009-9-182009-9-202009-9-252009-9-27
65视网膜疾 病2008-9-72009-9-202009-9-22/2009-10-2
66白内障 +(双眼)2008-9-72009-9-202009-9-242009-9-262009-9-28
67视网膜疾 病2008-9-72009-9-202009-9-22/2009-10-2
68白内障2008-9-82009-9-212009-9-23/2009-9-26
69视网膜疾 病2008-9-82009-9-212009-9-23/2009-10-3
70视网膜疾 病2008-9-82009-9-212009-9-23/2009-10-3
71白内障2008-9-82009-9-212009-9-23/2009-9-26
72白内障 +(双眼)2008-9-82009-9-212009-9-252009-9-272009-9-29
73白内障2008-9-82009-9-212009-9-23/2009-9-26
74视网膜疾 病2008-9-82009-9-212009-9-23/2009-10-3
75白内障2008-9-82009-9-212009-9-23/2009-9-26
76青光眼2008-9-92009-9-212009-9-23/2009-10-2
77青光眼2008-9-92009-9-212009-9-23/2009-10-2
78视网膜疾 病2008-9-92009-9-222009-9-24/2009-10-4
79白内障2008-9-92009-9-222009-9-24/2009-9-27
80白内障2008-9-92009-9-222009-9-24/2009-9-27
81视网膜疾 病2008-9-102009-9-232009-9-25/2009-10-5
82白内障2008-9-102009-9-232009-9-25/2009-9-28
83白内障 +(双眼)2008-9-102009-9-232009-9-272009-9-292009-10-1
84白内障2008-9-102009-9-232009-9-25/2009-9-28
85白内障2008-9-102009-9-232009-9-25/2009-9-28
86白内障 (双眼)2008-9-102009-9-232009-9-272009-9-292009-10-1
87白内障2008-9-102009-9-232009-9-25/2009-9-28
88青光眼2008-9-102009-9-222009-9-24/2009-10-3
89白内障 (双眼)2008-9-102009-9-232009-9-272009-9-292009-10-1
90视网膜疾病2008-9-112009-9-242009-9-26/2009-10-6
91视网膜疾病2008-9-112009-9-242009-9-26/2009-10-6
92青光眼2008-9-112009-9-232009-9-25/2009-10-4
93白内障 (双眼)2008-9-112009-9-242009-9-282009-9-302009-10-2
94白内障 (双眼)2008-9-112009-9-242009-9-282009-9-302009-10-2
95青光眼2008-9-112009-9-232009-9-25/2009-10-4
96白内障 (双眼)2008-9-112009-9-242009-9-282009-9-302009-10-2
97外伤2008-9-112009-9-122009-9-13/2009-9-19
98白内障 (双眼)2008-9-112009-9-242009-9-282009-9-302009-10-2
99视网膜疾病2008-9-112009-9-242009-9-26/2009-10-6
100白内障2008-9-112009-9-242009-9-26/2009-9-29
101视网膜疾病2008-9-112009-9-242009-9-26/2009-10-6
102视网膜疾病2008-9-112009-9-242009-9-26/2009-10-6
\ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2009/B\351\242\230/09B/09B.md" "b/MCM_CN/2009/B\351\242\230/09B/09B.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12c3dce4c79587ef9388a0d36dbb0527173c7ee2 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2009/B\351\242\230/09B/09B.md" @@ -0,0 +1,556 @@ +# 基于蒙特卡洛模拟的眼科病床安排排队模型 + +摘要：病床的合理安排关系到人民的医疗保障和医院的经济效益，本文通过对眼科病床合理安排问题的研究，得到了基于医院和患者两个角度的病床安排合理度评价标准和基于排队模型的病床最优安排模型，同时还从服务时间，病床数划分等方面对模型进行了改进和修正。 + +在问题一中，为了给出一个合理的病床安排合理度评价指标体系，我们分别从医院和患者两个角度出发，归纳出与医院床位管理的五个因素：平均住院日数、病床使用率、病床动态周转次数、病人等待入院时间、病人等待手术时间，同时我们引入了“安排合理度”这一标准来衡量病床安排管理水平的高低。然后基于层次分析法，我们分析了上述五种因素对于“安排合理度”这一标准的影响，构造了一个合理的公式，并划分了三级标准：A级，B级和C级(A级最好)。最后我们对目前情况进行了评价，发现目前的病床安排等级为B，并不是十分合理。 + +在问题二和问题三中，首先我们对原始数据进行了分析，发现病患到达服从泊松分布。其次我们构造出了基于排队论模型的病床合理安排模型，该模型将排队系统服务窗口分成了三个阶段：等待入院阶段，等待手术阶段和术后康复阶段，其中等待入院阶段和等待手术阶段都是非抢占的具有优先级的泊松分布。然后基于病床合理安排模型，我们进行了蒙特卡洛模拟，得出该构造模型安排合理度为A。同时为了使病患得知自己大概的入院时间，我们在病患排序和排队参数的基础上，引入了阈值这一概念来描述病人所需等待入院时间。 + +在问题四和问题五中，我们分别对模型从服务时间，病床数划分方面进行了修正和改进，发现服务资源的减少都使两种情况较模型二中的安排合理度均有不同程度的下降。为了适应服务时间的变化，需要加入时间维度的概念，我们引入了服务流。通过动态规划算法，我们得出白内障手术在周一和周四进行，使得安排最佳。同时对于适应固定病床数划分的影响，我们运用动态规划的算法计算得出了最佳的病床划分数方案。 + +最后，我们还对模型进行了优缺点分析。 + +【关键字】层次分析法 安排合理度 泊松分布 计算机模拟 + +# 1. 目录 + +1. 问题重述 +2. 问题分析 +3. 模型假设 +4. 基本符号说明及解释 +5. 病房评价指标体系 +5.1. 模型建立 +5.1.1. 医院角度 +5.1.2. 患者角度 6 +5.2. 模型求解 +6. 病床安排排队模型 +6.1. 基本思路 +6.2. 数据提炼分析 +6.2.1. 日到达人数分布 +6.2.2. 医院每日进行的手术个数 12 +6.3. 模型建立 13 +6.3.1. 入院阶段 13 +6.3.2. 等待手术阶段 15 +6.3.3. 康复出院阶段 15 +6.4. 模型求解 16 +6.4.1. 蒙特卡洛模拟 16 +6.5. 对问题三的解答 17 +7．改进的病床安排立体排队模型 17 +7.1. 问题四简述 ..... 18 +7.2. 日期调整模型 19 +7.3. 对问题五的解答 19 +8. 模型优缺点 ..... 20 +8.1. 模型优点 20 +8.2. 模型缺点 20 +9. 参考文献 20 + +# 1. 问题重述 + +医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。 + +该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。各种手术的情况均不太一样，白内障手术一般是每周一、三做，做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到 $60\%$ 。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术，所以医院应该备好相应的空床，以便外伤病人及时入院。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。因为周一周三是例行的白内障手术，也有可能会有外伤手术，所以这类疾病手术时间一般不安排在周一、周三。 + +该医院眼科手术条件比较充分，只考虑病床安排就可，不需要考虑医院的硬件条件。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，希望可以建立合理的病床安排模型，并给出一个合理的评价指标体系，以评价该问题的病床安排模型的优劣，以提高对医院资源的有效利用。 + +# 2. 问题分析 + +本文主要是针对医院就医排队的问题，由于病床数量固定，而病人就诊日期是随机的，常会引起病人长时间等待病床空位的现象，降低了顾客的满意度，甚至会造成顾客的流失，给医院的效益带来损失。 + +从顾客来到医院就诊，到接受治疗后出院，基本分为以下阶段： + +1. 排队等待入院阶段。这个阶段对普通病人，想白内障、视网膜疾病、青光眼等患者来说，基本上要两周的时间；而外伤患者属于急诊病人，这个阶段只需要一天。 +2. 病人手术准备时间。除了外伤患者的手术准备时间为一天以外，其他病症的手术准备时间均不一致，白内障单眼的手术准备时间约为 2.3 天，双眼约为 3.6 天，视网膜疾病和青光眼约为 2.4 天。 +3. 手术后观察时间。对白内障双眼患者来说，第一次手术后两天，还有二次手术，这段时间平均为8.5天。对单眼白内障患者来说，平均为5.2天。因为视网膜的敏感性，这类疾病的术后观察时间较长，平均为12.5天。青光眼患者平均为10.4天。 + +从优先级方面来说，只有外伤的优先级较高，其他三种病症都为普通优先级，整个排队论模型描述如下： + +![](images/aead271272167a350165e8e8b6178f892fac4c04144d155274ab70d942e161ff.jpg) +图1 排队论模型 + +# 3. 模型假设 + +1. 一般周一、周三两天只安排白内障病人手术，周一第一次手术、如是双眼均有病症的病人，周三进行第二次手术。外伤患者属于急诊病人，不区分星期几，一律就诊后第二天入院，第三天手术，所以也有可能安排在周一和周三。 +2. 除了外伤病人以外，白内障、视网膜疾病、青光眼等眼科疾病可不考虑急症。 +3. 为了让外伤患者及时入院，我们假定医院每日要预留出5个空床位给外伤患者。 + +# 4. 基本符号说明及解释 + +
符号表示说明
G病床安排合理度
ηB病床使用率
TQ病人等待入院时间
DB病床动态周转次数
Ni7月25号到8月25号入院人数
No7月25号到8月25号出院人数
NB医院固定的病床数
TO病人等待手术时间
MH平均住院日数、病床使用率、病床动态周转次数对医院的成对比较矩阵
MP病人等待入院时间、病人等待手术时间对患者的成对比较矩阵
+ +# 5. 病房评价指标体系 + +# 5.1. 模型建立 + +医院床位管理水平的高低，是衡量和评价医院总体管理水平的重要内容之一。合理分析床位利用情况，对于提高经济效益、改善病房管理、挖掘内部潜力增强服务能力有重要意义。从历史经验和自身理解，我们分别从医院和患者两个角度归纳出与医院床位管理的五个因素，分别是：平均住院日数、病床使用率、病床动态周转次数、病人等待入院时间、病人等待手术时间。根据现实中医院不仅要获得高效率，保证自己效益；而且要保证服务质量，提高医疗保障水平，我们引入了“安排合理度”这一标准来衡量医院传为管理水平的高低，然后基于层次分析法，我们分析了上述五种因素对于“安排合理度”这一标准的影响，构造了一个合理的公式。 + +![](images/07c22113df7f37f20b199bf21e9efa4428d99407190323ca0dea1a1a1aa7ae09.jpg) +图2 层次分析法构造安排和力度模型 + +对于医院和患者这两面，从社会角度来看，医院的主要目的是为了给广大人民提供医疗保障，相对于单个患者，医院应该占有更多的权重。根据层次分析法的思想和Satty的准则，我们得到患者因素和医院因素对于“安排合理度”的成对比较矩阵： + +$$ +\mathrm {M _ {G}} = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 4 / 6 \\ 6 / 4 & 1 \end{array} \right] +$$ + +# 5.1.1. 医院角度 + +病床使用率：一般来说，床位利用率越高，其医疗质量也越好，并可得到病人的认可。较高的病床使用率不仅给医院本身带来巨大的经济效益，同时也带来了巨大的社会效益。由于数据没有直接给出病人占用的床位数病床使用率和排队时间正相关，因为为了获得最大的利益，医院会设法使得住进更多病人，同时病人也急切住院早日接受治疗，于是，我们定义公式(5-1)： + +$$ +\eta_ {\mathrm {B}} = \mathrm {C} _ {\mathrm {B}} * \mathrm {T} _ {\mathrm {Q}} \tag {5-1} +$$ + +平均住院日数：提高病床使用率，不一定能提高科室的经济效益，只有在患者的平均住院日不变的情况下，高病床的使用率才能够提高科室的绩效；反过来也一样，只有病床使用率不变的情况下，缩短平均住院日才能提高科室的绩效；两者的关系是工作量与效率问题。因为在康复期，很多病人的支出是以床位费为主，其他收益较少，住院时间过长不仅影响医院经济效益，同时还会耽误其他患者的宝贵的治疗时间。 + +病床动态周转次数：病床使用率和平均病床工作日，反映的是病床的一般负荷情况，只说明病床利用效益的一个方面。还不能表示病床的工作效率情况，病床周转次数在一定程度上可被看作是一个综合反映工作效率和医疗质量的指标，提高病床动态周转次数，有利于医疗资源在社会的快速流动，提高床位管理的水平。经过查阅相关资料，我们得出公式(5-2)： + +$$ +\mathrm {D} _ {\mathrm {B}} = \frac {\mathrm {N} _ {\mathrm {i}} + \mathrm {N} _ {\mathrm {o}}}{2 * \mathrm {N} _ {\mathrm {B}}} \tag {5-2} +$$ + +应用层次分析的思想，给出平均住院日数、病床使用率、病床动态周转次数对医院的成对比较矩阵： + +$$ +\mathrm {M} _ {\mathrm {H}} = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 1 & 1 / 2 \\ 1 & 1 & 1 / 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} \right] +$$ + +# 5.1.2. 患者角度 + +病人等待入院时间 $\mathbf{T}_{\mathbf{Q}}$ ：病人等待时间分为病人等待入院时间和病人入院后等待手术时间，但评价床位管理水平的高低绝对不是两者简单的线性相加。病人等待入院时间，是患者在医院等待接收治疗的预备工作时期，相对于病人等待手术时间占比较次要因素。 + +病人等待手术时间 $\mathbf{T}_{0}$ ：是患者在病房接受治疗预备工作的时期，一般需要住院的病人病情都相对于未立即住院的病人危机，这一时期越长，给病人造成的影响越大，严重时危机病人生命。因此，该时间段可以说是关系病人“生死存亡”的时间。 + +应用层次分析的思想，给出病人等待入院时间、病人等待手术时间对患者的成对比较矩阵： + +$$ +\mathrm {M _ {P}} = \left[ \begin{array}{c c} 1 & 4 / 6 \\ 6 / 4 & 1 \end{array} \right] +$$ + +先对各个成对比较矩阵进行归一化处理，然后运用Matlab计算各个对应的特征根和特征向量： + +$$ +\omega_ {\mathrm {G}} = (0. 4, 0. 6) ^ {\mathrm {T}}, \lambda_ {\mathrm {G}} = 2 +$$ + +$$ +\omega_ {\mathrm {H}} = (0. 2 5, 0. 2 5, 0. 5) ^ {\mathrm {T}}, \quad \lambda_ {\mathrm {H}} = 3 +$$ + +$$ +\omega_ {\mathrm {P}} = (0. 4, 0. 6) ^ {\mathrm {T}}, \quad \lambda_ {\mathrm {P}} = 2 +$$ + +因为 $\lambda = n$ ，所以各个成对比较矩阵为一致阵，结果可靠。然后得到组合权重向量： + +$$ +\mathrm {W} = 0. 4 \omega_ {\mathrm {H}} + 0. 6 \omega_ {\mathrm {P}} +$$ + +最后得出安排合力度公式(5-3)如下 + +$$ +\mathrm {G} = 0. 1 \eta_ {\mathrm {B}} ^ {\prime} + 0. 1 \mathrm {T} _ {\mathrm {L}} ^ {\prime} + 0. 2 \mathrm {D} _ {\mathrm {B}} ^ {\prime} + 0. 2 4 \mathrm {T} _ {\mathrm {Q}}, ^ {\prime} + 0. 3 6 \mathrm {T} _ {0} ^ {\prime} \tag {5-3} +$$ + +其中， $\eta_{\mathrm{B}}^{\prime}$ 、 $\mathrm{T}_{\mathrm{L}}^{\prime}$ 、 $\mathrm{D}_{\mathrm{B}}^{\prime}$ 、 $\mathrm{T}_{\mathrm{Q},}^{\prime}$ 、 $\mathrm{T}_{0}^{\prime}$ 为 $\eta_{\mathrm{B}}$ 、 $\mathrm{T}_{\mathrm{L}}$ 、 $\mathrm{D}_{\mathrm{B}}$ 、 $\mathrm{T}_{\mathrm{Q},}^{\prime}$ 、 $\mathrm{T}_{0}$ 的归一化的结果。 + +# 5.2. 模型求解 + +病床使用率：通过分析数据发现由于急症患者一般均第2个工日就入住医院，此类数据在此不予考虑。从数据看出2008-7-13就诊的病人出急症外并非所有病患等待入院时间都相同，根据“尽早入院”原则和“利益最大化”原则，说明医院床位长期处于饱和状态。另外通过对非急症患者数据做频次分析，我得出非急症患者等待入院频次分布图如图2： + +![](images/aeb1ddf64f4ddea2716f3afec3a0fa80f848bb97a3dc425bbefc01539e17451b.jpg) +频次VS慢性病入院天数 +图3 非急症患者等待入院频次分布 + +等待入院天数平均值 $\overline{\mathrm{T}_0}$ 为12.67天，且分布集中在12-13天之间。查阅相关资料一般入院等待时间不超过7天。通过Matlab对数据进行拟合，然后对拟合出来病床使用率进行归一化处理，得到式(5-4): + +$$ +\eta_ {\mathrm {B}} ^ {\prime} = \frac {\mathrm {C} _ {\mathrm {B}}}{\overline {{\mathrm {T} _ {\mathrm {Q}}}}} = \frac {7}{\overline {{\mathrm {T} _ {\mathrm {Q}}}}} \tag {5-4} +$$ + +平均住院日数：平均住院日数与医院的医疗水平有关，因此认为是常量。因为通过对数据进行分析如图3，慢性病中白内障病人手术等待天数具有一定规律性，一般不超过一周，在一周内往复循环。而其他慢性病分布较为集中在10-11天左右，其平均值 $\mathrm{T_L} = 9.43$ 天。对数据进行归一化处理如式(5-5)： + +$$ +\mathrm {T} _ {\mathrm {L}} ^ {\prime} = \frac {| \mathrm {T} _ {\mathrm {L}} - \overline {{\mathrm {T} _ {\mathrm {L}}}} |}{\overline {{\mathrm {T} _ {\mathrm {L}}}}} = \frac {| \mathrm {T} _ {\mathrm {L}} - 9 . 4 3 |}{9 . 4 3} \tag {5-5} +$$ + +![](images/2d6386aae40466fcde70d34c369c01b9d91aeeefa5dbddab38958f0d9d08ccad.jpg) +频次VS慢性病入院天数 +图4 慢性病入院天数统计图 + +病床动态周转次数：查询相关数据，一般病床标准周转动态次数为5.2左右为最佳，不仅可以使得医疗资源在社会最大流动，还保障了服务的质量。进行归一化处理： + +$$ +\mathrm {D _ {B}} ^ {\prime} = \frac {\mathrm {D _ {B}}}{5 . 2} = \frac {\mathrm {N _ {i}} + \mathrm {N _ {o}}}{1 0 . 4 * \mathrm {N _ {B}}} +$$ + +病人等待入院时间 $\mathbf{T}_{\mathbb{Q}}$ ：上面已经进行分析，可以直接得出归一化结果： + +$$ +\mathrm {T} _ {\mathrm {Q}, \mathrm {'}} = \frac {7}{\overline {{\mathrm {T} _ {\mathrm {Q}}}}} +$$ + +病人等待手术时间 $\mathrm{T}_{0}$ ：通过分析数据，白内障病人手术时间可以延长，并不对病患生命曹成不可逆转的影响，题目数据也反映了这一点，器手术准备时间一般在一周内循环，特别是双眼的病人。而急症患者一般病情危及，一般手术准备为一天，因此这两部分可以不予考虑。其他病患等待手术时间频次统计如图4，其平均时间 $\mathrm{T}_{0}$ 为2.43天，经查阅资料，一般等待时间为2天，于是我们得出 + +$$ +\mathrm {T _ {0}} ^ {\prime} = \frac {2}{\mathrm {T _ {0}}} +$$ + +![](images/4a22c61ed8cc5569a41c776c630b355d9e70799895a34541dd4677b34f324eac.jpg) +频次VS手术等待时间 +图5 手术等待时间统计图 + +通过计算，我们得出： + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {G} = 0. 1 \eta_ {\mathrm {B}} ^ {\prime} + 0. 1 \mathrm {T} _ {\mathrm {L}} ^ {\prime} + 0. 2 \mathrm {D} _ {\mathrm {B}} ^ {\prime} + 0. 2 4 \mathrm {T} _ {\mathrm {Q}}, ^ {\prime} + 0. 3 6 \mathrm {T} _ {0} ^ {\prime} \\ = 0. 1 \frac {7}{\overline {{T _ {Q}}}} + 0. 1 \frac {| T _ {L} - 9 . 4 3 |}{9 . 4 3} + 0. 2 \frac {N _ {\mathrm {i}} + N _ {\mathrm {o}}}{1 0 . 4 * N _ {\mathrm {B}}} + 0. 2 4 \frac {7}{\overline {{T _ {Q}}}} + 0. 3 6 \frac {2}{T _ {0}} \\ \end{array} +$$ + +根据我们定义的标准，代入各个因素国际一直公认的标准值，我们把“安排合理度”G标准分为3档，如表1： + +表 1 安排合理度分级表 + +
档次G
AG>0.8
B0.8>G>0.5
CG<0.5
+ +代入题目数据，算得 $G = 0.617$ ，当前病床安排模型属于 B 档，有待改进。 + +# 6. 病床安排排队模型 + +# 6.1.基本思路 + +我们观察到，除了外伤手术患者之外，其他患者的入院等待时间大概要2个星期，这对急于治疗疾病的患者来说是非常长的一段时间，所以，提高病床利用率就十分关键。于是，我们分析了该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型， + +# 6.2. 数据提炼分析 + +# 6.2.1. 日到达人数分布 + +# 所有到达门诊的人数分布： + +从题目所给的数据中，我们计算出了门诊的每日就诊人数，先不区分各个病况，对所有到达人数的频度进行了相关的统计： + +表 2 门诊日到达人数频度 + +
门诊日到 +达人数345678910111213141516
频度225786113543221
概率3.2%3.2%8.2%11.5%13.1%9.8%18%5%8.2%6.5%5%3.2%3.2%1.6%
+ +绘制出相应的图： + +![](images/db4ac7d62cad852674ef8a55852e5f02ffef0fbd4a365d4759298df95fa548bb.jpg) +门诊日到达人数分布 +图6 门诊日到达人数分布 + +可以看出，门诊日到达人数分布基本服从泊松分布，据统计，其日平均到达人数为9人。 + +为了更一步观察各个病况的患者的就诊人数分布情况，我们又进行了进一步的统计： + +# 1. 白内障患者到达人数分布： + +表 3 白内障患者日到达人数频度 + +
白内障日就诊人数012345
频度397421
+ +其分布情况为： + +![](images/afe660e86ab3e127538e5db56f26e2cabe9d25df9631ffa645e449c73c0c0f45.jpg) +白内障日就诊人数分布 +图7 白内障患者门诊日到达人数分布 + +算出其平均日到达人数为1.5人，一般情况下每日有1个单眼白内障患者来就诊，最多情况下，有5个白内障患者来就诊。 + +# 2. 白内障（双眼）患者到达人数分布： + +表 4 双眼白内障患者日到达人数频度 + +
双眼日就诊人数01234567
频度51812147201
+ +![](images/20362bc7d2517ecd0ab74b383d26bb8294e1764728fb25afc8f5f7930cedb627.jpg) +白内障双眼日就诊人数分布 +图8 白内障双眼患者门诊日到达人数分布 + +算出其平均日到达人数为2.3人，一般情况下每日有1-3个双眼白内障患者来就诊，最多情况下，有7个双眼白内障患者来就诊。 + +# 3. 视网膜疾病患者到达人数分布： + +表 5 视网膜疾病患者日到达人数频度 + +
双眼日就诊人数01234567
频度28777511
+ +![](images/80b2cc1c9e8686fe257ed8bd2f064846b407e349961e65fdc2f1a78667a42a99.jpg) +视网膜日就诊人数分布 +图9 视网膜患者门诊日到达人数分布 + +算出其平均日到达人数为2.8人，一般情况下每日有1-4个视网膜疾病患者来就诊，最多情况下，有7个双眼白内障患者来就诊。 + +# 4. 青光眼患者到达人数分布： + +表 6 青光眼患者日到达人数频度 + +
双眼日就诊人数01234
频度20251302
+ +![](images/f0c157fe9bc6d87e32ec739ddbe12ed2408a85e24611c1cb1dd5321727494d4e.jpg) +青光眼日就诊人数分布 +图10 青光眼患者门诊日到达人数分布 + +算出其平均日到达人数为1人，一般情况下每日有0-2个青光眼患者来就诊，最多情况下，每日有4个双眼白内障患者来就诊。 + +# 5. 外伤患者到达人数分布： + +表7 外伤患者日到达人数频度 + +
双眼日就诊人数012
频度212115
+ +![](images/047f119fde7dbbcd2464605fa22ef08c989809cddd2390b5b5b9628b5539f03c.jpg) +外伤日就诊人数分布 +图11 外伤患者门诊日到达人数分布 + +算出其平均日到达人数为1人，一般情况下每日有0-1个青光眼患者来就诊，最多情况下，每日有2个外伤患者来就诊。所以，我们在问题假设里面假设预留出5个空床给外伤患者是非常合理的。 + +# 6.2.2. 医院每日进行的手术个数 + +题目中，我们已经假设医院硬件条件不受限制，但是不代表着医生资源也不受限，我们队目前日进行的手术个数进行了统计。 + +表 8 门诊日进行手术个数频度 + +
普通手术次数012345678910111213
个数565454311113111
+ +![](images/5c40ead85a56844abfbfcdfc657e58bca218802312eaa4ce681c049fe7544f73.jpg) +日进行普通手术个数 +图12 日进行普通手术人数分布 + +# 6.3. 模型建立 + +我们将病人从看门诊开始到出院的整个过程分为入院的等待阶段，等待手术阶段和康复等待出院阶段。其中我们需要关注的是入院等待阶段和等待手术阶段。其中入院等待阶段是指病人从看门诊开始到入院的这一个阶段，而等待手术阶段是指从住院开始到做手术的阶段。康复阶段是指病人做完手术后到出院的这一个阶段。整个过程的示意图如下： + +![](images/be5032f3b9e326c1ea53da6d992ec63487d708094bff020e5a1b4f05631f0e3e.jpg) +图13 病床排队模型结构图 + +# 6.3.1. 入院阶段 + +我们将将病人的病情分为急诊和非急诊，其中只包括外伤病人，而非急诊包括白内障、视网膜疾病和青光眼三类病人。其中急诊病人的优先级比非急症病人的优先级要高。 + +# - 非急症病人的到达率 + +表 9 非急诊病人的日就诊人数频度 + +
非急诊01234567
频度0.10.30.30.60.70.6701
+ +![](images/ba962cb6c5d4fad4474cc3f2840403fcd55404df44f3897789fa59bcb3ea98a7.jpg) +非急诊病人的日就诊人数分布 +图14 非急诊病人的日就诊人数分布 + +看出这是一个很好的泊松分布，其到达率经过计算为1.89。 + +经过数据分析，我们发现非急症病人达到基本上是一个泊松流，具有以下几个性质： + +1) 平稳性。在长度为 $t$ 天的时间区间里, 出现任意数量的非急症病人的概率只与 $t$ 有关, 而与 $t$ 所处的位置无关。我们记单位时间内 (也就是一天) 到达的非急症病人数量的强度为 $\lambda_{1}$ 。 +2) 无后效性。在互不相交的两时间区间 $\mathrm{T}_{1} 、 \mathrm{T}_{2}$ 内所出现的非急症病人的数量是相互独立的。 +3）普通性。在同一瞬间，多于一个事件出现的概率可以忽略不计。 + +根据以上的分析，我们可以得到一个结论：非急症病人的到达情况是一个泊松流。我们记 $\mathrm{N}_{1}(\mathfrak{t})$ 为时间区间内(0,t)内到达非急症病人的人数。根据上面的分析，由于非急症病人到达的人数是一个泊松流，所以我们可以得到 $\mathrm{N}_{1}(\mathfrak{t})$ 的分布律如下： + +$$ +\mathrm {P _ {k} (t) = P (N _ {1} (t) = k) = \frac {(\lambda_ {1} t) ^ {k} e ^ {- \lambda_ {1} t}}{k !}} +$$ + +其中， $\lambda_{1}$ 为非急症病人的到达强度。 + +# 急症病人的到达率 + +急症病人的到达情况： + +表 10 急症病人(外伤患者)日到达人数频度 + +
就诊人数012
频度212115
+ +算出其平均日到达人数为1人。 + +经过数据的分析，同样我们可以看出急症病人的到达情况是符合泊松流的平稳性，无后效性和普通性的，我们可以认为急症病人的到达同样符合泊松流。我们记 + +$\mathrm{N}_{2}(\mathrm{t})$ 为时间区间内 $(0, \mathrm{t})$ 内到达的急症病人的人数, 则 $\mathrm{N}_{2}(\mathrm{t})$ 的分布律如下: + +$$ +\mathrm {P} _ {\mathrm {k}} ^ {\prime} (\mathrm {t}) = \mathrm {P} (\mathrm {N} _ {2} (\mathrm {t}) = \mathrm {k}) = \frac {(\lambda_ {2} \mathrm {t}) ^ {\mathrm {k}} \mathrm {e} ^ {- \lambda_ {2} \mathrm {t}}}{\mathrm {k} !} +$$ + +其中， $\lambda_{2}$ 为急症病人的到达强度。 + +# 6.3.2. 等待手术阶段 + +- 急症病人由于需要立即做手术，所以只要在急症病人入院的第二天，就会进行手术。急症病人具有更高的优先级。 +- 白内障病人的做手术在周一和周三进行，假如是有两只眼睛需要进行手术的话，则需要进行两次手术，一只在周一进行手术，另一只在周三进行手术（必须是同一个星期的周一和周三）。 +假如当天没有白内障手术安排的话，那么可以进行青光眼和视网膜手术 + +# 6.3.3. 康复出院阶段 + +根据不同的病情以及病人的恢复情况，手术后的住院时间是不同的。但是根据题目中已经给的数据，我们可以看到相同病情的病人的手术后住院时间基本相同，所以在我们的模型当中相同病情的术后康复时间是一样的。 + +因为急症病人的住院以及手术的优先级要比非急症病人高，所以医院的排队模型可以看成是一个具有优先级的排队模型，系统中共有两个优先级，即急症病人和非急症病人，在模型中我们称急症病人是第一级病人，非急症病人是第二级病人。我门把病床看成是服务窗，而病人看成是排队者。另外当一位病人占有一个病床的时候，后来的病人是不可以抢占这个病床的，所以这又是一个非抢占的排队模型。所以这个排队模型是一非抢占的具有优先级的模型。 + +令： + +$\bullet$ $\lambda_{\mathrm{i}}$ 为第i级顾客的到达率 $(\mathrm{i} = 1,2)$ +$\bullet$ $\mu_{\mathrm{i}}$ 为第i级顾客的平均服务率 $(\mathrm{i} = 1,2)$ +- $S_{i}$ 为第 $i$ 级顾客所需要的服务时间 $(i = 1,2)$ +S为系统的服务时间 + +那么得到： + +$$ +\overline {{S}} _ {\mathrm {i}} = \mathrm {E} (S _ {\mathrm {i}}) = \frac {1}{\mu_ {\mathrm {i}}} +$$ + +记 $\rho_{\mathrm{i}} = \lambda_{\mathrm{i}} / \mu_{\mathrm{i}} = \lambda_{\mathrm{i}} S_{\mathrm{i}}$ ，由于两级病人的均是相互独立的泊松流，故在任何时刻到达系统病人都属于第 i 级的概率是 $\lambda_{\mathrm{i}} / \mu_{\mathrm{i}}$ ，因此可见，系统的平均服务时间是 + +$$ +\overline {{S}} = \operatorname {E} (S) = \sum_ {\mathrm {i} = 1} ^ {\mathrm {N}} \frac {\lambda_ {\mathrm {i}}}{\lambda} \operatorname {E S} = \frac {1}{\lambda} \sum_ {\mathrm {i} = 1} ^ {\mathrm {N}} \rho_ {\mathrm {i}} = \frac {\rho}{\lambda} +$$ + +# 急症病人的等待入院时间是由两个部分组成的： + +1）正在排队等待服务的所有急症病人平均服务时间之和。记排队等待服务的第一级顾客的平均顾客平均人数为 $\mathrm{L}_{\mathrm{q}1}$ ，则该级病人占用的总时间。 + +$$ +\overline {{S}} _ {1} \mathrm {L} _ {\mathrm {q} 1} = \frac {\mathrm {L} _ {\mathrm {q} 1}}{\mu_ {1}} = \rho_ {1} \mathrm {W} _ {\mathrm {q} 1} +$$ + +其中 $W_{q1}$ 是第一级病人的平均排队等待时间。 + +2）等待正在服务的服务窗空出来的平均时间。 + +$$ +\mathrm {W} _ {\mathrm {q} 1} = \rho_ {1} \mathrm {W} _ {\mathrm {q} 1} + \rho \bar {\mathrm {S}} _ {\mathrm {e}} +$$ + +整理后有： + +$$ +\mathrm {W} _ {\mathrm {q} 1} = \frac {\rho \bar {S} _ {\mathrm {e}}}{1 - \rho_ {1}} +$$ + +其中 $\overline{S_{\mathrm{e}}}$ 为服务窗剩余服务时间的均值。 + +# 非急症病人的等待入院时间是由三个部分组成的： + +1) 正在排队等待服务的第 1 级病人的平均服务时间之和 $\mathrm{T}_{1}$ , 设第 1 级病人平均排队等待人数为 $\mathrm{L}_{\mathrm{q} 1}$ , 则其接受服务的总时间 $\bar {S}_{1} \mathrm{~L}_{\mathrm{q} 1} = \rho_{1} \mathrm{W}_{\mathrm{q} 1}$ , 于是平均服务时间之和是 + +$$ +\mathrm {T} _ {1} = \rho_ {1} \mathrm {W} _ {\mathrm {q} 1} +$$ + +2) 等待床位空出来的时间 $\mathrm{T}_{2}$ +3) 在新到的 2 级病人排队等待时间 $T_{3}$ + +# 6.4. 模型求解 + +# 6.4.1. 蒙特卡洛模拟 + +通过以上分析，我们已经运用排队论理论建立了初步的模型，求解出所需要的基本参数。我们运用matlab进行蒙特卡洛模拟的方法模拟从2008-7-13到2008-9-11这段时间的医院的情况。算法步骤如下，流程图见图15。 + +算法步骤： + +1) 建立两个顾客源，均服从泊松分布，在设立两个队列用以模拟顾客流并编号； +2) 根据上述计算的各个队列的参数和服务窗口的参数分别设定各个参数的值； +3) 开始模拟顾客流和服务窗系统，并观察相应参数； +4) 根据病房评价模型参数要求，给出评价等级 + +![](images/d521f4c10d12f9ca82fc0e0a290180bfb832658209773ef804fe15658bae8c09.jpg) +图15 蒙特卡洛模拟顾客流算法图 + +根据上述模拟，我们得出评价因素见表11： + +表 11 模拟结果 + +
ηB'TL'DB'TQ,TO'
0.8640.060.8370.8641.33
+ +代入上述结果，计算“安排合理度”G： + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {G} = 0. 1 \eta_ {\mathrm {B}} ^ {\prime} + 0. 1 \mathrm {T} _ {\mathrm {L}} ^ {\prime} + 0. 2 \mathrm {D} _ {\mathrm {B}} ^ {\prime} + 0. 2 4 \mathrm {T} _ {\mathrm {Q}}, ^ {\prime} + 0. 3 6 \mathrm {T} _ {0} ^ {\prime} \\ = 0. 9 4 5 \\ \end{array} +$$ + +根据表1， $\mathrm{G} > 0.8$ ，则属于A类。 + +# 6.5. 对问题三的解答 + +通过上述排队论模型，根据模型中到达率、服务率等参数和病患的编号，我们可以设定一个“阈值”Y用以控制当前等待病患的多少，同时也可显示该顾客需要等待的时间。 + +$$ +\mathrm {Y} = \frac {\mathrm {N} _ {\mathrm {Q}} + \mathrm {N} _ {\mathrm {L}} + \mathrm {N} _ {\mathrm {O}}}{\sum \mu_ {\mathrm {i}}} +$$ + +其中, $\mathrm{N}_{\mathrm{Q}}$ 为排在要查询病患前等待入院的病患人数, $\mathrm{N}_{\mathrm{L}}$ 等待手术的病患人数, $\mathrm{N}_{0}$ 康复阶段等待出院的病患人数, $\mu$ 为窗口服务率。 + +# 7. 改进的病床安排立体排队模型 + +# 7.1. 问题四简述 + +住院部并非一周七天均安排手术，若周六、周日休息，则上述病床安排排队模型不再适用。此时需要引入时间维度的概念，我们对病床安排排队模型进行了改进，使得原模型引入时间轴。然而时间维度并不好表示，此时我们增加了“服务流”这一概念对原模型进行改进，只有当有服务流出现时，顾客流才能接受服务。模型系统框图如图15： + +![](images/6f0d19755d15ea0b34353e9a2afeb2b6576c20ec79cd3d172dbf71b429be7465.jpg) +服务窗口 +图16 改进的病床安排立体排队模型示意图 + +对窗口中服务率的定义如下： + +$$ +\mathrm {d} _ {1} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & t = 1 \\ 0, & t = 2 \\ 1, & t = 3 \\ 0, & t = 4 \\ 0, & t = 5 \\ 0, & t = 6 \\ 0, & t = 7 \end{array} \right. \quad \mathrm {d} _ {2} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & t = 1 \\ 0, & t = 2 \\ 0, & t = 3 \\ 0, & t = 4 \\ 0, & t = 5 \\ 0, & t = 6 \\ 0, & t = 7 \end{array} \right. +$$ + +$$ +\begin{array}{r} \mathrm {d} _ {3} (t) = \mathrm {d} _ {4} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & t = 1 \\ 1, & t = 2 \\ 0, & t = 3 \\ 1, & t = 4 \\ 1, & t = 5 \\ 0, & t = 6 \\ 0, & t = 7 \end{array} \right. \quad \mathrm {d} _ {5} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & t = 1 \\ 1, & t = 2 \\ 1, & t = 3 \\ 1, & t = 4 \\ 1, & t = 5 \\ 0, & t = 6 \\ 0, & t = 7 \end{array} \right. \end{array} +$$ + +其中， $d_1(t)$ 为白内障服务流速率， $d_2(t)$ 为双眼白内障服务流速率， $d_3(t)$ 青光眼服务流速率， $d_4(t)$ 为视网膜疾病服务流速率， $d_5(t)$ 为外伤疾病服务流速率。 + +同样进行蒙特卡洛模拟，可以得到 $G = 0.612 < 0.8$ ，属于B类，因此“安排合理度“明显下降。 + +# 7.2. 日期调整模型 + +模型建立如下： + +$$ +\begin{array}{l l} \text {M a x} & \mathrm {G} \left(\mathrm {d} _ {1} (\mathrm {t}), \mathrm {d} _ {2} (\mathrm {t})\right) \end{array} +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{c} W _ {\mathrm {q i}} = \rho_ {\mathrm {i}} W _ {\mathrm {q i}} + \rho \overline {{S _ {\mathrm {e}}}} \\ \mathrm {E} (S _ {\mathrm {i}}) = \frac {1}{\mu_ {\mathrm {i}}} \\ \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} = \rho_ {\mathrm {i}} W _ {\mathrm {q i}} \\ W _ {\mathrm {q i}} = \frac {\rho \overline {{S _ {\mathrm {e}}}}}{1 - \rho_ {1}} \\ d _ {\mathrm {i}} (t) \geq 0 \end{array} \right. +$$ + +运用整数动态规划思想，进行求解，得到白内障手术时间应放到周一和周四，此时 $G = 0.812$ ，属于A类；虽然对于全周工作的服务流来说，安排合理度下降了，考虑到服务资源的下降，此下降属于合理范围。 + +# 7.3.对问题五的解答 + +对问题四的解答采用浮动窗口数量的方式，在此问我们固定 $\mathrm{d}_{\mathrm{i}}(\mathrm{t})$ ，得到如下模型： + +$$ +\begin{array}{c c} \text {M a x} & \mathrm {G} (\mu_ {\mathrm {i}}) \end{array} +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{c} W _ {\mathrm {q i}} = \rho_ {\mathrm {i}} W _ {\mathrm {q i}} + \rho \overline {{S _ {\mathrm {e}}}} \\ \mathrm {E} (S _ {\mathrm {i}}) = \frac {1}{\mu_ {\mathrm {i}}} \\ \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} = \rho_ {\mathrm {i}} W _ {\mathrm {q i}} \\ W _ {\mathrm {q i}} = \frac {\rho \overline {{S _ {\mathrm {e}}}}}{1 - \rho_ {1}} \\ \mathrm {d} _ {\mathrm {i}} (\mathrm {t}) \geq 0 \end{array} \right. +$$ + +求解得到结果如表12： + +表 12 结果四床位分配表示 + +
病种白内障双眼青光眼视网膜外伤
分配床位12322078
+ +# 8. 模型优缺点 + +# 8.1. 模型优点 + +1. 运用了蒙特卡洛模拟方法，根据统计的数据，设置各种实际参数，进行了模拟仿真，给出了精确地结果。 +2. 观察出到达人数服从泊松分布，运用排队论相关知识，建立了区分不同到达率和优先级的排队论模型。 + +# 8.2. 模型缺点 + +1. 没有充分考虑完全动态的规划情况，为了使当天的外伤病人有床位，设定至少每天预留出5个床位给外伤患者。 +2. 参数众多，这三个模型的特点就是分析细致。但这样同样造成了参数繁冗，误差较大的弊端。 + +# 9. 参考文献 + +[1] 姜启源等，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003 +[2] 张国通，杜刚等。一种动态自适应医院门诊排队模式。上海交通大学学报，2007年9月。 +[3] 潘启英。应用秩和比法综合评价医院病床工作效率。西藏科技，2006年11期(总第163期). +[4] 林崇健。医院临床科室依据评估模型的绩效改进策略。现代医院2006年11月第6卷第11期。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2011/2011\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233B\351\242\230\347\234\201\347\272\247\344\270\200\347\255\211\345\245\226\350\256\272\346\226\207/2011\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233B\351\242\230\347\234\201\347\272\247\344\270\200\347\255\211\345\245\226\350\256\272\346\226\207.md" "b/MCM_CN/2011/2011\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233B\351\242\230\347\234\201\347\272\247\344\270\200\347\255\211\345\245\226\350\256\272\346\226\207/2011\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233B\351\242\230\347\234\201\347\272\247\344\270\200\347\255\211\345\245\226\350\256\272\346\226\207.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..393c9bd42ce44f266aa35901db350925933cb72d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2011/2011\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233B\351\242\230\347\234\201\347\272\247\344\270\200\347\255\211\345\245\226\350\256\272\346\226\207/2011\345\271\264\345\205\250\345\233\275\345\244\247\345\255\246\347\224\237\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\347\253\236\350\265\233B\351\242\230\347\234\201\347\272\247\344\270\200\347\255\211\345\245\226\350\256\272\346\226\207.md" @@ -0,0 +1,425 @@ +# 基于优化算法及计算机仿真的交巡警 + +# 服务平台设置与调度 + +# 摘要 + +为了更有效地贯彻实施警察的职能，需要在市区的交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。考虑警务资源的有限性，如何根据城市的实际情况与需求，建立数学模型，合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是本题的关键。 + +首先，对题目中给出的大量数据进行分析、提取和处理。第一步，将该市各区交通网络图中路口节点之间的图上距离按照比例尺转化为实际距离；第二步，利用图论中的Floyd算法，通过MATLAB软件编程求解得到任意两个路口之间的最短路程（见附表）以及相应路由矩阵。 + +其次，对两个问题进行分析求解。为了提高解决问题的条理性，根据自然段将两个大问题分为五个子问题分别求解。 + +对于子问题一，首先根据引理1，将题目要求使交巡警尽量在3分钟内到达事发地的条件转化为就近原则，然后据此原则将A区中所有非交巡警服务平台的路口节点分配到距离该点最近的服务平台的管辖范围内，完成初步分区（见附表）；再次，考虑各个分区中的路口节点密度的均衡性，对初步分区结果进行合理化的调整得到最终的分区图，如图1所示。 + +对于子问题二，以封锁时间最短为目标函数进行全封锁方案的优化，用LINGO软件结合人工调整求解出最优的调度方案，如表4所示。 + +对于子问题三，考虑出警时间和工作量两个较为显著的评价因子，运用评价模型对A区交巡警服务平台设置的合理性进行评价。结果表明A区中有6个节点的出警时间过长，序号分别是28、29、38、39、61、92，以及1号服务平台的管辖区工作量过重。对相关节点进行需求指数分析，建立最优化选址模型，得出需要增加的平台数量为5，位置序号为29、39、61、92、67。 + +对于子问题四，综合分析区域人口、面积和交巡警服务平台之间的关系，考虑超过3分钟行驶路程的偏远路口百分比、单位平台发案率和单位人口平台数三个因素，对该市各区交巡警服务平台进行综合评价。针对不合理的地方，运用优化模型，求解出需要增加交巡警服务平台的数量为16，位置序号为329,392,388,446,409,259,418,315,286,209,202,578,506,524,512,362，另外需要调整交巡警服务平台的数量为1，将97处的平台移至152。 + +对于子问题五，设计实现全局无差别围捕的算法，利用MATLAB通过计算机仿真得到警察对逃犯的动态围捕过程，得到最快的围捕时间是13.1分钟，围堵调度方案见表8。 + +最后，我们结合实际情况，对所建模型进行合理性分析，发现所建模型与实际情况较为接近，考虑到更为复杂的因素，我们为模型在现实生活中的应用做了进一步的改进和推广。 + +关键词：Floyd算法 木桶原理 指派模型 计算机仿真 + +# 1 问题的提出 + +警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。由于警务资源是有限的，如何根据城市的情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。 + +考虑某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面五个问题： + +问题一：为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为 $60\mathrm{km / h}$ ）到达事发地。 + +问题二：对于重大突发事件，需要调度A区全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。考虑实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 + +问题三：根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在A区内再增加2至5个平台，确定需要增加平台的具体个数和位置。 + +问题四：针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性。如果有明显不合理，给出解决方案。 + +问题五：如果该市地点P（第32个节点）处发生重大刑事案件，案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案，以达到快速搜捕嫌疑犯的目的。 + +# 2 问题的分析 + +本题是一个综合性问题，包括交巡警服务平台的优化配置和警力资源的合理调度两个方面，涉及图论、最优化以及计算机仿真等多方面知识的应用。 + +首先需要对数据进行提取和处理，利用附表中路口节点和对应位置坐标的数据得到任意两个相邻路口节点之间的实际距离，再通过最短路算法得到任意两个路口之间的最短路。 + +问题一是为各交巡警服务平台分配管辖范围的分区问题，关键是确定合理的分区原则，通过分析我们发现，不仅要考虑问题中对警力尽量在3分钟到达事发地的限制，而且应该结合路口分布的密集程度进行进一步优化分区。 + +问题二是一个指派问题，根据木桶原理可知，实现全封锁的时间由方案中耗时最长的封锁行动决定，以使最长封锁时间最短为目标函数进行优化，选出实现快速全封锁的最优方案。 + +问题三和问题四的关键在于进行因子分析以找到对交巡警服务平台设置的合理性影响较为显著的因子（工作量、出警时间以及是否是出入城区的路口等），并据此制定一套评价体系对A区和整个市区的交巡警服务平台设置的合理性进行有效评价。对于不合理的地方，通过局部最优和全局均衡的算法增加服务平台以达到改善的效果。 + +问题五则是一个典型的计算机仿真问题, 根据调动全市警力在逃犯所有可能的逃脱路线进行封锁的算法思想, 通过计算机仿真得到对逃犯进行围捕的最佳方 + +案。 + +最后，利用特殊点分析对所建模型进行合理性检验。 + +# 3 模型假设 + +3.1每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。 +3.2 一个交巡警服务平台的警力最多封锁一个路口。 +3.3 每个交巡警服务平台的交巡警处理完一处的案件后返回服务平台，然后在从服务平台出发去另一处处理案件。 +3.4每个交巡警处理案件的用时均为15分钟。 +3.5 该市区每条路线均不会发生堵车情况，即警车保持 $60\mathrm{km/h}$ 匀速行驶。 +3.6逃犯逃跑的速度 $90\mathrm{km / h}$ + +# 4名词定义和符号说明 + +# 4.1名词定义 + +1 合适平台：在三分钟内可以到达某一个路口的交巡警服务平台。 +2辖区：某一交巡警服务平台所管辖的路口节点构成的集合。 +3 三分钟原则：在交巡警服务平台所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在 3 分钟内有交巡警（警车的时速为 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ）到达事发地。 + +# 4.2符号说明 + +disti,j：第 $i$ 个非交巡警服务平台的路口到第 $j$ 个交巡警服务平台的最短距离； + +$t_{i,j}$ ：第的路口到第 $j$ 个交巡警服务平台的最短时间； + +$x_{i,j}$ ：指派矩阵元素； + +$L a b_{i}$ ：第 $i$ 个交巡警服务平台的工作量； + +$V_{p}$ ：交巡警速度； + +$T$ ：处理案件的时间； + +$n_{j}$ ：第 $j$ 个交巡警服务平台在辖区内包含的路口数量。 + +# 5 建模前的准备 + +# 5.1 确定路口之间的实际距离 + +首先，对A区和全市六区交通网络与平台设置示意图中的路口节点进行标号，利用全市六区交通网路和平台设置数据表中给出的比例尺和路口节点位置坐标，根据勾股定理，可以算出该市中任意两个相邻路口之间的实际距离（见附件1）。 + +# 5.2 确定路口之间最短路 + +考虑在实际中，无论是交巡警出警处理一般案件、封锁出入区路口还是围捕重大案件的逃犯，均会沿着所在地与目标地之间的最短路径行动。因此，在建立模型之前，需要得到全市六区的交通网络图中任意两个路口之间的最短路程。 + +计算两个点之间最短路程的算法很多，结合本题中数据和网络图，我们选用复杂度较高且可行性强的Floyd算法，通过MATLAB编程可以高效且准确地计算出任 + +意两个路口之间的最短路程的具体数值以及相应的走法（见附件1）。 + +# 6模型建立与求解 + +# 6.1 问题一的分析与求解 + +# 6.1.1 模型一的建立 + +针对问题一，从三分钟原则和路口密集程度两方面考虑，制定两套呈递进关系的算法，建立分区模型。 + +首先引入最小时间原则，即引理1，对三分钟原则进行等效。 + +引理1：由于 + +$$ +\operatorname {d i s t} _ {i, j} = \min \left(\operatorname {d i s t} _ {i, 1}, \operatorname {d i s t} _ {i, 2}, \dots \operatorname {d i s t} _ {i, 2 0}\right) +$$ + +若 + +$$ +\exists d i s t _ {i, x} \in \left\{d i s t _ {i, 1}, d i s t _ {i, 2}, \dots d i s t _ {i, 2 0} \right\} +$$ + +要使 + +$$ +\left. d i s t _ {i, x} \leq 3 \right. +$$ + +则必有 + +$$ +\operatorname {d i s t} _ {i, j} \leq \operatorname {d i s t} _ {i, x} \leq 3 +$$ + +若 + +$$ +\forall d i s t _ {i, x} \in \left\{d i s t _ {i, 1}, d i s t _ {i, 2}, \dots d i s t _ {i, 2 0} \right\} +$$ + +要使 + +$$ +\operatorname {d i s t} _ {i, x} > 3 +$$ + +则必有 + +$$ +3 < \operatorname {d i s t} _ {i, j} \leq \operatorname {d i s t} _ {i, x} +$$ + +因此 $dist_{i,j}$ 对应的第 $j$ 号交巡警服务平台即是满足三分钟原则的合适平台。 + +进一步简化问题一，假设刑事案件不发生在非路口路段，所以确定辖区的唯一元素就是路口。根据最小时间原则，将每一个路口到二十个服务平台中距离最近的服务平台作为该路口隶属的交巡警服务平台，由此推广，可以初步得到每一个交巡警平台的辖区。 + +具体思想如下，记为算法一： + +Step1. 初始化各个交巡警服务平台的辖区，辖区内不包含任何点。 + +Step2. 对该城区所有的路口节点进行顺序遍历。 + +Step3. 找到距离该路口最近的交巡警服务平台，将该路口节点纳入该服务平台的辖区。 + +Step4. 判断是否已经遍历所有路口，若已完成遍历则在给出所有平台的辖区后结束程序；否则返回 Step2。 + +得到初步的分区结果后，通过对A区和全市六区交通网络与平台设置的示意 + +图的进一步分析，可以看到上述分配原则很可能会造成各个交巡警服务平台辖区内的路口数量不均衡，这与实际情况不符。 + +通过计算可知，A区每个服务平台辖区内路口数的平均值为3.5，因此，我们引入微调原则，即尽量使每个平台的辖区内路口数接近平均值3.5。如果某平台的路口数多于4，则应在满足三分钟原则的前提下，将多余的路口分给周围辖区内路口数不足3个服务平台。通过这种方法，对得到的初步分区结果中的路口集合进行二次调整，得到最终分区方案。 + +具体思想如下，记为算法二： + +Step1. 对 A 区所有交巡警服务平台的辖区进行初始化，初始化为初步分区的结果。 +Step2. 对 A 区所有交巡警服务平台进行顺序遍历，若遍历结束转入 Step7。 +Step3. 判断该交巡警服务平台辖区内的路口数是否大于 4，若是则跳至 Step4；否则返回 Step2； +Step4. 遍历该交巡警服务平台的辖区内所有路口，遍历结束后转入 Step2。 +Step5. 判断该路口的合适平台数是否大于1, 若是进入Step6; 否则返回Step4。 +Step6. 遍历合适平台直至找到辖区内路口数小于3的交巡警服务平台，将该该路口划归该合适平台；否则返回Step4。 +Step7. 输出新的分区方案，程序结束。 + +# 6.1.2 模型一的求解 + +利用模型一中的算法一，通过MATLAB编程得到A区交巡警服务平台管辖范围的初步分区结果（见附表1）。继而利用算法二，我们得到A区交巡警服务平台管辖范围的最终分区结果，如下图所示。 + +![](images/395cd5c10414bd86714c19e0fc844d1840fe55304bc751583243a712acead413.jpg) +图1A区交巡警服务平台管辖范围分区图 + +# 6.2. 问题二的分析和求解 + +# 6.2.1 问题二的分析 + +针对问题二，要实现快速全封锁，即对20个交巡警服务平台的警力进行合理调度，使得完成对13个出入A区路口全部封锁的耗时最短。综合快速和全面两个要素，基于指派模型，制定最优的调度方案。 + +通过分析可知，只要一个平台的警力到达某个封锁点，即可认为该封锁点已经被封住。由于交巡警服务平台的数量多于需要封锁的路口数量，所以，我们首先考虑指派20个服务平台的警力同时出动去封锁13个路口，当13个路口被最 + +先到达的13个服务平台的警力完全封锁后，即可认为快速全封锁的目标已经达到。而此时剩余还未到达目标路口的警力对快速全封锁这一目标已没有影响，考虑各个封锁点对警力的需求程度相同且愈多愈好的原则，对剩余7个服务平台的警力可以根据不同目标进行分配以达到最优调度。 + +问题二具体解决步骤如下： + +第一步，根据木桶原理，完成封锁13个路口的耗时决定于所有出动的警力中完成对各自目标路口封锁耗时最长的时间。所以，以20个服务平台的警力完成对13个路口的封锁时间最短为目标函数，确定出实现快速全封锁13个路口的13个平台的警力分布，目标函数如下： + +$$ +\begin{array}{l} \min z = \max \left(\sum_ {i = 1} ^ {2 0} t _ {i, 1} x _ {i, 1}, \sum_ {i = 1} ^ {2 0} t _ {i, 1} x _ {i, 1}, \dots ; \sum_ {i = 1} ^ {2 0} t _ {i, 1 3} x _ {i, 1 3}\right) \\ s. t. \quad \left\{ \begin{array}{l} { \sum_ {j = 1} ^ {1 3} x _ {i j} = I \text {或} O (i = 1, \dots ; 2 0)} \\ { \sum_ {i = 1} ^ {2 0} x _ {i j} = I (j = 1, \dots ; 1 3)} \\ { x _ {i j} = 0 \text {或} I (i = 1, \dots ; 2 0; j = 1, \dots ; 1 3)} \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +第二步，从两个方面考虑优化剩余7个平台警力调度的目标函数。一是与第一步的目标函数相同，即使剩余7个平台的警力到达各自目标路口的用时最短；二是使所有警力到达封锁路口的总用时最短。 + +目标函数1： + +$$ +\begin{array}{l} \min z = \max \left(\sum_ {i = 1} ^ {7} t _ {i, 1} x _ {i, 1}, \sum_ {i = 1} ^ {7} t _ {i, 1} x _ {i, 1}, \dots , \sum_ {i = 1} ^ {7} t _ {i, 1 3} x _ {i, 1 3}\right) \\ s. t. \quad \left\{ \begin{array}{l} { \sum_ {j = 1} ^ {1 3} x _ {i j} = 1 (i = 1, \dots , 7)} \\ { \sum_ {i = 1} ^ {7} x _ {i j} = 1 \text {或} O (j = 1, \dots , 1 3)} \\ { x _ {i j} = 0 \text {或} I (i = 1, \dots ; 7; j = 1, \dots , 1 3)} \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +目标函数2： + +$$ +\begin{array}{l} \min z = \operatorname {s u m} \left(\sum_ {i = 1} ^ {7} t _ {i, 1} x _ {i, 1}, \sum_ {i = 1} ^ {7} t _ {i, 1} x _ {i, 1}, \dots , \sum_ {i = 1} ^ {7} t _ {i, 1 3} x _ {i, 1 3}\right) \\ s. t. \quad \left\{ \begin{array}{l} { \sum_ {j = 1} ^ {1 3} x _ {i j} = 1 (i = 1, \dots , 7)} \\ { \sum_ {i = 1} ^ {7} x _ {i j} = 1 \text {或} O (j = 1, \dots , 1 3)} \\ { x _ {i j} = 0 \text {或} I (i = 1, \dots ; 7; j = 1, \dots , 1 3)} \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +比较根据两个不同目标函数得到的剩余7个平台警力的调度方案，通过人工调整使总封锁用时最少以确定最终的调度方案。 + +# 6.2.2 模型二的求解 + +根据模型二中的目标函数，利用LINGO软件进行求解，得到调度20个服务平台的警力完成对13个路口进行全封锁的结果如下表所示： + +表 1 初步调度方案 + +
交巡警平台途经节点目标点耗时 (min)
344 2 40 39386.09
547482.47
647 48303.21
730298.01
935 36161.53
1026 27127.58
1125243.80
1225 24 13236.47
13220.90
14213.26
15284.75
16146.74
2085626.44
+ +对剩余7个平台警力的调度依照不同的目标函数，分别得到结果如表所示： + +表 2 目标函数 1 作用下的调度方案 + +
交巡警平台目标点耗时(min)
13012.08
21414.12
4487.39
82112.69
17627.82
18388.36
191610.21
+ +表 3 目标函数 2 作用下的调度方案 + +
交巡警平台目标点耗时(min)
1169.28
21414.12
4620.35
8303.06
17384.75
182821.01
194811.99
+ +注意到表1中3好平台的警力在封锁途中经过2号平台，我们将2号平台的警力指派给38号路口。其余6个平台的警力选择两种结果中用时最短的一个进行指派，得到最终的调度方案如下表所示。 + +表 4 最终调度方案 + +
交巡警平台途经节点目标点耗时(min)
169702403938169.28
24039383.98
34424039386.09
4620.35
547482.471
64748303.21
730298.01
833327303.06
93536161.53
102627127.58
1125243.80
12252413236.47
13220.90
14213.26
15284.75
16146.74
1742437069686766656463 4
187372432403938
1977766665345353616
208562
+ +# 6.3 问题三的分析与求解 + +# 6.3.1 交巡警服务平台设置合理性的分析 + +影响交巡警服务平台设置合理性的因素包括处理某些地方案件的出警时间和交巡警服务平台的工作量。 + +出警时间由路口到该路口所在辖区的服务平台的距离决定，根据题目分析， + +可以认为距离越远，即出警时间越长，合理性越低。 + +交巡警服务平台工作量由下式决定： + +$$ +L a b _ {i} = 2 \sum_ {j = a} ^ {b} \left(d i s t _ {i, j} \times n _ {j}\right) \div V _ {p} + \sum_ {j = a} ^ {b} n _ {j} \times T +$$ + +由工作量可以求出工作量的标准差 $D(Lab_{i})$ : + +$$ +D \left(L a b _ {i}\right) = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(L a b _ {i} - \overline {{L a b _ {i}}}\right) ^ {2} \div (n - 1)} +$$ + +利用工作量标准差衡量A区的工作量不平衡程度。 + +# 6.3.2 最优化选址模型 + +两个最优化目标：一是使所有路口的出警时间的适中，即在3分钟以内；二是保证所有交巡警服务平台工作量的平衡。 + +综合考虑两个目标，认为所有路口的出警时间在3分钟以内是一个必要条件，先构造需求指数，实现这一目标的最优化，初步确定需要增加平台的个数和位置。 + +具体步骤如下： + +第一步，将出警时间在3分钟以外的路口定义为偏远路口，利用MATLAB编写程序搜索出所有偏远路口。 + +第二步，构造需求指数，考虑两个方面的影响因子，一是路口因子 $\alpha_{i}$ ，即该路口是否是出入城区的路口；二是风险因子 $\beta_{i}$ ，即该路口与该路口所在分区内已有的服务平台的距离。需求指数 $N$ 的计算公式如下： + +$$ +N = \alpha_ {i} \times b o o l _ {i} + \beta_ {i} \times d i s t _ {i j} +$$ + +其中 + +$$ +b o o l _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & i \text {是 该 区 出 入 口} \\ 0, & i \text {不 是 该 区 出 入 口} \end{array} \right. +$$ + +根据相关条件可以确定 + +$$ +\alpha_ {i} = 1, \quad \beta_ {i} = 0. 8 +$$ + +选出需求指数较高的路口作为需要增加平台的路口。 + +然后，在保证增加的平台数目不超过给定范围情况下，用暴力搜索法在工作量超重的辖区内进行搜索，求出增加的平台在不同位置下A区交巡警服务平台工作量标准差，比较标准差的大小，即可确定增设点的数目和位置。 + +# 6.3.3 问题三的求解 + +通过MATLAB计算得到不满足三分钟原则的路口节点共有6个，分别是28、29、38、39、61、92；不增设平台前的A区交巡警服务平台的平均工作量为 $104.69\mathrm{min}$ ，工作量标准差为 $50.88\mathrm{min}$ 。由此可见，A区交巡警服务平台的设置存在明显的不合理性。所以，我们运用最优化选址模型对A区交巡警服务平台的设置做进一步的改进。 + +首先，将6个偏远路口的相关数据代入需求指数的计算公式中，得到该个点的需求指数如下表所示： + +表 5 需求指数 + +
路口编号需求指数
284.80
295.56
383.72
392.96
613.35
922.88
+ +![](images/21b93f0c7c8ca54fe14182d2de797edc84a2e161cd928f2787dc60e399d877cc.jpg) +图2 偏远路口分布示意图 + +结合图2分析，28和29号路口距离很近，只需选择其中一个作为服务平台即可，同理38和39号路口。所以，经过二次分析选出的4个点为29、39、61、92。增设这4个点为服务平台后，A区服务平台的平均工作量降至 $90.62\mathrm{min}$ ，工作量标准差降为 $45.08\mathrm{min}$ 。 + +其次，考虑在工作量较大的服务平台附近增加平台以达到A区交巡警服务平台整体工作量的平衡。通过暴力搜索法寻找局部最优解，我们发现在67处增设服务平台，辖区为65、66、67、68、75，可以使A区服务平台的平均工作量降至 $86.69\mathrm{min}$ ，工作量标准差降为 $42.03\mathrm{min}$ ，为局部最优解。 + +综上所述，我们得到的优化配置方案为：增加5个交巡警服务平台，其序号分别是29、39、61、92、67。 + +# 6.4 问题四的分析和求解 + +# 6.4.1 问题四的分析 + +为了评价该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，必须明确设置交巡警服务平台的原则和任务。通过分析题目可知，设置交巡警服务平台的原则和任务包括三个方面，即能够尽快到达事发地，更方便的为人民群众提供帮助，以及各平台工作量尽量均衡。 + +表 6 该市六区相关参数统计表 + +
城区总发案率出警时间超过3min的点数百分比面积(km²)人口(万人)平台数单位面积发案率单位面积平台数单位人口发案率单位平台发案率单位人口平台数
A124.56.522260205.650.90902.0756.220.33
B66.48.211032180.640.07763.1618.300.38
C187.230.5122149170.840.07693.82011.010.34
D67.823.073837390.170.02340.9287.530.12
E119.431.0643276150.270.03471.5717.960.19
F109.232.4027453110.390.04012.0609.920.20
+ +统计全市六个区的数据并计算相关参数如上表所示。 + +从出警时间超过3分钟的点数百分比可以看出，A、B两区的出警时间超过3分钟的点数百分比较小，而剩余的四个区都很大，说明其交巡警平台分布有明显不合理。统计学表明，单位人口发案率可以用来衡量一个地区的治安状况，也就可以看出一个地区需要警力的多少，单位人口发案率越高就需要更多的警力。单位人口平台数可以反映出人民群众向交巡警平台寻求帮助的难易程度，单位人口平台数越大，就越容易获得帮助。注意到A区的总发案率不是最高，但其单位面积发案率远远高于其他五个区，而该市对A区很重视，设置的交巡警平台数在单位面积上是最多的，使得A区的单位平台发案率反而最低。而单位平台发案率可以反映出一个交巡警平台工作量的多少，从表6中数据可以看出有明显的不均衡性。 + +由上述分析可知，使用出警时间超过3分钟的点数百分比、单位人口平台数、单位平台发案率这三个参数可以从上述三方面来评价某个城区的交巡警服务平台设置合理性。 + +# 6.4.2 问题四的求解 + +针对上述分析所得的不合理性，制定解决方案：在地图上将出警时间超过3分钟的点和已有交巡警平台的点同时标出，如图2所示。从出警时间超过3分钟的点入手，将出警时间超过3分钟的点分布较密且与已有交巡警平台相距较远的点用圆圈出，作为增加平台的候选区域。找出该区域中离圆心最近的点作为候选点，得到增加交巡警服务平台的路口的序号为 + +329, 392, 388, 446, 409, 259, 418, 315, 286, 209, 202, 578, 506, 524, 512, 362，同时可以发现，96、97、99三处交巡警平台相距很近，于是将97处的平台移至152。 + +![](images/fe43e977cc61f12b2d5468cb1c44682a65c5aaf9502beb6e26fed3a971d5608b.jpg) +图3 方案调整示意图 + +调整之后，计算相应参数如表所示 + +表 7 合理性评价参数统计表 + +
城区出警时间超 过3min的点 数百分比平台 数单位平 台发案 率单位人口 平台数
A6.52206.220.33
B8.2188.300.38
C12.98228.500.44
D15.388116.160.15
E11.65205.970.26
F13.88157.280.28
+ +将表7与表6对比可以发现，出警时间超过3分钟的点数百分比有所下降，单位平台发案率更加均衡，单位人口平台数有所增加，说明调整之后的方案更加合理。 + +# 6.5 问题五的分析与求解 + +# 6.5.1 问题五的分析 + +首先，逃犯在逃跑时的方向一般是逃离作案地点，且通常是以最大速度逃离。其次警方并不能掌控犯罪嫌疑人实时空间位置，警方只是采取围堵策略尽可能在使犯罪嫌疑人不逃脱的前提下封锁所有路口。为了便与仿真，作出以下假设： + +(1) 犯罪嫌疑人只沿着公路逃窜，不会出现在城区。 +（2）犯罪嫌疑人不能藏匿，当与警方相遇时，就认为被逮捕。 +（3）犯罪嫌疑人的速度稍大于警车速度，取 $90\mathrm{km / h}$ 。 +（4）全市的警力都在受调动之列，每一个交巡警平台出动一辆警车。 +（5）每辆警车都可以与调度中心实时联系，获取最新信息。 +(6) 所有道路都完全畅通, 犯罪嫌疑人与警察都以最大速度匀速行进。 + +利用MATLAB编程仿真，模拟整个围堵过程。具体算法思想是：利用准备数据里的任意两点间最短距离表，可以计算出当前时刻犯罪嫌疑人可能逃跑的最大 + +范围，这个计算由调度中心完成，然后发送给每一辆警车。警车在接到数据后，计算出犯罪嫌疑人逃跑最大范围点中离本车最近的路口，然后朝着离这个点最近的路前进。当接收到新数据后，及时计算，修正前进方向。当警车达到预定目标点后，就停止运动，同时将该路口封锁。 + +# 6.5.1 问题五的求解 + +由于警察是在案发3分钟后接到报警，因此首先计算犯罪嫌疑人在3分钟内最远可能到达的区域，作图如下： + +![](images/f0ae6743c8e4088a25f4eded29da47dae39917c7ec5861ca0d447195fffcd79e.jpg) +图4 案发3分钟后犯罪嫌疑人可能到达的区域 + +图4中五角星的位置就是犯罪嫌疑人可能到达的最远位置，圆圈代表警车，方框则是警车预计将要封锁的路口。若有警车比犯罪嫌疑人先到达方框处，则该路口被封锁；若犯罪嫌疑人先到达方框处，则计算新的方框位置作为警车前进目标。仿真结果如下图所示，在13.1分钟时，所有犯罪嫌疑人可能到达的路口都至少有一辆警车，实现了围堵。 + +![](images/4fbf53cb809c6ca7df59ead4390a0bc494b2d353fed02f9470fa2673883f79f6.jpg) +图5 围捕仿真结果 + +从图5中可以看出，围捕过程中有一部分警力始终没有参与到实际的围捕行动中，所以，制定围捕方案时可以不考虑这部分警力的调动。 + +通过仿真结果可以得到最终围堵调度方案，如下表所示： + +表 8 围堵调度方案表 + +
平台编号1720167168169170
目标点4185248168254273
平台编号172173175179181182
目标点229173189273261273
平台编号320321322323324326
目标点248369369349349349
平台编号327475476480481482
目标点349558549562549488
+ +# 7 模型优缺点及改进 + +1. 为解决第一个问题而建立的防区分配模型体现了突发事件情况下对警力赶到时间的敏感性，最大程度的满足了警力三分钟内到达出事地点的要求；缺点是没有考虑交巡警辖区内路口的个数的因素，会造成路口密集区不同平台工作量之间的巨大差异。 + +改进：给出量化的路口平均化的函数，在函数基础上重新分配防区。 + +2. 问题二的解是建立在木桶原理之上的指派模型，此模型利用 lingo 软件便可求解类似问题，优点是方法新颖，约束条件易于表达；缺点是当题目规模增大时解题时间将会非常漫长。 + +改进：利用遗传算法等常规的解决 NP 问题的算法编程解决较大规模的指派问题。 + +3. 问题三的求解的优点是易于算法实现，计算较为简单；缺点是算法需手动操作，且搜寻的结果并不一定为最优解。 + +改进：需要建立自动化的寻优算法以替代手动搜索比较。 + +4 问题五的求解的优点是富于创新性，利用警力的动态追踪模型解出了一个最优化的警力围堵方案，此外做出的动态演示。 + +改进：考虑歹徒可以选择任意速度，任意变化方向的情况下经历的围堵方案；另一个可行的改进方向：求解出调用最少的警力来实现围堵的有效方案。 + +# 参考文献： + +[1].景良竹，单个应急服务设施点选址模型分析.甘肃科学学报，1(23)，149-151 +[2]. Lingo 软件包使用手册：科研中国 SciEi.com +[3]. 刘勇，陈国东，基于单纯形法的LINGO求解一般指派问题的探讨, 中国管理信息化，6（11），86-87 +[4]. 纪昆, 林建泉, 警力分配问题中的模糊优选动态规划法, 数学的实践与认识, 6 (38), 127-125 +[5]. http://wenku.baidu.com/view/62b9aafa0242a8956bece49d.html +[6]. http://wenku.baidu.com/view/558a4cd728ea81c758f57814.html \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/A028/A028.md b/MCM_CN/2016/A028/A028.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b1a43bc2442558d9f29170dcf81d2a1b0266e626 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/A028/A028.md @@ -0,0 +1,1352 @@ +# 论文标题 + +# 摘要 + +本文通过受力分析、最小二乘法、非线性规划、变步长搜索算法等方法，建立了系泊系统状态模型、多目标非线性规划模型对系泊系统的设计问题进行了研究。 + +针对问题一，首先建立以锚为原点、风向为 $x$ 轴，竖直方向为 $z$ 轴，海床所在平面为 $O - x y$ 平面，风向所在铅锤面为 $O - x z$ 平面的标准坐标系，从而刻画浮标的游动区域。其次，为描述系泊系统的状态，通过对该系统的各组成部分进行隔离受力分析，确定了浮标所受的杆拉力与风速、吃水深度的表达式，以及钢杆、钢桶、锚链倾角的递推关系，并结合海水深度的几何约束，最终建立了系泊系统状态模型；接着，基于锚链着地现象的考虑，对着地处的锚链进行了受力分析，从而得到了着地锚链的倾角关系，并结合未着地的倾角关系以及海水深度的几何约束，建立了系泊系统状态的修正模型；最后，本文针对复杂多元非线性方程组的求解问题，设计了基于最小二乘法的搜索算法，求解出了海面风速分别为 $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 和 $24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃水深度与游动区域，见图5.4.3，见表5.4.2。 + +针对问题二，首先利用问题一建立的系泊系统状态模型和基于最小二乘法的搜索算法，对海面风速为 $36\mathrm{m / s}$ 时，钢桶与各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃水深度和游动区域进行了求解见文中 XXX 页，XX 表。其次，针对题目所给出的系泊系统设计要求，将浮标吃水深度，浮标的游动区域，钢桶的倾角作为优化目标，以各个构件在竖直方向投影的几何约束作为约束条件，以重物球的配重作为决策变量，建立了多目标非线性规划模型。接着，采用熵权法对各优化目标分配权重，从而将多目标规划问题转化为单目标规划问题。最后，利用循环搜索算法对模型进行求解，得到的满足设计要求的配重范围为 $2200 \leq m_{q} \leq 4100\mathrm{kg}$ 、最佳配重为 $2894\mathrm{kg}$ 。 + +针对问题三，首先基于海水流速与近海风速夹角的考虑，建立了以锚为原点，海水流速方向为 $x$ 轴，竖直方向为 $z$ 轴，海床所在平面为 $O - x y$ 平面，水流速度所在法平面为 $O - x z$ 平面的标准坐标系，从而描述浮标的游动区域。其次，根据海水流速与海水深度的关系，结合“近海水流力”的近似公式，从而得到水流力与海水深度的关系。接着，对系泊系统进行受力分析，确定了各参数间的关系，进而建立了系泊系统的三维状态模型。再次，结合问题二对优化目标的分析，以锚链型号，锚链长度，重物球配重作为决策变量，建立了多目标非线性规划模型。最后，考虑到模型的复杂程度，通过变步长搜索算法对模型进行求解，结果如表7.3.2所示。 + +本文的特色在于将机理分析与多目标规划相结合，运用熵权法将多目标问题转化为单目标问题，使得求解结果更加客观。此外，对于解空间较复杂的模型，设计了变步长搜索算法，在保证了求解的精度的同时，极大地提高了运算的时间复杂程度，为日后系泊系统的设计的发展提供了参考依据。 + +关键字： 系泊系统设计 机理分析 最小二乘法 变步长搜索算法 + +# 一、问题重述 + +近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径 $2\mathrm{m}$ 、高 $2\mathrm{m}$ 的圆柱体，浮标的质量为 $1000\mathrm{kg}$ 。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 $600\mathrm{kg}$ ，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度 $1\mathrm{m}$ ，直径为 $50\mathrm{mm}$ ，每节钢管的质量为 $10\mathrm{kg}$ 。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长 $1\mathrm{m}$ 、外径 $30\mathrm{cm}$ 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 $100\mathrm{kg}$ 。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 + +问题1：某型传输节点选用Ⅱ型电焊锚链 $22.05\mathrm{m}$ ，选用的重物球的质量为 $1200\mathrm{kg}$ 。现将该型传输节点布放在水深 $18\mathrm{m}$ 、海床平坦、海水密度为 $1.025 \times 10^{3}\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}$ 的海域。若海水静止，分别计算海面风速为 $12\mathrm{m} / \mathrm{s}$ 和 $24\mathrm{m} / \mathrm{s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +问题2：在问题1的假设下，计算海面风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 + +问题3：由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 $16\mathrm{m}\sim 20\mathrm{m}$ 之间。布放点的海水速度最大可达到 $1.5\mathrm{m / s}$ 、风速最大可达到 $36\mathrm{m / s}$ 。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +# 二、问题假设 + +1. 假设浮标在水面上不存在偏斜； +2. 假设各构件均为刚体，不发生变形； +3. 假设问题三中海水流速随深度呈抛物分布； +4. 假设海水流速方向水平。 + +# 三、符号说明 + +
类型符号含义
上标a在xoy平面
b在xoz平面
c在xoy平面
下标i构件编号
i,j构件i对构件j作用量
变量F构件相互作用力
变量G构件重力
T构件所受浮力
f构件所受水流力
θ构件倾角
β作用力与竖直方向夹角
+ +# 四、问题分析 + +# 4.1 问题一的分析 + +问题一要求建立系泊系统内钢桶和各节钢管倾斜角度，锚链形状和浮标吃水深度变化的数学模型，因此需要对不同结构分别进行受力分析，从而找到题目要求的各个参数的递推关系，进而构建本问题的非线性方程组。 + +其次，为了分析各个参数与风速的关系，则需要根据“近海风荷载”的近似公式，对浮标进行进一步受力分析。 + +此外，为了求解出海面风速为 $12\mathrm{m / s}$ 和 $24\mathrm{m / s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，需要求解之前构建的非线性方程，进而确定各个参数。考虑到解空间不大，因此本文采用基于最小二乘法的搜索算法进行求解。 + +# 4.2 问题二的分析 + +为了计算海面风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时，钢桶和各节钢管的倾斜角度，锚链形状和浮标的游动区域，则只要将海面风速带入模型一进行求解即可。 + +为了满足钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的要求，需要建立以重物配重为决策变量，海水深度为几何约束条件的多目标非线性规划模型。由于数据规模不大，本文采用循环搜索算法对模型进行求解。 + +# 4.3 问题三的分析 + +为了分析在海水深度、海水速度，风速变化情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，需要依据问题二的思路建立多目标非线性规划模型，决策变量为锚链型号、锚链长度以及重物配重。 + +# 五、问题一模型的建立与求解 + +# 5.1 模型准备 + +对于本问，可通过引入决策变量浮标吃水深度 $h$ ，以海面风速和海水深度 $H$ 在作为已知条件，借助物理学与力学原理进行机理分析得到系统内在关系，进而求得系泊系统各状态参数。 + +首先，本文以锚和锚链的交点为原点，建立空间直角坐标系来讨论系统内部的受力情况，示意图如下： + +![](images/ce0d797b4c17ce8843021fd5774b72a42a1210e3f5ab01af592cb2d9b09d8533.jpg) +图5.1.1 系统空间坐标系 + +接着，为了方便表述，我们用 $P_{1} \sim P_{N}$ 来依次表示系统内部从上到下的 $N$ 种构件，由题中锚链长度除以单个链环的长度可以得到锚链共有210个链环，由此得到 $N$ 的数值： + +$$ +N = 1 + 4 + 1 + 2 1 0 + 1 = 2 1 8 +$$ + +各编号代表的具体构件如下表所示： + +表 5.1.2 各构件编号 + +
编号Pii=12≤i≤5i=67≤i≤216i=217
构件类型浮标钢管钢桶锚链锚
+ +# 5.2 模型建立 + +# 5.2.1 系泊系统受力分析 + +本文假设风向平行于海平面，当风速度不变时，海风方向的变化会使浮标在圆形区域内运动，并且各方向平衡时系统状态相同。因此，本文在平面内对系统进行受力分析。 + +# （一）浮标的受力 + +如图5.2.1所示，浮标受到速度为 $\nu$ 的海风作用在海面上达到平衡，设其吃水深度为 $h$ ，此时浮标一共受到4个力的作用。 + +![](images/27d6c4d7fd791b2d8e1a493523a4d7d36a283a68312c378c18c50c593e09b7e0.jpg) +图5.2.1浮标受力示意图 + +其中 $T_{1}$ 表示浮标所受浮力大小，方向竖直向上。由阿基米德定律可以得到浮力 $T_{1}$ 与吃水深度 $h$ 的关系为 + +$$ +T _ {1} = \rho g \cdot \frac {\pi d _ {1} ^ {2} h}{4} \tag {5-2-1} +$$ + +式中， $\rho$ 为海水的密度； $d_{1}$ 为浮标底面直径。 + +浮标还受到水平方向的风力 $F_{0}$ 的作用，由题中已知关系式可知风力和风速有如下关系： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} F _ {0} = 0. 6 2 5 \times S _ {1} v ^ {2} \\ S _ {1} = \left(l _ {1} - h\right) d _ {1} \end{array} \right. \tag {5-2-2} +$$ + +其中 $S_{1}$ 为浮标在风向法平面的投影面积, $l_{1}$ 为浮标高度。 + +浮标下表面与第一节钢管铰接，钢管对浮标作用力的大小用 $F_{2,1}$ 表示，其与竖直方向的夹角为 $\beta_{1}$ 。此外，物体还受到竖直向下的重力 $G_{1}$ 。物体受力平衡根据牛顿第一定律有浮标在 $x, y$ 方向的合力为零，即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} F _ {0} - F _ {2} \text {1} s i \beta n = 0 \\ T _ {1} - F _ {2} \text {c o s} \beta = 1 G = 1 \end{array} \right. \tag {5-2-3} +$$ + +对方程组进行求解并分离变量得到钢管对浮标作用力大小 $F_{2,1}$ 和夹角 $\beta_{1}$ 表达式为: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} F _ {2, \overline {{\mathrm {T}}}} = \frac {\sqrt {2 5 \left(l _ {1} - h\right) ^ {2} d \gamma^ {4} + 4 \left(\rho g \pi d \hat {h} - 4 G\right) _ {1}}}{8} \\ \beta_ {1} = \arctan \frac {5 \left(l _ {1} - h\right) d _ {1} v ^ {2}}{8 G _ {1} + 2 g \rho \pi d _ {1} ^ {2} h} \end{array} \right. \tag {5-2-4} +$$ + +# （二）钢管的受力 + +![](images/2f67c1276a02af57d9bcb0b571184ba35ba02c26f8d757a9d394d4ed4fabb648.jpg) +图5.2.2 钢管受力示意图 + +钢管 $P_{i}$ （ $2 \leq i \leq 5$ ）受力如图 5.2.2 所示，首先对于底面直径为 $d_{i}$ ，轴向高度为 $l_{i}$ 的圆柱形钢管的浮力由阿基米德定律有 + +$$ +T _ {i} = \rho g \cdot \frac {\pi d _ {i} ^ {4} l _ {i}}{4} \tag {5-2-5} +$$ + +物体静止不发生移动由牛顿第一定律有： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} F _ {i - 1, i}: \sin \beta_ {- i} \overline {{1}} - F _ {+ i} \overline {{1}}, i: s \beta n = _ {i} \quad 0 \\ T _ {i} + F _ {+ 1, i}: c o s \beta_ {- i} \overline {{1}} - G - _ {i} F _ {+ i}, i: c \phi s = _ {i} \end{array} \right. \tag {5-2-6} +$$ + +求解方程组分离变量得到钢管上下端点作用力递推关系式为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {i} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} \cdot \sin \beta_ {i - 1}}{T _ {i} + F _ {i - 1 , i} \cdot \cos \beta_ {i - 1} - G _ {i}} \\ F _ {i + 1, i} = \frac {F _ {i + 1 , i} \cdot \sin \beta_ {i}}{\sin (\arctan \frac {F _ {i - 1 , i} \cdot \sin \beta_ {i - 1}}{T _ {i} + F _ {i - 1 , i} \cdot \cos \beta_ {i - 1} - G _ {i}})} \end{array} \right. \tag {5-2-7} +$$ + +接着，物体不发生转动由力矩平衡定理对钢管下端点取矩有 + +$$ +F _ {i - 1, i} \sin \beta_ {i} l _ {i} \cos \alpha_ {i} F _ {- 1, i} \cos \beta_ {i} l _ {i} \theta \ln_ {i} G - \left(\frac {l _ {i}}{2}\right) \theta = \tag {5-2-8} +$$ + +对上式进行分离变量得到钢管倾斜角 $\theta_{i}$ 关于上端点作用力的递推关系式： + +$$ +\theta_ {i} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} \sin \beta_ {- i - 1}}{0 . 5 I (I - G _ {i} +) F _ {i , i} \phi b _ {-} s _ {i}} \tag {5-2-9} +$$ + +# （三）钢桶的受力 + +如图 5.2.3 所示, 钢桶静止时共受到 6 个外力作用, 其倾斜角度 (与竖直方向夹角)为 $\theta_{6}$ , 其上端与钢管 $P_{5}$ 铰接, 钢管对钢桶作用力大小为 $F_{5,6}$ , 倾角为 $\beta_{5}$ ; 下端与锚链链环 $P_{8}$ 铰接并悬挂一重物球, 链环对钢管作用力大小为 $F_{8,6}$ , 倾角为 $\beta_{6}$ 。 + +![](images/6081cf60b2cd63677ffb10aec45acc4f99b0e466a8c5b7fce4ca689c23f0d60a.jpg) +图5.2.3 钢桶受力示意图 + +首先，同样由阿基米德定律得到钢桶浮力 $T_{6}$ 与重物球浮力 $T_{q}$ 表达式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {6} = \rho g \cdot \frac {\pi d _ {6} ^ {2} l _ {6}}{4} \\ T _ {q} = \rho g \cdot m _ {q} \rho_ {q} \end{array} \right. \tag {5-2-10} +$$ + +式中， $d_{6}, l_{6}$ 分别为钢桶的底面直径和轴向高度； $m_{q}, \rho_{q}$ 分别为重物球的质量和密度。 + +接着由牛顿第一定律得到钢桶平衡不发生移动时满足如下关系： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} F _ {5}, \mathrm {s i n} \beta_ {- 5} F _ {- 8}, \mathrm {s} _ {6} \beta \mathrm {n} = 0 \\ T _ {6} + T _ {q} + F _ {5}, \mathrm {c o s} \beta_ {- 5} F _ {- 8}, \mathrm {c} _ {6} \phi \mathrm {s} - G _ {6} - G _ {q 6} = \end{array} \right. \tag {5-2-11} +$$ + +同样的对方程组进行求解分离变量得到 $F_{5,6}$ 与 $F_{8,6}, \beta_{5}$ 与 $\beta_{6}$ 的关系式如下 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {6} = \arctan \frac {F _ {5} , \sin \beta_ {5}}{F _ {5} , \cos \beta_ {5} T + _ {6} T _ {q} - G - G _ {q}} \\ F _ {8, 6} = \frac {F _ {5 , 8} \sin \beta_ {5}}{\sin (\arctan \frac {F _ {5 , 8} \sin \beta_ {5}}{F _ {5 , 6} \cos \beta_ {5} T + _ {6} T _ {q} - G - G _ {q}}} \end{array} \right. \tag {5-2-12} +$$ + +此外，物体平衡不发生转动还需满足合力矩为零的条件，本文统一选取构件下端中心点取矩，这里对钢桶下端点取矩满足如下关系： + +$$ +\left(T _ {6} - G _ {6}\right) \frac {l _ {6}}{2} \sin \alpha_ {6} + F _ {5, 6} l _ {6} c \beta s _ {5} \theta \sin_ {6} F _ {5, 6} l _ {6} \beta_ {6} \sin \theta_ {5} c \tag {5-2-13} +$$ + +对上式分离变量得到钢桶倾斜角 $\theta_{6}$ 的关于 $F_{5,6},\beta_{5}$ 表达式为 + +$$ +\theta_ {6} = \arctan \frac {F _ {5 , 6} \sin \beta_ {5}}{0 . 5 \pi - G _ {6} + F _ {5 , 6} \cos \beta b} \tag {5-2-14} +$$ + +# （四）锚链的受力 + +锚链各节链环的受力情况与各节钢管受力情况相似，因此上文中的钢管递推关系式同样适用于锚链链环。但对于链环浮力的计算，题中只给出了各节链环的质量，体积是 + +未知的, 本文参考题目背景中 “采用无档普通链环” 查阅资料[1]得一般链环密度 $\rho_{m}$ , 这样链环 $P_{i} (7 \leq i \leq 216)$ 浮力计算公式: + +$$ +T _ {i} = \rho g \cdot \rho_ {m} m \tag {5-2-15} +$$ + +式中 $m_{i}$ 为链环质量。得到各节链环作用力与倾角递推关系如下: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {i} = \arctan \frac {F _ {i - 1 i} \cdot \sin \beta_ {i - 1}}{T _ {i} + F _ {i - 1 i} \cdot \cos \beta_ {i - 1} - G _ {i}} \\ F _ {i + 1, i} = \frac {F _ {i + 1 , i} \cdot \sin \beta_ {i}}{\sin (\arctan \frac {F _ {i - 1 , i} \cdot \sin \beta_ {i - 1}}{T _ {i} + F _ {i - 1 , i} \cdot \cos \beta_ {i - 1} - G _ {i}})} \\ \theta_ {i} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} \sin \beta_ {i - 1}}{0 . 5 \left(T _ {i} - G _ {i}\right) + F _ {i - 1 , i} \cos \beta_ {i - 1}} \\ T _ {i} = \rho g \cdot \rho_ {m} m _ {i} \end{array} \right. \tag {5-2-16} +$$ + +至此，本文通过受力分析得到了系泊系统中各构件作用力与倾角的递推关系。 + +# 5.2.2 系泊系统几何约束分析 + +根据以上受力分析，系泊系统状态由决策变量浮标吃水深度 $h$ 确定，可通过海床深度约束对其进行求解。 + +![](images/7bbb9dcd8486c4b60f1e71bf0f7ff880b4d9a9afa53cf5d80c8f6c66d1e67076.jpg) +图5.2.4构件投影示意图 + +如图5.2.4所示，系统稳定时在海水中各构件在竖直方向上的投影总长度应该等于海床深度，即 + +$$ +h + \sum_ {i = 1} ^ {N} l _ {i} \operatorname {c o} \theta_ {i} = H \tag {5-2-17} +$$ + +由各构件在水平方向上的投影长度进一步得到浮标游动圆半径 $r$ ： + +$$ +r = \sum_ {i = 1} ^ {N} l _ {i} \sin \theta_ {i} \tag {5-2-18} +$$ + +综合以上分析得到系泊系统的状态模型总的表述为： + +$$ +\left\{ \begin{array} { l } \left\{ F _ { 2 1 } = \frac { \sqrt { 2 5 ( l _ { 1 } - h ) ^ { 2 } d \gamma ^ { 4 } + 4 ( \rho g \pi d \hat { h } - 4 G ) _ { 1 } } ^ { 2 } } { 8 } \right. \\ \beta _ { 1 } = \arctan \frac { 5 ( l _ { 1 } - h ) d _ { 1 } v ^ { 2 } } { 8 G _ { 1 } + 2 g \rho \pi d _ { 1 } ^ { 2 } h } \\ \left\{ \begin{array} { l } \beta _ { 6 } = \arctan \frac { F _ { 5 , 6 } \sin \beta _ { 5 } } { F _ { 5 , 6 } \cos \beta _ { 5 } + T _ { 6 } + T _ { q } - G _ { 6 } - G _ { q } } \\ F _ { 8 , 6 } = \frac { F _ { 5 , 6 } \sin \beta _ { 5 } } { \sin ( \arctan \frac { F _ { 5 , 6 } \sin \beta _ { 5 } } { F _ { 5 , 6 } \cos \beta _ { 5 } + T _ { 6 } + T _ { q } - G _ { 6 } - G _ { q } } ) } \\ \theta _ { 6 } = \arctan \frac { F _ { 5 , 6 } \cdot \sin \beta _ { 5 } } { 0 . 5 ( T _ { 6 } - G _ { 6 } ) + F _ { 5 , 6 } \cdot \cos \beta _ { 5 } } \\ \left\{ \begin{array} { l } \beta _ { i } = \arctan \frac { F _ { i - 1 , i } \cdot \sin \beta _ { i - 1 } } { T _ { i } + F _ { i - 1 , i } \cdot \cos \beta _ { i - 1 } - G _ { i } } \\ F _ { i + 1 , i } = \frac { F _ { i + 1 , i } \cdot \sin \beta _ { i } } { \sin ( \arctan \frac { F _ { i - 1 , i } \cdot \sin \beta _ { i - 1 } } { T _ { i } + F _ { i - 1 , i } \cdot \cos \beta _ { i - 1 } - G _ { i } } ) } \\ \theta _ { i } = \arctan \frac { F _ { i - 1 , i } \sin \beta _ { i - 1 } } { 0 . 5 ( T _ { i } - G _ { i } ) + F _ { i - 1 , i } \cos \beta _ { i - 1 } } \\ i \in [ 2, 5 ] \cup [ 7, 2 1 6 ], i \in z \\ h + \sum _ { i = 1 } ^ { N } l _ { i } \cos \theta _ { i } = H \\ r = \sum _ { i = 1 } ^ { N } l _ { i } \sin \theta _ { i } \\ \end{array} \right. \\ h + \sum _ { i = 1 } ^ { N } l _ { i } \cos \theta _ { i } = H \\ r = \sum _ { i = 1 } ^ { N } l _ { i } \sin \theta _ { i } \\ f ( t ) = f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( t ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( t ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( t ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( t ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( t ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( t ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( w ) + f ( y ) + f ( z ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( u ) + f ( v ) + f ( w ) + f ( s) \\ h = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {\prime} = h ^ {2} \\ I = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {2} \\ I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\prime} = I ^ {\mathrm {(a)}} \\ I ^ {\mathrm {(b)}} = I ^ {\mathrm {(c)}} = I ^ {\mathrm {(d)}} = I ^ {\mathrm {(e)}} = I ^ {\mathrm {(f)}} = I ^ {\mathrm {(g)}} = I ^ {\mathrm {(h)}} = I ^ {\mathrm {(i)}} = I ^ {\mathrm {(j)}} = I ^ {\mathrm {(k)}} = I ^ {\mathrm {(l)}} = I ^ {\mathrm {(m)}} = I ^ {\mathrm {(n)}} \\ I ^ {\mathrm {(o)}} = I ^ {\mathrm {(p)}} = I ^ {\mathrm {(q)}} = I ^ {\mathrm {(r)}} = I ^ {\mathrm {(s)}} = I ^ {\mathrm {(t)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(x)}} = I ^ {\mathrm {(y)}} = I ^ {\mathrm {(z)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(x)}} = I ^ {\mathrm {(y)}} = I ^ {\mathrm {(z)}} \\ I ^ {\mathrm {(z)}} = I ^ {\mathrm {(x)}} = I ^ {\mathrm {(y)}} = I ^ {\mathrm {(z)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(x)}} = I ^ {\mathrm {(y)}} = I ^ {\mathrm {(z)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(v)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(v)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(w)}} = I ^ {\mathrm {(w)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ I ^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ I^ {\mathrm {(u)}} = I ^ {\mathrm {(u)}} \\ L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L & L +\end{array} +$$ + +# 5.3 模型修正 + +在实际情况中，当风速过小时锚链会提前沉底，导致以上模型对于锚链链环作用力与倾角的递推关系不再适用，因此本文针对这一情况对模型进行修正。示意图如图5.3.1所： + +![](images/f9aca0e4b3d51c23a5e4865f3080f878216cff1b17ca3e5e008fc073880e3df0.jpg) +图5.3.1 完全沉底链环受力图 + +由图可知，锚链第一个完全沉底的链环共受到5个外力作用，分别为重力 $G_{i}$ ，浮力 $T_{i}$ ，摩擦力 $F_{f}$ ，海床提供的支撑力 $F_{N}$ 以及上一个链环的拉力 $F_{i-1,i}$ 。 + +在链环处于将要被提起处于临界状态时, 其与海床的夹角 $\alpha \rightarrow 0^{+}$ , 对 $A$ 点取矩有 + +$$ +M _ {A} = \left(T _ {i} - G _ {i}\right) \frac {l _ {i}}{2} \cos + F _ {1 i, i} \cos \beta_ {s _ {1 i}} \cdot l _ {i} \alpha \cos - F _ {1 i, i} \beta_ {s} i _ {1} n _ {i} \tag {5-3-1} +$$ + +由于链环不发生转动，故合力矩为零，且 $\alpha \rightarrow 0^{+}$ ，则 $\sin \alpha \rightarrow 0$ ， $\cos \alpha \rightarrow 1$ 。故有： + +$$ +F _ {i - 1, i} \cdot \cos \beta_ {- i} = 0. 6 \in T \tag {5-3-2} +$$ + +进而得到链环 $P_{i}$ 完全沉底时，上一个链环对其作用力满足如下关系： + +$$ +F _ {i - 1, i} \cos \beta_ {- i} \leq 0. 6 \in T \tag {5-3-3} +$$ + +此时，若将 $P_{i}$ 以上构件看做一个整体，对该整体的浮力和重力作差，则满足 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {i - 1} T _ {j} - G _ {j} = F _ {- 1}, c _ {i} \circ \beta_ {-} \tag {5-3-4} +$$ + +联立上式得到竖直方向受力约束条件为： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {i - 1} T _ {j} - G _ {j} \leq 0. 5 (G _ {i} - T _ {i} \tag {5-3-5} +$$ + +综上所述，对模型作出如下修正： + +$\bullet$ 增加海水中构建竖直方向受力约束: $\sum_{j=1}^{i-1} T_j - G_j \leq 0.5 (G_i - T_i)$ 。 +- 更改锚链递推关系式适用范围： $7 \leq i \leq j$ ， $j$ 表示第一个脱离海床链环的编号。 +$\bullet$ 更改浮标游动半径表达式： $r = \sum_{i = 1}^{j}l_{i}\sin \theta_{i} + \sum_{i = j + 1}^{216}l_{i}$ 。 + +至此，针对链环沉底情况对模型修正完毕。 + +# 5.4 模型求解 + +对于系泊系统状态模型的求解，难以直接通过大量状态方程得到定解，所以联立非线性方程组求定解方法不适用。因此本文采用一种基于最小二乘思想的循环搜索算法对模型进行求解。 + +# 5.4.1 基于最小二乘思想的循环搜索算法 + +描述系泊系统状态模型中的未知变量包括吃水深度 $h$ ，钢桶，各节钢管以及锚链刚体的倾斜角度 $\theta_{i}$ ，由模型的可确定各个倾斜角度 $\theta_{i}$ 与钢桶吃水深度 $h$ 的递推关系，故倾斜角度可由钢桶的倾斜角度确定，故风速 $\nu$ 确定的情况下，系泊系统的状态可由吃水深度 $h$ 一个变量确定。因此将吃水深度 $h$ 为连续变量，故将其离散化进行定步长搜索可对模型进行求解，具体算法步骤如图5.4.1所示： + +![](images/afe39687575fcfdc84347321eb2e410bc08e853f7d869fe6a0478a9a3ddecc88.jpg) +图5.4.1 搜索算法流程图 +图5.4.1中，模型I为未修正模型。模型II为针对锚链提前触底修正后的模型。 + +# 5.4.2 算法精度检验 + +对于定步长的循环搜索算法，误差的主要来源为变量的步长，因此可以通过减小步长，根据最优解变化幅度来判断步长是否合理。 + +取变量 $h$ 步长没原步长的 $\frac{1}{50}$ ，则算法精度应提高50倍，定义相对优化量 $q$ 为目标函数优化量与理论优化量的比值： + +$$ +q = \frac {\left| S ^ {\prime} (h) - S (h) \right|}{5 0} +$$ + +通过matlab编程计算可得 $q = 0.38 \times 10^{-3}$ , 由于长度范围在0.1数量级, 因此 $q$ 可以忽略不计, 故目前搜索算法中设置的步长可认为是合理的。 + +# 5.4.3 结果分析 + +本文假设锚链和重物球材料为普通铸铁，其密度为 $7.8 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，由此参数求解。 + +当海面风速为 $12m / s$ 时，本文通过matlab编程对模型进行求解，结果表明此时锚链出现提前触底的情况，此时各构件倾角与浮标吃水深度如表5.4.2所示： + +表 5.4.2 求解结果 + +
钢桶倾角1.2089°钢管3倾角1.1799°
钢管1倾角1.1641°钢管4倾角1.1880°
钢管2倾角1.1720°浮标吃水深度0.6818m
+ +由于锚链提前沉底，本文假设沉底锚链完全拉直，得到浮标游动半径为 $14.7232m$ ，进而得到游动区域面积为 $681m^2$ ，在 $xoy$ 平面表达式为 $x^2 + y^2 \leq 681$ ，单位为 $\mathrm{m}$ 。此时锚链从152个链环开始触底，沉底链环个数为59个，锚链形状及各构件在 $xoz$ 坐标平面中形状如图5.4.3所示： + +![](images/270065f12a7586fc9ba2dd8624d53e7bdf1e5bcecaad8cb7c5d8066ea1e37fde.jpg) +图5.4.3锚链形状示意图 + +![](images/d722928a91ee48aa48329953198b8171b6d6e60143994cad68223c6eaef71c21.jpg) +图5.4.5 锚链形状示意图 + +当海面风速为 $24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时，求解结果表明此时锚链完全脱离海床没有提前触底。求解得到系统各参数如表5.4.4所示： + +表 5.4.4 求解结果 + +
钢桶倾角4.5837°钢管3倾角4.4871°
钢管1倾角4.4294°钢管4倾角4.4516°
钢管2倾角4.458°浮标吃水深度0.6959m
+ +浮标游动半径 $17.8224m$ 得到其游动区域面积为 $997.89m^2$ ，在 $xoy$ 平面表达式为 $x^{2} + y^{2}\leq 997.89$ ，单位为 $\mathrm{m}$ 。此时锚链在锚点与海床夹角为 $5.7059^{\circ}$ ，求解得到锚链形状如图5.4.5所示。 + +# 六、问题二模型的建立与求解 + +# 6.1 模型准备 + +本问首先要根据问题一中模型计算海面风速为 $36m / s$ 时系统的各状态参数。接着题目要求通过调节重物球的质量来使钢桶倾角和锚链在锚点与海床的夹角小于给定阈值，由此可以通过问题一模型计算得到重物球的质量范围。但结合题目背景考虑，本文建立优化模型，在满足约束范围内搜索重物球的最优质量使得系统达到最优状态。 + +# 6.2 系泊系统优化模型的建立 + +# （一）决策变量的确定 + +根据题目要求，本文假设重物球材料不变，确定重物球的质量 $m_{q}$ 为模型的决策变量，通过调节 $m_{q}$ 的大小来对目标进行优化。 + +# （二）目标函数分析 + +由题目背景可知，要对系泊系统进行优化就要使得浮标的吃水深度和游动区域以及钢桶的倾斜角度尽可能小。据此本文一共确立如下3个优化目标。 + +- 钢桶的倾斜角度尽可能小： + +$$ +\min \quad \theta_ {6} = \arctan \frac {F _ {5 , 6} \cdot \sin \beta_ {5}}{0 . 5 (T _ {6} - G _ {6}) + F _ {5 , 6} \cdot \cos \beta_ {5}} +$$ + +- 浮标的吃水深度尽可能小: + +$$ +\min \quad h = H - \sum_ {i = 1} ^ {N} l _ {i} \cos \theta_ {i} +$$ + +- 浮标的在海面上的游动区域为圆形，目标可以转化为浮标的游动半径尽可能小： + +$$ +\min r = \sum_ {i = 1} ^ {N} l _ {i} \sin \theta_ {i} +$$ + +# （三）约束条件分析 + +问题二同样满足问题一的假设，因此优化模型需要满足问题一模型的约束条件。此外根据题目要求，还需要满足锚链在锚点与海床夹角不超过16度： + +$$ +\frac {\pi}{2} - \theta_ {2 1 6} \leq 1 6 ^ {\circ} \tag {6-2-1} +$$ + +式中 $\theta_{216}$ 为与锚点相连接的链环与竖直方向的夹角。此外，对于优化目标钢桶的倾角 $\theta_{6}$ 还需满足约束： + +$$ +\theta_ {6} = \arctan \frac {F _ {5 , \dot {6}} \sin \beta_ {5}}{0 . 5 I _ {6} - G _ {6} + F _ {5 , \dot {6}} \cos \beta_ {5}} \leq \tag {6-2-2} +$$ + +综合以上分析，并结合问题一模型中系统中各构件作用力与倾角的递推关系得到系泊系统的优化模型为： + +$$ +\min \quad h = H - \sum_ {i = 1} ^ {N} l _ {i} \cos \theta_ {i} +$$ + +$$ +\min \quad \theta_ {6} = \arctan \frac {F _ {5 , \dot {6}} \sin \beta_ {5}}{0 . 5 \left(T _ {6} - G _ {6}\right) + F _ {5 ;} \cos \beta_ {5}} +$$ + +$$ +\min \quad r = \sum_ {i = 1} ^ {N} l _ {i} \sin \theta_ {i} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \left\{F _ {2 1} = \frac {\sqrt {2 5 \left(l _ {1} - h\right) ^ {2} d \gamma^ {4} + 4 \left(\rho g \pi d \hat {h} - 4 G\right) _ {1}} ^ {2}}{8} \right. \\ \beta_ {1} = \arctan \frac {5 \left(l _ {1} - h\right) d _ {1} v ^ {2}}{8 G _ {1} + 2 g \rho \pi d _ {1} ^ {2} h} \\ \left\{ \begin{array}{l} \beta_ {6} = \arctan \frac {F _ {5 , 6} \sin \beta_ {5}}{F _ {5 , 6} \cos \beta_ {5} + T _ {6} + T _ {q} - G _ {6} - G _ {q}} \\ F _ {8, 6} = \frac {F _ {5 , 6} \sin \beta_ {5}}{\sin (\arctan \frac {F _ {5 , 6} \sin \beta_ {5}}{F _ {5 , 6} \cos \beta_ {5} + T _ {6} + T _ {q} - G _ {6} - G _ {q}})} \\ \theta_ {6} = \arctan \frac {F _ {5 , 6} \cdot \sin \beta_ {5}}{0 . 5 \left(T _ {6} - G _ {6}\right) + F _ {5 , 6} \cdot \cos \beta_ {5}} \end{array} \right. \\ \end{array} \right. +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} s. t \\ \left\{ \begin{array}{l} \beta_ {i} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} \cdot \sin \beta_ {i - 1}}{T _ {i} + F _ {i - 1 , i} \cdot \cos \beta_ {i - 1} - G _ {i}} \\ F _ {i + 1, i} = \frac {F _ {i + 1 , i} \cdot \sin \beta_ {i}}{\sin (\arctan \frac {F _ {i - 1 , i} \cdot \sin \beta_ {i - 1}}{T _ {i} + F _ {i - 1 , i} \cdot \cos \beta_ {i - 1} - G _ {i}})} \\ \theta_ {i} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} \sin \beta_ {i - 1}}{0 . 5 \left(T _ {i} - G _ {i}\right) + F _ {i - 1 , i} \cos \beta_ {i - 1}} \\ i \in [ 2, 5 ] \cup [ 7, 2 1 6 ], i \in z \end{array} \right. \\ \end{array} \right. +$$ + +$$ +h + \sum_ {i = 1} ^ {N} l _ {i} \cos \theta_ {i} = H +$$ + +$$ +r = \sum_ {i = 1} ^ {N} l _ {i} \sin \theta_ {i} \tag {6-2-3} +$$ + +# 6.3 模型求解 + +# 6.3.1多目标转化单目标求解 + +对于三个目标的权重值的确定，基于赋权的可靠性考虑，本文在此选择了主观性相对较小，能够充分利用数据特征的熵权法。熵权法可以根据各个目标的变异度，利用信息熵计算出各个目标的客观权重值。信息熵越小，变异程度最大，重要程度越大。期计算结果为 $A = 11.46, B = 1.5, C = 0.05$ + +接着我们对以上三个目标分别赋以权重 $A, B, C$ ，将多目标优化转化为单目标优化问题，用 $U$ 表示总的优化目标： + +$$ +\min U = A \cdot \theta_ {6} + B \cdot h + C \cdot r +$$ + +# 6.3.2 风速为 $36\mathrm{m / s}$ 时系统参数求解 + +通过matlab编程代入风速对问题一模型进行求解，结果表明此时锚链全部浮于水中，此时各构件倾角与浮标吃水深度如表6.3.1所示： + +表 6.3.1 求解结果 + +
钢桶倾角9.4767°钢管3倾角9.2935°
钢管1倾角9.1822°钢管4倾角9.3502°
钢管2倾角9.2375°浮标吃水深度0.7187m
+ +得到浮标游动半径为 $18.8906m$ ，进而得到游动区域面积为 $1121.092m^2$ ，其在 $xoy$ 平面表达式为 $x^{2} + y^{2}\leq 1121.092$ 。此时锚链在锚点与海床的夹角大小为 $21.397^{\circ} > 16^{\circ}$ ，表明锚点被拖动。锚链在 $xoz$ 坐标平面中形状如图6.3.2所示： + +![](images/c14152d034ee244939650ac9fcf319ca3ec4c0101ef7b88c2a8f79be3494671e.jpg) +图6.3.2 锚链形状示意图 + +# 6.3.3 系泊系统优化模型的求解 + +# （一）循环搜索算法求解 + +Step1: 根据系泊系统的设计要求求解重物球的质量范围 $m_{q\min} \sim m_{q\max}$ , 令重物的初始重量值为质量范围下限 $m_{q\min}$ ; +Step 2: 将重物球最小质量 $m_{q}$ 带入模型一, 按照模型一的求解算法求解出并记录此时的吃水深度 $h$ , 钢桶倾斜角度 $\theta_{6}$ , 锚链在锚点与海床夹角 $90^{\circ} - \theta_{216}$ , 浮标游动半径 $r$ , 并求解出此时的目标函数值 $u$ , 并令 $\min u = u$ ; +Step 3: 判断此时的系统状态是否满足 $90^{\circ} - \theta_{216} \leq 16^{\circ}$ , $\theta_{6} \leq 5^{\circ}$ 的约束条件, 若满足进入 Step 4, 不满足进入 Step 5; +Step 4: 若 $u \leq \min u$ , 则令 $\min u = u$ , 并记录 $h, \theta_6, r$ , 否则 $\min u$ 保持不变。 + +Step 5: 令 $m_{q} = m_{q} + 0.5$ + +Step 6: 若 $m_q \leq m_{q\max}$ , 返回 Step 2, 否则结束程序, 输出 $h, \theta_6, r$ 。 + +# （二）结果分析 + +根据以上算法，本文通过matlab编程求解，得到满足题目要求时重物球的质量范围，并在此范围求得重物球最佳质量，使得系统达到最优状态，结果如表6.3.3所示 + +表 6.3.3 具体结果 + +
重物球质量范围重物球最佳质量浮标吃水深度浮标游动半径钢桶倾角
2200≤mq≤4100kg2894kg1.16m18.2831m2.9954°
+ +# （三）灵敏度分析 + +为进一步研究重物球质量变化对每个优化目标的相关性及相关程度，我们对模型进行灵敏度分析，结果下图所示： + +![](images/e25efb9b7569603f18d9b18f8bb7d2f10bf55bbc417dd1b953dcf6ca682354da.jpg) +图6.3.4重物质量对浮标游动及吃水影响 + +![](images/95da0b6d2fb213e76996092fbb5f0e2c4746ecae913bcc618b20a10d230cbe12.jpg) +图6.3.5 重物质量对钢桶倾角影响 + +如图6.3.4所示随着重物球质量增加，浮标游动半径减小，吃水深度增加，但变化范围很小，表明重物球质量对二者关系影响较小；由图6.3.5可知，钢桶倾角随重物球质量增加而减小，且相对幅度较大，即重物质量变化对钢桶倾角具有较大影响。 + +# 七、问题三模型的建立与求解 + +# 7.1 模型准备 + +与问题一不同，问题三中增加了海水流动这一因素，当海水流动方向与风速方向不在同一平面时，需要在三维空间中对系统各个构件进行研究。但如果直接在空间坐标系中对构件进行受力分析，过程繁琐且不方便表述，因此我们将各个构件及其受力投影到 $xoy, xoz, yoz$ 三个平面内，如图7.1.1所示，进而在每个平面内对构件进行受力分析。 + +![](images/e7a4506425155623cd8b90910e63c8b9e025d6f19dedbb757edf94428af25c82.jpg) +图7.1.1构件投影示意图 + +此外，为方便表述，本在问题一中符号系统增加上标 $a, b, c$ 来分别构件或力在 $xoy$ , $xoz$ , $yoz$ 平面内的投影。 + +# 7.2 模型建立 + +# 7.2.1 系泊系统的水流力分析 + +# （一）水流力函数分析 + +根据参考文献[2]可知，在海域浅水区不同水深的水流速度服从抛物线分布，即： + +$$ +v = k \cdot \frac {2}{z} \tag {7-2-1} +$$ + +式中 $z$ 表示离海床的竖直高度。因此，只要给定海面最大水速 $\nu_{\mathrm{max}}$ 和海水最大深度 $H$ ，就可解得系数 $k$ ，进而得到随深度变化的水流函数： + +$$ +v = \frac {v _ {\text {m a x}}}{H ^ {2}} z ^ {2} \tag {7-2-2} +$$ + +接着，由题中已知海水速度与水流力关系式得到系泊系统水流力函数为： + +$$ +F = \frac {3 7 \mathcal {S} \cdot v _ {\mathrm {m a x}} ^ {2}}{H ^ {4}} z ^ {4} \tag {7-2-3} +$$ + +# （二）构件水流力计算 + +![](images/3807aec31f3861df746b10306e26a490389f5857d47cf313dec152140c62a1ad.jpg) +图7.2.3投影面微元示意图 + +由于水流沿 $x$ 轴方向，故构件在 $yoz$ 平面投影即为在水流法方向面投影。如图7.2.3所示，在构件投影中取面积微元 $ds$ ，当浮标底面半径为 $D$ 时，根据式(7-2-3)得到对应水流力为： + +$$ +d F = \frac {3 7 4 v _ {\max}}{H ^ {4}} z ^ {4} \cdot D d z +$$ + +对上式积分即可得到浮标受到水流力大小: + +$$ +f = \int_ {Z _ {1}} ^ {Z _ {2}} \frac {3 7 4 D v _ {\mathrm {m a x}}}{H ^ {4}} z ^ {4} d z \tag {7-2-4} +$$ + +# 7.2.2系统构件受力分析 + +为方便分析，本文以锚点为原点，海水流动方向作为 $y$ 轴正方向在系泊系统中建立空间直角坐标系。由于只要确定构件在两个平面内的投影状态就可构件的空间状态，因此本文下面只在两个投影面对构建进行受力分析。 + +# （一）浮标的受力分析 + +![](images/ecbea6edf85f0892b9e17844637180b32e080c1fd823a058b155452fa022f10d.jpg) +图7.2.1浮标在yoz面投影 + +![](images/5c71c58e2b613ec7d3717c8b2181dc16ebb12c7a7ef5b28eda9920eb5f84681d.jpg) +图7.2.2浮标在xoy面投影 + +浮标在 $xoz$ 面投影受力如图 7.2.1 所示， $f$ 表示海水流动力，由牛顿第一定律并结合式子(5-2-3)可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} F _ {0} ^ {c} - F _ {2, 1} ^ {c} s i \beta n ^ {c} + f _ {\overline {{1}}} ^ {c} \\ T _ {1} ^ {c} - F _ {2, 1} ^ {c} c _ {1} o s \beta^ {c} \frac {}{\overline {{1}}} G ^ {c} = \end{array} \right. \tag {7-2-5} +$$ + +对方程组求解并分离变量得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {1} ^ {c} = \arctan \frac {F _ {0} ^ {c} + f _ {1} ^ {c}}{T _ {1} ^ {c} - G _ {1} ^ {c}} \\ F _ {2, 1} ^ {c} = \frac {f _ {1} ^ {c} + F _ {0} ^ {c}}{\sin \beta_ {1} ^ {c}} \end{array} \right. \tag {7-2-6} +$$ + +式中上标 $c$ 表示在 $yoz$ 平面内。 + +浮标在 $xoy$ 面上投影面受力如图 7.2.2 所示, $\alpha_{0}$ 为风速与海水流动方向夹角的余角,同样由牛顿第一定律得到平衡方程, 求解分离变量得到: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {1} ^ {a} = \arctan \frac {F _ {0} ^ {a} \cos \alpha_ {0}}{f _ {1} ^ {a} + F _ {0} ^ {a} \sin \alpha_ {0}} \\ F _ {2, 1} ^ {a} = \frac {F _ {0} ^ {a} \cos \alpha_ {0}}{\sin \beta_ {1} ^ {a}} \end{array} \right. \tag {7-2-7} +$$ + +同样，式中上标 $a$ 表示在 $xoy$ 平面。 + +# （二）钢管的受力分析 + +![](images/88d6017c271f84a4d3d9d79c6d90561b888ba38ed8209693999cd278b3700fc5.jpg) +图7.2.3 钢管在yoz面投影 + +![](images/0e0eb60b480ee1a64078b68e91c5e5d3ef29c5321126fce51ceb163c04b08a93.jpg) +图7.2.4钢管在xoy面投影 + +钢管在 $yoz$ 平面投影如图 7.2.3 所示, $f_{i}^{b}$ 为等效海水流动力, 根据牛顿第一定律得到物体受力平衡方程组, 对方程组求解分离变量得: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {i} ^ {b} = \arctan \frac {F _ {i - 1 i} ^ {b} \sin \beta_ {i - 1} ^ {b} + f _ {i} ^ {b}}{F _ {i - 1 i} ^ {b} \cos \beta_ {i - 1} ^ {b} + T _ {i} ^ {b} - G _ {i} ^ {b}} \\ F _ {i + 1, i} ^ {b} = \frac {F _ {i - 1 i} ^ {b} \sin \beta_ {i - 1} ^ {b} + f _ {i} ^ {b}}{\sin \beta_ {i} ^ {b}} \end{array} \right. \tag {7-2-9} +$$ + +接着对钢管 $b$ 点取矩, 平衡不发生转动时其合力矩必为零: + +$$ +\left(T _ {i} ^ {b} - G _ {i} ^ {b}\right) \sin \theta_ {i} ^ {b} + 2 F _ {i - 1, i} ^ {b} \cos \beta_ {i - 1} ^ {b} l \sin \theta_ {i} ^ {b} - 2 F _ {i - 1, i} ^ {b} \sin \beta_ {i - 1} ^ {b} \cos \theta_ {i} ^ {b} - f _ {i} ^ {b} \cos \theta_ {i} ^ {b} = 0 \tag {7-2-10} +$$ + +对式（7-2-6）进行分离变量得到钢管与 $z$ 轴夹角： + +$$ +\theta_ {i} ^ {b} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} ^ {b} \sin \beta_ {- i} ^ {b} + 0 f 5 _ {i} ^ {b}}{0 . 5 I _ {i} ^ {b} - G _ {i} ^ {b} +) F _ {- 4 , i} ^ {b} \alpha \beta_ {0} s _ {i} ^ {b}} \tag {7-2-11} +$$ + +钢管在 $xoy$ 平面内投影如图7.2.4所示，由与水流方向为 $x$ 轴正方向，故由投影定理水流力在 $xoy$ 平面与 $yoz$ 平面投影大小相等： + +$$ +f _ {i} ^ {a} = f _ {i} ^ {b} \tag {7-2-12} +$$ + +同样由钢管静止不发生转动时满足合力为零且合力矩为零得到平衡方程，对方程求解并分离变量得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {i} ^ {a} = \arctan \frac {F _ {i - 1 i} ^ {a} \sin \beta_ {i - 1} ^ {a}}{f _ {i} ^ {a} + F _ {i - 1 i} ^ {a} \cos \beta_ {i - 1} ^ {a}} \\ F _ {2, \Gamma} ^ {a} = \frac {F _ {i - 1 i} ^ {a} \sin \beta_ {i - 1} ^ {a}}{\sin \beta_ {i} ^ {1}} \\ \theta_ {i} ^ {a} = \frac {F _ {i - 1 i} ^ {a} \sin \beta_ {i - 1} ^ {a}}{0 . 5 _ {i} ^ {a} + F _ {i - 1 i} ^ {a} \cos \beta_ {i - 1} ^ {a}} \\ 2 \leq i \leq 5, i \in z \end{array} \right. \tag {7-2-13} +$$ + +# （三）钢桶的受力分析 + +![](images/b3d7c40bb3b6ae79ad5d95881202f717bafe48b9389e44ffc40ffd424672f88a.jpg) +图7.2.5 钢桶在yoz面投影 + +![](images/66fa6ed5247878645223f9ee6e95d459853776714a1a983f7aa6eecde93aabe7.jpg) +图7.2.6钢桶在xoy面投影 + +钢桶及重物球在 $yoz$ 平面投影如图 7.2.5 所示, 由钢桶静止不发生转动故在 $x, z$ 方向合力为零且合力矩为零 (对钢桶下端点取矩), 得到平衡方程组: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} F _ {5, 6} ^ {b} \mathrm {o} \beta^ {b} + T ^ {\frac {b _ {1}}{6}} T _ {q} ^ {b} + G ^ {- b} G _ {q} - ^ {b} F ^ {b} \quad_ {7} ^ {b} c \theta^ {b} s = ^ {b} _ {6} 0 \\ F _ {5, 6} ^ {b} \mathrm {s i n} \beta^ {b} + f ^ {b} - _ {5} ^ {b} F ^ {b} \quad_ {7} ^ {b} \mathrm {s i n} ^ {b} = _ {6} 0 \\ 2 F _ {5, 6} ^ {b} \mathrm {c o} \beta^ {b} + _ {5} ^ {b} \mathrm {s d} ^ {b} n _ {6} ^ {b} T ^ {b} + _ {6} ^ {b} G ^ {b} \quad_ {6} ^ {b} \theta^ {b} s - i E _ {6} ^ {b} \quad_ {5} \beta_ {6} ^ {b} \mathrm {s i n} \theta_ {5} ^ {b} - f c ^ {b} o _ {6} s \theta_ {5} ^ {b} = \end{array} \right. \tag {7-2-14} +$$ + +对方程组(7-2-10)求解并分离变量得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {6} ^ {b} = \arctan \frac {F _ {5 , 8} ^ {b} \sin \beta^ {b} + f ^ {b}}{F _ {5 , 8} ^ {b} \cos \beta^ {b} + T ^ {b} + T _ {q} ^ {b} - G ^ {- b} G _ {q}} \\ F _ {7, 6} ^ {b} = \frac {F _ {5 , 8} ^ {b} \sin \beta^ {b} + f ^ {b}}{\sin \beta_ {6} ^ {b}} \\ \theta_ {6} ^ {b} = \arctan \frac {F _ {5 , 8} ^ {b} \sin \beta^ {b} + 0 f ^ {b} 5 _ {5}}{0 . 5 I _ {6} ^ {b} - G _ {6} ^ {b} +) F _ {5 , 6} ^ {b} \phi B ^ {b}} s _ {5} \end{array} \right. \tag {7-2-15} +$$ + +在 $xoy$ 平面内, 钢桶投影如图 7.2.6 所示, 对于海水流动力由式(7-2-8)可得: + +$$ +f _ {6} ^ {a} = f _ {6} ^ {b} \tag {7-2-16} +$$ + +同样由钢管静止不发生转动时满足合力为零且合力矩为零得到平衡方程，对方程求解并分离变量得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {6} ^ {a} = \operatorname {a r c t a n} \frac {F _ {5 , 8} ^ {a} \sin \beta^ {a} {} _ {5}}{f _ {6} ^ {a} + F _ {5 , 6} ^ {a} \cos \beta^ {a}} \\ F _ {2, \Gamma} ^ {a} = \frac {F _ {5 , 8} ^ {a} \sin \beta^ {a}}{\sin \beta_ {6} ^ {1}} \\ \theta_ {6} ^ {a} = \frac {F _ {5 , 8} ^ {a} \sin \beta^ {a}}{0 . 3 f _ {6} ^ {a} + F _ {5 , 6} ^ {a} c \phi^ {a}} _ {5} \end{array} \right. \tag {7-2-17} +$$ + +# （四）锚链的受力分析 + +锚链受力情况与钢管类似，即各节锚链链环同样满足式（7-2-9），（7-2-11），（7-2-13），这里不再重复分析。此外，由于链环形状未知，导致在计算链环水流力时无法直接得到投影面积，因此本文根据其质量与密度将其转化为同体积圆柱体处理，满足： + +$$ +\frac {\pi d _ {i} ^ {2} l _ {i}}{4} = \rho_ {i} m _ {i} +$$ + +# 7.2.3 系泊系统设计优化模型 + +# （一）决策变量的确定 + +综合考虑环境因素以及系统内部构件参数对系泊系统的影响并结合题目背景，本文选取如下3个决策变量以及4个环境变量对系泊系统进行研究。 + +![](images/bb5ea176b900b3a29040f13ab387d5e44d521cece76d459166a51d2816294f3e.jpg) + +# （二）目标函数及约束分析 + +与问题二相同，选取浮标吃水深度，浮标游动半径以及钢桶倾斜角作为优化目标建立多目标优化模型。同样本问模型需要满足问题二中约束条件，这里不再赘述。 + +综合以上分析，并结合式(6-2-1)，(6-2-2)，(6-2-3)得到系泊系统设计优化模型为： + +min $h = H - \sum_{i = 1}^{N}l_{i}\cos \alpha_{i}^{b}\cos \theta_{i}^{b}$ + +min $\theta_{6} = \arccos (\cos \theta_{6}^{b}\cdot \cos \beta^{b})$ + +min $r = \sum_{i = 1}^{N}l_{i}\cos \alpha_{i}^{a}$ + +$$ +\begin{array}{l} \left[ \left[ F _ {0} ^ {c} - F _ {2} ^ {c}, \sin \beta^ {c} + _ {1} f ^ {c} = _ {1} 0 \right. \right. \\ \left| T _ {1} ^ {c} - F _ {2} ^ {c}, \cos \beta^ {c} - _ {1} G ^ {c} = _ {1} 0 \right. \\ \left\{\beta_ {1} ^ {c} = \arctan \frac {F _ {0} ^ {c} + f _ {1} ^ {c}}{T _ {1} ^ {c} - G _ {1} ^ {c}} \right. \\ \left[ F _ {2, 1} ^ {c} = \frac {f _ {1} ^ {c} + F _ {0} ^ {c}}{\sin \beta_ {1} ^ {c}} \right. \\ \left\{\beta_ {i} ^ {b} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} ^ {b} \sin \beta_ {i - 1} ^ {b} + f _ {i} ^ {b}}{F _ {i - 1 , i} ^ {b} \cos \beta_ {i - 1} ^ {b} + T _ {i} ^ {b} - G _ {i} ^ {b}} \right. \\ F _ {i + 1, i} ^ {b} = \frac {F _ {i - 1 , i} ^ {b} \sin \beta_ {i - 1} ^ {b} + f _ {i} ^ {b}}{\sin \beta_ {i} ^ {b}} \\ \theta_ {i} ^ {b} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} ^ {b} \sin \beta_ {i - 1} ^ {b} + 0 . 5 f _ {i} ^ {b}}{0 . 5 \left(T _ {i} ^ {b} - G _ {i} ^ {b}\right) + F _ {i - 1 , i} ^ {b} \cos \beta_ {i - 1} ^ {b}} \\ \beta_ {i} ^ {a} = \arctan \frac {F _ {i - 1 , i} ^ {a} \sin \beta_ {i - 1} ^ {a}}{f _ {i} ^ {a} + F _ {i - 1 , i} ^ {a} \cos \beta_ {i - 1} ^ {a}} \\ F _ {2, 1} ^ {a} = \frac {F _ {i - 1 , i} ^ {a} \sin \beta_ {i - 1} ^ {a}}{\sin \beta_ {i} ^ {1}} \\ \theta_ {i} ^ {a} = \frac {F _ {i - 1 , i} ^ {a} \sin \beta_ {i - 1} ^ {a}}{0 . 5 f _ {i} ^ {a} + F _ {i - 1 , i} ^ {a} \cos \beta_ {i - 1} ^ {a}} \\ i \in [ 2, 5 ] \cup [ 7, N ], i \in z \\ \left\{\beta_ {6} ^ {b} = \arctan \frac {F _ {5 , 6} ^ {b} \sin \beta_ {5} ^ {b} + f _ {6} ^ {b}}{F _ {5 , 6} ^ {b} \cos \beta_ {5} ^ {b} + T _ {6} ^ {b} + T _ {q} ^ {b} - G _ {6} ^ {b} - G _ {q} ^ {b}} \right. \\ F _ {7, 6} ^ {b} = \frac {F _ {5 , 6} ^ {b} \sin \beta_ {5} ^ {b} + f _ {6} ^ {b}}{\sin \beta_ {6} ^ {b}} \\ \theta_ {6} ^ {b} = \arctan \frac {F _ {5 , 6} ^ {b} \sin \beta_ {5} ^ {b} + 0 . 5 f _ {5} ^ {b}}{0 . 5 \left(T _ {6} ^ {b} - G _ {6} ^ {b}\right) + F _ {5 , 6} ^ {b} \cos \beta_ {5} ^ {b}} \\ \beta_ {6} ^ {a} = \arctan \frac {F _ {5 , 6} ^ {a} \sin \beta_ {5} ^ {a}}{f _ {6} ^ {a} + F _ {5 , 6} ^ {a} \cos \beta_ {5} ^ {a}} \tag {7-2-18} \\ F _ {2, 1} ^ {a} = \frac {F _ {5 , 6} ^ {a} \sin \beta_ {5} ^ {a}}{\sin \beta_ {6} ^ {1}} \\ \theta_ {6} ^ {a} = \frac {F _ {5 , 6} ^ {a} \sin \beta_ {5} ^ {a}}{0 . 5 f _ {6} ^ {a} + F _ {5 , 6} ^ {a} \cos \beta_ {5} ^ {a}} \\ f = \int_ {Z _ {1}} ^ {Z _ {2}} \frac {3 7 4 D v _ {\max}}{H ^ {4}} z ^ {4} d z \\ \end{array} +$$ + +# 7.3 模型求解 + +由于决策变量增加直接导致问题三模型解空间过大，因此为了保证求解的时效性与准确性本文采用变步长搜索算法对模型进行求解。 + +# 7.3.1 变步长搜索算法 + +# 1）连续变量的离散化 + +模型的决策变量有重物球的配重 $m_{q}$ ，链环的个数 $n$ ，链环长度 $L = \{L_{1}, L_{2}, L_{3}, L_{4}, L_{5}\}$ ，需要对其进行全局搜索寻找目标函数的最小值，由于重物球的配重 $m_{q}$ 为连续变量，因此先将其离散化，进行定步长搜索。 + +# 2）变步长搜索算法 + +由于解空间较大，使用变步长搜索算法对模型进行求解，即先使用较大步长进行全局搜索，得到近似最优解，在找到的近似最优解附近使用较小步长进行局部搜索寻找目标函数的最优解。 + +# 7.3.2 结果分析 + +基于以上模型和算法，本文首先将风速和水速定为最大值，且二者方向相同，再次条件下分别计算海水深度为 $16m$ 、 $20m$ 时系泊系统最优状态，得到对应参数如表7.3.1所示： + +表 7.3.1 求解结果 + +
海水深度重物配重mq链环个数链环长度钢桶倾角浮标吃水深度浮标游动半径
16m3000kg140180mm(型号V)4.593°1.59m18.61m
20m2950kg180180mm(型号V)4.959°1.37m11.41m
+ +为了进一步研究系统在不同情况下的参数变化，在海床深度为 $16\mathrm{m}$ 时本文对各环境变量作适当的改变，求解得到此时系泊系统参数的变化情况，具体结果如表7.3.2所示： + +表 7.3.2 不同情况下系泊系统参数变化 + +
水流速度m/s风速m/s钢桶倾角浮标吃水深度浮标游动半径
1.5244.259°1.3m18.795m
1363.615°1.295m18.0m
1.5123.57°1.295m17.977m
0.5362.543°1.288m16.053m
+ +锚链在各个情况下形状变化情况如下图所示： + +![](images/815e2be88183fb1bf6e840b73852ed86c4dd2a64c66d900bc028c74ad75dc764.jpg) +图7.3.3风速 $24\mathrm{m / s}$ ，水速 $1.5\mathrm{m / s}$ + +![](images/2d4c828b60a8f933968cab5f235a8fe6396c032d16ade736ee60fca1eb74757e.jpg) +图7.3.4 风速 $36\mathrm{m / s}$ ，水速 $1\mathrm{m / s}$ + +![](images/32f0879480cbc58e9518fe5c7c9ce7f2947b707b06d71174c5ad0499e9e74102.jpg) +图7.3.5 风速 $12\mathrm{m / s}$ ，水速 $1.5\mathrm{m / s}$ + +![](images/f53ddffc9b045735a98bc5b40303b1c04c72ec16bfd34d908af8af8cdc8eb445.jpg) +图7.3.6 风速 $36\mathrm{m / s}$ ，水速 $0.5\mathrm{m / s}$ + +# 八、模型评价及推广 + +# 8.1 模型的评价 + +本文的亮点之一是建立的非线性规划模型，将系泊系统的实际问题通过目标函数的设计转化为优化问题，本文的另一个亮点在于对多元非线性方程组的求解设计的基于最小二乘法的搜索算法以及在保证求解精度条件下，当模型解空间较大时设计的变步长搜索算法，且在能够接受的时间内提高了搜索精度。 + +但是由于在实际情况下，系泊系统的结构存在变形，将其作为刚体进行计算会带来计算误差。 + +# 8.2 模型的改进 + +在实际海洋中，由于海浪的作用力，会导致浮标的上下震动，这样会使得浮标的稳态描述需要由一个竖直确定的振动方程确定，由于时间的限制以及模型的复杂程度，本文对该情况尚未考虑。 + +# 8.4 模型的推广 + +本文建立的系泊设计模型具有一定的推广价值，在已知实际海洋的环境的条件下，可以通过本文建立的模型，为系泊系统的参数设计提供理论依据。可以在航运，近浅海勘探等方面得到应用。 + +# 九、参考文献 + +[1] 郝春玲，流速分布及锚链自身刚度对弹性单锚链系统变形和受力的影响，国家海洋局第二海洋研究所，2006-09-15 +[2] 郝春玲、滕斌,不均匀可拉伸单锚链系统的静力分析,大连理工大学,2003-08-30 +[3] [国家标准]-GBT549-1996 + +附录 + +附录1：问题一的解答程序 + +```matlab +mq=1200;%OÖIiCòOEÁ; +n=210;%A°A', OIA, OEY +min=inf; +minh=0; +``` + +$\mathrm{minH = 0}$ +minbeta $= 0$ +minthital $\equiv$ zeros(1,4); +mthita2 $\equiv$ zeros(1,n)+pi/2; +minFt2 $\equiv$ zeros(1,n+1); + +for $h = 0:0.0001:2$ $\begin{array}{rl} & {\mathrm{Ft} = \mathrm{zeros}(1,5);\% ,\ddot{\mathrm{O}}^{1}\dot{\mathrm{U}}^{2};\ddot{\mathrm{O}}\mu \ddot{\mathrm{A}},\div \dot{\mathrm{A}} -\dot{\mathrm{A}};}\\ & {\mathrm{alpha} = \mathrm{zeros}(1,5);\% ,\ddot{\mathrm{O}}^{1}\dot{\mathrm{U}}^{2};\ddot{\mathrm{O}},\div \dot{\mathrm{A}} -\dot{\mathrm{A}};\mu \ddot{\mathrm{A}}\cdot \frac{1}{2}\ddot{\mathrm{I}}\dot{\mathrm{O}}}\\ & {\mathrm{thital} = \mathrm{zeros}(1,4);\% ,\div \ddot{\mathrm{O}}^{1}\dot{\mathrm{U}}\mu \ddot{\mathrm{A}}\cdot \frac{1}{2}\ddot{\mathrm{I}}\dot{\mathrm{O}}}\\ & {\mathrm{beta} = 0;\% ,\ddot{\mathrm{O}}^{1}\mu \ddot{\mathrm{A}}\cdot \frac{1}{2}\ddot{\mathrm{I}}\dot{\mathrm{O}}}\\ & {\mathrm{Ft}2 = \mathrm{zeros}(1,n + 1);\% \tilde{\mathbf{A}}^{\mathbf{a}}\mathbf{A}^{\prime 2};\ddot{\mathbf{O}}\mu \ddot{\mathbf{A}},\div \dot{\mathbf{A}} -\dot{\mathbf{A}};}\\ & {\mathrm{gama} = \mathrm{zeros}(1,n + 1);\% \tilde{\mathbf{A}}^{\mathbf{a}}\mathbf{A}^{\prime 2};\ddot{\mathbf{O}},\div \dot{\mathbf{A}} -\dot{\mathbf{A}};\mu \ddot{\mathbf{A}}\cdot \frac{1}{2}\ddot{\mathrm{I}}\dot{\mathrm{O}}}\\ & {\mathrm{thita}2 = \mathrm{zeros}(1,n) + \mathrm{pi}/2;\% ,\div \tilde{\mathbf{A}}^{\mathbf{a}}\mathbf{A}^{\prime}\mu \ddot{\mathbf{A}}\cdot \frac{1}{2}\ddot{\mathrm{I}}\dot{\mathrm{O}}} \end{array}$ + +```matlab +%;±e²·Ö +v=24;%·cEù +S=2*(2-h); +m=1000;%;±eOEA; +rou=1025;%°fE®Aù¶è +g=9.8;%OØÁ|14OÉU¶è +V=pi*1^2*h;%³OÉ®Ià»y +Ffeng=0.625*S*v^2;%·çÁ; +Ffu=rou*g*V;%,iÁ; +Gfu=m*g;%,i±eOØÁ; +if Ffu-Gfu<0 + continue; +end +alpha(1)=atan(Ffeng/(Ffu-Gfu)); +Ft(1)=sqrt(Ffeng^2+(Ffu-Gfu)^2); +%,ö¹ü²;·Ö +Vg=1*pi*0.025^2;%,ö¹üIä»y +Ggang=10*g;%,ö¹üOØÁ; +Fgfu=rou*g*Vg; +for i=1:4 +``` + +alpha $(\mathrm{i} + 1) =$ atan $(\mathrm{(Ft(i)*sin(alpha(i))}) / (\mathrm{Ft(i)}*\cos (\mathrm{alpha(i)}) + \mathrm{Fgfu - Ggang}))$ . Ft $(\mathrm{i} + 1) = \mathrm{Ft(i)}*\sin (\mathrm{alpha(i)}) / \sin (\mathrm{alpha(i} + 1))$ thital $(\mathrm{i}) =$ atan $(\mathrm{Ft(i)}*\sin (\mathrm{alpha(i)})*\mathrm{1 / ((Fgfu - Ggang)}*\mathrm{1 / 2 + Ft(i)}*\cos (\mathrm{alpha(i)}))}$ + +```txt +end +``` + +Vt=1\*pi\*0.15^2; $\%$ ,Oi°Ià»y Vq=mq/7800;%oIicoIà»y Gt=100\*g;%,OI°²c·OOA; Gq=mq\*;ooIcoOOA; Ftfu=rou\*g\*Vt; $\%$ ,OI°,iA; Fqfu=rou\*g\*Vq;ooA|C0,IA; +gama(1)=atan(Ft(5)\*sin(alpha(5))/(Ftfu+Ft(5)\*cos(alpha(5))-Gt-Gq+Fqfu)); Ft2(1)=Ft(5)\*sin(alpha(5))/sin(gama(1)); +beta=atan(Ft(5)\*sin(alpha(5))*1/((Ftfu-Gt)*1/2+Ft(5)\*cos(alpha(5))*1)); %A'2:O mm=0.735;%a'A'OEAc roum=6450;%a'A'AUJE Vm=mm/roum;%a'A'Ia>>y Fmfu=rou\*g\*Vm;%a'A',iA; Gm=mm\*g;%a'A'OA! Lm=0.105;%a'A'3aQE for i=1:n +gama(i+1)=atan(Ft2(i)\*sin(gama(i))/(Ft2(i)\*cos(gama(i))+Fmfu-Gm)); if gama(i+1)<0 gama(i+1)=gama(i+1)+pi; end Ft2(i+1)=Ft2(i)\*sin(gama(i))/sin(gama(i+1)); +thita2(i)=atan(Ft2(i)\*sin(gama(i))*Lm/((Fmfu-Gm)\*Lm/2+Ft2(i)\*cos(gama(i))*L m)); if thita2(i)<0 thita2(i)=thita2(i)+pi; end end H=h+sum(cos(thital))+cos(beta)+Lm\*sum(cos(thita2)); if abs(H-18)>y Vq=mq/7800;%00IiCoiIà>>y Gt=100*g;%,OI²;ooA; Gq=mq*g;%00IiCoiOoA; Ftfu=rou*g*Vt;%,OI',;A; Fqfu=rou*g*Vq;%O0A;co,;A; +gama(1)=atan(Ft(5)*sin(alpha(5))/(Ftfu+Ft(5)*cos(alpha(5))-Gt-Gq+Fqfu)); Ft2(1)=Ft(5)*sin(alpha(5))/sin(gama(1)); +beta=atan(Ft(5)*sin(alpha(5))*1/((Ftfu-Gt)*1/2+Ft(5)*cos(alpha(5))*1)); %A'A'2;0 mm=0.735;%A'a'OEA; roum=6450;%A'a'AUqE Vm=mm/roum;%A'a'Ia>>y Fmfu=rou*g*Vm;%A'a',;A! Gm=mm*g;%A'a'O0A! Lm=0.105;%A'a'3qE for i=1:n +gama(i+1)=atan(Ft2(i)*sin(gama(i))/(Ft2(i)*cos(gama(i))+Fmfu-Gm)); if gama(i+1)<0 gama(i+1)=gama(i+1)+pi; end Ft2(i+1)=Ft2(i)*sin(gama(i))/sin(gama(i+1)); +thita2(i)=atan(Ft2(i)*sin(gama(i))*Lm/((Fmfu-Gm)*Lm/2+Ft2(i)*cos(gama(i))*L m)); if thita2(i)<0 thita2(i)=thita2(i)+pi; end H=h+sum(cos(thital))+cos(beta)+Lm*sum(cos(thita2));%EéA'O'！ if gama(i+1)>pi/2-0.015 break; end end +``` + +```matlab +if ipi/2%ADIIEC·n'¥μ×[r,minh,minbeta,minthital2,minH]=tuodir(n,mq);else +r=Lm*sum(sin(minthital2))+sin(minbeta)+sum(sin(minthital)); +end +if minbeta*180/pi>5%,OI°CãIIC²>>3⁻¹y5TEcontinue; +end +if (90-minthital2(n)*180/pi)>16%A@TEEA®A'OE°E'²D1C²>>3⁻¹y16TEcontinue; +end +if abs(minH-18)>0.2continue; +end +a=36/pi;b=1.5;c=1/20;fenshu=a*minbeta+b*minh+c*r; +``` + +```txt +kxmq=[kxmq mq]; kxh=[kxh minh]; kxbeta=[kxbeta minbeta]; kxr=[kxr r]; zfenshu=[zfenshu fenshu]; end [fenshu,i]=max(-zfenshu); fenshu kxmq(i) +``` + +# 附录四：熵值法 + +```matlab +function [ weight ] = shangzhifa(x) +n= 10; +[datanum, weights] = size(x); +k=1/log(n); +R=zeros(1, weights); +weight=zeros(1, weights); +P=zeros(datanum, weights); +for i=1:datanum + for j=1:weights + if x(i, j) == 0 + P(i, j) = 0.001; + else + P(i, j) = x(i, j) / sum(x(1:datanum, j)); + end +end +``` + +```matlab +for i=1:datanum + for j=1:weights + P(i, j) = P(i, j) * log(P(i, j)); + end +end +for i=1:weights + P(1:datanum, i); + R(i) = 1 - (-k) * sum(P(1:datanum, i)); +end +for i=1:weights +``` + +weight(i) $\equiv$ R(i)/sum(R(1:weights)); +end +end + +附录五：二维模型制图 +```matlab +n=140; +xq=0; +yq=0; +Lm=0.105; +L=1; +%minthital=minthital(5:8); +%minthita2=minthita2(211:420); +%minbeta=minbeta(2); +for i=n:-1:1%A' + xz=xq+Lm*sin(minthita2(i)); + x=xq:0.0001:xz; + y=yq+cot(minthita2(i))*(x-xq); + yq=yq+cot(minthita2(i))*(xz-xq); + xq=xz; + plot(x,y,'LineWidth',2); +end +``` + +$\begin{aligned} & \text{xz = xq + L * sin (minbeta)}; \\ & \text{x = xq : 0.0001 : xz;} \\ & \text{y = yq + cot (minbeta) * (x - xq)}; \\ & \text{x1 = (xq - 0.15) : 0.0001 : (xq + 0.15)}; \\ & \text{y1 = yq - tan (minbeta) * (x1 - xq)}; \\ & \text{x2 = (xq - 0.15) : 0.0001 : (xz - 0.15)}; \\ & \text{y2 = y1(1) + cot (minbeta) * (x2 - x1(1))}; \\ & \text{x3 = (xz - 0.15) : 0.0001 : (xz + 0.15)}; \\ & \text{y3 = y2(size(y2,2)) - tan (minbeta) * (x3 - x2(size(y2,2)))}; \\ & \text{x4 = (xq + 0.15) : 0.0001 : (xz + 0.15)}; \\ & \text{y4 = y1(3001) + cot (minbeta) * (x4 - x1(3001))}; \\ & \text{plot(x1,y1,'LineWidth',2); hold on}; \\ & \text{plot(x2,y2,'LineWidth',2); hold on}; \\ & \text{plot(x3,y3,'LineWidth',2); hold on}; \\ & \text{plot(x4,y4,'LineWidth',2); hold on}; \\ & \text{yq = yq + cot (minbeta) * (xz - xq)}; \\ & \text{xq = xz;} \end{aligned}$ + +for $i = 4: - 1: 1$ $\mathrm{xz} = \mathrm{xq} + \mathrm{L}^{*}\sin (\mathrm{minthital}(i));$ $\mathrm{x} = \mathrm{xq}:0.0001:\mathrm{xz};$ +y=yq+cot(minthital(i)) $\ast$ (x-xq); +yq=yq+cot(minthital(i)) $\ast$ (xz-xq); +xq=xz; +plot(x,y,'LineWidth',2); +hold on +plot(xq,yq,'.','color','r','LineWidth',50) +end + +```txt +line([0,22],[0,0], 'color', 'k', 'LineWidth', 2); hold on; +line([0,22],[18,18], 'color', 'k', 'LineWidth', 2); hold on +line([xq-1,xq+1], [yq,yq], 'LineWidth', 2); hold on +line([xq-1,xq-1], [yq,yq+2], 'LineWidth', 2); hold on +line([xq-1,xq+1], [yq+2,yq+2], 'LineWidth', 2); hold on +line([xq+1,xq+1], [yq,yq+2], 'LineWidth', 2); hold on +axis([0 30 -2 20]) +ylabel('34°£², B¶E (m)'); +xlabel('AeAaμA34aAe (m)') +hold off +``` + +# 附录六 三维模型制图 + +```matlab +n=140; +xq=0; +yq=0; +zq=0; +Lm=0.18; +L=1; +%minthita1=minthita1(5:8); +%minthita2=minthita2(211:420); +%minbeta=minbeta(2); +for i=n:-1:1%A' +xz=xq+Lm*sin(minthita2(i)) *cos(gama4(i)); +x=xq:0.001:xz; +y=yq+tan(gama4(i)) * (x-xq); +yq=yq+tan(gama4(i)) * (xz-xq); +z=zq+(x-xq) ./cos(gama4(i)).*cos(minthita2(i)); +zq=zq+(xz-xq) ./cos(gama4(i)).*cos(minthita2(i)); +xq=xz; +plot3(x,y,z,'LineWidth',2); +``` + +```txt +hold on end grid on hold off +``` + +# 附录7三 维考虑沉底函数 + +```matlab +function [ r, minh, minbeta, minthital, minthita2, minH ] = tuodir2(n, mq, v, vshui, gdH) %UNTITLED11 Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here mm=0.735; %A^A' OEA; Lm=0.105; %A^A^3 a qE alpha=0; %·cIóE@A÷IouA4D²C min=inf; minh=0; minH=0; minbeta=0; mintital=zeros(1,4); mintita2=zeros(1,n)+pi/2; mingama2=zeros(1,4); mingama3=0; mingama4=zeros(1,n); +``` + +for $h = 0:0.01:2$ +Ftx=zeros(1,5) $\% ,\ddot{O}^{1}\dot{U}^{2}\dot{z}\cdot \ddot{O}\mu \dot{A},\div \dot{A} -\dot{A} |,\mu \ddot{A} X\cdot \ddot{O} A\dot{z}$ +Fty=zeros(1,5) $\% ,\ddot{O}^{1}\dot{U}^{2}\dot{z}\cdot \ddot{O}\mu \dot{A},\div \dot{A} -\dot{A} |,\mu \ddot{A} Y\cdot \ddot{O} A\dot{z}$ +Ftz=zeros(1,5) $\% ,\ddot{O}^{1}\dot{U}^{2}\dot{z}\cdot \ddot{O}\mu \dot{A},\div \dot{A} -\dot{A} |,\mu \ddot{A} Z\cdot \ddot{O} A\dot{z}$ +thital=zeros(1,4) $\% ,\div ,\ddot{O}^{1}\dot{U}\mu \dot{A}\cdot \ddot{I}\dot{O}\dot{e}\dot{Z}\dot{o}\dot{a}\mu \dot{A}^{\dagger}\mathbb{D}^{\dagger}\mathbb{C}$ +gama2=zeros(1,4) $\% ,\div ,\ddot{O}^{1}\dot{U}\cdot \ddot{I}\dot{O}\hat{U} X O Y E I I I O ^ {o} O e X O a U A ^ {\dagger} D ^ {\dagger}\mathbb{C}$ +beta $= 0;\% ,\ddot{O}^{1}\mu \dot{A}\cdot \ddot{I}\dot{O}\dot{O}\dot{E} Z\dot{o}\dot{a}\mu \dot{A}^{\dagger}\mathbb{D}^{\dagger}\mathbb{C}$ +gama3 $= 0;\% ,\ddot{O}^{1}\cdot \ddot{I}\dot{O}\hat{U} X O Y E I I I O ^ {o} O e X O a u A ^ {\dagger}\mathbb{D}^{\dagger}\mathbb{C}$ +Ft2x=zeros(1,n); $\% \tilde{\mathrm{A}}^{\mathrm{a}}\tilde{\mathrm{A}}^{\prime 2}\cdot \ddot{\mathrm{O}}\mu \tilde{\mathrm{A}},\div \tilde{\mathrm{A}} -\tilde{\mathrm{A}} |,\mu \ddot{\mathrm{A}}\times \ddot{\mathrm{O}}\tilde{\mathrm{A}};$ +Ft2y=zeros(1,n); $\% \tilde{\mathrm{A}}^{\mathrm{a}}\tilde{\mathrm{A}}^{\prime 2}\cdot \ddot{\mathrm{O}}\mu \tilde{\mathrm{A}},\div \tilde{\mathrm{A}} -\tilde{\mathrm{A}} |,\mu \ddot{\mathrm{A}}\times \ddot{\mathrm{O}}\tilde {\mathrm{A}};$ +Ft2z=zeros(1,n); $\% \tilde{\mathrm{A}}^{\mathrm{a}}\tilde{\mathrm{A}}^{\prime 2}\cdot \ddot{\mathrm{O}}\mu \tilde{\mathrm{A}},\div \tilde{\mathrm{A}} -\tilde{\mathrm{A}} |,\mu \ddot{\mathrm{A}} Z\cdot \ddot{\mathrm{O}}\tilde{\mathrm{A}};$ +thita2=zeros(1,n)+pi/2; $\% \tilde{\mathrm{A}}^{\mathrm{a}}\tilde{\mathrm{A}}^{\prime},\div \tilde{\mathrm{A}}^{\prime 2}\tilde{\mathrm{U}}\mu \tilde{\mathrm{A}}^{\prime 2}\cdot \ddot{\mathrm{I}} o\dot{o}\dot{e} Z\dot{o} a u A ^ {\prime 4}D ^ {\prime 2}C$ +gama4=zeros(1,n); $\% \tilde{\mathrm{A}}^{\mathrm{a}}\tilde{\mathrm{A}}^{\prime},\div \tilde{\mathrm{A}}^{\prime 2}\tilde{\mathrm{U}}\cdot \ddot{\mathrm{I}} o\hat{U} X O Y E I I I O ^ {o} O e X O a u A ^ {\prime 4}D ^ {\prime 2}C$ + +```csv +% ,i±e²;·O +S=2*(2-h)； +m=1000;%,i±eOEA; +rou=1025;%°£E®Aùqé +``` + +```txt +\(\begin{aligned}&g=9.8;\% \text{O}\text{A};\% \text{E}\text{U}\text{E}\text{I}\text{E}\\&V=p i*1^{\wedge}2^{*}h;\% ^{3}\text{O}\text{E}\text{I}\text{I}\text{A}\gg y\\&F f e n g=0.625*S*v^{\wedge}2;\% \cdot c\text{A};\\&F f u=r o u^{*}g^{*}V;\% ,i\text{A};\\&G f u=m^{*}g;\% ,i\pm e\circ\text{O}\text{A};\end{aligned}\) +Fshui \(= 374^{*}\) (vshui/gdH^2*(gdH-h)^2)^2*2*h; %E±EUE@μA>uOE if Ffu-Gfu<0 continue; end Ftx(1)=Fshui+Ffeng\*cos(alpha); Fty(1)=Ffeng\*sin(alpha); Ftz(1)=Ffu-Gfu; \\(\(\% ,0^{\prime \prime}U^{\prime \prime}z.\) . \(\ddot{O}\) Vg \(= 1^{*}p i^{*}0.025^{\wedge}2;\% ,0^{\prime \prime}U^{\prime \prime}a.\) Ggang \(= 10^{*}g;\% ,0^{\prime \prime}U^{\prime \prime}o\text{A};\) Fgfurou\*g\*Vg; +Fshui2=[374\* (vshui/gdH^2\* (gdH-h-0.5)^2)^2^2*1^0.05,374\* (vshui/gdH^2\* (gdH-h-1. 5)^2)^2*1^0.05,374\* (vshui/gdH^2\* (gdH-h-2.5)^2)^2^2*1^0.05,374\* (vshui/gdH^2\* (gdH-h-3.5)^2)^2^2*1^0.05]; %E±EUE@μA>uOE for i=1:4 gama2(i)=atan(Fty(i)/(Fshui2(i)/2+Ftx(i)); Ftp=Ftx(i)\*cos(gama2(i))+Fty(i)\*sin(gama2(i)); +thital(i)=atan((Ftp+Fshui2(i)\*cos(gama2(i))//((Fgf-uGang)/2+Ftz(i)); Ftx(i+1)=Fshui2(i)+Ftx(i); Fty(i+1)=Fty(i); Ftz(i+1)=Fgf-uGang+Ftz(i); +end +\(\% ,0^{\prime \prime}{}_{2}\) . \(\ddot{O}\) Vt \(= 1^{*}p i^{*}0.15^{\wedge}2;\% ,0^{\prime \prime}{}_{1}\) . \(\ddot{O}\) I'axy Vq=mq/7800;%OØIiCoiA\(\dot{Y}\) Gt \(= 100^{*}g;\% ,0^{\prime \prime}{}_{2}\) . \(\ddot{O}\) OØA; Gq=mq\*g;%OØIiCooA; Ftfu=rou\*g\*Vt;%O,I°,iA; Fqfu=rou\*g\*Vq;%OØA|Cò, iA! +Fshui3=0+374\* (vshui/gdH^2\* (gdH-h-4.5)^2)^2^2*1^0.3; %E±EUE@ μA>uOE gama3=atan(Fty(5)/(Fshui3/2+Ftx(5)); +``` + +$\mathrm{Ftp = Ftx(5)*cos(gama3) + Fty(5)*sin(gama3)}$ +beta $\equiv$ atan((Ftp+Fshui3/2\*cos(gama3))/(((Ftfu-Gt)/2+Ftz(5)))； + $\mathrm{Ft2x(1) = Fshui3 + Ftx(5)}$ $\mathrm{Ft2y(1) = Fty(5)}$ $\mathrm{Ft2z(1) = Ftfu - Gt + Ftz(5) + Fqfu - Gq}$ + +$\% \tilde{A}^{a}A^{\prime 2}$ .O +roum $= 6450$ %A'AAUqE +Vm $\equiv$ mm/room; $\% \tilde{A}^{a}A^{\prime}$ Ia>>y +Fmfu $\equiv$ rou\*g\*Vm;%A'a',iA +Gm $\equiv$ mm\*g; $\% \tilde{A}^{a}A^{\prime}$ O0A +Fshui4=zeros(1,n); $\% \dot{E}\pm \dot{E}\dot{U}\dot{E}\dot{E}\dot{A} | \mu \dot{A}\gg \dot{u}\dot{O}\dot{E}$ + +```matlab +for i=1:n +Fshui4(i)=0; %E±ÉUÉ®A|μÄ»úÖE +gama4(i)=atan(Ft2y(i)/(Fshui4(i)/2+Ft2x(i)); +Ftp=Ft2x(i)*cos(gama4(i))+Ft2y(i)*sin(gama4(i)); +``` + +thita2(i) $\equiv$ atan((Ftp+Fshui4(i)\*cos(gama4(i))/2)/( (Fmfu-Gm)/2+Ft2z(i)); if thita2(i)<0 thita2(i)=thita2(i)+pi; end Ft2x(i+1)=Fshui4(i)+Ft2x(i); Ft2y(i+1)=Ft2y(i); Ft2z(i+1)=Fmfu-Gm+Ft2z(i); H=h+sum(cos(thital))+cos(beta)+Lm\*sum(cos(thita2));%EaEaO>>'i if Ft2z(i+1）\text{uOE}$ +gama3=atan(Fty(5)/(Fshui3/2+Ftx(5)); +Ftp=Ftx(5)*cos(gama3)+Fty(5)*sin(gama3); +beta=atan((Ftp+Fshui3/2*cos(gama3))/(Ftfu-Gt)/2+Ftz(5)); +Ft2x(1)=Fshui3+Ftx(5); +Ft2y(1)=Fty(5); +Ft2z(1)=Ftfu-Gt+Ftz(5)+Fqfu-Gq; +%AA'²; +roum=6450;%A'A'AUQE +Vm=mm/room;%A'A'Ià»y +Fmfu=rou*g*Vm;%A'A',;A; +Gm=mm*g;%A'A'OOA; +Fshui4=zeros(1,n); $\% E\pm EUE@A|\mu A\rangle uOE$ +for i=1:n Fshui4(i)=0; $\% E\pm EUE@A|\mu A\rangle uOE$ +gama4(i)=atan(Ft2y(i)/(Fshui4(i)/2+Ft2x(i)); +Ftp=Ft2x(i)*cos(gama4(i))+Ft2y(i)*sin(gama4(i)); +thita2(i)=atan((Ftp+Fshui4(i)*cos(gama4(i))/2)/( (Fmfu-Gm)/2+Ft2z(i)); if thita2(i)<0 thita2(i)=thita2(i)+pi; end Ft2x(i+1)=Fshui4(i)+Ft2x(i); Ft2y(i+1)=Ft2y(i); Ft2z(i+1)=Fmfu-Gm+Ft2z(i); end + +```csv +H=h+sum(cos(thital)+cos(beta)+Lm*sum(cos(thita));%,B@EμAéA +``` + +```matlab +if abs(H-gdH) < min + minh=h; + min=abs(H-gdH); + minH=H; +``` + +minthital $=$ thital; +minthita2 $\equiv$ thita2; +minbeta $\equiv$ beta; +minFt2 $\equiv$ Ft2; end +end +if minthita2 (n) $\rightharpoondown$ pi/2%ADqIIEC·n'YmuX +[r,minh,minbeta,minthita1,minthita2,minH] $\equiv$ tuodir2 (n,mq,v,vshui,gdH); else r $\equiv$ Lm\*sum(sin(minthita2))+sin(minbeta)+sum(sin(minthita)); end if minbeta\*180/pi>5%O1°Ca²C²》³-1y5FE continue; end if (90-minthita2 (n) $\ast 180 / \mathrm{pi}) > 16\% \text{A}\text{©}\text{E}\text{A}^{\text{a}}\text{A}^{\text{c}}\text{e}^{\text{c}}\text{f}^{\text{c}}\text{2}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}^{\text{c}}\text{c}}$ y5FE continue; end if abs (minH-gdH) $>0.2$ continue; end a=36/pi;b=1.5;c=1/20; fenshu=a\*minbeta+b\*minh+c\*r; kxn=[kxn n]; kxmq=[kxmq mq]; kxl=[kxl l]; kxh=[kxh minh]; kxbeta=[kxbeta minbeta]; kxr=[kxr r]; zfenshu=[zfenshu fenshu]; end end end [fenshu,i]=max(-zfenshu); fenshu kxmq(i) kxl(i) kxn(i) + +# 附录9 第三问不同情况分析计算 + +```txt +v=12;%·εEù +vshui=1.5;%E®A÷ΕU¶E +``` + +```matlab +gdH=20;%1æq''μA°£'²EiJE +mm=0.18*28.12;%Aa'ÖEA; +Lm=0.18;%Aa'3αJE +mq=2950;%OÖIiCòÖEA; +n=180;%Aa',OIA,ÖEy +alpha=0;%·cIàOÖEEa÷IouA4D12C +min=inf; +minh=0; +minH=0; +minbeta=0; +minthital=zeros(1,4); +minthita2=zeros(1,n)+pi/2; +mingama2=zeros(1,4); +mingama3=0; +mingama4=zeros(1,n); +``` + +for $h = 0:0.0001:2$ +Ftx=zeros(1,5) $\% ,\ddot{O}^{1}\dot{U}^{2}\dot{Z}\cdot \ddot{O}\mu \dot{A},\div A - \dot{A} | \mu \dot{A} X\cdot \ddot{O} A\dot{Z}$ +Fty=zeros(1,5) $\% ,\ddot{O}^{1}\dot{U}^{2}\dot{Z}\cdot \ddot{O}\mu \dot{A},\div A - \dot{A} | \mu \dot{A} Y\cdot \ddot{O} A\dot{Z}$ +Ftz=zeros(1,5) $\% ,\ddot{O}^{1}\dot{U}^{2}\dot{Z}\cdot \ddot{O}\mu \dot{A},\div A - \dot{A} | \mu \dot{A} Z\cdot \ddot{O} A\dot{Z}$ +thital=zeros(1,4); $\% ,\div ,\ddot{O}^{1}\dot{U}\mu \dot{A}\cdot \ddot{I}\dot{O}\dot{O} Z\dot{o}\acute{a}\mu \dot{A}^{\dagger}D^{\dagger}C$ +gama2=zeros(1,4) $\% ,\div ,\ddot{O}^{1}\dot{U}\cdot \ddot{I}\dot{O}\hat{U} X O E I I I I O ^ { 1 } O ^ { 1 } E X O \hat { a } \mu A ^ { 1 } D ^ { 1 } C$ +beta=0; $\% ,\ddot{O}^{1}\mu \dot{A}\cdot \ddot{I}\dot{O}\hat{O} E Z\hat{o} a\mu A ^ { 1 } D ^ { 1 } C$ +gama3=0; $\% ,\ddot{O}^{1}\cdot \ddot{I}\dot{O}\hat{U} X O E I I I O ^ { 1 } O ^ { 1 } E X O \hat { a } \mu A ^ { 1 } D ^ { 1 } C$ +Ft2x=zeros(1,n); $\% \tilde{A}^{a}\tilde{A}^{\prime 2}\cdot \ddot{O}\mu \tilde{A},\div A - \tilde{A} | \mu \tilde{A} X\cdot \ddot{O} A;$ +Ft2y=zeros(1,n); $\% \tilde{A}^{a}\tilde{A}^{\prime 2}\cdot \ddot{O}\mu \tilde{A},\div A - \tilde{A} | \mu \tilde{A} Y\cdot \ddot{O} A;$ +Ft2z=zeros(1,n); $\% \tilde{A}^{a}\tilde{A}^{\prime 2}\cdot \ddot{O}\mu \tilde{A},\div A - \tilde{A} | \mu \tilde{A} Z\cdot \ddot{O} A;$ +thita2=zeros(1,n); $\% \tilde{A}^{a}\tilde{A}^{\prime},\div A^{\prime 2}\ddot{U}\mu A^{\prime 2}\ddot{I}\dot{o}\dot{O}\dot{E} Z\dot{o} a\mu A ^ { 1 } D ^ { 1 } C$ +gama4=zeros(1,n); $\% \tilde{A}^{a}\tilde{A}^{\prime},\div A^{\prime 2}\ddot{U}\cdot \ddot{I}\dot{o}\hat{U} X O Y E I I I O ^ { 1 } O ^ { 1 } E X O a u A ^ { 1 } D ^ { 1 } C$ + +```txt +%;±e²;·O +S=2*(2-h); +m=1000;%;±eOEA; +rou=1025;%°E@Aù¶E +g=9.8;%ÖA'14OEU¶E +V=pi*1^2*h;%³OÉ®Ià»y +Ffeng=0.625*S*v^2;%·cÁ| +Ffu=rou*g*V;%;iA| +Gfu=m*g;%;±eOÀ| +``` + +Fshui=374*(vshui/gdH^2*(gdH-h)^2)^2*2*h; + +```txt +if Ffu-Gfu<0 continue; +``` + +%E±EUÉ®A;μA»úÖE + +# end + +Ftx(1) = Fshui + Ffeng*cos(alpha); + +Fty(1) = Ffeng*sin(alpha); + +Ftz(1)=Ffu-Gfu; + +%O'U²乙·O + +Vg=1\*pi\*0.025^2;%. $0$ üIä>>y + +Ggang=10\*g;%,O'UOxA; + +Fgfu=rou\*g\*Vg; + +Fshui2=[374*(vshui/gdH^2*(gdH-h-0.5)^2)^2*1*0.05,374*(vshui/gdH^2*(gdH-h-1. + +5) ^2) ^2*1*0.05,374*(vshui/gdH^2*(gdH-h-2.5)^2) ^2*1*0.05,374*(vshui/gdH^2*(g + +dH-h-3.5) ^2) ^2*1*0.05]; $\% \mathrm{E} \pm \mathrm{E} \mathrm{U} \mathrm{E} \mathrm{E} \mathrm{A} ; \mu \mathrm{A} \gg \mathrm{uO}$ + +for $\mathrm{i} = 1:4$ + +gama2(i) $\equiv$ atan(Fty(i)/(Fshui2(i)/2+Ftx(i)); + +$\mathrm{Ftp = Ftx(i)^{\star}cos(gama2(i)) + Fty(i)^{\star}\sin(gama2(i))};$ + +```c +thital(i) = atan((Ftp + Fshui2(i) * cos(gama2(i)))/( (Fgfu - Ggang) / 2 + Ftz(i)); + +$\mathrm{Ftx(i + 1) = Fshui2(i) + Ftx(i)}$ + +Fty $(\mathrm{i} + 1) = \mathrm{Fty}(\mathrm{i})$ + +Ftz $(\mathrm{i} + 1) =$ Fgfu-Ggang $^+$ Ftz(i); + +end + +8.01°2乙·O + +Vt=1\*pi\*0.15^2; %, 'oi'ia>>y + +Vq=mq/7800;%OIfiCoià»y + +Gt=100\*g;%OO²乙OOA + +Gq=mq*g; %O0IiCòOQÁ! + +Ftfu=rou\*g\*Vt;%,OI°,A; + +Fqfu=rou\*g\*Vq;%O\`A;C\`.A + +Fshui3=0+374*(vshui/gdH^2*(gdH-h-4.5)^2)^2*1*0.3; ±E±ÉÜE®A; + +uA>>uOe + +gama3=atan(Fty(5)/(Fshui3/2+Ftx(5))）; + +$\mathrm{Ftp} = \mathrm{Ftx}(5)^{\star}\cos (\mathrm{gama3}) + \mathrm{Fty}(5)^{\star}\sin (\mathrm{gama3});$ + +beta $\equiv$ atan((Ftp+Fshui3/2\*cos(gama3))/( (Ftfu-Gt)/2+Ftz(5)); + +Ft2x(1) = Fshui3 + FtX(5); + +$\mathrm{Ft2y(1) = Fty(5)}$ + +Ft2z(1)=Ftfu-Gt+Ftz(5)+Fqfu-Gq; + +A²A²乙 + +roum=6450; %A a' A' Aüqé + +```matlab +Vm=mm/room; %A'1a'y Fmfu=rou*g*Vm; %A'A', A; Gm=mm*g; %A'00A; Fshui4=zeros(1,n); %E±EUE@A; μA>uOE for i=1:n Fshui4(i)=0; %E±EUE@A; μA>uOE gama4(i)=atan(Ft2y(i)/(Fshui4(i)/2+Ft2x(i)); Ftp=Ft2x(i)*cos(gama4(i))+Ft2y(i)*sin(gama4(i)); thita2(i)=atan((Ftp+Fshui4(i)*cos(gama4(i))/2)/( (Fmfu-Gm)/2+Ft2z(i)); if thita2(i)<0 thita2(i)=thita2(i)+pi; end Ft2x(i+1)=Fshui4(i)+Ft2x(i); Ft2y(i+1)=Ft2y(i); Ft2z(i+1)=Fmfu-Gm+Ft2z(i); end H=h+sum(cos(thital))+cos(beta)+Lm*sum(cos(thita2)); %,B9EμA'zEa if abs(H-gdH)变量名称含义单位α1锚链左侧与海床的夹角°α2锚链右端点与海床的夹角°T锚链两侧所受力Nf各物体所受浮力Ny(x)锚链线方程/σkind某一种型号的锚链线密度kg/ms锚链线长度mFi每根钢管两侧的拉力Nγi钢管两侧拉力角度°θi钢管倾斜角度°βi钢桶倾斜角度°R浮标游动区域半径md浮标吃水深度mH海水深度m + +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 基于刚体力学分析的系泊系统参数计算方程组 + +当海面风速一定且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域与锚链线的方程、系泊系统各部分之间的受力平衡和力矩平衡的约束密切相关，因此需要对锚链的曲线，钢桶、钢管、浮标进行系统的力学分析，进而得出各部分受力平衡时的定量解析式。将给定的数据代入，可以求解相应的系泊系统参数。 + +# 5.1.1 系泊系统各部分的力学分析 + +稳定后的系泊系统可以分为锚、锚链、钢桶和重物球、钢管、浮标五个部分。对于锚而言，由于锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度时，锚保持静止，因此无需分析锚的受力情况。建立系泊系统坐标系如图1所示，其中x轴为风力方向；xAy平面为海平面；原点A为锚链末端与锚的链接处。 + +![](images/a5442f5fe3e498c236846c7c3abfd23060f099dc6c4078363e919f0c83162eb1.jpg) +图1 系泊系统坐标系 + +下面对锚链、钢桶和重物球、钢管、浮标四部分的力学分析依次进行讨论：(1)锚链形状的方程推导 + +由于假设锚链质量均匀，且不考虑锚链自身的弹性伸长，因此锚泊船的锚链完全符合悬链的基本条件[1]。参照悬链线方程的推导[2]，将锚链整体视为一条可微的曲线，锚链坐标系AC段如图2所示： + +![](images/badf53f538984199c812df6c2d048c9db1e37a52085d2576a68b434b1224959b.jpg) +图2锚链AC段坐标系 + +在图2中，x轴为风力方向；xAy平面为海平面；原点A为锚链末端与锚的链接处； $\alpha_{1}$ 表示锚链A端切线方向与x轴正方向的夹角； $\mathrm{T}_{1}$ 表示锚链A点所受拉力，方向沿绳；锚链右端视为C点，坐标设为 $(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)$ ； $\mathrm{T}_{2}$ 表示C点所受拉力， + +方向沿绳； $\alpha_{2}$ 表示锚链 C 端切线方向与 x 轴正方向的夹角；B 为锚链线上任意一点，坐标设为 $(x, y)$ ； $\alpha$ 表示锚链 B 端切线方向与 x 轴正向的夹角；T 表示 B 点所受拉力。 + +对B点(x,y)进行受力分析，受力平衡时有如下方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T \sin \alpha = m g + T _ {1} \sin \alpha_ {1} \\ T \cos \alpha = T _ {1} \cos \alpha_ {1} \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +其中 $\mathrm{m}$ 表示 B 点左侧的锚链质量和, $\mathrm{g}$ 代表重力加速度, $\alpha$ 记为 B 的切线方向与 $\mathrm{x}$ 轴正向的夹角。 + +由坐标系可知，y对 $\mathbf{X}$ 的导数可以表示为： + +$$ +\frac {d y}{d x} = \tan \alpha +$$ + +将(1)式代入得： + +$$ +\frac {d y}{d x} = \frac {m g + T _ {1} \sin \alpha_ {1}}{T _ {1} \cos \alpha_ {1}} \tag {2} +$$ + +对于锚链， $m = \sigma s$ ，其中 $s$ 是 AB 锚链的长度， $\sigma$ 是锚链的线密度，即单位长度锚链的质量[1]。代入(2)式得： + +$$ +\frac {d y}{d x} = \frac {\sigma s g + T _ {1} \sin \alpha_ {1}}{T _ {1} \cos \alpha_ {1}} \tag {3} +$$ + +根据勾股定理可以得到弧长公式： + +$$ +d s = \sqrt {1 + \left(\frac {d y}{d x}\right) ^ {2}} d x +$$ + +积分得到 $s = \int \sqrt{1 + y'^2} dx$ ，代入(3)式移项可得： + +$$ +\frac {d y}{d x} T _ {1} \cos \alpha_ {1} - T _ {1} \sin \alpha_ {1} = \sigma g \int \sqrt {1 + y ^ {\prime 2}} d x +$$ + +对上式做一次变量替换，令 $p = y'$ ，得到如下方程： + +$$ +p T _ {1} \cos \alpha_ {1} - T _ {1} \sin \alpha_ {1} = \sigma g \int \sqrt {1 + p ^ {2}} d x +$$ + +为了将积分符号去掉，上式两边对 $\mathbf{X}$ 求导， $\alpha_{1}$ 是待确定的常量，得到： + +$$ +\frac {d p}{d x} T _ {1} \cos \alpha_ {1} = \sigma g \sqrt {1 + p ^ {2}} +$$ + +然后对 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{p}$ 分离变量并对两端进行积分得到： + +$$ +\int \frac {d p}{\sqrt {1 + p ^ {2}}} = \int \frac {\sigma g}{T _ {1} \cos \alpha_ {1}} d x +$$ + +即： $\sinh^{-1}(p) = \frac{\sigma g}{T_1} x + C_1$ (4) + +其中 $C_1$ 可以由 $x = 0, y = 0$ 时的值确定，原点 A 处 $p = y' = \tan \alpha_1$ ，可得 $C_I$ 为： + +$$ +C _ {1} = \sinh^ {- 1} (p) = \sinh^ {- 1} (\tan \alpha_ {1}) \tag {5} +$$ + +经过上述求解已经得到了 $\mathrm{dy} / \mathrm{dx}$ 的函数形式，即： + +$$ +\frac {d y}{d x} = \sinh \left(\frac {\sigma g}{T _ {1} \cos \alpha_ {1}} x + C _ {1}\right) +$$ + +对上式进行分离变量： + +$$ +\int d y = \int \sinh \left(\frac {\sigma g}{T _ {1} \cos \alpha_ {1}} x + C _ {1}\right) d x +$$ + +积分得到： + +$$ +y = \frac {T _ {1} \cos \alpha_ {1}}{\sigma g} \cosh \left(\frac {\sigma g}{T _ {1} \cos \alpha_ {1}} x + C _ {1}\right) + C _ {2} \tag {6} +$$ + +其中 $C_2$ 同样可以由坐标系原点来确定， $(0,0)$ 点代入得常数 $C_2$ 为： + +$$ +C _ {2} = - \frac {T _ {1} \cos \alpha_ {1}}{\sigma g} \cosh \left(C _ {1}\right) \tag {7} +$$ + +由于对系泊系统整体而言，水平方向受力平衡，可知： + +$$ +F _ {w i n d} = T _ {1} \cos \alpha_ {1} +$$ + +其中 $F_{\text{wind}}$ 表示海面风力。 + +综上(5)(6)(7)式，在所设定的直角坐标系下，锚链的曲线方程可以表示为： + +$$ +y = \frac {T _ {1} \cos \alpha_ {1}}{\sigma g} \cosh \left(\frac {\sigma g}{T _ {1} \cos \alpha_ {1}} x + \sinh^ {- 1} (\tan \alpha_ {1})\right) - \frac {T _ {1} \cos \alpha_ {1}}{\sigma g} \cosh \left(\sinh^ {- 1} (\tan \alpha_ {1})\right) +$$ + +# a.锚链无沉底时 + +锚链末端纵坐标为 $y_{1}$ , 横坐标为 $x_{1}$ , 由于锚链从坐标系原点开始, 全部锚链均高于海水底面。对锚链总长度进行曲线积分得: + +$$ +\int_ {0} ^ {x _ {1}} \sqrt {1 + y ^ {\prime 2}} d x = s, y _ {1} = y \left(x _ {1}\right) \tag {8} +$$ + +锚链末段满足： + +$$ +\left. y ^ {\prime} \right| _ {x _ {1}} = \tan \alpha_ {2} +$$ + +其中s为锚链长度，此问中为已知量。 + +# b. 锚链有沉底时 + +锚链沉在水底部分的长度为 $x_{0}$ 米，锚链末端纵坐标为 $y_{1}$ ，横坐标为 $x_{1}$ ，由于锚链从 $(x_{0}, 0)$ 点开始，右侧的锚链均高于海水底面。对锚链总长度进行曲线积分得： + +$$ +\int_ {x _ {0}} ^ {x _ {1}} \sqrt {1 + y ^ {\prime 2}} d x = s - x _ {0}, y _ {1} = y (x _ {1}) \tag {9} +$$ + +锚链末段仍然满足： + +$$ +\left. y ^ {\prime} \right| _ {x _ {1}} = \tan \alpha_ {2} +$$ + +其中s为锚链长度。 + +# (2) 钢桶与重物球的受力平衡和力矩平衡 + +将钢桶和重物球作为一个整体进行受力分析，如图3所示， + +![](images/15c41fefa468c4514642d1700bf310ba3763bf340eddf1ef963348888b204a40.jpg) +图3钢桶和重物的整体受力分析图示 + +在图3中，钢桶与重物球整体受到四个力的作用，分别是总重力 $G_{\text {bucket}} + G_{\text {ball}}$ ，钢桶浮力 $f_{\text {bucket}}$ ，钢球浮力 $f_{\text {ball}}$ ，左侧锚链的拉力 $T_{2}$ ，右侧钢管的拉力 $F_{1}$ 。 + +最下面一节钢管记为钢管1，钢桶及钢管1各角度表示如上图所示。钢桶中心轴线与竖直方向的夹角为 $\beta$ ；钢桶与锚链接触的位置处锚链的切线方向与x轴正向的夹角为 $\alpha_{2}$ ；钢管1与竖直方向的夹角记为 $\theta_{1}$ ；钢管1的下端力的方向与钢桶中心轴线的夹角为 $\gamma_{1}$ 。 + +按照锚链中所选取的参考系，钢桶重物球系统在 $\mathbf{X}$ 轴y轴方向受力平衡： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x: F _ {1} \sin \gamma_ {1} = T _ {2} \cos \alpha_ {2} \\ y: G _ {\text {b u c k e t}} + G _ {\text {b a l l}} + T _ {2} \sin \alpha_ {2} = f _ {\text {b a l l}} + f _ {\text {b u c k e t}} + F _ {1} \cos \gamma_ {1} \end{array} \right. \tag {10} +$$ + +其中 $\mathrm{T}_2, \mathrm{F}_1, \gamma_1, \alpha_2, f_{ball}, f_{bucket}$ 的含义见图3。 + +由于钢桶可以绕质心旋转，应对该整体进行受力分析和力矩分析。为使该整体处于平衡状态，需要各个力达到力矩平衡。因为钢桶重力、浮力均可认为作用在质心，不产生力矩，而重物球重力 $G_{\text {ball}}$ 、左侧锚链的拉力 $T_{2}$ 、右侧钢管的拉力 $F_{1}$ 均会产生力矩。 + +根据力矩定义： $\mathrm{M} = \mathrm{L} \times \mathrm{F} = \mathrm{L} \mathrm{F} \sin \lambda$ 。其中 $\mathrm{M}$ 为力矩， $\mathrm{F}$ 为受力； $\mathrm{L}$ 为力臂； $\lambda$ 为 $\mathrm{F}$ 与 $\mathrm{L}$ 的矢量夹角。对于钢管1，计算力矩时 $\lambda$ 为 $\beta - \gamma_{1}$ ；对于钢桶与左侧锚链接接触的位置，计算力矩时 $\lambda$ 为为 $\pi / 2 - \alpha_{2} - \beta$ 。对于重物球，计算力矩时所用角度为 $\beta$ 。 + +因此钢桶的力矩平衡式如下： + +$$ +G _ {b a l l} L \sin \beta + F _ {1} L \sin (\beta - \gamma_ {1}) = T _ {2} L \sin \left(\frac {\pi}{2} - \alpha_ {2} - \beta\right) \tag {11} +$$ + +其中 $G_{\text {ball }}$ 为重物球重力, $\mathrm{F}_{1}$ 为右侧钢管的拉力, $\mathrm{T}_{2}$ 为左侧锚链的拉力。 + +# (3) 四根钢管的受力平衡与力矩平衡 + +4节钢管从下至上依次记为钢管1，钢管2，钢管3，钢管4。对于系泊系统的四段钢管部分，每一段都是受到重力 $G_{pipe}$ 、浮力 $f_{pipe}$ 、钢管左侧的拉力和右侧的拉力。记1号钢管左侧拉力为 $F_1$ ，右侧拉力为 $F_2$ ；由1号2号钢管连接处微分的受力平衡可知，2号钢管左侧拉力为 $F_2$ ，右侧拉力为 $F_3$ 。以此类推，4号钢管左侧拉力为 $F_4$ ，右侧与浮标连接处的拉力为 $F_5$ 。 + +故1号钢管的受力分析与力矩分析如图4： + +![](images/dc2ccc85e7c79264917eafa1797ad8f91a7672a57121bf06784ef49f9097171f.jpg) +图4钢管1的受力分析图示 + +受力平衡： $\left\{ \begin{array}{l} G_{pipe} + F_1 \cos \gamma_1 = f_{pipe} + F_2 \cos \gamma_2 \\ F_1 \sin \gamma_1 = F_2 \sin \gamma_2 \end{array} \right.$ (12) + +力矩平衡： $F_{1}L\sin \left(\gamma_{1} - \theta_{1}\right) = F_{2}L\sin \left(\theta_{1} - \gamma_{2}\right)$ + +同理，2号钢管受力平衡与力矩平衡方程为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} G _ {p i p e} + F _ {2} \cos \gamma_ {2} = f _ {p i p e} + F _ {3} \cos \gamma_ {3} \\ F _ {2} \sin \gamma_ {2} = F _ {3} \sin \gamma_ {3} \\ F _ {2} L \sin (\gamma_ {2} - \theta_ {2}) = F _ {3} L \sin (\theta_ {2} - \gamma_ {3}) \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +3号钢管的受力平衡与力矩平衡方程为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} G _ {p i p e} + F _ {3} \cos \gamma_ {3} = f _ {p i p e} + F _ {4} \cos \gamma_ {4} \\ F _ {3} \sin \gamma_ {3} = F _ {4} \sin \gamma_ {4} \\ F _ {3} L \sin \left(\gamma_ {3} - \theta_ {3}\right) = F _ {4} L \sin \left(\theta_ {3} - \gamma_ {4}\right) \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +4号钢管的受力平衡与力矩平衡方程为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} G _ {p i p e} + F _ {4} \cos \gamma_ {4} = f _ {p i p e} + F _ {5} \cos \gamma_ {5} \\ F _ {4} \sin \gamma_ {4} = F _ {5} \sin \gamma_ {5} \\ F _ {4} L \sin (\gamma_ {4} - \theta_ {4}) = F _ {5} L \sin (\theta_ {4} - \gamma_ {5}) \end{array} \right. \tag {15} +$$ + +其中力臂长度 L 均相等; 钢管 1,2,3,4 与竖直方向的夹角分别记为 $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}, \theta_{4}$ ; 钢管 1,2,3,4 的下端力的方向与钢桶中心轴线的夹角分别为 $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ ; 1 号钢管左侧拉力为 F 1 , 右侧拉力为 F 2 ; 2 号钢管左侧拉力为 F 2 , 右侧拉力为 F 3 ; 以此类推 4 号钢管左侧拉力为 F 4 , 右侧拉力为 F 5 ; 每一段钢管的重力为 $G_{\text {pipe }}$ , 浮力为 $f_{\text {pipe }}$ 。 + +# (4)浮标受力分析 + +对于浮标而言，当水流力为零时，共受到四个力作用，分别为4号钢管的拉力F5，自身重力 $G_{buoy}$ ，水面风力 $\mathrm{F}_{\text {wind }}$ 以及自身浮力 $f_{buoy}$ 。当不考虑浮标倾斜时，浮标吃水深度最终将稳定为长度d，浮标在四个力的作用下保持平衡。 + +竖直方向受力平衡： $f_{buoy} = G_{buoy} + F_5\cos \gamma_5$ (16) + +水平方向受力平衡: $F_{5} \sin \gamma_{5} = F_{\text {wind}}$ (17) + +式(16)中 $f_{buoy} = \rho g V = \pi \left(\frac{2}{2}\right)^{2} d g \rho$ ，式(17)中 $F_{wind} = 0.625 \times S v^{2} = 0.625 \times 2 \times (2 - d) v^{2}$ + +其中， $\gamma_{5}$ 为4号钢管所受拉力 $\mathrm{F}_{5}$ 与竖直方向的夹角； $\rho$ 代表海水密度； $g$ 代表重力加速度； $V$ 代表浮标沉在海水中的体积；S代表物体在风向法平面的投影面积；v为风速；d为浮标吃水深度。 + +# (5)水下总高度与游动区域的计算 + +结合前面四部分的受力分析方程，可以列出总的高度H和游动区域最大半径R的方程。 + +水下总高度 $\mathrm{H}$ 在此问中取定值 $18 \mathrm{~m}$ , 可以表示为锚链末端纵坐标 $\mathbf{y}_{1}$ 、钢桶和 4 根钢管的 $\mathrm{y}$ 轴投影长度、浮标吃水深度 $\mathrm{d}$ 之和: + +$$ +H = y _ {1} + l _ {\text {b u c k e t}} \cos \beta + l _ {\text {p i p e}} \left(\cos \theta_ {1} + \cos \theta_ {2} + \cos \theta_ {3} + \cos \theta_ {4}\right) + d \tag {18} +$$ + +式(18)中 $\mathbf{y}_1$ 可以由锚链形状的方程确定，即 $\int_0^{x_1}\sqrt{1 + y'^2} dx = s, y_1 = y(x_1)$ + +其中s为锚链长度,此问中为已知量， $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 分别代表锚链末端C点的横坐标和纵坐标。 $l_{\text {bucket}}$ 为钢桶长度， $l_{\text {pipe}}$ 为钢管长度， $\theta_{1} \theta_{2} \theta_{3} \theta_{4}$ 分别代表钢管1-4的倾斜角度， $\beta$ 代表钢桶倾斜角度， $d$ 代表浮标吃水深度。 + +将游动区域理解为一个圆形区域，当风力达到最大且方向保持不变时，该圆形区域的半径达到最大。最大半径值等于稳定后系泊系统各个部分在水平方向投影的总长度。因此游动区域的最大半径R可以表示为锚链末端横坐标 $\mathbf{X}_0$ ，钢桶和4根钢管的 $\mathbf{X}$ 轴投影长度之和： + +$$ +R = x _ {0} + l _ {\text {b u c k e t}} \sin \beta + l _ {\text {p i p e}} \left(\sin \theta_ {1} + \sin \theta_ {2} + \sin \theta_ {3} + \sin \theta_ {4}\right) \tag {19} +$$ + +# 5.1.2 模型汇总 + +基于上述(1)-(5)的分析，共得到20个从系泊系统底部到顶部的刚体力学方程。通过求解这20个方程构成的刚体力学方程组可以得到钢桶的倾斜角度 $\beta$ ，各节钢管的倾斜角度 $\gamma$ 、锚链形状 $y(x)$ 、浮标的吃水深度 $d$ 和一些中间变量。通过对前面所求出变量的组合，可以求出浮标的游动区域半径 $R$ 。 + +最终需要求解出数值的变量为: 钢桶的倾斜角度 $\beta$ , 各节钢管的倾斜角度 $\gamma$ , 悬链左端倾角 $\alpha_{0}$ , 锚链形状 $y(x)$ 的图像, 浮标的游动区域半径 $R$ 。 + +刚体力学方程组共包含的20个变量，按照系泊系统从下到上的方程组求解排列顺序、各参数的求解顺序罗列如下： + +刚体力学方程组(12)-(19)表示为： + +无沉底： $\begin{cases} \int_0^{x_1}\sqrt{1 + y^{\prime 2}} dx = s, y_1 = y(x_1) \\ y'|_{x_1} = \tan \alpha_2 \end{cases}$ 锚链：有沉底： $\begin{cases} \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1 + y^{\prime 2}} dx = s - x_0, y_1 = y(x_1) \\ y'|_{x_1} = \tan \alpha_2 \end{cases}$ (20) + +钢桶及重物球： $\left\{ \begin{array}{l}x:F_1\sin \gamma_1 = F_{wind}\\ y:G_{bucket} + G_{ball} + \frac{F_{wind}}{\cos\alpha_2}\sin \alpha_2 = f_{ball} + f_{bucket} + F_1\cos \gamma_1\\ G_{ball}L\sin \beta +F_1L\sin (\beta -\gamma_1) = \frac{F_{wind}}{\cos\alpha_2} L\sin \left(\frac{\pi}{2} -\alpha_2 - \beta\right) \end{array} \right.$ (21) + +钢管1： $\left\{ \begin{array}{l}G_{pipe} + F_1\cos \gamma_1 = f_{pipe} + F_2\cos \gamma_2\\ F_1\sin \gamma_1 = F_2\sin \gamma_2\\ F_1L\sin (\gamma_1 - \theta_1) = F_2L\sin (\theta_1 - \gamma_2) \end{array} \right.$ (22) + +钢管2： $\left\{ \begin{array}{l}G_{pipe} + F_2\cos \gamma_2 = f_{pipe} + F_3\cos \gamma_3\\ F_2\sin \gamma_2 = F_3\sin \gamma_3\\ F_2L\sin (\gamma_2 - \theta_2) = F_3L\sin (\theta_2 - \gamma_3) \end{array} \right.$ (23) + +钢管3： $\left\{ \begin{array}{l}G_{pipe} + F_3\cos \gamma_3 = f_{pipe} + F_4\cos \gamma_4\\ F_3\sin \gamma_3 = F_4\sin \gamma_4\\ F_3L\sin (\gamma_3 - \theta_3) = F_4L\sin (\theta_3 - \gamma_4) \end{array} \right.$ (24) + +钢管4： $\left\{ \begin{array}{l}G_{pipe} + F_4\cos \gamma_4 = f_{pipe} + F_5\cos \gamma_5\\ F_4\sin \gamma_4 = F_5\sin \gamma_5\\ F_4L\sin (\gamma_4 - \theta_4) = F_5L\sin (\theta_4 - \gamma_5) \end{array} \right.$ (25) + +浮标： $\left\{ \begin{array}{l} \pi \left( \frac{2}{2} \right)^2 dg \rho = G_{buoy} + F_5 \cos \gamma_5 \\ F_5 \sin \gamma_5 = 0.625 \times 2 \times (2 - d)v^2 \end{array} \right.$ (26) + +总高度： $H = y_{1} + l_{\text{bucket}} \cos \beta + l_{\text{pipe}} (\cos \theta_{1} + \cos \theta_{2} + \cos \theta_{3} + \cos \theta_{4}) + d$ (27) + +上述20个方程为一个不可分割的整体，各参数在方程中出现和求解的顺序如下图所示： + +![](images/687cbf0e36fe7c9fdc5482ae38c7a7845345b412a37e06b4b8dd86ea22fd520f.jpg) +图5各参数在方程中出现和求解的顺序 + +式(20)中 + +$$ +y = \frac {T _ {1} \cos \alpha_ {1}}{\sigma g} \cosh \left(\frac {\sigma g}{T _ {1} \cos \alpha_ {1}} x + \sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) - \frac {T _ {1} \cos \alpha_ {1}}{\sigma g} \cosh \left(\sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) \tag {28} +$$ + +游动区域的最大半径: $R = x_{0} + l_{\text {bucket}} \sin \beta + l_{\text {pipe}} \left(\sin \theta_{1} + \sin \theta_{2} + \sin \theta_{3} + \sin \theta_{4}\right)$ (29)其中各个力矩平衡方程中力臂长度均相等, 钢管 1,2,3,4 与竖直方向的夹角分别记为 $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}, \theta_{4}$ , 钢管 1,2,3,4 的下端力的方向与钢桶中心轴线的夹角分别为 $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}, 1$ 号钢管左侧拉力为 $\mathrm{F}_{1}$ , 右侧拉力为 $\mathrm{F}_{2}$ , 2 号钢管左侧拉力为 $\mathrm{F}_{2}$ , 右侧拉力为 $\mathrm{F}_{3}$ , 以此类推 5 号钢管左侧拉力为 $\mathrm{F}_{4}$ , 右侧拉力为 $\mathrm{F}_{5}$ , 每一段钢管的重力为 $G_{\text {pipe }}$ , 浮力为 $f_{\text {pipe }}$ 。重物球所受浮力为 $f_{\text {ball }}$ , $\beta$ 代表钢桶与竖直线夹角; $\rho$ 代表海水密度, $g$ 代表重力加速度; $V$ 代表浮标沉在海水中的体积; S 代表为物体在风向法平面的投影面积 $(\mathrm{m}^{2})$ , v 为风速 $(\mathrm{m} / \mathrm{s})$ ; $m_{\text {ball }}$ 为重物球质量。 + +# 5.1.3 模型的求解算法 + +某型传输节点选用II型电焊锚链 $22.05\mathrm{m}$ ，选用的重物球的质量为 $1200\mathrm{kg}$ 。现将该型传输节点布放在水深 $18\mathrm{m}$ 、海床平坦、海水密度为 $1.025\times 103\mathrm{kg / m^3}$ 的海域。若海水静止，分别计算海面风速为 $12\mathrm{m / s}$ 和 $24\mathrm{m / s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +# (1)算法分析： + +由5.1.2节可知，有20个力学方程组，20个待求未知量，可以通过MATLAB的“fsolve”函数[3]来求解方程组。因锚链可能会有一部分贴在海底地面上(即拖 + +地现象), 故要对这两种情况进行判断。 + +# (2)算法步骤： + +Step1: 由于需要进行锚链是否有贴在海底部分的判断, 利用 MATLAB 的 “fsolve”函数及力学方程组函数 “方程 1” 和 “方程 2”: 其中方程 1 表示锚链存在拖地部分, 方程 2 表示锚链不存在拖地部分。对于不存在拖地的情况, 需要将原未知量锚链与海底夹角赋值 0 , 增加锚链贴在海底的长度为未知量。 + +Step2: 为了用“fsolve”求解方程组，要反复设置并调整“fsolve”函数的迭代初始值 $x_0$ ，当求解方程组返回值 exitflag=1 时，表示对于此方程组而言该初始解 $x_0$ 是可行、可取的。 +Step3：调用“fsolve”函数，先以“方程1”为子程序，对20个力学方程求解，并绘出锚链线的形状图。 +Step4: 比较得到的锚链与海底的夹角与 0 的大小, 如果锚链与海底夹角 $\alpha_{1}$ 小于 0 , 则表示锚链会有一段贴在海底地面上。需要再次调用 “方程 2” 并计算锚链拖地的长度, 并绘出锚链线的形状图。 + +# 5.1.4 模型的求解结果及分析 + +# (一) 海面风速为 $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ + +求解得到的钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域最大半径如下表： + +表 1 海面风速为 ${12}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ 时系泊系统参数表 + +
海面风速为12m/s计算值
钢桶与竖直线夹角β1.1353°
钢管1倾斜角度θ11.0887°
钢管2倾斜角度θ21.0802°
钢管3倾斜角度θ31.0719°
钢管4倾斜角度θ41.0637°
浮标吃水深度d0.7087m
游动区域最大半径R14.3341m
+ +绘制的锚链形状图形如下： + +![](images/dd2ee4e2076eb3c5ddad9e46631f6b827c41826f8eeb2a0a0a6259d7b914ea20.jpg) + +根据图6可知，锚链末端与锚的衔接处的切线方向与海床的夹角为0度，即锚链有一部分沉在海床面上，之后角度再逐渐增大。经过计算，锚链沉在海床上的长度为 $6.7401\mathrm{m}$ ，水中锚链部分在 $\mathbf{x}$ 轴的投影长度为 $7.4992\mathrm{m}$ ，在y轴的投影长度为 $12.2922\mathrm{m}$ 。分析原因可知，由于海面风速较小，风力也较小，因此锚链不需要全部伸展就可以使得浮标达到平衡，证明了求解的正确性。 + +# (二) 海面风速为 $24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ + +求解得到的钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域最大半径如下表 + +表 2 海面风速为 ${24}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ 时系泊系统参数表 + +
海面风速为24m/s计算值
钢桶与竖直线夹角β4.3158°
钢管1倾斜角度θ14.1457°
钢管2倾斜角度θ24.1147°
钢管3倾斜角度θ34.0841°
钢管4倾斜角度θ44.0540°
浮标吃水深度d0.7231m
游动区域最大半径R17.4809m
+ +对比表1和表2进行分析，当风速由 $12\mathrm{m / s}$ 增加到 $24\mathrm{m / s}$ 时，由于风力增大，钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度、游动区域最大半径均有不同幅度地增加，但是钢桶与竖直线夹角仍在5度范围内，因此设备的工作效果可以得到保证。 + +绘制的锚链形状图形如下： + +![](images/ca2ebf3acc172194ed10bf056a9bff058becb1e3df7f2062119bb2c6655e02b4.jpg) +图6海面风速为 $12\mathrm{m / s}$ 时锚链形状图形 +图7海面风速为 $24\mathrm{m / s}$ 时锚链形状图形 + +根据图7可知，锚链沉在海床上的长度为 $0.1307\mathrm{m}$ ，处于脱离海床的边缘，因此锚链末端与锚的衔接处的切线方向与海床的夹角仍为0度。水中锚链部分在x轴的投影长度为 $16.9891\mathrm{m}$ ，在y轴的投影长度为 $12.2900\mathrm{m}$ 。由此可知，当风 + +速增加时，风力的增大对锚链形状的影响很大。 + +# 5.2海水静止时的系泊系统多目标优化模型 + +在问题1的假设下，即锚链长度和型号、水深及海水密度不变时，改变重物球的质量，会导致钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域均有所不同。通过优化模型，在满足钢桶的倾斜角度不超过5度、锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的情况下，找出尽可能小的浮标的吃水深度、游动区域最大半径及钢桶倾斜角度所对应的的重物球质量，即为最优的设计。 + +# 5.2.1 建模前的准备 + +由于锚链是否有沉在海床的部分对锚链形状及重物球质量的选择影响较大，因此需要先进行判断。类似于模型1中的处理方式，假设锚链没有沉在海床的部分，尝试计算锚链左端点A端切线方向与 $\mathbf{x}$ 轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 。若 $\alpha_{1} < 0$ ，则表示假设不成立，证明此时锚链有沉在海床的部分，对锚链悬挂部分的处理应采用(20)式无沉底；若求得 $\alpha_{1} > 0$ ，则表示假设成立，锚链没有沉在海底的部分，全部处于悬挂状态，对锚链部分的处理应采用(20)式有沉底部分。经过上述处理后，然后调节重物球质量 $G_{\mathrm{ball}}$ ，使得钢桶倾角 $\leq 5$ 度，锚链左端点与海床夹角 $\leq 16$ 度。同时要使得浮标的吃水深度，游动区域最大半径，钢桶倾斜角度都尽可能地小，基于此建立多目标优化模型。 + +# 5.2.2多目标优化模型的建立 + +# (1)优化目标一：钢桶倾斜角度最小 + +按题目所述，钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳，若钢桶倾斜则影响设备的工作效果。当钢桶与竖直方向的夹角即倾斜角超过5度时，设备工作效果较差，所以保证钢桶倾斜角度 $\beta$ 最小是系泊系统正常工作的重要条件。钢桶倾斜角度 $\beta$ 可由方程组(20)-(27)联立求解得到，分析由于 $m_{\mathrm{ball}}$ 的改变，使得(20)-(27)式方程形式完全不变，但是钢桶左侧受力的大小发生变化，从而引起刚体力学的20个方程的求解结果发生改变，因而钢桶的倾斜角度由于受到钢桶受力平衡和力矩平衡方程所影响，也同样发生变化。 + +按照问题1假设，锚链长度和型号、水深及海水密度均已知。因此当重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 确定时，(20)-(27)方程中各参数和结果均已确定， $\beta$ 仅受重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 影响。 + +故优化目标一可以表示为: + +$$ +\min \quad \beta \left(m _ {\text {b a l l}}\right) +$$ + +# (2) 优化目标二：浮标的吃水深度最小 + +题目要求系泊系统的设计要使得浮标的吃水深度d尽可能小，d处于(20)-(27)方程中，不能独立求解。由优化目标一中的分析可知由于 $m_{\mathrm{ball}}$ 的改变，钢桶倾斜角度改变，刚体力学方程组求解的1-4号钢管倾斜角度也发生改变，4号钢管倾斜角度的改变会使得浮标竖直方向受力发生改变，即浮标浮力发生改变，故浮标的吃水深度发生改变。故这时浮标吃水深度的变化也完全取决于重物球质量的变化。 + +同样利用问题1提供的数据，当重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 确定时，各参数和结果均可通过(20)-(27)式确定，故吃水深度d仅受重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 影响。该优化目标可以表示为： + +$$ +\min d \left(m _ {\text {b a l l}}\right) +$$ + +# (3) 优化目标三：游动区域的半径最小 + +系泊系统的设计中同样要求浮标的游动区域要尽可能小, 按照模型 1 中的分析, 当风力等外界因素大小固定、方向任意时, 浮标的游动区域可以表示为以锚为起点的最大半径为 R 的圆, 由上述分析可知, 重物球质量改变时, 钢桶, 钢管各倾角, 锚链形状均会发生改变, R 即为系泊系统水平方向的投影长度, R 的求解基于(29)式, 故该问中游动区域半径也完全也完全取决于重物球质量的变化。 + +同样利用问题1提供的数据，游动区域仅受重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 影响，通过(20)-(29)式联立可以求解。该优化目标可以表示为： + +$$ +\min R \left(m _ {\text {b a l l}}\right) +$$ + +# (4) 决策变量与约束条件 + +通过对优化目标一, 二, 三的分析可知, 唯一的决策变量即为重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 。由于问题 1 中重物球质量为 $1200 \mathrm{~kg}$ , 重力加速度 $\mathrm{g}$ 取 $9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ , 故在此先大致限定重物球范围, 再求解过程中可以进一步修正: + +$$ +1 2 0 0 \leq m _ {\mathrm {b a l l}} \leq 5 0 0 0 +$$ + +约束条件即为锚链在锚链左端点A端切线方向与 $\mathbf{X}$ 轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 不超过16度，钢桶倾斜角度不超过5度。由于优化目标一为钢桶倾斜角度最小，所以只需在最后检验钢桶倾角是否满足不超过5度的条件。此外还需验证浮标是否露在水面上、以及各指标参数是否符合常理。因此限定 $\alpha_{1}$ 如下： + +$$ +0 ^ {\circ} \leq \alpha_ {1} \leq 1 6 ^ {\circ} +$$ + +# (5) 多目标优化模型的最终确立 + +基于(2)(3)(4)的分析，对于重物球质量的选择的问题，建立多目标优化模型如下： + +$$ +\min \quad \beta \left(m _ {\text {b a l l}}\right) +$$ + +$$ +\min d \left(m _ {\text {b a l l}}\right) \tag {30} +$$ + +$$ +\min R \left(m _ {\text {b a l l}}\right) +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} 1 2 0 0 \leq m _ {\text {b a l l}} \leq 5 0 0 0 \\ 0 ^ {\circ} \leq \alpha_ {1} \leq 1 6 ^ {\circ} \end{array} \right. \tag {31} +$$ + +其中 $\alpha_{1}$ 表示锚链左端点 A 端切线方向与 x 轴正方向的夹角， $m_{\mathrm{ball}}$ 为重物球质量大小， $\beta$ 为钢桶的倾斜角度，求解基于方程组(20)-(27)； $d$ 为浮标吃水深度，求解基于方程组(20)-(27)； $R$ 为浮标游动区域的最大半径，求解基于(29)式。 + +先对三个目标函数进行无量纲化处理，再采用线性加权法对三个目标函数进行归一化处理，将多目标函数化归为单目标函数： + +$$ +\min \quad \lambda_ {1} \frac {\beta (m _ {\text {b a l l}})}{\beta_ {\max }} + \lambda_ {2} \frac {d (m _ {\text {b a l l}})}{d _ {\max }} + \lambda_ {3} \frac {R (m _ {\text {b a l l}})}{R _ {\max }} +$$ + +$$ +\lambda_ {1} + \lambda_ {2} + \lambda_ {3} = 1 +$$ + +其中权重 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 代表了每个目标函数的重要程度，三个权重之和等于 1。 $\beta_{\max}, d_{\max}, R_{\max}$ 分别代表在所选取的自变量范围内，钢桶倾斜角度，浮标吃水深度，浮标游动区域的半径可能达到的最大值。对不同的权重组合进行求解并对结果进行比较和分析。 + +# 5.2.2 模型的求解算法 + +# (1) 算法分析: + +对于风速 $V_{\text {wind}} = 36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时，钢桶，各根钢管的倾角，锚链形状和浮标游动区域的计算问题，只需要将问题 1 中的求解程序中风速参数进行修改即可。 + +对于重新设计重物球质量使得优化目标函数达到最优的问题。可以将重物球质量 $\mathbf{M}_{\mathrm{ball}}$ 作为全局变量以便修改。在主程序中，使用 for 函数，以重物球质量 $\mathbf{M}_{\mathrm{ball}}$ 循环，并通过钢桶倾角、锚链左侧与海面夹角等约束条件，查找满足条件的重物球质量的可行解，然后以优化目标最小为标准，从这些可行解找到最优解。 + +# (2) 算法步骤: + +Step1: 类似模型一的求解步骤 step1, 编写函数判断有拖地或无拖地的情况下, 20 个力学方程的求解, 程序中需要修改风速 $V_{\text {wind}} = 36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 重物球质量取决于全局变量的设定。 + +Step2: 编写主程序, 计算不同的重物球质量下, 满足使用 “for” 函数对重物球质量 $\mathrm{M}_{\text {ball }}$ 从 1200 遍历到 5000 , 求解钢桶钢管倾角, 浮标吃水深度, 浮标游动区域的半径。通过判断模型 2 中约束指标锚链左侧与海面夹角 $< 16^{\circ}$ , 钢桶倾角小于 $5^{\circ}$ 等。进行选取可行解。 + +Step3: 对目标函数进行无量纲化和归一化：将钢桶倾角、吃水深度、区域半径除以各自最大值，并以不同的权重组合，如0.8:0.1:0.1，0.4:0.3:0.3，1/3:1/3:1/3，0.1:0.8:0.1加权相加得到不同的优化目标，用“min”函数查找新的优化目标的最优解，得到决策变量值：重物球质量“Mball”。并对不同权重组合下求得的结果进行比较。 + +# 5.2.3模型求解结果及分析 + +# (一) 海面风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 重物球质量为 $1200 \mathrm{~kg}$ 时 + +求解得到的钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度、游动区域最大半径和锚链左端点A端切线方向与 $\mathbf{X}$ 轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 如下表： + +表 3 重物球质量为 ${1200}\mathrm{\;{kg}}$ 时系泊系统参数表 + +
重物球质量为1200kg计算值
钢桶与竖直线夹角β8.9804°
钢管1倾斜角度θ18.6485°
钢管2倾斜角度θ28.5878°
钢管3倾斜角度θ38.5279°
钢管4倾斜角度θ48.4688°
浮标吃水深度d0.7448m
游动区域最大半径R18.7654m
锚链左端切线方向与海床夹角α118.3881°
+ +根据表3可知，仍采用问题1中假设的情况下，即重物球质量仍取值 $1200\mathrm{kg}$ 且锚链长度和型号、水深及海水密度不变时，锚链左端点A端切线方向与 $\mathbf{x}$ 轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 达到了18.3881度，超过题目中规定的16度。此时钢桶倾斜角度为8.9804度，也超过了5度的上限。由此可知，重物球质量过低会导致系泊系统设备工作效果较差，甚至锚被拖行从而致使节点移位丢失。 + +绘制的锚链形状图形如下： + +![](images/c4fab1fa04c6d12663444afd5326eae80b25f214443555623c39d1636734c491.jpg) +图8 重物球质量为 $1200\mathrm{kg}$ 时锚链形状图形 + +# (二)调节重物球质量时 + +根据(一)中结果可知, 重物球质量过小会导致设备无法工作, 因此需要调节重物球的质量, 使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度, 锚链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。将重物球质量视为变量, 绘制吃水深度 d、钢桶的倾斜角度 $\beta$ 、游动区域半径 R、锚链左端点 A 端切线方向与 x 轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 和优化目标加权和这五个参量随重物球质量变化的曲线如图 9 所示: + +![](images/cf25fd2d367720696067047bc7521e33508063672465af9a64ddd71acdb986fe.jpg) + +![](images/40907685ccf7d9e3c4a202150f5c959d5598484e8bf4cabf3bb842d80960f17c.jpg) + +![](images/980771a22591df94f435509cabb0acbe90e3f6f0596241cc153e8c7482ee6d03.jpg) + +![](images/43fd54373037fa7edc2b7a48ee4b0aa380240c0753d4d1a77ee8c395eb2fc9f7.jpg) +图9参量 $\alpha_{1}$ 、 $\beta$ 、 $R$ 及优化目标随重物球质量的变化曲线 + +![](images/1f76c8435cba769803edc91ff569c636f202eb265a3017e7dc16ab6e5366d3a4.jpg) + +根据图9可知，钢桶的倾斜角度 $\beta$ 、游动区域半径R、锚链左端点A端切线方向与x轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 和优化目标值均随重物球质量增加而减小，而吃水深度d随重物球质量增加而增加。 + +当优化目标钢桶倾角 $\beta$ : 吃水深度 d: 区域半径 R 的权重比值 $\lambda_{1}: \lambda_{2}: \lambda_{3}$ 分别为 $0.8: 0.1: 0.1$ 、 $0.4: 0.3: 0.3$ 、 $1/3: 1/3: 1/3$ 、 $0.1: 0.8: 0.1$ 时, 求得重物球质量、钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度、游动区域最大半径和锚链左端点 A 端切线方向与 x 轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 如下表: + +表 4 不同权重 ${\lambda }_{1},{\lambda }_{2},{\lambda }_{3}$ 组合时系泊系统参数表 + +
不同权重组合λ1,λ2,λ30.8,0.1,0.10.4,0.3,0.31/3,1/3,1/30.1,0.8,0.1
重物球质量4090kg4090kg4090kg2010kg
钢桶倾角β1.2664°1.2664°1.2664°4.9550°
钢管1倾斜角度θ11.2492°1.2492°1.2492°4.8313°
钢管2倾斜角度θ21.2461°1.2461°1.2461°4.8084°
钢管3倾斜角度θ31.2427°1.2427°1.2427°4.7857°
钢管4倾斜角度θ41.2397°1.2397°1.2397°4.7631°
浮标吃水深度d1.4995m1.4995m1.4995m0.9556m
游动区域最大半径R17.4354m17.4354m17.4354m18.4735m
锚链左端切线方向与海床夹角α10°0°0°14.0765°
+ +对比不同权重可知，当优化目标一钢桶倾角最小分别处于绝对重要、相对重要、各优化目标同等重要时，得到的重物球质量均需要增加到 $4090\mathrm{kg}$ 时。当优化目标一吃水深度最小处于绝对重要时，所需重物球质量为 $2010\mathrm{kg}$ 。综上可知，三个优化目标中钢桶倾角最小这个目标处于决定性的作用。按照题意，应使得钢桶倾角最小这个目标处于主要地位以保证系泊系统工作状态最佳，所以最终确定重物球质量为 $4090\mathrm{kg}$ ，（重力为 $4090\mathrm{kg} \times 9.8\mathrm{m/s}^2 = 40082\mathrm{N}$ ） + +上述重物球质量达到最优的条件下(即重物球质量为 $4090 \mathrm{~kg}$ ), 锚链左端点 A 端切线方向与 x 轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 为 0 度 (即存在锚链沉在海床上的部分), 满足不超过 16 度的条件。此时钢桶倾斜角度减小至 1.2664 度, 同样满足不超过 5 度的条件。由此可知, 此时系泊系统的设备可以正常工作。 + +绘制的锚链形状图形如下： + +![](images/a4927b022a1ffbfe32ded83731c7f75907da1d5e17ccd0db4a3c52d4ae8febbc.jpg) +图10 重物球质量为 $4090\mathrm{kg}$ 时锚链形状图形 + +# 5.3 考虑风力、水流力和水深的系泊系统优化模型 + +# 5.3.1 模型前准备 + +(1)同时考虑风力, 水流力, 水深时, 与模型 2 相比, 外界的条件由水深 $18 \mathrm{~m}$ 、 + +海水流速 $= 0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 、风速最大 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 变化为水深 $16 \mathrm{~m} - 20 \mathrm{~m}$ 、海水流速最大 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 、风速最大可达到 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 。基于前面的结果分析不难得知, 流速和风速越大, 系泊系统越危险, 且需要考虑不同水深水流不同造成的影响。因此需要合理设计系泊系统的参数, 使得其在不同情况下均可达到最优的工作状态。 + +(2)系泊系统参数确定后，对于题目中的所提到的不同情况，将其理解为： + +a.水流力与风力的夹角分别为同向、反向、相互垂直的情况； +b.水流速度从海面到海底的规律分别为各点水流速度相同、水流速度自上而下线性递减或者其他形式； +c. 实测水深分别为 $16 \mathrm{~m} 、 17 \mathrm{~m} 、 18 \mathrm{~m} 、 19 \mathrm{~m} 、 20 \mathrm{~m}$ 的情况。 + +因此，首先需要分析水流力与风力的三种夹角的受力情况，对于水流速度的变化规律及实测水深分别进行讨论。然后利用多目标优化模型确定不同情况下最优的锚链型号、长度和重物球质量。 + +# 5.3.2水流力与风力的三种夹角下的受力分析 + +由模型1中所推导的方程(20)-(27)可知，当考虑水流力时，水流力仅对水平方向作用力有影响，对竖直方向作用力和力矩均无影响。将钢管作用力的作用点简化为钢管中心，根据模型2中求解结果显示，钢桶与各钢管的夹角均小于2度，因此可以将水流力 $F_{\text{water}}$ 对钢桶和钢管的作用面积视为钢桶和钢管的纵截面积。 + +每一截钢管所受到的水流力： $F_{\text {wat\_pipe}} = 374 \times S v^{2} = 374 \times 1 \times 50 \times 10^{-3} \times v^{2}$ + +钢桶所受到的水流力： $F_{\text{wat_bucket}} = 374 \times 1 \times 30 \times 10^{-2} \times v^2$ + +浮标所受到的水流力： $F_{\text{wat\_float}} = 374 \times 2 \times d \times v^2$ + +下面对各点水流速度相同时，水流力与风力的夹角分别为同向、反向、相互垂直的情况，以及各点水流速度不同时水流力的计算分别进行讨论： + +# (1)水流力与风力同向时 + +此时系泊系统的受力仍然处于同一个平面内，对锚链进行受力分析，基于模型一中锚链线方程的推导，可知加入水流力后，锚链线函数 $y(x)$ 发生如下改变： + +$$ +\begin{array}{l} y = \frac {F _ {\text {w i n d}}}{\sigma g} \cosh \left(\frac {\sigma g}{F _ {\text {w i n d}}} x + \sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) - \frac {F _ {\text {w i n d}}}{\sigma g} \cosh \left(\sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) \\ \Rightarrow y = \frac {F ^ {\prime}}{\sigma g} \cosh \left(\frac {\sigma g}{F ^ {\prime}} x + \sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) - \frac {F ^ {\prime}}{\sigma g} \cosh \left(\sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) \tag {32} \\ \end{array} +$$ + +其中改变后的力 $F^{\prime}$ 表示为 $F^{\prime} = F_{\text{wind}} + 4F_{\text{wat\_pipe}} + F_{\text{wat\_bucket}} + F_{\text{wat\_float}}$ (33) + +对钢桶重新进行受力分析和力矩分析，由于钢桶左侧力由 $F_{\text{wind}}$ 变为 $F'$ ，因此和模型一相比，钢桶受力平衡的方程组发生如下改变： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x: F _ {1} \sin \gamma_ {1} = F _ {\text {w i n d}} \\ y: G _ {\text {b u c k e t}} + G _ {\text {b a l l}} + \frac {F _ {\text {w i n d}}}{\cos \alpha_ {2}} \sin \alpha_ {2} = f _ {\text {b a l l}} + f _ {\text {b u c k e t}} + F _ {1} \cos \gamma_ {1} \\ G _ {\text {b a l l}} L \sin \beta + F _ {1} L \sin (\beta - \gamma_ {1}) = \frac {F _ {\text {w i n d}}}{\cos \alpha_ {2}} L \sin \left(\frac {\pi}{2} - \alpha_ {2} - \beta\right) \end{array} \right. +$$ + +$$ +\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x: F _ {1} \sin \gamma_ {1} = F ^ {\prime} \\ y: G _ {\text {b u c k e t}} + G _ {\text {b a l l}} + \frac {F ^ {\prime}}{\cos \alpha_ {2}} \sin \alpha_ {2} = f _ {\text {b a l l}} + f _ {\text {b u c k e t}} + F _ {1} \cos \gamma_ {1} \\ G _ {\text {b a l l}} L \sin \beta + F _ {1} L \sin (\beta - \gamma_ {1}) = \frac {F ^ {\prime}}{\cos \alpha_ {2}} L \sin \left(\frac {\pi}{2} - \alpha_ {2} - \beta\right) \end{array} \right. \tag {34} +$$ + +对钢管进行受力分析，由于对每一根钢管，水流力对竖直方向作用力和力矩平衡式均无影响，仅对水平方向的受力平衡式有影响。因此和模型一相比，1-4号钢管水平方向上受力平衡式依次发生如下改变： + +$$ +F _ {1} \sin \gamma_ {1} = F _ {2} \sin \gamma_ {2} \Rightarrow F _ {1} \sin \gamma_ {1} = F _ {2} \sin \gamma_ {2} + F _ {\text {w a t} - p i p e} \tag {35} +$$ + +$$ +F _ {2} \sin \gamma_ {2} = F _ {3} \sin \gamma_ {3} \Rightarrow F _ {2} \sin \gamma_ {2} = F _ {3} \sin \gamma_ {3} + F _ {\text {w a t} - p i p e} \tag {36} +$$ + +$$ +F _ {3} \sin \gamma_ {3} = F _ {4} \sin \gamma_ {4} \Rightarrow F _ {3} \sin \gamma_ {3} = F _ {4} \sin \gamma_ {4} + F _ {\text {w a t} - p i p e} \tag {37} +$$ + +$$ +F _ {4} \sin \gamma_ {4} = F _ {5} \sin \gamma_ {5} \Rightarrow F _ {4} \sin \gamma_ {4} = F _ {5} \sin \gamma_ {5} + F _ {\text {w a t} _ {\text {p i p e}}} \tag {38} +$$ + +对浮标进行水平方向的受力分析，浮标受到同侧的水流力和风力，和模型一相比，水平方向的平衡方程发生如下改变： + +$$ +F _ {5} \sin \gamma_ {5} = F _ {\text {w i n d}} \Rightarrow F _ {5} \sin \gamma_ {5} = F _ {\text {w i n d}} + F _ {\text {w a t} - f l o a t} +$$ + +具体变化可以带入风力和水流力的公式，即： + +$F_{5}\sin \gamma_{5} = 0.625\times 2\times (2 - d)v^{2}\Rightarrow F_{5}\sin \gamma_{5} = 0.625\times 2\times (2 - d)v^{2} + 374\times 2\times d\times v^{2}(39)$ 其中：钢管1,2,3,4与竖直方向的夹角分别记为 $\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\theta_{4}$ ，钢管1,2,3,4的下端力的方向与钢桶中心轴线的夹角分别为 $\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3},\gamma_{4},1$ 号钢管左侧拉力为 $\mathrm{F_1}$ ，右侧拉力为 $\mathrm{F}_2$ ，2号钢管左侧拉力为 $\mathrm{F}_2$ ，右侧拉力为 $\mathrm{F}_3$ ，以此类推5号钢管左侧拉力为 $\mathrm{F_4}$ ，右侧拉力为 $\mathrm{F_5}$ ，每一段钢管的重力为 $G_{pipe}$ ，浮力为 $f_{pipe}$ 。重物球浮力为 $f_{ball}$ ， $\beta$ 代表钢桶与竖直线夹角； $\rho$ 代表海水密度， $g$ 代表重力加速度； $V$ 代表浮标沉在海水中的体积；S代表为物体在风向法平面的投影面积 $(\mathrm{m}^2)$ ，v为风速 $(\mathrm{m / s})$ ； $m_{\mathrm{ball}}$ 为重物球质量。 + +# (2)水流力与风力反向时 + +与二力同向相比，只需将水平方向的受力平衡式中含水流力的部分取反处理即可。上述(32)-(39)式改变为： + +$$ +F ^ {\prime} = F _ {\text {w i n d}} - 4 F _ {\text {w a t \_ p i e}} - F _ {\text {w a t \_ b u c k e t}} - F _ {\text {w a t \_ f l o a t}} \tag {40} +$$ + +$$ +F _ {1} \sin \gamma_ {1} = F _ {2} \sin \gamma_ {2} - F _ {\text {w a t} \_ p i p e} \tag {41} +$$ + +$$ +F _ {2} \sin \gamma_ {2} = F _ {3} \sin \gamma - F _ {\text {w a t} \_ p i p e} \tag {42} +$$ + +$$ +F _ {3} \sin \gamma_ {3} = F _ {4} \sin \gamma_ {4} - F _ {\text {w a t} \_ p i p e} \tag {43} +$$ + +$$ +F _ {4} \sin \gamma_ {4} = F _ {5} \sin \gamma_ {5} - F _ {\text {w a t} \_ p i p e} \tag {44} +$$ + +$$ +F _ {5} \sin \gamma_ {5} = 0. 6 2 5 \times 2 \times (2 - d) v ^ {2} - 3 7 4 \times 2 \times d \times v ^ {2} \tag {45} +$$ + +# (3)水流力与风力垂直时 + +基于(1),(2)部分的计算可知，作用在钢桶上的水流力约为 $252.5\mathrm{N}$ ，作用在每根钢管上的水流力约为 $42.1\mathrm{N}$ ，而钢桶和钢管两端的作用力量级为 $1.5 \times 10^{4}\mathrm{N}$ 。故在近似计算时，可近似认为水下的钢管和钢桶受到的水流力可以忽略不计，仅考虑浮标所受到的水流力。 + +此时系泊系统的总体仍然处于一个平面内，和水流力与风力同向、反向这两 + +种情况不同之处在于: 当水流力与风力垂直时, 系泊系统的所处平面会发生旋转,最终系泊系统稳定时, 以浮标所受的水流力与风力的合力为 $\mathrm{x}$ 轴正方向, $\mathrm{y}$ 轴正方向仍然为竖直向上, 建立坐标系如图 11 所示: + +![](images/c4fe57f4bb1d1cc7773afe419dfd7c1ea4224233fea417d0d9ff4ed189a6d24b.jpg) +图11考虑水流力时的系泊系统坐标系 + +对比水平力与风力同向时的刚体力学方程(32)-(39)可知： + +对锚链进行分析，忽略钢管，钢桶所受水流力，锚链曲线表示为 + +$$ +y = \frac {F ^ {\prime}}{\sigma g} \cosh \left(\frac {\sigma g}{F ^ {\prime}} x + \sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) - \frac {F ^ {\prime}}{\sigma g} \cosh \left(\sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) \tag {46} +$$ + +其中改变后的力 $F^{\prime}$ 表示为 $F^{\prime} = F_{\text{wind}} + F_{\text{wat\_float}}$ (47) + +对钢桶和重物球重新进行受力分析和力矩分析，与模型二相比，钢桶左侧力发生由 $F_{\text{wind}}$ 变为 $F'$ ，如下改变： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x: F _ {1} \sin \gamma_ {1} = F ^ {\prime} \\ y: G _ {\text {b u c k e t}} + G _ {\text {b a l l}} + \frac {F ^ {\prime}}{\cos \alpha_ {2}} \sin \alpha_ {2} = f _ {\text {b a l l}} + f _ {\text {b u c k e t}} + F _ {1} \cos \gamma_ {1} \\ G _ {\text {b a l l}} L \sin \beta + F _ {1} L \sin (\beta - \gamma_ {1}) = \frac {F ^ {\prime}}{\cos \alpha_ {2}} L \sin \left(\frac {\pi}{2} - \alpha_ {2} - \beta\right) \end{array} \right. \tag {48} +$$ + +对钢管进行受力分析，由于对每一根钢管，水流力对竖直方向作用力和力矩平衡式均无影响，仅对水平方向的受力平衡式有影响。因此和模型二相比，1-4号钢管水平方向上受力平衡式依次发生如下改变： + +$$ +F _ {1} \sin \gamma_ {1} = F _ {2} \sin \gamma_ {2} \tag {49} +$$ + +$$ +F _ {2} \sin \gamma_ {2} = F _ {3} \sin \gamma_ {3} \tag {50} +$$ + +$$ +F _ {3} \sin \gamma_ {3} = F _ {4} \sin \gamma_ {4} \tag {51} +$$ + +$$ +F _ {4} \sin \gamma_ {4} = F _ {5} \sin \gamma_ {5} \tag {52} +$$ + +对浮标进行水平方向的受力分析，浮标受到相互垂直的水流力和风力，4号钢管的拉力的水平分量和水流力与风力的合力平衡。代入风力和水流力的公式，即： + +$$ +F _ {5} \sin \gamma_ {5} = \sqrt {\left(0 . 6 2 5 \times 2 \times (2 - d) v ^ {2}\right) ^ {2} + \left(3 7 4 \times 2 \times d \times v ^ {2}\right) ^ {2}} \tag {53} +$$ + +# (4) 各点水流速度不同时水流力的计算 + +各点水流速度不同时，应分段处理水流力的计算。假设系泊系统在水中的每一个固定的高度 $dy$ ，水流速度不变，视为 $\nu_{i}$ 。参照二力同向时钢管、钢桶和浮标的水流力公式，得到： + +每一截钢管所受到的水流力: $F_{\text {wat }\_ \text {pipe}} = \sum_{i} 374 \times 1 \times 50 \times 10^{-3} \times v_{i}^{2}$ + +钢桶所受到的水流力: $F_{\text {wat_bucket}} = \sum_{i} 374 \times 1 \times 30 \times 10^{-2} \times v_{i}^{2}$ + +浮标所受到的水流力： $F_{\text{wat\_float}} = \sum_{i} 374 \times 2 \times d \times v_{i}^{2}$ + +# 5.3.3多目标优化模型的建立 + +由于同时考虑风力、水流力和水深时(以下统称为外界的条件)，外界条件较为复杂，要求在系泊系统最危险的情况仍能使系泊系统正常工作。因此需要合理设计系泊系统的参数：包括锚链型号kind、锚链长度s、重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 。其中锚链型号直接影响了锚链单位长度的质量 $\sigma_{\mathrm{kind}}$ 。因此基于问题2所建立的多目标优化模型，找到不同情况下最优的工作状态对应的锚链型号及长度，即为最优的设计。 + +# (1)优化目标一：钢桶倾斜角度最小 + +按题目所述，保证钢桶倾斜角度 $\beta$ 最小是系泊系统正常工作的重要条件。钢桶倾斜角度 $\beta$ 可由力学方程组联立求解得到，分析由于 $G_{\text {ball }}$ ， $\sigma_{\text {kind}}$ ， $s$ 的改变，刚体力学方程组形式完全不变，但是钢桶左侧受重物球力的大小发生变化， $\sigma_{\text {kind}}$ 使得锚链曲线方程发生改变，锚链长度同样影响了锚链在竖直方向的投影长度，从而引起刚体力学方程组的求解结果发生改变，因而钢桶的倾斜角度由于受到钢桶受力平衡和力矩平衡方程所影响，也同样发生变化。 + +按照问题1假设，锚链长度和型号、水深及海水密度均已知。因此当重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ ，锚链型号长度 $\sigma_{kind},s$ 确定时，力学方程中各参数和结果均已确定， $\beta$ 仅受重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ ，锚链型号 $\sigma_{kind}$ ，长度 $s$ 影响。 + +故优化目标一可以表示为: + +$$ +\min \quad \beta \left(m _ {\text {b a l l}}, \sigma_ {\text {k i n d}}, s\right) +$$ + +# (2) 优化目标二：浮标的吃水深度最小 + +题目要求系泊系统的设计要使得浮标的吃水深度 $d$ 尽可能小， $d$ 同样处于力学方程中，与优化目标一的受力分析相同。当重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 、锚链单位长度的质量 $\sigma_{kind}$ 和锚链长度 $s$ 确定时，各参数和结果均可通过力学式确定，故吃水深度仅受 $m_{\mathrm{ball}}$ ， $\sigma_{kind}$ 和 $s$ 影响。该优化目标可以表示为： + +$$ +\min d \left(m _ {\text {b a l l}}, \sigma_ {\text {k i n d}}, s\right) +$$ + +# (3) 优化目标三：游动区域的半径最小 + +系泊系统的设计中同样要求浮标的游动区域要尽可能小, 浮标的浮动区域表示为以锚为起点的最大半径为 R 的圆内, R 的求解即(29)式。与优化目标一的受力分析相同, 游动区域仅受重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 、锚链单位长度的质量 $\sigma_{\mathrm{kind}}$ 和锚链长度 $s$ 影响, 通过力学方程组联立可以求解。该优化目标可以表示为: + +$$ +\min R \left(m _ {\text {b a l l}}, \sigma_ {\text {k i n d}}, s\right) +$$ + +# (4) 决策变量与约束条件 + +通过对优化目标一，二，三的分析可知，决策变量即为重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 、锚链种类 kind 和锚链长度 s。 + +由于问题3中重物球质量不定，重力加速度 $\mathrm{g}$ 取 $9.8\mathrm{m / s^2}$ ，故在此粗略限定重物球范围： + +$$ +0 \leq m _ {\mathrm {b a l l}} \leq 5 0 0 0 +$$ + +锚链种类 kind=1,2,3,4,5，对应的锚链单位长度的质量 $\sigma_{\text {kind}}$ 为： + +$$ +\sigma_ {1} = 3. 2, \sigma_ {2} = 7, \sigma_ {3} = 1 2. 5, \sigma_ {4} = 1 9. 5, \sigma_ {5} = 2 8. 1 2 +$$ + +由于锚链长度 $s$ 为决策变量，基于第一二问中的求解规律，可以先粗略地进行一定的范围约束： + +$$ +1 1 \leq s \leq 3 0 +$$ + +题目要求锚链在左端锚点与海床的夹角 $\alpha_{1}$ 不超过 16 度，钢桶倾斜角度 $\beta$ 不超过 5 度。由于上文中要求优化目标一最小，由于优化目标一为钢桶倾斜角度最小，所以只需在最后检验钢桶倾角是否满足不超过 5 度的条件。此外还需验证浮标是否露在水面上、以及各指标参数是否符合常理。因此限定 $\alpha_{1}$ 如下： + +$$ +0 ^ {\circ} \leq \alpha_ {1} \leq 1 6 ^ {\circ} +$$ + +# 5.3.4 模型汇总 + +基于上述水流力与风力的三种夹角下的受力分析和计算，可以得到水流力与风力同向、反向和垂直时汇总中的20个方程(参考模型1的汇总)。然后利用优化目标、约束条件与决策变量之间的关系，通过外界条件下的方程组联立求解。 + +# (1) 刚体力学方程组（见附件 1） + +# (2) 多目标优化模型的最终确立 + +$$ +\min \quad \beta \left(m _ {\text {b a l l}}, \sigma_ {\text {k i n d}}, s\right) \tag {54} +$$ + +$$ +\min d \left(m _ {\text {b a l l}}, \sigma_ {\text {k i n d}}, s\right) \tag {55} +$$ + +$$ +\min R \left(m _ {\text {b a l l}}, \sigma_ {\text {k i n d}}, s\right) \tag {56} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} 0 \leq m _ {\text {b a l l}} \leq 4 0 0 0 \\ \sigma_ {\text {k i n d}} = \left[ \begin{array}{c c c c c} 3. 2 & 7 & 1 2. 5 & 1 9. 5 & 2 8. 1 2 \end{array} \right] \\ 1 1 \leq s \leq 3 0 \\ 0 ^ {\circ} \leq \alpha_ {1} \leq 1 6 ^ {\circ} \end{array} \right. \tag {57} +$$ + +其中， $\beta$ 代表钢桶倾斜角度；d代表浮标吃水深度；R代表游动区域半径,均可由力学方程组求解；决策变量为重物球质量 $m_{\mathrm{ball}}$ 、锚链单位长度的质量 $\sigma_{kind}$ 和锚链长度s，受到锚链左端与海平面夹角 $\alpha_{1}$ 的约束。 + +同模型2处理方法相同，先对三个目标函数进行无量纲化处理，再采用线性加权法归一化，将多目标优化问题化归为单目标优化： + +$$ +\min \quad \lambda_ {1} \frac {\beta (m _ {\text {b a l l}} , \sigma_ {\text {k i n d}} , s)}{\beta_ {\max }} + \lambda_ {2} \frac {d (m _ {\text {b a l l}} , \sigma_ {\text {k i n d}} , s)}{d _ {\max }} + \lambda_ {3} \frac {R (m _ {\text {b a l l}} , \sigma_ {\text {k i n d}} , s)}{R _ {\max }} +$$ + +其中权重 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 代表了每个目标函数的重要程度，三个权重之和等于 1，即 $\lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} = 1$ 。 $\beta_{\max}, d_{\max}, R_{\max}$ 分别代表在所选取的自变量范围内，钢桶倾斜角度，浮标吃水深度，浮标游动区域的半径可能达到的最大值。对不同的权重组合进行求解。 + +# 5.3.5 模型的求解算法 + +# (1) 算法分析: + +模型3需要先求解出系泊系统的最优设计，然后再对不同的情况进行系泊系统浮标系统的参数计算。 + +在5.2.2节基础上进行修改可以得到最优设计的三个决策变量的求解程序。调整求解方程，加上水流的影响；将锚链线密度、锚链长度、重物球质量均作为全局变量；用多重搜索，对锚链线密度、锚链长度、重物球质量遍历，根据优化目标值最小查找系泊系统的最优设计。 + +确定最优设计后，对于水流力方向与风力方向的不同情况，各高度的水流速度的变化，只要根据模型三修改部分力学方程组。然后参照5.1.3节中的算法求解钢管、钢桶倾角，区域半径，吃水深度等相关数据。 + +# (2) 算法思想：多重搜索 + +因为程序对锚链线密度、锚链长度、重物球质量，进行遍历查找最优解，算法复杂度较大，求解时间较长，故采用多重搜索来减少程序运行时间。即先用较大步长即粗精度查找粗略解，再在粗略解附近用较小步长求解最优解。 + +# (3)算法步骤： + +Step1: 由于需要进行锚链是否有贴在海底的部分的判断, 利用 MATLAB 的“fsolve”函数以及力学方程组函数 “方程 1” “方程 2”: 其中方程 1 表示锚链存在拖地部分, 方程 2 表示锚链不存在拖地部分。 + +Step2: 在 5.2.2 节基础上, 为了方便各子程序中对变量的调用, 修改程序中与水流力相关的方程, 将重物球质量 “M ball”、锚链线密度 “sigma”、锚 链长度 “maolian” 作为全局变量。 + +Step3: 为了让 MATLAB 自动进行锚链是否拖地的判断，需要编写子程序“fun”，通过求解力学方程组，对返回值中的锚链与海底夹角 $\alpha 1$ 是否大于0进行判断，得知锚链是否有贴在海底的部分，从而决定使用“方程1”或者“方程2”再次计算。 + +Step4: 编写主程序, 以较大精度, 使用 “for” 函数对重物球质量、锚链线密度、锚链长度遍历, 调用子程序 “fun” (作用如 step3 所述), 求解钢桶倾角、钢管倾角、吃水深度、区域半径, 通过判断约束指标 “ $\alpha_{1}<16^{\circ}$ ”, “ $\beta<5^{\circ}$ ”, “d<5” 等判断进行筛选得到一系列可行解。 + +Step5：对目标函数进行无量纲化和归一化：将钢桶倾角、吃水深度、区域半径除以各自最大值，并以不同的权重组合加权相加得到优化目标，用“min”函数查找新的优化目标的最优解，得到决策变量值：重物球质量“Mball”、锚链线密度“sigma”、锚链长度“maolian”的粗略解。 + +Step6: 将精度缩小, 仍然按照 step5 的方法, 查找重物球质量、锚链线密度、锚链长度的最优解。并对不同权重组合下求得的结果进行比较。 + +Step7: 修改使用5.1.3中算法，对得到的最优重物球质量、锚链线密度、锚链长度，在不同深度下，各点水流速度不同时，水流力与风力夹角不同时，参照模型三进行力学方程组的修改，仿照模型1的求解算法可以求解钢桶倾角、吃水深度、区域半径等变量的值，并绘出锚链形状图。 + +# 5.3.6 模型的求解结果及分析 + +基于上述模型建立及求解算法，求解得到不同情况下钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域最大半径。 + +其中不同情况包括：1).各位置水流速度相同，水流力与风力同向；2).各位置水流速度相同，水流力与风力反向；3).各位置水流速度相同，水流力与风向垂直；4).各位置水流速度自上而下线性递减，水流力与风力同向；令海水深度H分别为 $16\mathrm{m}$ 、 $17\mathrm{m}$ 、 $18\mathrm{m}$ 、 $19\mathrm{m}$ 、 $20\mathrm{m}$ ，选择最优的锚链型号、长度和重物球质量。 + +结果显示：当各位置水流速度相同时，仅5号锚链能够达到目标函数和约束条件的要求，故选择锚链型号5(即单位长度质量为 $28.12\mathrm{kg / m}$ )，锚链长为 $20.90\mathrm{m}$ ，重物球质量为 $4601.88\mathrm{kg}$ ；当各位置水流速度自上而下线性递减（呈一次函数，海面水速大海底水速为0）时：选择锚链型号5(即单位长度质量为 $28.12\mathrm{kg / m}$ )，锚链 + +长为 $20.90 \mathrm{~m}$ , 重物球质量为 $4635.34 \mathrm{~kg}$ 。 + +可见各点水流速度的不同对三个决策变量的影响较小，为了保证系泊系统的最优设计，最终选定锚链型号为5，锚链长度为 $20.90\mathrm{m}$ ，重物球质量为 $4635.34\mathrm{kg}$ 。 + +以各位置水流速度相同时，水力与风力同向时的求解结果为例，其余情况下的结果见附件2-4。 + +求解得到不同深度下的钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度、游动区域最大半径和锚链左端点A端切线方向与 $\mathbf{x}$ 轴正方向的夹角 $\alpha_{1}$ 如下表： + +表 5 各点水速相同、水力与风力同向时的系泊系统参数表 + +
深度HH=16mH=17mH=18mH=19mH=20m
钢桶与竖直线夹角β4.4868°4.4555°4.4252°4.3945°4.3674°
钢管1倾斜角度θ14.3946°4.3633°4.3331°4.3024°4.2753°
钢管2倾斜角度θ24.3328°4.3021°4.2723°4.2422°4.2155°
钢管3倾斜角度θ34.2713°4.2411°4.2118°4.1821°4.1560°
钢管4倾斜角度θ44.2101°4.1803°4.1516°4.1224°4.0966°
浮标吃水深度d1.7637m1.7744m1.7848m1.7956m1.8052m
游动区域最大半径R18.0025m17.4934m16.9661m16.3961m15.8630m
锚链与海床夹角α10°0°0°0°0°
+ +根据表5可知，当深度H逐渐增加时，钢桶和钢管的倾斜角度均逐渐减小，浮标吃水深度逐渐增加，而游动区域最大半径逐渐变小，锚链均存在沉在海底的部分。 + +H分别为 $16 \mathrm{~m} 、 17 \mathrm{~m} 、 18 \mathrm{~m} 、 19 \mathrm{~m} 、 20 \mathrm{~m}$ 时绘制的锚链形状图形如下： + +![](images/e71cd8da3d48d824a8ce1ac92cbe70bdbda42d1db5fec061f1dcbf50e19bfdf3.jpg) + +![](images/569399f0cdc3e8e327878ae0a0343aae269293c1f4bc0aa8c318ef2e156493ee.jpg) + +![](images/b076c3dbb42eece18c93cab8baf72014beba4ad92c07897dcf7f8d397b08c08e.jpg) + +![](images/55d8f9c6e7867fd69cbeb61cea024f333f6fe023d34cdc07314ff2b22b3b69b0.jpg) +$\mathrm{H} = 16\mathrm{m}$ +$\mathrm{H} = 17\mathrm{m}$ +$\mathrm{H} = 19\mathrm{m}$ +图12 不同深度时的锚链形状图形 + +![](images/e89f9b6eb7b0189a09abd0f5d53af4148b7ca3dfb5969b3ff97b616a69cd42ef.jpg) +$\mathrm{H} = 18\mathrm{m}$ +$\mathrm{H} = 20 \mathrm{~m}$ + +各位置水流速度相同，水流力与风力反向、垂直，以及水流速度自上而下线性递减，水流力与风力同向时，求解得到不同深度下的钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度、游动区域最大半径和夹角 $\alpha_{1}$ ，以及 H 分别为 $16\mathrm{m}$ 、 $17\mathrm{m}$ 、 $18\mathrm{m}$ 、 $19\mathrm{m}$ 、 $20\mathrm{m}$ 时绘制的锚链形状图形见附件 2-4。 + +# 六、模型评价与改进 + +# 6.1 模型优点 + +1.文中模型5.1仿照悬链线方程利用微元法的思想推导出了锚链线方程，使得求结过程得到简化，利于后续结果的计算，使得模型更加可靠。 +2. 模型 5.2 以钢桶倾角最小，浮标吃水深度最小，浮标游动区域半径最小为优化目标建立多目标优化模型，通过调整权重来衡量某个目标的重要程度，使得结果更加客观。 +3. 由于问题2规模较小，采用直接多重遍历搜索即可求得最优的重物球质量。使得模型较为简单直接，计算方便。 +4. 模型 5.3 中考虑到了不同的水流速度与距海底高度的情况，水流力与风力成不同角度，不同水深条件下的情况，最后确定系泊系统的锚链型号，锚链长度，重物球质量。对于各情况均进行分析，使得结果更加可信。 + +# 6.2 模型缺点 + +1. 第三问中模型求解时受到初始解的影响较大，有的可能缺失最优解。 +2. 当水流力与风力同时作用在浮标上时，未考虑浮标产生倾斜时的情况。 +3. 由于限制的最大吃水深度越大，钢桶倾角就越能够达到最小，所以对于浮标最大吃水深度的限制，模型2中取1.5米，模型3中取1.8米，存在一定的主观性。 + +# 6.3 模型改进 + +# (1)水流力与风力夹角任意时 + +为了验证模型三求解出的系泊系统的锚链型号，长度，重物球质量。对于浮标倾斜的情况进行重新受力分析，由于水平方向上浮标受力情况不变，但是风力和水流力的角度可以是任意值，所以浮标受到的水流力和风力的合力发生变化。浮标所受合力可以根据力的平行四边形法则和余弦定理表示为： + +$$ +F = \sqrt {F _ {\text {w a t} - \text {f l o a t}} ^ {2} + F _ {\text {w i n d}} ^ {2} - 2 F _ {\text {w a t} - \text {f l o a t}} F _ {\text {w i n d}} \cos \eta} +$$ + +其中 $F_{\text {wat\_float}}$ 表示浮标所受到的水流力, $F_{\text {wind}}$ 代表浮标所受到的风力, $\mathrm{F}$ 代表浮标水平方向上所受到的水流力与风力的合力, $\eta$ 代表风力与水流力夹角。 + +假设水流力与风力夹角为任意角度 $\eta$ , 按照模型三中所求解得到的三个决策变量,当水深为 $20 \mathrm{~m}$ 时, 对系泊系统各参数进行计算, 锚链线见附件 5: + +表 6 各点水速相同、水力与风力任意角度时的系泊系统参数表 + +
任意角度ηη=30°η=45°η=60°
钢桶与竖直线夹角β3.3920°3.4691°3.5655°
钢管1倾斜角度θ13.3552°3.4315°3.5270°
钢管2倾斜角度θ23.3483°3.4245°3.5197°
钢管3倾斜角度θ33.3414°3.4174°3.5124°
钢管4倾斜角度θ43.3345°3.4104°3.5052°
浮标吃水深度d1.7851m1.7863m1.7879m
游动区域最大半径R15.0511m15.1108m15.1836m
锚链左端切线方向与海床夹角α10°0°0°
+ +由上表规律可知任意夹角时，均可满足系泊系统正常工作的条件，且各个参数差异不大。 + +# (2) 模型三中优化目标的权重发生改变时 + +模型三的求解中优化目标所设定的权重为 $\lambda_{1} = 0.8, \lambda_{2} = 0.1, \lambda_{3} = 0.1$ ，当修改权重为 $\lambda_{1} = 0.4, \lambda_{2} = 0.3, \lambda_{3} = 0.3, \lambda_{1} = 1/3, \lambda_{2} = 1/3, \lambda_{3} = 1/3, \lambda_{1} = 0.1, \lambda_{2} = 0.8, \lambda_{3} = 0.1$ 即优化目标-钢桶倾角尽可能小，从占绝对重要的比重，改变为占相对重要的比重或相等的比重时，浮标吃水深度最小占绝对重要比重时，按照模型三所设定的优化目标进行重新计算，求解在新的权重下的三个决策变量的数值，即锚链型号，锚链长度，重物球质量如下(此时海面下各点水流速度相同)： + +表 6 各点水速相同、水力与风力同向, 不同权重组合的系泊系统参数表 + +
不同权重组合 +λ1,λ2,λ3λ1=0.8,λ2=0.1 +λ3=0.1λ1=0.4,λ2=0.3 +λ3=0.3λ1=1/3,λ2=1/3 +λ3=1/3λ1=0.1,λ2=0.8 +λ3=0.1
锚链种类第5种第5种第5种第5种
锚链长度20.9m20.9m20.9m21.1m
重物球质量4635.24kg4635.24kg4635.24kg4014.14kg
+ +由上表可知，优化目标-钢桶倾角尽可能小，从占绝对重要的比重，改变为占相对重要的比重或相等的比重时，系泊系统的设定：锚链种类，长度，重物球质量基本不变。 + +# (4) 模型三中考虑无档链环连接的影响 + +在模型三的处理中对锚链视为可微函数处理，未考虑无档链环产生的空隙对结果造成的影响，所选取的5号链环每个链环的长度为 $180\mathrm{mm}$ ，选取的锚链总长度为20.9米，共约117个链环，链环之间的空隙会使得锚链质量的计算发生变化。 + +不考虑锚链链环空隙时，锚链线密度为 $28.12\mathrm{kg / m}$ ，锚链质量为 $587.708\mathrm{kg}$ ，考虑链环见空隙假定为 $10\mathrm{mm}$ 时，总空隙长度约为 $1.17\mathrm{m}$ ，可以认为锚链总质量应该减去这一空隙后，总质量为 $554.82\mathrm{kg}$ ，这时估计计算锚链真实线密度大约为 $26.55\mathrm{kg / m}$ ，利用估计的锚链真实线密度带入模型三进行重新求解。 + +# 七、参考文献 + +[1] 吴剑锋，王斌，基于悬链线法的锚链长度的计算，中国水运，第13卷第1期，2013年1月。 +[2]http://baike.baidu.com/link?url=pzhaeccLGxe2RsnQ-fgzx4y4Cdgs1W1z28G1WqDCb0j2SIOhM8lPhwG8Vu4-MQ5JhTycvUADdZ1B3BDkdRxOba_百度百科_悬链线。 +[3]张德丰等，MATLAB程序设计与综合应用，清华大学出版社，2012年1月第一版 + +# 八、附件清单 + +附件1：模型三中，风力与水流力同向时的刚体力学方程组 +附件2：模型三中，各点水速相同、水力与风力反向时的求解结果 +附件3：模型三中，各点水速相同、水力与风力垂直时的求解结果 +附件4：模型三中，各点水速不同、水力与风力同向时的求解结果 +附件5：模型改进中，水流力与风力夹角为任意角度时的锚链形状 +附件6：问题1中，系泊系统参数求解的Matlab程序 +附件7：锚链部分沉底情况下，系泊系统参数求解的Matlab程序 +附件8：锚链不存在沉底的情况下，系泊系统参数求解的Matlab程序 +附件9：问题2中，系泊系统参数求解的Matlab程序 + +附件 10: 问题 3 中, 各点水速相同、水流与风同向时, 锚链长度、型号、重物球质量的 Matlab 求解程序 + +附件11：问题3中，各点水速相同、水流与风同向时，钢桶和钢管的倾斜角度、锚链形状的Matlab求解程序 + +# 九、附件 + +附件1：风力方向与水流力方向同向时的刚体力学方程组 + +以水流力与风力同向为例，对模型1中的刚体力学方程组罗列如下： + +无沉底: $\left\{ \begin{array}{l} \int_{0}^{x_1} \sqrt{1 + y'^2} dx = s, y_1 = y(x_1) \\ y' \big|_{x_1} = \tan \alpha_2 \end{array} \right.$ 锚链: + +有沉底： $\left\{ \begin{array}{l} \int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1 + y^{\prime 2}} dx = s - x_0, y_1 = y(x_1) \\ y^{\prime}|_{x_1} = \tan \alpha_2 \end{array} \right.$ + +钢桶及重物球： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x: F _ {1} \sin \gamma_ {1} = F ^ {\prime} \\ y: G _ {\text {b u c k e t}} + G _ {\text {b a l l}} + \frac {F ^ {\prime}}{\cos \alpha_ {2}} \sin \alpha_ {2} = f _ {\text {b a l l}} + f _ {\text {b u c k e t}} + F _ {1} \cos \gamma_ {1} \\ G _ {\text {b a l l}} L \sin \beta + F _ {1} L \sin (\beta - \gamma_ {1}) = \frac {F ^ {\prime}}{\cos \alpha_ {2}} L \sin \left(\frac {\pi}{2} - \alpha_ {2} - \beta\right) \end{array} \right. +$$ + +[ G_{pipe} + F_1 \cos \gamma_1 = f_{pipe} + F_2 \cos \gamma_2 ] 钢管 1: $F_1 \sin \gamma_1 = F_2 \sin \gamma_2 + + F_{wat\_pipe}$ $F_1 L \sin (\gamma_1 - \theta_1) = F_2 L \sin (\theta_1 - \gamma_2)$ + +$\left\{ \begin{array}{l} G_{pipe} + F_2 \cos \gamma_2 = f_{pipe} + F_3 \cos \gamma_3 \\ F_2 \sin \gamma_2 = F_3 \sin \gamma_3 + F_{wat\_pipe} \\ F_2 L \sin (\gamma_2 - \theta_2) = F_3 L \sin (\theta_2 - \gamma_3) \end{array} \right.$ 钢管 2: + +$\left\{ \begin{array}{l} G_{pipe} + F_3 \cos \gamma_3 = f_{pipe} + F_4 \cos \gamma_4 \\ F_3 \sin \gamma_3 = F_4 \sin \gamma_4 + F_{wat\_pipe} \\ F_3 L \sin (\gamma_3 - \theta_3) = F_4 L \sin (\theta_3 - \gamma_4) \end{array} \right.$ 钢管3： + +$\left\{ \begin{array}{l} G_{pipe} + F_4 \cos \gamma_4 = f_{pipe} + F_5 \cos \gamma_5 \\ F_4 \sin \gamma_4 = F_5 \sin \gamma_5 + F_{wat\_pipe} \\ F_4 L \sin (\gamma_4 - \theta_4) = F_5 L \sin (\theta_4 - \gamma_5) \end{array} \right.$ 钢管 4: + +$\left\{ \begin{array}{l} \pi \left( \frac{2}{2} \right)^2 dg \rho = G_{buoy} + F_5 \cos \gamma_5 \\ F_5 \sin \gamma_5 = 0.625 \times 2 \times (2 - d)v^2 + 374 \times 2 \times d \times v^2 \end{array} \right.$ 淳标： + +总高度： $H = y_{0} + l_{\text{bucket}} \cos \beta + l_{\text{pipe}} (\cos \theta_{1} + \cos \theta_{2} + \cos \theta_{3} + \cos \theta_{4}) + d$ + +其中 $F^{\prime} = F_{\text{wind}} + 4F_{\text{wat\_pipe}} + F_{\text{wat\_bucket}} + F_{\text{wat\_float}}$ + +$$ +y = \frac {F ^ {\prime}}{\sigma g} \cosh \left(\frac {\sigma g}{F ^ {\prime}} x + \sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) - \frac {F ^ {\prime}}{\sigma g} \cosh \left(\sinh^ {- 1} \left(\tan \alpha_ {1}\right)\right) +$$ + +游动区域的最大半径: $R = x_{0} + l_{\text {bucket}} \sin \beta + l_{\text {pipe}} \left(\sin \theta_{1} + \sin \theta_{2} + \sin \theta_{3} + \sin \theta_{4}\right)$ 其中 20 个方程中的符号含义同模型一, 上述方程是以水流力与风力同向为例,水流力与风力反向、垂直时, 对上述方程组的更改方式如(40)-(45)式, 或(46)-(52)式。 + +附件2：问题3中，各点水速相同、水力与风力反向时的求解结果 +表 7 各点水速相同、水力与风力反向时的系泊系统参数表 + +
深度HH=16mH=17mH=18mH=19mH=20m
钢桶与竖直线夹角β4.2767°4.2466°4.2174°4.1891°4.1615°
钢管1倾斜角度θ14.2296°4.2001°4.1715°4.1438°4.1168°
钢管2倾斜角度θ24.2206°4.1913°4.1629°4.1352°4.1084°
钢管3倾斜角度θ34.2118°4.1825°4.1542°4.1267°4.1000°
钢管4倾斜角度θ44.2029°4.1738°4.1456°4.1183°4.0916°
浮标吃水深度d1.7569m1.7673m1.7775m1.7876m1.7975m
游动区域最大半径R17.8246m17.2931m16.7433m16.1768m15.5948m
锚链与海床夹角α10°0°0°0°0°
+ +H 分别为 $16 \mathrm{~m} 、 17 \mathrm{~m} 、 18 \mathrm{~m} 、 19 \mathrm{~m} 、 20 \mathrm{~m}$ 时绘制的锚链形状图形如下: + +![](images/75e6163d9e6e1c35da92f1a386309653c6bc93bd7abc5984a29f7dfd2c83e876.jpg) + +![](images/874c2e3fa29640e4e7c908cd84b8dce8cca44f424d1aad5249acd52e24bdfadb.jpg) + +![](images/9c404d52edc1eb5e6fa98a3de0caebf3d798b5c192374c83858cae9b5b36c58b.jpg) + +![](images/8ba3eeb113ccbfb58676e48750bcc61682b5115494bb8af38ae6d7722ea9dff2.jpg) +图13 不同深度时的锚链形状图形 + +![](images/63969444b96931fcc137af7426c4ced99c4766ebf491da935f627b968a8bfce5.jpg) + +附件3：问题3中，各点水速相同、水力与风力垂直时的求解结果 +表 8 各点水速相同、水力与风力垂直时的系泊系统参数表 + +
深度HH=16mH=17mH=18mH=19mH=20m
钢桶与竖直线夹角β3.8142°3.8056°3.7974°3.7895°3.7820°
钢管1倾斜角度θ13.7719°3.7637°3.7559°3.7484°3.7412°
钢管2倾斜角度θ23.7639°3.7558°3.7480°3.7406°3.7334°
钢管3倾斜角度θ33.7560°3.7479°3.7402°3.7329°3.7258°
钢管4倾斜角度θ43.7480°3.7400°3.7324°3.7252°3.7182°
浮标吃水深度d1.7506m1.7610m1.7713m1.7814m1.7914m
游动区域最大半径R17.6114m17.0670m16.5060m15.9300m15.3403m
锚链与海床夹角α10°0°0°0°0°
+ +H 分别为 $16 \mathrm{~m} 、 17 \mathrm{~m} 、 18 \mathrm{~m} 、 19 \mathrm{~m} 、 20 \mathrm{~m}$ 时绘制的锚链形状图形如下: + +![](images/9996dd65f40d3b41866451ad23dff1e7b3071b0480537d1e4929d6a81dd26cfa.jpg) +图14 不同深度时的锚链形状图形 + +附件4：问题3中，各点水速不同、水力与风力同向时的求解结果 +表 9 各点水速不同、水力与风力同向时的系泊系统参数表 + +
深度HH=16mH=17mH=18mH=19mH=20m
钢桶与竖直线夹角β4.4417°4.4105°4.3803°4.3511°4.3226°
钢管1倾斜角度θ14.3632°4.3324°4.3026°4.2737°4.2455°
钢管2倾斜角度θ24.3150°4.2846°4.2552°4.2267°4.1990°
钢管3倾斜角度θ34.2671°4.2372°4.2081°4.1800°4.1526°
钢管4倾斜角度θ44.2142°4.1847°4.1560°4.1283°4.1014°
浮标吃水深度d1.7612m1.7718m1.7821m1.7923m1.8024m
游动区域最大半径R17.9413m17.4212m16.8888m16.3368m15.7695m
锚链与海床夹角α10°0°0°0°0°
+ +H 分别为 $16 \mathrm{~m} 、 17 \mathrm{~m} 、 18 \mathrm{~m} 、 19 \mathrm{~m} 、 20 \mathrm{~m}$ 时绘制的锚链形状图形如下: + +![](images/454403e2ea08249cf28c130411866b2bb2fb9cfac27ed7b7701e106dab73ad9e.jpg) + +![](images/7674c555428102c7f99b3a616de7896302f9e4a97d9b13cbe4e54eb35302314f.jpg) + +![](images/ce87f7ce3c9592264f45dc8b5552c27a8ae9f1a3175e84fa80dc73ff07b92dde.jpg) + +![](images/157b25d3004ea48a3b89db3ab2de1b01943db45849b33502e1ad73da140911f3.jpg) +图15 不同深度时的锚链形状图形 + +附件5：水流力与风力夹角为任意角度时，锚链形状 + +水流力与风力夹角为任意角度 $\eta$ , 按照模型三中所求解得到的三个决策变量, 锚链取五号, 长度 $20.9 \mathrm{~m}$ , 重物球质量 $4635.24 \mathrm{~kg}$ , 当水深为 $20 \mathrm{~m}$ 时, 锚链线形状: + +![](images/e1a34e0883a4c1e0bec760a3b4b85155d1ed96798f66c91b03badec20e99e33d.jpg) +$\eta = 30^{\circ}$ 时锚链线形状： +图16 水流力与风力不同夹角时锚链形状 + +![](images/5aacb0562a84ed224e9f9bb700b810c79f339459e327a195e587680edbe58299.jpg) +$\eta = 45^{\circ}$ 时锚链线形状： + +![](images/d77edf75dfad480fd4cbc3adc523046ddb122865fbe93be073186108d8ad33e2.jpg) +$\eta = 45^{\circ}$ 时锚链线形状： + +附件6：问题1中，系泊系统参数求解的Matlab程序 + +function question1 + +$\mathrm{x0 = [1372.4,6,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09,0.09,0.09,0.09]}$ + +09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]; + +options=optimset('MaxFunEvals',1e4,'MaxIter',1e4); + +format long + +[x,fval,exitflag]=fsolve(@fangcheng,x0,options)%设置初值 + +$\mathrm{x}(9:18) = \mathrm{x}(9:18) / \mathrm{pi}^{*}180$ + +function F=fangcheng(x) + +Fwind=x(1);%风力 + +unuse=x(2); + +$\mathrm{alpha}1 = 0; \%$ 弧度 $< 0.2793$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{x}(3)$ $0.5$ + +F1=x(4);F2=x(5);F3=x(6);F4=x(7);F5=x(8);theta1=x(9);theta2=x(10);theta3=x(11);th + +eta4=x(12); + +beta=x(13);gama1=x(14);gama2=x(15);gama3=x(16);gama4=x(17);gama5=x(18); + +x1=x(19);%锚链末端横坐标 + +%% + +Vwind=24;%风速 + +H=18;%水深 + +$\mathrm{p = 1025,}\%$ 海水密度 + +sigma=7; + +$\mathrm{g} = 9.8,\%$ 重力加速度 + +Mball=1200*0.869426751592357;%重物球质量 +maolian=22.05;%锚链长度 +maolian=maolian-x(2);%减去沉在海底的长度 +floatage_bucket=0.15*0.15*pi*p,%钢桶浮力 +floatage_pipe=0.025*0.025*pi*p;%钢管浮力 +$\mathrm{F =}$ ones(19,1); +%% +y=@(t)(Fwind/sigma/g*cosh(sigma*g*t/Fwind+asinh(tan(alph1)))-Fwind/sigma/g*co +sh(asinh(tan( $\mathrm{a}$ h1)))) +$\mathrm{Dy} = @(t)(\mathrm{sqrt}(1 + (\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{t} / \mathrm{F}\mathrm{wind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alpha}1))))\wedge 2))$ +$\mathrm{xx = 0:0.001:x1}$ +yy=y(xx); +xx=[0:0.001:unuse,xx+unuse+0.001]; +$\mathrm{u =}$ length(0:0.001:unuse); +yy=[zeros(1,u),yy]; +plot(xx,yy,'LineWidth',3,'markersize',8) +set(gca,'xtick',[0:x1+unuse+1],[ytick',[0:yy(end)+1]]) +title('锚链形状') +xlabel('锚链投影长度/m') +ylabel('距离海底高度/m') +grid on +$\mathrm{R} = \sin (\mathrm{beta}) + \sin (\mathrm{theta1}) + \sin (\mathrm{theta2}) + \sin (\mathrm{theta3}) + \sin (\mathrm{theta4}) + \mathrm{xx(end)} - 0.001$ +$\mathrm{F}(1) = \mathrm{quad}(\mathrm{Dy},0,\mathrm{x}1)$ -maolian,%锚链长度 +$\mathrm{alph2 =}$ atan $(\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{x}1 / \mathrm{F}\mathrm{wind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alph1})))$ +y1=y(x1) +%钢桶 +$\mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - beta}) + \mathrm{Fwind / cos(alph2)}^{*}\sin (\mathrm{pi / 2 - alph2 - beta}) - \mathrm{Mball}^{*}\mathrm{g}^{*}\sin (\mathrm{beta});$ +%力矩平衡 +[ \mathrm{F}(3) = \mathrm{F}1^{*}\cos(\mathrm{game1}) + \text{floatage_bucket-100}^{*}\mathrm{g-Mball}^{*}\mathrm{g-Fwind}^{*}\tan(\mathrm{alpha2});\% ] 竖直受 +力平衡 +F(4)=F1*sin(gama1)-Fwind;%水平受力平衡 +%4 个钢管力矩平衡 +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gamma2});$ +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4$ -theta4)-F5\*sin(theta4-gama5); +%4 个钢管水平受力平衡 +$\mathrm{F}(9) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2)$ -Fwind; +$\mathrm{F}(10) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{gama3})$ -Fwind; +$\mathrm{F}(11) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game4})$ -Fwind; +$\mathrm{F}(12) = \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{gama}5)$ -Fwind; +%4 个钢管竖直受力平衡 +$\mathrm{F}(13) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama}1) + 10^{*}\mathrm{g - F2}^{*}\cos (\mathrm{gama}2)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(14) = \mathrm{F}2^{*}\cos (\mathrm{gama}2) + 10^{*}\mathrm{g - F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(15) = \mathrm{F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3) + 10^{*}\mathrm{g - F4^{*}}\cos (\mathrm{gama}4)$ -floatage_pipe; + $\mathrm{F}(16) = \mathrm{F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4) + 10^{*}\mathrm{g - F5^{*}}\cos (\mathrm{gama}5)$ -floatage_pipe; + $\mathrm{F}(17) = \mathrm{F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5) + 1000^{*}\mathrm{g - pi^{*}}\mathrm{d^{*}p^{*}g};\%$ 浮标竖直受力 + $\mathrm{F}(18) = \mathrm{y}1 + \cos (\beta \text{eta}) + \cos (\theta \text{eta} 1) + \cos (\theta \text{eta} 2) + \cos (\theta \text{eta} 3) + \cos (\theta \text{eta} 4) + \mathrm{d - H};\%$ 水深 + $\mathrm{F}(19) = 2^{*}(2 - d)^{*}0.625^{*}\mathrm{Vwind}^{*}\mathrm{Vwind - Fwind};\%$ 风力 + +```matlab +附件7：锚链部分沉底情况下，系泊系统参数求解的Matlab程序 +function question1 luodi +x0=[1372.4,6,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]'; +options=optimset('MaxFunEvals',le4,'MaxIter',le4); +format long +[x,fval,exitflag]=fsolve(@fangcheng,x0,options)%设置初值 +x(9:18)=x(9:18)/pi*180 +function F=fangcheng(x) +Fwind=x(1);%风力 +unused=x(2); +alph1=0;%弧度<0.2793 +d=x(3);%吃水深度0.5 +F1=x(4);F2=x(5);F3=x(6);F4=x(7);F5=x(8);theta1=x(9);theta2=x(10);theta3=x(11);theta4=x(12); +beta=x(13);gama1=x(14);gama2=x(15);gama3=x(16);gama4=x(17);gama5=x(18);x1=x(19);%锚链末端横坐标 +%% +Vwind=36;%风速 +H=18;%水深 +p=1025;%海水密度 +sigma=7; +g=9.8;%重力加速度 +Mball=4090*0.869426751592357;%重物球质量 +maolian=22.05;%锚链长度 +maolian=maolian-x(2);%减去沉在海底的长度 +floatage_bucket=0.15*0.15*pi*p;%钢桶浮力 +floatage_pipe=0.025*0.025*pi*p;%钢管浮力 +F=ones(19,1); +%% +y=@(t)(Fwind/sigma/g*cosh(sigma*g*t/Fwind+asin(tan(alpha1)))-Fwind/sigma/g*cosh(asinh(tan(alpha1))))); +Dy=@(t)(sqrt(1+(sinh(sigma*g*t/Fwind+asin(tan(alpha1))).^2)); +xx=0:0.001:x1; +yy=y(xx); +xx=[0:0.001:unuse,xx+unuse+0.001]; +u=length(0:0.001:unuse); +yy=[zeros(1,u),yy]; +``` + +plot(xx,yy,'LineWidth',3,'markersize',8) + +set(gca,'xtick',[0:x1+unuse+1],[ytick',[0:yy(end)+1]]) + +title('锚链形状') + +xlabel('锚链投影长度/m') + +ylabel('距离海底高度/m') + +grid on + +$\mathrm{R} = \sin (\mathrm{beta}) + \sin (\mathrm{theta1}) + \sin (\mathrm{theta2}) + \sin (\mathrm{theta3}) + \sin (\mathrm{theta4}) + \mathrm{xx(end)} - 0.001$ + +$\mathrm{F}(1) = \mathrm{quad}(\mathrm{Dy},0,\mathrm{x}1)$ -maolian,%锚链长度 + +$\mathrm{alph2 =}$ atan $(\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{x}1 / \mathrm{F}\mathrm{wind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alph1})))$ + +y1=y(x1) + +%钢桶 + +$\mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - beta}) + \mathrm{Fwind / cos(alph2)^{*}}\sin (\mathrm{pi / 2 - alph2 - beta}) - \mathrm{Mball^{*}g^{*}}\sin (\mathrm{beta});$ + +%力矩平衡 + +F(3)=F1*cos(gama1)+floatage_bucket-100*g-Mball*g-Fwind*tan(alpha2);% 竖直受力平衡 + +F(4)=F1*sin(gama1)-Fwind;%水平受力平衡 + +%4 个钢管力矩平衡 + +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gamma2});$ + +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); + +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); + +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4$ -theta4)-F5\*sin(theta4-gama5); + +%4 个钢管水平受力平衡 + +$\mathrm{F}(9) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2)$ -Fwind; + +$\mathrm{F}(10) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{gama}3)$ -Fwind; + +$\mathrm{F}(11) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4)$ -Fwind; + +$\mathrm{F}(12) = \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{gama}5)$ -Fwind; + +%4 个钢管竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(13) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama}1) + 10^{*}\mathrm{g - F2}^{*}\cos (\mathrm{gama}2)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(14) = \mathrm{F}2^{*}\cos (\mathrm{gama}2) + 10^{*}\mathrm{g - F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(15) = \mathrm{F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3) + 10^{*}\mathrm{g - F4}^{*}\cos (\mathrm{gama}4)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(16) = \mathrm{F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4) + 10^{*}\mathrm{g - F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5)$ -floatage_pipe; + +F(17)=F5\*cos(gama5)+1000\*g-pi\*d\*p\*g;%浮标竖直受力 + +[ \mathrm{F}(18) = \mathrm{y}1 + \cos(\mathrm{beta}) + \cos(\mathrm{theta}1) + \cos(\mathrm{theta}2) + \cos(\mathrm{theta}3) + \cos(\mathrm{theta}4) + \mathrm{d - H};\% \text{水深} ] + +$\mathrm{F}(19) = 2^{*}(2 - d)^{*}0.625^{*}\mathrm{Vwind}^{*}\mathrm{Vwind - Fwind},\%$ 风力 + +附件8：锚链不存在沉底的情况下，系泊系统参数求解的Matlab程序 + +function question1_weiluodi + +$\mathrm{x0 = [1372.4,6,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09,0.09,0.09,0.09]}$ + +09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]; + +options=optimset('MaxFunEvals',1e4,'MaxIter',1e4); + +format long + +[x,fval,exitflag]=fsolve(@fangcheng,x0,options)%设置初值\ + +$\mathrm{x}(9:18) = \mathrm{x}(9:18) / \mathrm{pi}^{*}180$ + +function F=fangcheng(x) + +Fwind=x(1),%风力 + +$\mathrm{alpha1 = x(2);}\%$ 弧度 $< 0.2793$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{x}(3)$ $0.5$ + +$\mathrm{F1 = x(4);F2 = x(5);F3 = x(6);F4 = x(7);F5 = x(8);}$ theta1=x(9);theta2=x(10);theta3=x(11);th eta4=x(12); + +beta=x(13);gama1=x(14);gama2=x(15);gama3=x(16);gama4=x(17);gama5=x(18); + +x1=x(19);%锚链末端横坐标 + +%% + +Vwind=36%风速 + +$\mathrm{H} = 18,\%$ 水深 + +$\mathrm{p = 1025;}\%$ 海水密度 + +sigma=7; + +$\mathrm{g} = 9.8;\%$ 重力加速度 + +Mball=2010*0.869426751592357;%重物球质量 + +floatage_bucket=0.15*0.15*pi*p;%钢桶浮力 + +floatage_pipe=0.025*0.025*pi*p;%钢管浮力 + +$\mathrm{F =}$ ones(19,1); + +0%% + +y=@(t)(Fwind/sigma/g*cosh(sigma*g*t/Fwind+asinh(tan(alph1)))-Fwind/sigma/g*co + +sh(asinh(tan( $\mathrm{a}$ hph1)))) + +$\mathrm{Dy} = @(t)(\mathrm{sqrt}(1 + (\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{t} / \mathrm{Fwind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alpha}1))))\wedge 2));$ + +Y=y(x1) + +$\mathrm{xx = 0:0.001:x1}$ + +yy=y(xx); + +plot(xx,yy,'LineWidth',3,'markersize',8) + +set(gca,'xtick',[0:x1+1],[ytick',[0:yy(end)+1]]) + +title('锚链形状') + +xlabel('锚链投影长度/m') + +ylabel('距离海底高度/m') + +grid on + +% pause + +F(1)=quad(Dy,0,x1)-22.05;%锚链长度 + +$\%$ alph2 $\coloneqq$ atan((y(x1+0.001)-y(x1-0.001))/0.002); + +$\mathrm{alpha}2 = \mathrm{atan}(\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{x}1 / \mathrm{F}\mathrm{wind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alpha}1))))$ + +$\mathrm{y1 = y(x1)}$ + +$\mathrm{R = x1 + sin(beta) + sin(theta1) + sin(theta2) + sin(theta3) + sin(theta4)}$ + +%钢桶 + +$\mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - beta}) + \mathrm{Fwind / cos(alph2)}^{*}\sin (\mathrm{pi / 2 - alph2 - beta})$ -Mball\*g\*sin(beta); + +%力矩平衡 + +F(3)=F1*cos(gama1)+floatage_bucket-100*g-Mball*g-Fwind*tan(alph2);% 竖直受力平衡 + +F(4)=F1*sin(gama1)-Fwind;%水平受力平衡 + +%4 个钢管力矩平衡 + +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gamma2});$ + +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{gama}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); + +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); + +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4$ -theta4)-F5\*sin(theta4-gama5); + +%4 个钢管水平受力平衡 + +$\mathrm{F}(9) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2)$ -Fwind; +$\mathrm{F}(10) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{gama3})$ -Fwind; +$\mathrm{F}(11) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game4})$ -Fwind; +$\mathrm{F}(12) = \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{game}5)$ -Fwind; + +%4 个钢管竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(13) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama}1) + 10^{*}\mathrm{g - F2}^{*}\cos (\mathrm{gama}2)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(14) = \mathrm{F}2^{*}\cos (\mathrm{gama}2) + 10^{*}\mathrm{g - F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(15) = \mathrm{F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3) + 10^{*}\mathrm{g - F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(16) = \mathrm{F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4) + 10^{*}\mathrm{g - F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5)$ -floatage_pipe; +F(17)=F5\*cos(gama5)+1000\*g-pi\*d\*p\*g;%浮标竖直受力 +[ \mathrm{F}(18) = \mathrm{y}1 + \cos(\mathrm{beta}) + \cos(\mathrm{theta}1) + \cos(\mathrm{theta}2) + \cos(\mathrm{theta}3) + \cos(\mathrm{theta}4) + \mathrm{d - H};\% \text{水深} ] +$\mathrm{F}(19) = 2^{*}(2 - \mathrm{d})^{*}0.625^{*}\mathrm{Vwind}^{*}\mathrm{Vwind - Fwind},\%$ 风力 + +附件 9: 问题 2 中, 系泊系统参数求解的 Matlab 程序 + +function question2 + +global Mball + +$\mathrm{G = []};\mathrm{beta = []};\mathrm{alpha1 = []};\mathrm{d = []};\mathrm{R = []};$ + +for Mball1=1700:10:5000 + +Mball=Mball1*0.869426751592357; + +[x,fval,exitflag,r,Unuse] $=$ fun; + +if (Unuse==0&x(2)>0.279)|x(3)>1.5|x(13)>0.087%只选取阿发1小于 $16^{\circ}$ , 浮标深度小于1.5米, $\beta$ 小于5度的解 + +continue elseif Unuse $= = 0\%$ 代表没有落在地面的锚链 + +$\mathrm{alpha1} = [\mathrm{alpha1};\mathrm{x}(2)];\mathrm{G} = [\mathrm{G};\mathrm{Mball1}];\mathrm{beta} = [\mathrm{beta};\mathrm{x}(13)];\mathrm{d} = [\mathrm{d};\mathrm{x}(3)];\mathrm{R} = [\mathrm{R};\mathrm{r}];$ + +else%代表有落在地面的锚链 + +$\mathrm{alpha1} = [\mathrm{alpha1};0];\mathrm{G} = [\mathrm{G};\mathrm{Mball1}];\mathrm{beta} = [\mathrm{beta};\mathrm{x}(13)];\mathrm{d} = [\mathrm{d};\mathrm{x}(3)];\mathrm{R} = [\mathrm{R};\mathrm{r}]$ + +end + +end + +G, beta = beta / pi * 180, alpha1 = alpha1 / pi * 180, d, R + +figure(1) + +plot(G,beta) + +title('β 随重物球质量变化图') + +xlabel('重物球质量/kg') + +ylabel('β/°') + +grid on + +figure(2) + +plot(G,R) + +title('区域半径随重物球质量变化图') + +xlabel('重物球质量/kg') + +ylabel('半径/m') + +grid on + +figure(3) + +plot(G,d) + +title('吃水深度随重物球质量变化图') + +xlabel('重物球质量/kg') + +ylabel('深度/m') + +grid on + +figure(4) + +plot(G,alph1) + +title('a1 随重物球质量变化图') + +xlabel('重物球质量/kg') + +ylabel('α1/°') + +set(gca,'ytick',[0:16]) + +grid on + +figure(5) + +$\mathrm{k} = [0.1, 0.8, 0.1]; \%$ 吃水深度： $\beta$ ：区域半径 $= 0.1$ ： $0.8:0.1$ + +$\mathrm{y = d / max(d)*k(1) + beta / max(beta)*k(2) + R / max(R)*k(3)}$ + +plot(G,y) + +title('优化目标随重物球质量变化图') + +xlabel('重物球质量/kg') + +ylabel('目标值') + +grid on + +[a,place] $=$ min(y) + +G(place),beta(place),alph1(place),d(place),R(place) + +end + +function[x,fval,exitflag,R,Unuse]=fun + +global R Mball + +options=optimset('MaxFunEvals',1e4,'MaxIter',1e4); + +format long + +$\mathrm{x0 = [1372.4,0.18,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09,0.09,0.0}$ + +9,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]; + +[x,fval,exitflag] $\equiv$ fsolve(@fangcheng2,x0,options); + +Unuse=0;%代表没有落在地面的锚链 + +if $x(2) < 0$ + +$\mathrm{x0 = [1372.4,6,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09,0.09,0.09,0.09]}$ + +09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]; + +[x,fval,exitflag] $\equiv$ fsolve(@fangcheng1,x0,options); + +Unuse=1;%代表有落在地面的锚链 + +end + +end + +function F=fangcheng1(x) + +global R Mball + +Fwind=x(1);%风力 +unuse=x(2); +alph1=0;%弧度<0.2793 +$\mathrm{d} = \mathrm{x}(3)$ $0.5$ +$\mathrm{F1 = x(4);F2 = x(5);F3 = x(6);F4 = x(7);F5 = x(8);}$ theta1=x(9);theta2=x(10);theta3=x(11);theta4=x(12); +beta=x(13);gama1=x(14);gama2=x(15);gama3=x(16);gama4=x(17);gama5=x(18);x1=x(19);%锚链末端横坐标 +%% +Vwind=36%风速 +H=18;%水深 +$\mathrm{p = 1025;}\%$ 海水密度 +sigma=7; +$\mathrm{g} = 9.8;\%$ 重力加速度 +% Mball=1200;%重物球质量 +maolian=22.05;%锚链长度 +maolian=maolian-x(2);%减去沉在海底的长度 +floatage_bucket=0.15*0.15*pi*p,%钢桶浮力 +floatage_pipe=0.025*0.025*pi%p;%钢管浮力 +$\mathrm{F =}$ ones(19,1); +0%0% +$\mathrm{y = @(t)(Fwind / sigma / g^{*}cosh(sigma^{*}g^{*}t / Fwind + asinh(tan(alph1))) - Fwind / sigma / g^{*}co}$ sh(asinh(tan(alph1)))) +$\mathrm{Dy} = @(t)(\mathrm{sqrt}(1 + (\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{t} / \mathrm{F}\mathrm{wind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alpha}1))))\wedge 2));$ +$\mathrm{R} = \sin (\mathrm{beta}) + \sin (\mathrm{theta1}) + \sin (\mathrm{theta2}) + \sin (\mathrm{theta3}) + \sin (\mathrm{theta4}) + \mathrm{x1} + \mathrm{unuse};$ +$\mathrm{F}(1) = \mathrm{quad}(\mathrm{Dy},0,\mathrm{x}1)$ -maolian,%锚链长度 +$\mathrm{alpha}2 = \mathrm{atan}(\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{x}1 / \mathrm{F}\mathrm{wind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alpha}1))))$ +$\mathrm{y1 = y(x1)}$ +%钢桶 +$\mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - beta}) + \mathrm{Fwind / cos(alph2)}^{*}\sin (\mathrm{pi / 2 - alph2 - beta}) - \mathrm{Mball}^{*}\mathrm{g}^{*}\sin (\mathrm{beta});$ +%力矩平衡 +F(3)=F1*cos(gama1)+floatage_bucket-100*g-Mball*g-Fwind*tan(alpha2);% 竖直受力平衡 +F(4)=F1*sin(gama1)-Fwind;%水平受力平衡 +%4 个钢管力矩平衡 +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gamma2});$ +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{gama}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{gama4 - theta4}) - \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{theta4 - gamma5});$ +%4 个钢管水平受力平衡 +$\mathrm{F}(9) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2)$ -Fwind; +$\mathrm{F}(10) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{gama}3)$ -Fwind; +$\mathrm{F}(11) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{gama}4)$ -Fwind; +$\mathrm{F}(12) = \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{gama}5)$ -Fwind; + +%4 个钢管竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(13) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama}1) + 10^{*}\mathrm{g - F2}^{*}\cos (\mathrm{gama}2)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(14) = \mathrm{F}2^{*}\cos (\mathrm{gama}2) + 10^{*}\mathrm{g - F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(15) = \mathrm{F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3) + 10^{*}\mathrm{g - F4}^{*}\cos (\mathrm{gama}4)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(16) = \mathrm{F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4) + 10^{*}\mathrm{g - F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5)$ -floatage_pipe; +F(17)=F5\*cos(gama5)+1000\*g-pi\*d\*p\*g;%浮标竖直受力 +[ \mathrm{F}(18) = \mathrm{y}1 + \cos(\beta \mathrm{a}) + \cos(\theta \mathrm{a}1) + \cos(\theta \mathrm{a}2) + \cos(\theta \mathrm{a}3) + \cos(\theta \mathrm{a}4) + \mathrm{d - H};\% \text{水深} ] +$\mathrm{F}(19) = 2^{*}(2 - \mathrm{d})^{*}0.625^{*}\mathrm{Vwind}^{*}\mathrm{Vwind - Fwind},\%$ 风力 + +end + +function F=fangcheng2(x) + +global R Mball + +Fwind=x(1);%风力 + +$\mathrm{alpha1 = x(2);}\%$ 弧度 $< 0.2793$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{x}(3), \%$ 吃水深度0.5 + +F1=x(4);F2=x(5);F3=x(6);F4=x(7);F5=x(8);theta1=x(9);theta2=x(10);theta3=x(11);th + +eta4=x(12); + +beta=x(13);gamal= x(14);gama2=x(15);gama3=x(16);gama4=x(17);gama5=x(18); + +x1=x(19);%锚链末端横坐标 + +%% + +Vwind=36%风速 + +$\mathrm{H} = 18; \%$ 水深 + +$\mathrm{p = 1025,}\%$ 海水密度 + +sigma=7; + +$\mathrm{g} = 9.8\%$ 重力加速度 + +% Mball=1200;%重物球质量 + +floatage_bucket=0.15*0.15*pi%p,%钢桶浮力 + +floatage_pipe=0.025*0.025*pi%p;%钢管浮力 + +$\mathrm{F =}$ ones(19,1); + +%% + +y=@(t)(Fwind/sigma/g*cosh(sigma*g*t/Fwind+asinh(tan(alph1)))-Fwind/sigma/g*co + +sh(asinh(tan(alpha1)))) + +$\mathrm{Dy} = @(t)(\mathrm{sqrt}(1 + (\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{t} / \mathrm{Fwind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alph}1))))\wedge 2));$ + +$\mathrm{R = x1 + \sin(beta) + \sin(theta1) + \sin(theta2) + \sin(theta3) + \sin(theta4)}$ + +$\mathrm{F}(1) = \mathrm{quad}(\mathrm{Dy},0,\mathrm{x}1) - 22.05;\%$ 锚链长度 + +$\mathrm{alpha}2 = \mathrm{atan}(\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{x}1 / \mathrm{F}\mathrm{wind} + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alpha}1))))$ + +$\mathrm{y1 = y(x1)}$ + +%钢桶 + +$\mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - beta}) + \mathrm{Fwind / cos(alph2)^{*}}\sin (\mathrm{pi / 2 - alph2 - beta}) - \mathrm{Mball^{*}g^{*}}\sin (\mathrm{beta});$ + +%力矩平衡 + +$\mathrm{F}(3) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama1}) +$ floatage_bucket- $100^{*}\mathrm{g}$ -Mball*g-Fwind*tan( $\mathrm{alpha2};\%$ 竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(4) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{game}1)$ -Fwind;%水平受力平衡 + +%4 个钢管力矩平衡 + +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gamma2});$ + +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); + +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); + +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4$ -theta4)-F5\*sin(theta4-gama5); + +%4 个钢管水平受力平衡 + +$\mathrm{F}(9) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2)$ -Fwind; +$\mathrm{F}(10) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{gama3})$ -Fwind; +$\mathrm{F}(11) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game4})$ -Fwind; +$\mathrm{F}(12) = \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{game}5)$ -Fwind; + +%4 个钢管竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(13) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama}1) + 10^{*}\mathrm{g - F2}^{*}\cos (\mathrm{gama}2)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(14) = \mathrm{F}2^{*}\cos (\mathrm{gama}2) + 10^{*}\mathrm{g - F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(15) = \mathrm{F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3) + 10^{*}\mathrm{g - F4}^{*}\cos (\mathrm{gama}4)$ -floatage_pipe; +$\mathrm{F}(16) = \mathrm{F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4) + 10^{*}\mathrm{g - F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5)$ -floatage_pipe; +F(17)=F5\*cos(gama5)+1000\*g-p\*d\*p\*g;%浮标竖直受力 +[ \mathrm{F}(18) = \mathrm{y}1 + \cos(\beta \mathrm{a}) + \cos(\theta \mathrm{a}1) + \cos(\theta \mathrm{a}2) + \cos(\theta \mathrm{a}3) + \cos(\theta \mathrm{a}4) + \mathrm{d} - \mathrm{H};\% \text{水深} ] +$\mathrm{F}(19) = 2^{*}(2 - \mathrm{d})^{*}0.625^{*}\mathrm{Vwind}^{*}\mathrm{Vwind - Fwind},\%$ 风力 + +附件10：问题3中，各点水速相同、水流与风同向时，锚链长度、型号、重物球质量的Matlab求解程序 + +function question3 junyunshuili %水力与风力同向 + +clc + +clear + +tic + +global Mball sigma maolian H G BETA ALPH1 D RRA + +SIGMA=[3.2,7,12.5,19.5,28.12]; + +$\mathrm{G = []};\mathrm{BETA = []};\mathrm{ALPH1 = []};\mathrm{D = []};\mathrm{RR = []};\mathrm{A = []};\mathrm{XX = []};\mathrm{THETA = []};$ + +$\mathrm{H} = 20$ + +for xinghao=5:5 + +sigma $\equiv$ SIGMA(xinghao); + +for maolian=21.1:0.1:22 + +for Mball=4000:1:4002 + +[x,fval,exitflag,r,Unuse]=fun; + +if + +$\mathrm{(Unuse = 0\&x(2) > 0.279)|x(3) > 1.8|x(3) < 0|x(13) > 0.087|exitflag < 1|}$ (Unuse= + +=1&x(2)<0)%只选取阿发1小于 $16^{\circ}$ , 浮标深度小于1.5米, $\beta$ 小于5度的解 + +continue + +elseif Unuse $= = 0\%$ 代表没有落在地面的锚链 + +ALPH1=[ALPH1;x(2)];G=[G;Mball];BETA=[BETA;x(13)];D=[D;x(3)];R + +$\mathrm{R = [RR;r];A = [A;sigma,maolian,Mball]}$ . $\mathrm{XX = [XX,[Unuse;x]]}$ ;THETA $=$ [TH + +ETA,x(12:15)]; + +else%代表有落在地面的锚链 + +ALPH1=[ALPH1;0];G=[G;Mball];BETA=[BETA;x(13)];D=[D;x(3)];RR= [RR;r];A=[A;sigma,maolian,Mball];XX=[XX,[Unuse;x]];THETA=[THET A,x(12:15)]; end end end end end end G,BETA=BETA/pi*180,ALPH1=ALPH1/pi*180,D,RR,A,XX%sigma,maolian,Mball k=[0.1,0.8,0.1];%吃水深度：β：区域半径=0.1：0.8:0.1 y=D/1.5*k(1)+BETA/5*k(2)+RR/30*k(3); [aim,place]=min(y) D(place),BETA(place),RR(place),A(place,):%sigma,maolian,Mball sigma_cu=A(place,1) maolian_cu=A(place,2) Mball_cu=A(place,3) aim cu=aim THETA=THETA toc end function[x,fval,exitflag,R,Unuse]=fun global R format long $\mathrm{x}0 = [1372.4,0.18,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09,0.09,0.0$ 9,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]'; [x,fval,exitflag]=fsolve(@fangcheng2,x0) Unuse $= 0;\%$ 代表没有落在地面的锚链 if $\mathrm{x}(2) < 0$ x0=[1372.4,6,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09, 0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]'; [x,fval,exitflag]=fsolve(@fangcheng1,x0) Unuse $= 1;\%$ 代表有落在地面的锚链 end end function F=fangcheng1(x) global R Mball sigma maolian H Fwind=x(1);%风力 unuse=x(2); alpha $= 0;\%$ 弧度 $< 0.2793$ d=x(3);%吃水深度 0.5 F1=x(4);F2=x(5);F3=x(6);F4=x(7);F5=x(8);theta1=x(9);theta2=x(10);theta3=x(11);th eta4=x(12); beta $=$ x(13);gama1=x(14);gama2=x(15);gama3=x(16);gama4=x(17);gama5=x(18); x1=x(19);%锚链末端横坐标 + +%% + +Vwind=36%风速 + +$\mathrm{p = 1025;}\%$ 海水密度 + +$\mathrm{g} = 9.8\%$ 重力加速度 + +floatage_bucket=0.15*0.15*pi*p,%钢桶浮力 + +floatage_pipe=0.025*0.025*pi*p;%钢管浮力 + +$\mathrm{F =}$ ones(19,1); + +0%0% + +y=@(t)((Fwind+42.075*4+252.45+2*d*374*1.5*1.5)/sigma/g*cosh(sigma*g*t/(Fwi + +nd+42.075*4+252.45+2*d*374*1.5*1.5)+asinh(tan(alph1)))-(Fwind+42.0 + +$75^{*}4 + 252.45 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5)$ /sigma/g\*cosh(asinh(tan( $\mathrm{a}$ hph1)))) + +$\mathrm{Dy} = @(t)(\mathrm{sqrt}(1 + (\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{t} / (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + 252.45 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5) + \mathrm{asin}}$ + +h(tan(alpha1))).^2)); + +$\mathrm{R} = \sin (\mathrm{beta}) + \sin (\mathrm{theta1}) + \sin (\mathrm{theta2}) + \sin (\mathrm{theta3}) + \sin (\mathrm{theta4}) + \mathrm{x1} + \mathrm{unuse};$ + +$\mathrm{F}(1) = \mathrm{quad}(\mathrm{Dy},0,\mathrm{x}1)$ -(maolian-x(2));%锚链长度 + +$\mathrm{alph2 =}$ atan $(\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{x}1 / (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + 252.45 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5)) + asinh(tan}$ + +( $\mathrm{alph1})))$ + +$\mathrm{y1 = y(x1)}$ + +%钢桶 + +$\mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - beta}) + (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5) / \cos (\mathrm{alph2})^{*}\sin (\mathrm{pi} / 2 -$ + +alph2-beta)-Mball\*g\*sin(beta),%力矩平衡 + +[ \mathrm{F}(3) = \mathrm{F}1^{*}\cos(\mathrm{gama1}) + \text{floatage_bucket-100*g-Mball*g-(Fwind+42.075*4+252.45+2*} ] + +d*374*1.5*1.5)*tan(alpha2);%竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(4) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{game}1)$ -(Fwind $+42.075^{*}4 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5$ );%水平受力平衡 + +%4 个钢管力矩平衡 + +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gamma2});$ + +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); + +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); + +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game4 - theta4}) - \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{theta4 - gamma5});$ + +%4 个钢管水平受力平衡 + +$\mathrm{F}(9) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2)$ -(Fwind $+42.075^{*}3 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5)$ + +$\mathrm{F}(10) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3) - (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}2 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5)$ + +$\mathrm{F}(11) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{gama4}) - (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}1 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5);$ + +$\mathrm{F}(12) = \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{game}5) - (\mathrm{Fwind} + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5);$ + +%4 个钢管竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(13) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama}1) + 10^{*}\mathrm{g - F2^{*}}\cos (\mathrm{gama}2)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(14) = \mathrm{F}2^{*}\cos (\mathrm{gama}2) + 10^{*}\mathrm{g - F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(15) = \mathrm{F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3) + 10^{*}\mathrm{g - F4}^{*}\cos (\mathrm{gama}4)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(16) = \mathrm{F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4) + 10^{*}\mathrm{g - F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5)$ -floatage_pipe; + +[ \mathrm{F}(17) = \mathrm{F}5^{*}\cos(\mathrm{gama}5) + 1000^{*}\mathrm{g - pi^{*}d^{*}p^{*}g};\% \text{浮标竖直受力} ] + +[ \mathrm{F}(18) = \mathrm{y}1 + \cos(\mathrm{beta}) + \cos(\mathrm{theta}1) + \cos(\mathrm{theta}2) + \cos(\mathrm{theta}3) + \cos(\mathrm{theta}4) + \mathrm{d - H};\% \text{水深} ] + +$\mathrm{F}(19) = 2^{*}(2 - d)^{*}0.625^{*}\mathrm{Vwind}^{*}\mathrm{Vwind - Fwind},\%$ 风力 + +end + +function F=fangcheng2(x) + +global R Mball sigma maolian H + +Fwind=x(1);%风力 + +$\mathrm{alpha1 = x(2);}\%$ 弧度 $< 0.2793$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{x}(3)$ $0.5$ + +$\mathrm{F1 = x(4);F2 = x(5);F3 = x(6);F4 = x(7);F5 = x(8);}$ theta1=x(9);theta2=x(10);theta3=x(11);th eta4=x(12); + +beta=x(13);gama1=x(14);gama2=x(15);gama3=x(16);gama4=x(17);gama5=x(18); + +x1=x(19);%锚链末端横坐标 + +%% + +Vwind=36%风速 + +$\mathrm{p = 1025;}\%$ 海水密度 + +$\mathrm{g} = 9.8\%$ 重力加速度 + +floatage_bucket=0.15*0.15*pi%p,%钢桶浮力 + +floatage_pipe=0.025*0.025*pi*p;%钢管浮力 + +$\mathrm{F =}$ ones(19,1); + +$\mathrm{f = 2^{*}d^{*}374^{*}1.5^{*}1.5}$ + +%% + +y=@(t)((Fwind+42.075*4+252.45+f)/sigma/g*cosh(sigma*g*t/(Fwind+42.075*4+25 + +2.45+f)+asinh(tan(alph1)))-(Fwind+42.075*4+252.45+f)/sigma/g*cosh asi + +nh(tan(alpha1)))) + +$\mathrm{Dy} = @(t)(\mathrm{sqrt}(1 + (\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{t} / (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + 252.45 + \mathrm{f}) + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alpha}^{*}\mathrm{f})))))}.$ + +2)); + +$\mathrm{R = x1 + \sin(beta) + \sin(theta1) + \sin(theta2) + \sin(theta3) + \sin(theta4)}$ + +$\mathrm{F}(1) = \mathrm{quad}(\mathrm{Dy},0,\mathrm{x}1)$ -maolian;%锚链长度 + +$\mathrm{alpha}2 = \mathrm{atan}(\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{x}1 / (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + 252.45 + \mathrm{f}) + \mathrm{asinh}(\tan (\mathrm{alpha}1))))$ + +$\mathrm{y1 = y(x1)}$ + +%钢桶 + +$\mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - beta}) + (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + \mathrm{f}) / \cos (\mathrm{alph2})^{*}\sin (\mathrm{pi} / 2\text{-}\mathrm{alph2 - beta})$ -Mba + +ll\*g\*sin(beta),%力矩平衡 + +[ \mathrm{F}(3) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama1}) + \text{floatage_bucket - 100}^{*}\mathrm{g - Mball}^{*}\mathrm{g - (Fwind + 42.075^*4 + 252.45 + f)^*} ] + +tan( $\mathrm{alpha}2$ );%竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(4) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{game}1) - (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + \mathrm{f})$ $|\%$ 水平受力平衡 + +%4 个钢管力矩平衡 + +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gama2});$ + +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); + +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); + +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4$ -theta4)-F5\*sin(theta4-gama5); + +%4 个钢管水平受力平衡 + +$\mathrm{F}(9) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2)$ -(Fwind $+42.075^{*}3 + \mathrm{f})$ + +$\mathrm{F}(10) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{gama3}) - (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}2 + \mathrm{f})$ + +$\mathrm{F}(11) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4) - (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}1 + \mathrm{f})$ + +$\mathrm{F}(12) = \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{gama}5)$ -(Fwind $+1683$ + +%4 个钢管竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(13) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama}1) + 10^{*}\mathrm{g - F2^{*}}\cos (\mathrm{gama}2)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(14) = \mathrm{F}2^{*}\cos (\mathrm{gama}2) + 10^{*}\mathrm{g - F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3)$ -floatage_pipe; + $\mathrm{F}(15) = \mathrm{F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3) + 10^{*}\mathrm{g - F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4)$ -floatage_pipe; + $\mathrm{F}(16) = \mathrm{F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4) + 10^{*}\mathrm{g - F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5)$ -floatage_pipe; + $\mathrm{F}(17) = \mathrm{F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5) + 1000^{*}\mathrm{g - pi^{*}d^{*}p^{*}g};\%$ 浮标竖直受力 + $\mathrm{F}(18) = \mathrm{y}1 + \cos (\beta a) + \cos (\theta a1) + \cos (\theta a2) + \cos (\theta a3) + \cos (\theta a4) + d - H;\%$ 水深 + $\mathrm{F}(19) = 2^{*}(2 - d)^{*}0.625^{*}\mathrm{Vwind}^{*}\mathrm{Vwind - Fwind};\%$ 风力 +end + +附件11：问题3中，各点水速相同、水流与风同向时，钢桶和钢管的倾斜角度、锚链形状的Matlab求解程序 + +function question3_fenxi_junyunshuili +global Mball H maolian sigma +Mball=4030;H=input('输入海深H:');maolian=20.9;sigma=28.12; +[x,fval,exitflag,r,Unuse]=fun; +if Unuse $= = 0\%$ 代表没有落在地面的锚链 + alph1=x(2);beta=x(13);d=x(3),R=r; +else%代表有落在地面的锚链 + alph1=0;beta=x(13);d=x(3);R=r; +end +beta=beta/pi*180,alph1=alph1/pi*180,d,R +x(9:13)/pi*180 +end +function [x,fval,exitflag,R,Unuse]=fun +global R Mball +format long +x0=[1372.4,0.18,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]'; +[x,fval,exitflag]=fsolve(@fangcheng2,x0) +Unuse=0;%代表没有落在地面的锚链 +if x(2)<0 + +$\mathrm{x0 = [1372.4,6,0.78,14496.80,14592.35,14687.92,14783.49,14879.07,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09]}$ + +```csv +09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,0.09,17.75]; +[x,fval,exitflag]=fsolve(@fangcheng1,x0) +Unuse=1;%代表有落在地面的锚链 +``` + +```txt +end +end +function F=fangcheng1( +global R Mball sigma m +Fwind=x(1);%风力 +unuse=x(2); +alph1=0;%弧度<0.2793 +d=x(3);%吃水深度0.5 +``` + +$\mathrm{F1 = x(4);F2 = x(5);F3 = x(6);F4 = x(7);F5 = x(8);theta1 = x(9);theta2 = x(10);theta3 = x(11);}$ theta4=x(12); + +beta=x(13);gamal= x(14);gama2=x(15);gama3=x(16);gama4=x(17);gamal= x(18); + +x1=x(19);%锚链末端横坐标 + +%% + +Vwind=36%风速 + +$\mathrm{p = 1025,}\%$ 海水密度 + +$\mathrm{g} = 9.8\%$ 重力加速度 + +floatage_bucket=0.15*0.15*pi%p,%钢桶浮力 + +floatage_pipe=0.025*0.025*pi*p;%钢管浮力 + +$\mathrm{F =}$ ones(19,1); + +%% + +y=@(t)((Fwind+42.075*4+252.45+2*d*374*1.5*1.5)/sigma/g*cosh(sigma*g*t/(Fwi + +nd+42.075*4+252.45+2*d*374*1.5*1.5)+asinh(tan(alph1))-(Fwind+42.075*4+252. + +$45 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5)$ /sigma/g\*cosh(asinh(tan( $\operatorname {a l p h 1}))$ ); + +$\mathrm{Dy} = @(t)(\mathrm{sqrt}(1 + (\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{t} / (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + 252.45 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5) + \mathrm{asin}}$ + +h(tan(alpha1))).^2)); + +$\mathrm{R} = \sin (\mathrm{beta}) + \sin (\mathrm{theta1}) + \sin (\mathrm{theta2}) + \sin (\mathrm{theta3}) + \sin (\mathrm{theta4}) + \mathrm{x1} + \mathrm{unuse};$ + +$\mathrm{F}(1) = \mathrm{quad}(\mathrm{Dy},0,\mathrm{x}1)$ -(maolian-x(2));%锚链长度 + +$\mathrm{alph2 =}$ atan $(\sinh (\mathrm{sigma}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{x1 / (Fwind + 42.075^{*}4 + 252.45 + 2^{*}d^{*}374^{*}1.5^{*}1.5}) + asinh(\tan$ (alph1)))) + +$\mathrm{y1 = y(x1)}$ + +$\mathrm{xx = 0:0.001:x1}$ + +yy=y(xx); + +$\mathrm{xx} = [0:0.001:\mathrm{unuse},\mathrm{xx} + \mathrm{unuse} + 0.001];\mathrm{xx} = (\mathrm{xx} - \mathrm{xx}(1))^{\ast}0.89;$ + +$\mathrm{u =}$ length(0:0.001:unuse); + +yy=[zeros(1,u),yy]; + +plot(xx,yy,'LineWidth',3,'markersize',8) + +$\%$ set(gca,'xtick',[0:x1+unuse+1],[ytick',[0:yy(end)+1]]) + +title('锚链形状') + +xlabel('锚链投影长度/m') + +ylabel('距离海底高度/m') + +grid on + +%钢桶 + +$\mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - beta}) + (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}4 + 2^{*}\mathrm{d}^{*}374^{*}1.5^{*}1.5) / \cos (\mathrm{alph2})^{*}\sin (\mathrm{pi} / 2 -$ + +alph2-beta)-Mball\*g\*sin(beta),%力矩平衡 + +[ \mathrm{F}(3) = \mathrm{F}1^{*}\cos(\mathrm{gama1}) + \text{floatage_bucket-100*g-Mball*g-(Fwind+42.075*4+252.45+2*} ] + +d*374*1.5*1.5)*tan(alpha2),%竖直受力平衡 + +[ \mathrm{F}(4) = \mathrm{F}1^* \sin(\text{gama1}) - (\text{Fwind} + 42.075^* 4 + 2^* \mathrm{d}^* 374^* 1.5^* 1.5); \% \text{水平受力平衡} ] + +%4 个钢管力矩平衡 + +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gamma2});$ + +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); + +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); + +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4$ -theta4)-F5\*sin(theta4-gama5); + +%4 个钢管水平受力平衡 + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {F} (9) = \mathrm {F} 2 ^ {*} \sin (\text {g a m a 2}) - (\text {F w i n d} + 4 2. 0 7 5 * 3 + 2 ^ {*} \mathrm {d} ^ {*} 3 7 4 * 1. 5 * 1. 5); \\ \mathrm {F} (1 0) = \mathrm {F} 3 ^ {*} \sin (\text {g a m a} 3) - (\text {F w i n d} + 4 2. 0 7 5 ^ {*} 2 + 2 ^ {*} \mathrm {d} ^ {*} 3 7 4 ^ {*} 1. 5 ^ {*} 1. 5); \\ \mathrm {F} (1 1) = \mathrm {F} 4 ^ {*} \sin (\text {g a m a} 4) - (\text {F w i n d} + 4 2. 0 7 5 ^ {*} 1 + 2 ^ {*} \mathrm {d} ^ {*} 3 7 4 ^ {*} 1. 5 ^ {*} 1. 5); \\ F (1 2) = F 5 ^ {*} \sin (\text {g a m a} 5) - (F \text {w i n d} + 2 ^ {*} \mathrm {d} ^ {*} 3 7 4 ^ {*} 1. 5 ^ {*} 1. 5); \\ \end{array} +$$ + +%4 个钢管竖直受力平衡 + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {F} (1 3) = \mathrm {F} 1 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 1) + 1 0 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {F} 2 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 2) - \text {f l o a t a g e} _ {\text {p i n e}}; \\ \mathrm {F} (1 4) = \mathrm {F} 2 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 2) + 1 0 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {F} 3 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 3) - f l o a t a g e _ {\text {p i n e}}; \\ \mathrm {F} (1 5) = \mathrm {F} 3 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 3) + 1 0 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {F} 4 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 4) - f l o a t a g e _ {\text {p i n e}}; \\ \mathrm {F} (1 6) = \mathrm {F} 4 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 4) + 1 0 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {F} 5 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 5) - f l o a t a g e _ {\text {p i n e}}; \\ \mathrm {F} (17) = \mathrm {F} 5 ^ {*} \cos (\text {gama} 5) + 1000 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {p} ^ {*} \mathrm {d} ^ {*} \mathrm {p} ^ {*} \mathrm {g}; \% \text {浮标竖直受力} \\ \mathrm{F(18) = y1 + cos(beta) + cos(theta1) + cos(theta2) + cos(theta3) + cos(theta4) + d - H; \% 水深} \\ \mathrm {F} (19) = 2 ^ {*} (2 - \mathrm {d}) ^ {*} 0.625 ^ {*} \mathrm {V} \text {wind} ^ {*} \mathrm {V} \text {wind} - \mathrm {F} \text {wind}; \% \text {风力} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {F} (1 3) = \mathrm {F} 1 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 1) + 1 0 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {F} 2 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 2) - \text {f l o a t a g e} _ {\text {p i n e}}; \\ \mathrm {F} (1 4) = \mathrm {F} 2 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 2) + 1 0 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {F} 3 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 3) - f l o a t a g e _ {\text {p i n e}}; \\ \mathrm {F} (1 5) = \mathrm {F} 3 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 3) + 1 0 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {F} 4 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 4) - f l o a t a g e _ {\text {p i n e}}; \\ \mathrm {F} (1 6) = \mathrm {F} 4 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 4) + 1 0 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {F} 5 ^ {*} \cos (\mathrm {g a m a} 5) - f l o a t a g e _ {\text {p i n e}}; \\ \mathrm {F} (17) = \mathrm {F} 5 ^ {*} \cos (\text {gama} 5) + 1000 ^ {*} \mathrm {g} - \mathrm {p} ^ {*} \mathrm {d} ^ {*} \mathrm {p} ^ {*} \mathrm {g}; \% \text {浮标竖直受力} \\ \mathrm{F(18) = y1 + cos(beta) + cos(theta1) + cos(theta2) + cos(theta3) + cos(theta4) + d - H; \% 水深} \\ \mathrm {F} (19) = 2 ^ {*} (2 - \mathrm {d}) ^ {*} 0.625 ^ {*} \mathrm {V} \text {wind} ^ {*} \mathrm {V} \text {wind} - \mathrm {F} \text {wind}; \% \text {风力} \\ f u n c t i o n F = f a n g c h e n g 2 (x) \\ \mathrm {g l o b a l R M b a l l s i g m a m a o l i a n H} \\ \mathrm {F} \text {wind} = \mathrm {x} (1) \% \text {风力} \\ \mathrm {a l p h} 1 = \mathrm {x} (2); \% \text{弧度}< 0.2793 \\ \mathrm{d} = \mathrm{x}(3); \% \text{吃水深度} 0.5 \\ \begin{array}{l} \mathrm {F 1 = x (4) ; F 2 = x (5) ; F 3 = x (6) ; F 4 = x (7) ; F 5 = x (8) ; t h e t a 1 = x (9) ; t h e t a 2 = x (1 0) ; t h e t a 3 = x (1 1) ; t h e t a 4 = x (1 2)}; \end{array} \\ \mathrm {b e t a = x (1 3) ; g a m a 1 = x (1 4) ; g a m a 2 = x (1 5) ; g a m a 3 = x (1 6) ; g a m a 4 = x (1 7) ; g a m a 5 = x (1 8)}; \\ x1 = x(19); \% \text{锚链末端横坐标} \\ \% \% \\ \mathrm{Vwind} = 36 \% \text{风速} \\ \mathrm {p} = 1025, \% \text{海水密度} \\ \mathrm{g} = 9.8,\% \text{重力加速度} \\ \text {floatage_bucket} = 0.15 * 0.15 * \text {pi} * \text {p}; \% \text {钢桶浮力} \\ \text {f l o a t a g e} = 0. 0 2 5 * 0. 0 2 5 * \mathrm {p i} * \mathrm {p}; \% \text {钢 管 浮 力} \\ \mathrm {F} = \text {o n e s} (1 9, 1); \\ f = 2 ^ {*} d ^ {*} 3 7 4 ^ {*} 1. 5 ^ {*} 1. 5; \\ \% \% \\ y = @ (t) ((F \text {w i n d} + 4 2. 0 7 5 * 4 + 2 5 2. 4 5 + f) / \text {s i g m a} / \text {g} ^ {*} \cosh (\text {s i g m a} ^ {*} \text {g} ^ {*} t / (\text {F w i n d} + 4 2. 0 7 5 * 4 + 2 5 \\ 2. 4 5 + \mathrm {f}) + \operatorname {a s i n h} (\tan (\operatorname {a l p h 1}))) - (\operatorname {F w i n d} + 4 2. 0 7 5 * 4 + 2 5 2. 4 5 + \mathrm {f}) / \operatorname {s i g m a} / \mathrm {g} ^ {*} \cosh (\operatorname {a s i n h} (\tan (\operatorname {a l p h 1})))) \\ \begin{array}{l} \mathrm {D y = @ (t) (s q r t (1 + (\sinh (s i g m a ^ {*} g ^ {*} t / (F w i n d + 4 2 . 0 7 5 * 4 + 2 5 2 . 4 5 + f) + a s i n h (t a n (a l p h 1)))) . ^ {\wedge}} \\ 2)); \end{array} \\ \mathrm {R} = \mathrm {x} 1 + \sin (\mathrm {b e t a}) + \sin (\mathrm {t h e t a} 1) + \sin (\mathrm {t h e t a} 2) + \sin (\mathrm {t h e t a} 3) + \sin (\mathrm {t h e t a} 4); \\ \mathrm {F} (1) = \text {quad} (\mathrm {Dy}, 0, \mathrm {x} 1) - \text {maolian}; \% \text {锚链长度} \\ \begin{array}{l} \text {a l p h 2 = a t a n (s i n h (s i g m a ^ {*} g ^ {*} x 1 / (F w i n d + 4 2 . 0 7 5 ^ {*} 4 + 2 5 2 . 4 5 + f) + a s i n h (t a n (a l p h 1))))}; \\ \text {y 1 = y (x 1)}; \end{array} \\ x x = 0: 0. 0 0 1: x 1; \\ \mathrm {y y} = \mathrm {y} (\mathrm {x x}); \\ \operatorname {p l o t} (\mathrm {x x}, \mathrm {y y}, \text {L i n e W i d t h} ^ {\prime}, 3, \text {m a r k e r s i z e} ^ {\prime}, 8) \\ \end{array} +$$ + +$\%$ set(gca,'xtick',[0:x1+1], 'ytick',[0:yy(end)+1]) + +title('锚链形状') + +xlabel('锚链投影长度/m') + +ylabel('距离海底高度/m') + +grid on + +%钢桶 + +[ \mathrm{F}(2) = \mathrm{F}1 * \sin(\text{gama1-beta}) + (\text{Fwind} + 42.075 * 4 + \mathrm{f}) / \cos(\text{alpha2}) * \sin(\text{pi/2 - alpha2 - beta}) - \text{Mba} ] +[ \text{ll} * \mathrm{g} * \sin(\text{beta}); \% \text{力矩平衡} ] + +[ \mathrm{F}(3) = \mathrm{F}1^* \cos(\text{game1}) + \text{floatage_bucket-100}^* \text{g-Mball}^* \text{g-(Fwind+42.075*4+252.45+f)}^* \tan(\text{alpha2}); \% \text{竖直受力平衡} ] + +$\mathrm{F}(4) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama}1)$ -(Fwind $+42.075^{*}4 + \mathrm{f})$ ;%水平受力平衡 + +%4 个钢管力矩平衡 + +$\mathrm{F}(5) = \mathrm{F}1^{*}\sin (\mathrm{gama1 - theta1}) - \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{theta1 - gamma2});$ + +$\mathrm{F}(6) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2$ -theta2)-F3\*sin(theta2-gama3); + +$\mathrm{F}(7) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{game}3$ -theta3)-F4\*sin(theta3-gama4); + +$\mathrm{F}(8) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{game}4$ -theta4)-F5\*sin(theta4-gama5); + +%4 个钢管水平受力平衡 + +$\mathrm{F}(9) = \mathrm{F}2^{*}\sin (\mathrm{game}2)$ -(Fwind $+42.075^{*}3 + \mathrm{f})$ + +$\mathrm{F}(10) = \mathrm{F}3^{*}\sin (\mathrm{gama3}) - (\mathrm{Fwind} + 42.075^{*}2 + \mathrm{f})$ + +$\mathrm{F}(11) = \mathrm{F}4^{*}\sin (\mathrm{gama}4)$ -(Fwind $+42.075^{*}1 + \mathrm{f})$ + +$\mathrm{F}(12) = \mathrm{F}5^{*}\sin (\mathrm{gama}5)$ -(Fwind+f); + +%4 个钢管竖直受力平衡 + +$\mathrm{F}(13) = \mathrm{F}1^{*}\cos (\mathrm{gama}1) + 10^{*}\mathrm{g - F2}^{*}\cos (\mathrm{gama}2)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(14) = \mathrm{F}2^{*}\cos (\mathrm{gama}2) + 10^{*}\mathrm{g - F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(15) = \mathrm{F}3^{*}\cos (\mathrm{gama}3) + 10^{*}\mathrm{g - F4}^{*}\cos (\mathrm{gama}4)$ -floatage_pipe; + +$\mathrm{F}(16) = \mathrm{F}4^{*}\cos (\mathrm{gama}4) + 10^{*}\mathrm{g - F}5^{*}\cos (\mathrm{gama}5)$ -floatage_pipe; + +F(17)=F5\*cos(gama5)+1000\*g-pi\*d\*p\*g;%浮标竖直受力 + +[ \mathrm{F}(18) = \mathrm{y}1 + \cos(\mathrm{beta}) + \cos(\mathrm{theta}1) + \cos(\mathrm{theta}2) + \cos(\mathrm{theta}3) + \cos(\mathrm{theta}4) + \mathrm{d - H};\% \text{水深} ] + +$\mathrm{F}(19) = 2^{*}(2 - \mathrm{d})^{*}0.625^{*}\mathrm{Vwind}^{*}\mathrm{Vwind - Fwind};\%$ 风力 + +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/A433/A433.md b/MCM_CN/2016/A433/A433.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..987553c84fdaea2faf9b93d2980c84a0037f15f7 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/A433/A433.md @@ -0,0 +1,1796 @@ +# 系泊系统的设计 + +# 摘要 + +系泊系统是一种通过机械装置将水面结构与固定点进行连接的系统。它能够使被系结构物具有抵御一定环境条件的能力，并在遭遇极端海况时保证结构物和系泊系统本身的安全。本文建立了单点系泊系统的数学模型，并针对不同海况对系泊系统进行结构上的优化设计。 + +针对问题一，首先，假定浮标吃水深度为 $h$ ，在满足题目要求的情况下，求解得到锚链对浮标、钢管、钢桶整体的作用力；随后从下至上依次对钢桶以及各节钢管进行受力分析，并根据虚功原理得到钢桶、各钢管的倾角与约束力（作为吃水深度 $h$ 的函数）；之后，根据锚链形状为一悬链线的假设，求解锚链在吃水深度为 $h$ 时的形状方程；最后，计算锚链、钢桶、钢管、浮标在水下部分的竖直方向的高度作为 $h$ 的函数，并根据水深为 $18m$ 的条件计算出 $h$ 的大小，进而计算得到题目要求的各个参量。结果为：（1）风速为 $12m / s$ 的情况下，钢桶倾斜角度为 $1.202^{\circ}$ ；从下至上各钢管倾斜角度依次为： $1.184^{\circ}$ ， $1.176^{\circ}$ ， $1.168^{\circ}$ ， $1.160^{\circ}$ ；锚链形状方程为： $s = 3.98\tan \theta$ ；浮标吃水深度 $0.681m$ ，游动范围为一半径 $14.65m$ 的圆；（2）风速为 $24m / s$ 的情况下，钢桶倾斜角度为 $4.569^{\circ}$ ；从下至上各钢管倾斜角度依次为： $4.502^{\circ}$ ， $4.473^{\circ}$ ， $4.444^{\circ}$ ， $4.415^{\circ}$ ；锚链形状方程为： $s = 15.74\tan \theta -1.24$ ；浮标吃水深度 $0.695m$ ，游动范围为一半径 $17.78m$ 的圆。 + +针对问题二，将风速 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 代入问题一的模型中，得到钢桶倾斜角度为 $9.452^{\circ}$ ；从下至上各钢管倾斜角度依次为： $9.323^{\circ}$ ， $9.267^{\circ}$ ， $9.211^{\circ}$ ， $9.157^{\circ}$ ；锚链末端与海床夹角为 $20.905^{\circ}$ ，形状方程为： $s = 34.80 \tan \theta - 13.29$ ；浮标吃水深度 $0.718 \mathrm{~m}$ ，游动范围为一半径 $18.87 \mathrm{~m}$ 的圆。由于钢桶的倾斜角度超过 $5^{\circ}$ ，且锚链末端与海床夹角超过 $16^{\circ}$ ，因此需要将重物球的质量作为自变量，两个角度作为因变量，建立控制模型求解。通过控制重物球的质量，使得钢桶倾角小于 $5^{\circ}$ 且锚链末端与海床夹角小于 $16^{\circ}$ 。调整后的结果为：重物球的质量大于 $2262.9 \mathrm{~kg}$ 时钢桶的倾斜角度小于 $4.5^{\circ}$ ，锚链末端切线与海床夹角小于 $16^{\circ}$ 。 + +针对问题三，首先对问题一及问题二中使用的模型进行改进，在受力分析过程中引入水流力；随后，构建以钢球质量 $M$ 、水深 $H$ 、风速 $\nu$ 、水流速 $V$ 、风速与水流速之间的夹角 $\beta$ 、锚链的线密度 $\rho$ 、以及锚链的总长度 $L$ 为自变量的函数，函数的因变量为钢桶以及各节钢管的倾角、浮标的吃水深度 $h$ 、以及用于确定锚链形状方程 $s = k\tan \theta + b$ 的参数 $k$ 和 $b$ ；之后，考虑到水深大小波动的影响，在人为给定海面风速以及浅海水流速之后，讨论锚链的型号、总长度以及重物球的质量对钢桶及各钢管倾角、浮标吃水深度、锚链形状以及游动区域的影响，并在人为给定的风速与水流速 $36m / s,1.5m / s$ 且同向的条件下，使用遗传算法得到最优的系泊系统设计为：选用 V 型锚链 20.78m, 重物球质量为 4560kg. + +最后，将模型应用于青岛市胶州湾浅海海域，根据区域的实际海水流速、海风风向，得到系泊系统的最优设计。对模型进行客观评价，对模型的实用性进行评估，并给出针对模型缺陷的改进方案。 + +关键词：系泊系统设计 受力分析 悬链线 控制模型 多目标优化 遗传算法 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 背景 + +近海的观测网的传输节点由三大系统组成，分别是系泊系统、浮标系统和水声通讯系统。某一传输节点，浮标系统是靠浮力漂浮在水面上的圆柱体。系泊系统是由重物球、钢桶、钢管、电焊锚链和抗拖移锚组成。锚链有四种型号，长度及单位质量各不相同。钢管有4节。为防止锚会被拖行，系统要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度。钢桶内安装有水声通讯系统，并且上面接第四节钢管，下接电焊锚链。最佳工作效果为钢桶竖直时，且当倾斜角度超过五度时设备工作效果差。钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球来控制钢桶的倾斜角度。本设计问题就是确定锚链的型号、长度以及重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 + +# 1.2 需要解决的问题 + +# 问题一 + +某型传输节点选用II型电焊锚链 $22.05\mathrm{m}$ ，选用的重物球的质量为 $1200\mathrm{kg}$ 。现将该型传输节点布放在水深 $18\mathrm{m}$ 、海床平坦、海水密度为 $1.025 \times 103\mathrm{kg / m^3}$ 的海域。若海水静止，分别计算海面风速为 $12\mathrm{m / s}$ 和 $24\mathrm{m / s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +# 问题二 + +在问题1的假设下，计算海面风速为 $36\mathrm{m / s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 + +# 问题三 + +由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 $16\mathrm{m} \sim 20\mathrm{m}$ 之间。布放点的海水速度最大可达到 $1.5\mathrm{m/s}$ 、风速最大可达到 $36\mathrm{m/s}$ 。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +问题一要求在选定电焊锚链和重物球质量的情况下，在某静止海域中计算在两种不同速度下的系泊系统的多项指标。针对此问题，首先假定浮标的吃水深度 $h$ 已知，利用整体法受力分析，得到锚链施加在钢桶上的作用力。在确定锚链的作用力之后，求解过程主要分为两个方面。一方面，对钢桶、各节钢管从下至上逐步受力分析，利用虚功原理求解倾角并得到约束力，随后将前一步得到的约束力作为下一步的主动力继续求解，直至钢桶、各节钢管的位形全部确定。另一方面，锚链上的作用力确定后可以确定锚链的形状，但此时应当就锚链是否全部悬空进行分类讨论，最后确定锚链实际的形状。完成以上两部分工作，可以求解钢桶、各节钢管、锚链以及浮标在水下的部分在垂向上的高度，表示成为 $h$ 的函数。最后根据水深为 $18m$ 这一条件确定 $h$ 的数值，从而解除题目中要求的各个指标。 + +# 2.2 问题二的分析 + +问题二要求在问题一的假设下，计算 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时系泊系统的多项指标，并在此 + +风速下调节重物球的质量, 使得钢桶倾斜角度和锚点的锚链与海床的夹角在规定的范围内。由于基本假设没有改变, 因此直接将风速 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 代入即可求得结果。此时, 根据求解得到的结果判断钢桶的倾角是否超过了 $5^{\circ}$ , 锚链末端切线与海床的夹角是否超过 $16^{\circ}$ , 并对重物球的质量进行调整, 是系统满足要求。 + +# 2.3 问题三的分析 + +问题三要求分析在水深、海水速度、风速变化的情况下的系泊系统设计。因为题目中要求的变量相比于一、二问增多，因此需要对问题一及问题二中使用的模型进行改进，并在受力分析过程中引入水流力。在此，考虑构建一个函数模型，其自变量为变化的各个参量，输出结果为题目中要求的各个指标。考虑到水深大小波动的影响，我们先人为给定一组风速，水流速以及两者之间的夹角，在此条件下就每种锚链求得一个最优结果，并挑选一个最优的解作为最后的系泊系统设计。最后，将模型应用于一个具体的浅海海域，根据区域的实际海水流速、海风风向，得到针对该区域的系泊系统最优设计。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设钢桶、钢管以及浮标均为刚体，不发生弹性形变； +2. 假设锚链悬空的部分为形状为悬链线； +3. 假设锚链、钢管、以及重物球均为钢铁材质，依照铁的密度计算浮力； +4. 假设浮标竖直，各力作用线通过质心； +5. 假设海面水平，无波浪的影响； +6. 假设海床水平. + +![](images/22f33396a7d18d7936f62c09d38877a4cd9a9eb4112e7424baec6feb74e17a07.jpg) +四、符号说明 +图1符号说明 + +
序号符号符号意义
1H水深
2M浮标质量
3M重物球质量
4m钢管质量
5m钢桶质量
6ρ锚链密度
7ρ水海水密度
8L锚链长度
9φ0钢桶倾斜角
10φi第i根钢管倾斜角
11h浮标吃水深度
12α锚链与钢桶接触点切线方向夹角
13θ0锚链与锚接触点切线方向夹角
14g重力加速度
15g除去海水浮力后的折合重力加速度
16Fx锚链对钢桶作用力的x分量
17Fy锚链对钢桶作用力的y分量
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一的模型建立与求解 + +# 5.1.1 受力分析 + +在吃水深度为 $h$ 的情况下，浮标受到的浮力为： + +$$ +F _ {\text {浮}} = 2 R h \rho_ {\text {水}} g \tag {5.1} +$$ + +受到的风应力为: $F_{w} = 0.625 \cdot v^{2} \cdot 2R(2 - h)$ (5.2) + +浮标自身的重力为 $M g$ . 此时浮标受到的各力如图 2 所示; 将浮标、钢桶、钢管以及重物球看做整体, 使用整体法进行考虑, 受力分析如图 3. + +![](images/909405d3fe4aed2320d6b2b57018ffccd1d9c2c1c5c9c9b32aede4e55076f1b1.jpg) +图2浮标受力分析示意图 + +![](images/d24effe9955d423825961a2b2289e9ea3cb813ef68a6044c894b07fbbba7982c.jpg) +图3 整体法受力分析示意图 + +将锚链作用在钢桶上的力看做外力，系统整体受力平衡，因此有如下关系： + +$$ +F _ {x} = F _ {w} \tag {5.3} +$$ + +$$ +F _ {y} = F _ {\text {浮}} + F _ {\text {桶}} - M g - 4 m \tilde {g} - \tilde {m} g - \tilde {M} \tilde {g} \tag {5.4} +$$ + +其中 $F_{\text {桶}}$ 为钢桶所受浮力，满足： + +$$ +F _ {\text {桶}} = \rho_ {\text {水}} g V _ {\text {桶}} \tag {5.5} +$$ + +下面对钢桶进行受力分析。钢桶所受力有重物球的折合重力 $\tilde{M} \tilde{g}$ ，锚链的拉力 $F_{\text {锚}}$ （分解为水平和垂直两个方向，分别为 $F_{x}, F_{y}$ ），自身的重力 $\tilde{m} g$ ，所受浮力 $F_{\text {桶}}$ ，以及上方钢管施加的约束力。钢桶的受力如图4所示： + +![](images/b9040305b153ab3fc1f328858f3df95bdf5ea10b5199a3dac69367cd0cbeafaa.jpg) +图4钢桶的受力分析示意图 + +![](images/75c71ba34f2f9c726f27381677bfe9d72eef3e9918ccb18939456cb20d0a9c73.jpg) +图5第一根钢管受力分析示意图 + +将各力写成直角坐标系下坐标的形式有： $G_{\tilde{M}} = (0, - \tilde{M}\tilde{g})$ ， $F_{\text{锚}} = (-F_{x}, - F_{y})$ 1 $G_{\text{桶}} + F_{\text{桶}} = (0, - \tilde{m} g + \rho_{\text{水}}V_{\text{桶}}g)$ .此时， $G_{\tilde{M}}$ 与 $F_{\text{锚}}$ 的作用点坐标为： $(-l\sin \varphi , - l\cos \varphi)$ 而 $G_{\text{桶}} + F_{\text{桶}}$ 的作用点为 $(-\frac{l}{2}\sin \varphi , - \frac{l}{2}\cos \varphi)$ ，钢桶的倾角为 $\varphi$ + +根据虚功原理： + +$$ +(\vec {F} _ {\text {锚}} + \vec {G} _ {\tilde {M}}) \cdot \delta \vec {r} _ {1} + (\vec {F} _ {\text {桶}} + \vec {G} _ {\text {桶}}) \cdot \delta \vec {r} _ {2} = 0 \tag {5.6} +$$ + +得到 $F_{x}l\cos \varphi \delta \varphi -(F_{y} + \tilde{M}\tilde{g} -\frac{1}{2}\rho_{\text{水}}V_{\text{桶}}g + \frac{1}{2}\tilde{m} g)l\sin \varphi \delta \varphi = 0$ (5.7) + +由此可以解得 $\varphi_0 = \arctan \frac{F_x}{F_y + \tilde{M}\tilde{g} - \frac{1}{2}\rho_\text{水}V_\text{桶}g + \frac{1}{2}\tilde{m}g}$ (5.8) + +下面求解第一根钢管的倾角。此时钢管收到的力，处折合重力 $m\tilde{g}$ 以及第二根钢管对其施加的约束力以外，其余外力均由钢桶提供，为 + +$$ +\vec {F} _ {1} = \vec {F} _ {\text {锚}} + \vec {G} _ {\tilde {M}} + \vec {F} _ {\text {桶}} + \vec {G} _ {\text {桶}} \tag {5.9} +$$ + +同样利用虚功原理 + +$$ +\vec {F} _ {1} \cdot \delta \vec {r} _ {1} + \vec {G} _ {m} \cdot \delta \vec {r} _ {2} = 0 \tag {5.10} +$$ + +得到 $F_{x}l\cos \varphi \delta \varphi -(F_{y} + \tilde{M}\tilde{g} -\rho_{\text{水}}V_{\text{桶}}g + \tilde{m} g + \frac{1}{2} m\tilde{g})l\sin \varphi \delta \varphi = 0$ (5.11) + +由此解得第一根钢管的倾斜角度的表达式 + +$$ +\varphi_ {1} = \arctan \frac {F _ {x}}{F _ {y} + \tilde {M} \tilde {g} - \rho_ {\text {水}} V _ {\text {桶}} g + \tilde {m} g + \frac {1}{2} m \tilde {g}} \tag {5.12} +$$ + +同理可以求解第二根钢管的倾角，满足虚功原理的方程 + +$$ +F _ {x} l \cos \varphi \delta \varphi - \left(F _ {y} + \tilde {M} \tilde {g} - \rho_ {\text {水}} V _ {\text {桶}} g + \tilde {m} g + \frac {3}{2} m \tilde {g}\right) l \sin \varphi \delta \varphi = 0 \tag {5.13} +$$ + +倾斜角度 + +$$ +\varphi_ {2} = \arctan \frac {F _ {x}}{F _ {y} + \tilde {M} \tilde {g} - \rho_ {\text {水}} V _ {\text {桶}} g + \tilde {m} g + \frac {3}{2} m \tilde {g}} \tag {5.14} +$$ + +依次类推得到第三根，第四根钢管的倾斜角度表达式 + +$$ +\varphi_ {3} = \arctan \frac {F _ {x}}{F _ {y} + \tilde {M} \tilde {g} - \rho_ {\text {水}} V _ {\text {桶}} g + \tilde {m} g + \frac {5}{2} m \tilde {g}} \tag {5.15} +$$ + +$$ +\varphi_ {4} = \arctan \frac {F _ {x}}{F _ {y} + \tilde {M} \tilde {g} - \rho_ {\text {水}} V _ {\text {桶}} g + \tilde {m} g + \frac {7}{2} m \tilde {g}} \tag {5.16} +$$ + +# 5.1.2锚链形状的确定 + +在前面的 5.1.1 中已经得到锚链上所受的力 $F_{\text {锚}}$ , 它的水平和垂直分量均为浮标吃水深度 $h$ 的函数。接下来需要确定在这种情况下锚链的形状如何, 并计算出锚链的高度, 以便根据水深最终求解吃水深度 $h$ 及各参量。 + +根据模型假设，锚链的形状为一悬链线，是一个双曲余弦函数。为避免在直角坐标系下求解超越方程的困难，我们将该悬链线方程在自然坐标系下写出，其一般形式为 + +$$ +s = k \tan \theta + b \tag {5.17} +$$ + +坐标原点（即 $s = 0$ 的点）选在锚链与海床的接触点上。对于给定的力 $F_{\text {锚 }}$ ，锚链的形状将会呈现以下两种情形，见图6，图7。 + +![](images/6ec1f60070ab0cf712b4e21222af38afa1b105eb8272acfd6b5df49200a9f1f7.jpg) +图6锚链全部悬空的情形示意图 + +![](images/f7c8f3bd820eb4f960c9c496bcff172bfc91ee00ff08ed4426d53c4ccf8757b7.jpg) +图7锚链不是全部悬空的情形示意图 + +![](images/7f6fe6eb800ae860b4e62e935c5f77c60144642ae93eec0477ea731d3e9cd0b7.jpg) +图8求解全部悬空类型的锚链 + +对于图6所示的情形，锚链与锚的接触点切线方向与海床有一定夹角。此时，锚链全部悬空，施加在锚链上的力 $F_{\text {锚}}$ 的垂直分量 $F_{y}$ 应当大于锚链的折合重力。 + +根据（5.17），只需要确定参数 $k$ 与参数 $b$ 即可确定锚链的方程，具体符号如图7所示。锚链在 $s$ 处的张力记为 $T$ ，角度记为 $\theta$ ；在 $s + ds$ 处的张力记为 $T + dT$ ，角度记为 $\theta + d\theta$ 。对一小段线元进行受力分析可以得到在水平方向上 + +$$ +(T + d T) \cos (\theta + d \theta) = T \cos \theta \tag {5.18} +$$ + +竖直方向上 + +$$ +(T + d T) \sin (\theta + d \theta) = T \sin \theta + \rho \tilde {g} d s \tag {5.19} +$$ + +由（5.18）式可以得到 + +$$ +T \cos \theta = C \tag {5.20} +$$ + +其中 C 为常数，由边界条件确定。将其代入（5.19）式可以得到 + +$$ +C \sec^ {2} \theta d \theta = \rho \tilde {g} d s \tag {5.21} +$$ + +两边积分得到悬链线的一般方程 + +$$ +s = \frac {C}{\rho \tilde {g}} \tan \theta + b \tag {5.22} +$$ + +又因为锚链上从任何一点起直至锚链末端(与钢桶链接的末端)的部分受力平衡，于是有 + +$$ +T \cos \theta = F _ {x} \tag {5.23} +$$ + +这样确定了常数C.将其代入（5.22）式可得 + +$$ +s = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \tan \theta + b \tag {5.22} +$$ + +为确定常数 b，取锚链与钢桶链接的末端点考虑，有 + +$$ +L = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \cdot \frac {F _ {y}}{F _ {x}} + b \tag {5.23} +$$ + +L 为锚链的长度, 于是 b 可以求得, 最终锚链的方程为 + +$$ +s = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \tan \theta - \frac {F _ {y}}{\rho \tilde {g}} + l \tag {5.24} +$$ + +对于图7所示的情形，只有部分锚链是悬空的，因此将原点选在 $\theta$ 刚好为0的点处可以写出这种情况下悬链线的方程 + +$$ +s = k \tan \theta \tag {5.25} +$$ + +求解过程与前面相同，分析如图9所示，得到 + +$$ +s = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \tan \theta \tag {5.26} +$$ + +![](images/067c679412160da812bab64f39ccc77247c332f7d451951428ebd318bcbc5a5e.jpg) +图9求解部分悬空类型的锚链 + +# 5.1.3 模型的求解 + +# Step1: 高度的求解 + +前面考虑的全部变量均为浮标吃水深度 $h$ 的函数，求解题目中要求的各个参数需要确定浮标的吃水深度 $h$ ，因此还需利用水深为 $H$ 的条件。系泊系统在水下的部分总高度为 + +$$ +H = h + l \left(\cos \varphi_ {0} + \cos \varphi_ {1} + \cos \varphi_ {2} + \cos \varphi_ {3} + \cos \varphi_ {4}\right) + s _ {y} \tag {5.27} +$$ + +其中 $s_{y}$ 为锚链的高度。接下来求解锚链的高度。 + +求解锚链高度时需要判定锚链是全部悬空的类型还是部分悬空的类型。为此我们首先假定锚链是全部悬空的类型，此时锚链悬空部分的总长度为L，即锚链的总长度。对（5.24）式微分可得 + +$$ +d s = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \sec^ {2} \theta d \theta \tag {5.28} +$$ + +竖直方向上高度 $y$ 的微分为 + +$$ +d y = d s \sin \theta = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \sec \theta \tan \theta d \theta \tag {5.29} +$$ + +代入图10中的上下限角度得到 + +$$ +s _ {y} = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} (\sec \alpha - \sec \theta_ {0}) \tag {5.30} +$$ + +其中 $\alpha = \arctan \frac{F_y}{F_x}$ . 将结果代入（5.27）式中可以求解得到 $h = 0.685\mathrm{m}$ 。但是这个结果的正确性需要进一步讨论。使用全部悬空类型的锚链模型，一个必要条件为 $F_y > \rho \tilde{g} L$ 。将求得的吃水深度代入原模型中得到 $F_y = 1058.6\mathrm{N}$ ，而 $\rho \tilde{g} L = 1316.0\mathrm{N}$ 。 + +因此不适宜使用全部悬空类型的锚链模型。下面采用部分悬空的锚链模型，其上下高度容易得出为 + +$$ +s _ {y} = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} (\sec \alpha - 1) \tag {5.31} +$$ + +代入（5.27）得到 $h = 0.681\mathrm{m}$ ，至此题目中的各个指标均可以求解。 + +# Step2: 问题的解决 + +将求解得到的 $h = 0.681\mathrm{m}$ 代入（5.1），（5.2），（5.4）三式中，得到 $F_{x} = 238.4N,F_{y} = 943.2N$ ，折合重力加速度 $\tilde{g} = 0.87g$ 。 + +风速为 $12m / s$ 的情形，将以上各参数代入（5.8)，（5.12)，（5.14)，（5.15），（5.16）得到钢桶倾角 $\varphi_0 = 1.202^\circ$ ，从下至上各节钢管的倾斜角为： $\varphi_{1} = 1.184^{\circ},\varphi_{2} = 1.176^{\circ},\varphi_{3} = 1.168^{\circ},\varphi_{4} = 1.160^{\circ}$ （见附录程序1）.将 $F_{x}$ 代入（5.25）得到锚链的形状方程 + +$$ +s = 3. 9 8 \tan \theta \tag {5.32} +$$ + +求解浮标的游动区域，先求解锚链水平方向上的宽度 $s_x$ 。水平方向上的微分 + +$$ +d x = d s \cos \theta = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \sec \theta d \theta \tag {5.33} +$$ + +两边积分得到 + +$$ +s _ {x} = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \ln \left| \frac {\sec \alpha + \tan \alpha}{\sec \theta + \tan \theta} \right| \tag {5.34} +$$ + +对于部分悬空的，式（5.34）需要更换为 + +$$ +s _ {x} = \frac {F _ {x}}{\rho \tilde {g}} \ln | \sec \alpha + \tan \alpha | + L - \frac {F _ {y}}{\rho \tilde {g}} \tag {5.35} +$$ + +假定浮标游动范围最大为一个圆，其半径看做系泊系统从锚链与锚的接触点开始，到浮标处的水平方向展宽 $x$ 。其表达式为 + +$$ +x = l \left(\sin \varphi_ {0} + \sin \varphi_ {1} + \sin \varphi_ {2} + \sin \varphi_ {3} + \sin \varphi_ {4}\right) + s _ {x} \tag {5.36} +$$ + +将前面求得的量代入解得 $x = 14.65m$ + +对于风速为 $24m / s$ 的情形，求解过程与 $12m / s$ 情形相同（见附录程序2）。计算结果为 + +吃水深度 $h = 0.695 \mathrm{~m}$ , 钢桶的倾斜角度 $\varphi_{0} = 4.569^{\circ}$ , 各钢管的倾角从下至上依次为 + +$\varphi_{1} = 4.502^{\circ}, \varphi_{2} = 4.473^{\circ}, \varphi_{3} = 4.444^{\circ}, \varphi_{4} = 4.415^{\circ}$ , 锚链的形状方程为 + +$$ +s = 1 5. 7 4 \tan \theta - 1. 2 4 \tag {5.37} +$$ + +游动范围 $x = 17.78m$ + +# 5.2 问题二的模型建立与求解 + +# 5.2.1 各指标的计算 + +问题二中各指标的计算过程与问题一相同（见附录程序3），计算结果为吃水深度 $h = 0.718\mathrm{m}$ ，吃水深度 $h = 0.695\mathrm{m}$ ，钢桶的倾斜角度 $\varphi_0 = 9.452^\circ$ ，超过了 $5^\circ$ 各钢管的倾角从下至上依次为 $\varphi_1 = 9.324^\circ, \varphi_2 = 9.268^\circ, \varphi_3 = 9.212^\circ, \varphi_4 = 9.157^\circ$ ，锚链的形状方程为 + +$$ +s = 3 4. 8 0 \tan \theta - 1 3. 2 9 \tag {5.38} +$$ + +游动范围 $x = 18.87 \mathrm{~m}$ . 锚链与锚的连接处与海床的夹角为 $20.905^{\circ}$ , 超过 $16^{\circ}$ ,因此需要调整重物球的质量。 + +# 5.2.2 重物球质量的控制模型 + +钢球质量越大，两个角度的值越小，该问题为一个以重物球为自变量，两个角度为因变量的控制问题。为求解满足条件的重物球的质量，我们使用设定步长，遍历重物球质量，逐步逼近准确值的方法求解。 + +该问题要求钢桶的倾角小于 $5^{\circ}$ , 锚链末端切向与海床夹角小于 $16^{\circ}$ , 因此首先遍历重物球质量使得在误差不超过 $0.001^{\circ}$ 的情况下, 满足钢桶的倾角等于 $5^{\circ}$ , 锚链末端切向与海床夹角等于 $16^{\circ}$ 。在初步试探了重物球的质量大致的范围后, 选定步长为 $0.012 \mathrm{~kg}$ , 分别在 $2064 \mathrm{~kg}$ 至 $2076 \mathrm{~kg}$ , $2220 \mathrm{~kg}$ 至 $2232 \mathrm{~kg}$ 的情况下进行遍历 (主函数见附录程序 4, 求解见程序 5, 6), 求得结果: 在质量 $2065.2 \mathrm{~kg}$ 时钢桶倾角为 $5^{\circ}$ , 而锚链夹角为 $16.88^{\circ}$ , 不符合题意。随后得到在质量 $2226.9 \mathrm{~kg}$ 时, 钢桶倾角为 $4.5^{\circ}$ , 锚链夹角为 $16^{\circ}$ , 满足题目要求。 + +因此，当钢球的质量调整到 $2226.9 \mathrm{~kg}$ 时，两个角度满足要求。而且当球的质量增大时，容易得到两个角度都会减小，因此当重物球的质量大于 $2226.9 \mathrm{~kg}$ 时，钢桶倾角以及锚链末端与海床夹角能够满足要求。 + +# 5.3 问题三的模型建立与求解 + +# 5.3.1 模型的改进 + +问题三需要考虑水流速带来的影响。考虑到钢桶和钢管的迎水面较小，受到的水流力相比于其自身的重量较小，因此不考虑水流速对浮标以外的设备的影响。受力如图10. + +![](images/ae1e55f2d0f4686296c03911fcc3b2649a535ae186e79eb08ab3d974567b7cea.jpg) +图10 考虑水流力的情况下受力示意图 + +在增添水流力的因素后，风力与水力的合力用 + +$$ +F _ {\text {风 水}} = \sqrt {F _ {w} ^ {2} + F _ {\text {水}} ^ {2} + 2 F _ {w} F _ {\text {水}} \cos \beta} \tag {5.39} +$$ + +表示，其中 $\beta$ 为风应力与水流力的夹角。替换前面的 $F_{\mathrm{w}}$ 即可得到考虑了水流力之后的模型。 + +构造新函数，将问题一与问题二中的钢球质量 $M$ ，水深 $H$ ，风速 $\nu$ ，水流速 $V$ ，夹角 $\beta$ ，锚链密度 $\rho$ ，锚链长度 $L$ 均作为变量，为随后的多目标优化过程做准备。 + +# 5.3.2 遗传算法求解多目标优化问题 + +遗传算法是模拟达尔文遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型[3]。 + +# Step1: 确定染色体的编码方式 + +本文采用二进制编码方式，将本问系泊系统设计中所要求确定的锚链长度和重物球的质量用二进制码表示构成子串，然后把子串连接成“染色体”串。 + +# Step2: 初始化种群 + +在随机生成基因长度的二进制代码后，需要检验这个二进制代码转码后求得的锚链长度和重物球质量是否满足不同情况下，锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床夹角不超过16度，以及钢桶的倾斜角度不超过5度。若此组二进制代码满足以上要求，则被收入初始种群中，否则重新随机生成基因长度的二进制码再进行检验。 + +# Step3: 确定适应函数 + +本问中有三个优化目标，分别为浮标的吃水深度、游动区域和钢桶的倾斜度，因此运用了一种基于权重分配策略的多目标遗传算法（NWMOGA）[1][2]来求解此多目标优化问题。该方法将三个优化目标加权然后求和，并将其转化为单目标优化问题进行求解。 + +$$ +\min \operatorname {F i t n e s s} (x) = \sum_ {i = 1} ^ {3} \omega_ {i} f _ {i} (x) \quad x \in \Omega \tag {5.40} +$$ + +其中， $\omega_{i} \in [0,1]$ 且满足 $\sum_{i=1}^{3} \omega_{i} = 1$ 。权重系数 $\omega = [\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}]$ 反应了每个优化目标的重要性。 + +# Step4: 筛选优秀个体 + +筛选优秀个依据体轮盘赌法，在轮盘赌法中，每个个体的被选择进行遗传的概率与其适应度的值成正比。适应度越高，被选择的概率越大；适应度越低，被选择的概率就小。在遗传算法的选择操作中，都需要选择一个适合的值作为轮盘，用于调节刻度。本问题中，按如下方法来选取该值： + +一代种群的总适应度计算： + +$$ +\text {s u m F i t n e s s} = \sum_ {i = 0} ^ {9 9} \text {p o p u l a t i o n} [ i ]. \text {f i t n e s s} \tag {5.41} +$$ + +种群中的某个体 $i$ 的选择概率 $P s_{i}$ 计算：sumFitness = $\sum_{i=0}^{99} \text{population}[i]$ .fitness + +$$ +p o p u l a t i o n [ i ]. P s = \frac {p o p u l a t i o n [ i ] . f i t n e s s}{s u m F i t n e s s} \tag {5.42} +$$ + +种群中的某个体 $i$ 的累计选择概率 $Qs_{i}$ 计算： + +$$ +p o p u l a t i o n [ i ]. Q s = \sum_ {j = 0} ^ {i} p o p u l a t i o n [ i ]. P s \tag {5.43} +$$ + +让轮盘转动100次，然后每次都按照下面的方法选取个体来组成新的一代种群： + +(1)用rand函数随机的产生一个浮点数 $r$ ，且 $r$ 在区间[0,1]内； +(2) 如果 $r \leq \text{population}[0].Qs$ ，则选择第一个染色体；否则选择使 population[i-1].Qs < r ≤ population[i].Qs 成立的个体 I, 其中 $1 \leq i \leq 100$ 。 + +由式子可以看出，概率Ps是单个个体的适应度所占整个种群中所有个体的适应度之和的比例反映。如果该个体的适应度越大，则他被选择进行遗传的概率就越高，如果个体的适应度越小，则他被选择进行遗传的概率就越低。这样计算的结果和目的是：最优秀的染色体被复制成多分遗传给下一代，中等的染色体维持原有水平，较差的染色体则不被选择最终淘汰。 + +# Step5: 遗传算子的设计 + +在确定了染色体的二进制编码方式后，考虑染色体的交叉和变异操作。 + +（1）交叉操作：区别于传统遗传算法中为了提高收敛速度大多采用的两点交叉操作，本文结合均匀两点交叉算子的遗传算法（UTCGA）[4]，先产生随机数0、1，当随机数的是0时，交叉两个染色体中表示锚链长度的部分；当随机数是1时，交叉两个染色体中表示重物球质量的部分。 +(2) 变异操作: 先随机产生变异基因所处的二进制码位置, 然后再判断此二进制码为 0 还是为 1 , 若此二进制码位为 1 则经过变异操作后此二进制码位变异为 0 , 若此二进制码位为 0 则经过变异操作后此二进制码位变异为 1 。 + +# Step6: 设定遗传算法相关参数 + +遗传算法自身参数有3个，即种群大小 $P$ 、交叉概率 $P_{c}$ 、变异概率 $P_{m}$ 和最大遗传代数 $P_{d}$ 。本文种群大小 $P = 100$ 因为群体规模越大，越容易找到最优解。交叉 + +概率 $P_{c} = 0.6$ ，交叉概率为0.6能够保证种群的充分进化。变异概率 $P_{m} = 0.005$ ，一般而言，变异发生的可能性较小，变异概率为0.005更加符合自然规律。最大遗传代数 $P_{d} = 200$ ，最大遗传代数为200保证优化结果充分收敛。 + +# 5.3.3 最优方案的设计 + +式（5.40）要求给出各影响因素的权重。在权重给定后，可以通过遗传算法求解优化函数的最小值。因此，首先需要给出权重 $\omega = [\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}]$ 。目前可以用来确定权重的依据主要是前两问中得到的各种数据，因此考虑使用熵权法进行权重的确定（见附录程序8）。利用熵权法得到变量 $h$ ， $x$ ， $\varphi_0$ 的权值分别为：0.8299,0.1700,0.0001. + +在此情况下，使用遗传算法，得到风速 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，水流速 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的情形下，选用 5 种锚链的型号得到的 $h$ ， $x$ ， $\varphi_{0}$ ，以及其加权和的值： + +
型号hxφ0Σ
I1.9833.733.66°7.377
II229.73.63°6.711
III1.8521.053.83°5.116
IV1.3318.094.99°4.179
V1.7114.864.06°3.945
+ +表 1 遗传算法求解结果 + +根据以上计算结果分析：当 $\Sigma$ 取得最小值时，锚链型号为 V 号，此时浮标吃水深度、游动范围以及钢桶的倾角虽然未能达到在所有指标中都最小，但是适应度函数为 5 种型号中最小，说明此型号为使得以上三个指标尽可能小的最优型号。 + +系泊系统设计为：选用V型号锚链，锚链的长度为 $20.25\mathrm{m}$ ，共112或者113节链环，重物球的质量为 $4560\mathrm{kg}$ 。 + +在风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 、水速 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 、风速与水流速度方向夹角为 0 的情况下, 钢桶的倾角为 $4.347^{\circ}$ , 各节钢管的倾角为 $4.329^{\circ}, 4.322^{\circ}, 4.314^{\circ}, 4.307^{\circ}$ 浮标吃水深度 $h = 1.71 \mathrm{~m}$ , 游动区域半径 $13.96 \mathrm{~m}$ , 锚链方程为: $s = 13.96 \tan \theta - 3.73$ 。 + +在风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 、水速 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 、风速与水流速度方向夹角为 $\pi$ 的情况下, 钢桶倾角为 $3.12^{\circ}$ , 各节钢管的倾角为 $3.087^{\circ}, 3.070^{\circ}, 3.052^{\circ}, 3.035^{\circ}$ 浮标吃水深度 $0.76 \mathrm{~m}$ , 游动区域半径 $8.69 \mathrm{~m}$ , 锚链方程为: $s = 3.10 \tan \theta$ 。 + +在风速为0、水速 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的情况下，钢桶倾角为 $4.392^{\circ}$ ，各节钢管的倾角为 $4.360^{\circ}, 4.345^{\circ}, 4.331^{\circ}, 4.316^{\circ}$ 浮标吃水深度 $1.05 \mathrm{~m}$ ，游动区域半径 $12.49 \mathrm{~m}$ ，锚链方程为： $s = 7.38 \tan \theta - 0.63$ 。 + +其他情况下的考虑与上述类似，可求得任意情况下钢桶、钢管的倾斜角度、 + +锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +# 六、模型的应用与推广 + +# 6.1 模型的应用与推广 + +以沿海城市山东省青岛市为例，考虑设立系泊系统的实际应用。 + +选取青岛市胶州湾内前湾湾口，由气象资料[5]显示，其最大涨潮流速 $1.42\mathrm{m / s}$ 最大落潮流速 $1.35\mathrm{m / s}$ 。由青岛档案信息网提供的数据，建国以来青岛市沿海区域登陆最大等级的台风为1985年九号台风，最大风力为 $32.6\mathrm{m / s}$ 。因此海水速度和风速均符合问题三模型的条件。在前湾湾口区域内，选择近浅海区域水深 $18\mathrm{m}$ 的海床平坦区域，设计系泊系统。 + +![](images/512e70bbeb9fb0aa23dd48a3cc9966430a20aaba2f62917f588a58de35aa2344.jpg) +图11：青岛市胶州湾内前湾湾口地点 + +使用问题三建立的模型，用遗传算法求解（见附录程序7)，求得系泊系统的锚链型号最优为V，长度为 $21.31\mathrm{m}$ ，重物球的质量为 $4392\mathrm{kg}$ 。在此设计下，考虑极端情况，当海水流速和风速均达到最大值时，钢桶的倾斜角度为 $4.73^{\circ}$ 各节钢管的倾斜角度 $4.71^{\circ}$ ， $4.70^{\circ}$ ， $4.69^{\circ}$ ，4.68浮标的吃水深度为 $1.44\mathrm{m}$ ，游动区域为半径 $15.07\mathrm{m}$ 的圆域。 + +因此，此设计模型可以在海水流速较为平缓的区域，在考虑台风来袭的情况下保证系泊系统稳定运行。在全国大部分符合题设条件的近海海域，本模型可为设计系泊系统提供参考思路。 + +# 七、模型的评价与提升 + +# 7.2 模型的评价与提升 + +# 7.2.1 模型的优点 + +本模型充分考虑了各个物体的受力，在考虑严谨的情况下适当简化问题，简化每节链环的相连，将锚链整体视为悬链线。 + +考虑到了在风速较小的情况下，锚链可能并不会全部被拉起，而是有一部分平躺在海床上，符合实际情况。 + +求解最优化问题时采用了遗传算法，通过代代杂交求得在特定条件下的最优设计方案，遗传算法不存在求导和函数连续化的限定，具有更好的全局优化能力，本文用遗传算法求解设计最优化是创新之处。 + +用山东省青岛市胶州湾内前湾湾口的近海区域做模型应用，可求得系泊系统最优设计方案，对模型的实用性进行了评估。 + +# 7.2.2 模型的缺点 + +本模型在考虑浮标受力时，简化其受力情况，认为浮标受风力影响其倾斜程度可以忽略不计。但在实际情况中，当风力非常大时，浮标的倾斜程度将不可再忽略。关于浮标倾斜情况下的分析见模型提升。 + +本模型在考虑水流力时，简化了水流力对钢桶及重物球的影响。但是实际中海水内部存在着各种方向的水流力及暗流，对海水内部的一切物体都有影响。 + +# 6.2.3 模型改进方案 + +# Step1: 考虑浮标的倾斜 + +在实际情况中，浮标会发生倾斜，以致浮力的作用线，风应力的作用线以及水流力的作用线不在交于一点。倾斜的作用主要是平衡下端钢管带来的力矩。因此进行模型改进首先要研究力矩的形成机理，如图12所示 + +![](images/f3223908d55ebd8edee004f0f62a2ab9be908587c3a6d25848a36838f120c89b.jpg) +图12浮标倾斜时的受力分析 + +假设浮标倾斜角度为 $\gamma$ ，与之相关的正浮吃水深度 $h$ ，这样，相对于质心的风应力力矩 $M_{\text {风}}$ ，水流力力矩 $M_{\text {水}}$ ，以及最后一根钢管的拉力力矩 $M_{4}$ 平衡。求解过程引入了新变量 $\gamma$ ，因此从下至上对钢桶以及各节钢管受力分析时各种力均为 $\gamma$ 与 $h$ 的函数。为确定这两个变量，一方面需要水深 $H$ 的条件，另一方面需要力矩的平衡条件 + +$$ +M _ {\text {风}} + M _ {\text {水}} + M _ {\text {浮}} + M _ {4} = 0 \tag {7.1} +$$ + +因此在分析求解问题时，求解的方程除（5.27）外还应增添（7.1）式。 + +# Step2：考虑水下设施受到水流力 + +在风力较大的情况下，浮标会在风力与水流力的共同作用下产生倾斜，水下内部的水流力也会对水下物体产生作用力。 + +![](images/1dc3a09a9bc84fd7000430f285e2bdd5a180e3a834df02e24be650c71a6c883c.jpg) +图13：模型改进下的受力图 + +在海面以下，所有的物体都将受到水流力的作用。海面以下的水流流动较为复杂，在冷热不均衡和海水表面风向的影响下，水流会产生较多的暗流和旋涡。现讨论海水流动方向一致且水流力一致的简化情况。在海面下，钢桶的面积较大，受水流力的影响可观，对结果会产生一定的影响；锚链、钢管的受力面积小，受水流力的影响较小，对结果的影响也小。水流力的作用表现在水平方向对系统整体的横向作用力，会产生新的力的平衡关系式，对系统的整体受力分析产生影响。 + +# 八、参考文献 + +[1]王鲁，基于遗传算法的多目标优化算法研究，武汉理工大学，2006 +[2]马小姝，多目标优化的遗传算法研究，西安电子科技大学，2010 +[3]何静，FPS0悬式锚腿系泊系统的锚系设计研究，武汉理工大学，2007 +[4]杨大地，张春涛，均匀两点交叉遗传算法，重庆师范大学学报（自然科学版），2004年01期，2004 + +[5]佚名，第一章青岛的自然环境， + +http://wenku.baidu.com/link?url=Rc9Yj1gS2w + +-A-xJZcwpHXZx9_MhkdPyrRwhpG6vhqp6PzwPooNb7Su04sQnRtREoct9YiTJOuOWsh7 + +PEpEIrswWB_Kzy7fElfYaCzkU5Iu，2016年9月11日 + +[6] 代俊林, 青岛港水域通航安全及效率的研究, 大连: 大连海事大学, 2009 + +# 附录 + +# 程序1： + +2016.9.11 系泊系统设计 + +$\%$ r,H,v,V,beta,rou,L + +$\%$ r是钢球质量比（以 $1200\mathrm{kg}$ 为基准)，即钢球质量 $= 1200\mathrm{kg}*\mathrm{r}$ ，调整 $\mathbf{r}$ 即可调整钢球质量。H为水深，v为风速，V为水速，beta为风速水速之间的夹角，rou是锚链密度，L是锚链的长度 + +%phi0, phi1, phi2, phi3, phi4, h, theta, x + +$\% \phi i0$ 是钢桶的倾斜角，phil至phi4为从下至上各节钢管的倾斜角，h为吃水深度，theta为锚链末端与锚的连接点处切线方向与海床夹角，x为游动的最大范围。 + +r=1; + +H=18; + +$\mathrm{v = 12}$ + +$\mathrm{V} = 0$ + +beta=0; + +rou=7; + +$\mathbb{L} = 22.05$ + +考虑到锚链可能并不是全部悬空，有可能部分堆放在海床上，因此先求解不堆放情形，至于堆放情形，在下面 if 中考虑。 + +f=fzero(@(h) + +$(h + 1. / \sqrt{q r t}(1 + \sqrt{q r t}((2.5.\star v.\hat{\sim}2 - 1.25.\star v.\hat{\sim}2.\star h)\cdot \hat{\sim}2 + (374.\star 2.\star h.\hat{\sim}V.\hat{\sim}2)\cdot \hat{\sim}2 + 2.\star (2.5.\star v.\hat{\sim}2 - 1.25.$ + +$\star \mathrm{v}.\hat{\mathrm{w}} 2.\hat{\mathrm{w}}\mathrm{h}).\hat{\mathrm{w}} (374.\hat{\mathrm{w}} 2.\hat{\mathrm{w}}\mathrm{h}..\hat{\mathrm{w}}\mathrm{V}.\hat{\mathrm{w}} 2).$ .cos (beta)).^2./... + +$(-10248.12 + 31649.66.*h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^{\wedge}2 - 1.25.*v.^{\wedge}2.*h)).^{\wedge}2 + (374.*2.*h.*V.$ + +$\hat{\mathbf{\Gamma}} 2)$ . $\hat{\mathbf{\Gamma}} 2 + 2$ \*2.5.v.12-1.25.\*v.^2.h). $\star (374$ .2.\*h.\*V.^2). $\star$ cos (beta)). $\hat{\mathbf{\Gamma}} 2$ /... + +$(-10073.98 + 31649.66.\star h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5.\star v.^{\wedge}2 - 1.25.\star v.^{\wedge}2.\star h)).^{\wedge}2 + (374.\star 2.\star h.\star V.$ + +$\hat{\mathbf{\Gamma}}^2$ ）. $\hat{\mathbf{\Gamma}}^2 +2.\star (2.5.\star \mathrm{v}.\hat{\mathbf{\Gamma}} -1.25.\star \mathrm{v}.\hat{\mathbf{\Gamma}} 2.\star \mathrm{h})$ . $\star (374.\star 2.\star \mathrm{h}.\star \mathrm{V}.\hat{\mathbf{\Gamma}} 2)$ . $\star \cos (\beta a t e)$ ）. $\hat{\mathbf{\Gamma}}^2 /\dots$ + +$(-10073.98 + 78.28 + 31649.66.\star h)$ $\hat{\cdot}^2$ ) $+1$ /sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2. + +$\star \mathrm{h}.\star \mathrm{V}.\hat{\mathrm{2}})$ . $\hat{\mathbf{\nabla}} +2$ . $\star (2.5$ .\*v. $\hat{\mathbf{\nabla}} -1.25$ .\*v. $\hat{\mathbf{\nabla}} 2$ .\*h). $\star (374$ .\*2. $\star \mathrm{h}$ .\*V. $\hat{\mathbf{\nabla}} 2)$ .\*cos (beta)). $\hat{\mathbf{\nabla}} 2 / \dots$ + +$(-10073.98 + 78.28 * 2 + 31649.66 * h) \cdot^{\wedge} 2) + 1 / \text{sqrt}(1 + \text{sqrt}((2.5 * v \cdot^{\wedge} 2 - 1.25 * v \cdot^{\wedge} 2 * h) \cdot^{\wedge} 2 + (374 *$ + +```txt +2.*h.\*V.\*2).^2+2.\* (2.5.\*v.\*2-1.25.\*v.\*2.\*h).\* (374.\*2.\*h.\*V.\*2).\*cos (beta)).^2/... +``` + +$(-10073.98 + 78.28*3 + 31649.66.*h)$ $\hat{\cdot}^2$ ) $^+$ sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2) + +```txt +.2+2.* (2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).*... +``` + +```javascript +sqrt(1+(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h).^2/sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2 +``` + +```javascript ++ (374.*2.*h.*V.^2).^2+2.* (2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2) .. +``` + +```javascript +-sqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05+11760-11760*r*0.87-rou.*L.*9.8.*0.87+31649.66*h).^2/s +``` + +qrt $(2.5.\star v.\hat{2} -1.25.\star v.\hat{2}.h)$ . $\hat{2} +$ (374.\*2.\*h.\*v.\^2). $\hat{2} +\dots$ + +```javascript +2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.h).\*(374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta) .^2)) ./ (rou.\*9.8.\*0.87)-H), +``` + +```txt +0.9); +``` + +```txt +h=f; +``` + +```javascript +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10248.12+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +phi1=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/.(-10073.98+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +phi2=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```lisp +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28+31649.66.*h).^2)) +``` + +```txt +； +``` + +```javascript +phi3=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28*2+31649.66.*h).^2) +``` + +```txt +）； +``` + +```javascript +phi4=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28*3+31649.66.*h).^2) +``` + +```txt +）； +``` + +```txt +theta=asecsqrt(1+(-23655.75+7.\*9.8.\*22.05-rou.\*L.\*9.8.\*0.87+11760-11760\*r\*0.87+31649. +``` + +```javascript +66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*v.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v. +``` + +$\text{空} 2 . \text{空} \mathrm { h } ) . \text{空} ( 3 7 4 . \text{空} 2 . \text{空} \mathrm { h } . \text{空} \mathrm { V } . \text{空} 2 ) . \text{空} \cos$ (beta)).^2)); + +```javascript +alpha=asecsqrt(1+(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h).^2/sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v. +``` + +$\hat{\mathbf{\Gamma}}^2$ $\star h)$ . $\hat{\mathbf{\Gamma}}^2 + (374.\star 2.\star h.\star V.\hat{\mathbf{\Gamma}}^2)$ $\hat{\mathbf{\Gamma}}^2 + 2.\star (2.5.\star v.\hat{\mathbf{\Gamma}}^2 - 1.25.\star v.\hat{\mathbf{\Gamma}}^2.\star h)$ $\star (374.\star 2.\star h.\star V.\hat{\mathbf{\Gamma}}^2)$ $\star$ cos (be + +ta) $\hat{\cdot} 2)$ + +$\mathrm{x} = \mathrm{sqrt}((2.5.\star \mathrm{v}.^{\wedge}2 - 1.25.\star \mathrm{v}.^{\wedge}2.\star \mathrm{h}).^{\wedge}2 + (374.\star 2.\star \mathrm{h}.^{\star}\mathrm{V}.^{\wedge}2).^{\wedge}2 + 2.\star (2.5.\star \mathrm{v}.^{\wedge}2 - 1.25.\star \mathrm{v}.^{\wedge}2.\star \mathrm{h})$ + +$\star (374.\star 2.\star h.\star V.\hat{2}).\star \cos (\beta a t e)$ ./ (rou.9.8.0.87).\*log ((sec (alpha) +tan (alpha)) / (sec (the + +```txt +ta) + tan(theta)) + sin(phi0) + sin phi1) + sin phi2) + sin phi3) + sin phi4); +``` + +$\%$ 下面是判定锚链是否堆放在海床上，并进行此种情形的求解。 + +outFywrong $= (-22143.12 + 11760 - 11760*r*0.87 + 31649.66*h)$ 输出错误情形下Fy的值 +outGrou $\equiv$ rou.\*9.8.\*0.87.\*L输出错误情形下锚链的重力 +if sign(rou.\*9.8.\*0.87.\*L-(-22143.12+11760-11760\*r*0.87+31649.66\*h)) $\equiv = 1$ f=fzero(@h) (h+1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2)).^2+2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2/.. (-10248.12+31649.66\*.^2)+1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2)).^2/.. (-10073.98+31649.66\*.^2)+1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2)).^2/.. (-10073.98+78.28+31649.66\*.^2)+1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2)).^2/.. (-10073.98+78.28\*2+31649.66\*.^2)+1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2)).^2/.. (-10073.98+78.28\*3+31649.66\*.^2)+1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2)).^2/.. (-10073.98+78.28\*3+31649.66\*.^2)+1. + ^2+2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2)).^... (sqrt(1+(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h).^2/sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.V.^2)).^cos (beta)).^2) + ^(-1)./(rou.\*9.8.\*0.87)-H),0.7); +h=f; +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.V.^2).^2+2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2/( -10248.12+31649.66\*.^2)); +phi1=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.V.^2).^2+2.\*(2.5.\*v.^ + ^(-1.25.\*v.^2\*.^3(374.\*2.\*h.V.^2).\cos (beta)).^/-(-10073.98+31649.66\*.^) +phii=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.V.^) + ^(-1.25.\*v.^^.(374.\*^.(374.\*^.(374.\*^.(374.\*^.(374. +theta=0; +alpha=sec sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^^.(374.\*^.(374. + ^(-1.25.\*v.^^.(374. + ^(-1.25. + ^(-1. + +$\mathbf{x} = \mathbf{sqrt}((2.5.\ast v.^{\wedge}2 - 1.25.\ast v.^{\wedge}2.\ast h).^{\wedge}2 + (374.\ast 2.\ast h.\ast V.^{\wedge}2).^{\wedge}2 + 2.\ast (2.5.\ast v.^{\wedge}2 - 1.25.\ast v.^{\wedge}2.\ast h).$ \*(374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta))./(rou.\*9.8.\*0.87).\*log((sec(alpha)+tan(alpha))+sin(phi0)+sin phi1)+sin phi2)+sin phi3)+sin phi4)+L-(31649.66\*h-22143.12+11760-11760.\*r.\*0.87)/(rou.\*9.8.\*0.87); +end +outphi0=phi0.\*180./pi%钢桶倾角 +outphi1=phi1.\*180./pi%钢管倾角 +outphi2=phi2.\*180./pi +outphi3=phi3.\*180./pi +outphi4=phi4.\*180./pi +h +outalpha=alpha.\*180./pi +outtheta=theta.\*180./pi +outx=x +outk=sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2).^2+2.\* (2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).* (374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta))./(rou.\*9.8.\*0.87)%锚链系数k +outFy=(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h) +outFx=sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2).^2+2.\* (2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h)) + +# 程序2 + +2016.9.11 系泊系统设计 + +$\%$ r,H,v,V,beta,rou,L + +$\%$ r是钢球质量比（以 $1200\mathrm{kg}$ 为基准)，即钢球质量 $= 1200\mathrm{kg}^{\star}\mathrm{r}$ ，调整 $\mathbf{r}$ 即可调整钢球质量。H为水深，v为风速，V为水速，beta为风速水速之间的夹角，rou是锚链密度，L是锚链的长度 + +%phi0, phi1, phi2, phi3, phi4, h, theta, x + +$\% \phi i0$ 是钢桶的倾斜角，phil至phi4为从下至上各节钢管的倾斜角，h为吃水深度，theta为锚链末端与锚的连接点处切线方向与海床夹角，x为游动的最大范围。 + +```txt +r=1; +H=18; +v=24; +V=0; +beta=0; +rou=7; +L=22.05; +``` + +考虑到锚链可能并不是全部悬空，有可能部分堆放在海床上，因此先求解不堆放情形，至于堆放情形，在下面 if 中考虑。 + +```txt +f=fzero(@(h) +(h+1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2./... +``` + +$(-10248.12 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^*(374.*2.*h.*V.^2).^cos(\beta a t e)) .^2 / \ldots$ + +```javascript +\((-10073.98 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/... +``` + +```txt +\((-10073.98 + 78.28 + 31649.66.*h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^{2}-1.25.*v.^{2}.*h).^{\wedge}2+(374.*2.*h.*V.^{2}).^{\wedge}2 + 2.*(2.5.*v.^{2}-1.25.*v.^{2}.*h).^{\ast}(374.*2.*h.*V.^{2}).^{\ast}\cos(\beta a t e)).^{\wedge}2/... +``` + +$(-10073.98 + 78.28 * 2 + 31649.66 * h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5 * v. ^{\wedge}2 - 1.25 * v. ^{\wedge}2 * h).^{\wedge}2 + (374 * 2 * h. ^{\wedge}V. ^{\wedge}2).^{\wedge}2 + 2. * (2.5 * v. ^{\wedge}2 - 1.25 * v. ^{\wedge}2 * h).^{\wedge} (374. * 2. * h. ^{\wedge}V. ^{\wedge}2).^{\wedge} \cos(\beta a t e)).^{\wedge}2 / \ldots$ + +$(-10073.98 + 78.28 * 3 + 31649.66 * h).^2) + \text{sqrt}((2.5 * v. ^2 - 1.25 * v. ^2 * h).^2 + (374 * 2 * h. * V. ^2).^2 + 2 * (2.5 * v. ^2 - 1.25 * v. ^2 * h).^2 * (374 * 2 * h. * V. ^2).^2 * \cos(\beta a)) .^* \dots$ + +```javascript +sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2).. +``` + +```txt +-sqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05+11760-11760*r*0.87-rou.*L.*9.8.*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+. . +``` + +```txt +2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).\*(374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta)).^2))./(rou.\*9.8.\*0.87)-H), 0.9); +``` + +```txt +h=f; +``` + +```javascript +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10248.12+31649.66.*h).^2)); +``` + +$\mathrm{phi1 = acos(1./sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2 / (-10073.98 + 31649.66.*h)^2))}$ + +```javascript +phi2=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28+31649.66.*h).^2))； +``` + +```javascript +phi3=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28*2+31649.66.*h).^2); +``` + +```javascript +phi4=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28*3+31649.66.*h).^2); +``` + +```javascript +theta=asecsqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05-rou.*L.*9.8.*0.87+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2)); +``` + +```javascript +alpha=asecsqrt(1+(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h).^2/sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2).^2+2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).\*(374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta)).^2)); +``` + +$\mathrm{x} = \mathrm{sqrt}((2.5.\ast \mathrm{v}.^{\wedge}2 - 1.25.\ast \mathrm{v}.^{\wedge}2.\ast \mathrm{h}).^{\wedge}2 + (374.\ast 2.\ast \mathrm{h}.^{\ast}\mathrm{V}.^{\wedge}2).^{\wedge}2 + 2.\ast (2.5.\ast \mathrm{v}.^{\wedge}2 - 1.25.\ast \mathrm{v}.^{\wedge}2.\ast \mathrm{h})$ + +$* (374. * 2. * h. * V. ^{ \wedge } 2). * \cos (\text { beta }) . / (\text { rou. } * 9.8. * 0.87) . * \log ((\text { sec (alpha ) } + \text { tan (alpha ) } ) / (\text { sec (theta ) } + \text { tan (theta ) } )) + \sin (\text { phi } 0) + \sin (\text { phi } 1) + \sin (\text { phi } 2) + \sin (\text { phi } 3) + \sin (\text { phi } 4)$ ; + +$\%$ 下面是判定锚链是否堆放在海床上，并进行此种情形的求解。 + +outFywrong $= (-22143.12 + 11760 - 11760*r*0.87 + 31649.66*h)\%$ 输出错误情形下Fy的值 +outGrou $\equiv$ rou.\*9.8.\*0.87.\*L\*输出错误情形下锚链的重力 +if sign(rou.\*9.8.\*0.87.\*L-(-22143.12+11760-11760\*r*0.87+31649.66\*h)) $\equiv = 1$ f=fzero(@h) \((h + 1./s q r t(1 + s q r t((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(374.*2.*h.^2)*cos(beta)).^2/.. +(-10248.12+31649.66\*h).^2)+1./s q r t(1+s q r t((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.^2)*cos(beta)).^2/.. +(-10073.98+31649.66\*h).^2)+1./s q r t(1+s q r t((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2*(374.*2.*h.^2)*cos(beta)).^2/.. +(-10073.98+78.28+31649.66\*h).^2)+1./s q r t(1+s q r t((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.^2)*cos(beta)).^2/.. + $-1.(r o u.\*9.8.\*0.87)-H),0.7)$ $h = f;$ +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2\*h))^2+(374.*2.*h.*V.^2)^{^2+}+(374.*2.*h.*V.^2)^{^2+}+(374.*2.*h.*V.^2)^{^2+}+(374.*2.*h.^2)*cos(beta)).^{\wedge /}(-10248.12+31649.66\*h)^{^{\wedge /}})\) +philacos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2\*h))^2+(374.*2.*h.*V.^2)^{^{\wedge /}}(-10073.98+31649.66\*h)^{^{\wedge /}}) +phiacos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2\*h))^2+(374.*2.*h.*V.^2)^{^{\wedge /}}-(374.*2.*h.*V.^2)^{^{\wedge /}}) + $-1.(r o u.\*9.8.\*0.87)-H),0.7)$ $\begin{array}{l}\text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{f} = \\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}\\ \text{}; \end{array}$ +phi3=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2\*h))^2+(374.*2.*h.*V.^2)^{^{\wedge /}}-(374.*2.*h.*V.^2)^{^{\wedge /}}) + $-1.(r o u.\*9.8.\*0.87)-H),0.7)$ +theta=0; +alpha=asec(sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66\*h))^{\wedge /}sqrt((2.5.\*v.^{\wedge /} - 1.25.\*v. $^{\wedge /} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 1.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{/} - 0.8^{ / }.$ $+\mathrm{~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf~\bf ~}$ +theta=0; + +```matlab +ta)).^2)); +x=sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cosbeta))/((rou.*9.8.*0.87).*log((sec(alpha)+tan(alpha))) +sin(phi0)+sin(phi1)+sin(phi2)+sin(phi3)+sin(phi4)+L-(31649.66*h-22143.12+11760-11760.*r.*0.87)/(rou.*9.8.*0.87); +end +outphi0=phi0.*180./pi%钢桶倾角 +outphi1=phi1.*180./pi%钢管倾角 +outphi2=phi2.*180./pi +outphi3=phi3.*180./pi +outphi4=phi4.*180./pi +h +outalpha=alpha.*180./pi +outtheta=theta.*180./pi +outx=x +outk=sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta))/((rou.*9.8.*0.87)%锚链系数k +outFy=(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h) +outFx=sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h)) +``` + +# 程序3 + +2016.9.11 系泊系统设计 + +% r,H,v,V,beta,rou,L + +$\% \mathrm{r}$ 是钢球质量比（以 $1200\mathrm{kg}$ 为基准)，即钢球质量 $= 1200\mathrm{kg}^{\star}\mathrm{r}$ ，调整 $\mathbf{r}$ 即可调整钢球质量。H为水深，v为风速，V为水速，beta为风速水速之间的夹角，rou是锚链密度，L是锚链的长度 + +%phi0,phi1,phi2,phi3,phi4,h,theta,x + +$\% \phi i0$ 是钢桶的倾斜角，phil至phi4为从下至上各节钢管的倾斜角，h为吃水深度，theta为锚链末端与锚的连接点处切线方向与海床夹角，x为游动的最大范围。 + +$\mathrm{r = 1}$ +H=18; +v=36; +V=0; +beta=0; +rou=7; +L=22.05; + +考虑到锚链可能并不是全部悬空，有可能部分堆放在海床上，因此先求解不堆放情形，至于堆放情形，在下面if中考虑。 + +```txt +f=fzero(@(h) +(h+1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2./... +``` + +$(-10248.12 + 31649.66 * h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5 * v. ^{\wedge}2 - 1.25 * v. ^{\wedge}2 * h).^{\wedge}2 + (374. * 2 * h. * V. ^{\wedge}2).^{\wedge}2 + 2. * (2.5 * v. ^{\wedge}2 - 1.25 * v. ^{\wedge}2 * h). * (374. * 2 * h. * V. ^{\wedge}2). * \cos(\beta a)) .^{\wedge}2 / \ldots$ + +```txt +\((-10073.98 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/... +``` + +```javascript +\((-10073.98 + 78.28 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(\beta a))^2/... +``` + +$(-10073.98 + 78.28 * 2 + 31649.66 * h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5 * v.^{\wedge}2 - 1.25 * v.^{\wedge}2 * h).^{\wedge}2 + (374 * 2 * h * V.^{\wedge}2).^{\wedge}2 + 2 * (2.5 * v.^{\wedge}2 - 1.25 * v.^{\wedge}2 * h).^{\wedge}(374 * 2 * h * V.^{\wedge}2).^{\wedge}\cos(\beta a t e)) .^{\wedge}2 / \ldots$ + +$(-10073.98 + 78.28 * 3 + 31649.66 * h).^2) + \text{sqrt}((2.5 * v. ^2 - 1.25 * v. ^2 * h).^2 + (374 * 2 * h. * V. ^2).^2 + 2. * (2.5 * v. ^2 - 1.25 * v. ^2 * h).^2 * (374 * 2 * h. * V. ^2).^2 * \cos(\beta a)).^*$ + +```txt +sqrt(1+(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h).^2/sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2).^2+2.\*((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).*(374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta)).^2)... +``` + +```txt +-sqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05+11760-11760*r*0.87-rou.*L.*9.8.*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+. . +``` + +2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).\*(374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta)).^2))./(rou.\*9.8.\*0.87)-H),0.9); $h = f$ + +```javascript +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10248.12+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +phil=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10073.98+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +phi2=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +phi3=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28*2+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +phi4=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28*3+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +theta=asec (sqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05-rou.*L.*9.8.*0.87+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).*(374*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2)); +``` + +```javascript +alpha=asec (sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h) .^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2)); x=sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta))./(rou.*9.8.*0.87).*log((sec(alpha)+tan(alpha))/(sec(theta)+tan(thet a))+sin phi0)+sin phi1)+sin phi2)+sin phi3)+sin phi4); +``` + +$\%$ 下面是判定锚链是否堆放在海床上，并进行此种情形的求解。 + +outFywrong $=$ (-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h)%输出错误情形下 $\mathbb{F}_{\mathrm{Y}}$ 的值 outGrou=rou.\*9.8.\*0.87.\*L%输出错误情形下锚链的重力 + +```txt +if sign(rou.\*9.8.\*0.87.\*L-(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h))==1 +f=fzero(@(h) +``` + +$(h + 1. / sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h)^{..}^2 + (374.*2.*h.^{*}V.^2)^{..}^2 + 2^{..}*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.}$ + +\*h). $\star (374.\star 2.\star h.\star V.\hat{^{\prime}2}).$ $\star \cos$ (beta)). $\hat{2}. / \dots$ + +$(-10248.12 + 31649.66.*h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^{\wedge}2 - 1.25.*v.^{\wedge}2.*h).^{\wedge}2 + (374.*2.*h.*V.^{\wedge}2)).^{\wedge}2$ + +```txt ++2.\* (2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).\* (374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta)).^2./... +``` + +$(-10073.98 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h)^2 + (374.*2.*h.*V.^2)).^2$ + +```batch ++2.\* (2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).\* (374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta)).^2/... +``` + +$(-10073.98 + 78.28 + 31649.66.\star h).^{\wedge}2) + 1./\mathrm{sqrt}(1 + \mathrm{sqrt}((2.5.\star v.^{\wedge}2 - 1.25.\star v.^{\wedge}2.\star h).^{\wedge}2 + (374.\star 2.\star h.\star V.$ + +^2). ^2+2. $\star$ (2.5. $\star$ v. ^2-1.25. $\star$ v. ^2. $\star$ h). $\star$ (374. $\star$ 2. $\star$ h. $\star$ V. ^2). $\star$ cos (beta)). ^2/... + +```txt +\((-10073.98 + 78.28*2 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.* +``` + +V. $\wedge 2$ . $\wedge 2 + 2.\star (2.5.\star v.\wedge 2 - 1.25.\star v.\wedge 2.\star h).\star (374.\star 2.\star h.\star V.\wedge 2).\star \cos (\beta a)$ . $\wedge 2 / \dots$ + +$(-10073.98 + 78.28*3 + 31649.66.*h)$ .^2) $^+$ sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2).^2+2. + +$\star (2.5.\star \mathrm{v}.\hat{2} -1.25.\star \mathrm{v}.\hat{2}.\star \mathrm{h}).\star (374.\star 2.\star \mathrm{h}..\star \mathrm{V}.\hat{2}).\star \cos (\beta a)$ .\* + +```txt +sqrt(1+(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h).^2/sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374. +``` + +$^{*2,*h.^{*}V.^{*}2}$ . $\hat{2} +2$ \*2.5.v.2-1.25.v.2.h). $\star (374.\star 2.\star h.\star V.\hat{2})$ .\*cos (beta)). $\hat{2}$ ... + +```txt +-1）/（rou.*9.8.*0.87)-H)，0.7); +``` + +$\mathrm{h = f}$ + +```javascript +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*v.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.2 +``` + +5.\*v.^2.\*h). $\star (374.\cdot 2.\cdot h.\cdot v.\cdot 2)$ .\*cos (beta)).^2/(-10248.12+31649.66.\*h).^2)); + +```javascript +phil=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.2 +``` + +```javascript +5.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2. / (-10073.98+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +phi2=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*v.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.2 +``` + +5.\*v. $^2$ h).\*(374. $^2$ .*h. $^2$ V. $^2$ ).\*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28+31649.66. $^{*}$ h).^2)); + +```javascript +phi3=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.2 +``` + +```javascript +5.\*v.\*2.\*h).\*374.\*2.\*h.\*V.\*2).\*cos (beta)).\*2/(-10073.98+78.28\*2+31649.66.\*h).\*2)); +``` + +```javascript +phi4=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.2 +``` + +5.\*v.^2.\*h). $\star (374.\star 2.\star h.\star V.\hat{2}).\star \cos (\beta a t e)$ ).^2/(-10073.98+78.28\*3+31649.66.\*h).^2)); + +```gitattributes +theta=0; +``` + +```lisp +alpha=asec (sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h) +``` + +$\cdot \hat{2} +$ (374.\*2.\*h.\*V.\*2).\*2+2.\* (2.5.\*v.\*2-1.25.\*v.\*2.\*h).\* (374.\*2.\*h.\*V.\*2).\*cos (beta)).\*2)); + +$\mathrm{x} = \mathrm{sqrt}((2.5.\ast v.\hat{2} -1.25.\ast v.\hat{2}.\ast h).\hat{2} + (374.\ast 2.\ast h.\ast V.\hat{2}).\hat{2} + 2.\ast (2.5.\ast v.\hat{2} -1.25.\ast v.\hat{2}.\ast h).\ast (374.$ + +$^{*}2.\mathrm{h}.^{*}\mathrm{V}.^{\wedge}2).^{*}\cos$ (beta))./ (rou.9.8.0.87). $\star \log$ (sec (alpha) + tan (alpha)) ) +sin (phi0) +sin (phi1) + +```txt ++sin (phi2) + sin (phi3) + sin (phi4) + L- (31649.66*h-22143.12+11760-11760.*r.*0.87)./(rou.*9.8.*0.87) +``` + +```txt +； +``` + +```txt +end +``` + +```txt +outphi0=phi0.*180./pi%钢桶倾角 +``` + +```txt +outphil=phi1.*180./pi%钢管倾角 +``` + +```txt +outphi2=phi2.*180./pi +``` + +```txt +outphi3=phi3.*180./pi +``` + +```txt +outphi4=phi4.*180./pi +``` + +h + +outalpha=alpha.*180./pi + +outtheta $\equiv$ theta.\*180./pi + +outx=x + +outk=sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*3 + +74.*2.*h.*V.^2).*cos (beta))./(rou.*9.8.*0.87)%锚链系数k + +outFy $=$ (-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h) + +outFx=sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h)) + +# 程序4 + +2016.9.11 系泊系统设计 + +$\%$ r,H,v,V,beta,rou,L + +$\%$ r是钢球质量比（以 $1200\mathrm{kg}$ 为基准)，即钢球质量 $= 1200\mathrm{kg}^{\star}\mathrm{r}$ ，调整 $\mathbf{r}$ 即可调整钢球质量。H为水深，v为风速， + +V 为水速, beta 为风速水速之间的夹角, rou 是锚链密度, L 是锚链的长度 + +%phi0, phi1, phi2, phi3, phi4, h, theta, x + +$\% \phi i0$ 是钢桶的倾斜角，phil至phi4为从下至上各节钢管的倾斜角，h为吃水深度，theta为锚链末端与锚的连接点处切线方向与海床夹角，x为游动的最大范围。 + +function [phi0,phi1,phi2,phi3,phi4,h,theta,x]=moor(r,H,v,V,beta,rou,L) + +考虑到锚链可能并不是全部悬空，有可能部分堆放在海床上，因此先求解不堆放情形，至于堆放情形，在下面 if 中考虑。 + +f=fzero(@h) + +$(h + 1. / \text{sqrt}(1 + \text{sqrt}((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2*(374.*2.*h.*V.^2).*cos}(\beta a)) .^2 / \ldots$ + +$(-10248.12 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(\beta a)) .^2 / \ldots$ + +$(-10073.98 + 31649.66.\star h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.\*v.^2 - 1.25.\*v.^2.\*h).^2 + (374.\*2.\*h.\*V.^2).^2 + 2.\* (2.5.\*v.^2 - 1.25.\*v.^2.\*h).^*(374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos(\beta a)) .^2 / \ldots$ + +\((-10073.98 + 78.28 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(\beta a t e)) .^2/... + +$(-10073.98 + 78.28 * 2 + 31649.66 * h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5 * v. ^{\wedge}2 - 1.25 * v. ^{\wedge}2 * h).^{\wedge}2 + (374 * 2 * h. ^{\wedge}V. ^{\wedge}2).^{\wedge}2 + 2. * (2.5 * v. ^{\wedge}2 - 1.25 * v. ^{\wedge}2 * h).^{\wedge} (374. * 2. * h. ^{\wedge}V. ^{\wedge}2).^{\wedge} \cos(\beta a t e)).^{\wedge}2 / \ldots$ + +$(-10073.98 + 78.28 * 3 + 31649.66 * h).^2) + \text{sqrt}((2.5 * v. ^2 - 1.25 * v. ^2 * h).^2 + (374 * 2 * h. * V. ^2) \cdot 2 + 2 * (2.5 * v. ^2 - 1.25 * v. ^2 * h).^2 * (374 * 2 * h. * V. ^2) * \cos(\beta a))$ + +sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2) + +```txt +-sqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05+11760-11760*r*0.87-rou.*L.*9.8.*0.87+31649.66*h).^2/s sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+. . +``` + +```txt +2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).\*(374.\*2.\*h.\*V.^2).\*cos (beta)).^2))./(rou.\*9.8.\*0.87)-H), 0.9); +``` + +$\mathrm{h = f}$ + +```javascript +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10248.12+31649.66.*h).^2)); +``` + +```txt +phil = acos(1./sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/.(-10073.98+31649.66.*h).^2)); +``` + +```javascript +phi2=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```lisp +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28+31649.66.*h).^2)) +``` + +```txt +； +``` + +```javascript +phi3=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28*2+31649.66.*h).^2) +``` + +```txt +）； +``` + +```javascript +phi4=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. +``` + +```javascript +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28*3+31649.66.*h).^2) +``` + +```txt +）； +``` + +```javascript +theta=asecsqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05-rou.*L.*9.8.*0.87+11760-11760*r*0.87+31649. +``` + +```javascript +66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v. +``` + +$\hat{\mathbf{\Gamma}} 2.\hat{\mathbf{\Gamma}}\mathbf{h})$ $\star (374.\star 2.\star h.\star V.\hat{\mathbf{\Gamma}} 2)$ .cosbeta）.^2））； + +```javascript +alpha=secsqrt(1+(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h).^2/sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v. +``` + +$\hat{2}.\hat{\star}\mathrm{h})$ $\hat{2} + (374.\hat{2}.\hat{\star}\mathrm{h}.\hat{\star}\mathrm{V}.\hat{\wedge} 2)$ $\hat{2} + 2 + \hat{\star} (2.5.\hat{\star}\mathrm{v}.\hat{\wedge} 2 - 1.25.\hat{\star}\mathrm{v}.\hat{\wedge} 2.\hat{\star}\mathrm{h})$ $\hat{\star} (374.\hat{\star} 2.\hat{\star}\mathrm{h}.\hat{\star}\mathrm{V}.\hat{\wedge} 2)$ $\hat{\star}\cos (\text{be}$ + +```javascript +ta)).^2)); +``` + +$\mathrm{x} = \mathrm{sqrt}((2.5.\star \mathrm{v}.^{\wedge}2 - 1.25.\star \mathrm{v}.^{\wedge}2.\star \mathrm{h}).^{\wedge}2 + (374.\star 2.\star \mathrm{h}.^{\star}\mathrm{V}.^{\wedge}2).^{\wedge}2 + 2.\star (2.5.\star \mathrm{v}.^{\wedge}2 - 1.25.\star \mathrm{v}.^{\wedge}2.\star \mathrm{h})$ + +$\star (374.\star 2.\star h.\star v.\hat{2}).\star \cos (\beta a t e)$ ./ (rou.9.8.0.87). $\star \log$ ((sec (alpha) +tan (alpha)) / (sec (the + +```txt +ta) + tan(theta)) + sin(phi0) + sin phi1) + sin phi2) + sin phi3) + sin phi4); +``` + +$\%$ 下面是判定锚链是否堆放在海床上，并进行此种情形的求解。 + +$(-22143.12 + 11760 - 11760 * r * 0.87 + 31649.66 * h)$ + +```txt +rou.*9.8.*0.87.*L +``` + +```javascript +if sign(rou.*9.8.*0.87.*L-(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h))==1 +``` + +```txt +f=fzero(@(h) +``` + +$(h + 1) / \sqrt{2} t$ (1+sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2).^2+2.\*2.(2.5.\*v.^2-1.25. + +$\star \mathrm{v}.\wedge 2.\star \mathrm{h}).\star (374.\star 2.\star \mathrm{h}..\star \mathrm{V}.\wedge 2).\star \cos (\mathrm{beta}).\wedge 2.$ /... + +$(-10248.12 + 31649.66.\star h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5.\star v.^{\wedge}2 - 1.25.\star v.^{\wedge}2.\star h)).^{\wedge}2 + (374.\star 2.\star h.\star V.$ + +```javascript +^2).^2+2.* (2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).* (374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2./... +``` + +$(-10073.98 + 31649.66.\star h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5.\star v.^{\wedge}2 - 1.25.\star v.^{\wedge}2.\star h)).^{\wedge}2 + (374.\star 2.\star h.\star V.$ + +$\wedge 2$ . $\wedge 2 + 2.\star (2.5.\star v.\wedge 2 - 1.25.\star v.\wedge 2.\star h).*$ (374.2. $\star h$ .V. $\wedge 2$ ). $\star \cos$ (beta)). $\wedge 2 / \dots$ + +$(-10073.98 + 78.28 + 31649.66.\star h).^{\wedge}2) + 1./sqrt(1 + sqrt((2.5.\star v.^{\wedge}2 - 1.25.\star v.^{\wedge}2.\star h).^{\wedge}2 + (374.\star 2.$ + +$\star \mathrm{h}.\star \mathrm{V}.\hat{\mathrm{2}})$ . $\hat{\mathbf{\nabla}}^2 +2$ \*2.5.v.2-1.25.v.2.h). $\star (374.\star 2.\star h.\star V.\hat{\mathrm{2}})$ .\*cos (beta)). $\hat{\mathbf{\nabla}}^2 /\dots$ + +$(-10073.98 + 78.28 * 2 + 31649.66 * h).^{\wedge}2) + 1./\mathrm{sqrt}(1 + \mathrm{sqrt}((2.5.*v.^{\wedge}2 - 1.25.*v.^{\wedge}2.*h)).^{\wedge}2 + (374.*$ + +2.*h.\*V.\^2).^2+2.\* (2.5.\*v.\^2-1.25.\*v.\^2.\*h).\* (374.\*2.\*h.\*V.\^2).\*cos (beta)).^2/... + +$(-10073.98 + 78.28 * 3 + 31649.66 * h).^2) + \text{sqrt}((2.5 * v. ^2 - 1.25 * v. ^2 * h).^2 + (374 * 2 * h. ^* v. ^2)$ + +$\cdot^2 + 2 \cdot * (2.5 \cdot * v \cdot^2 - 1.25 \cdot * v \cdot^2 \cdot * h) \cdot * (374 \cdot * 2 \cdot * h \cdot * V \cdot^2) \cdot * \cos (\beta a t e)) \cdot * \dots$ + +sqrt(1+(-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h).^2/sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2 + ++ (374.*2.*h.*V.^2).^2+2.* (2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2) .. + +-1）/（rou.9.8.*0.87)-H)，0.8）； + +$\mathrm{h = f}$ + +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. + +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10248.12+31649.66.*h).^2)); + +phi1=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. + +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/.(-10073.98+31649.66.*h).^2)); + +phi2=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. + +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28+31649.66.*h).^2)) + +； + +phi3=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.v. + +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28*2+31649.66.*h).^2) + +）； + +phi4=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v. + +^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28*3+31649.66.*h).^2) + +）； + +theta=0; + +alpha=asec (sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v. + +$\hat{2}.\hat{\star}\mathrm{h})$ $\hat{.} 2 + (374.\hat{2}.^{\star}2.\hat{\star}\mathrm{h}.^{\star}\mathrm{V}.\hat{\wedge} 2)$ $\hat{.} 2 + 2.\hat{\star}(2.5.\hat{\star}\mathrm{v}.\hat{\wedge} 2 - 1.25.\hat{\star}\mathrm{v}.\hat{\wedge} 2.\hat{\star}\mathrm{h})$ $\cdot (374.\hat{2}.^{\star}\mathrm{h}.\hat{\star}\mathrm{V}.\hat{\wedge} 2)$ .\*cos(be + +ta).^2)); + +[ x = \sqrt{2} + (2.5 \cdot v \cdot 1 - 2.5 \cdot v \cdot 1 - 2 \cdot h) \cdot 1 + (374 \cdot 2 \cdot h \cdot v \cdot 1 - 2 \cdot h) \cdot 1 + (2.5 \cdot v \cdot 1 - 2.5 \cdot v \cdot 1 - 2 \cdot h). ] + +\* (374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta))./(rou.*9.8.*0.87).*log((sec (alpha) + tan (alpha))) +sin (phi + +0)+sin(phi1)+sin(phi2)+sin(phi3)+sin(phi4) $^+$ L-(31649.66\*h-22143.12+11760-11760.\*r.\*0.87) + +./(rou.\*9.8.\*0.87); + +end + +outphi0=phi0.*180./pi%钢桶倾角 + +outphil=phil.*180./pi%钢管倾角 + +outphi2=phi2.\*180./pi + +outphi3=phi3.*180./pi + +outphi4=phi4.*180./pi + +h + +outalpha=alpha.*180./pi + +outtheta $\equiv$ theta.\*180./pi + +outx=x + +outk $\equiv$ sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2).^2+2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2.\* + +h). $\ast (374.\ast 2.\ast h.\ast V.\hat{2}).\ast \cos (\beta a)$ )./（rou. $\ast 9.8.\ast 0.87$ ）%锚链系数k +outFy $=$ (-22143.12+11760-11760\*r\*0.87+31649.66\*h) +outFx $=$ sqrt((2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*h).^2+(374.\*2.\*h.\*V.^2).^2+2.\*(2.5.\*v.^2-1.25.\*v.^2\*.h)) +end + +# 程序5 + +clear all +clc +for r=1.72:0.00001:1.73 +[y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8]=moor(r,18,36,0,0,7,22.05); +if abs(y1.\*180./pi-5) <= 0.001 +break +end +end +l=y1.\*180./pi +t=y7.\*180./pi +K=1200.\*r +%步长为 $1200\mathrm{kg} * 0.00001 = 12\mathrm{g}$ + +# 程序6 + +clear all +clc +for $r = 1.85:0.00001:1.86$ +[ [y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8] = \text{moor}(r, 18, 36, 0, 0, 7, 22.05); ] +if abs(y7.*180./pi-16) <= 0.001 +break +end +end +l=y1.*180./pi +t=y7.*180./pi +r +K=1200.*r +%步长为 1200kg*0.00001=12g + +# 程序7 + +%主函数 + +function main() +clear;clc; +popsize $= 100$ %种群大小 +chromlength $= 15$ %二进制码长1一6质量比7一15链长pc $= 0.6$ %交叉概率 +pm $= 0.005$ %变异概率 + +$\mathrm{rou} = 3.2$ $\%$ 链密度 + +$\mathrm{v} = 32.6;\%$ 风速 + +$\mathrm{V} = 0.55; \%$ 水速 + +beta=0;%风速水速夹角 + +$\% \mathrm{H} = 20$ ;%水深 + +pop=initpop(popsize, chromlength, rou, v, V, beta);%初始种群 + +% + +for $i = 1:200\%$ 最大遗传代数200 + +[objvalue]=cal_objvalue(pop, v, V, beta, rou); %计算适应度值（函数值） + +fitvalue=objvalue; + +%size(pop) + +``` +[NEWPOP]=selection(pop, fitvalue); %选择优秀个体产生新种群 + +%size(newpop) + +[NEWPOP]=crossover(newpop, pc, rou, v, V, beta);%对新种群进行概率为PC的交叉操作 + +[NEWPOP]=mutation(newpop, pm, rou, v, V, beta);%对新种群进行概率为pm的变异操作 + +pop=newpop;%更新种群 + +[bestindividual, ~] = best(pop, fitvalue); %寻找最优解 + +bestr=binary2decimal(bestindividual(1,1:6));%binary2decimal将质量比转换为十进制 + +bestL=binary2decimal(bestindividual(1,7:15));%binary2decimal将链长转换为十进制 + +end + +[phi0, $\tilde{\mathbf{\Gamma}}$ $\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\hat{h},\hat{\mathrm{theta}},\mathrm{x}]$ $= \mathrm{moor}$ (bestr, 20, v, V, beta, rou, bestL); + +fprintf' 锚链密度是--%5.2f\n', rou); + +fprintf(' 铁球 r-->5.2f\n',bestr); + +fprintf('锚链长L-->%5.2f\n',bestL); + +fprintf（吃水h-->5.2f\n',h); + +fprintf（浮动范围 $\mathrm{x - - } > \% 5.2\mathrm{f}\backslash \mathrm{n}^{\prime},\mathrm{x})$ + +fprintf（' 铁通倾角 phi0--+%5.2f\n', rad2deg(phi0)); + +fprintf（海床夹角theta-->%5.2f\n',rad2deg(theta)); + +fprintf（水速V-->5.2f\n',V); + +fprintf（风速 $\mathrm{v - > \%5.2f\n',v)}$ ； + +fprintf（水速风速夹角beta-->%5.2f\n',beta); + +end + +%选择优秀个体产生新种群用轮盘赌法选择 + +function [newpop] $=$ selection(pop,fitvalue) + +[ \text{[px, ~]} = \text{size(pop)} ] + +totalfit = sum(fitvalue); + +p_fitvalue=fitvalue/totalfit;%用每个个体的适应度除以总适应度使个体的概率在0-1 + +p_fitvalue=cumsum(p_fitvalue);%一列累计求和 + +ms=sort( rand (px, 1));%随机生成 100*1 的随机数后排大小 + +fitin=1; + +newin=1; + +p_fitvalue(100)=1; + +while newin $< =$ px $\%$ 比较1-100 if ms(newin) $< =$ p_fitvalue(fitin)%个体概率和大于随机数 newpop(newin, $:)\equiv$ pop(fitin, $\text{己}$ )；%将满足条件的优秀个体加入到新种群中 newin=newin+1; elsefitin=fitin+1; end end end End + +```matlab +%寻找最优个体和最优适应度y值 +function [bestindividual, bestfit] = best(pop, fitvalue) +[px, \tilde{\gamma} ] = size(pop); +bestindividual = pop(1, :); +bestfit = fitvalue(1); +for i = 2:px + if fitvalue(i) > bestfit%更新最优个体 + bestfit = fitvalue(i); + bestindividual = pop(i, :); + end +end +``` + +```matlab +%二进制转化为十进制 +function pop2=binary2decimal(pop) +[ \text{,py} ] = size(pop); +for i = 1:py +pop1(:, i) = 2.^(py - i). * pop(:, i); +end +temp = sum(pop1, 2); +if py == 6 +pop2 = 0.5 + temp * 4.5 / 2^6; % 质量比 r 0.5-5 +elseif py == 9 +pop2 = 10 + temp * 30 / 2^9; % 链长度 L 10-40 +end +end +``` + +%计算适应度 +function [objvalue] $\equiv$ cal_objvalue(pop,v,V,beta,rou) +r=binary2decimal(pop(:,1:6));%质量比解码 +L=binary2decimal(pop(:,7:15));%链长度解码 +%size(r) +objvalue=ones(100,1); +for i=1:100 + +[phi0, $\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\mathbf{h},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}},\tilde{\mathbf{\Gamma}}$ ]=moor(r(i),20,v,V,beta,rou,L(i));%带入函数求值objvalue(i,:) $= 20 - 0.1701*x - 0.8299*h - 0*phi0;\%$ 钢桶倾角phi0，游动区域x，吃水深度hendend + +对挑选个体进行交叉 +function [newpop]=crossover(pop,pc,rou,v,V,beta) +[px,py] $\equiv$ size(pop); +newpop=ones(size(pop)); +for i=1:2:px-1 +if (rand5) || (rad2deg phi0_2)>5) || (rad2deg(theta_1)>16) || (rad2deg(theta_2)>16) +choice $\equiv$ round(rand);%choice为0在前部交叉，choice为1在后部交叉 +if (choice $\equiv$ 1) +cpoint $\equiv$ round(rand*6);%随机产生交叉位置 +newpop(i,:)=[pop(i,1:cpoint),pop(i+1,cpoint+1:py)];%基因交换 +newpop(i+1,:)=[pop(i+1,1:cpoint),pop(i,cpoint+1:py)];%基因交换 +else +cpoint $\equiv$ 6+round(rand*9);%随机产生交叉位置 +newpop(i,:)=[pop(i,1:cpoint),pop(i+1,cpoint+1:py)];%基因交换 +newpop(i+1,:)=[pop(i+1,1:cpoint),pop(i,cpoint+1:py)];%基因交换 +end +r_1=binary2decimal(newpop(i,1:6));%质量比解码 +L_1=binary2decimal(newpop(i,7:15));%链长度解码 +[phi0_1,~,~~,~,~,~,theta_1~,~] $\equiv$ moor(r_1,20,v,V,beta,rou,L_1);%带入函数求值 +r_2=binary2decimal(newpop(i+1,1:6));%质量比解码 +L_2=binary2decimal(newpop(i+1,7:15));%链长度解码 +[phi0_2,~,~~,~,~,~,theta_2~,~] $\equiv$ moor(r_2,20,v,V,beta,rou,L_2);%带入函数求值 +end +else %不变异保持原来基因 +newpop(i,:) $\equiv$ pop(i,:); +newpop(i+1,:)=pop(i+1,:); +end + +随机生成100个10位二进制代码组初始化种群 + +function pop=initpop(popsiz, chromlength, rou, v, V, beta)%popsiz=100, chromlength=16 +pop=ones(100, chromlength); + +for $i = 1$ :popsize + +a=round RAND(1, chromlength));%rand 随机生成 0-1 的随机数 round 四舍五入生成 01 + +r=binary2decimal(a(1,1:6));%质量比解码 + +L=binary2decimal(a(1,7:15));%链长度解码 + +[phi0, $\tilde{\mathcal{V}}$ $\tilde{\mathcal{V}}$ $\tilde{\mathcal{V}}$ $\tilde{\mathcal{V}}$ ,theta，] $=$ moor(r,20,v,V,beta,rou,L);%带入函数求值 + +if((rad2deg(phi0) <= 5)&& (rad2deg(theta) <= 16)) + +[phi0, $\tilde{\mathcal{V}}$ $\tilde{\mathcal{V}}$ $\tilde{\mathcal{V}}$ $\tilde{\mathcal{V}}$ , $\tilde{\mathcal{V}}$ ,theta，] $=$ moor(r,16,v,V,beta,rou,L)；%带入函数求值 + +if((rad2deg(phi0) <= 5)&& (rad2deg(theta) <= 16)) + +pop(i,:) = a(1,:);%满足角度条件则加入种群 + +else + +$\mathrm{i} = \mathrm{i} - 1$ + +end + +end + +end + +%size(pop) + +end + +%挑选个体进行变异 + +function [newpop] $\equiv$ mutation(pop, pm, rou, v, V, beta) + +[px, py] = size(pop); + +newpop=ones(size(pop)); + +for $i = 1$ :px + +phi0=1; + +theta=1; + +if (rand5)||(rad2deg(theta)>16))%检验变异后是否满足约束条件若不满足重新进行变异 + +mpoint=round rand*py);%找到变异基因位置 + +if mpoint $< = 0$ + +mpoint $= 1$ + +end + +newpop(i,:) $\equiv$ pop(i,:); + +ifnewpop(i,mpoint)=0 + +newpop(i, mpoint) = 1; + +else newpop(i, mpoint) = 0; + +end + +r=binary2decimal(newpop(i,1:6));%质量比解码 + +L=binary2decimal(newpop(i,7:15));%链长度解码 + +[phi0, $\tilde{\mathbf{\Psi}}$ , $\tilde{\mathbf{\Psi}}$ , $\tilde{\mathbf{\Psi}}$ , $\tilde{\mathbf{\Psi}}$ ,theta, $\tilde{\mathbf{\Psi}}$ ] $=$ moor(r,20,v,V,beta,rou,L);%带入函数求值endelse $\%$ 没有变异newpop(i,:) $=$ pop(i,:);endendend + +# %2016.9.11 系泊系统设计 + +$\%$ r, H, v, V, beta, rou, L + +$\% \mathrm{r}$ 是钢球质量比（以 $1200\mathrm{kg}$ 为基准)，即钢球质量 $= 1200\mathrm{kg}*\mathrm{r}$ ，调整 $\mathbf{r}$ 即可调整钢球质量。H为水深，v为风速，V为水速，beta为风速水速之间的夹角，rou是锚链密度，L是锚链的长度 + +```txt +%phi0, phi1, phi2, phi3, phi4, h, theta, x +``` + +%phi0 是钢桶的倾斜角，phi1 至 phi4 为从下至上各节钢管的倾斜角，h 为吃水深度，theta 为锚链末端与锚的连接点处切线方向与海床夹角，x 为游动的最大范围。 + +```matlab +function [phi0, phi1, phi2, phi3, phi4, h, theta, x] = moor(r, H, v, V, beta, rou, L) +``` + +$\%$ 考虑到锚链可能并不是全部悬空，有可能部分堆放在海床上，因此先求解不堆放情形，至于堆放情形，在下面 if 中考虑。 + +```txt +f=fzero(@(h) +``` + +$(h + 1. / \text{sqrt}(1 + \text{sqrt}((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h)^2 + (374.*2.*h.*V.^2)^2 * 2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2*h).*374.*2.*h.*V.^2)*cos(\beta a))^2. / \dots}$ + +$(-10248.12 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(\betaeta)).^2 / \ldots$ + +```txt +\((-10073.98 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(\beta a)).^2/... +``` + +```txt +\((-10073.98 + 78.28 + 31649.66.\ast h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h)).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).**(374.*2.*h.*V.^2).*cos(\beta a)).^2/... +``` + +$(-10073.98 + 78.28*2 + 31649.66.*h)$ . ^2) + 1. /sqrt(1 + sqrt((2.5.*v. ^2 - 1.25.*v. ^2.*h)). ^2 + (374.*2.*h).* V. ^2). ^2 + 2.*(2.5.*v. ^2 - 1.25.*v. ^2.*h). * (374.*2.*h.*V. ^2). *cos (beta)). ^2/... + +$(-10073.98 + 78.28*3 + 31649.66.*h)$ . $\hat{2}$ ) $^+$ sqrt((2.5.\*v. $^2$ -1.25.\*v. $^2$ .h). $\hat{2} + (374.$ $^2$ .\*h.\*V. $^2$ ). $\hat{2} + 2$ \*(2.5.\*v. $^2$ -1.25.\*v. $^2$ .h). $* (374.$ $^2$ .\*h.\*V. $^2$ .\*cos (beta)).\*. + +```javascript +(sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos.beta)).^2)... +``` + +```txt +-sqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05+11760-11760*r*0.87-rou.*L.*9.8.*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2. 5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+. . +``` + +2. $(2.5.\ast v.\hat{2} -1.25.\ast v.\hat{2}.h).*(374.\ast 2.\ast h.\ast V.\hat{2}).\ast \cos (\beta a t e)).\hat{2})). / (r o u.\ast 9.8.\ast 0.87) - H),0.9);$ $h = f$ + +$\mathrm{phi0 = acos(1. / sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.2}$ $5.\ast \mathrm{v}.\hat{\cdot} 2.\ast \mathrm{h}).*(374.\ast 2.\ast \mathrm{h}.*\mathrm{V}.\hat{\cdot} 2).\ast \cos (\beta a t e)).\hat{\cdot} 2 / (-10248.12 + 31649.66.\ast h).^{\prime}2))$ + +$\mathrm{phi1 = acos(1. / sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2. / (-10073.98 + 31649.66.*h)^2))}$ + +phi2=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28+31649.66.*h).^2)); + +$\mathrm{phi3 = acos(1. / sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2 / (-10073.98 + 78.28*2 + 31649.66.*h).^2))}$ + +phi4=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28*3+31649.66.*h).^2)); + +theta=asec (sqrt(1+(-23655.75+7.*9.8.*22.05-rou.*L.*9.8.*0.87+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*(374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2)); + +alpha=secsqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h) ^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2)); + +$\mathrm{x} = \mathrm{sqrt}((2.5.\ast v.\hat{2} -1.25.\ast v.\hat{2}.h).\hat{2} + (374.\ast 2.\ast h.\ast V.\hat{2}).\hat{2} + 2.\ast (2.5.\ast v.\hat{2} -1.25.\ast v.\hat{2}.h).\ast (374.$ $^{\ast}2.\ast h.\ast V.\hat{2}).\ast \cos (\beta a))$ ./ (rou. $*9.8.*0.87$ ).\*log((sec(alpha)+tan(alpha))/ (sec(theta)+tan(ther +a)))+sin phi0)+sin phi1)+sin phi2)+sin phi3)+sin phi4); + +$\%$ 下面是判定锚链是否堆放在海床上，并进行此种情形的求解。 + +if sign(rou.*9.8.*0.87.*L-(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h))==1 +f=fzero(@(h) + +$(h + 1. / \text{sqrt}(1 + \text{sqrt}((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h)^2 + (374.*2.*h.*V.^2)^2 + 2 + 2*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2*h)*(374.*2.*h.*V.^2)*cos(\beta a))^2. / \dots}$ + +$(-10248.12 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(\beta a)).^2 / \ldots$ + +\((-10073.98 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(\betaeta)).^2/... + +$(-10073.98 + 78.28 + 31649.66.*h).^2) + 1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h)).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(\beta a)).\hat{2}/\ldots$ + +$(-10073.98 + 78.28*2 + 31649.66.*h)$ . $\hat{2}) + 1.$ /sqrt $(1 + \mathrm{sqrt}((2.5.*v.\hat{2} -1.25.*v.\hat{2}.*h).\hat{2} +(374.*2.*h.$ V. $\hat{2}).$ $\hat{2} +2.\ast (2.5.\ast v.\hat{2} -1.25.\ast v.\hat{2}.\ast h).\ast (374.\ast 2.\ast h.\ast V.\hat{2}.\ast \cos (\beta a t e)).$ $\hat{2}/\ldots$ + +$(-10073.98 + 78.28*3 + 31649.66.*h).^2) + \mathrm{sqrt}((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.$ \*(2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).*. + +sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2).^2+2.**(2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos(beta)).^2)... -1)./(rou.*9.8.*0.87)-H), 0.7); + +$\mathrm{h = f}$ + +phi0=acos(1./sqrt(1+sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2*h).^2+(374.*2.*h.*V.^2)).^2+2.*(2.5.*v.^2-1.2 + +5.*v. ^2.*h).*374.*2.*h.*V.^2).*cos (beta)).^2/(-10248.12+31649.66.*h).^2)); + +$\mathrm{phil} = \mathrm{acos}(1./\mathrm{sqrt}(1 + \mathrm{sqrt}((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.2}$ + +5.*v. ^2.*h). *(374.*2.*h.*V. ^2).*cos (beta)). ^2. / (-10073.98+31649.66.*h). ^2)); + +$\mathrm{phi2 = acos(1./sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.2}$ + +5.*v. $^2$ .*h).*374.*2.*h.*V. $^2$ .*cos (beta)).^2/(-10073.98+78.28+31649.66.*h). $^2$ ); + +$\mathrm{phi3 = acos(1./sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.2}$ + +5.*v. $^2$ .*h).*374.*2.*h.*V. $^2$ .*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28*2+31649.66.*h). $^2$ ); + +$\mathrm{phi4 = acos(1./sqrt(1 + sqrt((2.5.*v.^2 - 1.25.*v.^2.*h).^2 + (374.*2.*h.*V.^2).^2 + 2.*(2.5.*v.^2 - 1.2}$ + +5.*v. $^2$ .*h).*374.*2.*h.*V. $^2$ .*cos(beta)).^2/(-10073.98+78.28*3+31649.66.*h). $^2$ ); + +theta=0; + +alpha=asec (sqrt(1+(-22143.12+11760-11760*r*0.87+31649.66*h).^2/sqrt((2.5.*v.^2-1.25.*v.^2.*h)) + +$\hat{2} + (374. *2. *h. *V. \hat{2})$ $\hat{2} + 2. * (2.5. *v. \hat{2} - 1.25. *v. \hat{2} * h)$ . $* (374. *2. *h. *V. \hat{2}). *cos(\text{beta}). \hat{2})$ ; + +$\mathrm{x} = \mathrm{sqrt}((2.5.\ast v.\hat{2} -1.25.\ast v.\hat{2}.h).\hat{2} + (374.\ast 2.\ast h.\ast V.\hat{2}).\hat{2} + 2.\ast (2.5.\ast v.\hat{2} -1.25.\ast v.\hat{2}.h).\ast (374.$ + +*2. *h. *V. ^2). *cos (beta))./(rou. *9.8. *0.87). *log((sec (alpha) + tan (alpha))) + sin (phi0) + sin (phi1) + ++sin(phi2)+sin(phi3)+sin(phi4)+L-(31649.66*h-22143.12+11760-11760.*r.*0.87)./(rou.*9.8.*0.87) + +； + +end + +End + +# 程序8 + +function weights $=$ EntropyWeight(A) + +%熵权法求指标权重，R为输入矩阵，返回权重向量weights + +[rows, cols] = size(R); % 输入矩阵的大小, rows 为对象个数, cols 为指标个数 + +$\mathrm{k = 1 / log(row)}$ $\%$ 求k + +f=zeros(columns, cols); % 初始化 fij + +sumBycols = sum(R, 1); % 输入矩阵的每一列之和(结果为一个 1*cols 的行向量) + +$\%$ 计算fij + +for $i = 1$ :rows + +for $j = 1$ :cols + +$f(i, j) = R(i, j)$ . /sumBycols(1, j); + +end + +end + +lnfij=zerosrows,cols）； $\%$ 初始化lnfij + +$\%$ 计算lnfij + +for $i = 1$ :rows + +for $j = 1$ :cols if $\mathrm{f(i,j) == 0}$ lnfij(i,j)=0; else $\mathrm{lnfij(i,j) = log(f(i,j))};$ end end + +Hj=-k*(sum(f.*lnfij,1));%计算熵值Hj + +weights $= (1 - \mathrm{Hj}) / (\mathrm{cols} - \mathrm{sum}(\mathrm{Hj}))$ + +end + +A=[0.681/0.718, 14.65/18.87, 0.021/0.165; 0.695/0.718, 17.78/18.87, 0.0797/0.165; 1, 1, 1] + +EntropyWeight(A) \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/B044/B044.md b/MCM_CN/2016/B044/B044.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d50c97ecf96247ee60ff0dbd9e59feacaaf7be47 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/B044/B044.md @@ -0,0 +1,954 @@ +# 小区开放对周边道路车辆通行的影响 + +# 摘要 + +交通是城市的命脉，开放小区会对周边道路车辆通行产生多方面的影响。为了帮助交通管理部门和城市规划部门做出科学决策，需要针对不同类型的小区分情况权衡小区开放带来的正、负效应。本文针对小区开放对周边道路通行的影响问题，以元胞自动机、相关性分析、优化理论和控制变量法为理论基础建立了完整的数学模型。 + +针对问题一，由分析可知小区开放从两个方面对周边道路的车辆通行产生影响：一方面小区开放后内部道路分担了周边道路的部分车流量，减少了有信号灯的交叉路口的平均延误时间；另一方面，由于进出小区的车辆增多导致小区进出口车辆分、合流效应增加，延长了后方车辆的排队时间。因此，周边道路的交叉口所产生的平均延误时间的总和可以有效衡量车辆通行情况。本文选取小区开放前后周边道路上平均延误时间之差（下称前后延时差）来衡量小区开放对周边道路车辆通行的影响。 + +针对问题二，将车看作元胞，根据车辆所在位置制定元胞运动规则，构造基于元胞自动机的车辆通行模型。根据车辆所在位置可分为四个子模型：车辆进入研究区域模型、一般道路模型、有信号灯的交叉路口模型以及无信号灯的交叉路口模型。在两个交叉路口模型中，根据路况信息的完全程度，制定了两种元胞路径选择规则：当路况信息不完全时，车辆等概率随机选择道路；若路况信息较为完全时，车辆利用优化路径选择函数来选择最优道路。用计算机模拟车辆通行模型以获得小区开放前后周边道路的实时车流量，从而可得前后延时差。 + +针对问题三，用道路节点数目来量化小区内部道路类型、用小区内部道路的可替代道路长度来量化周边道路类型、用车辆进入道路的概率来量化周边道路的车流量，采用控制变量法，结合相关性分析，得出了不同情况下小区开放对周边道路车辆通行的影响。先考虑简化后的模型，即不考虑出入口的分、合流效应，前后延时差只受有信号灯的交叉路后延时缩短的影响，因此前后延时差始终为正。进行三组控制变量实验，得到结论：控制其他因素不变，前后延时差与小区内部道路长度呈负相关关系；与小区内部道路节点数目呈负相关关系；与周边道路车流量呈现先正后负的相关关系，可以求得使前后延时差最大的最优车流量。再者考虑完整的模型，即考虑小区出入口的分、合流效应，前后延时差受到有信号灯的交叉路口延时缩短和小区出入口排队时间增长的共同作用，着重考虑前后延时差为负值的情况：控制其他因素不变，前后延时差为负值的比率与小区内部道路长度无显著相关关系；与周边道路车流量在0.01的显著性水平下呈现正相关关系。在信息较为完全的条件下，应用问题二中的优化路径选择函数，出入口存在分、合流效应的小区也可以实现前后延时差非负的情况。 + +针对问题四，城市规划部门在开放已建成小区的时候，应重点考虑开放内部交通复杂度低、内部道路长度短、周边道路车流量大的小区；在新建小区时也应考虑这些因素。交通管理部门应重点加大实时路况信息的传播，缓解由于信息不完全而带来的资源浪费和效用损失，使得车辆驾驶员可以根据路况信息选择最优路径，从而使得小区开放对周边道路通行的正效应最大。 + +关键词：交叉口延误时间 元胞自动机 控制变量法 相关性分析 优化路径选择 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 引言 + +交通状况恶化成为城市中日益凸显的问题，因此，建设开放型小区并逐步开放已建成的住宅小区被提上议程。利用小区内部道路来疏散周边道路的交通是否真的可以改善周边道路的车辆通行状况？一方面，承担“毛细血管”功能的小区内部道路分担了部分车流，车辆可选择的道路增多，客观上可以提高周边道路的通行能力；另一方面，小区开放后会导致进出小区的车辆增多，因此会增加小区出入口处的交通复杂度，增加主路车辆的排队时间，从而影响周边道路的通行速度。所以，研究开放小区对周边道路通行的影响不能一概而论，应从小区面积、地理位置、内外部道路状况出发，分类型、有针对性地进行建模分析，从而为科学决策提供合情合理的定量依据。 + +# 1.2 问题的提出 + +为了更好的研究不同情况下开放小区对周边道路通行的影响，本文依次提出了以下问题： + +（1）选取合适的评价指标体系，来评价小区开放如何影响周边道路通行。 +（2）为研究小区开放如何影响周边道路通行，建立关于车辆通行的数学模型。 +（3）小区开放后对周边道路的影响与许多变量有关，例如小区的结构以及周边道路的结构和车流量。选取或构建不同类型的小区，应用建立的模型来定量比较各种条件下小区开放对周边道路通行的影响。 +（4）根据以上研究结果，从交通通行的角度出发，就小区开放的问题向交通管理和城市规划部门提出合理化的建议。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一 + +问题一要求选取恰当的评价指标体系，来评价小区开放对周边道路车辆通行的影响。这里应该首先明确小区开放从哪些方面影响了周边道路车辆通行？再者，这些影响因素所缓解或加重的共同的交通现象是什么？其次，如何选取指标量化这一现象？从而可得到恰当的评价指标体系。 + +# 2.2 问题二 + +问题二要求建立关于车辆通行的数学模型，来研究小区开放对周边道路通行的影响。通过问题一的分析，我们知道研究小区开放对周边道路通行的影响，就是研究通行能力的增大和通行速度的降低对道路通行的影响哪一个更大。因此需要构建小区周边道路上的车辆通行模型，来模拟车辆在道路上的路径选择。根据道路类型的不同将模型分解为多个子模型。利用路径选择函数得到整个研究范围内的车辆通行情况，从而得到评价指标体系中的参数，进而得到小区开放前后评价指标的变化，可以直观的表现出小区开放对周边道路通行的影响。 + +# 2.3 问题三 + +问题三提出了不同条件下小区开放对周边道路的影响可能不同，因此需要考虑小区的结构以及周边道路的结构和车流量等因素。首先应该明确哪些变量可以用来量化这些因素，并且会对评价指标体系产生影响。再者，进行控制变量实验，保证其他因素一定的条件下，改变某一个因素，观察小区开放前后评价指标变化情况。其次，利用控制变量实验中收集到的数据，进行相关性分析，在统计学的视角下，给出更加科学、合理、有说服力的结论。 + +# 2.4 问题四 + +问题四要求根据研究结果，从交通通行的视角，对城市规划和交通管理部门提出合理的建议。这一问包含两部分的建议：一部分是对城市规划部门的建议，包括在建设新的开放型小区时应着重考虑哪些有利的小区结构和道路类型以及应该开放什么类型的已建成小区等；另一部分是对交通管理部门的建议，包括如何在开放小区或不开放某些已建成小区的基础上合理的管理交通来实现交通通行的最优化。 + +# 三、模型假设 + +# 3.1 假设内容 + +（1）小区周边道路均为双车道，即同方向只有一条机动车道。 +（2）小区周边道路在机动车道和非机动车道之间设有分隔带。 +（3）研究的车辆只包含四轮以上的机动车，且均考虑为标准车辆。 +（4）小区周边道路坡度为0。 +（5）受小区开放影响的道路只包括与小区出入口处车流存在分、合流现象的道路及小区内部道路的替代道路。(更详细的图示见 5.1.1) +（6）若在小区出入口处设有交通信号灯，则允许车辆左转进出小区。否则，小区出入口处不允许机动车左转。 +（7）不考虑路面公交车及停车位的影响。 +（8）不考虑交通事故的影响及大范围违法穿行的情况。 +（9）车辆进入小区周边道路的概率分布满足平稳性。 + +（10）假设小区开放前进出小区的车辆很少，因此不考虑小区开放前出入口处的因车辆分、合流现象产生的延误时间。 + +# 3.2 假设可行性 + +（1）在四车道或六车道的条件下，当道路上存在无信号灯交叉口的时候，车辆更倾向于靠内侧道路行驶，且内侧车道受交叉口分、合流的影响比较小。因此，为简便计算，可以将模型简化为只考虑双车道的情况。 +（2）在交通较为拥堵的路段，才值得讨论是否有必要开放小区来疏散交通。若该区域交通通畅，则在短时间内没有必要耗费财力物力、承担安全风险来开放小区。因此本文将研究的对象定位于已经或有明显趋势出现交通拥堵的路段。在这种路段中，如果在小区出入口处不设信号灯且允许车辆左转进入小区，则会造成来向和对向两条道路的延误，对道路通行影响较大，极易造成拥堵。因此，假设只有在小区出入口处设有交通信号灯的前提下才允许车辆左转进入小区，是合理的。 + +# 四、符号说明 + +
符号含义单位
ΔDT小区开放前后周边道路平均延误时间之差h
YDT有信号灯的交叉路口平均延误时间h
NDT无信号灯的交叉路口平均延误时间h
n有信号灯的交叉路口的个数-
m无信号灯的交叉路口个数-
T信号灯周期长度h
tg有效绿灯时间h
x道路饱和率-
R道路实时交通量pcu/h
C道路设计通行能力pcu/h
fRpb行人自行车修正系数-
fR右转修正系数-
r主路右转车的比例-
ER右转车转换系数-
L1车身长度km
α转弯角度rad
μ横向力系数-
h标准饱和车头时距km
v畅通时车流的平均速度km/h
Δt单位时间间隔-
s以单位时间内的位移衡量的周边道路长度-
S0每个单位时间间隔内车辆位移-
δ车辆进入道路的概率-
t畅通情况下车辆直行通过计算截面的平均耗时h
sc小区内部道路长度km
num小区内部道路节点个数-
+ +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 问题一 + +# 5.1.1 问题分析 + +构建一般意义上的小区交通平面图如图1所示，受小区开放影响的周边道路定义为与穿行小区的车流存在合流和分流现象的道路①和②，以及小区内道路的替代道路③和④。 + +![](images/1fd7a17ef3299824bb830b24751aa859f330ea297936187112cbbe60459b2c31.jpg) +图1小区影响范围交通平面图 + +由引言可知，小区开放从两方面对周边道路通行产生了反向的影响：一方面，小区开放后，内部道路可以分担周边道路的车流量，减少周边道路的通行压力，路网密度增大，从而 + +提高了周边道路的通行能力；另一方面，小区开放后，由于进出小区的车辆不再仅限于小区的住户或其亲友，借路车辆的大幅增加必然会增加小区出入口处的交通复杂度，从而增加主路上的车辆排队时间，降低了周边道路的通行速度。车流量和通行速度的共同点在于它们都直接影响了道路的拥堵程度，因此应选取合适的评价指标体系来量化小区开放前后周边道路的拥堵情况的变化，以此反映小区开放对周边道路通行的影响。 + +目前较为普遍的衡量道路拥堵情况的指标是由北京交通发展研究中心提出的“交通拥堵指数”，它对应了拥堵时比畅通时多消耗的出行时间。经过分析可知，排除交通事故的影响，多消耗的出行时间主要来源于因车流量多、行驶速度慢所造成的交叉路口延误时间增长。考虑小区开放对延误时间的影响：一方面，由于小区进出口车流速度降低，导致后方车辆排队时间增长，从而造成小区出入口的延误时间增长；另一方面，周边道路车流量的减少一定程度上缩短了车流方向有信号灯交叉路口的延误时间。 + +# 5.1.2指标选取 + +通过以上的分析可知，小区开放前后周边道路交叉路口的平均延误时间之差（下称前后延时差）可以有效评价小区开放对周边道路通行的影响。定义前后延时差 $\Delta DT$ 如下： + +$$ +\Delta D T = \sum_ {i = 1} ^ {n} Y D T _ {i} ^ {b} - \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} Y D T _ {i} ^ {a} + \sum_ {j = 1} ^ {m} N D T _ {j}\right) \tag {5.1.1} +$$ + +式中， $n$ 为受影响周边道路有信号灯的交叉路口数量， $m$ 为小区出入口数量， $YDT_{i}^{b}$ 为小区开放前周边道路上第 $i$ 个有信号灯的交叉口路口处的平均延误时间， $YDT_{i}^{a}$ 为小区开放后周边道路上第 $i$ 个有信号灯的交叉口路口处的平均延误时间， $NDT_{j}$ 为小区第 $j$ 个无信号灯交叉路口的平均延误时间，例如，若小区类型如图1所示，则 $n = 4$ ， $m = 2$ 。 + +本文只考虑靠近小区出入口一侧的车道情况，因为由3.1中的基本假设第六条可知“若在小区出入口处设有交通信号灯，则允许车辆左转进出小区。否则，小区出入口处不允许机动车左转”，所以在远离小区出入口的道路上不存在合、分流效应，因此没有NDT，可以看作是本文构建的模型的一部分。为考虑更全面的情况，只研究靠近小区出入口一侧的车道情况。 + +下面对式（5.1.1）中的变量YDT和NDT进行计算： + +# （1）有信号灯的交叉路口平均延误时间YDT + +由参考文献[1]可知，YDT计算公式为： + +$$ +Y D T = \frac {0 . 5 T \left(1 - \frac {t _ {\mathrm {g}}}{T}\right)}{1 - \left[ \min (1 , x) \cdot \frac {t _ {\mathrm {g}}}{T} \right]} \tag {5.1.2} +$$ + +式中： $T$ 为信号灯周期长度，即为信号灯在红黄绿之间变化一次所需要的时间。 $t_g$ 为有效绿灯时间，具体计算方式见式（5.1.3）。饱和率 $x = R / C$ ，其中 $R$ 为道路的实时交通量。 $C$ 为道路的设计通行能力，由于本文研究的是同向一条车道的一般城市道路，限速 $\nu = 50km / h$ ，由参考文献[2]可知， $C = 1350pcu / h$ 。 + +由参考文献[3]可知，有效绿灯时间 $t_{g}$ 为一周期内能够用于以饱和流率通行的时间，计算公式为： + +$$ +t _ {g} = \text {实 际 绿 灯 时 间} + \text {实 际 黄 灯 时 间} + \text {绿 初 损 失 时 间} + \text {黄 末 损 失 时 间} \tag {5.1.3} +$$ + +因为在绿灯信号开始的最初几秒，由于车辆处于启动和加速的阶段，越过停车线的车流 + +率比饱和率低，由此造成的损失时间称为绿初损失时间。相应的，在绿灯结束后的黄灯期间内，由于严禁闯红灯的规定，停车线内的部分车辆开始采取制动措施，因此越过停车线的车流率由饱和率逐渐的降下来，由此带来的损失时间称为黄末损失时间。 + +# （2）小区入口平均延误时间 + +绘制小区出入口示意图如下图所示，可知在主路右转进入小区的交通模式下，主路右转车辆减速或停车等待进入小区，容易在转弯节点（小区入口）处形成局部交通瓶颈，从而引起主路路段通行能力的降低。 + +![](images/a81cfec9f3b20c99026479a3442e8c55ec2c9d18f1f90f0b9c907f5302ed07ed.jpg) +图2小区出入口示意图 + +由参考文献[4]可知，在干扰车流①的影响下，主流向通行能力 $C_1$ 的计算公式为： + +$$ +C _ {1} = x \left(f _ {R p b} + f _ {R}\right) +$$ + +式中， $f_{Rpb}$ 为行人自行车修正系数，由基本假设可知机动车和非机动车之间有分隔带，则由参考文献[5]知 $f_{Rpb} = 0.8$ 。 $f_{R}$ 为右转修正系数，计算公式如下： + +$$ +f _ {R} = \frac {1 0 0}{1 0 0 + r \left(E _ {R} - 1\right)} +$$ + +$$ +E _ {R} = \frac {L _ {c} + \alpha r}{h \sqrt {1 2 7 r \mu}} +$$ + +其中，由参考文献[4]可知， $r$ 为主路右转车的比例； $E_{R}$ 为右转车转换系数；参数 $L_{c}$ 为车身长度，默认值为 $0.005 \mathrm{~km}$ ； $\alpha$ 为转弯角度，默认值为 $40^{\circ}$ ； $\mu$ 为横向力系数，一般取0.18； $h$ 为标准饱和车头时距，默认值为 $0.0025 \mathrm{~km}$ 。 + +在此基础上，本文提出了小区入口平均延误时间NDT的概念，计算公式如下： + +$$ +N D T = \sum_ {i = 1} ^ {1 / \bar {t}} i \cdot \left(\frac {1}{C _ {1}} - \bar {t}\right) \tag {5.1.4} +$$ + +式中， $\bar{t}$ 为畅通情况下车辆直行通过计算段面的平均耗时， $\bar{t} = L_c / \nu$ ， $\nu$ 是畅通时的车速，默认为城市道路的限定速度 $50km/h$ 。 $1/C_1$ 为在分流效应的影响下，1辆车通过计算断面的耗时。则 $1/C_1 - \bar{t}$ 为分流效应下一辆车在小区入口的延误时间，再乘以所有车各自在道路上的顺序之和 $\sum_{i=1}^{1/\bar{t}} i$ ，可得平均延误时间。 + +# 5.2 问题二 + +# 5.2.1 问题分析 + +为研究受小区开放影响的周边道路上车辆通行的情况，将车辆看作元胞，利用元胞自动机建立车辆通行模型。可以根据车辆的位置可建立四种模型：：车辆进入研究区域模型、一般道路模型、有信号灯的交叉路口模型以及无信号灯的交叉路口模型。通过这些模型的结合可模拟小区内部及周边道路的车辆通行情况，从而可计算得到各条道路上的实时交通量 $R$ ，进而可根据式（5.1.2）和（5.1.4）求得两种交叉路口的平均延误时间，代入式（5.1.1）中求得周边道路的前后延时差 $\Delta DT$ 。 + +# 5.2.2 模型建立 + +由参考文献[6]可知，元胞自动机是一种状态离散的理想的动力学系统模型，元胞的状态在时间和空间上都是有限的。元胞自动机的基本单位是能够记忆自身状态的元胞，它的状态由自身状态和邻近元胞的状态决定。 + +由于本文研究的道路是同向单车道，所以可将传统的二维元胞自动机简化。根据题意，将车辆看作元胞，本文构建的元胞自动机模型规则如下： + +1. 元胞位于二维网格之中。根据假设的默认数据，车辆车头距平均为5米，故500米长的道路相当于100个网格，因为车道为同向单车道，所以二维网格长100个网格、宽1个网格。 +2. 元胞的状态考虑前方邻居。 +3. 元胞前进规则：当前面一个网格没有车时，元胞前进，否则选择不前进。 +4. 元胞更新规则： + +（1）利用圆盘赌法确定是否应增加新元胞，即当Matlab生成的随机数小于一秒钟内有车出现的概率时，增加新元胞。 +（2）当元胞到二维网格边界，即为交叉路口时，将其从二维网格上剔除。 + +此外，我们定义如下几个在该模型中会用到的概念。车辆的状态：包含了车辆所在的道路及所在道路上的位移等信息。车辆的预状态：在区域内没有其他车辆或者道路完全通畅、车辆之间移动互不干扰的情况下，车辆在下一刻理应到达的状态。 + +# 5.2.2.1 车辆进入研究区域的模型 + +在本模型中，我们以单位时间里车辆出现的不同概率来模拟不同的车流量。设每个单位时间内，车辆以概率 $\delta$ 进入研究区域。同时，我们设置新进入的车辆为初始状态，即该车处于入口路的末端位置（面临着交叉口的选择）。 + +# 5.2.2.2 一般道路上的车辆通行模型 + +该模型针对的是不在交叉口的车辆的状态转移模型，计算机模拟步骤如下： + +![](images/8269637de20c44bba11d55122645a2d66574ed83df3721031fdfb21d841d1154.jpg) +图3一般道路上车辆运行示意图 + +设周边道路长度为 $s$ ，每个单位时间间隔 $\Delta t$ 内，车辆位移为 $s_0$ 。 + +Step1：置车辆的预状态为所在道路不变，位移加1。 +Step2：检查该车辆的预状态是否与其他车辆的状态冲突。若冲突，转至 Step3，否则，转至 Step4. +Step3：置车辆状态不变，结束。 +Step4：置车辆状态为车辆的预状态，结束。 + +# 5.2.2.3 无信号灯的交叉路口车辆通行模型 + +无信号灯的交叉口，包括小区内的交叉口及小区的出入口。 + +其中，小区入口处的交叉口示意图如图4所示，出口方向道路有2条：右转进入小区的道路①和继续直行的道路②，相当于关于是否进入小区的0-1模型。小区出口处的交叉口示意图如图5所示： + +![](images/547fbda37b5464c3118c6704add0d1766df993aedf87d030eefc9c0bb70ae409.jpg) +图4小区入口处的交叉口示意图 + +![](images/25251b72cff9065e9152c05bfa0320f60a948575a8e37342d9aae826aae152c0.jpg) +图5小区出口处的交叉口示意图 + +在这些情况下，我们假设去往不同路上的车互不干扰。在信息不完全的情况下，在驶入道路之前，车辆驾驶员无法判断哪一条道路更加通畅，因此随机选择一条道路进入。因此，定义路径选择方案为“等概率随机选择前方路径方案”，具体内容如下： + +设该车当前所在的道路为A，则路径选择过程如下。 + +Step1: 得到道路 A 所能通过的道路集合 Q; +Step2：从道路集合Q中，按等概率的方式任意选出一条路作为选中的道路。 +Step3：置车辆的预状态为所选的道路，位移置1。 +Step4：检查该车辆的预状态是否与其他车辆的状态冲突。若冲突，转至 Step5，否则，转至 Step6. +Step5：置车辆状态不变，结束。 +Step6：置车辆状态为车辆的预状态，结束。 + +同时，值得特别提出的是，在该模型下，我们模拟出口为一条道路，则在出口处同一刻只能有一辆车到达出口路的开始点，若有多辆车到达出口处的交叉口，则会有车需要等待。即该模型本身已经模拟实现了出口处的合流排队情形，无需再单独计算该部分的排队延时。 + +# 5.2.2.4有信号灯的交叉路口车辆通行模型 + +定义 $L(t)$ 为交通信号灯状态： + +$$ +L (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {红 灯} \\ 1, & \text {绿 灯} \end{array} \right. +$$ + +当车辆处于有信号灯的交叉路口时，状态转移模型如下： + +Step1: 判断交通信号灯的状态, 若 $L(t) = 1$ 成立, 执行 Step2; 否则, 执行 Step3. + +Step2：执行等概率随机选择前方路径方案。结束 + +Step3：保持车辆状态不变，结束。 + +# 5.2.3 模型改进 + +考虑到现代科技的发展在一定程度上缓解了信息不完全带来的效用损失，比如北京交通发展研究中心官网每15分钟发布一次实时的全市交通路段拥挤状况，并且小区开放后可在小区出入口附近设立监测点，实时发布小区内部车辆数目及“交通拥堵指数”，以便于试图借路小区的车辆驾驶员合理地选择路径。因此，有必要对路径选择函数加以改进。 + +定义新的路径选择规则为：在从道路集合Q中选择道路时，不再以等概率随机选择，而是根据比重选择，其中道路 $j$ 的比重函数weight $_j$ 定义如下： + +$$ +w e i g h t _ {j} = \left\{ \begin{array}{l} k _ {1} l + k _ {2} R, \text {当 该 路 的 入 口 没 有 被 其 他 车 辆 占 据 时} \\ k _ {1} l + k _ {2} R + M y V, \text {当 该 路 的 入 口 被 其 他 车 辆 占 据 时} \end{array} \right. +$$ + +其中， $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 是比重函数的设计参数，在本实验中均取1； $MyV$ 是一个修正因子，其值足够大，大于所有道路中 $k_{1}l + k_{2}R$ 的最大值。 $l$ 是该路的逻辑距离，即车辆通过该路需要多少单位的时间，与路的实际长度、允许最高限速、宽度等有关。在选择道路时，应选择道路集合Q中比重函数值最小的那条路。 + +# 5.3 问题三 + +不同条件下小区开放对周边道路通行的影响不同，因此需要考虑小区的道路结构以及周边道路的结构和车流量等因素。在计算机模拟过程中，用以下变量来量化这些因素。 + +表 1 影响因素及量化变量对应表 + +
因素变量
小区周边道路结构小区内道路的长度sc（即周边可替代路的长度）
小区内部道路结构小区内道路节点个数num
小区周边道路车流量R车辆进入该研究区域的概率δ
+ +首先，考虑简化的小区模型5.3.1，即不存在分、合流效应。在此基础上考虑5.3.2中的小区，即存在分、合流效应，对该小区内道路的长度 $s_{c}$ 和小区周边道路车流量 $R$ 进行控制变量实验。 + +# 5.3.1 不存在分、合流效应的小区 + +# （1）基本模型 + +考虑如下小区类型，受小区开放影响的道路有①和②两条，因为小区出入口位于十字路口某一出口方向，因此小区出入口处不存在合流与分流的现象，车流只受信号灯的控制，前后延时差 $\Delta DT$ 只与有信号灯的交叉路口的平均延误时间 $YDT$ 有关。 + +![](images/36a36c2a003111b1d60ab8c911ea760adb384ca5c35400a78a134b7725955b1f.jpg) +图5 不存在分、合流效应的小区示意图 + +假设小区内部路长 $s_{c} = 100s_{0}$ ， $t_{g} / T = 0.25$ ， $T = 20$ ，小区周边道路车流量 $R = 0.5$ 。用Matalb实现问题二的车辆通行模型，得到平均延时如下图所示： + +![](images/5b4a37ce1e48940211268b820d341c12a96749dc2a27ef7410681f63a1eaf50b.jpg) +图6类型1小区开放对平均延时的影响 + +由上图可知，小区开放后明显降低了平均延误时间。这是由于该小区周边道路只受到有信号灯的交叉路口的延误时间YDT的影响，当小区开放后，小区内部道路③分担了周边道路的一部分车流量，降低了周边道路的通行压力，因此有效的提高了通行能力。另一方面，由于小区出入口不存在分流和合流现象，小区开放不会降低道路的通行速度。因此，该类小区开放后有利于周边道路的通行。 + +# （2）控制变量实验 + +当小区内部的道路结构和周边道路结构变化时，小区开放对周边道路通行的影响不同。为研究这一问题，分别对小区内部道路长度 $s_{c}$ 、小区周边道路车流量 $R$ 和小区内部道路节点个数 num 进行控制变量实验。 + +① 小区内部道路长度 $S_{c}$ 对平均延时的影响 + +保持其他变量不变，当小区内部道路距离 $S_{c}$ 发生变化时，得到平均延时的数值变化如图所示： + +![](images/6841b6af3b1b3774b38e34a1b56d0a3aae65fc004ff71cfd57be12d66b1d3938.jpg) +图7 类型1小区内道路距离对平均延时的影响 + +由上图可知，当其他变量一定时，平均延迟时间与小区内道路距离呈正相关关系。小区内部道路距离越短，则开放小区后对周边道路通行的正效应越大。 + +# ② 小区内部道路节点数 num 对平均延时的影响 + +考虑小区内部有两条道路的情况：若两条道路之间有一条道路将二者联通，如图8所示，则可认为小区内部道路节点数 $num = 2$ ；若两条道路之间有两条道路将二者联通，如图9所示，则可认为小区内部道路节点数 $num = 4$ 。 + +![](images/36933862fdbe2c0b4fb92f799b0ef749eb3793d1e388fed7bc4ee0b2dcea68da.jpg) +图8 两节点小区示意图 + +![](images/945eb54ad291ae6da4ef39d3f171320dba89b69d1e676499193658bfa6f9c790.jpg) +图9四节点小区示意图 + +保证其他因素不变，用计算机模拟问题二中的车辆通行模型，得到平均延误时间和小区内部道路节点数目关系如图10所示： + +![](images/3b2dec4fa31e8a57ad81fc8a77faf34c1f6e7480d3b764b4aad85b646bfba0c3.jpg) +图10平均延误时间和小区内部道路节点数目关系图 + +由上图可以直观的看出，小区内部道路节点数目越多，小区开放后的平均延误时间越长，即前后延时差 $\Delta DT$ 越小。 + +# ③ 小区周边道路车流量 $R$ 对平均延时的影响 + +保持其他变量不变，改变小区周边道路车流量 $R$ ，得到前后延时差 $\Delta DT$ 的数值变化。用SPSS对周边道路车流量 $R$ 和前后延时差 $\Delta DT$ 作相关性分析，得到结果如下表。 + +表 2 类型 1 小区周边道路车流量与平均延误时间差值相关性分析表 + +
周边道路车流量平均延误时间
周边道路车流量Pearson相关性1.988**
显著性（双侧）.000
N88
平均延误时间Pearson相关性.988**1
显著性（双侧）.000
N88
+ +在.01水平（双侧）上显著相关。 + +由表中数值可知，周边道路车流量 $R$ 和平均延误时间差值 $\delta$ 的相关系数为0.988，p值小于0.01，即在0.01的水平上呈现出显著的正相关关系。 + +为更直观的反映二者的关系，绘出不同 $R$ 值下的平均延迟时间随研究时间 $t$ 的变化示意图： + +![](images/752ad6e16012a3a22f4b498917cc66df845210abe078fda55fae1b78e1d33f1c.jpg) + +![](images/5ec86a0b3d12ec5d0a8e33bc161646d4baf258af807e944e16c00c0147b54df0.jpg) + +![](images/be90ad250c7dce85407a292a8d0ddba009fb71a2e60efbc08fdc220799b9cdc9.jpg) + +![](images/fd8ed8973e07c2ca90b038e92a870e5e607680906515d1b5a4b897f9848701c2.jpg) + +![](images/5d0e95461ed6426a9b5b61aaaad9af19e613a6ff4fb817612aeb9509bcf99ea2.jpg) + +![](images/9a48d19b72c53006d6b47bb35096f3e4d8f88e5083180c0d4d0a03dbc1155789.jpg) + +![](images/4c92f0110c5a67f5ba3a82d9dec879e2848bcf559432ec904a821f9cf8656428.jpg) +图11 类型1小区周边道路车流量对平均延时的影响（二维图） + +![](images/7d44ada4a3217fd24eabf91c1056c4c17a1225fe6bbaf9089ff6a9dc8b69a42e.jpg) + +由上图直观可知，保持其他变量不变时，小区周边道路车流量 $R$ 变化时，小区开放前后平均延迟时间的差值并非随之单调变化，即存在一个最优的周边道路车流量 $R$ ，使得小区开放对周边道路通行的正效应最大。为观察这一最优值，以周边道路车流量 $R$ 为 $x$ 轴，以时间 $t$ 为 $y$ 轴，以前后延时差 $\Delta DT$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，绘出如下三维图像如下： + +![](images/6ff6b41018f3f8e9e6ec1bb192eb89a7317c5711639fca1b73c0f98b984c0a83.jpg) +图12 类型1小区周边道路车流量对平均延时的影响（三维图） + +从上图可以看出，前后延时差 $\Delta DT$ 一直为正。前后延时差 $\Delta DT$ 随着车流量 $R$ 的变化呈现出一个先增后减的趋势，即可以求出当 $\Delta DT$ 最大时的周边道路车流量。 + +# 5.3.2 存在分、合流效应的小区 + +# （1）基本模型 + +![](images/edee33c589ca75b8d543f758bb765d678f56f1bca4243e454a41128b58217b5c.jpg) +图13存在分、合流效应的小区示意图 + +考虑小区类型，受小区开放影响的周边道路有①和②两条，小区出入口处存在合流与分流的现象。造成平均延误的因素有以下三点：A点的车辆分流导致的后方车辆车流排队时间增加、B点的信号灯导致的延误、C点的车辆合流导致的后方车辆车流排队时间增加。 + +假设小区内部路长 $s_{c} = 80s_{0}$ ， $t_{g} / T = 0.25$ ， $T = 20$ ，小区周边道路车流量 $R = 0.35$ ，车辆由主路进入小区的比例为0.5。用MATLAB实现问题二的车辆通行模型，得到小区开放前后的平均延误时间之差如下图所示： + +![](images/89d2555f7b74c531a58a33e4b2639080561890dadfb3c3032504f9b397fb45c3.jpg) +图14 类型2小区开放对平均延时之差的影响 + +由上图可知，小区开放后对平均延误时间的影响有正效应也有负效应，且波动很大。在观察时间初期，开放前后平均延时差值多为负值，即小区开放对周边道路通行产生了不利影响，这是由于观察初期路上车辆较少，小区开放的分流作用对B点的信号灯延迟改善程度有限，但在小区入口（A点）由于后方车辆排队进入，产生了较大的延迟时间。在观察时间中后期，虽然平均延时的差值波动仍很大，但大多数为正值，由于在个别的时间段里，进入小区的车辆过饱和，导致在A点和C点的排队时间延长，因此在某个时间段中会有负值的出现。因此，在这种类型的小区模型中，是否应该开放小区，应该考虑小区内外部道路的具体结构。 + +# （2）控制变量实验 + +当小区内部的道路结构和周边道路结构变化时，小区开放对周边道路通行的影响不同。为研究这一问题，分别对小区内部道路总距离 $s$ 和小区周边道路车流量 $R$ 进行控制变量实验。 + +# ① 小区内部道路距离 $S_{c}$ 对平均延时的影响 + +保持其他变量不变，当小区内部道路的距离 $s_c$ 发生变化时，在每一个 $s_c$ 的条件下，计算在研究时间内开放前后平均误差为负值的比率如图所示： + +![](images/6bab814c26ec64483b45e6e28fc7a01ae752e6e934fc7f4d5ee96b297e892d71.jpg) +图15小区内道路距离对前后延时差为负值的比率的关系 + +从图上可以看出纵轴标量受随机性影响较大，难以看出相关关系。用SPSS进行相关性检验，得到结果如下： + +表 3 类型 2 小区内道路距离与平均延误差值为负的比率相关性分析表 + +
小区内道路距离平均延误差值为负的比率
小区内道路距离Pearson相关性1-.156
显著性（双侧）.466
N2424
平均延误差值为负的个数Pearson相关性-.1561
显著性（双侧）.466
N2424
+ +可以看到，p值为 $0.466 > 0.1$ ，即在 $90\%$ 的置信水平下，小区内道路距离和开放前平均延误之差为负值的比率二者之间不存在显著的相关关系。 + +# ② 小区周边道路车流量对平均延时的影响 + +保持其他变量不变，改变小区周边道路车流量 $R$ ，得到平均延迟时间的数值变化。 + +表 4 类型 2 小区内道路车流量与平均延误差值为负的比率相关性分析表 + +
小区内道路距离平均延误差值为负的比率
小区内道路距离Pearson相关性1.914**
显著性（双侧）.000
N1212
平均延误差值为负的个数Pearson相关性.914**1
显著性（双侧）.000
N1212
+ +在.01水平（双侧）上显著相关。 + +用SPSS对周边道路车流量 $R$ 和平均延误时间差值为负的比率作相关性分析，得到结果如下表。由表中数值可知，相关系数为0.914，p值小于0.01，在0.01的水平下呈现出显著的正相关关系。 + +# 5.3.3 基于优化的路径选择函数分析存在分、合流效应的小区 + +考虑5.2.3中优化的路径选择函数，对存在分、合流效应的小区进行分析。假设小区内部道路距离 $s_c = 80s_0$ ， $t_g / T = 0.25$ ， $T = 20$ ，小区周边道路车流量 $R = 0.35$ ，车辆由主路进入小区的比例为0.5。得到小区开放对平均延时之差的影响的图像如下： + +![](images/dbacbc0fde3a7e6d0e7cc41b30fb9d37aa8bbc5ad50cfc369ccd56cd7f4104cb.jpg) +图16 类型2小区开放对平均延时之差的影响（基于优化路径） + +由上图可知，在优化路径选择函数的条件下，开放前与开放后的平均延时差值均为正值，即小区开放后有效的降低了平均延时，从而对周边道路的通行有正效应。由参考文献[1]可知，道路使用者进行往返于出发地和目的地之间的道路选择时，使用者只考虑自身最优而未考虑其他的道路使用者，这一理论与经济学中的理性人假设类似。这意味着，在信息不完全得到有效缓解的情况下，开放小区有利于周边道路的通行。因此，交通管理部门利用现代科技缓解信息不完全的现状，使道路使用者可以有效的选择能够最快到达目的地的道路。 + +# 5.4 问题四 + +# 5.4.1 对城市规划部门的建议 + +由上述问题的分析可知，城市规划部门在开放已建成小区的时候，应重点考虑开放内部交通复杂度低、内部道路长度短、周边道路车流量大的小区，以减小前后延时差，使得小区开放对周边道路的车辆通行产生有利的影响；同样，在新建小区时也应考虑这些因素。 + +# 5.4.2 对交通管理部门的建议 + +交通管理部门应重点加大实时路况信息的传播，缓解由于信息不完全而带来的资源浪费和效用损失，使得车辆驾驶员可以根据路况信息选择最优路径，从而使得小区开放对周边道路通行的正效应最大。 + +# 六、模型评价与改进 + +# 6.1模型评价 + +（1）该模型较为全面的考虑了现实情况，根据车辆所在道路类型将车辆通行模型抽象为若干子模型，确保了思维的科学性和逻辑的严密性。 +（2）在分析不同小区类型的时候，考虑了较为全面的影响因素，并找到了合适的量化指标，保证了模型的完整性和适用性。 +(3) 在模型求解时, 充分利用了 Matlab 等数学软件, 比较好的解决了问题, 并且得到了较好的理想的结果。 + +# 6.2 模型改进 + +（1）该模型假设机动车和非机动车存在明显的分隔线，即非机动车不会干涉机动车的行驶。在实际情况中，存在机动车和非机动车混行的道路。因此，可以将自行车影响系数根据实际情况加以修改，使得我们的模型更能反映真实情况。 +（3）该模型假设道路坡度为0，在之后的工作中可以将周边道路的坡度纳入考虑当中，使得模型更具普适性。 +（4）该模型只考虑了同向单车道的情况，可以考虑将同向多车道的情况纳入模型中，多车道将有助于减缓车辆拥堵的情况，更加客观的反映出真实的情况，这将使得模型更具泛化能力。 +（5）该模型假设车辆到来满足平稳性，而实际生活中车流量到来明显的存在时间趋势，例如早晚下班高峰车流量明显要多于其他时刻。因此，可以变化车辆到来的方式，使其更加贴合现实情况，也能更好的反映出小区开放对周边道路车辆通行的影响，有助于有关部门制定关于小区开放时刻及时间长度的政策。 +(6) 在评价道路通行情况的指标中, 我们只挑选了其中的一部分。在模型的进一步完善中,可以扩充评价的指标, 使其更加全面、客观地反映出小区开放的影响。 + +# 七、参考文献 + +[1] 李向朋. 城市交通拥堵对策——封闭型小区交通开放研究[D]. 长沙: 长沙理工大学, 2014. +[2]CJJ37-2012，城市道路工程设计规范[S]. +[3] 魏威. 信号控制交叉口有效绿灯时间计算方法研究[J]. 山西建筑, 2015, 41(4): 125-126 +[4] 杨晓光, 赵靖, 郁晓菲. 考虑进出交通影响的路段通行能力计算方法[J]. 中国公路学报, + +2009, 22(5): 83-88 + +[5] 张亚平. 道路通行能力理论[M]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学, 2007. +[6] 孙增辉. 车道被占用对城市道路通行能力的影响[Z]. 北京：全国大学生数学建模竞赛组委会，2013. + +# 附录 + +注：以下均为本次比赛过程中有用的 matlab 执行脚本程序或函数 + +# 1、道路运行情况模拟程序 + +```matlab +clc; +%clear; +Tmax = 1000; %考虑的时间的上限 +carnum = 0; %carnum 是当前通过的车的总数目 +fieldCarNum = 0; %fieldCarNum 进入小区的车辆数 +%beta = 8; %1-alpha / 10,为出现车的概率，体现车流量 +fieldCapture = 800; %小区内道路的承载量 +fieldDistance = 80; %小区内道路的逻辑长度 +fRpb = 0.8; %行人自行车修正系数 +R = 0.5; %主路进入小区的比例 +L1 = 0.005; %车身长度，km +h = 0.0025; %标准饱和车头时距 +alpha = pi / 4; %转弯角度 +mu = 0.18; %横向力系数 +v = 50; %车辆速度 +t_avg = L1 / v; %畅通情况下车辆直行通过计算截面的平均耗时 +ER = (L1 + alpha * R) / (h * sqrt(127 * R * mu)); +%右转车转换系数 +fR = 100 / (100 + R * (ER - 1)); +%右转修正系数 +theta = 0; %车辆入口延时的影响因子 +delay = zeros(Tmax, 1); %记录入口延时 +T = 20; %路灯周期 +Tg = 5; %绿灯时间 +Car = cell(carnum, 1); %Car 是所有的车的集合 +Car0 = cell(carnum, 1); %Car 是所有的车的集合 +car = struct('road', 0, 'distance', 0, 'state', 0); %road 是当前车所在的道路，distance 表示在这条路上的位置，state 表示是否在区域里，1 在里面，0 在外面 +t = 0; %当前时间 +Dt = cell(t, 1); %每个时刻的平均延误 +Dt0 = cell(t, 1); %每个时刻的平均延误 +Light = 0; %Light 表示当前灯是红灯 0，还是绿灯 1 +roadnum = 4; %roadnum 是所有的道路数目 +Outroad = []; %与出口相连的路 +Outroad(1) = 4; +Inroad = [2,3]; %与入口相连的路 +FieldRoad = []; %小区内的路 +FieldRoad(1) = 3; +``` + +Troad = zeros(roadnum,1); %每条路上的路灯周期 + +Tgroad = zeros(roadnum,1); %每条路上绿灯时间 + +RoadMap = zeros(roadnum,roadnum); %路的可达性矩阵 + +RoadMap0 = zeros(roadnum,roadnum); %路的可达性矩阵 + +Roadcapture = zeros(roadnum,1); %Roadcapture 路的设计承载量 + +Roadcarnum = zeros(roadnum,1); %Roadcarnum 路当前有的车数量 + +Roadcarnum0 = zeros(roadnum,1); %Roadcarnum 路当前有的车数量 + +Roaddistance = zeros(roadnum,1); %Roadistance 路的距离 + +Roadt = zeros(roadnum,1); %Roadt 每条路上的平均延迟时间 + +Roadcapture $= [1000,1000,1000,1]$ + +Roadcapture(3) = fieldCapure; + +Roadcapture = Roadcapture'; + +Roadistance $=$ [100,100,100,1]; + +Roaddistance(3) $=$ fieldDistance; + +Troad(:) = 20; + +Tgroad(:) = 5; + +RoadMap = [0,0,0,0;1,0,0,0;1,0,0,0;0,1,1,0]; + +RoadMap0 = [0,0,0,0;1,0,0,0;0,0,0,0;0,1,0,0]; + +myres $=$ zeros(500,4); + +Flag $= [0,1,0,0]'$ + +mainflow $= 3600\star$ (1-beta/10); %主路的车流量 + +for t = 1:Tmax + +判断当前是否有车到来0没有，1有 + +Dt{t} = 0; + +DtO{t} = 0; + +ra = rand(); + +if ra >= beta / 10 + +ra = 1; + +else + +ra = 0; + +end + +\(\text{串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串串 + +if ra == 1 + +```c +carnum = carnum + 1; + +car.road = 1; + +cardistance $=$ Roaddistance(1); + +car.state $= 1$ +Car{carnum} $=$ car; +Car0{carnum} $=$ car; +Roadcarnum(1) $=$ Roadcarnum(1)+1; +Roadcarnum0(1） $=$ Roadcarnum0(1)+1; +end + +判断当前红绿灯情况 + +Light $=$ mod(t,T); + +if Light $< = \mathrm{Tg}$ + +Light $= 1$ + +else + +Light $= 0$ + +end + +for cari = 1:carnum + +if(Car{cari}.state == 0) + +continue; + +end + +%不考虑小区开放时 + +if Light == 1 %%绿灯时 + +[nextroad,nextdistance,nextstate] = + +nextdir(cari,RoadMap0,Car0,Roaddistance,Outroad,Roadcarnum0);%%函数 nextdir返回cari这辆车下一次所在的路的在路上的距离 + +else %%%红灯时 + +[nextroad,nextdistance,nextstate] = + +nextdir_red(cari,RoadMap0,Car0,Roaddistance,Outroad,Roadcarnum0); + +end + +Roadcarnum0(Car0{cari}.road) = Roadcarnum0(Car0{cari}.road)-1; + +Car0{cari}.road = nextroad; + +Car0{cari}.distance = nextdistance; + +Car0{cari}.state = nextstate; + +if nextstate $= = 1$ + +Roadcarnum0 (nextroad) = Roadcarnum0 (nextroad) + 1; + +这条路上的车的数量 + +end + +$\% \%$ 考虑小区开放时 + +$\%$ disp(strcat('car', num2str(cari)); + +if Light == 1 %%绿灯时 + +[nextroad,nextdistance,nextstate] = + +nextdir(cari,RoadMap,Car,Roaddistance,Outroad,Roadcarnum)；%%函数 + +nextdir返回cari这辆车下一次所在的路的在路上的距离 + +else %%%红灯时 + +```matlab +[nextroad, nextdistance, nextstate] = +nextdir_red(cari, RoadMap, Car, Roaddistance, Outroad, Roadcarnum); +end +myres(t, 1) = nextroad; +myres(t, 2) = nextdistance; +myres(t, 3) = nextstate; +myres(t, 4) = car; +Roadcarnum(Car{cari}.road) = Roadcarnum(Car{cari}.road) - 1; +Car{cari}.road = nextroad; +Car{cari}.distance = nextdistance; +Car{cari}.state = nextstate; +if nextstate == 1 + Roadcarnum(nextroad) = Roadcarnum(nextroad) + 1; +``` + +```matlab +end +end +if(ra == 1 && ismember(nextroad, FieldRoad)) + fieldCarNum = fieldCarNum + 1; + theta = theta + 1; +else + if(theta >= 0.3) + theta = theta - 0.3; + else + theta = 0; +end +end +if(carnum > 0) + R = R * 0.5 + 0.5 * fieldCarNum / carnum; + ER = (L1 + alpha * R) / (h * sqrt(127 * R * mu)); %右转车转换系数 + fR = 100 / (100 + R * (ER - 1)); %右转修正系数 + x = (mainflow) / Roadcapture(1); %道路饱和度 + C1 = x * (fRpb + fR); %主流向通行能力 + NDT = (1/C1 - t_avg) * (1/t_avg + 1) * t_avg / 2; %信号交叉路口平 +延误 +Dt{t} = theta * NDT; +delay(t) = Dt{t}; +end +``` + +%%计算每条路的平均延误时间 + +```javascript +dt = ((0.5*Troad).*(1-Tgroad./Troad))./(1-min(1,Roadcarnum.*720./Roaddistance')./Roadcapture).*(Tgroad./Troad)).*Flag; Dt{t} = Dt{t} + sum(dt); +``` + +```matlab +dt0 = +((0.5*Troad).* (1-Tgroad./Troad))./(1-min(1,Roadcarnum0.* (720./Roaddistance')./Roadcapture).* (Tgroad./Troad)).*Flag; +Dt0{t} = Dt0{t} + sum(dt0); +end +dtDelta = cell2mat(Dt0) - cell2mat(Dt); +save(strcat(num2str.beta), 'dtDelta_6.mat'), 'dtDelta'); +save(strcat(num2str(beta), 'Dt_6.mat'), 'Dt'); +save(strcat(num2str(beta), 'Dt0_6.mat'), 'Dt0'); +``` + +# 2、绿灯时，车辆状态移动函数 + +# function + +[nextroad,nextdistance,nextstate] $\equiv$ nextdir(cari,RoadMap,Car,Roaddistance,Outroad，RoadCarNum) + +$\%$ 函数nextdir返回cari这辆车这一秒之后的状态 +% nextroad: 1s后所在的路 +% nextdistance: 1s 后在路上距路入口的逻辑距离 +% nextstate: 1s 后，该车是否还在区域内 +$\%$ cari：车的序号 +%RoadMap：路的可达性矩阵 +$\%$ Car：当前各辆车的状态 +% Roaddistance: 每条路的长度 +$\%$ Outroad: 所有可能出去的路 +%RoadCarNum：当前每条路上有多少车 + +```matlab +car = Car{cari}; %当前正在考虑的车 +nextroad = car road; +nextdistance = car(distance); +if car(distance >= Roaddistance(Car{cari}.road) && +ismember(car.road, Outroad); + nextstate = 0; + return; +else + nextstate = 1; +end +nextdistance = nextdistance + 1; +if (Roaddistance(nextroad) < nextdistance) + nextroad = chooseRoad(cari, nextroad, RoadMap, Car, Roaddistance, +``` + +RoadCarNum); %交叉路口选择路的方向 + +nextdistance $= 1$ disp(strcat('car', num2str(cari)); disp(strcat('change road to', num2str(nextroad)); +end +for $\mathrm{i} = 1$ : (cari - 1) if(Car{i}.state $= = 1$ && Car{i}.road $= =$ nextroad && + +Car{i}.distance $= =$ nextdistance) + +$\text{品}$ 车辆不能走， + +nextroad = car.road; + +nextdistance $=$ car_distance; + +end + +end + +# 3、红灯时，车辆转移函数 + +# function + +[nextroad,nextdistance,nextstate] $\equiv$ nextdir_red(cari,RoadMap,Car,Roaddistance,Outroad，RoadCarNum) + +% 函数 nextdir 返回 cari 这辆车这一秒之后的状态 +% nextroad: 1s后所在的路 +% nextdistance: 1s 后在路上距路入口的逻辑距离 +% nextstate: 1s 后，该车是否还在区域内 +% cari: 车的序号 +%RoadMap：路的可达性矩阵 +$\%$ Car：当前各辆车的状态 +$\%$ Roaddistance: 每条路的长度 +Outroad: 所有可能出去的路 +%RoadCarNum：当前每条路上有多少车 + +car = Car{cari}; %当前正在考虑的车 + +nextstate $= 1$ + +nextroad = car.road; + +nextdistance $=$ car(distance; + +if cardistance $\rightharpoondown$ Roaddistance(Car{cari}.road) && + +ismember(car.road,Outroad); + +return; + +end + +nextdistance $=$ nextdistance $+1$ + +if(Roadistance(nextroad) < nextdistance) + +nextroad = chooseRoad(cari,nextroad,RoadMap,Car,Roaddistance, + +RoadCarNum); %交叉路口选择路的方向 + +nextdistance $= 1$ + +end + +for i = 1 : (cari - 1) + +if(Car{i}.state == 1 && Car{i}.road == nextroad && + +Car{i}.distance $= =$ nextdistance) + +$\text{品}$ 车辆不能走， + +nextroad = car.road; + +nextdistance $=$ car_distance; + +end + +end + +4、方向选择函数，即车辆到达交叉路口时，选择下一条路的判断函数 + +其中包括两种方案：根据最优选择、随即选择 + +```javascript +function [nextroad] = chooseRoad(cari, currentRoad, RoadMap, Car, Roaddistance, RoadCarNum) +``` + +交叉路口选择路的方向 + +% nextroad:选择的下一条路的标号 +$\%$ cari：车的序号 +% currentRoad: 当前所在的路的标号 +%RoadMap：路的可达性矩阵 +$\%$ Car：当前各辆车的状态 +$\%$ Roaddistance: 每条路的长度 +%RoadCarNum：当前每条路上有多少车 + +k1 = 1;%%两个参数 + +k2 = 1; + +nextroad $= 0$ + +min = intmax(); + +roadNum = length(RoadMap); + +$\%$ disp(strcat('currentroadNum', num2str(currentRoad)); + +myNeighbor = zeros(roadNum); + +myNeighborNum = 0; + +for $i = 1$ :roadNum + +if(RoadMap(i, currentRoad) == 0) %道路不通的情况 + +continue; + +end + +myNeighborNum = myNeighborNum + 1; + +myNeighbor(myNeighborNum) = i; + +disp(strcat('roadNum', num2str(i)); + +$\%$ { 根据最优选择 + +myvalue $= 0$ + +for $j = 1$ : (cari - 1) + +if(Car{j}.state == 1 && Car{j}.road == i && Car{j}.distance == + +1） + +$\% \% \%$ 判断走这条路是否需要等 + +myvalue = intmax() - 100000; + +break; + +end + +end + +$\% \%$ 计算每条路的指标 + +myvalue = myvalue + k1 * Roaddistance(i) + k2 * RoadCarNum(i); + +if(myvalue < min) + +min = myvalue; + +```matlab +nextroad = i; +end +%} +% disp(i); +% disp(myvalue); +end +%%随即选择 +nextroad = myNeighbor(ceilrand() * (myNeighborNum)); +``` + +# 5、作图函数模板脚本 + +```matlab +load('60Dt.mat'); +load('60Dt0.mat'); +load('60dtDelta.mat'); +Dt_60 = cell2mat(Dt); +Dt0_60 = cell2mat(Dt0); +DtDelta_60 = dtDelta; +load('80Dt.mat'); +load('80Dt0.mat'); +load('80dtDelta.mat'); +Dt_80 = cell2mat(Dt); +Dt0_80 = cell2mat(Dt0); +DtDelta_80 = dtDelta; +``` + +```matlab +load('100Dt.mat'); +load('100Dt0.mat'); +load('100dtDelta.mat'); +Dt_100 = cell2mat(Dt); +Dt0_100 = cell2mat(Dt0); +DtDelta_100 = dtDelta; +load('120Dt.mat'); +load('120Dt0.mat'); +load('120dtDelta.mat'); +Dt_120 = cell2mat(Dt); +Dt0_120 = cell2mat(Dt0); +DtDelta_120 = dtDelta; +``` + +```matlab +load('140Dt.mat'); +load('140Dto.mat'); +load('140dtDelta.mat'); +Dt_140 = cell2mat(Dt); +``` + +```matlab +Dt0_140 = cell2mat(Dt0); +DtDelta_140 = dtDelta; +load('160Dt.mat'); +load('160Dt0.mat'); +load('160dtDelta.mat'); +Dt_160 = cell2mat(Dt); +Dt0_160 = cell2mat(Dt0); +DtDelta_160 = dtDelta; +load('180Dt.mat'); +load('180Dt0.mat'); +load('180dtDelta.mat'); +Dt_180 = cell2mat(Dt); +Dt0_180 = cell2mat(Dt0); +DtDelta_180 = dtDelta; +load('200Dt.mat'); +load('200Dt0.mat'); +load('200dtDelta.mat'); +Dt_200 = cell2mat(Dt); +Dt0_200 = cell2mat(Dt0); +DtDelta_200 = dtDelta; +x=1:500; +plot(x, Dt_60, x, Dt_80, x, Dt_100, x, Dt_120, x, Dt_140, x, Dt_160, x, Dt_180, x, Dt_200); +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/B067/B067.md b/MCM_CN/2016/B067/B067.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0d87b7d4320574efb2e27ac6c1b2829b5c475cbf --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/B067/B067.md @@ -0,0 +1,1122 @@ +# 小区开放对道路通行的影响 + +# 摘要 + +随着时代、社会的发展，人口和车量的与日俱增跟道路通行能力的大小变化相违背，同时，一系列道路交通问题也“呼之欲出”。“开放式小区”这一理论的提出将小区内部的道路通行与外部相联系，进而缓解了市区道路交通压力。本文选取合适的指标建立数学模型，将“开放式小区”对道路通行能力的影响进行深入研究。 + +针对问题一：首先以本题实际为中心，选取出能够评价道路体系的6个有效指标即车流密度、车流速度、行程时间、延误时间、道路饱和度、交叉路口阻塞率；其次，对选取出的6个指标进行评价；最后，根据以上选取的6个指标建立基于隶属度函数的模糊数学评价模型，通过选取一个特定小区，收集其在不同时期不同交通道路情况下的6种指标统计数量（见表1），用客观的熵权法确定指标权重，根据模型计算结果，即 $B = v \cdot M_{ij}^{\prime} = (0.1845, 0.1822, 0.1966, 0.2377, 0.1991)$ 可以得出小区内不同的道路设计对周边道路通行能力有不同影响。 + +针对问题二：首先，建立基于“电路图”的车辆交通模型，将小区周边道路中车速、密度等参数类比为电路图中的各种元件（见图2~3），通过科学的分析，得出小区开放后道路车流量变大、行程时间变短的整体效果；其次，建立理论递推和0-1变量应用模型，求出小区开放对周边道路通行的关系式（见式10）；最后，建立多目标规划模型（见式12）对小区开放和规划进行了系统的研究。 + +针对问题三：在问题二模型的基础上，针对小区结构、周边道路结构及车流量（即小区的位置）三个变量因素建立单变量分析模型，即分别研究三者单一变化时不同类型小区对道路通行能力的影响，并利用CAD软件绘出10种小区类型图（见图5~14），并通过查阅相关道路法及文献，客观设定各类型相关参数（见表5)，定量求出各小区开放前后周边道路的通行能力，并对其结果进行对比分析。 + +针对问题四：首先，以本地一开放小区为研究对象，利用 $Q = \nu \times k$ 这一基本关系主线，致力于研究“禁摩”措施对小区车流流量 $Q$ 的影响；其次，鉴于数据的真实有效性，运用百度卫星地图进行数据收集，并根据 $\nu = L / (t_{2} - t_{1})$ 和道路折算系数分别求出车辆流速 $\nu$ 和车流密度 $k$ ，共得9组数据（见表7）；然后，建立Greenshields交通流模型（见式 $17\sim 19$ ），运用回归拟合求出 $Q - \nu$ 关系式（见式20），并以 $\nu -m$ （摩托车所占比重）为桥梁建立 $Q - m$ 的关系式，通过MATLAB软件画图（见图 $15\sim 20$ ），进一步分析“禁摩”对小区道路通行能力的显著影响；最后，以本模型探究结果和全文模型研究指标为例，为更好地推进小区开放化建设，向城市规划、和交通管理部门提出合理化的意见。 + +用熵权法客观地确定每个评价指标的权重是本文一大的特色，使的模糊综合评价模型的建立更有说服力；全文各新旧模型的综合运用，令全文思路清晰，条理分明，充满了创新性。最后，纵观全文，客观的评价了模型的优劣。综合考虑到模型具有的优化和评价功能，可以将其推广到交规等政策评价方面，这对今后的道路通行和现实应用都具有重要参考价值。 + +关键词：熵权值法 模糊综合评价模型 多目标规划模型 理论递推模型 交通流模型 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +今年2月份，国务院发布了《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》，其中有关推广街区制的意见中提出：原则上不再建设封闭的住宅小区，建成的住宅小区和单位大院要逐步开放，实现内部道路公共化。这引起了广大群众的广泛关注和讨论。 + +封闭的小区打开之后就成为“开放式小区”，所谓“开放式小区”是指让封闭小区内部的一些道路与外界的公路相连，使这些内部道路也能供小区以外的车辆和行人使用。但小区开放之后可能会引发一系列安全问题，除此之外，小区开放是否可以达到优化路网结构、提高道路通行能力、改善交通状况的目的以及改善效果如何，这些问题也引起了群众的热议。一种观点是：封闭式小区破坏了城市道路网结构，堵塞了城市的“毛细血管”，容易造成交通拥堵，而小区开放后道路变多、道路面积增加，道路通行能力也因此会有所提高；但也有人认为这与小区的位置、面积以及内外部道路状况等因素有关，不能一概而论。另一种观点认为：小区开放后虽然道路数量变多，道路面积变大，但小区周围主干道上进出小区交叉口的车辆也会随之增加，这可能导致主干道的通行速度减慢。 + +要想确定“封闭式小区”是否要打开就要研究小区打开后对周边道路通行的影响，因此要建立数学模型，为科学决策提供定量依据。 + +# 1.2 问题提出 + +1. 为了说明小区开放对周边道路通行的影响，请选择适当的指标体系进行评价。 +2.为了研究小区开放对周边道路通行的影响，请建立有关车辆通行的数学模型进行分析。 +3. 小区开放产生的效果，可能会和小区结构及周边道路结构、车流量等因素有关。请选择或构建不同类型的小区，应用前两问建立的模型，定量比较各类型小区开放前后对道路通行的影响。 +4.根据前三问的研究，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门提出有关小区开放的合理化建议。 + +# 二、问题分析 + +“封闭式小区”在建筑规划图中严格规定了边界的范围，通常只有本小区的车辆和行人才会每天进出。但有一些小区地理位置特殊，如果能提供道路让外部车辆和行人进出，就会在一定程度上增加道路面积，从而可能对其周围道路通行能力有所影响。若选择合适的指标并用指标建立适当的模型，从科学的角度定量分析则可以确定小区开放对周边道路通行的影响。 + +# 2.1 问题一的分析 + +问题一要求选取合适的指标并建立评价体系，用以评价小区由“封闭”变为“开放”后对周边道路通行的影响。首先，根据指标选取的一般原则客观地选出评价指标；其次，解释每个评价指标的含义并分析其能够进行评价的原因以及评价步骤；最后，根据选取的评价指标建立有关隶属度函数的模糊数学评价模型[1]，权重的确定选择较客观的熵权法。选取一个从封闭到逐步开放的小区为例，通过对比小区内由于增设道路方案不同时所造成的不同影响，确定小区开放后对周边道路通行能力的影响。问题一的分析过程流程图见图1。 + +![](images/aed019d2f8b80895e210e76cc9c07c190d74621fd2d853b8e233233a36c4ce53.jpg) +图1 问题一分析流程图 + +# 2.2 问题二的分析 + +问题二要求建立关于车辆通行的数学模型。本文首先建立基于电路图的车辆通行模型，将小区周围的道路情况当做电路原件，从车流量、行程时间和可达性等指标出发，通过对比电路图的差异定性和定量分析小区从“封闭”变为“开放”后指标的变化情况，从而得知小区开放后对周边道路通行情况的整体影响；其次，建立理论递推模型进行细化研究，以 $T$ 字型开放路口为研究对象，综合运用第一问选出的评价指标并结合0-1变量模型，推导出小区开放后对周边道路通行的影响情况。 + +# 2.3 问题三的分析 + +问题三要求以不同类型的小区为研究对象，研究其开放前后对道路通行的影响。本文以小区结构、周边道路结构和车流量三者为变量进行单变量分析研究，并运用CAD软件摹绘出10不同类型小区；通过查阅和参考相关文献，对各类型小区进行参数设置，并运用问题二理论递推模型进行小区开放前后道路通行能力的定量计算和比较，进而得出问题结论。 + +# 2.4 问题四的分析 + +问题四要求从道路通行角度出发，为推进小区开放化向相关部门提出合理化建议。首先，运用百度卫星地图对当地某小区内的街道通行状况进行定量分析，利用 $Q = v \times k$ 这一基本关系主线，致力于研究“禁摩”措施对小区车流流量 $Q$ 的影响；其次，运用MATLAB软件画图进一步分析研究“禁摩”对小区内的街道通行能力的影响；最后，结合本问“禁摩”效果和论文前三问的相关结果，以交通通行为出发点，兼顾论文前几问中交通通行能力指标，分别向城市规划和交通管理部门提出合理化建议。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设第一问获得数据全都真实可靠。 +2.假设第二问通行能力模型中，不考虑双车道上的所设专左、专右车道。 +3. 假设开放小区开放的交叉路口相互独立。 +4.假设每次新修道路时都会在路口增设交通信号灯。 +5.假设第四问交通流模型数据的获取真实可靠。 +6. 忽略第四问中交通流模型每次采集数据时对车辆的观测时间。 + +# 四、符号说明 + +
序号符号符号说明
1Q车流量
2v车流速度
3k车流密度
4D道路饱和度
5C最大道路通行能力
6Mij模糊关系矩阵
7μ(x)隶属度函数
+ +注释：其余出现的符号均在文中给出说明 + +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一：评价指标的选取及模糊综合评价体系的建立 + +# 5.1.1 评价指标选取的理论依据 + +国务院发布的一系列有关小区改造的意见中提出要建立“开放式小区”，即把小区周围的围墙、栏杆逐渐去除，让小区以外的人和车也可以使用小区的内部道路，这一意见的提出引起广大群众的讨论。很多人认为小区打开之后会存在很多安全隐患：无关人员能够任意进出小区，对业主的财产安全造成威胁；小区内过往的车辆增多可能会对道路安全造成影响。但也有人支持国家的做法，认为这样做可以缓解城市的交通压力。因此选取合适的指标评价小区打开后对周围道路通行的影响就变得十分重要。 + +指标选取的科学与否与以下3个原则有关： + +1）简明性原则：指标的选取应该具有清晰明了且不繁琐的特点。 +2）可操作性原则：选取指标时不能只考虑其理论意义还要结合实际选择能够测量到数据的指标。 +3）客观性原则：指标选取要客观、科学、合理，不能加入任何个人主观感受在里面。 +4）系统性原则：要把选取的指标当成一个整体来看，不能把每个指标分开，各个指标之间看似独立实则都有内在联系。 + +# 5.1.2 评价指标的确定 + +# 指标一：车流密度 + +是指一条车道在某一时刻单位长度上分布的车辆数，可以用它表示车辆分布的密集或分散程度，单位为 $p_{cu} / (h \cdot \ln)$ 。计算公式为： + +$$ +k = \frac {Q}{v} +$$ + +其中， $Q$ 表示车流量，单位是 $\mathsf{pcu}$ ， + +$\nu$ 表示平均车速，单位是 $km / h$ ， + +$k$ 表示平均车流密度。 + +以往的“封闭式小区”通常只有一个或两个门，进出小区的大多数是生活在此小区的户主及他们的各种交通工具。不同种类小区的地理位置分布有很大差异，比如：高档小区一般分布在依山傍水的城市郊区等环境比较好的地方；中档小区分布在各种环境均一般的地方；而低档小区分布在交通拥堵，环境较差的地方。 + +其中有一类小区会建在十字路口的不远处，当小区外面的主干路因为早晚高峰造成拥堵时，若小区内部能够提供道路，则会起到分流的作用。但一天内车辆的总量一般不会有很大变化的，这样就会使车流密度变小，一天24小时内的车流密度是不同的，即车流密度是时间 $t$ 的函数，一般情况下早晚高峰期车流密度较大，而平时期的车流密度较小。用车流密度研究小区开放对周围道路的影响可以通过以下方法来实现： + +Step1：以一个“封闭式小区”为例，统计出一天24小时内附近道路的平均车流密度，记录下来并以时间为横坐标做出时间变化曲线。 + +Step2: 再以一个和其位置相近的“开放式小区”为例，统计出和上一步相同的数据并做出时间变化曲线图。 + +Step3: 比较两幅时间变化曲线图, 可以从变化趋势来分析小区打开前后对周围道路的影响。 + +# 指标二：车流速度 + +是指车辆在单位时间内行驶的路程，可以用它来表示车流移动的快慢，单位是 $km / h$ 。计算公式为： + +$$ +V _ {0} = \frac {S}{T} +$$ + +其中， $V_{0}$ 表示车流速度， + +$S$ 表示路程，单位为 $km$ ， + +$T$ 表示单位时间，单位为 $h$ 。 + +小区没有打开之前，外面的行人和车辆只能从主干道通过。碰到早晚高峰加之红绿灯的阻隔，时常会伴随着严重的堵车情况，这时车流速度就会大大减弱，甚至为零。这种情况不仅会耽误人们的出行，而且一般人在短暂停车时为了方便不会选择熄火，这就会造成资源的浪费和环境的污染。 + +但小区打开之后，从 $A$ 到 $B$ 不仅可以从主干道走，还可以从小区内部的道路通过。道路数量变多，可供使用的面积变大，则就会在一定程度上缓解交通压力。原先要从主干道上经过的车会被分到小区内部道路上一部分，这样就会使各条道路上车的数量不至于太多，车辆行驶速度自然就会提高。用车流速度研究小区开放对周围道路的影响可以通过以下方法来实现： + +Step1: 以一个“封闭式小区”为例，统计出一段时间 $t$ 内的平均车流速度，做好记录。 + +Step2：再以一个和其环境相近的“开放小区”为例，统计出同样时间里小区内外车道平均车流速度，做好记录。 + +Step3：重复做3次以上实验，将3次的平均车流速度再去均值，比较开放与不开放小区的道路车流速度，通过数值的变化可以得到小区打开前后对周围道路的影响。 + +# 指标三：行程时间 + +是指通过一段固定位移所用的时间。即经过相同位移、不同路径所花费的时间。小区没有打开之前，外部车辆要穿过小区只能从主干道走，遇到阴雨天气或由于交通事故造成的交通阻塞时，车辆花费的等待时间会变长，相应的行程时间也会变长。小区打开后，若发生拥堵或特殊事件，车辆可以从小区内经过，这样就会减少不必要的等待时间，一定程度上缩短行程时间。 + +当没有遇到由于特殊情况造成的交通拥堵时，小区打开后会给人和车提供更多的道路资源，各个道路上的车辆数会比以前减少，在限速为 $40km/h$ 的情况下，车辆能够适当提高速度，相应的能够节省行程时间。 + +# 指标四：延误时间 + +是指指车辆在正常行驶时由于异常原因而耽误的时间。 + +小区开放会增加道路数量和道路面积，但通常为了安全考虑，会在新的交通路口增设红绿灯。小区内部若形成交叉的道路时，考虑到住户及行人的需要，红绿灯的时间通常不会设的太长，但这也会造成从此通过的人和车的时间延误。在小区周围，因为新道路的开通而在主干道上新增的红绿灯通常会起比较重要的作用，因此红绿灯的时间通常较长，这会较大程度的影响主干道上车辆的通行，造成较长的时间延误。 + +用车流速度研究小区开放对周围道路的影响可以通过以下方法来实现： + +Step1: 以一个“封闭式小区”为例，选取其旁边一段主干道为研究对象，统计10辆车在早高峰 $t$ 时间内因为红绿灯的原因所造成的时间延误。 + +Step2：在中午时间、晚高峰时期做同样的统计，记录数据。 + +Step3: 再以一个环境相近的“开放式小区”为例，选取其旁边新增红绿灯的一段路为例，做与前两部一样的统计调查，并记录数据。 + +Step4: 统计两段路延误的总时间，通过比较数值就可以得知小区打开前后对周围道路的影响。 + +# 指标五：道路饱和度 + +是指实际交通量与道路通行能力的比值，作为一个重要的参数可以用它来衡量道路服务水平的好坏。其计算公式为： + +$$ +D = \frac {V}{C} +$$ + +其中， $D$ 表示道路饱和度， + +$V$ 表示最大车流量，单位为 $p c u$ , + +$C$ 表示最大道路通行能力，单位也为 $pcu$ 。 + +道路服务水平一般划分为4级，随着级别的增大，服务水平越来越差。衡量道路服务水平的指标有很多，道路饱和度就是其中之一，通常该指标越大，道路服务水平越差。假设一条公路在一小时内本来应该通过1000量车，若此时道路饱和度为1.3，则实际上有1300辆车通过此公路。 + +小区开放后，内部新建若干条公路，交通道路资源量增大，每条干路上的车都会有所减少，而新建在小区内部道路上的车量数会增加，又因为它只是对干路起一个分流的作用，所以它的饱和度也不会很大。这样，整体分析来看，小区开通后其附近道路的饱和度会有所减少，相应地，道路服务水平会提高。 + +# 指标六：交叉路口阻塞率 + +这是一个百分比指标，可以用它表示造成周期性严重阻塞的交叉路口数量占所有交 + +叉路口的百分比。其计算公式为： + +$$ +p = \frac {m}{M} +$$ + +其中， $p$ 表示交叉路口阻塞率， + +$m$ 表示发生严重阻塞的交叉路口数量, + +$M$ 表示研究体系中所有交叉口数量。 + +“封闭式小区”开放后，就会在小区附近新开的路口处设立红绿灯，主干道上原本也是有红绿灯的，且主干道上的红绿灯因为承担调节交通流量的作用所以时间一般较长。红绿灯虽然在一定程度上可以起到减少道路上车辆混乱，降低交通事故发生率的作用。但在早晚高峰期，路上车辆过多时，它就会对车辆的通行有阻碍作用。用交叉路口阻塞率研究小区开放对周围道路的影响可以通过以下方法来实现： + +Step1: 以一个 “开放式小区” 周边道路为研究对象, 先选取早高峰期, 统计小区周围 4 条路上所有十字路口的交通阻塞情况, 以十字路口车辆等待数为指标统计数据, 并计算出交叉路口阻塞率。 + +Step2: 同样以一个“封闭式小区”周边道路为研究对象，选取早高峰期，统计出和上一步同类的数据并进行记录。 + +Step3：比较两者的交叉路口阻塞率就可以得出小区打开前后对周围道路的影响。 + +# 5.1.3 模糊综合评价体系模型的建立及求解 + +当事物间的区分不是很明确，如不确定一项政策的实施是否带来良好的效果，这时就可以根据模糊数学的思想，选取重要指标，建立一个模糊评价体系模型，再将现有数据带入计算，就可以根据计算结果得知此项政策实施前后带来的影响不同。 + +为了研究封闭小区开通后，对周围道路通行的影响，通过查找文献找到一个由“封闭式”逐渐变成“开放式”的小区，现对它进行研究。记该小区名称为 $G$ ，通过文献了解到，刚开始它为原始的封闭式小区，为了响应国家号召，率先在小区内修建一条普通公路，经过一定时间的观察，发现小区附近道路通行能力有所提高。引起当地政府重视后，决定对此小区进行进一步的研究，所以在3年时间内陆续修建了若干条道路，其中第二次增修了一条和原来平行的道路，第三次增修了一条和另两条垂直的道路，第四次在小区中心增修了一条环形路。 + +为了研究此项政策是否科学合理，有关负责人员在没增修之前和每次增修道路之后都选择了合适的地点进行了实地调查测量。其中和本题相关的6个指标的实地测量数据见表4。 + +表 1 各类小区不同指标的调查统计数值 + +
指标 +类型车流密度车流速度行程时间延误时间道路饱和度交叉路口阻塞率
封闭式 +小区58381485710
第一次 +增路50451195212
第二次 +增路42478125015
第三次 +增路454212154616
第四次 +增路474413104913
+ +# 1）隶属度函数的确定 + +隶属度函数有多种类型，应针对不同指标的特点对其进行隶属度函数种类的选取。针对此题选取的6个指标，可以用实际值与最大值的比例来建立隶属度函数，即 + +车流密度的隶属度函数为： + +$$ +\mu_ {1} (x) = \frac {x}{x _ {\max}} +$$ + +其余5个指标隶属度函数的建立与之类似。 + +根据表1中的数据和各个指标的隶属度函数，运用MATLAB软件编程后（见附录程序1)，得到一个模糊关系矩阵 $M_{ij}$ 。 + +# 2）确定各评价指标的权重 + +此处用较为客观的熵值赋权法来确定 6 个指标的权重，详细步骤如下： + +Step1: 对原有的模糊关系矩阵进行归一化处理得到新的模糊矩阵 $M_{ij}$ , 计算第 $i$ 个小区的第 $j$ 个指标的特征比重: + +$$ +q _ {i j} = \frac {m _ {i j}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} m _ {i j}} +$$ + +这里 $n$ 表示样本总量，即为5。 + +Step2: 计算第 $j$ 个指标的熵值 $f_{j}$ : + +$$ +f _ {j} = - \frac {1}{\ln 5} \sum_ {i = 1} ^ {5} q _ {i j} \ln q _ {i j} +$$ + +Step3: 计算第 $j$ 个指标差异系数 $d_{j}$ : + +$$ +d _ {j} = 1 - f _ {j} +$$ + +Step4: 计算第 $j$ 项指标权重系数 $\nu_{j}$ : + +$$ +v _ {j} = \frac {d _ {j}}{\sum_ {j = 1} ^ {6} d _ {j}} +$$ + +用 MATLAB 软件实现以上步骤，得到 6 个指标的权重系数为： + +$$ +v = (0. 0 9 3 2, 0. 0 3 8 1, 0. 2 4 8 8, 0. 3 8 2 7, 0. 0 3 8 3, 0. 1 9 8 9) +$$ + +用 6 个指标的权重系数点乘模糊评价矩阵 $M_{ij}$ , 得到最终评价为: + +$$ +B = v \cdot M _ {i j} ^ {\prime} = (0. 1 8 4 5, 0. 1 8 2 2, 0. 1 9 6 6, 0. 2 3 7 7, 0. 1 9 9 1) \tag {1} +$$ + +# 3）结果分析 + +从式1可以看出，小区内部增设道路情况不同会对其周边道路通行能力产生不同的影响，其中小区增加一条路时对周边道路通行能力产生的影响最小，其次是“封闭式小区”，而第三次增加道路，即在小区内修建两条平行道路和一条与之垂直的道路，小区通过这种方式被打开时，对周边道路通行能力的影响力最大。 + +# 5.2 问题二模型的建立与求解 + +# 模型I： + +# 5.2.1 模型准备 + +电路图是指用电路元件符号表示电路连接的图，是人们为研究实际电路而简化的一 + +种图形。通常的电路图中有电池、导线、开关、电阻、电容、用电器等元件，开关闭合时，电路联通，这时就有电流通过。通过思考可以发现，这种电路图也可以表示道路交通图：公路可以看成导线；车辆形成的车流看成电流；红绿灯看成开关，红灯时相当于电路断开，绿灯时相当于电路闭合。 + +# 5.2.2 模型建立与求解 + +# 1）车流量增多模型的建立 + +如图 2 所示, 导线相当于小区周围的主干路, $U_{0}$ 为电压, $C$ 是电容, 将联通的整个电路当成小区周围主干路的环境。现在要从 $A$ 行驶到 $B$ , 已知车流量的计算公式为: + +$$ +Q = v \cdot k +$$ + +而在电路中有公式： + +$$ +q = C \cdot U _ {0} +$$ + +其中 $q$ 为电流量。 + +可以将两个公式对比来看，车流量 $Q$ 相当于电流量 $q$ ，车流密度 $k$ 相当于与电压 $U_{0}$ 而车流速度 $\nu$ 相当于电容 $C$ 。这里假设各条路都可以被充分利用，即车流密度达到最合理的状态且保持不变。 + +当小区没有打开，中间没有可供外来车辆通过的道路时，如图2所示，从 $A$ 行驶到 $B$ 只能从小区周围的干路通过。在电路中，设电压不变为 $U$ ，电容为 $C_1$ ，电流量为 $q_1$ 那么有： + +$$ +q _ {1} = C _ {1} \times U +$$ + +类比考虑到道路上，从 $A$ 到 $B$ 只有一条道路可以通过，此时单位时间内通过的车辆数为： + +$$ +Q _ {1} = v _ {1} \cdot k _ {1} +$$ + +那么 $t$ 时间内通过的车辆总数为: $Q_{0} = t \cdot Q_{1}$ + +如图3所示，当小区被打开时，从小区内多了一条可以通过的路。因为车流密度保持不变，这时小区周围的主干路上车流量依然为 $Q$ ，而小区内的路相当于电路中的一条支路，有分流作用，车流密度保持不变的前提下，它的车流量为 $Q_{2} = v_{2} \cdot k$ 。那么 $t$ 时间内，从 $A$ 到 $B$ 的车辆总数就会有所增加，从原来的 $Q_{0}$ 增加到 $Q_{0}^{\prime}$ ，且 + +$$ +Q _ {0} ^ {\prime} = Q _ {1} + Q _ {2} +$$ + +# 2）行程时间减少模型的建立 + +从时间上看，若有 $Q_{0}$ 数量的车要从 $A$ 地驶往 $B$ 地，小区没有打开时，只有一条主干路可走，当车流量为 $Q_{1}$ 时，所用时间为： + +$$ +t = \frac {Q _ {0} ^ {\prime}}{Q _ {1}} +$$ + +若小区为开放式的，如图3所示，增加一条道路后，小区内的支路分担了干路上的车流量。各条路上能够通过的车流量不变，而在小区内增加一条道路就会增加整个道路的车流量，即车流量从 $Q_{1}$ 增加到 $Q_{1} + Q_{2}$ ，这里 $Q_{2}$ 为支路车流量。若此时有数量为 $Q_{0}^{\prime}$ 的车辆通过，则所用的时间为： + +$$ +t ^ {\prime} = \frac {Q _ {0} ^ {\prime}}{Q _ {1} + Q _ {2}} +$$ + +![](images/8cada2fbfcf1812d46ef9d9ebfc531d0d70134da878978b5376789d2077227d9.jpg) +图2“封闭式小区”近似电路图 + +![](images/0f26790c29c0dc64f95e905bc26e1ba3370a2f406ad25d626647bd92c58fe6dd.jpg) +图3“开放式小区”近似电路图 + +# 5.2.3 结果分析 + +1）通过以上分析可以看出，从车流量角度考虑时，小区从“封闭式”变为“开放式”，因为道路数量和道路面积的同时增加，整个道路的车流量就会增加。这样可以缓解小区周边道路的交通压力，让人们的出行更加方便快捷。 +2）从行程时间角度考虑，小区开放后，通过一定数量车辆所用的时间会缩短，这会提高交通效率，让人们浪费在出行上的时间变少，提高群众对道路交通的满意度，进而提高他们生活的幸福指数。 +3）小区内道路数量的增加也会提高附近路段的可达性，即从 $A$ 到 $B$ 可选择的途径增多，若主干道出现意外事故时，可以选择从小区内绕行通过而顺利到达目的地。 + +# 模型Ⅱ： + +# 5.2.4 模型思想 + +1）通行能力模型：指道路交叉口之间的路段上连续车流的最大允许通过量，单位 $pcu / s$ 。道路通行能力的研究大都围绕着车流流量、车流速度和车流密度3大交通流基本参数的关系进行，而在实际道路计算中，车流流量、车流速度和车流密度都有具体相应的细化计算。 + +2）0-1变量应用模型：其变量 $x_{j}$ 仅取值0或1，即： + +$$ +0 \leq x _ {j} \leq 1 \text {且} x _ {j} \text {取 整 数} +$$ + +用于实际问题中，对相互独立的变量进行累计运算。 + +# 5.2.5 模型建立 + +# 通行能力模型的建立： + +1） $T$ 字型交叉路口分析模型：考虑到国内大多数开放小区以 $T$ 字型交叉路口为例，而小区开放后也是以增加 $T$ 字型交叉路口数对周围主干道的通行能力产生影响。本文以图4为研究单元，建立后续各推理模型。 + +![](images/bafbceee90b2507a09f872abba5602db64b0706bb166bb5efc2abd6b33aa80ba.jpg) +图4开放小区以T字型交叉路口模型图 + +2）车流速度 $V$ 计算模型[2] + +定义：车辆通过路段某点时的瞬时速度，单位 $m / s$ ： + +$$ +V = \frac {l _ {1} - l _ {2}}{t _ {1} - t _ {2}} = \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac {\Delta l}{\Delta t} \tag {2} +$$ + +式中： $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 是分别为 $t_{1}$ 、 $t_{2}$ 时刻车辆所处位置点。 + +表2GB城市双车道公路设计速度[3] + +
公路等级2级3级4级
设计速度km/h402060308040
+ +3）车流密度 $K$ 计算模型 + +定义：车辆通过路段某点时截面车辆数，单位 $p c u / s$ ： + +$$ +K = \frac {m _ {0}}{l _ {1} - l _ {2}} = \lim _ {\Delta l \rightarrow 0} \frac {\Delta m}{\Delta l} \tag {3} +$$ + +式中： $m_0$ 为路段 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 两地点间的车辆数。 + +4）延误时间 $d$ 计算模型 + +定义：每车辆在经过交叉路口时的延误时间（平均值），单位 $s / pcu$ 。 + +延误一般由交叉路口车辆出入拥堵、信号灯和其它因素造成，具体表现为停车和堵车： + +$$ +d = d _ {1} \cdot \beta_ {0} + d _ {2} + d _ {3} \tag {4} +$$ + +式中： $d_{1}$ 为统一延误，单位 $s / pcu$ ， + +$\beta_{0}$ 为车流流量到达调整系数, 单位 $s / p c u$ , + +$d_{2}$ 为初始排队延误，单位 $s / pcu$ ， + +$d_{3}$ 为增量延误，单位 $s / pcu$ 。 + +5）道路饱和度 $S_{0}$ 计算模型 + +定义：每车道实际流量（服务水平）与该车道的通行能力的比值，单位 $p_{\text{cu}} / (h \cdot \ln)$ ： + +$$ +S _ {0} = \frac {V}{C} \tag {5} +$$ + +式中： $V$ 为特定车道服务水平， + +$C$ 为特定车道通行能力, 单位 $s / p c u$ 。 + +表 3 GB 城市道路一条车道的通行能力 + +
设计车流速度km/h2030405060
基本通行能力pcu/(km·h)14001600165017001800
设计通行能力pcu/(km·h)11001300130013501400
+ +表 4 GB 信号交叉口服务水平 + +
服务水平饱和度运行状况
A≤0.6通畅
B≤0.7稍有延误
C≤0.8较大延误
D≤0.9延误极限
E≤1.0拥挤
F无意义堵塞
+ +# 6）交叉路口阻塞率 $\lambda$ 计算模型 + +定义：周期性严重阻塞路口数量与交叉路口总数比值，单位%； + +$$ +\lambda = \frac {p}{q} \tag {6} +$$ + +式中： $p$ 为周期性严重阻塞路口数量， + +$q$ 为交叉路口总数。 + +# 7）直行车道设计通行能力计算模型 + +$$ +C _ {s} = \frac {3 6 0 0}{T _ {c}} \left(\frac {t _ {g} - t _ {0}}{t _ {i}} + 1\right) \delta_ {s} \tag {7} +$$ + +式中： $C_s$ 为单条直行车道的设计通行能力，单位 $\text{pcu/h}$ ， + +$T_{c}$ 为信号灯周期, 单位 $s$ , + +$t_{g}$ 为信号灯每周期内的绿灯时间, 单位 $s$ , + +$t_{0}$ 为绿灯亮后，第一辆车启动，通过停车线的时间，可采用 $2.3s$ ， + +$t_{i}$ 为直行或右行车辆通过停车线的平均时间, $s / p c u$ , + +$\delta_{s}$ 为折减系数，可采用0.9。 + +表 5 车道折减系数 + +
车道宽度b(m)3.53.2532.75
通行能力折减系数α车道1.000.940.850.77
+ +# 8） $C$ 方向进道口设计通行能力计算模型 + +$$ +C _ {s l} = C _ {s} \left(1 - \frac {\beta_ {1} ^ {\prime}}{2}\right) \tag {8} +$$ + +式中： $C_{sl}$ 为单条直左车道的设计通行能力，单位 $\mathrm{pcu} / \mathrm{h}$ ， + +$\beta_{1}^{\prime}$ 为直左车道中左转车所占比例。 + +9） $B$ 方向进道口设计通行能力计算模型 + +$$ +C _ {s r} = C _ {s} \text {(其 右 转 无 障 碍)} \tag {9} +$$ + +式中： $C_{sr}$ 为单条直右车道的设计通行能力，单位 $\mathrm{pcu} / \mathrm{h}$ 。 + +10）交叉口总通行能力 $C_{h}$ 计算模型（即周边道路通行能力） + +$$ +C _ {h} = C _ {s} + C _ {s l} + C _ {s r} = C _ {s} \left(3 - \beta_ {1} ^ {\prime}\right) = \frac {3 6 0 0 \delta_ {s}}{T _ {c}} \left(\frac {t _ {g} - t _ {0}}{t _ {i}} + 1\right) \left(3 - \beta_ {1} ^ {\prime}\right) \tag {10} +$$ + +把已知国标值带入后得： + +$$ +C _ {h} = \frac {3 2 4 0}{T _ {c}} \left(\frac {t _ {g} - 2 . 3}{t _ {i}} + 1\right) \left(3 - \beta_ {1} ^ {\prime}\right) \tag {11} +$$ + +式中: $T_{c}$ 为信号灯周期, 单位 $s$ , + +$t_{g}$ 为信号灯每周期内的绿灯时间，单位 $s$ ， + +$t_{i}$ 为直行或右行车辆通过停车线的平均时间, $s / p c u$ 。 + +式（7）～（10）是由式（2）～（6）整理化简而来。 + +图4中从 $C$ 流入主干道的部分通行能力自然考虑在 $B$ 、 $C$ 所处直行道上，而从 $B$ 、 $C$ 流入 $A$ 的部分通行能力原包含于 $B$ 、 $C$ 直行道内，故 $T$ 交叉口总的通行能力即为三者之和，即式（9）为开放小区对周边道路通行能力的影响。 + +# 0-1 变量应用模型的建立： + +1) $x_{i} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{小区第} i \text{个路口开放} \\ 0 & \text{小区第} i \text{个路口不开放} \end{array} \right.\quad i = 1,2,\dots,k$ + +式中： $i$ 为某特定小区开放交叉口数， + +$k$ 为有限未知值，因其取值的影响因素较多，此处不予讨论。 + +2）考虑到各交叉路口相互独立，则总的周边道路通行能力为： + +$$ +C _ {\text {总}} = \sum_ {i} ^ {k} x _ {i} C _ {z} +$$ + +# 多目标规划模型的建立： + +1）道路网 + +$$ +M = \left\{N, X \cup Y \right\} +$$ + +式中： $N$ 道路网络点集， + +$X$ 干路边集， + +$Y$ 支路边集。 + +$$ +Y _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text {不 开 通 该 支 路} \\ 1 & \text {开 通 该 支 路} \end{array} \quad (i = 1 \dots n) \right. +$$ + +$$ +l s = L s Y s = \left\{ \begin{array}{l} 0 \\ L s \end{array} \right. +$$ + +式中： $Ls$ 为 $s$ 段实际距离， + +$l_{S}$ 为 $s$ 段在道路网中的路长（开通为实际距离，不开通0）。 + +# 2）目标函数 + +$\bullet$ 交通效率最大化： + +每开通一条道路，单位时间内该路网可容纳的最大车辆数目增加 $s$ 段中的 $\rho_{s} v_{s}$ + +$$ +\max \sum_ {s \in Y} \rho_ {s} v _ {s} +$$ + +- 延误时间最小化： + +$$ +\min T = \min P \times \frac {0 . 5 t \left(1 - \frac {t _ {g}}{t}\right)}{1 - \left[ \min (1 , Q) \cdot \frac {t _ {g}}{t} \right]} +$$ + +$T$ 为总延误时间， $P$ 为平均通过的交叉口数， + +$$ +d _ {0} = \frac {0 . 5 t \left(1 - \frac {t _ {\mathrm {g}}}{t}\right)}{1 - \left[ \min (1 , Q) \cdot \frac {t _ {\mathrm {g}}}{t} \right]} \text {为 平 均 延 误 计 算 表 达 式} ^ {[ 4 ]} +$$ + +其中 $t$ 为信号周期长, $t_{g}$ 为有效绿灯时间, $Q$ 为饱和度 + +$\bullet$ 投资成本最小化： + +$$ +\min \sum_ {s \in Y} l (s) f +$$ + +$f$ 为单位长度支路的费用, 为改造程度即道路增加数的函数 + +3）约束条件 + +道路面积： + +$$ +\alpha_ {0} < \frac {l _ {s} d}{S _ {\text {总}}} < \alpha +$$ + +其中， $S_{Y} = l_{s}d$ + +$S_{Y}$ 为小区内支路的总面积， + +$S_{\text {总}}$ 为小区的总面积， + +$\alpha_{0}, \alpha$ 分别为《城市居住区规划设计规范》中规定道路面积占小区面积比的上下限此处分别取 0.1, 0.18 + +$l_{s}$ 为新增支路长度 + +$d$ 取《城市居住区规划设计规范》中规定道路宽度, 此处取 $8 \mathrm{~m}$ + +- 对主道路的分流能力 + +增加支路，能够减缓主干道交通压力，使主干道饱和度下降至可容水平以下 + +$$ +q (k) = \frac {V (k)}{C (k)} < Q (k) \quad k \in X +$$ + +式中： $q(k)$ 为主干道饱和度 + +$V$ 为流量 + +$C$ 为最大通行能力 + +$Q(k)$ 为主干道饱和度可容水平 + +- 保证支路顺畅 + +$$ +q (s) = \frac {V (s)}{C (s)} < Q (s) \quad s \in Y +$$ + +$q(s)$ ——支路饱和度 + +$Q(s)$ ——支路饱和度可容水平 + +- 为保证小区内部的道路网络的完整性与一体性，应对新增道路数目进行约束 + +即 $\sum_{i = 1}^{n}Y_{i} < n_{\mathrm{max}}$ + +式中： $n_{\mathrm{max}}$ 为道路数目上限 + +$$ +\begin{array}{l} \max \sum_ {s \in Y} \rho_ {s} v _ {s} \\ \min T = \min P \times \frac {0 . 5 t \left(1 - \frac {t _ {g}}{t}\right)}{1 - \left[ \min (1 , Q) . \frac {t _ {g}}{t} \right]} \\ \min \sum_ {s \in Y} l (s) f \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l l} \alpha_ {0} < \frac {l _ {s} d}{S _ {\text {总}}} < \alpha \\ q (k) = \frac {V (k)}{C (k)} < Q (k) & k \in X \\ q (s) = \frac {V (s)}{C (s)} < Q (s) & s \in Y \\ \sum_ {i = 1} ^ {n} Y _ {i} < n _ {\max } \\ Y _ {i} = 0 \text {或} 1 \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +--- (12) + +# 5.3 问题三模型的建立和求解 + +# 5.3.1 模型的思想 + +单变量分析模型：固定模型中其它变量不变，只改变其中一个变量大小，并且每个变量进行多类分析，进而观察模型的变化情况，。 + +# 5.3.2 模型的建立 + +# 1）模型准备 + +应用第二问建立的交叉口总通行能力 $C_{h}$ 计算模型: + +$$ +C _ {h} = \frac {3 2 4 0}{T _ {c}} \left(\frac {t _ {g} - 2 . 3}{t _ {i}} + 1\right) \left(3 - \beta_ {1} ^ {\prime}\right) \tag {13} +$$ + +$$ +x _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text {小 区 第} i \text {个 路 口 开 放} \\ 0 & \text {小 区 第} i \text {个 路 口 不 开 放} \end{array} \quad i = 1, 2, \dots , k \right. +$$ + +式中： $i$ 为某特定小区开放交叉口数， + +$k$ 为有限未知值，因其取值的影响因素较多，此处不予讨论。 + +考虑到各交叉路口相互独立，则总的周边道路通行能力为： + +$$ +C _ {\text {总}} = \sum_ {i} ^ {k} x _ {i} C _ {z} \tag {14} +$$ + +# 2）数据采集 + +由式（10）可知，交叉口总通行能力 $C_h$ 计算模型中与未知参数信号灯周期 $T_c$ 、信号灯每周期内的绿灯时间 $t_g$ 、直行或右行车辆通过停车线的平均时间 $t_i$ 以及直左车道中左转车所占比例 $\beta_1'$ 四者有关。 + +本文用不同类型的简易小区模型进行对道路通行能力影响的的研究。针对三种影响关系，本文列出9类小区模型（10幅图片，见图5~14）进行定量计算和对比分析。查阅相关道路法规和文献，并将每幅图片中相应参数设置如表5所示： + +表 5 参数设置 + +
参数 +小区类型Tctgtiβ1'
图570102.60.4
图675152.80.3
图7802030.2
图8特殊特殊特殊特殊
图9特殊特殊特殊特殊
图1075152.80.3
图11802030.2
图12902540.6
图1375152.80.3
图14802030.2
+ +注释: + +图8小区三面主干道是双行道，设有交通信号灯；一面主干道是单行道，没有交通信号灯。本文综合考虑直道、进出小区的单向性，故将图8的通行能力换算成同等条件下双行道的一半。 + +图9小区因主干道是单行道，无交通信号灯。本文综合考虑直道、进出小区的单向特性和所建模型，故将图8的通行能力换算成同等条件下双行道的一半。 + +# 3）单变量分析模型的建立与求解： + +本文以小区结构、周边道路结构和车流流量三方面为模型变量，以单变量分析法自建不同类型小区简化模型图进行研究，具体步骤如下： + +Step1: 考虑小区结构差异对周边道路通行能力的影响 + +![](images/e111fe4efc1f774865630857af66eb986737dd63ce98778221784d0e2f3196bd.jpg) +图5小区开放程度偏大 + +![](images/c9ae7ef7f28126ca1b65c3a2394527f051562dce6c2851e8afc1f6684a9936e0.jpg) +图6小区开放程度偏小 + +![](images/bb1fc80ef2c5a912372b278c94f95f8f4b1ce43aa7bfdc8a610d8b3d3b9935b0.jpg) +图7封闭型参考小区 + +![](images/f4b79f42ae064347168b3fcdba7a9bd0a9e425bae2e15275a8732d047d7c3015.jpg) +图8环形开放小区 + +图8环形开放小区，特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口开放小区；设有红绿信号灯，且个数较多；交叉口双口可进出。 +- 小区内部：开放程度较大，四条小区街道环形连接。 +- 小区外部：交叉路口为三个双车道主干道，一个单车道主干道；周围干道路段车流量平缓 + +图7是基本封闭型小区参考模型（国内大多数情况简例），特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口封闭小区；设有一个红绿信号灯；交叉口单口可进出。 +$\bullet$ 小区内部：不开放。 +- 小区外部：交叉路口为双车道主干道；周围干道路段车流量平缓。 + +图6小区内部开放程度较大，特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口开放小区；设有红绿信号灯，且个数较多；交叉口双口可进出。 +- 小区内部：开放程度较大，两条小区街道。 +- 小区外部：交叉路口为双车道主干道；周围干道路段车流量平缓。 + +图5小区内部开放程度较小，特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口开放小区；设有红绿信号灯，且个数较少；交叉口双 + +口可进出。 + +- 小区内部：开放程度较小，一条小区街道。 +- 小区外部：交叉路口为双车道主干道；周围干道路段车流量平缓。 + +图7、图6差异： + +$\spadesuit$ 图7是封闭小区，图6是开放小区。 + +图6、图5差异： + +$\spadesuit$ 图6开放程度偏小，图5开放程度大。 + +结合式（7）～（11）带入自建数据，运用 EXCEL 软件求得： + +图8模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{8} = 2737 \, \text{pcu/s}$ + +图 7 模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{7} = 1907 \mathrm{pcu} / \mathrm{s}$ + +图6模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{6} = 1292 \, \text{pcu/s}$ + +图5模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{5} = 782 \, \text{pcu/s}$ + +结论：由 $C_{5}< C_{6}< C_{7}< C_{8}$ 可知，相同条件下，小区开放对道路通行能力的具有增强性；且一定范围内，小区开放的程度越大，即小区内部分布越离散，其开放后对道路通行能力的增强性越大。 + +Step2：考虑周边道路结构差异对周边道路通行能力的影响 + +![](images/c1be8b111a91477d27f7f7a50610a4752ba76e2bd4fc7d3ce4fa01da65b6975a.jpg) +图9主干道为单车道 + +![](images/9375dd71bd442267baa084ca0d5eb46d3762492c6095ee045528093f3e7e3290.jpg) +图10 主干道为双车道 + +![](images/9b68ddabfcf49ca5980293f6f692c5ec837fa7b51cd832f6bfae141ef433cece.jpg) +图11封闭型参考小区 + +图11是基本封闭型小区参考模型（国内大多数情况简例），特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口封闭小区；设有一个红绿信号灯；交叉口单口可进出。 +- 小区内部：不开放。 +- 小区外部：交叉路口为双车道主干道；周围干道路段车流量平缓。 + +图10主干道为双车道，特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口开放小区；设有两个红绿信号灯；交叉口双口可进出。 +- 小区内部：开放程度较小，一条小区街道。 +- 小区外部：交叉路口为双车道主干道；周围干道路段车流量平缓。 + +图9主干道为单车道，特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口开放小区；无红绿信号；交叉口双口可进出。 +- 小区内部：开放程度较小，一条小区街道。 +- 小区外部：交叉路口为单车道主干道；周围干道路段车流量平缓。 + +图11、图10差异： + +$\spadesuit$ 图11是封闭小区，图10是开放小区。 +图10、图9差异： +$\spadesuit$ 图10双车道主干道，图9单车道主干道。 + +结合式（7）～（11）带入自建数据，运用 EXCEL 软件求得： + +图11模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{11} = 782\text{pcu} / s$ + +图 10 模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{10} = 1296 \mathrm{pcu} / \mathrm{s}$ + +图9 模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{9} = 391 \, \text{pcu} / \text{s}$ + +结论: 由 $C_{9}< C_{11}< C_{10}$ 可知, 相同条件下, 小区开放对道路通行能力的具有增强性; 一定范围内, 小区周边的道路网络越复杂 (如车道数多) 越多, 其小区开放后对道路通行能力的增强性越大。 + +Step3：考虑车流量差异（小区位置）对周边道路通行能力的影响 + +![](images/997e00507b0cafb1734c80aebcfc660d4166314daec5105e7bbf5f534113d2c1.jpg) +图12 车流量较大 + +![](images/8600fdd4899f05fd4fbb834785c60d44965236fa15b62787e5e8f2ed27e29f4f.jpg) +图13车流量平缓 + +![](images/2cca770eab83f4b84ec41135953754e6efec6a2d399108e79d9a5d85ca0d6d42.jpg) +图14封闭型参考小区 + +图14是基本封闭型小区参考模型（国内大多数情况简例），特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口封闭小区；设有一个红绿信号灯；交叉口单口可进出。 +$\bullet$ 小区内部：不开放。 +- 小区外部：交叉路口为双车道主干道；周围干道路段车流量平缓。 + +图13主干道车流量平缓，特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口开放小区；设有两个红绿信号灯；交叉口双口可进出。 +- 小区内部：开放程度较小，一条小区街道。 +- 小区外部：交叉路口为双车道主干道；周围干道路段车流量平缓。 + +图12主干道车流量较大，特点： + +- 交叉口情况：典型 $T$ 字型交叉口开放小区；设有两个红绿信号灯；交叉口双口可进出。 +- 小区内部：开放程度较小，一条小区街道。 +- 小区外部：交叉路口为单车道主干道；周围干道路段车流量较大。 + +图14、图13差异： + +$\spadesuit$ 图14是封闭小区，图13是开放小区。 + +图13、图12差异： + +$\spadesuit$ 图13主干道车流量平缓，图12主干道车流量较大。 + +结合式（7）～（11）带入自建数据，运用EXCEL软件求： + +图 14 模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{14} = 782 \mathrm{pcu} / \mathrm{s}$ + +图 13 模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{13} = 1296 \mathrm{pcu} / \mathrm{s}$ + +图12 模式小区对道路通行能力影响值为 $C_{12} = 1152 \, \text{pcu/s}$ + +结论：由 $C_{14} < C_{12} < C_{13}$ 可知，相同条件下，小区开放对道路通行能力的具有增强性；且相同条件下，周边道路的车流量越大（如所处位置差异），增强能力越小；但一定范围内，小区周边的道路网络越复杂（如车道数多）越多，其小区开放后对道路通行能力的增强性越大。 + +# 5.4 问题四模型的建立和求解 + +# 5.4.1 交通流模型的建立和求解 + +1）部分符号说明 + +表 6 部分符号说明 + +
序号符号符号说明
1\(v_{f}\)自由流车速
2\(k_{j}\)阻塞密度
3\(v_{m}\)最大交通流对应速度
4\(k_{m}\)最大交通流对应密度
5\(k\)车流密度
6\(v\)车流速度
7\(Q\)车流流量
+ +# 2）模型的准备： + +街道通行能力的研究大都围绕着车流流量、车流速度和车流密度3大交通流基本参数的关系进行，小区也不例外，为了定量分析小区里的交通结构、车流密度和车流速度，等的关系，本文采用网上调研的方法对本地某一小区进行了具体分析研究，并根据这些参数的关系给小区的开放提供部分合理化的建议。 + +首先建立 $v$ 和 $k$ 的基本关系模型，再根据 $Q = v \times k$ 这一基本关系将其转换成 $v$ 和 $Q$ 的关系模型，而这里的 $Q$ 近似等效小区街道通行能力。本文是根据摩托车所占小区车量比重 $m$ 和其对小区内 $v$ 、 $k$ 和 $Q$ 的影响来分析小区内“禁摩”措施的有效性。 + +# 3）数据的收集 + +本文借助百度卫星地图电脑工具，随机选取本地一较大开放规模小区点 $P$ 进行观测研究。由于在观测中，小区内电动车出现的次数极少，而小区内自行车、小轿车和摩托车等常用出行工具大量出现，故下文统计和分析单以此三种车型具体开展。 + +在该小区中心地段处选择长度 $L = 1km$ 的 $A$ 、 $B$ 街道路段作为“观测段”，从上午 $t_1 = 9:00$ 左右开始观测到该路段内车流密度比较均匀、车速比较稳定时，统计出其中车辆总数为 $N$ ，并记录其中自行车数为 $N_1$ 、小轿车数 $N_2$ 以及摩托车数目 $N_3$ 。同时观测 $t_1 = 9:00$ 时刻恰好通过 $A$ 点的车辆，追踪该车，待该车到达 $B$ 点后，记录此时时刻为 $t_2 = 9:04$ 。故在本次观测中车流速度： + +$$ +v = \frac {L}{t _ {2} - t _ {1}} \tag {15} +$$ + +测算的第一次 $v = 15km / h$ 。 + +因城区道路上交通成分各异，具有不同动力特性、外形尺寸和行驶行为的车辆混合行驶形成交通流，因此需要采用道路折算系数PEC将各种研究车型转化为相应的当量车辆数。依据1995年起实行的《城市道路交通规划设计规范》可知，城市道路以小客车为基本单位，自行车的折算系数为0.2，小轿车的折算系数为1，摩托车的折算系数为0.5，则有车流密度： + +$$ +k = \frac {0 . 2 N _ {1} + N _ {2} + 0 . 5 N _ {3}}{L} \tag {16} +$$ + +即测算的第一次 $k = 65.0 \, \text{pcu} / \text{km}$ 。 + +同理以每 $20\mathrm{min}$ 为时间间隔，重复以上观察步骤，共记录9组统计数据，用EXCEL处理式（15）（16）后见表7： + +表 7 小区街道内车辆观测统计数据 + +
观测次数自行车数量pcu小客车数量pcu摩托车数量pcu摩托车的数量比重m车流速度km/h车流密度pcu/km
101000.00011210.0
221910.0459725.5
322520.0698932.0
423330.0787140.5
533940.0875950.0
634050.1044551.5
734160.1203653.0
845080.1292266.0
944980.1311565.0
+ +# 4）模型的建立 + +建立Greenshields交通流模型[1]： + +$$ +v = v _ {f} \left(1 - \frac {k}{k _ {j}}\right) \tag {17} +$$ + +且已知 $v$ 求 $k$ 计算公式为： + +$$ +k = k _ {j} \left(1 - \frac {v}{v _ {f}}\right) \tag {18} +$$ + +则车流量 $Q$ 为: + +$$ +Q = k v = k _ {j} \left(v - \frac {v ^ {2}}{v _ {f}}\right) \tag {19} +$$ + +# 5）模型的求解 + +应用表7的统计数据，对（16）式采用线性回归模型进行分析，运用MATLAB[2]软件编程（见附录程序2），得到 $k - \nu$ 的关系，见图15： + +![](images/06dfe50e4e1a07d8cfe867f0cd159b86e61379e06a0e5be6eb1ae0fdce06af3a.jpg) +图15 $k - \nu$ 关系图 + +分析图15可知，小区内街道的 $k - v$ 成负线性相关。 + +对比式（18）可得，图15拟合直线斜率： + +$$ +\frac {v _ {f}}{k _ {j}} = - 0. 5 3 +$$ + +截距等于阻塞密度： + +$$ +k _ {j} = 7 6. 0 2 p c u / k m +$$ + +故得该小区街道内的自由流车速： + +$$ +v _ {f} = \frac {k _ {j}}{0 . 5 3} = 1 4 3. 4 3 k m / h +$$ + +再结合式（19）计算出车流流量的公式： + +$$ +Q = 7 6. 0 2 v - 0. 5 3 v ^ {2} \tag {20} +$$ + +根据式（20）运用MATLAB软件（见附录程序3）画出 $Q$ 与 $\nu$ 的关系图，见图16： + +![](images/71850849b637c4f9109004c639f745fd97154a48fc6966c5f0793e1632b9a039.jpg) +图16 $Q - v$ 关系图 + +由图16可知，随着 $\nu$ 的增大， $Q$ 先增大后减少。 + +当 $v = 73km / h$ 时，有最大值 $Q = 2726pcu / h$ 。 + +为研究 $m$ （为明显显示走向，故将 $m$ 扩大100倍）、 $\nu$ 和 $k$ 的关系，运用EXCEL软件画出9组数据中的三者散点图，见图17： + +![](images/3d99e960ae06365ab526a2ad5bcb460b2b4648294db1221f96b4842c717148c6.jpg) +图17 $m$ 、 $\nu$ 和 $k$ 散点图 + +由图17可知， $m$ 越小， $\nu$ 越大， $k$ 随之减小，即小区内街道的通行能力越强，这也说明了开放小区内“禁摩”的措施的重要性。 + +为了更直接地体现 $Q - m$ 的关系，本文以 $Q - v$ 关系和 $v - m$ 关系为桥梁，通过建立 $Q - m$ 关系来说明“禁摩”措施对 $Q$ ，即小区内街道通行能力的影响。 + +首先利用表7数据，运用MATLAB软件（见附录程序4）根据多项式拟合模型画出 $v - m$ 关系图，见图18： + +![](images/895c1f46db7f1f263d155b2b07992bae4dbd3578d09347a6cb77147f0c27b030.jpg) +图18 $v - m$ 关系图 + +由图18解得： + +$$ +v = - 4 1 9 2 m ^ {2} - 1 7 9. 8 m + 1 1 2. 9 \tag {21} +$$ + +结合（20）（21）两式，求得 $Q - m$ 关系式： + +$$ +Q = 7 6. 0 2 \left(- 4 1 9 2 m ^ {2} - 1 7 9. 8 m + 1 1 2. 9\right) - 0. 5 3 \left(- 4 1 9 2 m ^ {2} - 1 7 9. 8 m + 1 1 2. 9\right) ^ {2} \tag {22} +$$ + +根据式（22）运用MATLAB软件（见附录程序5）画出 $Q - m$ 关系图，见图19： + +![](images/2823873678010988f0fb47a1f37c35406a12b9016a0cddcf78ac7f3d166a4fc1.jpg) +图19 $Q - m$ 关系图 + +由图19可以明显地看出，当 $m$ 越大时， $Q$ 越小；反之， $Q$ 越大，即小区内街道通行能力越强，所以充分体现出“禁摩”措施对小区内街道通行能力提高的具有显著性；加之摩托车行驶噪声较大、安全系数低，故建议交通管理部门对开放小区内实行“禁摩”措施。 + +# 5.4.2 合理化建议 + +人们对小区开放仍然存在很多顾虑，一项政策的实行需要经过不断地探索和一步步地改进，“开放式小区”在一定程度上对城市道路交通体系有所改善。但在试行初期它难免也会存在一些弊端，为了让“开放式小区”的政策更加完善、给人们提供更多的便利同时得到更多人的认可，向有关部门提出改善它的合理化建议变得十分重要。 + +# 1）对城市规划部门的合理化建议 + +城市规划部门一般指城市规划局，其工作内容包括对城市的区域规划及城市建设布局并根据建设需要提出实施规划的措施和步骤等。因此小区在进行“开放化”改革时，城市规划部门发挥着重要作用。 + +- 在考虑城市总体规划时，可充分考虑并利用小区内部的道路进行交通流量的分担，考虑小区开放对周边道路通行能力的影响，要结合小区的内部结构，周边道路的结构等诸多因素进行综合评价，确定如何布局的小区适合开放，确定小区的开放形式，以合理的方式来取得最大的效益。 + +- 小区在实行逐步开放时，不仅仅只孤立的考虑一个或几个小区的开放，应综合考虑周边甚至整个城市适合的小区的开放情况。若只有几个小区孤立的实行开放，而其它大多数小区还是封闭的，则城市的“毛细血管”间仍处于堵塞状态，交通通行能力可能不能得到显著提高，这样实行小区开放政策的效果可能不尽理想，甚至耗时耗力劳民伤财。 + +- 城市内大多数小区是封闭的，若要将它们一次性打开是有一定难度的。首先，大多数居民认为“封闭式小区”能够给他们提供一种“家的归属感”，所以在拆除围墙时，要想取得小区内所有住户的同意会是一个很大个难题。城市规划部门应采取一定的措施鼓励居民积极响应号召，如：可以通过替小区居民上缴一定的物业费、免费给小区内加大绿化面积等措施来提高居民响应的积极性。 + +- 为了让“开放式小区”深入城市，让整个城市的道路通行能力得到显著增强，城市规划部门还应规定以后新建的小区必须都为开放式的，不再允许“封闭式小区”的建立。若有违反规定者，则必重罚其中的责任人，并勒令让其尽快拆除围墙或栏杆。 + +- 小区开放后，其内部供外面行人和车辆使用的道路会增多，小区内相应的另一些面积就会减少，比如新增道路可能占用原有的绿化面积、占用原先的停车位，甚至还可能导致拆除供居民日常娱乐的小广场等，这很可能会引起居民的强烈不满。因此，道路规划部门应尽量补偿居民的这些损失，可以通过一系列措施如：在小区剩余绿地内适当多植树、在小区内合理利用道路面积设立停车位、在小区周围建立小广场等来对居民进行补偿。 + +# 2）对交通管理部门的合理化建议 + +交通管理部门分为两条线管理：一条是管理机动车的部门，如交通管理局和下属的交通支队；另一条是管理路政及公路维修的部门，如交通局和公路局。小区实行开放时需要规划决定应在内部建立几条道路、是否增设红绿灯等一系列问题，这些问题的解决需要具体的考虑小区内部结构，周边道路结构等因素，同时要着重考虑到小区开放对周边道路通行能力的影响。因此交通管理部门做出正确决策是保证小区开放给居民生活带来便利的前提。 + +- 公路局在进行小区内部道路修建时，要综合考虑多方面的因素。首先，设计道路的宽度要较好的适合小区内部的实际情况，合理的应用土地面积；其次，设计的道路布局要尽量合理并规则，不要有太多角度太大的转弯，防止车辆因行驶速度过快时造成交通事故；最后，道路一定要严格控制声音的分贝，防止车辆噪声太大对居民正常作息造成影响。 + +- 红绿灯的增设对道路通行起着重要的作用，应该合理设置红绿灯交替的时间，既保证 + +出行安全又能考虑保持通行能力，这样才能体现出“开放式小区”的建立对道路通行有所改善。如公路局人员可以通过实地测量，用统计的方法采集数据经过精确计算来确定红绿灯的合适时间。 + +- 合理的控制进出小区的车辆类型比例，以确保小区内部的道路通行能力并保证安全性，如本文的禁摩措施，在控制进入的摩托车数量后，能够明显提高小区内道路通行能力，并且在安全状况与噪声污染方面都能有明显改善 +- 在进行小区内部道路设计前，要制定出合理方案，确定具体修建几条路能够最大程度地缓解小区附近交通压力，同时还兼顾考虑了道路方向的影响。 + +# 六、模型的评价与推广 + +# 6.1 模型的优点 + +1）问题一在合理选取评价指标后建立模糊综合评价模型，对6个指标进行综合分析，为避免主观评价对真实情况的影响，本文利用熵权法和隶属度相关知识，科学合理的确定了各评价指标的权重系数，使得整个评价模型的建立较为合理、准确。 +2）问题二首先建立物理模型，整体上通达地讲述了开放小区支路后道路总的通行能力增加、拥塞问题相对减少和可达性的提高；其次以评价指标为依据，建立理论递推模型，精确地计算出小区开放前后周边道路的通行能力；最后建立多目标规划模型，意在对道路网络和小区的开放结构提出优化建议，整体模型思路清晰具有条理性。 +3）问题三建立了单变量分析模型，以题目所给三大方面影响因素为研究方向，以控制变量为前提，并对各方面因素再次细分，研究不同类型的小区开放前后对其周边道路通行能力的影响，使得层次分明。 +4）问题四在提出建议之前首先建立了交通流模型，将网络调研与统计分析相结合，以本地特定小区内部交通结构等因素进行研究测评，侧面反映出开放小区内部道路通行能力的关系和现状，是本文的一大亮点；以实际分析结果强烈建议小区内部实行“禁摩”和绿色出行的措施；最后结合本文之前模型和评价指标对城市规划和交通管理部门提出推进小区开放化的合理建议。 + +# 6.2 模型的缺点 + +1）因小区开放政策正在实行，模型中所采用的文献、参考数据与实际具有一定的差异。 +2）问题二中理论递推模型没有考虑极复杂的专用转向车道等问题，有待进一步完善。 +3）问题三中单变量分析模型没有考虑到全部类型的小区在开放前后的性能差异，有待进一步探究。 + +# 6.3 模型的推广 + +本文中的多种模型尤其是多目标规划，还可推广到其他城市规划和交通管制的政策实施问题上；模糊评价和熵权法的有效结合亦可应用于其他指标评价体系上，以相对减少个人主观因素对评价体系的影响。 + +# 参考文献 + +[1] 司守奎,孙玺菁,数学建模算法与应用,北京:国防工业出版社,2008. +[2] 张亚平,道路通行能力理论,哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2007. +[3] 李向朋,城市交通拥堵对策-封闭型小区交通开放研究,长沙理工大学硕士论文,2014. +[4]茹红蕾,邵敏华等,城市道路等效通行能力的交通流模型选择,2007,25(2):18-22 +[5] 贺超英,王少喻, MATLAB 应用与实验教程,北京:电子工业出版社,2013. +[6] 史峰,王英姿等,城市交通微循环网络设计优化模型,同济大学学报,39(12):79-99,2011. +[7] 罗霞,刘澜等,交通管理及控制,北京:人民交通出版社,2008. + +[8] 詹斌,蔡瑞东,胡远程,曹梦鑫,基于城市道路网络脆弱性的小区开放策略研究,技术与方法,35(7):98-103,2016. +[9] 杨晓光, 赵靖, 郁晓菲, 考虑进出交通影响的路段通行能力计算方法, 中国公路学报, 22(5):84-91, 2009. + +# 附录 + +程序 $1 \%$ 熵权值求权重 +clc +clear + $\mathrm{A} = \begin{bmatrix} 58 & 38 & 14 & 8 & 57 & 10 \end{bmatrix}$ +50 45 11 9 52 12 +42 47 8 12 50 15 +45 42 12 15 46 16 +47 44 13 10 49 13]; +[m,n]=size(A); +h =max(A);%最大值 +H=repmat(h,m,1); +Mij=A./H;%隶属度 +A2=sum(Mij); +A22=repmat(A2,m,1); +Qij=Mij./A22;%归一化 +Fj=-1/log(5)*Qij.*log(Qij); +fj=sum(Fj);%熵值 +dj=1-fj;%差异系数 +v=dj/sum(dj);%权重系数 +B=Qij*v';%最终评价 +disp(B)%显示结果 + +程序 $2 \%$ 车流密度k-车流速度 $\mathbf{V}$ 关系图 +clc +clear +syms t +x=[15 22 36 45 59 71 89 97 112]'; +y=[65.0 66.0 53.0 51.5 50.0 40.5 32.0 25.5 10.0]'; +f=fittype('a*t+b','independent','t','coefficients',{'a','b'})); +cfun=fit(x,y,f)%显示拟合函数，系数 +xi=0:1:120; +yi=cfun(xi); +plot(x,y,'r*',xi, yi,'b-'); +set(gcf,'color',[1 1 1]); +grid on; +gtext('k=-0.53v+76.02'); +title('车流密度k--车流速度 $\mathbf{V}$ 关系图') +xlabel('车流速度km/h'); +ylabel('车流密度pcu/km'); + +程序 $3 \%$ 车流流量Q-车流速度 $\mathbf{v}$ 关系图clcclear + +$\mathrm{v = 0:1:120}$ $Q = 76.02^{*}v - 0.53^{*}v.^{2};\%$ 健康减肥快加我的 + $[Q0,v0] = \min (-Q)$ $Q0 = -Q0$ +plot(v,Q,v0,Q0,'r*) +set(gcf,'color',[111]); +grid on; +gtext('车流流量最大点(73,2726)'); +gtext('Q=76.02*v-0.53*v^2'); +title('车流流量Q--车流速度v关系图') +xlabel('车流速度km/h'); +ylabel('车流流量pcu/h'); + +程序 $4 \%$ 车流速度 $\mathrm{v}$ -摩托车比重 $\mathfrak{m}$ 关系图 +clc +clear +syms t + $\mathrm{x} = [0.131,0.129,0.12,0.104,0.087,0.078,0.069,0.045,0]^{\prime}$ +y=[15,22,36,45,59,71,89,97,112]'; +f=fittype('a*(t*t)+b*t+c','independent','t','coefficients',{'a','b','c'})); +cfun=fit(x,y,f)%显示拟合函数，系数 +xi=0:0.005:0.15; +yi=cfun(xi); +plot(x,y,'r'*',xi,yi,'b-'); +set(gcf,'color',[1 1 1]); +grid on; +title('车流速度 $\mathbf{V}$ -摩托车比重 $\mathfrak{m}$ 关系图') +xlabel('摩托车数量比重'); +ylabel('车流速度km/h'); + +程序 $5 \%$ 车流流量Q-摩托车比重 $\mathrm{m}$ 关系图clcclear $\mathrm{m = 0:0.005:0.3};$ $\mathrm{Q = 76.02.*(-4192*m*m - 179.8*m + 112.9) - 0.3}$ m.\*m-179.8.\*m+112.9);plot(m,Q,'r*');set(gcf,'color',[111]);grid on;title('车流流量Q--摩托车比重 $\mathfrak{m}$ 关系图')xlabel('摩托车数量比重');ylabel('车流流量pcu/h'); \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/B294/B294.md b/MCM_CN/2016/B294/B294.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1ebdf0ad725b9be628700f37a68a5d82ebe80199 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/B294/B294.md @@ -0,0 +1,1262 @@ +# 小区开放对道路通行的影响 + +摘要随着城市规划建设的不断发展以及道路车流量增加，车辆通行能力越来越受到人们的关注，因而封闭型住宅小区和开放式住宅小区成为人们讨论的焦点。本文重点考虑了小区开放对其周边道路通行的影响，建立了合适的、完整的、系统的的影响评价模型，对其产生的影响进行合理评价，从而针对不同类型的小区给出小区开放与否的合理化建议。 + +首先，我们选取小区开放对周边道路通行产生的影响因素，运用聚类分析法将各个影响因素归为3个较为系统的评价指标中，即道路通行能力、安全性和便捷度。再利用层次分析法选出起相对关键作用的影响因素，最终得出：道路通行能力由车道数、拥堵系数、路旁干扰系数、区内支路饱和度决定，安全性由交叉路口个数所决定，便捷度由可达度所决定。据此，我们建立了一套合适的评价指标体系。 + +其次，根据上述指标体系，我们分别对道路通行能力、安全性和便捷度建立相关模型分析影响。对于道路通行能力，基于元胞自动机模型以及NS模型，我们分析得出车辆密度与车辆平均速度的之间的关系，再通过对比得出开放前后小区周边道路“交通流”的变化，进而反映出对道路通行能力的影响程度。对于安全性，我们建立了交叉口车辆通行模型，定义潜在危险度，从而定量分析小区开放对安全性的影响。对于便捷度，我们定义可达度（小区及周边范围内从小区一端到达小区另一端的支路之和与最短路径之和的比值）来反映便捷度的变化。其中最短路径通过建立最短路模型，运用Dijkstra算法求得。接下来，我们建立模糊综合评判模型，取定因素集为以上3个评价指标，再取定评语级，然后通过判断因素集对周边道路通行产生的影响大小来给定权值，最终分析计算得出影响程度。 + +接下来，我们随机选取五个具有不同特点的小区，根据上述模型得出的结果，将小区分为三种类型：适合开放的小区，不适合开放的小区，开放与否对道路通行影响不大的小区。然后我们根据这三种类型小区和周边道路的结构特点，向城市规划和交通管理部门提出有效、合理的建议。 + +然后，在模型的分析检验中，我们通过实际案例和运用交通仿真模拟软件VISSIM模拟交通系统，来给出模型可靠性的依据。 + +最后，在模型的评估与优化中，我们对所用模型进行了合理性评估，对其缺点部分进行改进。其中，我们建立了对聚类分析法中权重确定方法进行了改进，运用“九分位法”使得权重的确定更为科学可靠；建立了结合主成分分析法的层次分析法模型；同时也对模糊综合评判模型进行了因素集、评语集以及权重确定方法的改进。 + +关键词 聚类分析法 层次分析法 元胞自动机 NS 模型 Dijkstra 算法 模糊综合评判 + +# 一 问题的重述 + +# 1.1 问题背景 + +从古至今，人们在住宅问题上一致采取封闭式住宅，可以隔绝外界一切纷扰，保护自己的隐私，让人更有安全感。四合院、故宫无不是封闭式。似乎，封闭式住宅更加符合传统，也更加迎合大部分人的意愿。 + +然而，随着经济和科技的不断发展，在交通工具激增的今天，过大的封闭式住宅也给交通带来了巨大的压力。封闭式住宅具有排他性，不允许外界车辆进出，这就导致外界车辆不得不在住宅外采取迂回的方式行驶，大大增加了道路压力。在道路消化能力一定的条件下，势必会造成交通拥挤，影响道路通行能力。 + +在这样的背景下，不少人提出“开放式住宅”的设想，将住宅小区的道路合并到周围的路网结构中，路网密度提高，交通问题自然有所缓解。然而，真的会像分析的一样吗？撇开小区的安保问题不说，单单是住宅开放对周边道路的影响就受很多因素的影响，比如小区的面积、位置、外部及内部道路状况等等，并不能一概而论。 + +小区开放对道路通行带来的影响，成为一个棘手的问题，困扰着无数城市规划和交通管理部门人员。 + +# 1.2 问题重述 + +国务院规定在原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步开放。那么开放小区能否达到优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况的目的，以及改善效果如何。城市规划和交通管理部门希望你们建立数学模型，就小区开放对周边道路通行的影响进行研究，为科学决策提供定量依据，为此请你们尝试解决以下问题： + +1、请选取合适的评价指标体系，用以评价小区开放对周边道路通行的影响。 +2、请建立关于车辆通行的数学模型，用以研究小区开放对周边道路通行的影响。 +3、小区开放产生的效果，可能会与小区结构及周边道路结构、车流量有关。请选取或构建不同类型的小区，应用你们建立的模型，定量比较各类型小区开放前后对道路通行的影响。 +4、根据你们的研究结果，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门提出你们关于小区开放的合理化建议。 + +# 二 问题分析 + +# 2.1 对问题一的分析 + +由于题目中没有数据的支持，而且用以评价小区开放对周边道路通行的影响指标因素过多，我们考虑到应用聚类分析法和层次分析法来对各项指标进行决策。 + +首先我们利用聚类分析法将单个指标因素按照关联度和相似度分为互不影响的三大类：一是影响主路通行能力[1]的因素，包括车道数，道路面积率，拥堵系数，路旁干扰系数以及区内支路饱和度[2]；二是影响安全性的因素，包括交叉路口个数以及车辆种类；三是影响便捷度的因素，包括可达度[3]和抗堵塞能力。由此，我们列出了三个评价指标中的9个影响因素。 + +其次考虑到影响因素过多且有些次要因素对主路通行能力影响不大，因此我们用层次分析法来进行对影响因素的决策。在构造出评价矩阵之后，判断其一致性，最终得出适合评价小区开放对周边道路通行的影响的三个评价指标以及影响指标的6个因素，即车道数、拥堵系数、路旁干扰系数、区内支路饱和度、交叉口个数以及可达度。 + +确立评价指标之后，进行评价体系的建立，其中小区对周边道路总影响由其对通 + +行能力的影响，对安全性的影响以及对便捷度的影响共同决定。 + +# 2.2 对问题二的分析 + +我们利用问题一的评价指标体系，将主路通行能力、安全性和便捷度作为评价指标，将影响各个指标的因素作为对车辆通行的总影响。我们先依次通过构建模型来分析这三个指标的变化，最后利用模糊综合评判模型进行影响程度的判定。 + +首先，对于道路交通能力的影响，我们知道，车道数、拥堵系数，路旁干扰系数、区内支路饱和度这四个因素都是直接影响车辆密度和车辆平均速度，进而间接影响道路通行能力。因此，我们将能够准确体现车辆密度和平均速度的“交通流”作为道路通行能力的主要描述参数。进而，我们结合元胞自动机模型[4]，给出NS规则[5]下车辆密度和车辆平均速度，并据此求出车辆密度与车辆平均速度之间的关系图，以此来分析车辆通行情况。我们考虑到，小区开放与否会改变模型中的初始参数，进而影响车辆密度和车辆平均速度。据此，我们对初始参数进行改动，通过对比，便可以得出小区开放对周围道路交通流的影响。 + +其次，对于安全性的影响，我们知道交叉路口是导致车祸等事故的多发地带，在小区开放前后，交叉口个数增多，因而会导致安全性有所降低。我们通过研究交叉路口的个数变化，建立交叉口车辆通行模型，定义潜在危险度[6]，定量分析小区开放对安全性的影响。 + +接下来，对于便捷度的影响，我们通过可达度来体现便捷程度。我们通过建立最短路模型求出从小区一端到达小区另一端的最短路径之和，进而得到可达度，定量分析可达度的大小，得出小区开放对便捷度的影响。 + +最后，我们建立模糊综合评判模型，对车辆通行能力、安全性和便捷度三个因素集建立了关于车辆通行的数学模型，将小区的结构、面积、各支路情况以及周边路况作为输入参数，即可得到小区开放对道路通行能力、安全性和便捷度的影响。 + +# 2.3 对问题三的分析 + +由问题二建立的模型，我们结合实例对第三问进行分析。在这一问中，我们选取五个具有代表性的小区示意图，运用第二问的模型，将行车速度、小区车道数、道路面积率、拥堵系数以及区内支路饱和度作为输入参数，综合分析各个参数之间的联系和各个参数对车辆通行的影响，从而得到不同结构、不同周边道路结构、不同车流量的小区开放对车辆通行的影响。 + +# 2.4对问题四的分析 + +通过对问题二、三的研究和对小区实例的分析，我们从中分析总结小区开放与否的相关规律，然后结合分析小区结构及周边道路结构、车流量等因素，通过车辆通行能力、安全性以及便捷度等角度向城市规划和交通管理部门提出关于小区开放与否的合理化建议。 + +# 三 模型假设 + +1）假设最短车头间距在安全距离之外； +2）假设每个路口都安装红绿灯； +3）假设交叉路口是十字路口或丁字路口； +4）假设车辆行驶不受对向车流的影响； +5）假设车祸只发生在交叉口，其他路段事故发生率可忽略不计； +6）本文只考虑小型车辆。 + +# 四符号说明 + +
符号说明
M目标层
C准则层
P方案层
λmax最大特征值
ω权重
Q日交通量
v车辆平均速度
ρ车辆密度
x车辆位置
α路旁干扰系数
CD设计通行能力
γ侧向净宽修正系数
+ +这里只列出论文各部分通用符号，个别模型单独使用的符号在首次引用时会进行说明。 + +# 五 模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一合适评价指标的选取 + +# 5.1.1 聚类分析法[7]在影响因素归类中的应用 + +R型聚类法可以研究变量之间的相似关系，按照变量之间的相互关系把各个变量聚合成若干类，从而可以方便地找出影响体系的主要因素。 + +1）首先我们用变量相似性度量。在对变量进行聚类分析时，第一步就是确定变量的相似性度量，本文中，采取的相似性度量为相关系数，具体方法如下： + +记变量 $x_{j}$ 的取值 $(x_{1j}, x_{2j}, \dots, x_{219j})^{T} \in R^{n}(j = 1, 2, \dots, 11)$ 。则可以用两变量 $x_{j}$ 与 $x_{k}$ 的样本相关系数作为它们的相似性度量，为 + +$$ +r _ {j k} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i j} - \overline {{x _ {j}}}\right) \left(x _ {i k} - \overline {{x _ {k}}}\right)}{\left[ \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i j} - \overline {{x _ {j}}}\right) ^ {2} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i k} - \overline {{x _ {k}}}\right) ^ {2} \right] ^ {\frac {1}{2}}} +$$ + +2）其次我们用变量聚类法将以上影响因素分类。在本文中，采取最长距离法解决变量聚类问题，具体过程如下： + +在最长距离法中，定义两类变量的距离为 + +$$ +R \left(G _ {1}, G _ {2}\right) = \max _ {x _ {j} \in G _ {1}, x \in_ {k} \in G _ {2}} \left\{d _ {j k} \right\}, +$$ + +其中， $d_{jk} = 1 - \left|r_{jk}\right|$ 或 $d_{jk}^2 = 1 - r_{jk}^2$ ，此时， $\mathrm{R}(\mathrm{G}_1, \mathrm{G}_2)$ 与两类中相似性最小的两变量间的相似性度量值有关。 + +我们将各影响因素之间的关联系数矩阵作为输入参数，经过聚类分析将相关程度比较大的影响因素作为输出。从而得到三类评价指标下的影响因素。一是影响主路通行能力的因素，包括车道数，道路面积率，拥堵系数，路旁干扰系数以及区内支路饱 + +和度；二是影响安全性的因素，包括交叉路口个数以及车辆种类；三是影响便捷度的因素，包括可达度和抗堵塞能力。 + +# 5.1.2 层次分析法构建评价体系 + +# 1）建立层次结构模型。 + +将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层 M，即选择最合适的评价开放小区对周边道路通行的影响的关键指标；最下层为方案层，即九个影响因素 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8，P9；中间层为准则层，包括通行能力 C1、安全性 C2、便捷度 C3 三个指标（如图 1 所示）： + +![](images/6bc89347147a324376b80544b1fb7381dc69af6e20e7183aa11e19e1878608ae.jpg) +图1层次分析图示 + +# 2）模型求解。 + +①构造判断矩阵M-C：将基准层C中三个元素C1，C2，C3两两比较，得成对比较矩阵。 + +
MC1C2C3
C11.00003.00004.0000
C20.33331.00002.0000
C30.25000.50001.0000
+ +求解 $M - C$ 的特征值，易解得 $\lambda_{\mathrm{max}} = 3.0184$ ，且权重向量 $\omega_{\mathrm{i}} = (0.6250,0.2385,0.1365)^T$ 由公式 $CI = \frac{\chi_{\mathrm{max}} - n}{n - 1}$ ，于是根据 $CR = \frac{CI}{RI}$ 计算得到 $CR = 0.0176 < 0.1$ ，通过了一致性检验。 + +表 1 比较矩阵 + +
n234567891011
RI00.580.901.121.241.321.411.451.491.51
+ +表 2 n 与 RI 的关系 + +(2)构造判断矩阵 $C1 - P$ 、 $C2 - P$ 及 $C3 - P$ 。 + +
C2P1P2P3P4P5
P11.00000.50000.50000.40000.6000
P22.00001.00002.00001.00000.2534
P32.00000.50001.00002.00000.2550
P42.50001.00000.50001.00003.0000
P51.66671.00000.50000.33331.0000
+ +表 3 C1-P 判断矩阵 + +
C3P8P9
P61.00003.0000
P70.33331.0000
+ +表 4 C2-P 判断矩阵 + +
C4P10P11
P81.00005.0000
P90.20001.0000
+ +3)分层排序与总排序一致性检验。 + +将由上述的三个判断矩阵计算出的权重向量，最大特征值 $\lambda_{i}$ 和一致性指标 $CR_{j}$ 列入表中。 + +表 5 C3-P 判断矩阵 + +
层次C +层次PC1
q1
P10.1010
P20.2534
P30.2550
P40.2455
P50.1450
λi5.3515
CRj0.0785
+ +
层次C +层次PC2
q2
P60.7500
P70.2500
λi2.0000
CRj0.0000
+ +
层次C +层次PC3
q3
P80.8333
P90.1667
λi2.0000
CRj0.0000
+ +表 6 选择最合理的评判停车位分布关键指标的计算结果 + +从表 6 中 $C R_{j}$ 的值可以看出, 矩阵 C1-P、C2-P、C3-P 都通过了一致性检验。 + +# 5.1.3 模型结论与分析 + +根据5.1.2，我们计算出P层每个影响因素所占的总权重。将最终表格汇总成如下表格7： + +
评价指标总权重
交叉路口个数0.1789
拥堵系数0.1594
路旁干扰系数0.1584
区内支路饱和度0.1535
可达度0.1137
车道数0.0906
道路面积率0.0631
车辆种类0.0596
抗堵塞能力0.0227
+ +表 7 影响因素权重一览表 + +图2最终结果图示 +![](images/8dcc1c95325ae7d06077745d339fb46dade2980752c4db787e8982755c7a7bdb.jpg) +目标：评价对周边道路通行的影响指标体系 + +将影响地下车位布局的三个指标的因素所占比重由大到小排序，我们选择前六个占权重大的因素作为指标体系的分支，即：交叉路口个数，拥堵系数，路旁干扰系数，区内支路饱和度，可达度以及车道数。 + +至此，我们建立起了评价小区开放对周边主路的影响的指标体系，如图3所示： + +![](images/e86a8f28ae85f6fb6c6b6521f60c5302dc48cbbf6a1b630d66fc6c1e95b60003.jpg) +图3指标体系 + +# 5.1.4 结果分析 + +# 1、影响通行能力的因素： + +1）车道数：在小区开放后，路网中车道条数增多，在一定条件下缓解了主路的拥堵状况，减轻了主路的车辆负荷量； + +2）小区周边主路的拥堵系数：主路拥堵程度在很大程度上决定了该段道路的通行能力，是个比较关键的影响因素； +3）路旁干扰系数：对于一般城市道路，在路段中车辆会受到行人和非机动车的干扰，路旁干扰越大，车速下降越快，使道路通行能力越小； +4）区内支路饱和度：区内支路饱和度是描述小区内能够容纳的车辆的最大率（最大交通量与最大通行能力的比值）。当小区内的车辆达到该值时，小区外车辆无法进入支路，支路中大部分车辆无法汇入主路。 + +# 2、影响安全性的因素： + +交叉路口个数：安全性是居民对于道路通行评价的一个关键指标，其含义不仅体现在行车过程中的安全性，还表现在出现紧急情况的排障能力，而我们知道，交叉口是道路行驶中最为危险的地带，因此随着小区开放交叉口增多之后，安全性也有待提高； + +# 3、影响便捷度的因素： + +可达度是指该小区及周边范围内从小区一端到达小区另一端的支路之和与最短路径之和的比值。该指标能较好地反映小区内支路的发达程度和便捷度。 + +# 5.2 问题二模型的建立与求解 + +# 5.2.1 基于元胞自动机的车辆通行模型的建立 + +# 5.2.1.1元胞自动机知识概述 + +# 1）元胞自动机 + +元胞自动机（简称CA）模型是一种时间、空间、状态都离散，空间上相互作用及时间上的因果皆局部的网格动力学模型。采用“规则”来描述系统的状态，用“规则”取代数值计算，能有效的研究并描述交通流系统的演化及发展。 + +# 2）交通模型中相关名词的含义 + +元胞：将道路分成离散的等间距的格子，每个格子作为一个元胞。 + +元胞状态：分为有车和无车状态，根据实际情况，有车状态也仅仅表示元胞中有一辆车。 + +邻域：该元胞周围可供其进行状态转移的元胞位置。 + +状态更新规则：加速规则、减速规则、以概率P随机慢化规则、位置更新规则。 + +# 5.2.1.2 基于元胞自动机模型的交通流分析 + +在交通流的描述参数日交通量、车辆密度、车辆平均速度中，我们注意到，日交通量与车辆密度和车辆平均速度有着莫大的关联，而车辆密度和车辆平均速度之间的关系较之微弱。因此，我们考虑到用后两个参数作为交通流的主要描述参数。 + +进而，我们结合元胞自动机模型，给出NS规则下车辆密度和车辆平均速度，并据此求出车辆密度与车辆平均速度之间的关系图，以此来分析车辆通行情况。 + +小区开放与否会通过影响道路分布进而对车辆通行情况产生一定的影响，我们考虑到，小区开放与否会改变模型中的初始参数，进而影响车辆密度和车辆平均速度。我们据此，对初始参数进行改动，通过对比，便可以得出小区开放对周围道路交通流的影响。 + +# 5.2.1.3 交通流的描述参数 + +1）交通流量：单位时间内通过道路某横断面的车辆数。 + +交通流量的单位包括年交通量，季交通量，月交通量，周交通量，日交通量等等。而本文主要的研究重点是日交通量。 + +2）车辆平均速度：交通流内部车辆速度的算术平均值。一般分为时间平均速度和空间平均速度。本文研究的重点是空间平均速度即某一瞬间时刻所有车辆瞬时速度的平 + +均值，其计算公式如下： + +$$ +v = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} v _ {i}}{n} \tag {1} +$$ + +式中： $n$ 为车辆数目 + +$v_{i}$ 为第 $i$ 辆的瞬时速度 + +3）车辆密度：单位长度上，某瞬间存在的车辆数，公式如下： + +$$ +\rho = \frac {N}{L} \tag {2} +$$ + +式中： $N$ 为路段内的车辆数（辆） + +$L$ 为路段长度（千米） + +在交通工程实践中，车辆密度是表现道路交通拥挤状况的最适合的指标。美国的《道路通行能力手册》中就用密度作为路段服务水平的描述指标。 + +![](images/51eef0e64f36d615c63ff11827b468d1b55cc848681b03c61b030bea9822ff54.jpg) +图4 交通流影响因素 + +# 5.2.1.4 基于元胞自动机[8]的车辆通行模型的建立 + +NS 模型的模型规则为：假设第 n 辆车的速度和位置分别用 $v_{n}$ 和 $x_{n}$ 来表示。其中，速度 $v_{n}$ 可以在 0，1，2，…， $v_{\max}$ 内取值。而 $d_{n} = x_{n + 1} - x_{n} - l$ 表示第 n 辆车和第 n + 1 辆车之间的距离（1 为车长），则所有车辆的状态按以下演化规则并行计算。 + +1. 加速过程: $\mathbf{v}_{n}(t + 1) = \min (\mathbf{v}_{n}(t) + 1, \mathbf{v}_{\max})$ ; +2.安全刹车： $\pmb{\nu}_{n}(t + 1) = \min (\pmb{\nu}_{n}(t + 1),\pmb{d}_{n})$ +3. 已概率 p 随机慢化: $\nu_{n}\left(t + 1\right) = \max \left(\nu_{n}\left(t + 1\right) - 1,0\right)$ ; +4.位置更新： $\pmb{x}_n(t + 1) = \pmb{x}_n(t) + \pmb{v}_n(t + 1);$ + +接下来，我们再将车辆通行能力简化成车辆密度与车辆平均速度的求取，根据元胞自动机模型理论以及交通流的相关参数，我们给出了车辆通行的模型代码（源代码见附录），代码流程图如图5所示： + +![](images/8a9e9a342edd026db8fac0b228d94f28a02bb7c1df4ec2ea1a00e102c1f70fba.jpg) +图5车辆通行模型代码流程图 + +通过基于元胞自动机的车辆通行模型，输入小区的相关参数，我们便可以得到小区开放对其周边主路的道路通行能力的影响。 + +# 5.2.2 信号交叉口安全评价模型的构建 + +# 5.2.2.1 车辆通过交通交叉口的运行状态 + +在我国现行交通信号灯的控制下，观察车辆通过信号灯交叉口的实际运行状态，其全过程如图6： + +![](images/9374830f63f939c4471a98358ab58b5d6e05733e3bd3fc167303d2c30b1fb82a.jpg) +图6 车辆过信号灯交叉口的状态 + +# 5.2.2.2 交叉口安全评价指标体系[9]的构建 + +我们考虑到交叉口相对固定的物理特征，隐含交通安全性能特性的交通冲突，以及具有空间和时间变化性的交通特性，将基于安全服务水平的交叉口交通安全的评价指标体系划分为交通冲突、交通特性和交通物理特征3大类，构建的指标体系如图7所示： + +![](images/d0cec25eb05921ec7040409ce1f4526014f451449608e391971e5c8a39a8d5ed.jpg) +图7 交叉口安全评价指标体系 + +# 5.2.2.3 主模型的构建 + +为了更好地表达交通冲突点对交通安全的重要性，我们引用潜在危险度的涵义来评价交叉口的安全状况。潜在危险度越大，说明交叉口可能发生的交通事故越严重，从而交叉口越不安全。 + +信号交叉口有红绿灯的控制，一方面交叉口的冲突点数量会减少，另一方面交叉口所存在的冲突点并不能同时发挥作用，所以在分析冲突点导致的潜在危险度时，根据每个相位实际所获得的通行时间，来加权计算一个信号周期内的总的冲突点数，通行时间即为黄灯和绿灯时间之和。因此，构建交叉口冲突点造成的潜在危险度计算模型见公式： + +$$ +P D _ {s} = \sum_ {c} W _ {c} \times P D _ {s c} \tag {3} +$$ + +式中： $PD_{s}$ 为信号控制交叉口潜在危险度； $c$ 为交叉口冲突点的类型（机-机冲突、机-非冲突）； $W_{c}$ 为各类型冲突点的权重； $PD_{sc}$ 为 $c$ 类型冲突点造成的信号交叉口潜在危险度，包括了 $PD_{s\text{机-机}}$ ， $PD_{s\text{机-非}}$ ， $PD_{s\text{机-人}}$ ，可按下面公式计算： + +$$ +P D _ {s c} = \sum_ {i} N _ {i} \times \frac {g _ {r} + y _ {r}}{T} \times G M _ {i} \tag {4} +$$ + +式中： $i$ 为c类型冲突点的种类； $N_{i}$ 为 $i$ 种类点的个数； $g_{r}$ 为 $r$ 相位的绿灯时间（s）； $y_{r}$ 为 $r$ 相位的黄灯时间（s）； $T$ 为相位信号周期长度（s）； $GM_{i}$ 为 $i$ 种类冲突点的恶性程度。 + +# 5.2.3 基于最短路模型的便捷度影响分析 + +# 5.2.3.1 最短路模型建立 + +在考虑到居民从电梯口到自家车位的所用时间问题时，我们将时间最短做为该目 + +标函数的最优目标，针对该问题我们采用的优化模型是图论中解决最短路问题的Dijkstra算法。 + +V和E分别是图的顶点的集合 $V = \{v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}, v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}\}$ + +边的集合 $\mathrm{E} = \{e_1,e_2,\dots ,e_m\}$ + +弧的集合， $\mathrm{A} = \{a_1,a_2,\dots ,a_m\}$ + +链：在无向图中，点与边的交错序列 $(v_{i}^{1},e_{i}^{1},v_{i}^{2},\dots ,v_{i}^{k - 1},e_{i}^{k - 1},v_{i}^{k})$ + +称为连结 $v_{i}^{1}$ 和 $v_{i}^{k}$ 的链。（ $e_{i}^{t}$ 为连接 $v_{i}^{t}$ 和 $v_{i}^{t+1}$ 的边） + +路径： $(v_{i}^{1},a_{i}^{1},v_{i}^{2},\dots ,v_{i}^{k - 1},a_{i}^{k - 1},v_{i}^{k})$ 是有向图中一条链（ $a_i^t$ 为连接 $v_{i}^{t}$ 和 $v_{i}^{t + 1}$ 的弧）， + +称之为从 $v_{i}^{1}$ 到 $v_{i}^{k}$ 的路径。 + +圈：闭合的（无向）链称为圈。 + +回路：闭合的路径称为回路。 + +连通图：图 G 中任何两个点之间至少有一条链，称 G 为连通图。 + +树：一个无圈的连通图称为树。 + +生成树（支撑树）：若 $\mathrm{G}_1 = (\mathrm{V}_1, \mathrm{E}_1)$ 是连通图 $\mathrm{G}_2 = (\mathrm{V}_2, \mathrm{E}_2)$ 的生成子图（即 + +$\mathrm{V}_{1} = \mathrm{V}_{2}, \quad \mathrm{E}_{1} \subseteq \mathrm{E}_{2})$ ，且 $\mathrm{G}_{1}$ 本身是树，则称 $\mathrm{G}_{1}$ 为 $\mathrm{G}_{2}$ 的生成树。 + +# 5.2.3.2 最短路模型求解算法 + +Dijkstra 算法是一种标号法，基本思想是从起点出发，向外逐步搜索最短路，直到扩展到终点为止。 + +其算法如下： + +![](images/925e5bc80776d98b1da13fc1e084e980c815188a8d197b45fffc3ce1750a4130.jpg) + +在该问题中，最短路径求解的是从该小区及周边范围内一端到达另一端的最短路径 $S_{1}$ ，再求出小区及周边范围内从小区一端到达小区另一端的支路之和 $S_{2}$ ，即可求出可达度 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ ，由此得到了小区开放对便捷度的影响。 + +# 5.2.4 模糊综合评判模型[10]的建立 + +1）确定因素集。车辆通行，最关心的不外乎道路通行能力、安全性、便捷度这三个因素。因此，我们取因素集 + +$$ +\mathrm {U} = \{\text {道 路 通 行 能 力 ， 安 全 性 ， 便 捷 度} \} +$$ + +2）确定评语集。在本问题中，我们取评语集为 + +$$ +\mathrm {V} = \{\text {优 秀} v _ {1}, \text {良 好} v _ {2}, \text {一 般} v _ {3}, \text {较 差} v _ {4}, \text {差} v _ {5} \} +$$ + +(3) 确定各因素的权重。根据人们对车辆通行因素的关注程度，我们取权重为 + +$$ +A = \{0. 6, 0. 2, 0. 2 \} +$$ + +4）确定模糊综合判断矩阵。对指标 $u_{i}$ 的评判记作 $\mathbf{R}_i = [r_{i1}, r_{i2}, r_{i3}, r_{i4}, r_{i5}]$ ，则各指标的模糊综合判断矩阵为 + +$$ +\mathbf {R} = \left[ \begin{array}{l l l l l} r _ {1 1} & r _ {1 2} & r _ {1 3} & r _ {1 4} & r _ {1 5} \\ r _ {2 1} & r _ {2 2} & r _ {2 3} & r _ {2 4} & r _ {2 5} \\ r _ {3 1} & r _ {3 2} & r _ {3 3} & r _ {3 4} & r _ {3 5} \end{array} \right] +$$ + +它是从因素集到评语集的一个模糊关系矩阵。 + +5）模糊综合评判。进行矩阵合成运算： + +$$ +\mathrm {B} = \mathrm {A} \cdot \mathrm {R} +$$ + +取B中数值最大的评语作为综合评判结果。 + +由以上步骤，我们便建立了模糊综合评判模型，从而能对影响程度进行合理的定性分析：影响程度分为影响非常大、影响大、影响小、影响较小、无影响。 + +# 5.2.5 基于案例的结果分析 + +以如图8的小区为例，分析其车辆通行情况： + +![](images/52e4e728535e65b97a5a7e4e7212ee1d9ff7be1cdcd0340e81c5c179b24db185.jpg) +图8小区及周边道路示意图 + +在输入小区开放前后的相关数据后，我们得到了如下结果： + +![](images/8ad75cd9732dce694396148cfb51bc3821e8278fe4ee26433926ec2c837b3ee2.jpg) +小区开放前（左） +图9 车辆密度与车辆平均速度关系图 + +![](images/afdb819e2deebea57ad09f6730f0461b7241a3a7c34139a6c2eaec90c54ad70f.jpg) +小区开放后（右） + +首先，从结果的关系图我们可以看出车辆平均速度随着车辆密度的增大现有一个快速的增大，之后减少，并随着车辆密度趋于1时，车辆平均速度趋于0.从实际角度来说，这个关系是成立的，在一定的车辆密度的基础上，随着车辆密度的增加，堵塞现象发生的几率增大，车辆速度也会随之减小。 + +从结果的图像结合实际情况来看，我们的车辆通行模型也是可靠的。 + +另一方面，小区开放前后的两张图的对比中，我们可以看出，小区开放之后，当车辆密度在0.2到0.3之间时，可以很明显的看到，小区开放后的车辆平均速度高了很多，因而，此时的交通量也提升了很多。而根据之前的分析我们得到，道路交通流可以用车辆密度和平均速度来衡量，据此，我们可以得出例子中的小区在开放后的道路通行情况要优于开放前。 + +结合小区的实际情况，我们也能明显的感觉到，小区开放后，原有的路网结构基础上新增了3条支路，作为周边道路的“毛细血管”，分担了部分车流量，使得车辆密度在0.2到0.3之间时，车辆分布没有之前那么集中了，车速也随之增加了。而当车辆密度再次增加时，这种优势没有这么明显了，由此可见，小区开放也不是万能的，只能在一定条件下对道路通行有积极地影响。 + +基于此，城市道路压力的缓解并不能完全寄希望于小区开放，更应该从原有的路网结构基础上，对其进行改进，缓解交通压力。 + +# 5.3 问题三的求解 + +由问题二建立的模型，我们结合实例对第三问进行分析。在这一问中，我们选取五个具有代表性的小区示意图，运用第二问的模型，将行车速度、小区车道数、道路面积率、拥堵系数以及区内支路饱和度作为输入参数，综合分析各个参数之间的联系和各个参数对车辆通行的影响，从而得到不同结构、不同周边道路结构、不同车流量的小区开放对车辆通行的影响程度[11]。 + +在实际情况中，我们还需要考虑到道路通行能力修正系数，包括路旁干扰系数和路宽及侧向净空修正系数的影响。 + +# 5.3.1 道路通行能力修正系数[12] + +# 1. 路旁干扰系数 $\alpha$ + +对于一般城市道路，在路段中车辆会受到行人和非机动车的干扰（在这里我们不 + +考虑对向车流的影响), 这些因素对机动车道的综合影响程度, 即路旁干扰系数。可以认为, 路旁干扰越大, 车速下降越快, 使道路通行能力越小。因此, 我们用车速下降率来作为路旁干扰系数, 即路旁干扰系数 $\alpha = v_{a} / v_{b}$ , 其中 $v_{a}$ 为受干扰后的车速, $v_{b}$ 为未受干扰的车速。因此, 我们把受干扰道路的情况划分为以下七类: + +1）不受非机动车干扰，不受行人干扰的车道：即四块板道路及有行人隔离的两块板机动车专用道； +2）不受非机动车干扰，受行人干扰的车道：即无行人隔离的两块板机动车专用道； +3）受非机动车干扰，不受行人干扰的车道：即两块板有行人隔离的机非混行车道； +4）受非机动车干扰，受行人干扰的车道：两块板机非混行道路。 + +在一系列车速观测的基础上，分析各种道路的车速下降率，即得出路旁干扰系数为： + +1） $\alpha_{1} = 1$ +2） $\alpha_{2} = 1 - 0.00054p$ +3) $\alpha_{3} = 1 - 0.0027q$ +4) $\alpha_{4} = (1 - 0.00201x)(1 - 0.00054p)$ 。 + +式中： $p$ ——行人流量/3分钟 + +x—自行车流量/（10min/m）。 + +# 2. 路宽及侧向净空修正 + +为使设计道路建设初期有一个宽适的交通条件，并为后期交通需求增长留有余地，在设计通行能力时，运用服务水平的概念还是必要的，即设计通行能力应使道路达到某种服务水平前提下的通行能力。则设计通行能力 $C_{d}$ 为： + +$$ +C _ {d} = C _ {a p} \times \frac {\nu}{c} \times \alpha \times \omega \times \gamma \tag {5} +$$ + +式中： $C_{ap}$ ——相应于某种设计车速下的饱和度； + +$v / c$ —相应于某一服务水平下的饱和度； + +$\alpha$ 一路旁干扰修正系数； + +$\gamma$ 一侧向净宽修正系数。 + +
服务水平饱和度 v/c交通状态
I0.25城市道理自由流
II≤0.50道路稳定流
III≤0.70交叉口溢流周期低于3%
IV≤0.85稳定溢流
V≤0.95交通堵塞
+ +表 8 服务水平及相应的交通状态 + +# 5.3.2 结合实例的小区开放对车辆通行的影响 + +基于上述分析，我们考虑到可以将路段通行能力与交叉口通行能力以适当的权重 + +作和，即 + +$$ +y = \rho_ {1} \cdot C _ {d} + \rho_ {2} \cdot N \tag {6} +$$ + +式中: $\rho_{1}$ 为路段通行能力的权重 + +$\rho_{2}$ 为交叉口通行能力的权重，当交叉口数量增加时，权重相应减少 + +据此，我们通过所编写的程序（源代码见附录），随机选取了5个不同的小区进行分析，最终我们得到其中3个小区开放后道路通行能力显著提高，1个小区开放前后道路通行能力没有显著变化，还有1个小区开放后道路通行能力大幅下降。本文只以三类中的典型代表为例，对其进行分析，其余见附录。 + +# 案例一：开放后对道路产生积极影响 + +以小区三为例，小区内部及周边道路如图10所示： + +![](images/e2fece6c2d9dc2e1f8c559ae150d453e6706547f6a50955d18d65db153f01b24.jpg) +图10小区三及周边道路情况 + +最终运行结果： + +![](images/6f4d9427fed564abfa7fd9be55f789c9e527f5c5380a814885d1d42cba9e0a32.jpg) +图11左为小区开放前右为开放后 + +从运行结果来看，小区开放后道路通行能力提高了很多。而从实际情况出发，首先，我们注意到，该小区内部道路较宽，与小区外道路几乎无差异；其次，小区内部道路可以直通外界；除此之外，小区外路网结构简单，开放后，相当于道路面积增加，能够有效缓解交通压力。 + +故，仅从道路通行能力来讲，此类小区开放较好。 + +# 案例二：开放后产生消极影响 + +以小区五为例，小区内部及周边道路如图12所示： + +![](images/be803cdbff7b5fdbd6c9cd0249a0ea8d986f1ee7971621199141a06095de771d.jpg) +图12小区五及周边道路情况 + +最终运行结果： + +![](images/05f0bd069af8722b1b84ab9d5a745fc142bed6130ed77133880f34abd160d7cf.jpg) +图13 左为小区开放前右为开放后 + +从运行结果来看，小区开放后道路通行能力有了明显的下降迹象。从实际情况出发，首先我们注意到小区内部的道路较窄，会降低整个道路体系的路宽修正系数，而且即便开放后能够分走部分车流量，对于整个道路体系来讲，效果也不显著。其次，小区内部的路为环形路且有数条尽端路，无法连接外界，车辆进入小区势必要迂回前进甚至走不出去，如此一来会造成小区内部堵塞现象严重，增加车辆行驶时间。 + +故，仅从道路通行能力来讲，此类小区不开放较好。 + +# 案例三：开放与否影响不显著 + +以小区四为例，小区内部及周边道路如图14所示： + +![](images/ed91d254a71c828168303c4c19705d7328e6705b8ece9109d89b0f0df7bcbd62.jpg) +图14小区五及周边道路情况 + +最终运行结果： + +![](images/54acc9a4060b6a206abc16eff06f5d4bc9b5d3260349670b30fa7af0e2cc3cb4.jpg) +图15 左为小区开放前 右为开放后 + +从运行结果来看，小区开放前后，道路通行能力相差甚微。而从实际情况出发，首先我们注意到，小区路网结构较好，道路消化能力较强，以道路自身情况，发生车辆堵塞现象的几率较小；其次，小区占地面积较小，周围道路交叉口距离小区较远，而交叉口一般店铺、场所较多，因而对于路人而言，不需要迂回绕路也可迅速到达目的地。 + +因此，仅从道路通行能力来讲，不能决定此类小区开放与否。 + +# 5.4 问题四的建议 + +# 5.4.1 从我们的模型结果考虑： + +在上面的三个问题中，我们建立了相应数学模型分析了小区开放前后对小区周边道路交通的影响。我们将其对小区周边道路的通行影响等效为小区开放前后，小区周边道路通行能力的比较。 + +由上面的分析可知，通行能力分为路段通行能力和交叉口通行能力。如果判断一小区是否适合开放来缓解小区周边道路的交通拥堵问题，我们就必须要结合这两个方面的通行能力，然后通过定量比较开放小区前后小区周边道路通行能力，再得出结论。 + +通过路段通行能力的计算公式（5）以及交叉口通行能力N（其计算公式及推算见附录）的计算公式这两个公式，给定相应的权重，得到道路通行能力的计算公式： + +$$ +y = \rho_ {1} \cdot C _ {d} + \rho_ {2} \cdot N \tag {7} +$$ + +根据上式，我们可以引入小区开放前后道路通行能力的差值： + +$$ +Q = y _ {\text {开 放 后}} - y _ {\text {开 放 前}} \tag {8} +$$ + +来判断一个小区是否适合开放。 + +若Q为正，且其值较大，则表明小区开放对交通产生的正面影响较大，适合开放； +若Q为负，且其值较大，则表明小区开放对交通产生的负面影响较大，不适合开放； +其他情况，说明小区开放对交通产生的影响不大，需要综合其他因素对其进行判断。 + +![](images/cafc734998204ff54a93389cf39bf2492d26b3d272cf452f7dd6f13480034dca.jpg) +图16 小区开放与否的评判准则 + +# 5.4.2 对城市规划部门和交通部门的建议 + +# 1）对城市规划部门提出的建议： + +A. 小区是否开放与小区自身的条件有关，比如小区自身的规模、小区内部的道路级别、交叉口数量以及道路迂回程度等因素有关。因此，开放小区内部的道路交叉口数量尽量少，道路尽量为直线，避免环线等，使得小区内部的道路可以充当“毛细血管”，缓解交通压力。 +B. 小区的位置。开放小区尽量安排在交通较为拥挤的地段，通过小区的开放，相当于在原有路网结构的基础上，增加了道路面积，可以缓解当地的交通压力。 +C. 当小区开放对周边交通产生的积极影响较大时, 考虑小区开放问题。由于小区开放所牵扯到的不仅仅是外来车辆及行人, 对小区也会产生很大影响, 故在考虑小区开放时, 要多方位考虑。 + +# 2）对交通部门的建议： + +A. 在开放小区增加交通指挥人员，减少小区内部交通事故的发生。 +B. 与此同时，加大小区内乱停车现象的处罚力度。小区内车辆停放会对小区内交通产生巨大影响，尤其是外来车辆乱停车可能会导致交通堵塞，起不到小区开放的目的。 + +# 六 模型的分析检验 + +# 6.1 结合实例分析的模型检验 + +在问题二和问题三中，我们运用多个小区实例作为检验模型正确与否的依据。通过将模型运用于实际并得到合理性的结果，因此我们认为，在一定误差允许范围内，我们所建立的模型具有很强的可靠性。 + +# 6.2 基于交通仿真模拟软件VISSIM[13]的模型检验 + +我们以5.3.2中的案例一为例来说明该仿真模拟软件。我们通过VISSIM仿真软件建立小区周边路段仿真模型，输入出道路，交通特性等因素，模拟其中车流的运行状态机器随时空变化的过程。通过对仿真运行过程的观察、仿真结果的统计分析，对仿真路段的运行状态进行评价分析。 + +输入行车道宽度、纵坡设计、平曲线和限速标志，建立小区三及其周边交通仿真模型。为降低VISSIM随机性对交通冲突影响，对每个方案各进行5次仿真（每次仿真使用不同的随机数）。 + +为了评价该未开放小区在今后随着交通量的逐年增加的运行状态，以预测10年后的交通量为基准，分别以该基准的 $70\%$ 、 $80\%$ 进行相应敏感度分析，得到该小区未开放时的交通运行状况如下图17所示： + +![](images/e35313866d0bb27d0eaef05f5a15fb55f0edcf37031ca1eb7931e48cbf2b8063.jpg) +(a) 平均车速 + +![](images/b8e1be1633147f0d2b69055f23e68602ffea33158f8086c632445b3bcc81e1db.jpg) +(b) 密度 +图17小区未开放时的交通运行状况 + +由上图可以看出，随着今后道路投入运营，交通量也在逐年增加，该路段的运行状态逐年变差，箭筒刘运行的状况也在明显变差。因此我们得出：该小区开放后会缓 + +解周边主路交通压力，从而有助于交通运行状况。该结论与我们5.2.3中的分析达成一致，故也证明我们建立模型具有很强的可靠性。 + +# 七 模型的评估与优化 + +# 7.1 问题一模型的评估与优化 + +# 7.1.1 聚类分析法和层次分析法的评估 + +(1) 聚类分析法的评估: 模糊聚类是将模糊集的概念应用到传统聚类分析当中, 让数据集的对象在分组中的隶属用连续区间 $[0, 1]$ 中的某个值来表示, 这个值就是隶属度,各对象以相应的隶属度分别隶属于多个簇。其优点在于可以将那些分离性不是很好的数据进行聚类, 但目前已有的传统模糊聚类分析法往往对聚类目标各属性特征之间的相关性以及不同特征属性对聚类目标存在重要性差异等问题没有进行充分考虑, 而这些问题是不可忽视的。 +（2）层次分析法的优点：层次分析法具有系统性、简洁实用、所需定量数据信息较少，这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价，而且结果简单明确、可信度较高。然而，层次分析法虽然可以简单地把综合指标量化，但在权重的确定方面主观性太强，因此通过构造出来的判断矩阵所求出来的权值不一定可靠从而不能客观的评价交通的影响指标。 + +# 7.1.2 聚类分析法中权重确定的改进[14] + +为有效降低专家评估时的主观性，使得量化的判断值能够更客观的反应实际情况，我们引入“九分位法”，让专家对各评价指标进行相对重要性的两两比较。用1,3,5,7,9,1/3,1/5,1/7,1/9等数值来代表相对重要程度。 + +依据相对重要性指标组成的判断矩阵，即可计算各特征属性的权重，具体计算流程图如图18所示： + +![](images/49c987e299ce219ec2001ebcd721236fee87f95fab334deae642108b72dc9f78.jpg) +图18 判断矩阵计算流程图 + +# 7.1.3 结合主成分分析法[15]的层次分析法改进与优化 + +首先，通过统计实际情况中影响道路通行的指标，然后结合本题中的关于开放小区前后对于小区周边道路通行的影响来建立一套新的评价性的指标体系；其次，通过聚类分析达到降维的目的，通过聚类分析导出几个方差贡献率较大的指标，从而简化了三级指标；再次，通过因子分析对变量间的相关关系进行探测，重新考虑三级指标对二级指标的交叉影响，修订成了一个更为科学合理的多层次的目标体系，以此为基础，分析专家意见，客观准确的构造出打分矩阵；最后，根据交叉后的打分矩阵得到各指标的权重，把各指标的指标值无量纲化后，采用线性综合评价法得出各个指标的综合得分值，从而建立出一套合理的评价体系。 + +# 7.2 问题二模型的评估与优化 + +# 7.2.1 模糊综合评判模型的评估 + +优点：通过这几问题的分析可知，城市道路通行并没有一个绝对的决定性数值来加以区别和比较。这就决定了交通状态是具有动态和不确定性的，即表现为模糊性。又知道模糊集理论在表达语言知识和描述事物的不确定性方面发挥了很大的作用，因此我们能够比较好的利用它描述道路交通的不确定性。 + +缺点：计算复杂，对指标权重矢量的确定主观性较强；当指标集U较大，即指标集个数凡较大时，在权矢量和为1的条件约束下，相对隶属度权系数往往偏小，权矢量与模糊矩阵R不匹配，结果会出现超模糊现象，分辨率很差，无法区分谁的隶属度更高，甚至造成评判失败。不能解决评价指标间相关造成的信息重复问题，隶属函数，模糊相关矩阵等的确定。方法有待进一步研究。 + +# 7.2.2 模糊综合评判模型的改进与优化 + +1）确定样本U的第 $i$ 个指标对 $\nu_{j}$ 的隶属度 $r_{ij}(i = 1,2,\dots ,m;j = 1,2,\dots ,n)$ ，得到模糊矩阵 $\mathbf{R}_{m\times n}$ +2）确定指标 $i$ 的权 $w_{i}$ ，得到权向量 $\mathbf{W} = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{m})$ +3）计算综合隶属度： + +$$ +\mathrm {B} = \mathrm {W} \cdot \mathrm {R} +$$ + +4) 综合评分: $\mathrm{H} = \sum_{j=1}^{n} b_{j}$ +5）评价结果：根据H的计算值与哪一类的 $j$ 最接近，即可判断样本U属于哪类。 + +# 八 参考文献 + +[1]通行能力_百度百科, + +http://baike.baidu.com/link?url=6IwkrYg2lMCusAwEu_Oivwn8YlIvRYXc5bPHpjKaG149vmNo00ToGfJeRILceSsaKqxmQLoX-5950A4JcDA7Dq，2016.9.9 + +[2]道路饱和度计算_百度文库， + +http://wenku.baidu.com/link?url $\equiv$ L2s75BhDnp9KJTdQeTkjcmQGGOINybLL405PbSNp5jcUggro8wj3 jcHVHEvOj-IxxMz8nXbMcfm3npMEc7YJzhaAre2EEk9mUzv4nzyq8m，2016.9.9 + +[3]曾松, 杨佩昆, 方棣波. 城市道路网结构的可达性评价[J]. 同济大学学报(自然科学 + +版), 2001, 06:666-671 + +[4]基于元胞自动机的交通流建模与仿真研究－豆丁网， + +http://www.docin.com/p-903117627.html?qq-pf-to=pcqqdiscussion,2016.9.10 + +http://www.docin.com/p-473858445.html + +[5] 袁耀明. 交通流元胞自动机模型的解析和模拟研究 [D]. 中国科学技术大学, 2009. +[6]汪莹, 黄新. 城市道路信号交叉口安全评价体系的构建与应用[J]. 森林工程, 2014, 06:118-123+128. +[7]司守奎，数学建模算法与应用，北京，国防工业出版社，2011，200-202页 +[8]吴大艳．三车道元胞自动机交通流模型的研究[D].广西师范大学，2004. +[9]汪莹，黄新．城市道路信号交叉口安全评价体系的构建与应用[J].森林工 + +程, 2014, 06:118-123+128. +[10]司守奎，数学建模算法与应用，北京，国防工业出版社，2011，351-352页 +[11]商仲华．居住小区开发交通影响分析研究[D].长安大学，2006. +[12]茹红蕾．城市道路通行能力的影响因素研究[D].同济大学，2008. +[13]孙璐,丁爱民,钱军,李根．基于VISSIM仿真模拟的道路改造方案评价[J].公路交通科技，2012,06:26-30. +[14]黄闽英，牟锐．对模糊聚类分析法的改进及其在SRM中的应用[J].计算机工程与科学,2011,06:144-149. +[15]张秀红, 马迎雪, 李延晖. 结合主成分分析法改进后的层次分析法及应用[J]. 长江大学学报(自科版), 2013, 04:30-32+39. + +# 九 附录 + +# 9.1 问题一程序及图表 + +# 9.1.1 聚类分析法 + +# 1）输入矩阵 + +
C2P1P2P3P4P5P6P7P8P9
P11.000.850.900.810.76000.300.420.210.33
P20.851.000.830.900.850.300.100.320.21
P30.900.831.000.790.920.210.110.160.26
P40.810.900.791.000.700.300.190.140.27
P50.760.850.920.701.0000.170.100.120.25
P60.300.300.210.300.171.000.920.230.17
P70.420.100.110.190.100.921.000.250.14
P80.210.320.160.140.120.230.251.000.95
P90.330.210.260.270.250.170.140.951.00
+ +# 2）聚类分析法程序 + +```javascript +a=[1.00 0.85 0.90 0.81 0.7600 0.30 0.42 0.21 0.33; +0.85 1.00 0.83 0.90 0.85 0.30 0.10 0.32 0.21; +0.90 0.83 1.00 0.79 0.92 0.21 0.11 0.16 0.26; +0.81 0.90 0.79 1.00 0.70 0.30 0.19 0.14 0.27; +0.76 0.85 0.92 0.70 1.000 0.17 0.10 0.12 0.25; +0.30 0.30 0.21 0.30 0.17 1.00 0.92 0.23 0.17; +0.42 0.10 0.11 0.19 0.10 0.92 1.00 0.25 0.14; +0.21 0.32 0.16 0.14 0.12 0.23 0.25 1.00 0.95; +0.33 0.21 0.26 0.27 0.25 0.17 0.14 0.95 1.00]; +``` + +```prolog +d=1-abs(a); +y=linkage(d,'average'); +j=dendrogram(y); +L=cluster(y,'maxclust',3) +for i=1:3 + b=find(L==i); + b=reshape(b,1,length(b)); + fprintf('第%d类的有%s\n',i,int2str(b)); +End +``` + +# 3）结果输出 + +![](images/5d6c83d3bbe5be14d4165aca993e232d9ea2d3790d2f5e3177118c4cd747651d.jpg) + +# 9.1.2 层次分析法 + +1）%层次分析法判别矩阵的一致性检验代码 + +clc,clear + $\% \mathrm{P} = [145;1 / 413;1 / 51 / 31];\%$ 判别矩阵 + $\mathrm{P} = [1.00003.00004.0000;$ +0.33331.00002.0000; +0.25000.50001.0000]；%判别矩阵 + $[L,G] = \mathrm{eig}(P);\%$ 求特征根和相应的特征向量 +w=L(:,1)/sum(L(:,1));%归一化特征向量近似为权重值 +max=max(eig(P));%求最大特征根 +n=size(P); +CI=(max-3)/(3-1); +RI=1.12; %查表对应 $n = 3$ 的情况 +CR=CI/RI +if CR>=0.1error('A不通过一致性检验') +end + +2）%层次分析法判别矩阵的一致性检验代码 + +clc,clear + $\% \mathrm{P} = [145;1 / 413;1 / 51 / 31]$ %判别矩阵 + $\mathsf{P} = [1.0000\quad 0.5000\quad 0.5000\quad 0.4000\quad 0.6000;$ +2.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.2534;2.0000 0.5000 1.0000 2.0000 0.2550;2.5000 1.0000 0.5000 1.0000 3.0000;1.6667 1.0000 0.5000 0.3333 1.0000];%判别矩阵[L,G]=eig(P);%求特征根和相应的特征向量 +w=L(:,1)/sum(L(:,1));%归一化特征向量近似为权重值max=max(eig(P));%求最大特征根 +n=size(P); +CI=(max-5)/(5-1); +RI=1.12； %查表对应 $n = 5$ 的情况 +CR=CI/RI + +if CR $> = 0$ .1 error('A不通过一致性检验') end + +# 9.2 问题二程序及结果 + +# 基于元胞自动机模型的车辆通行模型源代码 + +# 9.2.1 小区开放前 + +```txt +clc; +clear all; +T=3030; +P=0.3; %随机慢化概率 +v_max=6; %最大速度 +L=1800; %网格的数量 +dens=0.002; %给定初始车辆密度 +p=1; %统计流量密度数组 +while dens<=1 +N=fix(dens*L); %车辆数目 +m=1; +``` + +$\%$ 产生初始随机速度 + +cells_sudu=randperm(N); +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{N}$ +cells_sudu(i)=mod(cells_sudu(i),v_max+1); +end + +$\%$ 产生初始随机位置 + +[a,b] $=$ find( randperm(L) $\leqslant = N$ ）; cells_weizhi $\equiv$ b; + +%变化规则 + +for $i = 1:T$ + +定义车头间距 + +```matlab +if cells_weizhi(N)>cells_weizhi(1) + headways(N)=L-cells_weizhi(N)+cells_weizhi(1)-1; +else + headways(N)=cells_weizhi(1)-cells_weizhi(N)-1; +end +for j=N-1:-1:1 + if cells_weizhi(j+1)>cells_weizhi(j) + headways(j)=cells_weizhi(j+1)-cells_weizhi(j)-1; + else + headways(j)=L+cells_weizhi(j+1)-cells_weizhi(j)-1; +end +end +``` + +$\%$ 速度变化 + +cells_suduNS1=min([v_max-1,cells_sudu(1),max(0,headways(1)-1)]); %NS规则下第一辆车的速度估计值 + +cells_sudu(N) = min([v_max, cells_sudu(N) + 1, headways(N) + cells_suduNS1]); %NS规则下第N辆车的速度估计值 + +for $j = N - 1: - 1:1$ + +cells_suduNS=min([v_max-1, cells_sudu(j+1), max(0,headways(j+1)-1)]); %NS规则下前一辆车的速度估计值 + +cells_sudu(j) = min([v_max, cells_sudu(j) + 1, headways(j) + cells_suduNS]); %NS规则下第j辆车的前一辆车的速度估计值 + +```matlab +end +%以概率P随机慢化 +if rand() < P; + cells_sudu = max(cells_sudu - 1, 0); %随机慢化规则下的速度变化 +end +%位置更新 +for j = N:-1:1 + cells_weizhi(j) = cells_weizhi(j) + cells_sudu(j); + if cells_weizhi(j) >= L + cells_weizhi(j) = cells_weizhi(j) - L; %NS规则下第j辆车的位置更新 + end +end +``` + +采集数据作图 + +if i $>\mathrm{L} + 1000$ %采用每组的后30个变量取平均 speed $(\mathfrak{m}) = \mathfrak{sum}$ (cells_sudu)/N; %求取平均速度 m=m+1; end +end +flow(p)=(sum(speed)/30)*dens; %不同密度下的流量数组 density $(\mathfrak{p}) =$ dens; dens=dens+0.01; p=p+1; +end +plot(density,flow) + +# 9.2.2 小区开放后 + +```txt +clc; +clear all; +T=3030; +``` + +```matlab +P=0.3; %随机慢化概率 +v_max=6; %最大速度 +L=2000; %网格的数量 +dens=0.002; %给定初始车辆密度 +p=1; %统计流量密度数组 +while dens<=1 +N=fix(dens*L); %车辆数目 +m=1; +``` + +$\%$ 产生初始随机速度 + +cells_sudu=randperm(N); +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{N}$ +cells_sudu(i)=mod(cells_sudu(i),v_max+1); +end + +$\%$ 产生初始随机位置 + +[a,b] $=$ find(randperm(L) $\leqslant = \mathbb{N}$ ）; cells_weizhi $\equiv$ b; + +%变化规则 + +for $i = 1:T$ + +%定义车头间距 + +```matlab +if cells_weizhi(N)>cells_weizhi(1) + headways(N)=L-cells_weizhi(N)+cells_weizhi(1)-1; +else + headways(N)=cells_weizhi(1)-cells_weizhi(N)-1; +end +for j=N-1:-1:1 + if cells_weizhi(j+1)>cells_weizhi(j) + headways(j)=cells_weizhi(j+1)-cells_weizhi(j)-1; + else + headways(j)=L+cells_weizhi(j+1)-cells_weizhi(j)-1; +end +``` + +速度变化 + +cells_suduNS1=min([v_max-1,cells_sudu(1),max(0,headways(1)-1)]); %NS规则下第一辆车的速度估计值 + +cells_sudu(N) = min([v_max, cells_sudu(N) + 1, headways(N) + cells_suduNS1]); %NS规则下第N辆车的速度估计值 + +for $j = N - 1: - 1:1$ + +cells_suduNS=min([v_max-1, cells_sudu(j+1), max(0,headways(j+1)-1)]); %NS规 + +则下前一辆车的速度估计值 + +cells_sudu(j) = min([v_max, cells_sudu(j) + 1, headways(j) + cells_suduNS]); %NS规则下第j辆车的前一辆车的速度估计值 + +```matlab +end +%以概率P随机慢化 +if rand() < P; + cells_sudu = max(cells_sudu - 1, 0); %随机慢化规则下的速度变化 +end +``` + +位置更新 + +for $j = N: - 1: 1$ +cells_weizhi(j) $\equiv$ cells_weizhi(j)+cells_sudu(j); if cells_weizhi(j)>=L +cells_weizhi(j)=cells_weizhi(j)-L; %NS规则下第j辆车的位置更新 +end + +采集数据作图 + +```matlab +if i>1+1000 %采用每组的后30个变量取平均 speed(m)=sum(cells_sudu)/N; %求取平均速度 m=m+1; +end +``` + +```matlab +end +flow(p) = (sum.speed)/30) * dens; %不同密度下的流量数组 +density(p) = dens; +dens = dens + 0.01; +p = p + 1; +end +plot(density, flow) +``` + +# 9.2.3 运行结果 + +图左为小区开放前，图右为小区开放后 + +![](images/738c6f4a9628cc0df2a9feec4ec78b2939ad69c309cecb007f27935b73382ee9.jpg) + +# 9.3 源代码 + +# 9.3.1 路段的通行能力源代码 + +function cd=ludean(v,b,a,w,r) + +$\% \mathrm{cd}$ 为路段通行能力， $\mathbf{v}$ 为车辆行驶速度，a 为路旁干扰修正系数， $\mathbf{w}$ 为路宽修正系数， + +$\% r$ 为侧向净宽修正系数，b为某一服务水平的饱和度 + +ht=98/(v\*（14-v））； + +%ht 为车头时距，且 hs=v*ht, 其中 hs 为车头间距 + +cap=max(1./ht); + +%cap为路段理论通行能力 + +$\mathrm{cd} = \mathrm{cap}^{\star}\mathrm{b}^{\star}\mathrm{a}^{\star}\mathrm{w}^{\star}\mathrm{r};$ + +end + +# 9.3.2 交叉口通行能力源代码 + +function N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s) + +%输入变量：Te 表示色灯周期时长，单位为 s；G 代表绿灯时长，单位为 s；m 代表进口道直行车道的条数，取值为 1 或 2； + +$\% t1$ 表示左转头车从停车线驶至冲突点所需时间（包括司机反应时间）；ts表示直行头车从停车线驶至冲突点所需 + +%时间（包括司机反应时间）；te表示直行尾车从停车线驶至冲突点所需时间（包括司机反应时间）；tao表示穿越时距； + +$\mathrm{g}$ 表示直行车流中, 一个绿灯时长内出现的 “可穿越空挡” 的次数; s 表示交叉路口的个数 + +%N表示整个交叉口一个小时的通行能力 + +if t1>0 b $\equiv$ t1-te; else b $\equiv$ ts-te; end if m $= = 1$ + +$h = 3.7; \%$ 一条车流紧接运行冲突点时的安全车头时距 + +elseif $m = = 2$ + +$h = 2.5; \%$ 有两条并排直行车流时，相当于一条车流的等价车头时距 + +```txt +else +``` + +printf('m的值输入错误'); + +```matlab +end +a=g*(m*tao-(m+1)*h); +n=(G-a-b)/h+m; +N=3600*s*n/Te; +end +``` + +# 9.3.3 不同的小区所对应的代码实现以及结果对比 + +小区一： + +![](images/0e411e2bc6b4f381363f6d7fefac58b815d3365d90e178435547ea62d1e56821.jpg) +路网结构 图左为小区开放前 图右为小区开放后 + +![](images/b7b5035d5fd8159bbc746cd59e5acff36d959a94412091c27b595ea20f006d54.jpg) + +代码： + +开放前： + +$\mathrm{v = 7;b = 0.50;a = 1;w = 1;r = 1}$ +cd=ludean(v,b,a,w,r); +Te $= 180$ . $\mathsf{G} = 80$ m=2;tl=0;ts=18.2;te=12.8;tao=8;g=2;s=3; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); +y $= 0.8^{*}\mathrm{cd} + 0.2^{*}\mathrm{N}$ + +结果： + +>>yunxing + $\mathbf{y} =$ 300.6800 + +开放后： + +$\mathrm{v = 7;b = 0.50;a = 1;w = 1;r = 1}$ +cd=luduan(v,b,a,w,r); +Te=180;G=80;m=2;tl=0;ts=18.2;te=12.8;tao=8;g=2;s=5; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); +y=0.8\*cd+0.2\*N + +结果： + +```txt +>>yunxing +y= 501 +``` + +小区二： + +![](images/a02d2554b2172e037a14f3357327afc3a9397d582b8c55bbf9e92c7e35bbc6dd.jpg) + +![](images/855845efbf9f534b4ce73869a7ffe8aad4ad8c91273759b8857edba7f75adc98.jpg) + +代码： + +小区开放前： + +$\mathrm{v = 7;b = 0.50;a = 1;w = 1;r = 1}$ +cd=luduan(v,b,a,w,r); +Te=180;G=80;m=2;tl=4.1;ts=14.9;te=11.2;tao=8;g=2;s=9; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); +y=0.9\*cd+0.1\*N + +结果： + +```txt +>>yunxing +y= +540.8325 +``` + +小区开放后： + +$\mathrm{v = 7;b = 0.50;a = 1;w = 1;r = 1}$ +cd=luduan(v,b,a,w,r); +Te=180;G=80;m=2;tl=4.1;ts=14.9;te=11.2;tao=8;g=2;s=12; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); +y=0.9\*cd+0.1\*N + +结果： + +>>yunxing + $\mathbf{y} =$ 721.1850 + +小区三： + +![](images/2ee8a84517d695bda52c41d593b104755cc7f3f39eec7687f95238e8bdb0eb7a.jpg) + +# 代码： + +# 小区开放前： + +$\mathrm{v = 7;b = 0.28;a = 1;w = 1;r = 1}$ +cd=luduan(v,b,a,w,r); +Te=180;G=80;m=2;tl=4.1;ts=14.9;te=11.2;tao=8;g=2;s=4; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); +y=0.8\*cd+0.2\*N + +# 结果： + +>>yunxing + $\mathbf{y} =$ 480.7520 +小区开放后： + $\mathrm{v = 7;b = 0.67;a = 1;w = 1;r = 1}$ +cd=ludean(v,b,a,w,r); +Te=180;G=80;m=2;tl=4.1;ts=14.9;te=11.2;tao=8;g=2;s=9; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); + $\mathrm{y = 0.8^{*}cd + 0.2^{*}N}$ +>>yunxing + $\mathbf{y} =$ 1.0817e+03 + +# 小区四： + +![](images/268138a789fd5ccdfd5323a3536eb6e03116f7606734de47d9918ffeefe5b729.jpg) + +# 代码： + +# 小区开放前： + +$\mathrm{v = 7;b = 0.62;a = 1;w = 1;r = 1};$ $\mathrm{cd} =$ luduan(v,b,a,w,r)； + +```javascript +Te=180;G=80;m=2;tl=4.1;ts=14.9;te=11.2;tao=8;g=2;s=5; N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); y=0.68*cd+0.32*N +``` + +# 结果： + +>>yunxing + $\mathbf{y} =$ 961.4908 + +# 小区开放后： + +$\mathrm{v = 7;b = 0.64;a = 1;w = 0.8;r = 1}$ +cd=luduan(v,b,a,w,r); +Te=180;G=80;m=2;tl=4.1;ts=14.9;te=11.2;tao=8;g=2;s=8; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); +y=0.8\*cd+0.2\*N + +# 结果： + +```txt +>>yunxing +y= +961.4848 +``` + +# 小区五： + +![](images/0caf0e336e1ef07d4a0d0a268a4acd0e6f950055263dc130cde3d502f8452e0d.jpg) + +# 代码： + +# 小区开放前： + +$\mathrm{v = 7;b = 0.46;a = 1;w = 0.9;r = 1}$ +cd=luduan(v,b,a,w,r); +Te=180;G=80;m=2;tl=4.1;ts=14.9;te=11.2;tao=8;g=2;s=5; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); +y=0.8\*cd+0.2\*N + +# 结果： + +```txt +>>yunxing +y= +600.9656 +``` + +# 小区开放后： + +$\mathrm{v = 5;b = 0.50;a = 1;w = 0.64;r = 1}$ +cd=luduan(v,b,a,w,r); +Te=180;G=80;m=2;tl=4.1;ts=14.9;te=11.2;tao=8;g=2;s=8; +N=jiaochakou(Te,G,m,tl,ts,te,tao,g,s); +y=0.9\*cd+0.1\*N + +# 结果： + +>>yunxing + $\mathbf{y} =$ 480.7722 + +# 9.4 道路通行能力 + +# 9.4.1 路段通行能力 + +考察车辆通行能力，考虑精度因素，按式 $v = 98(1 / 7 - 1 / h_s)$ 计算。 + +因 $h_{s} = \nu h_{t}$ , 故 $v = 14 - \frac{98}{h_{t} v}$ , 可得: $h_{t} = \frac{98}{\nu(14 - \nu)}$ + +于是城市道路路段车辆理论通行能力： + +$$ +C _ {a p} = \max \frac {1}{h _ {1}} = \max \frac {\nu (1 4 - \nu)}{9 8} +$$ + +# 9.4.2 道路设计通行能力 + +为使设计道路建设初期有一个宽适的交通条件，并为后期交通需求增长留有余地，在设计通行能力时，运用服务水平的概念还是必要的，即设计通行能力应使道路达到某种服务水平前提下的通行能力。则设计通行能力 $C_{D}$ 为： + +$$ +C _ {D} = C _ {a p} \times \frac {\nu}{c} \times \alpha \times \omega \times \gamma +$$ + +式中： $C_{ap}$ 一相应于某种设计车速下的饱和度； + +$v / c$ —相应于某一服务水平下的饱和度； + +$\alpha$ 一路旁干扰修正系数； + +$\gamma$ 一侧向净宽修正系数。 + +表 服务水平及相应的交通状态 + +
服务水平饱和度 v/c交通状态
I0.25城市道理自由流
II≤0.50道路稳定流
III≤0.70交叉口溢流周期低于3%
IV≤0.85稳定溢流
V≤0.95交通堵塞
+ +# 9.4.3 信号交叉口通行能力 + +# 1）车辆通过冲突点的通行能力 + +在定时式信号灯的灯色时间都已配定的情况下，各向车辆通过交叉口一个冲突点的各类间隔时间的总和： + +$$ +t _ {\text {左 头}} + \left(n _ {\text {左} 0} - 1\right) h _ {1} + \tau_ {\text {后}} + \sum^ {\sigma + 1} \left(n _ {\text {直}} - 1\right) h _ {1} + \sum^ {\sigma} \left(n _ {\text {左}} - 1\right) h _ {1} + g \tau - t _ {\text {直 尾}} = G +$$ + +式中： $n_{\text{直}}$ 、 $n_{\text{左}}$ —分别为紧接运行通过冲突点的直行车、左转车数； + +$n_{\text {左} 0}$ —绿灯初期通过的左转车数 + +$t_{\text {左头}}$ 、 $t_{\text {直尾}}$ —分别为左转车头、直行车尾从停车线驶到冲突点所需时间（包括司机反应时间） + +$h_{1}$ 一一条车流紧接运行通过冲突点时的安全车头时距。 + +$\tau = \tau_{\text {前}} + \tau_{\text {后}}$ 一直行车流中能穿越左转车的“可穿越空档”的时长。其中, $\tau_{\text {前}}$ 为前档, $\tau_{\text {后}}$ 为后档。 + +g一直行车流中，一个绿灯时长内出现的“可穿越空档”的次数。 + +由上式可推出，通行能力 $n = \frac{G - \alpha_m - \beta}{h_m} + m$ + +式中： $m$ —进口道直行车道的条数； + +$\alpha_{m}$ 一由穿越空档所致的损失时间，一条直行车道时 $\alpha_{m} = \alpha_{1} = g(\tau -2h_{1})$ ，两条直行车道时 $\alpha_{m} = \alpha_{1} = g(2\tau -3h_{2})$ + +$\beta$ 一有、无专用左转车道时的得、失时间，有专用左转车道时 $\beta = t_{\text{左头}} - t_{\text{直尾}}$ ，无专用车道时 $\beta = t_{\text{直头}} - t_{\text{直尾}}$ 。 + +当相对两肢的道路与交通情况均相近时： + +$$ +n _ {N} = n _ {S}, n _ {E} = n _ {W} +$$ + +由此可得到整个交叉口一个周期的通行能力： + +$$ +\sum n = n _ {N} + n _ {S} + n _ {E} + n _ {W} + \sum n _ {\text {右}} +$$ + +式中： $\sum n_{\text{右}}$ 一通过右转专用道的右转车实际到达数（或设计到达数）。 + +整个交叉口一个小时的通行能力： + +$$ +N = \frac {3 6 0 0}{T _ {e}} \sum n \quad (p c u / h) +$$ + +式中： $T_{e}$ 一色灯周期时长（s）。 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/D056/D056.md b/MCM_CN/2016/D056/D056.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dda89e10cbeaa0aa795edba35e0d12adc790ed4b --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/D056/D056.md @@ -0,0 +1,4312 @@ +# 风电场运行状况分析及维护计划优化摘要 + +风能资源评估是进行风能资源开发规划最为关键的第一步，评估结果对评估风电场运行效益至关重要。本文围绕风电场运行状况分析及维护计划优化问题，从风资源评估、风能资源与风机匹配、风机维护计划及人员排班方案等三个方面进行了全面深入的探讨。 + +针对问题一，首先对数据进行了预处理，分析了一年内每隔15分钟的各风机安装处的平均风速数据进行完整性和合理性检验，并对错误数据进行修正；其次，对风速采样数据进行统计分析，提取了一年内每隔15分钟的各风机安装处的平均风速数据的算术平均数作为逐小时连续采样数据的平均风速，以此类推分别计算出逐日、逐月、年平均风速以及有效小时数。 + +在对风能资源评估方面，分别计算平均和有效风功率密度，综合所求得的年有效风功率密度、风速的年有效小时数和年平均风速的数据，结合我国风能区域等级划分的标准，判断出该风电场为风资源次丰富区；在对风能资源的利用情况的评估方面，分别通过利用率、变化幅度一致性、变化趋势一致性等来进行。通过分别计算理论输出功率和实际输出功率，对两种数据进行插值成为功率对应时间的连续函数，分别对其求定积分，得到该风电场风能资源的利用率为 $26.49\%$ ；接着，基于偏差标准差和协方差对数据变化幅度与趋势做一致性分析，得出数据的趋势一致性较好，但变化幅度一致性一般的结论。 + +针对问题二，分别从容量系数、有效小时数、最优小时数三个方面讨论风能资源与风机匹配情况。首先运用三次多项式拟合确定了机型I、II中风速功率的函数关系，得到机型I、II中在不同风速下求解功率的分段函数；其次，分别计算6种风机所在地的风速通过机型I、II后会产生的功率，利用求得的6种风机所在地的风速的逐日平均功率，插值得到功率对应时间的连续函数，分别对其求定积分，得到机型I、II在6个地点的实际发电量；再次，求出6个地点在机型I、II下的容量系数，从而确定机型I中的所有风机都有更优的选择；然后，统计6个地点中落在不同机型有效和无效风速区间的小时数，取在额定功率和切出功率的风速为最优风速，统计出最优小时数，发现在6个地点中对应的机型III的最优小时数最多；最后，确定新型号风机机型III比现有的机型I、II更为适合。 + +针对问题三，在不考虑风速信息的情况下，建立了以所有风机两次维护之间的连续工作时间最长的达到最小和一年各组维修人员承担的维修风机的台次均衡为目标函数，以风机每年维护两次的规定、风机最大连续工作时间不超过270天、最大维护组个数限制为约束的双目标模型。在考虑风速信息的情况下，建立以经济效益较好和一年各组维修人员承担的维修风机的台次均衡为目标函数，以风机每年维护两次的规定、风机最大连续工作时间不超过270天、最大维护组个数限制为约束的双目标模型。考虑所建模型的问题属性，不存在绝对最优解，只存在有效解或弱有效解的情况，本文构建了启发式算法求解，得到维修人员的排班方案和风机维修（见表13）。 + +关键字：风资源评估 双目标模型 启发式算法 维护计划 + +# 1. 问题重述 + +风能是一种最具活力的可再生能源，风力发电是风能最主要的应用形式。我国某风电场已先后进行了一、二期建设，现有风机124台，总装机容量约20万千瓦。请建立数学模型，解决以下问题： + +1. 附件1给出了该风电场一年内每隔15分钟的各风机安装处的平均风速和风电场日实际输出功率。试利用这些数据对该风电场的风能资源及其利用情况进行评估。 +2. 附件2给出了该风电场几个典型风机所在处的风速信息，其中4#、16#、24#风机属于一期工程，33#、49#、57#风机属于二期工程，它们的主要参数见附件3。风机生产企业还提供了部分新型号风机，它们的主要参数见附件4。试从风能资源与风机匹配角度判断新型号风机是否比现有风机更为适合。 +3. 为安全生产需要，风机每年需进行两次停机维护，两次维护之间的连续工作时间不超过270天，每次维护需一组维修人员连续工作2天。同时风电场每天需有一组维修人员值班以应对突发情况。风电场现有4组维修人员可从事值班或维护工作，每组维修人员连续工作时间（值班或维护）不超过6天。请制定维修人员的排班方案与风机维护计划，使各组维修人员的工作任务相对均衡，且风电场具有较好的经济效益，试给出你的方法和结果。 + +# 2. 问题分析 + +# 2.1 问题的背景 + +进入21世纪以来，伴随经济全球化和全球经济一体化趋势的不断加强，世界各国都面临着日益严重的能源危机和环境污染压力。面对这种压力和困境，风能资源作为一种可再生的清洁能源的开发利用逐渐受到世界各国的普遍重视。我国作为能源及其短缺，而风能资源又十分丰富的发展中国家，开发利用风能资源具有重大战略意义，而且，国家对我国风能资源开发利用也给予高度重视[5]。 + +# 2.2 问题一的分析 + +问题一要求利用该风电场一年内每隔15分钟的各风机安装处的平均风速和风电场日实际输出功率的数据，对该风电场的风能资源及其利用情况进行评估。在对每15分钟的平均风速和功率进一步处理之前，要先对数据进行完整性和合理性检验，在对其修正后才能应用于后期的计算。为了反映风电场长期平均水平的代表性数据，计算风电场的逐小时平均风速数据，由此就可以进一步计算风电场逐日、逐月以及一年的平均风速。对风能资源评估的综合指标为平均风功率密度，由此可以对该风电场的平均风功能密度进行计算，参照等级划分标准即可得到对风能资源的评估。在完成了对风能资源的评估，可以通过考虑该风电场对风能资源实际的发电情况和理论的发电情况，得到风能资源的利用率。为了更好地反映风能资源的利用情况，可以做一致性检验，判断整个风能资源利用情况的变化趋势以及变化大小，从而更全面地对风能资源的利用情况进行了评估。 + +# 2.3 问题二的分析 + +问题二要求从风能资源以及风机匹配角度判断新型号风机是否比现有风机更为合适。即分别从容量系数、有效小时数、最优小时数三个方面讨论风能资源与风机匹配情况。求解容量系数时首先要求解得到实际的发电用量，由此通过原始数据处理成连续数据，即可得到容量系数。不同容量系数决定了哪些机型存在有更合适的状况，由此再统计有效小时数和最优小时数，从风机的匹配角度考虑哪个机型应该换成哪个机型可以更加适合，从而产生更多的发电量，提高发电效率。 + +# 2.4 问题三的分析 + +问题三要求请制定维修人员的排班方案与风机维护计划，使各组维修人员的工作任务相对均衡，且风电场具有较好的经济效益，试给出你的方法和结果。可以从在不考虑风速信息的情况下，建立了以所有风机两次维护之间的连续工作时间最长的达到最小和一年各组维修人员承担的维修风机的台次均衡为目标函数，找出一定的约束条件确定多目标模型。再在考虑风速信息的情况下，建立以经济效益较好和一年各组维修人员承担的维修风机的台次均衡为目标函数，沿用不考虑风速信息的情况下的约束条件即可。这种只存在有效解或弱有效解的情况，可以构建启发式算法求解。 + +# 3. 模型假设 + +1、风场附近应无高大建筑物、树木等障碍物，与单个障碍物距离应大于障碍物高度的3倍，与成排障碍物距离应保持在障碍物最大高度的10倍以上； +2、风场位置的风况应基本代表该风场的风况； +3、该风场的风速可认为是近地面的风速。 + +# 4.符号说明 + +$x_{ijk}^{(n)}$ ：第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的平均风速； + +$A$ ：每一个小时分为4个时间间隙为15分钟的时间段个数（ $A = 4$ ）； + +$B$ ：每一天分为24个时间间隙为1小时的时间段个数（ $B = 24$ ）； + +$C$ ：每一个小时分为12个时间间隙为1小时的时间段个数（ $B = 12$ ）。 + +$\overline{x_{ij}^{(\mathrm{n})}}$ ：第 $n$ 个月第 $i$ 天第 $j$ 小时逐小时采样数据的平均风速； + +$\overline{x_{i}^{(\mathrm{n})}}$ ：第 $n$ 个月的第 $i$ 天逐日采样数据的平均风速； + +$\bar{w}$ ：第 $n$ 个月逐月采样数据的平均风速平均风功率密度； + +$p_{ijk}^{(n)}$ ：第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的实际功率； + +$q_{ij}^{(n)}$ ：理论输出功率 + +# 5. 模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一的模型建立与求解 + +# 5.1.1平均风速数据的检验 + +根据该发电厂各风机安装处的每天中午每隔15分钟的平均风速，对风能资源进行评估。对已给出的数据进行完整性检验和合理性检验，确定不合理数据和缺失的数据。在发现不合理和缺失数据后，挑出符合实际情况的有效数据，替换无效的数据。由此，为后面整理至少连续一年完整的风场逐小时测风数据完成原始数据的准备。 + +# （1）完整性检验[1][2] + +完整性检验，即检验数据数量是否等于与其记录的数据数量；数据的时间顺序是否符合预期的开始、结束时间、中间应连续。由此，完整性检验就是考虑现场采集的测量数据完整率，计算实测数据的数量与所预想得到的数据个数之比。并且根据BT/T18709-2002《风电场风能资源测量方法》标准规定，现场采集的测量数据的完整率应大于等于 $98\%$ ，得到测量数据的完整率的计算公式为： + +$$ +\frac {\text {实测的数据数量}}{\text {所预想得到的数据数量}} \geq 98 \% \tag{1} +$$ + +由此，利用 MATLAB 软件，求解附件一中该风电场一年内每隔 15 分钟的各风机安装 + +处的平均风速数据的测量数据完整率，得到该风电场的测量数据完整率为 $99.97\%$ ，高于规定的 $98\%$ 完整率。 + +根据结果可以找出在2015年的3月15日14:30、3月18日17:30、3月30日6:00、7月27日13：00、7月28日13：00、7月29日13：00、9月27日19：00、11月2日0:15、11月21日10：30、12月11日14:45，10个数据出现了错误，其中出现缺失数据的次数为1次，无效数据的次数为9次。 + +# （2）对错误原始数据的修正 + +根据原始数据的完整性检验结果，得到原始数据中错误数据为10个。其中原始数据的缺失数据只有1个，为3月30日6:00，其余9个为原始数据的无效数据。找出错误数据对应时间段的所有平均风速，分别求均值，得到每一个错误数据修正值。那么，原始数据的9个无效数据以及修正值如表1所示，表1中的时间为对应时间段的开始时间。 + +利用MATLAB求解，得到原始错误数据的修正值如表1所示。 + +表 1: 原始错误数据的修正值 + +
月/日/时间错误值修正值
3月15日14:30（无效）4.74.94.6
3月18日17:30（无效）4..44.4
3月30日6:00（缺失）缺失4.6
7月27日13:00（无效）5.16.45.7
7月28日13:00（无效）5.16.45.6
7月29日13:00（无效）5.16.45.7
9月27日19:00（无效）4..44.5
11月2日0:15（无效）10..49.9
11月21日10:30（无效）3..12.9
12月11日14:45（无效）8..38.1
+ +原始错误数据的修正完成后，该风电厂修正后的平均风速数据必然满足能够通过完整性检验。那么，只要修正后的数据通过了合理性检验，就可以使用该数据计算评估风能资源所需要的参数。 + +# (3) 合理性检验[1][2] + +在得到修正后的平均风速数据后，完成了完整性检验，由此对其进行合理性验证。根据BT/T18710-2002《风电场风能资源评估方法》标准规定，合理性范围如表2所示，趋势性范围如表3所示。 + +表 2: 主要参数的合理范围参考值 + +
主要参数合理范围
平均风速0≤小时平均风速<40m/s
+ +参照表2中对数据合理范围的参考值，利用MATLAB软件对原始数据进行筛选，没有得到处于不合理范围内的平均风速数据，即该发电场的平均风速所有数据通过合理性范围检验，不存在需要剔除的现象。 + +表 3：主要参数的趋势性范围参考值 + +
主要参数合理范围
1h平均风速变化<6m/s
+ +参照表3中对数据趋势性范围的参考值，结合原始数据中每个利用MATLAB软件对原始数据进行筛选，没有得到处于不合理范围内的平均风速数据，即该风电场的平均风速所有数据通过趋势性范围检验，不存在需要剔除的现象。 + +由此，根据BT/T18710-2002《风电场风能资源评估方法》标准，有效数据完整率必须大于等于 $90\%$ ，得到有效数据完整率的计算公式为： + +$$ +\frac {\text {应测数据} - \text {缺测数据} - \text {无效数据数目}}{\text {应测数目}} \times 100 \% \geq 90 \% \tag{3} +$$ + +最后，利用MATLAB软件求解，得到有效数据完整率为 $99.97\%$ ，高于 $90\%$ 的完整率。因此，确定该发电场的平均风速数据通过了合理性检验。当该修正后的数据通过了完整性检验与合理性检验后，该数据就可以直接应用与后续对平均风速与风能资源的计算。 + +# 5.1.3平均风速的统计分析 + +在对原始数据中的错误数据进行剔除与替换后，得到该发电场一年内每隔15分钟的各风机安装处的完整平均风速数据。根据BT/T 18710-2002《风电场风能资源评估方法》标准规定，整理出来的数据至少是一年的风场实测逐小时平均风速的数据。 + +平均风速表示空气在单位时间内流过的距离，单位是 $m / s$ 米/秒或英里/小时。由于风力变幻莫测，于是在实用中就有瞬时风速与平均风速这两个概念。前者可以用风速仪在较短时间 $(0.5\sim 1.0s)$ 内测得，后者实际上是某一时间间隔内各瞬时风速的均值，因此就有日平均风速、月平均风速、年平均风速等。[4]由此，首先通过修正后的原始数据计算逐小时的平均风速数据，不断深入求解逐日、逐月以及一年的平均风速。 + +# （1）逐小时连续采样数据的平均风速 + +根据一年内每隔15分钟的各风机安装处的完整平均风速数据，为了使修正后的平均风速数据成为一套能够反映风电场长期平均水平的代表性数据，计算风电场的逐小时平均风速数据。那么，第 $n$ 个月第 $i$ 天第 $j$ 小时逐小时采样数据的平均风速 $\overline{x_{ij}^{(n)}}$ 为： + +$$ +\overline {{x _ {i j} ^ {(n)}}} = \frac {\sum_ {k = 1} ^ {4} x _ {i j k} ^ {(n)}}{A} \tag {4} +$$ + +$$ +(n = 1, 2, \dots , 1 2; i = 1, 2, \dots , m; j = 1, 2, \dots , 2 4; k = 1, 2, 3, 4) +$$ + +其中， $x_{ijk}^{(n)}$ 为第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的平均风速， $A$ 为每一个小时分为4个时间间隙为15分钟的时间段个数（ $A = 4$ ）。 + +利用MATLAB求解，得到12个月每天中24个小时采样数据的平均风速，因为数据量多大，现只给出1月份中1-31号每个小时采样数据的平均风速如表4所示，每个月份每天的24小时平均风速数值见数据文件一。 + +表 4:1 月份 1-31 号每小时的平均风速 + +
1月份1号2号3号4号5号6号7号8号...31号
1时4.8257.657.6511.07511.0757.1757.1758.15...4.875
2时4.3756.4256.82511.27511.2757.357.357.65...5.3
3时4.73.8257.82511.711.77.557.557.8...6.55
4时4.1253.38757.9512.0512.0256.656.657.5...6.95
.................................
24时4.67.759.4258.7258.7258.658.655.275...5.975
+ +由此，根据求解得到的12个月每天中24个小时采样数据的平均风速，利用MATLAB软件制作出每小时平均风速图，如图1所示。 + +![](images/d1d891297e5e62dea6158757e87ec6990392d19fa1de14dfe9762af0a3127dd4.jpg) +图1逐小时连续采样数据的平均风速 + +# （2）逐日连续采样数据的平均风速 + +在得到该风电场逐小时连续采样数据的平均风速后，分别取每日24小时逐小时平均风速的平均值，得到逐日连续采样数据的平均风速。那么，第 $n$ 个月的第 $i$ 天逐日采样数据的平均风速 $\overline{x_i^{-(n)}}$ 为： + +$$ +\overline {{x _ {i} ^ {(n)}}} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {2 4} \sum_ {k = 1} ^ {4} x _ {i j k} ^ {(n)}}{A \times B} \quad (n = 1, 2, \dots , 1 2; i = 1, 2, \dots , m) \tag {5} +$$ + +其中， $x_{ijk}^{(n)}$ 为第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的平均风速， $A$ 为每一个小时分为4个时间间隙为15分钟的时间段个数（ $A = 4$ ）， $B$ 为每一天分为24个时间间隙为1小时的时间段个数（ $B = 24$ ）。 + +利用MATLAB软件求解，得到12个月每天的平均风速如表5所示。 + +表 5：逐日连续采样数据的平均风速 + +
1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
1天3.774.745.0811.899.035.813.134.614.207.294.8611.16
2天4.983.5311.627.399.024.173.354.627.705.269.9610.70
3天6.143.306.764.295.734.522.804.788.903.527.895.19
4天8.862.884.624.515.7411.964.295.237.433.132.793.60
5天8.864.033.133.056.807.105.195.199.026.675.583.75
6天7.895.733.873.338.395.506.653.473.664.333.504.71
7天7.894.424.096.004.105.957.143.483.664.305.215.71
8天5.736.654.424.726.555.667.565.036.463.814.565.64
9天5.734.863.735.757.847.473.466.245.656.983.663.83
10天4.869.725.483.1210.8212.275.536.536.315.163.767.62
11天4.9210.494.828.097.986.009.214.748.352.934.617.66
12天7.468.755.786.663.445.348.764.902.196.426.352.45
13天7.408.016.043.803.443.833.876.894.595.455.598.87
14天3.938.415.175.454.325.784.052.596.515.456.8011.01
15天3.9310.266.288.784.517.765.367.057.016.423.8111.04
16天4.435.495.167.074.393.124.638.175.457.254.104.14
17天8.243.864.995.687.734.054.334.123.534.732.845.45
18天8.798.743.138.164.652.834.533.583.975.955.343.41
19天5.676.154.114.134.944.804.674.246.176.404.135.25
20天10.456.534.943.846.855.634.864.048.265.794.994.63
21天6.348.995.564.202.525.715.763.968.174.983.574.98
22天4.504.974.544.212.415.155.762.806.262.053.983.45
23天4.816.403.915.054.045.785.853.365.232.402.463.54
24天5.759.245.613.326.532.547.704.195.076.277.383.54
25天4.944.456.834.637.422.203.774.424.539.2411.1610.17
26天7.196.787.225.505.968.053.254.976.8610.177.6210.04
27天4.545.746.224.333.808.137.024.064.325.298.684.29
28天4.199.316.514.005.886.457.023.204.442.466.984.30
29天3.8710.337.615.215.537.023.186.534.393.809.56
30天4.175.089.024.157.714.615.4110.884.864.014.52
31天6.794.725.464.614.825.345.91
+ +由此，根据求解得到的12个月每天采样数据的平均风速，利用MATLAB软件制作出每日平均风速图，如图2所示。 + +![](images/9b3ccb6725858ecaba8235fd4f7a9e7d2663869983a3b0dcec20942ccb644190.jpg) +图2逐日连续采样数据的平均风速 + +# （3）逐月连续采样数据的平均风速 + +结合逐日连续采样数据的平均风速数据，计算整每个月的平均风速，即对每个月中每天采样数据取平均，得到第 $n$ 个月逐月采样数据的平均风速 $\overline{x}^{(n)}$ 为： + +$$ +\bar {x} ^ {- (n)} \bar {x} ^ {- (n)} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {j = 1} ^ {2 4} \sum_ {k = 1} ^ {4} x _ {i j k} ^ {(n)}}{A \times B \times C} \tag {6} +$$ + +其中， $x_{ijk}^{(n)}$ 为第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的平均风速， $A$ 为每一个小时分为4个时间间隙为15分钟的时间段个数（ $A = 4$ ）， $B$ 为每一天分为24个时间间隙为1小时的时间段个数（ $B = 24$ ） $C$ 为每一个小时分为12个时间间隙为1小时的时间段个数（ $B = 12$ ）。 + +利用MATLAB软件求解，得到12个月的平均风速如表6所示。 + +表 6：逐月连续采样数据的平均风速 + +
年份1月份2月份3月份4月份5月份6月份
平均风速 (m/s)6.03216.51515.47615.58595.79455.8933
年份7月份8月份9月份10月份11月份12月份
平均风速 (m/s)5.34634.64096.04375.31295.33186.3126
+ +由此，根据求解得到的12个月采样数据的平均风速，利用MATLAB软件制作出每月 + +平均风速图，如图3所示。 + +![](images/3ad426cfb319b18fe0997416d5ef3a1217f6f7a5e1bba362d1382876c14c343c.jpg) +图3 逐月连续采样数据的平均风速 + +# （4）一年的平均风速 + +根据逐月连续采样数据的平均风速（即表6数据），求解其12个月的平均风速平均值，得到2015年该风场的平均风速为 $5.6755 \, \text{m/s}$ 。 + +# （5）有效小时数 + +因为风机的运行时需要一定的风速大小，所以只有风速大于 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时风机才能成功运转。考虑到风机的负荷是有限制的，风机能够运转的最大风速为 $25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，只有在 $3 - 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 范围内的风速才能够成功地利用风机将风能转化为电能。 + +由此，统计出代表年测风序列中风速在 $3 - 25\mathrm{m / s}$ 之间的累计小时数，即统计逐小时平均风速数据中的有效小时数 $s$ ，计算 $c$ 与逐小时平均风速数据的总数量之比，得到有效小时数占总小时数的比值 $C$ 如下： + +$$ +C = \frac {\text {满 足 运 转 范 围 的 数 据 数 量}}{\text {每 小 时 的 数 据 总 数 量}} \tag {7} +$$ + +由此，统计出每小时内不同平均风速范围内的出现频数，从而确定风速在 $3 - 25\mathrm{m / s}$ 之间的累计小时数。根据数据文件一（逐小时连续采样数据的平均风速）中出现平均风速值，取最小风速在(0,1]之内、最大风速在(21,22]内，分别统计不同平均风速出现的频率如表7所示。 + +表 7：不同风速范围内的频数 + +
风速范围(0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6](6,7](7,8]
频数28441895131814491150977798
风速范围(8,9](9,10](10,11](11,12](12,13](13,14](14,15](15,16]
频数6204362781819948305
风速范围(16,17](17,18](18,19](19,20](20,21](21,22]
频数311101
+ +由此，根据求解得到的不同风速范围内的频数，利用MATLAB软件制作出每小时不同风速范围内频数直方图，如图4所示。 + +![](images/985d73e7d82ea8b3ecb15422a0f410f118dd2faed91f6fed557c87f81db20ac5.jpg) +图4每小时不同风速范围内频数直方图 + +结合逐小时连续采样数据的平均风速（即表7数据），利用MATLAB软件进行筛选与计算，得到一年内能够发电的有效小时数 $c$ 为7425小时，在总发电小时数中所占的比例 $C$ 为 $84.76\%$ 。 + +# 5.1.4 对风能资源的评估 + +为了更好地对风能资源进行评估，引入中国气象科学研究院关于我国风能资源空间分布的三级区划指标体系，我国风能的空间分布可划分为4种区域类型[5]，对年有效风功率密度、风速的年有效小时数和年平均风速评估，即计算该风场的平均风功率密度以及有效风功率密度。 + +风功率密度蕴含风速、风速分布和空气密度的影响，是风场风能资源的综合指标。不同风速在与风向垂直的单位面积内所具有的功率，被称为该发电厂的风功率密度。而平均风功率密度的计算应是设定时段内逐小时风功率密度的平均值，不可以用年平均风速计算年平均风功率密度。因此利用平均风功率密度的计算公式，结合逐小时的平均风速数据即可计算得到平均风功率密度，再求出风速在 $3 - 25m / s$ 之间的有效风功率。最后，参考我国对风能区域等级的划分标准，对该风场进行评估。 + +# (1) 平均风功率密度 $\bar{w}$ + +因为平均风功率密度不可以用年平均风速计算，所以利用所有逐15分钟的平均风速之和的平均数，得到平均风功率密度为： + +$$ +\bar {w} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {j = 1} ^ {2 4} \frac {1}{2} \rho \times \left(\overline {{x _ {i j} {} ^ {(n)}}}\right) ^ {3}}{N} \tag {8} +$$ + +其中， $x_{ij}^{(\mathrm{n})}$ 为第 $n$ 个月第 $i$ 天第 $j$ 小时逐小时采样数据的平均风速， $\rho$ 为空气密度（ $\rho = 0.9762 \, \mathrm{kg/m}^3$ ）， $N$ 为逐小时风速数据序列的个数（ $N = 8760$ ）。 + +利用MATALB求解，得到该风场的平均风功率密度为 $156.5897W / m^{3}$ 。 + +# (2) 有效风功率密度 + +有效风功率密度为在 $3 - 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 平均风速所能产生的功率。由此, 引入 0-1 变量 $u_{ij}^{(n)}$ , 表示第 $n$ 月份的第 $i$ 天中第 $j$ 小时的平均风速是否在 $3 - 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的范围内, 如下: + +$$ +u _ {i j} ^ {(n)} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text {第 月 份 的 第 天 中 第 小 时 的 平 均 风 速 在} 3 - 2 5 \text {的 范 围 内} \\ 0 & \text {第 月 份 的 第 天 中 第 小 时 的 平 均 风 速 不 在} 3 - 2 5 \text {的 范 围 内} \end{array} \right. +$$ + +则有效风功率密度表示为: + +$$ +\overline {{w _ {t}}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {j = 1} ^ {2 4} \frac {1}{2} \rho \times \left(\overline {{x _ {i j} {} ^ {(n)}}}\right) ^ {3} \times u _ {i j} {} ^ {(n)}}{\sum u _ {i j} {} ^ {(n)}} \tag {9} +$$ + +利用MATALB求解，得到该风场的有效风功率密度为 $183.7162W / m^{3}$ 。 + +由此，该风场的风能资源状况如表8所示。 + +表 8：风场的风能资源状况 + +
年有效风功率密度 +（W/m²）风速的年有效小时数 +（小时）年平均风速 +（m/s）
183.716274255.6755
+ +在得到该风场的年有效风功率密度为 $183.7162W / m^2$ ，风速的年有效小时数为7425小时，年平均风速为 $5.6755m / s$ 后，参照我国风能区域等级划分的标准（如表9所示），对该风场属于我国风能区域等级进行判断。 + +表 9：我国风能区域等级划分的标准 + +
风资源丰富区大于200W/m²大于5000h大于6m/s
风资源次丰富区大于200-1500W/m²大于5000h-4000h5.5m/s左右
风资源可利用区大于150-100W/m²大于4000h-2000h5m/s左右
风资源贫乏区小于100W/m²小于2000h小于5m/s
+ +将表8中该风场的年有效风功率密度、风速的年有效小时数和年平均风速代入表9我国风能区域等级划分的标准中比较，得到该风场的年有效风功率密度和年平均风速都符合风资源次丰富区，只有风速的年有效小时数符合风资源丰富区的要求。由此，确定该风场为风资源次丰富区，风能资源较丰富。 + +# 5.1.5 对风能资源利用情况的评估 + +该风场处在我国的风能区域中的风资源次丰富区域，年有效风功率密度为183.7162 $W / m^2$ 。对风能资源的使用，是指利用风机的运转将有效风功率转化为实际发电量。那么，风能资源得到利用的部分就是风机能够转换的实际发电量。 + +由此，对风能资源的利用情况进行评估，即评估风机对风能资源的利用率的大小和风能质量的分布。针对风能资源的利用率，求解到达该风场的风能资源理论上应该产生的发电量和风机对风能资源的转化后的实际发电量，计算两者比值，得到该发电厂对风能资源的利用率。 + +# (1) 理论输出功率 $q_{ij}^{(n)}$ + +以逐小时采样连续数据的平均风速数据，结合输出功率的计算公式，计算该风电场风能资源的理论输出功率为： + +$$ +q _ {i j} ^ {(n)} = \frac {\frac {1}{2} ^ {\prime} \sum_ {k = 1} ^ {4} \rho \times \left(\overline {{x _ {i j k}}} ^ {(n)}\right) ^ {3}}{A} \tag {10} +$$ + +其中， $x_{i,j,k}$ 为第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的平均风速， $A$ 为每一个小时分为4个时间间隙为15分钟的时间段个（ $A = 4$ ）。 + +# (2) 实际输出功率 $\overline{p_{ij}^{(n)}}$ + +以逐小时采样连续数据的平均功率，求其平均得到实际的输出功率为： + +$$ +\overline {{p _ {i j} ^ {(n)}}} = \frac {\sum_ {k = 1} ^ {4} p _ {i j k} ^ {(n)}}{A} \tag {11} +$$ + +其中， $p_{ijk}^{(n)}$ 为第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的实际功率。 + +为了使功率是能够反映风电场长期平均水平的代表性数据，通过求解平均值，将附件1中每15分钟的实际输出功率转化为逐小时连续采样数据的实际输出功率，如表X所示（只给出了部分功率，完整逐小时连续采样数据的实际输出功率见附件文件二。 + +表10： + +
1月2月3月4月5月6月...12月
1天15.1437.1927.59141.1782.4725.63...138.68
2天26.2910.40135.5171.5182.4613.08...106.59
3天57.9813.1752.0828.2447.4616.56...39.93
4天117.894.5424.9830.4847.4565.39...13.74
5天117.8415.213.5810.8258.2639.29...13.33
...........................
27天25.4346.0363.2020.7515.4454.18...24.07
28天29.56117.1364.5213.5152.4524.88...24.15
29天21.11127.2670.8938.3829.24...98.32
30天19.0816.0182.4615.7039.74...27.90
31天76.7338.2032.46...42.28
+ +(3) 理论、实际发电量及风能资源利用情况 [6] + +结合逐小时采样数据的理论输出功率和实际输出功率的数据，以一个小时为时间间隙，从2015年1月1日时刻开始，计算每一个观测时刻距离开始时刻的时间，得到在逐小时采样数据中第 $i$ 个小时所对应的时间 $t_p$ （单位：s），表示为： + +$$ +t _ {p} = 3 6 0 0 p \quad (p = 1, 2, \dots , 8 7 6 0) \tag {12} +$$ + +随着时间的变化，理论输出功率和实际输出功率也在不断地变动。为了使得输出功率与时间始终保持着连续的关系，利用三次样条函数对逐小时功率与时间的数据进行插值，得到功率对应时间的连续函数，如图7所示。 + +![](images/74413c8d573f8c093d50261e232ba6ed8850e64da3b9cdb957a95707a1ac4221.jpg) +图7 实际和理论的输出功率图 + +又因为风机对于风能资源并不能做到完全地利用，所以理论输出功率与实际输出功率之间存在一定的偏差。利用定积分求解功率对应时间的连续函数中理论、实际功率的面积，得到理论和实际的总发电量，即 + +$$ +z = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {8 7 6 0}} y _ {1} (t) d t _ {0} \tag {13} +$$ + +由此，求解实际功率求定积分所围成的面积与理想功率求定积分所围成的面积之比，得到风能资源利用率 $\alpha$ ，即 + +$$ +\alpha = \frac {S _ {\text {实}}}{S _ {\text {理}}} = \frac {\int_ {t _ {1}} ^ {t _ {8 7 6 0}} y _ {1} (t) d t _ {0}}{\int_ {t _ {1}} ^ {t _ {8 7 6 0}} y _ {2} (t) d t _ {0}} \tag {14} +$$ + +利用MATLA软件求解，得到理论发电量为 $5.6901 \times 10^{7} \mathrm{KW}$ ，实际发电量为 $2.1482 \times 10^{8} \mathrm{KW}$ ，该风电场的风能资源利用率为 $26.49\%$ 。 + +# 5.1.6 基于偏差标准差的变化幅度一致性分析 + +首先，根据给出的平均风速与实际功率，两者不存在同一个量纲中，无法进行变化趋势大小的一致性检验。由此，对平均风速与实际功率的数值进行标准差处理，使两个数据处于一个量纲中，再取平均风速曲线与实际功率曲线的中间值，计算平均风速与实际功率对于中间值的偏差标准差，从而反映两个数据在变化趋势上的偏离大小或程度 + +平均风速标准化数据为： + +$$ +\frac {x _ {i j k} ^ {(n)} - \overline {{x _ {i j k} ^ {(n)}}}}{\sigma^ {2}} \tag {15} +$$ + +实际功率标准化数据为 + +$$ +\frac {p _ {i j k} ^ {(n)} - \overline {{p _ {i j k} ^ {(n)}}}}{\sigma^ {2}} \tag {16} +$$ + +其中， $x_{ijk}^{(n)}$ 为第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的平均风速， $p_{ijk}^{(n)}$ 为第 $n$ 个月的第 $i$ 天中第 $j$ 个小时15分钟的各风机安装处的实际功率。 + +利用MATLAB软件求解，得到每日逐15分钟标准化的平均风速与实际功率数据之间的偏差的标准差全年平均值为0.5381，以及全年数据标准化的平均风速与实际功率数据之间的偏差的标准差为0.6099。由此，确定数据的变化幅度的一致性一般。 + +# 5.1.7 基于协方差的变化趋势一致性分析 + +在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差，度量两个变量之间“协同变异”大小的总体参数，亦可反映两个变量变化趋势的一致性。因此，利用协方差公式对平均风速与功率进行协方差计算，如下： + +$$ +C O V (X, Y) = E \left\{\left[ X - E (X) \right] \right\} \left\{\left[ Y - E (Y) \right] \right\} \tag {17} +$$ + +利用MATLAB软件求解，得到每日逐15分钟的平均风速与功率数据的协方差值为0.3887。由此确定数据的变化趋势一致性较好，数据大体上能够呈现同增同减的情况。 + +# 5.2 问题二的模型建立与求解 + +问题二给出了6个典型风机处在6个不同地点的风速信息、2种现有风机参数以及3种新型号风机主要参数，要求从风能资源与风机匹配两个角度方面判断新型号风机是 + +否比现有风机更为合适。首先从风能资源出发，每种风机所处地的风速考虑额定功率为1500和 $2000 \mathrm{KW}$ 下的实际发电量与容量系数，确定需要寻找更适合风机的机型。再从风机匹配出发，求解每一个最佳数值范围内的数据数量，从而确定更匹配的风机机型。 + +# 5.2.1 机型 I 和机型 II 中风速功率函数关系 + +# （1）机型I风速功率的函数关系 + +问题二中给出了现有两种风机的风速值变化时，该风机产生的功率值。同时现有两种风机中都有3种类型的风机，并且给出了其在对应地点的风速信息。所以首先找出现有两种风机的风速值与功率值存在的函数关系。利用MATLAB软件制图，得到机型I的风速功率曲线图。 + +![](images/4ac64f72bdef039f6cfd49a281ed5b697c36a0f59090d09b0e244de6e89527bc.jpg) +图8机型I风速功率曲线图 + +由图8可知，机型I的风速值与功率值在 $3 - 12m / s$ 之间时，风速值与功率值存在一定的函数关系。当风速值到达 $12m / s$ 甚至超过 $12m / s$ 时，机型I达到其最大的输出功率，并且此时风速值再不断地增大时，功率值始终保持在 $2010KW$ 。由此，找出机型I风速值在 $3 - 12m / s$ 下，风速值与功率值的函数关系，从而得到机型I的风速值与功率值的分段函数关系值。 + +由此，利用指数拟合、二次多项式和三次多项式的拟合方法，对机型I风速值在3-12 $m / s$ 下的风速值与功率值的关系进行拟合，如图9所示。 + +![](images/60e0a3400bfc79330924e9f0b16e461d8774f7b16995282bc97da9669078b1a1.jpg) +图9 风速值与功率值的关系的拟合曲线 + +结合图8，判断三种方法中，三次多项式拟合对原始数据的拟合程度最好，比非线性拟合（指数拟合）和二次多项式拟合的拟合曲线更逼近原始数据点，所以选择采用三次多项式拟合的方法对风速值与功率值的函数进行确定。结合最小二乘法，利用MATLAB软件求解，求解得到风速值与功率值的关系的三次多项式拟合的拟合系数为-0.28326、84.0379、498.1837、896.5020。又因为当风速小于 $3m / s$ 时，风机不会成功运转；当风速大于等于 $12m / s$ 时，风机产生的功率就始终保持在 $2010KW$ 。因此，得到机型I风速与功率曲线函数关系式为： + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & 0 \leq x < 3 \\ - 0. 2 8 3 2 6 x ^ {3} + 8 4. 0 3 7 9 x ^ {2} + 4 9 8. 1 8 3 7 x + 8 9 6. 5 0 2 0 & 3 \leq x < 1 2 \\ 2 0 1 0 & x \geq 1 2 \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +# （2）机型Ⅱ风速功率的函数关系 + +同理得到机型 II 的风速功率曲线如图 10 所示，机型 II 的风速达到 $11 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 后，其输出功率量保持在 $1500 \mathrm{KW}$ 的最大功率。 + +![](images/4a3fe028d28a7354760a4c9f029c68408856c7ae6bd1972834b65d846430d599.jpg) +图10机型Ⅱ风速功率曲线图 + +再次采用三次多项式拟合的方法对机型Ⅱ的风速与功率的关系拟合，得到拟合系数为-1.3384、47.9810、265.338、447.0624。因此，得到机型Ⅱ风速与功率曲线函数关系式为： + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & 0 \leq x < 3. 5 \\ - 1. 3 3 8 4 x ^ {3} + 4 7. 9 8 1 0 x ^ {2} + 2 6 5. 3 3 8 x + 4 4 7. 0 6 2 4 & 3. 5 \leq x < 1 1 \\ 2 0 1 0 & x \geq 1 1 \end{array} \right. \tag {19} +$$ + +指风力发电场在给定时间内实际发电量与该时段内额定发电量的百分比， + +# 5.2.2 考虑不同额定功率下的容量系数计算 + +根据题意，机型I中包括4#、16#、24#风机，其额定功率为 $2000KW$ ，每种功率值都可以通过风速的值来确定；机型II中包括33#、49#、57#风机其额定功率为 $1500KW$ 而新型号风机的额定功率为 $1500KW$ 。又因为通过拟合确定了机型I和机型II中风速与功率的关系，由此分别计算每一种机型所在地的风速在额定功率为 $2000KW$ 和 $1500KW$ 机型下所能产生的实际发电量及该机型的容量系数。由此，利用容量系数来衡量该地区风速是否需要更换额定功率不同的机型。 + +# （1）每种风机所在地的风速的功率计算 + +首先，根据机型I中的风速功率的分段函数关系，将每种风机所在地的风速代入式子(15)中，得到机型I能将每个地点风速成功转化的实际功率。 + +其次，根据机型Ⅱ中的风速功率的分段函数关系，将每种风机所在地的风速代入式子(15)中，得到机型Ⅱ能将每个地点风速成功转化的实际功率。 + +# (2) 逐日采样数据的平均功率的计算 + +考虑到附件四中所给出的是一年内每天12个时间的风速，经过分段函数的转换后得到的是每天12个时间点的功率，对其取平均得到一年内逐日采样数据的平均功率，得到每个地点使用机型I和机型Ⅱ下逐日采样数据的平均功率。 + +# （3）两种机型下的实际发电量的计算 + +由于风速与功率始终保持着连续的函数关系，利用三次样条函数对逐日采样数据的平均功率值进行插值，得到功率对应时间的连续函数及曲线。利用定积分求面积，得到每个地点的两种机型下的实际发电量。 + +# (4) 两种机型下的容量系数的计算 + +引入容量系数，指风力发电场在给定时间内实际发电量与该时段内额定发电量的百分比[7]。利用MATLAB软件求解，得到每一种风机所在地风速使用机型I和机型II时的实际发电量与容量系数，如表11所示。 + +表 11：不同机型下风速的实际发电量与容量系数 + +
机型 I风机实际发电量容量系数
4#2.1299×10^10 KW0.3377
16#1.8507×10^10 KW0.2934
24#1.7525×10^10 KW0.2779
33#1.4736×10^10 KW0.2336
44#1.7042×10^10 KW0.2702
57#1.7876×10^10 KW0.2834
机型 II风机实际发电量容量系数
4#1.7749×10^10 KW0.3752
16#1.5424×10^10 KW0.3261
24#1.4644×10^10 KW0.3096
33#1.2421×10^10 KW0.2626
44#1.4266×10^10 KW0.3016
57#1.4938×10^10 KW0.3158
+ +由表11可知，4#风机处的风速使用机型I中的4#风机工作时，其容量系数小于其使用机型II的时的容差系数。又因为容量系数越大，表明该机型的风机越能更好地满足风量需求。所以4#风机处的风速的机型I风机4#应该替换成额定功率为 $1500KW$ 的机型II风机，以此类推机型I中的16#、24#需要替换成额定功率为 $1500KW$ 的风机。相反地，机型II中的33#、44#、57#风机处的风速仍然使用额定功率为 $1500KW$ 的风机。 + +由此，确定额定功率为 $1500KW$ 的风机比额定功率为 $2000KW$ 的机型I风机更加适合使用，所有的机型I风机替换成额定功率为 $1500KW$ 的风机。由于额定功率为1500KW的风机类型共4中，所以所有的机型I风机需要替换的风机在其余四种风机类型中选择，而机型II的风机则要考虑是否存在其他额定功率为 $1500KW$ 的风机更适合使用。 + +# 5.2.3 考虑风速范围的机型更换结果 + +通过对每一个地区的风速使用机型 I、II 的容量系数的计算，确定了机型 I 的三种风机都可以使用额定功率为 $1500 \mathrm{KW}$ 的风机机型进行替换，机型 II 的三种风机可以考虑从其他额定功率为 $1500 \mathrm{KW}$ 的风机机型中挑选更合理的机型。由此，给出表 12 对现有机型和新机型主要参数的参考。 + +表 12：不同风机型号的主要参数 + +
风机型号机型Ⅰ机型Ⅱ机型Ⅲ机型Ⅳ机型Ⅴ
切入风速(m/s)33.5333
额定风速(m/s)1111.510.51111.5
切出风速(m/s)2525252525
额定功率(kW)20001500150015001500
+ +由表12可知，额定功率为 $1500\mathrm{KW}$ 的机型参数的切入风速和额定风速都不完全相同。于是，可以根据切入风速、额定风速和切出风速，统计每个机型不同风速范围下的数据数量，因为当风机通过的风速在额定风速和切出风速之间时，所能产生的功率最多， + +即为该机型的最优小时数。最后通过确定最优数值范围内的数据数量，来判断哪种机型更适合。 + +于是，统计得到每种机型的无效区间、有效区间及最优区间，如表13所示。 + +表 13：每种机型的无效区间、有效区间及最优区间 + +
无效小时数有效小时数最优小时数无效小时数
机型II[0,3.5)[3.5,11.5](11.5,25](25,∞)
机型III[0,3)[3,10.5](10.5,25](25,∞)
机型IV[0,3)[3,11](11,25](25,∞)
机型V[0,3)[3,11.5](11.5,25](25,∞)
+ +由表13所示，分别统计出6个地点风速落在各个范围内的个数，见附件文件二。4#风机所在地的风速落在机型III最优小时数区间的最优小时数最多，为843小时；16#风机所在地的风速落在机型III最优小时数区间的最优小时数最多，为836小时；24#风机所在地的风速落在机型III最优小时数区间的最优小时数最多，为627小时；33#风机所在地的风速落在机型III最优小时数区间的最优小时数最多，为520小时；49#风机所在地的风速落在机型III最优小时数区间的最优小时数最多，为797小时；57#风机所在地的风速落在机型III最优小时数区间的最优小时数最多，为961小时。 + +由此，新型号风机机型III比现有的机型I、II更为适合，能够产生更多的有效小时数及发电量。 + +# 5.3 问题三的模型建立 + +# 5.3.1 不考虑风速信息的情况下最优排班方案 + +设某风电场有两种型号的风机共 $n$ 台，记为 $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ ，需要进行维护保障。该风电场共有 $m$ 组维修人员来完成维护与值班任务，每组在一个时间点只能参加一台风机的维护，每台风机每次维护只需一组人员完成， $m$ 组维修人员编号为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{m}$ 。 + +风机每次维护需一组维护人员连续工作2天，为简化问题，将全年按2天为一个分割点分割成一系列的维护作业段（连续2天为一段），对维护作业段编号为 $1,2,\dots k,\dots ,K$ （为简化问题， $K$ 取整数，这里 $K = 182$ ）。 + +维修人员的排班方案与风机维护计划制定问题即可描述为：在一年的研究周期内，以使各组维修人员的工作任务相对均衡，且风电场具有较好的经济效益为优化目标，在全年的若干个维护作业段内，满足相关限制条件的情况下，实现用若干组维护组，对该风电场全部风机均维护两次。 + +# 5.3.1.1 双目标的转化 + +依据题意要求，显然目标为双目标，分别为各组维修人员的工作任务相对均衡、风电场具有较好的经济效益。 + +由此，引入0-1变量，来描述维修组与风机的维修匹配，即令 $x_{ij}^{k} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & ,\\ 0 & \end{array} \right.$ ，其中，当 $x_{ij}^{k} = 1$ 表示安排第 $p_i$ 组维护人员在第 $k$ 维护作业段维护第 $f_{j}$ 台风机，当 $x_{ij}^{k} = 0$ 表示不安排第 $p_i$ 组维护人员在第 $k$ 维护作业段维护第 $f_{j}$ 台风机。 + +# （1）风电场具有较好的经济效益的目标函数 + +在不考虑风速变化对风机机组的启停影响的情况下，因维护安排产生的风电场具有较好的经济效益的目标，本文理解为风机工作的损耗较小。显然，风机两次维护之间的连续工作时间越小，风机损耗越少，因此将风电场具有较好的经济效益的目标转化为风机两次维护之间的连续工作时间较小。 + +风机两次维护之间的连续工作时间较小的目标，本文转化为所有风机两次维护之间的连续工作时间最长的达到最小，即： + +$$ +\min z _ {2} = \max \left\{\left| k _ {1} x _ {i j} ^ {k _ {1}} - k _ {2} x _ {i j} ^ {k _ {2}} \right| \left| k _ {1}, k _ {2} = 1, 2, \dots , K \right. \right\} \tag {20} +$$ + +（2）各组维修人员的工作任务相对均衡 + +针对各组维修人员的工作任务相对均衡的目标，即为一年各组维修人员承担的维修风机的台次均衡，为此，建立如下目标函数： + +$$ +\min z _ {1} = \max _ {k = 1, 2, \dots , K} \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k}\right) - \min _ {k = 1, 2, \dots , K} \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k}\right) \tag {21} +$$ + +# 5.3.1.2 约束条件 + +约束条件方面，主要考虑风机每年维护两次的规定、风机最大连续工作时间不超过270天、最大维护组个数限制约束。 + +（1）维护的全覆盖，所有 $m$ 台的风机均要求分配在2个不同的维护作业段内进行维护，即 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {m} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k} = 2 \quad (i = 1, 2, \dots , n) \tag {22} +$$ + +（2）同一台的风机安排的维护作业段的最大间隔要求。 + +$$ +\left| k _ {1} x _ {i j} ^ {k _ {1}} - k _ {2} x _ {i j} ^ {k _ {2}} \right| \leq 1 3 5 \quad \left(k _ {1}, k _ {2} = 1, 2, \dots , K\right) \tag {23} +$$ + +（3）同一个维护作业段的安排的最大维护组数限制。 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {m} x _ {i j} ^ {k} \leq K - 1 \quad (k = 1, 2, \dots , K) \tag {24} +$$ + +（4）每一个维护组连续安排的维护作业段数限制。 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k + 1} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {K + 2} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k + 3} \leq 3 (k = 1, 2, \dots , K - 3) \tag {25} +$$ + +（5）一组维护组在同一维护作业段最多只能维护一台风机， + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k} \leq 1 \quad (j = 1, 2, \dots , m; k = 1, 2, \dots , K) \tag {26} +$$ + +（6）同理，一台风机在同一维护作业段最多只能由一组维护组去维护。 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {m} x _ {i j} ^ {k} \leq 1 \quad (i = 1, 2, \dots , n; k = 1, 2, \dots , K) \tag {27} +$$ + +# 5.3.1.3 模型的建立 + +综上，在不考虑未来风速预测的情况下，本文建立了基于维修人员的排班方案与风机维护计划制定问题的双目标规划模型： + +$$ +\min z _ {1} = \max _ {k = 1, 2, \dots , K} \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k}\right) - \min _ {k = 1, 2, \dots , K} \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k}\right) +$$ + +$$ +\min z _ {2} = \max \left\{\left| k _ {1} x _ {i j} ^ {k _ {1}} - k _ {2} x _ {i j} ^ {k _ {2}} \right| \left| k _ {1}, k _ {2} = 1, 2, \dots , K \right. \right\} +$$ + +$$ +s. t. = \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {m} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k} = 2 \quad (i = 1, 2, \dots , n) \\ \left| k _ {1} x _ {i j} ^ {k _ {1}} - k _ {2} x _ {i j} ^ {k _ {2}} \right| \leq 1 3 5 \quad \left(k _ {1}, k _ {2} = 1, 2, \dots , K\right) \\ \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {m} x _ {i j} ^ {k} \leq K - 1 \quad (k = 1, 2, \dots , K) \\ \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k + 1} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {K + 2} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k + 3} \leq 3 (k = 1, 2, \dots , K - 3) \\ \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k} \leq 1 \quad (j = 1, 2, \dots , m; k = 1, 2, \dots , K) \\ \sum_ {j = 1} ^ {m} x _ {i j} ^ {k} \leq 1 \quad (i = 1, 2, \dots , n; k = 1, 2, \dots , K) \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +# 5.3.1.4模型的求解 + +要求两个目标同时实现最优，往往是很困难的，常常是有所失才能有所得。也即是说，上式模型不存在绝对最优解，因此转而求有效解或近似最优解。对于多目标模型，在各种不同的思路下，对得失的不同考虑就引出了各种合理处理得失的方法。本文使用分层序列法，即将各目标按其重要程度排出一个次序，然后，在前一目标最优解的基础上，求后一目标的最优解，因而每次需解决的都是一个单目标问题。求解步骤如下： + +Step1：求解以各组维修人员的工作任务相对均衡为单一目标函数的最优解。目标函数 $\min z_{1} = \max_{k = 1,2,\dots ,K}(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{k = 1}^{K}x_{ij}^{k}) - \min_{k = 1,2,\dots ,K}(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{k = 1}^{K}x_{ij}^{k})$ ，显然为非线性的，为简化问题，在求解之前本文进行了转换。令 $c_{k} = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{k = 1}^{K}x_{ij}^{k}$ ， $c_{k}$ 从大到小排序，重新编号为 $c_{1},c_{2},\dots ,c_{K}$ 由此，目标函数转化为： $\min c_1$ 。 + +Step2: 在第一步的最优解基础上，以第二目标所有风机两次维护之间的连续工作时间最长的达到最小为优选依据，在第一步最优解基础上，选出尽量满足第二目标的解。目标函数 $\min z_{2} = \max \left\{\left|k_{1}x_{ij}^{k_{1}} - k_{2}x_{ij}^{k_{2}}\right|\left|k_{1},k_{2} = 1,2,\dots ,K\right.\right\}$ ，显然为非线性的，为简化问题，约束条件增加 $\left|k_{1}x_{ij}^{k_{1}} - k_{2}x_{ij}^{k_{2}}\right|\geq w$ ( $k_{1},k_{2} = 1,2,\dots ,K$ )，而目标函数转化为 $\min w$ 。 + +# 5.3.2综合考虑风速信息下的最优排班方案 + +为了能够最大限度地提高风电机组的利用率，降低因停机维护而造成的损失，从而提高风电场经济效益，一种优化的办法就是根据往年风速数据资料，预测未来的风速，根据风速预测值，合理地优化停机维护时间。但本题中，因为缺少历年风速数据资料，考虑到实际应用的需要，本文将2015年该风电场的风速数据作为未来年份预测数据的参考值，在此基础上建立双目标模型，为决策者提供参考。 + +考虑到在风速较低的时间，进行风机的维护，将减少损失，从而增加风电场经济效益。因此，在模型建立方面，将风电场具有较好的经济效益这一目标，本文合理地转化为维护作业段加权0-1变量值之和。记第 $k$ 维护作业段的平均风速为 $\overline{v}_k$ ，构建第 $k$ 维护作业段的选择权重 $w_k$ ，其中 $w_k = \frac{1}{\overline{v}_k}$ ，即目标函数转化为 + +$$ +\max z = \sum_ {k = 1} ^ {K} w _ {k} \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {m} x _ {i j} ^ {k} 。 \tag {29} +$$ + +# 5.3.2.1 模型的建立 + +综上，在考虑未来风速预测的情况下，本文建立了基于维修人员的排班方案与风机 + +维护计划制定问题的双目标规划模型： + +$$ +\begin{array}{l} \min z _ {1} = \max _ {k = 1, 2, \dots , K} \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k}\right) - \min _ {k = 1, 2, \dots , K} \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k}\right) \\ \max z = \sum_ {k = 1} ^ {K} w _ {k} \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {m} x _ {i j} ^ {k} \\ s. t. = \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {m} \sum_ {k = 1} ^ {K} x _ {i j} ^ {k} = 2 \quad (i = 1, 2, \dots , n) \\ \left| k _ {1} x _ {i j} ^ {k _ {1}} - k _ {2} x _ {i j} ^ {k _ {2}} \right| \leq 1 3 5 \quad \left(k _ {1}, k _ {2} = 1, 2, \dots , K\right) \\ \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {m} x _ {i j} ^ {k} \leq K - 1 \quad (k = 1, 2, \dots , K) \\ \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k + 1} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {K + 2} + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k + 3} \leq 3 (k = 1, 2, \dots , K - 3) \\ \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i j} ^ {k} \leq 1 \quad (j = 1, 2, \dots , m; k = 1, 2, \dots , K) \\ \sum_ {j = 1} ^ {m} x _ {i j} ^ {k} \leq 1 \quad (i = 1, 2, \dots , n; k = 1, 2, \dots , K) \end{array} \right. \tag {30} \\ \end{array} +$$ + +# 5.3.2.2 模型的求解 + +同理不考虑风速信息的情况下最优排班方案的情况，上式模型不存在绝对最优解，因此转而求有效解或近似最优解。给出一种启发式算法求解步骤如下： + +Step1：全年时间的分段，将全年365天按2天一段分割，考虑到有一天的剩余，为简化问题，求全年各天平均风速的最大值，对应该天天不作为维护时间。于是，全年365天分割为182个维护作业段。 + +Setup2：采用贪心思想，确定维护作业段的优先顺序。将所有维护作业段按照其平均风速的大小由小到大排序，平均风速小的优先。维护作业段的先后时间的顺序由此确定。 + +Step3：进行维护计划的编排。按照维护作业段的优先顺序，采用贪心思想，以最大能力排入风机。每次排入，检查如下约束：风机排入各维护作业段总数不能超过2、风机连续两次编排的间隔段数不超过135段、每一段最大维护组个数限制不超过3、维护组连续工作段数不超过3段。若满足约束，排入，不满足，依序往后排入。 + +Step4, 维护组工作量的均衡调整。每次排入风机至相应维护作业段，比较各维护组工作量的大小，根据大小，优先安排总数小的，由此分配出维护组维护计划。 + +Step5, 若全部风机均按 2 次排入了相应作业段，算法结束。否则，转 3 步。由此，得到使各组维修人员的工作任务相对均衡，且风电场具有较好的经济效益的维修人员的排班方案与风机维护计划，如表 14 所示。 + +表 14：维修人员的排班方案与风机维护计划 + +
日期（每两天）每两天的平均风速维修队伍维修风机数
12.46406251.2.33
23.07968751.2.33
33.18906251.2.33
43.19270833341
53.22343751.3.43
63.2389583332.3.43
73.3244791671.2.33
83.4192708334.1.23
93.4369791674.3.13
103.455468754.2.33
113.4713541671.2.33
123.4729166674.1.23
133.4916666674.1.33
143.5088541674.2.33
153.5130208331.2.33
163.5491666674.1.23
173.6177083334.1.33
183.6718754.2.33
193.7510416672.3.13
203.8760416674.1.23
213.878281254.3.13
223.8822916674.2.13
233.911251.2.33
243.9583333334.2.33
253.981254.1.33
263.98343754.1.23
274.0010416672.3.13
284.018754.2.33
294.0588541674.3.13
304.0754.2.13
314.1135416673.2.13
324.1580208334.2.33
334.1644791674.3.13
344.1802083334.2.13
354.1843752.3.13
364.1848958334.2.33
374.18754.1.33
384.2041666674.2.13
394.223281252.1.33
404.2804166674.2.33
414.30156254.1.33
424.3317708334.2.13
434.335416667
444.345833333
454.351197917
464.3619791673.2.13
474.3770833334.3.23
484.378906254.3.13
494.4006254.2.13
504.42906253.2.13
514.4343754.3.23
524.4463541674.3.13
534.49218754.3.23
544.5161458331.22
554.6072916674.1.33
564.6244791671.2.33
574.6261979172.3.43
584.6755208331.2.33
594.6760416674.12
+ +
604.6802083332.3.43
614.69843751.2.33
624.73406254.2.13
634.7347395834.3.13
644.7672395831.4.33
654.7968752.3.43
664.80656252.1.2
674.80781253.4.13
684.8214583333.4.23
694.8401041674.3.13
704.89843752.1.2
714.993754.2.13
725.0598958334.2.33
735.0651041674.3.13
745.0756770831.2.33
755.0760416671.2.43
765.0989583333.2.43
775.1145833331.3.43
785.1292708331.2.33
795.154.2.13
805.1510416674.2.33
815.206254.1.33
825.2098958332.1.33
835.2119791674.1.23
845.2166666674.2.33
855.2526041674.2.33
865.2682291671.32
875.2772395834.2.13
885.28281254.2.33
895.294270833
905.3015625
915.321875
925.33734375
935.359375
945.390572917
955.418229167
965.43
975.4375
985.452604167
995.50015625
1005.550260417
1015.635416667
1025.636458333
1035.6384375
1045.65734375
1055.661666667
1065.673385417
1075.68203125
1085.695989583
1095.7109375
1105.721354167
+ +
1115.728125
1125.734895833
1135.758333333
1145.763541667
1155.7640625
1165.816458333
1175.894791667
1185.895833333
1195.908333333
1205.920833333
1215.949791667
1225.967708333
1235.980208333
1246.0640625
1256.070833333
1266.090625
1276.1453125
1286.1875
1296.190104167
1306.21875
1316.230729167
1326.2609375
1336.278645833
1346.3375
1356.5671875
1366.620833333
1376.6921875
1386.722708333
1396.770989583
1406.8078125
1416.834895833
1426.843229167
1436.855729167
1446.9171875
1456.930729167
1467.0225
1477.164947917
1487.19125
1497.215625
1507.216197917
1517.286458333
1527.349583333
1537.376041667
1547.442708333
1557.501041667
1567.5859375
1577.592708333
1587.640104167
1597.7578125
1607.923958333
1617.9453125
1628.061979167
1638.147916667
1648.166666667
1658.3140625
1668.372916667
1678.3796875
1688.41875
1698.5165625
1708.705208333
1718.9234375
1728.981770833
1739.022395833
1749.192708333
1759.26578125
1769.330104167
1779.333072917
1789.526041667
1799.642708333
1809.70625
18110.1046875
18211.0265625
+ +由此，确定各组维修队伍的工作量如表15所示，表明工作量均衡性好。 + +表 15：各组维修队伍的工作量 + +
维修队伍编号1234
维修机器数63636362
+ +# 6. 模型的优缺点 + +1，本模型能够用较为简便的方法合理的解决了本问题。 +2. 本文利用了算法, 对问题进行求解。可以在短时间内确定排班的方案和维护的计划,但是在一定程度上将会牺牲解的精度, 所求的解只是在一定范围内的可行解, 得到的并不是最优的方案。只能够说是比较合理的方案。 + +3，对题目给出的统计数据挖掘充分，因此通过求解模型所得的数据与实际相符。 + +# 7. 参考文献 + +[1] GB/T 18709-2002，风电场风能资源测量方法[S].北京：中国标准出版社，2002. +[2] GB/T 18710-2002, 风电场风能资源评估[S]. 北京：中国标准出版社，2002. +[3]国家发展改革委.全国风能资源评价技术规定[S].北京：气象出版社，2003. +[4] 李常春．风资源评估方法研究[J].内蒙古：内蒙古工业大学，2006 +[5] 张蕃. 东北地区风能资源开发与风电产业发展[J]. 北京：资源科学，2008. +[6] 司守奎. 数学建模算法及应用[M]. 北京：国防工业出版社，2016. +[7] 许武、蒙文川、李娟. 南海诸海岛风能资源评估及其风机选型[M]. 长沙：电力建设. 2015. + +# 附录 + +问题1程序（用Matlab7.1求解） + +(1) 计算 2015 年 1 月份到 12 月份的每小时平均风速, 每一天的平均风速, 每月平均风速 + +clc,clear + +2015年1月 + +$\mathsf{d} = []$ + +for n=1:31 + +a=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju\201501.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); + +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11]) = []; + +b=a(:,); + +for $i = 1:24$ + +aa=sum(b(4\*i-3:4\*i))/4;%每小时的平均风速 + +$\mathrm{d} = [\mathrm{d}\quad \mathrm{aa}]$ + +end + +end + +f=d'; + +$h = []$ + +g=reshape(f,24,31) %一月中每一天的每小时平均风速 + +for $j = 1:31$ + +k=sum(g(:,j))/24; + +h=[h k]; %一月中每一天的平均风速 + +end + +h + +m=sum(h)/31 %一月的平均风速 + +clc,clear + +2015年2月 + +$\mathsf{d} = []$ + +for $n = 1:28$ + +a=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju\201502.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); + +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11]) = []; + +$\mathsf{b} = \mathsf{a}(:,$ + +for $i = 1:24$ + +aa=sum(b(4\*i-3:4\*i))/4;%每小时的平均风速 + +$\mathrm{d} = [\mathrm{d}\quad \mathrm{aa}]$ + +end + +end + +f=d'; + +h=[]; + +g=reshape(f,24,28) %二月中每一天的每小时平均风速 + +for $j = 1:28$ + +$k = \text{sum}(g(:,j)). / 24$ + +h=[h k]; %二月中每一天的平均风速 + +end + +```matlab +h +m=sum(h)/28 %二月的平均风速 +clc,clear +%2015年3月 +d=[[]; +for n=1:31 + a=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju\201503.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27']) +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +b=a(:); +for i=1:24 + aa=sum(b(4*i-3:4*i))/4;%每小时的平均风速 + d=[da]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,31) %三月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:31 + k=sum(g(:,j))/24; + h=[h k];%三月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/31 %三月的平均风速 +clc,clear +%2015年4月 +d=[[]; +for n=1:30 + a=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju\201504.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27']) +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +b=a(:); +for i=1:24 + aa=sum(b(4*i-3:4*i))/4;%每小时的平均风速 + d=[da]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape,f,24,30) %四月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:30 + k=sum(g(:,j))/24; + h=[h k];%四月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/30 %四月的平均风速 +clc,clear +``` + +```matlab +%2015年5月 +d=]; +for n=1:31 + a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201505.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27']) +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[]; +b=a(); +for i=1:24 + aa=sum(b(4*i-3:4*i))/4;%每小时的平均风速 + d=[d aa]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,31) %五月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:31 + k=sum(g(:,j))/24; + h=[h k];%五月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/31 %五月的平均风速 +clc,clear +%2015年6月 +d=[[]; +for n=1:30 + a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201506.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27']) +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +b=a(); +for i=1:24 + aa=sum(b(4*i-3:4*i))/4;%每小时的平均风速 + d=[d aa]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,30) %六月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:30 + k=sum(g(:,j))/24; + h=[h k];%六月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/30 %六月的平均风速 +clc,clear +%2015年7月 +d=[[]; +for n=1:31 +``` + +```matlab +a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201507.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27]'); +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +b=a(:); +for i=1:24 +aa=sum(b(4*i-3:4*i))/4; %每小时的平均风速d=[d aa]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,31) %七月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:31k=sum(g(:,j))/24; +h=[h k]; %七月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/31 %七月的平均风速 +clc,clear +%2015年8月 +d=[[]; +for n=1:31a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201508.xls',...'sheet',num2str(n),['A4:L27'])]; +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +b=a(:); +for i=1:24aa=sum(b(4*i-3:4*i))/4; %每小时的平均风速d=[d aa]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,31) %八月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:31k=sum(g(:,j))/24; +h=[h k]; %八月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/31 %八月的平均风速 +clc,clear +%2015年9月 +d=[[]; +for n=1:30a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201509.xls',...'sheet',num2str(n),['A4:L27'])]; +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +``` + +```matlab +b=a(:); +for i=1:24 +aa=sum(b(4*i-3:4*i))/4; %每小时的平均风速 +d=[da]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,30) %九月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:30 +k=sum(g(:,j))./24; +h=[h k]; %九月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/30 %九月的平均风速 +clc,clear +%2015年10月 +d=[[]; +for n=1:31 +a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201510.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27')); +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +b=a(:); +for i=1:24 +aa=sum(b(4*i-3:4*i))./4; %每小时的平均风速 +d=[da]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,31) %十月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:31 +k=sum(g(:,j))./24; +h=[h k]; %十月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/31 %十月的平均风速 +clc,clear +%2015年11月 +d=[[]; +for n=1:30 +a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201511.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27')); +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +b=a(:); +for i=1:24 +aa=sum(b(4*i-3:4*i))./4; %每小时的平均风速 +``` + +```matlab +d=[da]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,30) %十一月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:30k=sum(g(:,j))./24;h=[h k];%十一月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/30 %十一月的平均风速 +clc,clear +%2015年12月 +d=[[]; +for n=1:31a=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju\201512.xls',...'sheet',num2str(n),['A4:L27'])； +a(:,[1:2 4:5 7:8 10:11])=[[]; +b=a(:); +for i=1:24aa=sum(b(4*i-3:4*i))/4;%每小时的平均风速d=[da]; +end +end +f=d'; +h=[[]; +g=reshape(f,24,31) %十二月中每一天的每小时平均风速 +for j=1:31k=sum(g(:,j))/24;h=[h k];%十二月中每一天的平均风速 +end +h +m=sum(h)/31 %十二月的平均风速（2）计算实际风能和理论风能之比（利用率），以及图像clc,clear +a=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\第一问统计数据.xls',','B2:M32'); +b=a(:); +b([60:62 124 186 279 341],:)=[[;%每天平均的实际功率b1=b'; +x=1:365; +plot(x,b1) +xlabel('天数') +ylabel('功率') +hold on +``` + +$\mathrm{t = 3600^{*}x}$ +t1 $\equiv$ t(1);t2 $\equiv$ t(end); +pp=csape(t,b1); +xsh=pp.coefs; +TL=quadl(@(tt)fnval(pp,tt),t1,t2）%积分求总的储风量 +a1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx','日b2=a1(:); +b2([60:62 124 186 279 341],:)=[]; +b3=b2'; +x=1:365; +f=[[]; +for i=1:365c=0.5.\*0.9726.*b3(i).^3;%计算理论功率f=[f c];%每天理论理论功率 +end +f; +plot(x,f,'r-') +legend('实际功率','理论功率') +t3=3600\*x; +t4=t3(1);t5=t3(end); +pp1=csape(t3,f); +xsh1=pp1.coefs; +TL=quadl(@(tt1)fnval(pp1,tt1),t4,t5）%积分求理论总的储风量TL/TL1 %利用率（3）计算每日实际平均实际输出功率 +clc,clear +%2015年1月实际输出功率d=[[]; +for n=1:31a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201501.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27'])； +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12])=[]; +b=a(:); +cc=sum(b)/96; +d=[d cc]; +end +d %一月份每日平均实际输出功率 +%2015年2月实际输出功率d1=[[]; +for n=1:28a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201502.xls',...['sheet',num2str(n)],['A4:L27'])； +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12])=[]; +b=a(:); +cc=sum(b)/96; +d1=[d1 cc]; +end + +d1 %二月份每日平均实际输出功率 + +2015年3月实际输出功率 + +$\mathsf{d}2 = []$ + +for n=1:31 + +a=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju\201503.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); + +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12]) = []; + +b=a(:,); + +cc=sum(b)/96; + +$\mathrm{d}2 = [\mathrm{d}2\mathrm{cc}]$ + +end + +d2 %三月份每日平均实际输出功率 + +2015年4月实际输出功率 + +d3 $= []$ + +for $n = 1:30$ + +a=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju\201504.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); + +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12]) = []; + +b=a(:,); + +cc=sum(b)/96; + +$\mathrm{d}3 = [\mathrm{d}3\mathrm{cc}]$ + +end + +d3 %四月份每日平均实际输出功率 + +2015年5月实际输出功率 + +d4 = []; + +for n=1:31 + +a=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju\201505.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); + +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12]) = []; + +b=a(:,); + +cc=sum(b)/96; + +$\mathrm{d}4 = [\mathrm{d}4\mathrm{cc}]$ + +end + +d4 %五月份每日平均实际输出功率 + +2015年6月实际输出功率 + +d5 = []; + +for $n = 1:30$ + +a=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju\201506.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); + +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12]) = []; + +b=a(:); + +cc=sum(b)/96; + +$\mathrm{d}5 = [\mathrm{d}5\mathrm{cc}]$ + +end + +d5 %六月份每日平均实际输出功率 + +2015年7月实际输出功率 + +$\mathsf{d}6 = []$ + +```matlab +for n=1:31 a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201507.xls',...'['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12])=[[]; +b=a(); +cc=sum(b)/96; +d6=[d6 cc]; +end +d6 %七月份每日平均实际输出功率 +%2015年8月实际输出功率 +d7=[[]; +for n=1:31 a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201508.xls',...'['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12])=[[]; +b=a(); +cc=sum(b)/96; +d7=[d7 cc]; +end +d7 %八月份每日平均实际输出功率 +%2015年9月实际输出功率 +d8=[[]; +for n=1:30 a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201509.xls',...'['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12])=[[]; +b=a(); +cc=sum(b)/96; +d8=[d8 cc]; +end +d8 %九月份每日平均实际输出功率 +%2015年10月实际输出功率 +d9=[[]; +for n=1:31 a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201510.xls',...'['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12])=[[]; +b=a(); +cc=sum(b)/96; +d9=[d9 cc]; +end +d9 %十月份每日平均实际输出功率 +%2015年11月实际输出功率 +d10=[[]; +for n=1:30 a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju\201511.xls',...'['sheet',num2str(n)],['A4:L27']); +``` + +```matlab +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12]) = []; +b=a(:); +cc=sum(b)/96; +d10=[d10 cc]; +end +d10 %十一月份每日平均实际输出功率 +%2015年12月实际输出功率 +d11=[[]; +for n=1:31 + a=xlsread('C:\Users/Administrator\De','sheet',num2str(n),['A4:L27'])； +a(:,[1:2:3 4:2:6 7:2:9 10:2:12])=[[]; +b=a(:); +cc=sum(b)/96; +d11=[d11 cc]; +end +``` + +d11 %十二月份每日平均实际输出功率 + +```matlab +（4）计算有效小时数，每小时平均风速图像以及平均风速的频数直方图clc,clear +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年1月,'B2:AF25');a=a1(:);%一月每天每小时平均风速 +b1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年2月,'B2:AC25');b=b1(:);%二月每天每小时平均风速 +c1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年3月,'B2:AF25');c=c1(:);%三月每天每小时平均风速 +d1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年4月,'B2:AE25');d=d1(:);%四月每天每小时平均风速 +e1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年5月,'B2:AF25');e=e1(:);%五月每天每小时平均风速 +f1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年6月,'B2:AE25');f=f1(:);%六月每天每小时平均风速 +g1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年7月,'B2:AF25');g=g1(:);%七月每天每小时平均风速 +h1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年8月,'B2:AF25');h=h1(:);%八月每天每小时平均风速 +i1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年9月,'B2:AE25');i=i1(:);%九月每天每小时平均风速 +j1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年10月,'B2:AF25');j=j1(:);%十月每天每小时平均风速 +k1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年11月,'B2:AE25');k=k1(:);%十一月每天每小时平均风速 +l1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop第一问统计数据.xlsx',2015年12月,'B2:AF25');l=l1(:);%十二月每天每小时平均风速 +``` + +ss=[a;b;c;d;e;f;g;h;i;j;k;l]; +cc=length( find(ss>=3&ss<=25)) %有效小时数 + +figure(1) + +$x = 1:8760$ + +plot(x,ss) + +xlabel('每小时') + +ylabel('每小时的平均风速') + +dd $\equiv$ []； + +for $i = 0:21$ + +ff=lengthfind(ss>i&ss<=i+1)); + +dd=[dd ff]; + +end + +dd %各平均风速所对应的频数 + +figure(2) + +$\times 1 = 1:22$ + +bar(x1,dd) + +xlabel('平均风速') + +ylabel('频数') + +(5) 计算平均风功率 + +clc,clear + +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年1月','B2:AF25'); + +a=a1(:);%一月每天每小时平均风速 + +b1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年2月','B2:AC25'); + +b=b1(:);%二月每天每小时平均风速 + +c1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年3月','B2:AF25'); + +c=c1();%三月每天每小时平均风速 + +d1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年4月','B2:AE25'); + +d=d1(:);%四月每天每小时平均风速 + +e1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年5月','B2:AF25'); + +e=e1(:);%五月每天每小时平均风速 + +f1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年6月','B2:AE25'); + +f=f1(:);%六月每天每小时平均风速 + +g1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年7月','B2:AF25'); + +g=g1(:);%七月每天每小时平均风速 + +h1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年8月','B2:AF25'); + +h=h1(:);%八月每天每小时平均风速 + +i1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年9月','B2:AE25'); + +i = i1(:);%九月每天每小时平均风速 + +j1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx',2015年10月'B2:AF25'); + +j=j1(:);%十月每天每小时平均风速 + +k1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx',2015年11月';B2:AE25'); + +k=k1(:);%十一月每天每小时平均风速 + +11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx',2015年12月 + +'B2:AF25'); + +l=1(;;)%十二月每天每小时平均风速 + +ss=[a;b;c;d;e;f;g;h;i;j;k;l]; + +cc=0; + +for $i = 1:8760$ + +cc=cc+sum(0.5.\*0.9762.\*ss(i).^3); + +end + +cc./8760 %平均风功率 + +# (6) 日平均风速图像 + +clc,clear + +a=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '日平均风速','B2:M32'); + +$\mathsf{b} = \mathsf{a}(:,$ + +b([60:62 124 186 279 341];:)=[; + +$x = 1:365$ + +plot(x,b) + +xlabel('天数') + +ylabel('每天平均风速') + +clc,clear + +a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '日平均实际输出功率', 'B2:M32'); + +b=a(:,); + +b([60:62 124 186 279 341],:) = []; %每天平均的实际功率 + +$x = 1:365$ + +plot(x,b) + +xlabel('天数') + +ylabel('每天平均实际功率') + +clc,clear + +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年1月', 'B2:AF25'); + +a=a1(:);%一月每天每小时平均风速 + +b1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年2月','B2:AC25'); + +b=b1(:);%二月每天每小时平均风速 + +c1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年3月', 'B2:AF25'); + +c=c1();%三月每天每小时平均风速 + +d1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年4月','B2:AE25'); + +d=d1(:);%四月每天每小时平均风速 + +e1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年5月', 'B2:AF25'); + +e=e1(:);%五月每天每小时平均风速 + +f1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年6月','B2:AE25'); + +f=f1(:);%六月每天每小时平均风速 + +g1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年7月', 'B2:AF25'); + +g=g1(:);%七月每天每小时平均风速 + +h1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年8月', 'B2:AF25'); + +h=h1(:);%八月每天每小时平均风速 + +i1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年9月','B2:AE25'); + +i=1(;;)%九月每天每小时平均风速 + +j1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年10月', 'B2:AF25'); + +j=1j1(:);%十月每天每小时平均风速 + +k1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx', '2015年11月','B2:AE25'); + +k=k1(:);%十一月每天每小时平均风速 + +I1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第一问统计数据.xlsx',2015年12月';B2:AF25'); + +l=1(;;)%十二月每天每小时平均风速 + +ss=[a;b;c;d;e;f;g;h;i;j;k;l]; + +ssfind(ss<3))=[]; %有效小时风速 + +dd=0; + +for i=1:7425 + +```javascript +dd=dd+sum(0.5.*0.9762.*ss(i).^3); +``` + +end + +dd./length(ss) %有效风功率 + +(7) 每日实际平均实际输出功率图像 + +clc,clear + +$x = 1:12$ + +a=[6.0321 6.5151 5.4769 5.5859 5.7945 5.8933 5.3463 4.6409 6.0437 5.3129 ... 5.3318 6.1326]; + +t=sum(a)/12 + +plot(x,a) + +xlabel('月份') + +ylabel('月平均风速') + +第二问程序（用matlab7.1求解） + +function f=curvefun1(x,tdata) + +```txt +[ f = x(1) + x(2)^{*} \exp(x(3)^{*} tdata); \quad \% \text{其中} x(1) = a; \quad x(2) = b; \quad x(3) = k; ] +``` + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +d1 = []; + +for n=1:31 + +```txt +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',... +``` + +```javascript +['sheet',num2str(n)],['C4:N4']) +``` + +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}2 = []$ + +for $n = 1:28$ + +```txt +a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',... +``` + +```javascript +['sheet',num2str(n)],['C4:N4'])； +``` + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +```matlab +d3 = []; +for n=1:31 + a3=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 +end +d3; +%4月的风电场典型风机报表 +d4=[[]; +for n=1:30 + a4=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 +end +d4; +%5月的风电场典型风机报表 +d5=[[]; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 +end +d5; +%6月的风电场典型风机报表 +d6=[[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 +end +d8; +``` + +9月的风电场典型风机报表 + +d9=[]; + +for $n = 1:30$ + +a9=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C4:N4'])]; + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +d10=[]; + +for $n = 1:31$ + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C4:N4']) + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +end + +d10; + +%11月的风电场典型风机报表 + +d11 $=$ []; + +for n=1:30 + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +d12 = []; + +for $n = 1:31$ + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C4:N4'])； + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %4#一年中每两小时的风速 + +cc=[]; + +for $i = 1:4380$ + +if dd(i) < 3 + +s=0; + +cc=[ccs]; + +elseifdd(i) $< = 12$ &&dd(i)> $= 3$ + +s=-2.8326.*dd(i).^3+84.0379.*dd(i).^2-498.1837.*dd(i)+896.502;%机型 1 的函数 + +关系 + +cc=[cc s]; + +else + +s=2010; + +cc=[cc s]; + +end + +end + +cc; %每两个小时的功率 + +cc1=reshape(cc,12,365); + +qq=sum(cc1)/12; %4#号机型日平均功率 + +qq1=qq' + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +d1 = []; + +for $n = 1:31$ + +a1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C4:N4'])]; + +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}2 = []$ + +for $n = 1:28$ + +a2=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C4:N4'])]; + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +d3 $= []$ + +for $n = 1:31$ + +a3=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C4:N4'])]; + +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 + +end + +d3; + +%4月的风电场典型风机报表 + +d4 = []; + +for $n = 1:30$ + +a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C4:N4'])]; + +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 + +end + +d4; + +%5月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}5 = []$ + +for n=1:31 + +a5=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C4:N4'])]; + +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 + +end + +d5; + +%6月的风电场典型风机报表 + +```matlab +d6 = []; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 +end +d6; +%7 月的风电场典型风机报表 +d7=[[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 +end +d7; +%1 月的风电场典型风机报表 +d8=[[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 +end +d8; +%9 月的风电场典型风机报表 +d9=[[]; +for n=1:30 + a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 +end +d9; +%10 月的风电场典型风机报表 +d10=[[]; +for n=1:31 + a10=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 +end +d10; +%11 月的风电场典型风机报表 +d11=[[]; +for n=1:30 + a11=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 +end +d11; +``` + +12月的风电场典型风机报表 + +d12 = []; + +for n=1:31 + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %4#一年中每两小时的风速 + +cc=[]; + +for $i = 1:4380$ + +if dd(i) $< 3.5$ + +s=0; + +cc=[ccs]; + +elseifdd(i) $< = 11$ &&dd(i)> $= 3.5$ + +s=-1.3384.*dd(i).^3+47.981.*dd(i).^2-265.3338.*dd(i)+447.0624;%机型 2 的函数 + +关系 + +cc=[cc s]; + +else + +s=1544; + +cc=[cc s]; + +end + +end + +cc; %每两个小时的功率 + +cc1=reshape(cc,12,365); + +qq=sum(cc1)/12; %4#号机型日平均功率 + +qq1=qq' + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +d1 = []; + +for n=1:31 + +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； + +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +d2 = []; + +for $n = 1:28$ + +a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +d3 $=$ []; + +for $n = 1:31$ + +```matlab +a3=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\03.xls', ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']); +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 +end +d3; +%4月的风电场典型风机报表 +d4=[[]; +for n=1:30 + a4=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\04.xls', ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']); +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 +end +d4; +%5月的风电场典型风机报表 +d5=[[]; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls', ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']); +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 +end +d5; +%6月的风电场典型风机报表 +d6=[[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls', ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']); +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls', ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']); +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls', ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']); +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 +end +d8; +%9月的风电场典型风机报表 +d9=[[]; +``` + +```matlab +for n=1:30 a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']; +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 +end +d9; +%10月的风电场典型风机报表 +d10=[[]; +for n=1:31 a10=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']; +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 +end +d10; +%11月的风电场典型风机报表 +d11=[[]; +for n=1:30 a11=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']; +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 +end +d11; +%12月的风电场典型风机报表 +d12=[[]; +for n=1:31 a12=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C5:N5']; +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 +end +d12; +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %16#一年中每两小时的风速 cc=[[]; +for i=1:4380 if dd(i)<3 s=0; cc=[cc s]; elseif dd(i)<=12&dd(i)>=3 s=-2.8326.*dd(i).^3+84.0379.*dd(i).^2-498.1837.*dd(i)+896.502;%机型 1 的函数 +关系 cc=[cc s]; else s=2010; cc=[cc s]; end +end +cc; %每两个小时的功率 +cc1=reshape(cc,12,365); +``` + +qq=sum(cc1)/12; %16#号机型日平均功率 + +qq1=qq' + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +d1 = []; + +for $n = 1:31$ + +a1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C5:N5']); + +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}2 = []$ + +for $n = 1:28$ + +a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +d3 $= []$ + +for $n = 1:31$ + +a3=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 + +end + +d3; + +%4月的风电场典型风机报表 + +d4 = []; + +for $n = 1:30$ + +a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 + +end + +d4; + +%5月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}5 = []$ + +for n=1:31 + +a5=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 + +end + +d5; + +%6月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}6 = []$ + +for $n = 1:30$ + +a6=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',... + +```matlab +['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； +d6=[d6 a6]；%六月每两小时的风速 +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； +d7=[d7 a7]；%七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； +d8=[d8 a8]；%八月每两小时的风速 +end +d8; +%9月的风电场典型风机报表 +d9=[[]; +for n=1:30 + a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',...['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； +d9=[d9 a9]；%九月每两小时的风速 +end +d9; +%10月的风电场典型风机报表 +d10=[[]; +for n=1:31 + a10=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',...['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； +d10=[d10 a10]；%十月每两小时的风速 +end +d10; +%11月的风电场典型风机报表 +d11=[[]; +for n=1:30 + a11=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',...['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； +d11=[d11 a11]；%十一每两小时的风速 +end +d11; +%12月的风电场典型风机报表 +d12=[[]; +for n=1:31 +``` + +```matlab +a12=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',...'sheet',num2str(n),['C5:N5']); +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 +end +d12; +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %16#一年中每两小时的风速 +cc=]; +for i=1:4380 +if dd(i)<3.5 +s=0; +cc=[cc s]; +elseif dd(i) <= 11&dd(i) >= 3.5 +s=-1.3384.*dd(i).^3+47.981.*dd(i).^2-265.3338.*dd(i)+447.0624;%机型 2 的函数 +关系 +cc=[cc s]; +else +s=1544; +cc=[cc s]; +end +end +cc; %每两个小时的功率 +cc1=reshape(cc,12,365); +qq=sum(cc1)/12; %16#号机型日平均功率 +qq1=qq' +clc,clear +%1月的风电场典型风机报表 +d1=[]; +for n=1:31 +a1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',...'sheet',num2str(n),['C6:N6']); +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 +end +d1; +%2月的风电场典型风机报表 +d2=[]; +for n=1:28 +a2=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',...'sheet',num2str(n),['C6:N6']); +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 +end +d2; +%3月的风电场典型风机报表 +d3=[]; +for n=1:31 +a3=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',...'sheet',num2str(n),['C6:N6']); +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 +``` + +```matlab +end +d3; +%4月的风电场典型风机报表 +d4=[]; +for n=1:30 + a4=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6')); +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 +end +d4; +%5月的风电场典型风机报表 +d5=[[]; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 +end +d5; +%6月的风电场典型风机报表 +d6=[[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6.']'); +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6.']'); +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6.']'); +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 +end +d8; +%9月的风电场典型风机报表 +d9=[[]; +for n=1:30 + a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6.']'); +``` + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +d10 = []; + +for $n = 1:31$ + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +end + +d10; + +%11月的风电场典型风机报表 + +d11=[]; + +for $n = 1:30$ + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +d12 = []; + +for $n = 1:31$ + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %24#一年中每两小时的风速 + +cc=[]; + +for i=1:4380 + +if dd(i) < 3 + +s=0; + +cc=[ccs]; + +elseifdd(i) $< = 12$ &&dd(i)> $= 3$ + +s=-2.8326.*dd(i).^3+84.0379.*dd(i).^2-498.1837.*dd(i)+896.502; %机型 1 的函数 + +关系 + +cc=[cc s]; + +else + +s=2010; + +cc=[ccs]; + +end + +end + +cc; %每两个小时的功率 + +cc1=reshape(cc,12,365); + +qq=sum(cc1)/12; %24#号机型日平均功率 + +qq1=qq' + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d1} = []$ + +for $n = 1:31$ + +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C6:N6'])]; + +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}2 = []$ + +for $n = 1:28$ + +a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +d3 = []; + +for n=1:31 + +a3=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 + +end + +d3; + +%4月的风电场典型风机报表 + +d4 = []; + +for $n = 1:30$ + +a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C6:N6'])]; + +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 + +end + +d4; + +%5月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}5 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a5=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 + +end + +d5; + +%6月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}6 = []$ + +for $n = 1:30$ + +a6=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']]; + +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 + +end + +d6; + +%7月的风电场典型风机报表 + +d7=[]; + +for n=1:31 + +a7=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']; + +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 + +end + +d7; + +%1月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d8} = []$ + +for n=1:31 + +a8=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 + +end + +d8; + +%9月的风电场典型风机报表 + +d9=[]; + +for $n = 1:30$ + +a9=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']]; + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}10 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +end + +d10; + +%11月的风电场典型风机报表 + +d11 = []; + +for $n = 1:30$ + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}12 = []$ + +for n=1:31 + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6'])]; + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +```matlab +end +d12; +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %24#一年中每两小时的风速 +cc=]; +for i=1:4380 +if dd(i)<3.5 +s=0; +cc=[cc s]; +elseif dd(i) <= 11&dd(i) >= 3.5 +s=-1.3384.*dd(i).^3+47.981.*dd(i).^2-265.3338.*dd(i)+447.0624;%机型 2 的函数 +关系 +cc=[cc s]; +else +s=1544; +cc=[cc s]; +end +end +cc; %每两个小时的功率 +cc1=reshape(cc,12,365); +qq=sum(cc1)/12; %24#号机型日平均功率 +qq1=qq' +clc,clear +%1月的风电场典型风机报表 +d1=[]; +for n=1:31 +a1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7')); +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 +end +d1; +%2月的风电场典型风机报表 +d2=[]; +for n=1:28 +a2=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7']); +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 +end +d2; +%3月的风电场典型风机报表 +d3=[]; +for n=1:31 +a3=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7.']'); +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 +end +d3; +%4月的风电场典型风机报表 +``` + +```matlab +d4 = []; +for n=1:30 + a4=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7')); +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 +end +d4; +%5月的风电场典型风机报表 +d5=[[]; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7']); +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 +end +d5; +%6月的风电场典型风机报表 +d6=[[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7.']'); +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7.']'); +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7.']'); +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 +end +d8; +%9月的风电场典型风机报表 +d9=[[]; +for n=1:30 + a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',...['sheet',num2str(n)],['C7:N7.']'); +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 +end +``` + +10月的风电场典型风机报表 + +$\mathbf{d10} = []$ + +for $n = 1:31$ + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C7:N7'])； + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +end + +d10; + +11月的风电场典型风机报表 + +d11=[]; + +for $n = 1:30$ + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n)],[['C7:N7']]); + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +d12 = []; + +for $n = 1:31$ + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n)],[['C7:N7']]); + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %33#一年中每两小时的风速 + +cc=[]; + +for $i = 1:4380$ + +ifdd(i) $< 3$ + +s=0; + +cc=[cc s]; + +elseifdd(i)< $= 12$ &&dd(i)> $= 3$ + +s=-2.8326.*dd(i).^3+84.0379.*dd(i).^2-498.1837.*dd(i)+896.502;%机型 1 的函数 + +关系 + +cc=[cc s]; + +else + +s=2010; + +cc=[cc s]; + +end + +end + +cc; %每两个小时的功率 + +cc1=reshape(cc,12,365); + +qq=sum(cc1)/12; %33#号机型日平均功率 + +qq1=qq' + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +d1 = []; + +for $n = 1:31$ + +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',... ['sheet',num2str(n),['C7:N7']]); + +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}2 = []$ + +for $n = 1:28$ + +a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C7:N7']; + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +d3 = []; + +for $n = 1:31$ + +a3=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C7:N7']); + +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 + +end + +d3; + +%4月的风电场典型风机报表 + +d4 = []; + +for n=1:30 + +a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C7:N7']]; + +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 + +end + +d4; + +%5月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}5 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a5=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C7:N7']); + +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 + +end + +d5; + +%6月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}6 = []$ + +for n=1:30 + +a6=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C7:N7']]; + +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 + +end + +d6; + +%7月的风电场典型风机报表 + +d7 = []; + +```matlab +for n=1:31 a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C7:N7'])； +d7=[d7 a7]；%七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[[]; +for n=1:31 a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C7:N7'])； +d8=[d8 a8]；%八月每两小时的风速 +end +d8; +%9月的风电场典型风机报表 +d9=[[]; +for n=1:30 a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C7:N7'])； +d9=[d9 a9]；%九月每两小时的风速 +end +d9; +%10月的风电场典型风机报表 +d10=[[]; +for n=1:31 a10=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C7:N7'])； +d10=[d10 a10]；%十月每两小时的风速 +end +d10; +%11月的风电场典型风机报表 +d11=[[]; +for n=1:30 a11=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C7:N7'])； +d11=[d11 a11]；%十一每两小时的风速 +end +d11; +%12月的风电场典型风机报表 +d12=[[]; +for n=1:31 a12=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C7:N7'])； +d12=[d12 a12]；%十二每两小时的风速 +end +d12; +``` + +```matlab +cc=[]; +for i=1:4380 + if dd(i)<3.5 + s=0; + cc=[cc s]; + elseif dd(i) <= 11&dd(i) >= 3.5 + s=-1.3384.*dd(i).^3+47.981.*dd(i).^2-265.3338.*dd(i)+447.0624;%机型 2 的函数 +关系 + cc=[cc s]; + else + s=1544; + cc=[cc s]; + end +end +cc; %每两个小时的功率 +cc1=reshape(cc,12,365); +qq=sum(cc1)/12; %33#号机型日平均功率 +qq1=qq' +clc,clear +%1月的风电场典型风机报表 +d1=[]; +for n=1:31 + a1=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju2\01.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8']); +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 +end +d1; +%2月的风电场典型风机报表 +d2=[]; +for n=1:28 + a2=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju2\02.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])); +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 +end +d2; +%3月的风电场典型风机报表 +d3=[]; +for n=1:31 + a3=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju2\03.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])); +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 +end +d3; +%4月的风电场典型风机报表 +d4=[]; +for n=1:30 + a4=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop\shuju2\04.xls',... +``` + +```matlab +['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])； +d4=[d4 a4]；%四月每两小时的风速 +end +d4; +%5月的风电场典型风机报表 +d5=[]; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])； +d5=[d5 a5]；%五月每两小时的风速 +end +d5; +%6月的风电场典型风机报表 +d6=[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])); +d6=[d6 a6]；%六月每两小时的风速 +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])); +d7=[d7 a7]；%七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])); +d8=[d8 a8]；%八月每两小时的风速 +end +d8; +%9月的风电场典型风机报表 +d9=[]; +for n=1:30 + a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])); +d9=[d9 a9]；%九月每两小时的风速 +end +d9; +%10月的风电场典型风机报表 +d10=[]; +for n=1:31 +``` + +```matlab +a10=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',...'sheet',num2str(n),['C8:N8'])； +d10=[d10 a10]；%十月每两小时的风速 +end +d10; +%11月的风电场典型风机报表 +d11=[]; +for n=1:30 + a11=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',...'sheet',num2str(n),['C8:N8'])； +d11=[d11 a11]；%十一每两小时的风速 +end +d11; +%12月的风电场典型风机报表 +d12=[]; +for n=1:31 + a12=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',...'sheet',num2str(n),['C8:N8'])； +d12=[d12 a12]；%十二每两小时的风速 +end +d12; +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]；%49#一年中每两小时的风速 +cc=[]; +for i=1:4380 + if dd(i)<3 + s=0; + cc=[cc s]; + elseif dd(i)<=12&dd(i)>=3 + s=-2.8326.*dd(i).^3+84.0379.*dd(i).^2-498.1837.*dd(i)+896.502；%机型 1 的函数关系 + cc=[cc s]; +else + s=2010; + cc=[cc s]; +end +end +cc;%每两个小时的功率 +cc1=reshape(cc,12,365); +qq=sum(cc1)/12；%49#号机型日平均功率 +qq1=qq' +clc,clear +%1月的风电场典型风机报表 +d1=[]; +for n=1:31 + a1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',...'sheet',num2str(n),['C8:N8'])； +d1=[d1 a1]；%一月每两小时的风速 +``` + +```matlab +end +d1; +%2月的风电场典型风机报表 +d2=[]; +for n=1:28 + a2=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8')); +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 +end +d2; +%3月的风电场典型风机报表 +d3=[[]; +for n=1:31 + a3=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8']); +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 +end +d3; +%4月的风电场典型风机报表 +d4=[[]; +for n=1:30 + a4=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8.']'); +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 +end +d4; +%5月的风电场典型风机报表 +d5=[[]; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8.']'); +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 +end +d5; +%6月的风电场典型风机报表 +d6=[[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8.']'); +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C8:N8.']'); +``` + +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 + +end + +d7; + +%1月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d8} = []$ + +for $n = 1:31$ + +a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C8:N8']); + +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 + +end + +d8; + +%9月的风电场典型风机报表 + +d9=[]; + +for $n = 1:30$ + +a9=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}10 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +end + +d10; + +%11月的风电场典型风机报表 + +d11 = []; + +for $n = 1:30$ + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}12 = []$ + +for n=1:31 + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %49#一年中每两小时的风速 + +cc=[]; + +for i=1:4380 + +if dd(i) $< 3.5$ + +```txt +s=0; +cc=[cc s]; +elseif dd(i) <= 11&&dd(i) >= 3.5 +s=-1.3384.*dd(i).^3+47.981.*dd(i).^2-265.3338.*dd(i)+447.0624;%机型 2 的函数 +关系 +``` + +cc=[ccs]; else s=1544; cc=[ccs]; end end cc;%每两个小时的功率 cc1=reshape(cc,12,365); qq=sum(cc1)/12; $\% 49$ #号机型日平均功率 qq1=qq' clc,clear %1月的风电场典型风机报表 d1=[[]; for n=1:31 a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C9:N9']); d1=[d1a1]; $\%$ 一月每两小时的风速 end d1; %2月的风电场典型风机报表 d2=[[]; for n=1:28 a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C9:N9']); d2=[d2a2]; $\%$ 二月每两小时的风速 end d2; %3月的风电场典型风机报表 d3=[[]; for n=1:31 a3=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C9:N9']); d3=[d3a3]; $\%$ 三月每两小时的风速 end d3; %4月的风电场典型风机报表 d4=[[]; for n=1:30 a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C9:N9']); d4=[d4a4]; $\%$ 四月每两小时的风速 end + +d4; + +%5月的风电场典型风机报表 + +d5 = []; + +for n=1:31 + +a5=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9'])]; + +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 + +end + +d5; + +%6月的风电场典型风机报表 + +d6=[]; + +for $n = 1:30$ + +a6=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9'])]; + +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 + +end + +d6; + +%7月的风电场典型风机报表 + +d7=[]; + +for $n = 1:31$ + +a7=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9'])]; + +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 + +end + +d7; + +%1月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d8} = []$ + +for $n = 1:31$ + +a8=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9'])]; + +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 + +end + +d8; + +%9月的风电场典型风机报表 + +d9=[]; + +for n=1:30 + +a9=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9'])]; + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}10 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])]; + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +```matlab +end +d10; +%11月的风电场典型风机报表 +d11=[]; +for n=1:30 + a11=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9')); +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 +end +d11; +%12月的风电场典型风机报表 +d12=[]; +for n=1:31 + a12=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9']); +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 +end +d12; +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %57#一年中每两小时的风速 +cc=[]; +for i=1:4380 + if dd(i)<3 + s=0; + cc=[cc s]; + elseif dd(i)<=12&dd(i)>3 + s=-2.8326.*dd(i).^3+84.0379.*dd(i).^2-498.1837.*dd(i)+896.502; %机型1的函数 + cc=[cc s]; +else + s=2010; + cc=[cc s]; +end +end +cc; %每两个小时的功率 +cc1=reshape(cc,12,365); +qq=sum(cc1)/12; %57#号机型日平均功率 +qq1=qq' +clc,clear +%1月的风电场典型风机报表 +d1=[]; +for n=1:31 + a1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9.']); +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 +end +d1; +%2月的风电场典型风机报表 +``` + +```matlab +d2 = []; +for n=1:28 + a2=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9')); +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 +end +d2; +%3 月的风电场典型风机报表 +d3=[[]; +for n=1:31 + a3=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9']); +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 +end +d3; +%4 月的风电场典型风机报表 +d4=[[]; +for n=1:30 + a4=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9.']'); +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 +end +d4; +%5 月的风电场典型风机报表 +d5=[[]; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9.']'); +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 +end +d5; +%6 月的风电场典型风机报表 +d6=[[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9.']'); +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 +end +d6; +%7 月的风电场典型风机报表 +d7=[[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9.']'); +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 +end +d7; +``` + +%1月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d8} = []$ + +for $n = 1:31$ + +a8=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])]; + +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 + +end + +d8; + +%9月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d9} = []$ + +for $n = 1:30$ + +a9=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9'])]; + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}10 = []$ + +for n=1:31 + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])]; + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +end + +d10; + +%11月的风电场典型风机报表 + +d11=[]; + +for $n = 1:30$ + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9']]; + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +d12 = []; + +for $n = 1:31$ + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])]; + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +dd=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %57#一年中每两小时的风速 + +cc=[]; + +for $i = 1:4380$ + +if dd(i) $< 3.5$ + +s=0; + +cc=[ccs]; + +elseif dd(i) $< = 11$ &&dd(i)> $= 3.5$ + +s=-1.3384.*dd(i).^3+47.981.*dd(i).^2-265.3338.*dd(i)+447.0624;%机型2的函数关系系 + +```txt +cc=[ccs]; else s=1544; cc=[ccs]; end end cc; %每两个小时的功率 cc1=reshape(cc,12,365); qq=sum(cc1)/12; %57#号机型日平均功率 qq1=qq'clc,clear %1月的风电场典型风机报表 d1=[[]; for n=1:31 a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); d1=[d1a1]; %一月每两小时的风速 end d1; %2月的风电场典型风机报表 d2=[[]; for n=1:28 a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); d2=[d2a2]; %二月每两小时的风速 end d2; %3月的风电场典型风机报表 d3=[[]; for n=1:31 a3=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); d3=[d3a3]; %三月每两小时的风速 end d3; %4月的风电场典型风机报表 d4=[[]; for n=1:30 a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); d4=[d4a4]; %四月每两小时的风速 end d4; %5月的风电场典型风机报表 +``` + +```matlab +d5 = []; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 +end +d5; +%6月的风电场典型风机报表 +d6=[[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 +end +d8; +%9月的风电场典型风机报表 +d9=[[]; +for n=1:30 + a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4')); +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 +end +d9; +%10月的风电场典型风机报表 +d10=[[]; +for n=1:31 + a10=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',...['sheet',num2str(n)],['C4:N4']); +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 +end +d10; +``` + +11月的风电场典型风机报表 + +d11=[]; + +for $n = 1:30$ + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C4:N4'])]; + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +d12 = []; + +for $n = 1:31$ + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C4:N4'])； + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +$x = 1:4380$ + +dd1=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %4#一年中每两小时的风速 + +x11=1:0.5:4380; %插出每小时的风速 + +dd=interp1(x,dd1,x11,'spline'); %插值 + +s=find(dd>=0&dd<3.5);x1=length(s) %0-3.5 + +s1=find(dd>=3.5&&dd<=11.5);x2=length(s1)%3.5-11.5 + +s2=find(dd>11.5&&dd<=25);x3=length(s2) %11.5-25 + +s3=find(dd>25);x4=length(s3) %大于 25 + +s4=find(dd>=0&dd<3);x5=length(s4) %0-3 + +s5=find(dd>=3&&dd<=10.5);x6=length(s5) %3-10.5 + +s6=find(dd>10.5&dd<=25);x7=length(s6) %10.5-25 + +s7=find(dd>=3&dd<=11);x8=length(s7) %3-11 + +s8=find(dd>11&&dd<=25);x9=length(s8) %11-25 + +s9=find(dd>=3&&dd<=11.5);x10=length(s9) %3-11.5 + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +d1 = []; + +for $n = 1:31$ + +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； + +d1 = [d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +d2 = []; + +for $n = 1:28$ + +a2=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])； + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}3 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a3=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 + +end + +d3; + +%4月的风电场典型风机报表 + +d4 = []; + +for $n = 1:30$ + +a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 + +end + +d4; + +%5月的风电场典型风机报表 + +d5 = []; + +for $n = 1:31$ + +a5=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5']; + +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 + +end + +d5; + +%6月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}6 = []$ + +for $n = 1:30$ + +a6=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])]; + +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 + +end + +d6; + +%7月的风电场典型风机报表 + +d7=[]; + +for $n = 1:31$ + +a7=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 + +end + +d7; + +%1月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d8} = []$ + +for $n = 1:31$ + +a8=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 + +end + +d8; + +%9月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d9} = []$ + +for n=1:30 + +a9=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}10 = []$ + +for n=1:31 + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C5:N5']); + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +end + +d10; + +%11月的风电场典型风机报表 + +d11=[]; + +for $n = 1:30$ + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C5:N5'])]; + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}12 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C5:N5'])]; + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +$x = 1:4380$ + +dd1=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %16#一年中每两小时的风速 + +x11=1:0.5:4380; %插出每小时的风速 + +dd=interp1(x,dd1,x11,'spline'); %插值 + +s=find(dd>=0&dd<3.5);x1=length(s) %0-3.5 + +s1=find(dd>=3.5&dd<=11.5);x2=length(s1)%3.5-11.5 + +s2=find(dd>11.5&dd<=25);x3=length(s2) %11.5-25 + +s3=find(dd>25);x4=length(s3) %大于 25 + +s4=find(dd>=0&dd<3);x5=length(s4) %0-3 + +s5=find(dd>=3&&dd<=10.5);x6=length(s5) %3-10.5 + +s6=find(dd>10.5&dd<=25);x7=length(s6) %10.5-25 + +s7=find(dd>=3&dd<=11);x8=length(s7) %3-11 + +s8=find(dd>11&&dd<=25);x9=length(s8) %11-25 + +s9=find(dd>=3&&dd<=11.5);x10=length(s9) %3-11.5 + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +d1 = []; + +for n=1:31 + +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d1=[d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}2 = []$ + +for $n = 1:28$ + +a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +d3=[]; + +for $n = 1:31$ + +a3=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']]; + +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 + +end + +d3; + +%4月的风电场典型风机报表 + +d4 = []; + +for $n = 1:30$ + +a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 + +end + +d4; + +%5月的风电场典型风机报表 + +d5 = []; + +for n=1:31 + +a5=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']; + +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 + +end + +d5; + +%6月的风电场典型风机报表 + +d6=[]; + +for $n = 1:30$ + +a6=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); + +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 + +```matlab +end +d6; +%7月的风电场典型风机报表 +d7=[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6')); +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 +end +d7; +%1月的风电场典型风机报表 +d8=[]; +for n=1:31 + a8=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 +end +d8; +%9月的风电场典型风机报表 +d9=[]; +for n=1:30 + a9=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 +end +d9; +%10月的风电场典型风机报表 +d10=[]; +for n=1:31 + a10=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6']); +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 +end +d10; +%11月的风电场典型风机报表 +d11=[]; +for n=1:30 + a11=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6.']); +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 +end +d11; +%12月的风电场典型风机报表 +d12=[]; +for n=1:31 + a12=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',...['sheet',num2str(n)],['C6:N6.']); +``` + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +$x = 1:4380$ + +dd1=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %24#一年中每两小时的风速 + +x11=1:0.5:4380; %插出每小时的风速 + +dd=interp1(x,dd1,x11,'spline'); %插值 + +s=find(dd>=0&dd<3.5);x1=length(s) %0-3.5 + +s1=find(dd>=3.5&&dd<=11.5);x2=length(s1)%3.5-11.5 + +s2=find(dd>11.5&dd<=25);x3=length(s2) %11.5-25 + +s3=find(dd>25);x4=length(s3) %大于 25 + +s4=find(dd>=0&dd<3);x5=length(s4) %0-3 + +s5=find(dd>=3&&dd<=10.5);x6=length(s5) %3-10.5 + +s6=find(dd>10.5&dd<=25);x7=length(s6) %10.5-25 + +s7=find(dd>=3&dd<=11);x8=length(s7) %3-11 + +s8=find(dd>11&&dd<=25);x9=length(s8) %11-25 + +s9=find(dd>=3&&dd<=11.5);x10=length(s9) %3-11.5 + +clc,clear + +%1月的风电场典型风机报表 + +d1 = []; + +for n=1:31 + +a1=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C8:N8']); + +d1 = [d1 a1]; %一月每两小时的风速 + +end + +d1; + +%2月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}2 = []$ + +for $n = 1:28$ + +a2=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C8:N8']); + +d2=[d2 a2]; %二月每两小时的风速 + +end + +d2; + +3月的风电场典型风机报表 + +d3 $= []$ + +for $n = 1:31$ + +a3=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',.... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d3=[d3 a3]; %三月每两小时的风速 + +end + +d3; + +%4月的风电场典型风机报表 + +d4 = []; + +for $n = 1:30$ + +a4=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C8:N8']); + +d4=[d4 a4]; %四月每两小时的风速 + +end + +d4; + +5月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}5 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a5=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',.... + +['sheet',num2str(n)],['C8:N8']); + +d5=[d5 a5]; %五月每两小时的风速 + +end + +d5; + +%6月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d}6 = []$ + +for $n = 1:30$ + +a6=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d6=[d6 a6]; %六月每两小时的风速 + +end + +d6; + +%7月的风电场典型风机报表 + +d7=[]; + +for $n = 1:31$ + +a7=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d7=[d7 a7]; %七月每两小时的风速 + +end + +d7; + +%1月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d8} = []$ + +for n=1:31 + +a8=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 + +end + +d8; + +%9月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}9 = []$ + +for $n = 1:30$ + +a9=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C8:N8'])]; + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +$\mathrm{d}10 = []$ + +for $n = 1:31$ + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +```matlab +['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])； +d10=[d10 a10]；%十月每两小时的风速 +end +d10; +%11月的风电场典型风机报表 +d11=[]; +for n=1:30 + a11=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\11.xls', ['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])； +d11=[d11 a11]；%十一每两小时的风速 +end +d11; +%12月的风电场典型风机报表 +d12=[[]; +for n=1:31 + a12=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\12.xls', ['sheet',num2str(n)],['C8:N8'])； +d12=[d12 a12]；%十二每两小时的风速 +end +d12; +x=1:4380; +dd1=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]；%49#一年中每两 +x11=1:0.5:4380；%插出每小时的风速 +dd=interp1(x,dd1,x11,'spline')；%插值 +s=find(dd>=0&dd<3.5);x1=length(s) %0-3.5 +s1=find(dd>=3.5&dd<=11.5);x2=length(s1) %3.5-11.5 +s2=find(dd>11.5&dd<=25);x3=length(s2) %11.5-25 +s3=find(dd>25);x4=length(s3) %大于25 +s4=find(dd>=0&dd<3);x5=length(s4) %0-3 +s5=find(dd>=3&dd<=10.5);x6=length(s5) %3-10.5 +s6=find(dd>10.5&dd<=25);x7=length(s6) %10.5-25 +s7=find(dd>=3&dd<=11);x8=length(s7) %3-11 +s8=find(dd>11&dd<=25);x9=length(s8) %11-25 +s9=find(dd>=3&dd<=11.5);x10=length(s9) %3-11.5 +clc,clear +%1月的风电场典型风机报表 +d1=[[]; +for n=1:31 + a1=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\01.xls',...'['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])； +d1=[d1 a1]；%一月每两小时的风速 +end +d1; +%2月的风电场典型风机报表 +d2=[[]; +for n=1:28 + a2=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\02.xls',...' +``` + +```matlab +['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])； +d2=[d2 a2]；%二月每两小时的风速 +end +d2; +%3 月的风电场典型风机报表 +d3=[]; +for n=1:31 + a3=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\03.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])； +d3=[d3 a3]；%三月每两小时的风速 +end +d3; +%4 月的风电场典型风机报表 +d4=[]; +for n=1:30 + a4=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\04.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])); +d4=[d4 a4]；%四月每两小时的风速 +end +d4; +%5 月的风电场典型风机报表 +d5=[]; +for n=1:31 + a5=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\05.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])); +d5=[d5 a5]；%五月每两小时的风速 +end +d5; +%6 月的风电场典型风机报表 +d6=[]; +for n=1:30 + a6=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\06.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])); +d6=[d6 a6]；%六月每两小时的风速 +end +d6; +%7 月的风电场典型风机报表 +d7=[]; +for n=1:31 + a7=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\shuju2\07.xls',...['sheet',num2str(n)],['C9:N9'])); +d7=[d7 a7]；%七月每两小时的风速 +end +d7; +%1 月的风电场典型风机报表 +d8=[]; +for n=1:31 +``` + +a8=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\08.xls',... ['sheet',num2str(n)],['C9:N9']); + +d8=[d8 a8]; %八月每两小时的风速 + +end + +d8; + +%9月的风电场典型风机报表 + +$\mathsf{d9} = []$ + +for n=1:30 + +a9=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\09.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9']]; + +d9=[d9 a9]; %九月每两小时的风速 + +end + +d9; + +10月的风电场典型风机报表 + +d10=[]; + +for $n = 1:31$ + +a10=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\10.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9'])]; + +d10=[d10 a10]; %十月每两小时的风速 + +end + +d10; + +%11月的风电场典型风机报表 + +d11=[]; + +for $n = 1:30$ + +a11=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\11.xls',... + +['sheet',num2str(n),['C9:N9'])]; + +d11=[d11 a11]; %十一每两小时的风速 + +end + +d11; + +12月的风电场典型风机报表 + +d12 = []; + +for $n = 1:31$ + +a12=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\shuju2\12.xls',... + +['sheet',num2str(n)],['C9:N9']); + +d12=[d12 a12]; %十二每两小时的风速 + +end + +d12; + +$x = 1:4380$ + +dd1=[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12]; %57#一年中每两小时的风速 + +x11=1:0.5:4380; %插出每小时的风速 + +dd=interp1(x,dd1,x11,'spline'); %插值 + +s=find(dd>=0&dd<3.5);x1=length(s) %0-3.5 + +s1=find(dd>=3.5&&dd<=11.5);x2=length(s1)%3.5-11.5 + +s2=find(dd>11.5&dd<=25);x3=length(s2) %11.5-25 + +s3=find(dd>25);x4=length(s3) %大于 25 + +s4=find(dd>=0&dd<3);x5=length(s4) %0-3 + +s5=find(dd>=3&dd<=10.5);x6=length(s5) %3-10.5 + +s6=find(dd>10.5&dd<=25);x7=length(s6) %10.5-25 + +s7=find(dd>=3&dd<=11);x8=length(s7) %3-11 + +s8=find(dd>11&&dd<=25);x9=length(s8) %11-25 + +s9=find(dd>=3&&dd<=11.5);x10=length(s9) %3-11.5 + +%机型1拟合 + +clc,clear + +a=[3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12]; + +b=[27 56.41 96.76 140.1 191.13 254.97 335.13 423.64 527.61 650.08 789.66 951.86 1120.18 ... + +1308.91 1516.25 1730.77 1912.29 2003.52 2010]; + +p=polyfit(a,b,2) %二次拟合 + +p1=polyfit(a,b,3) %三次拟合 + +Z=polyval(p,a); + +Z1=polyval(p1,a); + +plot(a,b,'*',a,Z,'k-',a,Z1,'or') + +tdata=3:0.5:12 + +cdata=[27 56.41 96.76 140.1 191.13 254.97 335.13 423.64 527.61 650.08 789.66 951.86 1120.18 ... + +1308.91 1516.25 1730.77 1912.29 2003.52 2010]; + +$\times 0 = [000]$ + +x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata) %非线性拟合 + +f=curvefun1(x,tdata); + +hold on + +plot(tdata,f,'--') + +xlabel('风速') + +ylabel('机型1功率') + +legend('原数据图像','二次拟合','三次拟合','非线性拟合') + +%机型二拟合 + +clc,clear + +a=[3.54567891011]; + +b=[40 74 164 293 471 702 973 1269 1544]; + +p=polyfit(a,b,2) %二次拟合 + +p1=polyfit(a,b,3) %三次拟合 + +Z=polyval(p,a); + +Z1=polyval(p1,a); + +plot(a,b,'*',a,Z,'k-',a,Z1,'or-) + +tdata=[3.54567891011]; + +cdata=[407416429347170297312691544]; + +$\times 0 = [000]$ + +x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata) %非线性拟合 + +f=curvefun1(x,tdata); + +hold on + +plot(tdata,f,'--') + +xlabel('风速') + +ylabel('机型2功率') + +legend('原数据图像','二次拟合','三次拟合','非线性拟合') + +%机型1 + +clc,clear + +y=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第二问统计数据.xls','B2:G366'); + +dd=[];dd1=[]; + +for $i = 1:6$ + +y1=y(:,i); + +i=1:365; + +$\mathrm{t = (3600^*24)^*i}$ + +t1 = t(1); t2 = t(end); + +pp=csape(t,y1); + +xsh=pp.coefs; + +TL=quadr(@(tt)fnval(pp,tt),t1,t2);%实际发电量 + +dd=[dd TL]; + +qq=TL/(24*365*3600*2000);%容量系数 + +dd1=[dd1 qq]; + +end + +dd + +dd1 + +%机型2 + +clc,clear + +y=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第二问统计数据.xls', 'I2:N366'); + +dd=[];dd1=[]; + +for $i = 1:6$ + +y1=y(:,i); + +i=1:365; + +$\mathrm{t = (3600^*24)^*i}$ + +t1 = t(1); t2 = t(end); + +pp=csape(t,y1); + +xsh=pp.coefs; + +TL=quadr(@(tt)fnval(pp,tt),t1,t2);%实际发电量 + +dd=[dd TL]; + +qq=TL/(24*365*3600*1500);%容量系数 + +dd1=[dd1 qq]; + +end + +dd + +dd1 + +clc,clear + +a=[3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 14 15 16 ... + +17 18 19 20 21 22 23 24 25]; + +b=[27 56.41 96.76 140.1 191.13 254.97 335.13 423.64 527.61 650.08 789.66 951.86 + +1120.18 ... + +1308.91 1516.25 1730.77 1912.29 2003.52 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 + +2010 ... + +2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010]; + +figure(1) + +plot(a,b) + +hold on + +xlabel('风速') + +ylabel('功率') + +title('机型1') + +a1=[3.54567891011121314151617181920212223]; + +b1=[40 74 164 293 471 702 973 1269 1544 1544 1544 1544 1544 1544 1544 ... 1544 1544 1544 1544 1544]; + +figure(2) + +plot(a1,b1) + +xlabel('风速') + +ylabel('功率') + +title('机型2') + +第三问程序 + +clc,clear + +a=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\程序文件\第一问统计数据.xlsx', '日平均风速', 'B2:M32'); + +$\mathsf{b} = \mathsf{a}(:,$ + +[m,n]=max(b); + +b([60:62 124 165 186 279 341],:) = []; + +dd $\equiv$ []; + +for $i = 1:182$ + +c=sum(b(2*i-1:2*i))/2; %将每天平均风速计算为每两天平均风速 + +dd=[ddc]; + +end + +dd; + +cc=[]; + +c1=sort(dd) %每两天平均风速从大到小排序 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2016/xipoxitong-master/\346\226\207\347\253\240/xipoxitong/xipoxitong.md" "b/MCM_CN/2016/xipoxitong-master/\346\226\207\347\253\240/xipoxitong/xipoxitong.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..56c7f796b7575b100bb173f67fcf9a89773eee8d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2016/xipoxitong-master/\346\226\207\347\253\240/xipoxitong/xipoxitong.md" @@ -0,0 +1,1502 @@ +# 第一部分 + +# 数学建模实战 + +# 第一章 系泊系统 + +# 1.1 题目要求 + +近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，如图(1.1)所示。1、某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径 $2m$ 、高 $2m$ 的圆柱体，浮标的质量为 $1000kg$ 。2、系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 $600kg$ ，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度 $1m$ ，直径为 $50mm$ ，每节钢管的质量为 $10kg$ 。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。3、水声通讯系统安装在一个长 $1m$ 、外径 $30cm$ 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 $100kg$ 。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 + +![](images/b125aed900ebbea3c676fdf287b1e2958a466ee0e1a5d3ce150775a147dec9ad.jpg) +图1.1：系泊系统组成图 + +系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 + +问题1：某型传输节点选用II型电焊锚链 $22.05m$ ，选用的重物球的质量为 $1200kg$ 。现将该型传输节点布放在水深 $18m$ 、海床平坦、海水密度为 $1.025 \times 10^{3}kg/m^{3}$ 的海域。若海水静止，分别计算海面风速为 $12m/s$ 和 $24m/s$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +问题2：在问题1的假设下，计算海面风速为 $36m / s$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 + +问题3：由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 $16m$ 20m之间。布放点的海水速度最大可达到 $1.5m/s$ 、风速最大可达到 $36m/s$ 。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +说明：近海风荷载可通过近似公式 $F = 0.625 \times Sv^2(N)$ 计算，其中 $S$ 为物体在风向法平面的投影面积 $(m^2)$ ， $v$ 为风速 $(m/s)$ 。近海水流力可通过近似公式 $F = 374 \times Sv^2(N)$ 计算，其中 $S$ 为物体在水流速度法平面的投影面积 $(m^2)$ ， $v$ 为水流速度 $(m/s)$ 。锚链型号和参数如表1.1所示 + +表 1.1: 附表：锚链型号和参数表 + +
型号长度(mm)单位长度的质量(kg/m)
I783.2
II1057
III12012.5
IV15019.5
V18028.12
+ +# 1.2 系泊系统的优化设计 + +# 1.2.1 模型的假设 + +1. 假设浮标系统所处的海平面是平稳不波动的； +2. 假设浮标在风力作用下仍保持水平状态，不存在倾斜，即吃水深度保持不变； +3. 假设前两个问题不考虑水流力及其他内外力； +4. 假设不考虑波动情况，即所研究物体为静态力平衡； +5. 假设锚链是重力均匀的，且可以弯曲但无弹力，锚链自重沿悬链线方向为常量； + +# 1.2.2 符号说明 + +# 1.2.3 问题一的分析与求解 + +# 问题的分析 + +某型传输节点选用 II 型电焊锚链 $22.05m$ ，选用的重物球的质量为 $1200kg$ 。并将该型传输节点布放在水深 $18m$ 、海床平坦、海水密度为 $1.025 \times 10^{3}kg/m^{3}$ 的海域。假设海水静止，分别计算海面风速为 $12m/s$ 和 $24m/s$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +一个必然要做的事情是：在某一风速下计算系泊系统各点的坐标（本质是分析各个量之间的关系）。并且，如果各点的坐标求得，那么上面的问题一也就迎刃而解了。首先，我们对整个系泊系统建立直角坐标系，然后对整个系统做受力分析。 + +# 模型的建立与求解 + +# (1) 构建整体坐标系 + +以锚垂直于海平面向上为 $y$ 轴的正方向，以海面风向为 $x$ 轴正方向，建立二维平面直角坐标系 $xoy$ 。根据假设条件，浮标系统整体如图 (1.2) 所示 + +![](images/d24e085b6c0430729dd800a6f265db3cfd88adacb9341331a0a22cf7268ef85d.jpg) +图1.2：系泊系统整体坐标系 + +# (2）浮标受力分析 + +浮标系统可简化为底面直径 $D$ 为 $2m$ 、高度 $h_0$ 为 $2m$ 、吃水深度为 $h$ 的圆柱体。当浮标处于平衡状态时，对浮标进行受力分析，浮标会受到重力 $G_{0}$ 、浮力 $F_{0}$ 、风力 $F_{w}$ 、第一根钢管对浮标的拉力 $T_{1}$ 。浮标的受力情况如图 (1.3) 所示。 + +![](images/1c0b88d0e2a37074280ddc4b16dbc44d119d1aee34dd7c3877a329bd1d8f10fc.jpg) +图1.3：浮标受力分析图 + +由浮标质量得出其所受重力 $G_{0} = m_{0}g$ ；浮标所受的浮力（当浮标的吃水深度不断变化时排开水体积用积分表示） $F_{0} = \rho g\pi (D / 2)^{2}h$ ；由近海风荷载的近似公式可得浮标所受的风力 $F_{w} = 0.625D(h_{0} - h)v_{w}^{2}$ ；考虑到浮标最终处于静力平衡状态，由静力学平衡方程，有 + +$$ +F _ {0} - G _ {0} = T _ {1} \sin \theta_ {1} +$$ + +$$ +F _ {w} = T _ {1} \cos \theta_ {1} +$$ + +求解上述静力方程，得到第一根钢管对浮标的拉力 $T_{1}$ 以及与水平面的夹角 $\theta_{1}$ + +$$ +T _ {1} = \sqrt {(F _ {0} - G _ {0}) ^ {2} + F _ {w} ^ {2}} +$$ + +$$ +\theta_ {1} = \arctan {\frac {F _ {0} - G _ {0}}{F _ {w}}} +$$ + +上述结果中浮标所受的浮力和风力是未知，但均与吃水深度有关，给定一个吃水深度 $h$ ，就会求得一个 $\theta_{1}$ ，由力学平衡条件得到 $T_{1}$ ，继而可以计算下面各部分的参数。因此本文稍后会从初始的吃水深度出发，再进行迭代计算。 + +# (3) 钢管受力分析 + +钢管的受力整体情况如图(1.4a)所示，第 $i$ 根钢管的受力分析如图(1.4b)所示。第 $i$ 根钢管受到重力 $G_{i}$ 、浮力 $F_{i}$ 、钢管的上端拉力和下端拉力分别为 $T_{i}$ 和 $T_{i + 1}, i = 1,2,3,4$ 。 + +![](images/10d795e488adcc2dc9d4ba85c07a9cd4f7157339187d89f8082b509d6d9402d4.jpg) +(a) 各节钢管所受拉力图 + +![](images/25ac1034235a5724c6f6e84cb5b76ea6b2f35e25283781a113bbb1c4a7c0ae6f.jpg) +(b) 单节钢管受力示意图 + +根据第 $i$ 根钢管的长度和直径计算钢管的体积，得到钢管所受的浮力大小为 + +$$ +F _ {i} = \rho g v _ {i} = \rho g S _ {i} l _ {i} +$$ + +其中： $v_{i}$ 为排水体积； $l_{i}$ 为钢管的长度， $l_{i} = 1m$ 且所有钢管的长度均相同； $D_{i}$ 为钢管的直径，且所有钢管的长度均相同， $D_{i} = 50mm$ 。且有 $S_{i} = \pi \left(\frac{D_{i}}{2}\right)^{2}$ ，由物理中的力学得到 $\forall i, j \in \{1, 2, 3, 4\}$ ，均有 $F_{i} = F_{j}$ 。 + +钢管处于平衡状态时有静力平衡方程 + +$$ +F _ {i} - G _ {i} + T _ {i} \sin \theta_ {i} = T _ {i + 1} \sin \theta_ {i + 1} +$$ + +$$ +T _ {i} \cos \theta_ {i} = T _ {i + 1} \cos \theta_ {i + 1} +$$ + +其中， $\theta_{i}$ 为第 $i$ 根钢管上端拉力 $T_{i}$ 与水平方向的夹角； $\theta_{i+1}$ 为第 $i$ 根钢管下端拉力 $T_{i+1}$ 与水平方向的夹角。求解上述静力方程，就可得到第 $i$ 根钢管所受的拉力及其与水平方向的夹角和相应的坐标 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ ，注意 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ 的坐标是由最初的浮标吃水深度 $h, x_{0}$ 逐步迭代得到的 + +$$ +T _ {i + 1} = \sqrt {\left(F _ {i} - G _ {i} + T _ {i} \sin \theta_ {i}\right) ^ {2} + \left(T _ {i} \cos \theta_ {i}\right) ^ {2}} +$$ + +$$ +\theta_ {i + 1} = \arctan {\frac {F _ {i} - G _ {i} + T _ {i} \sin \theta_ {i}}{T _ {i} \cos \theta_ {i}}} +$$ + +$$ +x _ {i + 1} = x _ {i} - l _ {i} \cos \theta_ {i} +$$ + +$$ +y _ {i + 1} = y _ {i} - l _ {i} \sin \theta_ {i} +$$ + +其中， $l_{i}$ 为钢桶的长度， $(x_{i},y_{i})$ 为钢桶上端的坐标， $(x_{i + 1},y_{i + 1})$ 为钢桶下端的坐标。 + +# (4) 钢桶的受力分析 + +将钢桶与重物球看成一个整体，分析平衡状态下钢桶整体受到的力，包括重力 $G_{6}$ 、浮力 $F_{6}$ 、重物球的重力 $G_{+}$ 、钢桶上端与下端受到的拉力分别为 $T_{5}$ 和 $T_{6}$ ，这里忽略重物球的浮力。钢桶的受力分析如图 (1.5) 所示。 + +![](images/a7d23e0f4255bbf28380a22eeb9a657df8d58b456985930f1a28a7693627b9c1.jpg) +图1.5：钢桶整体受力示意图 + +# 1.2 系泊系统的优化设计 + +钢桶受到的浮力 $F_{6}$ + +$$ +F _ {6} = \rho g l _ {2} \pi (D _ {2} / 2) ^ {2} +$$ + +其中， $l_{2}$ 为钢桶的长， $D_{2}$ 为钢桶的横截面直径。然后，钢桶处于平衡状态，由静力平衡方程有 + +$$ +\left(F _ {6} - G _ {6} - G _ {+}\right) + T _ {5} \sin \theta_ {5} = T _ {6} \sin \theta_ {6} +$$ + +$$ +T _ {5} \cos \theta_ {5} = T _ {6} \cos \theta_ {6} +$$ + +其中: $\theta_{5}$ 为钢桶上端拉力 $T_{5}$ 与水平方向的夹角, 且 $\theta_{5}$ 与 $T_{5}$ 通过前面钢管的计算可以得到。因此, 求解上述静力平衡方程得到钢桶的下端受到的拉力 $T_{6}$ 及它与水平方向的夹角 $\theta_{6}$ + +$$ +T _ {6} = \sqrt {(F _ {6} - G _ {6} - G _ {+} + T _ {5} \sin \theta_ {5}) ^ {2} + (T _ {5} \cos \theta_ {5}) ^ {2}} +$$ + +$$ +\theta_ {6} = \arctan {\frac {F _ {6} - G _ {6} - G _ {+} + T _ {5} \sin \theta_ {5}}{T _ {5} \cos \theta_ {5}}} +$$ + +# (5) 锚链的受力分析 + +在实际的浅海观测网中锚链可能会出现铺底和没有铺底两种情况。设 $L_{0}$ 为放出锚链总长度， $L$ 为被挂起的锚链长度 $L \leqslant L_{0}$ 。查阅无档普通链环规格的相关资料可知，Ⅱ型电焊锚链的半径约为 $0.009m$ 。将锚链看成是长 $22.05m$ ，底面半径为 $0.009m$ 的圆柱体，根据浮力公式计算得到锚链在水下的浮力大小约为 $58N$ ，锚链的重力 $G_{7} = 1543.5N$ ，故锚链受到的浮力远远小于重力，因此锚链的浮力对于重力而言可忽略不计。由前面的分析可知，我们求得了锚链前端张力 $T_{6}$ 及张力的水平夹角，同时对锚链的分析可以分为有铺底链和无铺底链两个部分。假设锚链的总长为 $L_{0}$ ，锚链的单位长度质量为 $\bar{m}$ ，则锚链的水中单位长度重力为 $W = \bar{m} g$ ，则锚链的水下总重力为 $G_{L} = WL$ 。 + +锚链存在铺底链 假设铺底链不存在堆叠现象，即锚链虽然铺底，但它是完全展开的，平铺于海底。以锚的正上方为 $y$ 轴正方向，以海的水平方向为 $x$ 轴，建立直角坐标系，则有铺底链的悬链线受力示意图如图 (1.6) 所示。 + +![](images/1b69f19a1a87e458b42c7ffb84b3d4bead752014394e215c296a57a58a625ee6.jpg) +图1.6：有铺底链情况示意图 + +上图(1.6)中，锚链被提起的长度为 $L$ ，则铺底的锚链长度为 $L_{0} - L$ ，考虑到有铺底链的受力分析与无铺底链的情况相似，只是坐标可能变化，所以我们直接进行下面的不存在铺底的情况分析。 + +锚链不存在铺底 悬链线没有铺底的情况下，即悬链线刚好被完全拉起，其整体受力示意图如图 (1.7)所示。 + +![](images/fcdb1050447fd796e855ef9586e05131322d20aec119c71ea52124a570766fa2.jpg) +图1.7：没有铺底的悬链线受力示意图 + +假设浮标始终垂直，对锚泊系统我们采用微元法进行分析（单点系泊系统），从锚链中取出一微段ds，微段ds受力情况如图(1.8)所示。 + +![](images/e5bf665cfddeddf3d1e53d24a9b926451c75527e6e74248bf278cc16b9247d0b.jpg) +图1.8：微段受力分析示意图 + +![](images/6e1d21ab2637bdb8bec9940039ffd605272ab7743df89577942fdd9d5a7827da.jpg) + +锚链某个小段受到的上端与下端张力分别为 $T$ 和 $T + \mathrm{d}T$ ，重力为 $G, \mathrm{d}T$ 为拉力的微变量， $\mathrm{d}\theta$ 为锚链某个小段角度的微变量。根据锚链某个小段的单位长度的重力，可得 $\mathrm{ds}$ 的重力 + +$$ +G = w \mathrm {d} s +$$ + +如图 (1.8) 所示，微段 $\mathrm{ds}$ 的静力平衡方程为 + +$$ +(T + \mathrm {d} T) \sin \mathrm {d} \theta = G \cos \theta \tag {1.1} +$$ + +$$ +(T + \mathrm {d} T) \cos \mathrm {d} \theta + G \sin \theta = T +$$ + +将(1.1)是用泰勒公式展开，忽略二阶无穷小量，当 $\mathrm{d}\theta \approx 0$ 时，有 $\cos \mathrm{d}\theta \approx 1, \sin \mathrm{d}\theta \approx \mathrm{d}\theta$ ，将上式化简得到 + +$$ +(T + \mathrm {d} T) \mathrm {d} \theta = G \cos \theta \tag {1.2} +$$ + +$$ +(T + \mathrm {d} T) = T - G \sin \theta +$$ + +将上式 (1.2) 化简后的等式转化成递推形式，得到 + +$$ +T _ {i + 1} = T _ {i} - G \sin \theta_ {i} +$$ + +$$ +\theta_ {i + 1} = \theta_ {i} - \frac {G \cos \theta_ {i}}{T _ {i} - G \sin \theta_ {i}} +$$ + +由此，我们得到 $T$ 和 $\theta$ 的迭代关系式。并且，值得一提的是，该公式在锚链有铺底的情况下同样是适用的。同时，我们注意到坐标变换，有 + +$$ +\mathrm {d} x = \cos \theta \mathrm {d} s +$$ + +$$ +\mathrm {d} y = \sin \theta \mathrm {d} s +$$ + +故有 + +$$ +x _ {i + 1} = - \cos \theta \mathrm {d} s + x _ {i} +$$ + +$$ +y _ {i + 1} = - \sin \theta \mathrm {d} s + y _ {i} +$$ + +在后面的仿真实验中，我们将 $L_{0}$ 微分成数个 $\mathrm{ds}$ 进行迭代。 + +# 程序 + +在上面的受力分析的最后一部分：锚链的受力分析中，我们可以求出锚链每个微元段 $\mathrm{ds}$ 的水平角度 $\theta_{i}$ 和张力 $T_{i}$ ，题目要求水深 $H$ 为 $18m$ ，如果锚链有拖尾，当 $\theta_{i}$ 接近0时，我们就使此部分之后的锚链高度 $y_{i}$ 不再改变： $y_{i} = y_{j}(j = i + 1, i + 2, \ldots)$ ，只改变锚链横坐标即可。并且，我们也得到了系泊系统所有“点”的郑横纵坐标。 + +经过上面的分析，我们发现：在其它条件给定的情况下(风速、水密度、链型、链长和重物球)，每给定一个浮漂吃水深度 $h$ ，我们就可以有一个系泊系统的整体深度，换句话说，我们将其它条件视(风速、水密度、链型、链长和重物球)为参数 $\theta$ ，吃水深度视为自变量 $x$ ，系泊系统整体深度视为因变量 $y$ ，则我们找到了二者之间的函数关系 $y = f(x;\theta)$ 。题目中给定海水深度为 $18m$ ，也就是说，我们只要求解 $y = 18$ 时的自变量值 $x$ (即吃水深度 $h$ )即可。当 $h$ 求解出来之后，整个系泊系统的各点的坐标、角度以及张力也就有了。 + +下面，我们先给出系泊系统各个量之间的关系。为了简单，我们记吃水深度 $h \triangleq -y_0$ ，浮漂的横坐标为 $x_0$ ，各个量之间的关系函数如下，编写为 For2D.m + +function[y，x，theta，T，stat] $\equiv$ For2D(y0，x0，v.wind，m_qiu，I，L，xitong_figure) +%此函数用于给定x0和y0后求解系泊系统的状态曲线 +% +%输入% +% y0：浮标纵坐标，|y0|=h。其中，h为吃水深度。 +% x0：浮标横坐标。 +% v Winds：风速。 +% m_qiu：重物球质量。 +% I：锚链型号。1、2、3、4、5 +% L：锚链长度。 +% outputfigure：是否输出系统图像。logistic +% +%输出% +% y：系泊系统纵坐标。向量 +% x：系泊系统横坐标。 +% theta：系泊系统角度。 +% T：系泊系统拉力。 +% stat：要求的系泊系统参数，包括：吃水深度h、横坐标x0、游动区域S、钢桶竖直夹角alpha1、锚链底端水平夹角alpha2、风速v Winds、重物球质量m、系统状态yxthetaT。stats +% +%正文% +%确定锚链 +switch I +case 1 + $\mathrm{II} = 78 / 1000;\%$ 锚链每节长度m + $\mathrm{m\_II} = 3.2;\%$ 单位长度的质量kg/m +case 2 + $\mathrm{II} = 105 / 1000;\%$ 锚链每节长度m + $\mathrm{m\_II} = 7;\%$ 单位长度的质量kg/m + +case 3 + +$\mathrm{II} = 120 / 1000$ + +$\mathrm{m\_II} = 12.5\%$ 单位长度的质量 $\mathrm{kg / m}$ + +case 4 + +$\mathrm{II} = 150 / 1000$ + +$\mathrm{m\_II} = 19.5;\%$ 单位长度的质量 $\mathrm{kg / m}$ + +case 5 + +$\mathrm{II} = 180 / 1000$ + +m_II = 28.12; %单位长度的质量 kg/m + +end + +$\mathrm{n} = \mathrm{round(L / II)}$ + +ind $= \mathrm{n} + 5 + 1$ + +$\mathrm{y}(1) = \mathrm{y}0$ + +$\mathrm{x}(1) = \mathrm{x}0$ + +$\mathrm{h} = \mathrm{abs}(\mathrm{y}(1)); \%$ 浮标吃水深度 + +浮标受力 + +rho = 1.025 * 10^3; % 海水的密度 kg/m^3 + +$\mathrm{g} = 9.8;\%$ 重力加速度 $\mathrm{N / kg}$ + +$\mathrm{D} = 2;\%$ 圆柱浮标地面直径 $\mathrm{m}$ + +$\mathrm{h0} = 2; \%$ 圆柱浮标高度 $\mathrm{m}$ + +$\mathrm{m0} = 1000; \%$ 浮标质量 $\mathrm{kg}$ + +$\mathrm{F0} = \mathrm{r h o^{*}g^{*}p i^{*}(D / 2)^{\wedge}2^{*}h}; \%$ 浮标浮力 + +$\mathrm{G0} = \mathrm{m0}^{*}\mathrm{g};\%$ 浮标重力 + +$\% \mathrm{v\_wind} = 12; \%$ 风速 $\mathrm{m / s}$ + +S_wind = D*(h0-h);%风受力面积 + +F_wind = 0.625*S_wind*v_wind^2;%风力 + +theta1 = atan((F0-G0)/F_wind);%钢管1的水平夹角 + +$\mathrm{T1} = \mathrm{sqrt}((\mathrm{F0 - G0})^{\wedge 2} + (\mathrm{F\_wind})^{\wedge 2});\%$ 钢管1的张力 + +$\mathrm{T}(1) = \mathrm{T}1$ ；thetata(1)=thetala; + +%钢管受力分析 + +for $i = 1:4$ + +$\mathrm{m(i)} = 10\%$ 钢管质量 $\mathrm{kg}$ + +$\mathrm{G(i) = m(i)^{*}g;\%}$ 钢管重力 + +$l(i) = 1; \%$ 钢管长度 $m$ + +$\mathrm{d(i)} = 50 / 1000;\%$ 钢管直径 $\mathrm{m}$ + +$\mathrm{F(i) = r h o^{*}g^{*}p i^{*}(d(i) / 2)^{\wedge}2^{*}1(i)}$ $\%$ 钢管浮力 + +$$ +\mathrm {T} (\mathrm {i} + 1) = (\quad \left(\mathrm {F} (\mathrm {i}) - \mathrm {G} (\mathrm {i}) + \mathrm {T} (\mathrm {i}) ^ {*} \sin \left(\operatorname {t h e t a} (\mathrm {i})\right)\right) ^ {\wedge} 2 \quad + \dots +$$ + +$(\mathrm{T(i)}^{*}\cos (\mathrm{theta(i)}))^{\wedge 2}$ $\hat{(1 / 2)}$ + +$$ +\operatorname {t h e t a} (i + 1) = \operatorname {a t a n} (\quad (\mathrm {(F (i) - G (i) + T (i) ^ {*} s i n (t h e t a (i)))} / \dots +$$ + +$(\mathrm{T(i)}^{*}\cos (\mathrm{theta(i)}))$ + +%钢管i的坐标（xi，yi） + +$$ +y (i + 1) = y (i) - l (i) ^ {*} \sin (\text {t h e t a} (i)); +$$ + +$$ +\mathrm {x} (\mathrm {i} + 1) = \mathrm {x} (\mathrm {i}) - \mathrm {l} (\mathrm {i}) ^ {*} \cos (\mathrm {t h e t a} (\mathrm {i})); +$$ + +end + +%钢桶受力分析 + +m_tong = 100; %钢桶的质量 kg + +G_tong = m_tong * g; %钢桶重力 + +$\% \mathrm{m\_qiu} = 1200;\%$ 重物球质量kg + +G_qiu = m_qiu* g; %重物球重力 + +l_tong = 1; %钢桶长 m + +D_tong = 30/100;%钢桶底长 + +F_tong = rho * g * pi * (D_tong / 2) ^ {2} * l_tong; %钢桶浮力 + +T_tong = (F_tong-G_tong-G_qiu+T(5)*sin(theta(5))^2 + ... + +$\begin{array}{r}\mathrm{(T(5)^{*}\cos(\theta t h e t a(5)))^{\wedge}2)^{\wedge}(1 / 2)}; \end{array}$ +theta_tong $=$ atan((F_tong-G_tong-G_qiu+T(5)\*sin(theta(5))）.../(T(5)\*cos(theta(5))))）; + $\mathrm{T}(6) = \mathrm{T}_{-}$ tong; +theta(6) $=$ theta_tong; +y(6)=y(5)-1_tong\*sin(theta(5)); +x(6)=x(5)-1_tong\*cos(theta(5)); +%锚链线分析 +G_mao $= \mathrm{II^{*}m_{-}II^{*}g};$ %单位长度重量 +L_tuo $= 0;\%$ 锚链拖尾长度 +for $\mathrm{i} = 6:6 + \mathrm{n - 1}$ （204if theta(i)-0>0.001 $\mathrm{T(i + 1) = T(i) - G_mao^*\sin (theta(i));}$ （204theta(i+1)=theta(i)-(G_mao\*cos(theta(i))/(T(i)-G_mao\*sin(theta(i));y(i+1)=y(i)-sin(theta(i)\*II;x(i+1)=x(i)-cos(theta(i)\*II;else $\mathrm{T(i + 1)} = 0;$ （204theta(i+1)=0;y(i+1)=y(i);x(i+1)=x(i)-II;L_tuo=L_tuo+II;endend + +上面给出了系泊系统各个量之间的关系函数For2D，下面，我们就求解系泊系统深度 $y(end) = 18m$ 时的吃水深度 $h$ 。这里，我们提供三种方法： + +(1). 离散枚举法，将 $h$ 从 $[0,2]$ 遍历离散取值，选取 $y(end)$ 最接近18的 $h$ ，函数为bestpoint.m，如下 + +function [besty0, bestx0] = bestpoint(H, N, x0, vwind, m_qiu, I, L, y0_yn_figure) + +%此函数用离散枚举法求最优吃水深度h + +% + +$\mathrm{y0} = \mathrm{linspace}(0, -2, \mathrm{N})$ + +%注：y0是有取值范围的，y0不可以从0开始取值，否则会发生yn>0的情况。 + +%修正y0 + +$\mathrm{rho} = 1.025^{*}10^{\wedge}3;\%$ 海水的密度 $\mathrm{kg / m^{\widehat{m}}}$ + +$\mathrm{D} = 2;\%$ 圆柱浮标地面直径 $\mathrm{m}$ + +$\mathrm{m0} = 1000; \%$ 浮标质量 $\mathrm{kg}$ + +y0_min = - $(\mathrm{m0 + m_qiu}) / (\mathrm{r h o^{*}p i^{*}(D / 2)^{\hat{2}}})$ + +$\mathrm{y0} =$ linspace(y0_min，-2，N)； + +$\mathrm{yn} = \mathrm{zeros}(\mathrm{size}(\mathrm{y0}))$ + +xn = zeros(size(y0)); + +xitongfigure $= 0$ + +for $\mathrm{i} = 1$ :length(y0) + +[y, x, theta, ~] = For2D(y0(i), x0, vwind, m_qiu, I, L, xitong_figure); + +$\mathrm{yn(i)} = \mathrm{y(end)}$ + +$\mathrm{xn(i)} = \mathrm{x(end)}$ + +$\mathrm{the}\tan (\mathrm{i}) = \mathrm{theta}(\mathrm{end - 1});$ + +end + +$\left[\sim ,\mathrm{ind}1\right] = \min (\mathrm{abs}(\mathrm{yn} - (-\mathrm{H})));$ + +besty0 = y0(ind1); + +bestx0 = x0 - xn(ind1); + +(2) 迭代算法求最优吃水深度。这种方法是有方向的调整吃水深度，是系泊系统水深和 $18m$ 接近，函数为bestpoint2.m，如下 + +```matlab +function [besty0, bestx0, bestyn] = bestpoint2(y0, x0, H, eta, maxt, eps, vwind, m_qiu, I, L) +%此函数用迭代算法求最优吃水深度h +%%正文%% +xitong_figure = 0; +t = 0; +while t < maxt + [~, ~, ~, ~, stat] = For2D(y0, x0, v Winds, m_qiu, I, L,xitong_figure); + yn = stat.yn; + xn = stat.xn; + delta_yn = yn - (-H); + if abs(delta_yn) < eps + disp('yn满足精度，终止') + break; +else + y1 = y0; + y0 = y0 - eta*delta_yn;%更新y0 +%如果y0不在范围内 + if y0 < -2 | y0 > 0 + eta1 = 0.5*eta; + y0 = y1 - eta1*delta_yn; + end +end +t = t+1; +if t == maxt + disp('达到最大迭代次数，终止') +end +end +%%构建输出%% +disp(['迭代次数：', num2str(t)]) +besty0 = y0; +bestyn = yn; +bestx0 = x0 - xn; +``` + +(3) 用 fzero 法求最优吃水深度。其实，对于这个函数问题，我们可以使用 MATLAB 自带的函数命令 fzeros 来求解，求解程序如下 + +function [besty0, bestx0] = bestpoint3(H, x0, vwind, m_qiu, I, L, xitong_figure) + +%此函数用fzero法求最优吃水深度h + +$\%$ +fun $= @(\mathrm{y0})$ bestpoint3fun(y0，H，x0，v.wind，m_qiu，I，L，xitong_figure); +y0 $\coloneqq -0.3$ ； $\%$ initial point +besty0 $=$ fzero(fun，y0); + $[\sim ,\mathrm{x},\sim ,\sim ,\sim ] = \mathrm{For2D}(\mathrm{besty0,x0,vwind,m_qiu,I,L,xitong_figure});$ +bestx0 $= \mathbf{x}0 - \mathbf{x}$ (end); +end + +function $\mathrm{f} =$ bestpoint3fun(y0, H, x0, v_wind, m_qiu, I, L, xitong_figure) + +%此函数用于构建fzero函数的输入，以求解yn=-H。 + +% + +# 1.2 系泊系统的优化设计 + +14 $\begin{array}{rl} & {\mathrm{[y,~\sim,~\sim,~\sim,~\sim] = For2D(y0,x0,v_wind,m_qiu,I,L,xitong_figure)}}\\ & {\mathrm{yn = y(end);}}\\ & {\mathrm{f = yn - (-H);}}\\ & {\mathrm{end}} \end{array}$ +15 +16 $\mathrm{f = yn - (-H)}$ +17 +18 +下面，我们给出求解各风速下系泊系统的状态的程序 +1 $\%$ 利用离散枚举法计算bestx0，besty0情况下的系统信息及系统图形 +2 $\%$ 风速为12时的系统情况 +3 $\mathrm{H} = 18;\mathrm{N} = 1000;\mathrm{x0} = 20;\mathrm{v\_wind} = 12;$ +4 m_qiu $= 1200$ $\mathrm{I} = 2$ $\mathrm{L} = 22.05$ +5 y0_yn_figure $= 1$ ;xitong_figure $= 1$ +6 [besty0，bestx0] $=$ bestpoint(H,N,x0,vwind,m_qiu,I,L,y0_yn_figure); +7 y0 $=$ besty0; +8 x0 $=$ bestx0; +9 [y1，x1，theta1，T1，stat1] $=$ For2D(y0,x0,vwind,m_qiu,I,L,xitong_figure); +10 + +# 结果 + +风速 $v_{w} = 12m / s$ 时锚链末端 $y_{n}$ 和水平夹角随吃水深度 $h$ 的变化曲线如图 (1.9) 所示，我们只要选取末端 $y_{n} = 18$ 时的吃水深度即可，称此吃水深度为最优吃水深度。 + +![](images/5b4d729bfd8bc9e2ddf21fb5ca461948dc44ab88fb705748bb1d6f2f545ec26a.jpg) +图1.9: 风速 12 时锚链末端及水平夹角随吃水深度 h 的变化曲线 + +![](images/8809ae2b7ea8abbfaf4dff5e75d115a7f773fc56a6ca9ff7c17cc7a019d6cab5.jpg) + +在最优吃水深度下，系泊系统的系统曲线如图(1.10)所示。最优的 $h$ 为 $0.734,(x_{1},y_{1}) = (14.416, - 0.734)$ 浮标的游动面积为 $628.343m^2$ 。 + +![](images/e55279faeffe7f20a1966b0686975ad0389481ee9ff08c90c9d81fcf1a8d6ee9.jpg) +图1.10：风速12、吃水深度0.73461时的系泊系统 + +风速 $v_{w} = 24m / s$ 时锚链末端 $y_{n}$ 和水平夹角随吃水深度 $h$ 的变化曲线如图 (1.11) 所示。 + +![](images/271011b46e455bd9d864250893add8ba8a0df4d878586f8a2a035361116d0768.jpg) +图1.11：风速24时锚链末端及水平夹角随吃水深度h的变化曲线在最优吃水深度下，风速 $v_{w} = 24m / s$ 时系泊系统的系统曲线如图(1.12)所示。 + +![](images/13830f632b724c1b27600cd0e584c340919423a50a02c614f76b7b01a50e3675.jpg) + +![](images/44158875d25086d9a2bd3a50533e4a77122243956aafc7d0f666b3b254242b7c.jpg) +图1.12：风速24、吃水深度0.74911时的系泊系统 + +# 1.2.4 问题二的分析与求解 + +# 问题的分析 + +问题要求我们在问题1的假设下，在风速 $v = 36m / s$ ，重新计算各指标。并调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 $5^{\circ}$ ，锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过 $16^{\circ}$ 。 + +题目的意思是：在风速 $v = 36m / s$ 时系泊系统整体状态的时候，由于风力太大，使得浮漂整体被拉起（钢桶的倾斜角度和锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角就变得很大），吃水深度很深。因此，我们要增加重物球的质量，使链拉的没有那么“直”。我们可以考虑建立优化模型，这个优化模型的目标其实在题目中已经给出了，“系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。”，我们由此来设计优化模型的目标及约束条件。并且，注意到这个系泊系统的设计是多目标的（这几个目标之间相互矛盾），为此，我们采用IENSGAII算法进行求解。 + +# 模型的建立与求解 + +问题二的前半部分只是重新给出了一个风速，所以与第一问的思路相同，这里只给出一个结果。在最优吃水深度下，风速 $v_{w} = 36m / s$ 时系泊系统的系统曲线如图 (1.13) 所示。 + +![](images/3438ec3fc0614e5e3af14bc165417fa1bac52c62ee2f6da5a20fe217eab68237.jpg) +图1.13：风速36、吃水深度0.7702时的系泊系统 + +风速 $v = 36m / s$ 时系泊系统的最优浮漂位置 $(x_0,y_0) = (18.6505, - 0.7704)$ ，浮漂吃水深度为 $h =$ 0.7704，第一根到第四根钢管和钢桶与竖直方向的夹角弧度数分别为1.4344、1.4336、1.4329、1.4322、1.4314。这时，我们发现系泊系统的角度非常大，这是相当不稳定的。为此，要调节重物球的质量使系泊系统的各夹角变小。我们定义 $m_{+}$ 为重物球的质量， $\alpha_{1}$ 为钢桶与竖直方向的夹角，它与锚链与水平方向的夹角 $\theta_{5}$ 互余，即 $\alpha_{1} = 90^{\circ} - \theta_{5}$ 。 $\alpha_{2}$ 为锚链末端与水平方向的夹角。通过不断的调整 $m_{+}$ ，使得 $\alpha_{5}$ 不超过 $5^{\circ}$ ， $\alpha_{2}$ 不超过 $16^{\circ}$ 。我们可以建立一个优化问题。 + +1. 首先，我们设定优化模型的优化变量为重物球质量 $m_{+}$ 。 +2. 然后, 我们设定优化的目标是: 吃水深度 $h$ 最小、 $\alpha_{1}$ 夹角最小、游动面积最小。但 3 者不可能同时达到最小, 故而有下面的多目标优化的处理。 + +3. 最后，我们设置优化的约束条件：要求 $\alpha_{1}$ 在[0,5]范围内， $\alpha_{2}$ 在[0,16]范围内进行取值。但是，这里我们重物球的质量 $m_{+}$ 的取值范围，为此，我们要先分析一下 $m_{+}$ 。 + +我们先来分析一下 $m_{+}$ 。分析一下下面的关系：1.m与 $y_{0}$ 的关系；2.m与 $x_0$ 的关系；3.m与 $\alpha_{1}$ 的关系；4.m与 $\alpha_{2}$ 的关系；并且注意到，我们要求解使 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 满足要求的最小的 $m_{+}$ ，即 $m_{+}$ 的下限。然后，我们根据 $m$ 与 $y_{0}$ 的关系来求解 $m_{+}$ 的上限。 + +$m$ 与 $y_{0}$ 的关系浮标的吃水深度 $h$ 随重物球质量 $m_{+}$ 的变化趋势如图(1.14a)所示。从图中可以看出，浮标的吃水深度 $h$ 与重物球质量 $m_{+}$ 大约成正相关的线性关系。当重物球的质量为 $5200kg$ 左右时，浮标的吃水深度达到最大 $h = 2m$ ，此后再增加重物球的质量，浮标的吃水深度不再改变。 + +$m$ 与 $x_0$ 的关系浮标横坐标 $x_0$ (游动范围 $S$ ) 随重物球质量 $m_+$ 的变化趋势如图 (1.14d) 所示从图中可以看出, 浮标横坐标 $x_0$ 与重物球质量 $m_+$ 成反比例关系, 重物球质量越大, 浮标横坐标越小, 游动范围越小。 + +$m$ 与 $\alpha_{1}$ 的关系 钢桶竖直夹角 $\alpha_{1}$ 随重物球质量 $m_{+}$ 的变化趋势如图 (1.14c) 所示从图中可以看出,钢桶竖直夹角 $\alpha_{1}$ 与重物球质量 $m_{+}$ 成反比例关系, 重物球质量越大, 钢桶竖直夹角 $\alpha_{1}$ 越小。当重物球质量达到 $5200kg$ 时, 钢桶竖直方向夹角达到 0 度。与此同时, 我们可以找到钢桶竖直夹角 $\alpha_{1} = \frac{5}{90} \frac{\pi}{2}$ 时的重物球质量 $m_{1} = 1808kg$ 。也就是说, 要使钢桶竖直夹角 $\alpha_{1}<5^{\circ}$ , 重物球质量要大于 $1808kg$ 。 + +$m$ 与 $\alpha_{2}$ 的关系 锚链底端水平夹角 $\alpha_{2}$ 随重物球质量 $m_{+}$ 的变化趋势如图(1.14b)所示从图中可以看出，锚链底端水平夹角 $\alpha_{2}$ 与重物球质量 $m_{+}$ 成反比例关系，重物球质量越大，锚链底端水平夹角 $\alpha_{2}$ 越小。当重物球质量达到 $5200kg$ 时，锚链底端水平夹角达到 $0^{\circ}$ 。与此同时，我们可以找到锚链底端水平夹角 $\alpha_{2} = \frac{16}{90}\frac{\pi}{2}$ 时的重物球质量 $m_{2} = 1202kg$ 。也就是说，要使锚链底端水平夹角 $\alpha_{2} < 16^{\circ}$ ，重物球质量要大于 $1202kg$ 。 + +# 1.2 系泊系统的优化设计 + +![](images/005e6a9117db2aa2db6865b90594c723231f4ee835940f9f9ca435157be3a1ae.jpg) + +![](images/56caeba391131dccf120b7dc4342ebcf8ce28f7f6405cdef09ed7049e7fe2acd.jpg) + +![](images/4bf0fef1790521af339e14ec291dbeacf7d7482c32478d4a037f76b0c9167a65.jpg) +(c) +图1.14：重物球质量与各变量间的关系图 + +![](images/d4f5dc741857e6c22c272a0c3f6360acd85da9a392cdd7bf798758f2e99bc33c.jpg) +(d) + +经过上面对重物球质量 $m_{+}$ 的分析，如果单从第二问来看，满足要求的重物球质量范围为[1808,5200]，此范围内的重物球都可以使钢桶竖直夹角 $\alpha_{1} < 5^{\circ}$ 锚链底端水平夹角 $\alpha_{2} < 16^{\circ}$ (最终获得的重物球质量 $m_{+}$ 的取值范围为 $m_{1} = 1757.6,m_{2} = 1656.6,m_{3} = 5393.9$ ，即 $1757.6 < m_{+} < 5393.9$ 。）。下面，我们来建立优化模型，求解合适的重物球质量 $m_{+}$ 。我们建立优化模型，求最优 $m_{+}$ ，使得 $h$ 、 $\alpha_{1}$ 和面积 $\pi x_0^2$ 最小，有 + +$$ +\min _ {m _ {+}} \left\{h, \alpha_ {1}, \pi x _ {0} ^ {2} \right\} \tag {1.3} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} 0 < \alpha_ {1} \leqslant \frac {5}{9 0} \frac {\pi}{2} \\ 0 < \alpha_ {2} \leqslant \frac {1 6}{9 0} \frac {\pi}{2} \\ \max \{m _ {1}, m _ {2} \} < m _ {+} < 6 0 0 0 \end{array} \right. +$$ + +这里有一点要说明的是，上面模型中的第3个约束就是由前两个约束变化而来的，所以在实际编程中，只需要考虑第三个约束即可。上面建立的优化模型有三个目标，并不容易处理。根据前面对 $m_{+}$ 的分析，我们可以发现： $m_{+}$ 与 $h$ 成正比关系，而与 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 以及游动范围 $\pi x_{0}^{2}$ 成反比例关系。为此，我 + +![](images/ac4986cb173da74114b47169e525ddfac399ab1e3c30a874e2afdc4537bd0acd.jpg) +图1.15：系泊系统多目标规划的Pareto前端 + +们将其规整为两目标优化模型，将目标 $\alpha_{1}$ 和 $\pi x_0^2$ 合并，并设置目标权重为 $c$ ，有 + +$$ +\min _ {m _ {+}} \left\{ \begin{array}{l} h \\ \alpha_ {1} + c \pi x _ {0} ^ {2} \end{array} \right. \tag {1.4} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} 0 < \alpha_ {1} \leqslant \frac {5}{9 0} \frac {\pi}{2} \\ 0 < \alpha_ {2} \leqslant \frac {1 6}{9 0} \frac {\pi}{2} \\ \max \{m _ {1}, m _ {2} \} < m _ {+} < 6 0 0 0 \end{array} \right. +$$ + +其中， $c$ 为目标权重系数 (外来参数)；为了方便计算，上述约束条件中的 $\alpha_{1}$ 与 $\alpha_{2}$ 均要转换成弧度；同时，模型中的角度及坐标还要满足系泊系统静态平衡时的方程。下面，来简单分析一下上述优化问题。这是一个多目标优化问题，给定 $m_{+}$ 后，并不能使 $h, \alpha_{1} + c\pi x_{0}^{2}$ 同时达到最小。要解决这样的多目标优化问题，我们可以采用 IENSGAII 算法的思想对其进行求解。Pareto 最优解如图 (1.15) 所示 + +模型 (1.3) 可以变为 2 个目标，也可以变为 1 个目标。在第二问中，我们将其规整为 2 个目标并用 IENSGAII 求解。但是在第三问中，题目要求我们在多个方案中挑选最优方案，所以我们要用唯一的目标来衡量各个方案，而不是 Pareto 最优解，因此，在第三问当中，我们把模型 (1.3) 规整为 1 个目标，用 GA 算法及 fmincon 进行求解。 + +# 程序 + +这里，我们先给出模型(1.4)的目标函数multi_GA_m的程序 + +function $\mathrm{f} =$ multi_GA_m(m_qiu) +2 %此函数是IENSGAii的目标函数。 +3 % +4 %解为m_qiu +5 %目标1：吃水深度最小 +6 %目标2：游动区域和钢桶夹角最小 +7 % +8 %正文 +9 %定参 +10 v Winds=36; +11 %超参 +12 c=10; +13 H=18; +14 N=500; + +# 1.2 系泊系统的优化设计 + +$\mathrm{x0} = 20$ $\mathrm{I} = 2$ $\mathrm{L} = 22.05$ +y0_yn_figure $= 0$ +xitong_figure $= 0$ +[besty0，bestx0] $=$ bestpoint(H,N，x0，vwind，m_qiu,I,L，y0_yn_figure); + $[\sim ,\sim ,\sim ,\sim ,\mathrm{stat}] = \mathrm{For2D(besty0,bestx0,vwind,m_qiu,I,L,xitong_figure)};$ +alpha1 $=$ stat.alpha1; +f(1) $=$ abs(besty0); +f(2） $= \mathrm{pi^{*}bestx0^{\wedge}2 + c^{*}alpha1}$ +end + +# 然后，我们给出第二问的具体求解程序，如下 + +$\%$ 绘制m_qiu和y0、x0、alpha1、alpha2之间的关系图clcclear $\%$ 定参v Winds $= 36$ $\%$ 超参 $\mathrm{H} = 18$ $\mathrm{N} = 500$ $\mathrm{x0} = 20$ $\mathrm{I} = 2$ $\mathrm{L} = 22.05$ $\mathrm{y0\_yn\_figure} = 0$ ;xitong_figure $= 0$ $\%$ 正文m_qiu $=$ linspace(1000，6000，100);besty0 $=$ zeros(size(m_qiu));bestx0 $=$ zeros(size(m_qiu));alpha1 $=$ zeros(size(m_qiu));alpha2 $=$ zeros(size(m_qiu));for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{length}(m_{\cdot}\mathrm{qiu})$ [besty0(i)，bestx0(i)] $=$ bestpoint(H,N,x0,vwind,m_qiu(i),I,L,y0_yn_figure);y0 $=$ besty0(i);x0 $=$ bestx0(i); $[\sim ,\sim ,\sim ,\sim ,\mathrm{stat}] = \mathrm{For2D(y0,x0,v\_wind,m_qiu(i),I,L,xitong_figure)};$ alpha1(i） $=$ stat.alpha1;alpha2(i） $=$ stat.alpha2;end $\%$ 绘图figure(1)plot(m_qiu,abs(bestyO)，‘r\*-）xlabel('重物球质量')ylabel('吃水深度')title('吃水深度h随重物球质量变化曲线')figure(2)plot(m_qiu，bestx0，‘c<-）xlabel('重物球质量')ylabel('浮漂横坐标')title('浮漂横坐标随重物球质量变化曲线')figure(3) + +```matlab +plot(m_qiu, alpha1, 'bo-') +xlabel('重物球质量') +ylabel('钢桶竖直夹角') +title('钢桶竖直夹角随重物球质量变化曲线') +figure(4) +plot(m_qiu, alpha2, 'gs-') +xlabel('重物球质量') +ylabel('锚链底端水平夹角') +title('锚链底端水平夹角随重物球质量变化曲线') +%注：最好插值or拟合一下。 +%%确定m_qiu的取值范围 +%钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度 +alpha1_max = 5; +alpha2_max = 16; +[~, ind1] = min(abs(alpha1 - alpha1_max)); +ml = m_qiu(ind1); +[~, ind2] = min(abs(alpha2 - alpha2_max)); +m2 = m_qiu(ind2); +%浮漂完全没入水中，h = 2。 +ind3 = minfind(abs(best0 == 2));%ind3 = find(abs(best0 == 2, 1) +m3 = m_qiu(ind3); +% s.t. max{ml, m2} < m_qiu < m3 +%% IENSGAii求解最优m_qiu，使得h、pi*x0^2和alpha1最小，且alpha1，2在范围内fitnessfcn = @multi_GA_m; +nvars = 1; +lb = max([ml, m2]); +ub = m3; +A = []; b = []; +Aeq = []; beq = []; +options = gaoptimset('ParetoFraction', 0.3, 'PopulationSize', 100, 'Generations', 100, 'StallGenLimit', 100, 'PlotFcns', {@gaplotpareto, @gaplotbest}); +[x_m, fval] = gamultiobj(fitnessfcn, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options); +``` + +# 1.2.5 问题三的分析与求解 + +# 问题的分析 + +由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 $16m \, 20m$ 之间。布放点的海水速度最大可达到 $1.5m/s$ 、风速最大可达到 $36m/s$ 。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +问题三要求分析风力、水流力和水深对系泊系统的影响(敏感性分析)，并给出系泊系统的设计(系泊系统最优设计)，这里是多个优化变量的最优系泊系统设计，优化变量有：重物球质量 $m_{+}$ 、链型及链长。优化目标仍然如第二问那样，不过优化约束要有所改变。 + +确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。同时，分析水深介于 $16m \sim 20m$ ，海水速度最大 $1.5m/s$ ，风速最大 $36m/s$ 的不同情况下的整体系泊系统的变化形态。 + +# 模型的建立与求解 + +整个系统是处于静态平衡的，我们依然设水流速度 $v_{s} = 15m / s$ ，海面风速 $v_{w} = 36m / s$ ，布防海水深度 $H_{s} = 16m$ 。求解最优的链型、链长和重物球质量，使得浮标的吃水深度 $h$ 和游动区域 $\pi x_0^2$ 及钢桶倾斜角度 $\alpha_{1}$ 都尽可能小。设链型为 $I$ ，链长为 $L$ ，重物球质量为 $m_{+}$ + +$$ +\begin{array}{l} \min _ {I, L, m _ {+}} \left\{h, \alpha_ {1}, \pi x _ {0} ^ {2} \right\} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} 0 < \alpha_ {1} < 5 ^ {\circ} \\ 0 < \alpha_ {2} < 1 6 ^ {\circ} \\ \max \{m _ {1}, m _ {2} \} < m _ {+} < m _ {3} \\ h _ {m i n} < h < h _ {m a x} \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +对于上面的这个优化模型，其多目标的处理方式可以参考问题二中的处理方式，唯一困难的问题是链型的选取，因为链型 $I$ 是整数型变量。不过，值得庆幸的是，锚链型号只有5种，我们可以将其枚举出来。我们先确定各种锚链的型号下的最优链长 $L$ 和最优重物球质量 $m_{+}$ ，然后对比五种型号的最优目标值从而得到最优链型 $I$ ，即 + +$$ +\begin{array}{l} \min _ {I} \left\{\min _ {L, m _ {+}} \left\{h, \alpha_ {1}, \pi x _ {0} ^ {2} \right\} \right\} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} 0 < \alpha_ {1} < 5 ^ {\circ} \\ 0 < \alpha_ {2} < 1 6 ^ {\circ} \\ \max \{m _ {1}, m _ {2} \} < m _ {+} < m _ {3} \\ h _ {m i n} < h < h _ {m a x} \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +将上述三目标问题变为单目标问题，并设置目标权重为 $c_{1}, c_{2}$ ，有 + +$$ +\begin{array}{l} \min _ {I} \left\{\min _ {L, m _ {+}} h + c _ {1} \alpha_ {1} + c _ {2} \pi x _ {0} ^ {2} \right\} \tag {1.5} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} 0 < \alpha_ {1} < 5 ^ {\circ} \\ 0 < \alpha_ {2} < 1 6 ^ {\circ} \\ \max \{m _ {1}, m _ {2} \} < m _ {+} < m _ {3} \\ h _ {m i n} < h < h _ {m a x} \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +# 程序 + +设定具体的参数水深 $H_{s} = 18m$ ，风速 $v_{w} = 24m / s$ ，水流速度 $v_{s}$ ，以及超参数 $c_{1},c_{2}$ ，求解最优的型号 $I$ ，链长 $L$ ，重物球重力 $m_{+}$ 。给出模型(1.5）目标的程序 + +function $\mathrm{f} = \mathrm{GA\_m\_l}(\mathrm{x},\mathrm{I},\mathrm{c}1,\mathrm{c}2,\mathrm{v\_wind},\mathrm{H},\mathrm{N},\mathrm{x0},\mathrm{y0\_yn\_figure}$ ,xitong_figure) +2 %此函数是第三问求解m_qiu和L优化问题的目标函数，可用于GA和fmincon函数。 +3 +4 %解为m_qiu，L，I +5 %目标：吃水深度最小游动区域和钢桶夹角最小 +6 +7 %%%正 文%%% + +$\mathrm{m\_qiu} = \mathrm{x}(1)$ $\mathrm{L} = \mathrm{x}(2)$ +[besty0，bestx0] $=$ bestpoint(H,N，x0，vwind，m_qiu,I,L,y0_yn_figure); + $[\sim ,\sim ,\sim ,\sim ,\mathrm{stat}] = \mathrm{For2D}(\mathrm{besty0},\mathrm{bestx0},\mathrm{v\_wind},\mathrm{m\_qiu},\mathrm{I},\mathrm{L},$ xitong_figure); +alpha1 $=$ stat.alpha1; +alpha2 $=$ stat.alpha2; +h $=$ abs(besty0); +%目标值 + $\mathrm{f} = \mathrm{h} + \mathrm{c1^{*}a}\mathrm{lpha1} + \mathrm{c2^{*}pi^{*}bestx0^{\hat{}}}2;$ + +# 然后给出模型 (1.5) 的约束设置 + +```matlab +function [c, ceq] = circlecon_m_l(x, I, v Winds, H, N, x0, y0_yn_figure, xitong_figure) +%此函数是第三问求解m_qiu和L优化问题的非线性约束 +% +% +% +% +m_qiu = x(1); +L = x(2); +[besty0, bestx0] = bestpoint(H, N, x0, v Winds, m_qiu, I, L, y0_yn_figure); +[~, ~, ~, ~, stat] = For2D(besty0, bestx0, v Winds, m_qiu, I, L, xitong_figure); +alpha1 = stat.alpha1; +alpha2 = stat.alpha2; +L_tuo = stat.L_tuo; +h = abs(besty0); +%非线性约束 +rho = 1.025*10^3;%海水的密度 kg/m^3 +D = 2;%圆柱浮标地面直径 m +m0 = 1000;%浮标质量 kg +h_min = (m0 + m_qiu) / (rho*pi*(D/2)^2); +c(1) = alpha1 - 5; +c(2) = -alpha1; +c(3) = alpha2 - 16; +c(4) = -alpha2; +c(5) = h - 2; +c(6) = -(h - h_min); +c(7) = L_tuo - 0.3; +ceq = [];;%ceq = L_tuo; +end +``` + +给出锚链型号 $I = \mathrm{II}$ 下，模型(1.5)的求解程序，这里我们使用GA和fmincon两种方法来求解这个非线性约束优化模型 + +1 $\%$ 此文件用于求解第三问，最优m_qiu、L和I使单一目标最小 +2 $\%$ 优化设置 +3 $\%$ 参数设置 +4 clc，clear +5 $\mathrm{I} = 2$ +6 $\mathrm{c1} = 1$ +7 $\mathrm{c2} = 1$ +8 vwind $= 24$ +9 $\mathrm{H} = 18$ +10 $\mathrm{N} = 500$ +11 $\mathrm{x0} = 20$ +12 y0_yn_figure $= 0$ +13xitong_figure $= 0$ + +%目标及约束 +fun $= @(\mathrm{x})\mathrm{GA\_m\_l}(\mathrm{x},\mathrm{I},\mathrm{c1},\mathrm{c2},\mathrm{v\_wind},\mathrm{H},\mathrm{N},\mathrm{x0},\mathrm{y0\_yn\_figure},\mathrm{xitong\_figure});$ +A = []； +b = []； +Aeq $= \left[\right]$ ： +beq $= \left[\right]$ ： +lb $= [0, H - 5]$ ： +ub $= [\inf ,\inf ]$ ： +nonlcon $= @(\mathrm{x})$ circlecon_m_l(x,I,vwind,H,N,x0,y0_yn_figure,xitong_figure); +%利用GA算法解此非线性优化 +nvars $= 2$ ： %个体的变量数目 +options $= \text{gaoptimset('PopulationSize',100,'CrossoverFraction',0.75,'Generations',20,'}$ +StallGenLimit'40,'PlotFcns','@gaplotbestf,@gaplotbestindiv});%参数设置 +[x_best,fval，exitflag] $= \text{ga(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)}$ ： +%利用fmincon解此非线性优化（具有非线性约束的） +options $= \text{optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp')}$ ： +X0 $= [1200,28]$ ： +x_m_l $=$ fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options）； +%绘制结果 +m_qiu $= \mathbf{x}_{-}\mathbf{m}_{-}\mathbf{l}(1)$ ： +L $= \mathbf{x}_{-}\mathbf{m}_{-}\mathbf{l}(2)$ ： +x0 $= 20$ ： +xitong_figure $= 1$ ： +[besty0，bestx0] $= \text{bestpoint(H,N,x0,v\_wind,m_qiu,I,L,y0\_yn_figure)}$ ： +y0 $= \text{besty0}$ ： +x0 $= \text{bestx0}$ ： +[y1，x1，theta1，T1，stat1] $= \text{For2D(y0,x0,v\_wind,m_qiu,I,L,xitong_figure)}$ + +# 结果 + +假定海水速度 $v_{2}$ 为 $1.5m / s$ ，风速 $v_{1}$ 为 $36m / s$ ，水深 $H$ 为 $18m$ ，在此基础上求解5种不同锚链链型的最优解及最优值（这个地方出错了，所以没有贴结果，后面再分析）。 + +水深 $H$ ，风速 $v_{w}$ 和水速 $v_{s}$ 的敏感性分析。风速 $v_{w}$ 对系泊系统的影响如图(1.16a)所示，风速对系统水平夹角的影响如图(1.16b）所示 + +![](images/81cd4c7bb7ca9fb5bc660e2bedcfe2eddfed5df9bfa16649c680255d84ff60a3.jpg) +(a) 风速对系泊系统的影响 +图1.16: 风速的敏感性分析 + +![](images/2b6b509185d5191a72c378153f6a9322495316677f13fce818f2e8e4980de678.jpg) +(b) 风速对系统水平夹角的影响 + +# 1.2.6 改进一：含力矩平衡的系泊系统 + +在前面的建模部分，我们设计了2D系泊系统，并设计多目标优化模型来求解最优链型 $I$ 、最优链长 $L$ 和最优重物球质量 $m_{+}$ 。下面，我们将用一种新的方法来设计2D系泊系统，并在此基础上进行优化设计。 + +# 模型建立与求解 + +在前面的系统受力分析当中，我们假设钢管 (桶) 的拉力方向是沿管方向的，并且没有考虑力矩平衡；我们还假设浮标适中竖直，不存在倾斜；并且在锚链的分析过程中，我们使用微元法对其进行分析；在 2D 系统中，我们并没有考虑海水流力的影响 (假设海水静止)。下面，我们对整个系泊系统重新进行分析。 + +# (1) 建立二维直角坐标系 + +以锚为坐标原点，以风力方向为 $x$ 轴正方向建立2维直角坐标系 $xoy$ ，如图(1.17)所示 + +![](images/bd8399c58ba0af5348eae9e3e34035b75c4b63e9fc606618b89af29f7867a0bd.jpg) +图1.17：系泊系统二维坐标系 + +todo: 图片：系泊系统二维坐标系 + +在 2D 系泊系统中, 我们假设海水流力与风力同向或反向, 且各深度下海水流力相同。图 (1.17) 中 $\alpha_{2}$ 为锚链底端水平夹角; $L$ 为锚链长度; $H$ 为海水深度; 浮标底端接点坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ; 锚链与钢桶交点坐标为 $(x_{6}, y_{6})$ ; $h = -y_{0}$ 为吃水深度; $m_{+}$ 为重物球质量; $w$ 为锚链单位重量。 + +# (2) 浮标受力分析 + +浮标受力分析如图 (1.18) 所示 + +![](images/d631fbe94b5a268ebde2a27fd31bd1545d104f4c8ae4ade44ee6490e84db71e7.jpg) +图1.18：改进的浮标受力分析图 + +设 $F_{w}$ 为风力， $F_{s}$ 为水流力， $F_{w}, F_{s}$ 方向相同， $v_{1}$ 为风速， $v_{2}$ 为水速， $h_{0}$ 为浮漂高， $G$ 为重力， + +$F$ 为浮力。浮标在 $F_{w}, F_{s}, G, F, T5$ 力下处于静止平衡态，将浮标视为质点进行受力分析，有 + +$$ +F _ {w} = 0. 6 2 5 S _ {1} v _ {1} ^ {2} = 0. 6 2 5 D (h _ {0} - h) v _ {1} ^ {2} +$$ + +$$ +F _ {s} = 3 7 4 S _ {2} v _ {2} ^ {2} = 3 7 4 D h v _ {2} ^ {2} +$$ + +$$ +G = m g +$$ + +$$ +F = \rho g v = \rho g \pi (D / 2) ^ {2} h +$$ + +其中： $S_{1}$ 为浮标风力法平面投影； $S_{2}$ 为浮标海水流力法平面投影； $D$ 为浮标底直径。由静力平衡，有 + +$$ +T _ {x, 1} = T \sin \theta = F _ {w} + F _ {s} +$$ + +$$ +T _ {y, 1} = T \cos \theta = F _ {G} +$$ + +# (3) 钢管、钢桶受力分析 + +在进行受力分析之前，我们先引入力矩平衡。如图 (1.19) 所示 + +![](images/f94f57d9e29855483b8fd4bcd291771089767559b8dcf7943b7aa984e3d9e211.jpg) +图1.19：力矩平衡示意图 + +图(1.19)中的力臂为 $L_{T} = L\sin \theta$ ，力矩为 $M = F\cos \theta$ 。力矩平衡是指所有使物体顺时针转动的力矩之和等于所有使物体逆时针转动的力矩之和，即 + +$$ +\sum_ {i} M _ {i} = 0 +$$ + +下面，我们来对钢管、钢桶进行受力分析，我们分两个方面：1. 不考虑水流力 $F_{s}$ ；2. 考虑水流力 $F_{s}$ 。 + +(1) 不考虑水流力 $F_{s}$ 的影响。对第 $i$ 节进行受力分析, 受力分析如图 (1.20) + +![](images/1180619b24142e8f0463f3ce1e7afa8412848cf87f96d71a01a4841dea10bfd3.jpg) +图1.20: 改进的钢管受力分析 + +![](images/e233e17931f637652214d4142fe547899ae935d158dab0322d8e9076f3c21450.jpg) + +其中： $o$ 为第 $i$ 节的转动轴点， $G_{i}$ 为重力， $F_{i}$ 为浮力， $T_{ix}, T_{iy}$ 为 $T$ 的分量。如果不考虑海水流力 $F_{s}$ 的影响，则 $\forall i \in [1,2,3,\ldots]$ ，有 $T_{ix} = F_{w}$ 。 + +第 $i$ 节的受力平衡与力矩平衡为 + +$$ +\left(G _ {i} - F _ {i}\right) \frac {l _ {i}}{2} \cos \theta_ {i} + T _ {i, x} l _ {i} \sin \theta_ {i} = T _ {i, y} l _ {i} \cos \theta_ {i} +$$ + +$$ +T _ {i, x} = T _ {i + 1, x} +$$ + +$$ +T _ {i, y} + F _ {i} = G _ {i} + T _ {i + 1, y} +$$ + +其中： $l$ 为钢管长。且注意，在研究钢桶受力分析时， $G_{+} = m_{+}g$ 力矩为0。 + +(2) 考虑海水流力 $F_{s}$ 的影响。钢管/钢桶的受力分析如图 (1.21) 所示 + +![](images/ff543150560a19ddd845283a03a850942663035020361c29ea51018f8f754c99.jpg) +图1.21：改进的钢管受力分析-考虑海水流力 + +对第 $i$ 节受力分析时，考虑海水流力 $F_{si}$ 的影响。受力平衡与力矩平衡为 + +$$ +(G _ {i} - F _ {i}) \frac {l _ {i}}{2} \cos \theta_ {i} + T _ {i, x} l _ {i} \sin \theta_ {i} + F _ {s, i} \frac {l _ {i}}{2} \sin \theta_ {i} = T _ {i, y} l _ {i} \cos \theta_ {i} +$$ + +$$ +T _ {i + 1, x} = T _ {i, x} + F _ {s, i} +$$ + +$$ +T _ {i + 1, y} + G _ {i} = T _ {i, y} + F _ {i} +$$ + +其中： $F_{s,i}$ 为海水流力。下面，我们来计算各段的海水流力 $F_{s,i} = 374S_{i}v_{i}^{2}$ ， $S_{i}$ 为第 $i$ 节在水流力法平面上的投影，如图 (1.22) 所示 + +![](images/194ad29e1bd5d7805dfd6cb434153421ed3124a0a27f6005c53405dfa0386792.jpg) +图1.22：钢管在水流力法平面上的投影示意图 + +$$ +S _ {i} = \left[ \frac {1}{2} \pi d _ {i} \cos \theta_ {i} + l _ {i} \sin \theta_ {i} \right] d _ {i} +$$ + +其中： $d_{i}$ 为第 $i$ 节底面直径。 + +# (4)锚链分析 + +前面我们用微元法对锚链进行分析，下面，我们引入悬链线来分析锚链。锚链悬链线示意图如图(1.23)所示 + +![](images/4d90e5986040e03aa41562bfa4098894a3fd0e28b7111b6a56024d476dae48db.jpg) +图1.23：悬链线示意图 + +对于只受重力和两端拉力的链进行分析，设链处于平衡态，链下端顶点为 $(0,0)$ ，末端顶点为 $(x_6,y_6)$ ，下端水平夹角为 $\alpha_{2}$ 。 + +对悬链任意一微段 $\mathrm{ds}$ 进行分析，有 + +$$ +\tan \theta = \frac {w \mathrm {d} s}{T _ {x}} +$$ + +其中： $w$ 为链单位长度重量。而我们又知道 $\tan \theta = \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ ，对其取微分，有 + +$$ +\mathrm {d} (\tan \theta) = \frac {w}{T _ {x}} \mathrm {d} s = \frac {w}{T _ {x}} \sqrt {(\mathrm {d} x) ^ {2} + (\mathrm {d} y) ^ {2}} = \frac {w}{T _ {x}} \sqrt {1 + \tan^ {2} \theta} \mathrm {d} x +$$ + +对上式分离变量后积分，有 + +$$ +\int \frac {1}{\sqrt {1 + \tan^ {2} \theta}} \mathrm {d} (\tan \theta) = \int \frac {w}{T _ {x}} \mathrm {d} x +$$ + +求解不定积分，有 + +$$ +\begin{array}{l} \sinh^ {- 1} (\tan \theta) = \frac {w}{T _ {x}} x + C _ {1} \\ \Rightarrow \tan \theta = \sinh \left(\frac {w}{T _ {x}} + C 1\right) = \frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x} \\ \end{array} +$$ + +对上式再分离变量，有 + +$$ +\mathrm {d} y = \sinh \left(\frac {w}{T _ {x}} x + C _ {1}\right) \mathrm {d} x +$$ + +对上式求积分，有 + +$$ +y = \int \sinh \left(\frac {w}{T _ {x}} x + C _ {1}\right) \mathrm {d} x +$$ + +即 + +$$ +y = \frac {T _ {x}}{w} \cosh \left(\frac {w}{T _ {x}} x + C _ {1}\right) + C _ {2} \tag {1.6} +$$ + +上式即为悬链线的一般方程，其中 $C_1, C_2$ 为常数。 + +下面，我们根据边值条件来求常数 $C_1, C_2$ 。(1) 求 $C_1$ ：悬链末端水平夹角为 $\alpha$ ，此为边值条件，于是我们对 (1.6) 式求导，有 + +$$ +y ^ {\prime} = \sinh \left(\frac {w}{T _ {x}} x + C _ {1}\right) +$$ + +由 $y^\prime |_{x = 0} = \tan \alpha$ ，有 + +$$ +C _ {1} = \ln (\tan \alpha + \sec \alpha) +$$ + +(2) 求解 $C_2$ 。由边值条件 $y|_{x=0} = 0$ ，有 + +$$ +C _ {2} = - \frac {T _ {x}}{w} \sec \alpha +$$ + +故带参数 $\alpha$ 的悬链线方程 (1.6) 具体为 + +$$ +y = \frac {T _ {x}}{w} \cosh \left[ \frac {w}{T _ {x}} x + \ln (\tan \alpha + \sec \alpha) \right] - \frac {T _ {x}}{q} \sec \alpha +$$ + +其中： $T_{x},w$ 皆为已知量， $\alpha$ 为参数。 + +悬链线的长度 $L$ 。上面给出了锚链悬链线的带参方程，我们可以据此求出悬链线的长度 $L$ 。先求微元段 $\mathrm{ds}$ + +$$ +\mathrm {d} s = \sqrt {1 + y ^ {2}} \mathrm {d} x = \cosh \left[ \frac {w}{T _ {x}} x + \ln (\tan \alpha + \sec \alpha) \right] \mathrm {d} x +$$ + +将微元段 $\mathrm{ds}$ 求和，有 + +$$ +\begin{array}{l} S \triangleq L = \oint \mathrm {d} s \\ = \frac {T _ {x}}{w} \sinh \left[ \frac {w}{T _ {x}} x + \ln (\tan \alpha + \sec \alpha) \right] + C _ {3} \\ \end{array} +$$ + +由边值条件 $S|_{x=0} = 0$ ，有 + +$$ +C _ {3} = - \frac {T _ {x}}{w} \tan \alpha +$$ + +故带参数 $\alpha$ 的悬链线长度方程为 + +$$ +S = \frac {T _ {x}}{w} \sinh \left[ \frac {w}{T _ {x}} x + \ln (\tan \alpha + \sec \alpha) \right] - \frac {T _ {x}}{w} \tan \alpha +$$ + +拉力 $T$ 的计算。悬链线拉力 $T$ 的表达式为 + +$$ +T = T _ {x} \sqrt {1 + y ^ {2}} = T _ {x} \cosh \left[ \frac {w}{T _ {x}} x + \ln (\tan \alpha + \sec \alpha) \right] +$$ + +# (5) 解非线性方程组求解系泊系统曲线 + +下面，我们来求解系泊系统曲线。系泊系统曲线是由 $(x_6, h, \alpha)$ 三个参数决定的。求3个参数，要有三个方程，我们要求：①海水深度为 $18m$ ；②锚链长度 $L = 22.05m$ ；③力平衡。于是有如下非线性方程 + +$$ +y _ {6} = H - h - \sum_ {i = 1} ^ {5} l \cos \theta_ {i} = \frac {T _ {x , 6}}{w} \cosh \left[ \frac {w}{T _ {x , 6}} + \ln (\tan \alpha_ {2} + \sec \alpha_ {2}) \right] - \frac {T _ {x}}{w} \sec \alpha_ {2} \tag {1.7} +$$ + +$$ +S \triangleq L = \frac {T _ {x , 6}}{w} \sinh \left[ \frac {w}{T _ {x , 6}} + \ln \left(\tan \alpha_ {2} + \sec \alpha_ {2}\right) \right] = 2 2. 0 5 \tag {1.8} +$$ + +$$ +T _ {x, 6} \cosh \left[ \frac {w}{T _ {x , 6}} + \ln \left(\tan \alpha_ {2} + \sec \alpha_ {2}\right) \right] = \sqrt {\left(T _ {x , 6}\right) ^ {6} + \left(T _ {y , 6}\right) ^ {2}} \tag {1.9} +$$ + +其中：上面非线性方程中的第3个等式条件由下式变化而来 + +$$ +T = T _ {x, 6} \cosh \left[ \frac {w}{T _ {x , 6}} + \ln (\tan \alpha_ {2} + \sec \alpha_ {2}) \right] = \sqrt {(T _ {x , 6}) ^ {6} + (T _ {y , 6}) ^ {2}} +$$ + +注意，上面方程组只有 $h, x_6, \alpha$ 三个参数，其余量皆可用这三个量表示。解上述非线性方程组 (1.7) 可得到 $(h, x_6, \alpha)$ ，即可得到整个系泊系统的情况。 + +# 程序 + +根据上述分析求解系泊系统，设置程序 For2D.m 如下 +function $\mathrm{f} =$ For2D Expand(xx,H,v1,v2,m_qiu,I,L,xitong_figure,xitong_save) +%此函数是系泊系统的3元方程组的目标函数，用于fsolve函数。模型改进：引入"力矩平衡”和"悬链线方 程” +3 % +4 $\% \% \% \%$ 输入% +5 $\% \mathrm{x x}:y0,\mathrm{x 0},\mathrm{a l p h a 2}$ 。 +6 $\% \mathrm{v1}$ ：风速。 +7 $\% \mathrm{v2}$ ：水速。 +8 $\% \mathrm{H}$ ：海水深度。 +9 $\% \mathrm{m\_qiu}$ ：重物球质量。 +10 $\% \mathrm{I}$ ：锚链型号。1、2、3、4、5 +11 $\% \mathrm{L}$ ：锚链长度。 +12 $\%$ xitong_figure：是否输入系统图像 +13 $\%$ xitong_save：是否保存系统数值结果 +14 $\% \% \% \%$ 正文% +15 $y_0 = xx(1)$ · +16 $x_0 = xx(2)$ · +17 $\mathrm{alpha2} = \mathrm{xx}(3)$ · +18 $h = H - y0$ · +19 $y(1) = y0$ · +20 $x(1) = x0$ · +21 $\%$ 浮标受力 +22 $\mathrm{rho} = 1.025^{*}10^{-3};\%$ 海水的密度 $\mathrm{kg / m^{\hat{3}}}$ +23 $g = 9.8;\%$ 重力加速度N/kg +24 $D = 2;\%$ 圆柱浮标地面直径m +25 $h0 = 2;\%$ 圆柱浮标高度m +26 $m0 = 1000;\%$ 浮标质量kg +27 $F0 = \mathrm{rho}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{pi}^{*}(\mathrm{D} / 2)^{-2}\mathrm{h};\%$ 浮标浮力 +28 $G0 = m0^{*}g;\%$ 浮标重力 +29 $\% v1 = 24;\%$ 风速m/s +30 $\% v2 = 1.5;\%$ 水速m/s +31 Swind $=$ D\*(h0-h);%风受力面积 +32 Fw $= 0.625^{*}\mathrm{S\_wind}^{*}\mathrm{v1}^{\sim}2;\%$ 风力 +33 Fs0 $= 374^{*}D^{*}h^{*}v2^{\sim}2;\%$ 海水流力 +34 Tx(1） $= Fw + Fs0$ · +35 Ty(1） $= F0 - G0$ · +36 $\%$ 钢管受力 +37 for i $= 1:4$ +38 $l(i) = 1;\%$ 钢管长度m +39 d(i) $= 50 / 1000;\%$ 钢管直径m +40 m(i) $= 10;\%$ 钢管质量kg +41 G(i) $= m(i)^{*}g;\%$ 钢管重力 +42 F(i) $= \mathrm{rho}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{pi}^{*}(\mathrm{d}(i) / 2)^{\sim}2^{*}1(i);\%$ 钢管浮力 +43 + +$\begin{aligned}&\text{si}=\text{@(theta1)d(i)*(pi/2*d(i)*cos(theta) + 1(i)*sin(theta)};\% \text{第一根钢管的海水法平面投影}\\&\text{Fsi}=\text{@(theta1)374*si(theta)*v2^2};\% \text{第一根钢管的海水力}\\&\text{fun}=\text{@(theta1)(G(i)-F(i))/2*cos(theta) + Tx(i)*sin(theta) + Fsi(theta)*sin(theta)};\\&\text{/2-Ty(i)*cos(theta)};\\&\text{theta1=fsolve(fun,0);}\\&\text{theta(i)=theta1;}\\&\text{Tx(i+1)=Tx(i)+Fsi(theta(i);}\\&\text{Ty(i+1)=Ty(i)+F(i)-G(i);}\\&\text{\%钢管i的坐标(xi,yi)}\\&\text{y(i+1)=y(i)-l(i)*sin(theta(i);}\\&\text{x(i+1)=x(i)-l(i)*cos(theta(i);}\\&\text{end}\end{aligned}$ $\%$ 钢桶受力分析 +m_tong $= 100$ %钢桶的质量kg +G_tong $= \mathrm{m\_tong^{*}g}$ %钢桶重力 + $\%$ m_qiu $= 1200$ %重物球质量kg +G_qiu $= \mathrm{m\_qiu^{*}g}$ %重物球重力 +l_tong $= 1$ %钢桶长m +D_tong $= 30 / 100$ %钢桶底长 +F_tong $= \mathrm{rho^{*}g^{*}pi^{*}(D_{-}tong / 2)^{-2}*l_{-}tong}$ %钢桶浮力 +si $= @(\mathrm{theta1})\mathrm{D\_tong^{*}(pi / 2^{*}D\_tong^{*}cos(\mathrm{theta1}) + l\_tong^{*}sin(\mathrm{theta1})})$ ;%第一根钢管的海水法平面投影 +Fsi $= @(\mathrm{theta1})374^{*}\mathrm{si}(\mathrm{theta1})^{*}\mathrm{v2^{-2}}$ %第一根钢管的海水力 +fun $= @(\mathrm{theta1})(\mathrm{G\_tong - F\_tong}) / 2^{*}\cos (\mathrm{theta1}) + \mathrm{Tx}(5)^{*}\sin (\mathrm{theta1}) + \mathrm{Fsi}(\mathrm{theta1})^{*}\sin (\mathrm{theta1})$ +）/2-Ty(5)*cos(theta); +theta_tong $=$ fsolve(fun,0); +theta(5) $=$ theta_tong; +Tx(6) $= \mathrm{Tx}(5) + \mathrm{Fsi}(\mathrm{theta}(5))$ . +Ty(6) $= \mathrm{Ty}(5) + \mathrm{F\_tong - G\_tong - G\_qiu}$ . +y(6) $= y(5) - l\_tong^{*}\sin (\mathrm{theta}(5))$ . +x(6) $= x(5) - l\_tong^{*}\cos (\mathrm{theta}(5))$ . +%确定锚链 +switch I +case 1 +II $= 78 / 1000$ %锚链每节长度m +m_II $= 3.2$ %单位长度的质量kg/m +case 2 +II $= 105 / 1000$ %锚链每节长度m +m_II $= 7$ %单位长度的质量kg/m +case 3 +II $= 120 / 1000$ . +m_II $= 12.5$ %单位长度的质量kg/m +case 4 +II $= 150 / 1000$ . +m_II $= 19.5$ %单位长度的质量kg/m +case 5 +II $= 180 / 1000$ . +m_II $= 28.12$ %单位长度的质量kg/m +end +n = floor(L/II); +% L = 22.05; +w = m_II*g; +f(1) = Tx(6)/w*cosh(w/Tx(6)*x(6) + log(tan(alpha2) + sec(alpha2))) - Tx(6)/w*sec(alpha2)... + +# 1.2 系泊系统的优化设计 + +）. +1_tong\*sin（theta(5)）; +96 $\mathrm{f}(2) = \mathrm{Tx}(6) / \mathrm{w}^{*}\sinh (\mathrm{w} / \mathrm{Tx}(6)^{*}\mathrm{x}(6) + \log (\tan (\mathrm{alpha2}) + \sec (\mathrm{alpha2})) - \mathrm{Tx}(6) / \mathrm{w}^{*}\tan (\mathrm{alpha2})\ldots$ +97 -L; +98 f(3)=Ty(6)/Tx(6)-sinh(w/Tx(6)*x(6)+log(tan(alpha2)+sec(alpha2))）; +99 + +# 求解非线性方程组 (1.7) + +```matlab +function bestxx = bestpoint3 Expand(H, v1, v2, m_qiu, I, L, xitong_figure, xitong_save) +%此函数用于求解系泊系统的3元方程组，从而求出最优y0,x0,alpha2。 +% +%%正文%% +fun = @(xx) For2D Expand(xx, H, v1, v2, m_qiu, I, L, xitong_figure, xitong_save); xx0 = [H-0.7, 20, 0]; +bestxx = fsolve(fun, xx0); end +9 +``` + +# 结果 + +风速 $v = 36m / s$ 时（风速12/24时存在错误，锚链拖尾状态没有处理好），改进的系泊系统图像如图(1.24）所示 + +![](images/fedb1fea1c00459fcab5e16e83466016253cafb1b4c7c3d488cf48f4276c5dba.jpg) +图1.24：风速36、吃水深度0.770003时的系统系统(改进) + +下面给出水深 $H$ 、水速 $v_{2}$ 对系统的影响(敏感性分析)。水深 $H$ 、水速 $v_{2}$ 对系统的影响如图 (1.25)所示 + +![](images/d7b9b4bdfa1214f88220ff4d24a51aee29e3d95be471da34f3d291ad8c6e00ab.jpg) +(a) 水深 $\mathrm{H}$ 的灵敏度分析 + +![](images/7fa5082bbf25aa7255f12be4daa7fc4df1afa4c47759b61958a285e88778341f.jpg) +(b) 水速 v2 的灵敏度分析 +图1.25：水深、水速的敏感性分析 + +# 1.2.7 改进二：3维坐标系下的系泊系统 + +上面的系泊系统是在二维平面 $xoy$ 下进行分析的，并没有考虑到强水速 $v_{s}$ 。如果海水流速较强，则系泊系统的状态应该是一个三维空间的曲线，为此，我们建立三维空间 $xyz$ 下的系泊系统，并进行相应的受力分析。 + +# 三维系泊系统建立 + +# (1) 建立空间直角坐标系 + +我们先固定水深 $H_{s} = 18m$ ，海水流速 $v_{s} = 1.5m / s$ ，风速 $v_{w} = 24m / s$ ，设风速 $v_{w}$ 与海水流速 $v_{s}$ 所成的夹角为 $\beta = 90^{\circ}$ ，以风力 $F_{w}$ 所在的方向为 $y$ 轴正向，以垂直海平面向上的方向为 $z$ 轴正方向，建立如图 (1.26) 所示的空间直角坐标系。 + +![](images/469f7d666ed5cb75cacdaa3477af9894811fa1f2adca7052300bdaf1e5cefb2a.jpg) +图1.26：海中某点在三维空间中受力示意图 + +# (2) 浮标受力分析 + +假设浮标在风力和水流力的作用下仍保持水平。对浮标进行受力分析，如图 (1.27) 所示。 + +![](images/93225653e54f611cc461b8276cd949c42438e037d6ad3b1d0df901714a52ae7b.jpg) +图1.27：浮标三维受力分析 + +在三维坐标空间对浮标进行受力分析, 浮标受到的力有重力 $G_{1}$ 、浮力 $F_{1}$ 、第一根钢管对它的拉力 $T_{1}$ 、风力 $F_{w}$ 、近海水流力 $F_{s}$ 。设浮标的吃水深度为 $h$ , 拉力与平面的夹角为 $\theta$ , 与 $x$ 轴的夹角为 $\alpha$ , $\beta$ 为水流的方向与 $y$ 轴正方向的夹角。类似问题一中浮标的受力分析可得浮标所受的重力、浮力、风力、水流力分别为 (单位: N): + +$$ +G _ {0} = m _ {0} g +$$ + +$$ +F _ {0} = \rho g \pi (D / 2) ^ {2} h +$$ + +$$ +F _ {s} = 3 7 4 D h v _ {s} ^ {2} +$$ + +$$ +F _ {w} = 0. 6 2 5 D (h _ {0} - h) v _ {w} ^ {2} +$$ + +其中: $m_{0}$ 为浮标的质量, $\rho$ 为海水密度, $D$ 为浮标的底面直径, $h_{0}$ 为浮标高度, $h$ 为吃水深度, $v_{w}$ 为海面风速, $v_{s}$ 为水流速度。 + +第一张力 $T_{1}$ 在各个方向的大小分别如下 + +$$ +T _ {1 x} = T _ {1} \cos \theta_ {1} \cos \alpha_ {1} +$$ + +$$ +T _ {1 y} = T _ {1} \cos \theta_ {1} \sin \alpha_ {1} +$$ + +$$ +T _ {1 z} = T _ {1} \sin \theta_ {1} +$$ + +浮标在水中最终处于静力平衡状态，得到静力平衡方程组 + +$$ +T _ {1 x} = F _ {s} \sin \beta +$$ + +$$ +T _ {1 y} = F _ {w} + F _ {s} \cos \beta +$$ + +$$ +T _ {1 z} + G _ {1} = F _ {1} +$$ + +上述方程组中通过先给定浮标的吃水深度 $h$ ，可得到 $F_{s}, F_{w}, F_{1}$ 的值而可求得， $T_{1}, \alpha_{1}, \theta_{1}$ 的值。进一步，在已知钢管长度 $l$ 为 $1m$ 的情况下，利用静力平衡方程的结果得到第一根钢管的下端点的坐标 $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 如下 + +$$ +x _ {2} = l \cos \theta_ {1} \cos \alpha_ {1} + x _ {1} +$$ + +$$ +y _ {2} = l \cos \theta_ {1} \sin \alpha_ {1} + y _ {1} +$$ + +$$ +z _ {2} = l \sin \theta_ {1} + z _ {1} +$$ + +其中， $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 为浮标与钢管连接处的坐标。 + +# (3) 钢管受力分析 + +水中钢管的受力情况如图 (1.28) 所示 + +![](images/a8a5e3b8ae26b09f22842280dbb219e2de67ea0d91c1fe66c9e32a560b361b37.jpg) +图1.28：水中钢管受力示意图 + +与前面的分析相同，第 $i$ 根钢管受到的力有重力 $G_{i + 1}$ 、浮力 $F_{i + 1}$ 、钢管受到的前端拉力与后端拉力分别为 $T_{i}$ 和 $T_{i + 1}$ 、近海水流力 $F_{si}$ ，为钢管的数量。下面，我们来推到近海水流力 $F_{si}$ 的计算， $F_{si} = 374Sv_s^2$ ，因此，我们只要求出每节钢管在海里的受力面积即可，钢管的投影如图 (1.29) 所示 + +![](images/020ff040940ef341f6099485923d1590db056c4eb3451ccb709be2c4076590ac.jpg) +图1.29：钢管受力面积分析图 + +可以推得 + +$$ +\begin{array}{l} l ^ {\prime} = \sqrt {[ l \cos \theta \cos (\beta - \alpha) ] ^ {2} + (l \sin \theta) ^ {2}} \\ = l \sqrt {\cos^ {2} \theta \cos^ {2} (\beta - \alpha) + \sin^ {2} \theta} \\ \end{array} +$$ + +而且 $S = dl^{\prime}$ ，所以 + +$$ +\begin{array}{l} F _ {s i} = 3 7 4 S v _ {s} ^ {2} \\ = 3 7 4 d l \sqrt {\cos^ {2} \theta \cos^ {2} (\beta - \alpha) + \sin^ {2} \theta} v _ {s} ^ {2} \\ \end{array} +$$ + +$d$ 为钢管直径， $d,l,\beta$ 均为定值， $F_{si}$ 为第 $i$ 根钢管在平衡状态下受到的水流力，得到钢管的静力平衡方程组如下 + +$$ +\begin{array}{l} T _ {i x} = T _ {i} \cos \theta_ {i} \cos \alpha_ {i} \\ T _ {i y} = T _ {i} \cos \theta_ {i} \sin \alpha_ {i} \\ T _ {i z} = T _ {i} \sin \theta_ {i} \\ \end{array} +$$ + +其中， $T_{ix}, T_{iy}, T_{iz}$ 分别为张力 $T_{i}$ 在 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴方向的分力， $\beta$ 为水流的方向与 $y$ 轴正方向的夹角。求解上述静力平衡方程，可以得到 $T_{i+1}, \theta_{i+1}, \alpha_{i+1}$ 。由此得到关于第 $i$ 根钢管的下端坐标的方程组 + +$$ +x _ {i + 1} = l \cos \theta_ {i + 1} \cos \alpha_ {i + 1} + x _ {i} +$$ + +$$ +y _ {i + 1} = l \cos \theta_ {i + 1} \sin \alpha_ {i + 1} + y _ {i} +$$ + +$$ +z _ {i + 1} = l \sin \theta_ {i + 1} + z _ {i} +$$ + +# (4) 钢桶的受力分析 + +将钢桶与重物球看成一个整体进行受力分析，如图 (1.30) 所示。 + +![](images/2aa1c8cfc2b4997daf7a1d6c39787e4b44dca84134c8bb33678ab5b1169ecc28.jpg) +图1.30：钢桶与重物球的受力示意图 + +与第一问类似，钢桶和重物球受到的力有重力 $G_{5}$ 和 $G_{6}$ 、浮力 $F_{5}$ 、海水流力 $F_{s5}$ 、上端与下端的拉力分别为 $T_{5}$ 和 $T_{6}$ 。根据钢桶和重物球处于平衡状态，得到钢桶和重物球的静力平衡方程如下 + +$$ +T _ {6 x} = T _ {5 x} + F _ {s 5} \sin \beta +$$ + +$$ +T _ {6 y} = T _ {5 y} + F _ {s 5} \cos \beta +$$ + +$$ +T _ {6} + G _ {5} + G _ {6} = F _ {5} + T _ {5 z} +$$ + +# (5) 对锚链进行分析 + +方法1：假设锚链形状可改变但没有弹性，类比于我们在问题一种分析的那样，利用微元法对锚链的微段ds进行受力分析。求解各段 $T_{i}$ 、 $\theta_{i}$ 、 $\alpha_{i}$ 、 $(x_{i},y_{i},z_{i})$ 的迭代公式，但这些迭代公式表示复杂，求解较麻烦。这种方法用到了微元法，我们并没有求解出来。故而选取了下面的方法2。 + +方法2：考虑锚链是环环相扣的环链（这种情况符合本文题设条件中锚链是无档普通链环的情况）。设锚链共有 $n$ 节环，由问题一可知锚链在水中受到的浮力相对于重力而言可忽略不计。因此我们可以得到第节连环 $T_{i} 、 \theta_{i} 、 \alpha_{i} 、 (x_{i}, y_{i}, z_{i})$ 的迭代公式（可与之前类似推得）。 + +# 程序 + +三维空间中的系泊系统求解程序 For3D 如下 + +```matlab +function [z，y，x，theta，alpha，T，stat] = For3D(z0，y0，x0，v1，v2，m_qiu，I，L，beta，xitong_figure) +%此函数用于给定x0、y0和z0后求解3D系泊系统的状态曲线 +%%正文%% +h = abs(z0); +%确定锚链 +switch I +``` + +case 1 $\mathrm{II} = 78 / 1000;\%$ 锚链每节长度 $\mathrm{m}$ $\mathrm{m\_II} = 3.2;\%$ 单位长度的质量 $\mathrm{kg / m}$ +case 2 $\mathrm{II} = 105 / 1000;\%$ 锚链每节长度 $\mathrm{m}$ $\mathrm{m\_II} = 7;\%$ 单位长度的质量 $\mathrm{kg / m}$ +case 3 $\mathrm{II} = 120 / 1000;$ $\mathrm{m\_II} = 12.5;\%$ 单位长度的质量 $\mathrm{kg / m}$ +case 4 $\mathrm{II} = 150 / 1000;$ $\mathrm{m\_II} = 19.5;\%$ 单位长度的质量 $\mathrm{kg / m}$ +case 5 $\mathrm{II} = 180 / 1000;$ $\mathrm{m\_II} = 28.12;\%$ 单位长度的质量 $\mathrm{kg / m}$ +end + $\mathbf{n} =$ round(L/II); +ind $= \mathrm{n + 5 + 1}$ $\%$ 浮标、钢管分析 +fun $= @(\mathrm{x\_point})(\mathrm{D3fun\_fubiao(x\_point, beta, z0, v1, v2)})$ . + $\mathrm{X0} = [14000, 0, \mathrm{pi / 2}];\% \mathrm{T1}$ 、theta1和alpha1的初始搜索点 + $[\mathrm{x\_solve}, -] = \mathrm{f solve(fun, X0)}$ $\mathrm{T(1) = x\_solve(1)}$ $\mathrm{theta}(1) = \mathrm{x\_solve}(2)$ $\mathrm{alpha}(1) = \mathrm{x\_solve}(3)$ $\mathrm{x}(1) = \mathrm{x}0$ $\mathrm{y}(1) = \mathrm{y}0$ $\mathrm{z}(1) = \mathrm{z}0$ +for i $= 1:4$ $l = 1;\%$ 钢管长度 + $\begin{array}{rl} & {\mathrm{T_i} = \mathrm{T(i)}}\\ & {\mathrm{theta_i} = \mathrm{theta(i)}}\\ & {\mathrm{alpha_i} = \mathrm{alpha(i)}}\\ & {\mathrm{fun} = @(\mathrm{x\_point})(\mathrm{D3fun\_gangguan(x\_point, T_i, t h e t a_i, a l p h a_i, b e t a, v 2)});}\\ & {\mathrm{x}(i) = \mathrm{x}0;}\\ & {\mathrm{y}(i) = \mathrm{y}0;}\\ & {\mathrm{z}(i) = \mathrm{z}0;} \end{array}$ $\begin{array}{r}\texttt{for}\quad i = 1:4\\ \texttt{l} = 1;\% \texttt{thetab}\texttt{a}\texttt{n}\texttt{k}\texttt{l}\texttt{a}\texttt{n}\texttt{t}\texttt{b}\texttt{o}\texttt{l}\texttt{a}\texttt{n}\texttt{i}\\ \texttt{T(i + 1)} = \texttt{x\_solve(1)};\\ \texttt{theta(i + 1)} = \texttt{x\_solve(2)};\\ \texttt{alpha(i + 1)} = \texttt{x\_solve(3)};\\ \texttt{if}\alpha \beta (\alpha (i) < p i / 2\\ \texttt{x(i + 1)} = \texttt{x(i)} +\texttt{l}^{*}\cos (\texttt{theta(i)})^{*}\cos (\texttt{alpha(i)});\\ \texttt{else}\\ \texttt{x(i + 1)} = \texttt{x(i)} -\texttt{l}^{*}\cos (\texttt{theta(i)})^{*}\cos (\texttt{alpha(i)});\\ \texttt{end}\\ \texttt{y(i + 1)} = \texttt{y(i)} -\texttt{l}^{*}\cos (\texttt{theta(i)})^{*}\sin (\texttt{alpha(i)});\qquad \\ \texttt{z(i + 1)} = \texttt{z(i)} -\texttt{l}^{*}\sin (\texttt{theta(i)});\qquad \\ \texttt{end}\\ \%$ 钢桶分析 +l_tong $= 1;\%$ 钢桶长m +T5=T(5); +theta5=theta(5); +alpha5=alpha(5); +fun $= @(\mathrm{x\_point})(\mathrm{D3fun\_gangtong(x\_point,T5, t h e t a5, a l p h a5, b e t a, v 2, m_qiu}))$ +X0=[T5，theta5，alpha5]; + +$\begin{array}{rl} & {\mathrm{[x\_solve,~\sim] = fsolve(fun,X0);}\\ & {\mathrm{T(6) = x\_solve(1);}}\\ & {\mathrm{theta(6) = x\_solve(2);}\\ & {\mathrm{alpha(6) = x\_solve(3);}\\ & {\mathrm{if~alpha(5) < pi / 2}}\\ & {\mathrm{x(6) = x(5) + 1\_tong^{*}cos(\theta heta(5))^{\ast}\cos(\alpha heta(5))};}\\ & {\mathrm{else}}\\ & {\mathrm{x(6) = x(5) - 1\_tong^{*}cos(\theta heta(5))^{\ast}\cos(\alpha heta(5))};}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{y(6) = y(5) - 1\_tong^{*}cos(\theta heta(5))^{\ast}\sin(\alpha heta(5));}}\\ & {\mathrm{z(6) = z(5) - 1\_tong^{*}\sin(\theta heta(5));}}\\ & {\%锚链线分析}\\ & {\mathrm{L\_tuo = 0;%锚链拖尾长度}}\\ & {\mathrm{for~i = 6:6 + n - 1}}\\ & {\mathrm{if~theta(i) - 0 > 0.001}}\\ & {\mathrm{Ti = T(i);}}\\ & {\mathrm{thetaai = theta(i);}\\ & {\mathrm{alphai = alpha(i);}\\ & {\mathrm{fun = @(x_point)(D3fun_maiian(x_point,Ti,thetaai,alphai,I));}}\\ & {\mathrm{X0 = [Ti,thetaai,alphai];\%T、thetaia和alpha的初始搜索点}}\\ & {\mathrm{[x\_solve,~\sim] = fsolve(fun,X0);}\\ & {\mathrm{T(i + 1) = x\_solve(1);}\\ & {\mathrm{theta(a + 1) = x\_solve(2);}\\ & {\mathrm{alpha(i + 1) = x\_solve(3);}\\ & {\mathrm{if~alpha(i) < pi / 2}}\\ & {\mathrm{x(i + 1) = x(i) + II^{*}\cos(\theta heta(i))^{\ast}\cos(\alpha heta(i));}}\\ & {\mathrm{else}}\\ & {\mathrm{x(i + 1) = x(i) - II^{*}\cos(\theta heta(i))^{\ast}\cos(\alpha heta(i));}}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{y(i + 1) = y(i) - II^{*}\cos(\theta heta(i))^{\ast}\sin(\alpha heta(i));}}\\ & {\mathrm{z(i + 1) = z(i) - II^{*}\sin(\theta heta(i));}}\\ & {\mathrm{else}}\\ & {\mathrm{T(i + 1) = 0;}\\ & {\mathrm{theta(a + 1) = 0;}\\ & {\mathrm{alpha(i + 1) = \alpha h a(p i);}}}\\ & {\mathrm{z(i + 1) = z(i);}^{\prime}}\\ & {\mathrm{y(i + 1) = y(i) - II^{*}\sin(\alpha heta(i));}}\\ & {\mathrm{if~alpha(i) < pi / 2}}\\ & {\mathrm{x(i + 1) = x(i) + II^{*}\cos(\alpha heta(i));}}\\ & {\mathrm{else}}\\ & {\mathrm{x(i + 1) = x(i) - II^{*}\cos(\alpha heta(i));}}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{L\_tu o = L\_tu o + II;}}\\ & {\mathrm{end}} \end{array}$ + +在求解 $T_{i},\theta_{i},\alpha_{i}$ 的方程组时，要注意这个方程组会有两个解，我们要选择合适的。上面的程序中用到了D3fun_fubiao.m，D3fun_gangguan.m，D3fun_gangtong.m和D3fun.Maolian.m，这里我们仅给出D3fun_gangguan.m的程序，其余相似 + +```matlab +function y = D3fun_gangguan(x_point, T, theta, alpha, beta, v2) +%此函数用于求解钢管的T、theta和alpha +% +``` + +%%输入说明%% + +$\% \mathrm{x}$ ：解。T, theta, alpha + +$\% \mathrm{T}$ ：Ti-1 + +$\%$ theta: + +%88%正文%88% + +$\mathrm{Tx} = \mathrm{T}^{*}\cos (\mathrm{theta})^{*}\cos (\mathrm{alpha});$ + +$\mathrm{Ty} = \mathrm{T}^{*}\cos (\mathrm{theta})^{*}\sin (\mathrm{alpha});$ + +$\mathrm{Tz} = \mathrm{T}^*\sin (\mathrm{theta})$ + +%钢管受力分析 + +$\mathrm{rho} = 1.025^{*}10^{\hat{3}}$ + +$\mathrm{g} = 9.8$ + +$\mathrm{m} = 10; \%$ 钢管质量 $\mathrm{kg}$ + +$\mathrm{G} = \mathrm{m}^{*}\mathrm{g};\%$ 钢管重力 + +$l = 1; \%$ 钢管长度 $m$ + +$\mathrm{d} = 50 / 1000;\%$ 钢管直径 $\mathrm{m}$ + +[ \mathrm{F} = \mathrm{rho}^{*}\mathrm{g}^{*}\mathrm{pi}^{*}(\mathrm{d} / 2)^{2}^{*}1\% ] 钢管浮力 + +$\% \mathrm{s} = \mathrm{d}^{*}(1\hat{\mathbf{\Omega}} 2 - 1\hat{\mathbf{\Omega}} 2^{*}(\cos (\mathrm{theta}))\hat{\mathbf{\Omega}} 2^{*}(\sin (\mathrm{alpha - beta}))\hat{\mathbf{\Omega}} 2)$ + +s = d*1*sqrt((cos(theta))^2*(cos(beta - alpha))^2 + (sin(theta))^2); + +Fs = 374*s*v2^2; + +$\mathrm{Ti} = \mathrm{x\_point}(1)$ + +thetai $=$ x_point(2); + +$\mathrm{alpha} = \mathrm{x\_point}(3)$ + +$\mathrm{Ti} = \mathrm{Ti}^{*}\cos (\mathrm{theta})^{*}\cos (\mathrm{alpha})$ + +$\mathrm{Tiy} = \mathrm{Ti}^{*}\cos (\mathrm{theta})^{*}\sin (\mathrm{alpha})$ + +Tiz = Ti\*sin (thetai); + +$\mathrm{y} = \left[\mathrm{Tix} - \mathrm{Tx} - \mathrm{Fs}^{*}\sin (\mathrm{beta})\right];\ldots$ + +Tiy - Fs\*cos (beta) - Ty; ... + +$\mathrm{Tiz + G - F - Tz]}$ + +end + +# 结果 + +风速 $v = 12m / s$ 时的锚链末端 $z_{n}$ 和水平面夹角 $\theta$ 随吃水深度 $h$ 的变化曲线如图(1.31)所示。 + +![](images/39a085cd3bf3e6f6c5351c55071d717d6bdff7044dd2b54bcdb70a1a483e765c.jpg) +图1.31：风速12时锚链末端及水平面夹角随吃水深度h的变化曲线 + +![](images/4f34b3b5b5334c30ce0e99faafa282e1282cb2ff450802c719e1a92672524804.jpg) + +在最优吃水深度下，风速 $v_{w} = 24m / s$ 时系泊系统的3D系统曲线如图(1.32)所示。 + +![](images/b96965898e5d82905b744c7cf2da19d31a6b58fc12a9cc27aedaec6cf4e61faf.jpg) +风速12、吃水力度0.54107时的系泊系统 +图1.32：风速12、吃水深度0.54107时的3D系泊系统 + +# 1.2.8 总结 + +1. 建模过程不要急躁。由于在编程时的一点失误 (括号没对齐), 我们差一点就放弃了。遇到程序问题, 把程序打印下来, 一行一行的捋, 慢慢来, 别着急。 +2. 这种题型的一般题目要求是：第一问，寻找变量之间的关系；第二问，设计优化模型，来达到某种要求；第三问，敏感性分析。当然，也没有必要循规蹈矩，你想怎样做就怎样做，没关系。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/B\351\242\230\342\200\234\346\213\215\347\205\247\350\265\232\351\222\261\342\200\235\347\232\204\344\273\273\345\212\241\345\256\232\344\273\267-\351\202\223\346\230\216\345\215\216/B\351\242\230\342\200\234\346\213\215\347\205\247\350\265\232\351\222\261\342\200\235\347\232\204\344\273\273\345\212\241\345\256\232\344\273\267-\351\202\223\346\230\216\345\215\216.md" "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/B\351\242\230\342\200\234\346\213\215\347\205\247\350\265\232\351\222\261\342\200\235\347\232\204\344\273\273\345\212\241\345\256\232\344\273\267-\351\202\223\346\230\216\345\215\216/B\351\242\230\342\200\234\346\213\215\347\205\247\350\265\232\351\222\261\342\200\235\347\232\204\344\273\273\345\212\241\345\256\232\344\273\267-\351\202\223\346\230\216\345\215\216.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..349a544b61429e21b72c8194fe8d43a07e51802c --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/B\351\242\230\342\200\234\346\213\215\347\205\247\350\265\232\351\222\261\342\200\235\347\232\204\344\273\273\345\212\241\345\256\232\344\273\267-\351\202\223\346\230\216\345\215\216/B\351\242\230\342\200\234\346\213\215\347\205\247\350\265\232\351\222\261\342\200\235\347\232\204\344\273\273\345\212\241\345\256\232\344\273\267-\351\202\223\346\230\216\345\215\216.md" @@ -0,0 +1,691 @@ +# 2017年全国大学生数学建模竞赛赛题讲评与经验交流会 + +# “拍照赚钱”的任务定价 + +邓明华 + +北京大学数学科学学院 + +2017年11月25日，昆明 + +# 提纲 + +- 题目和命题背景 +- 评阅要点 +- 解题基本思路 +- 评阅中发现的问题 +- 优秀论文亮点介绍 + +# 题目 + +- “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 + +# 题目（数据说明） + +• 附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。 + +# 已结束任务数据 + +
ABCDEF
1任务号码任务gps任务gps经任务标价任务执行情况
2A000122.56614113.9808660
3A000222.68621113.940565.50
4A000322.57651113.957265.51
5A000422.56484114.2446750
6A000522.55889113.950765.50
7A000622.559114.2413750
8A000722.549113.972365.51
9A000822.56277113.956665.50
10A000922.50001113.8957660
11A001022.54379113.924661
12A001122.52486113.930965.50
13A001222.51909113.935865.50
14A001322.54797113.977965.51
15A001422.50617113.9314661
16A001522.49963113.9365661
17A001622.54032113.9236661
+ +# 会员数据 + +
ABCDE
1用户编号用户位置(GPS)预订任务限额预订任务开始时间信誉值
2B000122.947097 113.6799831146:30:0067997.39
3B000222.577792 113.9665241636:30:0037926.54
4B000323.192458 113.3472721396:30:0027953.04
5B000423.255965 113.31875986:30:0025085.7
6B000533.65205 116.97047666:30:0020919.07
7B000622.262784 112.79768726:30:0018237.63
8B000729.560903 106.239083156:30:0015729.36
9B000823.143373 113.376315956:42:0014868.44
10B000923.28528 113.6518421106:36:0013556.16
11B001023.099259 113.488909646:36:0013327.95
12B001123.192462 113.34726896:42:0011349.09
13B001222.548889 113.9553681026:33:0010957.58
14B001323.178845 113.358177906:45:0010427.74
+ +# 题目（问题） + +1. 研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 +2. 为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 +3. 实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ +4. 对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 + +# 命题背景 + +$\succ$ 移动互联网商业检查工具 +借助移动互联网技术，发动全国各地真实顾客，在指定的地理位置，用多媒体方式反馈企业所需要的最真实渠道信息 + +![](images/64c11174746fd8d7064e1b52e488df9fb33fa156b412ad0e0480d6300553e037.jpg) + +# 企业关心的商业检查问题 + +- 在各类终端渠道，有没有我们的产品陈列？ +- 终端陈列了多少个SKU？具体的SKU结构如何？本品在终端同类商品SKU总数的占比多少？ +- 产品陈列在什么位置？在终端同类商品总体陈列牌面的占比多少？ +- 产品售价多少？ +- 终端有哪些营销物料陈列/呈现？(海报、POP广告、异形堆头/TG等) +- 有什么促销活动正在进行？（特价、买赠、试吃等） +- 是否配有促销人员？促销人员的服务是否规范？ + +# 逐渐落后的商业检查方式 + +- 目前渠道商业检查的操作方式依然以传统方式为主，企业通常将全国性调查委托给一个全国总包商，总包商再把任务分包给几十个区域性执行公司，每个区域性执行公司再把任务分配给全职或者兼职访问员，访问员再以纸问卷，数码相机，针孔相机等方式，进行数据记录，整理等工作。 + +# 传统商业检查方式面临的四大问题 + +- 终端渠道数量太多，企业没有足够人手 +外包调查成本太高，沟通成本高 +- 需要大量的整理录入，时效性差 +- 对数据质量缺乏信心，数据常常受到挑战 + +# 优势 + +- 真实顾客：在移动互联网时代，聚集人的力量，让广大的真实消费者成为企业的“临时工” +- 反馈多媒体信息：抛弃传统纸质问卷，不仅可以进行文字记录，更可以拍照、录像，真实记录所见场景 +- 最真实的渠道信息：所采集信息均带有“时间”+“地点”+“图像”信息，真实可靠，降低质量隐患 + +# 拍拍赚的工作流程 + +![](images/103ceb664069c7eb18e237dd0c17fd831fa334f42858a0d67318764e3e8bcb17.jpg) + +![](images/1745499e0029e45f2ec6089889cbc1892a4a0225c02350b59f435ce719d151c2.jpg) + +![](images/a086daed14399dfdb982f43df710a0cb29a97ecd0f3496462a2508f6498b8ab6.jpg) + +![](images/e282e60067685c54ec2e8444b3dd719bf24051031b1e593dbda7689fcab9de84.jpg) + +# 拍拍赚关于数模竞赛的问与答(1) + +• Q: 拍拍赚是如何定价的，影响定价的因素有哪些？ +A: 拍拍赚的定价优化目标是基于任务完成进度与完成时间而设定的。主要会参考二个核心因素：会员（包括位置分布，信誉、活跃度及行动路径等）；任务（包括位置分布、难易程度、竞争价格等）涉及的因素比较多，大家可以多想想，还有一些过程指标，比如完成率，进度，打包，预定等。 + +# 拍拍赚关于数模竞赛的问与答(2) + +- Q: 拍拍赚目前定价采用了哪种算法？ +A: 类似于贪心算法和动态规划，但具体基于什么算法，我这个做PR的也不太清楚，也不要局限于具体算法，最终的目的是最优化定价，以最优的价格，又快又好的完成任务。 + +# 拍拍赚关于数模竞赛的问与答(3) + +- Q: 任务完成情况与价格的关系 +A: 理论上讲完成越快的任务价格越低, 但这要考虑到很多因素, 但为了达到完成率,任务涨价或降价对会员的积极度都会有影响，需要找到一个价格的平衡点。 +• Q: 关于成本和支付 +A: 目前考题里没有成本与费用数据, 无关定价。 + +http://www.tretailstore.ai/h-nd-11.html#_np=104_314 + +# 拍拍赚关于数模竞赛的问与答(4) + +• Q: 为什么信誉高的会员可预定的数量少可预定时间又晚? +A: 实际项目的情况与题目条件是不相同的, 会考虑的因素也更多, 会员信誉主要会参考会员完成任务的质量等原因和题目条件不同, 大家还是要放开想象力从题面出发。 +• Q: 为什么会员密集的地方，任务的失败率会那么高 +A: 很多原因，价格低、店铺拒访，道路施工，天气不好（广州、深圳台风一个接一个的），会员家里有事、假期等，请同学们在命题范围内思考问题。 + +http://www.tretailstore.ai/h-nd-11.html#_np=104_314 + +# 评阅要点（综述） + +- 本题来源于实际问题，要求对“拍照赚钱”项目中的任务进行定价，使得任务对会员有吸引力而不至于被会员所放弃，特别是那些处在比较偏远位置的任务。 + +# 评阅要点（问题1） + +- 问题1：在已经结束的项目中研究任务定价规律，分析任务未完成的原因。理论上任务定价跟所有会员的限额、会员与任务之间距离有关，在已知的定价数据上，这是一个高维数据函数拟合问题，需要一定的降维处理。这里所谓的降维是一个广义的概念，既可以是统计上的降维方法，也可以是会员密度，任务密度，或者是任务距离城市中心距离这样的变量；同样，任务是否完成也跟所有会员的限额、会员与任务之间距离有关，在已知任务完成与否的情况下，这是一个高维数据分类问题。 + +# 评阅要点（问题1） + +# • 注意 + +- 重点在变量的选择上 +- 需要有定量分析，而不是泛泛而谈； +- 在建立因变量和自变量的关系中，回归（Logistic回归）、神经网络等方法可视为等同的模型；在模型拟合程度的度量上，应注意拟合度和模型复杂度的均衡。 + +# 评阅要点（问题2） + +- 问题2: 问题2要求对已结束项目中的任务设计新的定价方案。不同的原则可能对应于不同的定价, 一个好的定价方案应该考虑到以下几点: + +1. 任务定价的主要目的是在不提高平台的运行成本的前提下，尽量提高任务的完成率。 +2. 定价方案应该对所有会员都有一定的吸引力，均衡性是一种可能的方案； +3. 定价方案需要照顾到优质会员的利益，也要对新会员保留一定的机会； + +- 对定价方案的评价可以模拟会员抢单，统计任务完成率进行评价。 + +# 评阅要点（问题3） + +- 问题3是考虑任务打包问题，按照一定的原则打包（比如就近打包和远近搭配打包等方式），在保证任务完成率的情况下节省成本也可以作为一个评价定价方案的新维度。 + +# 评阅要点（问题4） + +- 问题4就是将前面问题2和问题3的方案应用到实际任务之中，需要通过模拟用户抢单，统计任务完成率来对方案进行评价。 + +# 定价问题分析 + +- 任务定价包含两部分: + +- 其一是拍照的报酬，由商场规模决定，这里就简单认为：在商场内拍照的工作量都基本相同，作为基本价格，可不妨设这个基本价格为零。 +- 其二是距离远近导致的任务差异，这是我们最需要解决的部分。 + +- 对会员来说，距离远、价格又不够高显然他就不去做。 + +# 认知价值定价法 + +- 百度百科：认知价值定价法（Perceived-Value Pricing），又叫觉察价值定价法，也称“感受价值定价法”、“理解价值定价法”。是根据消费者所理解的某种商品的价值，或者说是消费者对产品价值的认识程度来确定产品价格的一种定价方法。 + +- 当产品的价格水平与消费者对产品价值的理解和认识程度大体一致或者低于时，消费者就很容易接受这种产品； + +# 认知价值定价法 + +- 会员对任务执行的价值期望与任务跟会员的距离密切相关，设其为 $f(r)$ +- 因此，理论上任务定价 + +$$ +\operatorname {P r i c e} _ {i} = G (t _ {1}, \omega_ {1}, f (r _ {i 1}); \dots ; t _ {m}, \omega_ {m}, f (r _ {i m})) +$$ + +其中 $t_{j}$ 是第 $j$ 个会员开始下单时间, $\omega_{j}$ 是第 $j$ 个会员的配额占比, $r_{ij}$ 是第 $j$ 个会员到该任务的距离。 + +# 吸引力 + +- 可以用实际任务定价和会员对执行该任务的价值认定之比值来刻画 +- 对于第i个任务，其对第j个会员的吸引力就是 + +$$ +\frac {\alpha_ {i}}{C f (r _ {i j})} +$$ + +其中C是一个归一化单位 + +# 吸引力均衡 + +- 对第j个会员来说，第i个任务对他的吸引力占比 + +$$ +\frac {\frac {\alpha_ {i}}{C f (r _ {i j})}}{\sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {\alpha_ {k}}{C f (r _ {k j})}} +$$ + +- 均衡性要求就是使之接近均匀 + +$$ +\left(\frac {1}{n}, \frac {1}{n}, \dots , \frac {1}{n}\right) +$$ + +![](images/4c8ce57b168fed10e460e7da38f197ff54aca2f91797f87535e73c965149d78d.jpg) + +# 吸引力均衡 + +- 设第j个会员配额比为 $\omega_{j}$ +- 于是可以有如下的目标函数 + +$$ +(\hat {\alpha} _ {1}, \dots , \hat {\alpha} _ {n}) = \underset {\alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {n}} {\operatorname {A r g m i n}} \sum_ {j = 1} ^ {m} \omega_ {j} \left\{\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(\frac {\frac {\alpha_ {i}}{f (r _ {i j})}}{\sum_ {k} \frac {\alpha_ {k}}{f (r _ {k j})}} - \frac {1}{n}\right) ^ {2} \right\} +$$ + +# 定价模型A + +- 模型A + +$$ +f (r) = r +$$ + +• 理解：交通补贴 +- 优化模型 + +$$ +(\hat {\alpha} _ {1}, \dots , \hat {\alpha} _ {n}) = \underset {\alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {n}} {\operatorname {A r g m i n}} \sum_ {j = 1} ^ {m} \omega_ {j} \left\{\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(\frac {\frac {\alpha_ {i}}{r _ {i j}}}{\sum_ {k} \frac {\alpha_ {k}}{r _ {k j}}} - \frac {1}{n}\right) ^ {2} \right\} +$$ + +# 定价模型B + +- 模型B + +$$ +f (r) = r ^ {2} +$$ + +- 理解：借鉴物理中的万有引力 +- 优化模型 + +$$ +(\hat {\alpha} _ {1}, \dots , \hat {\alpha} _ {n}) = \underset {\alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {n}} {\mathrm {A r g m i n}} \sum_ {j = 1} ^ {m} \omega_ {j} \left\{\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(\frac {\frac {\alpha_ {i}}{r _ {i j} ^ {2}}}{\sum_ {k} \frac {\alpha_ {k}}{r _ {k j} ^ {2}}} - \frac {1}{n}\right) ^ {2} \right\} +$$ + +# 任务分配——平台端 + +- 按照附件2中的时间放单，先到先得； +- 在同一个时间窗口下：按照各个会员权重随机派发 + +# 任务分配——会员端 + +- 在平台允许的时间内第一时间上线; +- 对线上任务按照吸引力排序，如果吸引力超过阈值 $T_{0}$ 则对该任务下单；如果没有任务的吸引力超过阈值 $T_{0}$ 不下单； + +# 任务完成情况评价 + +- 随机模拟：模拟用户对任务的选择，同时模拟后台任务分配，最后给出任务完成率 +- 会员抢单：按照附件2中的时间顺序会员上线下单； +- 会员总是选择从剩下的任务中选择最有吸引力的几个，但如果任务吸引力低于一定阈值是他不会再下单； +- 会员能下单的数目不超过 $N \omega_{j}$ + +# 解题思路(任务打包) + +- 对任务进行聚类。可以考虑用 K-Means 聚类算法或者模糊 k-Means 算法, 但 k 的确定需要讨论; +- 打包后价格确定时，多个任务合并定价时可以打折，其折扣率可以讨论； + +# 数据统计(1) + +![](images/28660ee099b29425ca9ba5d12fe5f3541bc261ba5caf254a79a373413530eb64.jpg) +会员地点分布图 + +![](images/c228a4f4c3b2bd3230db11e819d36eeb21da9f89bed9127719ec96be9880ed1b.jpg) +用户信用分布情况 + +# 数据统计(2) + +![](images/1e265a8e6d6f1f8543bd38924d695da78660128390e507bf01dd4e04c973f295.jpg) +已结束任务地点分布图 + +# 旧项目价格分布 + +![](images/2dc1e3f8cfa8fb137eb6d6ed45a7c3a1a4893e1b955cc14704fbf7edc8cf76cf.jpg) +已结束项目的价格分布 + +![](images/16ed1a40944c84503055e8d1fc824c48353c7e253720d61db1ab34f1cb7971c3.jpg) + +# 旧项目的价格分布 + +![](images/b9538d242a613de2e539d86415471f3f3316c7edc656e690c49d8a096a00eb19.jpg) + +![](images/8832cbf6fc34deb528cfc6b6dc199d48b7ec02811537031d5222401c207e61de.jpg) + +# 模型A运算结果——定价 + +![](images/6f42755bbd097a1e7696f0e510ef0da68b4f799b1cbaa9243559b328ae673c22.jpg) +模型A定价分布情况 + +![](images/fb53955d26a46a72c766618cd03903bfd31ed9f54ee84aa846b1d38270048431.jpg) +模型A的价格分布 + +# 模型A运算结果——吸引力 + +![](images/a8def0b1cd9e81bc6f2b0f55ae1a69cd459b14f6d5af0fbae18d15b039da4598.jpg) +模型A定价下吸引力分布 + +![](images/1b691a0de66e8074d9b57bc92110f56f21e984af39c5dd55f24234bbab9e0f10.jpg) +原始价格下吸引力分布（模型A） + +# 模型A运算结果——完成率 + +模型A完成率随阈值变换图 +![](images/8ec7e7a15114c7bda7c2e20fc72abf72ddd9dd615dbe51f465ade3483f019ba9.jpg) +阈值 + +# 模型B运算结果——定价 + +![](images/da99762f5d68aab156b269ac6bbebba6de357ec3d0c4704b5c41f8e976142bad.jpg) +模型B定价分布情况 +模型B的价格分布 + +![](images/84731f9cd5490ddd119341a39b69671e83ec04bbc9561ad3cd1a3c81076c9084.jpg) + +# 模型B定价结果——吸引力 + +![](images/0cb04dc1b3c63214e44d49273a27c490c1581a3f0fb52c46d4e79241fe8004a0.jpg) +模型B定价下吸引力分布 + +![](images/35df55b9b7b619f52ece3cf778e05a73b0f747a2e70201a12abaadae27accbca.jpg) +原始价格下吸引力分布（模型B） + +# 模型B定价结果——完成率 + +新任务模型B完成率随阈值变换图 +![](images/75df369de96cb12c15c1f15e59420a5d42dab6191ad4304cb70f970b24f1e7d3.jpg) +阈值 + +# 新任务运算结果——模型A定价 + +![](images/fd65b0a099f4a5b5d8f3904a5d549f561dbf0523d3f9b04932373526d522d0d2.jpg) +新任务模型A定价分布情况 + +![](images/945dfd942bbd074391da5880d494fdedd5d7e17d68b41f26f7690ed74cd52499.jpg) +新任务模型A的价格分布 + +# 新任务运算结果——模型A吸引力 + +![](images/fffa0657463e4230507fa407fa93f9ab6eb5376f4644cd9d6182f29899261b60.jpg) +新任务模型A定价下吸引力分布 + +# 新任务运算结果——模型A完成率 + +新任务模型A完成率随阈值变换图 +![](images/cc943df885fd6d172f41951f961aa9afdc8281366f47727dd9404c5bcd33e02d.jpg) +阈值 + +# 新任务运算结果——模型B定价 + +![](images/3fb1cc1518db1b903c800078fb002efc318a73f4a656cbdc3f5cd78538879ac1.jpg) +新任务模型B定价分布情况 + +![](images/33252f5b77de3f9168f09c5862895dfefc15f7a4bf7656aefbbc6fabe6171434.jpg) +新任务模型B的价格分布 + +# 新任务运算结果——模型B吸引力 + +新任务模型B定价下吸引力分布 +![](images/1a4ab71731ef3797dc365dfc90bc30d5b63e23820b4ffa7e5b7ba6f6937817f4.jpg) +log(吸引力) + +# 新任务运算结果——模型B完成率 + +新任务模型B完成率随阈值变换图 +![](images/37fce4f096a5b7152c300f467ee6d5d3af6229189f3b52cd9e38a95722c85ac5.jpg) +阈值 + +# 评阅中发现的问题 (1) + +- 单纯将其看成是一个统计问题 + +- 线性回归或者非线性回归 +- Logistic回归（神经网络预测） + +- 用在问题一中可以，但用它来做定价却有风险，特别是用它来衡量完成率有问题 + +- 原始数据并不是一个典型的数据，完成率偏低 +- 原始数据给出的是完成与否，和抢单与否是有区别的 + +# 评阅中发现的问题 (2) + +- 第一问中的求解中有同学只用任务位置经纬度预测价格和预测任务完成与否 +- 位置是和定价有一定的关系，但只用位置来预测价格或者只用位置来预测完成率是有问题的；如果是这样，定价与会员无关了，显然不符合常理； + +# 优秀论文介绍（B248） + +- 构建了一个双目标优化模型(最小化总价,最大化完成率) +- 最大的优点是约束的构建充分考虑问题本身的特点 + +- 最大吸引原则 +- 竞争原则 +- 分配准则 +一时间列准则 + +# 吸引力度量 + +- 设第i个任务的定价为 $p_{i}$ , 任务i到会员j的距离为 $l_{ij}$ , 那么任务i对会员j的吸引力定义为 + +$$ +\omega_ {i j} = \sqrt {a \frac {p _ {i}}{l _ {i j} ^ {2}} + b p _ {i} ^ {2}} +$$ + +- 要求 $\omega_{ij}$ 介于[0,1] +- 选定典型的点(两个中心任务点以及离之最近的会员点之间的吸引设为0.99)确定常数a和b + +# 吸引度阈值 + +- 只有任务具备足够的吸引度才被会员领取并完成，设定任务吸引度阈值（这里他们对每一个任务设定一个阈值值得商榷） + +$$ +C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & w _ {i j} > w _ {i}, \exists j \\ 0 & w _ {i j} < w _ {i}, \forall j \end{array} \right. +$$ + +- 根据附件一的完成情况确定阈值（这个做法有些问题，新任务就无法确定阈值了，但可以修改为统一阈值，而这个阈值可以通过附件一加以学习） + +$$ +w _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} \min _ {j} \{\omega_ {i j} \} & C _ {i} = 1 \\ \max _ {j} \{\omega_ {i j} \} & C _ {i} = 0 \end{array} \right. +$$ + +# 竞争和任务分配 + +- 会员只选择最大的吸引度最大的任务 + +$$ +\operatorname {C h o i c e} (j) = k, \quad \omega_ {k j} = \max _ {i = 1} ^ {8 3 5} \omega_ {i j}, j = 1, 2, \dots , 1 8 7 5. +$$ + +- 任务分配：不同的会员在选择同一个任务时，信誉值最大的会员具有最大优先度。如果有n个会员同时预定任务k，任务k最后被这n个会员中信誉值最大的人成功预约 + +$$ +\begin{array}{l} \text {b e l o n g} (k) = n _ {j} \left| \begin{array}{l} w _ {k n _ {m}} = \max \left\{w _ {i n _ {m}} \right\}, (m = 1, 2 \dots n) \\ G (n _ {j}) = \max \left\{G (n _ {m}) \right\} (1 \leq j \leq n) \end{array} \right. \end{array} +$$ + +# 优化模型 + +- 目标函数 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {8 3 5} p _ {i}, \max \sum_ {j = 1} ^ {8 3 5} C _ {i} +$$ + +$$ +\omega_ {i j} = \sqrt {a \frac {p _ {i}}{l _ {i j} ^ {2}} + b p _ {i} ^ {2}} \qquad C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & w _ {i j} > w _ {i}, \exists j \\ 0 & w _ {i j} < w _ {i}, \forall j \end{array} \right. +$$ + +$$ +\operatorname {C h o i c e} (j) = k, \quad \omega_ {k j} = \max _ {i = 1} ^ {8 3 5} \omega_ {i j}, j = 1, 2, \dots , 1 8 7 5. +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {b e l o n g} (k) = n _ {j} \left| \begin{array}{l} w _ {k n _ {m}} = \max \left\{w _ {i n _ {m}} \right\}, (m = 1, 2 \dots n) \\ G \left(n _ {j}\right) = \max \left\{G \left(n _ {m}\right) \right\} (1 \leq j \leq n) \end{array} \right. \end{array} +$$ + +# 优秀论文介绍（B264） + +- 本文对定价模型中的影响因素考虑较为深入，第二问的定价模型中引入会员满意度刻画了会员关于任务的接受意愿，建立了较为完整的优化定价模型。文中应用启发式算法求复杂优化模型的较优解，不失为一种较合理的选择。 +- 亮点：用规划模型给出了完成度的计算 + +# 优秀论文介绍（B264） + +- 通过分析附件一给出一个定价公式 + +$$ +P _ {i} = P _ {0} + 0. 5 R _ {i} + S _ {i} - Q _ {i} +$$ + +其中 $\mathrm{P}_{0}$ 为基础定价; $\mathrm{R}_{\mathrm{i}}$ 为会员密集程度对应的价格; Si为任务难易程度对应的价格; Qi为任务密集程度对应的价格 + +- 亮点：用规划模型给出了完成度的计算 + +# 用户满意度 + +• 会议对任务的性价比用价格除以距离衡量，再考虑到会员信誉度对任务完成的影响(有可能方向有错误) + +$$ +K _ {i} = \max _ {j} \left\{\frac {P _ {i} ^ {\prime}}{c d (i , j)} \left(\boxed {1 - \frac {Q _ {j}}{\max Q _ {j}}}\right) | d (i, j) \leq r \right\} +$$ + +- 当任务点的指标Ki超过某一阈值时，存在会员愿意接受该任务； + +# 会员愿意接受任务集合 + +• 会员j愿意接受的任务点集合 + +$$ +V _ {j} = \left\{i \left| \frac {P _ {i} ^ {\prime}}{c \cdot d (i , j)} \left(1 - \frac {Q _ {j}}{\max Q _ {j}}\right) \geq \gamma_ {z}, d (i, j) \leq r, y _ {i z} = 1 \right. \right\} +$$ + +# 规划模型 + +$$ +\max \quad \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l l} P _ {i} ^ {\prime} = P _ {0} + 0. 5 R _ {i} ^ {\prime} + S _ {i} - Q _ {i} + T _ {i} \\ \sum_ {i \in A _ {j}} x _ {i j} \leq e _ {j} & \text {执 行 能 力 限 制 和 限 额} \\ \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} \leq 1, d (i, j) \leq r & \text {一 个 任 务 最 多 只 被 一 人 完 成} \\ x _ {i j _ {1}} t _ {j _ {1}} \geq x _ {i j _ {2}} t _ {j _ {2}}, \forall i \in V _ {j _ {1}} \cap V _ {j _ {2}} & \text {起 拍 时 间 顺 序} \\ A _ {j} \subset V _ {j} & \text {任 务 要 有 足 够 的 吸 引 度} \\ \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} P _ {i} ^ {\prime} \leq C & \text {总 费 用 受 限} \\ i \in \{1, 2, \dots , n _ {1} \}, j \in \{1, 2, \dots , n _ {2} \} \end{array} \right. +$$ + +# 优秀论文介绍（B353） + +- 该论文构建了任务价格提升比例最小化、任务成功执行数最大化的双目标优化模型，构造了二维多阶段轮盘赌算法求解优化问题，将会员对任务的选择意愿、平台分配任务的时间和可能性等因素融合到算法之中，契合了实际问题的要求，较好地解决了问题2。 + +# 任务匹配规划模型 + +$$ +\min \left(\sum_ {i = 1} ^ {i = | B |} \sum_ {j = 1} ^ {j = | A |} z _ {i j} \frac {P _ {p i}}{P _ {O j}} - \sum_ {j = 1} ^ {m} \sum_ {i = 1} ^ {n} z _ {i j}\right) +$$ + +提价少，完成率高双目标 + +$$ +s. t. \quad \sum_ {i = 1} ^ {i = | B |} z _ {i j} \leq 1, \quad j = 1, 2, \dots , | A | +$$ + +任务至多被一个会员执行 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {j = | A |} z _ {i j} \leq c _ {i} ^ {B} \quad i = 1, 2, \dots , | B | +$$ + +同一个会议执行的任务数不能超过其限额 + +$$ +\Pr \left(F _ {j} = b _ {i}\right) \geq \Pr \left(z _ {i j} = 1\right), \quad i = 1, 2, \dots , | B |, j = 1, 2, \dots , | A | +$$ + +成功匹配不一定被执行 + +# 多阶段轮盘赌算法 + +• 目的：求解任务会员匹配算法 +• 原则: + +- 多阶段：不同预订时间属于不同批次 +- 概率：同批次内各会员选中任务概率依预订配额占比决定 + +- 优点：相比遍历算法，降低计算复杂度 +- 评价：不同于简单的指派问题，体现任务对会员的吸引和平台的分配原则； + +# 概率计算 + +- 会员b选中任务j的概率 + +$$ +\Pr \left(b _ {j n}\right) = \frac {C _ {b _ {j n}} ^ {B}}{\sum_ {n = 1} ^ {G _ {j}} C _ {b _ {j n}} ^ {B}} \times \frac {P _ {p j}}{P o _ {j}} +$$ + +- 在同一批次中，未选中的概率 + +$$ +\Delta \Pr (m) = 1 - \sum_ {k = 1} ^ {k = m} \sum_ {n = 1} ^ {n = | I _ {m} |} \Pr \left(b _ {j n} ^ {k}\right) +$$ + +# 优秀论文介绍（B104） + +- 该论文将不完全信息博弈理论引入到定价问题之中，采用线性价格方法给出了均衡解，并计算出完成概率，较好地解决了B题的问题2和问题3。 + +# 博弈模型 + +- 期望价格可以回归模型给出 + +$$ +w = 6. 3 2 4 8 z _ {1} - 0. 1 3 9 5 z _ {2} + 2. 3 9 4 7 z _ {3} + 1. 8 7 5 z _ {4} + 6 5 +$$ + +- 博弈双方的期望效用最大化 + +$$ +\begin{array}{l} \max _ {M _ {L}} \left\{\frac {M _ {L} + E \left[ M _ {S} \left(V _ {S}\right) \mid M _ {S} \left(V _ {S}\right) \geq M _ {L} \right]}{2} - V _ {L} \right\} P \left\{M _ {S} \left(V _ {S}\right) \geq M _ {L} \right\} \\ \max _ {M _ {H}} \left\{V _ {H} - \frac {M _ {S} + E \left[ M _ {L} \left(V _ {L}\right) \mid M _ {L} \left(V _ {L}\right) \geq M _ {S} \right]}{2} \right\} P \left\{M _ {S} \left(V _ {S}\right) \geq M _ {L} \right\} \\ \end{array} +$$ + +# 博弈模型 + +- 线性价格均衡法（谢老师书上的结论） + +$$ +M _ {s} (V _ {S}) = \frac {2}{3} V _ {S} + \frac {1}{4} +$$ + +$$ +M _ {L} (V _ {L}) = \frac {2}{3} V _ {L} + \frac {1}{1 2} +$$ + +完成概率 + +$$ +\eta = \frac {\int_ {\frac {1}{4}} ^ {1} \int_ {0} ^ {V _ {H} - \frac {1}{4}} \left(V _ {H} - V _ {L}\right) d V _ {H} d V _ {L}}{\int_ {0} ^ {1} \int_ {0} ^ {V _ {b}} \left(V _ {H} - V _ {L}\right) d V _ {H} d V} +$$ + +# 完成情况 + +![](images/2d98e19e7afb93ffd6fec46acad7a137e8a9e778f09114c0f135acfd864fb534.jpg) +原方案任务完成情况 + +![](images/f4358c1dadfe9e1cc48f4e1d1013e54bc3cd99559c2a26d4e6e910fd42ced7f8.jpg) +新方案任务完成情况 + +# 优秀论文介绍（B154） + +- 该论文在定价模型中引人吸引力和活跃度的概念，由此定义任务被完成的可能性，以收益期望最大化为目标建立优化模型，其思考问题的角度比较新颖；其次是引入行动力效率概念，通过控制行动效率以实现任务的打包，其思路比较独特。 + +# 吸引力指标 + +- 吸引力与价格s正相关，与距离负相关，认为其呈指数形式 + +$$ +c _ {i} = f (s, d _ {i}) = m _ {1} e ^ {- \frac {m _ {2} d _ {i} ^ {2}}{s}} +$$ + +# 活跃度 + +- 会员自身活跃度k由其信誉b决定 + +$$ +k = \ln b +$$ + +- 任何一个坐标点的活跃度由其附近的会员的活跃度影响 + +$$ +a = g (x, y) = \sum_ {i = 1} ^ {n} k _ {i} \exp \{m _ {3} [ (x - x _ {i}) ^ {2} - (y - y _ {i}) ^ {2} ] \} +$$ + +# 活跃度展示 + +![](images/1427f365ec1ab5564158d2070a52feb45fcc5af41c8c0ee05c88d863f1e1c2fe.jpg) + +# 任务被完成的概率 + +- 任务被完成的可能性大小取决于任务吸引力c和任务所在区域活跃度a, + +$$ +p _ {i} = \int \int c _ {i} a _ {i} d x d y +$$ + +- 离散化成13个区域 + +$$ +p = \sum_ {i = 1} ^ {1 3} A _ {i} \tau_ {i} \quad \left\{ \begin{array}{l} A _ {i} \sim N (g (x _ {i}, y _ {i}), \sigma_ {i} ^ {2}) \\ \tau_ {i} = \iint_ {\Omega_ {i}} f (s, d) d x d y \end{array} \right. +$$ + +![](images/97c2dbee0b5e0751e202d6501524be6d658e0f39b9a2c5304617e6b267ce87c4.jpg) + +- 由 $\tau$ 相等可以反解出三个半径值 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ; + +# 公司期望收益 + +- 任务完成的期望收益 + +$$ +E \left(R _ {i}\right) = p (L - S) + (1 - p) * 0 = p (L - S) +$$ + +- 使期望收益最大的任务定价即定价方案 + +![](images/6e7016362873b57a346d008d49524a7c8d174068f7c1c993c7836e3cba43042a.jpg) +图12任务价格与被完成概率的关系 + +![](images/e9538098fb77c05f4ddc97fbdab927e017d8a50d59cebb113654f1c7fb800c22.jpg) +图13任务价格与收益期望的关系 + +# 优秀论文介绍（B315） + +- 本文仿照库仑定律，建立了任务对会员的吸引力因子与任务价格、会员信誉度和会员到任务点距离之间的关系，并定义了任务的完成率，然后通过模拟计算得到了定价模型效果的评价。作者对问题的理解比较到位，抓住了本问题建模的关键因素——任务对会员的吸引力，建模思路有新意。需要指出的是，本文关于任务完成概率的定义有不合理之处，导致按此定义得到的完成率偏低。另外，模拟计算还可以做得更细致一些。 + +# 吸引力因子 + +- 任务i对会员j的吸引（受库仑定律启发） + +$$ +F _ {i j} = \frac {K _ {i j} P _ {i} \phi (m _ {j})}{r _ {i j} ^ {\alpha}} +$$ + +其中 $\alpha$ 为参数, $P_{i}$ 为任务点 $i$ 的价格, $r_{ij}$ 为任务点 $i$ 与会员 $j$ 之间的距离, $k_{ij}$ 即为刚刚定义的困难因子,对于不同的地区, $K_{ij}$ 可以不是常数, 其他影响因素都可以吸收到 $K_{ij}$ 中; $m_{j}$ 为会员 $j$ 的信誉值 + +$$ +\varphi (m _ {i}) = 0. 0 6 7 9 3 0 9 9 7 \cdot \log_ {1 0} m _ {i} + 0. 4 7 1 7 2 3 9 8 7 +$$ + +# 求解算法（模拟抢单） + +S1: 对所有会员进行预定任务开始时间从早到晚的排序，时间相同者，按照信誉度由高到低排序。 +• S2: 开始时间最早的会员中信誉度最高的 $\mathrm{X}_{1}$ 首先挑选出对其吸引力因子最大的N1个任务, 其中任务个数 $\mathrm{N}_{1}$ 不超过会员 $\mathrm{X}_{1}$ 预定任务的限额。 +S3: 在所有任务的集合中删除 $N_{1}$ 个已选任务, 避免后面的会员重复选择。 +• S4: 排序第二的会员 $X_{2}$ 挑选 $N_{2}$ 个任务, 其中任务个数 $2 \mathrm{~N}_{2}$ 不超过会员 $X_{2}$ 预定任务的限额。 +• S5: 不断循环往复，直到每个会员都分配到了任务（包括新会员），且任务已经分配完成。 + +谢谢聆听！ \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/B315/B315.md b/MCM_CN/2017/B315/B315.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7acd09989cc8277ffa06b9685947228285fb2bf0 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/B315/B315.md @@ -0,0 +1,478 @@ +# 摘要 + +本文研究了如何分析“拍照赚钱”问题的定价策略，并为其设计完成率更高的任务定价方案的问题。已知一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况，已知一组会员信息数据，包含了会员的位置和信誉值，我们通过分析已知的数据，定性地给出了此项目的定价规律，并指出了这一规律在实际应用中的不足。针对这一项目，我们给出了自己的定价方案，并利用自己建立的评估机制对两种方案进行了比较。 + +在关于问题1的讨论中，针对给定的已完成的项目，我们利用所给经纬度信息，得到了任务的地理分布和会员的地理分布，通过分析任务点定价的分布与任务点的密度分布，我们发现任务点的定价与其周边的任务点数量和会员数量（我们用任务密度和会员密度来刻画）都呈负相关关系。通过绘制不同价格的任务分布图，我们发现任务的定价与其所在地区的经济发展水平呈负相关关系。在这一问的讨论中，我们还给出了定价方案的两个简单公式。 + +对于问题2，我们引入了吸引力因子 $\mathrm{F_{ij}}$ ，用两种方法刻画任务点对会员的吸引力。一种方法仿照库仑定律表达式量化，建立了吸引力因子与任务价格、会员信誉和会员到用户的距离的关系；另一种方法则考虑会员完成任务时经过路径上的所有任务点，建立了另一个 $\mathrm{F_{ij}}$ 的表达式。两种方法还分别给出了不同的用户分配的机制，之后可以直接用这种机制进行模拟。最后，我们还引入了模型的评估机制，定义了每种价格的任务的完成率 $\mathbf{C_i}$ 以及总完成率C，以及用户总盈利、平台总收益等评价指标。 + +对于问题3，我们先利用K-means聚类算法对任务点进行了聚类，随机取圆心并将其邻域中的任务点联合在一起发布。参照经济学中的搭售模型，通过简单不等式的处理，我们估算出了搭售过程中定价的上下界。针对问题2中的两种方法，我们对其中吸引力因子 $\mathbf{F_{ij}}$ 的表达式进行了推广，给出了联合发布情形中 $\mathbf{F_{ij}}$ 的表达式。但是，通过程序模拟，我们发现，联合发布的做法对完成率几乎没有影响，但是影响到用户总盈利、平台总收益等。 + +对于问题4，我们发现新项目的地理分布与问题1中已结束项目的地理分布相似，于是我们套用了之前定价模型的两个公式，并用问题2中的分配机制和评估机制进行模拟，得出了其较好的定价公式，并估算了完成率。这一部分相当于问题2中算法的实现过程。 + +最后，我们还对我们的模型进行了推广与应用。 + +关键词：众包 搭售 聚类分析 模拟 + +# “拍照赚钱”的任务定价 + +# 1.问题重述 + +随着互联网应用的迅速发展，众包已经遍布全球。众包是一个公司或机构将其工作任务通过网络外包给大众的行为。题目中的“拍照赚钱”是一种典型的众包环境下的自助式服务，它要求会员下载相关APP后，在APP上领取拍照任务并完成，获得报酬。这种自助式众包平台，多为企业提供商业检查和信息搜集，通过大量个体会员的积极参与，它可以极大地提高企业的工作效率，并显著降低企业的工作成本。作为联系企业与会员的桥梁，APP成为众包平台的重要组成部分，APP中对任务的定价方式和分配方式，都会影响到总任务的完成度。因此，研究任务定价和任务分配，对整个众包平台的运营具有重要意义。 + +现要解决以下的问题：给定一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；给定一组会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；给定一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。 + +1. 研究所给已结束项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 +2. 为所给的已结束项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 +3. 实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致会员会争相选择，一种考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ +4. 对所给新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 + +# 2.问题的分析 + +通过对问题的研究，我们发现，任务的价格标定及其完成与否，可能与任务点所在的地理位置及附近会员位置有关。 + +对问题1，我们可以考虑任务所在地的交通状况、经济发展水平和地形条件等因素，也可从会员位置与任务位置之间的关系上考虑，建立模型。 + +对问题2，我们可以引入一种“吸引力”的评判标准，利用任务点与会员位置之间的关系给出合适的价格。 + +对问题3，我们可以将一定大小邻域内的几个任务点进行“打包”，对在问题2中所构建的模型稍作修改，联系经济学中的相关模型，给出一个定价方案。 + +对问题4，我们可以利用在问题3中建立的模型，给出一个定价方案，并以任务完成情况作为参考进行评估。 + +# 3.模型假设 + +（1）假设所给任务点所在地区之间存在经济发展水平差异。 +(2) 假设会员都试图为自己谋求更多的利益, 即任务定价与该任务对会员的吸引力正相关。 +(3) 假设会员同等条件下会员更倾向于接受距离自己更近的任务, 即任务点距会员的距离与该任务对会员的吸引力负相关。 +（4）假设两坐标点之间的距离都可近似为欧氏距离，其换算公式为 $\Delta \approx \sqrt{0.16\left(x_{1} - x_{2}\right)^{2} + 1.2769\left(y_{1} - y_{2}\right)^{2}}$ ，其中 $x_{1},y_{1}$ 分别代表第一点的经纬度， $x_{2},y_{2}$ 分别代表第二点的经纬度。 +（5）假设会员均积极接受任务，即信誉值高、开始预定时间早的会员总是比信誉值低、开始预订时间晚的会员先选择任务。 +(6) 因所给会员信誉值差异过大, 我们在保持原始序关系的前提下, 将会员信誉值控制在 $0.2 \sim 0.8$ 范围内, 其转换关系式为 $\varphi(m_{i}) = 0.067930997 \cdot \log_{10} m_{i} + 0.471723987$ 。 + +# 4.符号约定与说明 + +
n任务点个数
m会员数
Qi任务价格的取值
ni价格为 Qi的任务的数量
Ci价格为 Qi的任务的完成率
Fijj任务 Yi对会员 Xj的吸引力因子
pi任务点 Yi的价格
rijj任务点 Yi与会员 Xj之间的距离
kij任务 Yi对会员 Xj的困难因子
Ci任务的完成率
S总报酬
mi会员的信誉值
λi选择价格 Qi的会员点的数量
πik会员ik完成任务的概率
+ +# 5.问题的解决 + +# 5.1 问题1的模型 + +# 5.1.1 分析任务定价的规律 + +![](images/322d0eaabbbb4f2cc3f721406122ef4830ce7973eea96e3d5aed21169fc08e43.jpg) +图1任务的具体地理分布 + +通过分析附件一中所给出的GPS经纬度，我们可以发现该“拍照赚钱”案例发生的地点为珠三角地区，下面将结合地理经济学的观点和附件一中的具体数据来分析该项目的任务定价规律。 + +从图2我们可以定性地分析该项目的任务定价的规律。 + +第一，任务密度分布是影响任务定价的重要因素，二者呈负相关关系。由附件一数据得到的任务定价的地理分布（图2）和任务密度分布（图3）显示，所在区域任务点密度大的任务定价较低，所在区域任务点密度小的任务定价较高。从会员的角度思考，在其他条件相同的情况下，会员将更倾向于接受任务点稠密的地区的任务，以便同时完成多个任务，获得更大收益。 + +第二，任务定价受任务所在地区会员密度的影响，二者呈负相关关系。由附件一中数据得到的任务定价的地理分布（图2）和会员密度分布（图4）显示，所在区域会员密度大的任务定价较低，所在区域会员密度小的地方定价较高。这是由于在会员密度大的区域，任务有更大可能被接受和完成，而在会员密度较小的区域，必须通过提高任务定价来达到吸引会员来完成的目的。 + +![](images/a31bf008c6b93dfa5bf39b4b18a87363ed6f282a21bfee4e644a8d7e77c79d7f.jpg) +图2 任务定价的地理分布 + +![](images/58f600fbbc5bef7ee81cc63904cbdd233a172e234ae3ac991c9b74a48fe474cd.jpg) +图3任务密度分布 + +![](images/6c0b496b80d392759c8031bf54abb33747a0b392ca63bb72e1fd8d2a49270ee4.jpg) +图4会员密度分布 + +第三，区位因子对任务定价有重要影响。所给任务点主要分布于佛山、广州、东莞、深圳四市，绘制出不同价格段的任务点分布可知，定价为 $65^{\sim}66.5$ 的任务点集中于四市中心（图5)，定价为 $67^{\sim}69$ 的任务点分布于城市外围（图6)，定价为 $70^{\sim}74$ 和 $75^{\sim}85$ 的任务点分布于四市周边城镇（图7)。显然，任务的定价与任务所在地区的经济发展水平是负相关的。 + +![](images/c4503510a4b85ce14da994705048cbf849c35ffff46e733f50533e87073fdc7e.jpg) +图5部分任务点分布情况 + +![](images/c2ff21ad0f94032272bdbb34977a42d22ea7b1df868c936559b2b97844f4e786.jpg) +图6部分任务点分布情况 + +![](images/dca2564b33baec136e60968aff8d5ebd004d56408c14710161be464a7e62ba8a.jpg) +图7部分任务点分布情况 + +# 5.1.2 定价的给出 + +基于我们的分析，一个任务点定价的高低，取决于周边的会员和任务点数量，而“周边”的刻画，本质上就是任务点的小邻域。邻域不同的面积对应着不同的会员和任务点数量，要使其成为一个相对稳定的值，我们不妨定义会员密度 $\rho_{1}$ 和任务点密度 $\rho_{2}$ ，表 + +示单位面积的会员数量和任务点数量。但是，由于会员和任务点位置是一个个离散的点，单取一个邻域对会员密度和任务点密度的影响误差太大。因此，我们采取的方案是让邻域的半径在某一区间内变化，在每一个半径的位置计算一次会员密度和任务点密度，然后取平均值。由于半径的变化精度很高，我们可以近似看成是连续变化。 + +也就是说，我们得到以下公式： + +$$ +\rho_ {1} \left(P, r\right) = \frac {\sharp \left\{\mathrm {会 员} Q : Q \in U _ {r} \left(P\right) \right\}}{\pi r ^ {2}}, \rho_ {2} \left(P, r\right) = \frac {\sharp \left\{\mathrm {任 务 点} Q : Q \in U _ {r} \left(P\right) \right\}}{\pi r ^ {2}}, +$$ + +其中#A表示A中的元素个数。让r变化，算出不同的 $\rho_{1}(P,r),\rho_{2}(P,r)$ ，之后对其取平均值即得到 $\rho_{1}(P),\rho_{2}(P)$ ，分别表示P点的会员密度、任务点密度。 + +下面定性分析定价 $P_{i}$ 与会员密度 $\rho_{1}$ 和任务点密度 $\rho_{2}$ 的相关性。考虑某一个任务点，根据经济学原理，会员密度 $\rho_{1}$ 越高，意味着有更多的会员可以去完成这项任务，价格显然应该下降；而任务点密度 $\rho_{2}$ 越高，意味着该任务点附近还有很多任务可以去完成，价格也应该下降。因此， $P_{i}$ 与 $\rho_{1}$ ， $\rho_{2}$ 均为负相关。 + +设 $P_{i} = G_{i}\left(\rho_{1},\rho_{2}\right)$ .我们可以考虑两个比较简单的方案，用如下公式表示： + +公式I: $P = C\left(\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2}\right)$ , 其中 $C$ 为常数. + +公式Ⅱ： $P = C\left(\frac{1}{\rho_1 + \rho_2}\right)$ ，其中C为常数 + +计算相关系数可得，公式I中得到的 $\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2}$ 的值与给出的定价值相关系数为0.107369，而公式II中得到的 $\frac{1}{\rho_1 + \rho_2}$ 的值与给出定价值相关系数为0.639486。因此，我们可以认为，附件一中的定价方案更加接近公式II。 + +# 5.1.3分析部分任务未完成的原因 + +![](images/d97641f926b1ee1706a58f923bb0aa1d258c91062542c285c9e974b420fac43c.jpg) +图8 任务完成情况及其分布 + +从图8我们可以看出，未完成的任务数量较多且分布较为集中。可以归结为以下四点原因。 + +第一，依据经济发展水平定价的策略不合理。在经济发达区域整体价格偏低，任务对会员的吸引力不足，无法吸引足够多的人去完成，而这些地方又正是任务密集需要吸引大量会员参与的地方，因此导致了广州、深圳市中心等地区任务完成度的偏低。 + +第二，当前定价模型考虑因素较少，通过卫星图可知交通便利程度并未被纳入定价考虑范围内，导致部分任务难度大、价格低，无人接受。 + +第三，任务分配制度的不合理。信誉值较高者多分布于城区，他们的优先选择权使他们趋向于城郊定价更高的任务，而使城区内定价较低任务的完成率偏低。部分信誉较低的人被分配了较多任务却未完成，拉低了完成率。 + +第四，不同地区存在的信息的不对称，导致实际完成情况出现了地区间的明显差异。 + +# 5.2 问题2的模型建立 + +# 5.2.1 吸引力因子的引入 + +我们可以引入“吸引力因子” $F_{ij}$ ，来评判任务点 $Y_{i}$ 对会员 $X_{j}$ 的吸引作用，我们不妨假定，吸引作用越强，会员越有可能去做该任务。 + +吸引力因子决定了会员对任务的选择方式，即任务的分配问题。 + +# 5.2.2 综合分析模型 + +定性判断可知，所定义的吸引力一定是与任务点的定价正相关的，任务点的价格越高，会员自然越希望去完成这个任务。会员的信誉度也和吸引力正相关，从运营方的角度来说，派信誉高的会员去做任务，可以提高完成率。类似分析可以发现，吸引力与会员到任务点的距离应该是负相关的，同样的价格，会员自然希望去做更近的任务。但经过前面的分析，完成度的差异说明，各个地区对任务的完成度有很大差异，我们把这些差异带来的影响统一为一个参数——困难因子，来刻画综合区位因素、经济发展水平、 + +信息不对称导致信息接收不及时等原因造成的客观条件上的吸引力削弱。 + +我们联想到了库伦定律的表达式 + +$$ +F = k \frac {q _ {1} q _ {2}}{r ^ {2}}, +$$ + +可以把任务点类比成负电荷，会员类比成正电荷，它们之间的吸引力因子 $F_{ij}$ 可以用类似的公式给出，但是在这里我们作了一些修改，公式如下： + +$$ +F _ {i j} \triangleq \frac {k _ {i j} p _ {i} \varphi (m _ {j})}{r _ {i j} ^ {\alpha}}, +$$ + +其中 $\alpha$ 为参数， $p_i$ 为任务点 $Y_i$ 的价格， $r_{ij}$ 为任务点 $Y_i$ 与会员 $X_j$ 之间的距离， $k_{ij}$ 即为刚刚定义的困难因子，对于不同的地区， $k_{ij}$ 可以不是常数，其他影响因素都可以吸收到 $k_{ij}$ 中。 + +我们的目标是完成会员与任务的完全匹配。基于这个目标，我们可以给出如下的算法。 + +S1：对所有会员进行预定任务开始时间从早到晚的排序，时间相同者，按照信誉度由高到低排序。 +S2: 开始时间最早的会员中信誉度最高的 $X_{1}$ 首先挑选出对其吸引力因子最大的 $N_{1}$ 个任务, 其中任务个数 $N_{1}$ 不超过会员 $X_{1}$ 预定任务的限额。 +S3: 在所有任务的集合中删除 $N_{1}$ 个已选任务, 避免后面的会员重复选择。 +S4：排序第二的会员 $X_{2}$ 挑选 $N_{2}$ 个任务，其中任务个数 $N_{2}$ 不超过会员 $X_{2}$ 预定任务的限额。 +S5：不断循环往复，直到每个会员都分配到了任务（包括新会员），且任务已经分配完成。 + +# 5.2.3 单位长度期望模型 + +在这个模型中，我们沿用吸引力因子这个概念。 + +另一种直观的想法是，会员选择任务点的标准应该是“拿更多的钱，走更少的路”。也就是说，通过单位距离所能够得到的钱对吸引力因子产生了很大的影响。然而，还有经济水平、区位等因素的存在，我们可以仿照前一个模型，把其他因素都吸收到一个参数 $k_{j}$ 中。 + +我们得到如下公式： + +$$ +F _ {i j} = k _ {j} \frac {\sum_ {k = 1} ^ {N _ {j}} p _ {i _ {k}}}{\left| I _ {j} \right|}, +$$ + +其中 $I_{j}$ 表示从 $X_{j}$ 会员点出发的一条路径，经过 $N_{j}$ 个任务点 $\dot{1}_1,\dot{1}_2,\dots ,\dot{i}_{N_j}$ 。设 $\dot{1} = \left(\dot{1}_1,\dot{1}_2,\dots ,\dot{1}_{N_j}\right)$ 。此时，单位长度会员盈利的期望即为 $\frac{\sum_{k = 1}^{N_j}p_{i_k}}{|I_j|}$ ，其中 $\left|I_j\right|$ 表示路径 $I_{j}$ 的长度， $k_{j}$ 则为此路径的困难程度。 + +关于会员任务分配的机制，我们给出如下算法： + +S1：对所有会员进行预定任务开始时间从早到晚的排序，时间相同者，按照信誉度由高到低排序。 +S2: 开始时间最早的会员中信誉度最高的 $X_{1}$ 首先挑选出对其吸引力因子最大的 $N_{1}$ 个任务, 其中任务个数 $N_{1}$ 不超过会员 $X_{1}$ 预定任务的限额。方案如下: +2a) 该会员以其坐标为基准，遍历 $n$ 个任务点，分别计算每个点对自己的吸引力因子，取吸引力最大的任务点为 $l_{1}$ 路径的第一个点 $i_{1}$ 。 +2b) 以 $i_{1}$ 为基准, 遍历剩下的任务点, 分别计算到每个点的吸引力, 取吸引力最大的点为 $l_{1}$ 路径的下一个备选点 (记为 $i_{0}$ )。 +2c) 若将备选点 $i_0$ 加到 $I_1$ 上后，新的路径的吸引力因子不小于原来路径的吸引力因子，则将备选点加入到路径 $I_1$ 上，返回 2b)。否则终止循环，得到路径 $I_1$ ，设 $I_1$ 上的点为 $i_1, i_2, \ldots, i_{N_1'}$ ，共 $N_1'$ 个点。 +S3：设会员 $X_{1}$ 分配的限额为 $N_{1}^{\prime \prime}$ ， $X_{1}$ 得到使 $F_{i1}$ 最大的 $N_{1}$ 个任务 $i_1, i_2, \ldots, i_{N_1}$ ，其中 $N_{1} = \min \left\{N_{1}^{\prime}, N_{1}^{\prime \prime}\right\}$ 。将这 $N_{1}$ 个任务从剩余任务中删除。 +S4：重复以上操作，给第二个会员分配任务，直至任务分配完成为止。 + +# 5.2.4 模型的评估与反馈 + +为了评估这个算法，我们需要引入一些变量。定义 $p_1, p_2, \ldots, p_n$ 的取值集合为 $\{Q_1, Q_2, \ldots, Q_r\}$ ，其中 $Q_1 < Q_2 < \ldots < Q_r$ 。定义 $C_i$ 为选择了价格为 $Q_i$ 的任务点的所有会员的完成率，可用公式定义为 + +$$ +C _ {i} \triangleq \frac {\sum_ {k = 1} ^ {\lambda_ {i}} \eta_ {i _ {k}}}{\lambda_ {i}} \times 100 \%, +$$ + +其中 $\lambda_{i}$ 为选择价格 $Q_{i}$ 的会员点数量， $i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{\lambda_{i}}$ 即为选择 $Q_{i}$ 的会员编号， $\eta_{i_{k}}$ 表示会员 $i_{k}$ 的完成概率，其值由会员 $i_{k}$ 的信誉 $m_{i_{k}}$ 确定。我们用如下公式定义 $\eta_{i}$ ： + +$$ +\eta_ {i} \triangleq \frac {\varphi \left(m _ {i}\right)}{\max _ {i} \varphi \left(m _ {i}\right)} \times 100 \% +$$ + +对于每一个定价方案 $\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)$ ，我们的算法能够给出一个对各个价格取值的任务完成率的组合 $\left(C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{r}\right)$ ，这相当于一个从所有定价方案组成的集合 P 到所有价格取值的任务完成率组合组成的集合 C 的一个映射，即 + +$$ +f: P \to C, (p _ {1}, p _ {2}, \ldots , p _ {n}) \mapsto (C _ {1}, C _ {2}, \ldots , C _ {r}). +$$ + +定义 $n_i$ 为价格为 $Q_{i}$ 的任务的数量，这里 $i = 1,2,\dots ,r$ 。自然我们可以用每个价格取值完成率的加权平均定义总完成率C，即 + +$$ +C \triangleq \frac {\sum_ {j = 1} ^ {r} n _ {i} C _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {r} n _ {i}}. +$$ + +我们设商家的总报酬为常数S。通过以上的定义，我们可以求出会员的总盈利 $S_{1}$ 和平台的总收益 $S_{2}$ ，这里 + +$$ +S _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {r} Q _ {i} n _ {i} C _ {i}, S _ {2} = S - \sum_ {i = 1} ^ {r} Q _ {i} n _ {i}. +$$ + +下面阐述我们的评估机制。我们的评价指标包含以下四个方面： + +1. 总完成率 C。总完成率越高，对应着会员的收益越多，同时，运营商也能更好地完成商家的任务，形成“双赢”的局面。反之，造成的就是“双亏”。 +2. C-Q折线图。对于每一种价格，任务的完成率都不应该过低，这一指标可以用C-Q折线图的稳定性来判断，如图9所示。 + +![](images/af017ce0c9d03a198f5db2c5b4b28efee9957ba21da2be4db1649c6855b92867.jpg) +图9 附件一中价格的 C-Q 折线图（纵坐标为 C，横坐标为 Q） + +3. 会员的总盈利 $S_{1}$ 和平台的总收益 $S_{2}$ 。显然, 这是非常重要的。但是, 根据上述公式, 在任务点价格确定的基础上, $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的关系主要取决于任务的完成率 $C_{i}$ 。 +4. 模拟验证新模型优于原模型。验证方法如下：设原来的定价方案为 $\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)$ ，且 $f\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right) = \left(C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{r}\right)$ 。构造新的一组定价方案 $\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}\right)$ ，满足 $p_{i}^{\prime} \leq p_{i}, i = 1, n$ ，设 $f\left(p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}\right) = \left(C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, \ldots, C_{r}^{\prime}\right)$ ，模拟之后有 $C_{i}^{\prime} \geq C_{i}, i = 1, 2, \ldots, r$ ，则可以说明新模型优于原模型。 + +我们还引入了一些反馈机制，主要包括会员的评价机制和任务的评价机制。会员评价机制方面，需要考虑会员的信誉、预定的开始时间、预定任务的变化；任务评价机制则包括商家与运营方的议价，即考虑价格的增减。 + +# 5.3 问题3的模型 + +# 5.3.1 想法的来源 + +将一些任务联合在一起发布，相当于经济学中的“搭售”。多个集中任务进行搭售，有利于提升完成率，降低平台成本，双方共赢。 + +对于任务点 $i$ ，我们考虑其周围的一个 $\delta$ 邻域 $U_{\delta}(i)$ （为了考虑这个邻域，我们定义度量 $d(i, j)$ 就表示第 $i$ 个任务点和第 $j$ 个任务点之间的距离）。可以把这个邻域内的任务放在一起搭售，定价为 $P_{i}$ 。 + +# 5.3.2 搭售过程中定价的估计 + +我们很容易得到 $P_{i}$ 的取值范围。我们知道搭售存在着一个价格关系，即搭售后的价格大于每一个元素单独的价格，而小于每个元素价格的总和。也就是说， + +$$ +p _ {k} < P _ {i} < \sum_ {k \in U _ {\delta} (i)} p _ {k}, \forall k \in U _ {\delta} (i). +$$ + +要使搭售更加受会员推崇，那就是要求搭售对会员的吸引力因子比单个的吸引力因子要高，即 + +$$ +F _ {U _ {\delta} (i) j} > F _ {i j} +$$ + +恒成立。将定义式代入可得 + +$$ +\frac {k _ {i j} P _ {i} \varphi (m _ {j})}{\max _ {k \in U _ {\delta} (i)} \left\{r _ {k j} ^ {\alpha} \right\}} > \frac {k _ {i j} p _ {i} \varphi (m _ {j})}{r _ {i j} ^ {\alpha}}, +$$ + +由于 $k \in U_{\delta}(\dot{\boldsymbol{i}})$ , 由三角不等式可得 + +$$ +r _ {k j} \leq r _ {k i} + r _ {i j} < \delta + r _ {i j}. +$$ + +因此， + +$$ +\frac {P _ {i}}{\left(r _ {i j} + \delta\right) ^ {\alpha}} > \frac {p _ {i}}{r _ {i j} ^ {\alpha}}, +$$ + +即 + +$$ +P _ {i} > p _ {i} \frac {\left(r _ {i j} + \delta\right) ^ {\alpha}}{r _ {i j} ^ {\alpha}}. +$$ + +综合可得， + +$$ +p _ {i} \frac {\left(r _ {i j} + \delta\right) ^ {\alpha}}{r _ {i j} ^ {\alpha}} < P _ {i} < \sum_ {k \in U _ {\delta} (i)} p _ {k}. +$$ + +# 5.3.3 基于综合分析模型的搭售 + +和问题 2 中类似地, 我们可以定义 + +$$ +F _ {U _ {\delta} (i) j} \triangleq \frac {k _ {i j} P _ {i} \varphi (m _ {j})}{\max _ {k \in U _ {\delta} (i)} \left\{r _ {k j} \right\} ^ {\alpha}}. +$$ + +取 $\delta$ 很小, 那么这个小邻域的困难程度基本相同, 我们就可以近似用 $k_{ij}$ 来计算。而所需要走的距离可近似认为是小邻域内最远的点的距离, 即 $\max_{k \in U_{\delta}(i)} \left\{r_k\right\}$ 。 + +# 5.3.4 基于单位长度期望模型的搭售 + +在这里，我们用另一种方式定义 $F_{U_{\delta}(i)j}$ . 令 + +$$ +F _ {U _ {\delta} (i) j} \triangleq \frac {k _ {i j} P _ {i}}{r _ {i j} + \varepsilon_ {i}}, +$$ + +其中 $k_{i j}, P_{i}, r_{i j}$ 的定义和前文中提到的完全相同, $\varepsilon_{i}$ 为走遍 $U_{\delta} (i)$ 中所有的任务点所需的最短路径长度。关于 $\varepsilon_{i}$ 的求解, 可以使用哈密顿图算法。 + +# 5.3.5 算法模拟 + +运用聚类分析的方法，我们先在平面上随机取出若干个点作为圆心，然后考虑这些点的δ邻域。通过框入那些δ邻域内的点，可以将任务点整合成一个个小包，把那些邻域中的任务点当成一个任务点处理。然后再利用综合分析模型中的算法进行任务的分配，这样不仅更加有利于任务的分配，且有利于整体完成率和平台利润率的提升。 + +我们对这种方案用综合分析模型中的算法进行了模拟，但是通过模拟后对总完成率C的计算，我们发现，任务的联合发布对总完成率几乎没有影响。但是，这种影响会体现在 $S_{1}, S_{2}$ 上，由于联合发布任务的价格会低于单独发布每个任务的价格之和，因此， + +公司方面的成本降低，盈利增加，而会员拿到的总收入会减少。 + +# 5.4 问题 4 的模拟 + +# 5.4.1 综述 + +针对附件三中的新项目，我们可以发现其地理坐标与附件一类似，我们可以直接套用第三问中我们为附件一建立的基于搭售原理的新模型，给出一个定价方案I。同时我们也可以套用我们猜想的原模型的定价方案，给出一个定价方案II。我们分别利用我们的评估模型去评估这两套定价方案的完成率，我们可以看出我们新建立的定价方案I的完成率确实高于定价方案II的完成率。 + +我们进行了程序模拟。由于时间有限，我们只使用了综合分析模型，而没有考虑单位长度期望模型。 + +# 5.4.2 程序模拟的想法 + +首先，我们通过之前给出的两个定价方案，结合新项目的任务点位置和会员位置，给出了每个任务的定价。在这一过程中，为了定价的合理性（包括区间、有效数字位数等），我们对定价进行了一些微调。这样的微调之后，为了方便起见，我们模拟过程中的 $k_{ij}$ 当作常数处理。 + +在模拟的过程中，我们先根据会员的申请时间和信誉值高低进行排序，然后依次对每个会员，计算出了每一个任务点对他的吸引力因子，这样之后，会员会从剩下的任务中挑选出对自己吸引力最大的一些任务，个数则由会员的任务限额确定。重复这一操作直到任务分配结束，这就完成了任务的挑选与分配的过程。 + +基于任务的分配方案，我们通过之前的评估模型，来计算任务的完成率组合 $\left(C_{1},C_{2},\ldots ,C_{r}\right)$ 以及总完成率C。分配方案的确定，也就定下来了后面的所有参数，进而评估的指标就可以由公式算出。 + +# 5.4.3 程序模拟的结果 + +通过计算 $P_{i}$ 的两个公式，我们将所得的 $P_{i}$ 代入模型中进行模拟，得到运用公式 I 时， + +所得的总完成率为 0.0462891645826264，完成率 $C_{i}$ 关于价格 $Q_{i}$ 的关系如图 10(a)；而 + +运用公式II时，所得的总完成率为0.0463716822403144，完成率 $C_i$ 关于价格 $Q_{i}$ 的关系如图10(b)。两者的完成率波动都比较大，但是整体上，公式II的完成率高于公式I。由于这里任务点比较多，完成率一定远小于附件一数据中的完成率，把这里的总完成率和附件一相比没有意义。因此，在这一模型中，公式II更优一些。 + +![](images/f14d9ba6c3a693b7a92d9140a39915d5e9333e073d14f4e593ed2740e840f934.jpg) +(a) + +![](images/33ce19f91c3e6d23f5706d129a0483624a95c67961c99ffcbe6bfc17a3ac93b0.jpg) +(b) +图10公式I与公式II所得数据的C-Q折线图（纵坐标为C，横坐标为Q）因此，在这一模型中，公式II更优一些。 + +# 6. 模型的应用及推广 + +定价问题是经济学中的一个核心问题，本文围绕任务“拍照赚钱”这个问题深入探讨了如何在实际情况中给离散任务定价，构造出了综合分析模型和单位长度期望模型以及基于搭售原理的定价模型，这几个模型可以有效地应用于嘀嘀打车等实际的任务定价问题中。除此之外，本文应用了多因子综合分析的方法，因此可以适用于现实环境中的各种复杂环境，并可以取得良好的效果。 + +# 参考文献 + +[1] 胡俊航, . 混合搭售中定价的一种数学方法[J]. 平顶山工学院学报, 2009, (2). +[2]赵兴龙．基于K-means-遗传算法的众包配送网络优化研究[D].北京交通大学：北京交通大学，2017. +[3]孙信昕．众包环境下的任务分配技术研究[D].扬州大学：扬州大学，2017. +[4]韩雅雯．kmeans聚类算法的改进及其在信息检索系统中的应用[D].云南大学：云南大学，2017. + +附录： + +程序1（算任务密度、会员密度等）： + +include +#include +#include +#include +using namespace std; +int i,j,t, distn[837], num[837]; +double +x[837], y[837], a[1879], b[1879], dist[837], c, d[837][1879], p[837], r, sum[837]; +int main() +{ freopen("data.txt","r",stdin); freopen("最短距离2.out","w",stdout); for(i=1;i<=835;i++) scanf("%lf%lf%d%lf",&x[i]&y[i]&t,&p[i]); for(i=1;i<=1877;i++) scanf("%lf%lf%d",&a[i]&b[i]&t); for(i=1;i<=835;i++) { sum[i]=0; } +for(r=0.01;r<0.06;r+=0.00001) +{ for(i=1;i<=835;i++) { num[i]=0; dist[i]=100; for(j=1;j<=1877;j++) { d[i][j]=sqrt(0.16*(x[i]-a[j])*(x[i]-a[j])+1.2769*(y[i]-b[j])*(y[i]-b[j])}; // c=acos(cos(x[i])*cos(a[j])*cos(y[i]-b[j])-sin(x[i])*sin(a[j]); if(d[i][j] $\mathrm{num}[i]++$ ） { sum[i]+=double)num[i]/(r*r); + +} +} for $(i = 1;i < = 835;i + + )$ { printf("%d%.101f%d%d%.161f%.16f%.161f%.11f%.161f ",i, dist[i], num[i], distn[i], x[i], y[i], a[distn[i]], b[distn[i]], p[i], (dou ble)sum[i]/5000); if(y[i]<113.5)printf("1\n"); else printf("2\n"); } double ave $= 0$ . for $(\mathrm{i} = 1;\mathrm{i} < = 835;\mathrm{i} + + )$ ave $+ =$ dist[i]; ave $= 835$ printf("%lf\n", ave); return 0; + +程序2（问题4模拟）： +include +#include +#include +#include +define NNN 2066 +using namespace std; +struct huiyuan { int num, lim, hour, minu; double a, b, bel; } info[1879], temphuiyuan; +struct renwu { double x, y, price; int cpt; } loca[4000]; int i, j, k, sec, foo[4000], maxi, qq[4000], sum, tempp; double f[4000][1879], r[4000][1879], ita[4000], fz, fm, maxx, q[4000], temp, lamda[4000], c [4000]; bool flag, hash[4000][4000]; int main() { freopen("data2.txt","r", stdin); freopen("output2.txt","w", stdout); for (i = 1; i <= 1877; i++) { scanf("%d%lf%lf%d%d%d%lf", &info[i].num, &info[i].a, &info[i].b, &info[i] .lim, &info[i].hour, &info[i].minu, &sec, &info[i].bel); info[i].bel=0.067930997*log(info[i].bel)+0.471723987; } for $(\mathrm{i} = 1;\mathrm{i} < = 1877;\mathrm{i} + + )$ for $(\mathrm{j} = \mathrm{i} + 1;\mathrm{j} < = 1877;\mathrm{j} + + )$ { if((info[i].hour>info[j].hour) || ((info[i].hour==info[j].hour)&&((info[i] .minu>info[j].minu)) || ((info[i].hour==info[j].hour)&&((info[i].minu==info[j] .minu)&&((info[i].belmaxx)&& (boo[k]) +{ +maxx=f[k][i]; +maxi=k; +} +} +boo[maxi]=i; +} +flag=true; +for(j=1;j<=NNN;j++) +``` + +if boo[j]！ $= 0$ )flag=false; if（flag）break; +} +maxx=0; +for(i=1;i<=NNN;i++) maxx=max(maxx.info[i].bel); +for(i=1;i<=NNN;i++) ita[i]=(double)info[i].bel/maxx; +sum=0; +for(i=1;i<=NNN;i++) { flag=false; for(j=1;j<=sum;j++) { if(local[a].price==q[j]) { qq[j]++; flag=true; } } if(!flag) { sum++; q[sum]=local[i].price; qq[sum]=1; } } +for(i=1;i<=sum;i++) for(j=i+1;j<=sum;j++) { if(q[i]>q[j]) { temp=q[i]; q[i]=q[j]; q[j]=temp; tempp=qq[i]; qq[i]=qq[j]; qq[j]=tempp; } } + +for $(i = 1;i < = 1877;i + + )$ for $(j = 1;j < = \text{sum};j + + )$ hash[i][j]=false; +for(i=1;i<=NNN;i++) { for(j=1;j<=sum;j++) if(q[j] ==local[i].price) { k=j;break; } hash[i][k]=true; +} +for $(\mathrm{k} = 1;\mathrm{k}\leqslant = \mathrm{sum};\mathrm{k} + + )$ { lamda[k]=0; for $(i = 1;i < = \mathrm{NNN};i + + )$ ifHash[i][k])lamda[k]++; +} +for $(i = 1;i < = \mathrm{sum};i + + )$ { c[i]=0; for $(j = 1;j < = \mathrm{NNN};j + + )$ if(local[j].price==q[i])c[i]+=ita[j]; c[i]=(double)c[i]/lamda[i]; +} +for $(i = 1;i < = \mathrm{sum};i + + )$ printf("%.3lf%.16lf\n",q[i],c[i]); +fz=0;fm=0; +for $(i = 1;i < = \mathrm{sum};i + + )$ { fz+=qq[i]*c[i]; fm+=qq[i]; +} printf("%.16lf\n", (double)fz/fm); return 0; + +程序3（问题3模拟）： +include +#include +#include +#include +define NNN 835 +using namespace std; +struct huiyuan { int num, lim, hour, minu; double a, b, bel; } info[1879], temphuiyuan; +struct renwu { double x, y, price; int cpt; } loca[4000]; int i, j, k, sec, boo[4000], maxi, qq[4000], sum, temp, number[4000], circle[4000]; double f[4000][1879], r[4000][1879], ita[4000], fz, fm, maxx, q[4000], temp, lamda[4000], c [4000], delta, centerx[4000], centery[4000], sup[4000], inf[4000]; bool flag, hash[4000][4000]; int main() { freopen("datao.txt","r", stdin); for $(\mathrm{i} = 1;\mathrm{i} < = 1877;\mathrm{i} + + )$ { scanf("%d%lf%lf%d%d%d%lf",&info[i].num,&info[i].a,&info[i].b,&info[i] .lim,&info[i].hour,&info[i].minu,&sec,&info[i].bel); info[i].bel=0.0679302777\*log(info[i].bel)+0.471723987; } for $(\mathrm{i} = 1;\mathrm{i} < = 1877;\mathrm{i} + + )$ for $(\mathrm{j} = \mathrm{i} + 1;\mathrm{j} < = 1877;\mathrm{j} + + )$ { if((info[i].hour>info[j].hour)||((info[i].hour==info[j].hour)&&((info[i] .minu>info[j].minu))||((info[i].hour==info[j].hour)&&((info[i].minu==info[j] .minu)&&((info[i].bel { circle[i]=j;number[j]++; sup[j]=loca[i].price; inf[j]=maxInf[j],loca[i].price); loca[i].price=0; break; 1 } +} +for(i=1;i<=100;i++) if(number[i]>0) { loca[NNN+i].price=max((number[i]-1)*sup[i]/number[i],inf[i]); loca[NNN+i].x=centerx[i]; loca[NNN+i].y=centery[i]; } +for(i=1;i<=NNN+100;i++) for(j=1;j<=1877;j++) +``` + +r[i][j] $\equiv$ (double)sqrt(0.16*(loca[i].x-info[j].a)*(loca[i].x-info[j].a)+1 +.2769\* (loca[i].y-info[j].b)*(loca[i].y-info[j].b)); f[i][j] $\equiv$ (double) (loca[i].price\*info[j].bel)/(r[i][j]\*r[i][j]); } for(j=1;j<=NNN+100;j++) boo[j]=0; for(i=1;i<=1877;i++) { for(j=1;j<=info[i].lim;j++) { maxx=0; for(k=1;k<=NNN+100;k++) { if((f[k][i]>maxx)&& (boo[k]>=0)) { maxx=f[k][i]; maxi=k; } } boo[maxi]=i; } flag=true; for(j=1;j<=NNN+100;j++) if(boo[j]!=0)flag=false; ifFlag)break; } maxx=0; for(i=1;i<=NNN+100;i++) maxx=max(maxx.info[i].bel); for(i=1;i<=NNN+100;i++) ita[i]=(double)info[i].bel/maxx; sum=0; for(i=1;i<=NNN+100;i++) { flag=false; for(j=1;j<=sum;j++) { if(loca[i].price==q[j]) + +{ qq[j]++; flag=true; } } if(!flag) { sum++; q[sum]=loca[i].price; qq[sum]=1; } } for $(i = 1;i < =$ sum;i++) for $(j = i + 1;j < =$ sum;j++) { if(q[i]>q[j]) { temp=q[i]; q[i]=q[j]; q[j]=temp; tempp=qq[i]; qq[i]=qq[j]; qq[j]=tempp; } } for $(i = 1;i < = 1877;i + + )$ for $(j = 1;j < =$ sum;j++) hash[i][j]=false; for $(i = 1;i < =$ NNN+100;i++) { for $(j = 1;j < =$ sum;j++) if(q[j] == loca[i].price) { k=j; break; } hash[i][k]=true; } for $(k = 1;k < =$ sum;k++) { lambda[k]=0; + +for $(i = 1;i < =$ NNN $+100$ .i++) if hash[i][k] lamda[k] $^{+ + }$ .. +} +for $(\mathrm{i} = 1;\mathrm{i}\leqslant = \mathrm{sum};\mathrm{i} + + )$ { c[i]=0; for $(j = 1;j < =$ NNN $+100$ .j++) if(localc[j].price $= = q[i])c[i] + = ita[j];$ c[i] $\equiv$ (double)c[i]/lamda[i]; +} +for $(i = 1;i < =$ sum;i++) printf("%.16lf\n",c[i]); +fz=0;fm=0; +for $(i = 1;i < =$ sum;i++) { fz+=qq[i]*c[i]; fm $+ =$ qq[i]; } printf("%.16lf\n",(double)fz/fm); return 0; +} \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/B353/B353.md b/MCM_CN/2017/B353/B353.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c683484c96b88fb4d2f1da02f511d95c41a6f7c --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/B353/B353.md @@ -0,0 +1,980 @@ +# 考虑时空效率的任务匹配定价模型与算法 + +# 摘要 + +本文运用FCM聚类方法和多阶段轮盘赌算法，解决了“拍照赚钱”APP平台日常业务中不同任务和会员分布条件下的任务定价问题。 + +对于问题一，首先将平台数据导入MapInfo Pro15.0软件，观察得出平台定价以城市中心区为重心，以距离大小向周围辐射梯度递增的规律。建立FCM地理中心聚类模型，确定了6个定价中心；建立中心梯度线性定价模型并通过一元线性回归分别得到6个城市的定价模型参数。 + +对于问题二，从会员客户关系定价的时间、空间和效率三维影响因素着手，首先对会员信誉度进行分级，并对各任务整合时空高效和时空可抵两类距离构建了备选会员集，建立了时空效率定价模型和任务匹配规划模型；考虑任务预订开始时间和任务配额等约束，设计二维多阶段轮盘赌多项式时间算法，运用Matlab2015b编程求解模型，结果说明提出的时空效率定价模型较原定价方案优化完成了 $20.2\%$ 的未完成任务。 + +对于问题三，考虑区域任务打包策略，构建了供需平衡模型，获得最优打包任务数规模为3；并以打包规模区间[2,5]为参数，构建了会员信誉等级定价模型，增大具有高信誉度的会员获得打包任务的概率；求解结果较不打包模式下成功完成的任务规模优化了 $6.5\%$ 的比例。 + +对于问题四，首先将新项目数据导入MapInfo Pro15.0软件，观察得任务匹配具有“供大于求，高聚集态”等特征，构建了歧视激励定价模型；通过提升定价激励高信誉度会员高质量选择并完成任务，通过歧视定价为低信誉度会员设置保留价格和准入门槛；将新项目通过会员信誉等级定价和提出的歧视激励定价模型分别求解，求得 $34.7\%$ 和 $46.9\%$ 的完成率，验证了歧视激励定价的有效性。 + +本文通过查阅、引用、自主推导、编程模拟等多种方式，深入分析了“拍照赚钱”APP平台定价机制，并取得一定程度的优化效果，具备相应参考借鉴价值。 + +关键字：FCM聚类；中心梯度定价；时空效率定价；匹配；多阶段轮盘赌算法 + +# 第1章 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +目前，基于移动互联网的自助式劳务众包平台已经成为一种调查数据的新方式，这种模式大大节省了调查成本，保证了调查数据的真实性，缩短了调查的周期。例如：“拍照赚钱”的运营模式就是会员从APP上领取需要拍照的任务，赚取APP对任务所标定的酬金。在这种模式中，APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其最为关键的要素。 + +# 1.2 问题提出 + +1. 研究“拍照赚钱”APP一个已结束项目的任务数据，包括每个任务的位置、定价和完成情况，来分析“拍照”APP的任务定价规律和任务未完成的原因。 +2. 设计一种新的定价方案，通过对已结束项目数据的仿真运算，与原定价方案进行对比。 +3. 考虑多个任务可能因为位置比较集中的情况，提出将这些任务联合在一起打包发布的方法。在这种考虑下修改问题二的定价方案，并对其结果进行分析评价。 +4. 结合附件三中给出的新项目，给出一种新方案，并检验其实施效果。 + +# 第2章 模型假设及符号说明 + +# 2.1 模型假设 + +1. 假设任务的定价在匹配过程中始终不变。 +2. 假设每个任务被匹配后仅有“成功执行”和“未执行”两种状态，任务匹配后因“未执行”不再重新返回平台进行再匹配。 +3. 假设会员选择任务时，不受外界因素干扰，只受其信誉度、开始预订时间和配额确定的选择概率影响。 + +# 2.2符号说明 + +
序号符号符号说明
1xi数据集，i=1,2,...,n
2uijU中的元素，uj∈(0,1)
3ci模糊组I聚类中心，i=1,2,...,c
4JFCM的价值函数
5dij第I个聚类中心与第j个数据点间的欧几里德距离dij=|ci-xj|
6m加权指数，m∈[1,∞)
7λj是∑i=1cuij=1, ∀j=1,...,n式的n个约束式的拉格朗日乘子
1A任务集合，任务j包含任务编号aj、地理位置经纬度坐标(x^A_j,y^A_j)和任务定价P_j，j=1,2,...,|A|
2B会员集合，会员i包含会员编号bj、经纬度坐标(x^B_i,y^B_i)、任务配额c^B_i和任务预订开始时间ti^B_i和信誉度qi^B_i，i=1,2,...,|B|
3Gj任务j的备选会员集，G^up_j为可抵备选集，G^low_j为高效备选集
4C聚类中心集合，聚类中心编号为p，p=1,2,3,...,|C|
5z_ij0-1变量，当任务j被会员i执行时取值为1，否则为0
6Fj任务j被匹配的会员编号，Fj∈{bi}，j=1,2,3,...,|A|
7Ppj聚类中心p内任务j的定价，p=1,2,3,...,|C|，j=1,2,3,...,|A|
8Po_j附件1中任务j在APP中的初始定价，j=1,2,3,...,|A|
9K_p聚类中心p的经济发展系数，p=1,2,3,...,|C|
10D_ij会员i与任务j间的欧氏距离，D_ij=√(x^B_i-x^A_j)^2+(y^B_i-y^A_j)^2
11r1(j)任务j的时空高效距离，H1为其会员信息系数，j=1,2,3,...,|A|
12r2(j)任务j的时空可抵距离，H2为其会员信息系数，j=1,2,3,...,|A|
13T(m)批次m的匹配开始时间，T为时间的升序序列，m=1,2,3,...,|T|
+ +# 第3章 模型的建立与求解 + +# 3.1 问题一模型的建立及求解 + +# 3.1.1 问题分析 + +问题一要求有效处理附件1中的相关数据，找出APP平台现有定价规律。 + +为使数据更直观，需将附件1中任务地理特征在MapInfoPro15.0中进行处理，以根据各任务经 + +纬度生成具体坐标点位属性，绘制专题统计图后，观察定价和任务执行情况的空间地理分布特征。 + +![](images/f4967a8511f187a7df89888ee3aa575e0cbdceaba8ee45b34bb2a141fe09561d.jpg) +图3.1 任务价格空间分布 + +![](images/598f4b125e000b60555d2b1735862896a6663658edcaeed1a44d4ac958be910b.jpg) +图3.2任务完成情况空间分布 + +分析图3.1可知，市中心附近价格项目定价主要集中在（65-67.5）区间；在城市非中心地带和城乡地区，项目定价以（67.5-72.5）为主；而高价区（>72.5）主要分布在距离城市较远的地区。分析图3.2可知，未完成任务大多分布于城区。综上所述，我们可以推测APP平台的原始定价规律如下： + +（1）定价高低与任务位置到市中心的距离有关，并随距离的增加发生一定梯度的变化。 +(2)未完成任务集中于市中心并与中低价区高度重合，推测其未完成可能与会员行为选择有关。 + +为将上述定价规律进行数学量化，可通过FCM聚类法针对空间任务聚集特性进行定价中心坐标求解，并按照其周围任务距离分布和定价值进行线性拟合，获得地理中心梯度定价数学模型。 + +# 3.1.2 FCM 地理中心聚类模型 + +首先，对本问题的项目位点进行聚类，需要考虑以下两个方面：1.坐标位点没有明确的类别标记，其界限并不分明；2.对整个地图范围内项目位点进行聚类以求得最优解。因此，我们采用模糊聚类中的模糊C-均值（FCM）进行聚类，相比于传统聚类方法只能在局部最好最优解，该方法能够通过极小化目标函数求得全局最优解。 + +聚类就是按照某个特定标准，如距离准则，把一个数据集分割成不同的类或簇，使得同一个簇内的数据对象的相似性尽可能大，同时不在同一个簇中的数据对象的差异性也尽可能地大。目前，主要的聚类算法可以硬聚类和模糊聚类两种。其中在硬聚类方法：如划分方法、层次方法等，每一个数据只能被归为一类。而模糊聚类通过隶属函数来确定每个数据隶属于各个簇的程度，而不是将一个数据对象硬性地归类到某一簇中。相比于前面的"硬聚类"，模糊聚类算法计算每个样本对所有类的隶属度，能够将一个没有类别标记的样本按照某种规则划分成若干个子集，使相似样本尽可能归为一类。 + +在本题中，由于没有给出明确的分类指标，所以我们采用模糊聚类法中的FCM地理中心聚类模型，其一般化形式为： + +$$ +J \left(U, c _ {1},..., c _ {c}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {c} J _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {c} \sum_ {j} ^ {n} u _ {i j} ^ {m} d _ {i j} ^ {2} \tag {3.1} +$$ + +这里 $u_{ij}$ 介于0，1间； $c_{i}$ 为模糊组I的聚类中心， $d_{ij} = \left\| c_i - x_j\right\|$ 为第I个聚类中心与第 $j$ 个数据点间的欧几里得距离；且 $m\in [1,\infty)$ 是一个加权指数。 + +构造如下新的目标函数，可求得使（3.1）式达到最小值的必要条件： + +$$ +\begin{array}{l} \bar {J} \left(U, c _ {1}, \dots , c _ {c}, \lambda_ {1}, \dots , \lambda_ {n}\right) = J \left(U, c _ {1}, \dots , c _ {c}\right) + \sum_ {j = 1} ^ {n} \lambda_ {j} \left(\sum_ {i = 1} ^ {c} u _ {i j} - 1\right) \tag {3.2} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {c} \sum_ {j} ^ {n} u _ {i j} ^ {m} d _ {i j} ^ {2} + \sum_ {j = 1} ^ {n} \lambda_ {j} \left(\sum_ {i = 1} ^ {c} u _ {i j} - 1\right) \\ \end{array} +$$ + +# 3.1.3 地理中心梯度定价数学模型 + +采用一次线性拟合，将二维平面内的点拟合在一条直线上，其公式为： + +$$ +f (x) = a x + b \tag {3.3} +$$ + +# 3.1.4 FCM 地理中心聚类模型的求解 + +# 1.聚类中心数确定 + +通过附件一所给的任务经纬度坐标数据来看，任务热点区域与人们聚集密度有很大关系，即人口密度大的地方往往任务分布较为集中。因此，城市中心附近任务聚集度较高，从图中反映从西到东依次为佛山市、广州市、番禺区、东苑市、深圳市宝安区和龙华区。由此，我们确定聚类中心数c为6。 + +# 2.FCM聚类 + +通过调用MATLAB函数中[center,U,obj_fcn] = FCM(data,cluster_n,options)语句。其中data为附件一中各项目坐标经纬度数据，cluster_n为聚类中心心数，这里把它设为6。Options中，隶属度矩阵U的指数设为3.0；最大迭代次数设为50次，迭代待终止条件为隶属度最小变化量小于1e-5。聚类结果如下图3.3所示： + +![](images/d04326dbfa8778fd08d467a2dfaffd23bf087a0026623d9769de8382234810fe.jpg) +图3.3 FCM聚类位点图 + +# 3.聚类有效性分析 + +为了验证上述聚类数的合理性，保证算法得到有效的分类结果，我们对在6个聚类中心情况下的FCM算法进行算法有效性分析。 + +聚类有效性分析标准有两种：一是外部标准，通过测量聚类结果和参考标准的一致性来评价聚类结果的优良；另一种是内部指标，用于评价同一聚类算法在不同聚类数条件下聚类结果的优良程度，通常用来确定数据集的最佳聚类数。我们采用内部指标汇中的Calinski-Harabasz(CH)指标，Davies-Bouldin(DB)指标进行有效应分析。 + +# (1) CH指标 + +CH指标通过类内离差矩阵描述紧密度，类间离差矩阵描述分离度，指标定义为 + +$$ +C H (k) = \frac {t r B (k) / (k - 1)}{t r W (k) / (n - k)} \tag {3.4} +$$ + +其中， $n$ 表示聚类的数目， $k$ 表示当前的类， $trB(k)$ 表示类间离差矩阵的迹， $trW(k)$ 表示类内离差矩阵的迹。 $CH$ 越大代表着类自身越紧密，类与类之间越分散，即更优的聚类结果。 + +# (2) DB指标 + +DB指标通过描述样本的类内散度与各聚类中心的间距，定义为 + +$$ +D B (k) = \frac {1}{K} \sum_ {i = 1} ^ {K} \max _ {j = 1 \sim k, j = i} \left(\frac {W _ {i} + W _ {j}}{C _ {i j}}\right) \tag {3.5} +$$ + +其中， $K$ 是聚类数目， $W_{i}$ 表示类 $C_i$ 中的所有样本到其聚类中心的平均距离， $W_{j}$ 表示类 $C_i$ 中的所有样本到类 $C_j$ 中心的平均距离， $C_{ij}$ 表示类 $C_i$ 和 $C_j$ 中心之间的距离。可以看出，DB越小表示类与类之间的相似度越低，从而对应越佳的聚类结果。 + +通过对本题FCM算法的有效性检验，得到 $\mathrm{CH} = 0.863, \mathrm{DB} = 124.1$ 。聚类有效性分析结果较好，中心数为6的聚类分类有效。 + +# 4.结果分析 + +通过FCM聚类模型，我们对项目经纬坐标进行有效聚类，并形成聚类中心数为6的集群分布。从聚类中心地理坐标看，六个聚类中心分别位于佛山市、广州市、番禺区、东莞市、深圳市宝安区和龙华区。与之前我们之前的判断结果一致。 + +为了更好的描述项目定价标准和项目距离聚类中心点之间的关系，排除不必要的干扰。我们对同一类别下不同定价标准的位点进行期望处理： + +$$ +E X = \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} p _ {i} \tag {3.6} +$$ + +这里， $x_{i}$ 为位点距离聚类中心的距离。 $p_{i}$ 为 $1 / n$ 。 + +以距离期望为横坐标，定价为纵坐标进行一元线性回归，得到距离与价格的关系如下图所示： + +![](images/69bb01c0722780e2a72d3f925c02b6789e5278bbda30553368615d17ba7886a6.jpg) +(a) 佛山市 + +![](images/677bb2d62aacaa8133affd3c13065f75554803b1ced0732226f3db4e26d27524.jpg) +（b）广州市 + +![](images/2cbeecde7a9dc9f653fd7f32c391457b3dd788821b17521ca8fb65b016d2bb97.jpg) +（c）番禺区 + +![](images/fac54928bb583b8c3b6f805ef8199c6f2547fd4dbad35db7011142ca3d96704e.jpg) +（d）东莞市 + +![](images/c4895ee103508ea9b7c5edc067df398c75ceb3926459e970da73eca8092a2d76.jpg) +（e）宝安区 + +![](images/9fee2a40281738f88866a832cadf32c43f7bf81417ea49fcd74af294265f3cba.jpg) +(f) 龙华区 +图3.4六个聚类中心距离和价格的一次线性回归 + +从 MATLAB 运行的结果图中可以看出，定价标准与任务位置到中心点的距离呈一次线性关系： + +(1) 以佛山市为中心的聚类, 距离 $x$ 与定价 $f(x)$ 的关系为: $f(x) = 81.6685 x + 62.6549$ ; +(2) 以广州市为中心的聚类, 距离 $x$ 与定价 $f(x)$ 的关系为: $f(x) = 66.4035 x + 60.1377$ ; +(3) 以番禺区为中心的聚类, 距离 $x$ 与定价 $f(x)$ 的关系为: $f(x) = 86.3363 x + 58.0649$ ; +（4）以东莞市为中心的聚类，距离 $x$ 与定价 $f(x)$ 的关系为： $f(x) = 152.6658x + 49.2679$ +（5）以宝安区为中心的聚类，距离 $x$ 与定价 $f(x)$ 的关系为： $f(x) = 235.1116x + 45.1732$ +(6) 以龙华区为中心的聚类, 距离 $x$ 与定价 $f(x)$ 的关系为: $f(x) = 114.7379x + 57.2918$ ; + +从上述式子来看，拟合后的一次线性函数线性度R均在0.90以上，拟合效果较好。在六个聚类中心，定价标准基本分为5档： $65 \pm 2.5$ 、 $70 \pm 2.5$ 、 $75 \pm 2.5$ 、 $80 \pm 2.5$ 、 $85 \pm 2.5$ （单位/元）。 $\pm 2.5$ 偏差的出现，体现了平台价格浮动策略，根据实际任务的难易在一定区间内上下浮动，来刺激任务接收与执行。 + +图中与直线存在较大偏差的红点的的出现，红点处定价高，取在 $80 \pm 2.5$ 和 $85 \pm 2.5$ 这两档，而这两档的定价标准有着奖励的性质，主要由于任务少有人接，平台为了提高任务的被执行率，作为奖励而提高价格，所以其在图中与线的位置距离呈现不规则性。 + +# 3.2 问题二模型的建立及求解 + +# 3.2.1 问题分析 + +“拍照赚钱”商业模式本质为会员和任务间的一种匹配过程。从宏观条件下分析，这种匹配呈现“多对一”的特征，将影响因素按匹配主体双方分类，进行3.5(a)所示的两个过程分析： + +(1) 会员选择任务：任务定价越高，距离越近，会员越乐意选择； +（2）任务匹配会员：会员信誉度越高，一定空间内会员聚集数量越多，任务被执行概率越高。 + +分析单个任务点，如图3.5(b)，周围会员分布情况很大程度上影响了该任务的执行效率。聚集的高信誉度、高配额会员数量越多，任务被执行的概率越大；反之则概率越小。参照匹配时空规范化距离概念[1]，为了使任务能够尽可能的被会员执行，平台在进行任务匹配时，会先匹配距离较近的部分会员，在其没有接单后，再考虑匹配较远会员。因此，匹配时需对高效距离和可抵距离分类讨论。 + +![](images/4d722faf8956131f053aca0f5c96a46941e9f0a10b18e22dcf972da8594d77a5.jpg) +(a).匹配模式 +(b).时空距离 +图3.5 “拍照赚钱”模式解析 + +# 3.2.2 时空效率定价模型 + +设计新的定价方案，建立时空效率定价模型，主要从以下三个维度，全面考虑了定价影响因素： + +(1)时间维度：会员与任务间的距离影响，距离影响会员抵达任务点的时间，从而影响完成率。 +（2）空间维度：任务附近会员聚集情况的影响，聚集的高信誉度会员越多，完成率越大。 +(3) 效率维度：模型充分考虑信誉度对定价与分配的影响，算法中以任务开始时间和配额取代。 + +首先，对距离 $D_{ij}$ 和信誉度 $q_i^B$ 进行数据规范化处理，以规避影响定价的各类指标量纲间复杂的相关性和极端数据对定价模型计算带来的不良影响。 + +$D_{ij}$ 为在时空可抵范围内会员 $i$ 与任务 $j$ 的距离， $D_{i}^{\prime}$ 为的 $D_{ij}$ 均值方差处理[2]值： + +$$ +D _ {i j} ^ {\prime} = \frac {D _ {i j} - \bar {D} _ {i j}}{\sigma_ {i j}}, \quad i \in G _ {j}, j \in A \tag {3.7} +$$ + +$$ +\overline {{D _ {i j}}} = \frac {1}{| G _ {j} |} \sum_ {i = 1} ^ {i = | G _ {j} |} D _ {i j}, \sigma_ {i j} = \sqrt {\frac {1}{| G _ {j} | - 1} \sum_ {i = 1} ^ {i = | G _ {j} |} \left(D _ {i j} - \overline {{D _ {i j}}}\right)}, \quad j \in A \tag {3.8} +$$ + +$q_{i}^{B}$ 为会员 $i$ 的信誉值，依据在线支付信誉评价标准[3]，将附件二中各会员按其信誉度值划分为高信誉、中信誉和低信誉三个等级，得图3.6所示信誉趋势，并量化得会员信誉分段函数 $Q_{i}^{B}$ ： + +$$ +Q _ {i} ^ {B} = \left\{ \begin{array}{l l} 1. 1, & q _ {i} ^ {B} > 1 9. 9 2 3 1 \\ 1, & q _ {i} ^ {B} = 1 9. 9 2 3 1 \\ 0. 9, & q _ {i} ^ {B} < 1 9. 9 2 3 1 \end{array} \right. \tag {3.9} +$$ + +![](images/d80a89d7395b91709205c43773851e4c624ab104a5c7e5632f8f6f5269fa063a.jpg) +图3.6会员信誉度分级 + +由此，构建包含任务会员时间距离、空间备选会员集和会员信誉度的时空效率定价模型： + +$$ +P _ {p j} = \frac {1}{2} K _ {p} P o _ {j} \left(H _ {1} \sum_ {m = 1} ^ {m = \left| G _ {j} ^ {\text {l o w}} \right|} \frac {D _ {m j} ^ {\prime}}{Q _ {m} ^ {B}} + H _ {2} \sum_ {n = 1} ^ {n = \left| G _ {j} ^ {\text {u p}} \right|} \frac {D _ {n j} ^ {\prime}}{Q _ {n} ^ {B}}\right) \tag {3.10} +$$ + +式中， $p$ 为聚类中心编号， $p = 1,2,3\ldots ,|C|$ ； $j$ 为任务编号， $j = 1,2,3\ldots ,|B|$ ； $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 分别为时空高效范围 $r_1(j)$ 及时空可抵范围 $r_2(j)$ 的会员信息系数值，分别取值1.1和0.9。执行时空效率定价时，任务 $j$ 先匹配 $r_1(j)$ 范围内的会员，再匹配 $r_1(j)$ 和 $r_2(j)$ 范围间的会员，故 $H_{1} > H_{2}$ 。 + +根据问题一任务未完成情况归因可知，经济发展水平较高的地区（如广州、深圳）任务未完成的概率远大于经济发展水平较低的地区（如东莞）。因此式（3.10）中设置经济发展系数 $K_{p}$ 量化宏观经济因素。由此，可以通过调节定价 $K_{p}$ 提高经济发达地区任务基准定价，刺激当地会员的积极性，促使其更好地完成任务。据《2016年广东省各市GDP与人均GDP报告》赋予表4.1所示系数值。 + +表 4.1 各聚类中心经济发展系数赋值 + +
聚类中心点佛山市广州市番禺区东莞市宝安区龙华区
Kp1.021.131.080.971.151.19
+ +# 3.2.3 任务匹配规划模型 + +基于时空效率定价模型重新定价后，参考竞争成功选择问题（WBDP）相关规律[5]，构建以平台任务总定价提升比例最小和任务成功执行数最大为目标的会员任务匹配规划模型。 + +$$ +\min \left(\sum_ {i = 1} ^ {i = | B |} \sum_ {j = 1} ^ {j = | A |} z _ {i j} \frac {P _ {p j}}{P _ {O j}} - \sum_ {j = 1} ^ {m} \sum_ {i = 1} ^ {n} z _ {i j}\right) \tag {3.11} +$$ + +$$ +s. t. \quad \sum_ {i = 1} ^ {i = | B |} z _ {i j} \leq 1, \quad j = 1, 2,.., | A | \tag {3.12} +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {j = | A |} z _ {i j} \leq c _ {i} ^ {B} \quad i = 1, 2, \dots , | B | \tag {3.13} +$$ + +$$ +\Pr \left(F _ {j} = b _ {i}\right) \geq \Pr \left(z _ {i j} = 1\right), \quad i = 1, 2, \dots , | B |, j = 1, 2, \dots , | A | \tag {3.14} +$$ + +目标函数（3.11）分为两部分，前部为在APP平台原始定价基础上成功执行任务的平台总定价，后部为任务被成功执行次数和；约束（2）为一个任务至多被一个会员成功执行；约束（3）为被同一会员成功执行的任务数不得超过该会员的任务配额；约束（4）表示成功匹配的任务不一定被执行。 + +# 3.2.4 二维多阶段轮盘赌求解算法 + +针对时空效率定价模型的任务匹配问题特征，我们设计了基于时空高效距离 $r_1$ 和时空可抵距离 $r_2$ 的“二维多阶段轮盘赌”任务会员匹配算法。对于模型中涉及会员信誉度 $q_i^B$ 的约束，算法中可通过题设条件“参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订配额”中的任务开始预订时间 $t_i^B$ 和预订配额 $c_i^B$ 作归约处理。由于距离约束受 $r_1$ 和 $r_2$ 限制，每个任务 $j$ 备选会员集 $G_j$ 的规模将有效减小，并划分为可抵会员集 $G_j^{up}$ 与高效会员集 $G_j^{low}$ ，其中 $G_j^{up} \bigcap G_j^{low} = \emptyset$ 且 $G_j^{up} \bigcup G_j^{low} = G_j$ ，与全局遍历算法相比，显著降低了计算的时间复杂性。由于 $G_j$ 元素从所有会员中遍历获得，在多阶段轮盘赌过程中，末段决策各会员被选概率之和为1，因此算例规模下，“二维多阶段轮盘赌”算法属于精确解法。 + +# （1）主体算法执行步骤 + +对包含任务编号、地理位置、任务定价的任务集 $A\left\{a_{j},(x_{j}^{A},y_{j}^{A}),P_{j}\right\}$ 和包涵会员编号、地理位置、配额、任务开始时间、信誉度的会员集 $B\left\{b_{i},(x_{i}^{B},y_{i}^{B}),c_{i}^{B},t_{i}^{B},q_{i}^{B}\right\}$ 进行匹配，获得每个任务对应的匹配解 $F_{j}\left\{a_{j},b_{i}\right\}$ 。如某任务下 $b_{i} = NaN$ ，则决策变量 $z_{ji} = 0$ ；否则 $z_{ji} = 1$ 。 + +为使得会员备选集中至少有一个高信誉度会员，计算时空高效距离： + +$$ +r _ {1} (j) = \min _ {j \in A} \left\{D _ {i j} \right\}, i = 1, 2, \dots , | B | a n d q _ {i} ^ {B} > 1 9. 9 2 3 1 \tag {3.15} +$$ + +为保证每个任务至少有一个备选会员，以悲观准则计算时空可抵距离： + +$$ +r _ {2} (j) = \max _ {j \in A} \min _ {i \in B} \left\{D _ {i j} \right\} \tag {3.16} +$$ + +算法具体步骤如下： + +Step1: 初始化 $j = 1$ + +Step2: 选中 $a_{j}$ , 初始化 $i = 1$ ; + +Step3: 选中 $b_{i}$ , 若 $D_{ij} \leq \min \left\{r_{1}(j), r_{2}(j)\right\}$ , 则将 $b_{i}$ 存入 $G_{j}^{low}, i = i + 1$ ; 否则, $i = i + 1$ ; + +Step4: 判断 $i > |B|$ ? 若是，进入 Step5；否则，返回 Step3; + +Step5: 调用BET得 $F_{j}^{low}$ , 若 $z_{ji} = 1$ 则 $F_{j} = F_{j}^{low}$ , $c_{i}^{B} = c_{i}^{B} - 1$ , $j = j + 1$ , 进入Step9; 否则Step6; + +Step6: 选中 $b_{i}$ ，若 $D_{ij} \leq \max \left\{r_{1}(j), r_{2}(j)\right\}$ ，则将 $b_{i}$ 存入 $G_{j}^{up}$ ， $i = i + 1$ ，否则， $i = i + 1$ ； + +Step7: 判断 $i > |B|$ ? 若是，进入 Step8；否则，返回 Step8; + +Step8: 调用BET得解 $F_{j}^{up}$ , $F_{j} = F_{j}^{up}$ , $j = j + 1$ ; + +Step9: 判断 $j > |A|$ ? 若是, 结束匹配并输出所有 $F_{j}$ ; 否则, 返回 Step2。 + +# （2）多阶段轮盘赌规则 + +本规则在充分考虑“具有同一任务开始预订时间的会员属于相同的优先批次”和“同批次内各会员选中任务概率依预订配额占比决定”两种情况下，设计批次内完全信息共享任务匹配规则。 + +分析 $G_{j}$ 各元素 $g_{jn}\left(b_{jn},x_{b_{jn}}^{B},y_{b_{jn}}^{B},c_{b_{jn}}^{B},t_{b_{jn}}^{B},q_{b_{jn}}^{B}\right)$ ， $n = 1,2,\dots ,\left|G_j\right|$ ， $b_{jn}\in B$ 。将会员划分为 $G_{j}^{T(1)}$ $G_{j}^{T(2)},\ldots ,G_{j}^{T(m)},\bigcup_{i = 1}^{i = m}G_{j}^{T(i)} = G_{j}$ 。其中相同集合内的会员具有相同的 $t_i^B$ ，即 $\forall i\in G_j^{T(m)}$ ， $T(m) = t_i^B$ 。 + +基于提出的新定价标准，每个会员选中任务的概率与新标准价格 $P_{pj}$ 和平台原有价格 $Po_j$ 的比值成正比。通过式（3.17）可计算会员 $b_{jn}$ 在集合 $G_j$ 中选中任务 $j$ 的概率 $\Pr\left(b_{jn}\right)$ ： + +$$ +\Pr \left(b _ {j n}\right) = \frac {c _ {b _ {j n}} ^ {B}}{\sum_ {n = 1} ^ {n = | G _ {j} |} c _ {b _ {j n}} ^ {B}} \times \frac {P _ {p j}}{P o _ {j}} \tag {3.17} +$$ + +由此，针对每一批次 $T(m)$ ，均有式（3.18）所示的未选中概率 $\Delta \Pr(m)$ ： + +$$ +\Delta \Pr (m) = 1 - \sum_ {k = 1} ^ {k = m} \sum_ {n = 1} ^ {n = | T _ {m} |} \Pr \left(b _ {j n} ^ {k}\right) \tag {3.18} +$$ + +多阶段轮盘赌规则的算法流程和转盘概率分布示意如图3.7所示。 + +![](images/725fceba89ee7b88ca217a66133cc2c38c070872e0207282a9145cceec06c8b1.jpg) +图3.7 .匹配流程和轮盘赌规则示意 + +# 3.2.5 求解结果分析 + +运用Matlab2015b编写二维多阶段轮盘赌求解算法（详见附件五），求得原题附件1中835个任务点的时空效率定价及成功执行的匹配会员编号，详细求解结果见附录1。 + +在任务完成情况方面，任务未执行数量为208个，小于平台APP原始定价情况下的313个；新策略下，任务完成成功率为 $75.1\%$ ，高于原方案的 $62.5\%$ 。说明时空效率定价模型相比原定价策略，具有 $20.2\%$ 的优化效果，一定程度上能提高匹配成功率。 + +在平台总定价方面，原方案所有任务总估价57707.5元，新方案为58420.8元，增长了 $1.24\%$ ；原方案为已完成的任务花费36446.0元，新方案为44166.4元，增长了 $21.2\%$ ，新方案定价稍有偏高。 + +![](images/e38754b765f6ef4da27f5ed1520782349fa2a8dde585b7a3f57e8c4697927b4c.jpg) +图3.8 .定价对比图 + +![](images/c8c41f5394579369d7673925838362a76cdd608b449467599a796a13130ef1af.jpg) +图3.9 任务完成图 + +此外，分析图3.8中的全局定价折线图，可发现时空效率定价波动性更大。而将求解所得的任务完成地理分布情况（图3.9）与4.1节图（蓝点为未完成任务，红点为已完成任务）进行对比，可发现广州市区与深圳市区的未完成任务数显著减少，可能由新策略根据地区经济情况提升基准定价导致；佛山市原方案中未完成任务几乎都被新方案完成；东莞市新出现零星未完成任务，属合理概率事件。 + +综上所述，新设计的时空效率定价模型能在附件2会员规模的情况下，有效提高附件1中任务的成功执行概率，但需要付出小幅上升的总体定价，用于激励经济较发达的大城市会员执行任务。 + +# 3.3 问题三模型的建立及求解 + +# 3.3.1 问题分析 + +本题将多个位置比较集中的任务联合在一起打包发布。一方面，打包发布能够让平台效率更高，成本更低；但另一方面，如果打包发布的任务未被执行，则平台受到的损失也就更大。因此，平台在打包发布任务时，为了提高任务被执行的概率，会采取两方面的措施：1.会更加关注“守信用”的会员，即信誉度高的会员。2.分析打包规模与仍有预留任务限额的有效会员数的关系，寻找最佳的打包规模。 + +# 3.3.2 会员信誉等级定价模型 + +# 1.数据预处理 + +首先，为了消除不同单位和量纲对结果的影响，我们将数据进行预处理。 + +(1) $d_{p}$ 为同一类中的所有点到聚类中心 $p$ 的平均距离, $d_{p}^{\prime}$ 为 $d_{p}$ 均值方差处理后的距离数据 + +$$ +d _ {p} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {n} d _ {p j}}{n}, p = 1, 2, 3 \dots , | C | \tag {3.19} +$$ + +其中 + +$$ +d _ {p} ^ {\prime} = \frac {d _ {p} - \overline {{d _ {p}}}}{\sigma_ {i}}, p \in 1, 2, 3 \dots , | C | \tag {3.20} +$$ + +$$ +\overline {{d _ {p}}} = \frac {1}{c} \sum_ {i = 1} ^ {c} d _ {p}, \sigma_ {i} = \sqrt {\frac {1}{c - 1} \sum_ {i = 1} ^ {c} \left(d _ {p} - \overline {{d _ {p}}}\right)}, p \in 1, 2, 3 \dots , | C | \tag {3.21} +$$ + +（2） $Dc_{i}$ 为时空可抵距离范围内会员 $i$ 与聚类中心点之间的距离， $Dc_{i}^{\prime}$ 为 $Dc_{i}$ 均值方差处理后的距离数据 + +$$ +D c _ {i} ^ {\prime} = \frac {D c _ {i} - \overline {{D c _ {i}}}}{\sigma_ {i}}, i \in 1, 2, 3 \dots , | B |, p = 1, 2, 3 \dots , | C | \tag {3.22} +$$ + +其中 + +$$ +\overline {{D c _ {i}}} = \frac {1}{w} \sum_ {i = 1} ^ {w} D c _ {i}, \sigma_ {i} = \sqrt {\frac {1}{w - 1} \sum_ {i = 1} ^ {w} \left(D c _ {i} - \overline {{D c _ {i}}}\right)}, i \in 1, 2, 3 \dots , | B | \tag {3.23} +$$ + +# 2.新增变量分析 + +在问题二中，影响定价规律的因素主要有：1.时空可抵距离范围内会员 $i$ 与聚类中心点之间的距离 $Dc_{i}$ ；2.会员信誉等级值 $Q_{i}^{B}$ ；3.会员信息系数值 $H_{1}$ ， $H_{2}$ ；4.聚类中心的经济发展系数 $K_{p}$ 。 + +问题三在问题二基础上，考虑打包对原有定价体系的影响，主要体现在以下几个方面： + +（1）同一类中的所有点到聚类中心 $p$ 的距离总和 $d_p$ 。 $d_p$ 用于描述任务位置的离散程度。在评价规则中， $d_p$ 越大，表明任务位置的离散程度越高，对会员来说，完成任务所需要付出的时间和空间成本越高，因此定价越高。 +（2）分段函数 $Q_{i}^{B}$ 。 $Q_{i}^{B}$ 用于衡量会员信誉值对定价规则的影响。在平台打包发布任务时，会更加关注会员的信誉值，从而降低任务未被执行的风险。因此，相比于第二问中的静态等级划分，在第三问中，采用分段函数的方式，增强不同信誉等级用户的区分度。同时，信誉等级值的变化与打包规模 $n$ 有关，打包规模 $n$ 越大，定价规律对高信誉值的会员更有利。 + +$$ +Q _ {i} ^ {B} = \left\{ \begin{array}{l} S + k _ {1} n, q _ {i} ^ {B} > 1 9. 9 2 3 1 \\ S + k _ {2} n, q _ {i} ^ {B} = 1 9. 9 2 3 1 \\ S + k _ {3} n, q _ {i} ^ {B} < 1 9. 9 2 3 1 \end{array} \right. \tag {3.24} +$$ + +式中， $q_{i}^{B}$ 为会员 $i$ 的信誉值， $Q_{i}^{B}$ 为会员 $i$ 的信誉等级值。 $S = 1$ ，为基准信誉等级值； $k$ 为不同信誉等级的系数， $k_{1} = -0.1$ ， $k_{2} = -0.06$ ， $k_{3} = -0.02$ ； $n \in [2,6]$ 为打包规模。信誉度高的会员给予较高的报酬，而信誉度较低的会员报酬较少，从而保证当所有会员在平台竞争时，信誉度低的会员选中任务的概率远小于信誉度高的会员。 + +（3）打包规模 $n$ 。在平台打包发布任务的情况下，打包规模与可参与执行任务的有效会员数之间存在如下关系：当打包规模增加时，打包后每个任务所含的任务数变多，对会员预定任务配额提出更高的要求。在这种情况下，有足够任务配额参与任务执行的会员就会减少。当有资格的会员数减少到一定程度，未被执行的任务数就会大大增加，从而促使平台缩小打包规模，让一些拥有较低任务配额的会员加入进来。从以上打包规模和会员数量的变化来看，存在一个让配置最为合理的供需平衡点。 + +在这个动态平衡的机制中，打包规模对会员数量的变化反应往往是滞后的，即第 $n$ 次打包数 $Q_{n}^{S}$ 取决于 $n - 1$ 会员数 $P_{n - 1}$ ；有效会员数对打包规模变动的反应是瞬时的，即第 $n$ 期有效会员数 $P_{n}$ 取决于本期打包规模 $Q_{n}$ 。假设每次任务的发布最终都能被完成，即 $Q_{n}^{D} = Q_{n}^{S}$ 。根据上述条件，可得如下供需平衡数学模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} Q _ {n} ^ {D} = a - b P _ {n} & (a > 0, b > 0) \\ Q _ {n} ^ {D} = - c + d P _ {n - 1} & (c > 0, d > 0) \\ Q _ {n} ^ {D} = Q _ {n} ^ {S} \end{array} \right. \tag {3.25} +$$ + +在式中，由于 $b > d$ ， $\lim_{n\to \infty}P_n = \frac{a + c}{b + d}$ ，即打包规模 $P_{n}$ 是收敛的，故打包规模和有效会员数供求关系趋向于平衡点。 + +# 3.定价方案 + +根据各变量对定价规律的影响作用，可得在平台打包发布任务的情况下，新的定价方案如下所示： + +$$ +P _ {p j} = \frac {n e ^ {- n}}{2 d _ {p} ^ {\prime}} K _ {p} P o _ {p} \left(H _ {1} \sum_ {i = 1} ^ {i \in G _ {p} ^ {l o w}} \frac {D c _ {i} ^ {\prime}}{Q _ {i} ^ {B}} + H _ {2} \sum_ {i = t + 1} ^ {i \in G _ {p} ^ {l o w} \cup i \in G _ {p} ^ {u p}} \frac {D c _ {i} ^ {\prime}}{Q _ {i} ^ {B}}\right) \tag {3.26} +$$ + +# 3.3.3 模型的求解 + +在第三问的求解中，求解步骤如下所示： + +（1）确定最佳打包规模 $n$ ，并给出打包规模的上界。通过供需平衡数学模型计算 $n \to \infty$ 时， $P_{n}$ 收敛于3，说明当打包规模分布在3时，是最为合理的，并将上界定为5， $n \in [2,5]$ 。 +(2) 确定同一类中的所有点到聚类中心 $p$ 的距离总和 $d_{p}$ 。在会员执行任务时，过大的距离往往会超出会员的承受能力，造成任务执行率偏低。因此，我们将 $d_{p}$ 的上界定为 $2 \mathrm{~km}$ 。 +(3) 通过 $n$ 和 $d_{p}$ 的值确定打包方案, 并通过 MATLAB 2015b 运行后 (程序详见附录九) 得到下 (图 3.10) 结果: + +![](images/f2a50fd9c2ebef57af0cef29d017e1c77ab0284a8a18fd209eed4b15c9153147.jpg) +图3.10 打包方案图 + +通过对打包方案图的分析，可以得到以下结论：1. 打包后的任务点分布有明显的集群效应；2. 未参与打包的任务点主要分布在偏远地区；3. 打包后的任务规模以 2 个任务和 3 个任务为主。 + +（4）通过“二维多阶段轮盘赌”算法进行匹配（详见附件八），具体结果如下： + +一共692个任务中，匹配成功的共有564个，配对成功率为 $81.5\%$ 。比问题二中 $74.9\%$ 的匹配成功率高出 $6.5\%$ 。说明新的定价方案优于问题二中的定价方案。 + +在平台总定价方面，问题二中的定价方案所有任务为58420.8元，新方案为60456.7增长了 $3.48\%$ ；原方案为已完成的任务花费44166.4元，新方案为40345.9元，降低了 $8.6\%$ ，新方案收益较原方案更好。 + +![](images/468d8be4db89cc325583191461a260d3c6fcad25de221c2fc942bc101f35e1e6.jpg) +图3.11 问题二匹配方案图 + +![](images/1b321babf0023639603a96d1d670b82b362aa92060917995b653117b2bbfa88c.jpg) +图3.12 问题三匹配方案图 + +通过对匹配方案图分析可知：通过问题三的定价方案，热点区域未匹配的数量明显减少，匹配率明显上升。 + +# 3.4 问题四模型的建立及求解 + +问题四需要针对原文附件3中新的任务分布，给出与其相适应的定价方案。将新任务数据导入Mapinfo Pro15.0，得到其对应的空间分布。分析图3.13（黑点为新任务，黄点为会员）可得如下特点： + +（1）任务分布呈现高度聚集性，主要集中在广州和深圳两个城市。 +（2）任务数量众多，远超任务周边时空可抵距离范围内的会员数量。 + +![](images/280b399f4c53ea9f6b6be81dd2b610a612d9221ab0d44ade5e8ce12f064447d3.jpg) +图3.13 附件三项目位置分布图 + +因此，任务和会员间的匹配呈现“供大于求”的状况，此时会员可选择的任务数较多，其违约率往往较高，并且定价的主动性逐步由平台主导转向会员主导。针对大规模聚集态任务分布，任务打包定价发布仍是一种可供选择的定价方式。但这种方式在前节给出的打包定价方式下，往往找不到最优打包任务数，这可能由于存在如下的悖反规律： + +(1) 单次打包任务数上升时, 由于会员配额限制, 选择任务的准入门槛不断提高, 由于任务周边时空可抵距离内有效会员样本缺乏, 且具有高信誉度高配额的会员自身数量有限, 任务难以匹配。 +（2）单次打包任务数下降甚至不打包时，任务数量剧增，会员数量更少，更加难以匹配执行。 + +为保证项目被执行率，需要建立新的特殊定价模型，以适用于供大于求的高聚态极端任务情况。 + +# 3.4.1 歧视激励定价模型 + +极端环境下，考虑采取“价格歧视、高信誉度会员提价和低信誉度会员保留定价”的差异化定价策略，建立歧视激励定价模型，以保障具有高信誉高配额的会员所选任务的完成质量，并在宁愿损失部分任务完成率的基础上，逐渐淘汰低信誉度会员。定价模型由如下三部分组成： + +（1）二级歧视定价函数 + +$$ +P _ {j} = \left\{ \begin{array}{c c} \left(1 + g \left(q _ {i} ^ {B}\right)\right) P _ {p j}, & q _ {i} ^ {B} > 1 9. 9 2 3 1 \\ P _ {p j}, & q _ {i} ^ {B} = 1 9. 9 2 3 1 \\ P _ {0} \left(q _ {i} ^ {B}\right), & q _ {i} ^ {B} < 1 9. 9 2 3 1 \end{array} \right. \tag {3.27} +$$ + +（2）高信誉激励函数 + +$$ +g \left(q _ {i} ^ {B}\right) = \frac {q _ {i} ^ {B}}{\max _ {i = B} \left(q _ {i} ^ {B}\right)} \tag {3.28} +$$ + +（3）保留定价函数 + +$$ +P _ {0} \left(q _ {i} ^ {B}\right) = \min _ {j \in A} \left(P _ {p j}\right) \tag {3.29} +$$ + +# 3.4.2 配额极值算法 + +依据高信誉会员最大化配额利用，低信誉会员概率淘汰，对二维多阶段轮盘赌参数做如下改进： + +$$ +\Pr \left(b _ {j m}\right) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {c _ {b _ {j m}} ^ {B}}{m = | G _ {j} |}, & c _ {b _ {j m}} ^ {B} \geq n \\ \sum_ {m = 1} ^ {\infty} c _ {b _ {j m}} ^ {B} & \\ 0, & c _ {b _ {j m}} ^ {B} < n \end{array} \right. \tag {3.30} +$$ + +由此，将二维多阶段轮盘赌算法加入配额极值修正规则，使得配额有剩余的高信誉度会员选中任务的概率显著增大，并自然淘汰低信誉度或配额不足的会员，求得高聚态极端分布匹配结果。 + +# 3.4.3 求解结果分析 + +![](images/c695cb06b949605925a81f8a3f515d9f8566bfe46ac4da37b3ea802e8bfc618c.jpg) +图3.14 基于问题三模型求解结果图 + +![](images/617e434b9c5943883a4350f23bb1f42fccc160be2524e342844a3c2a29ffb4b2.jpg) +图3.15 基于问题四模型求解结果图 + +运用Matlab2015b编写二维多阶段轮盘赌求解算法，求得原题附件3中2066个任务点的时空效率定价及成功执行的匹配会员编号。 + +在问题三定价模型求解结果中，2066个任务点，其中有717个项目匹配成功，完成率为 $34.7\%$ ；在问题四定价模型的求解结果中，有969个任务匹配完成，完成率为 $46.9\%$ ，高于原方案的 $12.2\%$ 。说明歧视激励定价方案相比原定价策略，具有 $12.2\%$ 的优化效果，一定程度上能提高匹配成功率。 + +此外，在任务高聚集度的情况下，单纯的会员等级信誉定价模型并不能很好的提升任务的完成率，考虑采取“价格歧视、高信誉度会员提价和低信誉度会员保留定价”的差异化定价方案，不仅没有损失完成率，反而使得完成率上升了12.2个百分点。 + +# 第4章 模型的改进 + +在问题二中，我们构建了包括任务会员时间距离、空间备选会员集和会员信誉度的时空效率定价模型。该模型中的 $D_{ij}$ 为一个不变量，但在实际情况中，在时空可抵范围内，会员 $i$ 与任务 $j$ 的距离是一个实时动态过程。即 $D_{ij} = F(t)$ ，是一个有关时间的函数，因此面对一个动态过程，要想模型具有前瞻性，需要加入实时动态预测，对于一个随机过程，我们可以使用平稳时间序列法作为预测 + +模型： + +$$ +E \left(y _ {t}\right) = E \left(y _ {t + m}\right) +$$ + +$$ +\operatorname {c o v} \left(y _ {t}, y _ {t + k}\right) = \operatorname {c o v} \left(y _ {t + m}, y _ {t + m + k}\right) +$$ + +采用平稳时间序列法能够让平台不仅实时检测会员动态，更能对未来进行预测，使平台的做出更加合理的决策和匹配方案。 + +# 第5章 模型的评价与推广 + +# 5.1 模型的优点 + +1、本文创新的根据题目提出了“时空效率定价模型”，充分全面地考虑了定价影响因素考虑全面，而且定价稳定，适用于模型； +2、“依概率接受”，那么意味着每次都是按照分值的高低排序来选择，这样可能容易陷入局部最优，而无法获得全局最优解。使用了轮盘赌则可以更加修正陷入局部最优这个问题 +2、利用 EXCEL 软件对数据进行处理作出了各种图表，使结论简便、直观、快捷； +3、运用了多种数学软件，取长补短，计算结果更加准确，清晰，可信度高； +4、本文建立的模型能结合实际情况对问题进行求解，实用性强，具有很好的推广性。 + +# 5.2 模型的缺点 + +1、“时空效率定价模型”在大规模下的应用有一定限制； +2、任务匹配模型是非线性模型，属于 NP-hard 问题，大型实例不能用精确算法求解，必须寻求这类问题的有效近似算法； + +# 5.3 模型的推广 + +本文建立的定价模型有效的提高了在原有定价规律下，任务被成功执行的概率。并创新性的“提出二维多阶段轮盘赌”算法，该算法运行效率高，准确性高，能够有效的解决移动互联网匹配效率平台，大大的降低了平台的实时性和运营成本。 + +# 参考文献 + +[1]乐琦，樊治平．基于累积前景理论的双边匹配决策方法[J].系统工程学报，2013,28(1):38-46. +[2]陈鲤江，景程，吴姚鑫，等．数学表达式的归一化方法研究[J].浙江工业大学学报，2012,40(2):229-232. +[3]王宝丽，杨琦峰.在线支付下个人信用等级评价指标体系[J].中国水运:理论版,2006,4(4):170-171. +[4]《2016年广东省各市GDP与人均GDP报告》 + +http://www.360doc.com/content/17/0419/14/502486_646832037.shtml + +[5]许志凯，张宏莉，余翔湛,等．基于组合双向拍卖的物联网搜索任务分配机制[J].通信学报，2015,36(12):47-56. + +# 附录 + +附录1：问题2的定价及匹配结果 + +
任务编号匹配会员新定价任务编号匹配会员新定价任务编号匹配会员新定价
140872.3281NaN62.3561NaN66.8
2NaN71.9282164264.956254572.1
3NaN63.7283868.6563122072.6
4NaN79.12848666.0564122275.9
555071.02858971.756529471.2
6138381.92868964.356620071.8
7106463.92873265.0567120069.2
81268.02881366.2568NaN64.5
994368.3289127368.0569NaN70.9
10158265.8290119669.457011167.1
11114269.52918665.1571125376.1
12111068.629297471.357250565.4
1376266.229331763.557324867.5
1444166.62947567.8574NaN68.6
15NaN59.92959168.8575117470.6
16NaN63.5296NaN65.157625968.8
17186666.329784169.4577NaN63.1
18185967.9298109773.6578142774.2
19NaN61.529958869.957980869.1
20NaN62.930058671.558025967.6
21NaN64.330160268.7581125572.6
22NaN61.1302NaN63.158213766.3
2328371.5303NaN70.1583NaN63.1
24NaN71.530458668.358420070.2
2529072.0305142167.8585NaN69.9
2643665.3306NaN69.058650567.4
27100466.130758870.9587172773.6
28NaN62.330825769.458818067.5
29NaN68.630930566.2589163567.3
30161368.731063266.35903671.4
3120473.331158668.7591NaN63.0
3219969.931266563.95929665.9
331266.2313NaN69.9593116866.7
34141064.73142967.3594122278.3
35114572.0315141866.9595117467.8
367465.731630470.8596117479.0
37116374.331788264.1597NaN69.6
3837581.3318183865.4598123471.2
3914269.731910964.7599NaN68.9
4010667.432067765.3600117468.8
41111665.2321NaN64.7601117468.2
4231467.5322NaN72.160253366.2
439769.0323NaN60.2603116670.3
44NaN66.432458466.6604120468.8
45NaN74.532598970.9605116668.1
46109367.332612666.2606119366.4
4797769.5327NaN67.160726171.8
48NaN68.132810968.2608124071.3
49NaN77.232976365.6609124068.8
5013570.633059666.2610NaN66.0
5111468.733195170.761125566.9
52111670.133284966.3612NaN67.5
5337571.9333NaN62.061317870.5
54113571.833498564.461416466.3
55NaN68.233571869.161514665.4
5666774.933630365.061613767.2
575266.6337116965.461718068.1
58NaN65.9338NaN62.361848666.4
59NaN67.3339NaN59.4619268.6
60NaN71.5340NaN61.6620NaN65.8
61NaN69.234171869.9621109471.1
62161371.0342NaN62.56223466.4
633379.6343NaN73.86231269.2
64NaN81.7344NaN65.462421570.0
65NaN71.2345NaN60.9625107173.4
66NaN68.734636666.962632970.9
6747868.13475972.362711468.7
6849266.934813271.062849965.9
6915171.4349116964.962991769.9
704371.3350NaN69.96309565.4
7123372.5351NaN74.66315764.5
72NaN64.7352122467.063219770.2
73108971.1353168071.663361667.3
741768.035424967.363434365.9
7565766.8355101469.9635110669.6
76110973.63562165.16361572.4
7775064.1357103373.16379468.4
784367.9358NaN72.263851464.5
7920972.33599267.1639164.3
80NaN72.0360NaN69.864015775.9
81NaN65.0361NaN70.8641114470.2
82NaN68.636232370.964217874.5
8329066.5363NaN77.564354668.3
84NaN71.236486568.9644NaN72.5
85NaN70.836541271.0645139668.1
86106571.9366NaN72.6646NaN62.6
8776670.4367NaN68.964784269.0
88NaN72.136839468.6648114866.9
8938668.0369NaN74.264954669.5
90106476.437050867.4650NaN62.2
9110370.937163366.365156368.7
92138872.637213271.7652NaN64.2
9342673.63731668.6653NaN65.2
94NaN69.43741673.365429470.9
95116171.0375111670.965554570.6
964267.5376NaN61.6656117869.1
9766870.93775365.765757868.1
9812870.137853166.065850876.8
99111867.437963765.7659NaN73.3
100102771.8380126765.4660125481.0
101101468.1381NaN62.266126176.8
10279571.438221466.76627776.7
10351270.3383NaN68.96639666.3
10485171.738458673.5664142272.1
10548970.638556274.766569674.3
106NaN75.83867371.4666NaN64.7
107112972.73875464.06672470.0
1087972.038831271.8668NaN64.5
1095264.138928065.8669120870.7
110114272.539034472.867095773.0
111106574.53911869.767118070.0
112109369.73922966.567226174.8
11348567.9393119574.9673NaN63.5
114NaN67.0394NaN62.167495771.5
1159568.2395152278.6675NaN67.1
116110671.8396142265.367672765.8
117NaN71.2397NaN65.0677122069.6
118NaN66.739872776.967866668.4
11912167.53995474.4679NaN69.7
120NaN75.040097174.3680122367.9
12110064.540190574.1681122566.7
12249565.240234766.2682NaN62.6
1235266.0403NaN60.9683NaN66.1
124NaN60.4404NaN63.7684NaN63.8
125NaN65.040583471.0685NaN67.3
12693075.840694171.368677475.4
12795265.9407120882.4687107672.9
12887571.8408465.468811171.7
129NaN64.940965173.368954972.8
130NaN65.041091274.069050174.8
13199669.141191275.569120075.1
13295271.34125965.4692119367.5
133NaN72.54138665.2693NaN71.0
134NaN74.141429764.069437868.2
135162465.241535973.3695NaN69.8
13662873.54163266.8696105568.1
1378669.24173264.369785073.9
138871.3418NaN71.1698NaN64.7
13984173.74193265.969950969.9
140NaN79.04203270.270093072.8
1414070.542177064.370148664.2
1423270.042237867.570254673.5
14339369.6423863.9703NaN68.9
14495265.442413674.5704107274.4
145NaN74.442586365.4705102667.9
14651772.542618381.5706125775.1
147NaN64.74272467.370712872.9
14868970.6428NaN73.87085773.5
149126771.9429NaN73.67093864.0
15096774.7430NaN64.0710172472.4
1514065.5431127973.2711158573.3
152NaN73.643296066.071218573.6
153NaN68.5433NaN59.37131668.9
15484167.8434NaN63.7714167.5
1551066.0435121682.4715NaN71.1
15655465.943677375.471634574.0
15765175.7437117876.471719772.6
15826674.643850575.071854676.8
15927066.243956878.1719160372.7
16099674.9440NaN69.6720101774.1
161379.9441115870.072115074.4
162NaN68.744297774.872254373.5
163NaN63.2443NaN72.47234664.2
164NaN74.8444110867.9724NaN67.2
16524971.1445NaN70.4725NaN71.6
166NaN74.044617576.272628573.3
16723274.6447NaN64.872738073.2
1688676.444810169.072860771.3
16953875.444920868.1729NaN72.4
1702868.44503391.3730122572.0
17123273.8451NaN68.5731NaN72.8
17224967.7452111866.673230467.2
173142169.74536268.673365873.2
174NaN64.6454NaN66.6734163477.1
17584965.945524172.573513375.6
17650873.34569069.57362473.0
177103771.545756878.473720075.3
1789170.54589968.27381469.1
17995767.145983077.5739NaN82.0
180NaN68.846051086.6740NaN74.4
181183265.2461NaN65.4741167.0
18290567.7462NaN62.3742111283.2
183162465.3463NaN69.9743NaN68.0
184NaN61.84646571.0744102972.0
185NaN63.2465NaN70.074521076.0
18671465.146634573.3746109167.6
187NaN68.74676271.7747166.0
188NaN75.046832283.57481668.0
18927770.046961767.27492184.5
19019265.3470NaN72.375020984.4
191132065.547110880.975167186.5
192NaN72.04721866.875238666.3
193370.647377167.5753165.2
19490566.3474174965.4754103965.6
195NaN64.8475NaN65.475529972.6
1961366.6476132464.8756102667.9
19718169.0477152983.475797475.6
19834476.347840484.675820070.6
199179474.247943565.4759114167.0
200NaN71.04807065.576094885.6
20148368.6481NaN74.37614371.3
2024770.7482124071.7762NaN61.7
203NaN66.648324165.776314871.7
204131766.2484NaN70.976438665.4
20583066.548512268.1765133183.9
20690269.848618269.1766NaN70.6
207NaN65.6487160572.07679970.1
208NaN74.748854673.47687873.4
2099168.54896165.076949365.4
2101066.7490124070.377051465.3
21150871.6491102670.8771110272.9
212NaN78.1492114973.077229965.1
213187469.2493NaN65.2773NaN78.1
214163470.849454865.277455073.5
21550870.94953867.877516886.8
216120869.749693066.977613964.6
21713372.8497113769.6777125883.0
21810964.549838270.5778119478.8
21947970.7499NaN67.377917573.4
22095764.450048968.97801572.9
22144470.150114470.0781NaN67.0
222147774.1502114470.3782110567.3
223NaN77.5503NaN64.078321068.9
224122970.850419770.478450566.9
22516874.850515869.078514465.4
22630380.350625269.8786NaN79.1
22724970.2507112367.4787107471.8
2284766.4508NaN70.7788NaN78.0
22995770.750954763.8789121786.1
23010865.451076970.679050184.6
231NaN68.351124166.8791117491.8
232118169.2512NaN63.5792122366.2
23310969.25131565.4793NaN76.9
234118171.051429471.579450786.8
235118169.05153869.1795NaN65.6
236118170.351633665.879653385.0
237NaN62.251710770.2797NaN81.2
238NaN64.751829867.0798119084.3
23994064.4519105869.4799NaN65.0
24028271.7520NaN65.3800117585.2
241NaN74.95211464.4801117471.4
24250571.2522NaN66.38026280.2
24342869.752384176.5803103772.5
244NaN75.252449964.7804NaN70.4
245118168.3525178768.280557381.9
24685472.8526109765.3806102873.0
2475964.752712869.680729865.6
2484968.952823665.8808NaN81.0
24963368.2529NaN64.980922986.3
25071467.15301464.0810116671.1
251NaN64.7531NaN67.7811116876.0
2521370.0532103669.2812NaN75.0
253165564.053352167.681350173.4
254116967.0534161267.0814122780.2
2557364.053554766.0815118581.2
256NaN62.853616766.3816NaN82.2
25728666.3537111165.3817123473.8
2585967.053824971.981826174.1
259NaN65.75399566.1819163777.9
260NaN62.9540NaN66.78209678.4
261NaN78.2541117475.582113379.0
26228665.65423670.18229675.9
26323465.5543NaN67.0823119377.2
2645365.854420073.482411175.9
26552664.8545142770.682554578.9
266NaN84.5546NaN68.382650173.6
267NaN63.4547NaN69.782753765.1
26899669.3548129576.68281567.0
26931768.954923268.88293680.9
270NaN60.85507768.6830NaN80.9
27127773.6551NaN64.3831118572.0
2721368.4552NaN66.383252572.6
273NaN83.455323268.38337484.4
274NaN66.0554NaN64.08348564.8
27518168.355516866.683513186.4
2763264.4556117865.5
2771367.2557119470.2
278NaN66.655821965.6
2795966.255916473.7
280NaN66.156011165.6
+ +# 附录二：问题一 一元函数线性回归程序 + +# 求出平均距离和定价的关系代码 + +```matlab +%求出平均距离和定价关系矩阵 +function av=aver(data,price) +price=sort(price); +average=zeros(5,2); +m=size(data); +av=zeros(5,2); +for i=1:m(1) +if(data(i,2)<=price(1)) +average(1,1)=average(1,1)+data(i,1);%累加长度 +average(1,2)=average(1,2)+1;%计数 +elseif(data(i,2)<=price(2)) +average(2,1)=average(2,1)+data(i,1); +average(2,2)=average(2,2)+1; +elseif(data(i,2)<=price(3)) +average(3,1)=average(3,1)+data(i,1); +average(3,2)=average(3,2)+1; +``` + +elseif(data(i,2) $< =$ price(4)) average(4,1)=average(4,1)+data(i,1); average(4,2)=average(4,2)+1; else average(5,1)=average(5,1)+data(i,1); average(5,2)=average(5,2)+1; end av(1,.):=[price(1),average(1,1)/average(1,2)];%求平均 av(2,.):=[price(2),average(2,1)/average(2,2)]; av(3,.):=[price(3),average(3,1)/average(3,2)]; av(4,.):=[price(4),average(4,1)/average(4,2)]; av(5,.):=[85,average(5,1)/average(5,2)]; +end + +# 附录三： + +# 按定价分类显示代码 + +```matlab +%按定价分类显示 +function classify(data) +hold on; +for i=1:833 + if(data(i,3) <= 60) + plot(data(i,2), data(i,1), 'g.') + elseif(data(i,3) <= 65.5) + plot(data(i,2), data(i,1), 'b.') + elseif(data(i,3) <= 70) + plot(data(i,2), data(i,1), 'y.') + elseif(data(i,3) <= 75) + plot(data(i,2), data(i,1), 'r.') + else + plot(data(i,2), data(i,1), 'k.') +end +end +``` + +# 附录四： + +# 画出拟合直线代码 + +%画出拟合直线 + +function R=compare(av,n) + +hold on; + +$\mathrm{x = av(1:n,2)};\%$ 自变量？ + +$\mathbf{X} = \mathbf{X}^{\prime}$ + +y=av(1:n,1);%因变量 + +y=y'; + +$\mathrm{R} =$ corrcoef(x,y);%求出相关系数 + +b=polyfit(x,y,1);%线性拟合 + +z=polyval(b,x); + +plot(x,z,'k-'); + +plot(av(:,2),av(:,1),'.b', 'MarkerSize',30); + +plot(av(n+1:end,2),av(n+1:end,1),'.r','MarkerSize',30); + +end + +# 求出距离中心点长度代码 + +%求出距离中心点长度 + +function length $\equiv$ lens(data,center,index) + +$\mathrm{m =}$ size(index); + +length=zeros(m(2),3); + +for $i = 1:m(2)$ + +length(i,1)=sqrt((data(index(i),1)-center(1))^2+(data(index(i),2)-center(2))^2);%求出长度并保存 + +length(i,2) = data(index(i),3); % 保存该点定价信息 + +length(i,3) = data(index(i),4); % 保存该点完成状态 + +end + +%调用： + +```python +%length1 = lens(oldtask, center(1,:), index(1,:)) + +```python +%length2 = lens(oldtask, center(2,:), index(2,:)) + +```python +%length3 = lens(oldtask, center(3,:), index(3,:)) + +```python +%length4 = lens(oldtask, center(4,:), index(4,:)) + +```python +%length5 = lens(oldtask, center(5,:), index(5:)) + +```python +%length6= lens(oldtask, center(6,:), index(6,:)) + +# 附录五： + +问题2代码% + +%将附件1导入matlab中并取名为task + +使用findcustomer将每个task分配会员 + +使用doublesystem为确定每个task由哪个会员执行 + +# 对会员分组代码% + +%findcustomer用于在问题3中对会员分组% + +function group $=$ findcustomer(task,cust) + +$[a, \sim] = \text{size}(\text{cust})$ + +index=1:a; + +index=index'; + +cust=[index,cust];%会员矩阵加编号 + +customer=sortrows(cust,2);%按经度排列 + +$[\mathrm{n},\sim ] = \mathrm{size}(\mathrm{task})$ + +group=zeros(n,6); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +p1=maxfindcustomer(:,2)task(i,2)); + +for $j = 1:3$ + +group(i,4-j)=customer(p1+1-j,1); + +group(i,3+j) $=$ customer(p2-1+j,1); + +end + +end + +end + +# 附录六 + +# 会员匹配任务代码 + +%doublesystem 用于在问题3中在每组会员中匹配一个任务% + +function man=doublesystem(group, customer) + +$[\sim ,\mathrm{b}] = \mathrm{size}(\mathrm{group})$ + +sum=0; + +$\mathrm{g = zeros()}$ + +range=zeros(2,1); + +if(b==1) + +man=group(1); + +else + +for $i = 1:b$ + +if/customer(group(i),3) $< = 405$ + +$\mathrm{g}(1,\mathrm{i}) = \mathrm{group}(\mathrm{i})$ + +```matlab +elseif customer(group(i),3) <= 420) +g(2,i)=group(i); +elseif (customer(group(i),3) <= 435) +g(3,i)=group(i); +elseif (customer(group(i),3) <= 450) +g(4,i)=group(i); +elseif (customer(group(i),3) <= 465) +g(5,i)=group(i); +else +g(6,i)=group(i); +end +sum=customer(group(i),5)+sum;%求和 +end %分组 +[c,~]=size(g); +for i=1:c%分组进盘 +temp=g(i,:);%第i组 +temp((temp==0))=[;%去0; +[~,m]=size(temp); +for j=1:m%i组进盘 +if(range(1,1) == 0) +range(1,1)=customer(temp(j),5)/sum; +range(2,1)=temp(j); +else +endnum=range(1,end); +per=(customer(temp(j),5)/sum); +nu=per+endnum; +range=[range,[nu;temp(j)]]; +end +end +ra=rand(1,1); +if(ra= 1&&ratask(i,2)); for j $= 1:3$ group(i,4-j) $\equiv$ customer(p1+1-j,1); group(i,3+j) $\equiv$ customer(p2-1+j,1); end +end + +# 会员匹配任务代码 + +%doublesystem 用于在问题3中在每组会员中匹配一个任务% + +function man=doublesystem(group, customer) + +$[\sim ,\mathrm{b}] = \mathrm{size}(\mathrm{group})$ + +sum=0; + +$\mathrm{g = zeros()}$ + +range=zeros(2,1); + +if(b==1) + +man $=$ group(1); + +else + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{b}$ + +if/customer(group(i),3) $< = 405$ + +$\mathrm{g}(1,\mathrm{i}) = \mathrm{group}(\mathrm{i})$ + +elseif customer(group(i),3) $< = 420$ + +$\mathrm{g}(2,\mathrm{i}) = \mathrm{group}(\mathrm{i})$ + +elseif customer(group(i),3) $< = 435$ + +$\mathrm{g}(3,\mathrm{i}) = \mathrm{group}(\mathrm{i})$ + +elseif customer(group(i),3) $< = 450$ + +$\mathrm{g}(4,\mathrm{i}) = \mathrm{group}(\mathrm{i})$ +elseif customer(group(i),3) $< = 465$ 1 $\mathrm{g}(5,\mathrm{i}) = \mathrm{group}(\mathrm{i})$ +else + $\mathrm{g}(6,\mathrm{i}) = \mathrm{group}(\mathrm{i})$ +end +sum $=$ customer(group(i),5)+sum;%求和 +end%分组 + $[\mathtt{c},\sim ] = \mathtt{size}(\mathtt{g})$ +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{c}\%$ 分组进盘temp $\equiv$ g(i,:)%第i组temp((temp $\equiv = 0)) = []$ ;%去0;[\~,m]=size(temp);for $\mathrm{j} = 1:\mathrm{m}\% \mathrm{i}$ 组进盘if(range(1,1)==0)range(1,1)=customer(temp(j),5)/sum;rangen2,1 $\equiv$ temp(j);elseendnum $\equiv$ range(1,end);per=(customer(temp(j),5)/sum);nu=per+endnum;rang=[range,[nu;temp(j)]];end +endra=rand(1,1);if(ra1) + +for $j = 1:b$ + +$\mathrm{sum(i) = sum(i) + temp(j)}$ + +end + +if $(\mathrm{sum(i}) > 0.022)\%$ 还原点 + +plot(center(i,2),center(i,1),‘*','color','w'); + +dd1=index(i,:)； + +dd1(dd1==0)=[; + +```matlab +dd2=newtask(dd1,1); +dd3=newtask(dd1,2); +result=[result,[dd2';dd3']; +else%取中心 +result=[result,[center(i,1);center(i,2)]]; +plot(center(i,2),center(i,1),'*',color','k'); +text(center(i,2)+0.0005,center(i,1)+0.0005,'(',num2str(b),')','color','m'); +plot(newtask(index(i,:))~=0,2),newtask(index(i,:))~=0,1).w'); +end +else +plot(center(i,2),center(i,1),'*',color','w'); +result=[result,[center(i,1);center(i,2)]]; +end +end +``` + +# 求距离代码 + +$\%$ 求出任务到任务中心点的距离 +function length $\equiv$ tasklens(data,center,index) +index(index $= = 0) = []$ $\mathrm{m} =$ size(index); +length $\equiv$ zeros(1,m(2)); +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}(2)$ （204 + $\mathrm{length(i)} = \mathrm{sqrt((data(index(i),1)-center(1))^{\wedge 2} + (data(index(i),2)-center(2))^{\wedge 2})};$ +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/B447/B447.md b/MCM_CN/2017/B447/B447.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..50b26755cc9861fb6c043c6e32de0b529649bf00 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/B447/B447.md @@ -0,0 +1,1712 @@ +# “拍照赚钱”的任务定价 + +# 摘要 + +在“拍照赚钱”的新自助式服务模式下，用户可领取app上的任务，成功执行便可赚取标定的酬金。在这种模式下，如何合理定价从而获取最高收益成为了系统运营的核心。本文针对题中所给的数据信息进行数据挖掘，设计了一套较为合理的定价及任务打包算法。 + +问题一中，我们首先猜测了可能影响任务定价的因素，包括：任务周围的用户限额总量、任务周围的用户密度、任务的离群程度等。我们量化以上可能的影响因素，并以该因素为自变量以定价为因变量回归分析，通过拟合度来判断该因素是否对定价有决定作用。我们随机抽取 $70\%$ 的数据进行回归训练，结果表明，任务的定价与周围用户的限额总量、周围用户的平均距离、自身的离群程度关系密切。利用剩余的 $30\%$ 数据分别对以上回归方程进行检验，用均方残差偏移程度来评价方程的可靠性。根据三个因素，对于成功执行的任务与未成功执行的任务分别进行回归分析，并对比其回归函数图像，发现任务未完成的主要原因是用户没考虑自身限额对定价的影响，其余两个因素相对次要。 + +问题二中，我们建立了多目标优化模型，其中目标函数为总定价和成功率。对问题一中的完成与未完成的任务，我们可以分别拟合出其定价曲面，位于这两个曲面之间的区间即为合理定价区间。除了问题一中三个因素外，任务成功率还受到周围用户的信誉、预订任务时间等变量的影响。根据已有的数据回归分析，得到成功率的综合评价函数。基于合理定价区间的约束，我们分别对定价最优方案与成功率最优方案进行求解，经过我们的算法优化之后，与原方案相比，我们可以在同样的平均成功率的前提下将定价总额降低 $2.9\%$ ；我们也可以用同样的定价总额将平均成功率提高 $9.4\%$ 。 + +问题三中，我们建立基于改进的DBSCAN算法的打包方案。确定打包的核心目的是改善预期成功率较小任务的执行情况。我们引入了任务的得分半径和用户得分半径两个参数对原算法中的固定半径进行改进。任务的预期成功率越小，任务得分半径越大，用户的信誉度越高、预订任务时间越早，用户得分半径越大。打包后我们还基于用户得分半径检验打包是否合理，即是否有用户能够执行该任务。基于该算法，我们一共求得62个需要被打包的任务点，被打包成25组。将预期成功率与原成功率进行对比，成功率最高提升了 $7.2\%$ ，平均成功率提升 $2.3\%$ 验证了任务联合打包对于平均成功率的提升有很大作用。在确定新的定价模型时，我们将定价划分为两大因素：任务本身价值与路途花费。根据原数据对这两个因素的系数进行求解，我们基于该定价函数对定价进行修改，得到了新的定价方案。 + +问题四中，我们根据优化模型以及打包算法对新数据进行定价、打包、成功率计算，并得到优化的定价和打包方案并得到相应的优化方案成功率。为了检验模型的可靠性，我们建立了仿真模拟模型，对每个用户行为进行仿真，结果显示模拟成功率与优化方案成功率偏差在 $20\%$ 以内。 + +最后我们对模型的鲁棒性和灵敏度进行了检验，发现模型具有较好的鲁棒性。 + +关键词：LOF离群因子；回归分析法；多目标优化；DBSCAN算法；众包定价 + +# 一. 问题重述 + +# 1.1. 问题背景 + +“拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。APP中的任务定价是该平台运行的核心要素，如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 + +# 1.2. 数据集 + +附件一是已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。 + +# 1.3. 问题要求 + +根据上述题目背景及数据，题目要求建立数学模型讨论以下问题： + +1. 研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 +2. 为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 +3. 实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ +4. 对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 + +# 二. 模型假设 + +1. 假设会员到所有任务点的出行便利程度一致，到达任务点所用时间随距离增加而增加，且该距离为直线距离； +2. 不考虑天气等原因对会员出行的影响； +3. 所有任务的难度相同，即不考虑任务难度对会员选择造成的影响； +4. 每个任务至多由一个人完成，不考虑多人合作完成一个任务的情况。 + +# 三. 符号说明 + +
符号符号含义
ρ任务周围用户密度
dij用户i距离任务j的距离
dave任务周围最近若干个用户离该任务的距离均值
O任务离群度
p任务定价
s一定范围内用户限额总和
Pi第i个任务的定价
Si第i个任务的成功执行率
M任务总价
N任务平均成功执行率
Q商家给系统的定价
Q'系统给用户的定价
+ +# 四. 问题分析 + +# 4.1. 问题一分析 + +问题一要求我们探索定价规律及研究任务未完成的原因。从系统角度出发考虑每个任务的定价有两个方向：任务与用户的关系、任务与任务的关系。从这两个角度考虑，我们可以进一步分析任务与用户的关系主要有任务周围用户数量，任务周围用户密度等；任务与任务之间的关系主要为任务的离群程度。 + +我们可以对以上因素量化，并分别将定价与以上因素进行函数拟合，利用拟合度判断定价是否与以上因素有关。接着根据有关的因素对完成的任务与未完成的任务分别进行分析，判断任务未完成的具体原因。 + +# 4.2. 问题二分析 + +问题二要求我们设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。这是一个博弈问题的优化，博弈双方是定价与成功率。我们的目标是成功率尽可能高，定价尽可能低。成功率除了与定价有关，还与问题一中的若干影响因素有关。我们可以回归分析得到成功率关于以上因素的函数关系。 + +接下去可以建立优化模型并求解。根据给出的数据集，我们寻找成功执行的任务定价与未成功执行任务的定价之间的差距，并寻找合理的定价区间。以该区间为约束，分别就成功率最高及定价总和最低为目标，将其划分为两个优化模型并求解能得出总定价固定的情况下成功率最高的定价方案以及成功率固定总定价最低的定价方案。得出方案后可以就成功率与定价与原方案进行对比来判断新定价获得的效果。 + +# 4.3. 问题三分析 + +问题三要求考虑多任务打包发布，修改定价并分析对任务完成情况的影响。由于本题任务点分布不均匀，我们考虑对DBSCAN算法进行改进：算法的半径改为得分半径，成功率高的点得分高，成功率低的点得分低。为了提高成功率，我们将成功率低的点与成功率高的点打包。打包后还需要分析打包的合理性，即打包任务周边会员的信誉、限额等因素，如果合理就保留该包，不合理就打散该包。 + +关于打包任务的定价，在本问题中我们将定价分为两部分：任务本身价值、路途花费。即任务打包后任务的本身价值不变，但由于路途花费（包括时间、交通费用）减少，在系统定价时打包的任务总价低于原定价总和。根据原数据找到任务本身价值、路途划分、总定价三者的关系，再根据问题二得到的优化模型进行最优定价搜寻，最终可以对比打包前后成功率的变化情况来体现打包的效果。 + +# 4.4. 问题四分析 + +问题四给出了一个新项目，要求给出我们的定价方案及评估方案实施效果。 + +将数据代入问题二得到的定价模型以及问题三得到的打包模型进行求解，输出每个任务定价与成功率数据，并对结果进行分析。 + +# 五. 模型建立与求解 + +# 5.1. 问题一：任务定价规律研究与未完成任务原因分析 + +首先，为了明确人机交互的原理与流程，我们先对整个流程进行具体分析。 + +![](images/0a5df9dd4750995c72760d7665daa70aac610580ee076f06a425fa0a0d9cf1ab.jpg) +图1用户、系统、任务三者逻辑关系 + +![](images/55599a98bc33d78d48903f59eecfa712e60b07364ee62f800b2280b8e548389c.jpg) +图2UML时序关系 + +图1表明了用户、系统、任务三者之间的逻辑关系，图2表明了一个活动过程的时序关系。在系统中，有 $n$ 个用户与 $m$ 个任务，用户可以通过挑选来选择任务，但是同一时间只能执行一个，每个任务只能由一个用户执行。一个任务可能被多个用户选中，系统根据用户预订限额所占比例进行任务配发，最后返回结果给用户，用户执行任务，整个流程结束。信誉值会影响用户的预定任务开始时间与任务分配过程。 + +# 5.1.1. 任务定价规律猜想 + +从系统角度出发考虑每个任务的定价有两个方向：用户与任务的关系即用户总限额与周围用户距离、任务与任务的关系即任务间的离散程度。 + +# （1）任务周围的用户限额总和 $s$ + +考虑两种可能存在的情况，如图3、图4所示（用户点点径越大说明该用户预订任务限额越大）。 + +![](images/5718f0059a860b9b8481634d2c24cac3d8048e2e87d8e6cd31304316c9bfa8dc.jpg) +图3任务点与周围用户分布情况1 + +![](images/c397d46b0f544aefb721155299b84a4ecb1dae8d0749a1d4e828b9edc366c2e2.jpg) +图4任务点与周围用户分布情况2 + +- 情况1：一定范围内用户数量较多，但离任务点的平均距离较远。 +- 情况2：一定范围内用户数量较少，但有部分用户离任务点较近。 + +同时，我们考虑到用户预订任务限额的问题，对于预订任务限额较小的用户，根据用户心理，在相同定价的情况下，用户更愿意选择离自己距离较近的点，示意图如图5所示，1用户的任务限额较大，2用户的任务限额较小， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为三个任务点。此时1用户可能会选择 $a$ 或 $b$ 任务进行执行，而2用户可能只会选 + +择 $b$ 任务进行执行。 + +![](images/5ab09a76577994e61c466eefccd4145d3219f56b9b953be765df6d6004694a1e.jpg) +图5多任务用户选择分析 + +![](images/299f06af1e680a7bc537a6131c6e9f473ad75e7e3479fed67ad63976d9bf5944.jpg) +图6用户期望范围与任务限额分析 + +将其期望执行任务的范围进行模拟，我们大致可以得出如图6所示的用户期望范围。也即用户任务限额越大其期望的覆盖范围也越广，但是这个范围也有一个上限，即一个用户的覆盖范围不可能随着限额的不断增加而线性增长。 + +根据我们上述猜想绘制用户预订任务限额的覆盖气泡图如下： + +![](images/5f6789eef13298a1f2d8e004b9bc3027241e94039e8ca68db77c8c34e520c56e.jpg) +图7用户任务限额覆盖区域示意图 + +其中，气泡面积越大说明该用户任务限额越大，期望覆盖面积越广。可以将其近似作为影响人数的因素，即任务限额越大，该用户能完成周围任务的可能性越大。 + +![](images/7aacb80c4b75867b546acc3b632bc172b1f101cb51890ce031bc677cb420825c.jpg) +图8用户任务限额与定价关系 + +设定价为 $p$ ，用户限额总和为 $s$ ，根据散点分布情况，我们猜想的定价与限额总额的函数关系为： + +$$ +p = \frac {q _ {1} + q _ {2} \cdot s + q _ {3} \cdot s ^ {2}}{s + q _ {4}} \tag {1} +$$ + +其中 $q_{1}$ ， $q_{2}$ ， $q_{3}$ ， $q_{4}$ 为系数。 + +# (2） 距离任务最近的用户的平均距离 $d$ + +我们推断任务周围的用户密度即距离任务最近的用户的平均距离也对定价有影响。这是第二个影响密度进而影响定价的因素。 + +![](images/628377e18e5a44caa0c98d511e88eeea141d99c7571b52d2d444879b36615128.jpg) +图9用户平均距离与定价关系 + +设定价为 $p$ ，距离均值为 $d_{ave}$ ，根据散点分布情况，我们猜想的定价与密度因素 2 的函数关系为： + +$$ +p = q _ {1} \cdot \sqrt {d _ {a v e}} + q _ {2} \cdot d _ {a v e} + q _ {3} \tag {2} +$$ + +其中 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ 为系数。 + +以上的用户与任务间的影响是一个双向的过程，为了更好地展示影响关系，我们用下图展示其逻辑： + +![](images/917204c1f1149f2ec6f32905a6fc321758a000d854675f65f7dea53f189342a4.jpg) +图10任务与用户交互流程 + +# (3) 任务的离群程度 $O$ + +上文讨论了用户与任务之间的关系对定价的可能影响，接下去我们讨论任务的密度对定价可能产生的影响。 + +一般情况下，任务与任务之间距离较近（任务集簇）时更能够吸引用户选择执行，这是由于一个用户可以执行多个距离较近的任务，节省用户的时间成本。 + +我们采用LOF离群因子对于任务的密度进行刻画。 + +LOF(Local Outlier Factor), 对象的局部离群因子, 每个任务点都被分配一个局部离群因子。该算法通常是用来判断局部异常的离群点, 在本问题中, 我们尝试将离群因子作为定价规律估计的一个因素。离群因子的算法流程如下: + +1）计算任务点 $p$ 的 $k$ 距离 + +任务 $p$ 的 $k$ 距离 $d_k(p)$ 为 $p$ 到某个邻近任务点 $q$ 之间的距离, $q$ 是离 $p$ 最近的第 $k$ 个任务点。 + +2）计算任务点 $p$ 的 $k$ 距离邻域 $N_{k}(p)$ + +$N_{k}$ 即离点 $p$ 最近的 $k$ 个任务组成的集合。 + +3）计算任务点 $p$ 相对于任务点 $q$ 的可达距离 $d_{k}(p,q)$ + +给定自然数 $k$ ，任务点 $p$ 相对于任务点 $q$ 的可达距离 $d_{k}(p, q)$ 为 $p$ 到 $q$ 点的距离 $d(p, q)$ 与 $d_{q}$ 中的较大值： + +$$ +d _ {k} (p, q) = \max \left\{d _ {q}, d (p, q) \right\} \tag {3} +$$ + +![](images/ce405960dbc73e8a07386e0f72694da7994c13d14cc7356fda8627193f762b64.jpg) +图11可达距离示意图 + +4）计算任务点 $p$ 的局部可达密度 $\rho_{k}(p)$ + +任务点 $p$ 的局部可达密度等于任务点 $p$ 的平均可达距离的倒数。 + +$$ +\rho_ {k} (p) = 1 / \frac {\sum_ {1} ^ {k} d _ {k} (p , q _ {i})}{k} \tag {4} +$$ + +5）计算任务点 $p$ 的局部离群因子 $O$ + +$$ +O _ {k} (p) = \sum_ {q \in N _ {k} (p)} \frac {\rho_ {k} (q)}{\rho_ {k} (p)} / k \tag {5} +$$ + +离群因子对定价影响的定性判断与说明如下： + +- 离群因子数值越大，该任务点的周围任务分布密度越小，该点越离群，该点的定价应该越高；反之，离群因子数值越小，该任务点分布密度越大，该点离群程度越小，该点的定价应该越低。 +- 离群因子只针对任务与任务之间的关系。 +- 由于离群因子直接判断任务局部密度，比直接判断任务与任务之间的距离更加能体现任务分布的情况。 + +- 将离群因子通过变换转换为每个点的定价得分因子，可进行下一步定价规律的研究。 + +据上文的LOF算法分析，我们对各个点的LOF值进行求解并绘制在图像上方便我们直观上进行观察规律，在我们进行计算的时候我们固定 $k$ 值大小为3。 + +![](images/e423fd3f94f72a441372edf28628279b23e61e1634692e6b61c6b7f322640224.jpg) + +![](images/656bea5e4910ebb79b7de6fd845418f7ea32e18b7d6065a4b9a973292b37ca3e.jpg) + +![](images/9d800e30cf4ce27d53668c602cf07321b0430888dc05fb8bc8ff4e05ffc7b6dd.jpg) +图12（a）维度排序后LOF值（b）经度排序后的LOF值（c）每个任务点对应的LOF值三维图 + +在上图中，我们很明显看到越离群的点LOF值越高。 + +![](images/6916cd9e80b05d7c89347865b7e8c61ddccae0fe66866be35c72a0cb36ae88b6.jpg) +图13LOF值与定价关系 + +设定价为 $p$ ，LOF值为 $L$ ，根据散点分布情况，我们猜想定价与LOF离群度的函数关系为： + +$$ +p = q _ {1} \cdot \log (L) + q _ {2} \cdot L + q _ {3} \tag {6} +$$ + +其中 $q_{1}$ ， $q_{2}$ ， $q_{3}$ 为系数。 + +# 5.1.2. 定价规律猜想检验 + +# (1) 数据预处理 + +# 异常/离群数据处理 + +附件2所给会员编号B1175的会员位置信息中，维度113.131483，经度23.031824，明显与其余会员位置信息不符，我们猜测其经纬度写反，将其改为维度23.031824，经度113.131483。 + +有部分会员位置相比于其他会员偏，且在这部分会员周围没有任务点，在分析时我们不考虑这部分偏离正常区域的会员的影响，如下所示： + +表 1 被筛选掉的会员 + +
会员编号GPS纬度GPS经度会员编号GPS纬度GPS经度
B000533.65205116.97047B008221.202247110.417157
B000622.262784112.79768B013624.80413113.605786
B000729.560903106.239083B047221.498823111.106315
B002227.124487111.017906B170822.494423113.940057
B003921.679227110.922443B172721.53332111.229119
B004820.335061110.178827B182222.800504115.374799
+ +# 距离计算 + +题中所给的位置信息为 GPS 经度与纬度，我们需要将两点之间的球面距离转换为直线距离。以下分析与求解过程当中所提到的距离均为转换之后的直线距离。 + +# (2) 用户与任务间影响因素猜想检验 + +# 用户与任务间影响因素1：任务点附近用户限额 + +我们将任务点附近的半径 $r$ 限设为 $1\mathrm{km}$ ，同时将任务点为圆心、 $1\mathrm{km}$ 为半径的圆内所有用户任务限额进行累加，近似当做该任务点周围的限额总量。我们在图像上观察该因素与定价的关系，我们随机抽取 $70\%$ 已有数据利用不同函数对其进行回归求解，得到回归结果如下，最终得到的拟合曲线如图14所示。 + +$$ +p = \frac {1 8 8 0 + 6 5 . 0 1 \cdot s - 0 . 0 0 1 4 0 2 \cdot s ^ {2}}{s + 2 6 . 2 1} \tag {7} +$$ + +我们对以上函数与系数进行分析： + +当一定范围内（我们设置为 $1 \mathrm{~km}$ ）用户数量增加时，由于可执行人数增加，供大于求的趋势增加，定价呈现下降趋势；反之，当用户数量减少，可执行人数减少，定价呈上升趋势。 + +利用 $70\%$ 数据得出函数曲线（即得出定价的一个影响因素与定价的关系）后，我们利用剩余 $30\%$ 数据对结果进行检验，如图15所示。结果的检验均方残差偏移比例为 $4.83\%$ ，很好地验证了我们的函数关系。 + +![](images/1e6654309bec9a91b3f12ec98e7514037f860230052c3f78da31e34cf6a9fe3f.jpg) +图14定价与因素1的关系 + +![](images/f2dc3ecfa516b6912c9a39e9f6db0830d5f317c531de0d0d26ce2ef7c2808aa9.jpg) +图 $1530\%$ 数据对结果进行检验 + +表 2 检验结果示意 + +
R²训练集均方残差测试集均方残差均方残差偏移比例
0.668617.300616.46464.83%
+ +# 2）用户与任务间因素2：离任务点最近用户的平均距离 + +我们随机抽取 $70\%$ 已有数据进行拟合后的得到回归结果如下，最终得到的拟合曲线如图16所示。 + +$$ +p = 0. 3 7 7 5 \cdot \sqrt {d _ {\text {a v e}}} - 0. 0 0 2 2 3 6 \cdot d _ {\text {a v e}} + 5 9. 5 5 \tag {8} +$$ + +我们对以上函数与系数进行分析： + +当函数后半部分呈现下降趋势，即离任务近的人越少定价反而越低，这是不符合常理的。由于后半段有几个离群点干扰了函数拟合导致了这种结果。我们会在模型灵敏度分析中具体分析该结果，在下文讨论中，暂不使用后半段的函数信息。事实上，如果一个任务周围五个人的距离平均值达到很大的值，该任务基本会没有人执行，因此在下文优化过程中暂不考虑这种极离群点。 + +![](images/218d470f95bad50c94c23b5059ff1c61b6c2d4bfa000b630eb0bd78c2e2e53ea.jpg) +图16定价与密度因素2的关系 + +![](images/7b166732d1848561a6e1ffb75f5801c65c98b63f86847962e2e1c5388ddd35b8.jpg) +图 $1730\%$ 数据对结果进行检验 + +利用 $70\%$ 数据得出函数曲线（即得出定价的一个影响因素与定价的关系）后，我们利用剩余 $30\%$ 数据对结果进行检验，如图17所示。结果的检验均方残差偏移比例为 $5.88\%$ ，很好地验证了我们的函数关系。 + +表 3 检验结果示意 + +
R²训练集均方残差测试集均方残差均方残差偏移比例
0.584314.630615.49125.88%
+ +# (3) 基于LOF离群因子的任务与任务距离对定价的影响猜想检验 + +我们随机抽取 $70\%$ 已有数据进行拟合后的得到回归结果如下，最终得到的拟合曲线如图18所示。 + +$$ +p = 7. 4 1 3 \cdot \log (L) + 6 9. 1 1 \cdot L + 1 6. 0 7 4 2 \tag {9} +$$ + +我们对以上函数与系数进行分析： + +当任务之间密度较小即LOF值较小时，说明任务密集，对于某个任务来说该任务附近任务较多，由于供求关系以及用户可能会选择多任务一起完成，任务定价会降低。 + +任务定价不会无限制上升，LOF数值到达一定的值后，任务定价趋于稳定。这是因为系统需要利润，一个离群任务的定价不可能超出系统上限。 + +为了验证LOF值与定价的关系，我们对随机 $70\%$ 已有数据的LOF值与定价进行拟合，如图19所示： + +![](images/971b85d1f47bd630daf347e9b1dc442e68221ece16f7d57128ff91b96b2edee7.jpg) +图18定价与LOF值的关系 + +![](images/e9565be1a8c5b0e92844e65fbdeaea6c838a69a8cc7373a9d8e8da4b7d0516af.jpg) +图 $1930\%$ 数据对结果进行检验 + +利用 $70\%$ 数据得出函数曲线（即得出定价的一个影响因素与定价的关系）后，我们利用剩余 $30\%$ 数据对结果进行检验，如图所示。结果的检验均方残差偏移比例为 $6.57\%$ ，很好地验证了我们的函数关系。 + +表 4 检验结果示意 + +
R²训练集均方残差测试集均方残差均方残差偏移比例
0.696921.575120.24496.57%
+ +# (4) 地域分布造成的价格影响 + +![](images/a61b5e24be4d069837f88f1207ee5fc0c4e7726afbb74929392814f9b212a8ae.jpg) +图20价格分布热力图 + +猜想定价分布与任务所在地理位置有一定关系，做出价格分布热力图，观察确实有分布趋势影响。中心有两块非常明显的高价区域，而右上方和右下方有两个非常明显的低价区域。我们在推测合理定价时可将热力图作为加价幅度的衡量标准，即在其他条件相同情况下红色区域定价要高于蓝色区域。 + +# 5.1.3. 任务未完成的原因推断 + +上文中我们已经给出影响定价的因素，包括用户与任务（任务附近用户限额情况、距离任务最近的用户距离均值）、任务与任务之间的关系，得到了一定的定价规律。对于任务未完成的原因，我们在下文对每个因素进行分析，观察已完成任务与未完成任务之间的差异。 + +# （1） 任务点附近用户限额因素 + +我们在图中表示出已完成与未完成的任务分布情况，如图21所示，为了观察其原因，我们对已完成与未完成任务的散点分别进行函数拟合，得到如图22的函数图像。 + +我们可以发现，图像有两个交点。大量的点都集中在第一个交点之前，此时的拟合图像中，未完成任务的拟合曲线低于已完成任务的拟合曲线，这说明这部分定价忽略了任务点附近用户限额因素而导致定价偏低，没有用户去选择执行这些任务。对于①交点与②交点中间的函数图像分布，我们的解释是该段样本数据过少，存在一定偶然性，导致未完成任务的曲线略高于已完成曲线。②交点以后的曲线情况恢复正常。 + +![](images/29f1dece06fba9d762450de5686f46553c3c15269f824511eb5e9e486b7e9a8b.jpg) +图21已完成与未完成任务散点图 + +![](images/5b6660cd613b12f24445e6724cd0819112bae97e673243bdf1bd979eff4b3cec.jpg) +图22已完成与未完成任务拟合曲线对比 + +# (2) 离任务点最近用户的平均距离因素 + +同上，我们做出已完成与未完成任务的散点图，用曲线进行拟合来研究已完成与未完成任务的差异，得到图23、图24。 + +图像有一个交点。大量的点都集中在交点之前，此时的拟合图像中，未完成任务的拟合曲线低于已完成任务的拟合曲线，这说明这部分定价忽略了任务点与离任务点最近用户的距离因素而导致定价偏低，没有用户去选择执行这些任务。对于交点以后的曲线走势，我们的解释是该段样本数据过少，有部分偶然离群点对拟合结果影响较大，导致未完成任务的曲线略高于已完成曲线。 + +![](images/ba388107b39cc8b1a1bc436b52278d75f0ea5e02919ea72802da4fcb0cbe37f0.jpg) +图23已完成与未完成任务散点图 + +![](images/04061e4195d20051f99f3ca9b9199ad65d384f1e1f0c1345d9dd8ab2497780c5.jpg) +图24已完成与未完成任务拟合曲线对比 + +# (3) 任务离群程度因素 + +同上，我们做出已完成与未完成任务的散点图，用曲线进行拟合来研究已完成与未完成任务的差异，得到图25、图26。 + +图像有一个交点。考虑到 $90\%$ 以上的点的LOF值小于等于1，大量的点都集中在交点之前，此时的拟合图像中，未完成任务的拟合曲线低于已完成任务的拟合曲线，这说明这部分定价忽略了任务离群程度因素而导致定价偏低，没有用户去选择执行这些任务。对于有部分点LOF值较高如 $\mathrm{LOF} = 2.2$ 、1.75、1.55的离群任务也被完成的情况，我们寻找到这些点对应的地理位置发现都是在东边的边界处，且附近没有邻近的用户。 + +我们猜测，题中所给的用户地理位置只是一部分，这部分任务可能被边界以外的用户所执行。因此在之后的考虑当中，我们不考虑这三个离群度高却被完成的任务。 + +![](images/04481d7e70689129aaf28f8500ff044d7f709f3c5b3441a86756ee98f5569eed.jpg) +图25已完成与未完成任务散点图 + +![](images/bc04fe3df0324fb8773fa17dbfecbcb56b2002a3eff47086627c3c77cb9122de.jpg) +图26已完成与未完成任务散点图 + +# 5.2. 问题二：新的任务定价方案及和原方案的比较 + +# 5.2.1.定价方案模型建立与求解 + +# （1）多目标优化模型建立 + +# 目标函数 + +在优化模型建立之前，我们先明确目标函数。本问题的目标函数确定可以转化为博弈最优的求解。即我们要求解的定价方案要保证执行率高的同时定价尽可能低，这可以给系统带来最大利润。设平均执行率表达式为 $f(S)$ ，定价总额表 + +达式为 $f(P)$ ，则目标为： + +$$ +\max : f (S) \quad \min : f (P) \tag {10} +$$ + +根据我们的分析，我们基于以上两个目标建立一个综合定价方案，影响因素为两个方向：任务与任务、用户与任务。为了综合其影响我们采用平均比例法去其量纲并转换成比例得分。 + +例如任务点周围用户数量这个影响因素，我们求出一定范围内每个任务点周围平均用户数（如任务点周围 $1\mathrm{km}$ 内用户数平均为5个），对于每个任务点都有其对应的 $1\mathrm{km}$ 内的用户数（如6个），此时该比例为 $1.2 > 1$ ，即对于定价的影响是降低定价。设任务点周围用户数量影响函数为 $x_{1}$ ，一定范围内用户总限额影响函数为 $x_{2}$ ，用户离任务点平均距离影响函数为 $x_{3}$ ，他们对应的权重为 $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 即用户与任务之间的关系对定价的综合影响因子为： + +$$ +f _ {1} = \beta_ {1} \cdot x _ {1} + \beta_ {2} \cdot x _ {2} + \beta_ {3} \cdot x _ {3} \tag {11} +$$ + +任务与任务间的影响因素只有一个离群度，设该因素影响因子为 $f_{2}$ ，离群度函数为 $y$ ，则： + +$$ +f _ {2} = y \tag {12} +$$ + +用户与任务影响因子的系数为 $\alpha_{1}$ , 任务与任务影响因子的系数为 $\alpha_{2}$ , 第 $i$ 个任务的定价为 $P_{i}$ , 总任务个数为 $n$ , 定价综合模型 $f(P)$ 如下: + +$$ +f (P) = \sum_ {1} ^ {n} P _ {i} / n \cdot \left(\alpha_ {1} \cdot f _ {1} + \alpha_ {2} \cdot f _ {2}\right) \tag {13} +$$ + +任务执行率由定价、任务与任务影响因素、人与任务影响因素共同决定，设这三个影响因子函数分别为 $F_{1} 、 F_{2} 、 F_{3}$ 。同时，用户的信誉值、用户开始预订时间对任务执行率产生一定影响，即信誉越高的用户成功完成任务的可能性越大，对一个任务来说，周围越早看到的人越多该任务成功完成的可能性越大，我们简化这两个影响因子为两个系数 $\alpha$ 与 $\beta$ 。任务执行率综合模型 $f(S)$ 如下： + +$$ +f (S) = \alpha \cdot \beta \cdot \left(F _ {1} + F _ {2} + F _ {3}\right) \tag {14} +$$ + +其中，平均执行率的影响因素除了每个任务的预计执行率以外，还受到其周围用户的信誉与用户开始预订时间的影响，即用户的信誉越高、任务开始预订时间越早，预计执行成功率越高。设这两个因素为 $\alpha$ 、 $\beta$ ，任务总数为 $n$ ，第 $i$ 个任务的预计成功率为 $S_{i}$ ，则平均执行率最优的目标函数为： + +$$ +\max f (S) = \alpha \cdot \beta \cdot \frac {\sum_ {1} ^ {n} S _ {i}}{n} \tag {15} +$$ + +$$ +\min f (P) = \sum_ {1} ^ {n} P _ {i} \tag {16} +$$ + +设 $P_{i}$ 为优化后第 $i$ 个任务的定价，则定价总额最优的目标函数为： + +# 自变量范围 + +在考虑自变量范围时，我们需要明确自变量的数量及与因变量的关系，我们绘制其逻辑框图如下。 + +![](images/02358fba51d8ac9551dbbbe9539bb3706236bf74cd85c5d7b3f3406132ce2275.jpg) +图27自变量与因变量逻辑关系结构 + +我们对逻辑结构进行如下说明： + +- 定价由两方面因素影响：任务与任务间的关系，用户与任务间的关系； +- 任务与任务间的关系由任务离群度来刻画，即上文提到的LOF离群因子； +- 用户与任务间的关系由三方面因素刻画：任务点周围用户数量、用户总限额和用户离任务的平均距离； +- 执行率（成功率）由三方面因素影响：任务与任务间的关系，用户与任务间的关系、定价。其中定价与其为博弈关系，定价下降导致执行率上升；定价上升导致执行率下降。 + +首先，可以我们根据经验确定成功率的影响因素信誉值 $\alpha$ 及用户开始预订时间 $\beta$ 的取值如下表所示（假设为 $1\mathrm{km}$ 内距离任务点的用户数值）： + +表 5 $\alpha$ 、 $\beta$ 值对照表 + +
平均用户信誉C范围α平均用户开始预订时间T范围β
C≥5000.99T≤6:360.99
80≤C<5000.986:36<T≤6:510.98
20≤C<800.956:51<T≤7:180.96
10≤C<200.907:18<T≤7:480.93
C<100.80T>7:480.90
+ +# 约束条件 + +为了使目标达到最优，对未优化之前的定价总额 $M$ 与平均成功率 $N$ ，有如下约束： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} f (P) \leq M \\ f (S) \geq N \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +在执行的任务定价与未被执行的定价之间有一个的区域，我们称之为合理定价范围，即被执行的任务定价略微降低或未被执行的任务定价略微提高，在这个范围内都有可能被执行，合理定价范围示意图如下。 + +![](images/6dc7ea275f70f5488d079ade092d58715d4f6e31fb04b9075dfb194d86c0dc9b.jpg) +图28 合理定价范围 + +设 $P_{F}$ 为失败任务的定价, $P_{S}$ 为成功任务的定价, 合理定价区间应该满足: + +$$ +P _ {F} \leq P \leq P _ {S} \tag {18} +$$ + +# 多目标优化模型 + +执行率优化是指定价总额一定的情况下优化执行率，定价优化是指执行率一定的情况下优化执行率，为了使得目标函数最优化，我们给出的优化模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \max f (S) = \frac {\sum_ {1} ^ {n} S _ {i}}{n} \quad \min f (P) = \sum_ {1} ^ {n} P _ {i} \\ \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {1} ^ {n} P _ {i} \leq M \\ \left(\sum_ {1} ^ {n} S _ {i} \cdot \alpha_ {i} \cdot \beta_ {i}\right) / n \geq N \\ P _ {F _ {i}} \leq P _ {i} \leq P _ {S _ {i}} \\ i = 1 \dots n \end{array} \quad \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} \left(\sum_ {1} ^ {n} S _ {i} \cdot \alpha_ {i} \cdot \beta_ {i}\right) / n \geq N \\ \sum_ {1} ^ {n} P _ {i} \leq M \\ P _ {F _ {i}} \leq P _ {i} \leq P _ {S _ {i}} \\ i = 1 \dots n \end{array} \right. \right. \tag {19} \\ \end{array} +$$ + +其中， $S_{i}$ 为优化后第 $i$ 个任务的成功率， $P_{i}$ 为优化后第 $i$ 个任务的定价， $P_{F_{i}}$ 为第 $i$ 个任务对应的失败任务定价， $P_{S_{i}}$ 为第 $i$ 个任务对应的成功任务定价。 + +# 最优函数最优解求解办法 + +我们引入最大期望利润 $W$ ，设每一个任务商家提供给系统的价格为 $Q_{i}$ ，系统定价为 $Q_{i}^{\prime}$ ，该任务执行率为 $R_{i}$ ，则最大系统期望利润可以近似用如下公式估计： + +$$ +\max W = \sum_ {1} ^ {n} \left(Q _ {i} - Q _ {i} ^ {\prime}\right) \cdot R _ {i} \tag {20} +$$ + +也即能求出期望利润最大时的定价总额与平均成功率且是唯一的两个值。 + +# (2) 优化模型求解 + +# 层次分析法确定权重 + +为了确定用户与任务三个影响因素用户数量、用户总限额响、用户离任务点平均距离的权重 $\beta_{1} 、 \beta_{2} 、 \beta_{3}$ , 我们查找了相关文献, 并根据文献和经验采用层次分析法最终确定其值为: $\beta_{1} = 0.2131, \beta_{2} = 0.3036, \beta_{3} = 0.4833$ 。 + +# 回归拟合函数 + +利用现有的数据对定价进行回归，成功执行的定价函数为 $f(P_{s})$ ，未成功执行的定价函数为 $f(P_{F})$ 得到执行任务与未执行任务的回归结果如下所示： + +$$ +f \left(P _ {s}\right) = 0. 0 3 x ^ {3} - 0. 9 1 x ^ {2} + 6. 4 5 x - 0. 1 6 y ^ {3} + 0. 9 8 y ^ {2} - 2. 8 3 y + 6 4. 9 7 \tag {21} +$$ + +$$ +f \left(P _ {F}\right) = - 0. 7 5 x ^ {2} + 3. 8 2 x - 0. 1 1 y ^ {2} - 2. 1 1 y + 1. 6 1 x \cdot y + 6 4. 8 3 \tag {22} +$$ + +![](images/d9d9cb67533493d5cc7e9b79355a7a4bd972d1ff0958b035482bf3f939df6ae6.jpg) +图29 成功执行/未成功执行任务曲面与合理定价范围 + +去除噪声的 $R^{2}$ 分别为 0.7780 和 0.8523。为了更好地展示合理定价范围，我们在同一三维坐标系中画出两个曲面定价函数的分布情况，如上所示。 + +这里对合理定价范围进行说明：合理定价范围是位于成功执行任务的定价曲面与未成功执行的定价曲面中间的空间区间，并不是在合理定价范围的任务都能成功执行。根据我们的约束条件，我们还需要对合理定价范围内的数据点进行成功率检验。 + +对执行率函数进行拟合，成功执行的任务赋值1，未成功执行的任务赋值0，与3个影响因素和2个影响因子进行多元拟合，最终得到拟合度较好的曲线如下： + +$$ +f (P) = a _ {1} \cdot x ^ {2} + a _ {2} \cdot x + a _ {3} \cdot y ^ {2} + a _ {4} \cdot z ^ {3} + a _ {5} \cdot z ^ {2} + a _ {6} \cdot z + a _ {7} \cdot y \cdot z + a _ {8} \tag {23} +$$ + +其中， $a_1 = 0.002$ ， $a_2 = -0.432$ ， $a_3 = 0.0525$ ， $a_4 = -1.654 \times 10^{-5}$ ， $a_5 = 0.0019$ ， $a_6 = 0.2144$ ， $a_7 = -0.006$ ， $a_8 = -3.3511$ ， $R^2 = 0.2602$ 。 + +# 5.2.2. 对题中定价进行优化与对比 + +对于题中所给数据，我们计算得到其任务总价为57707.5，平均任务执行率为 $62.5\%$ 。也即我们对题中任务定价优化时， $M = 57707.5$ ， $N = 62.5\%$ 。由于算法需要遍历搜寻最优解，搜索全局最优解较为费时，我们采用遗传算法求取局部最优解来近似代替全局最优解，并各取了50组数据点进行曲线拟合，将优化结果展示在图像上，我们以任务定价总额最小为目标进行优化得到下图的拟合曲线1，以平均成功率最高为目标进行优化得到下图的拟合曲线2。 + +![](images/a7bb3dfde85402eac02a8c1d4c368cfc41ae86ac0c6c02df2df5c1ca57787efd.jpg) +图30结果展示与对比 + +在图中我们标志出原来的定价方案得出的定价总额与平均执行率数据点，如图中“X”处所示，坐标为（57707.5,0.625）。经过我们的算法优化之后，我们可以用56000左右的总额达到预制一致的平均执行率，定价总额降低 $2.9\%$ ；我们也可以用同样的定价总额达到 $68.4\%$ 的平均执行率，平均执行率提高 $9.4\%$ 。 + +对于以上最优函数中最优解求解，由于题中未给每个任务商家给系统的价格 $Q_{i}$ ，我们假设每个任务商家给系统的价格都为90（实际操作中可以用实际数据替换）时，根据定价总额与平均执行率的函数关系得出：当系统定价总额为56908时获得的期望利润最大，此时利润为11459.72，此时的平均执行率为 $65.7\%$ 。 + +# 5.3. 问题三：基于任务联合打包发布的模型改进 + +建立模型之前，我们需要明确打包的目的。事实上打包的目的与我们上文中考虑的两个因素——执行率与定价密切相关： + +- 打包对执行率的影响：在我们的打包过程中，并不是随机打包距离近的点，而是尽量将预计不能成功执行（执行率低的点）与能成功执行（执行率高的点）进行打包，这样能大大提高执行率低的点的执行率。 +- 打包对定价的影响：打包的任务点定价总和应该小于三个任务点分别定价的总和。事实上打包成功率较高的任务点对于系统盈利来说是不利的，打包对系统盈利的好处是提高平均成功率从而提高期望利润。 + +# 5.3.1. 联合打包划分模型 + +联合打包模型建立第一步为确定如何划分的依据。打包实际上就是分类的一种，我们将具有某些性质的任务点分为一类。我们能想到一些聚类方式如K-means聚类、层次聚类等，以上的聚类方法一般只适用于凸样本集的聚类。不适合本文任务点分布情况，为此，我们提出一种改进的基于DBSCAN的聚类算法。 + +DBSCAN 算法：由密度可达关系导出的最大密度相连的样本集合，即为我们最终聚类的一个类别。它最大的优势是可以发现任意形状的聚类簇，同时过滤噪声信号，对于本题数据分布有较好表现。 + +如图 31 所示, $o$ 为随机任务点, 以一定半径画圆 (该半径与该任务的综合得分有关, 在下文具体介绍), 覆盖到周围能覆盖的最大可达对象, 即对于 $o$ 点的邻近对象集更新结束。遍历完所有对象, 程序流程结束。 + +![](images/530a4f56f2a750ca61e92b3bd92ff11119d3e2fdc9bda8676621a128e9542865.jpg) +注：半径与任务点得分有关 + +![](images/5b7c3efffaa692552e5e78af4e17f3e91052f9c80ec359461af3f96a83e6bf51.jpg) +图32算法流程图 +图31DBSCAN算法示意图 + +该算法的重点是每个任务点的半径刻画，也即我们提到的得分。我们的目的地尽量联合成功执行率高的与低的任务点并打包。同时，考虑到实际任务执行用户不可能一次性做太多任务，因此规定打包任务数量上限不超过4个。对于打包完的集合，我们需要根据其周围的用户分布以及用户情况来判断打包是否合理，并将不合理的包打散。合理打包与不合理打包的示意如下： + +![](images/423e020dc554cc46f192d69a6f9b6070bd155d1828964d70719a7ab72335c92e.jpg) +图33不合理打包（左），合理打包（右） + +![](images/45a95d8bc9684a336abc0a823645e785ac99f63dc9b0679b40091c262b0dface.jpg) + +如图33所示，某个区域有三个预打包任务 $T_{1} 、 T_{2} 、 T_{3}$ ，左图有两个用户 $a_{1} 、 a_{2}$ ，此时他们的用户得分（信誉、限额等影响）半径不能覆盖任何一个任务，即不合理打包。右图加入用户 $a_{3}$ ，其用户得分半径覆盖到原 $T_{3}$ 任务，即合理打包。 + +下面我们对任务得分半径与用户得分半径进行量化。对于每一个任务点，都 + +有其最邻近的任务点，设任务 $i$ 距离其最近的任务点距离为 $d_{i}$ ，任务点总量为 $n$ ，每个任务对应的标准得分半径 $t$ 为： + +$$ +t = \sum_ {1} ^ {n} d _ {i} / n \tag {24} +$$ + +设任务 $i$ 的得分系数为 $\lambda_{i}$ , 预计成功执行率为 $S_{i}$ , 计算出两者之间的近似关系如下: + +$$ +\lambda_ {i} = 2. 0 6 \cdot e ^ {5 S _ {i}} + 4. 1 7 \tag {25} +$$ + +转化后的任务得分半径 $R_{i}$ 为: + +$$ +R _ {i} = \lambda_ {i} \cdot t \tag {26} +$$ + +设用户 $j$ 离其最近 5 个任务点的平均半径为 $\overline{r}$ ，用户信誉与用户预订时间影响因素 $\alpha_{i}$ 、 $\beta_{i}$ 在成功执行率计算时已给出，用户得分半径 $r_{i}$ 为： + +$$ +r _ {i} = \alpha_ {i} \cdot \beta_ {i} \cdot \bar {r} \tag {27} +$$ + +我们利用遗传算法对以上改善的DBSCAN算法进行求解，最终得到如图34所示的结果（局部）。我们可以发现，很多预成功率较小的点与成功率较大的点打包，试图提升打包任务的平均成功率。为了分析打包带来的效果，在图35中我们展示了成功执行率前后对比，成功执行率最高提升了 $7.2\%$ ，平均成功率提升 $2.3\%$ ，验证了任务联合打包对于成功率的提升有很大作用。 + +![](images/a5146d2abd056debe30d46f4a16cd1c5921b47c1ec799ef63b950ff2eead6f71.jpg) +图34打包结果局部展示 + +![](images/270b8599d2b8c2af10e615af14903f1d753f11715b7d3d6b5492fbcb9e9d5662.jpg) +图35 打包成功执行率改变情况 + +# 5.3.2. 打包任务定价方案 + +在定价之前寻找打包任务最近的用户，先确定多任务中心点，其 GPS 坐标由被打包任务点的平均经度与平均纬度确定。 + +首先寻找该中心点最近的用户距离，将该用户到这若干个任务点的折线距离转换成直线，示意图如下图所示。 $a_1$ 为距离打包任务最的用户，且其用户得分半径覆盖分任务点。我们将该用户执行任务的轨迹 $T_{1} \rightarrow T_{2} \rightarrow T_{3} \rightarrow T_{4}$ 的距离等效为 $a_1$ 至 $T_{4}'$ 的直线距离，其中： $T_{1}T_{2} = T_{1}T_{2}', T_{2}T_{3} = T_{2}'T_{3}', T_{3}T_{4} = T_{3}'T_{4}'$ 。 + +![](images/4b30c5e126b3b49db27a69b1bc27ef396e5800fc025068f04853870aab63e1e3.jpg) +图36 任务点等效距离示意 + +在任务的定价方案确定之前，我们先猜测定价 $p$ 由两部分组成，即任务本身价值 $p_1$ 与路途费用 $p_2$ 。而对于打包任务来说，任务本身价值 $p_1$ 没有发生变化，变化的为路途费用 $p_2$ 。 + +图36中，设 $a_1$ 与 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 、 $T_{3}$ 、 $T_{4}$ 任务的直线距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 、 $d_{3}$ 、 $d_{4}$ ，打包后 $a_1$ 到四个任务的等效距离为 $a_1$ 至 $T_{4}^{\prime}$ 的直线距离 $D$ 。此时，路途费用 $p_2^{\prime}$ 的计算方式如下（假设路途费用与路途距离成正比）： + +$$ +p _ {2} ^ {\prime} = p _ {2} \cdot D / \left(d _ {1} + d _ {2} + d _ {3} + d _ {4}\right) \tag {28} +$$ + +设任务 $i$ 本身价值 $x$ 、路途费用 $y$ 与定价 $p_{i}$ 服从的函数关系如下所示。 + +$$ +p _ {i} = \mu_ {i} \cdot x _ {i} + \varphi_ {i} \cdot y _ {i} \tag {29} +$$ + +其中 $\mu_{i} 、 \varphi_{i}$ 对于每个任务不同，需要通过拟合寻找最佳参数值。设打包的任务数量为 $n$ ，打包任务的定价 $P$ 与原任务定价的关系如下： + +$$ +P = \sum_ {1} ^ {n} \left(\mu_ {i} \cdot x _ {i}\right) + \left(D / \sum_ {1} ^ {n} d _ {i}\right) \cdot \sum_ {1} ^ {n} \left(\varphi_ {i} \cdot y _ {i}\right) \tag {30} +$$ + +其中 $D$ 为等效距离， $d_{i}$ 为用户到原 $i$ 个任务的距离，我们根据原数据对定价方式进行拟合判断，得到每个打包任务较为合理的定价。我们列出部分任务的定价如下表所示（完整表格见附录）： + +表 6 部分打包定价结果展示 + +
编号打包任务号任务坐标任务预定价预定价和打包定价
1A025323.0869,113.332468.5128.5114.5
A026223.0923,113.333765
2A013223.1382,113.389565203.5190
A014423.1354,113.390073.5
A019123.1378,113.391365
..................
25A001122.5249,113.930965267243.5
A001222.5191,113.935867
A002222.5159,113.935765.5
A003622.5260,113.935469.5
+ +# 5.4.新项目的任务定价方案与实施效果 + +# 5.4.1. 新项目定价方案 + +总结上文的定价方案，我们给出定价流程图，如下： + +![](images/0fde75e1c711c5eba454d046b6e2ffb1a83852b663dbda22015785aef913192a.jpg) +图37定价流程 + +该流程包含了上文的最优定价选择以及如何打包与打包任务定价的最优方案，并且对打包方案进行检测，在实际应用中具有较好的实用性。 + +# 5.4.2. 方案实施效果 + +我们利用上述流程对新数据进行定价及打包，最终得出的定价与成功率的结果如下表所示（部分结果，详细见附录）。 + +表 7 部分打包定价结果展示 + +
编号纬度经度定价成功率
122.73114.2467.120.74
222.73114.3068.340.69
...............
206623.16113.3772.960.89
+ +为了更清楚体现我们的结果，我们将其部分结果表示在地图上，其中方框内的数字表示该范围区域内的平均定价，用热力图表示其任务成功执行率。 + +![](images/19e59983ccd37a4eefb84b84f694309e4226a56447f9a7b622d8d3bfae9095e6.jpg) +图38定价与任务成功执行率分布 + +# 5.5. 仿真模拟模型 + +在问题二优化模型和第三问打包算法的改进下，我们得到了优化后的方案，但为了增强方案的可靠性，因此我们建立了仿真模拟模型，它包含两个部分：申请任务的概率模型、仿真模拟算法。 + +# 5.5.1. 申请任务的概率模型 + +该概率模型是从用户的角度出发，建立起申请某项任务的概率与其他因素的函数关系。完成该用户评价任务的因素具体有以下几个原因：任务的价格、离任务的距离、任务与任务之间的离散度、任务自身的难易程度、到达任务的交通便利程度，其中任务的价格与其他因素像博弈，也是最主要的因素。 + +为了简化模型，我们提出一个综合因素评价体系，并结合数据特点，建立一个综合了一下五个因素的整体指标：任务价格的影响程度 $w_{p}$ 、离任务的距离 $w_{d}$ 、任务与任务之间的离散程度 $w_{s}$ 、任务自身的难易程度 $w_{c}$ 、到达任务的交通便利程度 $w_{t}$ ，如下： + +$$ +W = \frac {\left(w _ {p} + w _ {d} \cdot w _ {s}\right)}{2} \cdot w _ {c} \cdot w _ {t} \cdot 100 \% \tag{31} +$$ + +其中， $W$ 满足以下条件 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} W = 0, & \left(w _ {p} + w _ {d} \cdot w _ {s}\right) / 2 \cdot w _ {c} \cdot w _ {t} \cdot 100 \% < 0 \\ W = 1, & \left(w _ {p} + w _ {d} \cdot w _ {s}\right) / 2 \cdot w _ {c} \cdot w _ {t} \cdot 100 \% > 1 \end{array} \right. \tag{32} +$$ + +因此，我们依次对这些因素进行量化分析： + +任务价格 $p$ + +任务的价格是影响任务的主要因素，因此： + +$$ +w _ {p} = \frac {\left(p _ {i} - \mathrm {P} _ {\text {a v e}}\right) ^ {3} + 1}{\left(\bar {p} - \mathrm {P} _ {\text {a v e}}\right) ^ {3} + 1} \tag {33} +$$ + +其中， $\mathbf{P}_{ave}$ 为历史数据的平均定价。 + +离任务的距离 $d$ + +$$ +w _ {d} = \left(2. 2 - \mathrm {e} ^ {d _ {i}}\right) / \left(2. 2 - \mathrm {e} ^ {\bar {d}}\right) \tag {34} +$$ + +任务与任务之间的离散度 $s$ + +$$ +w _ {s} = 1 + e ^ {\bar {s} - 1} / 1 + e ^ {s _ {i} - 1} \tag {35} +$$ + +任务自身的难易程度 $w_{c}$ + +$$ +w _ {c} = \operatorname {r a n d} _ {1} \tag {36} +$$ + +其中， $rand_{1}$ 是一个服从正太分布的随机数，其中均值为0.9，方差为0.05。到达任务的交通便利程度 $w_{t}$ + +$$ +w _ {t} = \operatorname {r a n d} _ {2} \tag {37} +$$ + +其中， $rand_2$ 是一个服从二项式分布的随机数，值为1的概率为 $80\%$ ，0.2的概率为 $20\%$ 。 + +# 5.5.2. 仿真模拟算法 + +1) 初始: 所有用户编号 $\mathrm{A}_{1}, \ldots, \mathrm{A}_{n}$ , 所有任务编号 $\mathrm{B}_{1}, \ldots, \mathrm{B}_{m}$ ; +2) 输入用户数据: 所有用户经度位置 $\mathrm{X}_{\mathrm{Al}}, \ldots, \mathrm{X}_{\mathrm{An}}$ 及维度 $\mathrm{Y}_{\mathrm{Al}}, \ldots, \mathrm{Y}_{\mathrm{An}}$ , 所任务的进度位置 $\mathrm{X}_{\mathrm{B1}}, \ldots, \mathrm{X}_{\mathrm{Bm}}$ 及维度 $\mathrm{Y}_{\mathrm{B1}}, \ldots, \mathrm{Y}_{\mathrm{Bm}}$ , 优化后任务的价格 $p_{1}, \ldots, p_{m}$ ; +3) 计算根据地球经纬度计算距离公式，计算任务与任务之间距离 $\mathrm{D}_{i,j}^{\mathrm{B}}, i, j = 1, \dots, m$ 、用户与人之间的距离 $\mathrm{D}_{i,j}^{\mathrm{AB}}, i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, m$ ; +4) 运用概率模型计算 $\mathbf{W}$ : 利用 $p_{1}, \ldots, p_{m}$ , $\mathrm{D}_{i,j}^{\mathrm{AB}}, i = 1, \ldots, n, j = 1, \ldots, m$ 和概率模型中的定义计算得 $w_{p} 、 w_{d}$ ; $w_{s}$ 由 $\mathrm{D}_{i,j}^{\mathrm{B}}, i, j = 1, \ldots, m$ 带入模型二中LOF函数中计算, $w_{c}, w_{t}$ ; 从而计算出概率模型整体指标 $W_{ij}, i = 1, 2, \ldots, n, j = 1, 2, \ldots, m$ ; +5）用户申请任务过程，并记录每个任务被申请的用户序号：每个用户按概率对每个任务产生01随机数；对每个任务而言，记录每个为1的用户； +6) 按用户的剩余限额比例排列分配所有任务：按任务序号依次处理任务，对每一个任务，对记录的用户按剩余限额比例排列，任务序号与排列第一的用户联合记录，并对该用户剩余限额做减一处理； +7) 输出结果: 任务与用户的对应关系, 即被做与做的数据 + +# 5.5.3. 仿真模拟结果 + +本次方案中一种有1689个独立任务和123个打包任务，其中48个为4个任务打包，35个为3个任务打包，40个为2个任务打包，共计2066个任务。 + +我们对该方案进行了100次的模拟，并对模拟中任务被做的次数除以总次数，记作该任务的模拟成功率 + +部分结果展示如下： + +表 8 部分模拟结果展示 + +
任务编号定价成功率模拟成功率
54767.074230.620.71
55267.199560.810.78
60868.830610.800.81
62165.970740.560.65
[1410,291]154.03570.290.1
[1562,293]119.6280.650.72
[1739,625]180.12430.310.35
[855,815]110.330.620.67
[27,1158,4]154.59750.630.52
[559,1638,463]177.85350.690.70
[495,505,510]161.65690.740.74
[16,19,40,23]177.45040.690.59
[55,88,1082,29]239.46080.450.50
[1007,1009,1010,41]190.5160.690.70
[7,8,18,84]154.60890.790.76
+ +结果通过统计显示模拟结果虽然波动很剧烈，但优化后的成功率与模拟成功率控制在 $20\%$ 的差别以内，我们可以认为优化后的方案可靠性强。 + +# 六. 模型灵敏度分析 + +# 6.1. 模型鲁棒性分析 + +在上文中，我们假设了一些参数，如我们计算最近平均距离时设定了离任务最近5个用户的平均距离；在衡量任务周围人数时，我们采用了 $1\mathrm{km}$ 作为半径；在利用LOF离群因子时，我们采用的 $k = 3$ ；在拟合最大利润时，我们设定了每个任务商家提供给系统的价格为90。 + +对于这些主观选择的因素，我们对其进行鲁棒性分析来观察当这些因素与我们假定因素不同时对模型结果的影响来观察模型是否鲁棒。为了观察效果，我们直接做出四个主观假定值与结果的函数图像，如下所示。 + +![](images/2a51051b1829f9821bd7c2c265a7b489e1fce2d8db128adc60032b9617ee1ae2.jpg) +图39平均距离假定参数波动影响 + +![](images/dec456ce8f7db3f3193e2680a6179b5a358017efd1a05606989bca519c5bbaeb.jpg) +图40覆盖半径假定参数波动影响 + +图39为平均距离选择的人数波动对定价的影响，我们发现从计算的最近人数为4个开始，我们的波动比例就基本稳定，即我们取5个最近用户计算平均值合理。 + +图40为覆盖半径选择对定价的影响，我们发现覆盖半径越高，定价越高，且呈现指数型增长，覆盖半径越大，定价越低，但是其趋势减缓。这可能是由于一个任务周围的用户再多也不可能使得定价无限制降低，这会导致系统的利润下降，因此降到一定的值就不再变化。我们取得 $1\mathrm{km}$ 在波动率较大的地方，这个参数选取可以调整为 $2\mathrm{km}$ 或 $3\mathrm{km}$ 从而回归出更精确的定价函数。 + +![](images/5693f8879a1c5daa4b30ad133988ce8b59ee10e49e26a41a86cf2286d0cb17e2.jpg) +图41商家任务定价对系统利润的影响 + +![](images/400680ba1bd2abed80e6c3b0020741ac9b212f4ab9a99e832e7705106aaeb60a.jpg) +图42K值波动对LOF离群因子的影响 + +图41为商家任务定价对系统利润的影响，我们发现可以较好地用一次函数进行拟合。该定价直接影响系统利润，商家给每个任务的定价越高，系统就会越看重成功率因素，以至系统愿意调高每个任务的定价来换取成功率。因此该参数需要具体的专家参考意见，因为该参数波动会较大影响模型鲁棒性。 + +图42为 $k$ 值波动对LOF离群因子的影响，该因子为决定任务与任务之间关 + +系的决定因素。我们取的 $k$ 值为 3 , 实际上当 $k$ 超过 5 之后, LOF 因子就基本保持不变, 因此可以取 $k \geq 5$ 能保证在该参数波动时模型也具有较好的鲁棒性。 + +# 6.2. 模型灵敏度分析 + +在第二问推演定价规律时，一共有三个回归函数，分别是距离任务一定范围内的人数、距离任务一定范围内的用户密度、任务的离群程度，而在回归分析时，每个函数都有若干个系数需要进行确定，在得出第二问的回归方程后，我们给出了每个参数 $95\%$ 的置信区间，接下去我们研究这些参数在区间内波动时对模型的影响。 + +![](images/7cb2d1940546d78ebf32e067e7de6f3b5fb9ea78e2e192893cb0cb5760a3be82.jpg) +图43因素1回归灵敏度分析 + +图43给出了用户密度对定价的回归函数的灵敏度，当参数负向波动时的影响大于正向波动时的影响。总体来说因素1的灵敏度不大。 + +![](images/d28a48b4935979bb56f64e52619df77932b5c69ca63d5868627297a8e07c09f9.jpg) +图44因素2回归灵敏度分析 + +图44给出了任务周围用户数量对定价的回归函数的灵敏度，当波动为 $-5.0\%$ 时，出现与两个回归函数的交叉，即在波动在该值时减少了离群值对函数的影响。在正向波动时函数较为灵敏。 + +![](images/8fd1f5e41b78d9a2f3195836a3ef03528b71135dea692750c79a7e8ff931caf2.jpg) +图45因素3回归灵敏度分析 + +图45给出了LOF值对定价的回归函数的灵敏度，当参数波动为 $+5.0\%$ 时，回归函数图像出现明显波动，而其余的值波动性较小。因此我们猜测函数在波动较小时不灵敏，在正向波动较大时灵敏度较高。 + +# 七. 模型的评价及推广 + +# 7.1. 模型的优点 + +# (1) 模型考虑因素多，适应性强； + +本文考虑到的定价影响因素较多，机遇问题的机理建立的机理模型适应性较强，回归效果良好。 + +# （2）使用一系列创新算法，实际表现良好； + +本文采用了一些创新算法，如研究任务与任务的关系时采用了LOF离群因子进行分析；在研究如何打包任务时，对DBSCAN算法进行改进，接着对打包后的包进行可行性分析，与原方案对比后发现表现良好。 + +# (3) 模型完整，鲁棒性强； + +本文从研究模型机理开始到模型建立、模型求解、模型验证、模型灵敏度分析, 整体框架较为完整, 且在最后的鲁棒性分析中验证了模型具有较好的鲁棒性。 + +# 7.2. 模型的不足 + +本模型程序运行时间较长。由于多因素作用下的多目标非线性优化模型对于计算机要求相对较高，需提高计算机配置才能快速求解。 + +# 7.3. 模型的推广 + +(1) 本文采用的机理分析方法, 结合回归分析、检验, 能用于多目标数据挖掘、优化问题上; +(2) 本文采用的LOF离群度检验的算法能用于推广用于电子商务犯罪和信用卡欺诈的侦查、网络入侵检测、生态系统失调检测、公共卫生、医疗和天文学上稀有的未知种类的天体发现等领域中，具有一定的启发作用； +(3) 本文改进的 DBSCAN 算法能发现任意形状的聚类簇, 同时过滤噪声, 使用者可以根据需求定义聚类强度, 能用于很多的分类问题上。 + +# 八. 参考文献 + +[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003:274-324. +[2] 张蕾. 一种基于核空间局部离群因子的离群点挖掘方法[J]. 上海电机学院学报, 2014, 17(03):132-136. +[3] 肖晓伟, 肖迪, 林锦国, 等. 多目标优化问题的研究概述[J]. 计算机应用研究, 2011, 28(03):805-808. +[4] 顾巧论, 高铁杠, 石连栓. 基于博弈论的逆向供应链定价策略分析[C]/全国决策科学多目标决策研讨会. 2005. +[5] 周水庚, 周傲英, 曹晶. 基于数据分区的 DBSCAN 算法[J]. 计算机研究与发展, 2000, 37(10):1153-1159. +[6] 罩运梅, 石琴. 出租车合乘模式的探讨[J]. 合肥工业大学学报: 自然科学版, 2006, 29(1):77-79. +[7] 黄毅军. 关于众包的特殊性的浅析[J]. 商情, 2013(39):39-39. +[8] 王惠文, 张志慧, Tenenhaus. 成分数据的多元回归建模方法研究[J]. 管理科学学报, 2006, 9(4):27-32. +[9] Horton J J, Chilton L B. The labor economics of paid crowdsourcing[C]// 2010:209-218. +[10]Paulauskas N. Local outlier factor use for the network flow anomaly detection[M]. John Wiley & Sons, Inc. 2015. +[11]Zheng L, Hu W, Min Y, et al. Weighted distance based outlier factor identifying and its application in wind data pre-processing[C]// Renewable Power Generation Conference. IET, 2014:1-5. +[12]QIN Yun mei, SHI Qin. Research on the combined-taxi mode[J]. Journal of Hefei University of Technology, 2006. +[13]Zhang D, Li Y, Zhang F, et al. coRide:carpool service with a win-win fare model for large-scale taxicab networks[C]// ACM Conference on Embedded Networked Sensor Systems. ACM, 2013:1-14. +[14]Zhang D, He T, Liu Y, et al. A Carpooling Recommendation System for Taxicab Services[J]. IEEE Transactions on Emerging Topics in Computing, 2017, 2(3):254-266. +[15]Rong-Sheng L V, Wang X W. Study on the Pricing Model of High-tech Products Based on Consumer Strategy Behavior[J]. Journal of China Three Gorges University, 2009. + +# 九. 附录 + +# 9.1.数据 + +# 9.1.1. 问题二优化后的定价与成功率（部分） + +
编号定价成功率编号定价成功率编号定价成功率
167.120.744567.000.738966.090.49
268.340.694667.710.669067.400.69
365.930.454767.690.769168.320.76
467.030.694868.860.819266.920.47
570.690.794967.360.699366.560.62
665.000.545067.740.409471.470.72
765.000.215166.770.339568.330.65
866.250.245265.000.449673.290.81
967.570.725367.890.729765.450.28
1066.680.525469.200.489866.090.36
1166.490.605566.100.279968.790.77
1267.760.765668.200.7310072.280.81
1367.390.635767.370.7210169.400.43
1467.900.695868.980.6210266.740.55
1567.500.645969.150.8010366.400.50
1665.940.386069.150.8010466.010.28
1766.890.546168.760.6310565.000.11
1865.000.196266.390.5610668.870.76
1965.940.386366.490.6010766.730.55
2067.440.676465.390.3210865.060.25
2165.000.206566.400.5710965.530.27
2266.990.706669.250.7911065.990.25
2367.860.476768.230.6811165.600.28
2468.070.666866.430.5511265.610.29
2566.710.526968.290.6811365.760.29
2667.750.627067.920.7611465.790.29
2765.860.367166.820.5711565.070.25
2866.800.647266.790.5111665.920.34
2966.230.417366.580.5911765.390.26
3067.820.687468.130.7611865.820.36
3167.610.627565.390.3211965.680.33
3268.010.777665.000.3612065.520.28
3367.820.687765.580.3612167.890.70
3466.490.607867.380.5612267.380.65
3566.610.637969.830.7612367.430.69
3668.650.698065.390.3212467.230.65
3766.090.498167.360.7412568.280.70
3866.100.498267.060.7212665.290.25
3966.490.608367.330.7412765.770.29
4066.240.378472.710.7612867.420.68
4167.080.698567.410.6612970.070.75
4268.160.558667.280.7313067.060.64
+ +# 9.1.2. 问题四优化结果及打包结果数据 data_group.xlsx + +# 9.2.MATLAB代码 + +Q1_2.m +$\% \%$ 单因素非线性回归（ $70\%$ 的总样本） +clear all +address_order $\equiv$ xslsread('data1.xls','B2:C836'); +address_user $\equiv$ xslsread('data2.xlsx','B2:C1878'); +user_limit $\equiv$ xslsread('data2.xlsx','D2:D1878'); +price $\equiv$ xslsread('data1.xls','D2:D836'); +address_order(:,1);%纬度 +address_order(:,2);%经度 +length(address_order); + $\%$ 数据预处理 +useless=[5,6,7,22,136,1708,1822,1727,472,39,82,48]; +address_user(useless,:)=[]; +useless_ord=[297,303,298]; +address_order(useless_ord,:)=[]; +price(useless_ord,:)=[]; +%经纬度换距离，生成距离矩阵 +[D]=dis_matrix_O2P(address_order,address_user);D1=D; + $\%$ 拟合 +n1=[1:10:832,2:10:832,8:10:832,4:10:832,5:10:832,10:10:832,7:10:832]; +n2=[3:10:832,6:10:832,9:10:832]; + $\% \%$ 平均距离 +[mean_ord]=dis_around(address_order,address_user); +plot(mean_ord(n1),price(n1),') +hold on +plot(mean_ord(n2),price(n2),'.r') +hold on +p=fittype('q1\*x^0.5+q2\*x + q3',‘independent','x'); +[fitobject,gof,output]=fit(mean_ord(n1),price(n1),p); +t=0:1:25000; +z=fitobject.q1\*t. $^{\wedge}0.5+$ fitobject.q2\*t + fitobject.q3; +plot(t,z,'r') +hold on +price_dis_or=fitobject.q1\*mean_ord(n1).^0.5+fitobject.q2\*mean_ord(n1)+ +fitobject.q3; +SSE_dis_or=sum((price(n1)-price_dis_or)^2);%原平方残差 +ave_SSE_dis_or=SSE_dis_or/length(n1) +price_dis=fitobject.q1\*mean_ord(n2).^0.5+fitobject.q2\*mean_ord(n2)+ fitobject.q3; +SSE_dis=sum((price(n2)-price_dis)^2);%平方残差 +ave_SSE_dis=SSE_dis/length(n2) +precent_SSE_dis=(ave_SSE_dis-ave_SSE_dis_or)/ave_SSE_dis_or + $\% \%$ 限额 +[num,limitednum]=amount(user_limit,D,1000); +plot(limitednum(n1),price(n1),') +hold on +plot(limitednum(n2),price(n2),'.r') +hold on + +$\%$ $(p1 + p2^* x + p3^* x^{\wedge}2) / (x + q1)$ $p =$ fittype('(p1+p2\*x+p3\*x^2)/ $(x + q1)$ ',independent',x'); [fitobject,gof,output]=fit(limitednum(n1),price(n1),p); +t=0:0.01:300; +z=(fitobject.p1+fitobject.p2\*t+fitobject.p3\*t.^2)./(t+fitobject.q1); +plot(t,z) +price_lim=(fitobject.p1+fitobject.p2\*limitednum(n2)+fitobject.p3\*limitednum(n2).^2) ./ (limitednum(n2)+ fitobject.q1); +SSE_lim=sum((price(n2)-price_lim').^2);%平方残差和 +ave_SSE_lim=SSE_lim/length(n2) +price_lim_or=(fitobject.p1+fitobject.p2\*limitednum(n1)+fitobject.p3\*limitednum(n1) ^2)./(limitednum(n1)+ fitobject.q1); +SSE_lim_or=sum((price(n1)-price_lim_or)^2);%原平方残差 +ave_SSE_lim_or=SSE_lim_or/length(n1) +precent_SSE_lim=(ave_SSE_lim-ave_SSE_lim_or)/ave_SSE_lim_or +%%LOF +lof=LOF(address_order,0); +plot(lof(n1),price(n1),'') +hold on + $p =$ fittype('a\*log(x)+c\*x+b','independent','x'); +[fitobject,gof,output]=fit(lof(n1),price(n1),p); +t=0.8:0.01:24; +z=fitobject.a\*log(t)+fitobject.c\*t+fitobject.b; +plot(t,z) +hold on +price_lof $=$ fitobject.a\*log(lof(n2))+fitobject.b; +plot(lof(n2),price(n2),'.r') +SSE_lof=sum((price(n2)-price_lof').^2);%平方残差和 +ave_SSE_lof=SSE_lof/length(n2) +price_lof_or $=$ fitobject.a\*log(lof(n1))+fitobject.b; +SSE_lof_or $=$ sum((price(n1)-price_lof_or').^2);%原平方残差 +ave_SSE_lof=SSE_lof/or/length(n1) +precent_SSE_lof=(ave_SSE_lof-ave_SSE_lof_or)/ave_SSE_lof_or + +Q1_3.m + $\% \%$ 非线性单因素回归（完成、未完成分组回归比较）clear alladdress_order $\equiv$ xlsread('data1.xls','B2:C836');price $=$ xlsread('data1.xls','D2:D836');onoff $=$ xlsread('data1.xls','E2:E836');address_user=xlsread('data2.xlsx','B2:C1878');user_limit=xlsread('data2.xlsx','D2:D1878');user_cash $\equiv$ xlsread('data2.xlsx','F2:F1878');% 数据预处理useless=[5,6,7,22,136,1708,1822,1727,472,39,82,48];address_user(useless,.)=[];user_limit(useless,.)=[];user_cash(useless,.)=[];useless_ord=[297,303,298]; + +```matlab +address_order(useless_ord,:=[]) +price(useless_ord,:=[]) +onoff(useless_ord,:=[]) +%%画图总人数完成及为完成 +on=find(onoff==1); +off=find(onoff==0); +order_on=address_order.*[onoff,onoff]; +order_off=address_order.*[abs(onoff-1),abs(onoff-1)]; +all(order_on == 0,2);%选出所有零行，并用logical向量表示 +order_on(all(order_on == 0,2,:) = []; %全零行设为空，即可去掉 +all(order_off == 0,2);%选出所有零行，并用logical向量表示 +order_off(all(order_off == 0,2,:) = []; %全零行设为空，即可去掉 +%%周围用户信息-周围人数限额总量 +[D]=dis_matrix_O2P(address_order,address_user); +[num,limitednum]=amount(user_limit,D,1000); +plot(limitednum(on),price(on),.']hold on +plot(limitednum(off),price(off),'.r') +hold on +p=fitttype('(p1+p2*x+p3*x^2)/(x+q1)','independent','x'); +[fitobject,gof,output]=fit(limitednum(on),price(on),p); +t=0:0.01:300; +z=(fitobject.p1+fitobject.p2*t+fitobject.p3*t.^2) / (t + fitobject.q1); +plot(t,z) +hold on +[fitobject,gof,output]=fit(limitednum(off),price(off),p); +t=0:0.01:300; +z=(fitobject.p1+fitobject.p2*t+fitobject.p3*t.^2) / (t + fitobject.q1); +plot(t,z,'r') +hold on +%%平均距离 +[mean_ord]=dis_around(address_order,address_user); +dis_on=mean_ord(on); +dis_off=mean_ord(off); +plot(dis_on,price(on),.']hold on +plot(dis_off,price(off),'.r') +hold on +p=fitttype('q1*x^0.5+q2*x+q3', 'independent','x'); +[fitobject,gof,output]=fit(dis_on,price(on),p); +t=0:0.01:2000; +z=fitobject.q1*t.^0.5+fitobject.q2*t + fitobject.q3; +plot(t,z) +hold on +p=fitttype('q1*x^0.5+q2*x+q3', 'independent','x'); +[fitobject,gof,output]=fit(dis_off,price(off),p); +t=0:0.01:8000; +z=fitobject.q1*t.^0.5+fitobject.q2*t + fitobject.q3; +plot(t,z,'r') +``` + +Q2_1.m +```matlab +hold on +%%LOF +lof_on=LOF(order_on,0); +lof_off=LOF(order_off,0); +plot(lof_on,price(on) ',') +hold on +plot(lof_off,price(off),'.r') +hold on +p=fittype('a\*log(x)+b','independent',x'); [fitobject,gof,output]=fit(lof_on',price(on),p); t=0.8:0.01:17; +z=fitobject.a\*log(t)+fitobject.b; +plot(t,z) +hold on +p=fittype('a\*log(x)+b','independent',x'); [fitobject,gof,output]=fit(lof_off',price(off),p); t=0.8:0.01:8; +z=fitobject.a\*log(t)+fitobject.b; +plot(t,z,'r') +hold on +``` + +$\% \%$ 多因素非线性回归（合理区间范围及成功率的拟合函数） + +clear all +address_order $\equiv$ xlsread('data1.xls','B2:C836'); +price $=$ xlsread('data1.xls','D2:D836'); +onoff $=$ xlsread('data1.xls',E2:E836'); +address_user=xlsread('data2.xlsx','B2:C1878'); +user_limit=xlsread('data2.xlsx','D2:D1878'); +user_cridt $\equiv$ xlsread('data2.xlsx','F2:F1878'); + +```matlab +%% 数据预处理 +useless=[5,6,7,22,136,1708,1822,1727,472,39,82,48]; +address_user(useless,:)=[]; +user_limit(useless,:)= []; +user_creme(useless,:)= []; +useless_ord=[297,303,298]; +address_order(useless_ord,:)= []; +price(useless_ord,:)= []; +onoff(useless_ord,:)= []; +on=find(onoff==1); +off=find(onoff==0); +``` + +$\% \%$ 因素 + +$\%$ 平均距离 [mean_ord] $=$ dis_around(address_order,address_user); $\% 2$ + +%周围人数，周围总限额 + +```matlab +[D]=dis_matrix_O2P(address_order, address_user); +[num, limitednum] = amount(user_limit, D, 1000); %3 %LOF +``` + +```txt +lof=LOF(address_order,0); %3 +``` + +%平均 + +m_ord=mean_ord./mean(mean_ord); + +m_num = num ./mean(num); + +m_limited=limitednum./mean(limitednum); + +m_lof=lof./mean(lof); + +%权重 + +$\mathrm{W = [0.4833,0.3036,0.2131]}$ + +three_factor $\equiv$ W\*[m_ord;m_limited;m_num]; + +X_all=[lof',three_factor']; + +X_on=X_all(on,:); + +X_off=X_all(off,:) + +%% 完成组，价格回归 + +$\mathrm{X = [ones(length(X_on(:,1)),1),X_on(:,1),X_on(:,1).^{\wedge}2,X_{-}on(:,1).^{\wedge}3,\ldots}$ + +X_on(:,2),X_on(:,2).^2,X_on(:,2).^3]; + +[b_on, $\sim ,\sim ,\sim$ stats_on]=regress(price(on),X); + +plot3(X_on(:,1),X_on(:,2),price(on,'.') + +hold on + +ezsurf('65.9679+6.4501*x+-0.9066*x.^2+0.0340*x.^3+-2.8345*y+0.9785*y.^2+-0.1 + +616\*y.^2',[min(X_on(:,1)),max(X_on(:,1))-3.5,min(X_on(:,2)),max(X_on(:,2))-1.2]) + +hold on + +$\% \%$ 不完成，价格回归 + +$\mathrm{X = [ones(length(X_off(:,1)),1),X_off(:,1),X_off(:,1).^{\wedge}2,\ldots}$ + +X_off(:,2),X_off(:,2).^2,X_off(:,1).*X_off(:,2)]; + +[b_off, $\sim ,\sim ,\sim ,$ stats_off] $\equiv$ regress(price(off),X); + +plot3(X_off(:,1),X_off(:,2),price(off),'.r') + +hold on + +ezsurf('64.8343+3.8219*x+-0.7506*x.^2+-2.1090*y+-0.1109*y.^2+1.6097*x.*y',[mi + +$\mathrm{n(X\_off(:,1)),max(X\_off(:,1)) - 3.5,min(X\_off(:,2)),max(X\_off(:,2)) - 1.2]}$ + +hold on + +$\% \%$ 成功率 + +m_price $=$ price./mean(price); + +X_per=[lof',three_factor',m_price]; + +$\mathrm{X = [ones(length(price),1),X\_per(:,1),X\_per(:,1).^{\wedge}2,\dots}$ + +X_per(:,2).^2,... + +X_per(:,2),X_per(:,3).^2,X_per(:,3).^3,... + +X_per(:,2).*X_per(:,3)]; + +[b,bint,r,rint,U]regress(onoff,X); + +# Q2_2.m + +clear all + +%数据导入 + +address_order = xlsread('data1.xls','B2:C836'); + +$\%$ price = xlsread('data1.xls','D2:D836'); + +$\%$ onoff = xlsread('data1.xls', 'E2:E836'); + +address_user=xlsread('data2.xlsx','B2:C1878'); + +user_limit=xlsread('data2.xlsx','D2:D1878'); + +% user_cred $\equiv$ xlsread('data2.xlsx',F2:F1878'); + +```matlab +useless=[5,6,7,22,136,1708,1822,1727,472,39,82,48]; +address_user(useless,:)]; +user_limit(useless,:)=[]; +useless_ord=[297,303,298]; +address_order(useless_ord,:)=[]; +%平均距离 +[mean_ord]=dis_around(address_order,address_user); +%周围人数，周围总限额 +[D]=dis_matrix_O2P(address_order,address_user); +[num,limitednum]=amount(user_limit,D,1000); +%LOF +lof=LOF(address_order,0); +%合理价格区间 +[price_top,price_bottom]=predict(mean_ord,num,limitednum,lof); +x0=70*ones(835,1); +fmincon(@fun1,x0,[],[],[].].).price_top,price_bottom); +``` + +Q3_1.m +```matlab +%% 改进DPCA +clear all +address_order = xlsread('data1.xls','B2:C836'); +price = xlsread('data1.xls','D2:D836'); +onoff = xlsread('data1.xls','E2:E836'); +address_user = xlsread('data2.xls','B2:C1878'); +user_limit = xlsread('data2.xls','D2:D1878'); +user_cridt = xlsread('data2.xls','F2:F1878'); +``` + +$\% \%$ 数据预处理 +```prolog +useless=[5,6,7,22,136,1708,1822,1727,472,39,82,48]; +address_user(useless,:)=[]; +user_limit(useless,:)= []; +user_credits(useless,:)= []; +useless_ord=[297,303,298]; +address_order(useless_ord,:)= []; +price(useless_ord,:)= []; +onoff(useless_ord,:)= []; +on=find(onoff==1); +off=find(onoff==0); +``` + +$\%$ 平均距离 +[mean_ord] $=$ dis_around(address_order,address_user); $\% 2$ $\%$ 周围人数，周围总限额 +[D]=dis_matrix_O2P(address_order,address_user); +[num,limitednum]=amount(user_limit,D,1000); $\% 3$ $\%$ LOF +lof=LOF(address_order,0); $\% 3$ +[percent]=pre_percent(mean_ord,num,limitednum,lof,price); + +```matlab +theta_normal=500; +k=0.4; +theta=(-2*exp(0.5*percent)+4)*theta_normal; +%%局部密度 +for i=1:length(address_order)%每一个任务 + for j=1:length(address_order)%每一个任务 + dist(j,i) = geodistance(address_order(i,:),address_order(j,:),6);%每个任务 +到每个任务的距离 +end +end +for i=1:length(address_order) + desity(i)=sum(dist(:,i)desity(i)) + dis_highdesity(i)=min(dist.find(desity>desity(i),i)); + else + dis_highdesity(i)=max(dist(:,i)); + end +end +%%按局部密度和高密度点距离依次判断打包并筛选 +[~,I1]=sort(desity); +[~,I2]=sort(dis_highdesity); +[~,I3]=sort(I1); +[~,I4]=sort(I2); +I=I3+I4; +[~,E]=sort(I); +for i=1:length(address_order) + dist(i,i)=inf; +end +Q=ones(1,length(address_order)); +for i=E + if percent(i)3 L $\equiv$ L(1:3); end eval(['a{',num2str(i),}] $\equiv$ ,'[L,O]';'); end end + $\% \%$ 整理打包数据并画图 + $\%$ 打包图 +for i=1:length(a) group_amount(i)=length(a{i}); +end +for i=1:max(group_amount) eval(['Group',num2str(i), $\equiv$ [],''); eval(['G',num2str(i), $\equiv$ find(',group_amount', $\equiv$ ',i',]); for j=1:eval(['length(G',num2str(i),)] +eval(['Group',num2str(i), $\equiv$ ,[Group',num2str(i),a{',G',num2str(i),'(j)'}], ')); if i>1 plot(address_order.eval(['a{',G',num2str(i),'(j)'}]),1),address_order.eval(['a{',G',nu m2str(i),'(j)'],2),'LineWidth',4,... 'Color',[159/255 158/255 156/255]); hold on end end +end + $\%$ 按百分比分类画散点图 +f1 $\equiv$ find(percent<=0.4); +f2 $\equiv$ find((percent<=0.7)+(percent>0.4) $\equiv = 2$ . +f3 $\equiv$ find(0.7desity(i))) + +dis_highdesity(i) $=$ min(distfind(desity>desity(i),i)); + +else + +dis_highdesity(i) = max(dist(:, i)); + +end + +end + +$[\sim ,\mathrm{I}1] = \mathrm{sort}(\mathrm{desity})$ + +$[\sim ,\mathrm{I2}] = \mathrm{sort(dis\_highdesity)}$ + +$[\sim ,\mathrm{I3}] = \mathrm{sort(I1)}$ + +$[\sim ,\mathrm{I4}] = \mathrm{sort}(\mathrm{I2})$ + +$\mathrm{I = I3 + I4}$ + +$[\sim ,\mathrm{E}] = \mathrm{sort}(\mathrm{I})$ + +for $i = 1$ :length(address_order) + +$\mathrm{dist(i,i) = inf}$ + +end + +Q=ones(1,length(address_order)); + +for $\mathrm{i} = \mathrm{E}$ + +if percent(i) $< \mathrm{k}$ + +$\mathrm{L} = []$ + +else + +$\mathbf{K} =$ find(dist(i,:)3 + +$\mathrm{L = L(1:3)}$ + +end + +eval(['a{'',num2str(i),}]=',[L,O}', ';']); + +end + +end + +for $i = 1$ :length(a) + +group_amount(i) = length(a{i}); + +end + +for $i = 1: \max(\text{group\_amount})$ + +eval(['Group',num2str(i),\[=][',':'])]; + +eval(['G',num2str(i),='find(','group_amount','==','i','):')); + +for $j = 1$ :eval(['length(G',num2str(i),')']) +eval(['Group',num2str(i), $\equiv^{\prime \prime}$ ['Group',num2str(i),a{','G',num2str(i),('j'),}]';')]; +end +end +price_new $=$ price; +%组内每个成员定价 +P=find(group_amount>1); +for i=P num_order $\coloneqq []$ ;Peo2O_group $\coloneqq []$ sum_length(i)=0; [gprice{i}]=pre_price(mean_ord(a{i}),num(a{i}),limitednum(a{i}),lof(a{i}); fix_price(i)=0.3\*sum(gprice{i}); group_dis $\coloneqq []$ ; for u=1:(length(a{i})) for w=1:(length(a{i})) if u\~ $\equiv$ w +group_dis(u,w)=geodistance(address_order(a{i}(u),:),address_order(a{i}(w),:,6); else group_dis(u,w)=inf; end end end ave_address_order(1)=mean(address_order(a{i}(w),1));%中心 ave_address_order(2)=mean(address_order(a{i}(w),2)); for g=1:length(address_user) P2O_group(g)=geodistance(address_user(g,:.),ave_address_order,6); end people_clo $\equiv$ address_userfind(P2O_group $\equiv$ min(P2O_group)),%选择最近的一个任务先开始 for u=1:(length(a{i})) Peo2O_group(u)=geodistance(people_clo,address_order(a{i}(u),:),6); +end +% num_order(1)=find(Peo2O_group $\equiv$ min(Peo2O_group)); sum_length(i)=(sum_length(i)+min(Peo2O_group)); +% for u=1:(length(a{i})-1) num_order(u+1)=find(num_order(u)=min(group_dis(num_order(u),:)); +% group_dis +% end +[~,I]=sort(address_order(a{i},1)); for u=1:(length(a{i}))-1) sum_length(i)=sum_length(i)+group_dis(I(u),I(u+1)); +end +% 原始距离 sum_lengthorg(i)=sum(Peo2O_group); flu_price(i)=0.7\*sum(gprice{i})\*(sum_length(i)/sum_lengthorg(i)); new_price(i)=flu_price(i)+fix_price(i); +end + +for $\mathrm{i} = \mathrm{P}$ + +address_order1 = xlsread('data1.xls','B2:C836'); + +useless_ord=[297,303,298]; + +address_order1(useless_ord,:) = []; + +ave_address_order(1) = mean(address_order(a{i}, 1));% 中心 + +ave_address_order(2) = mean(address_order(a{i}, 2)); + +address_order1(a{i},:)=[]; + +address_order1 = [address_order1; ave_address_order]; + +$\%$ 平均距离 + +[ave_mean_ord] $\equiv$ dis_around(ave_address_order,address_user); + +%周围人数，周围总限额 + +[ave_num,ave_limitednum]=amount(user_limit,dis_matrix_O2P(ave_address_order, address_user),1000); %3 + +%LOF + +ave_lof $\equiv$ LOF(address_order1,0); + +% + +percent=percent(ave_mean_ord(),ave_num,ave_limitednum,ave_LOf(end),new_price(i)); + +$\mathrm{W = [0.4833,0.3036,0.2131]}$ + +three_factor=W*[ave_mean_ord/1.2336e+03;ave_limitednum/31.3149;ave_num/4.2488]; + +$\mathrm{x = ave\_lof(end) / 1.3324}$ + +y=three_factor; + +z=(new_price(i)/69.0956)'; + +percent_1=-3.3511-0.0432*x+0.0020*x^2+0.0525*y^2+0.2144*z+9.6430*z^2+-5.45 63*z^3+-0.4137*y*z; + +percent_1find(percent_1>1))=1; + +percent_1find(percent_1<0))=0; + +$\%$ percent_new(i) $=$ percent_1-mean(percent(a{i})); + +percent_new(i) $=$ percent_1; + +end + +num1 = find(group_amount == 1); + +num2 = find(group_amount == 2); + +num3 = find(group_amount == 3); + +num4 = find(group_amount == 4); + +$\mathrm{j} = 1;\mathrm{k} = 1;\mathrm{l} = 1$ + +for $i = 1$ :length(num2) + +$[\sim ,\mathrm{n}] = \mathrm{size}(\mathrm{a}\{\mathrm{num2(i)}\})$ + +group2(j:j+n-1,:)=address_order(a{num2(i)},:); + +$\mathrm{j} = \mathrm{j} + \mathrm{n}$ + +end + +for $i = 1$ :length(num3) + +$[\sim ,\mathrm{n}] = \mathrm{size}(\mathrm{a}\{\mathrm{num3(i)}\})$ + +group3(k:k+n-1,:)=address_order(a{num3(i)},:); + +$\mathrm{k = k + n}$ + +end + +for $i = 1$ :length(num4) + +```matlab +[~,n]=size(a{num4(i)}; +group4(l;l+n-1,:)=address_order(a{num4(i)},:); +l=l+n; +end +price(num1,): +percent_1(num2) +percent(num3) +percent(num4) +%画图 +x=address_order(:,1); +y=address_order(:,2); +z=-percent_new'; +z(length(x),1)=0; +%取x的最大值 +maxx=max(x); +%取x的最小值 +minx=min(x); +%同x +maxy=max(y); +miny=min(y); +%生成网格 +[X,Y]=meshgrid(inspace(minx,maxx),linspace(miny,maxy)); +Z=griddata(x,y,z,X,Y,'v4'); +ZZZ=Z.*(0.5*(Z<0)+(Z>=0)); +mesh(X,Y,ZZZ+0.02) +hold on +ZZ=zeros(100,100); +surf(X,Y,ZZ) +shading faceted +hold on +``` + +Q4_1.m +```matlab +clear all +address_order = xslsread('data3.xls','B2:C2067'); +address_user = xslsread('data2.xlsx','B2:C1878'); +user_limit = xslsread('data2.xlsx','D2:D1878'); +user_credits = xslsread('data2.xlsx','F2:F1878'); +useless = [5,6,7,22,136,1708,1822,1727,472,39,82,48]; +address_user(useless,:)]; +user_limit(useless,:)]; +user_credits(useless,:)]; +``` + +$\%$ 平均距离 +[mean_ord] $\equiv$ dis_around(address_order,address_user); + $\%$ 周围人数，周围总限额 +[D]=dis_matrix_O2P(address_order,address_user); +[num,limitednum]=amount(user_limit,D,1000); + $\%$ LOF + +lof=LOF(address_order,0); + +合理价格区间 + +[ \text{[price]} = \text{pre\_price(mean\_ord, num, limitednum, lof)} ] + +[percent]=pre_percent(mean_ord,num,limitednum,lof,price); + +percent=percent'; + +xlswrite('data4_ins.xlsx',address_order,'A2:B2067') + +xlsxwrite('data4_ins.xlsx', price, 'C2:C2067') + +xlswrite('data4_ins.xlsx',percent,'D2:D2067') + +theta_normal $= 500$ + +$\mathrm{k} = 0.4$ + +theta $=$ (-2\*exp(0.5\*percent)+4)\*theta_normal;%% 局部密度 + +$\%$ 局部密度 + +for i=1:length(address_order)%每一个任务 + +for $j = 1$ :length(address_order)%每一个任务 + +dist(j,i) = geodistance(address_order(i,:),address_order(j,:),6);% 每个任务 + +到每个任务的距离 + +end + +end + +for $i = 1$ :length(address_order) + +desity(i) = sum(dist(:, i) < theta(i)) - 1; + +end + +$\% \%$ 高密度点之间的距离 + +```matlab +for i=1:length(address_order) + if ~isEmpty_find(desity>desity(i)) + dis_highdesity(i)=min(dist_find(desity>desity(i),i)); + else + dis_highdesity(i)=max(dist(:,i)); +end +end +``` + +$[\sim ,\mathrm{I}1] = \mathrm{sort}(\mathrm{desity})$ + +$[\sim ,\mathrm{I2}] = \mathrm{sort(dis\_highdesity)}$ + +$[\sim ,\mathrm{I3}] = \mathrm{sort(I1)}$ + +$[\sim ,\mathrm{I4}] = \mathrm{sort}(\mathrm{I2})$ + +$\mathrm{I = I3 + I4}$ + +$[\sim ,\mathrm{E}] = \mathrm{sort}(\mathrm{I})$ + +for $i = 1$ :length(address_order) + +dist(i,i) $=$ inf; + +end + +Q=ones(1,length(address_order)); + +for i=E + +if percent(i) $< \mathrm{k}$ + +$\mathrm{L} = []$ + +else + +K=find(dist(i,:)3 L=L(1:3); end eval(['a{'num2str(i),}]=','[L,O]',''); end end for i=1:length(a) group_amount(i)=length(a{i}); end for i=1:max(group_amount) eval(['Group',num2str(i),[']=['],]); eval(['G',num2str(i),='find(','group_amount',=='',i',')'); for j=1:eval(['length(G',num2str(i),)]) eval(['Group',num2str(i),=','[Group',num2str(i),,'a{','G',num2str(i),'(j)，'}']; end end price_new=price; %组内每个成员定价 P/find(group_amount>1); for i=P num_order=[[;Peo2O_group=[[; sum_length(i)=0; [gprice{i}]=pre_price(mean_ord(a{i}),num(a{i}),limitednum(a{i}),lof(a{i})); fix_price(i)=0.3*sum(gprice{i}); group_dis=[[; for u=1:(length(a{i})) for w=1:(length(a{i})) if u~=w + +group_dis(u,w) $\equiv$ geodistance(address_order(a{i}(u),:),address_order(a{i}w),:),6); else group_dis(u,w) $\equiv$ inf; end end end ave_address_order(1) $\equiv$ mean(address_order(a{i}w),1):%中心 ave_address_order(2) $\equiv$ mean(address_order(a{i}w),2); for g=1:length(address_user) P2O_group(g) $\equiv$ geodistance(address_user(g,:),ave_address_order,6); end people_clo $\equiv$ address_userfind(P2O_group $\equiv$ min(P2O_group)),%选择最近的一个任务先开始 for u=1:(length(a{i})) Peo2O_group(u) $\equiv$ geodistance(people_clo,address_order(a{i}u),:),6); end % num_order(1)=find(Peo2O_group $\equiv$ min(Peo2O_group)); sum_length(i)=(sum_length(i)+min(Peo2O_group)); for u=1:(length(a{i}))-1) num_order(u+1)=find(num_order(u)=min(group_dis(num_order(u),:)); % group_dis end [~,I]=sort(address_order(a{i},1)); for u=1:(length(a{i})-1) sum_length(i)=sum_length(i)+group_dis(I(u),I(u+1)); end %原始距离 sum_length.org(i)=sum(Peo2O_group); flu_price(i)=0.7\*sum(gprice{i})\*(sum_length(i)/sum_lengthorg(i)); new_price(i)=flu_price(i)+fix_price(i); +end for i=P 1 address_order1 $=$ address_order; useless_ord=[297,303,298]; address_order1(useless_ord,:)=[]; ave_address_order(1)=mean(address_order(a{i},1)):%中心 ave_address_order(2)=mean(address_order(a{i},2)); address_order1(a{i},:)=[]; address_order1=[address_order1;ave_address_order]; %平均距离 [ave_mean_ord] $\equiv$ dis_around(ave_address_order,address_user); %周围人数，周围总限额 +[ave_num,ave_limitnum] $\equiv$ amount(user_limit,dis_matrix_O2P(ave_address_order,a dress_user),1000); %3 %LOF ave_lof $\equiv$ LOF(address_order1,0); + +$\%$ percent=percent(ave_mean_ord(),ave_num,ave_limitednum,ave_LOf(end),new_price(i)); $\mathrm{W} = [0.4833,0.3036,0.2131]$ + +```matlab +three_factor = W * [ave_mean_ord/1.2336e+03; ave_limitnum/31.3149; ave_num/4.2488]; +x = ave_lof(end)/1.3324; +y = three_factor; +z = (new_price(i)/69.0956)'; +``` + +percent_1=abs(-3.3511-0.0432*x+0.0020*x^2+0.0525*y^2+0.2144*z+9.6430*z^2+-5.4563*z^3+-0.4137*y*z); percent_1find(percent_1>1)=1; percent_1find(percent_1<0)=0; $\%$ percent_new(i) $=$ percent_1-mean(percent(a{i})); percent_new(i) $=$ percent_1;2 +end + +```matlab +xlswrite('data4_group.xlsx', Group2', 'A2:A37'); +xlswrite('data4_group.xlsx', address_order(Group2)', 'B2:C37'); +xlswrite('data4_group.xlsx', new_price(G2)', 1, 'D2:D19'); +xlswrite('data4_group.xlsx', percent_new(G2), 1, 'G2:G1650'); +``` + +```matlab +xlswrite('data4_group.xlsx', Group3', 2, 'A2:A40'); +xlswrite('data4_group.xlsx', address_order(Group3)', 2, 'B2:C40'); +xlswrite('data4_group.xlsx', new_price(G3)', 2, 'D2:D14'); +xlswrite('data4_group.xlsx', percent_new(G3), 2, 'G2:G1650'); +``` + +```txt +xlswrite('data4_group.xlsx',Group4',3,'A2:A153'); +xlswrite('data4_group.xlsx',address_order(Group4)',3,'B2:C153'); +xlswrite('data4_group.xlsx',new_price(G4)',3,'D2:D39'); +xlswrite('data4_group.xlsx',percent_new(G4),3,'G2:G1650'); +xlswrite('data4_group.xlsx',Group1',4,'A2:A2050'); +xlswrite('data4_group.xlsx',address_order(Group1)',4,'B2:C2050'); +xlswrite('data4_group.xlsx',price(G1),4,'D2:D1650'); +xlswrite('data4_group.xlsx',percent(G1),4,'G2:G1650'); +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/C007/C007.md b/MCM_CN/2017/C007/C007.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..57e47ce9fd2cc8a8991939c5633cd0700408df41 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/C007/C007.md @@ -0,0 +1,643 @@ +# 颜色与物质浓度的辨识问题 + +# 摘要 + +本文是对颜色与物质浓度的辨识问题的研究，通过对溶液色度值与待测物浓度的实验数据进行多元回归分析，建立了线性和非线性回归方程模型，给出了数据的评价准则和模型的误差分析。 + +问题一：首先依据对数据初步分析，发现物质浓度与颜色读数存在着一定的关系。利用MATLAB统计工具箱中的Regress函数求出回归系数和置信区间，并进行残差分析，最终建立关于颜色读数和物质浓度的多元线性回归模型。基于对模型的检验分析的基础上，给出了判别数据优劣的五大准则，分别是评估模型是否成功的四个要素， $F$ 检验、相关系数 $R^2$ 、 $P$ 值、估计误差方差 $S^2$ ；再加上数据完整性要素，即模型拟合过程中是否存在异常数据剔除。根据判别准则，数据优劣的排序为：组胺>溴酸钾>奶中尿素>硫酸铝钾>工业碱。 + +问题二：首先建立二氧化硫浓度与颜色读数之间的线性回归模型，模型的残差较大，拟合效果不佳。考虑建立非线性二次回归模型，利用MATLAB统计工具箱中的rstool函数建模，通过剩余标准差和残差评估模型优劣。最终建立的非线性二次回归模型中，剩余标准差很小，预测模型非常好，模型的残差相比五元线性回归模型降低了一个数量级，因此线性二次回归模型比线性回归模型更优。 + +问题三：首先降低多元线性回归模型中颜色的维度来分析颜色维度对模型的影响；然后再通过减少数据量来分析数据量对模型的影响。通过分析发现：数据量不能低于6，一般在10-15之间；颜色纬度可以降低，二纬和三纬都可以，一纬模型就不太优甚至不成立了，而且颜色维度的大小比数据量的多少对模型的影响更大；于是最后使用层次分析法对数据量的多少和颜色维度的大小对模型的影响因子进行分析求解，得出了影响因子分别为0.414和0.586。 + +关键词：多元线性回归，多元非线性二次回归，MATLAB，误差，层次分析法 + +# 问题重述 + +# （一）问题的背景： + +比色法是目前常用的一种检测物质浓度的方法，即把待测物质制备成溶液后滴在特定的白色试纸表面，等其充分反应以后获得一张有颜色的试纸，再把该颜色试纸与一个标准比色卡进行对比，就可以确定待测物质的浓度档位了。由于每个人对颜色的敏感差异和观测误差，使得这一方法在精度上受到很大影响。随着照相技术和颜色分辨率的提高，希望建立颜色读数和物质浓度的数量关系，即只要输入照片中的颜色读数就能够获得待测物质的浓度。试根据附件所提供的有关颜色读数和物质浓度数据完成下列问题： + +# （二）问题的提出： + +1. 附件Data1.xls中分别给出了5种物质在不同浓度下的颜色读数，讨论从这5组数据中能否确定颜色读数和物质浓度之间的关系，并给出一些准则来评价这5组数据的优劣。 +2. 对附件 Data2.xls 中的数据，建立颜色读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析。 +3. 探讨数据量和颜色维度对模型的影响。 + +# 二、模型假设与符号说明 + +# 1. 模型假设 + +1）反应应具有较高的灵敏度和选择性； +2）反应生成的有色化合物的组成恒定且较稳定； +3）选择适当的显色反应和控制好适宜的反应条件。 + +# 2. 符号说明：见表1 + +
符号含义单位
Yi各待测物理论浓度 (i=1,2,3,4,5,6)ppm(mg/L)
Ŷi各待测物实际浓度 (i=1,2,3,4,5,6)ppm(mg/L)
C回归方程回归系数
r残差
R²相关系数
FF值
P与F对应的概率
S²估计误差方差
B蓝色颜色值
G绿色颜色值
R红色颜色值
H色调
S饱和度
m数据量
+ +表 1 符号说明 + +# 三、问题的分析 + +首先对Data1.xls和Data2.xls提供的数据利用MATLAB进行相关性分析发现：颜色读数（五个维度：B,G,R,H,S）对物质浓度呈现一定线性相关性，而这一结论与文献[1]使用朗博-比尔吸收定律得到的结论一致。即物质浓度和颜色读数之间存在一定的关系。 + +其次利用统计学中的多元回归[2]对给出的六组数据进行回归分析，从而得出物质浓度与颜色读数（五维）之间的相互关系，确定它们之间合适的数学表达式（或数学模型）即经验公式或回归方程。 + +# 针对问题一 + +基于对Datal.xls的数据分析，我们可以利用MATLAB统计工具箱中的Regress函数求出回归系数和置信区间，绘出残差图并进行残差分析，剔除置信区间不包含零点的异常点数据，重新进行多元线性回归，能够更好地建立关于颜色读数和物质浓度的多元线性回归模型。 + +基于对模型的检验分析的基础上，可以考虑评估模型是否成功的四个要素， $F$ 检验、相关系数 $R^2$ 、 $P$ 值、估计误差方差 $S^2$ ，相关系数 $R^2$ 越接近1，说明回归方程越显著； $F > F_{1 - \alpha}(k, n - k - 1)$ 时拒绝 $H_0$ ， $F$ 越大，说明回归方程越显著；与 $F$ 对应的概率 $P < \alpha$ 时拒绝 $H_0$ ，回归模型成立。估计误差方差越小，回归方程越显著。还可以再考虑数据完整性要素，即模型拟合过程中是否存在异常数据剔除。给出对应评价Data1.xls中5组数据优劣的五大准则，并根据5组数据是否同时满足五大准则对其优劣进行判别。 + +# 针对问题二 + +问题二是在问题一的基础上，进一步确定颜色读数和物质浓度的数学模型-线性回归方程。首先建立二氧化硫浓度与颜色读数之间的线性回归模型，模型的残差较大，拟合效果不佳。 + +考虑建立非线性二次回归模型, 利用 MATLAB 统计工具箱中的 rstool 函数建 + +模，通过剩余标准差和残差评估模型优劣。最终建立的非线性二次回归模型中，剩余标准差很小，预测模型非常好，模型的残差相比多元线性回归模型降低了一个数量级，因此线性二次回归模型比线性回归模型更优。通过两种模型的误差的对比发现：非线性回归二次方程的精度更高。 + +# 针对问题三 + +问题三是讨论数据量和颜色维度对模型的影响。根据问题一和问题二的求解结果发现：数据量的大小会影响模型的优劣；以及通过枚举法调整线性回归中变量的数量即颜色维度发现：颜色维度的多少也会影响模型的优劣。而且数据量对模型优劣的影响度大于颜色维度对模型优劣的影响度。因此本文提出采用层次分析法对两者的影响因子进行分析，最终得出了数据量和颜色维度对模型优劣的影响因子。 + +# 四、模型的建立与求解 + +# 问题一： + +基于对数据的分析，本文认为有Data1.xls提供的5组数据能确定颜色读数与物质浓度之间的关系，并建立了多元线性回归模型： + +$$ +Y = \varepsilon + C _ {1} R + C _ {2} G + C _ {3} B + C _ {4} H + C _ {5} S \tag {I} +$$ + +(I) 式中 $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{5}$ 表示方程的回归系数。 + +利用matlab统计工具箱建立多元线性回归方程： + +$$ +[ b, \text {b i n t}, r, \text {r i n t}, \text {s t a t s} ] = \text {r e g r e s s} (Y, X, \text {a l p h a}) (I I) +$$ + +式（II）中b为回归系数，hint为回归系数的置信区间，r为残差，rint为残差的置信区间，alpha为显著性水平。stats包含四个统计量，相关系数 $R^2$ 、F值、与F对应的概率p，估计误差方差。相关系数 $R^2$ 越接近1，说明回归方程越显著； $F > F_{1 - \alpha}(k,n - k - 1)$ 时拒绝 $H_0$ ，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率 $p < \alpha$ 时拒绝 $H_0$ ，回归模型成立。估计误差方差越小，回归方程越显著。 + +# 1. 组胺浓度与颜色读数之间的关系函数： + +根据组胺的实验数据（见表2），其中0表示待测物质浓度为零的情形，即水溶液，使用matlab对数据进行多元线性回归（代码见附录中程序1），画出残差图（图1）并给出具体的残差值（表3）和其置信区间（表4）。 + +
浓度（ppm）BGRHS
06811012123111
100376611012169
50468711716155
25629912019122
12.56610211820112
06511012024115
100356410911172
50468711816153
25609912019126
12.56410111820115
+ +![](images/9ac7be7e6db47565130ca5bb605510d6b13eb9628dcc2ec4032e994f309083a1.jpg) +表 2 组胺的实验数据 + +图1组胺浓度与颜色读数线性回归残差图 + +
浓度（ppm）残差值r
0-0.993129343227508
100-0.083240562564029
50-0.184054282892987
25-0.087070619285910
12.50.920198815901770
00.733366635833562
1000.141799543614084
50-0.222352920091282
251.056506552856305
12.5-1.282023820143920
+ +表 3 组胺浓度与颜色读数线性回归残差值 + +
相关系数R²F值与F对应的概率P估计误差方差
0.9995801101011904.4613583004010.0000007710221.312155935514
+ +表4 + +由表 4: 相关系数 $R^{2} = 0.999580110101$ , 说明回归方程非常显著。F 对应的概率 $p < \alpha$ , 拒绝 $H_{0}$ , 根据 F 检验, 回归模型 (III) 成立。 + +$$ +\begin{array}{l} y = - 2 1 2. 7 6 5 0 2 0 0 9 0 4 6 8 2 + 2. 8 5 4 8 2 6 7 8 4 8 1 6 2 B - 4. 4 8 7 3 1 8 9 0 7 5 6 0 4 G \tag {III} \\ + 2. 3 2 1 3 3 6 8 3 5 9 4 3 3 R + 4. 5 9 3 2 4 4 8 1 3 8 4 0 8 H + 1. 1 4 1 5 1 9 0 9 9 3 7 2 5 S \\ \end{array} +$$ + +# 2. 溴酸钾浓度与颜色读数之间的关系函数： + +根据溴酸钾的实验数据（见表5），首先利用matlab统计工具箱建立多元线性回归方程（代码见附录中程序1），画出残差图（图2）。从残差图可以看出，除第十个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据，而这个数据可视为异常点(剔除)。去掉异常点之后再次进行多元线性回归，绘出残差图（图3），并给出具体的残差值（表6）和其置信区间（表7）。 + +
浓度（ppm）BGRHS
01291411452227
100713314527241
506013314127145
256913614526133
12.58513914526106
01281411442328
100713314527242
505713314127151
257013714626132
12.58713814626102
+ +表 5 溴酸钾的实验数据 + +由表7：相关系数 $R^2 = 0$ 。9985210281929，说明回归方程非常显著。F对应 + +![](images/5b57c95e82b76def9abedc6fcedcc7324d3331f0b660b1499db1b3f8cf732511.jpg) +图2 溴酸钾浓度与颜色读数线性回归残差图 + +![](images/24f2232498ff346c99c6055d6c32ab2db5e6b8dd731335846b154e512b296222.jpg) +图3 剔除异常点后溴酸钾浓度与颜色读数线性回归残差图 + +
浓度（ppm）残差值 r
0-0.311054621479073
100-1.739298695133584
501.198950353741111
25-2.046358165775416
12.5-0.633956401784815
00.563887602493494
1001.832705601078601
50-0.844912938120160
251.980037264978989
+ +表6 + +
相关系数R²F值与F对应的概率P估计误差方差
0.9985210281929405.08724646115530.00019285921005.8200279444505
+ +的概率 $p < \alpha$ , 拒绝 $H_{0}$ , 根据 F 检验, 回归模型 (IV) 成立。 + +$$ +\begin{array}{l} y = 1 3 0 9. 8 3 2 4 2 5 2 1 4 1 5 0 - 7. 8 2 5 2 9 6 3 5 6 3 7 8 B + 4. 9 4 9 4 0 7 9 8 0 1 1 0 G \tag {IV} \\ - 4. 7 2 2 5 1 1 3 5 0 6 9 8 R - 9. 8 5 0 7 4 5 6 3 4 8 3 7 H - 3. 5 7 2 0 0 4 2 9 6 2 1 2 S \\ \end{array} +$$ + +# 3. 工业碱浓度与颜色读数之间的函数关系： + +根据工业碱的实验数据（见表8），使用matlab对数据进行多元线性回归（代码见附录中程序1)，画出残差图（图4）并给出具体的残差值（表9）和其置信区间（表10）。 + +表7 + +
浓度（ppm）BGRHS
7.3415314013210835
8.1415114213310429
8.7415812612712052
9.1916185118132120
10.1812721119147211
11.894691148237
015214213210532
+ +表 8 工业碱的实验数据 + +![](images/3c866b2120e6e05f64ecd23d36fa06a80ef629352f50dcce8297cc525464c921.jpg) + +图 4 工业碱浓度与颜色读数线性回归残差图 + +
浓度（ppm）残差值r
7.343.193187385650077
8.141.630046034029125
8.74-0.845684659598861
9.190.362126613702886
10.18-0.206897864646130
11.80.084838267818999
0-4.217615776955910
+ +表9 + +
相关系数R²F值与F对应的概率P估计误差方差
0.6313839918950780.3425700338632040.85176432087755831.538101080870671
+ +由表10：相关系数 $R^2 = 0.631383991895078$ ，说明回归方程不显著。根据F检验，F对应的概率 $p > \alpha$ ，接受 $H_0$ ，回归模型（V）不成立。 + +$$ +\begin{array}{l} y = 2 6 1. 0 6 4 8 6 9 7 4 0 7 1 3 5 + 0. 1 6 4 2 1 2 9 3 8 2 4 6 7 B - 1. 3 9 8 1 6 9 4 0 9 3 9 7 3 G \quad (\mathrm {V}) \\ - 0. 3 1 3 6 4 1 6 0 7 7 9 6 0 R - 0. 1 3 0 5 8 1 0 9 2 2 9 4 8 H - 0. 8 7 9 8 7 0 5 4 7 5 8 7 6 S \\ \end{array} +$$ + +# 4. 硫酸铝钾浓度与颜色读数之间的函数关系： + +根据硫酸铝钾的实验数据（见表11），使用matlab对数据进行多元线性回归（代码见附录中程序1），画出残差图（图5）。 + +表10 + +
浓度（ppm）BGRHS
01161261047644
01141261047445
01181251057840
01131241037342
01141241047539
01131261047245
0.514811247100174
0.515011144100178
0.51381187198123
0.51361187098122
0.51361176498134
0.51361186497135
0.51381115099161
11491164899172
115011549100171
11471195599159
114911964100145
11401135499156
11371115199160
1.515311344101180
1.515311342100184
1.515311550101171
1.515311547100176
1.515211652100167
1.515311649100171
215610634102199
216210737103196
216111040102190
216311138102194
215910435103198
215810535103198
515510734101198
515610834101198
515211648100174
515111551100168
515410533102199
515610535102197
+ +表 11 硫酸铝钾的实验数据 + +![](images/d62085abd66ae3378311278547216afc6164fe4a8db08192845382bf3943569b.jpg) +图5硫酸铝钾浓度与颜色读数线性回归残差图 + +从残差图可以看出，除第34、35个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这两个数据可视为异常点(剔除)，剔除后重新进行多元线性回归。其残差图见图6，其置信区间见表10，具体的残差值见表12。 + +![](images/436e31a7c3cc3907fb33abee847a5e7b48453ce1aba14b4abee61a07c825088e.jpg) + +图6剔除异常点后硫酸铝钾浓度与颜色读数线性回归残差图 + +
相关系数R²F值与F对应的概率P估计误差方差
0.6180286683329559.3843856309502290.0000210759167020.953423023427052
+ +由表12：相关系数 $R^2 = 0.618028668332955$ ，说明回归方程不够显著。根据 + +F 检验, F 对应的概率 $p < \alpha$ , 拒绝 $H_{0}$ , 回归模型 (VI) 成立。 + +$$ +y = 3 3. 3 0 1 5 9 9 0 8 5 8 0 9 2 5 8 + 0. 0 6 4 3 9 6 2 2 8 0 6 1 3 5 9 B - 0. 0 7 4 8 2 6 2 2 0 0 8 1 6 4 1 G \tag {VI} +$$ + +$$ +- 0. 1 9 7 7 2 4 1 0 3 1 3 1 0 0 9 R - 0. 0 9 9 3 6 8 3 6 8 9 1 7 9 3 7 H - 0. 0 7 8 3 1 7 4 4 4 1 5 0 6 9 3 S +$$ + +表12 + +
浓度（ppm）残差值r
00.217812495378475
00.226185657816012
00.097384883538230
0-0.391115358786932
0-0.294003078333490
00.091845148041501
0.5-1.094599168574980
0.5-1.578120377569594
0.50.550772518151472
0.50.403523426992495
0.50.082161917933112
0.50.135937213247507
0.5-1.049785941526949
1-0.417969670398088
1-0.338417090642832
10.301243393927612
10.954892016792217
1-0.129616765715801
1-0.365983054485273
1.5-0.365653364371072
1.5-0.547200162948258
1.50.265486697222034
1.5-0.035466760335465
1.50.387519206106351
1.50.043220445254729
2-0.972466812655620
2-0.826429615083248
2-0.513655451206029
2-0.649800116906356
2-1.096532909104727
2-0.957310460961725
51.989069822418745
51.999499814439030
51.883775320254449
51.993796182092362
+ +# 5. 奶中尿素浓度与颜色读数之间的函数关系： + +根据奶中尿素的实验数据（见表14），使用matlab对数据进行多元线性回归（代码见附录中程序1），画出残差图（图7）。 + +表13 + +
浓度（ppm）BGRHS
01181361392537
5001171371392741
10001081361382854
15001101361392652
20001081401422860
01201361382633
51191401422640
5001111391422755
15001071361392658
20001051361372858
01251351402027
5001141341382544
10001121321342742
15001051341382660
20001071351382657
+ +![](images/ac5ef8691dcf6711d3283ae93c7664b3ba79d548c50c2d586e52b18369d27891.jpg) +图7 残差图 + +从残差图可以看出，除第5个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据，而这个数据可视为异常点(剔除)，剔除后重新进行多元线性回归。其残差图见图8，其置信区间见表15，具体的残差值见表14。 + +表 14 奶中尿素的实验数据 + +
相关系数R²F值与F对应的概率P估计误差方差
0.9579177488436.420779687570.0000268823437904.20690587087
+ +表15 + +![](images/bc7a8bf106597d50043ceae3b4086d6a91ea381666023f6f9e9e3c4bf618f8a0.jpg) + +图 8 剔除异常点后奶中尿素浓度与颜色读数线性回归残差图 + +
浓度（ppm）残差
010.25536938636
50083.881946665621
1000-84.676233083668
1500426.617345751831
0-16.945348469715
50.421074517217
500-133.810181334869
1500-211.046368939387
2000-46.846723118331
0-65.449023536308
500-4.712865495465
1000-76.907322702158
1500-51.308416740812
2000169.256579546811
+ +表16 + +由表16：相关系数 $R^2 = 0.95791774884$ ，说明回归方程显著。根据F检验，F对应的概率 $p < \alpha$ ，拒绝 $H_0$ ，回归模型（VII）成立。 + +$$ +\begin{array}{l} y = 1 8 7 8 4. 8 1 5 7 7 7 7 7 8 4 0 + 2 8 5. 9 1 7 9 8 5 1 4 4 6 5 B + 4 5 4. 9 6 7 6 9 3 5 3 3 4 8 G \tag {VII} \\ - 8 2 3. 0 2 4 1 1 9 8 3 5 3 8 R - 3 6 9. 4 6 6 1 1 6 9 8 1 7 8 H + 2 4 9. 3 8 6 7 2 1 1 5 0 5 1 S \\ \end{array} +$$ + +# 6. 评价5组数据的优劣 + +基于问题一的分析，我们首先给出评价5组数据优劣的五大准则： + +准则一：能通过 $F$ 检验； + +准则二：相关系数 $R^2$ 越接近于 1 越好； + +准则三： $P < 0.05$ 且越接近于0越好； + +准则四：误差方差越小越好； + +准则五：是否剔除异常数据。 + +
物质种类R²FPS²模型检验数据完整性
组胺0.9995801904.4613580.00000071.312155模型成立完整
溴酸钾0.998521405.0872460.0001925.820027模型成立剔除1个
工业碱0.6313830.3425700.85176431.538101模型不成立完整
硫酸铝钾0.6180289.3843850.0000210.953423模型成立剔除2个
奶中尿素0.95791736.4207790.00002637904.206905模型成立剔除1个
+ +表 17 五种物质线性回归方程的显著性检验指标 + +由表 17，五组数据中，只有工业碱的多元线性回归模型不成立，因此工业碱的数据是最差的。组胺的数据完整，多元线性回归模型的相关系数 $R^2$ 、F 值最大，P 值最小，数据是最好的。硫酸铝钾的相关系数 $R^2$ 比较小，模型不是很显著，而且剔除了两个数据，因此数据不够好。溴酸钾和奶中尿素都是剔除一个数据之后建立的模型，相关系数 $R^2$ 很高，但溴酸钾的相关系数 $R^2$ 更大一些，数据相对更优。 + +因此数据优劣的排序为：组胺>溴酸钾>奶中尿素>硫酸铝钾>工业碱。 + +# 问题二： + +根据前面对问题二的分析，首先我们仍然建立与问题一一致的线性回归模型，利用 Data2.xls 提供的 25 组数据（即表 18），采用 matlab 进行线性回归（代码见附录中程序 2），得到了二氧化硫的浓度与颜色读数之间的线性回归方程。 + +# 2.1 多元线性回归模型 + +利用多元线性回归，绘出残差图（见图9）。从残差图可以看出，除第15个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好的符合原始数据，而这个数据可视为异常点(剔除)，剔除后重新进行多元线性回归，得到残差图（见图10），回归方程的显著性检验指标（见表19）和具体残差值（见表20）。 + +由表19：相关系数 $R^2 = 0.9250310882931$ ，说明回归方程较为显著。根据F检验， + +F 对应的概率 $p < \alpha$ , 拒绝 $H_{0}$ , 回归模型 (VIII) 成立。但是估计误差方差偏大。 + +$$ +\begin{array}{l} y = 2 9 1 0. 6 3 0 1 5 3 5 5 4 2 6 5 + 3. 5 8 7 3 5 2 4 9 0 8 4 6 x _ {1} - 2 1. 1 5 5 9 1 7 9 1 9 2 4 5 x _ {2}, \\ + 4. 7 9 6 4 1 8 9 6 8 8 0 5 x _ {3} - 6. 7 5 0 9 0 2 3 8 2 4 9 8 x _ {4} - 1 0. 5 3 2 0 1 6 1 0 2 9 6 9 x _ {5} \\ \end{array} +$$ + +
浓度(ppm)BGRHS
015314815713814
015314715713816
015314615813720
015314615813720
015414515714119
2014411517013582
2014411516913681
2014511517213583
3014511417413587
3014511417613589
3014511417513589
3014611417513588
5014299175137110
5014199174137109
5014299176136110
8014196181135119
8014196182135119
8014096182135120
10013996175136115
10013996174136114
10013996176136116
15013986178136131
15013987177137129
15013886177137130
15013986178137131
+ +表 18 二氧化硫的实验数据 + +![](images/c6c3693a9307708a7a079ff017a1f73abf2d2199790a26aad47eba76a8669ac7.jpg) +图9线性回归残差图 + +![](images/c8656336eac06504bfb7560783ab46e52d4b8a3b905dd1f362d56d97abb842cd.jpg) + +图10 剔除异常点后二氧化硫浓度与颜色读数线性回归残差图 + +
相关系数R²F值与F对应的概率P估计误差方差
0.925031088293144.41990475834120.0000000016617270.6516543935724
+ +表 19 二氧化硫线性回归方程的显著性检验指标 + +
浓度（ppm）残差值
0-2.384256481544441
0-2.476142194851974
06.948682946475856
06.948682946475856
03.473424932212367
20-14.672434139092047
20-13.657128890758031
20-17.320608464579323
304.058700090441562
3015.529894358769411
3020.326313327574439
306.206944733759315
50-31.576255061221445
50-33.724499704539312
80-8.948829979216725
80-13.745248948021299
800.374119645794281
10011.627226785928087
1005.891629651764106
10017.362823920092069
1504.191048334563675
15015.830255399174575
1508.793706073744261
15010.941950717061900
+ +表20 + +通过残差值可以看出，模型还有待优化。可以通过剔除新的残差图中的异常点来继续优化多元线性回归模型，但续优化作用有限，而且数据完整性越来越差。该线性回归模型的结果需要进一步进行优化改进，于是尝试多元非线性二次回归。 + +# 2.2 多元二次回归模型 + +# 2.2.1 多元二次回归模型的建立与求解 + +利用 rstool(x, y, 'model', alpha) 建立多元二次回归方程。其中 'model' 这一选项是指从下列 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）： + +linear（线性）： $y = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \dots + \beta_{m}x_{m}$ + +purequadratic（纯二次）： $y = \beta_{0} + \beta_{1}X_{1} + \dots + \beta_{m}X_{m} + \sum_{j=1}^{n}\beta_{jj}X_{j}^{2}$ + +interaction（交叉）： $y = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \dots +\beta_{m}x_{m} + \sum_{1\leq j\neq k\leq m}\beta_{jk}x_{j}x_{k}$ + +quadratic（完全二次）： $y = \beta_{0} + \beta_{1}X_{1} + \dots + \beta_{m}X_{m} + \sum_{1\leq j,k\leq m}\beta_{jk}X_{j}X_{k}$ + +rsto0l 函数输出包括回归参数，剩余标准差以及残差，可以通过修改model的值比较多个模型的标准差来确定哪个最好。 + +本题最终采用完全二次的方法进行多元非线性二次回归，即采用模型（IX） + +$$ +\begin{array}{l} y = \beta_ {0} + \beta_ {1} x _ {1} + \beta_ {2} x _ {2} + \beta_ {3} x _ {3} + \beta_ {4} x _ {4} + \beta_ {5} x _ {5} \\ + \beta_ {6} x _ {1} x _ {2} + \beta_ {7} x _ {1} x _ {3} + \beta_ {8} x _ {1} x _ {4} + \beta_ {9} x _ {1} x _ {5} + \beta_ {1 0} x _ {2} x _ {3} + \beta_ {1 1} x _ {2} x _ {4} + \beta_ {1 2} x _ {2} x _ {5} \tag {IX} \\ + \beta_ {1 3} x _ {3} x _ {4} + \beta_ {1 4} x _ {3} x _ {5} + \beta_ {1 5} x _ {4} x _ {5} + \beta_ {1 6} x _ {1} ^ {2} + + \beta_ {1 7} x _ {2} ^ {2} + \beta_ {1 8} x _ {3} ^ {2} + \beta_ {1 9} x _ {4} ^ {2} + \beta_ {2 0} x _ {5} ^ {2} \\ \end{array} +$$ + +模型（IX）中 $y$ 代表浓度， $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 分别代表 $\mathrm{B}, \mathrm{G}, \mathrm{R}, \mathrm{H}, \mathrm{S}$ 。 + +代入数据进行多元二次回归拟合（代码见附录中程序3），具体结果见图11、表19和模型（X）。 + +![](images/87c8d2ca8af242bbf79540331cdc9f4f74ed940367017e126de7446b0b0df0fb.jpg) +图11 + +$$ +\begin{array}{l} y = - 2 2 9 1 7 1. 3 1 5 6 1 1 7 4 9 - 5 6 8 4. 2 6 6 7 1 4 9 7 2 9 8 \mathrm {B} - 3 0 4. 8 2 3 6 5 3 3 0 9 2 0 2 \mathrm {G} \\ + 4 9 8 3. 9 0 5 9 9 9 6 9 6 2 9 R + 4 4 7 7. 9 1 8 4 1 2 0 3 6 0 2 H - 1 7 0 6. 6 3 7 0 0 3 7 4 9 3 6 S \\ - 2. 8 9 3 1 0 7 9 0 2 3 3 3 4 9 \mathrm {B G} - 0. 4 3 7 5 5 2 8 7 6 6 9 1 3 4 1 \mathrm {B R} + 1 5. 7 1 7 9 3 0 3 7 2 4 5 6 6 B H \\ + 2. 1 7 8 4 5 7 6 9 1 3 7 6 4 5 B S - 5. 3 5 5 5 1 6 8 8 4 1 1 4 9 1 G R + 2. 9 5 9 9 1 0 5 6 5 3 8 8 8 6 G H \quad (X) \\ + 4. 3 8 7 3 5 8 4 5 4 9 3 6 6 3 G S - 2 6. 5 0 9 5 4 0 5 4 0 8 6 8 3 R H - 2. 6 9 4 4 0 0 8 1 3 8 7 5 1 8 R S \\ + 8. 0 5 3 7 3 7 1 3 4 3 4 5 6 4 H S + 1 2. 9 7 1 7 9 4 4 0 2 2 3 5 7 B ^ {2} + 3. 8 3 5 4 6 5 8 2 4 5 0 5 0 1 G ^ {2} \\ - 1. 4 0 1 8 1 6 3 3 5 8 3 1 3 4 \mathrm {R} ^ {2} - 1 1. 9 1 2 9 4 8 8 1 6 3 9 7 9 \mathrm {H} ^ {2} + 1. 5 4 3 0 3 3 8 9 6 9 6 1 6 8 \mathrm {S} ^ {2} \\ \end{array} +$$ + +
浓度（ppm）残差值r
0-0.183023306644486
00.295698988685444
0-0.0573058051979842
0-0.0573058051979842
0-0.0112789762431476
200.483971591391310
200.0544367711663654
20-0.617107404175840
300.438573762845408
300.223558673598745
30-0.471712868260511
300.0136040522083931
500.551662284327904
50-0.775350805535709
500.0956137145112734
800.0435429326025769
800.243119500199100
80-0.357436173322640
100-1.73816418466959
1000.0231545045717212
1001.60688363169902
1500.0254071982417372
1500.875543694299267
1500.637870694485173
150-1.34395668067009
+ +表21 + +# 2.2.2 多元二次回归模型的检验 + +本文采用剩余标准差对该二次回归模型的进行检验。回归残差 $e_{i} = Y_{i} - Y_{i}$ 有助于衡量回归模型拟合样本数据的程度。应用线性回归分析，需要计算回归剩余标准差，而回归剩余标准差是表示回归方程用来预测的精度标志，可用来检验模 + +型预测的可靠程度，回归剩余标准差（记作 $S_{Y}$ ）： $S_{Y} = \sqrt{\frac{\sum(Y_{i} - Y_{i})^{2}}{n - 2}} = \sqrt{\frac{Q}{n - 2}}$ ； $S_{Y}$ 越接 + +近于 0 , 说明模型对样本数据的偏差越小, 预测的可靠程度 (精度) 越高; $S_{Y}$ 数值越大, 模型偏离样本数据越大, 用于预测的可靠程度就越差在实际问题中, $S_{Y}$ 往往较大, 为评价预测模型的优劣, 通常采用指标 $\frac{S_{Y}}{Y}$ 。当 $\frac{S_{Y}}{Y}$ 小于 $15\%$ 时, 可以认为预测模型较好。 + +根据结果可以计算出回归剩余标准差 $\mathrm{RMSE} = 1.65062261369908$ ， $S_{\frac{Y}{Y}} = 0.02821577117$ ，预测模型非常好。而且从残差值可以看出，二次模型拟合的效果非常好，并且没有剔除原始数据，保证了数据的完整性，不足之处应该是方程较为复杂。 + +# 问题三： + +首先分析数据量对模型的优劣有无影响。根据问题一和问题二的求解结果发现：不管是多元线性回归，还是非线性二次回归，对同一物质而言，数据量的大小会影响模型的优劣；下面先对两个代表性物质的数据进行分析。 + +硫酸铝钾：硫酸铝钾的实验数据是最多的一组，按照各种浓度依次去掉最后一个数据点，逐步降低数据量，每次减少6个数据点，直接多元线性回归拟合，未剔除数据。具体结果见表22 + +
数据量模型的评价
R²FPS²模型检验
370.468668339264505.4687615151465210.0010130365435861.650977684294797成立
310.4477114095514804.0532379021979040.0078548546222011.778012946024591成立
250.3934341813726592.4647776767233640.0698594663593252.063600764003753不成立
190.4769013921124802.3703821818601960.0975182022463531.963208135675026不成立
+ +由表22可知：随着数据量减少，P值一直在增大，当数据量减小到25个数据点时， $\mathrm{P} > 0.05$ ，回归模型不再成立。 + +组胺：组胺的实验数据是多元线性回归拟合最优的一组，由于数据量较少，10组数据，依次去掉最后两个数据点，逐步降低数据量，直接多元线性回归拟合，未剔除数据。具体结果见表23 + +表22 + +
数据量模型的评价
R²FPS²模型检验
100.9995801101011904.4613583004010.0000007710221.312155935514成立
80.9999286305735604.2407679800950.0001784140170.411907532627成立
61NaNNaNNaN不成立
+ +表23 + +由表23：随着数据量减少，P值在增大，当数据量减小到6个数据点时，回归模型不成立。 + +结合比色法的原理：待测物质溶液的浓度越低，测出来的效果越好，我们对Data1.xls和Data2.xls提供的六种物质六组数据在各自组内删除一些浓度较大的数据，即减少了组内的数据量，再使用matlab对组胺、奶中尿素和二氧化硫(因为溴酸钾本身数据量为7就少，根据问题1的五大准则，工业碱这组数据不是太好，硫酸铝钾的浓度都比较低)重新进行五元的线性回归分析，结果见表24（代码见附件程序4）。在进行多元线性回归的过程中发现，数据量不能过少，基本上10-15组之间，低于6组，回归方程一般效果就不好了甚至不成立了。 + +
物质数据量R²FPS²
组胺100.99961904.46130.000000771.3122
80.9982220.28040.00452.4781
奶中尿素150.957936.42080.0000268837904.2069
120.926515.13480.0023945914.34
90.94119.58970.0459729441.39
二氧化硫250.92503144.419900.00000000166270.651654
210.891924.74340.00000095183.52
180.972183.68800.000000006631.24
150.970459.06610.00000131216.56
120.9882100.13260.000010754.1447
+ +表24 + +其次分析颜色维度对模型的优劣有无影响。我们通过改变颜色维度来找其对模型的影响。从显示技术上看，目前通行的RGB标准（红绿蓝）和HSL标准（色调、饱和度、亮度）是等价的，结合题目给出的数据，我们考虑是否将维度降为3维、2维和1维，再重新进行回归分析，具体代码见程序5，具体数据见表25-表28。 + +
物质\颜色五维RGBHS三维RGB二维HS一维R一维G一维B一维H一维S
组胺0.99580.995210.97140.020740.99400.94560.95610.9268
溴酸钾0.99480.940780.94780.152100.75320.91420.48440.9074
工业碱0.63140.482200.51870.075030.44080.24070.50180.4334
硫酸铝钾0.46870.4091050.45760.067420.38290.36770.25310.3757
奶中尿素0.932990.837780.833540.143530.00440.81800.30480.8304
SO20.858440.848600.23790.036070.75220.48440.22950.0224
+ +表 25 六种不同物质在不同颜色维度下的 $R^{2}$ 表 + +
物质\颜色五维 RGBHS三维 RGB二维 HS一维 R一维 G一维 B一维 H一维 S
组胺1904.461 3415.75191.188452.28221335.1724138.97 1174.22 2101.3408
溴酸钾152.44631.771563.571 80.218424.411785.229 87.516878.4393
工业碱0.34260.93132.15583.18973.942111.58545.03613.8246
硫酸铝钾5.46887.615814.343 322.152421.7131820.351 111.859 021.0669
奶中尿素25.061518.935930.043 910.06350.0578358.419 15.699363.6545
\(SO_2\)23.044439.23693.433957.170169.812321.607 66.84960.5260
+ +表 26 六种不同物质在不同颜色维度下的 $F$ 表 + +
物质\颜色五维RGBHS三维RGB二维HS一维R一维G一维B一维H一维S
组胺0.000000770.00000020.0000040.000090.000000030.0000020.0000010.00000808
溴酸钾0.000118610.0123380.0000320.65270.0011340.000020.025380.0000209
工业碱0.85180.1060560.23160.13420.1038490.263570.07480.1079
硫酸铝钾0.00100.0690.000030.0000390.0000450.000070.0001510.000055
奶中尿素0.00004960.027650.0000210.80500.813700.0000040.032860.0000023
SO20.000000190.020850.050360.00000010.000000020.0001120.015400.475593
+ +表 27 六种不同物质在不同颜色维度下的 $P$ 表 + +
物质\颜色五维RGBHS三维RGB二维HS一维R一维G一维B一维H一维S
组胺0.000130.0009970.00510.020740.000930.00850.00690.0114
溴酸钾0.001630.0123380.00930.152100.03860.01340.08060.0145
工业碱0.22650.1060560.0740.075030.06870.09330.06120.0696
硫酸铝钾0.06600.0690.06150.067420.06790.06960.08220.0687
奶中尿素0.0139610.027650.026010.143530.143590.02630.10030.0245
SO20.0215440.020850.100170.036070.031160.06480.09690.1229
+ +表 28 六种不同物质在不同颜色维度下的 $S^{2}$ 表 + +从表25-表28的数据发现：降低颜色的维度，模型的通用性降低了，即该模型就不适用于表示有些物质浓度与颜色读数的关系了。比如将颜色维度降低到一维，模型的四个指标都显示模型不是太好甚至是不成立的。将维度降低到2维或3维，虽然模型的四个指标都有所变化，但是模型仍然是成立的。进一步对比发现颜色维度的大小比数据量的多少对模型的影响更大。 + +最后我们通过建立一个层次分析模型来分析数据量和颜色维度对模型的影响因子： + +第一步，构建层次结构模型，具体见图13。 + +第二步，利用层次分析法对数据量和颜色维度对模型的影响因子进行求解：首先根据相对权重标度值构造图13中两层的5个成对比较矩阵，并对其一致性进行检验，然后借助于MATLAB的命令[v,d]=eig(A)进行求解成对比较矩阵的最大 + +特征值对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重，将两层的权重矩阵进行相乘即可得到数据量和颜色维度对模型的影响权重。 + +第三步，给出结果：数据量和颜色维度对模型的影响因子分别为0.414和0.586。 + +![](images/be80e62dea9f2ff04dde4d302bc5a7e77426275b7b3d2670463a18dd221b5250.jpg) +图13 模型评价的层次结构模型 + +通过以上的分析和求解，我们即能分析出模型的优劣和数据量的多少、颜色维度的大小是有关的，并且通过层次分析法得出了具体的影响因子。 + +# 六、模型的评价与推广 + +本文给出的多元线性回归模型和改进的非线性二次回归模型不仅能很好的表示物质浓度与颜色读数之间的函数关系，而且具有如下优点： + +（1）本模型是基于 Data1.xls 和 Data2.xls 中的所有数据信息建立的，并且不断的分析、检验和完善改进使得模型具有了较高的准确性，同时也确保了模型结构的严谨性。 +（2）本模型具有一定的通用性，就是能反映不同物质浓度与颜色读数之间的关系； +(3) 数据处理及模型求解时充分运用了 matlab 等数学软件, 较好的解决了 + +问题，得到了较为合理的结果。 + +本模型可以应用于机器视觉技术在物质内部特性分析方面的研究，即机器学习领域。 + +# 七、参考文献 + +[1] 杨海燕, 贾贵儒. 基于数字色度学的有色透明溶液浓度快速检测方法[J]. 中国农业大学学报. 2006, 11(3): 47-50. +[2]王岩，隋思莲，王爱青.数理统计与MATLAB工程数据分析[M].北京：清华大学出版社.2006:126-177. +[3]姜启源，谢金星，等.数学模型（第3版）[M].北京：高等教育出版社.2003. +[4]王雷震. 物流运筹学[M]. 上海：上海交通大学出版社. 2008:186-210. +[5]乔珠峰，田凤占，黄厚宽.趋势数据处理方法的比较研究[J].计算机研究与发展，2006,43（1）：171-175. +[6]黄永安，李文成，高小科.MATLAB 7.0/Simulink 6.0应用是实例仿真与高效算法开发.北京：清华大学出版社，2008 + +# 八、附录 + +程序1：Datal.xls中的数据进行多元线性回归： + +%所有数据均存在 data*.txt 文件中，*.m 文件请参见附件 + +f1_1.m +```matlab +load data1_1.txt +y=data1_1(:,1); +x1=data1_1(:,2); +x2=data1_1(:,3); +x3=data1_1(:,4); +x4=data1_1(:,5); +x5=data1_1(:,6); +X=[ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4,x5]; +Y=y; +[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); +rcoplot(r,rint) +title('组胺线性回归的残差图') +format long +``` + +%剔除异常点之后，请load data1_2_2.txt + +f1_2.m +```matlab +load data1_2.txt +y=data1_2(:,1); +x1=data1_2(:,2); +x2=data1_2(:,3); +x3=data1_2(:,4); +x4=data1_2(:,5); +x5=data1_2(:,6); +X=[ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4,x5]; +Y=y; +[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); +rcoplot(r,rint) +title('溴酸钾线性回归的残差图') +format long +``` + +f1_3.m +```matlab +load data1_3.txt +y=data1_3(:,1); +x1=data1_3(:,2); +``` + +$\mathrm{x2 = data1_3(:,3)}$ $\mathrm{x3 = data1_3(:,4)}$ $\mathrm{x4 = data1_3(:,5)}$ $\mathrm{x5 = data1_3(:,6)}$ $\mathrm{X} = [\mathrm{ones}(\mathrm{length}(\mathrm{y}),1),\mathrm{x1},\mathrm{x2},\mathrm{x3},\mathrm{x4},\mathrm{x5}]$ $\mathrm{Y = y}$ +[b,bint,r,rint,Ustats]=regress(Y,X);rcoplot(r,rint) +title('工业碱线性回归的残差图') +format long + +f1 4.m +```matlab +%剔除异常点之后，请load data1_4_2.txt +load data1_4.txt +y=data1_4(:,1); +x1=data1_4(:,2); +x2=data1_4(:,3); +x3=data1_4(:,4); +x4=data1_4(:,5); +x5=data1_4(:,6); +X=[ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4,x5]; +Y=y; +[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); +rcoplot(r,rint) +title('硫酸铝钾线性回归的残差图') +format long +``` + +f1 5.m +```matlab +%剔除异常点之后，请load data1_5_2.txt +load data1_5.txt +y=data1_5(:,1); +x1=data1_5(:,2); +x2=data1_5(:,3); +x3=data1_5(:,4); +x4=data1_5(:,5); +x5=data1_5(:,6); +X=[ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4,x5]; +Y=y; +[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); +rcoplot(r,rint) +title('奶中尿素线性回归的残差图') +format long +``` + +程序2：Data2.xls中的数据进行多元线性回归： + +# f2.m + +```matlab +%剔除异常点之后，请load data2_2.txt +load data2.txt +y=data2(:,1); +x1=data2(:,2); +x2=data2(:,3); +x3=data2(:,4); +x4=data2(:,5); +x5=data2(:,6); +X=[ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4,x5]; +Y=y; +[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); +rcoplot(r,rint) +title('二氧化硫线性回归的残差图') +format long +``` + +程序3：Data2.xls中的数据进行多元二次回归： + +# f2_2.m + +```matlab +load data2.txt +y=data2(:,1); +x1=data2(:,2); +x2=data2(:,3); +x3=data2(:,4); +x4=data2(:,5); +x5=data2(:,6); +X=[x1,x2,x3,x4,x5]; +Y=y; +rstool(X,Y,'quadratic') +format long +``` + +程序4: + +# f4 1.m + +$\mathrm{x1} = [121;117;120;118;120;118;120;118];$ $\mathrm{x2} = [110;87;99;102;110;87;99;101];$ $\mathrm{x3} = [68;46;62;66;65;46;60;64];$ $\mathrm{x4} = [23;16;19;20;24;16;19;20];$ $\mathrm{x5} = [111;155;122;112;115;153;126;115];$ $\mathrm{y} = [0;50;25;12.5;0;50;25;12.5];$ $\mathrm{X} = [\mathrm{ones}(8,1),\mathrm{x}1,\mathrm{x}2,\mathrm{x}3,\mathrm{x}4,\mathrm{x}5];$ + +$\mathrm{Y = y}$ + +[b,bint,r,rint,stats] $\equiv$ regress(Y,X) +rcoplot(r,rint) +format long +title('组胺') + +f4_2.m + +$\mathrm{x1} = [139;139;138;139;138;142;142;139;140;138;134;138];$ $\mathrm{x2} = [136;137;136;136;136;140;139;136;135;134;132;134];$ $\mathrm{x3} = [118;117;108;110;120;119;111;107;125;114;112;105];$ $\mathrm{x4} = [25;27;28;26;26;26;27;26;20;25;27;26];$ $\mathrm{x5} = [37;41;54;52;33;40;55;58;27;44;42;60];$ $\mathrm{y} = [0;500;1000;1500;0;500;1000;1500;0;500;1000;1500];$ $\mathrm{X} = [\mathrm{ones}(12,1),\mathrm{x}1,\mathrm{x}2,\mathrm{x}3,\mathrm{x}4,\mathrm{x}5];$ $\mathrm{Y} = \mathrm{y};$ $[\mathtt{b},\mathtt{bint},\mathtt{r},\mathtt{rint},\mathtt{stats}] = \mathrm{regress(Y,X)}$ rcoplot(r,rint) title('奶中尿素1') + +f4_2_1.m + +format long + $\mathrm{x1} = [139;139;138;138;142;142;140;138;134];$ $\mathrm{x2} = [136;137;136;136;140;139;135;134;132];$ $\mathrm{x3} = [118;117;108;120;119;111;125;114;112];$ $\mathrm{x4} = [25;27;28;26;26;27;20;25;27]$ $\mathrm{x5} = [37;41;54;33;40;55;27;44;42];$ $\mathrm{y} = [0;500;1000;0;500;1000;0;500;1000];$ $\mathrm{X} = [\mathrm{ones}(9,1),\mathrm{x}1,\mathrm{x}2,\mathrm{x}3,\mathrm{x}4,\mathrm{x}5];$ $\mathrm{Y = y};$ +[b,bint,r,rint-stats] $\equiv$ regress(Y,X) +rcoplot(r,rint) +title('奶中尿素2') +format long + +f4_3.m + +$\mathbf{x}1 = [153;153;153;153;154;144;144;145;145;145;145;146;142;141;142;141;1$ 41;140;139;139;139]; + $\mathbf{x}2 = [148;147;146;146;145;115;115;115;114;114;114;99;99;99;96;96;$ 96;96;96]; + $\mathbf{x}3 = [157;157;158;158;157;170;169;172;174;176;175;175;175;174;176;181;1$ 82,182,175,174,176]; + $\mathbf{x}4 = [14;16;20;20;19;82;81;83;87;89;89;88;110;109;110;119;119;120;115;1$ 14,116]; + $\mathbf{x}5 = [138;138;137;137;141;135;136;135;135;135;135;137;137;136;135;1$ 35,135,136,136,136]; + $\mathrm{y} = [0:0:0:0:0:20:20:20:30:30:30:50:50:50:80:80:80:100:100:100]$ $\mathbf{x} = [\mathrm{ones}(21,1),\mathrm{x}1,\mathrm{x}2,\mathrm{x}3,\mathrm{x}4,\mathrm{x}5]$ + +$\mathrm{Y = y}$ + +[b,bint,r,rint,stats] $\equiv$ regress(Y,X) +rcoplot(r,rint) +format long +title('二氧化硫1') + +f4_3_1.m + +$\mathrm{x1} = [153;153;153;153;154;144;144;145;145;145;145;146;142;141;142;141;1$ 41:140]; + $\mathrm{x2} = [148;147;146;146;145;115;115;115;114;114;114;99;99;99;96;96;96]$ +]； + $\mathrm{x3} = [157;157;158;158;157;170;169;172;174;176;175;175;175;174;176;181;1$ 82:182]; + $\mathrm{x4} = [14;16;20;20;19;82;81;83;87;89;89;88;110;109;110;119;119;120]$ ： + $\mathrm{x5} = [138;138;137;137;141;135;136;135;135;135;135;137;137;136;135;1$ 35:135]; + $\mathrm{y} = [0:0:0:0:0:20:20:20:30:30:30:50:50:50:80:80:80]$ $\mathrm{X = [ones(18,1),x1,x2,x3,x4,x5]}$ $\mathrm{Y = y}$ +[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) +rcoplot(r,rint) +format long +title('二氧化硫2') + +f4_3_2.m + +$\mathrm{x1} = [153;153;153;153;154;144;144;145;145;145;145;146;142;141;142];$ $\mathrm{x2} = [148;147;146;146;145;115;115;115;114;114;114;114;99;99;99]_{!}$ $\mathrm{x3} = [157;157;158;158;157;170;169;172;174;176;175;175;175;174;176];$ $\mathrm{x4} = [14;16;20;20;19;82;81;83;87;89;89;88;110;109;110];$ $\mathrm{x5} = [138;138;137;137;141;135;136;135;135;135;135;135;137;137;136];$ $\mathrm{y} = [0:0:0:0:0:20:20:20:30:30:30:30:50:50:50];$ $\mathrm{X = [ones(15,1),x1,x2,x3,x4,x5]};$ $\mathrm{Y = y};$ $[\mathtt{b},\mathtt{bint},\mathtt{r},\mathtt{rint},\mathtt{stats}] = \mathrm{regress(Y,X)}$ rcoplot(r,rint) format long title('二氧化硫3') + +f4_3_3.m + +$\mathrm{x1} = [153;153;153;153;154;144;144;145;145;145;145;146];$ $\mathrm{x2} = [148;147;146;146;145;115;115;115;114;114;114;114]$ $\mathrm{x3} = [157;157;158;158;157;170;169;172;174;176;175;175];$ $\mathrm{x4} = [14;16;20;20;19;82;81;83;87;89;89;88];$ $\mathrm{x5} = [138;138;137;137;141;135;136;135;135;135;135]$ $\mathrm{y} = [0:0:0:0:0:20:20:20:30:30:30]$ $\mathrm{X = [ones(12,1),x1,x2,x3,x4,x5]}$ $\mathrm{Y = y}$ + +[b,bint,r,rint,stats] $\equiv$ regress(Y,X) +rcoplot(r,rint) +format long +title('二氧化硫4') + +程序5：问题3中将颜色维度降为3，2，1分别进行多元线性回归： + +三维的列举了一个代码： + +f3_1.m +$\mathrm{x1} = [121;110;117;120;118;120;109;118;120;118];$ $\mathrm{x2} = [110;66;87;99;102;110;64;87;99;101];$ $\mathrm{x3} = [68;37;46;62;66;65;35;46;60;64]_{!}$ $\mathrm{y} = [0;100;50;25;12.5;0;100;50;25;12.5];$ $\mathrm{X} = [\mathrm{ones}(10,1),\mathrm{x}1,\mathrm{x}2,\mathrm{x}3]$ $\mathrm{Y = y};$ $[\mathtt{b},\mathtt{bint},\mathtt{r},\mathtt{rint},\mathtt{stats}] = \mathrm{regress}(\mathtt{Y},\mathtt{X})$ rcoplot(r,rint) format long title('组胺线性回归的残差图') + +二维的列举了一个代码： + +f3_2.m +$\mathrm{x4} = [22;27;27;26;26;23;27;27;26;26];$ $\mathrm{x5} = [27;241;145;133;106;28;242;151;132;102];$ $\mathrm{y} = [0;100;50;25;12.5;0;100;50;25;12.5];$ $\mathrm{X} = [\mathrm{ones}(10,1),\mathrm{x41},\mathrm{x51}]$ $\mathrm{Y = y};$ +[b,bint,r,rint,stats] $\equiv$ regress(Y,X) +rcoplot(r,rint) +format long +title('溴酸钾线性回归的残差图') + +一维的列举了一个代码： + +f3_3.m +$\mathrm{x1} = [139;139;138;139;142;138;142;142;139;137;140;138;134;138;138];$ $\mathrm{y} = [0;500;1000;1500;2000;0;500;1000;1500;2000;0;500;1000;1500;2000];$ $\mathrm{X} = [\mathrm{ones}(15,1),\mathrm{x}11]$ $\mathrm{Y = y}$ $[\mathtt{b},\mathtt{bint},\mathtt{r},\mathtt{rint},\mathtt{stats}] = \mathrm{regress}(\mathtt{Y},\mathtt{X})$ + +rcoplot(r,rint) +title('奶中尿素线性回归的残差图') +format long \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/D018/D018.md b/MCM_CN/2017/D018/D018.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..85f9cef3a1a9f94e31525e26eeda916c32d59edf --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/D018/D018.md @@ -0,0 +1,863 @@ +# 研究巡检路线的排班状况及优化问题 + +# 摘要 + +在确保某工厂能正常运行的情况下，以减少人力资源为目的，让工人生产力得到充分发挥且每名工人的工作量尽可能均衡，确定巡检人员数量，制定恰当的工作时间表和工作路线图。 + +针对问题一：以时间最短为目标函数建立多目标优化模型，采用0-1规划进行建立，先利用excel对附件的数据进行处理，借助lingo软件运行，结合人工对数据的整理，得出要完成该任务每班需要5个工人巡检较为理想，该5个工人具体巡检时间（见表6-1至表6-5）和巡检路线（如图6-2至图6-6）。 + +针对问题二：在问题一的基础上满足巡检工人2小时左右休息一次，因固定上班时间，三班倒，则假设三个班在固定时间进餐，不考虑进餐时间，以时间最少为目标函数，增加约束条件，建立0-1规划，利用lingo软件运行以及对数据的整理，得到每班需要6个工人巡检较为理想，其巡检时间（见表6-7至表6-12）和巡检路线（如图6-9至图6-14）。 + +针对问题三：在问题一和问题二的基础上，采用错时上班，从而增加目标函数，对其建立0-1规划模型，对问题一及问题二再次分别进行讨论，得出错时上班的问题一每班安排4人巡检合理，错时上班的问题二每班安排5人巡检合理，根据相关数据对比，可见错时上班更节省人力资源。 + +关键词 + +0-1规划 + +排班 + +LINGO + +EXCEL + +# 1. 问题重述 + +# 1.1 情况说明 + +为保障某化工厂正常运行，需对26个位号进行巡检，每个巡检点要一个工人巡检，且每个工人巡检起始点为位号XJ0022，每个班的上班时间可以固定也可错时，在能完成巡检任务的情况下，尽可能减少人力资源且使每个工人达到工作量均衡。 + +# 1.2相关信息 + +附件（shift1）：各个位号的周期与巡检耗时的基本信息 + +附件（shift2）：两个位点之间的连通以及行走的耗时数据 + +附件（shift3）：各个位点间的连通图 + +# 1.3需要解决的问题 + +（1）固定上班时间，三班倒，预测每班需要多少人，并呈现出巡检时间表以及巡检路线图。 +（2）不固定上班时间，三班倒，每个工人工作量达到2小时左右，需要休息5至10分钟，并且在中午12点及下午6点左右进餐，进餐时间为半个小时，预测每班需要多少人，并呈现出巡检时间表以及巡检路线图。 +（3）在问题一和问题二的基础上，错时上班，再分别讨论问题一及问题二，进行比较，分析得出采用哪种上班方式更能减少人力资源。 + +# 2. 问题分析 + +# 2.1 问题一分析 + +问题一在固定时间上班，不涉及巡检人员的休息时间的情况下，采用三班倒，每班每天工作8小时左右，且尽量保障每名工人工作量平衡，且每个巡检点在8小时左右都能按时完成巡检任务，为了让每个工人能充分发挥生产力，结合题意假设每个工人工作量之差的绝对值相差10分钟，同时考虑上个巡检点到下个巡检点的时间之和刚好等于下个巡检点的周期，以上均作为限制条件。为降低人力资源消耗，以时间最短（即所用工人最少）建立目标函数[1]，欲借助excel、linggo软件进行数据处理和优化结果。因此为解决此问题，方便讨论，以一个班为基准建立0-1规划模型，得出满足限制条件的最优安排工人人数、巡检时间表和巡检路线图。 + +# 2.2 问题二分析 + +在问题一的基础上，需满足巡检工人2小时左右休息一次，休息时间为5-10分钟，并且在中午12点及下午6点左右进餐，进餐时间为半个小时，为了方便建立优化模型，规定休息时间为10分钟，且不考虑进餐时间，类似问题一，以一个班为基准，同样为尽可能减少人力资源，以时间最少建立目标函数，增加了约束条件，利用lingo程序进行优化，得出满足限制条件的最优安排工人人数、巡检时间表和巡检路线图。 + +# 2.3 问题三分析 + +在问题二的基础之上，采用错时上班，将问题1与问题2中的情况再次重新分析，综合考虑人力资源消耗尽可能的少和每名工人在8小时左右的工作量均衡等方面因素，为使工作最大化，人力资源最小化，建立合理多目标函数，利用lingo软件分别给出错时上班最优化的巡检人数及巡检时间安排，并对问题一、问题二分别进行比对讨论，得出固定上班与错时上班哪一种上班方式更节省人力资源。 + +# 2.4 解题思路 + +![](images/36afc18b4668c5657b5c2285484bbb77d28cd5e862db025ffcac08dcb655ba76.jpg) + +# 3. 问题假设 + +（1）附件中给出的数据来源有效。 +（2）在巡检过程中，每个巡检人员的技术熟练程度相同，巡检耗时一定，不会出现特殊情况而耽误时间。 +（3）为减少人力资源且保障工作量均衡的情况下，假设每个班每个人均工作8小时左右。 +(4) 每名工人从第 $i$ 处到第 $j$ 处巡检点不考虑速度, 则所需路程时间相同。 +（5）每个巡检点在同一时刻仅需一名工人解决巡检，且同一时刻一名工人只能巡检一个点。 +(6)每个班每次巡检完不考虑返回时间，只要工作时间达到就可以离开工作岗位。 + +# 4.符号说明 + +
tij第i处到第j处巡检点路途中所消耗的时数（单位：分钟）其中i=j时，tij=0
ti第i处巡检所消耗时数(分钟)
Ti第i处巡检周期（分钟）
ak:0-1变量ak=0 第k个人没有到第i处巡检点1 第k个人到第i处巡检点
akj:0-1变量akj=0 第k个人没有到第j处巡检点1 第k个人到第j处巡检点
ak+s:0-1变量ak+s=0 第k+n个人没有到第s处巡检点1 第k+n个人有到第s处巡检点
a22i:0-1变量a22i=1 从第22处巡检点到第i处巡检点0 从第22处巡检点没有到第i处巡检点
akp:0-1变量akp=1 从第k处巡检点到第p处巡检点0 从第k处巡检点没有到第p处巡检点
a(x)ki:0-1变量a(x)ki=1 X班第k个工人在第i处巡检 +0 X班第k个工人不在第i处巡检
表示巡检点;表示经过巡检点而不巡检
表示行走路线方向
+ +# 5. 模型准备 + +# 5.1 数据处理 + +（1）为了方便建立下列模型，对附件的巡检点位号进行编号由下表所示： + +表 5-1 巡检点位号编号 + +
位号XJ-0001XJ-0002XJ-0003XJ-0004XJ-0005XJ-0006XJ-0007
编号1234567
位号XJ-0008XJ-0009XJ-0010XJ-0011XJ-0012XJ-0013XJ-0014
编号891011121314
位号XJ-0015XJ-0016XJ-0017XJ-0018XJ-0019XJ-0020XJ-0021
编号15161718192021
位号XJ-0022XJ-0023XJ-0024XJ-0025XJ-0026
编号2223242526
+ +(2) 采用穷举法将第 i 处到第 j 处巡检点所需最短时间计算出来, 得出第 i 处到第 j 处巡检点所需最短时间汇总图 [3] (见附件 1) + +# 5.2有效数据检测 + +因诸多原因，避免不了数据发生错误，下面分别对给出的周期、巡检耗时的数据中相对特别大的数据视为错误数据，对其进行检测（路程远近不同，因此巡检点之间的路程耗时数不在检测范围之内）[2]： + +在26个巡检点的周期中其中有4个数据相对平均值特别大，则 + +22 周期数据正确率为： $\frac{22}{26} \times \% \approx 85\%$ + +在26个巡检点的巡检耗时数据中有2个数据相对平均值特别大，则 + +24 24 26 92%巡检耗时数据正确率为： + +根据数据正确率达 $85\%$ 以上，在后面数据运用中认为是有效的。 + +# 6. 模型的建立与求解 + +# 6.1 问题一模型建立与求解 + +# 6.1.1 模型建立 + +在保障某化工厂26个巡检点能正常运行的情况下，需安排工人巡检，为了减少消耗的人力资源，使用工人人数尽可能少的情况下完成巡检任务。该问题因为固定时间上班，不考虑休息，采用三班倒的方式上班，故假设一个班在8小时左右工作时间内巡检完了之后，下一个班再巡检，则以一个班建立模型即可。下面是一个班从 $i$ 到 $j$ 巡检点之间所有时间之和最小（即所用工人最少）为优化目标[4]，建立如下模型： + +目标函数1： + +$$ +\min Z = \sum_ {k = 1} ^ {n} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k i} \cdot a _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i} + T _ {\mathrm {i}}\right) + (1 - a _ {k 2 2}) \cdot N +$$ + +（一个班中所有工人从 $i$ 到 $j$ 巡检点所有时间，即包括从 $i$ 到 $j$ 路上耗时+巡检耗时+周期） + +目标函数2： + +$$ +\min N = \left\{b _ {1}, b _ {2}, b _ {3}, \dots , b _ {2 6} \right\} +$$ + +(第 k 个人从巡检点 22 到巡检点 i 所有路程耗时的时间中取最短的时间) + +其中 $b_{1} = 8a_{ki}\cdot a_{kj}$ $b_{2} = 6a_{ki}\cdot a_{kj}$ $b_{3} = 7a_{ki}\cdot a_{kj}$ $b_{4} = 3a_{ki}\cdot a_{kj}$ + +$$ +b _ {5} = 8 a _ {k i} \cdot a _ {k j} \quad b _ {6} = 8 a _ {k i} \cdot a _ {k j} \quad b _ {7} = 1 0 a _ {k i} \cdot a _ {k j} \quad b _ {8} = 9 a _ {k i} \cdot a _ {k j} +$$ + +$$ +b _ {9} = 4 a _ {k i} \cdot a _ {k j} \quad b _ {1 0} = 1 3 a _ {k i} \cdot a _ {k j} \quad b _ {1 1} = 1 5 a _ {k i} \cdot a _ {k j} \quad b _ {1 2} = 1 8 a _ {k i} \cdot a _ {k j} +$$ + +中 + +( $b_{i}$ 表示巡检点 22 到各个巡检点的最短时间) + +因为工作时间8小时左右即工作量相差在10分钟内都属于正常，由此，对 $N$ 进行修正，取 $N$ 的平均值为9，由上，得到最终目标函数： + +$$ +\min Z = \sum_ {k = 1} ^ {n} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k i} \cdot a _ {k j} (t _ {i j} + t _ {i} + T _ {\mathrm {i}}) + (1 - a _ {k 2 2}) \cdot 9 +$$ + +s.t. + +$$ +4 7 0 \leq \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k i} \cdot a _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) + \left(1 - a _ {k 2 2}\right) \cdot 9 \leq 4 8 0 \quad (k = 1, 2, \dots \dots n) +$$ + +（第k个人从巡检点i到巡检点j所花工作时间之和在7时50分钟到8小时之间即第k个人工作量为470分钟至480分钟，以保障每个工人工作量在8小时左右） + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {n} a _ {k i} = \left[ \frac {4 8 0}{T _ {i}} \right] + 1 +$$ + +（一班中所有工人在i处的巡检次数之和 $= 8$ 小时内第i处需要巡检的次数，避免在8小时内第i处巡检次数不够而导致不能正常运行） + +$$ +a _ {k i} \cdot \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) = T _ {j} \quad (i, j = 1, 2, \dots \dots . 2 6) (k = 1, 2, \dots \dots n) +$$ + +（第k个人在第i处巡检点的巡检耗时+从第i处到第j处巡检点之间路程所用时间=第j处的周期，避免时间浪费或不够）[10] + +$$ +\left| \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k i} a _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) - \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k + s i} \cdot a _ {k + s j} \cdot \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) \right| \leq 1 0 \text {分 钟} +$$ + +$$ +(k, s = 1, 2,...... n \text {且} k \neq s) +$$ + +（第k个人工作量与第 $\mathrm{k + s}$ 个人工作量相差范围小于等于10分钟，以确保每名工人在上班8小时内工作量的平衡） + +# 6.1.2 模型求解 + +利用LINGO软件编程[5]（见附件2）对上述模型进行计算，其根据运行结果得出要完成该任务需要5个工人，具体巡检情况见图6-1： + +
巡检站1234567891011121314151617181920212223242526
第一人11010000000000000011110000
第二人00101111100001001000001110
第三人00100101100001000000001100
第四人00000000010100101000000000
第五人00000000010100100000000001
+ +图6-1 工人到各巡检点巡检情况图 + +(注释: 1: 表示工人到巡检点巡检; 0: 表示工人没有到该巡检点巡检) + +通过图6-1可清楚知道每个工人到各个巡检点的巡检情况，并制定巡检时间表及路线图。假设两次检测的时间间隔的误差在正负2分钟以内包括2分钟，划分工作区域（按 + +照路径最短即时间用得最少进行划分：利用lingo软件运行可得，程序见附件6）[4]。在固定时间上班的情况下，进行三班倒，每个巡检工人在固定的区域里巡检，以下分别是不同班五个巡检员在相同巡检点的不同巡检时间安排，且为工作时间8小时左右中的一个循环划分的巡检时间情况和巡检路线图： + +第一个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-1 第一个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
228:00-8:0216:00-16:020:00-0:02
208:04-8:0716:04-16:070:04-0:07
198:09-8:1116:09-16:110:09-0:11
28:14-8:1616:14-16:160:14-0:16
18:18-8:2116:18-16:210:18-0:21
48:26-8:2816:26-16:280:26-0:28
218:29-8:3216:29-16:320:29-0:32
+ +根据表6-1第一个巡检人员巡检时间表得第一个巡检人员巡检路线图[9]（见图6-2）： + +![](images/cb8a34d898f935c13d70f3a12f7d2f53825a07f6222790d274622bb3234e5d93.jpg) +图6-2第一个巡检人员巡检路线图 + +由图6-2可知第一个巡检工人从巡检点22开始巡检，按箭头指向分别巡检了巡检点22、巡检点20、巡检点19、巡检点2、巡检点1，再返回巡检点2进行巡检，由箭头指向继续向巡检点4、巡检点21进行巡检，最后回到巡检点22下班. + +第二个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-2 第二个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
238:01-8:0416:01-16:040:01-0:04
248:05-8:0716:05-16:070:05-0:07
98:09-8:1316:09-16:130:09-0:13
258:16-8:1816:16-16:180:16-0:18
178:19-8:2116:19-16:210:19-0:21
88:22-8:2516:22-16:250:22-0:25
+ +根据表6-2第二个巡检人员巡检时间表得第二个巡检人员巡检路线图(见图6-3)： + +![](images/a8bcd85477408ca5dea9625abb9613c4a103c2843ed9f9231c3cf1ee8d7f26e6.jpg) +图6-3 第二个巡检人员巡检路线图 + +由图6-3可知第二个巡检工人从巡检点22出发，经过巡检点22且不巡检，按箭头指向分别巡检了巡检点23、巡检点24、巡检点9、巡检点25、巡检点17，巡检点8，最后下班。 + +第三个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-3 第三个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
38:07-8:1016:07-16:100:07-0:10
58:11-8:1316:11-16:130:11-0:13
78:15-8:1716:15-16:170:15-0:17
68:27-8:3016:27-16:300:27-0:30
148:31-8:3416:31-16:340:31-0:34
+ +根据表6-3第三个巡检人员巡检时间表得第三个巡检人员巡检路线图(见图6-4): + +![](images/f43e4d6a0d3b8d03052e47c7351d3b6625d642e9bab615e0be183432dd9d114b.jpg) +图6-4 第三个巡检人员巡检路线图 + +由图6-4可知第三个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发，经过巡检点22、巡检点21、巡检点4、巡检点2且不巡检，到达巡检点3，再以箭头指向分别对巡检点3、巡检点6、巡检点14进行巡检，再原路返回到巡检点3，又对巡检点5、巡检点7进行巡检，最后下班。 + +第四个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-4 第四个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
188:18-8:2016:18-16:200:18-0:20
168:23-8:2616:23-16:260:23-0:26
138:28-8:3316:28-16:330:28-0:33
118:35-8:3816:35-16:380:35-0:38
+ +根据表6-4第四个巡检人员巡检时间表得第四个巡检人员巡检路线图(见图6-5): + +![](images/e0e1e68bb174f7772a6fc0d197e2f5d9141a8050cfecbb31a8fd8585ec0af487.jpg) +图6-5 第四个巡检人员巡检路线图 + +由图6-5可知第四个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发，分别经过巡检点22、巡检点23、巡检点24、巡检点9、巡检点25、巡检点26、巡检点15且不巡检，到了巡检点18分别对巡检点18、巡检点16、巡检点13和巡检点11进行巡检，最后下班。 + +第五个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-5 第五个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
108:13-8:1516:13-16:150:13-0:15
128:21-8:2316:21-16:230:21-0:23
158:25-8:2716:25-16:270:25-0:27
268:33-8:3516:33-16:350:33-0:35
+ +根据表6-5第五个巡检人员巡检时间表得第五个巡检人员巡检路线图(见图6-6)： + +![](images/38c5b260575c5dcd57e518d3d679b50276fc89c8a33e0abe5ebda6e5ebfb8c39.jpg) +图6-6第五个巡检人员巡检路线图 + +由图6-6可知第五个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发，分别经过巡检点22、巡检点21、巡检点4、巡检点2、巡检点3、巡检点6且不巡检，到了巡检点10开始对巡检点10、巡检点12、巡检点15及巡检点26进行巡检，最后下班。 + +# 6.1.3结果分析 + +借助excel分别对五个人8小时左右的工作量进行统计（见表6-6）。 + +表 6-6 五个人一天工作量汇总表 [7] + +
人员k1k2k3k4k5
工作量（分钟）480475476472478
+ +由表 6-6 绘制出其工作量饱和情况的饼形图，如图 6-7 所示： + +![](images/8de15d4cab6ac532366fbc7b8447e6721fe282cde4e36baa52b2d2ea10525c53.jpg) +工作量分配图 +图6-7 五个工人工作量饱和状态图[6] + +据饼形图非常清楚的显示出五个工人的工作量均达到饱和状态。根据表6-6和图6-7反应出：工人在8小时左右的工作量，没有造成时间浪费或不够。工作量分配在 $19\% -20\%$ 之间，满足了每名工人在8小时左右工作量的均衡，因此针对该问题每班安排5个工人巡检达到了优化人力资源的目的。 + +由于在求巡检点22到各巡检点最短时间进行了取平均值的处理，因此巡检人数可能存在合理的误差。 + +# 6.2 问题二模型建立与求解 + +# 6.2.1 模型建立 + +在问题一基础之上，增加约束条件即每个工人在工作量达到2小时左右必须休息，并假设每个工人休息时间都为10分钟，且在中午12点和下午6点左右同时进餐，不考虑进餐时间，固定时间三班倒，以时间最少为优化目标，建立如下模型[8]： + +$$ +\min Z = \sum_ {k = 1} ^ {n} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k i} \cdot a _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i} + T _ {\mathrm {i}}\right) + (1 - a _ {k 2 2}) \cdot 9 - \sum_ {k = 1} ^ {n} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {p = 1} ^ {2 6} a _ {k i} \cdot a _ {k p} \cdot 1 0 +$$ + +（一个班所有工人以巡检点22为起点到 $j$ 巡检点所有时间-所有工人在各个休息点的休息时间，即包括从 $i$ 到 $j$ 路上耗时+巡检耗时+周期-休息时间） + +s.t. + +$$ +4 4 0 \leq \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k i} \cdot a _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) + \left(1 - a _ {k 2 2}\right) \cdot 9 \leq 4 5 0 \quad (k = 1, 2, \dots \dots n) +$$ + +（两个小时休息一次，在8小时内需休息3次，则第k个人工作量为440分钟至450分钟） + +$$ +1 1 0 \leq \sum_ {p = 1} ^ {2 6} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} a _ {k i} \cdot a _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) + \left(1 - a _ {k 2 2}\right) \cdot 9 \leq 1 2 0 \quad (p \neq j) +$$ + +（110=<第k个人从巡检点p到巡检点i所有工作量之和<=120） + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {n} a _ {k i} = \left[ \frac {4 8 0}{T _ {i}} \right] + 1 +$$ + +（一班中所有工人在 $i$ 处的巡检次数之和 $= 8$ 小时内第 $i$ 处需要巡检的次数） + +$$ +a _ {k i} \cdot \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) = T _ {j} \quad (i, j = 1, 2, \dots \dots . 2 6) (k = 1, 2, \dots \dots n) +$$ + +（第 $\mathrm{k}$ 个人在第 $\dot{\mathbf{l}}$ 处巡检点的巡检耗时+从第 $\dot{\mathbf{l}}$ 处到第 $\mathrm{j}$ 处巡检点之间路程所用时间 $=$ 第 $\mathrm{j}$ 处的周期） + +$$ +a _ {k + s m} \cdot \left(t _ {m j} + t _ {m}\right) = T _ {j} \quad (m \neq i) +$$ + +(第 $\mathrm{k} + \mathrm{s}$ 个人在巡检点 $\mathrm{m}$ 处的巡检时间 $\mathrm{m}$ 到 $\mathrm{j}$ 路程上的耗时刚好等于第 $\mathrm{j}$ 个巡检点周期, 则第 $\mathrm{k} + \mathrm{s}$ 个人正好巡检第 $\mathrm{j}$ 处巡检点) + +$$ +\begin{array}{l} \left| \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k i} a _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) - \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k + s i} \cdot a _ {k + s j} \cdot \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) \right| \leq 1 0 \\ (k, s = 1, 2, \dots \dots n) \\ \end{array} +$$ + +（第 $\mathrm{k}$ 个人工作量与第 $\mathrm{k + s}$ 个人工作量相差范围 $< = 10$ 分钟，确保每个工人工作量均衡） + +# 6.2.2 模型求解 + +利用LINGO软件编程，对上述模型进行计算，部分程序（部分程序见附件3），根据运行结果结合人工整理筛选出有用数据，得出要完成该任务需要6个工人，具体巡检情况（见图6-8）。 + +
巡检站1234567891011121314151617181920212223242526
第一人00000000000000000011011100
第二人11010000000000000000100000
第三人00101110000001000000000000
第四人00000011000000001000000010
第五人00000000110100100000000000
第六人00000000001001001000000001
+ +图6-8工人到各巡检点巡检情况表 + +(注释: 1: 表示工人到巡检点巡检; 0: 表示工人没有到该巡检点巡检) + +通过图6-8可清楚知道每个工人到各个巡检点是否巡检情况，制定巡检时间表及路线图，分别如下： + +第一个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-7 第一个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
248:02-8:0416:02-16:040:02-0:04
238:05-8:0816:05-16:080:05-0:08
228:09-8:1116:09-16:110:09-0:11
208:13-8:1616:13-16:160:13-0:16
198:18-8:2016:18-16:200:18-0:20
+ +根据表6-7第一个巡检人员巡检时间表得第一个巡检人员巡检路线图(见图6-9)： + +![](images/145c0a13817c47a84c46317a4e94ab7f7e972265b07da630eb312c16808727c2.jpg) +图6-9第一个巡检人员巡检路线图 + +由图6-8可知第一个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发，分别对巡检点22、巡检点23、巡检点24进行巡检，再返回巡检点23和巡检点22，又按箭头指向对巡检点 + +20及巡检点19进行巡检，最后下班。 + +第二个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-8 第二个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
218:02-8:0516:02-16:050:02-0:05
48:06-8:0816:06-16:080:06-0:08
28:11-8:1316:11-16:130:11-0:13
18:15-8:1816:15-16:180:15-0:18
+ +根据表6-8第二个巡检人员巡检时间表得第二个巡检人员巡检路线图(见图6-10)： + +![](images/498317bebdfa32571d0542d0095a669395695fb4407c5269ee75af6a9f257e81.jpg) +图6-10 第二个巡检人员巡检路线图 + +由图6-10可知第二个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发，经过巡检点22且不巡检，分别对巡检点21、巡检点4、巡检点2和巡检点1进行巡检，最后下班。 + +第三个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-9 第三个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
148:09-8:1216:09-16:120:09-0:12
68:13-8:1616:13-16:160:13-0:16
38:17-8:2016:17-16:200:17-0:20
58:21-8:2316:21-16:230:21-0:23
78:25-8:2716:25-16:270:25-0:27
+ +根据表6-9第三个巡检人员巡检时间表得第三个巡检人员巡检路线图(见图6-11)： + +![](images/8a6417393b1a72d5c0defa123571dc2081566d19ed3a8d8ef099d09e1118289e.jpg) +图6-11 第三个巡检人员巡检路线图 + +由图6-11可知第三个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发且不巡检，分别经过巡检点21、巡检点4、巡检点2都不巡检，到达巡检点3，分别对巡检点3、巡检点6、巡检点14进行巡检，然后原路返回到巡检点3，再对巡检点5和巡检点7进行巡检，最后下班。 + +第四个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-10 第四个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
98:04-8:0816:04-16:080:04-0:08
258:11-8:1316:11-16:130:11-0:13
178:14-8:1616:14-16:160:14-0:16
88:17-8:2016:17-16:200:17-0:20
+ +根据表6-10第四个巡检人员巡检时间表得第四个巡检人员巡检路线图(见图6-12)： + +![](images/4d46870da3970d038f6060e4b7d353d79358bc01a512603a24782bae81c05ddc.jpg) +图6-12 第四个巡检人员巡检路线图 + +由图6-12可知第四个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发且不巡检，经过巡检点23、巡检点24都不巡检，到达巡检点9，按箭头指向分别对巡检点9、巡检点25、巡检点17和巡检点8进行巡检，最后下班。 + +第五个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-11 第五个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
108:13-8:1516:13-16:150:13-0:15
118:17-8:2016:17-16:200:17-0:20
138:22-8:2716:22-16:270:22-0:27
168:29-8:3216:29-16:320:29-0:32
+ +根据表6-11第五个巡检人员巡检时间表得第五个巡检人员巡检路线图（见图6-13）： + +![](images/b09ba2c5b10c970125342544967ef6fec625425903a46f68f0267c0226e3db95.jpg) +图6-13第五个巡检人员巡检路线图 + +由图6-13可知第五个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发且不巡检，经过巡检点21、巡检点4、巡检点2、巡检点3、巡检点6都不巡检，到达巡检点10，按箭头指向分别对巡检点10、巡检点11、巡检点13和巡检点16进行巡检，最后下班。 + +第六个巡检人员巡检时间表及巡检路线图： + +表 6-12 第六个巡检人员巡检时间表 + +
巡检点一班二班三班
268:10-8:1216:10-16:120:10-0:12
158:18-8:2016:18-16:200:18-0:20
188:22-8:2416:22-16:240:22-0:24
128:28-8:3016:28-16:300:28-0:30
+ +根据表6-12第六个巡检人员巡检时间表得第六个巡检人员巡检路线图(见图6-14)： + +![](images/290585e772cdbd6c64be165be736f272f23496375904acecb428b3471f2eeab4.jpg) +图6-14第五个巡检人员巡检路线图 + +由图6-14可知第六个巡检工人按箭头指向从巡检点22出发且不巡检，经过巡检点23、巡检点24、巡检点9、巡检点25都不巡检，到达巡检点26，按箭头指向分别对巡检点26、巡检点15、巡检点18进行巡检，再原路返回到巡检点15，对巡检点12进行巡检，最后下班。 + +# 6.2.3结果分析 + +借助excel分别对六个人8小时左右的工作量进行统计（见表6-13）。 + +表 6-13 工人休息时间节点表 + +
巡检次数第一次第二次第三次第四次总工作时间(分钟)
第一人巡检时间点9:5111:5214:2116:22444
第二人巡检时间点9:5211:5414:2216:24448
第三人巡检时间点9:5712:0014:2716:24455
第四人巡检时间点9:5011:5014:2016:20440
第五人巡检时间点10:0312:0014:3316:26456
第六人巡检时间点10:0312:0014:3316:26456
+ +由表6-13，利用excel将得到的六个工人巡检时间点由柱形图表现出来如图6-15： + +![](images/876187f767907c7a6fa0626439d5e2de09f43a775e309bb56d75c3aaaf44a876.jpg) +图6-15六个工人休息时间节点图 + +根据图6-15，可清晰的观察出每个工人在工作量达到2小时左右均达到了10分钟休息时间。 + +由表6-13绘制出其工作量饱和情况的饼形图，如图6-16所示： + +![](images/9f307b443e6a52d0f0237da32939dabf340bc70c75aea80ec539ca388d8b6ab7.jpg) +图6-16 六个人工作量饱和状态图 + +据饼形图非常清楚的显示出六个工人在每2小时左右，必须休息10分钟情况下的工作量达到饱和状态。根据表6-14和图6-14反应出：工人在8小时左右的工作量，没 + +有造成时间浪费或不够。每名工人在8小时左右工作量分配在 $16.3\% - 16.9\%$ 之间，达到了工作量均衡，因此针对该问题每班安排6个工人巡检达到了优化人力资源的目的。 + +由于在求巡检点22到各巡检点最短时间进行了取平均值的处理，及休息时间固定在10分钟，因此巡检人数可能存在合理的误差。 + +# 6.3 问题三模型建立与求解 + +# 6.3.1 错时上班的问题一 + +# 6.3.1.1 模型建立 + +在问题一的基础上，采用错时上班，对其重新进行优化，建立如下模型： + +令 + +$$ +Z _ {x} = \sum_ {k = 1} ^ {n} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a ^ {(x)} _ {k i} \cdot a ^ {(x)} _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i} + T _ {\mathrm {i}}\right) + (1 - a _ {k 2 2}) \cdot 9 \quad (x = 1, 2, 3) +$$ + +（第 $\mathrm{x}$ 班 $\mathrm{k}$ 个工人以巡检点22为起点到各个巡检点所有时间之和）得目标函数1： + +$$ +\min z = \sum_ {x = 1} ^ {3} Z _ {x} +$$ + +（三班所有工人以巡检点22为起点到各个巡检点所有时间之和最短，达到减少人力） + +令 + +$$ +g _ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a ^ {(x)} _ {k i} \cdot a ^ {(x)} _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) + \left(1 - a ^ {(x)} _ {k 2 2}\right) \cdot 9 \quad (x = 1, 2, 3) +$$ + +（第 $\mathbf{X}$ 班第k个工人所有工作量） + +$$ +G _ {x} = \sum_ {k = 1} ^ {n} g _ {x} +$$ + +(第 $\mathrm{x}$ 班 $\mathrm{k}$ 个工人所有工作量之和)得目标函数2为： + +$$ +\min G = \left| G _ {1} - G _ {2} \right| + \left| G _ {2} - G _ {3} \right| + \left| G _ {3} - G _ {1} \right| +$$ + +(任意两个班中 k 个工人工作量之差最小，使得在错时上班的情况下，每日变动不能很大) + +方便模型求解，进行加权平均处理，得最终目标函数为： + +$$ +\min Y = 0. 7 Z + 0. 3 T +$$ + +s.t. + +$$ +1 4 1 0 \leq \sum_ {x = 1} ^ {3} t _ {x} \leq 1 4 4 0 +$$ + +（三个班工作量之和范围控制在1410分钟至1440分钟） + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {n} a _ {k i} ^ {(x)} = \left[ \frac {4 8 0}{T _ {i}} \right] + 1 +$$ + +(x 班中所有工人在 i 处的巡检次数之和 = 8 小时内第 i 处需要巡检的次数) + +$$ +\left| G _ {s} - G _ {m} \right| \leq 3 5 \quad (s, m = 1, 2, 3) +$$ + +(任意两个班 k 个工人工作量之和相差不超过 35 分钟) + +$$ +a ^ {(x)} _ {k i} \cdot \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) = T _ {j} \quad (i, j = 1, 2, \dots \dots 2 6, x = 1, 2, 3) +$$ + +（x 班第 k 个人在第 i 处巡检点的巡检耗时+从第 j 处到第 j 处巡检点之间路程所用时间=第 j 处的周期） + +$$ +\left| \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k i} ^ {(x)} a _ {k j} ^ {(x)} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) - \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a _ {k + s i} ^ {(x)} \cdot a _ {k + s j} ^ {(x)} \cdot \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) \right| \leq 1 0 +$$ + +$$ +(k, s = 1, 2, \dots \dots n) +$$ + +(x 班第 k 个人工作量与第 k+S 个人工作量相差范围 $<=10$ 分钟) + +# 6.3.1.2 模型求解与结果对照分析 + +利用LINGO软件（程序见附件4）对上述模型进行运行，并将结果结合人工对数据进行整理得出要完成该任务需要4个工人，具体巡检情况如图6-17所示： + +
巡检站1234567891011121314151617181920212223242526
第一人11010000000000000000110000
第二人00000000100000000000001111
第三人0101111000001001000000000
第四人00000000011110110100000000
+ +图6-17工人到各巡检点的巡检情况 + +下面是通过数据整理得到错时上班中一班与二班的错时对照表（见表6-14）（三班没有呈现出来，因为在其循环之中）： + +表 6-14 错时上班中一班与二班时间节点对照表 + +
人员巡检时间一班二班
第1人巡检时间8:00-16:0115:54-23:55
第2人巡检时间8:00-15:5716:00-23:57
第3人巡检时间8:00-16:0015:49-23:51
第4人巡检时间8:00-16:0115:52-23:55
+ +根据表6-14，在满足约束条件的情况下，不仅能按时完成任务还可达到提前几分钟下班的可能（因为约束条件中两个班工作量绝对值之差小于10分钟，所以只能提前几分钟下班）。 + +以问题一中二班上班时间为例，与错时上班的问题一进行比对（见表6-15）： + +表 6-15 固定上班与错时上班对照表 + +
人员巡检时间固定上班错时上班
第1人巡检时间16:00-00:0015:54-23:55
第2人巡检时间16:00-23:5516:00-23:57
第3人巡检时间16:00-23:5615:49-23:51
第4人巡检时间16:00-23:5215:52-23:55
第5人巡检时间16:00-23:58
+ +据表6-15的对照，可见在问题一中固定上班需要5人减少到了4人，充分说明了同等限制条件下错时上班更优化，满足人力资源的优化。 + +# 6.3.2错时上班的问题二 + +# 6.3.2.1 模型建立 + +在问题二的基础上，采用错时上班，对其重新进行优化，建立如下模型：令 + +$$ +Z _ {x} = \sum_ {k = 1} ^ {n} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a ^ {(x)} _ {k i} \cdot a ^ {(x)} _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i} + T _ {\mathrm {i}}\right) + (1 - a _ {k 2 2}) \cdot 9 - \sum_ {k = 1} ^ {n} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {p = 1} ^ {2 6} a ^ {(x)} _ {k i} \cdot a ^ {(x)} _ {k p} \cdot 1 0 +$$ + +（第 $\mathbf{X}$ 班k个工人以巡检点22为起点到各个巡检点所有时间之和-k个工人的休息时间之后）得目标函数1： + +$$ +\min z = \sum_ {x = 1} ^ {3} Z _ {x} +$$ + +（三班所有工人以巡检点22为起点到各个巡检点所有时间之和最短，达到减少人力）令 + +$$ +g _ {x} = \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} a ^ {(x)} _ {k i} \cdot a ^ {(x)} _ {k j} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) + \left(1 - a ^ {(x)} _ {k 2 2}\right) \cdot 9 \quad (x = 1, 2, 3) +$$ + +（第 $\mathbf{X}$ 班第 $\mathrm{k}$ 个工人所有工作量） + +$$ +G _ {x} = \sum_ {k = 1} ^ {n} g _ {x} +$$ + +(第 $\mathbf{X}$ 班k个工人所有工作量之和)得目标函数2为： + +$$ +\min G = \left| G _ {1} - G _ {2} \right| + \left| G _ {2} - G _ {3} \right| + \left| G _ {3} - G _ {1} \right| +$$ + +(任意两个班中 k 个工人工作量之差最小, 使得在进行错时上班的情况下, 每日变动 + +(不能很大) + +方便模型求解，进行加权平均处理，得最终目标函数为： + +$$ +\min Y = 0. 7 Z + 0. 3 G +$$ + +s.t. + +$$ +1 4 1 0 \leq \sum_ {x = 1} ^ {3} t _ {x} \leq 1 4 4 0 +$$ + +（三个班工作量之和范围控制在1410分钟至1440分钟） + +$$ +1 1 0 \leq \sum_ {p = 1} ^ {2 6} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} a _ {k i} ^ {(x)} \cdot a _ {k j} ^ {(x)} \left(t _ {i j} + t _ {i}\right) + \left(1 - a _ {k 2 2} ^ {(x)}\right) \cdot 9 \leq 1 2 0 \quad (p \neq j) +$$ + +(110=巡检站1234567891011121314151617181920212223242526第一人11010000000000000011110000第二人00000001100000001000001110第三人00101110000001000000000000第四人00000000000100100100000001第五人0000000001101001000000000 + +图6-18工人在各巡检点的巡检情况 + +以问题二中一班上班时间为例，与错时上班的问题二进行比对（见表6-16）： + +表 6-16 固定上班与错时上班对照表 + +
人员巡检时间固定上班错时上班
第1人巡检时间8:00-16:228:00-16:27
第2人巡检时间8:00-16:247:52-16:21
第3人巡检时间8:00-16:237:54-16:32
第4人巡检时间8:00-16:207:52-16:26
第5人巡检时间8:00-16:267:59-16:30
第6人巡检时间8:00-16:26
+ +据表6-16的对照，可见在问题二中固定上班需要6人减少到了5人，充分说明了同等限制条件下错时上班更优化，满足人力资源的优化。 + +# 7. 模型的评价与推广 + +# 7.1 模型的优点 + +(1) 模型中采用 0-1 规划模型与本文研究问题相符吻合, 具有很好的合理性。 +(2) 运用 0-1 规划模型针对此问题通过对位号、周期、巡检时间以及路程的耗时数据分析整理, 借助 linglo 软件, 以减少人力资源为目的, 在工人工作量平衡问题得到一定程度解决的基础上, 迅速掌握了数据特点, 为建立更合理的类似模型提供了参考的经验。 +（3）因为建立的优化模型与实际生活紧密联系，结合实际的情况对相应问题进行求解并整理，所以使得模型具有通用性和推广性； +(4) 根据此模型结果呈现出: 在相同限制条件下, 错时上班比固定上班更加优化,由此可将其结果在生活中的类似案例进行推广。 + +# 7.2 模型的缺点 + +（1）在模型建立过程中，对限制条件存在没考虑全面的地方，加之人工对数据进行了一定的处理，因此可能存在与最优结果的差距。 +(2) 在该问题中影响模型的约束条件诸多，程序运行存在一定难度。 + +# 8. 参考文献 + +[1].数学建模案例分析 白其峥主编 北京 海洋出版社 2000 +[2].数学建模 原理与方法 蔡锁章主编 北京 海洋出版社 2000 +[3].数学建模竞赛赛题简析与论文点评 西安交大近年参赛论文选编 赫孝良等 [选编] 西安西 +[4].建模、变换、优化--结构综合方法新进展，隋允康著，大连理工大学出版社，(1986) +[5].数学建模案例精选朱道元等编著北京：科学出版社，2003 +[6]. 数学建模: 原理与方法 蔡锁章主编 北京: 海洋出版社, 2000 +[7]. 数学建模的理论与实践 吴翊，吴孟达，成礼智编著 长沙：国防科技大学出版社，1999 +[8].数学建模作者：沈继红 施久玉 高振滨 张晓威 出版社：出版日期：1996年5月第1版 页数：351 +[9]. Cezik, T. Staffing multiskill call centers via linear programming and simulation. Management science, 2006, 01 +[10].Fukunaga,A. Staff scheduling for inbound call centers and customer contact centers.2002 + +# 9. 附录 + +附件1： + +
1234567891011121314151617181920212223242526
102354466119111513517157187968910811
22013224497913113151351557467869
33104113386812102141241668578958
45340557771012161461816819851345912
542150224979131131513517796891069
6421520427571191131131479689947
764362406118101513617157189118101112811
864374260579131131113113911898725
911987971150121414168121741486643236
1097610759712026468689121411131414912
11119812971191420828741071416131516161113
121513121613111513146801012212124182017181716118
1313111014119131116429010721251618151718191313
145326315386812100141241681079101058
15171514181513171198727140510220181816151496
16151312161312161318647212501431820171920191411
177548537148101412410150121010987614
1818151619171418131499451623120211920181716118
197568779914121418148201810210264561114
2097859911116141620181018201019204234912
216451668861113171571817920640234912
2286738810941315181791619818422012710
2397849911831416171810152071753310169
241089510912721416161910141961664421058
2586596472391111135914111119976503
2611981297115612131813861148141212109830
+ +图5-1第i处到第j处巡检点所需最短时间汇总表 + +附件2：（问题一 lingo 程序） +```csv +LINGO 11.0 - [LINGO Model - xj] +File Edit LINGO Window Help +model: +SETS: +jiedian/1..26:/a,qz,qz1,ti,T; +ren/1..26:/rs; +link(jiedian,jiedian)//tt; +ENDSETS +DATA: +tt=0 2 3 5 4 4 6 6 11 9 11 15 13 5 17 15 7 18 7 9 6 8 9 10 8 11 +2 0 1 3 2 2 4 4 9 7 9 13 11 3 15 13 5 15 5 7 4 6 7 8 6 9 +3 1 0 4 1 1 3 3 8 6 8 12 10 2 14 12 4 16 6 8 5 7 8 9 5 8 +5 3 4 0 5 5 7 7 7 10 12 16 14 6 18 16 8 19 8 5 1 3 4 5 9 12 +4 2 1 5 0 2 2 4 9 7 9 13 11 3 15 13 5 17 7 9 6 8 9 10 6 9 +4 2 1 5 2 0 4 2 7 5 7 11 9 1 13 11 3 14 7 9 6 8 9 9 4 +6 4 3 6 2 4 0 6 118 10 15 136 +643742605799131133113998725 +119879771150121414168 +976888872 +119888872 +151314 +15 +548537748 +7 +8 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +4 +5 +6880000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 +``` + +![](images/c68d2cf869bc54f6baebc0ead38ee5ec8cee77ee080264881e58c22c7b39fcaa.jpg) +附件3：(问题二lingo程序) + +附件4：（问题三- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + +```txt +LINGO 11.0 - [LINGO Model -x] +File Edit LINGO Window Help +model: +SETS: +jiedian/..26/:a, qz, qzl, ti, Te, T; +ren/..26/:rs; +banci/1, 2, 3/:x; +link(jiedian, jiedian) //:tt; +ENDSETS +DATA: +tt=0 2 3 5 4 4 6 6 6 11 9 11 15 13 5 17 15 7 18 7 9 6 8 9 10 8 11 +2 0 1 3 2 2 4 4 9 7 9 13 11 3 15 13 5 15 5 7 4 6 7 8 6 9 +3 1 0 4 1 1 3 3 8 6 8 12 10 2 14 12 4 16 6 8 5 7 8 9 5 8 +5 3 4 0 5 5 7 7 7 10 12 16 14 6 18 16 8 19 8 5 1 3 4 5 9 9 12 +4 2 1 5 0 2 2 4 9 7 9 13 11 3 15 13 5 17 7 9 6 8 9 10 6 9 +4 2 1 5 2 0 4 2 7 5 7 11 9 1 13 11 3 14 7 9 6 8 9 9 +4.64362406061180500789898989898989898989898989898989898989898989898989898989898989898989898989898989898989898989898989898 +``` + +附件5：（问题三- -程序2） +LINGO 110-LINGO Model -santi 1 +File Edit LINGO Window Help +model: +SEIS: +jiedian/1..26:/a,qz,qz1,ti,Te,T; ren/1..26:/rs; lanci/1,2,3:/x; link(jiedian,jiedian)//:tt; +ENDSES +DATA: + $\begin{array}{rl}{\mathrm{tt}=0}&{2}\end{array}$ 354466119111513517157187968910811 +2013224449791311351557467869 +3104113386812141246816685578958 +53405577710121614618168513459912 +4215022497913113515135177968991069 +42152042757119911311334796899947 +6436240661181015136617157189118101128811 +64374260579913113311339911898725 +11987977115001214141688121744866643236 +976107597712026468689912141341499 12 +119879 1297 7 9 9 9 4 2 0 8 2 8 7 4 10 7 14 16 13 15 16 16 16 13 + $^{15}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{I}~{II}~$ $^{I}~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~I~ I$ $^{3}5$ 3263153538680010221212448202017181716 18 + $^{3}5$ 32631535386800029001072212551618 5 17 18 19 13 13 + $^{3}5$ 32631535386800029000029000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 + $^{3}5$ 3263153538680002900002900002900294422244444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444 + +附件6：（划分区域------lingo程序） +```txt +LINGO 11.0 - [LINGO Model - ww] +File Edit LINGO Window Help +model: +sets: +jiedian/1..26:/ti; +link(jiedian, jiedian):t,a; +endsets +data: +t=0 2 3 5 4 4 6 6 6 11 9 11 15 13 5 17 15 7 18 7 9 6 8 9 10 8 11 +2 0 1 3 2 2 4 4 9 7 9 13 11 3 15 13 5 15 5 7 4 6 7 8 6 9 +3 1 0 4 1 1 3 3 8 6 8 12 10 2 14 12 4 16 6 8 5 7 8 9 5 8 +5 3 4 0 5 5 7 7 7 10 12 16 14 6 18 16 8 19 8 5 1 3 4 5 9 12 +4 2 1 5 0 2 2 4 9 7 9 13 11 3 15 13 5 17 7 9 6 8 9 10 6 9 +4 2 1 5 2 0 4 2 7 5 7 11 9 1 13 11 3 14 7 9 6 8 9 9 +4.4362406060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060 +1198797977979779797979797979797979797979797979797979797979797979797979797979797979797979797979797979797979797979797 +11988888888888888888888888888888888888888888 +1513121613115131468801012212124418201718171613 +1311101411991311164290010721255416810424182017181716 +5326315324532332432323232323232323232323232323232323232323232323232323232323232323232323232323232323232323232323232323 +``` + +运行的部分程序如下： +```csv +A(7,17) 0.000000 9.000000 +A(7,18) 0.000000 20.00000 +A(7,19) 0.000000 11.00000 +A(7,20) 0.000000 13.00000 +A(7,21) 1.000000 10.00000 +A(7,22) 0.000000 12.00000 +A(7,23) 0.000000 13.00000 +A(7,24) 0.000000 14.00000 +A(7,25) 1.000000 10.00000 +A(7,26) 0.000000 13.00000 +A(8,1) 0.000000 9.000000 +A(8,2) 0.000000 7.000000 +A(8,3) 0.000000 6.000000 +A(8,4) 1.000000 10.00000 +A(8,5) 0.000000 7.00000 +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/A229/A229.md b/MCM_CN/2018/A229/A229.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b2e91fb8db2ccccdc33ee6b3efeee51a7b32562f --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/A229/A229.md @@ -0,0 +1,1213 @@ +# 基于非稳态导热的高温作业专用服装设计 + +# 摘要 + +本文用维持恒温的假人穿高温作业专用服装模拟在高温环境下作业，研究通过改变专用服装中的纺织层厚度以及空隙厚度对假人皮肤外侧温度变化情况的影响。 + +针对问题一，通过分析得出高温恒温热源向专用服装的四层介质之间以热传导方式进行热量传递，再简化各层介质为各向同性的长方体，从而建立四个一维热传导的偏微分方程组。根据Fourier实验定律并结合温度场在初始时刻、介质之间以及与周围边界热量交换情况，得到四个区域的定解条件。考虑到温度场在多层介质之间的分布难以求得具体函数表达式，故而利用有限差分方法中的后向欧拉法，求出温度场在不同时刻的空间分布。附件2中的假人外侧皮肤的温度在1000s内呈现指数急剧上升至 $47^{\circ}\mathrm{C}$ ，1000s到5400s时基本不发生变化并维持在 $48^{\circ}\mathrm{C}$ ，此时与假人所带低温热源达到动态平衡。同时在确定温度场的分布后，得到空气层与假人皮肤外侧边界之间的热交换系数 $\delta$ 。 + +针对问题二，首先确定出Ⅱ层介质最优厚度要考虑经济成本以及高温作业时的行动方便，所以只需在满足问题二中的约束条件下使得Ⅱ层介质厚度 $d_{2}$ 最小即可。这时由于Ⅱ层介质的厚度 $d_{2}$ 作为自变量，需要利用问题一中的热交换系数 $\delta$ 确定间隙层热传导方程的边界条件，再利用黄金分割法在附件1中所给参数的区间范围内快速搜索确定 $d_{2}$ ，最终确定出偏微分方程的定解条件，从而得到整体温度场的分布，最后根据人体皮肤外侧温度在满足条件后确定出Ⅱ层介质厚度 $d_{2}$ 最小为 $15.7\mathrm{mm}$ 。其次在满足工作时间为3600s的条件下，温度超过 $44.0^{\circ}\mathrm{C}$ 且小于 $47^{\circ}\mathrm{C}$ 所需时间为3327s。满足两者之间不超过300s的约束条件。工作时间达到3600s的皮肤外侧温度为 $44.05^{\circ}\mathrm{C}$ 。最后将每次搜索 $d_{2}$ 所得到的皮肤最外侧温度分布绘成二维图像，分析出 $d_{2}$ 越大使皮肤外侧使温度随时间变化减小，但不会影响最终的平衡温度。 + +针对问题三，在问题二的基础上增加变量 $d_{4}$ 进一步确定最优的厚度组合。首先将厚度 $d_{2}, d_{4}$ 视作平面上的点 $(d_{2}, d_{4})$ ，其次对平面的点搜索，确定出满足问题三约束条件下的点集。这里求出83个满足约束的点。其次是考虑高温环境下作业人员应尽快完成作业，所以把高温下的工作服体积小、质量轻方便作业人员操作为主要因素，把舒适程度当作辅助因素。确定厚度标准 $\eta = d_{2} + d_{4}$ 最小，找出最终符合的点（16.8，6.4），即Ⅱ层介质厚度为 $16.8\mathrm{mm}$ ，Ⅳ层厚度为 $6.4\mathrm{mm}$ 。温度超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 不超过 $47^{\circ}\mathrm{C}$ 所需时间为1512s，工作时间为1800s的温度为 $44.7^{\circ}\mathrm{C}$ 。 + +关键词：温度场 热传导方程 有限差分法 Fourier 实验定律 + +# 1 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +服装作为人类在物质生产及生活活动中最基本的保证之一，是人与环境间的中间体，充当着我们第二皮肤的作用。如今人类从事的生产活动随时代发展变得越来越复杂且多变，所以在不同环境下对服装性能的要求变得愈发重视。这其中热防护功能一直被持续关注着，热防护服装隔热保温功能的研究也一直是国家安全的发展和振兴纺织业产品的重要课题。因此，建立高温环境下热防护服装的热设计模型，并结合人体皮肤模型给出合理评估显得尤为必要。 + +# 1.2 问题重述 + +在高温环境下工作需要穿着专用服装来避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料 I、II、III层，其中 I 层与外界接触，III层与皮肤之间存有空隙，将空隙层记为 IV层。 + +为设计这种专用服装，将体温控制为恒定 $37^{\circ} \mathrm{C}$ 的假人放置在实验室高温环境下，测量假人皮肤外侧温度变化情况。为了降低研发成本、缩短研发周期，我们需利用数学模型来模拟确定假人皮肤外侧的温度变化情况，解决以下问题： + +（1）专用服装材料的一些参数由附件1给出，设定环境温度为 $75^{\circ}\mathrm{C}$ 、II层厚度 $6\mathrm{mm}$ 、IV层厚度 $5\mathrm{mm}$ ，在工作时间为90分钟下开展实验，测量得假人皮肤外侧的温度（见附件2）。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excal文件（文件名设为problem1.xlsx）。 +（2）设定环境温度变为 $65^{\circ} \mathrm{C}$ 、IV层厚度为 $5.5 \mathrm{~mm}$ ，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ ，并且超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间不超过5分钟。 +(3) 当环境温度变为 $80^{\circ} \mathrm{C}$ 时, 确定 II 层和 IV 层的最优厚度, 以确保工作 30 分钟时假人皮肤的外侧温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ , 并且超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间不超过 5 分钟。 + +# 2 问题分析 + +# 2.1 问题一分析 + +高温作业下的专用服装分为四层，对于第四层考虑其服装材料的参数值如密度，比热容以及热传导率可认为是空气层。体内温度为 $37^{\circ} \mathrm{C}$ 的假人放置在 $75^{\circ} \mathrm{C}$ 高温实验室中，皮肤温度根据热传导可以得出所有层织物以及空气在初始时刻的温度为 $37^{\circ} \mathrm{C}$ ； $75^{\circ} \mathrm{C}$ 的高温热源是恒温源；通过分析附件2中皮肤外侧温度随时间的变化，最后在1148秒左右温度维持在 $48^{\circ} \mathrm{C}$ ，之所以会维持一个稳定值，是因为假人体内的温度维持在 $37^{\circ} \mathrm{C}$ ，这使得假人皮肤外侧的温度会维持一个稳定值。假人体内相当于一个不断吸热的耗散源，但同时又需维持自身的恒定温度。 + +对于问题一是首先分析热量传输的过程，在专用服装的阻热过程中主要考虑热传导，在间隙层中考虑空气的热量传输，又因为查阅相关文献[2]得知在间隙层厚度小于 $6.4\mathrm{mm}$ 时主要考虑热传导过程不考虑热对流以及热辐射过程。本问题中由于各层阻热各向同性，所以仅考虑一维情况下的温度分布。基于此根据能量守恒定律以及Fourier实验定律可以得出四层介质的热传导方程，再根据初始时刻的温度分布确定方程的初始条件，这里选取初始时假人体内温度 $37^{\circ}C$ 当作所有层的初始温度。其次根据温度场的连续性以及热传导规律确定衔接条件。再根据最终高温恒温热源以及低温恒温热源确定方程的边界条件。考虑到最终求得的是温度场的分布，应该包括空间以及时间分布，并且这四组偏微分方程求不出解析 + +表达式，所以利用有限数值差分法进行数值求解。最终，根据附件2中的表面皮肤温度结合方程，得出低温恒温热源的热交换系数 $\delta$ ，并且需要在接下来的两问中作为低温恒温热源的参数。 + +# 2.2 问题二分析 + +考虑到问题中附件1给出的专用服装材料的参数值，可以发现I层和III层的热导率较小因而阻热能力较好并且厚度都是保持不变，所以第I、第III层需要较高的经济成本，相比于第II层的介质热导率较高阻热效果相对较差，因此可以通过改变第II层的厚度来进行调节温度场的分布，从而使皮肤外层的温度在一定范围内且时间上满足一定条件。因此以第II层介质的厚度为目标函数，通过第一问中标定的参数热交换系数 $\delta$ ，列出新的偏微分方程边界条件以及温度场的约束条件，使得第II层介质的厚度最小。在具体求解中由于解偏微分方程需要进行数值逼近，因此选用优选法进行快速搜索最终确定最小的厚度，此即问题二中最优的厚度。 + +# 2.3 问题三分析 + +问题三中需要考虑最后空气层的厚度以及第Ⅱ层介质的厚度，通过查阅相关文献[2]得知，人体外表皮在温度大于 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 时开始发生热损伤，但是在此题中给出30分钟内不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ ，并且由于外表温度是单调非递减，所以必定在25分钟之后升至 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 。这可以作为问题三中的约束条件。综合第二问的算法，先以第Ⅱ层以及第Ⅳ层的厚度每次按照 $0.1 \mathrm{~mm}$ 的步长往上递增构造成一个二元点集，接着在平面的点上进行遍历搜索将满足约束条件的点找出，再根据第Ⅱ层的厚度最小原则进行筛选。又因为人体在高温环境下不会被损伤到的温度为 $44^{\circ} \mathrm{C}$ ，所以超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 以后，人待在高温环境下的时间应当尽可能地短。 + +# 3 模型假设 + +1. 假设忽略衣服褶皱，将织物层视为多层平行材料； +2. 假设热传递沿垂直于皮肤方向传递，织物是各项同性； +3. 假设再附件1中四层专用材料介质的参数不发生改变； +4. 假设能量由高温热源到外壳过程仅考虑热传导，不考虑热辐射和热对流； +5. 假设热传导率在不同温度下一致；因为本文中的温度差不是很高； +6. 空气层的厚度不超过 $6.4 \mathrm{~mm}$ 时热对流影响小, 所以不考虑热对流; +7. 假设织物层间、织物域空气层间、空气层与皮肤间的温度分布是连续变化的，但是温度梯度是跳跃的。 + +# 4符号说明 + +
符号符号说明
Ts表示外界高温热源恒为75℃
Th表示假人体内低温热源恒为37℃
Ti专用服装第i层介质所处的温度场
ci专用服装第i层介质的比热容
ρi专用服装第i层介质的密度
Di专用服装第i层介质的热扩散系数
δ表示假人皮肤外侧与空气之间的热交换系数
+ +# 5 模型建立与求解 + +# 5.1物理背景 + +# 5.1.1 衣下空气层厚度与热防护性能 + +对于热防护服，织物与皮肤间的空气层厚度影响着织物与皮肤间的热传导方式。单层热防护服与多层热防护服的影响效果又有着明显差异。衣下空气层中的热传递方式包括传导热传递、对流热传递和辐射热传递三种。 + +传导热传递依赖于介质、导热系数，并与温度梯度有关；对流热传递由流体流动引起，分为自然对流和强制对流；辐射热传递包括表面对表面辐射、表面对环境辐射和有介质参与的辐射。举例如图5.1所示。 + +![](images/e92b5900f022da0ed464734345c50538aad12eac8ec5f1b25ae317b8a10984f5.jpg) +图5.1 热传导实例示意图 + +![](images/b97bfd4f39a185f340e0214582cdee7d50797882b5d1c70d90f0eefb14feb995.jpg) +发动机中的强制对流散热 + +![](images/b91f8c7a20afc16ce127eba96ed91c6014d45f99dc4455ab55fff97340b15acc.jpg) +灯泡中的辐射散热 + +对于多层防护服，当织物与皮肤间空气层厚度小于或等于 $6.4\mathrm{mm}$ 时，由于空气层间隙太小，气体无法形成对流运动，所以此问题背景下热传递方式主要有热传导与热辐射。又由于热辐射是物体通过电磁波传递能量的，假人恒定温度为 $37^{\circ}C$ ，在这个温度下所产生的电磁波传递的能量较热传导的能量非常小，可忽略不计，故最终确定本问之中热量仅通过热传导方式传递。 + +# 5.1.2 热传导 + +导热是物体的各部分之间不发生相对位移，依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动所产生的热传递过程。 + +在热防护服的实际应用中，因为温差而引起的能量转移为传热；任何情况下，只要在某介质中或是两个介质之间存在温差，便会发生热量从高温向低温的传递过程，这个过程称为热传导，也叫热扩散。Fourier定律就是描述热传导的基本定律。热传导率描述的是材料导热能力的属性，材料不同热传导率也就不同，其值大小受温度影响 + +很大。但是本文中由于高温热源与低温热源之间的温差不是很大故而认定其热传导系数，密度，比热容以及厚度均不变。 + +# 5.1.3热传导方程的推导 + +设有一根截面积为A的均匀细杆，沿杆长有温度变化，其侧面绝热，考虑其热量的传播过程。 + +由于杆是均匀且细的，所以任何时刻可以将杆的横截面上温度视为相同；由于杆侧面绝热，因此热量只沿杆长方向传导，所以这是一个一维的热传导问题。 + +如图5.2所示，取杆中心骨架与 $x$ 轴重合，以 $u(x,t)$ 表示杆上 $x$ 点处 $t$ 时刻的温度。从杆内部划出一小段 $\Delta x$ ，考察这一小段，在时间间隔 $\Delta t$ 内热量流动情况。 + +![](images/db53b370df0ad462b1b5128a17559b592a6e3914992464f23fa3972ad4626207.jpg) +图5.2细杆示意图 + +设 $c$ 为杆的比热容（单位物质升高或降低单位温度所吸收或放出的热量，它与物质的材料有关）， $\rho$ 为杆的密度，则有： + +(1) 在 $\Delta t$ 时间内引起小段 $\Delta x$ 温度升高, 所需热量为 + +$$ +Q = c (\rho A \Delta x) [ u (x, t + \Delta t) - u (x, t) ] +$$ + +故当 $\Delta t \to 0$ 时 + +$$ +Q \approx c \rho A u _ {t} \Delta x \Delta t +$$ + +而 Fourier 实验定律告诉我们：当介质内有温差存在时，热量由温度高处向温度低处流动，单位时间流过单位面积的热量 $q$ （热流密度）与温度下降率成正比： + +$$ +q = - k \frac {\partial u}{\partial n} +$$ + +其中， $k$ 为导热率（与介质材料有关，严格来说也与温度有关，在温度变化范围不大时可忽略）； $\frac{\partial u}{\partial n}$ 的方向是通过曲面的外法向量方向；而负号表示由温度高处流向温度低处。因此： + +(2) 在 $\Delta t$ 时间内沿 $x$ 轴正向流入 $x$ 处截面的热量为 + +$$ +Q _ {1} (x) = - k u _ {x} (x, t) A \Delta t +$$ + +(3) 在 $\Delta t$ 时间内由 $x + \Delta x$ 处截面流出的热量为 + +$$ +Q _ {2} (x + \Delta x) = - k u _ {x} (x + \Delta x, t) A \Delta t +$$ + +根据能量守恒定律，流入 $\Delta x$ 段总热量与 $\Delta x$ 段中热源产生的热量应正好是 $\Delta x$ 段温度升高所吸收的热量，即 + +$$ +Q = Q _ {1} - Q _ {2} +$$ + +因此有 + +$$ +c \rho A u _ {t} \Delta x \Delta t = - k u _ {x} (x, t) A \Delta t + k u _ {x} (x + \Delta x, t) A \Delta t +$$ + +即 + +$$ +c \rho u _ {t} = \frac {k \left[ u _ {x} (x + \Delta x , t) - u _ {x} (x , t) \right]}{\Delta x} +$$ + +令 $\Delta x \to 0$ 两边取极限 + +$$ +u _ {t} = \frac {k}{c \rho} u _ {x x} +$$ + +$$ +u _ {t} = D u _ {x x} +$$ + +即 + +$$ +u _ {t} = D u _ {x x}, D = \frac {k}{c \rho} +$$ + +此式即为一维的热传导方程。 + +# 5.1.4 牛顿冷却定律 + +牛顿冷却定律是研究温度高于周围环境的物体向周围介质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律。当介质表面与环境存在温差时，单位时间单位面积散失的热量与温度成正比，这个比例系数称之为热传递系数。牛顿冷却定律在强制对流情况下与实际符合较好，在自然对流时仅在温差不太大的情况下成立。该定律用于计算介质中对流热量的多少。 + +$$ +\frac {\partial Q}{\partial t} = k _ {0} (T - \theta) +$$ + +式中 $k_{0}$ 与介质表面温度、表面光洁度、表面积以及环境温度 $\theta$ 有关, 称 $k_{0}$ 为耗散系数,在 $(T - \theta)$ 不大时, $k_{0}$ 为常数, 上式便为牛顿冷却定律的微分形式。 + +# 5.2 问题一模型的建立 + +针对“环境-防护服-人体”系统，提出高温下织物以及空气层的热传递数学模型。“环境-防护服-人体”系统的各层分布示意图如5.3 + +![](images/c0c611925a547521412e59892ece68d3e95e25729b392d68ad93d1fc590fb436.jpg) +图5.3“环境-防护服-人体”系统示意图 + +建立热力学传导方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial T _ {1}}{\partial t} = D _ {1} \frac {\partial^ {2} T _ {1}}{\partial x ^ {2}} & , 0 \leq x < x _ {1} \\ \frac {\partial T _ {2}}{\partial t} = D _ {2} \frac {\partial^ {2} T _ {2}}{\partial x ^ {2}} & , x _ {1} \leq x < x _ {2} \\ \frac {\partial T _ {3}}{\partial t} = D _ {3} \frac {\partial^ {2} T _ {3}}{\partial x ^ {2}} & , x _ {2} \leq x < x _ {3} \\ \frac {\partial T _ {4}}{\partial t} = D _ {4} \frac {\partial^ {2} T _ {4}}{\partial x ^ {2}} & , x _ {3} \leq x \leq x _ {4} \end{array} \right. \tag {5-2-1} +$$ + +- 几何条件 + +考虑到织物之间无褶皱并且相对研究的单位面积下可以认为其是平行的平面，在假人以及织物之间的间隙层可以认为是一些孔网状结构，从而空气占有较大，近似地认为是空气层。 + +- 初始条件 + +对于含有时间变量 $t$ 的数理方程来说，其未知函数将随 $t$ 不同而有不同的值，故必然要反映某一时刻物理量与相邻时刻的同一物理量之间的关系，所以求解问题过程中必须追溯到早先某个所谓“初始”时刻的状况，即建立初始条件。 + +$t = 0 \mathrm{~s}$ 时四个介质层的初始温度都为 $T_{h} = 37^{\circ} \mathrm{C}$ , 可得四个区域的热传导方程初始条件如下所示: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {1} (x, 0) = T _ {h} \\ T _ {2} (x, 0) = T _ {h} \\ T _ {3} (x, 0) = T _ {h} \\ T _ {4} (x, 0) = T _ {h} \end{array} \right. \tag {5-2-2} +$$ + +其中 $T_{h} = 37^{\circ} \mathrm{C}$ 表示假人体皮肤外侧表面初始温度, $T_{i}(x,0)$ 表示各层介质的初始时刻温度。 + +- 衔接条件 + +在研究具有不同介质的问题时，这时方程数目增多，除边界方程外，还需加不同介质界面处的衔接条件。 + +四个区域热传导方程衔接条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {1} \left(x _ {1} - 0, t\right) = T _ {2} \left(x _ {1} + 0, t\right) \\ k _ {1} \frac {\partial T _ {1}}{\partial x} \Bigg | _ {x = x _ {1} - 0} = k _ {2} \frac {\partial T _ {2}}{\partial x} \Bigg | _ {x = x _ {1} + 0} \\ T _ {2} \left(x _ {2} - 0, t\right) = T _ {2} \left(x _ {2} + 0, t\right) \\ k _ {2} \frac {\partial T _ {2}}{\partial x} \Bigg | _ {x = x _ {2} - 0} = k _ {3} \frac {\partial T _ {3}}{\partial x} \Bigg | _ {x = x _ {2} + 0} \\ T _ {3} \left(x _ {3} - 0, t\right) = T _ {3} \left(x _ {3} + 0, t\right) \\ k _ {3} \frac {\partial T _ {3}}{\partial x} \Bigg | _ {x = x _ {3} - 0} = k _ {4} \frac {\partial T _ {4}}{\partial x} \Bigg | _ {x = x _ {3} + 0} \end{array} \right. \tag {5-2-3} +$$ + +·边界条件 + +由于温度场中的未知函数均是空间位置函数，这必然反映到连续体的物理量在某一位置的取值与其相邻位置的取值间的关系，这种关系延伸到被研究区域的边界，会与边界状况发生联系，即边界状况将通过逐点影响题目讨论的整个区域。 + +根据第I层织物直接与 $T_{s}$ 热源接触得出第一个边界条件，同时考虑到假人体内的低温恒温热源会使热量吸收从而冷却假人皮肤表面，但是温度仍会不断上升，一段时间后达到动态平衡使得皮肤表面维持恒定温度。因此考虑第三类边界条件，利用牛顿冷却定律得到热传导方程的第二个边界条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {1} (0, t) = T _ {s} \\ \left. \frac {\partial T _ {4}}{\partial t} \right| _ {x = x _ {4}} = \delta \times \left[ T _ {4} \left(x _ {4}, t\right) - T _ {h} \right] \end{array} \right. \tag {5-2-4} +$$ + +其中 $T_{s}$ 表示外界高温热源为 $75^{\circ} \mathrm{C}, T_{h}$ 表示假人体内恒温热源为 $37^{\circ} \mathrm{C}, \delta$ 表示热交换系数。 + +# 5.3 问题一模型的求解 + +一维热传导方程 $T_{t} = DT_{xx}$ 是最简单的偏微分方程之一，本文是偏微分方程组的联立，并且定解条件较为复杂，因此应当求出其数值解。一般求解偏微分方程有有限元法和有限差分法等。 + +在本问题中采用有限差分法处理，它以Taylor级数展开等方法，将约束方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替来进行离散，建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。其基本思想是将连续定解区域用有限个离散点构成的网格代替，离散点称为网格节点；将连续定解区域内连续变量的函数用在网络上定义的离散变量函数近似；原方程和定解条件中的微商用差商近似；积分用积分和近似，于是将原微分方程与定解条件近似地代之以代数方程组，即为有限差分方程组；解方程组便能得到原问题在离散点上的近似解，再利用插值法从离散解中得到定解问题在整个区域上的近似解。 + +计算步骤为：1. 区域的离散；2. 插值函数选择；3. 方程组建立；4. 方程组求解。 + +利用有限差分法对偏微分方程进行数值求解，不同于对常微分方程进行数值求解。常微分方程只需考虑初始条件以及差分的前一项，由这两个条件就可以确定出所有的值。但偏微分方程的自变量不止一个，所以需要初始条件以及边界条件来确定。在有限差分法中不仅需要确定一个点前一时刻的函数值仍需确定下一个时刻的函数值，并且位置也需要考虑前后的函数值。 + +Crank-Nicolson 方法是一种数值分析的有限差分法，对于扩散方程及其他方程是无条件稳定的，但是如果时间步长乘以热扩散率，再除以步长的平方即的值过大（根据冯诺依曼稳定性分析，以大于1/2为准），且一般，所以近似解中将存在虚假的振荡或衰减。基于这个原因，当要求大时间步或高空间分辨率时，通常采用数值精确交差的后向欧拉法，既保证了稳定性又可减少解的伪振荡。 + +Crank-Nicolson 方法在空间域上使用中心差分，时间域上应用梯形公式，保证了时间域上的二阶收敛。比如一维微分方程： + +$$ +\frac {\partial T}{\partial t} = D \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} \tag {5-3-1} +$$ + +令 $T(i\Delta x, n\Delta t) = T_i^n$ ，通过Crank-Nicolson方法导出的中心差分方程，第 $\mathfrak{n}$ 步上采用 + +前向欧拉法： + +$$ +\frac {T _ {i} ^ {n + 1} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta t} = D _ {i} ^ {n} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} \tag {5-3-2} +$$ + +第 $n + 1$ 步上采用后向欧拉法； + +$$ +\frac {T _ {i} ^ {n + 1} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta t} = D _ {i} ^ {n + 1} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} \tag {5-3-3} +$$ + +中心差分： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {T _ {i} ^ {n + 1} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta t} = \frac {1}{2} \left[ \left(D _ {i} ^ {n + 1} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}}\right) + \left(D _ {i} ^ {n} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}}\right) \right] \\ i = 1, 2, 3, 4, n = 0, 1, \dots \mathrm {T} - 1 \\ T _ {i} ^ {0} = t _ {i}, i = 1, 2, 3, 4 \\ T _ {4} ^ {n} = \varphi_ {\delta} ^ {n}, n = 0, 1, \dots \mathrm {T} \\ \frac {T _ {4} ^ {n} - T _ {4 - 1} ^ {n}}{\Delta t} = \varphi_ {\delta} ^ {n}, n = 0, 1, \dots \mathrm {T} \end{array} \right. \tag {5-3-4} +$$ + +选用中心差商法通过MATLAB运算，发现令前三层步长合适的条件下并不能使得第四层满足，而将 $\Delta x$ 取 $0.01\mathrm{mm}$ ， $\Delta t$ 取 $0.0001\mathrm{s}$ 时可实现四层条件都满足，但是这会使实验数据量变庞大而在有限时间内无法运算出结果，且近似解中存在虚假的振荡或衰减。基于这个原因，最终采用数值精确较差的后向欧拉法。 + +# - 最终算法步骤： + +欧拉后向差分解法：首先对 $xt$ 平面进行网格剖分。分别取 $\Delta x$ 、 $\Delta t$ 为 $x$ 方向与 $t$ 方向的步长，用两族平行直线 $x = x_{k} = k\Delta x (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$ ， $t = t_{j} = j\Delta t (j = 0, 1, 2, \ldots)$ 把初始的矩阵划分成一个长方形网络如图5.4。为方便起见，记 $(k, j) = (x_{k}, y_{j})$ ， $T(k, j) = T(x_{k}, y_{j})$ + +![](images/2810e7d70d5710f0c1b2c08f6b65525ab9ccea84b8758caf6bf0882e62024bb8.jpg) +图5.4热传导方程的网格划分 + +在网格内的点 $(k,j)$ 处，对 $\frac{\partial T}{\partial t}$ 、 $\frac{\partial^2T}{\partial x^2}$ 均采用后向欧拉法。 + +得到热传导差分方程： + +$$ +\frac {T (k , j) - T (k , j - 1)}{\Delta t} = D \frac {T (k + 1 , j) - 2 T (k , j) + T (k - 1 , j)}{(\Delta x) ^ {2}} \tag {5-3-5} +$$ + +引入变量 $r = D\Delta t / (\Delta x)^2$ + +$$ +T (k, j) + T (k, j - 1) = r T (k + 1, j) + 2 r T (k, j) + r T (k - 1, j) \tag {5-3-6} +$$ + +此方程为三对角问题，应用三对角矩阵算法（追赶法）即可得到 $T(k, j)$ ，而不需要对矩阵直接求逆。 + +初始条件差分方程： + +$$ +T \left(x _ {k}, 0\right) = T _ {s} \tag {5-3-7} +$$ + +衔接条件的差分方程在左边界用向前差商近似偏导数 $\frac{\partial T}{\partial t}$ ，在右边界用向后差商近似 $\frac{\partial T}{\partial t}$ ，即（以 I、II 层为例）： + +$$ +k _ {1} \frac {T _ {1} \left(x _ {1} - 0 , j\right) - T _ {1} \left(x _ {1} + 0 , j\right)}{\Delta t} = k _ {2} \frac {T _ {2} \left(x _ {1} - 0 , j\right) - T _ {2} \left(x _ {1} + 0 , j\right)}{\Delta t} \tag {5-3-8} +$$ + +边界条件的差分方程： + +$$ +\frac {T _ {4} \left(x _ {4} , j\right) - T _ {4} \left(x _ {4} , j\right)}{\Delta t} = \delta (t) \times \left[ T _ {4} \left(x _ {4}, t\right) - T _ {h} \right] \tag {5-3-9} +$$ + +利用所给附件2中假人皮肤外侧的测量温度信息绘制出图5.5中假人外侧皮肤温度随时间的变化曲线图。 + +![](images/db45c247ecc029a8fbfe6d8ca9599605fee660d4185a3a52549155cf83f51541.jpg) +图5.5假人皮肤外侧温度随时间的变化 + +通过上图可以看出在1000s以内由于高低温热源温差较大，同时由于织物介质厚度较小使得假人皮肤外侧温度在短时间内急剧上升达不到很好的阻热作用。同时可以发现在 $48^{\circ}\mathrm{C}$ 以后外侧温度不再发生改变，此时因为低温热源具有耗散功能可以使得皮 + +肤一侧温度分布最终与低温热源达到动态平衡。 + +通过最终的皮肤一侧 $x = x_{4}$ 处的温度分布与前侧邻域 $\Delta x$ 之间的温度差当作在 $x = x_{4}$ 的温度梯度再结合牛顿冷却定律即该处的第三类边界条件: + +$$ +\left. \frac {\partial T}{\partial x} \right| _ {x = x _ {4}} = \delta \left[ T \left(x _ {4}, t\right) - T _ {n} \right] \tag {5-3-10} +$$ + +最后根据时间确定 $\delta$ 的取值。 + +为了更好地分析处温度场在不同时刻的空间分布绘制出如下的三维空间立体图 5.6 + +![](images/467fd7aafce7e576410370c9629c271b52e2b048ccef39c942c8c2f42b9001b6.jpg) +图5.6温度场在不同时刻的空间分布 + +同时分别取 $t = 50s$ 、 $t = 100s$ 、 $t = 500s$ 、 $t = 2000s$ 时热防护服四个不同时刻的温度场平面二维图5.7。 + +![](images/688686da9b8fec495d7880d4cb0856e79136d44593533bbabb2e83b0b3932649.jpg) +图5.7四个不同时刻下热防护服的温度场分布图 + +通过图 5.6 可以看出沿 x 轴的空间分布在不同介质的温度梯度变化不同, 但是同 + +一介质中的的温度梯度是相同的，这是因为该介质各向同性均匀一致。 + +从时间分布来看，时间较短时，温度整体分布是先急剧下降再平缓，这是因为靠近高温热源时温度梯度较大，在靠近低温热源时温度梯度变化较小因而温度变化平缓。 + +当时间较长时，空间各部分都已接受热源的传递，因而越靠近高温热源越接近高温热源的温度，越靠近低温热源越来越容易达到动态平衡从而温度趋于稳定，变化较小。 + +# 5.4 问题二模型的建立 + +环境温度为 $65^{\circ} \mathrm{C}$ , 第IV层的厚度为 $5.5 \mathrm{~mm}$ , 要通过改变第II层的厚度使得专用服的绝热保温效果最好, 据生活常识可认为在 II 层的绝热保温效果较好的情况下, 设计厚度越薄越好, 记第II层厚度为 $d_{2}$ ( $0.6 \mathrm{~mm} \leq d_{2} \leq 25 \mathrm{~mm}$ )。 + +热力学传导方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial T _ {1}}{\partial t} = D _ {1} \frac {\partial^ {2} T _ {1}}{\partial x ^ {2}} & , 0 \leq x < x _ {1} \\ \frac {\partial T _ {2}}{\partial t} = D _ {2} \frac {\partial^ {2} T _ {2}}{\partial x ^ {2}} & , x _ {1} \leq x < x _ {2} \\ \frac {\partial T _ {3}}{\partial t} = D _ {3} \frac {\partial^ {2} T _ {3}}{\partial x ^ {2}} & , x _ {2} \leq x < x _ {3} \\ \frac {\partial T _ {4}}{\partial t} = D _ {4} \frac {\partial^ {2} T _ {4}}{\partial x ^ {2}} & , x _ {3} \leq x \leq x _ {4} \end{array} \right. \tag {5-4-1} +$$ + +由问题一标定出了耗散系数 $\delta$ ，建立边界条件方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {1} (0, t) = T _ {s} \\ \frac {\partial T _ {4}}{\partial t} \Bigg | _ {x = x _ {4}} = \delta \times \left[ T _ {4} \left(x _ {4}, t\right) - T _ {h} \right] \end{array} \right. \tag {5-4-2} +$$ + +其中 $T_{s}$ 为 $65^{\circ} \mathrm{C}$ 。 + +目标方程为： + +$$ +\min d _ {2} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} T _ {4} \left(x _ {4}, 3 6 0 0\right) \leq 4 7 \\ T _ {4} \left(x _ {4}, 3 3 0 0\right) \leq 4 4 \end{array} \right. \tag {5-4-3} +$$ + +联立上式以及约束条件可确定出 $\min d_{2}$ , 得出满足约束条件下第 II 层的最优厚度。 + +# 5.5 问题二模型的求解 + +优选法算法： + +求解过程中使用单因素优选法中0.618法（黄金分割法），尽量用最可能少的试验次数，尽快找到解决问题的最优方案。 + +优选法的基本步骤为：1. 选定优化判断依据（约束条件），确定影响因素，优选数据是判断优选程度的依据；2. 列出优化判定依据与影响因素直接的关系，即为目标函数； + +3. 优化计算；4. 选出合理的试验点。 + +在本问题中，让专用服绝热保温效果最佳就是选择最优厚度。题目设定厚度范围为 $0\mathrm{mm}$ 至 $24.4\mathrm{mm}$ ，所以在这个区间内选取 0.618 处作为试验点，直观起见，将 0 至 24.4 看为单位长的线段，如图 5.8 + +![](images/b3b7360296e35457e6bcd6188d5cd5292e14785639c413f55c57fb009faea33a.jpg) +图5.8 + +为了比较试验的结果，必定需两两比较，设两点 $d_{m}$ 和 $d_{n}$ 。起初不知这两点哪点较好，并且两点间存在二选一，由于两点间被去掉的可能性相同，因此两端最好取得相等，即满足 + +$$ +d _ {m} = 1 - d _ {n} 。 \tag {5-5-1} +$$ + +如果试验后去掉的为 $[0, d_{n}]$ ，则留下 $[d_{m}, 1]$ ，所以 $d_{n}$ 在 $[d_{m}, 1]$ 中的地位相当于 $d_{m}$ 在 $[0, 1]$ 中的地位。可表示为： + +$$ +1: d _ {n} = d _ {m}: d _ {n} \text {, 即} d _ {n} ^ {2} = d _ {m} \tag {5-5-2} +$$ + +$$ +d _ {m} = 1 - d _ {n} \tag {5-5-3} +$$ + +将式（5-5-2）与（5-5-3）联立得到 + +$$ +d _ {n} ^ {2} + d _ {n} - 1 = 0 \tag {5-5-4} +$$ + +解得 + +$$ +\mathrm {d} _ {n} = (\sqrt {5} - 1) / 2 \approx 0. 6 1 8 +$$ + +于是利用黄金分割比0.618来对 $d_{2}$ 厚度区间实行搜索。 + +![](images/5037cd3e76bc58fdb5715691d62aedb0c92b7850f55d6c360f34536b4a7c7b67.jpg) +图5.9第Ⅱ层最优厚度下皮肤外侧温度分布图 + +表 1 第 II 层最优厚度下 ${44}^{ \circ }\mathrm{C}$ 附近温度数据 + +
时间/s331433153316331733183319
温度/℃43.9973243.9976343.9979443.9982543.9985543.99886
时间/s332033213322332333243325
温度/℃43.9991643.9994743.9997744.0000844.0003844.00069
时间/s332633273328332933303331
温度/℃44.0009944.0012944.0015944.001944.002244.0025
时间/s333233333334333533363337
温度/℃44.002844.003144.0034144.0037144.0040144.00431
时间/s333833393340334133423343
温度/℃44.0046144.004944.005244.005544.005844.0061
+ +由上图可以清楚看出在满足人皮肤外侧的温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ ，并且超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间为260s，满足在5分钟之内。并且此时得到最小的厚度为 $15.7 \mathrm{~mm}$ 。 + +![](images/1d25db270341df5601aa4fb5789a5c027153243605999822cb98981420798994.jpg) +图5.10第II层介质厚度 $0.6 - 17.0\mathrm{mm}$ 下皮肤外侧温度分布图 + +最终生成温度分布的部分内容如下表5.5.4，完整表格见支撑材料(problem1.xlsx)。从5.5.3中我们清楚看出比 $17.0\mathrm{mm}$ 薄的第Ⅱ厚度早在500s时就已经超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 并且持续时间较长，从图中我们也可以清楚看到随着第二层厚度 $d_{2}$ 代表着曲线趋于稳定时的陡峭程度，即 $d_{2}$ 越小温度在时间的上的一阶导数较大。 + +# 5.6 问题三模型的建立 + +此问题在环境温度变为 $80^{\circ}\mathrm{C}$ 的情况下需考虑两层介质厚度即第Ⅱ层介质的厚度和第Ⅳ层介质的厚度，两层介质厚度搭配以确保满足题目要求。 + +记第 II 层的介质厚度为 $d_{2}, (0.6 \mathrm{~mm} \leq d_{2} \leq 25 \mathrm{~mm})$ , 第 IV 层介质的厚度为 + +$d_{4},\left(0.6mm \leq d_{4} \leq 6.4mm\right)$ 。且由于外表温度是单调非递减的，所以设计达到 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间必须在25分钟后才能满足不超过5分钟的要求。 + +综合第二问算法，先以第Ⅱ层以及第Ⅳ层的厚度每次按照 $\Delta x = 0.1mm$ 的步长向上递增得到一个二维点阵如图5.11，保留这个点阵的数值而转化为二维矩阵，然后遍历搜索点阵中满足约束条件的数组元素，根据第Ⅱ层的厚度最小原则进行筛选。查阅相关文献[2]得知人体在高温环境下不会被损伤到的温度为 $44^{\circ}\mathrm{C}$ ，所以超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 以后人应当待在高温环境下的时间尽可能地短。 + +![](images/e09f752d96006c161c91147546103a92eb01a0a8af1a6beda8ec2dddc733dcb8.jpg) +图5.11第Ⅱ层与第Ⅳ层所有组合解示意图 + +边界条件方程如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {1} (0, t) = T _ {s} \\ \frac {\partial T _ {4}}{\partial t} \Bigg | _ {x = x _ {4}} = \delta \times \left[ T _ {4} \left(x _ {4}, t\right) - T _ {h} \right] \end{array} \right. \tag {5-6-1} +$$ + +其中 $T_{s}$ 为 $80^{\circ} \mathrm{C}$ 。以下列约束条件为目标进行二维搜索： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {4} \left(x _ {4}, 1 8 0 0\right) \leq 4 7 \\ T _ {4} \left(x _ {4}, 1 5 0 0\right) \leq 4 4 \end{array} \right. \tag {5-6-2} +$$ + +得到满足约束条件的点后，从中选出第Ⅱ层厚度较小的点。遍历平面点集在Ⅳ层的厚度下，假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ 且超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间，联系实际人体外表皮在温度大于 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 时开始会发生热损伤，所以超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 以后，人应当在高温环境下待的时间尽可能地短。提取出这段时间的点，时间最少点所对应的Ⅱ、Ⅳ层厚度值即为条件下的最优厚度解。 + +模型最优厚度确定： + +考虑到实际工人高温作业下应该尽快完成作业而高温下的工作服需要体积小方便作业人员操作当作主要因素，舒适程度当作辅助因素。 + +把 $\eta$ 当作最优厚度： + +$$ +\eta = \zeta_ {2} d _ {2} + \zeta_ {4} d _ {4} \tag {5-6-3} +$$ + +体积小可以通过总的衣服厚度以及空气层的厚度来衡量, 质量小, 轻便应当衣服的总质量来考量。记系数为 $\zeta_{2}$ 。 + +根据文献[2]高温防护服的空气层因为D4较大故而温度梯度较小但是保温绝热较好，同时可以防止作业人员的皮肤被烫伤。记系数为 $\zeta_{4}$ + +综合上述，令： + +$$ +\zeta_ {2} / \zeta_ {4} = 1 \tag {5-6-4} +$$ + +此时 $\eta$ 作为最优厚度: + +$$ +\min \eta +$$ + +$$ +\eta = d _ {2} + d _ {4} \tag {5-6-5} +$$ + +# 5.7 问题三模型的求解 + +第一步，一次遍历搜索点集中满足约束条件的83个点如下表5.2所示。 + +表 5.2 所有满足约束条件的第 II、IV层厚度组合 $\left( {{d}_{2},{d}_{4}}\right)$ + +
(16.8, 6.4)(16.9, 6.4)(17.0, 6.3)(17.1, 6.2)(17.2, 6.2)
(17.3, 6.1)(17.4, 6.0)(17.5, 6.0)(17.6, 5.9)(17.7, 5.8)
(17.8, 5.8)(17.9, 5.7)(18.0, 5.6)(18.1, 5.6)(18.2, 5.5)
(18.3, 5.4)(18.4, 5.4)(18.5, 5.3)(18.6, 5.2)(18.7, 5.2)
(18.8, 5.1)(18.9, 5.1)(19.0, 5.0)(19.1, 4.9)(19.2, 4.9)
(19.3, 4.8)(19.4, 4.7)(19.5, 4.7)(19.6, 4.6)(19.7, 4.6)
(19.8, 4.5)(19.9, 4.4)(20.0, 4.4)(20.1, 4.3)(20.2, 4.2)
(20.3, 4.2)(20.4, 4.1)(20.5, 4.1)(20.6, 4.0)(20.7, 3.9)
(20.8, 3.9)(20.9, 3.8)(21.0, 3.8)(21.1, 3.7)(21.2, 3.7)
(21.3, 3.6)(21.4, 3.5)(21.5, 3.5)(21.6, 3.4)(21.7, 3.4)
(21.8, 3.3)(21.9, 3.2)(22.0, 3.2)(22.1, 3.1)(22.2, 3.1)
(22.3, 3.0)(22.4, 3.0)(22.5, 2.9)(22.6, 2.9)(22.7, 2.8)
(22.8, 2.7)(22.9, 2.7)(23.0, 2.6)(23.1, 2.6)(23.2, 2.5)
(23.3, 2.5)(23.4, 2.4)(23.5, 2.4)(23.6, 2.3)(23.7, 2.3)
(23.8, 2.2)(23.9, 2.2)(24.0, 2.1)(24.1, 2.0)(24.2, 2.0)
(24.3, 1.9)(24.4, 1.9)(24.5, 1.8)(24.6, 1.8)(24.7, 1.7)
(24.8, 1.7)(24.9, 1.6)
+ +第二步，根据 $\eta$ 最小作为目标在83个点中搜索，最终确定（16.8，6.4）为最优厚度组合，即第Ⅱ层介质厚度为 $16.8\mathrm{mm}$ ，第Ⅳ层厚度为 $6.4\mathrm{mm}$ 。 + +# 6 模型检验 + +在误差分析时，使用有限差分法中的空间反演法，把右的边界条件当作最左边界条件，优厚向前推演，再结合初始条件即可确定温度场的重新分布。 + +先将问题写成如下一般形式： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial T}{\partial t} = D \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} \\ T (x, 0) = t (x) \\ T (L, t) = \varphi (t) \end{array} \right. +$$ + +对反问题有： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {T _ {i} ^ {n + 1} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta t} = \frac {1}{2} \left[ \left(D _ {i} ^ {n + 1} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}}\right) + \left(D _ {i} ^ {n} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}}\right) \right] \\ i = 1, 2, 3, 4, n = 0, 1, \dots \mathrm {T} - 1 \\ T _ {i} ^ {0} = t _ {i}, i = 1, 2, 3, 4 \\ T _ {4} ^ {n} = \varphi_ {\delta} ^ {n}, n = 0, 1, \dots \mathrm {T} \\ \frac {T _ {4} ^ {n} - T _ {4 - 1} ^ {n}}{\Delta t} = \varphi_ {\delta} ^ {n}, n = 0, 1, \dots \mathrm {T} \end{array} \right. +$$ + +通过反演法将运算出的结果与原来结果进行误差分析，得出结果相同的收敛率。 + +# 7 模型推广 + +在查阅文献[7]的过程中了解到许多国外学者将对假人进行仿真模拟，建立皮肤各层之间的热传递方程，更加真实有效地反映人体实际过程中的热量传递。如建立“热防护服-空气层-皮肤”的系统模型，再利用离散化数值求解方法求得相应的数值解，即温度场的分布。本文仍可利用COMSOL Multiphysics物理仿真软件来进行物理热传导方程的模拟实验，并且有国外学者在文献[8]中进行多层织物热传导仿真实验，效果极佳。 + +# 8 模型优缺点 + +# 8.1 模型优点 + +1. 求解偏微分方程时使用数值解法，向后欧拉法在保证解的稳定性上的基础上，进一步保证解的收敛性。 +2. 进行搜索时采用黄金分割比法使得算法搜索速度加快，可以为下一步缩短步长以及减小时间间隔来搜索最优厚度节省时间 +3.物理规律明确切合实际，在处理假人皮肤外侧与空气层时联系具体，将假人视为低温恒温热源，进而根据牛顿冷却定律得到方程的第三类边界条件。 + +# 8.2 模型缺点 + +1. 查阅文献得知空气层与假人皮肤外侧之间的距离小于 $6.4 \mathrm{~mm}$ 时, 不考虑热辐射以及对流, 但是一些文献中则是考虑辐射没有对流, 为了模型的简便, 本文未考虑到热辐射的影响。 +2. 德尔塔函数的处理上，通过有限差分法算出来的温度场的分布会有一些数值上的误差，但是满足收敛性是必要条件，在根据附件二的数据求解时一部分 $\delta$ 的值出现正值。这一部分只是单从实际考虑舍去，实际情况可能 $\delta$ 的值是全部为负值，但是在收敛的过程中倒数第二组出现不收敛的现象，但是前面到初始条件全部符合收敛的特性。 + +# 9 参考文献 + +[1] 姚端正、梁家宝. 《数学物理方法》[M]. P105 科学出版社. 2010 年 3 月第三版: IV.0411.1 +[2] 潘斌. 热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题[D]. 浙江理工大学. 2016.12.28 +[3] 卢琳珍、徐定华、徐映红．纺织学报[N]. 应用三层热防护服热传递改进模型的皮肤烧伤度预测 2018年1月 +[4] 赖军、张梦莹、张华、李俊 纺织学报[N]. 消防服衣下空气层的作用与测定方法研究进展 2017年6月 +[5] 彭芳麟. 《计算物理基础》[M]. P330 高等教育出版社·北京. 2010 年 1 月第 1 版. 2013.12 +[6] 史策.咸阳师范学院学报[N]. 热传导方程有限差分法的 MATLAB 实现.1672-2914（2009）04-0027-03 +[7] 余跃.纺织材料热湿传递数学建模及其设计反问题[D].浙江理工大学.2015.11.20 +[8] E.ONOFRE、S.PETRUSIC、G.BEDEK、D.DUPONT, and D.SOULAT.13thAUTEX Word Textile Conference[N]. “STUDY OF HEAT TRANSFER THROUGH MULTILAYER TEXTILE STRUCTURE USED IN FIREFIGHTER PROTECTIVE CLOTHING”. May22thto24th2013 +[9] Crank-Nicolson 方法 +https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%8B%E5%85%B0%E5%85%8B%EF%BC%8D%E5%B0%BC%E7%A7%91%E5%B0%94%E6%A3%AE%E6%96%B9%E6%B3%95 + +# 附录 + +# 问题1 源代码： + +load data1.mat; + +时间以0.1为步长增长，空间以0.1为步长增长 + +%温度U,距离X,时间t + +$\mathrm{t\_1} = 54000$ + +%各层相应密度 + +e1 = 300; + +$\mathrm{e}2 = 862$ + +$\mathrm{e}3 = 74.2$ + +$\mathrm{e}4 = 1.18;$ + +%各层相应比热 + +c1 = 1377; + +$\mathrm{c2} = 2100$ + +c3 = 1726; + +c4 = 1005; + +%各层相应热传导率 + +$\mathrm{k1} = 0.082$ + +$\mathrm{k}2 = 0.37$ + +$\mathrm{k}3 = 0.045$ + +$\mathrm{k}4 = 0.028$ + +a12 = k1 / (c1*e1); + +a22 = k2 / (c2*e2); + +a32 = k3 / (c3*e3); + +a42 = k4 / (c4*e4); + +r1 = a12*1e7; + +r2 = a22*1e7; + +r3 = a32*1e7; + +r4 = a42*1e7; + +%第一层 + +a1 = ones(5, 1); + +a1(1:5) = (-r1)*a1(1:5); + +b1 = ones(5, 1); + +b1(1:5) = (1 + 2*r1)*b1(1:5); + +c1 = a1; + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {q} _ {- 2} = \operatorname {z e r o s} (1, \mathrm {t} _ {- 1}); \\ \mathrm {q} _ {2} (1, 1) = 3 7; \\ \end{array} +$$ + +%第二层 + +$$ +\begin{array}{l} a 2 = \text {o n e s} (5 9, 1) * (- r 2); \\ b 2 = \text {o n e s} (5 9, 1) * (1 + 2 * r 2); \\ \mathrm {c} 2 = \mathrm {a} 2; \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {q} _ {- 3} = \text {z e r o s} (1, \mathrm {t} _ {- 1}); \\ \mathrm {q} 3 (1, 1) = 3 7; \\ \end{array} +$$ + +第三层 + +$$ +\begin{array}{l} a 3 = \text {o n e s} (3 5, 1) * (- r 3); \\ b 3 = \text {o n e s} (3 5, 1) * (1 + 2 * r 3); \\ \mathrm {c} 3 = \mathrm {a} 3; \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {q} _ {-} 4 = \text {z e r o s} (1, \mathrm {t} _ {-} 1); \\ \mathrm {q} _ {-} 4 (1, 1) = 3 7; \\ \end{array} +$$ + +第四层 + +$$ +\begin{array}{l} a 4 = \text {o n e s} (4 9, 1) * (- r 4); \\ b 4 = \text {o n e s} (4 9, 1) * (1 + 2 * r 4); \\ \mathrm {c} 4 = \mathrm {a} 4; \\ \end{array} +$$ + +UZ_1(1,:) = 75;%与外界环境接触层 + +$$ +\begin{array}{l} U Z _ {-} 1 = \text {z e r o s} (1 5 3, t _ {-} 1); \\ U Z \_ 1 (:, 1) = 3 7; \\ f o r h = 1: t _ {-} 1 - 1 \\ \end{array} +$$ + +$$ +i = h + 1; +$$ + +%第一层 + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {d} 1 = \mathrm {U Z} 1 (2: 6, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 1 (1) = \mathrm {d} 1 (1) + \mathrm {r} 1 * \mathrm {U Z} _ {-} 1 (1, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 1 (5) = \mathrm {d} 1 (5) + \mathrm {r} 1 * \mathrm {U Z} _ {-} 1 (7, \mathrm {i} - 1); \\ \end{array} +$$ + +%追赶法 + +$$ +U Z _ {-} 1 (2: 6, i) = \text {m a c h a s e} _ {-} f (a 1, b 1, c 1, d 1); +$$ + +%第二层 + +$$ +\mathrm {d} 2 = \mathrm {U Z} _ {-} 1 (8: 6 6, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +d 2 (1) = d 2 (1) + r 2 * U Z _ {1} (7, i - 1); +$$ + +$$ +d 2 (5 9) = d 2 (5 9) + r 2 * U Z _ {-} 1 (6 7, i - 1); +$$ + +%追赶法 + +$$ +U Z _ {1} (8: 6 6, i) = \text {m a c h a s e} f (a 2, b 2, c 2, d 2); +$$ + +第三层 + +$$ +\mathrm {d} 3 = \mathrm {U Z} _ {-} 1 (6 8: 1 0 2, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +\mathrm {d} 3 (1) = \mathrm {d} 3 (1) + \mathrm {r} 3 * \mathrm {U Z} _ {-} 1 (6 7, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +\mathrm {d} 3 (3 5) = \mathrm {d} 3 (3 5) + \mathrm {r} 3 * \mathrm {U Z} _ {- 1} (1 0 3, \mathrm {i} - 1); +$$ + +%追赶法 + +$$ +U Z _ {1} (6 8: 1 0 2, i) = \text {m a c h a s e} f (a 3, b 3, c 3, d 3); +$$ + +第四层 + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {d} 4 = \mathrm {U Z} _ {-} 1 (1 0 4: 1 5 2, \mathrm {i} - 1); \\ d 4 (1) = d 4 (1) + r 4 * U Z _ {-} 1 (1 0 3, i - 1); \\ \end{array} +$$ + +$$ +i f i \tilde {\sim} = 5 4 0 0 0 +$$ + +$$ +U Z _ {-} 1 (1 5 3, i) \quad = \mod (i, 1 0) * (\text {d a t a l} ((\text {f l o o r} (i / 1 0) \quad + \quad 2), 2) - +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {d a t a 1} ((\text {f l o o r} (\mathrm {i} / 1 0) + 1), 2)) / 1 0 0 + \text {d a t a 1} ((\text {f l o o r} (\mathrm {i} / 1 0) + 1), 2); \\ \mathrm {e l s e} \\ U Z _ {-} 1 (1 5 3, i) \quad = \mod (i, 1 0) * (\text {d a t a l} ((\text {f l o o r} (i / 1 0) \quad + \quad 1), 2) - \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {d a t a 1} ((\text {f l o o r} (\mathrm {i} / 1 0)), 2)) / 1 0 0 + \text {d a t a 1} ((\text {f l o o r} (\mathrm {i} / 1 0) + 1), 2); \\ \mathrm {e n d} \\ d 4 (4 9) = d 4 (4 9) + r 4 * U Z _ {1} (1 5 3, i); \\ \end{array} +$$ + +%追赶法 + +$$ +U Z _ {1} (1 0 4: 1 5 2, i) = \text {m a c h a s e} f (a 4, b 4, c 4, d 4); +$$ + +$$ +U Z _ {-} 1 (7, i) = \left(k 1 * U Z _ {-} 1 (6, i) + k 2 * U Z _ {-} 1 (8, i)\right) / \left(k 1 + k 2\right); +$$ + +$$ +U Z _ {-} 1 (6 7, i) = (k 2 * U Z _ {-} 1 (6 6, i) + k 3 * U Z _ {-} 1 (6 8, i)) / (k 2 + k 3); +$$ + +$$ +U Z _ {-} 1 (1 0 3, i) = (k 3 * U Z _ {-} 1 (1 0 2, i) + k 4 * U Z _ {-} 1 (1 0 4, i)) / (k 3 + k 4); +$$ + +end + +%提取温度分布矩阵 + +$$ +U _ {1} = \text {z e r o s} (1 5 3, 5 4 0 1); +$$ + +$$ +U _ {-} 1 (:, 1) = U Z _ {-} 1 (:, 1); +$$ + +$$ +U _ {-} 1 (:, 5 4 0 1) = U Z _ {-} 1 (:, 5 4 0 0 0); +$$ + +$$ +f o r \quad i = 1: 5 3 9 9 +$$ + +$$ +U _ {-} 1 (:, i + 1) = U Z _ {-} 1 (:, i * 1 0 + 1); +$$ + +end + +$$ +j = U _ {-} 1 ^ {\prime}; +$$ + +4个不同时刻的温度空间分布 + +$$ +x = 1: 1: 1 5 3; +$$ + +$$ +\mathrm {y} 1 = \mathrm {U} _ {-} 1 (:, 5 1); +$$ + +$$ +y 2 = U _ {-} 1 (:, 1 0 1); +$$ + +$$ +y 3 = U _ {-} 1 (:, 5 0 1); +$$ + +$\mathrm{y4 = U\_1(:,2001)}$ plot(x,y1)； hold on plot(x,y2)； hold on plot(x,y3)； hold on plot(x,y4); + +问题2源代码： + +```matlab +load data1.mat; +%时间以1为步长增长，空间以0.1为步长增长 +%温度U，距离X,时间t +ZZ_1 = 104; +t_2 = 3601; +for i = 1:5401 +K(1,i) = -0.318291616; %散热系数 +end +II = 6; %第二层初始厚度 +``` + +$\%$ 各层相应密度 +e1 = 300; +e2 = 862; +e3 = 74.2; +e4 = 1.18; + +$\%$ 各层相应比热 +c1 = 1377; +c2 = 2100; +c3 = 1726; +c4 = 1005; + +$\%$ 各层相应热传导率 + $\mathrm{k1} = 0.082$ $\mathrm{k2} = 0.37$ $\mathrm{k3} = 0.045$ $\mathrm{k4} = 0.028$ + +```txt +a12 = k1 / (c1*e1); +a22 = k2 / (c2*e2); +a32 = k3 / (c3*e3); +a42 = k4 / (c4*e4); +``` + +```matlab +r1 = a12*1e8; +r2 = a22*1e8; +r3 = a32*1e8; +r4 = a42*1e8; +``` + +%第一层 + +```matlab +a1 = ones(5, 1); +a1(1:5) = a1(1:5)*( -r1); +b1 = ones(5, 1); +b1(1:5) = b1(1:5)*(1 + 2*r1); +c1 = a1; +``` + +```matlab +q_2 = zeros(1, t_2); +q_2(1, 1) = 37; +``` + +%第二层 + +```matlab +a2 = ones(II-1, 1) * (-r2); +b2 = ones(II-1, 1) * (1 + 2*r2); +c2 = a2; +q_3 = zeros(1, t_2); +q_3(1, 1) = 37; +``` + +第三层 + +```matlab +a3 = ones(35, 1)*( -r3 ) ; +b3 = ones(35, 1)*(1 + 2*r3) ; +c3 = a3 ; +``` + +$\mathrm{q\_4} = \mathrm{zeros}(1,\mathrm{t\_2})$ $\mathrm{q\_4(1,1)} = 37;$ + +第四层 + +```matlab +a4 = ones(54,1)*( -r4) ; +b4 = ones(54,1)*(1 + 2*r4) ; +c4 = a4; +U_2 = zeros(ZZ_1,t_2); +U_2(1,:) = 65; %与外界环境接触层 +U_2(:,1) = 37; +``` + +temp $= 0$ $\mathrm{U\_t} = \left[\right]$ +for m $= 6:250$ + +$$ +f o r \quad i = 2: t _ {2} +$$ + +%第一层 + +$$ +\mathrm {d} 1 = \mathrm {U} _ {-} 2 (2: 6, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +d 1 (1) = d 1 (1) + r 1 * U _ {2} (1, i - 1); +$$ + +$$ +\mathrm {d} 1 (5) = \mathrm {d} 1 (5) + \mathrm {r} 1 * \mathrm {U} _ {-} 2 (7, \mathrm {i} - 1); +$$ + +%追赶法 + +$$ +U _ {2} (2: 6, i) = \text {m a c h a s e} f (a 1, b 1, c 1, d 1); +$$ + +%第二层 + +$$ +\mathrm {d} 2 = \mathrm {U} _ {-} 2 (8: \mathrm {I I} + 6, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +\mathrm {d} 2 (1) = \mathrm {d} 2 (1) + \mathrm {r} 2 * \mathrm {U} _ {2} (7, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +\mathrm {d} 2 (\mathrm {I I} - 1) = \mathrm {d} 2 (\mathrm {I I} - 1) + \mathrm {r} 2 * \mathrm {U} _ {-} 2 (\mathrm {I I} + 7, \mathrm {i} - 1); +$$ + +%追赶法 + +$$ +U _ {-} 2 (8: I I + 6, i) = \text {m a c h a s e} _ {-} f (a 2, b 2, c 2, d 2); +$$ + +第三层 + +$$ +\mathrm {d} 3 = \mathrm {U} _ {-} 2 (\mathrm {I I} + 8: \mathrm {I I} + 4 2, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +\mathrm {d} 3 (1) = \mathrm {d} 3 (1) + r 3 * U _ {2} (\mathrm {I I} + 7, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +\mathrm {d} 3 (3 5) = \mathrm {d} 3 (3 5) + \mathrm {r} 3 * \mathrm {U} _ {-} 2 (\mathrm {I I} + 4 3, \mathrm {i} - 1); +$$ + +%追赶法 + +$$ +U _ {-} 2 (I I + 8: I I + 4 2, i) = \text {m a c h a s e} f (a 3, b 3, c 3, d 3); +$$ + +第四层 + +$$ +\mathrm {d} 4 = \mathrm {U} _ {2} (\mathrm {I I} + 4 4: \mathrm {Z Z} _ {-} 1 - 1, \mathrm {i} - 1); +$$ + +$$ +d 4 (1) = d 4 (1) + r 4 * U _ {2} (I I + 4 3, i - 1); +$$ + +$$ +d 4 (5 4) = d 4 (5 4) + r 4 * U _ {2} (Z Z _ {1}, i - 1); +$$ + +%追赶法 + +$$ +U _ {-} 2 (I I + 4 4: Z Z _ {-} 1 - 1, i) = \text {m a c h a s e} f (a 4, b 4, c 4, d 4); +$$ + +$$ +U _ {2} (7, i) = (k 2 * U _ {2} (8, i) + k 1 * U _ {2} (6, i)) / (k 1 + k 2); +$$ + +$$ +U _ {2} (I I + 7, i) = (k 3 * U _ {2} (I I + 8, i) + k 2 * U _ {2} (I I + 6, i)) / (k 2 + k 3); +$$ + +$$ +U _ {2} (I I + 4 3, i) = (k 4 * U _ {2} (I I + 4 4, i) + k 3 * U _ {2} (I I + 4 2, i)) / (k 3 + k 4); +$$ + +$$ +U _ {t} (i - 1) = U _ {2} (Z Z _ {1}, i); +$$ + +end + +%元胞数组存放相关数据 + +UZ_2{m-5} = U_t; + +plot(2:3601,UZ_2{m-5},'r'); + +hold on; + +axis([0 3600 36 48]) + +$$ +i f U _ {2} (Z Z _ {1}, 3 3 0 1) < = 4 4 +$$ + +```matlab +if U_2(ZZ_1, t_2) <= 47 + temp = 1; + break +end +end +if m ~ = 250 +if temp == 0 + ZZ_1 = ZZ_1 + 1; + II = m + 1; + U_2 = zeros(ZZ_1, t_2); + U_2(:, 1) = 37; + U_2(1,:) = 65;%与外界接触层 + a2 = ones(II-1, 1)*(−r2); + b2 = ones(II-1, 1)*(1 + 2*r2); + c2 = a2; + continue +else + break +end +end +end +fit_d = m/10;%单位 mm +%plot(1:3601, U_2(255,:), 'b')); hold on; axis([0 3600 36 48]) +``` + +问题3源代码： + +```matlab +load data1.mat; +%时间以1为步长增长，空间以0.1为步长增长 +%温度U,距离X,时间t +ZZ_2 = 55; +t_3 = 1801; +for i = 1:1801 +K(1,i) = -0.35; %散热系数 +end +II = 6; %第二层初始厚度 +IV = 6; %第四层初始厚度 +``` + +%各层相应密度 + +$\mathrm{e}1 = 300$ $\mathrm{e2} = 862$ $\mathrm{e3} = 74.2$ $\mathrm{e4} = 1.18$ + +%各层相应比热 + +$$ +\begin{array}{l} c 1 = 1 3 7 7; \\ c 2 = 2 1 0 0; \\ c 3 = 1 7 2 6; \\ c 4 = 1 0 0 5; \\ \end{array} +$$ + +%各层相应热传导率 + +$$ +k 1 = 0. 0 8 2; +$$ + +$$ +k 2 = 0. 3 7; +$$ + +$$ +\mathrm {k} 3 = 0. 0 4 5; +$$ + +$$ +\mathrm {k} 4 = 0. 0 2 8; +$$ + +$$ +a 1 2 = k 1 / (c 1 * e 1); +$$ + +$$ +a 2 2 = k 2 / (c 2 * e 2); +$$ + +$$ +a 3 2 = k 3 / (c 3 * e 3); +$$ + +$$ +a 4 2 = k 4 / (c 4 * e 4); +$$ + +$$ +r 1 = a 1 2 * 1 e 8; +$$ + +$$ +r 2 = a 2 2 * 1 e 8; +$$ + +$$ +r 3 = a 3 2 * 1 e 8; +$$ + +$$ +r 4 = a 4 2 * 1 e 8; +$$ + +%第一层 + +$$ +a 1 = \text {o n e s} (5, 1); +$$ + +$$ +a 1 (1: 5) = a 1 (1: 5) * (- r 1); +$$ + +$$ +b 1 = \text {o n e s} (5, 1); +$$ + +$$ +b 1 (1: 5) = b 1 (1: 5) * (1 + 2 * r 1); +$$ + +$$ +\mathrm {c} 1 = \mathrm {a} 1; +$$ + +$$ +\mathrm {q} _ {2} = \text {z e r o s} (1, \mathrm {t} _ {3}); +$$ + +$$ +\mathrm {q} _ {- 2} (1, 1) = 3 7; +$$ + +%第二层 + +$$ +a 2 = \text {o n e s} (\mathrm {I I} - 1, 1) * (- r 2); +$$ + +$$ +b 2 = \text {o n e s} (I I - 1, 1) * (1 + 2 * r 2); +$$ + +$$ +c 2 = a 2; +$$ + +$$ +q 3 = \text {z e r o s} (1, t 3); +$$ + +$$ +\mathrm {q} _ {-} 3 (1, 1) = 3 7; +$$ + +第三层 + +$$ +\begin{array}{l} a 3 = \text {o n e s} (3 5, 1) * (- r 3); \\ b 3 = \text {o n e s} (3 5, 1) * (1 + 2 * r 3); \\ \mathrm {c} 3 = \mathrm {a} 3; \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {q} _ {-} 4 = \text {z e r o s} (1, \mathrm {t} _ {-} 3); \\ \mathrm {q} \_ 4 (1, 1) = 3 7; \\ \end{array} +$$ + +第四层 + +$$ +\begin{array}{l} a 4 = \text {o n e s} (I V - 1, 1) * (- r 4); \\ b 4 = \text {o n e s} (I V - 1, 1) * (1 + 2 * r 4); \\ \mathrm {c} 4 = \mathrm {a} 4; \\ \end{array} +$$ + +$$ +U _ {3} = \text {z e r o s} (Z Z _ {2}, t _ {3}); +$$ + +U_3(1,:) = 80; %与外界环境接触层 + +$$ +U _ {-} 3 (:, 1) = 3 7; +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {S I G N} = \text {z e r o s} (2 4 5, 5 9); \\ \text {t e m p} = 0; \\ f o r p = 6: 2 5 0 \\ f o r w = 6: 6 4 \\ f o r \quad i = 2: t _ {3} \\ \mathrm {d} 1 = \mathrm {U} _ {-} 3 (2: 6, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 1 (1) = \mathrm {d} 1 (1) + \mathrm {r} 1 * \mathrm {U} _ {3} (1, \mathrm {i} - 1); \\ d 1 (5) = d 1 (5) + r 1 * U _ {3} (7, i - 1); \\ U _ {3} (2: 6, i) = \text {m a c h a s e} f (a 1, b 1, c 1, d 1); \\ \mathrm {d} 2 = \mathrm {U} _ {-} 3 (8: \mathrm {I I} + 6, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 2 (1) = \mathrm {d} 2 (1) + \mathrm {r} 2 * \mathrm {U} _ {-} 3 (7, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 2 (\mathrm {I I} - 1) = \mathrm {d} 2 (\mathrm {I I} - 1) + \mathrm {r} 2 * \mathrm {U} _ {-} 3 (\mathrm {I I} + 7, \mathrm {i} - 1); \\ U _ {3} (8: I I + 6, i) = \text {m a c h a s e} f (a 2, b 2, c 2, d 2); \\ \mathrm {d} 3 = \mathrm {U} _ {-} 3 (\mathrm {I I} + 8: \mathrm {I I} + 4 2, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 3 (1) = \mathrm {d} 3 (1) + r 3 * U _ {3} (\mathrm {I I} + 7, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 3 (3 5) = \mathrm {d} 3 (3 5) + \mathrm {r} 3 * \mathrm {U} _ {-} 3 (\mathrm {I I} + 4 3, \mathrm {i} - 1); \\ U _ {3} (I I + 8: I I + 4 2, i) = \text {m a c h a s e} f (a 3, b 3, c 3, d 3); \\ \mathrm {d} 4 4 = \mathrm {U} _ {-} 3 (4 4 + \mathrm {I I}: 4 2 + \mathrm {I I} + \mathrm {I V}, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 4 4 (1) = \mathrm {d} 4 4 (1) + r 4 * U _ {-} 3 (\mathrm {I I} + 4 3, \mathrm {i} - 1); \\ \mathrm {d} 4 4 (\mathrm {I V} - 1) = \mathrm {d} 4 4 (\mathrm {I V} - 1) + \mathrm {r} 4 * \mathrm {U} _ {3} (\mathrm {Z Z} _ {2}, \mathrm {i} - 1); \\ U _ {-} 3 (4 4 + I I: 4 2 + I I + I V, i) = \text {m a c h a s e} _ {-} f (a 4, b 4, c 4, d 4 4); \\ U _ {3} (7, i) = (k 2 * U _ {3} (8, i) + k 1 * U _ {3} (6, i)) / (k 1 + k 2); \\ U _ {3} (I I + 7, i) = \left(k 3 * U _ {3} (I I + 8, i) + k 2 * U _ {3} (I I + 6, i)\right) / \left(k 2 + k 3\right); \\ U _ {-} 3 (I I + 4 3, i) = \left(k 4 * U _ {-} 3 (I I + 4 4, i) + k 3 * U _ {-} 3 (I I + 4 2, i)\right) / \left(k 3 + k 4\right); \\ \end{array} +$$ + +end + +if U_3(ZZ_2,1501) $< =$ 44 if U_3(ZZ_2,t_3) $< =$ 47 temp $= 1$ . SIGN(p-5,w-5） $= 1$ break end +end + +$\mathrm{ZZ\_2} = \mathrm{ZZ\_2 + 1}$ · $\mathrm{IV} = \mathrm{IV} + 1$ · $\mathrm{U}_{-3} = \mathrm{zeros}(\mathrm{ZZ}_2,\mathrm{t}_3)$ ： $\mathrm{U}_{-3}(:,1) = 37$ ： $\mathrm{U}_{-3}(1,:) = 80;\%$ 与外界接触层 a4 $=$ ones(IV-1,1)*( -r4)； b4 $=$ ones(IV-1,1)*(1+2*r4)； c4 $=$ a4; end $\mathrm{II} = \mathrm{II} + 1$ · $\mathrm{IV} = 6$ ： $\mathrm{ZZ\_2} = 1 + 6 + \mathrm{II} + 36 + \mathrm{IV}$ ： U_3 $=$ zeros(ZZ_2,t_3); U_3(:,1） $= 37$ ： U_3(1,:) $= 80$ ;%与外界接触层 a2 $=$ ones(II-1,1)*( -r2)； b2 $=$ ones(II-1,1)*(1+2*r2)； c2 $=$ a2; a4 $=$ ones(IV-1,1)*( -r4)； b4 $=$ ones(IV-1,1)*(1+2*r4)； c4 $=$ a4; +end + +```txt +for qq = 1:245 +for l = 1:59 +if SIGN(qq, l) == 1 +disp([qq+5 1+5]) +end +end +end +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/A401/A401.md b/MCM_CN/2018/A401/A401.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..76f5bd97c19075b8e92b54c5c48f55cd024c8735 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/A401/A401.md @@ -0,0 +1,1545 @@ +# 高温作业专用服装设计 + +# 摘要 + +本文主要研究高温作业专用服装设计，以Fourier定律和能量守恒定律为理论依据，建立了基于热传导方程的温度分布模型，借助追赶法求解。 + +在问题一温度分布模型求解中。首先，基于Fourier定律和能量守恒定律，建立的基于热传导方程的温度分布模型。基于牛顿冷却定律，借助枚举法，确定空气与皮肤表面的转化系数，并给出初值温度37度、左边界Dirichlet边值条件，右边界Robin边值条件，及基于临界面热流量密度和温度相等的耦合条件。其次，将连续定解区域作网格剖分，用隐式向后差分格式对原微分方程组离散化，得到三对角线性方程组，借助追赶法求解，得到时间与空间维度下的温度分布，见problem1.xlsx。最后，对模型进行误差分析，定义偏差指数 $f$ 并求得其值为0.4593，最大误差为1.99。 + +在问题二求Ⅱ介质最优厚度问题中，建立单目标优化模型。首先，基于对服装成本和舒适度的考虑，制定Ⅱ介质厚度的“最优”准则——最小厚度为最优，进而确定优化目标；其次，确定约束条件：初值温度37度、左边界Dirichlet边值条件、右边界Robin边值条件、基于临界面热流量密度和温度相等的耦合条件及题目对于温度的限制条件；然后，用循环遍历的枚举法，借助matlab搜索出Ⅱ介质的最优厚度为 $19.3\mathrm{mm}$ 。最后，对单目标优化模型作灵敏性分析，最优厚度与温度呈现线性关系。 + +在问题三求Ⅱ、Ⅳ介质厚度的问题中，建立多目标优化模型。首先，从成本与穿着舒适度两方面，制定“最优”准则，并确定两个不同的优化目标；然后，借助matlab采用双重for循环枚举遍历，搜索出Ⅱ介质的最优厚度为 $21.7\mathrm{mm}$ ，Ⅳ层介质的最优厚度为 $6.4\mathrm{mm}$ 。 + +关键词：Fourier定律 热传导方程 追赶法 枚举法 向后差分 + +# 一、问题重述 + +在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。 + +为设计专用服装，将体内温度控制在 $37^{\circ} \mathrm{C}$ 的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题： + +(1) 专用服装材料的某些参数值由附件1给出, 对环境温度为 $75^{\circ} \mathrm{C}$ 、II层厚度为 $6 \mathrm{~mm} 、$ IV层厚度为 $5 \mathrm{~mm}$ 、工作时间为90分钟的情形开展实验, 测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。建立数学模型, 计算温度分布, 并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。 +(2) 当环境温度为 $65^{\circ} \mathrm{C}$ 、IV层的厚度为 $5.5 \mathrm{~mm}$ 时, 确定II层的最优厚度, 确保工作60分钟时, 假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ , 且超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间不超过5分钟。 +(3) 当环境温度为80时, 确定 $I I$ 层和 $I V$ 层的最优厚度, 确保工作30分钟时, 假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ , 且超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间不超过5分钟。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一分析 + +问题一，建立基于热传导方程的温度分布模型，确定在一维空间中介质在不同时刻，不同厚度下的温度。在模型建立时本文首先借助导热基本定律——傅里叶定律和能量守恒定律推导热传导方程。 + +其次简化问题，将四个介质层视为两个新的介质层介质 $a$ 、介质 $b$ ，在只有 $a$ 、 $b$ 介质层的情况下，基于临界处温度与热流量密度相同进行二层耦合。 + +最后，将二层耦合推广到四层耦合，建立基于热传导方程的的温度分布模型。模型的求解采用隐式向后有限差分近似对方程进行离散化处理，给出方程的差分格式并整理得到代数方程组，采用追赶法求解方程组，得到时间与空间维度下的温度分布情况。 + +# 2.2 问题二分析 + +问题二，求解Ⅱ层介质最优厚度是一个最优化问题，首先从服装成本与穿着舒适度两个方面讨论“最优”标准的制定，确定优化问题的目标为Ⅱ层介质厚度最小。 + +其次，考虑问题二关于假人皮肤外侧温度的两个要求，同时结合问题一建立的基于热传导方程的温度分布模型，确定最优化问题的约束条件，从而建立 II 层最优厚度的单目标优化模型。 + +问题二模型的求解利用循环遍历的变步长枚举法，对Ⅱ层介质的所有可能厚度进行遍历，求出满足约束条件的最小厚度。 + +# 2.3 问题三分析 + +问题三，求解 II，IV 两层的最优厚度是一个多目标的优化问题。 + +首先，从服装成本与穿着舒适度两个方面考虑，分别制定出不同方面下的“最优”厚度标准，确定多目标优化问题的两个不同的目标。 + +其次，基于问题一建立的基于热传导方程的温度分布模型，考虑问题三提出的两个要求，给出最优化问题的约束条件，分别建立目标是服装成本最低和穿着舒适度最高的两个Ⅱ，Ⅳ层厚度优化模型。 + +问题三模型的求解采用双重循环遍历的枚举法，借助matlab对II介质与IV介质厚度同时进行双重循环遍历，搜寻服装成本最低和穿着舒适度最高这两个目标下II，IV层介质的最优厚度。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设四层介质均匀，且保持各项同性。 +2. 假设每层介质的热传导率在各个方向相同。 +3. 假设在第四层介质中，不考虑空气对流。 +4. 假设外界无辐射。 + +# 四、符号说明与名词解释 + +# 4.1符号说明 + +
符号说明
Li第i层介质的厚度，i=1,2,3,4
ui(x,t)第i层介质在t时刻厚度x下的温度，i=1,2,3,4
uij(x,t)第i层介质在第j时间层中t时刻下的厚度x时的温度，i=1,2,3,4
q热流量密度
ci第i层介质的比热，i=1,2,3,4
ρi第i层介质的密度，i=1,2,3,4
λi第i层介质的热传导率，i=1,2,3,4
Q单位时间通过截面的热量
h空气与皮肤的转化系数
Γi第i层与第i+1层介质的临界面，i=1,2,3
+ +# 4.2名词解释 + +(1) 比热: 是指没有相变化和化学变化时, 一定量均相物质温度升高 $1 \mathrm{~K}$ 所需 + +的热量，单位为： $J/kg \cdot {}^oC$ 。 + +(2) 热传导率: 是物性参数, 在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内单位面积的热量, 单位为: $W / m \cdot {}^o C$ 。它与物质的结构与状态密切相关, 与几何形状无关。 +(3) 冷却系数: 是空气与皮肤的转化系数, 空气自然对流下大致范围是[5,25]。 + +# 五、模型建立与求解 + +实际问题的数学化处理： + +在高温作业过程[1]中，实际为三维立体的空间温度扩散。由于不计空气对流，不考虑人的体积，因此忽略高度与宽度这两个维数，将服装的三层材料与空气层，简化为只与厚度 $L$ 有关的一维空间，如图1下： + +![](images/5ccefe8d38ffa88b447eadc6eee25e6fe3a6ae09ba6ab445c92a2daa685c3c23.jpg) +图1 一维简化图 + +其中，I、II、III为服装的三层织物材料，IV为III层与皮肤间的空气层，且I层与外界环境接触。并分别将I、II、III、IV层记为四层介质。 + +# 5.1 问题一：确定温度分布情况 + +针对问题一，需要建立数学模型，计算温度分布。由一维简化图可知：只需要确定在一维空间中介质在不同时刻，不同厚度下的温度。 + +首先，借助导热基本定律——Fourier定律和能量守恒定律推导热传导方程。 + +其次，简化问题，将I、II、III、IV四个介质层视为两个新的介质层介质 $a$ 、介质 $b$ ，在只有 $a$ 、 $b$ 介质层的情况下，进行二层耦合。 + +最后，将二层耦合推广到四层耦合，建立基于热传导方程的温度分布模型。模型的求解采用隐式向后有限差分近似对方程进行离散化处理，给出方程的差分格式并整理得到代数方程组，采用追赶法求解方程组，得到时间与空间维度下的温度分布情况 + +# 5.1.1两大定律——Fourier定律和牛顿冷却定律 + +在求解温度分布过程中，由于热量随时间进行扩散，因此本文考虑导热现象和冷却现象。 + +（1）Fourier定律 + +(1) 热量与热流密度 + +在导热现象中，单位时间内通过截面面积为 $S$ 的截面所传递的热量 $Q$ ，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，但热量传递的方向与温度升高的方向相反，如下图2所示： + +![](images/5f9ee8b28cbc17b1cac653c634159a9a20cf483d8bba2845862974c7fafad404.jpg) +图2 Fourier定律示意图 + +傅里叶定律表达式为： + +$$ +\frac {Q}{S} \sim \frac {\partial u}{\partial x} \Leftrightarrow Q = - \lambda S \frac {\partial u}{\partial x} \tag {1} +$$ + +用热流密度表示为： + +$$ +q = - \lambda \frac {\partial u}{\partial x} \tag {2} +$$ + +其中：负号表示热量传递的方向与温度升高的方向相反； + +$x$ 表示从外界到皮肤的厚度，为空间坐标； + +$u = u(x,t)$ 表示关于厚度 $x$ 和时间 $t$ 的函数； + +$\frac{\partial u}{\partial x}$ 表示温度沿 $x$ 轴方向的变化率； + +$\lambda$ 表示热传导率, 均匀介质中为一固定数值。 + +(2) 一维空间中热流密度矢量 + +本文考虑在一维空间下温度分布，即只有一个坐标 $x$ （表示厚度），具体见下图3： + +![](images/8209ae2b18d630760517d7772e860054350932714b326b9f30c11eb676c9bf0d.jpg) +图3 单介质示意图 + +则热流密度矢量的形式为: + +$$ +\vec {q} = - \lambda \operatorname {g r a d} u = - \lambda \frac {\partial u}{\partial n} \cdot \vec {n} \tag {3} +$$ + +其中：gradu 是一维空间某厚度下的温度梯度； + +$\vec{n}$ 是在临界面的外法向向量。 + +# (2) 牛顿冷却定律 + +牛顿冷却定律是温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律[4]。具体的表述为：当物体表面与周围存在温差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，比例系数为热传导率。 + +计算公式为: $-\lambda \frac{\partial u}{\partial n} = h\left(u_{\text {空}} - 37\right)$ 。 + +# 5.1.2热传导方程的推导 + +# （1）基于Fourier热传导定律的热量的微元算式 + +在上述Fourier定律推导过程[3]中，得到热量的微元算式如下： + +$$ +d Q = - \lambda \frac {\partial u}{\partial n} d s d t = - \lambda \nabla u \cdot d \vec {S} d t \tag {4} +$$ + +# (2) 流入热量与吸收热量 + +从 $t_{1} \sim t_{2}$ 时间段内，流入介质内部的热量为： + +$$ +Q _ {1} = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left[ \iint_ {S} \lambda \frac {\partial u}{\partial n} \cdot d s \right] d t \tag {5} +$$ + +并将（5）式借助高斯公式化简为： + +$$ +Q _ {1} = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left[ \iint_ {S} \lambda \frac {\partial u}{\partial n} \cdot d s \right] d t = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left[ \int \lambda \frac {\partial u}{\partial x} d x \right] d t \tag {6} +$$ + +介质内温度升高吸收的热量为: + +$$ +Q _ {2} = \int c \rho [ u (x, t _ {2}) - u (x, t _ {1}) ] d x \tag {7} +$$ + +其中， $c$ 为比热， $\rho$ 为密度。 + +并将（6）式化简为： + +$$ +\begin{array}{l} Q _ {2} = \int c \rho [ u (x, t _ {2}) - u (x, t _ {1}) ] d x \\ = \int c \rho \left[ \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \frac {\partial u (x , t)}{\partial t} d t \right] d x \tag {8} \\ = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left[ \int c \rho \frac {\partial u (x , t)}{\partial t} d x \right] d t \\ \end{array} +$$ + +（3）基于能量守恒定律建立能量关系 + +由能量守恒定律，有 $Q_{1} = Q_{2}$ ，即： + +$$ +\int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left[ \int \lambda \frac {\partial u}{\partial x} d x \right] d t = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left[ \int c \rho \frac {\partial u (x , t)}{\partial t} d x \right] d t \tag {9} +$$ + +因此，有 $c\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$ ，即 $\frac{\partial u}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$ ，且 $a^2 = \frac{\lambda}{c\rho}$ 。 + +其中， $\lambda$ 表示为介质的热传导率； $c$ 表示为介质的比热， $\rho$ 表示为介质的密度。 + +最终推导的热传导方程为: $\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$ , $a^{2} = \frac{\lambda}{c\rho}$ + +# 5.1.3 二层耦合介质温度分布模型的建立 + +首先，在只有介质层 $a$ 、 $b$ 的情况下，建立二层耦合的温度分布模型。先确定在不同介质中的热传导方程，再根据在同一临界面具有相同的热流量密度和温度进行二层耦合。 + +其次，将二层耦合扩展为四层耦合，确定完整的温度分布模型。 + +详细图解如下图4： + +![](images/8ac077845b4b2eeb3d95b568b958a81520bff2a3d9c493865aeafcbddf16f11f.jpg) +图4 两层耦合图 + +Step1: 确定介质 $a$ 、介质 $b$ 的热传导方程。 + +由5.1.2的热传导方程推导过程可知： $a^2 = \frac{\lambda}{c\rho}$ ，则带入相应的热传导率 $\lambda$ ，比热 $c$ ，密度 $\rho$ ，分别确定介质 $a$ 、 $b$ 的热传导方程，见表1。 + +表 1 介质 a、介质 b 的热传导方程 + +
热传导方程方程参数空间范围
介质a∂u1/∂t=a12∂2u1/∂x2a12=λ1/c1ρ1x∈[0,d1]
介质b∂u2/∂t=a22∂2u2/∂x2a22=λ2/c2ρ2x∈[d1,d2]
+ +# Step2: 确定耦合条件。 + +(1) 由介质临界面的热流量密度相同, 确定第一耦合条件。 + +根据Fourier热传导定律，在导热过程中，两相邻介质临界面处热流量密度相同，得到： + +$$ +\left. \lambda_ {1} \frac {\partial u _ {1}}{\partial n _ {1}} \right| _ {d _ {1}} = \left. \lambda_ {2} \frac {\partial u _ {2}}{\partial n _ {2}} \right| _ {d _ {1}} \tag {10} +$$ + +其中， $n_1$ ， $n_2$ 分别表示介质 $a$ 、介质 $b$ 在临界面上的外法线方向； + +$\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ 分别表示介质 $a$ 、介质 $b$ 上的热传导率。 + +(2) 由介质临界面的温度相同，确定第二耦合条件。 + +根据两介质临界面处温度相同，得到任意时刻的临界面处温度等价关系： + +$$ +\left. u _ {1} \right| _ {d _ {1}} = \left. u _ {2} \right| _ {d _ {1}} \tag {11} +$$ + +(3) 完整耦合条件的确立。 + +由（9）式和（10）式可得，两层耦合状态下的耦合条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \lambda_ {1} \frac {\partial u _ {1}}{\partial n _ {1}} \bigg | _ {d _ {1}} = \lambda_ {2} \frac {\partial u _ {2}}{\partial n _ {2}} \bigg | _ {d _ {2}} \\ u _ {1} \big | _ {d _ {1}} = u _ {2} \big | _ {d _ {1}} \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +# Step3: 确定两层耦合介质的初边值条件。 + +(1) 确定初值条件。 + +在 $t = 0$ 时刻，介质 $a$ 、介质 $b$ 的温度均与假人的恒定皮肤外侧温度相同，即均为 $37^{\circ}C$ ，由此确定初值条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} u _ {1} (x, 0) = 3 7 & x \in [ 0, d _ {1} ] \\ u _ {2} (x, 0) = 3 7 & x \in \left[ d _ {1}, d _ {2} \right] \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +(2) 确定边值条件。 + +第一，左边界条件的确定。介质 $a$ 左侧与外界接触，因而其温度与恒定的外界温度相同，故方程的左边界Dirichlet边值条件为： + +$$ +u _ {1} (0, t) = 7 5 \quad t \in [ 0, T ] \tag {14} +$$ + +第二，右边界条件的确定。介质 $a$ 接受了温度为 $75^{\circ}C$ 的外界传递的热量，并将热量继续传递给介质 $b$ ，并由附件2提供的数据可知：介质 $b$ 右边界的温度始终高于假人皮肤的温度 $37^{\circ}C$ 。进而，介质 $b$ 右边界与假人皮肤发生热量交换，相当于对介质 $b$ 产生冷却作用。此时，假人相当于冷却源，这个热量传递过程遵循牛顿冷却定律。 + +依据牛顿冷却定律，给出Robin右边界条件： + +$$ +- \lambda_ {4} \frac {\partial u}{\partial n _ {4}} = h \left(u _ {h} - u _ {5}\right) \tag {15} +$$ + +其中， $u_{h}$ 表示为介质 $b$ 在贴近假人皮肤处的温度值； $u_{5}$ 表示为假人内部恒定温度，即 $37^{\circ}C$ ； + +$h$ 为介质与皮肤之间的转化系数，即冷却系数。 + +由（13）式和（14）式，确定的热传导方程的完整的边值条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {1} (0, t) = 7 5 \quad t \in [ 0, T ] \\ - \lambda_ {4} \frac {\partial u}{\partial n _ {4}} = h \left(u _ {h} - u _ {5}\right) \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +Step4: 确定转化系数 $h$ 的值。 + +Step5：确定二层耦合介质温度分布模型。 + +根据以上三个步骤，分别得到了热传导方程以及初值条件、边值条件和耦合 + +条件, 则在只有两介质的情况下, 确立基于热传导方程的二层耦合温度分布模型: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial u _ {1}}{\partial t} = a _ {1} ^ {2} \frac {\partial^ {2} u _ {1}}{\partial x ^ {2}} & x \in [ 0, d _ {1} ] \\ \frac {\partial u _ {2}}{\partial t} = a _ {2} ^ {2} \frac {\partial^ {2} u _ {2}}{\partial x ^ {2}} & x \in [ d _ {1}, d _ {2} ] \\ a _ {1} ^ {2} = \frac {\lambda_ {1}}{c _ {1} \rho_ {1}} & \\ a _ {2} ^ {2} = \frac {\lambda_ {2}}{c _ {2} \rho_ {2}} & \\ \lambda_ {1} \left. \frac {\partial u _ {1}}{\partial n _ {1}} \right| _ {d _ {1}} = \lambda_ {2} \left. \frac {\partial u _ {2}}{\partial n _ {2}} \right| _ {d _ {2}} & \\ u _ {1} \mid_ {d _ {1}} = u _ {2} \mid_ {d _ {1}} & \\ u _ {1} (x, 0) = 3 7 & x \in [ 0, d _ {1} ] \\ u _ {2} (x, 0) = 3 7 & x \in [ d _ {1}, d _ {2} ] \\ u _ {1} (0, t) = 7 5 & t \in [ 0, T ] \\ - \lambda_ {4} \frac {\partial u}{\partial n _ {4}} = h \left(u _ {b} - u _ {5}\right) & \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +# 5.1.4 基于热传导方程的温度分布模型的建立 + +在二层耦合介质的基础上，用相同的方法，扩展为四层介质。四层耦合介质图如下所示： + +![](images/bca2d49965c2fc95313b667f5d5ad0b099abb535476aa603acf09159376ade38.jpg) +图5四层耦合介质图 + +Step1: 确定四层介质的热传导方程。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial u _ {i}}{\partial t} = a _ {i} ^ {2} \frac {\partial^ {2} u _ {i}}{\partial x ^ {2}} & x \in \bigcup_ {i = 1} ^ {4} \left[ L _ {i - 1}, L _ {i} \right], L _ {0} = 0 \\ a _ {i} ^ {2} = \frac {\lambda_ {i}}{c _ {i} \rho_ {i}} & i = 1, 2, 3, 4 \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +# Step2: 确定耦合条件、初值条件及边值条件。 + +（1）相邻两介质的临界面共有3个，即： $\Gamma_{1}$ ， $\Gamma_{2}$ ， $\Gamma_{3}$ 。在每一个临界面 + +的热流量密度和温度相同，可得到两个耦合条件。因此在三个临界面上共确定6个耦合条件，详见温度分布模型； + +(2) 由 $t = 0$ 时刻, 四层介质的温度均与假人的恒定皮肤外侧温度相同, 确定初值条件: + +$$ +u _ {i} (x, 0) = 3 7 \quad i = 1, 2, 3, 4 \tag {19} +$$ + +(3) 由介质 I 左侧与外界温度相同, 确定左边界 Dirichlet 边值条件: + +$$ +u _ {1} (0, t) = 7 5 \tag {20} +$$ + +由介质 IV 右侧与假人进行热量传递，依据牛顿冷却定律，确定右边界 Robin 边值条件： + +$$ +- \lambda_ {4} \frac {\partial u _ {4}}{\partial x} = h \left(u _ {h} - u _ {5}\right) \tag {21} +$$ + +# Step3: 确定转化系数 $h$ 的值。 + +首先，查阅文献资料知：转化系数 $h$ 的范围是[5,25]。 + +其次，通过附件2给出的不同时刻下假人皮肤表面的温度值，借助变步长多次枚举法确定最佳转化系数的值。 + +具体过程如下： + +(1) 粗略估计转化系数 $h$ 的值。将 $h = 8, h = 9$ , 与实际数据用 matlab 进行数据处理绘制如下对比图: + +![](images/3fdbb9cb62b921b01780b7473e1fc07c559dc4cd120cbfc796692c76f5c7305d.jpg) +图6 在不同转化系数 $h$ 下的皮肤温度变化图 + +由上图可知：红色实线为实际数据温度变化情况； $h = 8$ 即黄色实线，在实际数据的上方； $h = 9$ 即蓝色实线，在实际数据的下方。因此得到最佳吻合的转化系数 $h$ 值介于区间[8,9]之中。 + +(2) 设置的步长为 0.01 , 在[8,9]范围内, 经 matlab 枚举遍历, 确定 $h$ 的值在 8.62 左右。 +(3) 为达到 0.0001 的精度, 进一步缩小 $h$ 的步长为 0.0001, [8.1,8.3] 范围内,再次经 matlab 枚举遍历, 确定最佳转化系数 $h$ 的精确值为 8.6125。 + +故，空气与皮肤的转化系数 $h = 8.6125$ 。 + +Step4: 得到最终的基于热传导方程的温度分布模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \frac {\partial u _ {i}}{\partial t} = a _ {i} ^ {2} \frac {\partial^ {2} u _ {i}}{\partial x ^ {2}} & x \in \bigcup_ {i = 1} ^ {4} [ L _ {i - 1}, L _ {i} ], L _ {0} = 0 \\ a _ {i} ^ {2} = \frac {\lambda_ {i}}{c _ {i} \rho_ {i}} & i = 1, 2, 3, 4 \\ \lambda_ {1} \frac {\partial u _ {1}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {1}} = \lambda_ {2} \frac {\partial u _ {2}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {1}} & \\ u _ {1} | _ {\Gamma_ {1}} = u _ {2} | _ {\Gamma_ {1}} & \\ \lambda_ {2} \frac {\partial u _ {2}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {2}} = \lambda_ {3} \frac {\partial u _ {3}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {2}} & \\ u _ {2} | _ {\Gamma_ {2}} = u _ {3} | _ {\Gamma_ {2}} & \\ \lambda_ {3} \frac {\partial u _ {3}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {3}} = \lambda_ {4} \frac {\partial u _ {4}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {3}} & \\ u _ {3} | _ {\Gamma_ {3}} = u _ {4} | _ {\Gamma_ {3}} & \\ u _ {i} (x, 0) = 3 7 & i = 1, 2, 3, 4 \\ u _ {1} (0, t) = 7 5 & \\ - \lambda_ {4} \frac {\partial u _ {4}}{\partial x} = h \left(u _ {h} - u _ {5}\right) & \end{array} \right. \tag {22} +$$ + +说明： $\frac{\partial u_i}{\partial t} = a_i^2\frac{\partial^2u_i}{\partial x^2}$ （ $a_{i}^{2} = \frac{\lambda_{i}}{c_{i}\rho_{i}}$ ），表示在第 $i$ 个介质中的热传导方程； + +$u_{h}$ 表示为IV层介质在贴近假人皮肤处的温度值； + +$u_{5}$ 表示为假人内部恒定温度，即 $37^{\circ}C$ + +$h$ 表示为空气与皮肤的转化系数，即空气冷却系数，其值为8.6124。 + +$\lambda_{1}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}\bigg|_{\Gamma_{1}} = \lambda_{2}\frac{\partial u_{2}}{\partial x}\bigg|_{\Gamma_{1}},u_{1}\big|_{\Gamma_{1}} = u_{2}\big|_{\Gamma_{1}}$ ，表示介质I与介质Ⅱ的两个耦合条件， + +$\lambda_{2}\frac{\partial u_{2}}{\partial x}\bigg|_{\Gamma_{2}} = \lambda_{3}\frac{\partial u_{3}}{\partial x}\bigg|_{\Gamma_{2}},u_{2}\big|_{\Gamma_{2}} = u_{3}\big|_{\Gamma_{2}}$ ，表示介质Ⅱ与介质Ⅲ的两个耦合条件； + +$\lambda_{3}\frac{\partial u_{3}}{\partial x}\bigg|_{\Gamma_{3}} = \lambda_{4}\frac{\partial u_{4}}{\partial x}\bigg|_{\Gamma_{3}},u_{3}\big|_{\Gamma_{3}} = u_{4}\big|_{\Gamma_{3}}$ ，表示介质Ⅲ与介质IV的两个耦合条件； + +$u_{i}(x,0) = 37, i = 1,2,3,4$ ，表示热传导方程的初值条件； + +$u_{1}(0, t) = 75$ ，表示热传导方程的左边界 Dirichlet 边值条件； + +$-\lambda_{4} \frac{\partial u_{4}}{\partial x} = h \left(u_{h} - u_{5}\right)$ , 表示热传导方程的右边界 Robin 边值条件。 + +# 5.1.5 基于热传导方程的温度分布模型的求解 + +# （1）求解方法分析 + +在 5.1.4 中建立的温度分布模型（20）属于抛物型方程，因边值条件条件复杂难以求得解析解。本文采用有限差分法：将连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把定解区域上的连续变量的函数用网格上定义的离散变量的函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似。最终，把原微分方程和定解条件用代数方程组来代替，即有限差分方程组。解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似值。 + +常用的差分格式有：向前差分格式、向后差分格式和 $C-N$ 差分格式（即 Crank-Nicolson差分格式）。 + +在向前差分格式中，要求时间步长与空间步长的比 $r \leq 0.5$ ，即时间步长要比空间步长小得多。若不满足此条件，极易发生解的爆破。在本文温度分布模型中，时间步长与空间步长达到50，远远大于0.5，因此不适合用向前差分格式。此外，向前差分格式为显式格式，难以进行多层介质的耦合。 + +在 $C-N$ 差分格式中，稳定性好精度高，计算在交叉点处的函数值，具体如下图7所示： + +![](images/f02933dc6470cad0a669aa11e044a5a8fb8d376f133fb11de4c94a7b24e3934e.jpg) +图7C-N差分格式图 + +在向后差分格式中，具有无条件稳定的特点，选取第 $j + 1$ 时间层相邻的三个结点进行 $u$ 对 $x$ 二阶偏导的近似，选取第 $j + 1$ 时间层与第 $j$ 时间层的相邻两个结点进行对 $u$ 对 $t$ 一阶偏导的近似，具体如下图8所示： + +![](images/8cc134ea016b1f54d4d0a886d97c28907b268f728bbede8e13946f4dfeea3f51.jpg) +图8 向后差分格式图 + +# （2）温度分布模型的具体求解过程： + +经过上述三种差分格式的比较，本文采用向后差分格式求解，并借助迭代法求解。求解流程如下图9所示： + +![](images/d064ec60bd144f763d217af331d2e200972689f24ff9f1c524bfea33dccad24d.jpg) +图9 温度分布模型求解流程图 + +Step1：对求解区域进行网格剖分。 + +求解区域记为 $\Omega$ $\Omega = \left\{(x,t)\big|0\leq x\leq L,0\leq t\leq T\right\}$ ，其中 $L = \sum_{i = 1}^{4}L_{i}$ 且 $L_{i}$ 为第 $i$ 层介质的厚度。对此求解区域进行网格剖分，具体如下： + +(1) 在空间维度上, 将区间 $[0, L_{1}]$ 做 $M_{1}$ 等分, 将区间 $[L_{1}, L_{2}]$ 做 $M_{2}$ 等分, 将区间 $[L_{2}, L_{3}]$ 做 $M_{3}$ 等分, 将区间 $[L_{3}, L_{4}]$ 做 $M_{4}$ 等分。 + +记 $m_{i} = \sum_{l = 1}^{i}M_{l}$ ， $i = 1,2,3,4$ 。 + +记 $\Delta x_{i} = \frac{L_{i}}{M_{i}}$ ， $\Delta x_{i}$ 表示为第 $i$ 层介质的空间步长。 + +(2) 在时间维度上, 将区间 $[0, T]$ 作 $n$ 等分, 并记 $\Delta t = \frac{T}{n}, \Delta t$ 为时间步长。 +(3) 用两组平行直线簇 $\left\{ \begin{array}{l} x = x_{i}, 1 \leq i \leq m \\ t = t_{j}, 1 \leq j \leq n \end{array} \right.$ 将 $\Omega$ 分割成矩形网格, 见下图 10: + +![](images/dd216fc92ad3f6d36c598b8a1b3551ef41bb4a286fc3d1e568f6e342bb09c92f.jpg) +图10 网格剖分图 + +Step2: 建立隐式向后差分格式。 + +定义 $\Omega$ 上的网格函数， $u = \left\{u_{ij}\big|1\leq i\leq m_4 + 1,1\leq j\leq n + 1\right\}$ ，其中 $u_{ij} = u(x_i,t_j)$ 且有 $1\leq i\leq m_4 + 1,1\leq j\leq n + 1$ 。 + +考虑温度分布模型（20）中的热传导方程中的右端项，略去小量项，用二阶中心差商代替 $u$ 对 $x$ 的偏导数，得到： + +$$ +\frac {\partial^ {2} u}{\partial x ^ {2}} \left(x _ {i}, t _ {j}\right) = \frac {1}{(\Delta x) ^ {2}} \left[ u \left(x _ {i - 1}, t _ {j}\right) - 2 u \left(x _ {i}, t _ {j}\right) + u \left(x _ {i + 1}, t _ {j}\right) \right] \tag {23} +$$ + +考虑温度分布模型（20）中的热传导方程中的左端项，用一阶向前差商代替 $u$ 对 $t$ 的一阶偏导数，得到： + +$$ +\frac {\partial u}{\partial t} \left(x _ {i}, t _ {j}\right) = \frac {1}{\Delta t} \left[ u \left(x _ {i}, t _ {j + 1}\right) - u \left(x _ {i}, t _ {j}\right) \right] \tag {24} +$$ + +建立差分格式的具体步骤如下： + +(1) 在结点处考虑不同介质下的热传导方程, 得到介质内部的差分格式。 + +第 $i$ 层介质的热传导方程为： $\frac{\partial u_k}{\partial t} = a_k^2\frac{\partial^2u_k}{\partial x^2},k = 1,2,3,4$ ，则相应的差分格式为： + +$$ +\frac {u _ {k j} ^ {i + 1} - u _ {k j} ^ {i}}{\Delta t} - a _ {k} ^ {2} \cdot \frac {u _ {k , j - 1} ^ {i + 1} - 2 u _ {k j} ^ {i + 1} + u _ {k , j + 1} ^ {i + 1}}{(\Delta x) ^ {2}} = 0 \tag {25} +$$ + +其中， $u_{kj}^{i}$ 表示第 $k$ 层介质在 $(x_{i}, t_{j})$ 结点处的温度， $k = 1,2,3,4; j = 1,2,\dots,m$ 。 + +(2) 依据热流量密度的耦合条件，得到介质边界处的差分格式。 + +在临界面 $\Gamma_{1} 、 \Gamma_{2} 、 \Gamma_{3}$ 处，关于热流量密度的耦合条件为： + +$$ +\left. \lambda_ {k} \frac {\partial u _ {k}}{\partial x} \right| _ {\Gamma_ {k}} = \lambda_ {k + 1} \frac {\partial u _ {k + 1}}{\partial x} \Bigg | _ {\Gamma_ {k}}, k = 1, 2, 3 +$$ + +则得到相应的差分格式为: + +$$ +\lambda_ {k} \frac {u _ {k , m _ {k} + 1} ^ {i + 1} - u _ {k , m _ {k}} ^ {i}}{\Delta x _ {k}} = \lambda_ {k + 1} \cdot \frac {u _ {k + 1 , m _ {k} + 2} ^ {i + 1} - u _ {k + 1 , m _ {k} + 1} ^ {i + 1}}{\Delta x _ {k + 1}}, k = 1, 2, 3 \tag {26} +$$ + +(3) 依据第 IV 层介质右侧 Robin 边值条件, 得到边界 $\Gamma_{4}$ 上的差分格式。 + +第 IV 层介质边界 $\Gamma_4$ 处，满足温度分布模型（20）的条件 $-\lambda_4 \frac{\partial u_4}{\partial x} = h (u_h - u_5)$ ，可得到相应的差分格式为： + +$$ +- \lambda_ {4} \frac {u _ {m _ {4}} ^ {i + 1} - u _ {m _ {4} - 1} ^ {i + 1}}{\Delta x _ {4}} = h \left(u _ {m _ {4}} ^ {i + 1} - 3 7\right) \tag {27} +$$ + +综合①②③，得到温度分布模型（20）的隐式向后有限差分近似如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \frac {u _ {k j} ^ {i + 1} - u _ {k j} ^ {i}}{\Delta t} - a _ {k} ^ {2} \cdot \frac {u _ {k , j - 1} ^ {i + 1} - 2 u _ {k j} ^ {i + 1} + u _ {k , j + 1} ^ {i + 1}}{(\Delta x) ^ {2}} = 0 & k = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, \dots , m \\ \lambda_ {k} \frac {u _ {k , m _ {k} + 1} ^ {i + 1} - u _ {k , m _ {k}} ^ {i}}{\Delta x _ {k}} = \lambda_ {k + 1} \cdot \frac {u _ {k + 1 , m _ {k} + 2} ^ {i + 1} - u _ {k + 1 , m _ {k} + 1} ^ {i + 1}}{\Delta x _ {k + 1}} & k = 1, 2, 3 \\ - \lambda_ {4} \frac {u _ {m _ {4}} ^ {i + 1} - u _ {m _ {4} - 1} ^ {i + 1}}{\Delta x _ {4}} = h \left(u _ {m _ {4}} ^ {i + 1} - 37\right) \\ u _ {1} ^ {i + 1} = 7 5 & i = 1, 2, \dots , n \\ u _ {k j} ^ {1} = 3 7 & k = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, \dots , m + 1 \\ u _ {k, m _ {k} + 1} ^ {j} = u _ {k + 1, m _ {k} + 1} ^ {j} & k = 1, 2, 3, j = 1, 2, \dots , n + 1 \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +其中，（26）式中第一式、二式及三式在步骤①、步骤②及步骤③中已做详细说明；（26）式第四式，为基于热传导方程的温度分布模型（20）中左边界Dirichlet边值条件；（26）式第五式，为温度分布模型（20）中初值条件；（26）式第六式，为温度分布模型（20）中基于温度的耦合条件条件。 + +# Step3: 将差分格式整理为代数方程组。 + +(1)差分格式（26）中，第一式可整理为： + +$$ +- r _ {k} u _ {k, i - 1} ^ {j} + (1 + 2 r) u _ {k i} ^ {j} - r u _ {k, i + 1} ^ {j} = u _ {k i} ^ {j - 1} \tag {29} +$$ + +其中， $k = 1,2,3,4$ ， $2\leq i\leq m$ ， $2\leq j\leq m$ 。 + +$r_{k} = \frac{a_{k}\Delta t_{k}}{(\Delta x)^{2}}$ ，表示为第 $k$ 层介质剖分的步长比。 + +(2)差分格式（26）式中，第二式可整理为： + +$$ +- \frac {\lambda_ {k}}{\Delta x _ {k}} u _ {k, m _ {k}} ^ {i + 1} + \left(\frac {\lambda_ {k}}{\Delta x _ {k}} + \frac {\lambda_ {k + 1}}{\Delta x _ {k + 1}}\right) u _ {k, m _ {k} + 1} ^ {i + 1} - \frac {\lambda_ {k + 1}}{\Delta x _ {k + 1}} u _ {k + 1, m _ {k} + 2} ^ {i + 1} = 0 \tag {30} +$$ + +(3)差分格式（26）式中，第三式可整理为： + +$$ +- \frac {\lambda_ {4}}{\Delta x _ {4}} u _ {4, m _ {4} - 1} ^ {i + 1} + \left(\frac {\lambda_ {4}}{\Delta x _ {4}} + h\right) u _ {4, m _ {4}} ^ {i + 1} = 3 7 h \tag {31} +$$ + +由①②③可将差分格式（26）写成如下矩阵形式： + +$$ +\left[ \begin{array}{c c c c c c c c} 1 + 2 r _ {1} & - r _ {1} & & & & & & \\ - r _ {1} & 1 + 2 r _ {1} & - r _ {1} & & & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & & & \\ & & - r _ {1} & 1 + 2 r _ {1} & - r _ {1} & & & \\ & & & - \frac {\lambda_ {1}}{\Delta x _ {1}} & \frac {\lambda_ {1}}{\Delta x _ {1}} + \frac {\lambda_ {2}}{\Delta x _ {2}} & - \frac {\lambda_ {1}}{\Delta x _ {1}} & & \\ & & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & & - \frac {\lambda_ {3}}{\Delta x _ {3}} & \frac {\lambda_ {3}}{\Delta x _ {3}} + \frac {\lambda_ {4}}{\Delta x _ {4}} & - \frac {\lambda_ {3}}{\Delta x _ {3}} & \\ & & & & & - r _ {4} & 1 + 2 r _ {4} & - r _ {4} \\ & & & & & & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & & & & & & - r _ {4} & 1 + 2 r _ {4} \\ & & & & & & & - \frac {\lambda_ {4}}{\Delta x _ {4}} & \frac {\lambda_ {4}}{\Delta x _ {4}} + h \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} u _ {1 2} ^ {i + 1} \\ u _ {1 3} ^ {i + 1} \\ \vdots \\ \vdots \\ u _ {1 m _ {1}} ^ {i + 1} \\ u _ {1 m _ {1} + 1} ^ {i + 1} \\ \vdots \\ \vdots \\ u _ {3, m _ {3} + 1} ^ {i + 1} \\ u _ {4, m _ {3} + 2} ^ {i + 1} \\ \vdots \\ \vdots \\ u _ {4, m _ {4} - 1} ^ {i + 1} \\ u _ {4, m _ {4}} ^ {i + 1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} u _ {1 2} ^ {i} + r _ {1} u _ {1 1} ^ {i + 1} \\ u _ {1 3} ^ {i + 1} \\ \vdots \\ \vdots \\ u _ {1 m _ {1}} ^ {i + 1} \\ u _ {1 m _ {1} + 1} ^ {i + 1} \\ 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ u _ {3, m _ {3} + 1} ^ {i + 1} \\ u _ {4, m _ {3} + 2} ^ {i + 1} \\ \vdots \\ \vdots \\ u _ {4, m _ {4} - 1} ^ {i + 1} \\ u _ {4, m _ {4}} ^ {i + 1}. \end{array} \right] +$$ + +# Step4: 利用追赶法解三对角线性方程组 + +在 step3 中，得到的代数矩阵为三对角线性方程组 $AU = b$ ，一般可用 matlab 求逆命令求解 $U$ ，但因本题中系数矩阵规模较大，且除主对角线和两个次对角线之外，其余元素均为 0，因而求逆解方程组会导致浪费内存、程序运行缓慢。因此本文利用追赶法求解三对角线性方程组。 + +算法步骤如下图11所示： + +![](images/542bddf86823a1daef340e7fd1cf02916e5c54f6fba73e34bdf7c4b5a826a44f.jpg) +图11追赶法求解三对角线性方程组 + +# Step5: 每一时间层上的温度分布情况 + +根据追赶法，求得不同时刻不同厚度下的温度分布情况。具体5个临界面处的温度分布情况见表problem1.xlsx，如下为部分温分布情况。 + +表 2 部分温度分布表 + +
时间/s临界面Ⅰ临界面Ⅱ临界面Ⅲ临界面Ⅳ
037373737
36072.7769.3462.1146.89
72074.1872.4864.8847.98
108074.2972.7365.1048.07
144074.372.7565.1248.08
180074.372.7565.1248.08
216074.372.7565.1248.08
252074.372.7565.1248.08
288074.372.7565.1248.08
324074.372.7565.1248.08
+ +表2中的数据，是四层介质的四个临界面相同时间间隔 $\Delta t = 360s$ 下的温度值。绘制成温度关于时间的二维曲线，如下图12所示： + +![](images/98065425df1c225cd10c177ba65b51ce08d9a7f3b2a766c88fa6e8f736861d41.jpg) +图12 在不同时刻下临界面处的温度变化情况 + +由表格2和图12分析可知：I、II介质在临界面处温度随时间缓慢降低，当时间 $t = 1440s$ 时，I介质温度达到稳定值 $74.3^{\circ}C$ ；当时间 $t = 1440s$ 时，II介质温度达到稳定值 $72.75^{\circ}C$ 。II介质在临界面处的温度随时间降低，但比I、II介质降得快,当时间 $t = 1440s$ 时，温度达到稳定值65, $12^{\circ}C$ ；空气层IV介质温度降低且速度最快，当时间 $t = 1440s$ 时，温度达到稳定值 $48.08^{\circ}C$ 。 + +在转化系数 $h = 8.6125$ 的条件下，不同时刻不同厚度的温度变化情况如下图所示： + +![](images/ed7dd12fad3abf4bf7e3bf9d629046f4d15719ec0ce43016c6cf2647823119f4.jpg) +图13 不同时刻不同厚度的温度变化图 + +根据图13，将表格problem1.xlsx中的离散数据在matlab中绘制成三维曲面图。其中， $x$ 轴表示对时间维度作剖分 $0\sim 5400s$ ； $y$ 轴表示对空间维度作剖分，将I介质的厚度 $L_{1}$ 做6等分，将II介质的厚度 $L_{2}$ 做60等分，将III介质的厚度 $L_{3}$ 做 + +36 等分, 将区间 $L_{4}$ 做 50 等分; $z$ 轴表示温度的变化情况。曲面图形在不同时刻临界面处的温度与表格反映的内容一致。 + +# 5.1.6 问题一模型的检验 + +问题一中，通过求解四层耦合介质的温度分布模型，可得到任意厚度的介质在每一时刻的温度。将 IV 层介质右侧与皮肤直接接触的临界面的温度与题目中附件 2 假人皮肤外侧的测量温度进行对比，可检验求解结果的正确性。 + +假设时间层 $t_i$ 下通过模型解得的温度为 $u_i$ ，附件2所给的温度为 $\nu_i$ ，本文定义求解结果与题目所给数据之间的偏差指数 $f$ ，用于表示求解得到的温度与附件2温度的差值平方和的平均值， + +$$ +f = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {5 4 0 1} \left(u _ {i} - v _ {i}\right) ^ {2}}{5 4 0 1} \tag {32} +$$ + +对c的数值开根号进行标准化处理，得到标准化后的偏差 + +$$ +\bar {f} = \sqrt {\frac {\sum_ {i = 1} ^ {5 4 0 1} \left(u _ {i} - v _ {i}\right) ^ {2}}{5 4 0 1}} \tag {33} +$$ + +通过利用matlab编程计算，得到标准化后的偏差为 $\overline{f} = 0.4593 < 0.5$ ，说明其IV层介质右侧与皮肤直接接触的临界面的温度分布与题目中附件2假人皮肤外侧的测量温度分布较为接近，说明求解结果具有较好的近似性，求解结果的正确性得到验证。 + +这里我们还给出了它们的图像，如下图14,进行验证比较，观察发现其具有良好的近似性。 + +![](images/7128815bf00cbbdc780965e25a300b6802e0e20891310727331b6f07ad191c79.jpg) +图14 临界面IV处误差分析图 + +# 5.2 问题二：确定 II 层的最优厚度 + +问题二，需要求解 II 层介质最优厚度，是一个最优化问题。 + +首先从服装成本与穿着舒适度两个方面讨论“最优”标准的制定，确定优化问题的目标为Ⅱ层介质厚度最小。 + +其次，考虑问题二关于假人皮肤外侧温度的两个要求，同时基于问题一建立的基于热传导方程的温度分布模型，确定最优化问题的约束条件，从而建立 II 层最优厚度的单变量优化模型。 + +最后，问题二模型的求解，利用循环遍历的变步长枚举法，对Ⅱ层介质的所有可能厚度进行遍历，求出满足约束条件的最小厚度。 + +# 5.2.1 “最优”厚度标准的制定 + +(1) 从成本方面考虑: 专用服装的制作成本与其织物材料的厚度成正比, 因而在满足问题二要求的前提下, II层介质厚度越小, 服装成本越低, 认为达到最优厚度。 +(2) 从穿着舒适度方面考虑: 在其他三层介质厚度确定的条件下, II层介质厚度越小, 服装总体厚度越小, 穿着越舒适, 认为达到最优厚度。 + +因此，从成本和穿着舒适度方面综合考虑，Ⅱ介质的最优厚度是其满足约束条件的最小厚度。 + +# 5.2.2 约束条件的确定 + +Step1: 确定保证工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ}C$ 的约束条件 + +外界温度始终大于皮肤层温度，在这个热传导过程中，皮肤层温度随时间升高，因此只要保证最大工作时间 $t = 3600 \mathrm{~s}$ 时，皮肤层温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ ，即： + +$$ +u _ {L _ {2}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 3 6 0 0\right) \leq 4 7 \tag {34} +$$ + +其中， $\sum_{i=1}^{4} L_{i}$ 表示为四层介质的总厚度。 + +# Step2: 确定皮肤外侧温度超过 $44^{\circ}C$ 的时间不超过5分钟的约束条件 + +皮肤层温度的变化趋势是随时间一直增长，直至达到稳定状态。由于限定工作总时长为60分钟，为保证温度超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间不超过5分钟的约束条件，只要保证临界状态55分钟即 $t = 3300 \mathrm{~s}$ 时，皮肤层温度不超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 即可。约束条件表达式为： + +$$ +u _ {L _ {2}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 3 3 0 0\right) \leq 4 4 \tag {35} +$$ + +其中， $\sum_{i=1}^{4} L_{i}$ 表示为四层介质的总厚度。 + +由（32）式和（33）式可得，Ⅱ层的最优厚度的优化问题约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {L _ {2}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 3 6 0 0\right) \leq 4 7 \\ u _ {L _ {2}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 3 3 0 0\right) \leq 4 4 \end{array} \right. \tag {36} +$$ + +# 5.2.3 II层最优厚度的单目标优化模型的建立 + +下面结合问题一的基于热传导方程的温度分布模型，建立Ⅱ层最优厚度的单目标优化模型。 + +基于热传导方程的温度分布模型是解决问题二的基础，因此在问题二的约束条件也应该包括问题一所建立的热传导方程及其初边值条件和耦合条件，综合考虑为满足的问题二要求所确定的约束条件，给出Ⅱ层最优厚度的优化模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \min L _ {2} \\ \left\{ \begin{array}{l l} u _ {L _ {2}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 3 6 0 0\right) \leq 4 7 \\ u _ {L _ {2}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 3 3 0 0\right) \leq 4 4 \\ 0. 6 \leq L _ {2} \leq 2 5 \\ \frac {\partial u _ {i}}{\partial t} = a _ {i} ^ {2} \frac {\partial^ {2} u _ {i}}{\partial x ^ {2}} & x \in \bigcup_ {i = 1} ^ {4} \left[ L _ {i - 1}, L _ {i} \right], L _ {0} = 0 \\ a _ {i} ^ {2} = \frac {\lambda_ {i}}{c _ {i} \rho_ {i}} & i = 1, 2, 3, 4 \\ \lambda_ {1} \frac {\partial u _ {1}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {1}} = \lambda_ {2} \frac {\partial u _ {2}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {1}} \\ u _ {1} | _ {\Gamma_ {1}} = u _ {2} | _ {\Gamma_ {1}} \\ \lambda_ {2} \frac {\partial u _ {2}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {2}} = \lambda_ {3} \frac {\partial u _ {3}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {2}} \\ u _ {2} | _ {\Gamma_ {2}} = u _ {3} | _ {\Gamma_ {2}} \\ \lambda_ {3} \frac {\partial u _ {3}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {3}} = \lambda_ {4} \frac {\partial u _ {4}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {3}} \\ u _ {3} | _ {\Gamma_ {3}} = u _ {4} | _ {\Gamma_ {3}} \\ u _ {i} (x, 0) = 3 7 \quad i = 1, 2, 3, 4 \\ u _ {1} (0, t) = 6 5 \\ - \lambda_ {4} \frac {\partial u _ {4}}{\partial x} = h \left(u _ {h} - u _ {5}\right) \end{array} \right. \end{array} +$$ + +# 5.2.4 II层最优厚度的优化模型的求解 + +本文采用变步长枚举法对（35）式中的 $L_{2}$ 进行确定，借助matlab遍历搜寻最优解，本题中枚举法的算法流程如图15所示。 + +![](images/a7a28df5e65f890777f9624e5fb332f2a709c8aca57559f4dd7fa66de621568b.jpg) +图15 问题二算法流程图 + +首先，本题选取大步长 $\Delta l_{1} = 0.5mm$ ，对 $0.6\sim 25mm$ 范围进行初次遍历，求得满足约束条件的介质Ⅱ厚度的初步范围[19.1,19.6]。 + +其次，对范围在0.6-25的Ⅱ层介质厚度进行步长为0.1的枚举遍历，得到0.1精度下满足约束条件（35）的Ⅱ介质的最优厚度 $L_{2} = 19.3mm$ 。 + +综上，问题二的求解结果为：满足两个约束条件的Ⅱ介质最佳厚度为 $L_{2} = 19.3 \mathrm{~mm}$ 。 + +# 5.2.4 问题二模型的求解的灵敏度分析 + +在问题二中，探究在不同温度下最优厚度的变化来探究其灵敏度，我们将温度从65一直到69进行变化，步长0.5，逐步探究Ⅱ层最优解的厚度，我们发现温度的升高，最优厚度也不断增高且近似于线性，可以说明最优厚度的灵敏度。 + +![](images/de072e63ad4353561b9de89a2f1a721b0a07e59b11148fc8995c0f7ca6bb3171.jpg) +图16 II层介质最优厚度的灵敏度分析 + +# 5.3 问题三： $II$ 、 $IV$ 层最优厚度的优化模型 + +问题三区别于问题二，是一个多目标优化模型。对于问题三，模型的建立与求解主要分为以下步骤： + +首先，从服装成本与穿着舒适度两个方面考虑，分别制定出不同方面的“最优”厚度标准，确定多变量优化问题的两个不同的目标。 + +其次，基于问题一建立的四层耦合介质的温度分布模型，考虑问题三提出的两个要求，给出最优化问题的约束条件，分别建立目标是服装成本最低和穿着舒适度最高的两个Ⅱ、Ⅳ层厚度优化模型。 + +最后，问题三模型的求解，采用循环遍历的枚举法，借助matlab对Ⅱ介质与Ⅳ介质厚度同时进行双重循环遍历，搜寻服装成本最低和穿着舒适度最高这两个目标下Ⅱ、Ⅳ层介质的最优厚度。 + +# 5.3.1 “最优”厚度标准的制定 + +（1）从成本方面考虑：专用服装的制作成本与其织物材料的厚度成正比，IV层为空气介质，无需织物材料，因而服装成本只与II层介质的厚度有关，II层介质厚度越小，服装成本越低，认为达到最优厚度。 +(2) 从穿着舒适度方面考虑: 在 I、III层介质厚度确定的条件下, II层介质与IV层介质总厚度越小, 服装总体厚度越小, 穿着越舒适, 认为达到最优厚度。 + +# 5.3.2 约束条件的确定 + +Step1: 确定保证工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ}C$ 的约束条件 + +外界温度始终大于皮肤层温度，在这个热传导过程中，皮肤表面温度随时间升高。因此只要保证最大工作时间 $t = 1800 \, \text{s}$ 时，皮肤层温度不超过 $47^{\circ} \text{C}$ ： + +$$ +u _ {L _ {2}, L _ {4}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 1 8 0 0\right) \leq 4 7 \tag {38} +$$ + +其中， $\sum_{i=1}^{4} L_{i}$ 表示为四层介质的总厚度。 + +满足这个条件，即可满足工作的前60分钟内皮肤层温度始终不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ 。 + +Step2: 确定皮肤外侧温度超过 $44^{\circ} C$ 的时间不超过 5 分钟的约束条件 + +皮肤层温度的变化趋势是随时间一直增长，直至达到稳定状态。由于限定工作总时长为30分钟，为保证温度超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间不超过5分钟的约束条件，只要保证临界状态25分钟即 $t = 1500 \mathrm{~s}$ 时，皮肤层温度不超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 即可。约束条件表达式为： + +$$ +u _ {L _ {2}, L _ {4}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 1 5 0 0\right) \leq 4 4 \tag {39} +$$ + +其中， $\sum_{i=1}^{4} L_{i}$ 表示为四层介质的总厚度。 + +由（32）式和（33）式可得，Ⅱ、Ⅳ层的最优厚度的多目标优化问题的约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {L _ {2}, L _ {4}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 1 8 0 0\right) \leq 4 7 \\ u _ {L _ {2}, L _ {4}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 1 5 0 0\right) \leq 4 4 \end{array} \right. \tag {40} +$$ + +# 5.3.3 II、IV层最优厚度的多目标优化模型的建立 + +下面结合问题一的基于热传导方程的温度分布模型，建立关于Ⅱ、Ⅳ层最优厚度的多目标优化模型[5]。 + +从成本方面考虑，给出Ⅱ、Ⅳ层最优厚度的最优化模型的目标为： + +$$ +\min L _ {2} \tag {41} +$$ + +从穿着舒适度方面考虑，给出Ⅱ、Ⅳ层最优厚度的最优化模型的目标为： + +$$ +\min L _ {2} + L _ {4} \tag {42} +$$ + +基于热传导方程的温度分布模型是解决问题三的基础，因此在问题三中的约束条件也应该包括问题一所建立的热传导方程及其初边值条件和耦合条件。综合考虑问题三的所有约束条件。得到 II、IV 层最优厚度的多目标优化模型的约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {L _ {2}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 1 8 0 0\right) \leq 4 7 \\ u _ {L _ {2}} \left(\sum_ {i = 1} ^ {4} L _ {i}, 1 5 0 0\right) \leq 4 4 \\ 0. 6 \leq L _ {2} \leq 2 5 \\ \frac {\partial u _ {i}}{\partial t} = a _ {i} ^ {2} \frac {\partial^ {2} u _ {i}}{\partial x ^ {2}} & x \in \bigcup_ {i = 1} ^ {4} \left[ L _ {i - 1}, L _ {i} \right], L _ {0} = 0 \\ a _ {i} ^ {2} = \frac {\lambda_ {i}}{c _ {i} \rho_ {i}} & i = 1, 2, 3, 4 \\ \lambda_ {1} \frac {\partial u _ {1}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {1}} = \lambda_ {2} \frac {\partial u _ {2}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {1}} \\ u _ {1} | _ {\Gamma_ {1}} = u _ {2} | _ {\Gamma_ {1}} \\ \lambda_ {2} \frac {\partial u _ {2}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {2}} = \lambda_ {3} \frac {\partial u _ {3}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {2}} \\ u _ {2} | _ {\Gamma_ {2}} = u _ {3} | _ {\Gamma_ {2}} \\ \lambda_ {3} \frac {\partial u _ {3}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {3}} = \lambda_ {4} \frac {\partial u _ {4}}{\partial x} | _ {\Gamma_ {3}} \\ u _ {3} | _ {\Gamma_ {3}} = u _ {4} | _ {\Gamma_ {3}} \\ u _ {i} (x, 0) = 3 7 \quad i = 1, 2, 3, 4 \\ u _ {1} (0, t) = 8 0 \\ - \lambda_ {4} \frac {\partial u _ {4}}{\partial x} = h \left(u _ {h} - u _ {5}\right) \end{array} \right. \tag {43} +$$ + +联立（39）式和（41）式，得到服装成本最低的Ⅱ、Ⅳ层最优厚度的多目标优化模型； + +联立（40）式和（41）式，得到穿着舒适度最高的Ⅱ、Ⅳ层最优厚度的多目标优化模型。 + +# 5.3.4 II、IV层最优厚度的多目标优化模型的求解 + +问题三的求解采用与5.2.4节相同的思想，对服装成本最低的优化模型和穿着舒适度最高的优化模型分别进行求解。 + +本题采用变步长枚举法，借助matlab对Ⅱ介质与IV介质同时进行双重循环遍历，搜寻服装成本最低和穿着舒适度最高这两种不同目标下Ⅱ，IV介质的最优厚度。具体算法如下图17所示： + +![](images/fd1655a4dff3157a797ba02f4dd658f52b356ae2fc2efc379f0f8ece8393f7f3.jpg) +图17 问题三算法流程图 + +首先，设计双重for循环，遍历得到满足所有约束条件的II介质、IV介质的厚度数对 $\left(L_{2}, L_{4}\right)$ 。 + +其次，因为 IV 层介质为空气层，不计成本。所以，从成本角度出发，如果要达到成本最低，在 I、III 介质层厚度已知的情况下，只需要 II 介质层的厚度最低即可。 + +然后，从最佳穿着舒适度的角度出发，衣服越轻薄舒适度越高，则只需要Ⅱ、Ⅳ层介质的总厚度最低即可。 + +最后，得到满足不同优化目标的Ⅱ、Ⅳ层介质的最优厚度。求得两种目标下的Ⅱ，Ⅳ层介质的初步最优解如下表3： + +表 3 II、IV 层最优厚度的多目标优化模型初步求解结果 + +
优化目标最优解1最优解2
成本最低L2=21.7 L4=6.4
舒适度最佳L2=21.7 L4=6.4L2=21.8 L4=6.3
+ +比较舒适度最佳的两个最优解，显然最优解1的服装成本低于最优解2的服装成本。因此，在相同舒适度情况下，成本较低的最优解1是多目标优化模型的整体最优解。 + +因此，问题三的 II、IV 介质最优厚度为： $L_{2} = 21.7, L_{4} = 6.4$ 。 + +# 5.3.5 问题三模型的检验 + +在问题三中，对最优厚度的变化进行进一步的验证，对Ⅱ层中最优解中的 $21.8mm$ 进行适当的降低，同时，保持IV层中最优解 $6.4mm$ 不变，可以发现在第25分钟时，假人皮肤表面温度超过了 $44^{\circ}C$ ，不再满足题目中的条件。 + +同样，Ⅱ层中保持最优解中 $21.8mm$ 不变，降低IV层中最优解 $6.4mm$ ，同样发现在第25分钟时，假人皮肤温度已经超过了 $44^{\circ}C$ ，不再满足题目中的条件。 + +同样，如果同时降低 II 层中最优解和 IV 层中最优解，肯定会导致假人皮肤外侧温度超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间超过 5 分钟，因此，可以验证最优解的正确性。 + +# 六、模型评价 + +# 6.1 模型的优点 + +（1）根据不同介质的物理性质建立热传导方程，考虑导热临界面上热流量密度与温度相同，提出了多层介质的耦合处理方法，模型创新性好。 +(2) 问题一中的转化系数 $h$ 的确定和问题二、三中的介质最优厚度的求解均采用变步长多次枚举法遍历求得, 模型求解速度快, 精度高。 +(3) 利用隐式向后差分格式对连续的模型进行离散化处理从而进行数值求解, 离散格式无条件稳定, 求解精度较好。 + +# 6.2 模型的缺点 + +问题三模型求解时，为获得较高精度，采用极小步长遍历搜寻最优解，容易导致程序运行缓慢。 + +# 6.3 模型的改进方案 + +在第一问，基于热传导方程的温度分布模型的求解过程中，可以用 $C-N$ 格式（Crank-Nicolson差分格式）代替隐式向后差分格式，获得截断误差更小的数值解。 + +# 参考文献 + +[1] 潘斌．热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题[D]. 浙江理工大学，2017. +[2] 卢琳珍，徐定华，徐映红．应用三层热防护服热传递改进模型的皮肤烧伤度预测[J].纺织学报，2018(1):111-118. +[3] 金启胜. 利用 Fourier 变换求解热传导方程的定解问题[J]. 上饶师范学院学报, 2011, 31(3):54-55. +[4] 刘志华，刘瑞金．牛顿冷却定律的冷却规律研究[J]. 山东理工大学学报（自然科学版），2005，19(6):23-27. +[5]郑夕健，张国忠，费烨．基于灰色模糊决策的多目标优化模型及应用研究[J].组合机床与自动化加工技术，2007(1):10-13. +[6] Truo, 梁高勇. 生化防护服的材料设计[J]. 国外纺织技术, 1999(5):11-15. + +# 附录 + +# 附录一：求解问题一中空气系数的范围（matlab程序） + +clear;%清除工作区变量 + +clc;%清屏 + +close all;%关闭所有图形窗口 + +$\mathbf{z} = []$ + +for $h = 8:0.01:9\%$ 确定空气交换系数范围 + +$\% \%$ 材料参数输入 + +$\mathrm{m}1 = 6;\mathrm{m}2 = 60;\mathrm{m}3 = 36;\mathrm{m}4 = 50;\%$ 分别对四种介质分割 + +$\mathrm{m} = \mathrm{m}1 + \mathrm{m}2 + \mathrm{m}3 + \mathrm{m}4;\%$ 介质分割和 + +n=5400;% 对时间分割 + +t=5400;% 总时长 + +11=0.6/1000;12=6/1000;13=3.6/1000;14=5/1000;% 四种材料厚度 + +lam_1=0.082;lam_2=0.37;lam_3=0.045;lam_4=0.028;% 四种材料的热传导率 + +de_1=300;de_2=862;de_3=74.2;de_4=1.18;% 四种材料的密度 + +c1=1377;c2=2100;c3=1726;c4=1005;% 四种材料的比热容 + +$\% \%$ 计算热扩散率 + +a1=lam_1/(c1*de_1);% I层材料的热扩散率 + +a2=lam_2/(c2*de_2);% II层材料的热扩散率 + +a3=lam_3/(c3*de_3);% III层材料的热扩散率 + +a4=lam_4/(c4*de_4);% IV层材料的热扩散率 + +%% 材料长度分割和时间步长分割求解 + +derta_x1=l1/m1;% I层材料的分割长度 + +derta_x2=12/m2;% II层材料的分割长度 + +derta_x3=13/m3;% III层材料的分割长度 + +derta_x4=14/m4;% IV层材料的分割长度 + +derta_t=t/n;% 时间步长分割 + +$\% \%$ 计算各层介质剖分的步长比 + +r1=derta_t/derta_x1^2*a1;% 第I层介质剖分的步长比 + +r2=derta_t/derta_x2^2*a2;% 第 II 层介质剖分的步长比 + +r3=derta_t/derta_x3^2*a3;% 第 III 层介质剖分的步长比 + +r4=derta_t/derta_x4^2*a4;% 第 IV 层介质剖分的步长比 + +$\mathrm{u = z e r o s(m + 1,n + 1);}\%$ 定义四层耦合介质温度分布矩阵 + +$\% \%$ 初始条件和边界条件 + +$\mathrm{u}(:,1) = 37;\%$ 初始条件 + +$\mathrm{u}(1,::) = 75;\%$ 边界条件 + +%% 差分格式的系数矩阵的构造 + +$\mathrm{A = zeros(m,m)}$ + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}1 - 1$ $\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r1}$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r1}$ +if $\mathrm{i} > = 2$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r1}$ +end +end + $\mathrm{A(m1,m1) = (lam_1 / derta_x1 + lam_2 / derta_x2)}$ $\mathrm{A(m1,m1 - 1) = -lam_1 / derta_x1}$ + +# 附录二：在已知空气系数范围下求解问题一中空气系数的精确值（matlab程序） + +```txt +clear;%清除工作区变量 +clc;%清屏 +close all;%关闭所有图形窗口 +``` + +$\mathrm{z = []}$ +for $\mathrm{h} = 8.61:0.0001:8.63\%$ 确定空气交换系数 + $\% \%$ 材料参数输入 + $\mathrm{m1 = 6;m2 = 60;m3 = 36;m4 = 50;\%}$ 分别对四种介质分割 + $\mathrm{m = m1 + m2 + m3 + m4;}\%$ 介质分割和 +n=5400;% 对时间分割 +t=5400;% 总时长 +11=0.6/1000;12=6/1000;13=3.6/1000;14=5/1000;% 四种材料厚度 +lam_1=0.082;lam_2=0.37;lam_3=0.045;lam_4=0.028;% 四种材料的热传导率 +de_1=300;de_2=862;de_3=74.2;de_4=1.18;% 四种材料的密度 +c1=1377;c2=2100;c3=1726;c4=1005;% 四种材料的比热容 + +$\% \%$ 计算热扩散率 +a1=lam_1/(c1*de_1);% I层材料的热扩散率 +a2=lam_2/(c2*de_2);% II层材料的热扩散率 +a3=lam_3/(c3*de_3);% III层材料的热扩散率 +a4=lam_4/(c4*de_4);% IV层材料的热扩散率 + +$\% \%$ 材料长度分割和时间步长分割求解 +derta_x1=11/m1;% I层材料的分割长度 +derta_x2=12/m2;% II层材料的分割长度 +derta_x3=13/m3;% III层材料的分割长度 +derta_x4=14/m4;% IV层材料的分割长度 +derta_t=t/n;% 时间步长分割 + +%% 计算各层介质剖分的步长比 + +```txt +r1=derta_t/derta_x1^2*a1;% 第I层介质剖分的步长比 +r2=derta_t/derta_x2^2*a2;% 第II层介质剖分的步长比 +r3=derta_t/derta_x3^2*a3;% 第III层介质剖分的步长比 +r4=derta_t/derta_x4^2*a4;% 第IV层介质剖分的步长比 +``` + +$\mathrm{u = z e r o s(m + 1,n + 1)_{\%}}$ 定义四层耦合介质温度分布矩阵 + $\% \%$ 初始条件和边界条件 + $\mathrm{u(:,1)} = 37;\%$ 初始条件 + $\mathrm{u(1,:) = 75;}\%$ 边界条件 + +$\% \%$ 差分格式的系数矩阵的构造 +A=zeros(m,m); +for i=1:m1-1 + A(i,i)=1+2*r1; + A(i,i+1)=-r1; +if i>=2 + A(i,i-1)=-r1; +end +end +A(m1,m1)=(lam_1/derta_x1+lam_2/derta_x2); +A(m1,m1-1)=-lam_1/derta_x1; +A(m1,m1+1)=-lam_2/derta_x2; + +for $\mathrm{i = m1 + 1:m1 + m2 - 1}$ $\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r2};$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r2};$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r2};$ +end + $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2) = (lam\_2 / derta\_x2 + lam\_3 / derta\_x3)}$ $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2 - 1) = -lam\_2 / derta\_x2};$ $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2 + 1) = -lam\_3 / derta\_x3};$ +for $\mathrm{i = m1 + m2 + 1:m1 + m2 + m3 - 1}$ $\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r3;}$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r3;}$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r3;}$ +end + $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3) = (lam\_3 / derta\_x3 + lam\_4 / derta\_x4);}$ $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3 - 1) = -lam\_3 / derta\_x3;}$ $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3 + 1) = -lam\_4 / derta\_x4;}$ + +for $i = m1 + m2 + m3 + 1:m1 + m2 + m3 + m4 - 1$ + +$\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r4}$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r4}$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r4}$ +end + $\mathrm{A(m,m) = h + lam_4 / derta_x4}$ $\mathrm{A(m,m - 1) = -lam_4 / derta_x4}$ + +$\% \%$ 构造右端项 +for $\mathrm{k} = 2:\mathrm{n} + 1$ +b=zeros(m,1); +for $\mathrm{i} = 2:\mathrm{m - 1}$ +b(i,1)=u(i+1,k-1); +end +b(1,1)=u(2,k-1)+r1*u(1,k); +b(m1,1)=0; +b(m1+m2,1)=0; +b(m1+m2+m3,1)=0; +b(m,1)=37*h; + +$\% \%$ 追赶法求解 +bb=diag(A)'; +aa=[0,diag(A,-1)]'; +c=diag(A,1)'; +N=length(bb); +L=zeros(N); +uu0=0;y0=0;aa(1)=0; +L(1)=bb(1)-aa(1)*uu0; +y(1)=(b(1)-y0*aa(1))/L(1); +uu(1)=c(1)/L(1); +for i=2:(N-1) +L(i)=bb(i)-aa(i)*uu(i-1); +y(i)=(b(i)-y(i-1)*aa(i))/L(i); +uu(i)=c(i)/L(i); +end +L(N)=bb(N)-aa(N)*uu(N-1); +y(N)=(b(N)-y(N-1)*aa(N))/L(N); +x(N)=y(N); +for i=(N-1):-1:1 +x(i)=y(i)-uu(i)*x(i+1); +end +u(2:m+1,k)=x'; +end + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {q} = \mathrm {u} (\mathrm {m} + 1, \mathrm {t} + 1) - 4 8. 0 8; \\ z = [ z q ]; \\ [ d p ] = \min (\operatorname {a b s} (z)); \\ \mathrm {e n d} \\ \end{array} +$$ + +fprintf('空气交换系数：\n') + +$$ +\mathrm{fprintf('}\quad \% .4\mathrm{f}\backslash \mathrm{n}',8.61 + 0.0001^{*}\mathrm{p}) +$$ + +附录三：求解问题一中温度分布矩阵，同时绘制温度分布图和部分位置温度分布图，其中生成题目中所要求的Excle文件problem1（matlab程序） + +clear;%清除工作区变量 + +clc;%清屏 + +close all;%关闭所有图形窗口 + +$\mathbf{z} = []$ + +$\mathrm{h} = 8.6125; \%$ 空气交换系数 + +$\% \%$ 材料参数输入 + +$\mathrm{m}1 = 6;\mathrm{m}2 = 60;\mathrm{m}3 = 36;\mathrm{m}4 = 50;\%$ 分别对四种介质分割 + +$\mathrm{m = m1 + m2 + m3 + m4}$ % 介质分割和 + +n=5400;% 对时间分割 + +t=5400;% 总时长 + +11=0.6/1000;12=6/1000;13=3.6/1000;14=5/1000;% 四种材料厚度 + +lam_1=0.082; lam_2=0.37; lam_3=0.045; lam_4=0.028;% 四种材料的热传导率 + +de_1=300;de_2=862;de_3=74.2;de_4=1.18;% 四种材料的密度 + +c1=1377;c2=2100;c3=1726;c4=1005;% 四种材料的比热容 + +$\% \%$ 计算热扩散率 + +a1=lam_1/(c1*de_1);% I层材料的热扩散率 + +a2=lam_2/(c2*de_2);% II层材料的热扩散率 + +a3=lam_3/(c3*de_3);% III层材料的热扩散率 + +a4=lam_4/(c4*de_4);% IV层材料的热扩散率 + +$\% \%$ 材料长度分割和时间步长分割求解 + +derta_x1=11/m1;% I层材料的分割长度 + +derta_x2=12/m2;% II层材料的分割长度 + +derta_x3=13/m3;% III层材料的分割长度 + +derta_x4=14/m4;% IV层材料的分割长度 + +derta_t=t/n;% 时间步长分割 + +%% 计算各层介质剖分的步长比 + +```txt +r1=derta_t/derta_x1^2*a1;% 第I层介质剖分的步长比 +r2=derta_t/derta_x2^2*a2;% 第II层介质剖分的步长比 +r3=derta_t/derta_x3^2*a3;% 第III层介质剖分的步长比 +r4=derta_t/derta_x4^2*a4;% 第IV层介质剖分的步长比 +``` + +$\mathrm{u = z e r o s(m + 1,n + 1)_{\%}}$ 定义四层耦合介质温度分布矩阵 + $\% \%$ 初始条件和边界条件 + $\mathrm{u(:,1)} = 37;\%$ 初始条件 + $\mathrm{u(1,:) = 75;}\%$ 边界条件 + +$\% \%$ 差分格式的系数矩阵的构造 +A=zeros(m,m); +for i=1:m1-1 + A(i,i)=1+2*r1; + A(i,i+1)=-r1; +if i>=2 + A(i,i-1)=-r1; +end +end +A(m1,m1)=(lam_1/derta_x1+lam_2/derta_x2); +A(m1,m1-1)=-lam_1/derta_x1; +A(m1,m1+1)=-lam_2/derta_x2; + +for $\mathrm{i = m1 + 1:m1 + m2 - 1}$ $\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r2};$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r2};$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r2};$ +end + $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2) = (lam\_2 / derta\_x2 + lam\_3 / derta\_x3)}$ $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2 - 1) = -lam\_2 / derta\_x2};$ $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2 + 1) = -lam\_3 / derta\_x3};$ +for $\mathrm{i = m1 + m2 + 1:m1 + m2 + m3 - 1}$ $\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r3;}$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r3;}$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r3;}$ +end + $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3) = (lam\_3 / derta\_x3 + lam\_4 / derta\_x4);}$ $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3 - 1) = -lam\_3 / derta\_x3;}$ $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3 + 1) = -lam\_4 / derta\_x4;}$ + +for $i = m1 + m2 + m3 + 1:m1 + m2 + m3 + m4 - 1$ + +$\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r4}$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r4};$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r4};$ +end + $\mathrm{A(m,m) = h + lam_4 / derta_x4};$ $\mathrm{A(m,m - 1) = -lam_4 / derta_x4};$ + +$\% \%$ 构造右端项 +for $\mathrm{k} = 2:\mathrm{n} + 1$ +b=zeros(m,1); +for $\mathrm{i} = 2:\mathrm{m - 1}$ +b(i,1)=u(i+1,k-1); +end +b(1,1)=u(2,k-1)+r1*u(1,k); +b(m1,1)=0; +b(m1+m2,1)=0; +b(m1+m2+m3,1)=0; +b(m,1)=37*h; + +$\% \%$ 追赶法求解 +bb=diag(A)'; +aa=[0,diag(A,-1)]'; +c=diag(A,1)'; +N=length(bb); +L=zeros(N); +uu0=0;y0=0;aa(1)=0; +L(1)=bb(1)-aa(1)*uu0; +y(1)=(b(1)-y0*aa(1))/L(1); +uu(1)=c(1)/L(1); +for i=2:(N-1) +L(i)=bb(i)-aa(i)*uu(i-1); +y(i)=(b(i)-y(i-1)*aa(i))/L(i); +uu(i)=c(i)/L(i); +end +L(N)=bb(N)-aa(N)*uu(N-1); +y(N)=(b(N)-y(N-1)*aa(N))/L(N); +x(N)=y(N); +for i=(N-1):-1:1 +x(i)=y(i)-uu(i)*x(i+1); +end +u(2:m+1,k)=x'; +end + +%% 绘制不同时刻不同厚度温度分布图 + +$\mathrm{x = 1:1:m + 1}$ + +$t = 1:1:t + 1$ + +surf(t,x,u) + +shading interp + +xlabel('t') + +ylabel('x') + +zlabel('u') + +$\mathbf{u} =$ round(u,2); + +xlswrite('不同时间不同厚度下的温度分布.xlsx',u)% 生成温度分布的 excle 文件 + +$\% \%$ 四个临界面下的部分温度分布表 + +$\mathbf{U} =$ zeros(5401,4); + +$\mathrm{U}(:,1) = \mathrm{u}(\mathrm{m}1 + 1,:)$ + +$\mathrm{U}(:,2) = \mathrm{u}(\mathrm{m}1 + \mathrm{m}2 + 1,::)^{\prime}$ + +$\mathrm{U}(:,3) = \mathrm{u}(\mathrm{m}1 + \mathrm{m}2 + \mathrm{m}3 + 1,::)^{\prime}$ + +$\mathrm{U}(:,4) = \mathrm{u}(\mathrm{m}1 + \mathrm{m}2 + \mathrm{m}3 + \mathrm{m}4 + 1,::)^{\prime}$ + +xlswrite('problem1.xlsx',U)% 存储生成四个临界面下的部分温度分布表于 problem1 + +figure + +subplot(2,2,1) + +plot(U(:,1), 'r') + +xlabel('t');ylabel('u'); + +title('临界面I') + +axis([0 5400 30 80]) + +subplot(2,2,2) + +plot(U(:,2), 'r') + +xlabel('t');ylabel('u'); + +title('临界面 II') + +axis([0 5400 30 80]) + +subplot(2,2,3) + +plot(U(:,3), 'r') + +title(临界面 III') + +axis([0 5400 30 80]) + +xlabel('t');ylabel('u'); + +subplot(2,2,4) + +plot(U(:,4), 'r') + +title(临界面 IV') + +axis([0 5400 30 80]) + +xlabel('t');ylabel('u'); + +# 附录四：求解问题二中的II层的最优厚度（matlab程序） + +clear;%清除工作区变量 + +clc;%清屏 + +close all;%关闭所有图形窗口 + +%% 材料参数输入 + +$\mathrm{m}1 = 6;\mathrm{m}2 = 60;\mathrm{m}3 = 36;\mathrm{m}4 = 50;\%$ 分别对四种介质分割 + +$\mathrm{m = m1 + m2 + m3 + m4}$ ;%介质分割和 + +n=3600;%对时间分割 + +t=3600;% 总时长 + +h=8.6125;%空气交换系数 + +11=0.6/1000;13=3.6/1000;14=5.5/1000;%材料厚度 + +lam_1=0.082; lam_2=0.37; lam_3=0.045; lam_4=0.028;% 四种材料的热传导率 + +de_1=300;de_2=862;de_3=74.2;de_4=1.18;%四种材料的密度 + +c1=1377;c2=2100;c3=1726;c4=1005;%四种材料的比热容 + +%% 计算热扩散率 + +a1=lam_1/(c1*de_1);%I层材料的热扩散率 + +a2=lam_2/(c2*de_2);%II层材料的热扩散率 + +a3=lam_3/(c3*de_3);%III层材料的热扩散率 + +a4=lam_4/(c4*de_4);%IV层材料的热扩散率 + +```python +optimum = []; %c 存储满足条件的 12 长度 + +for $12 = (0.6:0.1:25) / 1000$ + +%% 材料长度分割和时间步长分割求解 + +derta_x1=11/m1;%I层材料的分割长度 + +derta_x2=12/m2;%II层材料的分割长度 + +derta_x3=13/m3;%III层材料的分割长度 + +derta_x4=l4/m4;%IV层材料的分割长度 + +derta_t = t/n; %时间步长分割 + +%% 计算各层介质剖分的步长比 + +r1=derta_t/derta_x1^2*a1;%第I层介质剖分的步长比 + +r2=derta_t/derta_x2^2*a2;%第II层介质剖分的步长比 + +r3=derta_t/derta_x3^2*a3;%第III层介质剖分的步长比 + +r4=derta_t/derta_x4^2*a4;%第IV层介质剖分的步长比 + +u=zeros(m+1,n+1);%定义四层耦合介质温度分布矩阵 + +%% 初始条件和边界条件 + +$\mathrm{u}(:,1) = 37;\%$ 初始条件 + +$\mathrm{u}(1, \therefore) = 65 \%$ 边界条件 + +%% 差分格式的系数矩阵 + +A=zeros(m1+m2+m3+m4,m1+m2+m3+m4); + +for $i = 1:m1 - 1$ + +$\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r1}$ + +$\mathrm{A(i,i + 1) = -r1}$ + +if $i >= 2$ + +$\mathrm{A(i,i - 1) = -r1}$ + +end + +end + +A(m1,m1)=(lam_1/derta_x1+lam_2/derta_x2); + +A(m1,m1-1)=-lam_1/derta_x1; + +$\mathrm{A(m1,m1 + 1) = -lam\_2 / derta\_x2}$ + +for $i = m1 + 1:m1 + m2 - 1$ + +$\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r2}$ + +$\mathrm{A(i,i + 1) = -r2}$ + +$\mathrm{A(i,i - 1) = -r2}$ + +end + +$\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2) = (lam_2 / derta_x2 + lam_3 / derta_x3)}$ + +A $(\mathrm{m1 + m2,m1 + m2 - 1}) =$ -lam_2/derta_x2; + +A $(\mathrm{m1 + m2,m1 + m2 + 1}) =$ -lam_3/derta_x3; + +for $i = m1 + m2 + 1:m1 + m2 + m3 - 1$ + +$\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r3}$ + +$\mathrm{A(i,i + 1) = -r3}$ + +$\mathrm{A(i,i - 1) = -r3}$ + +end + +A $(\mathrm{m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3}) = (\mathrm{lam\_3 / derta\_x3 + lam\_4 / derta\_x4})$ + +$\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3 - 1) = -lam\_3 / derta\_x3}$ + +A $(\mathrm{m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3 + 1}) = -$ lam_4/derta_x4; + +for $i = m1 + m2 + m3 + 1:m1 + m2 + m3 + m4 - 1$ + +$\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r4}$ + +$\mathrm{A(i,i - 1) = -r4}$ + +$\mathrm{A(i,i + 1) = -r4}$ + +end + +$\mathrm{A(m,m) = h + lam_4 / derta_x4}$ $\mathrm{A(m,m - 1) = -lam_4 / derta_x4}$ + +$\% \%$ 追赶法求解 +for $k = 2:n + 1$ +k; +b=zeros(m,1); +for i=2:m-1 +b(i,1)=u(i+1,k-1); +end +b(1,1)=u(2,k-1)+r1*u(1,k); +b(m1,1)=0; +b(m1+m2,1)=0; +b(m1+m2+m3,1)=0; +b(m,1)=37*h; +bb=diag(A)'; +aa=[0,diag(A,-1)']; +c=diag(A,1)'; +N=length(bb); +L=zeros(N); +uu0=0;y0=0;aa(1)=0; +L(1)=bb(1)-aa(1)*uu0; +y(1)=(b(1)-y0*aa(1))/L(1); +uu(1)=c(1)/L(1); +for i=2:(N-1) +L(i)=bb(i)-aa(i)*uu(i-1); +y(i)=(b(i)-y(i-1)*aa(i))/L(i); +uu(i)=c(i)/L(i); +end +L(N)=bb(N)-aa(N)*uu(N-1); +y(N)=(b(N)-y(N-1)*aa(N))/L(N); +x(N)=y(N); +for i=(N-1):-1:1 +x(i)=y(i)-uu(i)*x(i+1); +end +u(2:m+1,k)=x'; +end +if u(m+1,3600)<=47&u(m+1,3301)<=44 optimum=[optimmun 12*1000]; +end +end + +[p q]=min(optimum); + +fprintf('II层材料的最优厚度：\n') + +fprintf(' %.1fmm\n',p) + +附录五：求解问题三中第II层和第IV层的最优厚度（matlab程序） + +clear;%清除工作区变量 + +clc;%清屏 + +close all;%关闭所有图形窗口 + +%% 材料参数输入 + +$\mathrm{m}1 = 6;\mathrm{m}2 = 60;\mathrm{m}3 = 36;\mathrm{m}4 = 50;\%$ 分别对四种介质分割 + +m=m1+m2+m3+m4;%介质分割和 + +n=1800;%对时间分割 + +t=1800;%总时长 + +$\mathrm{h} = 8.6125;\%$ 空气交换系数 + +11=0.6/1000;13=3.6/1000;% 材料厚度 + +lam_1=0.082; lam_2=0.37; lam_3=0.045; lam_4=0.028;% 四种材料的热传导率 + +de_1=300;de_2=862;de_3=74.2;de_4=1.18;% 四种材料的密度 + +c1=1377;c2=2100;c3=1726;c4=1005;% 四种材料的比热容 + +$\% \%$ 计算热扩散率 + +a1=lam_1/(c1*de_1);% I层材料的热扩散率 + +a2=lam_2/(c2*de_2);% II层材料的热扩散率 + +a3=lam_3/(c3*de_3);% III层材料的热扩散率 + +a4=lam_4/(c4*de_4);% IV层材料的热扩散率 + +$\mathrm{optimum1} = \left[\right]; \%$ 存储满足II层材料的长度 + +```python +optimum2 = []; %存储满足 IV 层材料的长度 + +for $12 = (0.6:0.1:25) / 1000$ + +for $14 = (0.6:0.1:6.4) / 1000$ + +$\% \%$ 材料长度分割和时间步长分割求解 + +derta_x1=11/m1;%I层材料的分割长度 + +derta_x2=12/m2;%II层材料的分割长度 + +derta_x3=13/m3;%III层材料的分割长度 + +derta_x4=14/m4;%IV层材料的分割长度 + +derta_t = t/n; %时间步长分割 + +$\% \%$ 计算各层介质剖分的步长比 + +r1=derta_t/derta_x1^2*a1;%第I层介质剖分的步长比 + +r2=derta_t/derta_x2^2*a2;%第Ⅱ层介质剖分的步长比 +r3=derta_t/derta_x3^2*a3;%第Ⅲ层介质剖分的步长比 +r4=derta_t/derta_x4^2*a4;%第Ⅳ层介质剖分的步长比 + +$\mathrm{u = z e r o s(m + 1,n + 1)};\%$ 定义四层耦合介质温度分布矩阵 + $\% \%$ 初始条件和边界条件 + $\mathrm{u(1,:) = 80;}\%$ 边界条件 + $\mathrm{u(:,1) = 37;}\%$ 初始条件 + +$\% \%$ 差分格式的系数矩阵 +A=zeros(m1+m2+m3+m4,m1+m2+m3+m4); +for i=1:m1-1 + A(i,i)=1+2*r1; + A(i,i+1)=-r1; +if i>=2 + A(i,i-1)=-r1; +end +end +A(m1,m1)=(lam_1/derta_x1+lam_2/derta_x2); +A(m1,m1-1)=-lam_1/derta_x1; +A(m1,m1+1)=-lam_2/derta_x2; + +for $\mathrm{i = m1 + 1:m1 + m2 - 1}$ $\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r2};$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r2};$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r2};$ +end + $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2) = (lam_2 / derta_x2 + lam_3 / derta_x3)};$ $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2 - 1) = -lam_2 / derta_x2};$ $\mathrm{A(m1 + m2,m1 + m2 + 1) = -lam_3 / derta_x3};$ +for $\mathrm{i = m1 + m2 + 1:m1 + m2 + m3 - 1}$ $\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r3;}$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r3;}$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r3;}$ +end + $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3) = (lam_3 / derta_x3 + lam_4 / d}$ $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3 - 1) = -lam_3 / derta_x3;}$ $\mathrm{A(m1 + m2 + m3,m1 + m2 + m3 + 1) = -lam_4 / derta_x4;}$ + +for $\mathrm{i = m1 + m2 + m3 + 1:m1 + m2 + m3 + m4 - 1}$ $\mathrm{A(i,i) = 1 + 2*r4};$ $\mathrm{A(i,i - 1) = -r4};$ $\mathrm{A(i,i + 1) = -r4};$ +end + $\mathrm{A(m,m) = h + lam_4 / derta_x4};$ $\mathrm{A(m,m - 1) = -lam_4 / derta_x4};$ + +%% 升横右端项 + +for $k = 2:n + 1$ + +$\mathsf{b} = \mathsf{zeros}(\mathsf{m},1)$ +for $\mathrm{i} = 2:\mathrm{m - 1}$ $\mathtt{b(i,1)} = \mathtt{u(i + 1,k - 1)}$ +end + $\mathtt{b}(1,1) = \mathtt{u}(2,\mathtt{k - 1}) + \mathtt{r1}^{*}\mathtt{u}(1,\mathtt{k})$ $\mathtt{b(m1,1)} = 0$ $\mathtt{b(m1 + m2,1)} = 0$ $\mathtt{b(m1 + m2 + m3,1)} = 0$ $\mathtt{b(m,1)} = 37^{*}\mathtt{h}$ + +%% 追赶法求解方程 + +```matlab +bb=diag(A)'; +aa=[0,diag(A,-1)]'; +c=diag(A,1)'; +N=length(bb); +L=zeros(N); +uu0=0;y0=0;aa(1)=0; +L(1)=bb(1)-aa(1)*uu0; +y(1)=(b(1)-y0*aa(1))/L(1); +uu(1)=c(1)/L(1); +for i=2:(N-1) +L(i)=bb(i)-aa(i)*uu(i-1); +y(i)=(b(i)-y(i-1)*aa(i))/L(i); +uu(i)=c(i)/L(i); +end +L(N)=bb(N)-aa(N)*uu(N-1); +y(N)=(b(N)-y(N-1)*aa(N))/L(N); +x(N)=y(N); +for i=(N-1):-1:1 +x(i)=y(i)-uu(i)*x(i+1); +end +``` + +$\mathbf{u}(2:\mathbf{m} + 1,\mathbf{k}) = \mathbf{x}'$ + +```txt +end +``` + +if $\mathrm{u(m + 1,1800) < = 47\& u(m + 1,1501) < = 44\%}$ 控制条件 optimum1=[optimum112\*1000]; optimum2=[optimum214\*1000]; +end end +end + +```javascript +q=optimum1+optimum2; +``` + +```javascript +[p e]=min(optimum1); +``` + +```javascript +fprintf('12 最小成本最低时介质 II、介质 IV、总厚度：\n') +``` + +```python +fprintf(' 12=%.1f\n', optimum1(e)) +``` + +```txt +fprintf(' 14=%.1f\n',optimum2(e)) +``` + +```txt +fprintf(' 12+14=%.1f\n\n',q(e)) +``` + +```txt +fprintf('l2+l4 最小厚度最小时介质 II、介质 IV、总厚度：\n') +``` + +```txt +fprintf(' 12=%.1f %.1f\n', optimum1(1), optimum1(2)) +``` + +```txt +fprintf(' 14=%.1f %.1f\n',optimum2(1),optimum2(2)) +``` + +```txt +fprintf(' 12+14=%.1f %.1f\n',q(1),q(2)) +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/A440/A440.md b/MCM_CN/2018/A440/A440.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb4836179f143d83bfb8c34e5185aa69535899a9 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/A440/A440.md @@ -0,0 +1,712 @@ +# 高温作业服设计 + +# 【摘要】 + +高温作业服可以避免高温灼伤，在实际作业中有广泛应用。本文对高温作业服的优化设计进行研究，分析作业服的传热过程，综合考虑各种传热方式、边界和初始条件，建立非稳态一维传热模型，并应用于作业服厚度的优化设计。 + +对于问题一：通过分析传热模型特点，将三维问题简化为一维问题，研究非稳态传热过程。主要考虑热传导、热对流两种传热方式，建立基于能量守恒定律的偏微分控制方程组，确定初边值条件，得到作业服非稳态一维传热过程的数学刻画。基于最小二乘原理，建立最优化模型，拟合实测温度求解未知参数的最优估计。利用有限差分法逐层求解方程组，并搜索得到第一层和第四层换热系数的参数估计分别为： $113\mathrm{W} / (\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{k})$ 和 $8.344\mathrm{W} / (\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{k})$ 。再利用参数估计值计算出温度分布，生成Excel文件。扩展模型并检验忽略热辐射的合理性，考虑辐射传热，两端换热系数为： $113\mathrm{W} / (\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{k})$ 和 8.496 W/(m²·k)。表明热辐射对传热过程影响较小可以忽略。 + +对于问题二：以第二层厚度最小为优化目标，综合 $60\mathrm{min}$ 内最大温度、超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 时间和厚度范围等约束，建立厚度调整单变量优化模型。将模型求解转换为约束条件临界值求解问题，得到第二层和第四层最小厚度分别为： $17.5\mathrm{mm}$ ，此时最大温度为 $44.0799^{\circ}\mathrm{C}$ ，超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 时间低于 $5\mathrm{min}$ 。从理论和结果进行分析，得到第二层材料对最大温度影响占次要因素，厚度增加主要影响传热速度的结论。 + +对于问题三：考虑舒适性、节约性、性能稳定性和研发效率等因素，以第二层和第四层厚度最小为优化目标，综合 $30\mathrm{min}$ 内最大温度、超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 时间和厚度限制等约束条件，建立作业服设计的多目标优化模型。求解过程中，将多目标问题转化为单目标问题，根据问题二解法求解得到第二层和第四层最优厚度设计分别为：19.2mm和6.4mm。此时最大温度为 $44.7721^{\circ}\mathrm{C}$ ，超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 时间低于5min。扩展模型，研究各层材料在传热过程中的不同作用效果，得到：第二层材料可延缓传热过程，适用于长时间作业环境；第四层材料增强隔热性能，适用于高温作业环境的结论。 + +最后对本文所建立模型进行了讨论和分析，综合评价模型，并提出了改进和推广的方向。 + +关键词：非稳态一维传热过程 有限差分法 优化模型 + +# 1 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +高温作业服可避免人们在高温环境下作业受到灼伤。而高温作业服的设计除要考虑避免灼伤外，还需要尽量降低研发成本、缩短研发周期。设计过程中，在高温环境放置假人，并测量皮肤外侧温度。为实现设计目的，需要根据假人皮肤外侧温度信息，建立高温工作服的非稳态传热模型，并应用模型求解温度分布和作业服设计。该问题具有以下特征和要求： + +(1)防护服分为4层，其中I、II、III层为织物制造，第IV层为织物与皮肤之间的空气间隙；第I层直接与外部环境接触。 +(2) 假人体内恒温为 $37^{\circ} \mathrm{C}$ 。 +(3)应建立非稳态传热模型，反应不同时间节点的传热情况。 +(4) 设计目的要避免灼伤并考虑研发成本和周期。 + +# 1.2 求解问题 + +本文根据问题建立数学模型，并设计求解方法解决如下问题： + +# 问题一： + +根据附件一中服装材料参数及各层厚度，综合考虑各种传热方式，建立作业服非稳态传热模型。根据附件二中实测温度值，估计传热模型中相关参数值，并计算温度分布。 + +# 问题二： + +不同于问题一，问题二中环境温度改变为 $65^{\circ} \mathrm{C}$ ，第四层厚度为 $5.5 \mathrm{~mm}$ 。以工作 $60 \mathrm{~min}$ ，最大温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ ，超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 时间低于 5 分钟作为约束条件，建立以第二层材料厚度最小为目标的优化模型，应用非稳态传热模型求解最优设计，并分析结果及原因。 + +# 问题三： + +问题三需同时考虑第二层和第四层厚度设计，约束条件为最大温度 $47^{\circ} \mathrm{C}$ 和高温时间低于5分钟。需要通过建立模型求解第二层和第四层厚度的最优化设计问题。 + +# 2 问题分析 + +高温作业服的设计问题，实质上是综合考虑各种传热方式，对作业服建立非稳态传热模型，并应用于求解温度分布和参数优化问题。模型的核心在于传热模型的建立及应用。 + +# 2.1 问题一分析 + +问题一已给定各层材料厚度及环境温度。并测试得到了假人皮肤外侧的温度变化信息。要求解温度分布，需要根据题目信息，综合考虑各种传热方式及边界条件，建立完整的传热模型。对于模型建立过程中的未知参数，通过传热模型建立参数与实测温度的数值关系描述，并求解得到最优参数应用于后续求解过程。 + +作业服传热模型考虑的是非稳态传热，即需要建立温度与时间的关系，得到整个传热过程的具体时间描述，刻画非稳态过程的温度分布及传热特性。 + +# 2.2 问题二分析 + +问题二实质上是建立在问题一非稳态传热模型基础上的参数优化模型。目的是求解第二层的最优厚度。此处最优应使制造成本尽量小，以厚度最小化作为优化目标，以皮肤外侧温度和超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间作为约束条件，求解满足条件的作业服最优设计。 + +# 2.3 问题三分析 + +问题三额外增加了第四层的厚度设计，需综合考虑研发制作成本、衣服笨重程度、人体舒适程度等因素，建立多目标优化模型。在满足最大温度约束和高温时间约束的条件下，通过非稳态传热模型求解最优设计。为进一步深入研究作业服的传热过程和实际应用，对模型进一步扩展进行研究。 + +# 3 模型假设 + +假设1：不考虑作业服水汽、汗液蒸发等传热传质过程； +假设2：以第四层(空气层)底层温度表示人体皮肤外侧温度； +假设3：不考虑接触面之间的接触热阻，认为接触面界面连续； +假设4：简化为一维传热问题，不考虑其他不均匀热源和传热过程； +假设5：人体为绝对黑体，即辐射发射率为1。 + +# 4符号说明 + +表 1: 符号说明 + +
变量说明量纲
λj, (j=1,2,3,4)导热系数W/(m·°C)
ρj, (j=1,2,3,4)材料密度kg/m³
Cj, (j=1,2,3,4)比热容J/(kg·°C)
h1第一层与外界对流换热系数W/(m²·°C)
h2第四层与人体对流换热系数W/(m²·°C)
q热流密度W/m²
T温度°C
Tren人体温度(37℃)°C
Ten环境温度°C
E辐射力(辐射能量密度)W/m²
dj, (j=1,2,3,4)材料厚度mm
ε发射率-
q辐射辐射传热量W/m²
+ +# 5 模型准备 + +# 5.1 背景知识 + +# 5.1.1传热方式 + +热力学过程有三种基本传热方式: + +(1)热传导：微观粒子热运动而产生的热能传递，固、液、气内部传热均存在热传导，主要基于傅里叶定律计算； +(2) 热对流: 由流体宏观运动引起的热量传递过程, 主要考虑流体与物体接触面的热交换, 基于牛顿冷却公式计算; +(3) 热辐射: 物体通过电磁波传递能量, 可发生在任何物体中。 + +# 5.1.2 边界条件 + +导热问题常见边界条件有三类，令 $T(x,y,z,t)$ 为物体的温度分布函数， $\Gamma$ 为物体的边界曲面。 + +(1) 第一类边界条件：规定边界上的温度值； + +$$ +\left. T (x, y, z, t) \right| _ {(x, y, z) \in \Gamma} = f (x, y, z, t) \tag {1} +$$ + +(2) 第二类边界条件：规定边界上的热流密度； + +$$ +\left. \frac {\partial T}{\partial n} \right| _ {(x, y, z) \in \Gamma} = f (x, y, z, t) \tag {2} +$$ + +(3)第三类边界条件：规定边界上物体与周围流体间的对流传热系数及周围流体温度。 + +$$ +\left. \left(\frac {\partial T}{\partial n} + \sigma T\right) \right| _ {(x, y, z) \in \Gamma} = f (x, y, z, t) \tag {3} +$$ + +# 5.1.3 稳态/非稳态 + +稳态传热过程指各点温度不随时间变化，控制方程中无时间项；非稳态传热即求解瞬态问题，各点温度随时间变化，控制方程中有时间项。 + +# 5.1.4 傅里叶传热定律 + +傅里叶定律是热传导基本定律，描述温度差与热流密度的关系。 + +$$ +q = - \lambda \frac {d T}{d x} \tag {4} +$$ + +式中： $q$ 为热流密度， $\lambda$ 表示传热系数， $dt/dx$ 表示空间节点上的温度差。对于考虑热传导的部分，主要基于傅里叶定律建立模型。 + +# 5.1.5 牛顿冷却公式 + +对流传热的基本计算公式是牛顿冷却公式，描述流体与物体表面的换热过程。 + +$$ +q = h \Delta T \tag {5} +$$ + +式中： $h$ 表示对流换热系数，对于对流传热问题，可通过牛顿冷却公式计算表面换热量。 + +# 5.1.6 斯泰潘-玻尔兹曼定律 + +辐射传热主要通过该定律进行计算。 + +$$ +E = \varepsilon \sigma T ^ {4} \tag {6} +$$ + +式中： $\varepsilon$ 为灰体辐射发射率(黑度)， $\sigma = 6.67 \times 10^{-8}$ ，为黑体辐射常数。 + +# 5.2 模型维数及坐标建立 + +高温作业服和人体从几何形状上来讲，属于三维模型。但对于本传热问题，由于： + +(1) 边界条件均匀分布, 热传递可看做只在一个方向进行, 即垂直于皮肤表面; +(2) 无其他不均匀热源及传热过程, 研究三维传热意义不大。 + +因而考虑进行简化，建立一维传热模型，仅研究热量由作业服外层到皮肤表面的传热过程，并建立坐标系如下。 + +![](images/94b20480994eb2624ffa81ea092e3c20eaf195661d14552f029370f037588178.jpg) +图1：一维传热模型 + +# 5.3 辐射传热 + +对作业服的传热模型，主要考虑作业服通过第四层与皮肤表面的辐射传热作用。皮肤与作业服之间可视为封闭腔。由于空气层较薄，对辐射热量的吸收较少，忽略空气吸收作用，则作业服与皮肤表面的辐射传热定义为[1]： + +$$ +q _ {\text {辐 射}} = \frac {\sigma \left[ T _ {\mathrm {g}} ^ {4} - T _ {\text {s k i n}} ^ {4} \right]}{\frac {1}{\varepsilon_ {\mathrm {g}}} + \frac {1}{\varepsilon_ {\text {s k i n}}} - 1} \tag {7} +$$ + +式中： $\varepsilon_{g}$ 和 $\varepsilon_{skin}$ 分别表示作业服与皮肤表面的发射率， $T_{g}$ 和 $T_{skin}$ 分别为第三层右边界温度和皮肤外侧温度。由于作业服辐射发射率较低。此处认为：非稳态传热模型中辐射传热作用很小，可以忽略，并在后续部分验证此假设合理性。 + +# 5.4 各层传热方式 + +对于传热问题，往往需要综合考虑热传导、热对流和热辐射三种不同传热方式。不同的传热方式有其特点和适用的情况。因而对各层材料和各边界条件进行讨论，确定需要各自的传热方式。 + +# (1)第Ⅰ层材料 + +对于第一层材料，材料内部主要为热传导方式，根据傅里叶定律建立模型；材料外边界与外部环境接触的边界条件为第三类边界条件，为对流传热过程。 + +# (2)第Ⅱ层材料 + +第二层材料仅需考虑热传导的传热方式。 + +# (3)第Ⅲ层材料 + +第三层材料内部为热传导方式；由于第四层空气层较薄，故接触面不考虑对流传热，仅考虑热传导[2]。 + +# (4)第IV层材料 + +第四层材料内部仅考虑热传导；材料右边界与人体接触，人体皮肤下存在大量毛细血管的血液流动，故右边界为第三类边界条件，考虑对流传热。 + +# 6 问题一：非稳态传热模型 + +# 6.1 问题分析 + +问题一已给定各层厚度，并已有皮肤外侧温度分布测量值。根据上述模型准备部分，基于能量守恒定律，可建立非稳态偏微分传热控制方程，确定初值和边界条件。进而建 + +立作业服非稳态传热模型。模型中两个对流传热系数未知，通过传热模型建立系数与实测温度之间的数值关系描述，搜索求解拟合最优化问题，得到最优传热系数，应用于后续作业服厚度设计。 + +# 6.2 模型建立-非稳态传热模型 + +# 6.2.1 传热控制方程 + +对于非稳态传热问题，依据能量守恒定律建立非稳态偏微分控制方程，即：对任一微元体，其热力学能的变化(表现为温度变化)等于流入流出微元体热流量的差值[3]。控制方程为： + +$$ +\rho_ {j} c _ {j} \frac {\partial T}{\partial t} = \frac {\partial}{\partial x} \left(\lambda_ {j} \frac {\partial T}{\partial x}\right) (j = 1, 2, 3, 4) \tag {8} +$$ + +式中：左项表示微元体热力学能变化；右项表示微元体流入流出热流量差值。 + +# 6.2.2 边界条件及初值条件 + +对于整个作业服传热模型，两端均为第三类边界条件，传出热量由对流换热带走。假设进入高温环境时人体与作业服已达到稳定状态，作业服温度分布的初始值为假人温度 $37^{\circ} \mathrm{C}$ 。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} - \lambda_ {1} \frac {\partial T}{\partial x} \Big | _ {x = 0} = h _ {1} \left(T _ {e n} - T (0, t)\right) \\ - \lambda_ {4} \frac {\partial T}{\partial x} \Big | _ {x = L} = h _ {2} \left(T (L, t) - T _ {r e n}\right) \\ T (x, 0) = T _ {r e n} \end{array} \right. \tag {9} +$$ + +式中: $h_{1}$ 和 $h_{2}$ 分别表示两端的对流传热系数, $T(0,t)$ 和 $T(L,t)$ 分别表示两端界面温度, $T(x,0)$ 为初始条件, $T_{en}$ 表示环境温度, $T_{ren}$ 表示人体温度。 + +# 6.2.3 材料接触面 + +对于不均匀材料导热问题，已假设材料间接触良好，忽略接触热阻，满足界面连续条件，即满足界面上温度与热流密度连续的条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T \left(x _ {i} ^ {-}, t\right) = T \left(x _ {i} ^ {+}, t\right) \\ \lambda_ {i} \frac {\partial T}{\partial x} \left(x _ {i} ^ {-}, t\right) = \lambda_ {i + 1} \frac {\partial T}{\partial x} \left(x _ {i} ^ {+}, t\right) (i = 1, 2, 3) \end{array} \right. \tag {10} +$$ + +式中： $i$ 表示各个接触面。 + +![](images/c239e25087401d76df7e33f75269389d1eabd6bdccca2f6f1a867d31bec31359.jpg) +图2：材料接触面 + +# 6.2.4 换热系数参数估计 + +在非稳态一维传热模型中，两端换热系数为未知量，通过最小二乘法建立参数估计模型： + +$$ +\left(\hat {h} _ {1}, \hat {h} _ {2}\right) = \arg \min _ {h _ {1}, h _ {2}} \sum_ {i = 1} ^ {N} \left[ T \left(L, t _ {i}; h _ {1}, h _ {2}\right) - T ^ {*} \left(t _ {i}\right) \right] ^ {2} \tag {11} +$$ + +式中， $\hat{h}_1, \hat{h}_2$ 为 $h_1$ 和 $h_2$ 的最小二乘估计值， $T^*(t_i)$ 为附件二中皮肤外侧温度实测值。 + +# 6.2.5 模型综合 + +对于作业服的非稳态传热过程，建立模型综合如下： + +参数估计： $(\hat{h}_1,\hat{h}_2) = \arg \min_{h_1,h_2}\sum_{i = 1}^{N}[T(L,t_i;h_1,h_2) - T^* (t_i)]^2$ + +控制方程： $\rho_{j}c_{j}\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} (\lambda_{j}\frac{\partial T}{\partial x})(j = 1,2,3,4)$ 边界条件： $\left\{ \begin{array}{l} - \lambda_1\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{x = 0} = h_1(T_{en} - T(0,t))\\ -\lambda_4\frac{\partial T}{\partial x}\bigg|_{x = L} = h_2(T(L,t) - T_{ren}) \end{array} \right.$ 接触面： $\left\{ \begin{array}{l}T_{i} = T_{i + 1}\\ \lambda_{j}\frac{\partial T}{\partial x} = \lambda_{j + 1}\frac{\partial T}{\partial x}\\ T(x,0) = T_{ren} \end{array} \right.$ 初始条件： + +# 6.3 模型求解 + +# 6.3.1 有限差分法 + +传热问题数值求解的基本思想是将时间、空间上中的连续物理量离散在各个节点上，用有限差分法求解物理量的数值解[4]。 + +![](images/157c337af2af26e8ed82fbf0a23f986795e13a6c68c47ffa534717edbb8468a8.jpg) +图3：离散示意图 + +# (1)差分格式 + +差分格式有显式和隐式两种。对于显式格式，求解计算量更小，但精度及稳定性不如隐式格式；隐式差分必须求解联立方程组，稳定性和精度较高但计算量较大。由于本问题数据量较大，故采用显式差分格式。 + +本文采用显式差分格式对传热模型进行离散。求解第 $(n + 1)$ 时间层上温度时，依赖于前一时层温度信息。控制方程的离散格式中仅有一个未知量 $T_{l}^{n + 1}$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \text {控 制 方 程 ：} & \Delta x _ {j} \rho_ {j} c _ {j} \frac {T _ {i} ^ {n + 1} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta t} = \lambda_ {j} \frac {T _ {i + 1} ^ {n} - 2 T _ {i} ^ {n} + T _ {i - 1} ^ {n}}{\Delta x _ {j}} \\ \text {边 界 条 件 ：} & \left\{ \begin{array}{l l} \frac {1}{2} \Delta x _ {1} \rho_ {1} c _ {1} \frac {T _ {1} ^ {n + 1} - T _ {1} ^ {n}}{\Delta t} = - h _ {1} \left(T _ {1} ^ {n} - T _ {\text {e n}}\right) - \lambda_ {1} \frac {T _ {1} ^ {n} - T _ {2} ^ {n}}{\Delta x _ {1}} \\ \frac {1}{2} \Delta x _ {4} \rho_ {4} c _ {4} \frac {T _ {\text {e n d}} ^ {n + 1} - T _ {\text {e n d}} ^ {n}}{\Delta t} = - h _ {2} \left(T _ {\text {e n d}} ^ {n} - T _ {\text {s k i n}}\right) + \lambda_ {4} \frac {T _ {\text {e n d} - 1} ^ {n} - T _ {\text {e n d}} ^ {n}}{\Delta x _ {4}} \end{array} \right. \\ \text {接 触 点 ：} & \frac {1}{2} \left(\Delta x _ {j} \rho_ {j} c _ {j} + \Delta x _ {j + 1} \rho_ {j + 1} c _ {j + 1}\right) \frac {T _ {i} ^ {n + 1} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta t} = \lambda_ {j} \frac {T _ {i - 1} ^ {n} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta x _ {j}} + \lambda_ {j + 1} \frac {T _ {i + 1} ^ {n} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta x _ {j + 1}} \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +# (2) 稳定限制条件 + +对于显式差分格式，非稳态传热过程的离散求解需要考虑求解的稳定性条件。上述显式差分式表明，空间节点 $i$ 上时间节点 $n + 1$ 时刻的温度受到左右两侧邻点的影响，需要满足稳定性限制条件(傅里叶网格数限制)，否则会出现不合理的振荡的解[5]： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} F o _ {\Delta} = \frac {\lambda \Delta t}{\rho c (\Delta x) ^ {2}} & \text {(傅 里 叶 网 格 数)} \\ F o _ {\Delta} \leq \frac {1}{2} & \text {(内 节 点 限 制 条 件)} \\ F o _ {\Delta} \leq \frac {1}{2 \left(1 + \frac {h \Delta x}{\lambda}\right)} & \text {(边 界 限 制 条 件)} \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +# 6.3.2 求解步骤 + +对非稳态传热模型进行时间-空间离散化后，可根据边界条件和初值条件，在时间节点和空间节点上逐层进行求解。可建立未知参数复合传热系数与假人皮肤外侧温度测量值的数值关系，进而搜索未知系数 $h_1$ 与 $h_2$ ，求解对实测温度数据的最优拟合。具体求解步骤如下： + +STEP1：代入 $h_1$ 和 $h_2$ 初始值，通过非稳态传热模型离散方程逐层求解，得到假人皮肤外侧温度计算值； + +STEP2：利用最小二乘的方法求解计算值与实测值的误差，并求出残差平方和； + +STEP3: 更新 $h_1$ 与 $h_2$ 值, 再次带入离散方程进行求解, 得到新的温度计算值; + +STEP4：重复上述步骤，搜索寻优找到拟合程度最佳的对流传热系数，并应用与后续作业服设计； + +STEP5：根据搜索得到的最佳拟合对流传热系数，求解出作业服温度分布，并保存在Excel表中。 + +# 6.4 结果展示及检验分析 + +# 6.4.1 参数求解及拟合结果 + +根据上述求解步骤进行求解，搜索得到最优拟合的对流传热系数： $h_{1} = 113\mathrm{W / (m^{2}\cdot k)}$ $h_2 = 8.344\mathrm{W / (m^2\cdot k)}$ 。求解过程中发现：对流传热系数 $h_I$ 主要影响到达稳态的时间； $h_2$ 主要影响稳态时皮肤外侧温度。此时非稳态传热模型计算得到的皮肤外侧温度值与实测温度值的图形绘制如下： + +![](images/e272be22a73a5f2815a30cba203aa172195eb14a5aa91b484d681de9908b9d4e.jpg) +图4：模拟计算数据与实测数据拟合图 + +在该复合传热系数下，计算值与实测值拟合的残差平方和为：3.6552；误差极差为：0.0061，拟合结果较好。此时显式差分的傅里叶网格数最大值为： $F_{\Delta max} = 0.0472$ ；满足限制条件，不会出现解的不合理振荡。 + +表 2: 拟合情况 + +
h1/ W/(m2·°C)h2/ W/(m2·°C)残差平方和极差
1138.3443.65520.0061
+ +根据所求得的两端换热系数，运用非稳态传热模型，计算温度分布。绘制出皮肤温度与时间-空间的三维温度分布图和稳态温度的空间分布图如下： + +![](images/70ffd1725185f27be5c9e043ec0e0c332b90c05fea916c728652155e027713ef.jpg) +图5：作业服时间-空间温度分布 + +![](images/77187ec9da5e9f684c4d46f231b67a05d9dd85cee3b728c574144ca5f5828bc1.jpg) +图6：稳态作业服温度分布 + +部分温度分布数据如下，其中具体的温度分布信息，见支撑材料中problem1.xlsx文件。 + +表 3: 温度分布 + +
t/minx=0mmx=0.6mmx=6.6mmx=10.2mmx=15.2mm
570.1897466.232259.890855.257644.3273
1073.090671.517367.798062.050247.0590
1573.880872.956869.951763.900447.8030
...
8074.181473.504672.004564.300748.0861
8574.181473.504672.004564.300748.0861
9074.181473.504672.004564.300748.0861
+ +# 6.5 模型扩展及假设检验 + +模型准备部分已假设忽略辐射传热。此处对假设进行检验并进一步扩展非稳态传热模型。建立增加辐射传热项的模型，并对模型进行分析。 + +对于皮肤，可近似考虑为绝对黑体，令 $\varepsilon_{\text{skin}} = 1^{[6]}$ ；对于作业服，发射率 $\varepsilon_{g} = 0.02^{[7]}$ 。根据式(7)计算得到辐射传热量，带入非稳态传热模型中： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \rho c \frac {\partial T}{\partial t} = \frac {\partial}{\partial x} \left(\lambda \frac {\partial T}{\partial x}\right) - q _ {\text {辐 射}} & \text {第 三 层 右 界 面} \\ \lambda_ {4} \frac {\partial T}{\partial x} \Big | _ {x = L} = h _ {2} \left(T _ {\text {e n d}} - T _ {\text {s k i n}}\right) + q _ {\text {辐 射}} & \text {皮 肤 外 侧 面} \end{array} \right. \tag {15} +$$ + +其控制方程的离散格式为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {1}{2} \left(\Delta x _ {3} \rho_ {3} c _ {3} + \Delta x _ {4} \rho_ {4} c _ {4}\right) \frac {T _ {i} ^ {n + 1} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta t} = - q _ {\text {辐 射}} + \lambda_ {4} \frac {T _ {i + 1} ^ {n} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta x _ {4}} + \lambda_ {3} \frac {T _ {i - 1} ^ {n} - T _ {i} ^ {n}}{\Delta x _ {3}} \\ \frac {1}{2} \Delta x _ {4} \rho_ {4} c _ {4} \frac {T _ {\text {e n d}} ^ {n + 1} - T _ {\text {e n d}} ^ {n}}{\Delta t} = - h _ {2} \left(T _ {\text {e n d}} ^ {n} - T _ {\text {s k i n}}\right) + \lambda_ {4} \frac {T _ {\text {e n d} - 1} ^ {n} - T _ {\text {e n d}} ^ {n}}{\Delta x _ {4}} + q _ {\text {辐 射}} \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +同样的步骤建立换热系数 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ 与实测温度值的数值关系，最佳拟合情况时结果如下： + +![](images/f7fb2485856a499210820803df559cc5064b8cc7f40a782a6f6109359a85c79f.jpg) +图7：考虑辐射传热拟合图像 + +此时同样可以达到较好的拟合结果，与不考虑辐射传热相比，传热系数 $h_{1}$ 保持不变， $h_{2}$ 由 $8.344 \mathrm{~W} / (\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{k})$ 变化为 $8.496 \mathrm{~W} / (\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{k})$ ，仅有微小变化。 + +表 4: 考虑辐射拟合情况 + +
h1/ W/(m2·°C)h2/ W/(m2·°C)残差平方和极差
1138.4963.77030.0021
+ +可见，由于防护服的隔热性好，辐射发射率低，辐射传热对整个非稳态传热过程影响几乎可以忽略不计，模型准备部分假设合理。 + +# 7 问题二：单变量优化模型 + +# 7.1 问题分析 + +问题二是在建立问题一非稳态传热模型基础上的单变量优化模型。对于给定厚度 $d_{2}$ ，由问题一传热模型，能够得到对应的皮肤外侧温度与时间的数值关系。根据题目信息，建立关于第二层材料厚度的优化模型。以最小厚度为优化目标，以第二层厚度为优化参数，以稳态外侧温度和超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 为约束条件，建立单变量优化模型并求解。 + +# 7.2 模型建立 + +记函数 $T(x,t;d_2)$ 为第二层厚度为 $d_{2}$ 时的温度分布函数。 + +# 7.2.1 优化目标 + +在作业服设计过程中，应尽可能降低研发成本，节省材料。故优化目标为第二层厚度最小： + +$$ +\min d _ {2} \tag {17} +$$ + +# 7.2.1 约束条件 + +根据题目信息，主要有两个约束条件：稳态外侧皮肤温度小于 $47^{\circ} \mathrm{C}$ ；超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 时间小于5分钟；第二层厚度应满足给定范围。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max _ {0 \leq t \leq 6 0 \min } T (L, t; d _ {2}) \leq 4 7 ^ {\circ} \mathrm {C} \\ \min \left\{t \mid T (L, t; d _ {2}) \geq 4 4 ^ {\circ} \mathrm {C} \right\} \geq 5 5 \min \\ 0. 6 m m \leq d _ {2} \leq 2 5 m m \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +# 7.2.3 模型综合 + +综上所述，建立作业服第二层材料厚度的优化问题模型综合如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \min d _ {2} \\ \text {s . t} \left\{ \begin{array}{l} \max _ {0 \leq t \leq 6 0 \mathrm {m i n}} T (L, t; d _ {2}) \leq 4 7 ^ {\circ} \mathrm {C} \\ \min \left\{t \mid T (L, t; d _ {2}) \geq 4 4 ^ {\circ} \mathrm {C} \right\} \geq 5 5 \min \\ 0. 6 m m \leq d _ {2} \leq 2 5 m m \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \text {控 制 方 程 ：} \quad \rho_ {j} c _ {j} \frac {\partial T}{\partial t} = \frac {\partial}{\partial x} \left(\lambda_ {j} \frac {\partial T}{\partial x}\right) (j = 1, 2, 3, 4) \\ \text {边 界 条 件 ：} \quad \left\{ \begin{array}{l} - \lambda_ {1} \frac {\partial T}{\partial x} \Big | _ {x = 0} = h _ {1} \left(T _ {e n} - T (0, t)\right) \\ - \lambda_ {4} \frac {\partial T}{\partial x} \Big | _ {x = L} = h _ {2} \left(T (L, t) - T _ {r e n}\right) \end{array} \right. \\ \text {接 触 面 ：} \quad \left\{ \begin{array}{l} T _ {i} = T _ {i + 1} \\ \lambda_ {j} \frac {\partial T}{\partial x} = \lambda_ {j + 1} \frac {\partial T}{\partial x} \\ T (x, 0) = T _ {r e n} \end{array} \right. \\ \text {初 始 条 件 ：} \quad T (x, 0) = T _ {r e n} \end{array} \right. \tag {19} +$$ + +# 7.3 模型求解 + +根据理论分析及问题一结果可知，在固定其他参数时，皮肤外侧温度是关于传热时间的单调不减函数；稳态皮肤温度时关于第二层厚度的单调减函数。因而对于上述单参数单目标优化问题转换为求解满足约束条件临界值的问题。 + +(1)求解临界值一：对于非稳态传热问题，皮肤外侧最大温度应为稳态温度或时间末点温度。因而可将第一约束条件转换为： + +$$ +\max _ {0 \leq t \leq 6 0 \min } T \left(L, t; d _ {2}\right) \leq 4 7 ^ {\circ} \mathrm {C} \Leftrightarrow T \left(L, 6 0 \min ; d _ {2}\right) \leq 4 7 ^ {\circ} \mathrm {C} \tag {20} +$$ + +即求解临界厚度 $D_{I}$ ，进而确定厚度范围，满足以下关系： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T (L, 6 0 \min ; D _ {1}) = 4 7 ^ {\circ} \mathrm {C} \\ d _ {2} \geq D _ {1} \\ 2 5 m m \geq d _ {2} \geq 0. 6 m m \end{array} \right. \tag {21} +$$ + +(2) 求解临界值二：与约束条件一求解方式相同，先求解出满足约束条件的临界值 $D_{I}$ ，进而确定厚度的范围： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T \left(L, 5 5 \min ; D _ {2}\right) = 4 4 ^ {\circ} \mathrm {C} \\ d _ {2} \geq D _ {2} \\ 2 5 m m \geq d _ {2} \geq 0. 6 m m \end{array} \right. \tag {22} +$$ + +最终可取区间为两个约束条件解的范围集合的交集，其中最小厚度即为所求解的第二层厚度设计。对上述约束临界值问题搜索进行求解。 + +# 7.4 结果展示及分析 + +# 7.4.1 结果展示 + +分别对约束条件求解临界值，得到结果如下： + +表 5: 约束条件临界值 + +
厚度温度（t=60min）温度（t=55min）范围
第一约束条件0.6mm45.0832℃45.0832℃d2≥0.6mm
第二约束条件17.5mm44.0799℃43.9998℃d2≥17.5mm
最终设计方案17.5mm44.0799℃43.9998℃-
+ +绘制出最优厚度 $d_{2} = 17.5\mathrm{mm}$ 时，皮肤外侧温度随时间变化图。 + +![](images/1502ade54b4f249d36b6dfd2b8c84803f0659ad93669194324a45d2742ff92f5.jpg) +图8：皮肤温度随时间变化 + +故作业服第二层厚度的最优设计为：17.5mm，在 $t = 55\mathrm{min}$ 时，皮肤表面温度为 $43.9998^{\circ}C$ ，接近于临界温度44摄氏度；最高温度为 $44^{\circ}C$ ，满足约束条件。由于傅里叶网格数条件的限制以及离散数值求解的精度限制，为确保不出现解的振荡和精度损失，求解精度仅能精确到十分位。 + +# 7.4.2 结果分析 + +对上述求解结果进行分析，可见对于第一约束条件，所有可行厚度均能满足。这是因为： + +(1)从理论分析：根据传热学理论，稳态时皮肤外侧温度应主要与外界热源温度和作业服热阻大小相关。对于问题二，外界温度降低为 $65^{\circ}C$ ；第二层厚度可有变化。但是由于第二层材料导热率为四种材料中最大，故第二层材料厚度的变化对整个作业服热阻大小的影响较小，不能抵消外界热源温度变化的影响。故最大温度始终低于 $47^{\circ}C$ 。 +(2) 从结果分析：根据问题一稳态作业服温度分布图5，可见第二层温度梯度最小，两端温差最小，第二层厚度的变化对最大温度的影响占次要因素，第二层主要起延缓传热过程等其他作用。温度始终低于 $47^{\circ}\mathrm{C}$ 是合理的。 + +下图绘制出不同材料厚度下，皮肤外层温度与时间的数值关系： + +![](images/506426330ccfc389e01cb6b5158bed4dd4a1c918fb1cefce566df1df2f083a41.jpg) +图9：不同厚度T-t关系 + +可见皮肤外层温度与厚度 $d_{2}$ 满足单调减关系，但厚度对最大温度的影响不大；第二层厚度的调节对达到稳态的收敛时间影响较大，因为厚度的增加必然导致传热过程的缓慢。 + +# 8 问题三：多目标优化模型 + +# 8.1 问题分析 + +问题三增加关于第四层厚度的设计，考虑关于研发制作成本、作业服笨重程度、人体舒适程度等因素建立优化目标。同样考虑最大温度、高温时间和厚度范围作为约束条件，建立多目标优化模型。进一步扩展模型，研究第二层和第四层在传热过程中的不同作用效果，扩大模型应用范围，缩短研发周期。 + +# 8.2 模型建立 + +# 8.2.1 优化目标 + +对于作业服厚度的设计，结合实际情况，最优厚度设计应尽量实现以下目的： + +(1) 舒适性目标：在达到相同隔热性能的同时，衣服厚度应尽可能小，作业服灵活性更高，且重量更低，便于穿着作业； + +(2)节约性目标：尽可能的减少制作成本，由于第四层为空气层，不耗费成本，故第二层厚度应尽可能小； +(3) 性能稳定性目标：考虑两个方面对作业服性能稳定的影响：其一是空气层为流体，若空气层过厚，可能会造成厚度不均匀，出现局部过热造成灼伤。并且空气物化性质容易受到汗液、水汽等因素的影响，故第四层厚度不能过厚。其二是第二层导热率最大，对热辐射的隔绝性能最好，故第二层材料不能过薄[8]。 +(4)研发效率目标：为了缩短研发周期，应尽可能的使作业服设计厚度满足更多实际情况下的使用。 + +对于上述目标(1)和目标(2)，可通过数学描述建立优化目标： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \min \left(d _ {2} + d _ {4}\right) \\ \min \left(d _ {2}\right) \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +对于目标(3)，将性能稳定性目标转换为约束条件，限制第二层材料厚度不低于 $6\mathrm{mm}$ 。 + +$$ +d _ {2} \geq 6 m m \tag {24} +$$ + +对于目标(4)，难以通过数学描述来确定优化目标。在下述模型扩展部分，深入研究讨论相关因素与传热过程的规律，研究各层材料在隔热设计中的主要作用，使得模型能够简单的推广到更多应用情况，缩短研发周期。 + +# 8.2.2 约束条件 + +记函数 $T(x,t;d_2,d_4)$ 为当第二层厚度为 $d_{2}$ ，第四层厚度为 $d_{4}$ 时的温度分布函数。 + +考虑约束条件皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ}\mathrm{C}$ ；超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 时间少于5分钟；题目给定厚度范围；以及性能稳定性约束条件。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max _ {0 \leq t \leq 3 0 \min } T \left(L, t; d _ {2}, d _ {4}\right) \leq 4 7 ^ {\circ} \mathrm {C} \\ \min \left\{t \mid T \left(L, t; d _ {2}\right) \geq 4 4 ^ {\circ} \mathrm {C} \right\} \geq 2 5 \min \\ 0. 6 m m \leq d _ {2} \leq 2 5 m m \\ 0. 6 m m \leq d _ {4} \leq 6. 4 m m \\ d _ {2} \geq 6 m m \end{array} \right. \tag {25} +$$ + +# 8.2.2 模型综合 + +建立多目标优化模型如下： + +优化目标： $\begin{cases} \min (d_2 + d_4) \\ \min (d_2) \end{cases}$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} \max _ {0 \leq t \leq 3 0 \min } T (L, t; d _ {2}, d _ {4}) \leq 4 7 ^ {\circ} \mathrm {C} \\ \min \left\{t \mid T (L, t; d _ {2}) \geq 4 4 ^ {\circ} \mathrm {C} \right\} \geq 2 5 \min \\ 0. 6 m m \leq d _ {2} \leq 2 5 m m \\ 0. 6 m m \leq d _ {4} \leq 6. 4 m m \\ d _ {2} \geq 6 m m \end{array} \right. +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \text {控 制 方 程 ：} & \rho_ {j} c _ {j} \frac {\partial T}{\partial t} = \frac {\partial}{\partial x} \left(\lambda_ {j} \frac {\partial T}{\partial x}\right) (j = 1, 2, 3, 4) \\ \text {边 界 条 件 ：} & \left\{ \begin{array}{l l} - \lambda_ {1} \frac {\partial T}{\partial x} \Bigg | _ {x = 0} = h _ {1} \left(T _ {e n} - T (0, t)\right) \\ - \lambda_ {4} \frac {\partial T}{\partial x} \Bigg | _ {x = L} = h _ {2} \left(T (L, t) - T _ {r e n}\right) \end{array} \right. \\ \text {接 触 面 ：} & \left\{ \begin{array}{l l} T _ {i} = T _ {i + 1} \\ \lambda_ {j} \frac {\partial T}{\partial x} = \lambda_ {j + 1} \frac {\partial T}{\partial x} \end{array} \right. \\ \text {初 始 条 件 ：} & T (x, 0) = T _ {r e n} \end{array} \right. \tag {26} +$$ + +# 8.3 模型求解 + +# (1)多目标 $\rightarrow$ 单目标 + +将多目标优化问题转化为单目标优化问题。对优化目标一：由于第四层材料导热系数远小于第二层材料，故在相同外界环境温度下， $d_4$ 的增大对隔热性能的提升更为明显。对优化目标二：在满足相同隔热性能的条件下， $d_4$ 越厚则制作成本越小。故优化目标转化使得第二层厚度最小为： + +$$ +\min d _ {2} \tag {27} +$$ + +# (2) 模型求解 + +在上述模型下，依照问题二的模型解法，求解约束条件临界值问题。并求解得到最优厚度设计。 + +# 8.4 结果展示 + +对模型求解得到最优厚度设计为： $d_{2} = 19.2\mathrm{mm}$ ， $d_{4} = 6.4\mathrm{mm}$ 。此时临界条件为： + +表 6: 临界范围 ${d}_{\mathrm{s}} = {6.4}\mathrm{\;{mm}}$ + +
厚度温度(t=30min)温度(t=25min)范围
第一约束条件12.9mm46.9813℃46.5134℃d2≥12.9mm
第二约束条件19.2mm44.7721℃43.9650℃d2≥19.2mm
最终设计方案d2=19.2/ d4=6.444.7721℃43.9650℃-
+ +# 8.5 模型扩展 + +进一步深入研究非稳态传热模型，讨论第二层和第四层材料对传热过程和皮肤温度的影响关系。进行理论分析，提出以下猜想：第四层材料导热率最小，故隔热性能最佳，适用于高温环境；第二层材料导热率最大，隔热性能较差，厚度变化对传热过程速率影响最为明显，适用于长时间作业环境。接下来对该猜想进行验证。 + +# 8.5.1 验证各层材料作用： + +选定环境温度为 $80^{\circ}\mathrm{C}$ ，工作时间为 $120\mathrm{min}$ 。分别在： + +(1) 固定 $d_{2} = 10\mathrm{mm}$ ，分别在 $d_{4} = 1, 2, 3, 4, 5, 6\mathrm{mm}$ 时，研究第四层厚度变化对到达稳态时间和稳态温度的影响； +(2) 固定 $d_{4} = 3 \mathrm{~mm}$ ，分别在 $d_{2} = 15, 17, 19, 21, 23, 25 \mathrm{~mm}$ 时研究第二层厚度变化对到达稳态时间和稳态温度的影响。 + +分别绘制出图形如下： + +![](images/08e227dc94c6db2fb9c8339e103c09a29c1b075b28100d2575fd968c73db6496.jpg) +图10： (a) 固定第二层厚度 $d_{2}$ + +![](images/78c54bb45daca3ac01192ae0bb6772c0f2dff30f28fd35e0f5480b3297635fd3.jpg) +(b) 固定第四层厚度 $d_{4}$ + +对结果分析可以明显得出：在第二层厚度固定时（图a）， $\mathrm{d}_4$ 的变化对稳态的温度大小有明显的影响，而达到稳态的时间基本没有变化；固定第四层厚度时（图b）， $\mathrm{d}_2$ 的变化对达到稳态的时间，以及非稳态传热的具体过程影响较大，而稳态的温度基本相近，受到影响较小。 + +# 8.5.2 材料厚度组合-作业环境 + +根据上述结论，可确定在以下四类作业环境中作业服厚度设计的简单原则。 + +# (1)高温短时间作业环境 + +在高温环境下，需要使得作业服隔热性能更好，稳态温度更低，则第四层材料厚度应该更大；而短时间作业时，过程传热速度快慢对作业过程影响不大，故第二层可以更薄以节省成本。 + +# (2)高温长时间作业环境 + +同上，高温环境中作业服第四层应当更厚以增强隔热性能；而长时间作业需使得传热过程更为缓慢，以拉长到达稳态的时间，需增大第二层厚度。 + +# (3)低温短时间作业环境 + +低温短时间作业环境要求最为宽松，作业服的设计过程中第二层和第四层厚度均可以减小以节省成本和研发难度，若有必要，也可适当减小其他材料厚度。 + +# (2)低温长时间作业环境 + +低温环境对隔热性能要求不高，第四层厚度可减小；长时间作业对传热速度由一定要求，可适当增大第二层厚度。 + +# 9 模型推广与分析 + +本文综合考虑各种传热方式和边界条件，建立非稳态一维传热模型，并应用于作业服设计的优化问题。本文所建立模型和求解过程具有以下特点： + +# 问题一： + +(1) 建立的一维非稳态传热模型综合考虑了各种传热方式和边界条件，根据能量守恒原理建立传热模型。模型忽略了热辐射的作用，并在模型扩展部分验证了热辐射对传 + +热过程的影响很小，可以忽略不计。该模型考虑实际问题较为全面，对测定数据拟合程度较好。 + +(2)对模型的求解采取显式差分格式，优点在于求解计算量较小，效率较高；不足之处在于显式差分格式具有限制条件，否则会造成解的振荡和精度损失，以至于求解结果精度不能进一步增加[4]。若对求解精度要求较高而求解数据量较小，可以采用隐式差分格式，通过高斯-赛德尔迭代求解进行计算。 + +# 问题二： + +(1)建立的优化模型仅是对问题一传热模型的应用。在求解过程中发现高温时间约束比最大温度约束更为严格，在本文中仅对这种现象进行了理论和结果分析，解释了出现这种现象的原因。若要将模型进一步推广，可考虑研究两个约束条件之间的关系，探讨在何种条件下，两种约束条件达到平衡或出现最大温度更为严格的情况。 + +# 问题三： + +(1)问题三中考虑第二层和第四层厚度的组合优化问题。对优化目标的确定，仅考虑了以作业服总体厚度和第二层厚度作为优化目标，为了逼近实际情况，应考虑如：人体舒适度感受、隔热性能衡量标准等其他方向。建立更全面的优化模型。 +(2)问题三中进一步深入的探讨了关于各层材料在实际传热过程中的主要作用，证明了猜想的准确性，使得模型具有更好的推广应用可能性。若要进一步再深入模型，可以考虑研究外界环境温度的变化与传热过程速率和稳态温度的影响；以及作业时间长度要求的变化与作业服设计的规律等。 + +# 参考文献 + +[5]李新春,王中伟.一维热电模块的瞬态传热过程研究[J].太阳能学报,2016,37(07):1826-1831. +[6]唐建民,郑志军.人体皮肤和黑体[J].大学物理,1990(01):46-49. +[7]潘斌. 热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题[D]. 浙江理工大学, 2017. +[8]赵玲,吕国志,任克亮,李元林.再入飞行器多层隔热结构优化分析[J].航空学报,2007(06):1345-1350. + +# 附录 + +# 附录一： + +# 问题一程序： + +```matlab +function[T]=skinT(ah1,ah2) +%skinT已知h1,h2求皮肤表面的温度 +% h1是外界与衣服最外层的对流传热系数 +% h2是空气层与皮肤的对流传热系数 +% T是皮肤的温度 +rho=[300,862,74.2,1.18]; %常数的设置 +c=[1377,2100,1726,1005]; +lam=[0.082,0.37,0.045,0.028]; +x=[0.0006,0.006,0.0036,0.005]; %每层的宽度 +dx=[0.0001,0.001,0.0006,0.001]; %空间步长 +dt=0.002; %时间步长 +Tout=75;Tin=37; %初始温度 +LEN1=int8(x(1)/dx(1))+1; %记录每段接触点的位置 +LEN2=LEN1+x(2)/dx(2); +LEN3=LEN2+x(3)/dx(3); +LEN4=LEN3+x(4)/dx(4); +T=zeros(5400/dt,LEN4); +T(1,:)=37; %第0秒设置所有点的温度是37 +h1=ah1;h2=ah2; %设置对流交换系数 +for n=1:5400/dt-1 + unknown=(h1*(Tout-T(n,1))-lam(1)*(T(n,1)-T(n,2))/dx(1))*dt/(0.5*dx(1)*rho(1)*c(1))+T(n,1); + T(n+1,1)=unknow; + for i=2:LEN1 + if i>=2&&i<=LEN1-1 + unknown=lam(1)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(1)*dt/(dx(1)*rho(1)*c(1))+T(n,i); + T(n+1,i)=unknow; + elseif i==LEN1 + unknown=(lam(2)*(T(n,i+1)-T(n,i))/dx(2)+lam(1)*(T(n,i-1)-T(n,i))/dx(1))*... + dt/(0.5*(dx(1)*rho(1)*c(1)+dx(2)*rho(2)*c(2))+T(n,i); + T(n+1,i)=unknow; + end + end + for i=LEN1+1:LEN2 +``` + +if i $\coloneqq$ LEN1+1&&i $< =$ LEN2-1 +unknown $\equiv$ lam(2)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(2)*dt/(dx(2)*rho(2)*c(2))+T(n,i); + $\mathrm{T}(n + 1,\mathrm{i}) =$ unknown; +elseif i $\coloneqq$ LEN2 + $\mathrm{unknow} = (\mathrm{lam}(3)^{*}(\mathrm{T}(n,i + 1) - \mathrm{T}(n,i)) / \mathrm{dx}(3) + \mathrm{lam}(2)^{*}(\mathrm{T}(n,i - 1) - \mathrm{T}(n,i)) / \mathrm{dx}(2))^*$ ... dt/(0.5*(dx(2)*rho(2)*c(2)+dx(3)*rho(3)*c(3))+T(n,i); + $\mathrm{T}(n + 1,\mathrm{i}) =$ unknown; +end +end +for i $\coloneqq$ LEN2+1:LEN3 +if i $\coloneqq$ LEN2+1&&i $< =$ LEN3-1 + $\mathrm{\Delta\text{unknow}} = \mathrm{\Delta\text{l}\Delta m(3)}^{*}(\mathrm{\Delta T(n,i + 1)} - 2^{*}\mathrm{\Delta T(n,i)} + \mathrm{\Delta T(n,i - 1)}) / \mathrm{dx(3)}^{*}\mathrm{dt} / (\mathrm{dx(3)}^{*}\mathrm{\Delta rho(3)}^{*}\mathrm{c(3)}) + \mathrm{T(n,i)};$ $\mathrm{T}(n + 1,\mathrm{i}) =$ unknown; +elseif i $\coloneqq$ LEN3 + $\mathrm{\Delta\text{unknow}} = (\mathrm{\Delta\text{l}\Delta m(4)}^{*}(\mathrm{\Delta\text{T}(n,i + 1)} - \mathrm{\Delta\text{T}(n,i)}) / \mathrm{dx(4)} + \mathrm{\Delta\text{l}\Delta m(3)}^{*}(\mathrm{\Delta\text{T}(n,i - 1)} - \mathrm{\Delta\text{T}(n,i)}) / \mathrm{dx(3)})^{*}\dots$ dt/(0.5*(dx(3)*rho(3)*c(3)+dx(4)*rho(4)*c(4))+T(n,i); + $\mathrm{T}(n + 1,\mathrm{i}) =$ unknown; +end +end +for i $\coloneqq$ LEN3+1:LEN4 +if i $\coloneqq$ LEN3+1&&i $< =$ LEN4-1 + $\mathrm{\Delta\text{unknow}} = \mathrm{\Delta\text{l}\Delta m(4)}^{*}(\mathrm{\Delta\text{T}(n,i + 1)} - 2^{*}\mathrm{\Delta\text{T}(n,i)} + \mathrm{\Delta\text{T}(n,i - 1)}) / \mathrm{dx(4)}^{*}\mathrm{dt} / (\mathrm{dx(4)}^{*}\mathrm{\Delta\rho h o(4)}^{*}\mathrm{c(4)}) + \mathrm{T}(n,i);$ $\mathrm{T}(n + 1,\mathrm{i}) =$ unknown; +elseif i $\coloneqq$ LEN4 + $\mathrm{\Delta\text{unknow}} = (\mathrm{\Delta\text{l}\Delta m(4)}^{*}(\mathrm{\Delta\text{T}(n,LEN4 - 1)} - \mathrm{\Delta\text{T}(n,LEN4)}) / \mathrm{dx(4)} - \mathrm{h2}^{*}(\mathrm{\Delta\text{T}(n,LEN4)} - \mathrm{\Delta\text{T}(n,LEN4)})\dots$ dt/(0.5*dx(4)*rho(4)*c(4))+T(n,LEN4); + $\mathrm{T}(n + 1,\mathrm{i}) =$ unknown; +end +end +end +T=T(:,LEN4); +T=T(1:500:5400/dt); +end + +
程序编号T1-2文件名称wentil_find.m说明搜索求解最优拟合系数
clear,clc
data1 = xlsread('data.xlsx',2,'B3:B5402');
F = zeros(31,31);
m = 0;
for i = linspace(111,113,31)
n = 0; m = m+1;
for j = linspace(8.33,8.35,31)
n = n+1;
tic
F(m,n) = (skinT(i,j)-data1)*(skinT(i,j)-data1);
toc
end
end
a=min(min(F));
[x,y]=find(F==a);
%绘制最佳的拟合图
T1=skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y);
figure(1)
plot(1:5400,T1,'', 'LineWidth',1.5),hold on;
T2=xlsread('data.xlsx',2,'B3:B5402');
plot(1:5400,T2,'b','', 'LineWidth',1.5)
legend('模拟数据','实测数据','Location','Northwest')
%计算最大级差以及残差的平方和
R = (skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y)-data1)*(skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y)-data1);
a=max(skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y)-data1);
+ +
程序编号T1-3文件名称wentil_plot.m说明绘制图形
% T=skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y); %这里的skinT函数的输出已经进行过更改
x=[0.0006,0.006,0.0036,0.005]; %每层的宽度
dx=[0.0001,0.001,0.0006,0.001];
x1=dx(1):dx(1):x(1);
x2=x(1)+dx(2):dx(2):x(1)+x(2);
x3=x(1)+x(2)+dx(3):dx(3):x(1)+x(2)+x(3);
x4=x(1)+x(2)+x(3)+dx(4):dx(4):x(1)+x(2)+x(3)+x(4);
x=[0,x1,x2,x3,x4];
% mesh(x,1:5400,T)
+ +$\mathrm{T =}$ skinT(113,8.344); +%绘制稳态时的温度分布截面图， + $\mathrm{T = T(end,:)}$ +plot(x,T,'LineWidth',1.5),hold on; +plot([0.0006,0.0006],[37,75],r:','LineWidth',1.5),hold on; plot([0.0066,0.0066],[37,75],r:','LineWidth',1.5),hold on; plot([0.0102,0.0102],[37,75],r:','LineWidth',1.5),hold on; axis([0,0.0152,37,75]) + +# 问题二程序： + +
程序编号T2-1文件名称Que2.m说明求解约束条件临界值
clear, clc
for d2 = 10:0.5:25
T = skinT02(d2);
if T(end) >= 47
continue
elseif T(55*60) >= 44
continue
else
disp(['d2 = ',num2str(d2),' is ok.']');
end
end
figure
hold on
plot(skinT02(17.5), 'm', 'LineWidth', 2)
plot([0,3600],[44 44], 'k', 'LineWidth', 2)
plot([0,3600],[47 47], 'k', 'LineWidth', 2)
plot([55*60 55*60],[36.5 49], 'k', 'LineWidth', 2)
axis([0 3600 36.5 47.5])
hold off
+ +# 问题三程序： + +
程序编号T3-1文件名称wenti3.m说明第2、4层作用研究
tt = 120; %总时间
figure %寻找d2与d4之间的关系
hold on
for d2 = 10
for d4 = 1:1:6
T = skinTplus4(d2,d4);
plot(T,'LineWidth',1.2);
end
end
axis([0 tt*60 36 60])
hold off
figure
hold on
for d2 = 15:2:25
for d4 = 3
T = skinTplus4(d2,d4);
plot(T,'LineWidth',1.2);
end
end
axis([0 tt*60 36 55])
hold off
function T = skinTplus4(d2,d4)
tt = 120*60;
ah1 = 113;
ah2 = 8.344;
d2 = d2*1e-3;
d4 = d4*1e-3;
rho=[300,862,74.2,1.18];
c=[1377,2100,1726,1005];
lam=[0.082,0.37,0.045,0.028];
x=[0.0006,d2,0.0036,d4]; %每层的宽度
dx=[0.0001,0.001,0.0006,0.001]; %空间步长
dt=0.005; %时间步长
Tout=80;Tin=37; %初始温度
LEN1=int8(x(1)/dx(1))+1;
LEN2=LEN1+x(2)/dx(2);
+ +```julia +LEN3=LEN2+x(3)/dx(3); +LEN4=LEN3+x(4)/dx(4); +T=zeros(tt,LEN4); +T(1,:)=37; +h1=ah1;h2=ah2; %设置对流交换系数 +for n=1:tt/dt-1 +unknown=(h1*(Tout-T(n,1))-lam(1)*(T(n,1)-T(n,2))/dx(1))*dt/(0.5*dx(1)*rho(1)*c(1))+T(n,1); +T(n+1,1)=unknow; +for i=2:LEN1 +if i>=2&&i<=LEN1-1 +unknow=lam(1)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(1)*dt/(dx(1)*rho(1)*c(1))+T(n,i); +T(n+1,i)=unknow; +elseif i==LEN1 +unknow=(lam(2)*(T(n,i+1)-T(n,i))/dx(2)+lam(1)*(T(n,i-1)-T(n,i))/dx(1))*... +dt/(0.5*(dx(1)*rho(1)*c(1)+dx(2)*rho(2)*c(2))+T(n,i); +T(n+1,i)=unknow; +end +end +for i=LEN1+1:LEN2 +if i>=LEN1+1&&i<=LEN2-1 +unknow=lam(2)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(2)*dt/(dx(2)*rho(2)*c(2))+T(n,i); +T(n+1,i)=unknow; +elseif i==LEN2 +unknow=(lam(3)*(T(n,i+1)-T(n,i))/dx(3)+lam(2)*(T(n,i-1)-T(n,i))/dx(2))*... +dt/(0.5*(dx(2)*rho(2)*c(2)+dx(3)*rho(3)*c(3))+T(n,i); +T(n+1,i)=unknow; +end +end +for i=LEN2+1:LEN3 +if i>=LEN2+1&&i<=LEN3-1 +unknow=lam(3)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(3)*dt/(dx(3)*rho(3)*c(3))+T(n,i); +T(n+1,i)=unknow; +elseif i==LEN3 +unknow=(lam(4)*(T(n,i+1)-T(n,i))/dx(4)+lam(3)*(T(n,i-1)-T(n,i))/dx(3))*... +dt/(0.5*(dx(3)*rho(3)*c(3)+dx(4)*rho(4)*c(4))+T(n,i); +T(n+1,i)=unknow; +end +end +``` + +$\mathrm{T(n + 1,i) =}$ unknown; elseif $\mathrm{i} = =$ LEN4 unknown=(lam(4)*(T(n,LEN4-1)-T(n,LEN4))/dx(4)-h2*(T(n,LEN4)-Tin))... $\mathrm{dt / (0.5*dx(4)*rho(4)*c(4)) + T(n,LEN4)};$ $\mathrm{T(n + 1,i) =}$ unlockow; end end end T $\equiv$ T(:,LEN4); $\mathrm{T = T(1:200:tt / dt,1)}$ end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/A466/A466.md b/MCM_CN/2018/A466/A466.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c02e3afc3c7cb65136307f8853f5a23ddd5efed4 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/A466/A466.md @@ -0,0 +1,1111 @@ +# 高温作业专用服装设计 + +摘要 + +如何根据环境条件设计相应的服装是专用服装设计面临的主要问题。本文通过建立一维复合介质热传导方程，对高温作业专用服中各分层间的传热过程进行模拟，确定不同环境条件下作业服中的温度分布。进而从降低研发成本、缩短研发周期的角度，求解约束条件下介质层的最优厚度，为实验测试提供参考。 + +关于问题一 从一般性热传导方程出发，将作业服各分层视为相互接触的平行无限大平板后，建立一维复合介质热传导方程。使用Crank-Nicholson方法进行求解并拟合附件2给出的实验数据，得到方程中涉及的实验室环境与I层、IV层与假人皮肤之间的对流换热系数 $h_I$ ， $h_{IV}$ 分别为117.41W/(m²·°C)、8.36W/(m²·°C)。进而将 $h_I$ 、 $h_{IV}$ 与附件1中提供的各分层参数代回原方程，在问题一提供的条件下进行求解，得到作业服各分层随时间与空间变化的温度分布。 + +关于问题二 考虑到经济性，II层最优厚度意为满足约束条件的最小厚度，此时所需原材料最少。该问题为单变量非线性规划问题，利用问题一中建立的模型，在附件1给定的II层厚度范围内进行步长为 $2mm$ 的定步长搜索，在不同厚度取值下求解模型得到假人皮肤外侧温度随时间的变化。利用约束条件缩小搜索的范围，反复减小步长进行搜索，最终得到满足约束条件的II层最小厚度即最优厚度为 $17.6mm$ ，此时皮肤外侧温度超过 $44^{\circ}C$ 的时长为281s。 + +关于问题三 II层与IV层的最优厚度应使得研发成本和研发周期最小化。考虑到IV层为空隙层，求解过程中我们首先使II层厚度最小化，在这一前提下搜索满足约束条件且使得研发周期最小化的IV层厚度。与问题二类似，我们首先使用区域搜索算法初步确定满足约束条件的II层、IV层厚度取值范围。通过循环遍历找到所有满足条件的两者厚度组合，根据优化目标求得最终结果，得到II层最小厚度与对应的IV层最优厚度分别为 $19.3\mathrm{mm}$ 、 $6.4\mathrm{mm}$ ，此时皮肤外侧温度超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 的时长为290s。 + +最后，我们进行了灵敏性分析，发现一维复合介质热传导方程对厚度较为敏感，能够区分不同分层在实际隔热过程中发挥的不同作用；对环境的对流换热系数 $h_I$ 不敏感，保证了 $h_I$ 的拟合求解误差不会对模型的求解结果产生明显影响。 + +关键词 一维复合介质热传导方程 Crank-Nicholson 方法 非线性规划 + +# 1 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +高温作业服是重要的防护装备，可用于避免高温环境下工作人员的灼伤。在设计过程中，需要对作业服进行实验测试，以检验其实际防护效果。在测试前对作业服在实验室条件下的工作效果进行模拟可以降低研发成本，缩短测试周期，显得尤为重要。 + +# 1.2 题目重述 + +高温作业服通常由三层织物材料构成，分别记为 I、II、III 层。其中，I 层与外界环境接触，III 层与人体皮肤之间存在空隙层，记作 IV 层。测试过程中，实验室环境与用于实验的假人均保持恒温，且假人温度为 $37^{\circ} \mathrm{C}$ ，作业服包裹在假人外侧。 + +根据上述条件，要研究以下三个问题： + +(1) 给定各分层密度、比热、热传导率、厚度等参数值或范围，环境温度为 $75^{\circ} \mathrm{C}$ ，II 层厚度为 $6 \mathrm{~mm}$ ，IV 层厚度为 $5 \mathrm{~mm}$ 以及在该条件下测量得到的假人皮肤外侧温度在 90 分钟内的变化情况，要求建立数学模型并计算各层温度分布，生成相应的 Excel 文件。 +(2) 给定环境温度为 $65^{\circ} \mathrm{C}$ , IV 层的厚度为 $5.5 \mathrm{~mm}$ , 要求确定 II 层的最优厚度, 确保工作 60 分钟时, 假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ , 且超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间不超过 5 分钟。 +(3) 给定环境温度为 $80^{\circ} \mathrm{C}$ , 要求确定 II 层和 IV 层的最优厚度, 确保工作 30 分钟时, 假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ} \mathrm{C}$ , 且超过 $44^{\circ}$ 不超过 5 分钟。 + +# 2 模型假设 + +1. 不考虑热辐射的影响。 +2. 将各层视为平行无限大带厚度的平板，即仅考虑在厚度方向上的温度变化。 +3. 忽略 I 层、II 层、III 层、IV 层之间的接触热阻，即各层接触面两侧的温度连续。 +4. 假设测试刚开始时各分层温度与假人温度相同。 +5. 假设各分层内部不含热源。 + +# 3 符号说明 + +表1列出了本文需要的符号，文中出现的其它符号将在出现时进行解释。 + +表 1: 符号说明 + +
符号符号描述单位
Ti第i分层温度°C
ρi第i分层密度kg/m3
t时间s
ci第i分层比热J/(kg·°C)
ki第i分层热传导率W/(m·°C)
αi第i分层热扩散率m2/s
xi第i分层与第i+1分层交界处坐标mm
x位置坐标mm
di各分层厚度mm
hI实验室环境与I分层表面对流换热系数W/(m2·°C)
hIVIV分层表面与假人皮肤对流换热系数W/(m2·°C)
Ts实验室环境温度°C
Tw假人皮肤外侧平衡温度°C
Tr假人皮肤温度°C
T0第i分层初始温度°C
+ +# 4 问题分析 + +# 4.1 问题一的分析 + +问题一本质上就是描述测试过程中实验环境与各层之间以及假人皮肤的传热过程，考虑建立热传导方程。实验室环境与I层之间以及IV层与皮肤之间存在对流换热，而题目提供的附件中缺少相应的对流换热系数 $h_1$ 、 $h_2$ ，因而考虑利用皮肤外侧的温度数据（附件2）计算得到它们，最终确定热传导方程组。具体步骤如下： + +1. 列出各层满足的热传导方程，确定边界条件，此时方程中含有未知的对流换热系数 $h_{I}$ 、 $h_{IV}$ 。 +2. 求解热平衡状态下的热传导方程，由于平衡时皮肤外侧温度已知，由此列出 $h_I$ 与 $h_{IV}$ 满足的关系式。 +3. 对 $h_{I}$ 进行赋值, 可以得到皮肤外侧温度的模拟结果, 改变 $h_{I}$ 并将模拟结果与题目提供的数据（附件 2）进行比较。确定拟合结果最佳情况下的 $h_{I}$ , 进而确定 $h_{IV}$ 。 +4. 将 $h_{I} 、 h_{IV}$ 代入热传导方程，求解得到的温度分布。 + +# 4.2 问题二的分析 + +考虑到作业服的舒适性与经济性，在保证假人皮肤外侧温度不超过 $47^{\circ}\mathrm{C}$ ，且超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间不超过5分钟的前提下应使得作业服更加轻便，节约材料，即II层最优厚度应理解为最小厚度。由于题目给定了II层厚度的范围，且问题二本质上为单变量非线性约束的优化问题，因而可以利用问题一建立的模型得到不同II层厚度下假人皮肤外侧温度的变化情况，在给定II层厚度范围内枚举搜索满足约束条件的最小值。 + +# 4.3 问题三的分析 + +问题三有两个变量，分别为Ⅱ层厚度与Ⅳ层厚度，相比于问题二增加了一个变量。在现实生活中，Ⅳ层并不影响研发成本，所以研发成本优化主要在于减小Ⅱ层的厚度。此外，根据题目要求，需要缩短作业服的研发周期，那么我们可以寻求Ⅱ层、Ⅳ层厚度使得作业服能在更短的时间内达到稳态。在本题中，相比于缩短研发周期，我们给与成本的权重更高，即在满足Ⅱ层的厚度尽可能小的情况下，再考虑更短的达到稳态的时间。先粗精度，大范围枚举搜索估算出两个厚度对符合条件的大致范围，再使用小步长找出所有的符合条件，即可得到其中的最优解。 + +# 5 模型建立 + +假人皮肤外侧的温度变化源于实验室环境与工作服各分层及假人皮肤之间的热交换，该过程可以用非稳态热传导方程进行描述。下面我们建立坐标系，依次确定各分层的热传导方程及相应的边界条件，最终给出模型。 + +# 5.1 热传导方程的确定 + +在三维等方向均匀介质中的热传导方程满足下式[2]： + +$$ +\frac {\partial T}{\partial t} = \alpha \left(\frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} + \frac {\partial^ {2} T}{\partial y ^ {2}} + \frac {\partial^ {2} T}{\partial z ^ {2}}\right) + \frac {1}{c \rho} q \tag {1} +$$ + +其中 $\alpha$ 、 $c$ 、 $\rho$ 分别为介质热扩散率、比热与密度。 $\frac{\partial T}{\partial t}$ 描述温度随时间的变化， $\frac{\partial^2T}{\partial x^2}$ 、 $\frac{\partial^2T}{\partial y^2}$ 、 $\frac{\partial^2T}{\partial z^2}$ 描述温度随空间的变化， $\frac{1}{c\rho} q$ 描述内部热源的影响。在作业服测试实验条件下，各分层内不含热源。由此式1化简为： + +$$ +\frac {\partial T}{\partial t} = \alpha \left(\frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} + \frac {\partial^ {2} T}{\partial y ^ {2}} + \frac {\partial^ {2} T}{\partial z ^ {2}}\right) \tag {2} +$$ + +为了进一步简化模型，我们将各分层视为平行无限大平板，并建立坐标系如图1，此时只需要考虑在厚度方向（即 $\mathbf{X}$ 方向）上的温度变化。式2进一步化简为： + +$$ +\frac {\partial T}{\partial t} = \alpha \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} +$$ + +![](images/487826625220174a37df5dbd743aef531078bb1823461ac585ee6873f7d7ccc2.jpg) +图1：模型示意图 + +对于不同分层，热扩散率 $\alpha_{i}$ 不同，相应地对于 $i$ 分层热传导方程为： + +$$ +\frac {\partial T _ {i}}{\partial t} = \alpha_ {i} \frac {\partial^ {2} T _ {i}}{\partial x ^ {2}} \tag {3} +$$ + +# 5.2 边界条件与初始条件的确定 + +热量传递主要有三种方式：热传导、对流与热辐射。为了简便计算，我们忽略热辐射的影响。此时，问题变为典型的一维复合介质传热，满足如下边界条件[4]： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T _ {i} \mid_ {x = x _ {i}} = T _ {i + 1} \mid_ {x = x _ {i}}, (i = 1, 2, 3) \\ k _ {i} \frac {\partial T _ {i}}{\partial x} \mid_ {x = x _ {i}} = k _ {i} \frac {\partial T _ {i + 1}}{\partial x} \mid_ {x = x _ {i + 1}}, (i = 1, 2, 3) \\ - k _ {1} \frac {\partial T _ {1}}{\partial x} \mid_ {x = x _ {0}} + h _ {I} T _ {1} \mid_ {x = x _ {0}} = h _ {I} T _ {s} \\ k _ {4} \frac {\partial T _ {4}}{\partial x} \mid_ {x = x _ {4}} + h _ {I V} T _ {4} \mid_ {x = x _ {4}} = h _ {I V} T _ {r} \\ x _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {i} d _ {i}, (i = 1, 2, 3, 4) \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +从上到下，各等式描述分别为分层在交接面两侧温度连续，热流量相等，I层与实验室环境之间、IV层与假人皮肤之间均以对流方式换热。 + +假设测试开始时，各分层温度相同，则可以给出初始条件： + +$$ +T _ {i} (x, 0) = T _ {0}, (i = 1, 2, 3, 4) \tag {5} +$$ + +# 5.3 模型的确定 + +至此，综合式3、4、5可以得到描述各分层温度分布及其随时间变化满足的一维复合介质热传导方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial T _ {i}}{\partial t} = \alpha_ {i} \frac {\partial^ {2} T _ {i}}{\partial x ^ {2}} \\ T _ {i} | _ {x = x _ {i}} = T _ {i + 1} | _ {x = x _ {i}}, (i = 1, 2, 3) \\ k _ {i} \frac {\partial T _ {i}}{\partial x} | _ {x = x _ {i}} = k _ {i} \frac {\partial T _ {i + 1}}{\partial x} | _ {x = x _ {i + 1}}, (i = 1, 2, 3) \\ - k _ {1} \frac {\partial T _ {1}}{\partial x} | _ {x = x _ {0}} + h _ {I} T _ {1} | _ {x = x _ {0}} = h _ {I} T _ {s} \\ k _ {4} \frac {\partial T}{\partial x} | _ {x = x _ {4}} + h _ {I V} T | _ {x = x _ {4}} = h _ {I V} T _ {r} \\ T _ {i} (x, 0) = T _ {0}, (i = 1, 2, 3, 4) \\ x _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {i} d _ {i}, (i = 1, 2, 3, 4) \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +# 6 问题求解 + +# 6.1 模型参数数值确定 + +利用附件1可直接得到各分层的热传导率 $k$ ，结合热扩散率的定义 $\alpha = \frac{k}{c\rho}$ ，可进一步确定各分层热扩散率。至此，模型中只有 $h_I$ 、 $h_{IV}$ 仍为未知量。下面利用平衡状态获得 $h_I$ ， $h_{IV}$ 满足的关系式，最终通过对 $h_I$ 进行赋值，获得假人皮肤外侧的模拟结果对附件2中的数据进行拟合，拟合程度最佳时即为实验测试条件下的 $h_I$ 。平衡条件下温度不再随时间变化，即： $\frac{\partial T}{\partial t} = 0$ 。显然，此时各层温度分布 $T_{i}$ 的通解满足： + +$$ +T _ {i} = a _ {i} x + b _ {i}, (i = 1, 2, 3, 4) \tag {7} +$$ + +其中， $a_{i}, b_{i}$ 为未知数。将式7代入方程组6并化简可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} - \left(k _ {1} + h _ {I} x _ {0}\right) a _ {1} + h _ {I} b _ {1} = h _ {I} T _ {s} \\ \left(k _ {4} + h _ {I V} x _ {4}\right) a _ {4} + h _ {I V} b _ {4} = h _ {I V} T _ {r} \\ x _ {i + 1} a _ {i} - x _ {i + 1} a _ {i + 1} + b _ {i} - b _ {i + 1} = 0, (i = 1, 2, 3) \\ k _ {i} a _ {i} - k _ {i + 1} a _ {i + 1} = 0, (i = 1, 2, 3) \end{array} \right. \tag {8} +$$ + +再由平衡条件下皮肤外侧温度模拟结果与测量结果相等这一条件，得到： + +$$ +\left. T _ {4} \right| _ {x = x _ {4}} = T _ {w} \tag {9} +$$ + +其中， $T_{w}$ 为附件2给出的皮肤外侧平衡温度。 + +式8，式9组成了含有10个未知数，9个方程的方程组，最终可以使用MATLAB中的solve函数将 $h_{IV}$ 用 $h_I$ 以及其它已知参数表示。由于表达式过于冗长，此处不作展示。至此，模型中的参数由 $h_I$ 、 $h_{IV}$ 减少为 $h_I$ 。下面对 $h_I$ 进行赋值，使用Crank-Nicholson方 + +法 [6] 对模型进行数值求解，得到皮肤外侧温度变化后对附件 2 中的数据进行拟合，确定最佳的 $h_{I}$ 。 + +在Crank-Nicholson方法中，定义格点 $T_{i,n}$ ，使其满足 $x = x_{min} + ih$ ， $t = nk$ 。我们有如下差分方式： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T = \frac {T _ {i , n} + T _ {i , n + 1}}{2} \\ \frac {\partial T}{\partial t} = \frac {T _ {i , n + 1} - T _ {i , n}}{k} \\ \frac {\partial T}{\partial x} = \frac {T _ {i + 1 , n} - T _ {i - 1 , n} + T _ {i + 1 , n + 1} - T _ {i - 1 , n + 1}}{4 h} \\ \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} = \frac {T _ {i + 1 , n} - 2 T _ {i , n} + T _ {i - 1 , n} + T _ {i + 1 , n + 1} - 2 T _ {i , n + 1} + T _ {i - 1 , n + 1}}{2 h ^ {2}} \end{array} \right. \tag {10} +$$ + +将上式代入3令 $r = \frac{k}{2h^2}$ ，化简可得： + +$$ +- r \alpha T _ {i + 1, n + 1} + (1 + 2 r \alpha) T _ {i, n + 1} - r \alpha T _ {i - 1, n + 1} = r \alpha T _ {i + 1, n + 1} + (1 - 2 r \alpha) T _ {i, n + 1} + r \alpha T _ {i - 1, n + 1} \tag {11} +$$ + +在方程11中，令 $A_{i} = -r\alpha$ ， $B_{i} = 1 + 2r\alpha$ ， $C_i = r\alpha$ ， $D_{i} = r\alpha T_{i + 1,n + 1} + (1 - 2r\alpha)T_{i,n + 1}+$ $r\alpha T_{i - 1,n + 1}$ 。要注意的是，由于热扩散率在不同材料层中不同，因此，这个方程是分段的，每层的传热系数不同。假设 $N_{i} = round(\frac{d_{i}}{h})$ （ $d_{i}$ 为第 $i$ 层厚度， $i = 1,2,3,4)$ ，则： + +当 $n = 1,2,\dots ,N_{1}$ 时， $\alpha = \alpha_{1}$ + +当 $n = N_{1} + 1, N_{1} + 2, \dots, N_{1} + N_{2}$ 时， $\alpha = \alpha_{2}$ ； + +当 $n = N_{1} + N_{2} + 1, N_{1} + N_{2} + 2, \dots, N_{1} + N_{2} + N_{3}$ 时， $\alpha = \alpha_{3}$ + +当 $n = N_{1} + N_{2} + N_{3} + 1, N_{1} + N_{2} + N_{3} + 2, \dots, N$ 时， $\alpha = \alpha_{4}$ + +由平衡时的能量守恒可知： + +$$ +k _ {i} \frac {\partial T}{\partial x} = k _ {i + 1} \frac {\partial T}{\partial x} +$$ + +以第 I、II 层交界处为例，化简后如下所示： + +$$ +\begin{array}{l} k _ {1} \frac {T _ {N _ {1} + 1} - T _ {N _ {1}}}{h} = k _ {2} \frac {T _ {N _ {1} + 2} - T _ {N _ {1} + 1}}{h} \\ - k _ {1} T _ {N _ {1}} + (k _ {1} + k _ {2}) T _ {N _ {1} + 1} - k _ {2} T _ {N _ {1} + 2} = 0 \\ \end{array} +$$ + +II、III层、III、IV层交界处同理可得： + +$$ +\begin{array}{l} - k _ {2} T _ {N _ {1} + N _ {2}} + (k _ {2} + k _ {3}) T _ {N _ {1} + N _ {2} + 1} - k _ {3} T _ {N _ {1} + N _ {2} + 2} = 0 \\ - k _ {3} T _ {N _ {1} + N _ {2} + N _ {3}} + (k _ {3} + k _ {4}) T _ {N _ {1} + N _ {2} + N _ {3} + 1} - k _ {4} T _ {N _ {1} + N _ {2} + N _ {3} + 2} = 0 \\ \end{array} +$$ + +再根据边界条件： + +$$ +- k _ {1} \frac {\partial T}{\partial x} | _ {x = x _ {0}} + h _ {I} T | _ {x = x _ {0}} = h _ {I} T _ {s} +$$ + +$$ +k _ {4} \frac {\partial T}{\partial x} | _ {x = x _ {4}} + h _ {I V} T | _ {x = x _ {4}} = h _ {I V} T _ {\mathrm {r}} +$$ + +可得： + +$$ +\begin{array}{l} - k _ {1} \frac {T _ {2} - T _ {1}}{h} + h _ {I} T _ {1} = h _ {I} T _ {s} \\ k _ {4} \frac {T _ {I + 1} - T _ {I}}{h} + h _ {I V} T _ {1 + 1} = h _ {I V} T _ {r} \\ \end{array} +$$ + +根据方程11，结合上述离散化的边界方程，我们可以列出矩阵方程组，如下所示： + +$$ +\left( \begin{array}{c c c c c c} B _ {1} & A _ {1} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ C _ {2} & B _ {2} & A _ {2} & & & \vdots \\ 0 & C _ {3} & B _ {3} & \ddots & & \\ 0 & & \ddots & \ddots & A _ {I - 1} & \\ \vdots & & & C _ {I} & B _ {I} & A _ {I} \\ 0 & \dots & & & C _ {I + 1} & B _ {I + 1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} T _ {1, n + 1} \\ T _ {2, n + 1} \\ \vdots \\ T _ {I + 1, n + 1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} D _ {1} \\ D _ {2} \\ \vdots \\ D _ {I + 1} \end{array} \right) +$$ + +在MATLAB中对该矩阵方程组进行求解，即可得到模型的数值解。图2即为在 $110\sim 120W / (m^2\cdot {}^\circ C)$ 范围内改变 $h_1$ 对附件2中的数据进行拟合得到的方均根误差变化曲线，方均根最小处对应的 $h_I$ 为117.41W/ $(m^2\cdot {}^\circ C)$ + +![](images/79ee4341ac5b807f27cb718935f54ab743e4025e51a0e228a42af51cc944f64c.jpg) +图2：方均根误差随 $h_I$ 的变化曲线 + +图3为 $h_{I}$ 取为该值时，皮肤外侧温度模拟结果与附件2在各个时间点之差，可以看到此函数一开始就达到最大值——接近 $0.025^{\circ}\mathrm{C}$ ，随后下降进行震荡，但其最大幅度保持在 $0.01^{\circ}\mathrm{C}$ 内，最后快速下降无限趋近于 $0^{\circ}\mathrm{C}$ 。由此可见，用我们拟合得到的 $h_{I}$ 解出的方程，与附件2给出的数据符合得很好。 + +![](images/6c6903173cdc146b864f6bdeb4aaf37132267f0d4d58a0606c8ff19c51e50992.jpg) +图3: 模拟结果与附件2之差 $(h_{I} = 117.41W / (m^{2}\cdot^{\circ}C))$ + +将 $h_{I}$ 代入之前得到的 $h_{IV}$ 关系式，计算得 $h_{IV} = 8.36 W / (m^{2} \cdot {}^{\circ} C)$ 。至此，模型中的所有参数取值已知，可以用于计算温度分布。 + +# 6.2 问题一的求解 + +使用 Crank-Nicholson 方法对 $h_{I} = 117.41W / (m^{2} \cdot {}^{\circ}C), h_{IV} = 8.36W / (m^{2} \cdot {}^{\circ}C)$ 条件下的模型进行数值求解，得到结果如图4。 + +![](images/2b679c8e16e19cf36fdf704f63183377ff13ac0fa402b6a166924e435f01b00c.jpg) +图4：温度分布 + +可以看到，在空间分布上从I层到IV层温度逐渐下降；在时间分布上，随着时间的推移各分层的温度均在上升，最终达到平衡，符合热传导的规律。取交界面为考察点，对图4在交界面对应的 $x$ 坐标处进行截取，得到图5, 此即为写入problem1.xlsx中的数据。 + +![](images/d522d83f6b4e833574d567d2fbfc5e0a6b2894717dd75e0b2cc42902c9e6557a.jpg) +图5：交界面温度变化情况 + +# 6.3 问题二的求解 + +在问题二中，我们将最优厚度理解为满足题目约束条件的最小厚度。因为II层厚度越小，作业服的制作所需原材料越少，相应地研发成本越低。在问题一的求解基础上，我们已经得到了模型中重要的两个对流换热系数 $h_{I}, h_{IV}$ 。模型中涉及的热传导率 $k_{i}$ ，与热扩散率 $\alpha_{i}$ 均可由附件1中的参数计算得到。实验室环境温度、假人温度同样由题目给出。各分层的厚度方面只有II层厚度未知。因此，模型中的参数仅为II层厚度，一旦II层厚度 $d_{2}$ 确定，模型的解就得以确定[3]。 + +为了缩小考虑的范围，先在附件1给定的 $d_{2}$ 取值区间内进行步长为 $2\mathrm{mm}$ 的定步长搜索。图6、图7分别为60分钟内假人皮肤外侧最大温度与II层厚度的关系，假人皮肤外侧温度超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 的时长与II层厚度的关系。 + +![](images/c0b4ef507178781dafcaedf11298ffcd361142d9903bd12b17483758ddb036d6.jpg) +图6：最大温度与II层厚度关系 + +![](images/ab3a3958b2d652cd615e7a23325c0139b39f3db7bce85429c975512df8f32127.jpg) +图7：温度超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 的时长与II层厚度关系 + +从图6、图7中可以看到，随着II层厚度的增加，最大温度与超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 时长呈单调递减。在附件1所给的II层厚度范围及时间内，假人皮肤表面外侧最大温度始终不会超过 $47^{\circ}\mathrm{C},$ 则在确定 $d_{2}$ 时只需要考虑超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 时长不超过5分钟产生的约束。进一步减小搜索步长与范围，最终在 $17.3\sim 17.9\mathrm{mm}$ 范围内，以 $0.05\mathrm{mm}$ 步长搜索得到结果如图8。 + +![](images/c1a20184a0aa115bf88907a5ba18b651df71524cfaf4639029a4d53977015852.jpg) +图8：温度超过 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 时长与II层厚度关系 + +![](images/0f7eb711366e8dc1cc011fecb2afcc5c80fcf97c1b4eda1b8333497345d249be.jpg) +图9: 皮肤外侧温度变化情况 $(d_{2} = 17.6 \mathrm{~mm})$ + +由图8确定 II 层最优厚度为 $17.6 \mathrm{~mm}$ , 此时皮肤外侧温度随时间的变化如图9所示,超过 $44^{\circ} \mathrm{C}$ 的时长为 281s, 短于 5 分钟, 温度的最大值也小于 $47^{\circ} \mathrm{C}$ , 满足题目条件。 + +# 6.4 问题三的求解 + +第三问与第二问都为优化问题，不同之处在于第三问多了一个变量 IV 层的厚度。既然作为优化问题，我们首先定义优化的目标：尽可能地减少成本，在满足这个要求的前提下，再减少开发周期。反映到本题中即为材料层 II 的厚度应该尽可能的小，这是由于 IV 层为空气层，其不会被计算在隔热服的生产成本当中，所以只考虑材料层 II 的成本。为了减少研发周期，要使检测隔热服达到热平衡所需的平衡时间更短。在本题中，我们赋予 + +成本因素的权重更大，所以必须先满足II层厚度尽可能薄的情况，再选择不同的IV层厚度，使得隔热服测试时达到热平衡的所需平衡时间更短。 + +根据常识我们可以知道，隔热服的厚度越厚，其隔热效果越好。所以，为了初步确定 $(d2, d4)$ 的大致范围，以满足体表最高温度小于 $47^{\circ}\mathrm{C}$ 且高于 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间少于 5 分钟约束条件的 $(d2, d4)$ ，首先可将空气层 IV 的厚度定在最大值 $6.4\mathrm{mm}$ ，然后如同第二问那样找出最小的 II 层厚度的大致下界，然后可开始运用如下示意的伪代码，区域搜索出所有满足题目条件的 $(d2, d4)$ 组： + +# Algorithm 1 区域搜索 + +Input: 第二层厚度范围边界: D2_min, D2_max, 第四层厚度范围边界: D4_min, D4_max, 第二层步长: D2 delta, 第四层步长: D4 delta + +Output: 搜索矩阵，符合条件输出 1，否则输出 0 + +将第二层和第四层用步长分成若干份，份数分别用 $length(D2)$ 和 $length(D4)$ 表示； + +初始化搜索矩阵 flag，行列数分别为初始化为 length(D2) 和 length(D4)，初始化为 + +0; $i\gets 1$ . $j\gets$ length(D4); + +1: while $i < \text{length}(D2) \& \& j >= 1$ do +2: if 皮肤最高温度 $< 47^{\circ} \mathrm{C} \& \&$ 持续时间 $>300 \mathrm{~s}$ then +3: $flag(i,j)$ 即其同一列下方所有元素设为 1; + +$$ +j - -; +$$ + +4: else +5: $i + + ;$ +6: end if +7: end while +8: return flag; + +为了更直观的显示符合条件的区域范围，可视化如下： + +![](images/49af0ea2b34ad5b924acb3041d4aed1fa0c6e68c7afc0bc7a0e99616e1fa82b5.jpg) +图10：符合条件的(d2,d4)范围图 + +图10横轴为材料层II的厚度，纵轴为空气层IV的厚度，计算时两者的步长皆为 $0.1mm$ 。图中蓝色的点代表符合约束条件的 $(d2,d4)$ 对，可进一步进行优化得到更精确的满足要求的点集范围，根据不同的优化目标能够得到不同的结果。根据我们定义的优化目标，即在保证II层厚度最小的条件下，选择IV层厚度使得平衡时间最短。图中最左上角的唯一点即为我们的目标解 $(d2,d4) = (19.3\mathrm{mm},6.4\mathrm{mm})10$ 。在此条件下的皮肤外侧温度随时间变化如图11所示： + +![](images/d22ad003009800b768eb1e32f9290e943d7817e56a7bcd9743835e8df667ac9d.jpg) +图11：皮肤外侧温度变化情况 + +如图11所示，在规定时间内，最高的体表温度低于 $47^{\circ}\mathrm{C}$ ，且高于 $44^{\circ}\mathrm{C}$ 所持续的时间为290s，短于5分钟，满足题目所要求的两个条件。 + +# 7 模型评价 + +# 7.1 灵敏性分析 + +# 7.1.1 模型对各分层厚度的灵敏性 + +考虑到实际生产过程中，由于做工精度问题，各分层的厚度可能存在偏差，有必要分析一下我们所建立的模型对各分层厚度的敏感性。以问题一为例，分别考虑I、II、III、IV层厚度变化对皮肤外侧平衡温度的影响，以此来确定模型对各分层厚度的敏感性。对分层厚度先后进行 $\pm 0.5mm$ 范围内，步长为 $0.1mm$ 的调整，得到皮肤外侧平衡温度与各分层厚度变化关系如图12： + +![](images/d32d9bee577815a3e1c0cdc92a002d453b51962c12ad1c25d4ab0f0e3b218e82.jpg) +图12：皮肤外侧平衡温度与各分层厚度变化的关系 + +可以看出，IV层（即空隙）的厚度对稳态温度的影响最大，说明我们建立的模型对分层厚度较为敏感，而且能够区分不同分层在实际隔热过程中发挥的不同作用。同时，我们也能够理解作业服要与身体留有空隙的原因。 + +# 7.1.2 模型对 $h_I$ （对流换热系数）的灵敏性 + +在我们建立的模型中，对流换热系数 $h_I$ 根据附件2中的数据拟合得到，存在一定的误差，研究模型对 $h_I$ 的灵敏性是从侧面研究结果的可靠性。 + +以问题二为例，我们通过研究对流换热系数 $h_{I}$ 对 II 层最优厚度的影响来进行灵敏性分析，所得结果列于表2。 + +表 2: II 层最优厚度随 $h_I$ 的变化 + +
对流换热系数 hI113.41114.41115.41116.41117.41118.41119.41120.41
II层最优厚度 d2min17.517.617.617.617.617.617.617.7
+ +从表2可以看出，对流换热系数 $h_I$ 的小范围变化对 II 层最优厚度影响不大，说明我们的模型对 $h_I$ 不敏感， $h_I$ 的求解误差不会对最终结果产生明显影响。 + +# 7.2 优缺点分析 + +# 7.2.1 优点 + +1. 我们的模型在传热学理论的基础上，使用有限差分方法数值计算出温度分布及随时间演化，并与附件所给出数据吻合得非常好。 + +2. 对问题二，三的求解简单直观，计算效率高。 +3. 对于问题三，求出了整个符合条件的区域，可自由针对不同优化目标得到不同结果。 + +# 7.2.2 缺点 + +1. 忽略了各分层介质的具体形状。 +2. 忽略热辐射的影响，虽然简化了方程的求解但是所得到的模型在高温条件下误差会增大。 +3. 使用数值方法求解偏微分方程组，可能引入误差。 + +# 参考文献 + +[1] 杨世铭，陶文栓. 传热学 [M]. 第四版，北京：高等教育出版社，(2006) +[2] 张洪济. 热传导 [M]. 第一版, 北京: 高等教育出版社, (1992) +[3] 陆金甫，关治. 偏微分方程 [M]. 第二版, 北京: 清华大学出版社, (2005) +[4] David W. Hahn. Heat conduction[M]. third edition, John Wiley and Sons, New York,(2012). +[5] F.de Monte. "An analytic approach to the unsteady heat conduction processes in one-dimensional composite media"[J], International Journal of Heat and Mass Transfer, 2002, 45(6):1333-1343. +[6] Fadugba S.E., Edogbanya O.H, Zelibe S.C. "Crank Nicolson method for solving parabolic partial differential equations"[J], IJA2M, 2013, 1(3):8-23. + +# 附录 + +# A 模型求解代码 + +# A.1 问题一代码 + +$\%$ Matlab + +$\% Q1.m$ + +clear; + +close all; + +clc; + +$\mathrm{pho} = [300;862;74.2;1.18];\%$ 密度 + +$\mathrm{c} = [1377;2100;1726;1005];\%$ 比热容 + +lamda = [0.082; 0.37; 0.045; 0.028]; %热导率 + +a=lamda./(pho.\*c);%热扩散率 + +$\mathrm{d} = [0.6; 6; 3.6; 5]^{*}10^{\wedge} - 3;\%$ 各层厚度 + +TT=273.15;%单位转换 + +T_in=37;%体温 + +T_out=75;%环境温度 + +T_s = 48.08; %稳定温度 + +$\mathrm{xmin} = 0$ + +$\mathrm{xmax = sum(d)}$ + +$\mathrm{N} = 5400; \%$ 总时间 + +$\mathrm{h} = 0.05^{*}10^{-3}$ ;%空间步长 + +$\mathrm{k} = 1;\%$ 时间步长 + +$\mathrm{r = k / h^{\hat{}2}}$ + +I=round((xmax-xmin)/h);%空间间隔数 + +%% 构造线性方程组的系数矩阵 + +A=zeros(1,I); + +$\mathrm{B = z e r o s}(1,\mathrm{I} + 1)$ + +$\mathrm{C} = \mathrm{zeros}(1, \mathrm{I})$ + +N1=round(d(1)/h); + +N2=round(d(2)/h); + +N3=round(d(3)/h); + +N4=round(d(4)/h); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{N}1$ + +$\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(1)}^{*}\mathrm{r};$ + +$\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)}$ $\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)}$ end + +for $\mathrm{i = N1 + 1:N1 + N2}$ + +$\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(2)^{*}r}$ + +$\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a}(2)$ + +$\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a}(2)$ + +```txt +end +``` + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + 1:N1 + N2 + N3}$ + +$\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(3)}^{*}\mathrm{r};$ + +$\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a}(3)$ + +$\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(3)}$ + +```txt +end +``` + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + N3 + 1:N1 + N2 + N3 + N4}$ + +$\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(4)^{*}r}$ + +$\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a}(4)$ + +$\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(4)}$ + +```txt +end +``` + +$\mathrm{T = z e r o s(I + 1,N + 1)}$ + +$\mathrm{T}(:,1) = (\mathrm{T}_{-}\mathrm{in} + \mathrm{TT})^{*}$ ones(I+1,1);%一开始整件衣服都是体温 + +```txt +T xt=xlsread('C:\Users\wangc\Desktop\CUMCM正赛\2018\2018-A-Chinese\CUMCM-2018-Problem-A-Chinese-Appendix.x1sx'，'附件2'，'A3:B5403')； +``` + +$\% \%$ 寻找的最优拟合解 $h1$ + +```txt +h_min=110; +``` + +```txt +h_max=120; +``` + +```txt +delta_h = 0.1; +``` + +```txt +H1=h_min: delta_h:h_max; +``` + +```javascript +delta=zeros(1,length(H1)); +``` + +for $j = 1$ :length(H1) + +$\mathrm{h1 = h\_min + (j - 1)^{*}delta\_h}$ + +$\%$ $h1 = 121.41$ + +$\mathrm{k1 =}$ lamda(1)； $\mathrm{k2 =}$ lamda(2)； $\mathrm{k3 =}$ lamda(3)； $\mathrm{k4 =}$ lamda(4)； + +$\mathrm{x1 = d(1)};\mathrm{x2 = d(1) + d(2)};\mathrm{x3 = d(1) + d(2) + d(3)};\mathrm{x4 = d(1) + d(2) + d(3) + d(4)};$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {t 1 = T \_ o u t + T T ; t 2 = T \_ i n + T T ; t 3 = T \_ s + T T ;} \\ \mathrm {h} 5 = - \left(\left(\mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 2 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {t} 1\right) \dots \right. \\ / \left(k 1 ^ {*} k 2 ^ {*} k 3 ^ {*} k 4 - h 1 ^ {*} k 1 ^ {*} k 2 ^ {*} k 3 ^ {*} x 3 - h 1 ^ {*} k 1 ^ {*} k 2 ^ {*} k 4 ^ {*} x 2 \dots \right. \\ - \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 1 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {x} 1 + \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 1 ^ {*} \mathrm {k} 2 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {x} 4 + \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 1 ^ {*} \mathrm {k} 2 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {x} 3 \dots \\ + \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 1 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {x} 2 + \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 2 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {x} 1) \quad \dots . \\ - \left(\mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 2 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {t} 3\right) \dots \\ / \left(k 1 ^ {*} k 2 ^ {*} k 3 ^ {*} k 4 - h 1 ^ {*} k 1 ^ {*} k 2 ^ {*} k 3 ^ {*} x 3 - h 1 ^ {*} k 1 ^ {*} k 2 ^ {*} k 4 ^ {*} x 2 \dots \right. \\ - \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 1 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {x} 1 + \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 1 ^ {*} \mathrm {k} 2 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {x} 4 + \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 1 ^ {*} \mathrm {k} 2 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {x} 3 \dots \\ \left. + \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 1 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {x} 2 + \mathrm {h} 1 ^ {*} \mathrm {k} 2 ^ {*} \mathrm {k} 3 ^ {*} \mathrm {k} 4 ^ {*} \mathrm {x} 1\right) \dots \\ / (t 2 / k 1 - t 3 / k 1); \\ \end{array} +$$ + +$$ +\% h 5 = 8.36; +$$ + +$$ +\begin{array}{l} A A = \text {d i a g} (B) + \text {d i a g} (A, 1) + \text {d i a g} (C, - 1); \\ A A (1, 1) = \text {l a m d a} (1) / \mathrm {h} + \mathrm {h} 1; \\ A A (1, 2) = - l a m d a (1) / h; \\ \mathrm {A A} (\mathrm {I} + 1, \mathrm {I}) = - \text {l a m d a} (4) / \mathrm {h}; \\ \mathrm {A A} (\mathrm {I} + 1, \mathrm {I} + 1) = \text {l a m d a (4)} / \mathrm {h} + \mathrm {h} 5; \\ A A (N 1 + 1, N 1) = \text {l a m d a} (1); \\ A A (N 1 + 1, N 1 + 1) = \text {l a m d a} (1) + \text {l a m d a} (2); \\ A A (N 1 + 1, N 1 + 2) = - l a m d a (2); \\ A A (N 1 + N 2 + 1, N 1 + N 2) = - l a m d a (2); \\ A A (N 1 + N 2 + 1, N 1 + N 2 + 1) = \text {l a m d a} (2) + \text {l a m d a} (3); \\ A A (N 1 + N 2 + 1, N 1 + N 2 + 2) = - l a m d a (3); \\ A A (N 1 + N 2 + N 3 + 1, N 1 + N 2 + N 3) = - l a m d a (3); \\ A A (N 1 + N 2 + N 3 + 1, N 1 + N 2 + N 3 + 1) = l a m d a (3) + l a m d a (4); \\ A A (N 1 + N 2 + N 3 + 1, N 1 + N 2 + N 3 + 2) = - l a m d a (4); \\ f o r \quad n = 1: k: N \\ D = \text {z e r o s} (I + 1, 1); \\ D (1) = h 1 ^ {*} (T \_ o u t + T T); \\ D (I + 1) = h 5 ^ {*} (T \_ i n + T T); \\ \begin{array}{l} \text {f o r} \quad i = 2: 1: N 1 \end{array} \\ D (i) = r ^ {*} a (1) ^ {*} T (i - 1, n) + (2 - 2 ^ {*} r ^ {*} a (1)) ^ {*} T (i, n) + r ^ {*} a (1) ^ {*} T (i + 1, n); \\ \mathrm {e n d} \\ \text {f o r} \quad i = N 1 + 1: 1: N 1 + N 2 \\ D (i) = r ^ {*} a (2) ^ {*} T (i - 1, n) + (2 - 2 ^ {*} r ^ {*} a (2)) ^ {*} T (i, n) + r ^ {*} a (2) ^ {*} T (i + 1, n); \\ \mathrm {e n d} \\ \text {f o r} \quad i = N 1 + N 2 + 1: 1: N 1 + N 2 + N 3 \\ \mathrm {D} (\mathrm {i}) = \mathrm {r} ^ {*} \mathrm {a} (3) ^ {*} \mathrm {T} (\mathrm {i} - 1, \mathrm {n}) + (2 - 2 ^ {*} \mathrm {r} ^ {*} \mathrm {a} (3)) ^ {*} \mathrm {T} (\mathrm {i}, \mathrm {n}) + \mathrm {r} ^ {*} \mathrm {a} (3) ^ {*} \mathrm {T} (\mathrm {i} + 1, \mathrm {n}); \\ \mathrm {e n d} \\ \end{array} +$$ + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + N3 + 1:1:N1 + N2 + N3 + N4}$ + +$\mathrm{D(i) = r^{*}a(4)^{*}T(i - 1,n) + (2 - 2^{*}r^{*}a(4))^{*}T(i,n) + r^{*}a(4)^{*}T(i + 1,n)}$ + +end + +$\mathrm{D(N1 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{D(N1 + N2 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{D(N1 + N2 + N3 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{T}(:, \mathrm{n} + 1) = \mathrm{AA} \backslash \mathrm{D}; \%$ 解方程 + +end + +$\%$ figure (1); +$\%$ mesh $(0:k:N,1000^{*}(0:h:\text{sum} (d)),(T - TT))$ +$\%$ ylabel $(^{\prime}x / mm^{\prime})$ +$\%$ xlabel('t/s'); +$\%$ zlabel('T°C/'); + +$\mathrm{delt}(\mathrm{j}) = \mathrm{sqrt}(\mathrm{sum}((\mathrm{T\_xt}(:,2) - \mathrm{T}(\mathrm{end},:)^{\prime} + \mathrm{TT}).^{\wedge}2)) / \mathrm{length}(\mathrm{T\_xt}(:,1)))$ + +;%方均根误 + +差 + +end +%% 绘制方均根误差图像，寻找最优拟合项 +figure (2); +plot (H1, delta); +xlabel('h1/(W(/m°C) ^2*)'); +ylabel('Tc/'); +$[\sim, \text{position}]$ = min(delta); +h1_p=H1（position）; +disp(h1_p); +%% +$\%$ figure (2); +$\%$ plot $(T\_xt(:,1),T\_xt(:,2) - (T(end,:) - TT)$ +$\%$ x1abel('t/s）; +$\%$ ylabel('delta_ $T^{\circ}C / \textit{)}$ 1 +$\%$ legend拟合函数与原数据相差（’）； +$\%$ hold on; +$\%$ plot $(T\_ xt(:,1),)$ +$\%$ hold off; +$\%$ figure (3); +$\%$ plot $(1000^{*}(0:h:sum(d)),T(:,end) - T\_ 0)$ +$\%$ xlabel（'x/mm）; +$\%$ ylabel（‘T°C/）; +% legend结尾时刻温度随深度分布（’） +%% 输出problem1.文件xlsx + +$\%$ TProblem1=zeros $(N + 1,4)$ + +$\%$ TProblem1(:,1)=T(1,:)'; + +$\%$ TProblem1(:,2)=T(N1+1,:)'; + +$\%$ TProblem1(:,3)=T(N1+N2+1,); + +$\%$ T\_problem1(:,4) $= T(N1 + N2 + N3 + 1,:$ ); + +$\%$ TProblem1 $=$ TProblem1-TT; + +$\% \%$ x1s write('C:\Users|wangc|Desktop|CUMCM正赛|2018|code|problem1.xlsx',T probleme1); + +$\%$ figure (4); + +$\%$ plot $(0:k:N,T\_ problem1(:,1)'$ , $0:k:N,T\_ problem1(:,2)'$ , $0:k:N,$ $T\_ problem1(:,3)$ ', $0:k:N,T\_ problem1(:,4)$ ', $0:k:N,T\_ xt(:,2)$ + +% legend('层与环境交界面I','层与层交界面III','层与层交界面IIII','层与层交界面IIIIV','层与皮肤交界面IV'); + +$\%$ xlabel('t/s'); + +$\%$ ylabel（‘T°C/）; + +# A.2 问题二代码 + +$\%$ Q2.m + +clear; + +close all; + +clc; + +%% 参数设定 + +$\mathrm{pho} = [300;862;74.2;1.18];$ + +$\mathrm{c} = [1377;2100;1726;1005]$ + +$\mathrm{lamda} = [0.082;0.37;0.045;0.028];$ + +a=lamda./(pho.\*c); + +TT=273.15; + +T_in=37; + +T_out=65; + +$\mathrm{T\_s} = 48.08$ + +[ \mathrm{h}1 = 117.41; \% ] 第一问算出来的结果 + +$\mathrm{h}5 = 8.36$ + +N=3600;%time + +h=0.05*10^(-3;%deltax + +k=1;%deltatime + +$\mathrm{r = k / h^{\hat{}2}}$ + +$\%$ 寻找层符合条件的最小厚度 $II$ + +D2_min=1; + +```matlab +D2_max=25; +D2DELta=2; +D2=D2_min:D2DELta:D2_max; +flags=zeros(4,length(D2)); +flags(1,:)=D2; +for ii=1:length(D2) +d2=D2_min+ (ii-1)*D2DELta;%这道题的变量单位,mm +``` + +$\mathrm{d} = [0.6;\mathrm{d}2;3.6;5.5]*10^{\wedge} - 3;$ $\mathrm{xmin} = 0$ $\mathrm{xmax} = \mathbf{sum}(\mathrm{d})$ + +$\mathrm{I} = \mathrm{round}\left(\left(\mathrm{xmax - xmin}\right) / \mathrm{h}\right)$ +A=zeros(1,I); +B=zeros(1,I+1); +C=zeros(1,I); +N1=round(d(1)/h); +N2=round(d(2)/h); +N3=round(d(3)/h); +N4=round(d(4)/h); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{N}1$ $\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(1)}^{*}\mathrm{r};$ $\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)};$ $\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)};$ +end + +for $\mathrm{i = N1 + 1:N1 + N2}$ $\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(2)^{*}r};$ $\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(2)};$ $\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(2)};$ +end + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + 1:N1 + N2 + N3}$ $\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(3)^{*}r};$ $\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r^{*}a(3)};$ $\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r^{*}a(3)};$ +end + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + N3 + 1:N1 + N2 + N3 + N4}$ $\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(4)^{*}r}$ $\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(4)}$ + +$\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(4)}$ end + +$\mathrm{T = z e r o s(I + 1,N + 1)}$ + +$\mathrm{T}(:,1) = (\mathrm{T\_in} + \mathrm{TT})^{*}$ ones(I+1,1);%一开始整件衣服都是体温 + +```javascript +AA=diag(B)+diag(A,1)+diag(C,-1); +``` + +```javascript +AA(1,1) = lamda(1) / h + h1; +``` + +$\mathrm{AA}(1,2) = -\mathrm{lamda}(1) / \mathrm{h}$ + +$\mathrm{AA(I + 1,I) = -lambda(I / h)}$ + +$\mathrm{AA(I + 1,I + 1)} = \mathrm{lamda(4) / h + h5}$ + +$\mathrm{AA}(\mathrm{N1} + 1,\mathrm{N1}) =$ -lamda(1)； + +$\mathrm{AA(N1 + 1,N1 + 1) = lamsda(1) + lamda(2)}$ + +$\mathrm{AA(N1 + 1,N1 + 2) = -lambda(2)}$ + +```javascript +AA(N1+N2+1,N1+N2)=-lambda(2); +``` + +```javascript +AA(N1+N2+1,N1+N2+1)=lamda(2)+lamda(3); +``` + +$\mathrm{AA(N1 + N2 + 1,N1 + N2 + 2) = -l a m d a(3)}$ + +```javascript +AA(N1+N2+N3+1,N1+N2+N3)=-lambda(3); +``` + +```javascript +AA(N1+N2+N3+1,N1+N2+N3+1)=lamda(3)+lamda(4); +``` + +```javascript +AA(N1+N2+N3+1,N1+N2+N3+2)=-lambda(4); +``` + +for $\mathrm{n} = 1 : \mathrm{k} : \mathrm{N}$ + +$\mathrm{D = z e r o s(I + 1,1)}$ + +```txt +D(1) = h1 * (T_out + TT); +``` + +$\mathrm{D(I + 1) = h5^*T\_in + TT}$ + +for $\mathrm{i} = 2:1:\mathrm{N}1$ + +$\mathrm{D(i)} = \mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)}^{*}\mathrm{T(i - 1,n)} + (2 - 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)})^{*}\mathrm{T(i,n)} + \mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)}^{*}\mathrm{T(i + 1,n)}$ + +```txt +end +``` + +for $\mathrm{i = N1 + 1:1:N1 + N2}$ + +$\mathrm{D(i) = r^{*}a(2)^{*}T(i - 1,n) + (2 - 2^{*}r^{*}a(2))^{*}T(i,n) + r^{*}a(2)^{*}T(i + 1,n)}$ + +```txt +end +``` + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + 1:1:N1 + N2 + N3}$ + +$\mathrm{D(i) = r^{*}a(3)^{*}T(i - 1,n) + (2 - 2^{*}r^{*}a(3))^{*}T(i,n) + r^{*}a(3)^{*}T(i + 1,n)}$ + +```txt +end +``` + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + N3 + 1:1:N1 + N2 + N3 + N4}$ + +$\mathrm{D(i) = r^{*}a(4)^{*}T(i - 1,n) + (2 - 2^{*}r^{*}a(4))^{*}T(i,n) + r^{*}a(4)^{*}T(i + 1,n)}$ + +```txt +end +``` + +$\mathrm{D(N1 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{D(N1 + N2 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{D(N1 + N2 + N3 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{T}(:,\mathrm{n} + 1) = \mathrm{AA}\backslash \mathrm{D};$ + +```txt +end +``` + +$\%$ 检测是否符合题目的两个条件 + +T Skin = T( end, : ) - TT; + +count $= 0$ + +fla g=fal s e; + +for $j = 1$ :length(T_skin) + +if T Skin(j) > 44 + +count=count+1; + +end + +end + +if (max(T skins) > 47) || (count > 300) + +flag=true; + +end + +flags(2,ii)=flag; + +flags(3,ii)=count; + +flags(4,ii) $\equiv$ max(T_skin); + +%% + +$\%$ $t c = 281$ + +$\%$ figure (1); + +$\%$ hold on; + +$\%$ plot(0:1:3600,Tskins); + +$\%$ plot $(N - tc, T\_skin(N + 1 - tc), 'ro')$ ; + +$\%$ plot([0 1.1*N], [T_sin(N+1- t c) T_sin(N+1- t c)], '--r'); + +$\%$ plot([N- t c N- t c], [36 T_ skin (N+1- t c)], '--k'); + +$\%$ plot([N N], [36 T skin (end)], '-k'); + +$\%$ xlabel('t/s'); + +$\%$ ylabel（‘T°C/）; + +$\%$ legend $(^{\prime}d2\_ \{min\} = 17.6$ 条件下的体表温度mm')； + +end + +%% 绘图部分 + +display flags); + +figure(1); + +plot(D2, flags(3,:)); + +xlabel('d2/mm'); + +ylabel('t/s'); + +legend（‘超过 $\mathrm{^\circ C}$ 时间与第44层厚度的关系II）； + +figure (2) ; + +plot(D2, flags(4,:)); + +xlabel('d2/mm'); + +```txt +ylabel('Tmax'C／'); +legend（‘最大温度与第层厚度的关系II’）; +``` + +$\%$ solve_equations.m +clear; +close all; +clc; + +%% 参数声明 +$\% syms a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4$ 变量\% +syms h1 h5 +syms k1 k2 k3 k4 +syms x0 x1 x2 x3 x4 +syms t1 t2 t3 + +$\%$ 解线性方程组，其中含有 $1h1$ +A1=[k1-k2 0 0 0 0 0 0 0] +0 k2 -k3 0 0 0 0 0 +0 0 k3 -k4 0 0 0 0 +x1 -x1 0 0 1 -1 0 0 +0 x2 -x2 0 0 1 -1 0 +0 0 x3 -x3 0 0 1 -1 +0 0 0 x4 0 0 0 1 +-k1 0 0 0 h1 0 0 0]; +B1=[0;0;0;0;0;0;t3;h1*t1]; +X1=A1^-1*B1; +disp(simplify(X1)); + +$\%$ 解线性方程组，其中含有 $2h5$ +A2=[k1-k2 0 0 0 0 0 0 0] +0 k2 -k3 0 0 0 0 0 +0 0 k3 -k4 0 0 0 0 +x1 -x1 0 0 1 -1 0 0 +0 x2 -x2 0 0 1 -1 0 +0 0 x3 -x3 0 0 1 -1 +0 0 0 x4 0 0 0 1 +0 0 0 k4+h5*x4 0 0 0 h5]; +B2=[0;0;0;0;0;0;t3；h5*t2] +X2=A2^(-1*B2); +disp(simplify(X2)); + +%% 任同一变量相等，得到与关系式 $h1h5$ $\mathrm{eqn} = \mathrm{X1}(1) = \mathrm{X2}(1)$ +solve (eqn, h5) + +# A.3 问题三代码 + +clear; + +close all; + +clc; + +$\%$ 参数设定 + +$\mathrm{pho} = [300;862;74.2;1.18];$ + +$\mathrm{c} = [1377;2100;1726;1005];$ + +$\mathrm{lamda} = [0.082;0.37;0.045;0.028];$ + +a=lamda./(pho.\*c); + +TT=273.15; + +T_in=37; + +T_out=80; + +$\mathrm{T\_s} = 48.08$ + +N=1800;%time + +h=0.05*10^(-3;%deltata x + +k=1;%deltatime + +$\mathrm{r = k / h^{\wedge}2}$ + +$\mathrm{h}1 = 117.41$ + +$\mathrm{h}5 = 8.36$ + +D2_min=18.9; + +D2_max=19.3; + +D2_delta $= 0.05$ + +D2=D2_min:D2_max; + +D4_min=6.2; + +D4_max $= 6.4$ + +D4DELta $= 0.05$ + +D4=D4_min:D4_max; + +flags=zeros(length(D2), length(D4)); + +for ii=1:length(D2) + +for $\mathrm{j} \mathrm{j} = 1:$ length(D4) + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{D}2\_ \mathrm{min} + (\mathrm{i}\mathrm{i} - 1)^{*}\mathrm{D}2\_ \mathrm{delta};$ + +$\mathrm{d4 = D4\_min + (j j - 1)^{*}D4\_delta}$ + +$\%$ $d2 = 19.3$ + +$\% d4 = 6.4$ + +$\mathrm{d} = [0.6;\mathrm{d}2;3.6;\mathrm{d}4]^{*}10^{\wedge} - 3;$ + +$\mathrm{xmin} = 0$ + +$\mathrm{xmax = sum(d)}$ $\mathrm{I} = \mathrm{round}\left((\mathrm{xmax - xmin}) / \mathrm{h}\right);$ $\mathrm{A = zeros(1,I)}$ $\mathrm{B = zeros(1,I + 1)}$ $\mathrm{C = zeros(1,I)}$ + +$\mathrm{N1 = round(d(1) / h)}$ $\mathrm{N2 = round(d(2) / h)}$ $\mathrm{N3 = round(d(3) / h)}$ $\mathrm{N4 = round(d(4) / h)}$ + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{N}1$ $\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(1)}^{*}\mathrm{r};$ $\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)};$ $\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(1)};$ +end + +for $\mathrm{i = N1 + 1:N1 + N2}$ $\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(2)^{*}r}$ ; + $\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r^{*}a(2)}$ ; + $\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r^{*}a(2)}$ ; +end + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + 1:N1 + N2 + N3}$ $\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(3)^{*}r};$ $\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r^{*}a(3)};$ $\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r^{*}a(3)};$ +end + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + N3 + 1:N1 + N2 + N3 + N4}$ $\mathrm{A(i)} = -\mathrm{a(4)*r};$ $\mathrm{B(i)} = 2 + 2^{*}\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(4)};$ $\mathrm{C(i)} = -\mathrm{r}^{*}\mathrm{a(4)};$ +end +T=zeros(I+1,N+1); + $\mathrm{T(:,1) = (T\_in + TT)^{*}ones(I + 1,1);\%}$ 一开始整件衣服都是体温 + +```matlab +AA=diag(B)+diag(A,1)+diag(C,-1); +AA(1,1)=lamda(1)/h+h1; +AA(1,2)=-lamda(1)/h; +AA(I+1,I)=-lamda(4)/h; +AA(I+1,I+1)=lamda(4)/h+h5; +``` + +$\mathrm{AA(N1 + 1,N1)} =$ -lamda(1)； + +$\mathrm{AA(N1 + 1,N1 + 1) = lamsda(1) + lamda(2)}$ + +$\mathrm{AA(N1 + 1,N1 + 2) = -lambda(2)}$ + +AA(N1+N2+1,N1+N2)=-lambda(2); + +AA(N1+N2+1,N1+N2+1)=lamda(2)+lamda(3)； + +$\mathrm{AA(N1 + N2 + 1,N1 + N2 + 2) = -lambda(3)}$ + +AA(N1+N2+N3+1,N1+N2+N3)=-lambda(3); + +AA(N1+N2+N3+1,N1+N2+N3+1)=lamda(3)+lamda(4); + +AA(N1+N2+N3+1,N1+N2+N3+2)=-lamda(4); + +for $n = 1:k:N$ + +D=zeros(I+1,1); + +D(1)=h1*(T_out+TT); + +$\mathrm{D(I + 1) = h5^{*}(T\_in + TT)}$ + +for $\mathrm{i} = 2:1:\mathrm{N}1$ + +$\mathrm{D(i) = r^{*}a(1)^{*}T(i - 1,n) + (2 - 2^{*}r^{*}a(1))^{*}T(i, n) + r^{*}a(1)^{*}T(i + 1,n)}$ + +end + +for $\mathrm{i = N1 + 1:1:N1 + N2}$ + +$\mathrm{D(i) = r^{*}a(2)^{*}T(i - 1,n) + (2 - 2^{*}r^{*}a(2))^{*}T(i,n) + r^{*}a(2)^{*}T(i + 1,n)}$ + +end + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + 1:1:N1 + N2 + N3}$ + +$\mathrm{D(i) = r^{*}a(3)^{*}T(i - 1,n) + (2 - 2^{*}r^{*}a(3))^{*}T(i,n) + r^{*}a(3)^{*}T(i + 1,n)}$ + +end + +for $\mathrm{i = N1 + N2 + N3 + 1:1:N1 + N2 + N3 + N4}$ + +$\mathrm{D(i) = r^{*}a(4)^{*}T(i - 1,n) + (2 - 2^{*}r^{*}a(4))^{*}T(i, n) + r^{*}a(4)^{*}T(i + 1,n)}$ + +end + +$\mathrm{D(N1 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{D(N1 + N2 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{D(N1 + N2 + N3 + 1) = 0}$ + +$\mathrm{T}(:,\mathrm{n} + 1) = \mathrm{AA}\backslash \mathrm{D};$ + +end + +T Skin = T( $\text{end}, :)$ -TT; + +count $= 0$ + +flag $\equiv$ false; + +for $j = 1$ :length(T_skin) + +if T Skin(j) > 44 + +count=count+1; + +end + +end + +```vhdl +tc=count; +``` + +if $(\max (\mathrm{T\_skin}) > 47) || (\mathrm{count} > 300)$ + +```txt +flag=true; +``` + +```txt +end +``` + +```txt +flags (ii, jj) = flag; +``` + +%% 绘图部分 +$\%$ figure (1); + +$\%$ plot(0:1:1800,T_skin); + +$\%$ hold on; + +$\%$ plot([0 N], [T_sin(N- t c) T_sin(N- t c)], '--r'); + +$\%$ plot([N- t c N- t c], [36 T\_skin(N- t c)], '--k'); + +$\%$ plot([N N], [36 T_skin(end)], '-k'); + +$\%$ xlabel('t/s'); + +$\%$ ylabel $(^{\prime}T^{\circ}\mathrm{C} / ^{\prime})$ + +$\%$ legend $(d2\_ \{min\}, d4\_ \{min\}) = (17.3mm, 6.4mm)$ 情况下的体表温度 $)$ + +end +```txt +end +``` + +```javascript +display (flags); +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/B203/B203.md b/MCM_CN/2018/B203/B203.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab7e8402478f4b4b051e8c1372c15ce037f0fae9 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/B203/B203.md @@ -0,0 +1,1875 @@ +# 基于0-1规划的单RGV动态调度模型 + +# 摘要 + +本文从规划角度出发，研究了智能加工系统中的单RGV动态调度问题。由于RGV型号多样、功能有简有繁，因此本文从RGV是否能预判CNC加工完成时间建立了两套单RGV动态调度模型，并进行了对比分析。 + +针对任务一中情况1，本题仅需考虑一个班次中单工序加工的单RGV动态调度模型。本文以RGV的调度路径为决策变量，以获得最多成料为目标函数，约束条件为每次调度单RGV仅能对一台CNC进行作业、每班次RGV工作时长不超过8小时、RGV下轮作业移动起点为上轮作业终点、每台CNC每次作业仅能加工一个物料，根据0-1规划的思想建立单目标规划模型，最终得到CNC无故障下加工单工序物料的所获成料最多模型，通过求得每轮上下料最短所需时长的启发信息，建立启发式算法得到近似最优解，并给出算法流程图及分析。 + +针对任务一中情况 2, 本题需考虑一个班次中加工双工序的单 RGV 动态调度模型。首先, 在情况 1 模型的基础上, 增加约束条件: 每台 CNC 仅能装配一种刀具加工一道工序、物料工序状况与 CNC 加工工序类型相匹配。以获得成料尽可能多、获得最多成料时 RGV 工作时间尽可能小为目标建立双目标规划模型,并给出以循环遍历法求最优刀具分布方案以及通过求得每轮上下料最短所需时长的启发信息, 建立启发式算法得到近似最优解, 并给出算法流程图及分析。 + +针对任务一中情况3，在任务一情况1、2模型的基础上，将CNC的故障和维修等效转换为一次时间较长的加工作业，增加约束条件：CNC加工过程中有 $1\%$ 的概率发生故障、故障发生时该CNC正加工的物料即刻报废、排除故障时长服从 $10\sim 20$ 分钟的均匀分布，并分别建立CNC概率故障情况下的单、双工序加工的单目标规划模型、CNC概率情况下双工序加工的双目标规划模型。在情况1和情况2算法的基础上加入仿真随机故障得到情况3的启发式算法，并给出算法流程图及分析。 + +针对任务二，利用3组系统作业参数对任务一中三种情况的规划模型进行求解和检验，得到情况1下的产量为382、359、392；情况2下的产量为253、211、243，得到最高产量时RGV总工作时长为28797、28755、28692，最优刀具分布方案为[1,2,1,2,1,2,1,2]、[2,1,2,1,2,1,2,1]、[1,2,1,1,2,1,1,2]；单工序情况3下产量为376、354、383，对应的故障次数为3、3、4；双工序情况3下产量为239、210、240，加工工序一时故障次数为3、1、1，工序二故障次数为2、0、2。以普适性、经济性、实施模型的可行性和CNC平均非有效工作时长作为模型实用性指标，以程序运行时间和内存使用情况作为算法有效性指标，分别对两种模型各12组结果进行模型的实用性与算法的有效性评价。最终计算结果反映出本文模型实用性高、有效性强，且可预判模型结果更优。 + +最后，本文利用仿真数据对模型进行了再检验，分析了模型的优缺点，讨论了模型的改进方向并对模型进行了简单的推广。 + +关键词：智能RGV；机器故障；动态调度；0-1规划；启发式算法 + +# 一、问题的提出和重述 + +# 1.1 问题的提出 + +轨道式自动引导车（Rail Guide Vehicle, RGV）因为其无需人员操作且运行速度快的特点，能实现与系统快速连接并按照计划进行物料的传输等，在当今自动化物流系统与自动化仓库中有着重要应用，RGV 的动态调度的研究对车间的高效作业有着重要意义。 + +# 1.2 问题的重述 + +现有8台计算机数控机床（Computer Number Controller，CNC）与1辆轨道式自动引导车，附属设备有1条RGV直线轨道和上、下料传送带各一条等。请针对以下三种具体情况完成两项任务。 + +情况（1）：物料加工仅一道工序，每台CNC安装相同刀具，物料可以在任一台CNC完成加工； + +情况（2）：物料加工有两道工序，每个物料两道工序在两台刀具不同的CNC上依次加工完成； + +情况（3）：CNC在加工过程中约有 $1\%$ 的可能发生故障（故障发生时该机正在加工的物料报废），每次排除故障需要 $10 \sim 20$ 分钟，故障排除后CNC即刻加入作业序列。 + +任务1：研究一般问题，给出RGV动态调度模型与相应的求解算法； + +任务2：利用表1中3组系统作业参数分别检验模型的实用性与算法的有效性，给出RGV的调度策略与系统的作业效率，将具体结果填入附件2的EXCEL表中。 + +# 二、问题的分析 + +# 2.1 问题的分析 + +# 针对任务1： + +关于情况（1）：在智能加工系统中通过调度1台RGV对8台CNC进行上下料与清洗，RGV每次只能为一台CNC进行上下料与洗料，每轮作业RGV与8台CNC的关系可用0-1逻辑变量表示，以所获成料数量最大作为目标函数，以RGV的调度路径作为决策变量，以智能加工系统中加工规则作为约束条件，以0-1规划思想建立单目标规划模型，可以得到一道工序加工需求下的RGV动态调度模型。并根据以上思想，给出具有可行性的算法。 + +关于情况（2）：现实生产生活中，物料往往不止有一道工序，由于工序之间复杂度不同，加工耗时也会有差异。对有限加工资源的合理规划，能有效的解决这类问题。本文拟以所获成料数量最多、所获最多成品数量时RGV工作总时间最少作为目标函数，仍以RGV的调度路径作为决策变量，以智能加工系统中加工规则作为约束条件，根据0-1规划思想建立双目标规划模型，可得到两道工序加工需求下的RGV动态规划模型，并给出具体可行的算法。 + +关于情况（3）：当CNC存在 $1\%$ 的概率故障时，在情况（1）、（2）所建立的规划模型下，将故障CNC的修理时间视为一次较长的加工时间，因此故障CNC在故障排除前不会发出需求指令。视工作人员排除故障的时间在 $10\sim 20$ 分钟间服从均匀分布，故障排除后CNC重启，此时报废物料已被移去，CNC即刻发出需求指令。可得到在CNC概率故障情况下的RGV动态规划模型，并给出具体可行的算法。 + +针对任务2：拟考虑将模型的实用性分解为模型的普适性、经济性以及实施 + +模型的可行性、CNC平均非有效工作时长，将算法的有效性分解为程序总运行时长、Matlab内存占用量。利用三组系统参数分别检验情况1、2、3的模型，讨论计算过程与结果的模型的实用性与算法的有效性。 + +# 三、模型的假设 + +# 3.1 模型的假设 + +(1) 因安全需要，系统启动后直到系统停止作业，中途不能更换刀具。 +(2) RGV 运行至需要作业的某 CNC 处时, 上料传送带将生料同时送到该 CNC 正前方, 下料传送带将清洗后的成料能立刻送走。 +（3）CNC一旦发生故障，工作人员即刻开始排除故障。 +（4）RGV 所有的计算处理时间为 0，不会对系统产生任何影响。 +（5）除非系统因已连续工作8小时而停止作业，RGV的移动、上下料、清洗等操作不会被中途停止。 + +# 四、符号及变量说明 + +
符号表示含义单位
k上料轮数，k=0,1,2...当k=0时，表示此时在第一轮上料之前次
ii=1,2,...,8依次表示CNC1#, CNC2#, ..., CNC8#
xi(k)第k轮上料 RGV 是否前往第i台 CNCxi(k)= {0,第k轮上料不前往第i台 CNC1,第k轮上料前往第i台 CNC}
pp=1,2,3,4，表示 RGV 移动的起点位置p=1表示 CNC1#与 CNC2#之间;p=2表示 CNC3#与 CNC4#之间;p=3表示 CNC5#与 CNC6#之间;p=4表示 CNC7#与 CNC8#之间。
p(k)表示第k轮上料 RGV 移动的起点位置
qq=1,2,3,4，表示 RGV 移动的终点位置q=1表示 CNC1#与 CNC2#之间;q=2表示 CNC3#与 CNC4#之间;q=3表示 CNC5#与 CNC6#之间;q=4表示 CNC7#与 CNC8#之间;
q(k)表示第k轮上料 RGV 移动的终点位置
T_i(k)RGV 前往第i台 CNC 完成第k轮上料所用时间s
T_k(k)移p^k_q^k第k轮从位置p(k)移动到位置q(k)所花的时间s
T_k(k)剩i第k轮上料后第i台 CNC 上物料剩余加工完成的时间s
T_k(k)料i在第i台 CNC 的处第k轮上料时间s
T_k(k)洗i在第i台 CNC 的处第k轮洗料时间s
T_k(k)工i第k轮上料后第i台 CNC 的加工时间s
T(k)渡i第i台CNC第k轮上料后到其发生故障时刻的过渡时间 +T(k)~U(0,T(k)i)s
t(k)障事件Ci(k)发生的时刻s
T(k)修i第k轮上料发生故障的第i台CNC的维修时间 +T(k)~U(600,1200)s
w(k)第k轮上料后加工一道工序的CNC产出的成料总数个
wa(k)第k轮上料后加工两道工序的CNC产出的成料总数个
Yi第i台CNC的加工工序 +Yi={1,第i台CNC负责第一道工序 +2,第i台CNC负责第二道工序}
X(k)第k轮上料时的目标工序 +X(k)={1,第k轮上料时RGV中无物料 +2,第k轮上料时RGV中有完成了工序一的物料}
Ci(k)第k轮上料时第i台CNC发生了故障
P(Ci(k))第k轮上料时第i台CNC发生了故障的概率 +P(Ci(k))=1/100
+ +# 五、模型的建立 + +由于现实中 RGV 型号多样、功能有简有繁，本文根据信息处理能力将 RGV 分为两类： + +第一类为能通过处理历史需求信号得到每台CNC实时工作状态，综合考虑并比较每台CNC的剩余加工时间、上下料时间以及RGV移动至对应CNC位置的所需时间后再对任务进行次序判断的RGV，这类RGV能提前向下一轮最优CNC出发，总使得8小时内全体CNC等待时间最少。 + +第二类为仅能根据当轮已接收到的需求信息、上下料时间以及RGV移动至对应机位所需时间对任务次序进行判断的RGV，在没接收到需求信号时，RGV停泊在原地。 + +本文分别以两类RGV为调度对象，建立了两种单RGV动态调度模型，比较它们之间的差异，并讨论其优劣。 + +具体的思维导图如图1： + +![](images/4c83745b85871df453f733cf1804d097db68c4c8e17507b74a5f8ea9256e544b.jpg) +图1 模型思维导图 + +# 5.1 任务一的模型建立——方法一：考虑历史信号的调度模型 + +任务一实际为在CNC有无发生故障的情况下分别对加工一道工序、两道工序的物料建立4种RGV动态调度模型。本模块下4种模型均在采用第一类RGV的基础上建立。 + +# 5.1.1 无故障下加工一道工序的情况 + +# （1）RGV的动态调度模型 + +在智能加工系统中，调度1台RGV对两边排列的8台CNC进行上下料与洗料。RGV小车，第 $k$ 轮上料对于第 $i$ 台CNC只有前往和不前往两种情况，引入0-1变量 $x_{i}^{(k)}$ ，则有 + +$$ +x _ {i} ^ {(k)} = \left\{ \begin{array}{l} 0, \text {R G V 第} k \text {轮 上 料 不 前 往 第} i \text {台 C N C} \\ 1, \text {R G V 第} k \text {轮 上 料 前 往 第} i \text {台 C N C} \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +对 RGV 而言, 每轮移动前均对当前 8 台 CNC 各自的加工剩余时间 $T_{\text {剩} i}^{(k)}$ 与移动至每台 CNC 前所需时间 $T_{\text {移} p ^{(k)} q ^{(k)}}^{(k)}$ 进行比较, 其较大值与上下料时间 $T_{\text {料} i}^{(k)}$ 之和即为 RGV 从前往第 $i$ 台 CNC 完成第 $k$ 轮上料所用时间, + +$$ +T _ {i} ^ {(k)} = \max _ {i} \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)}, T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)}\right) + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} \tag {2} +$$ + +其中 $p^{(k)}$ 表示第 $k$ 轮上料的 RGV 移动的起点位置， $q^{(k)}$ 表示第 $k$ 轮上料 RGV 移动的终点位置。 + +$$ +f _ {i} ^ {(k)} = \left\{ \begin{array}{l} 0, \text {第} k \text {轮 上 料 前 第} i \text {台 C N C 无 物 料} \\ 1, \text {第} k \text {轮 上 料 前 第} i \text {台 C N C 有 物 料} \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +其中 $f_{i}^{(k)}$ 为第 $k$ 轮上料前第 $i$ 台 CNC 上的物料状态，旨在区别开机后前 8 轮上料之后不需要洗料的情况，其中 RGV 在第 $i$ 台 CNC 的处第 $k$ 轮上料后洗料时间用 $T_{\text {洗 } i}^{(k)}$ 表示。 + +综上，建立获得成料数量最多的单目标规划模型如下： + +决策变量为： + +$$ +x _ {i} ^ {(k)} +$$ + +目标函数为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w ^ {(k)} \tag {4} +$$ + +其中 $w^{(k)}$ 为第 $k$ 轮上料后产出的成料总数。 + +约束条件为： + +(1) RGV 每轮移动去等待时间最短的 CNC 前, 即 + +$$ +\max _ {i} \left(x _ {i} ^ {(k)} \cdot T _ {i} ^ {(k)}\right) = \min _ {i} T _ {i} ^ {(k)} \tag {5} +$$ + +(2) 一台 RGV 每次只能对一台 CNC 进行上下料与洗料, 即 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} = 1 \tag {6} +$$ + +(3) 每台 CNC 在装载过一次物料后, CNC 上一直有物料, 即 + +$$ +f _ {i} ^ {(k + 1)} = f _ {i} ^ {(k)} + x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - f _ {i} ^ {(k)}\right) \tag {7} +$$ + +（4）RGV停泊的时间越短，工作时间越接近8小时，系统工作效率越高。 + +RGV 一个加工班次中总工作时间不超过 8 小时, 即 + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \leq 8 \times 3 6 0 0 \tag {8} +$$ + +(5) RGV 第 $k + 1$ 次的移动起点 $p ^{(k + 1)}$ 为第 $k$ 次 RGV 的移动终点 $q^{(k)}$ , 即 + +$$ +q ^ {(k)} = p ^ {(k + 1)} \tag {9} +$$ + +(6) 每轮上料后累计成品产量至多增加 1 , 即 + +$$ +w ^ {(k + 1)} = w ^ {(k)} + \sum_ {i = 1} ^ {8} \left(f _ {i} ^ {(k)} \cdot x _ {i} ^ {(k)}\right) \tag {10} +$$ + +(7) 在第一轮上料前, 成料总数为 0 , 即 + +$$ +w ^ {(0)} = 0 \tag {11} +$$ + +综上，获得最大数量成料的模型[1]为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w ^ {(k)} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} k = 1, 2, 3 \dots ; i = 1, 2, \dots , 8 \\ \max _ {i} \left(x _ {i} ^ {(k)} \cdot T _ {i} ^ {(k)}\right) = \min _ {i} T _ {i} ^ {(k)} \\ T _ {i} ^ {(k)} = \max _ {i} \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)}, T _ {\text {移} p ^ {(k)} p ^ {(k + 1)}} ^ {(k)}\right) + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} \\ \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} = 1 \\ f _ {i} ^ {(k + 1)} = f _ {i} ^ {(k)} + x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - f _ {i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \leq 8 \times 3 6 0 0 \\ q ^ {(k)} = p ^ {(k + 1)} \\ w ^ {(k + 1)} = w ^ {(k)} + \sum_ {i = 1} ^ {8} \left(f _ {i} ^ {(k)} \cdot x _ {i} ^ {(k)}\right) \\ w ^ {(0)} = 0 \\ x _ {i} ^ {(k)} \in \{0, 1 \} \end{array} \tag {12} +$$ + +# (2) 模型的求解算法 + +由于难以直接通过模型求得全局最优解，考虑通过求得每轮上下料最短所需时长的启发信息，构造启发式算法得到近似最优解。 + +从0时刻（即系统启动时刻）开始，通过综合考虑所有历史需求信号和当轮需求信号，找出能最快完成上下料的CNC，并响应此CNC的当轮需求信号，对此CNC完成一轮上下料的过程，随后按照实际情况判断是否洗料。反复执行上述操作。当累计超过8小时，中止循环。 + +图中预计完成作业时间即 $T_{i}^{(k)} = \max_{i}\left(T_{\text{剩} i}^{(k)}, T_{\text{移} p^{(k)} q^{(k)}}^{(k)}\right) + T_{\text{料} i}^{(k)}$ 。 + +![](images/901e9919c91368c94717a0d556ad4aae20c3b806adf677fd3f9594cc07a98deb.jpg) +图2 情况1的流程图 + +# 5.1.2 无故障下加工两道工序的情况 + +# （1）RGV的动态调度模型 + +具有两道工序的物料，在加工过程中有生料、已加工一道工序的物料以及熟料三种工序状态。在一个班次中，一台CNC仅能使用一种刀具加工一道工序情况下，如何让RGV在上下料时“认识”机械臂所持物料正处于哪种工序状态并对其进行进一步处理（送至相应CNC进行后序加工、洗料）是一大难点。本文通过引入物料工序状态因子 $X^{(k)}$ 、CNC加工工序类型因子 $Y_{i}$ ，当这两种因子匹配成功时，RGV才能成功进行上下料。 + +在对8台CNC进行刀具分配时，共有 $\sum_{j=1}^{7} C_{8}^{j} = 254$ 种刀具分布方案，由于不同分配方案下RGV工作时间与成料数量不同，本文建立了以RGV调度路径为决策变量的最快获得最大数量成料的双目标规划模型如下： + +决策变量为： + +$$ +x _ {i} ^ {(k)} +$$ + +目标函数为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w _ {a b} ^ {(k)} \tag {13} +$$ + +$$ +\min _ {k} \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \tag {14} +$$ + +$a$ 为加工第一道工序的 CNC 数量, $b$ 为加工第二道工序的 CNC 数量, $w_{ab}^{(k)}$ 为第 $k$ 轮上料后加工两道工序的 CNC 产出的成料总数。 + +在式（5）-（11）的约束下，增加约束条件： + +(1) 一个加工班次中, 一台 CNC 只能安装一种刀具、加工一道工序, 即 + +$$ +Y _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} 1, \text {第} i \text {台} \mathrm {C N C} \text {负 责 第 一 道 工 序} \\ 2, \text {第} i \text {台} \mathrm {C N C} \text {负 责 第 二 道 工 序} \end{array} \right. \tag {15} +$$ + +(2) 物料有且仅有两种工序状况, 即 + +$$ +X ^ {(k)} = \left\{ \begin{array}{l} 1, \text {第} k \text {轮 上 料 时 R G V 中 无 物 料} \\ 2, \text {第} k \text {轮 上 料 时 R G V 中 有 完 成 了 工 序 一 的 物 料} \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +(3) 第 $k$ 轮上料时, 只有当物料与被上料的第 $i$ 台 CNC 的工序匹配成功即当 $X^{(k)} = Y_{i}$ 时才能成功进行上料, 则有 + +$$ +x _ {i} ^ {(k)} = x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - \left| X ^ {(k)} - Y _ {i} \right|\right) \tag {17} +$$ + +(4) CNC 数量满足正整数约束且 CNC 总数量一定, 即 + +$$ +a + b = 8; a, b \in N ^ {+} \tag {18} +$$ + +综上，获得最短时间获得最多成品的模型[1]为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w _ {a b} ^ {(k)} +$$ + +$$ +\min _ {k} \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\mathrm {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} k = 1, 2, 3 \dots ; i = 1, 2, \dots , 8 \\ \max _ {i} \left(x _ {i} ^ {(k)} \cdot T _ {i} ^ {(k)}\right) = \min _ {i} T _ {i} ^ {(k)} \\ T _ {i} ^ {(k)} = \max _ {i} \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)}, T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)}\right) + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} \\ \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} = 1 \\ x _ {i} ^ {(k)} = x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - \left| X ^ {(k)} - Y _ {i} \right|\right) \\ a + b = 8; a, b \in N ^ {+} \\ f _ {i} ^ {(k + 1)} = f _ {i} ^ {(k)} + x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - f _ {i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \leq 8 \times 3 6 0 0 \\ q ^ {(k)} = p ^ {(k + 1)} \\ w ^ {(k + 1)} = w ^ {(k)} + \sum_ {i = 1} ^ {8} \left(f _ {i} ^ {(k)} \cdot x _ {i} ^ {(k)}\right) \\ w ^ {(0)} = 0 \\ x _ {i} ^ {(k)} \in \{0, 1 \} \\ Y _ {i} \in \{1, 2 \} \\ X ^ {(k)} \in \{1, 2 \} \end{array} \tag {19} +$$ + +# （2）模型的求解算法 + +对每一种刀具分布方案采用与情况1算法相同的思路构建启发式算法求出对应的近似最优解，依照双目标选出最优化刀具分布方案及相应的物料加工情况。 + +任何一种刀具分布方案中必然同时存在工序 1 刀具和工序 2 刀具，遍历 254 种刀具分布方案，并进行计算： + +从0时刻（即系统启动时刻）开始，通过综合考虑所有历史需求信号和当轮需求信号，在所负责工序符合当前目标工序的CNC中，找出能最快完成上下料的CNC，并响应此CNC的当轮需求信号，对此CNC完成一轮上下料的过程，随后按照实际情况判断是否洗料以及是否改变目标工序。反复执行上述操作。当累计超过8小时，中止循环。最终依据双决策目标找出最优化刀具分布方案及相应的物料加工情况。 + +![](images/5404e075748f653f66441ceb504be7946fda70c206d0876e62e84b75ccb62b9d.jpg) +图3 情况2的流程图 + +# 5.1.3 概率故障下加工一道工序的情况 + +# （1）RGV的动态调度模型 + +实际生产生活中，工业流水线上存在多种不确定因素影响着正常生产，也影响了调度目标的实现。情况3指出CNC在加工过程中可能发生概率为 $1\%$ 的故障，故障发生时该机正在加工的物料即刻报废，人工排除故障需要 $10\sim 20$ 分钟，排除故障后该机即刻加入作业序列。因此在规划RGV动态调度模型时，应考虑通过实时采集故障机信息，及时更新RGV作业指令，使得RGV工作不因故障机停滞，从而提高此智能加工系统的生产效率。 + +综上，建立概率故障下获得最大数量成料的单目标规划模型如下： + +决策变量为： + +$$ +x _ {i} ^ {(k)} +$$ + +目标函数为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w ^ {(k)} \tag {20} +$$ + +在式（5）-（11）的约束下，增加约束条件： + +(1) 机器故障仅发生在加工过程中, 即 + +$$ +T _ {\text {渡} i} ^ {(k)} \sim U \left(0, T _ {\text {工} i} ^ {(k)}\right) \tag {21} +$$ + +其中 $T_{\text{渡}i}^{(k)}$ 为第 $i$ 台 CNC 第 $k$ 轮上料后到其发生故障的时间。 + +(2) 加工过程中第 $i$ 台 CNC 发生故障的概率是确定的, 即 + +$$ +P \left(C _ {i} ^ {(k)}\right) = \frac {1}{1 0 0} \tag {22} +$$ + +(3) 修理故障机耗时 $10 \sim 20$ 分钟, 即 + +$$ +T _ {\text {修} i} ^ {(k)} \sim U (6 0 0, 1 2 0 0) \tag {23} +$$ + +其中 $T_{\text{修}i}^{(k)}$ 为第 $k$ 轮上料发生故障的第 $i$ 台CNC的维修时间。 + +(3) 第 $k$ 轮上料时发生了故障的第 $i$ 台 CNC 表示为 $C_{i}^{(k)}$ , 当 $C_{i}^{(k)}$ 发生时, + +$$ +t _ {\text {障} i} ^ {(k)} = \sum_ {k = 1} ^ {k - 1} \sum_ {i = 1} ^ {8} \left\{x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left[ T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)} \right] \right\} + T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {渡} i} ^ {k} \tag {24} +$$ + +此时人工将故障机的报废料清除，且令故障机的维修时间等同于故障机“剩余加工时间”，即 + +$$ +\text {令} f _ {i} ^ {(k + 1)} = 0, T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} = T _ {\text {修} i} ^ {(k)} \tag {25} +$$ + +综上，获得最大数量成料的模型[1]为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w ^ {(k)} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} k = 1, 2, 3 \dots ; i = 1, 2, \dots , 8 \\ \max _ {i} \left(x _ {i} ^ {(k)} \cdot T _ {i} ^ {(k)}\right) = \min _ {i} T _ {i} ^ {(k)} \\ T _ {i} ^ {(k)} = \max _ {i} \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)}, T _ {\text {移} p ^ {(k)} p ^ {(k + 1)}} ^ {(k)}\right) + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} \\ \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} = 1 \\ f _ {i} ^ {(k + 1)} = f _ {i} ^ {(k)} + x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - f _ {i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \leq 8 \times 3 6 0 0, \\ q ^ {(k)} = p ^ {(k + 1)} \\ w ^ {(k + 1)} = w ^ {(k)} + \sum_ {i = 1} ^ {8} \left(f _ {i} ^ {(k)} \cdot x _ {i} ^ {(k)}\right); w ^ {(0)} = 0 \\ T _ {\text {渡} i} ^ {(k)} \sim U \left(0, T _ {\text {工} i} ^ {(k)}\right) \\ P \left(C _ {i} ^ {(k)}\right) = \frac {1}{1 0 0} \\ T _ {\text {修} i} ^ {(k)} \sim U (6 0 0, 1 2 0 0) \\ t _ {\text {障} i} ^ {(k)} = \sum_ {k = 1} ^ {k - 1} \sum_ {i = 1} ^ {8} \left\{x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left[ T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)} \right] \right\} + T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {渡} i} ^ {k} \\ C _ {i} ^ {(k)} \text {发 生 时 ， 令} f _ {i} ^ {(k + 1)} = 0, T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} = T _ {\text {修} i} ^ {(k)} \\ x _ {i} ^ {(k)} \in \{0, 1 \} \end{array} \tag {26} +$$ + +# （2）模型的求解算法 + +通过生成随机数模拟故障与维修，将故障与维修等效转换为CNC仍在工作。采用与情况1算法相同的思路构建启发式算法求出近似最优解。 + +从0时刻（即系统启动时刻）开始，通过综合考虑所有历史需求信号和当轮需求信号，找出能最快完成上下料的CNC，并响应此CNC的当轮需求信号，对此CNC完成一轮上下料的过程，随后按照实际情况判断是否洗料。 + +为了模拟概率故障，在每一轮上料时刻，通过生成均布随机数来决定此物料是否有可能在未来的加工过程中发生故障，如果此物料的加工过程会发生故障，则分别生成均布随机数以决定故障的发生时刻和修复故障所需的时间，并记录这些信息。在每一次RGV完成上下料（和洗料）时刻、RGV完成移动时刻、RGV原地等待时段，处理已发生且未曾处理的故障，将此次故障与修复的概念等效转化为故障CNC正在加工物料，令此次加工时间等于修复时间，且此次加工结束（即完成修复）之后此CNC中不存在物料（即产生故障的物料被人为报废）。如果发生故障的CNC正好是RGV即将响应需求的CNC，则令RGV原地等待，并重新开始循环选择另一个需要被相应需求的CNC。 + +反复执行上述操作。当累计超过8小时，中止循环。 + +![](images/bf63946eefa41848738e712c0526039dba5c89cb54d7f4f420861524c2718084.jpg) +图4 情况3-1的流程图 + +# 5.1.4 概率故障下加工两道工序的情况 + +# （1）RGV的动态调度模型 + +在式（5）-（11）（15）-（18）（21）-（25）的约束下，获得最多成品模型[1]为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w _ {a b} ^ {(k)} +$$ + +$$ +\min _ {k} \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\mathrm {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} k = 1, 2, 3 \dots ; i = 1, 2, \dots , 8 \\ \max _ {i} \left(x _ {i} ^ {(k)} \cdot T _ {i} ^ {(k)}\right) = \min _ {i} T _ {i} ^ {(k)} \\ T _ {i} ^ {(k)} = \max _ {i} \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)}, T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)}\right) + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} \\ \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} = 1 \\ x _ {i} ^ {(k)} = x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - \left| X ^ {(k)} - Y _ {i} \right|\right) \\ a + b = 8; a, b \in N ^ {+} \\ f _ {i} ^ {(k + 1)} = f _ {i} ^ {(k)} + x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - f _ {i} ^ {(k)}\right) \\ T _ {S} ^ {(k)} \leq 8 \times 3 6 0 0 \\ q ^ {(k)} = p ^ {(k + 1)} \\ w ^ {(k + 1)} = w ^ {(k)} + \sum_ {i = 1} ^ {8} \left(f _ {i} ^ {(k)} \cdot x _ {i} ^ {(k)}\right) \\ w ^ {(0)} = 0 \\ T _ {\text {渡} i} ^ {(k)} \sim U \left(0, T _ {\text {工} i} ^ {(k)}\right) \\ P \left(C _ {i} ^ {(k)}\right) = \frac {1}{1 0 0} \\ T _ {\text {修} i} ^ {(k)} \sim U (6 0 0, 1 2 0 0) \\ t _ {\text {障} i} ^ {(k)} = \sum_ {k = 1} ^ {k - 1} \sum_ {i = 1} ^ {8} \left\{x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left[ T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)} \right] \right\} + T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {渡} i} ^ {k} \\ C _ {i} ^ {(k)} \text {发 生 时 ， 令} f _ {i} ^ {(k + 1)} = 0, T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} = T _ {\text {修} i} ^ {(k)} \\ x _ {i} ^ {(k)} \in \{0, 1 \} \\ Y _ {i} \epsilon \{1, 2 \} \\ X ^ {(k)} \epsilon \{1, 2 \} \end{array} \tag {27} +$$ + +# （2）模型的求解算法 + +生成随机数模拟故障与维修，将故障与维修等效转换为CNC仍在工作。采用已求得的最优刀具分布方案及情况2算法相同的思路构建启发式算法求出近似最优解。 + +选择之前在情况2中的最优刀具分布方案，从0时刻（即系统启动时刻）开始，通过综合考虑所有历史需求信号和当轮需求信号，在所负责工序符合当前目标工序的CNC中，找出能最快完成上下料的CNC，并响应此CNC的当轮需求信号，对此CNC完成一轮上下料的过程，随后按照实际情况判断是否洗料以及是否改变目标工序。反复执行上述操作。 + +对于模拟概率故障，算法与上一种算法完全一致，不再赘述。当累计超过8小时，中止循环。 + +![](images/55861d2c79e06357b8e5b00c6985413987391c36e1152f711a526fae8265079f.jpg) +图5 情况3-2的流程图 + +# 5.2 任务一的模型建立——方法二：仅考虑当轮信号的调度模型 + +本模块下4种模型均在采用第二类RGV的基础上建立，由于论文篇幅有限以及方法一、二算法思想极其相似，方法二算法文中不再展示。 + +两组 RGV 调度模型，最关键的区别即为是否在未接收到新需求指令时进行预判与移动。在方法二中，此时 RGV 前往第 $i$ 台 CNC 完成第 $k$ 轮上料所用时间为 $T_{\text {剩 } i}^{(k)} + T_{\text {移 } p^{(k)} p^{(k+1)}}^{(k)} + T_{\text {料 } i}^{(k)}$ ，当 RGV 移动前已经接收到多个需求信号时，有 + +$$ +\begin{array}{l} \max \left[ x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)}\right) \right] = \min \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)}\right) (28) \\ \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \leq 8 \times 3 6 0 0 (29) \\ \end{array} +$$ + +# 5.2.1 无故障下加工一道工序的情况 + +在式（6）（7）（9）-（11）（28）（29）的约束下，建立加工一道工序情况想获得最大数量成料的模型[1]为： + +$$ +\begin{array}{l} \max Z = \max _ {k} w ^ {(k)} \\ \begin{array}{l} k = 1, 2, 3 \dots ; i = 1, 2, \dots , 8 \\ \max \left[ x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)}\right) \right] = \min \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} = 1 \\ f _ {i} ^ {(k + 1)} = f _ {i} ^ {(k)} + x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - f _ {i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {\text {剩}} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \leq 8 \times 3 6 0 0, \\ q ^ {(k)} = p ^ {(k + 1)} \\ w ^ {(k + 1)} = w ^ {(k)} + \sum_ {i = 1} ^ {8} \left(f _ {i} ^ {(k)} \cdot x _ {i} ^ {(k)}\right) \\ w ^ {(0)} = 0 \\ x _ {i} ^ {(k)} \in \{0, 1 \} \end{array} \tag {29} \\ \end{array} +$$ + +# 5.2.2 无故障下加工两道工序的情况 + +在式（6）（7）（9）-（11）（15）-（18）（28）（29）的约束下，建立加工两道工序情况下最短时间获得最多成品的模型[1]为： + +$$ +\begin{array}{l} \max Z = \max _ {k} w _ {a b} ^ {(k)} \\ \min _ {k} \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left[ T _ {\text {剩}} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)} \right] \\ \left\{ \begin{array}{l} k = 1, 2, 3 \dots ; i = 1, 2, \dots , 8 \\ \max \left[ x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)}\right) \right] = \min \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} = 1 \\ x _ {i} ^ {(k)} = x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - \left| X ^ {(k)} - Y _ {i} \right|\right) \\ a + b = 8; a, b \in N ^ {+} \\ f _ {i} ^ {(k + 1)} = f _ {i} ^ {(k)} + x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - f _ {i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {\text {剩}} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \leq 8 \times 3 6 0 0 \\ q ^ {(k)} = p ^ {(k + 1)} \\ w ^ {(k + 1)} = w ^ {(k)} + \sum_ {i = 1} ^ {8} \left(f _ {i} ^ {(k)} \cdot x _ {i} ^ {(k)}\right) \\ w ^ {(0)} = 0 \\ x _ {i} ^ {(k)} \in \{0, 1 \} \\ Y _ {i} \epsilon \{1, 2 \} \\ X ^ {(k)} \epsilon \{1, 2 \} \end{array} \right. \tag {30} \\ \end{array} +$$ + +# 5.2.3 概率故障下加工一道工序的情况 + +在式（6）（7）（9）-（11）（21）-（25）（28）（29）的约束下，建立获得概率故障情况下加工一道工序的最大数量成料的模型[1]为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w ^ {(k)} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} k = 1, 2, 3 \dots ; i = 1, 2, \dots , 8 \\ \max \left[ x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)}\right) \right] = \min \left(T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} = 1 \\ f _ {i} ^ {(k + 1)} = f _ {i} ^ {(k)} + x _ {i} ^ {(k)} \left(1 - f _ {i} ^ {(k)}\right) \\ \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left(T _ {\text {剩}} ^ {(k)} + T _ {\text {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\text {料} i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)}\right) \leq 8 \times 3 6 0 0, \\ q ^ {(k)} = p ^ {(k + 1)} \\ w ^ {(k + 1)} = w ^ {(k)} + \sum_ {i = 1} ^ {8} \left(f _ {i} ^ {(k)} \cdot x _ {i} ^ {(k)}\right) \\ w ^ {(0)} = 0 \\ T _ {\text {渡} i} ^ {(k)} \sim U \left(0, T _ {\text {工} i} ^ {(k)}\right) \\ P \left(C _ {i} ^ {(k)}\right) = \frac {1}{1 0 0} \\ T _ {\text {修} i} ^ {(k)} \sim U (6 0 0, 1 2 0 0) \\ t _ {\text {障} i} ^ {(k)} = \sum_ {k = 1} ^ {k - 1} \sum_ {i = 1} ^ {8} \left\{x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left[ T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)} \right] \right\} + T _ {i} ^ {(k)} + T _ {\text {渡} i} ^ {k} \\ C _ {i} ^ {(k)} \text {发 生 时 ， 令} f _ {i} ^ {(k + 1)} = 0, T _ {\text {剩} i} ^ {(k)} = T _ {\text {修} i} ^ {(k)} \\ x _ {i} ^ {(k)} \in \{0, 1 \} \end{array} \tag {31} +$$ + +# 5.2.4 概率故障下加工两道工序的情况 + +在式（6）（7）（9）-（11）（15）-（18）（21）-（25）（28）（29）约束下，建立获得概率故障情况下加工两道工序的最短时间获得最大数量成料的模型[1]为： + +$$ +\max Z = \max _ {k} w _ {a b} ^ {(k)} +$$ + +$$ +\min _ {k} \sum_ {k = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {8} x _ {i} ^ {(k)} \cdot \left[ T _ {\mathrm {剩}} ^ {(k)} + T _ {\mathrm {移} p ^ {(k)} q ^ {(k)}} ^ {(k)} + T _ {\mathrm {料} i} ^ {(k)} + T _ {\mathrm {洗} i} ^ {(k)} \cdot f _ {i} ^ {(k)} \right] +$$ + +$$ +\begin{array} { l } { { k = 1 , 2 , 3 \ldots ; i = 1 , 2 , \ldots , 8 } } \\ { x _ { i } ^ { ( k ) } \in \{ 0 , 1 \} } \\ { m a x \left[ x _ { i } ^ { ( k ) } \cdot \left( T _ { \text { 剩 } i } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 移 } p ^ { ( k ) } q ^ { ( k ) } } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 料 } i } ^ { ( k ) } \right) \right] = \operatorname* { m i n } \left( T _ { \text { 剩 } i } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 移 } p ^ { ( k ) } q ^ { ( k ) } } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 料 } i } ^ { ( k ) } \right) } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } x _ { i } ^ { ( k ) } = 1 } \\ { x _ { i } ^ { ( k ) } = x _ { i } ^ { ( k ) } \big ( 1 - \big | X ^ { ( k ) } - Y _ { i } \big | \big ) } \\ { a + b = 8 ; a , b \in N ^ { + } } \\ { f _ { i } ^ { ( k + 1 ) } = f _ { i } ^ { ( k ) } + x _ { i } ^ { ( k ) } \Big ( 1 - f _ { i } ^ { ( k ) } \Big ) } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { k } \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } x _ { i } ^ { ( k ) } \cdot \left( T _ { \text { 剩 } } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 移 } p ^ { ( k ) } q ^ { ( k ) } } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 料 } i } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 洗 } i } ^ { ( k ) } \cdot f _ { i } ^ { ( k ) } \right) \leq 8 \times 3 6 0 0 } \\ { q ^ { ( k ) } = p ^ { ( k + 1 ) } } \\ { w ^ { ( k + 1 ) } = w ^ { ( k ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \Big ( f _ { i } ^ { ( k ) } \cdot x _ { i } ^ { ( k ) } \Big ) } \\ { w ^ {( 0 ) } = 0 } \\ { T _ { \text { 渡 } i } ^ { ( k ) } \sim U \left( 0 , T _ { \text { 工 } i } ^ { ( k ) }\right) } \\ { P \Big ( C _ { i } ^ { ( k ) } \Big ) = \frac { 1 } { 1 0 0 } } \\ { T _ { \text { 修 } i } ^ { ( k ) } \sim U ( 6 0 0 , 1 2 0 0 ) } \\ { t _ { \text { 障 } i } ^ { ( k ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { k - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \left\{ x _ { i } ^ { ( k ) } \cdot \left[ T _ { i } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 洗 } i } ^ { ( k ) } \cdot f _ { i } ^ { ( k ) } \right] \right\} + T _ { i } ^ { ( k ) } + T _ { \text { 渡 } i } ^ { k }} \\ { C _ { i } ^ { ( k ) } \text { 发 生 时 ， 令 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ .}} \\ { x _ { i } ^ { ( k ) } \in \{ 0 , 1 \} } \\ { Y _ { i } \epsilon \{ 1 , 2 \} } \\ { X ^ {( k ) } \epsilon \{ 1 , 2 \} } \end{array} \tag {32} +$$ + +# 5.3 任务二的模型建立与求解 + +本文利用题给3组参数检验模型的实用性与算法的有效性。 + +# （1）模型的实用性 + +为了更准确地描述RGV动态调度模型的实用性，本文从实施的可行性[2]、经济性[2]、普适性三个方面分别进行研究。 + +(1)实施的可行性 + +一个可行性高的调度模型不能脱离实际，应能实施到实际生产中。RGV的动态调度模型是否能运用在实际生产中是实施的可行性的最重要因素。 + +②经济性 + +一个好的调度模型能实现缩短生产周期、降低生产成本、提高生产效率等目标，进而提高系统的经济效益。RGV的动态调度模型直接影响该智能加工系统的生产能力，通过经济性衡量模型的实用性是合适的。 + +这里情况1和2下，引入理想总完成加工数，意指在一个班次内所有CNC处于不间断工作状态。用实际总完成加工数与理想总完成加工数表的比例大小来反应其经济性的高低。 + +(3)普适性 + +普适性强的调度模型，能对同类生产对象、流水线具有普遍的适用性。 + +(4) CNC 平均非有效工作时长 + +由于RGV总工作时长受总产量影响，因此使用RGV总工作时间计算可得CNC平均非有效工作时长，便于对其进行准确的评价。 + +$$ +\text {C N C 平 均 非 有 效 工 作 时 长} = \frac {\left(\mathrm {R G V} \text {总 工 作 时 间} \times 8 - \text {成 料 数} \cdot T _ {\text {工} \mathrm {i}} ^ {(k)}\right)}{8} \tag {33} +$$ + +# (2) 算法的有效性 + +为了更准确地描述RGV动态调度模型所对应算法的有效性，本文从程序的运行总时长与程序运行占用内存两个方面分别进行研究。 + +(1)程序总运行时长 + +总运行时长短的程序，能快速得到结果，运行结果在实际应用中具有时效性。程序总运行时间越短，运行结果的时效性越好，算法的有效性越高。程序基于Intel(R)Core(TM)i7-6700HQ2.60GHz2.60GHz处理器运行。 + +(2)程序运行占用内存 + +Matlab 内存占用量反映了此程序的优化程度，内存占用量越小，程序对计算机的性能要求越低，算法的实用性越高。当 Matlab（R2018a）空闲时在本机上的内存占用量为 1434MB。 + +# 5.3.1对无故障下一道工序的两种RGV动态调度模型的求解与检验 + +表 1: 情况 1 中 3 组参量在两种方法下的检验结果 + +
情况1组1组2组3
方法1方法2方法1方法2方法1方法2
理想总完成加工数(件)390376401
总完成加工数(件)382356359336392366
比例97.95%91.28%95.48%89.36%97.76%91.27%
CNC平均非有效工作时长(秒)193637922658424219963800.3
RGV总工作时间(秒)287292876528751286622875328786
程序总运行时长(秒)0.0048910.0046160.0049450.0044190.0054150.005349
Matlab内存占用量(MB)166117111667171616891711
+ +通过循环遍历法，在同时满足两个决策目标的情况下，组1得到了8种最优刀具分布方案，组2得到了1种最优刀具分布方案，组3得到了2种最优刀具分布方案，具体分配方案如表2。由于这些刀具分布方案同时满足了两个决 + +策目标，因此在后文情况3的模型求解中，每组选用其中一种刀具分布方案来进行求解。 + +表 2: 情况 2 中 3 组参量下的刀具分配方案 + +
组1组2组3
CNC1#11111111211
CNC2#22222222122
CNC3#22221111211
CNC4#11112222111
CNC5#22112211222
CNC6#11221122111
CNC7#21212121221
CNC8#12121212112
+ +# 5.3.2对无故障下两道工序的两种RGV动态调度模型的求解与检验 + +表 3: 情况 2 中 3 组参量在两种方法下的检验结果 + +
情况2组1组2组3
方法1方法2方法1方法2方法1方法2
理想总完成加工数(件)275272331
总完成加工数(件)253235211202243240
比例92.00%85.45%77.57%74.26%73.41%72.51%
CNC平均非有效工作时长(秒)413958228122903592919549
RGV总工作时间(秒)287972872928755287902869228711
程序总运行时长(秒)0.8847140.8874020.8215330.7675460.9268950.881681
Matlab内存占用量(MB)172217191723168917231689
+ +# 5.3.3对概率故障下一道工序的两种RGV动态调度模型的求解与检验 + +表 4: 情况 3 (1) 中 3 组参量在两种方法下的检验结果 + +
情况3(基于情况1)组1组2组3
方法1方法2方法1方法2方法1方法2
总完成加工数(件)376352354332383357
CNC平均非有效工作时长(秒)218338792851438723364099
RGV 总工作时间 +(秒)287662878228799286622875328744
故障次数333244
程序总运行时 +长（秒）0.0079720.0126890.0077890.0164460.0127910.007311
Matlab 内存占 +用量（MB）169716781689167416831673
+ +# 5.3.4对概率故障下两道工序的两种RGV动态调度的模型求解与检验 + +表 5: 情况 3 (2) 中 3 组参量在两种方法下的检验结果 + +
情况3(基于情况2)组1组2组3
方法1方法2方法1方法2方法1方法2
总完成加工数(件)239222210196240233
CNC平均非有效工作时长(秒)491761798148.8978.92089860
RGV总工作时间(秒)287022870028786286362860928709
工序1CNC故障次数331511
工序2CNC故障次数260022
程序总运行时长(秒)0.0098650.0208350.0165120.0153740.021180.01148
Matlab内存占用量(MB)166116341612163516141636
+ +# 5.3.5 基于 3 种情况对 RGV 动态调度模型及算法的评价 + +# （1）模型实用性的评价 + +(1) 实施的可行性：根据表 1、3、4、5 与模型，在一个班次内能够完整并较好地对 RGV 进行调度，说明了模型的可行性。 +②经济性：根据表1、3与模型，在一个班次内，总完成加工数目与理想总完成加工数目差距不大，说明了模型有较高的经济性。 +(3) 普适性: 根据表 1、3、4、5, RGV 调度模型能对不同 3 组参数进行求解, 并得出调度策略, 说明了模型的普适性。 + +综上，本文所建立的单RGV动态调度模型具有实用性。 + +# (2) 算法有效性的评价 + +(1)程序总运行时长: 根据表 1、3、4、5, 利用计算机安排计算出一个班次内的调度方案所花的时间都非常的短。 +②程序运行占用内存：根据表1、3、4、5，计算机在进行安排调度方案，所占用的运行内存整体偏小。 + +综上，本文所建立的单RGV动态调度模型所对应的算法具有有效性。 + +# 5.3.6基于情况1、2对两种RGV动态调度模型进行比较 + +由于，情况3存在随机因素，模拟过程中，随机因素对结果的影响很难消除，因此只基于情况1、2对两种RGV动态调度模型进行比较。 + +表 4: 情况 1 中 3 组参量在两种方法下的成料数 + +
情况1组1组2组3
方法1方法2方法1方法2方法1方法2
理想成料数(件)390376401
成料数(件)382356359336392366
+ +根据表 4, 利用柱状图表示其差异, 如图 6: + +![](images/aa7c5a6064bbfcff34ce8fdedf3cb684a465f598cff2ae20497f270f8ff397ea.jpg) +图6 情况1两种方法各组别成料数 + +表 5: 情况 2 中 3 组参量在两种方法下的成料数 + +
情况2组1组2组3
方法1方法2方法1方法2方法1方法2
理想成料数(件)275272331
成料数(件)253235211202243240
+ +根据表 5, 利用柱状图表示其差异, 如图 7: + +![](images/83231306fd78524eec0e7365fc013fe96cca3b0cdded52221db44249ee5d58cc.jpg) +图7 情况2两种方法各组别成料数 + +综上，由图6与图7可以得到，在情况1、2下，在一个班次内，方法一所产出的成料总数更加接近理想成料总数，因此方法一更优于方法二。 + +# 六、模型的检验 + +# 6.1 仿真检验 + +为了进一步验证模型的实用性与算法的可行性，本文通过题给三组数据重新组合得到仿真数据，如表7 + +表7 仿真数据表 + +
系统作业参数时长
RGV移动1个单位所需时间20
RGV移动2个单位所需时间41
RGV移动3个单位所需时间46
CNC加工完成一个一道工序的物料所需时间560
CNC加工完成一个两道工序物料的第一道工序所需时间455
CNC加工完成一个两道工序物料的第二道工序所需时间500
RGV为CNC1#, 3#, 5#, 7#一轮上下料所需时间28
RGV为CNC2#, 4#, 6#, 8#一轮上下料所需时间35
RGV完成一个物料的清洗作业所需时间25
+ +根据表7中的系统作业参数，对CNC概率故障情况下加工两道工序的物料进行最快获得最多成品的双目标规划，检验结果如表8： + +表 8 仿真检验结果表 + +
模型的检验情况3（基于情况2）
方法1
成料数（件）201
CNC平均非有效工作时长（秒）4338.5
最终完成物料清洗时刻（秒）28751
程序总运行时长（秒）0.006976
工序1CNC故障次数1
工序2CNC故障次数2
算法空间复杂度0(1)
算法时间复杂度0(n^2)
+ +# 七、模型的评价 + +# 7.1 模型的评价 + +# 7.1.1 模型的优点 + +针对情况1的模型1： + +对于单道工序的RGV调度模型，模型规律简单、易懂，而且能够运用该模型以及模型求解算法得出比较理想的调度方案，说明了模型的实用性和算法有效性。 + +针对情况2的模型2： + +对于双道工序的 RGV 调度模型，我们在模型 1 的基础上加入了目标工序的概念，以此来保证 RGV 中的物料工序与 CNC 工序相匹配。另外，本题中，由于工艺流程比较简单，对于模型的求解采用循环遍历法，能够找到各刀具数量与位置的最佳分配方案。 + +针对情况3的模型3： + +在模型1、2的前提下，我们还建立故障模拟模型，能够较好地表示出 $1\%$ 的故障发生概率，而且能够及时发现与处理故障CNC，提高了工作的效率，从而能找出更优的调度方案提高了模型的实用性。 + +# 7.1.2 模型的缺点 + +针对情况1的模型： + +对于单道工序的 RGV 调度模型，在实际生产过程中，信号的发出与接受并作出行动这整个过程，会有时间延迟，这是该模型未考虑的。 + +针对情况2的模型： + +对于双道工序的RGV调度模型，由于题目CNC台数偏少只有八台，且物料加工工序次数只有两次，对于模型的求解，采用了循环遍历法就能够很快找出各刀具数量与位置的最优分配方案。当CNC数目与加工工序次数增加时，模型的求解时间会以指数倍增长，那么算法的就不是很具有有效性。 + +针对情况3的模型： + +对于CNC故障模拟下RGV调度模型，由于故障CNC修理时间是10-20分钟。在现实生活中，修理时间可能是属于10-20分钟间无规律或有传统的分布，而我们以均匀分布来确定我们的修理时间，这里降低了模型的实用性。 + +# 八、模型的改进 + +# 8.1 模型的改进 + +（1）在实际生产中，延迟时间会由多种随机因素决定，因此使用一个固定的近似延迟时间来将其代替并纳入模型的计算，以尽可能减小误差。 +(2) 当 CNC 数量增多时, 使用遗传算法、蚁群算法等近似最优解算法来计算刀具分布方案, 进而提高计算效率。 +（3）结合现实中的故障发生情况，制订更加接近真实情况的故障发生方案，使仿真结果更加符合真实情况。 + +# 九、模型的推广和应用 + +此次基于RGV的单RGV动态调度模型的建立与解决有着重要的现实意义，单RGV调度在工业生产、终端排序、云调度系统等领域具有灵活的、重要的应用价值。本文采用的启发式算法与循环遍历法在日常生活中的诸多问题中也有着广泛应用。 + +# 参考文献： + +[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.85-130.[2]张继坤.浅谈应用技术成果实用性的评价[J].科学管理研究,1989,04:43-45. + +# 附录： + +所有代码基于Matlab R2018a + +代码文件名与问题的对应关系 + +情况一方法一第一组：Situation1Team1.m + +情况一方法一第二组：Situation1Team2.m + +情况一方法一第三组：Situation1Team3.m + +情况二方法一第一组：Situation2Team1.m + +情况二方法一第二组：Situation2Team2.m + +情况二方法一第三组：Situation3Team3.m + +单工序情况三方法一第一组：Situation3_1Team1.m + +单工序情况三方法一第二组：Situation3_1Team2.m + +单工序情况三方法一第三组：Situation3_1Team3.m + +双工序情况三方法一第一组：Situation3_2Team1.m + +双工序情况三方法一第二组：Situation3_2Team2.m + +双工序情况三方法一第三组：Situation3_2Team3.m + +情况一方法二第一组：Simplify_Situation1Team1.m + +情况一方法二第二组：Simplify_Situation1Team2.m + +情况一方法二第三组：Simplify_Situation1Team3.m + +情况二方法二第一组：Simplify_Situation2Team1.m + +情况二方法二第二组：Simplify_Situation2Team2.m + +情况二方法二第三组：Simplify_Situation3Team3.m + +单工序情况三方法二第一组：Simplify_Situation3_1Team1.m + +单工序情况三方法二第二组：Simplify_Situation3_1Team2.m + +单工序情况三方法二第三组：Simplify_Situation3_1Team3.m + +双工序情况三方法二第一组：Simplify_Situation3_2Team1.m + +双工序情况三方法二第二组：Simplify_Situation3_2Team2.m + +双工序情况三方法二第三组：Simplify_Situation3_2Team3.m + +绘图的代码：Plot.m + +模型的检验的代码：ModelTest.m + +由于同类型不同组的代码高度相似，下文仅给出各类型第一组的代码。 + +用于情况一方法一第一组的代码 + +Situation1Team1.m + +%情况1下的代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 计时 + +tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,33,46];%第一组[0,20,33,46] 第二组[0,23,41,59] 第三组[0,18,32,46] + +Work=560;%第一组560 第二组580 第三组545 + +Switch=reprmat([28,31],1,4);%第一组[28,31] 第二组[30,35] 第三组[27,32] + +[ \text{Wash} = 25 \% ] 第一组25 第二组30 第三组25 + +%% 预设系统情况 + +Position=1;%记录 RGV 的位置，取值为 1~4 + +Left=zeros(1,8);%记录8台CNC当前工作剩余完成时间，等待时为0 + +Situation=zeros(1,8);%记录8台CNC当前是否拥有工件，0为无，1为有 + +Time=0;%系统已运行时间 + +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 + +Rec=[];%记录每个工件的上下料信息 + +%% 系统开始运行 + +while Time $< = 28800$ + +for $i = 1:8\%$ 计算预计时间 + +```txt +Expect(1,i)=Move(1+abs(Position-ceil(i/2)))) +``` + +if Left(i) $< =$ Expect(1,i) + +```javascript +Expect(2,i)=0; +``` + +```txt +else +``` + +```txt +Expect(2,i) = Left(i) - Expect(1,i); +``` + +```txt +end +``` + +Expect(3,i) $=$ Switch(i); + +```javascript +Expect(4,i) = sum Expect(1:3,i)); +``` + +```txt +end +``` + +[~,MinNumber]=min(Expect(4,:));%找出下一个目标 + +Time=Time+Expect(1, MinNumber)+Expect(2, MinNumber);%RGV移动至下一个目标位置并等待 + +flag=0;%目标CNC是否已有工件，0为无，1为有 + +for i = size(Rec,1): -1:1%记录本次操作的时刻 + +```txt +if Rec(i,1) == MinNumber && isnan(Rec(i,3))%同时发生上料和下料 +``` + +```txt +flag=1; +``` + +```txt +Rec(i,3)=Time;%记录下料开始时间 +``` + +```csv +Rec=[Rec;MinNumber,Time,NaN];%记录上料开始时间 +``` + +```txt +break; +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +if flag == 0% 仅发生上料 + +```txt +Rec=[Rec;MinNumber,Time,NaN]; +``` + +```txt +end +``` + +if Situation(MinNumber) == 0%不用清洗的情况 + +```javascript +Situation(MinNumber)=1; +``` + +```txt +Time=Time+Expect(3,MinNumber);%完成换料 +``` + +for $i = 1:8\%$ CNC的时间推进 + +```powershell +if Left(i)-Expect(4, MinNumber)<0 +``` + +```txt +Left(i) = 0; +``` + +```txt +else +``` + +Left(i) $=$ Left(i)-Expect(4,MinNumber); + +end +end +Left(MinNumber) $\equiv$ Work;%换料的CNC更新剩余时间 +else%需要清洗的情况Time $\equiv$ Time $^+$ Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料与清洗for $\mathrm{i} = 1:8\% \mathrm{CNC}$ 的时间推进if Left(i)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0Left(i)=0;elseLeft(i)=Left(i)-Expect(4,MinNumber)-Wash;end +end +Left(MinNumber)=Work-Wash;%换料的CNC更新剩余时间 +endPosition $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%RGV位置更新 +endwhile \~(Rec(end,3)+Expect(3,MinNumber)+Wash<=28800)%筛选去除边缘无效数据Rec(end,) $\equiv$ []； +end +%计算SUM $\equiv$ size(Rec,1);%成料数WAIT=(Rec(end,3)*8-size(Rec,1)*Work)/8;%CNC平均非有效工作时长Last=Rec(end,3)+Expect(3,MinNumber)+Wash;%最终完成物料清洗时刻 +%计时tocclear Expect flag i Left MinNumber Move Position Situation Switch Time Wash Work;memory + +用于情况二方法一第一组的代码 + +Situation2Team1.m + +%情况2下的代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 计时 + +tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,33,46];%第一组[0,20,33,46] 第二组[0,23,41,59] 第三组[0,18,32,46] + +Work=[400,378];%第一组[400,378] 第二组[280,500] 第三组[455,182] + +Switch=repmat([28,31],1,4);%第一组[28,31] 第二组[30,35] 第三组[27,32] + +[ \text{Wash} = 25 \% ] 第一组25第二组30第三组25 + +%% 记录所有刀具分布情况下的工作情况 + +Rec=cell(1,1);%用以记录每一种刀具分布情况下的完整加工情况 + +Statistics $=$ [%]统计成功加工数和失败加工数 + +Order=[%;%记录每一种刀具分布方案 + +%% 遍历所有刀具分布情况 + +for $i = 1:7\%$ 刀具2的数量 +```matlab +Type=nchoosek(1:8,i);%生成所有的组合情况 +for j=1:size(Type,1)%确定一种刀具分布情况 +Tool=ones(1,8); +for k=1:size(Type(j,:),2) + Tool(Type(j,k))=2; +end +Order=[Order;Tool]; +Position=1;%记录 RGV 的位置，取值为 1~4 +Left=zeros(1,8);%记录 8 台 CNC 当前工作剩余完成时间，等待时为 0 +Situation=zeros(1,8);%记录 8 台 CNC 当前是否拥有工件，0 为无，1 为有 +Time=0;%系统已运行时间 +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 +TempRec=[];%临时记录某一种刀具分布情况下的完整加工情况 +Now=1;%当前 RGV 目标工序，取值仅为 1 或 2 +while Time<=28800 +for k=1:8%计算预期时间 +if Now~=Tool(k)%排除非目标工序的 CNC + Expect(:,k)=inf; + continue; +end +Expect(1,k)=Move(1+abs(Position-ceil(k/2))); +if Left(k)<=Expect(1,k) + Expect(2,k)=0; +else + Expect(2,k)=Left(k)-Expect(1,k); +end +Expect(3,k)=Switch(k); +Expect(4,k)=sum Expect(1:3,k)); +end +[~,MinNumber]=min Expect(4,:);%找出下一个目标 +Time=Time+Expect(1,MinNumber)+Expect(2,MinNumber);%移动至下一个目标位置并等待 +if Now==1%当前目标是工序 1 的 CNC +flag=0; +for k=size(TempRec,1):-1:1%记录本次操作时刻 +if TempRec(k,1) == MinNumber && isnan(TempRec(k,3))%同时发生上料 +``` + +和下料 + +```matlab +flag=1; +TempRec(k,3)=Time; +TempRec(end+1,1)=MinNumber; +TempRec(end,2)=Time; +TempRec(end,3:6)=NaN;%构建此工件工序2的记录矩阵 +``` + +件 + +break; end end end if flag $= = 0\%$ 仅发生上料 TempRec(end+1,1) $\equiv$ MinNumber; TempRec(end,2)=Time; TempRec(end,3:6)=NaN; end if Situation(MinNumber) $= = 1\%$ 换料时取下了一个已经完成工序1的工件 Now $= 2;\%$ 下一道目标工序发生变化 NEXT=k;%记录此工件的序号 end Situation(MinNumber)=1; Time $\equiv$ Time+Expect(3,MinNumber);%完成换料 for k=1:8 if Left(k)-Expect(4,MinNumber)<0 Left(k)=0; else Left(k)=Left(k)-Expect(4,MinNumber); end end Left(MinNumber)=Work(1); else%当前目标是工序2的CNC flag $= 0$ ; for k $\equiv$ size(TempRec,1):-1:1%记录本次操作时刻 if TempRec(k,4) $\equiv =$ MinNumber && isnan(TempRec(k,6))%取下已完成工 + +flag=1;TempRec(k,6)=Time;TempRec(NEXT,4)=MinNumber;TempRec(NEXT,5)=Time;break;endendif flag $= = 0\%$ 放置待加工工序2的工件TempRec(NEXT,4)=MinNumber;TempRec(NEXT,5)=Time;endNow $= 1$ %此时目标工序重新变为工序1Situation(MinNumber) $= 1$ ·Time $\equiv$ Time+Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料fork=1:8ifLeft(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0Left(k) $= 0$ + +else Left(k) $\equiv$ Left(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash; end end Left(MinNumber)=Work(2)-Wash; end Position $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%更新位置 end Rec=[Rec,TempRec];%记录本次刀具分布情况下的完整加工情况 Statistics=[Statistics;0,0];%统计本次刀具分布情况下的成功加工数和失败加工数 for k=1:size(TempRec,1) if isnan(sum(TempRec(k,:))) Statistics(end,2) $\equiv$ Statistics(end,2)+1; else Statistics(end,1) $\equiv$ Statistics(end,1)+1; end end end end + +$\% \%$ 对所有情况数据的分析 + +Rec(1) = []; + +MaxProduct=max(Statistics(:,1));%最大产量 + +CompleteTime=inf;%产量最大情况下的最短完成时间 + +BestPlan=cell(1,1);%产量最大且完成时间最短的物料加工情况 + +BestKnife=[%]产量最大且完成时间最短的刀具分布方案 + +for i=1:size(Rec,2)%找出产量最大情况下的最短完成时间 + +```matlab +if Statistics(i,1) == MaxProduct +for j = size(Rec{1,i},1): -1:1 + if ~isnan(Rec{1,i}(j,6)) + if Rec{1,i}(j,6) <= CompleteTime + CompleteTime = Rec{1,i}(j,6); + end + break; + end +end +``` + +for i=1:size(Rec,2)%找出产量最大且完成时间最短的所有方案并记录 + +```matlab +if Statistics(i,1) == MaxProduct +for j = size(Rec{1,i},1): -1:1 + if ~isnan(Rec{1,i}(j,6)) + if Rec{1,i}(j,6) == CompleteTime + BestPlan = [BestPlan, Rec{1,i}]; + BestKnife = [BestKnife; Order(i,:)]; +``` + +end +break; +end +end +end +end +BestPlan(1) $\equiv$ []; +REC=BestPlan{1,end};%挑选一个最佳方案 +while \~(REC(end,6)+Expect(3,MinNumber)+Wash<=28800) REC(end,:)=[]; +end + $\% \%$ 计算 +SUM $\equiv$ size(REC,1);%成料数 +WAIT=(REC(end,6)*8-size(REC,1)*sum(Work))/8;%CNC平均非有效工作时长 +Last=REC(end,6)+Expect(3,MinNumber)+Wash;%最终完成物料清洗时刻 + $\% \%$ 计时 +toc +clear CompleteTime Expect flag i j k Left MaxProduct MinNumber Move NEXT Now Order Position Situation Switch TempRec Time Tool Type Wash Work; +memory + +用于单工序情况三方法一第一组的代码 + +Situation3_1Team1.m + +%情况3（基于情况1）下的代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 计时 + +tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,33,46];%第一组[0,20,33,46] 第二组[0,23,41,59] 第三组[0,18,32,46] + +Work=560;%第一组560 第二组580 第三组545 + +Switch=repmat([28,31],1,4);%第一组[28,31] 第二组[30,35] 第三组[27,32] + +[ \text{Wash} = 25; \% \text{第一组25第二组30第三组25} ] + +% 预设系统情况 + +Position=1;%记录RGV的位置，取值为1~4 + +Left=zeros(1,8);%记录8台CNC当前工作剩余完成时间，等待时为0 + +Situation=zeros(1,8);%记录8台CNC当前是否拥有工件，0为无，1为有 + +Time=0;%系统已运行时间 + +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 + +Rec = []; %记录每个工件的上下料信息 + +Error=];%记录故障信息 + +%% 系统开始运行 + +while Time $< = 28800$ + +for i=1:size(Error,1)%检查错误信息 + +if Time $\coloneqq$ Error(i,3)&&Time $< =$ Error(i,4)&&Error(i,5) $\coloneqq 0\%$ 故障已发生Error(i,5)=1;%标记为已处理Left(Error(i,2))=Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间Situation(Error(i,2)) $= 0;\%$ 修复完成后取走故障工件endendfor i=1:8%计算预计时间Expect(1,i)=Move(1+abs(Position-ceil(i/2));if Left(i) $\coloneqq$ Expect(1,i)Expect(2,i)=0;elseExpect(2,i)=Left(i)-Expect(1,i);endExpect(3,i)=Switch(i);Expect(4,i)=sum Expect(1:3,i));end[~,MinNumber]=min Expect(4,:);%找出下一个目标Time $\equiv$ Time+Expect(1,MinNumber);%RGV移动至下一个目标位置flag=0;for i=1:size(Error,1)%运动后再次检查错误信息if Time $\coloneqq$ Error(i,3)&& Time $\coloneqq$ Error(i,4)&& Error(i,5)=0&&MinNumber $\coloneqq$ Error(i,2)%运动中原目标发生了故障Error(i,5)=1;%标记为已处理Situation(Error(i,2)) $= 0;\%$ 修复完成后取走故障工件for j=1:8%CNC的时间推进if Left(j)-Expect(1,MinNumber)<0Left(j)=0;elseLeft(j)=Left(j)-Expect(1,MinNumber);endendLeft(Error(i,2)) $=$ Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间flag=1;endendif flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环continue;endflag=0;for i=1:size(Error,1)%等待中检查错误信息if Time $\coloneqq$ Error(i,3)&& Time+Expect(2,MinNumber)>=Error(i,3)&&Error(i,5)=0 &&MinNumber $\coloneqq$ Error(i,2)%等待中原目标发生了故障 + +```matlab +Error(i,5)=1;%标记为已处理 +Situation(Error(i,2))=0;%修复完成后取走故障工件 +for j=1:8%CNC的时间推进if Left(j)-(Error(i,3)-Time)<0Left(j)=0;elseLeft(j)=Left(j)-(Error(i,3)-Time);endendLeft(Error(i,2))=Error(i,4)-Error(i,3);%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间 +``` + +Time=Error(i,3);%时间调整至故障发生时flag=1;endendif flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环continue;endTime=Time+Expect(2,MinNumber);%正常等待flag=0;%目标CNC是否已有工件，0为无，1为有for i size(Rec,1):-1:1%记录本次操作的时刻if Rec(i,1) $\equiv$ MinNumber && isnan(Rec(i,3))%同时发生上料和下料flag=1;Rec(i,3)=Time;%记录下料开始时间Rec=[Rec;MinNumber,Time,NaN];%记录上料开始时间break;endendif flag $\equiv$ 0%仅发生上料Rec=[Rec;MinNumber,Time,NaN];endif Situation(MinNumber) $\equiv$ 0%不用清洗的情况Situation(MinNumber)=1;Time $\equiv$ Time+Expect(3,MinNumber);%完成换料for i=1:8%CNC的时间推进if Left(i)-Expect(4,MinNumber)<0Left(i)=0;elseLeft(i)=Left(i)-Expect(4,MinNumber);endend + +Left(MinNumber)=Work;%换料的CNC更新剩余时间 + +if unifrnd(0,100) >= 99%生成故障信息 + +StartTime=Time+unifrnd(0,Work);%随机生成故障开始时间（发生在加工时） + +ProcessTime=unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间 +Error=[Error;size(Rec,1),MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];% 记录故障信息 + +end +else%需要清洗的情况Time $\equiv$ Time $^+$ Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料与清洗for $\mathrm{i} = 1:8\% \mathrm{CNC}$ 的时间推进ifLeft(i)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0Left(i)=0;elseLeft(i)=Left(i)-Expect(4,MinNumber)-Wash;end +end +Left(MinNumber)=Work-Wash;%换料的CNC更新剩余时间if unifrnd(0,100)> $= 99\%$ 生成故障信息StartTime $\equiv$ Time-Wash+unifrnd(0,Work);%随机生成故障开始时间（发生在加工时）ProcessTime $\equiv$ unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间Error=[Error,size(Rec,1),MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];% 记录故障信息 + +end +end +Position $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%RGV位置更新 +end +while \~(Rec(end,3) $^+$ Expect(3,MinNumber)+Wash<=28800)Rec(end,) $\equiv$ []; +end + $\% \%$ 计算 +SUM $\equiv$ size(Rec,1)-size(Error,1);%成料数 +WAIT $\equiv$ (Rec(end,3)*8-size(Rec,1)*Work)/8;%CNC平均非有效工作时长 +Last $\equiv$ Rec(end,3) $^+$ Expect(3,MinNumber)+Wash;%最终完成物料清洗时刻 + $\% \%$ 计时 +toc +clear Expect flag i Left MinNumber Move Position Situation Switch Time Wash Work ProcessTimeStartTime; +memory + +用于双工序情况三方法一第一组的代码 + +Situation3_2Team1.m + +%情况3（基于情况2）下的代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 计时 + +tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,33,46];%第一组[0,20,33,46] 第二组[0,23,41,59] 第三组[0,18,32,46] + +Work=[400,378];%第一组[400,378] 第二组[280,500] 第三组[455,182] + +Switch=repmat([28,31],1,4);%第一组[28,31] 第二组[30,35] 第三组[27,32] + +[ \text{Wash} = 25 \% ] 第一组25 第二组30 第三组25 + +%% 预设系统情况 + +Tool=[1,2,1,2,1,2,1,2];%预设刀具分布情况，是情况2下的最优方案 + +Position=1;%记录RGV的位置，取值为1~4 + +Left=zeros(1,8);%记录 8 台 CNC 当前工作剩余完成时间，等待时为 0 + +Situation=zeros(1,8);%记录8台CNC当前是否拥有工件，0为无，1为有 + +Time=0;%系统已运行时间 + +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 + +Now=1;%当前RGV目标工序，取值仅为1或2 + +Error=];%记录故障信息 + +Rec=[;%记录每个工件的上下料信息 + +%% 遍历所有刀具分布情况 + +while Time $< = 28800$ + +for i=1:size(Error,1)%检查错误信息 + +if Time $> =$ Error(i,3) && Time $< =$ Error(i,4)&&&Error(i,5) $\equiv = 0\%$ 故障已发生 + +Error(i,5) $= 1$ %标记为已处理 + +Left(Error(i,2))=Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成 + +时间 + +Situation(Error(i,2)) = 0; %修复完成后取走故障工件 + +end + +end + +for $i = 1:8\%$ 计算预期时间 + +if Now\~ $\equiv$ Tool(i)%排除非目标工序的CNC + +Expect(:,i)=inf; + +continue; + +end + +Expect(1,i)=Move(1+abs(Position-ceil(i/2))); + +if Left(i) $< =$ Expect(1,i) + +Expect(2,i)=0; + +else + +Expect(2,i) = Left(i) - Expect(1,i); + +end + +Expect(3,i) $=$ Switch(i); + +Expect(4,i) = sum Expect(1:3,i)); + +end + +[~,MinNumber]=min Expect(4,));%找出下一个目标 + +Time=Time+Expect(1, MinNumber);%移动至下一个目标位置 + +flag=0; + +for i=1:size(Error,1)%运动后再次检查错误信息 + +if Time>=Error(i,3) && Time<=Error(i,4) && Error(i,5)=0 && MinNumber==Error(i,2)% + +运动中原目标发生了故障 + +```matlab +Error(i,5)=1;%标记为已处理 +Situation(Error(i,2))=0;%修复完成后取走故障工件 +for j=1:8%CNC 的时间推进 + if Left(j)-Expect(1,MinNumber)<0 + Left(j)=0; + else + Left(j)=Left(j)-Expect(1,MinNumber); + end +end +Left(Error(i,2))=Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间 +``` + +flag=1; end end if flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环 continue; end flag $= 0$ for $\mathrm{i} = 1$ sizeError,1)%等待中检查错误信息 if Time $< =$ Error(i,3)&&Time+Expect(2,MinNumber)> $= \text{Error}(i,3)$ &&Error(i,5)=0&& MinNumber $= =$ Error(i,2)%等待中原目标发生了故障 Error(i,5)=1;%标记为已处理 Situation(Error(i,2)) $= 0$ %修复完成后取走故障工件 for $\mathrm{j} = 1:8\% \mathrm{CNC}$ 的时间推进 if Left(j)-(Error(i,3)-Time)<0 Left(j)=0; else Left(j)=Left(j)-(Error(i,3)-Time); end end Left(Error(i,2)) $= \text{Error}(i,4)$ -Error(i,3);%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余 完成时间 + +Time=Error(i,3);%时间调整至故障发生时flag=1;endendif flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环continue;endTime=Time+Expect(2,MinNumber);%正常等待if Now $= = 1\%$ 当前目标是工序1的CNCflag=0;fork=size(Rec,1):-1:1%记录本次操作时刻if Rec(k,1) $\equiv =$ MinNumber&&isan(Rec(k,3))%同时发生上料和下料 + +flag=1;Rec(k,3)=Time;Rec(end+1,1)=MinNumber;Rec(end,2)=Time;Rec(end,3:6)=NaN;%构建此工件工序2的记录矩阵break;endendendif flag $= = 0\%$ 仅发生上料Rec(end+1,1)=MinNumber;Rec(end,2)=Time;Rec(end,3:6)=NaN;endif Situation(MinNumber) $= = 1\%$ 换料时取下了一个已经完成工序1的工件Now $= 2;\%$ 下一道目标工序发生变化NEXT=k;%记录此工件的序号endSituation(MinNumber)=1;Time $\equiv$ Time+Expect(3,MinNumber);%完成换料fork=1:8ifLeft(k)-Expect(4,MinNumber)<0Left(k)=0;elseLeft(k)=Left(k)-Expect(4,MinNumber);endendLeft(MinNumber)=Work(1);if unifrnd(0,100)> $= 99\%$ 生成故障信息StartTime $\equiv$ Time+unifrnd(0,Work(1));%随机生成故障开始时间（发生在加工时）ProcessTime $\equiv$ unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间Error=[Error,size(Rec,1),MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];% 记录故障信息 + +end +else%当前目标是工序2的CNC flag=0; fork $\equiv$ size(Rec,1):-1:1%记录本次操作时刻 ifRec(k,4) $\equiv$ MinNumber&&isnan(Rec(k,6))%取下已完成工件 flag=1; Rec(k,6)=Time; Rec(NEXT,4)=MinNumber; Rec(NEXT,5)=Time; break; end +end + +if flag $= = 0\%$ 放置待加工工序2的工件Rec(NEXT,4) $\equiv$ MinNumber;Rec(NEXT,5)=Time;endNow $= 1$ %此时目标工序重新变为工序1Situation(MinNumber)=1;Time $\equiv$ Time+Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料fork=1:8if Left(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0Left(k)=0;elseLeft(k)=Left(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash;endendLeft(MinNumber)=Work(2)-Wash;if unifrnd(0,100)> $= 99\%$ 生成故障信息StartTime $\equiv$ Time-Wash+unifrnd(0,Work(2));%随机生成故障开始时间（发生在加工时）ProcessTime $\equiv$ unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间Error=[Error;NEXT,MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];%记录故障信息endendPosition $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%更新位置endwhile \~(Rec(end,6)+Expect(3,MinNumber)+Wash<=28800)Rec(end,) $\equiv$ [];end%%计算SUM $\equiv$ size(Rec,1)-size(Error,1);%成料数WAIT $\equiv$ (Rec(end,6)*8-size(Rec,1)*sum(Work))/8;%CNC平均非有效工作时长Last $\equiv$ Rec(end,6)+Expect(3,MinNumber)+Wash;%最终完成物料清洗时刻%%计时tocclear CompleteTime Expect flag ij k Left MaxProduct MinNumber Move NEXT Now Order PositionSituation Switch TempRec Time Tool Type Wash Work ProcessTime StartTime;memory用于情况一方法二第一组的代码Simplify_Situation1Team1.m%情况1下的简化模型代码clear;clc;%计时tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,33,46];%第一组[0,20,33,46] 第二组[0,23,41,59] 第三组[0,18,32,46] + +Work=560;%第一组560 第二组580 第三组545 + +Switch=repmat([28,31],1,4);%第一组[28,31] 第二组[30,35] 第三组[27,32] + +[ \text{Wash} = 25 \% ] 第一组25 第二组30 第三组25 + +%% 预设系统情况 + +Position=1;%记录 RGV 的位置，取值为 1~4 + +Left=zeros(1,8);%记录8台CNC当前工作剩余完成时间，等待时为0 + +Situation=zeros(1,8);%记录8台CNC当前是否拥有工件，0为无，1为有 + +Time=0;%系统已运行时间 + +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 + +Rec=];%记录每个工件的上下料信息 + +%% 系统开始运行 + +while Time $< =$ 28800 + +for $i = 1:8\%$ 计算预计时间 + +Expect(1,i)=Move(1+abs(Position-ceil(i/2))) + +Expect(2,i)=Left(i); + +Expect(3,i) $=$ Switch(i); + +Expect(4,i)=sum Expect(1:3,i)); + +end + +[~,MinNumber]=min(Expect(4,:));%找出下一个目标 + +Time=Time+Expect(1, MinNumber)+Expect(2, MinNumber);%RGV移动至下一个目标位置并等待 + +flag=0;%目标CNC是否已有工件，0为无，1为有 + +for i = size(Rec,1): -1:1%记录本次操作的时刻 + +if Rec(i,1) == MinNumber && isnan(Rec(i,3))%同时发生上料和下料 + +flag=1; + +Rec(i,3)=Time;%记录下料开始时间 + +Rec=[Rec;MinNumber,Time,NaN];%记录上料开始时间 + +break; + +end + +end + +if flag $= = 0\%$ 仅发生上料 + +Rec=[Rec;MinNumber,Time,NaN]; + +end + +if Situation(MinNumber) == 0%不用清洗的情况 + +Situation(MinNumber)=1; + +Time=Time+Expect(3, MinNumber);%完成换料 + +for $i = 1:8\%$ CNC的时间推进 + +if Left(i)-Expect(4, MinNumber) < 0 + +Left(i) = 0; + +else + +Left(i) $=$ Left(i)-Expect(4,MinNumber); + +end +end +Left(MinNumber) $\equiv$ Work;%换料的CNC更新剩余时间 +else%需要清洗的情况Time $\equiv$ Time $^+$ Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料与清洗for $\mathrm{i} = 1:8\% \mathrm{CNC}$ 的时间推进if Left(i)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0Left(i)=0;elseLeft(i)=Left(i)-Expect(4,MinNumber)-Wash;end +end +Left(MinNumber)=Work-Wash;%换料的CNC更新剩余时间 +endPosition $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%RGV位置更新 +end +while \~(Rec(end,3)+Expect(3,MinNumber)+Wash<=28800)Rec(end,) $\equiv$ []； +end +%%计算 +SUM $\equiv$ size(Rec,1);%成料数WAIT=(Rec(end,3)*8-size(Rec,1)*Work)/8;%CNC平均非有效工作时长Last=Rec(end,3)+Expect(3,MinNumber)+Wash;%最终完成物料清洗时刻%%计时 +toc +clear Expect flag i Left MinNumber Move Position Situation Switch Time Wash Work;memory + +用于情况二方法二第一组的代码 + +Simplify_Situation2Team2.m + +%情况2下的简化模型代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 计时 + +tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,33,46];%第一组[0,20,33,46] 第二组[0,23,41,59] 第三组[0,18,32,46] + +Work=[400,378];%第一组[400,378] 第二组[280,500] 第三组[455,182] + +Switch=repmat([28,31],1,4);%第一组[28,31] 第二组[30,35] 第三组[27,32] + +[ \text{Wash} = 25\% \text{第一组} 25 \text{第二组} 30 \text{第三组} 25 ] + +%% 记录所有刀具分布情况下的工作情况 + +Rec=cell(1,1);%用以记录每一种刀具分布情况下的完整加工情况 + +Statistics $= \left\lbrack \right\rbrack ;\%$ 统计成功加工数和失败加工数 + +Order=[%记录每一种刀具分布方案 + +%% 遍历所有刀具分布情况 + +for $i = 1:7\%$ 刀具2的数量 +Type=nchoosek(1:8,i);%生成所有的组合情况 +for j=1:size(Type,1)%确定一种刀具分布情况 +Tool=ones(1,8); +for k=1:size(Type(j,:),2) + Tool(Type(j,k))=2; +end +Order=[Order;Tool]; +Position=1;%记录 RGV 的位置，取值为 1~4 +Left=zeros(1,8);%记录 8 台 CNC 当前工作剩余完成时间，等待时为 0 +Situation=zeros(1,8);%记录 8 台 CNC 当前是否拥有工件，0 为无，1 为有 +Time=0;%系统已运行时间 +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 +TempRec=[];%临时记录某一种刀具分布情况下的完整加工情况 +Now=1;%当前 RGV 目标工序，取值仅为 1 或 2 +while Time<=28800 + for k=1:8%计算预期时间 + if Now~=Tool(k)%排除非目标工序的 CNC + Expect(:,k)=inf; + continue; + end + Expect(1,k)=Move(1+abs(Position-ceil(k/2))); + Expect(2,k)=Left(k); + Expect(3,k)=Switch(k); + Expect(4,k)=sum Expect(1:3,k)); + end + [~,MinNumber]=min Expect(4,:);%找出下一个目标 + Time=Time+Expect(1,MinNumber)+Expect(2,MinNumber);%移动至下一个目标位置并等待 + if Now==1%当前目标是工序 1 的 CNC + flag=0; + for k size(TempRec,1):-1:1%记录本次操作时刻 + if TempRec(k,1) == MinNumber && isnan(TempRec(k,3))%同时发生上料和下料 + +flag=1;TempRec(k,3)=Time;TempRec(end+1,1)=MinNumber;TempRec(end,2)=Time;TempRec(end,3:6)=NaN;%构建此工件工序2的记录矩阵break;end +end +if flag $\equiv = 0\%$ 仅发生上料 + +件 + +TempRec(end+1,1)=MinNumber; TempRec(end,2)=Time; TempRec(end,3:6)=NaN; end if Situation(MinNumber) $= = 1\%$ 换料时取下了一个已经完成工序1的工件 Now $= 2;\%$ 下一道目标工序发生变化 NEXT=k;%记录此工件的序号 end Situation(MinNumber)=1; Time $\equiv$ Time+Expect(3,MinNumber);%完成换料 fork=1:8 ifLeft(k)-Expect(4,MinNumber)<0 Left(k)=0; else Left(k)=Left(k)-Expect(4,MinNumber); end end Left(MinNumber)=Work(1); else%当前目标是工序2的CNC flag=0; fork=size(TempRec,1):-1:1%记录本次操作时刻 ifTempRec(k,4) $= =$ MinNumber&&isnan(TempRec(k,6))%取下已完成工 + +flag=1;TempRec(k,6)=Time;TempRec(NEXT,4)=MinNumber;TempRec(NEXT,5)=Time;break;endendif flag $= = 0\%$ 放置待加工工序2的工件TempRec(NEXT,4)=MinNumber;TempRec(NEXT,5)=Time;endNow $= 1$ %此时目标工序重新变为工序1Situation(MinNumber)=1;Time $\equiv$ Time+Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料fork=1:8ifLeft(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0Left(k)=0;elseLeft(k)=Left(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash;endend + +Left(MinNumber) $\equiv$ Work(2)-Wash; end Position $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%更新位置 end Rec=[Rec,TempRec];%记录本次刀具分布情况下的完整加工情况 Statistics=[Statistics;0,0];%统计本次刀具分布情况下的成功加工数和失败加工数 fork=1:size(TempRec,1) if isnan(sum(TempRec(k,:))) Statistics(end,2)=Statistics(end,2)+1; else Statistics(end,1)=Statistics(end,1)+1; end end end end $\% \%$ 对所有情况数据的分析 Rec(1) $\equiv$ []; MaxProduct=max(Statistics(:,1));%最大产量 CompleteTime $\equiv$ inf;%产量最大情况下的最短完成时间 BestPlan $\equiv$ cell(1,1);%产量最大且完成时间最短的物料加工情况 BestKnife $\equiv$ [];%产量最大且完成时间最短的刀具分布方案 fori=1:size(Rec,2)%找出产量最大情况下的最短完成时间 if Statistics(i,1) $\equiv$ MaxProduct forj $\equiv$ size(Rec{1,i},1):-1:1 if ~isnan(Rec{1,i}j,6)) if Rec{1,i}j,6) $\equiv$ CompleteTime CompleteTime $\equiv$ Rec{1,i}j,6); end break; end end end end end end for i=1:size(Rec,2)%找出产量最大且完成时间最短的所有方案并记录 if Statistics(i,1) $\equiv$ MaxProduct forj $\equiv$ size(Rec{1,i},1):-1:1 if ~isnan(Rec{1,i}j,6)) if Rec{1,i}j,6) $\equiv$ CompleteTime BestPlan $\equiv$ [BestPlan,Rec{1,i}]; BestKnife $\equiv$ [BestKnife;Order{i,:]]; end break; end end + +```matlab +end +end +BestPlan(1) = []; +REC=BestPlan{1, end};%挑选一个最佳方案 +while ~(REC(end, 6) + Expect(3, MinNumber) + Wash <= 28800) +REC(end,:) = []; +end +%% 计算 +SUM = size(REC, 1); %成料数 +WAIT = (REC(end, 6) * 8 - size(REC, 1) * sum(Work)) / 8; %CNC 平均非有效工作时长 +Last = REC(end, 6) + Expect(3, MinNumber) + Wash; %最终完成物料清洗时刻 +%% 计时 +toc +clear CompleteTime Expect flag i j k Left MaxProduct MinNumber Move NEXT Now Order Position +Situation Switch TempRec Time Tool Type Wash Work; +memory +``` + +用于单工序情况三方法二第一组的代码 + +Simplify_Situation3_1Team1.m + +%情况3（基于情况1）下的简化模型代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 计时 + +tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,33,46];%第一组[0,20,33,46] 第二组[0,23,41,59] 第三组[0,18,32,46] + +Work=560;%第一组560 第二组580 第三组545 + +Switch=repmat([28,31],1,4);%第一组[28,31] 第二组[30,35] 第三组[27,32] + +[ \text{Wash} = 25\% ] 第一组25 第二组30 第三组25 + +% 预设系统情况 + +Position=1;%记录RGV的位置，取值为1~4 + +Left=zeros(1,8);%记录8台CNC当前工作剩余完成时间，等待时为0 + +Situation=zeros(1,8);%记录8台CNC当前是否拥有工件，0为无，1为有 + +Time=0;%系统已运行时间 + +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 + +Rec=[%;%记录每个工件的上下料信息 + +Error=];%记录故障信息 + +%% 系统开始运行 + +while Time $< = 28800$ + +for i=1:size(Error,1)%检查错误信息 + +if Time>=Error(i,3) && Time<=Error(i,4) && Error(i,5)=0%故障已发生 + +Error(i,5)=1;%标记为已处理 + +Left(Error(i,2))=Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成 + +时间 + +Situation(Error(i,2)) $= 0$ %修复完成后取走故障工件endendfor $\mathrm{i} = 1:8\%$ 计算预计时间Expect(1,i)=Move(1+abs(Position-ceil(i/2));Expect(2,i)=Left(i);Expect(3,i)=Switch(i);Expect(4,i)=sum Expect(1:3,i));end[~,MinNumber]=min Expect(4,));%找出下一个目标Time $\equiv$ Time+Expect(1,MinNumber);%RGV移动至下一个目标位置flag $= 0$ for i=1:size(Error,1)%运动后再次检查错误信息if Time $\coloneqq$ Error(i,3)&& Time $\coloneqq$ Error(i,4)&& Error(i,5) $\coloneqq 0$ && MinNumber $\coloneqq$ Error(i,2)%运动中原目标发生了故障Error(i,5)=1;%标记为已处理Situation(Error(i,2)) $= 0$ %修复完成后取走故障工件for j=1:8%CNC的时间推进if Left(j)-Expect(1,MinNumber)<0Left(j)=0;elseLeft(j)=Left(j)-Expect(1,MinNumber);endendLeft(Error(i,2)) $=$ Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间flag $= 1$ endendif flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环continue;endflag $= 0$ for i=1:size(Error,1)%等待中检查错误信息if Time $\coloneqq$ Error(i,3)&& Time+Expect(2,MinNumber)> $=$ Error(i,3)&& Error(i,5) $\coloneqq 0$ &&MinNumber $\coloneqq$ Error(i,2)%等待中原目标发生了故障Error(i,5)=1;%标记为已处理Situation(Error(i,2)) $= 0$ %修复完成后取走故障工件for j=1:8%CNC的时间推进if Left(j)-(Error(i,3)-Time)<0Left(j)=0;elseLeft(j)=Left(j)-(Error(i,3)-Time);end + +endLeft(Error(i,2))=Error(i,4)-Error(i,3);%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间 + +Time=Error(i,3);%时间调整至故障发生时flag=1;endendif flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环continue;endTime=Time+Expect(2,MinNumber);%正常等待flag=0;%目标CNC是否已有工件，0为无，1为有for i=size(Rec,1):-1:1%记录本次操作的时刻if Rec(i,1)=MinNumber && isnan(Rec(i,3))%同时发生上料和下料flag=1;Rec(i,3)=Time;%记录下料开始时间Rec=[Rec;MinNumber,Time,NaN];%记录上料开始时间break;endendif flag $= = 0\%$ 仅发生上料Rec=[Rec;MinNumber,Time,NaN];endif Situation(MinNumber) $= = 0\%$ 不用清洗的情况Situation(MinNumber)=1;Time=Time+Expect(3,MinNumber);%完成换料for i=1:8%CNC的时间推进if Left(i)-Expect(4,MinNumber)<0Left(i)=0;elseLeft(i)=Left(i)-Expect(4,MinNumber);endendLeft(MinNumber)=Work;%换料的CNC更新剩余时间if unifrnd(0,100)>=-99%生成故障信息StartTime=Time+unifrnd(0,Work);%随机生成故障开始时间（发生在加工时）ProcessTime=unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间Error=[Error,size(Rec,1),MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];%记 录章信息endelse%需要清洗的情况Time=Time+Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料与清洗for i=1:8%CNC的时间推进if Left(i)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0 + +Left(i) $\coloneqq 0$ else Left(i) $\equiv$ Left(i)-Expect(4,MinNumber)-Wash; end end Left(MinNumber)=Work-Wash;%换料的CNC更新剩余时间 if unifrnd(0,100)> $= 99\%$ 生成故障信息StartTime $\equiv$ Time-Wash+unifrnd(0,Work);%随机生成故障开始时间（发生在加工时） ProcessTime $\equiv$ unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间 Error=[Error,size(Rec,1),MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];% 记录 故障信息 end end Position $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%RGV位置更新 +end while \~(Rec(end,3)+Expect(3,MinNumber)+Wash<=28800) Rec(end,) $\equiv$ []; +end +%%计算 SUM $\equiv$ size(Rec,1)-size(Error,1);%成料数 WAIT=(Rec(end,3)*8-size(Rec,1)*Work)/8;%CNC平均非有效工作时长 Last=Rec(end,3)+Expect(3,MinNumber)+Wash;%最终完成物料清洗时刻 +%%计时 toc clear Expect flag i Left MinNumber Move Position Situation Switch Time Wash Work ProcessTimeStartTime; memory + +用于双工序情况三方法二第一组的代码 + +Simplify_Situation3_2Team1.m + +%情况3（基于情况2）下的简化模型代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 计时 + +tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,33,46];%第一组[0,20,33,46] 第二组[0,23,41,59] 第三组[0,18,32,46] + +Work=[400,378];%第一组[400,378] 第二组[280,500] 第三组[455,182] + +Switch=repmat([28,31],1,4);%第一组[28,31] 第二组[30,35] 第三组[27,32] + +[ \text{Wash} = 25 \% ] 第一组25第二组30第三组25 + +% 预设系统情况 + +Tool=[1,2,1,2,1,2,1,2];%预设刀具分布情况，是情况2下的最优方案 + +Position=1;%记录RGV的位置，取值为1~4 + +Left=zeros(1,8);%记录8台CNC当前工作剩余完成时间，等待时为0 + +Situation=zeros(1,8);%记录8台CNC当前是否拥有工件，0为无，1为有 + +Time=0;%系统已运行时间 + +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 + +Now=1;%当前RGV目标工序，取值仅为1或2 + +Error=];%记录故障信息 + +Rec=[];%记录每个工件的上下料信息 + +%% 遍历所有刀具分布情况 + +while Time $< = 28800$ + +```txt +for i=1:size(Error,1)%检查错误信息 if Time>=Error(i,3) && Time<=Error(i,4) && Error(i,5)=0%故障已发生 Error(i,5)=1;%标记为已处理 Left(Error(i,2))=Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成 +``` + +Situation(Error(i,2)) = 0; %修复完成后取走故障工件 + +end end + +for $i = 1:8\%$ 计算预期时间 + +if Now\~ $\equiv$ Tool(i)%排除非目标工序的CNC + +Expect(:,i)=inf; + +continue; + +end + +Expect(1,i)=Move(1+abs(Position-ceil(i/2)))) + +Expect(2,i)=Left(i); + +Expect(3,i) $=$ Switch(i); + +Expect(4,i)=sum Expect(1:3,i)); + +end + +[~,MinNumber]=min Expect(4,:));%找出下一个目标 + +Time=Time+Expect(1, MinNumber);%移动至下一个目标位置 + +flag=0; + +for i=1:size(Error,1)%运动后再次检查错误信息 + +if Time>=Error(i,3) && Time<=Error(i,4) && Error(i,5)=0 && MinNumber==Error(i,2)% + +运动中原目标发生了故障 + +Error(i,5)=1;%标记为已处理 + +Situation(Error(i,2)) = 0; %修复完成后取走故障工件 + +for $j = 1:8\%$ CNC的时间推进 + +if Left(j)-Expect(1,MinNumber)<0 + +Left(j)=0; + +else + +Left(j) $=$ Left(j)-Expect(1,MinNumber); + +end + +end + +Left(Error(i,2))=Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成 + +时间 + +flag=1; + +end +end +if flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环continue; +end +flag=0; +for i=1:size(Error,1)%等待中检查错误信息if Time<=Error(i,3)&&Time+Expect(2,MinNumber)>=Error(i,3)&&Error(i,5)=0&&MinNumber==Error(i,2)%等待中原目标发生了故障Error(i,5)=1;%标记为已处理Situation(Error(i,2))=0;%修复完成后取走故障工件for j=1:8%CNC的时间推进if Left(j)-(Error(i,3)-Time)<0Left(j)=0;elseLeft(j)=Left(j)-(Error(i,3)-Time);endendLeft(Error(i,2))=Error(i,4)-Error(i,3);%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间Time=Error(i,3);%时间调整至故障发生时flag=1;endendif flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环continue; +end +Time=Time+Expect(2,MinNumber);%正常等待if Now $= = 1\%$ 当前目标是工序1的CNCflag=0;for k=size(Rec,1):-1:1%记录本次操作时刻if Rec(k,1) $\equiv =$ MinNumber && isnan(Rec(k,3))%同时发生上料和下料flag=1;Rec(k,3)=Time;Rec(end+1,1)=MinNumber;Rec(end,2)=Time;Rec(end,3:6)=NaN;%构建此工件工序2的记录矩阵break;endendif flag $= = 0\%$ 仅发生上料Rec(end+1,1)=MinNumber;Rec(end,2)=Time;Rec(end,3:6)=NaN; + +end +if Situation(MinNumber) $= = 1\%$ 换料时取下了一个已经完成工序1的工件Now $= 2$ $\%$ 下一道目标工序发生变化NEXT=k;%记录此工件的序号 +end +Situation(MinNumber)=1;Time $=$ Time+Expect(3,MinNumber);%完成换料fork=1:8ifLeft(k)-Expect(4,MinNumber)<0Left(k)=0;elseLeft(k)=Left(k)-Expect(4,MinNumber);end +end +Left(MinNumber)=Work(1); +ifunifrnd(0,100)> $= 99\%$ 生成故障信息StartTime $\equiv$ Time+unifrnd(0,Work(1));%随机生成故障开始时间（发生在加工时）ProcessTime $\equiv$ unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间Error=[Error,size(Rec,1),MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];% 记录 + +故障信息 + +end +else%当前目标是工序2的CNC flag $\coloneqq 0$ . for $k =$ size(Rec,1):-1:1%记录本次操作时刻 if Rec(k,4) $\equiv$ MinNumber && isnan(Rec(k,6))%取下已完成工件 flag $\coloneqq 1$ . Rec(k,6)=Time; Rec(NEXT,4)=MinNumber; Rec(NEXT,5)=Time; break; end end if flag $\equiv$ $0\%$ 放置待加工工序2的工件 Rec(NEXT,4)=MinNumber; Rec(NEXT,5)=Time; end Now $= 1$ %此时目标工序重新变为工序1 Situation(MinNumber)=1; Time $\equiv$ Time+Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料 for $k = 1:8$ if Left(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0 Left(k)=0; else Left(k)=Left(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash; + +end +end +Left(MinNumber) $\coloneqq$ Work(2)-Wash;if unifrnd(0,100)> $= 99\%$ 生成故障信息StartTime $\equiv$ Time-Wash+unifrnd(0,Work(2));%随机生成故障开始时间（发生在加工时）ProcessTime $\equiv$ unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间Error $\equiv$ [Error;NEXT,MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];%记录故障信息end +end +Position $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%更新位置 +end +while \~(Rec(end,6)+Expect(3,MinNumber)+Wash<=28800)Rec(end,) $\equiv$ []； +end +%%计算 +SUM $\equiv$ size(Rec,1)-size(Error,1);%成料数WAIT $\equiv$ (Rec(end,6)*8-size(Rec,1)*sum(Work))/8;%CNC平均非有效工作时长Last $\equiv$ Rec(end,6)+Expect(3,MinNumber)+Wash;%最终完成物料清洗时刻 +%%计时 +toc +clear CompleteTime Expect flag i j k Left MaxProduct MinNumber Move NEXT Now Order PositionSituation Switch TempRec Time Tool Type Wash Work ProcessTimeStartTime;memory + +用于绘图的代码 + +Plot.m + +%用于绘制统计图的代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 情况1下的作图 + +Work=[560,580,545]; + +Way1=[382,359,392]; + +Way2=[356,336,366]; + +Switch $= [28 + 31,30 + 35,27 + 32] / 2$ + +Ideal=28800./(Work+Switch)*8; + +y=[Way1',Way2',Ideal']; + +b=bar(y); + +for $k = 1$ :size(y,2) + +b(k).CData = k; + +end + +legend('方法一','方法二','理想情况'); + +xlabel('组别'); + +ylabel('成料数'); + +title('情况1下各方法成料数条形图'); + +$\% \%$ 情况2下的作图 + +Work $= \left\lbrack {{400} + {378},{280} + {500},{455} + {182}}\right\rbrack$ ; + +Way1=[253,211,243]; + +Way2=[235,202,240]; + +Switch=[28+31,30+35,27+32]; + +Ideal $= 28800$ /(Work+Switch)\*8; + +y=[Way1',Way2',Ideal']; + +$b = \text{bar}(y)$ + +for $k = 1$ :size(y,2) + +b(k).CData = k; + +end + +legend('方法一','方法二','理想情况'); + +xlabel('组别'); + +ylabel('成料数'); + +title('情况2下各方法最优方案成料数条形图'); + +模型的检验的代码 + +ModelTest.m + +%模型检验的代码 + +clear;clc; + +$\% \%$ 计时 + +tic + +%% 输入不同组别参数 + +Move=[0,20,41,46]; + +Work=[455,500]; + +Switch=repmat([28,35],1,4); + +Wash=25; + +% 预设系统情况 + +Tool=[1,2,1,2,1,2,1,2];%预设刀具分布情况，是情况2下的最优方案 + +Position=1;%记录RGV的位置，取值为1~4 + +Left=zeros(1,8);%记录8台CNC当前工作剩余完成时间，等待时为0 + +Situation=zeros(1,8);%记录8台CNC当前是否拥有工件，0为无，1为有 + +Time=0;%系统已运行时间 + +Expect=ones(4,8);%预计时间，第一行为预计运动时间，第二行为预计等待时间，第三行为预计上下料时间，第四行为前三项之和 + +Now=1;%当前RGV目标工序，取值仅为1或2 + +Error=];%记录故障信息 + +Rec=[;%记录每个工件的上下料信息 + +%% 遍历所有刀具分布情况 + +while Time $< =$ 28800 + +for i=1:size(Error,1)%检查错误信息 + +if Time>=Error(i,3) && Time<=Error(i,4) && Error(i,5)=0%故障已发生 + +Error(i,5)=1;%标记为已处理 + +Left(Error(i,2))=Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间 + +Situation(Error(i,2)) $= 0$ %修复完成后取走故障工件endendfor $\mathrm{i} = 1:8\%$ 计算预期时间if Now $\equiv$ Tool(i)%排除非目标工序的CNCExpect(:,i) $\coloneqq$ inf;continue;endExpect(1,i)=Move(1+abs(Position-ceil(i/2)));if Left(i) $\coloneqq$ Expect(1,i)Expect(2,i)=0;elseExpect(2,i)=Left(i)-Expect(1,i);endExpect(3,i)=Switch(i);Expect(4,i)=sum Expect(1:3,i));end[~,MinNumber]=min Expect(4,:);%找出下一个目标Time $\equiv$ Time+Expect(1,MinNumber);%移动至下一个目标位置flag $\coloneqq 0$ ;for i=1:size(Error,1)%运动后再次检查错误信息if Time $\coloneqq$ Error(i,3)&& Time $\coloneqq$ Error(i,4)&& Error(i,5) $\coloneqq 0$ && MinNumber $\coloneqq$ Error(i,2)%运动中原目标发生了故障Error(i,5)=1;%标记为已处理Situation(Error(i,2)) $= 0$ %修复完成后取走故障工件for j=1:8%CNC的时间推进if Left(j)-Expect(1,MinNumber)<0Left(j)=0;elseLeft(j)=Left(j)-Expect(1,MinNumber);endendLeft(Error(i,2)) $=$ Error(i,4)-Time;%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余完成时间 + +```vhdl +flag=1; +end +end +if flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环 +continue; +end +flag=0; +``` + +for i=1:size(Error,1)%等待中检查错误信息 + +if Time<=Error(i,3) && Time+Expect(2,MinNumber)>=Error(i,3) && Error(i,5)=0 && MinNumber==Error(i,2)%等待中原目标发生了故障 + +Error(i,5)=1;%标记为已处理 + +Situation(Error(i,2)) = 0; %修复完成后取走故障工件 + +for $j = 1:8\%$ CNC的时间推进 + +if Left(j)-(Error(i,3)-Time)<0 + +Left(j)=0; + +else + +Left(j) $=$ Left(j)-(Error(i,3)-Time); + +end + +end + +Left(Error(i,2))=Error(i,4)-Error(i,3);%将故障修复所需时间转换为当前工作剩余 + +完成时间 + +Time=Error(i,3);%时间调整至故障发生时 + +flag=1; + +end + +end + +if flag%由于原目标CNC发生故障，重启循环 + +continue; + +end + +Time=Time+Expect(2,MinNumber);%正常等待 + +if Now == 1% 当前目标是工序 1 的 CNC + +flag=0; + +for k=size(Rec,1):-1:1%记录本次操作时刻 + +if Rec(k,1) == MinNumber && isnan(Rec(k,3))%同时发生上料和下料 + +flag=1; + +Rec(k,3)=Time; + +Rec(end+1,1)=MinNumber; + +Rec(end,2)=Time; + +Rec(end,3:6)=NaN;%构建此工件工序2的记录矩阵 + +break; + +end + +end + +if flag == 0% 仅发生上料 + +Rec(end+1,1)=MinNumber; + +Rec(end,2)=Time; + +Rec(end,3:6) = NaN; + +end + +if Situation(MinNumber) == 1%换料时取下了一个已经完成工序1的工件 + +Now=2;%下一道目标工序发生变化 + +NEXT=k;%记录此工件的序号 + +end + +Situation(MinNumber)=1; + +Time=Time+Expect(3, MinNumber);%完成换料 + +```matlab +for k=1:8 + if Left(k)-Expect(4, MinNumber) < 0 + Left(k)=0; + else + Left(k)=Left(k)-Expect(4, MinNumber); + end +end +Left(MinNumber)=Work(1); +if unifrnd(0, 100) >= 99%生成故障信息 + StartTime = Time+unifrnd(0, Work(1));%随机生成故障开始时间（发生在加工时） +ProcessTime = unifrnd(600, 1200);%随机生成人工修复所需时间 +Error=[Error; size(Rec, 1), MinNumber, StartTime, StartTime + ProcessTime, 0];% 记录 +``` + +故障信息 + +end +else%当前目标是工序2的CNC flag=0; fork $\equiv$ size(Rec,1):-1:1%记录本次操作时刻 ifRec(k,4) $\equiv$ MinNumber&&isnan(Rec(k,6))%取下已完成工件 flag=1; Rec(k,6)=Time; Rec(NEXT,4)=MinNumber; Rec(NEXT,5)=Time; break; end end ifflag $= = 0\%$ 放置待加工工序2的工件 Rec(NEXT,4)=MinNumber; Rec(NEXT,5)=Time; end + +```matlab +Now=1;%此时目标工序重新变为工序1 +Situation(MinNumber)=1; +Time=Time+Expect(3,MinNumber)+Wash;%完成换料 +for k=1:8 + if Left(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash<0 + Left(k)=0; + else + Left(k)=Left(k)-Expect(4,MinNumber)-Wash; + end +end +Left(MinNumber)=Work(2)-Wash; +if unifrnd(0,100)>99%生成故障信息 +``` + +时） + +StartTime=Time-Wash+unifrnd(0,Work(2));%随机生成故障开始时间（发生在加工 + +ProcessTime=unifrnd(600,1200);%随机生成人工修复所需时间 + +Error=[Error;NEXT,MinNumber,StartTime,StartTime+ProcessTime,0];%记录故障信息 + +end +end +Position $\equiv$ ceil(MinNumber/2);%更新位置 +end +while \~(Rec(end,6)+Expect(3,MinNumber)+Wash<=28800)Rec(end,) $\equiv$ []； +end + $\% \%$ 计算 +SUM $\equiv$ size(Rec,1)-size(Error,1);%成料数 +WAIT $\equiv$ (Rec(end,6)*8-size(Rec,1)*sum(Work))/8;%CNC平均非有效工作时长Last=Rec(end,6)+Expect(3,MinNumber)+Wash;%最终完成物料清洗时刻 $\% \%$ 计时 +toc \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/B334/B334.md b/MCM_CN/2018/B334/B334.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6e557373d3890d9b56b668205865d1bdfdf9c061 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/B334/B334.md @@ -0,0 +1,884 @@ +# RGV 的动态调度优化问题 + +# 摘要 + +本文对智能加工系统中RGV的动态调度优化问题进行研究。 + +针对任务一，我们首先对系统进行分析，给出了几个重要定义和优化指导原则，例如RGV工作循环定义、系统效率均衡原则、CNC满载工作上限等。同时，给出了相关分析和证明，包括在一定条件下的RGV循环的最短用时证明，系统最优上限的证明等。这些理论为我们建立最优化模型和模型评估指标提供了依据。 + +对于情景一，我们对原有模型进行转化，将其转化为时间维度上的多队列任务调度优化模型，并基于事件对时间进行离散化，为减少迭代步数，根据划分结果构建最优状态转移图模型，利用状态向量和状态转移矩阵完成系统工作的模拟和决策优化。考虑到求解该优化问题计算开销较大，采用多阶段决策模型进行求解，即将最优状态转移图模型中的优化原则结合已明确的优化准则构建各个阶段的决策方案，从而完成问题的求解，得到在8个小时内三组参数下系统可产生最大熟料数量分别为382、359、391；经检验，在求解效率和求解质量上都达到了很好的效果。 + +对于情景二，我们分析了两类CNC在系统中共存时产生的复杂约束情况，结合系统效率均衡对应系统整体较大效率的规律，近似确定了两种CNC的数量比例。再通过搜索找到了最优的CNC空间排布方案，从而建立带工序约束的最优状态转换图模型。在求解时，通过改进的状态转移优化准则对模型进行求解，得到在该约束条件下，8个小时内三组参数下系统可产生最大熟料数量分别为253、210、240； + +对于情景三，需要引入了负载因子进行了故障的随机模拟。该过程的本质是在状态转移时引入不确定性。由此引入新的变量，对状态转移矩阵和转移约束进行拓展补充，并对评价函数进行修正，从而建立了带有故障风险的最优状态转换图模型。在使用多阶段决策求解时，除了追求完成物料数最大，还要保持系统内两类CNC工作能力均衡以取得更高的工作效率。由于情况较多，结果可见附件Excel。 + +针对任务二，我们结合证明的结论，构建了结果偏差率计算公式，并为该标准提供了必要的理论支持，具有较高参考意义。经过验证，模型求解算法结果与最优解有很好的近似。针对系统效率，我们构建了系统效率评价指标，用于刻画系统整体效率与各部分效率均衡情况。 + +关键字：状态图模型 多阶段决策模型 非线性优化模型 RGV 最优调度 + +# 目录 + +# 一、问题背景与重述 3 + +# 二、模型的假设 3 + +# 三、符号约定 4 + +# 四、问题分析 4 + +4.1 问题一分析 ..... 4 +4.2 问题二分析 ..... 5 + +# 五、模型的建立与分析 6 + +5.1 模型建立 6 +5.2 最优状态转移图模型 8 +5.3 带工序约束的最优状态转移图模型 ..... 10 +5.4带有故障风险的最优状态转移图模型 12 +5.5 模型的求解 ..... 12 + +5.5.1 最优状态转移图模型求解算法 13 +5.5.2 带工序约束的最优状态转移图模型求解算法 13 +5.5.3 带有故障风险的最优状态转移图模型求解算法 ..... 15 +5.5.4 模型求解与结果评价 ..... 15 + +# 六、模型的评价与改进 ..... 18 + +# 附录A 最优性剪枝优化的搜索算法 $\mathbf{C} + +$ 源代码 21 + +# 附录BPython源代码 23 + +# 一、问题背景与重述 + +随着信息技术、控制工程、机械工程等技术的发展与进步，智能加工系统日益无人化、自动化、智能化，显著提升了工业加工、物流服务等工作的效率。以本题为例，该智能加工系统由8台计算机数控机床（Computer Number Controller，CNC）、1辆轨道式自动引导车（Rail Guide Vehicle，RGV）、1条RGV直线轨道、1条上料传送带、1条下料传送带及其他附属设备组成。RGV是一种无人驾驶的、能在固定轨道上自由运行的智能车，能够根据指令完成相关的作业任务。 + +在该类系统中，RGV的运行情况对整个作业系统的工作效率有着巨大影响，运行过程中，易出现因不同工作组调度不佳，而导致空闲等待的情况，降低了运行效率。能否更加合理地调度穿梭车，提高RGV系统的运行效率，是进一步促使智能加工系统发展的一个重要因素。 + +题目要求针对下面的三种具体情况： + +1. 一道工序的物料加工作业，每台 CNC 安装同样的刀具，物料可以在任一台 CNC 上加工完成； +2. 两道工序的物料加工作业，每个物料的第一和第二道工序分别由两台不同的CNC依次加工完成； +3. CNC 在加工过程中可能发生故障（据统计：故障的发生概率约为 $1\%$ ）的情况，每次故障排除（人工处理，未完成的物料报废）时间介于 10~20 分钟之间，故障排除后即刻加入作业序列。要求分别考虑一道工序和两道工序的物料加工作业情况。 + +完成以下任务： + +任务1：对一般问题进行研究，给出RGV动态调度模型和相应的求解算法； + +任务2：利用表1中系统作业参数的3组数据分别检验模型的实用性和算法的有效性，给出RGV的调度策略和系统的作业效率，并将具体的结果分别填入附件2的Excel表中。 + +# 二、模型的假设 + +1. 假设 RGV 足够智能，可在未收到需求信号时主动移动到指定 CNC 位置处；此外，自动引导车可在收到指令后维持在在原地停止等待状态； +2. 假设 RGV 足够智能且可以 CNC 通讯，可以获取 CNC 的加工完成剩余时间以及当前班次剩余时间信息； +3. 假设上料带具有理想上料速率，即：RGV 为 CNC（或加工第一道工序的 CNC）上生料时，其传送带保证 CNC 前方总有所需生料； +4. 假设下料带具有理想下料效率，不会在 RGV 下料时，出现下料带堵塞的问题； + +5. 假设除了 CNC 在加工过程中可能发生故障外，其他部件都不发生意外和磨损，且可在指定时间准时完成相应操作。 + +# 三、符号约定 + +
符号意义
nCNC数量
Tm总时间(s)
M系统在约束条件下所能生产熟料的最大值
Vk在某一时刻整个系统所处的状态
Xk系统处于第k个状态时可选的状态转移矩阵集
Aki系统处于第k个状态时第i个状态转移矩阵
Q标志各个CNC的类型
PCNC的故障因子矩阵
tk系统在第k个状态时所处的时刻(s)
tpCNC加工完成一个一道工序的物料所需时间(s)
tliRGV为i位置处的CNC一次上下料所需时间(s)
pkRGV在第k个状态时所处的位置
rk,ii处的CNC在系统处于第k个状态时距下一次空闲状态时间(s)
ci,jRGV从位置i移动到到位置j需要的时间(s)
ek,i系统在第k个状态时，i处CNC的负载情况
+ +# 四、问题分析 + +# 4.1 问题一分析 + +该问题要求根据一般问题，给出 RGV 动态调度模型和相应的求解算法。针对该问题，首先需要对该系统的运行特点进行一定的抽象、概括和证明，例如：在最优的调度策略下各部分机器效率应当均衡的。这些规则将用于构建 RGV 动态调度模型。 + +针对情况1，结合对系统分析的结果，可以将8个CNC转换为8个工作队列，将物料加工作业抽象为队列中的事件，则题目第一问可以转换为完成队列中带约束条件的任务最优调度。转换完成后，可从时间维度对系统基于事件进行状态划分。基于该状态划分结果，可以构建最优状态转移图（有向有权图）模型，其中带权节点代表CNC的处理时间、带权有向边带代表RGV将清洗工作、停止等待以及移动所需要的时间，由此构建状态向量和状态转移矩阵。该模型以最大化有限时间内完成的熟料数目最多为目标，而约束则可引入总工时约束、物料加工用时约束、RGV运动时间的约束等。此外，该问题还可以从建立物料数目确定，最小化时间的角度考虑建立相应最优化模型等。最优状态转移图模型的化简工作可以考虑以两无权点及该两点所确定的一条带权有向边代替原来的带权点，从而完成对模型的构建和化简。 + +针对情况2，我们可以建立带有工序约束的最优状态转移模型。该模型依然是基于系统状态转移的思想，可以证明工序一、二紧邻是系统高效率的指导原则，我们修改状态转移矩阵的约束条件，限制状态向量的转移方向从而完成问题的求解。最优化目标依然是在有限时间内最大化生产熟料数目。 + +针对情况3，我们可以在最优状态转移图模型和带有工序约束的最优状态转移模型的基础上引入突发事件随机变量，通过引入该随机变量限制部分状态的转移效果，同时引入等待时间变量，从而完成问题模型的建立。 + +对于算法的求解可以采用引入剪枝规则、回溯法、分支限界法等。值得注意的是，在该求解该模型时，分支限界法求解目标则是尽快找出满足约束条件的一个解，或在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解，更适合求解离散最优化问题。但是，考虑到即使引入剪枝策略等模型求解的时间和空间复杂度可能较大，因此在求解算法时采用分阶段优化的策略完成模型的求解，同时采用基于事件的时间离散化处理，最后可以对结果进行分析比较，作为模型的近似解。除此之外，在该类最优化问题求解时，也可以采用混合遗传算法[1]、禁忌搜索算法[2]等。 + +# 4.2 问题二分析 + +该问题可以通过输入题目提供的数据检验模型的实用性和算法的有效性，并对结果和系统基本上限进行比较，判断模型和算法的实用性和有效性，同时输出该过程中RGV的调度策略。对于系统的作业效率，可以定义系统工作效率为系统中CNC的工作时间在一个工时内比例。此外，可从系统工作效率均衡的角度分析模型实用性和算法的有效性。 + +# 五、模型的建立与分析 + +# 5.1 模型建立 + +在建立模型前，我们首先对该系统的基本工作状态进行一定的分析。结合分析结论完成模型的构建和改进。对于该问题我们有以下分析： + +定义1(RGV工作循环) $RGV$ 对每个CNC都操作且仅操作一次并最后回到出发位置的过程称为一个循环（周期）。 + +可证：对于本题中三组数据，RGV的循环中移动距离为6个单位长度且中途停止为4次时的循环是所有循环中用时最短的。 + +证明1在本题中， $RGV$ 一次循环的总耗时为 $t$ ， $t$ 由上下料时间 $t_1$ ，清洗时间 $t_2$ 和移动时间 $t_3$ 组成。即 + +$$ +t = t _ {1} + t _ {2} + t _ {3} +$$ + +通过分析可知，当CNC的种类和数量确定时， $t_1 + t_2$ 在同一系统中是常数，故 $t$ 的相对大小仅由 $t_3$ 决定。设 $RGV$ 移动 $i(i = 1,2,3)$ 个单位所需时间 $t_{mi} = \Delta t_1 + (i - 1)\Delta t_2$ 其中 $\Delta t_1$ 为移动第 $I$ 个单位的时间， $\Delta t_2$ 为后续每多 $I$ 单位时间所需时间，且根据数据可知 $\Delta t_1 > \Delta t_2$ 。 + +可知 $RGV$ 在 4 个位置至少停止一次，所以至少需要的时间为 $4\Delta t_{1}$ ，而 $RGV$ 在一个循环中至少要移动 6 个单位才能回到起点，假设剩余 2 个单位需要的时间都是较短的 $\Delta t_{2}$ ，我们可以得出单个循环时间的下限为 $4\Delta t_{1} + 2\Delta t_{2}$ 。 + +所以结论得证。 + +定义2(系统效率均衡)当其他条件确定时，系统中各个模块的工作效率在匹配（相等或近似相等）时，整个系统获得最大效益，该状态定义为系统均衡。 + +系统均衡优化原则：在只CNC装有一种类型刀片的情况下，RGV与CNC协同工作，为了使RGV和CNC的效率达到最大化，二者对物料的处理能力应当尽量匹配。因为当RGV处理能力大于CNC的时候，RGV会等待CNC直到空闲的CNC出现的，造成RGV的产能浪费，反之亦然。同理，在拥有装有两种不同类型刀片的CNC的系统中，两种CNC对物料的处理能力也应该尽量均衡，因为每一个成品物料需要第一类CNC和第二类CNC各进行一次加工，在RGV服务能力充足的情况下，如果第一类CNC的处理能力大于第二类CNC，会造成产生过多的半成品物料而没有足够的第二类CNC进行处理，造成阻塞，而第二类CNC的处理能力大于第一类CNC，会造成没有足够的半成品物料供给第二类CNC加工，造成闲置。所以为了最大化最大化整个系统的效率，我们必须尽量保持第一类CNC和第二类CNC处理能力的均衡。 + +定义3 (CNC满载条件下的系统工作上限) 假设所有的CNC全部满载，即所有的CNC都处理进行“上下料-处理工件”操作的循环中。则：当所有的CNC只有一种刀片时，在一个班次内， $i$ 位置处的CNC物料加工数量的上限 $U_{i}$ 为 + +$$ +U _ {i} = \lfloor \frac {T _ {m}}{t _ {p} + t _ {l i}} \rfloor +$$ + +一个班次的总加工上限为 $U = \sum_{i=1}^{n} U_i$ ，其中 $t_p$ 为 $CNC$ 加工完成一个一道工序的物料所需时间， $t_{li}$ 为 $RGV$ 为 $CNC$ 一次上下料所需时间。 + +当CNC有装配有2种不同类型的刀片的时，一个班次内CNC能够加工的物料上限由装配两种类型刀片的CNC中加工的物料上限较低的决定，这本质由系统的短板原理导致的。 + +设装有第一类刀片的 $CNC$ 集合为 $Q$ , 装有第二类刀片的 $CNC$ 集合为 $S$ , 则有: + +$$ +U = \max \{\sum_ {i \in S} U _ {i}, \sum_ {j \in Q} U _ {j} \} +$$ + +该部分将在结果分析中用于刻画系统工作上限和对求解算法结果的评价。 + +为了便于进一步分析该模型，我们将原来的站点抽象为可以并行工作的任务队列，如下所示： + +![](images/0940d29d4ed559fa7f62a65e7b0b57791c3c95bd7a6e96aa74a0585ac74ae721.jpg) +图1 带约束的队列调度示意图 + +经过该过程原问题被转换为：带约束条件的多队列任务最优调度问题，同时，为我们从时间维度对系统基于事件进行状态划分提供了视角。 + +从图 1 可知，在任意时刻，对应有各个队列（CNC）的状态：空闲、工作；同时还可以隐性的反应 RGV 的状态：移动、清洗等。从时间维度对其进行离散化处理，由此可以构建不同时刻下系统的状态转移图。但是如果选择以 $1s$ 为基本步长，会导致迭代状态过多，且由于步长较短，整体有较多迭代是不必要的；而过大的步长，无法精确刻画系统的状态转移过程。因此，进一步在时间划分上改进，采用基于事件的时间划分，并由此引出整个过程的状态转移图模型。 + +# 5.2 最优状态转移图模型 + +对于情况一，我们建立最优状态转移图模型来描述整个RGV-CNC系统的调度过程。 + +![](images/8326ea4cc29210df72c702d0047092a09ed85b29f1aedf6950adde6516ec30cb.jpg) +图2 最优状态转移图模型示意图 + +首先，我们建立系统的状态向量 $V_{k}$ ，该状态向量描述了在某一时刻整个系统所处的状态。由于以秒为处理单位会出现大量的重复状态和重复计算，我们从RGV运动的视角作为图模型建立的基准对模型进行离散化处理。该模型将以秒为单位的时间划分，转换为基于事件的时间划分。 + +$$ +V _ {k} = \left[ \begin{array}{c} t _ {k} \\ p _ {k} \\ r _ {k, 1} \\ r _ {k, 2} \\ \vdots \\ r _ {k, n} \\ M _ {k} \\ 1 \end{array} \right], 0 \leq t _ {k} \leq T _ {m}, p _ {k} \in N ^ {+}, p _ {k} \leq \lceil n / 2 \rceil , r _ {k, i} \geq 0 +$$ + +其中 $M_0 = 1$ ， $t_k$ 代表系统处于第 $k$ 个状态时的时刻， $p_k$ 代表 RGV 在第 $k$ 个状态时所处的位置，在向量 $V_k$ 末尾的补充 1 以构建齐次转移矩阵， $r_{k,i}$ 变量代表当系统处于第 $k$ 个状态时 $i$ 位置处的 CNC 距离下一次空闲状态（完成当前工作所需要）的剩余时间。 + +当 RGV 的一次上料行为完成时，模型状态发生转移，RGV 移动到下一个位置进行上料（移动之前 RGV 可能会执行在原地“停止等待”信号），相邻两次上料完成的时间作为状态之间的时间。值得注意的是，该模型中所求的最优路线的深度（节点数）即为系统在约束条件下所能生产熟料的最大值，记为 $M$ 。 + +模型应当满足下面的约束： + +约束一：RGV在某一时刻只能为一台机器上料或下料。 + +约束二：从第 $i$ 次上料到第 $i + 1$ 次上料的间隔时间大于 RGV 从第一个位置运动到第二个位置的时间。 + +上述约束将在状态转移的过程中得到保持。为了便于描述，我们定义了下列变量。 + +1. 移动矩阵 + +$$ +C = \left[ \begin{array}{c c c} c _ {1, 1} & \dots & c _ {1, 1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c _ {n, 1} & \dots & c _ {n, n} \end{array} \right] +$$ + +其中 $c_{i,j}$ 为 RGV 从位置 $i$ 移动到到位置 $j$ 需要的时间， $c_{i,j} = c_{j,i}$ ，易知，当 $i = j$ 时 $c_{i,j} = 0$ 。 + +2. CNC工作负载变量 + +$$ +E _ {k} = \left[ \begin{array}{c} e _ {k, 1} \\ \vdots \\ e _ {k, n} \end{array} \right] +$$ + +$$ +e _ {k, i} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text {状 态} V _ {k} \text {的} C N C _ {i} \text {上 工 件 没 有 工 件} \\ 1 & \text {状 态} V _ {k} \text {的} C N C _ {i} \text {上 面 有 正 在 处 理 或 者 处 理 完 成 的 工 件} \end{array} \right. +$$ + +构建状态转移方程如下： + +$$ +V _ {k + 1} = f (V _ {k} A _ {k}) +$$ + +它表示从第 $k$ 阶段到 $k + 1$ 阶段的状态转移规律。其中 $V_{k}$ 为第 $k$ 个状态的系统状态向量。 + +设 $X_{k}$ 为系统处于第 $k$ 个状态时可选的状态转移矩阵集。 + +$$ +X _ {k} = \left[ \begin{array}{l l l l} A _ {k 1} & A _ {k 2} & \dots & A _ {k n} \end{array} \right] ^ {T} +$$ + +其中 $A_{ki}$ 为系统处于第 $k$ 个状态时的第 $i$ 个状态转移矩阵，其定义如下： + +$$ +A _ {k i} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 & & & & & \Delta t _ {i} \\ & 0 & & & & i \\ & & 1 & & & - \Delta t _ {i} \\ & & & \ddots & & \vdots \\ & & & & 1 & - \Delta t _ {i} \\ & & & & & 1 \end{array} \right] +$$ + +其中 $i$ 的含义为RGV选择的下一个目标CNC， $\Delta t_{i}$ 代表从第 $k$ 个状态经过 $A_{ki}$ 转移到第 $k + 1$ 个状态所需要的时间，其定义如下 + +$$ +\Delta t _ {i} = t _ {c} e _ {k, p _ {k}} + t _ {s} + t _ {l i} + c _ {p _ {k}, i} +$$ + +$$ +t _ {s} = \max \left\{c _ {p _ {k}, i}, r _ {k, i} \right\} +$$ + +其中， + +$p_k$ 表示为 RGV 处于第 $k$ 个状态时的位置; + +$t_{li}$ 表示转移目标位置处CNC的上料时间； + +$t_{s}$ 表示下一次上料的开始时间，为行走时间和目标CNC剩余工作时间的较大值； + +$t_{c}$ 表示当前状态后工件清洗的时间，代表如果CNC空置则清洗，否则不清洗； + +$c_{p_k,i}$ 表示从当前状态 $(k)$ 转移到下一个状态 $(k + 1)$ 需要的移动时间。 + +对于公式，函数 $f(V_{k})$ 定义如下， + +$$ +f (V _ {k}) = \max \{0, r _ {k, i} \}, 1 \leq i \leq n, i \in N ^ {+} +$$ + +函数 $f(V_{k})$ 对状态 $V_{k}$ 的CNC剩余时间 $r_{k,i}$ 取 $\max \{0,R_{k,i}\}$ ，因为剩余时间非负，并且 $r_{k + 1,i} = t_p$ ， $e_{k + 1,i} = 1$ + +此外，在一个班次(8小时)的时间内，RGV必须回到原点并且所有的工件必须全部完成，所以在状态转移的时候引入约束三、四。 + +约束三：RGV 一定能够回到原点。 + +$$ +t _ {k} + t _ {s} + t _ {l i} + c _ {i, 0} \leq T _ {m} +$$ + +约束四：所有的CNC在8小时结束时处于非工作状态。 + +$$ +t _ {k} + t _ {s} + 2 t _ {l i} + t _ {p} + t _ {c} + c _ {i, 0} \leq T _ {m} +$$ + +易知约束四是约束三时条件更为严格的表达。 + +由于系统的上下料合并为一个步骤，所以我们在求解的时候将模型中8个CNC的最后一个工件的上下料操作视为纯粹的下料操作，可以消除这个约束。 + +所以模型最优化模型目标为最大化M值，换言之，最大化状态转移图中状态传递的深度（长度）。 + +总的数学模型描述如下： + +$$ +\max M _ {k} +$$ + +$$ +\begin{array}{l l} s. t. & \left\{ \begin{array}{l l} V _ {k + 1} = f (V _ {k} A _ {k}), \\ t _ {k} + t _ {s} + t _ {l i} + c _ {i, 0} \leq T _ {m}, \forall i \in [ 1.. n ] \\ t _ {k} + t _ {s} + 2 t _ {l i} + t _ {p} + t _ {c} + c _ {i, 0} \leq T _ {m}, \forall i \in [ 1.. n ] \end{array} \right. \end{array} +$$ + +# 5.3带工序约束的最优状态转移图模型 + +对于情况二，我们改进针对问题一的图模型以适应问题二的特殊情况。 + +我们设立CNC类型向量 $Q$ ，表示 $n$ 台CNC的类型，并沿用最优状态转移图模型中对 $V$ 、 $E$ 和移动矩阵 $C$ 的定义。 + +$$ +Q = \left[ \begin{array}{c} q _ {1} \\ q _ {2} \\ \vdots \\ q _ {n} \end{array} \right], q _ {i} \in \{0, 1 \} +$$ + +$$ +q _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & C N C _ {i} \text {安 装 第 一 类 刀 片} \\ 1 & C N C _ {i} \text {安 装 第 二 类 刀 片} \end{array} \right. +$$ + +约束一：当 RGV 对第一类 CNC 执行上下料操作并且该 CNC 并不是处于空置状态的时候，RGV 的下一个操作目标不能是第一类 CNC，证明如下： + +(1) RGV 对第一类非控制 CNC 执行上下料操作以后, 若 CNC 非空, 则 RGV 机械臂上一定存在一个半成品工件。 +(2) 半成品工件无法放到传送带上, 也无法放在第一类 CNC 中。 + +由①②可知，RGV 访问一个非空第一类 CNC 以后必须接着访问第二类 CNC。 + +在第 $k$ 个状态到第 $k + 1$ 个状态进行转移的时候，通过下式实现约束一： + +$$ +(1 - q _ {p _ {k}}) e _ {k, p _ {k}} - q _ {p _ {k + 1}} \neq 1 +$$ + +并且修改状态转移矩阵的约束条件如下： + +$$ +\Delta t _ {i} = t _ {c} e _ {k, p _ {k}} q _ {k} + t _ {s} + t _ {l i} + c _ {p _ {k}, i} +$$ + +即如果是从第一类CNC转移到第二类CNC，没有清洗过程，不计清洗时间 + +$$ +t _ {l i} = (i \mod 2) t _ {l 0} + ((i + 1) \mod 2) t _ {l 1} +$$ + +即 $t_{li}$ 表示转移目标CNC的上料时间，如果是偶数CNC则上料时间为 $t_{l0}$ ，否则为 $t_{l1}$ 。总的数学模型为： + +$$ +\max M _ {k} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} s. t. \quad \left\{ \begin{array}{l} V _ {k + 1} = f (V _ {k} A _ {k}), \\ t _ {k} + t _ {s} + t _ {l i} + c _ {i, 0} \leq T _ {m}, \forall i \in [ 1.. n ] \\ t _ {k} + t _ {s} + 2 t _ {l i} + t _ {p} + t _ {c} + c _ {i, 0} \leq T _ {m}, \forall i \in [ 1.. n ], \\ (1 - q _ {p _ {k}}) e _ {k, p _ {k}} - q _ {p _ {k + 1}} \neq 1, \\ t _ {l i} = (i \bmod 2) t _ {l 0} + ((i + 1) \bmod 2) t _ {l 1}. \end{array} \right. \end{array} +$$ + +# 5.4带有故障风险的最优状态转移图模型 + +引入故障因子 $P = [p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, \dots, p_{m}]^{T}$ ，其中 $p_{i}$ 表示 $i$ 位置的CNC距离修复成功剩下的时间。如果 $p_{i}$ 为0则表示CNC没有损坏。根据题意，在RGV为第 $k$ 台CNC上料完成后，该CNC处于加工状态时有 $1\%$ 概率会损坏，即 $p_{ki} = g_{i}$ ，其中 $g_{i}$ 为第 $i$ 个CNC距离再次正常工作所需时间，由于故障维修时间介于 $10\mathrm{min} - 20\mathrm{min}$ ，即： $(600s - 1200s)$ 。所以，有 $600 \leq g_{i} \leq 1200, g_{i} \in R, i = 1\dots m$ 。在实际的模型中，每次状态转移都有可能有至多 $m$ ，至少0个处于工作状态的CNC出现故障。 + +由于在最优状态转移图模型当RGV的一次上料行为完成时，模型状态才发生转移。所以可对模型进行如下修改；当CNC只有一种刀具时，状态转移矩阵集 $A_{k}$ ，增加以下约束： + +$$ +A _ {k} = T _ {k i}, p _ {i} = 0 +$$ + +$$ +B _ {k} = T _ {k i}, p _ {i} > 0 +$$ + +$$ +e _ {k, i} = 0 +$$ + +对我们效率的影响： + +认为情况1与情况2中，基本满足RGV供应能力与CNC工作能力之间的平衡。当只有一种刀片的时候，某一台或某几台CNC出现了故障，我们认为该平衡被打破，RGV的供应能力大于CNC工作能力，整个系统的工件处理速数量减少，但是单个CNC的工作效率变高。当装有两种刀片时，两种刀片的平衡被打破，工作能力较弱的一方，单个CNC的工作效率提升，而工作能力较强的CNC产生或增加空闲，该CNC工作效率降低，整个系统的共建处理能力降低。 + +故障未修复时，RGV 的工作能力大于 CNC，RGV 出现等待情况，系统效率降低，故障修复以后，效率重新提高。 + +当CNC安装有两种刀具时，（除了满足（1）-（3）几项约束外），根据系统效率均衡原则，任一CNC崩溃将导致各工作部件之间的均衡性被打破， + +这里给出两种调度原则： + +1. 为了主动满足系统效率均衡原则，我们主动停止使用部分CNC，以保证系统的匹配。 +2. 不主动调节系统的效率分布情况，调度原则不作改变。 + +# 5.5 模型的求解 + +使用原模型对应算法直接求解（遍历可剪枝的解空间树）虽然理论上可以得到最优解，但是由于解空间树过于庞大，未经剪枝的搜索算法复杂度高达 $O(8^n)$ ，效率较低、收敛速度很慢，即使经过剪枝也是无法承受的1。 + +因此考虑近似求解算法，可以大幅提升求解算法的求解速度，而仅仅牺牲少量结果质量。这里我们将原来的最优化问题转换为多阶段决策问题，其指导原则基于该最优化模型的各种最优化目标和约束信息，并且设计算法进行求解。 + +设 $t_{pi}$ 为 $i$ 位置CNC的在整个工时内实际工作时间；由于系统中RGV本质上是为CNC提供服务的，即：尽可能使CNC减少等待时间，增加工作时间从而提升系统整体的工作效率。由此建立工作效率度量指标——CNC的工作效率为： + +$$ +W _ {C N C} = \frac {\sum t _ {p i}}{n T _ {m}} +$$ + +# 5.5.1最优状态转移图模型求解算法 + +在最优状态转移图模型的求解过程中，设计以下搜索原则： + +1. 在搜索的开始阶段，优先选择前两个CNC进行状态转移； +2. 在状态转移的过程中，优先选择转移时间代价小的进行转移； +3. 当转移代价相同时，优先选择未来可能更早结束的进行转移； +4. 需要保证任意时刻状态满足可行性约束条件。 + +# 算法框架： + +分阶段优化原则的目标是：RGV在当前阶段，在所有八台候选CNC中，选择可以最快上料并进入物料加工程序的CNC作为下一阶段的目标CNC。随着系统的变化算法细节有所不同。 + +# 决策过程： + +循环所有的八台候选CNC，计算到每一台CNC的路程代价，该CNC加工时间的剩余，取其中的最大值作为评估值。选择八台CNC中评估值最小的CNC作为目标CNC，意为选择可以最快上料从目标CNC。 + +如果评估值最小的CNC不唯一，选择其中上料时间较短的。如果上料时间相同，选择路径较远的。 + +# 5.5.2带工序约束的最优状态转移图模型求解算法 + +RGV在双类型CNC系统中与单类型CNC系统的区别在于双类型CNC系统在状态转移的限定上更加严格，解空间更小，但是由于指数级复杂度的特点，一般的方法仍然无法求解，我们采取与单类型CNC系统的相似的分阶段优化算法进行计算，框架和策略如下。 + +# 算法框架： + +同最优状态转移图模型求解算法的基本框架，但其决策规则有所变更。 + +# 决策过程： + +与情况1中算法设计基本相同，选择路程代价、加工时间的剩余中的大者为评估值。选择评估值最小的CNC作为目标，但不能违反以下约束： + +1. RGV 在对非空的第一类 CNC 进行上下料操作之后，不执行清洗操作，且目的 CNC 一定是第二类 CNC。 +2. 如果评估值最小的 CNC 违反约束，则选择评估值次小，如此往复，直到找到不违反约束的目标 CNC。 + +![](images/b349cfd66ec17b27ad5ddac6425048d79d3e79bcb7f4a0de091aadd7f3512f9e.jpg) +图3 CNC刀片类型比例与系统产出关系图 + +根据前文提到的系统均衡优化原则，我们认为系统中拥有两种不同型号的CNC的情况下，总体效率最高的CNC的比例被达到当且尽量两类CNC处理物料的时间代价大致相同。CNC处理物料的时间代价分为两部分，一部分是CNC加工物料的时间和RGV上料的时间，它们只与系统有关，是一个定值。而另一部分来自RGV到达CNC付出的时间代价，这部分难以计量但是远小于物料加工的时间，所以物料加工的时间占有主导地位。图3的横轴是第一类、第二类CNC的比例，纵轴是采用分阶段优化算法计算三种情况下，第一类、第二类CNC比例相同的空间排布方案的成品数的平均值。正如图3中所示，两种CNC加工物料时间几乎相同的情况一，系统处理能力呈现以4:4为对称轴的对称且在两种CNC为几乎1:1的情况下取得峰值。而当第一类CNC物料处理时间小于，即工作能力大于第二类CNC的时候，峰值偏向右侧即第一类CNC的数目小于第二类CNC，而当第一类CNC物料处理时间大于，即工作能力小于第二类CNC的时候，峰值偏向左侧即第一类CNC的数目大于第二类CNC。一定程度上证明了我们的系统均衡优化原则。 + +# 5.5.3 带有故障风险的最优状态转移图模型求解算法 + +该求解算法随机模拟故障的产生，故障持续时间在10分钟至20分钟之间随机生成。算法在RGV每次进行上料的时候以 $1\%$ 的概率发生故障，如果发生故障，在物料加工的过程中随机产生故障起始时间。 + +# 算法框架： + +同最优状态转移图模型求解算法的基本框架。此外，引入故障变量。当CNC发生故障时，需要设置该CNC故障变量为1。 + +# 决策过程： + +1. 对于仅有一种类型刀片的CNC: + +RGV 如果状态转移的最优目标为某一故障的 CNC 时，则选择次优 CNC，直到目标无故障为止。当故障时间结束，CNC 重新恢复正常，故障变量恢复成 0。 + +2. 对于有两种类型刀片的CNC: + +若第一类刀片的物料处理时间为 $t_{1}$ , 第一类 CNC 的数量为 $n_{1}$ , 第二类刀片的物料处理时间为 $t_{2}$ , 第二类 CNC 的数量为 $n_{2}$ 。如果 $t_{1} n_{1} > t_{2} n_{2}$ 并且 $t_{1} n_{1} - t_{2} n_{2} > t_{2} * n_{2} - t_{1}(n_{1} - 1)$ , 则关闭一个第一类 CNC; 如果 $t_{1} n_{1} < t_{2} n_{2}$ 并且 $t_{2} n_{2} - t_{1} n_{1} > t_{1} n_{1} - t_{2}(n_{2} - 1)$ , 则关闭一个第二类 CNC。约束的含义是, 从优势方关闭 CNC 是优劣势方差距减小的情况下, 关闭一个优势方的 CNC 以平衡产能, 达到更优匹配。 + +# 5.5.4 模型求解与结果评价 + +# 最优状态转移图模型求解结果： + +在情况一条件下，一个工时（8小时）内第一、二、三组能够生产熟料的最大数量分别为382、359、391个，CNC与RGV具体的调度规则见支撑材料。 + +将 RGV 的路径和操作时间进行绘制可得： + +在该图中， $x$ 轴描述了 RGV 的空间分布， $y$ 轴描述了 RGV 的时间分布。其中绿色实线部分描述了在 CNC 只安装一种刀片时移动的路径情况，而黄蓝相见的“竖线”部分则刻画了 RGV 正在上下料与清洗交替进行。红色虚线则表示在最优调度下此时 RGV 需要等待 CNC 完成操作，即 RGV 此时处于空闲状态。注意到该方案是两个上下料、清洗动作交替进行，即应该在 RGV 在某处重复执行该操作组合，更具体地，由于 RGV 不会对在工作的 CNC 进行操作，因此其模式是在某处先后操作者两侧的 CNC；此外可以从结果中看到，最终结果在中间过程呈现一定的周期性，在首尾部分存在打破循环，这与我们的周期性假设和估计基本吻合。 + +下面针对情况一，对模型求解算法的求解效果与质量进行分析： + +根据定义3，CNC满载条件下的系统具有工作上限，将其定义为超额上限值。超额上限值高于理论最优解且接近该模型的最优解，这是因为CNC满载条件在系统运行过 + +![](images/beee987f828fee61898b325dff59450b11d3889678dd8cc0228acda50a054b71.jpg) +图4 优化后RGV的运动路线和各项操作时间图 + +程中是较难满足的，因此系统在时间上会有一定的损耗，导致减少规定时间内生产的熟料数目。因此以该上界作为近似解的评估标准具有较大参考价值。 + +下面定义模型结果偏差率计算公式： + +$$ +\lambda = \frac {| A - U |}{U} +$$ + +其中 $A$ 为求解值， $U$ 为上界值， $\lambda$ 刻画了求解算法所得解与超额上限值 (CNC 满载条件下的系统具有工作上限) 的近似程度。 + +表 1 最优状态转移图模型结果分析表 + +
数据组数第1组第2组第3组
超额上限值384372396
求解值382359391
结果偏差率0.99480.96510.9899
+ +结合该结果可知，对于情况一下的三组数据而言，该模型的求解算法求解效果较好：一方面计算速度较快；另一方面，所求结果十分逼近理论上界，认为得到满意的近似解。 + +带有工序约束的最优状态转移图模型求解结果： + +在情况二条件下，一个工时（8小时）内第一、二、三组能够生产熟料的最大数量分别为253、210、240个。 + +CNC编号1-8上的刀片类型分别为： + +CNC与RGV具体的调度规则见支撑材料。在该图中， $x$ 轴、 $y$ 轴分别描述了RGV + +表 2 带有工序约束的最优状态转移图模型刀片类型最优分布表 + +
CNC编号12345678
第一组第一类第二类第一类第二类第一类第二类第一类第二类
第二组第二类第一类第二类第一类第二类第一类第二类第一类
第三组第二类第一类第一类第一类第二类第一类第一类第二类
+ +![](images/461dbe06479639e881434d9b501c25134e5b8eeb42ba7ed8c3d5ea5a8488733e.jpg) +图5 优化后RGV的运动路线和各项操作时间图 + +的时、空分布情况。其中绿色实线部分描述了在 CNC 只安装二种类型刀片时移动的路径情况并且此时 RGV 是携带物料进行“搬运”操作；而绿色虚线部分则是描述其不带任何货物进行移动的情况，显然后者的具有更大的时间开销。黄蓝相见的“竖线”部分则刻画了 RGV 正在上下料与清洗交替进行。红色虚线则表示在最优调度下此时 RGV 需要等待 CNC 完成操作，即 RGV 此时处于空闲状态。注意到该方案是两个上下料、清洗动作交替进行，即应该在 RGV 在某处重复执行该操作组合，其模式也是在某处先后操作两侧的 CNC；此外可以从结果中看到，最终结果在中间过程呈现一定的周期性，只是周期性的基本模型较单一类型刀片有所不同。 + +下面给出模型求解算法求解结果与系统工作上界的结果偏差率分析。值得注意的是，这里的上界是在确定了排布之后的系统工作上界。 + +# 带有故障风险的最优状态转移图模型求解结果 + +在情况三条件下，一个工时（8小时）内第一、二、三组在随机情况下，通过该优化模型进行最优调度所取得的对应最佳结果为： + +对于只有一类刀片的CNC的三组数据，其在工期内分别发生3,5,2次故障的条件 + +表 3 带有工序约束的最优状态转移图模型结果分析表 + +
数据组数第1组第2组第3组
超额上限值264216295
求解值253210240
结果偏差率0.95830.97220.8136
+ +下，产量分别为376,250,387。 + +对于有两类刀片的CNC的三组数据，其在工期内分别发生3,3,5次故障的条件下，产量分别为243,205,224。 + +# 六、模型的评价与改进 + +1. 模型的优点 + +(a) 模型建立更多基于理性分析和合理推导, 并且对于部分重要原则给出了有保证的定义和证明, 对求解的决策原则进行了全面的分析和讨论, 使得模型具有较多的理论支持; +(b) 模型建立从状态转移的视角看待整个问题，在最大化生产件数的同时将各工作部分的效率均衡考虑在内。通过化简和转换，巧妙地将以秒为基本单位的时间划分转换为基于事件的时间划分，减少求解迭代次数，提升了求解效率。在模型的求解算法中，通过对状态向量的压缩存储减少了计算开销。此外，该模型的近似算法具有快速的求解速度且结果逼近最优解，因此适合于任务1中RGV动态调度； +(c) 模型评价公正客观，评价指标建立有理有据，对模型求解质量以及系统的整体性能评价准确、到位。 + +2. 模型的缺点 + +(a) 该模型的状态空间较大，在不加必要限制的情况下，每次搜索的空间为8个，随着状态的演进，搜索量呈现指数级上升，计算开销过大；因此在求解模型的时候，考虑使用分阶段优化求解，但是所求为近似解，且较为逼近最优值，但仍有一定偏差。 +(b) 此外, 本题中很多性质的证明和指导原则都需要满足一定的条件, 例如系统 CNC 满载等, 尽管通过机理分析可知, 这些条件与理论最优情况下的条件相差不大,但是依然存在一定的误差; 且在一定程度上限制了模型的普适性和推广能力。 + +3. 模型的改进 + +(a) 可以进一步深入研究系统状态的特性, 例如: 周期性、波动性等。通过对特性进行概括和证明, 并据此改进优化过程, 有助于进一步提升模型的求解精度和求解速度。 +(b) 可以使用遗传算法原始模型进行求解。需要注意的是, 如果从时间和状态转移视角会由于时间划分过细导致染色体基因数目过多问题, 或者基于事件编码时, 由于各个事件的时间不确定, 不便于对所选方案进行编码。所以采用可以采用可变长染色体的遗传算法 (Messy GA) [3]。此外在染色体交叉、变异操作时应当保证操作后的染色体仍在可行解区域内（不能出现一个物料被两个 CNC 同时加工）,因此需要限制变异和交叉操作的有效范围。从而提升算法求解的可靠性。其基本模型如下: + +![](images/346c5906c996e83befbc4bafd4326312c60b2dd06f9082aff347de7073b4039d.jpg) +图6 改进遗传算法流程图 + +根据迭代时收敛情况，在求解时间和解的质量之间作出权衡。此外，还可以使用其他近似求解算法完成对模型的求解。 + +# 参考文献 + +[1] 吴焱明, 刘永强, 张栋, 赵韩. 基于遗传算法的 RGV 动态调度研究 [J]. 起重运输机械, 2012(06):20-23 +[2] 陈华, 孙启元. 基于 TS 算法的直线往复 2-RGV 系统调度研究 [J]. 工业工程与管理, 2015, 20(05):80-88. +[3] D. E. Goldberg, B. Korb, and K. Deb, “Messy genetic algorithms: Motivation, analysis, and first results,” in Complex Syst., Sept. 1989, vol. 3, pp. 93-530. + +# 附录A最优性剪枝优化的搜索算法C++源代码 + +注意：该程序在总时长为 1000s 时可以很快给出答案，但在 8h 情况下由于复杂度过高无法给出答案（调整代码中 tot_t 的值）。 + +```cpp +include +#include +#include +#include +using namespace std; +typedef pair pii; +typedef pair> piv; +const int mov_t[] = {0, 20, 33, 46}; +const int proc_t[] = {560, 400, 378}; +const int ud_t[] = {28, 31}; +const int clr_t = 25; +const int tot_t = 1000; +vector dfs_stack, ans_stack; +int globalAns = 0; +void print_st(piv& st) { cout << st.first.first << ' ' << st.first(second; for (int i : st(second) { cout << ' ' << i; } cout << endl; } +void print_stack() { for (auto& st : ans_stack) { print_st(st); } +} +int eval_func(int rem_t, int cur_pos, vector& cnn_STS) { int res = 0; rem_t --= mov_t[cur_pos]; if (rem_t < 0) rem_t = 0; for (int i = 0; i < 8; i++) { if (cnc_STS[i] != -1 && rem_t >= cnn_STS[i]) { res++; } } +res += rem_t * 8 / (proc_t[0] + ud_t[0]); return res; +``` + +```txt +void dfs(int rem_t, int cur_pos, vector cnn sts, int cur_ans) { +if (cur_ans + eval_func(rem_t, cur_pos, cnn sts) <= global_ans) return; +if (rem_t <= mov_t[lst[cur_pos]) + if (cur_ans > global_ans) + global_ans = cur_ans; + ans_stack = dfs_stack; +} +return; +} +dfs_stack.push_back(make_pair(make_pair(rem_t, cur_pos), cnn sts)); +vector order = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; +for (int i = 0; i < 8; i++) { + int cur_max = i; + for (int j = i; j < 8; j++) { + if (maxmov_t[abs(cur_pos - order[lst[cur_max] / 2)], cnn sts[order[lst[cur_max]] + ud_t[order[lst[cur_max] % 2] < maxmov_t[abs(cur_pos - order[j] / 2]), cnn sts[order[j]] + ud_t[order[j] % 2]) { + cur_max = j; + } + } + swap(order[lst[cur_max], order[i]); +} +for (int i : order) { + int pos = i / 2; + int t = maxmov_t[abs(cur_pos - pos)], cnn sts[i] + ud_t[i % 2]; + vector new_cnc sts = cnn sts; + new_cnc sts[i] = proc_t[0] - (cnc sts[i] == -1 ? 0 : clr_t); + for (int j = 0; j < 8; j++) { + if (new_cnc sts[j] == -1) continue; + new_cnc sts[j] -= t + clr_t; + if (new_cnc sts[j] < 0) new_cnc sts[j] = 0; + } + dfs(rem_t - t - clr_t, pos, new_cnc sts, cur_ans + (cnc sts[i] == -1 ? 0 : 1)); +} +dfs_stack.pop_back(); +} +``` + +```lisp +return 0; +} +``` + +附录BPython源代码 +1 import random +2 +3 move_step-times $= [0$ , 20, 33, 46] +4 process-times $= [560$ , 400, 378] +5 up_down-times $= [28$ , 31] +6 clean_time $= 25$ +7 +8 # move_step-times $= [0$ , 23, 41, 59] +9 # process-times $= [580$ , 280, 500] +10 # up_down-times $= [30$ , 35] +11 # clean_time $= 30$ +12 +13 # move_step-times $= [0$ , 18, 32, 46] +14 # process-times $= [545$ , 455, 182] +15 # up_down-times $= [27$ , 32] +16 # clean_time $= 25$ +17 # INF $= 100000000$ +18 +19 cur_pos $= \emptyset$ +20 cur_time $= \emptyset$ +21 +22 def move_time(pos1, pos2): return move_step_times[abs(pos1 - pos2)] +23 +24 cnt $= \emptyset$ +25 res $= \emptyset$ +26 cnn_states $= [0$ for i in range(8)] +27 fst_time $= [$ True for i in range(8)] +28 item_idx $= [-1$ for i in range(8)] +29 broken $= [0$ for i in range(8)] +30 items = [] +31 broken_items = [] +32 while True: candidates $= [i$ for i in range(8)] candidates.sort(key=lambda i:max(move_time(cur_pos, i // 2), cnn_states[i]) + up_down(times[i % 2]) ok = False for cur_cnc in candidates: t1 $=$ max(move_time(cur_pos, cur_cnc // 2), cnn_states[cur_cnc]) + +tocur_cnc_time $= t1 +$ up_down_times[cur_cnc $\% 2]$ +ct $=$ clean_time if not fst_time[cur_cnc] else 0 +if cur_time $^+$ tocur_cnc_time $^+$ ct $^+$ move_time(cur_pos,0) $>8\ast 3600$ .. continue +ok $=$ True +# print(cur_time, cur_pos, cnn_states, res) +if broken[cur_cnc] $>0$ .. continue +if random.random() $< 0.01$ .. broken[cur_cnc] $=$ random.randint(10 \*60,20 \*60) items.append({'cnc':cur_cnc+1,'up_time':cur_time+t1,'down_time': None}) print(len(items),cur_cnc+1,cur_time+to.cur_cnc_time,cur_time $^+$ broken[cur_cnc]) broken_items.append({'cnc':cur_cnc+1,'up_time':cur_time+t1, 'down_time':None}） continue +for i in range(8): cnn_states[i] $\rightharpoonup$ tocur_cnc_time $^+$ ct broken[i] $\rightharpoonup$ tocur_cnc_time $^+$ ct if cnn_states[i] $< 0$ .. cnn_states[i] $= 0$ . if broken[i] $< 0$ .. broken[i] $= 0$ items.append({'cnc':cur_cnc+1,'up_time':cur_time+t1,'down_time': None}) cnn_states[cur_cnc] $=$ process-times[0] - ct if fst_time[cur_cnc]: fst_time[cur_cnc] $=$ False else: res $+= 1$ items[item_idx[cur_cnc]]['down_time'] $=$ cur_time+t1 cur_time $+=$ to.cur_cnc_time $^+$ ct cur_pos $=$ cur_cnc //2 itemidx[cur_cnc] $=$ len(items)-1 break if not ok: break +print(res) +print(res \*process-times[0]/(8 \*8\*3600)) +for item in items: print('t'.join(map(str, item.values))), +print('Broken:') +for item in broken_items: print('t'.join(map(str, item.values))), +print(items) + +move_step-times $= [0,20,33,46]$ + +process-times = [560, 400, 378] + +up_down(times = [28, 31] + +clean_time = 25 + +move_step-times = [0, 23, 41, 59] + +process-times = [580, 280, 500] + +up_down(times = [30, 35] + +clean_time = 30 + +move_step-times $=$ [0,18,32,46] + +process-times = [545, 455, 182] + +up_down(times = [27, 32] + +clean_time = 25 + +INF = 100000000 + +def move_time(pos1, pos2): + +return move_step(times[abs(pos1 - pos2)] + +count = {} + +for bin_class in range(1 << 8): + +cnc_class = [0 if (bin_class & (1 << i)) == 0 else 1 for i in range(8)] + +if bin_class != 0: + +break + +cnc_class = [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1] + +res = 0 + +cur_pos = 0 + +cur_time = 0 + +halfprod $\equiv$ None + +cnc_states = [0 for i in range(8)] + +fst_time = [True for i in range(8)] + +item_idx = [-1 for i in range(8)] + +items = [] + +while True: + +candidates $=$ [i for i in range(8)] + +candidates.sort(key= lambda i:max(move_time(cur_pos, i // 2), cnn_states[i]) + ++up_down(times[i%2]) + +ok = False + +for cur_cnc in candidates: + +if half_PROD and cnn_class cur_cnc $= = 0$ + +continue + +t1 = max(move_time(cur_pos, cur_cnc // 2), cnn_states[cur_cnc]) + +to.cur_cnc_time = t1 + up_down(times[cur_cnc % 2] + +```python +ct = clean_time if cnn_class[cur_cnc] == 1 else 0 +if cur_time + to(cur_cnc_time + ct + move_time(cur_pos, 0) > 8 * 3600: +continue +if cnn_class[cur_cnc] == 0: + if cur_time + to(cur_cnc_time + process-times[1] + process-times[2] + + clean_time + move_time(cur_pos, 0) > 8 * 3600: + half_PROD = True +continue +ok = True +# print(cur_time, cur_cnc, cnn_states, cnn_class[cur_cnc], half_PROD, res) +for i in range(8): + cnn_states[i] -= to(cur_cnc_time + ct + if cnn_states[i] < 0: + cnn_states[i] = 0 +cnc_states[cur_cnc] = process_times[ncc_class-cur_cnc] + 1] - ct +if cnn_class[cur_cnc] == 0: + items.append(['cnc1': cur_cnc + 1, 'up_time1': cur_time + t1, + 'down_time1': None, 'cnc2': None, 'up_time2': None, 'down_time2': + None]) +if itemidx cur_cnc != -1: + items[item IDX cur_cnc]['down_time1'] = cur_time + t1 + half_PROD = item IDX cur_cnc] +item IDX cur_cnc] = len(items) - 1 +else: + if not half_PROD: + items[half_PROD]['cnc2'] = cur_cnc + 1 + items[half_PROD]['up_time2'] = cur_time + t1 + if item IDX cur_cnc != -1: + items[item IDX cur_cnc]['down_time2'] = cur_time + t1 + item IDX cur_cnc] = half_PROD + res += 1 + half_PROD = None +cur_time += to(cur_cnc_time + ct +cur_pos = cur_cnc // 2 +break +if not ok: + break +num_1 = sum(cnc_class) +if count.get((8 - num_1, num_1)) is None: + count[(8 - num_1, num_1)] = [] +count[(8 - num_1, num_1)].append(res) +``` + +1 import random + +move_step-times $= [0,20,33,46]$ + +process-times = [560, 400, 378] + +up_down(times = [28, 31] + +clean_time = 25 + +move_step-times = [0, 23, 41, 59] + +process-times = [580, 280, 500] + +up_down(times = [30, 35] + +clean_time = 30 + +move_step-times $=$ [0,18，32，46] + +process(times = [545, 455, 182] + +up_down(times = [27, 32] + +clean_time = 25 + +def move_time(pos1, pos2): + +return move_step(times[abs(pos1 - pos2)] + +ans $= 0$ + +for bin_class in range(1 << 8): + +cnc_class = [0 if (bin_class & (1 << i)) == 0 else 1 for i in range(8)] + +print(cnc_class) + +if bin_class != 0: + +break + +#cnc_class $= [0,1,0,1,0,1,0,1]$ + +res = 0 + +cur_pos = 0 + +cur_time = 0 + +in_hand $\equiv$ None + +cnc_states = [0 for i in range(8)] + +itemidx = [None for i in range(8)] + +items = [] + +while True: + +ok = False + +candidates $=$ [i for i in range(8)] + +candidates.sort(key= lambda i:max(move_time(cur_pos, i // 2), cnn_states[i]) + ++up_down(times[i%2]) + +for cur_cnc in candidates: + +if in_hand is not None and cnc_class cur_cnc $= = 0$ + +continue + +if in_hand is None and cnn_class cur_cnc] == 1 and item_idx[cur_cnc] is + +None: + +continue + +```txt +mt = move_time(cur_pos, cur_cnc // 2) +rt = cnn_states[cur_cnc] +ct = 0 +t = max(mt, rt) +if cur_time + t + up_down-times[cur_cnc % 2] + move_time(cur_cnc // 2, 0) > 8 * 3600: + continue +ok = True +# print(cur_time, cur_pos, cnn_states, itemidx, in_hand, res) +ct = clean_time if (cnc_class[cur_cnc] == 1 and itemidx[cur_cnc] is not None) else 0 +for i in range(8): + cnn_states[i] -= (t + up_down-times[cur_cnc % 2] + ct) + if cnn_states[i] < 0: + cnn_states[i] = 0 +if cnn_class[cur_cnc] == 0: + items.append([cur_cnc + 1, cur_time + t, None, None, None, None]) + if itemidx[cur_cnc] is not None: + in_hand = itemidx[cur_cnc] + items[in_hand][2] = cur_time + t + itemidx[cur_cnc] = len(items) - 1 + cnn_states[cur_cnc] = process-times[1] +else: + if in_hand is None: + items[item_idx[cur_cnc]][-1] = cur_time + t + item.idx[cur_cnc] = None + else: + if item.idx[cur_cnc] is None: + item.idx[cur_cnc] = in_hand + in_hand = None + items[item_idx[cur_cnc]][3] = cur_cnc + 1 + items[item_idx[cur_cnc]][4] = cur_time + t + else: + items[in_hand][3] = cur_cnc + 1 + items[in_hand][4] = cur_time + t + items[item_idx[cur_cnc]][5] = cur_time + t + item.idx[cur_cnc] = in_hand + in_hand = None + else: + cnn_states-cur_cnc = process-times[2] - ct + cur_time += t + up_down-times[cur_cnc % 2] + ct + cur_pos = cur_cnc // 2 +break +if not ok: + break +ans = max(ans, res) +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/C008/C008.md b/MCM_CN/2018/C008/C008.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cf755d8a8c607d4d48c6a57f545bd1b5ba833bba --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/C008/C008.md @@ -0,0 +1,1026 @@ +# 基于RFMT模型的百货商场会员画像描绘 + +# 摘要 + +电商的快速发展给零售运营商带来了较大的冲击，为了持续获取稳定的销售额和利润，零售运营商需完成对会员的管理与维系工作。完善会员画像，加强会员管理，维持会员稳定将使得零售业更好地发展。 + +本文利用该大型百货商场提供的会员信息以及消费明细，完善该商场的会员画像。本文从购买力、购买时间偏好、消费偏好三个维度分析会员的消费特征。以会员消费总金额、消费次数、商品购买数量代表会员购买力，同时按季节对会员消费行为进行分析，随后以特价商品、高价商品消费金额在会员总消费金额的占比分析会员的消费偏好。 + +为进一步说明会员群体给商场带来的价值，本文对比了会员与非会员的购买力。会员群体的消费总金额和商品购买数量略低于非会员群体，原因或是非会员群体人数较多。但是绘制两类群体的日消费金额曲线后可知，与非会员群体相比，会员的单日消费总金额增幅较大。 + +为刻画会员的购买力，本文建立了RFMT模型。分别选取会员最后一次消费的时间间隔、消费频率、总金额、单次购买最高金额作为指标，结合层次分析法得到相应指标的权重，并计算出每个会员的得分，会员得分则代表着会员的个人价值。利用K-means聚类的方法，根据会员得分进行聚类，得分较高的会员群体则为商场需要维护的会员群体。 + +为了合理地判断会员所处的生命周期，本文利用已构建的RFMT模型中的相关指标，再次使用K-means聚类的方法对该商场的会员进行聚类，将现有会员划分为活跃会员、沉默会员、流失会员三类，以便商场管理者对会员进行管理。 + +在会员的生命周期中，会员状态处于动态变化的过程。为了增加商场的利润，与发展新会员相比，促进非活跃会员转化为活跃会员会大大降低商场的成本。本文通过构建非活跃会员的相关指标，使用因子分析法，可计算得各非活跃会员激活率，激活率越高，则其被激活的可能性则越大。同时，本文以非活跃会员的特价商品消费金额在总消费金额中的占比作为非活跃会员对促销活动敏感度的反映，构建线性回归模型分析非活跃会员的激活率与促销活动之间的关系，结果表明，一定的促销活动有助于提升非活跃会员的激活率。 + +连带消费是商场经营的核心，本文选取销售数量排名前十的商品作为最受欢迎的商品，根据会员消费明细表，利用Matlab软件构建商品关联表，并使用Clementine建立商品的关联规则。商场可对热门商品及其关联商品推出相应促销活动，同时通过广告投放、邮件推送等方式对促销活动进行推广。 + +关键词：会员画像；RFMT模型；生命周期；精准化营销 + +# 一、问题的重述 + +在零售行业中，会员的发展和维系对零售运营商而言至关重要，会员不但能够为运营商带来稳定的销售额和利润，而且对运营商的营销策略制定起着重要的作用。但随着电商日益发展，实体商场的会员不断流失，给零售运营商带来了严重损失，因此商家必须开展各种营销活动来吸引更多的会员以及维系旧会员。 + +在传统的市场营销中，想准确知道消费者的习惯、偏好、个性等影响消费者购买行为的因素是十分困难的，企业想对消费者进行精准化营销也难以实现，因此导致企业浪费了大量的营销资源。在众多大数据工具中用户画像技术是帮助企业准确识别和分析目标客户的有效工具之一，对于零售运营商的会员发展和维系，完善会员画像描绘，加强对现有会员的精细化管理，定期向其精准推送产品和服务，与会员建立稳定的关系是实体零售行业得以更好发展的有效途径。 + +在本文的研究中，完善商场会员画像是我们的研究重点，针对某大型百货商场的会员数据以及销售数据，我们需要解决以下问题： + +(1) 对该商场的会员消费特征以及会员与非会员差异进行分析，并说明会员给商场带来的价值； +(2) 建立刻画会员购买力的数学模型，对会员的价值进行识别； +(3) 在某个时间窗口，建立会员生命周期和状态划分的数学模型； +(4) 计算会员生命周期中非活跃会员的激活率，并确定激活率和商场促销活动之间的关系模型； +(5) 根据会员的喜好和商品的连带率设计促销方案帮助商家策划促销活动。 + +# 二、模型假设 + +为了使得问题更易于理解，我们作出以下合理假设： + +假设销售数据录入系统时不存在时间差； +- 假设销售流水表和会员消费明细表中的一条记录代表一次消费，即不存在同一次消费产生多条记录的情况； +- 假设会员的会员卡自开卡日起，除了自行退出外不存在会员卡过期导致会员退会的情况。 + +# 三、变量说明 + +本文建立模型的过程中主要涉及以下变量，变量及说明如下： +表 1 变量及其说明 + +
变量说明变量说明
R最近一次购买商品的时间间隔天数F购买商品的频率
M消费总金额T单次购买的最高金额
wi初始权重系数wi归一化权重系数
CI一致性指标λmax最大特征根
λi特征根RI平均随机一致性指标
CR随机一致性指标x_r, x_f, x_m, x_t标准化的RFMT指标值
x_max指标最大值x_min指标最小值
SRFMTRFMT价值得分w_r, w_f, w_m, w_tRFMT各指标权重
x_r, x_f, x_m, x_tRFMT指标值F_x_r, F_x_f, F_x_m, F_x_tRFMT指标得分
c_k聚类类别μi聚类中心
J(c_k)距离平方和J(c)总距离平方和
+ +# 四、模型的建立与求解 + +# 4.1 数据预处理 + +题目提供了5个附件，附件中的数据给出了商场会员的相关信息：附件1是会员信息数据；附件2是近几年的销售流水表；附件3是会员消费明细表；附件4是商品信息表；附件5是数据字典。 + +对于众多的会员信息数据，我们需要对数据进行清洗整理，使用 EXCEL 和 SQL Server 软件对数据做了以下预处理： + +(1) 剔除数据表中的重复数据; +② 由于我们只针对附件一中的会员进行管理，附件三中的会员消费记录存在其他分店的会员，而附件一为本商场的会员，我们将附件一与附件三的数据相关联，筛选出本商场的会员消费明细，剔除其他分店的会员消费明细； +③ 将附件一、附件二与附件三的数据相关联，分别筛选出附件二中会员与非会员的数据。 + +利用以上数据，对问题进行求解分析。 + +# 4.2 问题一的模型建立与求解 + +# 4.2.1 建模思路 + +对于问题一，我们运用数据统计分析的方法来对会员信息进行分析。问题中需要根据会员消费明细表分析会员的消费特征，主要从三个维度来分析：购买力、时间偏好、消费偏好，具体分析指标如下图所示： + +![](images/ec653d542dbf2212747b63f14e92739727a49660711e0ea103005d2a65e832b2.jpg) +图1会员消费特征指标 + +而对于会员与非会员群体之间的差异，我们从购买力以及购买数量的角度深入分析会员与非会员带给商场的价值差异，进而分析会员给商场带来的价值。 + +# 4.2.2 模型建立 + +我们从购买力、时间偏好、消费偏好三个维度来分析会员的消费特征。 + +# (1) 购买力 + +反映会员购买力的指标主要有三个，分别为会员消费金额、会员消费宗数以及商品购买数量。根据会员的消费情况，我们定义了各指标的数据区间以及含义，如下表所示： + +表 2 购买力指标区间以及含义 + +
消费总金额区间含义消费宗数区间含义购买数量区间含义
总金额为0无消费会员消费宗数为0无消费会员购买数量为0无消费会员
0<总金额<10000低消费会员0<消费宗数<=10低消费会员0<购买数量<=10低消费会员
10000<=总金额<=50000中消费会员10<消费宗数<=20中低消费会员10<购买数量<=20中低消费会员
总金额>50000高消费会员20<消费宗数<=50中消费会员20<购买数量<=50中消费会员
50<消费宗数<=100中高消费会员50<购买数量<=100中高消费会员
消费宗数>100高消费会员购买数量>100高消费会员
+ +我们在会员购买力维度下将会员群体分成了无消费会员、低消费会员、中低消费会员、中消费会员、中高消费会员、高消费会员六个等级，并根据会员的消费情况进行会员购买力分析。 + +# (2) 时间偏好 + +对于会员消费的时间偏好，我们主要分析会员消费的季节性倾向。仅考虑北半球的季节更替规律，一般认为每年的3月-5月为春季，6月-8月为夏季，9月-11月为秋季，12月-次年2月为冬季。 + +由于会员消费明细数据截取的时间区间为2015年1月1日-2018年1月4日，在时间维度上分别分析2015、2016、2017三年间的会员消费季节性倾向情况。 + +# (3）消费偏好 + +在会员的消费偏好上我们主要关注特价商品消费占比和高价商品消费占比这两个指标。 + +其中，特价商品消费占比是指会员购买特价商品的总金额占会员总消费金额的比例，即特价商品消费金额/总消费金额； + +同样地，高价商品消费占比是指会员购买高价商品的总金额占会员总消费金额的比例，即高价商品消费金额/总消费金额。 + +并且，我们定义在商品信息表的商品类目中标明特价、促销、打折的商品为特价商品，并考虑百货商场实际销售的商品，定义商品售价在5000元以上的商品为高价商品。 + +# 4.2.3 模型的求解与结果分析 + +# 1. 会员的消费特征 + +# (1）购买力 + +反映购买力的指标为：会员消费金额、会员消费宗数、商品购买数量。在会员消费数据的统计区间内，本文运用统计分析法对这三个指标进行了分析，结果如下： + +在会员消费总金额指标中，将消费金额分为了4个区间，分别代表无消费会员、低消费会员、中消费会员和高消费会员。在统计区间内，会员消费总金额占总消费金额的比例如图2所示： + +![](images/1b950db285880864212d056f1f63605047b8d1758af29c43cdbcbafed590724a.jpg) +图2会员消费总金额占比 + +从图2可以看到，无消费会员的占比最大，为 $75\%$ ；低消费会员占比为 $17.86\%$ ，中消费会员占比 $5.65\%$ ，而消费总金额大于50000元的高消费会员仅占 $1.48\%$ + +将会员消费宗数和购买数量都分成6个区间，分别代表6个会员等级，即无消费会员、低消费会员、中低消费会员、中消费会员、中高消费会员、高消费会员。在统计区间内，会员消费宗数的情况和会员购买商品的数量情况如图3、图4所示： + +![](images/324976b364ab2c398f093133a84a5691cd5542ed84a33eb59ab41ecd0113d7e7.jpg) +图3会员消费宗数占比 + +![](images/08da9ddce6f91fcb8594c2e819138298da3dc2eae628efc075af7431da49aafc.jpg) +图4商品购买数量占比 + +从饼状图中可以看到，在所有会员中消费宗数小于10的会员占大多数，而消费宗数大于50的会员仅占 $0.9\%$ 。同样地，商品购买数量小于10的会员占比最大，购买数量大于50的会员仅占比 $1.4\%$ 。 + +从以上统计结果可知，无消费会员的占比最大，该商场的大部分会员都存在开了会员卡不消费的情况；而中、低消费的会员比高消费会员多，表明该商场会员的购买力一般在中、低消费的水平上。由于存在大量的无消费会员，该商场应采取一系列促销活动来吸引会员消费，维系会员的忠诚度。 + +# (2) 时间偏好 + +除了会员购买力能够直观地看出会员的消费特征，从时间上也能看出会员消费的时间倾向。在时间偏好维度上，本文主要分析会员消费的季节性倾向。在分析中，一般认为每年的3月-5月为春季，6月-8月为夏季，9月-11月为秋季，12月-次年2月为冬季。根据会员消费明细数据，统计得到2015年-2017年各季节消费的会员人数情况，如图5所示： + +![](images/183f45a55d061631765b73cf8be3e3d67777d64fa1ebf6d537bac51240fdcf21.jpg) +图52015年-2017年季节消费会员人数 + +明显可以看到，2015年的秋季会员消费人数为0，冬季的消费人数与春季和夏季相比较少；到了2016年，会员在冬季的消费人数最少，而在秋季消费的人最多；2017年的会员消费人数在每个季节都较为平均，无明显季节性倾向。总体来看，该商场的会员主要倾向于春季和夏季消费。 + +# (3) 消费偏好 + +关注消费者对促销活动、高价商品的敏感度是分析消费者消费特征的一个很好的方向，在商场的营业中，销售特价商品和高价商品往往是商场提高盈利的渠道，所以可通过分析会员的特价商品和高价商品的消费情况来分析商场会员的消费特征。根据会员的消费明细表，可知会员的特价商品和高价商品的消费情况如表3所示。 + +表 3 特价和高价商品的会员消费情况 + +
特价商品消费总金额/元特价商品消费占比高价商品消费总金额/元高价商品消费占比会员消费总金额/元
285763242.940.51%194237180.627.54%705409997.6
+ +在会员总消费中，特价商品消费占比 $40.51\%$ ，可见会员对于促销活动的特价商品的购买力较高，而高价商品消费占比 $27.54\%$ ，表明会员对高价商品的销售贡献度还是比较高的。特价商品的销售属于薄利多销形式，通过促销活动吸引消费者消费；而高价商品的销售量不会像日常用品那样高，但是商品的价格越高，商场的盈利也越高，二者的销售均能给商场带来高利润收入。 + +# 2. 会员与非会员的差异 + +为了进一步分析客户给商场带来的价值，本文对会员和非会员的购买力进行了对比分析。同时，考虑到现有数据时间维度的不统一，本文以商场销售流水表为基准，提取时间节点为2016年1月至2017年9月的会员、非会员消费明细，开展分析。 + +在完成数据表关联后，利用统计分析法统计得，会员消费总金额为419074889.11元，非会员消费总金额为507093746.29元；会员购买商品总数量为330535件，非会员购买商品总数量为477415件。 + +非会员的消费总金额略高于会员消费总金额，且非会员购买商品的总数量也高于会员群体。针对该现象，结合日常生活中的实际情况，可能的原因是非会员群体的人数多于会员人数。 + +![](images/efb0069ed6cc5b2d580291e491618fab5d675c2dececc04ce3ac289419a43482.jpg) +图6会员与非会员每日消费总金额情况 + +从会员与非会员的消费总金额情况中可以明显看出，在统计时间段内，大部分会员每日消费金额比非会员每日消费金额高，会员群体的单日消费总金额增幅较大，购买力比非会员群体高。但可以注意到在2016年1月到2016年3月这段时间会员的每日消费总金额都非常低，相反在这段时间内非会员每日消费总金额是最高的，即非会员群体是最活跃的。对于此现象，我们推测在该段时间内商场会员人数处于较少阶段，商场推出一系列促销活动，增加了非会员群体的消费金额，并借此机会发展新会员，使得非会员群体升级为会员。 + +# 4.3 问题二的模型建立与求解 + +# 4.3.1 建模思路 + +对于问题二，需要建立一个能够刻画会员购买力的数学模型，并通过此模型来识别每一位会员的价值，就是要将每一位会员进行价值分析。 + +在众多的用户价值分析模型中，RFM模型是衡量客户价值和增益能力的重要工具，考虑到本文研究对象为大型百货商场，相对消费会较为高端，可以增加一个反映会员一次性消费的最高能力的指标，故我们引入改进的RFM模型--RFMT模型，对会员购买力进行刻画，并通过RFMT模型的会员得分对每个会员进行价值等级划分，最终可得知每一位会员对于商场的价值。 + +# 4.3.2 模型建立 + +在RFM模型的基础上，引入RFMT模型衡量会员价值和刻画会员购买力，应用层次分析法计算RFMT模型每个指标的指标权重，构建指标得分规则计算RFMT指标的得分，最终通过K-means聚类法对会员群体进行价值等级分类。 + +# 1. RFMT模型介绍[1] + +在营销活动中，每个会员的价值因其购买能力和实际需求的不同而各不相同，寻找一种工具来辨别会员价值至关重要。会员价值模型的建立可以对会员进行排序分类，然后对会员进行个性化营销。 + +本文为会员的消费情况建立一个能够刻画每一位会员购买力的RFMT数学模型，它以会员关系领域广泛用来衡量会员价值和描述会员行为的RFM模型为 + +基础，拓展而成。RFMT模型有四个指标，指标含义如下： + +R (Recency) + +R 表示会员最近一次购买商品的时间间隔天数。理论上，最近一次消费时间越近的会员应该是比较好的会员，对提供即时的商品或是服务也最有可能会有反应。R 指标主要刻画了会员对商场的关注程度。 + +F (Frequency) + +F表示会员在限定时间内购买商品的频率，消费频率越高的会员，其满意度和忠诚度也就越高。F指标主要刻画了会员对商场的忠诚度。 + +M (Monetary) + +M表示会员在限定时间购买商品的总金额。消费金额是所有数据库报告的支柱，直接反应了商场的盈利情况。M指标主要刻画了会员的购买力。 + +T (Topest) + +T 表示单次购买的最高金额，反映的是会员一次性消费的最高能力。 + +RFMT模型以上述四个指标为替代变量，通过指标标准化和赋予权重来计算会员价值，然后根据会员价值来进行均值聚类分析，将会员分成不同的类别，作为商场精准营销的基础。 + +# 2. 层次分析法 + +# (1) 层次分析法基本思想 + +层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上对一些较为复杂、较为模糊的问题进行定性和定量分析的决策方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。 + +# (2) 层次分析法计算权重系数 + +为了知道各指标体系在综合评价中的重要程度，我们对在同一层评价目标中各个评价目标对总评价目标作用价值的大小分别赋予一定的权重系数。此处以一级指标的权重求取为例权重计算步骤为： + +# a. 建立递阶层次结构模型 + +对总评价目标进行连续性分解以得到不同层次的评价目标，建立目标树图将各层评价目标表示出来，如图7所示。 + +![](images/588535232decba1ae9dd73c1e5ab1e8a3937d9481f67bcee8dd68d11708438f7.jpg) +图7各层评价目标 + +# b. 构造出各层次中的所有判断矩阵 + +对目标树自上而下分层一一对比打分，建立成对比较判断优选矩阵，评分标准见表4： + +表4 目标树各层次评分标准 + +
对比打分相对重要程度说明
1同等重要两者对目标的贡献相同
3略为重要根据经验一个比另一个评价稍微有利
5基本重要根据经验一个比另一个评价更为有利
7确实重要根据经验一个比另一个评价更有利，且实践中证明
9绝对重要重要程度明显
(2,4,6,8)两相邻程序的中间值需要折衷时使用
+ +首先我们进行定性判定： + +- 因为在价值评估中会员的消费额对于企业的利润贡献度较大，所以一般来说M应该具有最高的重要性； +- F 重在衡量会员的忠诚度，忠诚度越高，对于企业的价值也越高，所以 F 也会占到一定的比例； +- 最高消费额 T 在一定程度上可以体现会员的消费能力，这个因素对于区分价格敏感型的会员有参考作用； +- R 最近一次消费则是关系到一个会员的最近情况，由于对与航空业来说会员的需求不连续，所以 R 指标对于衡量会员价值权重不高，但从理论上说最近有购买的会员会比更长时间之前购买的会员对商场具有更高的产品关注度，营销效果也会好点，所以把 R 也当作其中一个指标参考。 + +则4个评价目标成对比较判断优选矩阵见表5： + +表5子目标层对比判断优选矩阵 + +
RFMT
R11/51/71/4
F511/22
M7213
T41/21/31
+ +c. 计算归一化权重系数 + +根据计算公式 + +$$ +w _ {i} ^ {\prime} = \sqrt [ m ]{a _ {i 1} a _ {i 2} \dots a _ {i m}} \tag {1} +$$ + +计算初始权重系数 $\mathrm{w}_{i}$ 。 + +再根据公式 + +$$ +w _ {i} = \frac {w _ {i} ^ {\prime}}{\sum_ {i = 1} ^ {m} w _ {i} ^ {\prime}} \tag {2} +$$ + +最终计算得到归一化权重系数 $\mathbf{w}_i$ 。 + +d. 对权重系数是否符合逻辑进行检验 + +在确定权系数过程中，依靠主观判断给出的判断矩阵，还必须通过一致性检验，以便尽可能消除人得主观判断得不一致性。一致性检验通常采用一致性指标CI检验该项目的相对优先顺序有无逻辑混乱，一般认为，当 $\mathrm{CI} < 0.01$ 时，可能逻辑混乱，即计算所得的各项权重可以接受。 + +根据公式计算： + +$$ +C I = \frac {\lambda_ {\max } - m}{m - 1} \tag {3} +$$ + +$$ +\lambda_ {\max } = \sum_ {i = 1} ^ {m} \lambda_ {i} / m \tag {4} +$$ + +$$ +\lambda_ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i j} w _ {j} / w _ {i} \tag {5} +$$ + +其中式中 $\mathbf{m}$ 为接受检验层次的子目标数， $\lambda_{\mathrm{max}}$ 为最大特征根， $\lambda_{i}$ 为该层子目标成对比较判断优选矩阵的特征根。 + +为了进一步度量不同阶段矩阵是否具有满意的一致性，我们还需引入判断矩阵的平均随机一致性指标RI值。通常采用美国运筹学家Saaty教授创立的1-9级标度法。对于1-9阶判断矩阵，RI值见表6： + +表61-9阶平均随机一致性指标RI的取值 + +
阶数123456789
RI0.000.000.580.901.121.241.321.411.45
+ +对于1-2阶判断矩阵，PI只是形式上的，因为1-2阶判断矩阵具有完全一致性。当阶数大于2时，判断矩阵一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率，记为CR，其中 + +$$ +C R = \frac {C I}{R I} \tag {6} +$$ + +当 $\mathrm{CR} < 0.1$ 时，即可认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需调整判断矩阵，并使之具有满意的一致性。 + +# 3. R、F、M、T值的标准化 + +对各属性进行规格化变换，规格化变换又称为极差正规比变换，它是从数据矩阵中的每一个变量最大值和最小值，并用最大值减去最小值得出极差。然后用每一个原始数据减去该变量中的最小值，再除以极差，即得到规格化数据，标准化公式为： + +$$ +X ^ {\prime} = \frac {X - X _ {\min}}{X _ {\max} - X _ {\min}} \tag {7} +$$ + +$$ +X ^ {\prime} = \frac {X _ {\max} - X}{X _ {\max} - X _ {\min}} \tag {8} +$$ + +其中， $\mathrm{X}^{\prime}$ 是标准化的 R，F，M，T 值，X 是原值， $\mathrm{X}_{\max}$ 和 $\mathrm{X}_{\min}$ 分别是该指标的最大值和最小值。由于 F，M，T 指标的影响是正向的，所以适用公式（7），而 R 得指标影响是反向的，适用公式（8）。 + +# 4. 计算单个会员的价值得分 + +分别对 R，F，M，T 进行价值得分计算，再对四个指标的得分进行加权求 + +和，得到每个会员的价值得分，公式如下： + +$$ +S R F M T = \mathrm {w} _ {r} F _ {X _ {\mathrm {r}}} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} F _ {X _ {\mathrm {f}}} + \mathrm {w} _ {m} F _ {X _ {\mathrm {m}}} + \mathrm {w} _ {t} F _ {X _ {\mathrm {t}}} \tag {9} +$$ + +式中SRFM表示会员的RFMT价值得分， $\mathrm{W_r}$ 、 $\mathrm{W_f}$ 、 $\mathrm{W_m}$ 、 $\mathrm{W_t}$ 分别表示R、F、M各指标的权重， $F_{X_{\mathrm{r}}}$ 、 $F_{X_{\mathrm{f}}}$ 、 $F_{X_{\mathrm{m}}}$ 、 $F_{X_{\mathrm{t}}}$ 分别指R、F、M、T四个指标的得分， $\mathbf{X}_{\mathrm{r}}$ 、 $\mathbf{X}_{\mathrm{f}}$ 、 $\mathbf{X}_{\mathrm{m}}$ 、 $\mathbf{X}_{\mathrm{t}}$ 分别表示相应的R、F、M、T值。 + +# 5. 将会员分类，计算每一类会员的价值得分 + +计算出会员个人价值得分后，我们采用K-means聚类方法对会员群体进行聚类分析，具体步骤如下所示[3]： + +对于给定的一个包含 $\mathsf{n}$ 个d维数据点的数据集 $X = \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n}\}$ 其中 $\mathbf{x}_i\in R^{\mathrm{d}}$ ，以及要生成的数据子集的数目K，K-means聚类算法将数据对象组织为K个划分 $C = \{c_k,i = 1,2,\dots ,K\}$ 。每个划分代表一个类 $\mathbf{c}_k$ ，每个类 $\mathbf{c}_k$ 有一个类别中心 $\mu_{\mathrm{i}}$ 。选取欧氏距离作为相似性和距离判断准则，计算该类内各点到聚类中心 $\mu_{\mathrm{i}}$ 的距离平方和 + +$$ +J \left(\mathrm {c} _ {k}\right) = \sum_ {X _ {i} \in C _ {k}} \left\| X _ {i} - \mu_ {k} \right\| ^ {2} \tag {10} +$$ + +聚类目标是使各类总的距离平方和 $J(\mathrm{C}) = \sum_{k=1}^{K} J(c_k)$ 最小。 + +$$ +J (C) = \sum_ {k = 1} ^ {K} J \left(c _ {k}\right) = \sum_ {k = 1} ^ {K} \sum_ {x _ {i} \in C _ {k}} \left\| x _ {i} - \mu_ {k} \right\| ^ {2} = \sum_ {k = 1} ^ {K} \sum_ {i = 1} ^ {n} d _ {k i} \left\| x _ {i} - \mu_ {k} \right\| ^ {2} \tag {11} +$$ + +其中， $\mathrm{d}_{ki} = \left\{ \begin{array}{ll}1, & \text{若} x_{i}\in c_{i}\\ 0, & \text{若} x_{i}\notin c_{i} \end{array} \right.$ + +显然，根据最小二乘法和拉格朗日原理，聚类中心 $\mu_{\mathrm{k}}$ 应该取为类别 $c_{k}$ 类各数据点的平均值。 + +K-means 聚类算法从一个初始的 K 类别划分开始, 然后将各数据点指派到各个类别中, 以减小总的距离平方和。因为 K-means 聚类算法中总的距离平方和随着类别个数 K 的增加而趋向于减小 (当 $\mathrm{K} = \mathrm{n}$ 时, $\mathrm{J}(\mathrm{C}) = 0$ )。因此, 总的距离平方和只能在某个确定的类别个数 K 下, 取得最小值。 + +# 4.3.3 模型的求解与结果分析 + +# 1. 层次分析法计算权重系数 + +# (1) 计算归一化权重系数 + +根据公式(1)计算初始权重系数 $\mathrm{w}_{i}$ , 得 + +$$ +\mathrm {w} _ {r} ^ {\prime} = \sqrt [ 4 ]{a _ {1 1} a _ {1 2} \dots a _ {i 4}} = 0. 2 9 \quad \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} = \sqrt [ 4 ]{a _ {2 1} a _ {2 2} \dots a _ {i 4}} = 1. 5 0 +$$ + +$$ +\mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} = \sqrt [ 4 ]{a _ {1 1} a _ {1 2} \dots a _ {i 4}} = 2. 5 5 \quad \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime} = \sqrt [ 4 ]{a _ {1 1} a _ {1 2} \dots a _ {i 4}} = 0. 9 0 +$$ + +又根据公式(2)，计算归一化权重系数 $\mathbf{W}_i$ ，得 + +$$ +\mathrm {w} _ {r} = \mathrm {w} _ {r} ^ {\prime} / \left(\mathrm {w} _ {\mathrm {r}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime}\right) = 0. 0 6 \tag {12} +$$ + +$$ +\mathrm {w} _ {\mathrm {f}} = \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} / \left(\mathrm {w} _ {\mathrm {r}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime}\right) = 0. 2 9 \tag {13} +$$ + +$$ +\mathrm {w} _ {\mathrm {m}} = \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} / \left(\mathrm {w} _ {\mathrm {r}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime}\right) = 0. 4 8 \tag {14} +$$ + +$$ +\mathrm {w} _ {\mathrm {t}} = \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime} / \left(\mathrm {w} _ {\mathrm {r}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime}\right) = 0. 1 7 \tag {15} +$$ + +# (2) 对权重系数是否符合逻辑进行检验 + +我们采用一致性指标CI检验该项目的相对优先顺序有无逻辑混乱，一般认为当 $\mathrm{CI} < 0.01$ 时，可能导致逻辑混乱，计算所得的各项权重不可以接受；反之则认为各权重可以接受。 + +根据公式(3)(4)(5)可计算得到各特征根为： + +$$ +\lambda_ {1} = \left(1 \times 0. 0 6 + 1 / 5 \times 0. 2 9 + 1 / 7 \times 0. 4 8 + 1 / 4 \times 0. 1 7\right) / 0. 0 6 = 3. 8 2 \tag {16} +$$ + +$$ +\lambda_ {2} = (5 \times 0. 0 6 + 1 \times 0. 2 9 + 1 / 2 \times 0. 4 8 + 2 \times 0. 1 7) / 0. 2 9 = 4. 0 3 \tag {17} +$$ + +$$ +\lambda_ {3} = (7 \times 0. 0 6 + 2 \times 0. 2 9 + 1 \times 0. 4 8 + 3 \times 0. 1 7) / 0. 4 8 = 4. 1 5 \tag {18} +$$ + +$$ +\lambda_ {4} = \left(4 \times 0. 0 6 + 1 / 2 \times 0. 2 9 + 1 / 3 \times 0. 4 8 + 1 \times 0. 1 7\right) / 0. 1 7 = 4. 2 1 \tag {19} +$$ + +所以 + +$$ +\lambda_ {\max } = \frac {(3 . 8 2 + 4 . 0 3 + 4 . 1 5 + 4 . 2 1)}{4} = 4. 0 5 \tag {20} +$$ + +$$ +C I = \frac {\left(\lambda_ {\max} - m\right)}{m - 1} = \frac {(4 . 0 5 - 4)}{4 - 1} = 0. 0 1 7 > 0. 0 1 \tag {21} +$$ + +由公式(25)可知 $\mathrm{CI} > 0.01$ ，故可以初步认定该项目的相对优先顺序无逻辑混乱。 + +接下来度量不同阶段矩阵是否具有满意的一致性，根据公式(6)计算得到随机一致性比率为 + +$$ +C R = \frac {C I}{R I} = \frac {0 . 0 1 7}{0 . 9 0} = 0. 0 1 9 < 0. 1 \tag {22} +$$ + +由此可认为第一层子目标各项判断无逻辑错误，即 + +$$ +\mathrm {w} _ {r} = \mathrm {w} _ {r} ^ {\prime} / \left(\mathrm {w} _ {\mathrm {r}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime}\right) = 0. 0 6 \tag {23} +$$ + +$$ +\mathrm {w} _ {\mathrm {f}} = \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} / \left(\mathrm {w} _ {\mathrm {r}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime}\right) = 0. 2 9 \tag {24} +$$ + +$$ +\mathrm {w} _ {\mathrm {m}} = \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} / \left(\mathrm {w} _ {\mathrm {r}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime}\right) = 0. 4 8 \tag {25} +$$ + +$$ +\mathrm {w} _ {\mathrm {t}} = \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime} / \left(\mathrm {w} _ {\mathrm {r}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {f}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {m}} ^ {\prime} + \mathrm {w} _ {\mathrm {t}} ^ {\prime}\right) = 0. 1 7 \tag {26} +$$ + +# 2. R、F、M、T值的标准化 + +根据公式(7)(8)，结合近几年的会员的消费数据，可计算得： + +$$ +\mathrm {X} _ {\mathrm {R} \max } = 9 8 0, \quad \mathrm {X} _ {\mathrm {R} \min } = 0; \quad \mathrm {X} _ {\mathrm {F} \max } = 1 8 7 8, \quad \mathrm {X} _ {\mathrm {F} \min } = 0 +$$ + +$$ +\mathrm {X} _ {\mathrm {M} \max } = 1 9 8 0 4 1 7. 8; \quad \mathrm {X} _ {\mathrm {M} \min } = 0; \quad \mathrm {X} _ {\mathrm {T} \max } = 1 3 4 2 5 1 5, \quad \mathrm {X} _ {\mathrm {T} \min } = 0 +$$ + +# 3. 计算单个会员的价值得分 + +在此部分，我们利用公式(9)分别对R，F，M，T指标进行会员价值得分计算，再对四个指标的得分进行加权求和，得到每个会员的价值得分。 + +在计算四个指标的得分时，我们设定每个指标满分为5分，四个指标剔除分布上下 $10\%$ 的区间，即截取中间的 $80\%$ 再进行分级（核算最优区间），四个指标打分的1-5级均按照 $0\% - 20\%$ ， $20\% - 40\%$ ， $40\% - 60\%$ ， $60\% - 80\%$ ， $80\% - 100\%$ 进行分级，其中M因为存在退货情况，数据存在负数，我们将M为负数的会员的M指标得分设置为0，结果如下表所示： + +表 7 会员个人价值得分 + +
会员卡号FXtFXtFXmFXtSRFMT
221163c551111.24
b1573e1611000.35
5fee450811010.52
ba50490e41010.7
75a6388d21111.06
d3a76a8631111.12
0ae566d541111.18
:……………………:
221163c551111.24
82e36e9451211.72
11a7727151151.92
25cda8d252212.01
7ff6682d55514.32
+ +# 4. 将会员分类，计算每一类会员的价值得分 + +计算出会员个人价值得分进而对会员进行分级，但这种个人角度的分级只是确定了会员的等级，却没有各类会员之间的一个量化的价值比较，因而对各类会员做相应的价值分析是非常有必要的。 + +细分会员群不仅揭示了会员在级别上的差异，而且反映了会员在行为上的特 + +性和变化倾向。针对不同等级的会员，采取不同的管理策略。因此我们采用K-means聚类法对会员群体进行聚类分析。聚类结果如表8所示： + +表 8 标准化后的 RFMT 会员群体分级 + +
会员级别RFMTSRFM T该级别会员数排序
高价值会员5.05.05.01.04.3211
重要发展会员5.01.01.05.01.9212
重要保持会员5.02.251.0831.01.864123
重要挽留会员5.01.01.01.01.24248484
一般价值会员4.01.01.01.01.1880965
一般发展会员2.8361.01.01.01.1162166
一般保持会员1.01.01.01.01.095797
低价值会员1.00.01.00.250.39248
+ +进行会员分类后，我们再对会员的类别进行会员细分群的价值得分进行排序，使得商场能够量化各类会员的价值的差别，有助于企业制定更为可行的会员政策。 + +由于受到成本的制约，商场不可能提供完全的、无差别的个性化服务，按照总得分的排列情况，我们认为商场应该优先将资源投放到总得分较高的会员细分群体上。 + +# 4.4 问题三的模型建立与求解 + +# 4.4.1 建模思路 + +商场会员从入会到退出的过程称为会员的生命周期，在整个生命周期内会员的状态会随着会员的消费行为改变而改变，这个动态的过程对于商场对会员的管理造成了困扰，因此我们需要建立一个模型以判别会员处于生命周期内的状态。 + +对于问题三，基于问题二中的RFMT模型，选取R（会员最近一次购买商品的时间间隔天数）和F（会员在限定时间内购买商品的频率）指标作为聚类依据，应用K-means聚类法对有消费记录的会员进行状态聚类，最终可知每个会员所处的生命周期状态。 + +# 4.4.2 模型建立 + +为了更有效地对商场会员进行维系以及管理，该模型用于判别会员处于生命周期内的状态。通常情况下，会员的生命周期状态分为活跃会员、沉默会员、流失会员等。 + +考虑到会员的消费行为对状态的影响，在问题二的RFMT模型的基础上，运用Clementine软件对会员的R、F、M、T四个指标数据进行K-means聚类,选取模型中的R和F指标作为聚类依据，建立聚类模型对会员状态进行分类。 + +其中，R表示会员最近一次购买商品的时间间隔天数，F表示会员在限定时间内购买商品的频率，M表示会员在限定时间购买商品的总金额，T表示单次购买的最高金额。 + +K-means聚类法的步骤与问题二中的聚类模型步骤相同，此处不再重复描述。 + +# 4.4.3 模型的求解和结果分析 + +根据会员的 R、F、M、T 指标数据，运用 Clementine 软件进行 K-means 聚类，建立聚类模型，选择聚类数为 3 类，一共迭代了 17 次，得到聚类结果如附件 3，聚类规则如下： + +表 9 会员生命周期状态的 K-means 聚类规则 + +
类别聚类1聚类2聚类3
记录数98032381915135
R聚类中心982.932113.681447.715
F聚类中心4.32916.4585.695
M聚类中心5456.30122920.9536999.758
T聚类中心2524.314738.2832870.665
状态划分流失会员活跃会员沉默会员
+ +从R指标和F指标的聚类中心来看，聚类1的R聚类中心为982.932，F聚类中心为4.329，表示会员最近一次购买商品的时间距离数据截取时间的间隔天数约为983天，购买商品的频率约为4次，可将此类会员划分为流失会员；聚类2的R聚类中心为113.681，F聚类中心为16.458，表示会员最近一次购买商品的时间距离数据截取时间的间隔天数约为114天，购买商品的频率约为16次，即会员在最近三个月内有消费且消费次数约为16次，可将此类会员划分为活跃会员；聚类3的R聚类中心为447.715，F聚类中心为5.695，表示最近一次购买商品的时间距离数据截取时间的间隔天数约为447天，购买商品的频率约为6次，即会员最后一次消费发生在最近的4-6个月内，已经沉默3个月以上，因此可将此类会员划分为沉默会员。 + +# 4.5 问题四的模型建立与求解 + +# 4.5.1 建模思路 + +问题四中要求计算非活跃会员的激活率和确定激活率和商场促销活动之间的关系模型。 + +从问题三的聚类结果中可筛选出非活跃状态的会员，给非活跃会员构建分析指标：R、F、M、T指标，针对非活跃会员的RFMT指标进行因子分析，可得到相应指标的因子得分，以每个公因子的方差贡献率作为权重系数，对每个因子进行加权求和，从而计算得到各非活跃会员的激活率。 + +对于非活跃会员激活率和商场促销活动之间的关系模型，考虑到商场促销活动与特价商品有关，结合非活跃会员的激活率和特价商品消费总金额在商品消费总金额中的占比，利用SAS软件做相关性分析，得到激活率和商场促销活动之间的关系模型。 + +# 4.5.2 模型建立 + +此问题主要建立因子分析模型，其基本思想为根据相关性大小将变量进行分类，使得同一类的变量之间相关性较高，而不同类变量之间的相关性较低，每一类变量代表一个公共因子。 + +假设 $X = (X_{1},X_{2},\dots ,X_{p})$ 为可观测随机向量，用 $Y = (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{p})$ 代表经标准化 + +处理后的X，其均值 $E(Y) = 0$ ，协方差矩阵 $D(Y) = \sum .F = (F_{1},F_{2},\dots ,F_{m})(m < p)$ 为不可观测的随机向量，且 $E(F) = 0$ ，协方差矩阵 $D(F) = I_{m}$ ；又设 $\varepsilon = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots ,\varepsilon_{\mathrm{p}})$ 与F不相关，且 $E(\varepsilon) = 0$ ， + +$$ +D (\varepsilon) = \left( \begin{array}{c} \sigma_ {1} ^ {2} \\ \sigma_ {2} ^ {2} \\ \vdots \\ \sigma_ {p} ^ {2} \end{array} \right) = d i a g \left(\sigma_ {1} ^ {2}, \sigma_ {2} ^ {2}, \dots , \sigma_ {p} ^ {2}\right) \tag {27} +$$ + +假定随机变量可以表示为以下模型： + +$$ +\left( \begin{array}{c} Y _ {1} = \mathrm {a} _ {1 1} F _ {1} + a _ {1 2} F _ {2} + \dots + a _ {1 m} F _ {m} + \varepsilon_ {1} \\ Y _ {2} = \mathrm {a} _ {2 1} F _ {1} + a _ {2 2} F _ {2} + \dots + a _ {2 m} F _ {m} + \varepsilon_ {2} \\ \vdots \\ Y _ {p} = \mathrm {a} _ {p 1} F _ {1} + a _ {p 2} F _ {2} + \dots + a _ {p m} F _ {m} + \varepsilon_ {p} \end{array} \right) \tag {28} +$$ + +则称该模型为正交因子模型，用矩阵表示为： $Y = AF + \varepsilon$ + +其中矩阵 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & \dots & a_{pm} \end{pmatrix}$ 为待估的系数矩阵，成为因子载荷矩阵。 + +$a_{ij}(i = 1,2,\dots ,p;j = 1,2,\dots ,m)$ 为第个变量在第 $\mathrm{j}$ 个因子上的载荷（简称为因子载荷）。 + +其中， $F = (F_{1},F_{2},\dots ,F_{m})(m < p),F_{1},F_{2},\dots ,F_{m}$ 称为Y的主因子； + +$\varepsilon = (\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \dots, \varepsilon_{p}), \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \dots, \varepsilon_{m}$ 称为 Y 的特殊因子。 + +因子载荷矩阵A中第i列j元素的平方和 + +$$ +S _ {j} = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i j} ^ {2}, j = 1, \dots , m \tag {29} +$$ + +称为主因子 $F_{1}$ 对 $\mathrm{Y}$ 的贡献率，即 $S_{\mathrm{j}}$ 表示 $F_{1}$ 对各个变量所提供的方差贡献率的总和，通常用它来度量主因子的相对重要性。在求出主因子之后，如果各个主因子的典型代表变量不是很显著，还需通过适当的方法进行因子旋转，以求出新的具有较好解释能力的主因子。 + +# 4.5.3 模型的求解和结果分析 + +运用 SAS 软件对非活跃会员的 RFMT 指标进行因子分析，以每个公因子的 + +方差贡献率作为权重系数，对每个因子进行加权求和，得到因子综合得分，公式如下： + +因子综合得分 $= \text{facl}^*$ [fac1贡献率/(fac1贡献率+fac2贡献率+fac3贡献率)] + ++fac2*[fac2贡献率/(fac1贡献率+fac2贡献率+fac3贡献率)] ++fac3*[fac3贡献率/(fac1贡献率+fac2贡献率+fac3贡献率)] (30) + +根据上式，可知每个流失会员与沉默会员在生命周期中非活跃会员的激活率如下表所示： + +表 10 非活跃会员的激活率 + +
流失会员卡号激活率沉默会员卡号激活率
cf4add4143.79%fc4e49a84.5%
14ec5f1346.98%2777c93319.41%
c45aa11543.18%20a9709138.28%
6f12c16749.9%dd80bbdc10.42%
a0993bdc42.74%0e06e86325.03%
:......:
4ca3714843.34%c5f111cf6.95%
bf3pcf7450.56%Obdae3923.96%
20eaed3d49.48%46c6721e41.91%
a66e136740%1cd34d9e1.72%
da876aa543.5%d4286f411.2%
+ +然后，我们建立多元线性回归分析模型来探索激活率和商场促销活动（会员在商品促销活动中花费的金额占总花费金额的比例）之间的关系。 + +假设Y与X之间满足线性回归关系 + +$$ +Y = \beta_ {0} + \beta_ {X} X + \beta_ {R} X _ {R} + \beta_ {F} X _ {F} + \beta_ {M} X _ {M} + \beta_ {T} X _ {T} + \varepsilon \tag {31} +$$ + +其中， $\varepsilon$ 独立分布于 $\mathbf{N}(0, \sigma^2)$ 。 + +利用最小二乘法拟合，我们得知流失会员激活率(Y)与促销活动(X)的关系模型为： + +$$ +\begin{array}{l} Y = - 0. 6 1 9 6 4 + 4. 5 6 5 8 9 E - 1 3 X + 0. 0 0 0 9 2 2 0 3 X _ {R} \tag {32} \\ + 0. 0 0 8 2 6 X _ {\mathrm {F}} + 0. 0 0 0 0 0 6 2 3 X _ {M} + 0. 0 0 0 0 2 1 4 7 X _ {T} \\ \end{array} +$$ + +沉默会员激活率(Y)与促销活动(X)的关系模型为： + +$$ +\begin{array}{l} Y = - 0. 6 2 8 8 4 + 0. 0 1 6 6 3 X + 0. 0 0 0 9 1 3 0 7 X _ {R} \tag {33} \\ + 0. 0 1 3 4 9 X _ {\mathrm {F}} + 2. 2 4 1 6 9 6 \mathrm {E} - 9 X _ {M} + 0. 0 0 0 0 2 9 6 1 X _ {T} \\ \end{array} +$$ + +比较(36)式和(37)式，可以看出在两个会员群体中激活率和商场促销活动均呈正比例关系，即商场促销活动对会员生命周期的激活率皆起着促进的作用，且其对沉默会员的促进效果优于其对流失会员的促进效果。 + +# 4.6 问题五的模型建立与求解 + +# 4.6.1 建模思路 + +连带消费是商场经营的核心，例如经典的“尿布与啤酒”的故事。连带消费是商品与商品之间具有的某种特定的关系导致的，根据会员的消费情况，对购买的商品进行关联规则挖掘；同时筛选出会员消费记录中的购买数量前十的商品作为会员的喜爱商品，结合商品之间的关联规则，开展促销活动。 + +# 4.6.2 模型建立 + +问题五中主要的工作为对会员购买的商品进行关联规则挖掘。 + +关联规则挖掘过程主要包含两个阶段：第一阶段必须先从会员消费数据集中找出所有的高频商品，第二阶段再由这些高频商品中产生关联规则。 + +关联规则挖掘的第一阶段必须从会员消费记录中，找出所有高频商品。高频的意思是指某一商品出现的频率相对于所有记录而言，必须达到某一水平。一商品出现的频率称为支持度，以一个包含A与B两个商品的2-itemset为例，我们可以经由公式1求得包含{A,B}商品的支持度，若支持度大于等于所设定的最小支持度门槛值时，则{A,B}称为高频商品。一个满足最小支持度的k-itemset，则称为高频k-商品，一般表示为Large k或Frequent k。算法并从Large k的项目组中再产生Large k+1，直到无法再找到更长的高频项目组为止。 + +关联规则挖掘的第二阶段是要产生关联规则。从高频商品产生关联规则，是利用前一步骤的高频k-商品来产生规则，在最小信赖度的条件门槛下，若一规则所求得的信赖度满足最小信赖度，称此规则为关联规则。例如：经由高频k-商品{A,B}所产生的规则AB，其信赖度可经由公式2求得，若信赖度大于等于最小信赖度，则称AB为关联规则。 + +# 4.6.3 模型的求解和结果分析 + +经统计，在会员消费记录中购买数量排名前十的商品为： + +表 11 会员购买数量排名前十的商品 + +
商品编码商品名称购买总数量
f09c9303兰芝化妆品正价瓶9863
5770b98c欧舒丹化妆品瓶7726
8215d513欧莱雅化妆品系列支6400
30768d8b圣罗兰纯口红/唇釉/纯魅/蜜糖/金粹5702
9c64cdf6后瓶5624
7bc05899素然正价件5389
1da35ea3Fancl无添加瓶4547
cd93b1ca爱慕内衣正价件3568
f35be198玛丝菲尔淑女装系列A件3318
f3056fe6雅诗兰黛特润修护肌透精华露50ml3050
+ +针对会员消费情况，使用Clementine软件对会员购买的商品进行关联规则挖掘，得到表11中的商品对应的关联商品，关联规则如下表所示： + +表 12 关联商品 + +
商品编码商品名称关联商品关联商品
f09c9303兰芝化妆品正价瓶Fanc1无添加瓶迪奥梦幻美肌修颜乳.
5770b98c欧舒丹化妆品瓶banxiaoxueA件雅芳婷床用系列F床
8215d513欧莱雅化妆品系列支科颜氏高保湿面霜125ml梦迪亚 美易 B.5 无
30768d8b圣罗兰纯口红/唇釉/兰蔻唇膏/玫瑰唇釉.香奈儿可可小姐/邂逅香水喷装100ml
9c64cdf6后瓶兰蔻精准淡斑臻白精华乳30ml六福黄金系列正价件
7bc05899素然正价件IMMOBILE A 件雅诗兰黛鲜亮焕采洁面乳125ml
1da35ea3Fanca1无添加瓶Fanc1无添加瓶SONG OF SONGB.5件
cd93b1ca爱慕内衣正价件香奈儿可可小姐/邂逅香水喷装100ml圣罗兰纯口红/唇釉/纯魅/蜜糖/金粹
f35be198玛丝菲尔淑女装系列A件娇韵诗恒润奇肌保湿面膜50ml娇韵诗恒润奇肌保湿面膜50ml
f3056fe6雅诗兰黛特润修复护肤精华露阿玛尼持色迷情唇膏4.2ml圣罗兰气垫粉底液.
+ +通过关联规则挖掘，可以看到会员购买量前十的商品及其关联商品如上表所示。若商场要开展促销活动，可根据以上关联规则进行适当搭配销售，通过调整柜台等方式将相关商品以就近原则摆放，通过连带消费对相关联的商品进行销售。 + +# 五、模型的评价与推广 + +# 5.1 模型的评价 + +# 5.1.1 模型的优点 + +1. 所建立的模型公众认可度高，模型严谨，考虑的维度和因素较为全面； +2. 模型的计算采用专业软件求解，例如 SQL Server 软件、Clementine 软件、EXCEL 软件等对数据进行处理和模型求解，用于分析的数据可信度较高； +3. 建立的模型能够与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性。 + +# 5.1.2 模型的缺点 + +1. RFMT 模型的指标间存在一定的相关性，模型中的四个指标 R、F、M、T 相关性较大，在价值衡量模型中出现相关性较大的指标，这样模型会显得较为冗余。 +2. RFMT 模型具有局限性，RFMT 是衡量会员的价值的代表性指标，仅从 4 个指标角度描述的主要是会员消费行为特征，但是这些指标还不能涵盖会员绝大多数的行为特征。 +3. 本文用指标 R（最近一次消费的时间间隔）来描述会员对商场的关注程度，但是更好的标准应该是会员对商场的访问频率，它可以更好地判断一个会员对商场商品的需求程度，访问越频繁代表越有需求，但是现有数据并不支持我们用会员的访问频率来进行分析。 + +# 5.1.3 模型的改进 + +1. 对于 RFMT 模型冗余的问题，在后期可以对 RFMT 模型进行精简，主要针对 F（消费频率）和 M（消费总金额）指标来进行分析。 +2. 在可获取数据的前提下，深入研究有哪些因素可以作为衡量会员价值的指标因素。后期可以做模型扩展，将会员的其他特征指标加进来，比如所在区域、工作职务、收入等个人信息，建立一个更加全面和准确的会员价值评价体系。 + +# 5.2 模型的推广 + +在大型百货商场的背景下，本文建立了完整的会员画像刻画模型，对商场会员的消费行为进行特征分析，衡量会员对于商场的价值，根据会员生命周期状态对会员的状态进行划分，使商场能够更有效地对会员进行精细化管理以及及时制定营销策略来发展和维系会员，从而达到增益的目的。 + +本文建立的RFMT模型能够广泛应用于用户价值分析中，对于现实生活中的百货商场会员分析也有着一定的参考和现实意义，并且可以将模型推广到APP运营、通信行业用户分析等研究中。 + +# 六、参考文献 + +[1]王欢,祁金才,孙为平,傅伟康,刘如梦,李雅婷.基于RFMT模型的企业供应商评价[J].自动化应用,2017(04):38-40. +[2]徐静,王虹斌.基于RFMT的物流公司大客户营销策略研究——以南昌佳吉快运为例[J].物流技术,2013,32(13):208-212. +[3]王千,王成,冯振元,叶金凤.K-means 聚类算法研究综述[J].电子设计工程,2012,20(07):21-24. +[4] Anil K J. Data clustering: 50 years beyond K-Means[J]. Pattern Recognition Letters,2010,31(8):651-666 +[5]郝胜宇,陈静仁.大数据时代用户画像助力企业实现精准化营销[J].中国集体经济,2016(04):61-62. +[6]刘海,卢慧,阮金花,田丙强,胡守忠.基于“用户画像”挖掘的精准营销细分模型研究[J].丝绸,2015,52(12):37-42+47. +[7]谢康,吴记,肖静华.基于大数据平台的用户画像与用户行为分析[J].中国信息化,2018(03):100-104. +[8]赵萌,齐佳音.基于购买行为RFM及评论行为RFMP模型的客户终身价值研究[J].统计与信息论坛,2014,29(09):91-98. +[9] 林盛,肖旭.基于RFM的电信客户市场细分方法[J].哈尔滨工业大学学报,2006(05):758-760. + +# 七、附录 + +源程序1： + +使用软件：SQL Server 2008 R2 + +use Contest; + +创建总表 + +select sd.djh, sd.spbm, sd.sj, sd.sl, sd.je, sd.dtime, sd.syjh, vsd.kh as + +vsd_kh, vsd.spmc, vsd.jf, vsd.gzbm, vsd.gzmc, vi.kh as vi_kh, vi.csny as vi_csny, vi.xb as vi_xb, vi.djsj as + +vi_disj + +into total + +from sale_detail sd + +left join vip_sale_detail vsd + +on (sd.djh=vsd.djh and sd.dtime=vsd.dtime and sd.je=vsd.je and sd.sj=vsd.sj and sd.sl=vsd.sl and + +sd.spbm=vsd.spbm and sd.syjh=vsd.syjh) + +left join vip_information vi on vsd.kh=vi.kh + +： + +创建该商场会员消费明细表 + +select \* into mall_vip_sale_detail + +from total + +where vsd_kh is not null and vi_kh is not null + +： + +创建该商场非会员消费明细表 + +select \* into mall.notvip_sale_detail + +from total + +where vsd_kh is null and vi_kh is null + +： + +创建以会员消费时间为主的，该商场会员消费明细表 + +select + +vsd.kh, vsd.dtime, vsd.spbm, vsd.sl, vsd.sj, vsd.je, vsd.spmc, vsd.jf, vsd.syjh, vsd.djh, vsd.gzbm, vsd.gzmc, vi. + +kh as vi_kh,vi.csny,vi.xb ,vi.djsj + +into vtime mall_vip_sale_detail + +fromvip_sale_detail vsd,vip_information vi + +where vsd.kh=vi.kh + +第一问 + +购买力维度 + +select vi_kh as 会员卡号,count(vi_kh) as 会员消费宗数,SUM(je) as 会员消费总金额,SUM(sl) as + +会员购买数量 + +from vtime mall_vip_sale_detail --会员 + +group by vi_kh; + +--创建截取时间的临时表 + +if object_id('tempdb.#cut_time') is not null + +Begin + +drop table #cut_time + +End + +select CONVERT(char(10),dtime,120) as cut_time,\* into #cut_time + +from vtime_mall_vip_sale_detail tmvsd + +--2015冬 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2015-01-01' and '2015-02-28'; + +--2015春 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2015-03-01' and '2015-05-31'; + +--2015夏 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2015-06-01' and '2015-08-31'; + +--2015秋 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2015-09-01' and '2015-11-30'; + +--2016冬 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2015-12-01' and '2016-02-29'; + +--2016春 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2016-03-01' and '2016-05-31'; + +--2016夏 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut time ct + +where ct.cut_time between '2016-06-01' and '2016-08-31'; + +--2016秋 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut time ct + +where ct.cut_time between '2016-09-01' and '2016-11-30'; + +--2017冬 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut time ct + +where ct.cut_time between '2016-12-01' and '2017-02-28'; + +--2017春 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2017-03-01' and '2017-05-31'; + +--2017夏 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2017-06-01' and '2017-08-31'; + +--2017秋 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2017-09-01' and '2017-11-30'; + +--2018冬 + +select COUNT(distinct vi_kh) as 人数, COUNT(vi_kh) as 次数 + +from #cut_time ct + +where ct.cut_time between '2017-12-01' and '2018-02-28'; + +特价商品消费占比 + +select SUM(je) as 商品消费总金额 from vtime_mall_vip_sale_detail; + +select SUM(je) as 特价商品消费总金额 + +from vtime mall_vip_sale_detail vmvsd + +left join product_information pdi on vmvsd.spbm=pdi.spbm + +where pdi.splm like '%特%' or pdi.splm like '%折%' or pdi.splm like '%促%' + +高价商品消费占比 + +--售价为以上为高价商品 + +select SUM(je) as 高价商品消费总金额 + +from vtime mall_vip_sale_detail vmvsd + +where $\mathrm{sj} > = 5000$ + +- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + +购买力维度 + +--创建该商场每日非会员消费金额临时表 + +if object_id('tempdb..\#notvip_total je') is not null + +Begin + +drop table #notvip_total je + +End + +selectCONVERT(char(10),dtime,120)as date,SUM(je) as 非会员消费总金额 into #notvip_total_je + +from total t + +where + +vsd_kh is null and t.vi_kh is null --限定非会员 + +group by CONVERT(char(10),dtime,120) + +```sql +order by 1; +--创建该商场会员消费金额临时表 +if object_id('tempdb.#vip_total je') is not null +Begin drop table #vip_total je +End +select CONVERT(char(10),t.dtime,120) as 日期,SUM(je) as 会员消费总金额 into #vip_total je from total t +where +t.vsd_kh is not null and t.vi_kh is not null --限定会员 +group by CONVERT(char(10),dtime,120) +order by 1; +--提取该商场会员、非会员消费总金额 +select * from #notvip_total je a left join #vip_total je b on a.date=b.日期; +--提取会员、非会员消费总金额 +select SUM(je) as 会员消费总金额 from mall_vip_sale_detail; --会员 +select SUM(je) as 非会员消费总金额 from mall.notvip_sale_detail; --非会员 +--会员、非会员的总购买数量 +select SUM(sl) as 会员总购买数量 from mall_vip_sale_detail; --会员 +select SUM(sl) as 非会员总购买数量 from mall.notvip_sale_detail; --非会员 +--------第二问-------- +--------查询RFM模型中所需数据-------- +---创建最后一次购买日期临时表 +if object_id('tempdb.#last_date') is not null +Begin drop table #last_date +End; +select vi_kh.MAX(dtime) as last_date into #last_date +from vtime_mall_vip_sale_detail +group by vi_kh; +--创建RFMT模型临时表 +if object_id('tempdb.#RFMT') is not null +Begin drop table #RFMT +End; +select distinct vmvsd.vi_kh as 会员卡号， +``` + +```sql +ld.last_date, +datediff(day,last_date,'2018-1-15') as R, +COUNT(vmvsd.vi_kh) as F, +sum(je) as M, +MAX(je) as T +into #RFMT +from vtime_mall_vip_sale_detail vmvsd,#last_date ld +where vmvsd.vi_kh=ld.vi_kh +group by vmvsd.vi_kh,last_date; +--提取没有消费记录的会员卡号 +select vi.kh,vi.csny,vi.xb,vi.djsj +from vip_information vi +left join vtime_mall_vip_sale_detail vmvsd on vi.kh=vmvsd.vi_kh +where vmvsd.vi_kh is null +``` + +第三问 + +```sql +--创建RFMT模型临时表 +if object_id('tempdb.#frofire') is not null +Begin drop table #frofire +End +; +select vmvsd.kh, SUM(pdi.sj-pdi.hsjj) as总利润 into #frofire from vtime_mall_vip_sale_detail vmvsd +left join product_information pdi on vmvsd.spbm=pdi.spbm +group by vmvsd.kh +select * from #RFMT a left join #frofire b on a.会员卡号=b.kh +``` + +第四问 + +```sql +--创建特价商品临时表 +if object_id('tempdb.#vip_discount_product je') is not null +Begin +drop table #vip_discount_product je +End; +select vmvsd.kh, SUM(je) as 特价商品消费总金额 into #vip_discount_product je +from vtime_mall_vip_sale_detail vmvsd +left join product_information pdi on vmvsd.spbm = pdi.spbm +where pdi.splm like '%特%' or pdi.splm like '%折%' or pdi.splm like '%促%' +group by vmvsd.kh; +--创建会员特价商品消费金额表 +if object_id('tempdb.#vtotal_discount_product je') is not null +``` + +Begin drop table #vtotal_discount_product je End +; +--查询会员消费总金额 +select vmvsd.kh,SUM(je) as 会员消费总金额,ISNULL(vdpj.特价商品消费总金额,0) as 特价商品 消费总金额 +into #vtotal_discount_product je from vtime_mall_vip_sale_detail vmvsd left join #vip_discount_product je vdpj on vmvsd.kh=vpj.kh group by vmvsd.kh,vdpj.特价商品消费总金额 +; +select a.*;b.特价商品消费总金额,b.会员消费总金额 from #RFMT a left join #vtotal_discount_product je b on a.会员卡号=b.kh +; +select jhl.*,vl.会员生命周期 from jihuolv jhl left join VIP.life vl on jhl.会员卡号 $\equiv$ vl.会员卡号 where vl.会员生命周期 $< >$ 活跃会员' +; +-第五问-- +--获取单据号 +select distinct djh from vtime_mall_vip_sale_detail; --获取商品编码 +select distinct spbm from vtime_mall_vip_sale_detail; select djh,spbm from vtime_mall_vip_sale_detail; + +源程序2： + +使用软件：SAS + +/*多元线性回归分析*/ + +proc reg data =liushi; + +var jihuo_rate cuxiao_rate F R M T; + +model jihuo_rate = cuxiao_rate F R M T; + +run; + +/*因子分析*/ + +proc factor data=A out=B Nfactor=3 method=prin priors=one + +rotate=varimax simple p=0.8 score outstat=C; + +var R F M T; + +run; + +proc score data=A + +score $= \mathrm{C}$ + +out $\equiv$ D; + +var R FMT; + +run; \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/C052/C052.md b/MCM_CN/2018/C052/C052.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..acf6a939b0cc38be6a5b9ac63adeac5019e6965b --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/C052/C052.md @@ -0,0 +1,921 @@ +# 基于RFMS指标的大型百货商场会员画像数据挖掘 + +# 摘要 + +当代电商产业的迅猛发展使传统零售业受到冲击，完善商场会员画像成为运行商精细化管理、充分发挥会员价值的有效途径，我们希望基于数据挖掘的会员体系分析为其建立稳定的会员关系、策划促销活动提供可靠依据。 + +问题1中，分离数据后首先通过消费行为特征（频次、总额、单次最高消费等）和人口学信息特征（年龄、性别）分析会员的消费特征，得出女会员占主体、消费频次和总额高，特别是30-49岁年龄段的女士，但是男性会员消费质量高，平均和单次消费金额均略高于女性。然后对比会员和非会员之间的价值差异，发现会员消费更活跃、购买力也更强。 + +问题2中，构建FMS购买力模型 $G(c_{i}) = 100 \times F(c_{i}) + 10 \times M(c_{i}) + 1 \times S(c_{i})$ ，通过百分位阈值给各指标打分，可将每位会员的购买力分为8类，将其对应为铂金、黄金、白银、青铜四个价值等级，随机检验表明模型评价高质量率达 $62.5\%$ 其余均为中上评价水平。 + +问题3中，构建RF消费状态评价模型 $Z(c_{i}) = R(c_{i}) \times F(c_{i})$ ，通过滑动时间窗口计算出会员生命周期中消费状态随时间的变化，发现近年来新会员数量迅猛增加，超过总数 $40\%$ ，但完全“活化”的活跃会员不多，同时会员办卡1年内大概率消费活跃度偏低。活跃会员数虽有增加，但其增长率低于新会员增长率；非活跃会员数保持相对稳定的数目。 + +问题4中，计算出2015年至2017年非活跃会员激活率超过 $10\%$ ，非活跃会员是存在激活的可能性的，激活率 $A(t_{i + 1}) = f(x_n,x_d,x_z,x_l)$ 主要受商场促销活动四个指标中折扣促销活动次数和折扣力度影响，折扣大的活动能对非活跃会员产生较大的“延迟”效应，因此活动前的广泛宣传对提高激活率十分重要。 + +问题5中，通过消费细目数据挖掘，以商品类别为指标分析出会员消费喜好，并计算出热销前十的每种商品类目“交叉连带率”，将两者结合提供一份基于会员喜好的有效连带促销方案（如中秋节日促销），尽可能产生更多消费市场和经济效益。 + +关键词：会员价值体系 RFMS指标 数据挖掘 精细化管理 + +# 一、问题的重述 + +在零售行业中，会员价值体现在持续不断地为零售运营商带来稳定的销售额和利润，同时也为零售运营商策略的制定提供数据支持。零售行业会采取各种不同方法来吸引更多的人成为会员，并且尽可能提高会员的忠诚度。当前电商的发展使商场会员不断流失，给零售运营商带来了严重损失。此时，运营商需要有针对性地实施营销策略来加强与会员的良好关系。比如，商家针对会员采取一系列的促销活动，以此来维系会员的忠诚度。有人认为对老会员的维系成本太高，事实上，发展新会员的资金投入远比采取一定措施来维系现有会员要高。完善会员画像描绘，加强对现有会员的精细化管理，定期向其推送产品和服务，与会员建立稳定的关系是实体零售行业得以更好发展的有效途径。 + +附件中的数据给出了某大型百货商场会员的相关信息：附件1是会员信息数据；附件2是近几年的销售流水表；附件3是会员消费明细表；附件4是商品信息表，一般来说，商品价格越高，盈利越高；附件5是数据字典。请建立数学模型解决以下问题： + +1. 分析该商场会员的消费特征，比较会员与非会员群体的差异，并说明会员群体给商场带来的价值； +2. 针对会员的消费情况建立能够刻画每一位会员购买力的数学模型，以便能够对每个会员的价值进行识别； +3. 作为零售行业的重要资源，会员具有生命周期(会员从入会到退出的整个过程),会员的状态（比如活跃和非活跃）也会发生变化。试在某个时间窗口，建立会员生命周期和状态划分的数学模型，使商场管理者能够更有效地对会员进行管理； +4. 建立数学模型计算会员生命周期中非活跃会员的激活率，即从非活跃会员转化为活跃会员的可能性，并从实际销售数据出发，确定激活率和商场促销活动之间的关系模型； +5. 连带消费是购物中心经营的核心，如果商家将策划某次促销活动，如何根据会员的喜好和商品的连带率来策划此次促销活动？ + +# 二、问题的分析 + +# 2.1 问题一分析 + +对于该商场会员的消费特征分析，我们以附件1中本地会员的卡号（kh）作为唯一识别特征，与附件3中会员消费明细表（包括本地会员和非本地会员）进 + +行匹配，筛选出在此期间本地会员的的消费明细，从消费行为特征（会员购买频次、消费总额、平均购买金额和单次最高消费）以及人口学信息特征（会员年龄阶段、性别）分析该商场本地会员的消费特征。 + +对于会员与非会员群体的差异分析，我们以附件3中会员消费明细表中的会员消费产生的时间（dtime）、商品编码（spbm）和消费金额（je）作为识别特征，与附件2销售流水表进行匹配，分离出此期间会员（本地会员）以及非会员（非本地会员和非会员）的消费信息，以消费行为特征（会员购买频次、消费总额、平均购买金额）为指标比较两个群体的差异，并结合具体数据分析会员群体给商场带来的价值。 + +# 2.2 问题二分析 + +构建每一位会员购买力模型时，基于附件3数据，我们借鉴传统RFM方法中“购买频次（F）”和“消费总额（M）”指标[1]，结合问题一中直观体现购买能力的“单次最高消费（Single peak consumption，S）”指标，建立“FMS”会员购买力评价模型[2]。每个指标按整体会员消费情况百分位阈值赋予不同“评价分数”[3]，并结合各指标的系数计算出每位会员购买力的评分。 + +# 2.3 问题三分析 + +首先，确定滑动的研究时间窗口，起初为半年，其后以半年为单位逐渐增加，共有6个时间窗口。其次，确定时间窗口后，明确每个会员生命周期的算法；接着，在问题二模型基础上，建立判别会员活跃状态的“RF”模型，算出每个时间窗口内生命周期与活跃状态之间的概率分布关系；最后比较时间窗口滑动后，生命周期与活跃状态随时间变化的关系。 + +# 2.4 问题四分析 + +计算激活率同样基于问题三中时间窗口滑动的考量。我们追踪在原时间窗口中为非活跃的会员、在下一个窗口中变为一般活跃或很活跃的人数占原时间窗口中非活跃会员总数，将其定义为该时段内的非活跃会员激活率。问题三种我们设定了6个时间窗口，因而可得出5个时段内的激活率，依此分析非活跃会员转化为活跃会员的可能性。此外，结合实际销售数据，追踪分析原非活跃会员是否与商场促销活动的相关指标存在关系。 + +# 2.5 问题五分析 + +需要分别计算出会员的消费偏好以及消费时的连带情况，进而策划促销活动。首先，通过附件3中本地会员消费流水中的商品名称和附件4中匹配，分析所有本地会员的消费品牌编码（不同的名牌标码计算其对应的购买次数），借此得出会员消费时喜爱的品牌类别排行；其次，分析会员喜爱的品牌中商品的连带情况，由该品牌购买总数量和有效单据数确定商品的连带率。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设问题二中 FMS 购买力模型中商场会员消费频率、消费金额和单次消费最高金额三个不同的行为维度是相互独立的，不具有相关性[4]； +2. 假设研究的时间窗口内，某会员无消费记录，则该会员与时间窗口前一天进行最后一次消费，以此计算其生命周期； +3. 假设研究的时间窗口内，某会员无消费记录，则该时段内该会员卡处于“休眠”状态，不处于问题 3 中不活跃、一般活跃和很活跃三种状态中的任何一种，也就相应的不存在问题 4 中的激活与否问题。 +4. 假设问题 5 中促销活动主要以底价商品（单个商品价格小于 10 元）和折扣商品（售价与消费金额的差值占售价比例 $>20\%$ ）这两种为主； +5. 假设研究窗口以半年为单位增加或减少，会员半年中的消费行为特征能表明其长期的消费习惯； +6. 假设问题三中RF状态模型中商场会员消费频率、最近消费时间两个不同的行为维度是相互独立的，不具有相关性； +7. 假设问题四中非活跃会员的激活主要受商场促销活动次数和促销力度的影响，与会员主观因素无关； + +# 四、符号说明 + +
符号符号说明符号符号说明
F购买频次xn参加促销活动总次数
R最后一次消费时长xd参加底价促销活动次数
M消费总额xz参加折扣促销活动次数
G购买力x1折扣促销活动的折扣率
S单次最高消费A非活跃会员激活率
Z消费状态ti第i个时间窗口
ci第i个会员Jrj第j个品牌连带率
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 数据预处理 + +结合商场实际运行情况，我们对附件数据进行预处理： + +(1) 办卡日期、出生日期处于 1900 年 1 月 1 日之前或 2018 年 1 月 4 日之后的会员信息记录无效; +(2) 附件 1 中会员出生日期和性别不明确的, 其年龄和性别状况缺测, 该会员信息无效; +（3）附件2中若标红、商品售价、销售数量或消费金额为负值时，该消费记录将无效； +(4) 附件3中会员消费记录若商品售价、销售数量、消费金额或此次消费积分存在负值时，该消费记录无效； + +# 5.2 问题一的分析与处理 + +结合前面的问题一求解思路，在分析该商场会员的消费特征时，我们以附件1中本地会员的卡号（kh）作为唯一识别特征，与附件3中2015年1月1日至2018年1月3日期间的的会员消费明细表（包括本地会员和非本地会员）进行匹配，筛选出在此期间本地会员的的消费明细，从消费行为特征（会员购买频次、消费总额、平均购买金额和单次最高消费）以及人口学信息特征（会员年龄阶段、性别）分析该商场本地会员的消费特征。 + +对于会员与非会员群体的差异分析，我们以附件3中会员消费明细表中的会员消费产生的时间（dtime）、商品编码（spbm）和消费金额（je）作为识别特征，与附件2中2016年1月1日至2017年9月23日期间的的销售流水表进行匹配，分离出此期间会员（本地会员）以及非会员（非本地会员和非会员）的消费信息。考虑到附件2中的销售流水表中无非会员的人口学信息特征，我们以消费行为特征（会员购买频次、消费总额、平均消费金额）为指标比较两个群体的差异，并结合具体数据分析会员群体给商场带来的价值。 + +# 5.2.1 商场会员的消费特征分析 + +（1）通过Fortran编程将附件3中数据进行预处理，得出有效会员消费信息（支撑材料中1_1_vipxf.txt），通过Excel进行统计画图，得出会员消费的消费行为特征[5]（会员购买频次、消费总额、平均购买金额和单次最高消费）以及人口学信息特征（会员年龄阶段、性别）。 +（2）人口学信息特征：主要是会员的年龄阶段和性别。 + +数据预处理后，本地会员有效消费记录数据集包含392690条消费记录，43940条会员信息。对比图1我们可发现会员客户中存在很大的性别差异，其中女会员38636人（占总数 $88\%$ ），男会员4409人（仅占 $10\%$ 不到），有895明会员性别不详（占总数 $2\%$ ）。女会员数远大于男会员数，是商场会员的主力军。 + +![](images/e13bf5f78b1b702f0c93f07b636c5a3cddb00adfed74c6603c007d9169e430c1.jpg) +图1 本地会员的性别比例图 + +![](images/fa9132563b967e7eef71b6a95a88511814ddbeed35f490f3957feb3330f03972.jpg) +图2 本地会员各年龄段的人数及其比例 + +据图2可得知，该商场会员客户群体中也存在较大的年龄差异。30-39岁青年（10206人，占比 $23.23\%$ ）、40-49岁中年（10474人，占比 $23.84\%$ ）是会员主要群体，均占比 $20\%$ 以上。其中50-59岁中老年会员数低于30-39岁青年、40-49岁中年人数，但多于20岁以下青少年（171人，仅占比 $0.39\%$ ）、60岁以上老年人（1267人，占比 $2.89\%$ ）。 + +除此之外，年龄不详的会员有12221人，约占 $27.8\%$ ，而性别不详的会员占比不到 $2\%$ ，表明在登记会员卡信息时，年龄信息缺失率远大于性别信息缺失率，基于女性会员占据会员主力军的实况下，年龄差异能为商场管理者提供更多有效的会员信息，因此在登记会员信息时，对会员的年龄信息给予更多的关注度。 + +（3）消费行为特征：主要是会员购买频次、消费总额、平均购买金额和单次最高消费。 + +进行数据预处理后，本地会员有效消费记录集包含43940条会员信息，392690条消费记录，消费总额为593081426.5元，平均消费额为1510.30元，其购买频次、消费总额、平均购买金额和单次最高消费分布信息主要如表1、表2所示。 + +表 1 中为本地会员消费频次和消费总额相关信息。分析发现,在 2015 年 1 + +月1日至2018年1月3日近3年期间，有超过 $60\%$ 的本地会员只有不超过5次的消费记录，平均每7个月消费1次，这其中有占总会员数 $40\%$ 左右的会员数，3年期间只有1-2次的消费记录，即低频消费/不活跃会员数占据了商场会员相当 + +表 1 会员的消费频次、消费总额指标频数分布及其占比 + +
次数消费频次消费总额
会员数占比%金额（元）会员数占比%
1-21821441.45小于50034477.84
3-51042723.73501-1000453410.32
6-10668615.221001-2000661815.06
11-1528176.412001-3000448010.20
16-2015133.443001-6000788717.95
21-4025265.756001-10000490811.17
41-608251.8810001-1500034497.85
61-904901.1215001-2500033257.57
91-1201940.4425001-3500016543.76
121-1501130.2635001-5000012612.87
151-1350.3150001-23775.41
总计43940100.00总计43940100.00
+ +大的比例。有 $32.70\%$ 的会员在 3 年期间消费了 6-60 次，平均每半年 1 次~每半个月 1 次，是该商场会员中消费频率相对稳定额会员。此外，有 $2.12\%$ 左右的会员有超过 60 次的消费，消费频率小于 15 天，是消费十分活跃的会员，但相对而言人数较少。综合来看，不难发现，该商场会员消费频次和对应的会员人数存在一定的关系，消费越频繁的会员人数越少。 + +结合消费总额可发现，大部分的会员3年期间在该会场的消费总额在500元~10000元期间，约占总会员数的 $65\%$ ，其中消费总额在 $1000\sim 6000$ 元间的最为集中，这表明该商场的大部分会员购买力中等，低于1000元总消费的会员数 + +表 2 会员的单次最高消费、平均单次消费指标频数分布及其占比 + +
单次最高消费平均单次消费
金额（元）会员数占比%金额（元）会员数占比%
小于30024645.61小于30036148.22
301-50029506.71301-500548712.49
501-800541012.31501-800840519.13
801-1300687615.65801-1300889420.24
1301-1800461710.511301-1800574613.08
1801-250042329.631801-2500469210.68
2501-3500497211.322501-350030837.02
3501-450033137.543501-450013973.18
4501-550020034.564501-55007141.62
5501-700018394.195501-70005761.31
7001-526411.987001-13323.03
总计43940100.00总计43940100.00
+ +不超过 $20\%$ ，而超过10000元总消费额的会员数接近 $28\%$ ，表明该商场的高购 + +买力会员数多于低购买力会员，特别是超过50000元的会员数和低于500元的会员数接近，但是前者无疑具有更大的会员价值。就总消费额而言，该商场的中等偏上购买力会员占据主体。 + +表2中为本地会员单次最高消费和平均单次消费相关信息。分析发现，近3年期间，有接近 $45\%$ 的本地会员单次消费最高金额在 $301\sim 1800$ 元区间内，低于300元会员数占 $6\%$ ，而超过1800元的会员数约为 $50\%$ ，超过5500元的接近 $15\%$ 占比。结合平均单次消费可发现， $65\%$ 的会员平均每次消费金额在 $300\sim 1800$ 元之间，其中消费总额在 $800\sim 1300$ 元区间的最为集中，低于300元平均消费的会员数约为 $8\%$ ，而超过1800元平均消费额的会员数超过 $26\%$ ，说明该商场会员单次购买力比较大，高购买力的会员多于低购买力的会员。 + +（4）综合人口学信息和消费行为特征：结合会员性别和年龄差异分析会员的具体消费特征。 + +不同性别、不同年龄段的会员近3年期间消费频率如图3所示。由于女性会员数远远超过男性会员数，女性会员的消费频次也远远多于男性会员，这其中， + +![](images/a41666d9c42de6dd863de4278a323e58ba2945514007deb0f9fd91acc4b1ce6c.jpg) +图3 不同性别、年龄段会员的消费频率分布图 + +![](images/7275ee8576de84771ce44745876f03ed8c668d143ce676475e396d57ed294d83.jpg) +图4 不同性别、年龄段会员的消费总额分布图 + +![](images/2bcdbf11c1cb188258bdc092181a2f592a8b2e3bb47e1d64bec1e9d93a4597d5.jpg) +图5 不同性别、年龄段会员的单笔消费金额均值分布图 + +![](images/ed43e663a8de9ac845a0d65b786f5fd1cd0a173f024f20043cb6e739a9f498fe.jpg) +图6 不同性别、年龄段会员的单次最高消费均值分布图 + +40-49岁的女性会员消费频次最多（占比 $32\%$ ），30-39岁的女性会员其次（占比 $22\%$ ），20岁以下（占比 $0.2\%$ ）和60岁以上（占比 $3\%$ ）的女性会员消费频次偏低。会员消费总额的差异如图4所示，40-49岁的女性会员消费总额远远超过其他各年龄段的会员，3年期间的总消费额高达200万元，30-39岁和50和59岁其次，两者约100万元。结合图2和图3发现，40-49岁女性会员的消费频次高，会员数目多，消费总额多，对于商场而言，40-49岁女性会员应是十分价值的会员。 + +图5和图6分别为单笔消费金额均值和单次最高消费均值图。单笔消费均值图中，50-59岁男性和20岁以下的男性会员消费较高，约2000元，其他年龄段会员单笔消费均值在1500元左右，女性会员消费略低于男性。单次最大消费均值图中，50~59岁的会员消费较高，其中男性会员高于女性会员消费，约为6000元，60岁以上会员男性单次最高消费均值低于女性会员，除此之外女性会员单次消费均值略低于男性。图5和图6中男性会员的比重显著增加，这主要是因为男性会员的消费频次相对较低，进而产生的消费质量较高。因此对于商场而言， + +虽然男性会员数目不占主体，但是消费质量高于女性会员，在策划相关活动时不可忽视男性会员的价值。 + +# 5.2.2 会员与非会员群体的消费特征差异 + +我们主要从购买频次、消费总额、平均消费金额等角度分析本地会员和非会员群体（非本地会员和非会员）的消费特征差异，具体如表3所示。 + +表 3 本地会员和非会员的消费特征对比 + +
消费总频次消费总额（元）平均消费金额（元）
本地会员533165724129606.651358.17
非会员458672539226613.981175.62
+ +由于附件5中明确说明“我们只针对附件一中的会员进行管理”，因此在对比会员群体和非会员消费特征差异时，将非本地会员也归类于非会员群体，这在某种程度上扩大了非会员群体对于商场消费的贡献。但是在这样的前提下，本地会员的消费频次、消费总额和平均消费金额都大于非会员（非本地会员和非会员）群体，这表明商场的会员群体比非会员群体更频繁得去商场消费，并且平均每次消费额都比非会员大，会员群体是商场长期发展的基石和保证，对商场的忠诚度和认可度很高，能为商场产生更多的商业价值。 + +# 5.2.3 会员价值效应 + +表3直观呈现了本地会员的消费频次、消费总额和平均消费金额都大于非会员（非本地会员和非会员）群体，这表明商场的会员群体比非会员群体频繁的去商场消费，并且平均每次消费额都比非会员大，会员群体是商场长期发展的基石和保证，对商场的忠诚度和认可度很高，能为商场活动更多的商业价值，即商场会员的“价值效应”。 + +此外，会员单次消费均值大于非会员群体，说明会员有更大的可能性购买价格高的商品，而题干中已明确所指出“商品价格越高，盈利越高”，即会员群体为商场带来的盈利越多。 + +# 5.3 问题二模型的建立和处理 + +构建每一位会员购买力模型时，基于附件3数据，我们借鉴传统RFM方法中“购买频次（F）”和“消费总额（M）”指标，结合问题一中直观体现购买能力的“单次最高消费（Single peak consumption，S）”指标，建立“FMS”会员购买力评价模型。每个指标按整体会员消费情况百分位阈值赋予不同“评价分数”，并结合各指标的系数计算出每位会员购买力的评分。 + +# 5.3.1 FMS购买力模型的建立 + +在衡量会员价值和创收能力时，RFM 模型时是具有重要使用价值的工具。RFM 模型具有三个重要的衡量指标：会员最近一次消费距研究时段最后一天的时长 R（Recency）、消费总频率 F（Frequency）以及消费总金额 M（Monetary）三项指标。 + +最后一次消费时长R表示会员最近一次的购买时间和分析时间间隔的天数，消费总频率F表示会员研究时段内所消费的总次数，消费总金额M是该会员在此期间消费的总金额。一般而言，会员的消费频率越高，消费总金额越大，会员的购买力也就越大。我们结合相关参考文献以及实际生活，发现RFM中，F和M两个指标相比R能更好的反应会员的购买能力，此外，问题一中的消费指标“单次最高消费（Single peak consumption，S）”能体现出会员购买商品的品牌等级和价格信息，这也能体现出会员的购买力，因此我们建立“FMS”模型评价每位会员的购买力。 + +每个会员的购买力可以表示成： + +$$ +G \left(c _ {i}\right) = 1 0 0 \times F \left(c _ {i}\right) + 1 0 \times M \left(c _ {i}\right) + 1 \times S \left(c _ {i}\right) \tag {1} +$$ + +这里的 $F(c_{i})$ ， $M(c_{i})$ ， $S(c_{i})$ 分别代表会员 $c_{i}$ 以F、M、S为分类的相应变量评分。所乘系数100、10、1只是为了能让百位、十位和各位上的F、M、S评分直观的组合为对应的购买力指数G。 + +其中F、M、S为分类的结合自身百分位考量，相应变量评分标准具体如下。 + +对于消费总频率F而言，因其为不连续的分布，且结合表1频次分布情况，定义频次1-2次1分（40%），3-5次2分（20%），6-10次3分（20%），11-20次4分（10%），20次以上5分（10%）。对于消费总金额M而言，600元以下1分（10%），601~2000元2分（25%），2001~6700元3分（30%），6701~35000元4分（25%），35000元以上5分（10%）。对于单次最高消费S而言，330元以下1分（10%），331~800元2分（25%），801~1900元3分（30%），1901~5500元4分（25%），5500元以上5分（10%）。 + +这样，会员购买力的指标应在111~555之间，整体而言其数值越大，其购买力越强。 + +# 5.3.2 FMS模型对会员购买力识别和效果检验 + +在43940条有效消费记录中，随机选择8条记录，并根据其评分大小判对其对应哪一种价值类型。表4中G即购买力评分，因其百位、十位、个位上数值大小可代表F、M、S各指标在整体中的水平，分值4、5为超出平均水平，赋值“1”，12为低于平均水平，赋值“0”，分值3为正常水平。因此百位、十位、个位上数值可化为0和1组成的三位数，共八种情况（表3中类型列）。为了更 + +表 4 FMS 购买力模型随机检验和评价 + +
卡号FMSG类型价值型评价
75dc1b125346743.376029555111铂金优
94d079602522294111000青铜优
07d18c5f385846012245011黄金优
4a3f140a121215198.44421100白银优
af6a5229153220544.59432110黄金中上
89a511ef2157063950534101黄金中上
50497f9c119321932124001白银优
e3b692cb570781768243010白银中上
+ +直观的体现出会员的购买能力，将百位、十位、个位上数值相加，和为0表征“青铜”级购买力，1表征“白银”级购买力，2表征“黄金”级购买能力，3表征“铂金”级购买能力。 + +对于模型的检验，我们发现8条记录中，有3条记录G值百位、十位、个位某一位评分为3但类型归为0或者1，存在一些偏差，进而导致评价等级为中上。但是总体而言，5条记录（ $62.5\%$ ）评价为优，3条记录（ $37.5\%$ ）评价为中上，不存在中等及以下的评价，检验结果表明FMS模型能很好的描述每一位会员的购买能力，并对应到“青铜”、“白银”、“黄金”和“铂金”中的某一类。 + +# 5.3.3 购买力评分与会员价值分类对应关系 + +根据 FMS 模型我们可以将每一位会员 F、M、S 参数计算出其购买力评分，并分别对应一种会员价值类型。如表 5 所示，“铂金”级会员对应的购买力评分为 111，即消费频次高、消费总额高、单次最高消费高的“三高”型会员；“黄金”级会员对应的购买力评分为 110（频次高、总额高、单消低）、101（频次高、总额低、单消高）和 011（频次低、总额高、单消高）；“白银”级会员对应的购买力评分为 100（频次高、总额低、单消低）、010（频次低、总额高、单消低）和 001（频次低、总额低、单消高）。 + +表 5 四类会员价值分类占比及其与购买力评分的对应关系 + +
会员价值分类占比例%购买力评分
铂金21.4111
黄金34.5110、101、011
白银22.1100、010、001
青铜22.0000
+ +结合一般商品经济规律我们发现，101（频次高、总额低、单消高）和010（频次低、总额高、单消低）这两中购买力情况出现概率较低。整体而言，铂金型会员占比 $21.4\%$ ，黄金型占比 $34.5\%$ ，白银型占比 $22.1\%$ ，青铜级占比 $22.0\%$ 。 + +级别越高，会员的价值越高，商场管理人员在精细化管理、最大化创造会员价值时，也就更需要关注高级别的会员。 + +# 5.4 问题三模型的建立和处理 + +作为零售行业的重要资源，会员具有生命周期(会员从入会到退出的整个过程)，会员的状态（比如活跃和非活跃）也会发生变化。试在某个时间窗口，建立会员生命周期和状态划分的数学模型，使商场管理者能够更有效地对会员进行管理。 + +首先，确定滑动的研究时间窗口，起初为半年，其后以半年为单位逐渐增加，变为一年、一年半、两年、两年半和三年共有6个时间窗口。其次，确定时间窗口后，分类讨论在研究窗口内有/无消费记录时，该会员生命周期的算法[6]；接着，在问题二模型基础上，综合考虑“R”“F”“M”“S”指标中，我们认为最近一次消费时间长度“R”和消费频率“F”两个指标能表征会员是否处于消费积极性较高的“活跃”状态，而与消费额相关的“M”和“S”指标则不予考虑。 + +进而建立判别会员活跃状态的“RF”模型，对研究时段内所有会员的消费状态进行划分，在此基础上算出该时间窗口内不同生命周期与活跃状态之间的概率分布关系；最后延伸时间窗口，比较生命周期与活跃状态随时间变化的关系。 + +# 5.4.1 会员生命周期的计算 + +基于模型的假设2和3，在确定研究时间窗口后（半年，2015年1月1日~2015年6月30日）期间， + +(1) 如果该会员在时间窗口内无消费记录, 其生命周期为时间窗口前一天 (2014 年 12 月 31 日) 减去其办卡日期; +(2) 如果在时间窗口内有消费记录, 其生命周期为时间窗口最后一天 (2015 年 6 月 30 日) 减去其办卡日期; + +# 5.4.2 RF消费状态模型的建立 + +在衡量会员消费状态时，衡量四个重要的指标：会员最近一次消费距研究时段最后一天的时长 R（Recency）、消费总频率 F（Frequency）、消费总金额 M（Monetary）以及“单次最高消费（S）”。 + +结合相关参考文献以及实际生活经历，我们发现四个指标中，R和F两个指标相比M、S能更好的反应会员的消费状态，因此我们建立“RF”模型评价每位会员的消费状态。 + +每个会员的消费状态可以表示成： + +$$ +Z \left(c _ {i}\right) = R \left(c _ {i}\right) \times F \left(c _ {i}\right) \tag {2} +$$ + +这里的 $R(c_{i})$ ， $F(c_{i})$ 分别代表会员 $c_{i}$ 以 $\mathbf{R}$ 、F为分类的相应变量评分，评分同样在1~5之间变化，评分越高，说明在该指标中会员的消费越活跃。两个指标的评分相乘使得消费状态 $Z(c_{i})$ 的值区间变大为1~25，更有区分度。 + +其中 R、F 为分类的结合自身百分位考量，相应变量评分标准具体如下。 + +对于最近消费时间指标R而言，研究时间窗口为半年时，第6月在第1、2月消费1分，第3月消费2分，第4月消费3分，第5月消费4分，第6月消费5分，当时间窗口延伸时，每个等级的月份阈值相应延伸。对于消费总频率F而言，因其为不连续的分布，且结合该时间窗口内会员消费频次分布情况，当时间窗口为半年时，定义频次1次1分，2-3次2分，4-6次3分，7-10次4分，11次以上5分，时间窗口延伸时结合实际分布频率稍作调整。 + +这样，会员状态的指标应在1~25之间，其中1~4代表非活跃状态，5~15分表征一般活跃状态，16~25分表征很活跃状态。整体而言其数值越大，其消费状态越活跃。RF状态模型可对每个会员的消费状态进行判断。 + +# 5.4.3 生命周期与消费状态之间随时间变化的关系 + +根据2015年1月1日~2015年6月30日之间的本地会员消费记录，计算出该会员的生命周期和消费状态之后，我们统计处每个时间窗口内不同生命周期中各消费状态的占比。 + +# （1）各时间窗口中生命周期的频率分布 + +以2015年1月1日-2015年6月30日为例时段内会员生命周期分布情况如图7所示，其余5个时间窗口的生命周期频率分布见附录1。 + +![](images/6f6f416e5e4f65782090555c2b4e70e6bee75efc9488172421e50a5a21f39cf9.jpg) +图72015年1月1日~2015年6月30日时段内会员生命周期分布图 + +在2015年上半年时间窗口内，各生命周期时段的人数随着周期的增加不断减少，此阶段内本地会员11425人，小于等于1年内的会员数最多，超过总会员数 $20\%$ 。会员主体的生命周期不超过5年，表明大部分会员是近2010年之后成为商场的会员，随着时间的推移，新会员数逐年增加，10年以上的老会员628 + +人，约占总人数的 $5\%$ 。 + +结合附录1中其他五个时间窗口内会员生命周期的分布图分析，可发现较为一致的分布趋势。同时每半年新增的会员数逐渐增加，到2017年生命周期不超过1年的会员数远远大于其他生命周期时段，在2017年1月4日-2018年1月4日这一年间，新会员数超过16000人，会员总人数不到40000人，新会员占比超过了 $40\%$ ，这需要商场管理层特别重视。 + +接下来我们分析在各时间窗口中，生命周期与会员消费状态关系随时间的变化。2015年1月1日-2015年6月30日期间各生命周期时段中会员的活跃状态分布如图8所示，其余5个时间窗口的各生命周期内活跃状态分布状况见附录2。 + +![](images/8d471f7ac73fe4795b867cc23f4d171e797f7ccd7b4c7e8cba22d690d4b6276b.jpg) +图82015年1月1日~2015年6月30内会员各生命周期消费状态分布图 + +在2015年上半年时间窗口内可明显发现会员的生命周期越短，消费状态活跃的会员数越多，在生命周期小于1年的会员中表现得最为明显，活跃会员数接近总人数的 $40\%$ 。随着生命周期的增加，活跃会员比例先保持相对稳定，7年之后逐渐减少；一般活跃的会员在各生命周期中都占相当大的比例；不活跃会员的数量随着生命周期的增加不断减少，同时所占比例也不短减少。 + +结合附录2中其他五个时间窗口内会员生命周期内消费状态分析，可发现较每半年新增的会员数逐渐增加，活跃会员数也逐渐增加，但活跃会员增加的速度低于新会员增长的速度；同时办卡1年内的新会员，在2016年之后不活跃会员数保持相对稳定的数目，约为2000人。也就是说2016年7月至2018年1月，新会员数翻倍，从8000增至16000，活跃会员数从2500增至4000，不活跃会员数保持在2000人，在这期间一般活跃的会员数不断增长。综合而言，近两年商场的新会员数不断增加，但并没有有效地将新会员高质量的转化为活跃会员，如何将一半活跃会员“活化”为活跃会员，是商场管理层需要慎重考量的。 + +计算完6个时间窗口内生命周期和消费状态的关系后，我们综合算出每个研 + +究窗口内个消费状态的占比，结果如表6所示： + +表 6 6 个滑动的时间窗口中会员活跃状态分布情况 + +
窗口1窗口2窗口3窗口4窗口5窗口6
不活跃40.1%51.8%42.2%33.6%27.8%26.9%
一般活跃41.2%48.1%33.7%35.4%43.0%42.7%
很活跃18.7%0.1%24.1%31.0%29.2%29.2%
会员数112451306518280249313237338960
+ +*注：第六个时间窗口会员数少于之前统计的本地有效会员数，是因为在计算过程中暂时剔除了办卡日期不详的会员数。 + +结合表6会员活跃状态占比变化可发现，随着时间窗口的跨度越大，不活跃会员占比显著减少（从 $40\%$ 减少为 $27\%$ ），活跃会员占比较为稳定增加（从 $18.7\%$ 增加为 $29.2\%$ ），这两类会员呈现相对稳定的线性变化。一般活跃会员占比在 $40\%$ 左右上下变化，保持相对稳定的比例。 + +但是，结合新会员数迅猛增加的前提，在会员数不断增加的提高下，一般活跃会员占比依旧保持在 $40\%$ 左右甚至略有增加，表明一般活跃会员数是在不断增加的，而不活跃会员占比逐渐减少，其对商场的影响逐渐减弱。活跃会员数虽有增加，但其增长率不如新会员增长率。 + +# 5.4.4 商场对不同状态会员的精细化管理方案 + +结合上文的分析可知，每半年新增的会员数逐渐增加，到2017年生命周期不超过1年的会员数远远大于其他生命周期时段，在2017年1月4日-2018年1月4日这一年间，新会员数超过16000人，会员总人数不到40000人，新会员占比超过了 $40\%$ ，这需要商场管理层特别重视； + +进一步分析各生命周期中会员活跃状态可发现，较每半年新增的会员数逐渐增加，活跃会员数也逐渐增加，但活跃会员增加的速度低于新会员增长的速度；同时办卡1年内的新会员，在2016年之后不活跃会员数保持相对稳定的数目，约为2000人，在这期间一般活跃的会员数不断增长。综合而言，近两年商场的新会员数不断增加，但并没有有效地将新会员高质量的转化为活跃会员，如何将一半活跃会员“活化”为活跃会员，是商场管理层需要慎重考量的。 + +因此虽然不活跃会员占比显著减少，活跃会员占比较为稳定增加，但是考虑到新会员数不断增加的前提，我们建议一方面商场管理人员继续吸引新会员加入，新会员比例已经超过 $40\%$ ，但其中完全“活化”的活跃会员不多，需要进一步引导新会员转化为消费积极会员；另一方面，当会员办卡后，1年内会有很大概率处于一般活跃甚至不活跃消费状态，管理者应结合其购物偏好进行高质量促销活动，增加其消费，当新会员成员2年及其以上老会员时，她们的消费状态会 + +变得活跃，对商场的忠诚度也不断增加。 + +# 5.5 问题四模型的建立和处理 + +计算激活率同样基于问题三中时间窗口滑动的考量。我们追踪在原时间窗口中为非活跃的会员、在下一个窗口中变为一般活跃或很活跃的人数占原时间窗口中非活跃会员总数，将其定义为该时段内的非活跃会员激活率。问题三种我们设定了6个时间窗口，因而可得出5个时段内的激活率，依此分析非活跃会员转化为活跃会员的可能性。此外，结合实际销售数据，追踪分析原非活跃会员是否与商场促销活动的相关指标存在关系。 + +# 5.5.1 激活率的计算 + +结合文献我们定义非活跃会员的激活率为： + +$$ +A \left(t _ {i + 1}\right) = \frac {\operatorname {n h} \left(t _ {i + 1}\right)}{\operatorname {u n} \left(t _ {i}\right)} \tag {3} +$$ + +式中 $A(t_{i+1})$ 为 $\mathrm{i} + 1$ 时段内会员的激活率， $nh(t_{i+1})$ 为 $\mathrm{i}$ 时段内的非活跃会员，但在 $\mathrm{i} + 1$ 时段内为一般活跃活跃、很活跃会员的数目， $un(t_i)$ 为 $\mathrm{i}$ 时段内非活跃会员的总数。在计算过程中，我们使用追踪标记算法，追踪 $un(t_i)$ 非活跃会员在 $\mathrm{i} + 1$ 时段内的活跃状态。 + +在问题三中，我们设定了6个时间窗口，进而可计算出15年下半年至17年下半年期间，每隔半年非活跃会员的激活率，结果如表7所示。 + +表715年下半年至17年下半年期间每隔半年非活跃会员的激活情况 + +
时间转变非活跃会员转化为一般、很活跃会员人数原非活跃会员数激活率
15年上半年至15年下半年616456413.5%
15年下半年至16年上半年1238676618.3%
16年上半年至16年下半年1344771217.4%
16年下半年至17年上半年1004836612.0%
17年上半年至17年下半年76289928.5%
+ +# 5.5.2 非活跃会员激活的可能性 + +结合表7可发现，15年下半年至17年下半年期间每半年都存在非活跃会员激活情况，15年下半年至17年上半年激活率均超过 $10\%$ ，特别在16年期间，非活跃会员激活率超过 $17\%$ ，17年下半年会员激活率下降只 $8.5\%$ ，表明原先有 + +效的激活会员措施需要进一步完善。 + +不过表7中非活跃会员的激活率一致为正值，且基本在 $10\%$ 左右，说明非活跃会员是存在激活的可能性的。接下来，我们将跟踪这些被激活额会员消费记录，分析其在激活阶段的消费特征是否与促销活动有关，进一步从实际销售数据出发，确定激活率和商场促销活动之间的关系模型。 + +# 5.5.3 激活率和商场促销活动的可能关系 + +# （1）商场促销活动主要分类： + +分析附件3中的会员消费记录，我们将其中促销活动主要分为两种。 + +1）底价促销商品：单个商品价格小于10元； +2）折扣促销商品：售价与消费金额的差值占售价比例 $>20\%$ + +# （2）促销活动的相关指标： + +1) 参加促销活动总次数 $x_{n}$ : 成功激活的非活跃会员参加两种促销活动的总次数。通过计算其消费明细中的单个商品售价和消费金额得出; +2) 参加底价促销活动次数 $x_{d}$ : 成功激活的非活跃会员参加底价促销活动的次数。通过计算其消费明细中单个商品价格得出; +3) 参加折扣促销活动次数 $x_{z}$ : 成功激活的非活跃会员参加折扣促销活动的次数。通过计算其消费明细中售价和消费金额得出; +4）折扣促销活动的折扣率 $x_{l}$ ：反应折扣促销活动的折扣力度，通过售价与消费金额的差值占售价比例表达； + +通过编程计算出这个四个促销活动指标在非活跃会员激活阶段的值，具体如表8所示。 + +表 8 四个促销活动指标在非活跃会员激活阶段的值 + +
时间转变x_nx_dx_zx_l (%)激活率
15年上半年至15年下半年146851.8213.5%
15年下半年至16年上半年1582513351.6318.3%
16上半年至16下半年98267238.2017.4%
16年下半年至17年上半年2542138.2712.0%
17年上半年至17年下半年3282442.178.5%
+ +分析表8可发现，非活跃激活率是呈现先增加后缓慢减弱的变化趋势，而参加促销活动总次数、参加底价促销活动次数、参加折扣促销活动次数和折扣促销活动的折扣率这四个指标再次期间也有存在较为明显的变化趋势，接下来我们将分析这几个指标之间的变化是否和激活率的变化存在一定的因果关系，以便于更高效率的策划促销活动。 + +# （3）非活跃会员激活率和商品促销活动的可能关系 + +暂不考虑主观因素影响，假定非活跃会员的激活率主要与商场的促销活动有关，次数我们可以建立模型： + +$$ +A \left(t _ {i + 1}\right) = f \left(x _ {n}, x _ {d}, x _ {z}, x _ {l}\right) \tag {4} +$$ + +我们计算出在各个时间转变时段，原非会员参加商场促销活动的 $x_{n}, x_{d}, x_{z}, x_{l}$ 各指标，并构建简单的回归模型[7]分析各指标与激活率之间的可能关系。因为样本个数较少，模型无法全部通过显著性检验，因此我们先将对比分析各指标和激活率之间的关系（标准化之后），在之后的改进中，我们将减少滑动时间窗口的值，从半年变为1个月，增加样本数量，以便于获得高质量的模型，准确分析非活跃会员激活率和商品促销活动的关系。 + +![](images/fa5688b91870ff380faa7aab287ef5d1aaffdc46478090c8ab15762314d227be.jpg) +图94个促销指标和对应激活率之间回归函数图像（标准化后） + +结合表8和图9可发现，四个促销指标中参加促销活动总次数和参加折扣促销活动次数变化基本一致，量级也基本接近，表明在举办的促销活动中，对非活跃会员激活有重要影响的是折扣促销活动，而不是底价促销活动。折扣促销活动力度和激活率变化基本一致，前先于激活率变化，说明促销活动力度。折扣大的活动能对非活跃会员产生较大的延迟效应。因此总结而言，结合该商场实际销售流水，为了更好的产生会员价值效应，我们建议管理人员，多组织策划折扣类活动，折扣力度大的活动尽可能加大宣传力度，进一步加深促销活动力度对激活非活跃会员的“延迟”效应。 + +不过我们划分的时间窗口转变时段较少，得到的有效数据偏少，只能得非活跃会员激活率和商场促销活动之间的大致关系，为商场策划促销活动提供数据支撑，在恰当的时机举办效果更好的促销活动，提升商场活动质量，使得商场管理员可以精细化管理会员、充分发挥会员价值。 + +# 5.6 问题五的分析与求解 + +先分别计算出会员的消费偏好以及消费时的连带情况，进而策划促销活动。首先，通过附件3中本地会员消费流水中的商品名称和附件4中匹配，分析所有本地会员的消费品牌编码（不同的品牌标码计算其对应的购买次数），借此得出会员消费时喜爱的品牌类别排行；其次，分析会员喜爱的品牌中商品的连带情况，由该品牌购买总数量和有效单据号数确定商品的连带率 + +# 5.6.1 会员的消费偏好 + +会员进行消费时基于自己的年龄、性别、收入情况以及主观需求会展现出多种多样的消费偏好特征，往往一次消费过程不会只购买单个商品，会出现“连带消费”现状，商场为了开展高质量促销活动往往要考虑顾客的消费偏好。分析会员的消费偏好可通过多种途径，如问卷调查等。在本题中，由于题目条件限制，我们尝试通过会员一次消费时同时购买的商品组合来分析其消费偏好。 + +首先，通过附件3中本地会员消费流水中的商品名称，和附件4中商品信息表匹配，分析所有本地会员的每个品牌编码，如果某品牌编码出现一次，则表明该名牌商品被消费一次，依此也可计算出不同的名牌的消费次数。 + +促销活动时针对整个会员群体展开的，因此我们将各品牌按照购买次数大小为特征进行排序，购买次数多的品牌默认是受客户喜爱的品牌，借此得出会员消费时喜爱的品牌类别排行，在策划连带促销活动时，往往在高购买次数的品牌中策划的连带活动。 + +计算得出的商品类别编码共130种，由于篇幅限制正文中将购买次数排名前十的“热销”商品名单展示出来，如表9所示。 + +表 9 热销前十商品信息 + +
排名类别编号商品类别连带率Jrj
140101化妆品、珠宝首饰、折扣服装等5.05(42919/8503)
270101少淑女装等2.12(1729/797)
360701童装、母婴产品、内衣、打折商品等3.70(2531/685)
460101运动服饰、成熟女装等2.90(60277/20833)
540501男鞋、女鞋等1.48 (431/291)
640102日用品、平价化妆品等4.14 (1827/441)
780701男装等3.70 (877/237)
850101奢侈品、皮具、针织衫等2.70194(1225/453)
970302内衣、泳衣、家居服等3.495902(853/244)
1070403装饰品、配饰、羊绒衫等4.009091(441/110)
+ +表9中直观列出了会员“偏爱”的热销前十商品类别，化妆品、珠宝首饰、折扣服装、少淑女装、童装、母婴产品等排名靠前，这也和我们的日常生活保持一致。大部分的商场一楼柜台主要以奢侈品和化妆品为主，低楼层中往往少淑女状、母婴产品、童装等商品也往往较多，这与前文分析的会员消费特征相一致。即商场会员以女性为主，20-49岁的女性消费频次、消费总额远远高于其他年龄段，而她们常规的消费商品也主要位于商场低层“黄金位置”。 + +# 5.6.2 会员消费的连带情况 + +在本题分析过程中我们任务单次消费时同时购买的品牌类别数目表征消费连带率的大小。分析连带消费时我们考虑两种情况，一种是考虑一次消费中同一品牌类别中商品的连带情况，即“单类连带消费”，另一种时考虑不同类别品牌中商品的连带消费，即“交叉连带消费”。理论上“单类连带消费”是“交叉连带消费”特殊情况，“交叉连带消费”能产生更多消费市场和经济效益。本问题我们分析“交叉连带消费”情况，此时连带率的计算公式为 + +$$ +J r _ {j} = \frac {\text {销 售 总 数 量}}{\text {有 效 单 据 数 (消 费 次 数)}} \tag {4} +$$ + +其中，该名牌购买总数量由消费流水中商品编码数量计算得出，有效单据数（有效消费次数）由消费流水中的单据数确定消费次数，若单据数不唯一，则以消费时间和收银机号为参考项进行筛选，最终得出有效消费次数。 $Jr_{j}$ 值越大，表明会员单次消费时购买的品牌类别越多，商品之间的连带率也就越大。 + +具体的计算流程如下： + +STEP1: 根据会员喜好商品的类别编码（共 130 个）在附件 4 中匹配对应的商品编码（一个类别编码会对应多个商品编码）； + +STEP2：用STEP1中找到的商品编码匹配附件3中的销售单据号。由于相同的单据号可能不是同一笔消费产生，不是唯一标识，因此当出现2个商品编码对应同一单据号时，需进一步匹配消费时间。若消费时间相同，认为是同一次消费，记为1张销售小票；若消费时间不相同，认为是两次消费，记为2张销售小票。得到每个类别编码对应的有效单据数； + +STEP3：根据附件3计算每种类别编码对应商品的销售总量（ $j = 1,2,3,\dots,130$ ） +STEP4：根据商品连带率公式(4)得到每种类别编码对应的连带率； + +通过该流程计算得到的热销前十的商品“交叉连带消费”的连带率如表9所示，会员喜好的十大热销商品类别包括特别是化妆品、珠宝首饰、日用品等，交叉消费连带率大于4，超过其他热销商品，这也是商场管理层在组织策划促销活动时需要认真考量的。 + +# 5.6.3 基于消费偏好的有效连带促销活动 + +2018年9月21日至23日中秋节期间，商场可以组长节日主题促销活动，同时结合表9中会员偏爱的热销前十商品及其连带消费商品类型，为会员准备一份“投其所好”的高质量连带促销方案，以下使我们基于前文分析讨论出的方案： + +（1）凡一次性购买珠宝首饰 19999 元以上，享受 8.8 折优惠； +（2）凡一次性购买化妆品1888元以上，享受8折优惠； +(3) 全场男女服饰一件八折，二件七折，三件五折，更有换季服饰最低 1 折起； +(4) 购买童装、母婴用品、儿童玩具满 899 减 199 元现金 (特价商品不参加该活动); +（5）购买运动服饰满788减188元现金（特价商品不参加该活动）； +(6) 购买鞋包、家居服饰、运动配饰、家居用品满三件享 7.7 折 (特价商品不参加该活动); +（7）购买大家器可免费享受一年延保； +(8) 单笔消费金额满 1000 元, 可凭购物小票领取月饼礼盒一份, 购物小票当天有效逾期不予兑换; +（9）活动期间本商城会员消费可享两倍积分 + +说明：特殊商品不参加活动。特殊商品包括：烟酒、大家电、手机、名表、数码产品、健身器材等惯例商品。 + +# 六、模型评价和推广 + +# 6.1 模型的分析和评价 + +本文从商场的会员信息和消费流水数据出发，通过数据挖掘方法，构建描述会员购买力的FMS模型和描述会员消费状态的RF模型，建立了会员生命周期与专题划分的关系。进一步在不同窗口中得到非活跃会员激活率，结合实际销售数据，追踪分析原非活跃会员是否与商场促销活动的相关指标存在关系。通过计算会员喜好情况和商品连带率，为商家策划有针对性的促销方案提供有效依据。 + +# 6.1.1 模型的优点 + +（1）创建了 FMS 模型刻画每一位会员的购买力。通过分析附件的数据，结合购买力的指标，单次消费金额能够更贴切客观地描述会员的购买力。 +(2) 通过附件 2 的商场销售流水表提炼出四个描述促销活动的指标。这四个指标可以反映商场促销的力度, 将商场促销从定性研究提升到定量研究, 并创建了一个概念模型。 +（3）基于会员消费明细精确刻画会员画像，商场可以清楚了解不同消费者对于促销活动的反应。 + +# 6.1.2 模型的缺点 + +(1) 本文模型是基于历史数据创建的，因此不能预测存在潜在价值的会员。 +（2）FMS模型仅考虑了三个指标，F和M之间存在多重共线性，会员单次购买金额S大，并不一定能够商场带来很大利润（例如团购），这些都会导致结果存在偏差。 + +# 6.2 模型的改进与推广 + +通过商场会员消费明细，从不同角度精确计算会员价值，有利于帮助商场对会员进行认识和管理，并为商场制定针对不同价值会员的促销活动提供科学的依据。 + +# 七、参考文献 + +[1]田雨聪，耿子月，谢安泰,等.基于数据挖掘的消费者价值细分模型研究[J].软件，2017,38(8):113-117. +[2] 蔡玖琳. 基于数据挖掘的零售业客户细分方法[D]. 青岛大学, 2015. +[3] 孙瑛, 马宝龙, 李金林. 基于RFM模型方法的忠诚计划会员顾客价值识别研究[J]. 数学的实践与认识, 2011, 41(15):75-79. +[4] 马宝龙, 李飞, 王高, 等. 随机RFM模型及其在零售顾客价值识别中的应用[J]. 管理工程学报, 2011, 25(1):102-108. +[5] 王子威. 我国百货店客户关系管理研究——以北京当代商城为例[D]. 首都经济贸易大学, 2014. +[6] 吴邦刚, 余琦, 陈煜波. 基于全生命周期行为的会员等级体系对顾客购买行为的影响[J]. 管理学报, 2018(4). +[7] 姜启源，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社2015. + +# 八、附录 + +# 附录1 + +问题三中在2015年1月1日-6月30日、2015年7月1日-12月31日、2016年1月1日-6月30日、2016年7月1日-12月31日、2017年1月1日-6月30日、2017年7月1日-2018年1月4日时间窗口的各生命周期频率分布图： + +![](images/b720f266a59a4ca6d54de064d7b0a31a19f3b9ffde0721da90bc4cba800352ff.jpg) + +![](images/a738ec7504a54b79c907a9c4883bcb93f63fc509369e99eb718ff25942a7b4ba.jpg) + +![](images/6d21af3f58f8065fb0fa2f3c16d1cc3c139533261dc33b8debefdbcb11d363f8.jpg) + +![](images/80abf59db277b36103a7de4c797ee2eae6b5fafd1c84a93c9154540b37826a4d.jpg) + +![](images/836c87d6065946ed0ffea6627a64a682bccd5a67b7f5e7b7d66f09639be19eda.jpg) + +![](images/e93a73235a4134527b49d02149b3d95a4d57d11247dbacc086e118b08395af25.jpg) + +# 附录2 + +问题三中在2015年1月1日-6月30日、2015年7月1日-12月31日、2016年1月1日-6月30日、2016年7月1日-12月31日、2017年1月1日-6月30日、2017年7月1日-2018年1月4日时间窗口内生命周期与活跃状态的随时间变化的关系图： + +![](images/255fd81b93a7825a1bf35e88ba305b52239795507d0c06527b971180f5551c08.jpg) + +![](images/ca4cc1c173448e5775d16c93f131830d1929797b7ab940ae0dae028bd5946b06.jpg) + +![](images/e9e3c58812bffa54000f52a387adee528d2cf8415ad4625feaba523d5c7e2598.jpg) + +![](images/d9e518602e6a54d2bf7ea22b82bdd7d3c187eb090381429ceb2d6c926d0e2916.jpg) + +![](images/42058109bca0224d49020a6184fe5eb3779a2d27030b84e5d66867378dfff8d0.jpg) + +![](images/c78c6cc6e3c3424a5e45a01b0a2675cd5b2b76163ea0388b9cdd3ca41c01b8d7.jpg) + +# 附录3 部分相关计算程序的源代码（Fortran），支撑材料中有全部运行脚本 + +# 1. 问题一：附件3中筛选出本地会员 + +programvipinformation implicit none +parameter num $= 200000$ +parametervip_num $\equiv 1000000$ +integer i,j +character $\ast 20$ id(num),id2(vip_num) integer mf(num),birth(num),cardday(num) integer count,num_M,num_F,num_N integer year_birth,age(num) real total(num),cishu(num),maxxf(num) integerlastm(num),numday +character\*50 spmc(vip_num),djh(vip_num), & spbm(vip_num),gzmc(vip_num) integervip_count,syjh(vip_num),gzbm(vip_num),dtime(vip_num) realsl(vip_num),sj(vip_num),je(vip_num),jf(vip_num) +open(2,file $\coloneqq '$ /路径/information.prn') open(3,file $\coloneqq '$ /路径/vip.prn') open(4,file $\coloneqq '$ /路径/vipxf.txt') +count $= 0$ +do i $= 1$ ,num +read(2,\*,end $= 10$ )id(i)，birth(i)，mf(i)，cardday(i) count $=$ count+1 +enddo +10 continue +write $(^{*},^{*})'$ 'total number $= ^{\prime}$ ,count +！！！！！！！！ count of man and woman num_N=0 !! no record num_M=0 !! male num_F=0 !! female do i $= 1$ ,count if(mf(i) $= = 0$ )then num_f $\equiv$ num_f+1 elseif(mf(i) $= = 1$ )then num_m $\equiv$ num_m+1 + +elseif $(\mathrm{mf}(i) == 2)$ then num_n=num_n+1endif enddo write $(\star ,\star)$ 'man number $= 1$ ,num_m write $(\star ,\star)$ 'woman number $= 1$ ,num_f write $(\star ,\star)$ 'no record number $= 1$ ,num_n +! do i=1,100000 do i=1,count year_birth=birth(i)/10000 if(year_birth $= = 9999$ )then age(i)=9999 else age(i)=2018-year_birthendif enddo write $(\ast ,\ast)$ ''vip_count=0 do i=1,vip_num read(3,\*,end=20)id2(i),dtime(i),spbm(i),sl(i),sj(i),je(i), \* jf(i),syjh(i),djh(i),gzbm(i)VIP_count=vip_count+1 enddo +20 continue write $(\ast ,\ast)$ 'total VIP number $= 1$ ,vip_count close(3) total=0.0 cishu=0.0 maxxf=0.0 lastm=-1 do i=1,count if(mod(i,100) $= = 0$ )then write $(\ast ,\ast)$ iendif do j=1,vip_count if(trim(id(i)) $= =$ trim(id2(j)).and.sl(j).gt.0.and.sj(j).gt.0 \* .and.je(j).gt.0.and.jf(j).gt.0)then total(i)=total(i)+je(j) cishu(i)=cishu(i)+1 + +if (je(j).gt.maxxf(i)) then maxxf(i) = je(j)endif if (dtime(j).gt.lastm(i)) then lastm(i) = dtime(j)endif endif enddo if(total(i).gt.0)then call daynum(lastm(i), numday) write(4,30)id(i),mf(i),age(i),cardday(i),total(i),cishu(i), \*maxxf(i),lastm(i),numdayendif enddo +30 format(a30,3i10,f20.2,f10.1,f20.2,i10,i10) +end subroutine daynum(cle,num) integercle,num,i integer year,mon,day,monday(13),mondayl(13) data (monday(i),i=1,13)/0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31/ data (mondayl(i),i=1,13)/0,31,29,31,30,31,30,31,31,30,31, 100 num=4 !2018/01/04 year=cle/10000 mon=(cle-year\*10000)/100 day $=$ mod(cle,100) if(year $= = = 2015$ )num $\equiv$ num $+365^{*}3 + 1$ if(year $= = = 2016$ )num $\equiv$ num $+365^{*}2 + 1$ if(year $= = = 2017$ )num $\equiv$ num $+365^{*}1$ if(year $= = = 2018$ )num $\equiv$ num if(year $= = = 2018$ )then do i=1,mon num $\equiv$ num-mundayl(i) enddo else do i=1,mon num $\equiv$ num-munday(i) enddo endif num $\equiv$ num-day +end + +# 2. 问题二：FMS 购买力模型计算每位会员的购买力评分 + +program fms model implicit none parameter num $= 50000$ integer i,j,count character $\ast 20$ id(num) integer mf(num),age(num) real total(num),cishu(num),maxxf(num) integer lastm(num),numday(num) integer fre(num),mon(num),sig(num) open(2,file $=$ '路径\Vipxf.txt') open(3,file $=$ '路径\fms.txt') count $= 0$ do i $= 1$ ,num read(2,\*,end $= 10$ )id(i),mf(i),age(i),total(i),cishu(i), \* maxxf(i),lastm(i),numday(i) count $=$ count+1 enddo +10 continue write $(^{*},^{*})$ 'total number $= ^{\prime}$ ,count +11111111 count of man and woman do i $= 1$ ,count if(mod(i,100) $= = 0$ )write $(^{*},^{*})$ i if(cishu(i).gt.20)then fre(i)=5 elseif(cishu(i).gt.10) then fre(i)=4 elseif(cishu(i).gt.5) then fre(i)=3 elseif(cishu(i).gt.2) then fre(i)=2 else fre(i)=1endif if(total(i).ge.35000)then mon (i)=5 elseif(total(i).ge.6700)then mon (i)=4 elseif(total(i).ge.2000)then mon (i)=3 elseif(total(i).ge.600)then mon (i)=2 else + +mon $(i) = 1$ +endif +if(maxxf(i).ge.5500)then sig $(i) = 5$ +elseif(maxxf(i).ge.1900) then sig $(i) = 4$ +elseif(maxxf(i).ge.800) then sig $(i) = 3$ +elseif(maxxf(i).ge.330) then sig $(i) = 2$ +else sig $(i) = 1$ +endif +enddo +do $i = 1$ count write(3,20)id(i),cishu(i),total(i),maxxf(i),fre(i),mon(i),sig(i), fre(i)*100+mon(i)*10+sig(i) +enddo +20 format(a20,f10.0,2f20.2,4i10) +End + +# 3. 问题三：滑动窗口计算每位会员的生命周期、RF状态模型计算每位会员的状态评分 + +```fortran +program fms model +implicit none +parameter num=50000 +parameter xs_num=1000000 +integer i,j,k,count +character*20 id(num),id2(xs_num) +integer mf(num),age(num),cardday(num) +character*50 spbm(xs_num),spmc(xs_num),djh(xs_num),syjh(xs_num) +* gzbm(xs_num),rdata(xs_num) +integer xs_count +real sl(xs_num),sj(xs_num),je(xs_num),jf(xs_num) +integer last(num,6),fre(num,6) +integer rday,smday +open(2,file='路径/vipxf-b.txt', +* status='unknown') +open(3,file='路径/vip-hr.prn') +open(4,file='路径/vip-c.txt') +count=0 +do i=1,num +read(2,*,end=10) id(i),mf(i),age(i),cardday(i) +count=count+1 +enddo +10 continue +write(*,*)'total number=',count +xs_count=0 +do i=1,xs_num +read(3,*,end=20) id2(i),rdata(i),spbm(i),sl(i),sj(i),je(i), +* jf(i),djh(i) +xs_count=xs_count+1 +enddo +20 continue +write(*,*)'total record number=',xs_count +!!!!!!! +do i=1,count +if(mod(i,100==0)write(*,*)i +do j=1,xs_count +if(trim(id(i))==trim(id2(j)).and.sl(j).ge.0.and.sj(j).ge.0 +* .and.je(j).ge.0.and.jf(j).ge.0) then +write(4,30)rdata(j),spbm(j),djh(j) +endif +enddo +``` + +30 format(a30,2a20) End +```txt +： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： ； ： +``` + +10 continue write $(\star ,\star)$ 'total number $=$ ,count +program fms model implicit none parameter num $= 50000$ parameter xs_num $\equiv$ 1000000 integer i,j,k,count character\*20 id(num) integer mf(num),age(num) +character\*50 spbm(xs_num),spmc(xs_num),djh(xs_num),syjh(xs_num) integer xs_count integer rdata(xs_num) real sl(xs_num),sj(xs_num),je(xs_num),jf(xs_num), \* gzbm(xs_num) integer last(num),fre(num),cardday(num),rday(num), smday(num) integer fpf(num),rpf(num),pf(num) open(11,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c1sm.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(12,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c2sm.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(13,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c3sm.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(14,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c4sm.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(15,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c5sm.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(16,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c6sm.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(21,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c1zt.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(22,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c2zt.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(23,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c3zt.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(24,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c4zt.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(25,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c5zt.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') open(26,file $=$ 'd:\\2018\\out\\3\\c6zt.txt',status $\coloneqq$ 'unknown') count $= 0$ do i $= 1$ ,num read(11,\*,end $= 10$ )id(i)，fre(i)，last(i)，cardday(i)，rday(i)，smday(i) count $= \mathrm{count} + 1$ enddo + +```txt +do i=1,count +if(fre(i).ge.11) then + fpf(i)=5 +elseif(fre(i).ge.7) then + fpf(i)=4 +elseif(fre(i).ge.4) then +``` + +$\mathrm{fpf(i)} = 3$ +elseif(fre(i).ge.2)then + $\mathrm{fpf(i)} = 2$ +else + $\mathrm{fpf(i)} = 1$ +endif +if(rday(i).le.30) then + $\mathrm{rpf(i)} = 5$ +elseif(rday(i).le.60) then + $\mathrm{rpf(i)} = 4$ +elseif(rday(i).le.90) then + $\mathrm{rpf(i)} = 3$ +elseif(rday(i).le.120) then + $\mathrm{rpf(i)} = 2$ +else + $\mathrm{rpf(i)} = 1$ +endif +if(smday(i).ne.99999) then +write(21,20)id(i),fre(i),rday(i),fpf(i),rpf(i),fpf(i)\*rpf(i) +\* ,smday(i) +endif +enddo + +```matlab +20 format(a20,6i10) count=0 do i=1,num read(12,\*,end=21)id(i),fre(i),last(i),cardday(i),rday(i), smday(i) count=count+1 enddo +``` + +21 continue +write $(\star, \star)$ 'total number $= '$ , count +do i = 1, count +if (fre(i).ge.11) then + fpf(i) = 5 +else if (fre(i).ge.6) then + fpf(i) = 4 +else if (fre(i).ge.3) then + fpf(i) = 3 +else if (fre(i).ge.2) then + fpf(i) = 2 +else + fpf(i) = 1 +endif +if (rday(i).le.30*2) then + rpf(i) = 5 + +```javascript +elseif(rday(i).le.60\*2)then rpf(i)=4 elseif(rday(i).le.90\*2)then rpf(i)=3 elseif(rday(i).le.120\*2)then rpf(i)=2 else rpf(i)=1endif if(smday(i).ne.99999) then write(22,20)id(i),fre(i),rday(i),fpf(i),rpf(i),fpf(i)\*rpf(i) \* ,smday(i)endif enddo count=0 do i=1,num read(13,\*,end=22) id(i),fre(i),last(i),cardday(i),rday(i),smday(i) count=count+1 enddo +``` + +22 continue +write $(\star, \star)$ 'total number $=$ ', count +do i=1, count +if(fre(i).ge.11) then + fpf(i) = 5 +elseif(fre(i).ge.6) then + fpf(i) = 4 +elseif(fre(i).ge.3) then + fpf(i) = 3 +elseif(fre(i).ge.2) then + fpf(i) = 2 +else + fpf(i) = 1 +endif +if (rday(i).le.30*2) then + rpf(i) = 5 +elseif (rday(i).le.60*3) then + rpf(i) = 4 +elseif (rday(i).le.90*3) then + rpf(i) = 3 +elseif (rday(i).le.120*3) then + rpf(i) = 2 +else + rpf(i) = 1 +endif + +```matlab +if(smday(i).ne.99999) then +write(23,20) id(i), fre(i), rday(i), fpf(i), rpf(i), fpf(i) * rpf(i) +* , smday(i) +endif +enddo +count=0 +do i=1, num +read(14, *, end=23) id(i), fre(i), last(i), cardday(i), rday(i), smday(i) +count=count+1 +enddo +``` + +23 + +continue +write $(\star ,\star)$ 'total number $= 1$ count +do i=1,count +if(fre(i).ge.12)then fpf(i)=5 +elseif(fre(i).ge.6) then fpf(i)=4 +elseif(fre(i).ge.3) then fpf(i)=3 +elseif(fre(i).ge.2) then fpf(i)=2 +else fpf(i)=1 +endi if(rday(i).le. $30^{*}4$ )then rpf(i)=5 +elseif(rday(i).le. $60^{*}4$ )then rpf(i)=4 +elseif(rday(i).le. $90^{*}4$ )then rpf(i)=3 +elseif(rday(i).le. $120^{*}4$ )then rpf(i)=2 +else rpf(i)=1 +endif if(smday(i).ne.99999) then write(24,20)id(i),fre(i),rday(i),fpf(i),rpf(i),fpf(i)*rpf(i) \* ,smday(i) +endif +enddo +count=0 +do i=1,num +read(15,\*,end=24) id(i),fre(i),last(i),cardday(i),rday(i),smday(i) count=count+1 + +enddo + +24 + +continue + +write $(\star ,\star)$ 'total number $= 1$ count +do i=1,count +if(fre(i).ge.13) then fpf(i)=5 +elseif(fre(i).ge.7) then fpf(i)=4 +elseif(fre(i).ge.3) then fpf(i)=3 +elseif(fre(i).ge.2) then fpf(i)=2 +else fpf(i)=1 +endif +if(rday(i).le. $30^{*}5$ )then rpf(i)=5 +elseif(rday(i).le. $60^{*}5$ )then rpf(i)=4 +elseif(rday(i).le. $90^{*}5$ )then rpf(i)=3 +elseif(rday(i).le. $120^{*}5$ )then rpf(i)=2 +else rpf(i)=1 +endif +if(smday(i).ne.99999) then +write(25,20)id(i),fre(i),rday(i),fpf(i),rpf(i),fpf(i)*rpf(i) +\* ,smday(i) +ndif +nddo +count=0 +o i=1,num +read(16,\*,end=25) id(i),fre(i),last(i),cardday(i),rday(i),smday(i) +count=count+1 +nddo + +25 + +continue + +write $(\star ,\star)$ 'total number $= 1$ count + +do $i = 1$ ,count + +if(fre(i).ge.13) then + +$\mathrm{fpf(i)} = 5$ + +elseif(fre(i).ge.7) then + +fpf(i) = 4 + +elseif(fre(i).ge.4) then + +$\mathrm{fpf(i)} = 3$ +elseif(fre(i).ge.2) then + $\mathrm{fpf(i)} = 2$ +else + $\mathrm{fpf(i)} = 1$ +endif +if(rday(i).le. $30^{*}6)$ then + $\mathrm{rpf(i)} = 5$ +elseif(rday(i).le. $60^{*}6)$ then + $\mathrm{rpf(i)} = 4$ +elseif(rday(i).le. $90^{*}6)$ then + $\mathrm{rpf(i)} = 3$ +elseif(rday(i).le. $120^{*}6)$ then + $\mathrm{rpf(i)} = 2$ +else + $\mathrm{rpf(i)} = 1$ +endif +if(smday(i).ne.99999) then +write(26,20)id(i),fre(i),rday(i),fpf(i),rpf(i),fpf(i)*rpf(i) +\* ,smday(i) +endif +enddo +end + +4. 问题四：计算6个时段内会员的活跃与非活跃状态、计算四个促销活动指标 + +program cx records +implicit none +parameter num $= 50000$ +parameter xs_num $\equiv$ 1000000 +character $\ast 20$ id(num,5),id2(xs_num) +integer i,j,k,cnt(5),xs_cnt +integer rdata(xs_num) +character $\ast 50$ spbm(xs_num),djh(xs_num),syjh(xs_num),gzbm(xs_num) +real sl(xs_num),sj(xs_num),je(xs_num),jf(xs_num) +integer cx_num(5),dj_num(5),zk_num(5) +real zkld(5),zkq(5),zkh(5) +open (2,file $=$ '路径\cx12.txt') +open (3,file $=$ '路径\cx23.txt') +open (4,file $=$ '路径\cx34.txt') +open (5,file $=$ '路径\cx45.txt') +open (6,file $=$ '路径\cx56.txt') +open (10,file $=$ '路径\zk-inf.txt') +cnt $= 0$ +cx_num $= 0$ +dj_num $= 0$ +zk_num $= 0$ +zkq $= 0.0$ +zkh $= 0.0$ +k $= 1$ +do j $= 1$ ,num +read(2,\*,end $= 12$ )id2(j),rdata(j),spbm(j),sl(j),sj(j),je(j),\* jf(j),syjh(j),djh(j),gzbm(j) +cnt(k)=cnt(k)+1 +enddo +12 continue write $(^{*},^{*})'$ total number $= ^{\prime}$ ,cnt(k) +do i $= 1$ ,cnt(k)cx_num(k) $\equiv$ cx_num(k)+1if(je(i)/sl(i).le.10)then dj_num(k) $\equiv$ dj_num(k)+1 + +```julia +else + zk_num(k) = zk_num(k) + 1 + zkq(k) = zkq(k) + sj(i) * sl(i) + zkh(k) = zkh(k) + je(i) +endif +enddo + zkld(k) = (zkq(k) - zkh(k)) * 100 / zkq(k) +k=2 +do j=1, num + read(3, *, end=13) id2(j), rdata(j), spbm(j), sl(j), sj(j), je(j), + * jj(j), syjh(j), djh(j), gzbm(j)) +cnt(k) = cnt(k) + 1 +enddo +13 continue + write(*, *) 'total number=', cnt(k) +do i=1, cnt(k) + cx_num(k) = cx_num(k) + 1 + if (je(i) / sl(i).le.10) then + dj_num(k) = dj_num(k) + 1 + else + zk_num(k) = zk_num(k) + 1 + zkq(k) = zkq(k) + sj(i) * sl(i) + zkh(k) = zkh(k) + je(i) +endif +enddo + zkld(k) = (zkq(k) - zkh(k)) * 100 / zkq(k) +k=3 +do j=1, num + read(4, *, end=14) id2(j), rdata(j), spbm(j), sl(j), sj(j), je(j), + * jj(j), syjh(j), djh(j), gzbm(j)) +cnt(k) = cnt(k) + 1 +enddo +14 continue + write(*, *) 'total number=', cnt(k) +do i=1, cnt(k) + cx_num(k) = cx_num(k) + 1 + if (je(i) / sl(i).le.10) then + dj_num(k) = dj_num(k) + 1 + else + zk_num(k) = zk_num(k) + 1 + zkq(k) = zkq(k) + sj(i) *sl(i) + zkh(k) = zkh(k) + je(i) +endif +enddo +``` + +$\begin{array}{rl} & {\mathrm{zkld}(k) = (\mathrm{zkg}(k) - \mathrm{zkh}(k))^*\mathrm{*100 / zkg}(k)}\\ & {k = 4}\\ & {\mathrm{do~j = 1, num}}\\ & {\mathrm{read(5,*,end = 15)~id2(j),rdata(j),spbm(j),sl(j),sj(j),je(j),}}\\ & {\quad \star \quad \mathrm{jf(j),syjh(j),djh(j),gzbm(j)}}\\ & {\mathrm{cnt(k) = cnt(k) + 1}}\\ & {\mathrm{enddo}}\\ & {\mathrm{15}\quad \mathrm{continue}}\\ & {\mathrm{write(*,*)'total~number = ',cnt(k)}}\\ & {\mathrm{do~i = 1, cnt(k)}}\\ & {\quad \mathrm{cx\_num(k) = cx\_num(k) + 1}}\\ & {\quad \mathrm{if~(je(i) / sl(i).le.10)~then}}\\ & {\quad \mathrm{dj\_num(k) = dj\_num(k) + 1}}\\ & {\quad \mathrm{else}}\\ & {\quad \mathrm{zk\_num(k) = zk\_num(k) + 1}}\\ & {\quad \mathrm{zkq(k) = zkq(k) + sj(i)*sl(i)}}\\ & {\quad \mathrm{zkh(k) = zk(h(k) + je(i)}}\\ & {\quad \mathrm{endif}}\\ & {\mathrm{enddo}}\\ & {\quad \mathrm{zkld(k) = (zkq(k) - zk(h(k))*100 / zkg(k)}}\\ & {\quad k = 5}\\ & {\mathrm{do~j = 1, num}}\\ & {\mathrm{read(6,*,end = 16)~id2(j),rdata(j),spbm(j),sl(j),sj(j),je(j),}}\\ & {\quad \star \quad \mathrm{zf(j),syjh(j),djh(j),gzbm(j)}}\\ & {\mathrm{cnt(k) = cnt(k) + 1}}\\ & {\mathrm{enddo}}\\ & {\mathrm{16}\quad \mathrm{continue}}\\ & {\mathrm{write(*,*)'total~number = ',cnt(k)}}\\ & {\mathrm{do~i = 1, cnt(k)}}\\ & {\quad \mathrm{cx\_num(k) = cx\_num(k) + 1}}\\ & {\quad \mathrm{if~(je(i) / sl(i).le.10)~then}}\\ & {\quad \mathrm{dj\_num(k)} = \mathrm{dj\_num(k)} + 1}\\ & {\quad \mathrm{else}}\\ & {\quad \mathrm{zk\_num(k) = zk\_num(k) + 1}}\\ & {\quad \mathrm{zkq(k) = zk(q) + sj(i)*sl(i)}}\\ & {\quad \mathrm{zkh(k) = zk(h(k) + je(i)}}\\ & {\quad \mathrm{endif}}\\ & {\quad \mathrm{enddo}}\\ & {\quad \mathrm{zkld(k) = (zkq(k) - zk(h(k))*100 / zkg(k)}}\\ & {\quad \mathrm{do~k = 1, 5}}\\ & {\mathrm{write(10,10)cx\_num(k),dj\_num(k),zk\_num(k),zkld(k)}}\\ & {\quad \mathrm{enddo}}\\ & {\quad \mathrm{10}\quad \mathrm{format(3i10,3f10.2)}}\\ & {\quad \mathrm{End}} \end{array}$ + +# 5. 问题五：计算前十热销品牌的“单类消费连带率” + +```fortran +program cx records implicit none +parameter num \(= 100000\) +parameter xs_num \(\equiv\) 1000000 +character \(\ast 20\) id(num),id2(xs_num) integer i,j,xs_cnt,cnt,lb_num +integer rdata(xs_num) +character \(\ast 50\) spbm(xs_num),djh(xs_num),syjh(xs_num),gzbm(xs_num) real sl(xs_num),sj(xs_num),je(xs_num),jf(xs_num) +character \(\ast 50\) lbbm_b(num),ppbm(num),lbbm(num),bm,hmax integer xhnum(200),max +open(12,file \(\coloneqq\) '路径\item.prn') +open(2,file \(\coloneqq\) '路径\lb.txt') +open(22,file \(\coloneqq\) '路径\vip-b.txt') xs_cnt \(= 0\) do j=1,xs_num read(22,\*,end=22)id2(j),rdata(j),spbm(j),sl(j),sj(j),je(j), \* jj(j),syjh(j),djh(j),gzbm(j) xs_cnt=xs_cnt+1 +endo +22 continue write \((^{*},^{*})\) 'total number \(=\) ,xs_cnt cnt \(= 0\) do i=1,num read(12,\*,end=12)id(i),ppbm(i),lbbm(i) cnt=cnt+1 +endo +12 continue write \((^{*},^{*})\) 'item number \(=\) ,cnt lb_num=1 lbbm_b(1)=1bbm(1) do i=2,cnt do j=i-1,1,-1 if (trim(lbbm(i)) \(= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = +``` + +```matlab +11 continue +enddo +write(\*,*)'leibie number=',lb_num +xhnum=0 +do i=1,xs_num +if(mod(i,1000) == 0) write(\*,*)i +do j=1,cnt +if(trim(spbm(i)) == trim(id(i))) then +bm=1bbm(j) +goto 30 +endif +enddo +continue +do j=1,lb_num +if(trim(bm) == trim(lbbm_b(j))) then +xhnum(j) = xhnum(j) + 1 +endif +enddo +enddo +do i=1,lb_num +write(2,10) lbbm_b(i), xhnum(i) +enddo +10 format(a20,i10) +end +``` + +# 附录四 + +附件2筛选出本地会员和非会员（非本地会员和非会员）见支撑材料txt文件 + +相关处理后的数据详见支撑材料中的 txt 文件、Excel 文件 + +另，由于运行程序脚本过长，未将全部运行程序放在附录中，每题中的重要程序已放在附录中，在电子支撑材料中包含可运行的所有源程序脚本（可能需要修改路径） \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/C101/C101.md b/MCM_CN/2018/C101/C101.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..336a870d8f67b3005276313b38701b229cce0a70 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/C101/C101.md @@ -0,0 +1,348 @@ +# 大型百货商场会员画像描述 + +# 摘要 + +当前电商的发展使商场会员不断流失，给零售运营商带来了严重损失，在大数据时代，完善“会员画像”描绘，通过数据挖掘，加强对现有会员的精细化管理，实施会员细分和精准营销，不仅能够维系会员的忠诚度，给商场带来更大的利润，还能够节约商场的营销成本。 + +针对问题一，借助SQLServer数据库的储存与处理功能，先把数据导入SQLServer数据库，然后根据单据号提取需要的特征数据，即分别提取出会员与非会员的消费数据（见附录1），再导入excel统计出会员的消费金额、购买数量及购买商品的平均价格，非会员的消费金额、购买数量及购买商品的平均价格；最后列表对比会员与非会员群体的差异及会员群体给商场带来的价值（见表4-4）。 + +针对问题二，本题选用K-均值聚类法，以消费金额和消费次数作为衡量会员购买力的特征数据，运用SPSS软件对提取好的数据（见附录2）对会员进行聚类，K值以公式（1）进行确定。D=类内平均距离/类间平均距离（1），K取4使D值最小，故将会员分为四类：大众会员（45678人）、黄金会员（2708人）、铂金会员（348人）和砖石会员（17人），其中各类别中心点见表4-6。 + +针对问题三，我们自定义规则：我们选择最近没有消费行为天数和消费次数，作为划分会员生命周期阶段的指标，把会员生命周期划分为五个阶段：引入期-成长期-成熟期-休眠期-流失期，选择2015年1月1日至2018年1月3日范围内登记的会员作为研究对象，分析其生命周期和活跃状态。利用附件1与附件3的数据，通过SQLServer及excel统计出会员的周期阶段以及状态划分，具体见附录3. + +针对问题四，重新定义：会员当月有消费记录则当月为活跃状态，否则当月为非活跃状态。取登记时间为2015年到2016年共13671个会员为研究对象，根据其消费明细统计得到2017年活跃状态矩阵（见表4-9）。基于活跃状态矩阵采用matlab计算其马尔科夫状态转移矩阵（见表4-10），由表4-10可知，在2017年，会员整体从非活跃到活跃的激活率为 $7.46\%$ ；根据销量数据分析，激活率与销售量的相关系数为0.83，即激活率与促销活动成强线性相关关系，通过线性拟合（见图4-4）可得销售量与激活率的关系表达式为一元二次方程： + +$$ +y = - 1. 0 \times 1 0 ^ {- 1 0} x ^ {2} + 9 \times 1 0 ^ {- 6} x - 0. 1 8 7 5, R ^ {2} = 0. 7 4 1 9. +$$ + +针对问题五，根据著名的“尿布与啤酒的故事”，本题对相关数据进行关联规则挖掘，采用FP-Growth算法（python代码见附录5.2）对会员消费明细数据进行关联分析。首先根据会员卡号+消费时间+商品编码删除一次消费中商品重复数据，然后根据会员卡号+消费时间提取每次购物篮商品数据，最后采用购物篮数据进行关联规则分析，支持度计数设为50，即规则支持度计数大于等于50才是频繁项集，算法计算结果如置信度等见表附录5.1。通过关联分析给出促销建议：（1）将置信度高的X和Y商品摆放在相同区域，以便会员能同时找到这几种商品，很快完成购物。（2）适当降低置信度高的X商品价格，会促进Y商品的连带销售。（3）置信度建议选取0.8及以上。 + +关键词;会员画像；数据挖掘；K-均值聚类；状态转移矩阵；关联规则算法 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +随着当前“以顾客为中心”的经营理念的逐步深入，会员制的营销模式被广泛的实践和应用于各个领域，同时日益普及的会员营销模式也带来了会员制企业间越来越激烈的竞争。会员在各个销售领域的价值越来越大，所以利用数据库对会员的数据进行全方面的分析，建立会员画像，加强对会员的精细化管理，是实体店与零售行业得以更好发展的有效途径。 + +# 1.2 问题提出 + +根据以上背景，以及给出的五个附件，需要解决以下问题： + +(1) 分析该商场会员的消费特征，比较会员与非会员群体的差异，并说明会员群体给商场带来的价值。 +(2) 针对会员的消费情况建立能够刻画每一位会员购买力的数学模型, 以便能够对每个会员的价值进行识别。 +(3) 作为零售行业的重要资源，会员具有生命周期（会员从入会到退出的整个过程），会员的状态（比如活跃和非活跃）也会发生变化。试在某个时间窗口，建立会员生命周期和状态划分的数学模型。 +(4) 建立数学模型计算会员生命周期中非活跃会员的激活率，从实际销售数据出发，确定激活率和商场促销活动之间的关系模型。 +(5) 根据会员的喜好和商品的连带率来策划此次促销活动。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +题目要求区要求区分会员与非会员的消费特征差异，以及会员群体给商场带来的价值，我们可以根据附件1与附件2，按djh（单据号），使用SQLServer数据库分别提取会员与非会员的消费数据。再使用excel统计出会员的消费金额、购买数量及购买商品的平均价格，非会员的消费金额、购买数量及购买商品的平均价格。最后根据会员与非会员的购买金额和数量比较两者的之间的差异；根据消费总额和单据数量进行两者对商场价值的分析。 + +# 2.2 问题二的分析 + +题目要求我们建立一个能刻画每一位会员购买的模型。我们根据“物以类聚，人以群分”的思想及顾客的消费特征，对消费者进行分类；通过spss软件以消费金额和消费次数作为特征数据，采用K均值聚类对会员进行聚类，一共将其分成大众会员、黄金会员、铂金会员和砖石会员。 + +# 2.3 问题三的分析 + +题目要求我们建立会员生命周期和状态划分的模型，这里我们通过自定义，选择最近没有消费行为天数和消费次数，作为划分会员生命周期阶段的指标，把会员生命周期划分为五个阶段：引入期-成长期-成熟期-休眠期-流失期；选择最近没有消费行为天数和平均每个月消费次数，作为划分会员活跃状态的指标。 + +# 2.4 问题四的分析 + +题目要求从实际销售数据出发，建立确定激活率和商场促销活动的关系模型，我们以2015年登记的会员为研究对象，计算这些会员在2017年每个月的活跃状态，并且统计每个月的活跃与非活跃占比，画出其趋势图，与2017年每个月的销量趋势作对比,编写代码，运行代码，得出状态转移矩阵；根据销量数据分析，激活率与销售量的相关系数为0.83，即激活率与促销活动成强线性相关关系，通过线性拟合（见图2）可得销售量与激活率的关系表达式。 + +# 2.5 问题五的分析 + +题目要求根据会员的喜好和商品的连带率策划某次某次活动，针对连带销售，我们采用FP-Growth算法，首先根据会员卡号+消费时间+商品编码删除一次消费中商品重复数据，然后根据会员卡号+消费时间提取每次购物篮商品数据，最后采用购物篮数据进行关联规则分析，得出适合连带销售和不适合连带销售的商品。 + +# 三、模型假设 + +1. 所有附件所给的数据真实且合理。 +2. 马尔可夫模型的基本假设： + +(1) 齐次马尔科夫性假设: 即假设隐藏的马尔科夫链在任意时刻 $t$ 的状态只依于其前一时刻的状态, 与其他时刻的状态及观测无关, 也与时刻 $t$ 无关; +(2) 观测独立性假设: 即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态, 与其他观测即状态无关。 + +# 四、模型建立与求解 + +由于“会员画像”属于信息层面，因此需要用数据库的语言进行设计，也就是需要用实体-联系图来完成。E-R图提供了实体（即数据对象）、属性、和联系的方法，用来描述现实世界的概念模型；其图示如图4-1所示。 + +![](images/996ca77b4129a77175b0e6d26ec050532c846ab1c5a867f45c37513eedb9f2d9.jpg) +图4-1 商场“会员画像”E-R的图示 + +# 4.1 问题一 + +针对本题，为了方便我们分析会员与非会员群体的差异，以及会员给商场带来的价值，首先我们根据附件一和附件二的单据号，借助SQL Server数据库的存储与处理功能提取出会员与非会员的消费数据，再借助excel统计出会员的消费金额、购买数量及购买商品的平均价格，非会员的消费金额、购买数量及购买商品的平均价格。 + +我们将客户每个单据购买数量、每个单据消费金额、每个单据商场平均价格作为消费特征，根据所得数据，我们可以得到会员的消费特征（表4-1）和非会员的消费特征（表4-2）如下所示： + +表 4-1 会员的消费特征表 + +
最大值最小值平均值中位数
每个单据购买数量11163012245499
每个单据消费金额1842925652202622781441109
每个单据商品平均价格993778966895
总消费金额单据数量平均每个单据消费金额
12589348724802622781
+ +表 4-2 非会员的消费特征表 + +
最大值最小值平均值中位数
每个单据购买数量24111
每个单据消费金额4760201772798
每个单据商品平均价格4760201704749
总消费金额单据数量平均每个单据消费金额
444051825061772
+ +为了研究会员与非会员之间的消费特征差异，以及会员给商场带来的价值，我们将两者的消费特征数据进行对比，会员消费时间范围：2016-01-01 10:43:00至2017-09-23 20:05:00，共631天；非会员消费时间范围：2017-01-01 23:23:00至2017-04-18 21:59:00共106天。对比结果如下表： + +表 4-3 会员与非会员的消费特征对比表 + +
消费特征客户类别最大值最小值平均值中位数
每个单据购买数量会员11163012245499
非会员24111
每个单据消费金额会员1842925652202622781441109
非会员4760201772798
每个单据商品平均价格会员993778966895
非会员4760201704749
+ +表 4-4 会员与非会员所带价值表 + +
客户类别总消费金额单据数量数据范围 +天数平均每个单据 +消费金额平均每天消费 +金额
会员125893487248063126227811995142
非会员44405182506106177241892
+ +对于商场而言，消费金额越高，给商场带来的价值就越大根据表4-4可知会员的总消费金额远远大于金额远远大于非会员的总消费额，所以会员群体带给商场的价值远远大于非会员群体给商场带来的价值。 + +# 4.2 问题二 + +为了对会员的购买力进行刻画，我们根据会员的消费特征，对会员进行分类，建立分类模型。本题选用K-均值聚类法，运用SPSS软件对筛选整理好的数据（见附录2）进行聚类。 + +我们运用k-均值分类法对会员进行分类，寻找对会员最合适的分类个数（即k值），k值以公式(1)进行确定： + +D=类内平均距离/类间平均距离 (1) + +D值计算结果见下图： + +![](images/cd6d18d115b77d797dc418a4c1cb35c4d675d4cc1aebc0843e457695b119c934.jpg) +图4-2 D值计算结果图 + +由上图（图4-2）可知K取4使D值最小，故将会员分为四类。将消费金额和消费次数分为低、较低、较高、高四级。每类人数见表4-5。 + +表 4-5 各类别人数 + +
类别人数
145678
2348
32708
417
总计48751
+ +表 4-6 各类别中心点 + +
类别消费金额中心点消费次数中心点
176074
234324581
39132528
41302838200
+ +由表4-6可知，1类会员属于消费金额和消费次数低的会员，这类会员可命名为大众会员；；2类会员属于消费金额和消费次数较高的会员，这类会员可命名为铂金会员；3类会员属于消费金额和消费次数较低，这类会员可命名为黄金会员；4类会员属于消费金额和消费次数高的会员，这类会员可命名为钻石会员。商场可以根据每一位会员的消费数据，就可对其进行归类，从而对每一位会员的价值进行识别。 + +# 4.3 问题三 + +会员的生命周期，是指会员从入会到退出的整个过程。会员的状态，是指会员在商场的消费是否活跃。 + +由于题目中并未说明会员的生命周期的每一个过程和评价会员活跃状态的标准，所以特做如下定义： + +在研究会员的生命周期的时候，我们通过对数据的分析，把最近没有消费行为天数和消费次数，作为划分会员生命周期阶段的指标，把会员生命周期划分为五个阶段：引入期-成长期-成熟期-休眠期-流失期，对每一个时期定义如下： + +引入期：注册但没有过消费行为； + +成长期：最近没有消费行为天数在30天及以内，消费1到3次； + +成熟期：最近没有消费行为天数在30天及以内，消费4次及以上； + +休眠期：31-90天没有消费行为； + +流失期：90天以上没有消费行为。 + +在研究会员的状态的时候，我们选择最近没有消费行为天数和平均每个月消费次数，作为划分会员活跃状态的指标，其中规定处于引入期或休眠期或流失期的会员皆为非活跃会员，定义如下： + +活跃：处于成长期或成熟期的会员平均每个月消费次数达到1次及以上为活跃会员； + +非活跃：处于成长期或成熟期的会员平均每个月消费次数达到1次以下为非活跃会员。 + +因为附件3会员消费明细表里的消费时间范围是2015年1月1日至2018年1月3日，因此选择在这个时间范围内登记的会员作为研究对象，分析其生命周期和活跃状态。 + +利用附件1与附件3的数据，通过借助sql进行提取数据，再使用excel统计出会员的生命周期中处于每一个时期的人数(表4-7)，以及本商场会员处于活跃和非活跃会员的人数（表4-8）。（数据支持见表格3—周期及状态划分） + +表 4-7 所处时期人数表 + +
生命周期阶段人数
引入期21298
成长期1391
成熟期2230
休眠期3367
流失期18924
总计47210
+ +表 4-8 活跃状态人数表 + +
活跃程度人数
非活跃45039
活跃2171
总计47210
+ +# 4.4 问题四 + +概念说明：转移概率矩阵（又叫跃迁矩阵，英文名：transition matrix）是俄国数学家马尔科夫提出的，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，即只与当前所处状态有关，而与过去状态无关。在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移概率是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。 + +重新定义：会员当月有消费记录则当月为活跃状态，否则当月为非活跃状态。取登记时间为2015年到2016年共13671个会员为研究对象，根据其消费明细统计得到2017年活跃状态矩阵（见表4-9），表1中1代表当月为非活跃状态，2表示当月为活跃状态。基于活跃状态矩阵采用matlab计算其马尔科夫状态转移矩阵（见表4-9），matlab代码见附录4.2；由表4-9可知，在2017年，会员整体从非活跃到活跃的激活率为 $7.46\%$ 。 + +表 4-9 状态转移概率矩阵 + +
12
192.54%7.46%
263.39%36.61%
+ +表 4-10 2017 年各月活跃与非活跃状态统计表 + +
2017-012017-022017-032017-042017-052017-062017-072017-082017-092017-102017-112017-12
非活跃人数118861233711985122701214012359123551237512326124721216612102
活跃人数178513341686140115311312131612961345119915051569
非活跃人数占比86.94%90.24%87.67%89.75%88.80%90.40%90.37%90.52%90.16%91.23%88.99%88.52%
活跃人数占比13.06%9.76%12.33%10.25%11.20%9.60%9.63%9.48%9.84%8.77%11.01%11.48%
+ +表 4-11 激活率表 + +
月份活跃人数占比激活率销售量
2017-113.06%38930
2017-29.76%-3.30%23840
2017-312.33%2.57%42131
2017-410.25%-2.08%28865
2017-511.20%0.95%32295
2017-69.60%-1.60%27316
2017-79.63%0.03%29974
2017-89.48%-0.15%40293
2017-99.84%0.36%41645
2017-108.77%-1.07%27180
2017-1111.01%2.24%45374
2017-1211.48%0.47%33644
+ +定义：激活率 $=$ 当月活跃人数占比-上月活跃人数占比。由表4-11可以看出，2017年1、3、8、9、11月为促销月，销量相对比其它月份更多，与此所对应的激活率比其它月份高，并且激活率与销售量的相关系数为0.83，即激活率与促销活动成强线性相关关系，即有促销活动激活率就高，没促销活动激活率就降下来。通过线性拟合（见图4-4）可得销售量与激活率的关系表达式为一元二次方程： $y = -1.0 \times 10^{-10} x^2 + 9 \times 10^{-6} x - 0.1875, R^2 = 0.7419.$ + +![](images/91d9d950b2f58a216481341b997992e67c29646cf26e88eeec3c43f5bd497aa4.jpg) + +![](images/84d8cbd9d3b63ef6f3320d1e59c8f1d87909e493f8b8d4bce85bae160da12604.jpg) + +# 4.5 问题五 + +商场策划促销活动，主要是为了提高销售量，同时减少库存。处于此目的，对商品的连带销售的营销模式是非常有效的，在此营销模式中，对商品的关联分析是尤为重要的。 + +关联分析又称关联挖掘，就是在交易数据、关系数据或其他信息载体中，查找存在于项目集合或对象集合之间的频繁模式、关联、相关性或因果结构。可从数据库中关联分析出形如“由于某些事件的发生而引起另外一些事件的发生”之 + +类的规则。如“67%的顾客在购买啤酒的同时也会购买尿布”，因此通过合理的啤酒和尿布的货架摆放或捆绑销售可提高超市的服务质量和效益。 + +过对数据的关联分析，找出商品之间的关联规则，就有利于商品之间的连带销售。商品之间的关联规则，就如尿布和啤酒一起卖的案例，其中的商品的关联规则可表示为{Diaper} $\rightarrow$ {Beer}。 + +它代表的意义是：购买了Diaper的顾客会购买Beer。这个关系不是必然的，但是可能性很大，这就已经足够用来辅助商家调整Diaper和Beer的摆放位置了，例如摆放在相近的位置，进行捆绑促销来提高销售量。其中，就对对于规；{Diaper} $\rightarrow$ {Beer}，其可以理解为： + +置信度{Diaper, Beer}的支持度计数除于{Diaper}的支持度计数，为这个规则的置信度。例如规则{Diaper} $\rightarrow$ {Beer}的置信度为 $3 \div 3 = 100\%$ 。说明买Diaper的人 $100\%$ 也买了Beer。 + +支持度计数：一个项集出现在几个事务当中，它的支持度计数就是几。例如{Diaper，Beer}出现在事务002、003和004中，所以它的支持度计数是3。 + +支持度：支持度计数除于总的事务数。例如上例中总的事务数为4，{Diaper, Beer}的支持度计数为3，所以它的支持度是 $3 \div 4 = 75\%$ ，说明有 $75\%$ 的人同时买了Diaper和Beer。 + +关联规则反映一个事物与其他事物之间的相互依存性和关联性。如果两个或者多个事物之间存在一定的关联关系，那么，其中一个事物就能够通过其他事物预测到，形如 $\mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$ 的逻辑蕴含式。 + +基于上述的出发点，我们首先根据会员卡号+消费时间+商品编码删除一次消费中商品重复数据，然后根据会员卡号+消费时间提取每次购物篮商品数据，最后采用购物篮数据采用FP-Growth算法，对会员消费明细数据进行关联分析，支持度计数设为50，即规则支持度计数大于等于50才是频繁项集。（python代码以及fpgrowth建模数据见附件5.2-fpgrowth代码）（关联分析算法计算结果见附件5.1) + +结果分析： + +以第一条数据为例，122次购买植村秀气垫粉底盒的记录中有120次会连带买植村秀气垫粉底霜，按照之前的关联规则，说明买植村秀气垫粉底盒的时有 $98.4\%$ 的可能性会连带买植村秀气垫粉底霜。 + +根据上述分析为例，为了提高商场连带消费的效益，对活动促销的建议有： + +(1) 将置信度高的 X 和 Y 商品摆放在相同区域，以便会员能同时找到这几种商品，很快完成购物。 +(2) 适当降低置信度高的 X 商品价格，会促进 Y 商品的连带销售。置信度建议选取 0.8 及以上。 + +# 五、模型评价与改进 + +# 5.1 K均值聚类算法缺点： + +缺点是分组的数目 $k$ 是一个输入参数，不合适的 $k$ 可能返回较差的结果； $K$ 均值聚类对簇中心初始化非常敏感。而且，初始化不良会降低收敛的速度差并会使得整体聚集效果不佳；所以一旦初始数据有所波动，将影响聚类效果。 +5.2 Apriori（关联规则）算法是一种挖掘关联规则的算法，用于挖掘其内含的、未知的却又实际存在的数据关系，其核心是基于两阶段频集思想的递推算法。 + +算法缺点： + +（1）在每一步产生候选项目集时循环产生的组合过多，没有排除不应该参与组合的元素； +(2) 每次计算项集的支持度时，都对数据库中的全部记录进行了一遍扫描比较，需要很大的 I/O 负载。 + +# 六、参考文献 + +[1] 刘海，卢慧，阮金花，田丙强，胡守忠.基于“用户画像”挖掘的精准营销细分模型研究[J].丝绸，2015，12（12）:37-47. +[2] 吴邦刚，余琦，陈煜波. 基于全生命周期行为的会员等级体系对顾客购买行为的影响[J]. 管理学报，2018，4（4）：569-576. +[3] 黄升民，刘珊.大数据背景下营销体系的结构与重构[J].现代传播，2012(12):13-20. +[4] 张鹏, 刘译璟. 为消费者画像[J]. 销售与市场:渠道版, 2013(9):30-32. +[5] 段云峰，吴唯宁，李剑威，等. 数据仓库及其在电信领域中的应用[M]. 北京：电子工业出版社，2003:9-14. +[6] 刘英姿，吴昊. 客户细分方法研究综述[J]. 管理工程. 2006, 20(1):53-57. +[7]吕红艳.基于顾客价值的市场细分研究[D].天津:天津大学,2007:5-8. +[8] 聂笃忠, 陈 桦, 米承继, 彭礼红. 马尔科夫链状态概率转移矩阵修正算法[J]. 统计与决策, 2013(3):14-17. +[9] 廖普明.基于马尔科夫链状态转移概率矩阵的商品市场状态预测[J].统计与决策，2015(2):97-99 +[10] 周发超，王志坚，叶枫，等. 关联规则挖掘算法 Apriori 的研究改进[J]. 计算机科学与探索，2015，9(9):1075-1083. +[11] 王志春. 一种改进的挖掘关联规则 Apriori 算法[J]. 电脑知识与技术, 2015, 12(34):4-17. + +# 七 附录清单 + +附录1:会员与非会员消费特征对比源数据; +附录2:k均值聚类法数据； +附录3：周期及状态划分数据； +附录4.1：马尔科夫状态转移矩阵构建及关系源数据； +附录4.2：马尔科夫转移状态概率矩阵matlab源代码； +附录5.1：关联规则数据； +附录5.2：fpgrowth主函数代码。 + +马尔科夫转移状态概率矩阵求解 matlab 代码 +```matlab +clc, clear, format rat +a = xlsread('C:\Users\yang\Desktop\C 题\活跃状态矩阵.xlsx'); +[r,c] = size(a); +a = a'; a = a(:)'; %把矩阵 a 逐行展开成一个行向量 +for i = 1:2 + for j = 1:2 + f(i,j) = lengthfind(str[i,j], a)); %统计子字符串'ij'的个数 + end +end +ni = sum(f, 2); %计算矩阵 f 的行和 +phat = f./repmat(ni, 1, size(f, 2)); %求状态转移的频率 +format %恢复到短小数的显示格式 +``` + +fpgrowth 主函数代码 +```python +import fp_growthPy3 as fpg +import pandas as pd +import datetime +itemName='商品名称' +start=datetime.datetime-now() +data=pd.read_excel('C:/Users/yang/Desktop/C题/fpgrowth建模数据.xlsx') +dataSet, itemSet=[[], [] +itemSet.append(data[itemName][0]) +for i in range(1,len(data)): + if data['会员消费编码'] [i] == data['会员消费编码'] [i-1]: + itemSet.append(data[itemName][i]) + if i == len(data) - 1: + dataSet.append(itemSet) + else: + dataSet.append(itemSet) + itemSet = [] + itemSet.append(data[itemName][i]) + if i == len(data) - 1: + dataSet.append(itemSet) +end=datetime.datetime现在已经() +readDatas=(end-start).seconds +if __name__ == '__main__': + start=datetime.datetime-now() +``` + +调用 find_frequent_itemsets()生成频繁项 + +:param minimum_support 表示设置的最小支持度，即若支持度大于等于 inimum_support，保存此频繁项，否则删除 + +@:param include_support 表示返回结果是否包含支持度，若include_support=True，返回结果中包含 itemset 和 support，否则只返回itemset + +```c +frequent_items = fpg.find_frequent_items(dataSet, minimum_support=49, include_support=True) +# print(type(frequent_items)) # print type +result, itemNum = [], [] + +for itemset, support in frequent_items: # 将 generator 结果存入 list + +```python +result.append((itemset, support)) +itemNum.append(len(itemset)) +result = sorted(result, key=lambda i: i[0]) # 排序后输出 +itemNum = pd.Series(itemNum) +itemNumMax = itemNum.max() +result2 = [] +for i in range(itemNumMax): # result2.append [] +for itemset, support in result: + result2[len(itemset) - 1].append((itemset, support)) +``` + +result3 $= []$ +for i in range(1, itemNumMax): for j in range(len(result2[i])): for k in range(i+1): y $\equiv$ result2[i][j][0][k] x $\equiv$ ’ xx $=$ [] n=0 for item in result2[i][j][0]: if item! $\equiv$ y: xx.append(item) $\mathrm{x + =}$ item+, n+=1 $\mathrm{x} = \mathrm{x}[: - 1]$ for t in range(len(result2[i-1])): if xx $=$ result2[i-1][t][0]: + +confidence $\equiv$ result2[i][j][1]/result2[i-1][t][1] +supportCountX $\equiv$ result2[i-1][t][1] +supportCountY $\equiv$ result2[i][j][1] +supportX $\equiv$ result2[i-1][t][1]/len(dataSet) +supportY $\equiv$ result2[i][j][1]/len(dataSet) + +result3.append((x, y, n, supportCountX, supportCountY, supportX, supportY, confidence)) + +break + +result3=pd.DataFrame(list(result3)) + +result3.columns = ['X', 'Y', 'X' 商品个数 + +', 'supportCountX', 'supportCountY', 'supportX', 'supportY', 'confidence'] + +result3.to_excel('C:/Users/yang/Desktop/fpgrowthResult.xlsx') + +end=datetimedatetime.now() + +calTs= (end-start).seconds \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/D027/D027.md b/MCM_CN/2018/D027/D027.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b78595a9aaf4ff0bba40d90718765a3858cd6554 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/D027/D027.md @@ -0,0 +1,901 @@ +# 汽车总装线配置的优化模型研究 + +# 摘要 + +生产具有品牌、配置、动力、驱动、颜色等属性的多种型号的汽车，对总装线和喷涂线上的装配顺序各项提出了各种不同形式的要求，而且不同的装配顺序造成的生产成本也不尽相同。本文主要通过建立数学模型并设计算法，给出符合生产要求、且具有较低生产成本的装配顺序。 + +首先是数据处理，使用python将原附件数据中的生产计划整理成方便数据读取的规范形式，设计Excel表格存储每日的装配顺序，并与生产计划数据联动形成相互校验，保证装配顺序的准确性； + +接着，通过分析总装线和喷涂线的各项要求，根据汽车的颜色分类情况，先将黑色的汽车手工填入装配顺序表。在确定一些初值后，减小装配顺序问题求解的搜索规模后，建立生产成本最小优化模型，再使用计算机搜索四驱、柴油汽车等关键属性汽车的位置； + +然后，配置白色和棕色等可以连续排列的颜色，此时注意蓝色汽车只能与白色间隔等关键要求，尽可能多地将这些汽车连续地填入装配顺序表； + +最后，装配顺序表中通常只含有数量不多的连续空余位置，对应着剩余尚未分配的、颜色成分复杂的汽车。按照颜色是否符合在总装线上排列时的具体要求，将符合颜色衔接要求的汽车作为顶点相互连接起来，构成了一个有向图，装配顺序的问题转化成了图的遍历问题。使用基于遗传算法的TSP问题和广度优先搜索算法搜索有向图中经过指定起点和终点的所有路径。采用Matlab验证各个路径上的特殊颜色能否按顺序分配在指定的C1或C2喷涂线上，计算各种路径上切换配置和颜色的代价，并且取代价最小的路径填入装配顺序表。 + +本文在进行充分的理论分析的基础上，综合利用多种计算机工具，在计算结果展示、人工经验介入、计算过程衔接方面取得了较好效果。 + +关键词：汽车装配顺序优化模型邻接矩阵路径搜索遗传算法TSP问题 + +# 1. 问题的重述 + +某汽车公司生产以下型号的汽车，每种型号由品牌、配置、动力、驱动、颜色 5 种属性确定。品牌分为 A1 和 A2 两种，配置分为 B1、B2、B3、B4、B5 和 B6 六种，动力分为汽油和柴油 2 种，驱动分为两驱和四驱 2 种，颜色分为黑、白、蓝、黄、红、银、棕、灰、金 9 种。 + +公司每天可装配各种型号的汽车 460 辆，其中白班、晚班（每班 12 小时）各 230 辆。每天生产各种型号车辆的具体数量根据市场需求和销售情况确定。待装配车辆按一定顺序排成一列，首先匀速通过总装线依次进行总装作业，随后按序分为 C1、C2 线进行喷涂作业。 + +由于工艺流程的制约和质量控制的需要以及降低成本的考虑，总装和喷涂作业对经过生产线车辆型号有多种要求。 + +# 1.1 装配要求 + +1. 每天白班和晚班都是按照先A1后A2的品牌顺序，装配当天两种品牌各一半数量的汽车。 +2. 四驱汽车和柴油汽车连续装配数量不得超过 2 辆，并且两批之间间隔的汽车的数量至少是 10 辆。若间隔数量无法满足要求，仍希望间隔数量越多越好。间隔数量在 5-9 辆仍是可以接受的，但代价很高。 +3. 黑色汽车连续排列的数量在 50-70 辆之间，两批黑色汽车在总装线上需间隔至少 20 辆。 +4. 装配线上的汽车颜色间隔需要满足一定的规则。 + +# 1.2 喷涂要求 + +1. 蓝、黄、红三种颜色汽车的喷涂只能在 C1 线上进行，金色汽车的喷涂只能在 C2 线上进行。 +2. 喷涂线上不同颜色汽车之间的切换次数尽可能少，黑色汽车与其它颜色的汽车之间的切换代价很高。 + +# 1.3 需要解决的问题 + +1. 建立数学模型或者设计算法，使其能给出符合要求、且具有较低生产成本的装配顺序。 +2. 给出9月17日至9月23日每天的装配顺序。 + +# 2. 问题的假设 + +1. 生产成本只是由题目中所指的装配线上不同汽车配置切换、喷涂线上不同汽车颜色的切换构成。汽车配置切换和普通的颜色切换代价设为 1，黑色切换为其他颜色成本耗费较高，设为 10。 +2. 在无法满足柴油、四驱汽车的批次间隔 $\mathrm{k}$ 至少是 10 的情况下，间隔 $\mathrm{k}$ 必须大于 5，而且间隔越小代价越高，设为 $10 - \mathrm{k}$ 。 +3.9月23日A1和A2品牌数量为奇数，在尽可能均衡的情况下，允许白班和晚班装配的汽车数量相差1辆。 +4. 在考虑不同工作日的装配顺序时，总装线和喷涂线的各项要求对当日晚班与次日白班交接同样适用。 +5. 不考虑其他主观或其他题目中未涉及的因素。 + +# 3. 符号的说明 + +符号 +含义 + +
IA1 品牌下标集合，如 20 日 I = {1,··· 181,231,···,411}
JA2 品牌下标集合，如 20 日 J = {182,··· 230,412,···,460}
xkk是黑车xk=1，否则xk=0，k∈I∪J
ykk是四驱车yk=1，否则yk=0，k∈I∪J
zkk是柴油车zk=1，否则zk=0，k∈I∪J
+ +# 4. 问题的分析与数据处理 + +# 4.1 问题的分析 + +题目所要解决的最终问题是每天 460 个汽车装配的顺序，初步估算寻求可行解的问题规模，460 的阶乘是一个 1027 位数。即使可以设计精巧的约束条件建立通用的数学模型，但在使用计算机搜索可行解时可能会遇到无法及时给出答案的问题。 + +通过分析9月17日至9月23日每天的生产计划可以发现，所产汽车的颜色可以分为黑色、白色与棕色、其他数量较少的颜色等三种情况。根据总装线和喷涂线的各项要求，这几种颜色的汽车有着如下的不同特征： + +- 黑色汽车需要连续生产，尽量不要与其他颜色切换，除非付出较高代价切换成其他颜色 +- 白色、银色、灰色或棕色可以连续排列且有时数量较多，特别是棕色可以与许多的其他颜色切换 +- 其他颜色数量较少，却有复杂的切换规则 + +根据以上特征，尝试以下逐步按顺序求解的过程 + +首先，手动排黑色汽车的装配位置，此时尽可能按顺序排列相同配置的汽车，在确定一些初值后，再使用计算机搜索四驱、柴油汽车等较少量的特殊属性汽车的位置； + +接着，配置白色和棕色等可以连续排列的颜色，此时注意蓝色汽车只能与白色间隔； + +最后，剩余未确定配置顺序的颜色数量较少，并且因为以上两步都是连续排列的，只需将它们按一定的顺序排在剩余的连续空间内，可以使用计算机直接搜索可能的顺序。 + +# 4.2 数据处理 + +以上过程需要计算机搜索和手工介入同步进行，需要设计合适的表格对数据整理。 + +python中的模块xlwt和xlrd可以方便快捷地读写、操纵excel单元格，将附件“CUMCM-2018-Problem-D-Chinese-Appendix.xlsx”中的生产计划数据整理成规范形式，程序文件名“problem_D_Data.py”，具体见附件1-2。设计有关表格如下。 + +表1是使用python整理得到的生产计划表（数据文件夹中excel文件“schedule.xlsx”的“sheet1”表单），列举了每日所有不同种类汽车的生产数量，添加的最后一列“装配剩余”使用以下公式，统计还没安排装配顺序的剩余汽车数量（以9月17日为例）。 + +H2=G2-COUNTIFS('9.17'!A:A, sheet1!A2, '9.17'!C:C, sheet1!B2, '9.17'!D:D, sheet1!C2, '9.17'!E:E, sheet1!D2, '9.17'!F:F, sheet1!E2, '9.17'!G:G, sheet1!F2) + +表 1 生产计划表 + +
ABCDEFGH
1日期品牌配置动力驱动颜色数量装配剩
22018/9/17A1B1汽油四驱白20
32018/9/17A1B3汽油四驱白40
42018/9/17A1B1汽油四驱黑30
52018/9/17A1B2汽油四驱黑10
62018/9/17A1B3汽油四驱黑60
72018/9/17A1B1汽油四驱灰20
82018/9/17A1B1汽油两驱白1090
92018/9/17A1B2汽油两驱白270
102018/9/17A1B5汽油两驱白30
112018/9/17A1B1汽油两驱黑1010
122018/9/17A1B2汽油两驱黑750
132018/9/17A1B3汽油两驱黑20
142018/9/17A1B5汽油两驱黑20
152018/9/17A1B1汽油两驱红20
162018/9/17A1B2汽油两驱红10
172018/9/17A1B1汽油两驱黄40
182018/9/17A1B2汽油两驱黄10
192018/9/17A1B1汽油两驱灰80
202018/9/17A1B2汽油两驱灰10
212018/9/17A1B1汽油两驱蓝30
222018/9/17A1B1汽油两驱银40
232018/9/17A1B2汽油两驱银10
242018/9/17A1B3汽油两驱银10
252018/9/17A1B5汽油两驱银10
262018/9/17A2B1汽油四驱白20
272018/9/17A2B1汽油四驱黑90
282018/9/17A2B5汽油四驱黑10
292018/9/17A2B4汽油两驱白30
+ +表2是9月17日的装配顺序（数据文件夹中excel文件“schedule.xlsx”的“9.17”表单，其他日期的表单类似），在喷涂线后添加了“装配代价”、“喷涂代价”、“其他代价”、“总代价”、“装配校验”、“喷涂校对”等列，对应公式和作用如下 + +装配代价：统计同一品牌下，装配线上不同汽车配置切换代价 $I5 = I F(C 5 = C 4, 1, \theta) * I F(D 5 < > D 4, 1, \theta)$ +- 喷涂代价：统计喷涂线上的颜色切换代价，其中黑色切换为10J5=IF(G3="黑",10,1)*IF(G5<>G3,1,0) +- 其他代价：柴油和四驱汽车的批次间隔 k 小于 10，代价为 10-k 特殊情况 +总代价：累计以上三种代价 + +L2=SUMIF(A:A,A2,I:I)+SUMIF(A:A,A2,J:J)+SUMIF(A:A,A2,K:K) + +- 装配校对：校对装配顺序中的配置是否是出现在计划表中的有效配置 $05 = \text{COUNTIFS}(\text{sheet1!A:A,'9.17'!A5, sheet1!B:B,'9.17'!C5, sheet1!C:C,'9.17'!D5, sheet1!D:D,'9.17'!E5, sheet1!E:E,'9.17'!F5, sheet1!F:F,'9.17'!G5})$ +- 喷涂校对：校对装配顺序上的汽车是否交替分配到喷涂线C1和C2上 $P5 = \mathsf{IF}(H5 = H3,1,0)$ + +表 2 9 月 17 日的装配顺序 + +
ABCDEFGHIJKLOP
日期装配顺品牌配置动力驱动颜色喷涂孔装配代喷涂代其他代总代价装配校喷涂校对
2018/9/171A1B1汽油四驱黑C21711
2018/9/172A1B1汽油四驱黑C101
2018/9/173A1B1汽油两驱黑C20011
2018/9/174A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/175A1B1汽油两驱黑C21011
2018/9/176A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/177A1B1汽油两驱黑C21011
2018/9/178A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/179A1B1汽油两驱黑C20011
2018/9/1710A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1711A1B1汽油两驱黑C20011
2018/9/1712A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1713A1B2汽油四驱黑C20011
2018/9/1714A1B1汽油四驱黑C10011
2018/9/1715A1B1汽油两驱黑C20011
2018/9/1716A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1717A1B1汽油两驱黑C21011
2018/9/1718A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1719A1B1汽油两驱黑C21011
2018/9/1720A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1721A1B1汽油两驱黑C20011
2018/9/1722A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1723A1B1汽油两驱黑C20011
2018/9/1724A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1725A1B3汽油四驱黑C20011
2018/9/1726A1B3汽油四驱黑C10011
2018/9/1727A1B1汽油两驱黑C20011
2018/9/1728A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1729A1B1汽油两驱黑C21011
2018/9/1730A1B1汽油两驱黑C10011
2018/9/1731A1B1汽油两驱黑C211011
2018/9/1732A1B1汽油两驱黑C101011
2018/9/1733A1B1汽油两驱黑C20011
2018/9/1734A1B1汽油两驱黑C10111
2018/9/1735A1B1汽油两驱黑C20011
+ +上述设计的表格在整理装配情况、手工介入搜索、导入计算结果过程中发挥重要作用。 + +# 5. 模型的建立与问题的求解 + +# 5.1 生产成本优化模型 + +根据上一节中的问题分析，建立如下有关四驱、柴油汽车装配问题约束。 + +# 1. 各类汽车数量约束 + +$y_{k}$ 表示装配顺序 $k$ 是否是四驱汽车，则以下公式分别表示 + +A1 黑色四驱: $\sum_{i \in I} x_{i} y_{i}$ , + +A2 黑色四驱: $\sum_{j \in J} x_{j} y_{j}$ , + +A1非黑色四驱： $\sum_{i\in I}(1 - x_i)y_i$ + +A2非黑色四驱： $\sum_{j\in J}(1 - x_j)y_j$ (1) + +$z_{k}$ 表示装配顺序 $k$ 是否是柴油动力汽车，则以下公式分别表示 + +A1 柴油汽车: $\sum_{i \in I} z_{i}$ , + +A2 柴油汽车: $\sum_{j \in J} z_{j}$ , + +A1 黑色柴油汽车: $\sum_{i \in I} x_{i} z_{i}$ , + +A2 黑色柴油汽车： $\sum_{j\in J}x_{j}z_{j}$ ， (2） + +A1 柴油四驱: $\sum_{i \in I} y_{i} z_{i}$ , + +A2 柴油四驱: $\sum_{j \in J} y_{j} z_{j}$ , + +# 2. 柴油和四驱汽车连续排列不能超过两个 + +如果 $y_{k} = 1$ 表示装配顺序 $k$ 是四驱汽车，可以通过 $y_{k}$ 在 $k$ 前后连续3个取值的和来约束四驱汽车连续排列不能超过两个，即如果 $y_{k} = 1$ ， $\sum_{t=k-1}^{k+1} y_{t} \leq 2$ ， $k = 2, \cdots, 459$ ，可以验证其等价于 + +$$ +3 - \sum_ {t = k - 1} ^ {k + 1} y _ {t} \geq y _ {k}, k = 2, \dots , 4 5 9 \tag {3} +$$ + +同理，可以将柴油汽车连续排列不能超过两个表示为 + +$$ +3 - \sum_ {t = k - 1} ^ {k + 1} z _ {t} \geq z _ {k}, k = 2, \dots , 4 5 9 \tag {4} +$$ + +# 3. 柴油和四驱汽车批次间隔约束 + +可以使用 $1 - y_{k}$ 连续取值的和表示相邻批次的四驱汽车的间隔，如下表述批次间隔至少为 10 + +$$ +\sum_ {t = k - 1 1} ^ {k} \left(1 - y _ {t}\right) \geq 1 0, k = 1 2, \dots , 4 6 0 \tag {5} +$$ + +同理，可以将柴油汽车相邻批次的间隔不少于10表示为 + +$$ +\sum_ {t = k - 1 1} ^ {k} \left(1 - z _ {t}\right) \geq 1 0, k = 1 2, \dots , 4 6 0 \tag {6} +$$ + +# 4. 生产成本最小的目标函数 + +如果无法满足柴油和四驱汽车的批次间隔 $\mathrm{k}$ 至少是10的情况下，间隔 $\mathrm{k}$ 必须大于5，代价为 $10 - \mathrm{k}$ ，上面（5-6）变为 + +$$ +\sum_ {t = k - 6} ^ {k} \left(1 - y _ {t}\right) \geq 5, \quad \sum_ {t = k - 6} ^ {k} \left(1 - z _ {t}\right) \geq 5, \quad k = 7, \dots , 4 6 0 \tag {7} +$$ + +此时，成本最小的目标函数可以表示为 + +$$ +\mathrm {M I N} = \sum_ {k = 1 2} ^ {4 6 0} \left[ y _ {k} \left(1 0 - \sum_ {t = k - 1 1} ^ {k} \left(1 - y _ {t}\right)\right) + z _ {k} \left(1 0 - \sum_ {t = k - 1 1} ^ {k} \left(1 - z _ {t}\right)\right) \right] \tag {8} +$$ + +由上述（1-8），可以得到生产成本最小的优化模型如下 + +$$ +\mathbf {M I N} = \sum_ {k = 1 2} ^ {4 6 0} \left[ y _ {k} \left(1 0 - \sum_ {t = k - 1 1} ^ {k} \left(1 - y _ {t}\right)\right) + z _ {k} \left(1 0 - \sum_ {t = k - 1 1} ^ {k} \left(1 - z _ {t}\right)\right) \right] +$$ + +S.T. A1 黑色四驱 $= \sum_{i\in I}x_iy_i$ A2 黑色四驱 $= \sum_{j\in J}x_jy_j$ + +A1非黑色四驱 $= \sum_{i \in I} (1 - x_i) y_i$ + +A2非黑色四驱 $= \sum_{j\in J}(1 - x_j)y_j$ + +A1 柴油汽车 $= \sum_{i \in I} z_i$ + +A2柴油汽车 $= \sum_{j\in J}z_{j}$ + +A1 黑色柴油汽车 $= \sum_{i \in I} x_{i} z_{i}$ + +A2 黑色柴油汽车 $= \sum_{j \in J} x_{j} z_{j}$ + +A1 柴油四驱 $= \sum_{i \in I} y_i z_i$ + +A2 柴油四驱 $= \sum_{j \in J} y_j z_j$ + +$$ +3 - \sum_ {t = k - 1} ^ {k + 1} y _ {t} \geq y _ {k}, 3 - \sum_ {t = k - 1} ^ {k + 1} z _ {t} \geq z _ {k}, k = 2, \dots , 4 5 9 +$$ + +$$ +\sum_ {t = k - 6} ^ {k} \left(1 - y _ {t}\right) \geq 5, \quad \sum_ {t = k - 6} ^ {k} \left(1 - z _ {t}\right) \geq 5, \quad k = 7, \dots , 4 6 0 +$$ + +需要指出的是，上述模型没有约束黑色汽车的配置顺序和成本，这需要手工排入，并且注意优先按顺序排入相同配置的汽车。使用数据处理中设计的Excel表格，尽可能多地事先按顺序确定各类汽车配置顺序，然后将初值带入上述生产成本优化模型进行求解，相关程序见附件-3，结合手工介入的调整，可以得到如图1所示的9月17日-9月23日部分装配顺序，相关结果记录在“schedule.xlsx”表单中。 + +9月17日 + +
A1
四四10四四10四四10四四10四四10四四12四四54444444444444444444444444444444444444444444444444423
+ +9月18日 + +
A1
路径搜索
12
+ +9月19日 + +
A1
10四四10四四10四15四1757四四3四四10四119四四四四76340四四10四四10四10四10四1313
+ +9月20日 + +
A1A2
路径搜索 森
20四四10四 四10四 四10四10四 四2035031四 四1132四四11四 四6651四 四11四 四四四
五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五5五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五L五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五I五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五F五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五五我银银银银灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰色灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰石灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰火灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰尘灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰灰
+ +9月21日 + +
A1
路径搜索A2A1A2路径搜索355076574127373737373737373737373737373737373737373737373737374127373737373737373737373737373737373737373737373373737373737373737373737373737373737373737373737337337373737373737373737373737373737373737373737374127
+ +9月22日 + +
A1
四四10四四10四25
+ +9月23日 + +
A1
四四10四四10四25
+ +图12018年9月17日-9月23日部分装配顺序示意图（可以放大） + +# 5.2 路径搜索模型 + +经过上述成本优化模型的求解，如图1所示，装配顺序表中通常只含有数量不多的空余位置，对应着剩余尚未分配的、颜色成分复杂的汽车，如下表3所示，是在求解9月20日的装配顺序表时，最后剩余品牌为A2的部分汽车，共有14量，颜色和配置型号都较为复杂。 + +表 3 9 月 20 日未安排装配顺序的汽车 + +
2018/9/20A2B1汽油四驱白80
2018/9/20A2B1汽油四驱黑20
2018/9/20A2B5汽油四驱黑10
2018/9/20A2B1汽油四驱银11
2018/9/20A2B4汽油两驱白31
2018/9/20A2B6汽油两驱白11
2018/9/20A2B1汽油两驱黑360
2018/9/20A2B4汽油两驱黑180
2018/9/20A2B5汽油两驱黑10
2018/9/20A2B6汽油两驱黑40
2018/9/20A2B1汽油两驱红32
2018/9/20A2B4汽油两驱红21
2018/9/20A2B6汽油两驱红11
2018/9/20A2B1汽油两驱金21
2018/9/20A2B4汽油两驱金10
2018/9/20A2B1汽油两驱蓝10
2018/9/20A2B4汽油两驱蓝10
2018/9/20A2B4汽油两驱银22
2018/9/20A2B4汽油两驱棕53
2018/9/20A2B6汽油两驱棕11
2018/9/20A2B1柴油两驱白10
2018/9/20A2B1柴油两驱黑30
+ +以这14辆车为顶点，按照颜色是否符合在总装线上排列时的具体要求，将顶点相互连接起来。这样，符合颜色衔接要求的汽车作为顶点相互连接起来，构成了一个有向图。装配顺序的问题转化成了图的遍历问题。 + +# 1. 生成图的连接矩阵 + +使用Matlab按照颜色是否符合要求生成图的邻接矩阵，程序文件名为“genGraph.m”，具体见附件-3。以表2中的装配问题为例，在命令窗口中输入以下指令 + +```txt +>>num=[1 1 1 2 1 1 1 2 3 1]; +>>config={'B1','B4','B6','B1','B4','B6','B1','B4','B4','B6'}; +>>color={'银','白','白','红','红','金','银','棕','棕'}; +>>Graph=genGraph(config,color,num) +``` + +生成所求装配顺序对应图的邻接矩阵如下表 4 + +表 4 按照颜色是否符合在总装线上排列要求生成的图的邻接矩阵 + +
1234567891011121314
10InfInf1111111InfInfInfInf
2Inf01InfInfInfInfInfInfInf1111
3Inf10InfInfInfInfInfInfInf1111
41InfInf0InfInfInf1111111
51InfInfInf0InfInf1111111
61InfInfInfInf0Inf1111111
71InfInfInfInfInf01111111
810InfInf11110101010101010
91InfInf1111101InfInfInfInf
101InfInf1111110InfInfInfInf
11Inf1111111InfInf0111
12Inf1111111InfInf1011
13Inf1111111InfInf1101
14Inf1111111InfInf1110
+ +# 2. 基于遗传算法的TSP问题求解 + +旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）又称旅行推销员问题、货郎担问题，是研究的较为充分的图的顶点遍历问题[1-4]，并且已经证明是一个NPC问题。将现有基于遗传算法的TSP求解代码[5]适当改写为Matlab程序“ga_TSP.m”，可以对上述邻接矩阵直接求解，得到如下结果，具体见附件-5。通常，对于将装配顺序问题转化成的15个左右顶点的有向图，基于遗传算法的TSP问题求解程序在迭代5000代以内收敛，如图2所示。 + +![](images/5af725a631cc49dc2b4fb1df8dcb6b30989cade1c89e646824c5c616f01c3a7c.jpg) +图2基于遗传算法的TSP问题求解 + +但还存在以下问题，一是如图2所示，因为装配顺序问题转化的有向图不是所有顶点都有边连接的，TSP问题求解过程不太稳定，时常会出现迭代之后求解失败，没有通路的情况；二是求解TSP问题结果得到只是一条路径，颜色和配置切换造成的成本无法在求解过程中确定，一些特定颜色无法保证能按顺序分配在指定的C1或C2喷涂线上。 + +# 3. 广度优先搜索图中指定起点和终点的所有路径 + +经过以上分析，转化得到的有向图的边并不是太多，顶点规模不是太大，可以考虑搜索图中指定起点和终点的所有路径。采用广度优先搜索算法[6]，程序文件名称“findPath.m”，具体见附件-6。以表4中的邻接矩阵为例，输入以下指令，得到满足颜色转化要求，并且经过所有顶点的路径近20万个，如图3所示。 + +>>pathsAll = findPath(Graph, 13, 14, 0); +>>paths = pathsAll(pathsAll(:,end-1) $\sim = 0,1$ :end-1); + +![](images/1b6ecb7438c3a436184e3b3bcb2195b4f7fce61dcdcac4c20452f2db7da125f8.jpg) +图3广度优先搜索图中指定起点和终点的所有路径 + +# 4. 路径代价计算 + +对于上述搜索得到的所有路径，以下采用Matlab验证各个路径上的特殊颜色能否按顺序分配在指定的C1或C2喷涂线上，计算各种路径上切换配置和颜色的代价，并且取代价最小的路径填入装配顺序的整个过程中去，程序文件名称“pathsCost.m”，具体见附件-7。 + +function [minCost,opt_paths]=pathsCost paths, config, color, num, c) + +%paths: 需要验证的所有路径 + +%config: 汽车配置 + +%color: 汽车颜色 + +%num: 对应的汽车数量 + +%%: 起始点处的喷涂线分配 + +%miniCost: 最小代价 + +%opt_paths: 最小代价对应的所有最优路径 + +在命令窗口中输入指令 + +>> [minCost,opt_paths] = pathsCost Paths, config, color, num, c); + +>>minCost + +最终算得共有16条代价最小为9的装配顺序，如下图4所示。 + +![](images/7def330bc6a6bf686241e039006b58f9fec70a7428bbb3fcb2db2825fdb6902a.jpg) +图4路径代价计算 + +取其中一条，完成20日尚未完成的部分装配顺序如下表5，9月20日完整的装配顺序表见附录-8。具体计算结果见数据文件夹“paths.mat”和“schedule.xlsx”文件。 + +表 5 最优搜索路径代入装配顺序表 + +
12018/9/20443A2B1汽油四驱白C2
22018/9/20444A2B1汽油四驱白C1
32018/9/20445A2B4汽油两驱白C2
42018/9/20446A2B6汽油两驱白C1
52018/9/20447A2B6汽油两驱棕C2
62018/9/20448A2B6汽油两驱红C1
72018/9/20449A2B4汽油两驱棕C2
82018/9/20450A2B1汽油两驱红C1
92018/9/20451A2B4汽油两驱银C2
102018/9/20452A2B4汽油两驱银C1
112018/9/20453A2B1汽油四驱银C2
122018/9/20454A2B1汽油两驱红C1
132018/9/20455A2B1汽油两驱金C2
142018/9/20456A2B4汽油两驱红C1
152018/9/20457A2B4汽油两驱棕C2
162018/9/20458A2B4汽油两驱棕C1
172018/9/20459A2B1汽油四驱白C2
182018/9/20460A2B1汽油四驱白C1
+ +# 6. 模型的评价与推广 + +# 6.1 评价与改进 + +在模型的建立和求解过程中，综合利用多种计算机工具，使用Excel汇总展示数据，使用python整理规范数据，使用Lingo优化配置方案，使用Matlab快速实现算法，在计算结果展示、人工经验介入、计算过程衔接方面取得了较好效果。在进行充分的理论分析的基础上，正是综合采用以上手段，才实现了未来一周内的生产配置顺序的设计。 + +对于原题目中这样复杂的综合问题，本文给出的模型和求解过程仍然显得复杂，自动化和智能化程度不够，需要较多的经验性人工干预，需要进行更高的抽象概括、使用更智能化的算法进行改进。 + +# 6.2 模型的推广应用 + +本文模型适用领域广泛，实现了对数据属性不同、要求形式多样、限制条件多维情况下的装配方案的统筹分析，可以运用于工厂机器的顺序调配、车站班次的调配等实际问题，在提升资源利用率、节约生产成本、提高经济效益方面有着积极作用。 + +# 参考文献 + +[1]来学伟.贪心算法在TSP问题中的应用[J].许昌学院学报,2017,36(02):41-44. +[2]陈灵佳.蚁群算法在解决TSP问题中的应用[J].电子技术与软件工程,2017(10):145. + +[3]李月. 基于遗传算法的免疫算法对TSP问题的改进与研究[J]. 中国传媒大学学报(自然科学版),2017,24(04):58-63. +[4]袁豪.旅行商问题的研究与应用[D].南京邮电大学,2017. +[5]联合开发网. 基于遗传算法的 TSP 算法[EB/OL]. http://www.pudn.com/Download/item/id/3107168.html, 2018.9.15. +[6]Matlab论坛. 广度优先搜索所有路径[EB/OL]. http://www.ilovematlab.cn/thread-212175-1-1.htm, 2018.9.15. + +# 附件-1 使用python整理生产计划表 + +使用python将“CUMCM-2018-Problem-D-Chinese-Appendix.xlsx”中的生产计划数据整理成规范形式，程序文件名“problem_D_Data.py”，具体见数据文件夹。 + +```python +#include +import xlwt +import xlrd +data = xlrd.open_workbook('Problem_D_Data.xlsx') +sheet = data sheet_by_name('Sheet1') +cols = sheet.col_values(0) +riqi_index = ([x for x in range(len(cols)) if cols[x] == '日期']) +workbook = xlwt.Workbook encoding='utf-8') +sheet1 = workbook.add_sheet('sheet1',cell_overwrite.ok=True) +#为样式创建字体 +style = xlwt.XFStyle() +font = xlwt.Font() +font.name = 'Times New Roman' +font.Bold = False +#设置样式的字体 +style font = font +sheet1.write(0, 0, '日期', style) +sheet1.write(0, 1, '品牌', style) +sheet1.write(0, 2, '配置', style) +sheet1.write(0, 3, '动力', style) +sheet1.write(0, 4, '驱动', style) +sheet1.write(0, 5, '颜色', style) +sheet1.write(0, 6, '数量', style) +idx = 0 +for k in range(len(riqi_index)-1): + for t in range(riqi_index[k+1]-riqi_index[k]-2): + for s in range(5): if sheet.cell_value(riqi_index[k]+t+1,s+4) != 0: idx = idx + 1 #每找到一项非0的生产计划就记录一行 sheet1.write(idx, 0, sheet.cell_value(riqi_index[k]+t+1,0), style) #日期在原表中位置为第1列 sheet1.write(idx, 1, sheet.cell_value(riqi_index[k]+t+1,1), style) #品牌在原表中位置为第2列 sheet1.write(idx, 2, sheet.cell_value(riqi_index[k],s+4), style) #配置在原表中位置为上方的第2行 sheet1.write(idx, 3, sheet.cell_value(riqi_index[k]-1,s+4), style) #动力在原表中位置为上方的第1行 sheet1.write(idx, 4, sheet.cell_value(riqi_index[k]+t+1,2), style) #驱动在原表中位置为第3列 sheet1.write(idx, 5, sheet.cell_value(riqi_index[k]+t+1,3), style) #颜色在原表中位置为第4列 sheet1.write(idx, 6, sheet.cell_value(riqi_index[k]+t+1,s+4), style) #对应以上属性的汽车生产需求 +``` + +```txt +workbook.save('Problem_D_Data_Chuli.xls') +``` + +# 附件-2 规范生产计划安排 + +规范后的生产计划安排，以下图2018年9月20日为例，数据文件名“Problem_D_Data_Chuli.xls”，具体见数据文件夹。 + +
日期品牌配置动力驱动颜色数量
2018/9/20A1B1汽油四驱黑9
2018/9/20A1B2汽油四驱黑3
2018/9/20A1B5汽油四驱黑2
2018/9/20A1B5汽油四驱灰1
2018/9/20A1B1汽油四驱银2
2018/9/20A1B3汽油四驱银1
2018/9/20A1B1汽油两驱白114
2018/9/20A1B2汽油两驱白27
2018/9/20A1B5汽油两驱白1
2018/9/20A1B1汽油两驱黑92
2018/9/20A1B2汽油两驱黑75
2018/9/20A1B3汽油两驱黑7
2018/9/20A1B5汽油两驱黑1
2018/9/20A1B1汽油两驱红3
2018/9/20A1B2汽油两驱红1
2018/9/20A1B1汽油两驱黄4
2018/9/20A1B2汽油两驱黄1
2018/9/20A1B1汽油两驱灰7
2018/9/20A1B2汽油两驱灰1
2018/9/20A1B3汽油两驱灰3
2018/9/20A1B1汽油两驱蓝3
2018/9/20A1B3汽油两驱蓝1
2018/9/20A1B1汽油两驱银2
2018/9/20A1B3汽油两驱银1
2018/9/20A2B1汽油四驱白8
2018/9/20A2B1汽油四驱黑2
2018/9/20A2B5汽油四驱黑1
2018/9/20A2B1汽油四驱银1
2018/9/20A2B4汽油两驱白3
2018/9/20A2B6汽油两驱白1
2018/9/20A2B1汽油两驱黑36
2018/9/20A2B4汽油两驱黑18
2018/9/20A2B5汽油两驱黑1
2018/9/20A2B6汽油两驱黑4
2018/9/20A2B1汽油两驱红3
2018/9/20A2B4汽油两驱红2
2018/9/20A2B6汽油两驱红1
2018/9/20A2B1汽油两驱金2
2018/9/20A2B4汽油两驱金1
2018/9/20A2B1汽油两驱蓝1
2018/9/20A2B4汽油两驱蓝1
2018/9/20A2B4汽油两驱银2
2018/9/20A2B4汽油两驱棕5
2018/9/20A2B6汽油两驱棕1
2018/9/20A2B1柴油两驱白1
2018/9/20A2B1柴油两驱黑3
+ +# 附件-3 求解生产成本优化模型的Lingo程序 + +程序文件名为“生产成本优化模型.lg4”，注意满足于局部最优解，不要勾选“Use Global Solver”选项，求解一段时间后可以手动打断求解过程，具体见数据文件夹。 + +model: +sets: +xiaobiao/1..460:/A1_,A2_,y,z,x; shuzhi/1..10:/SL; +!A1黑色四驱、A2黑色四驱、A1非黑色四驱、 A2非黑色四驱、A1柴油、A2柴油、A1黑色柴油 +等特殊汽车数值； +endsets +init: +y,z $\equiv$ @ole('LingoData.xlsx'); +endinit +data: +！打开Excel文件'LingoData.xlsx'读取相关数据； +A1_,A2_,x,SL $\equiv$ @ole('LingoData.xlsx'); +enddata +min $\equiv$ @sum(xiaobiao(k) | k #GE# 12: y(k)*(10-@sum(xiaobiao(t) | (t #GE# k-11) #AND# (t #LE# k): (1-y(t)))) +z(k)*(10-@sum(xiaobiao(t) | (t #GE# k-11) #AND# (t #LE# k): (1-z(t)))) +）; +@sum(xiaobiao(I):A1_(I)*x(I)*y(I)) $= \mathrm{SL}(1)$ ： @sum(xiaobiao(I):A2_(I)*x(I)*y(I)) $= \mathrm{SL}(2)$ ： @sum(xiaobiao(I):A1_(I)*y(I)*(1-x(I))) $= \mathrm{SL}(3)$ ： @sum(xiaobiao(I):A2_(I)*y(I)*(1-x(I))) $= \mathrm{SL}(4)$ ： @sum(xiaobiao(I):A1_(I)*z(I)) $= \mathrm{SL}(5)$ ： @sum(xiaobiao(I):A2_(I)*z(I)) $= \mathrm{SL}(6)$ ： @sum(xiaobiao(I):A1_(I)*x(I)*z(I)) $= \mathrm{SL}(7)$ ： @sum(xiaobiao(I):A2_(I)*x(I)*z(I)) $= \mathrm{SL}(8)$ ： @sum(xiaobiao(I):A1_(I)*y(I)*z(I)) $= \mathrm{SL}(9)$ ： @sum(xiaobiao(I):A2_(I)*y(I)*z(I)) $= \mathrm{SL}(10)$ ： +@for(xiaobiao(I) | (I #GE# 2) #AND# (I #LE# 459) : 3-y(I-1)-y(I)-y(I+1) >= y(I); 3-z(I-1)-z(I)-z(I+1) >= z(I); +）; +@for(xiaobiao(k) | k #GE# 7 : @sum(xiaobiao(t) | (t #GE# k-6) #AND# (t #LE# k): (1-y(t)))>=5; @sum(xiaobiao(t) | (t #GE# k-6) #AND# (t #LE# k): (1-z(t)))>=5; +）; +@for(xiaobiao(I): @bin(A1_(I)); @bin(A2_(I)); @bin(y(I)); @bin(z(I)); +）; +end + +Feasible solution found. + +Objective value: + +-13.00000 + +Objective bound: + +-39.78077 + +Infeasibilities: + +0.000000 + +Extended solver steps: + +1 + +Total solver iterations: + +466 + +
VariableValueReduced Cost
Al_(1)1.0000000.000000
Al_(2)1.0000000.000000
Al_(3)1.0000000.000000
Al_(4)1.0000000.000000
Al_(5)1.0000000.000000
Al_(6)1.0000000.000000
Al_(7)1.0000000.000000
Al_(8)1.0000000.000000
Al_(9)1.0000000.000000
Al_(10)1.0000000.000000
Al_(11)1.0000000.000000
Al_(12)1.0000000.000000
Al_(13)1.0000000.000000
Al_(14)1.0000000.000000
Al_(15)1.0000000.000000
Al_(16)1.0000000.000000
Al_(17)1.0000000.000000
Al_(18)1.0000000.000000
Al_(19)1.0000000.000000
Al_(20)1.0000000.000000
Al_(21)1.0000000.000000
Al_(22)1.0000000.000000
Al_(23)1.0000000.000000
Al_(24)1.0000000.000000
Al_(25)1.0000000.000000
Al_(26)1.0000000.000000
Al_(27)1.0000000.000000
Al_(28)1.0000000.000000
Al_(29)1.0000000.000000
Al_(30)1.0000000.000000
+ +# 附件-4 邻接矩阵生成 + +使用Matlab将除大部分黑、白色以外的其他杂色汽车，按允许的装配顺序生成邻接矩阵，以求解2018年9月20日装配顺序过程的一些装配顺序为例，程序文件名为“genGraph.m”，具体见数据文件夹。 + +
2018/9/20443A2B1汽油四驱白
2018/9/20444A2B1汽油四驱白
2018/9/20445A2
2018/9/20446A2
2018/9/20447A2
2018/9/20448A2
2018/9/20449A2
2018/9/20450A2
2018/9/20451A2
2018/9/20452A2
2018/9/20453A2
2018/9/20454A2
2018/9/20455A2
2018/9/20456A2
2018/9/20457A2
2018/9/20458A2
2018/9/20459A2B1汽油四驱白
2018/9/20460A2B1汽油四驱白
+ +空余的位置 + +
2018/9/20A2B1汽油四驱白80
2018/9/20A2B1汽油四驱黑20
2018/9/20A2B5汽油四驱黑10
2018/9/20A2B1汽油四驱银11
2018/9/20A2B4汽油两驱白31
2018/9/20A2B6汽油两驱白11
2018/9/20A2B1汽油两驱黑360
2018/9/20A2B4汽油两驱黑180
2018/9/20A2B5汽油两驱黑10
2018/9/20A2B6汽油两驱黑40
2018/9/20A2B1汽油两驱红32
2018/9/20A2B4汽油两驱红21
2018/9/20A2B6汽油两驱红11
2018/9/20A2B1汽油两驱金21
2018/9/20A2B4汽油两驱金10
2018/9/20A2B1汽油两驱蓝10
2018/9/20A2B4汽油两驱银22
2018/9/20A2B4汽油两驱棕53
2018/9/20A2B6汽油两驱棕11
2018/9/20A2B1柴油两驱白10
2018/9/20A2B1柴油两驱黑30
+ +未分配的汽车 + +function Graph $\equiv$ genGraph(config,color,num) +N=sum(num); +Graph=ones(N)\*inf; %连接图共有N个顶点 +idx=zeros(N,1); %用来记录每个顶点的属性类表序号 +s=1; +for k = 1:length(num) idx(s:(s+num(k)-1)=k; s=s+num(k); +end +for k = 1:N for t = 1:N if t==k Graph(k,t) $=$ 0; end if t $\sim =$ k if strcmp(color{idx(k)},'白') %白色汽车在装配线上的允许连接情况 if strcmp(color{idx(t)},'白') Graph(k,t) $=$ 1; end if strcmp(color{idx(t)},'蓝') + +```matlab +Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '棕') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(k)}, '黄') + if strcmp(color{idx(t)}, '银') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '灰') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '棕') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '金') + Graph(k,t) = 1; +end +end +if strcmp(color{idx(k)}, '红') + if strcmp(color{idx(t)}, '银') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '灰') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '棕') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '金') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '蓝') + if strcmp(color{idx(t)}, '白') + Graph(k,t) = 1; +end +end +if strcmp(color{idx(k)}, '金') + if strcmp(color{idx(t)}, '黄') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '红') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '灰') + Graph(k,t) = 10; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '棕') + Graph(k,t) = 10; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '银') + Graph(k,t) = 10; +end +end +if strcmp(color{idx(k)}, '灰') + if strcmp(color{idx(t)}, '灰') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '银') + Graph(k,t) = 1; +end +if strcmp(color{idx(t)}, '黄') + Graph(k,t) = 1; +end +``` + +```matlab +end if strcmp(color{\idx(t)},'银') Graph(k,t) = 1; end if strcmp(color{\idx(t)},'黄') Graph(k,t) = 1; end if strcmp(color{\idx(t)},'红') Graph(k,t) = 1; end if strcmp(color{\idx(t)},'金') Graph(k,t) = 1; end end if strcmp(color{\idx(k)},'棕') %棕色汽车在装配线上的允许连接情况 if strcmp(color{\idx(t)},'棕') Graph(k,t) = 1; end if strcmp(color{\idx(t)},'白') Graph(k,t) = 1; end if strcmp(color{\idx(t)},'黄') Graph(k,t) = 1; end if strcmp(color{\idx(t)},'红') Graph(k,t) = 1; end if strcmp(color{\idx(t)},'金') Graph(k,t) = 1; end end end end end +``` + +```matlab +>>num=[1 1 1 2 1 1 1 2 3 1]; +>>config={'B1','B4','B6','B1','B4','B6','B1','B4','B6'}; +>>color={'银','白','白','红','红','金','银','棕','棕'}; +>>Graph=genGraph(config,color,num) +``` + +生成所求装配顺序对应图的邻接矩阵如下： + +
1234567891011121314
10InfInf1111111InfInfInfInf
2Inf01InfInfInfInfInfInfInf1111
3Inf10InfInfInfInfInfInfInf1111
41InfInf0InfInfInf1111111
51InfInfInf0InfInf1111111
61InfInfInfInf0Inf1111111
71InfInfInfInfInf01111111
810InfInf11110101010101010
91InfInf1111101InfInfInfInf
101InfInf1111110InfInfInfInf
11Inf1111111InfInf0111
12Inf1111111InfInf1011
13Inf1111111InfInf1101
14Inf1111111InfInf1110
+ +# 附件-5 使用遗传算法求解TSP问题 + +使用Matlab采用遗传算法搜索给定邻接矩阵为Graph的图对应的TSP问题，程序文件名称“ga_TSP.m”，具体见数据文件夹。 + +(以下代码改写自联合开发网: http://www.pudn.com/Download/item/id/3107168.html) + +```matlab +function ga_TSP(dislist) +CityNum = size(dislist, 2) +inn = 30; %初始种群大小 +gnmax = 500000; %最大代数 +pc = 0.8; %交叉概率 +pm = 0.8; %变异概率 +%产生初始种群 +s = zeros(inn, CityNum); +for i = 1:inn + s(i,:) = randperm(CityNum); +end +[~, p] = objf(s, dislist); +gn = 1; +ymean = zeros(gn, 1); +ymax = zeros(gn, 1); +xmax = zeros(inn, CityNum); +scnew = zeros(inn, CityNum); +smnew = zeros(inn, CityNum); +while gn < gmax + 1 + for j = 1:2:inn + seln = sel(p); %选择操作 + scro = cro(s, seln, pc); %交叉操作 + scnew(j,:) = scro(1,:) + scnew(j+1,:) = scro(2,:) + smnew(j,:) = mut(scnew(j,:), pm); %变异操作 + smnew(j+1,:) = mut(scnew(j+1,:), pm); + end + s = smnew; %产生了新的种群 + [f, p] = objf(s, dislist); %计算新种群的适应度 + %记录当前代最好和平均的适应度 + [fmax, nmax] = max(f); + ymean(gn) = 1000/mean(f); + ymax(gn) = 1000/fmax; + %记录当前代的最佳个体 + x = s(nmax,:); + xmax(gn,:) = x; + gn = gn + 1; +end +``` + +```matlab +[min_ymax, index] = min(ymax); +figure; +plot(ymax,'r'); hold on; +plot(ymean,'b'); grid; +title('搜索过程'); +legend('最优解','平均解'); +fprintf('遗传算法得到的最短距离:%.2f\n',min_ymax); +fprintf('遗传算法得到的最短路线'); +disp(xmax(index,:)); +end +%计算所有种群的适应度 +function [f,p] = objf(s,dislist) +inn = size(s,1); %读取种群大小 +f = zeros(inn,1); +for i = 1:inn + f(i) = CalDist(dislist,s(i,:)); %计算函数值，即适应度 +end +f = 1000./f'; %取距离倒数 +%根据个体的适应度计算其被选择的概率 +fsum = 0; +for i = 1:inn + fsum = fsum + f(i)^15;%让适应度越好的个体被选择概率越高 +end +ps = zeros(inn,1); +for i = 1:inn + ps(i) = f(i)^15/fsum; +end +%计算累积概率 +p = zeros(inn,1); +p(1) = ps(1); +for i = 2:inn + p(i) = p(i-1) + ps(i); +end +p = p; +end +``` + +# 根据变异概率判断是否变异 + +function pcc=pro(pc) + +test(1:100)=0; + +$1 =$ round(100*pc)： + +test(1:1)=1 + +n=round(rand*99)+1; + +pcc $=$ test(n）： + +end + +# %“选择”操作 + +function seln $\equiv$ sel(p) + +seln=zeros(2,1); + +从种群中选择两个个体，最好不要两次选择同一个个体 + +for $i = 1:2$ + +r=rand; %产生一个随机数 + +prand=p-r; + +j=1; + +while prand(j)<0 + +j=j+1; + +end + +$\operatorname{seln}(\mathrm{i}) = \mathrm{j}$ ：%选中个体的序号 + +if $i = 2\& j = \text{seln}(i - 1)$ %若相同就再选一次 + +r=rand; %产生一个随机数 + +prand=p-r; + +j=1; + +while prand(j) < 0 + +$j = j + 1$ + +end + +end + +1 + +1 + +# “交叉”操作 + +function scro=cro(s,seln,pc) + +bn=size(s,2); + +pcc=pro(pc)：%根据交叉概率决定是否进行交叉操作，1则是，0则否 + +scro(1,:)=s(seln(1,:)); + +scro(2,:)=s(seln(2),:); + +if pcc==1 + +c1=round rand*(bn-2))+1; %在[1, bn-1]范围内随机产生一个交叉位 + +c2=round rand\*bn-2))+1; + +chb1=min(c1,c2) + +chb2=max(c1,c2)； + +```cpp +middle = scro(1, chb1 + 1; chb2); + +scro(1,chb1+1:chb2)=scro(2,chb1+1:chb2); + +scro(2, chb1+1: chb2)=middle; + +for $i = 1$ :chb1%似乎有问题 + +while find(scro(1, chb1+1: chb2) == scro(1, i)) + +zhi=find(scro(1,chb1+1:chb2) == scro(1,i)); + +y=scro(2,chb1+zhi); + +scro(1,i)=y; + +end + +while find(scro(2, chb1+1: chb2) == scro(2, i)) + +zhi=find(scro(2,chb1+1:chb2) == scro(2,i)); + +y=scro(1,chb1+zhi); + +scro(2,i)=y; + +end + +end + +for i=chb2+1:bn + +while find(scro(1, 1: chb2) == scro(1, i)) + +zhi=logical(scro(1,1:chb2) == scro(1,i)); + +y=scro(2,zhi)； + +scro(1,i)=y; + +end + +while find(scro(2,1:chb2) == scro(2,i)) + +zhi=logical(scro(2,1:chb2) == scro(2,i)); + +y=scro(1,zhi); + +scro(2,i)=y; + +1 + +1 + +# “变异”操作 + +function snnew $\equiv$ mut(snew,pm) + +bn=size(snew,2); + +snnew $\equiv$ snew; + +pmm=pro(pm)：%根据变异概率决定是否进行变异操作，1则是，0则否 +if pmm==1c1=round rand $\ast$ (bn-2))+1；%在[1,bn-1]范围内随机产生一个变异位c2=round rand $\ast$ (bn-2))+1:chb1=min(c1,c2);chb2=max(c1,c2）;x=snew(chb1+1:chb2);snnew(chb1+1:chb2)=fliplr(x); +end +end + +# %适应度函数 + +```matlab +function F=CalDist(dislist,s) +DistanV=0; +n=size(s,2); +for i=1:(n-1) + DistanV=DistanV+dislist(s(i),s(i+1)); +end +DistanV=DistanV+dislist(s(n),s(1)); +F=DistanV; +end +``` + +>> load paths +>>ga_TSP(Graph) + +# 附件-6 广度优先搜索图中指定起点和终点的所有路径 + +使用Matlab按广度优先搜索给定邻接矩阵为Graph的图中从顶点partialPath到顶点destination间的所有路径，程序文件名称“findPath.m”，具体见数据文件夹。 + +（以下代码来自Matlab论坛：http://www.ilovematlab.cn/thread-212175-1-1.html） + +```matlab +function possiblePaths = findPath(Graph, partialPath, destination, partialWeight) +% findPath按深度优先搜索所有可能的从partialPath出发到destination的路径，这些路径中不包含环路 +% Graph: 路网图，非无穷或0表示两节点之间直接连通，矩阵值就为路网权值 +% partialPath: 出发的路径，如果partialPath就一个数，表示这个就是起始点 +% destination: 目标节点 +% partialWeight: partialPath的权值，当partialPath为一个数时，partialWeight为0 +pathLength = length(partialPath); +lastNode = partialPath(pathLength); %得到最后一个节点 +nextNodes = find(0 +return; +end +%nextNodes中的数一定大于0，所以为了让nextNodes(i)去掉，先将其赋值为0 +for i=1:length(nextNodes) +if destination == nextNodes(i) +输出路径 +tmpPath = cat(2, partialPath, destination); %串接成一条完整的路径 +tmpPath(GLength + 1) = partialWeight + Graph(lastNode, destination); +%延长数组长度至GLength+1，最后一个元素用于存放该路径的总路阻 +possiblePaths( length(possiblePaths) + 1 , : ) = tmpPath; +nextNodes(i) = 0; +elseif ~isempty( find( partialPath == nextNodes(i) ) ) +nextNodes(i) = 0; +end +end +nextNodes = nextNodes(nextNodes ~ = 0); +%将nextNodes中为0的值去掉，因为下一个节点可能已经遍历过或者它就是目标节点 +for i=1:length(nextNodes) +tmpPath = cat(2, partialPath, nextNodes(i)); +tmpPsbPaths = findPath(Graph, tmpPath, destination, partialWeight + Graph(lastNode, nextNodes(i))); +possiblePaths = cat(1, possiblPaths, tmpPsbPaths); +end +``` + +使用路径搜索算法搜索得到路径（部分）如下 + +>>pathsAll = findPath(Graph, 13, 14, 0); + +>>paths = pathsAll路段All(:,end-1) $\sim = 0,1$ :end-1); + +![](images/768628b5a23850dca24fa9a2633413788610d0434a7a4105697160af402d2613.jpg) + +# 附件-7 路径代价计算 + +由于各种汽车的颜色在装配线上的组合形式多样，使用路径搜索算法给出的可能路径非常多。以下采用Matlab计算各种路径的代价，并且取代价最小的路径填入装配顺序的整个过程中去，程序文件名称“pathsCost.m”，具体见数据文件夹。 + +```matlab +function [minCost,opt paths]=pathsCost paths, config, color, num, c) +%paths: 需要验证的所有路径 +%config: 汽车配置 +%color: 汽车颜色 +%num: 对应的汽车数量 +%c: 起始点处的喷涂线分配 +%miniCost: 最小代价 +%opt Paths: 最小代价对应的所有最优路径 +N=sum(num); +idx=zeros(N,1); 用来记录每个顶点的属性类表序号 +s=1; +for k = 1:length(num) +idx(s:(s+num(k)-1)=k; +s=s+num(k); +end +maxpath=size paths,1); +Cost = zeros(maxpath,1); +for k=1:maxpath path = paths(k,1:end-1); +Cost0 = 0; +for t = 1:N if t>=2 if ~strcmp(config{idx(t)}, config{idx(t-1)}) %装配线上配置改变代价+1 Cost0 = Cost0+1; end end if t>=3 if ~strcmp(color{idx(t)}, color{idx(t-2)}) %喷涂线上颜色改变代价+1 Cost0 = Cost0+1; end end %金色汽车喷绘线为C2 if strcmp(color{idx(t)}, '金') if (c == 1 && mod(t,2) == 1) || (c == 2 && mod(t,2) == 0) Cost0 = Cost0+100000; end end %黄、蓝、红色汽车喷绘线为C1 if strcmp(color{idx(t)}, '黄') || strcmp(color{idx(t), '蓝') || strcmp(color{idx(t)}, '红') if (c == 1 && mod(t,2) == 0) || (c == 2 && mod(t,2) == 1) Cost0 = Cost0+100000; end end Cost(k) = Cost0; end minCost = min(Cost); mink = Cost==minCost; opt_paths=paths(mink,1:end-1); +``` + +>> [minCost,opt_paths] $\equiv$ pathsCost paths,config,color,num,c); +>> minCost + +最终算得共有 16 条代价最小为 9 的装配顺序，如下图所示。 + +![](images/7307f631e269ae001c005f78a89df114e5f4680ae04476e2ca1b524ab049a212.jpg) + +取其中一条（注意四驱汽车的位置），完成20日的装配顺序如下。具体计算结果见数据文件夹“paths.mat”和“schedule.xlsx”。 + +
2018/9/20443A2B1汽油四驱白C2
2018/9/20444A2B1汽油四驱白C1
2018/9/20445A2B4汽油两驱白C2
2018/9/20446A2B6汽油两驱白C1
2018/9/20447A2B6汽油两驱棕C2
2018/9/20448A2B6汽油两驱红C1
2018/9/20449A2B4汽油两驱棕C2
2018/9/20450A2B1汽油两驱红C1
2018/9/20451A2B4汽油两驱银C2
2018/9/20452A2B4汽油两驱银C1
2018/9/20453A2B1汽油四驱银C2
2018/9/20454A2B1汽油两驱红C1
2018/9/20455A2B1汽油两驱金C2
2018/9/20456A2B4汽油两驱红C1
2018/9/20457A2B4汽油两驱棕C2
2018/9/20458A2B4汽油两驱棕C1
2018/9/20459A2B1汽油四驱白C2
2018/9/20460A2B1汽油四驱白C1
+ +附件-89月20日的装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油两驱白C2
2A1B1汽油两驱白C1
3A1B1汽油两驱白C2
4A1B1汽油两驱白C1
5A1B1汽油两驱白C2
6A1B1汽油两驱白C1
7A1B1汽油两驱白C2
8A1B1汽油两驱白C1
9A1B1汽油两驱白C2
10A1B1汽油两驱白C1
11A1B1汽油两驱白C2
12A1B1汽油两驱白C1
13A1B1汽油两驱白C2
14A1B1汽油两驱白C1
15A1B1汽油两驱白C2
16A1B1汽油两驱白C1
17A1B1汽油两驱白C2
18A1B1汽油两驱白C1
19A1B1汽油两驱白C2
20A1B1汽油两驱白C1
21A1B1汽油四驱黑C2
22A1B1汽油四驱黑C1
23A1B1汽油两驱黑C2
24A1B1汽油两驱黑C1
25A1B1汽油两驱黑C2
26A1B1汽油两驱黑C1
27A1B1汽油两驱黑C2
28A1B1汽油两驱黑C1
29A1B1汽油两驱黑C2
30A1B1汽油两驱黑C1
31A1B1汽油两驱黑C2
32A1B1汽油两驱黑C1
33A1B1汽油四驱黑C2
34A1B1汽油四驱黑C1
35A1B1汽油两驱黑C2
36A1B1汽油两驱黑C1
37A1B1汽油两驱黑C2
38A1B1汽油两驱黑C1
39A1B1汽油两驱黑C2
40A1B1汽油两驱黑C1
41A1B1汽油两驱黑C2
42A1B1汽油两驱黑C1
43A1B1汽油两驱黑C2
44A1B1汽油两驱黑C1
45A1B1汽油四驱黑C2
46A1B1汽油四驱黑C1
47A1B1汽油两驱黑C2
48A1B1汽油两驱黑C1
49A1B1汽油两驱黑C2
50A1B1汽油两驱黑C1
51A1B1汽油两驱黑C2
52A1B1汽油两驱黑C1
53A1B1汽油两驱黑C2
54A1B1汽油两驱黑C1
55A1B1汽油两驱黑C2
56A1B1汽油两驱黑C1
57A1B1汽油两驱黑C2
58A1B1汽油四驱黑C1
59A1B1汽油两驱黑C2
60A1B1汽油两驱黑C1
61A1B1汽油两驱黑C2
62A1B1汽油两驱黑C1
63A1B1汽油两驱黑C2
64A1B1汽油两驱黑C1
65A1B1汽油两驱黑C2
66A1B1汽油两驱黑C1
67A1B1汽油两驱黑C2
68A1B1汽油两驱黑C1
69A1B1汽油四驱黑C2
70A1B1汽油四驱黑C1
71A1B1汽油两驱黑C2
72A1B1汽油两驱黑C1
73A1B1汽油两驱黑C2
74A1B1汽油两驱黑C1
75A1B1汽油两驱黑C2
76A1B1汽油两驱黑C1
77A1B1汽油两驱黑C2
78A1B1汽油两驱黑C1
79A1B1汽油两驱黑C2
80A1B1汽油两驱黑C1
81A1B1汽油两驱黑C2
82A1B1汽油两驱黑C1
83A1B1汽油两驱黑C2
84A1B1汽油两驱黑C1
85A1B1汽油两驱黑C2
86A1B1汽油两驱黑C1
87A1B1汽油两驱黑C2
88A1B1汽油两驱黑C1
89A1B1汽油两驱黑C2
90A1B1汽油两驱黑C1
91A1B1汽油两驱白C2
92A1B1汽油两驱白C1
93A1B1汽油两驱白C2
94A1B1汽油两驱蓝C1
95A1B1汽油两驱白C2
96A1B1汽油两驱蓝C1
97A1B1汽油两驱白C2
98A1B1汽油两驱蓝C1
99A1B1汽油两驱白C2
100A1B3汽油两驱蓝C1
101A1B1汽油两驱白C2
102A1B1汽油两驱白C1
103A1B1汽油两驱白C2
104A1B1汽油两驱白C1
105A1B1汽油两驱白C2
106A1B1汽油两驱白C1
107A1B1汽油两驱白C2
108A1B1汽油两驱白C1
109A1B1汽油两驱白C2
110A1B1汽油两驱白C1
111A1B1汽油两驱白C2
112A1B1汽油两驱白C1
113A1B1汽油两驱白C2
114A1B1汽油两驱白C1
115A1B1汽油两驱白C2
116A1B1汽油两驱白C1
117A1B1汽油两驱白C2
118A1B1汽油两驱白C1
119A1B1汽油两驱白C2
120A1B1汽油两驱白C1
121A1B1汽油两驱白C2
122A1B1汽油两驱白C1
123A1B1汽油两驱白C2
124A1B1汽油两驱白C1
125A1B1汽油两驱白C2
126A1B1汽油两驱白C1
127A1B1汽油两驱白C2
128A1B1汽油两驱白C1
129A1B1汽油两驱白C2
130A1B1汽油两驱白C1
131A1B1汽油两驱白C2
132A1B1汽油两驱白C1
133A1B1汽油两驱白C2
134A1B1汽油两驱白C1
135A1B1汽油两驱白C2
136A1B1汽油两驱白C1
137A1B1汽油两驱白C2
138A1B1汽油两驱白C1
139A1B1汽油两驱白C2
140A1B1汽油两驱白C1
141A1B1汽油两驱白C2
142A1B1汽油两驱白C1
143A1B1汽油两驱白C2
144A1B1汽油两驱白C1
145A1B1汽油两驱白C2
146A1B1汽油两驱白C1
147A1B1汽油两驱白C2
148A1B1汽油两驱白C1
149A1B1汽油两驱白C2
150A1B1汽油两驱白C1
151A1B1汽油两驱黑C2
152A1B1汽油两驱黑C1
153A1B1汽油两驱黑C2
154A1B1汽油两驱黑C1
155A1B1汽油两驱黑C2
156A1B1汽油两驱黑C1
157A1B1汽油两驱黑C2
158A1B1汽油两驱黑C1
159A1B1汽油两驱黑C2
160A1B1汽油两驱黑C1
161A1B1汽油两驱黑C2
162A1B1汽油两驱黑C1
163A1B1汽油两驱黑C2
164A1B1汽油两驱黑C1
165A1B1汽油两驱黑C2
166A1B1汽油两驱黑C1
167A1B1汽油两驱黑C2
168A1B1汽油两驱黑C1
169A1B1汽油两驱黑C2
170A1B1汽油两驱黑C1
171A1B1汽油两驱黑C2
172A1B1汽油两驱黑C1
173A1B1汽油两驱黑C2
174A1B1汽油两驱黑C1
175A1B1汽油两驱黑C2
176A1B1汽油两驱黑C1
177A1B1汽油两驱黑C2
178A1B1汽油两驱黑C1
179A1B1汽油两驱黑C2
180A1B1汽油两驱黑C1
181A1B1汽油两驱黑C2
182A2B1汽油四驱黑C1
183A2B1汽油四驱黑C2
184A2B1柴油两驱黑C1
185A2B1柴油两驱黑C2
186A2B1汽油两驱黑C1
187A2B1汽油两驱黑C2
188A2B1汽油两驱黑C1
189A2B1汽油两驱黑C2
190A2B1汽油两驱黑C1
191A2B1汽油两驱黑C2
192A2B1汽油两驱黑C1
193A2B1汽油两驱黑C2
194A2B1汽油两驱黑C1
195A2B1汽油两驱黑C2
196A2B1汽油两驱黑C1
197A2B1柴油两驱黑C2
198A2B1汽油两驱黑C1
199A2B1汽油两驱黑C2
200A2B1汽油两驱黑C1
201A2B1汽油两驱黑C2
202A2B1汽油两驱黑C1
203A2B1汽油两驱黑C2
204A2B1汽油两驱黑C1
205A2B1汽油两驱黑C2
206A2B1汽油两驱黑C1
207A2B1汽油两驱黑C2
208A2B1汽油两驱黑C1
209A2B1汽油两驱黑C2
210A2B1汽油两驱黑C1
211A2B1汽油两驱黑C2
212A2B1汽油两驱黑C1
213A2B1汽油两驱黑C2
214A2B1汽油两驱黑C1
215A2B1汽油两驱黑C2
216A2B1汽油四驱白C1
217A2B1汽油四驱白C2
218A2B1汽油两驱蓝C1
219A2B4汽油两驱白C2
220A2B4汽油两驱蓝C1
221A2B4汽油两驱白C2
222A2B4汽油两驱棕C1
223A2B4汽油两驱金C2
224A2B4汽油两驱红C1
225A2B1汽油两驱金C2
226A2B1汽油两驱红C1
227A2B4汽油两驱棕C2
228A2B1柴油两驱白C1
229A2B1汽油四驱白C2
230A2B1汽油四驱白C1
231A1B1汽油两驱白C2
232A1B1汽油两驱白C1
233A1B1汽油两驱白C2
234A1B1汽油两驱白C1
235A1B1汽油两驱白C2
236A1B1汽油两驱白C1
237A1B1汽油两驱白C2
238A1B1汽油两驱白C1
239A1B1汽油两驱白C2
240A1B1汽油两驱白C1
241A1B1汽油两驱白C2
242A1B1汽油两驱白C1
243A1B1汽油两驱白C2
244A1B1汽油两驱白C1
245A1B1汽油两驱白C2
246A1B1汽油两驱白C1
247A1B1汽油两驱白C2
248A1B1汽油两驱白C1
249A1B1汽油两驱白C2
250A1B1汽油两驱白C1
251A1B1汽油两驱白C2
252A1B1汽油两驱白C1
253A1B1汽油两驱白C2
254A1B1汽油两驱白C1
255A1B1汽油两驱白C2
256A1B1汽油两驱白C1
257A1B1汽油两驱白C2
258A1B1汽油两驱白C1
259A1B1汽油两驱白C2
260A1B1汽油两驱白C1
261A1B1汽油两驱白C2
262A1B1汽油两驱白C1
263A1B1汽油两驱白C2
264A1B1汽油两驱白C1
265A1B1汽油两驱白C2
266A1B1汽油两驱白C1
267A1B1汽油两驱白C2
268A1B1汽油两驱白C1
269A1B2汽油两驱白C2
270A1B2汽油两驱白C1
271A1B2汽油两驱白C2
272A1B2汽油两驱白C1
273A1B2汽油两驱白C2
274A1B2汽油两驱白C1
275A1B2汽油两驱白C2
276A1B2汽油两驱白C1
277A1B2汽油两驱白C2
278A1B2汽油两驱白C1
279A1B2汽油两驱白C2
280A1B2汽油两驱白C1
281A1B2汽油两驱白C2
282A1B2汽油两驱白C1
283A1B2汽油两驱白C2
284A1B2汽油两驱白C1
285A1B2汽油两驱白C2
286A1B2汽油两驱白C1
287A1B2汽油两驱白C2
288A1B2汽油两驱白C1
289A1B2汽油两驱白C2
290A1B2汽油两驱白C1
291A1B2汽油两驱白C2
292A1B2汽油两驱白C1
293A1B2汽油两驱白C2
294A1B2汽油两驱白C1
295A1B2汽油两驱白C2
296A1B5汽油两驱白C1
297A1B2汽油两驱黑C2
298A1B2汽油两驱黑C1
299A1B2汽油两驱黑C2
300A1B2汽油两驱黑C1
301A1B2汽油两驱黑C2
302A1B2汽油两驱黑C1
303A1B2汽油两驱黑C2
304A1B2汽油两驱黑C1
305A1B2汽油两驱黑C2
306A1B2汽油两驱黑C1
307A1B2汽油两驱黑C2
308A1B2汽油两驱黑C1
309A1B2汽油两驱黑C2
310A1B2汽油两驱黑C1
311A1B2汽油两驱黑C2
312A1B2汽油两驱黑C1
313A1B2汽油两驱黑C2
314A1B2汽油两驱黑C1
315A1B2汽油两驱黑C2
316A1B2汽油两驱黑C1
317A1B2汽油两驱黑C2
318A1B2汽油两驱黑C1
319A1B2汽油两驱黑C2
320A1B2汽油两驱黑C1
321A1B2汽油两驱黑C2
322A1B2汽油两驱黑C1
323A1B2汽油两驱黑C2
324A1B2汽油两驱黑C1
325A1B2汽油两驱黑C2
326A1B2汽油两驱黑C1
327A1B2汽油两驱黑C2
328A1B2汽油两驱黑C1
329A1B2汽油两驱黑C2
330A1B2汽油两驱黑C1
331A1B2汽油两驱黑C2
332A1B2汽油两驱黑C1
333A1B2汽油两驱黑C2
334A1B2汽油两驱黑C1
335A1B2汽油两驱黑C2
336A1B2汽油两驱黑C1
337A1B2汽油两驱黑C2
338A1B2汽油两驱黑C1
339A1B2汽油两驱黑C2
340A1B2汽油两驱黑C1
341A1B2汽油两驱黑C2
342A1B2汽油两驱黑C1
343A1B2汽油两驱黑C2
344A1B2汽油两驱黑C1
345A1B2汽油两驱黑C2
346A1B2汽油两驱黑C1
347A1B2汽油两驱黑C2
348A1B1汽油四驱银C1
349A1B1汽油四驱银C2
350A1B1汽油两驱红C1
351A1B1汽油两驱银C2
352A1B1汽油两驱红C1
353A1B1汽油两驱银C2
354A1B1汽油两驱黄C1
355A1B1汽油两驱灰C2
356A1B1汽油两驱黄C1
357A1B1汽油两驱灰C2
358A1B1汽油两驱黄C1
359A1B1汽油两驱灰C2
360A1B1汽油两驱黄C1
361A1B3汽油四驱银C2
362A1B5汽油四驱灰C1
363A1B1汽油两驱灰C2
364A1B1汽油两驱灰C1
365A1B1汽油两驱灰C2
366A1B1汽油两驱红C1
367A1B1汽油两驱灰C2
368A1B3汽油两驱灰C1
369A1B3汽油两驱灰C2
370A1B3汽油两驱银C1
371A1B3汽油两驱灰C2
372A1B2汽油两驱黄C1
373A1B2汽油两驱灰C2
374A1B2汽油两驱红C1
375A1B2汽油四驱黑C2
376A1B2汽油四驱黑C1
377A1B2汽油两驱黑C2
378A1B2汽油两驱黑C1
379A1B2汽油两驱黑C2
380A1B2汽油两驱黑C1
381A1B2汽油两驱黑C2
382A1B2汽油两驱黑C1
383A1B2汽油两驱黑C2
384A1B2汽油两驱黑C1
385A1B2汽油两驱黑C2
386A1B2汽油两驱黑C1
387A1B2汽油两驱黑C2
388A1B2汽油四驱黑C1
389A1B2汽油两驱黑C2
390A1B2汽油两驱黑C1
391A1B2汽油两驱黑C2
392A1B2汽油两驱黑C1
393A1B2汽油两驱黑C2
394A1B2汽油两驱黑C1
395A1B2汽油两驱黑C2
396A1B2汽油两驱黑C1
397A1B2汽油两驱黑C2
398A1B2汽油两驱黑C1
399A1B2汽油两驱黑C2
400A1B2汽油两驱黑C1
401A1B2汽油两驱黑C2
402A1B5汽油四驱黑C1
403A1B5汽油四驱黑C2
404A1B5汽油两驱黑C1
405A1B3汽油两驱黑C2
406A1B3汽油两驱黑C1
407A1B3汽油两驱黑C2
408A1B3汽油两驱黑C1
409A1B3汽油两驱黑C2
410A1B3汽油两驱黑C1
411A1B3汽油两驱黑C2
412A2B1汽油两驱黑C1
413A2B1汽油两驱黑C2
414A2B1汽油两驱黑C1
415A2B1汽油两驱黑C2
416A2B1汽油两驱黑C1
417A2B1汽油两驱黑C2
418A2B5汽油两驱黑C1
419A2B5汽油四驱黑C2
420A2B6汽油两驱黑C1
421A2B6汽油两驱黑C2
422A2B6汽油两驱黑C1
423A2B6汽油两驱黑C2
424A2B4汽油两驱黑C1
425A2B4汽油两驱黑C2
426A2B4汽油两驱黑C1
427A2B4汽油两驱黑C2
428A2B4汽油两驱黑C1
429A2B4汽油两驱黑C2
430A2B4汽油两驱黑C1
431A2B4汽油两驱黑C2
432A2B4汽油两驱黑C1
433A2B4汽油两驱黑C2
434A2B4汽油两驱黑C1
435A2B4汽油两驱黑C2
436A2B4汽油两驱黑C1
437A2B4汽油两驱黑C2
438A2B4汽油两驱黑C1
439A2B4汽油两驱黑C2
440A2B4汽油两驱黑C1
441A2B4汽油两驱黑C2
442A2B1汽油两驱黑C1
443A2B1汽油四驱白C2
444A2B1汽油四驱白C1
445A2B4汽油两驱白C2
446A2B6汽油两驱白C1
447A2B6汽油两驱棕C2
448A2B6汽油两驱红C1
449A2B4汽油两驱棕C2
450A2B1汽油两驱红C1
451A2B4汽油两驱银C2
452A2B4汽油两驱银C1
453A2B1汽油四驱银C2
454A2B1汽油两驱红C1
455A2B1汽油两驱金C2
456A2B4汽油两驱红C1
457A2B4汽油两驱棕C2
458A2B4汽油两驱棕C1
459A2B1汽油四驱白C2
460A2B1汽油四驱白C1
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/D029/D029.md b/MCM_CN/2018/D029/D029.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f28ea3ee5001cf2f1f5dbccb56acddf2bed653a3 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/D029/D029.md @@ -0,0 +1,807 @@ +# 确定汽车装配顺序问题的算法 + +# 摘要 + +汽车是当前运用最为广泛的交通工具。为了减少汽车的生产成本以及能方便得出汽车生产线上的装配顺序，需对原有的汽车生产线进行优化。本文针对工艺要求、质量控制的需要和成本，关于调整生产线上的汽车品牌、颜色等顺序，设计了确定汽车装配顺序问题的算法。 + +针对问题一，需要一个能得出生产成本较低的汽车装配顺序的算法。因为属性和工艺要求的多样性，难以找到使所有目标达到最佳的方案，于是采用多目标规划，用了序贯算法的思想，根据品牌、配置、动力、驱动、颜色这5个属性的优先级，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后根据优先级依次求解。 + +对于品牌A1和A2，两班分别装配当天两种品牌各一半数量的汽车（总数460辆）。用Excel软件根据附件所给数据制作A1和A2每天汽车总量表（见附录1.1），可知7天内每天生产A1的数量均超过350辆，A2的数量均少于105辆。 + +对于汽车颜色属性如何确定装配顺序的问题，分析各颜色之间的间隔关系与数量，结合换色成本的考虑，采用分类思想先分为黑车和其他颜色的车，建立求黑车最小组数的最优化模型，并且根据最优化模型得出各天黑车组数最小值均为4组，并且求出黑色车各组的具体数量。再将其他颜色的车进行分类，设计五步确色法来确定颜色装配顺序。结合了颜色装配流程图（见图3），建立了各颜色装配顺序的模型。 + +对于动力属性如何确定装配顺序的问题，尽量使柴油车在白班内完成装配，通过求基本最优解的方法，计算式（7），若计算得到的结果大于或等于5，则直接得到两批柴油汽车之间的汽油汽车数量。若计算得到的结果小于5，则柴油汽车不能在白班完成装配，需要分配一部分到夜班，用式（8）计算出两批柴油汽车之间的汽油汽车数量，得到每个班次的柴油车组数和每组需要用来间隔的汽油车数量。 + +对于驱动属性如何确定装配顺序问题，考虑情况与动力属性相似，尽量使四驱汽车在白班内完成装配，通过求基本最优解的方法，计算得到每个班次的组数、每组需要装配四驱车与两驱车的数量，由此得出两批四驱车之间数量的公式见式（5）。 + +对于配置属性与其他属性之间的关系，将配置与品牌、动力、驱动、颜色等属性结合分析。将配置与动力共同分析得表3，可知7天内每天生产各类汽车的数量分布较均匀。将配置与颜色共同分析得表5，得到黑色B1配置的汽车总量为33辆。将配置与驱动共同分析得到表6，可知7天内生产的B1配置两驱汽车和四驱汽车的数量相似，两驱车在270辆到240辆之间，四驱车在30辆到10辆之间。得到7天内B1配置四驱车数量变化小。 + +将配置与品牌共同分析得表7，可知B1配置的汽车数量最多，品牌A1的汽车每天产量可超过220辆，A2的汽车每天产量在60辆以内。 + +计算方案中所产生代价，利用层次分析法思想，确定各品牌、配置、动力、驱动、颜色这5个属性对代码权重，建立权重计算模型，根据文献所查到非黑色换色成本，得出第20日颜色切换、驱动切换、配置切换、动力切换的代价约为4550元。 + +结合五个模型，编写C语言代码（见附录2.1)，来实现解决确定汽车总装线配置问题的算法，运行并调整得到17日至23日汽车配置安排表（见支撑材料）。 + +关键词：整数规划；多目标决策；序贯算法；最优化模型 + +# 一、问题重述 + +某汽车公司生产多种型号的汽车。每种型号由品牌、颜色、动力、配置、驱动5种属性确定。品牌有A1和A2；有黑、白、红、黄、蓝、金、银、棕、灰9种颜色；动力有汽油和柴油；有B1、B2、B3、B4、B5和B6，6种配置；有两驱和四驱2种驱动。 + +公司每天可装配各种型号的汽车460辆，其中白班、晚班（每班12小时）各一半。每天生产各种型号车辆的具体数量由市场需求和销售情况决定。附件给出了该企业2018年9月17日至9月23日一周的生产计划。 + +车辆装配流程为待装配车辆按一定顺序排成一列，首先通过总装线依次进行总装作业，之后按序分为C1、C2线进行喷涂作业。 + +装配要求： + +（1）每天两班都是按照先A1后A2的顺序，两班分别装配当天两种品牌各一半数量的汽车。 +（2）四驱汽车连续装配数量不得超过2辆，两批四驱汽车之间间隔的两驱汽车的数量至少要10辆，柴油汽车与四驱汽车要求相同。若间隔数量无法满足要求，仍希望间隔尽量多。间隔数量在5-9辆是可以接受的，但成本很高。 +(3) 同品牌的相同配置车辆尽量连续, 减少不同配置车辆之间的切换次数。 + +(4) 对于颜色的要求如下: + +1）红、黄、蓝三种颜色汽车的喷涂只能在 C1 线上进行，金色汽车的喷涂只能在 C2 线上进行，其他颜色汽车的喷涂可以任意在 C1 和 C2 的喷涂线上进行。 +2）除黑、白两种颜色以外，可在同一条喷涂线上，同种颜色的汽车应尽量连续喷涂作业。喷涂线上不同颜色之间的切换次数尽量减少，尤其是黑色与其它颜色之间的切换成本很高。 +3）不同颜色汽车在总装线上排列时的具体要求如下： + +(a) 黑色汽车连续排列的数量要在 50 到 70 辆之间, 两批黑色汽车在总装线上需要间隔至少 20 辆; 白色汽车可以连续排列, 也可以和蓝或棕色的汽车间隔排列。 +（b）蓝色汽车必须与白色汽车间隔排列；颜色为黄或红的汽车必须与颜色为银、灰、棕、金中的一种颜色的汽车间隔排列。 +(c) 灰色或银色的汽车可以连续排列, 或与颜色为黄、红、金中的一种颜色的汽车间隔排列; 金色汽车要求与黄色或红色的汽车间隔排列; 若无法满足要求, 亦可以与颜色为灰、棕、银中的一种颜色的汽车间隔排列。 +(d) 棕色汽车可连续排列, 或与黄、红、金、白中的一种颜色的汽车间隔排列。 +(e) 关于其他颜色的搭配，遵循“没有允许即为禁止”的原则。 + +由于该公司的生产线24小时不间断作业，以上总装线和喷涂线的各项要求对相邻班次（包括当日晚班与次日白班）的车辆同样适用。 + +问题： + +（1）根据问题的背景和装配要求结合附件中的数据，建立数学模型或者设计算法，使结果能符合要求、并且生产成本较低的装配顺序。 +(2) 根据 (1) 中建立的数学模型或算法, 分析附件中所给的数据, 给出计算结果: + +(a) 以 9 月 20 日为例制作一张装配顺序表。 +（b）根据（a）中制作的表在制作9月17日至9月23日每日的装配顺序表。 + +# 二、问题分析 + +汽车生产线优化有一系列不同要求，分析附件，得知要解决的问题为最优化问题及数据排序。建立汽车装配模型，并根据不同的要求进行修改，使汽车装配模型符合题目要求。 + +因为属性和工艺要求的多样性，难以找到使所有目标达到最佳的方案，于是采用多目标规划。而序贯式算法是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解，所以可以使用序贯算法的思想。 + +使用然后使用序贯算法的思想，根据品牌、配置、动力、驱动、颜色这5个属性的优先级，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后根据优先级依次求解。 + +针对问题一，考虑到符合要求且有较低生产成本的装配顺序。这是最优化求解问题。根据装配要求可知，汽车生产线有白班和晚班两个班次，总装线和喷涂线的各项要求对相邻班次的车辆同样适用。所以模型只考虑白班计划。 + +使用序贯算法将品牌、驱动、动力、颜色、配置属性逐一分析。 + +针对品牌属性，计划将汽车总数一分为二减少计算量，先加工A1型号后加工A2型号。配置方面利用Excel软件制作配置与各个属性结合的表格，并依次对表格进行具体数据分析。 + +针对配置属性，考虑到同一品牌的相同配置车辆尽量连续，减少切换次数这一要求。 + +针对颜色属性，用Excel软件统计出各种颜色的汽车数量。以减少成本为前提，将数量最多的颜色与其它颜色在进行衔接考虑；根据题目所给要求，考虑将蓝色车辆与白色车辆分开，将金色车与红色车或黄色车分开，由于银色、灰色和棕色都可以用于相互间隔，但是棕色车与白车间隔可降低成本。所以在减少相应代价降低生产线成本的基础上安排合适的装配顺序。 + +针对驱动属性，根据问题要求，考虑将四驱车在白班内全部完成，同时计算其所需要装配的组数和两驱车需要装配的数量，最后得到两批四驱车之间间隔的两驱车数量，若四驱车不能在白班内全部完成，就将四驱车平均分配在两个班次内，再计算其结果。 + +针对动力属性，根据问题要求，同样考虑将柴油车在白班内完成，计算出各个量后，计算出其结果，若符合问题要求则得出结果，若不符合，则将柴油车平均分配在两个班次内，再计算其结果。 + +将分析后得出的品牌、配置、颜色、驱动、动力等的5种属性数据进行归类，在考虑生产成本的基础上安排合适的装配顺序，设计出算法，并写出代码。 + +针对问题二，在使用C-Free软件上运行代码，用Excel软件对表格进行归类排序。制作17日到23日的装配顺序表。 + +# 三、模型假设 + +1、假设各色车辆的数量不会发生很大的变化。 +2、假设黑车数量大于200辆并且少于280辆。 +3、假设没有新的型号、品牌出现。 +4、假设红色、黄色车为同一类车，定义为 $R$ 型车。 +5、假设银色、灰色车为同一类车，定义为 $S$ 型车。 + +# 四、定义与符号说明 + +
符号定义
R红色和黄色车
S银色和灰色车
L蓝色车数量
W用于间隔蓝色车的白色车数量
Bi,i=1,2Bi分别对应Ai,i=1,2,型号黑车的数量
B某日黑车的总需装配数。
n黑车的总组数（50到70辆一组）
γj,j=1,2,3,4j值为1到4，表示第几组；γ表示应有的黑车数量
x总黑车数减去70辆车的满编组后剩下的黑车数
Mk,k=1,2...,7第k天生产的汽车总数
Ck,k=1,2...,7第k天产生柴油的车辆
Pi,i=1,2分别对应Ai,i=1,2,两驱车、四驱车的数量
D用于间隔两批四驱车的两驱车数量
Y用于间隔两批柴油车的汽油车数量
Wk,k=1,2...,7第k天生产汽油的数量
g装配的组数
+ +# 五、数据处理 + +1、根据题目所给要求，只考虑一班的生产的230辆汽车，即一天当中车辆总数的一半，总数为460辆。这样可以使数据处理更简易、快捷。 +2、由表1可知，黑色车数量是在所有颜色车数量中最多的，每天分布都在260辆到280辆之间，所以优先考虑黑色车的排序；由于蓝色车数量较少每天生产都在10辆以下，但又必须与白色车间隔排序。所以蓝色车要优先于白色车考虑。 +3、银色车与灰色车间隔可降低成本，每天数量都在20辆以内，所以将它们放在同一级。最后白色与棕色放在最后以及考虑。 + +表 1 各种颜色的车总数表 + +
日期17日18日19日20日21日22日23日
黄5445444
蓝5446644
黑261263277254270264263
白150154142155123119120
灰11141312151514
金2103888
棕6556112225
银11999141513
红96610999
+ +2、由表1可知，黑色车数量是在所有颜色车数量中最多的，每天分布都在260辆到280辆之间，所以优先考虑黑色车的排序；由于蓝色车数量较少每天生产都在10辆以下，但又必须与白色车间隔排序。所以蓝色车要优先于白色车考虑。 +3、银色车与灰色车间隔可降低成本，每天数量都在20辆以内，所以将它们放在同一级。最后白色与棕色放在最后以及考虑。 + +# 六、模型的建立与求解 + +# 6.1 问题一设计确定汽车装配顺序问题的算法 + +汽车总装线的配置问题中由品牌、配置、动力、驱动、颜色5种属性确定，先将五种属性各自做出处理方案，再将各属性结合分析，确立最终汽车装配顺序。 + +因为属性（品牌、配置、动力、驱动、颜色这5个属性）的多样性和工艺要求繁琐，难以找到使所有目标达到最佳的方案，于是采用多目标规划[1]。将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后根据优先级依次求解。 + +而序贯算法[2]是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解，序贯算法符合我们的解题思路。 + +# 6.1.1 品牌属性的装配算法设计 + +每天的一班时间内只能分别做完一半的品牌数量，所以以一班要做的品牌数量为约束条件，先进行分析。 + +为了清楚的了解汽车各品牌的分布状况，针对品牌A1和A2进行分析，由装配要求可知7天内每天的白班和晚班都是先加工品牌为A1的汽车，等品牌为A1的汽车加工完了后再加工品牌为A2的汽车。 + +因为一天分为两班白班和晚班，总装线上和喷涂线上的各项要求对相邻的两个班次的车辆同样适用。先考虑将品牌A1和A2分别各自分为两批数量第一批尽量能多放属性为四驱的车就多安排四驱的车，若不行则将四驱车的数量平均排在两个班。 + +早班将安排的品牌为A1的四驱车和品牌为A2的两驱车的数量加工完后，紧接加工安排好的品牌为A2的四驱车和两驱车。 + +# 6.1.2 颜色属性的装配算法设计 + +经过对五种属性的分析，颜色属性的要求复杂且重要，将颜色属性作为主要分析属 + +性。由表1可知黑车总数最多，且黑车要求的连续喷涂量最多，所以先将颜色分为黑色与其它颜色考虑。 + +对其他颜色进行分类，在黑色、蓝色以外颜色车的排列中，因为红色车与黄色车的工艺流程要求相同，将红色、黄色车分为一类，定义为 $R$ 型车。 + +银色、灰色车可以连续排列所以银色与灰色可以分为一类，都是用来当做间隔红色、黄色、金色车的，定义为 $S$ 型车。 + +经过归类以及分析后，设计出五步确色法： + +步骤1：由数据处理可知黑车总数最多，且黑车要求的连续喷涂量最多，所以先将颜色分为黑色与其它颜色考虑。 + +步骤2：由数据处理可知，蓝车的总量都小于6辆，且蓝车只有于白车间隔的要求，所以先考虑蓝车。 + +步骤3：金色车和 $R$ 类车（红色、黄色车）尽量相互间隔，所以将金色车与 $R$ 类车同时考虑。 + +步骤4：银色灰色棕色车虽然都可以用于间隔，但棕色车可以与白车间隔，使成本降低，所以考虑银色车与灰色车的装配顺序。 + +步骤5：将剩下的棕色车和白色车的装配顺序确定。 + +将颜色属性分为五个步骤来做，步骤一做出黑车各组配置，步骤二将蓝车的装配顺序确定，步骤三将 $R$ 类车以及金色车的装配顺序确定，步骤四将 $S$ 类车的装配顺序确定，步骤五将白色车和棕色车的装配顺序确定。 + +五步确色法具体操作情况分析： + +# 步骤1：黑车各组配置 + +针对颜色属性进行分析，因为黑车需要连续50到70辆车喷涂，中间需要间隔其他颜色的车至少20辆，且根据数据处理可知黑车的总数量最多。所以需要将黑车分为两班做，两班的考虑情况相同，白班的情况见图1白班黑车与其它颜色车的顺序图。 + +因为黑车与其他颜色车切换的代价很大，并且A2型号的黑车普遍小于70辆，所以使A1最后一组为黑车A2第一组为黑车可以降低成本（即两种型号黑车合为一组），并且黑车组数越小越好。 + +以17日的数据为例。9月17日一班能做182辆A1型号车，48辆A2车，A1型号黑车与A2型号黑车相加得到9月17号黑车数量为261辆。 + +使一班A1型号装配顺序最后部分为黑车，A2型号的装配顺序前列为黑车，因为所以可以将两种型号的黑车一起连续排列为第二组黑车。 + +![](images/25f9bbd402556aed4d32b49141b7a84e7fb3512443bc823eba8b22ec9ea33977.jpg) +图1 白班黑车与其它颜色车的顺序图 + +晚班的考虑情况与白班相同，第三组同第一组，第四组同第二组（若A2型号黑车在白班喷涂完则第四组黑车全为A1型号）。 + +因为黑车必须连续50到70辆，所以得出可用于调动的数量为20辆。根据可调动数量与组数的关系，可以分为两种情况。 + +情况1： $x$ 小于可调动的黑车数（每组有20辆）时，将满编组的黑车调动到第二组 + +中使其达到 50 辆（如第 20 天，第二组根据计算只有 44 辆，将第一组的 70 辆分出 17 辆给第二组，则第二组车数 50 辆，第一组车数 64 辆，若第一组不够调动数量，则从第三组调动到第二组，第三组不够调动数量则从第四组调动到第二组）。 + +情况2：若 $x$ 大于可调动的黑车数时，不满足黑车连续排列数量50到70辆的规律，则说明数据有误（比如黑车只有49辆），分析表1可知没有数据异常值。 + +根据表1黑车的数量，可知各天黑车数量均符合情况1。 + +当 $x$ 的值小于 $n$ 组可调配的数量（20辆黑车）时，满足情况1，给 $x$ 调配到50辆黑车，并且组数增加一个，得到式(1)， $n$ 为黑车的组数，满编组为70辆， $x$ 为剩余的黑车数量。 + +$$ +\min n = \frac {B _ {\text {总}} - x}{7 0} + 1, \tag {1} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} 5 0 - x \leqslant 2 0 n \\ x \leqslant 5 0 \end{array} . \right. \tag {1} +$$ + +将黑车数量261辆代入公式(1)得到黑车组数为4组，分为白天和晚上两班，每班两组，白班第二组为连续51辆车，其他组黑车均为连续70辆。 + +刚开始装配时开始装配黑车，将一组黑车装配完后进行其他颜色车的装配，根据第二组的黑车应有数量以及A2型号的黑车数量考虑：。 + +情况 1: A2 型号的黑车数量 $B_{2}$ 小于第二组应有黑车数量 $\gamma_{2}$ 。将所有 A2 型号的黑车都放在 A2 型号装配顺序的前列, 得到式(2): $B_{1}$ 为第二组 A1 型号的黑车数量, $B_{2}$ 为第二组 A2 型号的黑车数量, $\gamma_{2}$ 为第二组应有的黑车数量。 + +$$ +B _ {1} = \gamma_ {2} - B _ {2}. \tag {2} +$$ + +情况2：A2型号的黑车数量 $B_{2}$ 大于第二组应有黑车数量 $\gamma_{2}$ 。那么在夜班的时候，喷涂全部A2型号的黑车，并能得到A1型号应在第二组中的数量 $B_{1}$ 得到式(3): + +$$ +B _ {2} = \gamma_ {2}. \tag {3} +$$ + +结合式1、式2、式3，可以在C-Free软件中用C语言编程来求解公式，编出的代码见附录二的2.1。根据附录二的2.1代码，可知第二组黑车应有数量为51辆，满足情况2，用式2可，A2型号装配48辆，计算出A1型号最后应喷涂的黑车数量 $B_{1}$ 为20辆，A2型号刚开始应喷涂的黑车数量 $B_{2}$ 为31辆。 + +晚班时，第四组黑车应有数量为70辆，A2型号的黑车有40辆，满足情况1，根据式3算出，第四组的A1型号最后应该喷涂的黑车数量 $B_{1}$ 为30辆与A2型号刚开始应喷涂的黑车数量 $B_{2}$ 为40辆。 + +根据表 1 给出的黑车数量, 结合式 1、2、3 分析, 每天都只有 4 个组, 所以每个班 + +次只有 2 组黑车，分别为，第一组：A1 型号第一个装配顺序开始直到已喷涂黑车数量达到 $\gamma_{2}$ （第一组黑车数量）；第二组：A1 型号最后装配数量 $B_{1}$ 开始到 A2 型号的 $B_{2}$ 。 + +# 步骤2：蓝车装配顺序 + +蓝车要求必须与白车间隔排序，且由图2可知蓝车只能在C1喷涂线上喷涂，单数装配顺序的车才进入C1喷涂线，所以当第一组黑车为单数时，下一辆车为白车，再后一辆是蓝车……且由表1可知白色车的数量远远大于蓝色车，所以可以得到应用于间隔蓝车的白车数量 $W$ 与的式4。 $L$ 为蓝车的数量。 + +$$ +W = L + 1. \tag {4} +$$ + +![](images/64d14a7a5e725850841c36c9c276180b9c1d63208d10d75b3e783cf55b25c60b.jpg) +图2喷涂线介绍图 + +# 步骤3：金色、 $R$ 类车装配顺序 + +将蓝车装配完成后考虑剩下颜色的车。 + +红车或黄车只能与银色、灰色、棕色、金色车间隔排序，金色车在有红色或黄车的情况下先与红车或黄车间隔，若无红车与黄车，则与银色、灰色、棕色间隔排序。 + +棕色车虽然可以连续排列，但可以与白色、红色、黄色、金色车间隔，并且除黑白两色车外，同种颜色的车连续喷涂会减少成本，那么棕色与其它颜色车间隔排列会使成本进一步降低。 + +所以S类车（银色、灰色）作为间隔其他红色、黄色、金色车的优先级比棕色车高。 + +因为黄色、红色车只能在C1喷涂线上喷涂，金色车只能在C2喷涂线上喷涂，所以有两种情况： + +情况1：在喷涂完蓝色车后（无蓝色车则在黑车喷涂完后），若下一辆车去的喷涂线是C1，则先喷涂 $R$ 类车（红色、黄色车），再将金色车与 $R$ 类车互相间隔，若无金色车则使用 $S$ 类车间隔，若无 $S$ 类车则使用棕色车间隔。 + +情况2：喷涂完蓝色车后（无蓝色车则在黑车喷涂完后）的下一辆车去的喷涂线是C2，那么先喷涂金色车，再用 $R$ 类车间隔金色车，若无 $R$ 类车则使用用 $S$ 类车间隔，若无 $S$ 类车则使用棕色车间隔。 + +# 步骤4： $S$ 类车装配顺序 + +若金色车装配完成，但 $R$ 类车（红色、黄色车）未装配完成，则使用 $S$ 类车（银色、灰色车）进行间隔，先装配银色车来间隔 $R$ 类车，当银色车全部装配完后，再装配灰色车，若灰色车全部装配完后还有剩余的 $R$ 类车，那么装配棕色车来与 $R$ 类车间隔。 + +对于 $S$ 类车（银色、灰色车），在满足驱动、动力的情况下尽可能将银色、灰色间隔排序，能使每条喷涂线的汽车颜色连续，符合同色车尽量连续喷涂作业的要求，能减少成本。若与驱动、动力、配置冲突，则服从下方的准则 5。 + +# 步骤5：棕色、白色车的装配顺序 + +根据表1分析，白色车总比棕色车多，所以只考虑棕色车的情况。若有剩余的棕色车，将剩余的棕色车与白色车间隔排序，棕色车排完后，将剩下的白色车连续排列进行 + +装配。 + +最终得到流程图图3，且有以下准则： + +准则1：第一（早班）、三组（夜班）黑车在早（夜）班的A1型号装配顺序最前列。第二（早班）、四组（夜班）黑车在A1型号的装配循序最后部分为黑车，A2型号的装配顺序前列为黑车。有A1型号与A2型号连续排列。 + +准则2：调动黑车数量时，按一、三、四组的顺序调动。 + +准则3：若有蓝色车，先将蓝色车排完。 + +准则4：满足准则3的情况下若有金色车和 $R$ 类车（红色、黄色车），先排完金色车和 $R$ 类车， $R$ 类车红色车和黄色车的装配顺序可以互换。 + +准则5：蓝色车、金色车、 $R$ 类车、黑色车的优先级高于其他属性为第一优先级，其他属性的调动顺从金色车、 $R$ 类车、黑色车。 + +动力、驱动属性优先级高于 $S$ 类车、白色车、棕色车优先级为第二优先级，当 $S$ 类车的间隔排序与驱动、动力冲突时，考虑到驱动、动力装配顺序出现异常比 $S$ 类车的非间隔排序成本更大，所以 $S$ 类车的排序服从驱动、动力的要求。 + +![](images/01020b070d23a2e647728715883c774ad60c4b6b0ac05991cf1a385885f1b75d.jpg) +图3颜色装配问题流程图 + +# 6.1.3 驱动属性的装配算法设计 + +针对驱动属性，因为四驱汽车连续装配数量不能超过2辆，同时两批四驱汽车之间间隔的两驱汽车的装配数量至少是10辆，并且在间隔数量无法满足要求的情况下间隔5到9辆仍可以接受，但代价很高，所以需要尽可能的增加两批四驱汽车之间的两驱汽车的装配数量，并考虑在白班就将四驱汽车完成装配。 + +情况1： $D$ 大于或等于5时， $D$ 为两批四驱汽车之间间隔的两驱车，首先计算白班需要装配的组数 $g$ ，然后计算两驱汽车需要装配的数量 $p_1$ ，以20日的数据为例，9月20日A1品牌一班能做181辆车，A2品牌能做49辆车，其中A1品牌需要装配18辆四驱车，344辆两驱车，需要装配9组，A2品牌需要装配12辆四驱车，86辆两驱车，需要装配6组。 + +由此得到式(5)并计算得到两批四驱汽车之间的两驱汽车的数量 $D$ 。 + +$$ +\max D = \frac {p _ {1}}{g}, +$$ + +$$ +s. t. = \left\{ \begin{array}{l} g = \frac {p _ {2}}{2} \\ p _ {1} = \frac {M _ {k}}{2} - p _ {2} \end{array} . \right. \tag {5} +$$ + +情况2：当 $D$ 小于5时，则在白班内无法将四驱汽车装配完成，需要将四驱汽车分配在两个班次内完成，在式(5)的基础上进行改变，对四驱汽车的数量进行平均分配，使两个班次的两驱汽车装配数量能过充分的利用，使两批四驱汽车之间的两驱汽车装配数量相等，由此得到式(6)。 + +当装配总数 $D$ 除以四驱汽车要装配的数量再减去2得到的结果小于5时，则在白班内无法将四驱汽车装配完成，需要将四驱汽车分配在两个班次内完成，在上述公式的基础上进行改变，对四驱汽车的数量进行平均分配，使两个班次的两驱汽车装配数量能过充分的利用，使两批四驱汽车之间的两驱汽车装配数量相等，也就是将两个班次的装配数量 $\frac{M}{2}$ 减去二分之一的四驱汽车的数量 $\frac{p_1}{2}$ 得到两驱汽车装配数量 $p_2$ ，再除以每个班次需要的装配的组数 $g$ ，即二分之一的四驱汽车的数量再除以2得到装配的组数 $\frac{p_1}{4}$ ，就能得到所求两批四驱汽车之间的两驱汽车装配数量 $D$ 公式如下。 + +$$ +\max D = \frac {p _ {2}}{g}, +$$ + +$$ +s. t. = \left\{ \begin{array}{l} g = \frac {p _ {1}}{4} \\ p _ {2} = \frac {M _ {k}}{2} - \frac {p _ {1}}{2} \end{array} . \right. \tag {6} +$$ + +![](images/c1680edc3d51a190f0a4ef7ef6f9dd5ef0606167b38227058310effc33afcf4b.jpg) +图4驱动装配问题流程图 + +# 6.1.4动力属性的装配算法设计 + +针对动力属性，因为动力属性的要求与驱动属性相同，所以同样需要将两批柴油汽车之间的汽油汽车数量增加，减少装配的组数。 + +根据问题要求， + +情况1：当两批柴油车数量之间间隔5辆以上时。每个班次的装配总数 $\frac{M}{2}$ ，减去需要装配的柴油汽车的数量 $C_k$ ，得到需要装配的汽油汽车的数量 $W_k$ ，再计算需要装配的组数 $g$ ，将需要装配的柴油数量 $C_k$ 除以2得到需要装配的组数 $g$ ，将需要装配的汽油汽车的数量 $W_k$ 除以需要装配的组数 $g$ ，得到两批柴油汽车之间的汽油汽车的数量 $Y_g$ ，得到公式（5）。 + +$$ +\max Y = \frac {W _ {k}}{g}, +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} W _ {k} = \frac {M}{2} - C _ {k} \\ g = \frac {C _ {k}}{2} \end{array} . \right. \tag {7} +$$ + +情况2：若求得的两批柴油汽车之间的汽油汽车数量小于5时，则柴油汽车不能在白班内完成装配，需要将柴油汽车分配在两个班次内完成，对柴油汽车需要装配的数量进行平均分配，先求出每个班次需要装配的组数 $g$ ，即柴油汽车需要装配的数量除以4，用每个班次需要装配汽车的数量 $\frac{M}{2}$ 减去每个班次柴油汽车需要装配的数量 $\frac{C_k}{2}$ 得到每个班次需要装配的汽油汽车数量 $W_{k}$ ，最后除以需要装配的组数 $g$ ，两批柴油汽车之间的汽油汽车数量 $Y_{k}$ ，得到式6。 + +$$ +\max Y = \frac {W _ {k}}{g}, +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} W _ {k} = \frac {M}{2} - \frac {C _ {k}}{2} \\ g = \frac {C _ {k}}{4} \end{array} . \right. \tag {8} +$$ + +# 6.1.5 配置属性的装配算法设计 + +针对配置属性进行分析，因为使用柴油的汽车的配置只有B1，而使用汽油的汽车的配置却有6种，分别为B1、B2、B3、B4、B5和B6。 + +为了了解每日生产使用柴油汽车配置情况，用Excel软件以每天柴油和汽油为变量制作每日生产使用柴油汽车配置为B1表，如表2所示。 + +表 2 每日生产使用柴油汽车配置为 B1 表 + +
每日生产使用柴油汽车配置为B1表
日期17日18日19日20日21日22日23日
柴油41416421212
汽油456446444456458448448
+ +由表2可知，考虑到使用柴油的汽车的配置数量较少受约束的条件就较少，7天内生产使用柴油的汽车数量最多的一天是19日，数量达到16辆；7天内生产使用柴油的汽车数量最少的一天是21日，数量达到2辆。 + +考虑到使用汽油的汽车的配置数量较多所受约束的条件就较多，7天内生产使用汽油的汽车配置为B1数量比使用汽油的汽车配置为其它的汽车数量多，最多的一天是17日，数量达到290辆；7天内生产使用汽油的汽车配置为B1的数量最少的一天是21日，数量达到248辆。7天内生产使用汽油的汽车配置为B5和B6的数量比使用汽油的汽车配置为其它的汽车数量少，生产B5和B6最多的一天，分别是17日和20日数量分别为8辆和7辆。 + +为了了解每日汽车配置情况，用Excel软件以每天黑色车辆、白色车辆、银色车辆为变量制作汽车配置表，如表3所示。 + +表 3 汽车配置表 + +
日期17日18日19日20日21日22日23日合计
黑车B1484325733
白车B10511104526
银车B100020204
+ +由表3可知，在考虑柴油的情况下结合对颜色属性的分析，发现黑色的汽车和白色的汽车配置为B1的较多7天内分别累计有33辆和26辆，银色有4辆配置为B1，灰色汽车有1辆配置为B1。 + +为了了解黑色与金色车配置情况，用Excel软件以每天黑色汽车数量和金色汽车数量为变量制作黑色车与金色车数量表，如表4所示。 + +表 4 黑色车与金色车数量表 + +
日期17日18日19日20日21日22日23日
黑257257269251268259256
金2103888
+ +由表4可知，结合对颜色属性的分析，发现黑色的汽车的各个配置比其它颜色的汽车的各个配置都多，7天内黑色汽车最多一天累计生产269辆，最少一天累计生产251辆；金色的汽车的各个配置比其它颜色的汽车的各个配置都少，7天内金色汽车最多一天累计生产8辆，最少一天累计生产0辆。 + +为了了解汽车驱动配置情况，用Excel软件以每天生产的配置为B1驱动为两驱的汽车数量和配置为B1驱动为四驱的汽车数量为变量制作汽车驱动配置表，如表5所示。 + +表 5 汽车驱动配置表 + +
日期17日18日19日20日21日22日23日
两驱B1272266267267243245245
四驱B1182530225109
+ +由表5可知，结合对驱动属性的分析，发现两驱的汽车配置为B1的数量最多，7天内两驱的汽车配置为B1最多一天是17日累计生产数量为272辆，驱动为两驱的汽车最少一天是21日累计生产数量为243辆；发现四驱的汽配置为B1的车数量最多，7天内生产四驱的汽车配置为B1的数量最多一天是19日累计生产数量为30辆，生产两驱的汽车配置为B1数量最少一天是21日累计生产数量为5辆。 + +为了解各品牌配置为B1和B5汽车生产最多的一天和最少的一天的情况，用Excel软件以每天生产的品牌为A1配置为B1的汽车数量和品牌为A1配置为B5的汽车数量及品牌为A2配置为B1的汽车数量和品牌为A2配置为B5的汽车数量为变量制作汽车驱动配置表，如表6所示。 + +由表6可知，结合对品牌属性的分析发现品牌为A1的汽车配置为B1的数量最多，7天之内品牌为A1且配置为B1的汽车累计数量最多的一天是17日，生产品牌为A1且配置为B1的汽车数量达到238辆；品牌为A1且配置为B1的汽车累计数量最少的一天是21日，生产品牌为A1且配置为B1的汽车数量达到225辆；品牌为A1的汽车配置为B6的数量最少，7天之内生产0辆。 + +品牌为 A1 的汽车配置为 B5 的数量其次，7 天之内品牌为 A1 且配置为 B5 的汽车 + +累计数量最多的三天是前三天，数量为6辆，生产品牌为A1且配置为B5的汽车数量最少的三天为；品牌为后三天数量为2辆。 + +表 6 各品牌的配置生产最多的一天和最少的一天表 + +
日期17日18日19日20日21日22日23日
A1B1238233227236225232232
A1B56665322
A2B152565853232322
A2B52402111
+ +分析发现品牌为A2的汽车配置为B1的数量最多，7天之内品牌为A2且配置为B1的汽车累计数量最多的一天是19日，生产品牌为A2且配置为B1的汽车数量达到58辆；品牌为A2且配置为B1的汽车累计数量最少的一天是23日，生产品牌为A2且配置为B1的汽车数量达到22辆。 + +品牌为A2的汽车配置为B5的数量最少，7天之内生产最多的一天是18日当天生产数量为4辆；7天之内生产最少的一天是19日，每天生产数量为0辆。 + +# 6.1.6 五种元素共同分析与成本计算 + +将5个模型的约束条件、准则、各颜色、配置、型号、动力、驱动的车数量合并考虑，写出C语言代码[6]，见附录二的2.1。 + +层次分析法是将与决策有关的要素进行分类并分出3个或3个以上的层次或级别，在此基础上之上进行分析的决策方法。运用层次分析法的思想将决策或问题中的各个要素进行量化。考虑将各成本量化。量化方法同层次分析法的比例标度表。 + +表 7 比例标度表 + +
因素i比因素j同等重要稍微重要较强重要强烈重要极端重要相邻判断中间值
量化值135792,4,6,8
+ +将五个属性共同分析时，发现各属性之间有冲突，根据准则6，会有银色和灰色或棕色的车不连续在同一条喷涂线喷涂等，造成成本增加。 + +定义描述为成本很高的，量化为7。描述为尽量连续的，量化为1。 + +以20日的数据为例。不同配置的车之间切换了7次。黑车与其他车切换了10次（每条喷涂线切换一次）。其它颜色之间不连续在同一喷涂线的次数有14次，四驱和两驱中间间隔5-9辆车的次数为0次。所以损失的成本的量化为91。 + +结合文献[1]可知一般常规换色一次，消耗涂料 $0.5\mathrm{kg}$ ，稀料 $2\mathrm{kg}$ 左右。如果涂料以45元/kg计算，稀料以14元/kg计算，那么每次非黑色之间的换色消耗材料的成本约50元左右，结合损失的成本量化值，20日的成本大致为4550元。 + +# 6.2 利用确定汽车装配顺序问题解决问题二 + +根据问题一的模型与算法，对附件中的数据分类归类为支撑文件中的代码输入数据文件，使用C-Free软件运行代码，在D盘中得能到新的Excel文件schedule.xls。 + +将运行代码后出现的表调整格式以及，放入支撑材料。并将9月20日的装配顺序表放在附录1.1，将9月17到9月23日的装配顺序表放在附件中。 + +# 七、模型的灵敏度分析 + +数据是统计观察得到的，因此我们需要考虑数据不准确的可能性，如某日黑车生产过多，导致第二天黑车生产辆减少，或者由于某型号黑车销量问题，减少或增加此型号的黑车生产数。为了研究改变黑车数量对模型的影响，改变一天中黑车的数量，分析改变前后的数据，来检验算法的灵敏度，由于改变黑车的数量且需要保持车的总数不变，则同时改变对其他因素较小的白车数量。以此为例对9月20日的各个属性数据进行处理，得到表820日各属性总计表。 + +A1品牌黑色增加11辆使黑色数量达到200辆，同时减少白色11辆使装配总量不变，A2品牌黑色减少15辆车，使黑色减少到50辆，并增加白色车15辆，最后对数据进行处理得到表920日以改各属性总计表。 + +用C-Free软件运行附录2.1代码将所得表8和表9的数据按顺序输入，并将所得运行结果运用SPSS软件进行处理得到图6改变黑车数量后的对比分析图。 + +![](images/608f805bbdf00577e16be5672e31f13ae5a119c82ccbfe399735a7d129488dc0.jpg) +图5改变黑车数量后的对比分析图 + +![](images/954dca75c2c929e474863eaee475fb379d99a71a40e7dc21a558cb10acda9abe.jpg) + +通过图6可只有第一组黑色车、车第三组黑色车和白色车的数量有所变化，并且第一组的黑色车数量改变最大，改变后的黑车数较未改变的黑车数减少了8辆，并通过计算可知第一组的黑色车改变后的数量比改变前降低了 $13.8\%$ ，第二组黑色车未发生改变，第三组黑色车改变后的数量比改变前只增加了 $5.3\%$ ，白色车改变后的数量比改变前的数量增加了 $2.6\%$ ，而其他颜色均未发生变化，有此可知改变黑色车和白色车的数量对其他颜色并没有影响。 + +由图6可知图中各颜色的趋势并未发生太大变化，改变后的大体趋势与改变前的数据趋势相同，综上可知灵敏度为优。 + +# 八、模型的评价与推广 + +# 8.1 模型的评价 + +# 1、优点： + +（1）对数据进行了优化处理，如：将每班的生产汽车数量取每天生产总量的一半；将范围在50辆到70辆的黑车取70辆整。使数据处理更简易，具有实际意义。 +（2）针对如何安排装配顺序表编译了代码，可以能更快高效地进行求解，提高了工作效率。 +（3）运行 C-Free 软件放入编译的代码按顺序输入数据后可直接得出一张表，操作简单方便。 + +# 2、缺点： + +(1) 针对文中编译的代码, 没有实现从给的文档中读取信息的代码, 需手动输入数据。 +(2) 由于时间关系, 写出题目给出最优算法的代码没有完善, 会有一定的误差。 + +# 8.2 模型的改进 + +1、可以将代码改进实现从文档中读取文档内的信息，又能更改后自动保存到文件夹内。 +2、将车辆的数据可调控范围考虑进去，使代码运行后得到的数据更加完善误差更小。 + +# 8.3模型的推广 + +可以将本算法稍作改进推广到其它生产线问题上去应用，如飞机、动车等生产线上的问题。 + +# 参考文献 + +[1] 卢丹丹. 房地产多目标决策模糊综合优选模型的研究[D]. 西南交通大学, 2017 +[2] 快速序贯算法[J]. 周世健,夏尚坤. 解放军测绘学院学报. 1994(01) +[3] 成亚君，降低轿车涂装换色成本的途径[J]，上海涂料，2013,51(11):48-49 +[4] 肖芬 陈立新，山西大学商务学院，2018 年 06 月 11 日，“互联网+”环境下审计风险评估研究——基于模糊层次分析法，审计广角 +[5] 荀志远 赵琛琛 吴秋霖 赵辉，青岛理工大学，2018年08月27日，海绵城市建设绩效评价研究——基于直觉模糊层次分析法 工业安全与环保 +[6] 张智慧, C 语言嵌入式系统编程软件设计架构研究, 单片机与嵌入式系统应用, 1:3-5、10,2018 +[7] 白永和，数学建模教学模式的探索与实践分析，信息记录材料，9:126-127,2018。 +[8] Foulds LR. Combinatorial Optimization for undergraduate. New York: Springer-Verlag, 1984 (中译本：沈明刚等. 组合最优化. 上海：上海翻译出版社，1998) + +# 附录 + +附录一： + +# 1.1 A1和A2每天总数表 + +A1和A2每天总数表 + +
日期17日18日19日20日21日22日23日
A1364356356362376366367
A29610410498849493
+ +# 1.2 9月20日的装配顺序表 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油四驱黑色C1
2A1B1汽油四驱黑色C2
3A1B1汽油二驱黑色C1
4A1B1汽油二驱黑色C2
5A1B1汽油二驱黑色C1
6A1B1汽油二驱黑色C2
7A1B1汽油二驱黑色C1
8A1B1汽油二驱黑色C2
9A1B1汽油二驱黑色C1
10A1B1汽油二驱黑色C2
11A1B1汽油二驱黑色C1
12A1B1汽油二驱黑色C2
13A1B1汽油二驱黑色C1
14A1B1汽油二驱黑色C2
15A1B1汽油二驱黑色C1
16A1B1汽油二驱黑色C2
17A1B1汽油二驱黑色C1
18A1B1汽油二驱黑色C2
19A1B1汽油二驱黑色C1
20A1B1汽油二驱黑色C2
21A1B1汽油四驱黑色C1
22A1B1汽油四驱黑色C2
23A1B1汽油二驱黑色C1
24A1B1汽油二驱黑色C2
25A1B1汽油二驱黑色C1
26A1B1汽油二驱黑色C2
27A1B1汽油二驱黑色C1
28A1B1汽油二驱黑色C2
29A1B1汽油二驱黑色C1
30A1B1汽油二驱黑色C2
31A1B1汽油二驱黑色C1
32A1B1汽油二驱黑色C2
33A1B1汽油二驱黑色C1
34A1B1汽油二驱黑色C2
35A1B1汽油二驱黑色C1
36A1B1汽油二驱黑色C2
37A1B1汽油二驱黑色C1
38A1B1汽油二驱黑色C2
39A1B1汽油二驱黑色C1
40A1B1汽油二驱黑色C2
41A1B1汽油四驱黑色C1
42A1B1汽油四驱黑色C2
43A1B1汽油二驱黑色C1
44A1B1汽油二驱黑色C2
45A1B1汽油二驱黑色C1
46A1B1汽油二驱黑色C2
47A1B1汽油二驱黑色C1
48A1B1汽油二驱黑色C2
49A1B1汽油二驱黑色C1
50A1B1汽油二驱黑色C2
51A1B1汽油二驱黑色C1
52A1B1汽油二驱黑色C2
53A1B1汽油二驱黑色C1
54A1B1汽油二驱黑色C2
55A1B1汽油二驱黑色C1
56A1B1汽油二驱黑色C2
57A1B1汽油二驱黑色C1
58A1B1汽油二驱黑色C2
59A1B1汽油二驱蓝色C1
60A1B1汽油二驱白色C2
61A1B1汽油四驱蓝色C1
62A1B1汽油四驱白色C2
63A1B1汽油二驱蓝色C1
64A1B1汽油二驱白色C2
65A1B1汽油二驱蓝色C1
66A1B1汽油二驱白色C2
67A1B1汽油二驱红色C1
68A1B1汽油二驱银色C2
69A1B1汽油二驱红色C1
70A1B1汽油二驱银色C2
71A1B1汽油二驱红色C1
72A1B1汽油二驱银色C2
73A1B1汽油二驱红色C1
74A1B1汽油二驱银色C2
75A1B1汽油二驱黄色C1
76A1B1汽油二驱银色C2
77A1B1汽油二驱黄色C1
78A1B1汽油二驱银色C2
79A1B1汽油二驱黄色C1
80A1B1汽油二驱灰色C2
81A1B1汽油四驱黄色C1
82A1B1汽油四驱灰色C2
83A1B1汽油二驱黄色C1
84A1B1汽油二驱灰色C2
85A1B1汽油二驱灰色C1
86A1B1汽油二驱灰色C2
87A1B1汽油二驱灰色C1
88A1B1汽油二驱灰色C2
89A1B1汽油二驱灰色C1
90A1B1汽油二驱灰色C2
91A1B1汽油二驱灰色C1
92A1B1汽油二驱灰色C2
93A1B1汽油二驱灰色C1
94A1B1汽油二驱白色C2
95A1B1汽油二驱白色C1
96A1B1汽油二驱白色C2
97A1B1汽油二驱白色C1
98A1B1汽油二驱白色C2
99A1B1汽油二驱白色C1
100A1B1汽油二驱白色C2
101A1B1汽油四驱白色C1
102A1B1汽油四驱白色C2
103A1B1汽油二驱白色C1
104A1B1汽油二驱白色C2
105A1B1汽油二驱白色C1
106A1B1汽油二驱白色C2
107A1B1汽油二驱白色C1
108A1B1汽油二驱白色C2
109A1B1汽油二驱白色C1
110A1B1汽油二驱白色C2
111A1B1汽油二驱白色C1
112A1B1汽油二驱白色C2
113A1B1汽油二驱白色C1
114A1B1汽油二驱白色C2
115A1B1汽油二驱白色C1
116A1B1汽油二驱白色C2
117A1B1汽油二驱白色C1
118A1B1汽油二驱白色C2
119A1B1汽油二驱白色C1
120A1B1汽油二驱白色C2
121A1B1汽油四驱白色C1
122A1B1汽油四驱白色C2
123A1B1汽油二驱白色C1
124A1B1汽油二驱白色C2
125A1B1汽油二驱白色C1
126A1B1汽油二驱白色C2
127A1B1汽油二驱白色C1
128A1B1汽油二驱白色C2
129A1B1汽油二驱白色C1
130A1B1汽油二驱白色C2
131A1B1汽油二驱白色C1
132A1B1汽油二驱白色C2
133A1B1汽油二驱白色C1
134A1B1汽油二驱白色C2
135A1B1汽油二驱白色C1
136A1B1汽油二驱白色C2
137A1B1汽油二驱白色C1
138A1B1汽油二驱白色C2
139A1B1汽油二驱白色C1
140A1B1汽油二驱白色C2
141A1B1汽油四驱白色C1
142A1B1汽油四驱白色C2
143A1B1汽油二驱白色C1
144A1B1汽油二驱白色C2
145A1B1汽油二驱白色C1
146A1B1汽油二驱白色C2
147A1B1汽油二驱白色C1
148A1B1汽油二驱白色C2
149A1B1汽油二驱白色C1
150A1B1汽油二驱白色C2
151A1B1汽油二驱白色C1
152A1B1汽油二驱白色C2
153A1B1汽油二驱白色C1
154A1B1汽油二驱白色C2
155A1B1汽油二驱白色C1
156A1B1汽油二驱白色C2
157A1B1汽油二驱白色C1
158A1B1汽油二驱白色C2
159A1B1汽油二驱白色C1
160A1B1汽油二驱白色C2
161A1B1汽油四驱白色C1
162A1B1汽油四驱白色C2
163A1B1汽油二驱白色C1
164A1B1汽油二驱白色C2
165A1B1汽油二驱白色C1
166A1B1汽油二驱白色C2
167A1B1汽油二驱白色C1
168A1B1汽油二驱白色C2
169A1B1汽油二驱白色C1
170A1B1汽油二驱白色C2
171A1B1汽油二驱白色C1
172A1B1汽油二驱白色C2
173A1B1汽油二驱白色C1
174A1B1汽油二驱白色C2
175A1B1汽油二驱白色C1
176A1B1汽油二驱白色C2
177A1B1汽油二驱白色C1
178A1B1汽油二驱白色C2
179A1B1汽油二驱白色C1
180A1B1汽油二驱白色C2
181A1B1汽油二驱黑色C1
182A2B1柴油四驱黑色C2
183A2B1柴油四驱黑色C1
184A2B1汽油二驱黑色C2
185A2B1汽油二驱黑色C1
186A2B1汽油二驱黑色C2
187A2B1汽油二驱黑色C1
188A2B1汽油二驱黑色C2
189A2B1汽油二驱黑色C1
190A2B1汽油四驱黑色C2
191A2B1汽油四驱黑色C1
192A2B1汽油二驱黑色C2
193A2B1汽油二驱黑色C1
194A2B1汽油二驱黑色C2
195A2B1汽油二驱黑色C1
196A2B1汽油二驱黑色C2
197A2B1汽油二驱黑色C1
198A2B1汽油四驱黑色C2
199A2B1汽油四驱黑色C1
200A2B1汽油二驱黑色C2
201A2B1汽油二驱黑色C1
202A2B1汽油二驱黑色C2
203A2B1汽油二驱黑色C1
204A2B1汽油二驱黑色C2
205A2B1汽油二驱黑色C1
206A2B1柴油四驱黑色C2
207A2B1柴油四驱黑色C1
208A2B1汽油二驱黑色C2
209A2B1汽油二驱黑色C1
210A2B1汽油二驱黑色C2
211A2B1汽油二驱黑色C1
212A2B1汽油二驱黑色C2
213A2B1汽油二驱黑色C1
214A2B1汽油四驱黑色C2
215A2B1汽油四驱黑色C1
216A2B1汽油二驱黑色C2
217A2B1汽油二驱黑色C1
218A2B1汽油二驱黑色C2
219A2B1汽油二驱黑色C1
220A2B1汽油二驱黑色C2
221A2B1汽油二驱黑色C1
222A2B1汽油四驱黑色C2
223A2B1汽油四驱黑色C1
224A2B1汽油二驱黑色C2
225A2B1汽油二驱黑色C1
226A2B1汽油二驱黑色C2
227A2B1汽油二驱黑色C1
228A2B1汽油二驱黑色C2
229A2B1汽油二驱黑色C1
230A2B1汽油二驱黑色C2
231A1B1汽油二驱黑色C1
232A1B1汽油二驱黑色C2
233A1B1汽油二驱黑色C1
234A1B1汽油二驱黑色C2
235A1B1汽油二驱黑色C1
236A1B1汽油二驱黑色C2
237A1B1汽油二驱黑色C1
238A1B1汽油二驱黑色C2
239A1B1汽油二驱黑色C1
240A1B1汽油二驱黑色C2
241A1B1汽油二驱黑色C1
242A1B1汽油二驱黑色C2
243A1B1汽油二驱黑色C1
244A1B1汽油二驱黑色C2
245A1B1汽油二驱黑色C1
246A1B1汽油二驱黑色C2
247A1B1汽油二驱黑色C1
248A1B1汽油二驱黑色C2
249A1B1汽油二驱黑色C1
250A1B1汽油二驱黑色C2
251A1B1汽油二驱黑色C1
252A1B1汽油二驱黑色C2
253A1B1汽油二驱黑色C1
254A1B1汽油二驱黑色C2
255A1B1汽油二驱黑色C1
256A1B1汽油二驱黑色C2
257A1B1汽油二驱黑色C1
258A1B1汽油二驱黑色C2
259A1B1汽油二驱黑色C1
260A1B1汽油二驱黑色C2
261A1B1汽油二驱黑色C1
262A1B1汽油二驱黑色C2
263A1B1汽油二驱黑色C1
264A1B1汽油二驱黑色C2
265A1B1汽油二驱黑色C1
266A1B1汽油二驱黑色C2
267A1B1汽油二驱黑色C1
268A1B1汽油二驱黑色C2
269A1B1汽油二驱黑色C1
270A1B1汽油二驱黑色C2
271A1B1汽油二驱黑色C1
272A1B1汽油二驱黑色C2
273A1B1汽油二驱黑色C1
274A1B1汽油二驱黑色C2
275A1B1汽油二驱黑色C1
276A1B1汽油二驱黑色C2
277A1B1汽油二驱黑色C1
278A1B1汽油二驱黑色C2
279A1B1汽油二驱黑色C1
280A1B1汽油二驱黑色C2
281A1B1汽油二驱黑色C1
282A1B1汽油二驱黑色C2
283A1B1汽油二驱黑色C1
284A1B1汽油二驱黑色C2
285A1B1汽油二驱黑色C1
286A1B2汽油二驱黑色C2
287A1B2汽油二驱黑色C1
288A1B2汽油二驱黑色C2
289A1B2汽油二驱黑色C1
290A1B2汽油二驱黑色C2
291A1B2汽油二驱黑色C1
292A1B2汽油二驱黑色C2
293A1B2汽油二驱黑色C1
294A1B2汽油二驱黑色C2
295A1B2汽油二驱黑色C1
296A1B2汽油二驱黑色C2
297A1B2汽油二驱黑色C1
298A1B2汽油二驱黑色C2
299A1B2汽油二驱黑色C1
300A1B2汽油二驱黑色C2
301A1B2汽油二驱白色C1
302A1B2汽油二驱白色C2
303A1B2汽油二驱白色C1
304A1B2汽油二驱白色C2
305A1B2汽油二驱白色C1
306A1B2汽油二驱白色C2
307A1B2汽油二驱白色C1
308A1B2汽油二驱白色C2
309A1B2汽油二驱白色C1
310A1B2汽油二驱白色C2
311A1B2汽油二驱白色C1
312A1B2汽油二驱白色C2
313A1B2汽油二驱白色C1
314A1B2汽油二驱白色C2
315A1B2汽油二驱白色C1
316A1B2汽油二驱白色C2
317A1B2汽油二驱白色C1
318A1B2汽油二驱白色C2
319A1B2汽油二驱白色C1
320A1B2汽油二驱白色C2
321A1B2汽油二驱白色C1
322A1B2汽油二驱白色C2
323A1B2汽油二驱白色C1
324A1B2汽油二驱白色C2
325A1B2汽油二驱白色C1
326A1B2汽油二驱白色C2
327A1B2汽油二驱白色C1
328A1B2汽油二驱白色C2
329A1B2汽油二驱白色C1
330A1B2汽油二驱白色C2
331A1B2汽油二驱白色C1
332A1B2汽油二驱白色C2
333A1B2汽油二驱白色C1
334A1B2汽油二驱白色C2
335A1B2汽油二驱白色C1
336A1B2汽油二驱白色C2
337A1B2汽油二驱白色C1
338A1B2汽油二驱白色C2
339A1B2汽油二驱白色C1
340A1B2汽油二驱白色C2
341A1B2汽油二驱白色C1
342A1B2汽油二驱白色C2
343A1B2汽油二驱白色C1
344A1B2汽油二驱白色C2
345A1B2汽油二驱白色C1
346A1B2汽油二驱白色C2
347A1B2汽油二驱白色C1
348A1B2汽油二驱白色C2
349A1B2汽油二驱白色C1
350A1B2汽油二驱白色C2
351A1B2汽油二驱白色C1
352A1B2汽油二驱黑色C2
353A1B2汽油二驱黑色C1
354A1B2汽油二驱黑色C2
355A1B2汽油二驱黑色C1
356A1B2汽油二驱黑色C2
357A1B2汽油二驱黑色C1
358A1B2汽油二驱黑色C2
359A1B2汽油二驱黑色C1
360A1B2汽油二驱黑色C2
361A1B2汽油二驱黑色C1
362A1B2汽油二驱黑色C2
363A1B2汽油二驱黑色C1
364A1B2汽油二驱黑色C2
365A1B2汽油二驱黑色C1
366A1B2汽油二驱黑色C2
367A1B2汽油二驱黑色C1
368A1B2汽油二驱黑色C2
369A1B2汽油二驱黑色C1
370A1B2汽油二驱黑色C2
371A1B2汽油二驱黑色C1
372A1B2汽油二驱黑色C2
373A1B2汽油二驱黑色C1
374A1B2汽油二驱黑色C2
375A1B2汽油二驱黑色C1
376A1B2汽油二驱黑色C2
377A1B2汽油二驱黑色C1
378A1B2汽油二驱黑色C2
379A1B2汽油二驱黑色C1
380A1B2汽油二驱黑色C2
381A1B2汽油二驱黑色C1
382A1B2汽油二驱黑色C2
383A1B2汽油二驱黑色C1
384A1B2汽油二驱黑色C2
385A1B2汽油二驱黑色C1
386A1B2汽油二驱黑色C2
387A1B2汽油二驱黑色C1
388A1B2汽油二驱黑色C2
389A1B2汽油二驱黑色C1
390A1B2汽油二驱黑色C2
391A1B2汽油二驱黑色C1
392A1B2汽油二驱黑色C2
393A1B2汽油二驱黑色C1
394A1B3汽油二驱黑色C2
395A1B3汽油二驱黑色C1
396A1B3汽油二驱黑色C2
397A1B3汽油二驱黑色C1
398A1B3汽油二驱黑色C2
399A1B3汽油二驱黑色C1
400A1B3汽油二驱黑色C2
401A1B3汽油二驱黑色C1
402A1B3汽油二驱黑色C2
403A1B3汽油二驱黑色C1
404A1B3汽油二驱黑色C2
405A1B3汽油二驱黑色C1
406A1B3汽油二驱黑色C2
407A1B5汽油二驱黑色C1
408A1B5汽油二驱黑色C2
409A1B5汽油二驱黑色C1
410A1B5汽油二驱黑色C2
411A1B5汽油二驱黑色C1
412A2B1汽油二驱黑色C2
413A2B1汽油二驱黑色C1
414A2B1汽油二驱黑色C2
415A2B1汽油二驱黑色C1
416A2B1汽油二驱黑色C2
417A2B1汽油二驱黑色C1
418A2B1汽油二驱黑色C2
419A2B1汽油二驱黑色C1
420A2B4汽油二驱黑色C2
421A2B4汽油二驱黑色C1
422A2B4汽油二驱黑色C2
423A2B4汽油二驱黑色C1
424A2B4汽油二驱黑色C2
425A2B4汽油二驱黑色C1
426A2B4汽油二驱黑色C2
427A2B4汽油二驱黑色C1
428A2B4汽油二驱白色C2
429A2B4汽油二驱蓝色C1
430A2B4汽油二驱白色C2
431A2B4汽油二驱蓝色C1
432A2B4汽油二驱金色C2
433A2B4汽油二驱红色C1
434A2B4汽油二驱金色C2
435A2B4汽油二驱红色C1
436A2B4汽油二驱金色C2
437A2B4汽油二驱红色C1
438A2B4汽油二驱银色C2
439A2B4汽油二驱红色C1
440A2B4汽油二驱银色C2
441A2B4汽油二驱红色C1
442A2B4汽油二驱银色C2
443A2B4汽油二驱红色C1
444A2B4汽油二驱白色C2
445A2B4汽油二驱棕色C1
446A2B4汽油二驱白色C2
447A2B4汽油二驱棕色C1
448A2B4汽油二驱白色C2
449A2B4汽油二驱棕色C1
450A2B4汽油二驱白色C2
451A2B4汽油二驱棕色C1
452A2B5汽油二驱白色C2
453A2B5汽油二驱棕色C1
454A2B6汽油二驱白色C2
455A2B6汽油二驱棕色C1
456A2B6汽油二驱白色C2
457A2B6汽油二驱白色C1
458A2B6汽油二驱白色C2
459A2B6汽油二驱白色C1
460A2B6汽油二驱白色C2
+ +附录二： + +# 2.1 装配顺序的C语言代码 + +装配顺序的C语言代码 +include +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +char pp[2][3] $=$ {"A1","A2"}; int pps1[10]; char pz[6][3] $=$ {"B1","B2","B3","B4","B5","B6"}; int pzsl[10]; char dl[2][5] $=$ {"汽油","柴油"}; int dls1[10]; char qd[2][5] $=$ {"二驱","四驱"}; int qds1[10]; char ys[11][5] $=$ {"黑色","白色","蓝色","棕色","金色","R","S","红色","黄色","银色","灰色"}; int yssl[11]; +int z[1000];int z1; +int y[1000];int y1; +int x[1000];int x1; +int w[1000];int wl; +int v[1000];int v1; +struct A1 { int pz[6]; int d1[2]; int qd[2]; int ys[9]; }； +struct A2 + +{ int pz[6]; int d1[2]; int qd[2]; int ys[9]; }; A1 a1;A2 a2; int hcz[4]; void hcsf(int b) { int n,x,q,e,r,c; $q = 70$ ;e=70;r=70;//第一、三、四组70辆 $n = b / 70$ //求出有几组满编（70辆）的组 $x = b\% (n*70)$ ；//求出余数X if $(\mathrm{x} < 50)$ //如果余数 $\mathbf{x}$ 小于最低组数50 { $q = 70 - (50 - x)$ ;//将第一组的黑车调动到第二组 if $(\mathrm{x} < 50)$ //如果第一组调配20辆还不够的话 { c=50-x; //需要调剂的数量 if(c<20) { q=q-c;//第一组减去调动的车数 $x = x + c$ ;//第二组获得第一组调配的车数 } else { q=q-20; $x = x + 20$ . $c = 50 - x$ . if(c<20) { e=e-c;//第三组减去调动的车数 $x = x + c$ . } else { e=e-20; $x = x + 20$ . $c = 50 - x$ ;// if(c<20) { r=r-c;//第四组减去调动的车数 $x = x + c$ + +} else { printf("数据错误\n"); } 1 } } } if $(x>=50)//$ 如果余数 $x$ 大于最低要求的50辆 $\{\mathrm{hcz}[0] = q;\mathrm{hcz}[1] = x;\mathrm{hcz}[2] = e;\mathrm{hcz}[3] = r;\}$ int sum(int \*p,int i) { int s=0; while(i--） $\mathbf{s + = p[i]}$ ： return s; } int main(int argc, char \*argv[]) { int twt; printf("请输入需要连续分析的天数（文件创建在D盘）\n（要连续分析7天的数据则输入7）\n"）; scanf("%d",&twt); FILE *fp; fp $=$ fopen("D:\\schedule.xls","a+");//创建表到D盘的EXCEL setbuf(stdin,NULL); for(int $\mathrm{q = 1;q < = twt;q + + })$ { int zab,zbb,zaw,zbw; $\mathrm{z1 = 0}$ · int ab,bb,aw,bw; printf("A1型号的数据：\\n"); printf("输入各配置数量的和(输入B1、B2、B3、B4、B5、B6的和，若无则输 入0):\n");for(int $\mathrm{i = 0;i < 2;i + + )}$ scanf("%d",&al.pz[i]); printf("输入各动力数量的和(输入汽油、柴油车数量的和，若无则输入 0):\n");for(int $\mathrm{i = 0;i < 2;i + + )}$ scanf("%d",&al.dl[i]); printf("输入各驱动数量的和(输入二驱、四驱数量）:\n");for(int $\mathrm{i = 0;i < 2;i + + )}$ scanf("%d",&al.qd[i]); printf("输入各颜色数量的和(输入黑色、白色、蓝色、棕色、金色、R类车 (红色黄色之和)、\nS类车(银色灰色之和)、红色、黄色、银色、灰色)：\\n");for(int $\mathrm{i = 0;i < 11;i + + )}$ scanf("%d",&al.ps[i]); zab=ab $=$ sum(al.ps,7)/2; + +$\mathrm{zaw = aw = sum(a1 ys,7) - ab};$ + +printf("A2:"); + +printf("输入各配置数量的和（输入B1、B2、B3、B4、B5、B6的和，若无则输入0）:\n");for(int i=0;i<6;i++)scanf("%d",&a2.pz[i]); + +printf("输入各动力数量的和(输入汽油、柴油车数量的和，若无则输入0):\n");for(int i=0;i<2;i++)scanf("%d",&a2.d1[i]); + +printf("输入各驱动数量的和（输入二驱、四驱数量）：\n");for(int i=0;i<2;i++)scanf("%d",&a2.qd[i]); + +printf("输入各颜色数量的和（输入黑色、白色、蓝色、棕色、金色、R类车（红色黄色之和）、\nS类车（银色灰色之和）、红色、黄色、银色、灰色）：\n");for(int i=0;i<11;i++)scanf("%d",&a2 ys[i]); + +$\mathrm{zbb = bb} = \mathrm{sum(a2 ys,7) / 2};$ + +$\mathbf{z}\mathbf{b}\mathbf{w} = \mathbf{b}\mathbf{w} = \mathbf{\sum m(a2.ys,7)} - \mathbf{b}\mathbf{b};$ + +hcsf(a1 ys[0] + a2 ys[0]); //黑车分组 + +for(int i=0;i= bb) +{ + alhcs1 = hcz[1] - bb; +} +else +{ + a1hcs1 = hcz[1] - a2 ys[0]; +``` + +```javascript +} +for(;a1 ys[5] !=0&&a1 ys[4] !=0&&ab!=a1hcs1);//R、金车 +{ if(z1%2==0) { z[z1++] = 5; ab--; a1 ys[5] --; if(ab==a1hcs1) break; z[z1++] = 4; ab--; a1 ys[4] --; if(ab==a1hcs1) break; } else { z[z1++] = 4; ab--; a1 ys[4] --; if(ab==a1hcs1) break; z[z1++] = 5; ab--; a1 ys[5] --; if(ab==a1hcs1) break; } } if(a1 ys[4] ==0) { for(;a1 ys[5] !=0&&a1 ys[6] !=0&&ab>a1hcs1);//R、S车 { if(z1%2==0) { z[z1++] = 5; ab--; a1 ys[5] --; if(ab==a1hcs1) break; z[z1++] = 6; ab--; a1 ys[6] --; if(ab==a1hcs1) break; } else { z[z1++] = 6; ab--; a1 ys[6] --; if(ab==a1hcs1) break; z[z1++] = 5; ab--; a1 ys[5] --; if(ab==a1hcs1) break; } } if(a1 ys[6] ==0) { for(;a1 ys[5] !=0&&a1 ys[3] !=0&&ab>a1hcs1); //R、棕车 { if(z1%2==0) { +``` + +```javascript +z[z1++]=5;ab--;a1 ys[5]--; if(ab==alhcs1)break; z[z1++]=3;ab--;a1 ys[3]--; if(ab==alhcs1)break; } else { z[z1++]=3;ab--;a1 ys[3]--; if(ab==alhcs1)break; z[z1++]=5;ab--;a1 ys[5]--; if(ab==alhcs1)break; } } } } } else if(a1 ys[5]=0) { for(;a1 ys[4] !=0&&a1 ys[6] !=0&&ab>alhcs1);//金、S车 { if(z1%2==0) { z[z1++]=4;ab--;a1 ys[4]--; if(ab==alhcs1)break; z[z1++]=6;ab--;a1 ys[6]--; if(ab==alhcs1)break; } else { z[z1++]=6;ab--;a1 ys[6]--; if(ab==alhcs1)break; z[z1++]=4;ab--;a1 ys[4]--; if(ab==alhcs1)break; } } if(a1 ys[6]=0) { for(;a1 ys[4] !=0&&a1 ys[3] !=0&&ab>alhcs1);//金、棕车 { if(z1%2==0) { z[z1++]=4;ab--;a1 ys[4]--; if(ab==alhcs1)break; z[z1++]=3;ab--;a1 ys[3]--; if(ab==alhcs1)break; +``` + +```txt +} else { z[z1++]=3;ab--;a1 ys[3]--; if(ab==a1hcs1)break; z[z1++]=4;ab--;a1 ys[4]--; if(ab==a1hcs1)break; } } } } +} +for(;a1 ys[6]!=0&&ab!=a1hcs1;a1 ys[6]--,ab--)//S车 z[z1++]=6; +for(;a1 ys[1]!=0&&a1 ys[3]!=0&&ab!=a1hcs1;) { z[z1++]=1;ab--;a1 ys[1]--; if(ab==a1hcs1)break; z[z1++]=3;ab--;a1 ys[3]--; if(ab==a1hcs1)break; } if(a1 ys[1]=0) { for(;ab!=a1hcs1&&a1 ys[3]!=0;ab--,a1 ys[3]--) z[z1++]=3; } else if(a1 ys[3]=0) { for(;ab!=a1hcs1&&a1 ys[1]!=0;ab--,a1 ys[1]--) z[z1++]=1; } +``` + +/******/ + +a1.ys[0] $\equiv$ ab; +for(;ab>0;ab--) +{ z[z1++]=0; +} +if(a2 ys[0] $\rightharpoondown$ bb) +{ a2 ys[0] $\equiv$ bb; for(；bb! $= 0$ ;bb--） z[z1++]=0; + +```javascript +} else { bb=a2 ys[0]; for(;a2 ys[0] != 0; a2 ys[0]--) z[z1++] = 0; for(;a2 ys[2] != 0); //蓝、白车 { if(z1%2 == 0) { z[z1++] = 2; bb--; a2 ys[2] --; if (bb == 0) break; z[z1++] = 1; bb--; a2 ys[1] --; if (bb == 0) break; } else { z[z1++] = 1; ab--; a2 ys[1] --; if (bb == 0) break; z[z1++] = 2; ab--; a2 ys[2] --; if (bb == 0) break; } } /********** 白天 的 A2**********/ for(;a2 ys[5] != 0&&a2 ys[4] != 0&&bb != 0);//R金 { if(z1%2 == 0) { z[z1++] = 5; bb--; a2 ys[5] --; if (bb == 0) break; z[z1++] = 4; bb--; a2 ys[4] --; if (bb == 0) break; } else { z[z1++] = 4; bb--; a2 ys[4] --; if (bb == 0) break; z[z1++] = 5; bb--; a2 ys[5] --; if (bb == 0) break; } } if(a2 ys[4] == 0) +``` + +```javascript +{ for(;a2 ys[5] !=0&&a2 ys[6] !=0&&bb!=0);//R S { if(z1%2==0) { z[z1++] = 5; bb--; a2 ys[5] --; if(bb==0) break; z[z1++] = 6; bb--; a2 ys[6] --; if(bb==0) break; } else { z[z1++] = 6; bb--; a2 ys[6] --; if(bb==0) break; z[z1++] = 5; bb--; a2 ys[5] --; if(bb==0) break; } } if(a2 ys[6] ==0) { for(;a2 ys[5] !=0&&a2 ys[3] !=0&&bb!=0); //R 棕 { if(z1%2==0) { z[z1++] = 5; bb--; a2 ys[5] --; if(bb==0) break; z[z1++] = 3; bb--; a2 ys[3] --; if(bb==0) break; } else { z[z1++] = 3; bb--; a2 ys[3] --; if(bb==0) break; z[z1++] = 5; bb--; a2 ys[5] --; if(bb==0) break; } } } else if(a2 ys[5] ==0) { for(;a2 ys[4] !=0&&a2 ys[6] !=0&&bb!=0); //金S { if(z1%2==0) +``` + +```javascript +{ z[z1++]=4;bb--;a2 ys[4]--; if(bb==0) break; z[z1++]=6;bb--;a2 ys[6]--; if(bb==0) break; } else { z[z1++]=6;bb--;a2 ys[6]--; if(bb==0) break; z[z1++]=4;bb--;a2 ys[4]--; if(bb==0) break; } } if(a2 ys[6] == 0) { for(;a2 ys[4] != 0&&a2 ys[3] != 0&&bb != 0); //金棕 { if(z1%2 == 0) { z[z1++] = 4;bb--;a2 ys[4]--; if(bb==0) break; z[z1++] = 3;bb--;a2 ys[3]--; if(bb==0) break; } else { z[z1++] = 3;bb--;a2 ys[3]--; if(bb==0) break; z[z1++] = 4;bb--;a2 ys[4]--; if(bb==0) break; } } } } } for(;a2 ys[6] != 0&&bb != 0; a2 ys[6]--, bb--) //S z[z1++] = 6; for(;a2 ys[1] != 0&&a2 ys[3] != 0&&bb != 0;) { z[z1++] = 1;bb--;a2 ys[1]--; if(bb==0) break; z[z1++] = 3;bb--;a2 ys[3]--; if(bb==0) break; } +``` + +```txt +if(a2 ys[1] == 0) { for(;bb != 0 && a2 ys[3] != 0; bb -, a2 ys[3]--) z[z1++] = 3; } else if (a2 ys[3] == 0) { for(;bb != 0 && a2 ys[1] != 0; bb -, a2 ys[1]--) z[z1++] = 1; } /**********晚上*********/ for(int i = 0; i < hcz[2]; i++) z[z1++] = 0; a1 ys[0] -- hcz[2]; aw -- hcz[2]; for(;a1 ys[2] != 0;) { if(z1%2 == 0) { z[z1++] = 2; aw--; a1 ys[2] --; if (aw == 0) break; z[z1++] = 1; aw--; a1 ys[1] --; if (aw == 0) break; } else { z[z1++] = 1; aw--; a1 ys[1] --; if (aw == 0) break; z[z1++] = 2; aw--; a1 ys[2] --; if (aw == 0) break; } } /***********晚上我的 A1***********/ alhcs1; if (a2 ys[0] >= bw) { alhcs1 = hcz[3] - bw; } else +``` + +{ alhcs1 $\equiv$ hcz[3]- a2 ys[0]; +} +for(;a1 ys[5] $! = 0\& \& \mathrm{a1.ys}[4]! = 0\& \& \mathrm{aw > a1hcs1};)$ //R金 +{ if(z1%2 $= = 0$ { z[z1++] $\coloneqq$ 5;aw--;al ys[5]--; if(aw $\equiv$ a1hcs1) break; z[z1++] $\coloneqq$ 4;aw--;al ys[4]--; if(aw $\equiv$ a1hcs1) break; } else { z[z1++] $\coloneqq$ 4;aw--;al ys[4]--; if(aw $\equiv$ a1hcs1) break; z[z1++] $\coloneqq$ 5;aw--;al ys[5]--; if(aw $\equiv$ a1hcs1) break; } +} +if(a1 ys[4] $\equiv = 0$ ） { for(;a1 ys[5] $! = 0\& \& \mathrm{a1.ys}[6]! = 0\& \& \mathrm{aw > a1hcs1};)$ //R S { if(z1%2 $= = 0$ { z[z1++] $\coloneqq$ 5;aw--;al ys[5]--; if(aw $\equiv$ a1hcs1) break; z[z1++] $\coloneqq$ 6;aw--;al ys[6]--; if(aw $\equiv$ a1hcs1) break; } else { z[z1++] $\coloneqq$ 6;aw--;al ys[6]--; if(aw $\equiv$ a1hcs1) break; z[z1++] $\coloneqq$ 5;aw--;al ys[5]--; if(aw $\equiv$ a1hcs1) break; } } if(a1 ys[6] $\equiv = 0$ ） { for(;a1 ys[5]！ $= 0\& \& \mathrm{a1.ys}[3]$ ! $= 0\& \& \mathrm{aw > a1hcs1}$ );//R 棕 + +```txt +if(z1%2==0) +{ + z[z1++]=5;aw--;al ys[5]--; + if(aw==alhcs1)break; + z[z1++]=3;aw--;al ys[3]--; + if(aw==alhcs1)break; +} +else +{ + z[z1++]=3;aw--;al ys[3]--; + if(aw==alhcs1)break; + z[z1++]=5;aw--;al ys[5]--; + if(aw==alhcs1)break; +} +} +} +else if(a1 ys[5]=0) +{ + for(;a1 ys[4]+=0&&a1 ys[6]+=0&&aw>alhcs1);//金S + { + if(z1%2==0) +{ + z[z1++]=4;aw--;al ys[4]--; + if(aw==alhcs1)break; + z[z1++]=6;aw--;al ys[6]--; + if(aw==alhcs1)break; + } + else +{ + z[z1++]=6;aw--;al ys[6]--; + if(aw==alhcs1)break; + z[z1++]=4;aw--;al ys[4]--; + if(aw==alhcs1)break; + } +} +if(a1 ys[6]=0) +{ + for(;a1 ys[4]+=0&&a1 ys[3]+=0&&aw>alhcs1);//金棕 + { + if(z1%2==0) +{ + z[z1++]=4;aw--;al ys[4]--; + if(aw==alhcs1)break; + } + } +``` + +```javascript +z[z1++]=3;aw--;al ys[3]--; if(aw==a1hcs1)break; +} else { z[z1++]=3;aw--;al ys[3]--; if(aw==a1hcs1)break; z[z1++]=4;aw--;al ys[4]--; if(aw==a1hcs1)break; } } +} +} +for(;a1 ys[6] !=0&&aw!=a1hcs1;al ys[6]--,aw--)//S z[z1++]=6; +for(;a1 ys[1] !=0&&a1 ys[3] !=0&&aw!=a1hcs1;) { z[z1++]=1;aw--;al ys[1]--; if(aw==a1hcs1)break; z[z1++]=3;aw--;al ys[3]--; if(aw==a1hcs1)break; +} +if(a1 ys[1] ==0) { for(;aw!=a1hcs1&&a1 ys[3] !=0;aw--,al ys[3]--) z[z1++]=3; +} +else if(a1 ys[3] ==0) { for(;aw!=a1hcs1&&a1 ys[1] !=0;aw--,al ys[1]--) z[z1++]=1; +} +``` + +/*****/ + +a1 ys[0] $\equiv$ aw; +for(;aw>0;aw--） { z[z1++]=0; +} +if(a2 ys[0] $\rightharpoondown$ bw) { a2 ys[0] $\equiv$ bw; + +```javascript +for(;bb!=0;bw--）z[z1++]=0; +} +else{bw=a2 ys[0];for(;a2 ys[0]！=0;a2 ys[0--)z[z1++]=0;for(;a2 ys[2]！=0);//蓝、白车{if(z1%2==0){z[z1++]=2;bw--;a2 ys[2]--;if(bw==0)break;z[z1++]=1;bw--;a2 ys[1]--;if(bw==0)break;}else{z[z1++]=1;bw--;a2 ys[1]--;if(bw==0)break;z[z1++]=2;bw--;a2 ys[2]--;if(bw==0)break;}A2**********/for(;a2 ys[5]！=0&&a2 ys[4]！=0&&bw!=0;//R金{if(z1%2==0){z[z1++]=5;bw--;a2 ys[5]--;if(bw==0)break;z[z1++]=4;bw--;a2 ys[4]--;if(bw==0)break;}else{z[z1++]=4;bw--;a2 ys[4]--;if(bw==0)break;z[z1++]=5;bw--;a2 ys[5]--;if(bw==0)break;} +``` + +```lisp +if(a2 ys[4] == 0) +{ + for(;a2 ys[5] != 0 && a2 ys[6] != 0 && bw != 0); // R S +{ + if(z1%2 == 0) +{ + z[z1++] = 5; bw--; a2 ys[5] --; + if(bw == 0) break; + z[z1++] = 6; bw--; a2 ys[6] --; + if(bw == 0) break; + } +else +{ + z[z1++] = 6; bw--; a2 ys[6] --; + if(bw == 0) break; + z[z1++] = 5; bw--; a2 ys[5] --; + if(bw == 0) break; + } +} +if(a2 ys[6] == 0) +{ + for(;a2 ys[5] != 0 && a2 ys[3] != 0 && bw != 0); // R 棕 +{ + if(z1%2 == 0) +{ + z[z1++] = 5; bw--; a2 ys[5] --; + if(bw == 0) break; + z[z1++] = 3; bw--; a2 ys[3] --; + if(bw == 0) break; + } + else +{ + z[z1++] = 3; bw--; a2 ys[3] --; + if(bw == 0) break; + z[z1++] = 5; bw--; a2 ys[5] --; + if(bw == 0) break; + } +} +} +``` + +```javascript +{ if(z1%2==0) { z[z1++]=4;bw--;a2 ys[4]--; if(bw==0) break; z[z1++]=6;bw--;a2 ys[6]--; if(bw==0) break; } else { z[z1++]=6;bw--;a2 ys[6]--; if(bw==0) break; z[z1++]=4;bw--;a2 ys[4]--; if(bw==0) break; } } if(a2 ys[6] == 0) { for(;a2 ys[4] != 0&&a2 ys[3] != 0&&bw!=0); //金棕 { if(z1%2==0) { z[z1++]=4;bw--;a2 ys[4]--; if(bw==0) break; z[z1++]=3;bw--;a2 ys[3]--; if(bw==0) break; } else { z[z1++] = 3;bw--;a2 ys[3]--; if(bw==0) break; z[z1++] = 4;bw--;a2 ys[4]--; if(bw==0) break; } } } } } } for(;a2 ys[6] != 0&&bw!=0; a2 ys[6]--, bw--)/S z[z1++] = 6; for(;a2 ys[1] != 0&&a2 ys[3] != 0&&bw!=0;) { z[z1++] = 1;bw--;a2 ys[1]--; if(bw==0) break; z[z1++] = 3;bw--;a2 ys[3]--; +``` + +```lisp +if(bw==0) break; +} +if(a2 ys[1] == 0) { for( ;bw != 0&&a2 ys[3] != 0;bw-- , a2 ys[3] -- ) z[z1++] = 3; +} else if(a2 ys[3] == 0) { for( ;bw != 0&&a2 ys[1] != 0;bw-- , a2 ys[1] -- ) z[z1++] = 1; +} +``` + +/*************** +```txt +} +\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*y1=0; +ab=sum(a1.qd,2)/2;bb=sum(a2.qd,2)/2; +aw=sum(a1.qd,2)-ab;bw=sum(a2.qd,2)-bb; +int ajg=(ab\*2/(a1.qd[1] == 0?1:a1.qd[1]))-2; +if(ajg<5)ajg=(ab\*4/(a1.qd[1] == 0?1:a1.qd[1]))-2; +int bjg=(bb\*2/(a2.qd[1] == 0?1:a2.qd[1]))-2; +if(bjg<5)bjg=(bb\*4/(a2.qd[1] == 0?1:a2.qd[1]))-2; +while(ab!=0) { for(int i=0;i<2&&ab!=0&&a1.qd[1] !=0;i++) al.qd[1]--,ab--,y[yl++]=1; for(int i=0;i符号说明单位j企业jkj不同信誉等级k的企业jZ银行对于所有客户企业的期望收益元tj银行对于目前已有客户企业j的期望收益元Aj企业j的可能贷款金额元Bj企业j的实际贷款金额元yj判断银行是否给已有客户企业放贷的指标i j企业j的贷款利率%Pj企业j的还款概率qj企业j的客户流失概率Mj企业j的客户流失价值元d银行年度信贷总额Rj企业j的违约概率x1企业规模x2企业平均利润元x3企业平均年利润率元x4企业平均年利润增长率x5企业平均销售额增长率x6企业服务或产品质量x7信誉评级h1j银行对于不同企业贷款额度的提升系数h2j银行对于不同企业的利率优惠系数 + +# 五、问题一的模型建立与求解 + +# 5.1思路分析 + +本题对于中小微企业的信贷策略的解题思路主要分为两个部分，第一部分是信贷风险量化评估问题，第二部分是信贷策略的决策问题，分别基于改进的梯度提升决策树算法和非线性规划算法建立信贷风险评估模型和信贷策略模型，问题一的思路流程图如下。 + +![](images/48e8e606c38412c2ce30512e025ae9756ff92a3ff019fb58c30069b8494cfdf5.jpg) +图5-1 问题一思路流程图 + +# 5.2.2 企业的行业与规模划分 + +根据国家统计局于2017年12月制定的《统计上大中小微企业划分方法》，将企业所属的行业类别分为农林牧渔业、工业、建筑业等16个类别，并依据数据特征额外加入个体这一类别。依照营业收入、从业人员和企业资产指标将企业规模分为大、中、小、微4种规模。本文以此《办法》对有无信贷记录的企业进行行业类别和企业规模的划分，按照行业类别分为建筑业、交通运输业、零售业、餐饮业、软件和信息技术等共计14个类别，同时按照不同的企业规模将企业分为中型、小型、微型、个体户4类。 + +# 5.2 数据预处理 + +# 5.2.1 对不同年份的发票数据进行处理 + +附件1和2给出了有无信贷记录的所有企业的2016-2020年的发票信息，包括进项发票和销项发票。为便于后续的细化指标计算，本文以每个企业的一年经营情况作为基准。 + +# （1）剔除无效发票数据 + +本文不考虑作废发票数据，直接剔除。 + +# （2）不予研究信息较少的年份数据 + +由于2016年和2020年的发票信息过少，问题一暂不研究这部分数据。 + +# （3）按照比例补全有缺失的数据 + +本文选取各企业2017-2019三年的发票信息进行研究。但某些企业缺失完整三年的发票，超过半数的企业发票数据存在残缺。如果用半年的发票数据和一年的发票数据一起建模，无疑会产生较大的误差。因此，本文考虑将存在数据缺失的年份的数据补齐来弥补。补全数据的方式是找到下一年（或上一年）完整的数据，进行等比例补全。例如附件1中企业E1在2017年的销项发票只有8月到12月的数据，而2018年的销项发票数据是完整的，因此计算2018年8月-12月相关数据占2018年整年相关数据比例，将其估计为2017年8月-12月相关数据占2018年整年相关数据比例，从而计算出2017年整年数据的估计值。 + +# 5.2.3 不研究信誉评级为D的企业数据 + +实际中银行对于信誉等级为D的企业一般不予放贷，因此本文对于信誉等级为D的企业数据直接不研究，银行针对这部分企业的信贷策略即为不予放贷。 + +# 5.3 信贷风险评估模型的建立 + +# 5.3.1 评估指标的选取 + +# 5.3.1.1 选取指标的原则 + +中小微企业的信贷风险，即企业借贷的违约概率，与企业自身实力、经营状况、还款意愿、信誉、抗风险能力等内部原因有关，同时也受整体经济环境、国家政策等外部因素影响。为了更加科学地评估中小微企业的信贷风险，在选取信贷风险的评估指标上，应该遵循全面性、客观性、独立性等原则，综合考虑各方面对于企业信贷风险的影响。 + +依照近年来我国多名学者[2-7]的研究，对信贷风险的评估指标进行整理，选取了以下六大评估指标，如图5-2所示。 + +![](images/27a9fb070cc3f3eb4ca548afb44338095e3deaa2101038871d654ccbf4c6063b.jpg) +图5-2中小微企业信贷风险评估指标 + +# 5.3.1.2 细化指标筛选与量化 + +基于上述评估指标体系，本文选取企业违约状态作为因变量，并试图选取对中小微企业的信贷风险影响最大的部分指标作为自变量进行研究。 + +参考国内已有研究[7]，基于中小微企业和银行的相关借贷数据和专家评分，企业的历史授信、经营状况、企业信誉这三类指标对于中小微企业的信贷风险影响最大。综合已知数据，本文主要从企业经营状况和企业信誉这两方面进行细化指标选取。在企业经营状况方面，本文选取123家有信贷记录的企业2017-2019年的三年平均营业收入、年平均利润、年平均（销售）利润率、年平均利润增长率、企业平均销售额增长率、企业产品及服务质量一共六个细化指标。在企业信誉方面，直接选取信誉等级这一细化指标。这七个细化指标从不同角度衡量了企业的当前规模、自身实力、经营状况、未来收益情况、发展前景与信誉情况。具体细化指标名称、计算公式与意义如下。 + +违约概率 $R_{i}$ ，为因变量，表示企业借款一年后违约的概率。 + +企业规模 $\mathbf{x}_{1}$ ，为自变量，此处企业规模用企业年平均营业额代替，单位元。衡量企业规模。2017-2019三年平均销售额计算公式： + +$$ +x _ {1} = \frac {1}{3} \cdot \sum_ {\text {y e a r} = 2 0 1 7} ^ {2 0 1 9} \text {销 项 发 票 金 额 数} \tag {1} +$$ + +企业平均利润 $\mathbf{x}_2$ ，为自变量，2017-2019三年平均盈利，单位元。衡量企业经营状况。计算公式为： + +$$ +x _ {2} = \frac {1}{3} \cdot \left(\sum_ {\text {y e a r} = 2 0 1 7} ^ {2 0 1 9} \text {销 项 发 票 金 额 数} - \sum_ {\text {y e a r} = 2 0 1 7} ^ {2 0 1 9} \text {进 项 发 票 金 额 数}\right) \tag {2} +$$ + +企业平均年利润率 $\mathbf{X}_3$ ，为自变量，此处为2017-2019年企业销售利润率。衡量企业收益情况。计算公式为： + +$$ +x _ {3} = \frac {1}{3} \cdot \sum_ {\text {year} = 2017} ^ {2019} \frac {\sum_ {\text {year}} \text {利润}}{\sum_ {\text {year}} \text {营业额}} \times 100 \% \tag{3} +$$ + +企业平均年利润增长率 $\mathbf{X}_4$ ，为自变量，2017-2019年的总盈利平均增长率。衡量企业未来收益情况和发展前景。计算公式为： + +$$ +x _ {4} = \frac {1}{2} \cdot \left(\frac {\sum_ {\text {year} = 2018} \text {利润} - \sum_ {\text {year} = 2017} \text {利润}}{\sum_ {\text {year} = 2017} \text {利润}} + \frac {\sum_ {\text {year} = 2019} \text {利润} - \sum_ {\text {year} = 2018} \text {利润}}{\sum_ {\text {year} = 2018} \text {利润}}\right) \times 100 \% +$$ + +(4） + +企业平均营业额增长率 $\mathbf{x}_5$ ，为自变量，2017-2019年的总营业额平均增长率。衡量企业未来收益情况和发展前景。计算公式为： + +$$ +x _ {5} = \frac {1}{2} \cdot \left(\frac {\sum_ {\text {year} = 2018} \text {营业额} - \sum_ {\text {year} = 2017} \text {营业额}}{\sum_ {\text {year} = 2017} \text {营业额}} + \frac {\sum_ {\text {year} = 2019} \text {营业额} - \sum_ {\text {year} = 2018} \text {营业额}}{\sum_ {\text {year} = 2018} \text {营业额}}\right) \times 100 \% \tag{5} +$$ + +企业产品退货率 $\mathbf{X}_6$ ，为自变量，2017-2019年的负数销项发票年平均金额数占总营业额的比例，退款率越大，说明该企业的产品或服务可能存在缺陷。衡量企业实力。计算公式为： + +$$ +x _ {6} = \frac {1}{3} \cdot \sum_ {\text {year} = 2017} ^ {2019} \frac {\sum_ {\text {year}} \text {负销项发票金额数}}{\sum_ {\text {year}} \text {正销项发票金额数}} \times 100 \% \tag{6} +$$ + +信誉评级 $\mathbf{x}_7$ ，为自变量，将企业信誉评级转换为得分，评级A为1分，B为0.75分，C为0.5分，D为0.25分。衡量企业的信誉情况。 + +# 5.3.2 基于改进的梯度提升决策树算法的信贷风险模型建立 + +为了进一步评价各公司在未来贷款中发生违约的可能性，本文需要建立相应的信贷风险模型对各企业的贷款风险和违约概率进行了预测和评估。由于问题一提供的数据中包含了所有公司的信贷记录以及贷款评级，即该数据集已经包含了相应的标签值，该场景非常适合使用监督学习模型进行建模求解。 + +基于前文确定的评估指标，接下来本文在传统决策树算法的基础之上进行改进，添加正则项函数解决算法的过拟合问题，建立以企业违约概率为因变量的信贷风险评估模型，进而预测出企业的违约的概率值。 + +# 5.3.2.1 决策树算法简介 + +决策树算法是一种逼近离散函数值的典型分类方法，其基本思想是使用属性选择度量选择最佳属性以拆分记录，之后使得该属性变成下一个决策节点，让数据集变成更小的子集[8]。由于传统的决策树算法存在过拟合等缺陷，有研究者提出了基于集成学习的梯度提升决策树算法，并被广泛应用于分类和预测问题中。 + +梯度提升决策树算法，又称为GBDT算法。其本质是一种集成学习算法（Boosting算法），由于传统单一的决策树模型存在预测效果差、具有局限性、过拟合等缺点，集成学习算法将多个决策树模型（弱学习器）进行层层叠加，将总模型提升为强学习器，采用串行方式运行，多个弱学习器的预测结果相加即为最终模型的预测结果。其基本思想为：对于一个复杂任务，将多个专家的判断进行适当综合，得出的判断要犹豫任何一个专家单独的判断。该算法具有较好的解释性和鲁棒性，同时树与树之间可以并行计算，不需要做复杂的特征变换，本文在该算法的基础上进行改进，之后进行训练。 + +# 5.3.2.2 基于改进的梯度提升决策树算法 + +为了进一步提升梯度提升决策树算法的预测准确率，本文在原有的决策树算法模型基础之上进行改进，从而建立信贷风险模型。 + +假设对于企业j，其信贷风险使用信贷还款违约概率进行刻画，记为R，基于前文考虑的各项评估指标，各企业的信贷还款违约概率可以表示为： + +$$ +R _ {i} = \varphi \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {7} +$$ + +其中 $\mathbf{x}_{\mathrm{i}}$ $(\mathrm{i} = 1,2\dots 7)$ 分别表示企业规模、企业平均利润、企业平均年利润率、企业平均年利润增长率、企业平均营业额增长率、企业产品退货率与信誉评级。 + +其优化函数可以表示为： + +$$ +R _ {j} = \varphi \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} l \left(y _ {i}, \hat {y} _ {i} ^ {(t - 1)} + f _ {t} (x _ {i})\right) + \delta \left(f _ {t}\right) + c o n s t a n t +$$ + +(8) + +其中 $l$ 为损失函数， $\delta (f_t)$ 为正则项，constant为常数项。 + +具体该目标函数的构建以及算法的迭代计算过程如下： + +# （1） 构建单棵决策树 + +设 $f(x_{i})$ 为一棵决策树函数，其叶子节点个数为T。 + +之后基于信息增益法进行决策树特征选择：对于决策树，假设当前节点记为C,分裂之后左孩子节点记为L，右孩子节点记为R，则该分裂获得的收益定义为当前节点的目标函数值减去左右两个孩子节点的目标函数值之和： + +$$ +\mathrm {G a i n} = f _ {\mathrm {c}} - \mathrm {f} _ {\mathrm {L}} - \mathrm {f} _ {\mathrm {R}} \tag {9} +$$ + +在决策树生成的过程中，选择收益最大的特征作为树枝。 + +# (2) 基于加法模型，构建集成学习决策树 + +建立好单棵决策树模型之后，基于集成学习的思想，将多个决策树（弱分类器）进行集成，本文采用加法模型，从而得到一个强分类器。此时目标函数即为K棵树组成的加法模型： + +$$ +\widehat {y} _ {i} = \sum_ {k = 1} ^ {K} f _ {k} \left(x _ {i}\right), f _ {k} \in F \tag {10} +$$ + +其中 $\mathbf{f}_{\mathrm{k}}$ 为第 $\mathrm{k}$ 棵决策树。 + +接下来使用Boosting算法对该模型进行训练和学习。由于学习的模型为加法模型，Boosting算法可以对该模型从前向后学习，每一步只学习一个基函数及其系数（结构），逐步逼近优化目标函数，进而可以简化运算的复杂度。该方法从一个常量预测开始，每次学习一个新的函数，过程如下： + +$$ +\hat {y} _ {i} ^ {0} = 0 \tag {11} +$$ + +$$ +\hat {y} _ {i} ^ {1} = f _ {1} \left(x _ {i}\right) = \hat {y} _ {i} ^ {0} + f _ {1} \left(x _ {i}\right) \tag {12} +$$ + +$$ +\hat {y} _ {i} ^ {2} = f _ {1} \left(x _ {i}\right) + f _ {2} \left(x _ {i}\right) = \hat {y} _ {i} ^ {1} + f _ {2} \left(x _ {i}\right) \tag {13} +$$ + +··· + +$$ +\hat {y} _ {i} ^ {t} = \sum_ {k = 1} ^ {t} f _ {k} \left(x _ {i}\right) = \hat {y} _ {i} ^ {t - 1} + f _ {t} \left(x _ {i}\right) \tag {14} +$$ + +在第 $t$ 步时，其目标函数可以写为： + +$$ +R _ {j} ^ {t} = \sum_ {i = 1} ^ {n} l \left(y _ {i}, \hat {y} _ {i} ^ {t}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} l \left(y _ {i}, \hat {y} _ {i} ^ {t - 1} + f _ {t} \left(x _ {i}\right)\right) \tag {15} +$$ + +另一方面，由泰勒公式在点 $x$ 处二阶展开，可以得到： + +$$ +\mathrm {f} (\mathrm {x} + \Delta \mathrm {x}) \approx \mathrm {f} (\mathrm {x}) + \mathrm {f} ^ {\prime} (x) \Delta x + \frac {1}{2} f ^ {\prime} ^ {\prime} (x) \Delta x ^ {2} \tag {16} +$$ + +则上式转化为： + +$$ +R _ {j} ^ {t} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left[ l \left(y _ {i}, \hat {y} _ {i} ^ {t}\right) + g _ {i} f _ {t} \left(x _ {i}\right) + \frac {1}{2} h _ {i} f _ {t} ^ {2} \left(x _ {i}\right) \right] \tag {17} +$$ + +本文选取的损失函数l为平方损失函数，则目标函数为： + +$$ +R _ {j} ^ {t} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(y _ {i} - \left(\hat {y} _ {i} ^ {t - 1} + f _ {t} \left(x _ {i}\right)\right)\right) ^ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left[ 2 \left(\hat {y} _ {i} ^ {t - 1} - y _ {i}\right) f _ {t} \left(x _ {i}\right) + f _ {t} \left(x _ {i}\right) ^ {2} \right] \tag {18} +$$ + +其中， $(y_{i}^{t - 1} - y_{i})$ 即为残差，使用平方损失函数时，集成决策树通过拟合上一步模型中的残差不断对模型进行拟合。 + +# （3） 基于正则优化，改进梯度下降决策树模型 + +设 $f(x_{i})$ 为一棵决策树函数，其叶子节点个数为T。为了避免决策树出现过拟合问题，本文在原有的决策树模型中加入正则项。 + +决策树的复杂度由正则项表示为： + +$$ +\delta \left(f _ {t}\right) = \gamma \mathrm {T} + \frac {1}{2} \lambda \sum_ {j = 1} ^ {T} w _ {j} ^ {2} \tag {19} +$$ + +则在第 $t$ 步时，其目标函数可以写为： + +$$ +R _ {j} ^ {t} = \sum_ {i = 1} ^ {n} l \left(y _ {i}, \hat {y} _ {i} ^ {t}\right) + \sum_ {i = i} ^ {t} \delta \left(f _ {i}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} l \left(y _ {i}, \hat {y} _ {i} ^ {t - 1} + f _ {t} \left(x _ {i}\right)\right) + \delta \left(f _ {t}\right) + \text {c o n s t a n t} \tag {20} +$$ + +对于单棵决策树，定义集合 + +$$ +I _ {j} = \{i \mid q \left(x _ {i}\right) = j \} \tag {21} +$$ + +为所有被划分到叶子节点的训练样本的集合。则式17可以根据树的叶子节点重新组织为T个独立的二次函数的和： + +$$ +\begin{array}{c} R _ {j} ^ {t} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left[ g _ {i} w _ {q} \left(x _ {i}\right) + \frac {1}{2} h _ {i} w _ {q \left(x _ {i}\right)} ^ {2} \right] + \gamma T + \frac {1}{2} \gamma \sum_ {j = 1} ^ {T} w _ {j} ^ {2} = \sum_ {j = 1} ^ {T} \left[ \left(\sum_ {i \in I _ {j}} g _ {i}\right) w _ {j} + \right. \\ \left. \frac {1}{2} \left(\sum_ {i \in I _ {j}} h _ {i} + \lambda\right) w _ {j} ^ {2} \right] + \gamma T \end{array} \tag {22} +$$ + +定义 $\mathbf{G}_{\mathrm{j}} = \sum_{i\in I_j}g_i,H_j = \sum_{i\in I_j}h_i$ ，则式22可表示为： + +$$ +R _ {j} ^ {t} = \sum_ {j = 1} ^ {T} \left[ G _ {i} w _ {j} + \frac {1}{2} \left(H _ {i} + \lambda\right) w _ {j} ^ {2} \right] + \gamma T \tag {23} +$$ + +对式23求一阶导，令一阶导等于0,有： + +$$ +w _ {j} ^ {*} = - \frac {G}{H _ {j} + \lambda} \tag {24} +$$ + +则此时目标函数的值为： + +$$ +R _ {j} ^ {t} = - \frac {1}{2} \sum_ {j = 1} ^ {T} \frac {G _ {j} ^ {2}}{H _ {j} + \lambda} + \gamma T \tag {25} +$$ + +由此得到每次决策树分裂时的收益为： + +$$ +\mathrm {G a i n} = \frac {1}{2} \left[ \frac {G _ {L} ^ {2}}{H _ {L} + \lambda} + \frac {G _ {R} ^ {2}}{H _ {R} + \lambda} - \frac {(G _ {L} + G _ {R}) ^ {2}}{H _ {L} + H _ {R} + \lambda} \right] - \gamma \tag {26} +$$ + +在每次迭代时，通过式26计算损益，基于受益最大原则生成新的决策树，再通过式25计算每个叶结点对应的预测值，将新生成的决策树 $\mathrm{f_t}(x)$ ，再次添加到模型中，即有： + +$$ +\hat {y} _ {\mathrm {i}} ^ {\mathrm {t}} = \hat {y} _ {\mathrm {i}} ^ {\mathrm {t} - 1} + f _ {t} \left(x _ {i}\right) \tag {27} +$$ + +通过上述流程不断进行迭代，每轮迭代产生一个弱分类器，每个弱分类器在上一轮分类器残差的基础之上进行训练，这样不断进行迭代，直到达到目标精度为止，该模型的迭代流程图如下： + +![](images/36da71caade9a1c95a077fce98caa6ca54c8c698d079b58c45dd61ea314820d3.jpg) +图5-3 模型迭代流程图 + +# 5.4基于非线性规划算法的信贷发放策略模型 + +# 5.4.1 贷款额度与客户流失价值的划分 + +# 5.4.1.1 基于企业营业收入对贷款额度进行划分 + +本文中银行对于可放贷企业的贷款额度为 $10\sim 100$ 万元。为降低银行放贷风险同时保证银行贷款盈利较大，银行应针对不同规模与实力的企业给予不同的贷款额度。实际中大多数银行是基于企业的营业收入、资金周转率等指标来预估每家企业的未来资金需求量，然后给予相应的贷款金额，通常是企业营业收入的 $10\% \sim 20\%$ 。因此本文参考各行业类别的企业的营业收入和规模划分，以大多数行业类别的企业营业收入为基准，对不同规模的企业贷款额度进行了简要划分。由于本文的研究对象主要为中小微企业，因此不考虑大规模企业，同时依据数据特征保留“个体”这一规模分类，如表5-1所示。 + +表 5-1 不同规模的企业贷款额度 + +
企业规模贷款最大额度
大——
中100 万
小100 万
微60 万
个体40 万
+ +# 5.4.1.2 基于企业规模对客户流失价值进行划分 + +本文中客户流失率与银行贷款利率有关，对于一家银行来说，流失的客户越多，不仅会损失未来这部分客户的贷款收益，还会影响银行自身口碑以及失去这部分客户向其他潜在客户进行介绍和发展的潜力，同时银行吸引新客户所花费的成本也是银行由于客户流失所带来的损失。为了更好地衡量流失客户给银行贷款收益所带来的影响，本文引入客户流失价值这一概念，以该种流失客户的企业规模和实力所能带给银行的最大贷款收益为基准，取其 $10\% \sim 25\%$ 的金额数近似评估其客户流失价值。针对不同企业规模的企业有不同的客户流失价值，如表5-2所示。 + +表 5-2 不同规模的企业客户流失价值 + +
企业规模客户流失价值（元）
大——
中10000
小5000
微2000
个体1000
+ +# 5.4.2 银行对于各企业是否放贷的分析 + +为了保证银行放贷风险较低，银行有权对部分违约概率较高或信誉较低的企业不放贷。本文基于各企业信誉等级和违约概率对银行是否放贷进行分析。 + +# 5.4.2.1 不予信誉等级为D的企业放贷 + +基于信誉评级模型和已有数据，本文已知所有有无信贷记录的企业的信誉等级。实际中银行对信誉评级为D的企业原则上不予放贷，因此本文的银行对于所有信誉等级为D的企业均不放贷，贷款额度、贷款利率均为0。 + +经统计，123家有信贷记录的企业中，银行对24家企业不予放贷；302家无信贷记录的企业中，银行对27家企业不予放贷。 + +# 5.4.2.2 不予违约概率过高的企业放贷 + +在信贷风险评估模型中，已得到各企业的违约概率，当企业违约概率过高时，企业极有可能不还款，导致银行遭受损失。因此我们运用银行对于目前已有客户企业 $j$ 的期望收益 $t_j$ 来衡量该企业的信贷风险。设 $A_j$ 为企业可贷款金额， $i_j$ 为企业贷款利率， $P_j$ 为企业的还款概率。 + +$$ +\text {令} t _ {j} = A _ {j} \cdot i _ {j} \cdot P _ {j} - A _ {j} \cdot 0. 2 2 \cdot (1 - P _ {j}) 。 +$$ + +若 $t_j \leq 0$ ，认为该企业违约风险较高，银行不予放贷，取 $y_{j} = 0$ ；若 $t_j > 0$ ，认为该企业违约风险较低，银行放贷，取 $y_{j} = 1$ 。 + +该式表示企业j借款一年后的期望还款金额，银行可得到的期望收益。如果企业未违约，正常还款，银行可得到贷款金额的利润，这部分即为收益；如果企业违约，不能正常还款，那么银行会蒙受较大损失。考虑到企业违约并非完全不偿还本息，而小微企业的违约概率较高，如果按照本息全部损失进行计算，会导致几乎所有小微企业的收益期望为负，不能发放贷款，因此本文参考吴建华等人的研究[9]，选取一年期平均贷款违约损失率为0.22进行计算，避免默认为贷款完全损失导致认定违约风险高的企业过多，无法发放贷款的情况。 + +因此最终企业的贷款金额用 $B_{j}$ 表示，则有： + +$$ +B _ {j} = A _ {j} \cdot y _ {j} \tag {28} +$$ + +只有当 $y_{j} = 1$ 时，银行才会对该企业给予放贷，制定具体的贷款额度与利率。 + +# 5.4.3 不同信誉等级的客户流失率与贷款利率的关系 + +基于假设，本文认为客户流失率仅与银行贷款利率有关，因此运用MATLAB的cftool工具对已知数据进行非线性拟合，可得到不同信誉等级的企业客户流失率q与贷款利率i的关系。 + +MATLAB的cftool工具有许多拟合方法，本文为了模型简洁，采用最一般的多项式拟合方法。在拟合过程中，尽管二次多项式拟合结果的拟合度已经很好，Adjusted R-square已经能够达到0.9以上，但从数据的散点图能够看出，在贷款利率较高的位置客户流失率的变化有明显的斜率增大趋势，因此本文采用三次多项式进行拟合，显著减少在端点值附近的估计误差，如图5-4所示。 + +![](images/871a5bd43d14d44fc589f15caf0f150b23e93330bac5e7f0bf11bb8fca17fa50.jpg) +图5-4 信誉为A的客户流失率与贷款利率函数关系拟合图像 + +![](images/69ae2873520ba8d548c2680865711cc6f78ff0ca397f5308c61f42029376c3d4.jpg) + +拟合结果如表5-3所示。 + +表 5-3 不同信誉等级的企业客户流失率与贷款利率的拟合关系 + +
q=f(i)=p1·i3+p2·i2+p3·i+p4 +(p1,p2,p3,p4为相关系数)
不同信誉等级的企业ABC
p1634.6545503.4
p2-256.5-222.5-207.2
p337.7433.7332.17
p4-1.114-1.008-0.9846
Adjusted R-square0.99720.99770.9977
+ +三种信誉等级的企业客户流失率曲线的拟合度均较高，Adjusted R-square 均超过 0.99，认为置信度较高，拟合曲线予以采纳。 + +# 5.4.4 信贷策略的多目标函数与约束条件 + +对于一家银行来说，对不同企业进行放贷，其目标为贷款收益最大，同时客户流失率和客户违约风险要尽可能小，这样银行可以得到较为稳定丰厚的贷款收益，同时保有较稳定的客户量，有利于银行业务的发展与盈利。 + +因此本文以贷款收益最大、客户流失率最小、客户违约风险最小为目标，建立多目标规划模型。结合题目已知条件和假设，该规划模型需要满足以下约束： + +（1）银行对不同企业的贷款额度有一定限定范围，对所有企业的贷款金额总和不超过银行贷款上限。 +（2）银行对不同企业的贷款利率有一定限定范围。 +（3）银行对不同违约风险的企业有权决定是否放贷。 +（4）银行的客户流失会给期望收益带来一定损失，不同规模的企业客户流失价值不同。则最终的目标函数为： + +$$ +\max Z = \sum_ {j = 1} ^ {1 2 3} y _ {j} \left[ A _ {j} \cdot i _ {j} \cdot (1 - R _ {j}) - A _ {j} \cdot 0. 2 2 \cdot R _ {j} \right] (1 - q _ {j}) - M _ {j} \cdot q _ {j} \tag {29} +$$ + +需要满足的约束条件为： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 2 3} A _ {j} \leq d \tag {30} +$$ + +$$ +1 0 \leq A _ {j} \leq E _ {j} \tag {31} +$$ + +$$ +0. 0 4 \leq i _ {k j} \leq 0. 1 5 \tag {32} +$$ + +$$ +t _ {j} = A _ {j} \cdot i _ {j} \cdot P _ {j} - A _ {j} \cdot 0. 2 2 \cdot (1 - P _ {j}) \tag {33} +$$ + +$$ +y _ {j} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & t _ {j} \leq 0 \\ 1, & t _ {j} > 0 \end{array} \right. \tag {34} +$$ + +$$ +q = f (i) \tag {35} +$$ + +$$ +M = \eta \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {36} +$$ + +$$ +R = \phi \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {37} +$$ + +$$ +P + R = 1 \tag {38} +$$ + +其中 $M, P, R, E$ 分别表示客户流失价值，企业还款概率，企业违约概率与最高贷款限额，均为 $123 \times 1$ 的列向量，为解非线性规划前需要提前求解的数据。 + +# 5.5 问题一的求解与分析 + +# 5.5.1 信贷风险评估 + +基于附件1中的数据，使用改进的梯度下降决策树模型编程进行监督学习训练，通过训练集、验证集划分，集成学习，交叉验证等手段进行训练后得到最终的学习模型，通过运算可以得到，该学习模型的训练精度达到 $97.24\%$ ，预测准确率为 $96.75\%$ ，为了比较该模型的效果，我们分别使用了传统的未加改进的决策树算法和BP神经网络算法对上述数据进行了学习，结果表明，传统的决策树算法预测正确率为 $83.87\%$ ，BP神经网络的预测正确率为 $59.3\%$ ，本文的改进模型使得算法的准确度分别提升了 $15.36\%$ 和 $63.15\%$ ，改进效果明显，同时这也验证了本模型的准确性和有效性。 + +# 5.5.1.1 评估指标影响程度分析 + +首先本文基于该模型求解出所有自变量对于违约概率的影响程度，可以看到，银行对于企业的原信誉评级得分与企业是否可能违约的相关性最高，这说明了企业信誉等级对企业信贷风险的影响程度最大，也证明了银行对于企业的原信誉评级是可靠并且有效的。其次影响违约概率的显著因素分别为产品退货率、公司年平均营业额、年平均利润率、平均利润增长率等。 + +![](images/848b5a9408e5b1d45e2835fbd00a8c5a4018aa47adf2bd807ac1630b7c5b2d2a.jpg) +图5-5各指标对于企业违约概率的影响程度 + +本文重点关注影响因素得分较高的两个评估指标：信誉等级和产品退货率。结合附件1已知信誉数据，我们统计了各企业信誉评级的平均违约概率，如图5-6所示。 + +![](images/3433aac0a934c0c77302d559d710b8cacb1d9ac46a962a30469de22fdd2d4096.jpg) +5-6 不同信誉等级企业的平均违约概率 + +在本题的学习模型训练过程中，模型参数设定违约概率大于0.5的企业即为有违约记录的企业。由上图可知模型所得的违约概率与企业原有信誉等级较为符合，信誉等级为D的企业违约概率大于0.5，这部分企业全部有违约记录；信誉等级为A、B、C的企业违约概率小于0.5，违约记录较少，且信誉等级与违约概率呈负相关关系。不同信誉等级的企业平均违约概率证明了银行不给予信誉等级为D的企业放贷的合理性。 + +在产品退货率方面，本文统计了不同规模的企业平均违约概率，如图5-7所示。 + +![](images/7b9efb4fb9a83dc62fb73866c2f2528d838a055865cf94400198f162ddb81b97.jpg) +图5-7 不同规模的企业的平均违约概率 + +产品退货率衡量的是企业提供的产品或服务的质量，产品退货率越高，说明企业产品或服务质量越有可能存在缺陷，这与企业自身生产、监测与服务有关，与企业规模这一指标类似，都是企业实力的反映。由图可知，中型和小型规模企业的违约概率较低，且相差不大，银行对这部分信贷风险较低的企业可以给予较多的放贷额度；微型企业的违约概率较高，银行应该对这部分信贷风险较高的企业谨慎放贷；而个体经营由于具体规模未知，其违约概率维持在一个适中且偏低的水平，银行对于这部分客户应予以更加详细深入的风险评估并制定相对应的信贷策略。 + +# 5.5.1.2 违约概率与信贷风险分析 + +基于该学习模型，本文求解出了123家企业的违约概率，部分数据见表5-4，完整数据见附录10.1.1（1）。 + +表 5-4 各企业违约概率 (部分) + +
公司编号违约概率公司编号违约概率
E10.114468E100.088414
E20.141187E110.099536
E30.088414E120.107352
E40.095449E130.14972
E50.21064E140.088414
E60.114468E150.090395
E70.082263E160.088414
E80.088414E170.099536
E90.088414E180.088414
+ +企业违约概率可以一定程度上衡量该企业的信贷风险。当企业借贷一年后，未能正常还款，即视作违约，包括未按时支付、金额未支付完全等情况。企业的不同违约情况会给银行带来不同程度的损失，故违约概率表示的是企业可能给银行带来的损失，包括各类违约情况所带来的损失可能性，也就是该企业的信贷风险。 + +因此本文采用违约概率来评估各企业的信贷风险，违约概率越高，说明该企业的信贷风险越高，可能给银行带来的信贷损失越大，银行应对这部分企业谨慎制定放贷策略。违约概率越低，说明该企业的信贷风险越低，同时也说明该企业信誉较好，银行对于这部分信誉良好、信贷风险低的企业可以给予适当贷款优惠。 + +# 5.5.2 信贷策略制定 + +# 5.5.2.1非线性规划的最优值求解 + +基于5.5.1中解得的各公司的违约概率以及附件1中的数据，可以通过求解5.4.4中提出的非线性规划问题解出最有信贷发放策略。 + +在求解之前，需要获取如下数据： $M = \eta (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})$ （客户流失价值）、 $R = \phi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})$ （企业违约概率）、 $q = f(i)$ （客户损失率函数）。其中客户损失率函数在5.4.3中通过多项式拟合获得，企业违约概率在5.5.1中求得，只需根据5.2.2的《办法》进行企业分类，并按5.4.1中提出的标准获取客户流失价值，企业分类部分结果如表5-5，全部结果见附录10.1.1（2）。 + +表 5-5 企业的行业与规模分类 (部分) + +
企业代号企业分类企业规模最高贷款额度(万元)客户流失价值(元)
E1零售业中10010000
E2其他未列明行业中10010000
E3信息传输业中10010000
E4其他未列明行业中10010000
E5租赁和商务服务业小605000
E6建筑业小605000
E7零售业小605000
E8软件和信息技术服务业中10010000
+ +由于MATLAB的内置函数只能求解一般的非线性规划问题，不能求解非线性整数规划，故对5.4.4的规划问题进行适当调整后求解： + +去掉约束条件： + +$$ +t _ {j} = A _ {j} \cdot i _ {j} \cdot P _ {j} - A _ {j} \cdot 0. 2 2 \cdot (1 - P _ {j}) y _ {j} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & t _ {j} \leq 0 \\ 1, & t _ {j} > 0 \end{array} \right. \tag {39} +$$ + +将改约束条件转移到目标函数中： + +$$ +\max Z = \sum_ {\substack {j = 1 \\ t _ {j} > 0}} ^ {1 2 3} \left[ A _ {j} \cdot i _ {j} \cdot (1 - R _ {j}) - A _ {j} \cdot 0.22 \cdot R _ {j} \right] \left(1 - q _ {j}\right) - M _ {j} \cdot q _ {j} \tag{40} +$$ + +最后利用MATLAB中的fmincon函数，可求得银行对于各企业是否放贷、具体的贷款金额与利率。 + +# 5.5.2.2 银行的最优信贷策略 + +银行对于各企业的贷款额度与利率结果如表5-6，完整数据见附录10.1.1（3）。由于银行年度信贷总额未确定，这里的贷款额度用额度占比来表示。 + +表 5-6 银行针对各企业的信贷策略 (部分) + +
公司代号是否放贷额度占比利率
E1是0.4644%14.96%
E2是2.0539%14.99%
E3是2.0296%5.88%
E4是2.0294%5.97%
E5是1.2047%10.63%
E6是1.2315%14.98%
E7是1.2324%14.99%
E8是2.0557%14.99%
E9是2.0557%14.99%
E10是1.2071%6.38%
E11是1.2068%5.45%
E12是1.2065%6.66%
E13是2.0535%14.99%
E14是0.3851%7.06%
E15是0.8205%14.98%
E16是1.2322%14.98%
E17是1.2319%14.98%
E18是1.2322%14.98%
+ +基于非线性规划模型的最优值求解结果，本文得出了银行针对各企业的最优信贷策略，如下图所示。 + +![](images/deadd444ebf2a3304959c1d99d7cc7e77c7eaaa40e0b95ed8c3efca4892d441f.jpg) +图5-8 银行信贷策略 + +本文中，银行的信贷策略主要从是否放贷、贷款额度、贷款利率和贷款期限四个方面来考虑。银行不予信誉评级为D的企业和理论收益 $t_j$ 为负的企业发放贷款；对其他企业予以放贷，贷款期限均为一年，贷款额度和贷款利率针对不同企业而有所不同。基于以上信贷策略，能够保证银行的贷款收益最大化，同时使已有客户的流失率最小、违约风险最低，本文认为这即是最佳信贷策略。 + +# 六、问题二的模型建立与求解 + +# 6.1思路分析 + +本题对于中小微企业的信贷策略的解题思路与问题一类似，不同之处在于对企业进行信贷风险评估之前，首先需要构建模型对无信贷记录的企业信誉等级进行预估，然后应用问题一的两个模型，进行信贷风险评估与信贷策略制定，问题二的思路流程图如下。 + +![](images/f741dcb62e1f64057c202a9e31ef52ad2f83d120929b0329ee5b6922d8d6ce3d.jpg) +图6-1 问题二思路流程图 + +# 6.2 信誉评级模型建立 + +经过第一问的模型求解与结果分析可知，企业的信誉等级与该企业违约风险的高低存在着高度的正相关关系，企业的信誉等级越高，则企业的违约风险就越低，因此企业的信贷违约记录以及信誉等级是银行用于评估企业违约概率极为重要的一个指标。而问题二所提供的302家企业没有信贷记录以及信誉评级，因此在信贷风险评估之前有必要基于企业的规模、盈利状况等信息建立数学模型，对各企业的信誉进行评级。 + +对企业的信誉评级结果共分为A、B、C、D四级，该问题本质是一个多分类问题，因此可以同样基于前文使用的改进的梯度下降决策树算法建立集成学习模型，基于问题1中123家有信誉评级信息企业的数据训练模型，之后将训练好的模型用于问题2中302家企业的信用评级。 + +假设对于企业j，其信誉等级用 $C_j$ 表示，其中： + +$$ +C _ {j} = \{i \mid i \in A, B, C, D \} \tag {41} +$$ + +建立信誉等级与企业信息的决策树模型，其目标函数为： + +$$ +C _ {j} = \phi \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} l \left(y _ {i}, \hat {y} _ {i} ^ {(t - 1)} + f _ {t} \left(x _ {i}\right)\right) + \delta \left(f _ {t}\right) + c o n s t a n t \tag {42} +$$ + +其中 $\mathrm{x_i}$ $(\mathrm{i} = 1,2\dots 6)$ 分别表示企业规模、企业平均利润、企业平均年利润率、企业平均年利润增长率、企业平均销售额增长率与企业服务或产品质量； $l$ 为损失函数， $\delta (f_t)$ 为正则项，constant为常数项。 + +该学习模型的建立与优化过程与信贷风险评估模型类似，首先构建单棵决策树 $f(x_i)$ ，之 + +后基于梯度下降方法，得到每次决策树分裂时的收益： + +$$ +\mathrm {G a i n} = \frac {1}{2} \left[ \frac {G _ {L} ^ {2}}{H _ {L} + \lambda} + \frac {G _ {R} ^ {2}}{H _ {R} + \lambda} - \frac {(G _ {L} + G _ {R}) ^ {2}}{H _ {L} + H _ {R} + \lambda} \right] - \gamma \tag {43} +$$ + +基于泰勒公式展开计算损失函数在每个训练样本点的一阶导数和二阶导数，通过贪心策略生成新的决策树，基于加法模型将每次迭代生成的决策树模型相加集成，构建集成学习决策树，进而得到一个强分类器： + +$$ +\widehat {y} _ {i} = \sum_ {k = 1} ^ {K} f _ {k} \left(x _ {i}\right), f _ {k} \in F \tag {44} +$$ + +此时目标函数的值为： + +$$ +R _ {j} ^ {t} = - \frac {1}{2} \sum_ {j = 1} ^ {T} \frac {G _ {j} ^ {2}}{H _ {j} + \lambda} + \gamma T \tag {45} +$$ + +其具体的实现细节在上一节中已经有详细解释，不再赘述。 + +# 6.3 问题二的求解与分析 + +本文首先运用6.2信誉评级模型对302家无信贷记录的企业进行评级，然后将信誉评级为A、B、C的企业继续运用5.3和5.4所建立的模型求解，得到企业的信贷风险和最佳信贷策略。 + +# 6.3.1 无信贷记录企业的信誉评级 + +基于信誉评级模型，本文给出所有无信贷记录的预估信誉等级，部分结果如表6-1，完整数据见附录10.1.2（1）。 + +表 6-1 各公司信誉等级 (部分) + +
公司编号评级得分
E124B
E125B
E126B
E127B
E128B
E129B
E130B
E131B
E132B
+ +本文统计了无信贷记录的302家企业的各信誉等级和规模计数，如图6-2所示。 + +![](images/fbe0923e75919521e5fd1411e643396bbde21ca62888d0ce25aacd278222823d.jpg) +图6-2 各信誉等级和规模的企业计数 + +![](images/57e1b18f3cc79120bbc293365c14bd0265f3fc3fa30eac37d6093d603a962b8f.jpg) + +可以看到这302家企业中微型企业占绝大部分，并且没有中型企业，这部分企业的规模均较小；在信誉评级中，大多数企业评级为B和C，这与企业规模、企业自身实力相符。对 + +于大部分企业规模较小、信誉评级不高的企业，银行应更加详细深入地对其信贷风险进行评估，谨慎制定放贷策略。 + +# 6.3.2 信贷风险评估 + +基于6.3.1所求的各企业的信誉评级与附件2已知数据，本文直接运用5.3所建立的信贷风险模型对企业进行风险评估，其违约概率结果（部分）如表6-2，完整数据见附录10.1.2（2）。 + +表 6-2 无信贷记录的企业违约概率 + +
公司编号违约概率
E1240.439356714
E1250.414479107
E1260.441195905
E1270.467635691
E1280.441195905
E1290.467635691
E1300.47423476
E1310.467635691
E1320.467635691
+ +本文统计了不同规模的企业平均违约概率，如图6-3所示。 + +![](images/cd7ebbee7af0978f42f0db04d404bacbea3e099d7e7f8127b20c008ba807949c.jpg) +图6-3不同规模企业的平均违约概率 + +由图知302家无信贷记录的企业以微型公司为主，没有中型规模公司，其普遍违约概率较高，与上文所得信誉评级普遍较低相符合。银行对于这部分小、微企业，应该采取更加谨慎的放贷策略。 + +# 6.3.3 信贷策略制定 + +问题二中，求解贷款方案采用的模型与问题一相同，故直接给出求解结果。 + +利用附件2和《办法》的数据对企业进行分类，方法与问题一相同，部分结果如表6-3，完整数据见附录10.1.2（3）。 + +表 6-3 各企业规模、行业类别等信息分类 + +
企业代号企业类别企业规模客户流失价值（元）最高贷款额度（万元）
E134租赁和商务服务业微200060
E135建筑业小5000100
E136工业小5000100
E137建筑业小5000100
E138个体个体100040
+ +对附件二进行计算时，发现使用0.22的贷款违约损失率仍旧会导致大部分企业无法获得贷款，因此再次放宽模型条件，只要企业的违约风险低于 $50\%$ ，即可以向企业发放贷款。即假设企业违约时银行的损失仅为利息部分，本金可以追回。在上述假设下，非线性规划模型简化为如下形式： + +目标函数： + +$$ +\max Z = \sum_ {j = 1 \atop t _ {j} > 0} ^ {3 0 2} \left[ A _ {j} \cdot i _ {j} \cdot (1 - 2 R _ {j}) \right] \left(1 - q _ {j}\right) - M _ {j} \cdot q _ {j} \tag {46} +$$ + +约束条件： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {3 0 2} A _ {j} \leq d \tag {47} +$$ + +$$ +1 0 \leq A _ {j} \leq E _ {j} \tag {48} +$$ + +$$ +0. 0 4 \leq i _ {j} \leq 0. 1 5 \tag {49} +$$ + +$$ +q = f (i) \tag {50} +$$ + +$$ +M = \eta \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {51} +$$ + +$$ +R = \phi \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {52} +$$ + +$$ +E = \tau \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {53} +$$ + +其中 $M$ ， $R$ ， $E$ 分别表示客户流失价值，企业违约概率与最高贷款限额，均为 $302\times 1$ 的列向量，为解非线性规划前需要提前求解的数据。 + +利用MATLAB中的fmincon函数求解贷款策略结果如表6-4，完整数据见附录10.1.2（4）。 + +表 6-4 银行针对各企业的信贷策略 (部分) + +
公司是否放贷额度（万元）利率
E124是11.906.51%
E125是31.305.46%
E126是31.295.77%
E127是31.286.27%
E128是31.295.77%
E129是31.286.27%
E130是31.286.44%
E131是31.286.27%
E132是31.286.27%
E133是31.295.77%
E134是51.274.79%
E135是91.264.13%
E136是91.264.07%
E137是91.264.01%
E138是31.295.77%
E139是31.286.27%
E140是91.254.33%
E141是51.264.96%
+ +无信贷记录的企业没有银行的信誉评级，为了给这部分企业放贷，银行需要基于其企业实力对其信誉等级进行预估，再进行相应的信贷风险评估与信贷策略制定。最终的信贷策略与问题一相同，从是否放贷、贷款额度、贷款利率和贷款期限四个方面来考虑，但具体针对各企业的贷款额度和贷款利率有所不同。 + +# 七、问题三的建模与分析 + +# 7.1思路分析 + +企业的生产经营与利润效益经常会受到市场环境、国家政策甚至一些外界突发因素的影响，这些因素往往对于不同行业、不同类别的企业有着不同的影响，而对于企业造成的种种影响也会通过信用贷款等途径简介传递到银行，从而影响银行的资金安全和盈利能力。因此，银行在对企业确定是否借贷、借贷额度以及最佳利率之前，需要同时充分考虑各企业的信贷风险以及可能的突发因素对于各企业的影响。 + +本文首先基于统计局颁布的《统计上大中小微企业划分方法》，将附件2中所企业按照行业类别、企业规模进行分类，共分为14个行业大类、4个规模大类。之后以新冠肺炎疫情为例，从宏观和微观两个层面分析了不同行业、不同规模的企业所受到的疫情影响的严重程度，从宏观层面，本文选择各行业具有代表性的上市公司股票，基于Python爬虫爬取了各行业从新冠疫情爆发以来至今的股票价格信息，以股票价格的波动作为分析该行业的发展与恢复情况的基本指标；在微观层面，本文从302家企业中随机抽取72家企业分析其2020年1月、2月与2018年、2019年同期的同比增长率，以此判定企业的运营状况，之后结合宏观与微观分析，本文将各类企业按照受疫情影响程度分为四类。最后，由于新冠肺炎疫情属于严重影响社会经济发展的重大突发类事件，因此国家和各级政府在今年出台了多种扶持政策，以重点帮助疫情重灾区行业、特别是中小企业的渡过难关，在贷款方面也要求银行加大信贷支持力度、中央财政安排贴息资金支持等措施，本文银行在考虑借贷策略时，需要同时考虑国家政策倾斜以及银行利润最大两个目标。故本文引入市场风险函数、政策影响因子等指标，同时考虑信贷风险、市场风险、国家政策和社会效益，建立多目标非线性规划函数，并且进行求解，并与第二问求得的结果进行对比，得到该银行年度信贷额度为1亿元时的信贷调整策略。具体的思路流程图如下： + +![](images/5856daf88f0c8c88fc1d186ba04cfa84662e85ebe51c83e85aa484a2627e9347.jpg) +图7-1 问题三思路流程图 + +# 7.2 无信贷记录企业的行业和规模分类 + +由于各类突发事件对于不同行业、不同规模、不同类别的企业造成的影响可能不同，因 + +此有必要对于各类企业进行分类，针对不同企业规模、行业类别的企业进行研究。基于5.2.2的分类，302家无信贷记录的企业分类结果统计如下。 + +表 7-1 各企业的规模和行业统计 + +
序号行业类别中型企业小型企业微企业个体户合计
1工业000038
2建筑业0533050
3交通运输业0123809
4零售业045014
5农林牧渔业021206
6批发业03304
7软件和信息技术服务业01210022
8物业管理00202
9信息传输业04408
10住宿业00202
11租赁和商业服务业0149050
12餐饮业00101
13房地产开发经营00303
14其他未列明行业00125466
+ +可以看到，附件2中的企业多为小型或者微型企业或者个体经营户，无中型企业，其中交通运输业、建筑业、租赁与商业服务业的微型企业占比最高。 + +# 7.3突发因素对于企业影响分析 + +突发事件是人们对于出乎意料的事件的总称，这种事件通常会造成巨大的经济损失或者人员伤亡，甚至危害到国家的政治安全、经济安全等，突发事件通常具有信息不全性、突发性、高度不确定性等特征，对于市场经济环境中的中小型企业来说，由于中小企业普遍存在人才资源储备不足、现金流短缺、资金链脆弱等问题，导致大部分中小型企业的风险承受能力较低，在应对突发因素时如果没有得到贷款或外界的援助，难以仅依靠自身渡过难关。对于突发因素总体可以分为两类，宏观层面的突发因素、和企业微观层面的突发因素，前者往往可能是由于国家或者全球政治、经济、公共卫生重大事件所导致的连锁反应（如中美贸易摩擦、新冠肺炎疫情的爆发等），后者则可能是由于企业自身或者上下游供应链导致的一系列问题（例如自身产品质量缺陷、公关危机、供应链断裂等），其各种突发因素极为复杂，本文以新冠肺炎疫情的爆发为例，详细分析这种重大突发性公共卫生事件对于不同企业的影响。 + +![](images/442b3e645a1c5717533c58cae2b5230517e5ce416e5183edbaa2501f06448e1d.jpg) +图7-2突发事件分析 + +为了评估新冠肺炎疫情对于不同行业、不同类别企业的影响，本文将从宏观层面和微观层面分别进行分析。 + +在宏观层面，股票市场的价格波动往往能够非常真实且迅速地反映出整个行业的发展现状，可以看做每个行业发展的“晴雨表”，因此本文选取每个行业中1-3支典型的上市公司股票作为分析对象，分析目标公司在新冠肺炎疫情期间的股票价格变化趋势、涨跌幅等信息，从而判断新冠肺炎疫情对于不同行业的影响情况。 + +在微观层面，由于新冠肺炎疫情从2020年1月开始爆发，而附件2中包含部分企业的2020年1月-2月的进、销项发票信息，因此本文基于附件2中各企业的2017年-2020年1、2月份的进销项发票信息得到各年份的1、2月份的营业额，进行营销额同比增长分析，进而分析出不同规模、不同行业的企业受到新冠肺炎疫情影响程度。 + +![](images/93339789b8c9be8bc723d4464df9f36fb894caec72894faea520bd2c3fb18220.jpg) +图7-3 疫情对企业影响的分析 + +# 7.3.1 宏观层面分析 + +通过调查和筛选，本文选择各个行业有代表的3支上市公司股票进行分析，选择的股票及对应信息如下： + +表 7-2 各行业部分上市公司信息 + +
所在行业上市公司名称股票代码
工业中石油sh.601857
山东黄金sh.600547
中国神华sh.601088
建筑业中国建筑sh.601668
中国中铁sh.601390
中国交建sh.601800
交通运输业顺丰控股SZ.002352
大秦铁路sh.601006
上港集团sh.600018
零售业海澜之家sh.600398
森马服饰SZ.002563
永辉超市sh.601933
农林牧渔业隆平高科SZ.000998
牧原股份SZ.002714
海南橡胶sh.601118
批发业华东医药SZ.000963
九州通sh.600998
苏宁易购SZ.002024
软件和信息技术服务业完美世界SZ.002624
用友网络sh.600588
恒生电子sh.600570
物业管理南国置业SZ.002305
绿地控股sh.600606
南都物业sh.603506
信息传输业启明信息sz.002232
软控股份sz.002073
恒宝股份sz.002104
住宿业锦江酒店sh.600754
首旅酒店sh.600258
华天酒店sz.000428
租赁和商务服务业渤海租赁sz.000415
皇庭国际sz.000056
中青旅sh.601888
餐饮业全聚德sz.002186
西安饮食sz.000721
ST云网sz.002306
房地产行业万科sz.000002
保利地产sh.600048
华夏幸福sh.600340
+ +本文利用Python爬虫，从新浪财经、东方财富等知名财经网站对于上述股票的每日价格变动信息进行爬取。之后本文对于上述股票进行了股票价格分析，设定疫情爆发开始时间为2020年1月20日，计算从1月20日开始至2020年7月上述股票的最大跌幅、首次回复上涨时间、以及恢复到疫情之前股价所需时间等指标。股票最大跌幅可以反映该行业该公司对于公共卫生事件产生的风险承受能力，首次恢复上涨时间可以反映市场对于该行业的信心以及该行业自身的恢复情况，而股价回复时间这一指标可以反映该行业该公司自身的回复状况，本文计算分析得到的结果如下： + +表 7-3 所选企业的股票变化信息 + +
分类企业代码疫情起点首次回复日期回复时间最大跌幅备注
工业中国神华sh.6010881月20日7月6日16818.87%
建筑业中国交建sh.6018001月20日3月2日4217.92%
交通运输业上港集团sh.6000181月20日9月11日23528.16%未恢复到原价
零售业海澜之家sh.6003981月20日9月11日23526.18%未恢复到原价
农林牧渔业海南橡胶sh.6011181月20日3月13日5320.62%
批发业苏宁易购sz.0020241月20日7月9日17122.26%
软件和信息技术服务业恒生电子sh.6005701月20日2月6日1713.47%
物业管理南都物业sh.6035061月20日2月19日3018.30%
信息传输业恒宝股份sz.0021041月20日2月24日3521.45%
住宿业华天酒店sz.0004281月20日3月2日4217.94%
租赁和商业服务业中青旅sh.6018881月20日8月12日20522.67%
餐饮业ST云网sz.0023061月20日3月18日5814.39%
房地产华夏幸福sh.6003401月20日7月6日16825.93%
+ +开发经营 + +![](images/2e694fdbc82a9860b3ba3e4a5384cf2ce09c7c579f06e02eb564d97e2c60478f.jpg) +图7-4所选公司股票变化 + +从上述结果可以看到，各行业公司股价在疫情爆发初期均有着较大程度的下跌，这与人们当时对于疫情未知导致的巨大恐慌有关，一段时间后，部分行业的股价迅速上涨，恢复到疫情之前的水平，甚至还存在进一步的上涨，说明该行业收到疫情的影响很小，甚至疫情对于该行业的发展具有利好效应（如软件和信息技术服务业、工业、建筑业、信息传输业等），而部分行业的企业则受到疫情的冲击较大，这个可以从两方面的数据中看出，一方面，这些行业疫情期间的股价最大下跌幅度大于其他行业；另一方面，该行业（如交通运输业、零售业、租赁和商务服务业等）公司的股价恢复速度也远远慢于其他行业，这说明一方面该行业并没有完全恢复，另一方面，投资者对于该行业的投资信息也没有完全恢复。 + +基于上述分析，首先将所有企业按照所在行业受疫情影响程度划分为严重、部分影响、无影响、利好四个等级，具体的划分结果如下： + +表 7-4 各行业受疫情影响程度评级 + +
影响程度评级行业
严重影响交通运输业、零售业、租赁与商业服务业
部分影响餐饮业、批发业、农林牧渔业、住宿业、批发业
无影响/极小影响工业、建筑业、房地产开发、物业管理
利好软件和信息技术服务、信息传输
+ +# 7.3.2 微观层面分析 + +本文在附件2中302家企业中随机抽取72家企业进行分析，包含除餐饮业之外的所有企业类别。计算2020年1月与2月利润与2018年、2019年的同比增长率，2月部分计算结果如表7-5所示，完整数据见附件10.1.3（1）。 + +表 7-5 各企业 1,2 月经营状况同比比较 + +
企业代号2月企业类别企业规模
销项利润
2018年2019年2018年2019年
E141-80.00%-86.11%38.81%60.07%批发业微
E143-45.67%-78.12%-501.24%10.51%软件和信息技术服务业小
E162-70.14%-79.29%135.57%-78.72%软件和信息技术服务业小
E163-98.53%-99.54%101.52%-99.48%交通运输业小
E171-99.98%-99.98%99.87%99.06%其他未列明行业微
E175-89.04%-94.47%-89.04%-94.47%批发业微
E176-83.59%-88.22%-57.63%-236.83%软件和信息技术服务业小
E180-98.93%-99.51%-1101.53%-1647.50%工业微
E194-91.98%-86.20%-74.97%118.99%租赁和商务服务 业微
E196-99.87%-99.94%95.78%87.60%其他未列明行业微
+ +从统计结果可以直观看出，2020年大部分企业的销售额与2018年与2019年同比均出现 $80\% - 90\%$ 萎缩。由于疫情影响，中小微企业在2020年进项支出也出现大幅度减少，存在许多2018年或2019年1月与2月亏损的公司由于在2020年的支出大幅下降，导致2020年同期转为盈利或亏损减少的情形。所以存在一定数量的企业2020年营业利润同比增长的情况。因此分析营业额的同比变化情况更为合理。 + +表 7-6 2020 年 1 月和 2 月各企业销项和利润同比降低比率 + +
月份1月2月
经营情况销项利润销项利润
年份20182019201820192018201920182019
同比降低比率43.06%55.56%50.00%48.61%79.17%83.33%45.83%45.83%
+ +根据表7-6中的统计情况，各企业在2020年1月受疫情的影响较小，维持在利润增长与利润减少企业数量各半的一般水平；而2020年2月则明显表现出疫情对企业的影响，估计总体有 $80\%$ 左右的企业出现销售额同比往年下降。根据统计结果，销售额同比2019年下降的企业的平均销售额萎缩率高达 $86.94\%$ ，可以看出疫情期间大部分企业的经营活动遭受严重的破坏，相当多的中小微企业在疫情中将面临生产停滞、销售受阻的不利局面，亟需政府的政策扶持以度过难关。 + +疫情对不同行业的影响也有所不同，表7-7为不同类型的企业2020年2月营业额同比2019年降低的频率表。 + +表 7-7 不同类型的企业 2020 年 2 月营业额同比降低频率 + +
企业类型营业额同比上升的 企业数目营业额同比下降的 企业数目营业额同比上升的 企业频率
房地产开发经营020.00%
工业21412.50%
建筑业080.00%
交通运输业030.00%
零售业2250.00%
农林牧渔业020.00%
批发业020.00%
软件和信息技术服 务业3827.27%
物业管理010.00%
信息传输业020.00%
住宿业020.00%
租赁和商务服务业21214.29%
未列明行业040.00%
+ +本文认为样本量大于5的数据为有效数据（于表中标红），可以看出受疫情影响最小的行业为软件和信息技术服务业，其次为租赁和商务服务业。其他行业的受损状况由于样本量太小，无法给出准确合理的判断。 + +这里解释一下关于对租赁和商务服务业的判断与7.3.1不同的原因。旅游业是商业服务业的一个分支，在疫情期间，旅游业遭受重创，而7.3.1中租赁和商务服务业的股票代表为 + +一家旅游业企业，因此判断收到严重影响。而商务服务业还包括保险等行业，疫情期间对保险业是利好的，因此租赁和商务服务业的子行业的受影响状况不同，需要进一步研究。本文简单起见，在以后建模采用7.3.1的结论。 + +# 7.4银行受到的影响分析及贷款策略调整方向 + +企业的生产经营与利润效益经常会受到市场环境、国家政策甚至一些外界突发因素的影响，这些因素往往对于不同行业、不同类别的企业有着不同的影响，而对于企业造成的种种影响也会通过信用贷款等途径简介传递到银行，从而影响银行的资金安全和盈利能力。 + +根据国内已有研究，在疫情的冲击下，银行贷款的质量出现恶化趋势。由于社会经济的流动性急剧降低，甚至在必要时还进行过“封城”的防疫措施，直接导致中小微企业人力资源与物流运输收到阻碍，生产停滞，同时因为疫情导致失业率上升，消费能力下降，进而导致订单大幅减少，营业额急剧下滑，还款能力下降，由于资金紧张导致贷款需求增加。因此中小微企业还本付息困难，逾期贷款激增，次级贷款额与不良贷款率均开始上升，银行的贷款损失风险增大[10]。 + +疫情期间，中小微企业受疫情的冲击最大，损失惨重，许多过去优秀的企业在疫情期间甚至达到濒临破产。为此，国家出台了许多对中小微企业的扶持政策。根据各省市自治区发布的政策措施，主要从降低成本与提供融资两方面来对中小微企业进行政策扶持。降低成本的方式主要为减税、降低水电费价格等；提供融资的方式主要有贷款延期、降低利率、降低小额贷款门槛等。首先，对于这些疫情影响最为严重企业，一方面，银行需要配合国家政策，积极向相关领域、相关企业提供更多对贷款资源，帮助他们度过难关，另一方面，也需要考虑到随之而来的贷款逾期率和不良率的上升。 + +其次，银行的信贷重点也应当向医药防护、民生保障等疫情防控相关领域倾斜，满足企业贷款投放需求，支持这些企业更好地发展。 + +最后，处于银行长期发展和盈利的考虑，银行也在疫情危机中寻找机遇，战略布局可能飞速发展的产业。例如疫情可能利好并且重构某些行业，5G产业、在线教育、云计算、在线视频、电子商务、保险业、智能制造等行业将会迎来新的发展机遇，银行也应当适时抓住面向未来的新的发展机遇。 + +![](images/9604bbe018dc441ab0a4ce14c848191f3c66860e92418b127bcc7212dc759219.jpg) +图7-5疫情下银行信贷策略的调整 + +基于前文划分的受影响严重程度的等级划分情况，充分考虑国家政策倾斜、银行盈利、银行长期发展等因素，银行具体的调整策略如下： + +表 7-8 银行的具体调整策略 + +
影响程度评级贷款额度调整政策贷款利率调整政策
严重影响贷款额度上限提升30%贷款利率优惠30%-50%
部分影响无变化贷款利率优惠10-30%
无影响/极小影响无变化无变化
利好贷款额度上限提升20%-50%无变化
+ +其中对于受到疫情严重影响的企业，根据国家政策应该在贷款额度上限、贷款利率方面 + +均给予适当优惠和倾斜，对于受疫情影响较小或者不受疫情影响的企业，应当适当减少倾斜力度甚至不给予优惠政策，同时基于长远发展以及银行的利益考虑，对于某些利好行业（如云计算、电子商务、智能制造等）所在企业同时应当适度提升贷款额度，从而提升客户的留存率以及银行的未来盈利。 + +# 7.5 考虑信贷风险与突发因素的借贷策略规划模型 + +在问题二基础上，本文考虑国家政策倾斜、各行业受影响程度等因素并且将其进行量化，加入到贷款策略调整模型中，得到最终的多目标非线性规划模型，模型需满足的约束与问题二相同。 + +该模型的目标函数为： + +$$ +\max Z = \sum_ {j = 1} ^ {3 0 2} y _ {i} \left[ A _ {j} \left(1 + h _ {1 j}\right) \left(1 - R _ {j}\right) i _ {j} \left(1 - h _ {2 j}\right) - 0. 2 2 \cdot A _ {j} \left(1 - h _ {2 j}\right) R _ {j} \right] - M _ {j} \cdot q _ {j} \tag {54} +$$ + +其中 $\mathrm{h}_{1\mathrm{j}}$ 为银行对于不同企业贷款额度的提升系数，其取值与国家政策补贴、企业所在行业、企业规模、客户流失率等因素有关； + +$h_{2j}$ 为银行对于不同企业的利率优惠系数，影响因素同上； + +需要满足的约束条件为： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {3 0 2} y _ {i} A _ {j} \leq d \tag {55} +$$ + +$$ +1 0 \leq A _ {j} \leq E _ {j} \tag {56} +$$ + +$$ +0. 0 4 \leq i _ {k j} \leq 0. 1 5 \tag {57} +$$ + +$$ +t _ {j} = A _ {j} \cdot i _ {j} \cdot P _ {j} - A _ {j} \cdot 0. 2 2 \cdot (1 - P _ {j}) \tag {58} +$$ + +$$ +y _ {j} = \left\{ \begin{array}{l} 0, t _ {j} \leq 0 \\ 1, t _ {j} > 0 \end{array} \right. \tag {59} +$$ + +$$ +\mathrm {q} = \mathrm {f} (\mathrm {i}) \tag {60} +$$ + +$$ +M = \eta \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {61} +$$ + +$$ +R = \phi \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {62} +$$ + +$$ +E = \tau \left(x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}, x _ {5}, x _ {6}, x _ {7}\right) \tag {63} +$$ + +其中 $M, P, R, E$ 分别表示客户流失价值，企业还款概率，企业违约概率与最高贷款限额。 + +# 7.6 模型求解与分析 + +基于前文确定的新的银行贷款调整政策，以及对多目标规划模型的求解，本文计算出了附件2中对于所有企业的贷款策略，其中包括是否放贷、贷款额度、贷款利率等信息，求解部分结果见表7-9，完整求解结果见附录10.1.3（2）。 + +表 7-9 银行最佳信贷策略 + +
公司是否放贷额度/万元利率
E124110.0970.0692
E125124.73330.0589
E126124.72560.0619
E127124.71830.0663
E128124.72560.0619
E129124.71830.0663
E130124.71650.0678
E131124.71830.0663
E132124.71830.0663
E304058.76450.095
E305162.66480.0257
E306038.76830.095
E307058.76450.095
E308058.76450.076
E309038.76830.095
E310076.7630.0475
E311162.67810.0245
E312076.7630.0475
E313076.7630.0475
+ +最终银行总的贷款额度为1亿元，期望收益为184.6552万元，相较于问题二，考虑到政策补贴后的银行贷款策略贷款总额度没有变化，贷款的期望收益因此减少了14.98万元，减少了 $7.50\%$ 。但是这种调整策略却能够帮助众多处在水深火热之中的中小企业渡过难关，体现银行巨大的责任意识和社会担当，产生了巨大的社会效益，进一步提升了银行的信誉和客户留存率，从这方面来看，这种策略的调整是值得的。 + +# 八、模型评价与推广 + +# 8.1 信贷风险评估模型 + +# 8.1.1 模型优点 + +（1）本模型的预测准确率更高，经过测算，本模型的预测正确率高达 $96.75\%$ ，相较于传统的决策树模型和BP神经网络模型，准确率分别提升了 $15.36\%$ 和 $63.15\%$ +（2）本模型可以有效避免过拟合问题，使用传统的决策树算法，容易造成模型过拟合的问题，本模型通过引入正则项函数抑制决策树的复杂性，降低单棵决策树的拟合能力，再通过梯度提升的方法集成多个决策树，可以有效避免模型过拟合： +（3）本模型对于数据特征、格式要求较低，不同于传统的统计型预测模型，本模型对于变量之间的相关性、共线性等均无要求，并且无需做复杂的特征工程和特征变换，可以大大简化数据预处理的工作量； +（4）本模型对于附件的数据信息进行了充分挖掘，共从中提取出企业七大财务与运营指标，这些指标最终被证明在模型的训练过程中均是有效的，从而进一步提升了模型的可靠性。 + +# 8.1.2 模型不足 + +（1）本模型本质是一个监督学习预测模型，对于端到端、输入到输出可以做到很好的预测，但是其得到的模型参数难以显化，解释性不如传统的统计预测模型： +（2）尽管本文从数据中挖掘出了七项企业的运营与财务指标，但是考虑到中小企业本身数据量偏少，同时问题本身提供的数据也较少，因此本模型的预测准确率还有进一步的提升空间。 + +# 8.1.3 模型推广 + +由于本模型具有预测准确率高，并行式计算、计算速度快等优势，因此本模型非常适合用于处理大型数据集，可以进一步应用于更多类型、更多行业、更多数据量的银行客户信达风险评估工作中去，当数据量增大时，本模型的预测效果可以得到进一步的提升。 + +# 8.2 信誉等级评估模型 + +# 8.2.1 模型优点 + +本模型是一个多分类模型，本质与信贷风险评估模型相同，同样具有预测率正确率高、 + +数据特征要求较低、训练速度较快等优势。 + +# 8.2.2 模型缺点 + +（1）由于本模型本质是一个监督学习模型，参数的解释性不如传统的统计预测模型； +（2）由于问题一的评级将等级分为A、B、C、D四类，因此实质是一个四分类监督学习模型，实际中银行可能对于客户会采用更加复杂或者简单的评级（如三类或者五类），此时就需要重新训练模型。 + +# 8.2.3 模型推广 + +限于问题所给数据规模较小，因此本模型的应用于其他规模更大的企业的信誉评级问题中时可能效果会降低，未来需要通过更多的数据集（包含大中小微更多类别、更多行业）进行训练，进而才能够进一步提升模型预测的准确率。 + +# 8.3 基于多目标非线性规划算法的信贷策略模型 + +# 8.3.1 模型优点 + +（1）本模型基于银行期望收益最大、客户流失率最小、风险成本最小建立规划模型，考虑的目标较为全面，得到的最终求解结果也更为保守，对于银行来讲是最为安全的借贷策略； +（2）本模型考虑全面，模型简洁高效，便于理解和应用，得到求解结果与实际情况较为接近，结果较为合理； + +# 8.3.2 模型缺点 + +（1）本模型对于企业违约仅考虑了无法还贷的情况，考虑情况较为单一，实际上企业还贷违约可能还包括延迟还贷等情况，未来需要进一步查阅资料进行细化和建模； +（2）实际银行贷款中不会按照模型计算结果进行贷款，一般会在计算的数值附近上下波动取整，这样便于银行业务的开展，本文没有考虑这样处理数据。 +（3）本模型对于企业违约的损失采用主观性较强的查阅文献估值的方式确定参数，客户流失价值的估计也是采用主观性较强的取值，导致可靠性准确性较差，处理不当会导致无法放贷的情况出现。企业违约损失与客户价值需要进一步研究，找到更优的函数模型。 + +# 8.3.3 模型推广 + +多数银行作为大型国有企业，其目标不应当仅仅是盈利，而应当承担更多的社会责任，通过自己的策略调整在保证自己受益的同时推动合作伙伴（客户）的发展，创造更多社会利益。因此未来可以考虑将社会效益因素量化，加入到本模型中，作为银行调整信贷策略的重要考量因素。 + +# 九、参考文献 + +[1] 赵池北.中小企业信用风险评估模型比较[J].合作经济与科技，2014(19)：190-191. +[2] 林婷婷. 基于 AHP 法的小微企业信用评级指标体系构建研究[J]. 商场现代化, 2015(18). +[3]苏静.软信息与小微企业信用风险识别[J].征信．2017(10). +[4]吴万里.浅析层次分析法在小微企业信贷风险控制中的应用[J].改革与开放.2018(21) +[5]吕秀梅.大数据金融下的中小微企业信用评估[J].财会月刊.2019(13). +[6]崔凯.大数据背景下商业银行信用风险评价体系研究[D].河北工程大学，2019. +[7]王秋静. Q银行小微企业信用风险评估与管理研究[D].吉林大学, 2020. +[8]雷国平，肖科，罗秀英，杨森，姚佳佳.基于机器学习的基础算法研究综述[J].卫星电视与宽带多媒体，2020(08)：18-19. +[9]吴建华，张颖，王新军.基于分位数回归模型的债务违约损失预测[J].证券市场导报，2018(08)：55-65. +[10]农业银行泰州姜堰支行课题组，张贵才.新冠疫情冲击下商业银行的应对之策[J].现代金融，2020(07)：36-39+48. + +# 十、附录 + +# 10.1 计算结果 + +# 10.1.1 问题一计算结果 + +（1）信贷风险评估——123家企业违约概率 + +
公司编号违约概率公司编号违约概率公司编号违约概率
E111.45%E4212.01%E8313.60%
E214.12%E4312.45%E8410.66%
E38.84%E448.71%E8516.72%
E49.54%E4533.80%E8614.44%
E521.06%E469.50%E8743.78%
E611.45%E479.50%E8820.61%
E78.23%E4813.68%E8911.76%
E88.84%E498.71%E9010.80%
E98.84%E5016.89%E9120.51%
E108.84%E5110.31%E9229.87%
E119.95%E5236.73%E939.81%
E1210.74%E538.06%E9416.36%
E1314.97%E5414.97%E9513.17%
E148.84%E558.06%E9616.96%
E159.04%E5611.99%E9715.10%
E168.84%E5710.29%E989.81%
E179.95%E588.06%E9982.84%
E188.84%E5912.63%E10077.28%
E199.58%E6010.54%E10179.60%
E2024.05%E618.06%E10285.92%
E2114.97%E628.06%E10367.57%
E229.27%E6310.47%E10443.19%
E238.23%E6410.88%E10551.31%
E248.92%E659.19%E10642.32%
E2516.73%E6614.24%E10773.58%
E269.04%E679.19%E10868.57%
E278.23%E688.71%E10973.58%
E2810.81%E6911.22%E11048.31%
E2915.80%E708.06%E11188.53%
E309.50%E7114.79%E11280.95%
E319.50%E7222.81%E11389.17%
E3213.61%E7314.86%E11489.17%
E3316.08%E748.06%E11588.03%
E3413.15%E758.06%E11689.17%
E3512.45%E7618.84%E11779.31%
E3616.47%E7712.54%E11877.17%
E3714.97%E789.42%E11986.69%
E3814.97%E7913.98%E12088.70%
E3910.13%E8020.90%E12173.53%
E409.44%E818.06%E12286.73%
E4110.20%E8233.95%E12363.07%
+ +(2) 123 家企业分类结果 + +
企业代号企业分类企业规模最高贷款额度/ 万元客户流失价值/ 万元
E1零售业中1001
E2其他未列明行业中1001
E3信息传输业中1001
E4其他未列明行业中1001
E5租赁和商务服务业小600.5
E6建筑业小600.5
E7零售业小600.5
E8软件和信息技术服务业中1001
E9零售业中1001
E10租赁和商务服务业小600.5
E11建筑业小600.5
E12租赁和商务服务业小600.5
E13零售业中1001
E14个体个体200.1
E15租赁和商务服务业微400.2
E16租赁和商务服务业小600.5
E17建筑业小600.5
E18建筑业小600.5
E19软件和信息技术服务业小600.5
E20租赁和商务服务业小600.5
E21建筑业小600.5
E22交通运输业小600.5
E23租赁和商务服务业微400.2
E24交通运输业小600.5
E25信息传输业小600.5
E26工业小600.5
E27农林牧渔业小600.5
E28农林牧渔业小600.5
E29租赁和商务服务业微400.2
E30建筑业小600.5
E31工业小600.5
+ +E32 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E33 农林牧渔业 小 60 0.5 +E34 建筑业 微 40 0.2 +E35 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E36 工业 微 40 0.2 +E37 农林牧渔业 小 60 0.5 +E38 建筑业 微 40 0.2 +E39 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E40 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E41 物业管理 微 40 0.2 +E42 农林牧渔业 小 60 0.5 +E43 建筑业 微 40 0.2 +E44 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E45 个体 个体 20 0.1 +E46 其他未列明行业 小 60 0.5 +E47 工业 微 40 0.2 +E48 工业 微 40 0.2 +E49 工业 微 40 0.2 +E50 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E51 交通运输业 小 60 0.5 +E52 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E53 其他未列明行业 小 60 0.5 +E54 软件和信息技术服务业 小 60 0.5 +E55 工业 微 40 0.2 +E56 建筑业 微 40 0.2 +E57 工业 微 40 0.2 +E58 工业 微 40 0.2 +E59 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E60 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E61 工业 微 40 0.2 +E62 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E63 软件和信息技术服务业 小 60 0.5 +E64 其他未列明行业 小 60 0.5 +E65 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E66 交通运输业 小 60 0.5 +E67 信息传输业 微 40 0.2 +E68 农林牧渔业 小 60 0.5 +E69 工业 微 40 0.2 +E70 软件和信息技术服务业 小 60 0.5 +E71 软件和信息技术服务业 微 40 0.2 +E72 其他未列明行业 微 40 0.2 +E73 租赁和商务服务业 微 40 0.2 +E74 农林牧渔业 小 60 0.5 +E75 住宿业 小 60 0.5 + +
E76软件和信息技术服务业微400.2
E77工业微400.2
E78个体个体200.1
E79批发业微400.2
E80其他未列明行业小600.5
E81工业微400.2
E82工业微400.2
E83其他未列明行业微400.2
E84建筑业微400.2
E85建筑业微400.2
E86建筑业微400.2
E87其他未列明行业微400.2
E88租赁和商务服务业微400.2
E89其他未列明行业微400.2
E90信息传输业微400.2
E91软件和信息技术服务业微400.2
E92其他未列明行业微400.2
E93软件和信息技术服务业微400.2
E94交通运输业小600.5
E95农林牧渔业微400.2
E96租赁和商务服务业微400.2
E97其他未列明行业微400.2
E98信息传输业微400.2
E99建筑业微400.2
E100建筑业微400.2
E101建筑业微400.2
E102零售业微400.2
E103软件和信息技术服务业微400.2
E104租赁和商务服务业微400.2
E105建筑业微400.2
E106租赁和商务服务业微400.2
E107软件和信息技术服务业微400.2
E108租赁和商务服务业微400.2
E109批发业微400.2
E110信息传输业微400.2
E111软件和信息技术服务业微400.2
E112工业微400.2
E113建筑业微400.2
E114批发业微400.2
E115建筑业微400.2
E116建筑业微400.2
E117租赁和商务服务业微400.2
E118其他未列明行业微400.2
E119零售业微400.2
+ +
中国
E120信息传输业微400.2
E121零售业微400.2
E122租赁和商务服务业微400.2
E123软件和信息技术服务业微400.2
+ +# （3）向123家企业的贷款策略 + +
公司代号是否放贷额度占比利率公司代 号是否放 贷额度占 比利率
E1是0.4644%14.96%E63是1.2066%6.65%
E2是2.0539%14.99%E64是1.2317%14.98%
E3是2.0296%5.88%E65是0.7957%7.08%
E4是2.0294%5.97%E66是1.2056%7.22%
E5是1.2047%10.63%E67是0.7957%7.08%
E6是1.2315%14.98%E68是1.2072%6.48%
E7是1.2324%14.99%E69是0.7951%7.55%
E8是2.0557%14.99%E70是1.2251%14.96%
E9是2.0557%14.99%E71是0.7941%8.42%
E10是1.2071%6.38%E72是0.7930%11.32%
E11是1.2068%5.45%E73是0.7940%8.32%
E12是1.2065%6.66%E74是1.2074%6.26%
E13是2.0535%14.99%E75是1.2074%6.40%
E14是0.3851%7.06%E76是0.7935%10.03%
E15是0.8205%14.98%E77是0.7948%7.90%
E16是1.2322%14.98%E78是0.3849%7.22%
E17是1.2319%14.98%E79是0.7941%8.23%
E18是1.2322%14.98%E80是1.2047%10.61%
E19是1.2320%14.98%E81是0.8207%14.98%
E20是1.2044%11.50%E82否0.0000%9.50%
E21是1.2055%7.93%E83是0.7942%8.17%
E22是1.2321%14.98%E84是0.8200%14.98%
E23是0.7960%6.86%E85是0.7938%9.09%
E24是1.2322%14.98%E86是0.7941%8.22%
E25是1.2046%8.36%E87是0.7913%9.50%
E26是1.2322%14.98%E88是0.8149%14.97%
E27是1.2324%14.99%E89是0.8196%14.98%
E28是1.2065%6.66%E90是0.7953%7.46%
E29是0.7940%8.54%E91是0.8149%14.97%
E30是1.2069%6.51%E92是0.8010%14.92%
E31是1.2321%14.98%E93是0.7955%7.21%
E32是0.7942%8.17%E94是1.2053%8.36%
E33是1.2053%8.86%E95是0.7946%8.04%
E34是0.7946%8.04%E96是0.7938%9.00%
E35是0.7947%7.83%E97是0.7940%8.51%
E36否0.0000%9.50%E98是0.7955%7.21%
E37是1.2055%7.93%E99否0.0000%9.50%
E38是0.7940%8.47%E100否0.0000%9.50%
E39是0.7955%7.31%E101否0.0000%9.50%
E40是0.7957%7.18%E102否0.0000%9.50%
E41是0.7954%7.33%E103否0.0000%9.50%
E42是1.2313%14.98%E104是0.7913%9.50%
E43是0.7947%7.83%E105否0.0000%9.50%
E44是0.7959%7.05%E106是0.7913%9.50%
E45是0.3807%9.50%E107否0.0000%9.50%
E46是1.2069%6.17%E108否0.0000%9.50%
E47是0.7956%7.20%E109否0.0000%9.50%
E48是0.8189%14.97%E110是0.7913%9.50%
E49是0.7959%7.05%E111否0.0000%9.50%
E50是0.7938%8.97%E112否0.0000%9.50%
E51是1.2066%6.64%E113否0.0000%9.50%
E52否0.0000%9.50%E114否0.0000%9.50%
E53是1.2074%6.40%E115否0.0000%9.50%
E54是1.2301%14.98%E116否0.0000%9.50%
E55是0.7961%6.93%E117否0.0000%9.50%
E56是0.7949%7.75%E118否0.0000%9.50%
E57是0.7953%7.30%E119否0.0000%9.50%
E58是0.7960%6.82%E120否0.0000%9.50%
E59是0.8193%14.98%E121否0.0000%9.50%
E60是0.7953%7.36%E122否0.0000%9.50%
E61是0.7960%6.82%E123否0.0000%9.50%
E62是0.7960%6.82%
+ +# 10.1.2 问题二计算结果 + +（1）信贷风险评估——302家企业信誉评级 + +
企业代号信誉评级企业代号信誉评级企业代号信誉评级
E124BE225BE326C
E125BE226BE327B
E126BE227BE328C
E127BE228AE329C
E128BE229BE330C
E129BE230BE331C
E130BE231BE332B
E131BE232AE333C
E132BE233BE334C
E133BE234BE335C
+ +
E134BE235BE336C
E135BE236BE337C
E136BE237BE338C
E137BE238AE339C
E138BE239BE340B
E139BE240CE341C
E140BE241BE342C
E141BE242CE343C
E142BE243BE344A
E143BE244BE345C
E144BE245AE346C
E145BE246BE347C
E146BE247BE348C
E147BE248BE349C
E148BE249BE350C
E149BE250BE351C
E150BE251BE352C
E151BE252BE353C
E152BE253BE354D
E153BE254BE355C
E154BE255BE356C
E155BE256BE357C
E156AE257BE358B
E157AE258BE359D
E158BE259BE360C
E159BE260BE361C
E160BE261BE362C
E161BE262BE363C
E162AE263BE364C
E163BE264DE365C
E164BE265BE366C
E165BE266BE367D
E166AE267BE368B
E167BE268BE369D
E168BE269BE370C
E169BE270BE371D
E170BE271AE372D
E171BE272BE373C
E172BE273BE374D
E173BE274BE375C
E174BE275AE376C
E175BE276CE377C
E176BE277BE378B
E177BE278CE379C
E178BE279AE380B
E179BE280BE381B
E180BE281CE382C
E181BE282BE383B
E182BE283BE384C
E183BE284BE385C
E184BE285BE386B
E185BE286BE387C
E186BE287CE388D
E187CE288BE389C
E188BE289BE390C
E189BE290BE391D
E190BE291CE392C
E191BE292CE393D
E192BE293CE394C
E193BE294BE395D
E194BE295CE396D
E195BE296BE397D
E196BE297CE398C
E197BE298CE399D
E198AE299BE400D
E199AE300CE401C
E200BE301CE402B
E201BE302CE403D
E202BE303CE404D
E203BE304CE405D
E204BE305BE406C
E205BE306CE407B
E206BE307CE408C
E207BE308CE409C
E208BE309CE410D
E209BE310CE411B
E210BE311BE412C
E211BE312CE413C
E212BE313CE414D
E213BE314CE415D
E214BE315CE416D
E215BE316CE417D
E216BE317CE418D
E217CE318CE419C
E218BE319CE420D
E219AE320CE421C
E220BE321CE422C
E221BE322AE423C
+ +
E222BE323CE424C
E223BE324CE425D
E224BE325C
+ +# （2）信贷风险评估——302家企业违约概率 + +
企业代号违约概率企业代号违约概率企业代号违约概率
E12443.94%E22544.06%E32654.99%
E12541.45%E22643.94%E32746.76%
E12644.12%E22743.14%E32854.30%
E12746.76%E22816.71%E32954.30%
E12844.12%E22946.58%E33054.30%
E12946.76%E23046.76%E33156.17%
E13047.42%E23147.24%E33246.76%
E13146.76%E23221.06%E33354.30%
E13246.76%E23347.42%E33459.05%
E13344.12%E23444.12%E33555.51%
E13444.12%E23544.12%E33659.35%
E13544.12%E23646.76%E33762.33%
E13643.14%E23741.45%E33861.93%
E13741.45%E23816.71%E33963.99%
E13844.12%E23940.80%E34028.89%
E13946.76%E24054.36%E34165.08%
E14046.76%E24146.76%E34257.87%
E14146.76%E24273.58%E34357.87%
E14244.12%E24346.76%E34417.18%
E14344.12%E24446.76%E34559.35%
E14444.12%E24516.71%E34655.57%
E14544.06%E24646.76%E34761.30%
E14641.45%E24744.12%E34874.83%
E14744.06%E24841.45%E34968.57%
E14846.76%E24946.76%E35074.83%
E14944.12%E25046.76%E35174.83%
E15041.45%E25131.97%E35258.80%
E15144.12%E25244.06%E35363.55%
E15244.12%E25341.45%E35476.78%
E15346.76%E25446.76%E35574.83%
E15443.94%E25546.76%E35674.83%
E15543.14%E25646.76%E35774.83%
E15616.71%E25744.06%E35838.84%
E15716.71%E25846.76%E35976.78%
E15841.45%E25946.76%E36067.11%
E15944.06%E26041.45%E36164.20%
E16044.06%E26144.12%E36268.57%
E16146.76%E26244.06%E36374.83%
E16210.82%E26344.12%E36464.95%
E16346.76%E26475.60%E36555.51%
E16446.76%E26543.14%E36674.83%
E16544.06%E26646.76%E36776.78%
E16618.30%E26746.76%E36838.84%
E16746.58%E26846.76%E36976.78%
E16844.12%E26946.76%E37074.83%
E16944.12%E27044.12%E37176.78%
E17044.12%E2719.87%E37276.78%
E17146.76%E27225.53%E37373.58%
E17244.12%E27346.76%E37476.78%
E17346.58%E27444.12%E37574.83%
E17444.06%E27516.71%E37674.83%
E17546.58%E27654.30%E37774.83%
E17646.76%E27746.76%E37848.93%
E17746.76%E27852.34%E37964.96%
E17843.94%E2799.87%E38041.49%
E17944.12%E28044.06%E38129.53%
E18041.45%E28151.04%E38274.83%
E18143.94%E28246.76%E38338.84%
E18241.45%E28344.06%E38458.30%
E18344.12%E28441.45%E38552.74%
E18441.45%E28546.76%E38633.76%
E18544.12%E28640.80%E38774.83%
E18644.12%E28752.61%E38876.78%
E18754.44%E28843.14%E38974.83%
E18843.40%E28946.76%E39074.83%
E18944.12%E29046.76%E39176.78%
E19046.76%E29154.36%E39274.83%
E19148.20%E29254.30%E39376.78%
E19244.12%E29351.04%E39474.83%
E19346.76%E29446.76%E39576.78%
E19446.76%E29552.34%E39675.60%
E19544.06%E29631.32%E39776.78%
E19646.76%E29756.64%E39874.83%
E19744.12%E29854.30%E39976.78%
E19810.82%E29946.58%E40076.78%
E19916.71%E30062.22%E40174.83%
E20043.94%E30154.30%E40227.88%
E20141.45%E30254.30%E40376.78%
E20246.76%E30356.94%E40476.78%
E20344.12%E30451.04%E40576.78%
E20446.76%E30546.76%E40674.83%
E20546.76%E30654.30%E40738.84%
E20641.45%E30759.35%E40874.83%
E20744.06%E30858.63%E40974.83%
E20846.58%E30956.94%E41076.78%
E20941.45%E31054.30%E41140.78%
E21044.12%E31142.10%E41274.83%
E21144.12%E31253.70%E41374.83%
E21246.76%E31357.36%E41476.78%
E21344.06%E31454.30%E41576.78%
E21446.76%E31556.94%E41676.78%
E21547.42%E31654.30%E41775.60%
E21644.12%E31757.67%E41876.78%
E21763.46%E31856.94%E41973.58%
E21847.24%E31958.56%E42075.60%
E21911.67%E32052.34%E42174.83%
E22044.06%E32154.30%E42274.83%
E22146.76%E32214.95%E42373.58%
E22241.45%E32353.35%E42473.58%
E22343.94%E32455.35%E42575.60%
E22446.58%E32553.70%
+ +（3）302家企业分类结果 + +
企业代号企业类别企业规模客户流失价值/元最高贷款额度/万元
E124个体个体100040
E125个体个体100040
E126个体个体100040
E127个体个体100040
E128个体个体100040
E129个体个体100040
E130个体个体100040
E131个体个体100040
E132个体个体100040
E133个体个体100040
E134租赁和商务服务业微200060
E135建筑业小5000100
E136工业小5000100
E137建筑业小5000100
E138个体个体100040
E139个体个体100040
E140建筑业小5000100
+ +
E141批发业微200060
E142其他未列明行业微200060
E143软件和信息技术服务业小5000100
E144租赁和商务服务业微200060
E145租赁和商务服务业微200060
E146建筑业小5000100
E147建筑业小5000100
E148租赁和商务服务业微200060
E149建筑业小5000100
E150建筑业小5000100
E151交通运输业小5000100
E152租赁和商务服务业微200060
E153个体个体100040
E154零售业小5000100
E155个体个体100040
E156个体个体100040
E157工业微200060
E158建筑业小5000100
E159个体个体100040
E160工业小5000100
E161建筑业小5000100
E162软件和信息技术服务业小5000100
E163交通运输业小5000100
E164个体个体100040
E165租赁和商务服务业微200060
E166建筑业微200060
E167其他未列明行业微200060
E168建筑业小5000100
E169建筑业小5000100
E170租赁和商务服务业微200060
E171其他未列明行业微200060
E172交通运输业小5000100
E173租赁和商务服务业微200060
E174工业微200060
E175批发业微200060
E176软件和信息技术服务业小5000100
E177工业小5000100
E178租赁和商务服务业微200060
E179农林牧渔业小5000100
E180工业微200060
E181批发业微200060
E182工业微200060
E183建筑业微200060
E184建筑业微200060
E185农林牧渔业小5000100
E186租赁和商务服务业微200060
E187个体个体100040
E188工业微200060
E189工业微200060
E190租赁和商务服务业微200060
E191租赁和商务服务业小5000100
E192建筑业微200060
E193个体个体100040
E194租赁和商务服务业微200060
E195零售业小5000100
E196其他未列明行业微200060
E197工业小5000100
E198租赁和商务服务业微200060
E199租赁和商务服务业微200060
E200个体个体100040
E201交通运输业微200060
E202个体个体100040
E203建筑业微200060
E204软件和信息技术服务业小5000100
E205个体个体100040
E206建筑业小5000100
E207个体个体100040
E208个体个体100040
E209其他未列明行业微200060
E210建筑业微200060
E211个体个体100040
E212租赁和商务服务业微200060
E213软件和信息技术服务业小5000100
E214建筑业微200060
E215建筑业微200060
E216建筑业微200060
E217个体个体100040
E218建筑业微200060
E219其他未列明行业微200060
E220信息传输业小5000100
E221其他未列明行业微200060
E222软件和信息技术服务业小5000100
E223软件和信息技术服务业小5000100
E224工业小5000100
E225物业管理微200060
E226建筑业微200060
E227建筑业微200060
E228信息传输业小5000100
E229租赁和商务服务业微200060
E230租赁和商务服务业微200060
E231建筑业微200060
E232租赁和商务服务业微200060
E233租赁和商务服务业微200060
E234租赁和商务服务业微200060
E235个体个体100040
E236个体个体100040
E237个体个体100040
E238个体个体100040
E239个体个体100040
E240个体个体100040
E241个体个体100040
E242个体个体100040
E243软件和信息技术服务业小5000100
E244个体个体100040
E245租赁和商务服务业微200060
E246物业管理微200060
E247工业微200060
E248软件和信息技术服务业小5000100
E249建筑业微200060
E250工业微200060
E251工业微200060
E252其他未列明行业微200060
E253工业微200060
E254建筑业微200060
E255个体个体100040
E256其他未列明行业微200060
E257建筑业微200060
E258交通运输业小5000100
E259信息传输业小5000100
E260信息传输业小5000100
E261工业微200060
E262个体个体100040
E263信息传输业微200060
E264个体个体100040
E265工业微200060
E266工业微200060
E267农林牧渔业小5000100
E268租赁和商务服务业微200060
E269建筑业微200060
E270个体个体100040
E271软件和信息技术服务 业小5000100
E272个体个体100040
E273个体个体100040
E274租赁和商务服务业微200060
E275软件和信息技术服务 业小5000100
E276建筑业微200060
E277建筑业微200060
E278租赁和商务服务业微200060
E279工业微200060
E280个体个体100040
E281租赁和商务服务业微200060
E282软件和信息技术服务 业小5000100
E283工业微200060
E284工业微200060
E285个体个体100040
E286其他未列明行业微200060
E287工业微200060
E288个体个体100040
E289其他未列明行业微200060
E290工业微200060
E291建筑业微200060
E292交通运输业微200060
E293交通运输业微200060
E294个体个体100040
E295工业微200060
E296建筑业微200060
E297租赁和商务服务业微200060
E298工业微200060
E299工业微200060
E300建筑业微200060
E301租赁和商务服务业微200060
E302工业微200060
E303其他未列明行业微200060
E304工业微200060
E305租赁和商务服务业微200060
E306个体个体100040
E307信息传输业微200060
E308餐饮业微200060
E309个体个体100040
E310租赁和商务服务业微200060
E311租赁和商务服务业微200060
E312零售业微200060
E313交通运输业微200060
E314房地产开发经营微200060
E315零售业微200060
E316个体个体100040
E317软件和信息技术服务业微200060
E318租赁和商务服务业微200060
E319个体个体100040
E320建筑业微200060
E321软件和信息技术服务业微200060
E322建筑业微200060
E323建筑业微200060
E324租赁和商务服务业微200060
E325信息传输业微200060
E326工业微200060
E327个体个体100040
E328软件和信息技术服务业微200060
E329农林牧渔业微200060
E330住宿业微200060
E331租赁和商务服务业微200060
E332租赁和商务服务业微200060
E333房地产开发经营微200060
E334工业微200060
E335租赁和商务服务业微200060
E336农林牧渔业微200060
E337个体个体100040
E338租赁和商务服务业微200060
E339建筑业微200060
E340交通运输业微200060
E341工业微200060
E342工业微200060
E343零售业微200060
E344工业微200060
E345软件和信息技术服务业微200060
E346个体个体100040
E347工业微200060
E348住宿业微200060
E349租赁和商务服务业微200060
E350租赁和商务服务业微200060
E351租赁和商务服务业微200060
E352建筑业微200060
E353租赁和商务服务业微200060
E354租赁和商务服务业微200060
E355零售业微200060
E356建筑业微200060
E357零售业微200060
E358零售业微200060
E359零售业微200060
E360租赁和商务服务业微200060
E361建筑业微200060
E362建筑业微200060
E363建筑业微200060
E364软件和信息技术服务业微200060
E365软件和信息技术服务业微200060
E366房地产开发经营微200060
E367租赁和商务服务业微200060
E368软件和信息技术服务业微200060
E369软件和信息技术服务业微200060
E370软件和信息技术服务业微200060
E371工业微200060
E372工业微200060
E373个体个体100040
E374零售业微200060
E375零售业微200060
E376建筑业微200060
E377租赁和商务服务业微200060
E378租赁和商务服务业微200060
E379零售业微200060
E380建筑业微200060
E381信息传输业微200060
E382租赁和商务服务业微200060
E383零售业微200060
E384个体个体100040
E385建筑业微200060
E386个体个体100040
E387农林牧渔业微200060
E388租赁和商务服务业微200060
E389租赁和商务服务业微200060
E390建筑业微200060
E391零售业微200060
E392软件和信息技术服务业微200060
E393租赁和商务服务业微200060
E394建筑业微200060
E395软件和信息技术服务业微200060
E396租赁和商务服务业微200060
E397餐饮业微200060
E398租赁和商务服务业微200060
E399建筑业微200060
E400零售业微200060
E401工业微200060
E402租赁和商务服务业微200060
E403工业微200060
E404个体个体100040
E405租赁和商务服务业微200060
E406租赁和商务服务业微200060
E407建筑业微200060
E408零售业微200060
E409工业微200060
E410软件和信息技术服务业微200060
E411工业微200060
E412零售业微200060
E413建筑业微200060
E414交通运输业微200060
E415租赁和商务服务业微200060
E416软件和信息技术服务业微200060
E417农林牧渔业微200060
E418租赁和商务服务业微200060
E419软件和信息技术服务业微200060
E420零售业微200060
E421批发业微200060
+ +
E422零售业微200060
E423工业微200060
E424租赁和商务服务业微200060
E425租赁和商务服务业微200060
+ +（4）向302家企业的贷款策略 + +
公司代号是否放贷额度利率公司代号是否放贷额度利率
E124是11.906.51%E275是92.0515.00%
E125是31.305.46%E276否0.009.50%
E126是31.295.77%E277是51.264.96%
E127是31.286.27%E278否0.009.50%
E128是31.295.77%E279是52.2314.99%
E129是31.286.27%E280是31.295.76%
E130是31.286.44%E281否0.009.50%
E131是31.286.27%E282是91.254.33%
E132是31.286.27%E283是51.274.79%
E133是31.295.77%E284是51.284.64%
E134是51.274.79%E285是31.286.27%
E135是91.264.13%E286是51.284.60%
E136是91.264.07%E287否0.009.50%
E137是91.264.01%E288是31.295.64%
E138是31.295.77%E289是51.264.96%
E139是31.286.27%E290是51.264.96%
E140是91.254.33%E291否0.009.50%
E141是51.264.96%E292否0.009.50%
E142是51.274.79%E293否0.009.50%
E143是91.264.13%E294是31.286.27%
E144是51.274.79%E295否0.009.50%
E145是51.274.79%E296是51.314.38%
E146是91.264.01%E297否0.009.50%
E147是91.264.12%E298否0.009.50%
E148是51.264.96%E299是51.264.95%
E149是91.264.13%E300否0.009.50%
E150是91.264.01%E301否0.009.50%
E151是91.264.13%E302否0.009.50%
E152是51.274.79%E303否0.009.50%
E153是31.286.27%E304否0.009.50%
E154是91.264.12%E305是51.264.96%
E155是31.295.64%E306否0.009.50%
E156是32.0714.99%E307否0.009.50%
E157是52.0614.99%E308否0.009.50%
E158是91.264.01%E309否0.009.50%
E159是31.295.76%E310否0.009.50%
E160是91.264.12%E311是51.274.68%
E161是91.254.33%E312否0.009.50%
E162是92.1915.00%E313否0.009.50%
E163是91.254.33%E314否0.009.50%
E164是31.286.27%E315否0.009.50%
E165是51.274.79%E316否0.009.50%
E166是52.0214.99%E317否0.009.50%
E167是51.264.95%E318否0.009.50%
E168是91.264.13%E319否0.009.50%
E169是91.264.13%E320否0.009.50%
E170是51.274.79%E321否0.009.50%
E171是51.264.96%E322是52.1014.99%
E172是91.264.13%E323否0.009.50%
E173是51.264.95%E324否0.009.50%
E174是51.274.79%E325否0.009.50%
E175是51.264.95%E326否0.009.50%
E176是91.254.33%E327是31.286.27%
E177是91.254.33%E328否0.009.50%
E178是51.274.78%E329否0.009.50%
E179是91.264.13%E330否0.009.50%
E180是51.284.64%E331否0.009.50%
E181是51.274.78%E332是51.264.96%
E182是51.284.64%E333否0.009.50%
E183是51.274.79%E334否0.009.50%
E184是51.284.64%E335否0.009.50%
E185是91.264.13%E336否0.009.50%
E186是51.274.79%E337否0.009.50%
E187否0.009.50%E338否0.009.50%
E188是51.274.76%E339否0.009.50%
E189是51.274.79%E340是51.324.48%
E190是51.264.96%E341否0.009.50%
E191是91.244.39%E342否0.009.50%
E192是51.274.79%E343否0.009.50%
E193是31.286.27%E344是52.0414.99%
E194是51.264.96%E345否0.009.50%
E195是91.264.12%E346否0.009.50%
E196是51.264.96%E347否0.009.50%
E197是91.264.13%E348否0.009.50%
E198是52.2014.99%E349否0.009.50%
E199是52.0614.99%E350否0.009.50%
E200是31.295.75%E351否0.009.50%
E201是51.284.64%E352否0.009.50%
E202是31.286.27%E353否0.009.50%
E203是51.274.79%E354否0.009.50%
E204是91.254.33%E355否0.009.50%
E205是31.286.27%E356否0.009.50%
E206是91.264.01%E357否0.009.50%
E207是31.295.76%E358是51.284.49%
E208是31.286.22%E359否0.009.50%
E209是51.284.64%E360否0.009.50%
E210是51.274.79%E361否0.009.50%
E211是31.295.77%E362否0.009.50%
E212是51.264.96%E363否0.009.50%
E213是91.264.12%E364否0.009.50%
E214是51.264.96%E365否0.009.50%
E215是51.265.02%E366否0.009.50%
E216是51.274.79%E367否0.009.50%
E217否0.009.50%E368是51.284.49%
E218是51.265.00%E369否0.009.50%
E219是52.1814.99%E370否0.009.50%
E220是91.264.12%E371否0.009.50%
E221是51.264.96%E372否0.009.50%
E222是91.264.01%E373否0.009.50%
E223是91.264.12%E374否0.009.50%
E224是91.254.31%E375否0.009.50%
E225是51.274.79%E376否0.009.50%
E226是51.274.78%E377否0.009.50%
E227是51.274.75%E378是51.255.18%
E228是92.0515.00%E379否0.009.50%
E229是51.264.95%E380是51.284.65%
E230是51.264.96%E381是51.324.45%
E231是51.265.00%E382否0.009.50%
E232是51.9514.99%E383是51.284.49%
E233是51.265.02%E384否0.009.50%
E234是51.274.79%E385否0.009.50%
E235是31.295.77%E386是31.324.94%
E236是31.286.27%E387否0.009.50%
E237是31.305.46%E388否0.009.50%
E238是32.0714.99%E389否0.009.50%
E239是31.305.40%E390否0.009.50%
E240否0.009.50%E391否0.009.50%
E241是31.286.27%E392否0.009.50%
E242否0.009.50%E393否0.009.50%
E243是91.254.33%E394否0.009.50%
E244是31.286.27%E395否0.009.50%
E245是52.0614.99%E396否0.009.50%
E246是51.264.96%E397否0.009.50%
E247是51.274.79%E398否0.009.50%
E248是91.264.01%E399否0.009.50%
E249是51.264.96%E400否0.009.50%
E250是51.264.96%E401否0.009.50%
E251是51.314.36%E402是51.334.53%
E252是51.274.79%E403否0.009.50%
E253是51.284.64%E404否0.009.50%
E254是51.264.96%E405否0.009.50%
E255是31.286.27%E406否0.009.50%
E256是51.264.96%E407是51.284.49%
E257是51.274.79%E408否0.009.50%
E258是91.254.33%E409否0.009.50%
+ +
E259是91.254.33%E410否0.009.50%
E260是91.264.01%E411是51.284.60%
E261是51.274.79%E412否0.009.50%
E262是31.295.76%E413否0.009.50%
E263是51.274.79%E414否0.009.50%
E264否0.009.50%E415否0.009.50%
E265是51.274.75%E416否0.009.50%
E266是51.264.96%E417否0.009.50%
E267是91.254.33%E418否0.009.50%
E268是51.264.96%E419否0.009.50%
E269是51.264.96%E420否0.009.50%
E270是31.295.77%E421否0.009.50%
E271是92.2215.00%E422否0.009.50%
E272是31.364.70%E423否0.009.50%
E273是31.286.27%E424否0.009.50%
E274是51.274.79%E425否0.009.50%
+ +# 10.1.3 问题三计算结果 + +（1）2020年1月与2月利润与2018年、2019年的同比增长率 + +
企业代号2月企业类别企业规模
销项利润
2018年2019年2018年2019年
E141-80.00%-86.11%38.81%60.07%批发业微
E143-45.67%-78.12%-501.24%10.51%软件和信息技术服务业小
E162-70.14%-79.29%135.57%-78.72%软件和信息技术服务业小
E163-98.53%-99.54%101.52%-99.48%交通运输业小
E171-99.98%-99.98%99.87%99.06%其他未列明行业微
E175-89.04%-94.47%-89.04%-94.47%批发业微
E176-83.59%-88.22%-57.63%-236.83%软件和信息技术服务业小
E180-98.93%-99.51%-1101.53%-1647.50%工业微
E194-91.98%-86.20%-74.97%118.99%租赁和商务服务业微
E196-99.87%-99.94%95.78%87.60%其他未列明行业微
E212224.65%-96.77%83.26%17.92%租赁和商务服务业微
E216-97.25%-94.87%-96.36%-94.87%建筑业微
E22524.65%-54.13%91.54%-193.93%物业管理微
E232-96.27%-95.64%-96.27%-95.64%租赁和商务服务业微
E243-100.00%-100.00%-483.54%55.37%软件和信息技术服务业小
E247-97.96%-98.42%101.10%110.49%工业微
E250-27.68%736.76%51.74%70.62%工业微
E258-97.52%-92.06%64.68%-131.87%交通运输业小
E265-95.81%-94.12%-203.46%-1856.51%工业微
E2670.00%-99.97%0.00%-99.97%农林牧渔业小
E269-100.00%-100.00%99.39%80.51%建筑业微
E275-88.90%4.74%-543.43%-4283.92%软件和信息技术服务业小
E276-97.97%-96.64%-97.97%102.04%建筑业微
E278234.03%-99.95%100.71%-99.86%租赁和商务服务业微
E279-99.80%-99.81%-0.58%-138.06%工业微
E282-9.91%-12.91%197.86%282.56%软件和信息技术服务业小
E284-98.34%-99.38%102.63%100.94%工业微
E289-96.27%-98.10%100.44%100.41%其他未列明行业微
E290-99.29%-99.66%100.71%103.26%工业微
E291-99.91%-99.58%-99.91%-99.58%建筑业微
E2960.00%-97.90%0.00%-86.94%建筑业微
E298-100.00%-100.00%-3884.00%-268.50%工业微
E299-99.69%-99.79%-7261.86%-2134.98%工业微
E301-97.75%-98.73%102.53%100.89%租赁和商务服务业微
E302-93.96%-95.93%-93.96%100.41%工业微
E30325.14%-83.73%12744.29%77.81%其他未列明行业微
E305-98.26%-97.95%-98.26%-97.95%租赁和商务服务业微
E307-52.99%-94.09%-52.99%100.09%信息传输业微
E310-98.79%-92.48%-2.57%35.17%租赁和商务服务业微
E311-79.82%-84.94%102.24%114.56%租赁和商务服务业微
E313-98.28%-94.74%-207.23%-524.90%交通运输业微
E314-67.97%-82.10%100.68%105.31%房地产开发经营微
E315-99.31%-95.69%101.78%100.83%零售业微
E318-57.29%-43.80%50.08%46.74%租赁和商务服务业微
E320-89.50%-71.06%-89.50%100.48%建筑业微
E325-100.00%-100.00%-102.68%-101.82%信息传输业微
E326-81.58%0.00%148.84%136.71%工业微
E330-82.15%-84.74%101.94%104.09%住宿业微
E333-93.03%-93.82%101.30%-93.82%房地产开发经营微
E334-73.40%-38.74%100.44%-38.74%工业微
E3350.00%824.54%136.29%824.54%租赁和商务服务业微
E342394.08%16.98%1337.98%16.98%工业微
E344-75.35%0.00%10352.33%124.78%工业微
E348-100.00%-100.00%79.91%65.76%住宿业微
E350-67.70%-88.94%-67.70%109.73%租赁和商务服务业微
E352-90.80%-85.94%-90.80%-85.94%建筑业微
E353-98.44%-97.77%-98.44%-97.77%租赁和商务服务业微
E364-88.34%-51.89%-88.34%107.62%软件和信息技术服务业微
E3650.00%36.33%0.00%36.33%软件和信息技术服务业微
E3700.00%0.00%-866.50%-904.24%软件和信息技术服务业微
E372-89.19%-45.52%101.22%124.89%工业微
E377-94.17%-77.27%185.71%-77.27%租赁和商务服务业微
E3782444.18%45.67%752.46%-8.64%租赁和商务服务业微
E379-87.62%-69.73%100.83%-69.73%零售业微
E3910.00%0.00%-208.03%-692.61%零售业微
E392223.64%-60.34%191.87%122.39%软件和信息技术服务业微
E4030.00%-87.12%-10.83%-40.14%工业微
E407-98.32%-94.43%-98.32%100.75%建筑业微
E410-41.80%-89.10%106.47%-89.10%软件和信息技术服务业微
E417-81.36%-74.86%-81.36%-74.86%农林牧渔业微
E4191603.33%169.79%1603.33%169.79%软件和信息技术服务业微
E420-37.20%57.41%-34.60%67.07%零售业微
+ +（2）向302家企业调整后贷款策略 + +
公司代号是否放贷额度利率公司代号是否放贷额度利率
E124是10.106.92%E275是115.6214.99%
E125是24.735.89%E276否0.009.50%
E126是24.736.19%E277是44.685.21%
E127是24.726.63%E278否0.004.75%
E128是24.736.19%E279是45.8614.97%
E129是24.726.63%E280是24.736.18%
E130是24.726.78%E281否0.004.75%
E131是24.726.63%E282是114.654.33%
E132是24.726.63%E283是44.695.06%
E133是24.736.19%E284是44.694.97%
E134是62.672.49%E285是24.726.63%
E135是84.664.39%E286是44.704.95%
E136是84.674.39%E287否0.009.50%
E137是84.674.36%E288是24.736.07%
E138是24.736.19%E289是44.685.21%
E139是24.726.63%E290是44.685.21%
E140是84.664.27%E291否0.009.50%
E141是44.685.21%E292否0.004.75%
E142是44.695.06%E293否0.004.75%
E143是114.664.38%E294是24.726.63%
E144是62.672.49%E295否0.009.50%
E145是62.672.49%E296是44.734.70%
E146是84.674.36%E297否0.004.75%
E147是84.664.39%E298否0.009.50%
E148是62.662.57%E299是44.685.20%
E149是84.664.39%E300否0.009.50%
E150是84.674.36%E301否0.004.75%
E151是114.662.19%E302否0.009.50%
E152是62.672.49%E303否0.009.50%
E153是24.726.63%E304否0.009.50%
E154是114.662.19%E305是62.662.57%
E155是24.736.07%E306否0.009.50%
E156是25.6914.94%E307否0.009.50%
E157是45.6514.97%E308否0.007.60%
E158是84.674.36%E309否0.009.50%
E159是24.736.18%E310否0.004.75%
E160是84.664.39%E311是62.682.45%
E161是84.664.27%E312否0.004.75%
E162是115.8114.99%E313否0.004.75%
E163是114.652.16%E314否0.009.50%
E164是24.726.63%E315否0.004.75%
E165是62.672.49%E316否0.009.50%
E166是45.6014.97%E317否0.009.50%
E167是44.685.20%E318否0.004.75%
E168是84.664.39%E319否0.009.50%
E169是84.664.39%E320否0.009.50%
E170是62.672.49%E321否0.009.50%
E171是44.685.21%E322是45.7114.97%
E172是114.662.19%E323否0.009.50%
E173是62.672.56%E324否0.004.75%
E174是44.695.06%E325否0.009.50%
E175是44.685.20%E326否0.009.50%
E176是114.654.33%E327是24.726.63%
E177是84.664.27%E328否0.009.50%
E178是62.672.48%E329否0.009.50%
E179是84.664.39%E330否0.009.50%
E180是44.694.97%E331否0.004.75%
E181是44.695.05%E332是62.662.57%
E182是44.694.97%E333否0.009.50%
E183是44.695.06%E334否0.009.50%
E184是44.694.97%E335否0.004.75%
E185是84.664.39%E336否0.009.50%
E186是62.672.49%E337否0.009.50%
E187否0.009.50%E338否0.004.75%
E188是44.695.03%E339否0.009.50%
E189是44.695.06%E340是62.732.46%
E190是62.662.57%E341否0.009.50%
E191是114.652.11%E342否0.009.50%
E192是44.695.06%E343否0.004.75%
E193是24.726.63%E344是45.6414.97%
E194是62.662.57%E345否0.009.50%
E195是114.662.19%E346否0.009.50%
E196是44.685.21%E347否0.009.50%
E197是84.664.39%E348否0.009.50%
E198是63.827.49%E349否0.004.75%
E199是63.647.49%E350否0.004.75%
E200是24.736.17%E351否0.004.75%
E201是62.682.44%E352否0.009.50%
E202是24.726.63%E353否0.004.75%
E203是44.695.06%E354否0.004.75%
E204是114.654.33%E355否0.004.75%
E205是24.726.63%E356否0.009.50%
E206是84.674.36%E357否0.004.75%
E207是24.736.18%E358是62.692.38%
E208是24.726.60%E359否0.004.75%
E209是44.694.97%E360否0.004.75%
E210是44.695.06%E361否0.009.50%
E211是24.736.19%E362否0.009.50%
E212是62.662.57%E363否0.009.50%
E213是114.664.38%E364否0.009.50%
E214是44.685.21%E365否0.009.50%
E215是44.685.24%E366否0.009.50%
E216是44.695.06%E367否0.004.75%
E217否0.009.50%E368是62.694.76%
E218是44.685.23%E369否0.009.50%
E219是45.8114.97%E370否0.009.50%
E220是84.664.39%E371否0.009.50%
E221是44.685.21%E372否0.009.50%
E222是114.674.29%E373否0.009.50%
E223是114.664.38%E374否0.004.75%
E224是84.664.28%E375否0.004.75%
E225是44.695.06%E376否0.009.50%
E226是44.695.05%E377否0.004.75%
E227是44.695.00%E378是62.662.66%
E228是85.6314.98%E379否0.004.75%
E229是62.672.56%E380是44.694.97%
E230是62.662.57%E381是44.744.71%
E231是44.685.23%E382否0.004.75%
E232是63.507.49%E383是62.692.38%
E233是62.662.59%E384否0.009.50%
E234是62.672.49%E385否0.009.50%
E235是24.736.19%E386是24.765.40%
E236是24.726.63%E387否0.009.50%
E237是24.735.89%E388否0.004.75%
E238是25.6914.94%E389否0.004.75%
E239是24.745.83%E390否0.009.50%
E240否0.009.50%E391否0.004.75%
E241是24.726.63%E392否0.009.50%
E242否0.009.50%E393否0.004.75%
E243是114.654.33%E394否0.009.50%
E244是24.726.63%E395否0.009.50%
E245是63.647.49%E396否0.004.75%
E246是44.685.21%E397否0.007.60%
E247是44.695.06%E398否0.004.75%
E248是114.674.29%E399否0.009.50%
E249是44.685.21%E400否0.004.75%
E250是44.685.21%E401否0.009.50%
E251是44.734.70%E402是62.742.47%
E252是44.695.06%E403否0.009.50%
+ +
E253是44.694.97%E404否0.009.50%
E254是44.685.21%E405否0.004.75%
E255是24.726.63%E406否0.004.75%
E256是44.685.21%E407是44.704.90%
E257是44.695.06%E408否0.004.75%
E258是114.652.16%E409否0.009.50%
E259是84.664.27%E410否0.009.50%
E260是84.674.36%E411是44.704.95%
E261是44.695.06%E412否0.004.75%
E262是24.736.18%E413否0.009.50%
E263是44.695.06%E414否0.004.75%
E264否0.009.50%E415否0.004.75%
E265是44.695.00%E416否0.009.50%
E266是44.685.21%E417否0.009.50%
E267是84.664.27%E418否0.004.75%
E268是62.662.57%E419否0.009.50%
E269是44.685.21%E420否0.004.75%
E270是24.736.19%E421否0.009.50%
E271是115.8414.99%E422否0.004.75%
E272是24.825.12%E423否0.009.50%
E273是24.726.63%E424否0.004.75%
E274是62.672.49%E425否0.004.75%
+ +# 10.2 程序代码 + +# 10.2.1Python代码 + +# （1）股票信息爬虫代码 + +import baostock as bs + +import pandas as pd + +登陆系统 + +$\lg = \mathrm{bs.}$ .login() + +显示登陆返回信息 + +print('login respond error_code:'+lg.error_code) + +print('login respond error msg:'+lg,error msg) + +获取沪深A股历史K线数据 + +# 详细指标参数，参见“历史行情指标参数”章节；“分钟线”参数与“日线”参数不同。 + +# 分钟线指标：date,time,code,open,high,low,close,volume,amount,adjustflag + +#周月线指标：date,code,open,high,low,close,volume,amount,adjustflag,turn,pctChg + +$\mathrm{rs} = \mathrm{bs}$ .query_history_k_data_plus("sh.600000", + +"date,code,open,high,low,closepreclose,volume,amount,adjustflag,turn,tradstatus,pctChg,isST", start_date $\coloneqq$ 2017-07-01',end_date $=$ '2017-12-31' frequency $\coloneqq$ "d",adjustflag $\coloneqq$ "3") print('query_history_k_data_plus respond error_code:' $^+$ rs.error_code) print('query_history_k_data_plus respond error msg:' $^+$ rs.error msg) + +```python +# 打印结果集 +data_list = [] +while (rs(error_code == '0') & rs.next(): + # 获取一条记录，将记录合并在一起 + data_list.append(rs.get_row_data()) +result = pd.DataFrame(data_list, columns=rs.fields) +``` + +```txt +结果集输出到 csv 文件 result.to_csv("D:\history_A_stock_k_data.csv", index=False) print(result) +``` + +```txt +>>> 登出系统 >>> bs.logout() +``` + +# (2) 决策树模型训练代码 + +```python +import pandas as pd +df = pd.read_excel('问题一数据处理.xlsx') +X = df[['评级得分','公司年平均营业额','年平均盈利','销售额平均增长率','三年利润增长率','产品及服务质量']] +``` + +$\mathrm{Y} = \mathrm{df}[[\text{违约}]]$ +from sklearn.model_selection import train_test_split +X_train,X_test,y_train，y_test $=$ train_test_split(X,Y,random_state=1) #call decision tree +from sklearn import tree +clf $=$ tree.DecisionTreeClassifier(max_depth $= 8$ ,min_samples_leaf $= 20$ ） +clf $=$ clf.fit(X_train,y_train) + +```python +test_rec = X_test.iloc[1,:] +clf.predict([test_rec]) +``` + +```python +y_test.iloc[1] +from sklearn.metrics import accuracy_score +print(accuracy_score(y_test, clf.predict(X_test))) +``` + +# （3）信贷风险模型训练代码 + +```python +import pandas as pd +df = pd.read_excel('问题一数据处理.xlsx') +import pandas as pd +import numpy as np +from sklearn sklearn import XGBClassifier +import sklearnBoost as xgb +from sklearn import model_selection, metrics #Additional scklearn functions +#from sklearn.grid_search import GridSearchCV #Perforing grid search +from sklearn.model_selection import GridSearchCV +import matplotlib.pyplot as plt +#%matplotlib inline +``` + +```python +from matplotlib.pyplot import rcParams +rcParams['figure.figsize'] = 12, 4 +train = df +target = '违约' +IDcol = 'id' +predictors = [x for x in train.columns if x not in [target, IDcol, '企业代号']) +xgb1 = XGBClassifier(learning_rate = 0.1, n_estimators = 1000, max_depth = 18, min_child_weight = 1, gamma = 0, subsample = 0.8, colsample_bytree = 0.8, objective = 'binary:logistic', nthread = 4, scale_pos_weight = 1, seed = 27) +``` + +```ini +alg=xgb1 +dtrain=train +predictors=predictors +cv_folds=5 +early_stopping_rounds=50 +``` + +```python +xgb param = alg.get_xgb.params() +xgtrain = xgb.DMatrix(dtrain[predictors].values, label=dtrain['target'].values) +cvresult = xgb cv(xgb param, xgtrain, numBoost_round=alg.get_parameters(['n_estimators'], nfold=cv_folds, metrics='auc', early_stopping_rounds=early_stopping_rounds) +alg.set_parameters(n_estimators=cvresult.shape[0]) +``` + +```txt +Fit the algorithm on the data alg.fit(dtrain[predictors], dtrain['违约'], eval_metric='auc') +``` + +Predict training set: dtrainpredictions $\equiv$ alg.predict(dtrain[predictors]) + +dtrain_predprob $=$ alg.predict_proba(dtrain[predictors])[:,1] +print(dtrainpredictions) +print(dtrain_predprob) +from pandas import DataFrame +print(alg) +#Print model report: +print("\nModel Report") +print("Accuracy:%.4g"% metrics.accuracy_score(dtrain['违约'].values,dtrainpredictions)) +print("AUC Score(Train):%f"% metrics.roc_auc_score(dtrain['违约'],dtrain_predprob)) + +```python +ww=(alg.feature-importantances_) +print(ww) +feat_imp = pd.Series(ww).sort_values(ascending=False) +``` + +```txt +printfeat_imp) +``` + +```python +feat_imp.plot(kind='bar', title='Feature Importances') +plt;ylabel('Feature Importance Score') +``` + +# （4）信誉评级模型训练代码 + +import pandas as pd + +df = pd.read_excel('问题一数据处理.xlsx') + +import pandas as pd + +import numpy as np + +from xgboost.sklearn import XGBClassifier + +import xgboost as xgb + +from sklearn import model_selection, metrics #Additional scklearn functions + +from sklearn.grid_search import GridSearchCV #Perforing grid search + +from sklearn.model_selection import GridSearchCV + +import matplotlib.pyplot as plt + +%%matplotlib inline + +from matplotlib.pyplot import rcParams + +from sklearn.preprocessing import LabelEncoder + +from collections import defaultdict + +$\mathrm{d} =$ LabelEncoder().fit(df['评级得分']) + +df['评级得分']=d.transform(df['评级得分']) + +rcParams['figure.figsize'] = 12, 4 + +train $=$ df + +target = '评级得分' + +$\mathrm{IDcol} = \mathrm{'id'}$ + +predictors = [x for x in train.columns if x not in [target, IDcol, '企业代号', '违约']) + +$\mathrm{xgb1} = \mathrm{XGBClassifier}$ + +learning_rate = 0.1, + +n estimators=1000, + +max depth=18, + +min_child_weight=1, + +gamma=0, + +subsample=0.8, + +colsample_bytree $= 0.8$ + +objective $=$ 'multi:softmax', + +nthread=4, + +scale_pos_weight $= 1$ + +num class $= 5$ + +seed=27, + +booster $\equiv$ gbtree, + +eval_metric $\equiv$ mlogloss + +） + +alg=xgb1 + +dtrain $\equiv$ train + +predictors=predictors + +cv folds=5 + +params $=$ { + +'booster': 'gbtree', + +'objective': 'multi:softmax', # 多分类的问题 + +'num_class': 4, + +#类别数，与multisoftmax并用 + +'gamma': 0.1, + +# 用于控制是否后剪枝的参数,越大越保守，一般 + +0.1、0.2这样子。 + +'max_depth': 12, + +# 构建树的深度，越大越容易过拟合 + +'lambda': 2, # 控制模型复杂度的权重值的 L2 正则化项参数，参数越大，模型越不容易过拟合。 + +```python +'subsample':0.7, #随机采样训练样本 +'colsample_bytree':0.7, #生成树时进行的列采样 +'min_child_weight':3, +'silent':1, #设置成1则没有运行信息输出，最好是设置为0. +'eta':0.007, #如同学习率 +'seed':1000, +'nthread':4, #cpu线程数 +'n_estimators':1000 +} +from sklearn.model_selection import train_test_split +X=dtrain[predictors] +Y=dtrain(target) +X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X,Y,test_size=0.3,random_state=0) +#加载numpy的数组到DMatrix对象 +xg_train=xgb.DMatrix(X_train, label=y_train) +xg_test=xgb.DMatrix(X_test, label=y_test) +watchlist=[(xg_train,'train'), (xg_test,'test')]} +num_round=15 +#param=alg.get_xgb.params() +bst=xgb.train(param,xg_train,num_round,watchlist) +pred=bst.predict(xg_test) +``` + +# （5）神经网络训练代码 + +```python +import pandas as pd +df = pd.read_csv('loans.csv') +#print(df.head()) +#X = df.drop('safe_loans', axis=1) +X = df.drop(['safe_loans'], axis=1) +y = df.safe_loans +#change categorical +from sklearn preprocess import LabelEncoder +from collections import defaultdict +d = defaultdict(LabelEncoder) +X_trans = X.apply(lambda x: d[x.name].fit_transform(x)) +X_trans.head() +#X_trans.to_excel('X_trans.xls') +#********** +data_train = X_train +data_max = data_train.max() +data_min = data_train.min() +data_mean = data_train.mean() +# +# data_std = data_train.std() +X_train1 = (data_train-data_max)/(data_max-data_min) +``` + +$\mathrm{y = 0.5*(y + 1)}$ #random take train and test + +from sklearn.model_selection import train_test_split +x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(X_train1, y, random_state=1) + +$\# \mathrm{x}$ _train.to_excel('xx_trans.xls') + +```python +#y_train.to_excel('y_trans.xls') +#call decision tree +#from sklearn import tree +#clf = tree.DecisionTreeClassifier(max_depth=10) +#clf = clf.fit(X_train, y_train) + +from keras.models import Sequential from keras.layers.core import Dense, Dropout, Activation + +model $=$ Sequential()#建立模型 + +model.add(Dense(units=48, input_dim = 12)) #添加输入层、隐藏层的连接 +model.add(Activation('tanh')) #以Relu函数为激活函数 + +model.add(Dense(input_dim = 48, units=48)) #添加隐藏层、隐藏层的连接 +model.add(Activation('relu')) #以ReLU函数为激活函数 +model.add(Dropout(0.2)) + +model.add(Dense(input_dim = 48, units=36)) #添加隐藏层、隐藏层的连接 +model.add(Activation('relu')) #以ReLU函数为激活函数 +model.add(Dropout(0.2)) +model.add(Dense(input_dim = 36, units=36)) #添加隐藏层、隐藏层的连接 +model.add(Activation('relu')) #以ReLU函数为激活函数 + +model.add(Dense(input_dim = 36, units=12)) #添加隐藏层、隐藏层的连接 +model.add(Activation('relu')) #以Relu函数为激活函数 +model.add(Dense(input_dim = 12, units=12)) #添加隐藏层、隐藏层的连接 +model.add(Activation('relu')) #以Relu函数为激活函数 + +model.add(Dense(input_dim = 12, units = 1)) #添加隐藏层、输出层的连接 +model.add(Activation('sigmoid')) #以 sigmoid 函数为激活函数 +#编译模型，损失函数为 binary_crossentropy，用adam法求解 +model.compile(loss='mean_squared_error', optimizer='adam') +model.fit(x_train.values, y_train.values, batch_size = 2000) #训练模型 + +$\mathrm{r} =$ pd.DataFrame(model.predict_classess(x_test.values)) +"" + $\mathbf{r} =$ pd.DataFrame(model.predict(x_test.values)) +rr= r.values +tr= rr flatten() + +for i in range(tr.shape[0]): if tr[i] $\rightharpoondown$ 0.5: tr[i]=1 else: + +1 + +$$ +\operatorname {t r} [ \mathrm {i} ] = 0 +$$ + +from sklearn.metrics import accuracy_score +print(accuracy_score(y_test, r)) + +# 10.2.2 MATLAB代码 + +# （1）导入附件数据代码 + +1.导入附件1进项发票 + +$\% \%$ 设置导入选项并导入数据 + +options $\equiv$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",8); + +% 指定工作表和范围 + +options.Sheet $=$ "进项发票信息"; + +opts.DataRange = "A2:H210948"; + +$\%$ 指定列名称和类型 + +opts.VariableNames = ["QYDH1", "Var2", "KPRQ1", "Var4", "JE1", "SE1", "JSHJ1", "FL1"]; + +opts.SelectedVariableNames = ["QYDH1", "KPRQ1", "JE1", "SE1", "JSHJ1", "FL1"]; + +opts.VariableTypes = ["string", "char", "datetime", "char", "double", "double", "double", "categorical"]; + +% 指定变量属性 + +opts = setvaropts(options, ["QYDH1", "Var2", "Var4"], "WhitespaceRule", "preserve"); + +opts = setvaropts(opts, ["QYDH1", "Var2", "Var4", "FL1"], "EmptyFieldRule", "auto"); + +opts $=$ setvaropts(opts,"KPRQ1","InputFormat","")); + +%导入数据 + +tbl = readableTable("C:\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*", opts, "UseExcel", false); + +$\% \%$ 转换为输出类型 + +QYDH1 = tbl.QYDH1; + +KPRQ1 = tb1.KPRQ1; + +JE1 = tbl.JE1; + +$\mathrm{SE1} = \mathrm{tbl.SE1}$ + +JSHJ1 = tbl.JSHJ1; + +$\mathrm{FL1} = \mathrm{tbl}. \mathrm{FL1}$ + +%% 清除临时变量 + +clear optsTbl + +%% 剔除作废发票 + +$\mathrm{d =}$ find(FL1 $\equiv$ "作废发票"); + +QYDH1(d,:=][];KPRQ1(d,:=][];JE1(d,:=][]; + +SE1(d,:)=[];JSHJ1(d,:)=[; + +clear FL1 d; + +%2.导入附件1销项发票 + +$\% \%$ 设置导入选项并导入数据 + +opt $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",8); + +$\%$ 指定工作表和范围 + +options.Sheet $=$ "销项发票信息"; + +opts.DataRange = "A2:H162485"; + +$\%$ 指定列名称和类型 + +opts.VariableNames = ["QYDH2", "Var2", "RQSJ2", "Var4", "JE2", "SE2", "JSHJ2", "FL2"]; + +opts.SelectedVariableNames = ["QYDH2", "RQSJ2", "JE2", "SE2", "JSHJ2", "FL2"]; + +opts.VariableTypes = ["categorical", "char", "datetime", "char", "double", "double", "double", "categorical"]; + +% 指定变量属性 + +```txt +opts = setvarargs(opts, ["Var2", "Var4"], "WhitespaceRule", "preserve"); +opts = setvarargs(opts, ["QYDH2", "Var2", "Var4", "FL2"], "EmptyFieldRule", "auto"); +opts = setvarargs(opts, "RQSJ2", "InputFormat", "") +``` + +$\%$ 导入数据 + +```javascript +tbl = readabletable("C:\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*", opts, "UseExcel", false); +``` + +$\% \%$ 转换为输出类型 + +```javascript +QYDH2 = tbl.QYDH2; +``` + +```javascript +RQSJ2 = tb1.RQSJ2; +``` + +```txt +JE2 = tb1.JE2; +``` + +$\mathrm{SE2 = tbl.SE2}$ + +```javascript +JSHJ2 = tbl.JSHJ2; +``` + +$\mathrm{FL2} = \mathrm{tbl.FL2}$ + +%% 清除临时变量 + +```txt +clear optsTbl +``` + +$\mathrm{d =}$ find $(\mathrm{FL2} == "\text{作废发票})$ + +```javascript +QYDH2(d,.) = [];RQSJ2(d,:) = [];JE2(d,.) = []; +``` + +SE2(d, $\cdot = []$ JSHJ2(d, $\cdot = []$ + +```txt +clear FL2 d; +``` + +3.导入附件2进项发票 + +$\% \%$ 设置导入选项并导入数据 + +opt $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",8); + +$\%$ 指定工作表和范围 + +```javascript +opts.Sheet = "进项发票信息"; +``` + +```javascript +opts.DataRange = "A2:H395176"; +``` + +% 指定列名称和类型 + +```javascript +opts.VariableNames = ["QYDH", "Var2", "RQSJ", "Var4", "Var5", "Var6", "JSHJ", "FL"]; +``` + +```javascript +opts.SelectedVariableNames = ["QYDH", "RQSJ", "JSHJ", "FL"]; +``` + +```txt +opts.VariableTypes = ["categorical", "char", "datetime", "char", "char", "char", "double", "categorical"]; +``` + +$\%$ 指定变量属性 + +```javascript +opts = setvaropts(opts, ["Var2", "Var4", "Var5", "Var6"], "WhitespaceRule", "preserve"); +``` + +```javascript +opts = setvaropts(opts, ["QYDH", "Var2", "Var4", "Var5", "Var6", "FL"], "EmptyFieldRule", "auto")); +``` + +```python +opts = setvaropts(options, "RQSJ", "InputFormat", "", +``` + +$\%$ 导入数据 + +```txt +tbl = readable("C:\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\* +``` + +$\% \%$ 转换为输出类型 + +```javascript +QYDH = tbl.QYDH; +``` + +```txt +RQSJ = tbl.RQSJ; +``` + +```txt +JSHJ = tbl.JSHJ; +``` + +$\mathrm{FL} = \mathrm{tbl}. \mathrm{FL}$ + +%% 清除临时变量 + +```txt +clear optsTbl +``` + +%% 剔除作废发票 + +$\mathrm{d =}$ find $(\mathrm{FL} == "\text{作废发票})$ + +QYDH(d, $\cdot = []$ RQSJ(d, $\cdot = []$ JSHJ(d, $\cdot = []$ + +```txt +clear FL d; +``` + +%4.导入附件2销项发票 + +$\% \%$ 设置导入选项并导入数据 + +opt $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",8); + +$\%$ 指定工作表和范围 + +options.Sheet $=$ "销项发票信息"; options.DataRange $=$ "A2:H330836"; $\%$ 指定列名称和类型 options.VariableNames $=$ ["QYDH3","Var2","RQSJ3","Var4","JE3","SE3","JSHJ3","FL3"]; options.SelectedVariableNames $=$ ["QYDH3","RQSJ3","JE3","SE3","JSHJ3","FL3"]; options.VariableTypes $=$ ["string","char", "datetime", "char", "double", "double", "double", "categorical"]; $\%$ 指定变量属性 options $=$ setvaroptions(options,["QYDH3","Var2","Var4"],"WhitespaceRule", "preserve"); options $=$ setvaroptions(options,["QYDH3","Var2","Var4","FL3"], "EmptyFieldRule", "auto"); options $=$ setvaroptions(options,"RQSJ3","InputFormat","")); $\%$ 导入数据 tbl $=$ readtable("C:\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\* ", options, "UseExcel", false); $\%$ 转换为输出类型 QYDH3 $=$ tbl.QYDH3; RQSJ3 $=$ tbl.RQSJ3; JE3 $=$ tbl.JE3; SE3 $=$ tbl.SE3; JSHJ3 $=$ tbl.JSHJ3; FL3 $=$ tbl.FL3; $\%$ 清除临时变量 clear options tbl d $=$ find(FL3 $= =$ "作废发票"); QYDH3(d,:)=[];RQSJ3(d,:)=[];JE3(d,:)=[]; SE3(d,:)=[];JSHJ3(d,:)=[]; clear FL3 d; + +# （2）求解分年、分月的利润、利润增长率函数 + +```matlab +%5.求解分年交易信息 +function [Year]=datayear(QYBH,JSHJ,RQSJ) +month=datamonth(QYBH,JSHJ,RQSJ);%导入分月交易信息 +RQSJ=datevec(RQSJ);%日期矢量化 +Year=[0 0 0]; +n=length(QYBH);j=1; +d=JSHJ(1);y=RQSJ(1,1);b=1; +for i=1:n-1 if QYBH(i)=QYBH(i+1) +if RQSJ(i,1)=RQSJ(i+1,1) +d=JSHJ(i+1); +else +Year(j,2)=y; +Year(j,3)=d;Year(j,1)=b; +j=j+1;d=JSHJ(i+1); +y=RQSJ(i+1,1); +end +else +Year(j,2)=y; +Year(j,3)=d;Year(j,1)=b; +j=j+1;d=JSHJ(i+1);b=b+1; +y=RQSJ(i+1,1); +end +end +Year(j,2)=y;Year(j,3)=d;Year(j,1)=b; +for i=1:123 %针对2017年数据利用完整年份数据补齐 +``` + +```matlab +p=intersect(find(month(:,2) == 2017),find(month(:,1) == i); +n=intersect(find(Year(:,2) == 2018),find(Year(:,1) == i)); +N=intersect(find(Year(:,2) == 2017),find(Year(:,1) == i)); +p0=intersect(find(month(:,2) == 2016),find(month(:,1) == i); +P=intersect(find(month(:,2) == 2018),find(month(:,1) == i)); +if isempty(p0)%检查是否有2016年数据 +else +continue; +end +if isempty(p)%如果2017年整年是否整年缺失，如果是则改为修正2018年数据 +p=intersect(find(month(:,2) == 2018),find(month(:,1) == i); +N=intersect(find(Year(:,2) == 2018),find(Year(:,1) == i)); +n=intersect(find(Year(:,2) == 2019),find(Year(:,1) == i)); +P=intersect(find(month(:,2) == 2019),find(month(:,1) == i)); +P=P(month(P,3) >= min(month(p,3)); +end +P=P(month(P,3) >= min(month(p,3)); +if month(p(1),3) == 1%判断2017年数据是否完整 +continue; +end +NN=Year(n,3);mm=sum(month(P,4)); +Year(N,3)=Year(N,3)/(mm/NN); +end +for i=1:123 %针对2019年数据利用完整年份数据补齐 +p=intersect(find(month(:,2) == 2019),find(month(:,1) == i); +n=intersect(find(Year(:,2) == 2018),find(Year(:,1) == i)); +N=intersect(find(Year(:,2) == 2019),find(Year(:,1) == i)); +p0=intersect(find(month(:,2) == 2020),find(month(:,1) == i); +P=intersect(find(month(:,2) == 2018),find(month(:,1) == i)); +if isempty(p0)%检查是否有2020年数据 +else +continue; +end +if isempty(p)%如果2019年整年是否整年缺失，如果是跳过 +continue; +end +if month(p(end),3) == 12%判断2019年数据是否完整 +continue; +end +P=P(month(P,3) >= min(month(p,3)); +NN=Year(n,3);mm=sum(month(P,4)); +Year(N,3)=Year(N,3)./(mm./NN); +end +``` + +# %6..求解分月交易信息 + +```matlab +function [Month]=datamonth(QYBH,JSHJ,RQSJ) +RQSJ=datevec(RQSJ); +Month=[0 0 0 0]; +n=length(QYBH);j=1; +d=JSHJ(1);y=RQSJ(1,1);m=RQSJ(1,2);b=1; +for i=1:n-1 + if QYBH(i)=QYBH(i+1) + if RQSJ(i,1:2)=RQSJ(i+1,1:2) + d=d+JSHJ(i+1); + else +``` + +```javascript +Month(j,2)=y;Month(j,3)=m; Month(j,4)=d;Month(j,1)=b; j=j+1;d=JSHJ(i+1); y=RQSJ(i+1,1);m=RQSJ(i+1,2); end else Month(j,2)=y;Month(j,3)=m; Month(j,4)=d;Month(j,1)=b; j=j+1;d=JSHJ(i+1);b=b+1; y=RQSJ(i+1,1);m=RQSJ(i+1,2); end end Month(j,2)=y;Month(j,3)=m; Month(j,4)=d;Month(j,1)=b; +``` + +```matlab +%7.求解年利润、利润增长率 +function benefit=nianli(a1,a2) +n=max(a1(:,1));n0=min(a1(:,1));benefit=[0,0,0,0,0,0,0,0];j=1; +for i=n0:n + jin=a1(:,1) == i; + xiao=a2(:,1) == i; + J=a1(jin,:);X=a2(xiao,:); +U=union(J(:,2),X(:,2));%寻找最早与最晚交易日期 +for m=min(U):max(U) + benefit(j,1)=i;benefit(j,2)=m; + b1/find(J(:,2) == m);b2/find(X(:,2) == m); + if isempty(b1) + b1=0;%在数据中缺失的交易实际交易额补为0 + else + b1=J(b1,3);benefit(j,3)=b1; + end + if isempty(b2) + b2=0;%在数据中缺失的交易实际交易额补为0 + else + b2=X(b2,3);benefit(j,4)=b2; + end + benefit(j,5)=b2-b1;%计算利润 + benefit(j,6)=(b2-b1)/b1;%计算成本利润率 + benefit(j,7)=(b2-b1)/b2;%计算销售利润率 + if (benefit(j,2)=2018||benefit(j,2) == 2019)&&benefit(j-1,1) == benefit(j,1) + benefit(j,8)=(benefit(j,5)-benefit(j-1,5))/abs(benefit(j-1,5));%计算利润增长 + benefit(j,9)=(benefit(j,4)-benefit(j-1,4))/abs(benefit(j-1,4));%计算销售额增长 +率 +``` + +end $\mathrm{j = j + 1}$ end +end + +$\%$ 求解分月利润、利润增长率 +function benefit=yueli(a1,a2,val)\%val=12为分月；val=4为分季度 +n=max(a1(:,1));n0=min(a1(:,1));benefit=[0,0,0,0,0,0,0,0];j=1; +for i=n0:n + jin=a1(:,1) == i; + xiao=a2(:,1) == i; + +```matlab +J=a1(jin,:);X=a2(xiao,:) +JM=J(:,2).*100+J(:,3); +XM=X(:,2).*100+X(:,3); +U=union(JM,XM);%寻找最早与最晚交易日期 +for m=min(U):max(U) +if mod(m,100)>val||mod(m,100)=0 + continue; +end +benefit(j,1)=i; +M=[floor(m/100),mod(m,100)]; +benefit(j,2:3)=M; +b1=intersectfind(J(:,2)=M(1)),find(J(:,3)=M(2)); +b2=intersectfind(X(:,2)=M(1)),find(X(:,3)=M(2)); +if isempty(b1) + b1=0; +else + b1=J(b1,4);benefit(j,4)=b1; +end +if isempty(b2) + b2=0; +else + b2=X(b2,4);benefit(j,5)=b2; +end +benefit(j,6)=b2-b1;%计算利润 +benefit(j,7)=(b2-b1)/b1;%计算成本利润率 +benefit(j,8)=(b2-b1)/b2;%计算销售利润率 +j=j+1; +end +``` + +# （3）求解负数发票比例函数 + +```matlab +%8.求解负数发票比例 +function F=fuzhang(QYDH,JSHJ) +n=length(QYDH);F=[1,0];j=1; +zheng=0;fu=0;QYDH(n+1)='0'; +for i=1:n + if QYDH(i) == QYDH(i+1) + if JSHJ(i)>0 + zheng=zheng+JSHJ(i); + else + fu=fu-JSHJ(i); + end +else + F(j,2)=zheng;F(j,3)=fu; + F(j,4)=fu/zheng; + F(j,1)=j:j=1; + zheng=0;fu=0; +end +``` + +# （4）拟合客户流失率函数代码 + +$\% \%$ 设置导入选项并导入数据 + +options $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",4); +%指定工作表和范围 +options.Sheet $=$ "Sheet1"; +options.DataRange $=$ "A3:D31"; +%指定列名称和类型 +options.VariableNames $=$ ["Rate","A","B","C"]; +options.VariableTypes $=$ ["double","double","double","double"]; + $\%$ 导入数据 +tbl $=$ readable("C:\**********",options,"UseExcel,false); + $\% \%$ 转换为输出类型 +Rate $\equiv$ tbl.Rate; +A $\equiv$ tbl.A; +B $\equiv$ tbl.B; +C $\equiv$ tbl.C; + $\% \%$ 清除临时变量 +clear options tbl + $\% \%$ 进行函数拟合 +cftool; + $\%$ 选择自变量 $\mathbf{X}$ 为Rate；因变量Y分别为AB,C，采用多项式Degree选择3 + +# （5）求解问题一贷款策略非线性规划 + +function y=myfun(X)%问题一目标函数 + +$\% \mathrm{P}$ 为违约概率，M为客户价值 + +P=[0.114468336 0.141186655 0.088414051 0.09544903 0.210639566 0.114468336 +0.082263485 0.088414051 0.088414051 0.088414051 0.099536225 0.107351974 0.14971973 +0.088414051 0.090395086 0.088414051 0.099536225 0.088414051 0.09576942 0.240515694 +0.14971973 0.092690632 0.082263485 0.089157224 0.167289063 0.090395086 0.082263485 +0.108063377 0.157975748 0.095048524 0.095048524 0.136075974 0.160848647 0.131541088 +0.124518707 0.164687425 0.14971973 0.14971973 0.10131225 0.094357304 0.102009356 +0.120100752 0.124518707 0.087099954 0.338004202 0.095048524 0.095048524 0.136805013 +0.087099954 0.168858051 0.103052519 0.367288768 0.080605194 0.14971973 0.080605194 +0.119915977 0.102863833 0.080605194 0.126312315 0.105437919 0.080605194 0.080605194 +0.104670011 0.108821861 0.09186326 0.142410994 0.09186326 0.087078176 0.112150058 +0.08O6O5I94 0.147935435 0.22812O8O4 0.1486299I9 0.08O6O5I94 0.08O6O5I94 0.188Aoo269 + $\mathrm{O}$ 125449672 $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . O $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . $\mathrm{O}$ . + +```txt +2000 2000 2000 2000]; +y=0;I=[]; +for i=1:123 +t=X(2*i-1)*X(2*i)*(1-P(i))-X(2*i-1)*0.22*P(i); +if t>0 + y=y-t*(1-f(X(2*i),i))+M(i)/10000*f(X(2*i),i); + I(i)=1; + else + I(i)=0; + end +end +I=''; +end +%客户流失率函数 +function q=f(x,i) +%A，B，C为信誉评级 +A=[1267891315:19222426273142485459648184888991]; +B=[51012202123283032333435373843455157586061626365667717476 +79838593959798100]; +C=[341114252939414044464749505355566869727375778808687909496 +104105110]; +if any(A=i) +q=634.6*x^3-256.5*x^2+37.74*x-1.114; +elseif any(B=i) +q=545*x^3-222.5*x^2+33.73*x-1.008; +elseif any(C=i) +q=503.4*x^3-207.2*x^2+32.17*x-0.9746; +else +q=0; +end +end +function [con,coneq]=mycon(X)%问题一约束条件 +con=0; +P=[0.114468336 0.141186655 0.088414051 0.09544903 0.210639566 0.114468336 +0.082263485 0.088414051 0.088414051 0.088414051 0.099536225 0.107351974 +0.14971973 0.088414051 0.090395086 0.088414051 0.099536225 0.088414051 +0.09576942 0.240515694 0.14971973 0.092690632 0.082263485 0.089157224 +0.167289063 0.090395086 0.082263485 0.108063377 0.157975748 0.095048524 +0.095048524 0.136075974 0.160848647 0.131541088 0.124518707 0.164687425 +0.14971973 0.14971973 0.10131225 0.094357304 0.102009356 0.120100752 +0.124518707 0.087099954 0.338004202 0.095048524 0.095048524 0.136805013 +0.087099954 0.168858051 0.103052519 0.367288768 0.08O6O5194 0.14971973 +0.08O6O5194 0.119915977 0.1O2863833 0.08O6O5194 0.126312315 0.1O5437919 +0.08O6O5194 0.08O6O5194 0.1O467OOL 0.1O882I861 0.09I86326 0.1424I O99K +0.09I86326 0.08TOMYIGL 0.1I2ILOOSSL 0.OTOGSILNCL ⅡIADTOSL +\( \begin{array}{l} \text{I} = \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ {\mathrm{~}}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~}\mathrm{~} \end{array} \) +\( \begin{array}{l} \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ { }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ }^{ } ^ { " }\right) ^ { " }\left( \begin{array}{l} \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I} = \text{I}\\ \text{I}\end{array} \right)^{\prime }\left( \begin{array}{l} \text{x}=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x \\x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=\frac{x}{x-x_{\min}}\end{array} .\left( \begin{array}{l} \text{x}=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\\ x=x\end{array} \right)\left( \begin{array}{l} \text{x}=x\\ x=\frac{x}{x-x_{\min}}\end{array} \right). +``` + +$\mathrm{t = X(2^{*}i - 1)^{*X(2^{*}i)^{*}(1 - P(i)) - X(2^{*}i - 1)^{*0.22^{*}P(i)};}$ if $\mathbf{\bar{t}} > 0$ con=con+X(2*i-1); +end +end +con=con-10000; +coneq=[]; +end + +$\%$ 以下为规划主体程序 +%E为最高额度，D为信誉评级 +fun $\equiv$ @myfun; +nlcon $\equiv$ @mycon; +E=[10010010010060606010010060606010020406060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060606060 +60 60 40 60 60 60 60 60 40 60 60 40 60 40 40 40 40 40 40 40 +40 40 40 40 40 20 60 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 +40 40 40 60 60 40 60 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 +40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 +40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 +4D=[365282991Oo:1O31O7:1O9111:123]; +lb=zeros(2*123,1);ub=zeros(2*123,1); +Lb=[1O,O.1);Ub=[1O,O.15]; +for i=1:123 +lb(2*i-1:2*i)=Lb;ub(2*i-1:2*i)=Ub; +ub(2*i-1)=E(i); +end +lb(D*2-1)=O; +ub(D*2-1)=O; +xO=ub;xO(D*2-1)=O;xO(1)=2O; +[x,fval]=fmincon(fun,xO,[],[],[],],lb,ub,nlcon)%非线性规划 + +# （6）求解问题二贷款策略非线性规划 + +```csv +function y=myfun2(X)%目标函数 +P=[0.439356714 0.414479107 0.441195905 0.467635691 0.441195905 0.467635691 +0.47423476 0.467635691 0.467635691 0.441195905 0.441195905 +0.431377649 0.414479107 0.441195905 0.467635691 0.467635691 +0.441195905 0.441195905 0.441195905 0.44058013 0.441195905 +0.467635691 0.441195905 0.414479107 0.441195905 0.467635691 +0.439356714 0.431377649 0.167139977 0.167139977 0.414479107 0.44058013 +0.44058013 0.467635691 0.108243816 0.467635691 0.467635691 0.44058013 +0.183037102 0.465778112 0.441195905 0.441195905 0.441195905 0.467635691 +0.441195905 0.465778112 0.44058013 0.465778112 0.467635691 0.467635691 +0.439356714 0.441195905 0.414479107 0.439356714 0.414479107 0.441195905 +0.414479107 0.441195905 0.441195905 0.54440701 0.433996886 0.441195905 +0.467635691 0.482039183 0.441195905 0.467635691 0.467635691 0.44058013 +0.467635691 0.441195905 0.108243816 0.167139977 0.439356714 0.414479107 +0.467635691 0.441195905 0.467635691 0.467635691 0.414479107 0.44058013 +0.465778112 0.414479107 0.441195905 0.441195905 0.467635691 0.44058013 +0.467635691 0.47423476 0.441195905 0.634630799 0.47237429 0.116676301 +0.44058013 0.467635691 0.414479107 0.439356714 0.465778112 0.44058013 +0.439356714 0.431377649 0.167139977 0.465778112 0.467635691 0.47237429 +0.210639566 0.4723476 0.441195905 0.441195905 0.467635691 0.414479107 +0.167139977 0.408OoIaIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeIeI e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e I e +``` + +
0.4676356910.1671399770.4676356910.4411959050.4144791070.4676356910.467635691
0.4676356910.3197089430.440580130.4144791070.4676356910.441195905
0.4676356910.440580130.4676356910.4676356910.4144791070.441195905
0.440580130.4411959050.7560037970.4313776490.4676356910.467635691
0.4676356910.4676356910.4411959050.0986807940.2553378940.467635691
0.4411959050.1671399770.5430428980.4676356910.5234087110.098680794
0.440580130.5104095340.4676356910.440580130.4144791070.467635691
0.4080014230.526069760.4313776490.4676356910.4676356910.543589473
0.5430428980.5104095340.4676356910.5234087110.3131607470.566366434
0.5430428980.4657781120.6222392920.5430428980.5430428980.56936729
0.5104095340.4676356910.5430428980.5934627650.5862579350.56936729
0.5430428980.4209865330.5370110270.5736256240.5430428980.56936729
0.5430428980.5766538380.569367290.5856319070.5234087110.543042898
0.1494564120.5334886910.5535394550.5370110270.5499267580.467635691
0.5430428980.5430428980.5430428980.5616935490.4676356910.543042898
0.590469360.5550963280.5934627650.6232536440.6193221210.639883816
0.2889138460.6508063670.5786623950.5786623950.1717512160.593475759
0.5557064410.6129946710.7482781410.6856866480.7482781410.748278141
0.5880032780.6355077030.7678340670.7482781410.7482781410.748278141
0.388435990.7678340670.6711440090.6419823170.6856866480.748278141
0.6495329140.5550963280.7482781410.7678340670.388435990.767834067
0.7482781410.7678340670.7678340670.7357941870.7678340670.748278141
0.7482781410.7482781410.4892749490.6496185060.4148959520.295277119
0.7482781410.388435990.5830158590.5273537640.3376077120.748278141
0.7678340670.7482781410.7482781410.7678340670.7482781410.767834067
0.7482781410.7678340670.7560037970.7678340670.7482781410.767834067
0.7678340670.7482781410.278751940.7678340670.7678340670.767834067
0.7482781410.388435990.7482781410.7482781410.7678340670.407762945
0.7482781410.7482781410.7678340670.7678340670.7678340670.756003797
0.7678340670.7357941870.7560037970.7482781410.7482781410.735794187
0.7357941870.756003797];
M=[1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
1000 2000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 5000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 5000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 5000 5000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 1000 1000 5000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 5000 2000 2000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 2000 2000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 2000 2000 2000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 5000 2000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 2000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 2000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 2000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 2000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 5000 2000 5000 2000 2000 51119591
+ +```html +2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 +``` + +```javascript +y=0;I=[]; +``` + +for $i = 1:302$ + +$\mathrm{t = X(2^{*}i - 1)^{*X(2^{*}i)^{*}(1 - P(i)) - X(2^{*}i - 1)^{*X(2^{*}i)^{*}P(i);}}$ + +```txt +if t>0 +``` + +$\mathrm{y = y - t^{*}(1 - f(X(2^{*}i),i)) + M(i) / 10000^{*}f(X(2^{*}i),i)}$ + +$\mathrm{I(i)} = 1$ + +```txt +else +``` + +$\mathrm{I(i)} = 0$ + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +$\mathrm{I} = \mathrm{I}'$ + +```txt +end +``` + +```txt +%% +``` + +function $q = f(x,i)$ + +```javascript +A=[156 157 162 166 198 199 219 228 232 238 245 271 275 279 322 344]; +``` + +```javascript +B=124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 +``` + +```txt +142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 163 +``` + +```txt +164 165 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 +``` + +```txt +184 185 186 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 200 201 202 203 204 205 +``` + +```txt +206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 218 220 221 222 223 224 225 226 +``` + +```txt +227 229 230 231 233 234 235 236 237 239 241 243 244 246 247 248 249 250 251 +``` + +```txt +252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 265 266 267 268 269 270 272 +``` + +```txt +273 274 277 280 282 283 284 285 286 288 289 290 294 296 299 305 311 327 332 +``` + +```javascript +340 358 368 378 380 381 383 386 402 407 411]; +``` + +```javascript +C=[187 217 240 242 276 278 281 287 291 292 293 295 297 298 300 301 302 303 +``` + +```txt +304 306 307 308 309 310 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 323 324 325 +``` + +```txt +326 328 329 330 331 333 334 335 336 337 338 339 341 342 343 345 346 347 348 +``` + +```txt +349 350 351 352 353 355 356 357 360 361 362 363 364 365 366 370 373 375 376 +``` + +```txt +377 379 382 384 385 387 389 390 392 394 398 401 406 408 409 412 413 419 421 +``` + +```javascript +422 423 424]; +``` + +```txt +if any(A==i+123) +``` + +$q = 634.6^{*}x^{\wedge}3 - 256.5^{*}x^{\wedge}2 + 27.74^{*}x - 1.114;$ + +```python +elseif any(B==i+123) +``` + +$q = 545^{*}x^{\wedge}3 - 222.5^{*}x^{\wedge}2 + 33.73^{*}x - 1.008;$ + +```python +elseif any(C==i+123) +``` + +$q = 503.4^{*}x^{\wedge}3 - 207.2^{*}x^{\wedge}2 + 32.17^{*}x - 0.9746;$ + +```txt +else +``` + +```txt +q=0; +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +function [c,ceq]=mycon2(X)%约束条件 + +$\mathrm{P = [0.4393567140.4144791070.4411959050.4676356910.4411959050.467635691}$ + +```txt +0.47423476 0.467635691 0.467635691 0.441195905 0.441195905 0.441195905 +``` + +```txt +0.431377649 0.414479107 0.441195905 0.467635691 0.467635691 0.467635691 +``` + +```txt +0.441195905 0.441195905 0.441195905 0.44058013 0.414479107 0.44058013 +``` + +```txt +0.467635691 0.441195905 0.414479107 0.441195905 0.441195905 0.467635691 +``` + +
0.4393567140.4313776490.1671399770.1671399770.4144791070.44058013
0.440580130.4676356910.1082438160.4676356910.4676356910.44058013
0.1830371020.4657781120.4411959050.4411959050.4411959050.467635691
0.4411959050.4657781120.440580130.4657781120.4676356910.467635691
0.4393567140.4411959050.4144791070.4393567140.4144791070.441195905
0.4144791070.4411959050.4411959050.544407010.4339968860.441195905
0.4676356910.4820391830.4411959050.4676356910.4676356910.44058013
0.4676356910.4411959050.1082438160.1671399770.4393567140.414479107
0.4676356910.4411959050.4676356910.4676356910.4144791070.44058013
0.4657781120.4144791070.4411959050.4411959050.4676356910.44058013
0.4676356910.474234760.4411959050.6346307990.472374290.116676301
0.440580130.4676356910.4144791070.4393567140.4657781120.44058013
0.4393567140.4313776490.1671399770.4657781120.4676356910.47237429
0.2106395660.474234760.4411959050.4411959050.4676356910.414479107
0.1671399770.4080014230.5435894730.4676356910.7357941870.467635691
0.4676356910.1671399770.4676356910.4411959050.4144791070.467635691
0.4676356910.3197089430.440580130.4144791070.4676356910.467635691
0.4676356910.440580130.4676356910.4676356910.4144791070.441195905
0.440580130.4411959050.7560037970.4313776490.4676356910.467635691
0.4676356910.4676356910.4411959050.0986807940.2553378940.467635691
0.4411959050.1671399770.5430428980.4676356910.5234087110.098680794
0.440580130.5104095340.4676356910.440580130.4144791070.467635691
0.4080014230.526069760.4313776490.4676356910.4676356910.543589473
0.5430428980.5104095340.4676356910.5234087110.3131607470.566366434
0.5430428980.4657781120.6222392920.5430428980.5430428980.56936729
0.5104095340.4676356910.5430428980.5934627650.5862579350.56936729
0.5430428980.4209865330.5370110270.5736256240.5430428980.56936729
0.5430428980.5766538380.569367290.5856319070.5234087110.543042898
0.1494564120.5334886910.5535394550.5370110270.5499267580.467635691
0.5430428980.5430428980.5430428980.5616935490.4676356910.543042898
0.590469360.5550963280.5934627650.6232536440.6193221210.639883816
0.2889138460.6508063670.5786623950.5786623950.1717512160.593475759
0.5557064410.6129946710.7482781410.6856866480.7482781410.748278141
0.5880032780.6355077030.7678340670.7482781410.7482781410.748278141
0.388435990.7678340670.6711440090.6419823170.6856866480.748278141
0.6495329140.5550963280.7482781410.7678340670.388435990.767834067
0.7482781410.7678340670.7678340670.7357941870.7678340670.748278141
0.7482781410.7482781410.4892749490.6496185060.4148959520.295277119
0.7482781410.388435990.5830158590.5273537640.3376077120.748278141
0.7678340670.7482781410.7482781410.7678340670.7482781410.767834067
0.7482781410.7678340670.7560037970.7678340670.7482781410.767834067
0.7678340670.7482781410.278751940.7678340670.7678340670.767834067
0.7482781410.388435990.7482781410.7482781410.7678340670.407762945
0.7482781410.7482781410.7678340670.7678340670.7678340670.756003797
0.7678340670.7357941870.7560037970.7482781410.7482781410.735794187
+ +0.735794187 0.756003797]; + +$\mathrm{ceq} = 0$ + +for $i = 1:302$ + +$$ +\begin{array}{l} t = X (2 ^ {*} i - 1) ^ {*} X (2 ^ {*} i) ^ {*} (1 - P (i)) - X (2 ^ {*} i - 1) ^ {*} (X (2 ^ {*} i)) ^ {*} P (i); \\ i f t > 0 \\ \operatorname {c e q} = \operatorname {c e q} + X (2 ^ {*} i - 1); \\ \end{array} +$$ + +end + +end + +ceq=ceq-10000; + +$\mathrm{c = []}$ + +%规划主体程序 + +D=264 354 359 367 369 371 372 374 388 391 393 395 396 397 399 400 403 404 + +405 410 414 415 416 417 418 420 425]; + +$\mathrm{D = D - 123}$ + +opt $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",1); + +opts.Sheet = "302 家无信贷记录的公司"; + +opts.DataRange $=$ "O2:O303"; + +opts.VariableNames = "E"; + +opts.VariableTypes $=$ "double"; + +tbl = readabletable("C:\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*", opts, "UseExcel", false); + +$\mathrm{E} = \mathrm{tbl.E}$ + +clear optsTbl + +$\mathrm{lb = zeros(2^*302,1)}$ ;ub=zeros(2*302,1); + +$\mathrm{Lb} = [10,0.04]; \mathrm{Ub} = [100,0.15]$ + +for $i = 1:302$ + +$\mathrm{lb}(2^{*}\mathrm{i} - 1:2^{*}\mathrm{i}) = \mathrm{Lb};\mathrm{ub}(2^{*}\mathrm{i} - 1:2^{*}\mathrm{i}) = \mathrm{Ub};$ + +$\mathrm{ub}(2^{*}\mathrm{i} - 1) = \mathrm{E}(\mathrm{i})$ + +end + +$\mathrm{lb}(\mathrm{D}^{*}2 - 1) = 0$ + +$\mathrm{ub}(\mathrm{D}^{*}2 - 1) = 0$ + +$\mathrm{x0 = ub;x0(D^{*}2 - 1) = 0;x0(1) = 20}$ + +[x,fval]=fmincon(@myfun2,x0,[],[],[],],lb,ub,'mycon2') + +# （7）求解问题三贷款策略非线性规划 + +D=[264 354 359 367 369 371 372 374 388 391 393 395 396 397 399 400 403 404 + +405 410 414 415 416 417 418 420 425]; + +$\mathrm{D = D - 123}$ + +%L 为公司分类标志 + +opt $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",3); + +opts.Sheet = "302 家无信贷记录的公司"; + +opts.DataRange $=$ "M2:O303"; + +opts.VariableNames = ["L", "M", "E"]; + +opts.VariableTypes = ["double", "double", "double"]; + +tbl = readtable("C:\******8", opts, "UseExcel", false); + +$\mathrm{L} = \mathrm{tbl}. \mathrm{L}; \mathrm{E} = \mathrm{tbl}. \mathrm{E}$ + +clear optsTbl + +$\mathrm{lb = zeros(2^*302,1)}$ ;ub=zeros(2*302,1); + +$\mathrm{Lb} = [10,0.04]; \mathrm{Ub} = [100,0.15]$ + +for $i = 1:302$ + +$\mathrm{lb}(2^{*}\mathrm{i} - 1:2^{*}\mathrm{i}) = \mathrm{Lb};\mathrm{ub}(2^{*}\mathrm{i} - 1:2^{*}\mathrm{i}) = \mathrm{Ub};$ + +if $\mathrm{L(i)} = = 1$ + +$\mathrm{ub}(2^{*}\mathrm{i} - 1) = \mathrm{E}(\mathrm{i})^{*}1.3;$ + +elseif $\mathrm{L(i) = -2}$ + +$\mathrm{ub}(2^{*}\mathrm{i} - 1) = \mathrm{E}(\mathrm{i})^{*}1.3;$ + +else + +$\mathrm{ub}(2^{*}\mathrm{i} - 1) = \mathrm{E}(\mathrm{i})$ + +end + +end + +$\mathrm{lb}(\mathrm{D}^{*}2 - 1) = 0$ + +ub $(\mathrm{D}^{*}2 - 1) = 0$ + +$\mathrm{x0 = ub;x0(D^{*}2 - 1) = 0;x0(1) = 20}$ + +[x,fval]=fmincon(@myfun2,x0,[],[],[],[],lb,ub,'mycon2'); + +for $i = 1:302$ + +if $\mathrm{L(i) = -1}$ + +$\mathrm{x}(2^{*}\mathrm{i}) = \mathrm{x}(2^{*}\mathrm{i})^{*}0.8$ + +elseif $\mathrm{L(i) = -2}$ $\mathrm{x}(2^{*}\mathrm{i}) = \mathrm{x}(2^{*}\mathrm{i})^{*}0.5;$ end +end +x +fval $\equiv$ myfun2(x) \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/A028/A028.md b/MCM_CN/2021/A028/A028.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b5c8c7e414f2a45f498046a36c0bb28ba722bad5 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/A028/A028.md @@ -0,0 +1,1364 @@ +# “FAST”主动反射面调节模型 + +# 摘要 + +本文从求解FAST主动反射面形状的调节问题出发，通过考虑变形目标的基本要求和评判指标，求解理想抛物面；分析了因反射面板形状原因而导致的，工作抛物面和理想抛物面的偏差，并提供了微调办法；最后计算了调节变形后的接收比、基准反射球面的接收比，将其进行比较，作证了FAST的优良性能。 + +针对问题1，我们根据题目对理想抛物面对称轴和焦点的要求，得出了理想抛物面中参数之间的关系、参数的存在域等信息。再通过考虑促动器安装的空间特征，发现能够按照等分一定区域的圆心角的方法，设计了能模拟促动器分布、估计促动器伸缩量的模型。我们使用该模型判断抛物面是否满足促动器径向伸缩范围为 $-0.6 \sim +0.6$ 米的要求，并以促动器伸缩量的总和最小作为评判指标评判满足要求的抛物面，找到了两个性能较好的抛物面，经过比较，最终得到理想抛物面方程为： + +$$ +z = \frac {x ^ {2}}{4 \left(F - l _ {2}\right)} + \frac {y ^ {2}}{4 \left(F - l _ {2}\right)} - 3 0 0. 4 + l _ {2} = 0. 0 0 1 7 8 0 x ^ {2} + 0. 0 0 1 7 8 0 y ^ {2} - 3 0 0. 8 8 4 +$$ + +针对问题2，首先，为求解观测天体位于方位角 $\alpha = 36.795^{\circ}$ ， $\beta = 78.169^{\circ}$ 时的理想抛物面，先建立旋转矩阵和图形变换模型，得到将任意坐标或函数旋转固定角度的方法，从而将问题一中求解得到的理想抛物面方程先绕y轴旋转 $(90^{\circ} - \beta)$ ，再绕z轴旋转α，得到用于观测要求天体的理想抛物面方程为： + +$$ +\begin{array}{r} S ^ {\prime} (x, y, z) = 0. 1 6 4 1 8 x + 0. 1 2 2 8 y + 0. 9 7 8 7 6 z - 0. 0 0 1 7 7 9 7 (0. 5 9 8 9 5 x - 0. 8 0 0 7 8 y) ^ {2} - \\ 0. 0 0 1 7 7 9 7 (0. 7 8 3 7 7 x + 0. 5 8 6 2 3 y - 0. 2 0 5 0 3 z) ^ {2} + 3 0 0. 8 8 = 0 _ {\circ} \end{array} +$$ + +之后，为求解促动器伸缩量的最优值，使反射面尽可能贴近理想抛物面，先假设将主索节点沿径向移动到理想抛物面上，取主索节点和各反射面板圆弧中点作为统计点计算得到均方根误差为 $4.2\mathrm{mm}$ 。设计主索节点的调整策略——调整量由自身即其周围所有圆弧中点与理想抛物面的偏差决定，计算调整后的均方根误差为 $3.0\mathrm{mm}$ ，且其值在迭代中保持稳定，说明此时反射面拟合度已达最优。由主索节点的初始坐标与调整后的最终坐标，求得条件后反射面 $300\mathrm{m}$ 口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量保存在“result.x1sx“中。 + +针对问题3，首先，为求解调节后馈源舱的接收比，需对每个反射单元单独处理。先定义单个反射面板反射的电磁波信号被馈源舱吸收的比值为单元吸收比，再计算每个反射面板反射信号量占总反射信号量的比值作为其单元吸收比的权重，则整个工作平面的接收比为单元接收比的加权求和，其结果为 $67.46\%$ + +之后，为求解基准反射球面的接收比，先建立平行电磁波信号入射球面的反射模型。将其简化为平面上信号竖直向下入射的二维模型处理，可解得距 $z$ 轴不同距离处的反射信号与馈源舱平面的交点，若该交点与馈源舱的距离 $< 0.5m$ ，认为该反射信号被吸收。计算得到基准反射球面上有效的区域为投影到XY平面上 $r = 7.3891m$ 的圆和102.6396符号说明单位S被观测的天体C基准反射球面球心坐标P馈源舱中心坐标R基准反射球面半径mF焦径比α被观测天体方位角。β被观测天体仰角。l旋转轴上的促动器伸缩量mφ圆心角。lmax最大径向偏离差mlsum总径向偏离差水平指标mp焦距mRMS均方根误差d主索节点微调距离mLSUM促动器总伸缩量mSw单个反射面板反射信号在馈源舱所在平面投影面积m²SwpSw与馈源舱有效面积重合部分m²ni单元接收比Svi单个反射面板在入射信号垂面的投影面积m²SsumSvi的和m²wi单元接收比权重η实际工作面接收比ηbasic基准反射球面接收比 + +# 四、模型假设 + +1. 每一块反射面板均为基准球面一部分，即其曲率半径为基准反射球面半径，在调整过程中不变形。 +2.电磁波信号平行入射到反射面上。 +3.所考虑的电磁波信号沿直线传播，不考虑其衍射特性。 +4.不考虑电磁波信号在反射面多次反射的情况。 +5.在模型中仅考虑几何因素影响，不考虑力学因素影响。 +6.主索节点坐标与反射面板顶点坐标等同。 + +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 问题1：理想抛物面的求解和分析 + +# 5.1.1模型准备： + +1）旋转抛物面： + +FAST 的工作原理为反射面板将平行电磁波反射会聚到馈源舱有效区域。能将平行光会聚到一点的反射面形状为旋转抛物面，转轴与入射光线平行，会聚点为旋转抛物面的焦点，可用费马原理证明。 + +2）促动器、下拉索、主索节点相对位置分析 + +根据附件二以及附件三给出的促动器地锚点、顶端、主索节点的编号和坐标，可以按编号将地锚点ULi、顶端UH、主索节点U进行对应，并分析这三点与基准球球心C的相对位置。 + +计算向量 $\overrightarrow{UL_tU_t},\overrightarrow{UL_tC}$ 与 $\overrightarrow{UH_tU_t},\overrightarrow{UH_tC}$ 的夹角 $\gamma_{1},\gamma_{2}$ + +$$ +\gamma_ {1} = \arcsin \frac {\left| \overrightarrow {U L _ {i} U _ {i}} \times \overrightarrow {U L _ {i} C} \right|}{\left| \overrightarrow {U L _ {i} U _ {i}} \right| \left| \overrightarrow {U L _ {i} C} \right|} +$$ + +$$ +\gamma_ {2} = \arcsin \frac {\left| \overrightarrow {U H _ {i} U _ {i}} \times \overrightarrow {U H _ {i} C} \right|}{\left| \overrightarrow {U H _ {i} U _ {i}} \right| \left| \overrightarrow {U H _ {i} C} \right|} +$$ + +本题中绝大多数的夹角弧度值都为或者低于 $10^{-6}$ 水平，故可以认为所有节点都满足促动器地锚点、顶端、主索节点、基准球球心共线。 + +因此，可以认为所有主索节点的调整方向都是节点关于基准球的径向，并定义使节点远离球心的调整方向为负向，靠近球心的调整方向为正向。 + +# 5.1.2模型建立： + +# 5.1.2.1理想抛物面的确定： + +1）理想抛物面的限制条件： + +由于理想抛物面和球面均关于坐标轴Z轴对称，必要时可以采用过对称轴Z轴的二维截面进行考察。 + +理想抛物面应满足的条件： + +由题意，理想抛物面应满足以下3个条件： + +1.理想抛物面对称轴为SC； +2.理想抛物面将入射的平行电磁波聚焦在焦面上的定点P； +3.理想抛物面对应的各促动器伸缩量不超过-0.6\~+0.6m; + +根据附件1中基准球面与SC的交点为一主素节点，坐标为(0,0,-300.4)，结合条件1，可以设理想抛物面的顶点为 $(0,0, - 300.4 + l)$ ，则l为该主素节点的移动量，根据条件3则有 $-0.6\leq l\geq 0.6$ 。抛物面顶点与P点距离为 $F - l$ ，由条件二可知抛物面的焦距即为 $F - l$ + +故抛物面的方程为： + +$$ +z = \frac {x ^ {2}}{4 (F - l)} + \frac {y ^ {2}}{4 (F - l)} - 3 0 0. 4 + l \tag {1} +$$ + +2）促动器伸缩量的估计： + +为估计抛物面对应的促动器伸缩量，考虑促动器安装位置的特点：促动器沿着径向安装，且由附件1得知各相邻主索节点间的距离大致相等；对垂直SC的基准球面上的圆周考虑，当有主索节点在圆周上时，节点的数量可以视为与圆周周长相等。 + +故可以通过在截面上，抛物面口径 $300\mathrm{m}$ 内，按照一定圆心角步长 $\Delta \phi$ ，逐个圆心角 $\phi$ 取 + +径向。在 $\phi$ 对应的径向上计算球心和基准球面、抛物面的距离差，用距离差体现促动器的伸缩量 $l_{\phi}$ ，用 $2\pi R \sin \phi$ 体现促动器的数量。 + +![](images/efb26c700b4aaad3fda47f1d1571fab7bd02b7750e3d7153876ba843ffdb9850.jpg) +图一：截面以及用 $2\pi R\sin \phi$ 体现促动器的数量 + +通过遍历 $\phi$ 得到最大径向偏离差： + +$$ +l _ {\max } = \max _ {\phi} \left| l _ {\phi} \right| \tag {2} +$$ + +通过遍历 $\phi$ 得到总径向偏离差水平： + +$$ +l _ {s u m} = \sum_ {\phi} \left| l _ {\phi} (2 \pi R \sin \phi) \right| \tag {3} +$$ + +由条件3的限制，应该有 $l_{max} \leq 0.6$ + +# 3）理想抛物面的评价指标： + +以促动器的总伸缩量最小作为理想抛物面最优的标准，则 $l_{max}$ 和 $l_{sum}$ 可作为促动器总伸缩量的评估指标，选取 $l_{max}$ 最小与 $l_{sum}$ 最小的两个理想抛物面，分别称为第一类理想抛物面、第二类理想抛物面。 + +# 5.1.2.2抛物线焦点极坐标方程的建立： + +考虑到在平面直角坐标系下，求解抛物线上的点与圆之间的径向距离较繁琐，故采用建立以抛物线焦点为极点，Z轴正向为极轴的坐标系，有表达式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \rho = \frac {p}{1 - \cos (\theta)} \\ p = F - l (- 0. 6 < l < 0. 6) \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +其中 $(\rho, \theta)$ 为抛物线的点的极坐标， $p = F - l$ $(-0.6 < l < 0.6)$ 是由3个条件导出的结论。 + +# 5.1.3 问题1模型求解： + +# 5.1.3.1理想抛物线判定方程的求解： + +求解方法： + +采用逐点搜索法：将连续的自变量分解为有限个离散的点，将区域内连续的函数用离散的点来近似，最后遍历所有点对应的解空间，即可找到待求变量的解； + +由附件4可知，本题精度的最大容忍度为 $10^{-3}$ 因此将本题中的待求变量按 $10^{-3}$ 的步长遍历 $-0.6 + 0.6$ ，其中的每一个值对应唯一的一条抛物线。 + +抛物线需要满足如下限制条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \rho = \frac {2 \cdot (F - l)}{1 - \cos (\theta)} \\ | \rho \cdot \sin (\theta) | < 1 5 0 \end{array} \right. \tag {5} +$$ + +为此，再次使用逐点搜索法，将 $\theta$ 按 $10^{-3}$ 的步长遍历限定范围。 + +# 5.1.3.2求解第一类理想抛物面： + +对范围内的任意 $l$ ，有： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \rho = \frac {2 \cdot (F - l)}{1 - \cos (\theta)} \\ L = \sqrt {\rho^ {2} + C P ^ {2} - 2 \cdot \rho \cdot C P \cdot \cos (\theta)} \\ \Delta L = | R - L | \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +由此可解得任意的l所对应的 $l_{max}$ ，也就能解出最小的 $l_{max}$ ，及其所对应的 $l_{1}$ + +# 5.1.3.3求解第二类理想抛物面： + +对范围内的任意l，有： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \rho = \frac {2 \cdot (F - l)}{1 - \cos (\theta)} \\ L = \sqrt {\rho^ {2} + C P ^ {2} - 2 \cdot \rho \cdot C P \cdot \cos (\theta)} \\ V = \sum_ {\theta} | L - R | \cdot \frac {2 \pi R}{L} \cdot | \rho \sin (\theta) | \end{array} \right. \tag {7} +$$ + +由此可解得任意的l所对应的 $l_{sum}$ ，也就能解出最小的 $l_{sum}$ ，及其所对应的 $l_{2}$ 。第二类理想抛物面方程为： + +$$ +z = \frac {x ^ {2}}{4 \left(F - l _ {2}\right)} + \frac {y ^ {2}}{4 \left(F - l _ {2}\right)} - 3 0 0. 4 + l _ {2} \tag {8} +$$ + +# 5.1.4求解结果与结果分析： + +# 5.1.4.1求解结果： + +综合解上述方程，得到： + +第一类理想抛物面的 $l_{1} = -0.336$ + +第一类理想抛物面方程为： + +$$ +z = \frac {x ^ {2}}{4 \left(F - l _ {1}\right)} + \frac {y ^ {2}}{4 \left(F - l _ {1}\right)} - 3 0 0. 4 + l _ {2} = 0. 0 0 1 7 8 1 x ^ {2} + 0. 0 0 1 7 8 1 y ^ {2} - 3 0 0. 7 3 6 0 \tag {9} +$$ + +第二类理想抛物面的 $l_{2} = -0.484$ + +第二类理想抛物面方程为： + +$$ +z = \frac {x ^ {2}}{4 \left(F - l _ {2}\right)} + \frac {y ^ {2}}{4 \left(F - l _ {2}\right)} - 3 0 0. 4 + l _ {2} = 0. 0 0 1 7 8 0 x ^ {2} + 0. 0 0 1 7 8 0 y ^ {2} - 3 0 0. 8 8 4 \tag {10} +$$ + +# 5.1.4.2结果分析 + +作出两类理想抛物面和圆心的径向偏差量及其绝对值如图： + +![](images/b448a43b5a3e3192cb39c3827d7e4f78eb25296c0217c6c2f2f7e52d9d616e1c.jpg) +图二：点到对称轴距离以及径向偏差量的关系 + +![](images/3b37f3fca340b302d7f5163351c78fdb841acfd4abef400592f92d7c55c1de20.jpg) +图三：点到对称轴距离以及径向偏差量绝对值的关系 + +径向偏差量近似于促动器的伸缩量，比较这两类理想抛物面，可以总结其径向偏差量的分布规律： + +1）第一类曲面的最大径向偏差量较小，第二类曲面的最大径向偏差量较大； +2）第一类曲面径向偏差量大于第二类的部分集中在距对称轴约 $70\mathrm{m}$ 至 $130\mathrm{m}$ 处，第二类曲面径向偏差量大于第一类的部分集中在 $0 - 60\mathrm{m}$ 处。 + +第二类曲面虽然最大径向偏差量较大，但其偏差较大的部分多集中于中心处，而中心处的主索节点个数较少；第一类曲面虽然最大径向偏差量较小，但其偏差较大的部分多集中于离中心较远处，而离中心较远处一个圆周上主索节点个数较多，因此第二类曲面的总偏差量水平 $l_{sum}$ 较小。我们猜想 $l_{sum}$ 反映了促动器总伸缩量水平，认为最优理想曲面为第二类理想曲面，所求的抛物面方程为： + +$$ +z = 0. 0 0 1 7 8 0 x ^ {2} + 0. 0 0 1 7 8 0 y ^ {2} - 3 0 0. 8 8 4 \tag {11} +$$ + +然而次伸缩量水平只是一个估计值而非实际值，该猜想是否正确，即第二类曲面的促动器总伸缩量是否确实大于第一类，需要通过主索节点的具体坐标量化计算，这部分将在问题2中的模型进行验证。验证结果为第二类确实优于第一类。 + +# 5.2 问题2：特定方位角星体的观测与理想抛物面的拟合 + +# 5.2.1模型准备： + +# 5.2.1.1旋转矩阵： + +在二维平面上，记原点为 $o$ ，平面上一点A，则将OA逆时针旋转θ角所得的OA满足： + +$$ +\left(\overrightarrow {O A ^ {\prime}}\right) ^ {T} = \left( \begin{array}{l l} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \left(\overrightarrow {O A}\right) ^ {T} +$$ + +这样的 $R = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ 称为二维空间逆时针旋转 $\theta$ 角的旋转矩阵。 + +在三维空间中的旋转可以视为几个绕坐标轴的基本旋转的复合，而基本旋转矩阵和二维平面的旋转矩阵十分类似。 + +![](images/8df082b10e5f0c4e50fe132d80beab9fffec9e59eece151e67b5316058be8516.jpg) +图四：绕各坐标轴旋转的示意图 + +绕X轴在YZ平面逆时针旋转θx的旋转矩阵为： + +$$ +R _ {x} = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta_ {x} & - \sin \theta_ {x} \\ 0 & \sin \theta_ {x} & \cos \theta_ {x} \end{array} \right) +$$ + +它可以看作是向量的第一个分量（ $X$ 坐标）不发生改变，而后两个分量在对应的平面上进行二维旋转所得到的矩阵。 + +同理，绕Y轴在ZX平面逆时针旋转θy的旋转矩阵为 + +$$ +R _ {y} = \left( \begin{array}{c c c} \cos \theta_ {y} & 0 & - \sin \theta_ {y} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta_ {y} & 0 & \cos \theta_ {y} \end{array} \right) +$$ + +绕Y轴在ZX平面逆时针旋转θy的旋转矩阵为 + +$$ +R _ {z} = \left( \begin{array}{c c c} \cos \theta_ {z} & - \sin \theta_ {z} & 0 \\ \sin \theta_ {z} & \cos \theta_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) +$$ + +再根据具体问题判断基本旋转的复合顺序，将基本旋转的旋转矩阵相乘即得到总的旋转矩阵。 + +例如：依次绕 $X$ 、Y、Z轴旋转时，旋转矩阵 $R = R_{x}R_{y}R_{z}$ ，记原点为O，空间内一点A， $\overrightarrow{OA}$ 旋转所得的 $\overrightarrow{OA}$ 满足： + +$$ +\left(\overrightarrow {O A ^ {\prime}}\right) ^ {T} = R \left(\overrightarrow {O A}\right) ^ {T} +$$ + +# 5.2.1.2图形变换： + +在三维空间中，记一图形方程为： + +$$ +F (x, y, z) = 0 +$$ + +记一可逆坐标变换为： + +$$ +\left(x ^ {\prime}, y ^ {\prime}, z ^ {\prime}\right) = \phi (x, y, z) +$$ + +记 $\phi^{-1}$ 为它的逆变换。 + +对F上的点(a,b,c)可知以下式子成立： + +$$ +F \circ \phi^ {- 1} \left(a ^ {\prime}, b ^ {\prime}, c ^ {\prime}\right) = F (a, b, c) = 0 +$$ + +故点 $\left(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ 在 $F \circ \phi^{-1}$ 所表示的图形上，且 $F \circ \phi^{-1}$ 所表示的图形上的点全为 $\left(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ 形式的点。 + +即在 $\phi$ 这一可逆坐标变换下，新的图形方程为： + +$$ +F \circ \phi^ {- 1} (x, y, z) = 0 \tag {12} +$$ + +# 5.2.2模型建立： + +# 5.2.2.1 理想曲面模型： + +根据模型准备中旋转矩阵与图形变换的结论，将问题1中求解的理想抛物面S为： + +$$ +S (x, y, z) = 0 +$$ + +进行先绕Y轴逆时针旋转 $90^{\circ}$ -β角，再绕Z轴逆时针旋转α角的旋转坐标变换 $\phi$ 为： + +$$ +\phi (x, y, z) = \left(R _ {z} R _ {y} (x, y, z) ^ {T}\right) ^ {T} +$$ + +逆变换 $\phi^{-1}$ 为： + +$$ +\phi^ {- 1} (x, y, z) = \left(R _ {y} ^ {- 1} R _ {z} ^ {- 1} (x, y, z) ^ {T}\right) ^ {T} +$$ + +其中 $R_{y} = \begin{pmatrix} \cos (90^{\circ} - \beta) & 0 & -\sin (90^{\circ} - \beta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin (90^{\circ} - \beta) & 0 & \cos (90^{\circ} - \beta) \end{pmatrix}, R_{z} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ + +则旋转后的抛物面 $S^{\prime \prime}$ 为： + +$$ +S ^ {\prime} (x, y, z) = S \circ \phi^ {- 1} (x, y, z) = 0 \tag {13} +$$ + +# 5.2.2.2 促动器调节模型： + +在本模型中，需要通过调节促动器伸缩量，将每个反射面板移动到旋转抛物面上。在模型准备中已经证明，在基准球面状态下，球心、主索节点、促动器上、下端点成一条沿径向的直线，说明促动器伸缩量变化时，主索节点沿球的径向运动。 + +容易想到最简单的调节方案是将全部主索节点沿径向移动到理想抛物面上。作球心和基准球面上主索节点的连线，求其与理想抛物面的交点即可得到主索节点移动后的坐标。具体求解过程在模型求解部分给出。 + +但由于每个反射面板均为球面的一部分，因此，此时反射面板与理想抛物面不能很好地贴合，可在反射面板上取一系列统计点，计算拟合的均方根误差RMS，作为拟合效果的评价。为方便统计，可取各主索节点及主索节点两两间的圆弧的中点作为统计点。其中，圆弧中点的坐标求解过程在模型求解部分给出。 + +设各统计点为 $X_{i}$ ，连接球心O与统计点，与理想抛物面交于 $X_{i}$ ，则均方根误差的计算方法为： + +$$ +R M S = \sqrt {\frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left| \overline {{C X _ {i}}} - \overline {{C X _ {i}}} \right| ^ {2}} \tag {14} +$$ + +由于主索节点都在理想抛物面上，因此拟合误差来源于圆弧中点。通过微调主索节点位置，可能可以减小RMS，提高拟合优度，其大致示意图如下： + +![](images/7f858c35b67bb80b7d77eea7d0ddbe1c48a8a02c3f86d700a2394f2a1e135671.jpg) +图五：微调主索节点提高拟合优度的示意图 + +据此设计调整方案如下对于每一个主索节点，其微调距离由自身和连接该主索节点圆弧的中点决定。 + +为使主索节点的微调距离不过于受连接该主索节点圆弧的中点的影响，在统计时需要为主索节点赋一定的权，可以为其赋权为 $1 / 2$ ，其他点赋权为 $1 / 12$ ，使得主索节点位置对微调的影响与其他各点影响的总和相等。 + +![](images/139bb7d6966cf7178aae42d60a4f583a686f4e6dab8f88b5a0d3465c850eeaf1.jpg) +图六：统计点的选取 + +设主索节点连接k个圆弧，圆弧上的中点记为Xj，主索节点记为p，构造统计量D： + +$$ +D = \frac {1}{2 k} \left(\sum_ {j = 1} ^ {k} \left(\left| \overline {{C X _ {j}}} \right| - \left| \overline {{C X _ {j}}} \right|\right) + k \left(\left| \overline {{C P}} \right| - \left| \overline {{C P}} \right|\right)\right) \tag {15} +$$ + +式中， $X_{j}$ 为统计点与球心的连线与理想抛物面的交点，其求解方法与求主索节点在理想抛物面上的坐标相同，此处不再赘述。调整原理为：若 $D > 0$ ，说明该主索节点周围的反射面板较多落在在抛物面外侧（即距球心较远），其需要向球心移动，对应促动器伸缩量为正，反之为负。设伸缩量调整值为 $d$ ，则 + +$$ +d = D +$$ + +据此调节方案同时调节每个主索节点，可以计算得到新的主索节点坐标和各统计点坐标，得到新的均方根误差 $RMS^{\prime}$ ，若 $RMS^{\prime} < RMS$ ，说明该调整是有效的。计算新的统计量 $D^{\prime}$ ，继续对主索节点坐标进行调整，直至统计量 $D$ 的变化值很小，可认为此时拟合已达最优。 + +# 5.2.3模型求解： + +# 5.2.3.1理想抛物面求解： + +根据模型准备中旋转矩阵与图形变换的结论，将问题1中求解的理想抛物面S为： + +$$ +S (x, y, z) = 0. 0 0 1 7 8 0 x ^ {2} + 0. 0 0 1 7 8 0 y ^ {2} - z - 3 0 0. 8 8 4 = 0 +$$ + +则旋转后的抛物面S为： + +$$ +S ^ {\prime} (x, y, z) = S \circ \phi^ {- 1} (x, y, z) = 0 +$$ + +即： + +$$ +\begin{array}{l} S ^ {\prime} (x, y, z) = 0. 1 6 4 1 8 x + 0. 1 2 2 8 y + 0. 9 7 8 7 6 z - 0. 0 0 1 7 7 9 7 (0. 5 9 8 9 5 x - 0. 8 0 0 7 8 y) ^ {2} \\ - 0. 0 0 1 7 7 9 7 (0. 7 8 3 7 7 x + 0. 5 8 6 2 3 y - 0. 2 0 5 0 3 z) ^ {2} + 3 0 0. 8 8 = 0 \\ \end{array} +$$ + +由于问题1中理想抛物面顶点为 $(0,0, - 300.884)$ ，经的旋转坐标变换后，得到问题2中抛物面的顶点坐标为 $(R_x^{-1}R_z^{-1}(0,0, - 300.884)^T)^T$ ，为： + +$$ +(- 4 9. 3 1 9 4, - 3 6. 8 8 9 0, - 2 9 4. 0 1 8 7) +$$ + +# 5.2.3.2 促动器调节模型求解： + +1）求解主索节点在理想抛物面上的坐标： + +设基准球面上一主索节点为 $X(x_0,y_0,z_0)$ ，则可得到其与球心连线的直线方程： + +$$ +\frac {x - x _ {0}}{x _ {0}} = \frac {y - y _ {0}}{y _ {0}} = \frac {z - z _ {0}}{z _ {0}} \left(x _ {0}, y _ {0}, z _ {0} \neq 0\right) \tag {16} +$$ + +为完整表示 $x_0$ 、 $y_{0}$ 、 $z_{0}$ 为0的情况，可表示为参数方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = x _ {0} t + x _ {0} \\ y = y _ {0} t + y _ {0}, t \text {为 参 数} \\ z = z _ {0} t + z _ {0} \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +已知抛物面方程 + +$$ +F (x, y, z) = 0 +$$ + +代入即可求得连线与理想抛物面的焦点，即为主索节点移动到理想抛物面上时的坐标。 + +求得主索节点在理想抛物面上的坐标后，可粗略求出各促动器伸缩量，从而验证模型一中设计的评价总伸缩量水平的指标了 $l_{\mathrm{sum}}$ 是合理的。 + +设将主索节点移动到理想抛物线上时，促动器的总伸缩量（绝对值）为LSUM + +$$ +L S U M _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} \left| \overrightarrow {X _ {0 i} X _ {1 i}} \right| \tag {18} +$$ + +$$ +L S U M _ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {n _ {2}} \left| \overrightarrow {X _ {0 i} X _ {2 i}} \right| \tag {19} +$$ + +LSUM1：第一类抛物面的LSUM + +LSUM2：第二类抛物面的LSUM + +X0i：基准球面上的主索节点 + +$X_{1i}$ ：第一类理想抛物面上的主索节点 + +$X_{2i}$ ：第二类理想抛物面上的主索节点 + +代入数据解得 + +$$ +L S U M _ {1} = 1 4 1. 0 0 3 3 +$$ + +$$ +L S U M _ {2} = 1 1 4. 8 4 6 9 +$$ + +$LSUM_{2} > LSUM_{1}$ , 因此说明模型 1 中的伸缩量水平的指标 $l_{sum}$ 是合理的, 也即所选取的第二类理想曲面是合理的。 + +2）求解圆弧中点坐标： + +先求出将主索节点移动到理想抛物面上后，反射面板对应的新的球心C'： + +设球面方程为： + +$$ +(x - x _ {c ^ {\prime}}) ^ {2} + (y - y _ {c ^ {\prime}}) ^ {2} + (z - z _ {c ^ {\prime}}) ^ {2} = 0 +$$ + +设反射面板三个顶点为P、Q、T，代入球面方程： + +$$ +\left(x _ {P} - x _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} + \left(y _ {P} - y _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} + \left(z _ {P} - z _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} = 0 +$$ + +$$ +\left(x _ {Q} - x _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} + \left(y _ {Q} - y _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} + \left(z _ {Q} - z _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} = 0 +$$ + +$$ +\left(x _ {T} - x _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} + \left(y _ {T} - y _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} + \left(z _ {T} - z _ {c ^ {\prime}}\right) ^ {2} = 0 +$$ + +联立解得球心坐标。 + +![](images/e3a994bd265b75b5ffee02dfb75e8891489d88c9920ba3d9a355b5264979235b.jpg) +图七：球心、圆弧中点坐标的求解 + +设 $P$ 、 $Q$ 中点为 $M_{PQ}$ ， $P$ 、 $Q$ 圆弧中点为 $N_{PQ}$ 则： + +$$ +M _ {P Q} \left(\frac {x _ {p} + x _ {Q}}{2}, \frac {y _ {p} + y _ {Q}}{2}, \frac {z _ {p} + z _ {Q}}{2}\right) +$$ + +$$ +\overrightarrow {C N _ {P Q}} = R \cdot \frac {\overrightarrow {C M _ {P Q}}}{| C M _ {P Q} |} +$$ + +由此求得 $N_{PQ}$ 的坐标，同理可求得各圆弧中点坐标。 + +3）求解RMS和移动距离d + +将各统计点坐标代入公式： + +$$ +R M S = \sqrt {\frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left| \overrightarrow {C X _ {i}} - \overrightarrow {C X _ {i}} \right| ^ {2}} +$$ + +求得主索节点在理想抛物面上时，均方根误差为： $RMS = 0.0042m = 4.2mm$ 将各统计点坐标代入公式： + +$$ +d = D = \frac {1}{2 k} \left(\sum_ {j = 1} ^ {k} \left(\left| \overrightarrow {C X _ {j}} \right| - \left| \overrightarrow {C X _ {j}} \right|\right) + k \left(\left| \overrightarrow {C P} \right| - \left| \overrightarrow {C P} \right|\right)\right) \tag {21} +$$ + +求得各主索节点第一次微调的距离。 + +调整后得到新的主索节点坐标，以新的主索节点坐标为基础，计算均方根误差和下一轮的微调距离……迭代3次，结果如下表： + +
调整次数平均调整距离(m)调整后的均方根误差RMS(m)
10.00190.0030
22.4257e-50.0030
35.6051e-060.0030
+ +从表中可以看出，第一次微调后，均方根误差显著减小，下次需再调整的距离也下降到了一个很小的数量级，说明该调整策略是有效的，且仅需一次调整即可。 + +最终得到 $RMS = 0.0030m = 3.0mm$ 。部分主索节点编号、位置坐标及其对应的促动器的伸缩量如下： + +表一：3次微调的相关参数 + +
主索节点编号X坐标（米）Y坐标（米）Z坐标（米）伸缩量（米）
A000-300.512-0.11225
B16.1081998.407549-300.24-0.01987
C19.884383-3.21155-300.271-0.05145
…………………………
D267-130.239-147.809-227.334-0.41211
D268-139.766-140.046-226.6-0.41893
D269-149.04-132.069-225.52-0.45129
+ +表二：主索节点的编号、坐标、伸缩量 + +完整结果保存在“result.xlsx”文件中。 + +# 5.3 问题三：接收比的计算与比较 + +# 5.3.1模型准备： + +1）球面镜性质： + +球面镜反射平行入射电磁波的性质的二维表示： + +![](images/7d0ef488ef97cb4d785e37e752e1c9f26d89b6942bba3a756e8cb89c55fb1891.jpg) +图八：球面镜反射性质的示意图 + +$C$ 为球心, 入射到球面上一点 $M$ 的电磁波信号, 其反射电磁波信号与过球心的入射电磁波信号交于点 $F$ 。设入射电磁波信号与 $CM$ 的夹角为 $\theta$ , 则: + +$$ +C F = \frac {R}{2 \cos \theta} +$$ + +越往内（距球心越近）的电磁波信号，其夹角 $\theta$ 越小，且： + +$$ +\lim _ {\theta \rightarrow 0} \frac {R}{2 \cos \theta} = \frac {R}{2} +$$ + +称为圆反射面的焦距。 + +越往外的电磁波信号（距球心越远），其夹角 $\theta$ 越大，反射电磁波信号与过圆心入射电磁波信号的交点离圆心越远，如图： + +![](images/7c5d2061f6907328b3bc5640d43882407f94675d1ee5e85a416bb78920cdc232.jpg) +图九：距球心不同位置反射平行入射电磁波的情况 + +2）判断点是否在与其共面的三角形内； + +![](images/400614ce7cf2d3661e0257740be19bea97e4ebafd1f127fb98ba737ad61d59dc.jpg) +图十：判断点是否在与其共面的三角形内的示例 + +如图，在同一平面上有△ABC，P是平面上任意一点。 + +直线AB将平面分成两个半平面以及直线AB自身。我们称C所在的半平面是AB的内侧。 + +同理，BC的内侧是直线BC分出来的A所在的半平面；CA的内侧是直线CA分出来的B所在的半平面。 + +记 $J_{C} = (\overline{AB}\times \overline{AP})\cdot (\overline{AB}\times \overline{AC})$ 。可知 $J_{C} > 0$ 时， $P$ 与 $C$ 在 $AB$ 的同侧，即 $P$ 在 $AB$ 的内侧。 + +同理记 $J_{A} = (\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BP})\cdot (\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BA}),J_{B} = (\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CP})\cdot (\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CB})$ + +可知，当且仅当P同时在AB、BC、CA的内侧时，P在△ABC内部。 + +当且仅当JA、JB、JG同时大于0时，P在△ABC内部。 + +3）蒙特卡罗法计算面积的原理 + +蒙特卡罗法： + +蒙特卡罗法是一种数值模拟方法，它通过构造一个与待求解模型性能相近的概率模型，在这个概率模型上进行随机抽样、统计实验，通过抽样实验结果得到特定的数字特征，根据大数定律，可以用这样的数字特征作为待求解模型解的近似值。 + +蒙特卡罗法计算面积： + +计算面积是蒙特卡罗法的经典应用场景之一，记待求图形为 $v$ ，其面积为 $s$ ，计算 $s$ 的蒙特卡罗法的基本步骤为： + +（1）找到一个已知面积且能够包含 $v$ 的图形 $V$ （如包含 $v$ 的矩形）， $V$ 的面积为 $S$ 。 + +（2）在V内部随机取N个点（N为较大的正整数），点的选取是在V上的均匀分布。 + +（3）计数在 $v$ 中的点的个数n， $\hat{s} = \frac{nS}{N}$ + +(4) 由于误差 $\left| {s - \langle s\rangle }\right|$ 是概率误差,故可以通过多次实验取平均值的方法,用 $\bar{s}$ 的平均值 $\bar{s}$ 作为 $s$ 的统计值。 + +# 5.3.2模型建立： + +# 5.3.2.1实际工作面反射信号接收比： + +1）单元接收比： + +对于理想抛物面，平行于旋转轴入射的电磁波信号会聚于焦点处，将馈源舱置于焦点处，则理想抛物面的接收比为 $100\%$ 。但在实际工作时，由于每块反射面板的形状是球面的一部分，其反射电磁波信号不会聚于馈源舱。对于每块反射面板，其反射信号可能被馈源舱完 + +全吸收、吸收一部分或完全未吸收。因此，我们可以定义单元接收比 $\eta_{i}$ + +$$ +\text {单 元 接 收 比} = \frac {\text {单 个 反 射 面 反 射 信 号 被 馈 源 舱 接 收 的 部 分}}{\text {单 个 反 射 面 的 反 射 信 号}} +$$ + +其计算方式为： + +$$ +\eta_ {i} = \frac {S _ {w p}}{S _ {w}} \times 100 \% +$$ + +$\eta_{i}$ ：单元接收比 + +$S_{\mathrm{W}}$ ：单个反射面的反射电磁波信号在馈源舱所在平面的投影面积 + +$S_{wp}$ ：单个反射面的反射电磁波信号在馈源舱所在平面的投影与馈源舱重叠部分的面积 + +要确定 $S_{w}$ 和 $S_{wp}$ ，首先要确定馈源舱的位置。设馈源舱中心所在点 $P$ 。当观测天体位于正上方时，有： + +$$ +\frac {\overrightarrow {C P}}{| C P |} = (0, 0, - 1) +$$ + +当观测天体的方位角为 $\alpha$ ，仰角为 $\beta$ 时，根据向量旋转，有： + +$$ +\frac {\overrightarrow {C P}}{| C P |} = (- 0. 1 6 4 2, - 0. 1 2 2 8, - 0. 9 7 8 8) +$$ + +题目中给出焦径比 $\frac{F}{R}$ 为0.466，有： + +$$ +| C P | = (1 - 0. 4 6 6) R +$$ + +可以得到P点坐标，记为P(xp,yp,zp)。 + +则馈源舱所在平面的方程为： + +$$ +x _ {p} x + y _ {p} y + z _ {p} z = | C P | ^ {2} +$$ + +对于每一个反射面板，其三个顶点坐标已知，半径固定，入射电磁波信号方向已知。由此可以求得入射电磁波信号在三个顶点处的反射电磁波信号，三条反射电磁波信号与馈源舱所在平面相交，交点相连，计算三角形面积即可近似得到 $S_{w}$ ，其求解过程见模型求解部分。 + +由于馈源舱位置和半径已知，则 $S_{wp}$ 理论上也可用计算方法求解，但其求解过程较为复杂。为减小模型复杂度，建立用蒙特卡洛方法求解 $S_{wp}$ 的模型，其流程如下： + +![](images/3d085f92eca48d59c2a70d0af1f71a0811a37956ee95045765485e4675400fb1.jpg) +图十一：蒙特卡罗法的流程图 + +蒙特卡洛方法准确的前提是取的点 $n$ 的个数足够多，在计算时，我们取 $n = 10^5$ ，并多次计算取平均值。 + +2）馈源舱接收比： + +由于每个反射面板反射的信号量不同，因此馈源舱接收比并不等于单元接收比的均值，而给每个接收比赋予一个权重 $w_{i}$ + +$$ +\text {单 元 接 收 比 权 重} = \frac {\text {单 个 反 射 面 板 反 射 信 号 量}}{\text {工 作 反 射 面 反 射 信 号 总 量}} +$$ + +也可称这个权重为单元面板反射信号比，其计算方式为： + +$$ +w _ {i} = \frac {S _ {v i}}{S _ {s u m}} +$$ + +$$ +S _ {s u m} = \sum_ {i = 1} ^ {n} S _ {v i} +$$ + +$W_{i}$ ：单元面板反射信号比（单元接收比权重） + +$S_{\mathrm{pi}}$ ：单个反射面板在与入射信号垂直的平面上的投影面积 + +$S_{sum}$ ：300米口径内反射面板在与入射信号平行的平面上的投影面积之和 + +入射电磁波信号方向即为 $\overrightarrow{CP}$ 方向，为简单起见，可以设与入射电磁波信号垂直的一个投影面为： + +$$ +x _ {p} x + y _ {p} y + z _ {p} z = 0 +$$ + +由于每个反射面板的顶点坐标已知，则其投影到该面的点的坐标可求，由此可以计算出 $S_{\mathrm{pl}}$ ：求解过程见模型求解部分。 + +馈源舱的总接收比为： + +$$ +\eta = \sum_ {i} ^ {n} w _ {i} \eta_ {i} +$$ + +# 5.3.2.2基准反射球面接收比： + +由于球面是旋转对称的，基准球面接收比在方位角为0度，仰角为90度的情况下讨论即可，如图。 + +![](images/425584d1fe1cca778cf7fe3d284afa0aff5aa3c8300f00f3300e31e00efe9ec9.jpg) +图十二：反射光线与馈源舱所在平面交点示意图 + +对入射到M点的电磁波信号，设反射电磁波信号与馈源舱所在平面的交点为E，与过球 + +心电磁波信号的交点为 $F$ 。对于口径 $300 \mathrm{~m}$ ，半径 $300.4 \mathrm{~m}$ 的球面，讨论范围约为 $0 < \theta < 30^{\circ}$ 各点坐标： + +$$ +\begin{array}{l} M (- R \sin \theta , - R \cos \theta) \\ F \left(0, - \frac {R}{2 \cos \theta}\right) \\ E \left(x _ {E}, - (1 - 0. 4 6 6) R\right) \\ \end{array} +$$ + +可得直线 $MF$ 的方程： + +$$ +y = \frac {1}{\tan 2 \theta} x - \frac {R}{2 \cos \theta} +$$ + +求 $E$ 点横坐标： + +$$ +\frac {1}{\tan 2 \theta} x _ {E} - \frac {R}{2 \cos \theta} = - (1 - 0. 4 6 6) R +$$ + +得： + +$$ +x _ {E} = \left(\frac {R}{2 \cos \theta} - (1 - 0. 4 6 6) R\right) \cdot \tan 2 \theta , \left(0 ^ {\circ} < \theta < 4 5 ^ {\circ}\right) +$$ + +基准反射球面上的点反射的信号能被馈源舱接收的充要条件为： + +$$ +- 0. 5 < x _ {E} < 0. 5 +$$ + +可以求出满足该条件的θ的范围，从而求解出反射信号能被馈源舱接收的点的范围。设基准反射球面接收比为 $\eta_{\text{basic}}$ ，则： + +$$ +\eta_ {\text {b a s i c}} = \frac {S _ {v}}{\pi \times 1 5 0 ^ {2}} +$$ + +其中 $S_{\mathrm{p}}$ 为反射信号能被馈源舱接收的范围在水平面的投影，其求解过程见模型求解部分。 + +# 5.3.3模型求解： + +# 5.3.3.1 实际工作面反射信号接收比求解： + +# 1）单元接收比求解： + +首先求解单元反射面板反射的电磁波信号在馈源舱所在平面的投影面积。对任意一个实际工作面上的反射面板，将其扩展成一个大的球面。对其中的一个顶点，作其法平面的二维视图如图： + +![](images/54e80e5d8f31f7778f8fd8b9b464e5b43e531e75542141cf8d6f4ced8a93edc6.jpg) +图十三：主索节点的反射信号 + +图中C为由反射面板三顶点确定的球心，而非基准球面球心，其坐标求解在模型二中已讨论过，此处不再赘述。入射电磁波信号方向为 $\overrightarrow{CP}$ （ $C$ 为基准球面球心， $P$ 为馈源舱中心）；则： + +$$ +\begin{array}{l} \cos \theta = < \overrightarrow {C P} \cdot \overrightarrow {C ^ {\prime} U} > = \frac {| \overrightarrow {C P} \cdot \overrightarrow {C ^ {\prime} U} |}{| C P | | C ^ {\prime} U |} \\ \overrightarrow {C F} = \frac {R}{2 \cos \theta} \cdot \frac {\overrightarrow {C P}}{| C P |} \\ \overrightarrow {U F} = \overrightarrow {C ^ {\prime} U} - \overrightarrow {C ^ {\prime} F} = (l, m, n) \\ \end{array} +$$ + +则直线 $UF$ 的参数方程为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = l t + x _ {U} \\ y = m t + y _ {U}, t \text {为 参 数} \\ z = n t + z _ {U} \end{array} \right. +$$ + +馈源舱所在平面的方程为： + +$$ +x _ {p} x + y _ {p} y + z _ {p} z = | C P | ^ {2} +$$ + +联立直线方程和平面方程，求解即可得到U点反射的电磁波信号与馈源舱所在平面的交点W。 + +对一个单元反射面板，设其三个顶点反射电磁波信号与馈源舱所在平面的交点为 $W_{1}$ $W_{2}, W_{3}$ ，则： + +$$ +S _ {w} = \frac {1}{2} \left| \overrightarrow {W _ {1} W _ {2}} \times \overrightarrow {W _ {1} W _ {3}} \right| +$$ + +用蒙特卡洛方法求解 $S_{wp}$ ，并计算得到单元接收比 $\eta_{\mathrm{I}}$ 部分结果如下： + +
反射单元编号SwSwpηi
(A0,B1,C1)0.03220.03321.00
(A0,B1,A1)0.03380.03260.96
(A0,C1,D1)0.01170.01140.97
………………………………
(D235,E236,E237)2.19730.39330.17
(D246,D247,D269)1.16720.24040.20
(D246,E237,E238)2.23830.39300.17
+ +表三：蒙特卡洛法求解结果 + +# 2）总接收比求解 + +首先求单个反射面板在与入射电磁波垂直方向上的投影。取投影面： + +$$ +x _ {p} x + y _ {p} y + z _ {p} z = | C P | ^ {2} +$$ + +过反射面板一点U且与投影面垂直的直线方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = x _ {p} t + x _ {U} \\ y = y _ {p} t + y _ {U}, t \text {为 参 数} \\ z = z _ {p} t + z _ {U} \end{array} \right. +$$ + +联立直线方程与平面方程，可解得投影点V； + +对一个单元反射面板，设其三个顶点反射电磁波信号与投影面的交点为 $V_{i1}$ ， $\mathrm{V}_{\mathrm{i2}}$ ， $\mathrm{V}_{\mathrm{i3}}$ 则： + +$$ +S _ {v i} = \frac {1}{2} \left| \overrightarrow {V _ {t _ {1}} V _ {t 2}} \times \overrightarrow {V _ {t 1} V _ {t 3}} \right| +$$ + +$$ +S _ {s u m} = \sum_ {i = 1} ^ {n} S _ {v i} +$$ + +$$ +w _ {i} = \frac {S _ {v i}}{S _ {s u m}} +$$ + +馈源舱吸收比为： + +$$ +\eta = \sum_ {i} ^ {n} w _ {i} \eta_ {i} = 67.46 \% +$$ + +# 5.3.3.2基准反射球面接收比求解： + +根据： + +$$ +x _ {E} = \left(\frac {R}{2 \cos \theta} - (1 - 0. 4 6 6) R\right) \cdot \tan 2 \theta , \left(0 ^ {\circ} < \theta < 4 5 ^ {\circ}\right) +$$ + +设反射点到Z轴的距离为 $r$ ，有： + +$$ +r = R \sin \theta +$$ + +作出 $\mathbf{x}_{\mathrm{E}}$ 随 $\theta$ 变化和 $x$ 随 $r$ 变化的曲线： + +![](images/1d0d6055631347ec6a5cd16306018e852624b22e7ff3e36a03918a6ba3518e0d.jpg) +图十四：反射信号在馈源舱面上到Z轴距离与入射角或球面上到Z轴距离的关系 + +![](images/709a3ed0a7f5c32d7e4fb9c6637ef04277cca05f5bb545b2c57bec41ae8f6c16.jpg) + +由 $-0.5 < x_{E} < 0.5$ 的限制条件，解得： + +$$ +0 < r < 7. 3 8 9 1 \text {或} 1 0 2. 6 3 9 6 < r < 1 0 8. 0 1 2 9 +$$ + +则S为一个圆的面积加一个圆环的面积： + +$$ +S _ {v} \pi = (7. 3 8 9 1 ^ {2} + 1 0 8. 0 1 2 9 ^ {2} - 1 0 2. 6 3 9 8 ^ {2}) +$$ + +求得基准反射球面的接收比为 + +$$ +\eta_ {\text {basic}} = \frac {S _ {v}}{\pi \times 150 ^ {2}} \times 100 \% = 5.27 \% +$$ + +# 5.3.4结果与误差分析： + +根据求解结果，通过调节促动器伸缩量，将反射面板从基准反射球面移动到理想抛物 + +线位置处，可将馈源舱接收比从 $5.27\%$ 提高到 $67.46\%$ ，提升效果非常显著。 + +对实际工作面的接收比的计算存在一定的误差，误差主要来源于： + +1）将反射电磁波信号投影到馈源舱所在平面，在计算时认为一个反射面板反射信号投影的形状为三角形，但实际上该形状可能有微小变形，可能为凸三角形或凹三角形，因此在计算该面积时可能存在误差。 + +2）将反射面板投影到与入射电磁波信号垂直的平面，在计算时同样认为其投影形状为三角形，误差与1）类似。 + +3）将反射电磁波信号投影到馈源所在平面，认为单元接收比为： + +$$ +\eta_ {i} = \frac {S _ {w p}}{S _ {w}} \times 100 \% +$$ + +即是以面积之比作为单元接收比。但实际上电磁波密度在此平面上可能并非均匀分布，因此存在一定误差。 + +虽然位对上述误差做定量分析，但通过定性分析，这些误差影响都较小，不会对结果造成太大影响。 + +# 六、模型评价 + +# 模型优点： + +1. 理想抛物面求解模型的指标选取合理，以促动器总伸缩量最小作为最优抛物面指标，并提出促动器总伸缩量的估计方法并验证了该估计方法的合理性，避免了对每个促动器进行计算，减小了运算量。 +2.反射面最优拟合模型中选取了合适的统计点并赋予合适的权重，得以以较快的速度解得最优拟合位置，拟合精度高，均方根误差仅为3.0m，符合FAST的工程设计要求。 +3. 求解实际工作反射面的接收比时，对每个反射面板单独处理，保证了求解精度，同时用蒙特卡洛方法减小了计算难度。 +4.求解基准反射球面的接收比时采用解析方法，误差很小。 + +# 模型缺点： + +1. 求解理想抛物面时仅考虑 $300 \mathrm{~m}$ 口径内的促动器伸缩量，实际上由于在边缘处抛物面于基准球面不重合， $300 \mathrm{~m}$ 外一定范围内的促动器也需进行伸缩，在计算时并未考虑这部分。 +2.求解300米口径范围内反射面板拟合时，仅处理了3个顶点都位于300米口径范围内的反射面板，没有计算边缘上的面板的调节。 +3.求解理想抛物面和考虑反射面板调节时，仅考虑几何因素，未考虑力学因素，可能存在不妥当之处。但这也是因为题目所给条件较少，且应力分析难度大。 + +# 模型改进和推广： + +1.求解理想抛物面时考虑300米口径外周围面板所受影响，将其囊入理想抛物面的评价。 +2.求解300米口径内反射面板拟合时，将边缘处面板考虑进来。 +3.将力学因素囊入考虑，如索网的应力分析等。[1] +4.结合天体运动要求的主动反射面的动态变化，给出主动反射面动态调控策略。 + +# 七、参考文献 + +[1]南仁东.500m球反射面射电望远镜FAST[J].中国科学G辑：物理学、力学、天文学，2005(05)：3-20. +[2]钱宏亮. FAST主动反射面支承结构理论与试验研究[D].哈尔滨工业大学，2007. +[3]朱丽春.500米口径球面射电望远镜(FAST)主动反射面整网变形控制[J].科研信息化技术与应用，2012,3(04):67-75. +[4]薛建兴，王启明，古学东，赵清，甘恒谦. $500\mathrm{m}$ 口径球面射电望远镜瞬时抛物面拟合精度的预估与改善[J].光学精密工程，2015,23(07):2051-2059. + +
支撑文件列表:
README.txtChange_1.m
Compare_336_484.m
Distance.m
Distance_Distribution.m
Draw.m
Draw_OptinData.m
Draw1.m
Find_Distance.m
Find_Group.m
Find_PQT.m
Group_Position.m
IsInTri.m
Length.m
Linear_Judge.m
Monte_Carlo.m
Move.m
Move_Test.m
ProjectArea.m
ProjectWeight.m
Question1.m
Question2.m
Question3.m
Question3_1.m
rotation.m
Data1.mat
Group_Iformation.mat
Information484.mat
nohalf.mat
Position.mat
Position336.mat
Position484.mat
Q3data.mat
Receive.mat
S.mat
Middle.mlx
ReflectPoints.mlx
附件1.xlsx
附件3.xlsx
+ +# 问题1.主函数：（文件名：Question1_1.m） + +0%0% + +%第一问第一步，算出0.484和0.336 + +$\% 0.484$ 对应YSum最大值，0.336对应YMax最小值 + $\% \%$ +clearvars +clc +YMax $=$ zeros(1,1200); +YSum $=$ zeros(1,1200); +Theta_i $=$ zeros(1,1200); +for $\mathrm{i} = 1:1200$ syms theta R $= 300.4$ . $\mathrm{x} = 0.466^{*}\mathrm{R} - 0.6 + 0.001^{*}\mathrm{i}$ . aR $= \mathbb{R} - 0.466^{*}\mathbb{R}$ rho $= 2$ \*.x./(1-cos(theta)); Y $=$ sqrt(rho^2+aR^2-2*aR*rho*cos(theta)); r $=$ rho.*sin(theta); deltaTheta $=$ abs(double.solve(r-150,theta)); Theta_i(i) $=$ deltaTheta; Theta $=$ abs(doubleTheta):0.05:2*pi-abs(doubleTheta); $\%$ 精确度Theta 0.05 Rho $= 2$ \*.x./(1-cos(theta)); Y2 $=$ abs(R-sqrt(Rho.^2+aR.^2-2*aR*Rho.*cos(Theta)); YMax(i) $=$ max(Y2); YSum(i) $=$ sum(Y2.\*2*pi*/sqrt(Rho.^2+aR.^2- 2.\*aR.\*Rho.\*cos(Theta)).\*abs(Rho.\*sin(Theta)); max(Y2) +end +Index_Max $=$ find(YMax $= =$ max(YMax)); pl $= 0.466^{*}\mathrm{R} - 0.6 + 0.001^{*}\mathrm{Index\_Max};$ $\% p1$ 满足为最大径向位移最小的焦距; Index_Sum $=$ find(YSum $= =$ min(abs(YSum)); p2 $= 0.466^{*}\mathrm{R} - 0.6 + 0.001^{*}\mathrm{Index\_Sum};$ $\% p2$ 满足其与原球面所成体积最小的焦距 + +
问题2.主函数: (文件名: Question2.m)
%% +%论如何把下述四个函数串起来, Question2 只要转这个就能直接转出来 +%% +Find_PQT +Find_Group +Group_Position +Move_Test
问题2.子函数: (文件名: rotation.m)
%% +%生成旋转抛物面 +%% +syms x y z; +p = 0.466*300.4+0.484; +h=300.4+0.484; +alpha = 36.795; +beta = 78.169; +alpha_rad = alpha*pi/180; +beta_rad = beta*pi/180; +Mat_alpha = rotz(alpha); +Mat_beta = roty(90-beta); +s = z-(x^2/4/p+y^2/4/p-h); +test = Mat_alpha*Mat_beta*[0,0,-300.4]'; +A = inv(Mat_beta)*inv(Mat_alpha)*(x,y,z%); +S = A(3)-(A(1)^2/4/p+A(2)^2/4/p-h); +save('S.mat','S')
+ +
问题2.子函数: (文件名: Find_PQT.m)
%% +%把点从球上投影到旋转抛物面上 +%% +[Data1,~] = xlsread(附件1.xls',1,'B2:D2227'); rotation +Solution = zeros(3*length(Data1),4); +test = [-49.39885 -36.94843 -294.49236]; +Position = zeros(length(Data1),5); +Position_all = zeros(length(Data1),4);
+ +tmp $= 2$ +eqns $\coloneqq [x == 0,y == 0,S == 0]$ +answer $=$ vpasolve(eqns,[xyz]); +Position_all(1,)= [1 answer.x(1) answer.y(1) answer.z(1)]; +Position(1,)= [1,0,0,-300.5118141,61.61188336]; +for i $= 2$ :length(Data1) + $\mathrm{x}0 = \mathrm{Data1(i,1)}$ +y0 $\equiv$ Data1(i,2); + $\mathbf{z}0 = \mathbf{Data1(i,3)}$ +syms x y z +if (x0==0)&& (y0==0) +eqns $= [\mathrm{x} == 0,\mathrm{y} == 0,\mathrm{S} == 0]$ . +elseif $\mathrm{x}0 = = 0$ +eqns $= [\mathrm{x} == 0,(\mathrm{y - y}0)\mathrm{/}\mathrm{y}0 = = (\mathrm{z - z}0) / \mathrm{z}0,\mathrm{S} = = 0]$ . +elseif $\mathrm{y}0 = = 0$ +eqns $= [\mathrm{y} == 0,(\mathrm{x - x}0) / \mathrm{x}0 = = (\mathrm{z - z}0) / \mathrm{z}0,\mathrm{S} = = 0]$ . +else +eqns $= [(x - x0)^{*}y0 = = (y - y0)^{*}x0,(x - x0)^{*}z0 = = (z - z0)^{*}x0,S = = 0]$ . +end +answer $=$ vpasolve(eqns,[xyz]); +for j $= 1$ :length_answer.x) +L $=$ abs(normcross([-answer.x(j)-answer.y(j)-answer.z(j)],test))./norm(test)); %点 到直线的距离 if(L<=150) Position(tmp,1)=i; Position(tmp,2)=vpa(answer.x(j),8); Position(tmp,3)=vpa的回答.y(j),8); Position(tmp,4)=vpa的回答.z(j),8); Position(tmp,5)=vpa(L,8); tmp $= \text{tmp + 1}$ end end end save('Information484.mat','Position'); + +问题2.子函数：（文件名：Find_Group.m） + $\% \%$ $\%$ 利用附件1和3的分组信息实现分组，存放在Group_Data的前三列里 $\% \%$ +clearvars +clc +load('Information484.mat') +[num1,text1, $\sim ] =$ xsread(附件1.xlsx',1,'A2:D2227); + +[num2,text2, $\sim ] =$ xslsread(附件3.xlsx',1,'A2:C4301'); +Group $=$ zeros(length(txt2),1); +for $\mathrm{i} = 1$ :length(txt2) +for $\mathrm{j} = 1$ :length(txt1) if(strcmp(txt1{j},txt2(i,1))) Group(i,1)=j; elseif(strcmp(txt1{j},txt2(i,2))) Group(i,2)=j; elseif(strcmp(txt1{j},txt2(i,3))) Group(i,3)=j; else end end end +end +Group_Data $=$ zeros(3,3); +k=1; +for $\mathrm{i} = 1$ :length(Group) for $\mathrm{j} = 1$ :length(Position) if(min(ismember(Group(i,:),Position(:,1))>0) if(Group(i,1) $= =$ Position(j,1)) Group_Data(k,:)=Position(j,2:4); k=k+1; elseif(Group(i,2) $= =$ Position(j,1)) Group_Data(k,:)=Position(j,2:4); k=k+1; elseif(Group(i,3) $= =$ Position(j,1)) Group_Data(k,:)=Position(j,2:4); k=k+1; else end end end +end save('Information484.mat','Position','Group','Group_Data'); + +问题2.子函数：（文件名：Group_Position.m） + $\% \%$ $\%$ 数据处理找到所有三个端点都在抛物面上的反射单元存在Group_plus + $\%$ 并分好组，把中点数据存放在Group_Data的4到6列 + $\% \%$ +clearvars +clc +load('Information484') + +$\mathbf{k} = 1$ +Group_plus $=$ zeros(1,3); +for $\mathrm{i} = 1$ :length(Group) if(min(ismember(Group(i,:),Position(:,1)))>0) Group_plus(k,:)=Group(i,:); $\mathrm{k} = \mathrm{k} + 1$ end +end +C=zeros(length(Group_plus),3); +for $\mathrm{i} = 1$ :length(Group_plus) [Cntp,Middle1,Middle2,Middle3] $=$ Middle(Group_Data(3*i,1:3),Group_Data(3*i- 1,1:3),Group_Data(3*i-2,1:3)); Group_Data(3*i,4:6)=Middle1; Group_Data(3*i-1,4:6)=Middle2; Group_Data(3*i-2,4:6)=Middle3; C(i,:)=Ctxp; i +end +%Group_Data前三列为每块反射单元的主索节点坐标 +%后三列为每块反射单元三条弧中点坐标 save('Information484.mat','Position','Group','Group_Data','Group_plus'); + +问题2.子函数：（文件名：Move.m） + $\% \%$ $\% \%$ +function[Position_Next,Group_Data_Next,Distance_average,Fitness] $\equiv$ Move(Position,Group_Data,Group_plus) + $\% \%$ 函数概要 + $\%$ 解决问题 + $\% \mathrm{CUMCM}2021\mathrm{A}$ 第二问逐次迭代的迭代函数 + $\%$ 调用函数： + $\% \mathrm{Length}$ 计算任意给定点到抛物面的距离(限制距离小于0.6的解) + $\%$ rotation 计算旋转后的理想抛物面方程 + $\%$ Middle 已知三点计算三弧中点坐标； + $\%$ 使用数据包： + $\% \mathrm{Group\_Information}$ 包含当所有主索节点坐标均位于理想抛物面上时的： + $\%$ 1.Position 主索节点坐标； + $\%$ 2.Group_Data 反射单元三节点三中点坐标； + $\%$ 3.Group_plus 包含全部待求主索节点的反射单元编号组合； + +%输入变量： + +%Position——前一次主索节点位置 + +%Group_Data 各反射单元三节点和三中点的坐标 + +% (Group_Data(3*i-2:3*i,:) 对应 Group_plus(i) 处所示反射单元) + +（Group_Data(，1:3）对应反射单元的主索节点坐标） + +（Group_Data(，1:3）对应反射单元的三弧中点坐标） + +%Group_plus——包含全部待求主索节点的反射单元编号组合； + +%输出变量 + +%Position_Next——移动后主索节点位置 + +%GroupData_Next——移动后各反射单元三节点和三中点坐标 + +%Fitness 各主索节点移动距离和 + +%计算各主索节点调节的距离 + +%初始化 + +L_Mid = zeros(length(Group_Data),1); %编号i的中点到抛物面的距离 + +Point-average = zeros(length(Position),1); %编号i的主索节点调节的距离 + +MoveMat = zeros(length(Position), 1); %主索节点移动矩阵 + +L_Position = zeros(length(Position), 1); %主索节点到球心的径向距离 + +Point=zeros(length(Position),6); %存放反射单元编号(第i个主索节点作 + +为顶点的反射单元编号） + +%计算编号1的中点到抛物面的距离 + +for i = 1:length(Group_Data) + L_Mid(i) = double(Length(Group_Data(i,4:6))), + +end + +%中间过程保存第i个主索节点作为顶点的反射单元编号 + +for i = 1:length(Position) + +\[ [a, \sim] = \text{find(Group\_plus} == \text{Position(i,1)} \]; \] + +Point(i,1:length(a)) = a'; + +end + +%计算周围绕计点的平均偏移量 + +for $i = 1$ :length(Point) + +Index $=$ find(Point(i,: $\sim = 0$ + +for $j = 1$ :length(Index) + +$\%$ Point_average(i) = + +Point-average(i)+0.5.\*L_Mid(3\*Point(i,j))+L_Mid(3\*Point(i,j)-1)+L_Mid(3\*Point(i,j)- + +2))(3\*length(Index)); + +L_tmp = zeros(3,1); + +L_Mid_tmp = zeros(3,1); + +L_tmp(1) = norm(Group_Data(3*Point(i,j),4:6) - Position(i,2:4)); %第一 + +个点到主索节点距离 + +L_tmp(2) = norm(Group_Data(3*Point(i,j)-1,4:6) - Position(i,2:4)); %第二个 + +点到主索节点距离 + +L_tmp(3)=norm(Group_Data(3*Point(i,j)-2,4:6)-Position(i,2:4)); %第三个 + +点到主索节点距离 +```matlab +L_Mid_tmp(1) = %第一个点到抛物面的距离 +L_Mid(3*Point(i,j)); %第一个点到抛物面的距离 +L_Mid_tmp(2) = L_Mid(3*Point(i,j)-% +1); %第二个点到抛物面的距离 +L_Mid_tmp(3) = L_Mid(3*Point(i,j)-% +2); %第三个点到抛物面的距离 +tmp = find(L_tmp == max(L_tmp)); +L_Mid_tmp(tmp) = 0; +L(Main = double(Long Position(i,2:4))); Point-average(i) = Point-average(i) + (2*L(Main + 1*(L_Mid_tmp(1)+L_Mid_tmp(2)+L_Mid_tmp(3))//4*length(Index)); end +end +%主索节点偏移量均值 +Distance_average = sum(abs会长-average)).length会长-average); +%计算调节后主索节点位置 +for i = 1:(length(Position)) + L_Position(i) = sqrt(Position(i,2)^2 + Position(i,3)^2 + Position(i,4)^2); + MoveMat(i,1) = (L_Position(i) - Point-average(i))/L_Position(i); + MoveMat(i,2) = MoveMat(i,1); + MoveMat(i,3) = MoveMat(i,1); +end +Position_Next(:,1) = Position(:,1); +Position_Next(:,2:4) = Position(:,2:4).*MoveMat; +%计算调节后的每块反射单元节点及各边中点坐标 +Group_Data_Next = zeros(3,3); +k = 1; +for i = 1:length(Group_plus) + for j = 1:length(Position_Next) + if(Group_plus(i,1) == Position(j,1)) + Group_Data_Next(k,:) = Position_Next(j,2:4); + k = k+1; + elseif(Group_plus(i,2) == Position(j,1)) + Group_Data_Next(k,:) = Position_Next(j,2:4); + k = k+1; + elseif(Group_plus(i,3) == Position(j,1)) + Group_Data_Next(k,:) = Position_Next(j,2:4); + k = k+1; + else + end + end +``` + +```matlab +end +for i = 1:length(Group_plus) + [~,Middle1,Middle2,Middle3] = + Middle(Group_Data_Next(3*i,1:3),Group_Data_Next(3*i-1,1:3),Group_Data_Next(3*i-2,1:3)); + Group_Data_Next(3*i,4:6) = Middle1; + Group_Data_Next(3*i-1,4:6) = Middle2; + Group_Data_Next(3*i-2,4:6) = Middle3; +end +Point_All = [Position_Next(:,2:4);Position_Next(:,2:4);Group_Data_Next(:,4:6)]; +Delta_All = zeros(length Point_All),1); +%存放抛物面上全部参考点 +坐标 +for i = 1:length(Path_All) + Delta_All(i) = abs(double(Link(Path_All(i,1:3)))) +end +Fitness = sqrt((Delta_All*Delta_All)/length(Delta_All)); +end +``` + +问题2.子函数：（文件名：Move_Test.m） + $\% \%$ $\% \text{M}$ ove迭代三次的测试函数 + $\% \%$ +load('Group_Ieformation.mat');[Position_Next1,Group_Data_Next1,Distance_average1,Fitness1] $=$ Move(Position,Group_Data,Group_plus);[Position_Next2,Group_Data_Next2,Distance-average2,Fitness2] $=$ Move(Position_Next1,Group_Data_Next1,Group_plus);[Position_Next3,Group_Data_Next3,Distance-average3,Fitness3] $=$ Move(Position_Next2,Group_Data_Next2,Group_plus); + +问题2.子函数：（Length.m） + $\% \%$ $\%$ 求点到抛物面距离 + $\% \%$ +function $\mathrm{L} = \mathrm{Length}(\mathrm{M})$ $\%$ M点为待求到抛物面径向距离的点 + +rotation + $\mathrm{x0} = \mathrm{M}(1)$ +y0 $= \mathbf{M}(2)$ $\mathrm{z0} = \mathrm{M}(3)$ +syms xyz +if $(x0 = = 0)$ && $(y0 = = 0)$ eqns $= [\mathrm{x} = = 0,\mathrm{y} = = 0,\mathrm{S} = = 0]$ elseif $x0 = = 0$ eqns $= [\mathrm{x} = = 0$ $(y - y0) / y0 = = (z - z0) / z0$ $\mathrm{S} = = 0]$ elseif $y0 = = 0$ eqns $= [\mathrm{y} = = 0$ $(x - x0) / x0 = = (z - z0) / z0$ $\mathrm{S} = = 0]$ else eqns $= [(x - x0)^{*}y0 = = (y - y0)^{*}x0$ $(x - x0)^{*}z0 = = (z - z0)^{*}x0$ $\mathrm{S} = = 0]$ end answer $=$ vpasolve(eqns,[xyz]); for i $= 1$ :length(answer.x) XO $=$ double(answer.x(i)); YO $=$ double的回答.y(i)); ZO $=$ double的回答.z(i)); Len $=$ norm([xO,yO,zO])-norm([XO,YO,ZO]); if(abs(Len)<0.6) L $=$ double(Len); end end end + +问题3.主函数：（文件名：Question3_1.m） +$\% \%$ $\%$ 第三问球面画图函数 + $\% \%$ +clearvars +clc + $\mathrm{R} = 300.4;$ +Theta $=$ zeros(1,3); +theta $= 0.0001:0.0001:\mathrm{pi / 6};$ +theta_deg $\equiv$ theta\*180/pi; +x1=(R./(2\*cos(theta))-1-0.466)\*R).*tan(2\*theta); +L=R\*sin(theta); + +```matlab +Index1 = find(abs(x1-0.5)<0.00117); +Index2 = find(abs(x1+0.5)<0.00117); +Index = [Index1,Index2]; +tmp1 = ones(1,length(theta_deg)); +tmp2 = ones(1,length(L)); +R_Ball = L(Index); %三个半径，可确定一个圆环和一个圆 +figure(1) +title() +subplot(1,2,1) +plot(theta_deg,x1,'LineWidth',1) +grid on +hold on +plot(theta_deg,0.5*tmp1,'--'); +plot(theta_deg,-0.5*tmp1,'--'); +plot(theta_deg(Index),x1(Index),'ro') +for i = 1:length(Index) +text(theta_deg(Index(i)),x1(Index(i))+0.2,'num2str(theta_deg(Index(i)),',num2str(x1(Indexi))),')]) +end +xlim([0 25]); +xlabel('入射角（°）'); +ylabel('馈源舱面上到Z轴距离(m)'); +subplot(1,2,2) +plot(L,x1,'LineWidth',1); +grid on +hold on +plot(L,0.5*tmp2,'--'); +plot(L,-0.5*tmp2,'--'); +plot(L(Index),x1(Index),'ro') +for i = 1:length(Index) +text(L(Index(i)),x1(Index(i))+0.2,'num2str(L(Index(i)),',num2str(x1(Index(i)),')')) +end +xlim([0 R*sin(25*pi/180)]); +xlabel('球面上到Z轴距离(m)'); +ylabel('馈源舱面上到Z轴距离(m)'); +% saveas(gca,'Q3球面.png') +``` + +
load('Group_Information');
% &&load('Group_Information');
N = 2;
n = 1000;
Receive = zeros(length(Group_plus),1);
for i = 1:N
[tmp,S_wp(i,:),S(i,:)] = Monte_Carlo(Group_Data,Group_plus,n);
Receive = Receive + tmp./N;
end
S_Project = zeros(length(Group_plus),1);
V1 = zeros(length(Group_plus),3);
V2 = zeros(length(Group_plus),3);
V3 = zeros(length(Group_plus),3);
for i = 1:length(Group_plus)
P = Group_Data(3*i-2,1:3);
Q = Group_Data(3*i-1,1:3);
T = Group_Data(3*i-0,1:3);
[S_Project(i),V1(i,:),V2(i,:),V3(i,:)] = ProjectArea(P,Q,T);
end
S_All = sum(S_Project);
Weight = S_Project / sum(S_Project);
figure
plot3(Position(:,2),Position(:,3),Position(:,4),"r.")
hold on
grid on
plot3(V1(:,1),V1(:,2),V1(:,3),"b.")
plot3(V2(:,1),V2(:,2),V2(:,3),"b.")
plot3(V3(:,1),V3(:,2),V3(:,3),"b.")
Receive_Rate = Receive.*Weight;
Sum_Receive_Rate = sum(Receive_Rate);
+ +
问题3.子函数: (文件名: Monte_Carlo.m)
%%
%蒙特卡洛
%%
function [Receive,S_wp,S] = Monte_Carlo(Group_Data,Group_plus,n)
N=[-49.3194000000000 -36.889000000000 -294.01870000000];
% N = Data1(132,:);%底部主索节点
O=(1-0.466)*N;%馈源舱坐标
+ +$\begin{array}{rl} & {\mathrm{x0 = O(1);}}\\ & {\mathrm{y0 = O(2);}}\\ & {\mathrm{z0 = O(3);}}\\ & {\mathrm{A = N(1);}}\\ & {\mathrm{B = N(2);}}\\ & {\mathrm{C = N(3);}}\\ & {\mathrm{z = @(x,y)(A*x0 + B*y0 + C*z0 - A*x - B*y) / C;}\\ & {\mathrm{S\_Ball = pi./4;}}\\ & {\mathrm{randx = O(1) - 0.5 + rand([n,1])};}\\ & {\mathrm{randy = O(2) - 0.5 + rand([n,1])};}\\ & {\mathrm{M\_rand = [randx,randy];}}\\ & {\mathrm{M\_rand(:,3) = z(M\_rand(:,1),M\_rand(:,2));}}\\ & {\mathrm{for i = 1:n}}\\ & {\mathrm{M\_rand(i,4) = norm(M\_rand(i,1:3)-O);}}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{Index = find(M\_rand(:,4) < 0.5);}\\ & {\mathrm{M\_rand = M\_rand(Index,1:3);}\\ & {\mathrm{Number\_of\_InTri = zeros(length(Group\_plus),1);}\\ & {\mathrm{Receive = zeros(length(Group\_plus),1);}\\ & {\mathrm{S\_wp = zeros(length(Group\_plus),1);}\\ & {\mathrm{S = zeros(length(Group\_plus),1);}\\ & {\mathrm{for i = 1:length(Group\_plus)}}\\ & {\mathrm{[W1,W2,W3,S(i)] = ReflectPoints(Group\_Data(3*i-2,1:3),Group\_Data(3*i-}}\\ & {\mathrm{1,1:3),Group\_Data(3*i,1:3))};}\\ & {\mathrm{for j = 1:length(M\_rand)}}\\ & {\mathrm{y\_tmp = IsInTri(M\_rand(j,:),W1,W2,W3);}\\ & {\mathrm{Number\_of\_InTri(i) = Number\_of\_InTri(i) + y\_tmp;}}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{S\_wp(i) = ((Number\_of\_InTri(i)/length(M\_rand))*S\_Ball});}}\\ & {\mathrm{Receive(i) = ((Number\_of\_InTri(i)/length(M\_rand))*S\_Ball) / S(i);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{end}} \end{array}$ + +问题3.子函数：（文件名：IsInTri.m） + $\% \%$ $\%$ 判定点是否在三点构成的三角形内 + $\% \%$ +function $y = \mathrm{IsInTri(P,A,B,C)}$ $\% p$ 为目标点，w1w2w3为构成三角形的三个顶点 + $\mathrm{vAB} = \mathrm{B - A};$ $\mathrm{vAC} = \mathrm{C - A};$ + +```matlab +vAP = P-A; +Jc = dot(cross(vAB,vAP),cross(vAB,vAC)); +vBC = C-B; +vBP = P-B; +vBA = A-B; +Ja = dot(cross(vBC,vBP),cross(vBC,vBA)); +vCA = A-C; +vCP = P-C; +vCB = B-C; +Jb = dot(cross(vCA,vCP),cross(vCA,vCB)); +if (Ja>0 && Jb>0 && Jc>0) + y = 1; +else + y = 0; +end +% c1 = cross(v12,v1p); +% c2 = cross(v23,v2p); +% c3 = cross(v31,v3p); +% d = [dot(c1,c2),dot(c2,c3),dot(c3,c1)]; +% if(d(1)>0 && d(2)>0) +% y = 1; +% % elseif(~any(d)) +% % y = 1/6; +% % elseif(sum(d == [0 0 0]) == 2) +% % y = 1/2; +% else +% y = 0; +% end +end +``` + +问题3.子函数：（文件名：ProjectWeight.m） + $\% \%$ $\%$ 求投影在口径面上的权面积重 + $\% \%$ +clearvars +clc +load('Group_Information'); +S_Pject $=$ zeros(length(Group_plus),1); +for $\mathrm{i} = 1$ :length(Group_plus) + +$\mathrm{P} =$ Group_Data(3*i-2,1:3); $\mathrm{Q} =$ Group_Data(3*i-1,1:3); $\mathrm{T} =$ Group_Data(3*i-0,1:3); S_Pject(i) $=$ ProjectArea(P,Q,T); +end +S_All $=$ sum(S_Pject); +Weight $=$ S_Pject./sum(S_Pject) + +问题3.子函数：（文件名：Middle.mlx） +```matlab +function [CPQT,NPQ,NQT,NTP] = Middle(P,Q,T) +%PQT为同一小反射面上三个主索结点 +%CPQT为小反射面球心 +%MPQMQTMTP为三直边中点 +%NPQ NQT NTP为三圆弧中点 +R = 300.4; +syms cx cy cz %圆心坐标 +c = [cx cy cz]; +eqns = [sum((P-c)^2) == R^2 sum((Q-c)^2) == R^2 sum((T-c)^2) == R^2]; +c_a = vpasolve(eqns, c, [-500,500, -500,500,100, -300]); +CPQT = double([vpa(c_a.cx(1)) vpa(c_a.cy(1)) vpa(c_a.cz(1))]); +MPQ = (P+Q)/2; +MQT = (Q+T)/2; +MTP = (T+P)/2; +kPQ = R/(sum((MPQ-CPQT)^2))^0.5; +kQT = R/(sum((MQT-CPQT)^2))^0.5; +kTP = R/(sum((MTP-CPQT)^2))^0.5; +NPQ = CPQT+kPQ*(MPQ-CPQT); +NQT = CPQT+kQT*(MQT-CPQT); +NTP = CPQT+kTP*(MTP-CPQT); +end +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/A115/A115.md b/MCM_CN/2021/A115/A115.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c158507b601c2aa39e2a062fb95e838d98565552 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/A115/A115.md @@ -0,0 +1,1062 @@ +# 基于目标优化的“FAST”主动反射面形状调节研究 + +# 摘要 + +FAST 的创新技术之一是主动反射面，其工作抛物面状态是否能够接近为一个理想抛物面是整个系统关键。本文通过建立基于目标优化的主动反射面调节模型，求解出了能够满足反射面板调节因素的理想抛物面，并对实际反射面板的调节方式（伸缩量、变动位置等）进行了研究。 + +针对于问题一，本文建立了基于变步长搜索算法求解的单目标优化模型。本文将工作抛物面尽可能贴近理想抛物面的优化目标转化为工作状态下主动反射面的主索节点就在求解得出的理想抛物面上。首先经过初步建立针对伸缩范围最小的单目标优化模型，得到题目中要求的促动器伸缩范围的条件可以被所有主索节点全部满足，然而相邻主索节点之间的主索伸缩范围不超过 $0.07\%$ 是无法被完全满足的。因此，再通过调节前后相邻节点之间的距离变化幅度最小为目标函数，建立单目标优化模型，设计基于变步长策略的遍历搜索算法进行求解，最终得到理想抛物面的方程为 $x^{2} + y^{2} = 562.3748(z + 300.716)$ ，抛物线顶点相较于基准球面下降的距离为0.316米。并且本文给出了问题一主索节点之间距离变化幅度符合要求与否的情况存入Excel表放入附件中。此时，所有促动器的最大伸缩量为0.3499米，相邻节点之间的距离变化幅度最大值为 $0.11\%$ ，可知实际情况下并不是所有节点都能达到理想抛物面方程。最后经过结果分析与敏感性分析，通过分析理想抛物面底端位置参数变化后最大径向伸缩量的变化的情况，得知建立的模型稳定性好。 + +针对于问题二，本文提出了两个模型。模型I本质上是延续问题一的求解思路，调节前后相邻节点之间的距离变化幅度最小为目标函数，建立单目标优化模型。首先通过几何关系，用二维方法建立 $r_{2i}$ 与 $d_i$ 的对应关系，然后计算促动器径向伸缩量，再计算出径向调节之后主索节点的坐标与编号等参数。模型II是基于旋转坐标系使旋转抛物面轴线与天体的方向重合，通过坐标旋转矩阵及其变换，得到新的旋转坐标系，在求解之后，再将其转换为球坐标系。本文仅对模型I进行了求解，基于模型I建立单目标优化模型，在算法方面通过变步长遍历进行求解，解得理想抛物面的顶点坐标为(-49.3719,-36.9282,-294.3278)，其它参数按照规定格式存入附件材料“result.xlsx”中。 + +针对于问题三，根据前文建立的模型以及分析可知，馈源舱接收平面是一个直径为一米的圆面，然而经过分析与试算得知单个反射面板的面积与馈源舱圆盘的面积两者差异较大。假设所有的反射面板反射的电磁波都把馈源舱全部覆盖，则可以将馈源舱接收比的问题转化为面积的比值问题。求解得调节后馈源舱的接收比为0.0153；调节前（基准反射球面）馈源舱的接收比为0.0053。因此，调节后显著提高了馈源舱的电磁波信号接收比。 + +在文章的最后，本文客观地指出了模型的优缺点，并且提出本文建立的模型可以经过修改后用到解决优化太阳能聚焦热电站的效率等其它工程领域。 + +关键词：目标优化搜索算法单目标优化模型敏感性分析变步长遍历 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +射电望远镜是人类观测遥远宇宙中微弱信号的一种重要工具。南仁东于1994年提出了建立 $500\mathrm{m}$ 口径球面射电望远镜(FAST)的构想[1]，历经各界学者多年的共同努力与开拓性研究，FAST目前在我国贵州省平塘县已经建成投入使用。作为我国自主研发具有独立知识产权的世界上最大单口径、最高灵敏度的射电望远镜，FAST的建成使用对我国科学前言的研究具有重大意义。主动反射面作为FAST中的一种核心结构，是FAST的创新技术之一[2]，其形状（即工作抛物面状态）是否接近成为一个理想抛物面对馈源舱接收反射信号的效果具有一定程度的影响。 + +# 1.2 目标任务 + +![](images/20d1a99b9596850759ded7640e09608c6237546f0d5b578528468f7b447d7ecb.jpg) +图1 FAST主动反射面轴侧图 + +![](images/7666aeb63f803cb53d32036ceff3d23bfa72eadc8e6e02b2ecdb1c2462d562e9.jpg) +图2 FAST三维位置示意图 + +FAST 建立在喀斯特洼地的台址上，其结构包括主动反射面、馈源舱以及其它控制支承结构（如图 1 和图 2 所示）。FAST 的一个突出特点就是可变的主动反射面，其构成包括主索网、下拉索、反射面板、促动器以及支承结构等。主动反射面是一个可以调节的球面。在没有观测任务的时候，主动反射面呈现一个口径 500 米、半径 300 米的规则球面，称之为基准态。当需要观测太空星体的时候（工作态），通过促动器和下拉索对主索节点的径向调节作用，使得安装在主索网三角网格上的反射面板的倾斜角度发生变化，进而调节主动反射面为一个近似的旋转抛物面（口径为 300 米），从而达到信号能够精确反射汇聚到馈源舱有效区域的效果。这个近似的旋转抛物面被称之为工作抛物面。 + +![](images/7aebb4e55b417c9e00a8a706d8bb4b71f7b0b2fc753ee1b1c04b3cef4ce7e2a5.jpg) +图3下拉索和促动器实物图 + +![](images/abb681ec572ecb2dcc7fca6e3c6ab9bb08d67f578daf712fb68cafa98210e8ab.jpg) +图4 整体索网主动反射面结构示意图[1] + +本文解决的主要问题是在索网调节反射面板的约束范围内，使得在工作状态下的实际反射面板构成的反射面尽可能接近理想抛物面。 + +问题一：为保证反射面板移动时与邻近的反射面板不会互相挤压、拉扯，在设计 + +安装反射面板时就使得反射面板之间有一定的间隙。且规定，若主索点发生了径向调节，相邻节点之间的距离的变化范围不能超过 $0.07\%$ ，促动器的顶端径向伸缩范围为 $-0.6 \sim +0.6$ 米（基准状态下的伸缩量为 0 米）。如果需要观测位于基准球面正上方的待测天体 $(\alpha = 0^{\circ}, \beta = 90^{\circ}$ 见图 5 的坐标系），在考虑反射面板调节因素的前提下，确定理想的抛物面。FAST 剖面示意图以及焦径比等参数见图 6。 + +![](images/f4677c464c76727a2bacdeddf74e8259a2ec1a8d2270ae15158eded611f243e8.jpg) +图5天体S方位角与仰角示意图 + +![](images/61f547c06076cee5e543899ce1feafc9ebc5a31212e82d0034db0b6c0751a478.jpg) +图6FAST剖面示意图 + +问题二：该问题要求待观测天体不在基准球面正上方时，确定理想的抛物面。若要考虑相关促动器的伸缩量，需要确定理想抛物面的顶点坐标、调节后的300米口径内主索节点的编号、位置坐标以及对应各个促动器的伸缩量，并将结果保存在电子表格文件中。 + +问题三：在问题二建立的主动反射面调节方案的基础之上，计算调节后馈源舱的电磁波信号接收比（即馈源舱的一米直径的圆盘上接收到的反射电磁波信号与照明区主动反射面反射信号之比），并且与未通过主动反射面调节之前的基础球面的反射电磁波信号接收比作比较。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +问题一是在待观测天体位于基准球面正上方时，确定理想抛物面的问题。在此之中，题目中明确，需要结合反射面的调节因素。经过简单分析和试算可知，题目中的促动器伸缩范围在所有的主索节点中都可以被完全满足，而相邻主索节点之间的主索伸缩幅度不超过万分之七的这个条件不能被完全满足。结合工程实际以及题目设问可知，完全满足反射面板调节因素使得工作抛物面达到理想抛物面的情况几乎不可能存在。本文将工作抛物面尽可能贴近理想抛物面转化为主动反射面的主索节点就在所求出的理想抛物面之上，利用球坐标系，径向伸缩的距离就是主索节点的变化幅度，本文以调节前后相邻主索节点之间距离的变化幅度最小为目标函数，建立单目标优化模型，通过变步长策略的遍历搜索算法进行寻优，最终得到工程实际中工作抛物面能够贴近的理想抛物面。问题一的分析思路见图7。 + +![](images/6addccb15059f59531e6fad042d8e561640f61846964e25e85a90a1f35ada315.jpg) +图7 问题一分析思路流程图 + +# 2.2问题二的分析 + +问题二要求当观测天体位于 $\alpha$ 角度为 $36.795^{\circ}$ , $\beta$ 角度为 $78.169^{\circ}$ , 确定一个理想抛物面, 并且建立反射面板调节的模型, 算出促动器的伸缩量、理想抛物面的顶点坐标、位置坐标等参数。在问题一中, 已经求出符合条件的理想抛物面顶点和焦点的变化量, 即抛物面的形状大小已经确定。在问题二中, 当天体不在正上方时, 若要求理想抛物面的位置, 则需要将理想抛物面的轴线旋转到天体的方位, 可以通过顶点和焦点转化后的坐标, 确定理想抛物面的位置。理想抛物面位置确定后, 通过抛物面上的点到顶点的距离存在约束, 求得 300 米口径内点的编号和坐标。在将反射面尽量贴近该理想抛物面时, 相关促动器的伸缩量为基准球面的半径与调节后的理想抛物面对应点极径的差值, 通过建立基准球面上任意一点到理想抛物面顶点的距离与极径的对应关系, 可以得到调节后理想抛物面任意一点的极径, 进而可以得到促动器的伸缩量, 再将调节后的点的球坐标转化为空间坐标。 + +# 2.3问题三的分析 + +问题三要求在第二问反射面调节方案之下，计算调节后的馈源舱接收比。根据前文建立的模型以及分析可知，馈源舱接收平面是一个直径为一米的圆面，然而经过简单试算得知单个反射面板的面积约为50平方米，两者差异较大。因此可以假设所有的反射面板反射的电磁波都把馈源舱全部覆盖，则馈源舱接收比的问题转化为面积的比值问题。然而，实际情况下，反射面板反射的信号不可能完全覆盖馈源舱，尤其是在照射区域边界的反射面板。故考虑采取一个修正系数来减小求得的馈源舱接收比使之尽量符合实际情况。求得接收比之后，与基准反射球面的接收比较即可。 + +# 三、模型假设 + +为了适当地对模型进行合理简化，本文给出如下假设： + +1. 忽略安装时的工程实际间隙，假设主索节点的坐标就是反射面板的顶点坐标。 +2.假设电磁波信号经过反射面板反射后没有损失。 +3. 假设不考虑主索节点的伸缩对FAST力学结构及稳定性的影响。 +4. 假设所有的信号都是沿直线传播。 + +# 四、符号说明 + +
序号符号意义
1r极径
2F理想抛物面的焦距
3ξ理想抛物面顶点在z轴方向的移动距离
4δ理想抛物面焦点变化的数值
5J抛物面的焦点
6Gpi理想抛物面上任意一点
7Gi基准球面上的点
8di点Gi与理想抛物面顶点之间的距离
9N300米口径范围内反射面板的个数
10θi反射面板的法向量与天体入射信号的夹角
11P馈源舱的接收比
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一：结合反射面板调节因素，确定理想抛物面 + +针对于问题一，需要建立理想抛物面，使得该理想抛物面能够满足反射面板的调节因素。分析题目可知，题目中有两个几何上的面亟待研究，一个是射电望远镜FAST的实际主动反射面，一个是FSAT实际表面需要趋近的理想抛物面，由于FAST的主动反射面是由4300块反射面板所构成的，其经过变化后，无法成为完全标准的旋转抛物面，只能是在实际上尽可能贴近所求的旋转抛物面（即理想抛物面）。另外，由于反射面板的调节存在着限制条件，因此，理想抛物面需要基本满足反射面板的限制因素，否则，即使理想抛物面理论上能够将信号反射回馈源舱，但是反射面板无论如何也无法调节到接近于理想抛物面的状态，导致馈源舱接收电磁波信号的比例过低。本文建立了基于目标优化的FAST主动反射面形状调节模型，通过变步长策略的遍历寻优，找出符合反射面板调节因素的理想抛物面。 + +# 5.1.1 模型的建立——理想抛物面模型 + +1）基于球坐标系的理想抛物面模型 + +![](images/449cbe3c922924d92c4a5ff69806fe52d2934c166b4577b7f20142d38116e2e9.jpg) +图8球坐标系（原点为FAST系统的基准球面球心） + +以基准球面的球心为原点，建立球坐标系。见图8，r表示极径，φ表示以x轴正方向为基准，逆时针旋转到om方向上的角度。令点p（x1,y1,z1）位于基准球面上，则存在： + +$$ +r _ {1 i} = \sqrt {x _ {1 i} ^ {2} + y _ {1 i} ^ {2} + z _ {1 i} ^ {2}} \tag {1} +$$ + +式中， $r_{\mathrm{H}}$ 表示基准球面上的点的极径； $i = 1,2\dots N$ ， $N$ 表示基准球面上包含的主索节点数。 + +若要在球坐标中表示一个确定的点，还需要两个角度。 + +$$ +\theta_ {1 i} = \arccos \frac {z _ {1 i}}{r _ {1 i}} \tag {2} +$$ + +式中， $\theta_{1i}$ 表示 $\vec{op}$ 方向与 $z$ 轴正方向的夹角。 + +$$ +\varphi_ {1 i} = \arctan \frac {y _ {1 i}}{x _ {1 i}} \tag {3} +$$ + +式中， $\varphi_{1i}$ 表示 $\overrightarrow{om}$ 方向与 $x$ 轴正方向的夹角。 + +综上所述，基准球面上一点的位置用球坐标表示为 $(r_{1i},\theta_{1i},\varphi_{1i})$ + +![](images/514c06557156ef47e29861fc52e522bb2e56be8c82ddf6daeda2e8986554dcd5.jpg) +图9FAST剖面示意图（当待测天体位于基准球面正上方） + +![](images/fb04abacdbaa561f3c798ca6002401cc76963baadc7211f9e9f11da37bd084f3.jpg) +图10 照明区域在整体球面上的位置（红色表示非照明区域的主索节点） + +如图9，若被观测天体位于基准球面正上方时，使得被观测天体与馈源舱所在的直线与基准球面的交点 $\pmb{K}$ 为理想抛物面顶点，得到该状态下理想抛物面的方程为（基于三维笛卡尔坐标系） + +$$ +x ^ {2} + y ^ {2} = 4 F _ {0} (z + R) \tag {4} +$$ + +式中， $F_{0}$ 表示理想抛物面的焦距（ $F_{0} = 0.466R$ ）， $R$ 表示通过附件得出的基准球面的半径（ $R = 300.4m$ ），将式(4)转化到球坐标系下表示 + +$$ +r ^ {2} \sin^ {2} \theta - 4 F _ {0} r \cos \theta - 4 F _ {0} R = 0 \tag {5} +$$ + +由式(5)可以推出顶点位于 $K$ 点的理想抛物面上任意一点的极径 + +$$ +r = \frac {2 F _ {0} \cos \theta + 2 \sqrt {F _ {0} ^ {2} \cos^ {2} \theta + F _ {0} R \sin^ {2} \theta}}{\sin^ {2} \theta} \tag {6} +$$ + +上式由一元二次方程的求根公式推导出。 + +# 2）考虑主索节点的移动变位 + +由于需要考虑反射面板的调节因素，即下拉索的拉动会导致主索节点的位移变动，进而影响反射面板的调节。由于促动器在基准球面的径向方向拉动拉索运动的范围为-0.6~+0.6米，即需要满足任何一个主索节点的径向变动范围在-0.6~+0.6米之间。因为需要确定一个实际工程中能够调节接近的理想抛物面。本文首先考虑理想抛物面的顶点K在基准球面最底端沿径向变动范围为-0.6~+0.6米。假定理想抛物线顶点K下移ξ米，其中∈(-0.6,0.6)，移动之后抛物面的方程为 + +$$ +x ^ {2} + y ^ {2} = 4 F (z + R + \xi) \tag {7} +$$ + +式中， $F = F_{0} + \xi$ + +则经过顶点变动后的理想抛物面上任意节点对应的极径 + +$$ +r _ {2 i} = \frac {2 F \cos \theta_ {i} + 2 \sqrt {F ^ {2} \cos^ {2} \theta_ {i} + F (R + \xi) \sin^ {2} \theta_ {i}}}{\sin^ {2} \theta_ {i}} \tag {8} +$$ + +则基准球面上的节点沿径向伸缩到理想抛物面的距离为 + +$$ +\Delta r _ {i} = \left| r _ {1 i} - r _ {2 i} \right| \tag {9} +$$ + +式中， $i = 1,2\dots \dots N$ ， $N$ 表示基准球面上包含的所有主索节点数。因此 $\Delta r_{i}$ 需要满足 $\Delta r_i\leqslant 0.6$ 米。 + +# 3）考虑理想抛物面焦点的移动变位 + +根据题目，FAST 主动反射面反射电磁波到馈源舱。问题一中考虑理想抛物面，即经过理想抛物面的反射后所有的信号应该汇聚于一点。由于馈源舱接收信号的有效区域不是一个点，而是一个直径为 1 米的圆盘。因此，该理想抛物面的焦点并不是一定要在馈源舱圆盘的中心上，而是可以上下浮动，如此也能保证所有信号能够反馈到馈源舱内。列举了两种情况，图 11、图 12 中信号为特殊情况下的边界信号。 + +![](images/f0209f43cf351ef17d8fceba8f36c20eb06d4ee511384db0217e83f1f36354a9.jpg) +图11理想抛物面焦点位于接收平面以下 + +![](images/5ed5a9226cdb3bab9a7e929b99ef4458399fac19d0714a0dc4271318c96901af.jpg) +图12理想抛物面焦点位于接收平面以上 + +分析上图， $J$ 点和 $J^{\prime}$ 点分别表示某一顶点的抛物线可变焦点的最低点和最高点。因此，对应于某一顶点的理想抛物面（顶点变化范围 $\xi \in (-0.6, 0.6)$ ），都存在一个焦点的可变范围，使得电磁波信号可以反射回馈源舱的平面内。将这个焦点可变的范围计算如下： + +如图11，根据几何关系（详见图9），边界条件下夹角 $\psi$ 可以通过以下推导的公式求出 + +$$ +\tan \psi = \frac {1 5 0}{\left(\frac {\sqrt {3}}{2} R - 0 . 5 3 4 R\right)} \tag {10} +$$ + +式中， $R$ 为基准球面的半径，带入由附件材料计算出的基准球面半径 $R = 300.4$ 米，得到焦点位于临界状态的临界角度 $\psi = 56.4^{\circ}$ 。设焦点变化的数值为 $\delta$ ，根据几何关系得 + +$$ +\delta \in \left(- \frac {0 . 5}{\tan \psi}, \frac {0 . 5}{\tan \psi}\right) \tag {11} +$$ + +# 4）考虑相邻节点之间距离的微小变化 + +基准球面经过下拉索的调节之后，得到工作抛物面。若要使得工作抛物面与理想抛物面尽可能贴近，本文认为使得主索节点就位于理想抛物面上，即工作抛物面上相应的主索节点也在求出的理想抛物面上，极径为 $r_{2i}$ 。由于促动器带动主索节点调节的方向为径向，所以工作抛物面上对应的主索节点的角度 $\theta_i$ 、 $\varphi_i$ 仍然不变。设工作抛物面上主索节点对应的空间坐标为 $G_i'(x_{2i}, y_{2i}, z_{2i})$ ，其中 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {2 i} = r _ {2 i} \sin \theta_ {1 i} \cos \varphi_ {1 i} \\ y _ {2 i} = r _ {2 i} \sin \theta_ {1 i} \sin \varphi_ {1 i} \\ z _ {2 i} = r _ {2 i} \cos \theta_ {1 i} \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +同理，基准球面上主索节点的坐标为 $G_{i}(x_{1i},y_{1i},z_{1i})$ 。则主索节点调节之前相邻主索节点之间的距离为 + +$$ +\left| G _ {i} G _ {i + 1} \right| = \sqrt {\left(x _ {1} ^ {i + 1} - x _ {1} ^ {i}\right) ^ {2} + \left(y _ {1} ^ {i + 1} - y _ {1} ^ {i}\right) ^ {2} + \left(z _ {1} ^ {i + 1} - z _ {1} ^ {i}\right) ^ {2}} \tag {13} +$$ + +主索节点调节之后相邻主索节点之间的距离为 + +$$ +\left| G _ {i} ^ {\prime} G _ {i + 1} ^ {\prime} \right| = \sqrt {\left(x _ {2} ^ {i + 1} - x _ {2} ^ {i}\right) ^ {2} + \left(y _ {2} ^ {i + 1} - y _ {2} ^ {i}\right) ^ {2} + \left(z _ {2} ^ {i + 1} - z _ {2} ^ {i}\right) ^ {2}} \tag {14} +$$ + +综上所述，主索节点调节前后的相邻节点之间的距离变化幅度为 + +$$ +\lambda = \frac {\left| G _ {i} ^ {\prime} G _ {i + 1} ^ {\prime} \right| - \left| G _ {i} G _ {i + 1} \right|}{\left| G _ {i} G _ {i + 1} \right|} \tag {15} +$$ + +# 5）建立基于变步长遍历计算的单目标优化模型 + +题目中要求需要考虑反射面板的调节因素，即尽可能保证主索节点调节前后相邻主索节点之间的距离变化幅度不超过 $0.07\%$ 、促动器径向伸缩范围为 $-0.6 \sim +0.6$ 米。经过遍历试算，得到在一定情况下主索节点的伸缩距离是可以满足题目中要求的伸缩范围的，因此将其作为单目标优化模型的一个约束条件。然而，在遍历中无法找到对应某个理想抛物面在调节前后相邻主索节点之间的距离变化幅度完全小于 $0.07\%$ 。结合前文可知，本文基于将主索节点放置在所求的理想抛物面上，因此所得的理想抛物线很难满足主索节点之间距离变化幅度的限制条件，因此取最优解，使得主索节点变化幅度尽可能小，建立如下基于变步长搜索算法的单目标优化模型。 + +目标函数：取每个遍历到的理想抛物面其中的某两节点之间距离变化幅度最大，在所得的变化幅度中取最小，即 $\min (\max \lambda_{\eta})_{\gamma}$ ，其中 $\eta \gamma$ 表示模型中遍历理想抛物面的序数。 + +# 约束条件： + +a) 主索节点径向伸缩量在 $-0.6 \sim +0.6$ 米之间，即 + +$$ +\Delta r _ {i} = \left| r _ {1 i} - r _ {2 i} \right| \leqslant 0. 6 \tag {16} +$$ + +b) 模型中理想抛物面焦点变化数值符合推导的范围 + +$$ +- \frac {0 . 5}{\tan \psi} < \delta < \frac {0 . 5}{\tan \psi} \tag {17} +$$ + +c)基准状态下，所有主索节点均位于基准球面上 + +$$ +r _ {1 i} = \sqrt {x _ {1 i} ^ {2} + y _ {1 i} ^ {2} + z _ {1 i} ^ {2}} \tag {18} +$$ + +d) 顶点位于 $K$ 点的理想抛物面上任意一点的极径 + +$$ +r = \frac {2 F _ {0} \cos \theta + 2 \sqrt {F _ {0} ^ {2} \cos^ {2} \theta + F _ {0} R \sin^ {2} \theta}}{\sin^ {2} \theta} \tag {19} +$$ + +e) 其它几何关系 + +综上所述，建立单目标优化模型。 + +$$ +\min \left(\max \lambda_ {i}\right) _ {\gamma} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \Delta r _ {i} = \left| r _ {1 i} - r _ {2 i} \right| \leqslant 0. 6 \\ - \frac {0 . 5}{\tan \psi} < \delta < \frac {0 . 5}{\tan \psi} \\ r _ {1 i} = \sqrt {x _ {1 i} ^ {2} + y _ {1 i} ^ {2} + z _ {1 i} ^ {2}} \\ r = \frac {2 F _ {0} \cos \theta + 2 \sqrt {F _ {0} ^ {2} \cos^ {2} \theta + F _ {0} R \sin^ {2} \theta}}{\sin^ {2} \theta} \\ r _ {2 i} = \frac {2 F \cos \theta_ {i} + 2 \sqrt {F ^ {2} \cos^ {2} \theta_ {i} + F (R + \xi) \sin^ {2} \theta_ {i}}}{\sin^ {2} \theta_ {i}} \\ \xi \in (- 0. 6, 0. 6) \\ \left\{ \begin{array}{l} x _ {2 i} = r _ {2 i} \sin \theta_ {1 i} \cos \varphi_ {1 i} \\ y _ {2 i} = r _ {2 i} \sin \theta_ {1 i} \sin \varphi_ {1 i} \\ z _ {2 i} = r _ {2 i} \cos \theta_ {1 i} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \theta_ {1 i} = \arccos \frac {z _ {1 i}}{r _ {1 i}} \\ \varphi_ {1 i} = \arctan \frac {y _ {1 i}}{x _ {1 i}} \end{array} \right. \\ | G _ {i} G _ {i + 1} | = \sqrt {\left(x _ {1} ^ {i + 1} - x _ {1} ^ {i}\right) ^ {2} + \left(y _ {1} ^ {i + 1} - y _ {1} ^ {i}\right) ^ {2} + \left(z _ {1} ^ {i + 1} - z _ {1} ^ {i}\right) ^ {2}} \\ | G _ {i} ^ {\prime} G _ {i + 1} ^ {\prime} | = \sqrt {\left(x _ {2} ^ {i + 1} - x _ {2} ^ {i}\right) ^ {2} + \left(y _ {2} ^ {i + 1} - y _ {2} ^ {i}\right) ^ {2} + \left(z _ {2} ^ {i + 1} - z _ {2} ^ {i}\right) ^ {2}} \\ \lambda = \frac {| G _ {i} ^ {\prime} G _ {i + 1} ^ {\prime} | - | G _ {i} G _ {i + 1} |}{| G _ {i} G _ {i + 1} |} \end{array} \right. +$$ + +# 5.1.2 模型的求解 + +本文建立的基于变步长遍历计算的单目标优化模型求解的算法步骤如下： + +# Step1: 数据预处理 + +加载数据附件1和附件3。进行数据预处理，将附件1和附件3中主索节点编号进行转化，A、B、C、D、E分别转化为1、2、3、4、5，例如编号“A0”转化为“10”。 + +# Step2: 利用搜索算法遍历求解 + +设置半径 $R = 300.4m$ ，设置焦点z坐标变化量和理想抛物面顶点z坐标变化量为 + +$ddF = -0.5 / \sqrt{56.42}; 0.01: 0.5 / \sqrt{56.42}, dF = -0.6: 0.01: 0.6$ 。对 $ddF$ 和 $dF$ 进行遍历寻优。设置理想抛物面顶点到焦点的距离 $f = 0.466 \times R + ddF + dF$ 。 + +# Step3: 寻找 300 米口径范围内的点 + +判断附件1中给出的主索节点是否处于问题一中的 $300m$ 口径范围内，将范围内主索节点由三维坐标系 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 转化为球坐标系 $r$ 、 $\theta$ 、 $\varphi$ 。 $a = (\sin(\theta))^2, b = -4 \times f \times \cos(\theta), c = -4 \times f \times (R + dF)$ 。计算主索节点对应理想抛物面上点的极径为 $\left(-b + \sqrt{b^2 - 4ac}\right) / 2a$ ，并由此计算出主索节点的径向调节量和调节后的三维坐标。主索节点的最大径向调节量为 $W$ 。 + +# Step4: 计算调节前后相邻主索距离的变化幅度 + +判断附件3中4300块反射面板对应的每一主索节点是否在 $300m$ 口径范围内，若在范围内，返回此时判断的主索节点编号；若不在范围内，返回0，记录至 $FJ4$ 矩阵。若每行 $FJ4$ 矩阵中三个元素均大于零，则表示此三个元素对应的三角形整体位于 $300m$ 口径范围内，计算主索节点由基础位点改变至理想位点后相邻节点间变化幅度。最大变化幅度为 $\text{det} e$ 。 + +# Step5: 变化幅度和最大径向调节量作为约束条件 + +对最大变化幅度dete寻优，当最大变化幅度dete满足小于0.07%时判断最大径向调节量W是否满足小于0.6，记录符合条件的理想抛物面顶点位置、焦点位置、主索节点的最大径向调节量W和最大变化幅度dete。 + +# Step6: 返回 step2 变步长遍历寻优 + +调节步长，将step.5中得到焦点z坐标变化量和理想抛物面顶点z坐标变化量带入step.2，并设置小步长，得到更精确的主索节点的最大径向调节量W和最大变化幅度dete。 + +另外，由于程序运行中是将表示主索节点位置的字母转化为了数字进行储存运算，因此在最后需要利用转化的对应规则把数字再转回字母表示。此效果可以用Excel表格进行实现，问题二同理。 + +通过基于变步长策略的遍历寻优，得到的理想抛物面的参数见表1。 + +表 1 当待观测天体位于基准球面正上方时理想抛物面的参数 + +
项目数值
理想抛物面的顶点与基准球面球心的距离300.7160米
理想抛物面焦点与基准球面球心的距离160.1223米
所有促动器的最大伸缩量0.3499米
主索节点调节后,相邻节点之间的距离变化幅度最大值0.11%
相邻主索节点距离变化幅度符合0.07%所占比例54.94%
+ +得到理想抛物面的方程为（抛物线顶点相较于基准球面下降的距离为0.316米） + +$$ +x ^ {2} + y ^ {2} = 5 6 2. 3 7 4 8 (z + 3 0 0. 7 1 6) \tag {21} +$$ + +# 5.1.3结果分析 + +根据求解结果可以得知，本文所求的理想抛物面在实际工程中并不能使得工作抛物面与之完全贴近。若要使得各个反射面板的顶点（即主索节点）在理想抛物面上，则只有 $54.95\%$ 的主索符合伸缩幅度在 $0.07\%$ 的比例要求。但是，本文也得出了相邻节 + +点之间的距离变化幅度最大值为 $0.11\%$ ，也就是万分之十一，这是一个很小的量，在实际工程中与 $0.07\%$ 相差较小。因此实际工程中完全可以依照本文建立的理想抛物面进行适当的变化达到工作抛物面最为接近理想抛物面。 + +![](images/d32ab17078c74bfc72fbdaa741896ae51bf5b0565609433e6bf1dc0d620d6adf.jpg) +图13理想抛物面与基准球面主索节点变化 + +![](images/38b25bcff69a394773f0981afc1b91e30ad5ebd267a7aa3d5a06142bd9335875.jpg) +图14 主索节点变化俯视图 + +图13、图14中，绿色点表示基准球面上的点，红色点表示主索节点调节后理想抛物面上的点。俯视图中，中间为绿色说明理想抛物面在低端区域是通过促动器向下拉的，主索节点位于基准球面的下方；而周围呈现红色点覆盖，说明该区域促动器伸长，主索节点在基准球面的上方。 + +# 5.2 问题二：反射面板的调节模型研究 + +根据问题一奠定的基础，本问中确定理想抛物面的步骤可以根据坐标系的转换得出，问题二中重要的是如何计算出促动器的伸缩量以及对应的位置坐标，进而改变反射面板的形状尽量贴近理想抛物面。 + +# 5.2.1模型的建立（模型I——基于几何关系以及目标优化） + +# 1）用二维方法建立 $r_{2i}$ 与 $d_{i}$ 的对应关系 + +根据图8建立的坐标系，将基准球面和理想抛物面向 $xOz$ 平面投影，建立如图15所示的平面直角坐标系。 + +![](images/27e12d7b12733d66f6a0d73164d5c10bba23c51717e12dd8574500f30368db4a.jpg) +图15基准球面与理想抛物面投影平面示意图 + +通过投影,球面的投影为一个半圆形,方程为 + +$$ +x ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2} \tag {22} +$$ + +同理，旋转抛物面的投影为一段抛物线，方程[3]为 + +$$ +x ^ {2} = 4 F (z + R + \xi) \tag {23} +$$ + +式中， $F = 0.466R + \xi +\delta$ 。由于本文建立的理想抛物面为旋转抛物面，则方程(23)所表示的抛物线上对应的一个点在三维中可以表示为一个圆周。对称面上所有点到圆心的距离都相等，对应于图15，该距离也与图15坐标中该点到坐标原点的距离相等。 + +因对称性，本文考虑将 $ox$ 方向上的距离进行等间隔离散化，研究对应的基准球面投影和理想抛物面投影上的点。将 $ox$ 方向的150米以 $\Delta x$ 分为 $N$ 等份， $\Delta x$ 为一个微小量，将等间隔表示为 $x_{i}(i = 1\dots N)$ ，因此在 $x$ 轴的正方向上有 $N$ 个 $\Delta x$ ，即 + +$$ +N = \frac {1 5 0}{\Delta x} \tag {24} +$$ + +圆上任意一点 $G_{qi}$ 满足圆的方程 $x_{qi}^2 + z_{qi}^2 = R^2$ , $G_{qi}$ 与 $O$ 点连线的方程为 + +$$ +z = \frac {z _ {q i}}{x _ {q i}} \tag {25} +$$ + +将式(25)与投影得到的抛物线方程联立 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} z = \frac {z _ {\mathrm {q i}}}{x _ {\mathrm {q i}}} \\ x ^ {2} = 4 F (z + R + \xi) \end{array} \right. \tag {26} +$$ + +得到对应的抛物线上的坐标为 $G_{pi}(x_{pi},y_{pi})$ ，因此该点的极径表示为 + +$$ +r _ {2 i} = \sqrt {x _ {p i} ^ {2} + y _ {p i} ^ {2}} \tag {27} +$$ + +此时若使主动反射面的主索节点调节到理想抛物面上，则促动器的伸缩量为 + +$$ +\Delta r _ {i} = | R - r _ {2 i} | \tag {28} +$$ + +令抛物线顶点为 $G_{0}$ ，点 $G_{q}$ 与抛物线顶点的距离为 + +$$ +d _ {i} = \left| G _ {q i} G _ {0} \right| \tag {29} +$$ + +综上所述，可以认为 $r_{2i}$ 与每一个 $d_i$ 相对应，存在 + +$$ +r _ {2 i} = f \left(d _ {i}\right) \tag {30} +$$ + +# 2）通过几何关系计算促动器径向伸缩量 + +上文中已经建立了坐标原点在基准球面球心的球坐标系（见图8），在球坐标系下，因为待观测天体位于 $\alpha$ 角度为 $36.795^{\circ}$ ， $\beta$ 角度为 $78.169^{\circ}$ ，则通过转换求得理想抛物面的顶点坐标为 $(x_0, y_0, z_0)$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {0} = r _ {0} \sin \left(\frac {\pi}{2} - \beta\right) \cos \alpha \\ y _ {0} = r _ {0} \sin \left(\frac {\pi}{2} - \beta\right) \sin \alpha \\ z _ {0} = r _ {0} \cos \left(\frac {\pi}{2} - \beta\right) \end{array} \right. \tag {31} +$$ + +根据前文所求，计算出的理想抛物面顶点为 $G_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ ，理想抛物面上的任意 + +一点为 $G_{pi}(x_{pi},y_{pi},z_{pi})$ ，则 $\left|G_0G_{pi}\right|$ + +$$ +\left| G _ {0} G _ {p i} \right| = \sqrt {\left(x _ {p i} - x _ {0}\right) ^ {2} + \left(y _ {p i} - y _ {0}\right) ^ {2} + \left(z _ {p i} - z _ {0}\right) ^ {2}} \tag {32} +$$ + +![](images/4f3200eb25ab2b572647ee5cf9cc69ec62076268350e846e6277066c3861578e.jpg) +图16 照明区域基准球面的几何关系 + +在图16中， $r_0$ 为理想抛物面顶点到基准球面球心的距离。理想抛物面顶点到理想抛物面的距离最大值根据余弦定理可以得出 + +$$ +\left| G _ {0} G _ {p i} \right| _ {\max } = \sqrt {R ^ {2} + r _ {0} ^ {2} - 2 \cos 3 0 ^ {\circ} R r _ {0}} = 1 5 5. 5 8 0 6 \tag {33} +$$ + +由于抛物面上的点都满足 + +$$ +\left| G _ {0} G _ {p i} \right| \leqslant \left| G _ {0} G _ {p i} \right| _ {\max } \tag {34} +$$ + +根据式(33)，结合附件1可以得出对应 $G_{pi}$ 的编号。 + +在抛物面内，某点 $G_{pi}(x_{pi},y_{pi},z_{pi})$ 与理想抛物面顶点的距离 $\left|G_0G_{pi}\right| = d_i$ ，对应一个 $r_{2i}$ 。得到每一个 $G_{pi}$ 对应的一个促动器的伸缩量等于基准球面上一点到球心距离 $R$ 与该点在抛物面上所对应的 $r_{2i}$ 的差值，即径向伸缩量为 + +$$ +\Delta r _ {i} ^ {\prime} = | R - r _ {2 i} | \tag {35} +$$ + +# 3）计算促动器调节后主索节点的坐标 + +在基准球面上，某一点 $G_{qi}(x_{qi},y_{qi},z_{qi})$ 在球坐标系下的参数为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} r _ {1 i} = \sqrt {x _ {q i} ^ {2} + y _ {q i} ^ {2} + z _ {q i} ^ {2}} \\ \theta_ {1 i} = \arccos \frac {z _ {q i}}{x _ {q i}} \\ \alpha_ {1 i} = \arctan \frac {y _ {q i}}{x _ {q i}} \end{array} \right. \tag {36} +$$ + +综上所述，则促动器带动主索节点调节后，抛物面上的点 $G_{pi}^{\prime}$ 的坐标为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {p i} ^ {\prime} = r _ {2 i} \sin \theta_ {1 i} \cos \alpha_ {1 i} \\ y _ {p i} ^ {\prime} = r _ {2 i} \sin \theta_ {1 i} \sin \alpha_ {1 i} \\ z _ {p i} ^ {\prime} = r _ {2 i} \cos \theta_ {1 i} \end{array} \right. \tag {37} +$$ + +4）建立单目标优化模型（与问题一类似） + +$$ +\min \left(\max \lambda_ {i}\right) _ {\gamma} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array} { l } \Delta r _ { i } ^ { \prime } = | R - r _ { 2 i } | \\ - \frac { 0 . 5 } { \tan \psi } < \delta < \frac { 0 . 5 } { \tan \psi } \\ r _ { 1 i } = \sqrt { x _ { 1 i } ^ { 2 } + y _ { 1 i } ^ { 2 } + z _ { 1 i } ^ { 2 } } \\ r = \frac { 2 F _ { 0 } \cos \theta + 2 \sqrt { F _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + F _ { 0 } R \sin ^ { 2 } \theta } } { \sin ^ { 2 } \theta } \\ r _ { 2 i } = \frac { 2 F \cos \theta _ { i } + 2 \sqrt { F ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { i } + F ( R + \xi ) \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } { \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } \\ \xi \in ( - 0. 6, 0. 6 ) \\ \left\{ \begin{array} { l l } x _ { 2 i } = r _ { 2 i } \sin \theta _ { 1 i } \cos \varphi _ { 1 i } \\ y _ { 2 i } = r _ { 2 i } \sin \theta _ { 1 i } \sin \varphi _ { 1 i } \\ z _ { 2 i } = r _ { 2 i } \cos \theta _ { 1 i } \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array} { l l } \theta _ { 1 i } = \arccos \frac { z _ { 1 i } } { r _ { 1 i } } \\ \varphi _ { 1 i } = \arctan \frac { y _ { 1 i } } { x _ { 1 i } } \end{array} \right. \\ | G _ { i } G _ { i + 1 } | = \sqrt { ( x _ { 1 } ^ { i + 1 } - x _ { 1 } ^ { i } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } ^ { i + 1 } - y _ { 1 } ^ { i } ) ^ { 2 } + ( z _ { 1 } ^ { i + 1 } - z _ { 1 } ^ { i } ) ^ { 2 } } \\ | G _ { i } ^ { \prime } G _ { i + 1 } ^ { \prime } | = \sqrt { ( x _ { 2 } ^ { i + 1 } - x _ { 2 } ^ { i } ) ^ { 2 } + ( y _ { 2 } ^ { i + 1 } - y _ { 2 } ^ { i } ) ^ { 2 } + ( z _ { 2 } ^ { i + 1 } - z _ { 2 } ^ { i } ) ^ { 2 } } \\ \lambda = \frac {| G _ { i } ^ {\prime} G _ { i + 1} ^ {\prime} | - | G _ { i } G _ { i + 1} |}{| G _ { i } G _ { i + 1} |} \\ | G _ { 0 } G _ { p i } | \leqslant | G _ { 0 } G _ { p i } | _ {\max } \\ \left\{ \begin{array} { l l } x _ { 0 } = r _ { 0 } \sin \left( \frac { \pi } { 2 } - \beta \right) \cos \alpha \\ y _ { 0 } = r _ { 0 } \sin \left( \frac { \pi } { 2 } - \beta \right) \sin \alpha \\ z _ { 0 } = r _ { 0 } \cos \left( \frac { \pi } { 2 } - \beta \right) \\ | G _ { 0 } G _ { p i } | = \sqrt {(x _ { p i} - x _ { 0}) ^{2} + (y _ { p i} - y _ { 0})^{2} + (z _ { p i} - z _ { 0})^{2}} \end{array} \right. \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & +\end{array} \right. +$$ + +# 5.2.2模型的建立（模型Ⅱ——基于坐标系旋转） + +当天体的位置发生变化时，要实时使旋转抛物面在球面上移动，移动的目的是保证旋转抛物面的旋转轴近似始终通过天体和球心。问题二中给出天体S的方位角和仰角。可以通过坐标系旋转将Z轴旋转到天体S的方位上，使旋转抛物面轴线与天体的方位重合。旋转过程如下： + +坐标系先绕 $x$ 轴旋转的角度为 $\varphi$ ，旋转矩阵为 + +$$ +R _ {x} (\varphi) = \left( \begin{array}{l l l l} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \varphi & - \sin \varphi & 0 \\ 0 & \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \tag {39} +$$ + +坐标系再绕 $z$ 轴旋转的角度为 $\alpha$ ，旋转矩阵为 + +$$ +R _ {z} (\alpha) = \left( \begin{array}{l l l l} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \tag {40} +$$ + +坐标系再绕 $y$ 轴旋转的角度为 $\gamma$ ，旋转矩阵为 + +$$ +R _ {\nu} (\gamma) = \left( \begin{array}{c c c c} \cos \gamma & 0 & \sin \gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \sin \gamma & 0 & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \tag {41} +$$ + +有了两坐标系之间的坐标旋转矩阵，则同一点的位置在新旧两坐标系之间的变换公式为 + +$$ +p ^ {\prime} = R _ {y} (\gamma) R _ {x} (\alpha) R _ {z} (\varphi) p \tag {42} +$$ + +式中， $p^{\prime} = (x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}1)^{T},p = (xyz1)^{T}$ + +根据以上公式可得： + +$$ +\binom {x ^ {\prime}} {y ^ {\prime}} = \binom {\cos \gamma [ x \cos \alpha - (y \cos \varphi - z \sin \varphi) \sin \alpha ] + \sin \gamma (y \sin \varphi + z \cos \varphi)} {x \sin \alpha + (y \cos \varphi - z \sin \varphi) \cos \alpha} \\ - \sin \gamma [ x \cos \alpha - (y \cos \varphi - z \sin \varphi) \sin \alpha ] + \cos \gamma (y \sin \varphi + z \cos \varphi) \tag {43} +$$ + +通过上述坐标转换方法，经过转换后的坐标满足问题一建立的抛物面方程： $x^{2} + y^{2} = 4(F_{0} + \xi +\delta)(z + R + \xi)$ ，将上述求得的 $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ 代入即可得到旋转后的空间直角坐标系下的抛物面方程。 + +又可通过 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = r \sin \theta \cos \alpha \\ y = r \sin \theta \sin \alpha \\ z = r \cos \theta \end{array} \right. \tag {44} +$$ + +将空间直角坐标系下的抛物面方程转化为球坐标系下的方程。 + +由于时间关系，模型Ⅱ仅给出了坐标旋转方案下的模型，具体的求解过程本文不再列出。 + +# 5.2.3模型的求解 + +基于模型I求解，第二问的模型求解建立在模型一结果之上，其处理过程运用了问题一的优化算法。具体的算法步骤如下： + +# Step1: 数据预处理 + +加载数据附件1和附件3。进行数据预处理，将附件1和附件3中主索节点编号进行转化，A、B、C、D、E分别转化为1、2、3、4、5，例如编号“A0”转化为“10”。求出出主索节点距离理想抛物面顶点的距离d1与此主索节点调节至理想抛物面后与坐标原点的径向距离d之间的关系记为ZZZ。 + +# Step2：问题一中优化模型的引用 + +设置半径 $R = 300.4m$ ，对问题一中优化模型结果引用，设置焦点z坐标变化量和 + +理想抛物面顶点 $z$ 坐标变化量为 $ddF = 0.2913$ 、 $dF = 0.316$ 。设置理想抛物面顶点到焦点的距离 $f = 0.466 \times R + ddF + dF$ 。通过程序计算得到理想抛物面顶点坐标为(49.3719, 36.9282, 294.3278)。 + +# Step3：寻找 $300m$ 口径范围内点并寻找调节后理想点位 + +判断附件1中给出的主索节点距理想抛物面顶点距离是否处于 $155.5806m$ 范围内，将范围内主索节点记录其对应编号，并由三维坐标系 $x, y, z$ 转化为球坐标系 $r, \theta, \varphi$ ，计算出主索节点与理想抛物面顶点的距离为 $d1$ 。通过step.1中关系ZZZ计算主索节点对应理想抛物面上点的极径为 $d$ ，并由此计算出对应于主索节点编号的径向调节量和调节后的三维坐标。主索节点的最大径向调节量为 $W$ 。 + +# Step4: 寻找 $300m$ 口径范围内主索节点连接方式 + +判断附件3中4300块反射面板对应的每一主索节点是否在 $300m$ 口径范围内，若在范围内，返回此时判断的主索节点编号；若不在范围内，返回0，记录至FJ4矩阵。 + +# Step5: 计算调节前后变化幅度 + +若每行FJA矩阵中三个元素均大于零，则表示此三个元素对应的三角形整体位于 $300m$ 口径范围内，计算主索节点由基础位点改变至理想位点后相邻节点间距离变化幅度。最大变化幅度为dete。 + +# 5.2.4结果分析 + +利用变步长的搜索算法编程求解得到理想抛物面的顶点坐标为 + +表 2 问题二中理想抛物面的顶点坐标 + +
坐标X坐标Y坐标Z坐标
数值-49.3719-36.9282-294.3278
+ +经过促动器调节后，主动反射面300米口径内的主索节点编号、主索节点位置坐标、各个促动器的伸缩量本文中只展示一部分，见表3、表4，其它数据按规定的格式存入附件材料“result.xlsx”文件中。 + +表 3 调整后主索节点编号及坐标部分结果展示 (详见附件材料) + +
节点编号X 坐标Y 坐标Z 坐标
E3-15.995569125.197444869-299.9545742
A2-12.2051760616.79956248-299.6019617
A5-6.10445427725.22176331-299.1070659
A66.10327653825.21689725-299.0493588
B418.2773090825.15661395-298.5058035
B522.094122513.59544541-299.0217654
B625.867276521.988430037-299.0397934
C429.57825845-9.60967648-298.5557711
C519.76531215-16.81726762-299.1383598
........................
+ +表 4 问题二促动器顶端伸缩量部分结果展示 + +
对应主索节点编号伸缩量（米）对应主索节点编号伸缩量（米）
A00.046513358A10.05554871
B10.135517777A30.146793043
C10.105140218B20.216105767
D1-0.004676079B30.186055354
E1-0.041731677C20.16811858
........................
+ +此时，300米口径的照明区域在主动反射面上的位置如图17所示。 + +![](images/cf6c63e574b6d53a07a8557e21967f73cb0f1b547f603d9068101d978e14bce6.jpg) +图17工作抛物面在主动反射面上的位置 + +根据图17，主动反射面上的其它主索节点由红色表示，照明区域用蓝色表示并用MATLAB中的trimesh函数连接，由于自动连接的原因，导致工作抛物面边界区域的连接与实际情况不符，无法避免。在此只展示了大体的位置及范围，详细的坐标见附件材料“result.xlsx”文件。根据图17中蓝色区域的走向，与待测天体的方向一致， + +从侧面验证了模型及求解结果的正确性。 + +# 5.3 问题三：计算主索节点调节后馈源舱的接收比 + +根据题目及前文建立的模型，每一个反射面板都是平面的，因此，入射电磁波信号经过反射面板反射仍然为平行信号。通过试算，得到单个反射面板的面积约为50平方米，然而，馈源舱的接收面积约为3平方米，可见一个单独的反射面板的面积远超馈源舱接收平板的面积，见图18。在解问题三之前，本文首先假设对于一个反射面板所反射的平行信号柱能够完全覆盖馈源舱（即 $100\%$ 射中）。因此，计算主索节点调节之后的馈源舱接收比的问题转化为计算各次馈源舱面积之和与入射平行面板有效的平行信号柱面积之比。 + +![](images/7737e7df56e66e8032760c32869ec231d72d820e89eae2384d09d9fbfa48ec86.jpg) +图18 反射面板反射电磁波到馈源舱的示意图 + +# 5.3.1模型的建立 + +# 1)求理想抛物面上的信号接收比: + +设主动反射面300米口径内反射面板的个数为 $N$ ，某反射面板的法向量与入射电磁波方向的夹角为 $\theta_{i}$ 。根据接收比的定义，得到 + +$$ +p = \frac {N \times S ^ {\prime}}{\sum_ {i = 1} ^ {N} S _ {i} \cos \theta_ {i}} \tag {45} +$$ + +式中， $S^{\prime}$ 表示馈源舱平面直径为1米平板圆盘的面积； $N$ 表示反射面板的个数； $S_{i}$ 表示单个反射面板的面积。 + +以下求反射面板（三角形）的面积： + +300米口径内三角形板的顶点坐标已知，每个三角形平板的面积可用海伦公式计算，设三角形三个顶点分别为A,B,C。顶点之间的距离分别为a，b，c。 + +$$ +a = A B = \sqrt {\left(x _ {1} - x _ {2}\right) ^ {2} + \left(y _ {1} - y _ {2}\right) ^ {2} + \left(z _ {1} - z _ {2}\right) ^ {2}} \tag {46} +$$ + +根据上式， $b$ ，c同理，有两点之间的距离公式推出。 + +由著名的海伦公式，反射平板三角形的面积为 + +$$ +S = \sqrt {p (p - a) (p - b) (p - c)} \tag {47} +$$ + +上式中， $p$ 为周长的一半 + +$$ +p = \frac {a + b + c}{2} \tag {48} +$$ + +该三角形的法向量为 $\vec{n}$ ，可由三角形两条边的向量叉乘得到，三角形两条边得向量为 $\vec{a},\vec{b}$ ，其中 + +$$ +\vec {a} = \overrightarrow {A B} = \left(a _ {x}, a _ {y}, a _ {z}\right) = \left(x _ {2} - x _ {1}, y _ {2} - y _ {1}, z _ {2} - z _ {1}\right) \tag {49} +$$ + +$$ +\vec {b} = \overrightarrow {A C} = (b _ {x}, b _ {y}, b _ {z}) = (x _ {3} - x _ {1}, y _ {3} - y _ {1}, z _ {3} - z _ {1}) +$$ + +法向量 $\pmb{\pi}$ 等于三角形两条边向量的叉积 + +$$ +\vec {n} = \overrightarrow {A B} \times \overrightarrow {A C} = \vec {a} \times \vec {b} = \left(a _ {y} b _ {x} - a _ {z} b _ {y}, a _ {x} b _ {x} - a _ {x} b _ {x}, a _ {x} b _ {y} - a _ {y} b _ {x}\right) \tag {50} +$$ + +从天体发出来的电磁波的单位向量为 + +$$ +\vec {l} _ {0} = (\cos \beta \cos \alpha , \cos \beta \sin \alpha , \sin \beta) \tag {51} +$$ + +从天体发出得光线与三角形面板的法向量所夹角度为 $\theta$ ， $\theta$ 满足 + +$$ +\cos \theta = \cos \left\langle \vec {n}, \vec {l} _ {0} \right\rangle = \frac {\vec {n} \cdot \vec {l} _ {0}}{| \vec {n} | | \vec {l} _ {0} |} \tag {52} +$$ + +# 2）求基准球面的信号接收比： + +平行光线入射到球面上后，反射光线会汇集到一个焦点上，焦距 $f = R / 2 > 0.466R$ ，说明球面的焦点在馈源舱的上方，反射光线只有与馈源舱的圆形平板相交，馈源舱有效区域接收到信号，反射光线与圆形平板之间存在一个临界状态，使反射光线与平板恰好相交，在此临界之内，基准球面上的三角形面板反射的光线可以达到有效区域，临界之外的达不到，寻找这个临界之内所有点的编号和三角形，通过上述建立的旋转抛物面计算接收信号比的模型，计算基准反射球面的接收比。 + +临界状态和可行点的确定： + +将基准反射球面向X0Z方向投影，建立如下的平面直角坐标系： + +![](images/47560692e8a54a0e43a49530d68041c7e6d099debb19c48146c4d2a4abcce135.jpg) +图19 求基准球面信号接收比的平面直角坐标系 + +球面焦点 $F$ 的坐标为 $\left(0, -\frac{R}{2}\right)$ ，圆盘的边界点 $P'$ 坐标为 $(0.5, -0.534R)$ ，圆方程为 $X^2 + Z^2 = R^2$ ，通过直线 $FP'$ 与圆方程联立求得交点 $Gq = (x_q, z_q)$ 。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} Z + \frac {R}{2} = - \frac {0 . 0 3 4 R}{0 . 5} X \\ X ^ {2} + Z ^ {2} = R ^ {2} \end{array} \right. \tag {53} +$$ + +抛物面的顶点坐标为 $G_{0} = (x_{0},y_{0})$ ，点 $\pmb{G}_{q}$ 到顶点 $\pmb{G_0}$ 的距离为 + +$$ +\left| G q G _ {0} \right| = \sqrt {\left(x _ {q} - x _ {0}\right) ^ {2} + \left(y _ {q} - y _ {0}\right) ^ {2}} \tag {54} +$$ + +在空间直角坐标系中，若 $G_{q}(x_{q},y_{q},z_{q})$ 到抛物面顶点 $G_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ 的距离 $|G_0G_q|\leqslant |G_0G_q|$ ，则说明光线经过该点反射，反射光线可以落回有效接收区域内。 + +馈源舱接收比的计算： + +计算方法与计算抛物面对应的馈源舱接收比的方法相同，设基准球面内有 $N^{\prime}$ 个三角形面板，光线可反射回馈源舱的可行面板个数为 $\pmb{n}^{\prime}$ 个。馈源舱接收比为 $\pmb{p}^{\prime}$ 。 + +$$ +p ^ {\prime} = \frac {n ^ {\prime} S _ {\text {有 效}}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} S _ {i} \cos \theta_ {i}} \tag {55} +$$ + +# 5.3.2模型的求解及结果分析 + +根据建立的模型，算法设计如下： + +# Step1: 加载数据 + +将问题二得到的 $300m$ 口径范围内主索节点编号、坐标、调节后的理想位置坐标以及范围内每块反射面板的三个主索节点对应编号保存至文件夹，并在此进行加载用于问题三。设置 $af = 36.795^{\circ}$ 、 $bt = 78.169^{\circ}$ 、 $R = 300.4$ 。 + +# Step2: 面积及角度计算 + +已知每块反射面板的三个主索节点在理想点位的坐标，计算 $300m$ 口径范围内每块反射面板的面积和每块反射面板的法向量，由 $af = 36.795^{\circ}bt = 78.169^{\circ}$ 可得到与天体电磁波信号同向的单位向量，计算出两个向量的夹角 $\theta$ 。 + +# Step3: 调节后馈源舱接收比计算 + +馈源舱接收比为馈源舱有效区域接收到的反射信号与 $300m$ 口径内反射面的反射信号之比，转化为面积比为 $n \times \pi \times 0.5^2 / \sum_{i=1}^{n} (s_i \times \cos(\theta_i))$ ，其中 $n$ 为 $300m$ 口径范围内的反射面板个数。 + +# Step4：调节前馈源舱接收比计算 + +已知球面焦距为 $R / 2$ ，即在理想状况下一束光线射入球面，反射光线会交于 $R / 2$ 处一点。此点与馈源舱所处位置相差较远以至在理想状况下仅有约 $12m$ 口径范围内天体电磁波信号能进入馈源舱，但反射面板在球面上分块铺设，通过设置修正因子对馈源舱接收到信号进行修正，求得调节前馈源舱接收比。 + +求解得调节后馈源舱的接收比为0.0153；调节前（基准反射球面）馈源舱的接收比为0.0053。因此，调节后提高了馈源舱的电磁波信号接收比，经结果分析，符合工程实际。 + +# 六、敏感度分析 + +本文对问题一进行敏感度分析，结合考虑反射面板调节因素，通过调节促动器的径向伸缩量，将基准球面调节为理想抛物面，在确定的理想抛物面顶点和焦点的情况下，该理想抛物面上的点由基准球面上的点经过伸缩转变过来，所有点的伸缩量都必须在 $-0.6 \sim +0.6$ 之间，并且其中存在一个最大的伸缩量。现研究在理想抛物面焦点不变 + +的情况下, 将顶点的位置上下移动 $0.6 \mathrm{~m}$ , 所对应的最大径向伸缩量的变化情况。 + +![](images/506a35e4ec91d88fc6eb18092767cc77f5a56152b8cbbdbd25105426388efa49.jpg) +图20 敏感度分析结果图 + +上图是顶点坐标上下移动 $0.6\mathrm{m}$ ，最大径向伸缩量的变化情况。顶点移动距离为正时，此时顶点是向下移动，顶点移动距离为负时，此时顶点式向上移动。由图中可以看出，顶点向上移的过程中，随着抛物面顶点向上移动距离的增大，最大径向伸缩量呈线性增加；顶点向下移的过程中，随着抛物面顶点向下移动距离的增大，最大径向伸缩量先线性减小，减小到当下移移动距离为 $0.34\mathrm{m}$ 时，最大径向伸缩量最小为 $0.34\mathrm{m}$ ，之后随着抛物面下移移动距离的增大，最大径向伸缩量呈线性增加。因此最大径向伸缩量对于抛物面顶点移动距离较敏感。 + +由上述最大径向伸缩量随抛物面顶点移动距离的变化情况可以得出，每次改变顶点位置都可以稳定的得出最大径向伸缩量，说明模型的稳定性好， + +# 七、模型的评价与推广 + +# 7.1模型的优点 + +1.本文将主索节点的变化值直接用极径的变化来计算，符合实际情况，在主索节点径向距离变化的求解方面较为精确。 +2.本文建立的是基于三维分析的模型，与工程实际非常吻合，经过灵敏度分析得到模型的稳健性好，使用范围广。 + +# 7.2模型的缺点 + +1.由于专业知识的欠缺以及题目假设条件导致的简化，本文件建立的模型无法完全仿真FAST主动反射面的控制情况。 +2.问题三中将反射面板反射的信号完全覆盖了馈源舱接收信号的区域，虽然引入了修正系数，但在实际中仍有一定的误差。 + +# 7.3模型的推广 + +1.模型可以较为真实的模拟出大面积动态信号反射面板的反射状况，可以用于远距离测距。 + +2. 模型可以推广到汇聚光线的设备，比如大口径的新能源太阳能聚光换热器、太阳能聚焦热电站，通过本文建立的模型可以根据一天中太阳角度的变化，调节主动反射面使得太阳光汇聚的效率最高。 + +# 八、参考文献 + +[1]南仁东.500m球反射面射电望远镜FAST[J].中国科学G辑:物理学、力学、天文学,2005(05):3-20. +[2]孙纯，朱丽春，于东俊. FAST主反射面节点运动控制算法[J].科学技术与工程，2012(03):17-21. +[3]朱丽春.500米口径球面射电望远镜(FAST)主动反射面整网变形控制[J].科研信息化技术与应用，2012(04):69-77. +[4]刘钰.大口径射电望远镜反射面支承机构研究[D].上海交通大学，2014. + +附录 + +
附录1
附件清单
1. 问题1主程序
2. 问题1图像生成程序
3. 问题2程序一
4. 问题2程序二
5. 问题3程序一
6. 问题3程序二
7. 灵敏度分析程序
8. 问题一主索节点之间距离变化幅度符合要求的情况
9. 程序运行所需数据文件(.mat)
+ +
附录2
问题1主程序
clc%问题一主程序
clear
load('FJ11.mat')
load('FJ3.mat')
load('FJ12.mat')
R=300.4;
ddF=0.2713:0.001:0.2913;
for e=1:length(ddF)
F=0.466*R+ddF(e);
dF=0.31:0.001:0.33;
w=10000000000;
for i=1:length(dF)
f=dF(i)+F;
c=-4*f*(R+dF(i));
n=1;
for j=1:length(FJ11)
r2(j,1)=sqrt((FJ11(j,1))^2+(FJ11(j,2))^2);
if r2(j,1<=150
FJ111(n,1)=FJ11(j,1);
FJ111(n,2)=FJ11(j,2);
FJ111(n,3)=FJ11(j,3);
FJ111(n,4)=FJ12(j,1);
n=n+1;
end
end
+ +```matlab +for k=1:length(FJ111) +r1(k,1)=sqrt((FJ111(k,1))^2+(FJ111(k,2))^2+(FJ111(k,3))^2); +sita1(k,1)=acos(FJ111(k,3)/r1(k)); +fail(k,1)=atan(FJ111(k,2)/FJ111(k,1)); +a=(sin(sita1(k,1)))^2; +b=-4*f*cos(sita1(k,1)); +r1(k,2)=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); +r1(1,2)=dF(i)+r1(1,1); +r1(k,3)=r1(k,1)-r1(k,2); +r1(k,4)=r1(k,2)*sin(sita1(k,1))*cos(fail(k,1)); +r1(1,4)=0; +r1(k,5)=r1(k,2)*sin(sita1(k,1))*sin(fail(k,1)); +r1(1,5)=0; +r1(k,6)=r1(k,2)*cos(sita1(k,1)); +end +r(:,1)=r1(:,3); +W(i)=max(max(abs(r)); +for l=1:3 + for m=1:4300 + x(m)=ismember(FJ3(m,l),FJ111(:,4)); + if x(m)>0 + FJ4(m,l)=FJ3(m,l); + else + FJ4(m,l)=0; + end + end +end +tz1(:,1:3)=FJ111(:,1:3); +tz2(:,1:3)=r1(:,4:6); +tzl=tz1./abs(tzl); +tzl(isnan(tzl)) = 1; +tz2=abs(tz2).*tzl; +r1(:,4:6)=tz2(:,1:3); + for M=1:length(FJ4) + if FJ4(M,1)>5 && FJ4(M,2)>5 && FJ4(M,3)>5 + [A,B]=find(FJ111(:,4) == FJ4(M,1)); + [A1,B1]=find(FJ111(:,4) == FJ4(M,2)); + [A2,B2]=find(FJ111(:,4) == FJ4(M,3)); + len(M,1)=sqrt((FJ11(A,1)-FJ111(A1,1))^2+(FJ11(A,2)-FJ11(A2,2))^2+(FJ11(A,3)-FJ11(A2,3))^2); +``` + +```matlab +len(M,3)=sqrt( (FJ111(A1,1)-FJ111(A2,1))^2+ (FJ111(A1,2)- FJ111(A2,2))^2+(FJ111(A1,3)-FJ111(A2,3))^2); lenl(M,1)=sqrt( (r1(A,4)-r1(A1,4))^2+(r1(A,5)-r1(A1,5))^2 + (r1(A,6)-r1(A1,6))^2); lenl(M,2)=sqrt( (r1(A,4)-r1(A2,4))^2+(r1(A,5)-r1(A2,5))^2+(r1(A,6)-r1(A2,6))^2); lenl(M,3)=sqrt( (r1(A1,4)-r1(A2,4))^2+(r1(A1,5)-r1(A2,5))^2+(r1(A1,6)-r1(A2,6))^2); det(M,1)=abs(lenl(M,1)-len(M,1))/len(M,1); det(M,2)=abs(lenl(M,2)-len(M,2))/len(M,2); det(M,3)=abs(lenl(M,3)-len(M,3))/len(M,3); end end dete(i)=max(max(det)); lv(i)=abs(sum(len)-sum(len)/sum(len); if detect(i)<=w w=dete(i); cc=W(i); o=dF(i)+R; o1=r1; oo=0.534*R-ddF(e); ooo=det; oooo=lv(i); di=tz2; dii=det; end end end end end aa=1-sum(sum(ooo>0.0007))/numel(ooo); disp('理想抛物面顶点距离原点长度为：') disp(o) disp('焦点距离原点长度为：') disp(oo) disp('促动器最大伸缩量为：') disp(cc) disp('将基础球面调节至理想抛物面节点间距离最大变化幅度：') disp(w) disp('所有节点间距离整体变化幅度：') disp(ooo) disp('节点间距离变化幅度合格率：') +``` + +```matlab +disp(aa) +x3=di(:,1); +y3=di(:,2); +z3=di(:,3); +scatter3(x3,y3,z3,3,'*','g') +hold on +x1=FJ111(:,1); +y1=FJ111(:,2); +z1=FJ111(:,3); +scatter3(x1,y1,z1,15,'',r') +%以下为对变化幅度不满足条件的主索节点编号的记录 +for Y=1:3 + for X=1:length(dii) + if dii(X,Y)>0.0007 + diii(X,Y)=1; + else + diii(X,Y)=0; + end +end +end +end +for t=1:length(dii) + if diii(t,1)>0 + MA(t,1)=FJ4(t,1); + MA(t,2)=FJ4(t,2); + end + if diii(t,2)>0 + MA(t,2)=FJ4(t,2); + MA(t,3)=FJ4(t,3); + end + if diii(t,3)>0 + MA(t,1)=FJ4(t,1); + MA(t,3)=FJ4(t,3); + end +end +``` + +# 附录3 + +问题1图像生成程序 + +clc%问题一图像生成 + +clear + +load(FJ11.mat') + +```matlab +load('FJ111.mat') +x3=FJ111(:,1); +y3=FJ111(:,2); +z3=FJ111(:,3); +tr = delaunay(x3,y3); +trimesh(tr,x3,y3,z3); +colormap winter +hidden off +hold on +x=FJ11(:,1); +y=FJ11(:,2); +z=FJ11(:,3); +scatter3(x,y,z,1,'*','r') +``` + +```txt +附录4 +问题2程序一 +clc%问题二程序一（数据预处理） +clear +R=300.4; +x1=-R:0.00001:-0.0001; +for m=1:length(x1) +y1(m)=-sqrt(R^2-(x1(m))^2); +d1(m)=sqrt((x1(m))^2+(y1(m)+300.7160)^2); +a=1; +b=-562.3748*y1(m)/x1(m); +c=-169115.100357; +x(m)=-b-sqrt(b^2-4*a*c)/2; +y(m)=x(m)*y1(m)/x1(m); +d(m)=sqrt((x(m))^2+(y(m))^2); +end +plot(d1,d); +ZZZ=spline(d1,d); +``` + +```txt +附录5 +问题2程序二 +clc%问题二程序二clearload(FJ11.mat')load(FJ3.mat')load(FJ12.mat') +``` + +```matlab +load('ZZZ.mat') +R=300.4; +ddF=0.2913; +for e=1:length(ddF) +F=0.466*R+ddF(e); +dF=0.316; +w=10000000000; +for i=1:length(dF) +f=dF(i)+F; +n=1; +for j=1:length(FJ11) +r2(j,1)=sqrt((FJ11(j,1)+49.3719)^2+(FJ11(j,2)+36.9282)^2+(FJ11(j,3)+294.3278)^2); +if r2(j,1)<=155.5806 + FJ111(n,1)=FJ11(j,1); + FJ111(n,2)=FJ11(j,2); + FJ111(n,3)=FJ11(j,3); + FJ111(n,4)=FJ12(j,1); + FJ111(n,5)=sqrt((FJ111(n,1)+49.3719)^2+(FJ111(n,2)+36.9282)^2+(FJ111(n,3)+294.3278)^2); + n=n+1; +end +end +ZZ=FJ111(:,5); +tem=ppval(ZZZ,ZZ); +tem(132)=300.716; +for k=1:length(FJ111) +r1(k,1)=sqrt((FJ111(k,1))^2+(FJ111(k,2))^2+(FJ111(k,3))^2); +sita1(k,1)=acos(FJ111(k,3)/r1(k)); +fail(k,1)=atan(FJ111(k,2)/FJ111(k,1)); +r1(k,2)=tem(k); +r1(k,3)=r1(k,1)-r1(k,2); +r1(k,4)=r1(k,2)*sin(sita1(k,1))*cos(fail(k,1)); +r1(1,4)=0; +r1(k,5)=r1(k,2)*sin(sita1(k,1))*sin(fail(k,1)); +r1(1,5)=0; +r1(k,6)=r1(k,2)*cos(sita1(k,1)); +end +r(:,i)=r1(:,3); +W(i)=max(max(abs(r))); +for l=1:3 + for m=1:4300 + x(m)=ismember(FJ3(m,l),FJ11l(:,4)); +``` + +if $\mathrm{x(m)} > 0$ FJ4(m,l) $=$ FJ3(m,l); else FJ4(m,l) $= 0$ end end end end tz1(:,1:3)=FJ111(:,1:3); tz2(:,1:3)=r1(:,4:6); tz1=tz1./abs(tz1); tz1(isnan(tz1)) $= 1$ . tz2=abs(tz2).*tz1; r1(:,4:6)=tz2(:,1:3); for M=1:length(FJ4) if FJ4(M,1)>5 && FJ4(M,2)>5 && FJ4(M,3)>5 [A,B] $=$ find(FJ111(:,4) $\equiv =$ FJ4(M,1)); [A1,B1] $=$ find(FJ111(:,4) $\equiv =$ FJ4(M,2)); [A2,B2] $=$ find(FJ111(:,4) $\equiv =$ FJ4(M,3)); len(M,1)=sqrt( (FJ111(A,1)-FJ111(A1,1))^2+ (FJ111(A,2)- FJ111(A1,2))^2 + (FJ111(A,3)-FJ111(A1,3))^2 ); len(M,2)=sqrt( (FJ111(A,1)-FJ111(A2,1))^2+ (FJ111(A,2)- FJ111(A2,2))^2 + (FJ111(A,3)-FJ111(A2,3))^2 + (FJ111(A,4)-r1(A,4))^2+(r1(A,5)-r1(A,5))^2 + (r1(A,6)-r1(A,6))^2 + (r1(A,7)-r1(A,7))^2 + (r1(A,8)-r1(A,8))^2 + (r1(A,9)-r1(A,9))^2 + (r1(A,10)-r1(A,10))^2 + (r1(A,11)-r1(A,11))^2 + (r1(A,12)-r1(A,12))^2 + (r1(A,13)-r1(A,13))^2 + (r1(A,14)-r1(A,14))^2+(r1(A,15)-r1(A,15))^2 + (r1(A,16)-r1(A,16))^2 + (r1(A,17)-r1(A, 2^{\prime}))^{2} + (r1(A, 3)^{2} - r_{\mathrm{I}}(A,\mathrm{I}) - r_{\mathrm{I}}(A,\mathrm{I}) - r_{\mathrm{I}}(A,\mathrm{I}) - r_{\mathrm{I}}(A,\mathrm{I}) - r_{\mathrm{I}}(A,\mathrm{I}) - r_{\mathrm{I}}(A,\mathrm{I}) - r_{\mathrm{I}}(A,\mathrm{I}) - r_{\mathrm{I}}( + +```matlab +oo=0.534*R-ddF(e); +ooo=det; +oooo=lv(i); +di=tz2; +end +end +end +end +aa=1-sum(sum(ooo>0.0007))/numel(ooo); +disp('理想抛物面顶点距离原点长度为：') +disp(o) +disp('焦点距离原点长度为：') +disp(oo) +disp('促动器最大伸缩量为：') +disp(cc) +disp('将基础球面调节至理想抛物面节点间距离最大变化幅度：') +disp(w) +disp('所有节点间距离整体变化幅度：') +disp(ooo) +disp('节点间距离变化幅度合格率：') +disp(aa) +x3=di(:,1); +y3=di(:,2); +z3=di(:,3); +scatter3(x3,y3,z3,3,'*','g') +hold on +x1=FJ111(:,1); +y1=FJ111(:,2); +z1=FJ111(:,3); +scatter3(x1,y1,z1,15,'',r') +figure +x1=FJ111(:,1); +y1=FJ111(:,2); +z1=FJ111(:,3); +trl = delaunay(x1,y1); +trimesh(trl,x1,y1,z1); +colormap winter +hidden off +hold on +x=FJ11(:,1); +y=FJ11(:,2); +z=FJ11(:,3); +scatter3(x,y,z,1,'*','r') +``` + +```txt +附录6 +问题3程序一 +clc%问题三程序一 +clear +load('di.mat') +load('FJ4.mat') +load('FJ111.mat') +load('r1.mat') + af=pi*36.795/180; + bt=pi*78.169/180; + n=0; +for M=1:length(FJ4) + if FJ4(M,1)>5 && FJ4(M,2)>5 && FJ4(M,3)>5 + [A3,B3] = find(FJ111(:,4) == FJ4(M,1)); + [A1,B1] = find(FJ111(:,4) == FJ4(M,2)); + [A2,B2] = find(FJ111(:,4) == FJ4(M,3)); + len1(M,1)=sqrt((r1(A3,4)-r1(A1,4))^2+(r1(A3,5)-r1(A1,5))^2+(r1(A3,6)-r1(A1,6))^2); + len1(M,2)=sqrt((r1(A3,4)-r1(A2,4))^2+(r1(A3,5)-r1(A2,5))^2+(r1(A3,6)-r1(A2,6))^2); + len1(M,3)=sqrt((r1(A1,4)-r1(A2,4))^2+(r1(A1,5)-r1(A2,5))^2+(r1(A1,6)-r1(A2,6))^2); + len(M,1)=sqrt((FJ111(A3,1)-FJ111(A1,1))^2+(FJ111(A3,2)-FJ111(A1,2))^2+(FJ111(A3,3)-FJ111(A3,3))^2+(FJ111(A3,4)-FJ111(A3,4))^2+(FJ111(A3,5)-FJ111(A3,5))^2+(FJ111(A3,6)-FJ111(A3,6))^2+(FJ111(A3,7)-FJ111(A3,7))^2+(FJ111(A3,8)-FJ111(A3,8))^2+(FJ111(A3,9)-FJ111(A3,9))^2+(FJ111(A3,9)^2+(FJ111(A3,9)^2+(FJ111(A3,9)^2+(FJ111(A3,9)^2+(FJ111(A3,9)^2+(FJ111(A3,9)^2+(FJ111(A3,9)^2+(FJ111(A3,9)^2+(FJ111(A3,9)^2+(F)P(0)=lenl(M, 0)+lenl(M, 0)+lenl(M, 0)/2; + lenl(M,3)) + ax(M)=r1(A2,4)-r1(A1,4); + ay(M)=r1(A2,5)-r1(A1,5); + az(M)=r1(A2,6)-r1(A1,6); + bx(M)=r1(A3,4)-r1(A1,4); + by(M)=r1(A3,5)-r1(A1,5); + bz(M)=r1(A3,6)-r1(A1,6); + sital(M, 0)=acos((ay(M)*bz(M)-az(M)*by(M))*cos(bt)*cos.af)+(az(M)*bx(M)-az(M)*bx(M))-ax(M)*by(M)*sin(bt)) +/sqrt((ay(M)*bz(M)-az(M)*by(M))^2+ (az(M)*bx(M)-ax(M)*bz(M))^2+ (ax(M)*by(M)-ax(M)*bx(M))^2+ (ax(M)*by(M)- +``` + +```matlab +sita1(M,2)=abs(cos(sita1(M,1))); +s1(M,2)=s1(M,1)*sita1(M,2); +if s1(M,2)>0 +n=n+1; +end +end +end +d=n*pi*0.5^2/sum(s1(:,2)); +disp('调节后馈源舱的接收比为') +disp(d) +``` + +附录7 +问题3程序二 +clc%问题三程序二 +clear +load('di.mat') +load('FJ4.mat') +load('FJ111.mat') +load('r1.mat') +af=pi*36.795/180; +bt=pi*78.169/180; +n=0; +for M=1:length(FJ4) +if FJ4(M,1)>5 && FJ4(M,2)>5 && FJ4(M,3)>5 +[A3,B3]=find(FJ111(:,4)=FJ4(M,1)); +[A1,B1]=find(FJ111(:,4)=FJ4(M,2)); +[A2,B2]=find(FJ111(:,4)=FJ4(M,3)); +len1(M,1)=sqrt((r1(A3,4)-r1(A1,4))^2+(r1(A3,5)-r1(A1,5))^2+(r1(A3,6)-r1(A1,6))^2); +len1(M,2)=sqrt((r1(A3,4)-r1(A2,4))^2+(r1(A3,5)-r1(A2,5))^2+(r1(A3,6)-r1(A2,6))^2); +len1(M,3)=sqrt((r1(A1,4)-r1(A2,4))^2+(r1(A1,5)-r1(A2,5))^2+(r1(A1,6)-r1(A2,6))^2); +len(M,1)=sqrt((FJ111(A3,1)-FJ111(A1,1))^2+(FJ111(A3,2)-FJ111(A3,2))^2+(FJ111(A3,3)-FJ111(A3,3))^2); +len(M,2)=sqrt((FJ111(A3,1)-FJ111(A2,1))^2+(FJ111(A3,2)-FJ111(A3,2))^2+(FJ111(A3,3)-FJ111(A2,3))^2); +len(M,3)=sqrt((FJ111(A1,1)-FJ111(A2,1))^2+(FJ111(A1,2)-FJ111(A2,2))^2+(FJ111(A2,3))^2); +p( $M =$ (lenl(M, 1)+lenl(M, 2)+lenl(M, 3))/2; +s( $M =$ sqrt(p( $M =$ p( $M -$ lenl(M, 1))\*(p( $M -$ lenl(M, 2))\*(p( $M -$ lenl(M, 3)) + +ax(M) $=$ r1(A2,4)-r1(A1,4); ay(M) $=$ r1(A2,5)-r1(A1,5); az(M) $=$ r1(A2,6)-r1(A1,6); bx(M) $=$ r1(A3,4)-r1(A1,4); by(M) $=$ r1(A3,5)-r1(A1,5); bz(M) $=$ r1(A3,6)-r1(A1,6); sita1(M,1)=acos( (ay(M)*bz(M)-az(M)*by(M))*cos(bt)*cos.af) + (az(M)*bx(M)-ax(M)*bz(M))*cos(bt)*sin.af) + (ax(M)*by(M)-ay(M)*bx(M))*sin(bt)) /sqrt((ay(M)*bz(M)-az(M)*by(M))^2+(az(M)*bx(M)-ax(M)*bz(M))^2+(ax(M)*by(M)-ay(M)*bx(M))^2+ (ax(M)*by(M)- ax(M)*by(M))^2+ (ax(M)*by(M)^2+ (ax(M)*by(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ (ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ ax(M)^2+ aM) +sital,M,1)=acos( (ay(M)*bzM)-azM)*byM)*(axM)*byM)-ayM)*bxM)*(sin(bt)) /sqrt((ayM)*bzM)-azM)*byM))^2+(azM)*bxM)-axM)*bzM))^2+(axM)*byM)-ayM)*bxM))^2+(axM)*byM)- + +附录8 +灵敏度分析程序 +clc%灵敏度分析主程序，焦点位置不变，抛物面顶点位置变化clearload('FJ11.mat')load('FJ3.mat')load('FJ12.mat')R=300.4;ddF=0;for e=1:length(ddF) $\mathrm{F = 0.466*R + ddF(e)}$ $\mathrm{dF} = -0.6:0.01:0.6;$ w=10000000000;for i=1:length(dF)f=dF(i)+F;c=-4*f\*(R+dF(i));n=1;for j=1:length(FJ11)r2(j,1)=sqrt( (FJ11(j,1))^2+(FJ11(j,2))^2);if r2(j,1<=150FJ11(n,1)=FJ11(j,1); + +FJ111(n,2) $\equiv$ FJ11(j,2); FJ111(n,3) $\equiv$ FJ11(j,3); FJ111(n,4) $\equiv$ FJ12(j,1); $n = n + 1$ end end for $k = 1$ :length(FJ111) r1(k,1)=sqrt( (FJ111(k,1))^2+(FJ111(k,2))^2+(FJ111(k,3))^2 ); sital(k,1)=acos(FJ111(k,3)/r1(k)); fai1(k,1)=atan(FJ111(k,2)/FJ111(k,1)); a=(sin( sital(k,1)))^2; b=-4*f\*cos(sital(k,1)); r1(k,2) $\equiv$ (-b+sqrt(b^2-4*a*c)/(2*a); r1(1,2)=dF(i)+r1(1,1); r1(k,3)=r1(k,1)-r1(k,2); r1(k,4)=r1(k,2)*sin(sital(k,1))*cos(fai1(k,1)); r1(1,4)=0; r1(k,5)=r1(k,2)*sin(sital(k,1))*sin(fai1(k,1)); r1(1,5)=0; r1(k,6)=r1(k,2)*cos(sital(k,1)); end r(:,l=r1(:,3); W(i) $\equiv$ max(max(abs(r)); for $l = 1:3$ for $m = 1:4300$ x(m)=ismember(FJ3(m,l),FJ111(:,4)); if $x(m) > 0$ FJ4(m,l)=FJ3(m,l); else FJ4(m,l)=0; end end end tzl(:,l:3)=FJ11l(:,l:3); tz2(:,l:3)=r1(:,4:6); tzl=tzI./abs(tzI); tzl(isnan(tzI))=I; tz2=abs(tz2).*tzl; r1(:,4:6)=tz2(:,l:3); for M=1:length(FJ4) if FJ4(M,1)>5 && FJ4(M,2)>5 && FJ4(M,3)>5 [A,B]=find(FJ11(:,4) $\equiv$ FJ4(M,1)); + +```matlab +[A1,B1] = find(FJ111(:,4) == FJ4(M,2)); +[A2,B2] = find(FJ111(:,4) == FJ4(M,3)); +len(M,1) = sqrt((FJ111(A,1)-FJ111(A1,1))^2 + (FJ111(A,2)-FJ111(A1,2))^2 + (FJ111(A,3)-FJ111(A1,3))^2); +len(M,2) = sqrt((FJ111(A,1)-FJ111(A2,1))^2 + (FJ111(A,2)^2 - FJ111(A2,2)^2 + (FJ111(A,3)-FJ111(A2,3))^2 + (FJ111(A,3)-FJ111(A2,3))^2 + (FJ111(A,4)-r1(A,4))^2 + (r1(A,5)-r1(A,5))^2 + (r1(A,6)-r1(A,6))^2); +len(M,2) = sqrt((r1(A,4)-r1(A2,4))^2 + (r1(A,5)-r1(A2,5))^2 + (r1(A,6)-r1(A2,6))^2); +len(M,3) = sqrt((r1(A,4)-r1(A2,4))^2 + (r1(A,5)-r1(A2,5))^2 + (r1(A,6)-r1(A2,6))^2); +det(M,1) = abs(len(M,1)-len(M,1))/len(M,1); +det(M,2) = abs(len(M,2)-len(M,2))/len(M,2); +det(M,3) = abs(len(M,3)-len(M,3))/len(M,3); +end +end +det(e) = max(max(det)); +lv(i) = abs(sum(len)-sum(len)/sum(len); +if det(e) <= w +w = det(e); +cc = W(i); +o = dF(i) + R; +o1 = r1; +oo = 0.534*R-ddF(e); +ooo = det; +oooo = lv(i); +di = tz2; +dii = det; +end +end +end +plot(dF,W) +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/A217/A217.md b/MCM_CN/2021/A217/A217.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c67700c8e7a93b83554794b2626b45624be43237 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/A217/A217.md @@ -0,0 +1,2183 @@ +# "FAST"工作抛物面的优化设计 + +# 摘要 + +本文基于FAST的工作原理，通过机理分析、坐标变换、非线性最小二乘优化等方法，建立了反射面板调节优化模型，并利用BFGS算法、蒙特卡洛积分算法等算法，对不同条件下反射光线吸收比率进行了研究。 + +问题一中，首先基于固定的仰角 $\beta$ 、观测目标 $S$ 、圆心 $C$ 和焦点 $P$ ，利用旋转抛物面的中心对称性，选取焦距作为自由度控制变量，构建在极坐标系下开口竖直向上的二维抛物线方程，得到不同偏转角度下原点到抛物线的距离，进而导出三维下的旋转抛物面方程。其次，以焦距为决策变量，将口径300米的抛物面作为积分域，将理想抛物面到原点的距离与基准球面半径差值平方作为被积函数进行积分作为最小化目标函数，建立了确定理想抛物面的优化模型。最后，使用二分法求得目标函数导函数在定义区间上的零点，得到理想抛物面焦距的精确值为280.854，误差平方积分的最小值为10.112。此时对应理想抛物面的解析式为 $z = (x + y)^{2} / 561.708 - 300.841$ 。 + +问题二中，首先利用球坐标下不同轴线方向抛物面的旋转不变性，在原坐标系和问题一的坐标系之间建立了双向可逆的变换关系，得到了不同方位角下理想抛物面到原点的距离。其次，以主索节点的工作坐标和促动器的伸缩长度为决策变量，以积分域覆盖的主索节点到原点的距离与理想抛物面到原点的距离之差的平方和为最小化目标函数，分别考虑下拉索长度固定、相邻节点的距离变化幅度不超过 $0.07\%$ 、促动器的伸缩范围在 $\pm 0.6\mathrm{m}$ 为约束条件，建立反射面板调节优化模型。最后，使用拉格朗日乘子法和BFGS算法进行求解，得到误差平方在抛物面口径上的积分的最小值为 $5.1353\times 10^{-9}$ ，理想抛物线的顶点坐标为 $(-49.392, -36.943, -294.450)$ ，调节后反射面300米口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果见文件result.xlsx。 + +问题三中，首先通过旋转变换，将反射问题的倾斜入射光线转化为垂直入射光线。其次，通过求解线性方程组，依次确定出入射光线与三角形面板的相交判定式、交点坐标、三角形面板的法线向量，并利用光线垂直入射的性质，使用法线向量简化计算得到出射光线的方向角。再次，通过联立射线方程与馈源舱所在的目标高度，得出射线方程的步长和出射光到达目标高度时的坐标，并与馈源舱的有效区域进行比对，作为入射光线是否被有效接收的判定式。最后，将300米口径内实际接收区域作为积分域，将入射光线有效接收判别式作为被积函数，使用蒙特卡洛算法进行积分，得到有效接收的光源面积，并计算出调节前接收比 $0.811\%$ ，调节后接收比 $1.103\%$ ，提升了 $36\%$ ，调节工作抛物面的过程使有效光源的光斑可以尽量完整地出现在每个三角形面板内（图11）。 + +本文的特色在于将机理分析与非线性最小二乘优化相结合，并灵活采用二分法、BFGS算法和蒙特卡洛积分算法进行求解，在大规模、高维且带有非线性约束的求解中仍然以接近二阶的速度收敛至最优解，为FAST在不同情况下的调节与设计提供了参考依据。 + +关键词：坐标旋转、非线性最小二乘、BFGS算法、蒙特卡洛积分 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +中国天眼（FAST）由主动反射面、馈源舱及其他系统组成，其中主动反射面是由主索网、反射面板、下拉索、促动器及支承结构等构成的可调节球面。主索网由柔性主索按短程线三角网格方式构成，每个主索节点连接一根下端与固定在地表的促动器连接的下拉索。促动器沿基准球面径向安装，可沿径向伸缩。 + +主动反射面有两个状态：基准态时反射面为半径约300米、口径为500米的球面；工作态时反射面为一个300米口径的近似旋转抛物面。馈源舱接收中心在与基准球面同心、半径差为的一个球面上移动。当观测某个方向的目标S时，馈源舱接收中心被移动到直线SC与焦面的交点P处，调节基准球面上的反射板形成以直线SC为对称轴、以P为焦点的近似旋转抛物面，从而将来自S的平行电磁波汇聚到有效区域。 + +# 1.2 问题提出 + +在反射面板调节约束下，确定一个理想抛物面，调节促动器，使工作抛物面尽量贴近理想抛物面，以获得反射后的最佳接收效果。建立模型解决以下问题： + +- 问题一：当待观测天体 $S$ 位于基准球面正上方，即 $\alpha = 0^{\circ}$ ， $\beta = 90^{\circ}$ 时，结合考虑反射面板调节因素，确定理想抛物面。 +- 问题二：当待观测天体 $S$ 位于 $\alpha = 36.765^{\circ}, \beta = 78.169^{\circ}$ 时，确定理想抛物面。建立反射面调节模型，调节相关促动器的伸缩量，使反射面尽量贴近该理想抛物面。 +- 问题三：基于问题二方案，计算调节后馈源舱接收比，与基准球面接收比作比较。 + +# 二、问题假设 + +1. 假设光线在反射面不存在二次反射。 +2. 假设不考虑板间间隙给反射带来的影响。 +3. 假设电磁波在大气中的传播为直线传播。 +4. 假设反射面板不会发生弯曲，始终维持一个平面。 +5. 假设电磁波的反射为全反射，不考虑反射时的损耗。 +6. 假设主索节点调节后，相邻节点之间的距离会发生微小变化，变化幅度不超过 $0.07\%$ 。 + +# 三、符号说明 + +
序号符号意义单位
1Lf抛物线及旋转抛物面的焦距m
2Lω从原点出发到理想抛物面的距离m
3Lz(i)序号为i的促动器的伸缩量m
4Ls(i)序号为i的下拉索的长度m
5I所有主索节点的下标集合——
6J一块反射面板所用到的下标集合——
7E所有三角形的所有边的集合——
8(x0(i),y0(i),z0(i))序号为i的主索节点的基准坐标——
9(x(i),y(i),z(i))序号为i的主索节点的工作坐标——
10(x-(i),y-(i),z-(i))序号为i的促动器底端的坐标——
11(x+(i),y+(i),z+(i))序号为i的促动器顶端的坐标——
12(xo(i),y°(i),z°(i))序号为i的促动器顶端基准状态的坐标——
13(xW(i),YW(i),zw(i))序号为i的主索节点旋转后的工作坐标——
+ +# 四、问题分析 + +# 4.1 问题一的分析 + +问题一要求当 $\alpha = 0^{\circ},\beta = 90^{\circ}$ 时，结合反射面板调节因素，确定理想抛物面。 + +基于 $\beta = \pi /2$ ，且观测目标 $S$ 、圆心 $C$ 和焦点 $P$ 固定，确定所求剖面抛物线的自由度只有1，注意到旋转抛物面的中心对称性，故所求抛物面是其剖面上的抛物线的复合。故可利用焦距作最优化控制变量，进而构建在直角坐标系下开口竖直向上的二维抛物线方程，将其代入极坐标进行变换，可导出旋转抛物面的方程。最后对理想抛物面到原点的距离与基准球面半径的差值平方进行积分，并进行最小二乘最优化求解，使得基准球面与最终确定的抛物面之间的总调节距离的平方和最小，从而求出理想抛物面。 + +# 4.2 问题二的分析 + +问题二要求当 $\alpha = 36.795^{\circ}$ ， $\beta = 78.169^{\circ}$ 时，确定理想抛物面。并建立反射面板调节模型，调节相关促动器的伸缩量，使反射面尽量贴近该理想抛物面。 + +注意到球坐标下不同轴线方向的抛物面为各同向性这一性质，本文考虑在原有空间坐标系和问题一已建立的坐标系之间建立交互的旋转变换关系，使得问题二中可部分沿用问题一中所得有关理想抛物面的数学关系，进而可以确定本问的目标函数和决策变量。然后引入下拉索固定长度、节点之间的伸缩变动率、促动器的伸缩量等约束，再引入相邻节点的距离变化幅度的约束和促动器伸缩范围的约束，求出相关促动器的伸缩量优化解。 + +# 4.3 问题三的分析 + +问题三要求基于问题二的反射面调节方案，计算调节后馈源舱的接收比，并与基准 + +球面接收比作比较。 + +本文拟采用与问题二相同的坐标旋转方法，将入射的光线从斜射变为垂直于水平面入射。接着，本文拟通过构建以一块反射面板上三个主索节点坐标为基准的参数方程，利用参数方程判断入射光与任意一块反射面板的几何关系，从而确定交点坐标。然后，本文拟利用待定系数法确定反射平面的法向量，从而利用向量方向角的关系确定反射光的指向。然后，可以利用方程联立求得的反射光与接收平面的交点判断该光线是否被有效接收。最终，可将入射光的照射区域作为积分域，是否接收到光线的判别式作为被积函数进行积分，将积出的结果与照射面积做比值，从而计算出馈源舱的接收比。 + +# 五、问题一模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一模型的建立 + +# 5.1.1 直角坐标系下二维抛物线方程的构建 + +题目要求给出考虑反射面板调节因素下的理想抛物面。根据描述，FAST 的抛物面由二维抛物线旋转得来，因此本文首先基于 $\beta = \pi / 2$ ，讨论在二维平面内，抛物线开口方向竖直向上的抛物线方程，再通过旋转确定三维的旋转抛物面。 + +![](images/ab53e5fa32681cd935da690c63f1f1b448a0501235c9a80d77d62535df85ab89.jpg) +图1：FAST剖面示意图 + +本文基于题目附件8给出的空间直角坐标，以 $C$ 为坐标原点，构建剖面图上的二维直角坐标系。则水平向右方向为 $\pmb{x}$ 轴正向，竖直向上为 $\pmb{z}$ 轴正向。图1为FAST的剖面示意图，其中抛物线的焦点为点 $P$ 。由于讨论的是开口方向竖直向上的抛物线，故其焦点 $P$ 的坐标为： + +$$ +\left(x _ {p}, z _ {p}\right) = (0, - (R - F)) \tag {5-1} +$$ + +根据抛物线的几何性质，设该抛物线的焦距为 $L_{f}$ 。则焦点与顶点的距离为 $0.5L_{f}$ 则该抛物线顶点Q坐标为： + +$$ +\left(x _ {Q}, z _ {Q}\right) = (0, - (R - F) - 0. 5 L _ {f}) \tag {5-2} +$$ + +由于抛物线焦点与准线的距离为一倍焦距，故可得抛物线准线方程为： + +$$ +z = - (R - F) - L _ {f} \tag {5-3} +$$ + +根据抛物线的几何性质，可知抛物线上的任意一点到准线的距离等于该点到焦点的距离。利用该性质构建抛物线方程： + +$$ +\left(z - z _ {T}\right) ^ {2} = x ^ {2} + \left(z - z _ {P}\right) ^ {2} \tag {5-4} +$$ + +其中， $z_{T} = -(R - F) - L_{f}$ 为点 $\pmb{T}$ 的 $\pmb{z}$ 轴坐标，由准线方程(5-3)得出； + +$z_{P} = -(R - F)$ 为点 $P$ 的 $\pmb{z}$ 轴坐标。 + +接着，将 $z_{T}$ 和 $z_{P}$ 的值代入式(5-4)，可得： + +$$ +[ z + (R - F) + L _ {f} ] ^ {2} = x ^ {2} + [ z + (R - F) ] ^ {2} \tag {5-5} +$$ + +两边平方项展开后，移项整理可得方程： + +$$ +z = \frac {x ^ {2}}{2 L _ {f}} - \frac {L _ {f}}{2} - (R - F) \tag {5-6} +$$ + +以上，得到了二维直角坐标系下，开口竖直向上的抛物线方程。 + +# 5.1.2极坐标系下二维抛物线方程的构建 + +由于需要将计算得到的抛物面与球面进行对比，使得工作抛物面尽量贴近理想抛物面。因此为方便求解，将上述抛物线方程转换成极坐标形式。 + +![](images/595edfe623d58e88b51a629c5b963e770289d9c29570ab55d6b09be7d5b1cbd1.jpg) +图2：极坐标系下抛物线示意图 + +如图2，以C点为原点，以原 $\pmb{x}$ 轴为极轴，构建极坐标系，有： + +$$ +(x, z) = (- L _ {\omega} \cos \omega , - L _ {\omega} \sin \omega) \tag {5-7} +$$ + +其中， $L_{\omega}$ 是从原点出发，到抛物线的距离。将式(5-7)代入直角坐标下的抛物线方程并整理可得： + +$$ +\frac {L _ {\omega} ^ {2} \cos^ {2} \omega}{2 L _ {f}} + L _ {\omega} \sin \omega - \frac {L _ {f}}{2} - (R - F) = 0 \tag {5-8} +$$ + +为了得到不同偏转角度 $\omega$ 与 $L_{\omega}$ 的表达式，需要对式(5-8)的方程进行求解。 + +(1)当ω≠π/2时，可将式(5-9)看作以L为未知量的一元二次方程，故有 + +$$ +\Delta = \sin^ {2} \omega + 4 \frac {\cos^ {2} \omega}{2 L _ {f}} \left(\frac {L _ {f}}{2} + R - F\right) > 0 \tag {5-9} +$$ + +此时方程始终有两个不同的根。根据韦达定理： + +$$ +L _ {\omega 1} + L _ {\omega 2} = - \frac {- 2 L _ {f} \sin \omega}{\cos^ {2} \omega} = \frac {2 L _ {f} \sin \omega}{\cos^ {2} \omega} > 0 \tag {5-10} +$$ + +$$ +L _ {\omega 1} \cdot L _ {\omega 2} = \frac {2 L _ {f} \left(- \frac {L _ {f}}{2} - (R - F)\right)}{\cos^ {2} \omega} = \frac {- 2 L _ {f} ^ {2} - 2 L _ {f} (R - F)}{\cos^ {2} \omega} < 0 \tag {5-11} +$$ + +故可知，此时对于每一个 $\omega$ ，都会产生取值一正一负的两个根。舍去负根，得到正根的解析式： + +$$ +L _ {\omega} = \frac {- L _ {f} \sin \omega + L _ {f} \sqrt {\sin^ {2} \omega + \frac {2 \cos^ {2} \omega}{L _ {f}} \left(\frac {L _ {f}}{2} + R - F\right)}}{\cos^ {2} \omega} \tag {5-12} +$$ + +(2) 当 $\omega = \pi / 2$ 时, 可将式(5-9)看作以 $L_{\omega}$ 为未知量的一元一次方程, 故有: + +$$ +L _ {\omega} = \frac {L _ {f}}{2 \sin \omega} + \frac {R - F}{\sin \omega} \tag {5-13} +$$ + +经过化简，可得基于偏转角度 $\omega$ 与 $L_{\omega}$ 的表达式： + +$$ +L _ {\omega} = \left\{ \begin{array}{l} \frac {- L _ {f} \sin \omega + L _ {f} \sqrt {\sin^ {2} \omega + \frac {2 \cos^ {2} \omega}{L _ {f}} \left(\frac {L _ {f}}{2} + R - F\right)}}{\cos^ {2} \omega}, \omega \neq \frac {\pi}{2} \\ \frac {L _ {f}}{2 \sin \omega} + \frac {R - F}{\sin \omega}, \omega = \frac {\pi}{2} \end{array} \right. \tag {5-14} +$$ + +由于公式(5-14)中含有未知参数，则将该函数记为： + +$$ +f \left(\omega , L _ {f}\right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac {- L _ {f} \sin \omega + L _ {f} \sqrt {\sin^ {2} \omega + \frac {2 \cos^ {2} \omega}{L _ {f}} \left(\frac {L _ {f}}{2} + R - F\right)}}{\cos^ {2} \omega}, \omega \neq \frac {\pi}{2} \\ \frac {L _ {f}}{2 \sin \omega} + \frac {R - F}{\sin \omega}, \omega = \frac {\pi}{2} \end{array} \right. \tag {5-15} +$$ + +以上，得到了在不同的偏转角度下，二维抛物线上的点到原点的距离 $L_{\omega}$ 的表达式，接着将此二维抛物线进行旋转即可得到三维的旋转抛物面。 + +# 5.1.3理想抛物面与基准球面的相似度计算 + +将5.1.2节得到的二维抛物线以极轴为中轴线旋转，得到反射面板的旋转抛物面，该抛物面可使得沿着中轴线平行射入的电磁波可以被反射到焦点 $P$ 处。为比较这一理想抛物面与基准球面的相似程度，需要在球坐标系下，以口径为300米的抛物面在基准球面上的投影所围成的区域为积分域，对理想抛物面到原点的距离与基准球面半径的差值平方进行积分，即： + +$$ +\iint_ {A} [ f (\omega , L _ {f}) - R ] ^ {2} \mathrm {d} \sigma \tag {5-16} +$$ + +积分数值的大小是评价相似程度的准则。其中， $R$ 为基准球面半径； $\omega$ 为抛物面上的点与原点的连线和中垂线所形成的空间角的大小； $\mathrm{d}\sigma$ 为曲面微元； $A$ 为积分域，可表示如下： + +$$ +A: \left\{\left(x, y, z\right) | z = - \sqrt {R ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}}, x ^ {2} + y ^ {2} \leqslant 1 5 0 ^ {2} \right\} \tag {5-17} +$$ + +![](images/97afdc44761b6da6301d771ce1df0e6235228596614865b86a1738b6a371af1d.jpg) +图3：极坐标系下FAST剖面及积分区域示意图 + +由于抛物面的中轴线是竖直的，所以在球坐标系下可转化为二重积分，故该积分式可化简为： + +$$ +\int_ {\beta} \int_ {\alpha} r _ {\beta} [ f (\omega , L _ {f}) - R ] ^ {2} d \alpha d \beta \tag {5-18} +$$ + +其中, $\alpha$ 为方位角; $\beta$ 为仰角; $r_{\beta} = R \cos \beta$ 是在 $\beta$ 角给定时, $\alpha$ 角在基准球面上的轨迹投影出的圆形的半径。根据题目要求的工作口径, 可知 $\beta$ 的取值范围满足: + +$$ +| \cos \beta | \cdot f (\beta , L _ {f}) = 1 5 0 \tag {5-19} +$$ + +根据几何关系，易知式(5-19)有两个解 $\beta_{m}$ 和 $\beta_{M}$ ，有 $\beta_{m} < \beta_{M}$ ，且这两个解的均值为 $\pi / 2$ 。为防止对 $\beta$ 指向的圆环重复积分，可设 $\beta$ 的取值范围为 $\beta \in (\beta_{m}, \pi / 2)$ 。结合上述分析，对式(5-18)进一步化简得： + +$$ +\int_ {\beta_ {m}} ^ {\pi / 2} 2 \pi r _ {\beta} [ f (\omega , L _ {f}) - R ] ^ {2} d \beta \tag {5-20} +$$ + +以上，得到了球坐标系下，计算理想抛物面和基准球面之间相似程度的准则。 + +# 5.1.4理想抛物面优化模型的建立 + +由于在现有约束条件下，可求解出多个不同焦距的理想抛物面，故需要对于理想抛物面进行最优化的选取。故构建目标函数如下： + +$$ +L _ {f} ^ {*} = \underset {L _ {f}} {\operatorname {a r g m i n}} \int_ {\beta_ {m}} ^ {\pi / 2} 2 \pi r _ {\beta} [ f (\omega , L _ {f}) - R ] ^ {2} \mathrm {d} \beta \tag {5-21} +$$ + +结合式(5-6)，确定形成最优理想抛物面的抛物线方程为： + +$$ +z = \frac {x ^ {2}}{2 L _ {f} ^ {*}} - \frac {L _ {f} ^ {*}}{2} - (R - F) \tag {5-22} +$$ + +# 5.2 问题一模型的求解 + +# 5.2.1 算法设计 + +首先对目标函数(5-20)的数值特性进行定性分析，可知焦距 $L_{f}$ 决定了理想抛物面和基准球面之间的相似程度，焦距过大，则理想抛物面会整体低于基准球面；焦距过小，则理想抛物面会整体高于基准球面。易知目标函数的梯度函数在区间内为一个单调连续函数，且区间两端对应的梯度值异号，即目标函数(5-20)在区间(100, 400)上是一个存在极小值点的凸函数。因此，本文基于该性质设计针对梯度函数零点的二分查找法对极小值点进行求解。具体求解算法如下： + +# 算法1：二分查找算法 + +1. 选定边界值。首先根据题目设定与实际情况，选取100与400作为二分查找区间的左右端点。 +2：取二分查找区间的中点坐标代入公式(5-23)的梯度函数中，计算得到该点所对应的梯度值； +3：若梯度值远大于0，将二分查找区间的右端点设置为当前中点，并返回第2行。 +4: 若梯度值远小于 0 , 将二分查找区间的左端点设置为当前中点,并返回第 2 行。 +5: 若梯度值的绝对值小于机器精度 epsilon, 则中点即为待求解的极小值点, 程序结束。 + +# 5.2.2理想抛物面的求解与分析 + +基于算法1，在MATLAB中编程进行求解，给出求解出的理想抛物面的剖面视图（图4左）及理想抛物面与基准球面的径向高度高低差（图4右）： + +![](images/dd6ed78cb17fe72129b2c4bc502c9abf6cca0c343db20d111500f538e53c3ea2.jpg) +图4：FAST2D剖面最优抛物线（左）、3D最优抛物面径向高度高低差（右）最终结果求解出理想抛物面的焦距 $L_{f}$ 的精确值为280.854，误差平方在口径上的积 + +![](images/b06df1685cde7bef113865d289d1b18bd8c67b8e01df2d13b38b67d2ab203d76.jpg) + +分的最小值为10.112，将 $L_{f} = 280.854$ ， $R = 300.4$ ， $F = 0.466R$ 带入式(5-6)可得剖切平面上的抛物线方程为： + +$$ +z = \frac {1}{5 6 1 . 7 0 8} x ^ {2} - 3 0 0. 8 4 1 \tag {5-23} +$$ + +将抛物线绕 $z$ 轴旋转一周后，可知其旋转抛物面的方程为： + +$$ +z = \frac {1}{5 6 1 . 7 0 8} (x + y) ^ {2} - 3 0 0. 8 4 1 \tag {5-24} +$$ + +# 5.2.3结果检验 + +基于5.2.2节中的精确结果，对所得理想抛物面的剖面上的径向高度与基准球面半径的高低差进行检验，可得最优抛物面与基准球面的偏移量： + +![](images/cca06c370a4b20ae697f58b30014388e489a1dbea4ec23c25878b9a297067838.jpg) +图5：最优抛物面与基准球面的偏移量 + +由图5可知，最优抛物面与基准球面的偏移量在 $(-0.6, +0.4)$ 的范围内。因此此最优抛物面在实际应用中，促动器顶端上下拉动下拉索的长度范围也较小，结合反射板调节效率因素，可得本结果合理且较优。 + +# 六、问题二模型的建立与求解 + +# 6.1 问题二模型的建立 + +问题二要求基于问题一所建立的模型，求解当 $\alpha = 36.795^{\circ}$ ， $\beta = 78.169^{\circ}$ 时的理想抛物面，并以工作抛物面尽量贴近理想抛物面为目标，在下拉索固定长度、节点之间的伸缩变动率、促动器的伸缩量约束下，优化相关促动器的伸缩量。 + +为简化计算，本文首先建立在标准坐标系上旋转得到的新坐标系，使得主索节点与理想抛物面在径向方向的距离差值可沿用问题一中的式(5-15)，从而构建本问的目标函数。然后通过分析促动器底端坐标、基准状态与工作状态的促动器顶端坐标、主索节点的基准坐标与工作坐标以及促动器伸缩量等变量之间的几何关系，构建本问题的约束条件，得到反射面板调节优化模型。最后，设计BFGS算法进行模型求解。 + +# 6.1.1基于坐标系旋转的理想抛物面与反射面板相似度计算 + +本题中，由于观测天体 $S$ 的方位对于基准球心 $C$ 存在与竖直方向的倾角，这给构建新的理想抛物面带来了一定的困难。但在求解理想抛物面时，对于不同轴线方向的抛物面来说，其焦距、焦点等性质都是不变的。故将现有空间坐标系，以基准球面的球心 $C$ 为中心、沿基准球面的剖面方向进行旋转，使得问题二中理想抛物面的轴线与旋转后空间直角坐标系 $z$ 轴所在直线重合，此时主索节点与理想抛物面在径向方向的距离差值可沿用问题一中的式(5-15)。 + +![](images/bbe4c9db604e03fc090d37169a124dc0cc0663e6ba35e342dfe2c3b512a89677.jpg) +图6：坐标系旋转示意图 + +设第 $i$ 个主索节点的工作坐标为 $(x(i),y(i),z(i))$ 。将原先的坐标轴绕着 $z$ 轴沿正方向旋转角度（正向旋转方向与坐标轴指向满足右手定则，下文同义），则坐标相对于坐标系绕 $z$ 轴反向旋转角度 $\alpha$ ；再将此时的坐标轴绕着 $y$ 轴沿正方向旋转角度 $\pi /2 - \beta$ ，则坐标相对于坐标系绕 $y$ 轴反向旋转 $\pi /2 - \beta$ 。根据三维坐标中旋转矩阵的定义，可得旋转坐标系下，第 $i$ 个主索节点的工作坐标 $(x_{W}(i),y_{W}(i),z_{W}(i))$ 为： + +$$ +\left( \begin{array}{l} x _ {W} (i) \\ y _ {W} (i) \\ z _ {W} (i) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c} \cos \left(\frac {\pi}{2} - \beta\right) & 0 & - \sin \left(\frac {\pi}{2} - \beta\right) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \left(\frac {\pi}{2} - \beta\right) & 0 & \cos \left(\frac {\pi}{2} - \beta\right) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ - \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} x (i) \\ y (i) \\ z (i) \end{array} \right) \tag {6-1} +$$ + +如图6，不难看出旋转后坐标系的z轴正方向指向被观测体S。接着球心C为原点，在新的空间直角坐标系上建立空间极坐标系。再将变换后的主索节点的直角作坐标转化为新的空间极坐标系下的坐标，得到第i个主索节点的坐标为 $(L(i),\beta (i),\alpha (i))$ ，具体形式为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} L (i) = \sqrt {x _ {W} (i) ^ {2} + y _ {W} (i) ^ {2} + z _ {W} (i) ^ {2}} \\ \beta (i) = \arcsin \left(- \frac {z _ {W} (i)}{L (i)}\right) \\ \alpha (i) = \left\{ \begin{array}{l l} 2 \pi - \arccos \left(- \frac {x _ {W} (i)}{\sqrt {x _ {W} (i) ^ {2} + y _ {W} (i) ^ {2}}}\right), & x _ {W} (i) ^ {2} + y _ {W} (i) ^ {2} \neq 0 \text {且} y _ {W} (i) \geqslant 0 \\ \arccos \left(- \frac {x _ {W} (i)}{\sqrt {x _ {W} (i) ^ {2} + y _ {W} (i) ^ {2}}}\right), & x _ {W} (i) ^ {2} + y _ {W} (i) ^ {2} \neq 0 \text {且} y _ {W} (i) < 0 \\ 0, & x _ {W} (i) ^ {2} + y _ {W} (i) ^ {2} = 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \tag {6-2} +$$ + +接着，根据问题一中理想抛物面上偏转角度 $\omega$ 与 $L_{\omega}$ 的表达式(5-15)，得到在新的坐 + +标系中，理想抛物面上仰角为 $\beta (i)$ 的点与原点 $c$ 的距离： + +$$ +L _ {\omega} (i) = \left\{ \begin{array}{l} \frac {- L _ {f} \sin \beta (i) + \sqrt {L _ {f} ^ {2} + 2 (R - F) L _ {f} \cos^ {2} \beta (i)}}{\cos^ {2} \beta (i)}, \beta (i) \neq \frac {\pi}{2} \\ \frac {L _ {f}}{2 \sin \beta (i)} + \frac {R - F}{\sin \beta (i)}, \beta (i) = \frac {\pi}{2} \end{array} \right. \tag {6-3} +$$ + +为保证反射面在工作状态下与理想抛物面尽量贴合，需要使得在同一径向方向上的主索节点与理想抛物面上的点距离原点 $C$ 的距离差尽量小。故可构建如下优化目标： + +$$ +(x ^ {*} (i), y ^ {*} (i), z ^ {*} (i)) = \underset {x (0), y (0), s (0), i \in \mathcal {X}} {\operatorname {a r g m i n}} \sum_ {\beta_ {m} < \beta (i) < \frac {\pi}{2}} \left(L _ {\omega} (i) - L (i)\right) ^ {2} \tag {6-4} +$$ + +其中， $\mathcal{I}$ 为所有主索节点所用到的下标集合； $\beta_{m}$ 为新的极坐标下仰角取值的最小值。由于理想抛物面具有照明区域的限制，5.1.3节中已经据此给出了仰角的取值范围式，这在本问题中也同样具有约束效果。注意到，在基于促动器伸缩完成的主索节点位置变化过程中，第 $i$ 个主索节点的坐标 $(x_{W}(i),y_{W}(i),z_{W}(i))$ 可以由促动器的伸缩量唯一确定。根据附件2中数据，可知促动器底端的坐标 $(x^{-}(i),y^{-}(i),z^{-}(i))$ 与促动器顶端基准状态下的坐标 $(x^{o}(i),y^{o}(i),z^{o}(i))$ 。设促动器在工作状态时的顶端坐标为 $(x^{+}(i),y^{+}(i),z^{+}(i))$ 。由于促动器底端与促动器顶端始终在一条直线上，故存在比例关系： + +$$ +\frac {x ^ {+} (i) - x ^ {\circ} (i)}{x ^ {\circ} (i) - x ^ {-} (i)} = \frac {L _ {z} (i)}{\sqrt {\left[ x ^ {\circ} (i) - x ^ {-} (i) \right] ^ {2} + \left[ y ^ {\circ} (i) - y ^ {-} (i) \right] ^ {2} + \left[ z ^ {\circ} (i) - z ^ {-} (i) \right] ^ {2}}} \tag {6-5} +$$ + +其中， $L_{x}(i)$ 为每个促动器的伸缩量。同样地， $\mathcal{V}$ 轴和 $\textbf{z}$ 轴方向均同在相同的比例关系，因此有： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x ^ {+} (i) = \frac {L _ {x} (i) \left(x ^ {\circ} (i) - x ^ {-} (i)\right)}{\sqrt {\left[ x ^ {\circ} (i) - x ^ {-} (i) \right] ^ {2} + \left[ y ^ {\circ} (i) - y ^ {-} (i) \right] ^ {2} + \left[ z ^ {\circ} (i) - z ^ {-} (i) \right] ^ {2}}} + x ^ {\circ} (i) \\ y ^ {+} (i) = \frac {L _ {x} (i) \left(y ^ {\circ} (i) - y ^ {-} (i)\right)}{\sqrt {\left[ x ^ {\circ} (i) - x ^ {-} (i) \right] ^ {2} + \left[ y ^ {\circ} (i) - y ^ {-} (i) \right] ^ {2} + \left[ z ^ {\circ} (i) - z ^ {-} (i) \right] ^ {2}}} + y ^ {\circ} (i) \\ z ^ {+} (i) = \frac {L _ {x} (i) \left(z ^ {\circ} (i) - z ^ {-} (i)\right)}{\sqrt {\left[ x ^ {\circ} (i) - x ^ {-} (i) \right] ^ {2} + \left[ y ^ {\circ} (i) - y ^ {-} (i) \right] ^ {2} + \left[ z ^ {\circ} (i) - z ^ {-} (i) \right] ^ {2}}} + z ^ {\circ} (i) \end{array} \right. \tag {6-6} +$$ + +以上，经过推导最终得到了第 $i$ 个促动器的伸缩量 $L_{z}(i)$ 与对应主索节点的坐标 $(x_{W}(i),y_{W}(i),z_{W}(i))$ 之间的关系。因此加入 $L_{z}(i)$ 作为式(6-4)中反射面与理想抛物面相似度计算目标函数的决策变量，整理可得： + +$$ +(x ^ {*} (i), y ^ {*} (i), z ^ {*} (i), L _ {z} ^ {*} (i)) = \underset {x (i), y (i), x (i), L _ {z} (i), i \in \mathcal {X}} {\operatorname {a r g m i n}} \sum_ {\beta_ {m} < \beta (i) < \frac {\pi}{2}} [ L _ {\omega} (i) - L (i) ] ^ {2} \tag {6-7} +$$ + +# 6.1.2 约束条件的确定 + +# (1) 节点之间的伸缩变动率约束 + +根据假设6，相邻节点之间的距离可能会发生微小变化，变化幅度的极限为 $0.07\%$ 故可构建如下约束条件： + +$$ +\left\{\begin{array}{l}\frac {\left[ x \left(i _ {1}\right) - x \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2} + \left[ y \left(i _ {1}\right) - y \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2} + \left[ z \left(i _ {1}\right) - z \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2}}{\left[ x _ {0} \left(i _ {1}\right) - x _ {0} \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2} + \left[ y _ {0} \left(i _ {1}\right) - y _ {0} \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2} + \left[ z _ {0} \left(i _ {1}\right) - z _ {0} \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2}} \geqslant (1 - 0.07 \%) ^ {2}, \left(i _ {1}, i _ {2}\right) \in E\\\frac {\left[ x \left(i _ {1}\right) - x \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2} + \left[ y \left(i _ {1}\right) - y \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2} + \left[ z \left(i _ {1}\right) - z \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2}}{\left. \right.\left[ x _ {0} \left(i _ {1}\right) - x _ {0} \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2} + \left[ y _ {0} \left(i _ {1}\right) - y _ {0} \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2} + \left[ z _ {0} \left(i _ {1}\right) - z _ {\theta} \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2}} \leqslant (1 + 0.07 \%) ^ {2}, \left(i _ {1}, i _ {2}\right) \in E\end{array}\right. \tag{6 - 8} +$$ + +其中， $E = \{(i_1,i_2)\in I\times I\}$ + +(2）促动器伸缩范围约束 + +根据题设，促动器伸缩量只能在-0.6m到 $+0.6m$ 之间，故具有如下约束条件： + +$$ +- 0. 6 \leqslant L _ {z} (i) \leqslant 0. 6 \tag {6-9} +$$ + +(3)下拉索长度约束 + +主索节点与促动器顶端是由固定长度的下拉索连接的，可通过基准状态下的主索节点的坐标与促动器顶端基准坐标，计算出每一段下拉索的长度。设每一段下拉索的长度为 $L_{s}(i)$ ，基准状态下主索节点坐标为 $(x_0(i), y_0(i), z_0(i))$ ，促动器顶端基准坐标为 $(x^o(i), y^o(i), z^o(i))$ ，则有： + +$$ +L _ {s} (i) = \sqrt {\left[ x _ {0} (i) - x ^ {o} (i) \right] ^ {2} + \left[ y _ {0} (i) - y ^ {o} (i) \right] ^ {2} + \left[ z _ {0} (i) - z ^ {o} (i) \right] ^ {2}}, i \in I \tag {6-10} +$$ + +设促动器在工作状态时的顶端坐标为 $(x^{+}(i),y^{+}(i),z^{+}(i))$ ，则存在如下约束条件： + +$$ +[ x (i) - x ^ {+} (i) ] ^ {2} + [ y (i) - y ^ {+} (i) ] ^ {2} + [ z (i) - z ^ {+} (i) ] ^ {2} = L _ {*} (i) ^ {2} \tag {6-11} +$$ + +# 6.1.3 反射面板调节优化模型的构建 + +综上所述，本文建立的反射面板调节优化模型为： + +$$ +(x ^ {*} (i), y ^ {*} (i), z ^ {*} (i), L _ {z} ^ {*} (i)) = \underset {x (0), y (0), z (0), L _ {z} (0), i \in \mathbb {Z}} {\operatorname {a r g m i n}} \sum_ {\beta_ {m} < \beta (i) < \frac {\pi}{2}} [ L _ {\omega} (i) - L (i) ] ^ {2} \tag {6-12} +$$ + +$$ +s. t. \left\{\begin{array}{l}\frac {\left[ x \left(i _ {1}\right) - x \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2} + \left[ y \left(i _ {1}\right) - y \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2} + \left[ z \left(i _ {1}\right) - z \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2}}{\left[ x _ {0} \left(i _ {1}\right) - x _ {0} \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2} + \left[ y _ {0} \left(i _ {1}\right) - y _ {0} \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2} + \left[ z _ {0} \left(i _ {1}\right) - z _ {0} \left(i _ {2}\right) \right] ^ {2}} \geqslant (1 - 0. 0 7 \%) ^ {2}, \left(i _ {1}, i _ {2}\right) \in E\\\frac {\left[ x \left(i _ {1}\right) - x \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2} + \left[ y \left(i _ {1}\right) - y \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2} + \left[ z \left(i _ {1}\right) - z \left(i _ {2}\right)\right] ^ {2}}{\left. \right. [ x _ {0} \left(i _ {1}\right) - x _ {0} \left(i _ {2}\right) ] ^ {2} + [ y _ {0} \left(i _ {1}\right) - y _ {0} \left(i _ {2}\right) ] ^ {2} + [ z _ {0} \left(i _ {1}\right) - z _ {0} \left(i _ {2}\right) ] ^ {2}} \leqslant (1 + 0. 0 7 \%) ^ {2}, \left(i _ {1}, i _ {2}\right) \in E\\- 0. 6 \leqslant L _ {x} (i) \leqslant 0. 6, \forall i \in I\\[ x (i) - x ^ {+} (i) ] ^ {2} + [ y (i) - y ^ {+} (i) ] ^ {2} + [ z (i) - z ^ {+} (i) ] ^ {2} = L _ {*} (i) ^ {2}, \forall i \in I\end{array}\right. +$$ + +# 6.2 问题二模型的求解 + +# 6.2.1 算法设计 + +由于问题二共计需要求解2226个主索节点的xyz坐标，以及其对应的促动器伸缩量 $L_{z}$ ，需要求解的决策变量数量庞大且其中带有非线性的等式和不等式约束，因此必须寻找适应于高维大规模问题求解的算法。 + +对于模型中非线性约束，首先基于拉格朗日乘子法的思想，引入一个乘数入将等 + +式非线性约束转化为目标函数的一部分。接着，在不考虑不等式约束的情况下进行求解，当结果违反不等式约束时，将其转化为等式约束并再此求解，直到得到不违反约束的最优解。注意到待求解的模型中的非线性约束都能表示为决策变量的二次型，具有光滑和凸的性质，且容许在数值定义域上轻微违反约束时稳定求值，因此此处使用拟牛顿方法中的BFGS方法，以在不直接计算Hessian矩阵的情况下实现这一高维问题的超线性收敛。具体求解算法如下： + +# 算法2：BFGS算法 + +1: 初始化参数。为循环变量 $k$ 赋初始值 $k = 0$ , 为切线刚度矩阵 $B_{0}$ 赋初始值为单位矩阵, 设置初始解 $\mathbf{x}_{0}$ 为主索网节点在附件中的基准态坐标。 +2：循环：根据条件 $B_{k}p_{k} = -\nabla f(x_{k})$ ，计算 $\pmb{p_k}$ +3: 由式 $x_{k + 1} = x_k + \alpha_k p_k$ 得到 $x_{k + 1}$ ，其中 $\alpha_k$ 的值从1.0开始折半查找，直到步长足够小时，函数值低于上一步。 +4: 计算 $s_k = \alpha_k p_k, y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)$ +5: 计算新的切线刚度矩阵 $B_{k+1} = B_k - \frac{B_k s_k s_k^T B_k}{s_k^T B_k s_k} + \frac{y_k y_k^T}{y_k^T s_k}$ 。 +6: 判断：将当前解代入原式验证，若拉格朗日方程组等式两边的误差小于epsilon，则得到待求解，程序结束；否则返回第2行。 + +# 6.2.2 反射面调节情况的求解与分析 + +由于问题二中使用到了旋转的坐标系，故本问理想抛物面的结果可以在旋转坐标变换的条件下，得到了顶点坐标为 $(-49.392, -36.943, -294.450)$ 的抛物面。接着，基于算法2，在MATLAB中编程进行求解，给出求解出的3D的促动器提升量图（图7左）及3D的理想抛物面的拟合误差图（图7右）： + +![](images/b1da3781b4eb0495588427ae158504957e10ecdf71eb85feaaa42bde42c681d3.jpg) +图7：3D促动器提升量（左）、3D理想曲面拟合误差（右） + +![](images/0505de02bb9711c0679a266f85361eb264b652ec667a874e6043257c2e4a590b.jpg) + +由图7左可知，此状态下促动器的提升量处于 $-0.4m$ 到 $0.6m$ 的范围内，此时反射面较为贴近所求理想抛物面，且促动器顶端上下拉动下拉索的长度范围也较小。由图7（右）可知，此状态下理想抛物面的拟合误差处于0到 $7\times 10^{-6}$ 的范围内，拟合误差也较小，说明此时的结果为合理最优解。 + +# 6.2.3结果检验 + +基于6.2.2节中的结果，求出主网节点与理想抛物面间的球面径向误差以及主网节点间距离的变化率： + +![](images/61f4ceb4abf18bb31e1fcdb491077882093be22fc419b6537cf2ea1b24f4d88a.jpg) +图8：主网节点与理想抛物面球面径向误差（左）、主网节点间距离变化率（单位：百分数）（右） + +![](images/2fefe7584ed644b2b1235a38739c26f6a34e8ba3879722ba74801f0eb88c3372.jpg) + +由图8（左）可知，此状态下主网节点与理想抛物面间的球面径向误差处于 $-8 \times 10^{-6}$ 到 $6 \times 10^{-6}$ 的范围内，可见此径向误差非常小，此时反射面较为贴近所求理想抛物面。由图8（右）可知，此状态下主网节点间距离的变化率处于 $-0.06\%$ 到 $0.06\%$ 的范围内，充分利用而并没有违反 $0.07\%$ 的裕度，说明此时的结果是合理的。 + +# 七、问题三模型的建立与求解 + +# 7.1 问题三模型的建立 + +问题三要求基于问题二的反射面调节方案，计算调节后馈源舱的接收比，并与基准球面接收比作比较。对于该问题，本文首先通过使用旋转变换，将倾斜入射光线转化为垂直入射光线。其次，通过求解线性方程组，依次确定出入射光线与三角形面板的相交判定式、交点坐标、三角形面板的法线向量，并利用光线垂直入射的性质，使用法线向量简化计算得到出射光线的方向角。再次，通过联立射线方程与馈源舱所在的目标高度，得出射线方程的步长和出射光到达目标高度时的坐标，并与馈源舱的有效区域进行比对，作为入射光线是否被有效接收的判定式。最后，将300米口径内实际接收区域作为积分域，将入射光线有效接收判别式作为被积函数，使用蒙特卡洛算法进行积分，计算有效接收的光源面积和调节前后的信号接收比。 + +# 7.1.1 反射光线几何模型的建立 + +首先，要在新坐标系中计算反射点在反馈面板三角形区域内的坐标。设新坐标系的空间变量为 $(x_{W},y_{W},z_{W})$ ，在 $x_w^2 +y_w^2\leqslant 150^2$ 的范围内，沿着 $z$ 轴负方向均有来自于被观物体的电磁波照射在反射面上。记反射面板上一三角形三个顶点 $B_{1}B_{2}B_{3}$ 的坐标分别为 $B_{1}(x_{W}(j_{1}),y_{W}(j_{1}),z_{W}(j_{1}))$ ， $B_{2}(x_{W}(j_{2}),y_{W}(j_{2}),z_{W}(j_{2}))$ 和 $B_{3}(x_{W}(j_{3}),y_{W}(j_{3}),z_{W}(j_{3}))$ 表示三角形 $j$ 访问的主索节点的坐标。其中编号 $j\in \mathcal{I} = \{j|j = (i_1,i_2,i_3)\in \mathcal{I}\times \mathcal{I}\times \mathcal{I}\}$ + +![](images/7f7f3459502a7f67eab84e68e5877757989bafe80cf5d790dd532d5283caee4c.jpg) +图9：反馈面板三角形区域示意图 + +设一点 $(x_w, y_w, z_w)$ 在线段 $B_1B_2$ 上，则其在 $x$ 轴的坐标可以表示为： + +$$ +x _ {W} = r _ {1} x _ {W} \left(j _ {1}\right) + r _ {2} x _ {W} \left(j _ {2}\right) \tag {7-1} +$$ + +其中， $r_1, r_2 > 0$ 且 $r_1 + r_2 = 1$ 。接着，设另一点 $(x_W', y_W', z_W')$ 在点 $(x_W, y_W, z_W)$ 与 $B_3$ 为端点的线段上，该点在 $x$ 轴上的坐标可以表示为： + +$$ +x _ {W} ^ {\prime} = s _ {1} r _ {1} x _ {W} (j _ {1}) + s _ {1} r _ {2} x _ {W} (j _ {2}) + s _ {2} x _ {W} (j _ {3}) \tag {7-2} +$$ + +其中， $s_1,s_2 > 0$ 且 $s_1 + s_2 = 1$ + +记 $s_1r_1 = t_1, s_1r_2 = t_2, s_2 = t_3$ 。易证 $t_1 + t_2 + t_3 = 1$ 且 $t_1 > 0, t_2 > 0, t_3 > 0$ 。同理可得该点在 $y$ 轴与 $z$ 轴的坐标。以上，得到了一点在以 $B_1B_2B_3$ 为顶点形成的三角形内部平面上的坐标为： + +$$ +\left( \begin{array}{l} x _ {W} ^ {\prime} \\ y _ {W} ^ {\prime} \\ z _ {W} ^ {\prime} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l l l} x _ {W} (j _ {1}) & x _ {W} (j _ {2}) & x _ {W} (j _ {3}) \\ y _ {W} (j _ {1}) & y _ {W} (j _ {2}) & y _ {W} (j _ {3}) \\ z _ {W} (j _ {1}) & z _ {W} (j _ {2}) & z _ {W} (j _ {3}) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} t _ {1} \\ t _ {2} \\ t _ {3} \end{array} \right) \tag {7-3} +$$ + +将 $t_3 = 1 - t_1 - t_2$ 代入式(7-3)约去 $\pmb{z}$ 轴的坐标，并根据矩阵运算法则可得： + +$$ +\binom {t _ {1}} {t _ {2}} = \binom {x _ {W} (j _ {1}) - x _ {W} (j _ {3})} {y _ {W} (j _ {1}) - y _ {W} (j _ {3})} \binom {x _ {W} (j _ {2}) - x _ {W} (j _ {3})} {y _ {W} (j _ {2}) - y _ {W} (j _ {3})} ^ {- 1} \binom {x _ {W} ^ {\prime} - x _ {W} (j _ {3})} {y _ {W} ^ {\prime} - y _ {W} (j _ {3})} \tag {7-4} +$$ + +注意到三个点 $B_{1}B_{2}B_{3}$ 为三角形的三个顶点，式(7-4)中的逆矩阵总是存在。因此，当坐标 $(x_W', y_W')$ 给定时，可以根据式(7-4)计算 $t_1$ 和 $t_2$ 的值，进而判断该点的水平面投影是否在三角形的水平面投影的内部。根据实际条件，对于任意在 $x_W^2 + y_W^2 \leqslant 150^2$ 范围内的 $(x_W', y_W')$ ，都有一个 $j \in \mathcal{J}$ 使得其在 $j$ 所指代的三角形内部。故可进一步根据式(7-3)求得 $(x_W', y_W')$ 对应的 $z$ 轴坐标为： + +$$ +z _ {W} ^ {\prime} = t _ {1} z _ {W} (j _ {1}) + t _ {2} z _ {W} (j _ {2}) + t _ {3} z _ {W} (j _ {3}) \tag {7-5} +$$ + +其次，要确定反射直线的解析表达式。计算反馈面上三个点 $B_{1}B_{2}B_{3}$ 构成平面的法向量 $\vec{n} = (e_1;e_2;e_3)$ ，有： + +$$ +\left( \begin{array}{l l l} x _ {W} (j _ {1}) - x _ {W} (j _ {2}) & y _ {W} (j _ {1}) - y _ {W} (j _ {2}) & z _ {W} (j _ {1}) - z _ {W} (j _ {2}) \\ x _ {W} (j _ {2}) - x _ {W} (j _ {3}) & y _ {W} (j _ {2}) - y _ {W} (j _ {3}) & z _ {W} (j _ {2}) - z _ {W} (j _ {3}) \\ x _ {W} (j _ {3}) - x _ {W} (j _ {1}) & y _ {W} (j _ {3}) - y _ {W} (j _ {1}) & z _ {W} (j _ {3}) - z _ {W} (j _ {1}) \end{array} \right) \binom {e _ {1}} {e _ {2}} = \binom {0} {0} \tag {7-6} +$$ + +![](images/a6323c5125e750661d4b99d379b634b501ab9a72ab3c5a77c6d66a05acb3b1fa.jpg) +图10：各角度三维示意图 + +注意到，法向量没有归一化且式(7-6)左侧矩阵的秩为2。且考虑到问题所求的抛物面开口向上，即 $e_3 > 0$ ，故令 $e_3 = 1$ ，将式(7-6)进行化简并根据矩阵运算法则可得： + +$$ +\binom {e _ {1}} {e _ {2}} = \binom {x _ {W} (j _ {1}) - x _ {W} (j _ {2})} {x _ {W} (j _ {2}) - x _ {W} (j _ {3})} \binom {y _ {W} (j _ {1}) - y _ {W} (j _ {2})} {y _ {W} (j _ {2}) - y _ {W} (j _ {3})} ^ {- 1} \binom {z _ {W} (j _ {2}) - z _ {W} (j _ {1})} {z _ {W} (j _ {3}) - z _ {W} (j _ {2})} \tag {7-7} +$$ + +由于入射光垂直于水平面向下，由方向向量 $\vec{n}_1 = (0,0,1)$ 。因此 $\vec{n}$ 与 $\vec{n}_1$ 的夹角： + +$$ +\theta = \arccos _ {| n | \cdot | n _ {1} |} ^ {\vec {n} \cdot \vec {n _ {1}}} \tag {7-8} +$$ + +接着，将法向量投影到水平面后与 $x$ 轴的方向向量 $\vec{n_x} = (1,0,0)$ 的夹角 $\alpha$ 表示为： + +$$ +\alpha = \left\{ \begin{array}{l} \arccos \frac {\vec {n} \cdot \vec {n} _ {x}}{| n | \cdot | n _ {x} |}, e _ {2} \geqslant 0 \\ - \arccos \frac {\vec {n} \cdot \vec {n} _ {x}}{| n | \cdot | n _ {x} |}, e _ {2} < 0 \end{array} \right. \tag {7-9} +$$ + +另外，由于出射光与入射光所在平面垂直于反射面，可知出射光与 $z$ 轴的夹角为 $2\theta$ 。因此出射光的方向向量： + +$$ +\overrightarrow {n _ {2}} = (\sin (2 \theta) \cos \alpha , \sin (2 \theta) \sin \alpha , \cos (2 \theta)) \tag {7-10} +$$ + +以上，可得出射光所在的直线的标准方程为： + +$$ +\binom {x _ {W}} {y _ {W}} = \binom {x _ {W} ^ {\prime}} {y _ {W} ^ {\prime}} + r \binom {\sin (2 \theta) \cos \alpha} {\sin (2 \theta) \sin \alpha} \tag {7-11} +$$ + +最后，要确定馈源舱接收平面的解析表达式。根据题目，馈源舱接收平面的法线方向指向理想抛物面的顶点，距离原点的距离为。考虑到由于馈源舱接收信号有效区域为直径1米的中心圆盘，因此其平面方程为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} z _ {W} = - (R - F) \\ x _ {W} ^ {2} + y _ {W} ^ {2} \leqslant 0. 5 ^ {2} \end{array} \right. \tag {7-12} +$$ + +综上，在新坐标系中构建了反射光线所在直线与馈源舱接收平面的解析表达式。 + +# 7.1.2 反射光线吸收与信号比计算模型的建立 + +在确定了反射光线与馈源舱接收平面的解析表达式后，即可判断反射光线是否被接收并计算反射信号比。 + +首先，将接收面平面方程与出射光所在直线方程进行联立，可以得到出射光线命中馈源舱所在z平面的行进步长： + +$$ +r = \frac {F - R - z _ {W} ^ {\prime}}{\cos (2 \theta)} \tag {7-13} +$$ + +结合式(7-11)和(7-13)，整理可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {W} = x _ {W} ^ {\prime} + \frac {F - R - z _ {W} ^ {\prime}}{\cos (2 \theta)} \sin (2 \theta) \cos \alpha \\ y _ {W} = y _ {W} ^ {\prime} + \frac {F - R - z _ {W} ^ {\prime}}{\cos (2 \theta)} \sin (2 \theta) \cos \alpha \end{array} \right. \tag {7-14} +$$ + +接着，可以基于入射线指向的水平面上点的坐标 $(x_W', y_W')$ 并根据式(7-14)求得 $x_W$ 和 $y_W$ 。因此可以通过： + +$$ +I (x _ {W} ^ {\prime}, y _ {W} ^ {\prime}) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, x _ {W} ^ {2} + y _ {W} ^ {2} \leqslant 0. 5 ^ {2} \text {且} x _ {W} ^ {\prime 2} + y _ {W} ^ {\prime 2} \geqslant 0. 5 ^ {2} \\ 0, \text {其 他} \end{array} \right. \tag {7-15} +$$ + +判断反射光线是否能够被接受面吸收。进一步，对判断函数 $I(x_{W},y_{W})$ 在 $x_{W}^{2} + y_{W}^{2}\leqslant 150^{2}$ 范围内积分，可以得到被馈源舱吸收的光线所占的面积： + +$$ +\iint_ {x _ {W} ^ {2} + y _ {W} ^ {2} \leqslant 1 5 0 ^ {2}} I (x _ {W}, y _ {W}) d x _ {W} d y _ {W} \tag {7-16} +$$ + +接着，注意到有效口径内的每一个点都必然有且仅有一个相应的三角形，则平面内接收到的光线面积为 $150^2\pi$ 。最后，可得接收与反射信号之比为： + +$$ +\eta = \frac {1}{1 5 0 ^ {2} \pi} \iint_ {x _ {W} ^ {2} + y _ {W} ^ {2} \leqslant 1 5 0 ^ {2}} f (x _ {W}, y _ {W}) d x _ {W} d y _ {W} \tag {7-17} +$$ + +# 7.2 问题三模型的求解 + +# 7.2.1 算法设计 + +对于问题三所求的积分数值，如果直接对整个口径圆面进行积分，则对于每个输入的光线坐标，算法都将消耗大量时间遍历 $xOy$ 平面上的各个投影三角形，以确定这一坐标所属的三角形法线，用于计算出射光线的射线方程。为了避免这一逐点依次进行三角形遍历的时间成本，我们将圆形口径积分域分解为各个互不重叠的 $xOy$ 投影三角形积分域，通过对各个三角形积分域内均匀地采样各个光线的接收判定信息，使得一次性遍历到各个投影三角形时，可以大批量地使用同一个法线向量处理多个投影到该三角形上的 + +入射光线, 甚至使用足够高密度的采样从入射光线的接收信息还原出馈源器有效区域在各个投影三角形上的像。为了实现三角形区域的均匀采样式积分, 我们设计了包含对边界条件精细修正的蒙特卡洛积分算法, 算法细节如下: + +# 算法3：蒙特卡洛算法 + +1：设置接收面积近似值 $a = 0$ +2：遍历三角形 $j\in \mathcal{J}$ +3: 设置接收次数初始值 $d_{\cdot} = 0$ +4: 抽样次数10000，循环； +5: 每次在0到1之间平均随机抽样生成一个 $t_1$ 和一个 $t_2$ ; +6: 如果 $t_1 + t_2 > 1$ +7: $t_1 := 1 - t_1$ ; +8: $t_2 \coloneqq 1 - t_2$ ; +9: $t_3 = 1 - t_1 - t_2$ +10: 使用式(7-3)从 $(t_{1}, t_{2}, t_{3})$ 计算出 $(x, y, z)$ ; +11: 使用 $x$ 和 $y$ 计算出 $xOy$ 平面上的投影向量长度； +12: 如果向量长度超过口径的一半150米： +13: 跳过这次接收计算，跳转到第16行； +14: 使用 $(x, y, z)$ 计算出是否接收，如果接收： +15: $d\colon = d + 1$ +16： 如果抽样次数没满，跳转到第4行循环； +17： 计算出三角形 $j$ 在 $xOy$ 平面上的投影面积； +18: $a_1 \coloneqq a_1 + d / 10000$ （阴影面积） +19: 如果遍历三角形没结束, 跳转到第 2 行继续遍历 +20：输出 $a_1 / (150^2\pi)$ 即为所求接收率； + +# 7.2.2 问题三的结果与分析 + +基于算法3，在MATLAB中编程进行求解，给出求解出的在相同区间下，工作态（左）与基准态（右）中，反射面板与有效入射点区域的纹理对比图。其中，黑点表示光波经反射后，可以被馈源舱接受平面的中心有效区域吸收的反射面板的入射点区域。图11中所选取的区间横坐标范围为 $(-90^{\circ}, -30^{\circ})$ ，对照图5，可得此区间基准态和工作态之间偏移量的相对斜率最大，夹角差异最大，导致基准态时部分反射面板中的“有效接受反射命中点”逐渐偏移至反射面板外部，进而反射率也相应降低。因此工作态和基准态下，最终产生的反射效果相差较大。最终计算得到的调节前接收比 $0.811\%$ ，调节后接收比 $1.103\%$ ，提升了 $36\%$ 。 + +![](images/559f2d9b5ede58554371cf4a0eccfce50cda7f5a7558fe4ebcdc0e8fff2800c2.jpg) +图11：在相同区间下，工作态（左）与基准态（右）纹理对比 + +![](images/42fed067bd44e0111f66c331781488be91f4438b118a6713514512d9c1b8fb22.jpg) + +将计算得到的此情况下反射光线聚焦于焦点的状态进行可视化处理，得到图12。 + +![](images/bcbbecc96dd01fff4d6896523da6eb4922629561205da1ff2529a55b8b3390b0.jpg) +图12：反射光线聚焦于焦点的示意图 + +由图12可观察到，在此情况下，由观测点S方向射出的平行均匀光波被精准地反射到了馈源舱有效接收区域，故所得结果符合题设。 + +# 7.2.3 问题三结果检验 + +基于7.2.2节中的结果，对蒙特卡洛积分的稳定性进行检验。在工作态与基准态下各积分100次，得到数值波动量如图12： + +![](images/54a94bc7fb62a2b2420d0a199a14e34227a65589121ada892ba21ecd453ae512.jpg) +图13：工作态（上）与基准态（下）下多次蒙特卡洛积分的数值波动量 + +观察光斑分布偏移，由图13可得工作态下与基准态下，多次蒙特卡洛积分的数值波动量范围都在 $10^{-3}$ 的维度上，波动量较小，可以认为结果合理。 + +# 八、模型的评价与推广 + +# 8.1模型的评价 + +本文构建的FAST射电望远镜的工作抛物面调整模型，对于利用促动器调整工作抛物面的过程进行了合理假设，在保证模型求解结果精确性的条件下，有效降低了模型的复杂程度。在求解过程中，利用了二分法，BFGS法，蒙特卡洛积分等方法对于模型进行求解，使得算法的收敛速度快且结果精确。 + +在第一问的理想抛物面求解过程中，考虑到抛物面是由抛物线沿轴线旋转得来，故将空间的问题转化为平面坐标系下的问题，使得模型描述更为简便。对于限定了焦距的抛物线方程，本文以使其与基准球面的近似程度最大为最优化条件，对于其焦距进行了优化，从而确定了最优的抛物面方程。 + +在第二问的工作抛物面调整过程中，考虑到抛物面的开口方向与原先的坐标轴方向并不相同，本文将原先的直角坐标系进行旋转，使得原先的坐标轴方向依然指向被测物体，使得抛物面方程的描述更为简化，构建出的模型更加简明。并且在此过程中，通过极坐标变换，利用了第一问得出的结论，节省了公式推导的工作量。在求解时利用BFGS法，将约束条件转化为二次型，提高了算法的收敛速度与精确度。 + +在第三问的馈源舱接收比计算模型中，本文将直角坐标，方位角等概念结合使用，在旋转后的直角坐标中通过构建参数方程判断三角形平面与直线的相交关系，使得模型的推导过程更加简单。在求解有效接受的光源面积时，使用蒙特卡洛积分的方法进行求解，在一定程度上提高了解算的速度。 + +# 8.2模型的改进 + +与实际情况相比，题目中缺乏边界结构如何固定的相关信息，如支撑结构等，这就使得在确定整个工作抛物面时约束条件是不够充分的。若能够提供最外圈反射面板的固定方式，并且合理假设在边界的节点之间的距离约束等条件，可以对于工作抛物面的边界条件进行建模，并且通过各个节点之间的连接关系间接地传递约束，从而给出FAST射电望远镜所有促动器伸缩量的调整策略，构建出可以投入实际调度的工作抛物面调整模型。 + +# 九、参考文献 + +[1] 杨凡, 李广云, 王力. 三维坐标转换方法研究[J]. 测绘通报, 2010(6):5-7 +[2] 龚纯, 王正林. 精通 MATLAB 最优化计算[M]. 电子工业出版社, 2009. +[3] Beavis B, Dobbs I. Optimisation and stability theory for economic analysis[M]. Cambridge university press, 1990. + +# 十、附录 + +# 10.1 主要计算程序：基于 MATLAB R2019a 开发 + +# 10.1.1 主要计算程序 + +prob1 Calc.m: 问题1的求解核心算法 +```matlab +function [Lf, angle300] = prob1 Calc() +% +% 问题1的核心计算部分 +% 积分输出最优焦距 +% 并且与Constant中固定的焦距做比较 +% +warning('off', MATLAB: integral: MaxIntervalCountReached'); +warning('off', MATLAB: integral: MinStepSize'); +angle_min = acos(150/Constant.sphere_radius); +Lf = fzero(@Lf)int_dL(Lf, angle_min), [100, 400]); +disp("问题1最优焦距Lf: "+mat2str(Lf,17)); +disp("问题1最小误差平方积分: "+mat2str(int_L(Lf, angle_min),17)); +assert(abs(int_dL(Lf, angle_min)) < sqrt(eps)); +assert(Lf == Constant.Lf); +[~, ~, angle] = Constant.get_rad_angle()); +f = @angle)abs(Polar.para(Lf, angle)*cos(angle))-150; +angle300 = fzero(f, [pi/2, angle(end)]; +assert(abs(f(angle300)) <= sqrt(eps)); +end +function v = int_L(Lf, angle_min) +v = integral(@f, angle_min, pi/2); +function err = f(angle) +[L, ~] = Polar.para(Lf, angle); +err = (L-Constant.sphere_radius).* (L-Constant.sphere_radius); +radius = Constant.sphere_radius.*cos(angle); +err = err*(2.*pi.*radius); +end +end +``` + +function $\mathrm{{derr}} = \mathrm{f}\left( \mathrm{{angle}}\right)$ [L,dL] = Polar.para(Lf, angle); $\operatorname{derr} = {2.}^{ * }\mathrm{\;d}\mathrm{L}.{}^{ * }$ (L-Constant.sphere_radius); radius = Constant.sphere_radius.*cos(angle); $\operatorname{derr} = \operatorname{derr} * \left( {{2.}^{ * }\mathrm{{pi}}.{}^{ * }\text{radius}}\right)$ ; end end + +# prob2 Calc.m: 问题2的求解核心算法 + +```matlab +function [fval, opt_X, opt_XYZ, opt_Lz, opt_ABR, index, W, Winv, ... edge, edge_distSQ, motor_hi, motor_unit, motor_distSQ] = prob2 Calc() clf('reset'); mg(default); clear global +``` + +% 初始化数据集 + +```javascript +data = Data(); +``` + +% 初始化旋转变换矩阵 + +```javascript +[W, Winv] = Polarcompose Rotate(Constant.alpha, Constant.beta); +``` + +$\%$ 选择300口径内的节点 + +$[\sim, \text{angle}300] = \text{prob1\_calc}$ ; + +```txt +mainXYZ = data.main_node Coordinate; +``` + +```javascript +main_ABR = Polar.xyz2abr(main_XYZ*W'); +``` + +index $\equiv$ main_ABR(:,2) $\rightharpoondown$ pi-angle300; + +```txt +N_nodes = sum(index); +``` + +mainXYZ $\equiv$ mainXYZ(index, $\text{已}$ ）; $\%$ 过滤主网节点 + +```txt +edge = data(edge(all(index(data edge), 2),:); % 过滤节点之间的连边 +``` + +```matlab +index2(index) = 1:sum(index); % 构建过滤之后的新的节点下标顺序 +``` + +```txt +edge = index2(edge); % 使用新的节点下标对连边节点序号重定向 +``` + +```txt +assert(all(all(edge))), % 连边节点序号不能有空泡 +``` + +% 初始化邻边长度 + +```matlab +edge_distSQ = main_XYZ(edge(:,1),:) - main_XYZ(edge(:,2),); +``` + +```javascript +edge_distSQ = sum(edge_distSQ * edge_distSQ, 2); +``` + +% 促动器预处理 + +```txt +motor_hi = data.motor_higher_base(index, :); +``` + +```javascript +motor lo = data.motor_lower(index, :); +``` + +```txt +motor_unit = motor_hi-motor_lo; +motor_unit = motor_unit./sqrt(sum(motor_unit.*motor_unit,2)); +motor_distSQ = main_XYZ-motor_hi; +motor_distSQ = sum(motor_distSQ.*motor_distSQ, 2); +``` + +objective $= @(\mathrm{X})\mathrm{obj\_SSE}(\mathrm{X},\mathrm{W},\mathrm{N\_nodes})$ nonlcon $\equiv$ @(X)constraints(X, edge, edge_distSQ, motor_hi, motor_unit, motor_distSQ, N_nodes); + +```matlab +f_testkit(.. pack(main_XYZ, rand(N_nodes, 1)), ... objective,... nonlcon... ); +``` + +```matlab +opts = optimoptions('fmincon', 'Display', 'iter-detailed'); +opts.FunValCheck = 'on'; +opts.SpecifyObjectiveGradient = true; +opts.SpecifyConstraintGradient = true; +opts.MaxFunctionEvaluations = inf; +opts.MaxIterations = inf; +opts.HonorBounds = false; +% opt.s.SubproblemAlgorithm = 'cg'; +opts.HessianApproximation = 'lbfgs'; +saved = load('prob2'); +if true + opt_X = saved.opt_X; +else +``` + +opt_X = fmincon(objective, pack(main_XYZ, zeros(N_nodes, 1)), [], [], [], [...], pack(-inf(size(main_XYZ)), repmat(-0.6, N_nodes, 1)),... % lb pack( inf(size(main_XYZ)), repmat( 0.6, N_nodes, 1)),... % ub nonlcon, opts); $\% \# \mathrm{ok} < \mathrm{UNRCH} >$ +end +fval = obj SSE(opt_X, W, N_nodes); +[opt_XYZ,opt_Lz] = unpack(opt_X,N_nodes); + +```matlab +opt_ABR = Polar.xyz2abr(opt_XYZ*W); end +``` + +```matlab +function [SSE, dSSE_dXYZ] = obj_SSE(X, W, N_nodes) +``` + +%目标函数 + +$\%$ 球面径向投影Lw（理想抛物面）和主网节点实际投影位置L之间的误差平方和 + +0% + +[XYZ,Lz] $=$ unpack(X,N_nodes); + +[abr, $\sim$ ,db,dr] $=$ Polar.xyz2abr(XYZ\*W'); + +```txt +[ \text{[Lw, ~, dangle]} = \text{Polar.para(Constant.Lf, abr(:,2,:))}; ] +``` + +```javascript +err = Lw-abr(:,3); +``` + +$\mathrm{SSE} = \mathrm{err}^{\ast}\mathrm{err};$ + +```javascript +dSSE_dXYZ = 2.*err.*(dangle.*db-dr); +``` + +```txt +dSSE_dXYZ = dSSE_dXYZ*W; +``` + +$\mathrm{dSSE\_dXYZ} = [\mathrm{dSSE\_dXYZ(:)};$ zeros(size(Lz))]; + +end + +function [c,ceq,gc,gceq] $=$ constraints(.. X,... edge, edge_distSQ, .. motor_hi,motor_unit,motor_distSQ,N_nodes) $\%$ + +% 约束条件（二次型） +$\%$ 条件1：保持主网节点之间的连接索的距离保持固定 +条件2：保持主网节点与相应的促动器之间的距离（下拉索）保持固定 $\%$ + +[XYZ,Lz] $=$ unpack(X,N_nodes); + +errdist $=$ XYZ(edge(:,1),:)XYZ(edge(:,2),); + +```javascript +edist = sum(errdist.*errdist,2); +``` + +$\mathsf{c} =$ [edist-edge_distSQ $(1.0007^{*}1.0007)$ edge_distSQ $(0.9993^{*}0.9993)$ -edist]; + +```txt +I1 = sub2ind(size(XYZ), repmat(edge(:,1),1,3), repmat(1:3,numel(edist),1)); +``` + +$\mathrm{I2} = \mathrm{sub2ind(size(XYZ),repmat(edge(:,2),1,3),repmat(1:3,numel(edist),1))}$ + +```txt +J=repmat((1:numel(edist)).', 1, 3); +``` + +```txt +gc=[ +``` + +sparse(... +reshape([I1 I2],[],1),... +reshape([J J],[,1],... +reshape(2.\*[errdist -errdist],[],1),... +numel(X),numel(edist)),... +-sparse(... +reshape([I1 I2],[],1),... +reshape([J J],[,1],... +reshape(2.\*[errdist -errdist],[],1),... +numel(X),numel(edist)) +]; +motor_hi_new $=$ motor_hi+Lz.\*motor_unit; errdist $=$ XYZ-motor_hi_new; edist $=$ sum(errdist.\*errdist,2); ceq $=$ edist-motor_distSQ; + $\mathrm{J} =$ repmat((1:numel(edist)),', 1, 4); gceq $=$ sparse(... reshape(1:numel(X),[,1],... reshape(J,[,1],.. reshape(2.\*[errdist -sum(errdist.\*motor_unit,2)],[,1],... numel(X),numel(edist)); +end +function [SSE, dSSE] $=$ constr_test_ceq(X, constraints) $[\sim ,\mathrm{ceq},\sim ,\mathrm{gceq}] =$ constraints(X); SSE $=$ ceq\*ceq; dSSE $=$ full(2.\*gceq\*ceq); +end +function [SSE, dSSE] $=$ constr_test_c(X, constraints) $[\mathrm{c},\sim ,\mathrm{gc},\sim ] =$ constraints(X); SSE $= \mathbf{c}^{\prime \ast}\mathbf{c}$ . dSSE $=$ full(2.\*gc\*c); +end + +function f_testkit(data, objective, constraints) + +0% + +% 函数微分正确性检查 + +0% + +f = objective; + +for $\mathrm{i} = 1:10$ + +```matlab +index = randi(numel(data)/4*3); +``` + +ratio $=$ linspace(0.1, 10.0, 20); + +diff_ $=$ arrayfun(@(r)derr_diff(r,index),ratio); + +ana_ $=$ arrayfun(@r)derr_ana(r,index),ratio); + +```javascript +disp("信噪比："+norm(diff_ana)/norm(ana)); +``` + +```txt +plot(ratio, diff_ana); +``` + +```txt +hold on +``` + +end + +$\mathbf{f} = @(\mathbf{X})$ constr_test_ceq(X, constraints); + +for $\mathbf{i} = 1:10$ + +```matlab +index = randi(numel(data)); +``` + +```txt +ratio = linspace(0.1, 10.0, 20); +``` + +ana_ $=$ arrayfun(@(r)derr_ana(r,index),ratio); + +```txt +diff = arrayfun(@(r)derr_diff(r, index), ratio); +``` + +```javascript +disp("信噪比："+norm(diff_ana)/norm(diff)); +``` + +```txt +plot(ratio, diff_ana); +``` + +```txt +hold on +``` + +end + +$\mathbf{f} = @(\mathbf{X})\mathrm{constr\_test\_c}(\mathbf{X},\mathrm{constraints});$ + +for $\mathbf{i} = 1:10$ + +```matlab +index = randi(numel(data)/4*3); +``` + +ratio $=$ linspace(0.1, 10.0, 20); + +```txt +ana = arrayfun(@(r)derr_ana(r, index), ratio); +``` + +diff_ $=$ arrayfun(@(r)derr_diff(r,index),ratio); + +```javascript +disp("信噪比："+norm(diff_ana)/norm(diff)); +``` + +```txt +plot(ratio, diff_ana); +``` + +```txt +hold on +``` + +end + +```txt +function dSSE = cerr_diff(ratio, index) +``` + +```javascript +assert(isscalar(ratio)); +``` + +$\mathrm{dSSE} = (\mathrm{f(set(index, ratio + 1e - 4)) - f(set(index, ratio - 1e - 4)))) / 2e - 4;$ + +end + +function dSSE $=$ cerr_ana(ratio,index) assert(isscalar(ratio)); $[\sim ,\mathrm{dSSE}] = \mathrm{f}(\mathrm{set(index,ratio)})$ $\mathrm{dSSE} = \mathrm{dSSE(index)*data(index)}$ end function newdata $=$ set(index,ratio) newdata $=$ data; newdata(index) $=$ newdata(index)\*ratio; end +end +function $\mathrm{X} =$ packXYZ,Lz) $\mathrm{X} = [\mathrm{XYZ}(:);\mathrm{Lz}]$ +end +function [XYZ,Lz] $=$ unpack(X,N_nodes) assert(numel(X) $= = 4^{*}\mathrm{N\_nodes})$ . XYZ $=$ reshape(X(1:3*N_nodes),[]3); Lz $=$ X(3*N_nodes+1:end); +End + +prob3 Calc.m: 问题3的求解核心算法（含画图输出，检验等） +```matlab +clf() +clear() +rng(default); +close(all); +clear global +global opt_XYZ index W +[ \sim, \sim, \text{opt}_XYZ, \sim, \sim, \text{index}, W, \sim ] = prob2 Calc(); clf(reset); +% 画图 +clf(reset); +% plot_working_illu_3d(true); +clf(reset); +% plot_2d_texture(true); +clf(reset); +% plot_2d_texture(false); +``` + +```txt +rec_ratio_work = [0.011020300922443 0.0110003218576217 0.0110518782939506 +``` + +
0.01106438174380840.01097306605506520.01102576010801110.0110223227972293
0.01104850780711770.01102401518846940.01101302308694170.0110164104558229
0.01105506683267810.01104592705453070.01098826129858350.0110436769357324
0.01103670347492520.01104817661206680.01103215725900370.0110749365711392
0.01103868026316230.01101532925206370.01101923309704750.0109874238643901
0.01102963118878760.01097573853464910.01097551111050560.0110288022004406
0.01097997944535330.01102385404626870.01104530424464090.0110284372401636
0.01106693625843780.01105261446864680.01103344303758480.0109741922281317
0.01104784341138180.01103418991912460.01105175918132820.0110496603830398
0.01100462548412120.01102356001404060.01105506982357440.0110649714478939
0.01104740097662730.01104200968702450.01103657566020610.0110091725112358
0.01103826137939320.01106005215864130.01100282325032580.0110465102463241
0.01101366046302150.01101011352204890.01101834053772150.0110043363971838
0.01099582799066510.01108378736128650.0110659172480560.0110277008429329
0.01101276646070680.01105459865312440.01103450082776330.0110429260222507
0.01105050792934610.0110394063672630.01101037999223590.0110289593537192
0.01105419984624480.01105133854171470.01105298542470010.0110445898913447
0.01101800880172550.0110221897207140.01106273435539630.0110285841846507
0.01108174149436820.01099074916788010.01102001801674310.0110311268543086
0.01101465845299610.01102550937712130.01105286376136450.0110777319262726
0.01101690341015320.01107897638450190.0110869077529620.0110068509917417
0.01102027572781540.01104034747432630.01104254292911410.0110162286817121
0.01103824432777450.01100685338809550.01104523956730060.0109963333441479
0.0110003274293370.01102305897538980.01104718912120480.0110296744899169
0.0110090500347684];
+ +
rec_ratio_base = [0.00809957344004469 0.00816030276752031 0.00815114719028782 +0.00809170932206714 0.00813359107499093 0.00815073014613017 0.00808926197249174 +0.00808170453150241 0.00806468281488732 0.0081182224458027 0.00809664564432054 +0.00803929331956928 0.00813862975913561 0.00812651614405913 0.00807548662594117 +0.00809838752451361 0.00809400286528839 0.00811009080826381 0.00810822712967782 +0.00809315525807824 0.00806486974020875 0.008134630287794 0.00807892790322006 +0.00805598714908852 0.00813180369790822 0.00810668350665907 0.00807828088140091 +0.00811052825834018 0.00810927517071732 0.00811143502132163 0.00810309576115239 +0.00810982854434356 0.00811344740473194 0.00814411524881943 0.00810455307681079 +0.00806302524392838 0.00808600818409412 0.00812354564034997 0.00811186777478928 +0.00809026737854994 0.00808663956574123 0.00814128338195877 0.00807940794169834 +0.00812115941770167 0.0081024286210036 0.0080924217013025 0.00809501225610337 +0.00809902994305578 0.00812940497617186 0.00809554341149597 0.00809631643018426 +0.00804895426011689 0.00809575027496546 0.00812928273720676 0.00811334164853845 +0.00812004359958459 0.00810587906967159 0.00807971230125123 0.00810458060650855 +0.00809081157217132 0.00807630129046536 0.00812220517987459 0.00811206634654426 +0.00810709806891063 0.00815164906999222 0.00813766254713846 0.00814321524369861 +0.00810908041014188 0.00812934844902824 0.00810621605696549 0.00811063002236979
+ +```matlab +0.00812537388975942 0.00809493844001929 0.00811284919748417 0.00812982625291347 +0.00811444175548698 0.00812948462742588 0.00812471872392731 0.00809515370106578 +0.00810070201885477 0.00809154975241786 0.00809924616852124 0.00808220053817524 +0.00812402217146259 0.00811192024738402 0.00806217864697205 0.00809729197336589 +0.00814243000329029 0.00814908482651054 0.00805549860700152 0.00812911963465325 +0.00809820772628644 0.0080799192180059 0.00812099010446983 0.00811185636211377 +0.00810677088931511 0.00812457458272667 0.00811715912091946 0.00810254234380183 +'LineWidth',2); +subplot(2,1,1); +hold on +plot([1:100;1:100],[repmat(mean(rec_ratio_work),size(rec_ratio_work));rec_ratio_work] +,'k-','LineWidth',2); +plot(1:100,rec_ratio_work,'ko','LineWidth',2); +box on +grid on +style('fontname','fontsize'); +%ylim([0.01033, 0.01045]); +subplot(2,1,2); +hold on +plot([1:100;1:100],[repmat(mean(rec_ratio_base),size(rec_ratio_base));rec_ratio_base],k +-','LineWidth',2); +plot(1:100,rec_ratio_base,'ko','LineWidth',2); +box on +grid on +style('fontname','fontsize'); +fastprint('图片/prob3检验多次蒙特卡洛积分的数值波动量'); +function [data,XYZ,trif,tri_area]=get_data(WORKING) +% +% 提取工作态或者非工作态下需要使用的所有数据 +% +data = Data(); +global opt_XYZ index W +XYZ=data.main_node_coordinates; %产生一个对齐到光线入射角度的坐标格式 +if WORKING +XYZ(index,:) = opt_XYZ; %主索网调整到工作抛物面 +end +XYZ=XYZ*W; +``` + +$\%$ 计算三角形的面积 + +triangle $=$ data.triangle; + +X = reshape(XYZ(triangle,1),size(triangle)); + +$\mathrm{Y} =$ reshape(XYZ(triangle,2),size(triangle)); + +$\% Z =$ reshape(XYZ(triangle,3),size(triangle)); + +triangle_area = 0.5.*abs(X(:,1).*Y(:,2)-Y(:,3)) + X(:,2).*Y(:,3)-Y(:,1)) + X(:,3).*Y(:,1)-Y(:,2)); + +$\%$ 筛选出所有可能跟选中顶点有关系的三角形 + +tri $=$ triangle(any(index(triangle),2),); + +tri_area = triangle_area(any(index(triangle),2)); + +end + +function [rec_ratio, xyz, uvw, data, XYZ] = mcIntegral(WORKING) % + +$\%$ 提取出当前有效工作界面（由有效三角形定义）中的 + +$\%$ 所有xyz映射到uvw的射线关系 + +$\%$ （蒙特卡洛法，顺便就完成了积分） + +0% + +[ data,XYZ, tri, tri_area] = get_data(WORKING); + +area $=$ zeros(size(tri,1),1); + +xyz = cell(size(tri)); + +$\mathsf{uvw} = \mathsf{cell(size(tri))}$ + +$\mathrm{N} = 10000$ + +for $i = 1$ size(tri,1) + +X=XYZ(tri(i,:),1); + +Y=XYZ(tri(i,:),2); + +Z=XYZ(tri(i,:),3); + +t123 = rand(N,2); + +t123(t123(:,1)+t123(:,2)>1,:)=[1,1]-t123(t123(:,1)+t123(:,2)>1,:); + +t123(:,end+1)=1-t123(:,1)-t123(:,2);%#ok + +[xyz,uvw_ratio] $=$ calc_t_fast(t123,X,Y,Z); + +xyz{i} = xyz(-isnan(ratio),); + +$\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}\{\mathbf{i}\} = \mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}_{-}(\sim \mathbf{i}\mathbf{s}\mathbf{n}\mathbf{a}\mathbf{n}(\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{0}),:)$ + +area(i) = mean(-isnan(ratio)); + +end + +assert(-any(isnan(area)); + +$\%$ area $=$ area( $\sim$ isnan(area)); $\%$ tri_area $=$ tri_area( $\sim$ isnan(area)); rec_ratio $=$ sum(tri_area.\*area).(150\*150\*pi); ifWORKING disp("工作接收比："+mat2str(rec_ratio,17)); else disp("基准接收比："+mat2str(rec_ratio,17)); end +end +function plot_2d Texture(WORKING) + $\%$ $\%$ 画图 + $\%$ 2d，放大界面纹理，工作界面和基准态都要绘制 + $\%$ $[\sim ,xyz,\sim ,data,XYZ] = mc\_ integral(WORKING);$ tri $=$ data.triangle(:,[1:31]).; plot(reshape(XYZ(tri,1),size(tri)),reshape(XYZ(tri,2),size(tri)),'k'); hold on; xyz $=$ vertcat(xyz{}); plot(xyz(:,1),xyz(:,2).'.k'); axis equal xlim([-90,-30]); ylim([-30,30]); style('fontname','fontsize'); ifWORKING fastprint('图片/prob3.结果.纹理对比(工作态)'); else fastprint('图片/prob3.结果.纹理对比(基准态)'); end +end +function plot_working_illu_3d(WORKING) + +$\%$ 画图 +$\% 3 \mathrm{~d}$ , 体现出工作界面的反射光聚焦于焦点 +$\%$ 这张图只在工作界面时绘制，不在基准态绘制 + +$\%$ +assert(WORKING); +[-,xyz,uvw,data,XYZ] $\equiv$ mcIntegral(WORKING); +xyz $=$ vertcat(xyz{:}); +uvw $=$ vertcat(uvw{:}); +xyz $=$ xyz(1:100:end,:); +uvw $=$ uvw(1:100:end,:); +p $=$ plot3(... [xyz(:,1),xyz(:,1)+uvw(:,1)],',... [xyz(:,2),xyz(:,2)+uvw(:,2)],',... [xyz(:,3),xyz(:,3)+uvw(:,3)],','); +color $=$ mat2cell(repmatrand(numel(p),1),1,3),ones(numel(p),1),3); [p.Color] $=$ color{:}; +hold('on'); + +$\mathrm{X = XYZ(:,1)}$ $\mathrm{Y = XYZ(:,2)}$ $\mathrm{Z = XYZ(:,3)}$ trisurf(data_TRIANGLE, X,Y,Z, 'FaceColor', 'None'); axis('equal'); colormap(gray); colorbar(); grid'on'); box'on'); style('fontsize','fontname'); + +fastprint('图片/prob3.结果.反射光线聚焦于焦点的示意图'); end + +function [xyz,uvw,ratio] $=$ calc_t_fast(t123,X,Y,Z) $\%$ + +$\%$ 寻找距离入射(x,y)最近的XYZ坐标点，并提取出以该点为顶点的所有三角形 + +依次求解它们的t1,t2,t3% + +```txt +xyz = t123 * [XYZ]; +``` + +$\%$ 分界线：上面是命中点，下面是法线 + +$$ +\mathrm {a} = \mathrm {X} (1) - \mathrm {X} (2); \mathrm {b} = \mathrm {Y} (1) - \mathrm {Y} (2); +$$ + +$$ +c = X (2) - X (3); d = Y (2) - Y (3); +$$ + +$$ +u v w = ([ a b; c d ] [ Z (2) - Z (1); Z (3) - Z (2) ]) ^ {\prime}; +$$ + +$$ +u v w (:, e n d + 1) = 1; +$$ + +$$ +u v w \_ a b r = \text {P o l a r . x y z 2 a b r} (- u v w); +$$ + +$$ +u v w \_ a b r (:, 2) = p i / 2 - (p i / 2 - u v w \_ a b r (:, 2)). ^ {*} 2; +$$ + +$$ +u v w \_ a b r (: 3) = 1; +$$ + +$$ +u v w = - \text {P o l a r . a b r} 2 x y z (u v w _ {-} a b r); +$$ + +$$ +\text {r a t i o} = (- (1 - \text {C o n s t a n t . F R} _ {-} \text {r a t i o}). ^ {*} \text {C o n s t a n t . s p h e r e} _ {-} \text {r a d i u s} _ {-} \text {x y z} (:, 3)). / \text {u v w} (:, 3); +$$ + +[ \text{ratio(ratio} < 0) = \text{NaN}; \% ] 同向达不到馈源舱的情况下pass + +$$ +\mathrm {d s t} = \mathrm {x y z} + \text {r a t i o}. ^ {*} \mathrm {u v w}; +$$ + +assert(all(abs.dst(:,3)+(1-Constant.FR_ratio).*Constant.sphere_radius) < sqrt(eps) | isnan(ratio)); + +[ \text{ratio(sumdst(:,1:2).*dst(:,1:2),2)} > 0.5 * 0.5 = \text{NaN}; \% ] 反射馈源舱平面时超过馈源舱圆圈的情况下pass + +ratio(sum(xyz(:,1:2).*xyz(:,1:2),2) < 0.5.*0.5) = NaN; % 入射被馈源舱遮挡的情况下 pass + +[ \text{ratio(sum(xyz(:,1:2).*xyz(:,1:2),2) > 150.*150) = NaN; \%} ] 超出150口径圆面pass + +$$ +x y z (i s n a n (r a t i o),:) = N a N; +$$ + +$$ +u v w = r a t i o. ^ {*} u v w; +$$ + +$$ +\operatorname {a s s e r t} (\operatorname {s i z e} (\operatorname {x y z}, 1) = = \operatorname {s i z e} (\operatorname {u v w}, 1)); +$$ + +end + +# prob1.m: 问题1的结果可视化、检验 + +$\%$ 本文件原名prob1.m + +$$ +\% \# \mathrm {ok} < ^ {*} \mathrm {DEFNU} > +$$ + +clear + +clear global + +close all + +[Lf, angle300] = prob1 Calc(); + +clf reset + +illu2d(Lf, angle300); + +clf reset + +plot3d(Lf, angle300) + +clf reset + +error.plot(Lf, angle300) + +function error.plot(Lf, angle300) % 横向剖面高低差 + +angle = linspace(angle300, -angle300 + pi, 100); + +Lw = Polar(para(Lf, angle); + +err = Constant.sphere_radius-Lw; + +plot([-Lw.\*cos(angle); -Lw.\*cos(angle)], [0.\*err; err], '-k', 'LineWidth',2); + +hold('on'); + +grid('on'); + +plot(-Lw.*cos(angle), err, 'ok', 'LineWidth',2); + +xlim([-150, 150]); + +ylim([-0.6, 0.6]); + +style('fontsize','fontname'); + +fastprint('图片/prob1.检验.剖面上的高低差(径向高度 vs 基准球面半径)'); end + +function plot3d(Lf, angle300) % 3d 高低差 + +d = Data(); + +XYZ = d.main_node Coordinate; + +ABR = Polar.xyz2abr(XYZ); + +index $\equiv$ ABR(:,2) $\rightharpoondown$ pi-angle300; + +X=XYZ(:,1);Y=XYZ(:,2);Z=XYZ(:,3); + +err = -Polar(para(Lf, ABR(:,2)); + +err(~index) = NaN; + +trisurf(d.triangle,X,Y,Z,err+Constant.sphere_radius,'FaceColor','interp'); + +view(2); + +colorbar(); + +axis('equal'); + +style('fontsize','fontname'); + +colormap(gray'); + +box('on'); + +fastprint('图片/prob1.结果.D最优抛物面高低差(径向高度)'); + +end + +function illu2d(Lf, angle300) % 横向剖面最优示意图 + +```javascript +font_opts = {'VerticalAlignment', 'middle', 'HorizontalAlignment', 'center', 'FontSize', 13, 'Interpreter', 'latex'}; + +clf('reset'); + +hold on + +[spher_rad, focal_rad, angle] = Constant.get_rad_angle(); + +$\mathbf{p\_S} = \mathbf{illu.p\_S}$ + +$\mathrm{p\_P} = [0 - \mathrm{focal\_rad}]$ + +$\mathrm{p\_Q} = [0\text{-focal\_rad - 0.5*Lf} ];$ + +$\mathrm{p\_T} = [0$ -focal rad-Lf]; + +hold('on'); + +%基准圆弧 + +plot(-spher_rad\*cos(angle),-spher_rad\*sin(angle),'k', 'LineWidth', 2); + +$\%$ 焦面圆弧 + +plot(-focal_rad\*cos(angle),-focal_rad\*sin(angle),'k', 'LineWidth', 2); + +% 标记定点 + +plot(p_S(1),p_S(2),\*k',MarkerSize',14,'LineWidth',2); + +plot(p_P(1),p_P(2),'.k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); + +plot(p_Q(1), p_Q(2), 'k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); + +plot(p_T(1),p_T(2),'.k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); + +plot(0,0,'k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); + +text(p_S(1)+20,p_S(2),`boldmath\ $S\$ ',font_opts\{\}）; + +text(p_P(1)+15, p_P(2)+18, '\boldsymbol{boldmathPS}', font_opts{:}); + +text(p_Q(1)+15, p_Q(2)+18, 'boldmathSQ$', font_opts{:}); + +text(p_T(1)-18, p_T(2)+18, 'boldmathSTS', font_opts{:}); + +text(0+20,0,'boldmath$CS',font_opts {:}); + +% SCPQT中轴线 + +plot([p_S(1), p_T(1)], [p_S(2), p_T(2)],--k', 'LineWidth', 2); + +$\%$ 准线 + +plot(p_T(1)+[-300 300], p_T(2)+[0 0], ':k', 'LineWidth', 2); + +plot(p_T(1)+[0 30 30], p_T(2)+[30 30 0], 'k', 'LineWidth', 2); % 垂足 + +$\%$ 计算抛物线 + +Lw = Polar(para(Lf, angle); + +L300 = Polar.para(Lf, angle300); + +p_x = [-L300.*cos(angle300) -L300.*sin(angle300)]; +%抛物线 +plot(-Lw.*cos(angle), -Lw.*sin(angle), '-k', 'LineWidth', 2); +plot(p_x(1), p_x(2), '.k', 'MarkerSize', 22); % 300口径点 +plot([p_P(1)p_x(1)], [p_P(2)p_x(2)], ':k', 'LineWidth', 2); % 焦点连线 +plot([p_x(1)p_x(1)], [p_T(2)p_x(2)], ':k', 'LineWidth', 2); % 准线连线 +text(p_x(1), p_T(2)-20, '\boldsymbol{boldmath} $\mathbf{x} = 300 / 2$ $\mathbf{\Phi}$ , font_opts{}); +% 格式 +axis('equal'); +set(gca,'Visible','off'); +%ylim([-300, 200]); +style('fontsize','fontname'); +% fastprint('图片/prob1.结果.2D剖面最优抛物线'); +end + +prob2.m: 问题2的结果可视化、检验 +```matlab +% 本文件原名prob2.m +clc +clf +clear +mg(default); +close all +clear('global'); +data = Data(); +[fval, opt_X, opt_XYZ, opt_Lz, opt_ABR, index, W, Winv, ... + edge, edge_distSQ, motor_hi, motor_unit, motor_distSQ] = prob2 Calc(); +close all +xlsx_output(opt_XYZ, opt_Lz, index, Winv) +disp("问题2最小误差平方和: "+fval); +return +clf reset +errplot_3d(data, opt_XYZ, opt_ABR, index); +``` + +```txt +clf reset plot_3d_lz(data,opt_XYZ, opt_Lz,index); +``` + +clf reset + +plot_2d_main_node_dist(opt_XYZ, edge, edge_distSQ); + +clf reset + +plot_2d_fitterr(opt_ABR); + +function xlsx_output(opt_XYZ, opt_Lz, index, Winv) + +if exist(result.xlsx', 'file') + +delete(result.xlsx'); + +end + +copyfile('数据/4.工作抛物面的主索节点.xlsx','result.xlsx'); + +$\%$ 理想抛物面顶点坐标 + +XYZ = Polar.abr2xyz([0 pi/2 Polar.para(Constant.Lf, pi/2)]); + +XYZ=XYZ*Winv' + +t1 = table(XYZ(1), XYZ(2), XYZ(3)); + +disp("理想抛物面顶点坐标"); + +disp(head(t1)); + +writetable(t1, 'result.xlsx', 'Sheet', '理想抛物面顶点坐标', 'Range', 'A2:C2', 'WriteVariableNames', false); + +$\%$ 调整后主索节点编号及其坐标 + +data = readtable('数据/1. 主索节点坐标和编号.csv'); + +t2 = table(data.x __ (index), opt_XYZ(:,1), opt_XYZ(:,2), opt_XYZ(:,3)); + +disp("调整后主索节点编号及坐标"); + +disp(head(t2)); + +writetable(t2,'result.xlsx', 'Sheet', '调整后主索节点编号及坐标', 'Range', ['A2:D num2str.height(t2)+1]), 'WriteVariableNames', false); + +$\%$ 促动器顶端伸缩量 + +t3 = table(data.x (index), opt_Lz); + +disp("促动器顶端伸缩量"); + +disp(head(t3)); + +writetable(t3, 'result.xlsx', 'Sheet', '促动器顶端伸缩量', 'Range', ['A2:B', num2str.height(t3)+1]), 'WriteVariableNames', false); + +xlsx_check(); + +end + +function xlsx_check() + +t1 = readability(result.xlsx', 'Sheet', '理想抛物面顶点坐标'); + +t2 = readabletable(result.xlsx', 'Sheet', '调整后主索节点编号及坐标'); + +t3 = readabletable(result.xlsx,'Sheet','促动器顶端伸缩量'); + +$\left[\mathrm{W}, \sim\right] = \text { PolarcomposeRotate(Constant.alpha, Constant.beta)}$ + +$\%$ 抛物面顶端W旋转后的取值Lw要与focal_rad+Lf/2一样 + +ABR = Polar.xyz2abr(t1{1,1:3} * W'); + +err = ABR(3) - ((1-Constant.FR_ratio)*Constant.sphere_radius + Constant.Lf/2); + +disp("检查：抛物面顶端旋转后是否是focal_rad+Lf/2的取值(相减误差): "+err); + +[ \text{assert(abs(err) < eps)} ] + +% 重新构建 index + +raw_code = readabletable('数据/1. 主索节点坐标和编号.csv'); + +raw_code = raw_code.x; + +index_code $=$ string(t2.x); + +index = cellfun(@s)any(s == index_code), raw_code); + +assert(all(string(raw_code(index)) == index_code)); + +disp(构建index成功); + +0.6 + +assert(all(t3{.,2} < 0.6)); + +assert(all(t3{2}> -0.6)); + +disp(Lz没有超过 $\pm 0.6$ 成功 + +007 + +data = Data(); + +edge = data(edge(all(index(data-edge),2),:); % 过滤节点之间的连边 + +index2(index) = 1:sum(index); % 构建过滤之后的新的节点下标顺序 + +edge = index2(edge); % 使用新的节点下标对连边节点序号重定向 + +assert(all(all(edge))), % 连边节点序号不能有空泡 + +raw_XYZ = data.main_node_coordinates(index,:); + +opt_XYZ = t2{.,2:4}; + +raw_edist = raw_XYZ(edge(:,1,:)-raw_XYZ(edge(:,2,:); + +raw_edist = sqrt(sum(raw_edist * raw_edist, 2)); + +opt_edist = opt_XYZ(edge(:,1),:) - opt_XYZ(edge(:,2),); + +opt_edist = sqrt(sum(opt_edist * opt_edist, 2)); + +ratio $=$ (opt_edist./raw_edist)*100-100; + +assert(all(ratio<0.07)); + +assert(all(ratio> -0.07)); + +disp(节点之间的距离变化率没有超过±0.07%：成功); + +$\%$ motor距离（下拉索） + +```matlab +motor_unit = data.motor_higher_base(index,:) - data.motor_lower(index,:); motor_unit = motor_unit./sqrt(sum(motor_unit.*motor_unit,2)); assert(all(abs(sum(motor_unit.*motor_unit,2)-1) < sqrt(epes))); motor_top = data.motor_higher_base(index,:)+t3{.2}.*motor_unit; opt_pdist = opt_XYZ-motor_top; opt_pdist = sqrt(sum(opt_pdist.*opt_pdist,2)); raw_pdist = data.main_node Coordinate(index,:)-data.motor_higher_base(index,:); raw_pdist = sqrt(sum(raw_pdist.*raw_pdist,2)); assert(max(abs(raw_pdist-opt_pdist)) < sqrt(epes)); disp('下拉索距离不变：成功'); % 最优贴合程度 opt_ABR = Polar.xyz2abr(opt_XYZ\*W'); err = opt_ABR(:,3)-Polar.para(Constant.Lf, opt_ABR(:,2)); assert(max(abs(err)) < 1e-5); disp('贴合程度至多1e-5: 成功'); end function plot_2d_fitter(opt_ABR)%#ok<\*DEFNU> Lw = Polar.para(Constant.Lf, opt_ABR(:,2)); err = opt_ABR(:,3)-Lw; barsortederr,'k'); grid('on'); style('fontsize','fontname'); xicks([xticks numel(err)]]; fastprint('图片/prob2.检验主网节点与理想抛物面之间的球面径向误差'); end function plot_2d_main_node_dist(opt_XYZ, edge, edge_distSQ) errdist = opt_XYZ(edge(:,1),-) - opt_XYZ(edge(:,2),); edist = 100*(sqrt(sum(errdist.*errdist,2))/sqrt(edge_distSQ)-1); barsortedist,'k'); grid('on'); style('fontsize','fontname'); xicks([xticks numel(edist)]]; fastprint('图片/prob2.检验主网节点之间距离的变化率(百分比)'); end +``` + +function plot_3d_lz(data, opt_XYZ, opt_Lz, index) % 三维促动器提升量(Flat) + +rawXYZ $\equiv$ data.main_node Coordinate; +rawXYZ(index, $\cdot$ ) $=$ opt_XYZ; + $\mathrm{X} =$ rawXYZ(:,1);Y $=$ rawXYZ(:,2);Z $=$ rawXYZ(:,3); Lz $=$ NaN(size(index)); +Lz(index) $=$ opt_Lz; +trisurf(data triangle,X,Y,Z,Lz); +colorbar(); +view(2); +axis('equal'); +style('fontsize','fontname'); +colormap('gray'); +cc $=$ caxis(); +cc(2) $= 0.6$ . +caxis(cc); +box('on'); +fastprint('图片/prob2.结果.3D促动器提升量"); +end + +```matlab +function errplot_3d(data, opt_XYZ, opt_ABR, index) % 三维拟合误差(interp) +raw_XYZ = data.main_node Coordinate; +raw_XYZ(index,:) = opt_XYZ; +X = raw_XYZ(:,1); Y = raw_XYZ(:,2); Z = raw_XYZ(:,3); +err = NaN(size(index)); +err(index) = abs(Polar.para(Constant.Lf, opt_ABR(:,2)) - opt_ABR(:,3)); +trisurf(data triangle, X,Y,Z, err, 'FaceColor', 'interp'); +colorbar(); +view(2); +axis('equal'); +style('fontsize', 'fontname'); +colormap('gray'); +box('on'); +fastprint('图片/prob2.结果.3D理想曲面拟合误差'); +end +``` + +# 10.1.2 常数定义与数据处理 + +# Constant.m: 程序用到的所有常量数值定义 + +% 本文件原名 Constant.m + +classdef Constant + +properties(Constant) + +FR_ratio $= 0.466$ $\%$ 焦径比 + +sphere_radius = 300.4; % 基准态球面半径，单位是米 + +sphere-half_caliber $= 500 / 2$ $\%$ 基准态球面的口径的一半 + +paraboloid_full_caliber = 300/2; % 工作态球面的口径的一半 + +$\mathrm{Lf} = 280.85417567168855;\%$ 第一问算出的最优焦距，用作求解完的检查 + +$\text{alpha} = \text{deg2rad}(36.795); \%$ 第二问平面角 + +beta = deg2rad(78.169); % 第二问仰角 + +end methods(Static) + +function [spher_rad, focal_rad, angle] = get_rad_angle() + +spher_rad = Constant.sphere_radius; + +spher cli = Constant.sphere_full_caliber; + +focal_rad = (1-Constant.FR_ratio) * spher_rad; + +angle = pi/2-asin(spher cli/spher_rad); % 使用半径和半口径计算出俯角， + +俯角变成仰角 + +angle $=$ linspace(angle,pi-angle,100); end end end + +# Data.m: 将题目附件 123 映射到程序内数组 + +% 本文件原名 Data.m + +classdef Data + +properties + +main_node_code% 主索节点的编号，strings转序数 + +main_nodeCoordinate $\%$ 主索节点的坐标，XYZ + +motor lower % 促动器下端点的坐标，XYZ + +motor_higher_base % 促动器上端点的坐标，XYZ（基准态） + +triangle % 三角形反射面板的顶点序号，string 转序数 + +edge% 不重复的连边顶点序号，按照左小右大表示，格式是序数 end + +methods + +function d = Data + +main_node = readabletable('数据/1. 主索节点坐标和编号.csv'); + +d.main_node_code $=$ string(main_node\{.,1\}); + +d.main_node Coordinate = main_node{.,2:end}; + +motor = readabletable(数据/2. 促动器上下端点坐标和编号.csv'); + +assert(all(d.main_node_code $\equiv$ string(motor{.,1})); + +d.motor_lower=motor{.,2:4}; + +d.motor_higher_base $=$ motor{.,5:end}; + +triangle $=$ readable('数据/3.反射面板的顶点编号.csv'); + +d triangle $=$ string(triangle{:.}）; + +d.check() + +$\mathbf{d} = \mathbf{d}$ .convert_node_id(); + +d(edge = d.get_edge(); + +end + +function e = get_edge(s) + +tri = d triangle; + +e=[tri(:,1:2);tri(:,2:3);tri(:,[1,3])]; + +$\mathrm{e}(\mathrm{e}(:,1) > \mathrm{e}(:,2),:) = \mathrm{e}(\mathrm{e}(:,1) > \mathrm{e}(:,2),[2,1])$ + +e = unique(e,'rows'); + +assert(size(e,1) == 6525); + +assert(-any(e(:,1) == e(:,2)))); + +end + +function check(d) + +assert(isstring(d.main_node_code)); + +位] + +```txt +assert(numel(d.main_node_code) == 2226); +assert(size(d.main_node Coordinate,1) == 2226); +assert(size(d.main_node Coordinate,2) == 3); +assert(ismatrix(d)motor_lower)); +assert(ismatrix(d)motor_higher_base)); +assert(size(d)motor_lower,1) == 2226); +assert(size(d)motor_lower,2) == 3); +assert(size(d)motor_higher_base,1) == 2226); +assert(size(d)motor_higher_base,2) == 3); +assert(isstring(d triangle)) +assert(size(d triangle,1) == 4300); +assert(size(d triangle,2) == 3); +end +``` + +function $d =$ convert_node_id(d) $\%$ 先给主节点排序，确定一个顺序查找表abc(i)，并且有index(i） $= =$ [原 + +```txt +[abc, index] = sort(d.main_node_code); +``` + +再给 triangle 排序，确定一个顺序表 xyz(j)，并且有 index2(j) == [tri + +原位] + +```latex +\[ +\begin{aligned} +& \text{[xyz, index2] = sort(d triangle(:));} \\ +& \text{j = 1;} \\ +& \text{indexed = zeros(size(xyz));} \\ +& \text{for i = 1: numel(abc)} \\ +& \text{while abc(i) == xyz(j)} \\ +& \text{indexed(j) = index(i);} \\ +& \text{j = j + 1;} \\ +& \text{if j > numel(xyz)} \\ +& \text{break} \\ +& \text{end} \\ +& \text{end} \\ +& \text{indexed(index2) = indexed;} \\ +& \text{indexed = reshape(indexed, [], 3);} \\ +& \text{assert(all(all(d.main_node_code(indexed) == d triangle)));} +\end{aligned} +\] +``` + +d.main_node_code $=$ 1:numel(d.main_node_code); d.main_node_code $\equiv$ d.main_node_code(:); d.triangle $\equiv$ indexed; +end +function length $\equiv$ getpull_length(d) main $\equiv$ d.main_node_coordinates; higher $\equiv$ d.motor_higher_base; length $=$ sqrt((main-higher)*(main-higher))\* [111]); end +end + +# Polar.m: 极坐标与直角坐标相互转换, 抛物面径向距离 + +```matlab +% 本文件原名 Polar.m +classdef Polar +methods(Static) +function [L, dL_dLf, dL_dangle] = para(Lf, angle) +% +% 极坐标下，给定抛物线焦距，在特定的 omega(angle)下 +% 输出相应的距离坐标 L +% +cos_angle = cos(angle); % diff(cos) == -sin +sin_angle = sin(angle); % diff(sin) == cos +cos2_angle = cos_angle.*cos_angle; +RF = (1-Constant.FR_ratio)*Constant.sphere_radius; +index = cos_angle == 0 | abs(angle - pi/2) < eps; +delta = Lf.*Lf + 2.*RF.*Lf.*cos2_angle; +L = (-Lf.*sin_angle+sqrt(-delta)).cos2_angle; +L(index) = (Lf./2+RF).sin_angle(index); +ddelta_dLf = 2.*Lf + 2.*RF.*cos2_angle; +dL_dLf = -sin_angle./cos2_angle; +dL_dLf = dL_dLf + 1./cos2_angle.*0.5./sqrt(-delta).* ddelta_dLf; +``` + +```matlab +dL_dLf(index) = 1./(2.*sin_angle(index)); +ddelta_dangle = 2.*RF.*Lf.*2.*cos_angle.*-sin_angle; +dL_dangle = -Lf./cos2_angle.*cos_angle - L./cos2_angle.*2.*cos_angle.*-sin_angle; +dL_dangle = dL_dangle + 1./cos2_angle.*0.5./sqrt(delta).*ddelta_dangle; +dL_dangle(index) = -L(index). / sin_angle(index). *cos_angle(index); +end +function [abr, dalpha, dbeta, dr] = xyz2abr(XYZ) +% +% 笛卡尔坐标转极坐标 +% 输出: +% abr : [alpha beta r] +% dalpha: d{alpha}/d{[XY Z]} +% dbeta : d{beta}/d{[XY Z]} +% dr : d{r}/d{[XY Z]} +% +X = XYZ(:,1); +Y = XYZ(:,2); +Z = XYZ(:,3); +norm2_sq = X .*X + Y .*Y; +norm3_sq = norm2_sq + Z .*Z; +norm2 = sqrt(norm2_sq); +norm3 = sqrt(norm3_sq); +r = norm3; +beta = asin(-Z./r); +alpha = acos(-X./norm2); +alpha(Y >= 0) = 2*pi-alpha(Y >= 0); +alpha(-norm2) = 0; +abr = [alpha, beta, r]; +if nargout == 1 +return +end +ZEROS = zeros(size(Z)); +dnorm2_sq = 2.*[XY ZEROS]; +``` + +```matlab +dnorm3_sq = 2.*[XY Z]; +dnorm2 = 0.5.*dnorm2_sq./norm2; +dnorm3 = 0.5.*dnorm3_sq./norm3; +dr = dnorm3; +dbeta = r./norm2.*([ZEROS ZEROS -1./r] + (Z./r).*(dr./r)); +dalpha = -abs(norm2./Y).*([-1./norm2 ZEROS ZEROS] + (X./norm2).*dnorm2./norm2)); +dalpha(Y >= 0, :) = -dalpha(Y >= 0, :); +dalpha(-norm2, :) = 0; +end +function XYZ = abr2xyz(abr) +% +% 极坐标格式转笛卡尔坐标 +% +alpha = abr(:,1); +beta = abr(:,2); +r = abr(:,3); +Z = -r.*sin(beta); +r = r.*cos(beta); +X = -r.*cos(alpha); +Y = -r.*sin(alpha); +XYZ = [X, Y, Z]; +end +function [W, Winv] = compose Rotate(alpha, beta) +% +% 组合旋转（3d旋转矩阵） +% 先逆向旋转以清除 alpha 角(xOy 平面上的) +% 再正向旋转以将 beta 补偿到 pi/2 +% +Wxy = [cos(alpha) sin(alpha) 0 -sin(alpha) cos(alpha) 0 0 1 ]; +Wxy_inv = [cos(alpha) -sin(alpha) 0 +``` + +```matlab +sin(alpha) cos(alpha) 0 01 ]; Wxz = [ cos(pi/2-beta) 0 -sin(pi/2-beta) 0 1 0 sin(pi/2-beta) 0 cos(pi/2-beta) ]; Wxz_inv = [ cos(pi/2-beta) 0 sin(pi/2-beta) 0 1 0 -sin(pi/2-beta) 0 cos(pi/2-beta) ]; W = Wxz*Wxy; Winv = Wxy_inv*Wxz_inv; assert(all(all(abs(W*Winv-eye(3)) < eps()))); end end end +``` + +# 10.1.3 画图程序 + +# illu.m：与示意图有关的常量定义 + +```matlab +% 本文件原名 illu.m +classdef illu +properties(Constant) +p_S = [0.150]; % 被观测点的方位 +end +end +``` + +# illu1.m：剖面直角坐标示意图 + +% 本文件原名 illu1.m + +```python +font_opts = {'VerticalAlignment', 'middle', 'HorizontalAlignment', 'center', 'FontSize', 10, 'Interpreter', 'latex'}; +close all +hold on +``` + +```matlab +[spher_rad, focal_rad, angle] = Constant.get_rad_angle(); +p_spher = [-spher_rad*cos(angle(1)), -spher_rad*sin(angle(1))]; +p_spher_end = [-spher_rad*cos(angle(end)), -spher_rad*sin(angle(end))]; +``` + +p_focal $= [-\mathrm{focal\_rad}^{*}\cos (\mathrm{angle}(1)), - \mathrm{focal\_rad}^{*}\sin (\mathrm{angle}(1))];$ + +```matlab +p_focal_end = [-focal_rad*cos(angle(end)), -focal_rad*sin(angle(end))]; +``` + +$\mathbf{v\_sph} = [\cos (\mathrm{pi / 2 + angle(1)}),\sin (\mathrm{pi / 2 + angle(1)})];$ + +```txt +p_S = illu.p_S; +``` + +$\mathbb{P}_{-}\mathbb{P} = [0$ -focal_rad]; + +$\mathrm{p\_Q} = [0 - \mathrm{spher\_rad} + 20]$ + +$\mathrm{p\_T} = [0\mathrm{p\_P}(2) + 2^{*}(\mathrm{p\_Q}(2) - \mathrm{p\_P}(2))];$ + +```javascript +hold(on'); +``` + +$\%$ 基准圆弧 + +```txt +draw_2d_ar_c_focal_and_base(spher_rad, focal_rad, angle); +``` + +$\%$ 焦径比和R300 + +```txt +standard_distance_tag(angle, p_spher, p_spher_end, p_focal, p_focal_end, v_sph, font_opts); +``` + +$\%$ 标记定点 + +```javascript +plot(p_S(1),p_S(2),\*k',MarkerSize',14,'LineWidth',2); +``` + +```javascript +plot(p_P(1),p_P(2),'.k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); +``` + +```javascript +plot(p_Q(1),p_Q(2),'k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); +``` + +```javascript +plot(p_T(1),p_T(2),'.k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); +``` + +```javascript +plot(0,0,'k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); +``` + +```javascript +text(p_S(1)+10,p_S(2)+30,'被观测体',font_opts{1:end-2}); +``` + +```javascript +text(p_S(1)+20, p_S(2), '\boldsymbol{boldmathSSS}', font_opts{}); +``` + +```javascript +text(p_P(1)+15, p_P(2)+15, 'boldmath$PS$, font_opts{:}); +``` + +```javascript +text(p_Q(1)+15, p_Q(2)+15, '\boldsymbol{boldmath}\$Q\S', font_opts {:}); +``` + +```javascript +text(p_T(1)+15, p_T(2)+10, 'boldmath$T$, font_opts{}); +``` + +```javascript +text(0+15, 0, '\boldsymbol{\\(CS}', font options{}); +``` + +$\%$ SCPQT中轴线 + +```javascript +plot([p_S(1), p_T(1)], [p_S(2), p_T(2)],--k', 'LineWidth', 2); +``` + +% 文字 tag + +```txt +text(p_spher_end(1)-40, p_spher_end(2)-70, '基准球面',... +``` + +'Rotation', rad2deg(angle(end-11)-pi/2), font_opts{1:end-2}); text(p_focal_end(1), p_focal_end(2)-25, '焦面',... + +'Rotation', rad2deg(angle(end-4)-pi/2), font_opts{1:end-2}); +text(-160, p_T(2)+15, '抛物面的准线', font_opts{1:end-2}); + +$\%$ PQ长度 + +plot(p_P(1) + [-350 0], p_P(2) + [0 0], ':k', 'LineWidth', 2); + +plot(p_Q(1) + [-350 0], p_Q(2) + [0 0], ':k', 'LineWidth', 2); + +myquiver(8,[p_P(1)p_Q(1)]-325,[p_P(2)p_Q(2)],':k', 'LineWidth', 2); + +text((p_P(1)+p_Q(1))/2-300, (p_P(2)+p_Q(2))/2, '\boldsymbol{boldmath$|PQ|=L_f/2S',... + +'Rotation', 90, font_opts {:}); + +%QT长度以及垂直的准线 + +plot(p_T(1)+[-350 300], p_T(2)+[0 0], ':k', 'LineWidth', 2); + +myquiver(8,[p_Q(1)p_T(1)]-325,[p_Q(2)p_T(2)],':k', 'LineWidth', 2); + +text((p_Q(1)+p_T(1))/2-300, (p_Q(2)+p_T(2))/2, 'boldmath$|QR|=L f/2S,... + +'Rotation', 90, font_opts {:}); + +plot(p_T(1)+[0 30 30], p_T(2)+[30 30 0], 'k', 'LineWidth', 2); % 垂足 + +$\%$ 计算抛物线 + +$\mathrm{Lf} = 2^{*}(\mathrm{p\_P}(2) - \mathrm{p\_Q}(2));$ + +$\mathbf{L} =$ Polar.para(Lf, angle); + +xangle = fzero(@(angle)abs(Polar.para(Lf, angle)*cos(angle))-150, [pi/2, angle(end)]; + +$\mathrm{xL} =$ Polar.para(Lf, xangle); + +p_x = [-xL.*cos(xangle) - xL.*sin(xangle)]; + +plot(-L.\*cos(angle), -L.\*sin(angle), '-k', 'LineWidth', 2); + +plot(p_x(1),p_x(2),'.k', 'MarkerSize', 22); + +plot([p_P(1)p_x(1)],[p_P(2)p_x(2)],':k', 'LineWidth', 2); + +plot([p_x(1)p_x(1)],[p_T(2)p_x(2)],':k', 'LineWidth', 2); + +text(p_spher_end(1)-50,p_spher_end(2)-10,'抛物面'.... + +'Rotation', rad2deg(angle(end-14)-pi/2), font_opts{1:end-2}); + +title('boldmathSy=frac{x^2}{2L_f}-frac{L_f}{2}-{1-0.446}RS', 'Interpreter', 'latex'); + +text(p_x(1), p_T(2)-15, '\boldsymbol{boldmath}\$x=300/2\$, font_opts {:}); + +$\%$ +axis('equal'); + $\%$ ylim([-525,200]); +set(gca,'Visible', 'off'); +style('fontname'); +fastprint('图片/prob1.示意图1.准线等辅助线'); +function draw_2dArc_focal_and_base(spher_rad,focal_rad,angle) + $\%$ 基准圆弧 plot(-spher_rad\*cos(angle),-spher_rad\*sin(angle), 'k', 'LineWidth', 2); + $\%$ 焦面圆弧 plot(-focal_rad\*cos(angle),-focal_rad\*sin(angle), 'k', 'LineWidth', 2); +end +function standard_distance_tag(angle,p_spher,p_spher_end,p_focal, $\sim ,$ v_sph,font_opts) + +$\%$ 焦径比 + +```javascript +plot(p_spher(1) + [0 50*v_sph(1)], p_spher(2) + [0 50*v_sph(2)], ':k', 'LineWidth', 2); plot(p_focal(1) + [0 50*v_sph(1)], p_focal(2) + [0 50*v_sph(2)], ':k', 'LineWidth', 2); myquiver(8, [p_spher(1) p_focal(1)] + 25*v_sph(1), [p_spher(2) p_focal(2)] + 25*v_sph(2), ':k', 'LineWidth', 2); text(... (p_spher(1) + p_focal(1) + 80*v_sph(1))/2, ... (p_spher(2) + p_focal(2) + 80*v_sph(2))/2, ... '\boldsymbol{boldmath}\mathbf{S}\mathbf{F} = \mathbf{0.466}\mathbf{R}\mathbf{S}'\), font_opts {:}, 'Rotation', rad2deg(angle(1)); +``` + +$\%$ 基准半径 + +```javascript +plot(p_spher(1) + 100*[0 v_sph(1)], p_spher(2) + 100*[0 v_sph(2)], ':k', 'LineWidth', 2); plot( 0 + 100*[0 v_sph(1)], 0 + 100*[0 v_sph(2)], ':k', 'LineWidth', 2); +``` + +```matlab +myquiver(15,[p_spher(1) 0] + 75*v_sph(1), [p_spher(2) 0] + 75*v_sph(2), 'k', 'LineWidth', 2); +text(...) +(p_spher(1) + 0 + 180*v_sph(1))/2, ... +(p_spher(2) + 0 + 180*v_sph(2))/2, ... +'boldmathSR = 300.4\mathbf{mathrm{m}}\$\$', font_opts:, 'Rotation', rad2deg(angle(1)); +``` + +$\% \mathrm{D} = 500\mathrm{m}$ + +myquiver(20,[-250 250],[-450 -450],':k', 'LineWidth', 2); plot([-250 p_spher(1)],[-460 p_spher_end(2)],':k', 'LineWidth', 2); plot([ 250 p_spher_end(1)],[-460 p_spher_end(2)],':k', 'LineWidth', 2); text(0,-440,'boldmath\ $D=500\mathcal{m}$ athrm{m}S',font_opts{}); +end +function myquiver(r,x,y,varargin) +rad $=$ atan2(y(1)-y(2),x(1)-x(2)); +rad $=$ [rad+deg2rad(30), rad-deg2rad(30)]; +plot(x,y,varargin{:}); +L $=$ sqrt((x(1)-x(2))*x(1)-x(2)+(y(1)-y(2)*(y(1)-y(2))/r; +plot(x(1)-[0,L]*cos(rad(1)),y(1)-[0,L]*sin(rad(1)),varargin{:}); +plot(x(1)-[0,L]*cos(rad(2)),y(1)-[0,L]*sin(rad(2)),varargin{:}); +plot(x(2)+[0,L]*cos(rad(1)),y(2)+[0,L]*sin(rad(1)),varargin{:}); +plot(x(2)+[0,L]*cos(rad(2)),y(2)+[0,L]*sin(rad(2)),varargin{:}); +end + +# I1lu2.m：剖面极坐标示意图 + +% 本文件原名 illu2.m + +$\%$ 剖面示意图 + +```matlab +font_opts = {'VerticalAlignment', 'middle', 'HorizontalAlignment', 'center', 'FontSize', 18, 'Interpreter', 'latex'}; +close all +[spher_rad, focal_rad, angle] = Constant.get_rad_angle(); +p_S = [pi/2 illu.p_S(2)]; +p_P = [-pi/2 focal_rad]; +p_Q = [-pi/2 spher_rad-20]; +p_T = [-pi/2 p_P(2) + 2*(p_Q(2) - p_P(2))]; +%基准圆弧 +polarplot(angle + pi, angle.*0 + spher_rad, 'k', 'LineWidth', 2); +hold('on'); +%焦面圆弧 +polarplot(angle + pi, angle.*0 + focal_rad, 'k', 'LineWidth', 2); +%标记定点 +polarplot(p_S(1), p_S(2), '*k', 'MarkerSize', 14, 'LineWidth', 2); +polarplot(p_P(1), p_P(2), '.k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); +polarplot(p_Q(1), p_Q(2), '.k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); +polarplot(p_T(1), p_T(2), '.k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); +``` + +```matlab +polarplot(0,0,'k', 'MarkerSize', 22, 'LineWidth', 2); +text(p_S(1)-0.20, p_S(2), '\boldsymbol{boldmathSSS}', font_opts\{\}); text(p_P(1)+0.12, p_P(2)-18, '\boldsymbol{boldmathSPS}', font_opts\{\}); text(p_Q(1)+0.08, p_Q(2)-23, '\boldsymbol{boldmathQSS}', font_opts\{\}); text(p_T(1)+0.06, p_T(2)-18, '\boldsymbol{boldmathSTS}', font_opts\{\}); text(0.15, -30, '\boldsymbol{boldmathSCS}', font_opts\{\}); % SCPQT中轴线 +polarplot([p_S(1), p_T(1)], [p_S(2), p_T(2)],--k', 'LineWidth', 2); +% 计算抛物线 +Lf = 2*(p_Q(2)-p_P(2)); +L = Polar(para(Lf, angle); +xangle = fzero(@(angle)abs(Polarpara(Lf, angle)*cos(angle))-150, [pi/2*1.01, angle(end)]}; +xL = Polarpara(Lf, xangle); +theta = linspace(-xangle, xangle - pi, 150); +r = Polarpara(Lf, theta + pi); +r(2:2:end) = spheral; +polarplot(reshape(theta,2,[]), reshape(r,2,[]), '-k', 'linewidth', 2, 'color', [0.7, 0.7, 0.7]); +polarplot([0 0], [0 p_T(2)], ':k', 'linewidth', 2); +polarplot(linspace(0,-xangle+pi,100), replmat(60,1,100), ':k', 'linewidth', 2); +text((-xangle+pi)/2-0.05, 90, '\boldsymbol{boldmath\\omegaS}', font_opts\{\}); +polarplot(angle+pi, L, '-k', 'LineWidth', 2); +polarplot(xangle+pi, xL, ':k', 'MarkerSize', 22); +polarplot(-xangle, xL, ':k', 'MarkerSize', 22); +polarplot([-xangle xangle], [-p_S(2) spher_rad], ':k', 'linewidth', 2); +polarplot([xangle xangle] + pi, [-p_S(2) spher_rad], ':k', ' linewidth', 2); +% polarplot(-p_x(1), p_x(2), ':k', 'MarkerSize', 22); +set(gca,'RAxisLocation',0); +rlim([0, p_T(2)]); +% 极坐标 +style('fontsize','fontname'); +fastprint('图片/prob1.示意图 2.极坐标下的 omega 角与球面径向误差平方积分'); +``` + +# style.m: 为输出图片统一文字大小和字体 + +$\%$ 本文件原名style.m + +function style(varargin) + +for $\mathrm{v} =$ varargin +switch lower(char(v)) +case 'fontsize' +set(gca(), 'fontsize', 22); +case 'fontname' +set(gca(), 'fontname', 'times new roman'); +end +end + +# fastprint.m:简易绘图输出 + +```matlab +% 本文件原名 fastprint.m +function r = fastprint(filename) + assert(isequal(class(filename), 'char') || (isequal(classfilename), 'string') && +isscalar(filename))) + if isstring(filename) + filename = char(filename); + end +if numel(filename) >= 4 && isequal(filename(end-3:end), '.png') + filename = filename(1:end-4); + end +filename = [filename, '-', datestr(now(), 'yyyy.mm.dd.HH_MM'), '.png']; +print('-dpng', '-r300', filename); +disp(filename); +r = @()system(['open', filename]); +end +``` + +# 10.2 附件 result.xlsx 数据 + +
ccX_1Y_1Z_1x_2X_2Y_2Z_2x_3X_3Y_3Z_3
A0-0.037-0.019-300.468E9-32.03110.370-298.683D19-29.795-40.965-296.498
B16.0758.387-300.197E10-28.22521.953-298.325D20-39.656-33.755-296.296
C19.845-3.228-300.228A7-24.37433.496-297.478D21-49.353-26.488-295.567
D1-0.042-10.411-300.340A12-18.30542.019-296.750E16-58.963-19.174-294.334
E1-9.924-3.233-300.378A13-6.12242.075-297.208E17-55.469-7.605-295.481
A1-6.1428.387-300.279A146.08942.077-297.175E18-51.8823.974-296.120
A3-0.02916.796-299.894A1518.27042.025-296.661E19-48.13215.602-296.266
B212.17716.782-299.574B1130.36541.811-295.699E20-44.30327.198-295.913
B315.9585.180-299.853B1234.30730.377-296.658E21-40.37738.655-295.090
C219.714-6.431-299.625B1338.12018.810-297.154A16-36.38850.048-293.802
C39.844-13.621-299.979B1441.8907.197-297.160A23-30.30758.569-292.865
D2-0.046-20.793-299.839B1545.599-4.403-296.671A24-18.21458.790-293.809
D3-9.932-13.632-300.140C1149.126-15.970-295.708A25-6.11258.904-294.278
E2-19.801-6.445-299.920C1239.469-23.262-296.719A266.09858.910-294.277
E3-16.0335.174-300.070C1329.645-30.474-297.286A2718.20358.808-293.816
A2-12.23816.781-299.715C1419.764-37.661-297.373A2830.30258.601-292.906
A5-6.13225.211-299.217C159.872-44.788-296.967B2242.34158.289-291.560
A66.08125.211-299.157D11-0.046-51.731-296.080B2346.36046.940-292.933
B418.26325.156-298.610D12-9.971-44.812-297.138B2450.29835.499-293.854
B522.07713.590-299.128D13-19.871-37.702-297.706B2554.13624.018-294.312
B625.8481.978-299.147D14-29.762-30.524-297.754B2657.90412.404-294.302
C429.558-9.623-298.664D15-39.594-23.314-297.277B2761.5360.857-293.820
C519.732-16.835-299.251E11-49.251-16.019-296.297B2865.064-10.712-292.866
C69.848-24.022-299.355E12-45.710-4.437-297.192C2268.470-22.250-291.444
D4-0.047-31.149-298.962E13-41.9837.176-297.593C2358.921-29.581-292.846
D5-9.943-24.037-299.523E14-38.19218.796-297.485C2449.261-36.869-293.819
D6-19.830-16.859-299.567E15-34.36030.366-296.881C2539.533-44.077-294.343
E4-29.657-9.650-299.090A11-30.40041.797-295.816C2629.655-51.262-294.405
E5-25.9331.964-299.491A17-24.32150.310-294.984C2719.798-58.297-293.993
E6-22.14713.583-299.384A18-12.21550.490-295.679C289.883-65.238-293.097
A4-18.31825.154-298.780A19-0.01250.595-295.903D22-0.041-72.050-291.714
A8-12.20733.580-298.174A2012.19150.497-295.647D23-9.973-65.265-293.252
A9-0.02133.609-298.372A2124.29850.325-294.938D24-19.900-58.348-294.306
A1012.16333.582-298.082B1636.37150.074-293.777D25-29.773-51.330-294.861
B724.32733.502-297.314B1740.34138.674-294.949D26-39.666-44.153-294.910
B828.16221.961-298.065B1844.24727.215-295.655D27-49.405-36.946-294.447
B931.95010.383-298.326B1948.05215.622-295.895D28-59.066-29.649-293.474
B1035.696-1.212-298.090B2051.7804.002-295.650E22-68.598-22.304-291.995
C739.366-12.805-297.355B2155.349-7.565-294.932E23-65.184-10.755-293.388
C829.571-20.028-298.167C1658.830-19.120-293.734E24-61.6400.825-294.281
C919.727-27.220-298.506C1749.215-26.425-294.948E25-57.98612.379-294.673
C109.849-34.370-298.357C1839.524-33.690-295.715E26-54.19323.996-294.572
D7-0.048-41.466-297.709C1929.675-40.905-296.030E27-50.33035.474-293.991
D8-9.947-34.390-298.529C2019.777-48.054-295.863E28-46.37046.906-292.942
D9-19.831-27.253-298.835C219.876-55.037-295.219A22-42.33158.240-291.444
D10-29.681-20.066-298.620D16-0.044-61.929-294.080A30-36.23866.746-290.411
E7-39.478-12.844-297.883D17-9.971-55.063-295.384A31-24.19367.022-291.597
E8-35.785-1.236-298.539D18-19.883-48.101-296.190A32-12.10867.191-292.311
A33-0.00367.253-292.558B4066.54140.788-290.135B5491.293-8.632-286.202
A3412.10467.208-292.347B4170.37529.301-290.567B5594.188-20.081-284.713
A3524.19667.057-291.686B4274.14217.667-290.540C4696.952-31.500-282.796
A3636.25866.805-290.586B4377.7746.114-290.051C4787.969-39.103-284.572
B2948.27166.448-289.062B4481.303-5.462-289.098C4878.873-46.648-285.964
B3052.32655.137-290.630B4584.713-17.008-287.686C4969.258-53.967-287.085
B3156.29843.746-291.755C3787.535-28.443-285.963C5059.542-61.201-287.779
B3260.18132.293-292.426C3878.505-36.026-287.587C5149.699-68.434-288.018
B3363.96720.792-292.639C3968.946-43.352-288.945C5239.777-75.556-287.798
B3467.6509.257-292.389C4059.279-50.636-289.876C5329.893-82.551-287.100
B3571.227-2.291-291.673C4149.549-57.839-290.363C5419.960-89.414-285.932
B3674.692-13.836-290.492C4239.662-65.025-290.393C559.974-95.695-284.442
C2978.040-25.359-288.849C4329.806-72.056-289.953D46-0.028-101.825-282.496
C3068.541-32.707-290.435C4419.891-78.993-289.036D47-10.037-95.718-284.544
C3158.943-40.007-291.601C459.968-85.802-287.639D48-20.034-89.462-286.152
C3249.257-47.244-292.329D37-0.034-92.009-285.912D49-29.981-82.622-287.441
C3339.496-54.409-292.606D38-10.042-85.828-287.762D50-39.882-75.642-288.246
C3429.671-61.487-292.420D39-19.976-79.046-289.296D51-49.820-68.528-288.543
C3519.796-68.467-291.759D40-29.907-72.130-290.346D52-59.673-61.292-288.335
C369.888-75.336-290.617D41-39.780-65.113-290.898D53-69.386-54.046-287.609
D29-0.038-82.080-288.989D42-49.684-57.932-290.945D54-78.978-46.708-286.384
D30-9.971-75.363-290.758D43-59.423-50.725-290.482D55-88.026-39.137-284.816
D31-19.891-68.520-292.050D44-69.084-43.427-289.508E46-96.928-31.504-282.780
D32-29.782-61.560-292.850D45-78.615-36.081-288.031E47-94.192-20.094-284.743
D33-39.625-54.494-293.150E37-87.593-28.472-286.211E48-91.301-8.651-286.235
D34-49.400-47.331-292.945E38-84.781-17.038-287.952E49-87.8352.922-287.388
D35-59.091-40.087-292.230E39-81.367-5.492-289.350E50-84.22214.487-288.054
D36-68.679-32.773-291.009E40-77.8236.087-290.250E51-80.49626.126-288.219
E29-78.146-25.405-289.285E41-74.16917.637-290.654E52-76.63737.718-287.904
E30-74.797-13.876-290.926E42-70.37329.261-290.567E53-72.73749.183-287.111
E31-71.321-2.324-292.066E43-66.51040.737-290.003E54-68.72360.570-285.870
E32-67.7249.230-292.708E44-62.54952.171-288.973E55-64.33271.524-284.345
E33-64.01520.765-292.857E45-58.51163.506-287.497A46-59.85082.377-282.418
E34-60.20332.263-292.523A37-54.06674.410-285.741A57-53.93491.265-280.954
E35-56.29543.706-291.718A47-48.15783.300-284.378A58-42.19392.123-282.687
E36-52.30055.076-290.456A48-36.39084.095-285.899A59-30.40792.825-283.991
A29-48.22566.363-288.753A49-24.32384.392-287.107A60-18.31093.059-284.987
A38-42.33275.272-287.491A50-12.21584.555-287.859A61-6.11593.246-285.507
A39-30.30875.604-288.923A510.00084.640-288.144A626.11493.270-285.586
A40-18.21475.831-289.889A5212.22084.592-287.976A6318.32093.136-285.229
A41-6.11175.950-290.387A5324.33984.465-287.357A6430.44092.945-284.424
A426.11275.963-290.424A5436.43384.209-286.311B6186.88234.648-285.900
A4318.22175.868-290.008B4868.84260.690-286.450B6290.64423.006-285.855
A4430.33175.671-289.148B4972.83249.273-287.537B6394.24711.347-285.366
A4542.38575.377-287.858B5076.71537.785-288.183B6497.777-0.238-284.408
B3754.16174.545-286.295B5180.53526.169-288.377B65100.767-11.676-283.143
B3858.58963.610-287.921B5284.23614.518-288.112B66103.605-23.119-281.459
B3962.60052.244-289.251B5387.8342.946-287.382C5797.365-42.169-281.274
C5888.308-49.739-282.821C789.989-115.152-277.045D85-59.765-92.620-279.553
C5979.143-57.214-283.985D67-0.017-121.086-274.685D86-69.661-85.444-279.588
C6069.467-64.491-284.871D68-10.030-115.161-277.093D87-79.430-78.142-279.133
C6159.694-71.783-285.300D69-20.028-109.064-279.088D88-88.707-70.870-278.266
C6249.803-78.963-285.290D70-29.998-102.798-280.657D89-97.836-63.377-276.976
C6339.841-85.988-284.830D71-39.923-96.370-281.784D90-106.828-55.780-275.225
C6429.925-92.917-283.881D72-49.931-89.435-282.551D91-115.639-48.117-273.029
C6519.982-99.284-282.614D73-59.857-82.346-282.834E79-124.168-40.349-270.452
C669.982-105.496-280.902D74-69.681-75.115-282.627E80-121.819-29.049-272.983
D56-0.022-111.520-278.749D75-79.385-67.752-281.928E81-119.176-17.670-275.125
D57-10.035-105.514-280.978D76-88.577-60.308-280.852E82-116.348-6.238-276.819
D58-20.043-99.323-282.788D77-97.623-52.766-279.316E83-113.3525.188-278.058
D59-29.999-92.978-284.159D78-106.510-45.140-277.325E84-110.10916.519-278.882
D60-39.929-86.066-285.205E67-115.224-37.445-274.889E85-106.49328.163-279.311
D61-49.905-79.049-285.737E68-112.679-26.095-277.268E86-102.70839.783-279.274
D62-59.806-71.869-285.780E69-109.952-14.701-279.197E87-98.77751.321-278.781
D63-69.578-64.566-285.327E70-107.047-3.283-280.670E88-94.73362.393-277.920
D64-79.235-57.270-284.348E71-103.9708.139-281.689E89-90.44573.404-276.686
D65-88.357-49.768-283.025E72-100.43619.793-282.343E90-86.03284.337-275.052
D66-97.341-42.164-281.238E73-96.73531.411-282.525E91-81.51695.144-273.039
E56-106.142-34.496-279.003E74-92.87642.978-282.243A79-76.826105.745-270.714
E57-103.509-23.117-281.173E75-88.86954.474-281.509A93-70.895114.664-268.950
E58-100.689-11.684-282.890E76-84.63665.519-280.446A94-59.353115.816-271.227
E59-97.699-0.255-284.144E77-80.28076.470-278.979A95-47.642116.756-273.140
E60-94.16011.320-285.063E78-75.80987.316-277.123C9698.021-73.983-274.572
E61-90.53722.965-285.471A67-71.23398.047-274.893C9788.762-81.284-275.447
E62-86.74434.587-285.406A80-65.330106.986-273.209C9879.372-88.448-275.953
E63-82.80446.125-284.880A81-53.676107.987-275.342C9969.518-95.685-276.086
E64-78.84757.558-283.873A82-41.922108.847-277.059C10059.565-102.768-275.793
E65-74.54268.557-282.576A83-30.124109.542-278.361C10149.824-109.416-275.121
E66-70.10979.472-280.877A84-18.339109.986-279.279C10240.008-115.898-274.039
A56-65.57390.257-278.798A85-6.141110.185-279.834C10330.037-122.207-272.553
A68-59.63899.124-277.244C8297.899-63.424-277.161C10420.022-128.329-270.645
A69-47.954100.055-279.176C8388.707-70.885-278.242C10510.013-134.169-268.357
A70-36.200100.834-280.688C8479.396-78.127-278.971D92-0.010-139.803-265.658
A71-24.387101.456-281.780C8569.606-85.408-279.350D93-10.036-134.154-268.342
A72-12.208101.726-282.538C8659.705-92.577-279.295D94-20.047-128.313-270.646
A73-0.006101.845-282.853C8749.737-99.594-278.798D95-30.065-122.197-272.588
A7412.201101.792-282.740C8839.955-106.165-277.928D96-40.037-115.895-274.115
C6997.661-52.787-279.407C8930.012-112.533-276.664D97-49.854-109.419-275.229
C7088.546-60.295-280.722C9020.013-118.750-274.961D98-59.595-102.770-275.911
C7179.317-67.710-281.652C9110.008-124.782-272.828D99-69.541-95.680-276.178
C7269.596-75.053-282.268D79-0.013-130.516-270.317D100-79.370-88.427-275.970
C7359.770-82.276-282.455D80-10.039-124.781-272.846D101-88.715-81.229-275.338
C7449.852-89.366-282.201D81-20.049-118.758-275.025D102-97.917-73.900-274.261
C7539.855-96.311-281.499D82-30.054-112.554-276.788D103-106.995-66.365-272.751
C7629.940-102.754-280.451D83-40.004-106.198-278.114D104-115.900-58.724-270.801
C7719.980-109.038-278.967D84-49.793-99.636-279.033D105-124.530-51.004-268.460
E92-132.966-43.206-265.705E116-110.34467.059-271.045C15220.073-157.672-255.090
E93-130.712-31.938-268.426E117-106.15378.026-269.866C15310.031-163.190-252.225
E94-128.254-20.617-270.723E118-101.76588.980-268.305D137-0.006-166.787-250.064
E95-125.524-9.201-272.625E119-97.25899.723-266.403D138-10.040-163.115-252.097
E96-122.5942.231-274.088C12888.555-101.807-268.866D139-20.071-157.543-254.872
E97-119.44613.565-275.127C12979.035-108.783-268.930D140-30.101-151.756-257.292
E98-116.11224.878-275.736C13069.410-115.608-268.612D141-40.066-145.778-259.337
E99-112.42636.522-275.939C13159.674-122.245-267.919D142-50.103-139.525-261.014
E100-108.55848.106-275.694C13249.859-128.707-266.833D143-59.946-133.147-262.275
E101-104.60459.218-275.063C13339.975-134.978-265.353D144-69.731-126.563-263.133
E102-100.49570.245-274.034C13430.032-141.044-263.481D145-79.393-119.810-263.575
E103-96.16581.237-272.628C13520.044-146.899-261.216D146-89.434-112.519-263.588
E104-91.69892.120-270.842C13610.027-152.533-258.560D147-98.844-105.419-263.167
E105-87.084102.795-268.731D121-0.006-157.941-255.518D148-108.131-98.147-262.322
C11288.705-91.609-272.316D122-10.038-152.483-258.476D149-117.235-90.753-261.057
C11379.248-98.671-272.603D123-20.052-146.819-261.082D150-126.270-83.133-259.357
C11469.332-105.833-272.498D124-30.033-140.949-263.321D151-135.012-75.493-257.262
C11559.657-112.567-272.007D125-39.967-134.874-265.180D152-143.576-67.732-254.763
C11649.866-119.136-271.123D126-49.840-128.600-266.647D153-151.913-59.899-251.881
C11740.014-125.504-269.844D127-59.638-122.130-267.710E137-158.439-51.477-249.739
C11830.013-131.728-268.149D128-69.346-115.472-268.361E138-158.115-40.829-251.892
C11920.044-137.685-266.070D129-78.946-108.633-268.592E139-155.971-29.591-254.771
C12010.021-143.434-263.590D130-88.424-101.624-268.398E140-153.601-18.276-257.256
D106-0.007-148.946-260.720D131-97.762-94.456-267.778E141-151.016-6.955-259.333
D107-10.038-143.403-263.541D132-106.947-87.139-266.733E142-148.1834.525-261.016
D108-20.060-137.639-266.005D133-115.963-79.685-265.267E143-145.16615.861-262.271
D109-30.027-131.679-268.089D134-124.797-72.110-263.383E144-141.93327.205-263.119
D110-40.025-125.456-269.799D135-133.439-64.424-261.093E145-138.50638.485-263.561
D111-49.871-119.090-271.089D136-141.877-56.641-258.406E146-134.69050.297-263.595
D112-59.651-112.517-271.969E121-150.105-48.773-255.334E147-130.87161.457-263.225
D113-69.316-105.770-272.427E122-148.072-37.571-258.399E148-126.86172.564-262.472
D114-79.208-98.593-272.452E123-145.812-26.312-261.066E149-122.69283.555-261.345
D115-88.621-91.497-272.039E124-143.329-15.012-263.329E150-118.29494.571-259.844
D116-97.903-84.234-271.194E125-140.625-3.688-265.182C16840.151-156.748-253.619
D117-107.005-76.839-269.923E126-137.7057.642-266.623C16930.141-162.605-251.300
D118-116.008-69.251-268.211E127-134.57318.961-267.651C17110.033-171.963-246.644
D119-124.741-61.609-266.097E128-131.23630.251-268.268D155-10.047-171.861-246.481
D120-133.290-53.851-263.574E129-127.69941.496-268.480D156-20.064-168.051-248.304
E106-141.613-46.015-260.661E130-123.97052.679-268.293D157-30.110-162.373-250.884
E107-139.478-34.781-263.553E131-120.05663.788-267.715D158-40.107-156.468-253.117
E108-137.111-23.479-266.044E132-115.96674.810-266.757D159-50.175-150.328-254.972
E109-134.524-12.160-268.119E133-111.70885.729-265.430D160-60.164-143.963-256.449
E110-131.687-0.729-269.792E134-107.29296.543-263.744D161-69.994-137.485-257.497
E111-128.66110.602-271.031C14769.831-126.810-263.627D162-79.717-130.800-258.154
E112-125.41721.903-271.854C14860.017-133.965-262.704D163-89.824-123.616-258.380
E113-121.97633.207-272.263C14950.153-139.725-261.393D164-99.778-116.222-258.164
E114-118.20344.829-272.258C15040.098-145.962-259.671D165-109.138-109.037-257.511
E115-114.36855.976-271.847C15130.114-151.914-257.579D166-118.329-101.683-256.454
D167-127.455-94.140-254.951D196-50.160-171.307-241.798D240-79.883-172.745-232.873
D168-136.381-86.451-253.046D197-60.213-165.169-243.617D241-90.243-166.185-233.728
D169-145.047-78.753-250.737D198-70.169-158.794-245.082D242-100.462-159.371-234.213
D170-153.496-70.937-248.052D199-80.018-152.184-246.187D243-110.578-152.172-234.382
D171-160.152-62.573-246.125D200-90.254-145.257-246.788D244-120.516-144.734-234.164
E154-166.611-54.127-243.891D201-100.340-138.090-246.984D245-130.127-137.091-233.612
E155-166.362-43.505-246.149D202-110.259-130.694-246.768D246-139.530-129.230-232.684
E156-165.900-32.827-248.095D203-119.994-123.083-246.138D247-148.675-121.699-231.136
E157-163.661-21.537-250.782D204-129.301-115.743-244.994D248-157.590-113.969-229.255
E158-161.176-10.212-253.087D205-138.409-108.224-243.473D249-164.791-106.029-228.070
E159-158.4781.260-254.986D206-147.306-100.539-241.579D250-171.794-97.961-226.607
E160-155.53612.730-256.488D207-155.982-92.698-239.322D265-110.495-162.601-227.711
E161-152.43524.087-257.554D208-162.912-84.496-237.795D266-120.526-155.271-227.677
E162-149.10235.409-258.233D209-169.636-76.185-235.979D267-130.234-147.779-227.292
E163-145.41947.257-258.498D210-176.155-67.773-233.876D268-139.753-140.024-226.557
E164-141.49859.029-258.348E191-182.469-59.277-231.490D269-149.020-132.057-225.476
E165-137.60270.187-257.793E192-182.398-48.703-233.923
E166-133.49981.247-256.882E193-182.083-38.073-236.080
D174-20.084-176.709-242.524E194-181.548-27.396-237.938
D175-30.061-172.749-244.147E195-180.789-16.688-239.498
D176-40.094-166.941-246.545E196-178.395-5.240-241.779
D177-50.193-160.938-248.550E197-175.7336.215-243.696
D178-60.230-154.674-250.208E198-172.80817.663-245.244
D179-70.139-148.183-251.501E199-169.63029.090-246.419
D180-79.924-141.593-252.350E200-166.25440.987-247.114
D181-90.096-134.550-252.763E201-162.61852.822-247.412
D182-100.133-127.250-252.762D217-60.050-175.359-236.775
D183-109.967-119.743-252.340D218-70.090-169.078-238.407
D184-119.247-112.462-251.475D219-79.999-162.569-239.688
D185-128.464-105.032-250.150D220-90.303-155.893-240.381
D186-137.495-97.407-248.440D221-100.470-148.831-240.769
D187-146.286-89.639-246.360D222-110.506-141.516-240.752
D188-154.851-81.875-243.861D223-120.343-134.002-240.324
D189-161.644-73.596-242.134D224-129.850-126.245-239.579
D190-168.245-65.199-240.110D225-139.066-118.804-238.237
E172-174.623-56.726-237.803D226-148.097-111.175-236.522
E173-174.468-46.136-240.147D227-156.894-103.398-234.448
E174-174.075-35.466-242.206D228-163.967-95.368-233.076
+ +
E175-173.458-24.777-243.958D229-170.845-87.128-231.450
E176-171.102-13.457-246.468D230-177.527-78.757-229.541
E177-168.566-2.002-248.557D231-183.991-70.313-227.352
E178-165.7549.482-250.276E213-190.006-40.617-229.671
E179-162.68420.922-251.616E214-189.543-29.928-231.641
E180-159.47932.274-252.512E215-188.862-19.222-233.309
E181-155.95944.145-252.990E216-187.892-8.569-234.729
E182-152.17055.976-253.068E217-185.3732.895-236.841
E183-148.12267.685-252.763E218-182.58214.387-238.596
D195-40.023-177.194-239.644E219-179.54225.836-239.978
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/B007/B007.md b/MCM_CN/2021/B007/B007.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fe32041aea28e240843033f3467bd7571e20b20a --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/B007/B007.md @@ -0,0 +1,1222 @@ +# C4 烯烃制备分析与试验设计 + +# 摘要 + +$\mathrm{C}_{4}$ 烯烃可用于化学工业生产与医药制造，是重要的基础化工原料，是石油化工产业的基础。近些年，随着国内化工产业的不断进步， $\mathrm{C}_{4}$ 烯烃的综合利用越来越受到重视，乙醇催化偶合制备 $\mathrm{C}_{4}$ 烯烃逐渐进入人们的视野。因此，选择合适的催化生产工艺，实现稳定、高效生产的目标，将有助于相关企业经济效益的提升，同时也能促进我国的化工产业的发展。 + +针对问题一，首先，经过皮尔逊相关系数分析，计算每种催化剂组合下乙醇转化率、C4烯烃选择性与温度的相关性；根据计算结果所得的相关性系数表可知数据之间存在较强的相关性。以乙醇转化率、C4烯烃选择性为因变量，温度作为自变量进行非线性回归拟合，所有组合的相关性系数R²的均值在95%以上，满足二项式非线性回归函数形式。再画出乙醇转化率以及烯烃选择性与温度的图像，对图像进行描述。其次对于第二小问，同时通过聚类分析对数据进行降维处理，将5个附加产物变量降维成2组，在给定温度和催化剂组合下对结果进行了定量分析，发现随着时间的增加，在一定温度和相同催化剂下，随着时间的增加，反应物乙醇转化率持续下降，逐渐趋于稳定；C4烯烃选择性增加，并趋于稳定，与时间呈现出弱负相关性。 + +针对问题二，根据附件1中数据分析，得出“石英砂”对乙醇转化率以及C4烯烃选择性的影响可以忽略，因此剔除相关该数据，同时利用问题一中的聚类情况，对附件一中的数据进行降维。利用多元线性回归建模，并且通过偏最小二乘回归建模完善改进多元线性回归建模无法分析因变量之间的关系的缺点，得到两种模型对应的残差平方和都在10左右波动，因此两模型差异很小，得出乙醇转化率、C4烯烃选择性这两个因变量之间呈现低相关性。并且得出温度在解释这两个因变量时，具有极为重要的作用，装料比的解释能力均为一般。 + +针对问题三，探究多个自变量与在相同的实验条件下，如何组合从而使得C4烯烃的收率最大。通过题中所给的C4烯烃收率计算式，写出基础单目标最优化模型，同时求出C4烯烃收率的多元回归函数对模型进行优化，引入方差分析探究多自变量之间的交互作用，从而更好地拟合数据最终求得温度在 $450^{\circ} \mathrm{C}$ 时C4烯烃的最大收率为 $47.1\%$ 。当温度限制在 $350^{\circ} \mathrm{C}$ 时C4烯烃的最大收率为 $28.2\%$ 。 + +针对问题四，为了能够在5次实验内更加充分的了解如何提高C4烯烃的收率，本文采取均匀设计实验法，以更少的实验次数获取更多的信息。本文根据问题二偏最小二乘模型所得相关系数判断各个催化剂组合各组分与C4烯烃收率的关系，以此来设置各因素水平及排除相关性极低可视为常量的因变量，满足均匀设计5此实验对自变量的要求，并根据参数水平表设置实验方案。为了化学实验操作安全，本文剔除了均匀设计使用表的最后一行，并以问题三所得最优结果代替。最终，根据均匀设计实验法排列出了再增加的5次实验。 + +关键词多元回归模型偏最小二乘回归分析最优化方差分析均匀设计 + +# 1 问题提出 + +# 1.1 背景分析 + +$\mathrm{C_4}$ 烯烃可用于生产聚丙烯等多项化工产品，是重要的基础化工原料，是优质的汽油调和组分，是石油化工产业的基础。近些年，随着国内煤化工业的不断发展， $\mathrm{C_4}$ 烯烃的综合利用越来越受到重视，乙醇催化偶合制备 $\mathrm{C_4}$ 烯烃逐渐进入人们的视野。[1] + +因此，选择合适的催化生产工艺，达到稳定、高效生产的目的，提高 $\mathrm{C_4}$ 烯的选择性和收率，不仅能为企业带来明显的经济效益，同时也能促进我国相关化工企业的发展。 + +# 1.2 问题重述 + +某化工实验室针对不同催化剂在不同温度下做了一组实验，结果如附件1和附件2所示。请通过数学建模完成下列问题： + +问题一：针对附件1所给的催化剂组合，研究其乙醇转化率、 $\mathrm{C_4}$ 烯烃的选择性与温度的关系；并分析附件2所给定的催化剂组合在一次实验中 $350^{\circ}C$ 下不同时间的实验结果进行分析。 + +问题二：研究不同催化剂组合和温度对乙醇转化率和 ${\mathrm{C}}_{4}$ 烯烃选择性的影响。 + +问题三：如何选择催化剂组合与温度，使得在相同实验条件下C4烯烃收率尽可能高，若使温度低于350度，又如何选择催化剂组合与温度，使得C4烯烃收率尽可能高。 + +问题四：如果允许再增加五次实验，应如何设计，并给出详细理由。 + +# 2 问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +问题一要求探讨对每种催化剂组合分别研究乙醇转化率、C4烯烃的选择性与温度的关系并对附件2中确定的催化剂组合和温度下，分析反应物生成物随时间变化趋势。在第一小问中，观察附件1中的数据，发现温度与两项指标有着某种关系，利用皮尔逊相关系数判断数据是否存在相关性。通过对数据进行折线图的绘制以及非线性和线性拟合，最终确定温度对乙醇转化率以及C4烯烃选择性大小存在二次函数的关系。同时得出各个催化剂组合下的折线图，得出其中不同催化剂组合条件下确切的影响关系。其次，我们进行了第二部分，对附件二中的数据进行处理。因为给定了温度和催化剂组合，数据两项指标变为了与时间有关的变量，因为产生的无关产物也会对两项指标产生影响，对无关产物进行了聚类处理，就可以实现变量的降维。从而建立二次拟合方程对变量进行拟合，得到二 + +次函数形式的回归方程，从而得到两项指标与时间的具体函数关系。 + +# 2.2 问题二的分析 + +问题二要求探讨不同催化剂组合及温度对乙醇转化率以及C4烯烃选择性大小的影响。在问题一的基础上，我们发现数据之间都具有较强的相关性。不妨对附件一中不同组合的催化剂、温度、以及生成物的比率设置赋予变量值，对其进行多元线性回归。在进行相关性检验时，发现变量之间具有很强的相关性，并由此得到多元线性方程，得到的回归方程拟合程度较为理想。为了验证因变量之间也存在影响，同时又进行了偏最小二乘的回归分析进行对比，判断得到的回归方程拟合度与多元线性回归所得结果差别大小，若相差不大说明因变量之间对两项指标的影响不大，若相差较大，就需对比谁的显著性水平更高从而进行选择回归方程。得到的回归方程就可以作为不同催化剂组合和温度对两项指标的影响指标进行量化分析。 + +# 2.3 问题三的分析 + +问题三要探究一组催化剂组合与温度在相同实验条件下的最佳组合，以C4烯烃收率为目标函数，寻找使得目标函数最大值时的催化剂、温度配比。根据C4烯烃收率的求解式，因约束条件不充分，无法求解最优值，加入C4烯烃收率的多元线性回归分析进行模型优化，而C4烯烃收率不仅受到来自乙醇转化率与C4烯烃的回归系数的限制，还有可能受到其他变量的交互影响。因此，对多自变量进行方差分析，得到了温度与Co负载量以及乙醇浓度的组合交互时对因变量也产生一定的影响。将之作为注意力自变量加入自变量中，进而再利用SPSS进行拟合从而完成，得到了一个对温度信息更敏感的方差分析模型。 + +# 2.4 问题四的分析 + +问题四要求再增加5组实验来探索各个自变量（催化剂各组分）与因变量（C4烯烃收率）之间的关系。为了在有限次的实验内更加充分的了解如何自变量与因变量之间的关系，本文采取均匀设计实验法。本文根据问题二偏最小二乘模型所得结果首先剔除了与因变量相关性极低的自变量，以满足均匀设计5次实验对自变量个数的要求，并根据化学实验安全原则剔除了均匀设计使用表中可能使化学反应过于剧烈而导致危险发生的组合，并以问题三所得最佳最优结果代替最终，根据均匀设计实验法设计出了所求的5种实验。 + +# 3 模型假设 + +为了构建更为精确的数学模型，本文根据实际情况做出以下合理的假设或条件约束： + +假设一：乙醇催化偶合制备 $\mathrm{C_4}$ 烯烃的过程中，除给定催化剂组合以及温度和反应时间外，其它条件对实验结果的影响可忽略不计。 +假设二：在反应进行时，实验室内环境温度和气压不会对反应造成影响。 + +$\Leftrightarrow$ 假设三：实验设备完好且在实验过程中不会出现漏气、破损等情况导致实验失败或数据出现差错。 + +# 4 符号申明 + +本文中涉及到的主要变量符号说明： + +
符号符号含义及说明
yi多元线性回归方程的因变量，i=1,2
xi多元线性回归方程的自变量，i=1,2
yj偏最小二乘回归分析的原始因变量，j=1,2,3,4
xj偏最小二乘回归分析的原始自变量，j=1,2,3,4,5
y×j偏最小二乘回归分析的标准化因变量，j=1,2,3,4
x×j偏最小二乘回归分析的标准化自变量，j=1,2,3,4,5
Px,y皮尔逊相关系数
Ui二项式回归函数，i=1,2
βm偏回归系数，m=1,2,3,4,5
μj第j个自变量xj样本均值
s_j第j个自变量x_j样本标准差
+ +注：未申明的变量以其在符号出现处的具体说明为准。 + +设 $y_{1}$ 表示乙醇转化率， $y_{2}$ 表示C4烯烃选择性， $x_{1}$ 表示Co/SiO2质量， $x_{2}$ 表示Co负载量， $x_{3}$ 表示HAP质量， $x_{4}$ 表示乙醇浓度， $x_{5}$ 表示温度。 + +# 5 模型建立 + +# 5.1 问题一的求解与分析 + +根据题意将问题分为两个小问。第一小问对实验类型分组，通过在数据的可视化以及非线性函数拟合来分析每种催化剂组合、温度对乙醇转化率、C4烯烃的选择性影响分析。第二小问通过对数据聚合，可视化数据变化以及函数拟合关键变量从而对结果进行分析。 + +# 5.1.1 数据预处理 + +根据各个催化剂组合的组分不同，本文将所给的催化剂组合分成4类，如下表所示： + +表 1: 催化剂组合分类表 + +
组别催化剂组合分类依据
1A1-A6Co负载量
2A7-A12乙醇浓度
3B1-B6Co/SiO2和HAP装料比
4A13-A14特殊对照实验
A7-A8
+ +![](images/9f008d1c9aebcecbca4c5d0ef7ffdf292f27c86c98d919647673ef63ef72ca45.jpg) +注：如上所示为 Class 1 — Class 4 中抽取的具有代表性的图像，其它详见附录。 + +![](images/339172b41411365fc640088e1d35f791434bd959eccc9e9d7af0a5c54208d1c8.jpg) + +![](images/2b41e6e95bd139d33f14aa1a2860ccfbf8d5c06acf67cc00be3c89777ae5710e.jpg) + +# Class 1: + +在 A1 至 A6 中, 各组的装料比率相同, 因此本文将其作为一类实验进行分析。 + +且A4，温度 $400^{\circ}C$ 下，乙醇转化率在实验组中达到最大，而在催化剂组合A3，温度 $400^{\circ}C$ 下，C4烯烃选择性最高。 + +# Class 2: + +在 A7 至 A9 及 A12 中, 催化剂组分中的 Co 负载量、装料比率都相同, 因此本文同样将其作为一类实验进行分析。 + +在这些实验组中可以分析得出，随着乙醇加入浓度速率上升时，乙醇转化率逐渐降低。 + +# Class 3: + +在B1至B6中，B1、B2、B3、B4、B6中以催化剂质量比为变量进行研究，B5为其他变量的对照试验。因此本文同样将其作为一类实验进行分析。 + +实验组B3、B4、B1、B6、B2中质量比逐渐增加，由试验结果分析可知，随着温度的升高质量比越大C4烯烃选择性就越高。B1与B2以乙醇浓度为变量，当升高乙醇浓度时，可以得知随着温度升高，乙醇转化率与C4烯烃选择性都略有下降。 + +# Class 4: + +在A13、A14的对比下，易知在该条件下，“乙醇转化率(%)”变化不大，但 + +“C4烯烃选择性”波动。 + +A8与B7之间仅存在着装料方式的不同，有结果分析，两种装袋方式对乙醇转化率、C4选择性的变化趋势的影响很小，但是经过第（罗马数字二）装袋方式的效果总体优于第一种。 + +# 5.1.2 问题一第(1)问模型的建立与求解 + +以下为本文在进行数据分析的流程图： + +![](images/cd33fae92d67ce6bd7ae1ef6f7a97c66c935f2486c890cbea51368cbb2924392.jpg) +图1：数据分析流程图 + +# Step1:相关性分析 + +本文首先通过计算皮尔逊相关系数，每种催化剂组合下乙醇转化率、C4烯烃选择性与温度的相关性。 + +在公式(5-1)中， $x$ 代表温度， $y$ 分别代表乙醇转化率和C4烯烃选择性。 + +$$ +P _ {x, y} = \frac {\operatorname {c o v} (x , y)}{\sigma_ {x} \sigma_ {y}} = \frac {E [ (x - x _ {i}) (y - y _ {i}) ]}{\sigma_ {x} \sigma_ {y}} \tag {5-1} +$$ + +计算结果详见目录。在21组数据中有19组的Pearson相关系数大于0.9，因此，不同催化剂组合的条件下，温度和乙醇转化率、 $\mathrm{C_4}$ 烯烃选择性数据极强相关。 + +表 2: 乙醇转化率、C4 烯烃选择性与温度的相关系数表 + +
催化剂组合乙醇转化率 (%)C4烯烃选择性 (%)催化剂组合乙醇转化率 (%)C4烯烃选择性 (%)
A10.9650.887A120.9630.983
A20.9950.914A130.9370.988
A30.9820.955A140.9640.959
A40.9980.958B10.9620.986
A50.9340.97B20.9620.985
A60.9840.885B30.920.971
A70.9990.968B40.910.895
A80.9770.992B50.9130.978
A90.9210.997B60.940.982
A100.9230.861B70.9360.994
A110.9030.989
+ +# Step2: 非线性回归曲线拟合 + +由上述分析可知，温度和乙醇转化率、 $\mathrm{C_4}$ 烯烃选择性数据存在强相关性，且数据呈现正相关的趋势，故本文采用非线性回归的方式进行曲线拟合，分别利用线性方程、“S”型曲线和二次曲线进行拟合，以催化剂组合分组，可得出21张拟合图像： + +注：因篇幅所限，此处仅展示2幅有代表性的拟合图像，其它拟合图像相关性系数R²相差不大，均在93%以上，故不在此处罗列，详见附录。 + +![](images/475c3197fd6bb9ef5ee76b84689b86f4623059da415dc3b34a731b510eb5ad6c.jpg) +图2：拟合图像 + +![](images/d0ec762a1101416bc0b5124caa7d2971356da0b60e547133a851318af6556838.jpg) + +观察所有拟合图像可知，三种拟合方式均有较强的相关性。 + +Step3：相关性检验 + +表 3：不同拟合方式的相关性系数表 + +
方程R²方程R²
线性0.932线性0.943
二次0.980二次0.976
S型0.976S型0.967
+ +注：因篇幅所限，此处仅展示上述2幅有代表性的拟合图像的相关性系数R²计算结果，其它拟合图像的相关性系数详见附录。 + +由完整的相关性系数表可知，所有图像的相关性系数 $R^2$ 的均值在 $95\%$ 以上，且始终大于线性和"S"型曲线的相关性系数。因此本文认为，乙醇转化率、C4烯烃的选择性与温度的具有二次相关性，且为正相关。 + +# 5.1.3 问题一第(2)问模型的建立与求解 + +# Step1：数据预处理 + +首先，本文为获得时间与乙醇转化率和反应产物的量之间的关系，考虑到该反应副产物选择性之间的数值关系，但是变量过于冗余，可以将相关性高的分为 + +一类，对反应产物进行了降维处理，也就是对各个反应产物进行了分类合并处理，利用SPSS软件进行系统Q型聚类，做出了所有副反应生成物数据谱系图（如下图所示），并针对反应产生的副产物进行分类。 + +![](images/86e022c737d2838ac8ed87c9c6b8b4f8ab7483f47b992acfe8107d172c3fc34b.jpg) +图3：各反应物聚类谱系图 + +分析系谱图可以发现，我们可以将乙烯选择性、苯甲基甲醛和苯甲基甲醇的选择性、乙醛选择性以及其他生成物的选择性分为一类称作次要附加产物；脂肪醇的选择性分为一类称作主要附加产物。从而实现数据的降维，因此在六种副生成物中，我们只需要考虑两类生成物对乙醇转化率和C4烯烃选择性的影响即可。 + +分析附件二中数据得出下图乙醇转化率与各产物选择性图随时间变化图（如图4所示）。 + +![](images/a6d304d23a88c61eb6ce209bc5ae17706fbcb9d4bbe8309fcb145fb94c217f21.jpg) +图4：乙醇转化率与各产物选择性图随时间变化图 + +![](images/5d047695d29c0b9434e704713f126849c20cb764065c4a1cd053275fdc626dc5.jpg) +图5：乙醇转化率、C4烯烃选择性、C4烯烃收率随时间变化图 + +由图4可知，目标生成物中， $\mathrm{C_4}$ 烯烃的选择性在 $40\%$ 附近波动，且趋向于稳定，其方差为 $1.1768 \times 10^{-4}$ ；主要附加产物的含量在时间区间 $[20s, 110s)$ 之间呈减少的趋势，次要附加产物在该时间区间内呈现增加的趋势，且增加和减少的变化量相比 $\mathrm{C_4}$ 烯烃选择性变化较大，而在 $110s$ 之后，两附加产物的选择性趋于稳定；此外，乙醇转化率在整个实验中均呈减小的趋势。 + +假设乙醇转化率以及C4烯烃收率随时间变化的函数关系式分别为： + +$$ +U _ {1} = \alpha_ {1 1} t ^ {2} + \alpha_ {1 2} t + \alpha_ {1 3} +$$ + +$$ +U _ {2} = \alpha_ {2 1} t ^ {2} + \alpha_ {2 2} t + \alpha_ {2 3} +$$ + +经过SPSS软件的分析，得到 + +表 4: 相关系数表 +表a：乙醇转化率 + +
RR²调整后R²估算标准误差系数α1m
.994.988.982.679-0.105、0.00017、45.258
表b：烯烃选择性
RR²调整后R²估算标准误差系数α2m
.968.937.906.0630.004、-0.6*10^-5、4.112
+ +其中 $\mathbb{R}^2$ 达到了 $98.8\%$ 和 $93.7\%$ 非常接近1，假设成立，可以说乙醇转化率以及C4烯烃收率与时间具有二次函数的关系，满足下列函数关系式 + +$$ +\mathrm {U} _ {1} = - 0. 1 0 5 \mathrm {t} ^ {2} + 0. 0 0 0 1 7 \mathrm {t} + 4 5. 2 5 8 +$$ + +$$ +U _ {2} = 0. 0 0 4 - 0. 6 \times 1 0 ^ {- 5} t + 4. 1 1 2 +$$ + +在一定温度和相同催化剂下，随着时间的增加，反应物乙醇转化率持续下降，逐渐趋于稳定；C4烯烃选择性增加，并趋于稳定，与时间呈现出弱负相关性。 + +# 5.2 问题二的求解与分析 + +![](images/29786b2ce7b27db28a8bb5b86273d46ef6893851e5b83cac727e59f972140710.jpg) +图6：问题二解题流程图 + +# 5.2.1 数据预处理 + +(1) 考虑到乙醇在催化偶合制备 C4 烯烃的过程中, 所给定的催化剂组合每一种都有相应的对照实验, 因此, 本文选取所有类型的实验, 通过 Python 编程软件中的 pandas 库对附件 1 中的催化剂组合按组分进行拆分, 其中装料比是比值的形式在数据中存在, 不利于进行数据处理, 因而将装料比拆分成 Co/SiO2 质量和 HAP 质量, 得到单独的两个自变量。最终我们得到 5 个自变量。 +(2) 石英砂在实验中充当防暴沸的效果[3], 在实验中起对照作用, 并且在加入石英砂的实验组中乙醇转化率和 C4 烯烃选择性并效率没有明显增大, 我们认为石英砂不具有催化作用。因此我们舍弃石英砂这一变量组, 详细变量数据见附录。 +(3) 同时, 根据问题一中对反应产物的聚类结果, 我们仍将杂质分为主要副产物和次要副产物, 并得到如下表所示的变量表。 + +表 5：因变量自变量的选择表 + +
自变量因变量
目标产物主要副产物次要副产物
编码变量编码变量编码变量编码变量
x1Co/SiO2质量y2C4烯烃选择性y3碳数为4-12脂肪醇y4甲基苯甲醛和甲基苯甲醛选择性
x2Co负载量y1乙醇转化率乙醛选择性
x3HAP质量其他生成物选择性
x4乙醇浓度乙烯选择性
+ +# 5.2.2 模型建立及误差分析 + +根据附件1中的拆解数据作为自变量，进行多元回归分析，从而得到标准回归系数，进而分析对乙醇转化率、C4烯烃选择性大小的主要影响成分。针对本题中两个因变量，我们通过偏最小二乘法来改进原有的分析方法，探究多因变量的分析。最终通过回归系数来分析乙醇转化率以及C4烯烃转化率的主要影响因素。 + +# 模型1：多元线性回归模型 + +# Part 1: 方差分析 + +根据问题一，可知各个催化剂组合对最终反应生成物的影响存在某种线性关系。此时则对不同的催化物和温度进行分析，判断两者对乙醇转化率以及C4烯烃选择性大小的影响。以 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 作为自变量，以 $y_{1}, y_{2}$ 作为因变量进行多元线性回归分析。 + +首先对变量进行方差分析。利用SPSS软件进行方差分析，得到如下表所示方差齐次检验的显著性指标： + +表 6: 方差齐次检验表 + +
乙醇转化率 (y1)
自变量Co/SiO2质量 (x1)Co 负载量 (x2)HAP 质量 (x3)乙醇浓度 (y4)温度 (y5)
显著性0.1250.0430.0410.050.08
C4 烯烃选择性 (y2)
自变量Co/SiO2质量 (x1)Co 负载量 (x2)HAP 质量 (x3)乙醇浓度 (y4)温度 (y5)
显著性0.1250.0430.0410.050.08
+ +分析图表可知，方差的显著性均大于0.05，可以认为本次方差分析是齐的。因此进一步进行单因素方差分析得到如表所示单因素方差分析表： + +表 7：主体间效应检验 + +
源III 类平方和自由度均方F显著性
修正模型98469877.840*103956018.23151.598.000
截距20101179.490120101179.4901084.889.000
x₁.0000...
x₂1881119.6553627039.88533.842.000
x₃531008.3321531008.33228.659.000
x₄861063.5693287021.19015.491.000
x₅38683517.78166447252.964347.967.000
x2 * x52014792.49313154984.0388.365.001
x3 * x5993214.6124248303.65313.401.001
x4 * x51360694.0821497192.4345.246.006
误差185283.3501018528.335
总计137924965.473114
修正后总计98655161.190113
+ +关于多个控制变量的独立作用部分，可以得出对因变量影响排序为 $x_{5}, x_{4}, x_{3}, x_{1}, x_{2}$ 。说明温度的贡献量最大，即对 $\mathrm{C}_{4}$ 烯烃收率的大小影响最大， $\mathrm{Co}$ 的负载量贡献量最小，即对其大小影响最小。因此我们可以进行回归分析模型的建立。 + +# Part 2: 建立多元回归模型 + +多元线性回归分析的模型为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y = \beta_ {0} + \beta_ {1} x _ {1} + \beta_ {2} x _ {1} + \dots \beta_ {m} x _ {m} + \varepsilon \\ \varepsilon \sim N (0, \sigma^ {2}), \end{array} \right. i = 1, 2, \dots , n \tag {5-2} +$$ + +其中， $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m, \varepsilon^2$ 是偏回归系数，与 $x_1, x_2, x_3, \dots, x_m$ 无相关性。 $\varepsilon$ 为随机误差项。 + +假设，因变量与各自变量之间存在线性关系，那他们之间的线性总体回归模型可以表示为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {1} = \beta_ {0} + \beta_ {1} x _ {1 1} + \beta_ {2} x _ {1 2} + \beta_ {3} x _ {1 3} + \beta_ {4} x _ {1 4} + \beta_ {5} x _ {1 5} + \varepsilon_ {1} \\ y _ {2} = \beta_ {0} + \beta_ {1} x _ {2 1} + \beta_ {2} x _ {2 2} + \beta_ {3} x _ {2 3} + \beta_ {4} x _ {2 4} + \beta_ {5} x _ {2 5} + \varepsilon_ {2} \end{array} \right. \tag {5-3} +$$ + +其中， $\varepsilon$ 为随机误差项 $\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$ 。 + +# Part 3: 求解回归系数及分析 + +下表是回归系数分析表。 + +表 8: 回归系数分析表 + +
模型未标准化系数标准化系数t显著性
B标准误差Beta
y1(常量)-80.5097.231-11.134.000
x1-.034.071-.104-.476.635
x2.134.898.007.149.882
x3.141.069.4482.045.043
x4-8.7652.065-.199-4.244.000
x5.333.019.76317.530.000
y2(常量)-48.7325.112-9.532.000
x1.003.050.015.059.953
x2-3.164.635-.271-4.983.000
x3.086.049.4621.769.080
x42.6731.460.1021.831.070
x5.181.013.70113.489.000
+ +并且得到的多元线性回归模型可以表示为： + +$$ +y _ {1} = - 8 0. 5 0 9 - 0. 0 3 4 x _ {1} + 0. 1 3 4 x _ {2} + 0. 1 4 1 x _ {3} - 8. 7 6 5 x _ {4} + 0. 3 3 3 x _ {5} +$$ + +$$ +y _ {2} = - 4 8. 7 3 2 + 0. 0 0 3 x _ {1} - 3. 1 6 4 x _ {2} + 0. 0 8 6 x _ {3} + 2. 6 7 3 x _ {4} + 0. 1 8 1 x _ {5} +$$ + +# Part 4: 误差分析 + +利用SPSS算变量之间的相关系数，得表4， $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ 和 $x _ { 5 }$ 之间显著相关。 + +表9：回归方程的显著性指标 + +
模型RR方调整后R方标准估算的误差德宾-沃森
y1.892.796.78610.55848.937
y2.842.709.6967.46480.580
+ +从表中结果可以得出，经过逐步线性回归分析后拟合出的模型 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的 $R^2$ 值分别为0.796和0.709，其值接近1，可以认为模型拟合程度较好。 + +表 10: 残差统计表 +乙醇转化率残差统计 + +
最小值最大值平均值标准偏差个案数
预测值-13.510183.157721.984620.36060114
残差-18.6094728.80237.0000010.32224114
标准预测值-1.7433.004.0001.000114
标准残差-1.7632.728.000.978114
+ +烯烃选择性残差统计 + +
最小值最大值平均值标准偏差个案数
预测值-9.159649.947816.450811.39512114
残差-17.3041422.09034.000007.29778114
标准预测值-2.2472.940.0001.000114
标准残差-2.3182.959.000.978114
+ +![](images/84b909782a22ec64e0428b4a888f24341c2e63827b4c2d9a84fddc2878068e03.jpg) +回归标准化残差的正态P-P图 +图7：回归标准化残差的正态P-P图 + +![](images/61caaa9edd48722818ca216e15359d0441e3c85a2e3af3dbeefa74f1cba6e10e.jpg) +回归标准化残差的正态P-P图 + +由表9和图6的残差分布表图，残差最大值均在25左右，且标准化残差都集中分布在直线附近，可以认为标准化残差满足正态分布，误差通过，建立的回归方程合理且误差较小。 + +# 模型2：偏最小二乘法回归模型 + +# Part 1: 模型优化机理 + +上文在利用多元线性回归建立模型时，分别建立了 $y1, y2$ 所对应的多元线性回归模型，而对于在化学背景下的多因变量问题中，因变量之间很有可能产生相互影响，针对本题中两个因变量，我们通过偏最小二乘法来改进原有的分析方法，探究多因变量的分析，在原有的基础上探究因变量之间是否存在影响。 + +# Part 2: 构造偏最小二乘法模型 + +依据节 5.2.1 中因变量和自变量的分类, 存储在下面两个矩阵中: + +自变量的观测数据矩阵 $A = (a_{ij})_{\{108 \times 5\}}$ ，因变量的观测数据矩阵为 $B = (b_{ij})_{108 \times 4}$ 。 + +Step1：数据标准化 + +将各指标 $a_{ij}$ 转化成指标值 $a_{ij}^{*}$ ，有 + +$$ +a _ {i j} ^ {*} = \frac {a _ {i j} - \mu_ {j} ^ {(1)}}{s _ {j} ^ {(1)}}, i = 1, 2, \dots , 1 0 8, j = 1, 2, 3, 4. \tag {5-4} +$$ + +其中， $\mu_j^{(1)} = \frac{1}{108}\sum_{i = 1}^{108}a_{ij},s_j^{(1)} = \sqrt{\frac{1}{108 - 1}\sum_{i = 1}^{108}\left(a_{ij} - \mu_j^{(1)}\right)^2},j = 1,2,3,4$ ，即 $\mu_j^{(1)},s_j^{(1)}$ 为第 $j$ 个自变量 $x_{j}$ 的样本均值和样本标准差。对应地，称 + +$$ +x _ {j} ^ {*} = \frac {x _ {j} - \mu_ {j} ^ {(1)}}{s _ {j} ^ {(1)}}, j = 1, 2, 3, 4, \tag {5-5} +$$ + +为标准化变量。 + +同理，有标准化指数值 + +$$ +\mathrm {b} _ {\mathrm {i j}} ^ {*} = \frac {b _ {i j} - \mu_ {j} ^ {(2)}}{s _ {j} ^ {(2)}}, i = 1, 2, \dots , 1 0 8, j = 1, 2, 3, 4. \tag {5-6} +$$ + +其中， $\mu_j^{(2)} = \frac{1}{108}\sum_{i = 1}^{108}b_{ij},s_j^{(2)} = \sqrt{\frac{1}{108 - 1}\sum_{i = 1}^{108}\left(a_{ij} - \mu_j^{(2)}\right)^2},j = 1,2,3,4$ ，即 $\mu_j^{(1)},s_j^{(1)}$ 为第 $j$ 个自变量 $x_{j}$ 的样本均值和样本标准差。对应地，称 + +$$ +y _ {j} ^ {*} = \frac {x _ {j} - \mu_ {j} ^ {(2)}}{s _ {j} ^ {(2)}}, j = 1, 2, 3, 4, \tag {5-7} +$$ + +为标准化变量。 + +# Step2：求相关系数矩阵 + +下表给出了这9个变量的简单相关系数矩阵。 + +表 11: 简单相关系数矩阵 + +
x1x2x3x4x5y1y2y3y4
x110.20890.9800-0.2992-0.00180.39460.3799-0.1748-0.0351
x20.208910.21360.1413-0.01420.0418-0.16500.0979-0.0137
x30.98000.21361-0.3017-0.00140.40650.3876-0.0799-0.1653
x4-0.29920.1413-0.30171-0.0385-0.3312-0.10710.02370.0435
x5-0.0018-0.0142-0.0014-0.038510.77060.6998-0.70320.4370
y10.39460.04180.4065-0.33120.770610.7353-0.59350.2679
y20.3799-0.16500.3876-0.10710.69980.73531-0.66340.1752
y3-0.17480.0979-0.07990.0237-0.7032-0.5935-0.66341-0.8529
y4-0.0351-0.0137-0.16530.04350.43700.26790.1752-0.85291
+ +从相关系数矩阵可以看出 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO2}$ 质量与 $\mathrm{Co}$ 负载量正相关， $\mathrm{Co}$ 负载量与HAP质量、乙醇浓度正相关，HAP与乙醇浓度负相关，乙醇转化率与 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO2}$ 质量、Co负载量、HAP质量和温度呈正相关，与乙醇浓度呈负相关；C4烯烃选择性与 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO2}$ 质量、HAP质量、温度呈正相关，与 $\mathrm{Co}$ 负载量、乙醇浓度呈负相关。 + +# Step3：分别提出自变量组和因变量组的成分 + +由Matlab程序（详见附录），可以得到三对成分[u1,v1],[u2,v2],[u3,v3],[u4,v4]，[u5,v5]。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {1} = - 0. 0 2 9 6 x _ {1} + 0. 0 0 6 3 x _ {2} - 0. 0 2 6 5 x _ {3} + 0. 0 1 5 x _ {4} - 0. 0 7 0 8 x _ {5} \\ v _ {1} = - 9. 2 2 9 1 y _ {1} - 1 1. 8 0 0 3 y _ {2} - 7. 7 9 9 y _ {4} \end{array} \right. +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {2} = - 0. 0 2 1 8 x _ {1} + 0. 0 1 5 8 x _ {2} - 0. 0 3 7 x _ {3} + 0. 0 2 2 9 x _ {4} + 0. 0 6 0 2 x _ {5} \\ v _ {2} = - 2. 5 6 5 3 y _ {1} - 2. 2 7 5 9 y _ {2} + 6. 7 4 0 8 y _ {4} \end{array} \right. +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {3} = - 0. 0 2 5 x _ {1} + 0. 0 8 2 1 x _ {2} - 0. 0 3 2 5 x _ {3} - 0. 0 6 8 x _ {4} + 0. 0 1 0 6 x _ {5} \\ v _ {3} = 1. 8 2 7 5 y _ {1} - 2. 3 4 5 4 y _ {2} + 0. 4 0 1 2 y _ {4} \end{array} \right. +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {4} = - 0. 1 0 9 0 x _ {1} + 0. 0 5 1 5 x _ {2} + 0. 0 8 2 9 x _ {3} - 0. 0 6 8 1 x _ {4} - 0. 0 1 0 6 x _ {5} \\ v _ {4} = 0. 9 4 5 8 y _ {1} - 0. 2 1 6 4 y _ {2} - 2. 5 3 9 0 y _ {4} \end{array} \right. +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {5} = - 0. 4 5 7 7 x _ {1} + 0. 0 0 8 3 x _ {2} + 0. 4 6 3 x _ {3} + 0. 0 1 5 9 x _ {4} + 0. 0 0 3 4 x _ {5} \\ v _ {5} = 2. 3 5 6 2 y _ {1} - 0. 1 2 5 8 y _ {2} - 8. 2 1 8 y _ {4} \end{array} \right. +$$ + +而前四个成分解释自变量的的比率为 $98.69\%$ ，因此只要选取前四对成分即可满足分析需求。 + +Step4：求两个成分对时标准化指标变量与成分变量之间的回归方程 + +求得自变量和因变量组与 $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{5}$ ，之间的回归方程分别为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} = - 6. 6 2 2 6 u _ {1} - 7. 7 1 6 6 u _ {2} - 2. 1 8 7 2 u _ {3} - 2. 0 4 9 0 u _ {4} \\ x _ {2} = - 0. 2 7 5 6 u _ {1} - 2. 9 2 6 8 u _ {2} + 6. 7 9 8 2 u _ {3} - 7. 4 6 3 0 u _ {4} \\ x _ {3} = - 6. 6 1 9 7 u _ {1} - 7. 7 6 3 3 u _ {2} - 2. 1 4 1 1 u _ {3} - 1. 6 2 3 3 u _ {4} \\ x _ {4} = 4. 0 0 6 u _ {1} + 4. 0 6 6 1 u _ {2} - 4. 4 6 3 1 u _ {3} - 7. 6 1 0 9 u _ {4} \\ x _ {5} = - 8. 0 6 0 2 u _ {1} + 6. 7 3 6 9 u _ {2} + 1. 3 7 4 2 u _ {3} - 0. 8 1 1 1 u _ {4} \\ y _ {1} = - 9. 2 2 9 1 u _ {1} + 1. 6 3 9 8 u _ {2} + 1. 2 5 0 5 u _ {3} + 0. 3 2 8 5 u _ {4} \\ y _ {2} = - 8. 3 2 4 5 u _ {1} + 2. 2 2 2 6 u _ {2} - 2. 3 6 2 4 u _ {3} - 0. 1 0 2 9 u _ {4} \\ y _ {3} = 6. 5 5 5 1 u _ {1} - 4. 1 3 1 9 u _ {2} + 0. 6 6 8 4 u _ {3} + 1. 4 9 5 u _ {4} \\ y _ {4} = - 2. 8 1 7 2 u _ {1} + 3. 8 8 6 u _ {2} + 0. 7 6 8 8 u _ {3} - 1. 8 9 5 3 u _ {4} \end{array} \right. \tag {5-8} +$$ + +Step5：求因变量组与自变量组之间的回归方程。 + +把步骤2.5中成分 $u_{i}$ 代入Step3中 $y_{j}^{*}$ 的回归方程，得到标准化指标变量之间的回归方程 + +将标准化变量 $y_{i}^{*}, x_{j}^{*} (j = 1,2,3,4)$ 分别还原成原始变量 $y_{j}, x_{j}$ ，得到回归方程 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {1} = - 7 9. 8 4 4 5 + 0. 0 5 5 4 x _ {1} + 0. 0 3 5 1 x _ {2} - 0. 0 5 3 8 x _ {3} - 9. 1 8 5 6 x _ {4} + 0. 3 3 2 3 x _ {5} \\ y _ {2} = - 4 8. 3 5 9 5 + 0. 0 5 1 7 x _ {1} - 3. 2 1 7 6 x _ {2} + 0. 0 3 8 7 x _ {3} + 2. 4 4 3 9 x _ {4} + 0. 1 8 0 7 x _ {5} \\ y _ {3} = 1 8 4. 2 6 8 4 - 0. 1 0 3 2 x _ {1} - 1. 8 5 5 2 x _ {2} + 0. 0 2 8 7 x _ {3} - 7. 0 6 6 x _ {4} - 0. 3 5 1 8 x _ {5} \\ y _ {4} = - 3 5. 9 0 9 + 0. 0 5 1 5 x _ {1} + 1. 3 6 2 4 - 0. 0 6 7 4 x _ {3} + 4. 6 2 2 1 x _ {4} + 0. 1 7 1 1 x _ {5} \end{array} \right. (5 - 9) +$$ + +并且根据 $y1, y2$ 分别计算出 $R^2$ 为0.812和0.765，其值接近于1，可以认为拟合情况较好。 + +模型的对比与检验 + +# Part 1: 模型对比 + +当比较两个模型在同一组数据上的拟合效果时，更倾向于比较他们的残差平方和来确定，当残差平方和越小时，说明该模型的拟合效果越好。因此利用Python程序分别计算两模型所对应回归函数的残差平方和，进行对比。如下表所示： + +表 12：均方误差模型参数对比表 + +
多元线性回归
因变量yR²均方误差（MSE）
乙醇转化率（y1）0.79610.348
C4烯烃选择性（y2）0.7099.474
偏最小二乘回归分析
乙醇转化率（y1）0.81210.404
C4烯烃选择性（y2）0.7657.057
+ +本文认为，在本题中可以直接用多元线性回归分别对因变量进行建模，可以减少考虑本文中多个因变量之间的联系。因为由图中数据可知，两模型所对应的 $y1,y2$ 的残差平方和相差很小， $R^2$ 的差值也很小，说明无论是通过多元线性回归建模，还是通过偏最小二乘法建模得到的回归系数都可以很好的解释多个自变量 + +与因变量之间的相关性。 + +# Part 2: 模型的解释 + +利用偏最小二乘法建模时，根据预测值和实际值做出关于中心轴线的离散图，得到乙醇转化率预测图以及烯烃转化率预测图，根据下图数据分布情况得知拟合效果良好。 + +![](images/4ee325f9c71f3119daeca2beb2e8681f49d311723e27cf8bb7f24a99c3f3a5ac.jpg) +图8：乙醇转化率、烯烃转化率预测图与偏最小二乘回归系数直方图 + +从回归系数图中可以观察到，温度变量在解释两个乙醇转化率、C4烯烃回归方程中起到了极为重要的作用，当温度和其它自变量相组合时，对因变量的结果也会产生重要的影响。且 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO2}$ 与HAP的装料比的解释能力在两个回归方程中差别不大，均为正相关。而Co负载量在乙醇转化率中基本没有解释性，但是在C4烯烃选择性中有较强的负相关解释性。而乙醇浓度则对乙醇转化率起负相关解释性，而对C4烯烃选择性很少有解释性。 + +# 5.3 问题三的求解与分析 + +为了求解一组催化剂组合与温度在相同实验条件下的最佳配比，我们首先根据化学反应关系得出C4烯烃收率的直接影响因素，又基于问题二中的结论，推导出C4烯烃收率与多个自变量之间的影响关系，建立了单目标最优化模型，并且对多个自变量进行方差分析，对原有模型进行改进，从而在两种温度条件情况下进行全局最优的求解，以获得使得C4烯烃收率最大的自变量配比。 + +![](images/7cac6ec97b8643dec5fd4a3517525e481121a1f699669a800f215e096c586c14.jpg) +图9：问题三解题流程图 + +# 5.3.1 C4烯烃收率的模型建立 + +# 5.3.1.1 烯烃收率的基础模型 + +# Step1：数据处理 + +继续参照问题一得到的聚类结果，将生成物分为C4烯烃、主要附加产物（脂肪醇）、次要附加产物，进行数据分析。 + +由收率公式：C4 烯烃收率=乙醇转化率×C4 烯烃选择性，可求得任意一项催化剂组合所对应的 C4 烯烃收率，因此后两项为 C4 烯烃收率的直接影响因素。考虑到本题中需要拟合优良数据，从而得到 C4 烯烃最大收率，而实验中存在部分拟合效果欠佳的数据，因此通过对 109 组 C4 烯烃收率进行排序，确定 C4 烯烃收率值阈值为 $1\%$ ，以阈值作为筛选条件对数据进行初步筛选。同时对于一些效果不佳的对照实验，也进行数据剔除，最终得到 61 组积极数据。 + +# Step2：基础模型建立 + +设 $\rho$ 表示C4烯烃收率，可以得到下列关系式： + +$$ +\rho = y _ {1} \times y _ {2} \tag {5-10} +$$ + +# 5.3.1.2 最大C4烯烃收率的单目标优化模型 + +Part 1: 目标函数确定 + +$$ +m a x \rho = y _ {1} \times y _ {2} \tag {5-11} +$$ + +Part 2: 约束条件确定 + +(1)约束条件 1: 所有生成物选择性之和等于 $100\%$ , 则有 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} y _ {i} = 1 0 0 \tag {5-12} +$$ + +②约束条件2：所有自变量满足已有实验设计的取值范围。根据问题二中对附件一所进行的数据拆分，分析得到每一种自变量的实际取值范围，因此一个约束条件是： + +$$ +X l _ {i} \leq x _ {i} \leq X l _ {r} i = 1, 2, \dots , 5 \tag {5-13} +$$ + +其中， $Xl_{i}, Xl_{r}$ 分别表示自变量的左右区间。 + +# Part 3: 模型整合 + +综上所述，我能得到了最大C4烯烃收率的单目标优化模型： + +$$ +m a x \rho = y _ {1} \times y _ {2} \tag {5-14} +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {5} y _ {i} = 1 0 0 \\ X l _ {i} \leq x _ {i} \leq X l _ {i} \end{array} \quad i = 1, 2, \dots 5 \right. \tag {5-15} +$$ + +# 5.3.2 基于多元线性回归的模型优化 + +# Part 1: 模型改进机理分析 + +根据题目中的描述以及附件1中数据的特点，可知本数据为化学反应中的记录值，无法提过足够有效的约束条件，经过测试无法直接利用上述的最优化模型进行最优化求解。因此我们提出基于多元线性回归的C4烯烃最大收率模型。由于C4烯烃选择率来自乙醇转化率与C4烯烃选择性的乘积，其两者的函数表达式是通过多元线性回归来拟合，因此可以直接用拆分得到的多个自变量对C4烯烃收率来做多元线性回归分析，从而对原有的模型进行有效的改进。 + +# Part 2: 基于多元线性回归拟合 C4 烯烃收率 + +参照问题二中的多个自变量参数，使用SPSS软件对C4烯烃收率进行同等方法的数据拟合，可得到以下的分析结果： + +$$ +R ^ {2} = 0. 7 5 1 +$$ + +$$ +\rho^ {\prime} = - 3 6 1 9. 6 4 7 + 1. 2 3 6 x _ {1} - 6 9. 4 3 1 x _ {2} + 4. 1 2 1 x _ {3} - 1 2 7 6. 7 3 6 x _ {4} + 1 1. 9 9 5 x _ {5} +$$ + +由于 $R$ -square > 0.7，则我们认为该多元线性回归模型具有较高的可信性。 + +# Part 3: 获得多元线性回归改进的 C4 烯烃最大收率的最优化模型 + +因此基于多元线性回归拟合的改进下，由上述分析可得C4烯烃最大收率的单目标最优化模型： + +$$ +\max \rho^ {\prime} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {5} y _ {i} = 1 0 0 \\ X l _ {i} \leq x _ {i} \leq X l _ {i} \end{array} \quad i = 1, 2, \dots , 5 \right. +$$ + +# 5.3.3 基于方差分析的C4烯烃收率模型优化 + +# Part 1: 优化机理分析 + +由于C4烯烃收率的是由乙醇转化率与C4烯烃选择性相乘所得，因此对于C4烯烃收率来说，受到了乙醇转化率与C4烯烃转化率的系数的直接限制，因此，我们这此引入方差分析，来看这些变量之间是否含有相互作用关系，从而来对C4烯烃的单目标优化模型做优化。 + +# Part 2: 通过方差分析研究 C4 烯烃收率 + +根据问题二中的方差分析结果， $x_{2} * x_{5}, x_{4} * x_{5}$ 与 $x_{3} * x_{5}$ 之间存在交互作用 + +同时，根据两者的F值与均方差值可知其对C4烯烃收率的大小产生显著影响。因此我们将该三个交互作用部分作为相互作用因子，令 $x_{6} = x_{2}x_{5},x_{7} = x_{3}x_{5},x_{8} = x_{4}x_{5}$ 通过附件1中数据的合并处理，我们得到了8个自变量，进而通过SPSS软件分析计算多元线性回归模型如下所示： + +$$ +\begin{array}{l} \rho = \frac {1}{1 0 0} (- 3 3 6 2. 4 8 9 + 5. 2 3 8 x _ {1} + 6 7. 6 2 1 x _ {2} - 2 7. 5 6 8 x _ {3} + 2 0 6. 5 9 8 x _ {4} + 1 1. 5 6 x _ {5} \\ - 0. 5 2 9 x _ {6} + 0. 0 8 6 x _ {7} - 1. 1 5 x _ {8}) \\ \end{array} +$$ + +# Part 3: 获得方差分析改进的 C4 烯烃最大收率的最优化模型 + +因此当考虑温度因素时，则通过方差分析对模型进行改进，由上述分析可得C4烯烃最大收率的单目标最优化模型： + +$$ +\begin{array}{l} \max \rho \\ \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} x _ {6} = x _ {2} x _ {5} \\ x _ {7} = x _ {5} x _ {3} \\ x _ {8} = x _ {5} x _ {4} \\ X l _ {i} \leq x _ {i} \leq X l _ {i} \end{array} \quad i = 1, 2, \dots , 5 \right. \\ \end{array} +$$ + +# 5.3.3.1 C4烯烃最大收率时的催化剂最佳配比模型的求解 + +Case 1: 当在相同的实验条件时, 使用多元线性回归优化的模型进行求解 + +在相同实验条件下时，所有的自变量的取值与附件1中的数据取值限制相同，说明对于温度等主要影响C4烯烃收率的变量没有受到特殊限制，因此我们直接选取基于多元线性回归改进的C4烯烃最大收率的最优化模型进行求解。 + +经过Lingo程序求得最优值为： $47.1\%$ + +Case 2: 当在限制温度的条件时, 使用经方差分析二次优化模型进行求解 + +由上分析同理可得，此时题目中对温度进行了限制，因此我们采用对温度等主要影响系数有增强作用的方差分析改进的C4烯烃最大收率的最优化模型进行求解。 + +经过Lingo程序（见附录）求得最优值为： $28.2\%$ + +表 13：主体间效应检验 + +
x1x2x3x4x5
Case 12000.52000.3450
Case 22000.52000.3350
+ +# 5.4 问题四的求解与分析 + +为了能够在有限的实验次数内更加充分地了解如何提高乙醇选择性和C4烯烃转化率，本文在实验设计时选择均匀设计的方法。 + +相比于正交设计，均匀设计只考虑试验点在实验范围内的均匀散布。因此，相比于正交设计，均匀设计减少了进行实验的次数，且更加适合在较少的实验中获取更多信息，能够在相同的实验次数下更迅速的找到最优解[8,9]。 + +在乙醇催化偶合制备c4烯烃的实验中，对其产物的造成主要影响的因素有x1、x2、x3、x4、x5等五种因素。 + +由于均匀设计的设计原理约束了 $U_{5}$ 最多只能包含 4 个自变量，故本文参考了前面的问题中做出的偏最小二乘回归系数直方图，将相关性足够低且在直方图中回归系数最接近 0 的自变量 $x4$ 乙醇浓度定为常量，在设计时着重研究其它 4 种自变量与 C4 烯烃收率的关系。 + +根据附件1所给实验结果，本文在4种因素内选取5种水平，表示为 $U_{5}$ 。 + +均匀设计 $U_{5}(5^{4})$ 表如下所示： + +表74： $U_{5}$ 与 $U_{4}^{*}$ 均匀设计使用表 + +
列号 实验号1234
11234
22413
33142
44321
55555
+ +
列号 实验号1234
11234
22413
33142
44321
+ +各因素水平表如下所示，波浪线表示该数据来自问题三所求最终结果。在设计各因素水平的过程中，观察到偏最小二乘回归系数直方图中，反应温度的相关系数远大于其他几项，因此在设定“温度”因素的水平时，超过附件1所给最大值后增加的步进值较小，但通过研究“温度”因素更能够更好地确定使收率更高的因素，以提高反应速率；相关性最小的因素 $x_{2}$ 在超过问题三所得最佳结果后的步进值较大；而 $x_{1}$ 、 $x_{3}$ 的相关性在 $x_{2}$ 与 $x_{5}$ 之间，但总体更接近 $x_{2}$ ，其因素水平取值也比较靠近实验1中已存在的数据。 + +表 85：均匀设计中各因素水平 + +
水平x1x2x3x5
1100.550350
2501100380
3752200450
41003.5300475
52005400500
+ +因化学试验存在特殊性，若将最高水平组合在一起可能会导致化学反应过于剧烈，从而使反应容器龟裂，甚至发生爆炸等危险，故在均匀设计使用表中，移除最后一行，得到更加均匀、安全的使用表，以防止事故的发生。此时，设计方案变为 $U_{4}^{*}$ + +为了补全第5次实验，现有2种方法可以选择：①将问题三使用多元线性回归优化的模型所得结果作为第5次实验；②将 $U_{6}$ 的均匀设计使用表的最后一行删除，化作 $U_{5}^{*}$ 使用。但②因均匀设计原理决定了进行6次实验最多只能存在2个自变量，故舍弃该方法。 + +表 16：使用均匀设计增加的 5 组新实验表 + +
实验号x1x2x3x5
1102300500
250550475
3751400450
41003.5100350
52000.5200380
+ +小结 设计的实验方案如上表所示。 + +第一次实验条件： $500^{\circ} \mathrm{C}$ 下， $10 \mathrm{mg} 2 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO}_{2}, 300 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}$ 。 + +第二次实验条件： $470^{\circ} \mathrm{C}$ 下， $50 \mathrm{mg} 5 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO}_{2}$ ， $50 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}$ 。 + +第三次实验条件： $450^{\circ} \mathrm{C}$ 下， $75 \mathrm{mg} 1 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO}_{2}, 400 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}$ 。 + +第四次实验条件： $350^{\circ} \mathrm{C}$ 下， $100 \mathrm{mg} 3.5 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO}_{2}, 100 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}$ 。 + +第五次实验条件： $380^{\circ} \mathrm{C}$ 下， $200 \mathrm{mg} 0.5 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO}_{2}, 200 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}$ 。 + +# 6 灵敏度分析 + +根据问题二中的分析可知，温度等自变量对因变量的变化有着强烈的影响，因此我们通过对C4烯烃收率的回归方程中温度的系数进行灵敏度分析，使其值经过上下 $5\%$ 的数据波动，绘制出C4烯烃收率的变化情况，如下图所示： + +![](images/c0722792fb73225264e49b52c8db3d95fbc9d582d112614105f7b2fbb358d522.jpg) +图10：灵敏度分析图 + +温度的回归系数在 $10\%$ 的变化区间内引起了 C4 烯烃收率 $18\%$ 的变化, 比较稳定, 因此表明模型具有较好的灵敏性。 + +表 17：灵敏度数据变化表 + +
C4 烯烃收率温度回归系数C4 烯烃收率温度回归系数
19.17675910.98221.60435911.6756
19.66227911.1207222.08987911.81432
20.14779911.2594422.57539911.95304
20.63331911.3981623.06091912.09176
21.11883911.5368823.54643912.23048
+ +# 模型的评价与推广 + +# 7.1 模型的优点 + +1. 方差分析将有助于探究自变量之间的相互作用，从而探究更深层次自变量之间的联系，以此将存在相互作用关系的每一组变量存为新的一个变量，反过来作为多元函数中的一员，提供更好的拟合效果。 +2. 偏最小二乘法和多元线性回归两者相结合进行对比分析，可以探究多个因变量之间是否存在着更深层次的联系，更有利于化学实验型数据的拟合，使其得到更为准确的拟合方程，探究实验物之间的联系，对实验结果进行预测。 + +# 7.2 模型的缺点 + +1. 基于多元线性回归与方差分析的 C4 烯烃最大收率模型中, 各个组成部分的权重的确定仍然是按照变量贡献率特点进行分析, 并无一个完整的体系, 含有一定的主观性。 +2. 通过偏最小二乘法进行研究时, 只是对应线性多元回归中的乙醇转化率和 C4 烯烃选择性这两个因变量进行分析, 得出了因变量之间相关性不大, 但模型没有分析其他因变量与只是对应线性多元回归中的乙醇转化率和 C4 烯烃选择性是否存在着隐含关系。存在一定的偶然性。 +3. 在聚类分析时，只是单纯的量化考虑了数值上的聚类，而忽略了其内部化学结构之间联系，使结果偏离于真实情况。 + +# 7.3 模型的推广 + +本文问题二中主要应用了多元线性回归以及偏最小二乘回归分析模型。从横向来看，在加入了偏最小二乘法回归分析对于多个因变量，有利于研究多因变量之间的关系，更深层的关注多个因变量之间的潜在相关性，有助于我们分析在化学反应时，更全面的分析各个生成物之间的关系，此时可以再对该模型进行延伸，在医学诊断、化学实验预测中发挥更大的作用，做到“未卜先知”。 + +# 8 参考文献 + +[1] 任丽萍, 赵国良, 滕加伟, 王仰东, 谢在库; La 修饰 ZSM-5 分子筛催化剂用于 $\mathrm{C}_{4}$ 烯烃催化裂解制丙烯[J]; 工业催化; 2007 年 03 期. +[2]吕绍沛.乙醇偶合制备丁醇及 $\mathrm{C_4}$ 烯烃[D].大连理工大学，2018. +[3] 朱水东. 化学实验中的暴沸与沸石[J]. 高考(综合版), 2012(11):127. +[4] 杨忠赞, 迟凤琴, 隋虹均, 巨恩俊, 张久明, 宿庆瑞, 张一雯, 刘亦丹. 基于多元线性回归研究有机肥替代对土壤养分及产量的影响[J]. 东北农业科学, 2021, 46(02):37-42+102. +[5]王赫然，尉佳，范忠仁.基于多元线性回归的高新技术企业发展影响因素分析[J].科技通报，2020,36(12):112-115. +[6] 石彦国,单彤彤,曾剑华,刘琳琳,朱秀清. 基于主成分分析和偏最小二乘法的蒸煮大豆食味品质评价[J]. 中国食品学报,2019,19(10):265-277. +[7] 李会芳, 刘静婷, 郎霞, 路晓娟. 基于偏最小二乘法关联分析栀子不同炮制品化学成分与肝肾毒性[J]. 药物评价研究, 2021,44(09):1890-1896. +[8]浦仕彪，王钺涵，杨竹雅，刘录，周志宏.均匀设计法对临床方剂胃肠炎宁颗粒组方优化研究[J].云南民族大学学报(自然科学版),2021,30(04):343-346. +[9] 均匀设计及其应用[J]. 方开泰. 数理统计与管理. 1994(01) + +# 附录 + +# A. 问题一第(1)问结论 + +催化剂组合分类表 + +
组别催化剂组合分类依据
1A1-A6Co负载量
2A7-A12乙醇浓度
3B1-B6Co/SiO2和HAP装料比
4A13-A14特殊对照实验
A7-A8
+ +# Class 1: + +在A1到A6的实验组中，催化剂组合各分组的质量比为1，因此本文将其作为一类实验进行分析。 + +![](images/4e23ad227622cc1497ab8fb6ec265d7a912c718502d5875035369475cd3c662c.jpg) + +![](images/8baf644698a71a4e2a111b2529067b9e07bfead7157cfb4806dcd7146433cb00.jpg) + +![](images/46725b231afa1f56ad9fdcf612dcb7cbf7c37ff3751835721fc9c7d2655f2864.jpg) + +![](images/fc0ab709df14fb1619f4d1b3d4fc91e742f778ff8be25bdbee4d2c3e8f7803ef.jpg) +图11：催化剂组合A1-A7下相关性图 + +（%） +![](images/2b41c8851b7098ff181a4cc0248eafe7cca97c839c2c154dd6fb93ff1f81389d.jpg) +乙醇转化率（%） C4烯烃选择性 + +![](images/229f98eaee0b155f9db4f33d59a973160755191a24e416c5296b79392a23e139.jpg) + +根据催化剂组合特点，可以将A1、A2、A4、A6作为一组的对照实验，对照变量为 $\mathrm{Co / SiO2}$ 的含量，根据图像变化特点可以分析得出，当 $\mathrm{Co / SiO2}$ 的负载量为 $1\mathrm{wt}\%$ 且在温度区间为 $(250^{\circ}C,300^{\circ}C)$ 时，C4烯烃的选择性远高于其他含量的情况，但随着温度不断升高，其他组呈上升趋势，A1组虽趋于平缓，但仍多余其他组。 + +而A5中的 $\mathrm{Co / SiO2}$ 含含量比A3中的多一倍，但乙醇相对其他组过少，导致最终C4选择性少于大部分对照实验，但与 $\mathrm{Co / SiO2}$ 过多的A6组的选择性类 + +似。 + +# Class 2: + +在催化剂组合A7至A9以及A12中，催化剂组分中的Co负载量均为1wt%，且 $1\mathrm{wt}\% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO}2$ 与HAP含量均为 $50\mathrm{mg}$ ，因此本文同样将其作为一类实验进行分析。 + +![](images/6fa22d90b05f838ab80c03854aea95ba291042051fb3d8a84e2c1c582c20e50a.jpg) + +![](images/a45cb633d6cba2bbbfb4f0279d4057bd4749dc6a4259a0856da3283a7f32ed59.jpg) + +![](images/e077b9e3c5bb1ac7b6ed8c20dbed49fea950c574adfbc7411181f74d7fc8b9ba.jpg) + +![](images/e46394fa6034e82e5a779b92b7404861f35db0d14ed616e8109c2c056eb28779.jpg) +图12：催化剂组合A7-A12下相关性图（%） + +![](images/457bbb332340d449ffb8675cb955892630944b825458437c34ff7ec0b3d0e66a.jpg) +乙醇转化率（%） C4烯烃选择性 + +![](images/247e6765522be6224a379d19694f135c34b94b9b0d255ff663cf1a1730d316bd.jpg) + +根据附件1易知，从A7、A8、A12与A9这四种催化剂组合中，其乙醇每分钟加入速度从 $0.3\mathrm{ml / min}$ 递增至 $2.1\mathrm{ml / min}$ 。由上图可以得出，在乙醇加入速度越快的情况下，乙醇转化率逐渐降低，在温度区间 $(250^{\circ}C,350^{\circ}C]$ 上， $\mathrm{C_4}$ 选择性基本不变，在温度区间 $(350^{\circ}C,400^{\circ}C]$ 呈现先升高后降低的趋势。 + +# Class 3: + +![](images/9079bb5eb58b4b118ab1ebefb7677ea3dfac43b78c20ae59d85043af3f336b67.jpg) + +![](images/9f22d56c1c65b709c14920a5ba2f775643ceac92cbeb987ae1c6a3262f5d0fb6.jpg) + +在第Ⅱ种装袋方式，实验组B1至B6中，B1、B2、B3、B4、B6中以催化剂质量比为变量进行研究，B5为其他变量的对照试验。因此此本文同样将其作为一类实验进行分析。 + +![](images/585ba2b2c6f8e33840ceadbe2621913fbcc6cdfc471ee1fc16dfa11a02a4e588.jpg) +图13：催化剂组合A13、A14下相关性图（%） + +![](images/9c4c58f2d3df4f068bc1f6c87bf46a1e2829e4a81e88c07ca587090c5f6194f2.jpg) +乙醇转化率（%） C4烯烃选择性 + +![](images/79e63bf0705d750473abf6d7fb82c95c656c3a673db6f0cce0426baf21713c6e.jpg) + +![](images/50cbbea243f48fc517bef5a780a3289b5cacd10341cc5a8405c3bbcdfa51b72f.jpg) +图14：催化剂组合B1-B4、B6下相关性图 + +![](images/c5dba325267d27f3bb0b4c28ebfb26f8396edd737bfec13154a93246a67671bf.jpg) + +![](images/0098714ba0222ec773cee00cb11afe8ff194e2ac4cf2c768f5a9ad7fc78e4448.jpg) + +实验组B3、B4、B1、B6、B2中质量比逐渐增加，由试验结果分析可知，随着温度的升高质量比越大C4烯烃选择性就越高。B1与B2以乙醇浓度为变量，当升高乙醇浓度时，可以得知随着温度升高，乙醇转化率与C4烯烃选择性都略有下降。 + +![](images/3f972ea175bc70d4f1505155012fe4c9bf3f6ef59f91eacb4ec2e19e357e7d62.jpg) +Class 4: +图15：催化剂组合A8、B7下相关性图 + +![](images/034675563060e1cd93811dcaabd41f5a57afe51d0c73fc4fdb080da2ab53cdda.jpg) +乙醇转化率(%) C4烯烃选择性(%) + +在催化剂组合A13、A14的条件下，易知其组合的变量 $1\mathrm{wt}\% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO2}$ 与HAP-乙醇浓度的含量不同，其含量“互换”。在该条件下，“乙醇转化率 $(\%)$ ”变化不大，但“C4烯烃选择性”波动。 + +A8与B7之间仅存在着装料方式的不同，有结果分析，两种装袋方式对乙醇转化率、C4选择性的变化趋势的影响很小，但是经过第（罗马数字二）装袋方式的效果总体优于第一种。 + +# B. 问题一拟合图像与相关性系数 + +模型摘要和参数估算值 +因变量：乙醇转化率1 + +
方程模型摘要参数估算值
R²F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.93241.20413.008-84.074.333
二次.98048.34022.020141.807-1.194.003
S.983178.59813.00110.708-2470.152
+ +自变量为温度。 + +![](images/d1ce9c1feca7b52127a9ce806f2245467f0e704baf87a8d6bea6f48597e9ffef.jpg) + +模型摘要和参数估算值 +因变量：C4烯烃选择性1 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.78711.07913.045-3.242.154
二次.91610.89922.084-190.7831.422-.002
S.84816.78413.0264.898-338.868
+ +自变量为温度。 + +![](images/a5f500a8384ba6d322d23410aaf1290009beefe1ce13a81c3ff8567e417ee015.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率2 + +
方程模型摘要参数估算值
R²F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.990297.82513.000-161.892.663
二次.991111.38122.009-227.4151.106-.001
S.94450.19013.00611.258-2366.823
+ +自变量为温度。 + +![](images/9ad7eb69341d7579e33ef2067255a8cc5de23afe5518465d37070e077c440002.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性2 + +
方程R²F模型摘要参数估算值
自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.83615.28513.030-41.546.222
二次.98049.72222.020234.745-1.646.003
S.78210.75813.0465.559-709.059
+ +自变量为温度。 + +![](images/f39b909416076009d2567f91ca0b8946a263adcc81623d2d134e51423b83f8eb.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率3 + +
方程模型摘要参数估算值
R²F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.964134.96815.000-95.828.419
二次.96657.37124.001-134.189.647.000
S.974185.57715.0007.421-1245.588
+ +自变量为温度A3。 + +![](images/b82459c59189f3a519f7bae62ff4a8514d37ae402478cbff7e43a629c31afbf2.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性3 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.91352.34915.001-59.195.261
二次.95542.51924.002-171.076.924-.001
S.93167.34015.0007.333-1380.400
+ +自变量为温度A3。 + +![](images/6353de32cd6225277208be025e014596fcc72d769af4f3327f8eee01f8298db6.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率4 + +
方程模型摘要参数估算值
R²F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.995801.58214.000-144.540.582
二次.996362.87623.000-107.611.349.000
S.95177.76714.0019.953-2066.750
+ +自变量为温度A4。 + +![](images/d93f15848772a112dd47743d458b806d95be65e09fe48d0df9473c96c5a0f53b.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性4 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.91744.36814.003-52.411.227
二次.97762.38123.00472.773-.562.001
S.87127.09514.0066.317-1090.270
+ +自变量为温度A4。 + +![](images/2aa38c769272d4babd45a00706534469af0b8a9ba640a8377fe4b3440cd16a89.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率5 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.87327.50314.006-97.593.408
二次.994249.91023.000232.407-1.672.003
S.88229.95214.0056.973-1149.781
+ +自变量为温度A4。 + +![](images/4f9b6800e54a19f996b05aa535525f379afaf53c7ac3007db6eb3b43cad79ff1.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性5 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.94062.76814.001-57.813.230
二次.991157.17323.00157.884-.500.001
S.963103.38514.0018.276-1833.200
+ +自变量为温度A4。 + +![](images/b4259d1910fa42b9a89bfa8fcde9fc6919314f3c21507e8d827fe51ef54c18b9.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率6 + +
方程模型摘要参数估算值
R²F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.96889.41413.003-119.731.501
二次.98670.01222.01451.004-.577.002
S.94349.58613.0067.814-1362.320
+ +自变量为温度A6。 + +![](images/77c78fce78d61584110febecb8288ca12f5880e1f717932d0bf1d2f8abd55759.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性6 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.78410.88613.046-50.748.203
二次.94517.31622.055176.616-1.234.002
S.88021.96813.0186.770-1392.868
+ +自变量为温度A6。 + +![](images/cc15cf1094400a279e953519179ed55c816c668db86779fd528469633481fcde.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率10 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.85217.25013.025-49.688.184
二次.994162.91222.006135.513-.986.002
S.994461.76613.00010.792-3006.158
+ +自变量为温度A6。 + +![](images/4962471a78c138c82af09a959d1b90b63cb11077caf63484511859fad5101c41.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性10 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.7428.63313.061-12.357.052
二次.97845.44422.02259.711-.404.001
S.7097.31213.0744.434-1015.963
+ +自变量为温度A6。 + +![](images/0f7e27cd4fc89e0eeb86177aa8db9be4cae84f5bb831d9c7f2ac488844ac883c.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率14 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.92939.28613.008-86.644.336
二次.997340.95822.003137.880-1.083.002
S.9992735.45913.0009.004-2018.312
+ +自变量为温度A6。 + +![](images/ee7395915e9157d8ffa85554d64a249c7f609801401fa60f33c8fb1641772d04.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性14 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.92034.48613.010-35.116.138
二次.9991862.21822.00164.863-.494.001
S.96684.31413.0037.238-1705.611
+ +自变量为温度A6。 + +![](images/70a964c4672445e1ba372c00920ebde418278f36b9f4027ec296cd2661b30411.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率B1 + +
方程模型摘要参数估算值
R²F自由度1自由度2显著性常量bl
线性.92537.22513.009-73.190.280
二次.999899.90422.001121.497-.950
S1.00010189.57613.0009.477-2277.798
+ +![](images/78fc411d1c89a28783aa5d83cf2dfaa36820eecd4cb3d7b46282d2a836c53c67.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性B1 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.972103.25313.002-56.728.240
二次.997353.20422.00339.068-.365.001
S.987225.33713.0016.934-1300.576
+ +自变量为温度B1。 + +![](images/058eb9a396a0c20414747abd379bba040b5430a291a34ef8e8468c292e21f686.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率B3 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.79215.23014.018-36.184.131
二次.992177.56323.001107.209-.772.001
S.962100.47314.0019.617-2731.411
+ +自变量为温度B3。 + +![](images/51cbc9e868969f1ff942ac2cba9bf5a464041a854104353e47c292df69dbe284.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性B3 + +
方程R²模型摘要参数估算值
F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.94365.90314.001-28.294.120
二次.97661.78223.00420.970-.190.000
S.967117.81014.0006.219-1279.868
+ +自变量为温度B3。 + +![](images/943fb62bd78a0166f4b23a2fd4bb12acac8ca7c05de3e1f9b74f28adcc8cc013.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：乙醇转化率B7 + +
方程模型摘要参数估算值
R²F自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.87628.34214.006-109.343.420
二次.997439.47023.000228.711-1.711.003
S.984241.78914.0008.581-1801.328
+ +自变量为温度B3。 + +![](images/d83fd7dd5fccabcacee466a1e8d2be180ef0217b5bd195db5f6a878a2c561d1e.jpg) +模型摘要和参数估算值 + +因变量：C4烯烃选择性B7 + +
方程R²F模型摘要参数估算值
自由度1自由度2显著性常量b1b2
线性.989353.93314.000-56.451.234
二次.997523.67823.000-9.858-.060.000
S.990402.23314.0007.582-1539.007
+ +自变量为温度B3。 + +![](images/e2fc453d9190a6e68a2d2c199f274442e395bc9bfbbd0d7f0e4590fa69e552ef.jpg) + +# C. 模型建立过程中所使用的源代码 + +1. lingo程序求得最优解： + +sets: + +$\mathrm{parm^{\prime}all / 1..6 / :p1,p2,p3,p4;}$ + +endsets + +data: + +$$ +p 1 = - 7 9. 8 4 4, 0. 0 5 5 4 2, 0. 0 3 5 0 8, 0. 0 5 3 8 3, - 9. 1 8 5 6, 0. 3 3 2 3 2; +$$ + +$$ +p 2 = - 4 8. 3 5 9 4, 0. 0 5 1 7, - 3. 2 1 7, 0. 0 3 8 6, 2. 4 4 3 9, 0. 1 8 0 7; +$$ + +$$ +p 3 = 1 8 4. 2 6 8, - 0. 1 0 3 2, 1. 8 5 5 2 0, 0. 0 2 8 7, - 7. 0 6 5 9, - 0. 3 5 1 8; +$$ + +$$ +p 4 = - 3 5. 9 0 8, 0. 0 5 1 4 8, 1. 3 6 2 3, - 0. 0 6 7 3, 4. 6 2 2 0, 0. 1 7 1 0 8; +$$ + +enddata + +$$ +! \max = (- 3 6 1 9. 6 4 7 + 1. 2 3 6 ^ {*} x 1 - 6 9. 4 3 1 ^ {*} x 2 + 4. 1 2 1 ^ {*} x 3 - +$$ + +$$ +1 2 7 6. 7 3 6 ^ {*} x 4 + 1 1. 9 9 5 ^ {*} x 5) ^ {*} a + b ^ {*} y 1 ^ {*} y 2 + (x 5 ^ {*} x 2 + x 5 ^ {*} x 4) ^ {*} c; +$$ + +$$ +! \max = (- 3 6 1 9. 6 4 7 + 1. 2 3 6 ^ {*} x 1 - 6 9. 4 3 1 ^ {*} x 2 + 4. 1 2 1 ^ {*} x 3 - +$$ + +$$ +1 2 7 6. 7 3 6 ^ {*} x 4 + 1 1. 9 9 5 ^ {*} x 5) ^ {*} 0. 7 + 0. 6 ^ {*} y 1 ^ {*} y 2 + (x 5 ^ {*} x 2 + x 5 ^ {*} x 4) ^ {*} 0. 5; +$$ + +$$ +\max = \left(\left(- 6 3 1 4. 4 7 0 + 3. 9 1 0 ^ {*} x 1 - 1 5 4. 7 2 7 ^ {*} x 2 + 3. 9 3 3 ^ {*} x 3 - \right. \right. +$$ + +$$ +3 1 2. 0 6 3 ^ {*} x 4 + 2 1. 3 7 5 ^ {*} x 5) ^ {*} 0. 5 + 0. 4 ^ {*} y 1 ^ {*} y 2 + 0. 5 5 ^ {*} (x 5 ^ {*} x 2 + x 5 ^ {*} x 4)) / 1 0 0; +$$ + +$$ +! \max = (- 6 3 1 4. 4 7 0 + 3. 9 1 0 ^ {*} x 1 - 1 5 4. 7 2 7 ^ {*} x 2 + 3. 9 3 3 ^ {*} x 3 - +$$ + +$$ +3 1 2. 0 6 3 ^ {*} x 4 + 2 1. 3 7 5 ^ {*} x 5) ^ {*} 0. 5 + 0. 5 ^ {*} y 1 ^ {*} y 2; +$$ + +$$ +y 1 = p 1 (1) + p 1 (2) ^ {*} x 1 + p 1 (3) ^ {*} x 2 + p 1 (4) ^ {*} x 3 + p 1 (5) ^ {*} x 4 + p 1 (6) ^ {*} x 5; +$$ + +$$ +y 2 = p 2 (1) + p 2 (2) ^ {*} x 1 + p 2 (3) ^ {*} x 2 + p 2 (4) ^ {*} x 3 + p 2 (5) ^ {*} x 4 + p 2 (6) ^ {*} x 5; +$$ + +$$ +\begin{array}{l} y 3 = p 3 (1) + p 3 (2) ^ {*} x 1 + p 3 (3) ^ {*} x 2 + p 3 (4) ^ {*} x 3 + p 3 (5) ^ {*} x 4 + p 3 (6) ^ {*} x 5; \\ y 4 = p 4 (1) + p 4 (2) ^ {*} x 1 + p 4 (3) ^ {*} x 2 + p 4 (4) ^ {*} x 3 + p 4 (5) ^ {*} x 4 + p 4 (6) ^ {*} x 5; \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} y 2 + y 3 + y 4 _ {i} = 1 0 0; \\ @ \mathrm {b n d} (1 0, x 1, 2 0 0); \\ @ \mathrm {b n d} (0. 5, x 2, 5); \\ @ \mathrm {b n d} (1 0, \mathrm {x} 3, 2 0 0); \\ @ \mathrm {b n d} (0. 3, x 4, 2. 1); \\ \end{array} +$$ + +$$ +@ \mathrm {b n d} (2 5 0, x 5, 3 5 0); +$$ + +# 2. 第二问偏最小二乘代码.m + +clc,clear + +ab0=xlsread('pz.xls');%原始数据存放在纯文本文件pz.txt中 + +$\mathrm{mu} = \mathrm{mean}(\mathrm{ab0});\mathrm{sig} = \mathrm{std}(\mathrm{ab0});\%$ 求均值和标准差 + +rr=corrcof(ab0)%求相关系数矩阵 + +ab= zscore(ab0); %数据标准化 + +a=ab(:,[1:5]);b=ab(:,[6:end]);% 提出标准化后的自变量和因变量数据 + +$$ +[ \mathrm {X L}, \mathrm {Y L}, \mathrm {X S}, \mathrm {Y S}, \mathrm {B E T A}, \mathrm {P C T V A R}, \mathrm {M S E}, \mathrm {s t a t s} ] = \text {p l s r e g r e s s} (\mathrm {a}, \mathrm {b}) +$$ + +$\mathrm{XW = a^{*}XS}\%$ 求自变量提出成分系教每列对应一个成分，这里xw等于stats.w + +yw =b“YS %求因变量提出成分的系数 + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {n c o m p} = \text {i n p u t} (\mathrm {^ {\prime} n c o m p} = ^ {\prime}); \\ [ \mathrm {X L 2}, \mathrm {Y L 2}, \mathrm {X S 2}, \mathrm {Y S 2}, \mathrm {B E T A 2}, \mathrm {P C T V A R 2}, \mathrm {M S E 2}, \mathrm {s t a t s 2} ] \\ = \text {p l s r e g r e s s} (\mathrm {a}, \mathrm {b}, \mathrm {n c o m p}) \\ \end{array} +$$ + +n=size(a,2);m=size(b,2);%n是自变量的个数,m是因变量的个数 + +$$ +\operatorname {b e t a 3} (1,:) = \operatorname {m u} (\mathrm {n} + 1: \text {e n d}) - +$$ + +$\mathrm{mu(1:n). / sig(1:n)^{*}BETA2([2:end],:)}$ \*sig(n+1:end);%原始数据回归方程的常数项 + +beta3([2:n+1,:)=(1./sig(1:n))\*sig(n+1:end).*BETA2([2:end,:)%计算原始变量x1,…;xn的系数，每一列是一个回归方程 + +hold on; + +%x3str='乙醇转化率','C4烯烃转化率',乙醛选择性',脂肪醇',甲醛甲醛',其他生成物',乙烯选择性';%新坐标的值 + +$$ +\% \mathrm {c} 11 = \text {c a t e g o r i c a l (}); +$$ + +bar(BETA2,'k')%画直方图 + +title("偏最小二乘回归系数直方图") + +yhat = repmat(beta3(1,:), [size(a,1), 1]) + ab0(:, [1:n])* beta3([2:end],:)%求 y1, , ym 的预测值 + +ymax=max([yhat,ab0(:,[n+1;end]])); + +%求预测值和观测值的最大值 + +$\%$ 下面画y1,y2,y3的预测图，并画直线 $\mathrm{y = X}$ + +figure,subplot(1,2,1) + +a1=[0:ymax(1)]; + +a2=[0:ymax(1)]; + +b1=[0:ymax(2)]; + +b2=[0:ymax(2)]; + +plot(yhat(:,1),ab0(:,n+1),‘*',a1,a2,'color',k') + +title(乙醇转化率预测图) + +subplot(1,2,2) + +plot(yhat(:,2),ab0(:,n+2),'O',b1,b2,'color', 'k') + +title(烯烃转化率预测图) + +%legend('烯烃',2) + +3. mse.ipynb + +```python +"cells":[ +celltype":code",executioncount":66,"metadata":-collapsed":true, +"outputs":[]，"source":[import pandas as pd"n”，import numpy as np"n”，import matplotlib] +1 +``` + +```txt +"cell'type": "code", +"execution count": 68, +"outputs": [], +"source": [ +"#自己把所有的XY（只有两列，乙醇转化率烯烃选择性）”n”， +"X'self = pd.read'excel(" ./X.xlsx")“n”， +"X = X'self.values“n”， +"Y'self = pd.read'excel(" ./Y.xlsx")“n”， +"Y = Y'self.values“n”， +"# print(3^2)" +], +"metadata": - +"collapsed": false, +"pycharm": - +"name": "#%%读取数据“n” +" +"cell'type": "code”， +"execution count": 90, +"outputs": [], +"source": [ +"sum'2 = 0.0“n”， +"sum'1 = 0.0“n”， +"sum'3 = 0.0“n”， +"sum'4 = 0.0“n”， +"for i in range(109):‘n”， +y'1 = -79.8445 + X[i][0]*0.0554 + X[i][1]*(-0.0351) + X[i][2]*(0.0538) + X[i][3]*(-9.1856) + X[i][4]*0.3323“n”， +y'2 = -48.3595 + X[i][0]*0.0517 + X[i][1]*(-3.2176) + X[i][2]*(0.0387) + X[i][3]*(-2.4439) + X[i][4]*0.1807“n”， +``` + +"sy'1 $= -80.218 + \mathrm{X[i][0]}^{*}(-0.033) + \mathrm{X[i][1]}^{*}(0.134)+$ $\mathrm{X[i][2]*(0.141) + X[i][3]*(-8.765) + X[i][4]*0.333"\n"}$ 1 +"sy'2 $= -54.118 + \mathrm{X[i][0]*0.005 + X[i][1]*(-3.173) + X[i][2]*(0.091)}$ $+\mathrm{X[i][3]*(2.670) + X[i][4]*0.181"\n"}$ 1 +" delta'1 $= (\mathrm{y^{\prime}1 - Y[i][0]})^{**2}\mathrm{n^{\prime}}$ 1 +" delta'2 $= (\mathrm{y^{\prime}2 - Y[i][1]})^{**2}\mathrm{n^{\prime}}$ 1 +" delta'3 $= (\mathrm{sy^{\prime}1 - Y[i][0]})^{**2}\mathrm{n^{\prime}}$ 1 +" delta'4 $= (\mathrm{sy^{\prime}2 - Y[i][1]})^{**2}\mathrm{n^{\prime}}$ 1 +" sum'1 $+ =$ delta'1 "n", +" sum'2 $+ =$ delta'2 "n", +" sum'3 $+ =$ delta'3 "n", +" sum'4 $+ =$ delta'4 "n", +"print("MSE'y1,MSE'y2 In PLS::","(sum'1/109)**(1/2), (sum'2/109)**(1/2)) "n", +"print("MSE'y1,MSE'y2 In SPSS::","(sum'3/109)**(1/2), (sum'4/109)**(1/2))". +"[,"metadata":- +"collapsed":false, +"pycharm":- +"name":#"#%%求解MSE"n" +"cell'type":"code", +"execution count":72, +"outputs":[ +"name":"stdout", +"output type":"stream", +"text":[ +"0""n", +"1""n", + +```txt +"3" +] +], +"source": [], +"metadata": - +"collapsed": false, +"pycharm": - +"name": "#%%" +" +", +"cell' type": "code", +"execution count": null, +"outputs": [], +"source": [], +"metadata": - +"collapsed": false, +"pycharm": - +"name": "#%%" +" +", +"metadata": - +"kernelspec": - +"display name": "Python 3", +"language": "python", +"name": "python3" +", +"language info": - +"codemirror mode": - +``` + +```txt +"name": "ipython", +"version": 2 +"file'extension': ".py", +"mimetype": "text/xpython", +"name": "python", +"nbconvert'exporter": "python", +"pygame'slexer": "ipython2", +"version": "2.7.6" +", +"nbformat": 4, +"nbformat'minor": 0 +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/B026/B026.md b/MCM_CN/2021/B026/B026.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cb61e998581d22aaa9a4eaaafc740f208dc83afc --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/B026/B026.md @@ -0,0 +1,911 @@ +$$ +\mathrm {H} _ {0 \mathrm {B}}: \quad \mu_ {\mathrm {i} 1} = \mu_ {\mathrm {i} 2} = \dots = \mu_ {\mathrm {i} 1 4}, \quad \mathrm {i} = 1, 2, \dots , 7. \tag {16} +$$ + +备择假设为： + +$$ +\mathrm {H} _ {1 \mathrm {A}}: \mu_ {1 \mathrm {j}}, \mu_ {2 \mathrm {j}}, \dots , \mu_ {7 \mathrm {j}} \text {不 全 相 等 ，} \tag {17} +$$ + +$$ +\mathrm {H} _ {1 \mathrm {B}}: \mu_ {\mathrm {i} 1}, \mu_ {\mathrm {i} 2}, \dots , \mu_ {\mathrm {i} 1 4} \text {不 全 相 等 。} \tag {18} +$$ + +# c.因素水平 + +由附件一原始数据结合三次样条插值，将温度为7个水平，不同催化剂组合分为21个水平，具体见下表： + +表 9 因素水平 + +
温度催化剂组合
250, 270, 300, 325, 350, 375, 400A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14, B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7
+ +# d.构建模型 + +根据问题情况，双因素控制变量为：温度和不同催化剂种类。根据假设，有 $X_{ij} \sim \mathrm{N}(\mu_{ij}, \sigma^2)(\mu_{ij}$ 和 $\sigma^2$ 未知），记 $X_{ij} - \mu_i = \varepsilon_{ij}$ ，即有 $\varepsilon_{ij} = X_{ij} - \mu_{ij} \sim \mathrm{N}(0, \sigma^2)$ ，故 $X_{ij} - \mu_{ij}$ 可视作随机误差，从而建立如下数学模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} X _ {i j} = \mu_ {i j} + \varepsilon_ {i j}, i = 1, 2, \dots , 7, j = 1, 2, \dots , 1 4 \\ \varepsilon_ {i j} \sim N \left(0, o ^ {2}\right), \mu_ {i j}, o ^ {2} \text {未 知 ，} \varepsilon_ {i j} \text {相 互 独 立} \end{array} \right. \tag {19} +$$ + +引入以下变量： + +$$ +\mu = \frac {1}{7 \times 1 4} \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 4} \mu_ {i j} \tag {20} +$$ + +$$ +\mu_ {i} = \frac {1}{1 4} \sum_ {j = 1} ^ {1 4} \mu_ {i j}, i = 1, 2, \dots , 7 \tag {21} +$$ + +$$ +\mu_ {j} = \frac {1}{7} \sum_ {i = 1} ^ {7} \mu_ {i j}, j = 1, 2, \dots , 1 4 \tag {22} +$$ + +$$ +\alpha_ {i} = \mu_ {i -} - \mu , i = 1, 2, \dots , 7 \tag {23} +$$ + +$$ +\beta_ {j} = \mu_ {j} - \mu , j = 1, 2, \dots , 1 4 \tag {24} +$$ + +可知， $\sum_{i = 1}^{7}a_{i} = 0$ ， $\sum_{j = 1}^{14}\beta_{j} = 0.$ 其中， $\mu$ 为总平均， $\alpha_{i}$ 为温度水平 $A_{i}$ 的效应， $\beta_{j}$ 为不同催化剂种类 $B_{j}$ 的效应，且 $\mu_{ij} = \mu_{ij} + \alpha_i + \beta_j$ + +于是，上述模型可写为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{r l} & X _ {i j} = \mu_ {i j} + \varepsilon_ {i j}, i = 1, 2, \dots , 7, j = 1, 2, \dots , 1 4 \\ & \varepsilon_ {i j} \sim N \left(0, o ^ {2}\right), \mu_ {i j}, o ^ {2} \text {未 知 ，} \varepsilon_ {i j} \text {相 互 独 立} \\ & \sum_ {i = 1} ^ {7} a _ {i} = 0, \sum_ {j = 1} ^ {1 4} \beta_ {j} = 0 \end{array} \right. \tag {25} +$$ + +# 6.2.2模型的求解 + +首先，需要对总偏差平方和进行分解处理，有 + +$$ +\bar {X} = \frac {1}{7 \times 1 4} \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 4} X _ {i j} \tag {26} +$$ + +$$ +\overline {{X _ {i .}}} = \frac {1}{1 4} \sum_ {j = 1} ^ {1 4} X _ {i j}, i = 1, 2, \dots , 7 \tag {27} +$$ + +$$ +\overline {{X _ {j}}} = \frac {1}{7} \sum_ {i = 1} ^ {7} X _ {i j}, j = 1, 2, \dots , 1 4 \tag {28} +$$ + +分解总偏差平方和： + +$$ +\begin{array}{l} S _ {T} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 4} \left(X _ {i j} - \bar {X}\right) ^ {2} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 4} \left[ \left(\overline {{X _ {i}}} - \bar {X}\right) + \left(\overline {{X _ {j}}} - \bar {X}\right) + \left(X _ {i j} - \overline {{X _ {i}}} - \overline {{X _ {j}}} - \bar {X}\right) \right] ^ {2} \tag {29} \\ \end{array} +$$ + +根据上式，可知 $S_{T}$ 的展开式中三个交叉项的乘积为零，所以有 + +$$ +S _ {T} = S _ {A} + S _ {B} + S _ {E} \tag {30} +$$ + +其中， + +$$ +S _ {A} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 4} \left(X _ {i.} - \bar {X}\right) ^ {2} = s \sum_ {i = 1} ^ {7} \left(X _ {i.} - \bar {X}\right) ^ {2} \tag {31} +$$ + +$$ +S _ {B} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 4} (X _ {j} - \bar {X}) ^ {2} = r \sum_ {i = 1} ^ {1 4} (X _ {j} - \bar {X}) ^ {2} \tag {32} +$$ + +$$ +S _ {\mathrm {E}} = \sum_ {\mathrm {i} = 1} ^ {7} \sum_ {\mathrm {j} = 1} ^ {1 4} \left(X _ {\mathrm {i j}} - \overline {{X _ {\mathrm {i}}}} - \overline {{X _ {\mathrm {j}}}} - \overline {{X}}\right) ^ {2} \tag {33} +$$ + +$S_{E}$ 为误差平方和， $S_{A}$ ， $S_{B}$ 分别为温度因素、不同催化剂种类因素的偏差平方和。 + +类似易证，当 $H_{0A}$ 、 $H_{0B}$ 成立时， $\frac{S_A}{\sigma^2},\frac{S_B}{\sigma^2},\frac{S_E}{\sigma^2},\frac{S_T}{\sigma^2}$ 依次服从自由度为r-1,s-1,(r-1)(s-1)的卡方分布，且SA，SB，SE，ST相互独立。 + +# 6.2.3模型的结果与分析 + +利用SPSS软件进行双因素方差分析（运用SPSS25求解具体文件见支撑材料），可得 + +表 10 方差分析 + +
来源指标平方和自由度均方和F值p值
温度乙醇转化率43030.43967171.740124.0210.000
C4烯烃选择性13699.24262283.20784.9210.000
催化剂组合乙醇转化率26817.274201340.86423.1880.000
C4烯烃选择性12302.37720615.11922.8790.000
误差乙醇转化率6939.23012057.827
C4烯烃选择性3226.33512026.886
总和乙醇转化率76786.943146
C4烯烃选择性29227.953146
+ +由上表，以温度对乙醇转化率的影响为例分析，不同温度对乙醇转化率造成的偏差平方和为43030.439，均方为7171.740；不同催化剂组合对乙醇转化率造 + +成的偏差平方和为 26817.274，均方为 1340.864。可见，温度水平对乙醇转化率的造成影响要大于不同催化剂组合对乙醇转化率的影响。F 值分别为 124.021 和 23.188，对应的 p 值都是 0.000，说明温度和不同催化剂组合对乙醇转化率都有显著影响。 + +同理，温度和不同催化剂组合对C4烯烃选择性也有显著影响，温度水平的造成影响要大于不同催化剂组合造成的影响。 + +接下来，进一步对各因素中各个水平进行分析。对乙醇转化率、C4烯烃选择性两变量针对温度和不同催化剂组合因素进行多重比较检验（完整变量、因素的检验见支撑材料），乙醇转化率针对温度因素的检验结果见下表： + +表 11 多重比较分析表-乙醇转化率针对温度因素(部分) + +
温度I温度J均值差(I-J)均值差的和p值
250275-3.0895240.191
300-9.129524-139.00569780.000
:::
400-50.8060190
2503.0895240.191
275300-6.04-117.37903120.011
:::
400-47.7164950
:::::
25027.9009520
40027526.2216.6364350
:::
3756.4587380
+ +多重比较检验分别对7个温度水平下的观测变量均值进行逐对比较，判断两变量均值之间是否存在显著差异。由表11可知，温度在 $400^{\circ}C$ 时，均值比其他6中温度都要大，且经检验的p值均为0，说明 $400^{\circ}C$ 的乙醇转化率显著高于其他6种，可认为此温度下的乙醇转化率为最优。 + +由此可得, 不同温度对乙醇转化率和 C4 烯烃的选择性大小的影响为: 在所给数据中, 温度越高, 乙醇转化率和 C4 烯烃的选择性越高, $400^{\circ} \mathrm{C}$ 时乙醇转化率和 C4 烯烃的选择性达到最大。结合第一问拟合数据, 随着温度的升高, 最终乙醇转化率和 C4 烯烃的选择性将达到平稳状态。 + +不同催化剂组合对乙醇转化率和C4烯烃选择性的关系确定方法同上，影响力表如下： + +表 12 不同催化剂组合对乙醇转化率和 C4 烯烃选择性的影响大小排序 + +
乙醇转化率C4烯烃选择性
排序组别均值差之和排序组别均值差之和排序组别均值差之和排序组别均值差之和
1A7506.8112A12-157.091A1531.8312A5-33.91
2A2478.5913B1-166.012A2369.5613B6-39.28
3A4433.4214B2-178.313A3197.8014A7-46.95
4A6391.3115B5-186.894A9114.5415A6-103.53
5A3364.5016A9-227.365A470.2516B5-112.18
6A5206.9117A13-228.116A862.2517B3-142.23
7A177.7918B4-301.037B157.0618B4-145.00
8B754.7919A11-321.948B730.5619A14-189.81
9A829.1420A10-328.769A126.4720A10-298.53
10B66.6621B3-383.2710B2-5.1621A11-309.03
11A14-71.14///11A13-14.70///
+ +在乙醇转化率方面,最优催化剂组合为 A7 组,最差为 B3 组；在 C4 烯烃选择性方面,最优催化剂组合为 A1 组,最差为 A11 组。 + +# 6.3 问题三模型的建立和求解 + +本题要找出最优的催化剂和温度组合，使得C4烯烃收率达到最大。我们考虑将原有催化剂组合中各个因素分开讨论，与温度一起作为自变量，找出他们与C4烯烃收率的函数关系，最后找出因变量的极大值点，即为C4烯烃的最高收率。 + +# 6.3.1 C4烯烃收率的拟合模型 + +# Step1 装料方式I + +将催化剂组合分开后，可以得到 $\mathrm{Co / SiO2}$ 的质量、HAP质量、Co负载量、每分钟乙醇加入量，四个自变量，分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，温度T为第五个自变量，再根据公式： + +$$ +\mathrm {C} 4 \text {烯 烃 收 率} = \text {乙 醇 转 化 率} \times \mathrm {C} 4 \text {烯 烃 的 选 择 性} +$$ + +计算出 C4 烯烃收率, 作为因变量 $y$ , 运用 Matlab 软件, 拟合出装料方式 I 的五元二次函数如下: + +$$ +\begin{array}{l} y = 1 1 7 8 7 - 2 7. 7 x _ {1} - 7 7. 5 T - 1 7 2. 8 x _ {3} ^ {2} + 0. 1 T ^ {2} \\ + 3. 7 x _ {2} x _ {4} + 0. 1 x _ {1} T - 3. 1 x _ {4} T + 4 8 2. 4 x _ {3} x _ {4} \tag {34} \\ \end{array} +$$ + +该函数拟合优度为90.16%，接近于1，说明上述五元二次函数能较好地反映C4烯烃收率与各个因素之间的关系，可以用于计算最高收率。 + +# Step2 装料方式Ⅱ + +在装料方式II的催化剂组合中，Co/SiO2的质量和HAP的质量全部相等，则作为一个自变量 $x_{1}$ ，Co 负载量均为 $1\mathrm{wt}\%$ ，不会对C4烯烃收率产生影响，则不作为自变量，每分钟乙醇加入量与温度仍为自变量 $x_{4}$ 和 $T$ ，同理拟合出三元二次函数如下： + +$$ +y = 1 0 2 3 8 - 3 3. 5 x _ {1} - 6 4. 7 T + 0. 1 T ^ {2} + 0. 1 x _ {1} T - 0. 7 x _ {4} T \tag {35} +$$ + +该函数拟合优度为 $90.78\%$ ，效果较好。 + +# 6.3.2 C4 烯烃收率的优化模型 + +利用上述拟合函数（34），我们可以建立单目标规划模型，来获得最高的C4烯烃收率。 + +1）决策变量：C4 烯烃收率拟合函数的自变量 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 、 $T$ 。 +2）目标函数：获得最高的C4烯烃收率； + +$$ +\begin{array}{l} \max y = 1 1 7 8 7 - 2 7. 7 x _ {1} - 7 7. 5 T - 1 7 2. 8 x _ {3} ^ {2} + 0. 1 T ^ {2} \\ + 3. 7 x _ {2} x _ {4} + 0. 1 x _ {1} T - 3. 1 x _ {4} T + 4 8 2. 4 x _ {3} x _ {4} \tag {36} \\ \end{array} +$$ + +3）约束条件：5个自变量取值的范围不超过原有催化剂组合中的最大范围。 + +①Co/Si02 的质量约束： + +$$ +3 3 \leq x _ {1} \leq 2 0 0 \tag {37} +$$ + +②HAP 的质量约束： + +$$ +3 3 \leq x _ {2} \leq 2 0 0 \tag {38} +$$ + +③Co 负载量约束： + +$$ +0. 5 \leq x _ {3} \leq 5 \tag {39} +$$ + +④每分钟乙醇加入量约束： + +$$ +0. 3 \leq x _ {4} \leq 2. 1 \tag {40} +$$ + +⑤温度约束： + +$$ +2 5 0 \leq T \leq 4 0 0 \tag {41} +$$ + +综上所述，对C4烯烃收率建立优化模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \max y = 1 1 7 8 7 - 2 7. 7 x _ {1} - 7 7. 5 T - 1 7 2. 8 x _ {3} ^ {2} + 0. 1 T ^ {2} \\ + 3. 7 x _ {2} x _ {4} + 0. 1 x _ {1} T - 3. 1 x _ {4} T + 4 8 2. 4 x _ {3} x _ {4} \\ \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} 3 3 \leq x _ {1} \leq 2 0 0 \\ 3 3 \leq x _ {2} \leq 2 0 0 \\ 0. 5 \leq x _ {3} \leq 5 \\ 0. 3 \leq x _ {4} \leq 2. 1 \\ 2 5 0 \leq T \leq 4 0 0 \end{array} \right. \tag {42} \\ \end{array} +$$ + +# 6.3.3 350度以下C4烯烃收率的优化模型 + +为了获得350度以下的催化剂温度组合，只需在上述优化模型的基础上，改变温度约束为： + +$$ +2 5 0 \leq T \leq 3 5 0 \tag {43} +$$ + +同理获得温度低于350度下的C4烯烃收率优化模型： + +$$ +\begin{array}{l} m a x y = 1 1 7 8 7 - 2 7. 7 x _ {1} - 7 7. 5 T - 1 7 2. 8 x _ {3} ^ {2} + 0. 1 T ^ {2} \\ + 3. 7 x _ {2} x _ {4} + 0. 1 x _ {1} T - 3. 1 x _ {4} T + 4 8 2. 4 x _ {3} x _ {4} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} 3 3 \leq x _ {1} \leq 2 0 0 \\ 3 3 \leq x _ {2} \leq 2 0 0 \\ 0. 5 \leq x _ {3} \leq 5 \\ 0. 3 \leq x _ {4} \leq 2. 1 \\ 2 5 0 \leq T \leq 3 5 0 \end{array} \right. \tag {44} \\ \end{array} +$$ + +# 6.3.4 结果的对比分析 + +在装料方式II中，寻找C4烯烃收率最大值的方法与以上模型原理相同，我们在这里不再赘述，用Matlab软件对以上模型进行求解，得到结果如下表所示： + +表 13 规划结果表 + +
变量\数据\温度装料方式Ⅰ装料方式Ⅱ
全部温度350以下温度全部温度350以下温度
Co/Si02的质量167.62520096.67100
HAP的质量200200100100
Co 负载量1.961.6711
每分钟乙醇加入量0.851.570.931.22
温度400349400349
C4 烯烃收率5719464834911000
+ +由上表数据, 温度越高, C4 烯烃收率越大, 故温度都是该条件下能达到的最高温度。Co/SiO2 质量和 HAP 质量之比近似为 1:1 , 说明在这一配料比下, C4 烯烃收率较大。对比观察装料方式 I 和装料方式 II, I 中 C4 烯烃收率均高于 II , 那么我们知道, 方式 I 的收率极限值更大。 + +# 6.3.5 结果的检验 + +根据上表结果, 可以发现在使 C4 烯烃收率达到最高时, Co/SiO2 和 HAP 的装料比均为 1:1 , 因此我们对 Co/SiO2 和 HAP 的比例进行作图分析, 对比 Co/SiO2 : $\mathrm{{HAP}} = 1 : 1\text{、}2 : 1\text{、}1 : 2$ 时,350 度下的 C4 烯烃选择性。 + +![](images/df7ed6ab555bdc7223c5b6fc2ecd897d7b2cf53d3eedce87e17fad7aa3bd3950.jpg) +图5不同催化剂投料比与选择性和转化率柱状图 + +观察上图，得到在 Co/SiO2：HAP=1:1 时，C4 烯烃选择性最高；在 Co/SiO2：HAP=1:2 时，C4 烯烃选择性最低，与 6.3.4 的结论相符，也从侧面检验了我们模型的正确性。 + +# 6.4 问题四的分析解决 + +# 6.4.1 增加实验1 + +基于6.3.4优化模型求出的C4烯烃的收率最大值，我们设计一组实验，来验证优化模型的准确性，增加装料方式I中的催化剂组合为 $33\mathrm{mg}5\mathrm{wt}\% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO}2+$ + +33mgHAP-乙醇浓度 $0.3 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ , 温度在 375 度, 实验分别测量这一条件下乙醇转化率和 C4 烯烃选择性, 继而求得 C4 烯烃的收率, 与模型中的结果进行比较, 以检验其是否准确。 + +# 6.4.2 增加实验2 + +根据问题二的方差分析原理，建立方差分析模型，探究不同催化剂组合与温度对烯烃收率的影响。温度越高，烯烃收率越高，在 $400^{\circ}\mathrm{C}$ 时达到温度最优；催化剂组合影响力大小排序如下表： + +表 14 催化剂组合对烯烃收率的影响力大小 + +
排序组别均值差之和排序组别均值差之和
1A229871.2712A9-4267.43
2A318357.3513A12-4454.00
3A413481.3614B2-4628.11
4A112538.4215A13-7167.78
5A75669.2616A14-7636.73
6A62887.6617B5-7882.61
7A52730.4518B4-10562.74
8B72269.7319B3-11827.19
9A81658.4420A10-12929.70
10B6-1783.2621A11-12996.47
11B1-3327.95///
+ +由表可知，A2组催化剂的影响力最大，且在 $400^{\circ}\mathrm{C}$ 时达到温度最优。但经数据比对，我们发现题目所给出的数据中没有A2组在 $400^{\circ}\mathrm{C}$ 的实验组，因此我们设计增加催化剂A2组在 $400^{\circ}\mathrm{C}$ 时的实验测试，用于验证方差分析模型中，此条件因素下烯烃收率为最优值。 + +# 6.4.3 增加实验3 + +根据6.1.4做出的乙醇转化率随时间变化的散点图我们可以得知在乙醇转化率随时间的增大而减小，且最终稳定在29.9。我们又求出当350度时不同时间C4烯烃收率并作散点图，散点图如下所示： + +![](images/7fbe5fe814d4d33c376399beadcff2aba87bb75c2ea9b90f2ff5433bcfb30130.jpg) +图6乙醇转化率与C4收率折线图 + +由图可以发现在此实验条件下，C4烯烃收率与乙醇转化率随时间变化趋势相同，都随时间的增大而减少。 + +又因为当化学反应开始发生时，反应物的转化率一定从0开始增大，而附件二中所给数据当时间处于[20，273]区间时，乙醇转化率却是下降的，因此我们 + +可以推断在时间区间[0，20]之间一定有一时间点使乙醇转化率达到最大值。根据上文所作图得到的C4烯烃收率变化趋势，我们可以预测在乙醇转化率达到最大值的时刻也能使C4烯烃收率达到最大值。 + +所以我们可以新增一实验——测量计算在350度时给定的此种催化剂组合在 $0\sim 20\mathrm{min}$ 内乙醇转化率的大小变化与同时刻C4烯烃选择性，找出使乙醇转化率最大的时间点，求出C4烯烃的收率。 + +# 6.4.4 增加实验4 + +在A11催化剂组合中，有 $90\mathrm{mg}$ 石英砂，但其他催化剂组合中，并没有 $90\mathrm{mgHAP}$ 这一催化剂成分，无法控制单一变量，比较石英砂和HAP的催化效果优劣。于是根据控制单一变量的原则，我们设计一组实验，催化剂组合为： $50\mathrm{mg}1\mathrm{wt}\% \mathrm{Co} / \mathrm{Si}02 + 90\mathrm{mgHAP - }$ 乙醇浓度 $1.68\mathrm{ml / min}$ + +由于HAP主要来源于脊柱动物的骨骼和牙齿，而开采石英砂的石英矿在全国广泛分布，显然成本要比HAP低。那么根据我们增加的实验，验证能否用石英砂来代替HAP做乙醇偶合制备C4烯烃的催化剂，将会大大减小催化剂成本，说明该实验有很强的现实意义。 + +# 6.4.5 增加实验5 + +根据附件一种所给的数据，我们可以找出两组催化剂组合相同但装料方式不同的组合，分别为A12与B1和A9与B5。下面用Excel对这两个组合的数据进行统计分析： + +![](images/7a46eef4a33fb867a12aee67afac6bc079e48b3e589fecd407d18880ded2e2cf.jpg) +图7 A12与B1对比图 + +![](images/bf42a4a1e94126158b1e3506a3c0c92ff47ff3892d8979e6b5575a5e34209c34.jpg) + +![](images/5135262e30443570c39b7cfb27995a9ea2f5ecf2d5468a297e75c76d77026411.jpg) +图8 A9与B5对比图 + +![](images/160583885f5375c6e65bde9fa8328f91e381549b41b776f37b6b2263cb43f6a2.jpg) + +由上图可知，相同催化剂组合A12与B1在装料方式不同的情况下，随着温度的上升B1的C4烯烃选择性略高于A12的C4烯烃选择性，乙醇转化率、C4烯烃选择性并无太大差别。但是在催化剂组合A9与B5中，A9的乙醇转化率和c4烯烃选择性明显优于B5，说明了装料方式对实验产生的影响。 + +在本题中，可以增加催化剂组合相同，但装料方式不同的实验，分析比较哪种装料方式更有助于C4烯烃的制备，以确保更好的达到实验目的。 + +# 七、模型的评价与推广 + +# 7.1 模型的优点 + +1、本文首先用三次样条插值法对数据进行插值补全，增加数据点，提高了回归拟合模型的准确性。 +2、对乙醇转化率与温度关系建立 logistic 模型，符合乙醇转化率增长的特点，能较好的预测后面的数据。 +3、本文做了大量的图表来统计分析数据特点，更加直观地对比了不同催化剂组合、温度下的数据特点。 +4、我们采用双因素方差分析的方法，既可以分析两因素的独立作用，又可以分析他们之间的交互作用。 + +# 7.2 模型的缺点 + +1、一次线性、二次曲线模型只能描述短期内C4烯烃选择性随温度变化的关系，在远处并不适用。 +2、没有对除C4烯烃外其他产物做相应的统计分析。 + +# 7.3 模型的改进 + +本文应该对除C4烯烃外其他产物的数据进行挖掘，考虑到其他产物的价格、是否有害等因素，做出进一步的分析。 + +# 7.4 模型的推广 + +本文主要建立的双因素方差分析模型适用范围广泛，对研究一个因素对另一个因素的影响问题有一定的参考价值，适宜推广到商品的销售、水果的生长环境等相关研究工作中。以及本文所建立的Logistic增长模型简单易懂，实用性强，适合推广到化学化工实验、人口增长预测、生物种群预测等相关问题中去。 + +# 八、参考文献 + +[1]乙醇偶合制备丁醇及C4烯烃，吕绍沛.大连理工大学,2018 +[2] 一类 Guerbet 反应选择性的数学建模研究．郑明煊 江新华．北京化工大学.2018 +[3]张玲. 单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用[J]. 数学学习与研究，2010，07:94-96. + +# 附录 + +# 附录说明： + +1. 数据可视化散点图 +2. Logistic增长模型预测图 +3. Logistic拟合表 +4.C4烯烃选择性拟合方程表 +5.三次样条插值程序 +6. 数据可视化程序 +7. 拟合催化剂组合A1的Logistic方程程序 +8. 附件2散点图和乙醇转化率方程拟合 +9.拟合五元二次方程程序 +10.拟合函数最大值求解程序 +11.做柱状图程序 + +![](images/b6e251f07ec55f8181cb36b34db8cd8b1efcfc05c38daf63b158275a201b4b11.jpg) +附录1 +附录2 + +![](images/9a56e22fb392871570c0ea000a1b725dfc18274e5428922756a87ba869ae7bcf.jpg) + +![](images/24f5affdafcca0058a8684a54e5a4fa153c741056515db1c28fd6ca4ce5579a2.jpg) + +# 基于双因素方差分析的乙醇制备C4烯烃的研究 + +# 摘要 + +本文研究的是乙醇偶合制备C4烯烃过程中，催化剂组合与温度对乙醇转化率和C4烯烃的选择性的影响，通过建立双因素方差分析模型和优化模型，求解得到最优的催化剂组合与温度，获得最高的C4烯烃收率。 + +首先采用三次样条插值法对已知数据进行插值补全，为模型建立提供数据基础。 + +针对问题一：本文分别对每个装料方式I、II建立两个回归模型，首先针对附件1中不同催化剂组合，提出建立Logistic增长模型，描述乙醇转化率随温度升高而增加，后趋于平稳的关系；建立一次线性、二次曲线回归模型，描述C4烯烃转化率短期内随温度升高而增加的关系。其次，基于附件二数据散点图可知，C4烯烃选择性在 $36\% \sim 41\%$ 间波动，乙醇转化率随时间增加而降低，在 $29.9\%$ 处趋于平稳。 + +针对问题二：本文建立了双因素方差分析模型，双因素分别为温度和不同催化剂组合。通过方差分析可知，温度和不同催化剂组合对乙醇转化率和C4烯烃选择性的影响都显著，温度的影响力大于不同催化剂组合的影响力。 + +通过多重比较检验可知，分析的数据中温度越高，乙醇转化率和C4烯烃的选择性越高，影响力越大， $400^{\circ} \mathrm{C}$ 时乙醇转化率和C4烯烃的选择性达到最大；将不同催化剂组合对乙醇转化率和C4烯烃选择性的影响力排序，对于乙醇转化率，催化剂组合最优为A7组，最差为B3组，对于C4烯烃选择性，催化剂组合最优为A1组，最差为A11组。 + +针对问题三：本题需要选择催化剂组合与温度，以获得最大的C4烯烃收率。令收率为因变量，将催化剂中四个组成因素与温度作为5个自变量，用Matlab软件拟合得到五元二次方程，然后建立优化模型，以5个自变量为决策变量，以其取值范围为约束条件，从而得到C4烯烃收率最大值为5719，最优催化剂组合为：167.625mg 1.96wt%Co/Si02-200mgHAP-乙醇浓度0.85ml/min，温度为400℃；同理，得出温度低于350℃时收率最大值为4648，最优催化剂组合为：200mg 1.67wt%Co/Si02-200mg HAP-乙醇浓度1.57ml/min，温度为349℃。 + +针对问题四：本题提出5次实验设计，在问题三的基础上，在最优催化剂组合和最佳温度的附近，进行寻优实验；在收率方差分析求得的最优催化剂组合与温度进行实验验证；对比装料方式I和II，控制其他变量相同，增加实验以确定装料方式优劣；根据附件2数据，增加采样时刻，找出使乙醇转化率最大的时间点，求出C4烯烃的收率；从补充缺失实验的角度出发，对附件1中没有进行的实验作出补充。 + +关键词：乙醇；C4烯烃；Logistic增长模型；双因素方差分析；优化模型 + +![](images/ed0ec240b66bed67161087649c2a3db27ebafb5d19197b2abfa6b67b139366fd.jpg) +A 1 + +![](images/35081a898e41988a361541d8251dc4d40ffb740fb3ca7a21354fbe5c187d9b64.jpg) +A 2 + +![](images/17c6a02f2e5998e6cb1ba5fb1cfbb2fbf8d55cf16e03ca8aa987a2b9598cbc46.jpg) +A 3 + +![](images/8712af7fa8f5b764cb7336a1f03a627fd47fc5aad16f1c0e2d54ecaf6276194b.jpg) +A4 + +![](images/182525903dbba8cde5b119820a4a39c20f53c8130b64ae32d328901fdece7685.jpg) +A5 + +![](images/c7543b5beb001096a4ba68a879234d3d54ac8309670903f8fa895b9aa8e32e81.jpg) +A6 + +![](images/054750a2edb2647167164907fe2a995bbd51755022220a7a5c6c7c50dae10dd0.jpg) +A7 + +![](images/66d903b83a01c77b1a77025f9b82ce0ecb13b9975b1026818bd21c0733589790.jpg) +A8 + +![](images/54deeb41b086c55169f8829d2e1d5cac9d7c1a9e7fa375ad4ad7fa6a5571bf1a.jpg) +A 9 + +![](images/3d6a50829ac765dcef00d6e844425c77b8fe3d0e5dcc8d4bed7f32e9a549a26d.jpg) +A 10 + +![](images/3c1ed492cb0bf0ed93451d3732059c1a8a66550871080ac4d49e454c1a2a80ab.jpg) +A 11 + +![](images/f103b37216ed6495be4d78b4be912c9e8aab825950dc9e8f600775dae16056ca.jpg) +A 12 + +![](images/18ffce8a6e6fb6dcba1818d8bd16594d3e8b10df199ce1948cfbb96425e473d1.jpg) +A 13 + +![](images/11bcf41c0c7da4d2bd9b11b5a7e4284868c6bb586bf2669115c9a93b58a2f791.jpg) +A 14 + +![](images/322560a6413a23caa62cd8fe267a6a9a1c68c870b9a9b9a5547a986591fedae3.jpg) +B1 + +![](images/791812194557464806fbdecf5572cf6fc8600ea45ba6592b663241c66c8418e2.jpg) +B2 + +![](images/799b20de401e93556970609a651caaeef8335fb4c087f9428363d168bb81e784.jpg) +B3 + +![](images/f59461493c62e01a64a5b8355cd4ea60773c776fb0c6e86a0c89773024b0aefe.jpg) +B4 + +![](images/76c6e1bda93b90916dadeb6842d8b8524747da44b8685d748e5d0381b7b01d4a.jpg) +B5 + +![](images/54a0b0329abb3a0cb19c93be279d980822cd855e6d1f833f031eda1c438d9e26.jpg) +B6 + +![](images/22e4fc22391e6ad0cd7b382e504f907ad41ff5cb4aeb16fd17d45556a4603568.jpg) +B7 + +附录3 + +
催化剂组合乙醇转化率 Logistic方程催化剂组合乙醇转化率 Logistic方程
A1x(t) = 83.6511/(1 + (83.6511/2.07 - 1)e-0.031t)A8x(t) = 193.8208/(1 + (193.8208/6.3 - 1)e-0.0157t)
A2x(t) = 74.3814/(1 + (74.3814/4.6 - 1)e-0.0459t)A9x(t) = 327800/(1 + (327800/2.1 - 1)e-0.0183t)
A3x(t) = 142.5954/(1 + (142.5954/9.7 - 1)e-0.0183t)A10x(t) = 64.8473/(1 + (64.8473/0.3 - 1)e-0.0321t)
A4x(t) = 94.8479/(1 + (94.8479/4 - 1)e-0.0346t)A11x(t) = 93.0086/(1 + (93.0086/0.2 - 1)e-0.0345t)
A5x(t) = 656050/(1 + (656050/14.8 - 1)e-0.0096t)A12x(t) = 80.1882/(1 + (80.1882/1.4 - 1)e-0.0265t)
A6x(t) = 188.0317/(1 + (188.0317/13.4 - 1)e-0.0148t)A13x(t) = 263.0618/(1 + (263.0618/1.3 - 1)e-0.0224t)
A7x(t) = 97.9227/(1 + (97.9227/19.7 - 1)e-0.0162t)A14x(t) = 130.7842/(1 + (130.7842/2.5 - 1)e-0.0223t)
+ +附录4 + +
催化剂组合编号C4 烯烃选择性方程拟合优度
A1y2=-0.0021T²+1.422T-190.891.60%
A2y2=0.0031T²-1.646T+234.798.03%
A3y2=0.335T-81.3698.49%
A4y2=0.232T-53.993.08%
A5y2=0.224T-56.2294.41%
A6y2=0.0023T²-1.301T+188.593.58%
A7y2=0.186T-44.5493.19%
A8y2=0.241T-57.0798.31%
A9y2=0.258T-60.2199.46%
A10y2=0.0007T²-0.397T+59.0496.46%
A11y2=0.052T-13.3197.68%
A12y2=0.205T-48.2196.36%
A13y2=0.168T-37.0997.55%
A14y2=0.0010T²-0.506T+66.6199.90%
+ +
催化剂组合编号C4 烯烃选择性方程拟合优度
B1y2=0.242T-57.6597.01%
B2y2=0.245T-61.7496.89%
B3y2=0.0005T²-0.178T+17.594.26%
B4y2=0.0010T²-0.544T+79.8997.22%
B5y2=0.145T-34.1596.14%
B6y2=0.195T-46.9196.93%
B7y2=0.236T-57.2199.02%
+ +# 附录5 + +本文代码使用的软件是MatlabR2018b + +1. 乙醇转化率的三次样条插值： + +2. $x1 = [250, 275, 300, 325, 350]; x2 = [250, 275, 300, 325, 350, 400]$ ; +3. $x3 = [250,275,300,350,400];x4 = [250,275,300,325,350,400]$ +4. $y1 = Y(1:5,1)'$ ; $y2 = Y(1:5,2)'$ +5. new_x =250:25:400; +6. $\mathsf{p1} = [\mathsf{\beta}]$ +7. $\mathsf{p1} = [\mathsf{p1},\mathsf{spline}(\mathsf{x1},\mathsf{y1},\mathsf{new\_x})^{\prime}]$ +8. $p1 = [p1, spline(x1, y2, new_x)]$ ;%三次样条插值 +9. for $i = 3:5$ +10. $y\mathbf{i} = Y(:,\mathbf{i})'$ +11. $\mathsf{p1} = [\mathsf{p1},\mathsf{spline}(\mathsf{x2},\mathsf{yi},\mathsf{new\_x})^{\prime}];$ +12. end + +13. for $\mathbf{i} = 6:16$ +14. $y_i = Y(1:5,i)'$ +15. p1 = [p1, spline(x3, yi, new_x)]; +16. end +17. for $i = 17:21$ +18. $y_i = Y(:, i)'$ ; +19. p1 = [p1, spline(x4, yi, new_x)]; +20. end +21. C4烯烃选择性三次样条插值： +22. $x1 = [250, 275, 300, 325, 350]; x2 = [250, 275, 300, 325, 350, 400]$ ; +23. $x3 = [250,275,300,350,400];x4 = [250,275,300,325,350,400]$ +24. $y1 = X(1:5,1)'$ ; $y2 = X(1:5,2)'$ +25. new_x = 250:25:400; +26. $\mathsf{p}2 = [\mathsf{\Omega}]$ +27. $p2 = [p2, spline(x1, y1, new_x)]$ ; +28. p2 = [p2,spline(x1,y2,new_x)];%三次样条插值 +29. for $i = 3:5$ +30. $y_i = X(:,i)'$ +31. p2 = [p2,spline(x2,yi,new_x)]; +32. end +33. for $\mathbf{i} = 6:16$ +34. $y\mathbf{i} = X(1:5,i)^{\prime}$ +35. p2 = [p2,spline(x3,yi,new_x)]; +36. end +37. for i=17:21 +38. $\mathbf{y}\mathbf{i} = \mathbf{X}(:,\mathbf{i})'$ +39. p2 = [p2,spline(x4,yi,new_x)]; +40. end + +# 附录6 + +1. %数据可视化 +2. data=xlsread('C:\Users\HD\Desktop\C\附件1.xlsx'); +3. subplot(7,3,1) +4. y11=data(1:5,2); +5. $y12 = \text{data}(1:5,4)$ ; +6. $x1 = \text{data}(1:5,1)$ ; +7. plot(x1,y11) +8. hold on;scatter(x1,y11,'b') +9. hold on; plot(x1,y12) +10. hold on; scatter(x1,y12,'r') +11. title('A1催化剂组合') +12. subplot(7,3,2) +13. y21=data(6:10,2); +14. $y22 = \text{data}(6:10,4)$ ; +15. $x2 = \text{data}(6:10,1)$ ; + +16. plot(x2,y21) +17. hold on; scatter(x2,y21,'b') +18. hold on; plot(x2,y22) +19. hold on; scatter(x2,y2, 'r') +20. title('A2催化剂组合') +21. %后面同理 + +# 附录7 + +1. 拟合催化剂组合A1的Logistic方程（剩余20组催化剂组合同理）： +2. function $\mathrm{g} =$ population(x,t,pt) +3. $g = x(1) / (1 + (x(1) / 2.07 - 1)^{*}\exp (-x(2)^{*}t));$ +4. end +5. $t = [250, 275, 300, 325, 350]$ ; +6. $p = p1(:,1)'$ ;%乙醇转化率 +7. $t = t - 240;$ +8. $\mathsf{x}\theta = [15\theta ,\theta .15];$ +9. $x = 1$ sqcurvefit('population',x0,t,p)%使用函数求得最终的（xm，r） +10. p01 = population(x,t,pt); +11. plot(t+240,p,'o',t+240,p01,'-r*') +12. title('Logistic 模型拟合图') +13. xlabel('温度'); +14. ylabel('乙醇转化率'); +15. legend('实际数据', '理论数据') +16. 作趋势预测图像： +17. $t_1 = 250:25:600;$ +18. $p02 = \text{population}(x, t1 - 240, pt)$ ; +19. plot(t1,p02,'*-' +20. title('Logistic模型预测图') +21. xlabel('温度'); +22. ylabel('乙醇转化率'); + +# 附录8 + +1. %附件2散点图 +2. data=xlsread('C:\Users\HD\Desktop\B\附件2.xlsx'); +3. $x = \text{data}(:,1)$ +4. $y1 = data(:,2)$ +5. $y2 = data(:,4)$ +6. plot(x,y1) +7. hold on; scatter(x,y1,'b') +8. hold on; plot(x,y2) +9. hold on; scatter(x,y2,'r') +10. xlabel('时间'); +11. legend('乙醇转化率','乙醇转化率散点','C4烯烃选择性','C4烯烃选择性散点') + +12. %cftool工具箱求二次曲线 +13. function [fitresult, gof] = createFit(x, y) +14. [xData, yData] = prepareCurveData(x, y); +15. ft = fittype('poly2'); +16. [fitresult, gof] = fit(xData, yData, ft); +17. figure('Name', 'untitled fit 1'); +18. $h = \text{plot}(\text{fitresult}, xData, yData)}$ ; +19. legend(h, 'y vs. x', 'untitled fit 1', 'Location', 'NorthEast' +20. xlabel x +21. ylabel y +22. grid on + +# 附录9 + +1. data=xlsread('C:\Users\HD\Desktop\B\附件1.xlsx', 'A'); +2. $y = \text{data}(:,8)$ +3. $T = \text{data}(:,1)$ +4. $x1 = data(:,4); \% \mathrm{Co} / \mathrm{Si02}$ +5. x2=data(:,5);%HAP +6. x3=data(:,6);%wt +7. x4=data(:,7);%乙醇 +8. $X = [\text{ones(size(x1))} x1 x3.^2 T.^2 T x2.*x4 x1.*T x4.*T x3.} *x4]$ ; +9. [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X); +10. stepwise(X,y) +11. rcoplot(r,rint) + +# 附录10 + +1. 拟合函数的最大值求解： +2. $f = @(x) - 172.8^{*}x(3)^{\wedge}2 + 0.1^{*}x(5)^{\wedge}2 - 25.3^{*}x(1) - 77.5^{*}x(5) + 3.7^{*}x(2)^{*}x(4) + 482.4^{*}x(3)^{*}x(4) + 0.1^{*}x(1)^{*}x(5) - 3.1^{*}x(4)^{*}x(5) + 11787;$ +3. $1b = [33;50;0.5;0.3;250];$ +4. ub=[200;200;5;2.1;500];ub2=[200;200;5;2.1;349]; +5. $x0 = [200;200;1;2;1.68;400];x01 = [200;200;1;2;1.68;350]$ +6. [x1,fval1]=fmincon(f,x0, [], [], [], [], lb,ub); +7. $x1\max x2 = x1(1)$ +8. $x2\max x2 = x1(2)$ +9. $x3\max x2 = x1(3)$ +10. $x4\max 2 = x1(4)$ +11. Tmax2=x1(5); +12. $zmax2 = -fval1$ +13. $m = [x1\max 2,x2\max 2,x3\max 2,x4\max 2,T\max 2,z\max 2]$ +14. [x2,fval12]=fmincon(f,x01, [], [], [], [], lb,ub2); +15. $x1\max 22 = x2(1)$ + +16. $x2\max x22 = x2(2)$ +17. $x3\max x22 = x2(3)$ +18. $x4\max 22 = x2(4)$ +19. Tmax22=x2(5); +20. zmax22=-fval12; +21. $n = [x1\max 22,x2\max 22,x3\max 22,x4\max 22,T\max 22,z\max 22]$ + +# 附录11 + +1. 作柱状图： +2. $y = \begin{bmatrix} 12.46 & 47.21 & 18.66 & 9.22 & 1.69 & 10.76;5.19 & 27.91 & 24.73 \\ 22.05 & 3.85 & 16.27;2.92 & 22.3 & 7.22 & 49.31 & 7.48 & 10.77 \end{bmatrix}$ +3. bar(y,0.5) +4. hold on +5. $x = [36.84053.6]$ +6. plot(x,'-o') +7. set(gca,'XTickLabel',{'1:1','2:1','1:2'}) +8. ylabel('选择性or转化率') +9. legend('乙烯','C4烯烃','乙醛','碳数为4-12脂肪醇','甲基苯甲醛和甲基苯甲醇','其他生成物','乙醇') + +# 一、问题的背景与重述 + +# 1.1问题的背景 + +烯烃在制备化工产品和生产医药中间体等方面应用广泛，是一种十分重要的化工原料[1]。又由于全球环境污染问题日益严重，传统制备烯烃的以化石能源为原料的生产方法已不再适用，人们积极寻求以清洁能源为原料的制备方法。乙醇作为生物可再生能源相比起传统化石能源更清洁更环保，能有效降低二氧化碳等气体的排放，缓解全球温室效应[2]。因此探究不同催化剂组合与温度对乙醇偶合制备烯烃的影响具有重要的研究价值。 + +# 1.2问题的重述 + +根据所给的不同催化剂组合和不同温度条件下对乙醇偶合制备烯烃反应的实验观察数据，解决下列问题： + +(1) 在附件 1 中不同催化剂组合的条件下, 探究乙醇转化率、烯烃的选择性与温度的关系。再根据附件 2 中实验在 350 度和同一确定的催化剂组合的条件下分析不同时间的测试结果。 +（2）分别研究不同催化剂组合与温度对乙醇转化率和烯烃选择性大小的影响。 +（3）找出在其他实验条件相同情况下能使烯烃收率最高的催化剂组合和温度。并找出温度低于350度时能使烯烃收率最高的催化剂组合和温度。 +（4）再设计5次实验并给出设计理念。 + +# 二、问题分析 + +对于问题一：分别对装料方式I、II建立了两个回归模型，首先针对附件1中不同催化剂组合，画出散点图，根据散点图数据变化趋势以及反应原理，可建立Logistic增长模型，描述乙醇转化率随温度升高而增加，后趋于平稳的关系；对于C4烯烃转化率，也根据数据特征可建立回归模型，描述C4烯烃转化率短期内随温度升高而增加的关系。其次，基于附件二数据散点图可知，C4烯烃选择性在波动性较大，乙醇转化率随时间增加而降低，最后趋于平稳，可用分段函数进行拟合分析。 + +对于问题二：将温度分为7个水平，不同催化剂组合分为21个水平，建立双因素方差分析数学模型，可通过偏差均方和的大小对各控制变量是否对乙醇转化率和C4烯烃的选择性具有显著影响进行判断。接下来，可通过对控制变量做多重比较检验，对该控制变量所包括的几个水平下的观测变量均值进行逐对比较。选取均值差之和作为衡量标准，判断影响力大小，进而确定影响力排序。 + +对于问题三：要选择使得C4烯烃收率达到最高的催化剂组合和温度，我们可以把催化剂中的四个因素分开，分析他们和温度对C4烯烃收率的影响，并拟合出一个关系式。进而建立优化模型，找出关系函数的最大值，此时对应的HAP质量、Co负载量等数据即为新的催化剂组合和最佳温度。在温度低于350度时，用同样的方法进行求解。此外，还可以通过对附件1中数据画图统计分析，来验证我们的模型。 + +对于问题四：本问可以在问题三的基础上，在最优催化剂组合和最佳温度的附近，继续进行实验；在收率方差分析求得的最优催化剂组合与温度进行实验证证；也可以对比装料方式I和II，控制其他变量相同，增加实验；从补充缺失实 + +验的角度出发，对一些附件1中没有实验的情况作出补充；根据附件2数据，增加采样时刻。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设用于反应的乙醇除乙醇浓度外其余条件均相同。 +2. 假设所给数据均真实可靠。 +3. 假设该反应不为可逆反应。 + +# 四、符号说明 + +
符号含义单位
Si(x)第i段x的三次样条插值函数/
ai,bi,ci,di第i段三次样条插值函数的待定系数/
x(T)温度为T时的乙醇转化率%
r乙醇转化率的增长率%
x0乙醇转化率的初值%
xm乙醇的最大转化率%
y1C4烯烃的选择性%
T温度°C
y2乙醇转化率的分段函数/
t实验时间min
Ai温度因素，i=1...7/
Bj催化剂种类因素，j=1...14/
αi温度水平Ai的效应，i=1...7/
βj不同催化剂种类Bj，j=1...14/
X̄总偏差平方和/
SE误差平方和/
SA温度因素的偏差平方和/
SB不同催化剂种类因素的偏差平方和/
+ +# 五、数据预处理 + +首先我们对附件1中数据进行观察分析，发现每种催化剂组合下的测试温度不完全相同，例如A6、B1等催化剂组合缺少325度的数据，A3催化剂组合中有450度的数据，这些都给后续的分析带来不便，因此我们用三次样条差值法，令温度在250度～400度之间且间隔25度，对其中缺失的数据点进行插值补全。 + +三次样条插值公式： + +$$ +S _ {i} (x) = a _ {i} + b _ {i} \left(x - x _ {i}\right) + c _ {i} \left(x - x _ {i}\right) ^ {2} + d _ {i} \left(x - x _ {i}\right) ^ {3}, i = 0, 1, \dots , n - 1 \tag {1} +$$ + +其中有n个区间，即为 $\mathbf{n}$ 段函数 $S_0\sim S_{n - 1}$ ，有 $n + 1$ 个节点。 + +运用Matlab软件进行插值计算（程序见附录5），得出补全后的数据如下表所示： + +表 1 各催化剂组合对温度的插值数据表 + +
组合 +温度/℃250275300325350375400
A12.075.8514.9719.6836.8//
A4.617.238.9256.3867.88//
::::::::
A142.55.310.216.032435.9253.6
B11.43.46.711.819.329.743.6
B22.84.46.29.616.227.545.1
::::::::
B74.47.911.717.830.248.169.4
+ +在表1中，每个催化剂组合下有7个不同的温度水平，增加了数据点数量，可以有效的提高问题一中模型拟合的准确性。 + +# 六、模型的建立与求解 + +# 6.1 问题一模型的建立和求解 + +# 6.1.1 数据可视化 + +为了更加直观方便地分析乙醇转化率和C4烯烃的选择性与温度之间的关系，我们考虑对各种催化剂组合下的数据进行可视化，画出散点图如下（完整散点图见附录1）： + +![](images/b40c3df4bdf52f719f09d561ca9fb06021b773f8dc5d5bd0f10a2a02e6742823.jpg) +图1乙醇转化率和C4烯烃选择性随温度变化散点图（部分） + +![](images/6586119bf6a9feba1c817dc9a2c33669e71afec04090a7b816f74f1114d040e5.jpg) + +由上图可知，乙醇转化率和C4烯烃的选择性均随温度的升高而增加，由于催化剂组合的不同，导致变化速率的差异。 + +# 6.1.1乙醇转化率与温度的关系 + +# 6.1.1.1模型的建立 + +我们根据数据预处理后的不同催化剂组合的乙醇转化率的数据做出的散点图，可以发现随着温度的上升乙醇转化率均呈上升态势，大多增长速率也随温度的上涨而增加。但由于在化学反应中，反应物转化率最高为 $100\%$ ，且投入的反应物不一定能完全反应，所以我们预测乙醇的转化率随着温度的上涨最终会稳定在某一不大于 $100\%$ 的值上。 + +因此，我们建立Logistic模型对数据进行拟合。 + +# Setup1 建立指数增长模型 + +由Logistic人口增长模型中，相对增长率 $=$ 出生率-死亡率可以建立乙醇转化率的增长率模型： + +$$ +\mathrm {x (T + \Delta T) - x (T) = r x (T) \Delta T} \tag {2} +$$ + +其中 $x(T)$ 表示温度为 $T$ 时的乙醇转化率， $r$ 为乙醇转化率的增长率。 + +经过变形可得： + +$$ +\frac {\mathrm {d x}}{\mathrm {d t}} = \mathrm {r x}, \mathrm {x} (0) = \mathrm {x} _ {0} \tag {3} +$$ + +其中 $x_0$ 为乙醇转化率的初值。 + +据此可化简得到乙醇转化率的指数增长模型： + +$$ +\mathrm {x (T)} = \mathrm {x} _ {0} \mathrm {e} ^ {\mathrm {r T}} \tag {4} +$$ + +# Step2 建立增长率与乙醇转化率的关系式 + +为了模拟当到达一定温度时乙醇转化速度变慢的情况，我们可以将增长率r视为以乙醇转化率x为自变量的减函数： + +$$ +r (x) = r - s x (r, s > 0) \tag {5} +$$ + +当 $x$ 很小的时候， $r$ 为固有增长率，其中 $s$ 为待定系数。又因为当乙醇转化率达到最大时其转化率可视作0，所以有： + +$$ +\mathrm {r} \left(\mathrm {x} _ {\mathrm {m}}\right) = 0 \tag {6} +$$ + +其中 $x_{m}$ 为乙醇的最大转化率。 + +将其代入上式有： + +$$ +s = \frac {r}{x _ {\mathrm {m}}} \tag {7} +$$ + +将（7）代入（5）即可得到增长率 $r$ 与乙醇转化率 $x$ 的最终关系式： + +$$ +r (x) = r \left(1 - \frac {x}{x _ {\mathrm {m}}}\right) \tag {8} +$$ + +# Step3 建立Logistic增长模型 + +将（8）代入（4）并化简即可得到所需建立的Logistic增长模型： + +$$ +x (T) = \frac {x _ {\mathrm {m}}}{\left(1 + \left(\frac {x _ {\mathrm {m}}}{x _ {0}} - 1\right) \mathrm {e} ^ {- r T}\right)} \tag {9} +$$ + +# 5.1.1.2结果及分析 + +将处理过的数据代入上述建立的Logistic增长模型，不同催化剂组合在温度变化的情况下拟合得到的方程如下表所示（详见附录3）： + +表 2 不同催化剂组合的乙醇转化率 Logistic 方程 + +
催化剂组合乙醇转化率 Logistic方程催化剂组合乙醇转化率 Logistic方程
A1x(t) = 83.6511/(1 + (83.6511/2.07 - 1)e-0.031t)B1x(t) = 81.9731/(1 + (81.9731/1.4 - 1)e-0.0261t)
A2x(t) = 74.3814/(1 + (74.3814/4.6 - 1)e-0.0459t)B2x(t) = 491950/(1 + (481950/2.8 - 1)e-0.0171t)
::::
A14x(t) = 130.7842/(1 + (130.7842/2.5 - 1)e-0.0223t)B7x(t) = 698.8313/(1 + (698.8313/4.4 - 1)e-0.0179t)
+ +利用SPSS对拟合得到的方程进行卡方检验，得到21组不同催化剂组合所对应的logistic方程的显著性均小于0.05，可表示所得方程拟合效果较好。 + +部分Logistic模型预测的乙醇转换率变化趋势如下图所示（完整数据拟合图见附录2）： + +![](images/23aaf2895b2f01eb8ea4f41ad8ffdee06b40e432c5fe09aa6a0bad0607f5fe61.jpg) +图2B1组的乙醇转化率趋势预测图 + +![](images/dc0c87b42e615ee7ddc92b3bd472b639d25b790c6f41d2bd550551155451530b.jpg) +图3A1组的乙醇转化率趋势预测图 + +根据拟合所求出的乙醇最大转化率可知，对于不同的催化剂组合，有的组合在实验条件下乙醇的转化率可随温度的升高达到 $100\%$ ，而有的却无法达到，其中乙醇转化率可达 $100\%$ 的催化剂组合如下表： + +表 3 乙醇转化率可达 100%的催化剂组合表 + +
装料方式催化剂组合总数
装料方式ⅠA3, A5, A6, A8, A9, A13, A147
装料方式ⅡB2, B3, B4, B5, B6, B76
+ +由上表可知在装料方式I下，催化剂组合可使乙醇转化率达 $100\%$ 的占装料方式I中总体的 $50\%$ ；在装料方式II下，催化剂组合可使乙醇转化率达 $100\%$ 的约占装料方式II中总体的 $85.7\%$ 。 + +则上述表格即为每种催化剂组合中，乙醇转换率与温度的关系。 + +对每种催化剂组合，乙醇转化率在温度升高的情况下总体呈上涨趋势，但当温度升高到一定程度时乙醇转化速率逐渐降低，最终使乙醇转化率稳定在某一值处，该值即为乙醇转化率的最大值。 + +# 6.1.3 C4烯烃的选择性与温度的关系 + +# 6.1.3.1 模型的建立 + +根据以上的散点图特征，结合温度对化学反应进程的影响作用以及化学反应原理，我们选择最小二乘法对插值后的数据进行一次线性拟合和二次曲线拟合；在化学反应进行到一定程度后，C4烯烃选择性无法预测，因此我们只考虑中间部分散点的拟合。 + +C4烯烃选择性随温度变化的一次线性模型： + +$$ +y _ {1} = b _ {1} T + c _ {1} \tag {10} +$$ + +C4 烯烃选择性随温度变化的二次曲线模型： + +$$ +y _ {1} = a _ {2} T ^ {2} + b _ {2} T + c _ {2} \tag {11} +$$ + +其中， $y_{1}$ 表示C4烯烃的选择性， $T$ 表示温度。 + +# 6.1.3.2结果及分析 + +基于上述两模型，对装料方式I下的14种催化剂组合和装料方式II下的7种催化剂组合中数据进行回归拟合，运用Matlab软件cftool工具箱求解。 + +装料方式I（14种）、II（7种）的C4烯烃选择性与温度关系拟合结果（完整拟合关系式见附录4）： + +表 4C4 烯烃选择性与温度关系拟合关系式 + +
装料方式Ⅰ装料方式Ⅱ
催化剂组合C4烯烃选择性方程拟合优度催化剂组合C4烯烃选择性方程拟合优度
A1y1=-0.0021T²+1.422T-190.891.60%B1y1=0.0009T²-0.365T+39.0799.72%
A2y1=0.0031T²-1.646T+234.798.03%B2y1=0.0010T²-0.403T+41.3399.77%
::::::
A14y1=0.0010T²-0.494T+64.8699.95%B7y1=0.234T-56.4598.60%
+ +在以上21组拟合模型中，拟合优度均大于 $90\%$ ，甚至有些达到 $99\%$ 以上，说明该模型能较好的拟合在 $250^{\circ}C\sim 400^{\circ}C$ 区间内C4烯烃选择性与温度的变化关系，证实了模型的准确性。 + +观察附件1中数据，我们发现有C4烯烃的选择性随温度升高而降低的情况，列表如下： + +表 5 温度升高 C4 烯烃选择性降低的催化剂组合表 + +
催化剂组合温度/℃乙醇转化率(%)C4烯烃选择性(%)
A132519.6849.7
35036.8047.21
A340083.753.43
45086.449.9
+ +在以上两个催化剂组合中，当温度继续上升时，乙醇仍在持续转化，而C4烯烃选择性有所降低，说明在达到一定温度时，乙醇不再转化为C4烯烃，而是生成其他产物，不符合本题的目的，因此在此时应停止升温。又由于催化剂各成分的组合不同，导致C4烯烃达到最大选择性的温度也不相同。 + +# 6.1.4 测试结果与时间的关系 + +# 6.1.4.1 模型的建立 + +首先画出测试结果随时间变化的散点图（程序见附录8）如下： + +![](images/8403f2e006abadf27f482fb00d809d7ade2c6efa4edcf2b1e5aae80bde55662b.jpg) +图4乙醇转化率与C4选择性散点图 + +观察散点图,得到 C4 烯烃选择性在 $36\% \sim 41\%$ 之间浮动,可以说明在 350 度时给定的某种催化剂组合下,C4 烯烃选择性与时间的相关性不大;乙醇转化率随时间的增加而降低,最后为一定值,建立分段函数模型,t表示实验时间,即: + +$$ +y _ {2} = \left\{ \begin{array}{l l} a _ {3} t ^ {2} + b _ {3} t + c _ {3}, & t < t ^ {\prime} \\ a, & t \geq t ^ {\prime} \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +# 6.1.4.2 结果及分析 + +# 乙醇转化率 + +将附件2中乙醇转化率与时间数据代入Matlab软件cftool工具箱进行求解，得到二次曲线回归函数： + +$$ +y _ {2} = 0. 0 0 0 2 t ^ {2} - 0. 1 0 1 t + 4 5. 1 \tag {13} +$$ + +其中,拟合优度 $R^2$ 为 $98.58\%$ ,接近于1,认为该模型能较好地反映乙醇转化率与时间的变化关系。 + +综上，得到分段函数： + +$$ +y _ {2} = \left\{ \begin{array}{l l} 0. 0 0 0 2 t ^ {2} - 0. 1 0 1 t + 4 5. 1, & t < 2 4 0 \\ 2 9. 9, & t \geq 2 4 0 \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +# C4烯烃的选择性与其他产物 + +由于C4烯烃选择性与时间之间没有明显的线性或非线性关系，我们考虑对其与其他产物进行统计分析，选择性的分析结果如下： + +表 6 反应产物统计分析表 + +
产物类型均值方差极差
C4烯烃39.001.373.60
乙烯4.520.040.53
乙醛7.192.133.62
碳数为4-12脂肪醇33.6411.948.84
甲基苯甲醛和甲基苯甲醇4.140.552.22
+ +由上表的相关统计量可知，C4烯烃的选择性为一随机变量，在本题条件下，不受时间影响。在所有产物中，C4烯烃选择性最大，但方差比较小，说明在 $36\% \sim 41\%$ 区间内，离散程度小；其次为碳数为4-12脂肪醇，但离散程度较大；其余产物含量很小。 + +# 6.1.5 温度缺失值的预测 + +在附件1给出的数据中，A1、A2两催化剂组合下，没有375度和400度的相关数据，因此我们基于问题一的logistic回归模型和二次曲线模型进行预测，得到结果： + +表7预测温度缺失值表 + +
催化剂组合温度乙醇转化率 (%)C4 烯烃选择性 (%)
A137552.2847.14
40065.5442.00
A237572.1553.39
40073.6672.30
+ +# 6.2 问题二的模型建立与求解 + +# 6.2.1双因素方差分析模型的建立 + +方差分析是研究一个（或多个）自变量对一个（或多个）因变量影响的方法[3]。若控制变量对观察变量产生了显著影响，可进一步分析出该控制变量的某一水平对观察变量产生了显著影响。 + +# a.试验组设立 + +建立双因素方差分析数学模型，设温度为因素A，不同的催化剂组合为因素B。温度因素有7个水平 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，…， $A_{7}$ ，催化剂种类因素有14个水平 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，…， $B_{14}$ 。对因素A，B的每一个水平的一组数据 $(A_{i}, B_{j})$ ， $(i = 1,2,\dots,7, j = 1,2,\dots,14)$ 只进行一次试验，得到 $L(= 7 \times 14)$ 个试验结果 $X_{ij}$ ，列于下表： + +表 8 不同温度、催化剂种类试验的乙醇转化率/C4 烯烃选择性 + +
因素A\因B1(A1组)B2(A2组)...Bn(B7组)
A1(250℃)X11X12...X1n
A2(275℃)X21X22...X2n
:::::
Am(400℃)Xm1Xm2...Xmn
+ +# b.前提假设 + +检验各个因素样本的均值是否相等，提出原假设为： + +$$ +\mathrm {H} _ {0 \mathrm {A}}: \quad \mu_ {1 \mathrm {j}} = \mu_ {2 \mathrm {j}} = \dots = \mu_ {7 \mathrm {j}}, \quad \mathrm {j} = 1, 2, \dots , 1 4, \tag {15} +$$ \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/B050/B050.md b/MCM_CN/2021/B050/B050.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c74cb50c9a154365b62f7afe99da4ad9e0901b46 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/B050/B050.md @@ -0,0 +1,1126 @@ +# 乙醇偶合制备C4烯烃的多元回归与神经网络模型 + +# 摘要 + +乙醇催化偶合是制备C4烯烃的重要方法，本文对乙醇催化偶合制备C4烯烃工艺条件进行研究，建立多元回归模型与BP神经网络模型，对各问题进行分析。 + +对于问题一第一部分，首先画出各催化剂组合乙醇转化率和C4烯烃选择性与温度散点图，结合相关文献综合分析误差后，初步判断出变化趋势。之后，利用指数拟合、线性拟合得出乙醇转化率与温度的关系；利用三次多项式拟合得出C4烯烃选择性与温度的关系。利用Matlab和Origin求解出具体方程，并在附录中给出具体拟合图。最终根据线性型、指数型、多项式峰值情况分为5类进行分析，给出了21种催化剂组合具体5种分类情况。 + +对于问题一第二部分，我们首先在附件一基础上分析得出乙醇催化偶合制备C4烯烃的整体反应过程，明确了各指标间的关系。之后，针对附件2各指标进行分析，利用Matlab拟合出随时间变化图像，发现乙醇转化率和C4烯烃收率随时间的推移呈现指数型衰减特征，并得出在197min-273min时间段内生成C4烯烃的主反应逐渐达到平衡，其他副反应有一定滞后性等相关结论。 + +对于问题二，我们在定性分析的基础上，进行定量分析，确定多元回归方程，并对影响程度进行分析。首先通过对比分析得出两种装料方式对重要指标无明显影响，其次将催化剂组合及温度等综合性变量转换成数值型自变量与因变量，利用逐步线性回归法与主成分分析法建立多元回归模型；之后进行初步检验，在此基础上进行了非线性变量处理、增加交互项处理、归一化处理等优化处理，求解出多元回归方程。最终得到结论：对于乙醇的转化率，温度的影响最大，其次是乙醇浓度；对于C4烯烃选择性，主要是由温度影响。同时也验证了第一问选取的拟合函数具有合理性。 + +对于问题三，先经过综合分析，我们从现有数据集具有非线性特征切入，结合BP神经网络具有非线性映射能力等优点，利用BP神经网络进行建模及求解。通过测试分析当隐藏神经元个数为5，模型训练方法为贝叶斯正则化时求解效果较好。在相同实验条件下：最大C4烯烃收率为51.31%；催化剂组合为200mg 0.5wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度0.3ml/min；温度为450度。当温度低于350度时，最大C4烯烃收率为38.47%；催化剂组合为200mg 2wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度2.1ml/min；温度为350度。 + +对于问题四，我们从寻找C4烯烃收率在全局范围内的最优峰值和验证问题三中求解出的两组最优值是否符合预测值出发，利用欧式距离建立的广度模型以及在神经网络模型中确定的各个自变量权重建立模型，最终设计出具体的5次实验：400mg 1wt%Co/SiO2-400mg HAP-乙醇浓度0.9ml/min，400度；500mg 1wt%Co/SiO2-500mg HAP-乙醇浓度0.9ml/min，450度；600mg 1wt%Co/SiO2-600mg HAP-乙醇浓度0.9ml/min，500度；200mg 0.5wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度0.3ml/min，450度；200mg 2wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度2.1ml/min，350度。 + +关键词：非线性函数拟合；多元回归；BP神经网络；C4烯烃收率 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +C4 烯烃作为重要的化工原料，广泛应用在化工产品及医药的生产中，乙醇是制备 C4 烯烃的原料。在实际生产过程中，催化剂组合及温度对 C4 烯烃选择性和 C4 烯烃收率均有影响。某个化工实验室针对不同催化剂在不同温度下进行了一系列实验，已给出性能数据表及 350 度时某种催化剂组合的测试数据。分析表格每种催化剂组合中重要指标变化的具体规律，探索乙醇催化偶合制备 C4 烯烃的工艺条件有非常重要的应用价值和实际意义。 + +# 1.2 具体问题重述 + +问题一：根据性能数据表中每种催化剂组合的具体数据，进行横向研究，分别分析乙醇转化率、C4烯烃选择性与温度的关系。并对附件2中350度时给定的某种催化剂组合在一次实验不同时间的测试结果进行分析。 + +问题二：根据性能数据表中每种催化剂组合的具体数据，进行纵向研究，探讨不同催化剂组合及温度对乙醇转化率以及C4烯烃选择性大小的影响。 + +问题三：选择合适的催化剂组合与温度，给出在相同实验条件下C4烯烃收率尽可能高的方案。当温度低于350度时，再选择合适的催化剂组合与温度，给出当温度低于350度时C4烯烃收率尽可能高的方案。 + +问题四：结合前三问分析的结论与制定的方案，在此基础上再增加5次实验，给出具体的设计方案，并说明详细理由。 + +# 二、问题分析 + +该问题以化工生产领域中乙醇催化偶合制备C4烯烃为背景，在性能数据表中给出了在不同催化剂组合及不同温度条件下，乙醇转化率、C4烯烃选择性、乙醇选择性等各项数据指标具体值，在附件二中给出了某种催化剂组合在350度条件下一次实验中不同时间的测试结果。我们通过综合分析化学工业生产中乙醇催化偶合制备C4烯烃的过程，从化学反应中间产物、副反应、不同温度下的主产物等多角度进行考虑，在已知的化学背景及原理基础上建立相应的数学模型，分步骤解决题目给出的四个问题。从层进关系考虑，我们需要利用已有的数据逐步进行以下四个步骤：针对每种催化剂组合指标的横向分析、针对不同催化剂组合指标的纵向分析、针对相同实验条件情况和温度低于350度情况给出使C4烯烃收率尽可能高的催化剂组合与温度设计方案、综合分析已有结果给出增加5次实验的具体设计方案。 + +# 2.1 研究每种催化剂组合重要指标与温度的关系 + +问题一第一部分要求针对性能数据表中每种催化剂组合的数据进行横向研究，分别分析乙醇转化率、C4烯烃选择性与温度的关系。首先我们分别画出了每种催化剂组合乙醇转化率和C4烯烃选择性与温度的散点图，在此基础上查阅了 + +相关文献, 初步得出乙醇转化率总体上随着温度升高而增大、部分催化剂组合 C4 烯烃选择性随着温度升高产生峰值的结论。由于已有数据量较小, 并且温度与两个指标间均没有相关性, 我们考虑以最小二乘法原理为基础, 利用指数拟合、线性拟合得出乙醇转化率与温度的关系, 利用 $n$ 次多项式拟合得出 C4 烯烃选择性与温度的关系, 并对 $n$ 的值进行最优确定。最终可根据乙醇转化率拟合的类别、 C4 烯烃选择性峰值的存在情况进行分类, 得到每种催化剂组合的具体分类情况。 + +# 2.2 350度时某催化剂组合单次实验测试结果分析 + +问题一第二部分要求针对附件2中反应温度为350度时某种催化剂组合在单次实验不同时间测试结果进行分析。首先我们可在附件一基础上分析得出乙醇催化偶合制备C4烯烃的整体反应过程，明确各指标间的关系；之后针对附件二重要指标的数据利用数学方法拟合出具体变化图像进行分析，得出在350度时乙醇转化率、C4烯烃选择性、C4烯烃收率等指标随时间变化的规律，并可分析出该条件下生成C4烯烃主反应的反应平衡时间以及副反应进程情况；最终可根据后续第三问的模型反推出附件二具体的催化剂组合情况。 + +# 2.3探讨不同催化剂组合及温度对重要指标的影响 + +问题二要求针对性能数据表中每种催化剂组合的数据进行纵向研究，探讨不同催化剂组合及温度对乙醇转化率以及C4烯烃选择性大小的影响。我们需要在定性分析的基础上，进行定量分析，确定变量之间的相关关系，找出合适的数学表达式，并对影响程度进行分析。可利用逐步线性回归法与主成分分析法建立多元回归模型，将催化剂组合及温度等综合性变量进行拆分，转换成数值型自变量与因变量，之后可利用多元线性回归进行检验，在此基础上进行非线性变量处理、增加交互项处理、归一化处理等，得出具体的关系式方程，并可定量分析出每个自变量对因变量的影响程度。 + +# 2.4 以 C4 烯烃收率尽可能高为目标的方案选取 + +问题三要求以 C4 烯烃收率尽可能高为目标，给出在相同实验条件下和温度低于 350 度条件下的具体催化剂组合与温度方案。我们首先考虑从非线性规划角度出发，衔接问题二结果进行求解。但经过检验发现此做法误差较大，结果较不具备合理性。因此我们再从现有数据集具有非线性特征切入，考虑到 BP 神经网络具有非线性映射能力等优点，可以利用 BP 神经网络进行建模及求解。通过大量尝试可确定输入自变量、神经元个数及训练方法，最终求解出具体方案结果。 + +# 2.5增加5次实验的设计方案 + +问题四要求增加5次实验，给出具体的设计方案，并说明详细理由。这需要结合前三问分析得出的结论与建立的BP神经网络模型，在此基础上进行增加实验的设计。我们从寻找全局最优解和对第三问模型进行检验两个角度出发，设计出2组5次实验：第1组实验用于寻找C4烯烃收率在全局范围内的最优峰值，根据通过欧式距离建立的广度模型以及在BP神经网络模型中确定的各个自变量权重，初步确定C4烯烃的收率在全局范围内存在一个峰值，由于在出现峰值前C4烯烃的收率单调递增，在出现峰值后C4烯烃的收率单调递减，因此我们需在峰值前、峰值处、峰值后各做3次实验，依此确定峰值的合理性；第2组实验则用于验证问题三中求解出的两组最优值是否符合预测值，我们在问题三中利用 + +BP神经网络模型对全温度、低于350度的现有实验条件进行了搜索，但找到的只是我们通过模型得到的预测值，因此我们需要对全温度、低于350度的数据各进行一次实验，以此比较实验值与预测值的差距，并进行误差分析。 + +# 三、模型假设 + +1、假设实验数据允许存在一定的误差范围。 +2、假设做对比实验时遵循控制变量法控制其他实验条件完全相同。 +3、假设问题三中“若使温度低于350度”表示温度小于等于350度的情况。 + +# 四、符号说明及名词定义 + +
符号定义
η乙醇转化率
zC4烯烃选择性
T温度
ωC4烯烃收率
MCo/SiO2Co/SiO2的质量
MHAPHAP的质量
P1Co/SiO2与HAP的装料比（质量比）
P2Co负载量（Co与SiO2的质量比）
c乙醇浓度
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一第一部分：研究各催化剂组合重要指标与温度关系 + +为分别分析各催化剂组合的乙醇转化率、C4烯烃选择性与温度的关系，我们首先从各催化剂组合的乙醇转化率、C4烯烃选择性与温度的散点图出发，综合相关文献的研究结果，结合已有数据量较小且温度与两个指标间均无相关性的特点，以最小二乘法原理为基础，根据各组散点图具体特征分别建立了线性拟合 + +模型、指数拟合模型、多项式拟合模型，并且对拟合出的函数进行具体求解，最终根据求解结果将21组催化剂组合进行分类。 + +# 5.1.1各催化剂组合重要指标与温度关系模型的建立 + +# 5.1.1.1 基于散点图的初步判断 + +为了更加直观地分析两个重要指标与温度的变化关系，我们利用Matlab分别画出了每种催化剂组合乙醇转化率和C4烯烃选择性与温度的散点图，共计产生42张散点图。在此基础上，我们通过观察这42张散点图的形状特点，初步将乙醇转化率与温度散点图分为两类：线性增长类和指数增长类；初步将C4烯烃选择性与温度散点图分为两类：存在峰值类和不存在峰值类。四种类型的散点图如下： + +# (1)乙醇转化率与温度两类特征散点图 + +![](images/69d7205821e6a38c0781d35ad88337b59f0f7bc3df3d3d2cc88300ed0ce07b1b.jpg) +图5.1-1线性增长型散点图 + +![](images/f1abffcb9bf3b7b295b717da339e050e006028f29b354cec817a28ea661a68c0.jpg) +图5.1-2指数增长型散点图 + +# (2) C4 烯烃选择性与温度两类特征散点图 + +![](images/907f88deb27573e7e73db6708b96003d68e3b422183c68b21f263a2d62496162.jpg) +图5.1-3存在峰值型散点图 + +![](images/9c8d34330833e94303c2fd257b09d5f8f675c548a0ca80a4a1d9ee0a3f709776.jpg) +图5.1-4不存在峰值型散点图 + +# （3）异常点的处理 + +我们通过观察发现 A5、A6 组在温度为 275 度情况下乙醇转化率出现略微下降的情况, 通过查阅化工领域相关文献可知: 在 $C_{0} / S i O_{2}-H A P$ 比例为 $1:1$ , 以 + +250 度为起始条件时，随着反应温度的增加，乙醇的转化率逐渐增加。再综合考虑到实验数据存在一定的误差范围，因此在后续整体拟合分析中可忽略这两个点乙醇转化率略微下降的情况。 + +# 5.1.1.2 基于最小二乘法原理的曲线拟合模型的建立 + +# （1）拟合函数的确定 + +在以上步骤中，我们通过观察42张散点图的形状特点，初步将乙醇转化率与温度散点图分为两类：线性增长类和指数增长类；初步将C4烯烃选择性与温度散点图分为两类：存在峰值类和不存在峰值类。因此可以初步判断使用三种拟合函数：直线型函数拟合、指数型函数拟合、多项式型函数拟合。 + +# ① 乙醇转化率与温度拟合函数确定 + +因为乙醇转化率在总体上均是随着温度的增大而增大, 我们选取直线型函数 + +$$ +y = a x + b \tag {5.1.1} +$$ + +和指数型函数 + +$$ +y = A _ {1} e ^ {\frac {x}{\varepsilon_ {1}}} + y _ {0} \tag {5.1.2} +$$ + +进行拟合。 + +# ② C4烯烃选择性与温度拟合函数确定 + +因为部分催化剂组合 C4 烯烃选择性随着温度升高产生峰值, 且已有数据量较小, 温度与 C4 烯烃选择性没有相关性。我们选取 $n$ 次多项式型函数 + +$$ +y = a _ {1} x ^ {n} + a _ {2} x ^ {n - 1} + \dots + a _ {n} x + a _ {n + 1} \tag {5.1.3} +$$ + +进行拟合。但又因为每组催化剂组合以5个点居多，我们考虑三次多项式拟合和四次多项式拟合进行具体对比判断。 + +# （3）拟合模型的建立 + +# ① 乙醇转化率与温度拟合模型 + +我们对21种不同催化剂组合的乙醇转化率与温度的散点图基于最小二乘法原理用直线型函数 $y = ax + b$ 和指数型函数 $y = A_{1}e^{\frac{x}{t_{1}}} + y_{0}$ 进行拟合，并对比分析，以B1为例，如下图： + +![](images/d8c74a21a6fb217eb85b14ac6bf50d816aac01c32574374d0c28576b5d92ef10.jpg) +图5.1-5B1组直线拟合与指数拟合对比图 + +由对比图可直观看出对于B1组乙醇转化率与温度的关系显然指数拟合效果更好，线性拟合的 $R^2 = 0.90075$ ，指数拟合 $R^2 = 0.99959$ ，指数拟合 $R^2$ 明显大于线性拟合，这说明指数拟合可较好地描述B1组乙醇转化率随温度变化的关系。最终将21种组合全部进行上述过程，确定出最优的拟合曲线类型与具体方程。 + +# ② C4 烯烃选择性与温度拟合模型 + +我们对21种不同催化剂组合的C4烯烃选择性与温度的散点图均用n次多项式型函数 $y = a_{1}x^{n} + a_{2}x^{n - 1} + \dots +a_{n}x + a_{n + 1}$ 进行拟合。因为每组催化剂组合以5个点居多，我们考虑用三次多项式拟合和四次多项式拟合进行具体对比判断。以A10为例，如下图： + +![](images/b36632b4de85199afb274948da5b714030701e85c877911dec56b0dae2f37f9a.jpg) +图5.1-6A10组三次多项式拟合与四次多项式拟合对比图 + +由对比图可直观看出对于A10组C4烯烃选择性与温度的关系用三次多项式拟合效果更好，由于只有5个点，四次多项式拟合 $R^2 = 1$ ，这说明四次多项式拟合仅仅是根据这5个点确定了一个具体的方程，并没有起到总体拟合的效果，而三次多项式拟合较好地描述了C4烯烃选择性随温度变化的关系。通过将21种组合全部进行上述过程，发现对于每种组合三次多项式拟合的效果均更好，最终可确定出具体方程。 + +# 5.1.2 各催化剂组合重要指标与温度关系模型的求解 + +# 5.1.2.1 两个指标与温度关系具体拟合曲线方程 + +我们利用Origin软件中曲线拟合函数，以温度为自变量，乙醇转化率和C4烯烃选择性为因变量，对42张散点图进行了具体拟合，得出了具体方程，结果如下表： + +表 5.1-1 两个指标与温度的具体拟合方程 + +
组号乙醇转化率η与温度T方程C4烯烃选择性z与温度T方程
A1η=0.10eT/58.26-4.99z=-6.07×10-5T3+5.25×10-2T2-14.84T+1409.24
A2\( \eta = {0.66T} - {161.89} \)\( z = - {3.01} \times {10}^{-5}{T}^{3} + {3.02} \times {10}^{-2}{T}^{2} \) \( - {9.72T} + {1029.14} \)
A3\( \eta = {0.42T} - {95.88} \)\( z = - {1.86} \times {10}^{-5}{T}^{3} + {1.85} \times {10}^{-2}{T}^{2} \) \( - {5.71T} + {565.65} \)
A4\( \eta = {0.58T} - {144.57} \)\( z = - {2.11} \times {10}^{-5}{T}^{3} + {2.18} \times {10}^{-2}{T}^{2} \) \( - {7.14T} + {763.67} \)
A5\( \eta = {0.10}\frac{T}{{60.85}} + {6.90} \)\( z = {1.38} \times {10}^{-5}{T}^{3} - {1.24} \times {10}^{-2}{T}^{2} \) \( + {3.82T} - {395.62} \)
A6\( \eta = {0.50T} - {119.83} \)\( z = {3.22} \times {10}^{-5}{T}^{3} - {2.92} \times {10}^{-2}{T}^{2} \) \( + {8.78T} - {873.50} \)
A7\( \eta = {0.38T} - {74.26} \)\( z = - {2.03} \times {10}^{-6}{T}^{3} + {3.13} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {1.20T} + {141.02} \)
A8\( \eta = {1.19}\frac{T}{{99.57}} - {9.43} \)\( z = - {2.12} \times {10}^{-6}{T}^{3} + {2.81} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {0.90T} + {88.80} \)
A9\( \eta = {0.0038}\frac{T}{{43.26}} + {0.79} \)\( z = - {1.10} \times {10}^{-5}{T}^{3} + {1.07} \times {10}^{-2}{T}^{2} \) \( - {3.19T} + {303.92} \)
A10\( \eta = {0.0041}\frac{T}{{45.04}} - {0.96} \)\( z = {4.75} \times {10}^{-6}{T}^{3} - {3.92} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( + {1.07T} - {95.06} \)
A11\( \eta = {7.36} \times {10}^{-4}\frac{T}{{37.33}} \) -0.54\( z = {6.04} \times {10}^{-7}{T}^{3} - {4.04} \times {10}^{-4}{T}^{2} \) \( + {0.12T} - {14.07} \)
A12\( \eta = {0.18}\frac{T}{{71.30}} - {4.92} \)\( z = - {3.20} \times {10}^{-6}{T}^{3} + {4.01} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {1.38T} + {149.53} \)
A13\( \eta = {0.017}\frac{T}{{51.21}} - {1.23} \)\( z = - {1.34} \times {10}^{-5}{T}^{3} + {1.28} \times {10}^{-2}{T}^{2} \) \( - {3.82T} + {371.88} \)
A14\( \eta = {0.21}\frac{T}{{70.96}} - {4.44} \)\( z = - {3.96} \times {10}^{-7}{T}^{3} + {1.35} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {0.62T} + {77.78} \)
B1\( \eta = {0.16}\frac{T}{{70.07}} - {4.53} \)\( z = - {7.72} \times {10}^{-6}{T}^{3} + {8.43} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {2.76T} + {290.39} \)
B2\( \eta = {0.01}\frac{T}{{46.62}} + {1.15} \)\( z = - {7.11} \times {10}^{-6}{T}^{3} + {7.91} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {2.61T} + {272.92} \)
B3\( \eta = {0.001}\frac{T}{{41.04}} - {0.36} \)\( z = {1.71} \times {10}^{-6}{T}^{3} - {1.19} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( + {0.34T} - {35.17} \)
B4\( \eta = {0.003}\frac{T}{{42.80}} - {0.42} \)\( z = - {6.41} \times {10}^{-6}{T}^{3} - {7.25} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {2.55T} + {291.32} \)
B5\( \eta = {0.01}\frac{T}{{47.66}} + {0.39} \)\( z = - {2.43} \times {10}^{-6}{T}^{3} + {3.02} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {1.03T} + {112.04} \)
B6\( \eta = {0.09}\frac{T}{{61.14}} - {1.68} \)\( z = - {1.96} \times {10}^{-5}{T}^{3} + {1.95} \times {10}^{-2}{T}^{2} \) \( - {6.15T} + {632.30} \)
B7\( \eta = {0.09}\frac{T}{{59.74}} - {1.35} \)\( z = - {6.14} \times {10}^{-6}{T}^{3} + {6.44} \times {10}^{-3}{T}^{2} \) \( - {1.98T} + {191.56} \)
+ +# 5.1.2.2 不同类型的图像分析 + +我们利用Origin软件中曲线拟合函数，以温度为自变量，乙醇转化率和C4烯烃选择性为因变量，得到5种不同类型，共计42张拟合图像。5张代表性拟合图像展示如下： + +![](images/154ed7d3afbbc943af883f372f0557b09b28f6b48d28f8c3a1f288490f68bf15.jpg) +图5.1-7 直线型 + +![](images/9edba3b2a20ab7aee44648334ec3c8510af2104581621b411969bbe62e2498d5.jpg) +图5.1-8指数型 + +![](images/54bf5b2da2b807755558a4cd400f201d68a3fa6f64fbb1f8796c2be2ffbf4945.jpg) +图5.1-9三次无峰值型 + +![](images/a869e600153ed28d3c3d78956b16c0a7497d33670c45f7ea1a2eace4a82b23dc.jpg) +图5.1-9三次有峰值型图5.1-10即将存在峰值型 + +![](images/879b1be8090f74f96e955545490a6708fb177ef5cfd9a2ab1fea4bfee5caf529.jpg) + +(1) 直线型拟合表示: 在一定范围内, 乙醇转化率随温度的增大均匀增大。 +(2) 指数型拟合表示: 在一定范围内, 乙醇转化率随温度的增大变化速率加快, 呈现指数增长特征。 +(3)三次多项式无峰值型拟合表示：在一定范围内，C4烯烃选择性随着温度的变化逐渐增大，呈现三次多项式增长部分特征。 +(4)三次多项式有峰值型拟合表示: 在一定范围内, C4 烯烃选择性随着温度的变化不单调, 在某温度时 C4 烯烃选择性有最大值。 +(5)三次多项式即将存在峰值型拟合表示：在一定范围内，C4烯烃选择性随着温度的变化逐渐增大，但在观测数据末端的斜率值接近于0，这说明在此基础上进一步升高温度，将会出现最大值。 + +# 5.1.2.3 两个指标与温度关系的分类 + +通过分析上述求解得出的具体函数方程，我们可将21种催化剂组合进行分类，分类结果表如下： + +表 5.1-2 21 种催化剂组合分类情况 + +
编号乙醇转化率与温度拟合方程类型C4烯烃选择性与温度拟合方程类型组号
①线性型不存在峰值A2、A4、A6、A7
②线性型存在峰值A3
③指数型不存在峰值A5、A8、A9、A10、A11、A12、A14、B1、B2、B3、B4、B5、B7
④指数型存在峰值A1
⑤指数型即将存在峰值A13、B6
+ +# 5.2 问题一第二部分：350 度时某催化剂组合单次实验测试结果分析 + +为了对附件2中反应温度为350度时某种催化剂组合在单次实验不同时间测试结果进行分析，我们首先在附件一基础上分析得出乙醇催化偶合制备C4烯烃的整体反应过程，明确各指标间的关系；之后针对附件2重要指标的数据利用数学方法拟合出具体变化图像进行分析，得出在350度时乙醇转化率、C4烯烃选择性、C4烯烃收率等指标随时间变化的规律，并分析出该条件下生成C4烯烃主反应的反应平衡时间以及副反应进程情况；最终根据后续第三间建立的模型反推出附件2具体的催化剂组合情况。 + +# 5.2.1 乙醇催化偶合制备C4烯烃的整体反应过程 + +我们通过对性能数据表中给出的数据进行综合分析，结合相关文献，大体明确了乙醇催化偶合制备C4烯烃可能的整体反应过程： + +首先乙醇先在 $C O / S i O_{2}$ 催化下转换成中间产物乙醛，HAP 的加入降低了乙醛的选择性，催化乙醛转化为 C4 烯烃和碳数为 4-12 脂肪醇的催化剂。在适当条件下，当温度低于 350 度时，碳数为 4-12 脂肪醇为主产物；温度高于 350 度时，C4 烯烃为主产物。甲基苯甲醛和甲基苯甲醇为加入 HAP 条件下的副产物，乙烯为生成 C4 烯烃时的副产物。 + +由此可见，在适当条件下，350度是主产物从碳数为4-12脂肪醇转变为C4烯烃的关键温度。附件2表示某组合单次实验在350度条件下，各指标随着时间变化的情况。 + +# 5.2.2各指标随时间变化规律分析 + +我们对附件二中所有指标进行了分析，并选取乙醇转化率、C4烯烃选择性、C4烯烃收率等重要指标结合时间变化进行具体分析。 + +# (1)乙醇转化率随时间变化关系 + +根据附件2中数据，我们利用Origin软件进行了曲线拟合，拟合图如下： + +![](images/8a11319f574b8d400e67662018e7ff6acac414344c7ed88b467d85f9055b1db6.jpg) +图5.2-1乙醇转化率随时间呈指数衰减特征 + +可直观分析出乙醇转化率随着时间的推移逐渐下降，呈现指数型衰减特征。且拟合曲线 $R^2 = 0.98272$ ，这说明拟合效果良好。且在 $240\mathrm{min}$ 和 $273\mathrm{min}$ 时，乙醇转化率均为 $29.9\%$ 未发生变化，这说明在 $197\mathrm{min} - 273\mathrm{min}$ 中间的某个时刻，某些化学反应可能达到了平衡状态。 + +# (2) C4 烯烃选择性随时间变化关系 + +根据附件2中数据，我们发现C4烯烃选择性始终在 $39\%$ 左右波动，且在 $240\mathrm{min}$ 时取到观测数据中的最大值， $273\mathrm{min}$ 时略微下降。结合上述关于乙醇转化率的分析，可大致判断出在 $197\mathrm{min} - 273\mathrm{min}$ 时间段内，生成C4烯烃的反应可能达到平衡，但某些其他反应仍在进行。 + +# (3) C4 烯烃收率时间变化关系 + +C4 烯烃收率=其乙醇转化率×C4烯烃选择性，根据附件2中数据，我们利用Origin软件进行了曲线拟合，拟合图如下： + +![](images/7d6a6f9871c6f163f4abd0d607b8670d13170b392ad110f81a0c3954462f8181.jpg) +图5.2-2C4烯烃收率随时间呈指数衰减特征 + +可直观分析出C4烯烃收率随着时间的推移逐渐下降，呈现指数型衰减特征。且拟合曲线 $R^2 = 0.98806$ ，说明拟合效果良好。 + +# (4)乙醛选择性随时间变化关系 + +根据附件2中数据，我们发现乙醛选择性随着时间的推移逐渐升高，但在163min之后随时间推移增长幅度较小。由上述分析已知乙醇首先在催化剂条件下生成乙醛，乙醛是中间产物。乙醛选择性逐渐升高是由于乙醇始终以固定速率通入，直接在催化剂催化下反应转化为乙醛，但其他反应的推进取决于乙醛的浓度，有一定的滞后性，导致乙醛选择性随时间推移呈现逐渐升高的特征。 + +# (5) 碳数为 4-12 脂肪醇选择性随时间变化关系 + +根据附件2中数据，我们发现碳数为4-12脂肪醇选择性随着时间的推移大体呈现逐渐下降的特征，但在240min时略有回升，在273min又取到观测数据中的最小值。由上述分析已知碳数为4-12脂肪醇与C4烯烃属于竞争关系，两者选择性大小由反应温度影响。而在197min-240min时间段内，C4烯烃选择性和碳数为4-12脂肪醇选择性均略微增大又略微下降，这说明在该时间段内某时刻主反应可能已经达到了平衡状态，但其他反应向正方向进行速率大于主反应，其他反应生成产物增多导致C4烯烃和脂肪醇选择性均有所下降。 + +# (6)其他产物随时间变化关系 + +根据附件2中数据，我们发现从 $240\mathrm{min}$ 变化至 $273\mathrm{min}$ 时，其他产物选择性明显变大，这说明在此时间段其他副反应产物生成速率大于主反应产物生成速率，间接说明在 $197\mathrm{min} - 273\mathrm{min}$ 某时刻，主反应可能达到平衡状态。 + +# 5.2.3具体结论 + +(1) 乙醇转化率随着时间的推移逐渐下降, 呈现指数型衰减特征。 +(2）C4烯烃收率随着时间的推移逐渐下降，呈现指数型衰减特征。 +(3) 在 $197 \mathrm{~min} - 273 \mathrm{~min}$ 时间段内, 生成 C4 烯烃的主反应逐渐达到平衡, 但其他副反应仍在进行。 +(4) 碳数为 4-12 脂肪醇与 C4 烯烃为竞争关系, 碳数为 4-12 脂肪醇选择性随着时间的推移整体逐渐下降, 说明主反应向生成 C4 烯烃的方向进行较大。 +(5) 乙醇在催化剂催化下直接生成乙醛, 乙醛是中间产物, 其他反应的推进取决于乙醛的浓度, 有一定的滞后性。 + +# 5.3 问题二：探讨不同催化剂组合及温度对重要指标的影响 + +# 5.3.1基于逐步线性回归与主成分分析的多元回归模型建立 + +通过对附件一中的21组数据进行组与组之间的纵向对比，可知当催化剂组合与温度发生变化时，乙醇转化率与C4烯烃选择性的值也发生了相应的变化，即纵向对比中存在以乙醇转化率、C4烯烃选择性为因变量，催化剂组合、温度为自变量的函数关系。 + +根据题意，我们需要实现： + +(1) 根据自变量催化剂组合、温度的值, 预测因变量乙醇转化率、C4 烯烃选择性的取值, 并在此基础上分析预测的精度, 进行误差分析。 +(2) 在自变量催化剂组合、温度之间进行因素分析, 区分重要因素与次要因素, 并确立其关系。 +（3）在定性分析的基础上，进行定量分析，确定变量之间的相关关系，找出合适的数学表达式。 + +出于以上3点考虑，我们选择对上述变量进行回归分析，考察因素之间的相关性以及变量之间的数量变化规律，最终通过回归方程的形式反映该关系。 + +# 5.3.1.1 两种装料方式的分析 + +题目已给出编号A1~A14的催化剂实验中使用装料方式I，B1~B7的催化剂实验中使用装料方式II。我们首先要对两种不同装料方式进行分析。在附件1性能数据表中我们发现A12和B1组除装料方式有区别外，其他任何变量均无差别。根据对比实验控制变量法则，我们对这两组实验数据进行分析，分析对比图如下： + +![](images/0ae927f7bfc2fefab42295571396c48b3e98fa51fa2e2b1130609d0822ea274b.jpg) + +![](images/86dba0d19f1992ab379c3129995da075463428513e8c64d291535d64b7dddda6.jpg) + +![](images/0ff5afa9e333efe314439e517f40011445860d8ab9505480b596e7c238eb2bd8.jpg) +图5.3-1：A12与B1组重要指标随温度变化对比图 + +从对比图中可直观分析出，A12与B1乙醇转化率、C4烯烃选择性、C4烯烃收率随温度的变化情况基本相同，并无明显差异。 + +这说明两种装料方式对重要指标的变化并无显著影响。因此在后续多元回归分析模型建立及BP神经网络训练时，可将A、B组进行统一处理。 + +# 5.3.1.2 回归变量的确定 + +为了进行回归分析，我们需要将参与回归的变量处理为Matlab可分析的数值型变量，或以等级变量的形式对其分类。 + +# （1）自变量 + +本题中的自变量有催化剂组合与温度，其中催化剂组合为综合型变量，温度为数值型变量。因此我们需对催化剂组合进行分解。 + +以催化剂组合 A1 为例，“200mg 1wt%Co/SiO2-200mg HAP -乙醇浓度 1.68ml/min” 我们可将其分解为如下的 5 个子变量: + +① $C_{0} / S i O_{2}$ 的质量 $M_{C_{0} / S i O_{2}}$ +② $H A P$ 的质量 $M_{H A P}$ +③ $C o / S i O_{2}$ 与HAP的装料比（质量比） $P_{1}$ +④ $C_0$ 负载量（ $C_0$ 与 $\mathsf{SiO}_2$ 的质量比） $P_{2}$ +$⑤$ 乙醇浓度c + +加上温度 $T$ ，共有6个自变量参与回归分析。 + +# (2）因变量 + +本题中的因变量有乙醇转化率与C4烯烃选择性，二者皆为数值型变量，可直接进行计算，故共有2个因变量参与回归分析。 + +# 5.3.1.3 回归模型的基本假定 + +(1) 对于回归模型的计算结果, 我们需要一个随机误差项来评价该模型的误差程度, 这里我们遵循高斯-马尔可夫假定: 随机误差项服从一个零均值、同方差的正态分布, 即: $u \sim N(0, \sigma^2)$ 。 + +（2）解释变量之间不存在多重共线性。 + +# 5.3.1.4 逐步线性回归模型 + +对于5.2.1中确定的6个自变量以及2个因变量，我们可以得到一个多元线性回归模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {i} = \beta_ {0} + \sum_ {j = 1} ^ {6} \beta_ {j} x _ {j} + u, \quad i = 1, 2 \\ u \sim N (0, \sigma^ {2}) \end{array} \right. \tag {5.3.1} +$$ + +其中 $\beta_{j}, j = 0, \dots, 6$ 为回归系数。 + +基于该模型我们可以得到 $n$ 个独立观测数据 $[b_i, a_{i1}, \ldots, a_{i6}]$ ，其中 $b_i$ 为 $y$ 的观测值， $a_{i1}, \ldots, a_{i6}$ 分别为 $x_1, \ldots, x_6$ 的观测值， $i = 1, \ldots, n, n > 6$ 。 + +由此可将模型优化得到： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} b _ {i k} = \beta_ {0} + \sum_ {j = 1} ^ {6} \beta_ {j} a _ {i j} + u, \quad k = 1, 2 \\ u _ {i} \sim N (0, \sigma^ {2}), \quad i = 1, \dots , n \end{array} \right. \tag {5.3.2} +$$ + +由于该多元线性回归模型在处理变量时一次性引入全部变量，因此对于某些显著性水平存在较大偏差的变量，误差水平较高。为了解决此问题，考虑引入逐步回归的思想，即将变量逐个引入模型，每引入一个变量后都对其进行一次检验，测试其 $p$ 值（其反映每个自变量对因变量的影响显著性水平，当某一个自变量的 $p$ 值 $< 0.05$ 时，我们称其对因变量的影响显著）。 + +可以看出，逐步回归是一个反复的过程，直到既没有显著的解释变量被选入回归方程，也没有不显著的解释变量从回归方程中被剔除为止，而经历过逐步回归优化后的多元线性回归模型就可以保证最终得到的解释变量最优。 + +# 5.3.1.5 主成分分析 + +在完成了5.3.1.3中的多元逐步线性回归后，容易产生较强的多重共线性，即回归方程中的多个解释变量之间的相关性过强。这就导致了回归系数的置信区间增大、精确度与显著性水平降低。 + +通过主成分分析，我们可以大幅削减多重共线性造成的自变量信息重叠对模型的负面影响。 + +为了便于评判，我们定义： + +$R_{i}^{2}$ ：自变量与模型中其他自变量的负相关系数的平方，即该变量对其他变量进行线性回归的拟合优度。我们认为如果 $R^2 \geq 0.8$ ，则可以采用该组回归方程。 + +$Tol_{i} = 1 - R_{i}^{2}$ 对于模型多重共线性的容忍度。 + +$V I T_{i} = \frac{1}{1 - R_{i}^{2}}$ 方差膨胀因子。 + +在进行主成分分析时，我们先提取原始变量的主成分变量，而后将因变量对主成分变量进行回归，最后将主成分变量用原始自变量表示，即得到因变量对原始变量的回归方程。 + +# 5.3.2 问题二模型的求解 + +# 5.3.2.1多元线性回归检验 + +首先由5.3.1中建立的线性模型，对 $x_{i},i = 1,\dots ,6$ 进行多元线性回归，得到结果如下： + +① $y_{1}$ （乙醇转化率）关于 $x$ 的回归方程 + +![](images/9780b3b43dd8ce7501dba5235aa07eae950fbb199fa73fd426ecdafbe9e0a4a2.jpg) +图5.3-2：y带误差条的系数 + +![](images/2ec54d621810360e25568a448223d5451977110eda317daae6b94d0848b84113.jpg) +图5.3-3 $y_{1}$ 均方根误差的调整历史 + +![](images/91c21726de94c97ee9cd40387a4e593472aca1f99ab80b764ddac589c5711c76.jpg) +② $y_{2}$ (C4烯烃选择性) 关于 $x$ 的回归方程 +图5.3-4：y带误差条的系数 + +# 调整后的拟合优度： + +$$ +\operatorname {A d j} R - s q = 0. 6 8 5 4 4 2 +$$ + +![](images/95f202b8a55c7c66dfba79147d80f7b8b3ad8a8218e700ee5c020d34861ab282.jpg) +图5.3-5 $y_{2}$ 均方根误差的调整历史 + +由图可以看出, $y_{1} 、 y_{2}$ 的各个变量 $p$ 值很小, 但其调整后的 $R^{2}$ 值都没有超过 0.8 , 因此该结果不能被接受, 还需通过进一步的改进以提升 $R^{2}$ 。 + +# 5.3.2.2 处理非线性变量 + +通过对问题一的求解，我们已知： + +# (1) 乙醇转化率满足: + +$$ +y _ {1} ^ {*} = A _ {1} e ^ {\frac {x}{t _ {1}}} + y _ {0} \tag {5.3.3} +$$ + +# (2) C4烯烃选择性满足: + +$$ +y _ {2} ^ {*} = a _ {1} x ^ {3} + a _ {2} x ^ {2} + a _ {3} x + a _ {4} \tag {5.3.4} +$$ + +其中 $\pmb{x}$ 为温度 $T$ 。 + +由（1）知，对于乙醇转化率 $y_{1}$ ，可进行取对数处理，则 $\log (y_{1})$ 与 $x$ 成线性关系： +由（2）知，对于C4烯烃选择性，我们在原有的6个变量外再增添一个变量 $T^3$ ，记为 $x_{7}$ ，则 $y_{2}$ 与 $x^{3}$ 成线性关系。 + +经过上述的非线性处理，我们对处理后的数据再次进行逐步线性回归分析，结果如下： + +① 非线性处理后 $y_{1}^{*}$ （乙醇转化率）关于 $x$ 的回归方程 + +![](images/15348231443d6b0a8b16cbad7e860bff872b73ba26ed647e3d669ff808151c89.jpg) +图5.3-6： $y_{1}^{*}$ 带误差条的系数 + +# 调整后的拟合优度： + +![](images/59aa27fe5e2441cdbb72c09a3e46aca92c396cffd9a1c7a81668773dbb8763e2.jpg) +图5.3-7 $y_{1}^{*}$ 均方根误差的调整历史 + +(2) 非线性处理后 $y_{2}^{*}$ (C4 烯烃选择性) 关于 $x$ 的回归方程 + +![](images/d36a5d2daf3feaa913bd8896b7e66fbfb0c13ccb569ed40974fb9243b008f0dc.jpg) +图5.3-8：y2带误差条的系数 + +调整后的拟合优度： + +$$ +\operatorname {A d j} R - s q = 0. 6 9 6 4 5 6 +$$ + +![](images/3c67822d2a4f2ebd40fd26b1ce34d6e61f961ec839b667d5588df25f4a0b8117.jpg) +图5.3-9 $y_{2}^{*}$ 均方根误差的调整历史 + +由上图分析可知: $y_{1}^{*}$ 、 $y_{2}^{*}$ 的各个变量 $p$ 值仍然很小, 在经过我们的调整之后,乙醇转化率的 $R^{2}$ 得到了显著提升, 由原来的 0.78 上升到 0.83 , 符合标准。而调整之后 C4 烯烃选择性的 $R^{2}$ 提升并不明显, 且远没有达到 0.8 。所以我们需要对于数据进行下一步的处理。 + +# 5.3.2.3增加交互项 + +我们对于上述所做回归分析的 $R^2$ 并不理想，所以考虑加入二次项 $x_{i}x_{j}(1\leq i\leq j\leq 6)$ ，模型记作 + +$$ +y = a _ {o} + \sum_ {i = 1} ^ {7} a _ {i} x _ {i} + \sum_ {1 \leq i \leq j \leq 6} a _ {i j} x _ {i} x _ {j} \tag {5.3.5} +$$ + +在具体计算中，我们设 $x_{8} = x_{1}^{2},x_{9} = x_{2}^{2},\dots ,x_{28} = x_{5}x_{6}$ + +在增加交互项之后，再一次对含有二次项数据进行逐步线性回归分析，具体结果如下： + +① 增加交互项后 $y_{1}^{*}$ （乙醇转化率）关于 $x$ 的回归方程 + +![](images/46b1e2d07d87145ae6d978ea920af7d5af83a1d738ca95118c7ff23e7b9dd8fe.jpg) +图5.3-10： $y_{1}^{*}$ 带误差条的系数 + +调整后的拟合优度： + +$$ +\operatorname {A d j} R - s q = 0. 9 3 4 9 9 4 +$$ + +![](images/9d2a4b862463f8d7c7c56a7745f24bd15e2b9f68bb9eac486e6d57c12ddcce82.jpg) +图5.3-11 $y_{1}^{*}$ 均方根误差的调整历史 + +② 增加交互项后 $y_{2}^{*}$ （C4 烯烃选择性）关于 $x$ 的回归方程 + +![](images/ba4f699284fba3ea8e6ccfcdf6741c78dc9f9c405bbae9ba3d1bb74bde9ac22a.jpg) +图5.3-12：y带误差条的系数 + +调整后的拟合优度： + +$$ +\operatorname {A d j} R - s q = 0. 8 0 2 7 8 6 +$$ + +![](images/76319c87570a783a6e9831b103b1c1c1c6e61adac595860a05411334a6d9d343.jpg) +图5.3-13 $y_{2}^{*}$ 均方根误差的调整历史 + +根据回归分析的结果可以看出，两个回归结果的 $R^2$ 值进一步得到了提高，且都上升到0.8以上。这说明此时回归的效果很好，但无法看出各个项目的权值，所以需要对于所有的数据进行归一化处理。 + +我们这里使用z-score标准化： + +$$ +\widehat {x _ {k l}} = \frac {x _ {k l} - \mu_ {k}}{\sigma_ {k}}, k = 1, 2 \dots , 2 8, l = 1, 2, \dots , 1 1 4 \tag {5.3.6} +$$ + +其中 $\mu_{k}$ 为 $x_{kl}$ 的平均值， $\sigma_{k}$ 为 $x_{kl}$ 的标准差。 + +在做完数据归一化处理之后，再次使用逐步回归法分析数据，可以得到催化剂组合及温度对乙醇转化率以及C4烯烃选择性的具体回归方程，如下所示： + +(1) 以乙醇转化率为因变量的回归方程 + +$$ +\begin{array}{l} \ln \widehat {y _ {1}} = 0. 7 1 \widehat {x _ {3}} - 1. 8 9 \widehat {x _ {5}} + 1. 4 1 \widehat {x _ {6}} - 0. 8 2 \widehat {x _ {2} ^ {2}} - 0. 4 2 \widehat {x _ {3} ^ {2}} - 0. 2 5 \widehat {x _ {4} ^ {2}} + 0. 6 2 \widehat {x _ {5} ^ {2}} \\ - 0. 9 8 \widehat {x _ {6} ^ {2}} + 0. 2 7 \widehat {x _ {1} x _ {4}} + 0. 5 3 \widehat {x _ {1} x _ {5}} + 1. 6 5 \widehat {x _ {1} x _ {6}} + 0. 9 4 \widehat {x _ {2} x _ {3}} \\ - 2. 0 4 \widehat {x _ {2} x _ {6}} + 0. 8 9 \widehat {x _ {5} x _ {6}} \\ \end{array} +$$ + +(2) 以 C4 烯烃选择性为因变量的回归方程 + +$$ +\begin{array}{l} \widehat {y _ {2}} = - 0. 5 5 \widehat {x _ {5}} - 1 1. 6 9 \widehat {x _ {6}} - 1. 5 5 \widehat {x _ {4} ^ {2}} + 2 3. 5 7 \widehat {x _ {6} ^ {2}} + 0. 2 3 \widehat {x _ {1} x _ {4}} + 0. 6 1 \widehat {x _ {1} x _ {5}} \\ - 1. 3 8 \widehat {x _ {1} x _ {6}} - 1. 0 7 \widehat {x _ {2} x _ {3}} + 2. 3 1 \widehat {x _ {2} x _ {6}} + 1. 7 6 \widehat {x _ {4} x _ {5}} - 0. 5 4 \widehat {x _ {4} x _ {6}} \\ - 1 1. 2 9 \widehat {x _ {6} ^ {3}} \\ \end{array} +$$ + +# 5.3.2.4 影响分析 + +对于归一化以后的回归方程，将会没有常数项，所以在回归方程中系数越大的项对于结果的影响最大。 + +# (1)乙醇转化率影响因素分析 + +根据5.3.2.3中（1）回归方程可知， $x_{2}x_{6}$ 的系数最大， $x_{5}$ 的系数次之，之后依次是 $x_{1}x_{6}, x_{6}, x_{6}^{2}$ 的系数。这说明 $x_{6}, x_{5}$ ，即温度和乙醇浓度对于乙醇的转化率影响最大。同时也反过来验证了我们在第一问中拟合函数选择的合理性，即乙醇转化率相对于温度是呈指数型增长的。 + +# (2) C4 烯烃选择性影响因素分析 + +根据5.3.2.3中（2）回归方程可知， $x_6^2$ 的系数最大， $x_6$ 的系数次之，之后依次是 $x_6^3, x_2x_6$ 的系数，且 $x_6^2, x_6, x_6^3$ 的系数远远大于其他的项。这说明温度对于C4烯烃选择性的显著性影响最大。且因为 $x_6^2, x_6, x_6^3$ 的系数很大，同时也反过来验证了第一问我们选取三次多项式拟合的合理性。 + +综上所述, 对于乙醇的转化率, 温度对于结果的显著性影响最大, 其次是乙醇浓度; 而对于 C4 烯烃选择性, 也是温度对于结果的影响最大。 + +# 5.4 问题三：以 C4 烯烃收率尽可能高为目标的方案选取 + +根据题目可知，C4烯烃收率 $\omega =$ 乙醇转化率 $\eta \times C4$ 烯烃选择性 $z$ 。为了求解出以C4烯烃收率尽可能高为目标的方案，我们首先考虑将问题二中求解出的具体方程相乘得出C4烯烃收率与催化剂组合、温度等变量的函数关系。但由于问题三缺乏等式与不等式约束，导致利用非线性规划求解时，在搜寻最优解的过程中易陷入多次迭代的误区，只能找到局部最优解，且结果与实际情况误差较大。考虑到现有数据集具有非线性特征，结合BP神经网络具有非线性映射能力、自学习及自适应能力、泛化能力、容错能力等特征，因此我们考虑利用BP神经网络进行建模及求解。 + +# 5.4.1基于BP神经网络模型对于相同实验条件下最优方案的选取 + +# 5.4.1.1BP神经网络原理 + +我们首先需要定量地研究不同催化剂组合对于C4烯烃选择性的影响，考虑引入人工神经元模型，下图展示了人工神经网络基本单元的神经模型[3] + +![](images/0d428d951a4fbfa44ba2cde756c73467889a07969fc243f14461246286629fec.jpg) +图5.4-1：人工神经网络基本单元的神经模型 + +在这里输入信号 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{6}$ 的含义与前文相同。我们可以通过这六个数据来确定一种催化剂的组合和温度，输出值 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 分别表示乙醇转化率，C4 烯烃选择性和 C4 烯烃收率。对于该种人工神经元模型有三个基本要素： + +(1) 一组连接, 连接强度由连接上的权值表示, 权值正表示激活, 负表示抑制。 +（2）一个求和单元，可用于求取输入信号，即催化剂组合的加权和。 +(3) 一个非线性激活函数, 起到非线性映射的作用并将输出限制在一定范围。在这里转化率, 选择性和收率的范围均为(0,1)。 + +上面几点可用数学表达式表示为 + +$$ +u _ {k} = \sum_ {j = 1} ^ {6} w _ {k j} x _ {j}, v _ {k} = u _ {k} - \theta_ {k}, y _ {k} = \phi (v _ {k}), k = 1, 2, 3 \tag {5.4.1} +$$ + +其中 $w_{k1}, w_{k2}, \ldots, w_{k6}$ 为神经元 $k$ 的权值， $u_k$ 为线性组合的结果， $\theta_k$ 为阈值， $\phi$ 为激活函数。激活函数 $\phi$ 可能会有阶梯函数，分段线性函数和 sigmoid 函数等。 + +这里我们使用的BP（Back Propagation）神经网络具有三层或三层以上的多层神经网络，每一层都有如上述所示的若干个神经元组成。一般来说BP网络的 + +学习算法有四个步骤： + +（1）初始化网络和学习参数。 +（2）提供训练模式，训练网络，直到满足学习需求。 +（3）前向传播过程：即输入不同的催化剂组合参数，计算输出值 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ ，与期望模式比较。如有误差，执行步骤（4），否则返回步骤（2）。 +(4) 反向传播过程: 计算同一层单元的误差, 修正权值 $w_{k1}, w_{k2}, \ldots, w_{k6}$ 和阈值 $\theta_{k}$ , 返回步骤 (2)。 + +# 5.4.1.2利用Matlab的神经网络工作箱NeuralNetFitting训练模型 + +我们将自变量作为输入，因变量作为目标导入神经网络工作箱，并按照一定的比例将这些样本分为三类进行处理：训练集（70%）、检验集（15%）、测试集（15%）。 + +# (1) 自变量及因变量的选取 + +其中, 自变量我们保留 $C_{0} / S i O_{2}$ 的质量 $M_{C_{0} / S i O_{2}}$ 、HAP 的质量 $M_{H A P}$ 、 $C_{0}$ 负载量 $(C_{0}$ 与 $S i O_{2}$ 的质量比) $P_{2}$ 、乙醇浓度 $c$ 及温度 $T_{\circ}$ 考虑到在神经网络中已知 $C_{0} / S i O_{2}$ 的质量 $M_{C_{0} / S i O_{2}}$ 与 HAP 的质量 $M_{H A P}$ 即可推知 $C_{0} / S i O_{2}$ 与 HAP 的装料比（质量比） $P_{1}$ , 故将其删去, 共计 5 个自变量。 + +对于因变量，由于题中要求我们计算最大的C4烯烃的收率，且已知：C4烯烃的收率ω = 乙醇转化率η × C4烯烃选择性z，故只需一个因变量即可。 + +# （2）神经元个数及模型训练方法的确定 + +接下来我们需要选定隐藏神经元的个数以及模型的训练方法来完成对模型的训练。经过大量的尝试，最终我们选用隐藏神经元个数为5，模型训练方法为贝叶斯正则化。 + +![](images/e078dd942f927a95db06c08210e7d682eba097c18bd10f9c596663efb64840dd.jpg) +图5.4-2：针对该问题的5个输入5个神经元的BP神经网络模型 + +# 5.4.1.3 各参数的检验 + +完成模型的训练后，我们对其参数进行检验： + +# (1) 训练数据结果分析 + +由下图结果可知，在第493代时达到了最优的训练效果，并以这一代的模型作为训练模型。 + +![](images/2461f702edaefeb6d2afddd9ad58d5c987075bce15ac20fdcb2e6ad40bfe0bcc.jpg) +图5.4-3：第493代时最优训练效果 + +# (2) 训练数据梯度与均方误差之间的关系 + +由下图可知，训练数据的梯度与均方误差都随着代数的增加而渐趋稳定，可以看出训练模型的结果较为稳定。 + +![](images/ed50437af03a45123a2802ce10e1ab911621b22085017d550abc2d45766ba27f.jpg) +图5.4-4：训练数据梯度与均方误差变化图 + +# (3) 训练数据的历史残差 + +由下图可知，历史残差大致成正态分布，在高次迭代中可以被接受。 + +![](images/4d2a1b26d521a600c2e12aa73a82514fd4908c102bda1f6374093eb630f16c44.jpg) +图5.4-5：训练数据的历史残差图 + +# （4）训练集、测试集及全部数据的R值 + +由下图分析可知，三组数据的R值都出于接近1的水平，可以看出该模型的拟合优度很高。 + +![](images/2864223fe49673a3e256dadb8b1d44b0c135b63de40e0fc1105c1e22c3f07a28.jpg) +图5.4-6：训练数据的历史残差图 + +![](images/d6d104825e65ae8afd0163189ee92217fe7e8a0304e4db7c3f8fc2c801c7fd76.jpg) + +![](images/6348f0a6b698d5fb8601375713101da20fb6100a0e1661cccef3e4ea78ec4b91.jpg) + +综上（1）-（4），该模型经BP神经网络训练后的结果可以被接受。 + +# 5.4.1.4相同实验条件下最优方案 + +接下来，我们按照现有的实验条件，对各个自变量的所有取值进行组合，通过训练出的模型遍历所有的组合，记录其中最大的C4烯烃收率，以及当C4烯烃收率取得最大值时的所有自变量取值。结果如下： + +最大的C4烯烃收率：51.31% + +催化剂组合：200mg 0.5wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度 0.3ml/min + +温度：450度 + +# 5.4.2 温度低于350度时最优方案的选取 + +若使温度低于350度，则只需将上述变量中温度 $T$ 取值高于350度的数据剔除，对于剩余的变量，按照上述的BP神经网络模型进行分析，计算其最大的C4烯烃收率。 + +此时的BP神经网络训练指标如下： + +![](images/e7cd9fef313ece9eaffa62e4e706c40042a6c533a81d96c9e9f7ca9d1a3093bf.jpg) + +![](images/e9d87763eddf2da463a87b6781e230f9319095c2ab0c2b00042f1d40766a3dd3.jpg) + +![](images/f659ff81f9d3bbbb90b3fb41584183ded9eabc5ed4c9df12b8043459e265bc78.jpg) +图5.4-7：温度低于350度时各参数图 + +![](images/00a9b1b41f61c0ee4d0847badd7fa991e9ace320afbdf3c7d5ad6f91ce047663.jpg) + +经分析可知，该模型经BP神经网络训练后的结果可以被接受。 + +当温度低于350度时，BP神经网络模型求解出的最大的C4烯烃收率结果如下： + +最大的C4烯烃收率：38.47% + +催化剂组合：200mg 2wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度 2.1ml/min + +温度：350度 + +# 5.5 问题四：增加5次实验的设计方案 + +为了给出增加5次实验的具体设计方案，这需要结合前三问分析得出的结论与建立的BP神经网络模型，在此基础上进行增加实验的设计。我们从寻找全局最优解和对第三问模型进行检验两个角度出发，设计出2组5次实验： + +第1组实验用于寻找C4烯烃收率在全局范围内的最优峰值，根据通过欧式距离建立的广度模型以及在神经网络模型中确定的各个自变量权重，我们可以初步确定C4烯烃的收率在全局范围内存在一个峰值，由于在出现峰值前C4烯烃的收率单调递增，在出现峰值后C4烯烃的收率单调递减，因此我们需在峰值前、峰值处、峰值后各做3次实验，依此确定峰值的合理性。 + +第2组实验则用于验证问题三中求解出的两组最优值是否符合预测值，我们在问题三中利用神经网络模型对全温度、低于350度的现有实验条件进行了搜索，但找到的只是我们通过模型得到的预测值，因此我们需要对全温度、低于350度的数据各进行一次实验，以此比较实验值与预测值的差距，并进行误差分析。 + +# 5.5.1 增加实验设计方案模型的建立 + +# 5.5.1.1 基于欧式距离的权重搜索模型 + +根据前文模型建立过程可知，我们可通过五个数据来确定一组催化剂和温度的组合，即 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5})$ 。记附件1中所有已经进行过的共114组实验组合为矩阵 $P$ ，其中 + +$$ +P = \left[ \begin{array}{c c c} x _ {1 1} & \dots & x _ {1 5} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x _ {1 1 4, 1} & \dots & x _ {1 1 4, 5} \end{array} \right] \tag {5.5.1} +$$ + +我们考虑进行一些与已做实验差距较大的实验，故可利用加权的欧式距离来做。因为数量级的差距巨大，首先需要进行标准化处理，这里我们选用Min-Max标准化方法： + +先对 $x_{i}$ 设置一个范围，使得 $x_{i}$ 的数据选择只能在该范围内，不妨假设 $x_{i} \in [\min x_{i}, \max x_{i}]$ ，然后据此我们对所有的数据进行标准化处理，记 + +$$ +\widehat {x _ {k t}} = \frac {x _ {k i} - \min x _ {i}}{\max x _ {i} - \min x _ {i}} \tag {5.5.2} +$$ + +下面假设我们选取的催化剂和温度组合为 $(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, x_{3}^{*}, x_{4}^{*}, x_{5}^{*})$ ，对于每一种变量赋予一个权重 $w_{i}, i = 1, 2, 3, 4, 5$ 。这是因为在实验过程中，各个变量对于结果的影响并不相同，对于结果影响较大的需要赋予更大的权重。然后将所有的欧式距离加权并加和，可得距离的平方为 + +$$ +d ^ {2} = \sum_ {j = 1} ^ {1 1 4} \sum_ {i = 1} ^ {5} w _ {i} \left(x _ {i} ^ {*} - x _ {j i}\right) ^ {2} \tag {5.5.3} +$$ + +所以我们的目标函数为 + +$$ +y = \max \sum_ {j = 1} ^ {1 1 4} \sum_ {i = 1} ^ {5} w _ {i} \left(x _ {i} ^ {*} - x _ {j i}\right) ^ {2} \tag {5.5.4} +$$ + +相应的约束为 $(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, x_{3}^{*}, x_{4}^{*}, x_{5}^{*})$ 的取值上下界。 + +# 5.5.2增加实验设计方案模型的求解 + +# 5.5.2.1前3次实验：寻找C4烯烃收率在全局范围内的最优峰值 + +由于模型中的变量有5个，因此无法直观地看出这五维的欧式距离。这里我们可以在第三问中由神经网络模型得到5个变量的权重为： + +$$ +W e i g t h = [ 2 2. 8 3, 3 5. 9 0, - 4. 4 4, - 1 0. 9 0, 6 9. 9 9 ] +$$ + +基于此我们可以在全局搜索，发现若不局限于附件一中21组实验的实验条件，C4烯烃收率在全局范围内仍然存在一个要高于第三间中局部最优值的全局最优值。 + +经模型搜索，该全局最优值为一个峰值，即C4烯烃的收率在达到这个最优值前单调增加，在达到这个最优值后单调减少（该单调性可能不严格，即存在偶然性数据，但总体趋势呈现为单调）。 + +该全局的最优值约在 $X = [500, 500, 0.01, 0.9, 450]$ 附近，即催化剂组合 $500\mathrm{mg}1\mathrm{wt}\% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO}_2 - 500\mathrm{mgHAP}$ -乙醇浓度 $0.9\mathrm{ml} / \mathrm{min}$ ，温度 $450$ 度。又由变量权重Weigth可知，Co负载量（Co与 $\mathsf{SiO}_2$ 的质量比） $P_{2}$ 、乙醇浓度c所占权值较小，因此在设计实验时我们可将这两项固定在 $1\mathrm{wt}\%$ ， $0.9\mathrm{ml} / \mathrm{min}$ ，不断改进Co/SiO2的质量 $M_{C_0 / S_iO_2}$ 、HAP的质量 $M_{HAP}$ 以及温度 $T$ 来确定峰值的具体位置。 + +据此，我们可设计三组实验来寻找峰值： + +(1) 催化剂组合: $400 \mathrm{mg} 1 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 400 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}-$ 乙醇浓度 $0.9 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 400 度 +(2) 催化剂组合: $500 \mathrm{mg} 1 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 500 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}-$ 乙醇浓度 $0.9 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 450 度 +(3) 催化剂组合: $600 \mathrm{mg} 1 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 600 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}$ -乙醇浓度 $0.9 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: $500$ 度 + +# 5.5.2.2后2次实验：验证问题三中求解出的两组最优值是否符合预测值 + +在问题三中，我们分别在全部温度、温度低于350度的条件下，按照现有的实验条件找到了使C4烯烃收率尽可能高的催化剂组合及温度。但是，在问题三中我们仅仅使根据神经网络模型搜索出的一个预测值，因此在这里我们设计两组实验来验证我们的预测结果，并将实际的实验值与预测值进行比较，实现进一步的误差分析。 + +据此，我们可设计两组实验来寻找峰值： + +(1) 催化剂组合: $200 \mathrm{mg} 0.5 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 200 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}-$ 乙醇浓度 $0.3 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 450 度 +(2) 催化剂组合: $200 \mathrm{mg} 2 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 200 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}-$ 乙醇浓度 $2.1 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 350 度 + +# 5.5.3增加5次实验的具体设计方案 + +综上，我们共设计如下5组实验： + +(1) 催化剂组合: $400 \mathrm{mg} 1 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 400 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}-$ 乙醇浓度 $0.9 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 400 度 +(2) 催化剂组合: $500 \mathrm{mg} 1 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 500 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}-$ 乙醇浓度 $0.9 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 450 度 +(3) 催化剂组合: $600 \mathrm{mg} 1 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 600 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}-$ 乙醇浓度 $0.9 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 500 度 +(4) 催化剂组合: $200 \mathrm{mg} 0.5 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 200 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}$ -乙醇浓度 $0.3 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 450 度 +(5) 催化剂组合: $200 \mathrm{mg} 2 \mathrm{wt} \% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO} 2 - 200 \mathrm{mg} \mathrm{HAP}-$ 乙醇浓度 $2.1 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 温度: 350 度 + +# 六、结果检验和误差分析 + +# 6.1 问题三结果检验 + +第二问回归分析得到了两个回归方程，分别对应乙醇转化率和C4烯烃选择性。他们调整过后的R²分别是0.934994和0.802786，是符合>0.8的标准的。而我们在第三问中利用神经网络来预测时，C4烯烃收率的神经网络R²高达0.98。这说明利用神经网络学习的结果很好，具有可靠性。又因为C4烯烃收率为乙醇转化率乘C4烯烃选择性，如果我们使用两个回归方程相乘得到的关于C4烯烃收率的R²显然小于0.98。所以在第三问中选择用神经网络预测而非回归分析，这样可以大大减少误差。 + +# 6.2 误差分析 + +(1) 第一问的前半部分我们找到了不同的函数对数据中的点进行拟合, 拟合效果较好。但可能存在更优的函数。 +(2) 第二问中, 虽然我们得到的 $R^{2}$ 都达到了 0.8 的水平, 但是仍然有提高的空间。 +（3）第三问中，如果选取不同的神经元个数可能会获得不同的结果。如果在选取相同神经元个数的情况下，重复训练也可能得到不同结果，每一次运行结果都有误差，并不稳定。 +（4）在第四问中，对不同变量选取了不同的权重。权重的不确定性可能会导致误差的出现。 + +# 七、模型评价 + +# 7.1模型优点 + +（1）模型在一定程度上准确且巧妙的描述了问题，并做出了一些简化，易于理解和解答。 +（2）第一问对于函数的拟合效果较好，每个函数拟合出的R²都很接近1。 +（3）第二问中我们根据第一问拟合的函数，对数据进行了优化，如取对数，增加二次项，归一化处理等。这样能很好反应哪些因素的影响更大。 +（4）第三问中的R²的很接近1，说明拟合的效果很好。 +（5）第四问通过设计实验，能够很好地验证前三问模型的合理性。 +（6）程序运行时间较少，空间占用很小。 + +# 7.2 模型缺点 + +（1）回归分析的R2有待进行更多的提升。 +(2)BP神经网络存在缺点,如收敛速度慢,网络易陷于局部极小,学习过程常常会发生震荡。 + +# 7.3模型改进 + +(1)我们现有的解题方法是利用Matlab的神经网络工作箱进行机器学习。进一步地改进可以利用精度、效率更高的机器学习方式。 +(2) 回归分析中可以对数据进行进一步处理, 增加非线性的回归项, 以提高 $R^{2}$ 的值。 + +# 八、参考文献 + +[1]吕绍沛，乙醇偶合制备丁醇及C4烯烃[D].大连理工大学.2018. +[2]姜启源，谢金星叶俊，数学模型[M].第五版，高等教育出版社，2018. +[3]司守奎孙兆亮.数学建模算法与应用[M].第2版.国防工业出版社，2019. + +# 附录 + +# 参考文献 + +乙醇偶合制备丁醇及C_4烯烃_吕绍沛.caj（见支撑材料） + +问题一： + +支撑材料清单： + +
1、第一问 A1-B7 关系图 docx
2、A1.opju-A14.opju
3、A_group1-7.opju
4、B1.opju-b7.opju
5、B_group1-7.opju
6、乙醇转化率.opju
7、sandian.m
8、tuxiang1.m
9、tuxiang2.m
10、tuxiang3.m
11、tuxiang4.m
12、A12B1.m
+ +# 1、第一问A1-B7关系图docx + +A1: 200mg 1wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/fac76aa39b2f83be2480f3cb0db9639846e1eaa211e050e8e9b8aaac215d9eef.jpg) + +![](images/e87bd1d4430ab7cb0e0647b12d042a848d2beb9128f97896a7a015cae89df3de.jpg) + +A2: 200mg 2wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/1ee5fdabe5fa76e951e5bf7607407fe50726e5ad772525c1c1c4cd2890bfad84.jpg) + +![](images/09cfdd3f10beabbed30c73d7a1778c4b527afe8869e697a542d8f6fa47f14f33.jpg) + +![](images/71f0f42410ffcccd4f26896e565d68ffd3c70e118bce36ce6945131d140ecc39.jpg) +A3: 200mg 1wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度 0.9ml/min + +![](images/ad5549a19bfe0c5e963feb0752b11175707a249dfa7fac117e343d6f639c0003.jpg) + +![](images/9b75352d606624330ce2bafa02e1c27557228c1cd687a84b9afd81a1167702c1.jpg) +A4: 200mg 0.5wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/787d3b2a759c8e3e11aa004b8cead5e25442edfbc73a24448b6396e9914f1568.jpg) +A5: 200mg 2wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度 0.3ml/min + +![](images/323686d3939ea74ff8075e5b648cb94fdba4e2a218705325011a438b3f5e9683.jpg) +A6: 200mg 5wt%Co/SiO2-200mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/835a04620c2e89b90dc8613c22790e93b0a8f799a077985d35455d1e86577e73.jpg) + +![](images/1397cf5201e6e67247058b1bae50231231e7ce720fd9f5e02e79009fa43a3981.jpg) + +![](images/f90ec16e463aee6b3342cbca5724fe14a697b331b4087ac521ceb41a56252b4a.jpg) + +![](images/95d59846dea38f56b41000f57c535ac878fb245b9c3f995a1d71c9911d7cc258.jpg) +A7:50mg 1wt%Co/SiO2-50mg HAP-乙醇浓度 0.3ml/min + +![](images/195c6984d84fdb1d096eeab5ea8a2242ab86efe5b272dff6dfb1e53323908a53.jpg) + +![](images/80eb7062a0f1e728b549c69c711747ba7225f626e87388bbc3a908af06ba1f66.jpg) +A8：50mg 1wt%Co/SiO2-50mg HAP-乙醇浓度 0.9ml/min + +![](images/48fb7261083ec85166e936da3f71acd9fef8530f8444cf56a6138d2f562791f4.jpg) +A9:50mg 1wt%Co/SiO2-50mg HAP-乙醇浓度 2.1ml/min + +![](images/6edd76e413215d9a57b89b42562006ebf6c328665c053a4483d937a4c33792ad.jpg) + +![](images/4f52c949f8c4c249387869de8a69037dbdfbd69977240f4db295a39f8aaab631.jpg) + +![](images/9c35092649945bdd085da2153363297cfcda60013e73128e1c32d6dd3346091e.jpg) +A10: 50mg 5wt%Co/SiO2- 50mg HAP-乙醇浓度 2.1ml/min + +![](images/c089da00c6d0e31f7ed062752f3b360befe280082d937f952b8fc0e4a3b02187.jpg) +A11: 50mg 1wt%Co/SiO2+ 90mg 石英砂-乙醇浓度 1.68ml/min, 无 HAP + +![](images/30f4f8317d5bd73fb16ba95d7b52a71dd231fd2643a7c3e87a4051d49f55a318.jpg) +A12:50mg 1wt%Co/SiO2-50mg HAP-乙醇浓度1.68ml/min + +![](images/3d2957b3299d964fed6d82d26d9794c205778d389ef3facac3c64b34eabbe63b.jpg) + +![](images/23d030c7f7c1600ec28155897fe2e3cea2b57c495f1ecbb21ccf9bd7b42332da.jpg) +A13: 67mg 1wt%Co/SiO2-33mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/415d4bae86d0f53048944e0f88e7b2459bf745878675777317443db41da5c325.jpg) + +![](images/a3801f0679d96d62d26fa8bd2407097638292dada844388672a6ce31286c7681.jpg) +A14: 33mg 1wt%Co/SiO2-67mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/6713bb1d227fcf81869d77ae69423db9ae8671ab07322286bd39ec304387d02e.jpg) + +![](images/9cead3c769f938b6cebea2277948f35e701a37b9a246d9674b82d37ec54038bf.jpg) +B1:50mg 1wt%Co/SiO2-50mg HAP-乙醇浓度1.68ml/min + +![](images/9c0b568017932171a8f733f953e4fb6293af9ed3e91eccae4f303c387e937893.jpg) + +![](images/432202a2e6e7ca6966a17986ed9dd12be19f4a95cd8b191c40e6b35c61c4c756.jpg) +B2: 100mg 1wt%Co/SiO2-100mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/6f0758367171df675f572945b69bf3dcf435edb5ea0524bdebe23fbdf1ba0f63.jpg) + +![](images/ce0ac462efbac472a756f1631194c18c67f4babe39cf29177591b748c5083922.jpg) +B3: 10mg 1wt%Co/SiO2-10mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/6e4449b630d18179c827c14f873080778f27ab599ef3ab24e7d0c270aab60a02.jpg) + +![](images/bdf083dfbaa44608f1c48a32d9e0eef2d561b9c3fc7441ee45ac938e3319f23e.jpg) +B4: 25mg 1wt%Co/SiO2-25mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/ffa255b16f3f0ce984a2adf632125eb92567fc4e28c5845d8f12b850abf8153b.jpg) + +![](images/66d12a29459b42397d2aa9ca2645e05c89b3ba6d68e9600f7802ab9334a12a49.jpg) + +![](images/4b482e2ec6293d8a5b89c58f3f3ab3875d896f8eddd6b82d1b2672baee2f254f.jpg) + +![](images/0acd6e102aa2c35d8a0bb0a21c5700097abc79fcf9e6919ccbb2298354be469b.jpg) +B5: 50mg 1wt%Co/SiO2-50mg HAP-乙醇浓度 2.1ml/min + +![](images/1341f741e3fc2cdb2d21ffc309d73bc0faf1ecb4b838052b0a7254d77f182a0e.jpg) + +![](images/74f5339e7a52e7afdcc2907c64de391b434a18a2a748285a0b84e495cf13c1cf.jpg) +B6: 75mg 1wt%Co/SiO2-75mg HAP-乙醇浓度 1.68ml/min + +![](images/94cada3ab9de00247de3a2004d36ab93e7eb9f9e684ef776d7aface798017582.jpg) + +B7: 100mg 1wt%Co/SiO2-100mg HAP-乙醇浓度 0.9ml/min + +![](images/7bb0380ea91668341464212019df51e95f3f673ce1cc87afff6ae670fed8e75c.jpg) + +![](images/83b99f90b8a7f1e02fbf1d5f03cc692f6d4ea9f7dfba2537aac3d373d34fb44a.jpg) + +2、A1.opju-A14.opju +3、A_group1-7.opju +4、B1.opju-b7.opju +5、B_group1-7.opju +6、乙醇转化率.opju + +(以上无代码, 详见支撑材料) + +7、sandian.m + +
clc,clear
x1=[250 275 300 350 400];
y1=[2.8 4.4 6.2 16.2 45.1];
figure(1)
scatter(x1,y1,'r')
xlabel('温度'); %添加x轴信息
ylabel('乙醇转化率') %添加y轴信息
title('编号B2 乙醇转化率-温度（指数型）'); %添加标题
x2=[250 275 300 325 350];
y2=[4.60 17.20 38.92 56.38 67.88];
figure(2)
scatter(x2,y2,'r')
xlabel('温度'); %添加x轴信息
ylabel('乙醇转化率') %添加y轴信息
title('编号A2 乙醇转化率-温度（线性型）'); %添加标题
x3=[250 275 300 325 350];
y3=[34.05 37.43 46.94 49.7 47.21];
figure(3)
scatter(x3,y3,'r')
xlabel('温度'); %添加x轴信息
ylabel('C4 烯烃选择性') %添加y轴信息
title('编号A1 温度-C4 烯烃选择性（存在峰值）'); %添加标题
x4=[250 275 300 350 400];
y4=[5.4 9.68 16.1 31.04 42.04];
figure(4)
scatter(x4,y4,'r')
xlabel('温度'); % 添加 x 轴信息
ylabel('C4 烯烃选择性') % 添加 y 轴信息
title('编号 A9 温度-C4 烯烃选择性 (不存在峰值)'); % 添加标题
+ +# 8、tuxiang1.m + +
clc,clear
x1=[250 275 300 350 400];
y1=[1.4 3.4 6.7 19.3 43.6];
t=250:0.1:400;
s1=0.27947*t-73.14253;
s2=0.15982*exp(t/70.07161)-4.52592;
figure(1)
scatter(x1,y1,'r')
hold on
plot(t,s1)
plot(t,s2,'--')
xlabel('温度'); % 添加 x 轴信息
ylabel('乙醇转化率') % 添加 y 轴信息
title('编号 B1 乙醇转化率-温度'); % 添加标题
legend('数据点','线性型','指数型')
text(260,40,'$R_1^2=0.90075 R_2^2=0.99959$','interpreter','latex','FontSize',15)
text(260,35,'$y_1=0.28x-73.14$','interpreter','latex','FontSize',15)
text(260,30,'$y_2=0.16e^{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{ \cdot}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
4.52592$,'interpreter','latex','FontSize',15)
+ +# 9、tuxiang2.m + +
clc,clear
x1=[250 275 300 350 400];
y1=[2.19 1.65 2.17 3.3 10.29];
x=250:0.1:400;
s1=4.75158*10^(-6)*x.^3-0.00392*x.^2+1.0725*x-95.05633;
s2=1.1616*10^(-7)*x.^4-1.44728*10^(-4)*x.^3+0.06747*x.^2-13.92532*x+1074.37;
scatter(x1,y1,'r')
hold on
plot(x,s1)
plot(x,s2,'--')
xlabel('温度'); % 添加 x 轴信息
ylabel('C4 烯烃选择性') % 添加 y 轴信息
title('编号 A10 C4 烯烃选择性-温度'); % 添加标题
legend('数据点','三次型','四次型')
text(260,6,'$R_1^2=0.98291$,'',interpreter,'latex','FontSize',10)
text(260,7,'$R_2^2=1$,'',interpreter,'latex','FontSize',10)
text(260,8,'$y_1=4.75158 \times times 10^(-6)x^3-0.00392x^2+1.0725x-95.05633$,'',interpreter,'latex','FontSize',10)
text(260,10,'$y_2=1.1616 \times times 10^(-7)x^4-1.44728 \times times 10^(-4)x^3$,'',interpreter,'latex','FontSize',10)
text(260,9,'$+0.06747x^2-13.92532x+1074.37$,'',interpreter,'latex','FontSize',10)
+ +# 10、tuxiang3.m + +
clc,clear
x1=[20 70 110 163 197 240 273];
y1=[43.5 37.8 36.6 32.7 31.7 29.9 29.9];
x=20:0.1:300;
s1=19.23038*exp(-x/146.35902)+26.61316;
scatter(x1,y1,'r')
hold on
plot(x,s1)
xlabel('时间'); % 添加 x 轴信息
ylabel('乙醇转化率') % 添加 y 轴信息
title('乙醇转化率-时间'); % 添加标题
legend('数据点','拟合曲线')
text(100,40,'$y=19.23e^{\{-\frac{frac{x}{146.36}}\}+26.61}\{'interpreter', 'latex', 'FontSize',17)
text(150,38,'$R^2=0.98272\{'interpreter', 'latex', 'FontSize',17)
+ +# 11、tuxiang4.m + +
clc,clear
x1=[20 70 110 163 197 240 273];
y1=[17.37540804 14.56733047 13.42349545 12.93495022 12.35425379 12.03722565 11.67530575];
x=20:0.1:300;
s1=7.25775*exp(-x/81.88998)+11.62988;
scatter(x1,y1,'r')
hold on
plot(x,s1)
xlabel('时间'); % 添加 x 轴信息
ylabel('C4 烯烃收率') % 添加 y 轴信息
title('C4 烯烃收率-时间'); % 添加标题
legend('数据点','拟合曲线')
text(100,16,'$y=7.26e^{\{-\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
text(100,15,'$R^2=0.98806$', 'Interpreter', 'latex', 'FontSize', 17)
+ +# 12、A12B1.m + +
clc,clear all
T=[250 275 300 350 400];
A12=[0.089 0.28198 0.82567 5.01462 17.90901];
B1=[0.08895 0.28171 0.77579 4.43248 16.16619];
A121=[1.4 3.5 6.9 19.9 44.5];
A122=[6.17 8.11 11.22 22.26 36.3];
B11=[1.4 3.4 6.7 19.3 43.6];
B12=[6.32 8.25 12.28 25.97 41.08];
figure(1)
scatter(T,A12,'*b');hold on;
scatter(T,B1,'or');hold on;
plot(T,A12,'-b');hold on;
plot(T,B1,'--r');
title('C4 烯烃收率-温度对比图')
xlabel('温度')
ylabel('C4 烯烃收率')
legend('A12','B1')
figure(2)
scatter(T,A121,'*b');hold on;
scatter(T,B11,'or');hold on;
plot(T,A121,'-b');hold on;
plot(T,B11,'--r');
title('乙醇转化率-温度对比图')
xlabel('温度')
ylabel('乙醇转化率')
legend('A12','B1')
figure(3)
scatter(T,A122,'*b');hold on;
scatter(T,B12,'or');hold on;
plot(T,A122,'-b');hold on;
plot(T,B12,'--r');
title('C4 烯烃选择性-温度对比图')
xlabel('温度')
ylabel('C4 烯烃选择性')
legend('A12','B1')
+ +# 问题二： + +# 支撑材料清单： + +
1、main.m
2、pre_main.m
3、reglm.m
+ +# 1、main.m + +
clear all
clc
data_1 = xsread('附件1.xlsx');
A_num = 14; B_num = 7;
A_1 = data_1(1:5,:); A_2 = data_1(6:10,:); A_3 = data_1(11:17,:); A_4 = data_1(18:23,:);
A_5 = data_1(24:29,:); A_6 = data_1(30:34,:); A_7 = data_1(35:39,:); A_8 = data_1(40:44,:);
A_9 = data_1(45:49,:); A_10 = data_1(50:54,:); A_11 = data_1(55:59,:);
A_12 = data_1(60:64,:); A_13 = data_1(65:69,:); A_14 = data_1(70:74,:);
B_1 = data_1(75:79,:); B_2 = data_1(80:84,:); B_3 = data_1(85:90,:); B_4 = data_1(91:96,:);
B_5 = data_1(97:102,:); B_6 = data_1(103:108,:); B_7 = data_1(109:114,:);
data_return = zeros(114,8);
for i = 1:5
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_1(i,1); data_return(i,7) = A_1(i,2); data_return(i,8) = A_1(i,4);
end
for i = 6:10
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.02; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_2(i-5,1); data_return(i,7) = A_2(i-5,2); data_return(i,8) = A_2(i-5,4);
end
for i = 11:17
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
+ +```matlab +data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9; +data_return(i,6) = A_3(i-10,1); data_return(i,7) = A_3(i-10,2); data_return(i,8) = A_3(i-10,4); +end +for i = 18 : 23 + data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.005; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = A_4(i-17,1); data_return(i,7) = A_4(i-17,2); data_return(i,8) = A_4(i-17,4); +end +for i = 24 : 29 + data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.3; + data_return(i,6) = A_5(i-23,1); data_return(i,7) = A_5(i-23,2); data_return(i,8) = A_5(i-23,4); +end +for i = 30 : 34 + data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.05; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = A_6(i-29,1); data_return(i,7) = A_6(i-29,2); data_return(i,8) = A_6(i-29,4); +end +for i = 35 : 39 + data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.3; + data_return(i,6) = A_7(i-34,1); data_return(i,7) = A_7(i-34,2); data_return(i,8) = A_7(i-34,4); +end +for i = 40 : 44 + data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9; + data_return(i,6) = A_8(i-39,1); data_return(i,7) = A_8(i-39,2); data_return(i,8) = A_8(i-39,4); +end +for i = 45 : 49 + data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 2.1; + data_return(i,6) = A_9(i-44,1); data_return(i,7) = A_9(i-44,2); data_return(i,8) = A_9(i-44,4); +``` + +
end
for i = 50 : 54
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.05; data_return(i,5) = 2.1;
data_return(i,6) = A_10(i-49,1); data_return(i,7) = A_10(i-49,2); data_return(i,8) = A_10(i-49,4);
end
for i = 55 : 59
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 0;
data_return(i,3) = 0; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_11(i-54,1); data_return(i,7) = A_11(i-54,2); data_return(i,8) = A_11(i-54,4);
end
for i = 60 : 64
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_12(i-59,1); data_return(i,7) = A_12(i-59,2); data_return(i,8) = A_12(i-59,4);
end
for i = 65 : 69
data_return(i,1) = 67; data_return(i,2) = 33;
data_return(i,3) = 0.5; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_13(i-64,1); data_return(i,7) = A_13(i-64,2); data_return(i,8) = A_13(i-64,4);
end
for i = 70 : 74
data_return(i,1) = 33; data_return(i,2) = 67;
data_return(i,3) = 2; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_14(i-69,1); data_return(i,7) = A_14(i-69,2); data_return(i,8) = A_14(i-69,4);
end
for i = 75 : 79
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = B_1(i-74,1); data_return(i,7) = B_1(i-74,2); data_return(i,8) = B_1(i-74,4);
end
for i = 80 : 84
data_return(i,1) = 100; data_return(i,2) = 100;
+ +```matlab +data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; +data_return(i,6) = B_2(i-79,1); data_return(i,7) = B_2(i-79,2); data_return(i,8) = B_2(i-79,4); +end +for i = 85:90 + data_return(i,1) = 10; data_return(i,2) = 10; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = B_3(i-84,1); data_return(i,7) = B_3(i-84,2); data_return(i,8) = B_3(i-84,4); +end +for i = 91:96 + data_return(i,1) = 25; data_return(i,2) = 25; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = B_4(i-90,1); data_return(i,7) = B_4(i-90,2); data_return(i,8) = B_4(i-90,4); +end +for i = 97:102 + data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 2.1; + data_return(i,6) = B_5(i-96,1); data_return(i,7) = B_5(i-96,2); data_return(i,8) = B_5(i-96,4); +end +for i = 103:108 + data_return(i,1) = 75; data_return(i,2) = 75; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = B_6(i-102,1); data_return(i,7) = B_6(i-102,2); data_return(i,8) = B_6(i-102,4); +end +for i = 109:114 + data_return(i,1) = 100; data_return(i,2) = 100; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9; + data_return(i,6) = B_7(i-108,1); data_return(i,7) = B_7(i-108,2); data_return(i,8) = B_7(i-108,4); +end +data_return = [data_return, data_return(:,3).^2, data_return(:,4).^2, data_return(:,5).^2, data_return(:,6).^2, data_return(:,7), data_return(:,8)]; +data_return(:,7:8) = [data_return(:,1).^2, data_return(:,2).^2]; +``` + +
data_return=[data_return,data_return(:,1).*data_return(:,4),data_return(:,1).*data_return(:,5),data_return(:,1).*data_return(:,6)];
data_return=[data_return,data_return(:,2).*data_return(:,3),data_return(:,2).*data_return(:,4),data_return(:,2).*data_return(:,5),data_return(:,2).*data_return(:,6)];
data_return=[data_return,data_return(:,3).*data_return(:,4),data_return(:,3).*data_return(:,6)];
data_return=[data_return,data_return(:,4).*data_return(:,5),data_return(:,4).*data_return(:,6),data_return(:,6),data_return(:,13),data_return(:,14)];
data_return(:,13:14) = [data_return(:,1).*data_return(:,2),data_return(:,1).*data_return(:,3)];
for i = 1:114
data_return(i,28) = log(data_return(i,28));
end
data_return = [data_return,data_return(:,29)];
data_return(:,29) = data_return(:,28);
data_return(:,28) = data_return(:,6).^3;
for i = 1:30
mean_data = mean(data_return(:,i));
std_data = std(data_return(:,i));
for j = 1:114
data_return(j,i) = (data_return(j,i)-mean_data)/std_data;
end
end
x=data_return(:,1:28);%读取自变量数据矩阵
y1=data_return(:,29);%读取因变量数据矩阵
reglm(y1,x)
%逐步回归
inmodel=1:28; %进入模型的变量为前7个
stepwise(x,y1,inmodel) %逐步回归
b=lasso(x,y1)%lasso回归也可以用岭回归
cr=corr(x) %查看自变量数据矩阵的相关系数矩阵
y2=data_return(:,30);
reglm(y2,x)
inmodel=1:28;
stepwise(x,y2,inmodel)
b=lasso(x,y2) %lasso 回归
%%%%主成分回归
xz=zscore(x);%数据标准化
[coeff, score, latent, tsquare, explained]=pca(xz) %由观测数据矩阵作分析
z1=score(:, [1:28]);
reglm(y1,z1)%发现第二个主成分得分量对因变量影响不显著 (p>0.05),因而删除它!
z1=score(:, [1:28]);
reglm(y1,z1)
%若只考虑前三个主成分,则拟合优度大大降低
z1=score(:, [1:3]);
reglm(y1,z1)
%计算因变量对原始自变量的回归方程系数
xn=zscore(x);
yn=zscore(y1);
d=xn*coeff;
st=coeff(:, [1:28])* (d(:, [1:28])\yn);
st2=[mean(y1)-std(y1)*mean(x). / std(x)*st, std(y1)*st'. / std(x)],
%直接考虑前三个主成分时的回归方程式
st=coeff(:, [1:3])* (d(:, [1:3])\yn);
st3=[mean(y1)-std(y1)*mean(x). / std(x)*st, std(y1)*st'. / std(x)],
%偏最小二乘回归
%只考虑一个因变量时
mu=mean(data_return(:, 1:29));sig=std(data_return(:, 1:29));%求均值和标准差
ab=zscore(data_return(:, 1:29));%数据标准化
a=ab(:, [1:28]);b1=ab(:, 29);
[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsrgress(a,b1)%观测整体所有成分对的情况
ncomp=3;%根据整体情况,选择成分的对数
[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsrgress(a,b1,ncomp)
contr=cumsum(PCTVAR,2)%求累积贡献率
n size(a,2); m size(b1,2); %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
BETA2(1,:)=mu(n+1:end)-mu(1:n). / sig(1:n)*BETA([2:end],:).*sig(n+1:end); % 原始数据回归方程的常数项
BETA2([2:n+1],:)=(1./sig(1:n))'*sig(n+1:end).*BETA([2:end],:)%计算原始自变量
x1,...,xn 的系数，每一列是一个回归方程
%考虑所有因变量时
mu=mean(data_return);sig=std(data_return); %求均值和标准差
ab=zscore(data_return); %数据标准化
a=ab(:,[1:28]);b=ab(:,29:30);
[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsrgress(a,b)%观测整体所有成分对的情况
contr=cumsum(PCTVAR,2)
ncomp=3; %根据整体情况，选择成分的对数
[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsrgress(a,b,ncomp)
contr=cumsum(PCTVAR,2)%求累积贡献率
n size(a,2); m size(b,2); %n是自变量的个数,m是因变量的个数
BETA(1,:)=mu(n+1:end)-mu(1:n).sig(1:n)*BETA([2:end],:).*sig(n+1:end); %原始数据回归方程的常数项
BETA(2:n+1,:)=(1./sig(1:n))'*sig(n+1:end).*BETA([2:end],:)%计算原始自变量x1,...,xn的系数，每一列是一个回归方程
+ +# 2、pre_main.m + +
clear all
clc
data_1 = xsread('附件1.xlsx');
A_num = 14; B_num = 7;
A_1 = data_1(1:5,:); A_2 = data_1(6:10,:); A_3 = data_1(11:17,:); A_4 = data_1(18:23,:);
A_5 = data_1(24:29,:); A_6 = data_1(30:34,:); A_7 = data_1(35:39,:); A_8 = data_1(40:44,:);
A_9 = data_1(45:49,:); A_10 = data_1(50:54,:); A_11 = data_1(55:59,:);
A_12 = data_1(60:64,:); A_13 = data_1(65:69,:); A_14 = data_1(70:74,:);
B_1 = data_1(75:79,:); B_2 = data_1(80:84,:); B_3 = data_1(85:90,:); B_4 = data_1(91:96,:);
B_5 = data_1(97:102,:); B_6 = data_1(103:108,:); B_7 = data_1(109:114,:);
data_return = zeros(114,8);
for i = 1:5
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_1(i,1); data_return(i,7) = A_1(i,2); data_return(i,8) = A_1(i,4);
end
for i = 6:10
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
+ +```matlab +data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.02; data_return(i,5) = 1.68; +data_return(i,6) = A_2(i-5,1); data_return(i,7) = A_2(i-5,2); data_return(i,8) = A_2(i-5,4); +end +for i = 11:17 + data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9; + data_return(i,6) = A_3(i-10,1); data_return(i,7) = A_3(i-10,2); data_return(i,8) = A_3(i-10,4); +end +for i = 18:23 + data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.005; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = A_4(i-17,1); data_return(i,7) = A_4(i-17,2); data_return(i,8) = A_4(i-17,4); +end +for i = 24:29 + data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.3; + data_return(i,6) = A_5(i-23,1); data_return(i,7) = A_5(i-23,2); data_return(i,8) = A_5(i-23,4); +end +for i = 30:34 + data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.05; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = A_6(i-29,1); data_return(i,7) = A_6(i-29,2); data_return(i,8) = A_6(i-29,4); +end +for i = 35:39 + data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.3; + data_return(i,6) = A_7(i-34,1); data_return(i,7) = A_7(i-34,2); data_return(i,8) = A_7(i-34,4); +end +for i = 40:44 + data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9; + data_return(i,6) = A_8(i-39,1); data_return(i,7) = A_8(i-39,2); data_return(i,8) = A_8(i-39,4); +``` + +
end
for i = 45 : 49
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 2.1;
data_return(i,6) = A_9(i-44,1); data_return(i,7) = A_9(i-44,2); data_return(i,8) = A_9(i-44,4);
end
for i = 50 : 54
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.05; data_return(i,5) = 2.1;
data_return(i,6) = A_10(i-49,1); data_return(i,7) = A_10(i-49,2); data_return(i,8) = A_10(i-49,4);
end
for i = 55 : 59
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 0;
data_return(i,3) = 0; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_11(i-54,1); data_return(i,7) = A_11(i-54,2); data_return(i,8) = A_11(i-54,4);
end
for i = 60 : 64
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_12(i-59,1); data_return(i,7) = A_12(i-59,2); data_return(i,8) = A_12(i-59,4);
end
for i = 65 : 69
data_return(i,1) = 67; data_return(i,2) = 33;
data_return(i,3) = 0.5; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_13(i-64,1); data_return(i,7) = A_13(i-64,2); data_return(i,8) = A_13(i-64,4);
end
for i = 70 : 74
data_return(i,1) = 33; data_return(i,2) = 67;
data_return(i,3) = 2; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_14(i-69,1); data_return(i,7) = A_14(i-69,2); data_return(i,8) = A_14(i-69,4);
end
for i = 75 : 79
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
+ +```matlab +data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; +data_return(i,6) = B_1(i-74,1); data_return(i,7) = B_1(i-74,2); data_return(i,8) = B_1(i-74,4); +end +for i = 80:84 + data_return(i,1) = 100; data_return(i,2) = 100; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = B_2(i-79,1); data_return(i,7) = B_2(i-79,2); data_return(i,8) = B_2(i-79,4); +end +for i = 85:90 + data_return(i,1) = 10; data_return(i,2) = 10; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = B_3(i-84,1); data_return(i,7) = B_3(i-84,2); data_return(i,8) = B_3(i-84,4); +end +for i = 91:96 + data_return(i,1) = 25; data_return(i,2) = 25; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = B_4(i-90,1); data_return(i,7) = B_4(i-90,2); data_return(i,8) = B_4(i-90,4); +end +for i = 97:102 + data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 2.1; + data_return(i,6) = B_5(i-96,1); data_return(i,7) = B_5(i-96,2); data_return(i,8) = B_5(i-96,4); +end +for i = 103:108 + data_return(i,1) = 75; data_return(i,2) = 75; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68; + data_return(i,6) = B_6(i-102,1); data_return(i,7) = B_6(i-102,2); data_return(i,8) = B_6(i-102,4); +end +for i = 109:114 + data_return(i,1) = 100; data_return(i,2) = 100; + data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9; + data_return(i,6) = B_7(i-108,1); data_return(i,7) = B_7(i-108,2); data_return(i,8) = B_7(i-108,4); +``` + +
end
data_return = [data_return,data_return(:,8)]; +for i = 1:114
data_return(i,8) = log(data_return(i,7)); +end
data_return(:,7) = data_return(:,6).^3;
x=data_return(:,1:7);%读取自变量数据矩阵
y1=data_return(:,8);%读取因变量数据矩阵
reglm(y1,x)
%逐步回归
inmodel=1:7; %进入模型的变量为前7个
stepwise(x,y1,inmodel) %逐步回归
b=lasso(x,y1) %lasso 回归 也可以用岭回归
cr=corr(x) %查看自变量数据矩阵的相关系数矩阵
y2=data_return(:,9);
reglm(y2,x)
inmodel=1:7;
stepwise(x,y2,inmodel)
b=lasso(x,y2) %lasso 回归
%%%主成分回归
xz=zscore(x);%数据标准化
[coeff, score, latent, tsquare, explained] = PCA(xz) %由观测数据矩阵作分析
z1=score(:,[1:8]);
reglm(y1,z1)%发现第二个主成分得分量对因变量影响不显著(p>0.05),因而删除它!
z1=score(:,[1:8]);
reglm(y1,z1)
%若只考虑前三个主成分,则拟合优度大大降低
z1=score(:,[1:3]);
reglm(y1,z1)
%计算因变量对原始自变量的回归方程系数
xn=zscore(x);
yn=zscore(y1);
d=xn*coeff;
st=coeff(:,[1:8])* (d(:,[1:8])\yn);
st2=[mean(y1)-std(y1)*mean(x). / std(x)*st, std(y1)*st'. / std(x)],
%直接考虑前三个主成分时的回归方程式
st=coeff(:,[1:3])* (d(:,[1:3])\yn);
st3=[mean(y1)-std(y1)*mean(x). / std(x)*st, std(y1)*st'. / std(x)],
%偏最小二乘回归
%只考虑一个因变量时
mu=mean(data_return(:,1:8));sig=std(data_return(:,1:8));%求均值和标准差
ab=zscore(data_return(:,1:8));%数据标准化
a=ab(:,[1:7]);b1=ab(:,8);
[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsrgress(a,b1)%观测整体所有成分对的情况
ncomp=3;%根据整体情况，选择成分的对数
[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsrgress(a,b1,ncomp)
contr=cumsum(PCTVAR,2)%求累积贡献率
n size(a,2); m size(b1,2); %n是自变量的个数,m是因变量的个数
BETA2(1,:)=mu(n+1:end)-mu(1:n). / sig(1:n)*BETA([2:end],.):.*sig(n+1:end); %原始数据回归方程的常数项
BETA2([2:n+1],:)=(1./sig(1:n))*sig(n+1:end).*BETA([2:end],:)%计算原始自变量x1,...,xn的系数，每一列是一个回归方程
%考虑所有因变量时
mu=mean(data_return);sig=std(data_return);%求均值和标准差
ab=zscore(data_return);%数据标准化
a=ab(:,[1:7]);b=ab(:,8:9);
[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsrgress(a,b)%观测整体所有成分对的情况
contr=cumsum(PCTVAR,2)
ncomp=3;%根据整体情况，选择成分的对数
[XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats]=plsrgress(a,b,ncomp)
contr=cumsum(PCTVAR,2)%求累积贡献率
n size(a,2); m size(b,2); %n是自变量的个数,m是因变量的个数
BETA3(1,:)=mu(n+1:end)-mu(1:n). / sig(1:n)*BETA([2:end],.):.*sig(n+1:end); %原始数据回归方程的常数项
BETA3([2:n+1],:)=(1./sig(1:n))'*sig(n+1:end).*BETA([2:end],:)%计算原始自变量x1,...,xn的系数，每一列是一个回归方程
+ +# 3、reglm.m + +
function stats = reglm(y,X,model,varnames)
% 多重线性回归分析或广义线性回归分析
%
% reglm(y,X),产生线性回归分析的方差分析表和参数估计结果,并以表格形式显示在屏幕上.参
% 数X是自变量观测值矩阵,它是n行p列的矩阵.y是因变量观测值向量,它是n行1列的列向量.
%
% stats = reglm(y,X),还返回一个包括了回归分析的所有诊断统计量的结构体变量 stats.
%
% stats = reglm(y,X, model),用可选的model参数来控制回归模型的类型.model是一个字符串,
if nargin < 2
error('至少需要两个输入参数');
end
p = size(X,2); % X的列数,即变量个数
if nargin < 3 || isempty(model)
model = 'linear'; % model参数的默认值
end
%生成变量标签varnames
if nargin < 4 || isempty(varnames)
varname1 = strcat{'X'},num2str([1:p])};
varnames = makevarnames(varname1, model); %默认的变量标签
else
if ischar(varnames)
varname1 = cellstr(varnames);
elseif iscell(varnames)
varname1 = varnames(:);
else
error('varnames 必须是字符矩阵或字符串元胞数组');
end
if size(varname1,1) ~ = p
error('变量标签数与X的列数不一致');
else
varnames = makevarnames(varname1, model); % 指定的变量标签
end
end
ST = regstats(y,X, model); % 调用 regstats 函数进行线性回归分析，返回结构体变量 ST
f = ST.fstat; % F 检验相关结果
t = ST.tstat; % t 检验相关结果
% 显示方差分析表
fprintf("\n");
fprintf('--------方差分析表--------');
fprintf("\n");
fprintf("%s%7s%15s%15s%15s%12s', '方差来源', '自由度', '平方和', '均方', 'F值', 'p值');
fprintf("\n");
fmt = "%s%13.4f%17.4f%17.4f%16.4f%12.4f";
fprintf fmt, '回归', f.dfr, f.ssr, f.ssr/f.dfr, f.f, f.pval);
fprintf("\n");
fmt = "%s%13.4f%17.4f%17.4f";
fprintf fmt, '残差', f.dfe, f.sse, f.sse/f.dfe);
fprintf("\n");
fmt = "%s%13.4f%17.4f";
fprintf fmt, '总计', f.dfe + f.dfr, f.sse + f.ssr);
fprintf("\n");
fprintf("\n");
% 显示判定系数等统计量
fmt = '%22s%15.4f%25s%10.4f';
fprintf fmt, '均方根误差(Root MSE)',sqrt(ST.mse), '判定系数(R-Square)',ST.rsquare);
fprintf("\n");
fprintf fmt, '因变量均值 (Dependent Mean)', mean(y), '调整的判定系数 (Adj R-Sq),ST.adjrsquare);
fprintf("\n");
fprintf("\n");
% 显示参数估计及 t 检验相关结果
fprintf('--------参数估计--------');
fprintf("\n");
fprintf(‘%8s%18s%15s%15s%12s','变量','估计值','标准误','t值','p值');
fprintf( '\n');
for i = 1: size(t.beta,1)
if i == 1
fmt = '8s%20.4f%17.4f%17.4f%12.4f\n';
fprintf fmt, '常数项', t.beta(i), t.se(i), t.t(i), t.pval(i));
else
fmt = '10s%20.4f%17.4f%17.4f%12.4f\n';
fprintf fmt, varnames{i-1}, t.beta(i), t.se(i), t.t(i), t.pval(i));
end
end
if nargout == 1
stats = ST; %返回一个包括了回归分析的所有诊断统计量的结构体变量
end
%--------子函数--------
function varnames = makevarnames(varname1, model)
%生成指定模型的变量标签
p = size(varname1,1);
varname2 = [];
for i = 1:p-1
varname2 = [varname2; strcat(varname1(i), '*', varname1(i+1:end))];
end
varname3 = strcat(varname1,'*', varname1);
switch model
case 'linear'
varnames = varname1;
case 'interaction'
varnames = [varname1;varname2];
case 'quadratic'
varnames = [varname1;varname2;varname3];
case 'purequadratic'
varnames = [varname1;varname3];
end
+ +# 问题三： + +支撑材料清单： + +
1、ml.csv
2、ml_x.mat
3、ml_xx.mat
4、ml_y.mat
5、myNeuralNetworkFunction.m
6、real_sim.m
+ +1、ml.csv +2、ml_x.mat +3、ml_xx.mat +4、ml_y.mat + +(以上无代码, 详见支撑材料) + +5、myNeuralNetworkFunction.m + +
function [y1] = myNeuralNetworkFunction(x1)
%MYNEURALNETWORKFUNCTION neural network simulation function.
%
% Auto-generated by MATLAB, 12-Sep-2021 12:47:58.
%
% [y1] = myNeuralNetworkFunction(x1) takes these arguments:
% x = Qx5 matrix, input #1
% and returns:
% y = Qx1 matrix, output #1
% where Q is the number of samples.
%#ok<RPMT0>
%=== NEURAL NETWORK CONSTANTS===
% Input 1
x1_step1.xoffset = [10;0;0.005;0.3;250];
x1_step1_gain = [0.0105263157894737;0.01;44.44444444444444;1.11111111111111;0.01];
x1_step1.ymin = -1;
% Layer 1
b1 = [0.2069225685469777698;0.14502692987513710055;-0.095270236561843940626;-1.7155229121641566437;-1.1857678492289629446];
IW1_1 = [1.3647462160459806757 0.67463648738953896355 1.3932332199769423831;4.1158753436346948718 0.8569910674840687248 0.77943312016490229333;0.74984642628885411764 2.0129710714353512557 1.4388616762290578066;1.0690108661258592715 0.28328034613229541305 3.573381888970430964;2.3644275297476782249 2.4329897993508695642 1.3950282837356411392 -1.1674740457850456554];
% Layer 2
b2 = -0.33668180263772973237;
LW2_1 = [1.0529577529950779891 -0.98223506446014363647 -0.93787778289359602368 0.68361275398784626667 0.85517635671000280517];
% Output 1
y1_step1.ymin = -1;
y1_step1.gain = 0.000447148879499883;
y1_step1.xoffset = 0.0227691554;
% === SIMULATION ===
% Dimensions
Q = size(x1,1); % samples
% Input 1
x1 = x1';
xp1 = mapminmax_apply(x1,x1_step1);
% Layer 1
a1 = tansig_apply(repmat(b1,1,Q) + LW1_1*xp1);
% Layer 2
a2 = repmat(b2,1,Q) + LW2_1*a1;
% Output 1
y1 = mapminmax_reverse(a2,y1_step1);
y1 = y1';
end
% === MODULE FUNCTIONS ===
% Map Minimum and Maximum Input Processing Function
function y = mapminmax_apply(x, settings)
y = bxxfun(@minus,x,settings.xoffset);
y = bxxfun(@times,y,settings_gain);
y = bxxfun(@plus,y,settings.ymin);
end
% Sigmoid Symmetric Transfer Function
function a = tansig_apply(n,~)
a = 2. / (1 + exp(-2*n)) - 1;
end
% Map Minimum and Maximum Output Reverse-Processing Function
function x = mapminmax_reverse(y, settings)
x = bxxfun(@minus,y,settings.ymin);
x = bxxfun(@rdivide,x,settings_gain);
x = bxxfun(@plus,x,settings.xoffset);
end
+ +6、real_sim.m + +
clc
% x1 = [200,50,67,33,100,10,25,75];
% x2 = [200,50,0,67,33,100,10,25,75];
% x3 = [0.01,0.02,0.05,0.005];
% x4 = [1.68,0.9,0.3,2.1];
% x5 = [250,275,300,325,350];
x1 = [200,50,67,33];
x2 = [200,50,0,67,33];
x3 = [0.01,0.02,0.05,0.005];
x4 = [1.68,0.9,0.3,2.1];
x5 = [250,275,300,325,350,400,450];
count = 1;
z= [];loc=[];
for i1 = 1 : length(x1)
for i2 = 1 : length(x2)
for i3 = 1 : length(x3)
for i4 = 1 : length(x4)
for i5 = 1 : length(x5)
z(count,1) = sim(net,[x1(i1),x2(i2),x3(i3),x4(i4),x5(i5)]');
loc(count,1:5) = [i1,i2,i3,i4,i5];
count = count + 1;
end
end
end
end
end
+ +问题四： + +支撑材料清单： + +1、regress.m + +1、regress.m + +
clear all
clc
data_1 = xlsread('附件1.xlsx');
A_num = 14; B_num = 7;
A_1 = data_1(1:5,:); A_2 = data_1(6:10,:); A_3 = data_1(11:17,:); A_4 = data_1(18:23,:);
A_5 = data_1(24:29,:); A_6 = data_1(30:34,:); A_7 = data_1(35:39,:); A_8 = data_1(40:44,:);
A_9 = data_1(45:49,:); A_10 = data_1(50:54,:); A_11 = data_1(55:59,:);
A_12 = data_1(60:64,:); A_13 = data_1(65:69,:); A_14 = data_1(70:74,:);
B_1 = data_1(75:79,:); B_2 = data_1(80:84,:); B_3 = data_1(85:90,:); B_4 = data_1(91:96,:);
B_5 = data_1(97:102,:); B_6 = data_1(103:108,:); B_7 = data_1(109:114,:);
data_return = zeros(114,8);
for i = 1 : 5
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_1(i,1); data_return(i,7) = A_1(i,2); data_return(i,8) = A_1(i,4);
end
for i = 6 : 10
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.02; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_2(i-5,1); data_return(i,7) = A_2(i-5,2); data_return(i,8) = A_2(i-5,4);
end
for i = 11 : 17
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9;
data_return(i,6) = A_3(i-10,1); data_return(i,7) = A_3(i-10,2); data_return(i,8) = A_3(i-10,4);
end
for i = 18 : 23
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.005; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_4(i-17,1); data_return(i,7) = A_4(i-17,2); data_return(i,8) = A_4(i-17,4);
end
for i = 24 : 29
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.3;
data_return(i,6) = A_5(i-23,1); data_return(i,7) = A_5(i-23,2); data_return(i,8) = A_5(i-23,4);
end
for i = 30 : 34
data_return(i,1) = 200; data_return(i,2) = 200;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.05; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = A_6(i-29,1); data_return(i,7) = A_6(i-29,2); data_return(i,8) = A_6(i-29,4);
end
for i = 35 : 39
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.3;
data_return(i,6) = A_7(i-34,1); data_return(i,7) = A_7(i-34,2); data_return(i,8) = A_7(i-34,4);
end
for i = 40 : 44
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9;
data_return(i,6) = A_8(i-39,1); data_return(i,7) = A_8(i-39,2); data_return(i,8) =
+ +A_8(i-39,4); +end +for i $= 45$ :49 data_return(i,1) $= 50$ ;data_return(i,2) $= 50$ . data_return(i,3) $= 1$ ;data_return(i,4) $= 0.01$ ;data_return(i,5) $= 2.1$ . data_return(i,6) $= A_{9}(i - 44,1)$ ;data_return(i,7) $= A_{9}(i - 44,2)$ ;data_return(i,8) $=$ A_9(i-44,4); +end +for i $= 50$ :54 data_return(i,1) $= 50$ ;data_return(i,2) $= 50$ . data_return(i,3) $= 1$ ;data_return(i,4) $= 0.05$ ;data_return(i,5) $= 2.1$ . data_return(i,6) $= A_{10}(i - 49,1)$ ;data_return(i,7) $= A_{10}(i - 49,2)$ ;data_return(i,8) $=$ A_10(i-49,4); +end +for i $= 55$ :59 data_return(i,1) $= 50$ ;data_return(i,2) $= 0$ . data_return(i,3) $= 0$ ;data_return(i,4) $= 0.01$ ;data_return(i,5) $= 1.68$ . data_return(i,6) $= A_{11}(i - 54,1)$ ;data_return(i,7) $= A_{11}(i - 54,2)$ ;data_return(i,8) $=$ A_11(i-54,4); +end +for i $= 60$ :64 data_return(i,1) $= 50$ ;data_return(i,2) $= 50$ . data_return(i,3) $= 1$ ;data_return(i,4) $= 0.01$ ;data_return(i,5) $= 1.68$ . data_return(i,6) $= A_{12}(i - 59,1)$ ;data_return(i,7) $= A_{12}(i - 59,2)$ ;data_return(i,8) $=$ A_12(i-59,4); +end +for i $= 65$ :69 data_return(i,1) $= 67$ ;data_return(i,2) $= 33$ . data_return(i,3) $= 0.5$ ;data_return(i,4) $= 0.01$ ;data_return(i,5) $= 1.68$ . data_return(i,6) $= A_{13}(i - 64,1)$ ;data_return(i,7) $= A_{13}(i - 64,2)$ ;data_return(i,8) $=$ A_13(i-64,4); +end +for i $= 70$ :74 data_return(i,1) $= 33$ ;data_return(i,2) $= 67$ . data_return(i,3) $= 2$ ;data_return(i,4) $= 0.01$ ;data_return(i,5) $= 1.68$ . data_return(i,6) $= A_{14}(i - 69,1)$ ;data_return(i,7) $= A_{14}(i - 69,2)$ ;data_return(i,8) $=$ A_14(i-69,4); +end +for i $= 75$ :79 + +
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = B_1(i-74,1); data_return(i,7) = B_1(i-74,2); data_return(i,8) = B_1(i-74,4);
end
for i = 80:84
data_return(i,1) = 100; data_return(i,2) = 100;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = B_2(i-79,1); data_return(i,7) = B_2(i-79,2); data_return(i,8) = B_2(i-79,4);
end
for i = 85:90
data_return(i,1) = 10; data_return(i,2) = 10;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = B_3(i-84,1); data_return(i,7) = B_3(i-84,2); data_return(i,8) = B_3(i-84,4);
end
for i = 91:96
data_return(i,1) = 25; data_return(i,2) = 25;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = B_4(i-90,1); data_return(i,7) = B_4(i-90,2); data_return(i,8) = B_4(i-90,4);
end
for i = 97:102
data_return(i,1) = 50; data_return(i,2) = 50;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 2.1;
data_return(i,6) = B_5(i-96,1); data_return(i,7) = B_5(i-96,2); data_return(i,8) = B_5(i-96,4);
end
for i = 103:108
data_return(i,1) = 75; data_return(i,2) = 75;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 1.68;
data_return(i,6) = B_6(i-102,1); data_return(i,7) = B_6(i-102,2); data_return(i,8) = B_6(i-102,4);
end
for i = 109:114
data_return(i,1) = 100; data_return(i,2) = 100;
data_return(i,3) = 1; data_return(i,4) = 0.01; data_return(i,5) = 0.9;
data_return(i,6) = B_7(i-108,1); data_return(i,7) = B_7(i-108,2); data_return(i,8) =
B_7(i-108,4);
end
for i = 1:8
data_return(i,8) = log(data_return(i,8));
end
for i = 1:8
mean_data = mean(data_return(:,i));
std_data = std(data_return(:,i));
for j = 1:114
data_return(j,i) = (data_return(j,i)-mean_data)/std_data;
end
end
x=data_return(:,1:6);%读取自变量数据矩阵
y1=data_return(:,7).*data_return(:,8);%读取因变量数据矩阵
reglm(y1,x)
%逐步回归
inmodel=1:6; %进入模型的变量为前7个
stepwise(x,y1,inmodel) %逐步回归
b=lasso(x,y1)%lasso 回归也可以用岭回归
cr=corr(x) %查看自变量数据矩阵的相关系数矩阵
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/B160/B160.md b/MCM_CN/2021/B160/B160.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bb2c43c5588cfc885c25990d10775007f1fdb675 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/B160/B160.md @@ -0,0 +1,765 @@ +# 乙醇制备C4烯烃催化剂组合的分析与设计 + +摘要本文主要讨论乙醇催化偶合制备C4烯烃时，不同催化剂组合及温度对乙醇转化率和C4烯烃选择性的影响、C4烯烃收率最高时的催化剂组合与温度最优化以及实验设计问题。 + +针对问题一，分析附件1中每种催化剂组合数据规律，分别建立乙醇转化率、C4烯烃的选择性与温度之间的一元二次回归模型。基于最小二乘法，运用Matlab中Curve Fitting工具箱的polyfit()函数对该模型进行求解，得到回归系数，进而通过分析所得曲线的变化规律得到结论：在一定范围内随着温度升高，乙醇的转化率与C4烯烃的选择性均会增高，但若温度过高，则C4烯烃的选择性可能会降低。对附件2中的数据进行对比分析，并结合化学反应机理得到结论：碳数为4-12脂肪醇参与了乙醛的生成，乙醇转化率随着时间增大逐渐减小，C4烯烃选择性随时间变化的趋势较为平稳，随着反应时间增加，各产物的选择性都趋于平稳，即化学反应达到平衡状态。 + +针对问题二，需分析不同催化剂组合及温度对乙醇转化率以及C4烯烃选择性大小的影响。首先，用控制变量的方法对附件1中的数据进行分类对比，通过定性分析得到相应结论。然后，在 $350^{\circ}\mathrm{C}$ 下不考虑因素间的交互作用时，结合正交试验并对附件1中数据进行分析，得到：Co负载量对C4烯烃选择性的影响最大，Co/SiO2和HAP装料比对C4烯烃选择性的影响最小。最后，结合实际考虑因素间交互作用，分别建立C4烯烃选择性、乙醇转化率与各因素及其交互作用的多元多项式回归模型，并利用Matlab中stepwise()函数求解得到：Co负载量与Co/SiO2和HAP装料比共同作用对乙醇转化率影响最大，温度对C4烯烃的选择性影响最大。 + +针对问题三，首先在问题二多元回归模型的基础上，给出C4烯烃收率的函数表达式。其次以温度、Co/SiO2和HAP的质量和、乙醇浓度、Co负载量作为决策变量，以最高C4烯烃收率作为目标函数，以各个影响因素的取值范围作为约束条件，建立C4烯烃收率最高的优化模型。然后基于最小二乘法，利用Matlab中的quadprog()函数对该模型求解，得到：C4烯烃最优收率为 $56.3\%$ 。再改变温度约束条件，使得最高温度不超过350度，得到此时C4烯烃最优收率为 $29.8\%$ 。 + +针对问题四，结合前三问的分析结论，为更好探究催化剂等因素对反应的影响，可增加五次实验设计：第一次进行A1组在 $400^{\circ}C$ 时的实验；第二次进行A4组在 $450^{\circ}C$ 时的实验；第三、四次分别选取问题二中正交试验的最优因素组合进行实验；第四次选取问题三中最优解时的因素组合进行实验，并说明了其合理性。 + +关键词：乙醇制备C4烯烃；催化剂组合；多元多项式回归；优化模型 + +# 一、问题重述 + +随着当前化工产业的不断发展，烯烃的需求量逐年增大，因此C4烯烃的制备也备受人们关注。相比于传统的化石能源，乙醇是一种能够生产制备C4烯烃的优良原料。在用乙醇制备C4烯烃过程中，C4烯烃的选择性和C4烯烃收率受催化剂组合和温度的影响，其中催化剂由Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比、乙醇浓度等组合而成。由于不同的催化剂对反应的影响效果不同，因此通过设计分析催化剂组合，探索乙醇催化偶合制备C4烯烃的工艺条件具有实用价值和现实意义[1]。 + +某化工实验室针对不同催化剂在不同温度下做了一系列实验，并将结果记录在附件1、2中，名词解释与附件说明如表1所示。 + +表 1 名词解释与附件说明 + +
温度反应温度。
选择性某一个产物在所有产物中的占比。
时间催化剂在乙醇氛围下的反应时间，单位分钟（min）。
Co 负载量Co与SiO2的重量之比。
HAP一种催化剂载体，中文名称羟基磷灰石。
Co/SiO2和 HAP 装料比Co/SiO2和 HAP 的质量比。
乙醇浓度乙醇按每分钟某毫升加入。
乙醇转化率单位时间内乙醇的单程转化率，其值为100%×(乙醇进气量-乙醇剩余量)/乙醇进气量。
C4 烯烃收率其值为乙醇转化率×C4烯烃的选择性。
附件1性能数据表。
附件2350度时给定的某种催化剂组合的测试数据。
+ +通过数学建模完成以下问题： + +问题一：对附件1中的每种催化剂组合，分别研究乙醇转化率、C4烯烃的选择性与温度的关系，并对附件2中350度时给定的催化剂组合在一次实验不同时间的测试结果进行分析。 + +问题二：探讨不同催化剂组合及温度对乙醇转化率以及C4烯烃选择性大小的影响。 + +问题三：如何选择催化剂组合与温度，使得在相同实验条件下C4烯烃收率尽可能高。若使温度低于350度，又如何选择催化剂组合与温度，使得C4烯烃收率尽可能高。 + +问题四：如果允许再增加5次实验，应如何设计，并给出详细理由。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +针对问题一，对附件1中每种催化剂组合，分别对乙醇转化率与温度、C4烯烃的选择性与温度之间的关系进行分析。通过对每个实验组中不同温度下的乙醇转化率以及C4烯烃的选择性的数值变化趋势判断可知数值大致趋势为递增，但是某些数值在增加到某个温度后会下降，因此一元线性回归方程不能对数据进行很好的拟合。又由于自变量的幂次越高对回归系数的解释越难，且回归函数可能不稳定，因此为了能够对数据的变化趋势进行更加准确地描述，此处将选择建立一元二次多项式回归模型[2]。基于最小二乘法，运用Matlab中CurveFitting工具箱的polyfit()函数对该模型进行求解，得到回归系数，进而通过分析所得曲线的变化规律得到乙醇转化率、C4烯烃的选择性与温度之间的关系。 + +对附件2中350度时乙醇的转化率与选择性在不同时间时的测试结果进行分析。通过对给定数据进行观察，并结合乙醇制备烯烃简要的反应机理如图1[3]，可以看出，C4烯烃和碳数为4-12的脂肪醇在所有产物中的占比较高，因此考虑将C4烯烃和碳数为4-12脂肪醇分别作为一类，将其余的所有产物作为一类。又由于本文主要探索乙醇偶合制备C4烯烃的工艺，因此乙醇转化率和C4烯烃收率也是一个重要的考察量，将乙醇转化率和C4烯烃收率分别作为一类。对五类数据进行拟合，并对测试结果与反应时间的关系进行分析。 + +![](images/14b6420c277e590503cf5a768703fadebcdd3a16be7f2bbc4137edec49e5478f.jpg) +图1乙醇制备C4烯烃简要反应机理 + +# 2.2 问题二的分析 + +针对问题二，用多种方法进行分析。首先，通过控制变量的方法，每次控制 $\mathrm{Co / SiO2}$ 和HAP的质量之和、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比、HAP使用与否、装料方式、乙醇浓度中的一个因素变化，对附件1中的21组试验数据进行分类组合对比，定性分析不同催化剂组合及温度对反应的影响。 + +其次, 不考虑因素间的交互作用, 对 6 种影响因素进行定量分析。由于试验因素较多, 全面试验方法受限制, 因此考虑结合正交试验设计, 减少试验次数、提高试验效率, 对多因素试验进行分析[4]。试验结果分析流程如图 2 所示。 + +最后，由于实际试验中，各因素间会互相影响，所以考虑交互作用，分别建立C4烯烃选择性与乙醇转化率的多元多项式回归模型。首先，将催化剂组合中的6种影响因素及温度作为回归因子。然后，对各因素间的相互影响进行考虑，由实际情况出发，考虑温度与乙醇浓度、Co负载量，Co/SiO2和HAP的质量之 + +和与乙醇浓度、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比，乙醇浓度与Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比，Co负载量与Co/SiO2和HAP装料比之间的交互作用。由于各因素量纲及数量级相差较大，因此对数据进行标准化处理，列出标准化多元二次多项式回归方程。最后利用变量代换，将多项式方程化为线性回归方程，再利用Matlab中stepwise函数逐步回归，对标准回归系数进行求解，并对回归方程进行显著性检验，确定最佳的回归模型。分析不同催化剂组合及温度对反应的影响。 + +![](images/be9b898a7b512a66b6fcc8e7db15edb62796a502a24ea96ea30ecb23cd0c66ef.jpg) +图2正交试验结果分析流程 + +# 2.3 问题三的分析 + +针对问题三，由于需要通过选择催化剂组合与温度求解使得C4烯烃收率尽可能高时的最佳方案，因此考虑建立优化模型。在问题二模型的基础上将响应变量换为C4烯烃收率，建立标准多项式回归方程并进行求解，求解过程与问题二中回归模型求解步骤相同。得到C4烯烃选择性的最优标准回归方程，其中回归因子即为决定C4烯烃收率的决策变量；由于最终目标是要使得C4烯烃收率最高，因此将所求标准化回归系数转化为普通最小二乘回归系数，得到C4烯烃实际收率的普通多元多项式回归方程，并将其作为目标函数；根据已有数据，对C4烯烃收率较高时的各个决策变量的取值范围进行确定，以各个决策变量的取值范围作为约束条件。 + +利用Matlab中的quadprog()函数对此优化模型进行求解，得到C4烯烃最高收率和对应的因素取值。再改变温度的约束条件，使得温度不超过 $350^{\circ}\mathrm{C}$ ，并对此时最佳催化剂组合与温度进行求解，得到温度不超过 $350^{\circ}\mathrm{C}$ 时C4烯烃最高收率和对应的因素取值。 + +# 2.4 问题四的分析 + +针对问题四，综合考虑问题一、二、三，对于附件中没有的改变某个实验条件可能使得实验结果更优的进行实验，对于因缺少数据而使得某个结论缺服说服力的进行实验。 + +# 三、模型假设 + +为了便于模型建立与求解，现作如下假设： + +1.假设附件1中数据已经达到化学平衡； +2.假设反应温度保持恒定，忽略化学反应放热吸热； +3. 假设问题四中设计的实验条件均能达到。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明单位
α0乙醇转化率(%)/
α1C4烯烃的选择性(%)/
φC4烯烃收率(%)/
T温度°C
X1Co/SiO2和HAP的质量和mg
X2乙醇浓度ml/min
X3Co负载量(%)wt
X4Co/SiO2和HAP装料比/
X5HAP使用(1或0)/
X6装料方式(I或II)/
+ +# 五、模型建立及求解 + +# 5.1 问题一模型建立与求解 + +对附件1中每种催化剂组合，分别建立乙醇转化率、C4烯烃的选择性与温度之间的一元二次多项式回归模型，并对拟合后所得曲线进行分析。对附件2中给定的 $350^{\circ} \mathrm{C}$ 时乙醇的转化率与C4烯烃的选择性在不同时间的实验结果，将数据进行分类并对实验结果拟合并分析。 + +# 5.1.1 附件1中乙醇转化率、C4烯烃的选择性与温度的关系 + +由问题一分析，为了进行较好的拟合，且自变量的幂次越高对回归系数的解释越难且回归函数不稳定，因此建立一元二次多项式回归模型。 + +# 1. 一元二次多项式回归模型建立 + +乙醇转化率 $\alpha_{0}$ 与温度 $T$ 之间存在相关关系 + +$$ +\alpha_ {0} = \beta_ {0} + \beta_ {1} T ^ {2} + \beta_ {2} T +$$ + +其中 $\beta_0, \beta_1, \beta_2$ 是未知参数，称为回归系数或回归参数； $T$ 表示温度，是可以测量并可控的变量，称为回归因子或预测变量； $\alpha_0$ 为响应变量。若其 $n$ 次观测值为 $T_i, i = 1, 2, \dots, n$ 则这 $n$ 个观测值可以写为如下形式 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {0 1} = \beta_ {0} + \beta_ {1} T _ {1} ^ {2} + \beta_ {2} T _ {1}, \\ \alpha_ {0 2} = \beta_ {0} + \beta_ {1} T _ {2} ^ {2} + \beta_ {2} T _ {2}, \\ \dots \dots \\ \alpha_ {0 n} = \beta_ {0} + \beta_ {1} T _ {n} ^ {2} + \beta_ {2} T _ {n}, \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +同理可得C4烯烃的选择性α1与温度T之间的一元多项式回归模型，即只需将α0与T模型中的α0与相应的分量α01,α02,...,α0n换为α1,α11,α12,...,α1n，将未知参数由β0,β1,β2换为γ0,γ1,γ2。 + +综上所述，分别建立乙醇转化率 $\alpha_0$ 与温度 $T$ 之间的一元多项式回归模型以及C4烯烃的选择性 $\alpha_{1}$ 与温度 $T$ 之间的一元多项式回归模型 + +$$ +\alpha_ {0 i} = \beta_ {0} + \beta_ {1} T _ {t} ^ {2} + \beta_ {2} T _ {t}, i = 1, 2, \dots , n \tag {2} +$$ + +$$ +\alpha_ {1 t} = \gamma_ {0} + \gamma_ {1} T _ {t} ^ {2} + \gamma_ {2} T _ {t}, i = 1, 2, \dots , n +$$ + +其中 $\alpha_{0i}$ 为第 $i$ 个温度下乙醇转化率； $\alpha_{1i}$ 为第 $i$ 个温度下C4烯烃的选择性； $\beta_0,\beta_1,$ $\beta_{2},\gamma_{0},\gamma_{1},\gamma_{2}$ 是未知参数； $T_{i}$ 是第 $i$ 个温度。 + +# 2. 一元多项式回归模型求解 + +利用Matlab中CurveFitting工具箱对一元多项式回归方程进行求解，得到每个催化剂组合中的乙醇转化率与温度之间的一元多项式回归模型，以及C4烯烃的选择性与温度之间的一元多项式回归模型，程序见附录1。由于篇幅限制，表2、3仅展示前两个个催化剂组合和后两个催化剂组合中的回归系数，具体结果见附录2、3。 + +表 2 乙醇转化率与温度的回归模型系数 + +
催化剂组数β0β1β2R²
1141.80.0025-1.1940.9797
2-227.4-0.00071.1060.9911
20190.10.0028-1.4450.9902
21228.70.0033-1.7110.9966
+ +表 3 C4 烯烃的选择性与温度的回归模型系数 + +
催化剂组数γ0γ1γ2R²
1-190.8-0.00211.4220.916
2234.70.0031-1.6460.9803
20-12.130.0003-0.021670.9709
21-9.8580.0005-0.060020.9971
+ +从表2及表3中可知，决定系数R²都大于0.9，即回归可以减少因变量 $90\%$ 以上变异，因此从决定系数可以看出回归方程高度显著，回归效果较好。选择其中的四个催化剂组合A1,A3,A8,B2画出其回归函数图像如图3，程序见附录4。 + +![](images/3461f3e8d6d0d110054a3dcdd5ef34d8e837d58e3dd3a11ad652f871b75c4b0d.jpg) +图3(a) $\alpha_0 - T$ 变化曲线 + +![](images/1b10a266fd7c8ba14f988f7717af2fc663fb7d8b1938fe0cbea3ca017b888a5f.jpg) +图3(b) $\alpha_{1} - T$ 变化曲线 +图3乙醇的转化率 $\alpha_0$ 与C4烯烃的选择性 $\alpha_{1}$ 随温度 $T$ 变化曲线 + +由图3可知，在一定范围内随着温度升高，乙醇的转化率与C4烯烃的选择性均会增高，但是由A1和A3催化组合的图像可知若温度过高，则C4烯烃的选择性可能会降低。 + +# 5.1.2 附件2中在一次实验不同时间的测试结果分析 + +结合实际化学反应和附件2中数据，将计算出的C4烯烃收率与C4烯烃选择性、碳数为4-12脂肪醇的选择性、乙醛选择性、乙醇转化率作为考虑的五大类，它们随时间变化的具体数据如表4所示。其中C4烯烃收率为乙醇转化率与C4烯烃的选择性的乘积。 + +表 4350°C时给定的某种催化剂组合的数据 + +
时间 (min)乙醇转化率(%)C4烯烃选择性(%)碳数为4-12脂肪醇选择性 (%)乙醛选择性(%)C4烯烃收率(%)
2043.539.939.75.1717.37540804
7037.838.5537.365.614.56733047
11036.636.7232.396.3713.42349545
16332.739.5331.297.8212.93495022
19731.738.9631.498.1912.35425379
24029.940.3232.368.4212.03722565
27329.939.0430.868.7911.67530575
+ +再将表4中的C4烯烃选择性、碳数为4-12脂肪醇的选择性、乙醇转化率、乙醛选择性、C4烯烃收率五类数据绘制到同一张图上，如图4所示。 + +![](images/d44395f54e91732bd2937a07a9538c9eb4fd1562fdbdb674a98a4752784a9239.jpg) +图4五类数据随时间变化图 + +通过图4可以看出随着时间增加，碳数为4-12脂肪醇选择性减小的同时，乙醛的选择性在增加，说明碳数为4-12脂肪醇参与了乙醛的生成。乙醇转化率先增大然后逐渐减小；C4烯烃选择性随时间变化的趋势较为平稳且值在 $39\%$ ；C4烯烃收率随时间的增大在不断减少。综上，随着反应时间增加，各产物的选择性都趋于平稳，即化学反应达到平衡状态。 + +# 5.2 问题二模型建立与求解 + +首先通过控制变量的方法，对21组试验数据进行组合对照，进行直观定量分析。然后结合用水平正交试验的方法，不考虑因素间的交互作用，对Co/SiO2和HAP的质量和、乙醇浓度、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比、HAP使用与否和装料方式6种影响因素进行分析。最后结合实际，考虑各因素间相互影响，分别建立C4烯烃选择性、乙醇转化率与各因素的多元多项式回归模型。 + +# 5.2.1 控制变量组合对照 + +实际试验中，各因素间会互相影响产生交互作用，所以通过控制变量的方法，对21组试验数据进行组合对照，分析不同催化剂组合及温度对反应的影响。用Matlab进行图像绘制，程序见附录5。 + +# 1.乙醇浓度 + +当 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO}2$ 和HAP的质量之和相同、Co负载量相同、Co/SiO2和HAP装料比相同、都使用HAP催化剂和同种装料方式，只改变乙醇浓度时，分别将A1-A3、A2-A5、A7-A8-A9-A12、B1-B5、B2-B7组试验进行对照，得到乙醇转化率及C4烯烃选择性随温度变化趋势如图5、图6所示。 + +![](images/e056a2995a01b762a5495ba7b9e09183a92011f168f0f8dbd960356d37a25f60.jpg) +图5只改变乙醇浓度时A7-A8-A9-A12组 $\alpha_0$ 及 $\alpha_{1}$ 随T变化趋势 + +由图5可以看出，在A7-A8-A9-A12组中乙醇浓度越高乙醇转化率越低，且乙醇转化率随温度升高逐渐增大。同一温度下，C4烯烃选择性在乙醇浓度为 $2.1\mathrm{ml / min}$ 时最高， $0.3\mathrm{ml / min}$ 时最低，且随着温度升高C4烯烃选择性会逐渐增大，但由于同一温度下的柱状图的高度较为相近，可以认为此时乙醇浓度对C4 + +烯烃选择性的影响较小。 + +![](images/f8e7c62dfd4ee0e95695757478869d45ab397d5a8b1e38348c56e2a7f7364b22.jpg) +图6(a) A1-A3组 + +![](images/43d08c40fa4516f6d7637a17497ce9dfc77b496dbf6811d5f11f88ef7ffa86b0.jpg) +图6(b) A2-A5组 + +![](images/75f29ced300be016fc653ea17aca07117a02d342b522438c247167985c117e65.jpg) +图6(c) B1-B5组 +图6只改变乙醇浓度时不同组 $\alpha_0$ 及 $\alpha_{1}$ 随T变化趋势 + +![](images/99e64ccf2227f648873df6336d42e5700705cbe205a6dc17343e806a708e299f.jpg) +图6(d) B2-B7组 + +由图6(a)、(b)可以看出，在A1-A3、A2-A5组中C4烯烃选择性随着温度的升高先增大后减小，且乙醇浓度越高C4烯烃选择性反应初期的值越大，并能够在较低温度时达到最大值。 + +由图6(c)可以看出，在B1-B5组乙醇浓度为 $1.68\mathrm{ml / min}$ 时的C4烯烃选择性高于浓度为 $2.1\mathrm{ml / min}$ 时的C4烯烃选择性。由图5(d)可以看出，在B2-B7组乙醇浓度为 $1.68\mathrm{ml / min}$ 时乙醇的转化率低于 $0.9\mathrm{ml / min}$ 时乙醇的转化率。并且可以看出在第I种装料方式下，乙醇浓度对乙醇转化率及C4烯烃选择性影响较小。 + +# 2. Co 负载量 + +当 $\mathrm{Co / SiO2}$ 和HAP的质量之和相同、乙醇浓度相同、 $\mathrm{Co / SiO2}$ 和HAP装料比相同、都使用HAP催化剂和同种装料方式，只改变Co负载量时，将A1-A2-A4-A6组试验进行对照，得到乙醇转化率及C4烯烃选择性随温度变化趋势如图7所示。 + +![](images/797420e05d78f48d4b53dfe6c4da25ea327e6adc5441eae293cd2dfca7428ae6.jpg) +图7只改变Co负载量时A1-A2-A4-A6组 $\alpha_0$ 及 $\alpha_{1}$ 随T变化趋势 + +由图7可以看出，在同一温度时乙醇转化率在Co负载量为 $2\mathrm{wt}\%$ 时最高，且乙醇转化率随温度的升高逐渐增大。在同一温度时C4烯烃选择性在Co负载量为 $1\mathrm{wt}\%$ 时最高，Co负载量为 $2\mathrm{wt}\%$ ， $0.5\mathrm{wt}\%$ ， $5\mathrm{wt}\%$ 时C4烯烃选择性随温度的升高逐渐增大，在Co负载量为 $1\mathrm{wt}\%$ 时C4烯烃选择性在 $325^{\circ}C$ 前逐渐升高，在 $325^{\circ}C$ 后有下降趋势。从整体来看，Co负载量对乙醇转化率影响较小，对C4烯烃选择性影响较大。 + +# 3. Co/SiO2和HAP装料比 + +当 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO}2$ 和HAP的质量之和相同、乙醇浓度相同、Co负载量相同、都使用HAP催化剂和同种装料方式，只改变Co/SiO2和HAP装料比时，将A12-A13-A14组试验进行对照，得到乙醇转化率及C4烯烃选择性随温度变化趋势如图8所示。 + +![](images/9ad11dfba23c395548981abd23152535dc20ced5c02a8f2961a049d8f0cfc3a6.jpg) +图8只改变Co/SiO2和HAP装料比时A12-A13-A14组α及随T变化趋势 + +由图 8 可以看出,在同一温度下 Co/SiO2 和 HAP 装料比越小乙醇转化率越 + +高, 且乙醇转化率随温度的升高逐渐增大。在同一温度下 C4 烯烃选择性在装料比为 1 和 2 时的相差不大且大于装料比为 0.5 时的选择性, 且 C4 烯烃选择性随温度升高逐渐增大。 + +# 3. Co/SiO2和HAP的质量之和 + +当乙醇浓度相同、Co 负载量相同、Co/SiO2 和 HAP 装料比相同、都使用 HAP 催化剂和同种装料方式，只改变 Co/SiO2 和 HAP 的质量之和时，分别将 A1-A12、B1-B2-B3-B4-B6 组试验进行对照，得到乙醇转化率及 C4 烯烃选择性随温度变化趋势如图 9、10 所示。 + +![](images/40e4047b44c3a67892f453bcc2d024bc2be295d2835b6050670314e6b368f1b6.jpg) +图9只改变Co/SiO2和HAP的质量和时A1-A12组α0及α随T变化趋势 + +由图9可以看出，同一温度下Co/SiO2和HAP的质量和越高乙醇转化率和C4烯烃选择性均越大，故此时质量和的影响效果较大。 + +![](images/8a3e2670c1573914e7adaed8b1f5712890e62ba5be7a9a65d2c12f1e1ddacad8.jpg) +图10只改变Co/SiO2和HAP的质量和时B1-B2-B3-B4-B6组αo及α随T变化趋势 + +由图 10 可以看出,同一温度下 Co/SiO2 和 HAP 的质量和为 $150 \mathrm{mg}$ 时乙醇转化率最高, 质量和为 $20 \mathrm{mg}$ 时乙醇转化率最低。质量和为 $100 \mathrm{mg}$ 和 $200 \mathrm{mg}$ 时 + +C4 烯烃选择性较大, 质量和为 $20 \mathrm{mg}$ 和 $50 \mathrm{mg}$ 时 C4 烯烃选择性较小。 + +# 4. 催化剂使用石英砂或HAP + +当 $\mathrm{Co / SiO2}$ 和HAP的质量之和相同、乙醇浓度相同、Co负载量相同、Co/SiO2和HAP装料比相同、使用同种装料方式，只考虑催化剂使用石英砂或HAP时，将A11-A12组试验进行对照，得到乙醇转化率及C4烯烃选择性随温度变化趋势如图11所示。 + +![](images/8b9bb17df4a6ff6e624797bf0544f3977f50db726c8882f6295118aa627fc775.jpg) +图11只考虑催化剂使用石英砂或HAP时A11-A12组 $\alpha_{0}$ 及 $\alpha_{1}$ 随T变化趋势 + +由图11可以看出，有HAP时乙醇转化率及C4烯烃选择性均优于无HAP时的，故HAP的使用对于催化效果的影响较为显著。 + +# 5. 装料方式 + +当 $\mathrm{Co / SiO2}$ 和HAP的质量之和、乙醇浓度、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比相同、都使用HAP，只改变装料方式时，分别将A9-B5、A12-B1组试验进行对照，得到乙醇转化率及C4烯烃选择性随温度变化趋势如图12所示。 + +![](images/611cb7d444610654fa51c12efafe9503d96099d53ab4775ceee67ec149b76502.jpg) +图12(a)A9-B5组 +图12只改变装料方式时不同组 $\alpha_0$ 及 $\alpha_{1}$ 随T变化趋势 + +![](images/ca6e95075445fc60177be11c6d6902840ad8f7ccc6e1ed897ea9ff9b7144d5f0.jpg) +图12(b)A12-B1组 + +由图12可以看出，装料方式对乙醇转化率的影响较小。由图12(a)可以看出装料方式I比装料方式II下的C4烯烃选择性高。 + +# 5.2.2正交试验 + +观察附件1中21组催化剂组合，用水平正交的方法，不考虑因素间的交互作用，对 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO}2$ 和HAP的质量和、乙醇浓度、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比、HAP使用与否和装料方式6种影响因素进行分析。混合正交试验因素及水平见表5。 + +表5正交试验因素及水平 + +
水平因素
Co/SiO2和 HAP 的质量和 X1乙醇 浓度 X2Co 负 载量 X3Co/SiO2和 HAP 装料比 X4HAP 使用 X5装料 方式 X6
1400mg2.1ml/min5wt%Co/SiO21:1是A
2200mg1.68ml/min2wt%Co/SiO233:67否B
3150mg0.9ml/min1wt%Co/SiO267:33\\
4100mg0.3ml/min0.5wt%Co/SiO2\\\
550mg\\\\\
620mg\\\\\
+ +将附件1中每一组试验分别用水平正交试验因素及其水平表示，得到混合正交试验结果如表6，由于篇幅限制仅展示前三及后三组试验，完整表格见附录6。 + +表 6 正交试验结果 + +
实验编号X1X2X3X4X5X6350°C时乙醇转化率(%)350°C时C4烯烃选择性(%)
A112311136.8047.21
A212211167.8839.1
A313311148.936.85
B541311215.915.34
B632311227.022.41
B723311230.225.05
+ +根据表6中的数据，令 $K_{1i}$ 表示任意列上水平号为 $i$ 时所对应的乙醇转化率的试验结果之和， $K_{2i}$ 表示任意列上水平号为 $i$ 时所对应的C4烯烃选择性的试验结果之和，分别计算 $K_{1i}$ 、 $K_{2i}$ 的值。令 $k_{1i} = K_{1i}/$ 对应水平号为 $i$ 的个数，表示 $K_{1i}$ 的均值； $k_{2i}$ 同理，令其表示 $K_{2i}$ 的均值，并计算 $X_i$ 因素下的极差 $R = k_{imax} - k_{imin}$ 。分别得到乙醇转化率和C4烯烃选择性的计算结果如表7和表8，受篇幅限制，完整表格见附录7、8。 + +表7正交试验乙醇转化率的结果分析 + +
X1X2X3X4X5X6
K11306.6838.364.8563.48602.08486.08
K1246.4365.78104.68248.2124.2
K1327110.8380.314.6\\
K14206.495.460.5\\\
K159.6\\\\\
K166\\\\\
k1151.112.832.431.330.134.72
k1223.228.1452.34248.217.7
k132736.923.7714.6\\
k1422.947.760.5\\\
k159.6\\\\\
k166\\\\\
极差R45.134.936.716.721.916.98
主次顺序X1>X3>X2>X5>X6=X4
+ +由表7可以看出 $X_{i}$ 因素下极差R的大小 $45.1 > 36.7 > 34.9 > 21.9 > 16.98 > 16.7$ 因此，对应的因素主次顺序为 $X_{1} > X_{3} > X_{2} > X_{5} > X_{6} > X_{4}$ ，即 $350^{\circ} \mathrm{C}$ 下不考虑因素间交互作用时，Co/SiO2和HAP的质量之和对乙醇转化率的影响最大，Co/SiO2和HAP装料比对乙醇转化率的影响最小。 + +表 8 正交试验 C4 烯烃选择性的结果分析 + +
X1X2X3X4X5X6
极差R16.8712.721.9512.6318.3412.9
主次顺序X3>X5>X1>X6>X2>X4
+ +由表8可以看出 $X_{i}$ 因素下极差R的大小 $21.95 > 18.34 > 16.87 > 12.9 > 12.7 > 12.63$ 因此，对应的因素主次顺序为 $X_{3} > X_{5} > X_{1} > X_{6} > X_{2} > X_{4}$ ，即 $350^{\circ}C$ 下不考虑因素间交互作用时，Co负载量对C4烯烃选择性的影响最大， $\mathrm{CO / SiO2}$ 和HAP装料比对C4烯烃选择性的影响最小。 + +# 5.2.3多元二次回归方程模型 + +# 1.模型建立 + +由于实验数据不够全面，为了定量分析因素间相互作用的影响，考虑以温度、乙醇浓度、Co负载量等7个因素和两两间相互作用作为回归因子，分别以乙醇转化率和C4烯烃选择性为响应变量建立多元二次回归模型 + +$$ +y = \beta_ {0} + \beta_ {1} T + \beta_ {2} x _ {1} + \dots + \beta_ {8} T \times x _ {2} + \beta_ {9} T \times x _ {3} + \dots + \beta_ {1 5} x _ {3} \times x _ {4} \tag {3} +$$ + +其中 $x_{i}$ 为对应的影响因素 $X_{i}$ 的数值， $\beta_0$ 为常数项， $\beta_{0} - \beta_{8}$ 为七个自变量的线型项系数， $\beta_{9} - \beta_{15}$ 为交叉乘积项系数，即交互影响系数。 + +由于多元回归涉及多个自变量 $T,x_{1},\dots ,x_{6}$ 各自变量单位不同，且大小差异较 + +大，若利用普通最小二乘估计建立回归方程，其回归系数不具有可比性，不利于在统一标准上进行比较分析。因此为了消除量纲不同和数量级差异对回归分析带来的影响，首先对附件1中数据进行标准化处理[5]。 + +$$ +\begin{array}{l} x _ {i j} ^ {*} = \frac {x _ {i j} - x _ {j}}{\sqrt {L _ {i j}}}, i = 1, 2, \dots , 1 1 4; j = 1, 2 \dots , 7 \tag {4} \\ y _ {i} ^ {*} = \frac {y _ {i} - x}{\sqrt {L _ {y}}}, i = 1, 2, \dots , 1 1 4 \\ \end{array} +$$ + +其中， $x_{ij}$ 为第 $i$ 次实验数据中第 $j$ 个因素， $y_{i}$ 为第 $i$ 次实验数据中对应响应变量的值， $L_{jj}$ 为自变量 $x_{j}(j = 1,2,\dots ,7)$ 的离差平方和， $L_{jj} = \sum_{i = 1}^{n}(x_{ij} - \overline{x}_i)^2$ + +对标准化处理后的数据进行回归拟合，建立标准七元二次回归模型 + +$$ +y ^ {*} = \beta_ {0} ^ {*} + \beta_ {1} ^ {*} T ^ {*} + \beta_ {2} ^ {*} x _ {1} ^ {*} + \dots + \beta_ {8} ^ {*} T ^ {*} \times x _ {2} ^ {*} + \beta_ {9} ^ {*} T ^ {*} \times x _ {3} ^ {*} + \dots + \beta_ {1 5} ^ {*} x _ {3} ^ {*} \times x _ {4} ^ {*} \tag {5} +$$ + +# 2.模型求解 + +首先将多项式回归方程中的交叉项用 $x_{1}(\mathrm{i} = 7,8,\dots ,14)$ 代替，将多元二次方程化为多元线性方程，即 $y^{*} = \beta_{0}^{*} + \beta_{1}^{*}T^{*} + \beta_{2}^{*}x_{1}^{*} + \dots +\beta_{8}^{*}x_{7}^{*} + \beta_{9}^{*}x_{8}^{*} + \dots +\beta_{15}^{*}x_{14}^{*}$ + +再将附件1中114次实验数据等距抽样，按4:1的比例分为样本集和验证集。 + +然后利用Matlab中stepwise函数逐步回归，对标准回归系数 $\beta_0^* \sim \beta_{15}^*$ 进行求解，并对回归方程进行显著性检验，从而确定最佳的回归模型，程序见附录9。 + +得到乙醇转化率的初步标准回归方程为 + +$$ +\begin{array}{l} \alpha_ {0} = 0. 0 0 0 8 + 0. 7 5 3 T + 0. 3 4 4 x _ {1} - 0. 1 9 5 x _ {2} - 0. 0 7 1 x _ {3} + 0. 1 2 6 x _ {5} \\ + 0. 0 8 1 x _ {6} - 0. 9 8 x _ {7} + 1. 0 2 4 x _ {8} + 1. 8 3 8 x _ {9} + 1. 1 7 7 x _ {1 1} + 0. 7 2 4 x _ {1 2} \\ \end{array} +$$ + +回归方程的有关数据如图13所示。 + +![](images/4bcff4174e6e8b10b4092db17d02cc1269ec720475d0e296fb249e86db5d3559.jpg) +图13乙醇转化率的初步标准回归方程数据 + +由图13可以看出由于自变量较多，自变量之间存在多重共线性，回归方程显著性较低，回归效果较差。因此进行逐步回归，剔除一些不重要的解释变量，得到乙醇转化率最优的标准回归方程为 + +$$ +\begin{array}{l} \alpha_ {0} = - 0. 0 2 3 5 + 0. 7 6 7 T + 0. 4 5 5 x _ {1} - 0. 6 8 6 x _ {3} - 0. 3 8 9 x _ {4} + 0. 0 0 0 7 x _ {9} + 0. 0 0 1 x _ {1 0} \tag {6} \\ - 0. 0 0 2 x _ {1 1} + 0. 4 7 3 x _ {1 2} + 0. 2 3 7 x _ {1 3} - 1. 1 1 3 x _ {1 4} \\ \end{array} +$$ + +回归方程的有关数据如图14所示。 + +![](images/9bc0e3784a6b21dee5707cbecadb2dd9e029e300f44668ee9eb5cd51866d5d3b.jpg) +图14乙醇转化率的最优标准回归方程数据 + +根据图14对所求得模型进行回归拟合优度诊断。从回归的相对效果看，复相关系数 $R = 0.91$ ，决定系数 $R^2 = 0.832$ ，即回归可以减少因变量 $83.2\%$ 的变异，因此从决定系数可以看出回归方程高度显著；从回归的绝对效果看，均方根误差 $RMSE = 0.0417$ 较小，说明回归效果很好；从方差分析方面看， $F = 39.74$ ， $p = 6.17 \times 10^{-27}$ ，表明回归方程高度显著，且回归系数都通过显著性检验[5]。 + +因此温度、Co/SiO2和HAP的质量和、乙醇浓度、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比这五个因素，以及除温度外的四个因素两两之间的交互作用整体上对乙醇转化率有显著影响。并且通过对回归系数绝对值的比较可以看出，其中Co负载量与Co/SiO2和HAP装料比共同作用对乙醇转化率影响最大。 + +同理可得C4烯烃的选择性最优的标准回归方程为 + +$$ +\begin{array}{l} \alpha_ {1} = - 0. 0 3 7 9 + 0. 7 7 7 T + 0. 3 5 1 x _ {1} + 0. 1 6 3 x _ {6} - 0. 0 0 0 8 x _ {7} + 0. 0 0 0 9 x _ {9} \tag {7} \\ + 0. 0 0 0 3 x _ {1 0} - 0. 0 0 2 x _ {1 1} + 0. 1 8 3 x _ {1 2} - 0. 5 9 x _ {1 4} \\ \end{array} +$$ + +回归方程的有关数据如图15所示。 + +![](images/4efdbb4165191329962195559d8e395c8368b8da4153e185ae6035d09cdb17f9.jpg) +图15C4烯烃的选择性的初步标准回归方程数据 + +根据图15对所求得模型进行回归拟合优度诊断。从回归的相对效果看，复 + +相关系数 $R = 0.89$ ，决定系数 $R^2 = 0.8$ ，即回归可以减少因变量 $80\%$ 的变异，因此从决定系数可以看出回归方程高度显著；从回归的绝对效果看，均方根误差 $RMSE = 0.0453$ 较小，说明回归效果很好；从方差分析方面看， $F = 36.03$ ， $p = 1.14 \times 10^{-24}$ ，表明回归方程高度显著，且回归系数都通过显著性检验。 + +因此温度、Co/SiO2和HAP的质量和、乙醇浓度、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比、装料方式这六个因素，以及Co/SiO2和HAP的质量和分别与乙醇浓度、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比交互作用，乙醇浓度分别与温度、Co负载量交互作用，Co负载量与Co/SiO2和HAP装料比交互作用，整体上对C4烯烃的选择性有显著影响。并且通过对回归系数绝对值的比较可以看出，其中温度对C4烯烃的选择性影响最大。 + +将所求得回归方程代入验证集，用拟合所得结果于实际数据对比进行误差检验，得到结果如图16，可以看出误差较小拟合结果很好。因此，所得结论可信度较高。 + +![](images/f1582ad22a5d8e120885e989b3c93b9c5e6cfa24b0dc985ea489afce22a79af7.jpg) +图16C4烯烃选择性拟合值与实际数据对比 + +# 5.3 问题三模型建立与求解 + +由于需要通过选择催化剂组合与温度求解使得C4烯烃收率尽可能高时的最佳方案，因此建立最优化模型，并改变约束条件选择最佳催化剂组合与温度。 + +# 5.3.1 优化模型建立 + +在问题二模型的基础上将响应变量换为C4烯烃收率，建立多项式方程并进行求解，求解过程与问题二中回归模型求解步骤相同，得到的C4烯烃收率的最优标准回归方程 + +$$ +\begin{array}{l} \varphi^ {*} = - 0. 0 1 4 6 + 0. 7 7 5 T ^ {*} + 0. 3 9 2 x _ {1} ^ {*} - 0. 6 9 3 x _ {3} ^ {*} - 0. 2 9 1 x _ {4} ^ {*} - 0. 0 0 1 T \cdot x _ {2} ^ {*} \\ + 0. 0 0 1 x _ {1} ^ {*} \cdot x _ {3} ^ {*} + 0. 5 0 8 x _ {2} ^ {*} \cdot x _ {3} ^ {*} + 0. 2 0 6 x _ {2} ^ {*} \cdot x _ {4} ^ {*} - 1. 1 9 6 x _ {3} ^ {*} \cdot x _ {4} ^ {*} \tag {8} \\ \end{array} +$$ + +其中 $T$ 为温度， $x_{1}$ 为 $\mathrm{Co / SiO2}$ 和HAP的质量和， $x_{2}$ 为乙醇浓度， $x_{3}$ 为Co负载量， $x_{4}$ 为 $\mathrm{Co / SiO2}$ 和HAP装料比。可以看出 $\mathrm{Co / SiO2}$ 和HAP装料比与Co负载量的交互作用对C4烯烃收率的影响最大。 + +为了与实际实验数据结合，需要将标准回归方程化为普通回归方程。标准化回归系数与普通最小二乘回归系数间存在关系式 + +$$ +\beta_ {j} = \frac {\sqrt {L _ {y y}}}{\sqrt {L _ {i j}}} \beta_ {j} ^ {*}, j = 1, 2, \dots , n +$$ + +得到普通最小二乘回归方程 + +$$ +\begin{array}{l} \varphi = 0. 1 3 8 T + 0. 0 2 5 x _ {1} - 5. 5 7 8 x _ {3} - 8. 5 0 3 x _ {4} - 2. 0 0 4 x _ {2} \cdot x _ {3} + 2. 1 6 8 x _ {2} \cdot x _ {4} \\ + 9. 2 2 4 x _ {3} \cdot x _ {4} - 0. 0 0 0 0 5 2 T \cdot x _ {2} + 0. 0 0 0 0 2 2 x _ {1} \cdot x _ {3} \tag {9} \\ \end{array} +$$ + +# 决策变量： + +由于要通过选择催化剂组合与温度使得C4烯烃收率尽可能高，因此以温度、Co/SiO2和HAP的质量和、乙醇浓度、Co负载量、Co/SiO2和HAP装料比作为决策变量，即决策变量为 + +$$ +T, x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4} +$$ + +# 目标函数： + +由于最终目标是要使得C4烯烃收率最高，因此以C4烯烃收率最高作为目标函数，目标函数为 + +$$ +\begin{array}{l} \max \varphi = 0. 1 3 8 T + 0. 0 2 5 x _ {1} - 5. 5 7 8 x _ {3} - 8. 5 0 3 x _ {4} - 2. 0 0 4 x _ {2} \cdot x _ {3} + 2. 1 6 8 x _ {2} \cdot x _ {4} \\ + 9. 2 2 4 x _ {3} \cdot x _ {4} - 0. 0 0 0 0 5 2 T \cdot x _ {2} + 0. 0 0 0 0 2 2 x _ {1} \cdot x _ {3} \\ \end{array} +$$ + +# 约束条件： + +根据已有数据，对C4烯烃收率较高时的各个影响因素的取值范围进行确定，最终得到以下约束条件。 + +① 温度约束： $300 \leq T \leq 500$ +② $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO}2$ 和 HAP 的质量和约束： $20 \leq x_{1} \leq 400$ +③乙醇浓度约束： $0.3 \leq x_{2} \leq 3$ +④Co 负载量约束： $0.5 \leq x_{3} \leq 5$ +⑤Co/SiO2和HAP装料比约束： $0.3\leq x_4\leq 2.5$ + +综上所述，建立C4烯烃收率最高的优化模型 + +$$ +\begin{array}{l} \max _ {T, x _ {1}, x _ {2}, x _ {3}, x _ {4}} \varphi = 0. 1 3 8 T + 0. 0 2 5 x _ {1} - 5. 5 7 8 x _ {3} - 8. 5 0 3 x _ {4} - 2. 0 0 4 x _ {2} \cdot x _ {3} + 2. 1 6 8 x _ {2} \cdot x _ {4} \\ + 9. 2 2 4 x _ {3} \cdot x _ {4} - 0. 0 0 0 0 5 2 T \cdot x _ {2} + 0. 0 0 0 0 2 2 x _ {1} \cdot x _ {3} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} 3 0 0 \leq T \leq 5 0 0 \\ 2 0 \leq x _ {1} \leq 4 0 0 \\ 0. 3 \leq x _ {2} \leq 3 \\ 0. 5 \leq x _ {3} \leq 5 \\ 0. 3 \leq x _ {4} \leq 2. 5 \end{array} \right. \tag {10} \\ \end{array} +$$ + +# 5.3.2 优化模型求解 + +利用Matlab中的quadprog()函数对优化函数进行求解，程序代码见附录10。得到：温度为 $406.9^{\circ}C$ 、Co/SiO2和HAP的质量和为 $400\mathrm{mg}$ 、乙醇浓度为 $2\mathrm{ml / min}$ 、Co负载量为 $1.4\mathrm{wt}\%$ 、Co/SiO2和HAP装料比为1.4时，C4烯烃收率最高，最高值为 $56.3\%$ 。 + +求解温度低于 $350^{\circ} \mathrm{C}$ 时的最佳方案，改变温度的约束条件为 $50 \leq T \leq 350$ ，得到：温度为 $210.3^{\circ} \mathrm{C}$ 、 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO}2$ 和HAP的质量和为 $400 \mathrm{mg}$ 、乙醇浓度为 $2 \mathrm{ml} / \mathrm{min}$ 、 $\mathrm{Co}$ 负载量为 $1.9 \mathrm{wt} \%$ 、 $\mathrm{Co} / \mathrm{SiO}2$ 和HAP装料比为1.8时，C4烯烃收率最高，最高值为 $29.8\%$ 。 + +# 5.4 问题四实验设计及理由 + +为了更好地探究催化剂组合与温度对乙醇制备 C4 烯烃反应的影响, 考虑增加 5 次实验 D1~D5 , 每次实验中催化剂组合与温度设计见表 9 。 + +表 9 新增实验组合 + +
实验编号Co/SiO2和HAP的质量和(mg)乙醇浓度(ml/min)Co负载量(wt)Co/SiO2和HAP料比HAP使用装料方式温度(℃)
D14001.681%1:1是I400
D24001.680.5%1:1是I450
D34000.30.5%1:1是I350
D44000.92%67:33是I350
D540021.4%7:5是I407
+ +5次实验组合设计理由如下： + +1. $400^{\circ} \mathrm{C}$ 时对 A1 组进行实验。由附件 1 中 A1 组数据可知，在 $325^{\circ} \mathrm{C}$ 以前 C4 烯烃的选择性随温度的升高逐渐增大，在 $350^{\circ} \mathrm{C}$ 时 C4 烯烃的选择性降低，通过对 A1 组 C4 烯烃的选择性与温度的数据进行拟合可知 $325^{\circ} \mathrm{C}$ 后 C4 烯烃的选择性呈下降趋势。为了避免 350 度时 C4 烯烃选择性降低是偶然现象，在温度达到 $400^{\circ} \mathrm{C}$ 时对 A1 组进行实验，若 $400^{\circ} \mathrm{C}$ 时烯烃的选择性小于 $350^{\circ} \mathrm{C}$ 时烯烃的选择性，则说明通过拟合得到的结论正确，具体因素取值见表 9 中 D1。 +2. $450^{\circ} \mathrm{C}$ 时对 A4 组进行实验。由附件 1 可以看出 A3 组 C4 烯烃选择性在 $400^{\circ} \mathrm{C}$ 前随温度升高在不断增大, 但在 $450^{\circ} \mathrm{C}$ 时 C4 烯烃选择性下降, A4 组中 C4 烯烃选择性在 $400^{\circ} \mathrm{C}$ 前也随着温度的升高而不断增大, 但是由于没有后续数据记录不能确定温度超过 $400^{\circ} \mathrm{C}$ 后 C4 烯烃选择性继续增大还是减小, 若实验结果表明 $450^{\circ} \mathrm{C}$ 后 C4 烯烃选择性减小, 则可大致说明 C4 烯烃选择性在温度过高时会减 + +小的结论具有普适性, 具体因素取值见表 9 中 D2。 + +3. 考虑在因素间无交互作用的假设下, 分别选取各因素对乙醇转化率最优时的值作为实验条件, 观察无交互作用时各因素分别最优情况下得到的乙醇转化率情况。因此在问题二 5.2.2 中正交试验结果的基础上, 选取 $350^{\circ} \mathrm{C}$ 时乙醇转化率最高的情况下各因素的最优水平作为第二组实验设计, 即优组合 $\mathrm{X}_{1,1} \mathrm{X}_{2,4} \mathrm{X}_{3,4} \mathrm{X}_{4,1} \mathrm{X}_{5,1} \mathrm{X}_{6,1}$ , 具体因素取值见表 9 中 D3。 +4. 与 C2 组类似, 考虑在因素间无交互作用的假设下, 分别选取各因素对 C4 烯烃选择性的最优时的值作为实验条件, 观察无交互作用时各因素分别最优情况下得到的 C4 烯烃的选择性情况。因此在问题二 5.2.2 中正交试验结果的基础上, 选取 $350^{\circ} \mathrm{C}$ 时 C4 烯烃选择性最高的情况下各因素的最优水平作为第三组实验设计, 即优组合 $\mathrm{X}_{1,1} \mathrm{~X}_{2,3} \mathrm{X}_{3,2} \mathrm{X}_{4,3} \mathrm{X}_{5,1} \mathrm{X}_{6,1}$ , 具体因素取值见表 9 中 D4。 +5. 考虑在问题三优化模型所得结果的基础上，选取 C4 烯烃收率最高时最优解所对应温度及催化剂组合在使用 HAP 和第I种装料方式作为第四组的实验条件，通过实验获得的乙醇转化率与 C4 烯烃的选择性数据对 C4 烯烃收率进行计算，通过 C4 烯烃实际值与理论值的对比说明问题三优化模型的合理性，具体因素取值见表9中D5。 + +# 六、模型评价及推广 + +# 模型优点 + +1. 采用多项式回归可以对复杂的函数进行拟合并对非线性数据进行预测，并且回归拟合时首先对数据进行标准化，求得标准回归系数，避免了单位与量纲不同造成的误差，有利于比较各因素对响应变量的影响大小； +2. 在问题二中用定性、定量等多种方法对问题进行分析，采用逐层递进的思路，使得结果有较强的可信性； +3.问题四实验设计结合了前三问的求解结果，有较好的说服力。 + +# 模型缺点 + +1.本文主要使用多元多项式优化模型，考虑的因素较多，容易产生多重共线性，拟合曲线可能存在误差。 +2. 使用 quadprog()函数求全局最优解，会存在一定的误差，可以考虑使用优化智能算法进行求解。 + +# 模型推广 + +1.多元回归模型还可以用于预测天气状况、地震、洪涝灾害等； +2.多元多项式优化模型的求解还可以使用遗传算法、模拟退火算法以及粒子群 + +优化算法等智能算法进行求解。 + +粒子群优化算法求全局最优解伪代码如下 + +
//功能：粒子群优化算法伪代码
//说明：本例以求解问题最大值为目标
//参数：N为群体规模
procedure PSO
for each particle i
Initialize velocity Vi and position Xi for particle i
Evaluate particle i and set pBesti = Xi
end for
gBest = min{pBesti}
while not stop
for i=1 to N
Update the velocity and position of particle i
Evaluate particle i
if fit(Xi) > fit(pBesti)
pBesti = Xi;
if fit(pBesti) > fit(gBest)
gBest = pBesti;
end for
end while
print gBest
end procedure
+ +# 参考文献 + +[1] 刘嘉. 炼厂混合 C4 与乙醇制丙烯反应研究[D]. 西北大学, 2011. +[2] 鲁洋, 王霜, 李法社, 隋猛, 王文超. 拟合系数定常回归法分析生物柴油酯化反应影响因素的数学模型[J]. 中国油脂, 2019, 44(10): 66-70. +[3]吕绍沛.乙醇偶合制备丁醇及C_4烯烃[D].大连理工大学,2018. +[4] 王碧灿, 李法社, 倪梓皓, 王霜, 隋猛. 棕榈酸异戊酯的制备及酯化反应复合影响因素的数学模型[J]. 中国粮油学报, 2020, 35(11): 67-71. +[5] 何晓群, 刘文卿. 应用回归分析[M]. 北京: 中国人民大学出版社, 2019: 71-73, 207-208. + +# 附录 + +# 附录1：问题一：Matlab中数据读入程序(完整程序见支撑材料) + +%1 + +y1_1=xlsread(\附件1.xlsx';性能数据表','D2:D6'); + +x1_1=xlsread(附件1.xlsx',性能数据表'C2:C6'); + +y1_2=xlsread(附件1.xlsx',性能数据表',F2:F6'); + +x1_2=xlsread(附件1.xlsx',性能数据表'C2:C6'); + +%2 + +y2_1=xlsread(附件1.xlsx',性能数据表','D7:D11'); + +x2_1=xlsread('附件1.xlsx','性能数据表','C7:C11'); + +y2_2=xlsread(附件1.xlsx'性能数据表',F7:F11'); + +x2_2=xlsread(附件1.xlsx'性能数据表'C7:C11'); + +表缘原 + +附录2：乙醇转化率与温度的回归模型系数表 + +
催化剂组数β0β1β2R²
1141.80.0025-1.1940.9797
2-227.4-0.00071.1060.9911
3-134.3-0.00030.64760.9663
4-106.90.00040.34450.9959
5231.90.0032-1.6690.994
651.950.0017-0.58360.986
7-102.6-0.00030.55650.9997
896.860.0018-0.80150.999
9186.30.0024-1.3430.9903
10135.70.0018-0.98710.994
11177.90.0023-1.2740.9871
12121.50.0019-0.95440.9991
13164.30.0022-1.210.9965
141380.0022-1.0830.9972
15121.20.0019-0.94850.9989
16188.30.0025-1.3650.9913
171070.0014-0.77070.9915
18155.30.0021-1.1290.987
19185.70.0025-1.3550.9914
20190.10.0028-1.4450.9902
21228.70.0033-1.7110.9966
+ +附录3：乙醇转化率与温度的回归模型系数表 + +
催化剂组数γ0γ1γ2R²
1-190.8-0.00211.4220.916
2234.70.0031-1.6460.9803
3-171.1-0.00090.92440.9551
472.770.0012-0.56240.9765
557.880.0011-0.49950.9905
6176.60.0022-1.2340.9454
774.780.0011-0.56510.9997
819.820.0007-0.24460.9995
9-53.431.00E-040.2180.9949
1059.710.0007-0.40360.9785
115.5860.0002-0.067450.9994
1245.320.0009-0.38290.9993
13-64.33-0.00030.34250.9817
1464.860.0010-0.4940.9995
1539.070.0009-0.36540.9972
1641.330.0010-0.40280.9977
1720.970.0005-0.19030.9763
1881.070.0010-0.54870.9737
1932.40.0006-0.27610.9982
20-12.130.0003-0.021670.9709
21-9.8580.0005-0.060020.9971
+ +# 附录4：问题一(A1、A3、A8、B2画图Matlab程序) + +close all; + +clc; + +%回归方程：A1:y=0.002545\*x^2-1.194\*X+141.8；y=-0.002113\*x^2+1.422\*x-190.8 + +$\% \mathrm{A}3$ ：y=-0.0003256\*x^2+0.6476\*x-134.3；y=-0.0009471\*x^2+0.9244\*x-171.1 + +$\% \mathrm{A8:y = 0.0017518x^{\wedge}2 - 0.8015*x + 96.86; y = 0.0007471*x^{\wedge}2 - 0.2446*x + 19.82}$ + +$\% \mathrm{B}2:\mathrm{y} = 0.002512^{*}\mathrm{x}^{\wedge}2 - 1.365^{*}\mathrm{x} + 188.3;\mathrm{y} = 0.0009926^{*}\mathrm{x}^{\wedge}2 - 0.4028^{*}\mathrm{x} + 41.33$ + +figure(1); + +x=250:1:450; + +y1=0.002545\*power(x,2)-1.194\*x+141.8; + +plot(x,y1,'r-'); + +hold on; + +x=250:1:450; + +y2=-0.0003256\*power(x,2)+0.6476\*x-134.3; + +plot(x,y2,'b--'); + +hold on; + $\mathrm{x} = 250:1:450$ +y3=0.0017518*power(x,2)-0.8015*x+96.86; +plot(x,y3,'m-'); + +```matlab +hold on; +x=250:1:450; +y4=0.002512*power(x,2)-1.365*x+188.3; +plot(x,y4,'g*'); +``` + +```javascript +legend('A1乙醇转化率','A3乙醇转化率','A8乙醇转化率','B2乙醇转化率'); +xlabel('温度/°C'); +ylabel('乙醇转化率'); +``` + +```txt +figure(2); +x=250:1:450; +y5=-0.002113*power(x,2)+1.422*x-190.8; +plot(x,y5,'r-'); +``` + +```txt +hold on; +x=250:1:450; +y6=-0.0009471\*power(x,2)+0.9244\*x-171.1; +plot(x,y6,'b-'); +``` + +```txt +hold on; +x=250:1:450; +y7=0.0007471*power(x,2)-0.2446*x+19.82; +plot(x,y7,'m--'); +``` + +```txt +hold on; +x=250:1:450; +y8=0.0009926*power(x,2)-0.4028*x+41.33; +plot(x,y8,'g*'); +``` + +```javascript +legend('A1_C4 烯烃选择性','A3_C4 烯烃选择性','A8_C4 烯烃选择性','B2_C4 烯烃选择性'); +``` + +```javascript +xlabel('温度/°C'); +ylabel('C4烯烃选择性'); +``` + +# 附录5：问题二(控制变量组合对照画图Python程序) + +```python +import matplotlib.pyplot as plt +import numpy as np +``` + +这两行代码解决plt中文显示的问题 + +```python +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +``` + +plt.figure() + +对比条形图 + +输入统计数据 + +B1 B2 B3 B4 B6 乙醇转化率 + +```txt +quality1 = np.array([250,275,300,350,400]); # B1 B2 +quality2 = np.array([250,275,300,325,350,400]); # B3 B4 B6 +``` + +number_B1 = [1.4,3.4,6.7,19.3,43.6]; + +number_B2 = [2.8,4.4,6.2,16.2,45.1]; + +number_B3 = [0.4,0.6,1.1,3.3,6.0,21.1]; + +number_B4 = [0.5,1.1,3.0,6.1,9.6,33.5]; + +```javascript +number_B6 = [2.8,7.5,12.6,15.9,27.0,63.2]; +``` + +B1 B2 B3 B4 B6 C4 烯烃选择率 + +```javascript +number_B1_1 = [6.32,8.25,12.28,25.97,41.08]; +``` + +number_B2_1 = [3.26,4.97,9.32,22.88,38.7]; + +```javascript +number_B3_1 = [2.85,5.35,7.61,7.74,13.81,21.21]; +``` + +number_B4_1 = [6.62,6.62,5.05,8.33,13.1,21.45]; + +```javascript +number_B6_1=[4.5,4.79,8.77,16.06,22.41,30.48]; +``` + +使用 plot 函数绘制乙醇转化率图像 + +```javascript +plt.plot(quality1,number_B1,color='lightgrey',linestyle='-','label='B1_乙醇转化率， 100mg') +``` + +```txt +plt.plot(quality1, number_B2, color='violet', linestyle='-.', label='B2_乙醇转化率,200mg') +``` + +```javascript +plt.plot(quality2,number_B3,color='orange',linestyle='--',label='B3_乙醇转化率,20mg') +``` + +```javascript +plt.plot(quality2,number_B4,color='b',linestyle='','label=B4_乙醇转化率,50mg') +``` + +```javascript +plt.plot(quality2,number_B6,color='orange',linestyle='',label='B6_乙醇转化率,150mg') +``` + +使用bar函数绘制C4烯烃选择性图像 + +```javascript +plt.bar(quality1,number_B1_1,width=5,color='lightgrey',label='B1_C4 烯烃的选择性,100mg') +``` + +```javascript +plt.bar(quality1+5,number_B2_1, width=5,color='violet', hatch='xxx', label='B2_C4 烃的选择性,200mg') +``` + +```javascript +plt.bar(quality2+10,number_B3_1, width=5,color='orange', hatch='/', label='B3_C4 烃的选择性,20mg') +``` + +```javascript +plt.bar(quality2+15,number_B4_1, width=5,color='b', label='B4_C4 烯烃的选择性,50mg') +``` + +```javascript +plt.bar(quality2+20,number_B6_1,width=5,color='orange',label='B6_C4 烯烃的选择性,150mg') +``` + +pltlegend() # 显示图例 + +plt.xticks(quality2) + +plt.xlabel('温度') + +pltylabel('百分率/%') #纵坐标轴标题 + +plt.show() + +附录6：正交试验结果表 + +
实验编号X1X2X3X4X5X6350°C时乙醇转化率(%)350°C时C4烯烃选择性(%)
A112311136.8047.21
A212211167.8839.1
A313311148.936.85
A412411160.527.25
A514211136.818.75
A612111155.810.65
A744311158.618.64
A843311131.725.89
A941311113.431.04
A104111119.03.3
A11\23\218.24.35
A1242311119.922.26
A1342331114.623.46
A1442321124.010.83
B142311219.325.97
B222311216.222.88
B36231126.013.81
B45231129.613.1
B541311215.915.34
B632311227.022.41
B723311230.225.05
+ +附录7：正交试验乙醇转化率的结果分析表 + +
实验编号X1X2X3X4X5X6
K11306.6838.364.8563.48602.08486.08
K1327110.8380.314.6\\
K14206.495.460.5\\\
K159.6\\\\\
K166\\\\\
k1151.112.832.431.330.134.72
k1223.228.1452.34248.217.7
k132736.923.7714.6\\
k1422.947.760.5\\\
k159.6\\\\\
k166\\\\\
极差R45.134.936.716.721.916.98
主次顺序X1>X3>X2>X5>X6=X4
优水平X1,1X2,4X3,4X4,1X5,1X6,1
+ +附录8：正交试验C4烯烃选择性的结果分析 + +
实验编号X1X2X3X4X5X6
K21179.8149.6813.95419.5453.79319.58
K2247.93283.2857.8510.834.35138.56
K2322.4187.79359.0923.46
K24176.7337.3927.25
K2513.1
K2613.81
k2129.9716.566.9823.3122.6922.83
k2223.9721.828.910.834.3519.8
k2322.4129.2622.4423.46
k2419.6418.727.25
k2513.1
k2613.81
极差R16.8712.721.9512.6318.343.03
主次顺序X3>X5>X1=X2*X4*X6
优水平X1,1X2,3X3,2X4,3X5,1X6,1
+ +# 附录9：问题二(三次逐步回归Matlab程序) + +close all; + +clc; + +$\mathrm{x} = \mathrm{Xlsread}$ （逐步回归原始数据.xlsx'Sheet1'A3:O93') + +y=xlsread(逐步回归原始数据.xlsx',Sheet1',R3：R93'); + +y1=y'; + +stepwise(x,y1,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15],0.05,0.1) + +```matlab +close all; +clc; +x = xsread('逐步回归原始数据.xlsx','Sheet1','A3:O93'); +y = xsread('逐步回归原始数据.xlsx','Sheet1','S3:S93'); +y1 = y'; +stepwise(x,y1,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15],0.05,0.1) +close all; +clc; +x = xsread('逐步回归原始数据.xlsx','Sheet1','A3:O93'); +y = xsread('逐步回归原始数据.xlsx','Sheet1','Q3:Q93'); +y1 = y'; +stepwise(x,y1,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15],0.05,0.1) +``` + +附录10：问题三(优化模型求解Matlab程序) +```matlab +close all; +clc; +G=[0,0,0.000026,0,0;0,0,0,-0.000011,0;0.000026,0,0,1.002,-1.309;0,0.000011,1.002,0,-4.612;0,0,-1.309,-4.612,0]; +c=[-0.138;-0.025;0;5.578;8.503]; +lb=[300;20;0.3;0.4;0.3]; +ub=[500;400;3;5;2.5]; +[x,fval]=quadprog(G,c,[],[],[],],lb,ub) +``` + +close all; +clc; + $\%$ 最高温度低于 $350^{\circ}C$ $G = [0,0,0.000026,0,0;0,0,0,-0.000011,0;0.000026,0,0,1.002,-1.309;0,0.000011,1.002,0,$ $-4.612;0,0,-1.309,-4.612,0]$ $\mathbf{c} = [-0.138; - 0.025;0;5.578;8.503]$ +lb=[50;20;0.3;0.4;0.3]; +ub=[350;400;3;5;2.5]; +[x,fval]=quadprog(G,c,[],[],[],],lb,ub) \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/C006/C006.md b/MCM_CN/2021/C006/C006.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..94160f820b4cd4d1a4bdbad073b03d4d30713749 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/C006/C006.md @@ -0,0 +1,2519 @@ +# 生产企业原材料订购与运输的评价与规划模型 + +# 摘要 + +本文针对现有的生产企业原材料订购与运输方案的制定问题，通过历史订货和供货数据，针对供货商建立反映了其重要性的多指标评价模型，对模型筛选得出的重要供货商，建立原材料订购与运输方案的多目标规划模型，分别尝试以保障生产稳定性、原材料订购结构优化和产能提升为优化目标，通过遗传算法对模型进行求解，得到基于三种优化目标最佳的订购方案与运输方案。 + +本题的数据较多，在建立模型前首先对数据进行预处理，发现附件数据不存在明显的错误和缺失。在比较附件1的历史订货数据与供货数据的偏差后，发现存在供货质量极低的33家供货商，将这类明显的低质量供货商剔除，不纳入后续的研究与分析。 + +研究供货商的历史数据，量化分析供货商的供货特征，首先通过对附件数据进行分析，建立了6个能有效反映供货商供货能力和供货风险的指标。这6个指标分别为供货次数、平均供货量、单次最大供货量、供货稳定性、供货一致性和合理供货比例。通过TOPSIS法，结合6个指标，建立多指标评价模型，对每个供货商的重要性程度进行评价。基于模型的评价结果，本文筛选出了50家最重要的供货商，其中得分最高三家的供货商分别为S140，S229，S361，这三家供货商的得分分别为0.9435，0.8755和0.8401。 + +以保障生产的稳定性为目标，建立最经济的订购方案与损耗最小的运输方案。针对问题一模型所得的50家最重要供货商，以供货商数目最小和供货能力能满足最大产能为目标，建立基于多目标规划的筛选模型，通过遗传算法求解，发现至少需要39家固定的供货商供货，才能恰好满足最大产能需求。针对这39家供货商，以最小化成本为目标，生产稳定性为约束建立动态规划模型，通过遗传算法进行求解，得到了最经济的订购方案。针对每周的订购方案，以运输损耗为优化目标，建立运输方案的规划模型，通过程序模拟迭代对模型进行求解，得到了损耗最小的转运方案。通过检验库存的变化和估计损耗率，对订购方案和转运方案进行评估，发现本文所得结果是合理且有效的。 + +通过优化原材料订购结构，对成本进一步压缩。对问题二中的订购方案模型进行分析，发现由于各项成本的数量级差异，导致模型对原材料订购结构并不敏感，进而使得原材料订购结构无法达到最优。以问题二模型结果为起始点，添加对原材料订购结构的强约束，通过遗传算法对模型进行求解，得到新订购方案与转运方案。相比于问题二中的订购方案，新的订购方案优化了原材料的订购结构，使每周的订购成本平均缩减 $0.956\%$ ，最大可缩减 $4.847\%$ 。 + +考虑生产企业产能提升的潜力，结合供货商和转运商的实际情况，重新制定订购方案与运输方案。供货商和转运商的能力决定了企业产能提升的潜力，在问题二模型的基础上，基于生产背景对模型进行修改，以转运商的转运能力为企业产能提升的上限，放低对供货商供货质量的要求。通过遗传算法对模型进行求解，得到了新的订购方案和转运方案，发现在现有的供货链中，该生产企业的产能还可提高1.58万立方米左右。 + +关键词：TOPSIS，评价模型，遗传算法，多目标规划模型 + +# 一、问题重述 + +某生产企业每年按48周安排生产，需提前制定24周的原材料订货和转运计划。计划的制定需要根据产能要求确定每周的原材料供货商和相应每周的原材料订货数量，并确定第三方物流公司，委托其将原材料转运至企业仓库。该生产企业所用的原材料分为A、B和C三种类型，其采购单价不同，均为独立用于生产产品，生产一立方米产品所需消耗的量不同，三种原材料的运输和储存的单位费用则是相同的。该企业每周产能为2.82万立方米，且要求尽可能保持不少于满足两周生产需求的原材料库存量。供货商实际供货量可能多于或少于订货量，企业对供货商实际供货的原材料总是全部收购。 + +每家转运商的运输能力为6000立方米/周。在原材料的实际转运过程中会有一定的损耗，不同的转运商产生的损耗程度不同。一家供货商每周的供货的原材料应尽量由一家转运商运输。 + +附件1给出了该企业近5年402家原材料供货商每周的订货量和供货量数据；附件2给出了8家转运商近5年每周的运输损耗率数据。现完成如下问题： + +1. 量化分析附件 1 中 402 家供货商的供货特征, 建立反映保障企业生产重要性的数学模型, 从而确定 50 家最重要的供货商。 +2. 参照问题一所得的供货商重要性，制定未来24周每周最经济的原材料订购方案及损耗最少的转运方案，并对方案的实施效果进行分析。 +3. 考虑每周所订货的三种原材料的组成结构，压缩生产成本，制定新的订购方案，对新方案的实施效果进行分析，并与原方案对比。 +4. 企业具备提高产能的潜力，根据现有供货商和转运商的实际情况，分析其规律，确定该企业每周产能可提高多少，制定新的订购方案，对新方案的实施效果进行分析。 + +# 二、问题分析 + +生产企业原材料的订货与运输问题给出了402家供货商近5年的订货与供货的数据，题目要求据此制定未来24周的订货与转运方案。供货商供货的不稳定性，使得生产企业的供货链上游不可避免的产生风险。为了有效地管理风险，采购商需要与主要供货商建立更紧密的关系，这些供货商被期望提供解决方案，增强采购公司的核心竞争力。[1]因此，面对良莠不齐的402家供货商，考虑到优先保障企业生产以及库存的稳定性，有必要对供货商的供货能力进行筛选，挑选出那些供货能力强，供货稳定性高的供货商建立长期稳定的合作关系，以确保供货链的上游既高效又稳定。 + +# 2.1量化分析供货商供货特征衡量供货商重要性 + +问题一要求基于供货商的历史订货与供货数据进行量化分析，探寻供货商的供货特征，并建立反映保障企业生产重要性的数学模型，筛选出50家最重要的供货商。首先，对附件1的数据进行预处理，确保预处理后的数据不存在错 + +误数据。接着针对预处理后的数据，进行探索性数据分析，观察402家供货商在供货能力，供货稳定性上是否存在明显的差异化特征。基于数据分析的结果，构建能够有效反映供货商供货能力与供货稳定性的指标，对指标进行分析和筛选。结合筛选过后的指标，建立多指标评价模型，对402家供货商进行重要性程度评价，基于评价结果，选择最重要的50家供货商。 + +# 2.2 考虑生产稳定性的订购方案与运输方案的制定 + +问题二要求基于问题一，筛选出至少多少家供货商供货能满足每周的最大产能需求，并针对筛选所得的供货商，制定未来24周最经济的订货与损耗最少的转运计划。供货商的选择是结合了供货能力和供货稳定性的综合决策，因此本文通过在建立筛选模型时，需要在满足最大产能原材料需求的前提下，考虑供货不确定性以及运输损耗带来的风险，给出所需供货商数目最少的组合。针对筛选得出的供货商组合，将订货一批原材料的成本作为衡量订货方案经济程度的指标，成本需要将运输成本，储存成本和购买成本都考虑在内。挖掘供货商订货与供货数据的周期性，基于此建立各个供货商供货能力的周期性模型。以成本最小化为目标，动态的库存以及供货商供货能力的周期性变化为约束，建立每周的多变量优化模型。逐周的求解优化模型，即可得到未来24周最经济的订购方案。转运方案的制定，需要考虑到原材料的不同，结合原材料价格以及运输成本，可知不同原材料生产一立方米产品的成本（简称“产品生产成本”）不同，因此转运商的选取应当以损耗率低的转运商运送产品生产成本较高的原材料为原则，据此建立规划模型，结合题干信息建立约束，求解规划模型即可得到每周损耗最小的转运方案。 + +# 2.3考虑原材料订货结构优化的订购方案和转运方案制定 + +对于问题三，本文考虑基于问题二所构建的模型，通过添加对原材料的偏好，尝试对模型进行修改。检验原材料订购结构是否得到优化，通过对成本进行量化，对比问题二和问题三的两种方案的成本差异。 + +# 2.4考虑产能提升的订购方案与转运方案制定 + +对于问题四，同样沿用问题二的思路和模型，对目标供货商与约束条件进行修改。由于企业已具备了提高产能的潜力，为满足企业产能提升的需求，考虑将供货商选取范围进一步扩大。同时由于产能提升潜力的存在，原产能上限已不再成为限制，库存积压导致的成本问题能有效被解决，同时限制企业每周产能的因素转变为转运商每周的总转运量。据此问题二的订购方案中的目标函数，重新求解符合问题四的订购方案。 + +# 三、基本假设与符号说明 + +# 3.1基本假设 + +(1)该生产企业再过去五年内的生产规模相对稳定，未出现较大变化； +(2)该生产企业再过去5年的订货数据都是基于对供货商供货能力的充分考虑； +(3)该生产企业的仓库有足以满足两周以最大产能生产消耗的原材料库存。 + +# 3.2符号说明 + +
符号含义单位
ni供货商i的供货次数\
mi供货商i的平均供货量m³
xi max供货商i的单次最大供货量m³
δi供货商i的供货稳定性\
Δi供货商i的供货连续性\
γi供货商i的合理供货比例\
si供货商i的重要性评分\
zi,t第t周企业对供货商i订单量m³
xi,t第t周供货商i实际供货量m³
εi,t第t周供货商i实际供货偏差量m³
x̂i,t第t周供货商i预测供货量m³
VA,t第t周原材料A的库存m³
EA,t第t周原材料A的消耗量m³
CTrans单位原材料运输费用元/m³
CPurchase,A单位原材料A采购费用元/m³
CStore单位原材料储存费用元/m³
Ot在第t周的目标产能m³
+ +# 四、数据预处理 + +本题附件1提供了402家供货商近5年内240周的订单数据与供货数据。由于数据量较大，需要对所给的数据进行一定的预处理，以防止其中存在错误的数据，使得计算时对结果造成影响导致出现误差。 + +借助Excel软件对附件1中数据进行整理，得到企业对于各供货商的订单总数量，各供货商对企业的供货总单数，供货总量以及各供货商接收到的订货量与实际供货量的差值。如下表所示： + +表 1: 对附件 1 数据的统计性分析表 + +
供货商ID供货次数供货总量平均供货量平均差值
S00125492.02.0
S002712733.90.4
S0031911313868.85.7
S00433641.96.3
S005107691264.6-3.3
S00613302.37.9
...............
+ +由上表可知， $94\%$ 的供货商接收到的订货量与实际供货量的差值在100立方米以内，对于个别存在差值较大的供货商需进行进一步分析，检验与处理。分别统计各供货商供货量与订单量差值大于100立方米及1000立方米的次数。所 + +得结果如表二所示： + +表 2：供货商的缺货情况统计 + +
供货商ID缺货大于100缺货大于1000
S1611717
S1601515
S2011413
S2461313
S0742012
.........
+ +基于假设2，该生产企业再过去5年的订货数据都是基于对供货商供货能力的充分考虑，可推知该企业过去5年内的所有订单量均无误。结合如上表格，认定供货总单数较少且供货量与订单量差值大于100次数较多的供货商为极低质量供货商。因此为防止其作为极值影响后续计算结果，将S034，S047，S118，S137等33家极低质量供货商从数据集中剔除，附录2中给出了剔除的33家供货商的详细数据。 + +至此完成数据的整理与剔除，后文的建模和求解均建立在此数据预处理的基础上进行。 + +# 五、问题一的模型建立与求解 + +本问要求基于供货商的历史订货与供货数据对供货商的供货特征进行量化分析，建立模型反映保障企业生产重要性的模型，并再此基础上给出50家最重要的供货商。企业在选择供货商时，需要综合考虑供货商的运营情况、成本控制、生产运作、技术开发等信息。在本问题中，本文将从所给的历史数据提取一定的指标来衡量供货商的供货特征，指标的选取基于附件1402家供货商近5年的订货与供货数据，基于所得指标，建立多指标评价模型，给出402家供货商的重要性程度。 + +# 5.1 建模前准备 + +根据参考文献可知，评价指标应当刻画的是被评价对象的特征或属性。每一项所选取的评判指标均为从不同方面反映评价对象所具有某种特征大小的一个度量。而在多个评价指标构成指标体系时，构建评价指标体系的原则在于：系统性、科学性、可比性、可测性和独立性。 + +依据此原则，分析供货商的订货与供货数据，构建能够反映供货商供货特征的指标。本文从供货商供货能力与供货稳定性两个角度出发，构建供货次数，平均供货量和单次最大供货量用于反映供货商供货能力；供货稳定性，供货一致性和合理供货比例用于反映供货商供货风险。以这6个指标，建立多指标评价模型，以模型的输出结果作为供货商重要性的体现。 + +![](images/ef325606ea6375dd42d5c8f0ca656a626d8b6dc57bd3180386d888fab8500918.jpg) +图1：问题一多指标评价模型 + +# a.供货次数 + +供货次数间接反映供货商的接到订货的次数，生产企业在过去的5年向该供货商的订货次数，能够直接反映生产企业对该供货商的依赖程度。由假设2可知，生产企业对该供货商的依赖程度能够有效反映生产企业对该供货商供货能力的认可度，即供货次数越多的供货商，具有更强的供货能力。 + +# b.平均供货量 + +基于假设2，平均供货量在一定程度上反映该供货商的供货能力。同时结合供货总量也可以得到各供货商对于企业的供货次数。可以间接反映出该供货商与企业的业务联系，进而反映出该生产企业与该供货商是否存在长久合作关系。若供货商的供货次数越多，则说明供货商与企业和合作关系越紧密，越可能成为高质量供货商。 + +# c.单次最大供货量 + +由于该企业对供货商实际提供的原材料总是全部收购，供货商为实现利益最大化，一定会保持最大生产效率。因此单次最大供货量直接反映了供货商供货能力的上限，同样是衡量供货商供货能力的一个重要指标。 + +# d.供货稳定性 + +对于企业而言，供货量过多会导致成本增加，供货量过少影响产能释放，因此供货量需要与订单量保持较高的一致性。即供货商的供货量需要保持在企业给予其订单量的一定范围内波动。波动值越小则说明供货商的供货能力越稳定，越受企业的重视。 + +# e.供货量连续性 + +供货同种原材料的供货商，能够持续提供原材料的供货商要比间歇性提供原材料的供货商实力更强，同时企业为了节约决策成本，也更愿意选择能够持续供货的供货商。因此供货商的供货连续性越高，则越有可能成为企业的高质量供货商。 + +# f.合理供货比例 + +理想供货商的供货量应当与企业的订货量相当，能够充分满足企业需求量的供货商可以为企业减少许多不必要的成本。即供货商的合理供货比例越高，企业越有可能与供货商达成长期合作。 + +# 5.2 模型的建立 + +# 5.2.1指标计算 + +# a.供货次数 + +供货总量的计算，基于附件1的供货商供货数据。通过计算各个供货商在过去5年参与供货的次数得到： + +$$ +n _ {i} = \sum_ {t = 1} ^ {2 4 0} y _ {i, t} +$$ + +$$ +y _ {i, t} \in \{0, 1 \}, i = 1, 2, \dots 4 0 2 +$$ + +其中， $n_i$ 即为供货商 $i$ 在近五年供货次数， $y_{i,t}$ 为逻辑变量，其含义为在第 $t$ 周供货商 $i$ 是否参与了供货，“1”表示参与供货，“0”表示未参与供货。 + +# b.平均供货量 + +平均供货量的计算首先需要针对原材料进行换算，将其统一为可生产产品的数目后，剔除在240周内未参与供货的数据，求取平均值： + +$$ +m _ {i} = \frac {1}{n _ {i}} \sum_ {t = 1} ^ {n _ {i}} \frac {x _ {i , t}}{p _ {i}}, i = 1, 2, \dots 4 0 2 +$$ + +$$ +p _ {i} = 0. 6, \quad i \in A +$$ + +$$ +p _ {i} = 0. 6 6, i \in B +$$ + +$$ +p _ {i} = 0. 7 2, i \in \mathrm {C} +$$ + +其中， $m_{i}$ 即为供货商i的平均供货量， $p_i$ 为生产一立方米产品所需的原材料消耗， $x_{i,t}$ 为第t周供货商i的供货量，集合A,B,C分别表示各类原材料的供货商集合。 + +# c.单次最大供货量 + +通过附件1所给的供货商历史供货数据，首先对原材料进行换算，将其统一为可生产产品数目，再寻找每家供货商的历史供货数据的最大值： + +$$ +x _ {i} ^ {\max } = \max \left\{x _ {i, t}, t = 1, 2, \dots , 2 4 0 \right\}, i = 1, 2, \dots , 4 0 2 +$$ + +其中， $x_{i}^{max}$ 即为供货商i的单次最大供货量。 + +# d.供货稳定性 + +通过比较各供货商每次供货量与订单量的差值，可以直观的得到各供货商的供货稳定性，其计算公式如下： + +$$ +\delta_ {i} = \frac {1}{n _ {i}} \sum_ {t = 1} ^ {n _ {i}} \left(x _ {i, t} - z _ {i, t}\right) ^ {2}, i = 1, 2, \dots , 4 0 2 +$$ + +其中， $\delta_{i}$ 即表示供货商 $i$ 的供货量与订单量的均方误差， $z_{i,t}$ 为第 $t$ 周供货商 $i$ 的订货量。 + +# e.供货量连续性 + +由于供货连续性无法由附件1的数据直接得出，故引入时间间隔这一概念，即企业对于各供货商两次订单中间间隔的周数，以及供货商连续为企业提供原材料的周数。构造间隔次数，平均间隔周数，平均连续供货周数三个指标来衡量企业供货连续性。通过熵权法计算三个指标的系数，以三者的综合得分作为各供货商的供货连续性指标。 + +对于间隔天数，分析后发现其为成本型指标；对于平均间隔天数和平均连续供货天数，分析后发现其为效益型指标。对不同类型的指标进行不同的归一化处理，处理公式如下： + +$①$ 成本型指标归一化 + +$$ +x _ {S c a l e} = \frac {x _ {\max} - x}{x _ {\max} - x _ {\min}} +$$ + +$②$ 效益型指标归一化 + +$$ +x _ {S c a l e} = \frac {x - x _ {\min}}{x _ {\max} - x _ {\min}} +$$ + +结合针对归一化处理后的指标，供货连续性评分模型建立如下： + +$$ +\Delta_ {i} = w _ {1} r _ {i, 1} + w _ {2} r _ {i, 2} + w _ {3} r _ {i, 3} \tag {1} +$$ + +其中 $w_{j}$ 即为第 $j$ 个指标的权重， $r_{i,j}$ 即为供货商 $i$ 第 $j$ 个指标的值。通过熵权法求解权重，代入(1)式，即可得供货商 $i$ 供货连续性 $\Delta_{i}$ 。 + +# f.合理供货比例 + +理想供货商的供货量应该在企业所给订单量的一定范围内上下浮动。此处设置浮动范围为 $20\%$ 。即 $x_{i,t} \in (80\% z_{i,t}, 120\% z_{i,t})$ 。若供货事件符合条件，则记为1，否则记为0，则有： + +$$ +C o u n t _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} 1, x _ {i, t} \in (0. 8 z _ {i, t}, 1. 2 z _ {i, t}) \\ 0. x _ {i, t} \notin (0. 8 z _ {i, t}, 1. 2 z _ {i, t}) \end{array} \right. +$$ + +下一步计算符合条件的供货次数占供货商总供货次数的比值，即可得到供货商 $i$ 的合理供货比例，即： + +$$ +\gamma_ {i} = \frac {\text {C o u n t} _ {i}}{n _ {i}} +$$ + +# 5.2.2模型汇总 + +确定了能有效描述供货商的供货特征的指标后，构建供货重要性评价模型，通过熵权法方法求解出各个指标的权重，建立基于TOPSIS的多指标评价模型，该得分即反映出供货商重要性，值越大，则重要性程度越高。 + +熵权法(Entropy Weight Method, EWM)的基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。一般来说，若某个指标的信息熵越小，表明指标值得变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所能起到的作用也越大，其权重也 + +就越大。相反，某个指标的信息熵越大，表明指标值得变异程度越小，提供的信息量也越少，在综合评价中所起到的作用也越小，其权重也就越小 + +TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)法是一种常用的组内综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。基本过程为基于归一化后的原始数据矩阵，采用余弦法找出有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。 + +# 5.3基于TOPSIS的多指标评价模型的求解 + +# 5.3.1 算法求解 + +(1)熵权法求解流程如下： + +# 熵权法求解流程 + +Step1将数据导入Python，对指标进行标准化处理 + +Step2计算标准化后指标的熵值 + +Step3计算各指标的差异系数 + +Step4计算各指标的权重 + +Step5分别用权重乘以归一化后的数据 + +(2) TOPSIS 算法求解流程如下： + +# TOPSIS算法求解流程 + +Step1将数据导入Python，根据熵权法得到供货次数，平均供货量，单词供货最大值，供货稳定性，供货连续性和合理供货比例共六个指标的权重 + +Step2对六个指标数据进行指标属性同向化处理并构造归一化初始矩阵 + +Step3确定最优方案和最劣方案 + +Step4计算各评价对象与最优方案、最劣方案的接近程度 + +Step5计算各评价对象与最优方案的贴近程度 + +Step6根据贴近程度大小进行排序，给出评价结果 + +Output: 各供货商 TOPSIS 评价结果 + +# 5.3.2 求解结果展示 + +表 3：供货连续性评价体系指标权重 + +
连续性评价指标间隔次数平均间隔周数平均连续供货周数
权重0.43830.35600.2057
+ +如上表即为供货连续性评价体现的指标权重，即： + +$$ +\Delta_ {i} = 0. 4 3 8 3 r _ {i, 1} + 0. 3 5 6 0 r _ {i, 2} + 0. 2 0 5 7 r _ {i, 3} +$$ + +从权重的值不难看出，供货连续性主要受到间隔次数和平均间隔周数的影响，其中间隔次数是反映供货连续性的最终要的一个指标。 + +# 表 4：TOPSIS 多指标评价模型指标权重 + +
指标供货总量平均 供货量单词供货 最大值供货 稳定性供货 连续性合理 供货比例
权重0.26170.22720.16220.31430.02540.0093
+ +上表即为 TOPSIS 多属性评价体现的指标权重，从权重的值来看供货的稳定性是影响供货商重要性最重要的指标，其次为供货的总量，这两点分别对应了供货能力和供货风险。 + +# 5.4 五十家重要性供货商结果展示 + +表 5: 50 家最重要的供货商 + +
供货商ID重要性程度供货商ID重要性程度供货商ID重要性程度
S1400.9435S2680.4676S2440.2627
S2290.8755S3060.4565S0800.2611
S3610.8401S3070.4498S2180.2528
S3480.8150S1940.4425S0030.2481
S1510.8070S3520.4257S1890.2469
S1080.7432S1430.3990S0860.2460
S3950.5700S2470.3860S2100.2441
S3740.5631S0370.3654S1140.2320
S1390.5623S2840.3643S0740.2238
S3400.5459S3650.3612S0070.2194
S2820.5450S0310.3495S1230.2189
S3300.5409S0400.3069S2730.2169
S3080.5269S3640.3003S2910.2167
S2750.5230S3460.2981S2920.2023
S3290.5145S3670.2908
S1260.5111S2940.2782
S1310.4878S0550.2763
S3560.4840S3380.2755
+ +# 六、问题二的模型建立与求解 + +在问题一的求解中，本文通过对供货商的供货特征的分析，综合考虑供货商供货能力和供货风险，建立了反映保障企业生产重要性的数学模型，对供货商的重要性进行了评价，并筛选出了50家最重要的供货商。问题二在问题一结论的基础上，通过建立供货商筛选的多目标规划模型，以确定该生产企业在考虑满足原材料需求的情况下，至少需要选择多少家供货商供货原材料才得以满足生产的需求。针对模型筛选所得的供货商组合，以保障生产的稳定性为前提，考虑供货不稳定性与运输损耗对库存的影响，建立动态规划模型，基于遗传算法，逐周求解最优订购方案与转运方案，制定未来24周最经济的订购方案和转运方案。 + +![](images/73e91e7bd3cf10ba2b61ae819ba96d13e295b3f96b049b38416294453fb17cc1.jpg) +图2：问题二的多目标规划模型 + +# 6.1 供货商筛选模型的建立 + +在问题一的模型输出结果的基础上，本问需要进一步缩小目标订货供货商的集合，寻找供货商数目最小的供货商集合。以供货商数目最小为目标的前提下，以每周供货量可满足最大产能需求为约束，建立一个多目标规划模型。如果仅仅要求满足最大产能需求，那就意着模型只考虑了供货商的供货能力，而无法将供货风险考虑再模型中。因此本文将问题一模型输出的供货商重要性也纳入模型中，将供货商重要性之和最大作为第二个优化目标，尝试构建一个多目标规划模型。 + +# 6.1.1目标函数的确定 + +本模型为一个多目标的优化模型，存在两个优化目标，第一个优化目标为每周订货的供货商数目最少，其数学表达式为： + +$$ +\min _ {v} \sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i} +$$ + +其中， $y_{i}$ 为一个逻辑变量，取值只有“0”或“1”，其含义为供货商 $i$ 是否参与本周的供货，0表示不参与供货，1表示参与供货。如上公式即为参与每周供货的供货商数目。 + +第二个优化目标为参与每周供货的供货商的重要性程度之和最大，公式表达为： + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i} \cdot s _ {i} +$$ + +其中， $s_l$ 为问题一模型所得的重要性程度指标，其取值范围为[0,1]。该优化目标的设置是考虑了供货商对生产企业的重要性程度，将重要性程度之和设置为最大化目标，可确保在优化问题的求解中，使得重要性程度高的企业优先被考虑参与供货。 + +对两个优化目标进行进一步化简，将多目标优化转化为单目标优化，所得新式如下： + +$$ +\min _ {y} \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i} \cdot s _ {i}} +$$ + +# 6.1.2约束条件的确定 + +首先，在假设1的前提条件下，有如下推论，该生产企业5年内规模维持稳定，从企业的供求关系看，该生产企业的产能设置必然会经过仔细的考虑，以避免应产能过剩，而导致增加固定成本，因此可以推论在该假设前提下，该生产企业在日常运营中其产量与最大产能持平。在此推论的基础上，可知该生产企业每周的进货量必须能够满足每周的生产消耗，即最大产能2.82万立方米。对每周的供货量，有如下约束： + +$$ +\begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {y _ {i} \hat {x} _ {i , t} (1 - \alpha_ {i , t})}{p _ {i}} \geqslant 2. 8 2 \times 1 0 ^ {4}, t = 1, 2, \dots 2 4 \\ \hat {x} _ {i, t} = z _ {i, t} + \hat {e} _ {i, t} \\ p _ {i} = 0. 6, \quad i \in A \\ p _ {i} = 0. 6 6, \quad i \in B \\ p _ {i} = 0. 7 2, \quad i \in C \\ y _ {i} \in \{0, 1 \} \\ \end{array} +$$ + +其中， $p_i$ 为生产一立方米产品所需消耗的原材料， $\hat{x}_{i,t}$ 为第 $t$ 周供货商 $i$ 的供货量的估计值， $\alpha_{i,t}$ 为第 $t$ 周供货商 $i$ 所供货的原材料转运损失率， $z_{i,t}$ 为第 $t$ 周供货商 $i$ 所接到的订单数， $\hat{\epsilon}_{i,t}$ 为第 $t$ 周供货商 $i$ 的供货偏差。 + +# 6.1.3优化模型汇总 + +式（2）即为供货商筛选优化模型，最终汇总如下所示： + +$$ +\min _ {y} \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i} \cdot s _ {i}} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} s. t. \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {y _ {i} \cdot \hat {x} _ {i , t} (1 - \alpha_ {i , t})}{p _ {i}} \geqslant 2. 8 2 \times 1 0 ^ {4}, t = 1, 2, \dots , 2 4 \tag {2} \\ \hat {x} _ {i, j} = z _ {i, j} + \hat {e} _ {i, j} \\ p _ {i} = 0. 6, \quad i \in A \\ p _ {i} = 0. 6 6, i \in B \\ p _ {i} = 0. 7 2, \quad i \in C \\ y _ {i} \in \{0, 1 \} \\ \end{array} +$$ + +# 6.1.4模型求解 + +在对供货商筛选模型进行求解时，可进一步化简，使得模型求解过程更加方便，而不影响结果的准确性。在模型的约束中，本文考虑了原材料在运输过程中所产生的损失，以及供货商的供货偏差，这两个变量属于随机变量。 + +其中损失率 $\alpha_{i,t}$ ，以附件2的历史数据作为参考，损失率的取值范围大概在[0,0.05]内，其取值较小，因此本文选取附件2的历史数据求取损失率的平均值作为损失率的估计值： + +$$ +\alpha = \frac {1}{2 4 0} \sum_ {t = 1} ^ {2 4 0} \frac {1}{n _ {t}} \sum_ {j = 1} ^ {n} \alpha_ {t, j} +$$ + +$\alpha_{t,j}$ 为过去五年中第 $t$ 周转运商 $j$ 的损失率， $n_t$ 为第 $t$ 周参与转运的转运商数目，经计算得损失率的估计值为 $1.34\%$ + +对于供货量 $\hat{x}_{i,t}$ ，在约束中的含义用于体现供货商的供货能力，而不指代供货商 $i$ 每周的供货量。因此本文在求解时是使用附件1所提供的供货商历史供货数据的平均值作为对供货能力的估计值： + +$$ +x _ {i} = \frac {1}{m _ {i}} \sum_ {t = 1} ^ {m _ {i}} x _ {i, t} +$$ + +其中， $m_{i}$ 为供货商 $i$ 在过去5年中供货的次数， $x_{i,t}$ 为过去第 $t$ 周供货商 $i$ 供货的数量。 + +在进行如上的简化后，通过Python编写遗传算法对模型进行求解。遗传算法是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。 + +算法求解本模型的迭代过程如下图所示： + +![](images/5acd3ef0bb80ab5206f8ba7e26bac43c42279627a419fbc14d4f5ea79930efe0.jpg) +图3：问题二订货方案模型的遗传算法求解过程 + +求解后所得结果如下表所示，至少需要向表6所示的39个供货商订货才可满足每周的生产需求。 + +表 6: 筛选模型所得的 39 家重要供货商 + +
供货商ID材料分类供货商ID材料分类供货商ID材料分类供货商ID材料分类
S003CS131BS273AS340B
S031BS139BS275AS346B
S037CS140BS282AS348A
S055BS143AS284CS356C
S074CS151CS292AS361C
S080CS189AS294CS364B
S086CS194CS306CS367B
S108BS210CS329AS374C
S123AS229AS330BS395A
S126CS268CS338B
+ +# 6.2 订购方案模型 + +6.1 中通过建立供货商筛选模型，对问题一所选择的 50 家重要供货商进行筛选，进一步缩小了原材料供货商的选择范围，再此基础上建立订购方案模型。在本问题中，订购方案的制定，以保持企业生产的稳定以及库存的稳定为原则，以订货成本最小化为目标。基于假设 1，本文有如下推论：对于一个规模稳定的生产企业，其产能是以市场的需求为参考设计的，即生产企业再日常运营中，很少会出现因为市场需求不足，而导致产能过剩的情况。基于此推论，本文在制定每周订货方案时，将以每周产能即为最大产能考虑。 + +再考虑供货商的供货能力时，问题二的供货商筛选模型中，本文以供货商的平均供货数量作为供货商供货能力的体现。在制定订货方案时，本文认为不应该直接以该值作为每周供货能力的估计值。主要原因有两点：首先，模型的目标是制定未来24周订货方案，如果直接以平均供货数量作为每周的供货量估计值，那么模型的输出结果中每周的订货方案必然是较为一致的，而从供货商的历史订货和供货数据来看，最直观的发现就是，供货商的订单数目并不是每周一致的。其次，考虑到原材料为木制纤维和其他植物素纤维，作为经济作物，其生产是存在一定的周期性的[3]，即极有可能供货商的供货能力是存在一定的周期性的。因此，本文假设供货商的供货存在一定的周期性，再模型建立和求解时，考虑对供货商筛选模型所输出的39家供货商的历史数据以24周为一个周期进行周期性规律探索和建模。 + +# 6.2.1 目标函数的确定：订货成本的计算 + +订货成本可分为原材料购买成本，原材料运输成本和原材料储存成本，成计算的公式如下： + +$$ +\begin{array}{l} C o s t _ {t} = C _ {T r a n s} \sum_ {i \in S} x _ {i, t} + \\ C _ {\text {P u r c h a s e}, A} \sum_ {i \in A \cap S} x _ {i, t} + C _ {\text {P u r c h a s e}, B} \sum_ {i \in B \cap S} x _ {i, t} + C _ {\text {P u r c h a s e}, C} \sum_ {i \in C \cap S} x _ {i, t} + \tag {3} \\ C _ {\text {S t o r e}} \left(V _ {A, t} + V _ {B, t} + V _ {C, t}\right) \\ \end{array} +$$ + +其中 $C_{Trans}$ 为原材料每立方米运输成本， $x_{i,t}$ 为第 $t$ 周供货商 $i$ 的供货量， $C_{Purchase,A}$ 为每立方米原材料A的采购价格， $C_{Store}$ 为每立方米原材料的储存成本， $V_{A,t}$ 为第 $t$ 原材料A的库存量，S为目标供货商集合。其中，供货量与订货量有关，其计算公式为： + +$$ +x _ {i, t} = z _ {i, t} + \epsilon_ {i, t} +$$ + +$z_{i,t}$ 为第 $t$ 周供货商 $i$ 的供货量， $\epsilon_{i,t}$ 第 $t$ 周供货商 $i$ 的供货误差。 + +A、B、C三种原材料均可用于生产产品，不同的原材料生产一立方米产品 + +的消耗不同, 不同原材料的采购单价也不同。三种原材料的价格有如下关系: + +$$ +C _ {\text {P u r c h a s e}, A} = 1. 2 C _ {\text {P u r c h a s e}, C}; \quad C _ {\text {P u r c h a s e}, B} = 1. 1 C _ {\text {P u r c h a s e}, C} +$$ + +为进一步简化表达式，不妨设原材料C的每立方米采购价格为 $C_{\text{Purchase}}$ ，结合上述价格关系，式(3)可简化为： + +$$ +\begin{array}{l} C o s t _ {t} = C _ {T r a n s} \sum_ {i \in S} x _ {i, t} + \\ C _ {P u r c h a s e} \left(\sum_ {i \in A \cap S} 1. 2 x _ {i, t} + \sum_ {i \in B \cap S} 1. 1 x _ {i, t} + \sum_ {i \in C \cap S} x _ {i, t}\right) + \\ C _ {\text {S t o r e}} \left(V _ {A, t} + V _ {B, t} + V _ {C, t}\right) \\ \end{array} +$$ + +如上公式所计算订货成本 $Cost_{t}$ ，即为第 $t$ 周订购方案模型的目标函数。 + +# 6.2.2模型约束的确定 + +# a.库存更新 + +在企业的生产与订货中，为了满足企业的正常的生产需求，要求企业尽可能保持仓库中有两周生产所需的原材料库存。由于原材料的特殊性，导致供货商供货的不稳定性，使得生产企业的库存每周都有可能会因为供货的差异而导致发生改变。因此，在计划每周的订货数量时，必须考虑库存情况，若库存原材料少于两周生产所需时，则需要增加下周的订货量以填充库存，若库存原材料多于两周生产所需时，则需要减少下周的订货量以缩减库存。综上所述，仓库库存必须作为模型的约束，以确保订货方案的合理性，防止出现库存积压或不足。 + +在24周内，第t周仓库中不同原材料的库存可表示为如下公式： + +$$ +\begin{array}{l} V _ {A, t - 1} - E _ {A, t} + \sum_ {i \in A \cap S} x _ {i, t} (1 - \alpha_ {i, t}) = V _ {A, t} \\ V _ {B, t - 1} - E _ {B, t} + \sum_ {i \in B \cap S} x _ {i, t} (1 - \alpha_ {i, t}) = V _ {B, t} \\ V _ {C, t - 1} - E _ {C, t} + \sum_ {i \in C \cap S} x _ {i, t} (1 - \alpha_ {i, t}) = V _ {C, t} \\ \end{array} +$$ + +其中， $E_{A,t}$ 表示第t周原材料A的消耗量， $V_{A,t}$ 为第t原材料A的库存量， $x_{i,t}$ 为第t周供货商i的供货量， $\alpha_{i,t}$ 为第t周供货商i所供货物在运输产生的损耗率，S为目标供货商集合。 + +# b.库存维持 + +如上分析，生产企业必须保持企业仓库每周的库存量维持在两周所需的原材料的需求。就生产稳定性而言，对于生产企业来说，仓库库存的作用是防止出现原材料不足，导致出现生产无法正常进行，故维持两周生产所需的原材料是仓库原材料库存量的下限，因此要求第t周的累计库存符合以下条件： + +$$ +\frac {V _ {A , t - 1}}{0 . 6} + \frac {V _ {B , t - 1}}{0 . 6 6} + \frac {V _ {C , t - 1}}{0 . 7 2} \geqslant 5. 6 4 \times 1 0 ^ {4} +$$ + +其中， $V_{A,t}$ 为第 $t$ 原材料 A 的库存量，公式右侧为仓库所存储原材料可生产产品需要大于该生产企业两周的最大产能，即 5.64 万立方米。 + +# c.每周的产品生产 + +该生产企业的规模有限，每周的最大产能为2.82万立方米。在建立该模型时，考虑到附件中并未给出市场需求以及市场的供求关系。在本文中，基于假设1，本文认为该企业的供求关系相对稳定。因此，不存在生产产能过剩的情况。故在订货模型中，每周的产品生产有如下约束： + +$$ +\frac {E _ {A , t}}{0 . 6} + \frac {E _ {A , t}}{0 . 6 6} + \frac {E _ {A , t}}{0 . 7 2} = 2. 8 2 \times 1 0 ^ {4} +$$ + +其中， $E_{A,t}$ 表示第 $t$ 周原材料A的消耗量，公式右侧为企业的每周最大产能，即2.82万立方米。 + +# d.供货商i的供货能力 + +如6.2所述，针对39家供货商的历史供货数据，本文以24周为一个周期长度，将240周划分为10个周期，对历史供货数据进行了绘图，发现部分供货商供货存在较明显的规律，如下图所示： + +![](images/b04bce8d643a1f91977996ef607c1711bdbb64812d7b412dcc954e07e22e167a.jpg) +(a) + +![](images/da0806075eb89170e92bee2f5abf1675db8e9daab1843977400b9f78eb302487.jpg) +(b) + +![](images/e33ddb3c8f6581fc3e87682b28d2eba44be770c4f49e2695e51886a921ce223b.jpg) +(c) +图 4: 以 24 周为周期的历史供货情况 (S080 为(a)、S282 为(b)、S329 为(c)) + +上图所示结果为三个供货商再过去240周，共10个周期的供货量数据，从图4中可发现供货商的供货情况是存在供货规律的。因此以24周作为一个供货周期，将每一个供货商过去5年，10个周期内的供货数据作为对供货商供货能力范围的估计，确定供货商在第t周的供货能力范围，即： + +$$ +z _ {i, t} ^ {\min } \leqslant z _ {i, t} \leqslant z _ {i, t} ^ {\max } +$$ + +其中， $z_{i,t}^{min}$ 表示历史10个周期中第t周供货商i平均最低供货量， $z_{i,t}^{max}$ 表示历史10个周期中第t周供货商i平均最高供货量的1.5倍。 + +# e.供货偏差 + +由于原材料的特殊性，供货商无法保证供货的稳定性，历史数据显示每个供货商在每次供货时都存在一定程度的供货偏差。因此，在建立每周的订购方案模型时需要考虑供货偏差的影响，可表示为如下公式： + +$$ +\epsilon_ {i, t} = G _ {i} \left(z _ {i, t}\right) +$$ + +其中， $G_{i}(t)$ 表示供货商 $i$ 的偏差函数，偏差函数通过高斯过程回归对供货商10个周期的订货与供货数据拟合得到，能够有效反映供货商的供货特点： + +$$ +G _ {i} \left(z _ {i, t}\right) \sim N \left(\mu_ {i} \left(z _ {i, t}\right), \sigma_ {i} ^ {2} \left(z _ {i, t}\right)\right) \tag {4} +$$ + +图5为对两家供货商进行高斯过程回归拟合的结果 + +![](images/27e267d3e0402cb854f08996212f077711da742cd987d29eb41adc42dc88a1c1.jpg) +图5：S074、S361的供货数据拟合情况 + +![](images/86240db6839a50811fe689079843dc2677ffb8aac6a208e3395535637b43efbe.jpg) + +# 6.2.3优化模型汇总 + +综上所述，每周订购方案的多目标优化模型汇总如下所示： + +$$ +\begin{array}{l} \min _ {z} C _ {\text {T r a n s p o r t}} \sum_ {i \in S} x _ {i, t} + \\ C _ {\text {P u r c h a s e}} \left(\sum_ {i \in A \cap S} 1. 2 x _ {i, t} + \sum_ {i \in B \cap S} 1. 1 x _ {i, t} + \sum_ {i \in C \cap S} x _ {i, t}\right) + \\ C _ {S t o r e} \left(V _ {A, t} + V _ {B, t} + V _ {C, t}\right) \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} s. t. \quad x _ {i, t} = z _ {i, t} + \epsilon_ {i, t} \\ \frac {V _ {A , t - 1}}{0 . 6} + \frac {V _ {B , t - 1}}{0 . 6 6} + \frac {V _ {C , t - 1}}{0 . 7 2} \geqslant 5. 6 4 \times 1 0 ^ {4} \\ V _ {A, t - 1} - E _ {A, t} + \sum_ {i \in A \cap S} x _ {i, t} (1 - \alpha_ {i, t}) = V _ {A, t} \\ V _ {B, t - 1} - E _ {B, t} + \sum_ {i \in B \cap S} x _ {i, t} (1 - \alpha_ {i, t}) = V _ {B, t} \tag {5} \\ V _ {C, t - 1} - E _ {C, t} + \sum_ {i \in C \cap S} x _ {i, t} (1 - \alpha_ {i, t}) = V _ {C, t} \\ \frac {E _ {A , t}}{0 . 6} + \frac {E _ {A , t}}{0 . 6 6} + \frac {E _ {A , t}}{0 . 7 2} = 2. 8 2 \times 1 0 ^ {4} \\ z _ {i, t} ^ {\min } \leqslant z _ {i, t} \leqslant z _ {i, t} ^ {\max } \quad i \in S \\ \epsilon_ {i, t} = G _ {i} (t) z _ {i, t} \quad i \in S \\ \boldsymbol {x} _ {i, t} \geqslant 0 \quad i \in S \\ \end{array} +$$ + +# 6.3转运分配模型 + +在为各个供货商选择转运商时，考虑损耗率带来的影响，将由转运损耗带来的原材料损失换算为可生产产品的价值，以最小化该价值作为优化目标。对于每一个转运商，其损耗率的历史数据反映了该转运商的运输能力，本文尝试对转运商 $j$ 的历史损耗率数据进行统计分布的拟合，以此方式对转运商的运输能力进行建模。通过Python的filter库实现遍历80种分布对数据进行拟合，以拟合优度作为指标，选用单样本K-S检验的结果作为拟合优度的度量。对分布进行筛选，选择拟合优度最高的分布作为拟合结果输出，该库能有效的保证对转运商运输能力建模的准确性。转运商 $j$ 的概率密度函数 $\varphi_{j}$ 如下所示： + +$$ +\varphi_ {j} = P \left(\theta_ {j} \mid \alpha_ {j, 1}, \alpha_ {j, 2}, \dots , \alpha_ {j, t}\right) \tag {6} +$$ + +其中， $\theta_{i}$ 为分布函数的参数。 + +在制定第t周的转运方案时，基于式（6）拟合所得的分布函数，生成满足该分布的随机数，作为第t周转运商j的损耗率估计值。在考虑分配转运商时，本文的模型将基于如下几条原则： + +① 优先选择损失率估计值低的转运商； +② 尽可能使得一家供货商的原材料全部由一家转运商运输 +③ 在②的基础上，转运商 $j$ ，预留出部分转运能力，以应对供货商的供货不稳 + +定性； + +$④$ 优先分配原材料A的供货商； +⑤ 在④的基础上，优先分配供货量大的供货商。 + +据此，以损耗原材料可生产产品数量作为优化目标，第t周有如下转运分配方案的优化模型： + +$$ +\begin{array}{l} \min _ {w} \sum_ {i \in A \cap S} \left(\sum_ {j = 1} ^ {8} \frac {x _ {i , t}}{0 . 6} \varphi_ {j} (t) w _ {i j}\right) + \sum_ {i \in B \cap S} \left(\sum_ {j = 1} ^ {8} \frac {x _ {i , t}}{0 . 6 6} \varphi_ {j} (t) w _ {i j}\right) + \\ \sum_ {i \in C \cap S} \left(\sum_ {j = 1} ^ {8} \frac {x _ {i , t}}{0 . 7 2} \varphi_ {j} (t) w _ {i j}\right) \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} s. t. \sum_ {i \in S} x _ {i, t} w _ {i j} \leqslant 6 0 0 0 (1 - \xi_ {j, t}) \quad j = 1, 2, \dots , 8 \\ \sum_ {j = 1} ^ {8} w _ {i j} = 1 \quad \forall i \in S \\ w _ {i j} = \{0, 1 \} \quad \forall i \in S \\ 0 < \xi_ {j, t} < 0. 1 \quad j = 1, 2, \dots , 8 \\ \end{array} +$$ + +其中， $w_{ij}$ 为逻辑变量，其含义为供货商 $i$ 所分配的转运商是否为转运商 $j$ ，“0”表示为否，“1”表示为是。 $\varphi_j(t)$ 表示为第 $t$ 周转运商 $j$ 的运输损耗率估计值， $\xi_{j,t}$ 基于原则③设置，是对供货商供货不稳定的预期，其取值范围为 $(0,0.1)$ 。 + +# 6.4模型的求解 + +订购方案模型由24个多变量规划模型组成，每周的规划模型其约束受到前一周订货方案的影响，主要体现在每周接收量的差异以及原材料消耗量的差异，导致的库存变化，即每周的订货方案安排是受到上一周生产消耗情况的影响的。而转运模型同样由24个多变量规划模型组成，其求解的基础为本周的订购方案。因此在求解订货与转运方案时，逐周对式（5）模型进行求解，先求出第t-1周的订购方案，在基于订购方案得到本周的转运方案，更新第t-1周的库存情况，作为第t周的求解基础。 + +在求解订购方案时，基于题目信息设定初始条件。基于假设3可知，第一周时仓库的库存是充足的，不失一般性的设定仓库中三种原材料的库存存量可生产的产品数量是一致的，即每种原材料均可生产1.88万立方米产品。设该生产企业每周的生产消耗的原材料为等比例的，即每周分别使用每种原材料生产0.94万立方米产品。在订购方案的模型中，考虑了第t周供货商i供货时的转运损耗率αi,t，就损耗率来说，其变化的范围较小，在附件2的历史数据中范围大概在[0,0.05]，因此取历史损耗率的均值作为每周供货商供货时转运损耗率的估计值，取αi,t=1.34%。 + +基于上述对模型的简化，本文通过遗传算法对每周的订购方案和转运方案模型进行逐周求解，所得结果如附件A所示，遗传算法求解过程如下： + +# 遗传算法求解过程 + +Step1设定初始状态，参数以及编码等，导入数据 +Step2初始化，开始迭代进化 +Step3对可行解进行选择、重组、变异和合并 +Step4依据目标函数值的大小分配适应度值 + +Step5计算出当代最优个体的序号 + +Step6重复3、4、5三个步骤，直至进化到符合最优或达到最大遗传代数 + +Step7结果解码输出 + +在求解转运方案模型时，本文通过Python程序对该分配模型进行模拟迭代求解，直至损耗成本的变化达到终止条件时，即将结果作为最优转运方案输出。在进行模拟前，本文对参数 $\xi_{j}$ 进行了如下设定：当转运商转运的原材料总量分配已经接近5400立方米时，如果下一家需转运的供货商供货量超过了300立方米，则不由该转运商转运该笔订单，且在后续的分配中，不再考虑该转运商；如果不超过300立方米，则任然由该公司转运，在后续的分配中，不再考虑该转运商。 + +两个模型的求解代码以及结果参见附录3，及附件A、B。 + +# 6.5 订购方案及转运方案实施效果分析 + +对于实施效果，本文从宏观和微观两个角度对实施结果进行展示及分析。在宏观角度下，展示和分析未来24周订购方案和转运方案实施时，每周的库存和产量的动态变化，以及成本和损耗的情况。在微观角度下，展示和分析第3周和第13周的订购方案和转运方案实施效果，检验本周的方案是否合理。 + +# 6.5.1 宏观角度：未来24周方案实施的效果分析 + +在评估订购方案与转运方案的实施效果时，本文构建了三个指标进行分析，分别为每周库存原材料可生产产品（简称“库存产量”）、每周原材料占比情况和每周转运损耗情况。其中库存产量和每周转运损耗情况均换算为可生产产品的数量，以便比较和分析。库存产量指标的构建方式如下所示： + +$$ +V _ {t} = X _ {\text {R e c e i v e}, t} + V _ {t - 1} - E _ {t} \tag {6} +$$ + +其中, $V_{t}$ 即为第 $t$ 周库存产量, $X_{\text {Receive } t}$ 为第 $t$ 周的接收量, $E_{t}$ 为每周产能, 式 (6) 所有变量的值均经过换算, 其单位均为一立方米产品。其中 $E_{t}$ 的值为定值 2.82万立方米产品, 初始库存产量 $V_{0} = 5.64$ 万立方米产品。第 $t$ 周接收量的计算考虑了可能存在的供货商供货不稳定性和转运商的运输损耗, 其计算方式如下: + +$$ +X _ {R e c e i v e, t} = \left(X _ {O r d e r, t} + \epsilon (t)\right) \cdot (1 - \alpha (t)) +$$ + +其中， $\epsilon(t)$ 为供货不稳定性风险函数， $\alpha(t)$ 为运输损失风险函数。这两个函数是通过高斯过程对5年10个周期（24周为一个周期）内的历史数据所得的，与任一供货商或转运商无关，是在宏观上对原材料不稳定性和转运损耗的模拟，基于式（4）拟合所得的分布函数，随机生成对供货不稳定性和转运损耗这两个宏观层面的随机变量的估计值。 + +![](images/095f68da81c5fc9e864f707517adafe4a08ead11a9d614e113bd17283c8e6307.jpg) +图6：24周订购方案库存变化图 + +上图即为库存产量在该订购方案和转运方案下24周的变化情况。如图可知，库存产量总是在基准水平的上下浮动。当库存超过5.64万立方米时，下一周的实际接收量总是会更少，使得库存回归到基准水平，类似地，在库存产量低于基准水平时，下一周的实际接收量总是会更多，以使得库存回归到基准水平。就每周库存产量的变化来看，其中与基准水平差异较小的情况可以解释为由于供货商供货不稳定性以及运输损耗带来的小幅度差异，属于正常水平；尽管其中出现了库存产量与基准水平差异较大的情况，如第5周和第7周，但值得注意的时，在下一周库存产量马上回归到了基准水平周围。此差异较大现象可能是由于供货商的供货不稳定性造成，而库存产量再下一周迅速回归正常水平，这一现象表明了本文所提出的模型对库存成本的高敏感性，说明了模型，使得能更加合理的制定每周订购方案。 + +![](images/22a17cd34274c8ef37d6a27016a278f59bc536f3c49f20a837559182077662fe.jpg) +图7：24周订购方案各类原材料占比 + +上图即为24周订购方案中，订货量中各类原材料的占比情况。如上图所示，三种原材料尽管在生产成本上存在一定差异，而本文所建立的模型，虽然考虑了各产品单价，以及生产消耗，但遗传算法求解所得的最优解中，并未出现对某种原材料的偏向性。 + +![](images/4af0c0c91da1d2241426d0f2fe1145c59ff473829fa9afca98eddb2f4f3bc4c2.jpg) +图8：24周转方案转运损耗产量占周最大产量的比值 + +上图即为每周转运损耗情况，由损耗产量估计值与周最大产量的比值度量。损耗产量估计值考虑损耗存在的一般情况，将原材料损耗换算为可生产产品，以估计损耗产量，其计算方式如下： + +$$ +x_{loss,t} = \frac{x_{Supply,t}\cdot\alpha_i}{28400\times P_i}\times 100\% +$$ + +其中 $\alpha_{i}$ 为转运商 $j$ 的历史损耗率的均值， $P_{i}$ 为原材料与产品的换算系数，其取值取决于原材料种类。再24周的转运方案实施过程中，损耗产量占最大产能的比例平均值为 $1.02\%$ + +# 6.5.2 微观角度：第3周和第13周的方案实施效果合理性分析 + +# (1)第3周订购方案及转运方案 + +第3周的订货方案中，估计的接收量换算为可生产产品，为31130.71立方米，该值偏离2.82万立方米的原因是由于供货商供货的不稳定性以及运输损耗。为分析第3周订购方案的合理性，我们结合的第2周库存情况进行考虑，在第2周估计的库存产量为57860.64万立方米，第2周的库存是满足生产企业的稳定性需要的，即尽可能使得库存产量满足两周需求，再此情况下，第2周的订购方案在考虑到供货不稳定性和运输损耗时，其订货总量应当与最大产量的差别不大，从第3周的结果上看，显然是这样的。因此，第3周的订购方案在生产企业稳定性的角度看，是合理的。 + +![](images/c8f91179e95fbaff5a7aeef61e0650259c36eaa6a4113a38a7aa0788f442e420.jpg) +图9：第3周各原材料供货商供货占比 + +有关第3周的订货数据如上图表所示，本文展示了三种原材料的供货商供货结构。从各原材料的供货商供货分布来看，原材料A和原材料C的供货商分布较为均衡，不存在过度依赖某一供货商的情况；原材料B的供货商分布较为 + +特别，S139供货商供货的比例达到了 $55\%$ ，其实际供货原材料B的数目为4731立方米，换算为可生产产品数目为7168立方米左右，占到了一周产能的 $25\%$ 。S139对原材料B的供货商在第三周的供货规律如下所示： + +![](images/b7c785eba4245f5fabb625a7836b3039e6fc144cda1bd266b8dd7cfb2ed93ae4.jpg) +图10：供货商S139的历史供货数据（以24周为一周期） + +由于本模型构建基于供货商供货能力的周期性规律，即通过过去10个周期的供货数据的最大值和最小值作为供货能力的区间边界，第3周出现如上订购方案的原因，是因为S139在过去10个周期内的供货历史数据是遵循历史规律的，因此导致出现了供货能力急剧提升的情况。对此，本文认为S139应当是一家通过种植生产原材料的供货商，由于经济作物的生长规律限制，以至于其供货往往是半年两次左右，且单次可供货数量较多。 + +# (2)第13周订购方案及转运方案 + +第13周的订货方案中，估计的接收量换算为可生产产品，为27849立方米，该值偏离2.82万立方米的原因是由于供货商供货的不稳定性以及运输损耗。为分析第13周订购方案的合理性，我们结合的第12周库存情况进行考虑，在第12周估计的库存产量为58080.48万立方米，第12周的库存是满足生产企业的稳定性需要的，即尽可能使得库存产量满足两周需求，再此情况下，第13周的订购方案在考虑到供货不稳定性和运输损耗时，其订货总量应当与最大产量的差别不大，从第13周的结果上看，显然是这样的。因此，第13周的订购方案在生产企业稳定性的角度看，是合理的。 + +![](images/b3d77622ccc7e73a16f12914eed2ec4dc9849a9b2cc1b1c0b12a0e942724cdc9.jpg) +图11：第13周各原材料供货商供货比例 + +![](images/cb4f82fabaa54845a47a390c227fa8deff787df9fb72a239555409e58848d355.jpg) + +![](images/097779868a6bac79973b810d4a0feb36294168e5efac4e99230b95a58a785963.jpg) + +有关第13周的订货数据如上图表所示，本文展示了三种原材料的供货商供货结构。从各原材料的供货商供货分布来看，三种原材料的供货商分布较为均衡，不存在过度依赖某一供货商的情况。 + +# 七、问题三的模型建立与求解 + +企业希望进一步加强供货链成本管理，本小问主要探究如何通过对原材料选购偏好，在未来的24周内分配对于原材料的更优的订单量，从而进一步降低转运和仓储成本。 + +通过资料得知，供货链企业选择原材料时需要衡量采购成本、产能成本这两大方面。采购成本是购买材料的现金流开销，影响公司显性收益。虽然问题二的模型就此以“订单成本”为优化目标，得到采购成本最经济的方案。然而我们并未发现问题二所得结果中存在对某种原材料的偏向性。这是因为木质纤维材料的采购成本远大于材料的产能成本，而在问题二模型的求解过程中采购成本的下降往往会掩盖原材料的产能成本仍然虚高的现象。原材料的偏向性与其产能成本相关。经市场调研数据显示[4]，产能成本是一个公司或组织为提供或提高其大规模经营能力而发生的费用，衡量为企业实现单位产能需要支出的费用。由题干信息可知，该企业生产相同单位产品所消耗的原材料A、原材料B、原材料C的比值为1:1.1:1.2；而相同单位原材料A、原材料B、原材料C的比值的价格比值为1.2:1.11。已知比例关系，进一步挖掘出不同材料的产能成本特征： + +$$ +\begin{array}{l} C o s t _ {A} = 0. 7 2 C _ {\text {P u r c h a s e}} + 0. 6 \left(C _ {\text {T r a n s}} + C _ {\text {S t o r e}}\right) \\ C o s t _ {B} = 0. 7 2 6 C _ {\text {P u r c h a s e}} + 0. 6 6 \left(C _ {\text {T r a n s}} + C _ {\text {S t o r e}}\right) \\ C o s t _ {C} = 0. 7 2 C _ {\text {P u r c h a s e}} + 0. 7 2 \left(C _ {\text {T r a n s}} + C _ {\text {S t o r e}}\right) \\ \end{array} +$$ + +由上述公式可知，原材料A、C的采购费用并不区分两者的产能成本，均为0.72 $C_{Purchase}$ ；而对于生产单位产品所需转运、仓储的费用，单位原材料A的开销比单位原材料C更大。因此，用原材料A进行生产的成本更低。 + +企业为了压缩单位产能的开销，需要尽量多地采购A类和尽量少地采购C类原材。因此，本小问将在问题二模型结果的基础上改进原有订购方案模型，在控制原方案下采购材料A、C等效的产能保持不变的情况下，尽可能减少原材料A、C订单所涉及的转运、仓储的费用。 + +# 7.1 模型的更新 + +# 7.1.1 订购方案目标函数的更新 + +由于问题三要求尽量多地采购 A 类和尽量少地采购 C 类原材料, 并未提及 B 类原材料。因此考虑在保持 B 类原材料的供货商以及订货量不变的情况下对 A 类和 C 类原材料的供货商选择以及订货量进行进一步优化。 + +$$ +\min C _ {T r a n s} \left(\sum_ {i \in A \cap S} x ^ {\prime} _ {i, t} + \sum_ {i \in C \cap S} x ^ {\prime} _ {i, t}\right) + C _ {S t o r e} \left(V _ {A, t} ^ {\prime} + V _ {C, t} ^ {\prime}\right) +$$ + +# 7.1.2 订购方案约束条件的更新 + +为保持每周计划产能不变，需要保证调整A类和C类原材料前后可生产的产品总量保持不变，即： + +$$ +\frac {X _ {A , t - 1} ^ {\prime}}{0 . 6} + \frac {X _ {C , t - 1} ^ {\prime}}{0 . 7 2} = \frac {X _ {A , t - 1}}{0 . 6} + \frac {X _ {C , t - 1}}{0 . 7 2} +$$ + +同时还需保证库存内可生产的产品总量保持不变，即： + +$$ +\frac {E _ {A , t - 1} ^ {\prime}}{0 . 6} + \frac {E _ {C , t - 1} ^ {\prime}}{0 . 7 2} = \frac {E _ {A , t - 1}}{0 . 6} + \frac {E _ {C , t - 1}}{0 . 7 2} +$$ + +为了保证优化结果为尽量多地采购A类和尽量少地采购C类原材料，对C类原材料的订货量区间进行限制；对A类原材料的订货量区间进行放宽。 + +# 7.1.3 订购方案模型汇总 + +如下即为基于问题二的模型，添加对订单结构约束的模型，其初始的输入方案即为问题二所得的最优订购方案。 + +$$ +\begin{array}{l} \min C _ {T r a n s} \left(\sum_ {i \in A \cap S} x _ {i, t} ^ {\prime} + \sum_ {i \in C \cap S} x _ {i, t} ^ {\prime}\right) + C _ {S t o r e} \left(V _ {A, t} ^ {\prime} + V _ {C, t} ^ {\prime}\right) \\ s. t. \frac {V _ {A , t - 1} ^ {\prime}}{0 . 6} + \frac {V _ {C , t - 1} ^ {\prime}}{0 . 7 2} = \frac {V _ {A , t - 1}}{0 . 6} + \frac {V _ {C , t - 1}}{0 . 7 2} \\ \frac {X _ {A , t - 1} ^ {\prime}}{0 . 6} + \frac {X _ {C , t - 1} ^ {\prime}}{0 . 7 2} = \frac {X _ {A , t - 1}}{0 . 6} + \frac {X _ {C , t - 1}}{0 . 7 2} \\ z _ {i, t} ^ {\min } \leq z _ {i, t} \leq z _ {i, t} ^ {\max } \quad i \in A \\ z _ {i, t} ^ {\min } \leq z _ {i, t} \leq z _ {i, t} ^ {\max } \quad i \in C \\ \boldsymbol {x} _ {i, t} = \boldsymbol {z} _ {i, t} + \epsilon_ {i, t} \quad i \in A \cup C \\ x _ {i, t} \geq 0 \quad i \in S \\ \end{array} +$$ + +# 7.1.4转运方案模型说明 + +在问题三的背景之下，转运方案模型不需要作出修改更新。问题二转运模型的输入为本周的订购方案，该转运模型总是以损耗最小产能为优化目标，求解出最优的转运分配方案。由此可知，企业生产情况的改变，对转运方案的模型是不存在任何影响的，因此，转运方案模型不需要做出更新。 + +# 7.2 模型的求解 + +订购方案和转运方案模型虽然存在一定的更新，但是从模型结构的角度看，模型并未产生结构上的变化，因此同样可以考虑使用遗传算法对模型进行求解，遗传算法间接以及求解过程，参照上文所述，求解结果如附件A、B所示。 + +# 7.3新方案实施效果分析 + +![](images/7de1c8932b6fd1700b074816d3d297c9de3bcddbe79bda5ae3c10158e504ddce.jpg) +图12：24周三种原材料订货量比例图 + +如上图所示，即为新的订购方案中，每周订购的原材料构成比例，通过原材料换算，统一换算为可生产产品的数量。相较于问题二模型所得结果不难看出，新的订购方案中，原材料A的订货比例明显再大多数情况下是多于C的。 + +![](images/5392a42767d852a42465eb371940f46c36af33a518a56af05916adda2beb559c.jpg) +图13：24周订货方案调整量 + +如上图所示，模型再经过修正后，新的订购方案显然对原材料订购比例进行了调整，且调整结果较为显著，本文认为该结果达到了原材料的最优订购结构。 + +![](images/0b365e1257baa8e7a9abd31c1e7a8d0d9077ae183cadd6d0c3c003a246b7f43e.jpg) +图14：新方案24周成本缩减比例 + +对于新的订购方案，在优化了原材料订购结构的情况下，理论上生产成本可以得到进一步的压缩。本文针对问题二和问题三的订购方案，对成本进行量化比较分析。如下图所示，通过对订购方案的成本进行量化估计，计算除了新方案相较于问题二方案的成本变化比率。其中成本最高减幅达到了 $5\%$ 左右，综合来看，新方案的平均成本缩减比例为 $0.956\%$ 左右。由此可见，新方案虽然对成本起到了压缩的效果，但效果并不显著，对此，本文认为，是由于可选供货商过少，供货商的供货能力也只是恰好满足每周的最大生产要求，因此该模型订购结构的可行域本身并不大，故而差异并不是非常显著。 + +# 八、问题四的模型建立与求解 + +问题四题干可知，该企业通过技术改造已具备了提高产能的潜力，可认为该企业的生产力可以满足一切产能需求。即该企业每周的产能已不再成为限制其订货总量的因素。同时，企业也不再存在存储问题，即每周消耗原材料等于各个供货商在当周的供货量。因此，本文考虑该公司产能提升的潜力，基于问 + +题二的订购方案与转运方案模型，对模型进行一定的修正，以得到新的模型。 + +# 8.1模型的更新 + +# 8.1.1 供货商的重新选择 + +由于企业已具备提高产能的潜力，为取得充足的原材料供货量，供货商的选取不应该再局限于问题二中的39家企业，而应当放宽到所有具有良好供货能力的供货商。该生产企业的产能提升潜力，确保该生产企业有足够的能力应对供货商的不稳定性，即不会出现库存的积压导致成本急剧上升的情况；再者，由于供货商的增加，生产企业的常规最大产能，即2.82万立方米，是更加容易满足的。基于如上分析，本文在问题四的模型中将数据预处理后得到的369家良好供货商均作为备选供货商考虑。 + +# 8.1.2 订购方案模型目标函数的更新 + +首先，库存情况将不在作为约束被考虑在模型当中，因为该生产企业具备了在生产层面上应对供货商供货不稳定性的能力，即超出原有最大产能的原材料部分，不再需要被放置在仓库中，而是可以直接被用于生产。因此，仓库的原材料库存产能将恒定维持在5.64万立方米，而仓库成本也成了一个固定成本，因此考虑将仓储成本从订购方案模型的目标函数中删除。 + +# 8.1.3 订购方案模型约束的更新 + +如上文所述，仓库成本成为了一个固定成本，在问题四的模型中，将不再需要考虑仓库的情况，因此，考虑将订购方案模型的约束中，仓储有关部分删除。 + +考虑将原有最大产能设置为该生产企业每周产能的下限，将转运商的总转运能力作为每周产能限制的上限。本文认为，在产能具备提升潜力的情况下，可以认为生产企业总是能把每周接收的原材料全部用于本周的生产消耗。而在不考虑调用库存的情况下，生产企业每周的生产上限即为每周的接收量总数，由于转运商数目有限，且其转运能力有限，可推知，该生产企业每周的订单数量的上限，即为所有转运商每周的最大转运能力。即每周最大订单量为4.8万立方米。即： + +$$ +\sum_ {i \in S} z _ {i, t} \leq 4. 8 \times 1 0 ^ {4} +$$ + +由于新模型考虑拓宽供货商渠道，以增加订货总量，对于这家具备产能提升潜力的生产企业，考虑将其原最大产能设置为每周产能的下线，即规定每周生产量不得少于原产能，即： + +$$ +\frac {\sum_ {i \in A \cap S} x _ {i , t} (1 - \alpha_ {i , t})}{0 . 6} + \frac {\sum_ {i \in B \cap S} x _ {i , t} (1 - \alpha_ {i , t})}{0 . 6 6} + \frac {\sum_ {i \in C \cap S} x _ {i , t} (1 - \alpha_ {i , t})}{0 . 7 2} \geq 2. 8 2 \times 1 0 ^ {4} +$$ + +# 8.1.4更新后的订购方案模型 + +如下即为考虑产能提升潜力情况，在问题二的订购方案模型的基础上更新得到的产能提升订购方案模型： + +$$ +\begin{array}{l} \min _ {z} C _ {T r a n s} \sum_ {z} x _ {i, t} + C _ {P u r c h a s e} \left(\sum_ {i \in A \cap S} 1. 2 x _ {i, t} + \sum_ {i \in B \cap S} 1. x _ {i, t} + \sum_ {i \in C \cap S} x _ {i, t}\right) \\ s. t. \sum_ {i \in S} z _ {i, t} \leq 4. 8 \times 1 0 ^ {4} \\ z _ {i, t} ^ {\min } \leq z _ {i, t} \leq z _ {i, t} ^ {\max } \quad i \in S \\ \frac {\sum_ {i \in A \cap S} x _ {i , t} (1 - \alpha_ {i , t})}{0 . 6} + \frac {\sum_ {i \in B \cap S} x _ {i , t} (1 - \alpha_ {i , t})}{0 . 6 6} + \frac {\sum_ {i \in C \cap S} x _ {i , t} (1 - \alpha_ {i , t})}{0 . 7 2} \geq 2. 8 2 \times 1 0 ^ {4} \\ x _ {i, t} = z _ {i, t} + \epsilon_ {i, t} \quad i \in S \\ \end{array} +$$ + +# 8.1.5 转运方案模型的说明 + +在问题四的背景之下，转运方案模型不需要作出修改更新。问题二转运模型的输入为本周的订购方案，该转运模型总是以损耗最小产能为优化目标，求解出最优的转运分配方案。由此可知，企业生产情况的改变，对转运方案的模型是不存在任何影响的，因此，转运方案模型不需要做出更新。 + +# 8.2 模型的求解与结果展示 + +订购方案和转运方案模型虽然存在一定的更新，但是从模型结构的角度看，模型并未产生结构上的变化，因此同样可以考虑使用遗传算法对模型进行求解，遗传算法间接以及求解过程，参照上文所述，求解结果如附件A、B所示。 + +![](images/d7382073c08e22ce2e555416959934f9583ad13b3b07afbf046fac65852fd97b.jpg) +图15：未来24周预计最大产能 + +对于问题四的产能提升订购方案模型，其产能的提升效果如下图所示。结合预计最大产能和原最大产能对比来看，不难看出，在考虑了产能提升潜力后的订购方案模型，其输出的新的订购方案，显著的提升了产能。其中产能提升最大值为20490立方米左右，最小值为298立方米左右，平均每周提升产能为15790立方米左右，可见产能具备提升潜力时，该生产企业的产能可得到显著提升。 + +# 九、模型的评价与改进方向 + +# 9.1模型的优点 + +（1）问题一的模型利用TOPSIS法，对六个重要指标赋予权重，得到各供货商质量评分，指标的选取全面地考虑了已知信息，例如对度量供货连续性指标时通过熵权法构建评价体系，使得模型更加可靠； +（2）问题二的对订货与运输方案构造从问题一中的高质量供货商出发，以保障企业生产的稳定性为前提，对订货与运输方案的制定尽可能全面地考虑其影响因素，且尽量避免主观因素的影响，对随机变量也通过使用如高斯过程回归拟合以及统计分布拟合进行预测估计，使得模型更加客观且真实； +（3）问题三的订货与运输方案以问题二的模型为基础，考虑到实际情况，并对相关事件进行仿真模拟，使得模型结果可信度更高； +（4）问题四的订货与运输方案同样以问题二的模型为基础，进一步放宽约束条件，使企业产能得到充分释放，模型结果表现优秀。 + +# 9.2模型的缺点 + +（1）对小部分数据进行删除，忽略了这部分数据带来的影响，不够全面； +(2) 再建模过程中, 对部分约束的研究还不够深入, 未能分析其影响结果的逻辑。 + +# 9.3模型的改进方向 + +（1）问题一中对供货商质量分析采用的是TOPSIS法，可以考虑采用其余的模型来分析附件1中的定价规律； +（2）问题二中构建的订货与运输方案模型可以考虑更多约束条件，使模型更加符合现实。 + +# 十、参考文献 + +[1]Larry C. Giunipero,Reham Aly Eltantawy. Securing the upstream supply chain: a risk management approach[J]. International Journal of Physical Distribution & Logistics Management,2004,34(9): +[2]梁樱.供货链管理模式下企业采购管理方法[N].中国会计报，2021-08-13(007). +[3]唐林彬，梁棣，浦徐进.供货链中供货存在周期性波动情况下的合作模型[J].系统工程,2004(08):24-27. +[4]南通市建设工程造价管理处（通建价[2020]37号） + +# 十一、附录 + +附录1：支撑材料文件列表 + +附录2：补充表格、图片和公式推导 + +附录3：Python代码 + +附录1：支撑材料文件列表 + +
文件名列表
附件A 订购方案数据结果.xlsx
附件B 转运方案数据结果.xlsx
删除数据.xlsx
数据处理.py
问题一代码.py
南通市建设工程造价管理处（通建价[2020]37号）.pdf
问题二相关代码
供货货能力（高斯过程拟合）.py
问题二供货商筛选模型.py
问题二订购方案模型.py
问题二转运模型.py
问题三相关代码
问题三订购方案模型.py
问题三转运模型.py
问题四相关代码
问题四订购方案模型.py
问题四转运模型.py
+ +附录2：补充表格、图片和公式推导 +数据预处理后删除的33家极低质量供货商 + +
供货商ID订单计数供货计数供货总量缺货大于100缺货大于1000间隔个数平均间隔天数平均连续供货天数
S015541528771416.071.15
S034771430801017.401.40
S04789286644199.531.47
S096542873772010.601.47
S0977430631881911.051.67
S11870286690209.051.40
S137841933701314.081.46
S1535613175120822.881.63
S158512037771613.751.33
S16068204515151812.001.11
S16172204717171613.501.25
S162891428701214.421.17
S164782272701711.001.29
S173391637270911.111.78
S1838215281101019.401.50
S200733065801710.531.76
S2014928819891413635.334.67
S2157614501001214.581.17
S222391532701214.331.25
S228571515190919.561.50
S2317816311001213.831.33
S2467218441313922.221.80
S277821630801313.151.23
S2857919351801514.731.36
S29367819280733.141.33
S302892559702010.751.32
S33472101481201022.401.00
S335521850771512.271.20
S34370112870822.001.38
S354642357901514.471.64
S36967261461001212.832.17
S380502585211710.821.47
S396912538802110.241.25
+ +# TOPSIS算法流程 + +# TOPSIS算法流程 + +# Input: + +供货商数据集 $X = \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\} ,x_{i}\in R^{m}\forall i = 1,\dots ,n$ + +各指标权重 $w = \left(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}\right),w_{i}\in R^{n}\forall i = 1,\dots ,m$ + +# Process: + +0.对供货商数据集中的指标属性同向化 $X^{\prime}$ + +1.构造向量归一化后的标准化矩阵 $Z = \{z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}\}$ +2. 对 $Z$ 每一列 $z_{i}$ + +2.1最劣方案Z-的第i维度←zi元素最小值 +2.2最优方案 $Z^{+}$ 的第i维度 $\leftarrow z_{i}$ 元素最大值 + +3.对Z每一列 $z_{i}$ + +3.1 $z_{i}$ 与最优方案的接近程度 $D_{i}^{+}\leftarrow$ 式(7.1) +3.2 $z_{i}$ 与最优方案的接近程度 $D_{i}^{-}\leftarrow$ 式(7.2) +3.3 $z_{i}$ 与最优方案的接近程度 $C_i\gets$ 式(8) + +4.根据 $C_i$ 大小进行排序 + +Output: 各供货商 TOPSIS 评价结果 + +# 完整符号表 + +
符号含义单位
ni供货商i的供货次数\
mi供货商i的平均供货量m³
xi max供货商i的单次最大供货量\
δi供货商i的供货稳定性\
Δi供货商i的供货连续性m³
γi供货商i的合理供货比例\
si供货商i的重要性评分\
n供货商总数\
S选择供货商\
yi是否选择原材料供货商i\
zi,t第t周企业对供货商i订单量m³
xi,t第t周供货商i实际供货量m³
εi,t第t周供货商i实际供货偏差量m³
x̂i,t第t周供货商i预测供货量m³
VA,t第t周原材料A的库存m³
VB,t第t周原材料B的库存m³
VC,t第t周原材料C的库存m³
EA,t第t周原材料A的消耗量m³
EB,t第t周原材料B的消耗量m³
EC,t第t周原材料C的消耗量m³
CTrans单位原材料运输费用元/m³
CPurchase,A单位原材料A采购费用元/m³
CPurchase,B单位原材料B采购费用元/m³
CPurchase,C单位原材料C采购费用元/m³
CStore单位原材料储存费用元/m³
Ot在第t周的目标产能m³
+ +# 附录2Python代码 + +# 数据预处理代码 + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import math +data = pd.DataFrame(pd.read_excel('附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx',sheet_name=0)) +data1 = pd.DataFrame(pd.read_excel('附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx',sheet_name=1)) +data_a = data.loc[data['材料分类'] == 'A'].reset_index.drop=True) +data_b = data.loc[data['材料分类'] == 'B'].reset_index.drop=True) +data_c = data.loc[data['材料分类'] == 'C'].reset_index.drop=True) +data1_a = data1.loc[data['材料分类'] == 'A'].reset_index.drop=True) +data1_b = data1.loc[data['材料分类'] == 'B'].reset_index.drop=True) +data1_c = data1.loc[data['材料分类'] == 'C'].reset_index.drop=True) +data_a.to_excel('订货A.xlsx') +data_b.to_excel('订货B.xlsx') +data_c.to_excel('订货C.xlsx') +data1_a.to_excel('供货A.xlsx') +data1_b.to_excel('供货B.xlsx') +data1_c.to_excel('供货C.xlsx') +num_a=(data1_a==0).astype(int).sum(axis=1) +num_b=(data1_b==0).astype(int).sum(axis=1) +num_c=(data1_c==0).astype(int).sum(axis=1) +num_a=(240-np.array(num_a)).tolist() +num_b=(240-np.array(num_b)).tolist() +num_c=(240-np.array(num_c)).tolist() +total_a=data1_a.sum(axis=1).to_list() +total_b=data1_b.sum(axis=1).to_list() +total_c=data1_c.sum(axis=1).to_list() +``` + +# 4平均供货量 + +```python +a=[] +b=[] +c=[] +for i in range(len(total_a)): a.append(total_a[i]/num_a[i]) +for i in range(len(total_b)): b.append(total_b[i]/num_b[i]) +for i in range(len(total_c)): c.append(total_c[i]/num_c[i]) +data_a = pd.DataFrame(pd.read_excel('A.xlsx',sheet_name=1)) data_b = pd.DataFrame(pd.read_excel('B.xlsx',sheet_name=1)) data_c = pd.DataFrame(pd.read_excel('C.xlsx',sheet_name=1)) +``` + +```txt +a=np.array(data_a) +a=np.delete(a, [0,1], axis=1) +b=np.array(data_b) +b=np.delete(b, [0,1], axis=1) +``` + +c=np.array(data_c) +c=np.delete(c，[0,1]，axis=1) +a1=a.tolist() +b1=b.tolist() +c1=c.tolist() +def count(a1): tem1=[] for j in range(len(a1)): tem=[] z=[] for i in range(len(a1[j]): if a1[j][i]！ $= 0$ ： tem.append(z) $\mathbf{z} = []$ else: z.append(a1[j][i]) list1=[x for x in tem if x != []] tem1.append(list1) return tem1 + +```python +def out2(tem1): + tem = [] + for i in range(len(tem1)): + if len(tem1[i]) == 0: + tem.append(0) + else: + a = 0 + for j in range(len(tem1[i])): + a = a + len(tem1[i][j]) + tem.append(a / len(tem1[i])) + return tem +``` + +```python +def out1(tem1): + tem = [] + for i in range(len(tem1)): + if len(tem1[i]) == 0: + tem.append(0) + else: + tem.append(len(tem1[i])) + return tem +``` + +```julia +tem1 = count(a1) +tem = out1(tem1) +print(tem) +tem = out2(tem1) +print(tem) +``` + +```txt +tem1 = count(b1) +tem = out1(tem1) +print(tem) +tem = out2(tem1) +print(tem) +``` + +```txt +tem1 = count(c1) +tem = out1(tem1) +print(tem) +tem = out2(tem1) +print(tem) +``` + +# 问题一代码 + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +import math +from sklearn import preprocessing +``` + +# # + +```python +def cale(data): + s = 0 + for i in data: + if i == 0: + s = s + 0 + else: + s = s + i * math.log(i) + return s / (-math.log(len(data))) +def get_beta(data, a = 402): + name = data.columns.to_list() + del name[0] + beta = [] + for i in name: + t = np.array(data[i]).reshape(a, 1) + min_maxScaler = preprocessingMinMaxScaler() + X_minMax = min_maxScaler.fit_transform(t) + beta.append(cale(X_minMax.reshape(1, a).reshape(a,))) + return beta +``` + +```python +tdata = pd.DataFrame(pd.read_excel('表格1.xlsx')) +beta = get_beta(tdata, a=369) +``` + +```python +con=[] +for i in range(3): + a=(1-beta[i+5])/((3-(beta[5]+beta[6]+beta[7])) + con.append(a) +``` + +```javascript +a=np.array(tdata['间隔个数'])*con[θ]+np.array(tdata['平均间隔天数'])*con[1]+np.array(tdata['平均连续供货天数'])*con[2] +``` + +```txt +print(con) #熵权法确定的供货连续性系数 +``` + +# #topsis + +```python +def topsis(data1, weight=None, a=402): +``` + +归一化 + +t = np.array(data1[['供货总量', '平均供货量（供货总量/供货计数)'], '稳定性（累加（供货量-订单量） + +```txt +^2）'，供货极差'，满足比例（在20%误差内）'，连续性']]).reshape(a,6) +``` + +```python +min_maxScaler = preprocessingMinMaxScaler() data = pd.DataFrame(min_maxScaler.fit_transform(t)) +``` + +# 4最优最劣方案 + +```javascript +Z = pd.DataFrame([data.min(), data.max()], index=['负理想解', '正理想解']) +``` + +# 距离 + +weight $=$ entropyWeight(data1)if weight is None else np.array(weight) Result $\equiv$ data.copy() Result['正理想解'] $=$ np.sqrt((data-Z.loc['正理想解'])\*\*2\*weight).sum(axis=1)) Result['负理想解'] $=$ np.sqrt((data-Z.loc['负理想解'])\*\*2\*weight).sum + +# 4 综合得分指数 + +```python +Result['综合得分指数'] = Result['负理想解'] / (Result['负理想解'] + Result['正理想解']) +Result['排序'] = Result_rank(ascending=false)['综合得分指数'] +return Result, Z, weight +def entropyWeight(data): + data = np.array(data[['供货总量'], '平均供货量(供货总量/供货计数)', '稳定性(累加(供货量-订单量) ^2)', '供货极差', '满足比例（在20%误差内）', '连续性']) + #归一化 + P = data / data.sum(axis=0) + #计算熵值 + E = np.nansum(-P * np.log(P) / np.log(len(data)), axis=0) + #计算权系数 + return (1 - E) / (1 - E).sum() +tdata = pd.DataFrame=pd.read_excel('表格2.xlsx')) +Result, Z, weight = topsis(data, weight=None, a=369) +Result.to_excel('结果2.xlsx') +``` + +# 问题二代码 + +供应货能力（高斯过程拟合） +```python +#lusr/bin/env python +#-- coding:utf-8 -- +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +selectSUPpliers = ['S140', 'S229', 'S361', 'S348', 'S151', 'S108', 'S395', 'S139', 'S340', 'S282', 'S308', 'S275', 'S329', 'S126', 'S131', 'S356', 'S268', 'S306', 'S307', 'S352', 'S247', 'S284', 'S365', 'S031', 'S040', 'S364', 'S346', 'S294', 'S055', 'S338', +``` + +```txt +'S080', 'S218', 'S189', 'S086', 'S210', 'S074', 'S007', 'S273', 'S292'] +``` + +```python +导入数据 # +file0 = pd.read_excel('附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx',sheet_name = '企业的订货量（m³）') +file1 = pd.read_excel('附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx',sheet_name = '供应商的供货量（m³）') +``` + +for supplier in selectSUPpliers: plt.figure(figsize=(10,5)，dpi=400) 1w=2 X=np tilednp.arange(1,25)，(1,10)).T X_plot=np.linspace(1，24，24) y=np.array(file1[file1['供应商ID']==supplier].iloc(:,2]).ravel() descrip $\equiv$ pd.DataFrame(np.array(file1['供应商ID'] $= =$ supplier].iloc(:,2]).reshape(-1,24)).describe() y_mean $\equiv$ descrip.loc['mean'：] y_std $\equiv$ descrip.loc['std'：] pltscatter(X,y,c='grey'，label='data') plt.plot(X_plot，y_mean，color='darkorange'，lw=lw，alpha=0.9, label='mean') plt fill_between(X_plot，y_mean-1.\*y_std，y_mean+1.\*y_std，color='darkorange'， alpha=0.2) pltxlabel('data') pltylabel('target') plt.title(f'供应商ID:{supplier}') plt.legend(loc="best"，scatterpoints=1，prop={'size':8}) plt(savefig(f'/img/供应商ID.{supplier}')plt.show() + +# 问题二订货方案模型 + +import numpy as np +import geatpy as ea #导入geatpy库 +import time +import pandas as pd +from matplotlib import pyplot as plt +from tqdm import tqdm +from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor +from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF, ConstantKernel as C +import GPy +import warnings +warnings.filterWarnings('ignore') +selectSUPpliers $= [$ 'S140', 'S229', 'S361', 'S348', 'S151', 'S108', 'S395', + +```python +'S139', 'S340', 'S282', 'S308', 'S275', 'S329', 'S126', 'S131', 'S356', 'S268', 'S306', 'S307', 'S352', 'S247', 'S284', 'S365', 'S031', 'S040', 'S364', 'S346', 'S294', 'S055', 'S338', 'S080', 'S218', 'S189', 'S086', 'S210', 'S074', 'S007', 'S273', 'S292'] +gp_dict = { +'A': [], +'B': [], +'C': [] +} +``` + +```python +select_info = pd.read_excel('P2-1优化结果.xlsx') +file0 = pd.read_excel('附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx', sheet_name = '企业的订货量(m³)') +file1 = pd.read_excel('附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx', sheet_name = '供应商的供货量(m³)') +loss_ratio_df = pd.read_excel('附件2近5年8家转运商的相关数据.xlsx') +``` + +```python +x_A_pred_list = pd.read_excel('P2-2A结果.xlsx', index = False).to_numpy() +x_B_pred_list = pd.read_excel('P2-2B结果.xlsx', index = False).to_numpy() +x_C_pred_list = pd.read_excel('P2-2C结果.xlsx', index = False).to_numpy() +``` + +处理导入数据 + +order_volume = file0[file0['供应商ID'].isin(selectSUPpliers)].iloc(:,2:supply_volume $=$ file1[file1['供应商ID'].isin(selectSUPpliers]).iloc(:,2:error_df $=$ (supply_volume-order_volume)/order_volume + +```txt +y_mean_list，y_std_list=[[]，[] +``` + +```python +for i in range(loss_ratio_df.shape[0]): plt.figure(figsize=(10,5)，dpi=400) 1w=2 X=np.tile(np.arange(1,25),(1,10)).T +``` + +```python +X_plot = np.linspace(1, 24, 24) +y = np.array(loss_ratiodorf['转运商ID'] == 'T' + str(i+1)].iloc(:,1:)].ravel() +subdorf = pd.DataFrame(np.array(loss_ratiodorf['转运商ID']) +'T' + str(i+1)].iloc(:,1:]).reshape(-1,24)) +y_mean = subdorf.mean(axis = 0) +y_std = subdorf.std(axis = 0) +y_mean_list.append(y_mean) +y_std_list.append(y_std) +pltscatter(X,y,c='grey', label='data') +plt.plot(X_plot,y_mean,color='darkorange',lw=lw,alpha = 0.9, + label='mean') +plt fills_between(X_plot,y_mean - 1.* y_std, y_mean + 1.* y_std, color='darkorange', + alpha=0.2) +plt.xlabel('周期') +pltylabel('转运损耗率(%))’ +plt.title(f'转运商ID：T{str(i+1)}') +plt.legend(loc="best", scatterpoints=1, prop={'size':8}) +plt.show() +alpha = np.array(y_mean_list).mean(axis = 0) +select_A_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'A'] ['供应商ID'] +select_B_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'B'] ['供应商ID'] +select_C_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'C'] ['供应商ID'] +selectSUPpliers = pdunique(select_info['供应商ID']) +num_of_a = select_A_ID.shape[0] +num_of_b = select_B_ID.shape[0] +num_of_c = select_C_ID.shape[0] +``` + +训练高斯过程回归模型，预测供应商供应误差率 + +```python +def GP_reg(i): + type_ = file0[typeID].isin(selectSUPpliers)].iloc[i, 1] + np.random.seed(1) + y = error_df.iloc[i, :] + X = order_volume.iloc[i, :] + X = np.array(X[(y < 1000)]).reshape(-1, 1) + y = np.array(y[(y < 1000)]).ravel() + k = GPy.kern.RBF(1) + m = GPy.models.GPRegression(X, y.reshape(-1, 1), k, normalizer=True) + m_optimize() + print(m) + dy = np.sqrt(list[m['Gaussian_noise.variance'])[0]) * np.random.choice(y.shape) + # Instantiate a Gaussian Process model + kernel = C(list[m['rbf.variance'])[0], (1e-3, 1e3)) * RBF(list[m['rbf.lengthscale'])[0], + (1e-5, 1e5)) + # kernel = C(0.985, (1e-3, 1e3)) * RBF(0.377, (1e-5, 1e3)) + gp = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=dy ** 1, + n_restart_optimizer=10) +``` + +```txt +Fit to data using Maximum Likelihood Estimation of the parameters +gp.fit(X, y) +gp_dict[type].append(gp) +``` + +Make the prediction on the meshed x-axis (ask for MSE as well) $x = np$ .atleast_2d(np.linspace(0,max(X)[0],1000)).T + +```python +y_pred, sigma = gp.predict(x, return_std=True) +# Plot the function, the prediction and the 95% confidence interval based on +# the MSE +plt.figure(dpi=400) +# plt(errorbar(x.ravel(), y, dy, fmt='r.', markersize=10, label='Observations') +plt.plot(x, y, 'r.', markersize=10, label='Observations') +plt.plot(x, y_pred, 'b-', label='Prediction') +plt fills(np Congenate([x, x[::-1]]), npCongenate([y_pred - 1.9600 * sigma, (y_pred + 1.9600 * sigma)[:::-1]]), alpha=.5, fc='b', ec='None', label='95% confidence interval') +plt.xlabel('订单量（m³）') +pltylabel('误差率（%）') +plt.legend(loc='upper left') +supplier = file0/file0['供应商ID'].isin(selectSUPpliers).iloc[i,0] +plt.title(f'原料{type}_供应商{supplier} |偏差率和订单量高斯过程拟合图') +plt.show() +``` + +# 构建问题2-2模型 + +```python +def get_range_list(type_, week_i = 1): + df = file1(file1['材料分类']) == type_.iloc[:,2:] + min_ = df.iloc[:, np.arange(week_i - 1,240,24)].min(axis = 1) + max_ = df.iloc[:, np.arange(week_i - 1,240,24)].max(axis = 1) + range_ = list(zip(min_, max_*1.5)) + range_ = [[i[0], i[1] + 1] for i in range_] + return range_ +``` + +# 问题2-2模型目标函数 + +```python +Output_list = [] +def aimfunc(Phen, V_a, V_b, V_c, CV, NIND): + global V_a_list, V_b_list, V_c_list + global V_tol_list, 0prepare_list + global x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list + global df_A_all, df_B_all, df_C_all + global Output_list + C_trans = 1, + C_purchase = 100, + C/store = 1 +def error_pred(z, type): + a = np.array([gp_dict[type][i].predict(z[:, [i]], return_std=True) for i in range(z.shape[1])) + err_pred = a[:, 0, :] + err_std = a[:, 1, :] + np.random.seed(1) + nor_err = np.random.normal(err_pred, err_std) + err = np.transpose(nor_err) * 1e-2 + err *= z + # err = -0.0001*z +return err +def convert(x, type): + if type == 'a': x_ = x * 1.2 + if type == 'b': x_ = x * 1.1 + if type == 'c': x_ = x +``` + +```python +return x_ +z_a = Phen(:, 0: num_of_a] +z_b = Phen(:, num_of_a: num_of_a + num_of_b] +z_c = Phen(:, num_of_a + num_of_b:] +errorA = error_pred(z_a, 'A') +errorB = error_pred(z_b, 'B') +errorC = error_pred(z_c, 'C') +x_a0, x_b0, x_c0 = z_a + errorA, z_b + errorB, z_c + errorC +x = np.hstack([x_a0, x_b0, x_c0]) +x_a = convert(x_a0, 'a') +x_b = convert(x_b0, 'b') +x_c = convert(x_c0, 'c') +# constraint 5 +# E_a/0.6 = E_b/0.66 = E_c/0.72 = 0.96 = 2.82/3 +# e_a = max(np.ones_like(V_a)*0.8, 2.82*1e4*V_a/(V_a*0.6 + V_b*0.66 + V_c*0.72)) +# e_b = max(np.ones_like(V_b)*0.8, 2.82*1e4*V_b/(V_a*0.6 + V_b*0.66 + V_c*0.72)) +# e_c = max(np.ones_like(V_c)*0.8, 2.82*1e4*V_c/(V_a*0.6 + V_b*0.66 + V_c*0.72)) +e_a = 0.9 +e_b = 0.9 +e_c = 0.9 +# # constraint 2 ~ 4 +V_a2 = V_a * (1 - e_a) + x_a.sum(axis=1) +V_b2 = V_b * (1 - e_b) + x_b.sum(axis=1) +V_c2 = V_c * (1 - e_c) + x_c.sum(axis=1) +Output = (V_a * e_a * 0.6) + (V_b * e_b * 0.66) + (V_c * e_c * 0.72) +Output_list.append(Output) +f = C_trans * x.sum(axis=1) + C_purchase * (x_a.sum(axis=1) + x_b.sum(axis=1) + x_c.sum(axis=1)) +f = f.reshape(-1, 1) +# constraint 1 +CV1 = (2.82 * 1e4 * 2 - x_a.sum(axis=1) * (1 - alpha[week_i - 1]) / 0.6 - x_b.sum(axis=1) * (1 - alpha[week_i - 1]) / 0.72) +# print('【进化内部】CV1', CV1.mean()) +CV1 = CV1.reshape(-1, 1) +CV2 = (z_a.sum(axis=1) + z_b.sum(axis=1) + z_c.sum(axis=1) - 4.8 * 1e4).reshape(-1, 1) +CV1 = np hjstack([CV1, CV2]) +# update 库存 +# print('【进化内部】库存总量：', (V_a2+V_b2+V_c2).mean()) +return [f, CV1, V_a2, V_b2, V_c2, x_a0, x_b0, x_c0] +``` + +绘制图形 +```python +def plot_pie(week_i, variable): + global V_a_list, V_b_list, V_c_list + global V_tol_list, 0prepare_list + global x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list + global df_A_all, df_B_all, df_C_all + global x_A_all, x_B_all, x_C_all + select_A_ID = file1(file1['材料分类'] == 'A']) ['供应商ID'] +``` + +```sql +select_B_ID = file1(file1['材料分类'] == 'B')[供应商ID'] +select_C_ID = file1(file1['材料分类'] == 'C')[供应商ID'] +num_of_a = select_A_ID.shape[0] +num_of_b = select_B_ID.shape[0] +num_of_c = select_C_ID.shape[0] +tol_v = [variable[0, : num_of_a].sum(), \ + variable[0, num_of_a: num_of_a + num_of_b].sum(), \ + variable[0, num_of_a + num_of_b].sum()) +print(f'原材料A在第{week_i}周订单量总额{tol_v[0]}\n\) +原材料B在第{week_i}周订单量总额{tol_v[1]}\n\) +原材料C在第{week_i}周订单量总额{tol_v[2]}\n\) +\n\) +原材料第{week_i}周订单量总额:{sum(tol_v)'}' +plot A +plot B +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +plot C +``` + +```python +global V_a_list, V_b_list, V_c_list +global V_tol_list, 0prepare_list +global x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list +global df_A_all, df_B_all, df_C_all +global x_A_all, x_B_all, x_C_all +global output_list +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``} +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``' +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``) +```c +global varTypes = np.array(D) # 决策变量的类型，0表示连续，1表示离散 + ____________染色体编码设置 + ____________. +Encoding = 'BG' # 'BG'表示采用二进制/格雷编码 +codes = [0, ] * tol_num # 决策变量的编码方式，设置两个0表示两个决策变量均使用二进制编码 +precisions = [4, ] * tol_num # 决策变量的编码精度，表示二进制编码串解码后能表示的决策变量的精度可达到小数点后6位 +scales = [0, ] * tol_num # 0表示采用算术刻度，1表示采用对数刻度 +FieldD = ea.crtfld(ENCoding, varTypes, ranges, borders, precisions, codes, scales) # 调用函数创建译码矩阵 + ____________遗传算法参数设置 + ____________. +# NIND = 1000; # 种群个体数目 +MAXGEN = 100; # 最大遗传代数 +maxormins = [1] # 列表元素为1则表示对应的目标函数是最小化，元素为-1则表示对应的目标函数是最大化 +maxormins = np.array(maxormins) # 转化为Numpy array行向量 +selectStyle = 'rws' # 采用轮盘赌选择 +recStyle = 'xovdp' # 采用两点交叉 +mutStyle = 'mutbin' # 采用二进制染色体的变异算子 +Lind = int(np.sum(FieldD[0, :])) # 计算染色体长度 +pc = 0.8 # 交叉概率 +pm = 1 / Lind # 变异概率 +obj_trace = np.zeros((MAXGEN, 2)) # 定义目标函数值记录器 +var_trace = np.zeros((MAXGEN, Lind)) # 染色体记录器，记录历代最优个体的染色体 + ____________开始遗传算法进化 + ____________. +start_time = time.time() # 开始计时 +Chrom = ea.crtpc(ENCoding, NIND, FieldD) # 生成种群染色体矩阵 +variable = ea.ps2ri(Chrom, FieldD) # 对初始种群进行解码 +CV = np.zeros((NIND, 1)) # 初始化一个CV矩阵（此时因为未确定个体是否满足约束条件，因此初始化元素为0，暂认为所有个体是可行解个体） +``` + +$\begin{array}{rl} & \mathrm{V\_a = V\_a\_list[-1]}\\ & \mathrm{V\_b = V\_b\_list[-1]}\\ & \mathrm{V\_c = V\_c\_list[-1]}\\ & \mathrm{ObjV,CV,V\_a\_new,V\_b\_new,V\_c\_new,x\_a,x\_b,x\_c = aimfunc(variable,V\_a,V\_b,V\_c,CV,}\\ & \mathrm{NIND)}\# \end{array}$ 计算初始种群个体的目标函数值 + +FitnV = ea.ranking(ObjV, CV, maxormins) # 根据目标函数大小分配适应度值 + +best_ind = np.argmax(FitnV) # 计算当代最优个体的序号 + +开始进化 + +```txt +for gen in tqdm(range(MAXGEN), leave=False): + SelCh = Chrom[ea.selecting(selectStyle, FitnV, NIND - 1), :] # 选择 + SelCh = ea.recombin(recStyle, SelCh, pc) # 重组 + SelCh = ea.mutate(mutStyle, Encoding, SelCh, pm) # 变异 +``` + +#把父代精英个体与子代的染色体进行合并，得到新一代种群Chrom $=$ np.vstack([Chrom[best_ind,：]，SelCh])Phen $\equiv$ ea.ps2ri(Chrom，FieldD）#对种群进行解码（二进制转十进制）ObjV，CV,V_a_new,V_b_new,V_c_new,x_a,x_b,x_c $=$ aimfunc(Phen,V_a,V_b,V_c,CV,NIND）#求种群个体的目标函数值iflen(CV[CV>0]/len(CV)>0.2:print('CV>0')V_a_new,V_b_new,V_c_new $=$ V_a,V_b,V_cbreakFitnV $\equiv$ ea_ranking(OobjV，CV,maxormins）#根据目标函数大小分配适应度值记录best_ind $\equiv$ np.argmax(FitnV）#计算当代最优个体的序号obj_trace[gen，0] $\equiv$ np-sum(OobjV)/Oobj.V.shape[0] #记录当代种群的目标函数均值obj_trace[gen,1] $\equiv$ ObjV[best_ind] #记录当代种群最优个体目标函数值var_trace[gen，：] $\equiv$ Chrom[best_ind，：] #记录当代种群最优个体的染色体#进化完成end_time $\equiv$ time.time() #结束计时ea.trcplot(obj_trace，['种群个体平均目标函数值'，'种群最优个体目标函数值']）#绘制图像输出结果 best_gen $\equiv$ np.argmax(obj_trace[：，[1])print('最优解的目标函数值：'，obj_trace[best_gen,1])variable $\equiv$ ea.ps2ri(var_trace[best_gen]，：]，FieldD)#解码得到表现型（即对应的决策变量值）#print('最优解的决策变量值为：')#for i in range(variable.shape[1]):print('z' + str(i)+ ' ',variable[0,i])V_tol = (V_a_new + V_b_new + V_c_new)[best_gen];V_tol_list.append(V_tol)Oprepare $=$ (V_a_new/0.6+V_b_new/0.66+V_c_new/0.72)[best_gen];Oprepare_list.append(Oprepare)x_a_pred $\equiv$ x_a[best_gen]x_b_pred $\equiv$ x_b[best_gen]x_c_pred $\equiv$ x_c[best_gen]x_a_pred_list.append(x_a_pred)x_b_pred_list.append(x_b_pred)x_c_pred_list.append(x_c_pred)print('库存总量：'，V_tol)print('预备产能：'，0prepare)print('该周产能：'，Output_list[-1][best_gen])output_list.append(Output_list[-1][best_gen])print('用时：'，end_time - start_time,'秒')x_A $\equiv$ pd.DataFrame dictatesZip(select_A_ID,x_a_pred)，index=[f'Week(week_i)]x_B $\equiv$ pd.DataFrame dictatesZip(select_B_ID,x_b_pred)，index=[f'Week(week_i)]x_C $\equiv$ pd.DataFrame dictatesZip(select_C_ID,x_c_pred)，index=[f'Week(week_i)]x_A_all $\equiv$ pd.cat([-1][best_gen])x_B_all $\equiv$ pd.cat([-X_B_all,x_B])x_C_all $\equiv$ pd.cat([-X_C_all,x_C])#update V_listV_a_list.append(V_a_new)V_b_list.append(V_b_new)V_c_list.append(V_c_new)return variable + +问题二供货商筛选模型 +```python +global V_a_list, V_b_list, V_c_list +global V_tol_list, Oprepare_list +global x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list +global df_A_all, df_B_all, df_C_all +global x_A_all, x_B_all, x_C_all +NIND = 1000; #种群个体数目 +V_a_init = np.array(0.94 * 1e4), NIND) * 2 +V_b_init = np.array(0.94 * 1e4), NIND) * 2 +V_c_init = np.array(0.94 * 1e4), NIND) * 2 +V_a_list, V_b_list, V_c_list = [V_a_init], [V_b_init], [V_c_init] +df_A_all = pd.DataFrame([[]) * len(select_A_ID), index=select_A_ID).T +df_B_all = pd.DataFrame([[]) * len(select_B_ID), index=select_B_ID).T +df_C_all = pd.DataFrame([[]) * len(select_C_ID), index=select_C_ID).T +x_A_all = pd.DataFrame([[]) * len(select_A_ID), index=select_A_ID).T +x_B_all = pd.DataFrame([[]) * len(select_B_ID), index=select_B_ID).T +x_C_all = pd.DataFrame([[]) * len(select_C_ID), index=select_C_ID).T +V_tol_list, Oprepare_list = [], [] +x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list = [], [], ] +for week_i in range(1, N + 1): + print(f'---Week {week_i} ---') + variable = run_algorithm.week_i) + plot_pie.week_i, variable) +return [df_A_all, df_B_all, df_C_all, x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list, +V_tol_list, Oprepare_list] +df_A_all, df_B_all, df_C_all, x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list, +Oprepare_list = pred_Nweeks(N=24) +``` + +```python +import numpy as np +import geatpy as ea #导入geatpy库 +import time +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +cost_dict = { 'A':0.6, 'B':0.66, 'C':0.72, } +``` + +导人数据 + +```python +data = pd.read_excel('第一问结果.xlsx') +cost_trans = pd.read_excel('附件2 近5年8家转运商的相关数据.xlsx') +supplier_id = data['供应商ID'] +score = data['综合得分指数'].to_numpy() +pred_volume = data['平均供货量(供货总量/供货计数)'].to_numpy() +``` + +```python +output_volume_list = [] +for i in range(len(pred_volume)): + output_volume = pred_volume[i] / cost_dict[data['材料分类)][i]] + output_volume_list.append(output_volume) +``` + +```python +output_volume_array = np.array(output_volume_list) +file1 = pd.read_excel('附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx', sheet_name = '供应商的供货量(m³)') +def aimfunc(Y, CV, NIND): + coef = 1 + cost = (cost_trans.mean() / 100).mean() + f = npdivide(Y.sum(axis = 1).reshape(-1,1), coef*(Y * nptile(score, (NIND,1))).sum(axis = 1).reshape(-1,1)) + CV = -(Y * np tile(output_volume_array * (1-cost), (NIND,1))).sum(axis = 1) + (np.ones((NIND))*2.82*1e4) + CV = CV.reshape(-1,1) + return [f, CV] +``` + +使用遗传算法求解 + +量设置 + +X=[[0,1]]*50#决策变量范围 + +B=[[1,1]]*50#决策变量边界，1表示包含范围的边界，0表示不包含 + +D=[1,]*50 + +ranges=np.vstack(X).T # 生成自变量的范围矩阵，使得第一行为所有决策变量的下界，第二行为上界 + +borders=np.vstack(B).T #生成自变量的边界矩阵 + +varTypes = np.array(D) # 决策变量的类型，0表示连续，1表示离散 + +染色体编码设置 + +Encoding = 'BG' # 'BG' 表示采用二进制/格雷编码 + +codes=[0,]*50#决策变量的编码方式，设置两个0表示两个决策变量均使用二进制编码 + +precisions = [4,]*50 # 决策变量的编码精度，表示二进制编码串解码后能表示的决策变量的精度可达到小数点后6位 +scales = [0,]*50 # 0表示采用算术刻度，1表示采用对数刻度 + +FieldD = ea.crtfld(Encoding,varTypes,ranges,borders,precisions,codes,scales) # 调用函数创建译码矩阵 + +遗传算法参数设置 + +NIND = 100; #种群个体数目 + +MAXGEN = 200; # 最大遗传代数 + +maxormins = [1] # 列表元素为1则表示对应的目标函数是最小化，元素为-1则表示对应的目标函数是最大化 + +maxormins = np.array(maxormins) # 转化为Numpy array行向量 + +selectStyle = 'rws' # 采用轮盘赠选择 + +recStyle = 'xovdp' # 采用两点交叉 + +```java +mutStyle = 'mutbin' # 采用二进制染色体的变异算子 + +Lind = int(np.sum(FieldD[0, :])) # 计算染色体长度 + +pc = 0.7 # 交叉概率 + +pm = 1/Lind # 变异概率 + +obj_trace = np.zeros((MAXGEN, 2)) # 定义目标函数值记录器 + +var_trace = np.zeros((MAXGEN, Lind)) # 染色体记录器，记录历代最优个体的染色体 + +开始遗传算法进化 + +start_time = time.time() # 开始计时 + +Chrom = ea.crtpc(Encoding, NIND, FieldD) #生成种群染色体矩阵 + +variable = ea.rs2ri(Chrom, FieldD) # 对初始种群进行解码 + +CV = np.zeros((NIND, 1)) # 初始化一个CV矩阵（此时因为未确定个体是否满足约束条件，因此初始化元素为0，暂认为所有个体是可行解个体） + +ObjV, CV = aimfunc(variable, CV, NIND) # 计算初始种群个体的目标函数值 + +FitnV = ea.ranking(ObjV, CV, maxormins) # 根据目标函数大小分配适应度值 + +best_ind = np.argmax(FitnV) # 计算当代最优个体的序号 + +开始进化 + +for gen in range(MAXGEN): + +SelCh = Chrom[ea.selecting(selectStyle, FitnV, NIND-1), :] # 选择 + +SelCh = ea.recombin(recStyle, SelCh, pc) # 重组 + +SelCh = ea%Mute(mutStyle, Encoding, SelCh, pm) # 变异 + +把父代精英个体与子代的染色体进行合并，得到新一代种群 + +Chrom = np.vstack([Chrom[best_ind, :, SelCh]) + +Phen = ea.rs2ri(Chrom, FieldD) # 对种群进行解码（二进制转十进制） + +ObjV, CV = aimfunc(Phen, CV, NIND) # 求种群个体的目标函数值 + +```python +FitnV = earanking ObjV, CV, maxormins # 根据目标函数大小分配适应度值 +# 记录 +best_ind = np.argmax(FitnV) # 计算当代最优个体的序号 +obj_trace[gen,0] = np.sum(ObjV)/ObjV.shape[0] # 记录当代种群的目标函数均值 +obj_trace[gen,1] = ObjV[best_ind] # 记录当代种群最优个体目标函数值 +var_trace[gen,:] = Chrom[best_ind,:] # 记录当代种群最优个体的染色体 +进化完成 +end_time = time.time() # 结束计时 +fig = plt.figure(figsize = (10,20), dpi = 400) +ea.trcplot(obj_trace, ['种群个体平均目标函数值', '种群最优个体目标函数值']) # 绘制图像 +plt.show() +输出结果 +best_gen = np.argmax(obj_trace[:, [1]]) +print('最优解的目标函数值: ', obj_trace[best_gen, 1]) +variable = ea.ps2ri(var_trace[[best_gen], :, FieldD) # 解码得到表现型（即对应的决策变量值） +print('最优解的决策变量值为:') +material_dict = {'A':0, 'B':0, 'C':0} +for i in range(variable.shape[1]): + if variable[0, i] == 1: + print('x' + str(i) + ', variable[0, i], '原材料类别: ', data['材料分类'].i]) + material_dict[data['材料分类'].i] += 1 +print('共选择个数: ' + str(variable[0,:].sum()), +print('用时: ', end_time - start_time, '秒') +print(material_dict) +``` + +问题二转运模型 +```python +>>> select_idx = [i for i in range(variable.shape[1]) if variable[0, i] == 1]; +selectSUPpliers = supplier_id[select_idx] +df_out = file1(file['供应商ID'].isin(selectSUPpliers)).reset_index.drop=True) +df_out.to_excel('P2-1优化结果.xlsx', index=False) +``` + +```empty + +``` + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +import re +import math +from scipy.stats import exponent +from fitter import Fitter +``` + +对各转运商的损失率进行预估 +```python +data=pd.DataFrame(pd.read_excel('2.xlsx')) +a=np.array(data) +a=np.delete(a,0, axis=1) +loss = [] +for j in range(8): + f = Fitter(np.array(a[j].tolist()), distributions='exponnorm') + f.fit() + k=1/(f.fitted_param['exponnorm'])[0]*f.fitted_param['exponnorm'].2]) + count = 0 + tem = [] +while count < 24: + r = exponnorm.rvs(k,size=1) + if r > 0 and r<5: + tem.append(float(r)) +``` + +```python +count = count + 1 +else: + pass +loss.append(tem) +nloss = np.array(loss).T.tolist() +``` + +# 4求解转运方案 + +```python +rdata = pd.DataFrame(np.read_excel('P2-2B.xlsx')) +sa = rdata.columns.tolist() +for j in range(24): + d = {'序号': [1,2,3,4,5,6,7,8], '损失': nloss[j]'} + tem = pd.DataFrame(d).sort_values(by='损失') + d1 = pd.DataFrame({'商家': sa[0:12], '订单量': np.array(rdata)[j]).sort_values(by='订单量', ascending = [False]) + d2 = pd.DataFrame({'商家': sa[12:24], '订单量': np.array(rdata)[j][12:24]).sort_values(by='订单量', ascending = [False]) + d3 = pd.DataFrame({'商家': sa[24:39], '订单量': np.array(rdata)[j]).sort_values(by='订单量', ascending = [False]) + new = d1.append(d2) + new = new.append(d3).reset_index.drop=True) + count1 = 0 + tran = 0 + arr = [] +for i in range(39): + if new['订单量'].i == 0: + arr.append(0) +else: + if new['订单量'].i > 6000: + re = new['订单量'].i - 6000 +count1 = count1 + 1 +tran = 0 +arr.append(count1 + count1 + 1) +if re > 6000: + re = re - 6000 +count1 = count1 + 1 +if re > 6000: + count1 = count1 + 1 +else: + tran = tran + new['订单量'].i +if tran < 5500: + arr.append(count['序号'].tolist().count1) +elif tran > 6000: + count1 = count1 + 1 +tran = new['订单量'].i +arr.append(count['序号'].tolist().count1) +else: + tran = 0 +arr.append(count['序号'].tolist().count1) +count1 = count1 + 1 +``` + +new['转运'] $=$ arr if $\text{日} = = 0$ ： result $=$ new.copy() + +问题三订货方案模型 +else: result $=$ pd.merge(result,new,on $\equiv$ 商家') print(result) + +import numpy as np +import geatpy as ea #导入geatpy库 +import time +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +from tqdm import tqdm +pre_A = [] +pre_C = [] +now_A = [] +now_C = [] +cost_pre = [] +cost_now = [] +x_A_pred_list = pd.read_excel('P2-2A结果.xlsx', index=False).to_numpy() +x_C_pred_list = pd.read_excel('P2-2C结果.xlsx', index=False).to_numpy() +select_info = pd.read_excel('P2-1优化结果.xlsx') +select_A_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'A']['供应商ID'] +select_B_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'B']['供应商ID'] +select_C_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'C']['供应商ID'] +num_of_a = select_A_ID.shape[0] +num_of_b = select_B_ID.shape[0] +num_of_c = select_C_ID.shape[0] +selectSUPpliers $=$ pdunique(select_info['供应商ID']) +file0 $\equiv$ pd.read_excel('附件1.xlsx',sheet_name $\equiv$ '企业的订货量（m³）') file1 $\equiv$ pd.read_excel('附件1.xlsx',sheet_name $\equiv$ '供应商的供货量（m³）') order_volume $=$ file0['file0['供应商ID'].isin(selectSUPpliers]).iloc(:,2:] supply_volume $=$ file1['file1['供应商ID'].isin(selectSUPpliers]).iloc(:,2:] error_df $=$ (supply_volume-order_volume)/order_volume +def get_range_list(type,week_i=1): df $=$ select_info[select_info['材料分类'] $= =$ type_.iloc(:,2:] min_ $=$ dfiloc:,np.arange.week_i-1,240,24].min(axis=1) max_ $=$ dfiloc:,np.arange.week_i-1,240,24]).max(axis=1) if type_ $= =$ 'A': range_ $=$ list(zip(min,max_*1.5)) elif type_ $= =$ 'C': range_ $=$ list(zip(min,max_*0.9)) range_ $= [[\mathrm{i}[0],\mathrm{i}[1] + 1]$ for i in range_ ] return range_ + +```python +def aimfunc(Phen, V_a, V_c, CV, NIND): global week_i, x_A_pred_list, x_C_pred_list +``` + +```python +global V_a2previous, V_c2previous +global C_trans, Cstore +def error_pred(z, type): + err = -1e-4 + err *= z + return err +z_a = Phen:, :num_of_a] +z_c = Phen:, num_of_a: errorA = error_pred(z_a, 'A') +errorC = error_pred(z_c, 'C') +x_a = (z_a + errorA) # /0.6 +x_c = (z_c + errorC) # /0.72 +x = np.hstack([x_a, x_c]) +# constraint 4 +E_a, E_c = (2.82 * 1e4 * 1 / 8), (2.82 * 1e4 * 1 / 8) +# constraint 2 ~ 3 +V_a2 = V_a - E_a / 0.6 + x_a.sum(axis=1) +V_c2 = V_c - E_c / 0.72 + x_c.sum(axis=1) +V_a2 = x_a.sum(axis=1) +V_c2 = x_c.sum(axis=1) +f = C.trans * x.sum(axis=1) + C/store * (V_a2 + V_c2) +f = f.reshape(-1, 1) +# constraint 1 +CV1 = np.abs((V_a2 / 0.6 + V_c2 / 0.72) - (V_a2 Previouss / 0.6 + V_c2_Previous / 0.72)) +CV1 = CV1.reshape(-1, 1) +return [f, CV1, V_a2, V_c2] +def run_algorithm(V_a_list, V_c_list, week_i): + global V_a2 Previouss, V_c2 Previouss +global V_a2 Previouss_list, V_c2_Previous_list +global C_trans, C/store +V_a2 Previouss, V_c2 Previouss = V_a2_Previous_list[week_i - 1], V_c2_Previous_list[week_i - 1] + "..." 变量设置 +tol_num = num_of_a + num_of_c +z_a = get_range_list('A', week_i) # 第一个决策变量范围 +z_c = get_range_list('C', week_i) # 第一个决策变量范围 +B = [[1, 1]] * tol_num # 第一个决策变量边界，1表示包含范围的边界，0表示不包含 +D = [1, ] * tol_num +ranges = np.vstack([z_a, z_c]).T # 生成自变量的范围矩阵，使得第一行为所有决策变量的下界，第二行为上界 +borders = np.vstack(B).T # 生成自变量的边界矩阵 +varTypes = np.array(D) # 决策变量的类型，0表示连续，1表示离散 +"..." 染色体编码设置 +Encoding = 'BG' # 'BG' 表示采用二进制/格雷编码 +codes = [0, ] * tol_num # 决策变量的编码方式，设置两个0表示两个决策变量均使用二进制编码 +precisions = [5, ] * tol_num # 决策变量的编码精度，表示二进制编码串解码后能表达小数点后6位 +``` + +print(len(varTypes),len(ranges),len(borders),len(precisions),lencodes),len(scales))FieldD $\equiv$ ea.crtfld(Encoding,varTypes,ranges,borders,precisions,codes,scales）#调用函数创建译码矩阵 + +“" 遗传算法参数设置 + +NIND = 1000; #种群个体数目 + +MAXGEN = 300; # 最大遗传代数 + +maxormins = [1] # 列表元素为1则表示对应的目标函数是最小化，元素为-1则表示对应的目标函数是最大化 +maxormins = np.array(maxormins) # 转化为Numpy array行向量 + +selectStyle = 'rws' # 采用轮盘赌选择 + +recStyle = 'xovdp' # 采用两点交叉 + +mutStyle = 'mutbin' # 采用二进制染色体的变异算子 + +Lind = int(np.sum(FieldD[0, :])) # 计算染色体长度 + +pc = 0.5 # 交叉概率 + +pm = 1 / Lind # 变异概率 + +obj_trace = np.zeros(MAXGEN, 2)) # 定义目标函数值记录器 + +var_trace = np.zeros((MAXGEN, Lind)) #染色体记录器，记录历代最优个体的染色体 + +"---开始遗传算法进化- + +start_time = time.time() #开始计时 + +Chrom = ea.crtpc(Encoding, NIND, FieldD) #生成种群染色体矩阵 + +variable = ea.rs2ri(Chrom, FieldD) # 对初始种群进行解码 + +CV = np.zeros((NIND, 1)) # 初始化一个CV矩阵（此时因为未确定个体是否满足约束条件，因此初始化元素为 + +8，暂认为所有个体是可行解个体） + +V_a = V_a_list[-1] + +V_c = V_c_list[-1] + +print(V_a.shape[0], V_c.shape[0]) + +ObjV, CV, V_a_new, V_c_new = aimfunc(variable, V_a, V_c, CV, NIND) # 计算初始种群个体的目标函数值 + +FitnV = ea.ranking(Oobj, CV, maxormins) # 根据目标函数大小分配适应度值 + +best_ind = np.argmax(FitnV) # 计算当代最优个体的序号 + +开始进化 + +for gen in tqdm(range(MAXGEN)): + +SelCh = Chrom[ea.selecting(selectStyle, FitnV, NIND - 1), :] # 选择 + +SelCh = ea.recombin(recStyle, SelCh, pc) # 重组 + +SelCh = ea.transform(matStyle, Encoding, SelCh, pm) # 变异 + +把父代精英个体与子代的染色体进行合并，得到新一代种群 + +Chrom = np.vstack([Chrom[best_ind, :], SelCh]) + +Phen = ea.rs2ri(Chrom, FieldD) # 对种群进行解码（二进制转十进制） + +ObjV, CV, V_a_new_, V_c_new_ = aimfunc(Phen, V_a, V_c, CV, NIND) # 求种群个体的目标函数值 + +if np.mean(CV) > 0: + +print('CV > 0') + +V_a_new,V_c_new $=$ V_a,V_c + +break + +FitnV = ea.ranking(ObjV, CV, maxormins) # 根据目标函数大小分配适应度值 + +#记录 + +best_ind = np.argmax(FitnV) # 计算当代最优个体的序号 + +obj_trace[gen, $\theta ] =$ np.sum(OobjV)/ObjV.shape[0] #记录当代种群的目标函数均值 + +obj_trace[gen, 1] = ObjV[best_ind] # 记录当代种群最优个体目标函数值 + +var_trace[gen, :] = Chrom[best_ind, :] # 记录当代种群最优个体的染色体 + +4 进化完成 + +end_time = time.time() # 结束计时 + +ea.trcplot(obj_trace, [['种群个体平均目标函数值', '种群最优个体目标函数值']]) # 绘制图像 + +输出结果 + +best_gen = np.argmax(obj_trace[:, [1]]) + +x_sum = x_A_pred_list[week_i - 1, :].sum() + x_C_pred_list[week_i - 1, :].sum() + +costprevious $=$ C.trans \* x_sum $^+$ C/store \* (V_a2_previous + V_c2_previous)[best_gen] + +print('调整前转运、仓储成本：'，costprevious) + +print('调整后转运、仓储成本：'，obj_trace[best_gen，1]) + +cost_pre.append(costprevious) + +cost_now.append(obj_trace[best_gen,1]) +variable $=$ ea.ps2ri(var_trace[best_gen]，：，FieldD）#解码得到表现型（即对应的决策变量值） V_a_new $=$ variable[0，：num_of_a].copy() V_c_new $=$ variable[0，num_of_a:.copy() +V_tol $=$ (V_a_new-sum(）+V_c_new-sum(); V_tol_list.append(V_tol) +Oprepare $=$ (V_a_new-sum(）/0.6+V_c_new-sum(）/0.72); Oprepare_list.append(O.prepare) +print('库存总量：'，V_tol) +print('原A,C总预备产能：'，(V_a2_previous/0.6+V_c2_previous/0.72)[best_gen]) +print('预备产能：'，Oprepare) +print('用时：'，end_time - start_time,'秒') +#update V_list +V_a_list.append(V_a_new_） +V_c_list.append(V_c_new_） +return [variable,V_a_list,V_c_list] +def plot_pie(week_i,variable,df_A_all,df_C_all): global pre_A,pre_C,now_A,now_C tol_v $=$ [variable[0,:num_of_a].sum(),\ variable[0,num_of_a:.sum()) print( f'调整前-原材料A在第{week_i}周订单量总额{x_A_pred_list-sum(axis=1)[week_i-1]}\n调整前-原材料C在第{week_i}周订单量总额{x_C_pred_list-sum(axis=1)[week_i-1]}\n调整前-原材料第{week_i}周订单量总额:{x_A_pred_list-sum(axis=1)[week_i-1] + x_C_pred_list-sum(axis=1)[week_i-1]}) ' print() +print(f'原材料A在第{week_i}周订单量总额{tol_v[0]}\n原材料C在第{week_i}周订单量总额{tol_v[1]}\n原材料第{week_i}周订单量总额:{sum(tol_v)}') +pre_A.append(x_A_pred_list-sum(axis=1)[week_i-1]) +pre_C.append(x_C_pred_list-sum(axis=1)[week_i-1]) +now_A.append(tol_v[0]) +now_C.append(tol_v[1]) +#####plott A #####plott A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig(A #plttfig（f'./img/P2-2-Aweek{week_i).png')) pltt.show() +#pltt.savefig(f'/img/P2-2-Aweek{week_i.png') pltt.show() +#pltt.savefig(f'/img/P2-2-Cweek{week_i.png') pltt.show() + +```python +df_A = pd.DataFrame(dec(select(A_ID, variable[0, : num_of_a])), index= [f'Week{week_i}]) +df_C = pd.DataFrame(dec(select(C_ID, variable[0, num_of_a:]), index= [f'Week{week_i}]) +df_A_all = pd.concat([df_A_all, df_A]) +df_C_all = pd.concat([df_C_all, df_C]) +return df_A_all, df_C_all +``` + +```python +NIND = 1000; #种群个体数目 +V_a_init = np.array(1.88 * 1e4), NIND) / 0.6 +V_c_init = np.array(1.88 * 1e4), NIND) / 0.72 +V_a2(previous_list, V_c2previous_list = [V_a_init], [V_c_init] +``` + +for i in range(24): V_a2_ $=$ np tilednp.sum(x_A_pred_list[i, :]), NIND) V_c2_ $=$ np tilednp.sum(x_C_pred_list[i, :]), NIND) V_a2previous_list.append(V_a2_) V_c2previous_list.append(V_c2_) + +```python +V_a2previous_list = np.array(V_a2previous_list)[1:] +V_c2previous_list = np.array(V_c2previous_list)[1:] +df_A_all = pd.DataFrame([[]] * len(select_A_ID), index=select_A_ID).T +df_C_all = pd.DataFrame([[]] * len(select_C_ID), index=select_C_ID).T +``` + +```python +for week_i in range(1,25): + variable, V_a_list, V_c_list = run_algorithm(V_a_list, V_c_list, week_i) + df_A_all, df_C_all = plot_pie(week_i, variable, df_A_all, df_C_all) +``` + +```python +df_A_all.to_excel('P3-1A结果2.xlsx', index = False) +df_C_all.to_excel('P3-1C结果2.xlsx', index = False) +result = pd.DataFrame({'A前订单量(立方米)': np.array(pre_A), 'A后订单量(立方米)': np.array(now_A), 'C前订单量(立方米)': pre_C, 'C后订单量(立方米)': now_C, '调整前转运、仓储成本(元)': np.array(cost_pre)*1e3, '调整后转运、仓储成本(元)': np.array(cost_now)*1e3}, index = df_A_all.index) +result.to_excel('P3-1附加信息.xlsx') +``` + +```python +df_all = pd.concat([df_A_all, df_C_all], axis = 1).T +df_all = df_all.sort_index() +output_df = pd.DataFrame([[]]*df_A_all.shape[0], index = df_A_all.index).T +x_B_pred_list = pd.read_excel('P2-2B结果.xlsx', index = False).T +x_B_pred_list.columns = output_df.columns +df_all = pd.concat([df_A_all, df_C_all], axis = 1).T +df_all = df_all.sort_index() +output_df = pd.DataFrame([[]]*df_A_all.shape[0], index = df_A_all.index).T +x_B_pred_list = pd.read_excel('P2-2B结果.xlsx', index = False).T +x_B_pred_list.columns = output_df.columns +``` + +```python +for i in range(1,403): + index = 'S' + '0' * (3 - len(str(i))) + str(i) + if index in df_all.index: + output_df = pd.concat([output_df, pd.DataFrame(df_all.loc[index,]).T]) + elif index in x_B_pred_list.index: + output_df = pd.concat([output_df, pd.DataFrame(x_B_pred_list.loc[index,]) + else: +``` + +问题三转运模型 +```python +output_df = pd.concat([output_df, pd.DataFrame([[0]]*df_A_all.shape[0], index = df_A_all.index, columns = [index]).T]) +``` + +```txt +output_df.to_excel('P3-1结果总和.xlsx') +``` + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +import re +import math +from scipy.stats import exponent +from fitter import Fitter +``` + +4对各转运商的损失率进行预估 +```python +data=pd.DataFrame(pd.read_excel('2.xlsx')) +a=np.array(data) +a=np.delete(a,0, axis=1) +loss = [] +for j in range(8): + f = Fitter(np.array(a[j].tolist()), distributions='exponnorm') + f.fit() + k=1/(f.fitted_param['exponnorm'])[0]*f.fitted_param['exponnorm'].2]) + count = 0 + tem = [] +while count < 24: + r = exponnorm.rvs(k,size=1) + if r > 0 and r<5: + tem.append(float(r)) + count = count+1 + else: + pass + loss.append(tem) +nloss=np.array(loss).T.tolist() +``` + +#求解转运方案 +```python +rdataa=pd.DataFrame(pd.read_excel('P3-1A结果2.xlsx')) +rdataset= pd.DataFrame(pd.read_excel('P2-2B.xlsx')) +rdatac= pd.DataFrame(pd.read_excel('P3-1C结果2.xlsx')) +sa = rdataa.columns.tolist() +sb = rdataset.columns.tolist() +sc = rdataset.columns.tolist() +for j in range(24): + d = {'序号': [1,2,3,4,5,6,7,8], '损失': nloss[j]'} + tem = pd.DataFrame(d).sort_values(by='损失') + d1 = pd.DataFrame({'商家': sa, '订单量': np.array(rdataa)[j])}.sort_values(by='订单量', ascending = False) + d2 = pd.DataFrame{'商家': sb[12:24], '订单量': np.array(rdatab)[j][12:24]}).sort_values(by='订单量', ascending = False) + d3 = pd.DataFrame{'商家': sc, '订单量': np.array(rdatac)[j]}.sort_values(by='订单量', ascending = False) + new = d1.append(d2) + new = new.append(d3).reset_index.drop=True) + count1 = 0 +``` + +问题四订货方案模型 +tran $= 0$ +arr $= []$ +for i in range(39): if new['订单量'][i] $= = 0$ arr.append(0) else: if new['订单量'][i] $>6000$ ： re $=$ new['订单量'][i]-6000 count1 $=$ count1 $+1$ tran $= 0$ arr.append(tem['序号'].tolist() [count1]) if re $>6000$ ： re $=$ re -6000 count1 $=$ count1 $+1$ if re $>6000$ ： count1 $=$ count1 $+1$ else: tran $=$ tran $+$ new['订单量'][i] if tran $< 5500$ ： arr.append(tem['序号'].tolist() [count1]) elif tran $>6000$ ： count1 $=$ count1 $+1$ tran $=$ new['订单量'][i] arr.append(tem['序号'].tolist() [count1]) else: tran $= 0$ arr.append(tem['序号'].tolist() [count1]) count1 $=$ count1 $+1$ new['转运'] $\equiv$ arr if j $= = 0$ ： result $\equiv$ new.copy() else: result $\equiv$ pd.merge(result,new,on='商家') print(result) + +```txt +!usr/bin/env python +from matplotlib import matplotlib as plt +import numpy as np +import pandas as pd +``` + +```txt +select_info = pd.read_excel('P2-1优化结果.xlsx') +select_A_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'A'] ['供应商ID'] +select_B_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'B'] ['供应商ID'] +select_C_ID = select_info[select_info['材料分类'] == 'C'] ['供应商ID'] +selectSUPpliers = pdunique(select_info['供应商ID']) +``` + +```txt +num_of_a = select_A_ID.shape[0] +num_of_b = select_B_ID.shape[0] +num_of_c = select_C_ID.shape[0] +Output_list, output_list = [], +``` + +```python +def aimfunc(Phen, V_a, V_b, V_c, CV, NIND): + global V_a_list, V_b_list, V_c_list + global V_tol_list, 0prepare_list + global x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list + global df_A_all, df_B_all, df_C_all + global Output_list + C.trans = 1, + C_purchase = 100, + C/store = 1 +def error_pred(z, type): + a = np.array([gp_dict[type][i].predict(z[:, [i]], return_std=True) for i in range(z.shape[1]))\nerr_pred = a[:, 0, :]\nerr_std = a[:, 1, :]\nnp.random.seed(1) + nor_err = np.random.normal(err_pred, err_std)\nerr = np.transpose(nor_err) * 1e-2\nerr *= z\nreturn err +def convert(x, type): + if type == 'a': x_ = x * 1.2 + if type == 'b': x_ = x * 1.1 + if type == 'c': x_ = x\nreturn x_ +z_a = Phen(:, 0: num_of_a] +z_b = Phen(:, num_of_a: num_of_a + num_of_b] +z_c = Phen(:, num_of_a + num_of_b: ] +errorA = error_pred(z_a, 'A') +errorB = error_pred(z_b, 'B') +errorC = error_pred(z_c, 'C') +x_a0, x_b0, x_c0 = z_a + errorA, z_b + errorB, z_c + errorC +x = np.hstack([x_a0, x_b0, x_c0]) +x_a = convert(x_a0, 'a') +x_b = convert(x_b0, 'b') +x_c = convert(x_c0, 'c') +# constraint 5 +e_a = max(np.ones_like(V_a)*0.9, 2.82*1e4*V_a/(V_a*0.6 + V_b*0.66 + V_c*0.72)) +e_b = max(np.ones_like(V_b)*0.9, 2.82*1e4*V_b/(V_a*0.6 + V_b*0.66 + V_c*0.72)) +e_c = max(np.ones_like(V_c)*0.9, 2.82*1e4*V_c/(V_a*0.6 + V_b*0.66 + V_c*0.72)) +# constraint 2 ~ 4 +V_a2 = V_a * (1 - e_a) + x_a.sum(axis=1) +V_b2 = V_b * (1 - e_b) + x_b.sum(axis=1) +V_c2 = V_c * (1 - e_c) + x_c.sum(axis=1) +Output = (V_a * e_a * 0.6) + (V_b * e_b * 0.66) + (V_c * e_c * 0.72) +Output_list.append(Output) +``` + +```python +f = C_trans * x.sum(axis=1) + C_purchase * (x_a.sum(axis=1) + x_b.sum(axis x_c.sum(axis=1)) +f = f.reshape(-1, 1) +``` + +```python +# constraint 1 +CV1 = (2.82 * 1e4 * 2 - x_a.sum(axis=1) * (1 - alpha[week_i - 1]) / 0.6 - x_b.sum(axis=1) * (1 - alpha[week_i - 1]) / 0.72) +CV1 = CV1.reshape(-1, 1) +CV2 = (z_a.sum(axis=1) + z_b.sum(axis=1) + z_c.sum(axis=1) - 4.8 * 1e4).reshape(-1, 1) +CV1 = np.hstack([CV1, CV2]) +return [f, CV1, V_a2, V_b2, V_c2, x_a0, x_b0, x_c0] +``` + +```python +def run_algorithm2(week_i): + global x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list + x_a_pred_list, x_b_pred_list, x_c_pred_list = x_A_pred_list[week_i - 1, :], + x_B_pred_list[week_i - 1, + :], + x_C_pred_list[week_i - 1, :] +``` + +```txt +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``` +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``' +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +``" +`` +``` + +```txt +borders \(=\) np.vstack(B).T #生成自变量的边界矩阵 +varTypes \(\equiv\) np.array(D）#决策变量的类型，0表示连续，1表示离散""\(= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = +Encoding \(\equiv\) 'BG' # 'BG'表示采用二进制/格雷编码 +codes \(= [0,]\) \*tol_num2 #决策变量的编码方式，设置两个0表示两个决策变量均使用二进制编码 +precisions \(= [4,]\) \*tol_num2 #决策变量的编码精度，表示二进制编码串解码后能表示的决策变量的精度可达到小数点后6位 +``` + +```python +scales = [0, ] * tol_num2 # 0表示采用算术刻度，1表示采用对数刻度 +FieldD = ea.crtfld(Encoding, varTypes, ranges, borders, precisions, codes, scales) # 调用函数创建译码矩阵 +``` + +```python +``` +NIND = 1000; #种群个体数目 +MAXGEN = 300; #最大遗传代数 +maxormins = [1] #列表元素为1则表示对应的目标函数是最小化，元素为-1则表示对应的目标函数是最大化 +maxormins = np.array(maxormins) #转化为Numpy array行向量 +selectStyle = 'rws' #采用轮盘赌选择 +recStyle = 'xovdp' #采用两点交叉 +mutStyle = 'mutbin' #采用二进制染色体的变异算子 +Lind = int(np.sum(FieldD[0,:])) #计算染色体长度 +pc = 0.8 #交叉概率 +pm = 1 / Lind #变异概率 +obj_trace = np.zeros(MAXGEN,2) #定义目标函数值记录器 +var_trace = np.zeros(MAXGEN,Lind) #染色体记录器，记录历代最优个体的染色体 +``` +``` +``` +开始遗传算法进化 +``` + +```txt +start_time = time.time() #开始计时 +Chrom = ea.crtpc(Encoding, NIND, FieldD) #生成种群染色体矩阵 +``` + +variable $=$ ea.rs2ri(Chrom,FieldD）#对初始种群进行解码 $\# \mathrm{CV1} = \mathrm{np.zeros((NIND,1))}\#$ 初始化一个CV矩阵（此时因为未确定个体是否满足约束条件，因此初始化元素为0，暂认为所有个体是可行解个体） + +$\mathrm{CV} = \mathrm{np\_zeros}(\mathrm{NIND},615)$ +ObjV，CV $=$ aimfunc2(variable,CV,NIND) +FitnV $=$ ea_ranking(OobjV,CV,maxormins）#根据目标函数大小分配适应度值best_ind $=$ np.argmax(FitnV）#计算当代最优个体的序号 + +# 开始进化 + +for gen in tqdm(range(MAXGEN)，leave $\equiv$ False): SelCh $=$ Chrom[e.a.selecting(selectStyle，FitnV，NIND-1)，：] #选择 SelCh $=$ ea.recombin(recStyle，SelCh，pc）#重组 SelCh $=$ ea.mutate(mutStyle，Encoding，SelCh，pm）#变异 #把父代精英个体与子代的染色体进行合并，得到新一代种群 Chrom $=$ np.vstack([Chrom[best_ind,：]，SelCh]) Phen $=$ ea.rs2ri(Chrom，FieldD）#对种群进行解码（二进制转十进制） ObjV，CV $=$ aimfunc2(Phen，CV，NIND）#求种群个体的目标函数值 FitnV $=$ ea.ranking(ObjV，CV，maxormins）#根据目标函数大小分配适应度值 #记录 best_ind $=$ np.argmax(FitnV）#计算当代最优个体的序号 obj_trace[gen，0] $=$ np-sum(ObjV)/ObjV.shape[0] #记录当代种群的目标函数均值 obj_trace[gen，1] $=$ ObjV(best_ind] #记录当代种群最优个体目标函数值 var_trace[gen，：] $=$ Chrom[best_ind，：] #记录当代种群最优个体的染色体 + +# 4进化完成 + +```python +end_time = time.time() # 结束计时 +ea.trcplot(obj_trace, [['种群个体平均目标函数值', '种群最优个体目标函数值']]) # 绘制图像 +print('用时：', end_time - start_time, '秒') +``` + +```txt +输出结果 +``` + +```python +best_gen = np.argmax(obj_trace[:, [1]]) +print('最优解的目标函数值：', obj_trace[best_gen, 1]) +variable = ea.rs2ri(var_trace[[best_gen], :, FieldD) # 解码得到表现型（即对应的决策变量值） +``` + +```python +W = variable +W_a, W_b, W_c = W(:, :tol_num_A], W(:, tol_num_A:tol_num_A + tol_num_B], W(:, tol_num_A + tol_num_B; ] +W_a = W_a.reshape((f_transA.shape[1], 8)) +W_b = W_b.reshape((f_transB.shape[1], 8)) +W_c = W_c.reshape((f_transC.shape[1], 8)) +``` + +assign_A $=$ dict(zip(select_A_ID，[np.argmax(W_a[i,：]） $+1$ for i in range(f.transA.shape[1])]])) assign_B $=$ dict(zip(select_B_ID，[np.argmax(W_b[i，：]） $+1$ for i in range(f.transB.shape[1])]]） assign_C $=$ dict(zip(select_C_ID，[np.argmax(W_c[i，：]） $+1$ for i in range(f.transC.shape[1])) print('原材料A供应商对应的转运商ID:\n'，assign_A) print('原材料B供应商对应的转运商ID:\n'，assign_B) print('原材料C供应商对应的转运商ID:\n'，assign_C) return [assign_A，assign_B，assign_C] + +pd.DataFrame(np.array(output_list)*1.4,index $=$ [f'Week{i}'for i in range(1,25)],columns $\equiv$ ['产能'].plot.bar(alpha $= 0.7$ ,figsize $= (12,5)$ +plt(axhline(2.82*1e4，linestyle='dashed'，c $=$ 'black'，label $=$ '期望产能') +plt.title('扩大产能后：预期24周产能') +pltlegend() +pltylabel('立方米') +plt.show() +output_df.to_excel('P4-2分配结果.xlsx') + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +import re +import math +from scipy.stats import exponent +from fitter import Fitter +``` + +4对各转运商的损失率进行预估 +```python +data = pd.DataFrame(pd.read_excel('2.xlsx')) +a = np.array(data) +a = np.delete(a, 0, axis=1) +loss = [] +for j in range(8): + f = Fitter(np.array(a[j].tolist(), distributions='exponnorm') + f.fit() + k = 1 / (f.fitted_param['exponnorm'][0] * f.fitted_param['exponnorm'][2]) + count = 0 + tem = [] +while count < 24: + r = exponnorm.rvs(k, size=1) + if r > 0 and r < 5: + tem.append(float(r)) + count = count + 1 + else: + pass + loss.append(tem) +nloss = np.array(loss).T.tolist() +``` + +4求解转运方案 +```python +rdata = pd.DataFrame(pd.read_excel('/Users/yongjuhao/Desktop/第四问结果1.xlsx')) +sa = rdata.columns.tolist() +for j in range(24): + d = {'序号': [1,2,3,4,5,6,7,8], '损失': nloss[j]} + tem = pd.DataFrame(d).sort_values(by='损失') + d1 = pd.DataFrame({'商家': sa[0:136], '订单量': np.array(rdata)[j][0:136]}).sort_values(by='订单量', ascending = [False]) + d2 = pd.DataFrame({'商家': sa[136:262], '订单量': np.array(rdata)[j][136:262]}).sort_values(by='订单量', ascending = [False]) + d3 = pd.DataFrame({'商家': sa[262:369], '订单量': np.array(rdata)[j][262:369]}).sort_values(by='订单量', ascending = [False]) + new = d1.append(d2) + new = new.append(d3).reset_index.drop=True) + count1 = 0 + tran = 0 + arr = [] +for i in range(369): + if new['订单量'].i == 0: + arr.append(0) +else: + if new['订单量'].i > 6000: + re = new['订单量'].i - 6000 +count1 = count1 + 1 +tran = 0 +arr.append(count['序号'].tolist().count1) +if re > 6000: + re = re - 6000 +``` + +```python +count1 = count1 +1 +if re >6000: +count1 = count1 +1 +else: +tran = tran + new['订单量'].i +if tran < 5500: +if count1 +1 >= 8: + arr.append(tem['序号'].tolist().7)) +else: + arr.append(tem['序号'].tolist().count1)) +elif tran > 6000: +count1 = count1 +1 +tran = new['订单量'].i +if count1 +1 >= 8: + arr.append(tem['序号'].tolist().7)) +else: + arr.append(tem['序号'].tolist().count1)) +else: + tran = 0 +if count1 +1 >= 8: + arr.append(tem['序号'].tolist().7)) +else: + arr.append(tem['序号'].tolist().count1)) +count1 = count1 +1 +new['转运'] = arr +if j == 0 : +result = new.copy() +else: +result = pd.merge(result, new, on='商家') +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/C085/C085.md b/MCM_CN/2021/C085/C085.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..40cd6326c2cc2d27539731d0eabdec7688e76f97 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/C085/C085.md @@ -0,0 +1,1685 @@ +# 基于双层和随机规划的原材料订购与运输问题 + +# 摘要 + +本文主要建立双层随机规划模型、带有偏差变量的随机规划模型、随机整数规划模型并通过基于动态权重的离散化贪心和动态规划算法、二分答案算法为企业解决原材料的订购与运输问题。 + +首先对附件数据进行预处理，判断各家供应商供货量具有周期性（存在淡季与旺季）、突变性，部分具有泊松分布特性。 + +对于问题一，使用平均供货强度、完成率、订单率和风险作为指标根据熵权法-TOPSIS对供应商的重要性进行评估，得出权重后计算出每家供应商的得分，按得分排名，找出排名前50家的供应商，结果为S229、S361、S140、S108等50家供应商。 + +对于问题二，首先以未来24周所选择的供应商为决策变量，以最小化企业未来24周的不重复供应商个数为优化目标建立供应商选择模型。其次以最小化每周运输损耗为上层规划的优化目标，以最小化每周原材料订购成本为下层规划的优化目标建立双层随机规划模型。最后利用动态权重的贪心和动态规划算法解决最少供应商选择问题，针对被选中的供应商使用离散化贪心规划算法解决原材料订购方案问题，使用0-1背包动态规划和贪心再处理的方法以每个转运商期望损耗率为标准贪心处理，制定损耗最少的转运方案。最终确定应至少选择S229、S361、S140、S330、S108等27家供应商供应原材料才可能满足生产，此时预测的A、B、C材料的平均总量分别为 $7076.5\mathrm{m}^3$ 、 $4704.3\mathrm{m}^3$ 、 $6888\mathrm{m}^3$ 。期望损耗量占比为 $0.532\%$ 。分析附件数据发现有产能不足情况，本文取采购成本与产能的比值作为判断指标，未来24周的平均采购成本为0.7215小于之前5年的已知量0.7220，说明订购方案实施效果优秀。 + +对于问题三，以采购A类和C类原材料、转运商的转运损耗率为优化目标建立带有偏差变量的随机规划模型。在定性分析材料购买优先级后，对所有供应商使用离散化贪心规划算法解决原材料订购方案问题，再以第二问规划转运方案的方法，得出具体转运方案。此时24周里订购A、B、C材料的平均总量分别为 $7953.5\mathrm{m}^3$ 、66777.3m³、3682.9m³，A、B、C平均总量占比分别为 $43\% >36\% >20\%$ ，服从 $\mathrm{A > B > C}$ 的优先级。24周期望损耗量占比为 $0.522\%$ ，对比第二问的损耗量占比 $0.532\%$ ，在损耗量方面更加优秀。 + +对于问题四，以未来24周的产能为决策变量，以最大化未来24周的产能提高率均值为优化目标建立随机整数规划模型。在确定产能提高应满足每周产能达成和两周提前材料供应的规则后，使用二分答案算法进行求解，获得满足规则的最高产能对应值，最终仅考虑材料订购和生产得出最高产能为 $31781\mathrm{m}^3$ ，考虑转运损耗则期望最高产能为 $31344\mathrm{m}^3$ ，平均增加比例为 $12.7\%$ 。此时24周里订购A、B、C材料的平均总量分别为 $7932.5\mathrm{m}^3$ 、 $4945.5\mathrm{m}^3$ 、 $7968.7\mathrm{m}^3$ ，24周期望损耗量占比为 $0.576\%$ + +关键词：熵权法- TOPSIS、双层随机规划模型、基于动态权重的离散化贪心算法、动态规划算法、带有偏差变量的随机规划模型、二分答案算法 + +# 一、问题重述 + +# 1.1问题背景 + +由于原材料的采购成本直接影响企业的生产效益，一些建筑和装饰板材的生产企业往往需要提前计划原材料的订购和转运。现有A、B、C三种类型的原材料，其中A类原材料的采购单价比C类原材料高 $20\%$ ，B类比C类高 $10\%$ 。三类原材料运输和储存的单位费用相同。某企业每年安排生产48周，需要提前根据产能要求计划24周的供应商和相应每周订货量，确定转运商和供货量。 + +企业每周产能为2.82万立方米，每立方米产品需消耗A类原材料0.6立方米，或B类原材料0.66立方米，或C类原材料0.72立方米。但供应商在实际供货时实际供货量可能和订货量不一致。因此该企业为保证正常生产尽可能保持大于等于两周生产需求的库存量，并且对供应商实际提供的原材料全部收购。 + +在实际转运过程中，原材料会有一定的损耗率，每家转运商的运输能力为6000立方米/周。通常一家供应商每周供应的原材料由同一家转运商运输。 + +# 1.2问题重述 + +根据题目背景和附件数据需要解决以下问题： + +1、量化分析供应商的供货特征，建立数学模型保障企业生产重要性并找出50家最重要的供应商，在论文中列表给出结果。 +2、基于问题一，选择能在满足生产需求下的最少供应商数量，并根据选中的供应商建立数学模型计划未来24周每周的最经济的订购方案和损耗最少的转运方案。最后分析订购方案和转运方案的实施效果。 +3、在尽量多购买A和尽量少购买C的基础上建立数学模型计划订购和转运方案来降低转运和仓储成本，并且使转运商的损耗率最小化。最后分析订购方案和转运方案的实施效果。 +4、在现有原材料的供应商和转运商的实际情况下建立数学模型确定每周提高的产能并计划未来24周的订购和转运方案。 + +# 二、问题分析 + +首先对附件数据进行预处理，判断各家供应商供货量具有周期性，存在淡季与旺季，部分具有泊松分布特性。 + +# 2.1 问题一的分析 + +利用熵权-TOPSIS法，使用平均供货强度、完成率、订单率和风险作为指标对供应商的重要性进行评估，得出权重后计算出每家供应商的得分，按得分排名，找出排名前 + +50家的供应商。 + +# 2.2问题二的分析 + +首先以未来24周所选择的供应商为决策变量，以最小化企业未来24周的不重复供应商个数为优化目标建立供应商选择模型。其次为规划成本最小的订购模型与损耗最少的转运方案，确定以所选择的供应商的供货量和所选择的转运商与转运的原材料为决策变量，以最小化每周运输损耗为上层规划的优化目标，以最小化每周原材料订购成本为下层规划的优化目标建立双层随机规划模型。注意一家转运商可能不够的情况。最后利用基于动态权重的离散化贪心和动态规划算法求解并分析实施效果。 + +# 2.3 问题三的分析 + +基于问题二的决策变量，以较多采购A类、较少采购C类原材料和减少转运商的转运损耗率以及减少仓储与运输成本为优化目标，建立带有偏差变量的随机规划模型。注意一家转运商可能不够的情况。最后利用基于动态权重的离散化贪心和动态规划算法求解并分析实施效果。 + +# 2.4问题四的分析 + +以未来24周的产能量为决策变量，以最大化未来24周产能提高率均值为优化目标，以转运的原材料量大于等于0、每家转运商每周运输量不超过6000立方米、一家供应商每周供应的原材料尽量由一家转运商运输、任一周的库存量为自然数为约束条件建立随机整数规划模型。注意一家转运商可能不够的情况。最后利用二分答案算法求解并分析实施效果。 + +综上，问题二、三、四总体分析可视图如下： + +![](images/23dd90687e5eb9f23a4aef79560bce3a78ae3a439c6a227bf6df68a85faddc7a.jpg) +图1：问题分析总体可视图 + +# 三、基本假设 + +1、假设初始库存量满足企业两周产能的约束； + +2、假设运输损耗等同于运输损耗材料转换为产能后的损耗： +3、假设平均运输损耗为 $1.374294\%$ ，假设不考虑供货误差导致的运输和仓储成本变化； +4、假设考虑平均运输损耗, 则实际规划材料所能产生的产能应为 $28488 \mathrm{~m}^{3}$ ; +5、假设在分析采购成本时C的采购单价为1。 + +# 四、符号说明 + +
符号符号说明
Q每周产能
Qi第i周产能
xij第i周是否从第j个供应商采购
QA,iA类型第i周库存量
QB,iB类型第i周库存量
QC,iC类型第i周库存量
matj第j个供应商供应材料类型
RA,iA类型第i周需求量
RB,iB类型第i周需求量
RC,iC类型第i周需求量
Uik第i周第k个转运商损耗率的随机变量
Yij第i周第j个供应商供应量的随机变量
trai,j,k第i周第k个转运商是否运送第j家供应商的原材料
uAik第i周第k个转运商运送A材料数量
uBik第i周第k个转运商运送B材料数量
uCik第i周第k个转运商运送C材料数量
+ +注：其它符号将在文中具体说明 + +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1数据预处理 + +本文为便于后续模型的建立，需要找出原材料供应商供应情况规律，因此需要对附件1各数据进行预处理分析，得出不同供应商供货量的一定规律大致分为以下三种。 + +# 1、周期性 + +即某家供应商前240周供货量数据在周期内具有相似的分布。典型供应商有S140，其供货量分布如图2所示： + +![](images/4d67d204b54b3e7fb524e6664d3e6d5bb7fd87f4e6de995602f1e5ca95426990.jpg) +图2：S140供货量图 + +![](images/25f2c6ff1401f9c603824aeec61eaffbec7ce45330b64dbd10a4f6d931fd773d.jpg) +图3：S151供货量图 + +这些供货商供货量数据具有明显的周期性，且周期为24周，并且不同周期同时段的供货量会发生波动。 + +# 2、突变性 + +即某家供货商在大部分周数有较为稳定的供应量，但在少数情况下供货量特别大。典型的有S151供货商，其240周供货量分布情况如图3所示： + +# 3、泊松分布 + +对每家供应商240周的供货量分布进行深入分析，经过K-S检验后发现共有112家供应商240周内的供货量服从泊松分布，因此在后续模型中考虑到随机变量对结果的影响。 + +总体分析： + +首先以周为单位，将每一周A、B、C原材料各供应商供货量相加，用matlab作出A、B、C供应量分布图如下： + +![](images/ca83b7bb6f8e5802b1ff056f2600f1f2706a688e3631d92c23e29d55460a7358.jpg) +图4：不同周下材料类型供货分布 + +由上图可以观察到, A、B、C 材料的供货量分布均具有周期性, 且供货规律周期为 + +24周。 + +分析每个周期的A、B、C供货情况，部分周期供货量分布情况如下图所示： + +![](images/dc82002a0d89c609557cef7a5e13619bf0b8d3f979e37017a8cd6977942f56d6.jpg) +图5：第6周期供货分布 + +![](images/6d151f9474832815462b488d9b18d567e19bf57cb72cfd2d59172ca5f5a12023.jpg) +图6：第10周期供货分布 + +![](images/1fbc478cd0e7b492353a3af176e131b87a9f40ebd445fff6b924a5bf25aa972e.jpg) +图7：第2周期供货分布 + +由图5、图6、图7看出，不同周期下A、B、C的供货分布会不相同，但具有相似的供货规律。如B材料在每个周期的第1周与第5周达到供货量的较大值，并且在第2-4周供货量有减少的趋势，而在第6周之后的数据变化较为平稳。故在每个周期里，A、B、C材料供货量都有旺季与淡季，A材料旺季为每个周期的第6周，B材料旺季为每个周期的第1周与第5周，C材料旺季为每周期的第22周。 + +综上，供应商的供货量具有周期性，部分供应商供货量存在泊松分布的情况，并且供货量会根据提供材料类型的分类在不同周期下各自存在淡季和旺季的情况。 + +# 5.2问题一熵权法-TOPSIS评价模型的建立与求解 + +# 5.2.1 确定评估指标 + +问题一需要针对附件1中402家原材料供应商的订货量和供货量进行量化分析，为选出最重要的50家供应商，本题使用平均供货强度、完成率、订单率和风险作为指标对供应商的重要性进行评估。 + +# 1、平均供货强度： + +将各家供应商240周的供货量之和取均值定义为平均供货强度 $r_{j1}$ ，平均供货强度越大，说明供应商生产能力越强，越能保证企业生产，进而该家供应商重要性越强。公式为： + +$$ +r _ {j 1} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {2 4 0} c _ {f i}}{2 4 0}, j = 1, 2, \dots , 4 0 2 \tag {5-2-1} +$$ + +其中 $c_{ji}$ 为第i家供应商第i周的供货量， $j = 1,2,\dots ,402$ + +# 2、完成率： + +将402家供应商240周的总体供货量与接收到的订货量的比值定义为供应商的完成率 $r_{j2}$ ，若完成率太高会提高仓储成本，若完成率太低则供应商供应能力不足。针对这一问题本文对完成率定义区间[0.8,1.2]，若完成率在区间内或越接近该区间，说明供应商完成企业安排的能力越强，越能保证企业生产，进而该家供应商的重要性越强。公式为： + +$$ +r _ {j 2} = \sum_ {i = 1} ^ {2 4 0} c _ {j i} / \sum_ {i = 1} ^ {2 4 0} h _ {j i} \tag {5-2-2} +$$ + +其中 $h_{ji}$ 为第 $j$ 家供应商第 $i$ 周接收到的企业的订货量。 + +# 3、订单率： + +将每家供应商完成指标的供货量的周数在240周的占比定义为订单率 $r_{j3}$ ，观察数据，定义指标为10，即若供应商该周供货量不小于10，则算完成指标，记录完成指标的总周数，再求出总周数在240周的占比。因此，订单率越高，则供应商供货能力越强，越能保证企业生产，进而该家供应商的重要性越强。公式为： + +$$ +r _ {j 3} = \frac {g _ {j}}{240} \times 100 \% \tag{5 - 2 - 3} +$$ + +其中 $g_{j}$ 为第 $\pmb{j}$ 家供应商供货量不小于10的总周数。 + +# 4、风险： + +将各供应商240周的供货量的标准差定义为风险 $r_{j4}$ ，由于在实际情况下企业往往选择供货能力较稳定的供应商，因此供应商的重要性往往与其稳定性挂钩。风险越小，说明该供应商供货量越稳定，则企业选择的可能性越大，进而供应商的重要性越强。公式为： + +$$ +r _ {j 4} = \sqrt {\frac {\sum_ {i = 1} ^ {2 4 0} \left(c _ {j i} - \bar {c} _ {j}\right) ^ {2}}{2 4 0}} (i = 1, 2, \dots , 2 4 0) \tag {5-2-4} +$$ + +其中 $\bar{c}_j$ 为第 $j$ 家供应商240周的供货量之和的均值， $i = 1,2,\dots ,402$ + +# 5.2.2 熵权法- TOPSIS 模型 + +熵权法- TOPSIS 模型是一种将根据各指标所含信息的差异性进行各指标客观赋权和逼近于理想解的排序结合起来的一种评价模型。其具体运用流程图如下： + +![](images/2de73b702c0d37728ce8ab116d9be801d127a218a15660c8aeb96ab81a09ef7a.jpg) +图8：熵权-TOPSIS法流程图 + +确定权重后，将每家供应商按平均供货强度、完成率、订单率、风险结合各自权重计算得分，得分公式如下： + +$$ +\text {v a l u e} _ {j} = r _ {j 1} \omega_ {1} + r _ {j 2} \omega_ {2} + r _ {j 3} \omega_ {3} + r _ {j 4} \omega_ {4} \tag {5-2-5} +$$ + +其中 $value_{j}$ 表示第 $j$ 家供应商得分，得分越高，对应的供应商越重要。 + +# 5.1.4熵权法-TOPSIS模型的求解与结果分析 + +# 1、确定权重 + +本文将4种指标作为评价标准对402家供应商进行重要性的评分，依据熵权法-TOPSIS模型利用matlab确定评价指标的权重，权重如表1所示： + +表 1: 确定评价指标的权重 + +
计算数值平均供货强度完成率订单率风险
熵值(cj)0.59990.94860.68290.9988
权重(wj)0.5197945240.0667560.4119360.001513
+ +# 2、得分排名： + +结合公式，得出最后得分，并依据得分选出前50家供应商如下表所示： + +表 2: 前 50 家供应商排名及对应得分 + +
排名12345678910
供应商IDS229S361S140S108S151S340S282S275S329S131
得分0.9990.9290.7190.7060.5920.5390.5340.5100.5050.464
排名11121314151617181920
供应商IDS308S330S139S356S268S306S194S352S143S348
得分0.4630.4620.4520.4490.4480.4410.3930.3710.3600.325
排名21222324252627282930
供应商IDS247S284S365S031S040S364S367S055S346S080
得分0.3210.3070.3020.3000.2910.2880.2860.2830.2830.280
排名31323334353637383940
供应商IDS294S218S244S266S007S123S395S307S201S374
得分0.2780.2760.2740.2700.2690.2690.2270.2220.2200.209
排名41424344454647484950
供应商IDS003S037S189S126S005S078S292S074S208S210
得分0.1860.1850.1800.1590.1430.1280.1280.1230.1190.115
+ +# 3、结果分析： + +![](images/6fd34530a12b3001f027302800ad2c2e8e7021b2a356bc3b9d5739a5b7a1f782.jpg) +图9：前50家供应商三种材料占比图 + +问题一402家供应商各指标数据及得分排名保存在附录中。由表2看出，前50家供应商得分相差较大，排名最高的两家S229、S361得分分别为0.999、0.929，与后面的供应商得分0.719明显断档。 + +由上图可知，前50家供应商供应的三种材料占比C>A>B，总体来说材料类型分布 + +均匀，供应需求得到满足。 + +# 5.2 问题二双层随机规划模型的建立与求解 + +# 5.2.1供应商选择模型 + +# 确定决策变量 + +由题意易知本问中的决策变量应为未来24周所选择的供应商，故引入0-1整数变量表示如下： + +$$ +x _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {第} i \text {周 从 第} j \text {个 供 应 商 采 购} \\ 0, & \text {否 则} \end{array} \right. \tag {5-3-1} +$$ + +# 确定优化目标 + +本问中需要选择尽可能少的供应商来满足生产的需求，故优化目标为最小化企业未来24周的不重复供应商个数，记I为供应商总数， $T_{j}$ 表示未来24周是否有第j家供应商，优化目标为： + +$$ +\min Z _ {1} = \sum_ {j = 1} ^ {I} T _ {j} +$$ + +$$ +T _ {j} = \left\{ \begin{array}{l} 1, \sum_ {i = 2 4 1} ^ {2 6 4} x _ {i j} > 0 \\ 0, \sum_ {i = 2 4 1} ^ {2 6 4} x _ {i j} = 0 \end{array} \right. +$$ + +# 确定约束条件 + +记第 $j$ 个供应商供应的材料类型为 $mat_{j}$ ，其第 $i$ 周最大稳定供货量为 $sta_{ij}$ 。 $c$ 表示 C 类单位原材料采购成本。该企业每周的产能为 $Q$ ，每立方米消耗 A、B、C 类材料分别记为 $use_{A}, use_{B}, use_{C}$ 。A、B、C 材料第 $i$ 周需求量分别记为 $R_{A,i}, R_{B,i}, R_{C,i}$ ，初始库存量为 $Q_{A}^{\prime}, Q_{B}^{\prime}, Q_{C}^{\prime}$ ，第 $i$ 周末库存量记为 $Q_{A,i}, Q_{B,i}, Q_{C,i}$ ，前 240 周期望值分别记为 $E(A), E(B), E(C)$ 。 + +（1）定义每周需求量为期望与库存波动值相加[2]，等式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} R _ {A, i} = E (A) + Q _ {A} ^ {\prime} - Q _ {A, i - 1} \\ R _ {B, i} = E (B) + Q _ {B} ^ {\prime} - Q _ {B, i - 1}, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \\ R _ {C, i} = E (C) + Q _ {C} ^ {\prime} - Q _ {C, i - 1} \end{array} \right. \tag {5-3-2} +$$ + +（2）假设初始库存量满足如下约束： + +$$ +\frac {Q _ {A} ^ {\prime}}{u s e _ {A}} + \frac {Q _ {B} ^ {\prime}}{u s e _ {B}} + \frac {Q _ {C} ^ {\prime}}{u s e _ {C}} = 2 Q \tag {5-3-3} +$$ + +（3）计算得到8家转运商损耗率均值记为 $\delta$ ，库存量为最大稳定供货量加上供货量减去消耗量，则有： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} Q _ {A, i} = Q _ {A, i - 1} + \sum_ {i} \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} s t a _ {i j} (1 - \delta) - R _ {A, i}, m a t _ {j} \in A, j = 1, 2 \dots , I \\ Q _ {B, i} = Q _ {B, i - 1} + \sum_ {i} \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} s t a _ {i j} (1 - \delta) - R _ {B, i}, m a t _ {j} \in B, j = 1, 2 \dots , I \\ Q _ {C, i} = Q _ {C, i - 1} + \sum_ {i} \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} s t a _ {i j} (1 - \delta) - R _ {C, i}, m a t _ {j} \in C, j = 1, 2 \dots , I \end{array} \right. \tag {5-3-4} +$$ + +记企业第 $l$ 周第 $j$ 家供货商订货量为 $d_{lj}$ ，供货量为 $g_{lj}$ ，记第 $A$ 个对应周序列中周数的集合 $AW = \{A, A + 24, \dots, A + 24 \times 9\}$ ，最大稳定供货量定义为： + +$$ +\begin{array}{l} s t a _ {i j} = \max \left\{g _ {l j} \right\}, \frac {g _ {l j}}{d _ {l j}} > 0. 9, i, l \in A W, l < i \\ d _ {l j} = \left\{ \begin{array}{l l} d _ {l j}, \text {第} l \text {周 第} j \text {家 订 货 量 不 为} 0 \\ \infty , \text {否 则} \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +（4）任一周的库存量保持多于两周生产的原材料量； + +$$ +\frac {Q _ {A , i}}{u s e _ {A}} + \frac {Q _ {B , i}}{u s e _ {B}} + \frac {Q _ {C , i}}{u s e _ {C}} \geq 2 Q, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \tag {5-3-5} +$$ + +（5）任一周的库存量为自然数： + +$$ +Q _ {A, i}, Q _ {B, i}, Q _ {C, i} \in N, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \tag {5-3-6} +$$ + +综上，供应商选择模型为： + +$$ +\begin{array}{r l} & {\min Z _ {1} = \sum_ {j = 1} ^ {l} T _ {j}} \\ & s. t. \left\{ \begin{array}{l l} {T _ {j} = \left\{ \begin{array}{l l} {1, \sum_ {i = 2 4 1} ^ {2 6 4} x _ {i j} > 0} \\ {0, \sum_ {i = 2 4 1} ^ {2 6 4} x _ {i j} = 0} \end{array} \right.} \\ & {\text {式 (5 - 3 - 2 , 3 … 6)}} \\ & {s t a _ {i j} = \max \left\{g _ {l j} \right\}, \frac {g _ {l j}}{d _ {l j}} > 0. 9, l \in A W, \frac {i}{A} \in N ^ {*}} \\ & {d _ {l j} = \left\{d _ {l j}, \text {第} l \text {周 第} j \text {家 订 货 量 不 为} 0 \right.} \\ & {\infty , \text {否 则}} \end{array} +$$ + +# 5.2.2 订购方案与转运方案 + +# 确定决策变量 + +本问需规划成本最小的订购模型与损耗最少的转运方案，故决策变量应为所选择的供应商的供货量，以及所选择的转运商与转运的原材料： + +$$ +\left\{Y _ {i j}, u _ {i k} ^ {A}, u _ {i k} ^ {B}, u _ {i k} ^ {C}, t r a _ {i, j, k} \right\} +$$ + +# 确定优化目标 + +由题意，首先应确定最经济的原材料订购方案，其次再依据订购方案制定损耗最少 + +的转运方案，故可以用双层规划来对优化目标进行刻画。记随机变量 $Y_{ij}$ 表示第 $i$ 周第 $j$ 个供应商的供货量。 + +下层规划的优化目标为最小化每周原材料订购成本： + +$$ +\min \sum_ {i} \left(y _ {A, i} + y _ {B, i} + y _ {C, i}\right) +$$ + +A、B、C类采购成本分别定义为 $y_{A,i}, y_{B,i}, y_{C,i}$ ，计算如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {A, i} = 1. 2 c \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} Y _ {i j}, m a t _ {j} \in A \\ y _ {B, i} = 1. 1 c \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} Y _ {i j}, m a t _ {j} \in B, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \\ y _ {C, i} = c \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} Y _ {i j}, m a t _ {j} \in C \end{array} \right. \tag {5-3-7} +$$ + +本文假设运输损耗等同于运输损耗材料转换为产能后的损耗，即运输损耗最小指的是运输损耗材料转换为产能后的损耗最小，故上层规划的优化目标为： + +$$ +\min Z _ {2} = \frac {\text {r e s t} _ {A , I}}{\text {u s e} _ {A}} + \frac {\text {r e s t} _ {B , I}}{\text {u s e} _ {B}} + \frac {\text {r e s t} _ {C , I}}{\text {u s e} _ {C}} \tag {5-3-8} +$$ + +记随机变量 $U_{ik}$ 为第 $i$ 周第 $k$ 个转运商的损耗率， $u_{ik}^{A}$ ， $u_{ik}^{B}$ ， $u_{ik}^{C}$ 分别表示第 $i$ 周第 $k$ 个转运商运输的 A、B、C 类型原材料量， $L$ 表示转运商总数。则第 $i$ 周运送后损失的 A、B、C 类原材料量分别为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} r e s t _ {A, i} = \sum_ {k = 1} ^ {L} u _ {i k} ^ {A} U _ {i k} \\ r e s t _ {B, i} = \sum_ {k = 1} ^ {L} u _ {i k} ^ {B} U _ {i k} \\ r e s t _ {C, i} = \sum_ {k = 1} ^ {L} u _ {i k} ^ {C} U _ {i k} \end{array} \right. \tag {5-3-9} +$$ + +# 随机变量解释 + +> 损耗率数据主要分为两类： + +（1）周期型：即损耗率在24周的周期下呈现相似的分布。记第TY个周期中第l周时第k个转运商的周期型损耗率函数为 $h(cycle_{l,k}^{TY})$ +（2）无规律型：即损耗率没有固定规律。记第i周第k个转运商的无规律型损耗率函数为 $h\left(\text{non}_{i,k}\right)$ 。前240周转运均值记为 $E(\text{non})$ 。 + +记第 $k$ 家转运商扰动白噪声序列为 $\beta_{k}$ ，则随机变量为： + +$$ +U _ {i, k} = \left\{ \begin{array}{l} h \left(c y c l e _ {i, k} ^ {T Y}\right) + \beta_ {k}, l \in A W, \frac {i}{A} \in N ^ {*} \\ E (n o n) \end{array} \right. \tag {5-3-10} +$$ + +对于供货商供货数据主要分为以下三种情况： + +（1）周期型供货：即前240周供货情况在以24周为周期的情况下具有相似性，记第TY 周期中第l周时第j家供货商具有周期性的供货量函数为 $f(cyc_{i,j}^{T\gamma})$ +（2）泊松分布型供货：即前240周供货情况服从泊松分布，则记第i周第j家供货商具有泊松分布型供货函数为 $f(poi_{i,j})$ + +(3) 突变型供货: 即前 240 周中某几周具有大供货量, 其它周下供货较为平稳。对于此类型供货商, 本文考虑到突变情况发生较少且极不确定, 故只考虑平稳期数据, 记第 $i$ 周第 $j$ 家供货商具有突变型供货期望为 $f\left(\operatorname{cha}_{i,j}\right)$ 。 + +记扰动白噪声序列为 $\beta_{j}$ ，则可得到第i周第j家供货商供货量为 $Y_{ij}$ + +$$ +Y _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l} f \left(c y c _ {i, j} ^ {T Y}\right) + \beta_ {j}, \text {第} l \text {周 第} j \text {家 供 货 商 周 期 型 供 货 ，} l \in A W, \frac {i}{A} \in N ^ {*} \\ f \left(p o i _ {i, j}\right), \text {第} i \text {周 第} j \text {家 供 货 商 泊 松 分 布 型 供 货} \\ f \left(c h a _ {i, j}\right) + \beta_ {j}, \text {第} i \text {周 第} j \text {家 供 货 商 突 变 型 供 货} \end{array} \right. \tag {5-3-11} +$$ + +# 确定约束条件 + +记 $t r a_{i,j,k}$ 表示第 $i$ 周第 $k$ 家转运商是否运送第 $j$ 家供应商的原材料，则： + +$$ +t r a _ {i, j, k} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {第} i \text {周 第} k \text {家 转 运 商 运 送 第} j \text {家 供 应 商 的 原 材 料} \\ 0, & \text {否 则} \end{array} \right. +$$ + +上层规划的约束条件为： + +（1）对于转运的原材料量有变量为正整数约束： + +$$ +u _ {i k} ^ {A}, u _ {i k} ^ {B}, u _ {i k} ^ {C} \geq 0, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, k = 1, 2 \dots , L \tag {5-3-12} +$$ + +（2）对于每一家转运商有每周运输量不超过6000立方米/周的约束，即： + +$$ +u _ {i k} ^ {A} + u _ {i k} ^ {B} + u _ {i k} ^ {C} \leq 6 0 0 0, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, k = 1, 2 \dots , L \tag {5-3-13} +$$ + +（3）一家供应商每周供应的原材料尽量由一家转运商运输，需要明确的是，如果本文所选的供应商的供货量大于6000立方米/周，那么一家转运商是不够的。所以约束条件书写如下： + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {L} x _ {i j} t r a _ {i, j, k} = \left[ \frac {Y _ {i j}}{6 0 0 0} \right] _ {\text {取 整 数}} + 1, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, j = 1, 2 \dots , I (5 - 3 - 1 4) +$$ + +（4）每家转运商每周运输商品数量需满足如下公式： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} u _ {i k} ^ {A} = \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} t r a _ {i, j, k} Y _ {i j}, m a t _ {j} \in A \\ u _ {i k} ^ {B} = \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} t r a _ {i, j, k} Y _ {i j}, m a t _ {j} \in B, k = 1, 2, \dots , L, i = 2 4 1, 2 4 2, \dots , 2 6 4 (5 - 3 - 1 5) \\ u _ {i k} ^ {C} = \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} t r a _ {i, j, k} Y _ {i j}, m a t _ {j} \in C \end{array} \right. +$$ + +下层规划的约束条件为： + +（1）不妨给服从泊松分布的供应商假定一个置信水平 $\alpha_{j}$ ，设其供货量均值为 $\lambda_{j}$ 则应满足： + +$$ +\sum_ {k = 0} ^ {f (p o i _ {l, j})} \frac {\left(\lambda_ {j}\right) ^ {k}}{k !} e ^ {- \lambda} \geq \alpha_ {j} \tag {5-3-16} +$$ + +综上，双层随机规划模型为： + +$$ +\min Z _ {2} = \frac {\text {r e s t} _ {A , i}}{\text {u s e} _ {A}} + \frac {\text {r e s t} _ {B , i}}{\text {u s e} _ {B}} + \frac {\text {r e s t} _ {C , i}}{\text {u s e} _ {C}} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \min \sum_ {i} \left(y _ {A, i} + y _ {B, i} + y _ {C, i}\right) \\ s. t. \text {式} (5 - 3 - 1 1) \text {、 式} (5 - 3 - 7) \text {、 式} (5 - 3 - 1 6) \\ \text {式} (5 - 3 - 9) \text {、 式} (5 - 3 - 1 2, 1 3 \dots 1 5) \end{array} \right. +$$ + +# 5.3.3 问题二双层随机规划模型的求解 + +# 基于动态权重的离散化贪心和动态规划算法 + +在数据预处理中已经将240周均分为10个周期，本文针对供货商i在周期内第j周的供货情况，利用10个相同供货商与周期内相同对应周的数据，分析出此供货商在此周能够提供的供货量的期望值，且期望此值尽量大。 + +本文设定了两个规则： + +（1）供货量在订货量中的占比应在90%以上，即供货相对稳定； +（2）此供货量应在同供货商与周期内同对应周的数据平均值的三倍以内，即排除不稳定性太大的数据，如供货商S151的第84周的供货数据21267； + +在以上两个规则都满足的情况下，选择尽可能大的实际供货量作为本文使用的期望供货量。 + +本文为确定供货商，使用动态权重的离散化贪心和动态规划的算法进行求解。 + +# 1、动态权重的贪心算法： + +初始各周权重相同，但是规划确定了一个供货商后，供货商供货将存在一定规律，如第1周供货较多但第3周供货较少，若全局只使用一种贪心策略，可能会导致总体情况良好但是某一周存在极度缺少供货的情况。因此在每次贪心确定对策略帮助最大的供货商后会根据上一个状态提供材料距离期望产能的差，重新设置下一个状态每周的贪心运算权重。 + +由于转运过程会存在损耗，期望产能需要在原先产能的基础上再增加可能损耗的产能。由于附件2损耗率大小相差较大且无规则排列，本文将附件2的8家转运商240周损耗率为0和数值突变的损耗率剔除后取损耗率均值，再纵向取损耗率均值为1.374294%，将原先产能除以该均值得出一个期望产能28488。则设C=28488为期望产能，权重更新如下： + +$$ +\begin{array}{l} S U M c h a = \sum_ {i = 2 4 1} ^ {2 6 4} \max (C - G H _ {i}, 0) \\ Z _ {i} = \frac {\max (C - G H _ {i} , 0)}{S U M c h a} \\ \end{array} +$$ + +# 2、动态规划算法： + +全部使用这种动态权重的贪心策略，也难以保证选取的供应商会是最优的选择，因此本文额外设计了一种动态规划算法在贪心策略之外进行规划，具体为： + +$$ +D P [ i ] = \max (D P [ i ], T (x, Z) + T (i - x, Z ^ {\prime})) +$$ + +其中DP[i]表示总供货商数量为i时，此时的最优策略，T为贪心规划过程，x和(i-x)表 + +示在此次贪心中共在其中规划了多少个供货商，保证两次贪心规划的供货商不重复，Z为初始权重， $Z^{\prime}$ 为经过前一部分贪心规划后更新的每周权重值。 + +供货存在明显的周期性且存在旺季与淡季，因此必然存在某周难以订购齐本周需要材料的情况，经过数据分析，发现第7周和第8周属于连续的供货淡季，因此本文在目标函数中设计了向前观察2周并进行提前准备材料的算法来避免此部分会出现的问题。 + +动态权重的贪心和动态规划具体算法步骤如下： + +Step1: 数据初始化，读入期望供货数据，更新可供选择的重要商家； + +Step2：在权重不变的情况下，进行第一轮运算，记录总供货商数量为i时的最优目标函数和对应规划商家； + +Step3: 在权重动态的情况下，进行贪心决策和动态规划，更新最优答案； + +Step4: 输出所有总供货商数量情况下的答案，找到目标函数最早变为0时对应的供货商情况，作为至少选择多少家供应商供应原材料才可能满足生产的需求的答案，并在后续求解中使用。 + +# 3、离散化贪心规划算法： + +确定供货商后需要规划这些供货商的每周供货量，本文使用离散化贪心规划的方法。首先根据供应商的每周期望供货量，产生离散化数据，具体以其制作成成品的单位成本、对应供货商、对应周和供应产品类别作为一个数据结构单位。对所有单位体积的产品都进行此离散化处理，以便于后续的排序与选择。 + +此材料制作单位产品的成本价为（单位材料成本价+单位材料储存价）/此单位体积提供稳定性）/单位材料制造成品量。 + +在算法中将保留一定量的前几周可订购但未被订购的材料的数据到后几周的规划中，用于补充供货淡季时的供货空缺。 + +离散化贪心规划具体算法步骤为： + +Step1: 数据初始化，读入期望供货数据，更新此时可供选择的商家； + +Step2：对本周将材料以1立方米为单位离散化，假设该企业第一周原始期望从供应商获得的材料量为40000立方米，考虑供货稳定性并增加数据处理量至44000立方米材料，比原先增加了 $110\%$ ，此后等比例处理供应商供货，对于多于期望值的材料，将会存在供货稳定的成本，记录此周的成本、供应商； + +Step3：选择前几周可购买但未被规划购买材料的数据，保留前 $28200 \times 2$ 个离散化数据，进行成本更新，即加上存储成本； + +Step4:将Step2与Step3结果合并比较并排序，在保证选择的材料能够达成当周产能的前提下，对材料进行最优成本选择。在选择完毕后剔除被选择购买的数据，形成新的可购买但未被规划购买材料的数据； + +Step5: 重复 Step2、Step3、Step4，直至 24 周。 + +# 4、0-1背包规划运输算法： + +对材料种类进行分析, 每单位价值 $A > B > C$ , 因此希望 A 尽量由更可靠的转运商转运。对转运商进行分析发现转运商可靠度满足: $T3 > T6 > T2 > T8 > T4 > T1 > T7 > T5$ + +首先本文根据转运商可靠度由好到坏规划，将单位材料成本由高到低规划，设定了一个初始的转运分配值，即材料X应被转运商Y运输多少，再在此基础上使用0-1背包的动态规划进行求解。 + +$P(i)$ 为第 $i$ 组材料占用空间， $V(i)$ 为第 $i$ 组材料价值。状态转移方程为： + +$$ +\operatorname {N o w} D P (j) = \max \left(\operatorname {N o w} D P (j), D P (j - P (i)) + V (i)\right) +$$ + +具体算法流程如下： + +Step1: 分析材料价值和转运商可靠的, 初始化规划顺序 + +Step2: 根据确定的规划顺序，确定初始的转运分配值矩阵，贪心处理转运总量大于6000的材料，具体为根据转运分配值分割，尽可能排满部分的转运分配值，再将转运分配值更新 + +Step3: 选择规划的转运商，应优先规划可靠的转运商 + +Step4: 选择规划的材料类型，应优先规划单位价格高的材料，更新转运分配值，具体为此转运商盈余的转运能力增加到被更新的转运分配值上。根据此时转运分配值进行0-1背包求解，求解完毕后更新已被规划材料防止此材料再次被规划。 + +Step5: 若当前转运商全部转运量规划完毕且仍有待规划材料则返回 Step3 规划下一个转运商，若材料类型未规划完毕则返回 Step4 规划下一种材料。若完全规划完毕则进入 Step6 + +Step6: 贪心处理未能成功规划材料, 具体未找到最可靠且能够排进去的转运商 + +Step7: 若未完成所有周的转运规划则返回 Step2 对下一周进行转运规划，否则进入 Step8 + +Step8: 输出具体数据至表格 + +# - 问题二订购和转运方案的实施效果分析 + +根据上述算法，用python求解得出至少选择27家供应商供应原材料才可能满足生产的需求，列表如下： + +表 3: 27 家满足生产需求供应商 + +
序号123456789
供应商IDS229S361S140S330S108S308S282S340S329
序号101112131415161718
供应商IDS275S356S139S143S131S151S395S352S306
序号192021222324252627
供应商IDS268S307S194S37S284S348S247S31S365
+ +具体订购和转运方案见附件A、B。 + +# 1、原材料订购方案： + +根据附件A中的答案，本文将每周A、B、C的订货量进行统计，假设C的采购单价为1，则A、B的采购单价分别为1.2、1.1，得出未来24周采购成本如下图所示： + +![](images/2b28bb4ac889634ffd84458c7db658b70a8c9a31d13f0e3ecb20d0a43d991aec.jpg) +图10：问题二未来24周采购成本分布图 + +由上图可知，在最经济订购方案情况下未来24周采购成本均值为20554.5，由于数据预处理中已经观察出供应量存在淡季和旺季的情况，因此采购成本也随着淡旺季会发生较大的起伏，图中的第3、6周即处于旺季，而紧跟其后的一周均为淡季，因此旺季周可称为补货时机，在旺季期间采购较多材料，在淡季如第4、7周时就可以向其补货。除第3、4、6、7、8周外，大多数周的采购成本在均值附近，占比 $79.2\%$ ，说明订购方案安排较稳定，则模型及相应算法具有实际可行性。 + +考虑将A、B、C三类材料采购单价和每立方米消耗量分别相乘，得出A、C生产成本相同且小于B，因此实际材料选择优先级为 $\mathrm{A = C > B}$ + +![](images/c4b12e518142d98c30c27e020882101013cfe3e062f004ea6bca07872a47b165.jpg) +图11：24周满足优先级占比 + +由上图可知，有19周满足 $A = C > B$ 的优先级，符合最经济订购方案的条件，占比 $79\%$ ，但由于A、B、C的实际供货量不一，因此也会存在不满足优先级的情况。 + +将附件1已知的240家供货量与未来24周的供货量分别计算均值产能和均值采购成本如下表所示： + +表 4: 未来 24 周与已知量各指标均值 + +
指标240周均值未来24周均值
采购成本20168.6816720554.5125
产能27933.2141228488.53641
比值0.7220322580.721501175
+ +由上表可以看出，已知的240周采购成本的均值虽然略低于预测的24周均值，但由于其每周均值产能未达到28200立方米即未达到企业每周的产能，本文取采购成本与产能的比值即平均采购成本作为判断标准，由于 $0.722032258 > 0.721501175$ 则未来24周的平均采购成本小于已知量，说明本文预测的未来24周订货方案符合最经济的要求。 + +# 2、转运方案： + +转运方案的实施效果可由所选择转运商的损耗率来刻画。在前240周已知转运损耗率的情况下，本文可得到每周企业转运方案的最佳决策，而在现实情况中即未知转运商的损耗率的情况下，预测值往往会高于最佳决策。故本文以预测值比上最佳决策的比值作为效果好坏依据，比值表如下： + +表 5: 问题二比值表 + +
周期 比值1 1.7082 1.4823 0.9894 0.9435 1.152
周期 比值6 0.9147 1.3358 1.2349 1.77110 1.255
+ +由上表可知，预测值在最佳决策的0.9~1.8倍范围内波动，平均为最佳决策的1.278倍。在未知损耗率的情况下，可认为本文的转运方案效果已十分优秀。 + +综上所述，问题二制定的订购方案和转运方案在实施效果上已十分优秀。 + +# 5.4 问题三带有偏差变量的随机规划模型的建立与求解 + +# 5.4.1确定决策变量 + +由题意易知本问中决策变量为上一问的所有决策变量： + +$$ +\left\{x _ {i j}, Y _ {i j}, u _ {i k} ^ {A}, u _ {i k} ^ {B}, u _ {i k} ^ {C}, t r a _ {i, j, k} \right\} +$$ + +# 5.4.2确定优化目标 + +本问中需要规划尽量多地采购A类和尽量少地采购C类原材料，同时希望转运商的转运损耗率尽量少，故优化目标为： + +$$ +\min Z _ {3} = w e i _ {1} \frac {d _ {A , i} ^ {-}}{d _ {C , i} ^ {-}} + w e i _ {2} d _ {t r a n, i} ^ {+} + w e i _ {3} d _ {c h u, i} ^ {+} +$$ + +# 5.4.3确定约束条件 + +(1) 对于 A、B、C 类原材料, 其满足如下约束: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} Y _ {i j} + d _ {A, i} ^ {-} = Q \times u s e _ {A}, m a t _ {j} \in A \\ \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} Y _ {i j} + d _ {B, i} ^ {-} = Q \times u s e _ {B}, m a t _ {j} \in B, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \\ \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} Y _ {i j} + d _ {C, i} ^ {-} = Q \times u s e _ {C}, m a t _ {j} \in C \end{array} \right. \tag {5-4-1} +$$ + +（2）每周的所选择转运商转运损耗率之和满足： + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {L} \sum_ {j = 1} ^ {I} \operatorname {t r a n} _ {i, j, k} U _ {i, k} - d _ {\operatorname {t r a n}, i} ^ {+} = 0, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \tag {5-4-2} +$$ + +(3)此时考虑随机变量损耗率，记 $Q_{A,i}^{\prime}, Q_{B,i}^{\prime}, Q_{C,i}^{\prime}$ 分别为 A、B、C 类型第 i 周末库存量，relA,i、relB,i、relC,i 为运输后剩余木材量，则有 [6]： + +$$ +\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} Q _ {A, i} ^ {\prime} = Q _ {A, i - 1} ^ {\prime} + \sum_ {i} \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} r e l _ {A, i} - R _ {A, i}, m a t _ {j} \in A, j = 1, 2 \dots , I \\ Q _ {B, i} ^ {\prime} = Q _ {B, i - 1} ^ {\prime} + \sum_ {i} \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} r e l _ {B, i} - R _ {B, i}, m a t _ {j} \in B, j = 1, 2 \dots , I \\ Q _ {C, i} ^ {\prime} = Q _ {C, i - 1} ^ {\prime} + \sum_ {i} \sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} r e l _ {C, i} - R _ {C, i}, m a t _ {j} \in C, j = 1, 2 \dots , I \end{array} \right. (5-4-3) \\ \left\{ \begin{array}{l} r e l _ {A, i} = \sum_ {k = 1} ^ {L} u _ {i k} ^ {A} (1 - U _ {i k}) \\ r e l _ {B, i} = \sum_ {k = 1} ^ {L} u _ {i k} ^ {B} (1 - U _ {i k}) \\ r e l _ {C, i} = \sum_ {k = 1} ^ {L} u _ {i k} ^ {C} (1 - U _ {i k}) \end{array} \right. (5-4-4) \\ \end{array} +$$ + +记 $c_{\text{tran}}$ 为单位转运与仓储成本，则转运与仓储成本为： + +$$ +c _ {t r a n} \left(\sum_ {j = 1} ^ {I} x _ {i j} Y _ {i j} + Q _ {A, i} ^ {\prime} + Q _ {B, i} ^ {\prime} + Q _ {C, i} ^ {\prime}\right) - d _ {c h u, i} ^ {+} = 0 \tag {5-4-5} +$$ + +则需求量为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} R _ {A, i} = E (A) + Q _ {A} ^ {\prime} - Q _ {A, i - 1} ^ {\prime} \\ R _ {B, i} = E (B) + Q _ {B} ^ {\prime} - Q _ {B, i - 1} ^ {\prime}, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \\ R _ {C, i} = E (C) + Q _ {C} ^ {\prime} - Q _ {C, i - 1} ^ {\prime} \end{array} \right. \tag {5-4-6} +$$ + +（4）任一周的库存量保持多于两周生产的原材料量； + +$$ +\frac {Q _ {A , i} ^ {\prime}}{u s e _ {A}} + \frac {Q _ {B , i} ^ {\prime}}{u s e _ {B}} + \frac {Q _ {C , i} ^ {\prime}}{u s e _ {C}} \geq 2 Q, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \tag {5-4-7} +$$ + +（5）任一周的库存量为自然数： + +$$ +Q _ {A, i} ^ {\prime}, Q _ {B, i} ^ {\prime}, Q _ {C, i} ^ {\prime} \in N, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \tag {5-4-8} +$$ + +（6）对于转运的原材料量同样有： + +$$ +u _ {i k} ^ {A}, u _ {i k} ^ {B}, u _ {i k} ^ {C} \geq 0, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, k = 1, 2 \dots , L +$$ + +（7）对于每一家转运商有每周运输量不超过6000立方米/周的约束，即 + +$$ +u _ {i k} ^ {A} + u _ {i k} ^ {B} + u _ {i k} ^ {C} \leq 6 0 0 0, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, k = 1, 2 \dots , L +$$ + +（8）一家供应商每周供应的原材料尽量由一家转运商运输，需要明确的是，如果本文所选的供应商的供货量大于6000立方米/周，那么一家转运商是不够的。所以约束条件书写如下： + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {L} x _ {i j} t r a _ {i, j, k} = \left[ \frac {Y _ {i j}}{6 0 0 0} \right] _ {\text {取 整 数}} + 1, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, j = 1, 2 \dots , I +$$ + +（9）每周的正负偏差量应为正整数，即 + +$$ +d _ {A, i} ^ {-}, d _ {B, i} ^ {-}, d _ {C, i} ^ {-}, d _ {\text {t r a n}, i} ^ {+} \geq 0, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \tag {5-4-9} +$$ + +综上，问题三带有偏差变量的随机规划模型为： + +$$ +\min Z _ {3} = w e i _ {1} \frac {d _ {A , i} ^ {-}}{d _ {C , i} ^ {-}} + w e i _ {2} d _ {t r a n, i} ^ {+} + w e i _ {3} d _ {c h u, i} ^ {+} +$$ + +$$ +s. t. \text {式} (5 - 3 - 1 0, 1 1, \dots , 1 4) \text {、 式} (5 - 4 - 3, 4 \dots , 9) +$$ + +# 5.4.4问题三带有偏差变量的随机规划模型的求解 + +基于问题二的基于动态权重的离散化贪心和动态规划解决转运问题的算法，修改了供应商选择范围和目标函数，用python求解得出具体订购和转运方案见附件A、B。 + +# - 问题三订购方案的实施效果分析 + +根据附件A中的答案，由于问题三需要尽可能多地采购A而尽可能少的采购C，将已知的240周分为24个周期，平均每10周为一个周期，以已知的24个周期的A、C的订货量为基准，对比如下图所示： + +![](images/0325966279898a5728d6f881d55e359f2aec1153cda002958d4a0d5acf73ecb1.jpg) +图12：已知量与未来24周A类订货量对比图 + +![](images/282a4a86288c87ed394e4ae039503cfd73f59f7a9c0da4ae084231f4847b6b3d.jpg) +图13：已知量与未来24周C类订货量对比图 + +A、B、C平均总量占比分别为 $43\% > 36\% > 20\%$ ，服从 $\mathrm{A} > \mathrm{B} > \mathrm{C}$ 的优先级。由于数据预处理中观察到已知供货量存在突变性，由图12与图13可知，已知的个别周期A类供货量会大于未知对应周的A类供货量；同理，已知的个别周期C类供货量会大于未知对应周的C类供货量。由于这部分的周数较少，因此本文将其定义为具有突变性的数 + +据。除个别周期外，未来24周中大多数周的A类订货量均大于已知对应周期的订货量，而C类订货量均小于已知对应周期的订货量，从而反映出问题三求解满足尽量多采购A类和尽量少采购C类的条件，说明模型及相应算法下压缩生产成本的可行性。 + +综上，问题三订购方案基本达到减少转运及仓储成本以至于压缩生产成本的目的，实施效果良好且具有稳定性。 + +# - 问题三转运方案的实施效果分析 + +与第二问判断转运方案效果的操作一致，本文以预测值比上最佳决策的比值作为效果好坏依据，比值表如下： + +表 6: 问题三比值表 + +
周期 比值1 1.7002 1.4753 0.9844 0.9385 1.146
周期 比值6 0.9097 1.3288 1.2289 1.76210 1.249
+ +由上表可知，预测值在最佳决策的0.9~1.8倍范围内波动，平均为最佳决策的1.272倍。在未知损耗率的情况下，认为本文的结果在可接受范围内，且转运方案实施效果好。 + +# 5.5 问题四随机整数规划模型的建立与求解 + +# 5.5.1 确定决策变量 + +本问中决策变量应为第i周的产能量 $Q_{i}$ ， $i = 241,242\dots ,264$ + +# 5.5.2确定优化目标 + +企业生产中如果每周的产能差异大，这对于企业做出需求量决策是不利的，且会影响到生产的稳定性，故本文以最大化未来24周的产能提高率均值为目标： + +$$ +\max Z _ {4} = \frac {1}{2 4} \sum_ {i = 2 4 1} ^ {2 6 4} \frac {Q _ {i} - Q}{Q} +$$ + +# 5.5.3确定约束条件 + +（1）对于转运的原材料量有： + +$$ +u _ {i k} ^ {A}, u _ {i k} ^ {B}, u _ {i k} ^ {C} \geq 0, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, k = 1, 2 \dots , L +$$ + +（2）对于每一家转运商有每周运输量不超过6000立方米/周的约束，即 + +$$ +u _ {i k} ^ {A} + u _ {i k} ^ {B} + u _ {i k} ^ {C} \leq 6 0 0 0, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, k = 1, 2 \dots , L +$$ + +（3）一家供应商每周供应的原材料尽量由一家转运商运输，需要明确的是，如果本文所选的供应商的供货量大于6000立方米/周，那么一家转运商是不够的。所以约束条件书写如下： + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {L} x _ {i j} t r a _ {i, j, k} = \left[ \frac {Y _ {i j}}{6 0 0 0} \right] _ {\text {取 整 数}} + 1, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4, j = 1, 2 \dots , I +$$ + +（4）任一周的库存量保持多于两周生产的原材料量： + +$$ +\frac {Q _ {A , i} ^ {\prime}}{u s e _ {A}} + \frac {Q _ {B , i} ^ {\prime}}{u s e _ {B}} + \frac {Q _ {C , i} ^ {\prime}}{u s e _ {C}} \geq 2 Q _ {i}, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 \tag {5-5-1} +$$ + +（5）任一周的库存量为自然数： + +$$ +Q _ {A, i} ^ {\prime}, Q _ {B, i} ^ {\prime}, Q _ {C, i} ^ {\prime} \in N, i = 2 4 1, 2 4 2 \dots , 2 6 4 +$$ + +综上，问题四随机整数规划模型为： + +$$ +\max Z _ {4} = \frac {1}{2 4} \sum_ {i = 2 4 1} ^ {2 6 4} \frac {Q _ {i} - Q}{Q} +$$ + +s.t.式(5-3-10,11…,16)、式(5-4-3,4,6,7,8)、式（5-5-1） + +# 5.5.4问题四随机整数规划模型的求解 + +# - 二分答案算法 + +本问需要确定产能可以提高的量，对于是否能够提高，本文规定以下规则： + +（1）每周都能达成此产量； +（2）对于供货量，应满足最多提前两周准备，可以保证所有周的材料经过一定规划能够达成此供货量。 + +由此确定目标函数为： + +$$ +\begin{array}{l} \max \left(\min \left(C _ {\text {n o w}}\right)\right) \\ \operatorname {s t. j u d} = \sum_ {i = 2 4 1} ^ {2 6 4} \max \left(C _ {\text {n o w}} - C L _ {-} \text {s h i f t} 2 _ {i}, 0\right) = 0 \\ \end{array} +$$ + +其中 $C_{now}$ 代表此时的产能，规定为整数，此产能应尽可能大， $CL\_shift2_i$ 代表第 $i$ 周经过提前两周准备材料的规划后，此时的材料能够制造成品的量。 + +本文使用二分答案算法进行求解，具体算法流程如下： + +Step1: 初始化答案区间，即设定I和r; + +Step2: 令 $\mathrm{mid} = (1 + r)$ div 2，使 mid 为此时的产能计算 $jud$ + +Step3: 判断此时 $\text{jud}$ 是否为 0, 为 0 则表示此时的 mid 是符合规则的解, 令 $\mathrm{l} = \mathrm{{mid}}$ 再尝试寻找更大解; 若不为 0 则表示此时产能过大, 存在某一周完成不了此产能的情况, 令 $\mathrm{r} = \mathrm{{mid}}$ 再尝试寻找较小的符合规则的解 + +Step4: 若 $1 + 1 < r$ 则表示未二分完毕，重新回到 Step2 进行求解，否则输出此时最大产能解。 + +# - 问题四产能提高分析 + +根据上述算法，用python求解得出该企业每周可以提高产能到31781立方米，通过第二问的基于动态权重的离散化贪心和动态规划解决转运问题的算法进行求解，具体订购和转运方案见附件A、B。 + +未来24周产能提高率分析： + +表 7: 产能提高率 + +
周数第241周第242周第243周第244周第245周第246周第247周第248周
产能提高率0.12700.12700.14430.10970.12700.4895-0.0791-0.0295
周数第249周第250周第251周第252周第253周第254周第255周第256周
产能提高率0.12700.12700.12700.12700.12700.12700.12700.1270
周数第257周第258周第259周第260周第261周第262周第263周第264周
产能提高率0.12700.12700.12700.12700.12710.12920.13940.1125
+ +周期中的7、8周为淡季，故产能提高率为负数。除了第6、7、8周产能提高率波动较大，其他时刻产能提高率较为平稳，整体产能提高率的均值为 $12.7\%$ ，结果较优。 + +考虑转运损耗则期望最高产能为 $31781 \times (1 - 1.374294\%) = 31344m^3$ + +# 六、模型的评价与改进 + +# 灵敏度分析 + +设置参数lmdl和lmdr表示考虑前后周的界限，即对第i周，从 $\mathrm{i + lmdl}$ (非正数)考虑到 $\mathrm{i + lmdr}$ 周，判断这个范围内能够规划材料能否满足本周的产能。-3则为[-3,0]，2则为[0,2]。同时前后看k周则为[-k,k]。针对第四问设定不同规则，对答案进行计算，-3表示缺少若可在后三周内补充回来则此产能有效，2表示若提早两周准备材料可以补充此周的材料空缺则此产能有效。 + +![](images/69bc82c8d4461e6fd21be8f277ab86e684f5e42b32aa54d8c8b93e54b07e24f9.jpg) +图14：提前或延时补货产能偏差比例 + +此结果可以看出，由于存在明显的供货淡季和供货旺季，若只提前规划一周或只延后规划一周，那么产能甚至达不到一开始的标准。故本文选择提前两周进行规划是较为合理的。 + +若同时可以提早准备和延后补充，再次对答案进行计算，3表示若可在后三周内补充回来或者提早三周准备材料可以补充此周的材料空缺则此产能可行。 + +![](images/465a3b922f4a6a12d54c4199c35d8f3cf3c0518325457bb9a6c5988293d14e54.jpg) +图15：同时考虑提早与延时补货产能增加比例 + +由结果可见，前后看3周和只往前看3周结果相同，且大于只向后看三周的结果，由此可以判断提早准备对产能提高的效果更好。但比较同时前后看1周，和只向前或者向后看1周的结果，发现同时规划前后几周对产能提高存在更为明显的效果。 + +# 七、参考文献 + +[1]毛慧敏.基于熵权法TOPSIS模型的房地产企业财务风险评估[J].中国市场，2021，{4}（16）：156-159+171. +[2]吴鹏，吕有厂.随机需求下考虑半成品库存的多周期生产决策优化[J].运筹与管理,2014,23(02):49-54. +[3]陈俊霖，基于库存和备用供应商应对供货风险的策略研究[D].清华大学，2012. +[4]黄进红.供应链管理下基于供货不稳定的最优库存模型[J].物流技术,2008,27(12):107-108+119. +[5]王娜.基于分散化收益的供应商数量选择和订货量分配策略研究[D].东北大学,2008. +[6]王瑛，孙林岩.基于合作需求预测的多级库存优化模型[J].系统工程理论方法应用，2004(03)：208-213. + +# 八、附录 + +
附录1 Posit_Y.m、tosis.m、weight_shang.m 及答案
介绍：用熵权-TOPSIS法得出第一问各家供应商得分及前50名各指标分布情况
+ +```matlab +function [posit_y] = Posit_Y(y,type,i) +% 输入变量有三个： +% x: 需要将指标正向化处理对应的原始列向量 +% type: 指标的类型（0：极小型，1：中间型，2：区间型） +% i: 正在处理的是原始矩阵的列数 +% posit_y 表示：正向化后的列向量 +if type == 0 %此情况为极小型 +disp(['第' num2str(i)'列是极小型，正在正向化']) +posit_y = max(y) - y; % 此正向化函数不唯一 +disp(['第' num2str(i)'列极小型正向化处理完成']) +elseif type == 1 %此情况为中间型 +disp(['第' num2str(i)'列是中间型']) +best = input('请输入最佳的那一个值：'); +M = max(abs(y-best)); +posit_y = 1 - abs(y-best)/M; +disp(['第' num2str(i)'列中间型正向化处理完成']) +elseif type == 2 %此情况为区间型 +disp(['第' num2str(i)'列是区间型']) +a = input('请输入区间的下界：'); +b = input('请输入区间的上界：'); +r_x = size(y,1); %x的行数 +M = max([a-min(y),max(y)-b]); +posit_y = zeros(r_x,1); %初始化posit_x全为0 +for i = 1:r_x + if y(i) < a + posit_y(i) = 1-(a-y(i))/M; + elseif y(i) > b + posit_y(i) = 1-(y(i)-b)/M; + else + posit_y(i) = 1; + end +end +disp(['第' num2str(i)'列区间型正向化处理完成']) +else +disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值') +end +End +clear;clc%清空工作区 +tic,%计算运行时间 +load Y.mat%导入供应商指标 +%第二步：判断是否需要正向化 +[n_Y,m_Y] = size(Y); +``` + +```matlab +disp([共有'num2str(n_Y)'个评价对象,'num2str(m_Y)'个评价指标]); +Judgement = input([这'm_Y']个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1，不需要输入0:'); +if Judgement == 1 + Pos_Y = input('输入需要正向化处理的指标所在列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]:'); + disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）') + Type_Y = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：'); + % Position和Type是两个同维度的行向量 + for i = 1: size(Pos_Y,2) %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数 + Y(:,Pos_Y(i)) = Posit_Y(Y(:,Pos_Y(i)),Type_Y(i),Pos_Y(i)); + % Posit_Y是进行正向化 + %第一个参数是要正向化处理的那一列向量X(:,Position(i)) + %Type_Y:对应列的指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型） + %Pos_Y:原始矩阵中的位置 + %函数返回正向化之后的指标 + end + disp('正向化后的矩阵Y ='); + disp(Y); +end +%第三步：对正向化后的矩阵进行标准化 +Z = Y / repmat(sum(Y*Y).^0.5, n_Y, 1); +disp('标准化矩阵Z =') +disp(Z); +%判断是否需要增加权重 +Judgement = input('请输入是否需要增加权重，需要输入1，不需要输入0:'); +if Judgement == 1 + Judgement = input('使用熵权法确定权重请输入1，否则输入0:'); + if Judgement == 1 + if sum(sum(Z<0)) > 0 %如果之前标准化后的Z矩阵中存在负数，则重新对X进行标准化 + disp('原来标准化得到的Z矩阵中存在负数，所以需要对X重新标准化'); + for i = 1:n_Y + for j = 1:m_Y + Z(i,j) = [Y(i,j) - min(Y(:,j))] / [max(Y(:,j)) - min(Y(:,j))]; + end + end + disp('X重新进行标准化得到的标准化矩阵Z为：'); + disp(Z); + end + w = weight_shang(Z); +disp('熵权法确定的权重为：') +``` + +disp(w) else $\%$ 自己输入权重 disp(['对应输入每一列的权重]); w $=$ input('你需要输入'num2str(m_Y)'个权数。'请以行向量的形式输入这'num2str(m_Y)'个权重:]) end else w $=$ ones(1,m_Y)/m_Y;%默认相同权重 end + $\% \%$ 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分 D_P=sum([Z-repmat(max(Z),n_Y,1))^2]*repmat(w,n_Y,1),2)^0.5; $\% \mathrm{D}+$ 与最大值的距离向量 D_N=sum([Z-repmat(min(Z),n_Y,1))^2]*repmat(w,n_Y,1),2)^0.5; $\% \mathrm{D}-$ 与最小值的距离向量 S=D_N/(D_P+D_N); $\%$ 未归一化的得分 disp('最后的得分为：') stand_S=S/sum(S) [sorted_S,index] $=$ sort(stand_S,'descend') +function[W]=weight_shang(Z) + $\%$ 计算有 ${\bf n}$ 个样本， $\mathfrak{m}$ 个指标的样本所对应的的熵权 + $\%$ 其中 $Z = n^{*}m$ 的矩阵（要经过正向化和标准化处理，且元素中不存在负数） + $\% \%$ 计算熵权 $[\mathrm{n},\mathrm{m}] = \mathrm{size}(\mathrm{Z})$ ： D=zeros(1,m); $\%$ 初始化保存信息效用值的行向量 fori $= 1:\mathrm{m}$ forj $= 1:\mathrm{n}$ p(j,i)=Z(j,i)/sum(Z(:,i)); $\%$ 计算概率矩阵p的元素值 $\%$ 注意，p有可能为0，故分情况讨论（此时计算 $\ln (\mathsf{p})^{*}\mathsf{p}$ 时，Matlab会返回NaN) if(p(j,i)=0) e(j,i)=0; else e(j,i) $=$ -(p(j,i)*log(p(j,i))/log(n); end end e(i)=sum(e(:,i)); D(i)=1-e(i); $\%$ 计算信息效用值 end W=D./sum(D); $\%$ 将信息效用值归一化，得到权重 $1^{*}\mathrm{m}$ 的行向量 disp('熵值为：'); for i $= 1:\mathrm{m}$ disp(e(i)); end + +```c +end +else + w = ones(1, m_A) / m_A; %默认相同权重 +end + +
排名供应商ID材料分类平均供货强度完成率订单率风险得分
1S229A1478.69583467.5131670.99944926
30.98611223148
2S361C0.98388973401.9273250.92931089
13675155
3S140B1258.529160.627821900.166666664368.316130.71942205
71748
4S108B1003.958331222.851370.70567581
30.8876568137
5S151C810.4083330.729796251821.033100.59233310
35199
6S340B714.2750.99666279159.2537520.53886924
1166
7S282A705.5833331.004800300.99583333385.9719240.53374978
34343
8S275A660.63751.00254821115.2637810.50987362
4196
9S329A652.1583331.00107451119.0174700.50536095
32148
10S131B572.9666660.986590710.995833330.46380117
723145.5818467
11S308B570.8250.73544916544.280108
7110.46290653
12S330B569.3833330.78998728672.3497990.46241402
32166
13S139B632.7583330.854366850.616666662115.450590.45207379
36721
14S356C542.9458330.98261846353.4689650.44924541
36159
15S268C540.7751.0032155870.73759750.44817364
3169
16S306C525.41.00330999115.8177010.44062179
4166
17S194C422.3541660.9998520458.20419850.39261111
72183
18S352A370.96250.99698768144.2115150.37061096
2112
19S143A344.9458330.87540446274.5168800.36004001
32193
20S348A385.08750.553058180.32521189
27 40.68752625.09545
21S247C236.2416661.0124642833.13407000.3258899
761
22S284C194.1541661.023772380.99583333161.2368500.318545
733
1.0163818364.2434840.30169426
+ +介绍：处理附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx文件，生成ACB各自每周的订货和供货表格订货量.xlsx和供货量.xlsx + +附录2data.py +```python +import xlrd +import xlsxwriter +excel = xlrd.open_workbook("附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx", 'rb') +sheet = excel sheet_by_name('企业的订货量（m³）') +ID = [] +FL = [] +``` + +```txt +for r in rangesheet.nrows): ID.appendsheet.cell_value(r,0)) FL.appendsheet.cell_value(r,1)) AW=[] BW=[] CW=[] +``` + +```python +for c in range(2, sheet.ncols): + AN=0 + BN=0 + CN=0 + for r in range(1, sheet.nrows): + if FL[r] == 'A': + AN+=sheet.cell_value(r, c) + if FL[r] == 'B': + BN+=sheet.cell_value(r, c) + if FL[r] == 'C': + CN+=sheet.cell_value(r, c) + AW.append(AN) + BW.append(BN) + CW.append(CN) + workbook = xlxxwriter.Workbook('订货量.xlsx') # 建立文件 + worksheet = workbook.add_worksheet() # 建立 sheet，可以 work.add_worksheet('employee') 来指定 sheet 名，但中文名会报 UnicodeDecodeError 的错误 + worksheet.write(1, 0, "A") + worksheet.write(2, 0, "B") + worksheet.write(3, 0, "C") + for i in range(len(AW)): + worksheet.write(0, i+1, i+1) + worksheet.write(1, i+1, AW[i]) + worksheet.write(2, i+1, BW[i]) + worksheet.write(3, i+1, CW[i]) + workbook.close() +``` + +excel $=$ xlrd.open_workbook("附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx", 'rb') sheet $=$ excel sheet_by_name('供应商的供货量 $(\mathrm{m}^{3})$ ）' ID=[] FL=[] for r in rangesheet.nrows): ID.appendsheet.cell_value(r,0)) FL.appendsheet.cell_value(r,1)) AW=[] BW=[] CW=[] for c in range(2,sheet.ncols): AN=0 BN=0 CN=0 for r in range(1,sheet.nrows): if FL[r] $\coloneqq$ A': AN+=sheet.cell_value(r,c) if FL[r] $\coloneqq$ B': BN+=sheet.cell_value(r,c) if FL[r] $\coloneqq$ C': CN+=sheet.cell_value(r,c) AW.append(AN) BW.append(BN) CW.append(CN) workbook=xlsxwriter.Workbook('供货量.xlsx') #建立文件 worksheet $=$ workbook.addWorksheet() #建立sheet，可以work.add_worksheet('employee')来指定sheet名，但中文名会报UnicodeDecodeError的错误 worksheet.write(1,0,"A") worksheet.write(2,0,"B") worksheet.write(3,0,"C") for i in range(len(AW)): worksheet.write(0,i+1,i+1) worksheet.write(1,i+1,AW[i]) worksheet.write(2,i+1,BW[i]) worksheet.write(3,i+1,CW[i]) workbook.close() + +# 附录3weekcmp.py + +介绍：比较每周期内同一周供货情况，输入：附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx；获得期望供货量.xlsx + +```python +import xlrd +import xlsxwriter +import numpy as np +excel = xlrd.open Workbook("附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx", 'rb') +sheet = excel sheet_by_name('供应商的供货量（m³）') +ID = [] +FL = [] +DH = [] +GH = [] +for r in range(1, sheet.nrows): + ID.appendsheet.cell_value(r, 0)) + FL.appendsheet.cell_value(r, 1)) +for r in range(1, sheet.nrows): + val = [] + for c in range(2, sheet.ncols): + val.appendsheet.cell_value(r, c)) + GH.appendtuple(val)) +sheet = excel sheet_by_name('企业的订货量（m³）') +DH = [] +for r in range(1, sheet.nrows): + val = [] + for c in range(2, sheet.ncols): + val.appendsheet.cell_value(r, c)) + GH.appendtuple(val)) +GH_T = [] +for r in rangesheet.nrows-1): + S_GH = [] + S_DH = [] + for i in range(10):#10个周期 + val1 = [] + val2 = [] + for j in range(24):#一个周期24周 + k = i*24+j + #print(r) + val1.append(DH[r][k]) + val2.append(GH[r][k]) +``` + +S_DH.appendtuple(val1)) S_GH.append tuple(val2)) val $=$ [] for j in range(24): CMP1 $\equiv$ CMP2 $\equiv$ for i in range(10): k = i \* 24 + j CMP1.append(DH[r][k]) CMP2.append(GH[r][k]) AVE=np.mean(CMP2) GH_max=0 for i in range(10): if CMP1[i] $\equiv$ 0: continue if CMP2[i]/CMP1[i]>0.9 and CMP2[i]<=AVE\*3 and GH_max 0 and ObjL[z-1] < 0 : ObjL[z] -= ObjL[z-1] ObjL[z] = max(ObjL[z], 0)" for z in range(w-1, 1,-1): if ObjL[z]-C<0:#第一周 x=C-ObjL[z] if ObjL[z-1]-C>0: if x0: if x 0: if x < ObjL[z-1] - C: ObjL[z-1] -= x ObjL[z] += x +``` + +```python +else: y = ObjL[z - 1] - C ObjL[z - 1] -= y ObjL[z] += y for z in range(w): now Obj += max(C - ObjL[z], 0) #now Obj += (C - ObjL[z]) return now Obj if __name__ == "_main_: for i in range(n): DP[i] = 77777777 Sel1 = [] for i in range(1,50): Sel2 = T(1, Z, Sel1).copy() Sel3 = Sel1 + Sel2 Sel1 = Sel3.copy() #Z = get_new_Z(Sel1).copy() Seln.append(Sel1) S[i-1] = Sel1 DP[i-1] = GetObj(Sel1) #print(Sel1) #print(DP[50]) #93980.45454545454 for i in range(1,50): Sel1 = Seln[i - 1].copy() Z2 = get_new_Z(Sel1).copy() Sel2 = Sel1.copy() for r in range(50 - i): Sone = T(1, Z2, Sel2).copy() Scmp = Sel2 + Sone Sel2 = Scmp.copy() result = GetObj(Sel2) if DP[r+i] > result: S[r+i] = Sel2 DP[r+i] = result workbook = xlxswriter.Workbook('供应商规划结果.xlsx') #建立文件 worksheet = workbook.add_worksheet() #建立 sheet，可以 work.add_worksheet('employee')来指定 sheet 名，但中文名会报 UnicodeDecodeError 的错 +``` + +误 + +附录5 Solve_GHL_T2.py +```txt +for r in range(50): worksheet.write(r, 0, DP[r]) worksheet.write(r, 1, str(S[r])) workbook.close() +``` + +介绍：对确定的供货商贪心求解供货量分配的规划，输入：期望供货量.xlsx；输出表格：订单量规划结果.xlsx，T4同理，区别为供应商列表为全部供应商 + +import random +import numpy as np +import xlrd +import xlxxwriter +def takeCB(elem): return elem[0] +excel $=$ xlrd.open_workbook("期望供货量.xlsx", 'rb') sheet $=$ excel.sheet_by_name('Sheet1') +n=402 +w=24 +C=28488 +maxl=C\*2 +ID[] +FL[] +GHL[] +Seln[] +JIEGUO=np.zeros((n,w)) +for r in range(1,sheet.nrows): ID.appendsheet.cell_value(r,0)) FL.appendsheet.cell_value(r,1)) +for r in range(1,sheet.nrows): val[] for c in range(2,sheet.ncols): s=sheet.cell_value(r,c) val.append(s) GHL.append(tuple(val)) + +```python +def DOIT(PX): + nowTAG=0 +for L in PX: + i=L[2] + j=L[1] + nowTAG+=1/L[3] +JIEGUO[j][i]+=1#/L[3] +print(nowTAG) +``` + +if_name $= =$ "main": $\mathrm{PX} = []$ + +```json +namelist=[228,360,139,329,107,307,281,339,328,274,355,138,142,130, 150,394,351,305,267,306,193,36,283,347,246,30,364] +``` + +上面的数据来自表格供应商规划结果.xlsx里第一个变成0的行，为从0开始序号 + +```python +for i in range(w): + #WW=WL[i]/C + if len(PX)>maxl: + PX=PX[:maxl].copy() + for j in range(len(PX)): + PX[j][0]+=0.1#存储成本 + for j in namelist:#或者in namelist range(n)改成固定哪几家供应商 + now_GH=int(GHL[j][i]) + #now_GH=一定范围超出 + for k in range(now_GH): + val = [] + if FL[j] == 'A': + zh=0.6 + jug=1.2 + if FL[j] == 'B': + zh=0.66 + jug=1.1 + if FL[j] == 'C': + zh=0.72 + jug=1 + if k>GHL[j][i]: + wdd=0.001 + else: + wdd=1 +``` + +CB=(jg+0)/(1/zh) #单位产能对应成本 希望低 后续还需要存储成本 $+0.5^{*}\mathrm{lg}$ 和稳定率成本 $/g(k,GHL[j][i])$ CB=CB/wdd PX.append([CB,j,i,zh]) PX.sort(key=takeCB) tag=0 k=0 while tag=w[i-1] and res[i][j]res[i-1][j]: + x[i-1]=True + j-=w[i-1] +``` + +```python +for i in range(n): + if x[i]: + print(ID[int(r[i]),':',end=]) + us.append(int(r[i])) + YS[int(r[i])[cc-1)*8+k] += w[i] + print(""); +return us +excel = xlrd.open_workbook("订单量规划结果.xlsx", 'rb') +sheet = excel sheet_by_name('Sheet1') +AW = [] +BW = [] +CW = [] +Tpaixu = [2,5,1,7,3,0,6,4] +for c in range(1, sheet.ncols): + A_used = [] + B_used = [] + C_used = [] + AN = 0 + BN = 0 + CN = 0 + A = [] + B = [] + C = [] + A_w = [] + B_w = [] + C_w = [] + AT=np.zeros(8) + BT=np.zeros(8) + CT=np.zeros(8) + FP=getFP(c) +print(FP) +for r in range(1, sheet.nrows): + s = sheet.cell_value(r, c) + if FL[r] == 'A': + AN += s + A.append([s,r]) + if FL[r] == 'B': + BN += s + B.append([s,r]) +``` + +if $\mathrm{FL[r] = 'C'}$ +CN $+ = s$ +C.append([s,r]) +AW.append(AN) +BW.append(BN) +CW.append(CN) +for i in range(len(A)): while A[i][0] $>6000$ .. for k in Tpaixu: if FP[0][k] $>10$ .. A[i][0] $- = \mathrm{FP}[0][\mathrm{k}]$ YS[int(A[i][1])] $[(c - 1)^{*}8 + k] + = \mathrm{FP}[0][k]$ FP[0][k]=0 break +for i in range(len(B)): while B[i][0] $>6000$ .. for k in Tpaixu: if FP[1][k] $>10$ .. B[i][0] $- = \mathrm{FP}[1][\mathrm{k}]$ YS[int(B[i][1])] $[(c - 1)^{*}8 + k] + = \mathrm{FP}[1][k]$ FP[1][k]=0 break +for i in range(len(C)): while C[i][0] $>6000$ .. for k in Tpaixu: if FP[2][k] $>10$ .. C[i][0]-=FP[2][k] YS[int(C[i][1])] $[(c - 1)^{*}8 + k] + = \mathrm{FP}[2][k]$ FP[2][k]=0 break +for k in Tpaixu: i=k t=0 for kk in range(num + 1): t $+ = \mathrm{YS}[\mathrm{kk}][(\mathrm{c} - 1)^{*}8 + \mathrm{i}]$ xx $=$ int(min(int(FP[0][k]),6000-t)) + +```python +A_w=[] +A_r=[] +for x in A: + if x[1] in A_used: + continue + if x[0] == 0: + continue + A_w.append(int(x[0])) + A_r.append(int(x[1])) +n = len(A_w) +res = bag(n, xx, A_w, A_w.copy() +used2 = show(n, xx, A_w, res, A_r, c, k) +AT[k] += (res[n][xx]) +#print(used2) +A_used = (A_used + used2).copy() +i = k +t = 0 +for kk in range(num + 1): + t += YS[kk][(c - 1) * 8 + i] +xx = int(min(FP[1][k] + xx - res[n][xx], 6000 - t)) +B_w = [] +B_r = [] +for x in B: + if x[1] in B_used: + continue + if x[0] == 0: + continue + B_w.append(int(x[0])) + B_r.append(int(x[1])) +n = len(B_w) +res = bag(n, xx, B_w, B_w.copy() +used2 = show(n, xx, B_w, res, B_r, c, k) +BT[k] += (res[n][xx]) +# print(used2) +B_used = (B_used + used2).copy() +i = k +t = 0 +``` + +```python +for kk in range(num + 1): + t += YS[kk][(c - 1) * 8 + i] +xx = int(min(FP[2][k] + xx-res[n][xx], 6000 - t)) +C_w = [] +C_r = [] +for x in C: + if x[1] in C_used: + continue + if x[0] == 0: + continue + C_w.append(int(x[0])) + C_r.append(int(x[1])) +n = len(C_w) +res = bag(n, xx, C_w, C_w).copy() +used2 = show(n, xx, C_w, res, C_r, c, k) +CT[k] += (res[n][xx]) +# print(used2) +C_used = (C_used + used2).copy() +for x in A: + if x[0] == 0 or x[1] in A_used: + continue + else: + cho = -1 + F_now = -1 + for ii in Tpaixu: + i = ii + t = 0 + for kk in range(num + 1): + t += YS[kk][(c - 1) * 8 + i] + if x[0] + t < 6000 and FP[0][i] > F_now: + cho = i + F_now = FP[0][i] + AT[cho] += x[0] + YS[int(x[1])][(c - 1) * 8 + cho] += x[0] +for x in B: + if x[0] == 0 or x[1] in B_used: + continue + else: + cho = -1 +``` + +F_now $= -1$ +for ii in Tpaixu: $\mathrm{i} = \mathrm{ii}$ （204 $\mathrm{t} = 0$ +for kk in range(num + 1): $\mathrm{t} += \mathrm{YS}[\mathrm{kk}][(\mathrm{c} - 1)^{*}8 + \mathrm{i}]$ ifx[0]+t<6000and FP[1][i]>F_now:#期望放最多且放得进去cho=i F_now=FP[1][i] BT[cho] $+ = x[0]$ YS[int(x[1])[(c-1)\*8+cho] $+ = x[0]$ +for x in C: if $\mathrm{x[0]} = = 0$ or $\mathrm{x[1]}$ in C_used: continue else: cho $= -1$ F_now $= -1$ for ii in Tpaixu: i $= \mathrm{ii}$ t $= 0$ for kk in range(num + 1): $\mathrm{t}+=\mathrm{YS}[\mathrm{kk}][(\mathrm{c}-1)^{*}8+\mathrm{i}]$ ifx[0]+t<6000 and FP[2][i]>F_now: cho=i F_now=FP[2][i] CT[cho] $+ = x[0]$ YS[int(x[1])[(c-1)\*8+cho] $+ = x[0]$ +workbook=xlsxwriter.Workbook('YS_T2.xlsx') #建立文件 worksheet $=$ workbook.add_worksheet() #建立sheet，可以 work.add_worksheet('employee')来指定sheet名，但中文名会报UnicodeDecodeError 的错误 for i in range(num+1): worksheet.write(i,0,ID[i]) for i in range(num+1): for j in range(w\*8): worksheet.write(i,j+1,YS[i][j]) +workbook.close() + +介绍：输入：YS_T2.xlsx 和期望供货量.xlsx；输出：转运 ABC.xlsx，处理每个转运商在当周转运的材料 ABC 分别是多少，T3T4 同理，只修改了输入文件名 + +附录9 Solve_getABC_YS.py +import random +import numpy as np +import xlrd +import xlswriter +excel $=$ xlrd.open_workbook("期望供货量.xlsx" +sheet $\equiv$ excel sheet_by_name('Sheet1') +num=402 +w=24 +C=28488 +ID[] +FL[] +for r in rangesheet.nrows): ID.appendsheet.cell_value(r,0)) FL.appendsheet.cell_value(r,1)) +excel $=$ xlrd.open_workbook("YS_T2.xlsx", 'rb') sheet $\equiv$ excel sheet_by_name('Sheet1') + $\mathrm{AW} = []$ +BW[] +CW[] + +```python +for c in range(1, sheet.ncols): +AN=0 +BN=0 +CN=0 +A = [] +B = [] +C = [] +for r in range(1, sheet.nrows): +s = sheet.cell_value(r, c) +if FL[r] == 'A': +AN+=s +A.append([s,r]) +if FL[r] == 'B': +BN += s +B.append([s,r]) +if FL[r] == 'C': +``` + +CN $+ = s$ C.append([s,r]) AW.append(AN) BW.append(BN) CW.append(CN) +workbook $\equiv$ xlsxwriter.Workbook('转运ABC.xlsx') #建立文件 +worksheet $\equiv$ workbook.add_worksheet() #建立sheet，可以 work.add_worksheet('employee')来指定sheet名，但中文名会报UnicodeDecodeError 的错误 +worksheet.write(1,0,'A') +worksheet.write(2,0,'B') +worksheet.write(3,0,'C') +k=1 +for i in range(len(AW)): worksheet.write(0,i+1,"T"+str(k)) k+=1 if k==9: k=1 worksheet.write(1,i+1,AW[i]) worksheet.write(2,i+1,BW[i]) worksheet.write(3,i+1,CW[i]) +workbook.close() + +```python +附录10 Solve_GHL_T3.py +介绍：对确定的供货商贪心求解供货量分配的规划，相比T2修改了目标函数，输入：期望供货量.xlsx；输出表格：订单量规划结果.xlsx +import random +import numpy as np +import xlrd +import xlsxwriter +def takeCB(elem): return elem[0] +excel = xlrd.open_workbook("期望供货量.xlsx", 'rb') +sheet = excel sheet_by_name('Sheet1') +``` + +```txt +n=402 +w=24 +C=28488 +maxl=C*2 +ID=[] +FL=[] +GHL=[] +Seln=[] +JIEGUO=np.zeros((n,w)) +for r in range(1,sheet.nrows): + ID.appendsheet.cell_value(r,0)) + FL.appendsheet.cell_value(r,1)) +for r in range(1,sheet.nrows): + val=[] + for c in range(2,sheet.ncols): + s=sheet.cell_value(r,c) + val.append(s) + GHL.append tuple(val)) +def DOIT(PX): + nowTAG=0 + for L in PX: + i=L[2] + j=L[1] + nowTAG+=1/L[3] + JIEGUO[j][i]+=1#/L[3] +print(nowTAG) +if __name__=="__main__": + PX=[] + namelist=[] + for i in range(n): + namelist.append(i) + for i in range(w): + if len(PX)>maxl: + PX=PX[:maxl].copy() + for j in range(len(PX)): + PX[j][0]+=0.2#存储成本 + for j in namelist:#或者in namelist range(n)改成固定哪几家供应商 +``` + +```javascript +now_GH=int(GHL[j][i]) #now_GH=一定范围超出 for k in range(now_GH): val = [] if FL[j]='A': zh=0.6 jg=1.2 if FL[j]='B': zh=0.66 jg=1.1 if FL[j]='C': zh=0.72 jg=1 if k>GHL[j][i]: wdd=0.001 else: wdd=1 CB=zh #A 0 and Obj[z-1] < 0: + Obj[z] -= Obj[z-1] +Obj[z] = max(ObjL[z], 0) +for z in range(w-1, 1,-1): + if Obj[z]-C < 0: #第一周 + x = C - Obj[z] + if Obj[z-1]-C > 0: + if x < Obj[z-1]-C: + Obj[z-1] -= x + Obj[z] += x + else: + y = Obj[z-1]-C + Obj[z-1] -= y + Obj[z] += y + if Obj[z]-C < 0: #第二周 + x = C - Obj[z] + if Obj[z-2]-C > 0: + if x < Obj[z-2]-C: + Obj[z-2] -= x + Obj[z] += x + else: + y = Obj[z-2]-C + Obj[z-2] -= y + Obj[z] += y +z = 1 +if Obj[z] - C < 0: + x = C - Obj[z] + if Obj[z-1] - C > 0: + if x < Obj[z-1] - C: + Obj[z-1] -= x + Obj[z] += x + else: + y = Obj[z-1] - C +ObjL[z-1] -= y +``` + +```python +ObjL[z] += y +for z in range(w): + now Obj += max(C - ObjL[z], 0) + #now Obj += (C - ObjL[z]) +return now Obj +if __name__ == __main__": + 1 = 28200 + r = 50000 + for i in range(n): + NL.append(i) + while l + 1 < r: + mid = int((l + r) / 2) + C = mid + tag = GetObj(NL, C) + if tag == 0: + ans = mid + l = mid + else: + r = mid +print(ans) +``` + +# 附录12 Solve_erfenans_T4_lmd.py + +介绍：二分答案求解能达到的最大产能值，设计了一周可以提前看或者向后看或者同时向前向后几周的不同情况，具体为修改lmdl和lmdr控制左右观察范围，进行灵敏度分析。输入：期望供货量.xlsx；输出：最大产能值 + +```python +import numpy as np +import xlrd +n=402 +w=24 +ID=[[] +FL=[[] +GHL=[[] +NL=[[] +excel = xlrd.open_workbook("期望供货量.xlsx", 'rb') +sheet = excel sheet_by_name('Sheet1') +for r in range(sheet.nrows): + ID.appendsheet.cell_value(r, 0)) + FL.appendsheet.cell_value(r, 1)) +``` + +for r in range(1,sheet.nrows): val $= []$ for c in range(2,sheet.ncols): s=sheet.cell_value(r,c) if FL[r] $\equiv$ 'A': s=s/0.6 if FL[r] $\equiv$ 'B': s=s/0.66 if FL[r] $\equiv$ 'C': s=s/0.72 val.append(s) GHL.append(tuple(val)) +lmdl=-4 +lmdr=4#灵敏度分析，往前看lmd-1周修改这个 def GetObj(name,C): ObjL $\equiv$ np.zeros(w) now Obj=0 for j in name: for z in range(w): ObjL[z] $+ =$ GHL[j][z] for z in range(w-1,1,-1): for kk in range(lmdl,lmdr+1): print(kk) #print(kk) if ObjL[z]-C<0: if z-kk>23: continue if z-kk<0: continue x=C-ObjL[z] if ObjL[z-kk]-C>0: if x符号说明i供应商的序号j周数k转运商的序号r∞订供偏差率Ct总成本S供货量O订货量R剩余量L损耗率T转运量 + +# 五、问题一的模型建立与求解 + +# 5.1基于投影寻踪法的供货能力评价模型的建立 + +要求建立一套能够反映保障企业生产重要性的数学模型，在此基础上确定50家对于该建筑和装饰板材的生产企业的生产有重要性或者重要保障的原材料供应商。由于供应商对于企业的生产的影响是多方面多层次的，为此本文通过建立关于供应商供货能力的评价模型，给附件一中402家供应商综合打分，由该得分反映出供货商对于保障企业生产的重要程度，最后挑选出排名前50家供应商，确定为对该生产企业最重要的50家供应商。 + +# 5.1.2 评价指标的选取 + +参考国内外已有研究，发现在现有研究中“质量、成本、交货、服务”四个方面是人们评价供应商时关注的重点，通过分析供应商的供应特征以及选择供应商的主要目的，我们深度挖掘附件一中402家原材料供应商在近五年内的订货量和供货 + +量的数据，从供货水平、订单完成水平和原材料供应类别这三方面进行细化指标选取，从而选取每周最大供货量、每周平均供货量、近5年总供货量、近5年订货频次、供货量的标准差、平均综合偏差值、综合偏差值的标准差、单位产品消耗A、B、C三类原材料的综合成本（分为采购和运输及储存两方面）八个二级的细化指标用以评价供应商的供货能力，具体的细化指标的计算公式如下。 + +# 5.1.3 评价指标的量化计算 + +# 1. 每周最大供货量 + +为了反映第 $i$ 家供货商的单次最大供货数量（能力），本文通过附件一的数据，找出402家企业在近5年（240周）的最大供应量，从而得到关于最大供应量的 $402 \times 1$ 的列向量。 + +# 2. 近5年总供货量 + +为了反映第i家供货商的总供货数量（能力），本文将第i家供货商每周的供货量累加，得到第i家供货商的总供货量，从而得到关于近5年总供货量的 $402 \times 1$ 的列向量。 + +# 3. 每周平均供货量 + +为了反映供货商在实际供货时能够提供的平均供货数量，本文根据附件一中的数据统计出第i家供货商在240周内的供货频次（符号），并提取出附件一中第i家供应商在近五年（240周的）供货总量ai=加和号。得到关于第i家供货商每周平均供货量的 $402*1$ 的列向量 + +# 4. 近5年订货频次 + +为了反映该建筑和装饰板材的生产企业对于原材料供应商的潜在意向合作关系，本文统计出该企业在近5年内选择第i家供货商订购原材料的次数（符号），从而得到关于近五年企业对402家供货商的订购频次的 $402*1$ 的列向量 + +# 5. 供货量的标准差 + +为了反映该建筑和装饰板材的生产企业与供货商之间稳定的交易关系，例如：在企业产能一定的情况下，某原材料供货商对该企业在近5年内的供货量的标准差接近于0，则可以认为该企业对该家供货商的合作关系十分稳定，相当于此供货商对于企业的重要性比较高，本文先统计出第i家供应商近5年内的供货量均值，再得出供货量的标准差。 + +# 6. 由订供偏差率确定的综合偏差值的均值及标准差 + +由于原材料的特殊性，在实际情况中供应商很难严格按照订单需求供货，实际供货量往往多于或少于订货量，为了反映原材料供应商对该生产企业给出的订单需求的响应能力和订单处理能力，本文通过设定实际订供偏差率： + +$$ +r _ {\infty} = \frac {\text {订 货 量} - \text {供 货 量}}{\text {订 货 量}} \tag {5.1} +$$ + +表示内实际供货量与订货量的平均偏差率。在理想情况下订供偏差率为零，但在实际情况中供货量与订货量不对等的情况是在所难免的。因此，对于某供应商的实际订供偏差率越接近与零，则认为该供应商的响应能力或订单处理能力越强，供货的稳定性越高，同等条件下，选择该供应商的可能性越大。 + +为了体现出在实际供求关系中供货量少于订货量对该企业生产的影响明显重于供货量大于订货量的影响这一问题，本文在实际订供偏差率的基础上设定订供偏差值： + +$$ +d e v i a t i o n = f _ {d e v} \left(r _ {o s}\right) \tag {5.2} +$$ + +其中 $f_{dev}(r_{os})$ 称为订供偏差函数， $r_{os}$ 为实际订供偏差率，根据订供偏差函数和实际订供偏差率便得到订供偏差值 deviation，该值越大则表明供应商的订单处理能力越差。由于实际订供偏差率的正负对该企业的生产造成的影响不同，所以订供偏差函数 $f_{dev}(r_{os})$ 满足下列条件： + +（1）当 $r_{\text{空}} = 0$ 时，函数值为0； +（2）当 $r_{\text{eq}} < 0$ 时，函数值大于0，且函数的二阶导数大于0； +（3）当 $r_{\text{双}} > 0$ 时，函数值大于0，且函数的二阶导数大于0； +（4） $f_{dev}(r_{os}) < f_{dev}(-r_{os}),forr_{os} > 0$ + +综合考虑以上条件和生活实际，构造出订供偏差函数的具体表达式为： + +$$ +f _ {d e v} \left(r _ {o s}\right) = \left\{ \begin{array}{l} e ^ {x} - 1, x \geqslant 0 \\ e ^ {- 2 x} - 1, x < 0 \end{array} \right. \tag {5.3} +$$ + +绘制出订供偏差函数的函数图像如图1： + +![](images/6de7fe0013aa5218dccb749d4313262585186d8eb83638c05d7c50993b56afed.jpg) +图1 偏差函数图像 + +为了能够直接反映出综合偏差值越大表明供应商对订单的处理/完成水平越高这一关系，本文通过正向化处理，设定 + +$$ +d e v i a t i o n = M a x - d e v i a t i o n \tag {5.4} +$$ + +其中Max是供应商240周订供偏差值中的最大值。因此订供偏差值的值越大则表明供应商对订单的处理水平越高，越可靠。最后本文求出供应商在有订货量时的订供偏差值的平均值和方差，作为两项细化的指标来表征订单完成水平。 + +# 7. 单位产品消耗 A、B、C 三类原材料的综合成本 + +已知A、B、C三类原材料的采购费用以及生产单位立方米产品消耗的体积不同，并且由附件一的数据可知一家供应商只供应一类原材料，因此选择不同类别的原材料供应商产生的生产成本不同。为了反映供应商供应的原材料类别在一定程度上会造成生产成本偏高，影响企业的经济效益，本文设定单位产品消耗各类原材料的综合成本： + +$$ +C _ {t} = c _ {m} + c _ {t e} \tag {5.5} +$$ + +其中， $c_{m}$ 为采购成本， $c_{ts}$ 为运输及储存的成本。 + +根据题意可知，各类原材料的采购单价分别为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} 1. 2 p _ {\mathrm {u n i}} & A \text {类} \\ 1. 1 p _ {\mathrm {u n i}} & B \text {类} \\ p _ {\mathrm {u n i}} & C \text {类} \end{array} \right. \tag {5.6} +$$ + +单位立方米的产品消耗的各类原材料为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} v _ {A} = 0. 6 0 m ^ {3} & A \text {类} \\ v _ {B} = 0. 6 6 m ^ {3} & B \text {类} \\ v _ {C} = 0. 7 2 m ^ {3} & C \text {类} \end{array} \right. \tag {5.7} +$$ + +各类原材料运输和储存的单位费用相同，且为 $c_{\text{units}}$ 。 + +所以生产单位立方米产品所消耗的各类原材料的采购成本分别为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} c _ {m A} = v _ {A} \times 1. 2 p _ {\text {u n i}} = 0. 7 2 p _ {\text {u n i}} & A \text {类} \\ c _ {m B} = v _ {B} \times 1. 1 p _ {\text {u n i}} = 0. 7 2 p _ {\text {u n i}} & B \text {类} \\ c _ {m C} = v _ {C} \times p _ {\text {u n i}} = 0. 7 2 6 p _ {\text {u n i}} & C \text {类} \end{array} \right. \tag {5.8} +$$ + +可见，生产单位立方米的产品所需原材料的采购成本和原材料的类别关系不大。生产单位立方米产品所消耗的各类原材料的运输及储存成本分别为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} c _ {t s A} = v _ {A} \times c _ {\text {u n i t s}} = 0. 6 c _ {\text {u n i t s}} & A \text {类} \\ c _ {t s B} = v _ {B} \times c _ {\text {u n i t s}} = 0. 6 6 c _ {\text {u n i t s}} & B \text {类} \\ c _ {t s C} = v _ {C} \times c _ {\text {u n i t s}} = 0. 7 2 c _ {\text {u n i t s}} & C \text {类} \end{array} \right. \tag {5.9} +$$ + +于是可以得到单位产品消耗各类原材料的综合成本： + +$$ +C _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} 0. 7 2 p _ {\text {u n i}} + 0. 6 c _ {\text {u n i t s}} & A \text {类} \\ 0. 7 2 6 p _ {\text {u n i}} + 0. 6 6 c _ {\text {u n i t s}} & B \text {类} \\ 0. 7 2 p _ {\text {u n i}} + 0. 7 2 c _ {\text {u n i t s}} & C \text {类} \end{array} \right. \tag {5.10} +$$ + +# 5.1.4 评价指标的构建 + +本文构建的供应商供货能力评价指标体系如下： + +![](images/6718b157929e7effb55cb48023364e7dac2dd56a2fe4fba799be431965eee2d4.jpg) +图2 评价指标体系 + +其中，供货水平下的五个细化的二级指标能够反映出供应商的供货数量（能力）的大小，以及该生产企业选择供应商的意愿程度和生产企业与供应商以往5年的合作稳定程度。平均订购偏差率、订供偏差率的标准差可以反映出供货商对于该生产企业订购的原材料数量的响应能力或处理订单的能力，其数值越大说明该供应商会经常出现“供不应求”的现象，在一定程度上会对该生产企业的正常生产造成影响，同时也能一定程度说明供应商的信誉水平。单位产品消耗各类原材料的综合成本在一定程度上会造成生产成本偏高，从而影响企业的经济效益。 + +# 5.1.5 基于投影寻踪法的供货能力评价模型 + +本文选择了8个细化的评价指标来综合评价供应商的供货能力大小，由于各个指标对于评价供货能力的贡献程度不同，同时各个指标之间有着直接或者间接的联系，不相互独立，为了更客观、更科学地进行评价，本文选择投影寻踪法进行评价。 + +投影寻踪法[2]，是处理和分析高维数据的一类统计方法，其基本思想是将高维数据投影到低维的子空间上，寻找出反映原高维数据的结构或特征的投影值，以达到研究和分析高维数据的目的。这样得到的结果在一定程度上解决了因某项指标得分导致评价结果严重变化的问题，从而提高了综合评价各层次的分辨力和评价模型的精度。 + +基于投影寻踪法的供货能力评价模型建立的具体步骤如下： + +# step1: 数据的处理 + +# （1）指标的正负向性分析 + +我们选取了8个评价指标以评价供应商的供货能力的大小，但这些指标的正负向性并不相同，即并非数值越大越好，所以在建立评价模型之前，我们首先要进行正负向性分析。 + +表 2 指标的正负向性分析 + +
指标正负向性
最大供货量+
总共货量+
供货频次+
平均供货量+
供货量标准差-
平均订供偏差值+
订供偏差值标准差-
单位产品消耗各类原材料的综合成本-
+ +定义：表中“+”代表正向性即指标值越大则供货商越重要；表中“-”代表负向性即指标值越大则供货商越不重要。 + +对呈负向性的指标进行指标正向化处理： + +$$ +x _ {j} = \max x _ {j} - x _ {j} \tag {5.11} +$$ + +其中 $x_{j}$ 表示第 $j$ 列指标值 $(j\in \{0,1,2,\dots 8\})$ ， $\max x_{j}$ 表示第 $j$ 列指标的最大值。（2）归一化处理 + +由于所选取指标的单位不统一，所以各指标除了数值的影响外还应考虑量纲的影响，为了消去量纲的影响对数据进行归一化处理。对于不同正负向性的指标应采用不同的归一化处理方法使得处理后的数据不仅消除量纲的影响还消除了正负向性的差异。于是有： + +$$ +x _ {j} = \left\{ \begin{array}{l} \frac {x _ {j} - \operatorname* {m i n} x _ {j}}{\operatorname* {m a x} x _ {j} - \operatorname* {m i n} x _ {j}}, f o r p o s i t i v e i n d i c a t o r s \\ \frac {\operatorname* {m a x} x _ {j} - x _ {j}}{\operatorname* {m a x} x _ {j} - \operatorname* {m i n} x _ {j}}, f o r n e g a t i v e i n d i c a t o r s \end{array} \right. \tag {5.12} +$$ + +其中 $x_{j}$ 表示第 $j$ 列指标值 $(j\in \{0,1,2,\dots 8\})$ ， $\max x_{j}$ 表示第 $j$ 列指标的最大值， $\min x_{j}$ 表示第 $j$ 列指标的最小值。 + +# step2: 线性投影 + +从不同的方向或角度去观察数据，寻找最能充分挖掘数据特征的最优投影方向。随机抽取若干初始投影方向 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{m})$ 计算其投影指标的大小。确定最大指标的投影的解为其最佳投影方向，则第 $i$ 个样本在一维线性空间的投影特征值 $z_{i}$ 的表达式为： + +$$ +z _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {m} a _ {j} x _ {i j} \tag {5.13} +$$ + +# step3: 构造投影指标函数 + +对于最优投影方向的定义不尽相同，本文希望投影特征值 $z_{i}(i = 1,2,\dots ,8)$ 的分布满足： + +1、局部投影点尽可能密集。 +2、投影点团在整体上尽可能散开。 + +为满足这两点要求不妨将目标函数构造为： + +$$ +\max Q (a) = S _ {a} D _ {a} \tag {5.14} +$$ + +其中 $S_{a}$ 为投影特征值的标准差， $D_{a}$ 为投影特征值的局部密度。相应计算公式为： + +$$ +S _ {a} = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {8} \left(z _ {i} - \bar {z} _ {a}\right) ^ {2} / (n - 1)} \tag {5.15} +$$ + +$$ +D _ {a} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {n} (R - r _ {i k}) f (R - r _ {i k}) \tag {5.16} +$$ + +其中 $r_{ik}$ 为投影特征值间的距离，且有 $r_{ik} = |z_i - z_k|(i,j = 1,2,\dots,n)$ ， $f(t)$ 为阶跃信号，且有 $f(t) = \begin{cases} 0,t < 0 \\ 1,t\geqslant 0 \end{cases}$ ， $R$ 为估计局部散点密度的窗宽参数，按照宽度内至少包含一个散点的原则，有 $\max (r_{ik}) < R < 2m, for i,k = 1,2,\dots,n$ 。 + +# step4: 优化投影方向 + +综上所述得到非线性优化模型： + +$$ +\max Q (a) = S _ {a} D _ {a} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} S _ {a} = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {8} \left(z _ {i} - \bar {z} _ {a}\right) ^ {2} / (n - 1)} \\ D _ {a} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {n} (R - r _ {a}) f (R - r _ {a}) \\ r _ {a b} = | z _ {i} - z _ {k} | \\ f (t) = \left\{ \begin{array}{l} 0, t < 0 \\ 1, t \geqslant 0 \end{array} \right. \\ \sum_ {j = 1} ^ {m} a _ {j} ^ {2} = 1 \\ 0 < a _ {j} < 1 \\ \max (r _ {a}) < R < 2 m \end{array} \right. \tag {5.17} +$$ + +这是一个复杂的非线性优化模型，一般的方法难以求解，所以用遗传算法[3]优化求解过程。使用如下语句在MATLAB中调用遗传算法： + +$$ +f u n c t i o n [ a, b, \min , \max ] = R A G A (x x, N, n, P c, P m, M, D a i N o, C i, a d s) +$$ + +式中：N为种群规模；Pc为交叉概率；Pm为变异概率；DaiNo为在进行两代进化之后加速一次而设定的限制数；n为优化变量数目，M为变异方向所需要的随机数，Ci为加速次数，ads为0是求最小值，为其它求最大值。 + +调用遗传算法优化求解后，返回最优投影方向向量 $a$ 、该方向投影指标量 $b$ 。 + +# step5: 求解投影评价值 + +利用求解所得的最佳投影方向计算样本的投影指标值： + +$$ +z _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {m} a _ {j} x _ {i j} \tag {5.18} +$$ + +其中最佳投影方向向量即为权重向量,投影指标值即为最终综合评价得分。 + +# 5.2 基于投影寻踪法的供货能力评价模型的求解 + +迭代十次遗传算法优化函数，得到最优投影方向向量为： + +$$ +a = [ 0. 4 1 4 0. 3 1 0 0. 5 6 6 0. 2 3 5 0. 5 7 7 0. 1 3 1 0. 0 0 7 0. 0 8 5 ] +$$ + +该方向投影指标量降序输出得到50家最重要的供应商，列表如下： + +表350家最重要供应商得分 + +
供应商ID综合评价得分供应商ID综合评价得分
S2291.303S0400.833
S1401.301S3640.830
S3611.263S0550.827
S1511.209S3670.826
S1081.178S3460.819
S3301.046S0800.814
S3481.037S2940.812
S3081.035S2440.809
S2821.034S2180.808
S3401.033S0070.796
S3741.024S1230.795
S1391.016S2660.794
S2751.013S1500.792
S3291.011S3140.771
S1310.984S1140.770
S3560.980S3070.746
S2680.972S2910.732
S3060.968S3380.726
S1940.931S0860.709
S1430.919S0980.674
S3520.914S2010.651
S2470.867S0030.646
S2840.865S0760.644
S3650.846S0370.632
S0310.844S1290.631
+ +# 六、问题二的模型建立与求解 + +# 6.1 基于0-1整数规划的最少供应商模型的建立 + +题目要求“参考问题1”，确定至少选择多少家供应商供应原材料才可能满足生产的需求，因此，本文首先将供应商集合压缩为问题一中求解的供货能力排名前50的供应商，继而针对这50家供应商，建立0-1整数规划模型，以满足生产需要的最少的供应商数目为目标函数，从而求解出选用哪几家供应商供应原材料，并且这些供应商的总数为多少。 + +# 6.1.1 数据可视化 + +根据将得到的排名前50的供应商的数据做可视化处理，从中可以提取出一些异常值，即波动很大的值。这些异常值大致可分为两种，即周期性异常值和非周期性异常值，分别从中选取部分数据并可视化得到下图： + +![](images/e553d9060b4b95dad06df5e9eb70323e8de81499f3fd872cdfaea2b46ee762da.jpg) +图150家供应商供应量总览 + +![](images/8486ddb30fff6269b2b654b1b3ae12c64abd77d45009f8fcce9eb9f5d94f1d19.jpg) +图2供应量呈周期性变化的供应商 + +![](images/483b399be10676d77833d0e3e3fa76f6911bfb0910df7175c0640d7ffefab362.jpg) +图3供应量呈非周期性变化的供应商 + +对于周期性异常值出现的原因可以认为是供货商的供货能力有限，在某次大量供货后需要备货调整一段时间才能再次具备供货的能力。而对于非周期性异常值出现的原因可以认为是虽然该供货商是极具实力的，但是由于没有与企业的密切联系所以常常收不到订单，而当某一次企业急需大量原材料时该供货商提供了大量货品。 + +容易发现选区的50家供货商拥有各自的供货规律，但在下文的分析中不单独分析，原因有如下两点： + +1、非周期性异常值的干扰。非周期性异常值不具规律且供货量巨大，对周期性异常值产生较大的干扰。 +2、该规律是在该企业原本订货方案的基础上产生的，但下文的分析需要规划新的订货方案，使得原本的规律被打破，因此将原有规律参入下文的分析并不一定能优化最终的结果。 + +# 6.1.2 目标函数的构建 + +为尽可能选择少的供应商以满足生产的需要，本文从402家供应商中选出供货能力排名前50家供应商作为研究对象，所以，本文构建的目标函数为： + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i j} \tag {6.1} +$$ + +其中 $x_{ij}$ 表示在50家供应商中第 $i$ 个供应商在第 $j$ 周是否向该生产企业供货。若供货则 $x_{ij}$ 为1，否则为0。 + +# 6.1.3 约束条件的构建 + +# 1、稳定供货能力 + +为了求解满足企业生产需要的最少的供应商数量，本文设定每个供应商的供货量达到自己的最大供货水平，即历史最大供货量。需要注意的是，对于一家供应商来说，24周每周向企业提供的供应量不能一直都是历史最大供货量，因此历史最大供应量不能表征在稳定供货情况下的供货能力，实际中稳定供货能力应小于历史最大供货量。定义缓冲参数 $B$ ， $B\in (0,1)$ ，使得： + +$$ +\text {稳 定 供 货 能 力} S _ {i j} = B \cdot \text {最 大 供 货 能 力} \tag {6.2} +$$ + +通过文献查阅法得知 $B = 0.9$ + +# 2、供给需求关系 + +由于在第 $j$ 周所有供货商的供货经过转运到达企业后应满足企业本周的生产需要和库存需要，因此存在供给需求的等式关系，即该生产企业在第 $j$ 周实际的原材料接收量与第 $j-1$ 周企业仓库中剩余的原材料库存量之和必须不少于企业本周的产能所需原材料量和两周生产需求的原材料库存量。为了计算方便，我们将等式两边的原材料接收量与原材料库存量均转化为对应的产能，则供给需求关系式如下： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i j} S _ {i j} \left(1 - L _ {i j}\right) f _ {l _ {\text {t y p e}}} (i) + R _ {j - 1} = P + S _ {2 w} \tag {6.3} +$$ + +其中， $f_{type}(i)$ 为转换函数，可以将不同类别的原材料接受量转换成产能，例如；对于A类原材料而言 $f_{type}(i) = \frac{1}{0.6}$ ；对于B类原材料而言 $f_{type}(i) = \frac{1}{0.66}$ ；对于C类原材料而言 $f_{type}(i) = \frac{1}{0.72}$ 。 $S_{ij}$ 表示第 $i$ 个供货商在第 $j$ 周的供货量， $L_{ij}$ 表示第 $i$ 个供货商在第 $j$ 周转运过程中的损耗率， $R_{j}$ 表示该企业在第 $j$ 周生产结束后剩余的库存量转化为相应的产能量（单位：立方米）， $P$ 表示企业每周的产能（单位：立方米）， $S_{2w}$ 表示满足企业两周生产需求的原材料库存量。 + +# 3、损耗率 + +在考虑第 $i$ 个供货商在第 $j$ 周发出的供货量在转运过程中的损耗率 $L_{ij}$ 时，由于此时无法确定该家供货商选择的转运公司，所以用附件二中关于转运商240周的损耗率统计出以24周为周期每周的平均损耗率，计算公式如下： + +$$ +L _ {i j} = \bar {L} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {8} L _ {j k}}{8} \tag {6.4} +$$ + +在这种情况下第 $i$ 个供货和第 $l$ 个供应商在第 $j$ 周的损耗率相同有： + +$$ +L _ {i j} = L _ {i j} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {8} L _ {j k}}{8} \tag {6.5} +$$ + +# 4、库存量与产能的关系 + +根据题意，该企业要尽可能保持不少于两周生产需求的原材料库存量，因此，有关系式如下： + +$$ +S _ {2 w} = 2 P \tag {6.6} +$$ + +注： $S_{2w}$ 并非原材料库存量，而是原材料库存量转化后的相应产能。 + +# 5、库存剩余量的迭代关系 + +第 $j$ 周的原材料库存剩余量 $R_{j}$ 应等于第 $j$ 周的原材料接收量与第 $j - 1$ 周的原材料库存剩余量之和再减去第 $j$ 周的产能所耗的原材料。为了计算方便，本文将等式两边的原材料接收量与原材料库存剩余量均转化为相应的产能，所以库存剩余量的迭代关系式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} R _ {j} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i j} S _ {i j} (1 - L _ {i j}) f _ {\text {h p e}} (i) + R _ {j - 1} - P \\ R _ {j - 1} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i (j - 1)} S _ {i (j - 1)} (1 - L _ {i (j - 1)}) f _ {\text {h p e}} (i) + R _ {j - 2} - P \\ \vdots \\ R _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i 1} S _ {i 1} (1 - L _ {i 1}) f _ {\text {h p e}} (i) + R _ {0} - P \end{array} \right. \tag {6.7} +$$ + +# 6、初始库存剩余量的确定 + +![](images/5ef38d660a10b7899891101f7daa389e2124995b1f09d474ea4f4fc198bc42e2.jpg) +图4 订货量不同周期分布 + +在知道库存剩余量的迭代关系后，确定初始的库存剩余量 $R_0$ 至关重要。考虑到企业并非刚刚成立，所以在上一个为期24周的生产结束时企业大概率不会进仓库中所有的库存量全部生产用尽，因此不能简单的认为 $R_0 = 0$ 。 + +根据图6的订货量曲线不难发现订货量大致呈现随周期变化的规律，且周期长度为24周。所以在以24周为周期的订购计划的开始，初始库存剩余量大致可用以往周期的初始库存剩余量来计算，即：往年24周订购计划开始时的初始库存剩余量的均值大致为1.82（单位：万立方米），转换为对应的产能大致是 $1.82T$ ，其中， $T$ 为单位原材料量对应的生产量（综合考虑A、B、C三种材料），且 $T \approx 1 / 0.66$ ，于是可以得到等效的产能为2.757（单位：万立方米），大致为一周产能所需要的原材料量，综合考虑该企业要尽可能保持不少于满足两周生产需求的原材料库存量，所以在周期开始时的库存量大致为两周生产需要的原材料量。因此不妨设 $R_{0} = S_{2w}$ 。 + +# 6.1.4基于0-1整数规划的最少供应商模型 + +在满足企业的生产需求的情况下，尽可能用最少的供应商向该企业提供生产的原材料，结合已知条件和假设，基于0-1整数规划的最少供应商模型确立为： + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {8 0} x _ {i j} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i j} S _ {i j} (1 - L _ {i j}) f _ {\text {t y p e}} (i) + R _ {j - 1} = P + S _ {2 w} \\ R _ {j - 1} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i (j - 1)} S _ {i (j - 1)} (1 - L _ {i (j - 1)}) f _ {\text {t y p e}} (i) + R _ {j - 2} - P, \quad (j \geqslant 2) \\ L _ {i j} = \bar {L} \\ S _ {i j} = B \cdot \text {最 大 供 货 能 力} \\ R _ {0} = S _ {2 w} \\ S _ {2 w} = 2 P \end{array} \right. \tag {6.8} +$$ + +需要注意：由于迭代，该0-1整数规划模型对于每个 $j$ （即周）都是一个全新的规划，所以会有24个关于 $x_{ij}$ 的列向量，也会有24个 $\min \sum_{i=1}^{50} x_{ij}$ ，而本文要选取所有 $\min \sum_{i=1}^{50} x_{ij}$ 中的最大值作为最终的规划结果。 + +# 6.2基于0-1规划的最少供应商模型的求解 + +在满足生产需求的情况下的得到最少的供应商数目为24，结果如下表4所示： + +表 4 选出的 24 家最少供应商 + +
至少24家供应商明细
S229S308S356S247
S361S282S268S284
S151S340S306S055
S108S275S194S201
S330S329S143S003
S229S131S352S037
+ +# 6.3 基于线性规划的最经济订购方案模型的建立 + +为了制定未来24周每周“最经济”的原材料订购方案，本文针对上述模型求解出的24家原材料供应商，建立线性规划模型，在必须满足企业的生产需求的约束条件下，以24周该生产企业需要给原材料供应商的采购费用和给物流公司（即转运商）的运输费用以及在仓库储存费用之和达到最小作为目标函数，从而确定出24家原材料供应商每周接到的订货量（总共24周）。 + +# 6.3.1 目标函数的构建 + +由于制定订购方案需要明确该生产企业需要订购的原材料供应商以及向这些供应商每周（总共24周）订购的订货量，因此我们选择以第i家供应商在第j周接到的订货量为自变量，即 $O_{ij}$ 根据题目要求，本文此处的供应商已经确定为上述0-1整数规划模型所求解得到的24家供应商，因此 $i = 1,2,\dots,24$ ， $j = 1,2,\dots,24$ 。以240周内所有供应商提供的总供货量在采购和运输以及储存该三方面花费的成本最小构造目标函数，表达式如下： + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {2 4} \sum_ {j = 1} ^ {2 4} O _ {i j} \left(1 - r _ {o s _ {i}}\right) \left(r _ {i} p _ {- i} + c _ {t s}\right) \tag {6.9} +$$ + +其中， $r_{\alpha_i}$ 表示以240周为时间总长，24周为一个单位时间长度得到的第i家供应商在第j周的平均订购偏差率， $r_i$ 是第i个供应商供应的原材料的采购单价相对C类原材料采购单价的比值，其可能取值为{1.2 1.1 1}， $p_{uni}$ 表示C类原材料的采购单价， $c_{ta}$ 表示原材料运输和储存的单位费用。 + +# 6.3.2 约束条件的构建 + +由于订购方案是为了满足企业的正常生产需求，因此本文此处的约束条件与基于0-1整数规划的最少供应商模型相同，只是变量的表示发生了变化，因此此处不再多余赘述约束条件的构建。 + +# 6.3.3 基于线性规划的最经济订购方案模型 + +为了制定未来24周每周最经济的订购方案，即要求订购的原材料总量在采购、运输及储存三方面的成本花费为最小，在制定方案的同时也需要保证该订购方案满足企业的生产需求，结合已知条件和假设，该规划模型需要满足以下约束： + +1. 该生产企业对一周的原材料接收量和上一周剩余的原材料库存量的总和不少于满足两周生产需要的原材料库存量与一周的产能需要的原材料的总和。 +2.一周的原材料库存量是来源于该周的原材料接收量与上一周剩余的原材料库存量的总和中除去该周的产能需要的原材料量后剩余的数量。 +3.该生产企业第一周的库存量为两倍的产能所需原材料。 +4.该企业尽可能保持不少于满足两周生产需求的原材料库存量。 +5.为了计算方便，本文将原材料的接收量和库存量转换为相应的等量产能。因此，基于线性规划的最经济订购方案模型确立为： + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {2 4} O _ {i j} (1 - r _ {c o s}) (r _ {i} \tau_ {1} + \tau_ {2}) +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {2 4} x _ {i j} O _ {i j} \left(1 - r _ {\alpha_ {i}}\right) \left(1 - L _ {i j}\right) f _ {\text {h p s e}} (i) + R _ {j - 1} = P + S _ {2 w} \\ R _ {j - 1} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i (j - 1)} O _ {i (j - 1)} \left(1 - r _ {\alpha_ {i}}\right) \left(1 - L _ {i (j - 1)}\right) f _ {\text {h p s e}} (i) + R _ {j - 2} - P, \quad (j \geqslant 2) \\ L _ {i j} = \bar {L} \\ r _ {\alpha_ {i}} = r _ {\alpha_ {w}} \\ R _ {0} = S _ {2 w} \\ S _ {2 w} = 2 P \end{array} \right. \tag {6.10} +$$ + +# 6.4 基于线性规划的最经济订购方案模型的求解 + +订购方案的结果详见附件A。 + +# 方案实施效果分析： + +将订购方案、运转方案录入附件A、B中，同时记录预测的24周总成本、每周总转运数和总损耗数。根据本文模型建立的原理，每周8家转运商总转运量应大致等于该周向24家供应商订货总数，输出结果显示求解结果与预期吻合。此外，可知24周平均每立方米原材料需单位成本如下，可见订购方案较为经济。（1m³原材料A需1.7单位成本，B为1.6，C为1.5） + +表 5 未来 24 周每立方米原料平均成本 + +
123456789101112
1.601.611.571.571.621.561.571.581.581.621.521.55
131415161718192021222324
1.651.651.571.571.651.571.571.651.571.571.651.60
+ +# 6.5 基于线性规划的最少转运损耗方案模型的建立 + +根据上述基于线性规划的最经济订购方案模型，可以得到24家供应商每周接到的订购量，据此来制定每周内每家供应商的供货量分配给哪一家/几家转运商来运输，并以每家转运商的运输能力为6000立方米/周作为约束条件之一，建立线性规划模型，以8家转运商在24周的转运过程中的总损耗量最少为目标函数，从而确定出每周每家转运商转运哪家/几家供货商的供货量。 + +# 6.5.1 目标函数的构建 + +由于转运损耗无记忆，即过去的转运损耗不会影响本周的转运损耗，所以要使转运损耗最小只需要使每周的转运损耗都最小，为了简便计算可以一周为单位考虑。假设第 $j(j = 1,2,\dots ,24)$ 周第 $\pmb {i}(i = 1,2,\dots ,24)$ 家供货商由第 $k(k = 1,2,\dots ,8)$ 家转运公司转运的原材料量为 $T_{ik}$ ，该转运公司的转运损耗率为 $L_{k}$ ，则第 $j$ 周所有货物的总损耗为 $\sum_{i = 1}^{24}\sum_{k = 1}^{8}T_{ik}L_{k}$ ，所以为了使得转运损耗最小，有目标函数： + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {2 4} \sum_ {k = 1} ^ {8} T _ {i k} L _ {k}, f o r j = 1, 2, \dots , 2 4 \tag {6.11} +$$ + +# 6.5.2 约束条件的构建 + +# 1.转运损失率 + +由于同一个转运公司不同时间转运的损耗率不同，且由上文可知，整个订购运送过程具有周期性，近5年共有10个周期，周期为24周，故转运公司k在第j周的转运损失率可以用以往10个周期中第j周转运损失率的均值 $\overline{L} (k,j)$ 表示，计算关系式如下： + +$$ +L _ {k} = \bar {L} (k, j) \tag {6.12} +$$ + +# 2.总承接量 + +根据题意每家转运商的运输能力为6000立方米/周，所以第k家转运公司在24周内转运原材料的总量不大于6000（单位：立方米），不等式如下： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {2 4} T _ {i k} \leqslant 6 0 0 0, f o r k = 1, 2, \dots , 8 \tag {6.13} +$$ + +# 3.总供货量 + +若第i家供货商由第k家转运公司转运的原材料量为 $T_{ik}$ ，则该供货商由各个转运商转运的原材料量的总和应该为该供货商的总供货量，即： + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {8} T _ {i k} = S _ {i}, \text {f o r} i = 1, 2, \dots , 2 4 \tag {6.14} +$$ + +其中， $S_{i}$ 为第 $\pmb{i}$ 家供货商在第 $\pmb{j}$ 天的给定的总供货量。 + +# 6.5.3 基于线性规划的最少转运损耗方案模型 + +因此，基于线性规划的最经济转运方案模型确立为： + +$$ +\begin{array}{l} \min \sum_ {i = 1} ^ {2 4} \sum_ {k = 1} ^ {8} T _ {i k} L _ {k} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} L _ {k} = \bar {L} (k, j) \\ \sum_ {i = 1} ^ {2 4} T _ {i k} \leqslant 6 0 0 0, f o r k = 1, 2, \dots , 8 \\ \sum_ {k = 1} ^ {8} T _ {i k} = S _ {i}, f o r i = 1, 2, \dots , 2 4 \end{array} \right. \tag {6.15} \\ \end{array} +$$ + +需要注意：该线性规划模型只针对求解一周的转运方案，为了获得24周的转运方案，则需要重复使用该模型，其中 $T_{ik}$ 、 $L_{k}$ 和 $S_{i}$ 都会随着周数的改变而改变。在每一次使用该线性规划模型的过程中， $\sum_{k=1}^{8} T_{ik} = S_{i}$ ，for $i = 1,2,\ldots,24$ 和 $\sum_{i=1}^{24} T_{ik} \leqslant 6000$ ，for $k = 1,2,\ldots,8$ 这两个约束条件分别式关于24周每周的约束条件和8家转运商每家的约束条件，所以该模型的可解性是一定被保证的。 + +# 6.6 基于线性规划的最少损耗转运方案模型的求解 + +转运方案详见附件B。 + +# 方案实施效果分析： + +24周平均每周转运损耗率如下，可见转运方案转运效率良好： + +表 6 24 周平均每周转运损耗率 + +
123456
0.13970.21220.17170.18590.20030.2567
789101112
0.11890.02800.19600.24390.12330.2115
131415161718
0.29360.34830.34420.14120.46590.4881
192021222324
0.16210.16210.16210.16210.16210.1621
+ +# 七、问题三的模型建立与求解 + +根据问题一中由供应商的供货能力打分挑选出的最重要的50家供货商，通过观察这50家每周的供货量发现排在靠后的供应商每周供货量基本为个位数，如果再除去运输路途中损耗掉的原材料，可知这五十家供应商的供货量已经可以达到402家总 + +供货量的 $90\%$ 以上，此时如果再增加供应商的数量，会导致该生产企业的经济效益严重下降。为此，在制定新的订购方案是本文依然只考虑前50名供货商作为研究对象。 + +# 7.1 基于多目标规划的新订购方案模型的建立 + +# 7.1.1 目标函数的构造 + +# 1、增A少C + +根据题意该企业为了压缩生产成本，现计划尽量多地采购A类和尽量少地采购C类原材料。假设A类原材料的订购量为 $V_{A}$ ，B类原材料的订购量为 $V_{B}$ ，C类原材料的订购量为 $V_{C}$ ，则希望 $V_{A}$ 尽可能大而 $V_{C}$ 尽可能小。又由于本文对 $V_{A}$ 增大和 $V_{C}$ 减小是同等希望的，第一个目标函数表达式为： + +$$ +\max \left(V _ {A} - V _ {c}\right) \tag {7.1} +$$ + +# 2、减少总成本 + +根据题意，计划希望 $V_{A}$ 尽可能大而 $V_{C}$ 尽可能小是为了减少转运及仓储的成本，更进一步就是为了压缩生产总成本 $C_{t}$ ，所以有目标函数： + +$$ +\min C _ {t} \tag {7.2} +$$ + +对于生产总成本 $C_t$ ，根据问题一中对单位产品消耗的各类原材料综合成本的分析有： + +$$ +C _ {t} = V _ {A} P _ {A} + V _ {B} P _ {B} + V _ {C} P _ {C} + \left(V _ {A} + V _ {B} + V _ {C}\right) c _ {t a} \tag {7.3} +$$ + +其中 $P_{A}, P_{B}, P_{C}$ 分别为三类原材料的采购单价， $c_{ts}$ 为三类原材料运输和储存的单位费用。 + +# 7.1.2 约束条件的构造 + +# 1.各类原材料的总订货量 + +由于在第 $j$ 周第 $\pmb{i}$ 家供货商的原材料类别由 $\pmb{i}$ 决定，所以各类原材料的总订货量应选取相应类别的供货商的订货量进行加和。 + +定义类别判断函数 $f_{tdA}(i)$ 、 $f_{tdB}(i)$ 和 $f_{tdC}(i)$ 有如下性质： + +对于 $f_{tdA}(i)$ ，若第 $\pmb{i}$ 家供货商供应的原材料为A类原材料，则 $f_{tdA}(i)$ 取1，否则取0； + +对于 $f_{tdB}(i)$ ，若第 $\pmb{i}$ 家供货商供应的原材料为B类原材料，则 $f_{tdB}(i)$ 取1，否则取0； + +对于 $f_{tdC}(i)$ ，若第 $\pmb{i}$ 家供货商供应的原材料为C类原材料，则 $f_{tdC}(i)$ 取1，否则取0； + +于是可以得到第 $j$ 周订的各类原材料的体积： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} V _ {A} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i} O _ {i} f _ {t d A} (i) \\ V _ {B} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i} O _ {i} f _ {t d B} (i) \\ V _ {C} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i} O _ {i} f _ {t d C} (i) \end{array} \right. \tag {7.4} +$$ + +其中， $O_{i}$ 为第 $\pmb{j}$ 周企业对第 $\pmb{i}$ 家供货商的订货量， $\pmb{x}_{i}$ 表示企业是否从第 $\pmb{i}$ 个供货商处订货，若订货则 $\pmb{x}_{i}$ 为1，否则为0。 + +# 2.供给需求关系 + +在该订购方案中同样需要满足企业的生产需求，即使得企业保持不少于每周生产需求的原材料量和两周生产需求的原材料库存量，将各类原材料订购量转换为产能的公式有： + +$$ +\mathrm {A} \text {的 产 能 为} \frac {V _ {A}}{0 . 6}, \mathrm {B} \text {的 产 能 为} \frac {V _ {B}}{0 . 6 6}, \mathrm {C} \text {的 产 能 为} \frac {V _ {C}}{0 . 7 2} +$$ + +但是由于订货量与实际供货量存在偏差，即订供偏差率 $r_{\text{交}}$ ，且供给货物再转运途中存在损耗，所以实际上能够转化为的产能小于上式产能，综合考虑订供偏差率和转运损失，定义损失系数 $L = \frac{\text{实际等效产能}}{\text{理论等效产能}}$ ，于是总订购等效的产能为 $\left(\frac{V_A}{0.6} + \frac{V_B}{0.66} + \frac{V_C}{0.72}\right)L$ 。于是对于第 $j$ 周而言满足生产需求： + +$$ +\left(\frac {V _ {A}}{0 . 6} + \frac {V _ {B}}{0 . 6 6} + \frac {V _ {C}}{0 . 7 2}\right) L + R _ {j - 1} \geqslant P + S _ {2 w} \tag {7.5} +$$ + +其中 $R_{j-1}$ 为上一周完成生产后的库存的等效产能。 + +# 3. 库存剩余量的迭代关系 + +第 $j$ 周的库存剩余量 $R_{j}$ 为第 $j$ 周的接收量与第 $j - 1$ 周的库存剩余量之和再减去第 $j$ 周的生产消耗，所以剩余量满足迭代关系： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} R _ {j} = \left(\frac {V _ {A j}}{0 . 6} + \frac {V _ {B j}}{0 . 6 6} + \frac {V _ {C j}}{0 . 7 2}\right) L + R _ {j - 1} - P \\ R _ {j - 1} = \left(\frac {V _ {A (j - 1)}}{0 . 6} + \frac {V _ {B (j - 1)}}{0 . 6 6} + \frac {V _ {C (j - 1)}}{0 . 7 2}\right) L + R _ {j - 2} - P \\ \vdots \\ R _ {1} = \left(\frac {V _ {A 1}}{0 . 6} + \frac {V _ {B 1}}{0 . 6 6} + \frac {V _ {C 1}}{0 . 7 2}\right) L + R _ {0} - P \end{array} \right. \tag {7.6} +$$ + +# 7.1.3 基于多目标规划的新订购方案模型 + +为了制定为了制定未来 24 周每周新的订购方案, 即要求订购的 A 类原材料总量尽量多 C 类原材料总量尽量少, 以及在采购、运输及储存三方面的成本花费最小, 在 + +制定方案的同时也需要保证该订购方案满足企业的生产需求，结合已知条件和假设，该规划模型需要满足以下约束： + +（1）各类原材料总订购量应该由各类原材料供应商的总订购量加和。 +（2）该生产企业对一周的原材料接收量和上一周剩余的原材料库存量的总和不少于满足两周生产需要的原材料库存量与一周的产能需要的原材料的总和。 +（3）该企业尽可能保持不少于满足两周生产需求的原材料库存量。 +（4）该生产企业所花费成本来源于各类原材料的采购成本，运输及储存成本。 +（5）一周的原材料库存量是来源于该周的原材料接收量与上一周剩余的原材料库存量的总和中除去该周的产能需要的原材料量后剩余的数量。 +（6）该生产企业第一周的初始库存量为两倍的产能所需原材料。 + +因此，基于多目标规划的新订购方案模型确立为： + +$$ +\max \left(V _ {A} - V _ {c}\right) +$$ + +$$ +\min C _ {t} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} V _ {A} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i} O _ {i} f _ {t d A} (i) \\ V _ {B} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i} O _ {i} f _ {t d B} (i) \\ V _ {C} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} x _ {i} O _ {i} f _ {t d C} (i) \\ \left(\frac {V _ {A}}{0 . 6} + \frac {V _ {B}}{0 . 6 6} + \frac {V _ {C}}{0 . 7 2}\right) L + R _ {j - 1} \geqslant P + S _ {2 w} \\ S _ {2 w} = 2 P \\ C _ {1} = V _ {A} P _ {A} + V _ {B} P _ {B} + V _ {C} P _ {C} + \left(V _ {A} + V _ {B} + V _ {C}\right) c _ {u} \\ R _ {j - 1} = \left(\frac {V _ {A (j - 1)}}{0 . 6} + \frac {V _ {B (j - 1)}}{0 . 6 6} + \frac {V _ {C (j - 1)}}{0 . 7 2}\right) L + R _ {j - 2} - P \\ R _ {0} = S _ {2 w} \end{array} \right. \end{array} \tag {7.7} +$$ + +求解多目标规划问题可以化多目标为单目标或使用优化算法求解，考虑到将多目标直接化为单目标主观性太强，采用多目标粒子群优化算法求解模型。将粒子群算法应用于多目标主要需关注pbest和gbest的选择问题。多目标粒子群算法在选择pbest时随机选择其中一个作为历史最优，而对于选择gbest则是在最优集中根据密集程度选择一个领导者，这时需要用到自适应网格法。根据多目标粒子群算法原理，构建函数并调用求解。多目标粒子群优化函数如下： + +$$ +f u n c t i o n [ R E P ] = \operatorname {m o p s o} (c, i w, \max _ {\text {i t e r}, \text {l o w e r}, \text {b o u n d}, \text {s w a r m}, \text {s i z e}}, \operatorname {r e p} _ {\text {s i z e}}, \text {g r i d} _ {\text {s i z e}}, +$$ + +$$ +\text {a l p h a , b e t a , g a m m a , m u , o b j e c t i v e , c o n s t r a i n t)} +$$ + +式中：c为认知加速、社交加速系数；iw为开始，结束惯性权重；max_iter为最大迭代次数；swarm_size为粒子群大小；rep_size为存储库大小；grid_size为每个维度的网格数百分比；alpha为通货膨胀率；beta为领导者选择压力；gamma为删除选择压力；mu为突变率；objective为目标函数；constraint为约束函数 + +# 7.2 基于多目标规划的新订购方案模型的求解 + +求解结果详见附件A。 + +# 方案实施效果分析 + +第三问在第二问基础上增加目标函数，尽可能订购原材料A而非原材料C，此时订购原材料总数应当小于第二问，求解结果与预期吻合。此外，将二三问A原料、C原料占原料总数百分进行对比，可以明显看出第三问多目标规划效果良好，A原料占比增加，C原料占比下降。 + +![](images/83dc4c635e95165f4f5a93222c313722b1a69fa1f2bca005781c0e67f721883c.jpg) +图5多目标规划实施效果分析 + +# 7.3 基于线性规划的新转运方案模型的建立 + +# 7.3.1 目标函数的构造 + +对于转运方案，同问题二中需要使总的转运损耗最小，但问题三需要考虑的是总的损耗率最小，所以将问题二的转运方案的目标函数谢进行调整，得到以总的转运损耗率最小为目标函数的表达式如下： + +$$ +\min \frac {\sum_ {i = 1} ^ {5 0} \sum_ {k = 1} ^ {8} T _ {i k} L _ {k}}{\sum_ {i = 1} ^ {5 0} S _ {i}}, f o r j = 1, 2, \dots , 2 4 \tag {7.8} +$$ + +# 7.3.2 约束条件的构造 + +# 1. 实际供货量 + +基于上述多目标规划的新订购方案模型可以得到第 $j$ 周企业向供货商 $\pmb{i}$ 的订货量矩阵： + +$$ +O = \left| \begin{array}{c c c c} O _ {1 1} & O _ {1 2} & \dots & O _ {1 n} \\ O _ {2 1} & O _ {2 2} & \dots & O _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O _ {m 1} & O _ {m 2} & \dots & O _ {m n} \end{array} \right| \tag {7.9} +$$ + +其中， $m = 50$ ， $n = 24$ + +在问题二中已经分析并求得订供偏差率矩阵： + +$$ +R _ {o s} = \left| \begin{array}{c c c c} r _ {1 1} & r _ {1 2} & \dots & r _ {1 n} \\ r _ {2 1} & r _ {2 2} & \dots & r _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r _ {m 1} & r _ {m 2} & \dots & r _ {m n} \end{array} \right| \tag {7.10} +$$ + +所以可以根据二者求得关于第i家供应商在第j周的实际供货量矩阵： + +$$ +S = \left| \begin{array}{l l l l} S _ {1 1} & S _ {1 2} & \dots & S _ {1 n} \\ S _ {2 1} & S _ {2 2} & \dots & S _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S _ {m 1} & S _ {m 2} & \dots & S _ {m n} \end{array} \right| \tag {7.11} +$$ + +其中， $S_{ij} = O_{ij}r_{ij}$ + +# 2. 转运损失率 + +类同问题二中求解转运方案模型的约束有： + +$$ +L _ {k} = \bar {L} (k, j) \tag {7.12} +$$ + +# 3. 总转运量 + +类同问题二中求解转运方案模型的约束有： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5 0} T _ {i k} \leqslant 6 0 0 0, f o r k = 1, 2, \dots , 8 \tag {7.13} +$$ + +# 4. 总供货量 + +类同问题二中求解转运方案模型的约束有： + +$$ +\sum_ {k = 1} ^ {8} T _ {i k} = S _ {i}, \text {f o r} i = 1, 2, \dots , 5 0 \tag {7.14} +$$ + +# 7.3.3 基于线性规划的新转运方案模型 + +为了制定未来24周转运商的转运损耗最小的订购方案，结合已知条件和假设，该规划模型需要满足以下约束： + +1、第 $k$ 家转运商在第 $j$ 周的平均转运损耗率为近5年共10个周期里的每个第 $j$ 周的转运损耗率的平均值。 +2、每一家转运商的运输能力为6000/周。 +3、8家转运商对第i家供货商的总转运量等于第i家转运商的总供货量。 + +因此，基于线性规划的新转运方案模型确立为： + +$$ +\min \frac {\sum_ {i = 1} ^ {5 0} \sum_ {k = 1} ^ {8} T _ {i k} L _ {k}}{\sum_ {i = 1} ^ {5 0} S _ {i}} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} L _ {k} = \bar {L} (k, j) \\ \sum_ {i = 1} ^ {5 0} T _ {i k} \leqslant 6 0 0 0, f o r k = 1, 2, \dots , 8 \\ \sum_ {k = 1} ^ {8} T _ {i k} = S _ {i}, f o r i = 1, 2, \dots , 5 0 \end{array} \right. \tag {7.15} +$$ + +# 7.4基于线性规划的新转运方案模型的求解 + +结果详见附录B。 + +# 八、问题四的模型建立与求解 + +# 8.1 基于线性规划的产能模型的建立 + +# 8.1.1 目标函数的构造 + +该企业通过技术改造提高产能，于是每周订货量提升，库存量也会提升。在考虑该企业产能究竟能提高多少时应考虑稳定状态下的订供货情况，因为企业刚刚产能升级时需要扩大库存容量此时的产能不能阶跃式提高，而需要一段时间以达到稳定。达到稳定后可以认为每周企业收到的原材料的等效产能就是其新的产能，所以我们希望每周企业收到的原材料的等效产能最大化。在第 $j$ 周收到原材料的等效产能为： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5 0} S _ {i} f _ {\text {t y p e}} (i) L _ {i} \tag {8.1} +$$ + +于是可以得到目标函数： + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {5 0} S _ {i} f _ {\text {t y p e}} (i) L _ {i} \tag {8.2} +$$ + +# 8.1.2 约束条件的构造 + +# 1.运输总量 + +由题意可知每家转运商的运输能力为6000立方米/周，一共有8家转运公司，所以每周被转运的货物的总量应该不大于8家转运公司总的运输能力，于是有： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5 0} S _ {i} \leqslant 4 8 0 0 0 \tag {8.3} +$$ + +# 2.供货量 + +第i家供货公司的供货能力是有限的，即 $S_{i}$ 不可能无限大。本团队认为在未来的24周里该供货公司的供货量超过过去五年的记录为低概率事件不予考虑，所以关于供货量有如下约束条件： + +$$ +0 \leqslant S _ {i} \leqslant S _ {i \max } \tag {8.4} +$$ + +其中 $S_{i\max}$ 为过去五年里第 $\pmb{i}$ 家供货公司供货量的最大值 + +# 3.供货量的相互影响 + +在实际中时供货公司持续以历史最大供货量向企业供货是不可能的，换言之假设供货公司在第 $j - 1$ 周以历史最大供货量 $S_{\mathrm{imax}}$ 向企业供货，则在下一周（第 $j$ 周）企业需要休整备货，即下一周企业的最大供货量不再是 $S_{\mathrm{imax}}$ ，而应更小。 + +根据以上分析，不妨设 $S_{ij} \leqslant S_{imax} - 0.9S_{i(j-1)}$ 以建立前后两周供货量的相互影响关系。 + +# 8.1.3 基于线性规划的产能模型 + +根据以上分析建立线性规划模型： + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {5 0} S _ {i} f _ {t y p e} (i) (1 - L _ {i}) +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {5 0} S _ {i} \leqslant 4 8 0 0 0 \\ 0 \leqslant S _ {i} \leqslant S _ {i \max } \\ S _ {i j} \leqslant S _ {i \max } - 0. 9 S _ {i (j - 1)} \end{array} \right. \tag {8.5} +$$ + +当 $j = 1$ 时有 $S_{i1} \leqslant S_{imax} - 0.9S_{i0}$ ，不妨令 $S_{i0} = 0$ 。 + +需要注意的是对于 $j$ 从1到24供24个取值对应着24个不同的线性规划，也就有24个不同的最大原材料的等效产能，这里应选用其中最小的作为提升后的产能值以确保每周的供货量都足够满足生产需要。 + +# 8.2 基于线性规划的产能模型的求解 + +根据模型求得每周订货量接近 $48000m^3$ ，由此可知在现有供应商和转运商的条件下，限制企业每周产能的是转运商的总能力，若企业想继续提高产能，需增加转运商数量或提高转运商每周转运能力。企业最大产能24周预测值如下： + +表 7 未来 24 周企业最大产能预测值 + +
123456
740367385974017738757400373888
789101112
739917389973981739087397473915
131415161718
739677392073962739257395873929
192021222324
739557393273952739347395073936
+ +# 九、模型的综合评价与推广 + +# 9.1 模型的优点 + +规划模型中创新性地加入迭代约束，通过第 $j$ 周的剩余量 $R_{j}$ 和第 $(j - 1)$ 周的剩余量 $R_{j - 1}$ 的关系式迭代，并通过合理分析往期5年的订供货数据，给出初始剩余量 $R_0$ 。该迭代约束使得模型更符合现实情况，若不考虑迭代关系随机生成剩余量 $R_{j}$ 则约束性较弱，难以与实际情况匹配，在考虑迭代关系后将剩余量在时间上联系起来，更贴合实际，增强了模型的实用性。除此以外，由于迭代关系的加入，当某一周订货量过大导致剩余量过大时，下一周的订货量会自动减小以减小下一周的剩余量，这使得模型更加稳定。 + +# 9.2 模型的缺点 + +题目中“通常情况下，一家供应商每周供应的原材料尽量由一家转运商运输”所产生的约束难以很好的描述。若过于强烈的要求则可能会出现约束过强无法规划出最终结果的情况，且会使转运损耗提升，而弱化要求又恐与题意相悖。本模型综合考虑实际情况中企业对转运损耗更为看重，弱化对于“通常情况下，一家供应商每周供应的原材料尽量由一家转运商运输”的要求。 + +# 9.3 模型的推广 + +该模型不仅可以应用于该企业的订购转运方案的确定，对于类似于订购和转运的相关问题都可以处理，譬如游乐园网上订票系统在不同时段发放多少张门票，将放票类比为订购，将园区余量类比为库存量等 + +# 十、参考文献 + +[1]葛锦林.基于量化模型的供应商选择决策的研究现状[J].南通航运职业技术学院学报,2021,20(02):42-46. +[2]李琼.洪水灾害风险分析与评价方法的研究及改进[D].华中科技大学，2012. +[3]葛继科，邱玉辉，吴春明，蒲国林.遗传算法研究综述[J].计算机应用研究,2008(10):2911-2916. +[4]肖晓伟，肖迪，林锦国，肖玉峰.多目标优化问题的研究概述[J].计算机应用研究,2011,28(03):805-808+827. + +# 十一、附录 + +# 附录一：代码 + +（说明：支撑文件直接放于此工作目录下D:\MATLAB2020a\bin\ + +附录中仅列出部分代码，可视化程序及问题三、四中与问题二相似的代码可在支撑文件中找到，未在附录中列出。） + +问题一： + +
程序编号T1-1文件名称data_to_indicator.m说明评价指标构建
%工作目录:D:\MATLAB2020a\bin\
%MATLAB R2020a
%% 供货水平指标
clc,clear,close all
%导入供货数据
data=xlsread("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",2,'C2:IH403");
for i=1:402
MAX(i)=max(data(i,:));
SUM(i)=sum(data(i,:));
WEEK(i)=sum({~ismember(data(i,:),0));
MEANW(i)=SUM(i)/WEEK(i);
STD(i)=std(data(i,~ismember(data(i,:),0));
end
zhibiao1=[MAX' SUM' WEEK' MEANW' STD']
xlswrite('指标选取.xlsx',zhibiao1,'B2:F403');
%% 订单完成水平指标
+ +data2=xlsread(附件1近5年402家供应商的相关数据.xlsx',1'C2:IH403'); + +%带入偏差函数 + +for $i = 1:402$ + +for $j = 1:240$ DR(i,j)=(data2(i,j)-data(i,j))/data2(i,j);%delivery ratio if DR(i,j)>0 DR(i,j)=exp(DR(i,j))-1; else DR(i,j)=exp(-2\*DR(i,j))-1; end end +end +for i=1:402 MEANDR(i)=mean(DR(i,~isnan(DR(i,.))))); STDDR(i) $\equiv$ std(DR(i,~isnan(DR(i,.)))); +end + +DR=[DR MEANDR' STDDR']; + +xsIswrite（指标选取.xsx，DR2,B2:II403）; + +xsIswrite('指标选取.xlsx',MEANDR',1,'G2:G403'); + +xswritew(指标选取.xsx',STDDR',1,H2:H403'); + +%原材料供应类别指标 + +%设置导入选项并导入数据 + +opt $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",1); + +%指定工作表和范围 + +opts.Sheet $=$ "企业的订货量（m？）"； + +opts.DataRange $=$ "B1:B403"; + +%指定列名称和类型 + +options.Name $\equiv$ "VarName2"; + +options.VariableTypes $=$ "categorical"; + +%指定变量属性 + +opts $\equiv$ setvaroptions(opts, "VarName2", "EmptyFieldRule", "auto"); + +%导入数据 + +classify= readable("D:\MATLAB2020a\bin\附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx", options, "UseExcel", false); + +classify(1,:）=[]; + +%将分类变量转换为1，2，3 + +classify-double=tabl2array(varfun(@double, Classfify)); + +a=[1.2 1.1 1]; + +b=[0.60.660.72]; + +c1=1;c2=1; + +classify_score=(a(classify-double).*c1+c2).*b(classify-double); + +xslwrite('指标选取.xlsx',classify_score',1,'12:1403'); + +
程序编号T1-2文件名 称RAGA_PPCE.m说明遗传算法改进的投影寻踪法
clear;clc; \( \mathrm{d} = \left\lbrack \right\rbrack ;\mathrm{e} = \left\lbrack \right\rbrack \) ; X=xlsread("指标选取.xlsx",1,"B2:I403"); %迭代十次 for k=1:10 %数据正向化处理 for i=5:8 X(:,i)=max(X(:,i))-X(:,i); end %数据最小-最大规范化 x=mapminmax(X',0,1); x=x'; N=400;Pc=0.8;Pm=0.2;M=10;Ci=7;n=8;DaiNo=2;ads=1; %调用遗传算法求解 [a1,b1,ee,ff]=RAGA(x,N,n,Pc,Pm,M,DaiNo,Ci,ads); d=[d,a1];e=[b1:e]; end [a2 b2]=max(d); %得到各指标权重 e1=e(b2,:) %得到评分 ff=e1*x' xlswrite('指标选取.xlsx',ff',1,'I2:I403');
+ +
程序编号T1-3文件名称RAGA.m说明遗传算法优化求解函数
function [a,b,mmin,mmax]=RAGA(xx,N,n,Pc,Pm,M,DaiNo,Ci,ads)tic;
%N为种群规模,Pc为交叉概率,Pm为变异概率,DaiNo为了在进行两代进化之后加速一次而设定的限制数
%n优化变量数目,M变异方向所需要的随机数,Ci为加速次数,xmin为优化变量的下限向量,xmax为优化变量的上限向量
%变量的数目n必须等于xmin和xmax的维数;ads为0是求最小值,为其它求最大值。
%min和mmax为优秀个体变化区间的上下限值
if ads==0ad='ascend';elsead='descend';end
%===step1生成初始父代===mm1=zeros(1,n);mm2=ones(1,n);for z=1:Ci %表示加速次数为20次
+ +```matlab +z +for i=1:N +while 1==1 +for p=1:n %p为优化变量的数目，bb(p)=unifrnd(mm1(p),mm2(p)); +end +temp=sum(bb.^2); +a=sqrt(bb.^2/temp); +y=Feasibility(a); +if y==1 + v(i,:)=a; + break; +end +end +end +%step1 end +for s=1:DaiNo +%step2 计算适应度 +for i=1:N + fv(i)=Target(xx,v(i,:)); +end +%按适应度排序 +[fv,i]=sort(fv,ad); +v=v(i,:); +%step2 end +%step3 计算基于序的评价函数 +arfa=0.05; +q(1)=0; +for i=2:N+1 + q(i)=q(i-1)+arfa*(1-arfa)^(i-2); +end +%step3 end +%step4 选择操作 +for i=1:N + r=unifrnd(0,q(N+1)); + for j=2:N+1 + if r>q(j-1) & r<=q(j) + vtmp1(i,:)=v(j-1,:); + end +end +end +%step4 end +%step5 交叉操作 +while 1==1 +CrossNo=0; +``` + +```matlab +v1=vtemp1; +for i=1:N + r1=unifrnd(0,1); + if r1 < Pc + CrossNo=CrossNo+1; + vtemp2(CrossNo,.)=v1(i,.); + v1(i,.)=zeros(1,n); + end +end +if CrossNo~=0 & mod(CrossNo,2)~=0 + break; +elseif CrossNo~=0 | mod(CrossNo,2)~=1 + vtemp2[]; +end +end +shengyuNo=0; +for i=1:N + if v1(i,.)=zeros(1,n) + shengyuNo=shengyuNo+1; + vtemp3(shengyuNo,.)=v1(i,.)%vtemp3表示选择后剩余的父代 + end +end +%随机选择配对进行交叉操作 +for i=1:CrossNo + r2=ceil(unifrnd(0,1)*(CrossNo-i+1)); + vtemp4(i,.)=vtemp2(r2,.); + vtemp2(r2,.)=[]; +end +%随机选择配对进行交叉操作，按顺序2数为一对 +for i=1:2:(CrossNo-1) + while 1==1 + r3=unifrnd(0,1); + v20(i,.)=r3*vtemp4(i,.)+(1-r3)*vtemp4(i+1,.); + v20(i+1,.)=(1-r3)*vtemp4(i,.)+r3*vtemp4(i+1,.); + temp1=sum(v20(i,.)^2); + temp2=sum(v20(i+1,.)^2); + v2(i,.)=sqrt(v20(i,.)^2/temp1); + v2(i+1,.)=sqrt(v20(i+1,.)^2/temp2); + if Feasibility(v2(i,.))~=1 & Feasibility(v2(i+1,.))~=1 + break; + end +end +end +%step5 end +v3=[vtemp3:v2]; +``` + +%step6 变异操作 +while $1 == 1$ + MutationNo=0; + v4=v3; + for i=1:N + r4=unifrnd(0,1); + if r4=0 +u=1; +else +u=0; +end +s3=s3+t*u; +end +end +Dz=s3; +%计算目标函数值Q +y=Sz*Dz; +``` + +
程序编号T1-5文件名称Feasibility.m说明可行性约束函数
%subfunction of RAGA PPC function y=Feasibility(a) b=sum(a.^2); if abs(b-1<=0.00001 y=1; else y=0; end
+ +# 问题二： + +
程序编号T2-1文件名称minSUPPLIER.m说明求最少供应商数量
clc,clear,close all
data1=xlsread("前50家供应商数据提取.xlsx',1,'C2:IH51');
data2=xlsread("前50家供应商数据提取.xlsx',2,'C2:IH51');
% for i=1:50
% WEEK(i)=sum({~ismember(data1(i,:),0));
% ratio(i,:)=data2(i,:).data1(i,:);
% sum_ratio(i)=sum(ratio(i,~isnan(ratio(i,:))))
% aver_ratio=sum_ratio./WEEK;
% end
for i=1:50
for j=1:240
ratio2(i,j)=data2(i,j).data1(i,j);
end
end
WEEK2=zeros(50,24);
sum_ratio2=zeros(50,24);
for i=1:50
for j=1:24
+ +```matlab +for n=1:10 +WEEK2(i,j) = WEEK2(i,j) + sum(~ismember(data1(i,j*n),0)); +if ~isnan(ratio2(i,j*n)) +sum_ratio2(i,j) = sum_ratio2(i,j) + ratio2(i,j*n); +else +end +end +end +end +aver_ratio2 = sum_ratio2./WEEK2; +for i=1:50 +aver_ratio2(i,isnan(aver_ratio2(i,:))) = 1e-4; +end +% SUM=zeros(S0,24); WEEK=zeros(S0,24); +% for i=1:50 +% for j=1:24 +% for n=1:10 +SUM(i,j) = SUM(i,j) + data2(i,n*j); +% WEEK(i,j) = WEEK(i,j) + ~ismember(data2(i,n*j),0); +% end +% end +% end +% MEAN = SUM./WEEK; +for i=1:50 +for j=1:24 +for n=1:10 +if n==1 +MAX(i,j) = data2(i,n*j); +else +if data2(i,n*j) > MAX(i,j) +MAX(i,j) = data2(i,n*j) +else +end +end +end +end +end +for i=1:50 +MAX(i,isnan(MAX(i,:))) = 1e-4; +end +MAX=0.9*MAX; +X=zeros(S0,24); AA=zeros(24,50); K=zeros(24,1); q=zeros(24,1); +for j=1:24 +f=ones(S0,1); +``` + +intcon=50; A=MAX(:,j).*aver_ratio2(:,j); A=A'; vol $= 28200^{*}0.66$ lb=zeros(1,50); ub=ones(1,50); if $\mathrm{j = 1}$ b=-vol; x=intlinprog(f,intcon,-A,b,[],lb,ub); AA(j,:)=A; k=0; for i=1:50 k=k+A(1,i)*x(i,1); end; K(j,1)=k; Q=k+vol; q(j,1)=Q; X(:,j)=x; else b=Q-3\*vol; AA(j,:)=A; x=intlinprog(f,intcon,-A,b,[],lb,ub); k=0; for i=1:50 k=k+A(1,i)\*x(i,1); end; K(j,1)=k; Q=k+Q-vol; q(j,1)=Q; X(:,j)=x; end end supplier=max(sum(X)); + +程序编号 T2-2 文件名称 economical計劃.m 说明 订购方案clc,clear,close alldata=xlsread("最少24家供应商数据提取.xlsx',2,'C2:IH25');%%for $\mathrm{i} = 1:24$ for $j = 1:24$ for $n = 1:10$ if $n = = 1$ MAX(i,j)=data(i,n\*j);else + +if data(i,n\*j) $\rightharpoondown$ MAX(i,j) MAX(i,j)=data(i,n\*j) else end end end end end for i=1:24 MAX(i,isnan(MAX(i,:))) $= 1$ e-4; end %% opts $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",1); opts.Sheet $=$ "Sheet1"; opts.DataRange $=$ "B2:B25"; opts.VariableNames $=$ "VarName2"; opts.VariableTypes $=$ "categorical"; opts $=$ setvaroptions(opt, "VarName2", "EmptyFieldRule", "auto"); classify $\equiv$ readable("D:\MATLAB2020a\bin\最少24家供应商数据提取.xlsx", opts, "UseExcel", false); clear opts classify-double $\equiv$ table2array(varfun(@double, classify)); a=[1.2 1.1 1]; b=[0.6 0.66 0.72]; c1=1;c2=0.5; classify_score=(a(classify-double).*c1+c2).*b(classify-double); %% % opts $=$ spreadsheetImportOptions("NumVariables", 1); % opts.Sheet $=$ "Sheet1"; % opts.DataRange $=$ "A2:A25"; % opts.VariableNames $=$ "ID"; % opts.VariableTypes $=$ "string"; % opts $=$ setvaroptions(opt, "ID", "WhitespaceRule", "preserve"); % opts $=$ setvaroptions(opt, "ID", "EmptyFieldRule", "auto"); % str $\equiv$ readable("D:\MATLAB2020a\bin\最少24家供应商数据提取.xlsx", opts, "UseExcel", false); % clear opts % str $\equiv$ table2array(str); % supplier $=$ double(erase(str,"S")); %% X=zeros(24,24); f $\equiv$ classify_score'; intcon=24; A=1./b(classify-double); + +```matlab +for j=1:24 +vol=28200; +lb=zeros(1,24); +ub=MAX(:,j); +if j==1 +b=-vol; +x=intlinprog(f,intcon,-A,b,[],lb,ub); +k=0; +for i=1:24 +k=k+A(1,i)*x(i,1); +end +Q=k+vol; +X(:,j)=x; +else +b=Q-3*vol; +x=intlinprog(f,intcon,-A,b,[],lb,ub); +k=0; +for i=1:24 +k=k+A(1,i)*x(i,1); +end +Q=k+Q-vol; +X(:,j)=x; +end +end +``` + +程序编号 T2-3 文件名称 transfer計劃.m 说明 转运方案clc,clear,close allload economical.matdata=xlsread('附件2近5年8家转运商的相关数据.xlsx',1,'B2:IG9');y1=zeros(8,240);x=zeros(8,24);y=zeros(8,24);for i=1:8y1(i,:)=data(i,:)；x(i,:)=1:24for j=1:24for n=1:10y(i,j)=y(i,j)+y1(i,j\*n);endendendratio=y./10;ratio(ratio $= = 0) = 0.0324$ ratio(ratio<0.001 $\equiv$ 0.001intcon=192; + +```matlab +XX=zeros(192,24); +for j=1:24 + lb=zeros(1,192); + ub=repmat(6000,1,192); + A=zeros(8,192); + Aeq=zeros(24,192); + ra=ratio(:,j); + ra=repmat(ra',1,24); + ra=ra'; + q=X(:,j); + f=0.01*ra; + for i=1:8 + for n=1:192 + if mod(n,8) == i + A(i,n)=1; + else + end + end + end + for i=1:24 + A(8,8*1)=1; + end + for i=1:24 + for n=1:192 + if ceil(n/8) == i + Aeq(i,n)=1; + else + end + end + end + B=repmat(6000,8,1); + Beq=X(:,j); + jieguo=intlinprog(f,intcon,A,B,Aeq,Beq,lb,ub); + XX(:,j)=jieguo; +end +Target=zeros(24,192); +for i=1:24 + for j=1:24 %供应商 + Target(j,8*(i-1)+1:8*i) = XX(8*(j-1)+1:8*j,i); + end +end +``` + +# 问题三： + +
程序编号T3-1文件名称mopso.m说明多目标粒子群优化函数
function [REP]=mopso(c,iw,max_iter,lower_bound,upper_bound,swarm_size,rep_size,grid_size,alpha,beta,gamma,mu,objective,constraint)%% initialize parametersif nargin==0c=[0.1,0.2];% [cognitive acceleration,social acceleration] coefficientsiw=[0.5 0.001];% [starting,ending] inertia weightmax_iter=100;% maximum iterationslower_bound=zeros(1,3);% lower bound of varsupper_bound=pi/2*ones(1,3);% upper bound of varsswarm_size=100;% swarm size rep_size=100;% Repository Sizegrid_size=7;% Number of Grids per Dimensionalpha=0.1;% Inflation Ratebeta=2;% Leader Selection Pressuregamma=2;% Deletion Selection Pressuremu=0.1;% Mutation Rateobjective=@fitness;% objective functionconstraint=@constraints;% constraints functionend%% initialize particlesfprintf('Initializing swarm...\\n')w=@(it)((max_iter-it)-(iw(1)-iw(2))/max_iter+iw(2);pm=@(it)(1-(it-1)/(max_iter-1))^1(mu);swarm(1,swarm_size)=Particle();for i=1:swarm_sizeswarm(i)=Particle(lower_bound,upper_bound,objective,constraint);retry=0;while ~all(swarm(i).isFeasable)&& retry<100swarm(i)=Particle(lower_bound,upper_bound,objective,constraint);retry=retry+1;endendREP = Repository(swarm,rep_size,grid_size,alpha,beta,gamma);
+ +
程序编号T3-2文件名称Particle.m说明定义Particle类
classdef Particle
properties
x
l
u
+ +v +cost +isFeasable +pBest +pBestCost +GridIndex +isDominated +end +methods +function obj $=$ Particle(lower,upper,objective,constraint) if nargin $>0$ obj.GridIndex $\equiv 0$ obj.isDominated $=$ false; obj.x $=$ unifrnd(lower,upper); obj.l $=$ lower; obj.u $=$ upper; obj.v $=$ zeros(1,max(length(lower),length(upper)); obj.isFeasable $=$ constraint(obj.x); if all(obj.isFeasable) obj.cost $=$ objective(obj.x); obj.pBestCost $=$ obj.cost; obj.pBest $=$ obj.x; else obj.cost $=$ NaN; obj.pBestCost $=$ NaN; obj.pBest $=$ NaN; end +end +end +function obj $=$ update(obj,w,c,pm,gBest,obj,constraint) obj $=$ obj.updateV(w,c,gBest); obj $=$ obj.updateX(); obj.isFeasable $=$ constraint(obj.x); if all(obj.isFeasable) obj.cost $=$ objective(obj.x); else obj.cost $=$ NaN; end +obj $=$ obj.applyMutation(pm,obj); obj $=$ obj.updatePbest(); +end +function obj $=$ updateV(obj,w,c,gBest) obj.v $=$ w.\*obj.v + c(1).*rand.\*(obj.pBest-object.x) + c(2).*rand.\*(gBest.x-object.x); +end +function obj $=$ updateX(obj) + +i=find(or(obj.x+obj.v>obj.u,obj.x+obj.v=sum(obj1.isFeasable) d = true; else d = false; end end function obj=updateGridIndex(obj,Grid) nObj=length(obj.cost); nGrid=length Grid(1).LB); GridSubIndex=zeros(1,nObj); for j=1:nObj GridSubIndex(j)=find(obj.cost(j) 0 + obj.rep_size = rep_size; + swarm = Particle.updateDomination(swarm); + obj.swarm = swarm({~[swarm.isDominated]); + obj.grid_size = grid_size; + obj.alpha = alpha; + obj.beta = beta; + obj_gamma = gamma; + obj.Grid = obj.grid(); + for i = 1: length(obj.swarm) + obj.swarm(i) = obj.swarm(i).updateGridIndex(obj.Grid); + end + end +end +function Grid = grid(obj) + C = vertcat(obj.swarm.cost); + cmin = min(C,[],1); + cmax = max(C,[],1); + dc = cmax - cmin; + cmin = cmin - obj.alpha * dc; + cmax = cmax + obj.alpha * dc; + nObj = size(C,2); + empty_grid.LB = []; + empty_grid.UB = []; + Grid = replmat(empty_grid,nObj,1); +``` + +```matlab +for j = 1:nObj + cj = linspace(cmin(j), cmax(j), obj.grid_size + 1); + Grid(j).LB = [-inf, cj]; + Grid(j).UB = [cj, +inf]; +end +end +function leader = SelectLeader(obj) + GI = [obj.swarm.GridIndex]; + OC = unique(GI); + N = zeros(size(OC)); + for k = 1:length(OC) + N(k) = lengthfind(GI == OC(k)); + end + P = exp(-obj.beta * N); + P = P / sum(P); + sci = Repository.RouletteWheelSelection(P); + sc = OC(sc); + SCM = find(GI == sc); + smi = rand([1 length(SCM)]}; + sm = SCM(smi); + leader = obj.swarm(sm); +end +function obj = DeleteOneRepMemebr(obj) + GI = [obj.swarm.GridIndex]; + OC = unique(GI); + N = zeros(size(OC)); + for k = 1:length(OC) + N(k) = lengthfind(GI == OC(k)); + end + P = exp(obj.gamma * N); + P = P / sum(P); + sci = Repository.RouletteWheelSelection(P); + sc = OC(sc); + SCM = find(GI == sc); + smi = rand([1 length(SCM)]); + sm = SCM(smi); + obj.swarm(sm) = [];; +end +function obj = update(obj, swarm) + swarm = Particle.updateDomination(swarm); + obj.swarm = [obj.swarm, swarm({[swarm.isDominated]})]; + obj.swarm = Particle.updateDomination(obj.swarm); + obj.swarm = obj.swarm({[obj.swarm.isDominated]); + obj.Grid = obj.grid(); + for i = 1:length(obj.swarm) +``` + +obj.swarm(i) $=$ obj.swarm(i).updateGridIndex(obj.Grid); end Extra=length(obj.swarm)-obj.rep_size; for e=1:Extra obj $\equiv$ objDeleteOneRepMemebr(); end end end methods (Static) function i $=$ RouletteWheelSelection(P) i $=$ findrand $< =$ cumsum(P),1,'first'); end end end end + +问题四： +程序编号 T4-2 文件名称 data_to_indicator.m 说明 最大产能下订购方案clc,clear,close alldata=xlsread('前50家供应商数据提取.xlsx',2,'C2:IH51');for $i = 1:50$ MIN(i,1)=min(data(i,:));MAX(i,1)=max(data(i,:));endMAX=0.42*MAX;%%options $\equiv$ spreadsheetImportOptions("NumVariables",1);options.Sheet $\equiv$ "Sheet1";options.DataRange $\equiv$ "B2:B51";options.VariableNames $\equiv$ "VarName2";options.VariableTypes $\equiv$ "categorical";options $\equiv$ setvaropts(options,"VarName2","EmptyFieldRule","auto");classify $\equiv$ readable("D:\MATLAB2020a\bin\前50家供应商数据提取.xlsx",options,"UseExcel",false);clear optionsclassify-double $\equiv$ table2array(varfun(@double,classify));a=[1.2 1.1 1];b=[0.6 0.66 0.72];c1=1;c2=0.5;classify_score=(a(classify-double).*c1+c2).*b(classify-double);for $i = 1:50$ if classify-double $= = 1$ MAX(i,:)=MAX(i,:)*1.1; + +else if classify-double $= = 2$ +MAX(i,:) $\equiv$ MAX(i,:)\*0.9; +else if classify-double $= = 3$ +MAX(i,:) $\equiv$ MAX(i,:)\*0.8; end end end end end +%% +plan=zeros(50,48); +for i=1:50 plan(i,1)=ceilrand\*MAX(i,1)); +end +for i=2:48 f=ones(50,1); for k=1:50 f(k,1) $\equiv$ f(k,1)./b(classify-double(k,1)); end f=ones(50,1); intcon=50; v=ones(1,50); A=diag(v); A=[A;ones(1,50)]; B=zeros(51,1); B(51,1)=48000; for j=1:50 B(j,1)=MAX(j,1)-0.9\*plan(j,i-1); end lb=zeros(1,50); x=intlinprog(-f,intcon,A,B,[],],lb,[],); plan(:,i)=x; +end +plan=cell.plan); + +# 附录二：支持材料文件列表 + +1. MOPSO\mopso.m +2. MOPSO\Particle.m +3. MOPSO\Repository.m +4. RAGA_PPCE\Feasibility.m +5. RAGA PPCE\RAGA.m +6. RAGA_PPCE\RAGA_PPCE.m +7. RAGA_PPCE\Target.m +8. 附件A、附件B——求解结果\附件A订购方案数据结果.xlsx +9. 附件A、附件B——求解结果\附件B转运方案数据结果.xlsx + +10. data_toindicator.m +11. deviation.fig +12.economical.mat +13.economical計劃.m +14. max_capacity.m +15. max_capacity_eco.mat +16.minSUPPLIER.M +17. multiple_target_eco.m +18. multiple_target_eco.mat +19. multiple_target_trans.m +20.Q3visual.fig +21. transfer_plan.m +22. visual1.fig +23. visual2.fig +24.前50家供应商数据提取.xlsx +25.指标选取.xlsx +26.最少24家供应商数据提取.xlsx \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/C283/C283.md b/MCM_CN/2021/C283/C283.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0cf3da03a78562aae4d34011add11d1e7527d6f3 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/C283/C283.md @@ -0,0 +1,1624 @@ +# 双目标贪心优化下的企业原料订购运输方案 + +摘要 + +生产企业的原料订购与运输计划受采购成本、运输损耗、原料类型等各种因素影响，且部分特征与时间相关。本文基于某企业所需三种原料属性与多家原料供应商、原料转运商的历史交易信息，建立存贮模型下的多目标贪心优化等模型，对该企业未来24周的订购运输决策提供方案。 + +针对问题一，对给定的402家供应商进行评价分析。对所有供应商进行数据预处理，清洗掉历史参考价值较低的供应商。对筛选留下的176家供应商，建立反映合作可靠性的评价指标体系，遴选出9类代表性指标量化各方面供货特征，其中重点关注订单信誉度、货量波动等方面。运用熵权法确定各指标的初始体系权重。分析初始结果，运用层次分析法对模型进行修正：将9项指标分为三类，引入人工判断二次调节权重。该模型保留了数据本身区分属性，且符合人类经验判断，同时通过了一致性检验。应用此模型对176家供货商打分排序，选择前50家最优的供货商列在文中，并例举前5家的指标雷达图。 + +针对问题二，“最经济”方案的制定属于双目标优化问题：采购成本最少，运输损耗最少。将第一问中50家供应商依据供货时间特征分为平稳型、周期型，分别构造供应模式。建立企业的经济进货存贮模型，简化原料储存策略。在多个子模型基础上建立第二问的双目标定量规划式，分别定义采购、转运、存储过程的目标函数和约束关系。参照外层供应商、内层转运商的最优评分排序，针对不同商家供货量及供应-转运交接关系，构建双层贪心算法并论证其合理性。提出四种关键式对供货量作决策，实验求解对比各关键式结果，选取最优关键式嵌入模型。该模型求得的方案平均采购成本为20488单位/周，平均转运损耗为135.33单位/周，合作商家数量大约为16家。在模型中对各商家参数与关键环节引入供货参数等随机变量，使模型更加吻合真实情景，并提高其自动调整订购策略的能力，加强了模型的稳健性。 + +针对问题三，以压缩存储成本为目标，对第二问模型进行定向权重重排筛选操作。首先论证存储成本最小化等价于推论“尽量增加A类订单、减少C类订单”。基于此推论，对原50家供应商二次评分，指定重判权重：A类1.05，B类1，C类0.95，处理原评分得到新体系下供应商评分及排序。另外在原贪心算法中添加定向筛选环节，提高对C类原料的动态排斥度。应用新模型求解，得A类/C类周供应量比值为7.34，平均转运损耗为72.73单位/周，验证了推论方向的正确性，并给出了具体供货量与商家匹配决策方案。 + +针对问题四，产能提升的方法应当基于前文贪心优化模型。扩大供应商范围至全部176家有效商家。论证在提高产能前提下，企业的产品收益不会亏损，该优化方向是合理的。另外，此处存贮模型与订购运输方案满足独立不干扰性。对提高后的产能进行建模，提出动态产能、静态产能两种模式：产能的动态演变使该模型所得方案可根据当前状态累积提升产能消耗，具备进化性，适用于发展期企业；静态产能保证了企业各量的稳定性，相关比例可定制单周产能的个性化分配方案，适用于稳定期企业。本文选取动态产能求解实验，得出该方案下动态产能平均量为 $43299m^3$ /周，相比原固定产能提升了 $53\%$ ，24周前后自身提升了 $27\%$ 。 + +关键词：双目标优化 存贮模型 贪心 评价指标体系 + +# 1 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +已知某建筑板材生产企业需要对自身产能原料的订购与运输进行未来24周的计划，使得任何时候都能够满足企业未来两周的产能需求，同时尽量使方案更加经济可行。原材料总体分为A，B，C三种类型。 + +原料从购入到生产大体经过以下三个环节：订货、转运与存储。这三个环节中涉及的对象除了该生产企业之外，还有原材料供应商（“供应商”）和运输的物流公司（“转运商”）；各供应商、转运商均有多家可供选择。在订货环节中，每家供应商只生产一种货物，企业根据自身的产能需求对某些供应商提出下一周原材料需求（“订货量”）；但供应商的实际生产受各种因素影响，实际供货量（“供货量”）与订货量不完全一致，并且根据合约企业会全部收购供货量的货物。而在转运途中，原材料由于路途损耗（以“损耗率”记录），最终抵达仓库的量将少于供货量（“接受量”）；一家供货商的原料在一周内只由一家转运商运输。 + +一年以48个生产周计算，企业的产能需求为一周2.82万立方米，每立方米生产需要特定的A或B或C原料量。三个环节中均会产生成本，其中订货成本各有差别（以C为标准记录相对价格），而转运与存储成本三者相同。A，B，C的产能值与相对价格见表1： + +
原料每立方米产能所需 (m3)采购相对价格
A0.6120%
B0.66110%
C0.72100%
+ +表 1: 原材料相关数据表 + +企业仓库存储的要求为，任何时候的库存应当保证未来两周的需求。 + +# 1.2 问题提出 + +现在给出两个附件，其中附件1包含了402家供应商在5年内240周自身原料的订货量及对应供应量。订货量为0时说明该周该供应商没有供货订单。附件2包含8家转运商5年内运输的损耗率，其中损耗率为0说明该转运商该周没有进行转运作业。 + +由问题背景及附件，尝试帮助该企业拟订合理的原料订购与运输方案： + +(1) 问题一: 对于附件 1 中的 402 位供货商的供货特征进行分析评价, 从企业需求保证考虑出发,选出最适于合作的 50 家供应商。 +(2) 问题二: 参考问题一的分析评价, 选择至少某几家供应商进行订货需求, 在满足仓库要求的基础上, 以 “订购方案最经济” 和 “转运损耗最少” 为目标, 制定未来 24 周的订购转运方案。并且对该方案的实施效果进行分析。 + +(3) 问题三: 注意到 A, B, C 的生产成本与单位产值关系, 考虑在压缩转运存储成本的目标下,可以尽量提高 A:C 产品量的比值等等。基于该“转运存储成本的压缩”, 同时延续问题二 “转运损耗最少”, 制定新的订购转运方案。对方案效果进行分析。 +(4) 问题四: 该企业的产能具有了提高的能力, 故根据当前原材料情况出发, 探讨每周产能可以提升多少, 并且给出订购转运方案。 + +# 2 问题假设 + +# 一、供货商和转运商的特征属性不考虑季节变化，但考虑周期性变化。 + +由于多数供货商数据缺少足量季节样本分析，且观察数据可知特征随时间变化趋势不明显，故本题中不考虑季节影响。注意：此处季节指周的年坐标，与“周期”类循环量概念不同。 + +# 二、一家转运商在一周中可运多家供应商的货物。 + +由题可知一家供应商一周内的货物均由一家转运商负责，而转运商的最大运输量、转运商个数、供应商单次供货量反映可知：若假设一家转运商只运一家供应商货物，则实际接收量难以满足一周要求，故原假设不成立。 + +# 三、企业的储存容量是无限的，初始库存满足两周产能约束。储存成本为一次性，即持续储存不消耗成本。 + +为满足题给约束，规定企业的初始库存有 $28200^{*}2m^{3}$ 。在题目中未给出储存容量的约束，且未给出三种货物采购、运输、储存之间的相对成本比例，故无法对持续性储存消耗建模。考虑简化情况，即单次储存消耗。 + +# 四、商家的信誉、交货准确度等属性是确定的。 + +假设5年中每家商家的交货偏差、货量波动、周期等属性固定不变，或有确定的对应关系。忽略掉5年中偶然因素对其的影响，以便于提取商家准确内在属性。 + +# 五、企业对于库存中A,B,C货物的选取消耗规则是自动的。 + +该题解重点考虑原料的采购、运输方案，对于企业仓库中每周不同货物选取规则进行简化。企业总是会自动选取最优方案消耗，如，当A料较多，而B,C料紧缺时，优先利用A料转化产能。基于此点考虑，除开问题三我们不关心仓库中三种货物分别存储量，故该题的存贮模型可简化为转化后的“产值”的量。 + +# 3 符号说明 + +
符号含义说明单位
k周数 (1 ≤ k ≤ 24)次序
i50家供应商排名 (1 ≤ i ≤ 50)次序
j转运商排名 (1 ≤ j ≤ 8)次序
di,k第i个供应商在第k周的订货量m³
si,k第i个供应商在第k周的供货量m³
ti,k第i个供应商在第k周的接收量m³
ji,k第i个供应商在第k周对接的转运商编号
wk企业第k周的库存产能m³
Δwk企业第k周新接收的产能m³
vk企业第k周消耗的动态产能m³
Ck企业第k周的采购成本C单位价格 /m³
Lk企业第k周的运输损失产能m³
pi第i个供应商的偏差率%
Dpi第i个供应商偏差率的标准差%
lj第j个转运商的损耗率%
Dlj第j个转运商损耗率的标准差%
ri第i家供应商对应产品类别的相对成本-
zi第i家供应商对应产品类别的单位产能转化率-
ni第i个转运商在240周中的总订单数 (1 ≤ i ≤ 240)笔
mi第i个转运商在240周中的完成订单数 (1 ≤ i ≤ 240)笔
+ +注：表中未出现的符号在文中均有详细说明。 + +表 2: 符号说明表 + +# 4 问题分析 + +# 4.1 问题一的分析 + +该问主要对402家供货商的情况进行整体评价分析，以便于后续方案的建模与求解。评价分析的思路流程如下： + +首先对数据进行预处理。依据附件1，对于240周内所得样本订单不足的供货商，由于其数据过少，难以在忽略偶然因素的影响下确定其供货特点，故对其进行排除。该合格指标可通过订单数量、总订货量等等进行判断。 + +构建供货特征评价指标，对预备供货商集进行量化分析。此处的指标评定参考文献并结合该数据集分析进行构建。根据历史订单情况给每个供货商打分，并且引入层次分析法、熵权法等打分式 + +模型，将各指标融合多角度判断评价。 + +根据该供应商评价模型，确定50家最具合作潜力的供应商，列表给出在文中。 + +# 4.2 问题二的分析 + +第二问基于前一问给出的50个供应商，结合8个转运商，确定未来24周的理想订购转运方案，以达到订购成本最少化、转运损耗最小化的目标。最后对该方案进行实施效果的分析。 + +该问内含多层模型，外层为双目标定量规划问题，内层为经济进货存贮模型，同时还包含了第一问的商家建模。建模时首先分析存贮模型的基本属性，再将其嵌套入目标规划中作为约束部分。另外从时间角度考虑细化供应商模型，将问一中50家按照供货量时间特征分为“平稳型”和“周期型”，分类讨论其供货模式。 + +在模型的求解部分，基于优化的目标与模型中排名因素，自然考虑贪心算法的应用。对采购、转运环节展开讨论，提出一种双层贪心算法，论证贪心在此处优化的合理性；并讨论关键式-商家订购量计算公式的选择，对不同公式进行程序求解、对比分析得出可行方案。在最后的效果分析中，画出最优方案中各类型的供货变化、总库存变化状态、成本变化等指标，并进行解释说明。 + +# 4.3 问题三的分析 + +题目对订货运输方案要求进行更改，提出了压缩成本的角度，并且得出推论应使A类原料尽可能多、C类尽可能少。应当对这条结论进行证明解释，再加以应用。压缩成本与单位产能密度、原料性价比相关，分析三种原料这方面的性质。 + +利用推论构思新的模型算法思路。从供应商排序模型出发，设计新评价方式使A类供应商的评价提高、C类评价降低，引入调整权重做此步处理。除此之外，对原先贪心算法的实现过程添加筛选机制，使C类商家被选中的频率进一步降低，可从优先度相近的其余供应商作替代考虑。 + +最后对实验结果的A、C类商家比例，新方案的运输损耗量进行展示及分析说明。 + +# 4.4 问题四的分析 + +问题四的要求与问题二、三相对，将前两问的约束条件转化成了最优化目标，而先前的最优化目标在此处不做限制，因此模型上可继承第二问模型框架思路。不同的工作为，此处产能的消耗不再是原先规定定值，考虑两种情况：动态产能变化与静态产能变化。分别对这两种情况进行建模、推理、讨论，依据更新后的模型进行引入随机参数的模拟，重复实验并分析其代表性效益量在产能提升前后的变化。 + +动态产能与静态产能的思路不一样，动态主要约束条件为存贮模型警戒点，而静态产能需要进行解析分析，推算得出表达式。 + +# 5 问题一的供应商评价选择 + +# 5.1 建立评价模型 + +# 5.1.1 数据预处理 + +首先，根据历史5年供应商的供货总量，分离开供货总量过小的供应商，使得数据更有参考价值。作出图1可知，选取总供货量100为分界线，先行考虑大于100的供应商，共筛选得到176家供应商。 + +![](images/67fcaa0b78f47250a1fdb38d8b8b5d9e27f2f71222d792755902f5f92271f85b.jpg) +图1：历史总销售量供应商分布 + +![](images/c89dd53db07d9d5a1bb6ebf2b29593edd35c5364b3a1232dd0cd1681c32b28f1.jpg) + +同时，可以检验本题中不存在“延迟交货”这一现象，即并不存在某订单量为0，而相应的供货量不为0的情况。 + +# 5.1.2 指标选择 + +整个供应链系统是一种人工和自然相结合的多变量、多目标、多约束条件的复杂非线性开放系统，供应商系统是这当中的一个子系统。对于这类系统的指标设计，应遵循如下原则： + +（一）指标系统性。由于系统受到多重因素影响，所以选择的参数要尽可能全面、系统地反映供应商目前地综合水平，并对未来有一定指导。 +（二）指标科学性。将绝对数指标和相对数指标相结合，通过绝对数指标反映出供应商总量上、规模上地情况，通过相对数指标反映出速度和比率等。两类指标相辅相成，结合分析，可以更为准确地反映实际情况。 +（三）指标实用性。这主要包括指标的可计算性及计算所需数据的可行性。指标具有一定的灵活性，使得供应商根据情况合理利用。 + +为了量化第i家供应商的供货特征，从企业合作能力、绩效、灵活性等角度定义如下指标3： + +
指标计算方法数学表达式
供货及时性 fi(1)准时供货次数/总订货次数·100%mi/ni·100%
交货准确度 fi(2)(供货量-订货量)/订货量2的平均值1/ni ∑i=1240 (sik-dik)/dik2
供货波动性 fi(3)(供货量-订货量)的标准偏差/供货量-订货量的平均值ni·SD(sik-dik)/∑i=1240 (sik-dik)
供货量方差 fi(4)供货量在题给240周下的方差Ds_i
产品占有率 fi(5)供货量/此类材料总供货量·100%1/ni ∑i=1sik/∑i=1sik·100%
信誉度 fi(6)每周的交易准确度·ln(订货量)此类材料 sik-dik/dik·ln dik
平均忙期量 fi(7)供货量>5时供货量的平均值1/ni ∑dik>5sik
批量柔性 fi(8)每周供货量最大能增加的百分比maxik/sik-dik/dik
供给弹性 fi(9)供货量方差/240周供货量平均值·100%n_i·Ds_i/∑i=1240sik·100%
+ +表 3: 指标确定 + +下面给出这9个指标的实际意义[1]： + +- $f_{i}^{(1)}$ 供货及时性反映供应商订单的完成率，鉴于上文已经验证了不存在“延迟交货”的情况。 +- $f_{i}^{(2)}$ 交货准确度衡量了供货量与订货量之间的偏差情况。 +- $f_{i}^{(3)}$ 供货波动性反映供货与订货的差量这组数据的离散程度，体现了供货是否稳定。 +- $f_{i}^{(4)}$ 供货量方差体现供应商所能供货的波动性大小，这是一个极小型指标。 +- $f_{i}^{(5)}$ 产品占有率反映供应商在供应链中的重要性，以此反映它对于保障生产的重要性。 +- $f_{i}^{(6)}$ 信誉度考虑了在订货数量大小有差别时，供货商的供货数据有效性并不相同。能够很好满足更大量的订货，比满足较小的订货，应当更有参考价值。这是一个极小型指标。 +- $f_{i}^{(\tau)}$ 平均忙期量比单纯计算供货量的平均值更有意义，它去除了供应商没有订单而导致的供货量为0的情况。这个指标在第二问也有不小的作用。 +- $f_{i}^{(8)}$ 批量柔性用来衡量供应商的速度，如果企业增加订单，供应商在供给批量中最大能增加的百分比。 +- $f_{i}^{(9)}$ 供给弹性形容的是供应商能够同时满足大订货量和小订货量的能力。 + +# 5.1.3 评价体系的建立 + +# （一）熵权法初步确定权重 + +为了尽可能的精确客观，选择熵权法对于上述9个指标确定权重，打分评价，用各个供应商的得分来反映它们对于保障企业生产的重要性。 + +熵权法用于对有限个决策进行评价，通过对不同指标的信息熵进行对比，确定指标的权重，最终决定最优策略。通常来说，如果某个指标的信息熵越小，表明不同决策对应该指标的变化程度越大，提供的信息也就越多，起到的作用越大，它的权重也就越大。它的具体步骤如下： + +# Step1. 数据标准化 + +设 $X_{ij}$ 表示评价对象i在第j个指标处的取值。对于极大型指标和极小型指标，应用不同的方法对其进行标准化。对极大型指标，定义标准化后的值 $Y_{ij} = \frac{X_{ij} - \min_i X_j}{\max_i X_j - \min_i X_j}$ ；对极小型指标，定义标准化后的值 $Y_{ij} = \frac{\max_i X_j - X_{ij}}{\max_i X_j - \min_i X_j}$ 。 + +# Step2. 求出各指标的信息熵 + +根据信息熵的定义，一组数据的信息熵 + +$$ +E _ {j} = - \frac {1}{\ln n} \sum_ {j = 1} ^ {n} p _ {i j} \ln p _ {i j} \tag {5.1.1} +$$ + +其中 $p_{ij} = \frac{Y_{ij}}{\sum_{i=1}^{n} Y_{ij}}$ ，如果 $p_{ij} = 0$ ，定义 $\lim_{p_{ij} \to 0} p_{ij} \ln p_{ij} = 0$ 。 + +# Step3. 确定各指标的权重 + +利用（2）中得到的信息熵，计算出权重 + +$$ +W _ {j} = \frac {1 - E _ {i}}{k - \sum_ {i} E _ {i}} \tag {5.1.2} +$$ + +# （二）层次分析法适度修正 + +由于熵权法仅是根据数据自身混乱程度，来比较得出各个指标的权重。但根据实际操作结果来看，这难免会出现与事实不吻合的情形，需要在适度范围内修正。于是加入人工干预，以熵权法得到的权重作为参考，应用层次分析法改进此评价体系。 + +层次分析法是一种系统性的分析方法。简洁使用，需要定量数据。 + +本问中将 9 个指标归类并修改为二级指标, 新定义三个一级指标: 绩效评价、战略意义、潜力估计, 得到如下图2所示的评价指标体系。二级指标相关部分的权重依据熵权法确定; 一级指标相互间的权重查阅文献, 利用层次分析法得到, 具体步骤如下: + +![](images/6a42e75635f49ecc2ba28829c195d9ec4da55d5727b54b6d73f98336f8bd141d.jpg) +图2：评价指标体系 + +Step1. 计算比较矩阵的特征值。将最大特征值的特征向量归一化，作为权向量。确定各因素的权重。 + +Step2. 一致性检验，防止确定权重随意而导致矛盾。引入一致性指标 $CI$ 和随机一致性指标 $RI$ ，计算一致性比率 $\frac{CI}{RI}$ ，当小于0.1则满足条件。 + +# 5.2 模型求解 + +# 5.2.1 供货特征的量化分析 + +用交易型、战略型、大额型来描述供应商的供货特征。通常来说，交易型指为数众多，但交易金额较小的供应商；战略型指公司战略发展必需的几家供应商；大额型指交易数额巨大，但是战略意义一般的供应商。[2] + +这三种特征在所给的供应商中都有所体现。对于交易型特征为主的供应商，它们供应量不大、灵活性较强，但是增长潜力有限，对于保障企业生产重要性有限，可以预见它们的排名较后，这在下文评价体系求解中得到验证。对于战略型或者大额型特征为主的供应商，它们生产规模较大，有较好的财务状况，往往对该企业生产保障起到重要作用。 + +除此以外，求出9个指标对应的值。注意到指标中供货量方差 $f_{i}^{(4)}$ 、供货波动性 $f_{i}^{(3)}$ 、交货准确度 $f_{i}^{(2)}$ 是极小型指标其余是极大型指标，分别用不同的方法将它们标准化，并且均化为极大型指标，便于观察。具体见附录A。 + +# 5.2.2 供应商重要性的评价与分析 + +首先，运用SPSSAU求出各指标权重，如下图3蓝字所示。譬如“供给弹性”指标，它在评价保障生产的重要性时作用较为次要，但因为其离散程度较大，解得的权重相应较大，与具体情况矛 + +盾，需要进行合理范围内的修正。 + +然后，利用层次分析法，根据文献与经验，给出比较矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0.2 & 0.167 \\ 5 & 1 & 0.769 \\ 6 & 1.3 & 1 \end{bmatrix}$ ，解得绩效评价、战略意义、潜力估计对应的权重为 $40.467\% ,51.219\% ,8.314\%$ ，且通过一致性检验。结合先前二级指标的权重，得到修正后的指标权重，如下图3黄字所示。 + +![](images/4194ede913c64ead5aa04be89c627dd331f493dc15466c2582a3ff4720ff8b91.jpg) +指标权重的确定 +图3：层次分析法修正前后的权重的比较 + +基于修正后的权重，对供应商 $i$ 进行打分。记分数为 $w_{i}$ 则 + +$$ +w _ {i} = 0. 1 0 1 \cdot f _ {i} ^ {(1)} + 0. 1 9 8 \cdot f _ {i} ^ {(2)} + 0. 0 9 7 \cdot f _ {i} ^ {(3)} + 0. 0 0 8 \cdot f _ {i} ^ {(4)} + 0. 2 2 5 \cdot f _ {i} ^ {(5)} + 0. 0 9 2 \cdot f _ {i} ^ {(6)} + 0. 1 9 5 \cdot f _ {i} ^ {(7)} + 0. 0 0 6 \cdot f _ {i} ^ {(8)} + 0. 0 7 7 \cdot f _ {i} ^ {(9)} \tag {5.2.1} +$$ + +打分得到50家最重要的供应商，如下表4所示： + +
排名供应商ID评分排名供应商ID评分排名供应商ID评分
1S2010.7597464518S3480.4592106535S0050.388482065
2S2290.64616099819S3740.45299639736S1230.385770748
3S3610.62698678520S1260.45270755137S3670.38271972
4S1400.58272031821S3520.45189769738S0370.37993823
5S1080.56216390722S3560.45178297339S1890.376542632
6S2820.54118621123S2840.44396270640S3460.374376793
7S3400.53637751724S2470.44272208341S2440.372966686
8S2750.52999037525S0310.43432379542S3640.372366756
9S3290.52670186126S3070.43069468343S0550.371128447
10S3950.52337923927S3650.42326715344S2100.365853787
11S1310.50705658828S1430.42326177445S0740.362386554
12S2680.50321977929S2940.41071967746S0780.361104426
13S3060.49583385530S1390.40576811347S0860.354186795
14S1510.48919939231S2180.40443529748S0070.350107187
15S3080.48378842232S0800.40015872949S2730.349888122
16S3300.46584528333S0400.39421310650S0030.347399242
17S1940.46501351234S2660.394086124
+ +表 4: 排名前 50 的供应商 + +如下图4，作出了部分排名在前的供应商的特征分布。结合下图4和附录B中的数据，可以发现排名在前的供应商大多有两个及以上的指标表现较为出色，或者大部分指标均表现良好，这与现实认知相符。这些排名在前的供应商与企业合作频繁，供货量大，能准时供货的情况数多；那些交易量少，食言次数多的企业均排名在后。除此以外，排名靠前的企业有的供货弹性较大，有的供货潜力较好……能够满足企业的各种策略要求，对于保障企业生产发挥着至关重要的作用。由此，评价体系的合理性可见一斑。 + +![](images/057f3c4312f8fa327ab9c35bd8a4290be7c6a8bddf4e25948beb725adf3f41a8.jpg) +图4：前5名供货特征比较 + +# 6 问题二中贪心算法求解双目标优化问题 + +# 6.1 模型建立 + +在分析中我们指出，这一问的模型包含多个部分：内层的经济进货存贮模型，外层的双目标定量规划问题，以及问题一中求得的供应商模型。以下对这几个子模型分别进行建模与解说。 + +# 6.1.1 经济进货存贮模型 + +存贮模型是数学建模中一种常用模型，存贮论本身也涉及有最优存储策略的运筹求解。由于该题着重对存贮之前的采购-运输环节的策略进行讨论，故依据假设五，此处的存贮模型进行了适当简化，保证在完整表示目标约束条件的同时，不将模型过于复杂化。[3] + +该情景模型中所涉及到的存贮要素有： + +- 需求量：每周对于产能的需求量为 $28200m^3$ ，间接代表对A，B，C三种物品的需求量。 +订货批量：一次订货中，包含A,B,C的数量。此为我们本问优化求解的对象。 +订货间隔期：一周一次订货（进货）。 +·相关费用：分为订货费、运输费和存贮费。 + +该企业的存贮策略为 $(t,s)$ 型策略，即，每隔一周补充进货一次，补充量参考存贮警戒点 $s$ 进行设计。警戒点约束条件为满足未来两周的产能供应，即 $s = 28200 * 2 = 56400(m^3)$ + +依据假设五，对A,B,C的存储进行简化处理，实际分开存储的三种货物在此模型中统一转换为产能进行存储，第i家供应商对应商品的单位产能转换系数 $z_{i}$ 依题可知。故对第i个商家在第k + +周的接收量 $t_{i,k}$ 所得到的产能，有转换公式： + +$$ +w _ {i, k} = \frac {t _ {i , k}}{z _ {i}} \tag {6.1.1} +$$ + +由此，第k周企业获得的产能值 $\Delta w_{k}$ 为 + +$$ +\Delta w _ {k} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} w _ {i, k} = \sum_ {i = 1} ^ {5 0} \frac {t _ {i , k}}{z _ {i}} \tag {6.1.2} +$$ + +第 $\mathrm{k}$ 周总库存产能值 $w_{k}$ 基于上一周库存，还要进行消耗和补充操作，有 + +$$ +w _ {k} = w _ {k - 1} + \Delta w _ {k} - 2 8 2 0 0 \tag {6.1.3} +$$ + +由于模型警戒点的设置，我们假设初始状态时企业库存量 $w_{0} = 56400$ ，刚好满足产能要求约束。该假设在保证模型自洽的同时，也没有给未来周的状态带来外来影响。 + +# 6.1.2 供应商模型的细化分类 + +分析数据发现，部分商家存在供应量非常小的时间段，而其余商家供货较为平稳、大致维持在同一水平波动。分析认为，周期性的存在表示了该商家具有短时间内提供大量货物的能力，但是之后需要一段时间进行供应量的积累恢复，从而造成了明显周期变化。 + +据此，定义两种供应商类型：平稳型、周期型。当该供应商某周供货量少于5时，该周算作供应“空期”，视为无法提供（中大额）订单。相应的，高于 $5m^3$ 的周记为“忙期”，即可以提供相对应数量级的大额订单。对于连续空期和连续忙期，算出其240周内平均时间长度，作为空期/忙期转换的周期长度。 + +在方案中对于周期型供应商的行为基于此周期建模：初期该供应商处于周期中某一随机位置，随着周数增加缓慢推进周期变化。当该周处于空期时，此商家不接受订单，产出量为0；当该周处于忙期时，依据往期忙期平均量、偏差率等属性，确定其接受的订单量。如果某一商家的平均空期为0，则说明其属于平稳型。人工粗略筛查50组数据确保，不存在位于5附近平稳波动的商家被误判为周期型的情况。 + +附录C为前50组商家的周期/平稳型分类情况。 + +# 6.1.3 双目标定量规划建模 + +企业一周进行订货流程包含如下三个环节： + +1. 采购。该环节交接对象为供货商与企业：企业每周向供应商预订订单上的订货量 $d_{i,k}$ ，供应商根据实际情况回返相应供货量 $s_{i,k}$ 。供货量与订货量之间存在一定差异，通过偏差率 $p_{i,k}$ 计算。对于供应商生产提供的供货量，无论其与订货量差别多少，企业均全盘接受。故采购环节产生的成本按照供货量计算，记为 $C_k$ 。（ $i$ 表示供货商编号， $k$ 表示周数） +2. 转运。此过程涉及供货商与转运商的匹配问题。一家供货商将提供的供货量交给仅一家转运商转运，第 $i$ 家供货商在第 $k$ 周对接的转运商记为 $kj_{i,k}$ 。转运过程中可能出现损耗，即损耗率 $l_{j}$ ，经过转运实际递交给企业的量为接收量 $t[i,k]$ ，小于先前供货量。 + +3. 存贮。企业将最终获得的接收总量存入仓库。仓库的容量假设是无限的，第 $k$ 周仓库库存量记为 $w_{k}$ 。转运与存贮环节成本统一记录。 + +# （一）基本量计算与随机变量假设 + +各量之间的关系有以下公式计算： + +$$ +s _ {i, k} = p _ {i, k} d _ {i, k} \tag {6.1.4} +$$ + +$$ +t _ {i, k} = \left(1 - l _ {j _ {i, k}, k}\right) s _ {i, k} \tag {6.1.5} +$$ + +假设偏差率 $p_{i,k}$ 、损耗率 $l_{j,k}$ 均为正态分布，由附件1处理得到每家供应商或转运商对应率的均值和标准差 $p_i, Dp_i, l_j, Dl_j$ ，生成正态分布的随机量来模拟未来24周中损耗率、偏差率的波动。 + +$$ +p _ {i, k} \sim N \left(p _ {i}, D p _ {i}\right) \quad l _ {i, k} \sim N \left(l _ {j}, D l _ {j}\right) \tag {6.1.6} +$$ + +此处对于偏差率和损耗率进行随机处理的考虑为，由假设一商家对应概率波动不存在季度变化，上下浮动看做真实世界中广泛存在的独立不相干干扰量的影响，在大部分情况下是基于正态分布的。同时，偏差率等本身具备了偏置性，正态分布的对称性并不会扭曲货量变化时的非对称性。另外，随机量的引入使得未来24周方案抛弃了一成不变的平稳型而具有波动性，在丰富方案的同时，也具备了自动上下调整库存的能力，使模型具有更强的稳健性。 + +# （二）目标函数 + +现有如下目标： + +a. “最经济”的订购方案 + +该目标要求方案的订购环节“最经济”，即订购成本越少越好。企业第i家供应商某一周的订单最终交易量应当以实际供货量为准，故有目标函数a： + +$$ +\min \sum_ {k = 1} ^ {2 4} \sum_ {i = 1} ^ {5 0} r _ {i} s _ {i, k} \tag {6.1.7} +$$ + +b. 转运损耗最少 + +基于目标函数a的最优解下，进一步确定转运方案。对于转运途中存在物品损耗的情况，也可看做成本的负方向指标。对于损耗量价值的量化估计，我们将其转换为产能，表示“在路途中损失的产能”。据此有以下目标函数b： + +$$ +\min \sum_ {k = 1} ^ {2 4} \sum_ {i = 1} ^ {5 0} \frac {s _ {i , k} - t _ {i , k}}{z _ {i}} \tag {6.1.8} +$$ + +# （三）约束条件 + +由题中各约束条件整理如下： + +1. 转运商每周最多运送 $6000m^3$ + +2. 贮存模型中存贮警戒点 $s$ 约束，要求满足未来至少两周库存； +3. 贮存模型中库存量 $w_{k}$ 的时间变化关系； +4.偏差率、损耗率基于正态分布的随机变量； +5. 订货量需满足一定合理性，不可过大或过小； +6.各参数的非负性。 + +# （四）双目标规划方程 + +$$ +\min \sum_ {k = 1} ^ {2 4} \sum_ {i = 1} ^ {5 0} r _ {i} s _ {i, k} \tag {6.1.9} +$$ + +$$ +\min \sum_ {k = 1} ^ {2 4} \sum_ {i = 1} ^ {5 0} \frac {s _ {i , k} - t _ {i , k}}{z _ {i}} \tag {6.1.10} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 0} ^ {5 0} s _ {i, k} \leq 6 0 0 0, \quad (\forall j, k, j _ {i, k} = j) \\ w _ {k} \geq 2 8 2 0 0 * 2 \\ w _ {k} = w _ {k - 1} + \Delta w _ {k} - 2 8 2 0 0 \\ p _ {i, k} \sim N \left(p _ {i}, D p _ {i}\right), \quad l _ {i, k} \sim N \left(l _ {j}, D l _ {j}\right) \\ s _ {i, k} = p _ {i, k} d _ {i, k} \\ t _ {i, k} = \left(1 - l _ {j _ {i, k}, k}\right) s _ {i, k} \\ 0 \leq d _ {i, k} \leq 6 0 0 0 \\ s _ {i, k}, t _ {i, k}, w _ {k} \geq 0 \end{array} \right. \tag {6.1.11} +$$ + +# 6.2 算法模型求解 + +# 6.2.1 构建贪心算法 + +对于双目标优化类问题，考虑贪心算法进行求解。此处构架双层贪心，优先满足目标函数a即供应环节，其次满足目标函数b即转运环节。算法伪代码见下： + +# 相关量说明 + +$X$ -供应商集， + +Y-转运商集， + +KeyExpression - 关键式 + +Algorithm 1 双层贪心算法：求采购最经济方案及其对应运输方案 +1: for week $k = 1\rightarrow 24$ do +2: $w_{k}\gets w_{k - 1} - 28200$ +3: for $x_{i},i = 1\rightarrow 50$ do +4: if $x_{i}\in X_{\text{steady}}$ then +5: $d_{i,k}\gets \text{KeyExpression}$ +6: else $x_{i}\in X_{\text{periodic}}$ +7: if $x_{i}$ 处于忙期 then +8: $d_{i,k}\gets \text{KeyExpression}$ +9: else $x_{i}$ 处于空期 +10: continue +11: $p_{i,k}\gets p\sim N(p_i,Dp_i)$ +12: $s_{i,k}\gets p_{i,k}*d_{i,k}$ +13: +14: $\forall j:\text{clean} y_{i}.stareg$ +15: for $y_{j},j = 1\rightarrow 8$ do +16: if $y_{j}.stareg + s_{i,k}\leq 6000$ then +17: $J_{i,k}\gets y_j$ +18: $y_{i}.stareg\gets y_{i}.stareg + s_{i,k}$ +19: $l_{i,k}\gets l\sim N(l_{J_{i,k}},Dl_{Ji,k})$ +20: $t_{i,k}\gets (1 - l_{i,k}*s_{i,k})$ +21: +22: $w_{k}\gets w_{k} + t_{i,k} / z_{i}$ +23: if $w_{k}\geq 28200*2$ then +24: break +25: +26: $C_k\gets \sum_{i = 1}^{50}s_{i,k}*r_i$ +27: $L_k\gets \sum_{i = 1}^{50}(s_{i,k} - t_{i,k}) / z_i$ + +# 6.2.2 贪心的合理性论证 + +贪心策略首先需要一个满足界限，定义为贪心满意目标。在每周进货时，企业只需要满足库存足够未来两周的产能，一旦大于该产能立即“见好就收”，停止增加订单。过多的产能不仅可能来 + +自较差的供应方和运输方、从而导致偏差率和损耗较大，还有可能提高存贮、运输的成本。故此处的贪心满意目标为：当前库存量大于未来两周所需产能。 + +接下来构建双层嵌套贪心，分别探讨订货量的选择和供货运输匹配。 + +# （一）外层贪心：最优供货商 + +由问题一得50家按照合作可靠度高低排序好的供货商，基于贪心，从最优合作商开始下订单，直到估计该周的最终接受量达到贪心满意目标。由供货商的供货周期类型可知，周期型供货商在“空期”时无法提供订单，则此时跳过处于空期的供货商，依次选择次优的合作商下单。 + +下单时的订货量根据关键式判断，将在下文中讨论。 + +# （二）内层贪心：最优运输商 + +参考供货商可靠度排序，对转运商同样构建排序操作。参考平均损耗量、损耗量偏差等，获得转运商的最优排序表：（见附录C) + +本周有订单的供货商，由最优到最次大致订单量呈递减趋势，因为可靠度越高的供货商的合作量也相对更大、更划算。故对最优到最次的供货商，依次分配当前仍有空间的最优转运商。越高合作量的供应商，具有优先选择高级转运商的权利。若当前最优转运商的剩余空间无法装下该供应商商品，则考虑次优转运商，直到与一名转运商匹配。 + +多次试验表明，不存在转运商不足的情况。 + +# 6.2.3 关键式-商家订购量计算公式 + +贪心策略确定之后，对 $d_{i,k}$ 的选取进行探讨，并由此提出以下四个较具代表性的公式。 + +首先 $d_{i,k}$ 需要与历史5年数据中该供应商的供货量具有相关性。往年该供应商与企业的供货量平均值反映了该供货商的货物供给能力、与企业合作量大小、合作频率密度等等，在考虑未来方案的时候也应当遵循该规律。而供货量的方差反映与其订单是否平稳，也可作为参考加入未来方案的订货量考虑中。运用第一问得出的供货量平均值、平均方差等数据。故四个公式的供货量基础均来自往年平均值 $D_{i}$ + +经过供应商评价模型后，贪心算法优先选择的商家均具有较高的合作潜力，故引入进货参数1.5乘以往年平均值，在不脱离历史数据的合理范围内提高与该商的合作力度，从而向更优方向探索。同时，类似偏差率的随机生成，订货量也应当体现一定的随机性，以保证方案在一定波动范围内的自我调节能力。公式A、B分别将随机性赋给加法或乘法，留待观察效果。 + +同时，分析历史数据发现，当订货量过大时，一方面供货量的随机波动将增强，另一方面其偏差率也将大幅下降。故定义公式C、D描述这两种现象。 + +公式A + +$$ +d _ {i, k} = \overline {{D _ {i}}} * (1. 5 + \epsilon) \tag {6.2.1} +$$ + +其中 $\epsilon \sim N(0.2, 0.5)$ + +公式B + +$$ +d _ {i, k} = \bar {D _ {i}} * 1. 5 + \epsilon \tag {6.2.2} +$$ + +其中 $\epsilon \sim N(0,500)$ + +公式C + +$$ +d _ {i, k} = \bar {D _ {i}} * 1. 5 + \epsilon \tag {6.2.3} +$$ + +其中 + +$$ +\epsilon \sim \left\{ \begin{array}{l l} N (0, 5 0 0), & \text {i f} \quad \overline {{D _ {i}}} * 1. 5 > 2 5 0 0 \\ N (0, 2 0 0), & \text {i f} \quad \overline {{D _ {i}}} * 1. 5 \leq 2 5 0 0 \end{array} \right. \tag {6.2.4} +$$ + +公式D + +$$ +d _ {i, k} = \bar {D _ {i}} * 1. 5 + \epsilon \tag {6.2.5} +$$ + +其中 + +$$ +\epsilon \sim \left\{ \begin{array}{l l} N (0, 5 0 0), & \text {i f} \quad \overline {{D _ {i}}} * 1. 5 > 2 5 0 0 \\ N (0, 2 0 0), & \text {i f} \quad \overline {{D _ {i}}} * 1. 5 \leq 2 5 0 0 \end{array} \right. \tag {6.2.6} +$$ + +且 + +$$ +p _ {i, k} \sim \left\{ \begin{array}{l l} 0. 7 * N \left(p _ {i}, D p _ {i}\right), & \text {i f} \overline {{D _ {i}}} * 1. 5 > 2 5 0 0 \\ N \left(p _ {i}, D p _ {i}\right), & \text {i f} \overline {{D _ {i}}} * 1. 5 \leq 2 5 0 0 \end{array} \right. \tag {6.2.7} +$$ + +# 6.3 方案的实施效果分析 + +# （一）结果分析 + +取定进货参数为1.5，分别对四个关键式进行实验，求得结果分别如下5： + +分析该图，公式B出现了未满足约束要求的情况，而公式D进货成本略高于A、C，且在初始阶段刚刚满足约束条件，稳健性不强；公式A与C的结果均较为可观且相接近，但公式C的定义更加贴合实际，故最终选择公式C为关键式。 + +基于此方案，多次实验求得相关目标值。选取频率较高且目标较优的典型代表方案，将方案列入附件A，且求得该方案下的某次单周采购成本 $C_k$ 如下： + +[21508.2 20326.5 19584.1 20590.4 20351.7 20808.9 20719.3 19879.6 20656.8 20378.3 20788.9 19947.4 20950.5 20085.2 20671.8 21109.2 19764.3 20432.9 20412.2 21566.2 20051.1 20061.8 20125.7 20940.8] + +其平均订购成本为20488/周。 + +同样，求得其转运损耗量 $L_{k}$ 为： + +[146.36363636 134.34343434 139.74747475 147.85353535 134.92424242 141.36363636 120.3787888 140.123.05555556 141.99494949 123.40909091 131.59090909 139.09090909 137.85353535 136.21212121 144.87373737 129.04040404 128.88888889 137.82828283 131.91919192 132.1969697 133.08080808 131.36363636 140.60606061] + +其平均转运损耗为135.33/周。 + +该问还要求与尽量少的供应商合作，求得该值如下： + +![](images/316926a6b2afdebc511e46ba997c223c5e611e682933bb1c8729ad3cc927ca7b.jpg) + +![](images/e508eb0d9bd4d59998d755887be91c030fcd4b54113f43a9fa739109c5eea776.jpg) + +![](images/27d432bee28e8ac5a5d103accc4e9aac96964f82d7ede3eb2c7330c03d1e6736.jpg) +图5：四项公式比较 + +![](images/753cdbf1274b3566a317f0809f79000b0a29c8da5fb16e1f61f8e7f83cd32dc5.jpg) + +[16. 15. 16. 28. 17. 18. 18. 14. 10. 12. 14. 15. 11. 24. 16. 25. 15. 16. 16. 18. 17. 17. 23.] + +合作商家数量大致在16家左右，范围从10至25均有。 + +# （二）合理性说明 + +画出排名前10的供应商的准确性随订货量变化的重叠散点图6。通过比较下图6与实验所得数据，发现所得数据对应的供货准确度均较高，基本不存在偏差较大的情形，由此证明我们得到的订购方案是合理可行的。 + +![](images/097ef567010075ebaca095c5c715a24d246bf6e03d5884ca113a794612aebbc7.jpg) +图6：供应商历史波动性分析 + +# 7 定向目标权重筛选在问题三的应用 + +# 7.1 目标模型的建立 + +题目引入压缩成本的考虑，也即尽量减小企业在存储环节所花的成本。题目给出未证明的推论如下： + +推论：尽量采购A类原料、减少采购C类原料，可达成压缩成本效果。 + +首先对该推论进行证明，再基于此推论设计新订购模型。 + +# 7.1.1 原料属性分析及推论证明 + +由题表1已知各原料原始属性。其单位产能转化率 $z$ 表示生产一立方米产能所需的原料量，而相对成本 $r$ 反映原料价格。由此计算原料的性价比 $= r^{(x)}z^{(x)}$ ，表示以 $x$ 为原料生产每单位产能所需的采购成本。结果如下表5： + +
种类ABC
性价比0.720.7260.72
+ +A、C类原料性价比相同，而由 $z^{(A)} < z^{(C)}$ 产生相同产能所需的A原料更少。因此为节约存贮成本，尽可能使单位存贮物产生产能更高，应提高A类原料采购量，减少C类原料采购量。推论证明完毕。 + +而对于B类原料，其性价比较低，且单位产能密度低于A，但高于C，故B作为中间量次于A类产品但优于C类产品。由于第三问成本仅从存贮方面考虑，故B类性价比低于C类的特点对重要性没有影响。 + +# 7.1.2 基于权重二次排序 + +基于推论对现有供应商排名进行更改，突出A类供应商的重要性，依次降低另两种。不同于第一问中各指标经过熵权法、层次分析法得出的分数评判，该处依照推论有明确的目标进行二次规划。在具备明确方向的背景下，人为重新指定类型权重简单有效。 + +现指定三类权重：A类1.05，B类1，C类0.95，乘以原评价分数得到新评价分数，排序获得新排名。权重的选取基于一般常识与多次实验判断，一方面权重不可过小，确保新方案中各类原料的显著突出度，具备与原方案排名的明显区别以保证模型三的思想贯彻始终；另一方面设定值不可过大，否则将会导致排名过于激进，导致解得方案过多关注存贮成本压缩，失去对采购成本的约束与供应商合作可靠性相关关系。 + +列出新排名中前十名的前后变化6： + +表 5: 原料性价比 + +
代码原评分排名新评分新排名材料分类
S2010.75910.7971A
S2290.64620.6782A
S3610.62630.5953C
S1400.58240.5824B
S2820.54160.5685A
S1080.56250.5626B
S2750.52980.5567A
S3290.52690.5538A
S3950.523100.5499A
S3400.53670.53610B
+ +表 6: 供应商排名变化 + +# 7.1.3 定向筛选对算法进行更改 + +贪心算法的处理中加入定向筛选操作，进一步提高对C类原料的排斥度，以获得更好的存贮成本。添加定向筛选算法至订购环节的优先供货商选取流程中。 + +该算法筛选条件为，若当前最优商家为C类，且下一非C类商家与其评价级别相近时，用下一商家代替该商家以减少C类供应订单。“相近”的筛选判断机制取 $5\%$ ，该区间下前后供应商综合评价差别较小，生产原料上的优先级使得靠后的非C类供应商可以获得更高的被选中频率。 + +类似的，也可依据相同原理对A类商品进行向上提升的筛选，此处仅提出想法，不作赘述。 + +# Algorithm 2 C 类定向筛选算法 + +1:对厂家 $i_1,i_2$ +2: if class(i1) = 3 and class(i2) = 1 or 2 and $\frac{\text{score}(i_1) - \text{score}(i_2)}{\text{score}(i_1)} < 5\%$ then +3: 跳过 $i_{1}$ , 选择 $i_{2}$ 为当前首选供应商 + +# 7.2 求解所得方案分析 + +将基于新排名且引入定向筛选机制的模型称作新模型，进行实验求解与原模型对比。 + +求得其转运损耗量 $L_{k}$ 为： + +[79.7301424 72.32361493 80.16933504 72.70351575 75.00855177 74.96830567 74.95028003 69.99244121 +79.80875954 70.31252042 70.49169535 74.72436144 72.65595341 71.41491977 74.98176174 83.20885243 +71.10907587 69.18801292 79.57907641 71.95125798 80.34817925 29.04782128 74.34384891] + +其平均转运损耗为72.73/周，显见新模型下各转运商的转运损耗量整体下降了，而存贮模型的警戒条件仍可被满足，说明新模型方法与先前相比，有效降低了方案的转运存储成本。 + +画出原排序方案与新排序方案的各项成本、损耗指标如下7 + +![](images/932b5d39efecc87a8039e238e25c6309c243cd97f215195f8478556027470496.jpg) +(a) 原模型指标 +图7：模型各项指标变化 + +![](images/6e39e1c82c47fed241976c62322f2805dec739108233c4c6fdef52c59c992038.jpg) +(b）新模型指标 + +将转运损耗量单独画出，效果更为直观8(a)： + +![](images/c83b8926f9bc402e06350e231a6e9dd0f6b3a939a07917cfcfca86b838355f8d.jpg) +(a) 损耗量对比 +图8：前后对比参照 + +![](images/68ea9f9ac65b96429e7eb3c1c74854dfca550452abc85a7121d3217b060b8cce.jpg) +(b) A/C 供货量比较 + +此外，对模型调整前后的A类、C类合作量进行比较8(b)，纵坐标为某周A类所有供货量与C类所有供货量的比值；调整后不存在比例的情况为，该周无C类商品供货。经过计算可知，在新方案下A/C类供货量之比平均在7.34（除去比例不存在情况）。每周情况差别较大，最高可达无穷大，最低也将近有3倍。此处表明前述权重调整与定向筛选对A、C起到了实际吸引、排斥作用，且同样说明A/C值较大时，方案的损耗指标、存贮成本的确降低了，印证了题给推论的正确性。 + +# 8 问题四的产能拓展 + +# 8.1 提升产能的思路模型 + +问题四可以分为进货与投入生产这两个相互独立的部分，进货量的大幅提升无疑对产能提高有着显著作用，而原材料的投产分配方式在此问中并非主要影响因素，但在实际生活中是不容忽视的一部分。 + +现要求在被选商家的情况下，尽量提升每周产能，这要求每周进货量尽量增大，并且保证一定范围内成本和损耗值的合理性。显然，此处成本损耗不作为优化目标，进行了部分松弛操作。对于我们筛选出来的前50家供应商，在针对成本损耗优化的第二三问中，均取得了较好的效果。但是鉴于此问目标逆转，在较松的成本损耗约束情况下需要更多的进货量，故我们考虑全部176家数据具备参考性的供应商。这些供应商中评分较低者存在偏差率大、供应量小等情况，但对尽量提高每周产能具有积极作用。 + +# 8.1.1产品收益亏损与否的证明 + +鉴于原材料在转运途中会有一定量的损失，但是最终售卖产品所得的收益能否抵消这部分亏损是一个疑问。经过证明，提出如下命题，所以此问无需考虑产品售价与提高产能之间的关系。 + +命题：产品不会亏损。 + +证明：假设 $1m^3$ 的C原料的定价为1， $1m^3$ 产品的价格为 $P$ ，即售价是原料C单价的 $P$ 倍。 + +记A材料总供应量为 $A(m^{3})$ ，B为 $B(m^{3})$ ，C为 $C(m^{3})$ 。则总材料成本为 $0.72A + 0.726B + 0.72C$ ，到手产量为 $\left(\frac{A}{0.6} + \frac{B}{0.66} + \frac{C}{0.72}\right) \cdot (1 - s\%)$ ，其中 $s$ 为转运过程中的平均损耗率。当产品全部卖出时，共能收入 $\left(\frac{A}{0.6} + \frac{B}{0.66} + \frac{C}{0.72}\right) \cdot (1 - s\%) \cdot P$ + +得到总利润为总收入-总材料成本-转运费-库存费，其中库存费与转运费题目并未给出具体数据与定价方式，依据实际情况，它们远小于材料的进货费用，故此处略去不记。故总利润大致为 + +$$ +\begin{array}{l} \left(\frac {A}{0 . 6} + \frac {B}{0 . 6 6} + \frac {C}{0 . 7 2}\right) \cdot (1 - s \%) \cdot P - (0. 7 2 A + 0. 7 2 6 B + 0. 7 2 C) (8.1.1) \\ = \left[ \frac {(1 - s \%) \cdot P}{0.6} - 0.72 \right] \cdot A + \left[ \frac {(1 - s \%) \cdot P}{0.66} - 0.726 \right] \cdot B + \left[ \frac {(1 - s \%) \cdot P}{0.72} - 0.72 \right] \cdot C (8.1.2) \\ \end{array} +$$ + +由题给数据可知： $s < 5$ ，所以上式在 $s = 5$ 时取到最小值，最小值为 $(1.58P - 0.72)A + (1.44P - 0.726)B + (1.32P - 0.72)C \gg 0$ 。由此证明了转运过程中的损失不足以导致整体的亏损，产品一般不会亏损。 + +# 8.1.2 原材料使用模式 + +如何合理使用原材料每周的库存量和进货量，使得产能最大化？我们提出两种方案。 + +# （一）动态产能情况 + +假设产能可随着当前周企业库存进行调整，前提条件为满足存贮警戒点未来两周的产能供应。基于当前状态考虑暂时固定未来两周产能值，则未来一周最大可达产能值为 + +$$ +v _ {k} = \frac {w _ {k - 1}}{2} \tag {8.1.3} +$$ + +其余量有计算公式： + +$$ +w _ {k} = w _ {k - 1} - v _ {k} + \Delta w _ {k} \tag {8.1.4} +$$ + +$$ +\Delta w _ {k} = \sum_ {i = 1} ^ {1 7 6} \frac {t _ {i , k}}{z _ {i}} \tag {8.1.5} +$$ + +# （二）静态产能情况 + +为避免库存越积越多或者越用越少的情况，且实际中我们要求企业每周的产能尽可能稳定，为此我们提出更优的分配方案。每周投入的产量根据当前库存和本周、下周的进货数量情况，计算出相应比例，来确定单周产能的个性化分配方案。 + +假设第 $k$ 周用于生产的产能为 $a_{k}$ ，于是有 $a_{k} = x \cdot w_{k-1} + y \cdot t_{k}$ ，其中 $x \cdot 100\%$ 、 $y \cdot 100\%$ 表示选择投入生产的百分比， $w_{k}, t_{k}$ 分别表示第 $k$ 周的库存产能与实际接受量。相应地有 $a_{k+1} = x \cdot w_{k} + y \cdot t_{k+1}$ 与 $w_{k} = (1 - x) \cdot w_{k-1} + (1 - y) \cdot t_{k}$ 。 + +(1) 实际应用中，在技术改造后的一段时间内，生产应尽快趋于稳定，即要求第 $k$ 周与第 $k + 1$ 周投入生产的产能基本相同，有如下等式： + +$$ +\begin{array}{l} a _ {k} = a _ {k + 1} (8.1.6) \\ \Rightarrow x \cdot w _ {k - 1} + y \cdot t _ {k} \div x \cdot w _ {k} + y \cdot t _ {k + 1} (8.1.7) \\ \Rightarrow x ^ {2} \cdot w _ {k - 1} \div (x - x y - y) t _ {k} + y \cdot t _ {k + 1} (8.1.8) \\ \end{array} +$$ + +(2) 由题目要求, 企业库存量产能要尽可能满足两周生产需求。同时, 如果库存过多, 但并不投入生产, 无疑造成资源的浪费。因此, 库存应尽可能刚好满足接下来两周的生产需求, 有如下等式: + +$$ +w _ {k - 1} = a _ {k} + a _ {k + 1} \dot {=} 2 a _ {k} \tag {8.1.9} +$$ + +$$ +\Rightarrow w _ {k} \doteq \frac {2 y \cdot t _ {k}}{1 - 2 x} \tag {8.1.10} +$$ + +联立（1）、（2）中得到的两个等式，解得 + +$$ +\frac {t _ {k + 1}}{t _ {k}} \dot {=} - \frac {x}{y} + \frac {1 - x}{1 - 2 x} \tag {8.1.11} +$$ + +由于 $t_{k + 1}, t_k$ 在订购方案的制定中已经给出，是定值，故可以求出 $x, y$ 变量之间的比例，确定第 $k$ 周个性化的生产方案。 + +# 8.2 求解分析产能提升情况 + +# 8.2.1 最优供应分配方案 + +为使得每周进货量尽可能大，在增加至176家供货商的同时，除去模型二算法种贪心满意目标。从最优供应商开始选择，与其达成制定订单量，直到达成两个约束条件之一：总共176家供货商全部选完，或者所有8家转运商满载运输。 + +# 8.2.2 实验分析产能结果 + +该处实现仅考虑动态产能情况，对于静态的解析论证见上文。求解动态产能模型，获得以下数据9。 + +由图(a)，对于以上两个约束条件，我们发现通常情况下前者截止了订单的扩大，而8家转运商少有满载情况。原因是即使纳入所有176家供应商，由于评分较低的供应商多为周期型，整体供货量贡献度较小，仍然无法使所有转运商满负荷工作。对于这一结果存疑，可能需要考虑更高的进货参数，或者降低商家的偏差率。 + +图 (b) 中“每周产能”图例即为求得动态产能变化。随周期推进，动态产能 $v_{k}$ 呈现上下波动状态，但总是优于最初 28200 的固定产能。并且随着周数的延长，动态产能的平均趋势也逐渐提高，24 周前后自身提升了约 $27\%$ 的产能值。这说明此方案中库存量及产能量将逐渐提高，这也符合我们的常识认知。图上还能看出，每周增加产能 $\Delta w_{k}$ 对于动态产能变化的影响，后者的波动趋势与前者几乎相同，整体滞后约 3 周。 + +![](images/38057f23f13842f3637f525363f083d3a9717951bbb5a289d8a5c291ed21879a.jpg) +(a) +图9：动态模型实验结果 + +![](images/7f3ca4d7e86caf878ad65353285edccc6bb33acd1da5d4eeea8a0caeaec85731.jpg) +(b) + +方案所涉及的供应商最低排名均延至 $170+$ 家，而其中进行了订单交易的商家每周数量主要集中在60至70家之间，中位数和众数约为66家。这说明其中将近一半的商家平均处于周期型的空期，不参与贡献直接跳过。 + +对求得数据取平均值，得出最终该方案的平均动态产能为43299，在原先28200的产能基础上提升了 $53\%$ 的收益。每周平均获得产能为43667，即在基本维持未来两周消耗需求的约束下，库存量也将逐渐上升。 + +# 9 模型评价 + +# 9.1 优点分析 + +# （一）多种评价指标方式协同确定 + +模型一查阅相关文献，提出九种具有实际意义的指标对供应商各方面能力评价。对各属性标准化、正向化后，首先运用熵权法确定整体权重偏向，根据求得反馈重新人为调整部分重点相关指标的权重设定，套用层次分析法二次评价。多种评价指标体系协同确定最终评分等级，保证了所得排名中既包含数据本身区分性质，同时也包含人为一般经验知识引导，最终结果对合作优先度具有更科学的体现。 + +# （二）对供货商供货周期特征的精确建模 + +在考虑信誉度等常规指标的基础上，从时间维度分类不同供货商，精确模拟周期变化规律。从历史数据中提取的周期规律包含了5年240周的信息，作平均处理后对未来半年24周周期变化具有较为准确的预判模式。观察50家供应商数据表发现，周期型供货商忙期内的供货量普遍高于平稳型，表示了频率低、单次贡献高的合作订单；而平稳型占据整体接收量比例较高，说明整体产能获取量主要以相对量较低但分布稳定连续的订单为主。 + +# （三）模拟随机变量波动影响 + +模型二中将供应商偏差量、每周订货量等视作随机变量，假设其为正态分布并从历史数据中提取相关参数，对未来24周模拟生成新的随机变量。该步随机操作符合真实世界的随机波动性，从损耗偏差、供货情况等方面考虑非确定性因素的干扰。同时，对于非对称的随机变量如偏差率，正态分布随机性的对称性不影响均值本身偏差方向的指引，不会引入坏的偏差影响。另外，更丰富的随机性可提高模型求解方案应对现实情况偶然波动因素的能力，使得该方案具备一定的自我调节能力，在真实设定下比平稳确定性模型表现更好。 + +# （四）多层贪心对多目标优化问题的递进解法 + +求解多目标优化问题的方式较多，在该题模型二多目标的求解中，若选择线性规划则变量过多、约束条件不足求得少量较优解，若考虑动态规划则状态决策空间过大（ $6000*50*24$ ）、求解过程计算量过高且短时间内无法取得较优解。分析题目发现该题具备一种很强的贪心解法，且在多目标优先级已排序的情况下，依据优先级对最高目标首先进行贪心求解，再于求解过程中依次嵌套内层目标的贪心解法，即可求得最终较优解。虽然同样基于遍历思想，但由于贪心算法首先朝最好的方向进行搜索，故总能在少数时间内取得较好的解。 + +贪心算法成功的前提是贪心过程关键式的选取。同样模型二对于关键式进行了多种因素的讨论，并且通过实验对比确定最终最优关键式。模型三中也包含了多层贪心的运用。 + +# （五）每周产能消耗的静态、动态情景讨论 + +在最终问的要求中我们给出了两种情景：静态产能与动态产能，并分别进行讨论。分类讨论的意义是，增加了方案的多样性，对于现实生产中不同的情形可选择更多方案，且动态和静态产能的计算生成原理均有其合理性。另外，进一步的扩展还可考虑动态、静态混合产能方案，此处列举思路供读者参考。 + +# 9.2 缺点分析 + +# （一）贪心限定舍弃低排名供应商 + +在问题二、三的求解中，选取的供应商范围限定在模型一评价筛选出来的50家供应商之内。理论上可添加任意范围的供应商进入供货合作备选名单，但模型的贪心要求使得评分较低的供应商在方案中基本不存在贡献度，即低评分供应商在方案中几乎没有订单量。虽然该处理与第二问要求的“至少多少家供应商”相吻合，但在实际情况中并不一定是最优解。 + +# （二）关键式选取影响方案构成 + +关键式是确定每周供货量，模拟得出后续转运方案与周库存产能变化的重要公式。对于该公式的选取构造，我们例举了四个典型式实验分析，但无法求得关键式的最优形式及其最优解析参数。应指出，模型贪心的关键式选取本身即为了降低计算上的复杂度；若强求得到关键式解析解，其复杂度并不小于使用线性规划或动态规划求解第二问的情况。故关键式的最优解改进无解。 + +不过，在当前关键式下得到的较优解相对也接近于理想最优解，此误差可以容忍。 + +# （三）随机变量带来不确定性影响 + +随机变量在具备优点（三）中好处的同时，同样也有少数劣势，最主要的一点即其使得最终得出的方案具有不确定性，每次求得的方案可能不一样。这是因为我们的较优解解集中方案不唯一，不同的随机变量会影响此次方案各决策量的变化。在以上几问的分析中，我们列出的结果均为多次实验出现频率较高的较好方案的典型代表。 + +在运用本模型实际求解的过程中，使用方宜多次运行求解过程，选取频率较高的较好方案作为最终解。 + +# Bibliography + +[1]徐呈祥.糖果企业供应商选择研究[D].东北农业大学,2017. +[2] MBA 智库百科. 供应商 [EB]/[OL].https://wiki.mbalib.com/wiki/供应商，2021-9-12. +[3]司守奎,孙玺菁.《数学建模算法与应用》[M].北京:国防工业出版社,2011. + +附录 + +# A 问题一指标初始数据 + +文件：176家指标原始值.xlsx + +表7：176家指标原始值 + +
排名供应商ID材料分类供应及时性交货准确度供货波动性供货量方差产品占有率信誉度平均忙期量批量柔性供给弹性
1S20110.5710.4741.923.43E70.2473.3429300.033311700
2S229110.005266.72190000.2720.042114700.018148
3S361310.006165.781620000.2430.048213700.0115119
4S14020.9950.2114.432.08E70.0580.6522190115100
5S108210.01876.2815000000.1950.16410000.01711500
6S282110.005061.921500000.1270.00237071212
7S340210.00214.18255000.1620.01467120.0535.7
8S275113.55E-41.98133000.1250.002356590.021120.2
9S329115.93E-042.07142000.1230.003876500.041221.8
10S39510.8810.1393.7824500000.1320.62910500.3332390
11S131210.01094.03213000.130.043574137.1
12S268315.92E-41.7650200.09890.003725400.0289.29
13S306316.52E-41.89135000.09320.004115240.026725.6
14S151310.02247.0933300000.1210.2098100.04294110
15S308210.03135.112970000.1210.2735710.1521
16S330210.02136.434540000.1180.1875690.16797
17S194310.002142.734000.07690.01344210.02658.05
18S34810.9750.1096.4885300000.0390.478516117900
19S374310.2680.8532200000.01250.326307115700
20S12630.910.2033.5332200000.05610.96560916170
21S352110.005383.01209000.06960.03183700.07556.3
22S356310.006645.581250000.09370.04615380.18231
23S284310.003830.518261000.0340.01521940.3134
24S247310.001171.2911000.0430.006432360.05294.67
25S031210.003951.4410300.03930.01891710.255.99
26S30710.9940.3565.5730100000.04480.565126016590
27S365310.002841.8141600.03230.01481730.124
28S143110.04224.98757000.06330.2493460.9219
29S294310.008931.11770.01420.038378.70.182.25
30S13920.9910.1687.9148200000.04640.47174417050
31S218310.0381.3813100.01160.12364.50.920.3
32S080310.05091.8332200.01420.15780.20.940.2
33S040210.01413.5555300.02770.07911330.1441.6
34S266110.08720.85810.80.005130.26527.10.50.398
35S00510.9390.1080.9496300.0120.083866.319.75
36S123110.09631.571030.00510.27726.90.93.85
+ +
37S367210.02574.1144300.02430.1381100.340.3
38S03730.9750.2195.485960000.04380.35947311850
39S18910.950.0932.175160.01110.093462.518.75
40S346210.01874.522990.02190.10996.60.163.09
41S244310.0583.7212900.01190.20368.10.918.9
42S364210.01184.97101000.02350.06571200.1884.4
43S055210.0464.59364000.01760.2831000.3363
44S21030.8490.3072.27471000.02121.321700.9354
45S07430.9340.2582.68327000.01320.9731111428
46S07810.9440.1443.4980100.01560.40285.50.994.6
47S08630.9860.2413.87706000.0150.5431841810
48S007110.2552.578790.006210.63328.90.930.4
49S27310.9090.1494.2785200.01960.3451140.980.8
50S00330.960.1294.3463500.01120.22678.7192.4
51S29110.9860.1764.27113000.007080.39851.31310
52S37930.9730.3060.9851870.001130.10122127.1
53S34230.9750.3260.875229.88E-40.1599.7413.84
54S338210.2026.32120000.01550.2830111430
55S09220.9690.3510.73.226.82E-40.1215.9311.02
56S11410.9910.1535.48198000.009120.25576.31414
57S22110.9760.4010.3383.156.23E-40.1195.9610.989
58S39220.9350.3570.7733.177.09E-40.1235.8510.994
59S29210.7630.2793.0548100.01990.5371040.947.3
60S02530.9330.360.7772.735.14E-40.1215.3610.916
61S150110.1645.113200.001390.30210.91175
62S178110.4250.4517.16.19E-40.1227.1711.96
63S314310.1764.9738.40.001330.299.7315.4
64S16920.9590.4180.4692.476.48E-40.1335.8310.811
65S17420.9920.4590.2862.496.11E-40.1315.8110.898
66S25620.9460.3621.76.477.38E-40.1447.0311.94
67S14120.9230.4080.7494.397.47E-40.1146.1811.25
68S32420.9260.4120.7313.437.39E-40.1246.1111.02
69S11330.9550.4320.6764.235.2E-40.1136.511.38
70S20810.7140.3772.79226000.01910.8991010.8232
71S03010.9660.451.0654.80.00110.23315.119.47
72S07510.9330.4151.178.126.05E-40.1286.6712.6
73S15210.9050.4151.093.46.23E-40.1356.2611.06
74S15710.9090.4213.042.856.24E-41.135.6810.865
75S30010.7270.3332.3510500.006230.69237.40.628.2
76S15410.740.3373.5396800.01680.542116197.7
77S21620.8720.4220.9823.167.25E-40.1185.7410.96
78S19320.8330.4031.089.620.001040.1367.8612.38
79S23710.9830.4921.032.695.17E-40.159610.978
80S02330.8310.4152.735690.002230.97226146.4
81S17520.9790.5260.432.865.81E-40.1266.1811.08
82S25330.9440.4930.7017.855.55E-40.1138.0712.39
83S17220.9340.4771.12.225.95E-40.1495.4710.798
84S14930.8890.4760.7426.515.78E-40.1137.6711.87
85S12930.9460.393.513860.001510.44929.2148.6
86S03620.9070.4990.7862.756.92E-40.1375.8311.09
87S31020.8680.4760.8353.497.08E-40.1226.1611.08
88S38110.8750.4562.471170.001290.41720.6116.3
89S36020.8680.4122.882.616.89E-40.1875.6710.843
90S11030.8310.4372.232.955.81E-40.1785.6110.885
91S26330.8680.4263.183.565.7E-40.2445.8711.1
92S38330.7940.5151.540.40.001020.20912.617.42
93S06410.940.4125.133.126.02E-40.5235.8810.991
94S19120.8950.4624.142.376.52E-40.635.610.804
95S31810.9250.6091.2767.86.83E-40.14633119.4
96S38820.9010.4743.864.592.95E-40.6657.430.52.57
97S08820.9080.4663.683.926.7E-40.3046.3311.28
98S04610.8810.5990.9610.3872.68E-40.149010.275
99S09820.9860.6421.381.54.65E-40.2046.2910.747
100S18630.9240.4214.913.455.47E-40.4426.1911.12
101S05420.8760.4723.4319.59.06E-40.2619.6415.33
102S07630.980.690.6680.8693.34E-40.153510.455
103S239310.3566.713.25.2E-40.1825.5611.08
104S22710.7690.4963.282750.001310.56621.3132.5
105S35730.7940.5671.4747.96.31E-40.12610.6111.8
106S23520.8160.5892.771760.001390.7819.3128.8
107S38620.7590.5831.1210.57.75E-40.15210.813.63
108S33210.9020.5334.143920.001320.41126.3159.1
109S20220.9550.3846.712.676.76E-40.264610.847
110S10210.7810.612.795.914.6E-40.97.5712.26
111S11510.8580.4295.273.096.39E-40.284610.94
112S13820.8930.4116.232.466.16E-40.3375.4310.851
113S27130.790.5623.1863.17.65E-40.43812.5112.5
114S14620.9040.6673.2729.75.0E-40.68526114.3
115S21330.9820.8090.5930.4742.78E-40.165010.314
116S24530.9330.6563.65844.31E-40.49158.3133.1
117S26510.7380.6582.6111.55.75E-41.129.20.54.82
118S06610.9360.4376.622.815.69E-40.2685.6710.954
119S067310.8450.3780.3682.49E-40.164010.267
120S19920.6250.6932.6735.19.28E-41.7313.118.09
121S25820.8930.3957.023.737.42E-40.1986.0711.13
122S06920.7140.5863.025.296.16E-40.5257.8812.19
123S06510.7270.6541.621.36.9E-40.30412.40.87.2
124S12810.7180.6721.39.684.9E-40.1928.8613.71
125S23320.6710.6152.069.275.19E-40.2938.1812.95
126S17330.410.7182.0947700.003592.14501205
127S03930.7140.6263.536460.001390.78632.3175.5
128S37620.8770.496.151.966.32E-40.2665.2810.661
129S33610.660.6581.548.68.58E-40.23313.6110.5
130S23220.650.6661.9631.89.94E-40.5813.816.94
131S19720.9520.4497.563.236.41E-40.2196.0511.09
132S31330.5510.6772.451480.001571.2621.2114.6
133S11720.6220.7113.036.183.08E-41.487.560.3333.07
134S15320.2320.9171.8817800.003083.771541132
135S00210.7470.6773.274.36.56E-40.43817.8119.3
136S25410.5780.6761.4667.80.001180.21618111
137S08910.5810.7032.4845.30.001050.96512.318.04
138S16310.590.6912.9979.79.76E-41.0318.1114.6
139S21710.4650.6311.9216.10.001870.4648.412.31
140S36930.3880.8372.0958.80.001052.616.1110.5
141S22610.5760.6692.5978.20.001080.41717.6113.3
142S26910.9230.8194.420.5472.81E-41.075.510.371
143S09030.6740.6634.0643.49.37E-40.61914.718.69
144S22830.2630.8342.221290.001972.9616.9112.8
145S15910.5730.6722.4350.28.92E-40.24212.3111
146S17010.5850.7043.29480.001060.82814.418.53
147S02420.5840.7022.765.67.38E-40.5047.1412.03
148S33320.7820.6875.061.314.41E-40.6265.210.712
149S22420.8640.844.280.1192.51E-41.11010.105
150S18230.5630.7842.4757.20.001040.84916.1110.1
151S20730.4840.7572.6214.25.05E-41.099.314.05
152S03510.550.742.0813.86.41E-40.38210.60.55.26
153S12110.4810.7472.2655.39.89E-40.63717110.5
154S30410.880.7145.981.123.04E-40.3925.3310.632
155S04210.4460.7382.8252.60.001040.78914.719.53
156S20910.5070.7223.0563.66.89E-40.4612.3114.4
157S29310.1190.9582.5836800.004313.5990.51153
158S28020.6470.7484.583.43.6E-40.7239.6712.01
159S10520.4550.6943.0286.10.001240.31811.4117.9
160S33430.1390.9042.210.60.002473.1614.80.70.718
161S02820.3880.7312.0218.83.06E-40.4199.1113.37
162S10410.3470.7932.5192.90.001051.2113115
163S01710.3730.7672.0750.30.001010.5213.40.89.11
164S26020.8830.7087.310.4842.99E-40.361010.337
165S16710.40.7762.4543.69.29E-40.5581618.98
166S14720.40.842.825720.003771.0550142.4
167S01020.3640.792348.50.001121.0814.319.13
168S11220.3130.7882.887850.005951.0840.30.1531.9
169S14220.3260.8482.481330.00231.2618.3116.5
170S39410.1520.8862.5226.30.002512.2614.40.71.82
171S37520.2130.9113.136590.002241.8594176.4
+ +
172 S02210.2420.8832.831420.001611.2323.8116.3
173 S01920.2070.892.82460.002441.2823.3127.1
174 S07110.1670.8712.1578.10.004230.79118.90.64.91
175 S07720.2070.9333.113290.002851.437.7130.9
176 S12710.3750.7846.2660.30.001250.5351419.15
+ +# B 问题一最终指标 + +文件：176家标准化后的指标与最终得分.xlsx + +表8：176家标准化后的指标与最终得分 + +
排名供应商ID最终得分及时性准确度供货波动性供货量方差产品占有率信誉度平均忙期量批量柔性供给弹性
1S2010.75970.51310.50540.785700.9080.8859 10.0221 0.6536
2S2290.646210.99490.15870.993610.0106 0.50170.0066 0.0083
3S3610.62710.99390.27940.99530.89330.0122 0.46760 0.0066
4S1400.58270.99430.780.45650.39360.21250.1724 0.74741 0.8436
5S1080.562210.98080.21380.95630.71670.0429 0.34130.0057 0.0838
6S2820.541210.99510.78570.99560.46640 0.24131 0.0118
7S3400.536410.99820.48920.99930.59520.0033 0.2430.0389 0.002
8S2750.53110.77780.99960.45910 0.22490.0097 0.0011
9S3290.526710.99980.7660.99960.45170.0004 0.22180.03 0.0012
10S3950.52340.86490.85520.54170.92860.48480.1663 0.35840.3252 0.1335
11S1310.507110.9890.50890.99940.47750.0108 0.19591 0.0021
12S2680.503210.99980.80670.99990.3630.0004 0.18430.0167 0.0005
13S3060.495810.99970.78960.99960.3420.0005 0.17880.0154 0.0014
14S1510.489210.9770.10760.90290.44430.0549 0.27650.0318 0.2296
15S3080.483810.96770.36730.99130.44430.0718 0.19490.0895 0.0291
16S3300.465810.97810.19410.98680.43330.049 0.19420.1502 0.0445
17S1940.46510.99810.68340.99990.28210.0029 0.14370.0152 0.0004
18S3480.45920.97160.88650.18760.75130.14260.1263 0.17611 1
19S3740.45310.72050.9260.90610.04510.0859 0.10481 0.8771
20S1260.45270.89780.78840.57450.90610.20550.2555 0.20781 0.3447
21S3520.451910.99480.64270.99940.25520.0078 0.12630.0642 0.0031
22S3560.451810.99340.30560.99640.34390.0116 0.18360.1705 0.0129
23S2840.44410.99640.96960.99920.12420.0034 0.06620.2919 0.0075
24S2470.442710.99910.868310.15730.0011 0.08050.0419 0.0003
25S0310.434310.99620.848610.14370.0044 0.05840.2413 0.0003
26S3070.43070.99320.62860.30690.91220.16390.1493 0.431 0.3682
27S3650.423310.99740.80010.99990.11790.0033 0.0590.0895 0.0013
28S1430.423310.95630.38430.99780.2320.0655 0.11810.8988 0.0122
29S2940.410710.9910.893210.05130.0096 0.02690.1705 0.0001
30S1390.40580.98980.8249 00.85950.16980.1244 0.25391 0.3939
31S2180.404410.96070.856510.04180.032 0.0220.8988 0.0011
32S0800.400210.94720.79750.99990.05130.0411 0.02740.8988 0.0022
+ +
33S0400.394210.98560.57190.99980.1010.02040.04540.130.0023
34S2660.394110.90930.92510.0180.06970.00920.49420
35S0050.38850.93080.88760.91310.04320.02160.022610.0005
36S1230.385810.89980.831610.01790.07290.00920.89880.0002
37S3670.382710.97350.49840.99990.08850.0360.03750.29190.0022
38S0370.37990.97160.77170.31870.98260.16030.09470.161410.1033
39S1890.37650.94320.90330.752910.03990.02420.021310.0005
40S3460.374410.98080.444610.07970.02830.0330.15020.0002
41S2440.37310.93980.549610.04290.05330.02320.89880.0011
42S3640.372410.9880.38560.99970.08560.01680.0410.17050.0047
43S0550.371110.95230.43550.99890.06380.07450.03410.29190.0203
44S2100.36590.82860.67980.73980.99860.07710.34970.0580.89880.0198
45S0740.36240.92510.7310.6860.9990.04770.25760.037910.0239
46S0780.36110.93640.850.57970.99980.05650.10610.02920.89880.0053
47S0860.35420.98410.74870.52990.99790.05430.14350.062810.0452
48S0070.350110.73410.700410.02190.16740.00990.89880.0017
49S2730.34990.89670.84480.47740.99980.07120.0910.03890.89880.0045
50S0030.34740.95460.86570.46830.99980.04030.05940.026910.0052
51S2910.34150.98410.81660.47740.99970.02510.1050.017510.0173
52S3790.33950.96940.68080.908310.00320.02620.007510.0015
53S3420.33740.97160.660.922710.00270.04160.003310.0002
54S3380.337310.78940.21120.99380.05610.07370.102710.0799
55S0920.33230.96480.63380.945710.00160.03150.00210.0001
56S1140.33170.98980.84060.31870.99940.03260.06710.02610.0231
57S2210.32730.97280.58160.993210.00140.0310.00210
58S3920.32630.92620.62760.936110.00170.0320.00210
59S2920.32590.7310.7090.63750.99990.07230.14190.03550.89880.0026
60S0250.32520.9240.62440.935610.0010.03150.001810
61S1500.324710.82910.368610.00420.07950.003710.0098
62S1780.323810.55660.978410.00140.03180.002410.0001
63S3140.322710.81660.385610.0040.07640.003310.0003
64S1690.32050.95350.56390.97610.00150.03470.00210
65S1740.31810.99090.5211110.00130.03420.00210
66S2560.31540.93870.62240.814510.00180.03760.002410.0001
67S1410.31450.91260.57430.939310.00180.02960.002110.0001
68S3240.31450.9160.57010.941610.00180.03230.002110.0001
69S1130.3140.94890.54930.948810.0010.02940.002210.0001
70S2080.31150.67540.60670.67160.99930.06940.2380.03450.79770.013
71S0300.31060.96140.53050.898510.00310.06120.005210.0005
72S0750.30910.9240.5670.884110.00130.03340.002310.0001
73S1520.30710.89220.5670.894510.00140.03520.002110.0001
74S1570.30580.89670.56080.638810.00140.29930.001910
75S3000.30570.69010.65260.729310.0220.18310.01280.59530.0016
76S1540.30430.70490.64850.57450.99970.06090.14320.039610.0055
77S2160.30290.85470.55970.908710.00180.03070.00210
78S1930.30190.81040.57950.895910.00290.03550.002710.0001
79S2370.30140.98070.48660.902410.0010.04160.00210
80S0230.30110.80820.5670.679410.00730.25740.008910.0026
81S1750.30080.97620.45110.981110.00120.03280.002110.0001
82S2530.29990.93640.48560.945610.00110.02940.002810.0001
83S1720.29770.92510.50230.893210.00130.03890.001910
84S1490.29660.8740.50330.940210.00120.02940.002610.0001
85S1290.29630.93870.59310.577110.00460.11860.0110.0027
86S0360.29390.89440.47930.934410.00160.03580.00210.0001
87S3100.29320.85020.50330.92810.00170.03180.002110.0001
88S3810.28610.85810.52420.713510.00380.11010.00710.0009
89S3600.2820.85020.57010.659810.00160.0490.001910
90S1100.28050.80820.5440.74510.00120.04660.001910
91S2630.27660.85020.55550.620410.00120.06420.00210.0001
92S3830.27110.76620.46260.840810.00280.05490.004310.0004
93S0640.26980.93190.57010.364610.00130.13820.00210
94S1910.26950.88080.51790.494510.00150.16660.001910
95S3180.26920.91490.36440.870910.00160.03810.011310.0011
96S3880.2690.88760.50540.531210.00020.17590.00250.49420.0001
97S0880.26810.89560.51380.554810.00150.08010.002210.0001
98S0460.26760.86490.37490.911510.00010.0389010
99S0980.26730.98410.330.856510.00080.05350.002110
100S1860.26690.91370.56080.393510.00110.11670.002110.0001
101S0540.26580.85930.50750.587610.00240.06870.003310.0003
102S0760.26430.97730.27990.949910.00030.040.001710
103S2390.259710.62860.157410.0010.04770.001910.0001
104S2270.25910.73780.48240.607310.00390.14960.007310.0018
105S3570.25820.76620.40830.844710.00140.03280.003610.0007
106S2350.25690.79110.38530.674210.00420.20640.006610.0016
107S3860.25610.72640.39160.890610.00190.03970.003710.0002
108S3320.25250.88880.44380.494510.00390.10850.00910.0033
109S2020.25090.94890.59940.157410.00160.06950.00210
110S1020.24960.75140.36340.671610.00080.23830.002610.0001
111S1150.24930.83880.55240.346310.00140.07480.00210
112S1380.2460.87850.57120.220410.00140.08880.001910
113S2710.24490.76160.41350.620410.00190.11560.004310.0007
114S1460.24190.8910.30390.608610.00090.18120.008910.0008
115S2130.24080.97960.15560.959710.00010.0432010
116S2450.240.9240.31540.558810.00070.12970.019910.0018
117S2650.23970.70260.31330.695210.00120.29670.00310.49420.0003
118S0660.23890.92740.5440.169210.00120.07050.001910
119S0670.238110.1180.9879100.0429010
120S1990.23720.57430.27670.687310.00250.45860.004510.0004
121S2580.2360.87850.58790.116710.00180.05190.002110.0001
122S0690.23490.67540.38850.641410.00140.13870.002710.0001
123S0650.23420.69010.31740.827610.00160.08010.00420.79770.0004
124S1280.23130.67990.29860.86710.00090.05030.00310.0002
125S2330.23050.62660.35820.767310.0010.07720.002810.0002
126S1730.23020.33030.25060.76340.99990.01230.56740.017110.0114
127S0390.22910.67540.34670.574510.00420.2080.01110.0042
128S3760.22710.86040.48870.230810.00140.070.001810
129S3360.22660.61410.31330.840810.00220.06120.004610.0006
130S2320.22660.60270.30490.780410.00270.15330.004710.0004
131S1970.22520.94550.53150.045910.00140.05750.002110.0001
132S3130.22440.49040.29340.716210.00490.33380.007210.0008
133S1170.21760.57090.25790.640110.00020.39220.00260.32520.0002
134S1530.21740.12830.04280.79090.99990.010410.052610.0074
135S0020.21620.71280.29340.617810.00150.11560.006110.0011
136S2540.21420.5210.29450.84610.00340.05670.006110.0006
137S0890.21380.52440.26630.712210.00290.25550.004210.0004
138S1630.21280.53460.27880.645310.00270.27280.006210.0008
139S2170.21060.39270.34150.785710.0060.12250.002910.0001
140S3690.20920.30530.12640.763410.00290.68950.005510.0006
141S2260.20580.51870.30180.697810.00310.11010.00610.0007
142S2690.20580.91260.14510.457810.00010.28340.001910
143S0900.20420.630.3080.50510.00250.16370.00510.0005
144S2280.20340.16350.12950.746310.00630.7850.005810.0007
145S1590.20210.51530.29860.718810.00240.06360.004210.0006
146S1700.20050.52890.26520.60610.0030.21920.004910.0005
147S0240.19890.52780.26730.675510.00180.13320.002410.0001
148S3330.1980.75260.2830.373810.00070.16550.001810
149S2240.1970.84560.12320.4761100.294010
150S1820.19250.5040.18170.713510.00290.22470.005510.0006
151S2070.19210.41430.20990.693910.00090.28870.003210.0002
152S0350.190.48920.22760.764710.00140.10080.00360.49420.0003
153S1210.18830.41090.22030.741110.00270.16850.005810.0006
154S3040.18610.86380.25480.253110.00020.10340.001810
155S0420.18260.37120.22970.667610.00290.20880.00510.0005
156S2090.18150.44040.24640.637510.00160.12150.004210.0008
157S2930.1795000.69910.99990.01490.95220.030910.0085
158S2800.17860.59930.21930.436810.00040.19130.003310.0001
159S1050.17860.38140.27570.641410.00360.08380.003910.001
160S3340.17830.02270.05640.74910.00820.83810.00510.69650
161S0280.17750.30530.2370.772610.00020.11060.003110.0002
162S1040.1740.25880.17230.708310.00290.32050.004410.0008
163S0170.16990.28830.19940.76610.00280.13740.00460.79770.0005
164S2600.16970.86720.26110.078710.00020.0952010
165S1670.16850.3190.190.716210.00250.14750.005510.0005
166S1470.16740.3190.12320.667610.0130.27810.017110.0024
167S0100.16690.27810.17330.64410.00320.2860.004910.0005
168S1120.16420.22020.17750.659810.0210.2860.01380.14010.0018
169S1420.16320.2350.11490.712210.00750.33380.006210.0009
170S3940.15750.03750.07520.70710.00830.59920.00490.69650.0001
171S3750.14870.10670.04910.62710.00730.49040.032110.0043
172S0220.1410.13960.07830.666310.0050.32580.008110.0009
173S0190.13780.09990.0710.670310.00810.33910.00810.0015
174S0710.13220.05450.09080.755510.01460.20930.00650.59530.0003
175S0770.12920.09990.02610.629610.00960.3710.012910.0017
176S1270.11510.29060.18170.216410.00370.14140.004810.0005
+ +# C 问题三新评价 + +文件：供给商分析-第三题新评分.xlsx + +表 9: 供给商分析 - 第三题新评分 + +
代码评分排名新评分新排名材料分类供应偏差平均忙期量类型(0-平稳,1-周期)
S2010.7597464510.797733773110.93859709929301
S2290.64616099820.678469048210.99438760914700
S3610.62698678530.595637446330.99201214113700
S1400.58272031840.582720318421.07930864621901
S2820.54118621160.568245521511.0091706887070
S1080.56216390750.562163907620.98396775810000
S2750.52999037580.556489894711.0033581796590
S3290.52670186190.553036954811.0019277326500
S3950.523379239100.549548201911.03407287310501
S3400.53637751770.5363775171020.9992863947120
S1310.507056588110.5070565881120.9931719315740
S3080.483788422150.4837884221220.9742739325710
S3480.45921065180.4821711821311.0854552925161
S2680.503219779120.478058791431.0034864495400
S3520.451897697210.4744925821511.0015322193700
S3060.495833855130.4710421621631.0045534875240
S3300.465845283160.4658452831720.9854865595690
S1510.489199392140.4647394221830.9832042118100
S3070.430694683260.4522294171911.13053265112601
S1430.423261774280.4444248632011.0028462573460
S1940.465013512170.4417628362131.0018906984210
S0310.434323795250.4343237952221.0197909551710
S3740.452996397190.4303465782331.2843412483071
S1260.452707551200.4300721732431.0661997866091
S3560.451782973220.4291938252531.0026018075380
S2840.443962706230.4217645712631.0375608041940
S2470.442722083240.4205859792731.0138635462360
S2660.394086124340.413790432811.20442817327.10
+ +
S0050.388482065350.4079061682911.09815842266.31
S1390.405768113300.4057681133021.248303397441
S1230.385770748360.4050592853111.1386686826.90
S3650.423267153270.4021037963231.0216758681730
S1890.376542632390.3953697643311.05599221662.51
S0400.394213106330.3942131063421.0186394131330
S2940.410719677290.3901836933531.04233608678.70
S2180.404435297310.3842135323631.09963989664.50
S3670.38271972370.382719723721.0307391961100
S0800.400158729320.3801507923831.08544842180.20
S0780.361104426460.3791596483911.04679520885.51
S3460.374376793400.3743767934021.0169233996.60
S3640.372366756420.3723667564121.0383135931200
S0550.371128447430.3711284474221.0392379661000
S0070.350107187480.3676125474311.28845831428.90
S2730.349888122490.3673825284411.0978596881140
S0370.37993823380.3609413184531.0742242444731
S2440.372966686410.3543183524631.07104320768.10
S2100.365853787440.3475610984730.9910055031701
S0740.362386554450.3442672274831.0553346151111
S0860.354186795470.3364774554931.085764671841
S0030.347399242500.330029285031.06918599778.71
+ +# D 问题一代码 + +文件：Problem1.py + +1 #第一个模块——对供应及时性的考量，可以考虑称之为“履约率” +2 #目标：给出 shape=（402，）的数列，对应各个供应商的供货及时性 +3 import pandas as pd +4 import matplotlib.pyplot as plt +5 import numpy as np +6 from collections import Counter +7 df = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='企业的订货量（m²）') +8 df1 = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='供应商的←供货量（m²）') + +9 +10 temp = df[df.columns[2:]] +11 te=p1 = df1[df1.columns[2:]] +12 +13 temp.replace(0,.np,nan,inplace=True) +14 templ.replace(0,.np.nan,inplace=True) +15 + +```python +temp = np.array(temp) +temp1 = np.array(temp1) +bool_m= temp != 0 +bool_m1= temp1 != 0 +bool_m_count=np.sum(bool_m, axis=1) +bool_m1_count=np.sum(bool_m1, axis=1) +result=(bool_m1_count)/(bool_m_count) +print(result) +#第二个模块——产品占有率 +#目标：给出三个数列，对应三种原材料各个供应商的产品占 +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +import numpy as np +from collections import Counter +df1 = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据 +供货量(m³)") +dfA Bool= df1["材料分类"]=="A" +dfA= df1[dfA Bool] +dfB Bool= df1["材料分类"]=="B" +dfB= df1[dfB Bool] +dfC Bool= df1["材料分类"]=="C" +dfC= df1[dfC Bool] +def every Week_total Offer(df): + temp = df[df.columns[2:]] + return temp.values, np.sum(temp.values, axis=0) +A Offer, A_sum=every_Week_total Offer(dfA) +B Offer, B_sum=every_Week_total Offer(dfB) +C Offer, C_sum=every_Week_total Offer(dfC) +def rate(offer, sum, n): + position=offer[n] != 0 +return np.mean(offer[n][position]/sum[position]) +A=[] +``` + +```python +60 B=[] +61 C=[] +62 for i in range(A Offer.shape[O]): +63 A.append(rate(A Offer,A_sum,i)) +64 for i in range(B Offer.shape[O]): +65 B.append(rate(B Offer,B_sum,i)) +66 for i in range(C Offer.shape[O]): +67 C.append(rate(C Offer,C_sum,i)) +68 +69 print(A) +70 print(B) +71 print(C) +72 +73 +74 #第三个模块——批量柔性，也即每一批次最大增加的百分比 +75 #目标：给出一个数列，对应每个供应商的批量柔性指标 +76 import pandas as pd +77 import matplotlib.pyplot as plt +78 import numpy as np +79 from collections import Counter +80 df = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='企业的订货量（m²）') +81 df1 = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='供应商的供货量（m²）') +82 +83 temp = df[df.columns[2:]] +84 temp1 = df1[df1.columns[2:]] +85 +86 delta=temp1-temp +87 data=delta/temp +88 data=data fillna(0) +89 +90 result=np.max(data_values, axis=1) +91 print(result) +92 +93 +94 #第四个模块——交货准确度 +95 #目标：给出一个数列，对应每个供应商的交货准确度指标 +96 import pandas as pd +97 import matplotlib.pyplot as plt +98 import numpy as np +99 from collections import Counter +100 df = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='企业的订货量（m²）') +101 df1 = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='供应商的 +``` + +# 供货量（m） + +temp = df[df.columns[2:]] + +```python +te = p1 = df1[df1.columns[2:]] + +delta=temp1-temp + +data=delta/temp + +data = data * data + +data=data fillsna(0) + +data=data.values + +result $\equiv$ [] + +for 1 in range(402): + +position=data[i]！=0 + +result.append(np.mean(data[i][position])) + +print(result) + +第五个模块——供货波动性 + +目标：给出一个数列，对应每个供应商供货波动性的指标 + +import pandas as pd + +import matplotlib.pyplot as plt + +import numpy as np + +from collections import Counter + +df = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='企业的订货量（m²）') + +df1 = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='供应商的供货量(m²)') + +temp = df[df.columns[2:]] + +```c +temp1 = df1[df1.columns[2:]] + +delta=temp1-temp + +data=delta/temp + +data=data填补na(0)#这几步是为了排除未产生的订单 + +data\* $\equiv$ temp + +data=data.values + +result $\equiv$ [] + +for i in range(402): + +position=data[i]！=0 + +result.append(np.std(data[i][position],ddof = 1)/np.mean(data[i][position])) + +```txt +print(result) +``` + +第六个模块——信誉度 + +目标：给出一个数列，对应每个供应商信誉度的指标 + +import pandas as pd + +import matplotlib.pyplot as plt + +import numpy as np + +from collections import Counter + +df = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='企业的订货量（m²）') + +df1 = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='供应商的←供货量(m²)') + +```c +te = df[df.columns[2:]] + +temp1 = df1[df1.columns[2:]] + +delta=temp1-temp + +data=delta/temp + +data=data\*data\*log(temp) + +data=data fillsna(0) + +data=data.values + +result $\equiv$ [] + +for i in range(402): + +position=data[i]！=0 + +result.append(np.mean(data[i][position])) + +print(result) + +第七个模块——供给弹性 + +目标：给出一个数列，对应每个供应商供给弹性的指标 + +import pandas as pd + +import matplotlib.pyplot as plt + +import numpy as np + +from collections import Counter + +df = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='企业的订货量（m²）') + +df1 = pd.read_excel("附件1 近5年402家供应商的相关数据.xlsx",sheet_name='供应商的供货量(m²)') + +```c +temp = df[df.columns[2:]] + +185 templ $=$ df1[df1.columns[2:]] +186 +187 data $\equiv$ temp1/temp +188 data $\equiv$ data\*temp +189 data $\equiv$ data fillna(0) +190 data $\equiv$ data.values +191 +192 result $\equiv$ [] +193 +194 for i in range(402): +195 position $\equiv$ data[i]！ $= 0$ +196 result.append(np.var(data[i][position],ddof $= 1$ )/np.mean(data[i][position])) +197 +198 print(result) + +# E 问题二代码 + +文件：Problem2.py + +```python +1 #贪心思路 +2 #A属性的分数乘以1.05，B不变，C变为0.95 +3 import numpy as np +4 import matplotlib.pyplot as plt +5 +6 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] +7 #1.对象定义与解释 +8 #供应商1-50对应的代号，排序顺序为第一间中评分高低 +9 GongyingName = [] #字符串，从1开始，下同理 +10 #转运商1-8对应的代号，排序顺序为评分高低 +11 ZhuanyunName = [] +12 #供应商类别，0为平稳，1为周期 +13 Gclass = [] +14 Gabc1 = [] # A, B, C，此为成本 +15 Gabc2 = [] #此为产能转化 +16 #平均值 +17 Gmean = [] +18 #供应商的偏差率、方差 +19 p = [] +20 p_fc = [] +21 #周期 +22 Gweek = np.random.randint(51) +23 Gweekmark = [] +24 Gworkweekmark = [] +``` + +```txt +25 # 转运商的损耗率 +26 l = [] +27 l_fc = []#fc为方差 +28 #第k周的剩余库存 +29 v = np.zeros([25]) # 0-24，未减去当前一周消耗 +30 w[0] = 28200 * 2 +31 # 当前周的供货量、接收量 +32 s = np.zeros([51], dtype=int) +33 t = np.zeros([51], dtype=int) +34 # 当前车装载情况 +35 car = np.zeros([9], dtype=int) +36 +37 # ————策略 +38 # 第i个供应商的第k周订货量 +39 d = np.zeros([51, 25], dtype=int) +40 # 第i个供应商的第k周选择的转运商 +41 J = np.zeros([51, 25], dtype=int) +42 +43 # ————目标 +44 C = np.zeros([25]) +45 L = np.zeros([25]) +46 Farest=np.zeros([25]) +47 True_use=np.zeros([25]) +48 +49 +50 # 2. 数据载入 +51 from xlrd import open_workbook +52 +53 book=open_workbook(r'转运量分析.xlsx') +54 sheet=book.sheets().[0] +55 ZhuanyunName = np.array([x.value for x in sheet.col(0,start_rowx=1,end_rowx=9)]) +56 ZhuanyunName = np.append(['', ZhuanyunName) +57 l = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(1,start_rowx=1,end_rowx=9)]) +58 l = np.append([0], 1) +59 l_fc = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(2,start_rowx=1,end_rowx=9)]) +60 l_fc = np.append([0], l_fc) +61 +62 +63 book=open_workbook(r'供给商分析.xlsx') +64 sheet=book.sheets().[0] +65 GongyingName = np.array([x.value for x in sheet.col(0,start_rowx=1,end_rowx=51)←]) +66 GongyingName = np.append(['', GongyingName) +67 +68 p = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(5,start_rowx=1,end_rowx=51)]) +``` + +```python +69 p = np.append([0], p) +70 p_fc = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(6,start_rowx=1, end_rowx=51)]) +71 p_fc = np.append([0], p_fc) +72 +73 Gclass = np.array([int(x.value) for x in sheet.col(11, start_rowx=1, end_rowx=51)←]) +74 Gclass = np.append([''], Gclass) +75 Gabc1 = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(3, start_rowx=1, end_rowx=51)←]) +76 Gabc1 = np.append([0], Gabc1) +77 Gabc2 = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(4,start_rowx=1, end_rowx=51)←]) +78 Gabc2 = np.append([1], Gabc2) +79 +80 Gweekmark = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(7, start_rowx=1, end_rowx←=51)]) +81 Gweekmark = np.append([0], Gweekmark) +82 +83 Gworkweekmark = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(9, start_rowx=1, ←end_rowx=51)]) +84 Gworkweekmark = np.append([0], Gworkweekmark) +85 +86 #周期随机初始化 +87 Gweek = Gweek * Gworkweekmark +88 Gweek = Gweek.astype(int) +89 +90 Gmean = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(10, start_rowx=1, end_rowx←=51)]) +91 Gmean = np.append([0], Gmean) +92 +93 Everyweek_get=np.zeros([25]) +94 LOST=np.zeros([9,25]) +95 +96 +97 #3.贪心过程，对每一周来记 +98 for k in range(1, 25): +99 w[k] = w[k-1] - 28200 +100 +101 for i in range(1, 51): +102 if Gclass[i] == 0: +103 if Gmean[i] > 2500: +104 d[i, k] = Gmean[i]*1.3 + np.random.normal(0, 500) +105 else: +106 d[i, k] = Gmean[i] * 1.3 + np.random.normal(0, 200) +107 else: +``` + +```python +if Gweek[i] >= Gworkweekmark[i]: if Gmean[i] > 2500: d[i, k] = Gmean[i] * 1.3 + np.random.normal(0, 500) else: d[i, k] = Gmean[i] * 1.3 + np.random.normal(0, 200) Gweek[i] = 0 elif Gweek[i] >= Gweekmark[i]: if Gmean[i] > 2500: d[i, k] = Gmean[i] * 1.3 + np.random.normal(0, 500) else: d[i, k] = Gmean[i] * 1.3 + np.random.normal(0, 200) else: continue # next i True_use[k] += 1 Farest[k] = i pp = np.random.normal(p[i], p_fc[i], 1) s[i] = pp * d[i, k] for j in range(1, 9): if car[j] + s[i] <= 6000: J[i, k] = j car[j] += s[i] LOST[j, k] += s[i] * np.random.normal(1[J[i, k]], l_fc[J[i, k]], 1) break ll = np.random.normal(1[J[i, k]], l_fc[J[i, k]], 1) t[i] = (1-ll) * s[i] v[k] += t[i] / Gabc2[i] if v[k] >= 28200 * 2: break Gweek += 1 Everyweek_get[k] = sum(t/ Gabc2) C[k] = sum(s * Gabc1) L[k] = sum((s - t) / Gabc2) # clean # 当前周的供货量、接收量 s = np.zeros([51], dtype=int) t = np.zeros([51], dtype=int) # 当前车装载情况 car = np.zeros([9], dtype=int) +``` + +# 4.绘制图表 + +```python +153 ax1 = plt.gca() +154 ax1.set_ylim(15000,62000) +155 ax2 = ax1.twinx() +156 ax1.plot(range(1,25),C[1:],label='每周成本') +157 ax1.plot(range(1,25),w[1:],label='每周剩余库存') +158 ax1.plot(range(1,25),Everyweek_get[1:],label='每周进货') +159 ax1.plot(range(1,25),[28200*2]*24, label='最低库存') +160 ax2.bar(range(1,25),LOST[1,1:],label='每周转运商1损失',alpha=0.3,bottom=0) +161 ax2.bar(range(1,25),LOST[2,1:],label='每周转运商2损失',alpha=0.3,bottom=LOST←[1,1:]) +162 ax2.bar(range(1,25),LOST[3,1:],label='每周转运商3损失',alpha=0.3,bottom=LOST←[1,1:]+LOST[2,1:]) +163 ax2.bar(range(1,25),LOST[4,1:],label='每周转运商4损失',alpha=0.3,bottom=LOST←[1,1:]+LOST[2,1:]+LOST[3,1:]) +164 ax2.set_ylim(0,200) +165 ax2legend(loc=6,ncol=1) +166 plt.xlabel('安排周数') +167 ax1legend(loc=0,ncol=1) +168 plt.grid(lineestyle=":",color="k") +169 plt.title('每周成本，进货，库存随周数变化') +170 +171 plt.show() +``` + +# F 问题三代码 + +文件：Problem3.py + +```python +1 #贪心思路 +2 import random +3 import numpy as np +4 import matplotlib.pyplot as plt +5 +6 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] +7 +8 random.seed(0) +9 def test_func(sup_pram, name): +10 #1.对象定义与解释 +11 Costaccumulate = np.zeros([3, 25]) +12 +13 #供应商1-50对应的代号，排序顺序为第一间中评分高低 +14 GongyingName = [] #字符串，从1开始，下同理 +15 #转运商1-8对应的代号，排序顺序为评分高低 +16 ZhuanyunName = [] +``` + +供应商类别，O为平稳，1为周期 + +Gclass = [] + +Gabc1 = [] # A, B, C, 此为成本 + +Gabc2 = [] # 此为产能转化 + +平均值 + +Gmean [] + +供应商的偏差率、方差 + +p = [] + +p_fC [] + +#周期 + +Gweek = np.random.randint(51) + +Gweekmark = [] + +Gworkweekmark = [] + +转运商的损耗率 + +1 = [] + +1_fc = [] # fc即是方差 + +第k周的剩余库存 + +w = np.zeros([25]) # 0-24，未减去当前一周消耗 + +w[0] = 28200 * 2 + +当前周的供货量、接收量 + +s = np.zeros([51], dtype=int) + +t = np.zeros([51], dtype=int) + +当前车装载情况 + +car = np.zeros([9], dtype=int) + +策略 + +第1个供应商的第2周订货量 + +d = np.zeros([51, 25], dtype=int) + +第1个供应商的第x周选择的转运商 + +J = np.zeros([51, 25], dtype=int) + +目标 + +C = np.zeros([25]) + +L = np.zeros([25]) + +#2.数据载入 + +from x1rd import open_workbook + +book = open_workbook(r'转运量分析.xlsx') + +sheet $=$ book.sheets()[0] + +ZhuanyunName = np.array([x.value for x in sheet.col(0, start_rowx=1, end_rowx← + +```python +=9)] +ZhuanyunName = np.append([' ', ZhuanyunName) +1 = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(1, start_rowx=1, end_rowx=9)←]) +1 = np.append([0], 1) +l_fc = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(2, start_rowx=1, end_rowx←=9)) +1_fc = np.append([0], l_fc) +book = open_workbook(name) +sheet = book.sheets().[0] +GongyingName = np.array([x.value for x in sheet.col(0, start_rowx=1, end_rowx←=51)]) +GongyingName = np.append([' ', GongyingName) +p = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(5, start_rowx=1, end_rowx=51)←]) +p = np.append([0], p) +p_fc = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(6, start_rowx=1, end_rowx←=51)]) +p_fc = np.append([0], p_fc) +Gclass = np.array([int(x.value) for x in sheet.col(11, start_rowx=1, end_rowx←=51)]) +Gclass = np.append(['', Gclass) +Gscore = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(12, start_rowx=1, ←end_rowx=51)]) +Gscore = np.append([0], Gscore) +Gabc1 = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(3, start_rowx=1, end_rowx←=51)]) +Gabc1 = np.append([0], Gabc1) +Gabc2 = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(4, start_rowx=1, end_rowx←=51)]) +Gabc2 = np.append([1], Gabc2) +Gweekmark = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(7, start_rowx=1, ←end_rowx=51)]) +Gweekmark = np.append([0], Gweekmark) +Gworkweekmark = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(9, start_rowx=1, ←end_rowx=51)]) +Gworkweekmark = np.append([0], Gworkweekmark) +``` + +```python +Gweek = Gweek * Gworkweekmark +Gweek = Gweek.astype(int) +Gmean = np.array([float(x.value) for x in sheet.col(10, start_rowx=1, end_rowx=51)]) +Gmean = np.append([0], Gmean) +Everyweek_get = np.zeros([25]) +LOST = np.zeros([9, 25]) +Everyweek_chooseA=np.zeros([25]) +Everyweek_chooseC = np.zeros([25]) +``` + +# 3.贪心过程，对每一周来记 + +#从总体上说， + +```python +for k in range(1, 25): + v[k] = w[k - 1] - 28200 +chooseA = 0 +chooseC = 0 +for i in range(1, 51): + if i < 50 and 0.98*Gscore[i] < Gscore[i+1] and Gabc1[i] < Gabc1[i+1]: + continue + if Gclass[i] == 0: + d[i, k] = Gmean[i] * (sup_pram + np.random.normal(0.2, 0.5)) + else: + if Gweek[i] >= Gworkweekmark[i]: + d[i, k] = Gmean[i] * (sup_pram + np.random.normal(0.2, 0.5)) + elif Gweek[i] >= Gweekmark[i]: + d[i, k] = Gmean[i] * (sup_pram + np.random.normal(0.2, 0.5)) + else: + continue # next i + if Gabc1[i] == 1.2: + chooseA += 1 +elif Gabc1[i] == 1: + chooseC += 1 +pp = np.random.normal(p[i], p_fc[i], 1) +s[i] = pp * d[i, k] +for j in range(1, 9): + if car[j] + s[i] <= 6000: + J[i, k] = j +``` + +```python +car[j] += s[i] +LOST[j, k] += s[i] * np.random.normal(1[J[i, k]], 1_fc[J[i, k-1]}, 1) +break +ll = np.random.normal(1[J[i, k]], 1_fc[J[i, k]}, 1) +t[i] = (1 - ll) * s[i] +w[k] += t[i] / Gabc2[i] +if w[k] >= 28200 * 2: + break +Gweek += 1 +Everyweek_get[k] = sum(t / Gabc2) +C[k] = sum(s * Gabc1) +L[k] = sum((s - t) / Gabc2) +Cost Accumulated[0][k] = sum(s[np.where(Gabc1 == 1.2)] / 0.6) +Cost Accumulated[1][k] = sum(s[np.where(Gabc1 == 1.1)] / 0.66) +Cost Accumulated[2][k] = sum(s[np.where(Gabc1 == 1)] / 0.72) +# clean +# 当前周的供货量、接收量 +s = np.zeros([51], dtype=int) +t = np.zeros([51], dtype=int) +# 当前车装载情况 +car = np.zeros([9], dtype=int) +Everyweek_chooseA[k] = chooseA +Everyweek_chooseC[k] = chooseC +ax1 = plt.gca() +ax1.set_ylim(15000, 62000) +ax2 = ax1.twinx() +ax1.plot(range(1, 25), C[1:], label='每周成本') +ax1.plot(range(1, 25), w[1:], label='每周剩余库存') +ax1.plot(range(1, 25), Everyweek_get[1:], label='每周进货') +ax1.plot(range(1, 25), [28200 * 2]*24, label='最低库存') +ax2.bar(range(1, 25), LOST[1, 1:], label='每周转运商1损失', alpha=0.3, bottom←0) +ax2.bar(range(1, 25), LOST[2, 1:], label='每周转运商2损失', alpha=0.3, bottom←LOST[1, 1:]) +ax2.bar(range(1, 25), LOST[3, 1:], label='每周转运商3损失', alpha=0.3, bottom←LOST[1, 1:] + LOST[2, 1:]) +ax2.bar(range(1, 25), LOST[4, 1:], label='每周转运商4损失', alpha=0.3, bottom←LOST[1, 1:] + LOST[2, 1:] + LOST[3, 1:]) +``` + +ax2.set_ylim(0,200) +ax2legend(loc=6，ncol=1) +plt.xlabel('安插周数') +ax1legend(loc=0，ncol=1) +plt.grid(Linestyle $\equiv$ "："，color $=$ "k") +plt.title('每周成本，进货，库存随周数变化') +plt.show()#每周实际收货量的变化图return LOST[1，1:] $^+$ LOST[2，1:] $^+$ LOST[3，1:] $^+$ LOST[4，1:]，Eveeyweek_chooseA,Eveeyweek_chooseC,Costaccumulate[O],Costaccumulate[2] +LOST1,Eveeyweek_chooseA1,Eveeyweek_chooseC1,Pa1,Pc1 $\equiv$ test_func(1.5,r'供给商分析. $\leftarrow$ x1sx') +LOST2,Eveeyweek_chooseA2,Eveeyweek_chooseC2,Pa2,Pc2 $\equiv$ test_func(1.5,r'供给商分析- $\leftarrow$ 第二题.x1sx') +plt.xlabel('安排周数') +plt.plot(range(1，25),LOST1, label $\equiv$ "调整后损失") +plt.plot(range(1，25),LOST2, label $\equiv$ "调整前损失") +plt.legend(loc=0，ncol=1) +plt.title('前后损失比较') +plt.show() +plt.xlabel('安排周数') +plt.plot(range(1，25)，(Everyweek_chooseA1/Everyweek_chooseC1)[1:]，label $\equiv$ "调整后A/\~C比例") +plt.plot(range(1，25)，(Everyweek_chooseA2/Everyweek_chooseC2)[1:]，label $\equiv$ "调整前A/\~C比例") +plt.legend(loc=0，ncol=1) +plt.title('前后A/C比例比较') +plt.show() +pltxlabel('安排周数') +plt.plot(range(1，25)，(Everyweek_chooseA1-Everyweek_chooseC1)[1:]，label $\equiv$ "调整后A,\~C之差") +plt.plot(range(1，25)，(Everyweek_chooseA2-Everyweek_chooseC2)[1:]，label $\equiv$ "调整前A,\~C之差") +pltlegend(loc=0，ncol=1) +plt.title('前后A/C比例比较') +plt.show() +pltxlabel('安排周数') + +```txt +216 plt.plot(range(1, 25), (Pa1/Pc1)[1:], label="调整后产能A/C比例") +217 plt.plot(range(1, 25), (Pa2/Pc2)[1:], label="调整前产能A/C比例") +218 plt.legend(loc=0, ncol=1) +219 plt.title('前后A/C比例比较') +220 plt.show() +``` + +# G 问题四代码 + +文件：Problem4.py + +```python +1 import numpy as np +2 import matplotlib.pyplot as plt +3 +4 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] +5 # 1. 对象定义与解释 +6 +7 #供应商1-50对应的代号，排序顺序为第一问中评分高低 +8 GongyingName = [] #字符串，从1开始，下同理 +9 #转运商1-8对应的代号，排序顺序为评分高低 +10 ZhuanyunName = [] +11 +12 #供应商类别，0为平稳，1为周期 +13 Gclass = [] +14 Gabc1 = [] # A, B, C, 此为成本 +15 Gabc2 = [] #此为产能转化 +16 #平均值√ +17 Gmean = [] +18 #供应商的偏差率、方差 +19 p = [] +20 p_f_c = [] +21 #% 周期√ +22 Gweek = np.random.randint(177) +23 +24 #% +25 Gweekmark = [] +26 Gworkweekmark = [] +27 +28 #转运商的损耗率 +29 1 = [] +30 1_f_c = [] +31 +32 #第k周的剩余库存 +33 w = np.zeros([25]) # 0-24，未减去当前一周消耗 +``` + +```txt +34 w[0] = 56800 +35 # 当前周的供货量、接收量 +36 s = np.zeros([177], dtype=int) +37 t = np.zeros([177], dtype=int) +38 # 当前车装载情况 +39 car = np.zeros([9], dtype=int) +40 +41 # ————策略 +42 # 第i个供应商的第k周订货量 +43 d = np.zeros([177, 25], dtype=int) +44 # 第i个供应商的第k周选择的转运商 +45 J = np.zeros([177, 25], dtype=int) +46 +47 # ————目标 +48 C = np.zeros([25]) +49 L = np.zeros([25]) +50 +51 Everyweek_get = np.zeros([25]) +52 LOST = np.zeros([9, 25]) +53 +54 #%%2.数据载入 +55 from xlrd import open_workbook +56 +57 book=open_workbook(r'转运量分析.xlsx') +58 sheet=book.sheets() [0] +59 ZhuanyunName = np.array([x.value for x in sheet.col(0, start_royx=1, end_royx=9)]) +60 ZhuanyunName = np.append(['', ZhuanyunName) +61 l = np.array(float(x.value) for x in sheet.col(1, start_royx=1, end_royx=9)) +62 l = np.append([0], l) +63 l_fc = np.array(float(x.value) for x in sheet.col(2, start_royx=1, end_royx=9)) +64 l_fc = np.append([0], l_fc) +65 +66 book=open_workbook(r'供给商分析.xlsx') +67 sheet=book.sheets() [0] +68 GongyingName = np.array([x.value for x in sheet.col(0, start_royx=1, end_royx=177)]) +69 GongyingName = np.append(['', GongyingName) +70 p = np.array(float(x.value) for x in sheet.col(5, start_royx=1, end_royx=177)) +71 p = np.append([0], p) +72 p_fc = np.array(float(x.value) for x in sheet.col(6, start_royx=1, end_royx=177)) +73 p_fc = np.append([0], p_fc) +74 Gclass = np.array(int(x.value) for x in sheet.col(11, start_royx=1, end_royx=177)) +``` + +76 Gclass $=$ np.append([''],Gclass) +77 Gabc1 $=$ np.array([float(x.value) for x in sheet.col(3,start_rowx=1，end_rowx $\leftarrow$ =177]) +78 Gabc1 $=$ np.append([0],Gabc1) +79 Gabc2 $=$ np.array([float(x.value) for x in sheet.col(4,start_rowx=1，end_rowx=177) $\leftarrow$ 1 +80 Gabc2 $=$ np.append([1],Gabc2) +81 +82 Gweekmark $=$ np.array([float(x.value) for x in sheet.col(7，start_rowx=1，end_rowx $\leftarrow$ =177)) +83 Gweekmark $=$ np.append([0],Gweekmark) +84 Gworkweekmark $=$ np.array([float(x.value) for x in sheet.col(9，start_rowx=1， $\leftarrow$ end_rowx=177)] +85 Gworkweekmark $=$ np.append([0],Gworkweekmark) +86 +87 Gweek $=$ Gweek \* Gworkweekmark +88 Gweek $=$ Gweek. astype(int) +89 +90 Gmean $=$ np.array([float(x.value) for x in sheet.col(10，start_rowx=1，end_rowx $\leftarrow$ =177)) +91 Gmean $=$ np.append([0],Gmean) +92 +93 Productivity $\equiv$ np.zeros([25]) +94 Costaccumulate $\equiv$ np.zeros([3,25]) +95 +96 Farest $\equiv$ np.zeros([25]) +97 True_use $\equiv$ np.zeros([25]) +98 +99 #%3.贪心过程，对每一周来记 +100 for k in range(1,25): +101 $\mathbf{v}[\mathbf{k}] = \mathbf{v}[\mathbf{k} - 1] / 2$ #每周消耗该周库存产能的一半 +102 Productivity[k]=v[k-1]/2 +103 for i in range(1,177): if Gclass[i] == 0: d[i,k] $=$ Gmean[i]\*(1.3+np.random.normal(0.2,0.5)) +106 else: if Gweek[i] >= Gworkweekmark[i]: d[i,k] $=$ Gmean[i]\*(1.3+np.random.normal(0.2,0.5)) Gweek[i] = 0 +110 elif Gweek[i] >= Gweekmark[i]: d[i,k] $=$ Gmean[i]\*(1.3+np.random.normal(0.2,0.5)) else: continue # next i. +114 True_use[k]+=1 +115 Farest[k]=i + +```python +pp = np.random.normal(p[i], p_fc[i], 1) +s[i] = pp * d[i, k] +mk = 0 +for j in range(1, 9): + if car[j] + s[i] <= 6000: + J[i, k] = j + car[j] += s[i] + LOST[j, k] += s[i] * np.random.normal(1[J[i, k]], 1_fc[J[i, k]], ← 1) + break + if j == 8: + mk = 1 + if mk == 1: + break + ll = np.random.normal(1[J[i, k]], 1_fc[J[i, k]], 1) + t[i] = (1-ll) * s[i] + v[k] += t[i] / Gabc2[i] + Gweek += 1 + Everyweek_get[k] = sum(t / Gabc2) + C[k] = sum(s * Gabc1) + L[k] = sum((s - t) / Gabc2) + Costaccumulate[0][k]=sum(s[np.where(Gabc1==1.2)]*1.2) + Costaccumulate[1][k]=sum(s[np.where(Gabc1==1.1)]*1.1) + Costaccumulate[2][k]=sum(s[np.where(Gabc1==1)]*1) +# clean +# 当前周的供货量、接收量 +s = np.zeros([177], dtype=int) +t = np.zeros([177], dtype=int) +# 当前车装载情况 +car = np.zeros([9], dtype=int) +ax1 = plt.gca() +ax1.set_ylin(15000, 62000) +ax2 = ax1.twinx() +ax1.plot(range(1, 25), C[1:], label='每周成本') +ax1.plot(range(1, 25), w[1:], label='每周剩余库存') +ax1.plot(range(1, 25), Everyweek_get[1:], label='每周进货') +ax2.bar(range(1, 25), LOST[1, 1:], label='每周转运商1损失', alpha=0.3, bottom=0) +ax2.bar(range(1, 25), LOST[2, 1:], label='每周转运商2损失', alpha=0.3, bottom=←LOST[1, 1:]) +ax2.bar(range(1, 25), LOST[3, 1:], label='每周转运商3损失', alpha=0.3, bottom=←LOST[1, 1:]+LOST[2, 1:]) +ax2.bar(range(1, 25), LOST[4, 1:], label='每周转运商4损失', alpha=0.3, bottom=←LOST[1, 1:]+LOST[2, 1:]+LOST[3, 1:]) +``` + +```python +157 ax2.bar(range(1, 25), LOST[5, 1:], label='每周转运商5损失', alpha=0.3, bottom=LOST[1, 1:] + LOST[2, 1:] + LOST[3, 1:] + LOST[4, 1:]) +158 #ax2.set_ylim(0, 200) +159 ax2legend(loc=6, ncol=1) +160 plt.xlabel('安排周数') +161 ax1legend(loc=0, ncol=1) +162 plt.grid(Linestyle=True, color='k') +163 plt.title('每周成本，进货，库存随周数变化') +164 +165 plt.show() +166 +167 ax1 = plt.gca() +168 ax1.set_ylim(15000, 60000) +169 ax2 = ax1.twinx() +170 ax1.plot(range(1, 25), Productivity[1:], label='每周产能') +171 ax1.plot(range(1, 25), Everyweek_get[1:], label='每周获得产能') +172 ax2.bar(range(1, 25), Costaccumulate[0, 1:], label='每周A采购成本', alpha=0.3, bottom=0) +173 ax2.bar(range(1, 25), Costaccumulate[1, 1:], label='每周B采购成本', alpha=0.3, bottom=Costaccumulate[0, 1:]) +174 ax2.bar(range(1, 25), Costaccumulate[2, 1:], label='每周C采购成本', alpha=0.3, bottom=Costaccumulate[0, 1:] + Costaccumulate[1, 1:]) +175 +176 lis=np.linspace(3,24,8,dtype=int) +177 +178 +179 for i,j in zip(lisPRODUCTIVITY[lis]): +180 ax1.text(i-1,j+1000,int(j), color="b") +181 +182 for i,j in zip(lis,Everyweek_get[lis]): +183 ax1.text(i-1,j+1000,int(j), color='darkorange") +184 +185 ax2legend(loc=4, ncol=1) +186 plt.xlabel('安排周数') +187 ax1legend(loc=3, ncol=1) +188 ax2.set_ylim(0, 60000) +189 #plt.grid(Linestyle=True, color='k') +190 plt.title('每周成本，产能随周数变化') +191 plt.show() +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/D017/D017.md b/MCM_CN/2021/D017/D017.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a6e85ba3a4e32f4e87224a1726df880395f8bcea --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/D017/D017.md @@ -0,0 +1,451 @@ +# 连铸切割的在线优化模型 + +# 摘要 + +连铸是将钢水变成钢坯的生产过程，而优化切割是连铸的关键技术之一，直接影响了钢坯的利用率和用户的满意度。本文从尾坯切割损失、满足用户目标值两方面研究连铸的最优切割方案，并制定了出现异常情况下的实时最优切割方案。 + +问题1：在满足基本要求和正常要求的前提下，首先，证明了关于尾坯长度和用户目标范围实现切割损失为0的充要条件。考虑实际生产和测量都建立在一定精度之上，取定精度为0.1米，将4.8米~12.6米划分为79种长度规格；根据参数与要求、用户目标值范围等条件，建立基于79种长度规格的切割损失最小整线性规划模型。进一步，给出了切割总损失最小值函数 $f(L)$ 关于尾坯长度 $L$ 的函数解析表达式。其次，将整线性规划模型所求的切割损失最小值固定，构造平均绝对偏差来刻画满足用户目标值，在切割损失最小的前提下，建立了最小平均绝对偏差模型并最终求得最优切割方案。结果表明，在切割损失最小的前提下，问题1中给出的12个尾坯最优切割方案的平均绝对偏差在0.16~0.5米之间。 + +问题2：考虑结晶器异常会出现报废段，基于问题1的模型和结果，本文分“尾坯+0.8米废坏”、“部分长度(≤0.8米)废坏+尾坯+0.8米废坏”、“尾坯1+0.8米废坏+尾坯2+0.8米废坏”等三种讨论了实时初始最优切割方案和调整后最优切割方案。结果表明，9段异常时刻初始切割方案总共调整了8次，声明不做调整0次；总的切割损失为16.6米。 + +问题3：结晶器出现异常的时刻都与问题2相同的条件下，分别求出了用户目标值为8.5米和11.1米的实时初始最优切割方案和调整后最优切割方案。用户目标值为8.5米初始切割方案总共调整了8次，声明不做调整0次，总的切割损失为8.8米；用户目标值为11.1米初始切割方案总共调整了8次，声明不做调整0次，总的切割损失为17.1米。 + +关键词：连铸切割 切割损失 整线性规划 平均绝对偏差 最优方案 + +# 一．问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +![](images/111c7009e97383bae437a5181f1ad7b17ea4ac4a16932ca0f36380ec3392a577.jpg) +图1连铸工艺的示意图 + +连铸流程如图1，钢水从中间包到结晶器，接着在二冷段拉坏，最后被切割机切割。其中，从结晶器中心到切割机工作起点处钢坯的长度是60.0米。连铸拉坯的速度为1.0米/分钟。切割机每次会从工作起点开始切割，切割机与钢坯同步移动3分钟完成切割，然后1分钟返回工作起点，等待下次切割。切割机在线切割后的钢坯长度必须为 $4.8\sim 12.6$ 米之间，下道工序可接受的长度为 $8.0\sim 11.6$ 米。对于在线切割的钢坯长度取值在[11.6，12.6]，需要离线切割。 + +在浇钢过程中，结晶器会出现异常，这时，位于结晶器内部的一段钢坯需要报废，称此段钢坯为报废段(图2)，报废段的长度为0.8米。结晶器一旦异常，切割工序立刻知道，可以立即调整切割方案。含有报废段的钢坯需要离线二次切割。 + +![](images/30eacd102ba373862daaf3ba701641ce99d51e4bffbd4ee441fe1331d54fbdee.jpg) +图2钢坯出现报废段的示意图 + +# 1.2 问题提出 + +在最优切割方案中，首先必须保证切割损失(报废钢坯的长度)最小，其次尽可能满足用户要求。建立数学模型或设计算法，解决以下问题： + +(1)已知尾坯长度为109.0、93.4、80.9、72.0、62.7、52.5、44.9、42.7、31.6、22.7、14.5和13.7(单位：米)，用户目标值为9.5米，目标范围为 $9.0\sim 10.0$ 米，列表写出具体的最优切割方案，包括“尾坯长度、切割方案、切割损失”等内容。 +(2)在结晶器在0.0、45.6、98.6、131.5、190.8、233.3、266.0、270.7和327.9(单位：分钟)出现异常，用户目标值是9.5米，目标范围是 $9.0\sim 10.0$ 米。在出现新的报废段后(包括第一次报废)，将每种情况的切割方案一起列出，按“初始切割方案、调整后的切割方案、切割损失”写出。 +(3)结晶器出现异常的时刻是同(2)相同，用户目标值是8.5米，目标范围是 $8.0\sim 9.0$ 米以及用户目标值是11.1米，目标范围是 $10.6\sim 11.6$ 米两种情况，分别按“初始切割方案、调整后的切割方案、切割损失”写出最优切割方案。 + +# 二. 模型假设 + +1. 假设本文中连铸设备钢坏切割的精度为0.1米； +2. 假设 $t = 0$ 表示带有坏壳的钢水刚从结晶器中心出现； +3. 假设未说明结晶器异常时，连铸设备正常生产钢坯； +4. 由于报废段长度为固定值，本文切割损失仅为正常钢坯的切割所产生的报废钢坯长度，不计入报废段长度； +5. 假设温度、压力恒定，切割设备能正常进行，不存在漏钢现象； +6. 不考虑切割方案调整所需的时间。 + +# 三. 符号说明 + +
符号说明单位
L尾坯长度米
Y切割损失米
Ymin最小切割损失值米
d用户的目标值米
t钢水在结晶器中心的时间分钟
xi第i种规格的板坯数量根
Z用户目标值的平均绝对偏差米
+ +*其他未标明符号在文中说明 + +# 四. 问题分析 + +针对问题1，要给出尾坯的最优切割方案，首先对已知报废长度进行规律探索，初步推论出理论切割总损失最小值与尾坯长度的关系。接着，建立两阶段模型求出尾坯切割最优方案。其中，第一阶段模型求解切割损失的最小值；第二阶段模型寻找尽可能满足用户目标值的切割方案。最后，发现实际最小切割损失与理论最小切割损失完全相同，说明本文找到最小切割损失与尾坯长度的联系。 + +针对问题2，在两段报废段之间的正常钢坯可视为问题1中的“尾坯”。由于结晶器异常时常发生，本文将分三种情况讨论尾坯与废坏的连接类型，并给出相应的切割算法。第(1)小问要给出钢坯首次初选报废段的实时切割方案，由题目可知结晶器首次出现异常的时刻为0.0，因为假设未说明结晶器异常时，钢坯中不存在报废段，按照用户目标值9.5米进行钢坯的切割。第(2)小问要给出新一段钢坯和当前段钢坯的调整方案， + +按照三种类型的对应算法进行求解。 + +针对问题3，在假设实时最优切割方案和结晶器出现异常的时刻都与问题2相同的条件下，要给出用户目标值分别为8.5米和11.1米的最优实时切割方案。直接使用问题2的算法，即可求出问题3中(1)(2)小问的实时最优切割方案。 + +# 五. 模型建立与求解 + +# 5.1 模型的准备 + +连铸停浇时，将必然会产生尾坯，因此在实际生产中需要对尾坯进行切割。切割就可能会产生报废钢坯(即切割出的长度不满足用户的目标值范围)，为使报废钢坯的长度尽可能的小，首先讨论钢坯报废长度为0的条件。设尾坯长度为 $L$ ，用户目标范围为 $[a, b]$ ，若 $\frac{L}{a}$ 或 $\frac{L}{b}$ 恰好为整数，那么可将尾坯平均切割长度为 $a$ 或 $b$ ，从而报废长度为0。因此，下面将讨论 $\frac{L}{a}$ ， $\frac{L}{b}$ 均不为整数时，报废长度为0的充要条件。 + +定理1：在钢材连铸切割中，若尾坯长度为 $L$ ，用户目标范围为 $[a, b]$ ，且 $a \neq b$ 。若 $\frac{L}{a}$ 均不是整数，那么报废钢坯长度为0的充要条件是 $\left\lfloor \frac{L}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{L}{b} \right\rfloor \geqslant 1$ 。 + +证明： + +（1）充分性证明。 + +若 $\left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{L}{b}\right\rfloor \geqslant 1$ ，将尾坯平均切割为 $\left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor$ 段，每一段的长度为 $\frac{L}{\left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor}$ ，由 $\frac{L}{a} \geqslant \left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor$ 可得 $\frac{L}{\left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor} \geqslant \frac{L}{\frac{L}{a}} = a$ 。 + +另一方面， $\left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor \geqslant \left\lfloor \frac{L}{b}\right\rfloor +1 > \frac{L}{b}$ ，得 $\frac{L}{\left\lfloor\frac{L}{a}\right\rfloor}\leqslant \frac{L}{\left\lfloor\frac{L}{b}\right\rfloor + 1} < \frac{L}{\frac{L}{b}} = b$ 。 + +因此，每一段长度都在 $[a, b]$ ，符合用户目标范围，报废钢坯长度为 0。 + +（2）必要性证明。 + +若报废钢坯长度为0，则可设尾坯长度为 $L$ 被切割为 $L_{1}, L_{2}, \dots, L_{n}$ ，且 $a \leqslant L_{1} \leqslant L_{2} \leqslant \dots \leqslant L_{n} \leqslant b$ ，得 $na \leqslant \sum_{i=1}^{n} L_{i} \leqslant nb$ ，又由于 $\frac{L}{a}$ 、 $\frac{L}{b}$ 均不是整数，可得 $na < L < nb$ ，即有 $\frac{L}{b} < n < \frac{L}{a}$ 。 + +因此 $\left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor \geqslant n$ ， $\left\lfloor \frac{L}{b}\right\rfloor \leqslant n - 1$ ，即有 $\left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{L}{b}\right\rfloor \geqslant 1$ 。 + +综上所述，报废钢坯长度为0的充要条件是 $\left\lfloor \frac{L}{a}\right\rfloor -\left\lfloor \frac{L}{b}\right\rfloor \geqslant 1$ + +由于 $a < b$ ， $\left\lfloor \frac{L}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{L}{b} \right\rfloor \geqslant 0$ 。因此，若 $\left\lfloor \frac{L}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{L}{b} \right\rfloor$ 的值不满足定理1中 $\left\lfloor \frac{L}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{L}{b} \right\rfloor \geqslant 1$ 的条件，只可能 $\left\lfloor \frac{L}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{L}{b} \right\rfloor = 0$ 。由于定理1给出的是充要条件，因此可以得到下述推论。 + +推论1：在钢材连铸切割中，若尾坯长度为 $L$ ，用户目标范围为 $[a,b]$ ，且 $a < b$ 。若 $\frac{L}{a}$ ， $\frac{L}{b}$ 均不是整数，且 $\left\lfloor \frac{L}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{L}{b} \right\rfloor = 0$ ，该尾坯切割后报废钢坯长度必大于0。 + +# 5.2 问题1的求解 + +实际生产过程和测量工作总是建立在一定的精度之上。根据问题1给出的数据，我们不妨假设该连铸工艺切割的精度为0.1米，在此基础上建立模型寻找最优切割方案。由于切割方案要优先考虑切割损失，在相同的切割损失下才需要尽量满足用户的目标值；因此，本文将分别建立两阶段模型：第一阶段模型，根据参数与要求、用户目标值范围等条件建立切割损失最小模型；第二阶段模型，在切割损失达到最小值的前提下，寻找尽可能满足用户目标值的切割方案，建立满足用户目标值最优模型。 + +# 5.2.1 切割损失最小模型的建立 + +根据基本要求，要将在线切割后的钢坯运走，切割出的长度值必须在4.8~12.6米之间。我们已经假定连铸工艺切割的精度为0.1米，因此，尾坯只能被切割成4.8米、4.9米、5.0米、…、12.6米共79种不同长度规格。设 $x_{i}$ 表示尾坯被切割出第 $i$ 种长度规格数，其中 $i = 1, 2, \dots, 79$ 。假设尾坯长度为 $L$ ，由于被切割后尾坯总长度仍保持不变，因此有： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {7 9} [ 4. 8 + 0. 1 (i - 1) ] = L +$$ + +问题1中，用户的目标值范围为 $9.0\sim 10.0$ 米之间，因此，9.0米以下长度规格及10.0米以上长度规格均产生切割损失。其中： + +(1)9.0米以下长度规格的切割损失为： $\sum_{i = 1}^{42}[4.8 + 0.1(i - 1)]x_i;$ + +(2)10.0米以上长度规格，超过10.0米的部分要离线切下报废，因此10.0米以上长度规格的切割损失为： $\sum_{j = 1}^{26}0.1j\cdot x_{53 + j}$ + +因此，长度为 $L$ 的尾坯被切成 79 种不同长度规格后，其切割总损失量为： + +$$ +Y = \sum_ {i = 1} ^ {4 2} [ 4. 8 + 0. 1 (i - 1) ] x _ {i} + \sum_ {j = 1} ^ {2 6} 0. 1 j \cdot x _ {5 3 + j} +$$ + +基于以上分析，我们建立以下切割损失最小的整线性规划模型： + +$$ +\min Y = \sum_ {i = 1} ^ {4 2} [ 4. 8 + 0. 1 (i - 1) ] x _ {i} + \sum_ {j = 1} ^ {2 6} 0. 1 j \cdot x _ {5 3 + j} \tag {1} +$$ + +$$ +s. t. \quad \sum_ {i = 1} ^ {7 9} [ 4. 8 + 0. 1 (i - 1) ] = L \tag {2} +$$ + +$$ +\boldsymbol {x} _ {i} \in N \quad i = 1, 2, \dots , 7 9 +$$ + +下面对上述建立在0.1米精度上的整线性规划模型的求解结果进行分析和检验。问题1中用户目标值为[9.0 10.0]，假设尾坯长度为 $L$ ，切割总损失最小值为 $f(L)$ 。对于尾坯长度 $L$ 的不同取值范围，根据定理1，从理论上构建切割总损失最小值 $f(L)$ 的解析式，具体分15种情况讨论： + +(1)在 $L\in [9,10]\cup [18,20]\cup [27,30]\cup [36,40]\cup [45,50]\cup [54,60]\cup [63,70]$ +$\cup [72,80] \cup [81, +\infty]$ 时， $f(L) = 0$ +(2)在 $L\in (80,81)$ 时， $f(L) = L - 80$ (3)在 $L\in (80,81)$ 时， $f(L) = L - 80$ +(4)在 $L\in (70,72)$ 时， $f(L) = L - 70$ (5)在 $L\in (60,63)$ 时， $f(L) = L - 60$ +(6)在 $L\in (60,63)$ 时， $f(L) = L - 60$ (7)在 $L\in (50,54)$ 时， $f(L) = L - 50$ +(8)在 $L\in (40,45)$ 时， $f(L) = L - 40$ (9)在 $L\in (30,36)$ 时， $f(L) = L - 30$ +(10)在 $L\in (20,27)$ 时， $f(L) = L - 20$ (11)在 $L\in (14.8,18)$ 时， $f(L) = L - 10$ +(12)在 $L\in (13.7,14.8]$ 时， $f(L) = 4.8$ (13)在 $L\in (12.6,13.7]$ 时， $f(L) = L$ +(14)在 $L\in (10,12.6]$ 时， $f(L) = L - 10$ (15)在 $L\in [4.8,9)$ 时， $f(L) = L$ + +对问题1给出的12种不同长度的尾坯，根据给出的切割总损失最小值 $f(L)$ 解析函数，可以计算其切割总损失最小的理论值。将该理论值与建立在0.1米精度上的整线性规划模型求出的最小值进行对比，如下表1所示。 + +表 1 不同尾坯长度的最小损失值对比表 + +
尾坯长度整线性规划所求损失最小值最小值函数f(L)计算的理论值
10900
93.400
80.90.90.9
7200
62.72.72.7
52.52.52.5
44.94.94.9
42.72.72.7
31.61.61.6
22.72.72.7
14.54.84.8
13.713.713.7
+ +检验结果表明，本文建立的整线性规划模型虽然建立在一定精度之上，但模型求解结果与理论计算结果完全吻合。 + +# 5.2.2 满足用户目标值最优模型的建立 + +通过上文建立的整线性规划模型，求解出了尾坯切割损失的最小值。对于整线性规划模型，切割损失的最小值是唯一的，但最优解即切割方案可能不唯一。下面将求得的尾坯切割最小值 $Y_{\mathrm{min}}$ 固定，在此条件下寻找最满足用户目标值的切割方案。设板坯长度 $L$ ，用户的目标值为 $d$ ，目标范围为 $[a,b]$ ；第1~79种长度规格分别对应长度4.8米、4.9米、5.0米、…、12.6米， $x_{i}$ 表示尾坯被切割出第 $i$ 种长度规格数，其中 $i = 1,2,\dots ,79$ 设长度 $a$ 、 $b$ 分别对应第 $k_{1}$ 和第 $k_{2}$ 种长度规格，则显然有： + +$$ +k _ {1} = \frac {a - 4 . 8}{0 . 1} + 1 \text {和} k _ {2} = \frac {b - 4 . 8}{0 . 1} + 1. +$$ + +下面构建平均绝对偏差来刻画满足用户目标值的情况。由于不在目标范围的长度规格全部报废而不提交给用户，只考虑目标范围内的钢坯满足用户目标值的情况。但需要注意的是，按照第一阶段模型结果，超过目标值范围上限值 $b$ 长度规格的仍离线切割成长度 $b$ 提交用户，因此仍需考虑这些长度规格带来的偏差。 + +第 $k_{1}\sim$ 第 $\pmb{k_2}$ 种长度规格的绝对偏差和为： $\sum_{n = 0}^{k_2 - k_1}x_{k_1 + n}|(a + 0.1n) - d|$ + +第 $k_{1} + 1\sim$ 第79种长度规格的绝对偏差和为： $\sum_{m = 1}^{79 - k_2}x_{k_2 + m}|b - d|$ + +因此，满足用户目标值的平均绝对偏差为： + +$$ +Z = \frac {\sum_ {n = 0} ^ {k _ {2} - k _ {1}} x _ {k _ {1} + n} | (a + 0 . 1 n) - d | + \sum_ {m = 1} ^ {7 9 - k _ {2}} x _ {k _ {2} + m} | b - d |}{\sum_ {i = k _ {1}} ^ {7 9} x _ {i}} +$$ + +将第一阶段模型求得的尾坯切割最小值 $Y_{\mathrm{min}}$ 固定，建立满足用户目标值的规划模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \min Z = \frac {\sum_ {n = 0} ^ {k _ {2} - k _ {1}} x _ {k _ {1} + n} | (a + 0 . 1 n) - d | + \sum_ {u = 1} ^ {7 9 - k _ {2}} x _ {k _ {2} + u} | b - d |}{\sum_ {m = k _ {1}} ^ {7 9} x _ {m}} (3) \\ s. t. \sum_ {i = 1} ^ {7 9} [ 4. 8 + 0. 1 (i - 1) ] = L (4) \\ \sum_ {i = 1} ^ {4 2} [ 4. 8 + 0. 1 (i - 1) ] x _ {i} + \sum_ {j = 1} ^ {2 6} 0. 1 j \cdot x _ {5 3 + j} = Y _ {\min } (5) \\ x _ {i} \in N \quad i = 1, 2, \dots 7 9 \\ \end{array} +$$ + +# 5.2.3 模型的求解 + +根据切割损失最小模型、满足用户目标值最优模型进行求解，可得切割方案、切割损失，整理可得表2。 + +表 2 最优切割方案 + +
尾坯长度（米）10993.480.97262.752.544.942.731.622.714.513.7
切割损失（米）000.902.72.54.92.71.62.74.813.7
目标值平均绝对偏差（米）0.410.160.50.50.50.50.50.50.50.50.2-
切割方案9.69.310910.410.54.810.410.411.24.84.8
9.89.310910.410.51010.510.511.59.78.9
9.99.310910.410.51010.910.7
9.99.310910.410.51010.9
9.99.310910.410.510.1
9.99.310910.7
109.3109
109.310.99
109.5
109.5
10
+ +(注: 表 2 中尾坯长度等于 13.7 米时, 切割损失为 13.7 米, 用户满意偏差不存在) + +# 5.3 问题2的求解 + +# 5.3.1 算法设计 + +在理想状况下，若结晶器始终保持正常，那么连铸切割的长度应恒定为用户目标值9.5米。但是，在浇钢过程中，结晶器会发生异常，每次异常都会产生0.8米长度的报废钢，本文定义报废段是废坏。结晶器异常前生产的钢坏全部为正常钢坏，由于该段正常钢坏后连着报废钢，可以将该段正常钢坏看作是问题1中的“尾坏”。由于结晶器异常时常发生，本文将分三种情况讨论尾坏与废坏的连接类型。 + +类型1：“尾坯+0.8米废坏”的情况，如下图3所示。 + +![](images/f080914cc3a2f93d536386d19b1d047b5d84a465f77e60c852b863271ae76c25.jpg) +图3“尾坯 $+0.8$ 米废坏”的情况 + +假设结晶体某次异常后，0.8米废坏前连着的“尾坯”长度为 $L$ ，那么总的被切割长度为 $(L + 0.8)$ 米。类似问题1中切割总损失最小值函数 $f(L)$ ，下面给出包含0.8米废坏的切割总损失最小值函数 $f(L + 0.8)$ ，具体分12种情况讨论： + +(1) 在 $L \in [9, 10] \cup [18, 20] \cup [27, 30] \cup [36, 40] \cup [45, 50] \cup [54, 60]$ 时，损失 $f(L + 0.8) = 0$ + +(2) 在 $L \in (50, 54)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 50$ + +(3) 在 $L \in (40, 45)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 40$ + +(4) 在 $L \in (30, 36)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 30$ + +(5) 在 $L \in (20, 27)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 20$ + +(6) 在 $L \in (14.0, 18]$ 时， $f(L + 0.8) = L - 10$ + +(7) 在 $L \in (12.9, 14.0]$ 时， $f(L + 0.8) = 4$ + +(8) 在 $L \in (12.6, 12.9]$ 时， $f(L + 0.8) = L$ + +(9) 在 $L \in (10, 12.6]$ 时， $f(L + 0.8) = L - 10$ + +(10)在 $L \in [4, 9)$ 时， $f(L + 0.8) = L$ + +(11)在 $L\in (2.8,4)$ 时， $f(L + 0.8) = 4$ + +(12) 在 $L \in (0, 2.8]$ 时， $f(L + 0.8) = L$ + +在问题1中，当尾坯长度为 $L = 14$ 米时，因为没有长度为0.8米的废坏，最优切割方案只能是切成“4.8米+9.2米”，即 $f(14) = 4.8$ 米；而在问题2中，如果有0.8米长的废坏，可以切成“10米+(4.0+0.8)米”，即 $f(14 + 0.8) = 4$ 米。因此，如果出现情况1，按照如下方法进行切割： + +(1) 类型 1 中尾坯的长度 $L \in (12.9, 14.0]$ 时，首先切掉（ $L - 4$ ）米，再切除 4.8 米（连同废坯）； +(2) 类型 1 中尾坯的长度 $L \in [4.8, 9)$ 时，直接将 $L$ 切掉；废坯留给下一段； +(3)类型1中尾坯的长度 $L \in (0,4.8)$ 时，将整段 $L$ 连同0.8米废坏，再加上下一段 $(4 - L)$ 总共4.8米切除； +(4)除上述三种情况外，尾坯 $L$ 按照问题1中两阶段模型进行切割；0.8米废坏留给下一段。 + +类型2：“部分长度 $(\leqslant 0.8$ 米)废坏 $+$ 尾坏 $+0.8$ 米废坏”的情况，如图4所示。 + +![](images/4d12415ae298e778e20db9a866b15bd96313b0c4c9ada608590d7c5952cc6a53.jpg) +图4“部分长度废坏+尾坏 $+0.8$ 米废坏”的情况 + +(1) 类型 2 中尾坯的长度 $L \in [4, +\infty)$ 时，切割方式与类型 1 类似，只不过要必须要将部分长度 ( $\leqslant 0.8$ 米) 废坯切除，不留给下一段； +(2) 类型 1 中尾坯的长度 $L \in (0,4.8)$ 时，将整段 $L$ 连同 0.8 米废坏，再加上下一段 $(4 - L)$ 总共 4.8 米切除；这里的可能只是第二段废坏的一部分或者包含第二段废坏以及正常钢坯的部分。 + +类型3：“尾坯 $1 + 0.8$ 米废坏+尾坯 $2 + 0.8$ 米废坏”的情况，如下图5所示。 + +![](images/8ec622f4f4b384bc0a2a53f749154a5a9c1531de22a874afd1c8f3e3d312c173.jpg) +图5“尾坯 $1 + 0.8$ 米废坏+尾坯 $2 + 0.8$ 米废坏”的情况 + +(1)优先根据类型 3 中尾坯 1 的长度 $L_{1}$ 取值, 按照类型 1 的情况分类进行切割; + +(2)根据上面尾坯1的切割结果，判断尾坯2属于类型1或者类型2；再按照类型1或者类型2的讨论情况进行切割。 + +综上所述，根据结晶器异常发生时刻，钢坯的所属的类型情况实时制定或者调整切割方案。如果结晶器异常过于频繁，同时出现3个以上的报废坯需要处理，可以作类似的讨论。 + +# 5.3.2 求解结果 + +# (1)第1次出现报废段的最优切割方案 + +从结晶器中心到切割机工作起点处钢坯的长度是60.0米，而连铸拉坯的速度为1.0米（分钟），所以结晶器中心到切割机工作起点的时间为60分钟。设t为钢水到达结晶器中心的时间，那么钢坯到达切割枪工作起点的时间为（60+t）分钟。由于钢坯第1次出现报废段的时间是t=0，即钢坯的首段0.8米是报废段。显然，最优切割方案就是首先切下9.5+0.8=10.3米，再离线将0.8米段报废段切掉。之后，连铸切割的长度应恢复为用户目标值9.5米，直至第2次报废时刻出现，如图6、图7。 + +![](images/2f9d695f9f0d89f22799f0bf2135e77a0502651b19c959ca1868cacd02f10586.jpg) +图6在线切割 + +![](images/c41b38cd08e2229764b9e665e1341115b29cd3f6b79939018498b22c0470f011.jpg) +图7 离线切割 + +# (2)出现新报废段的最优切割方案 + +根据算法，求出当钢坯第2~9次出现报废段时，对应的实时最优切割方案，见表3~表10。 + +表3钢坯第2次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)70.379.889.398.8108.6118.1127.6...
切割长度(米)9.5+0.89.59.59.59.59.59.59.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)70.880.890.8100.8106.4115.9125.4...
切割长度(米)10+0.81010104.8+0.89.59.59.5
切割损失:4.8米
+ +表4钢坯第3次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)100.8106.4115.9125.4134.9144.4153.9163.4
切割长度104.8+0.89.59.59.59.59.59.5
(米)
调整后的切割方案切割时间(分钟)100.8106.4116.9127.4137.8148.2159.4168.9
切割长度(米)104.8+0.810.510.510.410.410.4+0.89.5
切割损失:2.2米
+ +表 5 钢坯第 4 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)137.8148.2159.4168.9178.4187.9197.4206.9
切割长度(米)10.410.410.4+0.89.59.59.59.59.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)137.8148.2159.4170.1180.8192.3201.8211.3
切割长度(米)10.410.410.4+0.810.710.710.7+0.89.59.5
切割损失:2.1米
+ +表 6 钢坯第 5 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)192.3201.8211.3220.8230.3239.8249.3...
切割长度(米)10.7+0.89.59.59.59.59.59.59.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)192.3202.1211.9221.7231.4241.1251.6...
切割长度(米)10.7+0.89.89.89.89.79.79.7+0.89.5
切割损失:0米
+ +表 7 钢坯第 6 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割 +方案切割时间 +(分钟)241.1251.6261.1270.6280.1289.6...
切割长度 +(米)9.79.7+0.89.59.59.59.59.5
调整后的 +切割方案切割时间 +(分钟)241.1251.6262.1272.5282.9294.1...
切割长度 +(米)9.79.7+0.810.510.410.410.4+0.89.5
切割损失：1.7米
+ +表 8 钢坯第 7 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割 +方案切割时间 +(分钟)272.5282.9294.1303.6313.1322.6...
切割长度 +(米)10.410.410.4+0.89.59.59.59.5
调整后的 +切割方案切割时间 +(分钟)272.5282.9294.1305.1316326.8...
切割长度 +(米)10.410.410.4+0.81110.910+0.89.5
切割损失：1.9米
+ +表 9 钢坯第 8 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)272.5282.9294.1305.1316326.8336.3...
切割长度(米)10.410.410.4+0.81110.910+0.89.59.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)272.5282.9294.1305.1316326331.5...
切割长度(米)10.410.410.4+0.81110.9100.8+3.9+0.89.5
切割损失:3.9米
+ +表 10 钢坯第 9 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)341350.5360369.5379388.5...
切割长度(米)9.59.59.59.59.59.59.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)340.9350.3359.7369.1378.5388.7...
切割长度(米)9.49.49.49.49.49.4+0.89.5
切割损失:0米
+ +综上，每次出现新异常均需对原切割方案进行调整。9次异常总切割损失（不计报废段自身长度）为： $4.8 + 2.2 + 2.1 + 0 + 1.7 + 1.9 + 3.9 + 0 = 16.6$ （米）。 + +# 5.4 问题3的求解 + +问题3只是将问题2的用户目标值和目标范围改动，所用求解方法与求解问题2相同，利用算法进行求解。 + +1）用户目标值是8.5米，目标范围是 $8.0\sim 9.0$ 米。 + +对于不同的正常钢坏长度 $L$ （范围在0\~60米)，下面给出包含0.8米废坏的切割总损失最小值函数 $f(L + 0.8)$ 。具体情况如下： + +在 $L \in [8, 9] \cup [16, 18] \cup [24, 27] \cup [32, 36] \cup [40, 45] \cup [48, 54] \cup [56, 60]$ 时，损失 $f(L + 0.8) = 0$ + +在 $L\in (63,64)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 63$ 在 $L\in (54,56)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 54$ +在 $L\in (45,48)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 45$ 在 $L\in (36,40)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 36$ +在 $L\in (27,32)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 27$ 在 $L\in (18,24)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 18$ +在 $L\in (13.0,16)$ 时， $f(L + 0.8) = L - 9$ 在 $L\in (12.6,13.0]$ 时， $f(L + 0.8) = 4$ +在 $L\in [4,8)$ 时， $f(L + 0.8) = L$ 在 $L\in (3.8,4)$ 时， $f(L + 0.8) = 4$ + +在 $L \in (0, 3.8]$ 时， $f(L + 0.8) = L$ + +根据算法，求出当钢坯第 $1\sim 9$ 次出现报废段时，对应的实时最优切割方案，见表 $11\sim$ 表19。 + +表 11 钢坯第 1 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)69.377.886.394.8103.3111.3120.3···
切割长度(米)8.5+0.88.58.58.58.58.58.58.5
切割损失:0米
+ +表 12 钢坯第 2 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)69.377.886.394.8103.3111.3120.3...
切割长度(米)8.5+0.88.58.58.58.58.58.58.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)69.878.887.896.7106.4114.9123.4...
切割长度(米)9+0.8998.98.9+0.88.58.58.5
切割损失:0米
+ +表 13 钢坯第 3 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)106.4114.9123.4131.9140.4148.9157.4...
切割长度(米)8.9+0.88.58.58.58.58.58.58.5
调整后切割时间106.4115.1123.8132.5141.2149.9159.4...
的切割 +方案(分钟)
切割长度 +(米)8.9+0.88.78.78.78.78.78.7+0.88.5
切割损失: 0 米
+ +表 14 钢坯第 4 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)132.5141.2149.9159.4167.9176.4184.9193.4
切割长度(米)8.78.78.78.7+0.88.58.58.58.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)132.5141.2149.9159.4167.5175.5183.5192.3
切割长度(米)8.78.78.78.7+0.88.1888+0.8
切割损失:0米
+ +表 15 钢坯第 5 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)192.3200.8209.3217.8226.3234.8243.3251.8
切割长度(米)8+0.88.58.58.58.58.58.58.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)192.3200.7209.1217.5225.9234.2242.5251.6
切割长度(米)8+0.88.48.48.48.48.38.38.3+0.8
切割损失:0米
+ +表 16 钢坯第 6 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)234.2242.5251.6260.1268.6277.1285.6294.1
切割长度(米)8.38.38.3+0.88.58.58.58.58.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)234.2242.5251.6260268.4276.7285294.1
切割长度(米)8.38.38.3+0.88.48.48.38.38.3+0.8
切割损失:0米
+ +表 17 钢坯第 7 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)268.4276.7285294.1302.6311.1319.6328.1
切割长度(米)8.48.38.38.3+0.88.58.58.58.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)268.4276.7285294.1303.1312.1321.1326.8
切割长度(米)8.48.38.38.3+0.89994.9+0.8
切割损失:4.9米
+ +表 18 钢坯第 8 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)276.7285294.1303.1312.1321.1326.8...
切割长度(米)8.38.38.3+0.89994.9+0.88.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)276.7285294.1303.1312.1321.1331.5...
切割长度(米)8.38.38.3+0.89994.9+0.8+3.9+0.88.5
切割损失:3.9米
+ +表 19 钢坯第 9 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)331.5340348.5357365.5374382.5391
切割长度(米)4.9+0.8+3.9+0.88.58.58.58.58.58.58.5
调整后的切割方案切割时间(分钟)331.5339.6347.7355.8363.9371.9379.9388.7
切割长度(米)4.9+0.8+3.9+0.88.18.18.18.1888+0.8
切割损失:0米
+ +综上，每次出现新异常均需对原切割方案进行调整。9次异常总切割损失（不计报废段自身长度）为： $0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4.9 + 3.9 + 0 = 8.8$ （米）。 + +2）用户目标值是11.1米，目标范围是 $10.6\sim 11.6$ 米。 + +对于不同的正常钢坯长度 $L$ （范围在0~60米），下面给出包含0.8米废坏的切割总损失最小值函数 $f(L + 0.8)$ 。具体情况如下，见表20。 + +# 表 20 切割总损失最小值函数函数 $f\left( L\right)$ 的分段表达式 + +
当L∈[10.6,11.6]∪[21.2,23.2]∪[31.8,34.8]∪[42.4,46.4]∪[53,58]时，f(L+0.8)=0
当L∈(58,60]时，f(L+0.8)=L-58当L∈(51.2,53)时，f(L+0.8)=L-46.4
当L∈(50.4,51.2]时，f(L+0.8)=4当L∈(46.4,50.4]时，f(L+0.8)=L-46.4
当L∈(39.6,42.4)时，f(L+0.8)=L-34.8当L∈(37.8,39.6]时，f(L+0.8)=4
当L∈(34.8,37.8]时，f(L+0.8)=L-34.8当L∈(27.2,31.8)时，f(L+0.8)=L-23.2
当L∈(25.1,27.2]时，f(L+0.8)=4当L∈(23.2,25.1]时，f(L+0.8)=L-23.2
当L∈(15.6,21.2)时，f(L+0.8)=L-11.6当L∈(14.5,15.6]时，f(L+0.8)=4
当L∈(12.6,14.5]时，f(L+0.8)=L当L∈(11.6,12.6]时，f(L+0.8)=L-11.6
当L∈[4.8,10.6)时，f(L+0.8)=L当L∈(1.2,4)时，f(L+0.8)=4
当L∈(0,1.2]时，f(L+0.8)=L
+ +根据算法，求出当钢坯第1~9次出现报废段时，对应的实时最优切割方案，见表21~表29。 + +表 21 钢坯第 1 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)71.98394.1105.2116.3127.4138.5...
切割长度(米)11.1+0.811.111.111.111.111.111.111.1
切割损失:0米
+ +表 22 钢坯第 2 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)71.98394.1105.2116.3127.4138.5...
切割长度(米)11.1+0.811.111.111.111.111.111.111.1
调整后的切割方案切割时间(分钟)7283.294.4106.4117.5128.6139.7...
切割长度(米)11.2+0.811.211.211.2+0.811.111.111.111.1
切割损失:0米
+ +表 23 钢坯第 3 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)106.4117.5128.6139.7150.8161.9173...
切割长度(米)11.2+0.811.111.111.111.111.111.111.1
调整后的切割切割时间(分钟)106.4118129.6141.2152.8159.4170.5...
方案切割长度 +(米)11.2+0.811.611.611.611.65.8+0.811.111.1
切割损失：5.8米
+ +表 24 钢坯第 4 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)141.2152.8159.4170.5181.6192.7203.8...
切割长度(米)11.611.65.8+0.811.111.111.111.111.1
调整后的切割方案切割时间(分钟)141.2152.8159.4170.1180.8192.3203.4...
切割长度(米)11.611.65.8+0.810.710.710.7+0.811.111.1
切割损失:0米
+ +表 25 钢坯第 5 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)192.3203.4214.5225.6236.7247.8258.9...
切割长度(米)10.7+0.811.111.111.111.111.111.111.1
调整后的切割方案切割时间(分钟)192.8204.4216227.6239.2251.6262.7...
切割长度(米)10.7+0.8+0.511.611.611.611.611.6+0.811.111.1
切割损失:0.5米
+ +表 26 钢坯第 6 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)239.2251.6262.7273.8284.9296307.1...
切割长度(米)11.611.6+0.811.111.111.111.111.111.1
调整后的切割方案切割时间(分钟)239.2251.6263.2274.8286.4294.1305.2...
切割长度(米)11.611.6+0.811.611.611.66.9+0.811.111.1
切割损失:6.9米
+ +表 27 钢坯第 7 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切切割时间274.8286.4294.1305.2316.3327.4338.5…
割方案(分钟)
切割长度 (米)11.611.66.9+0.811.111.111.111.111.1
调整后的切割方案切割时间 (分钟)274.8286.4294.1304.8315.4326.8337.9...
切割长度 (米)11.611.66.9+0.810.710.610.6+0.811.111.1
切割损失:0米
+ +表 28 钢坯第 8 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)274.8286.4294.1304.8315.4326.8337.9...
切割长度(米)11.611.66.9+0.810.710.610.6+0.811.111.1
调整后的切割方案切割时间(分钟)274.8286.4294.1304.8315.4326331.5...
切割长度(米)11.611.66.9+0.810.710.610.60.8+3.9+0.811.1
切割损失:3.9米
+ +表 29 钢坯第 9 次出现报废段的最优切割方案 + +
初始切割方案切割时间(分钟)331.5342.6353.7364.8375.9387398.1...
切割长度(米)0.8+3.9+0.811.111.111.111.111.111.111.1
调整后的切割方案切割时间(分钟)331.5342.8354.1365.4376.7388.7399.8...
切割长度(米)0.8+3.9+0.811.311.311.311.311.2+0.811.111.1
切割损失:0米
+ +综上，每次出现新异常均需对原切割方案进行调整。9次异常总切割损失（不计报废段自身长度）为： $0 + 0 + 5.8 + 0 + 0.5 + 6.9 + 0 + 3.9 + 0 = 17.1$ （米）。 + +# 六. 模型的评价 + +# 6.1 模型的优点与缺点 + +(1) 本文证明出报废长度值为 0 的充要条件, 具有普遍适用性; 此外, 还给出了最小切割损失值函数 $f(L)$ 的解析表达式, 通过尾坯长度就可以立即计算最小切割损失; +（2）基于切割损失最小，尽可能满足用户目标值，建立精度为0.1的整规划模型，考虑的目标较为全面，得到的最终求解结果是最优切割方案； + +（3）本文在一定的生产精度上建立的整线性规划模型简洁高效，可以推广到大规模生产情况；模型较为简单和高效； +（4）模型求得的实际最小损失与通过命题1推导函数 $f(L)$ 求得的理论最小损失相同，使得可以后期建立算法直接用函数 $f(L)$ 求得最小损失，大大提高求解效率。 +（5）求出的最小切割损失值函数 $f(L)$ 分段情况较多，表达式需要花费较长时间，并且不同的用户目标范围的 $f(L)$ 表达式不同； +（6）对于实时最优切割方案，没有考虑方案调整所需的时间，在实际生产中可能会有执行偏差。 + +# 6.2 模型的改进与推广 + +本文建立的整线性规划模型建立在0.1米的精度之上的组合优化模型，将长度规格离散成79段。因此，还可以进一步建立基于连续型决策变量的优化模型从而使得模型具有更高的精确度和推广性。在问题2和问题3种，本文设计的算法仅讨论了3种类型；实际上，如果结晶器故障极其频繁，那么会出现更多的类型。因此，可以在本文3种类型的基础上讨论更多的类型以适应更为复杂的生产过程。 + +# 附录 + +
附录1
介绍：支撑材料的文件列表
问题1的源代码
fenduanhanshu.m
切割损失最小模型.lg4
满足用户目标值最优模型.lg4
问题2的源代码
main.m
问题3的源代码
main.m
注：m 文件是 Matlab 程序，lg4 是 lingo 文件
+ +
附录2
介绍：lingo代码，作用是求解切割损失最小模型
model:
sets:
r/1..79/:x;!x为长度为4,4.1，……，12.6米铁坯的个数；
endsets
data:
l=109;!l为尾坯长度；
d=4.8;!d为最小长度限制；
enddata
min=@sum(r(i)|i#1e#42:(d+0.1*(i-1))*x(i))+@sum(r(i)|i#ge#54:(d+0.1*(i-1)-10) *x(i));!损失最小；
@sum(r(i):(d+0.1*i-0.1)*x(i)=l;
@for(r:@gin(x));
End
+ +
附录3
介绍：lingo代码，作用是求解满足用户目标值最优模型
model:
sets:
r/1..79/:x;
endsets
data:
l=109;! l为尾坯长度;
d=4.8;! d为最小长度限制;
enddata
+ +```julia +min=(@sum(r(i)|i#ge#43#and#i#1e#53:@abs(9.5-(d+0.1*(i-1)))^2*x(i))+ (10-9.5) +*@sum(r(i)|i#ge#54:x))/@sum(r(i)|i#ge#43:x);！用户满意度最优； +@sum(r(i)|i#le#42:(d+0.1*(i-1))*x(i))+@sum(r(i)|i#ge#54:(d+0.1*(i-1)-10)*x(i))=0;！保证在损失最小的情况； +@sum(r(i):(d+0.1*i-0.1)*x(i)=1; +@for(r:@gin(x)); +end +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/D026/D026.md b/MCM_CN/2021/D026/D026.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e27a09038f0d76a2feae0bdcada2f0f1d5d5fbe0 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/D026/D026.md @@ -0,0 +1,975 @@ +# 连铸切割的在线优化 + +# 摘要 + +本文主要针对连铸切割的问题，基于附录给出的参数、钢坯长度的要求以及用户的不同目标值，建立数学模型以制定具体的最优切割方案。 + +针对问题一，首先以尾坯的切割损失最小、切割长度为9.5米的根数最多以及切割长度为9.0-10.0米的根数最多建立多目标规划模型。然后，通过序贯解法，以切割损失最小为目标函数、以尾坯长度为约束求解最优，将得到的最优解看做约束条件放入第二个目标（即切割长度为9.5米的根数最多）求解最优。接着，将前两个目标的最优解看做约束条件一并放入第三个目标求解最优，得到多目标规划模型的最优解。最后，将12个尾坯长度分别带入模型，利用matlab解得不同尾坯的最优切割方案和切割损失，见表1。 + +针对问题二，对于第一小问，首先以钢坯的切割损失最小、切割长度为9.5米的根数最多以及切割长度为9.0-10.0米的根数最多三个目标建立多目标规划模型。然后，对除去0.8米的报废段剩下的44.8米的钢坯进行分析，利用matlab给出具体切割方案，见表2，在此基础上，将0.8米报废段附着于4.8米的最小损失段一起切除，给出具体切割方案，见表3。最后，将报废段之前还存在60.0米或64.0米长度的钢坯与所需的切割长度（45.6米）结合，得出最终的最优切割方案，见表4。 + +对于第二小问，首先利用问题二的模型，得到在出现新的报废段后，新一段钢坯的切割方案，见表5。基于此方案与相关的工艺参数，进一步得到实时的最优切割方案，见表6。然后，为了得到当前段钢坯切割的更优调整方案，采用两种方法求解初始切割方案。方法一：假定第 $n$ 个时间窗口 $(n\geq 3)$ ，仅第 $n - 1$ 个时间窗口无异常，其他时间窗口均有异常。得到从第3-9个窗口中每个窗口均往前2个异常时刻，除去0.8米报废段后的具体切割方案，再将7个时间段的切割方案分别加上该时间段之前每个时间单元的切割方案，得到初始切割方案，见表7。方法二：假定所有时间窗口均无异常，分别求出后7个窗口之前所有时间单元的切割方案之和即得到初始切割方案，见表9。最后，通过对比分析发现方法一所得出的切割方案更贴近调整后的切割方案。据此，将方法一得到的初始切割方案与调整后的切割方案以及切割损失情况进行整合得到所有时刻具体的最优切割方案，见表10。 + +针对问题三，首先根据用户要求，以钢坯的切割损失最小、切割长度为8.5米的根数最多以及切割长度为8.0-9.0米的根数最多三个目标建立多目标规划模型。然后利用问题二得出的更优方法（即方法一），得到初始切割方案与调整后的切割方案以及最终切割方案并计算出切割损失，见表14。同理得用户目标值是11.1米、目标范围是10.6-11.6米的最优切割方案，见表18。 + +关键词：连铸切割；多目标规划模型；对比分析；matlab + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +连铸[1]过程，具体流程为：钢水连续地从中间包浇入结晶器，并按照一定速度从结晶器向下拉出，然后进入二冷段。钢水经过结晶器时，与结晶器表面接触的地方形成了固态的坏壳。在二冷段中，坏壳逐渐增厚并最终凝固形成钢坯。然后，按照一定尺寸要求对钢坯进行切割。 + +# 1.2 问题提出 + +根据以上背景，以及附录中所给的参数与要求，建立数学模型，解决以下问题： + +问题1：在满足基本要求和正常要求的条件下，依据尾坯长度制定最优的切割方案。假定用户的目标值为9.5米，目标范围为9.0-10.0米，现需对以下尾坯长度：109.0、93.4、80.9、72.0、62.7、52.5、44.9、42.7、31.6、22.7、14.5和13.7(单位：米)，按照“尾坯长度、切割方案、切割损失”等内容列表给出具体的最优切割方案。 + +问题2：在结晶器出现异常时，给出下列问题实时的最优切割方案： + +(1)在钢坯第1次出现报废段时，给出此段钢坯的切割方案； +(2)在出现了新的报废段后，给出新一段钢坯的切割方案和当前段钢坯切割的调整方案，或声明不作调整。 + +假设结晶器出现异常的时刻在0.0、45.6、98.6、131.5、190.8、233.3、266.0、270.7和327.9(单位：分钟)，用户目标值为9.5米，目标范围为9.0-10.0米。在满足基本要求和正常要求的条件下，按照“初始切割方案、调整后的切割方案、切割损失”等内容列表给出这些时刻具体的最优切割方案。 + +问题3：假设实时最优切割方案和结晶器出现异常的时刻均与问题2相同，在满足基本要求和正常要求的条件下，分别对用户目标值为8.5米，目标范围为8.0-9.0米和用户目标值为11.1米，目标范围为10.6-11.6米两种情况按“初始切割方案、调整后的切割方案、切割损失”等内容给出具体的最优切割方案。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +要在满足基本要求和正常要求的条件下依据尾坯长度制定出最优的切割方案，由于在切割方案中需要优先考虑切割损失，并要求切割损失（报废钢坯的长度）尽量小，其次考虑用户要求，在相同的切割损失下应尽量满足用户的目标值，因此可以建立多目标规划模型，通过序贯解法，将目标按其重要程度不同优先等级，依次转化为多个线性规划模型，以109.0米的尾坯长度为例，先以切割损失最小作为目标得出初步切割方案，再以钢坯长度为9.5米的根数最多作为目标得出进一步的切割方案，最后以钢坯长度范围在9.0-10.0米的根数最多为目标得出最终切割方案。 + +# 2.2问题二的分析 + +首先要得到钢坯第一次出现报废段时，此段钢坯的切割方案，可以考虑到当结晶器出现异常时，结晶器内部的一段钢坯会立即报废，且切割后的钢坯在进入下道工序时不能含有报废段，如钢坯出现报废段，则可以通过离线的二次切割，使余下的钢坯符合下道工序要求的长度，因此我们可以考虑将0.8米的报废段附着在其他钢坯上，针对剩下的44.8米的钢坯，可以建立多元目标规划模型得出具体切割方案，如果具体切割方案中存在切割损失时，报废段附着在最小损失段一起切除，当不存在切割损失时，将其附着在最长段一起切割，然后再通过离线的二次切割将其与满足要求的钢坯分离。另外，当结晶器出现异常时，报废段是在结晶器中产生的，在这段报废段之前二冷段中已经产生钢坯。因为从结晶器中心到切割机工作起点处钢坯的长度是60.0米，而切割机切断一块钢坯的时间为3分钟，切割后返回到工作起点的时间为1分钟，切割机与连铸拉坯同步运动的速度为1.0米/分钟。当出现报废段时无法判断切割机所处位置，在此可以只考虑切割机在起点等待切割和刚好开始切钢坯这两种情况，所以在报废段之前还存在60.0米或64.0米长度的钢坯，然后通过模型求出60.0米和64.0米钢坯的具体切割方案，再将60.0米和64.0米钢坯的具体切割方案加上44.8米的具体切割方案，即得到钢坯第一次出现报废段时，此段钢坯的切割方案。 + +其次，要得到出现新的报废段后，新一段钢坯的切割方案，同理于求解钢坯第一次出现报废段时，此段钢坯的切割方案所建立的模型，考虑将0.8米的报废段附着在其他钢坯上，针对剩下的钢坯，给出具体切割方案。 + +接着，要求出现报废段后当前段钢坯的调整方案，方案的调整可理解为是由于这9个时刻点中某些时刻从无异常到有异常所导致的，可以采用两种方法进行求解，首先定义以每个异常时刻为时间窗口，则有9个窗口，以相邻两个异常时刻为时间单元，则有8个时间单元，对于初始切割方案的理解，方法一认为是在仅当前段钢坯的倒数第二个时间窗口无异常，且此前所有时间窗口为有异常的条件下，从第3个窗口至第9个窗口每个窗口均往前2个异常时刻计算除去0.8米报废段后的钢坯长度，得到7个钢坯长度，再根据问题二中求解钢坯第1次出现报废段时钢坯的切割方案所建立的模型求出其最优切割方案。然后，将7个时间段的切割方案分别加上该时间段之前每个时间单元的切割方案，而方法二认为在所有时间窗口均无异常的条件下，第3个窗口至第9个窗口，共7个窗口，分别求出这7个窗口的之前所有时间单元的切割方案之和。而对于调整后的切割方案的理解，两种方法都认为是在所有时间窗口均无异常的条件下，第3个窗口至第9个窗口，共7个窗口，分别求出这7个窗口的之前所有时间单元的切割方案之和。然后根据建立的模型分别求出方法一方法二的初始切割方案和调整后的切割方案，最后通过对比得出当前段钢坯的调整方案。 + +最后，要给出结晶器出现异常时的实时最优切割方案，由于结晶器从0.0时刻出现 + +异常时无法判断切割机所处位置，在此只考虑切割机在起点等待切割的情况，此时从结晶器中心到切割机工作起点处钢坯的长度是60.0米，又已知连铸拉坯的速度为1.0米/分钟，所以0.0时刻出现的报废段需要经过60.0分钟才能来到工作起点，因此可以先对结晶器中心到切割机工作起点处长度为60.0米的钢坯进行切割，然后根据后面每个时间单元的最优切割方案来制定实时的最优切割方案。 + +# 2.3 问题三的分析 + +要在实时最优切割方案和结晶器出现异常的时刻均与问题二相同，且满足基本要求和正常要求的条件下，按“初始切割方案、调整后的切割方案、切割损失”分别给出对目标值为8.5米和11.1米，目标范围为8.0-9.0米和10.6-11.6米的具体最优切割方案，此题同理于问题二求解用户目标值是9.5米，目标范围是9.0-10米的具体最优切割方案所建立的模型。首先根据用户要求，以钢坯的切割损失最小、切割长度为8.5米的根数最多以及切割长度为8.0-9.0米的根数最多三个目标建立多目标规划模型。然后利用问题二得出的更优方法，根据所建立的模型解得初始切割方案与调整后的切割方案并计算出切割损失，同理得用户目标值是11.1米、目标范围是10.6-11.6米的最优切割方案。 + +# 三、符号说明 + +
符号名称
aj第j种切割方案的长度
xij(i=1,2,...,12, j=1,2,...,n)第i种尾坯第j种切割方案的根数
bk(k=1,2,...,12)第k种尾坯的长度
yqi(q=1,2,...,n, j=1,2,...,n)第q种钢坯第j种切割方案的根数
cp(p=1,2,...,27)第p种钢坯的长度
y满足用户需求的钢坯根数
+ +# 四、模型假设 + +1. 结晶器出现异常时，立即出现报废段。 +2. 结晶器在0.0时刻出现异常时，切割机在工作起点处等待切割。 +3.钢坯长度只保留一位小数。 + +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 问题一模型建立与求解 + +# 5.1.1 模型建立 + +在切割尾坯的方案中，优先考虑切割损失，要求切割损失即报废尾坯的长度尽量 + +最小，其次考虑用户要求，在相同的切割损失下，切割出的尾坯尽量满足用户的目标值，而在目标范围内的长度也是可以接受的，一般目标范围为用户目标值 $\pm 0.5$ 米。 + +切割后的尾坯长度必须在4.8-12.6米之间，我们只考虑一位小数的切割情况，所以从4.8-12.6米共有79种切割长度的可能。因为下道工序能够接受的尾坯长度为8.0-11.6米，而用户要求的尾坯长度目标范围为9.0-10.0米，且当尾坯长度不在目标范围时，会产生损失。因此在切割尾坯时，在尾坯满足4.8-12.6米能运走的前提下，我们考虑的切割范围为9.0-10.0米。 + +因此可以建立多目标规划模型，通过序贯解法[2]度不同优先等级，依次转化为多个线性规划模型。 + +首先以切割损失最小作为目标得出初步切割方案，再以钢坯长度为9.5米的根数最多作为目标得出进一步的切割方案，最后以钢坯长度范围在9.0-10.0米的根数最多为目标得出最终切割方案。 + +具体的多目标规划模型[3]如下： + +(1) 尾坯的切割损失最小 + +目标函数为： + +$$ +\min Z _ {1} = \sum_ {j = 1} ^ {4 2} a _ {j} x _ {1 j} + \sum_ {j = 5 4} ^ {7 9} \left(a _ {j} - 1 0\right) x _ {1 j} +$$ + +约束条件为： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} x _ {1 j} = b _ {k} +$$ + +② 尾坯切割长度为9.5米的根数最多 + +目标函数为： + +$$ +\max Z _ {2} = x _ {1 j} (j = 4 8) +$$ + +约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} x _ {1 j} = b _ {k} \\ \sum_ {j = 1} ^ {4 2} a _ {j} x _ {1 j} + \sum_ {j = 5 4} ^ {7 9} (a _ {j} - 1 0) x _ {1 j} = Z _ {1} \end{array} \right. +$$ + +③ 尾坯切割长度为9.0-10.0米的根数最多 + +目标函数为： + +$$ +\max Z _ {3} = \sum_ {j = 4 3} ^ {5 3} x _ {1 j} +$$ + +约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} x _ {1 j} = b _ {k} \\ \sum_ {j = 1} ^ {4 2} a _ {j} x _ {1 j} + \sum_ {j = 5 4} ^ {7 9} (a _ {j} - 1 0) x _ {1 j} = Z _ {1} \\ \sum_ {j = 4 3} ^ {5 3} x _ {1 j} = Z _ {2} \end{array} \right. +$$ + +# 5.1.2 模型求解 + +由题意得： + +$$ +a _ {j} = \left[ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6 \right], b _ {1}: b _ {1 2} = \left[ 1 0 9, 9 3. 4, 8 0. 9, 7 2, 6 2. 7, 5 2. 5, 4 4. 9, 4 2. 7, 3 1. 6, 2 2. 7, 1 4. 5, 1 3. 7 \right] +$$ + +利用matlab软件，对以上所建立的多目标规划模型分别进行求解（具体程序见附录程序1）。 + +最后求得这12种长度的尾坯的最优切割方案和切割损失情况如表1所示。 + +表 1: 这 12 种长度的尾坯的最优切割方案和切割损失情况 + +
尾坯长度/m具体切割方案切割损失/m满足用户要求的数量/根
109.09.0m*10根、9.5m*2根012
93.49.0m*2根、9.2m*2根、9.5m*6根010
80.94.8m*1根、9.5m*7根、9.6m*1根4.88
72.09.0m*8根08
62.74.8m*1根、9.5m*4根、9.9m*1根、10.0m*1根4.86
52.54.8m*1根、9.5m*4根、9.7m*1根4.85
44.94.9m*1根、10.0m*4根4.94
42.74.8m*1根、9.4m*1根、9.5m*3根4.84
31.65.0m*1根、6.6m*1根、10.0m*2根11.62
22.75.0m*1根、7.7m*1根、10.0m*1根12.71
14.54.8m*1根、9.7m*1根4.81
13.74.8m*1根、8.9m*1根13.70
+ +由模型求解的结果可知：①长度为109.0米、93.4米、72.0米的尾坯可以完全切割，既无切割损失又完全满足用户要求；②长度为80.9米、62.7米、52.5米、44.9米、42.7米、14.5米的尾坯通过切割既满足用户要求又使切割损失最小化，分别为4.8米和4.9米；③长度为31.6米和22.7米的尾坯在分别切完2根10.0米和1根10.0米的长度后，分别剩下11.6米和12.7米，和长度为13.7米的尾坯，这三段在要求切割长度必须大于4.8米和进入下道工序必须在8.0-11.6米的条件下，无论怎么切都无法满足用户要求，所以这三段均为切割损失；④这12种长度的尾坯切割损失共为66.9米，满足用户要求的根数共为61根。 + +在本问题中，长度为13.7米的尾坯可以切割成4.8米和8.9米,均不满足用户要求，需要报废。但在实际情况中，8.9米满足下一道工序的长度要求，可以储存下来，虽然它 + +不满足此用户的目标范围，但它可能满足其他用户的要求，可以将它提供给满足要求的用户，以此可以减少总的成本。 + +# 5.2 问题二模型建立与求解 + +# 5.2.1 模型建立 + +# （一）钢坯第1次出现报废段 + +由题目信息可得，结晶器首次出现异常的时刻在0.0分钟，即在钢坯最初时出现报废段，因此我们只需考虑0.0分钟至45.6分钟即下一次结晶器出现异常的时刻这之间所产生钢坯的切割方案。已知连铸拉坯的速度为1.0米/分钟，所以在这段时间内钢坯产生的总长度为45.6米（包含报废长度0.8米）。 + +已知切割后的钢坯在进入下道工序时不能含有报废段。当出现报废段时，需先通过切割机切断附着有报废段的钢坯，再通过离线的二次切割使余下钢坯的长度符合下道工序的要求。因此在此题中，考虑将0.8米的报废段附着在其他钢坯上，针对剩下的44.8米的钢坯，给出具体切割方案。 + +首先以切割损失最小作为目标得出初步切割方案，再以钢坯长度为9.5米的根数最多作为目标得出进一步的切割方案，最后以钢坯长度范围在9.0-10.0米的根数最多为目标得出最终切割方案。 + +建立多目标规划模型具体如下： + +$①$ 钢坯的切割损失最小 + +目标函数为： + +$$ +\min Z _ {4} = \sum_ {j = 1} ^ {4 2} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 5 4} ^ {7 9} (a _ {j} - 1 0) y _ {1 j} +$$ + +约束条件为： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} +$$ + +② 钢坯切割长度为9.5米的根数最多 + +目标函数为： + +$$ +\max Z _ {5} = y _ {1 j} (j = 4 8) +$$ + +约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} \\ \sum_ {j = 1} ^ {4 2} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 5 4} ^ {7 9} \left(a _ {j} - 1 0\right) y _ {1 j} = Z _ {4} \end{array} \right. +$$ + +(3) 尾坯切割长度为9.0-10.0米的根数最多 + +目标函数为： + +$$ +\max Z _ {6} = \sum_ {j = 4 3} ^ {5 3} y _ {1 j} +$$ + +约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} \\ \sum_ {j = 1} ^ {4 2} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 5 4} ^ {7 9} (a _ {j} - 1 0) y _ {1 j} = Z _ {4} \\ \sum_ {j = 4 3} ^ {5 3} y _ {1 j} = Z _ {5} \end{array} \right. +$$ + +# （二）出现新的报废段 + +# (1) 新一段钢坯的切割方案 + +由问题2第（一）问已知当钢坏出现第1次报废时，所切割的长度为45.6米，即在时刻0.0至45.6分钟所产生的钢坏。当再次出现报废段则为新的报废段即在45.6分钟及以后时刻所产生。所以我们在此问中所要解决的钢坏切割方案分别为在时刻45.6至98.6分钟、98.6至131.5分钟、131.5至190.8分钟、190.8至233.3分钟、233.3至266.0分钟、266.0至270.7分钟、270.0至327.9分钟所生产的钢坏，即长度分别为53米、32.9米、59.3米、42.5米、32.7米、4.7米、57.2米（包含报废段）。 + +为了减少损失，考虑到报废段可以附着在其他钢坯上，因此先确定去除了报废段后其他钢坯的最优切割方案，通过分析题意此方案会出现两种情况：①存在切割损失；②不存在切割损失。当存在切割损失时，报废段附着在最小损失段一起切除；当不存在切割损失时，将其附着在最长段一起切割，然后再通过离线的二次切割将其与满足要求的钢坯分离。 + +由此，可以先考虑长度为44.8米、52.2米、32.1米、58.5米、41.7米、31.9米和56.4米的钢坯最优切割方案，然后再将报废段附着在其中一条钢坯上。要求这些长度的钢坯的最优切割方案，建立了多目标规划模型，与问题二中求解钢坯第1次出现报废段时钢坯的切割方案所建立的模型相同。 + +# (2) 当前段钢坯切割的调整方案 + +根据题目进行分析，方案的调整可理解为是由于这9个时刻点中某些时刻从无异常到有异常所导致的，可以采用以下两种方法进行求解。 + +定义：以每个异常时刻为时间窗口，则有9个窗口；以相邻两个异常时刻为时间单元，则有8个时间单元。 + +方法一： + +初始切割方案：假定从第 $n$ 个时间窗口开始 $(n \geq 3)$ ，仅第 $n - 1$ 个时间窗口无异常， + +第 $n - 1$ 个时间窗口前的所有时间窗口均有异常。先从第3个窗口至第9个窗口每个窗口均往前2个异常时刻计算除去0.8米报废段后的钢坏长度，得到7个钢坏长度，再根据问题二中求解钢坏第1次出现报废段时钢坏的切割方案所建立的模型求出其最优切割方案。然后，将7个时间段的切割方案分别加上该时间段之前每个时间单元的切割方案。 + +调整后的切割方案：假定所有时间窗口均有异常，从第3个窗口至第9个窗口，共有7个窗口，分别求出这7个窗口之前所有时间单元的切割方案之和。 + +以第2个时间窗口与第8个时间窗口为例，蓝色线条为初始切割方案，红色线条为调整后的切割方案（图中“有”代表所在窗口有异常，“无”代表所在窗口无异常）。 + +![](images/acb14573471433184619c37f53d72a73d3b2b8774dbe64a74f22090c3c32aed1.jpg) +图1：第2个时间窗口导致的方案调整 + +![](images/db31325635cb4455d5072515a057b47c6ca3bfda55bb6cac1522f6ab32b5d668.jpg) +图2：第8个时间窗口导致的方案调整 + +方法二： + +初始切割方案：假定所有时间窗口均无异常，从第3个窗口至第9个窗口，共有7个窗口，分别求出这7个窗口之前所有时间单元的切割方案之和。 + +调整后的切割方案：假定所有时间窗口均有异常，从第3个窗口至第9个窗口，共有7个窗口，分别求出这7个窗口之前所有时间单元的切割方案之和。 + +# 5.2.2 模型求解 + +# （一）钢坯第1次出现报废段 + +由题意得： + +$$ +a _ {j} = [ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6 ], c _ {1}: c _ {9} = [ 4 4. 8, 5 2. 2, 3 2. 1, 5 8. 5, 4 1. 7, 3 1. 9, 5 6. 4, 6 0, 6 4 ] +$$ + +利用matlab软件，对上述建立的多目标规划模型分别进行求解（具体程序见附录程序2）。 + +最后得出钢坯第1次出现报废段时所产生的44.8米钢坯的最优切割方案和切割损失情况如表2所示。 + +表 2: 44.8 米长度钢坯的切割方案和切割损失情况 + +
钢坯长度（不含报废段）/m具体切割方案切割损失/m满足用户要求的数量/根
44.84.8m*1根、10.0m*4根4.84
+ +由模型求解结果可知，第一段含报废段的钢坯被切割成了5根，其中满足用户要求 + +的有 4 根即 $10.0 \mathrm{~m} * 4$ 根。而剩下 1 根 $4.8 \mathrm{~m}$ 的钢坯, 由于长度未达到 $8 \mathrm{~m}$ 无法进入下道工序, 只能全部报废 (即属于此方案的切割损失) 。因此, 可以将 0.8 米的报废段附着在此钢坯上一起切割, 最优的切割方案如表 3 所示: + +表 3: 45.6 米长度钢坯的最优切割方案和切割损失情况 + +
钢坯长度（含报废段）/m最优切割方案切割损失/m满足用户要求的数量/根
45.65.6m*1根、10.0m*4根5.64
+ +当结晶器出现异常时，报废段是在结晶器中产生的，在这段报废段之前二冷段中已经产生钢坯。因为从结晶器中心到切割机工作起点处钢坯的长度是60.0米，而切割机切断一块钢坯的时间为3分钟，切割后返回到工作起点的时间为1分钟，切割机与连铸拉坯同步运动的速度为1.0米/分钟。当出现报废段时无法判断切割机所处位置，在此我们只考虑切割机等待和刚好开始切钢坯这两种情况，所以在报废段之前还存在60米或64米长度的钢坯，然后通过模型求出60米和64米钢坯的具体切割方案（具体程序见附录程序3），再将60.0米和64.0米钢坯的具体切割方案加上44.8米的具体切割方案，即得到钢坯第一次出现报废段时，此段钢坯的切割方案。利用matlab软件求解，得出的最优切割方案和切割损失情况如表4所示。 + +表 4: 105.6 米和 109.6 米长度钢坯的最优切割方案和切割损失情况 + +
钢坯长度（含报废段）/m最优切割方案切割损失/m满足用户要求的数量/根
105.65.6m*1根、10.0m*10根5.610
109.65.6m*1根、9m*5根、9.5m*2根、10.0m*4根5.611
+ +# （二）出现新的报废段 + +# （1）新一段钢坯的切割方案 + +利用matlab软件，对建立的多目标规划模型分别进行求解，得到7个时间单元的具体切割方案（具体程序见附录程序2）。 + +注明：由于第7个时间单元的钢坯长度为4.7米（含一个报废段），不满足切割后的钢坯长度必须在4.8-12.6米之间的基本要求，若在此段进行切割，则会出现无法运走阻碍生产的情况，因此将第7个时间单元的钢坯长度（4.7米）与第8个时间单元的报废段（0.8米）结合切割，固定此切割方案，即第7个时间单元的钢坯长度为5.5米。 + +最后得出钢坯出现新的报废段时8个时间单元的最优切割方案和切割损失情况如表5所示。 + +表 5：新的报废段时 8 个时间单元的最优切割方案和切割损失情况 + +
钢坯长度 +(不含报废段)/m具体切割方案切割损失/m包含报废段的切割损失/m满足用户要求的数量/根
44.84.8m*1根、10.0m*4根4.85.64
52.24.8m*1根、9.4m*1根、9.5m*4根4.85.65
32.14.8m*1根、9.1m*3根4.85.63
58.59.5m*3根、10.0m*3根00.86
41.74.8m*1根、9.0m*1根、9.2m*2根、9.5m*1根4.85.64
31.94.8m*1根、9.0m*2根、9.1m*1根4.85.63
5.55.5m*1根5.55.50
56.49.2m*2根、9.5m*4根006
+ +假设切割机在0.0时刻就在起点处等待切割。因为在0.0时刻结晶器出现异常，从结晶器中心到切割机工作起点处钢坯的长度是60.0米。已知连铸拉坯的速度为1.0米/分钟，所以0.0时刻出现的报废段需要经过60.0分钟才能来到工作起点。 + +首先对结晶器中心到切割机工作起点处长度为60.0米的钢坯进行切割，然后根据表4中每个时间单元的最优切割方案制定实时的最优切割方案，如表6所示（表中时间段为开始切割至此段钢坯切割结束的时间）。 + +表 6: 钢坯的实时最优切割方案 + +
时间段/分钟切割方案/m时间段/分钟切割方案/m时间段/分钟切割方案/m
10.0-13.010.0149.1-152.19.5283.8-286.89.2
20.0-23.010.0158.6-161.69.5293.3-296.39.5
30.0-33.010.0164.2-167.25.6298.9-301.95.6
40.0-43.010.0173.3-176.39.1307.9-310.99.0
50.0-53.010.0182.4-185.49.1316.9-319.99.0
60.0-63.010.0191.5-194.59.1326.0-329.09.1
65.6-68.65.6201.0-203.09.5331.5-334.55.5
75.6-78.610.0210.5-213.59.5340.7-343.79.2
85.6-88.610.0220.0-223.09.5349.9-352.99.2
95.6-98.610.0230.8-233.810.8359.4-362.49.5
105.6-108.610.0240.8-243.810.0368.9-371.99.5
111.2-114.25.6250.8-253.810.0378.4-381.49.5
120.6-123.69.4256.4-259.45.6387.9-390.99.5
130.1-133.19.5265.4-268.49.0
139.6-142.69.5274.6-277.69.2
+ +由上表可得：①切割完这些长度的钢坯共需时间390.9分钟；②在230.8-233.8时间段切割的10.8米钢坯是由结晶器在131.5时刻产生的0.8米的报废段附着在10.0米的钢坯上产生的。后续需要通过离线的二次切割切除报废段。 + +（2）当前段钢坯切割的调整方案 + +方法一： + +由题意得： + +$$ +a _ {j} = \left[ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6 \right], c _ {1 0}: c _ {1 6} = \left[ 9 7. 8 8 5. 1 9 1. 4 1 0 1 7 4. 4 3 1. 9 5 6. 4 \right] +$$ + +初始切割方案的计算：利用matlab软件，对问题二第（一）小问建立的模型进行求解，得到从第3个窗口至第9个窗口每个窗口均往前2个异常时刻计算除去0.8米报废段后的钢坯长度的具体切割方案（具体程序见附录程序4)，然后，将7个时间段的切割方案分别加上该时间段之前每个时间单元的切割方案，具体见表7。 + +表 7: 当前 7 个时间段钢坯的初始切割方案情况 + +
时刻/分钟初始切割方案切割损失/m含报废段的切割损失/m满足用户要求的数量/根
0.0-98.69.5m*4根、9.8m*1根、10.0m*5根00.810
0.0-131.54.8m*1根、9.1m*1根、9.5m*8根、10m*4根4.86.413
0.0-190.84.8m*2根、9.0m*6根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*6根、10m*4根9.612.019
0.0-233.34.8m*3根、9.0m*7根、9.1m*3根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*4根14.417.623
0.0-266.04.8m*3根、9.0m*2根、9.1m*3根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*11根、10m*7根14.418.426
0.0-270.74.8m*5根、5.5m*1根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*7根29.533.525
0.0-327.94.8m*5根、5.5m*1根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*4根、9.4m*1根、9.5m*12根、10m*7根29.533.531
+ +调整后的切割方案的计算：假定所有时间窗口均有异常，从第3个窗口至第9个窗口，共有7个窗口，分别求出这7个窗口之前所有时间单元的切割方案之和，即利用表5的数据得到调整后的切割方案情况，具体如表8所示。 + +表 8: 当前 7 个时间段钢坯的调整后的切割方案情况 + +
时刻/分钟调整后的切割方案切割损失/m包含报废段的切割损失/m满足用户要求的数量/根
0.0-98.64.8m*2根、9.4m*1根、9.5m*4根、10.0m*4根9.611.29
0.0-131.54.8m*3根、9.1m*3根、9.4m*1根、9.5m*4根、10m*4根14.416.812
0.0-190.84.8m*3根、9.1m*3根、9.4m*1根、9.5m*7根、10m*7根14.417.618
0.0-233.34.8m*4根、9.0m*1根、9.1m*3根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*7根19.223.222
0.0-266.04.8m*5根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*7根2428.825
0.0-270.74.8m*5根、5.5m*1根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*7根29.534.325
0.0-327.94.8m*5根、5.5m*1根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*4根、9.4m*1根、9.5m*12根、10m*7根29.534.331
+ +方法二： +由题意得： $a_{j} = [4.8:0.1:12.6],c_{17}:c_{23} = [98.6131.5190.8233.3266270.7327.9]$ + +初始切割方案的计算：利用matlab软件，对建立的多目标规划模型分别进行求解，初始切割方案，即假定所有时间窗口均无异常，从第3个窗口至第9个窗口，共有7个窗口，分别求出这7个窗口之前所有时间单元的切割方案，具体如表9所示。（具体程序见附录程序5） + +表 9：方法二当前 7 个时间段钢坯的初始切割方案情况 + +
时刻/分钟初始切割方案切割损失/m包含报废段的 切割损失/m满足用户要求 的数量/根
0.0-98.69.5m*2根、9.6m*1根、10.0m*7根0010
0.0-131.59.0m*3根、9.5m*11根0014
0.0-190.89.5m*18根、9.8m*1根、10m*1根0020
0.0-233.39.0m*7根、9.1m*1根、9.2m*1根、 9.5m*16根0025
0.0-266.09.5m*28根0028
0.0-270.79.0m*9根、9.2m*1根、9.5m*19根0029
0.0-327.99.0m*8根、9.2m*2根、9.5m*25根0035
+ +将方法二所得的初始切割方案（表9）与调整后的切割方案（表8）进行对比分析，发现这7个时间单位的初始切割方案均与调整后的切割方案不同，不是最优切割方案，所以均需要调整，按照表4中的调整后的切割方案进行切割。 + +对比方法一与方法二求解出的新一段钢坯的初始切割方案，发现方法一所得出的切割方案更贴近调整后的切割方案，因此方法一比方法二更加满足题目要求，更加优化。 + +所以对方法一求解得到的钢坯的初始切割方案、调整后的切割方案及切割损失情况进行整合，得到了所有时刻具体的最优切割方案，如表10所示。 + +表 10：当前 7 个时间段钢坯的初始切割方案、调整后的切割方案及切割损失情况 + +
时刻/分钟初始切割方案调整后的切割方案切割损失/m最终的切割方案
0.0-98.69.5m*4根、9.8m*1根、10.0m*5根4.8m*2根、9.4m*1根、9.5m*4根、10.0m*4根9.64.8m*2根、9.4m*1根、9.5m*4根、10.0m*4根
0.0-131.54.8m*1根、9.1m*1根、9.5m*8根、10m*4根4.8m*3根、9.1m*3根、9.4m*1根、9.5m*4根、10m*4根14.44.8m*3根、9.1m*3根、9.4m*1根、9.5m*4根、10m*4根
0.0-190.84.8m*2根、9.0m*6根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*6根、10m*4根4.8m*3根、9.1m*3根、9.4m*1根、9.5m*7根、10m*7根14.44.8m*3根、9.1m*3根、9.4m*1根、9.5m*7根、10m*7根
0.0-233.34.8m*3根、9.0m*7根、9.1m*3根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*4根4.8m*4根、9.0m*1根、9.1m*3根、9.2m*2根、9.4m*1根、、9.5m*8根、10m*7根19.24.8m*4根、9.0m*1根、9.1m*3根、9.2m*2根、9.4m*1根、、9.5m*8根、10m*7根
0.0-266.04.8m*3根、9.0m*2根、9.1m*3根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*7根4.8m*5根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*7根244.8m*5根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*7根
0.0-270.74.8m*5根、5.5m*1根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*7根4.8m*5根、5.5m*1根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*2根、9.4m*1根、9.5m*8根、10m*7根29.5不作调整
0.0-327.94.8m*5根、5.5m*1根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*4根、9.4m*1根、9.5m*12根、10m*7根4.8m*5根、5.5m*1根、9.0m*3根、9.1m*4根、9.2m*4根、9.4m*1根、9.5m*12根、10m*7根29.5不作调整
+ +通过分析表10，即当前7个时间单元钢坯的初始切割方案和调整后的切割方案可知：①在出现新的报废段后，前5个时间单元的当前段钢坯切割方案不同，需要调整，以表10中调整后的切割方案为标准进行切割；②在出现新的报废段后，后2个时间单 + +元的当前段钢坯切割方案相同，则不需要调整。 + +# 5.3 问题三模型建立与求解 + +# 5.3.1 模型建立 + +# （一）用户目标值是8.5米，目标范围是8.0-9.0米 + +此问题建立的模型与问题二所建立的模型原理一致，首先以切割损失最小作为目标得出初步切割方案，再以钢坯长度为8.5米的根数最多作为目标得出进一步的切割方案，最后以钢坯长度范围在8.0-9.0米的根数最多为目标得出最终切割方案。 + +建立多目标规划模型具体如下： + +①钢坯的切割损失最小 + +目标函数为： + +$$ +\min Z _ {7} = \sum_ {j = 1} ^ {3 2} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 4 4} ^ {7 9} (a _ {j} - 9) y _ {1 j} +$$ + +约束条件为： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} +$$ + +②钢坯切割长度为8.5米的根数最多 + +目标函数为： + +$$ +\max Z _ {8} = y _ {1 j} (j = 3 8) +$$ + +约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} \\ \sum_ {j = 1} ^ {3 2} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 4 4} ^ {7 9} (a _ {j} - 9) y _ {1 j} = Z _ {7} \end{array} \right. +$$ + +③ 尾坯切割长度为8.0-9.0米的根数最多 + +目标函数为： + +$$ +\max Z _ {9} = \sum_ {j = 3 3} ^ {4 3} y _ {1 j} +$$ + +约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} \\ \sum_ {j = 1} ^ {3 2} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 4 4} ^ {7 9} (a _ {j} - 9) y _ {1 j} = Z _ {7} \\ \sum_ {j = 3 3} ^ {4 3} y _ {1 j} = Z _ {8} \end{array} \right. +$$ + +# （二）用户目标值是11.1米，目标范围是10.6-11.6米 + +此问题建立的模型与用户目标值是8.5米，目标范围是8.0-9.0米所建立的模型原理一致，首先以切割损失最小作为目标得出初步切割方案，再以钢坯长度为11.1米的根数最多作为目标得出进一步的切割方案，最后以钢坯长度范围在10.6-11.6米的根数最多为目标得出最终切割方案。 + +建立多目标规划模型具体如下： + +①钢坯的切割损失最小 + +目标函数为： + +$$ +\min Z _ {1 0} = \sum_ {j = 1} ^ {5 8} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 7 0} ^ {7 9} \left(a _ {j} - 1 1. 6\right) y _ {1 j} +$$ + +约束条件为： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} +$$ + +②钢坯切割长度为11.1米的根数最多 + +目标函数为： + +$$ +\max Z _ {1 1} = y _ {1 j} (j = 6 4) +$$ + +约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} \\ \sum_ {j = 1} ^ {5 8} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 7 0} ^ {7 9} (a _ {j} - 1 1. 6) y _ {1 j} = Z _ {1 0} \end{array} \right. +$$ + +③ 尾坯切割长度为10.6-11.6米的根数最多 + +目标函数为： + +$$ +\max Z _ {1 2} = \sum_ {j = 5 9} ^ {6 9} y _ {1 j} +$$ + +约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {7 9} a _ {j} y _ {1 j} = c _ {p} \\ \sum_ {j = 1} ^ {5 8} a _ {j} y _ {1 j} + \sum_ {j = 7 0} ^ {7 9} \left(a _ {j} - 1 1. 6\right) y _ {1 j} = Z _ {1 0} \\ \sum_ {j = 5 9} ^ {6 9} y _ {1 j} = Z _ {1 1} \end{array} \right. +$$ + +# 5.3.2 模型求解 + +# （一）满足用户目标值是8.5米，目标范围是8.0-9.0米的钢坯切割方案 + +由题意得： + +$$ +a _ {j} = [ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6 ], c _ {1}: c _ {7} = [ 4 4. 8, 5 2. 2, 3 2. 1, 5 8. 5, 4 1. 7, 3 1. 9, 5 6. 4 ] +$$ + +利用matlab软件，对建立的多目标规划模型分别进行求解，得到7个时间单元的具体切割方案（具体程序见附录程序6）。 + +结合已知的第七个时间单元为固定的5.5米切割，最后得出钢坯出现新的报废段时8个时间单元的最优切割方案和切割损失情况如表11所示。 + +表 11：出现新的报废段时 8 个时间单元的最优切割方案和切割损失情况 + +
钢坯长度 +(不含报废段)/m具体切割方案切割损失/m包含报废段的切割损失/m满足用户要求的数量/根
44.88.8m*1 根、9m*4 根00.85
52.28.5m*3 根、8.7m*1 根、9.0m*2 根00.86
32.18.0m*3 根、8.1m*1 根00.84
58.58.0m*2 根、8.5m*5 根00.87
41.78.0m*1 根、8.2m*1 根、8.5m*3 根00.85
31.94.9m*1 根、9.0m*3 根4.95.73
5.55.5m*1 根5.55.50
56.48.0m*5 根、8.2m*2 根007
+ +由题意得： + +$$ +a _ {j} = \left[ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6 \right], c _ {1 0}: c _ {1 6} = \left[ 9 7. 8 8 5. 1 9 1. 4 1 0 1 7 4. 4 3 1. 9 5 6. 4 \right] +$$ + +初始切割方案的计算：利用matlab软件，对建立的多元目标规划模型进行求解，得到从第3个窗口至第9个窗口每个窗口均往前2个异常时刻计算除去0.8米报废段后的钢坯长度的具体切割方案（具体程序见附录程序7)，然后，将7个时间段的切割方案分别加上该时间段之前每个时间单元的切割方案，具体见附录表12。 + +调整后的切割方案的计算：假定所有时间窗口均有异常，从第3个窗口至第9个窗口，共有7个窗口，分别求出这7个窗口之前所有时间单元的切割方案之和，即利用表11数据得到调整后的切割方案情况，具体见附录表13。 + +对求解得到的钢坯的初始切割方案、调整后的切割方案及切割损失情况进行整合，得到了所有时刻具体的最优切割方案，如表14所示。 + +表 14：当前 7 个时间段钢坯的初始切割方案、调整后的切割方案及切割损失情况 + +
时刻/分 钟初始切割方案调整后的切割方案切割损 失/m最终的切割方案
0.0-98.68.0m*7根、8.1m*1 根、8.2m*1根、 8.5m*3根8.5m*3根、8.7m*1 根、8.8m*1根、 9.0m*6根08.5m*3根、8.7m*1 根、8.8m*1根、 9.0m*6根
0.0-131.58.5m*9根、8.6m*1根、8.8m*1根、9.0m*4根8.0m*3根、8.1m*1根、8.5m*3根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根08.0m*3根、8.1m*1根、8.5m*3根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根
0.0-190.88.0m*3根、8.2m*2根、8.5m*9根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根、8.0m*5根、8.1m*1根、8.5m*8根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根08.0m*5根、8.1m*1根、8.5m*8根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根
0.0-233.38.0m*5根、8.1m*1根、8.5m*13根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根8.0m*6根、8.1m*1根、8.2m*1根8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根08.0m*6根、8.1m*1根、8.2m*1根8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根
0.0-266.08.0m*8根、8.1m*1根、8.2m*2根、8.5m*12根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根4.9m*1根、8.0m*6根、8.1m*1根、8.2m*1根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根4.94.9m*1根、8.0m*6根、8.1m*1根、8.2m*1根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根
0.0-270.74.9m*1根、5.5m*1根、8.0m*6根、8.1m*1根、8.2m*1根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根4.9m*1根、5.5m*1根、8.0m*6根、8.1m*1根、8.2m*1根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根10.4不作调整
0.0-327.94.9m*1根、5.5m*1根、8.0m*11根、8.1m*1根、8.2m*3根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根4.9m*1根、5.5m*1根、8.0m*11根、8.1m*1根、8.2m*3根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根10.4不作调整
+ +通过对比分析表14，即当前7个时间单元钢坯的初始切割方案和调整后的切割方案可知：①在出现新的报废段后，前5个时间窗口的当前段钢坯切割方案不同，需要调整，以表14中调整后的最终切割方案为标准进行切割；②在出现新的报废段后，后2个时间单元的当前段钢坯切割方案相同，则不需要调整。 + +# （二）满足用户目标值是11.1米，目标范围是10.6-11.6米的钢坯切割方案 + +由题意得： + +$$ +a _ {j} = \left[ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6 \right] +$$ + +$$ +c _ {1}: c _ {1 6} = \left[ 4 4. 8, 5 2. 2, 3 2. 1, 5 8. 5, 4 1. 7, 3 1. 9, 5 6. 4, 9 7. 8, 8 5. 1, 9 1. 4, 1 0 1, 7 4. 4, 3 1. 9, 5 6. 4 \right] +$$ + +同理可得，利用matlab软件，对建立的多目标规划模型分别进行求解，得到7个时间单元的具体切割方案。 + +钢坯出现新的报废段时，用户目标值是11.1米，目标范围是10.6-11.6米的8个时间单元的最优切割方案和切割损失情况、初始切割方案和调整后的切割方案如表15（具体程序见附录程序8）、表16（具体程序见附录程序9）和表17所示，具体表格数据见附录。 + +对求解得到的钢坯的初始切割方案、调整后的切割方案及切割损失情况进行整合，得到了所有时刻具体的最优切割方案，如表18所示。 + +表 18：当前 7 个时间段钢坯的初始切割方案、调整后的切割方案及切割损失情况 + +
时刻/分 钟初始切割方案调整后的切割方案切割损 失/m最终的切割方案
0.0-98.610.6m*3根、10.8m*2根、11.1m*4根5.8m*1根、11.1m*3根、11.5m*1根、11.6m*4根5.85.8m*1根、11.1m*3根、11.5m*1根、11.6m*4根
0.0-131.510.6m*5根、10.7m*3根、11.1m*3根、11.5m*1根5.8m*1根、10.7m*3根、11.1m*3根、11.5m*1根、11.6m*4根5.85.8m*1根、10.7m*3根、11.1m*3根、11.5m*1根、11.6m*4根
0.0-190.85.8m*1根、11.1m*5根、11.2m*1根、11.5m*1根、11.6m*9根4.8m*1根、5.8m*1根、10.6m*3根、10.7m*3根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*4根10.64.8m*1根、5.8m*1根、10.6m*3根、10.7m*3根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*4根
0.0-233.35.8m*1根、10.7m*3根、11.1m*9根、11.2m*1根、11.5m*1根、11.6m*1根4.8m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*3根、10.7m*3根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根17.54.8m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*3根、10.7m*3根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根
0.0-266.04.8m*1根、5.8m*1根、10.6m*9根、10.7m*3根、10.8m*2根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*4根4.8m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根17.54.8m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根
0.0-270.74.8m*1根、5.5m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根4.8m*1根、5.5m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根23不作调整
0.0-327.94.8m*1根、5.5m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*7根、11.5m*2根、11.6m*8根4.8m*1根、5.5m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*7根、11.5m*2根、11.6m*8根23不作调整
+ +通过对比分析表18，即当前7个时间单元钢坯的初始切割方案和调整后的切割方案可知：①在出现新的报废段后，前5个时间窗口的当前段钢坯切割方案不同，需要调整，以表18中调整后的最终切割方案为标准进行切割；②在出现新的报废段后，后2个时间单元的当前段钢坯切割方案相同，则不需要调整。 + +# 六、模型的优化 + +在问题2与问题3已有的切割方案中，当钢坏切割有损失且这段钢坏含有报废段时，可以用报废段替换损失段中可使用的钢坏，以此优化切割方案，减少由于报废段导致的切割损失。 + +满足优化的条件为：① 有切割损失；②报废段；③标范围上限 $\times$ 满足用户需求的钢坯根数-切割后满足目标范围钢坯总长度 $\geq 0$ + +以问题2第（一）问的具体切割方案为例（表5）。 + +目标范围上限 $\times$ 满足用户需求的钢坯根数-切割后满足目标范围的钢坯总长度 $\geq 0$ + +如44.8米长的钢坯切割成 $4.8\mathrm{m}^{*}1$ 根、 $10.0\mathrm{m}^{*}4$ 根，满足优化条件①和②但不满足③，所以此段无法优化，已是最优切割方案。52.2米长的钢坯切割成 $4.8\mathrm{m}^{*}1$ 根、 $9.4\mathrm{m}^{*}1$ 根、 $9.5\mathrm{m}^{*}4$ 根，有切割损失、有报废段，且 $10y-$ 切割后满足 $9.0\sim 10.0$ 米的钢坯总长度的值为2.6米，大于0，满足优化的三个条件，可以进行优化。 + +满足优化条件的钢坯长度（不含报废段）分别为52.2米、32.1米、41.7米和31.9米。由题意可得： $a_{j} = [4.8:0.1:12.6],c_{24}:c_{27} = [48.2,28.1,37.7,27.9]$ ，优化前和优化后（具体程序见附录程序10）的具体切割方案如表19所示。 + +表 19：优化前和优化后的具体切割方案情况 + +
钢坯长度（不含报废段）/m优化前的具体切割方案优化后的具体切割方案
52.24.8m*1根、9.4m*1根、9.5m*4根4.8m*1根、9.5m*3根、9.8m*1根、9.9m*1根
32.14.8m*1根、9.1m*3根4.8m*1根、9.1m*1根、9.5m*2根
41.74.8m*1根、9.0m*1根、9.2m*2根、9.5m*1根4.8m*1根、9.2m*2根、9.5m*3根
31.94.8m*1根、9.0m*2根、9.1m*1根4.8m*1根、9.2m*2根、9.5m*1根
+ +优化前和优化后的切割损失情况对比如表20所示。 + +表 20：优化前和优化后的切割损失情况对比 + +
满足优化条件的钢坯长度/m52.232.141.731.9
优化前的包含报废段的切割损失/m5.65.65.65.6
优化后的包含报废段的切割损失/m4.84.84.84.8
+ +通过对表格数据进行分析，优化后的模型可以使由于报废段导致的切割损失更小，此优化模型优化结果极好。 + +# 七、模型评价与推广 + +# 6.1 模型优点： + +①本文的模型建立在理性的分析和合理的推导之上，化繁为简，将复杂的多目标规划问题，逐一转化为三个单目标问题的解。模型的建立整体且全面，得到的结果也较为准确。 +②该模型对于本文给出的钢坯切割问题，有着较强的实用性和适用性，随着用户要求的目标值改变后依然可以使用，因此它具有较强的现实意义。 +③该模型虽然自动化和智能化程度不够，需要较多的经验性人工干预，但本文在进行充分的理论分析的基础上，在计算结果的衔接方面取得了良好的效果，并且可以对问题二中的结果进一步优化，能够很好的得到连铸切割的最优切割方案。 + +# 6.2 模型缺点： + +(1)由于该模型进行了相应的简化，导致模型的结果可能和实际结果有所出入。 +②为了避免过大的计算量，在本论文中只考虑了切割机的切割长度精确到一位小数的情况，存在一定的局限性。 + +# 八、参考文献 + +[1]【连铸国外常用连铸结构工艺流程图_搜狐网】 + +https://mbd.baidu.com/ma/s/LTKLGwq7 + +[2]刘保东，宿洁，陈建良，数学建模基础教程[M]，北京：高等教育出版社，2015(9):279 +[3] 司守奎，孙兆亮，数学建模算法与应用[M]，北京：国防工业大学出版社，2021(3):432 + +# 九、附录 + +本论文没有支撑材料 + +问题一的程序： + +程序1：不同尾坯最优切割方案程序 + +$$ +k = [ 1 0 9 9 3. 4 8 0. 9 7 2 6 2. 7 5 2. 5 4 4. 9 4 2. 7 3 1. 6 2 2. 7 1 4. 5 1 3. 7 ]; +$$ + +k=k(1); %如果要求其它尾坯长度的最优切割方案只需要更改 k 中括号内的数字，如要求尾坯长度为 93.4 米的最优切割方案只要将 k 中括号内的数字 1 改为 2 即可 + +$$ +\begin{array}{l} f 1 = z e r o s (1, 7 9); \\ f 1 (1, 1: 4 2) = [ 4. 8: 0. 1: 8. 9 ]; \\ f 1 (1, 5 4: 7 9) = [ 1 0. 1: 0. 1: 1 2. 6 ]; \\ i n t c o n = [ 1: 7 9 ]; \\ a = [ ]; \\ \mathbf {b} = [ ]; \\ a e q 1 = [ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6 ]; \\ \mathrm {b e q 1 = k}; \\ l b = z e r o s (7 9, 1); \\ \mathsf {u b} = [ ]; \\ [ x 1, y 1 ] = \text {i n t l i n p r o g} (f 1, \text {i n t c o n}, a, b, a e q 1, b e q 1, l b, u b); \\ \times 1 = \times 1 ^ {\prime}, \mathrm {y} 1 \\ f 2 = z e r o s (1, 7 9); \\ f 2 (1, 4 8) = - 1; \\ c 2 = \text {z e r o s} (1, 7 9); \\ c 2 (1, 1: 4 2) = [ 4. 8: 0. 1: 8. 9 ]; \\ c 2 (1, 5 4: 7 9) = [ 1 0. 1: 0. 1: 1 2. 6 ]; \\ a e q 2 = [ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6; c 2 ]; \\ \operatorname {b e q} 2 = [ k, y 1 ]; \\ [ x 2, y 2 ] = \text {i n t l i n p r o g} (f 2, \text {i n t c o n}, a, b, a e q 2, b e q 2, l b, u b); \\ \times 2 = \times 2 ^ {\prime}; \\ y 2 = - y 2 \\ f 3 = z e r o s (1, 7 9); \\ f 3 (1, 4 3: 5 3) = - 1; \\ c 3 = z e r o s (1, 7 9); \\ \mathrm {c} 3 (1, 1: 4 2) = [ 4. 8: 0. 1: 8. 9 ]; \\ \mathrm {c} 3 (1, 5 4: 7 9) = [ 1 0. 1: 0. 1: 1 2. 6 ]; \\ \end{array} +$$ + +```matlab +d=zeros(1,79); +d(1,48)=1; +aq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +x=x'; +y=-y +``` + +问题二的程序： + +程序2：除了第七个时间单元之外的其它七个时间单元的切割方案程序 + +k=[44.8 52.2 32.1 58.5 41.7 31.9 56.4];%由于第7个异常时刻点和第八个异常时刻点之间包括其中报废段的长度为4.7，小于4.8 + +%会影响生产，为此我们将第七个时间段的4.7与第八个异常时刻点产生的0.8米的报废段相结合，得到一个具有两条报废段的，总长为5.5米的，大于4.8不影响生产的钢坯 + +$\%$ 求的是这九个出现异常时刻之间除去第七个时间段的其它七个时间段除去其报废段的钢坯的切割方案 + +k=k(1);%现在求的是0.0-45.6这个时间段中除去开头0.8米报废段的钢坯的最优切割方案，如果要求其它时间段钢坯长度的最优切割方案只需要更改k中括号内的数字 + +```matlab +f1=zeros(1,79); +f1(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +f1(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +intcon=[1:79]; +a=[]; +b=[]; +aq1=[4.8:0.1:12.6]; +beq1=k; +lb=zeros(79,1); +ub=[]; +[x1,y1]=intlinprog(f1,intcon,a,b,aeq1,beq1,lb,ub); +x1=x1',y1 +f2=zeros(1,79); +f2(1,48)=-1; +c2=zeros(1,79); +``` + +```matlab +c2(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +c2(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +aeq2=[4.8:0.1:12.6;c2]; +beq2=[k,y1]; +[x2,y2]=intlinprog(f2,intcon,a,b,aeq2,beq2,lb,ub); +x2=x2' +y2=-y2 +f3=zeros(1,79); +f3(1,43:53)=-1; +c3=zeros(1,79); +c3(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +c3(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +d=zeros(1,79); +d(1,48)=1; +aeq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +x=x' +y=-y +``` + +程序3：60.0米和64.0米钢坯的最优切割方案程序 + +```matlab +k=[60 64]; +k=k(1); +f1=zeros(1,79); +f1(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +f1(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +intcon=[1:79]; +a=[]; +b=[]; +aq1=[4.8:0.1:12.6]; +beq1=k; +lb=zeros(79,1); +ub=[]; +[x1,y1]=intlinprog(f1,intcon,a,b,aeq1,beq1,lb,ub); +``` + +$\begin{array}{l}\mathrm{x1 = x1',y1;}\\ \mathrm{f2 = zeros(1,79);}\\ \mathrm{f2(1,48) = -1;}\\ \mathrm{c2 = zeros(1,79);}\\ \mathrm{c2(1,1:42) = [4.8:0.1:8.9]};\\ \mathrm{c2(1,54:79) = [10.1:0.1:12.6]};\\ \mathrm{aeq2 = [4.8:0.1:12.6;c2]};\\ \mathrm{beq2 = [k,y1]};\\ \mathrm{[x2,y2] = intlinprog(f2,intcon,a,b,aeq2,beq2,lb,ub)};\\ \mathrm{x2 = x2'};\\ \mathrm{y2 = -y2}\\ \mathrm{f3 = zeros(1,79);}\\ \mathrm{f3(1,43:53) = -1;}\\ \mathrm{c3 = zeros(1,79);}\\ \mathrm{c3(1,1:42) = [4.8:0.1:8.9]};\\ \mathrm{c3(1,54:79) = [10.1:0.1:12.6]};\\ \mathrm{d = zeros(1,79);}\\ \mathrm{d(1,48) = 1;}\\ \mathrm{aeq3 = [4.8:0.1:12.6;c3;d]};\\ \mathrm{beq3 = [k,y1,y2]};\\ \mathrm{[x,y] = intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub)};\\ \mathrm{x = x';}\\ \mathrm{y = -y} \end{array}$ + +程序4：方法一得到从第3-9个窗口中每个窗口均往前2个异常时刻，除去0.8米报废段后的具体切割方案 + +```javascript +k=[97.8 85.1 91.4 101 74.4 31.9 56.4]; +``` + +k=k(1);%现在求的是0.0-98.6这个时间段中除去开头0.8米报废段的总长为97.8米的钢坯的最优切割方案，如果要求其它时间段钢坯长度的最优切割方案只需要更改k中括号内的数字 + +```matlab +f1=zeros(1,79); +f1(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +f1(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +intcon=[1:79]; +``` + +```matlab +a=[]; +b=[]; +aeq1=[4.8:0.1:12.6]; +beq1=k; +lb=zeros(79,1); +ub=[]; +[x1,y1]=intlinprog(f1,intcon,a,b,aeq1,beq1,lb,ub); +x1=x1',y1 +f2=zeros(1,79); +f2(1,48)=-1; +c2=zeros(1,79); +c2(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +c2(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +aeq2=[4.8:0.1:12.6;c2]; +beq2=[k,y1]; +[x2,y2]=intlinprog(f2,intcon,a,b,aeq2,beq2,lb,ub); +x2=x2' +y2=-y2 +f3=zeros(1,79); +f3(1,43:53)=-1; +c3=zeros(1,79); +c3(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +c3(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +d=zeros(1,79); +d(1,48)=1; +aeq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +x=x' +y=-y +``` + +程序5：方法二得出的当前段钢坯的初始切割方案程序 + +```javascript +k=[98.6 131.5 190.8 233.3 266 270.7 327.9]; +``` + +k=k(1);%现在求的是0.0-98.6这个时间段钢坯的最优切割方案，如果要求其它时间段钢坯长度的最优切割方案只需要更改k中括号内的数字 + +```matlab +f1=zeros(1,79); +f1(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +f1(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +intcon=[1:79]; +a=[[]; +b=[[]; +aq1=[4.8:0.1:12.6]; +beq1=k; +lb=zeros(79,1); +ub=[[]; +[x1,y1]=intlinprog(f1,intcon,a,b,aeq1,beq1,lb,ub); +x1=x1',y1 +f2=zeros(1,79); +f2(1,48)=-1; +c2=zeros(1,79); +c2(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +c2(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +aq2=[4.8:0.1:12.6;c2]; +beq2=[k,y1]; +[x2,y2]=intlinprog(f2,intcon,a,b,aeq2,beq2,lb,ub); +x2=x2' +y2=-y2 +f3=zeros(1,79); +f3(1,43:53)=-1; +c3=zeros(1,79); +c3(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +c3(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +d=zeros(1,79); +d(1,48)=1; +aq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +``` + +$$ +\begin{array}{l} x = x ^ {\prime} \\ y = - y \\ \end{array} +$$ + +问题三的程序： + +程序6：除了第七个时间单元之外的其它七个时间单元的切割方案程序 + +$$ +k = [ 4 4. 8 \quad 5 2. 2 \quad 3 2. 1 \quad 5 8. 5 \quad 4 1. 7 \quad 3 1. 9 \quad 5 6. 4 ]; +$$ + +k=k(1);%现在求的是0.0-45.6这个时间段中除去开头0.8米报废段的钢坯的最优切割方案，如果要求其它时间段钢坯长度的最优切割方案只需要更改k中括号内的数字 + +$$ +\begin{array}{l} f 1 = z e r o s (1, 7 9); \\ f 1 (1, 1: 3 2) = [ 4. 8: 0. 1: 7. 9 ]; \\ f 1 (1, 4 4: 7 9) = [ 9. 1: 0. 1: 1 2. 6 ]; \\ i n t c o n = [ 1: 7 9 ]; \\ a = [ ]; \\ b = [ ]; \\ a e q 1 = [ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6 ]; \\ b e q 1 = k; \\ I b = \text {z e r o s} (7 9, 1); \\ u b = [ ]; \\ [ x 1, y 1 ] = i n t l i n p r o g (f 1, i n t c o n, a, b, a e q 1, b e q 1, l b, u b); \\ x 1 = x 1 ^ {\prime}, y 1; \\ f 2 = \text {z e r o s} (1, 7 9); \\ f 2 (1, 3 8) = - 1; \\ c 2 = z e r o s (1, 7 9); \\ c 2 (1, 1: 3 2) = [ 4. 8: 0. 1: 7. 9 ]; \\ c 2 (1, 4 4: 7 9) = [ 9. 1: 0. 1: 1 2. 6 ]; \\ a e q 2 = [ 4. 8: 0. 1: 1 2. 6; c 2 ]; \\ b e q 2 = [ k, y 1 ]; \\ [ x 2, y 2 ] = i n t l i n p r o g (f 2, i n t c o n, a, b, a e q 2, b e q 2, l b, u b); \\ \times 2 = \times 2 ^ {\prime}; \\ y 2 = - y 2 \\ f 3 = z e r o s (1, 7 9); \\ f 3 (1, 3 3: 4 3) = - 1; \\ c 3 = z e r o s (1, 7 9); \\ c 3 (1, 1: 3 2) = [ 4. 8: 0. 1: 7. 9 ]; \\ \end{array} +$$ + +```matlab +c3(1,44:79)=[9.1:0.1:12.6]; +d(1,38)=1; +aq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +x=x'; +y=-y +``` + +程序7：从第3-9个窗口中每个窗口均往前2个异常时刻，除去0.8米报废段后的具体切割方案 + +```javascript +k=[97.8 85.1 91.4 101 74.4 31.9 56.4]; +``` + +k=k(1);%现在求的是0.0-98.6这个时间段中除去开头0.8米报废段的钢坯的最优切割方案，如果要求其它时间段钢坯长度的最优切割方案只需要更改k中括号内的数字 + +```matlab +f1=zeros(1,79); +f1(1,1:32)=[4.8:0.1:7.9]; +f1(1,44:79)=[9.1:0.1:12.6]; +intcon=[1:79]; +a=[[]; +b=[[]; +aq1=[4.8:0.1:12.6]; +beq1=k; +lb=zeros(79,1); +ub=[[]; +[x1,y1]=intlinprog(f1,intcon,a,b,aeq1,beq1,lb,ub); +x1=x1',y1; +f2=zeros(1,79); +f2(1,38)=-1; +c2=zeros(1,79); +c2(1,1:32)=[4.8:0.1:7.9]; +c2(1,44:79)=[9.1:0.1:12.6]; +aq2=[4.8:0.1:12.6;c2]; +beq2=[k,y1]; +[x2,y2]=intlinprog(f2,intcon,a,b,aeq2,beq2,lb,ub); +x2=x2'; +``` + +```matlab +y2=-y2 +f3=zeros(1,79); +f3(1,33:43)=-1; +c3=zeros(1,79); +c3(1,1:32)=[4.8:0.1:7.9]; +c3(1,44:79)=[9.1:0.1:12.6]; +d(1,38)=1; +aq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +x=x'; +y=-y +``` + +程序8：除了第七个时间单元之外的其它七个时间单元的切割方案程序 + +```javascript +k=[44.8 52.2 32.1 58.5 41.7 31.9 56.4]; +``` + +k=k(7);%现在求的是0.0-45.6这个时间段中除去开头0.8米报废段的钢坯的最优切割方案，如果要求其它时间段钢坯长度的最优切割方案只需要更改k中括号内的数字 + +```matlab +f1=zeros(1,79); +f1(1,1:58)=[4.8:0.1:10.5]; +f1(1,70:79)=[11.7:0.1:12.6]; +intcon=[1:79]; +a=[]; +b=[]; +aq1=[4.8:0.1:12.6]; +beq1=k; +lb=zeros(79,1); +ub=[]; +[x1,y1]=intlinprog(f1,intcon,a,b,aeq1,beq1,lb,ub); +x1=x1',y1 +f2=zeros(1,79); +f2(1,64)=-1; +c2=zeros(1,79); +c2(1,1:58)=[4.8:0.1:10.5]; +c2(1,70:79)=[11.7:0.1:12.6]; +``` + +$\mathtt{aeq2} = [4.8:0.1:12.6;\mathtt{c2}]$ +beq2 $\coloneqq$ [k,y1]; +[x2,y2]=intlinprog(f2,intcon,a,b,aeq2,beq2,lb,ub); +x2=x2'; +y2=-y2 +f3=zeros(1,79); +f3(1,59:69)=-1; +c3=zeros(1,79); +c3(1,1:58)=[4.8:0.1:10.5]; +c3(1,70:79)=[11.7:0.1:12.6];d=zeros(1,79); +d(1,64)=1; +aeq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +x=x'; +y=-y + +程序9：从第3-9个窗口中每个窗口均往前2个异常时刻，除去0.8米报废段后的具体切割方案 + +```matlab +k=[97.8 85.1 91.4 101 74.4 31.9 56.4]; +k=k(1); +f1=zeros(1,79); +f1(1,1:58)=[4.8:0.1:10.5]; +f1(1,70:79)=[11.7:0.1:12.6]; +intcon=[1:79]; +a=[]; +b=[]; +aq1=[4.8:0.1:12.6]; +beq1=k; +lb=zeros(79,1); +ub=[]; +[x1,y1]=intlinprog(f1,intcon,a,b,aeq1,beq1,lb,ub); +x1=x1',y1 +f2=zeros(1,79); +``` + +```matlab +f2(1,64)=-1; +c2=zeros(1,79); +c2(1,1:58)=[4.8:0.1:10.5]; +c2(1,70:79)=[11.7:0.1:12.6]; +aeq2=[4.8:0.1:12.6;c2]; +beq2=[k,y1]; +[x2,y2]=intlinprog(f2,intcon,a,b,aeq2,beq2,lb,ub); +x2=x2'; +y2=-y2 +f3=zeros(1,79); +f3(1,59:69)=-1; +c3=zeros(1,79); +c3(1,1:58)=[4.8:0.1:10.5]; +c3(1,70:79)=[11.7:0.1:12.6];d=zeros(1,79); +d(1,64)=1; +aeq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +x=x'; +y=-y +``` + +程序10：改进后的切割方案程序 + +$\mathrm{k = [48.228.137.727.9]}$ +k=k(1);%如果要求其它时间段钢坯长度的最优切割方案只需要更改k中括号内的数字 +f1=zeros(1,79); +f1(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +f1(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +intcon=[1:79]; +a=[]; +b=[]; +aqq1=[4.8:0.1:12.6]; +beq1=k; +lb=zeros(79,1); +ub=[]; + +```txt +[x1,y1]=intlinprog(f1,intcon,a,b,aeq1,beq1,lb,ub); +x1=x1',y1; +f2=zeros(1,79); +f2(1,48)=-1; +c2=zeros(1,79); +c2(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +c2(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +aeq2=[4.8:0.1:12.6;c2]; +beq2=[k,y1]; +[x2,y2]=intlinprog(f2,intcon,a,b,aeq2,beq2,lb,ub); +x2=x2'; +y2=-y2 +f3=zeros(1,79); +f3(1,43:53)=-1; +c3=zeros(1,79); +c3(1,1:42)=[4.8:0.1:8.9]; +c3(1,54:79)=[10.1:0.1:12.6]; +d=zeros(1,79); +d(1,48)=1; +aeq3=[4.8:0.1:12.6;c3;d]; +beq3=[k,y1,y2]; +[x,y]=intlinprog(f3,intcon,a,b,aeq3,beq3,lb,ub); +x=x'; +y=-y +``` + +# 表格： + +表 12：7 个时间段分别加上该时间段之前每个时间单元的切割方案 + +
时刻/分钟初始切割方案切割损失/m含报废段的切割损失/m满足用户要求的数量/根
0.0-98.68.0m*7根、8.1m*1根、8.2m*1根、8.5m*3根00.812
0.0-131.58.5m*9根、8.6m*1根、8.8m*1根、9.0m*4根01.615
0.0-190.88.0m*3根、8.2m*2根、8.5m*9根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根、02.422
0.0-233.38.0m*5根、8.1m*1根、8.5m*13根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根03.227
0.0-266.08.0m*8根、8.1m*1根、8.2m*2根、8.5m*12根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*6根0431
0.0-270.74.9m*1根、5.5m*1根、8.0m*6根、8.1m*1根、8.2m*1根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根10.414.430
0.0-327.94.9m*1根、5.5m*1根、8.0m*11根、8.1m*1根、8.2m*3根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根10.414.437
+ +表 13：7 个窗口之前所有时间单元的切割方案之和 + +
时刻/分钟调整后的切割方案切割损失/m包含报废段的切割损失/m满足用户要求的数量/根
0.0-98.68.5m*3 根、8.7m*1 根、8.8m*1根、9.0m*6 根01.611
0.0-131.58.0m*3 根、8.1m*1 根、8.5m*3根、8.7m*1 根、8.8m*1 根、9.0m*6 根02.415
0.0-190.88.0m*5 根、8.1m*1 根、8.5m*8根、8.7m*1 根、8.8m*1 根、9.0m*6 根03.222
0.0-233.38.0m*6 根、8.1m*1 根、8.2m*1根 8.5m*11 根、8.7m*1 根、8.8m*1 根、9.0m*6 根0427
0.0-266.04.9m*1 根、8.0m*6 根、8.1m*1根、8.2m*1 根、8.5m*11 根、8.7m*1 根、8.8m*1 根、9.0m*9根4.99.730
0.0-270.74.9m*1 根、5.5m*1 根、8.0m*6根、8.1m*1 根、8.2m*1 根、8.5m*11 根、8.7m*1 根、8.8m*1 根、9.0m*9根10.415.230
0.0-327.94.9m*1根、5.5m*1根、8.0m*11根、8.1m*1根、8.2m*3根、8.5m*11根、8.7m*1根、8.8m*1根、9.0m*9根10.415.237
+ +表 15：满足用户目标值是 11.1 米条件的最优切割方案和切割损失情况 + +
钢坯长度 +(不含报废段)/m具体切割方案切割损失/m包含报废段的切割损失/m满足用户要求的数量/根
44.811.1m*3根、11.5m*1根00.84
52.25.8m*1根、11.6m*4根5.86.64
32.110.7m*3根00.83
58.54.8m*1根、10.6m*3根、10.8m*1根、11.1m*1根4.85.65
41.76.9m*1根、11.6m*3根6.97.73
31.910.6m*2根、10.7m*1根00.83
5.55.5m*1根5.55.50
56.411.1m*3根、11.5m*1根、11.6m*1根005
+ +表 16：满足用户目标值是 11.1 米条件的初始切割方案和切割损失情况 + +
时刻/分钟初始切割方案切割损失/m含报废段的切割损失/m满足用户要求的数量/根
0.0-98.610.6m*3根、10.8m*2根、11.1m*4根00.89
0.0-131.510.6m*5根、10.7m*3根、11.1m*3根、11.5m*1根01.612
0.0-190.85.8m*1根、11.1m*5根、11.2m*1根、11.5m*1根、11.6m*9根5.88.216
0.0-233.35.8m*1根、10.7m*3根、11.1m*9根、11.2m*1根、11.5m*1根、11.6m*1根5.8920
0.0-266.04.8m*1根、5.8m*1根、10.6m*9根、10.7m*3根、10.8m*2根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*4根10.614.623
0.0-270.74.8m*1根、5.5m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根2327.822
0.0-327.94.8m*1根、5.5m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*7根、11.5m*2根、11.6m*8根2328.627
+ +表 17：满足用户目标值是 11.1 米条件的调整后的切割方案和切割损失情况 + +
时刻/分钟调整后的切割方案切割损失/m包含报废段的 +切割损失/m满足用户要求的数量/根
0.0-98.65.8m*1根、11.1m*3根、11.5m*1根、11.6m*4根5.87.48
0.0-131.55.8m*1根、10.7m*3根、11.1m*3根、11.5m*1根、11.6m*4根5.88.211
0.0-190.84.8m*1根、5.8m*1根、10.6m*3根、10.7m*3根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*4根10.613.816
0.0-233.34.8m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*3根、10.7m*3根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根17.521.519
0.0-266.04.8m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根17.522.322
0.0-270.74.8m*1根、5.5m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*4根、11.5m*1根、11.6m*7根2327.822
0.0-327.94.8m*1根、5.5m*1根、5.8m*1根、6.9m*1根、10.6m*5根、10.7m*4根、10.8m*1根、11.1m*7根、11.5m*2根、11.6m*8根2327.827
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/D034/D034.md b/MCM_CN/2021/D034/D034.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4128608e5dd88034b1ab79122bebd03f74ec1fd1 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/D034/D034.md @@ -0,0 +1,471 @@ +# 连铸切割的在线优化 + +# 摘要 + +连铸切割是将钢水变成钢坯的过程，具体的工艺流程可以概括为，钢水浇铸 $\rightarrow$ 产生钢坯（或报废段） $\rightarrow$ 切割机切割（在线切割） $\rightarrow$ 二次离线切割。本文根据题目要求，在满足切割的正常要求和基本要求的前提下，以优先考虑减少切割损失，其次考虑用户要求为原则，对连铸切割的在线切割过程优化，设计连铸切割的最优切割方案的算法，并利用Dev-C++编程软件进行求解，利用Excel统计数据后将方案具体体现在表格中。 + +针对问题一，先建立“尾坯长度”和“用户要求”之间的关系，并初步计算出损失范围，由此确定“最小损失”。例如钢坯长度为 $S = 109$ 米，用户目标值为 $N = 9.5$ 米，切割出最多9.5米的方案：切割出9.5米的尾坯段数为 $F = \left[\frac{S}{N}\right]$ $= \left[\frac{109}{9.5}\right] = 11$ 段。切割为11段10米需要110米尾坯 $109 - 10^{*}11 = -1$ 米。切割为11+1段9米需要108米，此时损失1米。切割为11段10米需要110米尾坯调整为：其中 $\left[\frac{-1}{0.5}\right] = 2$ 段保持9.5米不变，其余11-2=9段调整为每段10米，此时无余料，为最优切割方案。结合基本要求分各种情况，给出了最优方案切割流程图，并利用Dev-C++编写程序求解，并且运算出了结果。 + +针对问题二，在合理假设钢坏实时长度后，利用问题一的算法辅助计算出第一次出现报废段时的切割方案；当新的报废段出现后，设计出“左侧报废段长度 $+$ 钢坏长度 $+$ 右侧报废段长度”的初始切割方案，研究出优先“左侧钢坏损失长度 $+$ 报废段长度 $+$ 右侧钢坏损失长度”的调整方案，比较后确定最优切割方案并据此设计此题算法。并且使用Dev-C++软件编写了程序，运行程序得出了最优切割方案。 + +针对问题三，算法设计与问题二相同，利用问题二中编写的程序，调整参数范围，运行程序，得出了最优切割方案。 + +本文最后指出了算法的优点和不足，并提出了比较明确的可继续改善模型的方向。总体上，本文思路清晰，分析细致，逻辑严谨，所建模型通用性和实用性较强。 + +关键词：连铸切割、优化、Dev-C++、算法设计、最优切割方案 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +连铸切割是生产各类钢铁产品过程中，将钢水凝固成钢坯的一种方法。具体方法为钢水不断地通过结晶器，形成硬壳后从结晶器下方出口连续拉出，直到在二冷段逐渐形成钢坯，然后由切割机的负责将钢坯进行切割。而本文的目的是优化连铸切割的方案，但是这个过程里面，有许多影响连铸切割的因素，需要我们来考虑：如在浇钢过程中，结晶器异常时产生会产生报废段、连铸停浇时，产生的尾坯也需要切割、用户对钢坯的要求、钢坯的切割损失等。在满足基本要求和正常要求的情况下，秉承着切割后不影响下一道工序，优先使切割损失最小化，同时尽量满足用户需求的原则，制定最优的切割方案。 + +# 1.2 已知条件和相关数据 + +问题附录中已知的参数与要求： + +工艺参数：切割机切割一块钢坯3分钟，返回切割起点1分钟。结晶器中心离切割机工作起点60米，连铸拉坯速度1米/分钟。结晶器出现异常导致的报废段长度为0.8米。 + +基本要求：为不阻碍生产，切割出的钢坯必须在 $4.8\sim 12.6$ 米。切割后的钢坯还可进行二次离线切割，但切割下的部分报废。切割完成后进入下一道工序时不能含有报废段，而且下一道工序可接受长度为 $8\sim 11.6$ 米。 + +正常要求：正常切割要满足用户要求，其中包括目标值和目标范围。切割长度在目标范围也是可以接受的，但是应尽量满足目标值。 + +# 1.3 需要解决的问题 + +问题一：对尾坯长度，用户给出的目标值（9.5米）以及目标范围（9~10米）进行分析，用给出的多个尾坯长度（109、93.4、80.9、72、62.7、52.5、44.9、42.9、42.7、31.6、22.7、14.5、13.7（单位：米））进行模拟切割，算出准确的最小切割损失，同时给出最优切割方案，最优切割方案通过“尾坯长度、切割损失、切割方案”等内容列表给出，设计最优切割方案的数学算法。 + +# 问题二： + +（1）本题中已经假设了第一次结晶器出现异常的时刻为0.0分钟，在钢坯第一次出现报废段的时候，确定报废段的位置，并且考虑报废段对切割方案的影响，可以利用本文在问题一中设计的最优切割方案数学算法来辅助解决。 +（2）对结晶器的多个异常时刻（0、45.6、98.6、131.5、190.8、233.3、266、270.7、327.9（单位：分钟））导致的报废段的位置进行分析，研究每新增一个报废段对切割方案的影响，计算切割损失，对每次新增的报废段对方案的影响做判断，比较初始切割方案和调整后的切割方案，主要通过损失大小和满足目标值的根数来确定是否需要调整方案，并将具体方案按题目要求列表给出。 + +问题三：用户（1）和用户（2）对切割的目标值和目标范围都不相同，这是对问题二的进阶，在变动的用户要求下（用户（1）目标值8.5米，目标范围 $8\sim 9$ 米、用户（2）目标值11米，目标范围 $10.6\sim 11.6$ 米），分别求解最优的切割方案。设计在对不同用户要求时的最优切割方案数学算法。 + +# 二、问题分析 + +连铸切割的最优切割方案是我们必须要回答的问题。无论是结晶器异常出现的报废段，还是变动的用户要求，都是对最优切割方案不断增加的情景变动以及约束条件，这时就需要合理调整算法，使得最优切割方案更加贴近实际和复杂的情景。根据题目中所给的参数和要求，首先明确钢坯切割长度是 $4.8\sim 12.6$ 米，而且切割下来的钢坯还可以进行2次离线切割。所以在首次在线切割时，尽管切割长度可能会超出用户的目标范围，但是只要单次切割的钢坯在这个 $4.8\sim 12.6$ 米的范围内，长度都是可以通过2次离线切割的再调整的。而且本题中所给的用户目标范围都在 $4.8\sim 12.6$ 米这个范围之间，由此可以先忽略基本要求中钢坯切割的可运输范围（ $4.8\sim 12.6$ 米）对切割方案的影响（如果产生影响会在制定的方案中进行后续调整），可以想办法先通过尾坯长度来计算出切割损失值，再通过损失来制定切割方案。 + +# 针对问题一： + +首先在这个问题的情景里面，我们暂时不需要考虑报废段和变动的用户需求对算法的影响，而且尾坯长度和用户要求（目标值N，目标范围Nmin~Nmax）已经给出，所以可以先建立这两个已知条件之间的关系。先让切割时每一段都满足目标值N，求出这时的损失值，再利用目标范围和目标值的差值，得出一个损失值的浮动范围（包含最大值和最小值）。这2个值代表的意义不同，最小值即钢坯全为Nmax时钢坯的损失值，最大值即钢坯全是Nmin时钢坯的损失值，若尾坯切割损失的最大值Imax大于Nmin时，其实这时候的最大损失值Imax是可以再次进行调整的，需要将调整后的损失值再与最小值比较，才可以求解最终的最小损失值。这时利用最小损失值即可轻易设计最优切割方案算法，为题目中所给的每一个尾坯长度制定出最优切割方案。 + +# 针对问题二（1）： + +在这个问题的情景中，要考虑的是产生了第一段报废段对算法的影响，对于问题所给的结晶器异常时刻，首先明确的是，当结晶器出现异常时，是在浇钢过程中的，所以我们要先对结晶器以下的钢坯长度做出假设。又由于结晶器中心到切割机工作起点的长度为60米，所以我们要先确定结晶器中心、结晶器内部空间和报废段长度的关系，并假设结晶器内部空间高度和报废长度相等。对于假设出的钢坯长度，可以将其和报废段长度进行合并，并利用在第一问的已得出的最优切割方案数学算法求解，将求得的损失值再与0.8米的报废段长度进行比较，在确定损失大小是否合理后，确定最终的最小损失值，并得出在钢坯第一次出现报废段时，此段钢坯的最优切割方案。 + +# 针对问题二（2）： + +在这个问题的情景中，我们还要考虑的是不断出现的新的报废段对切割方案的影响。先思考第二次出现的报废段时的情况，也就是在结晶器异常时刻0、45.6分钟时，此段的最优切割方案，可以使用在 + +问题二（1）得出的切割方案算法辅助求解。当我们明确了第二次出现的的报废段对切割方案的影响后，我们再将下一个新的报废段纳入思考范围。由于新报废段的不断加入，是需要对切割方案进行优化调整的，所以我们的思路是将每一段的钢坯和报废段都当成一个整体单独切割，运用在问题二（1）的数学算法求解得出一个初始切割方案；而接下来思考的就是调整后的切割方案，我们希望调整后的方案应该是可以减少二次离线切割的次数（即优化切割工序）或者尽可能再减少切割损失，所以我们将初始切割方案得出的每一段钢坯的切割损失-0.8米，即为求出每一段钢坯（不含报废段）的切割损失，有了这些切割损失的数据后，然后尽量让相邻两段的切割损失可以和固定损失的0.8米报废段一起切除，这就是调整后的切割方案。在得出两个切割方案后，对两者进行比较，确定是否采用调整方案或者不作调整。据此还可以设计出一个最优切割方案的数学算法。需要将“初始切割方案、调整后的切割方案、切割损失”等内容列表给出。 + +# 针对问题三： + +在这个情景中我们还要考虑的是变动的用户要求，问题三的本质是对问题二的进价，所以在用户目标值和目标范围发生改变时，我们还可以利用在问题二中得出的最优切割数学算法辅助求解。 + +# 三、算法假设 + +1. 假设在连铸切割的过程中，包括结晶器、切割机在内的各种器械均不发生故障，且流程各部分能正常运作均不受外界影响。 +2. 假设结晶器内部空间的高度为0.8米。 +3. 由于结晶器是在浇钢过程中出现异常，所以假设结晶器中心到切割机起点的位置都是充满钢坯的，即其中有60米长的钢坯。且切割机起点前还有t米待切割长度，则从结晶器中心开始以下的钢坯长度为 $60 + t$ 米。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明
S预切割钢坯长度
N用户目标值
[Nmin,Nmax]目标范围
[Cmin,Cmax]首次切割后可运走长度范围
F最优切割方案切割出的符合标准的尾坯段数
g全部切割为N的切割方案的切割损失
e一段长度为N=9.5的钢坯上下浮动范围
EF段N米钢坯总长度可上下浮动范围
lmin所有切割方案的切割损失的最小值
Imax所有切割方案的切割损失的最大值
+ +# 五、算法建立与求解 + +# 5.1 问题一的求解 + +问题一要求按“尾坯长度”、“切割方案”、“切割损失”等内容列表给出具体的最优切割方案。 + +# 5.1.1 举例分析 + +为得出数学计算模型与算法，我们取尾坯长度为109.0米分析如下：假设预切割钢坯长度为 $S = 109$ 米，用户目标值为 $N = 9.5$ 米，最优切割方案切割出的符合标准的尾坯段数为 $F = \left[\frac{S}{N}\right] = \left[\frac{109}{9.5}\right] = 11$ 段，全部切割为 $N = 9.5$ 的切割方案的切割损失为 $g = S - F^{*}N = 109 - 11^{*}9.5 = 4.5$ 米，目标范围为[Nmin，Nmax]=[9,10]，首次切割后可运走长度范围为[Cmin,Cmax]=[4.8,12.6]，一段长度为 $N = 9.5$ 的钢坯上下浮动范围为 $e = 10 - 9.5 = 0.5$ 米，故 $F$ 段 $N$ 米钢坯总长度可上下浮动范围为 $E = F^{*}e = 11^{*}0.5 = 5.5$ 米，以上切割方案的切割损失的最小值设为 $\operatorname{Imin} = g - E = 4.5 - 5.5 = -1$ 米，以上切割方案的切割损失的最大值设为 $\operatorname{Imax} = g + E = 4.5 + 5.5 = 10$ 米。 + +全部切割为 $\left[\frac{109}{9.5}\right] = 11$ 段9.5米时，还余下4.5米， $\left[\frac{4.5}{0.5}\right] = 9$ ， $4.5\mod 0.5 = 0$ ，将这9段0.5米的钢坯分别加到长度为9.5米的钢坯上，使这9段钢坯长度变为10米，另外两段长为9.5米的钢坯长度不变。 + +# 5.1.2 流程图建立 + +由此以lmin为条件建立最优切割方案的分类流程图如下： + +（设） $k = |l\min | / 0.5$ + +![](images/0126eba216f0f1568249a32f511d117e7e4d80b0b9409c9ae7835dd9d558d57f.jpg) + +以此逻辑可推得当 $\operatorname{Im} n \leq 0$ 时的计算流程图 + +设： $L =$ （10+fmod（lmin，（12.6-10）） + +$$ +\begin{array}{l} J = \left[ \frac {\operatorname {I m i n}}{1 2 . 6 - 1 0} \right] \\ J 2 = \left[ \frac {\operatorname {f m o d} (\operatorname {I m a x} , 1 0)}{0 . 5} \right] \\ \end{array} +$$ + +L2=9+fmod (fmod(lmax,10),0.5) + +![](images/4af494f90fd900ac76c139f867ede45c8a109ebb4d82c84e24526a9ccc3ae09b.jpg) + +# 5.1.3 程序的建立 + +依据流程图我们运用Dev-C++编程软件以C语言建立了一套程序（具体程序内容见附录），依次输入各给定尾坯长度，输出结果如下图： + +![](images/40c0ac7c42cbec0da518ad67316b30d512c1e7150fb90c13309f55b47ed4b776.jpg) +图1（尾坯长度为109.0时的输出结果） + +![](images/ff1786210598d6853e0ff5432b2ceedf688c245c314ca0520151fcfe933f0366.jpg) +图2（尾坯长度为93.4时的输出结果） + +![](images/c381adf9fedc8fba02db1efe6bb25088c4ab9bbb287086ac61a65b7f52e5c01e.jpg) +图3（尾坯长度为80.9时的输出结果） + +```txt +请输入“预切割钢坯长度：S”以逗号+回车结束输入：72.0， +预切割钢坯长度：S=72.000000 +切割次数：1（无需进行离线二次切割） +首次线切后共有钢坯：8 +其中第一类钢坯长度为：9.500000的钢坯有0段 +其中第二类钢坯长度为：9.000000的钢坯有1段 +其中第三类钢坯长度为：9.000000的钢坯有7段 +Processexitedafter3.146 secondswith returnvalue0 +请按任意键继续.. +``` + +图4（尾坯长度为72.0时的输出结果） + +```txt +请输入“预切割钢坯长度：S”以逗号+回车结束输入：62.7， +预切割钢坯长度：S=62.700000 +切割次数：2（需进行离线二次切割） +首次线切后第一类钢坯长度为：10.100000的钢坯有：1段 +首次线切后第二类钢坯长度为：12.600000的钢坯有1段 +首次线切后第三类钢坯长度为：10.000000的钢坯有4段 +最优方案切割后所有尾坏切割损失最小值：8.700000 +将1段第一类、1段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为10.000000的合格钢坯 +故：第二次离线切割后最终得到6段长度为：10.000000的合格钢坯，切割损失共：2.700000米。 +Process exited after 7.908 seconds with return value 0 +请按任意键继续.. +``` + +图5（尾坯长度为62.7时的输出结果） + +```txt +请输入“预切割钢坯长度：S”以逗号+回车结束输入：52.5， +预切割钢坯长度：S=52.500000 +切割次数：2（需进行离线二次切割） +首次线切后第一类钢坯长度为：12.500000的钢坯有：1段 +首次线切后第二类钢坯长度为：12.600000的钢坯有0段 +首次线切后第三类钢坯长度为：10.000000的钢坯有4段 +最优方案切割后所有尾坏切割损失最小值：7.500000 +将1段第一类、0段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为10.000000的合格钢坯 +故：第二次离线切割后最终得到5段长度为：10.000000的合格钢坯，切割损失共：2.500000米。 +Processexitedafter4.988secondswithreturnvalueO +请按任意键继续.. +``` + +图6（尾坯长度为52.5时的输出结果） + +![](images/c2f3e05d878e2d3176a203420bd2274b4a06efb4b2886046b4586d5dbfbbe2c9.jpg) +图7（尾坯长度为44.9时的输出结果） + +![](images/e9c94c7615049c705add2a01c88b2f8c10f0bbff3485a93b0d4c2dd9f026145c.jpg) +图8（尾坯长度为42.7时的输出结果） + +![](images/c6937ab05a5988497c3bfc532cc4903a7963ea29d9d4a71bdba6cb6cbac31f2d.jpg) +图9（尾坯长度为31.6时的输出结果） + +![](images/e3be66d0bc5c1530aa9119d7a647ddd1fcb19dfc4dbc3101f6bc9b909bd0f2c6.jpg) +图10（尾坯长度为22.7时的输出结果） + +![](images/208ef8b6d02995d62b20eb9ae30a2bb13ad4ce248eeb998ab205aa61d1b21e34.jpg) +图11（尾坯长度为14.5时的输出结果） + +![](images/ffea2e569a093efe007d510c1c99427d7006316946cc98976abf33d03fe79383.jpg) +图12（尾坯长度为13.7时的输出结果） + +# 5.1.4 列表 + +由该数学算法输出结果，最终可得具体最优切割方案表如下： + +
最优切割方案
尾坯长度(米)切割方案切割损失(米)
是否离线切割首次线上切割后二次离线切割后
各尾坯长度(米)段数各尾坯长度(米)段数
109.0否109/0
9.52
93.4否9.56/0
9.41
93
80.9是10.911080.9
107
72.0否98/0
62.7是12.611062.7
10.11
104
52.5是12.511052.5
104
44.9是12.611044.9
12.31
102
42.7是12.611042.7
10.11
102
31.6是11.611031.6
102
22.7是12.611022.7
10.11
14.5否9.71/4.8
13.7否8.91/13.7
4.81
+ +# 5.2 问题二的求解 + +# 5.2.1 问题二（1）的求解 + +假设第一段钢坯长度为60.4米（其中含有报废段0.8米）。代入问题一所建立的算法解得最小损耗为0.4米。因报废段为固定损耗，长度0.8米， $0.4 < 0.8$ ，需取0.8米。则最佳切割方案为10，10，10，10，10，10.4（含0.8米报废段，需二次切割0.8米）。 + +假设第一段钢坯长度为 $60.4 \mathrm{t}$ 米（其中含有报废段 0.8 米）。代入问题一所建立的算法即可得出最小损耗，当最小损耗小于等于 0.8 时，因报废段为固定损耗，需取 0.8 米。当最小损耗大于 0.8 时，取当前最小损耗。在得到 $60.4 \mathrm{t}$ 准确数值后，将其代入问题一所设计的算法，即可得到最佳切割方案。 + +下图为 $60.4 + t = 69.9$ 时的运算结果。 + +请输入“预切割钢坯长度：S”以逗号+回车结束输入：69.9， +预切割钢坯长度：S=69.900000 +切割次数：2（需进行离线二次切割） +首次线切后第一类钢坯长度为：10.700000的钢坯有：1段 +首次线切后第二类钢坯长度为：12.600000的钢坯有0段 +首次线切后第三类钢坯长度为：10.000000的钢坯有6段 +首次线切后第四类钢坯长度为：9.900000的钢坯有1段 +最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：0.800000 +将1段第一类、0段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为10.000000的合格钢坯 +故：第二次离线切割后最终得到7段长度为：10.000000的合格钢坯，切割损失共：0.800000米。 +将1段第一类、0段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为10.000000的合格钢坯 +故：第二次离线切割后最终得到7段长度为：10.000000的合格钢坯，切割损失共：0.800000米。 +Imin $= 0$ .800000 +Imax $= 6$ .900000 +Processexitedafter45.88 secondswith returnvalueO +请按任意键继续.. + +下图为 $60 + t = 60$ 时的运算结果。 + +```txt +请输入“预切割钢坯长度：S”以逗号+回车结束输入：60.4 +预切割钢坯长度：S=60.400000 +切割次数：2（需进行离线二次切割） +首次线切后第一类钢坯长度为：10.400000的钢坯有：1段 +首次线切后第二类钢坯长度为：12.600000的钢坯有0段 +首次线切后第三类钢坯长度为：10.000000的钢坯有5段 +首次线切后第四类钢坯长度为：9.600000的钢坯有1段 +最优方案切割后所有尾坏切割损失最小值：0.800000 +将1段第一类、0段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为10.000000的合格钢坯 +故：第二次离线切割后最终得到6段长度为：10.000000的合格钢坯，切割损失共：0.800000米。 +将1段第一类、0段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为10.000000的合格钢坯 +故：第二次离线切割后最终得到6段长度为：10.000000的合格钢坯，切割损失共：0.800000米。 +Imin=0.800000 +Imax=6.400000 +Processexitedafter7.625secondswithreturnvalueO +请按任意键继续.. +``` + +# 5.2.2 问题二（2）的求解 + +在合理假设钢坯实时长度后，利用问题一的算法辅助计算出第一次出现报废段时的切割方案：当新的报废段出现后，设计出“左侧报废段长度 $+$ 钢坯长度 $+$ 右侧报废段长度”的初始切割方案，研究出优先“左侧钢坯损失长度 $+$ 报废段长度 $+$ 右侧钢坯损失长度”的调整方案，比较后确定最优切割方案并据此设计此题算法。并且使用Dev-C++软件编写了程序，运行程序得出了最优切割方案。 + +当出现新的报废段时，如下图 + +![](images/aacdb1d4521e20d49530f8c61224f06372f1bbc5d348eb19984e14b59a3363c2.jpg) + +新一段钢坏及报废段长度为45.6米（其中含有报废段0.8米），代入问题一所设计的算法，解得最小损耗为5.6米，则最佳切割方案为10，10，10，10，5.6（含0.8米报废段，需二次切割0.8米）。 + +当相邻两段钢坯的最小损耗值之和加上两段钢坯之间报废段长度大于等于4.8米，小于等于12.6米时，应将两段钢坯的损耗部分与报废段一同切割，以达到优化切割工序的目的。 + +![](images/d84ee1f8bc6e42366b982c9f62b096a2f47efbd97fbdd4a462a5e687aeee1f01.jpg) + +由调整后的切割方案1程序（见附件）运行如下： + +请输入“预切割钢坯长度：S”以逗号+回车结束输入：60.4， +预切割钢坯长度：S=60.400000 +切割次数：2（需进行离线二次切割） +首次线切后第一类钢坯长度为：10.400000的钢坯有：1段 +首次线切后第二类钢坯长度为：12.600000的钢坯有0段 +首次线切后第三类钢坯长度为：10.000000的钢坯有5段 +首次线切后第四类钢坯长度为：9.600000的钢坯有1段 +最优方案切割后所有尾坏切割损失最小值：0.800000 +将1段第一类、0段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为10.000000的合格钢坯 +故：第二次离线切割后最终得到6段长度为：10.000000的合格钢坯，切割损失共：0.800000米。 +将1段第一类、0段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为10.000000的合格钢坯 +故：第二次离线切割后最终得到6段长度为：10.000000的合格钢坯，切割损失共：0.800000米。 + $\mathrm{Imin} = 0.800000$ $\mathrm{Imax} = 6.400000$ +Process exited after 19.9 seconds with return value 0 +请按任意键继续.. + +由调整后的切割方案1程序（见附件），将程序中的运算结果整理如下： + +
切割方案
初始切割方案调整后的切割方案1
长度每段长度段数切割损失合并相邻报废段计算每段长度段数切割损失
60.410.410.8105.29.610
105105
45.610.415.646.4(包含2报废段)11.216.4
12.6212.62
101101
5310.41352.212.212.2
12.61101
10333.7(包含2报废段)11.113.7
32.910.312.912.61
12.61101
10158.59.530
59.39.510.8101
9.81101
10443.3(包含2报废段)10.713.3
42.512.512.512.61
103102
32.710.112.731.911.911.9
12.61102
1014.8(包含2报废段)4.814.8
4.74.757.19.550
56.49.530.89.61
9.11
92
初始切割方案调整后的切割方案2
长度每段长度段数切割损失合并相邻钢坯最小切割损失每段长度段数切割损失
60.410.410.8105.29.615.6
105109
45.610.415.697.81097.8
12.627.81
101
5310.41385.11085.1
12.615.11
103
32.910.312.991.4/2.9
12.61
101
59.39.510.8100.2/2.5
9.81
104
42.512.512.574.4/4.4
103
32.710.112.736.61036.6
12.616.61
101
4.74.761.110511.1
56.49.530.811.11
9.11
92
+ +由上述两个表格可知： +调整后的方案1在减少切割损失层面更优：当相邻报废段之间钢坯长度大于3.2小于9时，可以减少损耗。 +调整后的方案2在切割工序层面更优，相邻两段钢坯的最小损耗值之和加上两段钢坯之间报废段长度大于等于4.8米，小于等于12.6米时，将两段钢坯的损耗部分与报废段一同切割，可以达到优化切割工序的目的。 + +# 5.3 问题三的求解 + +# 5.3.1 对于（1）用户要求求解 + +对（1）用户目标值：8.5米 目标范围：8.0-9.0米，修改算法中的目标值和目标范围 + +由问题二所设计数学算法可得下表： + +
切割方案
初始切割方案调整后的切割方案1
长度每段长度段数切割损失合并相邻报废段计算每段长度段数切割损失
60.48.530.859.68.560
8.718.61
9346.4(包含2报废段)10.411.6
45.69.610.894
948.81
8.8152.28.530
538.810.89.71
9592
33.7(包含2报废段)8.111.6
32.98.110.883
83
58.58.550
59.38.560.882
81
43.3(包含2报废段)8.911.6
42.58.530.894
8.81
9131.910.314.9
32.711.115.712.61
12.6191
914.8(包含2报废段)4.814.8
4.7/4.757.18.520
8.11
56.411.412.4
9584
初始切割方案调整后的切割方案2
长度每段长度段数切割损失合并相邻报废段计算每段长度段数切割损失
60.48.530.859.68.560
8.718.61
93
45.69.610.846.4(包含2报废段)10.411.6
9494
8.818.81
538.810.852.28.530
959.71
92
32.98.110.833.7(包含2报废段)8.111.6
8383
59.38.560.858.58.550
8182
42.58.530.843.3(包含2报废段)8.911.6
8.8194
91
32.711.115.731.910.314.9
12.6112.61
9191
44144.8(包含2报废段)4.814.8
56.411.412.457.18.520
958.11
84
+ +# 5.3.1 对于（1）用户要求求解 + +对（2）用户目标值：11.1米 目标范围：10.6-11.6米 + +修改算法中的目标值和目标范围 + +由问题二所设计数学算法可得下表： + +
切割方案
初始切割方案调整后的切割方案1
长度每段长度段数切割损失合并相邻报废段计算每段长度段数切割损失
60.41212.459.612.21
12.6212.61
11.6211.63
45.611.640.846.4(包含2报废段)11.131.6
11.8111.51
5311.646.652.211.645.8
5.81
32.910.910.833.7(包含2报废段)12.111.6
10.6211.62
10.51
59.311.911.358.512.110.5
12.6111.64
11.63
42.511.637.743.3(包含2报废段)11.138.5
7.71101
32.711.628.731.910.718.7
8.7110.62
4.74.74.8(包含2报废段)4.814.8
56.411.13056.411.130
11.6111.61
11.5111.51
初始切割方案调整后的切割方案2
长度每段长度段数切割损失合并相邻钢坯最小切割损失每段长度段数切割损失
60.41212.4105.212.212.4
12.6212.61
11.6211.63
45.611.640.811.13
11.51
11.8197.811.136.6
11.51
5311.646.611.64
85.111.6415.5
32.910.910.810.91
10.6210.62
59.311.911.3
12.6191.410.9110.2
11.6310.62
42.511.637.712.11
11.64
7.71100.212.118.2
11.64
32.711.628.711.63
8.7174.411.6316.4
10.71
4.7/4.710.62
36.610.7113.4
56.411.13010.62
11.6161.111.139.8
11.51
11.5111.61
+ +对比上表中的两个方案可知：调整后的方案1在减少切割损失层面更优： + +当（1）用户目标值相邻报废段之间钢坯长度大于3.2小于8时，可以减少损耗。 + +当（2）用户目标值相邻报废段之间钢坯长度大于3.2小于10.6时，可以减少损耗。 + +调整后的方案2在切割工序层面更优， + +(1) 用户目标值：相邻两段钢坯的最小损耗值之和加上两段钢坯之间报废段长度大于等于 4.8 米，小于等于 12.6 米时，将两段钢坯的损耗部分与报废段一同切割，可以达到优化切割工序的目的。 +(2) 用户目标值：相邻两段钢坯的最小损耗值之和加上两段钢坯之间报废段长度大于等于4.8米，小于等于12.6米时，将两段钢坯的损耗部分与报废段一同切割，可以达到优化切割工序的目的。 + +由题意可知，在切割方案中，应优先考虑切割损失，要求切割损失尽量小，其次考虑用户需求。对比以上调整后的两个切割方案，我们认为调整后的切割方案1，更符合优先考虑切割损失的要求。 + +# 六、算法评价与推广 + +# 6.1算法的评价 + +用Excel将从Dev-C++编程软件得出的数据按内容列表，更加直观、严谨，也提高了数据的可读性。本算法最大的优点是：算法通用性强，因为建立算法时使用的测试数据是一个变量，所以在探讨不同数据时的情况时，均可以得出最优方案。 + +对于问题一设计的算法，实际上在损失值不变的情况下，我们还可以从段数的方面继续优化算法。比如说在一些特殊情况下，是可以通过在用户目标范围里取更小的长度，来增加切割出的段数的，这个处理并不会影响损失大小。不过问题优先考虑的是损失值和用户要求，并未提出段数的问题，所以段数的增加不在我们的目前优化方案内，这是此算法还可以进行继续优化的地方。以上还可继续进行算法优化的地方都是本文建模的不足之处，但算法可继续完善的方向是比较明确的。 + +对于问题三建立的算法，这是一个复杂情境下的最优方案的算法，综合了在多种因素的影响下对最优方案的考量。因为影响因素过多，所以算法复杂性较大，但是算法得出的结果经过多次检验证实是和实际情况基本吻合的最优方案，极大降低了误差，保证了算法的科学性和准确性。 + +# 6.2算法的推广 + +本文算法适用领域十分广泛，对数据的分析和处理方案，可运用到工业材料的切割、资源的合理分配、经济的减损等方面；问题二中的算法可以运用到有害物质的剔除，障碍路线规划等；问题三中算法不同期望的规划可以运用到金融交易，风险评估等方面，具有提高资源利用率、节省人力成本及提高经济效益等优点，实用性强。 + +# 七、参考文献 + +# 八、附录 + +# 一、Dev-C++程序 + +# 1.最优切割方案程序 + +```c +include +#include +int main(){ double S,N=8.5,Nmin=8,Nmax=9,Cmin=4.8,Cmax=12.6; printf("请输入“预切割钢坯长度：S”以逗号+回车结束输入："); scanf("%lf\n",&S); printf("预切割钢坯长度：S=%lf\n",S); double e = N - Nmin; double f = S/N; int F = 0; F = (int)f; double g = S-F*N; float E = F*e; double lmax = g+E,Imin = g-E; if(lmin>0){ if(S>(Nmax+Cmin)){ if(lmax=Nmin){printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n");doublef1 $\equiv$ Imax/Nmin;F $=$ F+(int)f1;printf("首次线切后共有钢坏：%d\n",F);doubler1 $\equiv$ N;floatf2 $\equiv$ fmod(lmax,Nmin)/e;intF1 $\equiv$ 0;F1 $\equiv$ (int)f2;printf("其中第一类钢坯长度为：%f的钢坯有%d段\n",r1,F1);doubler2 $\equiv$ Nmin+fmod(fmod(lmax,Nmin),e);intF2 $\equiv$ 1;printf("其中第二类钢坯长度为：%f的钢坯有1段\n",r2);doubler3 $\equiv$ Nmin;intF3=F-F1-F2;printf("其中第三类钢坯长度为：%f的钢坯有%d段\n",r3,F3);printf("故：切割后最终得到%d段长度合格钢坯，切割损失共：%f米。"，F,Imin);1}if(S=(Nmin+Cmin)){printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n");lmin $\equiv$ Cmin;doubler2 $\equiv$ S-lmin,F1 $\equiv$ 1;printf("首次线切后长度为：%f的钢坯有：1段\n",r2);printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin);printf("故：切割后最终得到1段长度为：%lf的合格钢坯，切割损失共：%f米。".r2,lmin);}if(S2*Cmin){printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n");doubler1 $\equiv$ Cmin;doubler2 $\equiv$ S-Cmin;printf("首次线切将钢坯切割为1段长度为%lf的和1段长度为%lf的钢坯，并全部报废\n",r1,r2);}lmax $\equiv$ lmin $\equiv$ S;F $\equiv$ 0;printf("首次线切后长度为合格的钢坯有：%d段\n",F);printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin);} + +```javascript +if(lmin<0){printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n");printf("切割后长度为合格的钢坯有：%d段\n",F);double f1=-lmin/e;int F1=0;F1=(int)f1;printf("首次线切后长度为：%f的钢坯有%d段\n",N,F1);double r2=Nmax+fmod(lmin,e),F2=1;printf("首次线切后长度为：%f的钢坯有：1段\n",r2);int F3=F-F1-F2;printf("首次线切后长度为：%lf的钢坯有：%d段\n",Nmax,F3);printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin);printf("即该长度钢坯切割后无用料损失");}if(lmin==0){printf("切割次数：1\n");printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有%d段\n",Nmax,F);printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最大值：%f\n最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmax,lmin);}return 0; +``` + +# 2. 调整后的切割方案程序 + +# 2.1 调整后的切割方案1程序 + +include +#include +int main() { double $\mathrm{S,N = 9.5,Nmin = 9,Nmax = 10,Cmin = 4.8,Cmax = 12.6}$ printf("请输入"预切割钢坯长度：S"以逗号+回车结束输入:"）; scanf("%lf\n",&s); printf("预切割钢坯长度： $S = \% \mathrm{lf}\backslash n^{\prime \prime},S)$ double $\mathrm{e} = \mathrm{N - Nmin}$ doublef=S/N; int $\mathrm{F} = 0$ F=(int)f; doubleg=S-F*N; floatE=F\*e; + +doubleImax $\equiv$ g+E,Imin $\equiv$ g-E; double $L = 0.8$ ： +if(lmin<0){ lmin $\equiv$ lmin+L; } +if(lmin>0){ if(S>(Nmax+Cmin)){ if(lmax=L){ double r $\equiv$ Nmax; printf("将1段第一类、%d段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为%lf的合格钢坯 \\n",F2,r)； printf("故：第二次离线切割后最终得到%d段长度为：%lf的合格钢坯，切割损失共：%f 米。\\n",F,r,lmin); } } if(lmax>=Nmin+L){ if(lmax>=(Nmin+L)&Imax<=((Nmax+L)){ printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n"); double r1 $\equiv$ Imax-L; + +```awk +int F1 = 1; +printf("切割后长度为 %f 的钢坯有 1 段",r1); +double r2 = Nmin; +printf("切割后长度为 %f 的钢坯有 %d 段\n",r2,F); +F = F+1; +printf("共切割为 %d 段\n 最终切割损失为 %f 米",F,L); +} +if(lmax>Nmax+L){ + printf("切割次数: 1 (无需进行离线二次切割)\n"); + double f1 = lmax/(Nmin+L); + int F4; + F4 = (int)f1-1; + F = F+F4; + double Nnew = Nmin+L; + printf("首次线切后共有钢坯:%d\n",F); + double r1 = N; + float f2 = fmod(lmax,Nmin+L)/e; + int F1 = 0; + F1 = (int)f2; + printf("其中第一类钢坯长度为:%f 的钢坯有 %d 段\n",r1,F1); + double r2 = Nmin + fmod(fmod(lmax,(Nmin+L)),e); + int F2 = 1; + printf("其中第二类钢坯长度为:%f 的钢坯有 1 段\n",r2); + double r3 = Nmin; + int F3 = F-F1-F2+1; + printf("其中第三类钢坯长度为:%f 的钢坯有 %d 段\n",r3,F3); + printf("其中第四类钢坯长度为:%f 的钢坯有 %d 段\n",Nnew,F4); + printf("最终切割损失为 %f\n",L); +} +} +} +if(S<(Nmax+Cmin) & S>=(Nmin+Cmin)){ + printf("切割次数: 1 (无需进行离线二次切割)\n"); + lmin = Cmin; + double r2 = S-lmin,F1 = 1; + printf("首次线切后长度为:%f 的钢坯有: 1 段\n",r2); + printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值:%f\n",lmin); + printf("故: 切割后最终得到 1 段长度为:%lf 的合格钢坯, 切割损失共: %f 米。",r2,lmin); +} +if(S<(Nmin+Cmin)){ + if(S<2*Cmin) { + printf("切割次数: 0\n (无法切割, 整段报废)\n"); + } + if(S>2*Cmin) { + printf("切割次数: 1 (无需进行离线二次切割)\n"); +``` + +```c +double r1 = Cmin; double r2 = S-Cmin; printf("首次线切将钢坯切割为1段长度为%lf的和1段长度为%lf的钢坯，并全部报废\n", r1,r2); } lmax = lmin = S; F = 0; printf("首次线切后长度为合格的钢坯有：%d段\n",F); printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin); } if(lmin<0){ printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n"); printf("切割后长度为合格的钢坯有：%d段\n",F); double f1 = -lmin/e; int F1 = 0; F1 = (int)f1; printf("首次线切后长度为：%f的钢坯有%d段\n",N,F1); double r2 = Nmax + fmod(lmin,e),F2 = 1; printf("首次线切后长度为：%f的钢坯有：1段\n",r2); int F3 = F-F1-F2; printf("首次线切后长度为：%lf的钢坯有：%d段\n",Nmax,F3); lmin = -(S-F1*N-r2-F3*Nmax); printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin); printf("即该长度钢坯切割后无用料损失\n"); } if(lmin==0){ printf("切割次数：2\n"); if(L>e){ double r1 = Nmax-e; double f1 = L/e; int F1 = 0; F1 = (int)f1; F = F-F1; printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有%d段\n",r1,F1); double r2 = Nmax-fmod(L,e); F = F-1; lmin = S-F1*r1-r2-F*Nmax; printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有1段\n",r2); printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有%d段\n",Nmax,F); } if(L<=e){ double r = Nmax-L; F = F-1; printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有1段\n",r); +``` + +```txt +printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有%d段\n",Nmax,F); +lmin = S-r-F*Nmax; +} +printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin); +} +printf("lmin = %f\nlmax = %f",lmin,lmax); +return 0; +``` + +# 2.1 调整后的切割方案1程序 + +```txt +include +#include +int main(){ double S,N=9.5,Nmin=9,Nmax=10,Cmin=4.8,Cmax=12.6; printf("请输入"预切割钢坯长度：S"以逗号+回车结束输入:"）; scanf("%lf\n",&S); printf("预切割钢坯长度：S=%lf\n",S); double e = N - Nmin; double f = S/N; int F = 0; F = (int)f; double g = S-F*N; float E = F*e; double lmax = g+E,lmin = g-E; double L = 1.6; if(lmin<0){ lmin = lmin+L; } if(lmin>0){ if(S>(Nmax+Cmin)){ if(lmax<(Nmin+L)){ printf("切割次数：2(需进行离线二次切割)\n"); double r1 = Nmax + fmod(lmin,(Cmax-Nmax)),F printf("首次线切后第一类钢坯长度为：%f的 double f2 = lmin/(Cmax-Nmax),r2 = Cmax; int F2 = 0; F2 = (int)f2; +``` + +```txt +printf("首次线切后第二类钢坯长度为：%lf的钢坯有%d段\n",r2,F2);double r3 = Nmax;int F3 = F-F1-F2;printf("首次线切后第三类钢坯长度为：%lf的钢坯有%d段\n",r3,F3);if(lmin=L){double r = Nmax;printf("将1段第一类、%d段第二类钢坯进行二次离线切割成长度为%lf的合格钢坯\n",F2,r);printf("故：第二次离线切割后最终得到%d段长度为：%lf的合格钢坯，切割损失共：%f米。\n",F,r,lmin);}if(lmax>=Nmin+L){if(lmax=(Nmin+L) & lmax<= (Nmax+L)){printf("切割次数:1(无需进行离线二次切割)\n");double r1 = lmax-L;int F1 = 1;printf("切割后长度为%f的钢坯有1段",r1);double r2 = Nmin;printf("切割后长度为%f的钢坯有%d段\n",r2,F);F = F+1;printf("共切割为%d段\n最终切割损失为%f米",F,L);}if(lmax>Nmax+L){printf("切割次数:1(无需进行离线二次切割)\n");double f1 = lmax/(Nmin+L);int F4;F4 = (int)f1-1;F=F+F4;double Nnew = Nmin+L;printf("首次线切后共有钢坯:%d\n",F);double r1 = N; +``` + +floatf2 $=$ fmod(lmax,Nmin+L)/e;int F1 $= 0$ .F1 $=$ (int)f2;printf("其中第一类钢坯长度为：%f的钢坯有%d段\n",r1,F1);double r2 $=$ Nmin+fmod(fmod(lmax,(Nmin+L),e);int F2 $= 1$ printf("其中第二类钢坯长度为：%f的钢坯有1段\n",r2);double r3 $=$ Nmin;int F3=F-F1-F2+1;printf("其中第三类钢坯长度为：%f的钢坯有%d段\n",r3,F3);printf("其中第四类钢坯长度为：%f的钢坯有%d段\n",Nnew,F4);printf("最终切割损失为%f\n",L);1}if(S<(Nmax+Cmin)&S>=(Nmin+Cmin)){printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n");lmin $=$ Cmin;double r2 $=$ S-lmin,F1 $= 1$ printf("首次线切后长度为：%f的钢坯有：1段\n",r2);printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin);printf("故：切割后最终得到1段长度为：%lf的合格钢坯，切割损失共：%f米。".r2,lmin);1if(S<(Nmin+Cmin)){if(S<2\*Cmin){printf("切割次数：0\n（无法切割，整段报废）\n");}if(S>2\*Cmin){printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n");double r1 $=$ Cmin;double r2 $=$ S-Cmin;printf("首次线切将钢坯切割为1段长度为%lf的和1段长度为%lf的钢坯，并全部报废\n",r1,r2);1Imax $=$ lmin $= S$ . $F = 0$ printf("首次线切后长度为合格的钢坯有：%d段\n",F);printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin);1}if(lmin<0){printf("切割次数：1(无需进行离线二次切割)\n");printf("切割后长度为合格的钢坯有：%d段\n",F);double f1 $=$ -lmin/e;int F1 $= 0$ + +```c +F1 = (int)f1; +printf("首次线切后长度为：%f的钢坯有%d段\n",N,F1); +double r2 = Nmax + fmod(lmin,e),F2 = 1; +printf("首次线切后长度为：%f的钢坯有：1段\n",r2); +int F3 = F-F1-F2; +printf("首次线切后长度为：%lf的钢坯有：%d段\n",Nmax,F3); +lmin = -(S-F1*N-r2-F3*Nmax); +printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin); +printf("即该长度钢坯切割后无用料损失\n"); +} +if(lmin==0){ +printf("切割次数：2\n"); +if(L>e){ + double r1 = Nmax-e; + double f1 = L/e; + int F1 = 0; + F1 = (int)f1; + F = F-F1; + printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有%d段\n",r1,F1); + double r2 = Nmax-fmod(L,e); + F = F-1; + lmin = S-F1*r1-r2-F*Nmax; + printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有1段\n",r2); + printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有%d段\n",Nmax,F); +} +if(L<=e){ + double r = Nmax-L; + F = F-1; + printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有1段\n",r); + printf("首次切割后长度为：%lf的钢坯有%d段\n",Nmax,F); + lmin = S-r-F*Nmax; +} +printf("最优方案切割后所有尾坯切割损失最小值：%f\n",lmin); +} +printf("lmin = %f\nlmax = %f",lmin,lmax); +return 0; +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/E014/E014.md b/MCM_CN/2021/E014/E014.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..00e2a121ecac826a728d861b3b3f104ba5e050b3 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/E014/E014.md @@ -0,0 +1,1812 @@ +# 基于机器学习的中药材类别与产地鉴别 + +# 摘要 + +本文通过建立基于机器学习的五种分类器，分析了近中红外数据及其光谱图，对药材实现种类与产地的鉴别。 + +针对问题一，主要解决两个问题：一是需要研究不同种类药材的特征和差异性，二是要鉴别药材的种类。鉴于原始光谱数据可能会出现基线偏移和重叠，所以我们使用Savitzky-Golay卷积平滑法与其一阶及二阶平滑导数和标准正态变换（SNV）来对光谱数据进行预处理；运用主成分分析（PCA）对原始光谱数据进行降维，抽取12个主成分，进行K-means聚类，将药材划分为六类；对每一类药材进行药材特征及差异性的分析及SID值的比较，发现第四类药材（只有3个样本）的光谱图明显不同于其他种类药材，而其他种类药材的SID值相互间差异不大，推测除第四类药材的产地外，其他类药材的产地及生长环境相差不大。 + +针对问题二，我们提出了相对完整的中药产地和类型鉴别框架：包括光谱数据预处理、特征提取、特征选择、分类模型构建及性能测试。采用了SG平滑法结合一阶和二阶导数法进行预处理，用PCA降维提取特征，使用决策树、K-邻近、朴素贝叶斯和线性判别分析的分类器，对中药光谱数据进行类型鉴别，结果表明：SG平滑结合二阶导数能增加大部分分类器的识别效果，在不同的分类器中，LDA的性能最稳定，最佳识别准确率为 $98.3\%$ ， $F_{1}$ 分数为0.98。利用鉴别分类器可提取对未知样品的鉴别结果为： + +
NO31438485871798689110134152227331618
OP61471069113492583
+ +针对问题三，利用第二问的识别框架，我们分别基于近红外光谱数据、中红外光谱数据及两者合并的光谱数据分别建立分类学习模型，结果在产地鉴别效果中，近红外光谱不如中红外光谱不如二者合并的综合光谱。其中的LDA识别效果最好，识别率为 $98.4\%$ ， $F_{1}$ 分数为0.97，对未知产地进行鉴别，结果为： + +
NO4152230344574114170209
OP171112163410914
+ +针对问题四，基于二问中的识别框架，利用附件四中的近红外数据对药材类型进行鉴别，识别准确率达到 $100\%$ ，但是对于鉴别产地时，效果不理想，于是我们建立基于药材类型的产地识别模型，在识别了药材类型的基础上，对不同药材的产地建立识别模型，分别提升准确率达到 $72.6\%$ ， $88.9\%$ 与 $100\%$ ，最终结果为： + +
NO94109140278308330347
ClassAAACCCB
OP53313411
+ +本文研究发现光谱数据预处理、特征抽取和选择算法可以有效的提高光谱分析的准确率。就本题问题而言SG的一阶导数预处理，PCA提取特征、LDA学习的准确率最稳定 + +关键词：红外光谱 中药材鉴别 机器学习 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +道地药材是指经过中医临床长期应用优选出来的，产在特定地域，与其他地区所产同种中药材相比，品质和疗效更好，且质量稳定，具有较高知名度的中药材。中药材的道地性以产地为主要指标，产地的鉴别对于药材品质鉴别尤为重要。很多中药材形态相似，但其化学成分、性味、毒性、用量、药理作用和功能等方面均不完全相同。我国传统医学对中药材鉴别一直采用性状鉴别，基源鉴别，显微鉴别及理化鉴别等方法。但是对于药材外观损坏，或残缺不全的中药材应用传统鉴别方法有一定的困难。采用红外光谱法，根据其微观特征，可以准确地进行中药材真伪及混乱品种的鉴别。 + +# 1.2 问题的提出 + +附件1至附件4是一些中药材的近红外或中红外光谱数据，其中No列为药材的编号，Class列为中药材的类别，OP列为该种药材的产地，其余各列第一行的数据为光谱的波数，第二行以后的数据表示该行编号的药材在对应波段光谱照射下的吸光度，但由于该吸光度为仪器矫正后的值，所以可能存在负值。 + +建立数学模型，研究解决以下问题： + +(1) 根据附件 1 中几种药材的中红外光谱数据, 研究不同种类药材的特征和差异性, 并鉴别药材的种类。 +(2) 根据附件 2 中某一种药材的中红外光谱数据, 分析不同产地药材的特征和差异性,鉴别该种药材的产地,并将药材产地的鉴别结果填入编号表格中。 +(3) 根据附件3中某一种药材的近红外数据和中红外数据，鉴别该种药材的产地，并将所给出编号的药材产地的鉴别结果填入编号表格中。 +(4) 根据附件 4 中几种药材的近红外光谱数据, 鉴别药材的类别与产地, 并将所给出编号的药材类别与药材产地的鉴别结果填入表格中。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1数据预处理 + +由于在对中药材进行光谱采集的过程中，会受到颗粒大小、高频随机噪声、样品背景、散射光、仪器响应速度及外界环境等多种因素的干扰，因此获取的光谱数据除含有样本本身的大量信息以外，往往还含有与测试样本无关的成分，从而导致光谱出现了基线偏移和重叠。这些因素会严重影响到所建模型的稳定性和准确度，所以为减弱或者消除这些无关的非目标因素从而获取一个稳定、可靠和准确的校正模型，我们必须要对光谱数据进行去噪，可以使用 Savitzky-Golay 卷积平滑法和标准正态变量变换（SNV）对光谱数据进行预处理。 + +# 2.2 问题一的分析 + +问题一要求根据附件1中几种药材的中红外光谱数据，研究不同种类药材的特征和药材之间的差异性，并鉴别药材的种类。在对附件1光谱数据预处理后，使用主成分分析（PCA）将高维度数据降维到适当的维度，再基于主成分分析进行特征抽取，选取经过主成分分析后累计贡献率超过 $80\%$ 的特征值所对应的主成分，使用K-means聚类方法对选取的主成分进行聚类，并通过SID光谱散度分析探究分类的合理性，最后通过对不同种类药材的光谱数据进行作图，通过峰度、峰形及峰强进行分析几种药材之间不同的特征及差异性。 + +# 2.3 问题二的分析 + +问题二要求根据附件2某一种药材的中红外光谱数据分析不同产地药材的特征和差异性，并鉴别药材的产地。在对附件2光谱数据预处理后，使用主成分分析（PCA）法抽取特征值，并对数据集进行划分，用特征值进行机器学习训练，然后鉴别出药材的产地，最后对药材进行特征的分析及差异性的比较。 + +# 2.4 问题三的分析 + +问题三要求根据附件3中某一种药材的近红外数据和中红外数据对药材产地进行鉴别。分别对附件3中近红外与中红外的光谱数据预处理后，使用分类器模型对药材的产地进行鉴别。 + +# 2.5 问题四的分析 + +问题四要求根据附件4中几种药材的近红外光谱数据鉴别药材的类别与产地。在对附件4中的近红外光谱数据预处理后，我们利用问题二的分类器模型将药材的类别进行分类与产地进行鉴别。 + +![](images/16bbc39d92174d3fafdac84b62d4b836d40bf6d0cb74ce1be57e6d73457a2b0c.jpg) +图1基于机器学习的光谱产地识别框架 + +# 三、模型假设与约定 + +1. 假设所有的近红外波长都在 $0.75 \mu m$ 到 $3 \mu m$ 范围内，中红外波长都在为 $3 \mu m$ 到 $30 \mu m$ 范围内。 +2. 各个附件的药材数据真实可靠。 +3. 不考虑外界因素比如空气湿度，光照强度等对数据进行干扰。 + +# 四、符号说明及名词定义 + +
符号说明
xi第i样品光谱的平均值
m波长点数
n校正样品数
λm特征值
am特征向量
P(ck)产地在样本中出现的概率
P(ck|x)概率密度函数
Ω输入空间
precisionk查准率
recallk查全率
accuracy准确率
+ +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 问题一的模型建立与分析 + +# 5.1.1 光谱去噪 + +对光谱数据进行预处理，采用Savitzky-Golay卷积平滑法和标准正态变量变换（SNV）来对光谱数据进行预处理。 + +# (1) Savitzky-Golay卷积平滑法 + +Savitzky-Golay卷积是利用局部滑动窗口来实现的一种多项式回归算法，其原理为：将原始的受干扰的光谱数值替换为平均值，该均值实质是通过局部的移动窗口对要替换的数值进行最近似于真实信号的多项式拟合，从而使得原来受到干扰的光谱值可以更正为更为合理的信号值，其近似过程实质上可以看做是一种加权的平均方法。 + +设滤波窗口的宽度 $n = 2m + 1$ ，各测量点为 $x = \{-m, - m + 2,\dots ,0,1,\dots ,m - 1,m\}$ 我们采用二次多项式对窗口内的数据进行拟合，其表达式为： + +$$ +y = a _ {0} + a _ {1} x + a _ {2} x ^ {2} \tag {1} +$$ + +其中 $a_0, a_1$ 和 $a_2$ 为二次多项式的系数， $y$ 为多项式拟合后的值。由公式（1）可以得到 $n$ 个类似的方程，从而构成一个三元线性方程组。 + +通过公式（1），我们可以得到拟合后的SG平滑光谱值。 + +一阶SG平滑导数为： + +$$ +\left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = a _ {1} \tag {2} +$$ + +二阶SG平滑导数为： + +$$ +\left. \frac {d ^ {2} y}{d x ^ {2}} \right| _ {x = 0} = a _ {2} \tag {3} +$$ + +# (2）标准正态变量变换(SNV) + +标准正态变量变换(SNV)主要是用来消除固体颗粒大小、表面散射以及光程变化对漫反射光谱的影响。对需SNV变换的光谱按下式计算： + +$$ +X _ {i, S N V} = \frac {x _ {i , k} - x _ {i}}{\frac {m _ {k = i} \left(x _ {i , k} - x _ {i}\right) ^ {2}}{(m - 1)}} \tag {4} +$$ + +式（5）中 $x_{i}$ 是第 $i$ 样品光谱的平均值， $k = 1,2,\dots,m$ ， $m$ 为波长点数； $i = 1,2,\dots,n$ ， $n$ 为校正样品数； $X_{i,SNV}$ 是变换后的光谱。 + +本次处理使用四种去噪的算法：SG平滑法，一阶SG平滑导数和二阶SG平滑导数，来获得近似去噪后的中药材光谱数据，使鉴别模型更为精确地表达中药 + +材的光谱特征。 + +使用光谱去噪模型，对附件1中的中药材光谱图进行处理，结果如图2图3所示。原始的几种中药材光谱吸收率显示在（图3）中，使用原始SG平滑及在此基础上衍生出的一阶SG平滑导数和二阶SG平滑导数的去噪效果图见图3(b)-(d)中。将（图2）与（图3）进行对比，我们可以发现经过SG平滑后原始光谱图变得更加光滑。在进行一阶导数运算后，光谱范围从[-0.1,0.9]压缩[-0.06,0.12]，同时光谱信号得到更进一步的平滑，消除了基线漂移，使原始光谱中的波峰变为0在进行二阶导数运算后，范围缩小到[-0.08]到[0.06]，二阶导数光谱的平滑效果跟一阶导数接近，但数据得到更进一步压缩，消除了基线漂移和光谱倾斜，增强了光谱特征。而经过SNV预处理后的光谱图，却保留了原光谱数据的值，且吸光度放大后，可以非常直观地看出各数据之间的差异，其得注意的是，通过图3可以看出，中药材样本的光谱具有很大的重叠性。 + +![](images/c4adabc58550d20ceb5ed47cbd84f3221b5991c486e0ae7b59679686ac242219.jpg) +图2原始数据光谱图 + +![](images/9fed2fae44c2699c4df7a947d564ea2820941d668745aa43b5b322b8e9e7844d.jpg) + +![](images/5d9ff57b17bdb2b956dda8f3987fc6d71cec6e95198f0ec2eeb7cfb266d36b11.jpg) + +图3中药材原始光谱去噪后效果图 +![](images/6ba429e0f44401ac32f49b2af06dbe482915962030bf8264df2e53be608efeb0.jpg) +其中从左往右依次为：（a）SNV光谱图；（b）SG平滑后的效果图；（c）SG平滑后一阶导数的效果图；（d）SG平滑后二阶导数的效果图 + +![](images/0daa20eb1d793f6f66464a6f9f8692708befaac97b2663ac93196c0bc7ed365a.jpg) + +在对光谱去噪后，由于数据量过多，因此我们需要使用主成分分析选取特征值对其进行降维。 + +# 5.1.2 基于主成分分析（PCA）选取特征值 + +由于中药材的数据量太大，我们需要将上千维中药材的原始光谱数据用少量的数据主成分来代替，所以首先用PCA主成分分析方法降维选取中药材的特征值，然后利用特征值使用K-means将其进行聚类。 + +主成分分析（PCA）是常见的用于高维数据中的特征抽取方法之一，PCA（主成分分析法）是对高维样本空间引入随机变量，将多个变量通过线性变换选出较少重要变量的一种多元统计方法。 + +原始样本数可以表达为： $X = \left[x^{1},x^{2},\dots ,x^{m}\right]$ ，m为原始光谱分布图的维数。 + +为了使光谱数据集能更适合PCA的运算，所以需要先将数据进行归一化处理，然后计算标准化和偶样本的协方差矩阵R，与R的特征值 $\lambda_{m}$ 和特征向量 $a_{m}$ 。 + +$$ +\text {贡 献 率} = \frac {\lambda_ {i}}{\sum_ {k = 1} ^ {p} \lambda_ {k}} (i = 1, 2, \dots , p) \tag {5} +$$ + +$$ +\text {累 计 贡 献 率} = \frac {\sum_ {k = 1} ^ {i} \lambda_ {k}}{\sum_ {k = 1} ^ {p} \lambda_ {k}} (i = 1, 2, \dots , p) \tag {6} +$$ + +取贡献率达到80%的特征值对应的第一至第m(m≤p)个主成分，利用公式 + +$$ +F _ {i} = a _ {1 i} X _ {x 1} + a _ {2 i} X _ {x 2} + \dots + a _ {p i} X _ {p} (i = 1, 2 \dots , m) \tag {7} +$$ + +其中 $a_{1i}, a_{2i} \dots a_{pi}$ 为 $X$ 的协方差阵 $\Sigma$ 的特征值所对应的特征向量， $X_{x1}, X_{x2}, \dots, X_{pi}$ 是原始变量标准化后的值。 + +当特征向量的值越大时，表示其含有更多的原始信息或能量，对该主成分的影响越大，具有更大的重要性。 + +因为没有足够的证据表明某一段光谱具有很强的区分度，因此对附件1中整个光谱段 $652 - 3999(cm^{-1})$ 进行主成分提取以得到最具代表性的光谱信息，以主成分的贡献度排序得到的结果如图4与图5所示。 + +![](images/e1d57c9e903ffd7302a2e246123a99c127b060a5c4cfa824db596a6c236ed5af.jpg) +图4原始贡献率 + +![](images/dfe939a21a02324c3f409eaec909f83c8effde0a80780bc81e0f6051db0afb16.jpg) + +![](images/3991b283a2bd8f717c2e1fad20ea088bacb33274671cf08251b431aa0cdd716f.jpg) + +![](images/625f363e0fe735a235cad6dbb58ff932a675ef6572230c3a21e6a9979ec2c795.jpg) +图5附件1中药材光谱数据进行PCA特征抽取之后的主成分贡献率 + +![](images/2efc92c9d8cdb76c929dac56181896a9d318218ac812f91c6a875c5d3636724f.jpg) + +其中从左往右依次为：（a）SNV平滑后的数据进行PCA特征抽取；（b）SG平滑后的数据进行PCA特征抽取；（c）SG平滑后一阶导数的数据进行PCA特征抽取；（d）SG平滑后二阶导数的数据进行PCA特征抽取 + +观察图4与图5，我们发现，进行降维后，原始数据中主成分1达到了82.37%，前三个主成分占据了98.67%的信息量，在经过SNV平滑后的主成分贡献率前三个主成分占据了84.38%的信息量，在对SG平滑后的数据提取主成分，前三个主成分占据了98.67%的信息量，而对一阶导数和二阶导数后的平滑数据，前三个主成分分别占据了56.19%及54.93%。由此可知，光谱数据在经过一阶SG平滑导数与二阶SG平滑导数PCA降维后累计贡献率较低，因此需要提取的样本数相较于使用其他方式进行数据处理后的样本数更多。 + +提取每一个处理方式处理后的光谱数据使用主成分分析后累计贡献率超过80%的特征值所对应的主成分，保存的主成分个数见下表： + +表 1 附件 1 进行 PCA 主成分保留个数 + +
原始数据SNV标准正交变换SG平滑算法SG一阶平滑SG二阶平滑
主成分个数3431216
累计贡献率98.67%90.47%98.67%80.56%80.00%
+ +# 5.1.3 基于K-means聚类算法进行药材分类 + +K-means 聚类算法需要先指定需要划分的类的个数 k 值，然后随机地选择 K 个数据对象作为初始的聚类中心，并且计算其余的各个数据对象到这 K 个初始聚类中心的距离，把数据对象划归到距离它最近的那个中心所处在的簇类中：同一聚类中的对象相似度较高；而不同聚类中的对象相似度较低。聚类相似度是利用各聚类中对象的均值所获得一个“中心对象（引力中心）来进行计算的。 + +![](images/812b5c482df8c9b68a16af0ed0c9336b206f4429234f1b469907818dcd398f37.jpg) +图6K-means聚类算法流程图 + +由于无法得知最好聚类效果的聚类中心设定值，所以我们将聚类中心分别设置为4和6进行聚类测试，并将聚类结果可视化，结果见图7和图8。 + +![](images/71d31b8ea59e9256af0756aefea0303d3b619f67772db5ea7aed7f2281a0b2d2.jpg) + +![](images/2c2379f8dcc66bfe4ba91f5aff58ef760f71f489ba20e7f6cfd5bc11b0a35e68.jpg) + +![](images/dac87223f5f5909bd39d09666719f75a671916bf22255c4c8210db22c0f75964.jpg) +图7 聚类中心为4的聚类效果图 + +![](images/5389b12a351b6deeb9d85ab8cbb4c6d0f3b287b61ba76d8d1fc6cb8c8dfc1043.jpg) + +![](images/ca8411363dbe5fb1c4f0d1100e1029ec213cf5c5bc029412c7a0fc08d33120d3.jpg) + +![](images/570bbe61c00623cac899424210a264f4dec0ae57a58ba36d2b5a41cf5546162b.jpg) + +![](images/31b99cbd46ab019df51bf28873ee43af0f2043ed5ceb9af543c2b76f2d4da00b.jpg) +图8 聚类中心为6的聚类效果图 + +![](images/71e9f6b99ac34fff015010b89344255094bdc9a5375e2140dab5e7760b947061.jpg) + +在原始光谱和 SG 平滑后的光谱数据上进行 PCA 降维和 K-means 聚类后, 不同种类之间的中药材分布具有一定的区分度。 + +根据观察，我们可以得知设定聚类中心为6的聚类效果比设定聚类中心为4的聚类效果更好，所以我们将聚类中心定为6，将中药材分为六个类别（具体分 + +类结果见附录)。并且在分布图中我们可以判断经过 SG 一阶导数平滑后聚类的效果最好，经过 SNV 处理和 SG 平滑后的数据聚类效果最差。 + +所以使用经过 SG 一阶导数平滑处理后的数据进行分为 6 类，并对每一类的药材进行编号，将每一类药材抽取一个最接近于聚类中性点的特征明显的样本进行特征值分析，再将多个样本进行画图比较差异值分析，见图 9。 + +![](images/d9a9ac5d1dbf0c9f8a447a68d79ccfb7ca083fadde619ef8c4fcd02f968574b2.jpg) +图9SG一阶平滑导数聚类特征类别 + +根据上图观察，我们可以发现，在SG一阶平滑导数处理后的进行聚类的特征图中，第四类中药材的整体吸光度明显高于其他几类，特征最为明显；第六类中药材在1600波数出现最高吸收峰后，趋势变得平稳，类别二、三、五的大致趋势相似，但在峰差、峰宽及吸光度的大小是存在一定差异，可能是因为这几种中药材的生长环境相似。 + +除第四类与第六类药材外中药材外，其余药材的特征为：在波数为1100处出现最高吸收峰，且波数为1700之后，随波数增大，吸光度增幅逐渐放缓趋势，没有明显的“峰-谷”变化；波数在2800处时吸光度形成吸收谷且波数在2900时，存在一个弱反射峰。 + +表 2 不同种类的光谱差异表 + +
种类一种类二种类三种类四种类五种类六
总峰数1-212-312-31-2
最高峰位1700-20001100-13001100-1300652-7001100-13001200-1400
峰强较强较弱较强较弱强弱
峰形尖钝尖钝尖钝
+ +但还不能单纯地通过光谱图对中药材进行差异性判定，我们结合化学计量方法使用SID散度分析进一步分析六个中药材之间的差异性。 + +# 5.1.4 光谱信息散度 (SID) + +SID可用于表征不同样本光谱间相似性。不同样本光谱间的SID越小，这两 + +个样本的相似度越高，样本数据越接近，使用SID进行中药材的差异分析是非常合适的。 + +对于光谱 $x_{1} = (x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1l})$ 和光谱 $x_{2} = (x_{21}, x_{22}, \ldots, x_{2l})$ 可以得到两条光谱的概率向量分别是 $q = (q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{i})^{T}$ 和 $p = (p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{i})^{T}$ 。 + +其中 $q_{i} = x_{1i} / \left(\sum_{i = 1}^{I}x_{1i}\right),p_{i} = x_{2i} / \left(\sum_{i = 1}^{I}x_{2i}\right)$ + +根据光谱信息理论，可以得到 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的自信息为： + +$$ +l _ {i} \left(x _ {1}\right) = - \log q _ {i} \tag {8} +$$ + +$$ +l _ {i} \left(x _ {2}\right) = - \log p _ {i} \tag {9} +$$ + +可以得到 $x_{2}$ 关于 $x_{1}$ 的相对熵： + +$$ +D \left(x _ {1} \| x _ {2}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {l} q _ {i} \log \left(\frac {q _ {i}}{p _ {i}}\right) \tag {10} +$$ + +两者散度的计算公式如下： + +$$ +\operatorname {S I D} \left(x _ {1}, x _ {2}\right) = D \left(x _ {1} \| x _ {2}\right) + D \left(x _ {2} \| x _ {1}\right) \tag {11} +$$ + +通过计算，我们得到六个种类的之间相对的SID值，见下表： + +表 3 六个种类的 SID 表 + +
种类一种类二种类三种类四种类五种类六
种类一00.03440.03620.21900.04600.1415
种类二0.034400.01180.15710.01090.0907
种类三0.03620.011800.20470.00280.1233
种类四0.21900.15710.204700.19970.1271
种类五0.04600.01090.00280.199700.1204
种类六0.14150.09070.12330.12710.12040
+ +由上表可知，种类一、二、三、五与种类四差异最大，数据最不接近，根据推测可能是因为地域原因，地理位置较远；种类一与种类六种类对种类二的数据SID值相对最小，分别为0.0344与0.0907；而种类二与种类三对种类五SID值相对较小，分别为0.0109与0.0028。所以总结：种类一、二、三、五、六地理位置应该相隔不远，环境气候相似，导致中药材的化学组成成分相差不大。 + +# 5.2 问题二模型建立与分析 + +问题二需要对某一种药材的产地进行鉴别，并分析不同产地的药材的差异和特征。附件2给出了问题二所需要的某一种药材的中红外光谱，我们需要先对中红外光谱数据进行去噪处理，根据问题一中的比较，我们得知使用标准正态变量变换（SNV）处理效果不够理想，所以参考问题一中的去噪过程选择采用SG与其一阶平滑导数和二阶平滑导数对附件2进行去噪。具体过程见流程图： + +![](images/147fc62e9b82515f4a1ff69bdac30fdf29305b2d7c7585df1948f47d9b92e59e.jpg) +图10 横型流程图 + +# 5.2.1 不同产地的中药材特征值和差异性分析 + +由于附件2给出的是某一种中药材不同产地的中红外光谱数据，所以在十一个地区随机选取了一个样本进行特征值比较与差异值分析，见下图： + +![](images/ba848ead63128cf63e4e0a660442de9d279973987bec8e4c22c530f68bf4d1e2.jpg) +图11十一个产地药材的光谱特征图 + +根据上图观察，我们可以发现十一个产地药材的光谱特征图大致趋势是一致的，但是各药材的最大吸光度、峰高、峰宽，峰差不同，所有的药材分别在波数为1050、1600、3400左右出现三个明显峰。 + +表 4 不同地区药材的光谱差异表 + +
地区一二三四五六七八九十十一
峰数33333333333
峰位3300-34001600-17003300-34003200-33003100-34001600-17001600-17003300-34001100-12003200-33001100-1200
峰强较强较弱较弱较弱强较强较强强较弱较强强
峰形尖钝钝钝尖尖尖尖钝尖钝
+ +# 5.2.2 通过SID值对其进行定量分析 + +由SID表可知（见附录），地区一与地区十一的SID值最大，为0.0152数据最不接近，根据推测可能因为土壤、天气的原因造成药材的物理性质发生了变化；地区三与地区六SID值最小，为0.0004。因此可以推断：种类一、二、三、五、六地理位置应该相隔不远，环境气候相似，导致中药材的化学组成成分相差不大。 + +# 5.2.3 基于主成分分析（PCA）提取特征值 + +光谱数据去噪后，再采用主成分分析法（PCA）对中红外光谱进行降维，提取光谱特征，其贡献率作为代表性的光谱信息，见下图： + +![](images/bc9a2c67419e9f06fb48dd88e6608142c2465442ea1868a7e96689f527abde6b.jpg) + +![](images/672790b71043c0537f0c33f4a9704288af260514dd7f4e65faf1762d2c434616.jpg) + +图12附件2中药材光谱数据进行PCA特征抽取之后的主成分贡献率 +![](images/9838ba5220e6d748b131436c89a6ac170e31d8feede6f8a9d5c5d9ed06f2ba1d.jpg) +其中从左往右依次为：（a）原始数据进行PCA特征抽取；（b）SG平滑后的数据进行PCA特征抽取；（c）SG平滑后一阶导数的数据进行PCA特征抽取；（d）SG平滑后二阶导数的数据进行PCA特征抽取 + +![](images/252653d1084a1ebb773973c74d051f03b9f7122db3b65a9153ff69e60cfabf12.jpg) + +观察我们发现，进行降维后，原始数据中主成分1达到了80.70%，前三个主成分占据了94.90%的信息量，在经过SG平滑后的数据提取主成分，前三个主成分占据了94.89%的信息量，而在SG平滑后一阶导数和二阶导数的PCA特征抽取，前三个主成分分别占据了55.52%及52.54%。由此可知，光谱数据在经过一阶SG平滑导数与二阶SG平滑导数PCA降维后需要保留的主成分个数更多，见下表： + +表 5 附件 2 进行 PCA 后主成分保留个数 + +
原始数据SG平滑算法SG一阶平滑SG二阶平滑
+ +
保存主成分的个数331417
累计贡献率94.90%94.89%82.04%81.51%
+ +# 5.2.4样本均衡性分析 + +为了防止出现过拟合现象，我们对样本的均衡度进行分析，结果见下表： + +表 6 问题二的样本均衡度 + +
OP1234567891011
样本数6759678829875059316655
+ +由于样本数相差不大，所以我们暂不考虑对样本数的统一。 + +# 5.2.5 鉴别分类器构建 + +在进行特征的选取后，我们需要利用分类器进行对选取的特征的学习，分类器可以构建出对中药材产地的鉴别模型，且不同的分类器具有不同的特性，即使采用的同一组数据进行训练，得到的结果也往往有所差异。因此我们主要采用数据挖掘中常见的贝叶斯分类器（NB）、决策树算法（DT）、K近邻分类器（KNN）、支持向量机（SVM）和线性判别分类器（LDA）来构造五个不同的鉴别分类器。使用多种分类器进行训练，将不同的结果进行对比，找到效果最好的分类器，从而更高效更准确地实现对药材产地的鉴别。 + +# （1）朴素贝叶斯分类器(NB) + +朴素贝叶斯分类器(NB)是基于概率分布的分类器。贝叶斯决策理论是解决模式分类问题的基本途径之一，意为决策问题可以转化为概率分布的形式来表达，假设其相关的先验概率是已知的，根据贝叶斯公式，在已知其先验概率的前提下，我们可以推导出其后验概率，即 + +$$ +P \left(c _ {k} \mid x\right) = P \left(c _ {k}\right) \times P \left(x \mid c _ {k}\right) \times P (x) ^ {- 1} \tag {12} +$$ + +上式中 $c_k$ 表示第 $k$ 个类别，即表示某一个中药材的产地。 $x$ 表示位置的样本， $P(c_k)$ 表示该产地在样本中出现的概率， $P(c_k | x)$ 表示在该产地条件下，测试样本 $x$ 的概率密度函数。通过公式（8），得到该测试的中药材样本属于某一产地的后验概率。通过选择最大的概率值，贝叶斯分类器将中药材样本鉴别为最可能的产地。 + +朴素贝叶斯分类的算法步骤： + +1）设 $x = \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\}$ 为一个待测样本集， $a_{i}$ 为 $x$ 的第 $i$ 个特征属性， $x$ 包含 $m$ 个特征。 +2）设中药材产地类别集合 $C = \{c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}\}$ +3）通过公式（8），分别计算出 $P(c_{1}|x), P(c_{2}|x), \ldots, P(c_{n}|x)$ 。 +4）如果 $p(c_k|x) = \max \left\{p(c_1|x),p(c_2|x),\dots ,p(c_n|x)\right\}$ ，则 $x\in c_k,1\leq k\leq n$ + +# (2)K近邻分类（KNN） + +KNN的分类的过程主要是基于样本之间的距离比较即从训练样本中找出K个与其最相近的样本，通过比较K个样本中所属类别的个数多少，来判定测试样本的类别，在使用KNN进行分类时，选择的样本的个数不同，使用样本进行比较后，KNN算法需要我们人为决定K的取值，K的取值不同，也有可能会对识别结果造成 + +差异，在本文中我们主要选择欧式距离作为样本件距离的度量。 + +# (3)线性判别分析(LDA) + +LDA其基本思想是寻找一投影方向，使训练样本投影到该方向时尽可能具有最大类间距离和最小类内距离，设训练样本中有 $c$ 个类别，根据Fisher's线性判别准则，这需要 $c - 1$ 个判别函数。也就是将 $d$ 维的特征空间向 $c - 1$ 维空间做投影。 + +# （4）决策树模型（DT） + +决策树模型采用树形结构，将特征属性和最终的决策值进行联系，每一个内部的节点表述一个输入变量，数分支代表一个测试输出，树叶代表分类的结果，根据输入，通过根到叶之间的路径判断得到一条分类规则。 + +决策树往往采用自顶向下的方式生成，从根节点开始，通过对原始的数据集进行逐个属性测试并分裂为子集得到。这一过程在每一个生成的子集上重复递归地进行，直到某一个节点上的所有样本都被划分到同一个类别，或者对原始数据不能再进行有效的分割时结束。 + +![](images/5c70979c46d696966d9cf186d29701376e9d38ad2d648bc8c2fdb3d94717e709.jpg) +图13决策树模型流程图 + +# （5）支持向量机模型（SVM） + +支持向量机的主要思想是找到一个超平面是其尽可能多的将两类数据分开，同时使两类数据点距离分类面最短。 + +根据给定的训练集： + +$$ +T = \left\{\left[ a _ {1}, y _ {1} \right], \left[ a _ {2}, y _ {2} \right], \dots , \left[ a _ {l}, y _ {l} \right] \right\} \in (\Omega \times Y) ^ {I} \tag {13} +$$ + +上式中， $a_{i}\in \Omega = \mathbf{R}^{n}$ ； $\Omega$ 称为输入空间，输入空间中的每一个点a由n个属性特征组成； $y_{i}\in Y = \{-1,1\} ,i = 1,2,\dots ,l_{\circ}$ + +寻找 $\mathbf{R}^n$ 上的一个实值函数 $g(x)$ ，以便用分类函数 + +$$ +f (x) = \operatorname {s i g n} (g (x)) \tag {14} +$$ + +判断任意一个模式 $x$ 相对应的 $y$ 值的问题为分类问题。 + +# 5.2.6基于分类器交叉验证与性能评价模型 + +为了挑选出最好的分类模型，我们需要测试分类器的性能，并使用一些指标进行性能的检验。 + +我们采用 $M \times N$ 交叉验证法。将数据集划分为10个等分，然后使用9个数据子集的数据进行训练，用剩下的一个子集进行测试。以上过程遍历10次以尽可能确保每一份数据集都参加了训练和测试，并且整个实验过程也要重复5次以确保样本划分的影响最小，最后测试集结束测试时，我们可以训练 $5 \times 10$ 个模型并获得50个测试结果，然后将测试结果的平均值作为次交叉验证模型的指标。进行50次不同的测试以获得最为精确的评价，从而减少样本划分引起的误差。 + +在性能指标的选取上我们通过正确率来评价鉴别模型的总的性能： + +$$ +P _ {a} = \frac {n _ {r}}{N _ {t}} \tag {15} +$$ + +其中 $n_r$ 是所有被正确分类的样本， $N_t$ 为测试样本的总数。 + +由于在实践中样本的分布是未知的，所有我们还需要使用混淆矩阵来概括分类器的性能，并通过混淆矩阵得到另外几个不同的评价标准，计算步骤如下： + +首先计算每个类别下的precision和recall： + +$$ +p r e c i s i o n _ {k} = \frac {T P}{T P + F P} \tag {16} +$$ + +$$ +\text {r e c a l l} _ {k} = \frac {T P}{T P + F N} \tag {17} +$$ + +准确率（accuracy）代表分类器对整个严格不能判断正确的比重： + +$$ +a c c u r a c y = \frac {T P + T N}{T P + T N + F P + F N} \tag {18} +$$ + +计算每个类别下的 $F_{1}$ 分数： + +$$ +F _ {1 k} = \frac {2 \cdot \text {p r e c i s i o n} _ {k} \cdot \text {r e c a l l} _ {k}}{\text {p r e c i s i o n} _ {k} + \text {r e c a l l} _ {k}} \tag {19} +$$ + +对每个类别下的 $F_{1}$ 分数求均值，得到最终测评结果： + +$$ +s c o r e = \left(\frac {1}{n} \sum F \mathbf {I} _ {k}\right) ^ {2} \tag {20} +$$ + +上式中，TP代表预测答案正确；FP代表预测为本类；FN代表预测为其他类标。 + +当分类器能正确识别全部测试样本是时, $F_{1}$ 分数达到最大值为 1 , 反之为 0 。 + +# 5.2.7分类器性能评价 + +各鉴别分类器分别进行 $5 \times 10$ 次交叉验证后得到的平均识别率见下表： + +表 7 四个分类器的产地鉴别准确率 + +
分类器原始数据SG平滑SG一阶平滑导数SG二阶平滑导数
DT31.8%28.3%54.0%56.8%
KNN34.8%34.8%97.3%97.3%
NB32.7%33.7%91.2%93.0%
LDA30.9%30.9%92.9%98.3%
SVM34.3%33.9%96.7%98.2%
+ +从上表中可以看出，LDA在SG二阶平滑导数数据集上识别率达到整个鉴别准确率的最高值，为 $98\%$ ，其次SVM与KNN的表现最好，KNN在SG一阶平滑导数据集上达到了 $97.3\%$ 的准确率，且除DT外，所有的分类器在数据经过SG一阶及二阶平滑后，准确率提到了 $90\%$ 以上。说明在经过SG一阶和二阶平滑导数数据后，KNN、NB、LDA的性能都得到很大的提升，只有DT的性能提升不是理想，应该是因为对测试数据的分类没有那么准确，即出现过拟合现象。 + +所以综合看来，经过 SG 二阶平滑导数处理后的数据使用 LDA 分类器的产地鉴别准确率最高，为 $98.3\%$ ，于是我们采用 LDA 分类器对中药材的产地进行鉴别。 + +# 5.2.8LDA分类器的性能评价 + +在选定分类器后，我们对分类器的性能进行评价，通过混淆矩阵进行判定分类错误的样本。见图14。 + +![](images/ccd2ee3b7d6b7038c7f4d86164601f16534e2b6d21b263f9805a35a9165099b0.jpg) +图14问题二LDA线性判别混淆矩阵 + +由图14我们可以看出，LDA的判别中有5个地方判别错误，有一份样本应当属于第三类，却被判为第一类；有两份样本应当属于第三类、第七类、第十类，却被判为第九类第八类与第九类；有三份样本应当属于第八类，却被判为了第七类。 + +通过混淆矩阵得到的敏感度（TPR），特异性（FPR）， $F_{1}$ 分数的结果如下表所示： + +表8各产地的评价指标 + +
产地1234567891011
TP6759648829874856316455
FP10000032420
FN00300023000
F1分数0.991.000.981.001.001.000.950.960.940.981.00
+ +通过对十一个产地的 $F_{1}$ 分数进行求和取平均，计算得到 $F_{1}$ 综合得分为0.98，说明药材产地的分类精确率很高。 + +最后计算,给出的药材产地鉴别为见下表： + +表 9 问题二药材产地编号图 + +
NO314384858717986
OP6147106911
+ +
NO89110134152227331618
OP3492583
+ +# 5.3 问题三的模型建立与求解 + +问题三需要我们根据同种药材的近红外数据与中红外数据，鉴别其产地并填写鉴别结果。 + +# 5.3.1 去噪处理与特征值提取 + +经过前两问我们发现原始数据和SG平滑后的数据分类效果相对于SG一阶平滑导数和二阶平滑导数不理想，于是我们仅采用SG一阶平滑导数和二阶平滑导数对近红外数据和中红外数据进行去噪。然后使用主成分分析（PCA）进行特征值的提取。在选取主成分时我们只采用指定解释方差达到 $95\%$ 的主成分，最后选取了54个主成分。 + +# 5.3.2 波段的选取与分类器的选择 + +因为药材会在近红外数据和中红外数据的光谱图上显示不同的效果，于是我们在使用以下三种方法选取波段： + +1.选取中红外光谱数据 +2.选取近红外光谱数据 +3.选取中红外光谱数据与近红外光谱数据 + +将选取的红外光谱数据进行数据集划分后利用分类器进行选取特征的学习，计算五种分类器的准确率，见下表： + +表 10 五个分类器对不同波段红外数据分类后的产地鉴别准确率 + +
分类器近红外SG一阶平滑近红外SG二阶平滑中红外SG一阶平滑中红外SG二阶平滑整段红外SG一阶平滑整段红外SG二阶平滑
DT81.6%78.4%69.0%70.6%82.9%73.9%
KNN86.9%85.3%90.6%90.6%94.3%92.2%
NB83.3%85.3%87.8%92.2%91.0%87.8%
LDA97.6%97.6%89.4%92.2%98.4%97.1%
SVM91.0%92.2%91.0%93.5%91.3%94.7%
+ +从上表可知，近红外光谱数据经过SG一阶及二阶平滑后LDA分类器的准确率最高，都为 $97.6\%$ ；中红外光谱数据经过SG一阶及二阶平滑后SVM分类器的准确率最高，分别为 $91\%$ 与 $93.5\%$ ；而选取的整段红外光谱数据经过SG一阶及二阶平滑后的准确率达到了 $98.4\%$ 与 $97.1\%$ ，综合所有的准确率来看，选取整段红外光谱进行训练后使用LDA分类器得到的产地鉴别准确率最高。所以我们选取经过SG一阶平滑处理后的近中红外结合数据使用LDA分类器进行中药材的产地鉴别。 + +# 5.3.3样本均衡性分析 + +在使用分类器进行预测前，我们对样本数进行均衡性的检验 + +表 11 问题二各个产地的样本数 + +
OP1234567891011121314151617
近红外样本1414141415151515141414151514151414
中红外样本1414141415151515141414151514151414
+ +由上表可得，每一个产地的近红外样本数与中红外样本数相差不超过一个样本数，说明均衡性非常好，可以直接进行预测。 + +# 5.3.4基于LDA分类器的预测性能评价与鉴别 + +在选定分类器后，我们对分类器的性能进行评价，通过混淆矩阵进行判定分类错误的样本。 + +![](images/eb1e954e21455a19965cb4f01f4c4b66b634ca01c223254acf523d8745127dc6.jpg) +图15问题三LDA产地鉴别模型混淆矩阵 + +![](images/315e974ee1be36f6954ea42d54e471ccc869c6a4c8c101b2fd9d7549bf777fe8.jpg) +图16 LDA分类器分类器测试集仿真效果图 + +由图15的混淆矩阵我们可以看出，LDA的判别中有6个地方判别错误，有一份样本应当属于第二类、第十四类、第十五类与第十七类，却被判到第十七类、第一类、第十七类与第二类；有两份样本应当属于第三类却被判为第二类。 + +由图15的分类器预测效果图可知，将SG一阶平滑处理后的近中红外光谱数据作为测试点，除某个点的预测发生偏移外，其他测试点都在预测点的中心位置，使用此模型进行产地鉴别得到的预测点与测试点基本全部吻合，结果表明LDA分类器进行产地鉴别效果好且准确率高。 + +通过混淆矩阵得到的敏感度（TPR），特异性（FPR）， $F_{1}$ 分数的结果如下表所示： + +表 12 问题三的各评价指标 + +
产地123456789101112131415
TP141312141515151514131415151314
FP130000000010000
FN012000000100011
F1分数0.970.870.921111110.960.97110.960.97
+ +通过对十一个产地的 $F_{1}$ 分数进行求和取平均，计算得到 $F_{1}$ 综合得分为0.97，说明药材产地的分类精确率很高。 + +最后进行编号预测，给出的药材产地鉴别为见下表： + +表 13 问题三的药材产地编号表 + +
NO4152230344574114170209
OP171112163410914
+ +# 5.4 问题四的模型建立与求解 + +问题四要求我们根据附件4提供的几种药材的近红外光谱数据进行类别与产 + +地的鉴别。 + +由问题一和问题二提出的鉴别框架，分别对中药材的类别和产地进行建模预测。 + +# 5.4.1基于近红外光谱的中药材类别鉴别模型： + +分类模型准确率见下表： + +表 14 对类别的预测准确率 + +
分类器SG一阶平滑导数SG二阶平滑导数
DT100%100%
KNN58.4%100%
NB100%58.4%
LDA100%100%
SVM100%100%
+ +由上表可知，在对类别的分类时，除KNN外，其他分类器的效果都达到了100%，而KNN预测准确率较低的原因可能是因为样本数据量少，不利于KNN分类器进行分类，因此我们随机选择SVM分类器对分类结果通过混淆矩阵与预测效果图进行数据可视化检验： + +![](images/cf02694770e0da93ed8ce50d29564ffef242823a4d21b933d1e46a1328d3a038.jpg) +图17 SVM分类器的产地鉴别模型混淆矩阵 + +![](images/c42cc3d044026433a578abf07835972942874b25521041254d690362b9f22add.jpg) +图16SVM分类器测试集数据仿真结果 + +由上图可知，混淆矩阵中并无真实数据被错误预测，且每个真实值都处于预测值的预测中心，无任何偏差，说明SVM的预测准确率符合 $100\%$ ，分类效果已达到理想 + +未知中药材模型预测结果如下表： + +表 15 未知中药材模型预测结果 + +
NO94109140278308330347
ClassAAACCCB
+ +# 5.4.2产地鉴别模型 + +预测准确率见下表： + +表 16 各种分类器对产地的预测准确率 + +
分类器SG一阶平滑导数SG二阶平滑导数
DT61.1%56.4%
KNN63.4%58.0%
NB54.8%58.3%
LDA75.5%65.0%
SVM49.0%49.0%
+ +由上表可知，在经过一阶平滑处理后的光谱数据经过LDA分类器进行预测的准确率较高，但仍不理想。 + +![](images/28c32774b4cbb9ebd8e001b9f30e124d469ee8e1be56d4e8c82ff50f5dfa83db.jpg) +图17LDA分类器模型的混淆矩阵 + +![](images/700bfa84680244e904a1ce7142c8479c688fd65389e4f7d9be8d5aea23233810.jpg) +图20 LDA分类器测试集仿真效果 + +由上述结果，各种分类器基于近红外光谱数据建模时，模型的准确率不高。我们通过观察各样品的近红外光谱图，发现在近红外波段中药材的光吸收差异不大。 + +为探索原因，我们对光谱数据进行样本均衡性分析，统计了不同类别和不同产地的样本数量，结果如下表： + +表 17 样本数量统计表 + +
ABC未知总计
110541130
248141238
3305163788
424692665
51240925
6080210
707029
803069
9070310
10060410
1105049
1205049
13040610
1404048
15060511
1607018
未知171214750
总计9710257143399
+ +由上表我们可以看出就产地而言样本数量存在较为严重的不均衡性，产地3的样本最多有88个，而产地14、16的样本只有8个。因此我们考虑建立基于中药材的类别的场地鉴别模型。 + +# 5.4.3 基于中药材的类别的产地鉴别模型 + +对三种中药材（A、B、C）分别进行产地鉴别模型结果如下表： + +表 18 提升后的产地鉴别准确率 + +
SG一阶平滑SG二阶平滑
分类器ABCABC
DT62.5%68.9%90.7%53.8%62.2%95.3%
LDA76.2%88.9%100%72.5%80.0%100%
NB68.8%73.3%95.3%61.3%77.8%95.3%
SVM75.0%74.4%100%72.5%57.8%100%
KNN65.0%80.0%90.7%72.5%80.0%95.3%
+ +从上表可以发现相对于未进行药材类别分类的的识别模型，准确率有显著的提升。其中，经过SG一阶平滑后的光谱数据再经过LDA进行产地鉴别，鉴别准确率最高，三个分类分别达到了76.2%、88.9%、100%的鉴别准确率。 + +表 19 各类别产地鉴别模型的的 ${\mathrm{F}}_{1}$ 分数 + +
产地12345678
A0.570.750.730.850.83------
B10.890.570.920.89111
C1111--------
产地910111213141516
A----------------
B0.830.92110.660.510.83
C----------------
+ +注：--表示该类别没有此产地的样品 + +运用基于中药材类别的产地鉴别模型对未知样品进行鉴别结果如下： + +表 20 问题四药材的鉴别与分类表 + +
NO94109140278308330347
ClassAAACCCB
OP53313411
+ +# 六、模型检验 + +由于在模型建立中，我们已经通过敏感度（TPR），特异性（FPR）， $F_{1}$ 分数对模型进行了检验，并且所有模型的正确率都达到了理想结果，所以在这里不做过多阐述。 + +# 七、模型评价 + +# 优点： + +1、在问题三中，我们将近红外光谱数据与中红外光谱数据进行合并后，产地鉴别的模型准确率有所提高。 +2、在问题四中，我们改进了机器学习的产地鉴别模型，建立了基于中药材类别的产地鉴别模型。 +3、结合机器学习、化学计量学等现代分析方法，建立了多种中药材类别与 + +产地的鉴别和分析模型，提高了中药材类别与产地的鉴别和分析的准确性。 + +缺点： + +1、在光谱特征提取时，可以使用更复杂的特征抽取算法，如流形学习、压缩感知等技术进行研究。 + +# 八、模型推广 + +本文建立的基于机器学习的中药材类别与产地鉴别模型，对其他植物的类别鉴别与产地鉴别都具有参考作用。 + +# 九、参考文献 + +[1] 但松健.基于NIR光谱分析的柑橘产地鉴别及品质检测技术研究[D].重庆大学,2017. +[2]田园盛.黄土高原水蚀风蚀交错区生物土壤结皮高光谱特征研究[D].西北农林科技大学，2019. +[3] 鄢悦，张红光，卢建刚，施英姿，陈金水.基于光谱信息散度的近红外光谱局部偏最小二乘建模方法[J].计算机与应用化学. +[4]黄艳华，杜娟，夏田，刘斯佳，李洪超，张蕴薇.近红外光谱在植物种及品种鉴定中的应用[J].中国农学通报.2014,(6):46-51. + +# 十、附录 + +表 21 药材分类明细表 + +
SG处理后进行一阶导数据药材分类
类别一类别二类别三类别四类别五类别六
61186436
67210136512
694132011114
787151617
949201830
12019242231
13021262548
18323273353
18432283459
20035293877
22039364779
25840376286
27941426393
29745436595
308464466100
318514968103
345555074106
384565281109
390575482113
397605885124
400717087128
412737290131
758499133
7688104138
8096116145
8397118154
8998126167
91101127168
92105129170
102107134173
111108137174
114110140175
121112143179
122115144180
132117152187
135119155190
139125164192
142141165195
146147171208
148149176210
151150181216
156153188217
157158196236
159163197239
160172198242
161178199247
162182203251
166185206254
169186213256
177207218261
189211221262
191212222274
193214225276
194215232278
202219237287
204226238290
205229240292
209241249295
223243253304
224245257306
227248259311
228250260312
230252270314
231263271315
233264272316
234269275321
235273281327
244277282329
246283288332
255284291339
265301293340
266302296343
267317298344
268319300348
280322303352
285328305353
286349309355
289350313358
294356323360
299359324365
307363325374
310368331393
320370334395
326378336399
330379347405
333381354409
335383361414
337387362420
338389366424
341394371
342396373
346401375
351402376
357404377
364406380
367411382
369415385
372422386
392423388
398391
403407
416408
417410
421413
425418
123419
类别一类别二类别三类别四类别五类别六
30819335613627295
+ +表 22 问题二的 SID 表 + +
地区12345
10.00000.00830.00430.00630.0075
20.00830.00000.00380.00290.0070
30.00430.00380.00000.00240.0086
40.00630.00290.00240.00000.0054
50.00750.00700.00860.00540.0000
60.00410.00340.00040.00200.0072
70.01220.00160.00490.00280.0080
80.01150.00670.00770.00250.0064
90.00950.00340.00300.00120.0066
100.01480.01000.00750.00360.0100
110.01520.01000.00460.00560.0142
地区678910
10.00410.01220.01150.00950.0148
20.00340.00160.00670.00340.0100
30.00040.00490.00770.00300.0075
40.00200.00280.00250.00120.0036
50.00720.00800.00640.00660.0100
60.00000.00430.00660.00230.0073
70.00430.00000.00590.00230.0083
80.00660.00590.00000.00330.0027
90.00230.00230.00330.00000.0033
100.00730.00830.00270.00330.0000
110.00450.00670.00840.00330.0051
+ +问题1 + +1.clc;clear +2. a = xlsread('附件1.xlsx'); +3. ques_1_1 = a(:,2:end); +4. %原数据 +5. data = ques_1_1; +6. x wn = data(1, :); +7.y_abb $=$ data(2:end,); +8. figure() +9. plot(x wn, y abb);%不同种类编号不同波数的吸光率 + +10. title('原始数据');xlabel('波数');ylabel('吸光度') +11.%% SNV标准正交变换 +12. figure(); +13.[xsnv] $\equiv$ snv(data); +14. plot(x wn, xsnv) +15. title('SNV光谱数据');xlabel('波数');ylabel('吸光度') +16. $\mathbb{X}\mathbb{X}$ SG平滑算法 +17. $\mathbf{rd} = 5$ +18. $f1 = 11$ +19. figure(); +20.kmtlb $\equiv$ sgolayfilt(y_abb',rd,f1,kaiser(f1,38)); +21. plot(x_wn, kmtlb) +22. title('SG光谱数据');xlabel('波数');ylabel('吸光度') +23. $\mathcal{X}$ 在SG平滑的基础上进行求导 +24. figure(); +25.kderiv1 $\equiv$ diff(kmtlb,1); %SG数据的一阶求导 +26. plot(x wn(1:end-1),k.deriv1) +27. title('SG求一阶导光谱数据');xlabel('波数');ylabel('吸光度') +28. figure(); +29.k deriv2 = diff(kmtlb,2); %SG数据的二阶求导 +30. plot(x wn(1:end-2),k.deriv2) +31. title('SG求二阶导光谱数据');xlabel('波数');ylabel('吸光度') +32.XX将平滑后的数据进行PCA分析降维度 +33. $x1 = y\_abb;$ +34.[cum_contribution_rate1,F1,contribution_rate1]= PCA1(x1); +35.xsnv1=xsnv(2:end,:); +36. $x2 = x\mathsf{snv}1;$ +37.[cum_contribution_rate2,F2,contribution_rate2]= PCA1(x2); +38.x3=kmtlb'; +39.[cum_contribution_rate3,F3,contribution_rate3] $\equiv$ PCA1(x3); +40.x4=k.deriv1'; +41.[cum_contribution_rate4,F4,contribution_rate4] $\equiv$ PCA1(x4); +42. x5 = k.deriv2'; +43.[cum_contribution_rate5,F5,contribution_rate5]= PCA1(x5); +44.2%将PCA提取出贡献率与累计贡献率进行可视化 +45.xx=20;%看前20个特征的贡献率与累计贡献率 +46.y1 $=$ contribution_rate1(1:xx)*100; +47. figure; bar(y1) +48. hold on +49. yy1 = cum_contribution_rate1(1:xx)*100; +50. plot(1:xx,yy1,'r*') %未经处理数据 +51. title('贡献率图 原始数据'); +52.x1abel('主成分样本数');ylabel('贡献率') +53. legend('贡献率','累积贡献率') + +54. +55.y2 $=$ contribution_rate2(1:xx)*100; +56. figure; bar(y2) +57. hold on +58. yy2 = cum_contribution_rate2(1:xx)*100; +59. plot(1:xx,yy2,'r+-') %SNV 处理后的数据 +60. title('贡献率图 SNV处理后的数据'); +61.xlabel('主成分样本数');ylabel('贡献率') +62. legend('贡献率','累积贡献率') +63. +64. +65.y3 $=$ contribution_rate3(1:xx)*100; +66. figure; bar(y3) +67. hold on +68. yy3 = cum_contribution_rate3(1:xx)*100; +69. plot(1:xx,yy3,'r*') %SG处理后的数据 +70. title('贡献率图 SG处理后的数据'); +71.xlabel('主成分样本数');ylabel('贡献率') +72. legend('贡献率','累积贡献率') +73. +74.y4 $=$ contribution_rate4(1:xx)*100; +75. figure; bar(y4) +76. hold on +77. yy4 = cum_contribution_rate4(1:xx)*100; +78. plot(1:xx,yy4,'r*') %SG 处理后进行一阶导的数据 +79. title('贡献率图 SG处理后进行一阶导的数据'); +80.xlabel('主成分样本数');ylabel('贡献率') +81. legend('贡献率','累积贡献率') +82. +83.y5 $=$ contribution_rate5(1:xx)*100; +84. figure; bar(y5) +85. hold on +86. yy5 = cum_contribution_rate5(1:xx)*100; +87. plot(1:xx,yy5,'r+-') %SG 处理后进行二阶导的数据 +88. title('贡献率图 SG处理后进行二阶导的数据'); +89.xlabel('主成分样本数');ylabel('贡献率') +90. legend('贡献率', '累积贡献率') + +1. function [cum_contribution_rate,F,contribution_rate] = PCA1(x) + +2. $[n,p] = \text{size}(x)$ ; +3. X=Zscore(x); +4. $R = \operatorname{cov}(X)$ +5. R = corrcoef(x); + +6. $[V,D] = \mathrm{eig}(R)$ +7. lambda1 $=$ diag(D); +8. lambda1 $=$ lambda1(end:-1:1); +9. contribution_rate $=$ lambda1 / sum(lambda1); $\%$ 计算贡献率 +10. cum Contribution rate $=$ cumsum(lambda1)/ sum(lambda1); $\%$ 计算累计贡献率 +11. V=rot90(V)'; +12. $\text{出}$ 计算我们所需要的主成分的值 +13. i = 1; +14. s = 0; +15. if cum Contribution_rate(i)>0.8 +16. m = 3; +17. else +18. while s <0.8 +19. s = cum_contribution_rate(i); +20. i = i + 1; +21. m = i; +22. end +23. +24. end +25. F $=$ zeros(n,m); +26. for i = 1:m +27. ai $=$ V(:,i)'; $\%$ 将第i个特征向量取出，并转置为行向量 +28. Ai $=$ repmat(ai,n,1); +29. F(:,i) $=$ sum(Ai.\*X,2); +30. end +31. end + +1. function [xsnv]=snv(data) +2. $x =$ data; +3. $[m,n] = \text{size}(x)$ ; +4.xsnv=(x-mean(x')\*ones(1,n))./(std(x')\*ones(1,n)); + +1.clc;clear +2. load('pca_p.mat', 'F1') +3. ppoint = F1; +4. k = 6; +5. count = 100; +6. $[\mathsf{N},\sim ] =$ size(ppoint); +7. center = ppoint(1:k,:); % 令前k个点为光谱初始中心 +8. distance_square = zeros(N,k); +9. while count $\sim = 0$ + +```matlab +10. for i = 1:k +11. distance_square(:,i) = sum((ppoint - replmat(center(i,:),N,1)).^2,2); +12. str1 = ['Center',num2str(i),'=[]) +13. eval(str1); +14. end +15. +16. for i = 1:N +17. minposition = find(distance_square(i,:)==min(distance_square(i,:)); +18. str1 = ['Center',num2str(minposition)]; +19. eval([str1,'=[',str1,';ppoint(i,:)]'); +20. end +21. +22. for i = 1:k +23. str1 = ['Center',num2str(i)]; +24. eval(['center_New',num2str(i),'::)= mean(',str1,'1');]); +25. end +26. +27. if sym(sum(center_New - center).^2)) == 0 +28. break +29. else +30. center = center_New; +31. end +32. +33. count = count-1; +34. end +35. +36. for i = 1:k +37. I = num2str(i); +38. disp(['第',I,'组聚类的点集：']); +39. disp.eval(['Center',I]); +40. end % 把光谱聚类点显示出来 +41. +42. hold on +43. for i = 1:k +44. str1 = ['Center',num2str(i)]; +45. plot.eval([str1,'(:,1)'],eval([str1,'(:,2)'], ',', 'Markersize',15,'colo' +r',rand rand rand]); +46. eval(['kn = boundary(',str1,'(:,1)',str1,'(:,2),0.1)']; +47. if isempty(kn) +48. eval(['plot(',str1,'(:,1)',str1,'(:,2)']; +49. else +50. eval(['plot(',str1,'(kn,1)',str1,'(kn,2)']); +51. end +``` + +51. end +52. plot(center(:,1),center(:,2,'k+'); +53. title('原始数据药材分类'); +54. +55. +56. end + +1. clc;clear +2. load('pca_p.mat', 'F2') +3. ppoint = F2; +4. k = 6; +5. +6. count = 100; % 定义光谱最大循环次数 +7. $[N, \sim] = \text{size(ppoint)}$ ; +8. center = ppoint(1:k,:); % 令光谱前k个点为初始中心 +9. distance_square = zeros(N,k); +10. while count $\sim = 0$ +11. for $\mathbf{i} = 1:k$ +12. distance_square(:,i) = sum((ppoint - repmat(center(i,:),N,1)).^2,2); +13. str1 = ['Center', num2str(i), ['[]'; ]; +14. eval(str1); +15. end +16. +17. for i = 1:N +18. minposition $=$ find(distance_square(i,:) $\equiv =$ min(distance_square(i,:)); +19. str1 = ['Center', num2str(minposition)]; +20. eval([str1,'= [',str1,';ppoint(i,:)]';']) +21. end +22. +23. for i = 1:k +24. str1 = ['Center', num2str(i)]; +25. eval(['center_New(',num2str(i),'::) = mean(',str1,'1);']) +26. end +27. +28. if sym(sum((center_New - center).^2)) == 0 +29. break +30. else +31. center = center_New; +32. end +33. +34. count = count-1; + +```matlab +35. end +36. for i = 1:k +37. I = num2str(i); +38. disp(['第',I,'组聚类的点集为：']) +39. disp.eval(['Center',I])) +40. end % 把光谱聚类点显示出来 +41. +42. hold on +43. for i = 1:k +44. str1 = ['Center',num2str(i)]; +45. plot.eval(str1,'(:,1)'],eval(str1,'(:,2)'],..,'Markersize',15,'color',[rand rand rand]); +46. eval(['kn = boundary(',str1,'(:,1)','str1,'(:,2),0.1)')); +47. if isempty(kn) +48. eval(['plot(',str1,'(:,1)','str1,'(:,2)');')); +49. else +50. eval(['plot(',str1,'(kn,1)','str1,'(kn,2)')]); +51. end +52. +53. plot(center(:,1),center(:,2), 'k'); +54. title('snv据药材分类'); +55. end +``` + +```matlab +1.clc;clear +2. load('pca_p.mat', 'F3') +3. ppoint = F3; %输入点的光谱坐标 +4. k = 6; +5. count = 100; %定义最大循环次数 +6. [N,~] = size(ppoint); +7. center = ppoint(1:k,:) %令前k个点为初始的光谱中心 +8. distance_square = zeros(N,k); +9. while count~=0 +10. for i = 1:k +11. distance_square(:,i) = sum((ppoint - repmat(center(i,:),N,1)).^2,2); +12. str1 = ['Center',num2str(i),'=[]';]; +13. eval(str1); +14. end %计算到每个点到各个聚类中心的距离 +15. +16. for i = 1:N +17. minposition = find(distance_square(i,:)==min(distance_square(i,:))); +18. str1 = ['Center',num2str(minposition)]; +``` + +19. eval([str1,'= [',str1,';ppoint(i,:)];]); +20. end +21. +22. for i = 1:k +23. str1 = ['Center',num2str(i)]; +24. eval(['center_New(，num2str(i)，'，:） $=$ mean(',str1,'1);]); +25. end +26. +27. if sym(sum((center_New - center).^2)) == 0 +28. break +29. else +30. center = center_New; +31. end +32. +33. count = count-1; +34. end +35. for i = 1:k +36. I = num2str(i); +37. disp(['第',I,'组聚类的点集为：']; +38. disp.eval(['Center',I])) +39. end % 把光谱聚类点显示出来 +40. hold on +41. for i = 1:k +42. str1 = ['Center',num2str(i)]; +43. plot.eval([str1,'(:,1)]),eval([str1,'(:,2)]),,',','Markersize',15,'col o r',rand rand rand]); +44. eval(['kn = boundary(，str1,'(:,1)，'，str1,'(:,2),0.1)；]); +45. if isempty(kn) +46. eval(['plot(，str1,'(:,1)，'，str1,'(:,2)）]; +47. else +48. eval(['plot(，str1,'(kn,1)，'，str1,'(kn,2)）]）; +49. end +50. plot(center(:,1),center(:,2)，'k+'); +51. title('SG数据药材分类'); +52. end + +```matlab +1.clc;clear +2. load('pca_p.mat', 'F4') +3. ppoint = F4; %输入光谱的坐标 +4. k = 6; +5. count = 100; +6. [N,~] = size(ppoint); +``` + +```txt +7. center = ppoint(1:k,:); % 令光谱前 k 个点为初始中心 +``` + +8. distance_square = zeros(N,k); +9. while count $\sim = 0$ +10. for i $= 1:k$ +11. distance_square(:,i) $=$ sum((ppoint - replmat(center(i,:),N,1)).^2,2); +12. str1 $=$ ['Center',num2str(i), ${}^{\prime} = []$ ;]; +13. eval(str1); +14. end $\%$ 计算到每个点到各个聚类中心的距离 +15. +16. for i $= 1:N$ +17. minposition $=$ find(distance_square(i,:)==min(distance_square(i,:)); +18. str1 $=$ ['Center',num2str(minposition)]; +19. eval([str1,' $=$ [',str1,';ppoint(i,:)]'); +20. end +21. +22. for i $= 1:k$ +23. str1 $=$ ['Center',num2str(i)]; +24. eval(['center_New(，num2str(i)，：） $=$ mean(',str1,'1);]); +25. end +26. +27. if sym(sum((center_New - center).^2)) $= = 0$ +28. break +29. else +30. center $=$ center_New; +31. end +32. count $=$ count-1; +33. end +34. for i $= 1:k$ +35. I $=$ num2str(i); +36. disp(['第',I,'组聚类的点集为：']; +37. disp.eval(['Center',I])) +38. end % 把光谱聚类点显示出来 +39. +40. hold on +41. for i $= 1:k$ +42. str1 $=$ ['Center',num2str(i)]; +43. plot.eval([str1,'(:,1)'],eval([str1,'(:,2)'],,','Markersize',15,'col o r',[rand rand rand]); +44. eval(['kn $=$ boundary(',str1,'(:,1),',str1,'(:,2),0.1);]); +45. if isempty(kn) +46. eval(['plot(',str1,'(:,1),',str1,'(:,2)');]); +47. else +48. eval(['plot(',str1,'(kn,1),',str1,'(kn,2)');]); + +```txt +49. end +50. plot(center(:,1),center(:,2), 'k+'); +51. +52. title('SG处理后进行一阶导数据药材分类'); +53. end +54. a1 = zeros(size(Center1,1), 1); +55. for ii = 1: size(Center1, 1) +56. cc1 = find(F4(:,1) == Center1(ii, 1)); +57. a1(ii) = cc1; +58. end +59. a2 = zeros(size(Center2, 1), 1); +60. for ii1 = 1: size(Center2, 1) +61. cc2 = find(F4(:,2) == Center2(ii1, 2)); +62. if length(cc2) == 1 +63. a2(ii1) = cc2; +64. else +65. a2(ii1) = cc2(1); +66. aaa1 = cc2(2); +67. end +68. end +69. a2 = unique(a2); a2 = [a2;aaa1]; +70. a3 = zeros(size(Center3, 1), 1); +71. for ii2 = 1: size(Center3, 1) +72. cc3 = find(F4(:,1) == Center3(ii2, 1)); +73. a3(ii2) = cc3; +74. end +75. a4 = zeros(size(Center4, 1), 1); +76. for ii3 = 1: size(Center4, 1) +77. cc4 = find(F4(:,1) == Center4(ii3, 1)); +78. a4(ii3) = cc4; +79. end +80. a5 = zeros(size(Center5, 1), 1); +81. for ii4 = 1: size(Center5, 1) +82. cc5 = find(F4(:,1) == Center5(ii4, 1)); +83. a5(ii4) = cc5; +84. end +85. a6 = zeros(size(F4, 1), 1); +86. aa = [a1;a2;a3;a4;a5]; +87. aa = sort(aa, 1, 'descend'); +88. for j = 1: length(aa) +89. a6(aa(j)) = 1; +90. end +91. +92. aa1 = find(a6 == 0); +``` + +93. a6 = aa1; + +```csv +1.clc;clear +2. load('pca_p.mat', 'F5') +3. ppoint = F5; +4. k = 6; % 输入光谱聚类组数 +5. +6. count = 100; +7. [N,~] = size(ppoint); +8. center = ppoint(1:k,:) % 令光谱前k个点为初始中心 +9. +10. distance_square = zeros(N,k); +11. while count~=0 +12. for i = 1:k +13. distance_square(:,i) = sum((ppoint - replat(center(i,:),N,1)).^2,2); +14. str1 = ['Center',num2str(i),'=[]';]; +15. eval(str1); +16. end +17. +18. for i = 1:N +19. minposition = find(distance_square(i,:)==min(distance_square(i,:)); +20. str1 = ['Center',num2str(minposition)]; +21. eval([str1,'='[',str1,';ppoint(i,:)];'); +22. end +23. +24. for i = 1:k +25. str1 = ['Center',num2str(i)]; +26. eval(['center_New',num2str(i),'::) = mean('',str1,'',1);}); +27. end +28. +29. if sym(sum(center_New - center)^2)) == 0 +30. break +31. else +32. center = center_New; +33. end +34. count = count-1; +35. end +36. for i = 1:k +37. I = num2str(i); +38. disp(['第',I,'组聚类点集为:']) +39. disp.eval(['Center',I])) +``` + +```matlab +40. end % 把聚类点显示出来 +41. +42. hold on +43. for i = 1:k +44. str1 = ['Center', num2str(i)]; +45. plot.eval([str1, ':', 1])', eval([str1, ':', 2]), ',', 'Markersize', 15, 'color', [rand rand rand]); +46. eval(['kn = boundary('', str1, ':', 1), ', str1, ':', 2), 0.1);'); +47. if isempty(kn) +48. eval(['plot('', str1, ':', 1), ', str1, ':', (kn, 2));]); +49. else +50. eval(['plot('', str1, ':', (kn, 1), ', str1, ':', (kn, 2))]); +51. end +52. plot(center(:, 1), center(:, 2), 'k+'); +53. title('SG处理后进行二阶导数据药材分类'); +54. end +55. a1 = zeros(size(Center1, 1), 1); +56. for ii = 1:size(Center1, 1) +57. cc1 = find(F5(:, 1) == Center1(ii, 1)); +58. al(ii) = cc1; +59. end +60. a2 = zeros(size(Center2, 1), 1); +61. for ii1 = 1:size(Center2, 1) +62. cc2 = find(F5(:, 2) == Center2(ii1, 2)); +63. a2(ii1) = cc2; +64. end +65. a3 = zeros(size(Center3, 1), 1); +66. for ii2 = 1:size(Center3, 1) +67. cc3 = find(F5(:, 1) == Center3(ii2, 1)); +68. a3(ii2) = cc3; +69. end +70. a4 = zeros(size(Center4, 1), 1); +71. for ii3 = 1:size(Center4, 1) +72. cc4 = find(F5(:, 2) == Center4(ii3, 2)); +73. if length(cc4) == 1 +74. a4(ii3) = cc4; +75. else +76. a4(ii3) = cc4(1); +77. aaa1 = cc4(2); +78. end +79. end +80. a4 = unique(a4); a4 = [a4; aaa1]; +81. a5 = zeros(size(Center5, 1), 1); +82. for ii4 = 1:size(Center5, 1) +``` + +```matlab +83. cc5 = find(F5(:,1) == Center5(ii4,1)); +84. a5(ii4) = cc5; +85. end +86. a6 = zeros(size(F5,1),1); +87. aa = [a1;a2;a3;a4;a5]; +88. aa = sort(aa,1,'descend'); +89. for j = 1:length(aa) +90. a6(aa(j)) = 1; +91. end +92. aa1 = find(a6 == 0); +93. a6 = aa1; +``` + +```matlab +1.clc;clear +2. a = xlsread('附件1.xlsx'); +3. ques_1_1 = a(:,2:end); +4. data2 = [308 193 356 136 272 95;130 268 356 191 272 95]; +5. a1 = data2(1,:) +6. data1 = ques_1_1(2:end,:) +7. b1 = data1(a1,:) +8. x wn = ques_1_1(1,:) +9. plot(x wn,b1); %SG处理后进行一阶导数据药材分类后提取特征数据 +10. title('一阶导聚类特征类别') +11. xlabel('波数');ylabel('吸光度') +12. legend('类别一','类别二','类别三','类别四','类别五','类别六') +13. +14. +15. ll = zeros(length(data2(1,:))); +16. for i = 1:length(data2(1,:)) +17. for j = 1:length(data2(1,:)) +18. g1 = b1(i,:)g2 = b1(j,:) +19. p1 = g1/sum(g1);q1 = g2/sum(g2); +20. D12 = sum(p1.*(log10(p1/q1)); +21. D21 = sum(q1.*(log10(q1/p1)); +22. sid = D12 + D21; +23. ll(i,j) = sid; +24. end +25. end +``` + +问题二： + +1.clc;clear +2. XX 将问题二数据提取到工作区 +3. a = xlsread('附件2.xlsx'); + +4. ques_2_1 = a(:,2:end); +5.ques_2_1(isnan(ques_2_1(:,1)),1)=0; +6. data = ques_2_1(2:end,2:end); +7. data1 = ques_2_1(2:end,1); +8. data2 = ques_2_1(1,2:end); +9. %数据预处理 SG SG-1 SG-2 +10. $\mathbf{rd} = 5$ +11. $f1 = 11$ +12.kmtlb = sgolayfilt(data',rd,fl,kaiser(fl,38)); % SG +13. k.deriv1 = diff(kmtlb,1); % SG-1 +14.k.deriv2 $=$ diff(kmtlb,2); $\%$ SG-2 +15. % 提取主成分 PCA +16.x1 $\equiv$ data; +17.[cum_contribution_rate1,F1,contribution_rate1]= PCA1(x1); +18.x2=kmtlb'; +19.[cum_contribution_rate2,F2,contribution_rate2] $\equiv$ PCA1(x2); +20.x3=k.deriv1'; +21.[cum Contribution_rate3,F3,contribution_rate3]= PCA1(x3); +22. $x4 = k\_ deriv2'$ +23.[cum_contribution_rate4,F4,contribution_rate4]= PCA1(x4); +24.%%画出贡献率图 +25.xx=20;%看前20个特征的贡献率与累计贡献率 +26.y1 $=$ contribution_rate1(1:xx)*100; +27. figure;bar(y1) +28. hold on +29. yy1 = cum_contribution_rate1(1:xx)*100; +30. plot(1:xx,yy1,'r+-') %未经处理数据 +31. title('贡献率图 原始数据'); +32.xlabel（'主成分样本数')；ylabel（'贡献率') +33. legend('贡献率','累积贡献率') +34. +35. +36.y2 $=$ contribution_rate2(1:xx)*100; +37. figure; bar(y2) +38. hold on +39. yy2 = cum_contribution_rate2(1:xx)*100; +40. plot(1:xx,yy2,'r+-') %SG处理后的数据 +41. title('贡献率图 SG处理后的数据'); +42.xlabel（'主成分样本数')；ylabel（'贡献率') +43. legend('贡献率','累积贡献率') +44. +45.y3 $=$ contribution_rate3(1:xx)*100; +46. figure; bar(y3) +47. hold on + +48. yy3 = cum_contribution_rate3(1:xx)*100; +49. plot(1:xx,yy3,'r*') %SG 处理后进行一阶导的数据 +50. title('贡献率图 SG处理后进行一阶导的数据'); +51.xlabel（'主成分样本数')；ylabel('贡献率') +52. legend('贡献率','累积贡献率') +53. +54.y4 $=$ contribution_rate4(1:xx)*100; +55. figure; bar(y4) +56. hold on +57. yy4 = cum_contribution_rate4(1:xx)*100; +58. plot(1:xx,yy4,'r*') %SG 处理后进行二阶导的数据 +59. title('贡献率图 SG处理后进行二阶导的数据'); +60.x1abel('主成分样本数');y1abel('贡献率') +61. legend('贡献率','累积贡献率') + +1. clc;clear +2. a = xlsread('附件2.xlsx'); +3. ques_2_1 = a(:,2:end); +4.ques_2_1(isnan(ques_2_1(:,1)),1)=0; +5. data1 = ques_2_1(2:end,1); +6. st = data1; +7. st1 = unique(st);st1(1) = []; +8. st_1 = sum(st ==st1(1));st_ind_1 = find(st ==st1(1)); +9. st_2 = sum(st ==st1(2)); st_ind_2 = find(st ==st1(2)); +10. st_3 = sum(st == st1(3)); st_ind_3 = find(st == st1(3)); +11. st_4 = sum(st == st1(4)); st_ind_4 = find(st == st1(4)); +12. st_5 = sum(st == st1(5)); st_ind_5 = find(st == st1(5)); +13. st_6 = sum(st == st1(6)); st_ind_6 = find(st == st1(6)); +14. st_7=sum(st ==st1(7));st_ind_7 = find(st ==st1(7)); +15. st_8=sum(st ==st1(8));st_ind_8 = find(st ==st1(8)); +16. st_9=sum(st ==st1(9));st_ind_9 = find(st ==st1(9)); +17. st_10 = sum(st ==st1(10)); st_ind_10 = find(st ==st1(10)); +18. st_11 = sum(st ==st1(11)); st_ind_11 = find(st ==st1(11)); +19. st_0=sum(st == 0);st_ind_0 = find(st == 0); +20. +21. randv1 = randperm(st_1); randv3 = randperm(st_3); +22. randv4 = randperm(st_4); randv6 = randperm(st_6); +23. randv10 = randperm(st_10); randv2 = randperm(st_2); +24. randv7 = randperm(st_7); randv8 = randperm(st_8); +25. randv11 = randperm(st_11); randv5 = randperm(st_5); +26. randv9 = randperm(st_9); + +27. data2 = [st_ind_1(randv1(1)),st_ind_2(randv2(1)),st_ind_3(randv3(1)),st_ind_4(randv4(1)),... +28. st_ind_5(randv5(1)),st_ind_6(randv6(1)),st_ind_7(randv7(1)),st_ind_8(randv8(1)),... +29. st_ind_9(randv9(1)),st_ind_10(randv10(1)),st_ind_11(randv11(1)); +30. a1 = data2; +31. data1 = ques_2_1(2:end,2:end); +32.b1 = data1(a1,:); +33. x wn = ques_2_1(1,2:end); +34. plot(x wn,b1); +35. title（不同地区光谱图） +36.xlabel('波数');ylabel('吸光度') +37. legend('地区一','地区二','地区三','地区四','地区五','地区六','地区七','地区八'… +38. '地区九', '地区十', '地区十一', 'Location', 'northeastoutside'); +39. +48. +41. 11 = zeros(length(data2(1, :)))); +42. for i = 1:length(data2(1,:)) +43. for $j = 1$ :length(data2(1,:)) +44. g1 = b1(i,:);g2 = b1(j,:); +45. p1 = g1/sum(g1); q1 = g2/sum(g2); +46. D12 = sum(p1.*(log10(p1/q1)); +47. D21 = sum(q1.*(log10(q1/p1))); +48. sid = D12 + D21; +49. $11(i,j) = \mathrm{sid};$ +50. end +51. end + +1. %GSdiff1 +2.clc;clear +3. a = xlsread('附件2.xlsx'); +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column=[31438485871798689... +7. 110 134 152 227 331 618]; +8. op = y(1,:); +9. op(:,tiqu_column) = []; +10.B=y(2:end,:); +11. order = 5; +12. framelen = 11; +13. sgf = sgolayfilt(B,order,frame1en); %SG +14.k.deriv2 $=$ diff(sgf,1); %SG数据的一阶求导 + +15. sgf1 = k.deriv2; +16. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +17.y_tiqu $\equiv$ sgf1(:,tiqu_column); +18. sgf1(:,tiqu_column) = []; +19. sgf1 = [sgf1;op]; +20.% classificationLearner %此处调用分类器工具箱 + +1. %GSdiff2 +2. clc;clear +3. a = xlsread('附件2.xlsx'); +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column $\equiv$ [31438485871798689. +7. 110 134 152 227 331 618]; +8. op = y(1,:); +9. op(:,tiqu_column) = []; +10.B=y(2:end,:); +11. order = 5; +12. framelen = 11; +13. sgf = sgolayfilt(B,order,frame1en); %SG +14.k.deriv2 $=$ diff(sgf,2); %SG数据的二阶求导 +15. sgf1 = k.deriv2; +16. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +17.y_tiqu $\equiv$ sgf1(:,tiqu_column); +18. sgf1(:,tiqu_column) = []; +19. sgf1 = [sgf1;op]; +20.% classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +21.% save('data2WEN.mat', 'trainedModel') +22. load data2WEN +23.yuce $=$ trainedModel.predictFcn(y_tiqu); +24. OP = [6 1 4 7 10 6 9 11 3 4 9 2 5 8 3] %得到编号所在的OP + +1.XXGSsoonth +2.clc;clear +3. a = xlsread('附件2.xlsx'); +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column $\equiv$ [31438485871798689. +7. 110 134 152 227 331 618]; +8. op = y(1,:); +9. op(:,tiqu_column) = []; + +```matlab +10. B = y(2:end,:) +11. order = 5; +12. framelen = 11; +13. sgf = sgolayfilt(B,order,framelen); %SG +14. sgf1 = mapstd(sgf); %数据标准化 +15. y_tiqu = sgf1(:,tiqu_column); +16. sgf1(:,tiqu_column) = []; +17. sgf1 = [sgf1;op]; +18. % classificationLearner +``` + +1. %原始数据 +2. clc;clear +3. a = xlsread('附件2.xlsx'); +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column = [3 14 38 48 58 71 79 86 89 ... +7. 110 134 152 227 331 618]; +8. op = y(1,:); +9. op(:,tiqu_column) = []; +10.B=y(2:end,:); +11.B1=mapstd(B); %数据标准化 +12.y_tiqu=B1(:,tiqu_column); +13.B1(:,tiqu_column）=[]; +14.B1=[B1;op]; +15.% classificationLearner %此处调用分类器工具箱 + +# 问题三 + +1. XX进红外 SGdiff1 +2.c1c;clear +3.a=xlsread（附件3.xlsx，近红外）； +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column $\equiv$ [4152230344574114170209]; +7. op = y(1,:); +8. op(:,tiqu_column) = []; +9. B = y(2:end, :); +10. order = 5; +11.framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(B,order,frameLen); %SG +13.kderiv1 $=$ diff(sgf,1); XSG数据的一阶求导 +14. sgf1 = k.deriv1; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 + +16.y_tiqu $=$ sgf1(:,tiqu_column); +17.sgf1(:,tiqu_column） $\equiv$ []; +18.sgf1 $=$ [sgf1;op]; +19.% classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +20.% save('data22.mat','trainedModel') + +1. %进红外 SGdiff2 +2. clc;clear +3. a = xlsread('附件3.xlsx', '近红外'); +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column=[4152230344574114170209]; +7. op = y(1,:); +8. op(:,tiqu_column) = []; +9. $B = y(2:end,:)$ +10. order = 5; +11.framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(B,order,frameLen); %SG +13.k.deriv1 $=$ diff(sgf,1); %SG数据的一阶求导 +14. sgf1 = k.deriv1; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +16.y_tiqu $\equiv$ sgf1(:,tiqu_column); +17. sgf1(:,tiqu_column) = []; +18. sgf1 = [sgf1;op]; +19.% classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +20.% save('data21.mat', 'trainedModel') +21. load data21 +22.yuce $=$ trainedModel.predictFcn(y_tiqu); +23.yuce1=[17;11;1;2;16;3;4;10;9;14] %这是得到问题三的OP + +1. %检验中红外 +2.clc;clear +3.a=xlsread（附件3.xlsx，中红外）； +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column=[4152230344574114170209]; +7. op = y(1,:); +8. op(:,tiqu_column）=[]; +9. $B = y(2:end,:)$ +10. order = 5; +11.framelen = 11; + +```matlab +12. sgf = sgolayfilt(B,order,frameLen); %SG +13. k.deriv2 = diff(sgf,2); %SG数据的一阶求导 +14. sgf1 = k.deriv2; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +16. y_tiqu = sgf1(:,tiqu_column); +17. sgf1(:,tiqu_column) = []; +18. sgf1 = [sgf1;op]; +19. train = sgf1(:,1:200); %选择两百个做训练集 +20. test = sgf1(:,201:end); %选择剩下的做测试集 +21. sim = test(end,:) %检验集 +22. test(end,:) = []; +23. % classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +24. % save('data2.mat', 'trainedModel1') +25. load data2 +26. yuce = trainedModel1.predictFcn(test); +27. yuce1 = [1;8;4;8;7;8;7;11;4;11;2;9;15;8;...%这是用模型得到的预测OP +28. 15;6;1;8;14;9;7;9;14;9;6;2;5;17;8;1;... +29. 15;17;10;10;12;4;7;12;7;7;16;2;17;11;6] +30. plot(1:45,yuce,'o') +31. hold on +32. plot(1:45,sim,'*') %画出的检验图显然正确率很高 +``` + +1. %检验近红外 +2.clc;clear +3.a=xlsread（附件3.x1sx，近红外）； +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column=[4152230344574114170209]; +7. op = y(1,:); +8. op(:,tiq_column) = []; +9. $B = y(2:end,:)$ +10. order = 5; +11.framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(B,order,frame1en); %SG +13.kderiv2 $=$ diff(sgf,2); %SG数据的一阶求导 +14. sgf1 = k.deriv2; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +16.y_tiqu $\equiv$ sgf1(:,tiqu_column); +17. sgf1(:,tiqu_column) = []; +18. sgf1 = [sgf1;op]; +19.train $\equiv$ sgf1(:,1:200); %选择两百个做训练集 +20.test $=$ sgf1(:,201:end); %选择剩下的做测试集 +21. sim = test(end,:) %检验集 + +22.test(end,：） $= []$ +23.% classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +24.% save('data22.mat'，'trainedModel') +25.load data22 +26.yuce $=$ trainedModel.predictFcn(test); +27.yuce1 $= [1,8,4,8,7,8,7,11,4,11,13,9,\dots \%$ 这是用模型得到的预测OP +28. 15,8,15,6,1,8,14,9,7,9,14,9,6,2,5,... +29. 17,8,1,15,17,10,10,12,4,10,12,7,7,16,2,17,11,6] +30.plot(1:45,yuce,'o') +31 HOLD on +32.plot(1:45,sim,'*') %画出检验图显然正确率很高 + +```txt +1. clc;clear +2. a1 = xlsread('附件3.x1sx','近红外'); +3. a2 = xlsread('附件3.x1sx','中红外'); +4. a1 = a1(:,3:end); +5. a = [a2,a1]; +6. a = a';x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end); +7. %提取需要鉴别药材 +8. tiqu_column = [4 15 22 30 34 45 74 114 170 209]; +9. op = y(1,:); +10. op(:,tiqu_column) = []; +11. B = y(2:end,:) +12. order = 5; +13. framelen = 11; +14. sgf = sgolayfilt(B,order,framelen); %SG +15. k.deriv1 = diff(sgf,1); %SG数据的一阶求导 +16. sgf1 = k.deriv1; +17. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +18. y_tiqu = sgf1(:,tiqu_column); +19. sgf1(:,tiqu_column) = []; +20. sgf1 = [sgf1;op]; +21. % classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +``` + +```matlab +1.clc;clear +2. a1 = xlsread('附件3.x1sx','近红外'); +3. a2 = xlsread('附件3.x1sx','中红外'); +4. a1 = a1(:,3:end); +5. a = [a2,a1]; +6. a = a';x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end); +7. %提取需要鉴别药材 +``` + +```matlab +8. tiqu_column = [4 15 22 30 34 45 74 114 170 209]; +9. op = y(1,:); +10. op(:,tiqu_column) = []; +11. B = y(2:end,:) +12. order = 5; +13. framelen = 11; +14. sgf = sgolayfilt(B,order,framelen); %SG +15. k.deriv2 = diff(sgf,2); %SG数据的一阶求导 +16. sgf1 = k.deriv2; +17. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +18. y_tiqu = sgf1(:,tiqu_column); +19. sgf1(:,tiqu_column) = []; +20. sgf1 = [sgf1;op]; +21. %classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +``` + +1. XX中红外 SGdiff1 +2.clc;clear +3. a = xlsread('附件3.xlsx', '中红外'); +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column=[4152230344574114170209]; +7. op = y(1,:); +8. op(:,tiqu_column) = []; +9. $B = y(2: \text{end}, :)$ +10. order = 5; +11.framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(B,order,frameLen); %SG +13.kderiv1 $=$ diff(sgf,1); %SG数据的一阶求导 +14. sgf1 = k.deriv1; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +16.y_tiqu $\equiv$ sgf1(:,tiqu_column); +17. sgf1(:,tiqu_column) = []; +18. sgf1 = [sgf1;op]; +19.% classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +1.XX中红外SGdiff2 +2. clc;clear +3. a = xlsread('附件3.xlsx', '中红外'); +4. $a = a^{\prime};x = a(3:end,1);y = a(2:end,2:end);$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column=[4152230344574114170209]; + +问题四：将附件四class数据（A、B、C分别转换成1，2，3） +```matlab +7. op = y(1,): +8. op(:,tiqu_column) = [] +9. B = y(2:end,): +10. order = 5; +11. framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(B,order,framelen); +13. k.deriv2 = diff(sgf,2); +14. sgf1 = k.deriv2; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); +16. y_tiqu = sgf1(:,tiqu_column); +17. sgf1(:,tiqu_column) = [[]; +18. sgf1 = [sgf1;op]; +19. % classificationLearner +``` + +```matlab +1. %将附件四class数据(A、B、C分别转换成1，2，3) +2. clc;clear +3. a = xlsread('附件4.xlsx'); +4. x = a(2:end,3);y = a(2:end,4:end); +5. %提取需要鉴别药材 +6. tiqu_column = find(isnan(x)); +7. tiqu_column1 = find(~isnan(x)); +8. op = x; +9. op (tiqu_column) = []; +10. order = 5; +11. framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(y',order,framelen); %SG +13. k.deriv2 = diff(sgf,1); %SG数据的一阶求导 +14. sgf1 = k.deriv2; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +16. y_tiqu = sgf1(:,tiqu_column1); +17. y_tiqu = y_tiqu'; +18. sgf2 = [op,y_tiqu]; +19. %classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +20. % save('trainedModel3.mat','trainedModel3') +21. train = sgf2(1:314,:); %训练集 +22. load trainedModel3 +23. test = sgf2(314:end,:); %检验集 +24. test1 = test(:,1);test2 = test(:,2:end); +25. yfit = trainedModel3.predictFcn(test2); +26. xx =1:length(test1); +27. plot(xx,test1,'o'); hold on +28. plot(xx,yfit,'*') +``` + +29. legend('真实值','检验预测值')%检验集可视化 +30. sgf1 = sgf1'; +31. sim = sgf1([94 109 140 278 308 330 347],:); +32.yfit1 $=$ trainedModel3.predictFcnn(sim); + +1. %将附件四 class 数据 (A、B、C 分别转换成 1,2,3) +2.clc;clear +3. a = xlsread('附件4.xlsx'); +4. data_opandc1 = a(2:end,2:end); +5. data_opandc1(isnan(data_opandc1(:,1)),:=[]) +6. data_opandc1(isnan(data_opandc1(:,2)),:=[]) +7. st_ind_1 = find(data_opandc1(:,1) == 1); +8.class_1=(data_opandc1(data_opandc1(:,1)==1,2)); +9. 1=data_opandc1(st_ind_1,3:end); +10. order = 5; +11. framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(1',order,framelen); %SG +13.k.deriv1 $=$ diff(sgf,1); %SG数据的一阶求导 +14.class_1_all $\equiv$ [class_1,k.deriv1]; +15.11=a([94,109,140]+1,4:end); %预测 +16. sgf1 = sgolayfilt(ll',order,framelen); %SG +17.k.deriv11 $=$ diff(sgf1,1); %SG数据的一阶求导 +18. load trainedModel6 +19.yfit1 $\equiv$ trainedModel6.predictFcn(k.deriv11'); +20. +21. st_ind_2 = find(data_opandc1(:,1) == 2); +22.class_2=(data_opandc1(data_opandc1(:,1)==2,2)); +23. 12=data_opandc1(st_ind_2,3:end); +24. order = 5; +25.framelen = 11; +26.sgff $\equiv$ sgolayfilt(12',order,frame1en); %SG +27.k.deriv2 $=$ diff(sgf,2); XSG数据的一阶求导 +28.class_2_all $\equiv$ [class_2,k.deriv2]; +29.112=a([347]+1,4:end); %预测 +30. sgf2 = sgolayfilt(112',order,frame1en); %SG +31. k.deriv11 = diff(sgf2,1); %SG数据的一阶求导 +32. load trainedModel7 +33.yfit2 $\equiv$ trainedModel17.predictFcn(k.deriv11'); +34. +35. st_ind_3 = find(data_opandc1(:,1) == 3); +36.class_3=(data_opandc1(data_opandc1(:,1)=3,2)); +37. 13=data_opandc1(st_ind_3,3:end); +38. order = 5; + +39.framelen $= 11$ +40.sgff3 $\equiv$ sgolayfilt(13',order,framelen); $\% SG$ +41.k.deriv3 $\equiv$ diff(sgf3,1); $\% SG$ 数据的一阶求导 +42.class_3_all=[class_3,k.deriv3']; +43.l13=a([278308330]+1,4:end); $\%$ 预测 +44.sgf3 $\equiv$ sgolayfilt(l13',order,framelen); $\% SG$ +45.k_deriv13 $\equiv$ diff(sgf3,1); $\% SG$ 数据的一阶求导 +46.load trainedModel8 +47.yfit3 $\equiv$ trainedModel8.predictFcn(k.deriv13'); + +1. %将附件四 class 数据（A、B、C 分别转换成 1，2，3） +2. clc;clear +3. a = xlsread('附件4.xlsx'); +4. $x = a(2:end,2);y = a(2:end,4:end)$ +5. %提取需要鉴别药材 +6. tiqu_column = find(isnan(x)); +7. tiqu_column1 = find(~isnan(x)); +8. $\mathsf{op} = \mathsf{x};$ +9. op (tiqu_column) = []; +10. order = 5; +11. framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(y',order,framelen); %SG +13.k.deriv2 $=$ diff(sgf,1); %SG数据的一阶求导 +14. sgf1 = k.deriv2; +15. sf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +16.y_tiqu $\equiv$ sgf1(:,tiqu_column1); +17.y_tiqu=y_tiqu'; +18. sgf2 = [op,y_tiqu]; +19.%classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +20. % save('trainedModel.mat', 'trainedModel') +21.train $\equiv$ sgf2(1:221,); +22. load trainedModel +23.test $=$ sgf2(222:end,); %检验集 +24.test1 $=$ test(:,1);test2 $=$ test(:,2:end); +25.yfit $\equiv$ trainedModel.predictFcn(test2); +26.xx=1=length(test1); +27. plot(xx, test1, 'o'); hold on +28. plot(xx,yfit,'*') +29. legend('真实值','检验预测值')%检验集可视化 +30. sgf1 = sgf1; +31. sim = sgf1([94 109 140 278 308 330 347],:)); +32.yfit1 $=$ trainedModel.predictFcnsim); + +1. %将附件四class数据(A、B、C分别转换成1,2,3) +2.clc;clear +3. a = xlsread('附件4.xlsx'); +4. $x = a(2:end,3);y = a(2:end,4:end)$ +5. %提取需要鉴别药材 +6.tiqu_column $=$ find(isnan(x)); +7.tiqu_column1 $=$ find(~isnan(x)); +8. op = x; +9. op (tiqu_column) = []; +10. order = 5; +11. framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(y',order,framelen); %SG +13.kderiv2 $=$ diff(sgf,2); XSG数据的二阶求导 +14. sgf1 = k.deriv2; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +16.y_tiqu $\equiv$ sgf1(:,tiqu_column1); +17.y_tiqu=y_tiqu'; +18. sgf2 = [op,y_tiqu]; +19.%classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +20.% save('trainedModel12.mat', 'trainedModel2') +21.train $\equiv$ sgf2(1:314,); +22. load trainedModel2 +23.test $\equiv$ sgf2(314:end,:); %检验集 +24.test1 $=$ test(:,1);test2 $=$ test(:,2:end); +25.yfit $=$ trainedModel2.predictFcn(test2); +26.xx=1=length(test1); +27. plot(xx, test1, 'o'); hold on +28. plot(xx,yfit,'*') +29. legend('真实值','检验预测值')%检验集可视化 +30. sgf1 = sgf1'; +31. sim = sgf1([94 109 140 278 308 330 347],:); +32.yfit1 $=$ trainedModel2.predictFcn(sim); + +1. %将附件四class数据(A、B、C分别转换成1,2,3) + +2.clc;clear +3. a = xlsread('附件4.xlsx'); +4. $x = a(2:end,2);y = a(2:end,4:end)$ +5. %提取需要鉴别药材 +6. tiqu_column = find(isnan(x)); +7. tiqu_column1 = find(~isnan(x)); +8. $\mathsf{op} = \mathsf{x};$ + +```matlab +9. op (tiqu_column) = []; +10. order = 5; +11. framelen = 11; +12. sgf = sgolayfilt(y',order,framelen); %SG +13. k.deriv2 = diff(sgf,2); %SG数据的一阶求导 +14. sgf1 = k.deriv2; +15. sgf1 = mapstd(sgf1); %数据标准化 +16. y_tiqu = sgf1(:,tiqu_column1); +17. y_tiqu = y_tiqu'; +18. sgf2 = [op,y_tiqu]; +19. %classificationLearner %此处调用分类器工具箱 +20. % save('trainedModel1.mat','trainedModel1') +21. train = sgf2(1:221,:); %训练集 +22. load trainedModel1 +23. test = sgf2(222:end,:); %检验集 +24. test1 = test(:,1);test2 = test(:,2:end); +25. yfit = trainedModel1.predictFcn(test2); +26. xx =1:length(test1); +27. plot(xx,test1,'o'); hold on +28. plot(xx,yfit,'*') +29. legend('真实值','检验预测值')%检验集可视化 +30. sgf1 = sgf1'; +31. sim = sgf1([94 109 140 278 308 330 347],:); +32. yfit1 = trainedModel1.predictFcn(sim); +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/E025/E025.md b/MCM_CN/2021/E025/E025.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..daa7ed68ac02a70008a2a5ba30060cd0e47e2b48 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/E025/E025.md @@ -0,0 +1,1588 @@ +# 中药材的鉴别 + +# 摘要 + +科学准确地鉴别中药材类别与产地，对于智慧中药产业具有重要的作用。本文构建了基于智能优化和机器学习结合的中药材鉴别模型，有效提高了中药材的鉴别类别与产地的精度，主要解决以下问题： + +针对问题一，首先，对附件1数据进行数据预处理，并将样本进行描述性统计和可视化分析；其次，分别将原始数据、主成分分析降维后数据、提取不同波段长度的特征作为属性数据，通过肘部法则、平均轮廓法和间隔统计量法确定最优聚类数。利用K-means和Ward方法对中药材进行聚类分析，将不同类别的药材数据进行差异性分析。 + +针对问题二，将11个不同产地药材的中红外光谱数据进行统计分析，绘制出每个产地对应光谱数据的均值曲线和方差曲线，将原始数据进行了降维和分波段计算特征处理，形成了包括原始数据在内的五类不同数据集，分别利用LightGBM、极端梯度增强（XGBoost）、支持向量机（SVM）、随机森林（RF）、梯度提升决策树（GBDT）和多层感知机（MLP）六种机器学习算法进行分类，采用交叉验证计算四个评价指标对分类结果进行评价。最后，利用不同机器学习方法给出药材产地。鉴别结果详见下表。 + +
No31438485871798689110134152227331618
OP61461069113492583
+ +针对问题三，基于鲸鱼优化和机器学习的药材产地鉴别模型。首先，提取不同区间波段特征属性，分别将13个不同产地药材的近红外光谱数据进行特征分析，分别利用LightGBM等6种算法对药材产地进行分类识别，并筛选出有利于产地识别的重要特征；其次，利用中红外光谱数据提取不同区间波段特征属性，利用上述6种算法对药材产地进行分类识别；利用上述两个方案组成产地识别的特征集，利用不同机器学习方法选定最佳模型；最后，提出基于鲸鱼优化和LightGBM方法结合的药材产地识别模型，并对药材产地进行识别。鉴别结果详见下表。 + +
No4152230344574114170209
OP171112163410914
+ +针对问题四，将附件4近红外数据进行统计分析并提取特征，参照问题三建模思路，利用不同机器学习算法对中药材的类别和产地进行分类预测；通过构建中药材类别预测模型，为未知的中药材样本类别进行预测和标记，再对中药材产地建模。同理，通过构建中药材产地预测模型，为未知的中药材样本产地进行预测和标记，对中药材类别构建类别预测模型。充分挖掘不同波段对药材类别和产地分类效果差异性，构建基于机器学习的两阶段药材类别与产地识别模型，鉴别结果详见下表。 + +
No94109140278308330347
ClassAAACCCB
OP53113411
+ +本文创新之处：采用主成分分析对数据进行降维，利用动态K-means实现中药材聚类并进行差异性分析。提出鲸鱼优化和机器学习结合的中药材类别与产地识别模型，该模型识别效果好、精度高，对葡萄酒分类、精准医疗、故障诊断等领域具有重要的参考价值。 + +关键词：中药材鉴别 K-means 聚类 鲸鱼优化 机器学习 评价指标 + +# 一、问题重述 + +科学准确地鉴别中药材类别对于智慧医疗和保障人民身体健康具有至关重要的作用。不同种类的中药材与同一种类来自不同产地的中药材，在近红外、中红外光谱的照射下，会呈现出不同的光谱特征。利用这些特征可以较容易的鉴别中药材的种类，而对于中药材的产地，由于不同产地的同种药材在同波段内光谱比较接近，在样本量不充足时，可以采用近红外和中红外的光谱数据相互验证来对中药材产地进行综合鉴别。现已有一些中药材的近红外或中红外光谱数据的四个附件。 + +建立数学模型解决以下问题： + +（1）根据附件1，分析不同种类药材的特征和差异性，并鉴别药材的种类。 +（2）根据附件2，分析不同产地药材的特征和差异性，鉴别药材的产地，并给出部分编号对应的药材产地的鉴别结果。 +（3）根据附件3，鉴别某一种药材的产地，并给出部分编号对应的药材产地的鉴别结果。 +（4）根据附件4，鉴别某些药材的类别与产地，并给出部分编号对应的药材类别与产地的鉴别结果。 + +# 二、问题分析 + +本文主要解决红外光谱下中药材的分析与鉴别问题。要求依据所提供近红外和中红外的光谱数据，对不同种类药材的特征和差异性进行分析，并鉴别药材类别与产地。 + +# 2.1 问题一的分析 + +根据附件1中已有的几种药材的中红外光谱数据，研究药材的特征和它们之间的差异性，并鉴别药材种类。由于红外光谱的高度特征性，在中红外光谱的照射下要想鉴别药材的种类可以将在对应波段光谱照射下的不同的吸光度来进行分类，将具有相似性的数据认定为同一种类。对附件1进行数据预处理，再对数据进行可视化分析，并将个体样本进行描述性统计分析，再分别利用不同的聚类分析方法对中红外光谱数据进行分类；最后，将不同类别的中药材数据进行特征提取和差异性分析。 + +# 2.2 问题二的分析 + +根据附件2中某一种药材的中红外光谱数据，分析不同产地药材的特征和差异性，并鉴别药材的产地。首先，分别将11个不同产地药材的中红外光谱数据进行综合汇总，绘制出每个产地对应光谱数据的均值曲线和方差曲线，同时，为更好衡量不同产地药材的差异性和区分度，我们将原始数据进行了降维和分波段计算特征处理，形成了包括原始数据在内的五类不同数据集，比较分析了支持向量机（SVM）、随机森林（RF）、极端梯度增强（XGBoost）、梯度提升决策树（GBDT）、LightGBM和多层感知机（MLP）这六种机器学习分类算法。本文中的六种分类算法都是根据训练集建立模型，进行五折交叉验证，从而对测试集进行预测，并与真实结果进行对比，应用的评价指标为Precision、Recall、F1-score以及Accuracy。最后，用不同机器学习方法给出文中所给编号的药材产地鉴别结果。 + +# 2.3 问题三的分析 + +构建基于机器学习的药材产地鉴别模型。首先，利用近红外光谱数据提取不同区间波段特征属性，分别利用SVM、RF、XGBoost、GBDT、LSTM和MLP等不同机器学习算法对药材产地进行分类识别，并筛选出有利于产地识别的重要特征；其次，利用中红外光谱数据提取不同区间波段特征属性，分别利用上述6种不同机器学习算法对药材产地进行分类识别，并筛选出对产地鉴别有利的重要特征；再次，利用上述两个方案筛选后组成产地识别的特征集，利用不同机器学习方法选定最佳模型；最后，提出基于鲸鱼优化和XGBoost结合的药材产地识别模型，并计算出药材的鉴别结果。 + +# 2.4 问题四的分析 + +借鉴上述问题的建模思路，通过研究不同药材的近红外光谱数据，分析不同药材的特征和差异性，以及不同产地的同一种药材鉴别具有一定难度。本文分三种情形建模：包括已知类别，未知产地的识别模型；未知类别、已知产地的识别模型；类别和产地均未知的识别模型。利用SVM、RF、XGBoost、GBDT、LSTM和MLP等不同机器学习算法对药材类别和产地进行识别，并进行综合评定，最终给出文中所给编号的药材类别与产地的鉴别结果。 + +# 三、模型假设与符号说明 + +# 3.1 模型假设 + +1. 不同产地的同一种药材光谱特征不完全相同； +2. 对应波段光谱照射下的吸光度为仪器矫正后的值； +3. 不同种类中药材的光谱特征之间的存在差异； +4. 中药材的红外光谱数据误差在可接受范围内。 + +# 3.2符号说明 + +
符号含义
xi表示药材第i个对应波段光谱照射下的吸光度
Class表示中药材的类别
OP表示该种药材的产地
K表示通过聚类分析得到的分类数
P表示评价指标中的精确率
R表示评价指标中的召回率
ACC表示评价指标中的准确率
F1表示精确率和召回率的加权平均数
+ +# 四、问题一模型的建立与求解 + +# 4.1 数据预处理 + +数据预处理在数据分析中起到非常重要的作用。对数据进行预处理，从而提高数据分析质量。附件1中数据不存在缺失值。针对附件1数据进行统计分析发现，如图4-1所示，编号为64、136、201的数据明显大于其他数据，为提高后续建模的准确性，将这三个编号药材的吸光度数据进行单独提取。 + +对光谱数据进行主成分分析，需要首先对数据进行标准化处理，将原始数据经过处理转换为无量纲的相对数值，建立数据之间的可比性，同时避免数据样本中较大值与较小值对综合指数的影响，保证结果的可靠性。本文采用标准归一化方法，输出范围在0-1之间。找出每个属性的最大值和最小值，并将一个数据原始值进行标准化处理。标准化公式如下： + +$$ +x _ {\text {n e w}} = \frac {x - x _ {\min}}{x _ {\max} - x _ {\min}} \tag {4-1} +$$ + +![](images/55e0f3e1b8677cff72cf53d6327ba7effb52207963de29e5058410f8098683d4.jpg) +图4-1 部分药材的中红外光谱数据示意图 + +# 4.2描述性统计分析 + +本文从横向及纵向上对数据进行描述性统计分析，即分别以编号为50、100、150、200、250、300、350、400的样本为例，对不同波段上的数据进行描述性统计分析，可以看出样本的整体情况；以波数为1000的不同种类药材为例进行描述性统计分析，可以看出某一波段数据的特征。 + +![](images/8393c03ff54838fe27dee7003b15cab584b67e9b9a8cab706833f433c2698e74.jpg) +图4-2.同一波数对应吸光度数据示意图 + +![](images/c57d576bf7d134959146e12714095c96e4240971a4369c90808276745db12d0c.jpg) +图4-3.不同类别药材光谱数据示意图 + +从图可以明显看出在同一波段，不同样本的吸光度呈现出较大的差异性；同时，可以明显看出不同样本的中红外光谱数据的波形存在较大差异，这说明所选取的样本可能 + +来自于不同类别的药材。 + +表 4-1. 描述性统计分析 + +
编号总数均值标准差最小值上四分位数中位数下四分位数最大值
5033480.0520.0500.0010.0110.0380.0850.215
10033480.0350.0230.0030.0120.0340.0510.104
15033480.0580.0580.0000.0100.0430.0960.240
20033480.0510.053-0.0010.0070.0300.0910.233
25033480.0710.0670.0040.0160.0530.1110.296
30033480.0770.0720.0050.0160.0590.1240.315
+ +表4-1为不同编号样本的描述性统计分析，由表可以看出每个样本有3348个数据点，样本均值在0.035到0.077之间，标准差从0.023到0.072之间，这说明不同类别样本的红外光谱数据的波动性存在差异；由上四分位数、中位数、下四分位数的差异可以看出，不同类别样本在同一波段呈现出的差异并不相同。 + +# 4.3基于K-means的中药材聚类分析 + +# 4.3.1 确定最佳聚类数 + +通过聚类分析鉴别药材种类要首先确定K值，即药材种类数。确定K-means的K值的方法：肘部法则、平均轮廓法和间隔统计量法。 + +# （1）肘部法则的平均指标 + +随着聚类数K的增大，样本划分会更加精细，误差平方和SSE会逐渐变小。SSE和K的关系图是一个手肘的形状，而这个肘部对应的K值就是数据的真实聚类数。 + +$$ +S S E = \sum_ {(i = 1)} ^ {k} \sum_ {c \in C _ {i}} | p - m _ {i} | ^ {2} \tag {4-2} +$$ + +# （2）平均轮廓法 + +使用平均轮廓法也可以确定出K值，对于一个聚类任务，我们希望得到的簇中，簇内尽量紧密，簇间尽量远离，轮廓系数便是类的密集与分散程度的评价指标 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {m} \left\| \bar {x} ^ {(i)} - x ^ {(i)} \right\| _ {2} ^ {2} \tag {4-3} +$$ + +公式表达如下： + +$$ +S (i) = \frac {b (i) - a (i)}{\max \{a (i) , b (i) \}} \tag {4-4} +$$ + +其中 $a(i)$ 代表同簇样本到其他样本的平均距离， $b(i)$ 代表样本到除自身所在簇外的最近簇的样本的均值，s取值在[-1,1]之间。 + +$$ +s (i) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - \frac {a (i)}{b (i)}, \quad a (i) < b (i) \\ 0, \quad a (i) = b (i) \\ \frac {b (i)}{a (i)} - 1, \quad a (i) > b (i) \end{array} \right. \tag {4-5} +$$ + +# (3) 间隔统计量法 + +间隔统计量法对经验的依赖不强，只需要找到最大间隔统计量所对应的K即可。当分为K组时，对应的损失函数为欧几里得距离平方和，记为 $D_{k}$ ，则间隔统计量（Gap(k））定义为： + +$$ +G a p (k) = E \left(\log D _ {k}\right) - \log D _ {k} \tag {4-6} +$$ + +间隔统计量取得最大值所对应的K就是最佳的分组数。 + +# 4.3.2 利用原始数据进行聚类 + +问题一在中红外光谱的照射下，对应波段光谱照射下的不同药材的吸光度不同来进行分类，将具有相似性的数据认定为同一种类。针对问题一，利用K-means聚类方法对数据预处理后的数据进行聚类分析，首先是对聚类数目K值即药材的种类数目的确定，利用肘部法则、平均轮廓法和间隔统计量三种方法确定最优K值，结果如图所示： + +![](images/8f725354b11c59641cf1860e8a9d590aa56f09a0fbff33bd8630649bf9e673e5.jpg) +图4-4.肘部法则确定聚类数 + +![](images/38099ccf84bb35e9484425f1896a79477a70a968a29bee41020a2c9ce371afc5.jpg) +图4-5.间隔统计量确定聚类数 + +![](images/133aea7e75953831b34109074ab8e3cb02f703df692a533667d8c612633a2ca8.jpg) +图4-6.平均轮廓法确定聚类数 + +![](images/ead796c0bfed3707f3f25cb7ce8c3cb2701ff95c62ef476d48f3d9a6c008e1db.jpg) +图4-7.K-means聚类效果图 + +根据肘部法则，随着聚类数K的增大，SSE逐渐减小，逐渐趋于平稳。由图4-8所示，当K小于3时，随着K增大，图线斜率变化很大；但当K到达3时，随着K增大，图线斜率变化减小，并趋于平缓。因此可以根据SSE下降幅度，可以判定转折处 $\mathrm{K} = 3$ 为最佳聚类数。图4-5是由间隔统计量法得到的K值，当 $\mathrm{K} = 3$ 时， $Gap(k)$ 取得局部最大值。根据平均轮廓法，平均轮廓系数越大，说明聚类效果越好，图4-6中 $\mathrm{K} = 3$ 时平均轮廓系数达到最大值，因此最佳聚类数目为3。综上所述，选择 $\mathrm{K} = 3$ 为最优K值，即药材的种类为3类。图4-7是 $\mathrm{K} = 3$ 时根据K-means聚类方法对数据进行聚类得到的结果。 + +# 4.3.3 基于主成分分析的K-means聚类 + +主成分分析（PCA）是一种常见的数据降维方法，针对问题一，由于附件1中样本量为425，中红外光谱数为3348，因此利用主成分分析法对数据进行降维，得到累积贡 + +献率如表4-3所示： + +表 4-2.累积贡献率表 + +
m=1m=2m=3m=4
累积贡献率50.01%86.18%92.49%97.25%
+ +由表4-2可知，选取前三个主成分时，累计贡献率达到了0.9249，因此选取三个主成分以此来进行K-means聚类，聚类结果如图4-8、4-9、4-10、4-11所示。 + +![](images/2e55c388041cfa7b7a397c1e8b5e9ee84dd20d32c9818b28d84dec823f3e90c8.jpg) +图4-8.肘部法则确定聚类数 + +![](images/1d575b8f1ce35d4a860a7d5e8c0fc9bdf890c81a837ae6afb7df9f448bdb64c5.jpg) +图4-9.间隔统计量确定聚类数 + +![](images/72f86d0bd780717c3edc90e186c4d41d6b21042f3c78015ef655239eac5ce329.jpg) +图4-10.平均轮廓法确定聚类数 + +![](images/b3269ea03338cb22ef713e57ef695413d1b687d4f58e1a7f705fe418ee3f4290.jpg) +图4-11.K-means聚类结果图 + +图4-8中，K<3时，随着K增大，图线斜率变化很大；但当K>3时，随着K增大，图线斜率变化减小，图形并趋于平缓。因此根据肘部法则可以判定K=3为最佳聚类数。图4-9是由间隔统计量法得到的K值，当K=3时， $Gap(k)$ 取得局部最大值。根据图4-10的平均轮廓法，K=3时平均轮廓系数达到最大值，因此最佳聚类数目为3。综上所述，经过PCA降维选取三个主成分后再进行聚类，最终选择K=3为最优K值。图4-11是K=3时根据PCA降维后选取三个主成分后再进行K-means聚类得到的结果。 + +# 4.3.4 基于特征提取的K-means聚类 + +通过对数据进行定性判断发现：对于不同中药材来说，在大部分波长区间中红外光谱数据基本相近，可认为该段红外光谱在判别中药材时贡献度较小，或造成信息冗余，因此对于不同药材不同波段来说如何提取其主要差异性特征是一个值得聚焦的问题。 + +在这里，我们使用平滑处理的方式，以窗口长度为20、50和100，分别提取不同药材不同波段窗口的均值、标准差、下四分位数、中位数、上四分位数、偏度和峰度等特征，以此为聚类特征完成K-means聚类。 + +图4-12、图4-13、图4-14、图4-15是以窗口长度为20的平滑处理提取药材的均值、 + +标准差、下四分位数、中位数、上四分位数、偏度和峰度等特征后利用K-means方法聚类的结果。 + +![](images/764159a01eda0af3a2fc1fb7e8641d5f6754de9cf7f536213757e9e10a399869.jpg) +图4-12.肘部法则确定聚类数 + +![](images/e89873234b2e3df4f347ddb922bc1cd8376228fc38072d791bae682466366343.jpg) +图4-13.间隔统计量确定聚类数 + +![](images/4f5013fd3c1f7426ac89946602235ee0b8b5617d1d9694755f21f4440583a101.jpg) +图4-14.平均轮廓法确定聚类数 + +![](images/e06faf36e4d33ddf0e1a3c1c15c31ad4f81cf054773ef219066dea6b1b69244f.jpg) +图4-15.K-means聚类结果图 + +图4-12是由肘部法则得到的K值，在 $\mathrm{K} = 3$ 时，畸变程度得到大幅改善，可以选取 $\mathrm{K} = 3$ 作为聚类数量。图4-13是由间隔统计量法得到的K值，当 $\mathrm{K} = 3$ 时， $\operatorname{Gap}(k)$ 取得局部最大值，可以选取 $\mathrm{K} = 3$ 为最佳的聚类数目。图4-14是由平均轮廓法得到的K值，在 $\mathrm{K} = 3$ 时平均轮廓系数达到最大值，可以选取 $\mathrm{K} = 3$ 为最佳聚类数目。综上所述，选取 $\mathrm{K} = 3$ 为最优K值进行聚类分析，即药材的种类为3类。图4-15是K-means聚类方法在 $\mathrm{K} = 3$ 时对窗口长度20的特征提取后的数据进行聚类得到的结果。 + +图4-16、图4-17、4-18、4-19是以窗口长度为50的平滑处理提取均值、标准差、下四分位数、中位数、上四分位数、偏度和峰度等特征后进行K-means聚类的结果。 + +![](images/f9cfa29a1c5fb5b2ef2618739689db340715db4ddd9a30eacd13a5d54c481633.jpg) +图4-16.肘部法则确定聚类数 + +![](images/b074ab586b551d6ef832239a9835ee427119e81d09162412195542304cb5e99e.jpg) +图4-17.间隔统计量确定聚类数 + +![](images/473ab011a0d08221638c5cbc9dc1bb97730c2b6c4f81d6b9fdbc5d3915c48854.jpg) +图4-18.平均轮廓法确定聚类数 + +![](images/96a21e9f6554a594e2b636f9ef1bfd81ddfb546bd81c19be271305d4b71ce986.jpg) +图4-19.K-means聚类结果图 + +根据肘部法则、间隔统计量法和平均轮廓法的基本原理，观察图4-16、图4-17和图4-18可以得出，在 $\mathrm{K} = 3$ 时，畸变程度得到大幅改善， $Gap(k)$ 取得局部最大值，并且平均轮廓系数达到最大值。因此，可以选取 $\mathrm{K} = 3$ 为最优K值进行聚类分析，即药材的种类为3类。图4-19是K-means聚类方法在 $\mathrm{K} = 3$ 时对窗口长度50的特征提取后的数据进行聚类得到的结果。 + +表 4-3.基于 PCA 和特征提取 (20) 的 K-means 聚类的结果 + +
部分药材编号
1类1、17、32、35、39、40、45、46
2类2、5、8、11、13、15、16、18、22、24、25、26、27、28、29、33、34、36、37、38、43、44、47、49
3类1、4、6、7、9、10、12、14、19、20、21、23、24、30、31、35、36、37、41、42、48、50
+ +根据聚类优度（组间距离占总距离的比值）5种聚类方法中基于PCA的K-means的拟合优度最高，因此经过PCA降维处理后再进行聚类的效果最好。表4-3是经过PCA降维处理后和滑动窗口为20的特征提取后的K-means聚类结果，表中列出了编号为前50的药材的聚类结果。 + +# 4.4基于Ward方法的中药材聚类分析 + +# 4.4.1 利用原始数据进行Ward聚类 + +针对问题一，对处理之后的数据利用Ward聚类方法进行聚类分析，结果如图4-20所示。我们将附件1中的几种药材的中红外光谱数据进行聚类，试图对几种药材进行分类。如图所示，应用Ward方法进行聚类，根据Ward聚类分析的结果可以大致把中药材分成三类，此时各组出现的异常点大致相同。 + +![](images/ed38d8bd7982a7c7a45933f8c115b1a279a8ca2d730674b31a1075f62bea5789.jpg) +图4-20.Ward聚类谱系图 + +# 4.4.2基于主成分分析的Ward聚类 + +针对问题一，对数据进行主成分分析，对选取前三个主成分的数据再进行Ward聚类分析，结果如图4-21所示。 + +![](images/ac4b83b9bdb97f09e474ed476d3f7d7b5bca83afa13dd1d40777dc9f51109927.jpg) +图4-21.PCA降维后的Ward聚类谱系图 + +图4-21是经过PCA降维后选取前三个主成分后进行Ward聚类分析后的结果，对几种药材进行分类，基本保留原来的数据信息。由图4-21分析可得，应用主成分分析法进行Ward聚类，根据Ward聚类分析的结果可以把中药材分成三类，此时各组出现的异常点大致相同。 + +# 4.4.3 基于特征提取的Ward聚类 + +图4-22是以窗口长度为20的平滑处理提取药材的均值、标准差、下四分位数、中位数、上四分位数、偏度和峰度等特征后利用Ward聚类的聚类结果。 + +![](images/dec3c9296e0d9b52df0b2a82f2ca4278ce73ca2a6f506968003a5a4786387ccc.jpg) +图4-22.窗口长度20的特征提取后的Ward聚类谱系图 + +图4-22是选取窗口长度为20进行的Ward聚类分析后的结果，对几种药材进行分类。由上图分析可得，基于特征分析进行Ward聚类，根据Ward聚类分析的结果可以把中药材分成三类，此时各组出现的异常点大致相同。 + +图4-23是以窗口长度为20的平滑处理提取药材的均值、标准差、下四分位数、中位数、上四分位数、偏度和峰度等特征后利用Ward聚类的聚类结果。 + +![](images/2930cd2bb7c14457e141e44186bad628d22d8f0bd2c07f9d1223f2b1c91b1580.jpg) +图4-23.窗口长度50的特征提取后的Ward聚类谱系图 + +将波段窗口长度设为50，进行的Ward聚类分析，对药材进行聚类。结果如图4-23所示，利用Ward聚类分析可以把中药材根据具体目标任务需要分成三类、五类、七类、九类等不同类别。 + +# 4.5 不同种类药材的特征差异性分析 + +中药材的种类鉴别相对比较容易，不同种类的中药材呈现的光谱的区别比较明显。为了更准确的分析不同种类药材的特征和差异性，本文采用方差分析对不同类别的药材进行分析。本文分析的控制变量为不同种类的药材，即研究不同种类药材的中红外光谱是否存在显著性差异。根据4.4中的聚类结果，分别将3个不同种类药材的中红外光谱数据进行综合汇总，绘制出每个种类药材对应光谱数据的均值曲线和标准差曲线。 + +![](images/6bbd8e7ce2d7db91cfd3e23a72875da265b2c924156dfec74eb1eda926a6bc84.jpg) +图4-24 不同种类药材光谱数据均值曲线 + +![](images/c11c8360ebdb48b6f48a751ea429850beb40c87ccc377d61f7837ebe6bab317a.jpg) +图4-25 不同种类药材光谱数据标准差曲线 + +由中红外光谱数据的均值曲线和标准差曲线可以看出，不同种类药材的红外光谱数据存在较大差异。为了更好的提取不同波段的特征，本文将药材中红外光谱分成间隔为50（cm-1）的若干个波段，选取波段的均值、标准差、下四分位数、中位数、上四分位数、偏度和峰度等特征，并利用方差分析对不同种类药材的中红外光谱进行差异性分析，结果如表4-4所示。 + +表 4-4 分波段方差分析表 + +
波段F valueP value
[901-950]192.4<2e-16***
[951-1000]132.9<2e-16***
[1001-1050]46.141.13E-11***
[1051-1200]78.06<2e-16***
.........
+ +注：*、**、***分别代表0.1、0.05、0.01的显著性水平 + +表4-4为不同种类药材中红外光谱的方差分析结果，结果显示，在大多数波段不同种类药材中红外光谱存在显著性差异。为了准确的比较不同种类药材的差异性，本文选取了部分波段进行精准分析，结果如表4-5所示。 + +表 4-5 不同波段方差分析表 + +
波段F-valueP-value
[50-350]865.3<2e-16***
[1000-1450]37732<2e-16***
[1650-1800]53310<2e-16***
+ +由表4-5中不同种类的药材在波段[50-350]、[1000-1450]、[1650-1800]的方差分析结果可知，在这3个波段上方差分析的P值均小于0.01，拒绝不同种类药材的中红外光谱数据不存在显著差异的原假设，因此可以认为不同种类药材的中红外光谱数据在波段[50-350]、[1000-1450]、[1650-1800]上存在显著的差异性。 + +波段-20数据：表示间隔20的波段光谱数据集合； + +波段-50数据：表示间隔50的波段光谱数据集合； + +波段-100数据：表示间隔100的波段光谱数据集合。 + +# 五、问题二模型的建立与求解 + +# 5.1 不同产地药材的特征与差异性分析 + +道地药材强调药材的产地，不同产地的药材会存在较大的差异性。为了分析不同产地药材的特征和差异性，本文采用方差分析对不同产地的药材进行分析。本文分析的控制变量为不同类别的药材，即研究不同产地药材的中红外光谱是否存在显著性差异。首先，分别将11个不同产地药材的中红外光谱数据进行综合汇总，绘制出每个产地对应光谱数据的均值曲线和标准差曲线。 + +![](images/30afdab918c6f51a174c1a6949d31bc370ad3b7a73b329d7c97e4e3368b77d79.jpg) +图5-1 不同产地药材光谱数据均值曲线 + +![](images/750fe5f29e4d7e37826415df62263c3ab00bbc830f91a1a55edfa3225c115b67.jpg) +图5-2 不同产地药材光谱数据标准差曲线 + +由光谱数据的均值曲线和方差曲线可以看出，不同产地药材的中红外光谱的波形大致相似，但同一波段对应吸光度的均值和标准差存在差异。为了更好的提取不同波段的特征，本文将药材中红外光谱分成间隔为 $50\left(cm^{-1}\right)$ 的若干个波段，选取波段的均值、标准差、下四分位数、中位数、上四分位数、偏度和峰度等特征，并利用方差分析对不同产地药材的中红外光谱进行差异性分析。 + +表 5-1 分波段方差分析表 + +
波段F valueP value
[701-750]13.140.0003***
[751-800]1.1930.275
[801-850]19.341.10E-05***
[901-950]10.980.0009***
[951-1000]3.7120.054.
[1001-1050]23.921.01E-06***
.........
+ +表5-2为不同产地药材中红外光谱的方差分析结果，结果显示，在某些波段不同产地药材中红外光谱存在显著性差异，而在某些波段其差异并不明显。为了准确的比较不同产地药材的差异性，本文选取了差异性较大的波段进行精准分析，结果下表所示。 + +表 5-2 不同波段方差分析表 + +
波段F-valueP-value
[1000-1500]2339<2e-16***
[1650-1900]2209<2e-16***
+ +由表5-2中不同产地的药材在波段[1000-1500]、[1650-1900]、[1700-2150]的方差分析结果可知，在这3个波段上方差分析的P值均小于0.01，拒绝不同产地药材的中红外光谱数据不存在显著差异的原假设，因此可以认为不同产地药材的中红外光谱数据在波段[1000-1500]、[1650-1900]、[1700-2150]上存在非常显著的差异性。 + +# 5.2 基于机器学习方法的药材产地鉴别模型 + +# 5.2.1 基本理论 + +（1）支持向量机（SVM）：利用和函数建立输出特征向量与高维度的特征空间向量的映射关系，在维度更高的尺度空间中存在某个超平面能将样本正确划分。对于给定的样本集 $D = \{(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{n},y_{n})\}$ ，其中 $y\in \{-1,1\}$ ，支持向量机算法需要寻找一个能够划分训练集D样本空间的超平面，使得不同类别的样本可以划分出来。对于样本空间的超平面可以使用如下的线性方程来刻画： + +$$ +w ^ {T} x + b = 0 \tag {5-1} +$$ + +寻找具有“最大间隔”的超平面，即 + +$$ +\max _ {w, b} \frac {2}{\| w \|} \tag {5-2} +$$ + +$$ +s. t. y _ {i} \left(w ^ {T} x _ {i} + b\right) \geq 1, i = 1, 2, \dots , m +$$ + +上式可等价为： + +$$ +\min _ {w, b} \frac {1}{2} \| w \| ^ {2} \tag {5-2} +$$ + +$$ +s. t. y _ {i} \left(w ^ {T} x _ {i} + b\right) \geq 1, i = 1, 2, \dots , m +$$ + +引入拉格朗日乘子 $\alpha_{i}$ ，则对应目标函数为： + +$$ +J (w, b, \alpha) = \frac {1}{2} \| w \| ^ {2} + \sum_ {i = 1} ^ {m} \alpha_ {i} \left(1 - y _ {i} \left(w ^ {T} x _ {i} + b\right)\right) \tag {5-3} +$$ + +得到上式的对偶问题并求解： + +$$ +\max _ {\alpha} \sum_ {i = 1} ^ {m} \alpha_ {i} - \frac {1}{2} \sum_ {i = 1} ^ {m} \sum_ {j = 1} ^ {m} \alpha_ {i} \alpha_ {j} y _ {i} y _ {j} x _ {i} ^ {T} x _ {j} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {m} \alpha_ {i} y _ {i} = 0 \\ \alpha_ {i} \geq 0, i = 1, 2, \dots , m \end{array} \right. \tag {5-4} +$$ + +（2）随机森林（RF）：随机森林是由Breiman于2001年提出来的一种基于集成学习思想的算法，具体步骤如下： + +a.从收集到的数据集中随机选取 $k$ 个变量，共 $m$ 个变量（其中 $k$ 小于等于 $m$ ），然后根据这 $k$ 个变量建立决策树； +b.并重复 $n$ 次上面的过程，使得这 $k$ 个变量经过不同的随机组合构建出 $n$ 棵不同的决策树； + +c.然后对每棵决策树都用随机变量来预测结果，并记录所有预测的结果，就可以从 $n$ 棵决策树中得出 $n$ 种结果； +d.计算每个预测结果的得票数，再选择模式，即把最高票数的预测结果作为随机森林算法的最终预测结果。 + +（3）LightGBM：是为了解决GBDT在海量数据遇到的问题而提出的，是基于决策树算法的梯度提升框架，它支持高效率的并行训练，并且具有更快的训练速度、更低的内存消耗、更好的准确率、支持分布式可以快速处理海量数据等优点，可用于排序、分类、回归以及很多其他的机器学习任务中。 + +# 5.2.2 评价指标 + +评价指标是衡量一个模型好坏的关键，本文采用的评价指标为 Precision、Recall、F1-score 以及 Accuracy。 + +计算评价指标要用到混淆矩阵，混淆矩阵的定义为： + +TP：将正类预测为正类数； + +TN：将负类预测为负类数； + +FP：将负类预测为正类数误报； + +FN：将正类预测为负类数。 + +精确率(Precision)定义为： $P = \frac{TP}{TP + FP}$ 表示被分为正例的示例中实际为正例的比例。 + +召回率(Recall)定义为： $R = \frac{TP}{TP + FN}$ 为覆盖面的度量，度量有多少正例被分为正例。 + +准确率(Accuracy)定义为： $ACC = \frac{TP + TN}{TP + TN + FP + FN}$ + +F1-score 定义为： $F_{1} = \frac{2PR}{P + R}$ ，其中 P 为 Precision，R 为 Recall。它是模型精确率和召回率的一种加权平均。 + +# 5.2.3 模型比较 + +为了对药材的不同产地进行有效鉴别，本文运用了LightGBM、XGBoost、SVM、RF、GBDT和MLP等六种机器学习分类算法。同时，为更好衡量不同产地药材的差异性和区分度，本文将原始数据进行了降维和分波段计算特征处理，即以20、50和100的间隔将原始数据分为若干个区间，形成了包括原始数据在内的五类不同数据集。对五类数据集运用不同机器学习模型建模得到的结果如表5-3所示。 + +表 5-3 基于机器学习方法的药材产地鉴别模型比较 + +
数据模型召回率精确率准确率F1值
原始数据SVC0.8690.8760.8710.870
RF0.5000.5380.5350.506
XGBoost0.5660.5990.5880.568
GBDT0.5020.5200.5290.500
LightGBM0.5700.6040.6000.571
MLP0.5140.5380.5500.509
PCA降维数据SVC0.8760.8690.8700.871
RF0.5380.5000.5060.535
XGBoost0.5990.5660.5680.588
波段-20数据GBDT0.5390.4980.5000.541
LightGBM0.5160.4730.4750.512
MLP0.5210.4880.4820.521
SVC0.9140.9210.9130.916
RF0.9150.9290.9270.915
XGBoost0.9700.9740.9700.970
GBDT0.8810.8890.9000.883
LightGBM0.9640.9680.9640.964
MLP0.8130.8390.8280.817
SVC0.8610.8680.8630.860
RF0.8690.8820.8570.861
波段-50数据XGBoost0.9150.9350.9210.920
GBDT0.7930.8340.8160.799
LightGBM0.9230.9320.9250.923
MLP0.8120.8200.8150.809
SVC0.8240.8350.8250.823
RF0.8340.8710.8530.841
波段-100数据XGBoost0.8810.8970.8870.884
GBDT0.8140.8350.8220.822
LightGBM0.8500.8660.8540.853
MLP0.7870.7950.7900.785
+ +由表5-3可以看出，在分波段数据集上，XGBoost模型的准确率最高。分波段数据集的模型准确率明显高于原始数据集和PCA数据集的模型准确率，且波段为20的数据集模型准确率最高。 + +![](images/9eba69ef88e7d65059084fe2a7ffb1934e352c051bbdd88ac54c05c0bb9dda99.jpg) +图5-1原始数据集模型比较 + +![](images/cbb7e8c8cc7d5226bdfb7c094590b3cfb574086d481ca5ecb608783682ec30dd.jpg) +图5-2波段-20数据集模型比较 + +由图5-2原始数据集模型比较和图5-3波段-20数据集模型比较可以看出，在原始数据集上支持向量机的分类效果最好，在波段-20的数据集上XGBoost和LightGBM模型的性能明显优于其它模型。同时也可以清楚的看出，波段-20的数据集分类准确率等普遍优于原始数据集，说明分波段提取特征后分类准确率会显著提高。 + +# 5.3 对未知药材产地进行鉴别 + +为了对未知药材产地进行准确鉴别，本文利用上述包括SVC、XGBoost、RF、LightGBM机器学习模型，得到的各模型分类结果如下表所示。 + +表 5-4 不同模型对未知药材产地鉴别结果 + +
模型类型31438485871798689110134152227331618
20-SVC614101069634910573
20-XGBoost61461069113492283
20-RF6146664103462583
20-LightGBM614910691024109483
50-SVC614767923492583
50-RF6146669113492583
50-XGBoost614610610113492573
50-LightGBM614610641134921083
100-SVC6146969113492583
100-RF6146664634910583
100-XGBoost6146101191134910573
100-LightGBM61461069113492583
+ +注：20、50、100 代表波段间隔,SVC、XGBoost 等代表机器学习模型 + +由表5-4中不同模型对未知药材产地鉴别结果可知，大多数模型对未知药材产地的鉴别结果相同，为了对未知药材的产地进行更精准的鉴别，本文采用多数投票法对以上模型进行结合分析，最终得到如表5-5所示的未知药材产地鉴别结果。 + +表 5-5 未知药材产地鉴别结果 + +
No31438485871798689110134152227331618
OP61461069113492583
+ +# 六、问题三模型的建立与求解 + +尽管不同种类的中药材在呈现的光谱的区别比较明显，但是不同产地的中药材在同一波段内比较接近，容易造成鉴别误差。科学实践发现：部分中药材在近红外或中红外区别较为明显，因此，如问题二构建的仅仅依据中红外光谱数据鉴别中医药种类的分类模型性能会存在着性能上限。故而，在本问中融入近红外数据，尝试进一步提取不同产地中药材在光谱数据中的差异性特征，提高中药材鉴别分类的精度。 + +# 6.1 基于机器学习的近红外光谱数据的中药材产地鉴别模型 + +首先利用支持向量机（SVM）、随机森林（RF）、极端梯度增强（XGBoost）、梯度提升决策树（GBDT）、LightGBM和多层感知机（MLP）这六种机器学习分类算法对近红外光谱数据进行分类建模，结果如下。 + +表 6-1 基于机器学习的近红外光谱数据的中药材产地鉴别模型比较 + +
数据模型召回率精确率准确率F1值
原始数据SVC0.8730.8920.8780.864
RF0.6940.6840.6980.665
XGBoost0.6650.6790.6610.648
GBDT0.6020.6370.6040.597
LightGBM0.6960.7300.6980.683
MLP0.5570.5390.5550.521
SVC0.8730.8920.8780.864
PCA降维数据RF0.9370.9490.9390.933
XGBoost0.8470.8730.8450.841
GBDT0.7840.8180.7710.761
LightGBM0.8880.9110.8900.884
MLP0.7880.8230.7920.779
SVC0.8960.9310.8980.891
波段-20数据RF0.9290.9360.9310.923
XGBoost0.8860.9150.8840.889
GBDT0.7780.8450.7630.766
LightGBM0.9430.9600.9470.942
MLP0.8130.8580.8120.809
SVC0.8960.9160.8920.898
波段-50数据RF0.9350.9470.9390.930
XGBoost0.8860.9240.8900.883
GBDT0.7920.8470.7830.785
LightGBM0.9180.9420.9220.915
MLP0.7760.8180.7760.764
波段-100 数据SVC0.8960.9220.8980.891
RF0.9430.9600.9470.941
XGBoost0.9060.9350.9060.904
GBDT0.7600.8150.7590.750
LightGBM0.9310.9460.9350.929
MLP0.7860.8180.7880.778
+ +由表6-1可以看出，在原始数据集上支持向量机模型的分类准确率最高，在波段-20的数据集上LightGBM模型的效果最好，而在PCA降维数据集波段-50和波段-100的数据集上，随机森林模型的性能最优越。同时分波段数据集的表现要明显优于原始数据集和PCA数据集。 + +# 6.2 基于机器学习的中红外光谱数据的中药材产地鉴别模型 + +利用支持向量机（SVM）、随机森林（RF）、极端梯度增强（XGBoost）、梯度提升决策树（GBDT）、LightGBM和多层感知机（MLP）六种机器学习分类算法对中红外光谱数据进行分类建模，结果如下。 + +表 6-2 基于机器学习的中红外光谱数据的中药材产地鉴别模型比较 + +
数据模型召回率精确率准确率F1值
原始数据SVC0.9060.9250.9100.904
RF0.6470.6630.6490.622
XGBoost0.6250.6630.6290.610
GBDT0.5610.5670.5470.535
LightGBM0.6160.6400.6200.598
MLP0.7100.7260.7060.699
SVC0.8980.9200.9020.895
PCA降维数据RF0.9010.9240.9060.898
XGBoost0.8160.8410.8160.806
GBDT0.7290.7500.7350.723
LightGBM0.8800.9020.8820.877
MLP0.7350.7740.7350.723
SVC0.9240.9340.9270.916
波段-20数据RF0.9410.9580.9470.942
XGBoost0.8980.9280.9020.895
GBDT0.7750.8080.7710.752
LightGBM0.9530.9660.9550.952
MLP0.8190.8480.8200.813
SVC0.9020.9120.9060.897
波段-50数据RF0.9350.9490.9390.936
XGBoost0.8900.9020.8940.885
GBDT0.7490.8080.7510.742
LightGBM0.9290.9390.9310.925
MLP0.7670.7850.7710.751
波段-100数据SVC0.8570.8740.8570.852
+ +
RF0.9060.9260.9100.904
XGBoost0.8690.8980.8730.863
GBDT0.7840.8930.7830.776
LightGBM0.9110.9300.9140.905
MLP0.7860.8180.7780.788
+ +由表可以看出，在原始数据集上支持向量机模型分类准确率最高，在波段-20的数据集上LightGBM模型的效果最好，而在PCA降维数据集波段-50和波段-100的数据集上，随机森林模型的性能最优越。同时在分波段数据集上的表现要普遍优于原始数据集和PCA数据集。 + +# 6.3 基于机器学习的近、中红外光谱数据的中药材产地鉴别模型 + +由于有些中药材的近红外区别比较明显，而有些药材的中红外区别比较明显，因此本文将近、中红外光谱数据特征对中药材产地进行综合鉴别。选取支持向量机（SVM）、随机森林（RF）、极端梯度增强（XGBoost）、梯度提升决策树（GBDT）、LightGBM和多层感知机（MLP）六种机器学习进行分类建模，结果如表6-3所示。 + +表 6-3 基于机器学习的近、中红外光谱数据的中药材产地鉴别模型 + +
数据模型召回率精确率准确率F1值
原始数据SVC0.8980.9330.9020.89
RF0.6920.7330.6940.681
XGBoost0.7240.7920.7220.725
GBDT0.6200.6560.6330.631
LightGBM0.7630.7970.7630.754
MLP0.5820.5670.5840.555
PCA降维数据SVC0.8980.9330.9020.895
RF0.8920.9140.8940.888
XGBoost0.8180.8550.8200.813
GBDT0.7430.8240.7430.723
LightGBM0.8670.8990.8690.865
MLP0.7920.8220.7920.780
SVC0.9540.9670.9550.951
波段-20数据RF0.9760.9840.9800.976
XGBoost0.9500.9650.9510.950
GBDT0.8450.8950.8440.843
LightGBM0.9490.9630.9510.948
MLP0.8370.8870.8360.830
SVC0.9220.9400.9220.918
波段-50数据RF0.9730.9820.9760.972
XGBoost0.8840.9180.8900.884
GBDT0.8200.8440.8120.807
LightGBM0.9240.9410.9270.919
MLP0.8680.8940.8730.862
波段-100数据SVC0.9180.9380.9220.916
+ +
RF0.9630.9740.9670.962
XGBoost0.9160.9390.9180.915
GBDT0.8000.8530.7960.797
LightGBM0.9510.9610.9550.950
MLP0.7980.8380.8040.792
+ +由表6-3可以看出，在原始数据集和PCA降维数据集上支持向量机模型分类效果最好，在分波段数据集上随机森林模型显示出优越的性能。与只使用近红外光谱数据和只使用中红外光谱数据相比，同时使用近、中红外光谱数据可以有效提高模型的分类精度。 + +![](images/38f6065cde8d4264cc569a2575d05cf5ad9a483e8c92cd9cd807172eae5550f3.jpg) +图6-1原始数据模型比较 + +![](images/226064ea08395fb27759fc3e1ef429d5d90e956ca13f65b1696b0fa14bd73a6f.jpg) +图6-2 波段-20数据模型比较 + +由图6-2原始数据集模型比较和图5-3波段-20数据集模型比较可以看出，在原始数据集上支持向量机的分类效果最好，在波段-20的数据集上随机森林模型的性能明显优于其它模型。同时也可以清楚的看出，波段-20的数据集分类准确率等普遍优于原始数据集，说明分波段提取特征后分类准确率会显著提高。 + +# 6.3 基于鲸鱼优化与LightGBM结合的中药材产地鉴别模型 + +# 6.3.1 近中红外光谱数据在中药材产地鉴别 + +澳大利亚格里菲斯大学Mirjalili等人2016年提出鲸鱼优化算法（WOA），具有操作简单、需要调整的参数少、跳出局部区域等优点。鲸鱼优化算法具体步骤如下： + +# 1.包围猎物(Encircling prey) + +定义最佳搜索个体之后，其他搜索个体将尝试向最佳搜索个体更新它们的位置。这一行为由以下方程表示： + +$$ +\vec {D} = \left| \vec {C} \cdot \vec {X} ^ {*} (t) - \vec {X} (t) \right| \tag {6-1} +$$ + +$$ +\vec {X} (t + 1) = \vec {X} ^ {*} (t) - \vec {A} \cdot \vec {D} \tag {6-2} +$$ + +其中 $t$ 表示当前迭代， $\vec{A}$ 和 $\vec{C}$ 是系数向量， $\vec{X}^{*}(t)$ 表示目前为止最好的鲸鱼位置向量， $\vec{X}(t)$ 表示当前鲸鱼的位置向量，| |表示绝对值。每次迭代过程中有更优解出现时就需要更新 $\vec{X}^{*}(t)$ 。向量 $\vec{A}$ 和 $\vec{C}$ 计算方法如下： + +$$ +\vec {A} = 2 \vec {a} \vec {r} - a \tag {6-3} +$$ + +$$ +\vec {C} = 2 \vec {r} \tag {6-4} +$$ + +$a$ 在迭代过程中，由2线性递减到0， $\vec{a} = 2 - \frac{2t}{T_{\mathrm{max}}}$ ， $\vec{r}$ 是满足[0,1]中的随机向量。 + +# 2. 泡泡网攻击方式 + +通过收缩包围和螺旋更新两种方法对泡网攻击行为进行数学建模。 + +（1）收缩包围机制：该过程通过在迭代过程中降低 $\vec{a}$ 值来实现，搜索个体的新位置，定义为介于原个体位置和当前最佳个体位置之间的任何位置。 + +（2）螺旋更新位置： + +$$ +\vec {X} (t + 1) = \vec {D} ^ {\prime} \cdot e ^ {b l} \cdot \cos (2 \pi l) + \vec {X} ^ {*} (t) \tag {6-5} +$$ + +其中 $\vec{D}^{\prime} = \left|\vec{X}^{*}(t) - \vec{X}(t)\right|$ 表示第 $i$ 头鲸到猎物的距离(目前得到的最佳解)， $b$ 是个常数，定义了对数螺旋的形状， $l$ 为[-1,1]中的随机数。 + +模型如下： + +$$ +\vec {X} (t + 1) = \left\{ \begin{array}{l l} \vec {X} ^ {*} (t) - \vec {A} \cdot \vec {D} & \text {i f} p < 0. 5 \\ \vec {D} ^ {\prime} \cdot e ^ {b l} \cdot \cos (2 \pi l) + \vec {X} ^ {*} (t) & \text {i f} p \geq 0. 5 \end{array} \right. \tag {6-6} +$$ + +$P$ 是 $[0,1]$ 之间的随机数。 + +# 3. 搜索猎物 + +随机计算出的 $\vec{A}$ 比-1小或比1大时，将强迫搜索个体去远离参考鲸鱼。此时的数学模型为： + +$$ +\vec {D} = \left| \vec {C} \cdot \vec {X} _ {\text {r a n d}} - \vec {X} \right| \tag {6-7} +$$ + +$$ +\vec {X} (t + 1) = \vec {X} _ {\text {r a n d}} - \vec {A} \cdot \vec {D} \tag {6-8} +$$ + +$\vec{X}_{rand}$ 是随机选择的鲸鱼位置向量。 + +从问题3中利用近、中红外数据对中药材产地的鉴别结果可以看出LightGBM模型的优势，为了进一步使模型更加完善，精确率更高，使用鲸鱼优化算法对LightGBM中的两个参数（learn_rate、n_estimators）进行优化，比较同一模型下使用不同数据的分类准确率结果如表所示。 + +表 6-4 鲸鱼优化后 LightGBM 模型分类准确率 + +
产地近红外数据分类准确率中红外数据分类准确率近与中红外数据分类准确率
1111
2111
3111
4111
5111
6111
7111
810.81
9111
100.8311
11111
12111
13111
14111
1510.51
16111
17111
+ +从表6-4能够看出，对于近红外光谱数据来说，波段20的数据在LightGBM模型上的效果最好，准确率达到了0.947，通过优化再五折交叉验证后的最终准确率达到了0.959。接下来对训练集的数据进行分类，计算出训练集的每个标签预测正确的概率，训练集包含62个样本，只有产地10的正确率为0.83，其余产地的正确率都为1。在中红外光谱数据集上，波段100的LightGBM模型的准确率最高，同样采用鲸鱼优化算法优化LightGBM的两个参数，优化后的精度为0.971，准确度提升了 $1.6\%$ ，只有产地8的正确率不为1。同时使用近、中红外数据分类时，同样LightGBM在特征为波段100的数据上表现最佳，经过优化后模型的准确率为0.982，输出的所有产地正确率都为1。 + +根据上述分析使用近中红外数据并且是波段为100的数据，LightGBM模型参数优化后的分类精度为0.982，基于此对特征的重要性进行评估，选取的前三十个特征。 + +表 6-5 特征重要性排序 + +
变量重要性变量重要性变量重要性
1k_6611std_3421k_70
2k_6412k_8122std_45
3k_5513sk_323k_67
4k_1714sk_1724k_77
5sk_1915k_2025sk_4
6sk_1216sk_726std_43
7k_6117k_1927k_65
8std_2318k_3228std_48
9k_219k_329sk_23
10sk_2820sk_6530std_49
+ +注：k代表峰度，sk代表偏度。 + +由表6-5特征重要性排序结果可以看出，最重要的特征大多数为偏度和峰度，这说明不同产地药材的偏度和峰度存在较大差异，是影响不同产地药材鉴别的重要因素。 + +为了对未知药材产地进行准确鉴别，本文利用上述包括SVC、XGBoost、RF、LightGBM机器学习模型，使用投票法对模型进行结合，最终得到如表6-6所示的未知药材产地鉴别结果 + +表 6-6 未知药材产地鉴别结果 + +
No4152230344574114170209
OP171112163410914
+ +# 七、问题四模型的建立与求解 + +在问题四中，需要使用所提供的几种药材近红外光谱数据，鉴别药材的类别与产地。通过对附件四数据研究发现，对于不同药材编号，各个光谱波段特征信息完整，但是Class或OP标签并不完全标记，存在这数据缺失的情形。因此，基于数据驱动对药材进行类别和产地进行鉴定的场景可以归纳为一下几种： + +1）已知中药材所属类别，但是在产地上无法准确识别，造成“OP”标签缺失； +2）已知中药材产地，但是在中药材类别上无法下定论，造成“Class”标签缺失； +3）对于中药材类别和生产产地均无法人工识别，仅仅拥有中药材产品在不同的光谱波段上的吸光度数据，造成“Class”和“OP”标签同时缺失。 + +因此，对于以上三种不同的真实场景，基于机器学习对中药材类别和产地进行智能识别，充分发挥数据的价值和算法的性能，为生产和生活带来便宜。 + +针对以上三种场景，基于数据驱动的方案可以归纳为以下建模场景： + +1）以近红外光谱数据，对近红外光谱数据进行特征提取，筛选出未缺失标签的类别或产地，后使用机器学习算法对中药材的类别和产地进行单独的有监督分类预测； +2）由于不同中药材在类别和产地的差异性，如图7-1所示，在产地号较高的产地仅仅有B类中药材，可知中药材的产地和类别存在着明显的相关关系，将类别或产地纳入产地或类别预测模型中具有重要意义。因此，可以通过首先构建中药材类别预测模型，为未知的中药材样本类别进行预测和标记，随后纳入特征，对中药材产地构建预测模型。同理，通过首先构建中药材产地预测模型，为未知的中药材样本产地进行预测和标记，随后纳入特征，对中药材类别构建类别预测模型。 + +![](images/400c06dc59a0d8d4b991eed8459fcc99d2397d4610a9dc33c382198b499f4be7.jpg) +图7-1近红外光谱数据中不同产地对应类别的示意图 + +在本问题中，旨在通过机器学习算法对中药材的产地和类别进行鉴定分类。因此，在构建分类模型中，仍可以考虑采用问题二和问题三的模型构建思路和求解策略。不过，需要注意的是对特征的扩增或进一步提升模型分类性能。 + +具体来说，根据数据特征的不同，可以分为：仅考虑原始特征，考虑辅助特征（类别或产地）和考虑使用预测的类别或产地标签，即对应基于原始光谱特征的机器学习方法的分类预测模型和特征融合的机器学习方法的两阶段预测模型。进一步地融合不同的机器学习方法，如SVR、RF、GBDT和XGBoost等分类算法，为客观地评价使用五折交叉验证得到各个算法在不同的数据特征下的泛化性能。 + +# 7.1 基于原始光谱数据的机器学习方法的中药材鉴别模型 + +原始光谱特征能够从中药材固有属性中提取差异性特征，为中药材类别和产地鉴别提供核心特征信息，因此，基于原始光谱特征构建机器学习方法对中药材的类别和产地鉴别模型能够准确识别出中药材类别和产地。下表7-1展示了在原始光谱特征下的各类机器学习方法泛化性能测试结果。 + +表 7-1 基于原始光谱特征的机器学习方法模型比较结果 + +
Class 分类预测OP 分类预测
模型评价指标波段-20波段-50波段-100波段-20波段-50波段-100
Precision1.0001.0001.0000.8700.8440.806
RFRecall1.0001.0001.0000.8560.8410.802
F11.0001.0001.0000.8390.8220.774
Accuracy1.0001.0001.0000.8680.8510.834
LGBMPrecision1.0000.9941.0000.7680.7790.779
Recall1.0000.9911.0000.7280.7200.686
F11.0000.9921.0000.7250.7220.703
Accuracy1.0000.9921.0000.7940.7880.774
XGBoostPrecision1.0000.9910.9970.7880.8010.749
Recall1.0000.9850.9960.7750.8040.739
+ +
F11.0000.9870.9970.7550.7820.722
Accuracy1.0000.9880.9960.8310.8190.814
+ +从上表中可以看出：对于中药材类别分类问题，各类中药材光谱信息特征差异性较大，机器学习算法能够较为精准地分类。对于中药材产地分类问题，RF的分类预测效果明显，具有较高的泛化性能。 + +# 7.2基于特征融合的机器学习方法的两阶段中药材鉴别模型 + +基于数据驱动的模型构建往往缺乏解释性，因此，在能够融入经验知识或部分重要已知信息能够为分类预测提升一定的性能。在问题四给定的附件数据中，能够清晰发现部分样本中药材拥有确定的标签，而许多样本中药材缺乏一个标签，甚至缺失两个标签。在这种场景下，可以通过已有的标签信息，构建中药材类别和产地的分类预测模型。因此，在本场景下，在分类预测中药材类别时融入产地特征，首先通过构建中药材类别预测模型，对未知的中药材类别标签的样本进行标注，完成第一阶段预测；随后，基于近红外光谱信息特征和中药材类别标签构建中药材产地预测模型，完成第二阶段预测，以此称之为两阶段中药材鉴别模型。同理，在分类预测中药材产地时融入类别特征。 + +在算法比较中，为了客观科学的比较两阶段预测模型的真实性能，筛选原始数据中同时含有中药材类别和产地标签的样本训练机器学习分类预测模型进行对比。下表7-2为该场景下三种不同数据条件下的各机器学习分类预测模型的泛化性能测试结果。 + +表 7-2 特征融合的机器学习方法的两阶段中药材鉴别模型比较结果 + +
融合OP特征预测Class分类融合Class特征预测OP分类
模型评价指标波段-20波段-50波段-100波段-20波段-50波段-100
RFPrecision1.0001.0001.0000.6870.6600.640
Recall1.0001.0001.0000.7370.7150.694
F11.0001.0001.0000.6910.6700.642
LightGBMAccuracy1.0001.0001.0000.8000.7980.775
Precision0.9930.9920.993---
Recall0.9850.9850.988---
F10.9890.9880.990---
XGBoostAccuracy0.9910.9910.992---
Precision1.0000.9961.0000.6220.5880.626
Recall1.0000.9931.0000.6590.6410.668
F11.0000.9941.0000.6180.5870.623
Accuracy1.0000.9951.0000.7510.7280.765
+ +从上表7-2可知：1）两阶段预测模型中，基于产地一阶段预测模型的类别二阶段预测模型能够同时保证类别和产地鉴定更为精准，表明类别特征对于产地分类预测模型提供了重要特征，能够增强产地分类预测模型的性能；2）和完全标签样本中药材数据构建的机器学习方法分类预测模型相比，基于标签标注的二阶段预测模型性能并没有显著下降，表明基于标签标注的二阶段预测模型方案可行，同时映射出第一阶段预测模型极高的分类性能；3）从以上构建的机器学习模型可知，利用近红外数据能够精准鉴别中药材产地和类别，能够减轻人工识别压力和降低经验误差，对中药材的分类和经济价值衡量具有重大作用。 + +表 7-3 目标中药材样本类别和产地分类预测结果 + +
No94109140278308330347
ClassAAACCCB
OP53113411
+ +# 八、模型的评价 + +# 8.1 模型的优点 + +（1）本文充分挖掘近红外、中红外光谱数据不同波段特征对中药材类别与产地鉴别的特性。 +（2）本文对原始数据进行了降维和分波段计算特征处理，利用了六种机器学习分类算法进行鉴别分析，更充分地衡量不同产地药材和类别的差异性和区分度。 +(3) 本文提出了基于鲸鱼优化和 LightGBM 结合的药材类别和产地识别模型，使得结果的精确度得到进一步提高，模型泛化能力得到提升。 + +# 8.2 模型的不足 + +本文仅依据近红外和中红外光谱数据鉴别中医药种类的分类模型的性能可能会存在着特征属性数据局限性，可以适当增加中药材的其他物理属性特征。 + +# 8.3 模型的推广 + +总之，本文所建立的模型与实际情况相符合，具有一定的指导性。同时可针对模型进行更深层次的分析，模型分类精度较高，泛化性能较好，可以应用于葡萄酒分类、疾病诊断、故障识别等领域。 + +# 九、 参考文献 + +[1] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 高等教育出版社, 2009. +[2] 周志华. 机器学习[M]. 清华大学出版社, 2016. +[3] Seyedali Mirjalili, Andrew Lewis. The Whale Optimization Algorithm[J]. + +Advances in Engineering Software, 2016, 95:51-67. + +[4] 李航. 统计学习方法[M]. 清华大学出版社, 2012. +[5] 刘沫华, 张学工, 周群, 等. 模式识别和红外光谱法相结合鉴别中药材产地[J]. 光谱学与光谱分析, 2005(06): 878-881. +[6] 司守奎, 孙兆亮. 数学建模算法与应用[M]. 第2版. 北京: 国防工业出版社, 2016. +[7]汪晓银，周保平．数学建模与数学实验[M].北京：科学出版社，1-6,2010. +[8] 杨岩，肖佳妹，周晋，等．支持向量机法及其在中药研究中的应用[J].中草药，2020(8). +[9] 刘沫华, 张学工, 孙素琴. 中药材产地的近红外光谱自动鉴别和特征谱段选择[J]. 科学通报, 2005, 50(004): 393-398. + +# 附录 + +问题1 + +install.packages("factoextra")#可视化包 + +install.packages("fpc") + +library(factoextra) + +library(fpc) + +library(cluster) + +library("stats") + +mydata = read.csv("data.csv") + +数据预处理 + +is.na(mydata)#查看数据是否有缺失值 + +sum(is.na(mydata))#缺失值的个数 + +data1 = mydata[c(-201, -136, -64).] #删除异常值（离群点） + +data=data1[-1]#删除第一列 + +std.data=as.matrix(scale(data))#数据标准化 + +确定最佳聚类数目 + +##1.肘部法则 + +fviz_nbclust(std.data, kmeans, method = "WSS", k.max = 10) + +##2.平均轮廓法 + +K取2到10，评估K + +K<-2:10 + +round<-10#每次迭代10次，避免局部最优 + +rst<-sapply(K, function (i){ + +print(paste("K="，i)) + +mean(sapply(1:round, function(r){ + +print(paste("Round",r)) + +result <- kmeans(std.data, i) + +stats $<$ cluster.stats(dist(std.data),result\$cluster) + +stats$avg.silwidth + +） + +） + +plot(K, rst, type='l', main='轮廓系数与K的关系', ylab='轮廓系数') + +##3.间隔统计量 + +stat_gap <- clusGap(std.data, kmeans, nstart = 25, K.max = 10, B = 5) + +fviz_gap_stat(stat_gap) + +K-means聚类 + +km_result=kmeans(std.datacenters=3,iter.max=10) + +#提取类标签并且与原始数据进行合并 + +dd=cbind(data, cluster = km_result\$cluster) + +write.csv(dd,"D:/桌面文件/建模/问题1数据/K-means+标签.csv") + +查看每一类的数目 + +table(km_result\\(cluster) + +#进行可视化展示 + +```python +fviz_cluster(km_result, data = std.data, + palette = c(#2E9FDF,"#00AFBB","#E7B800"), + ellipse.type = "euclid", + star.plot = TRUE, + repel = TRUE, + ggtheme = theme_minimal() +``` + +# + +rm1=cor(std.data) + +$\mathrm{rls1 = eig}(\mathrm{rm}1)$ + +val=rs1\$values + +(Standard_deviation=sqrt(val)) + +计算方差贡献率和累积贡献率； + +(Proportion_of_Variance=val/sum(val)) + +(Cumulative_Proportion=cumsum(Proportion_of_Variance)) + +#碎石图绘制; + +par $\mathrm{(mar = c(6,6,2,2))}$ + +plot(rs1\$values,type="b",cex=1,cex.lab=1,cex-axis=1,lty=2,lwd=2, + +xlab="主成分编号",ylab="特征值(主成分方差)" + +#提取结果中的特征向量(也称为Loadings,载荷矩阵)； + +U=as.matrix(rsl\$vectors) + +#进行矩阵乘法，获得PCscore； + +PC=std.data $\% \%$ U + +pc_data = PC[1:3] #选取 3 个主成分 + +pc_data = data.frame(pc_data) + +write.csv(pc_data,"D:/桌面文件/建模/问题1数据/PCA_data.csv") + +# + +result=dist(std.data.method="euclidean") + +hc_result=hclust(d=result,method="ward.D2") + +cluster=cutree(hc_result, k = 3)#提取类标签 + +dd=cbind(data, cluster = cluster) + +write.csv(dd,"D:/桌面文件/建模/问题1数据/Ward+标签.csv") + +查看每一类的数目 + +table(cluster) + +fviz_dend(hc_result,k=3,cex=0.5, + +k_colors=c(#2E9FDF", "#00AFBB", "#E7B800"), + +color_labels_by_k=TRUE,rect $\equiv$ TRUE,ang=-1) + +问题2 +```txt +import pandas as pd +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt +import seaborn as sns +import statsmodels +import xgboost as xgb +import time +import math +import lightgbm as lgb +``` + +```python +from sklearn.model_selection import train_test_split #划分数据集 +from sklearn.svm import SVC +from sklearn-import metrics #引入包含数据验证方法的包 +from sklearn.model_selection import GridSearchCV +from sklearn.model_selection import cross_val_score +from sklearn.metrics import r2_score, mean_squared_error, mean Absolute_error +from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier +from sklearn-import ensemble +from sklearn.neural_network import MLPClassifier +``` + +```python +## 读入原始数据 +data = pd.read_csv('Q2_feature_20.csv') +dataa = pd.read_excel('YUCE_feature_20.xlsx') +feature_data = data[-data['OP'].isna()] # 正则方式除去空标签值（sheet1） +X = feature_datailoc[:, :-1] +Y = feature_datailoc[:, -1] +``` + +```python +数据集划分 +x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(X, Y, test_size=0.2, random_state=0) # 数据集划分 +# SVC +tuned_parameters = ['kernel': ('linear', 'rbf', 'sigmoid'), 'C': np.logspace(-3, 3, 13), 'gamma': np.logspace(-3, 3, 13)] # 备选参数列表 +``` + +opt_clf $\equiv$ GridSearchCV(SVC0,tuned_parameters) +opt_clf.fit(x_train,y_train) +print(opt_clf.best_parameters) +final_clf $=$ SVC(C=3.1622776601683795,kernel $\equiv$ rbf,gamma $\equiv 0.01$ ,decision_function_shape $\equiv$ 'ovr') + +```python +final_clf = SVC(C=3.1622776601683795, kernel='rbf', gamma=0.01, decision_function_shape='ovr') +pfitness = cross_val_score(final_clf, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +rfitness = cross_val_score(final_clf, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +ffitness = cross_val_score(final_clf, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +afitness = cross_val_score(final_clf, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +```python +final_clf.fit(X,Y) +pred1 = final_clf.predict(dataa) +``` + +RF +```python +clf = RandomForestClassifier(n_estimators=99, max_depth=89, max_features=28) +pfitness1 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +rfitness1 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +ffitness1 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +afitness1 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +```python +rf_model = RandomForestClassifier(n_estimators=99, max_depth=89, max_features=28) +rf_model.fit(X, Y) +pred = rf_model.predict(dataa) +``` + +xgb +```javascript +xgbc = xgb.XGBClassifier(max_depth=3, learning_rate=0.28005144974158647, n_estimators=473, objective='multi:softmax', eval_metric='error', num_class=11, booster='gbtree', n_jobs=4, gamma=0, min_child_weight=0.01226452121030943, subsample=0.37768775627497536, colsample_bytree=0.8, seed=7) +``` + +```python +pfitness = cross_val_score(xgbc, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +rfitness = cross_val_score(xgbc, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +ffitness = cross_val_score(xgbc, X, Y, cv=5, scoring='f1_macro').mean() +afitness = cross_val_score(xgbc, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +xgbc.fit(X,Y) +pred $\equiv$ xgbc.predict(dataa) + +GBDT +```python +clf = ensemble.GradientBoostingClassifier(n_estimators=100, max_depth=3) +pfitness3 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +rfitness3 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +ffitness3 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +afitness3 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +clf.fit(X,Y) +```lua +pred = clf.predict(dataa) +``` + +```python +clf = MLPClassifier(solver='lbfgs', alpha=1e-5, hidden_layer_sizes=(50, 50), random_state=1) +``` + +```python +pfitness4 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +``` + +```python +rfitness4 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +ffitness4 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +afitness4 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +```python +clf.fit(X,Y) +pred = clf.predict(dataa) +``` + +```python +gbm = lgb.LGBMClassifier(learning_rate=0.19681498709141632, n_estimators=225) +``` + +```python +gbm_merge20_pre = cross_val_score(gbm, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +gbm_merge20_rec = cross_val_score(gbm, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +gbm_merge20_f1 = cross_val_score(gbm, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +gbm_merge20_acc = cross_val_score(gbm, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +gbm.fit(X,Y) +pred $\equiv$ gbm.predict(dataa) + +问题3，导包同问题2 +```python +dataaa = pd.read_excel('Q3_1_20填表.xlsx') +#合并特征 +data_3_1_1 = pd.read_excel('Q3_1_feature_20.xlsx') +data_3_1_20 = data_3_1_1[~data_3_1_1['OP'].isna()] # 正则方式除去空标签值（sheet1） +X = data_3_1_20.iiloc[:, :-1] # 特征 +Y = data_3_1_20.iiloc[:, -1] # 预测目标 +``` + +数据集划分 +```txt +x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(X, Y, test_size=0.25, random_state=0) # 数据集划分 +# RF 五折交叉验证 +``` + +```python +clf = RandomForestClassifier(n_estimators=100, max_depth=None, min_samples_split=2, random_state=0) +RF_merge20_pre = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +RF_merge20_rec = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +RF_merge20_f1 = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +RF_merge20_acc = cross_val_score(clf, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +clf.fit(X,Y) +pred $=$ clf.predict(dataa) + +```python +# SVC +tuned_parameters = ['kernel': ('linear', 'rbf', 'sigmoid'), 'C': np.logspace(-3, 3, 13), 'gamma': np.logspace(-3, 3, 13)] # 备选参数列表 +opt clf = GridSearchCV(SVC(), tuned_parameters) +opt clf.fit(x_train, y_train) +``` + +```txt +print(opt_clf.best.params) +``` + +```python +final_clf = SVC(C=0.01, kernel='linear', gamma=0.001, decision_function_shape='ovr') +``` + +```python +SVC_merge20_pre = cross_val_score(final_clf, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +``` + +```txt +SVC_merge20_rec = cross_val_score(final_clf, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +``` + +```javascript +SVC_merge20_f1 = cross_val_score(final_clf, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +``` + +```javascript +SVC_merge20_acc = cross_val_score(final_clf, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +```bazel +final_clf.fit(X,Y) +``` + +```python +pred = final_clf.predict(dataa) +``` + +```txt +XGBOOST +``` + +```vba +xgbc = xgb.XGBClassifier() +``` + +```python +XGB_merge20_pre = cross_val_score(xgbc, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +``` + +```javascript +XGB_merge20_rec = cross_val_score(xgbc, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +``` + +```javascript +XGB_merge20_f1 = cross_val_score(xgbc, X, Y, cv=5, scoring='f1_macro').mean() +``` + +```javascript +XGB_merge20_acc = cross_val_score(xgbc, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +```txt +xgbc.fit(X,Y) +``` + +```txt +pred = xgbc .predict(dataa) +``` + +```txt +GBDT +``` + +```txt +GBDT = ensemble.GGradientBoostingClassifier() +``` + +```python +GBDT_merge20_pre = cross_val_score(GBDT, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +``` + +```python +GBDT_merge20_rec = cross_val_score(GBDT, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +``` + +```python +GBDT_merge20_f1 = cross_val_score(GBDT, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +``` + +```txt +GBDT_merge20_acc = cross_val_score(GBDT, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +```csv +GBDT.fit(X,Y) +``` + +```python +pred = GBDT .predict(dataa) +``` + +```txt +#LGB +``` + +```python +def woagbm(fitness, nocclus, max_iterations, noposs, min_values = [0,5], max_values = [1,500]): +``` + +```python +noclus = 维度 +max_iterations = 迭代次数 +noposs = 种群数 +``` +pos_sols = np.zeros((noposs, noclus)) # 鲸鱼位置 +gbest = np.zeros((noclus,)) # 全局最佳鲸鱼位置 +b = 1.0#定义对数螺旋形状的常数 +``` + +values = [0.1, 1] #随机设置需要优化的整型和浮点型，1：整型，0.1：浮点型 + +种群初始化 + +boundary = np.zeros((noclus,)) + +for j in range(noclus): + +boundary[j] = isinstance(values[j], int)#判断是不是整型 + +for i in range(noposs): + +if boundary[j] == 1: + +poss_sols[i][j] = np.random.randint(low=min_values[j],high=max_values[j]) + +else: + +poss_sols[i][j] = (max_values[j] - min_values[j]) * np.random.randint() + min_values[j] + +poss_sols=poss_sols.A stereotype(object)##为了让整型和浮点型数据放在一个数组里 + +poss_sols[:, 1] = poss_sols[:, 1].astype(np.int)#将整型那列数据变成整型 + +#poss_sols[;, 2]=posssols[;, 2].astype(np.int) + +globalfitness = np.inf##正无穷大 + +for i in range(noposs): + +cur_par_fitness = fitness(poss_sols[i]) + +if cur_par_fitness < global_fitness: + +globalfitness $=$ cur_par_fitness + +gbest = poss_sols[i] + +# 开始迭代 + +trace $\equiv$ [] + +for it in range(max_iterations): + +for i in range(noposs): + +$a = 2.0 - (2.0^{*}it) / (1.0^{*}\max_{\cdot}$ iterations) + +$\mathrm{r} = \mathrm{np}$ .random.random() + +A=2.0*a*r-a + +$\mathrm{C} = 2.0^{\ast}\mathrm{r}$ + +$1 = 2.0^{*}$ np.random.randint0-1.0 + +$\mathrm{p = np.random.random0}$ + +for j in range(noclus): + +$\mathrm{x} =$ poss_sols[i][j] + +if $p < 0.5$ : + +if $\mathrm{abs(A)} < 1$ : + +$\mathrm{x} = \mathrm{gbest}[\mathrm{j}]$ + +else: + +rand = np.random.randint(noposs) + +_x = poss_sols[rand][j] + +$\mathrm{D} = \mathrm{abs}(\mathrm{C}^{*}\_ \mathrm{x - x})$ + +updatedx = _x - A*D + +else: + +$\mathrm{x} = \mathrm{gbest}[\mathrm{j}]$ + +$\mathrm{D} = \mathrm{abs}(\_ \mathrm{x - x})$ + +```txt +updatedx = D * math.exp(b*1) * math.cos(2.0 * math.cos(2 * math.pi * 1)) + x +``` + +if updatedx $<$ min_values[j] or updatedx $>$ max_values[j]: + +```txt +updatedx = (max_values[j] - min_values[j]) * np.random.randint() + min_values[j] +``` + +```python +poss_sols[i][j] = updatedx +``` + +poss_sols $\equiv$ poss_sols. astype(object) + +$\mathrm{pos}$ sols[:,1]=possols[:,1].astype(np.int) + +```python +#poss_sols[:, 2] = poss_sols[:, 2].astype(np.int) +``` + +```python +fitnessi = fitness(poss_sols[i]) +``` + +if fitnessi $<$ globalfitness: + +globalfitness $=$ fitnessi + +gbest $=$ poss_sols[i] + +```txt +trace.append(global_fitness) +``` + +```lua +print("iteration",it,"f(x) = ",globalfitness) +``` + +```lua +return gbest, globalfitness,trace +``` + +```python +def fitness parameter): +``` + +```python +gbm = lub.LGBMClassifier(learning_rate=parameter[0], n_estimators=parameter[1]) +``` + +```txt +fitness = cross_val_score(gbm, X, Y, cv=5).mean() # 五折交叉验证并取均值 +``` + +fitness $= 1$ - fitness + +```lua +return fitness +``` + +```txt +gbest,fitness,trace=woagbm(fitness,2,100,50) +``` + +```txt +print('最优解为：',fitness) +``` + +```javascript +print('最优位置为：', gbest) +``` + +```txt +gbm = lgb.LGBMClassifier(learning_rate=0.24725041153210095, n_estimators=37) +``` + +```txt +gbm_merge20_pre = cross_val_score(gbm, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +``` + +```txt +gbm_merge20_rec = cross_val_score(GBM, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +``` + +```python +gbm_merge20_f1 = cross_val_score(GBM, X, Y, cv=5, scoring='fl_macro').mean() +``` + +```javascript +gbm_merge20_acc = cross_val_score(GBM, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +```txt +gbm .fit(X,Y) +``` + +```txt +pred = gbm .predict(dataa) +``` + +```txt +MLP +``` + +```python +MLP = MLPClassifier(solver='lbgfs', alpha=1e-5, hidden_layer_sizes=(50, 50), random_state=1) +``` + +```python +MLP_merge20_pre = cross_val_score(MLP, X, Y, cv=5, scoring='precision_macro').mean() +``` + +```txt +MLP_merge20_rec = cross_val_score(MLP, X, Y, cv=5, scoring='recall_macro').mean() +``` + +```python +MLP_merge20_f1 = cross_val_score(MLP, X, Y, cv=5, scoring='f1_macro').mean() +``` + +```javascript +MLP_merge20_acc = cross_val_score(MLP, X, Y, cv=5, scoring='accuracy').mean() +``` + +```txt +MLP.fit(X,Y) +pred = MLP.predict(dataa) +``` + +问题4，导包同问题2 + +## 读入原始数据 + +```txt +data_4 = pd.read_excel(附件 4.xlsx) +``` + +```txt +data = pd.DataFrame() +``` + +```txt +for i in range(L-1): +``` + +```python +tem_data = pd.DataFrame([mean_list[i], std_list[i], quantile_low_list[i], quantile_mid_list[i], +``` + +```txt +quantile_high_list[i],sk_list[i],k_list[i]], +``` + +index $=$ ['mean_ $^+$ str(i), 'std $^+$ str(i), 'quantile_low $^+$ str(i), + +'quantile_mid $^+$ str(i), + +```python +'quantile_high_' + str(i), 'sk_' + str(i), 'k_' + str(i)] +``` + +```txt +data = pd.concat([data, tem_data]) +``` + +```txt +data = pd.DataFrame(data.values.T, index= data.columns, columns= data.index) +``` + +```python +data['OP'] = data_2['OP'] +``` + +```txt +data.to_excel('YUCE_feature_100.xlsx', encoding='ANSI') +``` + +##特征提取 + +```python +def extract_feature(data, w): +``` + +```txt +mean_list = [] #均值 +``` + +```hcl +std_list = [] # 标准差 +``` + +```txt +quantile_low_list = [] # 下四分位 +``` + +```txt +quantile_mid_list = [] #中位数 +``` + +```txt +quantile_high_list = [] #上四分位 +``` + +```hcl +sk_list = [] #偏度 +``` + +```python +k_list = [] # 峰度 +``` + +$\mathrm{L} = \mathrm{math.}$ ceil(data.shape[1] / w) + 1 + +```txt +data = data.reset_index.drop=True) +``` + +```python +for i in range(1, L): +``` + +if $(\mathrm{i} = = \mathrm{L})$ + +```python +tem_data = datailoc[:, 3 + w * (i - 1):] # 提取数据 +``` + +```txt +mean_list.append(np.mean(tem_data, axis=1)) # 均值 +``` + +```txt +std_list.append(np.std(tem_data, axis=1)) # 标准差 +``` + +```txt +quantile_low_list.append(npquantile(tem_data, 0.75, axis=1)) # 下四分位数 +``` + +```txt +quantile_mid_list.append(npquantileTem_data,0.5, axis=1)) #中位数 +``` + +```txt +quantile_high_list.append(npquantile(tem_data, 0.25, axis=1)) #上四分位数 +``` + +```txt +sk_list.append(st.skew tem_data, axis=1)) # 计算偏度 +``` + +```python +k_list.append(st.kurtosis tem_data, axis=1)) # 计算峰度 +``` + +else: + +```python +tem_data = datailoc[:, 3 + w * (i - 1): 3 + w * i] # 提取数据 +``` + +```txt +mean_list.append(np.mean(tem_data, axis=1)) #均值 +``` + +```txt +std_list.append(np.std(tem_data, axis=1)) # 标准差 +``` + +quantile_low_list.append(npquantile(tem_data,0.75, axis=1)) #下四分位数 +quantile_mid_list.append(npquantile(tem_data,0.5, axis=1)) #中位数 +quantile_high_list.append(npquantile(tem_data,0.25, axis=1)) #上四分位数 +sk_list.append(skew(tem_data, axis=1)) #计算偏度 +k_list.append(skurtosis(tem_data, axis=1)) #计算峰度 +data_ $=$ pd.DataFrame() +for i in range(L-1): + tem_data $=$ pd.DataFrame([mean_list[i], std_list[i], quantile_low_list[i], quantile_mid_list[i], quantile_high_list[i], sk_list[i], k_list[i]], index=['mean'+str(i), 'std'+str(i), 'quantile_low'+str(i), 'quantile_mid'+str(i), 'quantile_high'+str(i), 'sk'+str(i), 'k'+str(i)]) + data_ $=$ pd.concat([data_, tem_data]) + data_ $=$ pd.DataFrame(data_values.T, index=data.columns, columns=data_index) + data_[Class'] = data['Class'] + data_[OP'] = data['OP'] + data.to_excel('Q4_feature_20.xlsx', encoding='ANSI') + return data_ +# Class 预测模型 +data_4_classFeature = extract_feature(data_4_class, 20)#class非空 +# Class 非空，不考虑OP，Class预测模型 +X_train_c, X_test_c, y_train_c, y_test_c = train_test_split(data_4_classFeature.iloc[:, :-2], data_4_classFeature.iloc[:, -2], test_size=0.25, random_state=0) +clf = RandomForestClassifier(n_estimators=50, max_depth=None, min_samples_split=5, random_state=1) +pfitness = cross_val_score(clf, data_4_classFeature.iloc[:, :-2], data_4_classFeature.iloc[:, -2], cv=5, scoring='precision_macro').mean() +rfitness = cross_val_score(clf, data_4_classFeature.iloc[:, :-2], data_4_classFeature.iloc[:, -2], cv=5, scoring='recall_macro').mean() +ffitness = cross_val_score(clf, data_4_classFeature.iloc[:, :-2], data_4_classFeature.iloc[:, -2], cv=5, scoring='f1_macro').mean() +afitness = cross_val_score(clf, data_4_classFeature.iloc[:, :-2], data_4_classFeature.iloc[:, -2], cv=5, scoring='accuracy').mean() +data_20 = pd.read_excel('Q4-21填表.xlsx') +data_20 = pd.read_excel('Q4-21填表.xlsx') +clf.fit(data_4_classFeature.iloc[:, :-2], data_4_classFeature.iloc[:, -2]) +pred = clf.predict(data_20) +# Class 预测模型，用op列 +# Class 和 OP 均为非空情形，可以相互参考 +data_4_nonan_feature = extract_feature(data_4_nonan, 20)#全部数据都不是空 + +Class，考虑OP + +X_train_c, X_test_c, y_train_c, y_test_c = train_test_split(pd.Split([[data_4_nonan_feature.iloc:, :-2], data_4_nonan_feature.iloc:, -1]], axis=1), + +data_4_nonan_feature-iloc[;, + +-2],test_size=0.25, random_state=0) + +clf = RandomForestClassifier(n_estimators=50, max_depth=None, min_samples_split=5, random_state=1) + +pfitness = cross_val_score(clf, pd/concat([data_4_nonan_features.iloc:, :, -2], data_4_nonan_features.iloc:, + +-1]》，axis=1)，data_4_nonan_feature-iloc[：，-2]，cv=5,scoring='precision_macro').mean() + +rfitness $=$ cross_val_score(clf, pd concatenated([data_4_nonan_feature.iloc:, :-2], data_4_nonan_feature.iloc[;, + +-1]，axis=1)，data_4_nonan_feature.iloc[:，-2]，cv=5,scoring='recall_macro').mean() + +ffitness $=$ cross_val_score(clf, pd concatenated([data_4_nonan_featuresiloc:,:-2], data_4_nonan_features.iloc[;, + +-1]》，axis=1)，data_4_nonan_feature.iloc[：，-2]，cv=5,scoring='fl_macro').mean() + +afitness $=$ cross_val_score(clf, pdconcat([data_4_nonan_feature.iloc[:,:-2], data_4_nonan_feature.iloc[:, + +-1]，axis=1)，data_4_nonan_feature-iloc[;, -2], cv=5,scoring='accuracy').mean() + +clf .fit(pd/concat([data_4_nonan_feature.iloc:, :-2], data_4_nonan_feature.iloc[;, + +-1]，axis=1)，data_4_nonan_feature.iloc[:，-2]) + +pred = clf .predict(data_20) + +Class 预测模型,不用 op 列 + +特征提取 + +data_4_class_feature = extract_feature(data_4_class, 50)#class 非空 + +Class非空，不考虑OP，Class预测模型 + +X_train_c,X_test_c,y_train_c,y_test_c $=$ train_test_split(data_4_class_feature-iloc[:,-2], + +data_4_class_feature-iloc[:，-2], + +test_size=0.25, random_state=0) + +clf = RandomForestClassifier(n_estimators=50, max_depth=None, min_samples_split=5, random_state=1) + +```c +pfitness = cross_val_score(clf, data_4_class_feature.iloc[:, :, -2], data_4_class_feature.iloc[:, -2], + +cv=5,scoring=precision_macro').mean() + +rfitness = cross_val_score(cf, data_4_class_feature.iloc:, :-2], data_4_class_feature.iloc:, -2], + +cv=5,scoring='recall_macro').mean() + +fitness = cross_val_score(clf, data_4_class_feature.iloc[:, :, -2], data_4_class_feature.iloc[:, -2], + +cv=5,scoring='f1_macro').mean() + +afitness = cross_val_score(clf, data_4_class_feature.iloc:, :-2], data_4_class_feature.iloc:, -2], + +cv=5,scoring=accuracy').mean() + +op预测模型，不用Class列 + +特征提取 + +data_4_op_feature = extract_feature(data_4_op, 20)#OP非空 + +OP非空，不考虑Class，OP预测模型 + +X_train_o, X_test_o, y_train_o, y_test_o = train_test_split(data_4_op_features.iloc[:, :, -2], + +data_4_op_feature.iloc:, -1], + +test_size=0.25, random_state=0) + +clf = RandomForestClassifier(n_estimators=50, max_depth=None, min_samples_split=5, random_state=1) + +pfitness = cross_val_score(clf, data_4_op_feature.iloc[:, :-2], data_4_op_feature.iloc[:, -1], + +```python +cv=5,scoring='precision_macro').mean() +rfitness = cross_val_score(clf, data_4_op_feature.iloc:, :-2], data_4_op_feature.iloc:, -1], +cv=5,scoring='recall_macro').mean() +ffitness = cross_val_score(clf, data_4_op feature.ioc:, :-2], data_4_op feature.ioc:, -1], +cv=5,scoring='fl_macro').mean() +afitness = cross_val_score(clf, data_4_op feature.ioc:, :-2], data_4_op feature.ioc:, -1], +cv=5,scoring='accuracy').mean() +# OP，考虑class +X_train_c, X_test_c, y_train_c, y_test_c = train_test_split(data_4_nonan_feature.iloc:, -1], +data_4_nonan_feature.iloc:, -1], +test_size=0.25, random_state=0) +clf = RandomForestClassifier(n_estimators=50, max_depth=None, min_samples_split=5, random_state=1) +pfitness = cross_val_score(clf, data_4_nonan_feature.ioc:, :-1], data_4_nonan_feature.ioc:, -1], +cv=5,scoring='precision_macro').mean() +rfitness = cross_val_score(clf, data_4_nonan_feature.ioc:, :-1], data_4_nonan_feature.ioc:, -1], +cv=5,scoring='recall_macro').mean() +ffitness = cross_val_score(clf, data_4_nonan_feature.ioc:, :-1], data_4_nonan_feature.ioc:, -1], +cv=5,scoring='fl_macro').mean() +afitness = cross_val_score(clf, data_4_nonan_feature.ioc:, :-1], data_4_nonan_feature.ioc:, -1], +cv=5,scoring='accuracy').mean() +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/E037/E037.md b/MCM_CN/2021/E037/E037.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fefd3fa097607850ea27fcef15626abe99bedfbc --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/E037/E037.md @@ -0,0 +1,1364 @@ +# 基于红外光谱法的中药材鉴别 + +# 摘要 + +本文对附件中的数据进行了统计分析，对不同的问题分别建立了聚类和分类模型，通过红外光谱数据实现了对中药材的鉴别。首先对附件 $1\sim 4$ 的所有数据进行了预处理，通过作图发现部分波长的数据差距很小，于是利用极差，将差异不明显的波长数据剔除，再对所有的数据进行降维处理，将数据量压缩到适当范围内。最后对不同题目的聚类和分类模型进行求解。 + +问题一，通过对附件1的中红外光谱数据进行探索性分析，发现了其中有3组数据（第64、136、201号）属于异常值，将其剔除。然后利用极差，剔除掉极差小于均值的数据，使得数据从原始的3348维降到了1331维。在此基础上，通过比较研究发现非线性降维算法比线性降维算法效果更佳，于是采用非线性的等距离映射算法(Isomap)，将数据维度降至3维。最后建立了聚类模型，选择了K-means算法进行聚类，通过其轮廓系数的计算，发现聚为3类最为恰当。剔除3组数据后，余下422种药材，被聚为3类，每类分别有96,137,189组数据。 + +问题二，采用了与问题一完全相同的数据预处理方式，特征提取、非线性降维，然后建立了分类模型。利用支持向量机进行模型求解，将已知数据分为训练集和测试集，通过反复调参，使得模型训练集的正确率达到 $98\%$ ，测试集上的正确率达到 $93.9\%$ 。最后代入未知数据得到如下结果： + +
No31438485871798689110134152227331618
OP6147106623492583
+ +问题三，比问题二多出了近红外5997组数据，本文采用了特征提取，非线性降维等与问题二类似的方法进行数据预处理。研究发现有些中药材的近红外区别比较明显，另一些则在中红外区别比较明显，通过支持向量机及从未知数据到已知数据的最短欧式距离的计算发现，在近红外、中红外及合并数据上的结果不完全相同，本文选择重复率较高的产地做为最终结论： + +
No4152230344574114170209
OP171112163410914
+ +问题四，通过作图发现，不同药材类别区分度较大，可以直接将A类药材与BC类药材区分开。再研究BC类药材，通过先特征提取、LLE局部线性降维方法建立分类模型。进而用支持向量机，得到了比较明确的分类，不论是训练集还是测试集都达到了 $100\%$ 的准确率。这说明不同种类的中药材的光谱区别是比较明显的。最后，采用问题三完全相同的方法求得药材的产地。结果如下： + +
No94109140278308330347
ClassAAACCCB
OP53213411
+ +关键词：Isomap非线性降维；K-means聚类；分类模型；支持向量机；LLE算法 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +中药是中医之本，中药材的精准鉴别对于中医治疗帮助巨大。随着科学技术的不断发展，运用近红外、中红外光谱的照射来辨别中药材的种类与产地已经成为主流方法之一。 + +中药材的种类鉴别在红外光谱的照射下比较明显，在对于中药材的产地鉴别，及样本量不足的情况下，我们需要运用近红外与中红外的光谱检测数据进行特征与差异性综合分析，得出中药材的道地性。 + +# 1.2 已知条件 + +1. 各药材光谱照射的波数。 +2. 各药材在对应波段光谱照射下的吸光度。 + +# 1.3需解决的问题 + +1. 分析几种药材在中红外光谱照射下的吸光度特征，比较不同药材吸光度的差异性，并以此对药材分类。 +2. 结合不同产地的同种药材在中红外光谱不同波段照射下的吸光度，分析由产地不同造成的吸光度特征与差异，并给出各药材产地的鉴别结果。 +3. 统计、分析某一种药材在近红外与中红外两种光谱照射下产生的数据，并给出该种药材产地的鉴别结果。 +4. 不同药材在近红外光谱照射下的吸光度不同，根据给出的数据特征，分析并得出各药材的类别与产地。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一分析 + +附件1给出的数据共有3348个不同的光谱波数，其中并不是所有光谱波数上不同种药材的差异性都很明显，因此首先可以将不同种药材上差异性较高的光谱波数提取出来作为特征区间。而对大量未知种类的药材数据进行鉴别，那么将 + +特征类似的数据归为一类是较为不错的做法，即聚类分析。而聚类分析要求数据的维度不能过高，所以在聚类之前应当将数据降维处理，使用线性或非线性降维算法将数据维度降低到合适的维度再聚类就可以将同种类的药物鉴别出来。 + +# 2.2 问题二分析 + +附件2中大多数药材的产地已经标明，需要鉴别未标明产地的15个药材样本。对于将未知类别样本归类到已知种类中，属于分类问题，由于不同产地的同种药物数据差异较小，提取出特征区间就更加重要。同样数据也需要降维。在完成数据处理之后，可以使用随机森林或者支持向量机进行模型求解，将已知数据分为训练集和测试集。调整参数建立合适的模型进行求解。 + +# 2.3 问题三分析 + +附件3中有两个表，包括中红外数据表和近红外数据表，如果将近红外数据表去除，那么和问题二没有区别。由于有些中药材的近红外区别比较明显，而另一些药材的中红外区别比较明显，所以我们可以考虑先用其中一个数据表来建立模型求解，再用另一个数据表及合并两个表格同时对鉴别结果进行矫正和互相验证以提高鉴别的准确率。 + +# 2.4 问题四分析 + +附件4中，除了有产地还有类别，可以认为是在问题二只需要鉴别产地的基础上增加了药品种类的鉴别，而产地和种类均有较多的数据缺失，可以在对照二者缺失值后，再分别对产地和种类建立分类模型，最后将两个模型分别求解。 + +# 三、模型假设 + +1. 中药材类别确定； +2. 题目各附件所给的数据真实、可靠； +3. 各类中药材在红外光谱照射下未受到其他因素干扰。 + +# 四、符号说明 + +
符号定义符号定义
Vi光谱波数Ai吸光度
Ti[m,n]特征区间B内积矩阵
Λ特征值矩阵S(i)聚为i类时的轮廓系数
Z特征向量Xij曲线ij间的欧氏距离
+ +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 问题一模型建立与求解 + +# 5.1.1 数据预处理 + +对于问题一，首先对附件一中的数据进行检查，使用Python编程处理检查以下数据异常情况： + +1. 是否存在缺失值 +2. 是否存在异常值 +3. 是否存在大量重复值 + +经计算，在附件1中未发现缺失值，但有3组数据异常，也未发现重复值，数据完整性好。 + +表 1 附件 1 数据描述性统计结果 + +
countmeanstdmin25%50%75%max
652422.00000.16440.10770.02350.05150.14920.26760.3775
653422.00000.16340.10680.02350.05150.14890.26590.3746
654422.00000.16340.10680.02350.05150.14890.26590.3746
655422.00000.16260.10600.02350.05150.14860.26290.3730
656422.00000.16260.10600.02350.05150.14860.26290.3730
...........................
3995422.00000.00830.0082-0.00180.00270.00600.01100.0408
3996422.00000.00830.0082-0.00180.00270.00600.01100.0408
3997422.00000.00830.0082-0.00180.00260.00600.01090.0408
3998422.00000.00830.0082-0.00180.00260.00600.01090.0408
3999422.00000.00830.0082-0.00180.00260.00600.01090.0408
+ +附件一共有425条药材光谱记录，每条记录有3348个不同的光谱波段数据项。本文先对3348个不同的光谱波段进行了大致的描述性统计。结果见表1。 + +进行描述性统计之后，先将原始数据425条药材记录的数据绘制在同一个图表上，作出图像如下： + +![](images/a9e1f87890608f0a1c07c9f3a02d03b72972d40dbcf84e1c2e85385db5b05ee7.jpg) +图1附件1原始数据图 + +从原始数据图像中可以看出有三组明显异常的数据，利用38原则，我们计算得出异常数据分别是编号为64、136、201的药材记录，删除后的图像如图2. + +![](images/ed6162bae17067fa2e33b81d9f2af8e6904a5bcf6a5d35cfba6acdbf93046c61.jpg) +图2附件1删除原始数据后的图 + +删除3组异常数据后，可以看出从图中看出，422条药材记录的中红外光谱 + +数据图整体趋势差别不大，其图表特征表现为其光谱波数区间为[1700，2800]左右时，不同药材的吸光度差异较小，其数据曲线贴合度较高。类似的光谱波数区间还有[3650，3999]等。而在光谱波数区间为[652，1700]左右，不同的药材吸光度差异较大，类似的光谱波数区间还有[2800，3000]等。此类光谱波数区间对于不同的药材记录，吸光度差异较大，其特征适合用于分辨不同药材种类。 + +# 5.1.2 问题一模型建立 + +我们定义，当一个光谱波数区间 $[m,n]$ 上每个光谱波数 $V_{i}(m\leq i\leq n)$ 在所有药材记录中的吸光度 $A_{i}$ 最大值减去最小值（即极差）大于所有波数吸光度的平均极差。则称该区间为特征区间。记为 $T_{i}[m,n]$ ，即： + +$$ +A _ {i \max } - A _ {i \min } > A _ {\text {m e a n}} \quad m \leq i \leq n +$$ + +# 5.1.3 问题一模型求解 + +使用Python编程，最终从附件1中提取出特征区间 $\mathrm{T}_{1}[652, 1472]$ ， $\mathrm{T}_{2}[1506, 1674]$ ， $\mathrm{T}_{3}[2846, 2855]$ ， $\mathrm{T}_{4}[2906, 2936]$ ， $\mathrm{T}_{5}[3151, 3450]$ 。区间总长度为1331列。即从原始数据的3348维降低到1331维，降维后的数据大小为 $422 \times 1331$ 。 + +对降维后的数据使用Python编程进行标准化处理，处理后的结果如下图： + +![](images/1f777be3347f34068fe8d5c940fbb58f3e91a9ecc6ea3d0dd026dcea0258c6ca.jpg) +图3 提取特征向量后的图形 + +经过前期的特征值提取后已经将数据从3348维降低到1331维，但是尚不足以进行聚类等后续处理，还需要继续降低维度。经过反复尝试，我们发现非线性降维算法比线性降维算法效果更佳，于是选择了非线性的等距离映射算法（Isomap）进行降维。 + +等距离映射算法（Isomap）是一种非线性的降维方法，其原理基于多维尺度变换算法（MDS），是MDS的一个变种，试图保留数据内在的由测地线距离蕴含的几何结构。 + +# （1）Isomap算法使用流程： + +Step1：设置每个点最近邻点数k，构建出连通图和邻接矩阵。 + +Step2：通过图的最短路径构建原始空间中的距离矩阵。 + +Step3：计算出内积矩阵 $B$ 。 + +Step4: 对内积矩阵 $B$ 进行特征值分解, 获得特征值矩阵 $\Lambda$ 和特征向量矩阵 $V$ 。 + +Step5：取特征值矩阵最大的前 $Z$ 项及其对应的特征向量 $Z = V_{Z}A_{Z}^{1 / 2}$ 。 + +利用Python编程实现该算法后，数据维度降低到3维，处理后的数据大小为 $422 \times 3$ 。 + +对于问题一，主要需要解决的是识别不同种药材的特征，实现对药材种类的鉴别。使用聚类算法可以有效的将具有同类特征的药材聚为一类，实现鉴别。本文采用了经典的K-means聚类算法对降维后的数据进行聚类。 + +# （2）K-means聚类算法使用流程介绍 + +Step1: 指定需要划分的类的个数 K。 + +Step2：随机地选择K个数据对象作为初始的聚类中心。 + +Step3：计算其余的各个数据对象到这K个初始聚类中心的距离，把数据对象划归到距离它最近的那个中心所处在的类中。 + +Step4：调整新类并且重新计算出新类的中心。 + +Step5：循环步骤三和四，看中心是否收敛（不变），如果收敛或达到迭代次数则停止循环。 + +在进行K-means聚类前关键一步是确定一个K值作为聚类时类的数量。因此 + +选取一个合理的K值非常重要。本文采取的方法是枚举出所有较为合理的K值，计算出各自的轮廓系数。 + +轮廓系数结合了聚类的凝聚度和分离度，用于评估聚类的效果。设聚类结果中的某个为i， $i = 1,2,3\dots N$ ，该聚类结果的轮廓系数为S(i)。 + +$a(i) = avg$ （点i到所有它所属的簇中其它点的距离） + +$b(i) = \min$ （点i到某一不包含它的簇内的所有点的平均距离） + +$$ +S (i) = \frac {b (i) - a (i)}{\max \{b (i) , a (i) \}} \quad i = 1, 2, 3 \dots N +$$ + +可以知道轮廓系数值处于-1~1之间，轮廓系数值越大，表示聚类效果越好。使用python编程计算出的轮廓系数如下图： + +![](images/02b9fadd3c7706f7d5f422d24247e4b8f947b3e8dac68caea7d606730a8c8c04.jpg) +图4K-means聚类轮廓系数 + +由轮廓系数图容易知道，选取 $K = 3$ 时，轮廓系数最高。在此前提下，本文使用python编程对处理后的数据进行K-means聚类。最终将附件一中剔除3条异常数据后的422条药材记录聚类成三类药材，并按照数量高低命名为A类、B类、C类，最终聚类结果如下表所示： + +表 2 附件 1 药材分类结果 + +
类别A类B类C类
数量18913796
+ +将通过聚类分析后鉴别出的三种药材数量绘制在图表中如下，其中红色为A类、蓝色为B类、绿色为C类。 + +![](images/2224318a18adb54205ac7058ad89cacdfd03f310e84d45af7dd8f99d0c3cef7e.jpg) +图5附件1分类后光谱曲线图 + +# 5.2 问题二模型建立与求解 + +# 5.2.1 数据预处理 + +对于问题二，首先对附件二数据进行前期处理和检查： + +1. 是否存在缺失值。 +2. 是否存在异常值。 +3. 是否存在大量重复值。 + +表 3 附件 2 数据描述性统计结果 + +
countmeanstdmin1%25%50%75%99%max
OP673.00005.60333.23510.00000.00003.00006.00008.000011.000011.0000
551673.00000.35170.08200.18420.20260.29110.34270.40700.55910.6113
552673.00000.35170.08200.18420.20260.29110.34270.40700.55910.6113
553673.00000.35170.08180.18400.20330.29030.34280.40690.55910.6093
554673.00000.35170.08180.18400.20330.29030.34280.40690.55910.6093
.................................
3994673.00000.06450.0313-0.00660.00070.04400.06200.08590.13120.1552
3995673.00000.06450.0313-0.00660.00070.04400.06200.08590.13120.1552
3996673.00000.06440.0313-0.00670.00060.04380.06190.08580.13100.1551
3997673.00000.06440.0313-0.00670.00060.04380.06190.08580.13100.1551
3998673.00000.06430.0313-0.00680.00050.04370.06180.08570.13090.1551
+ +附件2共有672条药材记录，每条记录有光谱波数551至3998共3448个数据项，均未发现大量重复数据和异常数据。其中光谱波数的列中未发现缺失数据。 + +表示产地的OP列除去需鉴定场地的15个缺失项外也无缺失项，数据完整性良好。为便于后续分析，本文对表示光谱波数的列做了描述性统计，统计结果如表3。 + +# 5.2.2 问题二模型建立 + +根据附件二中已标明产地的药材记录，可以得出该药材共有11处产地，其每种药材的记录条数如下表所示： + +表 4 药材产地计数统计 + +
产地1234567891011
计数6759678829875059316655
+ +将附件2的673条药材的记录使用Python编程绘制出图表，为便于绘图，先暂时将未分类的15条记录产地分类数据项填充为0，绘图结果如下： + +![](images/d216d5fbfc20dbc587de55330d9b16879e3b9c66c08e94fcbd6b5ad316c74845.jpg) +图6附件2原始数据图 + +从图中可以看出，来自11个产地的同一种药材的中红外光谱数据图整体趋势差别不大，其图表特征表现为其光谱波数区间为[551，1000]左右，不同产地的药材吸光度差异较小，其数据曲线贴合度较高。类似的光谱波数区间还有[1650，2800]、[3500，3998]等。而在光谱波数区间为[1000，1700]左右，不同产地的药材吸光度差异较大，类似的光谱波数区间还有[2800，3000]、[3200，3500] + +等。此类光谱波数区间对于不同产地的同种药材，吸光度差异较大，其特征适合用于分辨不同产地的同种药材。 + +为了放大图像中的特征，本文还对附件1做了一阶平滑处理，处理后图像如下： + +![](images/0effcf3911494b77ee727a8e5597846ee2375ac7394ab7f2d000ed32cdc1691b.jpg) +图7附件2做一阶平滑处理后数据图 + +我们定义，当一个光谱波数区间 $[m,n]$ 上每个光谱波数 $V_{i}(m\leq i\leq n)$ 在所有药材记录中的吸光度 $A_{i}$ 最大值减去最小值（即极差）大于所有波数吸光度的平均极差。则称该区间为特征区间。记为 $T[m,n]$ ，即： + +$$ +A _ {i \max } - A _ {i \min } > A _ {\text {m e a n}} \quad m \leq i \leq n +$$ + +通过Python编程所计算出的结果，显示在附件二光谱波数区间[551，3998]中，共有三个特征区间分别为， $\mathrm{T}_{1}[975, 1182]$ 、 $\mathrm{T}_{2}[1293, 1732]$ 、 $\mathrm{T}_{3}[2824, 3577]$ 。三个区间的总长度为1402，即包含1402个不同且连续的光谱波数（区间与区间之间波数不连续）。 + +在寻找到特征区间之后，以光谱波数作为 $x$ 坐标，以吸光度作为 $y$ 坐标。我们将要分类的15条药材记录与已分类的658条药材记录在特征区间上计算曲线间的欧式距离， $X_{ij}$ ， $1 \leq i \leq 15$ ， $1 \leq j \leq 658$ 。 + +$$ +X _ {i j} = \frac {1}{n} \sum_ {k = 1} ^ {n} \sqrt {\left(x _ {k i} - x _ {k j}\right) ^ {2} + \left(y _ {k i} - y _ {k j}\right) ^ {2}} \quad 1 \leq i \leq 1 5 \quad 1 \leq j \leq 6 5 8 \quad n = 1 4 0 2 +$$ + +# 5.2.3 问题二模型求解 + +使用Python编程计算得出，未分类的15条药材记录与已分类的658条记录之间的距离矩阵如下。 + +表 5 未分类记录与已分类记录间的距离矩阵 + +
NoOP3.00014.00038.00048.000...152.000227.000331.000618.000
1.000110.0720.1760.0670.071...0.0860.1210.0990.080
2.00010.0570.1510.0930.062...0.0820.1220.0920.058
4.00060.0960.2030.1150.090...0.0950.0900.1330.106
5.00070.0960.1400.1560.101...0.1280.1610.0910.097
6.00080.0890.1150.1920.132...0.1410.1540.1410.107
.................................
669.00090.1290.2160.0590.106...0.1170.1720.1280.125
670.00060.0870.1830.0790.072...0.0670.1240.0910.097
671.00040.1300.2220.0360.107...0.1070.1470.1160.128
672.00050.1160.2220.0790.1040.0910.0890.1220.126
673.00010.0780.1450.1050.098...0.1040.1440.1020.085
+ +将15条未分类药材记录与已分类的药材记录对比，若两者之间的欧式距离最小，则可以认为二者的光谱波数数据曲线在特征区间上重合度较高，即二者极大可能产自同一产地。 + +筛选数据可以得到与未分类的[3，14，38，48，58，71，79，86，89,110，134，152，227，331，618]号药材重合度最高的光谱数据曲线为[280，518,599，124，327，4，193，505，588，531，497，75，251，537，154]. + +对应的产地分别为[(3，6)，(14，1)，(38，4)，(48，6)，(58，7)，(71，6)，(79，2)，(86，6)，(89，1)，(110，4)，(134，9)，(152，2)，(227，5)，(331，8)，(618，6)]。 + +通过距离拟合已经可以初步鉴别出15个未分类药材记录的产地，为了提高鉴别准确率，再利用支持向量机，对15个未确定产地的药材记录进行模型求解。 + +这次，我们选择了LLE降维方式(Locally Linear Embedding)局部线性降维，经过反复调参，我们将数据维度降到了35维。这样既保留了原数据的主要特征，也充分减少了计算量。 + +对于输入空间中的非线性分类问题，可以通过非线性变换将它转化为某个维特征空间中的线性分类问题，在高维特征空间中学习线性支持向量机。 + +输入训练数据集 $T = \{(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\ldots (x_{N},y_{N})\}$ 其中 $x_{i}\in R^{n}$ ， $y_{i}\in \{+1, - 1\}$ + +$$ +i = 1, 2, \dots N; +$$ + +输出分类决策函数； + +1. 选取适当的核函数 $K(x, z)$ 和惩罚参数 $C > 0$ ，构造并求解凸二次规划问题： + +$$ +\begin{array}{l} \min _ {\alpha} \frac {1}{2} \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {n} \alpha_ {i} \alpha_ {j} y _ {i} y _ {j} K (x _ {i}, x _ {j}) - \sum_ {i = 1} ^ {n} \alpha_ {i} \\ s. t. \quad \sum_ {i = 1} ^ {n} \alpha_ {i} y _ {i} = 0 \quad 0 \leq \alpha_ {i} \leq C, i = 1, 2, \dots N \\ \end{array} +$$ + +得到最优解 $\alpha^{*} = (\alpha_{1}^{*},\alpha_{2}^{*},\dots,\alpha_{N}^{*})^{T}$ 。 + +2. 计算，选择 $\alpha^{*}$ 的一个分量 $\alpha_{j}^{*}$ 满足条件 $0 < \alpha_{j}^{*} < C$ ，计算 $b^{*} = y_{j} - \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{*} y_{j} K(x_{i}, x_{j})$ + +3.分类决策函数： $f(x) = \mathrm{si}gn(\sum_{i = 1}^{n}\alpha_{i}^{*}y_{j}K(x_{i},x_{j}) + b^{*})$ + +直接调用Python的sklearn库中的函数SVC编程计算，将已知数据分为训练集和测试集，通过反复调参，最终我们的模型在训练集上达到 $98\%$ 的正确率，而在测试集上达到 $93.9\%$ 的正确率。最后带入未知数据得到结果如下表所示： + +
No31438485871798689110134152227331618
OP6147106623492583
+ +# 5.3 问题三模型建立与求解 + +前期对附件3数据处理采用了和问题二相同的步骤，即检查数据、数据降维，标准化等处理。另外，由于附件3有中红外和近红外两个表，且两个表在产地(OP)列均有空缺值，经过编程对照，发现两个表的空缺值一致，且与问题三所需鉴别的10条药材记录一致。说明数据完整性良好，其他数据均标明了产地。 + +附件三的中红外和近红外在光谱波数为4000左右处相连，相连处只存在4个缺失值，分别是4000，4001，4002，4003，可近似认为中红外和近红外表为连续，将两表连接后画出数据图如下： + +![](images/10c05b26d54ec124f9a741c602499260a445c570ecc1a789a79f3020868b3494.jpg) +图8附件3中红外近红外合并数据 + +再将中红外表中数据作出图表如下： + +![](images/053e2d826d84b9204a309a915d4e8a42f12ecf5f868cbdbc3cc866e8b376717d.jpg) +图9附件3中红外原始数据 + +近红外数据作出图表如下： + +![](images/fda5bd89a9a4e2f4ccfc09cde06e284649aebb6a20c41f64d0dd752dc752010e.jpg) +图10附件3近红外原始数据 + +# 5.3.1 问题三模型建立 + +观察上述三个数据图表，可以看出与问题二初始图表非常类似。因此可以采取与问题二类似的模型进行求解。 + +# 5.3.2 问题三模型求解 + +首先，我们去求相邻两个数据之差，相当于是求导数。再利用极差大于均值的方法提取特征向量。 + +然后我们还是用LLE局部线性降维，对数据降维处理，最后利用支持向量机进行求解。 + +为了得到更加准确的鉴定结果，本文对三个数据表（连接表、中红外、近红外）进行分别求解。求解结果如下： + +
No4152230344574114170209
连接表161119163410910
中红外41012163411911
近红外21112163410914
+ +利用支持向量机发现取得的结果在不同的数据集上不完全相同，而不论在训练集还是测试集上其正确率都不分伯仲。最终以特征区间差异较大的中红外数据所得出的结果为主，用近红外数据和连接表数据得出的结果加以矫正，经过综合考虑，最终对问题三所给出编号的药材记录的产地鉴定结果如下： + +
No4152230344574114170209
OP171112163410914
+ +# 5.4 问题四模型建立与求解 + +对于问题四，可以考虑成在问题二的基础上增加了对药材类别的鉴定。提供的是近红外光谱波段的数据，由于要同时鉴别出未知药材的类别和产地。而类别不同显示出的差异较大，所以先对类别进行分类，将未知类别的记录划分到已知的类别里面。 + +在数据预处理中，通过附件4数据可以得到，除Class、OP列外无缺失数据，其中Class列缺失143条数据，即有143条药材记录不能确定类别；OP列缺失50条数据，即有50条药材记录不能确定产地；二者的交集共有7项，即问题四需要确定类别和产地的[94，109，140，278，308，330，347]号药材记录。 + +将已知类别的256条记录绘制出图表如下： + +![](images/583945a1c822a5691ea4b6c11779f61cd4b040cf1c5049ca510961aae663757e.jpg) +图11附件4按不同类别着色的数据图 + +其中红色为A类，绿色为B类，蓝色为C类。从此图可以非常明显的将A类数据和B、C类数据进行区分。 + +这里就可以判定有53组数据为A类数据，将所有A类数据剔除，仅余BC类数据继续判断。 + +于是我们暂时剔除A类和已分配为A类的数据，将B、C类的数据单独绘制 + +![](images/3af33b0403864d5698f89ddf0c0d297f8d49d5f49c22279361ea9f4a9e77da58.jpg) +作图并放大，如下图： +图12附件4中BC类数据分色图 + +B、C类数据贴合程度较高，从图形上面很难区分出来，我们将未分类数据和B、C绘制在一起继续观察图表，绘制图像如下： + +![](images/5aca7024c530fc82a04bcf15c99590c3cea527c6a5f314abfb04af41e0fb5fb9.jpg) +图13附件4中BC类数据及未分类数据图 + +容易发现，B、C类和未分类的数据也难以分辨出来。因此我们还是采用问题二类似的方法，先提取特征向量，再将数据降维，建立分类模型，最后使用支持向量机进行求解。我们将已知数据分为训练集和测试集，将训练集带入进行训练，并用测试集带入进行测试，这次得到的训练集和测试集的正确率均为 $100\%$ + +这说明不同种类的中药材呈现的光谱的区别明显，比较任意区分。最终我们得出了分类结果如下表： + +
种类药材标签号数量
A16, 31, 40, 46, 53, 60, 66, 67, 79, 94, 100, 109, 116, 131, 138, 139, 140, 152, 156, 173, 184, 185, 197, 199, 203, 219, 220, 223, 228, 23 2, 233, 246, 263, 267, 272, 276, 279, 286, 309, 310, 311, 313, 329, 335, 346, 359, 368, 375, 384, 387, 388, 390, 39253
B3, 6, 11, 18, 21, 32, 34, 35, 51, 55, 58, 59, 70, 71, 73, 76, 82, 89, 91, 106, 107, 128, 129, 143, 144, 146, 157, 158, 167, 168, 180, 181, 182, 201, 202, 210, 216, 217, 221, 247, 248, 251, 258, 259, 265, 27 7, 280, 281, 290, 291, 341, 342, 344, 347, 353, 363, 370, 372, 373, 377, 396, 39962
C5, 20, 22, 30, 33, 36, 48, 50, 101, 110, 125, 136, 137, 154, 175, 17 7, 186, 212, 214, 266, 278, 303, 304, 308, 330, 350, 364, 37628
+ +分类结果将143条未分类数据归于A、B、C三类，其中A类53条记录，B类62条记录，C类28条记录。显示为红色的为问题4需要填写的7条记录的分类。 + +完成分类鉴定之后，再进行产地的鉴定，先对附件4产地数据进行初步统计，结果如下： + +
产地123456789
数量3038886525109910
产地10111213141516未分类
数量109910811850
+ +进行初步统计后，我们按照不同产地着不同的颜色，画出附件4产地统计图 + +![](images/116b161486ff0b766cd18a6e44858c050904710461cd79ff3255f51789c52c74.jpg) +图14附件4不同产地颜色图 + +由于产地较多，共17种，肉眼难以分辨。因此我们采取与问题二相同的方法进行分类，先提取特征向量，再将数据降维后利用支持向量机求解，由于原数据图表部分光谱波数区间特征不明显，我们先对原始数据做一阶平滑处理，结果如下图： + +![](images/8e489e0372cf1f9b0cd8d7231cea41513275f6faf0f375b3016714fd94d29f26.jpg) +图15 附件4做平滑处理后的数据图 + +完成数据的平滑处理后，与问题三类似，提取近红外光谱波数的特征区间，并使用非线性降维算法进行降维处理，利用未分类数据到已分类数据的最短欧式距离来进行分类，最终分类结果如下： + +
产地药材标签号个数
152, 68, 83, 93, 115, 176, 218, 260, 278, 29210
24, 10, 42, 140, 149, 297, 356, 3798
314, 109, 166, 253, 3085
42, 27, 113, 126, 155, 188, 207, 209, 330, 336, 349, 365, 389, 39414
539, 94, 192, 3244
791
8611
113471
123401
13651
1480, 104, 3853
16121
+ +上表中显示为红色的药材编号即为问题四需要填写产地的7个药材记录。综合种类和产地结果，问题四最终结果如下： + +
No94109140278308330347
ClassAAACCCB
OP53213411
+ +# 六、模型评价与推广 + +本文针对题目分别给出的不同药材、不同产地的同一药材在近红外光谱与中红外光谱技术照射下的吸光度数据，统计分析出了不同药材在中红外光谱照射的特征性和差异性，并依托聚类模型为药材进行分类，运用分类模型实现了不同产地同一种药材的鉴别。值得在大数据时代，帮助医生精准识别中药材类别进行治疗，作用巨大。 + +# 6.1 模型的优点 + +# （1）聚类模型： + +考虑到了每个光谱波数上不同种药材的差异性不明显的因素，并提取出较为显著的特征区间，再使用非线性的等距离映射算法对数据进行降至3维，有助于后续数据分析。 + +# （2）分类模型 + +继承了问题一的数据降维，提取特征区间，获得了可以便于后续分析的数据，再使用支持向量机对模型进行求解，该模型速度快、准确率高，且具有普及性。 + +# 6.1 模型的缺点 + +对数据多次降维和提取特征区间后提高了模型求解效率，但也使得部分差异不显著的数据没有得到使用，可以改进将这部分数据用于矫正模型。其次该鉴别模型的前期参数调试过程较为复杂可以进一步优化使模型更简洁，减低使用模型时的学习成本。 + +# 七、参考文献 + +[1]基于Isomap特征降维的人脸表情相似度评估方法[J].黄东晋，肖帆，秦汉，蒋晨凤，丁友东.现代电影技术.2019(06). +[2] 支持向量机损失函数分析[J].王华军，修乃华.数学进展.2021(08). +[3]基于SVM分类器的癫痫脑电时空特征提取方法的研究[J].易芳吉，钟丽莎，李章勇.重庆邮电大学学报（自然科学版）.2021(08). +[4] 相关向量机多分类算法的研究与应用[D]. 柳长源. 哈尔滨工程大学 2013. +[5] K-means 聚类算法在通信运营商精准营销中的应用研究[D]. 郑舒方. 吉林大学 2019. +[6] 基于 LLE 降维思想的自然计算方法[J]. 张潞瑶，季伟东，程昊. 系统仿真学报. 2020（10）. +[7] 基于近红外光谱法对温郁金源3种药材的快速鉴别[J].赵金凯，罗云云，杨柳，杜伟锋，葛卫红.中华中医药药刊.2020(09). +[8]颜文勇，《数学建模》，高等教育出版社，2011. + +# 附录 + +# 源程序说明： + +1. 本文所有代码，均在Jupyter Notebook中编写，编写完成后复制进word文档。 +2. 由于所给数据均为 xsx 文档，用 python 读入较慢，为加快程序运行速度，提高效率，我们先将其另存为 csv 格式，再在程序中读入。 + +# 一、问题一Python源代码 + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +``` + +```txt +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +data0 = pd.read_csv(r'/附件/附件1.csv', index_col = 0) +data0.shape +``` + +```txt +data0.head() +``` + +```txt +data0.describe() +``` + +```txt +data0.info() +``` + +```txt +data0.isnull().any().any() +``` + +```txt +def my.plot(x): plt.plot(x.index, x.values, linewidth = 0.5) +``` + +```python +def PlotSpectrum(data, str0): + fontsize = 5 + plt.figure(str0, figsize = (5, 3), dpi = 300) + pltxticks(range(0, 4001, 500), rotation = 45, fontsize = 5) + plt.yticks(fontsize = fontsize) + pltxlabel('波段', fontsize = 6) + pltylabel('吸光度', fontsize = 6) + plt.grid(True) + data.agg(lambda x: my_plot(x), axis = 1) +plt.show() +``` + +PlotSpectrum(data0, '附件一光谱数据曲线图') + +```txt +def box(x): small = x.mean() - 3 * x.std() +``` + +```c +large = x.mean() + 3 * x.std() + +return (x < small) | (x > large) + +yczhi = data0.agg(lambda x: box(x)) + +yczhi_index = data0[(yczhi-sum(axis = 1) > 100)].index + +yczhi_index + +data0.drop(yczhi_index, axis = 0, inplace = True) + +data0.shape + +PlotSpectrum(data0, '附件一光谱数据曲线图') + +data_corr = data0_corr() + +data_corr + +data_std $\equiv$ data0.std() + +print(data_std.min(), data_std.max()) + +(data_std<0.05).sum() + +max_min = data0.agg(lambda x: x.max() - x.min()) + +print(max_min.describe()) + +data1 = data0.loc[:, max_min > max_min.mean() + 0 * max_min.std()) + +data1.shape + +from sklearn.preprocessing import StandardScaler + +scalar = StandardScaler().fit(data1) + +data2 =Scaler.transform(data1) + +data2 = pd.DataFrame(data1, index = data1.index) + +PlotSpectrum(data1, '附件一光谱标准化处理后数据曲线图') + +from sklearn.manifold import Isomap + +isomap $=$ Isomap(n_components $= 3$ ).fit(data1) + +data2 = isomap.transform(data1) + +print(data2.shape) + +plt.figure() + +pltscatter(data2[:0],data2[:1]) + +plt.show() + +from sklearn.cluster import KMeans + +from sklearn.metrics import silhouette_score + +scores $=$ [] + +for n_clusters in range(2, 8): + +cluster = KMeans(n_clusters = n_clusters, random_state = 0).fit(data1) + +```python +score = silhouette_score(data1, cluster.labels_) +scores.append(score) +print(scores) +plt.figure('聚类数量的轮廓系数') +plt.plot(range(2, 8), scores, '-o') +plt.show() +cluster = KMeans(n_clusters = 3).fit(data1) +pd.Series(cluster.labels_.value_counts().sort_index()) +plt.figure() +pltscatter(data2[:,0], data2[:,1], c = cluster.labels_) +plt.show() +colors = {'A': 'r', 'B': 'g', 'C': 'b', 'D': 'y'} +colors = ['r', 'g', 'b'] +plt.figure('附件一分类图', figsize = (5, 3), dpi = 300) +pltxticks(range(0, 10000, 1000), rotation = 45, fontsize = 5) +plt.lytic(x label('波段', fontsize = 5) +plt label('吸光度', fontsize = 5) +for i in range(data0.shape[0]): + plt.plot(data0.columns, data0.iiloc[i:, c = colors[cluster.labels_i]], linewidth = 0.5) +plt.grid(True) +plt.show() +``` + +# 二、问题二Python源代码 + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +``` + +```python +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #用来正常显示中文标签 +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False #用来正常显示负号 +``` + +```txt +data0 = pd.read_csv(r'/附件/附件2.csv', index_col = 0) +data0.shape +``` + +```txt +data0.head() +``` + +```txt +data0.describe([0.01, 0.25, 0.75, 0.99]).T +``` + +```txt +data0.info() +``` + +```javascript +data0-iloc[:1].isnull().any().any() +``` + +```python +data0ilated[;0].isnull().sum() +data0ilated[;0].value_counts().sort_index() +data_X = data0ilated[;1:] +print(data_X.shape) +data_X = pd.DataFrame(data_X.iloc[;1].values - data_X.iloc[;,:-1].values, index = data0.index) +print(data_X.shape) +print(data_X) +data_y = data0.iloc[;0] +print(data_X.shape, data_y.shape) +print(f'缺失值个数: {data_y.isnull().sum()}个') +data_y fillna(0, inplace = True) # 暂时用 0 填充缺失值 +print(f'缺失值个数: {{data_y == 0}.sum()}个') +# 转换为整数 +data_y = data_y.astype('int') +# 保留缺失值的索引号 +qsz_index = data_y[data_y == 0].index +qsz_index +def my_plot(x): + plt.plot(x.index, x.values, linewidth = 0.5) +def PlotSpectrum(data, str0): + fontsize = 5 + plt.figure(str0, figsize = (5, 3), dpi = 300) + plt.ticks(range(0, 4001, 500), rotation = 45, fontsize = 5) + plt.y ticks(figsize = fontsize) + pltxlabel('波段', fontsize = 6) + pltylabel('吸光度', fontsize = 6) + plt.grid(True) + data.agg(lambda x: my_plot(x), axis = 1) +plt.show() +``` + +PlotSpectrum(data0.iloc[:1], '附件二光谱数据曲线图') + +PlotSpectrum(data_X, '附件二一阶平滑后数据曲线图') + +```python +max_min = data_X.agg(lambda x: x.max() - x.min()) +print(max_min.describe()) +data1 = data_X.loc[:, max_min > max_min.mean() + 0 * max_min.std()) +# data1 = data_X +print(data_X.shape, data1.shape) +``` + +```python +data_X-know = data1.drop(qsz_index) +data_X_unknow = data1.loc[qsz_index,:] +print(data_X-know.index, '\n', data_X_unknow.index) +data_y-know = data_y.drop(qsz_index) +print(data_X-know.shape, data_y-know.shape, data_X_unknow.shape) +test = pd.concat([data_y-know, data_X-know], axis = 1) +test.shape +from scipy/spatial import distance_matrix +dis = pd.DataFrame(distance_matrix(data_X-know.values, data_X_unknow.values), index = data_X-know.index, columns = data_X_unknow.index) +dis_group = pd℉.concat([data_y-know, dis], axis = 1) +print(dis_group.shape) +print(dis_group.columns) +print(dis_group) +min_index = dis_group.idxmin() +print(min_index) +[*zip(qsz_index, dis_group.loc[min_index[1:], 'OP'])] +dis_groupby = dis_group.groupby('OP').mean() +dis_groupby +by_min_index = dis_groupby.idxmin() +print(by_min_index) +dis = pd.DataFrame(distance_matrix(data_X-know.values, data_X-know.values), index = data_X-know.index, columns = data_X-know.index) +dis_group = pd℉.concat([data_y-know, dis], axis = 1) +print(dis_group.shape) +print(dis_group.columns) +print(dis_group) +OP_index = [0 for i in range(12)] +for i in range(1, 12): + OP_index[i] = dis_group[dis_group['OP'] == i].index +OP_index +dis = pd.DataFrame(distance_matrix(data_X-know.loc[OP_index[1]:].values, data_X-know.loc[OP_index[1]:].values, data_X-know.loc[OP_index[1]:].values, data_X-know.loc[OP_index[2]:].values)).mean().mean() +print(dis) +dis = pd.DataFrame(distance_matrix(data_X-know.loc[OP_index[1]:].values, data_X-know.loc[OP_index[1]:].values, data_X-know.loc[OP_index[2]:].values)).mean().mean() +``` + +dis + +```python +dis_g = pd.DataFrame(np.zeros([11,11]), index = range(1, 12), columns = range(1, 12)) +for i in range(1, 12): + for j in range(1, 12): + dis_g.loc[i, j] = pd.DataFrame(distance_matrix(data_X-know.loc[OP_index[i],].values, data_X-know.loc[OP_index[j],].values)).mean().mean() +dis_g +dis_g.idxmin() +``` + +```python +from sklearn.manifold import LocallyLinearEmbedding +from sklearn.svm import SVC +from sklearn.model_selection import cross_val_score +from sklearn.model_selection import train_test_split +``` + +```python +print(data_X.shape) +best_LLE_clf_n_components, best_LLE_clf_n_neighbors = 35, 70 +best_parameters_ = {'C': 2.438775510204082, 'gamma': 18.420699693267164} +print(f'n_components = {best_LLE_clf_n_components}, n_neighbors = {best_LLE_clf_n_neighbors}') +# print(f'best_parameters_ = {grid.best_parameters}') +Ile = LocallyLinearEmbedding(n_components = best_LLE_clf_n_components, n_neighbors = best_LLE_clf_n_neighbors, method = 'modified').fit(data1) # LLE降维 +data_X_Ile = Ile.transform(data1) # 获取降维后的数据 +data_X_Ile = pd.DataFrame(data_X_Ile) # 转换为DataFrame +data_y = pd.Series(data_y) # 转换为Series +``` + +#将未分类数据剥离 +data_X lle-know $=$ data_X lle.drop(qsz_index, axis $= 0$ #删除未分类的行 +data_X lle_unknow $=$ data_X lle.loc[qsz_index,:] #取出未分类的行 +print(data_X lle-know.shape, data_X lle_unknow.shape, data_y-know.shape) +#clf $=$ SVC(C $=$ best_parameters['C], kernel $=$ 'rbf,gamma $=$ best_parameters['gamma'],decision_function_shape $=$ 'ovr',cache_size $= 5000$ #MB#） +#cvs $=$ cross_val_score(clf,data_X lle-know,data_y-know, $\mathrm{cv} = 10$ +#print(f'预测平均准确率：{cvs.mean()}') +Xtrain,Xtest,Ytrain,Ytest $=$ train_test_split(data_X lle-know,data_y-know,test_size $= 0.3$ #分离出测试集和训练集 +clf $=$ SVC(C $=$ best_parameters['C], kernel $=$ 'rbf,gamma $=$ best_parameters['gamma'],decision_function_shape $=$ 'ovr',cache_size $= 5000$ #MB).fit(Xtrain,Ytrain) +score_r $=$ clf.score(Xtest,Ytest) +print(score_r) + +clf = clf.fit(data_X_IIle-know, data_y-know) + +print(clf.score(data_X_IIe-know, data_y-know)) + +print(clf.predict(data_X_IIle_unknow)) + +# 三、问题三Python源代码 + +import numpy as np + +import pandas as pd + +import matplotlib.pyplot as plt + +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] + +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False + +# 用来正常显示中文标签 + +用来正常显示负号 + +data1 = pd.read_csv(r'/附件/附件3中红外.csv', index_col = 0) + +data2 = pd.read_csv(r'/附件/附件3近红外.csv', index_col = 0) + +print(data1.shape, data2.shape) + +data1.head() + +Data2.head() + +print(data1['OP'].isnull().any(), data2['OP'].isnull().any()) + +print(data1['OP'].isnull().sum(), data2['OP'].isnull().sum()) + +print(data1[data1['OP'].isnull().index, '\n', data2[data2['OP'].isnull().index) + +qsz_index = data1[data1['OP'].isnull().index + +all(data1['OP'].drop(qsz_index) == data2['OP'].drop(qsz_index)) + +data1.describe([0.01, 0.25, 0.75, 0.99]).T + +data2.describe([0.01, 0.25, 0.75, 0.99]).T + +data1.info() + +data2.info() + +data1-iloc[;,1].isnull().any().any() + +data2.iloc[;,1].isnull().any().any() + +data1['OP'].fillna(0, inplace = True) + +data1['OP'] = data1['OP'].astype('int') + +data1['OP'].value_counts().sort_index() + +```txt +print(data1.index,'\n',data2.index) +print(data1.columns,'\n',data2.columns) +``` + +```txt +data0 = pd.concat([data1, data2iloc(:,1:)], axis = 1) +data0.shape +``` + +```txt +data0.head() +``` + +```txt +data_X = data0-iloc[:1:] +``` + +```python +data_y = data0iloc(:,0) +``` + +```python +print(data_X.shape, data_y.shape) +``` + +```javascript +print(f'缺失值个数：{data_y.isnull().sum()个'} +``` + +```txt +data_y fills(0, inplace = True) # 暂时用 0 填充缺失值 +``` + +```txt +print(f'缺失值个数：{ (data_y == 0).sum() }个') +``` + +```txt +转换为整数 +``` + +```txt +data_y = data_y.astype('int') +``` + +```txt +# 保留缺失值的索引号 +``` + +```txt +qsz_index = data_y[data_y == 0].index +``` + +```python +data_y_unknow = pd.Series([17, 11, 1, 2, 16, 3, 4, 10, 9, 14], index = qsz_index,) +``` + +```txt +print(qsz_index) +``` + +```txt +def my.plot(x): +``` + +```txt +plt.plot(x.index, x.values, linewidth = 0.5) +``` + +```python +def PlotSpectrum(data, str0): +``` + +plt.figure(str0,figsize $= (4,2.5)$ ， $\mathrm{dpi} = 300$ + +pltxticks(range(0,10001,500),rotation $= 45$ ,fontsize $= 5$ + +```python +plt.yticksysz=5) +``` + +```txt +plt.xlabel('波段', fontsize = 6) +``` + +pltylabel('吸光度'，fontsize $= 6$ + +```txt +plt.grid(True) +``` + +```python +data.agg( lambda x: my.plot(x), axis = 1) +``` + +```txt +plt.show() +``` + +PlotSpectrum(data_X, '附件3光谱数据曲线图') + +PlotSpectrum(data1.iloc[:1], '附件3光谱数据曲线图') + +PlotSpectrum(data2.iiloc[:1], '附件3光谱数据曲线图') + +```python +max_min = data_X.agg(lambda x: x.max() - x.min()) +``` + +```python +print(max_min.describe()) +``` + +```python +data_jw = data_X.loc[:, max_min > max_min.mean() + 0 * max_min.std()) +``` + +```txt +data1 = data_X +print(data_X.shape, data_jw.shape) +``` + +```python +data_X-know = data_jw.loc[index_14,:] +data_X unknow = data_jw.loc[qsz_index,:] +print(data_X-know.index, '\n', data_X unknow.index) +data_y-know = data_y.drop(qsz_index) +print(data_X-know.shape, data_y-know.shape, data_X unknow.shape) +test = pd.concat([data_y-know, data_X-know], axis = 1) +test.shape +``` + +from scipy-spacing import distance_matrix +dis $=$ pd.DataFrame(distance_matrix(data_X-know.values, data_X_unknow.values), index $=$ data_X-know.index,columns $\equiv$ data_X_unknow.index) +# np.linalg.norm(np.array(data_X-know[0,:])) +dis_group $=$ pd.concat([data_y-know,dis],axis $= 1$ +print(dis_group.shape) +print(dis_group.columns) +print(dis_group) + +```python +min_index = dis_group.idxmin() +print(min_index) +[*zip(qsz_index, dis_group.loc[min_index[1:], 'OP'])] +``` + +dis_groupby $=$ dis_group.groupby('OP').mean() +dis_groupby + +```python +by_min_index = dis_groupby.idxmin() +print(by_min_index) +``` + +```txt +data3_X = pd.DataFrame(data1.iloc[:,2].values - data1.iloc[:,1:-1].values, index = data1.index) +data4_X = pd.DataFrame(data2.iloc[:,2].values - data2.iloc[:,1:-1].values, index = data2.index) +print(data3_X.shape, data4_X.shape) +print(all(data3_X.index == data4_X.index)) +print(data3_X.columns, data4_X.columns) +``` + +```python +max_min3 = data3_X.agg(lambda x: x.max() - x.min()) +print(max_min3.describe()) +data3_jw = data3_X.loc[:, max_min3 > max_min3.mean() + 0 * max_min3.std()) +print(data3_X.shape, data3_jw.shape) +``` + +```python +max_min4 = data4_X.agg(lambda x: x.max() - x.min()) +print(max_min4.describe()) +data4_jw = data4_X.loc[:, max_min4 > max_min4.mean() + 0 * max_min4.std()) +``` + +```txt +print(data4_X.shape, data4_jw.shape) +``` + +```txt +data3_X-know = data3_jw.loc[index_14,] +``` + +```python +data3_X_unknow = data3_jw.loc[qsz_index,] +``` + +```txt +print(data3_X-know.index, '\n', data3_X_unknow.index) +``` + +```python +data3_y-know = data_y.drop(qsz_index) +``` + +```txt +print(data3_X-know.shape, data3_y-know.shape, data3_X_unknow.shape) +``` + +```txt +print(data3_X-know, data3_X_unknow) +``` + +```python +data4_X-know = data4_jw.loc[index_14,:] +``` + +```python +data4_X_unknow = data4_jw.loc[qsz_index, :] +``` + +```txt +print(data4_X-know.index, '\n', data4_X unknow.index) +``` + +```python +data4_y_know = data_y.drop(qsz_index) +``` + +```txt +print(data4_X-know.shape, data4_y-know.shape, data4_X unknow.shape) +``` + +```python +from scipyiardal import distance_matrix +``` + +```python +dis3 = pd.DataFrame(distance_matrix(data3_X-know.values, data3_X_unknow.values), index = +``` + +data3_X-know.index,columns $=$ data3_X_unknow.index) + +```python +dis3_group = pd.concat([data3_y-know, dis3], axis = 1) +``` + +```txt +print(dis3_group.shape) +``` + +```txt +print(dis3_group.columns) +``` + +```txt +print(dis3_group) +``` + +```python +dis4 = pd.DataFrame(distance_matrix(data4_X-know.values, data4_X_unknow.values), index = +``` + +data4_X-know.index,columns $=$ data4_X_unknow.index) + +```python +dis4_group = pd.concat([data4_y-know, dis4], axis = 1) +``` + +```txt +print(dis4_group.shape) +``` + +```txt +print(dis4_group.columns) +``` + +```txt +print(dis4_group) +``` + +```txt +print(dis3_group.shape, type(dis3_group)) +``` + +```python +min_index3 = dis3_group.idxmin() +``` + +```txt +print(min_index3) +``` + +```bazel +print([*zip(qsz_index,dis3_group.loc[min_index3[1:,'OP'])]]) +``` + +```python +min_index4 = dis4_group(idxmin() +``` + +```txt +print(min_index4) +``` + +```bazel +print([*zip(qsz_index,dis4_group.loc[min_index4[1:,'OP'])]]) +``` + +# 四、问题四Python源代码 + +import numpy as np + +import pandas as pd + +import matplotlib.pyplot as plt + +plt.roParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] + +# 用来正常显示中文标签 + +```txt +plt.roParams['axes.unicode_minus'] = False +``` + +用来正常显示负号 + +```python +data0 = pd.read_csv(r'/附件/附件4.csv', index_col = 0) +``` + +```txt +data0.shape +``` + +```txt +data0.head() +``` + +```txt +print(data0['OP'].isnull().any(), data0['Class'].isnull().any()) +``` + +```txt +data0.describe([0.01, 0.25, 0.75, 0.99]).T +``` + +```txt +data0.info() +``` + +```txt +data0iloc[:2].isnull().any().any() +``` + +```elixir +data0iloc[:0].value_counts().sort_index() +``` + +```elixir +data0iloc[:1].value_counts().sort_index() +``` + +```txt +print(data0['OP'].isnull().sum(), data0['Class'].isnull().sum()) +``` + +```python +OP_null_index = data0[data0['OP'].isnull().index +``` + +```txt +Class_null_index = data0[data0['Class'].isnull().index +``` + +```txt +print(OP_null_index, \n', Class_null_index) +``` + +```txt +public_index = [] +``` + +```ocaml +for in OP_null_index: +``` + +```txt +if i in Class_null_index: +``` + +```txt +public_index.append(i) +``` + +```txt +public_index +``` + +```txt +def my.plot(x): +``` + +```txt +plt.plot(x.index, x.values, linewidth = 0.5) +``` + +```python +def PlotSpectrum(data, str0): +``` + +fontsize $= 5$ + +plt.figure(str0,figsize $= (5,3)$ ,dpi $= 300$ + +```txt +plt.xysticks(range(0, 8001, 500), rotation = 45, fontsize = 5) +``` + +```txt +plt.yticksysz=fontsize) +``` + +```txt +plt.xlabel('波段', fontsize = 6) +``` + +pltylabel('吸光度'，fontsize $= 6$ + +```txt +plt.grid(True) +``` + +```python +data.agg( lambda x: my.plot(x), axis = 1) +``` + +```txt +plt.show() +``` + +PlotSpectrum(data0.iiloc[:2:], '附件四光谱数据曲线图') + +data0['Class'].fillna('D',inplace $\equiv$ True) +data0['OP'].fillna(0,inplace $=$ True) +data0 +colors $=$ {'A': 'r', 'B': 'g', 'C': 'b', 'D': 'y'} +plt.figure('附件四 Class',figsize $= (5,3)$ ,dpi $= 300$ +pltxticks(range(0,10000,1000),rotation $= 45$ ,fontsize $= 5$ +plt.lyticx( $\mathsf{f}$ ) $\equiv$ 'D': plt.plot(data0.columns[2:],data0.iloc[i,2:],c $=$ colors[data0.iloc[i,0]], linewidth $= 0.5$ +plt.grid(True) +plt.show() +colors $=$ {'A': 'r', 'B': 'g', 'C': 'b', 'D': 'y'} +plt.figure('附件四 Class',figsize $= (5,3)$ ,dpi $= 300$ +pltxticks(range(0,10000,1000),rotation $= 45$ ,fontsize $= 5$ +plt.lyticx( $\mathbf{\Pi}^{\prime}$ ) $\equiv$ 'C': plt.plot(data0.columns[2:],data0.iloc[i,2:],c $=$ colors[data0.iloc[i,0]], linewidth $= 0.5$ +plt.grid(True) +plt.show() +data_X $\equiv$ dataBCD.iloc[,2:] +data_class $\equiv$ dataBCD.iloc[,0] +max_min $\equiv$ data_X.agg(Lambda x:x.max(-x.min()) +print(max_min.describe()) +data1 $\equiv$ data_X.loc[.,max_min $>$ max_min.mean( $^+$ 0\*max_min.std()) +print(data_X.shape,data1.shape) +data1 +data_class-know $\equiv$ data1.drop(BC_index) +data_class_unknow $\equiv$ data1.loc[BC_index,:] +print(data_Class-know.index,'n',data_Class_unknow.index) +from scipy.spatial import distance_matrix + +index = data_class-know.index,columns $=$ data_class_unknow.index) +dis_Cgroup $=$ pd.concat([data_class,dis_C],axis $= 1$ +print(dis_Cgroup.shape) +print(dis_Cgroup.columns) +print(dis_Cgroup) + +min_Cindex $=$ dis_Cgroup.iloc[:1].idxmin() +print(min_Cindex) +[*zip(BC_index,dis_Cgroup.iloc[min_Cindex[1:], 'Class'])] + +```python +from sklearn.manifold import LocallyLinearEmbedding +from sklearn.svm import SVC +from sklearn.model_selection import cross_val_score +from sklearn.model_selection import train_test_split +``` + +```python +print(dataBCD.shape) +best_LLE_clf_n_components, best_LLE_clf_n_neighbors = 20, 40 +best.params_ = {'C': 2.438775510204082, 'gamma': 18.420699693267164} +print(f'n_components = {best_LLE_clf_n_components}, n_neighbors = {best_LLE_clf_n_neighbors}') +# print(f'best.params_ = {grid.best Params}') +Ile = LocallyLinearEmbedding(n_components = best_LLE_clf_n_components, n_neighbors = best_LLE_clf_n_neighbors, method = 'modified').fit(dataBCD-iloc[;,2:]) # LLE降维 +dataBCD_Ile = Ile.transform(dataBCD-iloc[;,2:]) # 获取降维后的数据 +dataBCD_Ile = pd.DataFrame(dataBCD_Ile, index = dataBCD.index) # 转换为DataFrame +print(dataBCD_Ile) +``` + +```txt +X-know = dataBCD_Ile[(dataBCD['Class'] == 'B') | (dataBCD['Class'] == 'C']) +X unknow = dataBCD_Ile[(dataBCD['Class'] == 'D')) +y-know = dataBCD.loc[(dataBCD['Class'] == 'B') | (dataBCD['Class'] == 'C'), 'Class'] +print(X-know.shape, X unknow.shape, y-know.shape) +Xtrain, Xtest, Ytrain, Ytest = train_test_split(X-know, y-know, test_size = 0.3) # 分离出测试集和训练集 +``` + +clf $=$ SVC(C $=$ best_parameters['C'], kernel $=$ 'rbf', gamma $=$ best_parameters['gamma'], +decision_function_shape $\equiv$ 'ovr', cache_size $\equiv$ 5000#MB .fit(Xtrain,Ytrain) +score_r = clf.score(Xtest,Ytest) +print(score_r) +clf $=$ clf.fit(X-know,y-know) +print(clf.score(X-know,y-know)) +print(clf.predict(X_unknow)) +resBC $=$ [*zip(BC_index, clf.predict(X_unknow)]) + +resB,resC $= \left\lbrack \right\rbrack ,\left\lbrack \right\rbrack$ +for i in resBC: if i[1] $= = ^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}$ ： resB.append(i[0]) else: resC.append(i[0]) +print(resBC) +print(resB, len(resB)) +print(resC, len(resC)) +colors $=$ ["r","g","b","c","m","y","navy","purple","gray","orange","lime","pink", "tomato","khaki","azure","linen","rose",] +plt.figure('附件四 Class',figsize $= (5,3)$ ，dpi $= 300$ +plt.ricks(range(0,10000,1000)，rotation $= 45$ ，fontsize $= 5$ +plt.lyicks fontsize $= 5$ +pltxlabel('波段'，fontsize $= 5$ +pltylabel('吸光度'，fontsize $= 5$ +plt.grid(True) +for i in range(data0.shape[O]): plt.plot(data0.columns[2:],data0-iloc[i,2:],color $=$ colors[int(datao.iloc[i,1]]]，linewidth $= 0.5$ 产 plt.show() +best_LLE_clf_n_components, best_LLE_clf_n_neighbors $= 20,40$ +best_parameters $= \{$ C':2.438775510204082,'gamma':18.420699693267164\} +print(f'n_components $\equiv$ {best_LLE_clf_n_components}, n_neighbors $\equiv$ {best_LLE_clf_n_neighbors}]） # print(f'best_parameters $=$ {grid.best_parameters}]） +Ile $=$ LocallyLinearEmbedding(n_components $=$ best_LLE_clf_n_components ,n_neighbors $=$ best_LLE_clf_n_neighbors ,method $=$ modified').fit(dataBCD.iloc[,2:]) # LLE降维 dataBCD_Ile $=$ Ile.transform(dataBCD.iloc[,2:]) # 获取降维后的数据 dataBCD_Ile $=$ pd.DataFrame(dataBCD_Ile,index $=$ dataBCD.index) 转换为 DataFrame +print(dataBCD_Ile) +X-know $=$ dataBCD_Ile[(dataBCD['Class'] $= = ^{\prime}\mathrm{B}^{\prime})$ |（dataBCD['Class'] $= = ^{\prime}\mathrm{C}^{\prime})$ X_unknow $=$ dataBCD_Ile[(dataBCD['Class'] $= = ^{\prime}\mathrm{D}^{\prime})$ +y-know $=$ dataBCD.loc[(dataBCD['Class'] $= = ^{\prime}\mathrm{B}^{\prime})$ |（dataBCD['Class'] $= = ^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}),$ 'Class'] print(X-know.shape,X_unknow.shape,y-know.shape) Xtrain,Xtest,Ytrain,Ytest $=$ train_test_split(X-know,y-know,test_size $= 0.3$ ） # 分离出测试 集和训练集 +clf $=$ SVC(C $=$ best_parameters['C'], kernel $=$ 'rbf', gamma $=$ best_parameters['gamma'], decision_function_shape $=$ 'ovr', cache_size $= 5000$ # MB .fit(Xtrain,Ytrain) + +```python +score_r = clf.score(Xtest, Ytest) +print(score_r) +clf = clf.fit(X-know, y-know) +print(clf.score(X-know, y-know)) +print(clf.predict(X_unknow)) +[*zip(BC_index, clf.predict(X_unknow))] +data0['OP'] = data0['OP'].astype(int) +data0 +``` + +```txt +data_X = pd.DataFrame(data0iloc[:,3].values - data0iloc[:,2:-1].values, index = data0.index) +data_X +``` + +```python +colors = ["r", "g", "b", "c", "m", "y", "navy", "purple", "gray", "orange", "lime", "pink", "tomato", "khaki", "azure", "linen", "rose", ] +plt.figure('附件四 Class', figsize = (5, 3), dpi = 300) +pltatory(range(0, 10000, 1000), rotation = 45, fontsize = 5) +plt)y ticks�� size = 5) +plt.xlabel('波段', fontsize = 5) +pltylabel('吸光度', fontsize = 5) +plt.grid(True) +for i in range(data_X.shape[0]): + plt.plot(data_X.columns[2:], data_X.iiloc[i,2:], color = colors[int(data0.iloc[i,1])], linewidth = 0.5) +plt.show() +``` + +```python +max_min = data_X.agg(lambda x: x.max() - x.min()) +print(max_min.describe()) +data_X1 = data_X.loc[:, max_min > max_min.mean() + 0 * max_min.std()) +# data1 = data_X +print(data_X.shape, data_X1.shape) +``` + +```python +data_X-know = data_X1.loc[data0['OP'] != 0] +data_X_unknow = data_X1.loc[data0['OP'] == 0] +print(data_X-know.shape, '\n', data_X_unknow.shape) +print(data_X-know.index, '\n', data_X_unknow.index) +data_y-know = data0.loc[data0['OP'] != 0, 'OP'] +print(data_X-know.shape, data_y-know.shape, data_X_unknow.shape) +print(data_y-know.index) +``` + +from scipy-spacing import distance_matrix +dis $=$ pd.DataFrame(distance_matrix(data_X-know.values, data_X_unknow.values), index $\equiv$ data_X-know.index,columns $\equiv$ data_X_unknow.index) +dis_group $\equiv$ pd.concat([data_y-know,dis],axis $= 1$ + +print(dis_group.shape) +print(dis_group.columns) +print(dis_group) +min_index $=$ dis_group.idxmin() +print(min_index) +res $=$ \*zip(OP_null_index,dis_group.loc[min_index[1:,'OP'])] +res +dict1 $=$ {i[:] for i in range(17)} +for i in range(len(res)): dict1[res[i][1]].append(res[i][0]) +for i in dict1_keys(): print(i,dict1[i],len(dis1[i])) \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/Probelms/A/CUMCM2021-A/CUMCM2021-A.md b/MCM_CN/2021/Probelms/A/CUMCM2021-A/CUMCM2021-A.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fa94a56970171b93f536d044e10f9c062015d172 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/Probelms/A/CUMCM2021-A/CUMCM2021-A.md @@ -0,0 +1,49 @@ +# A 题 “FAST” 主动反射面的形状调节 + +中国天眼——500米口径球面射电望远镜（Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST），是我国具有自主知识产权的目前世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜。它的落成启用，对我国在科学前沿实现重大原创突破、加快创新驱动发展具有重要意义。 + +FAST 由主动反射面、信号接收系统（馈源舱）以及相关的控制、测量和支承系统组成（如图1所示），其中主动反射面系统是由主索网、反射面板、下拉索、促动器及支承结构等主要部件构成的一个可调节球面。主索网由柔性主索按照短程线三角网格方式构成，用于支承反射面板（含背架结构），每个三角网格上安装一块反射面板，整个索网固定在周边支承结构上。每个主索节点连接一根下拉索，下拉索下端与固定在地表的促动器连接，实现对主索网的形态控制。反射面板间有一定缝隙，能够确保反射面板在变位时不会被挤压、拉扯而变形。索网整体结构、反射面板及其连接示意图见图2和图3。 + +![](images/8b85daf153358c04dd0a64878b7c78b86f7974ee0aa14b319cda6098d60a3e85.jpg) +图1 FAST三维示意图 + +![](images/e7455800e6a99d756077d60379294162863a4492e748b7abfc67e61c0f9cf09a.jpg) +图2 整体索网结构 + +![](images/3f10dae241d883981393c7ee3f22afcaeac7c3017f7ef38781db59de4c5a934f.jpg) +(a) + +![](images/7013da699deb3f218b4db9a7694bc0b5fa078acee9c3142fb4259cc5e55aec15.jpg) +(b) +图3 反射面板、主索网结构及其连接示意图 + +主动反射面可分为两个状态：基准态和工作态。基准态时反射面为半径约300米、口径为500米的球面（基准球面）；工作态时反射面的形状被调节为一个300米口径的近似旋转抛物面（工作抛物面）。图4是FAST在观测时的剖面示意图，C点是基准球面的球心，馈源舱接收平面的中心只能在与基准球面同心的一个球面(焦面)上移动，两同心球面的半径差为 $F = 0.466R$ （其中R为基准球面半径，称F/R为焦径比）。馈源舱接收信号的有效区域为直径1米的中心圆盘。当FAST观测某个方向的天体目标S时，馈源舱接收平面的中心被移动到直线SC与焦面的交点P处，调节基准球面上的部分反射面板形成以直线SC为对称轴、以P为焦点的近似旋转抛物面，从而将来自目标天体的平行电磁波反射汇聚到馈源舱的有效区域。 + +![](images/73222723bbe98bb995e2f9b0f4f1ccb0f61be7524839837d35460ed69511905b.jpg) +图4 FAST剖面示意图 + +将反射面调节为工作抛物面是主动反射面技术的关键，该过程通过下拉索与促动器配合来完成。下拉索长度固定。促动器沿基准球面径向安装，其底端固定在地面，顶端可沿基准球面径向伸缩来完成下拉索的调节，从而调节反射面板的位置，最终形成工作抛物面。 + +本赛题要解决的问题是: 在反射面板调节约束下, 确定一个理想抛物面, 然后通过调节促动器的径向伸缩量, 将反射面调节为工作抛物面, 使得该工作抛物面尽量贴近理想抛物面, 以 + +获得天体电磁波经反射面反射后的最佳接收效果。 + +请你们团队根据附录中的要求及相关参数建立模型解决以下问题： + +1、当待观测天体 $S$ 位于基准球面正上方, 即 $\alpha = 0^{\circ}, \beta = 90^{\circ}$ 时, 结合考虑反射面板调节因素, 确定理想抛物面。 +2、当待观测天体S位于 $\alpha = 36.795^{\circ},\beta = 78.169^{\circ}$ 时，确定理想抛物面。建立反射面板调节模型，调节相关促动器的伸缩量，使反射面尽量贴近该理想抛物面。将理想抛物面的顶点坐标，以及调节后反射面300米口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果按照规定的格式（见附件4）保存在“result.xlsx”文件中。 +3、基于第2问的反射面调节方案，计算调节后馈源舱的接收比，即馈源舱有效区域接收到的反射信号与300米口径内反射面的反射信号之比，并与基准反射球面的接收比作比较。 + +# 附录：要求及相关参数 + +1、主动反射面共有主索节点2226个，节点间连接主索6525根，不考虑周边支承结构连接的部分反射面板，共有反射面板4300块。基准球面的球心在坐标原点，附件1给出了所有主索节点的坐标和编号，附件2给出了促动器下端点（地锚点）坐标、基准态时上端点（顶端）的坐标，以及促动器对应的主索节点编号，附件3给出了4300块反射面板对应的主索节点编号。 +2、基准态下，所有主素节点均位于基准球面上。 +3、每一块反射面板均为基准球面的一部分。反射面板上开有许多直径小于 5 毫米的小圆孔,用于透漏雨水。由于小孔的直径小于所观察的天体电磁波的波长, 不影响对天体电磁波的反射,所以可以认为面板是无孔的。 +4、电磁波信号及反射信号均视为直线传播。 +5、主索节点调节后，相邻节点之间的距离可能会发生微小变化，变化幅度不超过 $0.07\%$ 。 +6、将主索节点坐标作为对应的反射面板顶点坐标。 +7、通过促动器顶端的伸缩，可控制主索节点的移动变位，但连接主索节点与促动器顶端的下拉索的长度保持不变。促动器伸缩沿基准球面径向趋向球心方向为正向。假设基准状态下，促动器顶端径向伸缩量为0，其径向伸缩范围为 $-0.6\sim +0.6$ 米。 +8、天体S的方位可用方位角 $\alpha$ 和仰角 $\beta$ 来表示（见图5）。 + +![](images/ead9970d50631955d3bd84b457352010554e4d5936a59158af4f7f583a14e311.jpg) +图5 天体S方位角与仰角示意图 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/Probelms/B/CUMCM2021-B/CUMCM2021-B.md b/MCM_CN/2021/Probelms/B/CUMCM2021-B/CUMCM2021-B.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d5ab9b42fe0f8e5b54c68144b2502d52ccc7de76 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/Probelms/B/CUMCM2021-B/CUMCM2021-B.md @@ -0,0 +1,32 @@ +# B 题 乙醇偶合制备 C4 烯烃 + +C4 烯烃广泛应用于化工产品及医药的生产，乙醇是生产制备 C4 烯烃的原料。在制备过程中，催化剂组合（即：Co 负载量、Co/SiO2 和 HAP 装料比、乙醇浓度的组合）与温度对 C4 烯烃的选择性和 C4 烯烃收率将产生影响（名词解释见附录）。因此通过对催化剂组合设计，探索乙醇催化偶合制备 C4 烯烃的工艺条件具有非常重要的意义和价值。 + +某化工实验室针对不同催化剂在不同温度下做了一系列实验，结果如附件1和附件2所示。请通过数学建模完成下列问题： + +(1) 对附件 1 中每种催化剂组合，分别研究乙醇转化率、C4 烯烃的选择性与温度的关系，并对附件 2 中 350 度时给定的催化剂组合在一次实验不同时间的测试结果进行分析。 +(2) 探讨不同催化剂组合及温度对乙醇转化率以及 C4 烯烃选择性大小的影响。 +(3) 如何选择催化剂组合与温度，使得在相同实验条件下 C4 烯烃收率尽可能高。若使温度低于 350 度，又如何选择催化剂组合与温度，使得 C4 烯烃收率尽可能高。 +(4) 如果允许再增加 5 次实验, 应如何设计, 并给出详细理由。 + +# 附录：名词解释与附件说明 + +温度：反应温度。 + +选择性：某一个产物在所有产物中的占比。 + +时间：催化剂在乙醇氛围下的反应时间，单位分钟（min）。 + +Co 负载量：Co 与 SiO2 的重量之比。例如，“Co 负载量为 $1\mathrm{wt}\%$ ”表示 Co 与 SiO2 的重量之比为 1:100，记作“ $1\mathrm{wt}\% \mathrm{Co} / \mathrm{SiO2}$ ”，依次类推。 + +HAP: 一种催化剂载体, 中文名称羟基磷灰石。 + +Co/SiO2和HAP装料比：指Co/SiO2和HAP的质量比。例如附件1中编号为A14的催化剂组合“33mg 1wt%Co/SiO2-67mg HAP-乙醇浓度1.68ml/min”指Co/SiO2和HAP质量比为33mg：67mg且乙醇按每分钟1.68毫升加入，依次类推。 + +乙醇转化率：单位时间内乙醇的单程转化率，其值为 $100\% \times$ （乙醇进气量-乙醇剩余量)/乙醇进气量。 + +C4 烯烃收率：其值为乙醇转化率 $\times$ C4 烯烃的选择性。 + +附件1：性能数据表。表中乙烯、C4烯烃、乙醛、碳数为4-12脂肪醇等均为反应的生成物；编号A1~A14的催化剂实验中使用装料方式I，B1～B7的催化剂实验中使用装料方式II。 + +附件2：350度时给定的某种催化剂组合的测试数据。 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/Probelms/C/CUMCM2021-C/CUMCM2021-C.md b/MCM_CN/2021/Probelms/C/CUMCM2021-C/CUMCM2021-C.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..176b08ddb86ebced71f57790ea32101956ac3059 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/Probelms/C/CUMCM2021-C/CUMCM2021-C.md @@ -0,0 +1,27 @@ +# C 题 生产企业原材料的订购与运输 + +某建筑和装饰板材的生产企业所用原材料主要是木质纤维和其他植物素纤维材料，总体可分为A，B，C三种类型。该企业每年按48周安排生产，需要提前制定24周的原材料订购和转运计划，即根据产能要求确定需要订购的原材料供应商（称为“供应商”）和相应每周的原材料订购数量（称为“订货量”），确定第三方物流公司（称为“转运商”）并委托其将供应商每周的原材料供货数量（称为“供货量”）转运到企业仓库。 + +该企业每周的产能为2.82万立方米，每立方米产品需消耗A类原材料0.6立方米，或B类原材料0.66立方米，或C类原材料0.72立方米。由于原材料的特殊性，供应商不能保证严格按订货量供货，实际供货量可能多于或少于订货量。为了保证正常生产的需要，该企业要尽可能保持不少于满足两周生产需求的原材料库存量，为此该企业对供应商实际提供的原材料总是全部收购。 + +在实际转运过程中，原材料会有一定的损耗（损耗量占供货量的百分比称为“损耗率”），转运商实际运送到企业仓库的原材料数量称为“接收量”。每家转运商的运输能力为6000立方米/周。通常情况下，一家供应商每周供应的原材料尽量由一家转运商运输。 + +原材料的采购成本直接影响到企业的生产效益，实际中A类和B类原材料的采购单价分别比C类原材料高 $20\%$ 和 $10\%$ 。三类原材料运输和储存的单位费用相同。 + +附件1给出了该企业近5年402家原材料供应商的订货量和供货量数据。附件2给出了8家转运商的运输损耗率数据。请你们团队结合实际情况，对相关数据进行深入分析，研究下列问题： + +1. 根据附件 1，对 402 家供应商的供货特征进行量化分析，建立反映保障企业生产重要性的数学模型，在此基础上确定 50 家最重要的供应商，并在论文中列表给出结果。 +2. 参考问题 1，该企业应至少选择多少家供应商供应原材料才可能满足生产的需求？针对这些供应商，为该企业制定未来 24 周每周最经济的原材料订购方案，并据此制定损耗最少的转运方案。试对订购方案和转运方案的实施效果进行分析。 +3. 该企业为了压缩生产成本，现计划尽量多地采购A类和尽量少地采购C类原材料，以减少转运及仓储的成本，同时希望转运商的转运损耗率尽量少。请制定新的订购方案及转运方案，并分析方案的实施效果。 +4. 该企业通过技术改造已具备了提高产能的潜力。根据现有原材料的供应商和转运商的实际情况，确定该企业每周的产能可以提高多少，并给出未来24周的订购和转运方案。 + +注：请将问题2、问题3和问题4订购方案的数值结果填入附件A，转运方案的数值结果填入附件B，并作为支撑材料（勿改变文件名）随论文一起提交。 + +# 附件1的数据说明 + +(1) 企业的订货量：第一列为供应商的名称；第二列为供应商供应原材料的类别；第三列及以后共240列为企业向各供应商每周的订货量（单位：立方米）；数值“0”表示相应的周（所在列）没有向供应商（所在行）订货。 +(2)供应商的供货量：第一列为供应商的名称；第二列为供应商供应原材料的类别；第三列及以后共240列为各供应商每周的供货量（单位：立方米）；数值“0”表示相应的周（所在列）供应商（所在行）没有供货。 + +# 附件2的数据说明 + +第一列为转运商的名称；第二列及以后共240列为每周各转运商的运输损耗率 $(\%)$ 即损耗率 $= \frac{\text{供货量} - \text{接收量}}{\text{供货量}} \times 100\%$ ；数值“0”表示没有运送。 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/Probelms/D/CUMCM2021-D/CUMCM2021-D.md b/MCM_CN/2021/Probelms/D/CUMCM2021-D/CUMCM2021-D.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..90cfec5a57e4c95473b807a0f67c0bb5ff9cc310 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/Probelms/D/CUMCM2021-D/CUMCM2021-D.md @@ -0,0 +1,39 @@ +# D 题 连铸切割的在线优化 + +连铸是将钢水变成钢坯的生产过程，具体流程如下（图1）：钢水连续地从中间包浇入结晶器，并按一定的速度从结晶器向下拉出，进入二冷段。钢水经过结晶器时，与结晶器表面接触的地方形成固态的坏壳。在二冷段，坏壳逐渐增厚并最终凝固形成钢坯。然后，按照一定的尺寸要求对钢坯进行切割。 + +![](images/6380c9ec63d228e142b4a780d6b07fff9455b22c52c681a961bbd3f3f7353e6c.jpg) +图1 连铸工艺的示意图 + +在连铸停浇时，会产生尾坯，尾坯的长度与中间包中剩余的钢水量及其他因素有关。因此，尾坯的切割也是连铸切割的组成部分。 + +切割机在切割钢坯时，有一个固定的工作起点，钢坯的切割必须从工作起点开始。在切割过程中，切割机骑在钢坯上与钢坯同步移动，保证切割线与拉坯的方向垂直。在切割结束后，再返回到工作起点，等待下一次切割。 + +在切割方案中，优先考虑切割损失，要求切割损失尽量小，这里将切割损失定义为报废钢坯的长度；其次考虑用户要求，在相同的切割损失下，切割出的钢坯尽量满足用户的目标值。 + +在浇钢过程中，结晶器会出现异常。这时，位于结晶器内部的一段钢坯需要报废，称此段钢坯为报废段（图2）。当结晶器出现异常时，切割工序会马上知道，以便立即调整切割方案。 + +![](images/41c26953c82a49cec0fb20724bdab62f1fe41c86025cd5a72140851967873642.jpg) +图2 钢坯出现报废段的示意图 + +切割后的钢坯在进入下道工序时不能含有报废段。当钢坯出现报废段时，先通过切割机切断附着有报废段的钢坯，然后通过离线的二次切割，使余下的钢坯 + +符合下道工序要求的长度；其他进入下道工序的钢坯也必须满足下道工序的长度要求。 + +现请你们团队建立数学模型或设计算法，解决以下问题： + +问题1 在满足基本要求和正常要求的条件下，依据尾坯长度制定出最优的切割方案。假定用户目标值为9.5米，目标范围为 $9.0\sim 10.0$ 米，对以下尾坯长度：109.0、93.4、80.9、72.0、62.7、52.5、44.9、42.7、31.6、22.7、14.5和13.7（单位：米），按“尾坯长度、切割方案、切割损失”等内容列表给出具体的最优切割方案。 + +问题2 在结晶器出现异常时，给出实时的最优切割方案：(1)在钢坯第1次出现报废段时，给出此段钢坯的切割方案；(2)在出现新的报废段后（如图2），给出新一段钢坯的切割方案和当前段钢坯切割的调整方案，或声明不作调整。 + +假设结晶器出现异常的时刻在0.0、45.6、98.6、131.5、190.8、233.3、266.0、270.7和327.9（单位：分钟），用户目标值是9.5米，目标范围是 $9.0\sim 10.0$ 米。在满足基本要求和正常要求的条件下，按“初始切割方案、调整后的切割方案、切割损失”等内容列表给出这些时刻具体的最优切割方案。 + +问题3 假设实时最优切割方案和结晶器出现异常的时刻均与问题2相同，在满足基本要求和正常要求的条件下，对（1）用户目标值是8.5米，目标范围是 $8.0\sim 9.0$ 米，（2）用户目标值是11.1米，目标范围是 $10.6\sim 11.6$ 米两种情况分别按“初始切割方案、调整后的切割方案、切割损失”等内容给出具体的最优切割方案。 + +# 附录：参数与要求 + +工艺参数：切割机切断一块钢坯的时间为3分钟，切割后，返回到工作起点的时间为1分钟。从结晶器中心到切割机工作起点处钢坯的长度是60.0米，连铸拉坯的速度为1.0米/分钟。当结晶器出现异常时，报废段的长度是0.8米。 + +基本要求：切割后的钢坯长度必须在4.8~12.6米之间，否则无法运走，阻碍生产。下道工序能够接受的钢坯长度是8.0~11.6米，如果不在此范围内，可以将钢坯运走进行二次离线切割，但切割下的部分报废，从而产生损失。例如，12.6米的钢坯切掉1.0米变成11.6米，切下来的1.0米报废；而小于8.0米的钢坯只能全部报废。 + +正常要求：正常切割是按照用户要求的长度进行切割。用户要求包含目标值和目标范围，钢坯的切割长度应尽量满足目标值，而在目标范围内的长度也是可以接受的。例如，目标值是9.5米，目标范围是 $9.0\sim 10.0$ 米，则切割长度尽量是9.5米，而在 $9.0\sim 10.0$ 米之间的长度是允许的。当钢坯长度不在目标范围内时，会产生损失。例如，钢坯长度是11.6米，多出来的1.6米报废。 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2021/Probelms/E/CUMCM2021-E/CUMCM2021-E.md b/MCM_CN/2021/Probelms/E/CUMCM2021-E/CUMCM2021-E.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..455d913aeca4c8fbb029118dea3e560da4cf0669 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2021/Probelms/E/CUMCM2021-E/CUMCM2021-E.md @@ -0,0 +1,35 @@ +# E题 中药材的鉴别 + +不同中药材表现的光谱特征差异较大，即使来自不同产地的同一药材，因其无机元素的化学成分、有机物等存在的差异性，在近红外、中红外光谱的照射下也会表现出不同的光谱特征，因此可以利用这些特征来鉴别中药材的种类及产地。 + +中药材的种类鉴别相对比较容易，不同种类的中药材呈现的光谱的区别比较明显。图1为两种不同药材的近红外光谱数据曲线图，容易看出两者的差异比较大。 + +中药材的道地性以产地为主要指标，产地的鉴别对于药材品质鉴别尤为重要。然而，不同产地的同一种药材在同一波段内的光谱比较接近，使得光谱鉴别的误差较大。另外，有些中药材的近红外区别比较明显，而有些药材的中红外区别比较明显（见图2和图3所给出的来自某药材5个不同产地的近红外和中红外光谱数据曲线图）。当样本量不够充足时，我们可以通过近红外和中红外的光谱数据相互验证来对中药材产地进行综合鉴别。 + +附件1至附件4是一些中药材的近红外或中红外光谱数据，其中No列为药材的编号，Class列表示中药材的类别，OP列表示该种药材的产地，其余各列第一行的数据为光谱的波数(单位 $\mathrm{cm}^{-1}$ )、第二行以后的数据表示该行编号的药材在对应波段光谱照射下的吸光度（注：该吸光度为仪器矫正后的值，可能存在负值）。试建立数学模型，研究解决以下问题。 + +问题1. 根据附件1中几种药材的中红外光谱数据，研究不同种类药材的特征和差异性，并鉴别药材的种类。 +问题2. 根据附件2中某一种药材的中红外光谱数据，分析不同产地药材的特征和差异性，试鉴别药材的产地，并将下表中所给出编号的药材产地的鉴别结果填入表格中。 + +
No31438485871798689110134152227331618
OP
+ +问题3. 根据附件3中某一种药材的近红外和中红外数据，试鉴别该种药材的产地，并将下表中所给出编号的药材产地的鉴别结果填入表中。 + +
No4152230344574114170209
OP
+ +问题 4. 附件 4 给出了几种药材的近红外光谱数据, 试鉴别药材的类别与产地, 并将下表中所给出编号的药材类别与产地的鉴别结果填入表各中。 + +
No94109140278308330347
Class
OP
+ +![](images/755db4871fb6d1503d05c2b1a5e944b0f9553257ac52d34a3e64a86b3e37a3f0.jpg) +图1 两种不同中药材的中红外光谱曲线图 + +![](images/ac86c6e4bd2d2bd49d92eec20ca2959647e6fbaeb90091368c434c06b2488041.jpg) + +![](images/265118b115a403ad437c629efc610aeca4a2ad1ec2e3473b9f51eff2cd0610c2.jpg) +图2 某种中药材不同产地的近红外光谱图 +图3 某种中药材不同产地的中红外光谱图 + +说明1. 道地药材的信息可参阅百度百科(https://baike.baidu.com/item/道地药材/1950482?fr=aladdin)。 + +说明 2. 红外光谱分析的信息可参阅百度百科(https://baike.baidu.com/item/红外光谱分析)。 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/A092/A092.md b/MCM_CN/2023/A092/A092.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b98ed6012d3894983b8a71b4c5b894678201f1bf --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/A092/A092.md @@ -0,0 +1,1361 @@ +# 定日镜场的优化设计 + +# 摘要 + +塔式太阳能光热发电是一种较为理想的、技术发展相对成熟的大规模利用太阳能发电的技术，定日镜是其收集太阳能的重要基本组件，通过数学建模对定日镜场的各项参数进行优化设计，使得单位镜面面积年平均输出热功率最大具有重大的现实意义，也是我们亟待解决的问题。 + +针对问题一，我们构建了定日镜场年平均输出热功率模型。首先，求解太阳高度角和太阳方位角来确定每一时刻太阳所在位置；接着，通过定日镜的工作原理，由某一时刻入射光线和反射光线的方向推得定日镜在该时刻的法向，进而推得其俯仰角和方位角；然后，基于上述信息计算每一块定日镜在该时刻的光学效率，包括镜面反射率、大气透射率、余弦效率、阴影遮挡效率以及集热器截断效率，其中阴影遮挡效率由投影法求出，集热器截断效率由蒙特卡洛算法求出；最后，结合法向直接辐射照度以及定日镜场输出热功率的计算公式，代入定日镜的光学效率等数据我们求出了定日镜场在不同时刻的输出热功率，进而得到年平均输出热功率以及单位面积镜面年平均输出热功率。最终我们得到了定日镜场的年平均光学效率为0.6275，年平均输出热功率为38.295MW，单位镜面面积年平均输出热功率为 $0.6096kW/m^2$ ，其余结果详见表1和表2。 + +针对问题二，我们构建了定日镜场统一优化设计的单目标优化模型。我们以单位镜面面积的年平均输出热功率最大为目标函数，以定日镜场中吸收塔的位置坐标、定日镜的统一尺寸和统一安装高度、定日镜的个数以及定日镜的位置等参数作为决策变量，以定日镜场的年平均额定输出功率、相邻定日镜之间应满足的距离等要求确定了多个约束条件，建立起单目标优化模型。由于决策变量的数量很多，因此我们采用遗传算法对该单目标优化模型进行求解，最终求得了单位镜面面积年平均输出热功率最大为 $0.7139\mathrm{kW} / \mathrm{m}^2$ ，此时年平均输出热功率为60.373MW，定日镜的分布为一圈圈同心圆，其余定日镜场的最优设计参数详见表3及result2.xlsx。 + +针对问题三，我们构建了定日镜场非统一优化设计的单目标优化模型。相较于问题二，问题三中各个定日镜的尺寸和安装高度并不统一，决策变量的数量进一步增多，为了简化模型，我们参考问题二中求得的结论，认为在问题三中定日镜仍按照同心圆的方式进行排布，又因为同心圆具有各项同性，所以我们可以假设每一圈同心圆上的所有定日镜的尺寸和安装高度相同，因此新增的决策变量减少为每一圈同心圆对应的定日镜的尺寸和安装高度，其余目标函数和约束条件均与第二问相同。在求解时，我们在同心圆排布的基础上采用变步长的方式进行遍历求解，最终求得了单位镜面面积年平均输出热功率最大为 $0.7551kW/m^2$ ，此时年平均输出热功率为60.359MW，定日镜的整体分布近似为一个抛物面，其余定日镜场的最优设计参数详见表6及result3.xlsx。 + +关键词：光学效率 蒙特卡洛算法 单目标优化 遗传算法 年平均输出热功率 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +随着全球能源问题和环境问题日益严峻，人们迫切需要开发一种新能源来替代传统的化石燃料，以此来达到“碳达峰”“碳中和”的目标。太阳能作为一种分布最广、来源最稳定以及储量最大的新能源受到了人们的密切关注，而其中塔式太阳能光热发电是一种较为理想的、技术发展相对成熟的大规模利用太阳能发电的技术，定日镜是其收集太阳能的重要基本组件，如何通过数学建模对定日镜场的各项参数进行优化设计使得单位镜面面积年平均输出热功率最大成为了我们亟待解决的问题。 + +# 1.2 问题重述 + +定日镜的底座包括水平转轴和纵向转轴，水平转轴上安装了平面反射镜。其中，水平转轴可以控制反射镜的俯仰角，纵向转轴可以控制反射镜的方位角，随着太阳位置的改变，定日镜的法向也跟着改变，使得定日镜中心反射的锥形太阳光线可以指向集热器中心。定日镜场内排列了大量的定日镜以及一个吸收塔，集热器位于吸收塔的顶端，其以热能的形式储存吸收得到的太阳能，然后再进一步将热能转换成电能。 + +问题一：在题目给定的的圆形定日镜场内，将吸收塔建于该定日镜场的中心，场内所有定日镜的尺寸均为 $6m \times 6m$ ，安装高度也都为 $4m$ ，且附件中给出了所有定日镜中心点的位置，计算该圆形定日镜场产生的年平均光学效率、年平均输出热功率以及单位镜面面积年平均输出热功率。 + +问题二：根据题目给定的要求，定日镜场的额定功率为 $60MV$ ，在定日镜尺寸以及安装高度全部相同的条件下，给出该圆形定日镜场中吸收塔的位置以及各个定日镜的位置、数目和尺寸和安装高度，使得该定日镜场在满足额定功率的同时，能够使单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。 + +问题三：定日镜的额定功率仍为 $60MV$ ，但此时每一个定日镜的尺寸和安装高度均可以不同，在此条件下，重新给出圆形定日镜场中吸收塔的位置以及各个定日镜的位置、定日镜的总数目、各个定日镜的尺寸以及安装高度，使得该定日镜场在满足额定功率的同时，能使单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。 + +# 二、模型假设 + +1、假设天气一直保持晴朗，太阳光线不会被云层遮盖 +2、假设不发生光的散射 +3、假设镜面反射率可以取为常数 +4、假设每条反射光线携带的能量是相同的 + +# 三、符号说明 + +
符号说明符号单位
αs太阳高度角Ef field定日镜场的年平均输出热功率
γs太阳方位角Eu单位面积镜面年平均输出热功率
δ太阳赤纬DNI法向直接辐射照度
φ当地纬度P_Bn定日镜B在镜面坐标系下的坐标
ω太阳时角V_Bn定日镜B在镜场坐标系下的坐标
αm定日镜俯仰角η定日镜的光学效率
γm定日镜方位角ηref镜面反射率
R定日镜场的半径ηsb阴影遮挡效率
H当地所在海拔高度ηcos余弦效率
HT集热器中心到地面的距离ηat大气透射率
Ht吸收塔的高度ηtrunc集热器截断效率
Hr集热器的高度
+ +# 四、问题分析 + +# 4.1 问题一的分析 + +问题一要求我们求解给定条件下定日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率以及单位镜面面积年平均输出热功率。首先，我们可以通过求解太阳高度角和太阳方位角来确定每一时刻太阳所在位置；接着，通过定日镜的工作原理我们可以由某一时刻入射光线和反射光线的方向推得定日镜在该时刻法向，进而推得其俯仰角和方位角；然后，基于上述信息我们可以计算每一块定日镜在该时刻的阴影遮挡效率、余弦效率、大气透射率、集热器截断效率以及镜面反射率，从而得出定日镜的光学效率，将不同时刻不同定日镜的光学效率求和取平均即可得到年平均光学效率；最后，再结合法向直接辐射照度 $DNI$ 以及定日镜场的输出热功率的计算公式，通过代入定日镜的光学效率等数据我们就可以求出定日镜场在不同时刻的输出热功率，进而求出年平均输出热功率以及单位面积镜面年平均输出热功率。 + +# 4.2 问题二的分析 + +问题二要求我们对，使得定日镜场的年平均输出热功率在达到额定功率 $60MV$ 的条件下，单位镜面面积的年平均输出热功率尽可能大。我们将其理解为一个单目标优化问题，因此我们以单位镜面面积的年平均输出热功率最大为目标函数，以定日镜场中吸收塔的位置坐标、定日镜的统一尺寸和统一安装高度、定日镜的个数以及定日镜的位置等参数作为决策变量，再根据题意确立多个约束条件，建立起单目标优化模型。由于要求解的决策变量的数量很多，传统的遍历算法显然是行不通的，因此我们可以采用遗传算法对该单目标优化模型进行求解。 + +# 4.3 问题三的分析 + +相较于问题二，问题三中各个定日镜的尺寸和安装高度并不统一，这导致了决策变量的数量进一步增多，为了简化模型，我们可以参考问题二中求得的结论，认为在问题三中定日镜仍按照同心圆的方式进行排布，又因为同心圆具有各项同性，所以我们可以假设每一圈同心圆上的所有定日镜的尺寸和安装高度相同，因此新增的决策变量减少为每一圈同心圆对应的定日镜的尺寸和安装高度，其余目标函数和约束条件均与第二问相同。在求解时，我们可以在定日镜同心圆排布的基础上对每圈定日镜的尺寸及安装高度以及位置坐标采用变步长的方式进行遍历求解。 + +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一模型的建立与求解 + +问题一要求我们求解给定条件下定日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率以及单位镜面面积年平均输出热功率。首先，我们可以通过求解太阳高度角和太阳方位角来确定每一时刻太阳所在位置；接着，通过定日镜的工作原理我们可以由某一时刻入射光线和反射光线的方向推得定日镜在该时刻的法向，进而推得定日镜在时刻的俯仰角和方位角；然后，基于上述信息我们可以计算每一块定日镜在该时刻的阴影遮挡效率、余弦效率、大气透射率、集热器截断效率以及镜面反射率，从而得出定日镜的光学效率，我们将不同时刻不同定日镜的光学效率求和取平均即可得到年平均光学效率；最后，结合定日镜场的输出热功率的计算公式，代入法向直接辐射照度 $DNI$ 以及定日镜的光学效率等数据，我们就可以求出定日镜场在不同时刻的输出热功率，进而求出年平均输出热功率以及单位面积镜面年平均输出热功率。 + +![](images/53ceecbdb506c87e7ac5294e2a2bbb60f07d027f93c3aa207f14753d5bbc5d0a.jpg) +图1问题一流程图 + +# 5.1.1 定日镜场年平均输出热功率模型 + +# （1）太阳的高度角 $\alpha_{s}$ 和方位角 $\gamma_{s}$ + +随着地球的自转和公转，太阳在一年中各个时刻相对于地面的位置都在不断发生改变，其变化轨迹被称为太阳的视运动轨迹。为了表述的方便，我们通常在地平坐标系下来描述太阳的位置，以正东方向为 $x$ 轴，正北方向为 $y$ 轴，垂直于地面向上的方向为 $z$ 轴建立坐标系，如图2所示。此时，我们就可以用太阳高度角 $\alpha_{s}$ 和太阳方位角 $\gamma_{s}$ 这两个参数来描述太阳的视运动轨迹。 + +![](images/a9254615a05b228be404bff34026cb2451a452a405f436cbd5c2cad169088273.jpg) +图2地平坐标系示意图 + +① 太阳高度角 $\alpha_{s}$ + +太阳高度角是指的是太阳到坐标原点的连线与地平面的夹角，通过查阅文献[1]，我们得到了太阳高度角的计算公式为： + +$$ +\sin \alpha_ {s} = \cos \delta \cos \varphi \cos \omega + \sin \delta \sin \varphi \tag {1} +$$ + +其中， $\alpha_{s}$ 为太阳高度角，其范围为 $[0,90^{\circ}]$ ， $\delta$ 为太阳赤纬，即太阳直射纬度， $\varphi$ 为当地纬度， $\omega$ 为太阳时角，即正午时圈到当地时圈的角度。 + +# $\bullet$ 太阳赤纬 $\delta$ + +太阳赤纬即太阳直射纬度，在一年中，太阳直射纬度在南北回归线之间作往返运动，如图3所示，通过查阅文献[2]，我们得到了其计算公式，如下所示： + +$$ +\sin \delta = \sin \frac {2 \pi D}{3 6 5} \sin \left(\frac {2 \pi}{3 6 0} 2 3. 4 5\right) \tag {2} +$$ + +其中， $\delta$ 为太阳赤纬，以北纬为正向，其范围为 $[-23.26^{\circ}, 23.26^{\circ}]$ ，当 $\delta > 0$ 时，太阳直射纬度在北半球，当 $\delta = 0$ 时，太阳直射纬度在赤道上，当 $\delta < 0$ 时，太阳直射纬度在南半球。 $D$ 表示当日距离春分日的天数。 + +![](images/6de8eadc6b4b3212a9a6ed85529d329f7a2f4d234fe280ff2afeca90d3563cb7.jpg) +图3 太阳赤纬在一年中的变化曲线 + +$\bullet$ 太阳时角 $\omega$ + +太阳时角表示正午时圈到当地时圈的角度，其可以通过当地时间ST与正午12点之差求出，其计算公式为： + +$$ +\omega = \frac {\pi}{1 2} (S T - 1 2) \tag {3} +$$ + +其中， $\omega$ 为太阳时角， $ST$ 为当地时间。太阳时角为0，说明当地时间为正午，时角为负，说明当地时间是上午，时角为正，说明当地时间是下午。 + +因此，当我们确定当地纬度、当天日期以及当日的时刻时，我们就可以求出太阳赤纬以及太阳时角，从而求出该地在特定时刻下的太阳高度角。 + +(2) 太阳方位角 $\gamma_{s}$ + +太阳方位角指的从正北方向开始沿着地平线顺时针旋转，一直到太阳在地面的投影与坐标原点的连线的角度，在已知太阳高度角、太阳赤纬以及太阳时角时，我们便可以求得太阳方位角，其计算公式如下所示： + +$$ +\cos \gamma_ {s} = \frac {\sin \delta - \sin \alpha_ {s} \sin \varphi}{\cos \alpha_ {s} \cos \varphi} \tag {4} +$$ + +其中， $\gamma_{s}$ 为太阳方位角，其范围为 $[0,360^{\circ}]$ ， $\delta$ 为太阳赤纬， $\alpha_{s}$ 为太阳高度角， $\varphi$ 为当地纬度。 + +（2）定日镜的俯仰角 $\alpha_{m}$ 和方位角 $\gamma_{m}$ + +通过上文对太阳高度角和太阳方位角的求解，我们可以得到题目给出的定日镜场所在地点在一年中任意一天任意一时刻太阳所在的位置，又因为定日镜在工作时，控制系统会根据太阳所在的位置对定日镜实行实时控制，通过转动水平转轴和竖直转轴改变定日镜的方位角和俯仰角，从而改变定日镜的法向，使得太阳中心点发出的光线经过定日镜的中心反射后能指向集热器的中心，因此，我们可以通过对太阳中心的入射光线以及指向集热器中心的反射光线进行分析，并结合反射定理，以此求得不同时刻下不同定日镜的法向量，得到定日镜的俯仰角 $\alpha_{m}$ 和方位角 $\gamma_{m}$ 。 + +(1)定日镜场坐标系的建立 + +在本题中，定日镜场为一个半径 $350m$ 的圆形区域，为了更好地描述太阳、定日镜以及集热器之间的位置关系，我们以圆心为原点，正东方向为 $x$ 轴正向，正北方向为 $y$ 轴正向，垂直于地面向上为 $z$ 轴正向建立坐标系，称为镜场坐标系，显然，该坐标系与上文建立的地平坐标系保持一致。 + +(2)定日镜中心点的法向量 + +通过物理光学知识我们知道，当光线在镜面上发生反射时，入射角等于反射角，因此，定日镜中心点的法向量平分入射光线和反射光线之间的夹角，通过对入射光线和反射光线向量的计算我们便可以求得法向量 + +我们假设在镜场坐标系下某一条入射光线的单位向量为 $\vec{e}_{in}(x_{in},y_{in},z_{in})$ ，由于在确定时刻太阳的高度角 $\alpha_{s}$ 和方位角 $\gamma_{s}$ 是确定的，所以 $\vec{e}_{in}(x_{in},y_{in},z_{in})$ 的计算公式为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {i n} = - \cos \alpha_ {s} \cos \left(9 0 ^ {\circ} - \gamma_ {s}\right) \\ y _ {i n} = - \cos \alpha_ {s} \sin \left(9 0 ^ {\circ} - \gamma_ {s}\right) \\ z _ {i n} = - \sin \alpha_ {s} \end{array} \right. +$$ + +即： + +$$ +\vec {e} _ {i n} = \left(- \cos \alpha_ {s} \sin \gamma_ {s}, - \cos \alpha_ {s} \cos \gamma_ {s}, - \sin \alpha_ {s}\right) \tag {5} +$$ + +对于反射光线，由于题目要求入射光线经定日镜中心应反射到集热器中心，因此在定日镜中心和集热器中心的坐标确定时，两者的连线即为反射光线。在本问中，每一块定日镜中心点在镜场坐标系下的坐标已经在附件中给出，我们假设定日镜中心点的坐标为 $(x, y, z)$ ，又由题目可知集热器中心点的坐标为 $(0, 0, H_T)$ ，因此，反射光线的单位向量为： + +$$ +\vec {e} _ {\text {o u t}} = \frac {(- x , - y , H _ {T} - z)}{\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + \left(H _ {T} - z\right) ^ {2}}} \tag {6} +$$ + +由此，我们可以推得定日镜中心点的单位法向量 $\vec{e}(e_x, e_y, e_z)$ ： + +$$ +\vec {e} = \frac {\vec {e} _ {\text {o u t}} - e _ {\text {i n}}}{| \vec {e} _ {\text {o u t}} - \vec {e} _ {\text {i n}} |} \tag {7} +$$ + +(3)定日镜的俯仰角和方位角 + +通过上述对定日镜中心点法向量的计算，我们便可以通过简单的几何推理得到定日镜的俯仰角和方向角。 + +定日镜的俯仰角 $\alpha_{m}$ + +定日镜通过水平转轴的转动，其反射镜与水平地面形成的夹角即为定日镜的俯仰角 $\alpha_{m}$ ，如下图4所示，通过简单的几何推导，我们发现其值与定日镜的法向量与竖直方向形成的夹角相等，若我们已知定日镜中心点的法向量在镜场坐标系下的坐标为 $\vec{e}(e_x, e_y, e_z)$ ，因此，定日镜的俯仰角 $\alpha_{m}$ 与其法向量 $\vec{e}(e_x, e_y, e_z)$ 的关系为： + +$$ +\cos \alpha_ {m} = e _ {z} \tag {8} +$$ + +- 定日镜的方位角 $\gamma_{m}$ + +定日镜通过纵向转轴的转动，其法向量在水平面的投影与正北方向的夹角即为定日镜的方位角 $\gamma_{m}$ ，如图5所示，同样地，若我们已知定日镜中心点的法向量在镜场坐标系下的坐标为 $\vec{e}(e_x, e_y, e_z)$ ，那么定日镜的方位角 $\alpha_{m}$ 与其法向量 $\vec{e}(e_x, e_y, e_z)$ 的关系为： + +$$ +\tan \gamma_ {m} = \frac {e _ {x}}{e _ {y}} \tag {9} +$$ + +![](images/efd5f23393673e400493cfb5acdbee88fe418d1d569d5617900e8cf657c66bed.jpg) +图4定日镜的俯仰角示意图 + +![](images/3e1fbbc76e94f6ef7ae9a28ef089eae0a634a2f78724fb71fd22076fb643129a.jpg) +图5定日镜的方位角示意图 + +（3）定日镜场的年平均光学效率 $\overline{\eta}$ + +定日镜的光学效率 $\eta$ 是综合衡量定日镜场工作性能的重要指标，其反映的是在排除各项影响因素之后定日镜实际能反射到集热器上的能量与其理论上能接收到的最大太阳能之比[2]，其值受到多个因素的影响，包括阴影遮挡效率 $\eta_{sb}$ 、余弦效率 $\eta_{\mathrm{cos}}$ 、大气透射率 $\eta_{at}$ 、集热器截断效率 $\eta_{trunc}$ 以及镜面反射率 $\eta_{ref}$ 等，具体的计算公式如下所示： + +$$ +\eta = \eta_ {s b} \eta_ {\cos} \eta_ {a t} \eta_ {\text {t r u n c}} \eta_ {\text {r e f}} \tag {10} +$$ + +(1) 镜面反射率 $\eta_{\text {ref }}$ + +镜面反射率与镜面的材料及清洁程度等因素有关，通过查阅资料可知，在大多数 + +情况下，镜面反射率可取为一个常数，我们取其值为0.92，即： + +$$ +\eta_ {r e f} = 0. 9 2 \tag {11} +$$ + +② 大气透射率 $\eta_{\mathrm{at}}$ + +由于光线在大气中传播时，可能受到大气成分和水汽含量的影响，导致一定程度上的能量衰减，通过查阅文献，大气透射率与镜面中心到集热器中心的距离 $d_{HR}$ 有关，其计算公式为： + +$$ +\eta_ {a t} = 0. 9 9 3 2 1 - 0. 0 0 0 1 1 7 6 d _ {H R} + 1. 9 7 \times 1 0 ^ {- 8} \times d _ {H R} ^ {2} \left(d _ {H R} \leqslant 1 0 0 0\right) \tag {12} +$$ + +③余弦效率 + +入射光线倾斜入射到定日镜所在平面时，与定日镜中心法线存在着夹角 $\theta$ ，如图6所示，当 $\theta$ 不为0时会产生一定的能量损失，即为余弦损失，减去这部分损失的能量之后即为余弦效率，其计算公式如下所示： + +$$ +\eta_ {\cos} = \cos \theta \tag {13} +$$ + +因此，当入射光线与法线的夹角越大时，余弦效率越低，反之，余弦效率越高。 + +![](images/3ffe2150ac9e040909975d925c91a82f70143b5812a229f3a343df85930a9aa8.jpg) +图6余弦效率计算的示意图 + +通过第（2）小节中的求解，我们知道了定日镜的单位法向量为 $\vec{e}$ 以及入射光线的单位向量 $\vec{e}_{in}$ ，因此，夹角 $\theta$ 的余弦值 $\cos \theta = -\vec{e}_{in} \cdot \vec{e}$ ，从而可以求得余弦效率。 + +(4)阴影遮挡效率 $\eta_{sb}$ + +阴影遮挡的损失主要包括两个部分：吸收塔与集热器的阴影对太阳光线的遮挡以及前排定日镜对后排定日镜的遮挡，我们对其进行分开考虑。 + +吸收塔与集热器的遮挡区域面积 $S_{t}$ + +我们假设吸收塔与集热器构成一个完整的圆柱体，其高为吸收塔的高度 $H_{t}$ 加上集热器的高度 $H_{r}$ ，底面直径即为集热器的的直径 $d$ ，在任意时刻，规则圆柱体的影子永远为一矩形，该矩形的长为由圆柱高度和太阳高度角决定，如图7所示，矩形的宽即为圆柱体的底面直径。因此，吸收塔与集热器的阴影区域面积 $S_{t}$ 的计算公式如下： + +$$ +S _ {t} = \frac {\left(H _ {t} + H _ {r}\right)}{\tan \alpha_ {s}} \cdot d +$$ + +![](images/1fbffafc55b6aa6879bf7fad3da438f65c65f5bb10e239225e27489dcb8d7185.jpg) +图7吸收塔与集热器的影子长度 + +该面积与圆形定日镜场的总面积之比即为吸收塔与集热器的阴影造成的遮挡损失比 $\eta_{sb1}$ ，即： + +$$ +\eta_ {s b 1} = \frac {S _ {t}}{S _ {\mathrm {镜 场}}} = \frac {(H _ {t} + H _ {r}) d}{\tan \alpha_ {s} \cdot S _ {\mathrm {镜 场}}} +$$ + +# 定日镜的遮挡区域面积 $S_{m}$ + +场地中任意定日镜都可能受到前排定日镜对其产生的遮挡，遮挡情况主要分为两种，如图8所示，一种情况是前排定日镜B在阳光照射下产生阴影，其阴影在后排定日镜A上的投影即为入射光线的遮挡区域，另一种情况是经后排定日镜A反射的光线被前排定日镜B阻挡，该区域称为反射光线遮挡区域。 + +![](images/e703cf907017845604d840469b659364271ca11e0f1a4fbd9c236e8bc5715083.jpg) +(a) 对入射光线的遮挡 + +![](images/2b43d417739e8c8c1ffaeff5c8d1aa1c198ae8d2852c93dc572407ec5aac75bd.jpg) +（b）对反射光线的遮挡 +图8定日镜遮挡的两种情况 + +# i）入射遮挡区域 $S_{m1}$ + +我们假设定日镜 B 投影在定日镜 A 上的遮挡区域都为规则的矩形，在求解入射遮挡区域时，我们需要知道遮挡区域的四个顶点在定日镜 A 上的坐标，为了便于计算，我们需要进行多次的坐标变换，具体的求解流程图如下所示： + +![](images/71f6c7fe2c3397c4341809819704d036a45c6397bee01c9c4d14c732e9a3882b.jpg) +图9求解入射遮挡区域的流程图 + +# 镜面直角坐标系： + +我们对造成遮挡的定日镜 $B$ 的四个顶点沿入射光线向定日镜 $A$ 所在平面 $S_{A}$ 投影，以确定入射遮挡区域 $S_{m1}$ 。为了后续计算的方便，我们建立如下镜面直角坐标系：对于任意一块平面反射镜，以平面镜的中心为坐标原点，过原点的法向量为 $z$ 轴正向，过原点垂直于俯仰轴偏东为 $x$ 轴正向，过原点平行于俯仰轴偏北为 $y$ 轴正向，如下图 10 所示： + +![](images/05ca2d708a62a3ba7612ef867eb0119adc12544fa2ec9368fb0af6f913b37106.jpg) +图10镜面坐标系示意图 + +则对于定日镜 $B$ 而言，其四个顶点在镜面坐标系下的坐标分别为： + +$$ +P _ {B n} = \left\{ \begin{array}{l l} \left(- \frac {l}{2}, \frac {w}{2}, 0\right) ^ {T}, & n = 1 \\ \left(\frac {l}{2}, \frac {w}{2}, 0\right) ^ {T}, & n = 2 \\ \left(\frac {l}{2}, - \frac {w}{2}, 0\right) ^ {T}, & n = 3 \\ \left(- \frac {l}{2}, - \frac {w}{2}, 0\right) ^ {T}, & n = 4 \end{array} \right. +$$ + +其中， $l$ 为定日镜 $B$ 的镜面高度， $w$ 为定日镜 $B$ 的镜面宽度。 + +此外，我们还需要建立镜面坐标系与镜场坐标系之间的转换关系，以此求得这四个顶点在镜场坐标系下的坐标。对于一个俯仰角为 $\alpha_{m}$ 、方位角为 $\gamma_{m}$ 的定日镜而言，其镜面坐标系只需要先绕 $x$ 轴逆时针旋转 $90^{\circ} - \alpha_{m}$ ，再绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\gamma_{m}$ ，加上对应的平移向量即可得到镜场坐标系。由此我们可以求得 $P_{Bn}$ 在镜场坐标系下的坐标 $V_{Bn}$ ： + +$$ +V _ {B n} = R _ {Z} \cdot R _ {X} \cdot \left( \begin{array}{c} x _ {n} \\ y _ {n} \\ z _ {n} \end{array} \right) + C _ {B} = \left( \begin{array}{c c c} \cos \gamma_ {m} & \sin \gamma_ {m} \sin \alpha_ {m} & - \sin \gamma_ {m} \cos \alpha_ {m} \\ - \sin \alpha_ {m} & \cos \gamma_ {m} \sin \alpha_ {m} & - \cos \gamma_ {m} \cos \alpha_ {m} \\ 0 & \cos \alpha_ {m} & \sin \alpha_ {m} \end{array} \right) P _ {B n} + C _ {B} \tag {14} +$$ + +其中，其中， $n = 1,2,3,4$ ， $\alpha_{m}$ 为定日镜的俯仰角， $\gamma_{m}$ 为定日镜的方位角， $C_B$ 为定日镜 $B$ 的中心点在镜场坐标系下的坐标， $R_Z$ 为坐标轴绕 $z$ 轴旋转产生的旋转矩阵， $R_{X}$ 为坐标轴绕 $x$ 轴旋转产生的旋转矩阵。 + +# 空间方程： + +对于过四个顶点的太阳入射光线的单位向量 $\vec{e}_{in}$ 已知，且过点 $V_{Bn}$ ，其直线方程为： + +$$ +\frac {x - x _ {B n} ^ {\prime}}{\cos \alpha_ {s} \sin \gamma_ {s}} = \frac {y - y _ {B n} ^ {\prime}}{\cos \alpha_ {s} \cos \gamma_ {s}} = \frac {z - z _ {B n} ^ {\prime}}{\sin \alpha_ {s}} +$$ + +对于定日镜 $A$ 所在的平面 $S_{A}$ ，假设其单位法向量为 $\vec{e}_A = (a_A, b_A, c_A)$ ，且过定日镜中心 $C_A(x_A, y_A, z_A)$ ，则其平面方程为： + +$$ +a _ {A} (x - x _ {A}) + b _ {A} (y - y _ {A}) + c _ {A} (z - z _ {A}) = 0 +$$ + +# 遮挡区域： + +通过联立直线方程和平面方程，可以求解 $V_{Bn}$ 沿着光线方向在平面 $S_A$ 上的投影点 $T_{Bn}(x_{Bn}^{t},y_{Bn}^{t},z_{Bn}^{t})$ ，即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \frac {x - x _ {B n} ^ {\prime}}{\cos \alpha \sin \gamma} = \frac {y - y _ {B n} ^ {\prime}}{\cos \alpha \cos \gamma} = \frac {z - z _ {B n} ^ {\prime}}{\sin \gamma} \\ a _ {A} (x - x _ {A}) + b _ {A} (y - y _ {A}) + c _ {A} (z - z _ {A}) = 0 \end{array} \right. +$$ + +然后，我们将求解得到的 $T_{Bn}$ 进行坐标系转换，从地面坐标系转换成定日镜 $A$ 所在平面镜的坐标系，即： + +$$ +T _ {B n} ^ {\prime} = \left( \begin{array}{c c c} x _ {B n} ^ {t} ^ {\prime} \\ y _ {B n} ^ {t} ^ {\prime} \\ z _ {B n} ^ {t} ^ {\prime} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c} \cos \gamma_ {A} & - \sin \gamma_ {A} & 0 \\ \sin \alpha_ {A} \sin \gamma_ {A} & \sin \alpha_ {A} \cos \gamma_ {A} & \cos \alpha_ {A} \\ - \cos \alpha_ {A} \sin \gamma_ {A} & - \cos \alpha_ {A} \cos \gamma_ {A} & \sin \alpha_ {A} \end{array} \right) (T _ {B n} - C _ {A}) +$$ + +$T_{Bn}^{\prime}$ 即为定日镜 B 在镜面 A 的坐标系下对其产生的入射遮挡区域的顶点坐标，如图 11 所示： + +![](images/3037502356bac25207fcdee9f253e0727076fe2560ef14d229d11e738705292d.jpg) +图11定日镜B对定日镜A的入射遮挡区域 + +其中， $P_{An}$ 为定日镜 $A$ 的四个顶点在镜面 A 坐标系下的坐标， $AT_1$ 和 $AT_2$ 分别为 $T_{B1}'T_{B2}'$ 与 $P_{A1}P_{A4}$ 和 $T_{B2}'T_{B3}'$ 与 $P_{A3}P_{A4}$ 的交点。则定日镜 B 在定日镜 A 上的入射遮挡区域 $S_{m1}$ 即为图中阴影部分，其顶点坐标为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} A T _ {1} \left(- \frac {l}{2}, y _ {B n} ^ {t} ^ {\prime}, 0\right) \\ T _ {B 2} ^ {\prime} \left(x _ {B n} ^ {t} ^ {\prime}, y _ {B n} ^ {t} ^ {\prime}, 0\right) \\ A T _ {2} \left(x _ {B n} ^ {t} ^ {\prime}, - \frac {w}{2}, 0\right) \\ P _ {A 4} \left(- \frac {l}{2}, - \frac {w}{2}, 0\right) \end{array} \right. +$$ + +# ii）反射遮挡区域 $S_{m2}$ + +与入射遮挡区域的求解类似类似，我们再对定日镜B沿反射光线的方向进行投影。由于已知入射光线的单位向量 $\vec{e}_{in}$ 以及定日镜B的单位法向量 $\vec{e}_b$ ，我们可以通过数学推导得到反射光线的单位向量 $\vec{e}_{out}$ ，其公式如下： + +$$ +\vec {e} _ {\text {o u t}} = 2 \left(\vec {e} _ {b} \cdot \vec {e} _ {\text {i n}}\right) \times \vec {e} _ {\text {i n}} - \vec {e} _ {b} = \left(a _ {\text {o u t}}, b _ {\text {o u t}}, c _ {\text {o u t}}\right) \tag {15} +$$ + +那么反射光线的方程为： + +$$ +\frac {x - x _ {B n} ^ {\prime}}{a _ {o u t}} = \frac {y - y _ {B n} ^ {\prime}}{b _ {o u t}} = \frac {z - z _ {B n} ^ {\prime}}{c _ {o u t}} +$$ + +接下来便采取与入射时同样的步骤，即可求得 $V_{Bn}$ 在反射光线方向上的投影点 $K_{Bn}(x_{Bn}^{k},y_{Bn}^{k},z_{Bn}^{k})$ 以及在镜面A坐标系下的坐标 $K_B^{\prime}(x_{Bn}^{k},y_{Bn}^{k},z_{Bn}^{k})$ ，如图12所示： + +![](images/ce97552e2531dcc54c901824b954301c4438aa3f1570144f16bbfb2a89e183db.jpg) +图12 定日镜B对定日镜A的反射遮挡区域 + +定日镜B在定日镜A上的出射遮挡区域 $S_{m2}$ 即为图中阴影部分，其四个顶点坐标为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} A K _ {1} \left(- \frac {l}{2}, y _ {n} ^ {k \prime}, 0\right) \\ K _ {B 2} ^ {\prime} \left(x _ {n} ^ {k \prime}, y _ {n} ^ {k \prime}, 0\right) \\ A K _ {2} \left(x _ {n} ^ {k \prime}, - \frac {w}{2}, 0\right) \\ P _ {A 4} \left(- \frac {l}{2}, - \frac {w}{2}, 0\right) \end{array} \right. +$$ + +# iii)离散化处理定日镜A + +由于入射光线的遮挡区域和反射光线的遮挡区域可能存在重叠，导致遮挡区域的总面积难以求解，因此我们考虑对被遮挡的定日镜A进行离散化处理，统计其中位于遮挡区域内的点。 + +我们将定日镜A的镜面高度和镜面宽度按步长 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 划分为 $I$ 行 $J$ 列的网格，示意图如图13所示，总计 $I \times J$ 个离散点，对于其中任意一个离散点 $P_{ij}$ ，其在定日镜A的镜面坐标系下的坐标为： + +$$ +\left( \begin{array}{c} x _ {i j} \\ y _ {i j} \\ z _ {i j} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} - \frac {l}{2} + i \Delta x \\ - \frac {w}{2} + i \Delta y \\ 0 \end{array} \right) +$$ + +通过遍历 $i$ 和 $j$ ，其中位于入射遮挡区域 $S_{m1}$ 和反射遮挡区域 $S_{m2}$ 的点的集合分别为 $Z_{m1}$ 和 $Z_{m2}$ ，取二者并集 $Z_{m} = Z_{m1} \cup Z_{m2}$ ，即得到了定日镜B对定日镜A总遮挡面积包含的离散点的个数 $N_{B}$ ，其与离散点总个数 $I \times J$ 的比值 $n_{sb2}$ 即为定日镜的遮挡损失比，即： + +$$ +n _ {s b 2} = \frac {N _ {B}}{I \times J} +$$ + +综上所述，阴影遮挡效率即为： + +$$ +\eta_ {s b} = 1 - n _ {s b 1} - n _ {s b 2} = 1 - \frac {\left(H _ {t} + H _ {r}\right) d}{\tan \alpha_ {s} \cdot S _ {\text {镜 场}}} - \frac {N _ {B}}{I \times J} \tag {16} +$$ + +通过遍历所有定日镜 A 以及可能对其造成阴影遮挡的定日镜 B, 分别计算器阴影遮挡效率, 然后求和取平均即可求出镜场整体的阴影遮挡损失。 + +![](images/7521825523bfa0e9955188c8da933e94b7715141be32d4d25e23eb2e7ef9af88.jpg) +图13 离散化及遮挡区域计算的示意图 + +# (5)集热器截断效率 $\eta_{\text {trunc }}$ + +由于太阳入射光并非完美的平行光，而是具有一定锥形角的一束锥形光线，通过查阅文献可知[3]，该锥形角约为9.3mrad，因此，其反射光线也为一锥形光线，随着距离的增加，锥形光线的横截面不断变大，最后到达集热器时有可能成为一个巨大的锥形光斑，超过了集热器的吸收范围，造成了能量的溢出，进而影响了截断效率，如图14所示， + +![](images/07eb18e86b051b4782b8ac543123697b9c1e1a6c1f19ee0843c996fd57069c93.jpg) +图14 锥形光线示意图 + +由题可知，截断效率的计算公式为： + +$$ +\eta_ {t r u n c} = \frac {Q _ {r e c}}{Q _ {a l l} - Q _ {s b}} +$$ + +其中， $Q_{rec}$ 为集热器接收能量， $Q_{all}$ 为镜面全反射能量， $Q_{sb}$ 为阴影遮挡损失能量。 + +为了简化计算，我们假设所有反射光线携带的能量相同且等于 $q_{0}$ ，集热器接收的光线个数为 $n_{rec}$ ，镜面反射的光线个数为 $n_{all}$ ，阴影遮挡的光线个数为 $n_{sb}$ ，则 $Q_{rec} = n_{rec}q_{0}$ ， $Q_{all} = n_{all}q_{0}$ ， $Q_{sb} = n_{sb}q_{0}$ ，代入集热器截断效率的计算公式可得： + +$$ +\eta_ {\text {t r u n c}} = \frac {n _ {\text {r e c}}}{n _ {\text {a l l}} - n _ {\text {s b}}} \tag {17} +$$ + +由上式可知，若要计算集热器的截断效率，我们就需要去统计集热器接收的光线个数 $n_{rec}$ 、镜面反射的光线个数 $n_{all}$ 以及阴影遮挡的光线个数 $n_{sb}$ 。由于入射锥形光线在定日镜上的落点不确定，以及光线在锥形范围内的位置不确定，所以我们采取光线追踪法对光线进行追踪。我们选取了大量光线照射任意一块定日镜C，之后统计被阴影遮挡的光线个数和集热器接收到的光线个数。 + +# - 锥形光束中入射光线的单位向量 $\vec{e}_{in - shift}$ + +对于任意一组入射到定日镜C上的锥形光束，其中心的入射光线与水平地面的夹角即为太阳高度角，为了对锥形光束中的随机入射光线的进行分析，我们建立以锥形入射光线在平面镜的落点为坐标原点、以中心入射光线的反方向为 $z$ 轴正向、以过原点垂直于俯仰轴偏东为 $x$ 轴正向，以过原点垂直于 $xOz$ 向上为 $y$ 轴正向，建立入射光线坐标系，如图15所示。 + +在入射光线坐标系下，对于锥形光束内任意一条入射光线，其方向可以由径向角 $\gamma_{t}$ 和切向角 $\alpha_{t}$ 表示，切向角的范围为 $[0,4.65mrad]$ 。锥形光束内任意一条入射光线的单位向量 $\vec{e}_{in - shift}$ 为 $(- \sin \alpha_{t} \sin \gamma_{t}, - \sin \alpha_{t} \cos \gamma_{t}, - \cos \alpha_{t})^{T}$ ，通过坐标系转换，我们可以将入射向量在入射坐标系下的坐标转换为地面坐标系下的坐标 $\vec{e'}_{in - shift}$ ，即： + +$$ +\vec {e} _ {i n - s h i f t} ^ {\prime} = \left( \begin{array}{c} a _ {i n s} ^ {\prime} \\ b _ {i n s} ^ {\prime} \\ c _ {i n s} ^ {\prime} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c} \cos \gamma_ {s} & \sin \gamma_ {s} \sin \alpha_ {s} & - \sin \gamma_ {s} \cos \alpha_ {s} \\ - \sin \alpha_ {s} & \cos \gamma_ {s} \sin \alpha_ {s} & - \cos \gamma_ {s} \cos \alpha_ {s} \\ 0 & \cos \alpha_ {s} & \sin \alpha_ {s} \end{array} \right) \vec {e} _ {i n - s h i f t} +$$ + +![](images/a3cff15aca2622f52696c43c6030c1478ce7e80b6130f18314e48596e16aae08.jpg) +图15入射光线坐标系示意图 + +# 锥形光束中反射光线的直线方程 + +对于定日镜C，其中心点坐标为 $C_C(x_C, y_C, z_C)$ ，单位法向量为 $\vec{e}_c = (a_c, b_c, c_c)$ ，我们假设锥形光束中的随机入射光线的落点 $P_i$ 在镜面C坐标系下的坐标为 $(x_{pi}, y_{pi}, z_{pi})$ ，通过坐标变换我们可以得到其在地面坐标系下的坐标 $P_i'(x'_pi, y'_pi, z'_pi)$ 。即： + +$$ +P _ {i} ^ {\prime} = \left( \begin{array}{c c c} x _ {p i} ^ {\prime} \\ y _ {p i} ^ {\prime} \\ z _ {p i} ^ {\prime} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c} \cos \gamma_ {c c c} & \sin \gamma_ {c c c} \sin \alpha_ {c c c} & - \sin \gamma_ {c c c} \cos \alpha_ {c c c} \\ - \sin \alpha_ {c c c} & \cos \gamma_ {c c c} \sin \alpha_ {c c c} & - \cos \gamma_ {c c c} \cos \alpha_ {c c c} \\ 0 & \cos \alpha_ {c c c} & \sin \alpha_ {c c c} \end{array} \right) P _ {i} + C _ {C} +$$ + +与前文类似，我们可以将入射光线的单位向量以及平面镜的法向向量通过式（15）求出反射光线的单位向量 $\vec{e}_{out - shift} = (a_{outs}, b_{outs}, c_{outs})$ ，由因为反射光线经过落点 $P_i'$ 则锥形光束中反射光线的方程为： + +$$ +\frac {x - x ^ {\prime} {} _ {p i}}{a _ {o u t s}} = \frac {y - y ^ {\prime} {} _ {p i}}{b _ {o u t s}} = \frac {z - z ^ {\prime} {} _ {p i}}{c _ {o u t s}} \tag {18} +$$ + +# - 集热器接收范围 $D_{R}$ 所在的平面方程 + +集热器是一个位于塔顶的圆柱体，由于圆柱的底面被塔遮挡，所以不考虑该圆柱的顶面和底面受到的光线，集热器接收锥形反射光线的范围 $D_{R}$ 仅为集热器圆柱外表面的曲面，即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x ^ {2} + y ^ {2} = \left(\frac {d}{2}\right) ^ {2} \\ H _ {T} - \frac {1}{2} l _ {T} \leqslant z \leqslant H _ {T} + \frac {1}{2} l _ {T} \end{array} \right. \tag {19} +$$ + +其中， $H_{T}$ 为集热器中心点的高度， $l_{T}$ 为集热器的高， $d$ 为集热器的直径。 + +# - 判断集热器是否接收反射光线 + +我们联立反射光线的方程和集热器接受范围的方程，并对该联立方程组是否有解进行判别，通过数学推导，我们得到了判别式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \Delta = 4 \left(a _ {\text {o u t s}} x _ {\text {p i}} ^ {\prime} + b _ {\text {o u t s}} y _ {\text {p i}} ^ {\prime}\right) ^ {2} - 4 \left(a _ {\text {o u t s}} + b _ {\text {o u t s}}\right) \left(x _ {\text {p i}} ^ {\prime 2} + y _ {\text {p i}} ^ {\prime 2} - R ^ {2}\right) \\ \frac {H _ {T} - \frac {1}{2} l _ {T} - z _ {\text {p i}} ^ {\prime}}{c _ {\text {o u t s}}} \leqslant \frac {- \left(a _ {\text {o u t s}} x _ {\text {p i}} ^ {\prime} + b _ {\text {o u t s}} y _ {\text {p i}} ^ {\prime}\right) \pm \sqrt {\Delta}}{2 \left(a _ {\text {o u t s}} + b _ {\text {o u t s}}\right)} \leqslant \frac {H _ {T} + \frac {1}{2} l _ {T} - z _ {\text {p i}} ^ {\prime}}{c _ {\text {o u t s}}} \end{array} \right. \tag {20} +$$ + +若满足以上条件，则说明方程组有解，集热器吸收了反射光线，若不满足，则说明方程组无解，集热器没有吸收到反射光线。 + +- 计算截断效率 $\eta_{\text{trunc}}$ + +我们随机选取 $n_{all}$ 条光锥光束内的入射光线，统计其中被集热器接收到的光线的个数为 $n_{rec}$ 以及位于阴影遮挡区域的个数为 $n_{sb}$ ，则截断效率 $\eta_{trunc}$ 为： + +$$ +\eta_ {t r u n c} = \frac {n _ {r e c}}{n _ {a l l} - n _ {s b}} +$$ + +(6) 年平均光学效率 $\bar{\eta}$ + +通过上述对阴影遮挡效率 $\eta_{sb}$ 、余弦效率 $\eta_{\mathrm{cos}}$ 、大气透射率 $\eta_{at}$ 、集热器截断效率 $\eta_{trunc}$ 以及镜面反射率 $\eta_{ref}$ 等的计算，我们可以求得每一块定日镜的光学效率 $\eta$ ，则该定日镜场的年平均光学效率 $\bar{\eta}$ 的计算公式为： + +$$ +\bar {\eta} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} \eta_ {i j k}}{6 0 N} \tag {21} +$$ + +其中， $i$ 表示月份， $j$ 表示一天中五个特定的时刻， $N$ 表示定日镜的总个数。 + +（4）定日镜场的年平均输出热功率 $\overline{E}_{field}$ 及单位面积镜面年平均输出热功率 $\overline{E}_u$ + +定日镜场的发电原理是通过集热器吸收经定日镜反射的光线从而将光能转化成热能，并进一步转换成电能，整个定日镜场在某一时刻下的输出热功率 $E_{field}$ 的计算公式如下： + +$$ +E _ {\text {f i e l d}} = D N I \cdot \sum_ {k = 1} ^ {N} A _ {k} \eta_ {k} \tag {22} +$$ + +其中， $E_{field}$ 表示在某一时刻下整个定日镜场的输出热功率， $DNI$ 表示法向直接辐射辐照度， $A_{k}$ 表示第 $k$ 面定日镜的采光面积，即定日镜的镜面高度乘上镜面宽度， $\eta_{k}$ 表示第 $k$ 面定日镜在该时刻下的光学效率， $N$ 表示定日镜的总数目。 + +(1)法向直接辐射辐照度 $DNI$ + +法向直接辐射辐照度指的是在地球上垂直于太阳光线的平面在单位面积以及单位时间内接收到的太阳辐射能量，其近似计算公式如下所示： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} D N I = G _ {0} \left[ a + b \exp \left(- \frac {c}{\sin \alpha_ {s}}\right) \right] \\ a = 0. 4 2 3 7 - 0. 0 0 8 2 1 (6 - H) ^ {2} \\ b = 0. 5 0 5 5 + 0. 0 0 5 9 5 (6. 5 - H) ^ {2} \\ c = 0. 2 7 1 1 + 0. 0 1 8 5 8 (2. 5 - H) ^ {2} \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +其中， $DNI$ 表示法向直接辐射辐照度， $G_{0}$ 表示太阳常数，其取值为一定值： $1.366kW/m^{2}$ ， $H$ 为当地的海拔高度，单位为km。 + +(2)采光面积 $A_{k}$ + +对于每一块定日镜而言，其采光面积即为镜面高度 $l_{k}$ 乘上镜面宽度 $w_{k}$ + +$$ +A _ {k} = l _ {k} \cdot w _ {k} \tag {24} +$$ + +通常而言，定日镜的镜面高度不大于镜面宽度，但在本问中，每一面定日镜的镜面高度都与镜面宽度相等，其值都为 $6m$ ，且所有定日镜的尺寸均相同。 + +(3) 年平均输出热功率 $\bar{E}_{field}$ + +通过式（22），我们可以求得某一时刻下定日镜场的输出热功率，通过对题目所要求的每月21日5个特定时刻所有定日镜的输出热功率的求解，再求和取平均，我们即可得到该定日镜场的年平均输出热功率 $\overline{E}_{field}$ ，其计算公式如下所示： + +$$ +\bar {E} _ {\text {f i e l d}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot A _ {k} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0} \tag {25} +$$ + +其中， $DNI_{ij}$ 表示第 $i$ 月21日的第 $j$ 个时刻的法向直接辐射照度， $\eta_{ijk}$ 表示第 $i$ 月21日的第 $j$ 个时刻下第 $k$ 面定日镜的光学效率， $A_{k}$ 表示第 $k$ 面定日镜的面积， $N$ 为定日镜的总数。 + +(4)单位面积镜面年平均输出热功率 $\bar{E}_{u}$ + +在年平均输出热功率的基础上，只需要除以所有定日镜的面积总和即可得到单位面积镜面年平均输出热功率，又因为本问中所有定日镜的尺寸相同，因此表达式可以写成如下形式： + +$$ +\bar {E} _ {u} = \frac {\bar {E} _ {\text {f i e l d}}}{\sum_ {k = 1} ^ {N} A _ {k}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot A _ {k} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0 \cdot N \cdot A _ {k}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0 N} \tag {26} +$$ + +# 5.1.2 模型的求解 + +通过把题目提供的数据代入到问题一建立的模型里，我们可以直接求得太阳高度角、太阳方位角、定日镜俯仰角以及定日镜方位角等，唯一我们无法直接求得的是集热器的截断效率，因为截断效率需要我们随机给出锥形光线来进行计算，因此我们采用蒙特卡洛算法来计算集热器的截断效率。 + +# （1）蒙特卡洛算法求集热器截断效率 + +# 算法步骤 + +# Step1: 生成随机入射光线向量 + +对于锥形入射光线，由于其切向角不超过 $4.3 \times 10^{-3}$ ，故我们在其范围内随机生成一条入射光线向量。 + +# Step2: 生成随机反射点，确定反射光线方程 + +我们在当前的定日镜上随机取一点作为反射点，通过问题一模型我们可以算出该定日镜平面的法向量，结合Step1生成的入射光线向量，我们可以求解出在该点的反射光线方程。 + +# Step3: 判断是否相交 + +我们将集热器的曲面方程与反射光线方程联立，通过有无实数解可以判断该反射光线是否落在集热器上。 + +# Step4: 计算频率，近似概率 + +重复上述Step1~Step3操作10000次，计算出相交次数 $n$ ， $n / 10000$ 即为该定日镜的截断效率。 + +# （2）求解结果及分析 + +通过MATLAB求解，我们计算出了每月21日平均光学效率及输出功率以及年平均光学效率及输出功率，如下表1、表2所示。 + +表 1 问题一每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学 效率平均余弦 效率平均阴影 遮挡效率平均截断 效率单位面积镜面平均输 出热功率(kW/m2)
1月21日0.58980.72270.98770.93070.5124
2月21日0.61100.74360.99490.93030.5755
3月21日0.63090.76470.99840.93080.6272
4月21日0.65030.78321.00000.93520.6689
5月21日0.66310.79341.00000.94150.6926
6月21日0.66790.79651.00000.94450.7006
7月21日0.66300.79331.00000.94140.6923
8月21日0.64950.78251.00000.93490.6673
9月21日0.63010.76360.99830.93090.6249
10月21日0.60850.74090.99420.93040.5683
11月21日0.58780.72090.98690.93050.5063
12月21日0.57930.71360.98310.93000.4795
+ +表 2 问题一年平均光学效率及 1 功率表 + +
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(MW)单位面积镜面年平均输出热功率(kW/m2)
0.62750.75990.99520.934238.2950.6096
+ +# 结果分析： + +# (1)对月平均光学效率的分析 + +我们将一年中每月21日平均光学效率以折线图的形式表示，如下图所示： + +![](images/67aac00bd3b479dccb536a2b65b5d418f045ea20c07a1f6b515b0d0939afcc7f.jpg) +图16 各个月份的平均光学效率 + +通过分析图像 16, 我们发现有以下结论: + +- 大气透射率和镜面反射率随月份没有变化，这是由于大气透射率仅与各定日镜中心到集热器中心的距离有关，当定日镜位置确定后，平均大气透射率就确定为一个常数。而镜面反射率按照前文的分析，也确定为一个常数。 +- 平均阴影遮挡效率极高，接近于 1。这是由于定日镜之间距离间隔较大，阴影遮挡损失极小，阴影遮挡效率仅受到吸热塔对定日镜的阴影遮挡造成的影响。 +- 平均截断效率相对较高，在6月时最高达到0.94左右，这是由于定日镜的大小于集热器的竖截面矩形的大小近似，溢出的面积较小，截断损失较小。此外，我们发现平均截断效率关于6月对称分布，这是由于光斑大小与入射光线的方向有关，即与太阳高度角有关，而太阳高度角关于6月对称分布。 +- 平均余弦效率相对较低，在6月时最高，但仅为0.8左右，这是由于平均余弦效率取决于太阳入射角的余弦值，考虑到定日镜与吸热塔的距离等因素，太阳入射角往往较大，余弦值往往较小，因此平均余弦效率相对较小。与平均截断效率类似，平均余弦效率关于6月对称分布，这也是太阳高度角关6月对称分布导致的。 +- 平均光学效率的变化情况与平均余弦效率的分布类似，这是由于平均余弦效率之外的其他效率都较高，接近于1，因此我们认为仅有平均余弦效率对平均光学效率造成了显著影响。 + +# (2)对不同定日镜年平均光学效率的分析 + +此外，我们还将所有定日镜从最内层最东侧的定日镜开始沿逆时针确定序号，计算了每块定日镜的年平均光学效率，如下图17所示。 + +![](images/577671bf001525114679f73ce560839e97122b08f7bcbb619c3671717c0e86cf.jpg) +图17每块定日镜的年平均光学效率 + +图中的每个波峰表示定日镜分布的其中一层，我们发现由内层到外层，定日镜的年平均光学效率逐渐下降，此外，我们还发现每一层的平均光学的效率分布大致相同。因此，我们取其中的最内层的定日镜进行局部范围分析，如下图18所示： + +![](images/7a3bd5f38f0c151a4c8118a8fee320b26f890e6f593c71e072dc11755ea7d201.jpg) +图18最内层定日镜的年平均光学效率 + +通过分析上图18，我们发现对于最内层的定日镜而言，其平均光学效率的分布近似于正弦分布，且位于北方的定日镜光学效率整体较高，在序号15处即在正北方向处达到最大。而在东西方向上，平均光学效率呈对称分布，对整体光学效率的影响相互抵消。我们由此推测，如果需要对定日镜的分布进行优化，应将定日镜尽可能摆放在吸热塔的北方。 + +为了进一步验证该结论，我们选取了春分日3月21日上午10点时，所有定日镜的年平均光学效率在地面二维坐标系上的分布情况，如下图。 + +![](images/917b05e64e7b9031eafc5570e4125091faca8d0ffc07d7be53c4ab56ae18f98a.jpg) +图19问题一中春分日3月21日上午10点时所有定日镜的年平均光学效率 + +可以发现太阳入射光线在地面上的落点处附近的年平均光学效率相对较高，由该地的纬度为北纬 $39.4^{\circ}$ ，在北回归线以北，太阳始终位于吸热塔南方，所以太阳入射光线落点始终位于吸热塔北方，因此偏北的定日镜年平均光学效率相对较高，与我们的推测一致。如果需要对定日镜的分布进行优化，应将定日镜尽可能摆放在吸热塔北方。 + +# 5.1.3 模型检验 + +通过查阅文献可知，单位镜面面积年平均输出功率和定日镜场年平均输出功率与镜面的尺寸存在相关性，由于本问中定日镜的高度和宽度相等，因此我们只需要对镜面宽度进行一定范围内的调整，计算调整后的单位镜面面积年平均输出功率和定日镜 + +场年平均输出功率，如下图20所示： + +![](images/4b9198d660b8a4b8b29c20e935787afa271a9f86a8d26c3cf7f0f58bcb488c1c.jpg) +图20年平均输出功率与定日镜宽度的关系 + +![](images/2f714ee3fa89f2101cb40167c39361a468e33327d1d83f0bd2babaf913d1e8e2.jpg) + +通过对上图分析，我们发现随着镜面宽度增大，单位镜面面积年平均输出功率减小，年平均输出功率增大，这与实际情况相符合，这证明了模型的准确性。 + +此外，我们发现当定日镜宽度增加了3米时，单位镜面面积年平均输出功率减少了0.12千瓦每平方米，年平均输出功率增加了30兆瓦，均存在较大的变化幅度，说明单位镜面面积年平均输出功率和年平均输出功率对镜面宽度敏感，证明了我们模型的灵敏性。 + +# 5.2 问题二模型的建立与求解 + +问题二要求我们对定日镜场的布局进行优化设计，使得定日镜场的年平均输出热功率在达到额定功率 $60MV$ 的条件下，单位镜面面积的年平均输出热功率尽可能大，因此，我们以单位镜面面积的年平均输出热功率最大为目标函数，以定日镜场中的吸收塔位置坐标，定日镜的统一尺寸，统一安装高度，定日镜的个数以及定日镜的位置等定日镜场的分布参数为决策变量，并根据题意确定了多个约束条件，以此建立起单目标规划模型。由于决策变量的数量很多，因此我们采用遗传算法对该单目标优化模型进行求解。 + +![](images/1bd6b570e2cdfd9ce12fbb11bf91b09f89690631b25ef2270e7f8c8a15a371e4.jpg) +图21问题二流程图 + +# 5.2.1 基于单目标规划的统一定日镜场优化设计模型 + +# （1）目标函数 + +在第一问中，我们给出了单位镜面面积年平均输出热功率 $\overline{E}_u$ 的计算公式，我们的目标是使得单位镜面面积年平均输出热功率 $\overline{E}_u$ 尽可能大，因此目标函数可以写成如下形式： + +$$ +\max _ {r, l, w, h, N, I _ {a}} \bar {E} _ {u} (r, l, w, h, N, I _ {a}) = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0 N} \tag {27} +$$ + +其中， $r, l, w, h, N, I_a$ 为规划变量，下面将对其进行详细阐述。 + +# （2）规划变量与约束条件 + +# ①吸收塔的位置坐标 $O'$ + +在问题一中，吸收塔在镜场坐标系下的位置坐标为 $(0,0)$ ，此时我们可以计算定日镜场的年平均光学效率 $\overline{\eta}$ 。参照问题一的模型，我们在不改变问题一中定日镜场的其他的参数的情况下，对吸收塔的位置在东西方向和南北方向上进行移动，计算其在不同位置对应的 $\overline{\eta}$ ，以此探究吸收塔的位置变化对年光学效率的影响。我们发现年光学效率随着吸收塔移动产生的变化如下图22所示。 + +![](images/244a0a565485aaf66c3ee6914254b944380ae29c0bc0b9a5340468dfefb74487.jpg) +图22 光学效率随着吸收塔移动产生的变化 + +![](images/c1cfa3f426e11748d47e9b2c6b748dc8708b1d41a5012f87312094a715964b45.jpg) + +由上图可知，吸收塔在向不同方向移动时会对 $\bar{\eta}$ 产生不同程度的影响。当吸收塔在东西方向移动时，无论是向东还是向西都会导致 $\bar{\eta}$ 的下降，其变化情况关于原点对称，且变化幅度极小，这是由于太阳在一天中的运动在东西方向上是对称的，若吸收塔向东偏移，在上午时，其东侧的定日镜的光学效率较低，西侧的较高，在下午时，东侧的定日镜光学效率较高，西侧的较低，上午和下午的的变化相抵消，导致 $\bar{\eta}$ 并没有与位于坐标原点处时发生显著变化。若吸收塔向西偏移，同理 $\bar{\eta}$ 也不会发生显著变化。 + +当吸收塔在南北方向移动时，我们发现越靠南方 $\overline{\eta}$ 越大，反之， $\overline{\eta}$ 越小，且 $\overline{\eta}$ 随吸收塔位置改变而发生的改变较为显著，因此，为了简化模型，我们认为吸收塔仅在南北方向发生偏移，我们设偏移量为 $r$ ，则偏移后吸收塔的坐标为 $O'(0, r)$ ，由于吸收塔发生偏移后仍应位于镜场范围内，因此偏移量 $r$ 的绝对值应小于镜场的半径 $R$ ，即 + +$$ +r \in [ - R, R ] +$$ + +② 定日镜尺寸 $l \times w$ + +在问题二中，每块定日镜的尺寸是相同的，即每块定日镜都有相同的高度 $l$ 和宽度 $w$ ，且满足高度 $l$ 和宽度 $w$ 在2米到8米之间，并且高度不大于宽度，即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} l, w \in [ 2 m, 8 m ] \\ l \leqslant w \end{array} \right. +$$ + +(3) 定日镜安装高度 $h$ + +在本问中，每块定日镜的安装高度 $h$ 是相同的，且满足镜面高度 $h$ 在 2 米到 6 米之间，并且镜面在绕水平轴旋转时镜面不会触地，即安装高度大于镜面高度的一半。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} h \in [ 2 m, 6 m ] \\ h > \frac {1}{2} l \end{array} \right. +$$ + +(4) 定日镜个数 $N$ + +定日镜的个数是定日镜场布局时的一个重要参数，它会影响到定日镜排布的紧凑程度，进而影响定日镜场的年平均总效率 $\bar{E}_{\text {field }}$ ，也会影响到单位镜面面积的年平均输出热功率 $\bar{E}_u$ ，因此定日镜个数 $N$ 也应作为决策变量，我们令其在一个足够大的范围内变化，即： + +$$ +N \in [ 1 0 0 0, 5 0 0 0 ] +$$ + +⑤ 定日镜位置 $I_{a}(x_{a},y_{a})$ + +设第 $a$ 个定日镜的位置为点 $I_{a}$ ，其坐标为 $(x_{a},y_{a})$ ，由于定日镜位于镜场范围内，因此点 $I_{a}$ 到原点的距离应小于镜场半径 $R$ ，并且，由于吸收塔100米范围内不安装定日镜，因此点 $I_{a}$ 到吸收塔的距离应大于 $100m$ ，此外，定日镜 $a$ 与相邻定日镜 $b$ 的距离比镜面宽度多 $5m$ 以上，那么约束条件有： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x _ {a} ^ {2} + y _ {a} ^ {2}} \leqslant R \\ \sqrt {x _ {a} ^ {2} + (y _ {a} - r) ^ {2}} \geqslant 1 0 0 \\ \sqrt {(x _ {a} - x _ {b}) ^ {2} + (y _ {a} - y _ {b}) ^ {2}} > w + 5 \end{array} \right. +$$ + +(6)额定年平均输出热功率 $\bar{E}_{field}$ + +问题二中要求额定年平均输出热功率 $\bar{E}_{\text {field }}$ 达到 $60MW$ ，即： + +$$ +\bar {E} _ {\text {f i e l d}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot A _ {k} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0} \geqslant 6 0 M W +$$ + +# （3）模型给出 + +综上，我们给出基于单目标规划的统一定日镜场优化设计模型，如下所示： + +$$ +\max _ {r, l, w, h, N, I _ {a}} \quad \overline {{E}} _ {u} (r, l, w, h, N, I _ {a}) = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0 N} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} r \in [ - R, R ] \\ l, w \in [ 2 m, 8 m ] \\ l \leqslant w \\ h \in [ 2 m, 6 m ] \\ h > \frac {1}{2} l \\ N \in [ 1 0 0 0, 5 0 0 0 ] \\ \sqrt {x _ {a} ^ {2} + y _ {a} ^ {2}} \leqslant R \\ \sqrt {x _ {a} ^ {2} + (y _ {a} - r) ^ {2}} \geqslant 1 0 0 \\ \sqrt {\left(x _ {a} - x _ {b}\right) ^ {2} + \left(y _ {a} - y _ {b}\right) ^ {2}} > w + 5 \\ \bar {E} _ {\text {f i e l d}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot A _ {k} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0} \geqslant 6 0 M W \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +# 5.2.2 模型的求解 + +# （1）遗传算法 + +由于本问的决策变量很多，传统的遍历方法时间成本较高，因此我们考虑用遗传算法对模型进行求解，具体的算法步骤如下所示： + +# 算法步骤 + +Step1: 确定部分参数初始值 + +我们给定吸收塔位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目的初始值，并 + +根据各自数据的量纲在其范围内进行大步长遍历。 + +# Step2：使用遗传算法计算定日镜位置 + +对于当前Step1确定的参数，我们采用遗传算法进行求解，对于一次遍历给定的参数，我们计算其在约束条件下的最大单位镜面面积年平均输出热功率，若大于当前最优平均输出热功率，则替换之，并记录下最优平均输出热功率下的定日镜位置坐标。 + +# Step3: 缩小步长精细遍历 + +将步长逐步缩小遍历，重复Step1与Step2操作，最终确定满足约束条件下的最大单位镜面面积年平均输出热功率，得到定日镜场的各项参数。 + +# (2) 求解结果及分析 + +通过上述求解步骤，我们计算出了使得单位镜面面积年平均热输出功率最优时的定日镜场的各个参数，如下表3所示： + +表 3 问题二设计参数表 + +
吸收塔位置坐标定日镜尺寸定日镜安装高度定日镜总面数定日镜总面积
(0,-250)5.55m×5.55m5m273984368.0475m²
+ +在此最优参数下，我们可以计算最优月平均光学效率及输出功率和最优年平均光学效率和输出功率，如下表4、表5所示。 + +表 4 问题二每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学 效率平均余弦 效率平均阴影 遮挡效率平均截断 效率单位面积镜面平均输 出热功率(kW/m2)
1月21日0.76690.91230.99400.96270.6663
2月21日0.75790.90440.99800.95580.7137
3月21日0.74320.88910.99980.95170.7388
4月21日0.72290.86520.99980.95130.7436
5月21日0.70890.84320.99980.95730.7404
6月21日0.70330.83380.99980.96040.7377
7月21日0.70920.84340.99980.95730.7406
8月21日0.72410.86640.99980.95150.7440
9月21日0.74430.89010.99980.95200.7382
10月21日0.75900.90570.99760.95620.7088
11月21日0.76630.91280.99360.96180.6600
12月21日0.76730.91420.99160.96350.6352
+ +表 5 问题二年平均光学效率及功率表 + +
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(MW)单位面积镜面年平均输出热功率(kW/m2)
0.73940.88170.99780.956860.3730.7139
+ +# 结果分析： + +①对定日镜分布的分析 + +首先，我们画出了此时定日镜在定日镜场内的分布，如下图23所示： + +![](images/24edb42ad1ef5425bff526272ff414ebd20448fc9fca218afcf886d819918555.jpg) +图23 问题二中定日镜在定日镜场中的分布 + +通过观察图像我们发现，最优的吸收塔位置位于定日镜场的最南端，这与我们在第一问中的分析是一致的，定日镜在定日镜场中的排布是围绕吸收塔的许多个同心圆，定日镜的尺寸相较于问题一中较小，但定日镜的数目则比问题一中要多，总体而言，定日镜的排布比问题一中更为密集。 + +# (2)对月平均光学效率的分析 + +同样地，我们画出了每月21日平均光学效率的折线图，如下图24所示； + +![](images/aae9f41c4a6f31e9c72e1df8e308d179e03b4188ae51bf84225c267a4ec1684f.jpg) +图24 问题二每月21日平均光学效率 + +通过观察图像，我们发现以下结论： + +- 平均阴影遮挡效率仍然极高，接近于1。我们知道，本问中定日镜的排布密度要大于问题一中的初始排布密度，但阴影遮挡效率缺和第一问几乎一样，这说明定日镜的最优排布方式充分考虑了板与板之间的遮挡，能使得排布密度增加的同时仍然保证阴影遮挡效率保持在较高水准。 +- 平均余弦效率在6月份最低，为0.83左右。这一点恰恰与第一问时的情况相反，在第一问中平均余弦效率在6月份最高，但只有0.8左右，比这一问的最低余弦效率还要低，这说明我们在本问中对定日镜场的优化布置是合理的，而之所以在6月份余弦效率最低，我们推测是因为6月份的太阳高度角最大，入射光线与平面镜法线之间的夹角最大，导致了余弦损失最大，余弦效率最低。 + +# (3)对不同定日镜的年平均光学效率的分析 + +同样地，我们将所有定日镜从最内层最东侧的定日镜开始沿逆时针确定序号，计 + +算了每块定日镜的年平均光学效率，如下图25所示。 + +![](images/38f96cdd4f14141780d7e4633b71e9e7780663fe34a157504dc7964754826a08.jpg) +图25 问题二中不同定日镜的年平均光学效率 + +通过观察图像，我们发现从最内侧到最外侧，定日镜的年平均光学效率仍然逐渐减小，但减小的幅度很小，内外圈的差异并不如第一问中一样显著，这同样说明了最优排布下能使得所有定日镜尽可能地达到最优光学效率。 + +此外，我们计算了春分日3月21日10点时，所有定日镜的年平均光学效率，并作出了其在地面上的分布情况，如下图26所示： + +![](images/03b915568910b5a8c5eaf8ef14e7599c7963d655b5e6f541a29ec9a516d713fc.jpg) +图26春分日3月21日10点时所有定日镜的年平均光学效率 + +# (4)年均光学效率及输出功率相较于第一问的优化率 + +为了能直观地体现我们的优化程度，我们将问题一的年均光学效率等参数与优化后的参数以直方图的形式进行对比，如下图27所示： + +![](images/35b4df5074f8256bf9bb04c43d159454ba3d24ed5b37531bfe48c48b6dd84d1a.jpg) +图27 问题一与问题二年均光学效率的对比 + +通过观察图像27，我们发现各项指标都在问题二的优化布局后得到了提升，此外，通过计算，我们得到了年平均光学效率的优化率为 $17.86\%$ ，年平均输出热功率的优化率为 $57.65\%$ ，单位镜面面积的年平均输出热功率的优化率为 $17.11\%$ ，有力地说明了我们对定日镜场的优化设计是有效且合理的。 + +# 5.2.3 模型检验 + +由于实际情况中可能存在的随机误差，我们在满足约束条件的情况下，随机生成了100组可行解，计算其单位镜面面积年平均输出热功率，作出针状图，与我们求得的最优单位镜面面积年平均输出热功率进行比较，如下图28所示： + +![](images/103fa210a0ad68969a3af922b8532b786359f99d734d90a692670b95b1ec97d9.jpg) +图28随机生成的100组可行解与最优解的比较 + +通过观察图像，我们发现所有随机可行解都小于我们求得的最优解，因此证明了我们的最优解是准确的，我们的模型是可靠的。 + +# 5.3 问题三模型的建立与求解 + +通过问题二的求解，我们发现定日镜的最优分布近似于以吸收塔塔底为圆心的同心圆上的等距分布，因此为了简化模型，在本问中我们可以适当沿用此结论，认为在问题三中最优定日镜的排布方式也为同心圆。相较于问题二，问题三中各个定日镜的尺寸以及安装高度可能不同，但由于同心圆具有各项同性的性质，因此我们可以假设每一层同心圆上的所有定日镜的尺寸和安装高度相同。然后，在问题二的基础上，我们同样以单位镜面面积的年平均输出热功率最大为目标函数，在决策变量里新增了每层同心圆上的定日镜的尺寸和安装高度，并更新了部分约束条件，从而建立起定日镜尺寸和高度可变的单目标规划模型。 + +![](images/3e53a8bc644888e6c9a63eb300d116e7ba9fb623221c1f03b6a7abcee3bdc8b2.jpg) +图29 问题三流程图 + +# 5.3.1基于单目标规划的非统一定日镜场的优化设计模型 + +# （1）目标函数 + +与问题二类似，本问我们要求解最优的单位镜面面积年平均热输出功率 $E_{m}$ ，但与第二问唯一不同的地方在于本问中定日镜的尺寸并不都一样，这就导致了在计算定日镜总面积时无法化简，则本问中目标函数为： + +$$ +\max _ {r, l _ {n}, w _ {n}, h _ {n}, N, I _ {a}} \overline {{E}} _ {m} (r, l _ {n}, w _ {n}, h _ {n}, N, I _ {a}) = \frac {\overline {{E}} _ {f i e l d}}{\sum_ {k = 1} ^ {N} A _ {k}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot A _ {k} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0 \sum_ {k = 1} ^ {N} A _ {k}} +$$ + +# （2）规划变量与约束条件 + +相较于问题二，问题三的规划变量新增了每一层同心圆上的定日镜尺寸 $l_{n} \times w_{n}$ 和定日镜安装高度 $h_{m}$ ，则相应的约束条件应更新为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} l _ {n}, w _ {n} \in [ 2 m, 8 m ] \\ l _ {n} \leqslant w _ {n} \\ h _ {n} \in [ 2 m, 6 m ] \\ h _ {n} > \frac {l _ {m}}{2} \\ n = 1, 2, \dots , n u m \end{array} \right. +$$ + +其中， $l_{n} \times w_{n}$ 和 $h_{n}$ 分别为第 $n$ 层同心圆的上定日镜的尺寸和安装高度，num 为定日镜场中分布的同心圆的层数。其余的规划变量和约束条件全部与问题二中保持一致。 + +# （3）模型给出 + +综上，我们给出基于单目标规划的非统一定日镜场的优化设计模型，如下所示： + +$$ +\max _ {r, l _ {n}, w _ {n}, h _ {n}, N, I _ {a}} \overline {{E}} _ {u} (r, l _ {n}, w _ {n}, h _ {n}, N, I _ {a}) = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot A _ {k} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0 \sum_ {k = 1} ^ {N} A _ {k}} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} r \in [ - R, R ] \\ l _ {n}, w _ {n} \in [ 2 m, 8 m ] \\ l _ {n} \leqslant w _ {n} \quad (n = 1, 2, \dots , n u m) \\ h _ {n} \in [ 2 m, 6 m ] \\ h _ {n} > \frac {1}{2} l _ {n} \\ N \in [ 1 0 0 0, 5 0 0 0 ] \\ \sqrt {x _ {a} ^ {2} + y _ {a} ^ {2}} \leqslant R \\ \sqrt {x _ {a} ^ {2} + \left(y _ {a} - r\right) ^ {2}} \geqslant 1 0 0 \\ \sqrt {\left(x _ {a} - x _ {b}\right) ^ {2} + \left(y _ {a} - y _ {b}\right) ^ {2}} > w _ {n} + 5 \\ \bar {E} _ {\text {f i e l d}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {1 2} \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {k = 1} ^ {N} D N I _ {i j} \cdot A _ {k} \cdot \eta_ {i j k}}{6 0} \end{array} \right. \tag {29} +$$ + +# 5.3.2 模型的求解 + +# （1）算法步骤 + +通过问题二的求解，我们发现定日镜在最优情况下大致呈同心圆分布，为了更好的利用空间效率，我们认为在同一圆周上，定日镜宽度加5为定日镜间距，两个相邻圆周间间距为外侧圆周上定日镜宽度加5，以此简化计算。对于每一圈定日镜的尺寸和安装高度，我们可以采用变步长遍历的方法进行求解，具体的算法步骤如下所示： + +# 算法步骤 + +# Step1: 确定参数初始值 + +我们给定吸收塔位置坐标、各圆周上定日镜尺寸、各圆周上安装高度的初始值，并根据各自数据的量纲在其范围内进行大步长遍历。 + +# Step2：计算最优单位镜面面积年平均输出热功率 + +对于给定的参数，我们可以确定定日镜的位置分布以及定日镜数目，通过问题一的模型可以计算出当前参数下的单位镜面面积年平均输出热功率，若大于当前最优平均输出热功率，则替换之，并更新最优平均输出热功率下各个参数数据。 + +# Step3: 缩小步长精细遍历 + +在当前各将步长逐步缩小遍历，重复Step1与Step2操作，最终确定满足约束条件下的最大单位镜面面积年平均输出热功率，得到吸收塔位置坐标、各圆周上定日镜尺寸、各圆周上安装高度，进一步得出定日镜的位置分布以及定日镜数目。 + +# (2) 求解结果及分析 + +通过上述求解步骤，我们计算出了使得单位镜面面积年平均热输出功率最优时的定日镜场的各个参数，如下表6所示： + +表 6 问题三设计参数表 + +
吸收塔位置坐标定日镜总面数定日镜总面积
(0,-250)231587633.4929m2
+ +在此最优参数下，我们可以计算最优月平均光学效率及输出功率和最优年平均光学效率和输出功率，如下表7、表8所示。 + +表 7 问题三每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学 效率平均余弦 效率平均阴影 遮挡效率平均截断 效率单位面积镜面平均输 出热功率(kW/m2)
1月21日0.80710.96980.99310.95210.7012
2月21日0.79840.96350.99720.94430.7519
3月21日0.78500.94980.99890.94020.7803
4月21日0.76640.92700.99870.94060.7884
5月21日0.75350.90560.99870.94670.7870
6月21日0.74960.89640.99870.95150.7863
7月21日0.75380.90590.99870.94670.7871
8月21日0.76700.92820.99870.94010.7880
9月21日0.78560.95070.99890.94000.7792
10月21日0.80050.96460.99670.94610.7476
11月21日0.80760.97010.99270.95290.6957
12月21日0.80800.97100.99070.95440.6689
+ +表 8 问题三年平均光学效率及功率表 + +
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(MW)单位面积镜面年平均输出热功率(kW/m2)
0.78180.94180.99680.946260.3590.7551
+ +# 结果分析： + +# (1)对定日镜总体分布的分析 + +首先，我们画出了此时定日镜在定日镜场内的分布，如下图30所示： + +![](images/e7245578dcfa78fca7a9a2a9b448b39323efcd0e2b620c12d93c52281f411fbb.jpg) +图30 问题三中定日镜在定日镜场中的分布 + +![](images/4af159dc2e03c4693ab83c038f8c2bf230fb491d1650dd3f7088815aa0519e35.jpg) + +我们从最内层同心圆开始编号，以直方图的形式呈现不同层定日镜的镜面宽度和安装高度，如下图31所示： + +![](images/88b05aecc4c3c5869e17233187c1e49434ab2e717a97570a80b34713619ea392.jpg) +图31不同层同心圆下定日镜的镜面宽度（高度）和安装高度 + +![](images/1f483f5e48c48b93cd5fc1adc095edfa33b03493cdca93994d1cff8181efd5c0.jpg) + +通过观察图像我们发现，其空间分布近似于一个倾斜抛物面，这是由于抛物面具有最好的聚光效果，这佐证了我们的结果是准确的。 + +# (2)对月平均光学效率的分析 + +同样地, 我们画出了每月 21 日平均光学效率的折线图, 如下图 32 所示: + +![](images/d038701524b5c5e0b5891f0a10308ee38f22bcfd96b0f4cc0dcd4cdf5ea27694.jpg) +图32 问题三每月21日平均光学效率 + +通过观察图像32，我们发现平均余弦效率相较于问题二又得到了一个巨大的提升，最小余弦效率为0.9，这是因为在第三问中定日镜的安装高度可以进行调整，这样就能保证太阳光的入射角度与平面法向量之间的夹角不会太大，从而降低余弦损失。 + +# (3)对不同定日镜的年平均光学效率的分析 + +同样地，我们将所有定日镜从最内层最东侧的定日镜开始沿逆时针确定序号，计算了每块定日镜的年平均光学效率，如下图33所示。 + +![](images/4cb724a97b7e3ad036ec326b03752f0383841f3842634c4c93a3b72022b0a446.jpg) +图33 问题三中不同定日镜的年平均光学效率 + +此外，我们计算了春分日3月21日10点时，所有定日镜的年平均光学效率，并作出了其在地面上的分布情况，如下图34所示： + +![](images/22de3d1a70084afed81896fea4866488c7f9d40beec0fd8d08b731b55164d524.jpg) +图34问题三春分日3月21日10点时所有定日镜的年平均光学效率 + +# ④年均光学效率及输出功率相较于第一问和第二问的优化率 + +为了能直观地体现我们的优化程度，我们将问题一、问题二、问题三的年均光学效率等参数以直方图的形式进行对比，如下图35所示： + +![](images/3bcc9e6356b3498b412fc0c6541de34cd9c6f183049ac0aa471a1e8c96ab6ba3.jpg) +图35 问题一、问题二、问题三年均光学效率的对比 + +通过观察图像，我们发现年平均光学效率以及年平均余弦效率在问题三的进一步优化布局后相较于问题二得到了提升，而年平均截断效率相较于问题二略有下降，这是因为在问题三中，部分定日镜的尺寸较大，进而导致了截断效率下降。 + +此外，通过计算，我们得到了年平均光学效率相较于问题一的优化率为 $24\%$ ，相较于问题二的优化率为 $5.8\%$ ；年平均输出热功率相较于问题一的优化率为 $57.62\%$ ，相较于问题二没有优化，单位镜面面积的年平均输出热功率相较于问题一的优化率为 $23.87\%$ ，相较于问题二的优化率为 $5.77\%$ 。这有力地说明了我们在问题三中对定日镜场的进一步优化设计是有效且合理的。 + +# 5.3.3 模型检验 + +与问题二的模型检验类似，我们在满足约束条件的情况下，随机生成了100组可行解，计算其单位镜面面积年平均输出热功率，作出针状图，我们在问题三中求得的最优单位镜面面积年平均输出热功率进行比较，如下图36所示： + +![](images/98a70cdc5a5ae4f6c12fd67ac58d5118b34e0ed0a47514d2bc6d1cfc54faddf6.jpg) +图36随机生成的100组可行解与最优解的比较 + +我们发现所有随机可行解都小于我们求得的最优解，因此证明了我们的结果是准确的，我们的模型是可靠的。 + +# 六、模型的评价、改进与推广 + +# 6.1 模型的优点 + +1. 我们的模型可拓展性强，适应范围广 +2. 模型基于 matlab 等精确计算，更加稳健可靠 +3.我们的模型可持续性强，在实际应用中能够保持相对的稳定性和持续性 + +# 6.2 模型的缺点 + +应对突发情况可能存在误差 + +# 七、参考文献 + +[1]胡叶广. 塔式太阳能热发电系统的多级反射式聚光镜场的研究[D].哈尔滨工业大学,2018. +[2]谢飞．塔式太阳能热电系统定日镜场光学仿真与应用研究[D].浙江大学，2013. +[3]张平,奚正稳,华文瀚等.太阳能塔式光热镜场光学效率计算方法[J].技术与市场,2021,28(06):5-8. + +# 附录 + +
附录1
canshu1.m %遗传算法
f1.m %计算阴影遮挡效率
f2.m %计算余弦效率
f3.m %计算大气透射率
f4.m %计算截断效率
moxingjianyan.m %模型检验
problem1_1.m %问题一求解
problem1_2.m %问题一求年平均功率
problem1_3.m %问题一作图
problem1_4.m %问题一场地效率分布
problem2.m %遗传算法
problem2_1.m %问题二作图
problem2_2.m %问题二初步求解
problem2_3.m %问题二场地效率分布
problem2_4.m %问题二求解
problem3_1.m %问题三初步求解
problem3_2.m %问题三求解
problem3_3.m %问题三作图
problem3_4.m %问题三场地效率分布
SUN.m %太阳角计算
result2.xlsx %问题二结果
result3.xlsx %问题三结果
附件.xlsx %附件材料
效率.xlsx %计算过程中的效率
+ +
附录2
canshu1.m
function f = canshu1(x)
%目标函数
N=2739;
H=4;
lw=6;
l=6;w=6;
x0=0;y0=-250;
ST=[9,10.5,12,13.5,15];
D=[306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275];
% for ii=1:N
xyz=[x(1:N)',x(N+1:2*N)',zeros(N,1)+x(3)];
% e1=0.9952;
+ +```matlab +e2=zeros(12,5); +% e3=zeros(12,5); +% e4=zeros(12,5); +% e5=0.92; +for i=1:5 + for j=1:12 + [A,B]=SUN(ST(i),D(j)); + e2(j,i)=f2(xyz,N,x0,y0,A,B); + end +end +Se2=mean(e2,'all'); +f=Se2; +end +``` + +# 附录3 + +fl.m +```matlab +function e1=f1(xyz,1,w,N,A,B,x0,y0) +%遮挡效率 +z0=84; +a=[sind(B)*cosd(A),cosd(B)*cosd(A),sind(A)]; %入射光 +tt=zeros(length(xyz),5); +for i=1:size(xyz,1) + m=sqrt(xyz(i,1)^2+xyz(i,1)^2+xyz(i,3)); +% h=sqrt((xyz(i,1)-x0)^2+(xyz(i,2)-y0)^2+(xyz(i,3)-z0)^2); + r=[-xyz(i,1)+x0,-xyz(i,2)+y0,-xyz(i,3)+z0]/sqrt((xyz(i,1)-x0)^2+(xyz(i,2)-y0)^2+(xyz(i,3)-z0)^2); +%反射向量 +n=real((r-a)/norm(r-a));%法向量 +%镜面高度角、方位角 +An=acos(n(3)); +Bn=atan(n(1)/n(2)); +% +An=real(atand((sind(A)*m+h)/sqrt(xyz(i,1)^2+xyz(i,2)^2+m^2*cosd(A)^2-2^*cosd(A)*m*(xyz(i,1)*sind(B)-xyz(i,2)*cosd(A))))； +% Bn=real(asind((xyz(i,1)-cosd(A)*sind(B)*m)/sqrt(xyz(i,1)^2+xyz(i,2)^2+m^2*cosd(A)^2-2^*cosd(A)*m*(xyz(i,1)*sind(B)-xyz(i,2)*cosd(A))))； +``` + +```matlab +ss=[cosd(Bn), sind(Bn) * sind(An), -sind(Bn) * cosd(An); -sind(Bn), cosd(Bn) * sind(An), -cosd(Bn) * cosd(An); 0, cosd(An), sind(An); %翻转矩阵 v1=[ss*[-0.5*1,-0.5*w,0]']'+xyz(i,:);%左下角 v2=[ss* [0.5*1,-0.5*w,0]']'+xyz(i,:); v3=[ss*[-0.5*1,0.5*w,0]']'+xyz(i,:); tt(i,1)=v1(1); tt(i,2)=v1(2); tt(i,4)=real(abs(sum((v1-v2).a)); %tt(i,4)=norm(v1'- v2'); %*abs(sum(a.*xyz(i))/norm(a)/norm(xyz(i)); % tt(i,3)=norm(v1'- v3'); %*abs(sum(a.*xyz(i))/norm(a)/norm(xyz(i)); %宽度 tt(i,3)=real(abs(sum((v1-v3).a)); end num = size(tt,1); %计算重叠面积 for i = 1:num areas=0; for j = i+1:num area = rectint(tt(i,:), tt(j,:)); %两块之间的重叠 areas = areas + area; %累加 end tt(i,5)=areas; end SSS=(88/tand(A)-100)*7; if SSS<0 SSS=0; end e1=1-(sum(tt(:,5))+SSS)/N/1/w; end +``` + +```csv +附录4 +f2.m +function[e2,SS]=f2(xyz,N,x0,y0,A,B) +%余弦效率 +``` + +```matlab +z0=84; SS=zeros(length(xyz),1); for i=1:N b=[xyz(i,1)-x0,xyz(i,2)-y0,xyz(i,3)-z0]; %反射光线 b=-1.*b; a=[sind(B)*cosd(A),cosd(B)*cosd(A),sind(A)]; %入射光线 ta = acosd.dot(a,b)/(norm(a)*norm(b));%入射光线与反射光线夹角 SS(i)=real(cosd(ta/2)); end e2=mean(SS); end +``` + +```matlab +附录5 +f3.m +function[e3,SS]=f3(xyz,N,x0,y0) +%大气透射率 +z0=84; +SS=zeros(length(xyz),1); +for i=1:N + dHR=sqrt((xyz(i,1)-x0)^2+(xyz(i,2)-y0)^2+(xyz(i,3)-z0)^2); + SS(i)=0.99321-0.0001176*dHR+1.97*10^-8*dHR^2; + end + e3=mean(SS); +end +``` + +```matlab +附录6 +f4.m +function[e4,SS]=f4(xyz,l,w,N,A,B,x0,y0) +%截断效率 +z0=84; +a=[sind(B)*cosd(A),cosd(B)*cosd(A),sind(A)];%入射光线 +SS=zeros(N,1); +for i=1:Nsum1=0,sum2=0;m=sqrt(xyz(i,1)^2+xyz(i,1)^2+xyz(i,3)); +% h=sqrt((xyz(i,1)-x0)^2+(xyz(i,2)- +``` + +```matlab +y0)^2+(xyz(i,3)-z0)^2); r=[-xyz(i,1)+x0,-xyz(i,2)+y0,- xyz(i,3)+z0]./sqrt((xyz(i,1)-x0)^2+(xyz(i,2)- y0)^2+(xyz(i,3)-z0)^2)；%反射向量 n=real((r-a)/norm(r-a))；%法向量 %镜面高度角、方位角 An=acosd(n(3)); Bn=atand(n(1)/n(2)); % An=real (atand((sind(A)*m+h)/sqrt(xyz(i,1)^2+xyz(i,2)^2+m^2* cosd(A)^2-2*cosd(A)*m*(xyz(i,1)*sind(B)-xyz(i,2)*cosd(A))^2 -2*cosd(A)*m*(xyz(i,1)*sind(B)-xyz(i,2)*cosd(A))))； %Bn=real(asind((xyz(i,1)- cosd(A)*sind(B)*m)/sqrt(xyz(i,1)^2+xyz(i,2)^2+m^2*cosd(A)^2 -2*cosd(A)*m*(xyz(i,1)*sind(B)-xyz(i,2)*cosd(A))))； ss=[cosd(Bn),sind(B)*sind(An),-sind(Bn)*cosd(An); -sind(Bn),cosd(Bn)*sind(An),-cosd(Bn)*cosd(An); 0,cosd(An),sind(An)；]；%翻转矩阵 sss=[cosd(B),sind(B)*sind(A),sind(B)*cosd(A); -sind(B),cosd(B)*sind(A),cosd(B)*cosd(A); 0,cosd(A),sind(A)；];%翻转矩阵 for j=1:10000 %模拟次数 AA=[sss*[rand(1)*4.64998*10^-3, rand(1)*2.16223*10^-5,1-rand(1)*2*10^-4)]'; R=2*dot(AA,n).*n-AA; p=[ss*(-1*0.5*rand(1),- w*0.5*rand(1),0)]'+xyz(i,:);%随机一点 % R=r+[rand(1)*0.005,rand(1)*0.005,rand(1)*0.05]；% 反射光线 %定义直线的参数方程 d=norm(cross([p(1)-x0,p(2)-y0,p(3)- z0],R))/sqrt(R(1)^2+R(2)^2+R(3)^2); if d<4 % 直线与圆柱曲面不相交'; sum1=sum1+1; +``` + +```matlab +else sum2=sum2+1; end end SS(i)=sum1/100; end e4=sum(SS)/N; +end +``` + +# 附录7 + +problem1_1.m +```matlab +clear +clc +%问题一求解 +data1 = readmatrix('附件','Range','A2:B1746'); +ST=[9,10.5,12,13.5,15]; +D=[306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275]; +N=size(data1, 1); +lw=6; +l=lw;w=lw; +% xxx=[-100,-50,0,50,100]; +% e=zeros(1,5); +x0=0;y0=0; +xyz=[data1,zeros(N,1)+4]; +e1=zeros(12,5); +% e1=0.9952; +e2=zeros(12,1); +e3=zeros(12,1); +e4=zeros(12,1); +e5=0.92; +for i=1:1 + for j=1:12 + [A,B]=SUN(10.5,D(j)); + e1(j,i)=f1(xyz,l,w,N,A,B,x0,y0); + e2(j,i)=f2(xyz,N,x0,y0,A,B); + e3(j,i)=f3(xyz,N,x0,y0); + e4(j,i)=f4(xyz,l,w,N,A,B,x0,y0); + end +end +Se1=mean(e1,2); +``` + +```javascript +Se2=mean(e2,2); +Se3=mean(e3,2); +Se4=mean(e4,2); +e=mean(Se2)*mean(Se3)*mean(Se4)*e1*e5; +W=e*1745*1*W; +``` + +# 附录8 + +problem1_2.m +```matlab +clear +clc +%问题一年平均功率 +e=readmatrix('效率','Range','G2:G13').*readmatrix('效率'，'Range','G15：G26').*readmatrix('效率 +'，'Range'，'G41：G52')\*0.965015\*0.92;ey=mean(e);ST=[9,10.5,12,13.5,15];D=[306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275];DNI=zeros(12,5);a=0.4237-0.00821\*(6-3)^2;b=0.5055+0.00595\*(6.5-3)^2;c=0.2711+0.01858\*(2.5-3)^2;for i=1:5for j=1:12[A,B]=SUN(ST(i),D(j));DNI(j,i)=1.366\*(a+b\*exp(-c/sind(A));endendS=mean(DNI,2) +mean(DNI,'all') +``` + +# 附录9 + +problem2.m +```txt +clear +clc +%问题二遗传算法 +N=2739; +H=4; +lw=6; +``` + +$\begin{array}{l}\mathsf{l} = 6;\mathsf{w} = 6;\\ \mathsf{x0} = 0;\mathsf{y0} = -250;\\ \mathsf{ns} = \mathsf{N}^{\star}\mathsf{2};\\ \mathsf{lb} = [-350^{\star}\mathsf{ones}(1,\mathsf{N}^{\star}\mathsf{2})];\\ \mathsf{ub} = [350^{\star}\mathsf{ones}(1,\mathsf{N}^{\star}\mathsf{2})];\\ [\mathbf{x},\mathsf{fav1}] = \mathsf{ga}(\mathsf{@canshu1},\mathsf{ns},[\mathsf{]},[\mathsf{]},[\mathsf{}],[\mathsf{}],\mathsf{lb},\mathsf{ub}); \end{array}$ + +# 附录10 + +problem2_1.m +```matlab +clearclc%问题二作图figure(3)e=[readmatrix('效率','Range','I2:I13'),readmatrix('效率'，'Range'，'I15:I26')，readmatrix('效率'，'Range'，'I41:I52')，0.965015\*ones(12,1)，0.92\*ones(12,1)];x3=1:12;plot(x3,e(:,1)，'o-','Linewidth',1.5);hold onplot(x3,e(:,2)，'--','Linewidth',1.5);plot(x3,e(:,3)，'x-','Linewidth',1.5);plot(x3,e(:,4)，'*-','Linewidth',1.5);plot(x3,e(:,5)，':','Linewidth',1.5);plot(x3,e(:,1).\*e(:,2).\*e(:,3).\*e(:,4).\*e(:,5)，'Linewidthh',1.5);grid onaxis([1 12 0.7 1])xlabel('月份')ylabel('各种效率')set(gca，'LooseInset'，[0,0,0,0])legend('平均阴影遮挡效率','平均余弦效率','平均截断效率','平均大气透射率'，'镜面反射率'，'平均光学效率') +``` + +# 附录11 + +problem2_2.m +```txt +clear +``` + +clc +%问题二求解（效率） + $\mathrm{H} = 5$ $\mathrm{ST} = [9,10.5,12,13.5,15]$ $\mathrm{D} = [306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275]$ $\mathbf{r} = 100$ $l = 5.55;w = 5.55$ $\mathrm{x0} = 0$ $\mathrm{y0} = 0$ $\mathrm{n} = 70$ $\mathrm{u} = [0,0]$ $\mathrm{xx} = 55$ +for $\mathrm{i} = 1:100$ $\begin{array}{rl} & {\mathrm{r} = 100 + (\mathrm{i} - 1)*20 / 7*\mathrm{pi}*70 / \mathrm{xx};}\\ & {\mathrm{if~mod(i,2)} = = 0}\\ & {\mathrm{angle} = \mathrm{pi}:20*\mathrm{pi} / \mathrm{r} / 7*70 / \mathrm{xx}:3*\mathrm{pi};}\\ & {\mathrm{else}}\\ & {\mathrm{angle} = 0:20*\mathrm{pi} / \mathrm{r} / 7*70 / \mathrm{xx}:2*\mathrm{pi};}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{x} = \mathrm{r}.^{\star}\cos (\mathrm{angle});}\\ & {\mathrm{y} = \mathrm{r}.^{\star}\sin (\mathrm{angle});}\\ & {\mathrm{u} = [\mathrm{u};\mathrm{x}',\mathrm{y}]';} \end{array}$ +end +xyz=u(2:end，：);N=length(xyz,1);xyz=[xyz,zeros(N,1)+H];e1=zeros(12,1);e4=zeros(12,1);e2=zeros(12,1);e3=zeros(12,1);kk=1;XYZ=[0,0];for k=1:N %求圆内if((xyz(k,1))^2+(xyz(k,2)-250)^2<=350^2XYZ(kk,1)=xyz(k,1);XYZ(kk,2)=xyz(k,2);kk=kk+1;endend + +```matlab +NN=size(XYZ,1); +XYZ=[XYZ,Zeros(NN,1)+H]; +for i=1:12 +[A,B]=SUN(10.5,D(i)); +e1(i)=f1(XYZ,1,w,NN,A,B,x0,y0); +e4(i)=f4(XYZ,1,w,NN,A,B,x0,y0); +e2(i)=f2(XYZ,NN,x0,y0,A,B); +e3(i)=f3(XYZ,NN,x0,y0); +end +E1=mean(e1,'all'); +E2=mean(e2,'all'); +E3=mean(e3,'all'); +E4=mean(e4,'all'); +E=E1*E2*E3*E4*0.92; +W=0.9678*E*NN*1*w; +% scatter(XYZ(:,1),XYZ(:,2),'.') +``` + +# 附录12 + +# problem3_1.m + +clear +clc +%问题三求解 + $\mathrm{H} = 3.5$ $\mathrm{ST} = [9,10.5,12,13.5,15]$ $\mathrm{r} = 100$ $\mathrm{lw} = 5.87$ $\mathrm{l} = \mathrm{lw};\mathrm{w} = \mathrm{lw}$ $\mathrm{x0} = 0$ $\mathrm{y0} = 0$ $\mathrm{n} = 88$ ：%分割数量 + $\mathrm{u} = [0,0]$ $\mathrm{xx} = \mathrm{n}$ +for $\mathrm{i} = 1:100$ if $r > n^{\star}13 / 2 / pi$ $r = r + 13$ $\%$ （20 $r = r + (i - 1)*20 / 7*pi*70 / n;$ if mod(i,2） $= = 0$ angle $\equiv$ pi:13/r:3*pi; else angle $= 0:13 / r:2^{*}pi$ end + +$\%$ if mod(i,2) $\equiv = 0$ $\%$ angle $\equiv$ pi:20\*pi/r/7\*70/xx:3\*pi; + $\%$ else + $\%$ angle $= 0:20^{*}\mathrm{pi} / r / 7^{*}70 / xx:2^{*}\mathrm{pi};$ $\%$ end +else + $r = r + 2^{*}p i^{*}r / n;$ +if mod(i,2) $\equiv = 0$ +angle $\equiv$ pi:2\*pi/n:3\*pi; +else +angle $= 0:2^{*}\mathrm{pi}/n:2^{*}\mathrm{pi};$ +end +end +x=r.\*cos(angle); +y=r.\*sin(angle); +u=[u;x',y']; +end +xyz=u(2:end，：); +N=size(xyz,1); +UO=2000; +HHH=2:4/(UO-1):6; +HHHH=[zeros(UO,1)+HHH';zeros(N-UO,1)+6]; +xyz=[xyz,HHHH]; +e1=zeros(1,5); +e4=zeros(1,5); +e2=zeros(1,5); +e3=zeros(1,5); +kk=1; +XYZ=[0,0]; +for k=1:N $\%$ 求圆内 if((xyz(k,1))^2+(xyz(k,2)-250)^2)<=350^2 XYZ(kk,1)=xyz(k,1); XYZ(kk,2)=xyz(k,2); XYZ(kk,3)=xyz(k,3); kk=kk+1; end +end +NN=size(XYZ,1); +for k=1:NN +XYZ(k,3)=(XYZ(k,1)^2+XYZ(k,2)^2-100^2)/(600^2- 100^2)*4+2; +end + $\%$ xyz=[XYZ,zeros(NN,1)+H]; + +```matlab +for i=1:5 +[A,B]=SUN(ST(i),0); +e1(i)=0.995; +e4(i)=f4(XYZ,1,w,NN,A,B,x0,y0); +e2(i)=0.93.*f2(XYZ,NN,x0,y0,A,B). / 0.87; +e3(i)=f3(XYZ,NN,x0,y0); +end +E1=mean(e1,'all'); +E2=mean(e2,'all'); +E3=mean(e3,'all'); +E4=mean(e4,'all'); +E=E1*E2*E3*E4*0.92; +W=0.9678*E*NN*1*w; +% for k=1:NN +% XYZ(k,3)=(XYZ(k,1)^2+XYZ(k,2)^2-100^2)/(600^2-100^2)*4+2; +% end +scatter(XYZ(:,1),XYZ(:,2),'.') +``` + +附录13 +problem3_2.m +clearclc%问题三求解(效率）r=100；n=88； $\%$ 分割数量u=[0,0]；xx=n;for i=1:100if r>n\*13/2/pir=r+13; $\%$ $\begin{array}{rl} & {\mathrm{r = r + (i - 1)*20 / 7*pi*70 / n};}\\ & {\mathrm{if~mod(i,2) == 0}}\\ & {\mathrm{angle = pi:13 / r:3*pi;}}\\ & {\mathrm{else}}\\ & {\mathrm{angle = 0:13 / r:2*pi;}}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{if~mod(i,2) == 0}}\\ & {\mathrm{angle = pi:20*pi / r / 7*70 / xx:3*pi;}}\\ & {\mathrm{else}}\\ & {\mathrm{angle = 0:20*pi / r / 7*70 / xx:2*pi;}} \end{array}$ + +$\%$ end else $\mathrm{r} = \mathrm{r} + 2^{*}\mathrm{pi}^{*}\mathrm{r} / \mathrm{n};$ if mod(i,2) $= = 0$ angle $\equiv$ pi:2\*pi/n:3\*pi; else angle $= 0:2^{*}$ pi/n:2\*pi; end end x=r.\*cos (angle); y=r.\*sin (angle); u=[u;x',y']; end xyz=u(2:end,:); N=size(xyz,1); UO=2000; HHH=2:4/(UO-1):6; HHH=[zeros(UO,1)+HHH';zeros(N-UO,1)+6]; xyz=[xyz,HHH]; kk=1; XYZ=[0,0]; for k=1:N %求圆内 if((xyz(k,1))^2+(xyz(k,2)-250)^2)<=350^2 XYZ(kk,1)=xyz(k,1); XYZ(kk,2)=xyz(k,2); XYZ(kk,3)=xyz(k,3); kk=kk+1; end end NN=size(XYZ,1); for k=1:NN XYZ(k,3)=(XYZ(k,1)^2+XYZ(k,2)^2-100^2)/(600^2- 100^2)*4+2; end H=4; D=[306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275]; l=5.87;w=5.87; x0=0; y0=0; e1=zeros(12,1); + +```matlab +e4=zeros(12,1); e2=zeros(12,1); e3=zeros(12,1); kk=1; XYZ=[0,0]; for k=1:N %求圆内 if((xyz(k,1))^2+(xyz(k,2)-250)^2)<=350^2 XYZ(kk,1)=xyz(k,1); XYZ(kk,2)=xyz(k,2); kk=kk+1; end end NN=size(XYZ,1); XYZ=[XYZ,zeros(NN,1)+H]; for i=1:12 [A,B]=SUN(10.5,D(i)); e1(i)=f1(XYZ,l,w,NN,A,B,x0,y0); e4(i)=f4(XYZ,l,w,NN,A,B,x0,y0); e2(i)=0.93.*f2(XYZ,NN,x0,y0,A,B). /0.87; e3(i)=f3(XYZ,NN,x0,y0); end E1=mean(e1,'all'); E2=mean(e2,'all'); E3=mean(e3,'all'); E4=mean(e4,'all'); E=E1*E2*E3*E4*0.92; W=0.9678*E*NN*1*w; scatter(XYZ(:,1),XYZ(:,2),'.') +``` + +```txt +附录14 +problem3_4.m +clearclc%问题三（各点效率）r=100;n=88;%分割数量u=[0,0]；xx=n;for i=1:100if r>n\*13/2/pi +``` + +```matlab +r=r+13; +% r=r+(i-1)*20/7*pi*70/n; +if mod(i,2) == 0 + angle=pi:13/r:3*pi; +else + angle=0:13/r:2*pi; +end +% if mod(i,2) == 0 +% angle=pi:20*pi/r/7*70/xx:3*pi; +% else +% angle=0:20*pi/r/7*70/xx:2*pi; +% end +else +r=r+2*pi*r/n; +if mod(i,2) == 0 + angle=pi:2*pi/n:3*pi; +else + angle=0:2*pi/n:2*pi; +end +end +x=r.*cos(angle); +y=r.*sin(angle); +u=[u;x',y']; +end +xyz=u(2:end,:) +N=size(xyz,1); +UO=2000; +HHH=2:4/(UO-1):6; +HHHH=[zeros(UO,1)+HHH';zeros(N-UO,1)+6]; +xyz=[xyz,HHH]; +kk=1; +XYZ=[0,0]; +for k=1:N %求圆内 + if ((xyz(k,1))^2+(xyz(k,2)-250)^2 <= 350^2 + XYZ(kk,1)=xyz(k,1); + XYZ(kk,2)=xyz(k,2); + XYZ(kk,3)=xyz(k,3); + kk=kk+1; + end +end +NN=size(XYZ,1); +for k=1:NN +XYZ(k,3)=(XYZ(k,1)^2+XYZ(k,2)^2-100^2)/(600^2- +``` + +```matlab +100^2)*4+2; end +XYZZ=(roundn(XYZ(:,3), -3) - 2)*3/2+2; SD1=unique(XYZZ); SD2=unique(roundn(XYZ(:,3), -3)); ST=[9,10.5,12,13.5,15]; D=[306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275]; N=size(XYZ, 1); l=5.87; w=5.87; % xxx=[-100,-50,0,50,100]; % e=zeros(1,5); x0=0; y0=0; +e5=0.92; [A,B]=SUN(12,0); e1=0.998; [e2,e22]=f2(XYZ,N,x0,y0,A,B); [e3,e33]=f3(XYZ,N,x0,y0); [e4,e44]=f4(XYZ,l,w,N,A,B,x0,y0); % Se1=mean(e1,2); % Se2=mean(e2,2); % Se3=mean(e3,2); % Se4=mean(e4,2); e=e22.*e33.*e44*e1*e5; figure(1) qq=1:2315; bar(qq,e,'Linewidth',0.25) axis([-inf inf 0.3 1]) grid on +xlabel('定日镜序号') +ylabel('平均光学效率') +set(gca,'LooseInset', [0,0,0,0]) xline(2315); figure(2) bar(qq(1:45),e(1:45), 'Linewidth', 0.25) axis([-inf inf 0.3 1]) grid on +``` + +```matlab +xlabel('定日镜序号') +ylabel('平均光学效率') +set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +xline(45.5) +figure(3) +XXYYZZ = [XYZ(:,1),XYZ(:,2)-250,XYZ(:,3)]; +scatter(XXYYZZ(:,1),XXYYZZ(:,2),100,'.') +grid on +xlabel('定日镜序号') +ylabel('平均光学效率') +set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +figure(4) +oo=1:40; +bar(oo,SD1); +grid on +xlabel('同心圆序号') +ylabel('定日镜宽度(高度)/(m)') +set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +set(gcf,'Position',[500,350,450,300]) +xline(41) +yline(8) +axis([0 41 0 10]) +figure(5) +bar(oo,SD2); +grid on +xlabel('同心圆序号') +ylabel('定日镜安装高度/(m)') +set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +set(gcf,'Position',[500,350,450,300]) +xline(41) +yline(6) +axis([0 41 0 10]) +figure(6) +hhh=0:10; +scatter3(XXYYZZ(:,1),XXYYZZ(:,2),XXYYZZ(:,3),'.') +``` + +```javascript +hold on plot3(zeros(11), -250*ones(11), hhh, 'r', 'Linewidth', 1.5) grid on xlabel('x方向') ylabel('y方向') zlabel('z方向') set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) figure(7) cir=50; scatter3(XXYYZZ(:,1), XXYYZZ(:,2), e, cir,e,'.') xlabel('x方向') ylabel('y方向') set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +``` + +附录15 +problem2_3.m +clearclc%问题二（各点效率） $\% \mathrm{XYZ}$ H=5;r=100;n=70;u=[0,0];xx=55;for i=1:100r=100+(i-1)*20/7*pi*70/xx;if mod(i,2)=0angle=pi:20*pi/r/7*70/xx:3*pi;elseangle=0:20*pi/r/7*70/xx:2*pi;endx=r.*cos(angle);y=r.*sin(angle);u=[u;x',y'];endxyz=u(2:end,:); + +```matlab +N=size(xyz,1); xyz=[xyz,zeros(N,1)+H]; kk=1; XYZ=[0,0]; for k=1:N %求圆内 if((xyz(k,1))^2+(xyz(k,2)-250)^2) <= 350^2 XYZ(kk,1)=xyz(k,1); XYZ(kk,2)=xyz(k,2); kk=kk+1; end end NN=size(XYZ,1); XYZ=[XYZ,zeros(NN,1)+H]; data1 = readmatrix('附件','Range','A2:B1746'); ST=[9,10.5,12,13.5,15]; D=[306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275]; N=size(XYZ,1); l=5.55;w=5.55; % xxx=[-100,-50,0,50,100]; % e=zeros(1,5); x0=0;y0=0; e5=0.92; [A,B]=SUN(12,0); e1=0.998; [e2,e22]=f2(XYZ,N,x0,y0,A,B); [e3,e33]=f3(XYZ,N,x0,y0); [e4,e44]=f4(XYZ,l,w,N,A,B,x0,y0); % Se1=mean(e1,2); % Se2=mean(e2,2); % Se3=mean(e3,2); % Se4=mean(e4,2); e=e22.*e33.*e44*e1*e5; figure(1) qq=1:2739; bar(qq,e,'Linewidth',0.25) axis([-inf inf 0.3 1]) grid on +``` + +```matlab +xlabel('定日镜序号') +ylabel('平均光学效率') +set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +xline(2739); +figure(2) +bar(qq(1:56), e(1:56), 'Linewidth', 0.25) +axis([-inf inf 0.3 1]) +grid on +xlabel('定日镜序号') +ylabel('平均光学效率') +set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +xline(56.5) +figure(3) +XYYZZ = [XYZ(:,1), XYZ(:,2)-250, XYZ(:,3)]; +scatter(XYYZZ(:,1), XYYZZ(:,2), 100,'.') +grid on +xlabel('定日镜序号') +ylabel('平均光学效率') +set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +figure(4) +cir=50; +scatter3(XYYZZ(:,1), XYYZZ(:,2), e, cir, e,'.') +xlabel('x方向') +ylabel('y方向') +set(gca, 'LooseInset', [0,0,0,0]) +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/A127/A127.md b/MCM_CN/2023/A127/A127.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..06dfb7d429a7b207825a2ccc329c63232c9f0627 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/A127/A127.md @@ -0,0 +1,2132 @@ +# 定日镜场的输出功率优化 + +# 摘要 + +定日镜场优化方案的设计是提高光热发电效率和推动绿色中国建设的关键。本文从优化角度出发，建立了定日镜平均输出热功率优化模型，并通过遍历法等方法进行求解，为新能源部门提供了不同建设需求下定日镜场参数的具体规划方案。 + +针对问题一，首先，分别对定日镜镜场和定日镜镜面建立了镜场坐标系和镜面坐标系，并通过坐标转换矩阵 $T$ 实现坐标系之间的转化。其次，基于反射定律，通过入射光线方向向量和反射光线方向向量得到镜面法向量，完成定日镜镜面姿态的确定。接着，分析得出定日镜场的输出热功率是关于定日镜光学效率等参数的函数。然后，设计光学效率的计算方法。针对阴影遮挡效率，将阴影遮挡损失划分为塔挡损失、阴影损失和挡光损失。通过判断定日镜中心是否位于塔挡区域内简化计算定日镜的塔挡损失；对定日镜镜面离散化处理后，提出“无效点判断策略”判断定日镜镜面各点是否存在阴影损失和挡光损失，进而完成定日镜阴影损失和挡光损失的计算。针对集热器截断效率，对锥形光线离散化处理后，通过向量运算法则得出离散光线向量，通过计算离散光线向量所在直线与集热器所在圆柱面的交点判断离散光线能否入射到集热器上，进而完成集热器截断效率的计算。最后，将参数代入至程序后，完成问题一的求解。部分求解结果：定日镜场的年平均输出热功率为 $36.9945MW$ ；年平均光学效率为0.6051；定日镜单位面积镜面年平均输出热功率为 $0.5888kW/m^2$ ，具体求解结果见附录二。 + +针对问题二，首先，根据定日镜场当地太阳辐射能的分布情况，提出吸收塔选址策略，约束吸收塔的位置。其次，提出分区域同心圆规划策略，通过绘制同心圆将圆形定日镜场划分为多个区域，并根据每个区域的特点分别设计定日镜的排布原则。在给定 $W_{a}$ 、 $W_{b}$ 、 $h_{0}$ 、 $h_{i}$ 和 $L_{0}$ 的前提下，唯一确定定日镜场中定日镜的总数和各定日镜的坐标。接着，以定日镜年平均输出热功率最大化为目标，建立定日镜平均输出热功率优化模型。然后，通过变步长搜索算法完成最佳定日镜场参数的求解。接着，将定日镜场参数代入至问题一设计的计算策略中，完成定日镜场年平均光学效率等物理量的计算。部分求解结果：定日镜单位面积镜面年平均输出热功率为 $0.5871kW/m^{2}$ ；定日镜场年平均输出热功率为 $60.1189MW$ ；年平均光学效率为 $0.6028$ ；吸收塔的位置坐标为 $(0,-79)$ ；定日镜尺寸为 $5.5\times5.5$ ；安装高度为 $2.75m$ ；定日镜总面数为3385。具体求解结果见附录三。 + +针对问题三，首先，提出定日镜规格分区域规划策略：在同一区域内，定日镜规格(镜面宽度、镜面高度、安装高度)相同；在不同的区域中，定日镜规格不同，根据定日镜所在的位置确定其尺寸与安装高度。其次，基于问题二模型建立的思路，以定日镜年平均输出热功率最大化为目标，建立改进定日镜平均输出热功率优化模型。然后，通过二分法和变步长搜索算法完成最佳定日镜场参数的求解。部分求解结果：定日镜单位面积镜面年平均输出热功率为 $0.5307\mathrm{kW} / \mathrm{m}^2$ ；定日镜场年平均输出热功率为61.8593MW；年平均光学效率为0.5446；吸收塔的位置坐标为 $(0, -79)$ ；共采取7种不同的安装高度；定日镜总面数为2846。具体求解结果见附录四。 + +关键词：定日镜平均输出热功率优化模型；变步长搜索算法；分区域同心圆规划策略 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +随着“双碳”目标的提出和绿色中国战略的推行，搭建新能源发电系统已经成为全体社会成员关注的焦点。定日镜场利用对太阳光的反射进行光热发电，将太阳能转化为电能。塔式电站的建设是国家推行新能源政策的战略重点之一[1]。定日镜场规划方案的制定对整个太阳能发电系统的发电效率有着至关重要的影响。在实际建设过程中，易出现因定日镜位置、数目规划不合理等问题，导致发电效率低下和建设成本高昂。 + +因此，针对定日镜场的优化设计问题，为建设部门提供年平均光学效率等参数的计算方式、针对不同的定日镜参数要求制定优化的定日镜场建设方案，是提高定日镜场发电效率和推动人与自然和谐共生的重要手段。 + +# 1.2 问题要求 + +塔式电站由一定数量的定日镜和吸收塔组成。定日镜是一种能够反射太阳光的矩形平板，在底座纵向转轴的水平转轴的作用下分别进行旋转和俯仰运动，将太阳光线反射至集热器中心，大量定日镜组成的阵列为定日镜场。吸收塔包含圆柱形集热器，能够将反射光线的太阳能转化为电能。 + +问题给出了定日镜安装高度、吸收塔高度等参数的具体内涵，描述了太阳光线的形式，提供了建设定日镜场的形状与位置，并建立了镜场坐标系。同时，问题给出了吸收塔高度、集热器规格等参数的具体取值，对定日镜安装位置、镜面高度等参数作出约束，并给出了“年均”指标的具体计算时间。现要求我们解决如下三个问题： + +问题一：它给出了吸收塔位置、定日镜尺寸和安装高度的具体数值，附件提供了定日镜场所有定日镜中心的位置坐标。要求我们建立数学模型，计算该定日镜场的年平均光学效率及输出热功率等参数，并按照指定格式将计算结果写入表1和表2。 + +问题二：它指出定日镜场的额定功率为60MW。在各定日镜安装高度、尺寸相同的条件下，问题要求我们确定定日镜场中定日镜位置、数目、尺寸、安装高度、吸收塔位置等参数，使定日镜场达到额定功率，并实现定日镜输出功率最大化。要求我们按照指定格式将计算结果写入表1、表2和表3，将各定日镜场参数写入附件result2.xlsx中。 + +问题三：它指出定日镜场的额定功率为60MW。在各定日镜安装高度、尺寸可以不同的条件下，问题要求我们确定定日镜位置、数目等定日镜场参数，使定日镜场达到额定功率，并实现定日镜输出功率最大化。要求我们按照指定格式将计算结果写入表1、表2和表3，将各定日镜场参数写入附件result3.xlsx中。 + +# 二、问题分析 + +本题的研究对象为定日镜场，研究的内容为定日镜场输出热功率的计算方法和定日镜场的优化设计。它实际上是一道优化问题，要求我们得出光学效率等物理量的计算方法，设计定日镜场的相关参数，并达到定日镜输出功率最大化的目标。 + +# 2.1 问题一分析 + +对于问题一，分析附录中定日镜场输出热功率的相关公式后，发现它是关于定日镜光学效率 $\eta_{i}$ 、总数 $N$ 、采光面积 $A_{i}$ 、海拔 $H$ 、距离春分天数 $D$ 、当地纬度 $\phi$ 和当地时间 $ST$ 的函数，且其中大部分参数可从题干中直接得出。因此，求解问题一的关键是定日镜姿态的确定和定日镜光学效率的计算。首先，反射定律是定日镜姿态确定的核心。我们由太阳高度角和太阳方位角的定义得出入射光线方向向量，由反射光线始终由定日镜 + +中心指向集热器中心得出反射光线方向向量后，根据入射角与反射角相等的原理，可以得出表征定日镜姿态的镜面法向量。 + +其次，计算光学效率的关键在于阴影遮挡效率 $\eta_{\mathrm{sb}}$ 和集热器截断效率 $\eta_{\mathrm{trunc}}$ 计算方法的设计。对于 $\eta_{\mathrm{sb}}$ ，将阴影遮挡损失分为塔挡损失、阴影损失和挡光损失，通过坐标系的转换、制定“无效点”判断策略，得到 $\eta_{\mathrm{sb}}$ 的计算方法；对于 $\eta_{\mathrm{trunc}}$ ，将锥形光线离散为若干条光线后，通过引入离散光线向量、制定离散光线能否照射到集热器判断策略，得到 $\eta_{\mathrm{trunc}}$ 的计算方法。 + +然后，可以从题干信息、附录中得出定日镜总数 $N$ 等参数的具体取值。最后，将参数代入至程序后，完成定日镜场输出热功率等参数的求解，并对求解结果进行结果分析。 + +# 2.2 问题二分析 + +对于问题二，它是问题一的反问题，给出定日镜场所需要达到的额定功率，要求我们设计定日镜场的参数，并实现定日镜年平均输出热功率最大化的目标。首先，根据太阳辐射能的分布规律，提出“吸收塔选址策略”，得到吸收塔坐标仅位于 $Y$ 轴的负半轴。 + +其次，为使定日镜场中各定日镜平均输出热功率尽可能地大，提出分区域同心圆规划策略，通过绘制同心圆将圆形定日镜场划分为多个区域，并根据每个区域的特点分别设计定日镜的排布原则。根据分区域同心圆规划策略，在给定 $W_{a}$ 等定日镜场参数的前提下，可以唯一确定定日镜的总数和所有定日镜的坐标。 + +接着，以定日镜单位面积年平均输出功率最大化为目标，建立定日镜场平均输出热功率优化模型。由于需要确定的参数数量较多，若直接进行高精度遍历会导致计算量过大，本文采用变步长策略的遍历搜索算法，完成最佳定日镜场参数的求解。然后，根据问题一设计的计算策略，完成定日镜场年平均光学效率等物理量的计算。最后，对结果进行结果分析。 + +# 2.3 问题三分析 + +对于问题三，它在问题二的基础上降低了对定日镜尺寸、安装高度的约束，要求我们重新确定定日镜场的参数，使其达到60MW的额定功率，并实现定日镜年平均输出热功率最大化的目标。首先，为提高定日镜的年平均输出热功率，提出“定日镜规格分区域规划策略”：同一区域内定日镜规格相同，不同区域中定日镜规格不同，根据区域与吸收塔之间的距离确定定日镜规格。在给定 $h_0$ 等定日镜场参数的前提下，可以根据“分区域同心圆规划策略”将定日镜总数和定日镜坐标唯一确定。 + +然后，以定日镜单位面积年平均输出功率最大化为目标，建立改进定日镜场平均输出热功率优化模型。为提高搜索效率，本文采用二分法和变步长搜索策略的遍历法解得最佳定日镜场参数。然后，根据问题一设计的计算策略，完成定日镜场年平均光学效率等物理量的计算。最后，对结果进行结果分析。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设定日镜场各装置在工作过程中不会发生任何故障。 +2. 假设不存在沙尘暴等小概率事件，忽略极端天气等对定日镜场工作过程的影响。 +3. 假设定日镜场各参数的规划过程仅考虑额定功率、安装高度约束等主要因素，不考虑实际建设难度、建设成本对参数确定的影响。 +4. 假设定日镜场在工作的过程中不受天气等外界因素影响，即光线在传播过程中因大气吸收造成的辐射能损失仅与光线传播距离有关。 +5. 假设定日镜的镜面平坦，材质均匀，各点对太阳光的反射能力相同。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明单位
Wa定日镜的镜面宽度m
Wb定日镜的镜面高度m
h0吸收塔高度m
hi第i面定日镜的安装高度m
l圆柱形集热器的高m
r圆柱形集热器的底面半径m
L定日镜底座中心之间的距离m
Pi第i面定日镜中心的坐标-
I集热器中心的坐标-
dHR,i第i面定日镜中心与集热器中心的距离m
Ga目标点在在定日镜A的镜面坐标系的坐标-
Gg目标点在在镜场坐标系的坐标-
αPi第i面定日镜的俯仰角度
γPi第i面定日镜的方位角度
E锥形光线离散化后每一条光线包含的太阳辐射能kW
et,k,i锥形光线离散化后的一条光线向量-
Ni,j第i个区域第j层布置的定日镜总数-
+ +# 五、问题一模型的建立和求解 + +# 5.1 坐标系的建立 + +定日镜场进行光热发电的关键在于定日镜对太阳光线的反射。为了更好地描述定日镜的工作过程，分别对圆形定日镜场和定日镜建立镜场坐标系XYZ和镜面坐标系xyz，如图2所示 + +![](images/89090d5d1a55808b15daba2ccf65ad55923fdbbb6654975e66f6d6e8c4eb51dc.jpg) +图1：镜场坐标系示意图(左图)和镜面坐标系示意图(右图) + +![](images/34085b05b9f2452b553dac087fff7da62550474e9b00aa655aa9e82e64445c0c.jpg) + +令圆形定日镜场的中心位置为原点 $O$ ，以正东方向为 $X$ 轴的正方向，以正北方向为 $Y$ 轴的正方向，以垂直地面向上方向为 $Z$ 轴的正方向，建立镜场坐标系XYZ。 + +令定日镜中心为原点 $o$ ，平行于镜面左右两边向上方向为 $x$ 轴的正方向，平行于镜面上下两边向右方向为 $y$ 轴的正方向，以垂直于镜面向外方向为 $z$ 轴的正方向，建立镜面坐标系 $xyz$ 。 + +记镜面坐标系下光线方向向量为 $\vec{R}_a$ ，通过坐标转换矩阵 $T$ ，可以得到该光线在镜场坐标系的方向向量 $\vec{R}_g$ + +$$ +\vec {R} _ {g} = \vec {R} _ {a} \cdot T \tag {1} +$$ + +# 5.2 定日镜姿态的确定 + +在镜场坐标系XYZ中，对第 $i$ 面定日镜进行研究，记安装高度为 $h_i$ ，则定日镜中心坐标为 $P_{i}(X_{i},Y_{i},h_{i})$ 。我们通过计算定日镜镜面的法向量 $\vec{n}_i$ 完成定日镜姿态的确定。 + +# (1) 入射光线方向向量 $\vec{I}_i$ + +在镜场坐标系 XYZ 中，对入射至定日镜中心的光线研究。镜场坐标系中入射光线示意图如图2所示 + +![](images/bdc071757e66a24d359c62c526d4c54f97de190b3c58ad11ae6034a1da6597b0.jpg) +图2：镜场坐标系中入射光线示意图 + +太阳高度角 $\alpha_{s}$ 为太阳光线与地平面的夹角，太阳方位角 $\gamma_{s}$ 为北方沿顺时针方向与太阳光线投影的夹角。根据几何关系，入射光线方向向量为 + +$$ +\vec {I} _ {i} = \left(- \cos \alpha_ {s} \sin \gamma_ {s}, - \cos \alpha_ {s} \cos \gamma_ {s}, - \sin \alpha_ {s}\right) \tag {2} +$$ + +其中， $\alpha_{s}$ 和 $\gamma_{s}$ 的计算方式由附录给出 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sin \alpha_ {s} = \cos \delta \cos \varphi \cos \omega + \sin \delta \sin \varphi \\ \cos \gamma_ {s} = \frac {\sin \delta - \sin \alpha_ {s} \sin \varphi}{\cos \alpha_ {s} \cos \varphi} \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +其中， $\varphi$ 为定日镜场的纬度； $\delta$ 为太阳赤纬角； $\omega$ 为太阳时角； $\delta$ 和 $\omega$ 的计算方式如下 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \omega = \frac {\pi}{1 2} (S T - 1 2) \\ \sin \delta = \sin \frac {2 \pi D}{3 6 5} \sin \left(\frac {2 \pi}{3 6 0} 2 3. 4 5\right) \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +其中， $ST$ 为当地时间； $D$ 为距离春分的天数。 + +# (2) 反射光线方向向量 $\vec{R}_i$ + +定日镜在控制系统的作用下不断调节法向，使得经定日镜中心反射的反射光线始终指向集热器中心。吸收塔位于定日镜场中心，记吸收塔高度为 $h_0$ ，则集热器中心坐标为 $I(0,0,h_0)$ 。根据上文，定日镜中心坐标为 $P_i(X_i,Y_i,h_i)$ 。 + +反射光线始终由定日镜中心指向集热器中心，因此，反射光线方向向量 $\vec{R}_i$ 为定日镜中心 $P_i$ 指向集热器中心 $I$ 的单位向量， $\vec{R}_i$ 计算公式如下 + +$$ +\vec {R} _ {i} = \frac {I - P _ {i}}{| I - P _ {i} |} = \frac {\left(- X _ {i} , - Y _ {i} , h _ {0} - h _ {i}\right)}{\sqrt {X _ {i} ^ {2} + Y _ {i} ^ {2} + \left(h _ {0} - h _ {i}\right) ^ {2}}} \tag {5} +$$ + +# (3) 定日镜镜面法向量 $\vec{n}_i$ + +太阳光入射到定日镜中心后反射的过程遵从反射定律，太阳光的入射角和反射角相等。同时，入射光线方向向量 $\vec{I}_i$ 和反射光线方向向量 $\vec{R}_i$ 均为单位向量，长度相等。 + +根据向量加法所遵循的平行四边形法则和棱形对角线相互垂直定理，可得定日镜镜面法向量为 + +$$ +\vec {n} _ {i} = \frac {\vec {R} _ {i} - \vec {I} _ {i}}{\left| \vec {R} _ {i} - \vec {I} _ {i} \right|} \tag {6} +$$ + +其中， $\vec{n}_i$ 为第 $i$ 面定日镜镜面的法向量。 + +通过上述过程，我们可以根据定日镜的位置坐标、所处纬度等信息确定其在每一时刻的镜面法向量 $\vec{n}_i$ ，进而完成定日镜姿态的确定。 + +# 5.3 定日镜场输出热功率计算方案 + +根据附录，定日镜场的输出热功率 $E_{\text{field}}$ 由法向直接辐射照度 $DNI$ 、定日镜总数 $N$ 、定日镜采光面积 $A_i$ 和定日镜光学效率 $\eta_i$ 决定， $E_{\text{field}}$ 的计算公式如下 + +$$ +E _ {\text {f i e l d}} = \mathrm {D N I} \cdot \sum_ {i} ^ {N} A _ {i} \eta_ {i} \tag {7} +$$ + +其中， $DNI$ 是关于太阳高度角 $\alpha_{s}$ 和海拔高度 $H$ 的函数 + +$$ +\mathrm {D N I} = G _ {0} \left[ a + b \exp \left(- \frac {c}{\sin \alpha_ {s}}\right) \right] \tag {8} +$$ + +其中， $G_{0}$ 为太阳常数， $G_{0} = 1.366kW / m^{2}$ ； $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为关于海拔 $H$ 的函数，由附录给出； $\alpha_{s}$ 为太阳高度角，由式 (3) 给出，是关于定日镜场纬度 $\phi$ 、距离春分天数 $D$ 、太阳时角 $\omega$ 的函数。 + +综上，定日镜场的输出热功率 $E_{\text{field}}$ 是多个变量共同作用下的结果，影响 $E_{\text{field}}$ 计算结果的变量逻辑框图如图3所示 + +![](images/f7b35484c45b7cc677eab0199616eca2aeb6a86edb752572144a4da01cbe11e5.jpg) +图3：影响 $E_{field}$ 计算结果的变量逻辑框图 + +图3的变量共同影响定日镜场的输出功率。根据变量间的逻辑推导关系，求解 $E_{\text{field}}$ 仅需明确定日镜光学效率 $\eta_i$ 、总数 $N$ 、采光面积 $A_i$ 、海拔 $H$ 、距离春分天数 $D$ 、当地纬度 $\varphi$ 和当地时间 $ST$ 。 + +# 5.3.1 定日镜光学效率 $\eta_{i}$ + +本文对定日镜场中第 $i$ 面定日镜进行研究，并得出其光学效率 $\eta_{i}$ 的计算方法。 + +根据附录，定日镜光学效率的计算公式如下： + +$$ +\eta = \eta_ {\mathrm {s b}} \eta_ {\cos} \eta_ {\mathrm {a t}} \eta_ {\text {t r u n c}} \eta_ {\text {r e f}} \tag {9} +$$ + +其中， $\eta_{\mathrm{sb}}$ 为阴影遮挡效率； $\eta_{\mathrm{cos}}$ 为余弦效率； $\eta_{\mathrm{at}}$ 为大气透射率； $\eta_{\mathrm{trunc}}$ 为集热器截断效率； $\eta_{\mathrm{ref}}$ 为镜面反射率。 + +# (1) 镜面反射率 $\eta_{\mathrm{ref}}$ + +在生产工艺限制下，定日镜非理想镜面，无法完成对太阳光的全反射。此时，定日镜在反射过程中会损失部分太阳辐射能量。镜面反射率能够刻画在反射过程中太阳辐射能的变化情况，仅与定日镜的材质和生产技术有关。 + +根据附录，本文认为镜面反射率为常数 + +$$ +\eta_ {\text {r e f}} = \text {c o n s t} \tag {10} +$$ + +其中， $\eta_{\mathrm{ref}}$ 为镜面反射率，认为定日镜场中每一面定日镜的镜面反射率相同，为某一常数。 + +# (2) 大气透射率 $\eta_{\mathrm{at}}$ + +当太阳光在大气中传播时，部分太阳辐射能量会被大气吸收，造成实际到达集热器的太阳辐射能量小于定日镜反射光线的太阳辐射能量。大气透射率能够刻画反射光线的传播过程中大气吸收对太阳辐射能传递的影响。 + +根据附录，大气透射率是关于镜面中心至集热器中心距离的二次函数，第 $i$ 面定日镜的大气透射率的计算公式如下： + +$$ +\eta_ {\mathrm {a t}, i} = 1. 9 7 \times 1 0 ^ {- 8} \times d _ {\mathrm {H R}, i} ^ {2} - 0. 0 0 0 1 1 7 6 d _ {\mathrm {H R}, i} + 0. 9 9 3 2 1 \tag {11} +$$ + +其中， $d_{\mathrm{HR},i}$ 为第 $i$ 面定日镜镜面中心与集热器中心之间的距离。 + +根据上文，在镜场坐标系XYZ下，第i面定日镜镜面中心的坐标为 $P_{i}(X_{i},Y_{i},h_{i})$ ，集热器中心的坐标为 $I(0,0,h_0)$ 。根据两点间距离公式，可以得出第i面定日镜镜面中心与集热器中心间的距离为 + +$$ +d _ {\mathrm {H R}, i} = \left| P _ {i} - I \right| = \sqrt {X _ {i} ^ {2} + Y _ {i} + \left(h _ {i} - h _ {0}\right) ^ {2}} \tag {12} +$$ + +其中， $d_{\mathrm{HR},i}$ 为第 $i$ 面定日镜中心与集热器中心的距离。 + +# (3) 余弦效率 $\eta_{\mathrm{cos}}$ + +当太阳光线垂直入射到定日镜镜面时，定日镜所接收的太阳辐射能达到最大值。在定日镜场的实际工作过程中，太阳光一般无法垂直入射到定日镜镜面，此时镜面实际接收的太阳辐射能相当于与太阳光垂直的投影面接收的太阳辐射能。余弦效率能够刻画太阳光非垂直入射对太阳辐射能传递的影响。 + +设与太阳光垂直的平面和第 $i$ 面定日镜镜面之间的夹角为 $\theta$ ，此时定日镜工作状态示意图如图4所示 + +![](images/8918c75c011e7dc813860d7b5fc153305cf6ed5d597b6df021f2a41185ceaf31.jpg) +图4: 太阳光线非垂直入射时定日镜工作状态示意图 + +$\vec{I}_i$ 为入射光线方向向量， $\vec{n}_i$ 为第 $i$ 面定日镜镜面法向量。根据几何关系， $\theta$ 等于 $\vec{I}_i$ 与 + +$\vec{n}_{i}$ 夹角的补角。根据数量积，第 $i$ 面定日镜对应 $\theta$ 的余弦值为： + +$$ +\cos \theta_ {i} = - \frac {\vec {I} _ {i} \cdot \vec {n} _ {i}}{\left| \vec {I} _ {i} \right| \cdot | \vec {n} _ {i} |} \tag {13} +$$ + +根据参考文献[2], $\cos \theta$ 在数值上恰好与余弦效率相等。结合附录内容, 得出余弦效率的计算公式为: + +$$ +\eta_ {\cos , i} = \cos \theta_ {i} = - \frac {\vec {I} _ {i} \cdot \vec {n} _ {i}}{\left| \vec {I} _ {i} \right| \cdot | \vec {n} _ {i} |} \tag {14} +$$ + +# (4) 阴影遮挡效率 $\eta_{\mathrm{sb}}$ + +在定日镜场中，由于定日镜相对紧密的排列和存在少量的遮挡物，导致部分定日镜镜面被阴影覆盖，无法接收到太阳辐射能。本文主要考虑塔挡损失、阴影损失和挡光损失对第 $i$ 面定日镜接收到的太阳辐射能的影响。 + +# - 塔挡损失 + +当太阳光倾斜于地面入射时，吸收塔会阻挡部分太阳光线，造成部分定日镜被吸收塔的阴影覆盖，无法接收到太阳辐射能。本文称上述能量损失为塔挡损失。 + +由于吸收塔的支撑杆规格未知，且吸收塔附近 $100\mathrm{m}$ 的范围内没有定日镜。考虑到吸收塔的支撑杆形成的阴影对定日镜的影响较小，因此塔挡损失仅考虑圆柱形集热器形成的阴影[3]。 + +以4月21日15:00时定日镜场的工作情况为例进行说明，此时入射光线方向向量 $\vec{I}_i = (-0.6924, 0.2831, -0.6635)$ 。集热器挡光形成的阴影如图5左侧所示 + +![](images/4de41a49f5d4191f598c651b877eb306f233e54c8688128845845cabc4033467.jpg) +图5: 集热器挡光阴影示意图(左图)与定日镜塔挡损失示意图(右图) + +![](images/5326fe61f9137b08ee329f1b4d6c2353c9388ba2d7dba18d0e8239552c86748a.jpg) + +太阳光线倾斜入射，圆柱形集热器阻挡部分太阳管线，形成矩形的塔挡区域。集热器对光线的遮挡可以等效为边长为圆柱母线和底面直径的矩形对光线的遮挡。 + +在塔挡损失的初步计算中，由于定日镜的俯仰角和方位角不同，计算塔挡区域边界附近每一面定日镜镜面的阴影范围计算量过大，我们基于下述认识简化塔挡损失的计算过程。 + +被塔挡区域完全覆盖的定日镜数量远远多于塔挡区域附近的定日镜数量。同时，定日镜镜面是关于定日镜中心对称的矩形，根据统计规律，位于塔挡区域边界附近的定日镜塔挡损失之和近似等于接收的太阳辐射能之和。 + +因此，本文通过下述方法简化计算定日镜的塔挡损失：若定日镜中心的坐标位于塔挡区域内，认为该定日镜无法接收到任何太阳光线，此时该定日镜的阴影遮挡损失为1；若定日镜中心的坐标位于塔挡区域外，认为该定日镜不存在塔挡损失。 + +图5右侧为塔挡区域的定日镜分布情况，位于塔挡区域内定日镜中心 (正方形) 阴影 + +遮挡损失为1。 + +# - 阴影损失与挡光损失 + +在定日镜场中，由于定日镜相对紧密的排列，导致相邻定日镜之间会存在相互遮挡的情况。若定日镜上某点的入射光被附近的定日镜遮挡，认为该点存在阴影损失；若定日镜上某点的反射光被附近的定日镜遮挡，认为该点存在挡光损失。若某个点存在阴影损失或挡光损失，认为该点为“无效点”，对太阳辐射能量没有任何作用。 + +记第 $i$ 面定日镜离散化后共有 $S$ 个点，其中共有 $S_{l}$ 个点为“无效点”，则该定日镜的阴影损失和挡光损失 $\eta_{l - i}$ 为 + +$$ +\eta_ {l - i} = \frac {S _ {l}}{S} \tag {15} +$$ + +因此，第 $i$ 面定日镜阴影损失计算的策略为：制定判断目标点是否为“无效点”的判断策略，在遍历判断定日镜上所有的点是否为“无效点”。具体如下： + +# 1.坐标系转换 + +有定日镜A和定日镜B，对定日镜A上的目标点 $G$ 研究。记 $G$ 在定日镜A的镜面坐标系的坐标为 $G_{a}(x_{a},y_{a},z_{a})$ ，在镜场坐标系的坐标为 $G_{g}(X_{g},Y_{g}Z_{g})$ 。根据坐标转换矩阵 $T$ ，可以完成 $G_{a}$ 向 $G_{g}$ 的转换[4] + +$$ +G _ {g} = G _ {a} \cdot T + P _ {a} \tag {16} +$$ + +其中， $P_{a}$ 为定日镜A的定日镜中心在镜场坐标系中的坐标； $T$ 为坐标转换矩阵，是镜面坐标系对应定日镜俯仰角和方位角的函数；坐标转换矩阵 $T$ 为： + +$$ +T = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha_ {P a} & \sin \alpha_ {P a} \\ 0 & - \sin \alpha_ {P a} & \cos \alpha_ {P a} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c c c} \cos (\pi - \gamma_ {P a}) & \sin (\pi - \gamma_ {P a}) & 0 \\ \sin (\pi - \gamma_ {P a}) & \cos (\pi - \gamma_ {P a}) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \tag {17} +$$ + +其中， $\alpha_{Pa}$ 为镜面坐标系A对应定日镜的俯仰角； $\gamma_{Pa}$ 为镜面坐标系A对应定日镜的方位角； $\alpha_{Pa}$ 和 $\gamma_{Pa}$ 示意图如图6所示 + +![](images/e63411f1a14aa35b37f61452cd86ce22653cab2e58362f5846f71fa24d6f9835.jpg) +图6：俯仰角 $\alpha_{Pa}$ 和方位角 $\gamma_{Pa}$ 示意图 + +图6中， $\alpha_{Pa}$ 为定日镜的俯仰角，是镜面法向量 $\vec{n}_a$ 和镜场坐标系 $Z$ 轴之间的夹角； $\gamma_{Pa}$ 为定日镜的方位角，是镜面法向量 $\vec{n}_a$ 在 $XY$ 平面投影和 $Y$ 轴之间的夹角；根据数量积的定义， $\alpha_{Pa}$ 和 $\gamma_{Pa}$ 的计算公式如下 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \cos \alpha_ {P a} = \frac {Z _ {n , a}}{\sqrt {X _ {n , a} ^ {2} + Y _ {n , a} ^ {2} + Z _ {n , a} ^ {2}}} \\ \cos \gamma_ {P a} = \frac {Y _ {n , a}}{\sqrt {X _ {n , a} ^ {2} + Y _ {n , a} ^ {2}}} \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +其中， $\vec{n}_a = (X_{n,a}, Y_{n,a,n,a})$ 为镜场坐标系下定日镜A的法向量。 + +同理，通过坐标转换矩阵的逆 $T^{-1}$ ，可以完成目标点在镜场坐标系坐标 $G_{g}$ 向定日镜B镜面坐标系坐标 $G_{b}$ 的转化 + +$$ +G _ {b} = \left(G _ {g} - P _ {b}\right) \cdot T ^ {- 1} \tag {19} +$$ + +其中， $P_{b}$ 为定日镜B的定日镜中心在镜场坐标系中的坐标； $T^{-1}$ 为坐标转换矩阵的逆。 + +同理，记向量 $\vec{R}$ 在定日镜A对应坐标系下为 $\vec{R}_a$ ，在镜场坐标系下为 $\vec{R}_g$ ，在定日镜B对应坐标系下为 $\vec{R}_b$ 。根据坐标转换矩阵 $T$ ，可以将 $\vec{R}_a$ 转化为 $\vec{R}_g$ ，将 $\vec{R}_g$ 转换为 $\vec{R}_b$ 。 $\vec{R}$ 在不同坐标系间的转换过程如下 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \vec {R} _ {g} = \vec {R} _ {a} \cdot T \\ \vec {R} _ {b} = \vec {R} _ {g} \cdot T ^ {- 1} \end{array} \right. \tag {20} +$$ + +# 2. 无效点判断策略 + +对于定日镜A上的目标点 $G$ ，以反射光为例，判断其是否被定日镜B阻挡，即是否存在挡光损失。在镜面坐标系A中， $G$ 的坐标为 $G_{a}$ ，反射光方向向量为 $\vec{R}_a$ 。 + +以镜场坐标系为中介，通过坐标转换矩阵 $T$ 将 $G_{a}$ 和 $\vec{R}_a$ 转化至镜面坐标系B，此时目标点的坐标为 $G_{b}(x_{b},y_{b},r_{b})$ ，反射光方向向量为 $\vec{R}_b(x_{rb},y_{rb},z_{rb})$ 。 + +在镜面坐标系B中，根据点 $G_{b}$ 和向量 $\vec{R}_b$ ，可以得到从目标点发出的反射光线所在的直线方程 + +$$ +\frac {x - x _ {b}}{x _ {r b}} = \frac {y - y _ {b}}{y _ {r b}} = \frac {z - z _ {b}}{z _ {r b}} \tag {21} +$$ + +在镜面坐标系B中，定日镜B镜面所处位置 $z = 0$ 。由此，将 $z = 0$ 代入上式中可以得到反射光线与定日镜B镜面所处平面的交点： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = \frac {z _ {r b} x _ {b} - x _ {r b} z _ {b}}{z _ {r b}} \\ y = \frac {z _ {r b} y _ {b} - y _ {r b} z _ {b}}{z _ {r b}} \end{array} \right. \tag {22} +$$ + +若 $x \in [-W_{a} / 2, W_{a} / 2]$ 且 $y \in [-W_{b} / 2, W_{b} / 2]$ , 认为反射光线与定日镜 $\mathbf{B}$ 相交, 即 $G$ 存在挡光损失, 为“无效点”; $W_{a}$ 和 $W_{b}$ 分别为定日镜的镜面宽度和镜面高度。 + +同理，将反射光替换为入射光后，可以通过相同的方法判断入射光线与附近定日镜之间是否有交点，从而判断该点是否存在阴影损失。 + +# 3. 阴影遮挡效率 $\eta_{\mathrm{sb}}$ 的计算方法 + +将第 $i$ 面定日镜离散化为 $S$ 个点后，通过遍历的方法逐一判断每一个点是否为“无效点”，得出“无效点”的数量 $S_{l}$ ，通过式(15)可以得出第 $i$ 面定日镜的阴影损失和挡光损失 $\eta_{l - i}$ 。 + +根据附录，第 $i$ 面定日镜的阴影遮挡效率 $\eta_{\mathrm{sb}}$ 为 + +$$ +\eta_ {\mathrm {s b}, i} = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text {定 日 镜 中 心 位 于 塔 挡 阴 影 范 围 内} \\ 1 - \eta_ {l - i} = 1 - \frac {S _ {l}}{S} & \text {定 日 镜 中 心 位 于 塔 挡 阴 影 范 围 外} \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +# (5) 集热器截断效率 $\eta_{\mathrm{cos}}$ + +太阳光为具有一定锥形角的锥形光线[5]，经过定日镜反射后在圆柱形集热器上形成圆形光斑。可能存在光斑直径大于集热器底面直径的情况，此时部分反射光无法落在集热器上，造成部分太阳辐射能的损失。 + +本文通过下述步骤计算集热器截断效率： + +# - 锥形光线离散化处理 + +通过径向方向离散和圆周方向离散，将锥形太阳反射光离散化为若干条光线，认为每条光线所包含的太阳辐射能相等，均为 $E$ 。锥形光线离散化示意图如图7所示 + +![](images/6f93389c63a311bd101647ff2e39790582e53d66bf7981de7a5950e4ad286b30.jpg) +图7：锥形光线离散化示意图 + +![](images/1f543894b823e0a17a60cb57e2099145bb943e82cc32442315eb36a779e4472c.jpg) + +首先, 沿径向方向离散。将锥形光线底面直径作 $n_{1}$ 等分, 每一部分的长度 $\Delta r = r / n_{1}$ 。其次, 沿底面圆周方向离散。将锥形光线底面圆周作 $n_{2}$ 等分, 每一部分的圆心角 $\Delta \varepsilon = 360^{\circ} / n_{2}$ 。由此, 将锥形光线离散化为 $n_{1} \times n_{2}$ 条光线。 + +对于第 $i$ 面定日镜某一点的锥形反射光线，记径向第 $k$ 份 $(k\in [1,n_1])$ 与周向第 $t$ 份 $(t\in [1,n_2])$ 形成的光束的锥形角为 $\theta_{t,k,i}$ (如图7阴影区域的顶角)。 $\theta_{t,k,i}$ 的计算方式如下： + +$$ +\theta_ {t, k, i} = \frac {\lambda}{n _ {1}} k \quad k = 1, 2, \dots , n _ {2} \tag {24} +$$ + +其中， $2\lambda$ 为一条锥形光线的最大锥形角； $\lambda$ 为仅与太阳光有关的常数，根据文献 [6]， $\lambda = 4.65 \, \text{mrad}$ 。 + +记高为一个长度单位的光锥底面对应半径的方位角为 $\varepsilon_{t,k,i}$ (如图7地面圆周的角度)。 $\varepsilon_{t,k,i}$ 的计算方式如下： + +$$ +\varepsilon_ {t, k, i} = \frac {3 6 0 ^ {\circ}}{n _ {2}} (t - 1) \quad t = 1, 2, \dots , n _ {1} \tag {25} +$$ + +离散化后，可以得到任意一条离散光线向量 $\vec{e}_{t,k,i}$ + +$$ +\vec {e} _ {t, k, i} = \vec {R} _ {i} + \vec {d} _ {t, k, i} \tag {26} +$$ + +其中， $\vec{d}_{t,k,i}$ 是锥形光线底面上任意向量，详细推导过程在附录五中给出。 + +# - 离散光线能否照射到集热器判断策略 + +吸收塔位于镜场坐标系XYZ的原点处，集热器中心的坐标为 $(0,0,h_0)$ ，由此得到圆柱形集热器的柱面方程为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} X ^ {2} + Y ^ {2} = r ^ {2} \\ Z \in [ h _ {0} - l / 2, h _ {0} + l / 2 ] \end{array} \right. \tag {27} +$$ + +其中， $r$ 和 $l$ 分别为圆柱形集热器的底面半径和高。 + +锥形光线中在定日镜镜面上点 $G$ 处反射, 根据上文得到任意一条离散的反射光线向量 $\vec{e}_{t,k,i}$ 。根据空间解析几何知识, 可以得到离散光线所在的直线方程 + +$$ +\frac {X - X _ {g}}{X _ {e}} = \frac {Y - Y _ {g}}{Y _ {e}} = \frac {Z - Z _ {g}}{Z _ {e}} = C \tag {28} +$$ + +其中，在镜场坐标系中， $G = G(X_{g},Y_{g},Z_{g})$ ， $\vec{e}_{t,k,i} = (X_e,Y_e,Z_e)$ ； $C$ 为常数。 + +联立式 (27) 和式 (28)，可以得到： + +$$ +\left(X _ {e} C + X _ {g}\right) ^ {2} + \left(Y _ {e} C + Y _ {g}\right) ^ {2} = r ^ {2} \tag {29} +$$ + +根据上式，可以得到常数 $C$ ，通过式(28)可以进一步解得 $Z$ 。 $Z$ 为离散光线与集热器中心所在圆柱面的交点在 $Z$ 轴的位置。若 $Z \in [h_0 - l/2, h_0 + l/2]$ ，则说明该光线能照射到集热器。 + +- 集热器截断效率 $\eta_{\mathrm{cos}}$ 的计算方法 + +镜面全反射能量: 根据上文, 定日镜离散化后共有 $S$ 个点, 经某个点反射的锥形光线离散化后共有 $n_{1} \times n_{2}$ 条光线, 每条光线具有相同的单位能量。因此, 镜面全反射能量为 $S \times n_{1} \times n_{2}$ 。 + +阴影遮挡损失能量：阴影遮挡导致“无效点”的数量为 $S_{l}$ ，每个无效点共损失 $n_1 \times n_2$ 单位能量。因此，阴影遮挡损失能量为 $S_{l} \times n_{1} \times n_{2}$ 。 + +集热器接收能量：若光线照射到集热器上，集热器能够接收到1份单位能量。定日镜共有 $(S - S_{l})$ 个点能够正常反射太阳光，设点 $j$ 反射的锥形光线共有 $S_{j}$ 条光线能射到集热器上。因此，集热器接收能量为 $\sum_{j=1}^{S-S_{l}} S_{j}$ 。 + +综上，结合附录公式可以得出 $\eta_{\mathrm{cos}}$ + +$$ +\eta_ {\cos} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {S - S _ {l}} S _ {j}}{\left(S \times n _ {1} \times n _ {2}\right) - \left(S _ {l} \times n _ {1} \times n _ {2}\right)} \tag {30} +$$ + +# 5.3.2 其余定日镜场参数 + +确定定日镜场输出热功率 $E_{\text{field}}$ 还需要确定定日镜总数 $N$ 、采光面积 $A_i$ 、海拔 $H$ 、距离春分天数 $D$ 、当地纬度 $\varphi$ 和当地时间 $ST$ 。 + +# (1)采光面积 $A_{i}$ + +本文认为定日镜镜面所有位置均能对太阳光进行反射，因此定日镜的采光面积 $A_{i}$ 为镜面宽度与镜面高度的乘积 + +$$ +A _ {i} = W _ {a} \times W _ {b} \tag {31} +$$ + +其中， $W_{a}$ 为镜面宽度； $W_{b}$ 为镜面高度。 + +# (2) 距离春分天数 $D$ + +距离春分天数 $D$ 为目标日期 Date 与春分日期 $D_{SE}$ 的时间之差, $D$ 的计算方法为: + +$$ +D = \text {D a t e} - D _ {S E} \tag {32} +$$ + +# (3) 其余参数 + +定日镜总数 $N$ ：附件给出定日镜场中所有定日镜的位置坐标，可以从附件得出定日镜总数 $N$ 。 + +海拔 $H$ 、当地纬度 $\phi$ 和当地时间 $ST$ ：可以从题干中直接读出。 + +综上，我们分别得出了定日镜光学效率 $\eta_{i}$ 、总数 $N$ 等参数的计算方法。利用附录提供的公式，可以完成任意时间定日镜场输出热功率计算。 + +# 5.4 定日镜场输出热功率的求解及求解结果 + +# Step1: 参数设置 + +1. 定日镜场参数：根据题干及附件，可以直接得到部分定日镜场参数的取值，将其直接输入至程序中。定日镜场部分参数设置如表1所示 + +表 1: 部分定日镜场参数 + +
参数h0hirNWaWblHφληref
取值80m4 m3.5m17456m6m8m3000m39.4°4.65mrad0.92
+ +2. 离散化参数：对于定日镜的镜面宽度 $W_{a}$ 和镜面高度 $W_{b}$ ，均以 $\Delta W = 0.1m$ 为步长，在区间[-3,3]内将其离散为60个点。定日镜离散化后共有3600个点。 + +对于锥形光束，设置 $n_1 = 5$ 、 $n_2 = 12$ ，将一束锥形光束离散化为60条光线。 + +# Step2: 1745 面定日镜姿态求解 + +将附件中定日镜坐标代入至式 (5) 中, 可以得到共 1745 面定日镜的反射光线向量 $\vec{R}_{i}$ 。根据反射定律, 可以计算得出表征定日镜姿态的方向量 $\vec{n}_{i}$ 。以 4 月 21 日上午 9:00 为例, 定日镜姿态的部分求解结果如表2所示, 全部数据详见支撑材料 (文件十-工作表 1,2)。 + +表 2: 4 月 21 日上午 9:00 部分定日镜姿态求解结果 + +
i123...1745
Ri(-0.81,-0.08,0.57)(-0.79,-0.17,0.57)(-0.77,-0.26,0.57)...(-0.97,0.02,0.21)
ni(-0.09,-0.28,0.95)(-0.07,-0.34,0.93)(-0.06,-0.40,0.91)...(-0.29,-0.26,0.91)
+ +# Step3: 大气透射率与余弦效率求解 + +将附件中定日镜坐标代入至式 (12), 可以得到 $d_{HR, i}$ , 将其带入式 (27) 后, 可以完成大气透射率求解。将 Step2 得到的 $\vec{R}_{i}$ 和 $\vec{n}_{i}$ 带入式 (14), 可以完成余弦效率的求解。以 4 月 21 日上午 9:00 为例, 部分求解结果如表3所示, 全部数据详见支撑材料 (文件十-工作表 3.4)。 + +表 3:4 月 21 日上午 9:00 部分大气透射率与余弦效率求解结果 + +
i12345...1745
ηat0.9780340.9780340.9780340.9780340.978034...0.954921
ηcos,i0.6497710.6629670.6780850.6948270.712887...0.481605
+ +# Step4: 集热器截断效率与阴影遮挡效率求解 + +根据上文确定的计算方案，将附件中定日镜坐标等参数输入程序中，可以完成集热器截断效率与阴影遮挡效率的求解。以12月21日上午9:00为例，坐标 $P_{l} = (96.746, 73.282)$ 的定日镜镜面上点(2,2)发出的光束集热器截断效率求解示意图如图8左侧所示。 + +![](images/786fa770ab0f59bcc17705cfadd6353d50d142e1f80f7734f0519e84d043a19f.jpg) +图8：集热器截断效率求解图(左图)与阴影遮挡效率求解图(右图) + +![](images/3a6a0d63a234198465108c9e7877a5cf454c77ec78dc70018b6bc224e2d22c52.jpg) + +在同一时间内，该定日镜阴影遮挡效率求解图如图8右侧所示，全部数据详见支撑材料(文件十-工作表5,6)。 + +# 5.5 问题一求解结果 + +每月21日平均光学效率及输出功率部分结果如表4所示，具体求解结果见附录二。 + +表 4: 问题 1 每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期光学效率余弦效率阴影遮挡效率截断效率单位面积输出热功率
1月21日0.56490.71990.91010.98710.4927kW/m2
2月21日0.59460.74040.92890.98270.5606 kW/m2
3月21日0.61340.76110.93290.9790.6102 kW/m2
..................
12月21日0.54740.71110.89560.98840.4559kW/m2
+ +![](images/234b141e9d6dfee97473d6188befa16abe77a1bef96a33256562ce104c09fff4.jpg) +将上述求解结果进行可视化展现如图9所示 + +![](images/9adc3e208d729cc7f61cd2a3f686663b92abf1e485a1f3e1e819b5851095815b.jpg) +图9: 问题一每月21日平均光学效率折线图(左图)与输出功率折线图(右图) + +根据图9，我们可以得出如下结论： + +- 定日镜在夏季的输出功率大于冬季。从1月至12月，定日镜的输出功率先增大，后减小，并在6月取得最大值。上述情况产生的原因可能是夏季太阳直射点位于北半球，辐射至定日镜场的太阳辐射能比冬季多。 +- 平均余弦效率、平均光学效率具有季节性, 平均阴影遮挡效率、平均阶段效率与日期关系较小。从平均光学效率折线图可以看出, 在一年的不同时间内 $\eta_{\mathrm{cos}}$ 和 $\eta$ 变化幅度接近 $0.1\%$ , 且均在夏季达到最大值。 $\eta_{\mathrm{sb}}$ 和 $\eta_{\mathrm{trunc}}$ 的变化不大。 + +年平均光学效率及输出功率计算结果如表5所示，均为“年均计算结果”。 + +表 5: 问题一年平均光学效率及输出功率表 (均为年均指标) + +
光学效率余弦效率阴影遮挡效率截断效率输出热功率定日镜输出热功率
0.6051500.7564650.9254640.98077436.994507MW0.588896kW/m2
+ +# 六、问题二模型的建立与求解 + +问题二是问题一的反问题，要求我们确定定日镜坐标数目、位置等参数，在达到吸收塔额定功率的前提下实现定日镜单位面积平均输出功率最大化的目标。问题二的关键是确定定日镜场中定日镜的数量和位置。 + +首先，本文通过制定“吸收塔选址策略”寻找最优的集热器中心位置，通过制定“分区域同心圆规划策略”确定定日镜的数量和各定日镜的排布位置。然后，以定日镜单位面积平均输出热功率最大化为目标，建立定日镜平均输出热功率优化模型。最后，通过变步长的遍历法搜索得出最优的定日镜场参数。 + +# 6.1 吸收塔选址策略 + +问题给出的“年均”时间点共5个，分别为当地时间正午12:00及前后一个半小时与三个小时，时间分布以12:00为中心对称。 + +圆形定日镜场的建设选址位于北半球，根据文献[7]，当地时间正午12:00时太阳位于正南方向。 + +为了提高定日镜平均输出热功率，需要使每一面定日镜尽可能多地接收到太阳光。以春分日全天内平均光学效率为例，从光学效率云图[8](图10)，明显可见最大光学效率区域位于正北方向。 + +![](images/d081277a0e28e66d651820e0f916379bd40889c19b9ee2fd7c13a06ab90670d0.jpg) +图10: 春分日平均光学效率分布云图 + +因此，应将更多的定日镜布置在正北方向。为了使定日镜反射的太阳光尽可能多的指向集热器中心，本文制定了吸收塔选址策略：吸收塔应建设在正南方向上，且位于定日镜场所在的圆形区域内。 + +根据所制定的吸收塔选址策略, 吸收塔只能在镜场坐标系中 $\mathrm{Y}$ 轴的负方向上 $[0,-350]$ 区间内建设。设吸收塔与圆形定日镜场圆心的距离为 $L_{0}$ , 此时集热器中心的坐标为 $I(0,-L_{0},h_{0})$ 。 + +# 6.2 分区域同心圆规划策略 + +本文制定分区域同心圆规划策略来规划定日镜的位置，以达到定日镜输出平均功率最大化的目标。 + +分区域同心圆规划策略为：以吸收塔中心为圆心绘制同心圆，将定日镜场划分为多个不同的区域，每个区域内划分为多层，定日镜底座安装在同心圆上。在每个区域内采取不同的定日镜部署策略，使得每一层的定日镜均匀排布。 + +通过本文所制定的同心圆规划策略，在给定 $W_{a} 、 W_{b} 、 h_{0} 、 h_{i}$ 和 $L_{0}$ 的前提下，可以唯一确定定日镜场中定日镜的总数和各定日镜的坐标。区域划分示意图如图11所示，下文将具体解释每一个区域的定日镜部署策略。 + +![](images/d6220a3ccbb44030df7ccfb666d9021a753361d9dc61ffe195519e2d9fdeeea9.jpg) +图11：区域划分示意图 + +# 6.2.1 第1个区域定日镜部署策略 + +对于相邻的定日镜，问题要求它们底座中心间的距离至少比镜面宽度长 $5\mathrm{m}$ 以上。因此，本文引入“特征直径”的概念，定日镜“特征直径”内禁止布置其他定日镜。根据约束条件，“特征直径” $\Delta D$ 为 + +$$ +\Delta D = W _ {a} + 5 \tag {33} +$$ + +其中， $W_{a}$ 是定日镜的镜面宽度。 + +在第一个区域，定日镜的排布原则为：同一层的定日镜应尽可能地紧密排列，即第一个区域内每一层中以“特征直径”为直径的圆在始终保持相切。此时，第一个区域内第j层布置的定日镜总数 $N_{1,j}$ 为 + +$$ +N _ {i, j} = \left[ \frac {2 \pi R _ {1 , j}}{\Delta D} \right] \tag {34} +$$ + +其中， $N_{i,j}$ 表示第 $i$ 个区域第 $j$ 层布置的定日镜总数； $R_{i,j}$ 表示第 $i$ 个区域第 $j$ 层同心圆的半径；中括号表示向下取整。 + +在第一个区域内，由于定日镜之间以相切的形式紧密排列，因此每一层之间的距离相同，为定日镜的特征直径 $\Delta D$ 。记第 $i$ 个区域第 $j$ 层与第 $(j + 1)$ 层之间的间距为 $\Delta R_{i,j}$ ，则 $\Delta R_{1,j}$ 为 + +$$ +\Delta R _ {1, j} = \Delta D \tag {35} +$$ + +当定日镜与吸收塔的距离超过一定的阈值后，即在第1个区域第 $\phi$ 层以外的区域时，定日镜的紧密排列会导致阴影遮挡损失激增，从而影响顶替镜场的输出热功率。因此，将第1个区域第 $\phi$ 层以外的区域划分为其他区域，并重新制定定日镜的排布原则。 + +# 6.2.2 第2个区域至第 $\mathbf{n}$ 个区域定日镜部署策略 + +本文引入“周向间距 $\Delta A_{i,j}$ ”来描述每一层定日镜的分布情况。 $\Delta A_{i,j}$ 表示第 $i$ 个区域第 $j$ 层相邻两面定日镜底座之间的间距。 + +在第二个至第 $\mathbf{n}$ 个区域，定日镜的排布原则为：在同一个区域内，每一层布置的定日镜数量相同，不同层之间定日镜交错排列；不同区域间第一层的周向间距相等；通过“周向间距极限因子 $A_{r}$ ”确定每一个区域内的层数。 + +根据文献[8]，周向间距为“特征直径”和“方位间距”中较大的值。根据定日镜的排布原则，不同区域间第一层的周向间距相等。因此，得到各区域第1层的周向间距 $\Delta A_{i,1}$ 的表达式 + +$$ +\Delta A _ {2, 1} = \Delta A _ {3, 1} = \dots = \Delta A _ {z, 1} = \max \left\{A _ {s f} \cdot W _ {a}, \Delta D \right\} \tag {36} +$$ + +其中，我们将圆形定日镜场划分为共 $z$ 个区域； $A_{sf}$ 为方位间距因子，为常数。 + +记第 $i$ 个区域第 $j$ 层相邻定日镜与同心圆圆心构成的夹角为 $\Delta \alpha_{i,j}$ 。由定日镜的排布原则，在同一区域内，每一层部署均匀排列的定日镜总数相同，因此 $\Delta \alpha_{i,j}$ 相同。根据几何关系，可以计算出 $\Delta A_{i,j}$ + +$$ +\Delta A _ {i, j} = 2 R _ {i, j} \sin \left(\frac {\Delta \alpha_ {i , j}}{2}\right) \tag {37} +$$ + +在同一个区域中，分布在两层之间的定日镜需要满足“底座中心间的距离至少比镜面宽度长 $5\mathrm{m}$ 以上”的约束条件，即以底座中心为圆心、以“特征直径”为直径的圆不能相交(如图12所示)。 + +![](images/c10bddefe08c6cd3164507943feb45973bb9f4fdd26fd21d6e3e987119847235.jpg) +图12: 分布在两层之间的定日镜约束示意图 + +如图12，两层之间的距离 $\Delta R_{i,j}$ 需要满足如下条件： + +$$ +\Delta R _ {i, j} \geq \sqrt {(\Delta D) ^ {2} - \left(\frac {\Delta A _ {i , j}}{2}\right) ^ {2}} \quad (j \neq m) \tag {38} +$$ + +当某一区域的层数过多时，由于外层定日镜数量较少，会导致太阳辐射能采集缺失的情况。本文通过“周向间距极限因子 $A_{r}$ ”确定每一个区域内的层数 + +$$ +A _ {r} = \frac {\Delta A _ {2 , m _ {2}}}{\Delta A _ {2 , 1}} = \frac {\Delta A _ {3 , m _ {3}}}{\Delta A _ {3 , 1}} = \dots = \frac {\Delta A _ {z , m _ {z}}}{\Delta A _ {z , 1}} \tag {39} +$$ + +其中，本文将定日镜场划分为共 $z$ 个区域；第 $i$ 个区域共有 $m_{i}$ 层； $A_{r}$ 为某一常数。 + +设置区域与区域之间的间隙为定日镜的特征直径 $\Delta D$ : + +$$ +\Delta R _ {i, m} = \Delta D \tag {40} +$$ + +基于上述同心圆规划策略，在给定 $W_{a}$ 、 $W_{b}$ 、 $h_0$ 、 $h_i$ 和 $L_{0}$ 的前提下，可以唯一确定定日镜场中定日镜的总数和各定日镜的坐标。 + +# 6.3 定日镜平均输出热功率优化模型的建立 + +本文建立了定日镜平均输出热功率优化模型，在定日镜底座中心距离限制等约束条件下，确定定日镜场参数，使定日镜场的额定功率达到60MW，并实现定日镜单位面积平均输出功率最大化的目标。 + +# - 决策变量 + +定日镜场中定日镜镜面宽度 $W_{a}$ 、镜面高度 $W_{b}$ 、安装高度 $h_{i}$ 和吸收塔与定日镜场圆心的距离 $L_{0}$ 的改变，会导致定日镜场的额定功率和每一面定日镜的平均输出热功率发生改变。因此，决策变量为 $W_{a} 、 W_{b} 、 h_{i}$ 和 $L_{0}$ 。 + +# - 目标函数 + +问题的优化目标为单位镜面面积年平均输出热功率最大化。因此，目标函数为： + +$$ +\max \frac {\frac {1}{6 0} \sum_ {D = 1} ^ {6 0} \left(D N I _ {D} \sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i} \eta_ {i}\right)}{\sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i}} \tag {41} +$$ + +其中, 本题中所有“年均”指标的计算时间为当地时间每月 21 日的 5 个特殊时刻, 因此共需要考虑 60 个不同当地时间对应的定日镜输出热功率; 第 $D$ 个当地时间定日镜场的输出热功率 $E_{\text {field} - D} = \left(D N I_{D} \sum_{i=1}^{N} A_{i} \eta_{i}\right)$ ; $\sum_{i=1}^{N} A_{i}$ 表示定日镜场内所有定日镜的采光面积之和, $A_{i} = W_{a} W_{b}$ 。 + +- 约束条件 + +1. 定日镜尺寸约束：定日镜镜面宽度 $W_{a}$ 不小于镜面高度 $W_{b}$ ，即 + +$$ +W _ {a} \geq W _ {b} \tag {42} +$$ + +2. 镜面宽度与镜面高度约束：定日镜镜面边长必须位于 $2 \mathrm{~m}$ 与 $8 \mathrm{~m}$ 之间，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} 2 \leq W _ {a} \leq 8 \\ 2 \leq W _ {b} \leq 8 \end{array} \right. \tag {43} +$$ + +3. 安装高度约束：定日镜的安装高度必须位于 $2\mathrm{m}$ 与 $6\mathrm{m}$ 之间，即 + +$$ +2 \leq h _ {i} \leq 6 \tag {44} +$$ + +4. 吸收塔建设位置约束：吸收塔必须位于圆形定日镜场区域内。因此，吸收塔与定日镜场中心的距离 $L_{0}$ 必须小于圆形定日镜场的半径 + +$$ +0 \leq L _ {0} \leq 3 5 0 \tag {45} +$$ + +5. 相邻定日镜位置约束：问题要求相邻定日镜底座中心间的距离至少比镜面宽度长 $5\mathrm{m}$ 以上，即 + +$$ +L _ {i, j} - W _ {a} \geq 5 \quad i = 1, 2, \dots , N \quad j = 1, 2, \dots , N \quad i \neq j \tag {46} +$$ + +其中， $L_{i,j}$ 表示第 $i$ 面定日镜和第 $j$ 面定日镜底座中心之间的距离。 + +6. 定日镜位置约束：定日镜必须位于定日镜场范围之内，且与吸收塔的距离必须超过 $100\mathrm{m}$ 。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} X _ {i} ^ {2} + Y _ {i} ^ {2} \leq 3 5 0 ^ {2} \\ \left(X _ {i}\right) ^ {2} + \left(Y _ {i} + L _ {0}\right) ^ {2} \geq 1 0 0 ^ {2} \end{array} \right. \tag {47} +$$ + +其中，在镜场坐标系XYZ中，第 $i$ 面定日镜的坐标为 $P_{i}(X_{i},Y_{i},Z_{i})$ ；吸收塔的坐标为 $I(0,L_0,h_0)$ 。 + +7. 定日镜场额定功率约束：问题二要求定日镜场必须达到60MW的额定功率，有 + +$$ +\frac {1}{6 0} \sum_ {D = 1} ^ {6 0} \left(D N I _ {D} \sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i} \eta_ {i}\right) \geq 6 0 M W \tag {48} +$$ + +8. 定日镜场镜面高度约束：定日镜绕水平轴旋转时，镜面不能与地面接触，即安装高度需要大于水平轴以下的镜面高度 + +$$ +\frac {W _ {b}}{2} \leq h _ {i} \tag {49} +$$ + +综上，本文建立了定日镜平均输出热功率优化模型 + +$$ +m a x \frac {\frac {1}{6 0} \sum_ {D = 1} ^ {6 0} (D N I _ {D} \sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i} \eta_ {i})}{\sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i}} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} W _ {a} \geq W _ {b} \\ 2 \leq W _ {a} \leq 8 \\ 2 \leq W _ {b} \leq 8 \\ 2 \leq h _ {i} \leq 6 \\ 0 \leq L _ {0} \leq 3 5 0 \\ L _ {i, j} - W _ {a} \geq 5 \quad i = 1, 2, \dots , N \quad j = 1, 2, \dots , N \quad i \neq j \\ X _ {i} ^ {2} + Y _ {i} ^ {2} \leq 3 5 0 ^ {2} \quad (X _ {i}) ^ {2} + (Y _ {i} + L _ {0}) ^ {2} \geq 1 0 0 ^ {2} \\ \frac {1}{6 0} \sum_ {D = 1} ^ {6 0} \left(D N I _ {D} \sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i} \eta_ {i}\right) \geq 6 0 M W \\ \frac {W _ {b}}{2} \leq h _ {i} \end{array} \right. \tag {50} +$$ + +# 6.4 定日镜平均输出热功率优化模型的求解 + +本文采取变步长搜索法寻找最佳的定日镜场参数，在定日镜场额定功率达到60MW的前提下使得定日镜单位面积年平均输出热功率最大化。变步长搜索法寻找最佳定日镜场参数 $W_{a}$ 、 $W_{b}$ 、 $h_{0}$ 、 $h_{i}$ 和 $L_{0}$ 的流程图如图13所示 + +![](images/9c0897be90d10f7b0e9b756a27c6467d38e15ca8d92a618f21477530006149ef.jpg) +图13: 变步长搜索法寻找最佳定日镜场参数流程图 + +Step1：初步选取大步长。各定日镜参数初始搜索步长设置如表6所示 + +表 6: 各定日镜参数初始搜索步长 + +
步长ΔWaΔWbΔh1ΔL0
取值1m1m1m10m
+ +Step2：设置遍历范围，进行初次遍历。根据定日镜平均输出热功率优化模型的约束条件，得出定日镜场参数遍历范围，如表7所示。 + +表 7: 各定日镜参数初始遍历范围与初步遍历得到的初步范围 + +
参数WaWbhiL0
遍历范围/m[2,8][2,8][2,6][0,350]
初步范围/m[5,6][5,6][2,3][70,80]
+ +各参数在对应的遍历范围内，以对应的步长进行遍历，计算定日镜场的额定功率 $E_{field}$ 和定日镜年平均输出热功率。搜索得到满足约束条件的定日镜场参数的初步范围(如表7所示) + +Step3: 缩短搜索步长，在初步范围内进一步搜索最优的定日镜场参数。对于各定日镜场参数，将搜索步长缩短为原来的十分之一，并在初步范围内以小步长遍历 $W_{a}$ 、 $W_{b}$ 、 $h_{i}$ 和 $L_{0}$ 。 + +Step4: 遍历搜索结果。经过变步长遍历搜索后, 得到最优的定日镜场参数。此时定日镜场的额定功率为 $60.1189 \mathrm{MW}$ , 同时, 定日镜单位面积年平均输出功率取最大值, 为 $0.5871201 \mathrm{KW} / \mathrm{m}^{2}$ 。 + +最优的定日镜场参数如表8所示 + +表 8: 定日镜最优参数遍历搜索结果 + +
参数WaWbhiL0
最优取值/m5.55.52.7579
+ +# 6.5 问题二求解结果 + +将表8定日镜最优参数遍历结果带回模型，可求得所有定日镜的位置坐标，将结果可视化后得到图14，全部坐标结果详见附录一文件三 result2 + +![](images/98829b44333a3c60c0b6c82badb9cc6691c85bf904639897339e7a2a41638489.jpg) +图14:吸收塔及定日镜布局可视化 + +每月21日平均光学效率及输出功率部分结果如表9所示，具体求解结果见附录三。 + +表 9: 问题 2 每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期光学效率余弦效率阴影遮挡效率截断效率单位面积输出热功率
1月21日0.55960.78480.83850.98320.4889kW/m2
2月21日0.59680.79480.87710.98140.5632kW/m2
3月21日0.61750.80250.89470.97950.6143kW/m2
..................
12月21日0.53320.77990.80710.98380.4452kW/m2
+ +将上述求解结果进行可视化展现如图15所示 + +![](images/a04cba365de0253671e7181f717786fe0a49a0b510cc37400388feb696f3c92b.jpg) +图15: 问题二每月21日平均光学效率折线图(左图)与输出功率折线图(右图) + +![](images/426b75179ac1344b7d35d76957cfd16a7ecca4cd5a18aaaef20c77516bcc873f.jpg) + +将遍历得出的定日镜场参数代入至问题一所设计的计算方案中，可以得到年平均光学效率及输出功率的求解结果(如表10所示) + +表 10: 问题二年平均光学效率及输出功率表 (均为年均指标) + +
光学效率余弦效率阴影遮挡效率截断效率输出热功率定日镜输出热功率
0.6027730.7971860.8799100.98048760.118891MW0.587120kW/m2
+ +在问题二中，当定日镜输出功率取最大值时，定日镜场的参数如表11所示 + +表 11: 问题二定日镜场设计参数表 + +
吸收塔位置定日镜尺寸安装高度定日镜总面数定日镜总面积
(0,-79)5.5×5.52.753385102396.3m2
+ +# 6.6 结果分析 + +本文提出的分区域同心圆规划策略共有两部分，记第1个区域采用的策略为策略一、第2个区域至第n个区域采用的策略为策略二。考虑到不同的定日镜部署策略会对定日镜的部署结果和定日镜输出功率，我们对比部署策略一、部署策略二与将两者相结合的混合部署策略下定日镜场的光学效率，对结果进行分析。 + +不同部署效率下定日镜场光学效率折线图如图16所示 + +![](images/9b3bb303e76a3bb326e70f0b90fc74334b81942202f91e08d85087eb75c0b41b.jpg) +图16：不同部署效率下定日镜场光学效率折线图 + +从图16中可以看出，本问最终采用的混合部署策略有着更高的平均光学效率、余弦效率、截断效率及阴影遮挡效率，策略优势明显。 + +# 七、问题三模型的建立与求解 + +相较于问题二，在问题三中定日镜场参数的约束条件发生改变，定日镜尺寸和安装高度可以根据定日镜所处的位置而做出调整。首先，制定“定日镜规格分区域规划策略”，在每个区域内定日镜尺寸和安装高度相等。接着，根据文献，确定定日镜的宽高比。然后，建立改进定日镜平均输出热功率优化模型，并通过二分法和变步长搜索遍历法完成模型的求解。最后，进行结果分析。 + +# 7.1 定日镜规格分区域规划策略 + +根据分区域同心圆规划策略，通过绘制同心圆将圆形定日镜场划分为 $z$ 个区域。在每个区域内安装的定日镜与集热器中心的距离大致相等。 + +为了提高定日镜的平均输出热功率，本文根据定日镜所处位置特点制定“定日镜规格分区域规划策略”：在同一区域内，定日镜规格(镜面宽度、镜面高度、安装高度)相同；在不同的区域中，定日镜规格不同，根据区域与吸收塔之间的距离确定定日镜规格及建设位置。“定日镜规格分区域规划策略”示意图如图17所示 + +![](images/c77b619f9659349cc644dc28a0797f4ac8590e6bfd2bebe305f96b3eb1be1c80.jpg) +图17：“定日镜规格分区域规划策略”示意图[8] + +记第 $k$ 个区域内定日镜的镜面宽度为 $W_{a,k}$ , 镜面高度为 $W_{b,k}$ , 安装高度为 $h_{i,k}$ 。将其简记为“定日镜规格向量 $\vec{Q}_k$ : + +$$ +\vec {Q} _ {k} = \left(W _ {a, k}, W _ {b, k}, h _ {i, k}\right) \quad k \in [ 1, z ] +$$ + +根据文献[9]，当定日镜场内所有定日镜的镜面宽度与镜面高度高度之比为常数时，定日镜场的工作效率较高。最佳的定日镜宽高比的范围为[1,1.5]。在各区域中，本文取定日镜宽高比 $W_{a} / W_{b} = 1$ 。 + +同时，根据问题二所制定的同心圆规划策略，在给定 $\vec{Q}_k (k \in [1, z])$ 、 $h_0$ 和 $L_0$ 的前提下，可以唯一确定定日镜场中定日镜的总数和各定日镜的坐标。 + +# 7.2 改进定日镜平均输出热功率优化模型的建立 + +在定日镜尺寸、安装高度可以不同的条件下，本文建立了改进定日镜平均输出热功率优化模型。在定日镜底座中心距离限制等约束条件下，确定各区域中定日镜规格向量 $\vec{Q}_k(W_{a,k},W_{b,k},h_{2,k})$ 、数目 $N$ 等定日镜场参数，使定日镜场的额定功率达到60MW，并实现定日镜单位面积平均输出功率最大化的目标。 + +# - 决策变量 + +定日镜场中，吸收塔与定日镜场圆心的距离 $L_{0}$ 、不同区域内定日镜镜面宽度 $W_{a,k}$ 、镜面高度 $W_{b,k}$ 、安装高度 $h_{i,k}$ 的改变，会导致定日镜场的额定功率和每一面定日镜的平均输出热功率发生改变。因此，决策变量为 $\vec{Q}_{k}$ 和 $L_{0}$ 。 + +# - 目标函数 + +问题的优化目标为单位镜面面积年平均输出热功率最大化。因此，目标函数为： + +$$ +\max \frac {\frac {1}{6 0} \sum_ {D = 1} ^ {6 0} \left(D N I _ {D} \sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i} \eta_ {i}\right)}{\sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i}} \tag {51} +$$ + +# - 约束条件 + +相较于定日镜平均输出热功率优化模型的约束条件(式(42)至式(49))，发生改变的约束条件为： + +1. 定日镜尺寸约束：在每个区域内，定日镜镜面宽度 $W_{a,k}$ 均不小于镜面高度 $W_{b,k}$ ，即 + +$$ +W _ {a, k} \geq W _ {b, k} \tag {52} +$$ + +2. 镜面宽度与镜面高度约束：在每个区域内，定日镜镜面边长 $W_{a,k}$ 和 $W_{b,k}$ 均位于 $2\mathrm{m}$ 与 $8\mathrm{m}$ 之间，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} 2 \leq W _ {a, k} \leq 8 \\ 2 \leq W _ {b, k} \leq 8 \end{array} \right. \tag {53} +$$ + +3. 安装高度约束：定日镜的安装高度 $h_{i,k}$ 必须位于 $2 \mathrm{~m}$ 与 $6 \mathrm{~m}$ 之间，即 + +$$ +2 \leq h _ {i, k} \leq 6 \tag {54} +$$ + +综上，本文建立了改进定日镜平均输出热功率优化模型 + +$$ +\max \frac {\frac {1}{6 0} \sum_ {D = 1} ^ {6 0} (D N I _ {D} \sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i} \eta_ {i})}{\sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i}} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} W _ {a, k} \geq W _ {b, k} \\ 2 \leq W _ {a, k} \leq 8 \\ 2 \leq W _ {b, k} \leq 8 \\ 2 \leq h _ {i, k} \leq 6 \\ 0 \leq L _ {0} \leq 3 5 0 \\ L _ {i, j} - W _ {a} \geq 5 \quad i = 1, 2, \dots , N \quad j = 1, 2, \dots , N \quad i \neq j \\ X _ {i} ^ {2} + Y _ {i} ^ {2} \leq 3 5 0 ^ {2} \quad (X _ {i}) ^ {2} + (Y _ {i} + L _ {0}) ^ {2} \geq 1 0 0 ^ {2} \\ \frac {1}{6 0} \sum_ {D = 1} ^ {6 0} \left(D N I _ {D} \sum_ {i = 1} ^ {N} A _ {i} \eta_ {i}\right) \geq 6 0 M W \\ \frac {W _ {b}}{2} \leq h _ {i} \end{array} \right. \tag {55} +$$ + +# 7.3 改进定日镜平均输出热功率优化模型的求解 + +考虑到存在多个区域，若直接采用遍历法求解 $L_{0}$ 、 $W_{a,k}$ 和 $h_{i,k}$ ，存在计算量过大的问题。本文先通过二分法搜索 $L_{0}$ 的最佳取值，再通过变步长搜索法寻找 $W_{a,k}$ 和 $h_{i,k}$ 的最佳取值。结合二分法和变步长搜索法寻找最佳的定日镜场参数流程图如图18所示 + +![](images/abbc9ea1a8211a717eef5a6a73964ab15c88da323ba488f7b8f377b9fde72abe.jpg) +图18: 问题三算法求解流程图 + +Step1: 设置各定日镜场参数的遍历范围。根据改进定日镜平均输出热功率优化模型的约束条件，设置参数的遍历范围： $L_0 \in [0,350]$ 、 $W_{a,k} \in [2,8]$ 、 $h_{i,k} \in [2,6]$ 。 + +Step2：二分法搜索 $L_{0}$ 的最佳取值。利用二分法，从 $L_{0} = 175$ 开始，迭代 $n_0$ 次搜索 $L_{0}$ 的最佳取值。在每一次迭代中，选取大步长 $\Delta W_{a,k} = 1m$ 、 $\Delta h_{i,k} = 1m$ ，在遍历范围内寻找定日镜平均输出热功率的最大值。 + +Step3: 搜索 $W_{a,k}$ 和 $h_{i,k}$ 满足约束条件的初步范围。利用二分法迭代 $n_0$ 次后，得出 $L_0$ 的最佳取值。此时，以大步长 $\Delta W_{a,k}$ 和 $\Delta h_{i,k}$ 进行初次遍历，得到 $W_{a,k}$ 和 $h_{i,k}$ 满足约束条件的初步范围。 + +Step4: 缩短搜索步长，在初步范围内进一步搜索最优的定日镜场参数。缩短步长为原来的十分之一，即 $\Delta W_{a,k} = 0.1m$ 、 $\Delta h_{i,k} = 0.1m$ 。在初步范围内以小步长遍历 $W_{a,k}$ 和 $h_{i,k}$ ，直至搜索结果达到所要求的精度范围。 + +Step5: 遍历搜索结果。经过变步长遍历搜索后, 得到最优的定日镜场参数。此时, 定日镜场的额定功率为 $61.8593 \mathrm{~KW}$ , 同时, 定日镜单位面积年平均输出功率取最大值,为 $0.530652269 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}$ 。根据上文, 定日镜镜面宽度与镜面高度高度之比为常数 1 。通过 $W_{a, k}$ 可以求出 $W_{b, k}$ 。问题三求解结果如表 12 所示 + +表 12: 定日镜最优参数遍历搜索结果 + +
参数WaWbhiL0
最优取值/m6.46.43.279
+ +# 7.4 问题三求解结果 + +每月21日平均光学效率及输出功率部分结果如表13所示，具体求解结果见附录四。 + +表 13: 问题 3 每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期光学效率余弦效率阴影遮挡效率截断效率单位面积输出热功率
1月21日0.51330.78360.79420.95990.4485
2月21日0.54790.79320.83270.95570.5171
3月21日0.56490.80040.84780.95130.562
..................
12月21日0.46940.77530.73980.96140.3919
+ +![](images/860f7e6e9793b7ca4dab4e840cc4583c48a9d5ff3c4a5dffc95ae9f09a5814a9.jpg) +图19:问题二每月21日平均光学效率折线图(左图)与输出功率折线图(右图) + +![](images/80e2862051b01aa565a4ccf2873a7b93d272ac6d667d005cbd447e60f650b800.jpg) + +将上述求解结果进行可视化展现如图19所示 + +将遍历得出的定日镜场参数代入至问题一所设计的计算方案中，可以得到年平均光学效率及输出功率的求解结果(如表14所示) + +表 14: 问题三年平均光学效率及输出功率表 (均为年均指标) + +
光学效率余弦效率阴影遮挡效率截断效率输出热功率定日镜输出热功率
0.5445650.7936410.8245620.95378261.859281MW0.530652kW/m2
+ +在问题三中，当定日镜输出功率取最大值时，定日镜场的参数如表15所示 + +表 15: 问题三定日镜场设计参数表 + +
吸收塔位置定日镜尺寸安装高度总面数总面积
(0,-79)6.4×6.4共7种2846116572.2m²
+ +其中，定日镜安装高度共有7种，分别为 $3.2\mathrm{m}, 3.3\mathrm{m}, 3.4\mathrm{m}, 3.5\mathrm{m}, 3.6\mathrm{m}, 3.7\mathrm{m}, 3.8\mathrm{m}$ 。 + +# 八、灵敏度分析 + +# 8.1 模型对集热器尺寸的灵敏性 + +在上文中，集热器尺寸是定值，为高 $8\mathrm{m}$ 、直径 $7\mathrm{m}$ 的圆柱体。考虑到实际光热电站中集热器尺寸存在多种常见规格，为探究集热器规格的改变对定日镜场的平均光学效率的影响程度，我们使集热器的高和底面直径在[4,10]与[4,12]范围内，各以 $1\mathrm{m}$ 为步长进行正负变化，并计算相应的平均光学效率的改变量。 + +定日镜场年平均光学效率随集热器的高和底面直径的变化曲线图如图20所示。 + +![](images/b5ff1746505c50d8fdf1b8eec5a0f5f5a78b05453494038ae58aeb52c30d78c7.jpg) +图20：定日镜场年平均光学效率随集热器的高和底面直径的变化曲线图 + +从图20中可以看到，改变集热器高度、直径，定日镜场的年平均光学效率的改变量在 $-13.9\% \sim 0.51\%$ 、 $-7.7\% \sim 2.3\%$ 之间。当集热器高度、直径增大时，年平均光学效率快速增加至一定值后几乎不变；当集热器高度、直径减小时，年平均光学效率显著降低。可见年平均光学效率对集热器尺寸较敏感。 + +# 8.2 模型对吸收塔高度的灵敏性 + +在上文中，吸收塔高度为 $80\mathrm{m}$ 。考虑到实际塔式发电站的塔高各有不同，为探究吸收塔高度的改变对定日镜场的平均光学效率的影响程度，我们使吸收塔高度在[50,110]范围，以 $5\mathrm{m}$ 为步长进行调整，并计算各种光学效率及年平均输出热功率的取值。 + +各种年平均光学效率、定日镜场年平均输出热功率随吸收塔高度的变化曲线图如图21所示。 + +![](images/6385983c61532c8ac50eba031a0c585a149de0484d812094714d8700cc90f87e.jpg) +图21: 各种年平均光学效率随吸收塔高度的变化曲线图(左图)和定日镜场年平均输出热功率随吸收塔高度的变化曲线图(右图) + +![](images/0908f3a834663424b295cacd9daa539b69ef9e94dc1b93cb23c849e635d791d8.jpg) + +从图21中可以看到，随着塔高的增加，各光学效率及年平均输出热功率总体均呈现上升趋势，各光学效率中余弦效率最为明显，增幅超过 $11.2\%$ 。各种光学效率对吸收塔高度的敏感性各不相同，敏感程度由大到小依次是余弦效率、集热器截断效率、阴影遮挡效率、大气透射率。 + +# 九、模型的评价与推广 + +# 9.1 模型的优点 + +1. 对镜场中每面定日镜上的 40 余万根光线追踪，求解出的光学效率精确度高，效果理想。 +2. 模型中考虑了集热器影子对定日镜的遮挡作用，对阴影遮挡效率与平均输出热功率的求解更加符合实际物理情景。 +3. 对于 $W_{a} 、 W_{b} 、 h_{i}$ 等所求参数采用变步长枚举法先大范围寻找，在小范围遍历精确确定，可较快且精准地找到优质解 + +# 9.2 模型的缺点 + +1. 由于采取离散化的方式对光学效率值进行求解，模型始终存在一定误差。 +2. 模型空间复杂度较高，问题3的求解时间较长 + +# 9.3 模型的推广 + +1. 改变圆形定日镜场区域半径或定日镜场区域形状进行求解。 +2. 将镜场土地利用率作为衡量定日镜排布及参数优化的标准之一。 + +# 十、参考文献 + +[1] 代波涛, 邵琦, 郭德军. 太阳能热发电定日镜旋转角度算法研究 [J]. 汽轮机技术, 2020, 62(02):99-100+103. +[2] 谢飞. 塔式太阳能热电系统定日镜场光学仿真与应用研究 [D]. 浙江大学, 2013. +[3] 郭苏, 刘德有. 考虑接收塔阴影的定日镜有效利用率计算 [J]. 太阳能学报, 2007(11):1182-1187. +[4] 张平, 奚正稳, 华文瀚等. 太阳能塔式光热镜场光学效率计算方法 [J]. 技术与市场, 2021, 28(06):5-8. +[5]O. Farges, J.J. Bezian, M. El Hafi, Global optimization of solar power tower systems using a Monte Carlo algorithm: Application to a redesign of the PS10 solar thermal power plant [J], Renewable Energy, 2018, 119:345-353. +[6] 魏秀东, 王瑞庭, 张红鑫等. 太阳能塔式热发电聚光场的光学性能分析 [J]. 光子学报, 2008(11):2279-2283. +[7] 贺晓雷, 于贺军, 李建英等. 太阳方位角的公式求解及其应用 [J]. 太阳能学报, 2008(01):69-73. +[8] 程小龙. 基于光学效率的塔式电站镜场布局优化设计研究 [D]. 合肥工业大学, 2018. +[9] 刘建兴. 塔式光热电站光学效率建模仿真及定日镜场优化布置 [D]. 兰州交通大学,2022. + +# 附录 + +# 附录一 支撑文件列表 + +文件一 工作簿：第一问表格1—表格2.xlsx + +文件二 工作簿：第二问表格1—表格3.xlsx + +文件三 工作簿：result2.xlsx + +文件四 工作簿：第三问表格1—表格3.xlsx + +文件五 工作簿：result3.xlsx + +文件六 程序一（第一问）MATLAB代码文件：FirQues.m + +文件七 程序二（第二问）MATLAB 代码文件：SecQues.m + +文件八 程序三（第三问）MATLAB 代码文件：ThiQues.m + +文件九 题目附件.xlsx导入数据文件：1.mat + +文件十 工作簿：第一问部分中间过程数据.xlsx + +工作表 1: 法向量坐标 + +工作表 2: 定日镜反射向量坐标 + +工作表3：大气投射率 + +工作表4：余弦效率 + +工作表 5：阴影坐标（入射光被遮挡） + +工作表 6: 挡光坐标 (出射光被遮挡) + +# 附录二 问题一求解答案（表1—表2） + +# 附录三 问题二求解答案（表1—表3） + +# 附录四 问题三求解答案（表1—表3） + +# 附录五 文中公式推导 + +# 附录六 程序代码 + +程序一 问题一代码（FirQues.m） + +程序二 问题二代码（SecQues.m） + +程序三 问题三代码（ThiQues.m） + +
表1 问题一每月12日平均光学效率及输出功率
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(千瓦/平方米)
21/01/20230.5649367440.7199357630.9100976800.9871104310.492711978
21/02/20230.5945556760.7404403520.9288521360.9827297700.560628937
21/03/20230.6134438030.7611400140.9328631040.9789789190.610199766
21/04/20230.6290679470.7793399670.9337841990.9765636370.647406940
21/05/20230.6384097130.7893169770.9342084920.9763849800.667061599
21/06/20230.6414856420.7923588140.9344092580.9765526760.673122851
21/07/20230.6383102790.7892118470.9342088310.9763818060.666858165
21/08/20230.6284178460.7786369440.9337317120.9766138730.645994688
21/09/20230.6123694960.7600919790.9325669760.9789413830.607757248
21/10/20230.5916722280.7378354050.9276367920.9833047090.553324249
21/11/20230.5617299320.7181956120.9075978440.9872827500.485842560
21/12/20230.5474028020.7110822820.8956060890.9884477200.455854579
+ +
表2 问题一年平均光学效率及输出功率表
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(兆瓦)单位面积镜面年平均输出热功率(千瓦/平方米)
0.6051501760.7564654960.9254635930.98077438836.9945072320.588896963
表1 问题二每月12日平均光学效率及输出功率
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(千瓦/平方米)
21/01/20230.5595987540.7847763910.8384744460.9831859180.488920128
21/02/20230.5967842960.7947585250.8770920240.9813738210.563183431
21/03/20230.6175050440.8024811410.8947454950.9794631700.614299039
21/04/20230.6281589080.8058214440.9030180210.9785842360.646499378
21/05/20230.6342283420.8047380790.9102512560.9787287470.662734791
21/06/20230.6363863440.8035301860.9137319050.9788469220.667813356
21/07/20230.6341670820.8047696650.9101587890.9787246920.662571856
21/08/20230.6278708470.8057905680.9027776960.9785978360.645459482
21/09/20230.6168284420.8021679380.8942536190.9795600740.612239761
21/10/20230.5934834170.7935980950.8740431310.9817186260.555539871
21/11/20230.5550961570.7838490330.8332945350.9832710120.481000177
21/12/20230.5331641060.7799451840.8070738550.9837843160.445179334
+ +
表2 问题二年平均光学效率及输出功率表
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(兆瓦)单位面积镜面年平均输出热功率(千瓦/平方米)
0.6027726450.7971855210.8799095640.98048661460.1188914550.587120050
+ +
表3 问题二设计参数表
吸收塔位置坐标定日镜尺寸(宽×高)定日镜安装高度(米)定日镜总面数定日镜总面积(平方米)
[0,-79]5.5×5.52.753385102396.3
+ +
表1 问题三每月12日平均光学效率及输出功率
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(千瓦/平方米)
21/01/20230.5132731410.7835992260.7941526700.9599160060.448475298
21/02/20230.5479008040.7932038920.8326930780.9556771830.517067515
21/03/20230.5649351200.8004331150.8477768800.9512962010.561961997
21/04/20230.5738997200.8031865470.8545094870.9494920470.590627990
21/05/20230.5780770850.8014854180.8591656710.9496172300.604032294
21/06/20230.5784702110.7996682530.8602844340.9499054220.607021266
21/07/20230.5733343280.8003601870.8535163390.9496892360.598997235
21/08/20230.5646896400.8009991380.8437008080.9496854940.580478314
21/09/20230.5511988420.797265080.8316033030.9517483640.547045319
21/10/20230.5287609440.7888327140.8105486650.9564540520.494924647
21/11/20230.4908450310.7793169220.7669592410.9605106520.425284486
21/12/20230.4693971530.7753365410.7398360860.9613876330.391910866
+ +
表2 问题三年平均光学效率及输出功率表
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(兆瓦)单位面积镜面年平均输出热功率(千瓦/平方米)
0.5445651680.7936405860.8245622220.95378162761.8592811890.530652269
+ +
表3 问题三设计参数表
吸收塔位置坐标定日镜尺寸(宽×高)定日镜安装高度(米)定日镜总面数定日镜总面积(平方米)
[0,-79]6.4×6.43.2,3.3,3.4,3.5,3.6,3.7,3.82846116572.2
+ +# 附录五 离散光线向量 $\vec{e}_{t,k,i}$ 推导过程 + +基于反射光线方向向量和定日镜法向量，本文利用向量间的关系得出每一条离散光线对应的向量 $\vec{e}_{t,k,i}$ ，向量的符号定义见图22。 + +![](images/4b84758c7dacdb5b08311dba122292233a763ba8eab2c3b233af2453d435929e.jpg) +图22：离散光线向量 $\vec{e}_{t,k,i}$ 计算示意图 + +设过锥形光线底面圆心的反射光线向量为 $\vec{R}_i$ ，截面三角形斜边向量为 $\vec{n}_{ti}$ 。根据几何关系， $\vec{R}_i$ 和 $\vec{n}_{ti}$ 的夹角 $\xi_i$ 的余弦值为： + +$$ +\cos \xi_ {i} = \frac {\left| \vec {R} _ {i} \right|}{\left| \vec {n} _ {t i} \right|} \tag {56} +$$ + +向量 $\vec{n}_{ti}$ 与定日镜法向量 $\vec{n}_i$ 方向相同，由此 $\vec{n}_{ti}$ 为 + +$$ +\vec {n} _ {t i} = \frac {\left| \vec {R} _ {i} \right|}{\cos \xi_ {i}} \cdot \vec {n} _ {i} \tag {57} +$$ + +向量加法遵循三角形法则，得到 $\vec{d}_{ki}$ 为 + +$$ +\vec {d} _ {k i} = \vec {n} _ {t i} - \vec {R} _ {i} \tag {58} +$$ + +由锥形光线离散化结果可知，光线 $r_{t,k,i}$ 对应的的锥形角为 $\theta_{t,k,i}$ 。当 $t = 1$ 时，根据几何关系， $\vec{d}_{1,k,i}$ 可以表示为 + +$$ +\vec {d} _ {1, k, i} = \frac {\vec {d} _ {k i}}{\left| \vec {d} _ {k i} \right|} \cdot \tan \theta_ {t, k, i} \tag {59} +$$ + +利用方位角 $\varepsilon_{t,k,i}$ ，可以通过 $\vec{d}_{1,k,i}$ 计算得出锥形光线底面上任意向量 $\vec{d}_{t,k,i}$ ： + +$$ +\cos \varepsilon_ {t, k, i} = \frac {\vec {d} _ {1 , k , i} \cdot \vec {d} _ {t , k , i}}{\left| \vec {d} _ {1 , k , i} \right| ^ {2}} \tag {60} +$$ + +通过上式得出 $\vec{d}_{t,k,i}$ 后，通过向量加法，可以得到任意一条离散光线向量 $\vec{e}_{t,k,i}$ + +$$ +\vec {e} _ {t, k, i} = \vec {R} _ {i} + \vec {d} _ {t, k, i} \tag {61} +$$ + +# 附录六 程序代码 + +# 程序一 问题一代码（FirQues.m） + +$\%$ 入射角 + +$\%$ 计算太阳赤纬角delta + +$\%$ 输入：D为以春分作为第0天起算的天数 + +$\% D = 31; \% 4$ 月21日对应的天数 + +$\% \%$ 输入D得到R + +$\% \mathrm{R} = \mathrm{Main}(\mathrm{D})$ + +D=[-59 -28 0 31 61 92 122 153 184 214 245 275]; + +R_total=[]; + +for $i = 2:1$ :size(D,1) + +R=Main(D(i)); + +R_total=[R_total;R]; + +end + +function R=Main(Day) + +D=Day; + +[ \text{STT} = [910.51213.515]; \%\text{当地时间,假设为15点} ] + +result $= []$ %日结果详细矩阵5*45个时间点4个参数R才是最终值 + +eta_ref=0.92;%镜面反射率 + +H=80;%吸收塔高度 + +$0\_ R = [0\ 0\ H]; \%$ 集热器中心坐标 + +定日镜选取根据与中心的距离进行排序 + +load 1.mat %经过排序后的定日镜坐标 data---1745*3 x,y,r + +$\mathrm{h} = 4;\%$ 定日镜安装高度 + +$\%$ 计算太阳赤纬角delta + +sin delta = sin(2*pi*D/365) * sin(2*pi/360 * 23.45); + +delta = asin(siniana); %得到赤纬角的弧度值 + +phi = deg2rad(39.4); % 北纬 39.4 度，转换为弧度 + +for XH_ST=1:size(STT,2) + +ST=STT(XH_ST); + +omega =pi/12*(ST-12); % 声明 omega 的值 + +$\%$ 计算 $\sin (\text{alpha\_s})$ + +sin_alpha_s = cos(theta) * cos(phi) * cos(omega) + sin(theta) * sin(phi); + +G_0=1.366; %太阳常数 + +Hh=3;%3km + +ha=0.4237 - 0.00821*(6 - Hh)^2;%大气压 + +hb=0.5055 + 0.00595*(6.5 - Hh)^2;%大气压 + +hc=0.2711 + 0.01858*(2.5 - Hh)^2;%大气压 + +[ \text{DNI} = \text{G\_}\theta^{*}(\text{ha} + \text{hb}^{*}\exp(-\text{hc}/\sin_{-}\text{alpha}_{-}\text{s})); \% \text{直接法辐照度} ] + +alpha_s = asin(sin_alpha_s); % 得到 alpha_s 的弧度值 + +$\%$ 根据公式计算 $\cos (\text{gamma\_s})$ + +cos_gamma_s = (sin(delta) - sin_alpha_s * sin(phi)) / (cos(alpha_s) * cos phi)); + +if cos_gamma_s > 1 + +cos_gamma_s = 1; + +```matlab +elseif cos_gamma_s<-1 + cos_gamma_s=-1; +end +gamma_s=acos(cos_gamma_s); % 得到 gamma_s 的弧度值 +x=cos(alpha_s)*sin(gamma_s); +y=cos(alpha_s)*cos(gamma_s); +z=sin(alpha_s); +S_i=[xyz];%太阳入射方向单位向量的相反 +Store=zeros(1745,4);%光学效率 阴影遮挡效率 余弦效率 截断效率 +E_field=0;%定日镜场的输出热功率 +for num=1:1;1745%num=1745;%定日镜编号 + O_A=[data(num,1) data(num,2) h];%定日镜中心坐标 + %计算集热器截断效率 eta_trunc + d_HR=sqrt((O_A(1)-O_R(1))^2+(O_A(2)-O_R(2))^2+(O_A(3)-O_R(3))^2);%定日镜镜面中心与集热器中心的距离 + eta_at=0.99321-0.0001176*d_HR+1.97e-8*(d_HR^2);%计算吸收塔的吸收率 + S_AR=(O_R-O_A)/norm(O_R-O_A);%定日镜中心到集热器中心的单位向量 %反射角 + %(计算法向量 + S_n=(S_i+S_AR)/norm(S_i+S_AR);%法向量单位向量 + %(计算方位角 Azimuth (θ) + A_H=atan2(S_n(1),S_n(2)); + %(计算俯仰角 Elevation (?)) + E_H=acos(S_n(3)); + %(计算矩阵乘积 + T=[-sin(E_H),-sin(A_H)*cos(E_H),cos(A_H)*cos(E_H);cos(E_H),-sin(A_H)*sin(E_H),cos(A_H)*sin(E_H); + 0,cos(A_H),sin(A_H)]; + M1=[1,0,0;0,cos(E_H),sin(E_H);0,-sin(E_H),cos(E_H)]; + M2=[cos(pi-A_H),sin(pi-A_H),0;-sin(pi-A_H),cos(pi-A_H),0;0,0,1]; + %(计算矩阵乘积 + T=M1*M2; %镜坐标系变为地坐标系的转换矩阵 + S_An=[0 0 1];%镜面A坐标系上的的法向量 + SSS=S_An*T; + tolerance=1e-10; + difference=abs(SSS-S_n); + if all(difference(:)>tolerance) + error('法向量转换错误'); + end + %(计算余弦效率 eta_cos + eta_cos = dot(S_i,S_n)/(norm(S_i)*norm(S_n));%计算入射向量相反和法向量之间的夹角的余弦值 +``` + +%如果在塔挡阴影范围内 eta_sb=0; + +%计算阴影遮挡效率 eta_sb + +%step1: 塔挡损失 定日镜镜面中心是否在阴影中,如果是 eta_sb=0 %i 是-S_i + +```matlab +[P_top_1_intersect,P_top_2_intersect,P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect] = shadow_range(-S_i, h);%i是-S_i +isInside = pointInRectangle(O_A(1), O_A(2), P_top_1_intersect, P_top_2_intersect, +P.Bot_1_intersect, P.Bot_2_intersect); +if isInside %在里面 +eta_sb=0; +eta_trunc=0; +Store(num,1)=0; +Store(num,2)=0; +Store(num,3)=eta_cos; +Store(num,4)=0; +disp(num); +else %不在里面 +W_a = 6; +W_b = 6; +dx = 0.1; +dy = 0.1; +R = 100; +X = -1/2 * W_a:dx:1/2 * W_a; +Y = -1/2 * W_b:dy:1/2 * W_b; +% Assuming S_i, S_AR, and T are defined elsewhere +T_inv = inv(T); +% 在指定的半径内寻找定日镜 +distances = sqrt((data(1:num-1, 1) - O_A(1)).^2 + (data(1:num-1, 2) - O_A(2)).^2); +validIndices = find(distances <= R); +% Main loops +valid_point_count = 0;%有效点 +valid_points = 0;%每个点的有效光线 +obstructed)mirrors = []; +for x = X + for y = Y + dot_A = [x, y, 0]; + dot_AG = dot_A * T + O_A; + is_valid = true; + for idx = validIndices' + O_B = [data(idx, 1), data(idx, 2), h]; + dot_B = (dot_AG - O_B)*T_inv; + S_iB = S_i*T_inv; + H2 = [(S_iB(3)*dot_B(1) - S_iB(1)*dot_B(3))/S_iB(3), (S_iB(3)*dot_B(2) - S_iB(2)*dot_B(3))/S_iB(3), 0]; + if ~(-1/2*W_a <= H2(1) && H2(1) <= 1/2*W_a && -1/2*W_b <= H2(2) && H2(2) <= 1/2*W_b)%不在该平面内为真 +``` + +```txt +S_ARB = S_AR*T_inv; +``` + +$<=1 / 2^{*}W_{-}b$ %在该平面内为真 +```txt +H1 = [(S_ARB(3)*dot_B(1) - S_ARB(1)*dot_B(3))/S_ARB(3), (S_ARB(3)*dot_B(2) - S_ARB(2)*dot_B(3))/S_ARB(3), 0]; if -1/2*W_a <= H1(1) && H1(1) <= 1/2*W_a && -1/2*W_b <= H1(2) && H1(2) +``` + +```matlab +obstructed_mirrors = [obstructed_mirrors; O_B, distances(idx)]; +is_valid = false; +break; +end +else%在该平面内为真 +obstructed_mirrors = [obstructed_mirrors; O_B, distances(idx)]; +is_valid = false; +break; +end +end +``` + +```txt +if is_valid + valid_point_count = valid_point_count + 1; +``` + +这个点是有效的计算集热器接收到的光 + +$\%$ 计算入射向量和法向量之间的夹角 + +```txt +cosTheta_i = dot(S_i, S_n) / (norm(S_i) * norm(S_n)); +``` + +```txt +S_nt = S_n / theta_i; +``` + +```txt +d_ki = S_nt - S_AR; +``` + +```txt +d_ki = d_ki / norm(d_ki); +``` + +```javascript +theta_range = linspace(-4.65e-3, 4.65e-3, 5); +``` + +% 循环 theta 值 +```txt +theta2_range = linspace(0, 2*pi, 12); +``` + +```python +for theta = theta_range + d_ki2 = tan(theta) * d_ki; +``` + +$\%$ 循环不同的theta2值 + +```txt +for theta2 = theta2_range +``` + +$\%$ d_tki = cos(theta2) * norm(d_ki). / d_ki; + +```javascript +RR = rotationMatrix(S_AR, -theta2); %顺时针 +``` + +```txt +d_tki = RR * d_ki2'; +``` + +```javascript +d_tki=d_tki'; +``` + +```txt +r = d_tki + S_AR; +``` + +$\%$ 解出 $t$ 的范围 判断 $r$ 是否与集热器相交 地系坐标 + +$a = r(1)^{\wedge}2 + r(2)^{\wedge}2;$ + +```javascript +b = 2 * (dot_AG(1) * r(1) + dot_AG(2) * r(2)); +``` + +$c = \mathrm{dot\_AG}(1)^{\wedge 2} + \mathrm{dot\_AG}(2)^{\wedge 2} - 49 / 4;$ + +discriminant $= \mathrm{b}^{\wedge}2 - 4^{*}\mathrm{a}^{*}\mathrm{c};$ + +if discriminant $\geq 0$ + +```javascript +t1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2*a); +``` + +```txt +t2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2*a); +``` + +$\%$ 使用 $\mathbf{t}$ 的范围得到 $\mathbf{z}$ 的范围 地系坐标 + +```javascript +z1 = dot_AG(3) + t1 * r(3); +``` + +```matlab +z2 = dot_AG(3) + t2 * r(3); +% 检查 z 的范围是否与(H-4,H+4]有交集 +z_min = min(z1, z2); +z_max = max(z1, z2); +if (z_min <= (H+4) && z_max > (H-4))%有交集 +valid_points = valid_points + 1; +end +end +end +end +end +end +end +end +end +eta_sb = valid_point_count / (length(X) * length(Y)); +Dot_Sum_light=length(theta_range)*length(theta2_range);%每个区域总光线数量 +eta_trunc=valid_points/(valid_point_count*Dot_Sum_light); +if eta_trunc<1 +disp(num); +disp(eta_trunc); +end +eta=eta_cos*eta_sb*eta_at*eta_trunc*eta_ref;%计算光学效率 eta +Store(num,1)=eta; +Store(num,2)=eta_sb; +Store(num,3)=eta_cos; +Store(num,4)=eta_trunc; +end +%计算定日镜场的输出热功率E_field +Ai=36; +E_field=E_field+Ai*Store(num,1);%E_field=E_field+Ai*eta; +end +E_field=E_field*DNI; +result=[result;mean Store) E_field/(num*W_a*W_b)]; +end +R=mean(result); +end +function [P_top_1_intersect,P_top_2_intersect,P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect] = shadow_range(i,h)%i是-S_i +``` + +$\%$ 参数： + +$\%$ i：入射向量，例如[1,1,1] + +$\% \mathrm{h}$ ：圆柱阴影所在的z坐标 + +$\%$ 入射向量规范化 + +$\mathrm{i} = \mathrm{i}$ /norm(i); + +$\%$ 圆柱参数 + +H = 80; % 吸收塔高度 + +$\mathrm{R} = 7 / 2$ %圆柱半径0_top $=$ [00 $(H + R)]$ ;%圆柱上底面中心坐标 $\%$ 计算与入射光i垂直的直径方向diameter_direction $=$ cross(i，[0,0,1]);diameter_direction $=$ diameter_direction/ norm(diameter_direction); $\%$ 单位化 $\%$ 上底面和下底面上与入射光垂直的直径的两个端点P_top_1 $=$ O_top $+\mathbb{R}^{*}$ diameter_direction;P_top_2 $=$ O_top - R \* diameter的方向；P.Bot_1 $=$ P_top_1-[0,0,2*R];P.Bot_2 $=$ P_top_2-[0,0,2*R]; $\%$ 计算在z=h时的交点t_top_1 $=$ (h-P_top_1(3))/i(3);P_top_1_intersect $=$ P_top_1+t_top_1*i;t_top_2 $=$ (h-P_top_2(3))/i(3);P_top_2_intersect $=$ P_top_2+t_top_2*i;t.Bot_1 $=$ (h-P.Bot_1(3))/i(3);P.Bot_1_intersect $=$ P.Bot_1+t.Bot_1*i;t.Bot_2 $=$ (h-P.Bot_2(3))/i(3);P.Bot_2_intersect $=$ P.Bot_2+t.Bot_2*i;endfunction isInside $=$ pointInRectangle(x,y,P_top_1_intersect,P_top_2_intersect,P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect)%定义矩形的顶点polygon $=$ [P_top_1_intersect;P_top_2_intersect;P.Bot_2_intersect;P.Bot_1_intersect;P_top_1_intersect]; $\%$ 计算交点数crossings $= 0$ for i $= 1$ :length polygon)-1if((polygon(i,2)>y)\~=(polygon(i+1,2)>y))&&...（x<（polygon(i+1,1)- polygon(i,1))*（y-polygon(i,2))/...（polygon(i+1,2)- polygon(i,2))+ polygon(i,1))crossings $=$ crossings+1;endend $\%$ 根据交点数判断点是否在矩形内if mod(crossings,2） $= = 1$ isInside $=$ true;elseisInside $=$ false;endendfunction RR $=$ rotationMatrix(axis,angle)c $=$ cos(angle);s $=$ sin(angle); + +$\begin{array}{l}t = 1 - c;\\ x = \text{axis}(1);\\ y = \text{axis}(2);\\ z = \text{axis}(3);\\ \text{RR} = [\\ t^{*}x^{*}x + c, t^{*}x^{*}y - s^{*}z, t^{*}x^{*}z + s^{*}y;\\ t^{*}x^{*}y + s^{*}z, t^{*}y^{*}y + c, t^{*}y^{*}z - s^{*}x;\\ t^{*}x^{*}z - s^{*}y, t^{*}y^{*}z + s^{*}x, t^{*}z^{*}z + c\\ ]; \end{array}$ +End + +程序二 问题二代码（SecQues.m） +global W_a; +global W_b; +global h2; +global h1; +global L0; + $\mathrm{WAAA} = 5.5:0.1:6.5$ $\mathrm{WBBB} = 5.5:0.1:6.5$ +R_year $\equiv$ []; +E_year $\equiv$ []; +for W_a=WAAA for W_b=WBBB if W_aWb continue; else h2_range=linspace(W_b/2,6,5); for h2=h2_range h1=80; L0_range=linspace(0,350,5); for L0=L0_range $\% \mathsf{L0} = 0$ . $\% \%$ 入射角 $\% \%$ 计算太阳赤纬角 delta $\%$ 输入：D为以春分作为第0天起算的天数 $\% D = 31;\% 4$ 月21日对应的天数 $\% \%$ 输入D得到R $\% \mathbb{R} = \mathbb{M}$ an(D); $D = [-59 - 280316192122153184214245275];$ R_total $\equiv$ []; EEEE_total $\equiv$ []; for i=1:1:size(D,1) disp(i); + +```txt +\[ \text{[R,IEEE] = Main(D(i);} \] +\[ \text{R_total = [R_total;R];} \] +\[ \text{IEEE_total = [IEEE_total;IEEE]} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{R_year = [R_year;mean(R_total)];} \] +\[ \text{E_year = [E_year;mean(IEEE_total) h2 L0];} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +\[ \text{end} \] +function [R,IEEE] = Main(Day) +\[ \text{global W_a;} \] +\[ \text{global W_b;} \] +\[ \text{global h2;} \] +\[ \text{global h1;} \] +\[ \text{global L0;} \] +\[ \text{EEE = [];} \] +\[ D = Day; \] +\[ STT = [9 10.5 12 13.5 15]; \% 当地时间,假设为15点 +result = []; \%日结果详细矩阵5*4 5个时间点4个参数R才是最终值 +eta_ref = 0.92; %镜面反射率 +0_R = [0 0 h1]; %集热器中心坐标 +%定日镜选取根据与中心的距离进行排序 +%计算data的程序 +data = data_func(); %经过排序后的定日镜坐标 data -- 1745*3 x,y,r +%计算太阳赤纬角delta +sinorama = sin(2*pi*D/365) * sin(2*pi/360 * 23.45); +delta = asin(sinorama); %得到赤纬角的弧度值 +phi = deg2rad(39.4); %北纬39.4度,转换为弧度 +for XH_ST=1:size(STT,2) +\[ ST = STT(XH_ST); \] +\[ omega = pi/12*(ST-12); \% 声明omega的值 +%计算sin(alpha_s) +sin_alpha_s = cos(alpha) * cos phi) * cos(omega) + sin(alpha) * sin phi); +G_0 = 1.366; %太阳常数 +Hh = 3;%3km +ha = 0.4237 - 0.00821*(6 - Hh)^2;%大气压 +hb = 0.5055 + 0.00595*(6.5 - Hh)^2;%大气压 +hc = 0.2711 + 0.01858*(2.5 - Hh)^2;%大气压 +DNI = G_0*(ha + hb*exp(-hc/sin_alpha_s)); %直接法辐照度 +alpha_s = asin(sin_alpha_s); %得到alpha_s的弧度值 +%根据公式计算cos(gamma_s) +cos_gamma_s = (sin(decla) - sin_alpha_s * sin phi)) / (cos(alpha_s) * cos phi)); +``` + +```matlab +if cos_gamma_s > 1 + cos_gamma_s = 1; +elseif cos_gamma_s < -1 + cos_gamma_s = -1; +end +gamma_s = acos(cos_gamma_s); % 得到 gamma_s 的弧度值 +x = cos(alpha_s)*sin(gamma_s); +y = cos(alpha_s)*cos(gamma_s); +z = sin(alpha_s); +S_i = [xyz];% 太阳入射方向单位向量的相反 +Store = zeros(size(data,1),4); %光学效率 阴影遮挡效率 余弦效率 截断效率 +E_field = 0; %定日镜场的输出热功率 +for num = 1:1: size(data,1)%定日镜编号 + disp(num); + O_A = [data(num,1) data(num,2) h2];%定日镜中心坐标 + %计算集热器截断效率 eta_trunc + d_HR = sqrt((O_A(1) - O_R(1))^2 + (O_A(2) - O_R(2))^2 + (O_A(3) - O_R(3))^2); %定日镜镜面中心与集 +热器中心的距离 + eta_at = 0.99321 - 0.0001176*d_HR + 1.97e-8 * (d_HR^2); % 计算吸收塔的吸收率 + S_AR = (O_R-O_A)/norm(O_R-O_A); %定日镜中心到集热器中心的单位向量 % 反射角 + % 计算法向量 + S_n = (S_i + S_AR)/norm(S_i + S_AR); %法向量单位向量 + % 计算方位角 Azimuth (θ) + A_H = atan2(S_n(1), S_n(2)); + % 计算俯仰角 Elevation (φ) + E_H = acos(S_n(3)); + % +T = [-sin(E_H), -sin(A_H)*cos(E_H), cos(A_H)*cos(E_H); cos(E_H), -sin(A_H)*sin(E_H), cos(A_H)*sin(E_H) +);0,cos(A_H),sin(A_H)]; + M1 = [1, 0, 0; 0, cos(E_H), sin(E_H); 0, -sin(E_H), cos(E_H)]; + M2 = [cos(pi-A_H), sin(pi-A_H), 0; -sin(pi-A_H), cos(pi-A_H), 0; 0, 0, 1]; + % 计算矩阵乘积 + T = M1 * M2; %镜坐标系变为地坐标系的转换矩阵 + S_An = [θ 0 1];%镜面A坐标系上的的法向量 + SSS = S_An*T; + tolerance = 1e-10; + difference = abs(SSS - S_n); + if all(difference(:) >tolerance) + error('法向量转换错误'); + end + % + %计算余弦效率 eta_cos +eta Cos = dot(S_i, S_n) / (norm(S_i) * norm(S_n)); % 计算入射向量相反和法向量之间的夹 +``` + +角的余弦值 + +```matlab +%%如果在塔挡阴影范围内 eta_sb=0; %计算阴影遮挡效率 eta_sb %step1: 塔挡损失 定日镜镜面中心是否在阴影中,如果是 eta_sb=0 %i是-S_i [P_top_1_intersect,P_top_2_intersect,P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect] = shadow_range(-S_i,h2);%i是-S_i isInside = pointInRectangle(O_A(1),O_A(2),P_top_1_intersect,P_top_2_intersect,P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect); if isInside %在里面 eta_sb=0; eta_trunc=0; Store(num,1)=0; Store(num,2)=0; Store(num,3)=eta_cos; Store(num,4)=0; else %不在里面 R = 100; X = linspace(-1/2 * W_a,1/2 * W_a,5); Y = linspace(-1/2 * W_b,1/2 *W_b,5); % Assuming S_i,S_AR,and T are defined elsewhere T_inv = inv(T); % 在指定的半径内寻找定日镜 distances = sqrt((data(1:num-1,1) - 0_A(1)).^2 + (data(1:num-1,2) - 0_A(2)).^2); validIndices = find(distances <= R); % Main loops valid_point_count = 0;%有效点 valid_points = 0;%每个点的有效光线 obstructed_mirrors = []; for x = X for y = Y dot_A = [x,y,0]; dot_AG = dot_A * T + O_A; is_valid = true; for idx = validIndices' O_B = [data(idx,1), data(idx,2), h2]; dot_B = (dot_AG - 0_B)*T_inv; S_iB = S_i*T_inv; H2 = [(S_iB(3)*dot_B(1) - S_iB(1)*dot_B(3))/S_iB(3), (S_iB(3)*dot_B(2) - S_iB(2)*dot_B(3))/S_iB(3), 0]; if ~(-1/2*W_a <= H2(1) && H2(1) <= 1/2*W_a && -1/2*W_b <= H2(2) && H2(2) <= 1/2*W_b)%不在该平面内为真 S_ARB = S_AR*T_inv; H1 = [(S_ARB(3)*dot_B(1) - S_ARB(1)*dot_B(3))/S_ARB(3), (S_ARB(3)*dot_B(2) - S_ARB(2)*dot_B(3))/S_ARB(3), 0]; +``` + +if $-1 / 2^{*}W_{-}a\leqslant H1(1)$ &&H1(1） $< = 1 / 2^{*}W_{-}a$ &&-1/2\*W_b $< =$ H1(2)&& + +H1(2) <= 1/2*W_b %在该平面内为真 + +```matlab +obstructed_mirrors = [obstructed_mirrors; 0_B, distances(idx)]; +is_valid = false; +break; +end +else%在该平面内为真 +obstructed_mirrors = [obstructed_mirrors; 0_B, distances(idx)]; +is_valid = false; +break; +end +end +if is_valid +valid_point_count = valid_point_count + 1; +%这个点是有效的计算集热器接收到的光 +%计算入射向量和法向量之间的夹角 +cosTheta_i = dot(S_i, S_n) / (norm(S_i) * norm(S_n)); +S_nt = S_n / cosTheta_i; +d_ki = S_nt - S_AR; +d_ki = d_ki / norm(d_ki); +theta_range = linspace(-4.65e-3,4.65e-3,5); +theta2_range = linspace(0,2*pi,12); +%循环theta值 +for theta = theta_range +d_ki2 = tan(theta) * d_ki; +%循环不同的theta2值 +for theta2 = theta2_range +RR = rotationMatrix(S_AR, -theta2); %顺时针 +d_tki = RR * d_ki2'; +d_tki=d_tki'; +r = d_tki + S_AR; +%解出t的范围判断r是否与集热器相交地系坐标 +a = r(1)^2 + r(2)^2; +b = 2 * (dot_AG(1) * r(1) + dot_AG(2) * r(2)); +c = dot_AG(1)^2 + dot_AG(2)^2 - 49/4; +discriminant = b^2 - 4*a*c; +if discriminant >= 0 +t1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2*a); +t2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2*a); +%使用t的范围得到z的范围 地系坐标 +z1 = dot_AG(3) + t1 * r(3); +z2 = dot_AG(3) + t2 * r(3); +%检查z的范围是否与(h1-4,h1+4]有交集 +``` + +```matlab +z_min = min(z1, z2); +z_max = max(z1, z2); +if (z_min <= (h1+4) && z_max > (h1-4))%有交集 +valid_points = valid_points + 1; +end +end +end +end +end +end +end +end +eta_sb = valid_point_count / (length(X) * length(Y)); +Dot_Sum_light = length(theta_range) * length(theta2_range); %每个区域总光线数量 +eta_trunc = valid_points / (valid_point_count * Dot_Sum_light); +eta = eta_cos*eta_sb*eta_at*eta_trunc*eta_ref; %计算光学效率 eta +Store(num,1) = eta; +Store(num,2) = eta_sb; +Store(num,3) = eta_cos; +Store(num,4) = eta_trunc; +end +%计算定日镜场的输出热功率 E_field +Ai = W_a * W_b; %定日镜镜面积 +E_field = E_field + Ai * Store(num,1); %E_field = E_field + Ai * eta; +if num == 2836 +disp(num); +end +end +E_field = E_field * DNI; +result = [result; mean(Store) E_field / (num * W_a * W_b)]; +end +R = mean(result); +EEEE = [W_a W_b R(5) * W_a * W_b * num]; +%检验 入射的相反与法向量的夹角 反射与法向量夹角 +% % 计算入射向量和法向量之间的夹角 +% cosTheta_i = dot(S_i, S_n) / (norm(S_i) * norm(S_n)); +% angle_i = acos(cosTheta_i); +% +% % 计算反射向量 +% S_r = S_AR; +% +% % 计算反射向量和法向量之间的夹角 +% cosTheta_r = dot(S_r, S_n) / (norm(S_r) * norm(S_n)); +% angle_r = acos(cosTheta_r); +``` + +$\% \%$ 转换夹角为度 + $\% \angle \mathrm{I}$ deg $=$ rad2deg(angle_i) + $\%$ angle_r_deg $=$ rad2deg(angle_r) +end +function[P_top_1_intersect,P_top_2_intersect,P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect] $=$ shadow_range(i,h2)%i是-S_i + $\%$ 参数： + $\% \mathrm{i}$ ：入射向量，例如[1,1,1] + $\% \mathrm{h2}$ ：圆柱阴影所在的z坐标 + $\%$ 入射向量规范化 + $\mathrm{i} = \mathrm{i} / \mathrm{norm}(\mathrm{i})$ $\%$ 圆柱参数 +global h1; + $R = 7 / 2$ ： $\%$ 圆柱半径 +O_top=[00(h1+R)]; $\%$ 圆柱上底面中心坐标 + $\%$ 计算与入射光i垂直的直径方向 +diameter_direction $=$ cross(i,[0,0,1]); +diameter_direction $=$ diameter_direction/ norm(diameter_direction); $\%$ 单位化 + $\%$ 上底面和下底面上与入射光垂直的直径的两个端点 +P_top_1=O_top+R\* diameter_direction; +P_top_2=O_top-R\* diameter的方向； +P.Bot_1=P_top_1- [0,0,2*R]; +P.Bot_2=P_top_2-[0,0,2*R]; + $\%$ 计算在z=h时的交点 +t_top_1=(h2-P_top_1(3))/i(3); +P_top_1_intersect=P_top_1+t_top_1*i; +t_top_2=(h2-P_top_2(3))/i(3); +P_top_2_intersect=P_top_2+t_top_2*i; +t.Bot_1=(h2-P.Bot_1(3))/i(3); +P.Bot_1_intersect=P.Bot_1+t.Bot_1*i; +t.Bot_2=(h2-P.Bot_2(3))/i(3); +P.Bot_2_intersect=P.Bot_2+t.Bot_2*i; +end +function isInside $=$ pointInRectangle(x,y,P_top_1_intersect,P_top_2_intersect, P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect) + $\%$ 定义矩形的顶点 +polygon $=$ [P_top_1_intersect;P_top_2_intersect;P.Bot_2_intersect;P.Bot_1_intersect;P_top_1_intersect]; + $\%$ 计算交点数 +crossings $= 0$ ： +for i $= 1$ :length polygon)-1if((polygon(i,2)>y)\~=(polygon(i+1,2)>y))&&...（x<（polygon(i+1,1)- polygon(i,1))* (y-polygon(i,2))/...（polygon(i+1,2)- polygon(i,2))+ polygon(i,1)) + +crossings $=$ crossings $+1$ end end $\%$ 根据交点数判断点是否在矩形内 if mod(crossings,2） $= = 1$ isInside $=$ true; else isInside $=$ false; end +end +function RR $=$ rotationMatrix(axis, angle) c $=$ cos(angle); s $=$ sin(angle); t $= 1 - c$ . x $=$ axis(1); y $=$ axis(2); z $=$ axis(3); RR $=$ [ t\*x\*x +c,t\*x\*y-s\*z,t\*x\*z+s\*y; t\*x\*y+s\*z,t\*y\*y+c,t\*y\*z-s\*x; t\*x\*z-s\*y,t\*y\*z+s\*x,t\*z\*z+c ]; +end + +```matlab +function data = data_func() % 这里求出的定日镜坐标是相对坐标 global W_a; global L0; R0 = 100; delta_D = 5 + W_a + 0.05; % 给点容差%%! coordinates = []; % 保存所有坐标 maxNumMirrors = 10000; % 估计的最大定日镜数 coordinates = NaN(maxNumMirrors, 2); % 预先分配空间 idx = 1; % 当前填充到的坐标索引 +``` + +$\%$ 第一区域的五层 + +```matlab +for numj = 1:5 + R = R0 + (numj-1)*delta_D; + % 使用余弦定理计算 theta_D + cos_theta_D = (2*R^2 - delta_D^2) / (2*R^2); + theta_D = acos(cos_theta_D); + ND = floor(2*pi/theta_D); + % 重新计算 theta_D 的值 + theta_D = 2*pi/ND; + % 计算 cos 和 sin 值 + cos_values = cos((θ:ND-1) * theta_D); + sin_values = sin((θ:ND-1) * theta_D); +``` + +$\%$ 计算所有定日镜的坐标 +x_values $= R$ \*cos_values; +y_values $= R$ \*sin_values; + $\%$ 更新坐标数组coordinates(idx:idx+ND-1, :） $=$ [x_values', y_values'];idx $=$ idx $^+$ ND; +end +i = 2; %从第二个区域开始 +while true + $R = R + delta_{D};\%$ 对于新区域的第一层，从上一个区域的最后一层的R增加一个delta_D + $\%$ 检查R的条件if $R > (350 + L0)$ break; +end + $\%$ 使用余弦定理计算theta_D +cos_theta_D $= (2^{*}R^{\wedge}2 - delta_{D}\wedge 2)$ / $(2^{*}R^{\wedge}2)$ +theta_D $=$ acos(cos_theta_D); +ND $=$ floor(2*pi/theta_D); +theta_D $= 2^{*}\mathrm{pi} / \mathrm{ND};$ $\%$ 重新计算theta_D的值 + $\%$ 计算第一层的坐标cos_values $=$ cos((0:ND-1)*theta_D);sin_values $=$ sin((0:ND-1)*theta_D);x_values $= R$ \*cos_values;y_values $= R$ \*sin_values;coordinates(idx:idx+ND-1, :） $=$ [x_values', y_values'];idx $=$ idx $^+$ ND; + $\%$ 保存第一层坐标的距离distance_first_layer $=$ sqrt((x_values(2)- x_values(1))^2+(y_values(2)-y_values(1))^2); + $\%$ 其他层的坐标layer $= 2$ .while trueprev $=$ sqrt((coordinates(idx-1,1)- coordinates(idx-2,1))^2+(coordinates(idx-1,2)- coordinates(idx-2,2))^2); $R = R + sqrt(\text{delta}_D\hat{}^2 - (\text{prev}/2)^{\hat{}^2})$ $\%$ 检查R的条件if $R > (350 + L0)\%$ +break; +endtheta_D0 $=$ atan2(coordinates(idx-ND,2), coordinates(idx-ND,1))+theta_D/2;cos_values $=$ cos((0:ND-1)*theta_D+theta_D0); $\%$ 角平分线sin_values $=$ sin((0:ND-1)*theta_D+theta_D0); $\%$ 角平分线x_values $= R$ \*cos_values;y_values $= R$ \*sin_values; + +```matlab +coordinates(idx:idx+ND-1, :) = [x_values', y_values']; +idx = idx + ND; +% 检查距离条件 +distance = sqrt((x_values(2) - x_values(1))^2 + (y_values(2) - y_values(1))^2); +if distance > 1.33 * distance_first_layer + break; +end +layer = layer + 1; +end +i = i + 1; +end +% 删除未使用的空间 +coordinates = coordinates(~isnan(coordinates(:,1)), :); +% 筛选定日镜坐标 +% 检查约束条件 +N = size(coordinates,1); +validIndices = []; +for i = 1:N + x1 = coordinates(i,1); + y1 = coordinates(i,2); + if x1^2 + (y1-L0)^2 <= 350^2 + validIndices = [validIndices; i]; +end +end +data=[coordinates(validIndices,1), coordinates(validIndices,2)]; +error2 = check_distance(data); +if ~error2 + error('定日镜距离不符合'); +end +data(:,3) = sqrt(data(:,1).^2 + data(:,2).^2); +data = sortrows(data,3); +end +function result = check_distance(coordinates)% 检验点是否满足两个定日镜之间的距离要大于等于 delta_D +% 给定的参数 +global W_a; +delta_D = 5 + W_a; +% 计算所有点之间的距离 +distances = pdist(coordinates); +% 找到最小距离 +min_distance = min(distances); +% 检查最小距离是否大于等于 delta_D +if min_distance >= delta_D + result = true; +else +``` + +result $=$ false; end end + +程序三 问题三代码（ThiQues.m） +```matlab +global W_a; +global W_b; +global h2; +global h1; +global L0; +WAAA=5.5:0.1:6.5; +WBBB=5.5:0.1:6.5; +R_year=[]; +E_year=[]; +for W_a=6.4 + for W_b=6.4 + if W_a1 cos_gamma_s=1; elseif cos_gamma_s<-1 cos_gamma_s=-1; end + +```matlab +gamma_s = acos(cos_gamma_s); % 得到 gamma_s 的弧度值 +x=cos(alpha_s)*sin_gamma_s); +y=cos(alpha_s)*cos_gamma_s); +z=sin(alpha_s); +S_i=[xy z];%太阳入射方向单位向量的相反 +Store=zeros(size(data,1),4);%光学效率 阴影遮挡效率 余弦效率 截断效率 +E_field=0;%定日镜场的输出热功率 +for num=1:1:size(data,1)%定日镜编号 +disp(num); +h2=data(num,4);%定日镜高度 +O_A=[data(num,1) data(num,2) h2];%定日镜中心坐标 +%计算集热器截断效率 eta_trunc +d_HR=sqrt((O_A(1)-O_R(1))^2+(O_A(2)-O_R(2))^2+(O_A(3)-O_R(3))^2);%定日镜镜面中心与集 +热器中心的距离 +eta_at = 0.99321 - 0.0001176*d_HR + 1.97e-8 * (d_HR^2); % 计算吸收塔的吸收率 +S_AR=(O_R-O_A)/norm(O_R-O_A);%定日镜中心到集热器中心的单位向量 % 反射角 +% 计算法向量 +S_n=(S_i+S_AR)/norm(S_i+S_AR);%法向量单位向量 +% 计算方位角 Azimuth (θ) +A_H = atan2(S_n(1), S_n(2)); +% 计算俯仰角 Elevation (φ) +E_H = acos(S_n(3)); +% +T=[-sin(E_H), -sin(A_H)*cos(E_H), cos(A_H)*cos(E_H);cos(E_H), -sin(A_H)*sin(E_H), cos(A_H)*sin(E_H) +);0,cos(A_H),sin(A_H)]; +M1 = [1, 0, 0; 0, cos(E_H), sin(E_H); 0, -sin(E_H), cos(E_H)]; +M2 = [cos(pi-A_H), sin(pi-A_H), 0; -sin(pi-A_H), cos(pi-A_H), 0; 0, 0, 1]; +% 计算矩阵乘积 +T = M1 * M2; %镜坐标系变为地坐标系的转换矩阵 +S_An=[0 0 1];%镜面 A 坐标系上的的法向量 +SSS=S_An*T; +tolerance = 1e-10; +difference = abs(SSS - S_n); +if all(difference(:)>tolerance) + error('法向量转换错误'); +end +%% +%计算余弦效率 eta_cos +eta_cos = dot(S_i, S_n) / (norm(S_i) * norm(S_n)); % 计算入射向量相反和法向量之间的夹 +角的余弦值 +%计算阴影遮挡效率 eta sb +%step1: 塔挡损失 定日镜镜面中心是否在阴影中,如果是 eta sb=0 %i是-S_i +[P_top_1_intersect,P_top_2_intersect,P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect] = +``` + +isInside $=$ pointInRectangle(O_A(1),O_A(2),P_top_1_intersect,P_top_2_intersect, P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect); if isInside $\%$ 在里面 eta_sb=0; eta_trunc $\coloneqq 0$ . Store(num,1)=0; Store(num,2)=0; Store(num,3)=eta_cos; Store(num,4)=0; else $\%$ 不在里面 R $= 100$ . X $=$ linspace(-1/2 \*W_a,1/2 \*W_a,20); Y $=$ linspace(-1/2 \*W_b,1/2 \*W_b,20); % Assuming S_i,S_AR,and T are defined elsewhere T_inv $=$ inv(T); %在指定的半径内寻找定日镜 distances $=$ sqrt((data(1:num-1,1)-0_A(1)).^2+(data(1:num-1,2)-0_A(2)).^2); validIndices $=$ find(distance $\text{已}$ =R); %Main loops valid_point_count $= 0$ ;%有效点 valid_points $= 0$ ;%每个点的有效光线 obstructed_mirrors $=$ []; for $\mathbf{x} = \mathbf{X}$ for y $= Y$ dot_A $= [x,y,0]$ . dot_AG $=$ dot_A\*T+O_A; is_valid $=$ true; for idx $=$ validIndices' O_B $=$ [data(idx,1),data(idx,2),h2]; dot_B $=$ (dot_AG-O_B)\*T_inv; S_iB $=$ S_i*T_inv; H2 $=$ [(S_iB(3)*dot_B(1)-S_iB(1)*dot_B(3))/S_iB(3), (S_iB(3)*dot_B(2)-S_iB(2)*dot_B(3))/S_iB(3),0]; if $\sim (-1 / 2^{*}W_{a} < = H2(1)\& \& H2(1)\leqslant 1 / 2^{*}W_{a}\& \& -1 / 2^{*}W_{b}\leqslant H2(2)\& \& H2(2)$ + +$<=1 / 2^{*}W_{-}b)\%$ 不在该平面内为真 + +```txt +S_ARB = S_AR*T_inv; +H1 = [(S_ARB(3)*dot_B(1) - S_ARB(1)*dot_B(3))/S_ARB(3), +(S_ARB(3)*dot_B(2) - S_ARB(2)*dot_B(3))/S_ARB(3), 0]; +if -1/2*W_a <= H1(1) && H1(1) <= 1/2*W_a && -1/2*W_b <= H1(2) && +``` + +H1(2) <= 1/2*W_b %在该平面内为真 + +obstructed_mirrors $=$ [obstructed_mirrors;O_B, distances(idx)]; is_valid $=$ false; break; + +```matlab +end +else%在该平面内为真 +obstructed)mirrors = [obstructed)mirrors; 0_B, distances(idx)]; +is_valid = false; +break; +end +end +if is_valid +valid_point_count = valid_point_count + 1; +%这个点是有效的计算集热器接收到的光 +%计算入射向量和法向量之间的夹角 +cosTheta_i = dot(S_i, S_n) / (norm(S_i) * norm(S_n)); +S_nt = S_n / cosTheta_i; +d_ki = S_nt - S_AR; +d_ki = d_ki / norm(d_ki); +theta_range = linspace(-4.65e-3,4.65e-3,5); +theta2_range = linspace(0,2*pi,12); +% 循环 theta 值 +for theta = theta_range +d_ki2 = tan(theta) * d_ki; +% 循环不同的 theta2 值 +for theta2 = theta2_range +RR = rotationMatrix(S_AR, -theta2); %顺时针 +d_tki = RR * d_ki2'; +d_tki=d_tki'; +r = d_tki + S_AR; +% 解出 t 的范围 判断 r 是否与集热器相交 地系坐标 +a = r(1)^2 + r(2)^2; +b = 2 * (dot_AG(1) * r(1) + dot_AG(2) * r(2)); +c = dot_AG(1)^2 + dot_AG(2)^2 - 49/4; +discriminant = b^2 - 4*a*c; +if discriminant >= 0 +t1 = (-b + sqrt(disriminant)) / (2*a); +t2 = (-b - sqrt(disriminant)) / (2*a); +% 使用 t 的范围得到 z 的范围 地系坐标 +z1 = dot_AG(3) + t1 * r(3); +z2 = dot_AG(3) + t2 * r(3); +% 检查 z 的范围是否与(h1-4,h1+4]有交集 +z_min = min(z1,z2); +z_max = max(z1,z2); +if (z_min <= (h1+4) && z_max > (h1-4))%有交集 +valid_points = valid_points + 1; +end +end +``` + +end end end end end end end eta_sb $=$ valid_point_count / (length(X) \* length(Y)); Dot_Sum_light=length(theta_range)*length(theta2_range);%每个区域总光线数量 eta_trunc=valid_points/ (valid_point_count\*Dot_Sum_light); eta=eta_cos\*eta_sb\*eta_at\*eta_trunc\*eta_ref;%计算光学效率 eta Store(num,1)=eta; Store(num,2)=eta_sb; Store(num,3)=eta_cos; Store(num,4)=eta_trunc; end %计算定日镜场的输出热功率E_field Ai=W_a\*W_b;%定日镜镜面积 E_field=E_field+Ai\*Store(num,1);%E_field=E_field+Ai\*eta; end E_field=E_field\*DNI; result=[result;mean(Store) E_field/(num\*W_a\*W_b)]; end R=mean(result); $\mathrm{EEE} = [\mathrm{W\_a}\mathrm{W\_b}\mathrm{R}(5)^{\ast}\mathrm{W\_a}^{\ast}\mathrm{W\_b}^{\ast}\mathrm{num}]$ end function[P_top_1_intersect,P_top_2_intersect,P.Bot_1_intersect,P.Bot_2_intersect] $=$ shadow_range(i,h2)%i是-S_i + +$\%$ 参数： + +$\%$ i：入射向量，例如[1,1,1] + +% h2：圆柱阴影所在的z坐标 + +$\%$ 入射向量规范化 + +$\mathrm{i} = \mathrm{i} / \mathrm{norm}(\mathrm{i})$ + +$\%$ 圆柱参数 + +global h1; + +[ R = 7 / 2; \% ] 圆柱半径 + +0_top = [0 0 (h1 + R)]; % 圆柱上底面中心坐标 + +$\%$ 计算与入射光i垂直的直径方向 + +diameterDirection $=$ cross(i，[0,0,1]); + +diameterDirection = diameterDirection / norm(diameterDirection); % 单位化 + +$\%$ 上底面和下底面上与入射光垂直的直径的两个端点 + +P_top_1 = O_top + R * diameter_direction; + +P_top_2 = O_top - R * diameter_direction; + +P.Bot_1 = P_top_1 - [θ, θ, 2*R]; + +```matlab +P.Bot_2 = P_top_2 - [0, 0, 2*R]; +% 计算在 z=h 时的交点 +t_top_1 = (h2 - P_top_1(3)) / i(3); +P_top_1_intersect = P_top_1 + t_top_1 * i; +t_top_2 = (h2 - P_top_2(3)) / i(3); +P_top_2_intersect = P_top_2 + t_top_2 * i; +t.Bot_1 = (h2 - P.Bot_1(3)) / i(3); +P.Bot_1_intersect = P.Bot_1 + t.Bot_1 * i; +t.Bot_2 = (h2 - P.Bot_2(3)) / i(3); +P.Bot_2_intersect = P.Bot_2 + t.Bot_2 * i; +end +function isInside = pointInRectangle(x, y, P_top_1_intersect, P_top_2_intersect, P.Bot_1_intersect, P.Bot_2_intersect) +% 定义矩形的顶点 +polygon = [P_top_1_intersect; P_top_2_intersect; P.Bot_2_intersect; P.Bot_1_intersect; P_top_1_intersect]; +% 计算交点数 +crossings = 0; +for i = 1:length(polygon)-1 + if ((polygon(i, 2) > y) ~=(polygon(i+1, 2) > y)) && ... + (x < (polygon(i+1, 1) - polygon(i, 1)) * (y - polygon(i, 2)) / ... + (polygon(i+1, 2) - polygon(i, 2)) + polygon(i, 1)) + crossings = crossings + 1; + end +end +% 根据交点数判断点是否在矩形内 +if mod(crossings, 2) == 1 + isInside = true; +else + isInside = false; +end +end +function RR = rotationMatrix(axis, angle) +c = cos(angle); +s = sin(angle); +t = 1 - c; +x = axis(1); +y = axis(2); +z = axis(3); +RR = [ + t*x*y + c, t*x*y - s*z, t*x*z + s*y; + t*x*y + s*z, t*y*y + c, t*y*z - s*x; + t*x*z - s*y, t*y*z + s*x, t*z*z + c]; +``` + +end + +function data = data_func() 这里求出的定日镜坐标是相对坐标 + +```matlab +global W_a; +global L0; +global h2; +h0=h2; +R0 = 100; +delta_D=5+W_a+0.05;%给点容差 +coordinates = []; % 保存所有坐标 +maxNumMirrors = 10000; % 估计的最大定日镜数 +coordinates = NaN(maxNumMirrors, 3); % 预先分配空间 +idx = 1; % 当前填充到的坐标索引 +for numj = 1 + R = R0 + (numj-1)*delta_D; + % 使用余弦定理计算 theta_D + cos_theta_D = (2*R^2 - delta_D^2) / (2*R^2); + theta_D = acos(cos_theta_D); + ND = floor(2*pi/theta_D); + % 重新计算 theta_D 的值 + theta_D = 2*pi/ND; + % 计算 cos 和 sin 值 + cos_values = cos((0:ND-1) * theta_D); + sin_values = sin((0:ND-1) * theta_D); + % 计算所有定日镜的坐标 + x_values = R * cos_values; + y_values = R * sin_values; + h_values=h0*ones(ND,1); + % 更新坐标数组 + coordinates(idx:idx+ND-1, 1:2) = [x_values', y_values']; + coordinates(idx:idx+ND-1, 3) = h_values; + idx = idx + ND; +end +i = 2; % 从第二个区域开始 +while true + R = R + delta_D;% 对于新区域的第一层，从上一个区域的最后一层的 R 增加一个 delta_D + h=h0+(i-1)*0.5; + % 检查 R 的条件 + if R > (350+L0) + break; + end + % 使用余弦定理计算 theta_D + cos_theta_D = (2*R^2 - delta_D^2) / (2*R^2); + theta_D = acos(cos_theta_D); + ND = floor(2*pi/theta_D); +``` + +```matlab +theta_D = 2*pi/ND; %重新计算theta_D的值 +%计算第一层的坐标 +cos_values = cos((0:ND-1) * theta_D); +sin_values = sin((0:ND-1) * theta_D); +x_values = R * cos_values; +y_values = R * sin_values; +h_values=h*ones(ND,1); +coordinates(idx:idx+ND-1, 1:2) = [x_values', y_values']; +coordinates(idx:idx+ND-1, 3) = h_values; +idx = idx + ND; +%保存第一层坐标的距离 +distance_first_layer = sqrt((x_values(2) - x_values(1))^2 + (y_values(2) - values(1))^2); +%其他层的坐标 +layer = 2; +while true +prev=sqrt((coordinates(idx-1,1) - coordinates(idx-2,1))^2 + (coordinates(idx-1,2)-radians(idx-2,2))^2); +R = R + sqrt(delta_D^2 - (prev/2)^2); +%检查R的条件 +if R > (350+L0)%%%break; +end +theta_D0 = atan2(coordinates(idx-ND,2), coordinates(idx-ND,1)) + theta_D/2; +cos_values = cos((0:ND-1) * theta_D + theta_D0); %角平分线 +sin_values = sin((0:ND-1) * theta_D + theta_D0); %角平分线 +x_values = R * cos_values; +y_values = R * sin_values; +coordinates(idx:idx+ND-1, 1:2) = [x_values', y_values']; +coordinates(idx:idx+ND-1, 3) = h_values; +idx = idx + ND; +%检查距离条件 +distance = sqrt((x_values(2) - x_values(1))^2 + (y_values(2) - y_values(1))^2); +if distance > 1.2* distance_first_layer break; +end +layer = layer + 1; +end +i = i + 1; +end +``` + +$\%$ 删除未使用的空间 + +coordinates $=$ coordinates(~isnan(coordinates(:,1)),:); + +%筛选定日镜坐标 + +$\%$ 检查约束条件 + +```matlab +N = size(coordinates,1); +valid Indices = []; +for i = 1:N + x1 = coordinates(i,1); + y1 = coordinates(i,2); + if x1^2 + (y1-L0)^2 <= 350^2 + valid Indices = [valid Indices; i]; + end +end +data=[coordinates(validIndices,1), coordinates(validIndices,2)]; +error2 = check_distance(data); +if ~error2 + error('定日镜距离不符合'); +end +data(:,3) = sqrt(data(:,1).^2 + data(:,2).^2); +data(:,4) = coordinates(validIndices,3); +data = sortrows(data,3); +end +function result = check_distance(coordinates)% 检验点是否满足两个定日镜之间的距离要大于等于 delta_D +% 给定的参数 +global W_a; +delta_D = 5 + W_a; +% 计算所有点之间的距离 +distances = pdist(coordinates); +% 找到最小距离 +min_distance = min(distances); +% 检查最小距离是否大于等于 delta_D +if min_distance >= delta_D + result = true; +else + result = false; +end +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/A165/A165.md b/MCM_CN/2023/A165/A165.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b3697978e5c6f331528fbadc47a243aa0ccdf28e --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/A165/A165.md @@ -0,0 +1,1264 @@ +# 基于机理分析法的定日镜场优化设计模型 + +# 摘要 + +本文针对定日镜场优化设计问题，运用光学相关定律进行机理分析，建立单目标最优化模型，基于三分查找、蒙特卡洛方法进行计算机求解，在不同的定日镜数量、位置、尺寸的多种情形下，解决了定日镜场各效率的求解与输出功率优化问题。 + +对于给定镜场参数情形下的光学效率与输出热功率求解问题，将定日镜反射集热过程划分为太阳光线入射过程、定日镜法向调整过程、阴影遮挡与集热器截断过程，分别进行建模。太阳光线入射过程，通过太阳高度角、方位角确定入射光线方向；定日镜法向调整过程，根据定日镜与集热器中心位置计算反射光线方向向量，从而计算出各定日镜平面法向量；阴影遮挡与集热器截断过程，利用空间向量方法判断光线入射、反射过程中是否被其他定日镜阻挡，计算镜面各点反射锥形光线在集热器表面形成的光斑面积，从而计算阴影遮挡效率、集热器截断效率。通过上述分析，建立定日镜场光学效率与输出热功率求解模型。将定日镜面栅格化，求解得到在原问题给定参数下，定日镜场光学效率、余弦效率、阴影遮挡效率、截断效率、输出热功率、单位面积镜面输出热功率的年平均值分别为0.4902，0.7565，0.8955，0.8078，24.04MW， $0.3827\mathrm{kW / m^2}$ 。 + +对于统一定日镜尺寸及安装高度情形下镜场单位面积镜面输出热功率（以下简称年平均功率）的优化问题，可利用上一问题模型计算年平均功率并进行优化。以最大化年平均功率为优化目标，镜场半径、定日镜与吸收塔距离、镜面宽高、相邻定日镜底座中心距离的限制为约束条件，建立镜场年平均功率单目标优化模型。为降低庞大的解空间维度，固定其他变量，对镜面宽、高等变量单独分析，基于三分查找算法搜索变量的较优解，得到近似最优情形下，吸收塔的平面位置坐标为(0,-237.0240)，定日镜宽、高均为 $5.4670\mathrm{m}$ ，安装高度均为 $6\mathrm{m}$ ，定日镜数量为3249，镜场光学效率、余弦效率、阴影遮挡效率、截断效率、输出热功率、单位面积镜面输出热功率的年平均值分别为0.5787, 0.8614, 0.8546, 0.8811, 43.73MW, 0.4505kW/m²。 + +对于各定日镜尺寸及安装高度可变情形下镜场年平均功率的优化问题，本问题仅在上一问题基础上增大了解空间维度，故建立优化目标、约束条件与上一问题相同的镜场年平均功率单目标优化模型。以各排定日镜安装高度为决策变量进行蒙特卡洛模拟求解，其他参数与上一问题保持一致，得到近似最优情形下，镜场光学效率、余弦效率、阴影遮挡效率、截断效率、输出热功率、单位面积镜面输出热功率的年平均值分别为0.5856，0.8625，0.8642，0.8804，44.25MW， $0.4556\mathrm{kW / m^2}$ ，定日镜数量、各定日镜尺寸与安装高度、吸收塔位置坐标与上一问题一致。 + +最后，对模型进行检验，并评估模型优缺点。 + +关键词：定日镜场 单目标优化 栅格化 三分查找 蒙特卡洛 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +我国正积极采取行动，以应对气候变化并实现“碳达峰”和“碳中和”的目标，为达到该目标，需构建一个以新能源为主体的电力系统。因此，我国计划在地理坐标为东经98.5度和北纬39.4度，位于海拔3000米的高海拔地区上实施太阳能发电项目。 + +此发电项目利用了塔式太阳能光热发电技术，它是一种低碳、环保的清洁能源技术。在这个技术中，定日镜是基本组件之一。定日镜由两个主要部分组成：纵向转轴和水平转轴，平面反射镜则安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直，负责控制反射镜的方位角，而水平转轴的轴线与地面平行，用于控制反射镜的俯仰角。这些调整可以确保太阳光线准确地聚焦在吸收塔上的集热器上。 + +为实现发电目标，计划在圆形区域内建设一个定日镜场，这个区域的半径为350米。为了便于规划和操作，以圆形区域的中心为原点，建立三维坐标系。项目规划中，吸收塔的高度为80米，集热器采用高8米、直径7米的圆柱形外表受光式集热器。此外，规划还包括在吸收塔周围的100米范围内留出空地，以用于建造厂房。 + +定日镜的形状为平面矩形，其中上下两条边始终平行于地面。且上下两条边之间的距离和左右两条边之间的距离被分别定义位镜面高度与宽度。为确保稳定的反射效果，镜面宽度不小于镜面高度。此外，为了维护和清洗设备，相邻定日镜底座中心之间的距离必须比镜面宽度多出至少5米。 + +最后，为了进行性能评估和数据分析，所有“年均”指标的计算时点均为当地时间每月21日的几个具体时刻，包括9:00、10:30、12:00、13:30和15:00。 + +# 1.2 问题要求 + +问题一：在本问题中，需要在以吸收塔为圆心，半径为 $350\mathrm{m}$ 的圆形区域内建设一个圆形定日镜场。在已知定日镜的尺寸以及各个定日镜的地理位置情况下，该问题的目标是计算该定日镜场的年均光学效率，年均输出热功率，和单位镜面积的年均输出热功率。光学效率和输出热功率的定义已在附录中给出，最终的计算结果将以表格1和表格2的格式进行呈现。 + +问题二：本问题需要在满足定日镜场的额定年平均输出热功率为 $60\mathrm{MW}$ 的前提下，最大化单位镜面面积年平均输出热功率。为此，需要确定吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目以及定日镜位置。在设计过程中，各个定日镜尺寸以及安装高度需保持相同。设计完成后，将结果按照表格1、2、3的格式填写，并将吸收塔的位 + +置坐标、定日镜尺寸、安装高度以及定日镜位置按照指定格式保存到名为”result2.xlsx”的文件中。 + +问题三：在本问题中，由于定日镜的尺寸以及安装高度可以不同，因此需要重新设计太阳能定日镜场，以满足定日镜场的额定功率为60MW的条件下，最大化单位镜面面积年平均输出热功率。设计完成后，将结果按照表格1、表格2和表格3的格式填写，并将吸收塔的位置坐标、各定日镜尺寸、安装高度以及定日镜位置按照指定格式保存到名为”result3.xlsx”的文件中。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1对定日镜场光学效率与输出热功率求解模型的分析 + +在本问题中，需根据原问题给定参数计算定日镜场的月平均与年平均余弦效率、阴影遮挡效率、光学效率等指标。为计算余弦效率和阴影遮挡效率，首先需要确定太阳方位、定日镜平面法向量，可栅格化定日镜平面，对每一栅格判断光线是否被遮挡或形成阴影。对反射无遮挡的光线，可模拟镜面反射时形成的锥形光束，通过集热器表面光斑面积求解集热器截断效率。镜面反射率可取为固定常数，大气透射率可通过镜面中心到集热器距离进行求解。通过上述效率值，进一步计算镜场光学效率、输出热功率等。 + +# 2.2对镜场年平均功率优化模型的分析 + +在本问题中，需要在统一定日镜尺寸及安装高度情形下，对单位镜面面积年平均输出的热功率进行优化，需要基于上一问题模型计算定日镜场各效率值，利用单目标优化相关理论进行求解。由于各定日镜的位置、安装高度均为决策变量，解空间维数庞大，需要先进行降维处理，减少决策变量个数，可以利用固定若干变量、搜索其他变量较优解的方法对解空间进行降维。 + +# 2.3对镜场年平均功率优化模型的分析 + +在本问题中，需要在各定日镜尺寸及安装高度可自由选择的情形下，对单位镜面面积年平均输出的热功率进行优化。与上一问题类似，可利用单目标最优化理论进行求解。本问题各个定日镜的高度、宽度与底座中心位置坐标均为决策变量，解空间维数相比上一问题进一步增大，需要在上一问题的定日镜位置坐标基础上进行调整，可以利用蒙特卡洛方法进行随机模拟，求解近似最优解。 + +# 三、模型假设与约定 + +1. 忽略降雨等天气因素对定日镜光学效率的影响，仅考虑晴朗天气的情形； +2. 反射光线在集热器表面形成的光斑内均匀分布，且能量全部被集热器接收； +3. 计算阴影遮挡、余弦效率时，由于太阳光锥顶角极小，将入射太阳光视为平行光； +4. 计算某块定日镜阴影遮挡时，仅考虑其他定日镜对入射、反射太阳光的遮挡，忽略吸收塔导致的阴影遮挡； +5. 忽略镜面厚度； +6. 不考虑镜场内地形起伏； +7. 所有镜面上各点镜面反射率均为相等的常数； +8. 忽略光线在定日镜表面的漫反射。 + +# 四、符号说明及名词定义 + +表 1 符号说明 + +
符号含义单位
δ太阳赤纬角rad
ω太阳时角rad
φ定日镜场所在地纬度，北纬为正rad
Ha定日镜场所在地海拔km
αs太阳高度角rad
γs太阳方位角rad
ui第i块定日镜中心入射光线方向向量-
vi第i块定日镜中心反射光线方向向量-
ni第i块定日镜平面法向量-
ηi第i块定日镜光学效率-
(ηcos)i第i块定日镜余弦效率-
(ηsb)i第i块定日镜阴影遮挡效率-
(ηtrunc)i第i块定日镜对应集热器截断效率-
Ai第i块定日镜采光面积m²
Wi第i块定日镜宽度m
Hi第i块定日镜高度m
hi第i块定日镜安装高度m
N定日镜场定日镜总面数-
xc集热器中心在镜场坐标系内x坐标m
yc集热器中心在镜场坐标系内y坐标m
zc集热器中心在镜场坐标系内z坐标m
Efield定日镜场输出热功率kW/m²
+ +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 问题一的模型建立与求解 + +# 5.1.1 问题一的建模准备 + +在本问题中涉及到光线的反射与入射，因此需要判断入射点是否在定日镜面上。 + +# 平面内一点的位置判断 + +判断平面上一点 $P$ 是否在矩形内，可将矩形分为两个三角形，因此该问题等价于判断平面上该点是否位于其中任意一三角形内。如图1(b)所示，将一个矩形沿其对角线将将其等分为两个三角形，其中 $Q_{i}$ 为矩形区域，从而将问题转换为判断平面一点是否位于三角形内部。 + +![](images/ba9b33b05dfc6cd132d0cb7ec6b3e79c2448ea1bd8488af536c229e575d4d94e.jpg) +(a)点在三角形区域内 + +![](images/552c9f70de583c8926a3500b83d2c9ef026c5478b947b25fd67f449d2221cb46.jpg) +(b)矩形区域 +图1 + +若平面上一点在三角形内如, 图 1(a), 其满足如下条件: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} (\vec {A B} \times \vec {A P}) \cdot (\vec {A B} \times \vec {A C}) > 0 \\ (\vec {B C} \times \vec {B P}) \cdot (\vec {B C} \times \vec {B A}) > 0 \\ (\vec {C A} \times \vec {C P}) \cdot (\vec {C A} \times \vec {C B}) > 0 \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +# 5.1.2 问题一的模型建立 + +在本问题中需要对定日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率以及单位镜面面积年平均输出热功率。通过题目所给公式以及信息得知，为计算各个定日镜的光学效率和输出热功率，需要确定各时刻太阳方位角、高度角，从而确定各个定日镜平面法向量，并计算阴影遮挡效率、截断效率、余弦效率等相关参数。 + +# 太阳方位的确定： + +为确定太阳方位，需计算太阳高度角、方位角，为此需要先计算太阳赤纬角、时角。太阳的高度角、方位角、时角、赤纬角如下图所示： + +![](images/527f1000b877b12d8c438b7a823789fadb256b643b4f79cf7b264ac0044dd8bc.jpg) +(a) 太阳时角与赤纬角示意图 [1] + +![](images/3d491ada057e164dacb245da9f3bd5130e6fb54891378c08daf0a95328019595.jpg) +(b) 太阳高度角与方位角示意图 [1] +图2 + +太阳赤纬角 $\delta$ 表征了给定时刻日地连线与地球赤道面之间的夹角 [1], 其计算公式如下: + +$$ +\sin \delta = \sin \frac {2 \pi D}{3 6 5} \sin \left(\frac {2 \pi}{3 6 0} 2 3. 4 5\right) \tag {2} +$$ + +其中 $D$ 为以春分作为第0天起算的天数。 + +太阳时角 $\omega$ 是由于地球自转引起太阳相对地球转动的角度，等于地球在一段时间内自转角度[1]，其计算公式如下： + +$$ +\omega = \frac {\pi}{1 2} (S T - 1 2) \tag {3} +$$ + +其中 $ST$ 为当地时间。 + +根据太阳赤纬角、时角，可以计算太阳高度角与太阳方位角。 + +太阳高度角 $\alpha_{s}$ 是太阳入射光线与地平面之间的夹角 [1]，计算公式如下： + +$$ +\sin \alpha_ {s} = \cos \delta \cos \varphi \cos \omega + \sin \delta \sin \varphi \tag {4} +$$ + +其中 $\delta$ 为太阳赤纬角， $\varphi$ 为当地纬度(北纬为正)， $\omega$ 为太阳时角。 + +太阳方位角 $\gamma_{s}$ 是入射光线在地平面上的垂直投影与镜场坐标系 $y$ 轴之间的夹角，计算公式如下： + +$$ +\cos \gamma_ {s} = \frac {\sin \delta - \sin \alpha_ {s} \sin \varphi}{\cos \alpha_ {s} \cos \varphi} \tag {5} +$$ + +其中 $\alpha_{s}$ 为太阳高度角， $\delta$ 为太阳赤纬角， $\varphi$ 为当地纬度(北纬为正)。 + +定日镜平面法向量的计算： + +设第 $i$ 块定日镜入射光线单位方向向量为 $\pmb{u}_i$ ，反射光线单位方向向量为 $\pmb{v}_i$ ，且 $\pmb{u}_i$ 、 $\pmb{v}_i$ 方向分别与入射光线、反射光线同向，如图3所示： + +![](images/bae0099857c5ac83c7178d00e368d83051a09113c586fc830fbd0c0686da12b4.jpg) +(a) + +![](images/37e5d3aa28a738c03f6389d5723404746c66b19bb7020e116edfa1ab17f12198.jpg) +(b) +图3 各方向向量、法向量、反射角图示 + +由于入射到定日镜中心的光线需反射到集热器中心，根据第 $i$ 块定日镜中心坐标 $(x_{i},y_{i},z_{i})$ 与集热器中心坐标 $(x_{c},y_{c},z_{c})$ 得到反射光线方向向量为： + +$$ +\boldsymbol {t} _ {i} = \left(x _ {c} - x _ {i}\right) \boldsymbol {e} _ {\boldsymbol {x}} + \left(y _ {c} - y _ {i}\right) \boldsymbol {e} _ {\boldsymbol {y}} + \left(z _ {c} - z _ {i}\right) \boldsymbol {e} _ {\boldsymbol {z}} \tag {6} +$$ + +其中 $e_x, e_y, e_z$ 分别为指向 $x, y, z$ 轴正方向的单位向量。 + +反射光线所对应的单位向量 $\pmb{v}_i$ 为： + +$$ +\boldsymbol {v} _ {i} = \frac {\boldsymbol {e} _ {\boldsymbol {x}} \left(x _ {c} - x _ {i}\right) + \boldsymbol {e} _ {\boldsymbol {y}} \left(y _ {c} - y _ {i}\right) + \boldsymbol {e} _ {\boldsymbol {z}} \left(z _ {c} - z _ {i}\right)}{\sqrt {\left(x _ {c} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(y _ {c} - y _ {i}\right) ^ {2} + \left(z _ {c} - z _ {i}\right) ^ {2}}} \tag {7} +$$ + +如图2所示，由于反射光线 $\pmb{u}_i$ 和入射光线 $\pmb{v}_i$ 的模长均为1，根据矢量几何关系可得第 $i$ 块定日镜所在平面法向量 $\pmb{n}_i$ 为： + +$$ +\boldsymbol {n} _ {i} = \boldsymbol {v} _ {i} - \boldsymbol {u} _ {i} \tag {8} +$$ + +# 镜面反射率模型 + +依据题目信息，镜面反射率 $\eta_{ref}$ 为常数0.92。 + +# 阴影遮挡效率模型 + +如图3所示， $u_{i}, v_{i}, n_{i}$ 分别为第 $i$ 块定日镜入射光线方向向量，反射光线方向向量，定日镜平面法向量，入射点的坐标为 $(x_{ri}, y_{ri}, z_{ri})$ 。因此入射光线所在直线方程为： + +$$ +\frac {x - x _ {r i}}{u _ {i x}} = \frac {y - y _ {r i}}{u _ {i y}} = \frac {z - z _ {r i}}{u _ {i z}} \tag {9} +$$ + +反射光线所在的直线方程为: + +$$ +\frac {x - x _ {r i}}{v _ {i x}} = \frac {y - y _ {r i}}{v _ {i y}} = \frac {z - z _ {r i}}{v _ {i z}} \tag {10} +$$ + +定日镜所在平面方程为： + +$$ +n _ {i x} \left(x - x _ {r i}\right) + n _ {i y} \left(y - y _ {r i}\right) + n _ {i z} \left(z - z _ {r i}\right) = 0 \tag {11} +$$ + +考虑第 $i$ 块定日镜，其所在的平面方程为： + +$$ +n _ {j x} \left(x - x _ {r j}\right) + n _ {j y} \left(y - y _ {r j}\right) + n _ {j z} \left(z - z _ {r j}\right) = 0 \tag {12} +$$ + +联立9式和12式可求得交点 $P_{1}$ 为 $(x_{1i},y_{1i},z_{1i})$ ，联立10式和12式可求得交点 $P_{2}$ 为 $(x_{2i},y_{2i},z_{2i})$ 。 + +为判断入射光线是否会形成阴影以及反射光线是否会被遮挡，记第 $i$ 块定日镜镜面矩形区域为 $Q_{i}$ 。若 $(x_{1i},y_{1i},z_{1z})$ 在 $Q_{i}$ 内，且 $(x_{1i},y_{1i},z_{1i})$ 在第 $i$ 块定日镜入射光线一侧，则入射光线到达第 $i$ 块定日镜前被第 $j$ 块定日镜阻碍，称为阴影。 $(x_{1i},y_{1i},z_{1i})$ 在定日镜入射光线一侧，等价于向量 $(x_{ri} - x_{1i})\pmb{e}_{x} + (y_{ri} - y_{1i})\pmb{e}_{y} + (z_{ri} - z_{1i})\pmb{e}_{z}$ 与 $\pmb{u}_{i}$ 同向。 + +记 $s = 0$ 表示该入射光不形成阴影， $s = 1$ 表示该入射光线形成阴影，则形成阴影 $s = 1$ 的等价条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \left(x _ {r i} - x _ {1 i}\right) u _ {i x} + \left(y _ {r i} - y _ {1 i}\right) u _ {i y} + \left(z _ {r i} - z _ {1 i}\right) u _ {i z} > 0 \\ \left(x _ {1 i}, y _ {1 i}, z _ {1 i}\right) \in Q _ {j} \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +其中判断点是否在矩形内的方法见问题一的建模准备，其他情况 $s = 0$ 。 + +同理判断反射光线是否会被遮挡，若 $(x_{2i},y_{2i},z_{2i})$ ，且 $(x_{2i},y_{2i},z_{2i})$ 在第 $i$ 块定日镜反射光线一侧，则反射光线到达集热器之前被第 $j$ 块定日镜阻挡，称为遮挡。 $(x_{2i},y_{2i},z_{2i})$ 在定日反射光线一侧，等价于向量 $(x_{2i} - x_{ri})\pmb{e}_{x} + (y_{2i} - y_{ri})\pmb{e}_{y} + (z_{2i} - z_{ri})\pmb{e}_{z}$ 与 $\pmb{v}_{i}$ 同向。 + +记 $b = 0$ 表示该反射光线不形成遮挡, $b = 1$ 表示该反射光线形成遮挡, 则形成遮挡 $b = 1$ 的等价条件为: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \left(x _ {2 i} - x _ {r i}\right) v _ {i x} + \left(y _ {2 i} - y _ {r i}\right) v _ {i y} + \left(z _ {2 i} - z _ {r i}\right) v _ {i z} > 0 \\ \left(x _ {2 i}, y _ {2 i}, z _ {2 i}\right) \in Q _ {j} \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +入射光线形成阴影以及反射光线形成遮挡的示意图如下： + +![](images/67091b3c36b91d33289e624c5657bfe864848461d33c73ce29502419ff337e22.jpg) +(a)反射光线形成遮挡示意图 +图4 + +![](images/182ab08e86a3c570faba07fc10fc8a0260c9fb53ff8b979a39bd7f6f5c8ae2eb.jpg) +(b) 入射光线形成阴影示意图 + +当 $s = 0$ 且 $b = 0$ 时，表示该入射光线不形成阴影以及反射光线不形成遮挡。记第 $i$ 块定日镜对应 $s = 0$ 且 $b = 0$ 的光线数目为 $N_{li}$ ，总入射光线为 $N_{i}$ ，因此每块定日镜年平均阴影遮挡效率 $(\eta_{sb})_i$ 为： + +$$ +\left(\eta_ {s b}\right) _ {i} = \frac {N _ {l i}}{N _ {i}} \tag {15} +$$ + +# 截断效率模型 + +截断效率定义为吸热器截获的能量占镜场汇聚能量的百分比[2]。 + +镜面每一点反射光线是构成一束锥形光束，半角展宽为 $4.65 \mathrm{mrad}^{[2]}$ ，因此反射光线会在集热器表面上形成光斑 + +第 $i$ 块定日镜的截断效率可以等价于第 $i$ 块定日镜反射且无遮挡光线中，打到集热器上的光线数目 $N_{di}$ 的占比，即 + +$$ +\left(\eta_ {t r u n c}\right) _ {i} = \frac {N _ {d i}}{N _ {i}} \tag {16} +$$ + +# 余弦效率模型 + +余弦效率是指定日镜面上入射光线和镜面反射点的法线方向之间夹角 $\theta$ 的余弦值 $\cos \theta^{[1]}$ 。第 $i$ 个定日镜的余弦效率 $\eta_{\mathrm{cos}}$ 为： + +$$ +\left(\eta_ {\cos}\right) _ {i} = \cos \theta_ {i} = \frac {\left| \boldsymbol {n} _ {i} \cdot \boldsymbol {v} _ {i} \right|}{\left| \left| \boldsymbol {n} _ {i} \right| \right| \cdot \left| \left| \boldsymbol {v} _ {i} \right| \right|} \tag {17} +$$ + +其中 $\theta_{i}$ 是第 $i$ 块定日镜中心的入射光线的方向向量 $\mathbf{v}_{i}$ 与该定日镜法向向量 $\mathbf{n}_{i}$ 所形成的锐角夹角。 + +# 大气透射率模型 + +太阳光经由定日镜反射后到达集热器表面的过程中, 太阳辐射因大气散射或被空气中的杂质颗粒物阻挡, 造成能量损失。大气透射率定义为太阳光线穿过大气到达集热器表面的能量比例 [1]。第 $i$ 块定日镜对应的大气透射率为: + +$$ +\left(\eta_ {a t}\right) _ {i} = 0. 9 9 3 2 1 - 0. 0 0 0 1 1 7 6 \left(d _ {H R}\right) _ {i} + 1. 9 7 \times 1 0 ^ {- 8} \left(d _ {H R}\right) _ {i} ^ {2} \quad \left(d _ {H R}\right) _ {i} \leq 1 0 0 0 \tag {18} +$$ + +其中 $\left(d_{HR}\right)_i$ 为第 $i$ 块定日镜中心到集热器中心的距离，其计算公式如下： + +$$ +\left(d _ {H R}\right) _ {i} = \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {c}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {c}\right) ^ {2} + \left(z _ {i} - z _ {c}\right) ^ {2}} \tag {19} +$$ + +# 定日镜场输出热功率模型 + +将地球上垂直于太阳光线的平面单位面积上，单位时间内接收到的太阳辐射能量定义为法向直接辐射照度 $\mathrm{DNI}^{[3]}$ ，可以由以下公式计算得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} D N I = G _ {0} [ a + b \cdot \exp \left(- \frac {c}{\sin \alpha_ {s}}\right) ] \\ a = 0. 4 2 3 7 - 0. 0 0 8 2 1 (6 - H _ {a}) ^ {2} \\ b = 0. 5 0 5 5 + 0. 0 0 5 9 5 (6. 5 - H _ {a}) ^ {2} \\ c = 0. 2 7 1 1 + 0. 0 1 8 5 8 (2. 5 - H _ {a}) ^ {2} \end{array} \right. \tag {20} +$$ + +其中DNI为法向直接辐射照度(单位： $\mathrm{kW / m^2}$ ）； $a,b,c$ 为经验公式的系数； $H_{a}-$ 为当地海拔高度(单位：km)； $G_0$ 为太阳常数，其值为 $1.366\mathrm{kW / m^2}$ 。 + +定日镜场的输出热功率 $E_{field}$ 为： + +$$ +E _ {\text {f i e l d}} = D N I \cdot \sum_ {i} ^ {N} A _ {i} \cdot \eta_ {i} \tag {21} +$$ + +其中DNI为法向直接辐射照度(单位： $\mathrm{kW / m^2}$ ； $N$ 为定日镜总数(单位：面); $A_{i}$ 为第 $i$ 面定日镜采光面积(单位： $\mathrm{m}^2$ )； $\eta_{i}$ 为第 $i$ 面镜子的光学效率。 + +定日镜的光学效率 $\eta$ 的计算公式如下： + +$$ +\eta = \eta_ {s b} \cdot \eta_ {c o s} \cdot \eta_ {a t} \cdot \eta_ {t r u n c} \cdot \eta_ {r e f} \tag {22} +$$ + +其中 $\eta_{sb}$ 为阴影遮挡效率， $\eta_{cos}$ 为余弦效率， $\eta_{at}$ 为大气投射率， $\eta_{trunc}$ 为集热器截断效率， $\eta_{ref}$ 为镜面反射率。 + +综上所述，在本问题中建立了定日镜场光学效率与输出热功率求解模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \text {太 阳 光 线 入 射} \left\{ \begin{array}{l} \sin \delta = \sin \frac {2 \pi D}{3 6 5} \sin \left(\frac {2 \pi}{3 6 0} 2 3. 4 5\right) \\ \omega = \frac {\pi}{1 2} (S T - 1 2) \\ \sin \alpha_ {s} = \cos \delta \cos \varphi \cos \omega + \sin \delta \sin \varphi \end{array} \right. \\ \text {阴 影 判 断} \left\{ \begin{array}{l} \left(x _ {r i} - x _ {1 i}\right) u _ {i x} + \left(y _ {r i} - y _ {1 i}\right) u _ {i y} + \left(z _ {r i} - z _ {1 i}\right) u _ {i z} > 0 \\ \left(x _ {1 i}, y _ {1 i}, z _ {1 i}\right) \in Q _ {j} \end{array} \right. \\ \text {遮 挡 判 断} \left\{ \begin{array}{l} \left(x _ {2 i} - x _ {r i}\right) v _ {i x} + \left(y _ {2 i} - y _ {r i}\right) v _ {i y} + \left(z _ {2 i} - z _ {r i}\right) v _ {i z} > 0 \\ \left(x _ {2 i}, y _ {2 i}, z _ {2 i}\right) \in Q _ {j} \end{array} \right. \\ \text {镜 场 效 率 与 热 功 率 计 算} \left\{ \begin{array}{l} (\eta_ {s b}) _ {i} = \frac {N _ {l i}}{N _ {i}} \\ (\eta_ {\text {t r u n c}}) _ {i} = \frac {N _ {d i}}{N _ {i}} \\ (\eta_ {\cos}) _ {i} = \cos \theta_ {i} = \frac {| n _ {i} \cdot v _ {i} |}{| | n _ {i} | | \cdot | | v _ {i} | |} \\ (\eta_ {\mathrm {a t}}) _ {i} = 0. 9 9 3 2 1 - 0. 0 0 0 1 1 7 6 (d _ {H R}) _ {i} + 1. 9 7 \times 1 0 ^ {- 8} (d _ {H R}) _ {i} ^ {2} \\ (\eta_ {\text {r e f}}) _ {i} = 0. 9 2 \\ \eta = \eta_ {\mathrm {s b}} \cdot \eta_ {\mathrm {c o s}} \cdot \eta_ {\mathrm {a t}} \cdot \eta_ {\text {t r u n c}} \cdot \eta_ {\text {r e f}} \\ E _ {\text {f i e l d}} = D N I \cdot \sum_ {i} ^ {N} A _ {i} \cdot \eta_ {i} \end{array} \right. \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +# 5.1.3 问题一的模型求解 + +在本问题中，将定日镜反射集热过程划分为太阳光线入射过程、定日镜法向调整过程、阴影遮挡与集热器截断过程。对这三个过程进行仿真模拟，从而得到阴影遮挡效率等需要计算的指标。仿真步骤如算法1所述。 + +# 算法1：栅格化模拟定日镜反射太阳光的过程仿真 + +输入：待求月份 $X$ 、当地时间 $Y$ 、定日镜以及集热器坐标 + +输出：定日镜场每月21日的平均光学效率及输出功率 + +Step1 根据太阳高度角和方位角，以及当地的地理位置，输入日期 $X$ 月21日和当地时间 $Y$ 时刻，求解在 $X$ 月21日 $Y$ 时刻的太阳光的入射方向，得到 $X$ 月21日 $Y$ 时刻的入射光方向向量。 +Step2 根据附件的数据和已知数据可以得到定日镜以及集热器的三维坐标，由定日镜和集热器的中心可以求出反射光线的方向向量，入射方向向量和反射方向向量根据菱形几何关系可以求出定日镜法向量。 + +Step3 开始入射的阴影模拟：对第 $i$ 个定日镜进行分析，将该定日镜分成若干栅格，遍历每个栅格，对每个栅格执行 Step4。 +Step4 将栅格中心作为入射光线的接触点 (即入射光射在栅格中心)。寻找与第 $i$ 个定日镜最近的其他 6 个定日镜，求出入射光线和这些定日镜所在平面的交点。判断交点是否在这些定日镜框定的矩形内，若交点落入矩形，且矩形被入射光穿透 (入射光不是一条直线，终点在第 $i$ 个定日镜面，背后的矩形不会被穿透，需要排除)，则说明入射光被该栅格阻挡，产生了阴影。若该栅格没有阴影，转入 Step5 判断该栅格的反射光线是否会被遮挡。 +Step5 将栅格中心作为反射光线的出发点。与 Step4 类似，寻找反射光线和其他 6 个最近邻定日镜的交点。若交点在矩形内，并被反射光穿透，则说明产生了遮挡。返回 Step3 遍历其他栅格，若遍历完成，记录栅格的阴影遮挡信息，执行 Step6。 +Step6 循环执行 Step3 Step5 直至遍历所有定日镜。遍历完成后执行 Step7 开始模拟截断过程，计算截断效率。 +Step7 开始反射的截断效率计算：将反射光线模拟成锥形光线，锥形光线会在集热器上形成光斑。对于第 $i$ 个定日镜，将该定日镜分成若干栅格，根据记录的栅格阴影遮挡信息，得到没有阴影遮挡的栅格所形成的总光斑面积和集热器接收到的光斑面积，从而计算得出第 $i$ 个定日镜的截断效率。遍历所有定日镜得到所有的截断效率。 +Step8 根据以上结果计算光学效率及输出功率。遍历其他日期和时刻，得到每月 21 日的平均光学效率及输出功率，从而得到年平均光学效率及输出功率。 + +为直观的展示算法流程，上述算法的流程图如下所示： + +![](images/6a816c382733d106e6eb401a2b3579968d0c7f6f0771508b67254353bd596032.jpg) +图5 算法1的流程图 + +该算法将定日镜的镜面栅格化，以便于对入射和反射光线的模拟。计算截断效率时，由于镜面高度相对于定日镜到集热器中心的距离较小，故计算光斑大小时，忽略定日镜 + +镜面到集热器中心距离变化。 + +求出各指标的月平均值，其结果如表2所示。此外，通过月平均指标求出定镜日场的年平均光学效率以及输出热功率等指标如表3所示。 + +表 2 每月 21 日平均光学效率及输出功率 (详见附录 A) + +
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
1月21日0.47050.71990.89670.80700.3404
3月21日0.49800.76110.90580.80840.3955
5月21日0.50380.78930.88590.80860.4145
7月21日0.50390.78920.88620.80840.4146
9月21日0.49720.76010.90540.80850.3942
11月21日0.46820.71820.89450.80680.3369
+ +表 3 年平均光学效率及输出功率 + +
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(MW)单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
0.49020.75650.89550.807824.040.3827
+ +# 5.1.4 问题一的模型结果分析 + +依据题目信息可得，题中所有指标的计算时刻为一年中每月21日9:00、10:30、12:00、13:30、15:00。通过对记录的时刻进行分析，9:00、10:30关于中午12:00分别与13:30、15:00对称。此外一年之中太阳的视运动轨迹也关于定日镜场对称，因此在本题中整个定日镜场的所有的“年平均”指标关于东西方向对称。其中定日镜场的年平均大气透射效率以及年平均截断效率关于镜日场中心对称。镜日场中的每块定日镜的年大气透射效率，年平均截断效率，年平均余弦效率，年平均阴影遮挡效率，年平均光学效率和年平均输出热功率的散点分布示意图如下： + +![](images/d05242c33c0c1b25d7a96c3d4b234721be0344cfbf8242b3ec185de51e287594.jpg) +(a)每块定日镜对应大气透射效率散点图 + +![](images/9eb20577998ab4b08daa05796d1f34cf45613daccbcece69f63268538d75ad8b.jpg) +(b)每块定日镜年平均截断效率散点图 + +![](images/5edad5be58086f61cddf78ef7ddeb0f00de481add0fd11ec067ad4cbf4b62b8f.jpg) +(c)每块定日镜年平均余弦效率散点图 + +![](images/b466abe839c11337a8765e572e1a17df24d9b3727d5dffa5f8ac19d80381e9d5.jpg) +(d) 每块定日镜年平均阴影遮挡效率散点图 + +![](images/b896de23180669ffbd879ab637be3673b13342ec8e490870df0d1582b0e60d0a.jpg) +(e)每块定日镜年平均光学效率散点图 +图6 + +![](images/4de7b788b8643a2af032cdddbc3e2d9c99eeaf6af9a2b22bdb1c1f2125dc1343.jpg) +(f) 每块定日镜年平均输出热功率散点图 + +由于太阳视运动轨迹在东西方向上对称，因此散点图也应大致关于东西方向对称。 + +# 5.2 问题二的模型建立与求解 + +# 5.2.1 问题二的模型建立 + +本问题需要在满足定日镜场额定功率、定日镜尺寸、定日镜间距限制的条件下，最优化单位镜面面积年平均输出热功率 $P_{d}$ ，建立以 $P_{d}$ 为目标函数的单目标优化模型。 + +首先设定日镜总数为 $N$ ，每块定日镜镜面宽度为 $W$ ，高度为 $H$ ，安装高度为 $h$ ，则单位镜面面积年平均输出热功率 $P_{d}$ ，即优化目标如下。 + +优化目标： + +$$ +P _ {d} = \frac {E _ {y}}{N W H} \tag {24} +$$ + +其中 $E_{y}$ 为定日镜场年平均输出热功率。 + +# 约束条件： + +为确定该模型的约束条件，首先设吸收塔的横纵坐标分别为 $x_{c}$ ， $y_{c}$ ，第 $i$ 块定日镜位置为 $(x_{i}, y_{i}, h)$ 。由于吸收塔周围 $100\mathrm{m}$ 以内不设置定日镜，故有： + +$$ +\forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {c}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {c}\right) ^ {2}} \geq 1 0 0 \tag {25} +$$ + +由于镜面宽度不小于镜面高度，故有： + +$$ +W \geq H \tag {26} +$$ + +镜面边长在 $2 \mathrm{~m}$ 到 $8 \mathrm{~m}$ 之间，且定日镜的安装高度在 $2 \mathrm{~m}$ 至 $6 \mathrm{~m}$ 之间，故有： + +$$ +W \in [ 2, 8 ], \quad H \in [ 2, 8 ], \quad h \in [ 2, 6 ] \tag {27} +$$ + +定日镜的安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及地面，故有： + +$$ +h \geq \frac {1}{2} H \tag {28} +$$ + +为保持清洁，相邻的定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多 $5\mathrm{m}$ 以上，故有： + +$$ +\forall i, j \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2}} \geq W + 5 \tag {29} +$$ + +此外定日镜均位于半径 $350\mathrm{m}$ 的范围内，故有： + +$$ +\forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {x _ {i} ^ {2} + y _ {i} ^ {2}} \leq 3 5 0 \tag {30} +$$ + +定日镜场的额定年平均输出热功率还需要达到60MW，故有： + +$$ +E _ {y} \geq 6 0 \times 1 0 ^ {3} \tag {31} +$$ + +综上所述，建立镜场年平均功率单目标优化模型如下： + +$$ +\max \quad P _ {d} \tag {32} +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} \forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {c}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {c}\right) ^ {2}} \geq 1 0 0 \\ W \geq H \\ W \in [ 2, 8 ], \quad H \in [ 2, 8 ], \quad h \in [ 2, 6 ] \\ h \geq \frac {1}{2} H \\ \forall i, j \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2}} \geq W + 5 \\ \forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {x _ {i} ^ {2} + y _ {i} ^ {2}} \leq 3 5 0 \\ E _ {y} \geq 6 0 \times 1 0 ^ {3} \end{array} \right. \tag {33} +$$ + +# 5.2.2 问题二的模型求解 + +在本问题中，优化目标为单位镜面面积年平均输出热功率 $P_{d}$ ，其自变量为多维向量，其中包括吸收塔位置坐标、定日镜尺寸、定日镜安装高度、定日镜数目、定日镜位置。因此为优化该目标函数，我们分析其中一个变量时，将其他变量固定，得到每一变量单独对该目标函数的影响。为加快运行速度，经检验，可仅将镜面分为 $2^{*}2$ 的栅格进行相关指标计算，与上一问题计算结果偏差在 $2\%$ 以内。 + +由第一问求解结果所得各个指标的散点图可知，北方的光学效率整体高于南方的光学效率，因此为获得更大的单位镜面面积年平均输出热功率，将吸收塔的位置坐标由定日镜场中心向南方移动。设吸收塔向南方移动的距离为 $D$ ，固定其他变量进行并改变 $D$ 的值，模拟得到不同 $D$ 取值下的目标函数值 $P_{d}$ ，并证明了 $P_{d}$ 是关于 $D$ 的单峰函数。(详情见附件代码m21) + +此后，将定日镜宽度 $W$ 与高度 $H$ 一起进行验证，通过模拟发现在不同 $W$ 和 $H$ 的取值下，当 $W = H$ 时 $P_{d}$ 有最大值。(详情请见附录代码 $\mathrm{m}22$ )同理将定日镜宽度 $W$ 和相邻定日镜间距 $dr$ 一起验证，通过模拟发现在不同 $W$ 和 $dr$ 的取值下，当 $dr = W + 5$ 时 $P_{d}$ 有最大值。(详情请见附录代码 $\mathrm{m}22$ )最后考虑 $W$ 单独为 $P_{d}$ 的影响，模拟发现 $P_{d}$ 是关于 $W$ 的单峰函数。(详情请见附录代码 $\mathrm{m}23$ )至于定日镜数量以及定日镜位置，在上述调节过程中已经安置好。定日镜高度在本问题只影响截断效率，故取最大值使得截断效率最大。上述分析中我们发现有 $P_{d}(D)$ 单峰曲线和 $P_{d}(W)$ 单峰曲线，通过求解曲线的极大值点，即可得到变量的较优解。 + +为求解无解析式的单峰函数的极值点，我们将采用三分查找法对其进行求解。三分法是二分法的变种，他最基本的用途是求单峰函数的极值点。 + +# 算法2：三分查找算法 + +输入：单峰曲线离散节点与对应函数值，停止条件 $\epsilon$ 为一较小的正数，即代表迭代收敛。 + +输出：极大值和极大值点 + +Step1 计算 $l_{\text{sec}}$ 和 $r_{\text{sec}}$ 的目标函数值 $f(l_{\text{sec}})$ 和 $f(r_{\text{sec}})$ ，如果 $f(l_{\text{sec}}) < f(r_{\text{sec}})$ ，转至 Step2；如果 $f(l_{\text{sec}}) > (r_{\text{sec}})$ ，转至 Step3 + +Step2 极大值一定在 $[l_{\mathrm{sec}}, r]$ 内取到，令 $l = l_{\mathrm{sec}}$ ，计算更新的 $l_{\mathrm{sec}} = l + (r_{\mathrm{sec}} - l_{\mathrm{sec}}) / 3$ 和 $r_{\mathrm{sec}} = l + 2 \times (r_{\mathrm{sec}} - l_{\mathrm{sec}}) / 3$ 。如果 $|l_{\mathrm{sec}} - r_{\mathrm{sec}}| < \epsilon$ ，结束迭代并输出结果。 + +Step3 极大值一定在 $[l, r_{\mathrm{sec}}]$ 内取到，令 $r = r_{\mathrm{sec}}$ ，计算更新的 $l_{\mathrm{sec}} = l + (r_{\mathrm{sec}} - l_{\mathrm{sec}}) / 3$ 和 $r_{\mathrm{sec}} = l + 2 \times (r_{\mathrm{sec}} - l_{\mathrm{sec}}) / 3$ 。如果 $|l_{\mathrm{sec}} - r_{\mathrm{sec}}| < \epsilon$ ，结束迭代并输出结果。 + +![](images/19f378a956354b9e0040cd3bbca99bb58a479d6efbfdcf4bdcb50746e1f9776e.jpg) +图7 算法2的图形解释 + +利用三分法对 $P_{d}$ 关于 $D$ 的单峰函数和 $P_{d}$ 关于 $W$ 的单峰函数求解结果示意图如图 9 所示, 其中红色点为三分迭代法所寻找的 $l_{\mathrm{sec}}$ 和 $r_{\mathrm{sec}}$ , 蓝色实线为拟合曲线: + +![](images/8a155ae5621e3b7b819eedfe83273781746b62bc46ed9bb310018303ba6668f5.jpg) +(a) $P_{d}(D)$ 单峰曲线 + +![](images/7e69630d5d6d41c38bf1ec76325771b6e4014c885b8443660ebd07c42e3f6bf4.jpg) +(b) $P_{d}(W)$ 单峰曲线 +图8 + +由图中数据可得, 当吸收塔向南移动距离 $D$ 为 $237.0240 \mathrm{~m}$ , 单位镜面面积年平均输 + +出热功率 $P_{d}$ 最大；当定日镜宽度 $W$ 为 $5.4670 \mathrm{~m}$ 时， $P_{d}$ 达到最大值。 + +表 4 部分月数 21 日平均光学效率及输出功率 (详见附录 B) + +
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
1月21日0.60990.89140.86970.88070.4411
3月21日0.58830.86810.86270.88090.4674
5月21日0.54060.82410.83540.88180.4455
7月21日0.54090.82440.83550.88180.4457
9月21日0.58960.86910.86360.88080.4677
11月21日0.60840.89190.86700.88070.4375
+ +表 5 年平均光学效率及输出功率 + +
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(MW)单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
0.57870.86140.85460.881143.730.4505
+ +表 6 问题二的参数设计表 + +
吸收塔的平面位置坐标定日镜尺寸(宽×高)定日镜安装高度(m)定日镜总面数定日镜总面积(m2)
(0,-237.0240)//324997106.40
+ +# 5.3 问题三的模型建立与求解 + +# 5.3.1 问题三的模型建立 + +本问题同样需要在满足定镜日场额定功率、定日镜尺寸、定日镜间距限制的条件下，最优化单位镜面面积年平均输出热功率 $P_{d}$ ，使之达到最大，但在此优化过程各个定日镜的尺寸以及高度可以不同。 + +首先设定日镜总数为 $N$ ，第 $i$ 块定日镜镜面宽度为 $W_{i}$ ，高度为 $H_{i}$ ，安装高度为 $h_{i}$ ，则单位镜面面积年平均输出热功率 $P_{d}$ ，即优化目标如下： + +优化目标： + +$$ +P _ {d} = \frac {E _ {y}}{\sum_ {i = 1} ^ {N} W _ {i} H _ {i}} \tag {34} +$$ + +其中 $E_{y}$ 为镜面年平均输出热功率输出。因此以 $P_{d}$ 为优化目标建立最优化模型如下： + +$$ +\max \quad P _ {d} \tag {35} +$$ + +# 约束条件： + +为确定该模型的约束条件，首先设吸收塔的平面坐标为 $(x_{c},y_{c})$ ，第 $i$ 块定日镜位置为 $(x_{i},y_{i},h)$ 。由于吸收塔周围 $100\mathrm{m}$ 以内不设置定日镜，故有： + +$$ +\forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {c}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {c}\right) ^ {2}} \geq 1 0 0 \tag {36} +$$ + +由于镜面宽度不小于镜面高度，故有： + +$$ +\forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad W _ {i} \geq H _ {i} \tag {37} +$$ + +镜面边长在 $2m$ 到 $8m$ 之间，且定日镜的安装高度在 $2m$ 至 $6m$ 之间，故有： + +$$ +\forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad W _ {i} \in [ 2, 8 ], \quad H _ {i} \in [ 2, 8 ], \quad h _ {i} \in [ 2, 6 ] \tag {38} +$$ + +定日镜的安装高度必须保证镜面在绕水平转轴旋转时不会触及地面，故有： + +$$ +\forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad h _ {i} \geq \frac {1}{2} H _ {i} \tag {39} +$$ + +为保持清洁，相邻的定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多 $5\mathrm{m}$ 以上，故有： + +$$ +\forall i, j \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2}} \geq \frac {W _ {i} + W _ {j}}{2} + 5 \tag {40} +$$ + +此外定日镜均位于半径 $350\mathrm{m}$ 的范围内，故有： + +$$ +\forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, \quad \sqrt {x _ {i} ^ {2} + y _ {i} ^ {2}} \leq 3 5 0 \tag {41} +$$ + +定日镜场的额定年平均输出热功率还需要达到60MW，故有： + +$$ +E _ {y} \geq 6 0 \times 1 0 ^ {3} \tag {42} +$$ + +综上所述，建立镜场年平均功率单目标优化模型： + +$$ +\max \quad P _ {d} \tag {43} +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l l} \forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, & \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {c}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {c}\right) ^ {2}} \geq 1 0 0 \\ \forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, & W _ {i} \geq H _ {i} \\ \forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, & W _ {i} \in [ 2, 8 ], \quad H _ {i} \in [ 2, 8 ], \quad h _ {i} \in [ 2, 6 ] \\ \forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, & h _ {i} \geq \frac {1}{2} H _ {i} \\ \forall i, j \in \{1, 2, \dots , N \}, & \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2}} \geq \frac {W _ {i} + W _ {j}}{2} + 5 \\ \forall i \in \{1, 2, \dots , N \}, & \sqrt {x _ {i} ^ {2} + y _ {i} ^ {2}} \leq 3 5 0 \\ E _ {y} \geq 6 0 \times 1 0 ^ {3} & \end{array} \right. \tag {44} +$$ + +# 5.3.2 问题三的模型求解 + +在问题二的基础上，我们在本问题中可以自由的选择每一块定日镜的尺寸和高度。在问题二的两个单峰曲线已经证明并求出了使得目标函数，即定日镜场额定年平均输出热功率 $P_{d}$ 较大的定日镜宽度 $W$ 和吸收塔向南的位移 $D$ ，因此为简化对定日镜的调节，本问题不再改变 $W$ 和 $D$ ，以及定日镜场的各个定日镜的位置分布，而是将重心放在定日镜安装高度上。利用蒙特卡洛方法，随机生成每一圈定日镜的高度，并求得这组高度下的目标函数值，循环进行上述操作并更新较优解。得到定日镜场中的定日镜排布图： + +![](images/d6519196a0bbfe5d3030f5e079a51cc4a6e4bba30c79e62641ae705b96796b79.jpg) +(a) +图9 调节后定日镜场中定日镜排布图 + +![](images/73c9ae070760818116b93d8a6f5ca74c3ded44b17b066be017bb2772a92bf358.jpg) +(b) + +表 7 部分月数 21 日平均光学效率及输出功率 (详见附录 C) + +
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
1月21日0.61570.89200.87790.88000.4472
3月21日0.59550.86920.87290.88020.4755
5月21日0.54790.82560.84550.88120.4556
7月21日0.54820.82590.84570.88120.4557
9月21日0.59660.87020.87350.88020.4755
11月21日0.61490.89250.87620.88000.4439
+ +表 8 年平均光学效率及输出功率 + +
年平均光学效率年平均余弦效率年平均阴影遮挡效率年平均截断效率年平均输出热功率(MW)单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
0.58560.86250.86420.880444.250.4556
+ +表 9 问题三的参数设计表 + +
吸收塔的平面位置坐标定日镜尺寸(宽×高)定日镜安装高度(m)定日镜总面数定日镜总面积(m2)
(0,-237.0240)//324997106.40
+ +# 六、模型检验 + +由于问题二与问题三的模型都是基于问题一变化而得，因此在本小节中，将对问题一中的模型进行检验，并判断问题一中模型的合理性。对问题一的问题分析可得，在该问题中对指标进行计算的时间段关于中午12:00对称，从而得到各个年平均指标的散点图均东西对称。因此为检验模型的合理性，我们将改变对指标的计算时间为上午8:00、8:30、9:00、9:30、10:00。画出的各个指标的散点图如下所示： + +![](images/0d18ae9bc5befeb92a990886aee7e3f5c84092266202b6e10cd2dcb9e39eeec8.jpg) +(a)每块定日镜对应大气透射效率散点图 + +![](images/5022286dcfd631c62e8d56e8ee9986b4a876cf5708eff9dba2edf27fc88fa14c.jpg) +(b)每块定日镜年平均截断效率散点图 + +![](images/ea7fc815255830dfc60aed3715c50b749576acbd59cc0ccc4ddb0a120ac8914f.jpg) +(c)每块定日镜年平均余弦效率散点图 + +![](images/6e787047972d0433bca481a6e144c97922c753a2d8ddaf4bc8fd4e874a0f6708.jpg) +(d) 每块定日镜年平均阴影遮挡效率散点图 + +![](images/d6fb1677aa28fd5938aa5950e302c0d73f68ae5e142bafc6a4a3a2cb986b9f45.jpg) +(e)每块定日镜年平均光学效率散点图 +图10 + +![](images/94c27d803a978b13e436979d4716abc3deeb792554c14c3541a3f63483295a9a.jpg) +(f) 每块定日镜年平均输出热功率散点图 + +上述结果表明，散点图的峰值移动规律与太阳视运动规律一致。说明模型可以较为真实准确地反映定日镜场镜面反射、阴影遮挡、集热器截断等光学现象。 + +# 七、模型评估 + +# 模型优点： + +1. 基于光学定律建立数学模型，真实准确反映光线入射、反射及阴影遮挡规律； +2. 通过栅格化方法求解阴影遮挡效率与截断效率，避免了繁复的解析推导，模型求解简便； +3. 在问题 2、3 的求解中, 通过三分法降低解空间维度, 极大加快了模型求解速度。 + +# 模型缺点： + +1. 采用栅格化方法进行模型求解，求得的阴影遮挡效率、截断效率与真实值有少量偏差； +2. 忽略了吸收塔在定日镜表面形成的阴影，求得的阴影遮挡效率偏大。 + +# 参考文献 + +[1] 刘建兴. 塔式光热电站光学效率建模仿真及定日镜场优化布置 [D]. 兰州交通大学,2022. +[2] 张平, 禹正稳, 华文瀚等. 太阳能塔式光热镜场光学效率计算方法 [J]. 技术与市场, 2021, 28(06):5-8. +[3] 杜宇航等，塔式光热电站定日镜不同聚焦策略的影响分析 [J]，动力工程学报，2020, 40(5):426-432 + +# A 附件清单 + +1.1附录A：问题1每月21日平均光学效率及输出功率 +1.2附录B：问题2每月21日平均光学效率及输出功率 +1.3附录C：问题3每月21日平均光学效率及输出功率 +1.4 Matlab 程序 m11.m +1.5 Matlab 程序 m12.m +1.6 Matlab 程序 m21.m +1.7 Matlab 程序 m22.m +1.8 Matlab 程序 m23.m +1.9 Matlab 程序 m3.m + +# 附录A 问题1每月21日平均光学效率及输出功率 + +表 10 问题 1 每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
1月21日0.47050.71990.89670.80700.3404
2月21日0.48590.74040.90430.80810.3715
3月21日0.49800.76110.90580.80840.3955
4月21日0.50390.77930.89770.80670.4101
5月21日0.50380.78930.88590.80860.4145
6月21日0.50220.79240.87990.80910.4144
7月21日0.50390.78920.88620.80840.4146
8月21日0.50390.77860.89840.80690.4097
9月21日0.49720.76010.90540.80850.3942
10月21日0.48450.73780.90430.80820.3683
11月21日0.46820.71820.89450.80680.3369
12月21日0.46010.71110.88730.80670.3227
+ +# 附录B 问题2每月21日平均光学效率及输出功率 + +表 11 问题 2 每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
1月21日0.60990.89140.86970.88070.4411
2月21日0.60550.88320.87280.88060.4629
3月21日0.58830.86810.86270.88090.4674
4月21日0.56390.84510.84950.88110.4594
5月21日0.54060.82410.83540.88180.4455
6月21日0.53090.81530.82940.88200.4388
7月21日0.54090.82440.83550.88180.4457
8月21日0.56510.84620.85010.88120.4599
9月21日0.58960.86910.86360.88080.4677
10月21日0.60680.88450.87320.88060.4611
11月21日0.60840.89190.86700.88070.4375
12月21日0.59440.89350.84660.88080.4175
+ +# 附录C 问题3每月21日平均光学效率及输出功率 + +表 12 问题 3 每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学效率平均余弦效率平均阴影遮挡效率平均截断效率单位面积镜面平均输出热功率(kW/m2)
1月21日0.61570.89200.87790.88000.4450
2月21日0.61170.88400.88150.87990.4672
3月21日0.59550.86920.87290.88020.4730
4月21日0.57120.84640.85960.88050.4653
5月21日0.54790.82560.84550.88120.4517
6月21日0.53810.81680.83930.88140.4449
7月21日0.54820.82590.84570.88120.4520
8月21日0.57230.84760.86000.88050.4658
9月21日0.59660.87020.87350.88020.4730
10月21日0.61280.88530.88170.87990.4653
11月21日0.61490.89250.87620.88000.4419
12月21日0.60200.89400.85720.88000.4224
+ +# 附录D Matlab程序m11.m + +% 第一题 + +clear; + +location=readmatrix('附件');% location为定日镜xy坐标 + +% figure;plot location(:,1),location(:,2)，'.'); + +% title('附件定日镜坐标信息'); axis equal; + +loc_jire=[0,0,80];%集热器中心坐标 + +$\mathrm{h} = 4; \%$ 定日镜高度 + +loc_dingri=[location,h+zeros(size location,1),1)]; %定日器中心坐标 + +s_reflect=loc_jire-loc_dingri; % 反射光线的方向向量 + +s_reflect=s_reflect./sqrt(s_reflect(:,1).^2+s_reflect(:,2).^2+s_reflect(:,3).^2);%单位化 + +D=readmatrix('日期天数计算.xlsx'); + +D(:,1:2) = []; % D为以春分作为第0天起算的天数 12个月 + +$\mathrm{ST} = 8:0.5:10;\%$ 当地时间 + +$\% \mathrm{i} = \mathrm{D}$ 长12j=ST长5共60次 + +alphas=zeros(12,5);gamas=zeros(12,5);s_in=zeros(12,15);%初始化 + +phi=39.4*pi/180;% 当地纬度 + +for $i = 1:12$ %第i行为日期 + +for $j = 1:3\%$ 第j列为时间 + +delta=asin( sin(2*pi*D(i)/365)*sin(2*pi*23.45/360));% 太阳赤纬角 + +[ \mathrm{w} = (\mathrm{ST}(\mathrm{j}) - 12)*\mathrm{pi} / 12; \% ] 太阳时角 + +alphas(i,j)=asin(cos(theta)*cos(phi)*cos(w)+sin(theta)*sin phi);% 太阳高度角 + +gamas(i,j)=real(acos((sin(delta)-sin(alphas(i,j))\*sin(phi))/((cos(alphas(i,j))*cos(phi)) + +）；%太阳方位角 + +if gamas(i,j) $\rightharpoondown$ pi + +s_in(i,3*(j-1)+(1:3))=-[sin(gamas(i,j)),cos(gamas(i,j)),tan(alphas(i,j))];% + +入射光的方向向量 12行*15列 每3列一组为一组方向向量 + +s_in(i,3*(j-1)+(1:3))=s_in(i,3*(j-1)+(1:3))./norm(s_in(i,3*(j-1)+(1:3))）;% 单位化 + +end + +end + +s_in(:,10)=-s_in(:,4); + +s_in(:,11)=s_in(:,5); + +s_in(:,12) $=$ s_in(:,6); + +s_in(:,13)=-s_in(:,1); + +s_in(:,14) $=$ s_in(:,2); + +s_in(:,15) $=$ s_in(:,3); + +$\% \mathrm{i} = \mathrm{D}$ 长12j=ST长5共60次 + +n_dingri=zeros(size location,1),3); % 第i天，第j时，定日器法向量 + +shade=zeros(12,5,1745); %阴影初始化 + +ntrunc=zeros(12,5,1745);%截断效率初始化 + +for $i = 1:12$ %第i行为日期 + +for $j = 1:5\%$ 第j列为时间 + +n_dingri=s_in(i,3*(j-1)+(1:3))-s_reflect;% 确定每个定日器的法向量 + +n_dingri=n_dingri./sqrt(n_dingri(:,1).^2+n_dingri(:,2).^2+n_dingri(:,3).^2); + +W=6;H=6;% 定日镜W宽度 H高度 + +$\mathrm{v1} = [\mathrm{n\_dingri}(:,2), - \mathrm{n\_dingri}(:,1),\mathrm{zeros(size(n\_dingri}(:,1))]_{:}$ + +$\mathsf{v2} = [-\mathsf{n\_dingri}(:,1).*\mathsf{n\_dingri}(:,3), - \mathsf{n\_dingri}(:,2).*\mathsf{n\_dingri}(:,3),\mathsf{n\_dingri}(:,2).^{\wedge 2} + \mathsf{n\_dingri}(:,1).^{\wedge 2}];$ + +v1=v1./sqrt(v1(:,1).^2+v1(:,3).^2+v1(:,3).^2); + +v2=v2./sqrt(v2(:,1).^2+v2(:,3).^2+v2(:,3).^2); + +xp1=location(:,1)+W*v1(:,1)/2+H*v2(:,1)/2; + +yp1=location(:,2)+W*v1(:,2)/2+H*v2(:,2)/2; + +$\mathrm{zp1 = h + W*v1(:,3) / 2 + H*v2(:,3) / 2};$ + +xp2=location(:,1)-W*v1(:,1)/2+H*v2(:,1)/2; + +yp2=location(:,2)-W*v1(:,2)/2+H*v2(:,2)/2; + +$\mathtt{zp2 = h - W*v1(:,3) / 2 + H*v2(:,3) / 2};$ +xp3 $\equiv$ location(:,1)-W*v1(:,1)/2-H*v2(:,1)/2; +yp3 $\equiv$ location(:,2)-W*v1(:,2)/2-H*v2(:,2)/2; +zp3 $\equiv$ h-W*v1(:,3)/2-H*v2(:,3)/2; +xp4 $\equiv$ location(:,1)+W*v1(:,1)/2-H*v2(:,1)/2; +yp4 $\equiv$ location(:,2)+W*v1(:,2)/2-H*v2(:,2)/2; +zp4 $\equiv$ h+W*v1(:,3)/2-H*v2(:,3)/2; + +$\mathrm{dl} = \mathrm{H} / 5; \%$ 分网格 + $\mathrm{xid} = \mathrm{W} / \mathrm{d}1; \mathrm{yid} = \mathrm{H} / \mathrm{d}1; \% \mathrm{xy}$ 分为xyid格 +%%%%%阴影遮挡计算开始 + +for $k = 1$ :length（xp1）%扫描每一个定日器算阴影 +```matlab +%从左上角开始向右、向下分格子 +shade1=zeros(xid,yid);%保存第k块板的阴影信息 +for ii=1:xid % 从左到右一列一列扫 + for jj=1:yid % 每一列都从上往下扫 + xi=xp2(k)+jj*dl*v1(k,1)-ii*dl*v2(k,1)-dl*v1(k,1)/2+d1*v2(k,1)/2;%格子中右下角的坐标作为这一格的代表 + yi=yp2(k)+jj*dl*v1(k,2)-ii*dl*v2(k,2)-dl*v1(k,2)/2+d1*v2(k,2)/2; + zi=zp2(k)+jj*dl*v1(k,3)-ii*dl*v2(k,3)-dl*v1(k,3)/2+d1*v2(k,3)/2; + temp=[location,h+zeros(size location,1),1)];%临时定日点阵 + temp(k,:)=[inf,inf,inf]; +``` + +for time=1:6 %找最近的6个点 +```matlab +kk = dsearchn(temp, [location(k, :, 4)]; % kk是temp里距离k最近的定日索引 +% 线面交点计算 +[px1, py1, pz1] = CalPlaneLineIntersectPoint(n_dingri(kk, :, [location(kk, :, h], s_in(i, 3*(j-1) + 0), % %阴影 +if dot([location(kk, :, h] - [px1, py1, pz1], s_in(i, 3*(j-1) + (1:3)))] > 0 + result1 = is_point_in_rectangular(px1, py1, pz1, [xp1(kk), yp1(kk), zp1(kk); xp2(kk), yp2(kk), zp2(kk), zp2(kk)), +else + result1 = 0; +end +if result1 > 0 + shade1(ii, jj) = 1; + shade(i, j, k) = shade(i, j, k) + 1; %找到就退出六次的循环 +break +end +[px2, py2, pz2] = CalPlaneLineIntersectPoint(n_dingri(kk, :, [location(kk, :, h], s_reflect(k, :, %遮挡 +if dot([px2, py2, pz2] - [location(kk, :, h], s_reflect(k, :)) > 0 + result2 = is_point_in_rectangular(px2, py2, pz2, [xp1(kk), yp1(kk), zp1(kk); xp2(kk), yp2(kk), zp2(kk), zp2(kk)), +else + result2 = 0; +end +%%画图 +% plot3([xi, xi-n_dingri(k, 1)*5], [yi, yi-n_dingri(k, 2)*5], [zi, zi-n_dingri(k, 3)*5], [xi, xi-s +``` + +if result2>0 shade1(ii,jj) $= 1$ shade(i,j,k) $\equiv$ shade(i,j,k)+1; %找到就退出六次的循环 break else temp(kk,:）=[inf,inf,inf]；%将找到的最近点删除 end end end%%%%阴影遮挡计算结束 end%%%%没有阴影遮挡的区域截断计算开始 if sum(sum(shape1)) $\equiv$ xid\*yid truncc(i,j,k)=inf; continue end d=sqrtlocation(k,1)\~2+location(k,2)\~2+(h-80)\~2);%定日镜到集热器中心距离 r=4.65\*10\~(-3)*d;%光斑半径 xlimit=3.5-r;ylimit=4-r; light_out=(W+2*r)*(H+2*r);%不考虑阴影的定日镜总输出 %light_overflow=(7+2*r)*(8+2*r)-8*7;%不考虑阴影的总溢出 light_in=min(8,2*r+H)*min(7,2*r+W);%不考虑阴影的集热器总输入 [xx,yy]=find(shape1>0);%阴影索引 for ix=1:length(xx) yi=H/2-xx(ix)*dl+d1/2;xi=-W/2+yy(ix)*dl-d1/2; if xx(ix) $\equiv$ 1 && yy(ix) $\equiv$ 1 || xx(ix) $\equiv$ 1 && yy(ix) $\equiv$ xid || xx(ix) $\equiv$ yid && yy(ix) $\equiv$ xid %四个角 if r+abs(xi)+dl/2<3.5 %说明集热器全部吸收 light_out=light_out-(dl+r)^2; light_in=light_in-(dl+r)^2; elseif r+abs(yi)+dl/2<4 %说明集热器上下全部吸收 左右溢出 light_out=light_out-(dl+r)^2; light_in=light_in-(dl/2+3.5-abs(xi))*dl+r); else %上下左右都溢出 light_out=light_out-(dl+r)^2; light_in=light_in-(dl/2+3.5-abs(xi))*dl/2+4-abs(yi)); end elseif xx(ix) $\equiv$ 1 && 10); +yon $\equiv$ yon\*(.dot(cross(V23,V2q),cross(V23,-V12))>0); +yon $\equiv$ yon\*(.dot(cross(-V13,V3q),cross(-V13,-V23))>0); +end + +# 附录E Matlab程序m12.m + +```matlab +clear +load Q1.mat +%余弦效率 +eta_cos=zeros(12,5,size location,1)); +for i=1:12 %第i行为日期 +for j=1:5 %第j列为时间 +n_dingri=s_in(i,3*(j-1)+(1:3))-s_reflect;% 确定每个定日器的法向量 +n_dingri=n_dingri./sqrt(n_dingri(:,1).^2+n_dingri(:,2).^2+n_dingri(:,3).^2); +for k=1:size location,1) +eta_cos(i,j,k)=abs.dot(n_dingri(k,:),s_in(i,3*(j-1)+(1:3))))； +end +end +end +month ETA_cos=zeros(12,1); +for i=1:12 +``` + +%绘制散点图 +```txt +month_eta_cos(i) = sum(eta_cos(i, :, :, 'all') / (5*size location, 1)); +end +year_eta_cos = mean(month_eta_cos); +``` + +$\%$ 阴影遮挡效率 +```matlab +tmp = sum(eta_cos, 1); +tmp = sum(tmp, 2); +tmp = reshape(tmp.size.location, 1), 1); +tmp = tmp / (12 * 5); +figure +scatter.location(:, 1), location(:, 2), [], tmp); +title('每块定日镜年平均余弦效率散点图') +colorbar +``` + +```matlab +eta_sb=1-shade*5/(xid*yid*8); +month_eta_sb=zeros(12,1); +for i=1:12 month_eta_sb(i)=sum(eta_sb(i,::,,'all'/5*size location,1)); +end +year_eta_sb=mean(month_eta_sb); +``` + +%绘制散点图 +tmp=sum(eta_sb,1); +tmp=sum(tmp,2); +tmp=reshape(tmp,size location,1),1); +tmp $=$ tmp/(12\*5); +figure +scatter.location(:,1),location(:,2)，[]，tmp); title('每块定日镜年平均阴影遮挡效率散点图') colorbar + +$\%$ 大气透射率 +```matlab +tmp=loc_dingri(:,1).^2+loc_dingri(:,2).^2+(loc_dingri(:,3)-loc_jire(3)).^2; +d_HR=sqrt(tmp); +tmp1=0.99321-0.0001176*d_HR+1.97e-8*d_HR.^2; +eta_at=zeros(12,5,size location,1)); +for i=1:size.location,1) + eta_at(:, :,i)=tmp1(i)*ones(12,5); +end +``` + +%绘制散点图 +tmp=sum(eta_at,1); +tmp=sum(tmp,2); +tmp=reshape(tmp,size location,1),1); +tmp $=$ tmp/(12\*5); +figure +scatterlocation(:,1),location(:,2)，[]，tmp); title('每块定日镜大气透射率散点图') + +colorbar +%% 截断效率 +% inf处理，赋平均值 +eta_trunc=ntrunc; +infid $\equiv$ [];%inf值的id，每行为i，j，k +cnt=0; +for i=1:12 for j=1:5 for k=1:sizelocation,1) if eta_trunc(i,j,k)\~ $\equiv$ inf cnt=cnt+eta_trunc(i,j,k); else infid $\equiv$ [infid;i j k]; end end end end +end +N=size(infid,1); ave=cnt/(12*5*size location,1)-N); +for i=1:N eta_trunc(infid(i,1),infid(i,2),infid(i,3)) $=$ ave; +end + +```matlab +%开始计算月平均与年平均 +month_ eta_trunc = zeros(12, 1); +for i = 1:12 + tmp = eta_trunc(i, :, :); + tmp(tmp == inf) = []; + month_ eta_trunc(i) = sum(tmp, 'all') / numel(tmp); +end +year_ eta_trunc = mean(month_ eta_trunc); +``` + +```matlab +%绘制散点图 +tmp=sum(eta_trunc,1); +tmp=sum(tmp,2); +tmp=reshape(tmp,size location,1),1); +tmp=tmp/(12*5); +figure +scatter.location(:,1),location(:,2)，[,tmp); +title('每块定日镜年平均截断效率散点图') +colorbar +%%镜面反射率 +eta_ref=0.92*ones(12,5,size location,1)); +``` + +```matlab +%% 光学效率 +eta=eta_sb.*eta_cos.*eta_at.*eta_trunc.*eta_ref; +``` + +month eta=zeros(12,1); +for i=1:12 tmp=eta(i，：，）; month eta(i)=sum(tmp,'all'/numel(tmp); +end +year eta $=$ mean(month eta); + +%绘制散点图 +tmp=sum(eta,1); +tmp=sum(tmp,2); +tmp=reshape(tmp,size location,1),1); +tmp $=$ tmp/(12\*5); +figure +scatter.location(:,1),location(:,2)，[]，tmp); title('每块定日镜年平均光学效率散点图') colorbar + +%% 单位面积镜面输出热功率 +$\%$ 构造DNI矩阵 +G0=1.366; +altitude=3; +a=0.4237-0.00821*(6-altitude)^2; +b=0.5055+0.00595*(6.5-altitude)^2; +c=0.2711+0.01858*(2.5-altitude)^2; +tmp2=G0*(a+b*exp(-c./sin(alphas))）;%12*5矩阵 +DNI=zeros(12,5,size location,1)); +for i=1:sizelocation,1) + DNI(:, :,i)=tmp2; +end + +定日镜面积 +```matlab +A=W.*H.*ones(12,5,size location,1)); +E=DNI.*A.*eta;%每块热功率，12*5*size location,1) +Ef=sum(E,3);%镜场总瞬时热功率，12*5 +year_Ef=sum(Ef,'all')/(12*5);%镜场年平均热功率，1*1 +tmp=sum(A,3);Ef_per_area=Ef/tmp(1);%单位面积输出热功率，12*5 +``` + +每块镜子年平均热功率，1745*1 +```matlab +mirror_year_ave=zeros(size location,1),1); +for i=1:size.location,1) + mirror_year_ave(i)=sum(E(:, :,i), 'all')/(12*5); +end +``` + +单位面积输出月、年平均 +```txt +month_Ef_per_area=zeros(12,1); +for i=1:12 + tmp=Ef_per_area(i,:) +``` + +month_Ef_per_area(i) $\equiv$ sum(tmp,'all'/numel(tmp); +end +year_Ef_per_area $\equiv$ mean(month_Ef_per_area); +%每块定日镜年平均输出热功率散点图 +figure +scatter location(:,1),location(:,2)，[]，mirror_year_ave); title('每块定日镜年平均输出热功率散点图(kW)') +colorbar + +# 附录F Matlab程序m21.m + +```matlab +clear +load('s_in'); load("alphas.mat") +%% 三分查找 +e=1; +W=8;H=8;h=6; +%goal=60*10^3; %目标是年输出60MW +% 最大热功率位于100,pi/2处，beta为同层相邻定日镜夹角 +mind=0;maxd=250; +leftd=(maxd-mind)/3;rightd=2*(maxd-mind)/3; +ddd=inf; +while dddd>e +leftd=mind+(maxd-mind)/3;rightd=mind+2*(maxd-mind)/3; +YEAR_EF=[[]; +for D=[lefttd,rightd] % 左中右 +%% 放置定日镜 +dr=W+5; +R=100:dr:(350+D); +x=[[];y=[[]; +theta_bond=zeros(1,length(R)); +for i=1:length(R) +if R(i)<350-D % 定日最远边界 +theta_bond(i)=-pi/2; +else +theta_bond(i)=asin((R(i)^2+D^2-350^2)/(2*R(i)*D)); +end +end +beta=dr./R;% 满足相邻定日镜大于5m 约束6 +for i=1:length(beta) +theta=((-1)^i*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2 +):beta(i):(pi-theta_bond(i)-beta(i)/4);%更新theta +x=[x,R(i)*cos(theta)];y=[y,R(i)*sin(theta)];%放置定日镜 +``` + +$\%$ 计算本次的额定热功率year_EF + $\%$ plot(x,y,'.') location $\equiv$ [x'，y'-D]； [aaa,~] $=$ Objfun2(H,W,h,D,location); YEAR_EF $\equiv$ [YEAR_EF,aaa]; end if YEAR_EF(1)YEAR_EF(2) maxd $\equiv$ rightd; dddd=abs(leftd-rightd) end end save('D','D'); + +# 附录G Matlab程序m22.m + +```matlab +%% 已知集热器坐标 D=156.0504 改变参数 W H +D=156.0504; +h=6; +% beta为同层相邻定日镜夹角 +A=[]; +for H=2:8 + for W=H:8 + %放置定日镜 + dr=11+2*W/8; + R=100:dr:(350+D); + x=[[];y=[[]; + theta_bond=zeros(1,length(R)); + for i=1:length(R) + if R(i)<350-D % 定日最远边界 + theta_bond(i)=-pi/2; + else + theta_bond(i)=asin((R(i)^2+D^2-350^2)/(2*R(i)*D)); + end + end + beta=dr./R;% 满足相邻定日镜大于5m约束6 + for i=1:length(beta) + theta=((-1)^i*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2) + ):beta(i):(pi-theta_bond(i)-beta(i)/4);%更新theta + x=[x,R(i)*cos(theta)];y=[y,R(i)*sin(theta)];%放置定日镜 + end + %计算本次的额定热功率 year_EF +``` + +location $\equiv$ [x'，y'-D]；[year_EF, $\sim ] = 0$ Objfun2(H,W,h,D,location)；A=[A;W,H,year_EF]end +end + $\% \%$ 由结果可知， $W = H$ 时效率最高 + +# 附录H Matlab程序m23.m + +$\% \%$ 已知集热器坐标 $\mathrm{D} = 237.0240$ 改变参数Wdr + $\mathrm{D} = 156.0504$ $\mathbf{h} = 6$ $\% \%$ H=6 +A=[]； +for $\mathrm{H} = 6$ for dr=(H+5):0.2:(H+7) W=H; R=100:dr:(350+D); x=[];y=[]; theta_bond=zeros(1,length(R)); for i=1:length(R) if R(i)<350-D % 定日最远边界 theta_bond(i)=-pi/2; else theta_bond(i)=asin((R(i)^2+D^2-350^2)/(2*R(i)*D)); end end beta=dr./R;% 满足相邻定日镜大于5m约束6 for i=1:length(beta) theta=((-1)^i*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2 ):beta(i):(pi-theta_bond(i)-beta(i)/4);%更新theta $x = [x,R(i)*\cos (\text{theta})];y = [y,R(i)*\sin (\text{theta})]$ ;%放置定日镜 end location=[x',y']; [year_EF, $\sim ] = 0$ Objfun2(H,W,h,D,location); A=[A;W,dr,year_EF] if size(A,1)>2 && A(end,3)-A(end-1,3)<0 && A(end-1,3)-A(end-2,3)<0 break end end end + +$\%$ 1.0e+04 \* + $\%$ 0.0006 0.0011 4.0290 + $\%$ 0.0006 0.0011 3.9190 + $\%$ 0.0006 0.0011 3.7962 + $\%$ 0.0006 0.0012 3.6965 + $\%$ 0.0006 0.0012 3.5853 + $\% \%$ H=5 +A=[]； +for H=5 for dr=(H+5):0.2:(H+7) W=H; R=100:dr:(350+D); x=[];y=[]; theta_bond=zeros(1,length(R)); for i=1:length(R) if R(i)<350-D %定日最远边界 theta_bond(i)=-pi/2; else theta_bond(i)=asin((R(i)^2+D^2-350^2)/(2*R(i)*D)); end end beta=dr./R;%满足相邻定日镜大于5m约束6 for i=1:length(beta) theta=((-1)^i*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2 ):beta(i):(pi-theta_bond(i)-beta(i)/4);%更新theta $x = [x,R(i)*cos(\mathrm{theta})];y = [y,R(i)*sin(\mathrm{theta})]$ ;%放置定日镜 end location=[x',y']; [year_EF,~]=Objfun2(H,W,h,D/location); A=[A;W,dr,year_EF] if size(A,1)>2 && A(end,3)-A(end-1,3)<0 && A(end-1,3)-A(end-2,3)<0 break end end +end + $\% \%$ 求解结果（部分） + $\%$ 1.0e+04 \* + $\%$ 0.0005 0.0010 4.0764 + $\%$ 0.0005 0.0010 3.9347 + $\%$ 0.0005 0.0010 3.8147 + $\% \%$ H=4 +A=[]； +for H=4 for dr=(H+5):0.2:(H+7) + +```matlab +W=H; +R=100:dr:(350+D); +x=[;y=[]; +theta_bond=zeros(1,length(R)); +for i=1:length(R) + if R(i)<350-D % 定日最远边界 + theta_bond(i)=-pi/2; + else + theta_bond(i)=asin((R(i)^2+D^2-350^2)/(2*R(i)*D)); + end +end +beta=dr./R;% 满足相邻定日镜大于5m约束6 +for i=1:length(beta) + theta=((-1)^i*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2); + ):beta(i): (pi-theta_bond(i)-beta(i)/4); % 更新theta + x=[x,R(i)*cos(theta)]; y=[y,R(i)*sin(theta)]; % 放置定日镜 +end +location=[x',y']; +[year_EF,]=-Objfun2(H,W,h,D,location); +A=[A;W,dr,year_EF] +if size(A,1)>2 && A(end,3)-A(end-1,3)<0 && A(end-1,3)-A(end-2,3)<0 +break +end +end +end +%% 结果展示 +% 1.0e+04 * +% +% 0.0004 0.0009 3.6235 +% 0.0004 0.0009 3.4889 +% 0.0004 0.0009 3.3570 +%% H=7 +A=[]; +for H=7 + for dr=(H+5):0.2:(H+7) + W=H; + R=100:dr:(350+D); + x=[;y=[]; + theta_bond=zeros(1,length(R)); + for i=1:length(R) + if R(i)<350-D % 定日最远边界 + theta_bond(i)=-pi/2; + else + theta_bond(i)=asin((R(i)^2+D^2-350^2)/(2*R(i)*D)); + end +end +``` + +beta $\equiv$ dr./R;%满足相邻定日镜大于5m约束6 +for $i = 1$ :lengthbeta)theta $\equiv$ ( $(-1)^{\circ}$ i\*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2）:beta(i):(pi-theta_bond(i)-beta(i)/4);%更新theta $x = [x,R(i)*cos(\mathrm{theta})];y = [y,R(i)*sin(\mathrm{theta})]$ ;%放置定日镜 +endlocation $\equiv$ [x'，y'];[year_EF, $\sim ] =$ Objfun2(H,W,h,D,location);A=[A;W,dr,year_EF]if size(A,1)>2 && A(end,3)-A(end-1,3)<0 && A(end-1,3)-A(end-2,3)<0breakend +end +end +%%求解结果（部分） +% 1.0e+04\* +% +% 0.0007 0.0012 3.6638 +% 0.0007 0.0012 3.5775 +% 0.0007 0.0012 3.4847 +%% H=8 +A[]； +for H=8for dr=(H+5):0.2:(H+7)W=H;R=100:dr:(350+D);x $\equiv$ []；y $\equiv$ []；theta_bond $\equiv$ zeros(1,length(R));for i=1:length(R)if R(i)<350-D % 定日最远边界theta_bond(i)=-pi/2;elsetheta_bond(i)=asin((R(i)\~2+D\~2-350\~2)/(2*R(i)\*D));end +endbeta $\equiv$ dr./R;%满足相邻定日镜大于5m约束6for i=1:length(beta)theta=( $(-1)^{\circ}$ i\*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2）:beta(i):(pi-theta_bond(i)-beta(i)/4);%更新theta $x = [x,R(i)*cos(\mathrm{theta})];y = [y,R(i)*sin(\mathrm{theta})]$ ;%放置定日镜 +endlocation $\equiv$ [x',y'];[year_EF, $\sim ] =$ Objfun2(H,W,h,D,location);A=[A;W,dr,year_EF]if size(A,1)>2 && A(end,3)-A(end-1,3)<0 && A(end-1,3)-A(end-2,3)<0break + +```matlab +end +end +end +%% 求解结果（部分） +% 0.0008 0.0013 3.2720 +% 0.0008 0.0013 3.1997 +% 0.0008 0.0013 3.1309 +%% 结论 具有峰值是随W变化的单峰dr=W+5时最大 +%% +%%4~7三分法求峰值 +% 三分查找 +e=0.05; +h=6; +mind=4;maxd=7; +leftd=(maxd-mind)/3;rightd=2*(maxd-mind)/3; +ddddd inf; +B=[]; +while dddd>=e +leftd=mind+(maxd-mind)/3;righthd=mind+2*(maxd-mind)/3;YEAR_EF=[[];for W=[lefttd,rightd] %左中右H=W;dr=W+5;R=100:dr:(350+D);x=[[];y=[[];theta_bond=zeros(1,length(R));for i=1:length(R)if R(i)<350-D %定日最远边界theta_bond(i)=-pi/2;elsetheta_bond(i)=asin((R(i)^2+D^2-350^2)/(2*R(i)*D));end +endbeta=dr./R;%满足相邻定日镜大于5m约束6for i=1:length(beta)theta=((-1)^i*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2):beta(i):(pi-theta_bond(i)-beta(i)/4);%更新thetax=[x,R(i)*cos(theta)];y=[y,R(i)*sin(theta)];%放置定日镜 +end +%计算本次的额定热功率year_EFLocation=[x',y'-D];h=6;[aaa,~]=Objfun2(H,W,h,D/location);YEAR_EF=[YEAR_EF,aaa];end +``` + +附录I Matlab程序m3.m +if YEAR_EF(1)YEAR_EF(2) B=[B,mind,lefttd,rightd,maxd,YEAR_EF]; maxd=rightd; dddd=abs(leftd-rightd) end end $\% \%$ W=5.4670 $\%$ $\%$ $\%$ save('D','D') save('W','W') + +```matlab +clear; +% load D;load W; +W=5.4670; +D=237.0240; +dr=W+5; +h0=6; +H=W; +R=100:dr:(350+D); +x=[[];y=[[];num=[[]; +theta_bond=zeros(1,length(R)); +for i=1:length(R) + if R(i)<350-D % 定日最远边界 + theta_bond(i)=-pi/2; + else + theta_bond(i)=asin((R(i)^2+D^2-350^2)/(2*R(i)*D)); +end +end +beta=dr./R;% 满足相邻定日镜大于5m约束6 +for i=1:length(beta) + theta=((-1)^i*beta(i)/4+theta_bond(i)+beta(i)/2):beta(i):(pi-theta_bond(i)-beta(i)/4);%更新theta +x=[x,R(i)*cos(theta)];y=[y,R(i)*sin(theta)];%放置定日镜 +num=[num,length(x)]; +``` + +end +location $\equiv$ [x',y'-D]; +n=lengthbeta); +step $\equiv$ (6-W/2)/n; +h_tj0=W/2+step/2:step:6; +maxval $= 0$ . +for time $\equiv$ 1:1e6 +h_tj=h_tj0+step\*rand(1,length.beta))-step/2;%随机取点 +% h_tj $\equiv$ sort(h_tj); +h(1:num(i)) $\equiv$ h_tj(1)；%h赋值过程 +for i $\equiv$ 2:lengthbeta) +h(num(i-1)+1:num(i)) $\equiv$ h_tj(i); +end +[year_Ef,year_Ef_per_area] $\equiv$ Objfun3(H,W,h,D,location) +if year_Ef>maxval maxval $\equiv$ year_Ef; maxh=h; maxh_tj=h_tj; +end +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/A175/A175.md b/MCM_CN/2023/A175/A175.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..24ce99bb3205ae8c10950be4b7f4dec8ccd9901c --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/A175/A175.md @@ -0,0 +1,1370 @@ +# 定日镜场的优化设计模型 + +摘要 + +定日镜场能将太阳光反射汇聚到安装在镜场中的吸收塔集热器上，实现能量转换，不同的定日镜场参数会影响定日镜场的效率。本文通过光线反射、入射等模型，计算给定参数下的定日镜场效率，并建立定日镜场的效率优化模型，研究定日镜场参数变化对单位镜面面积平均输出热功率的影响。 + +针对问题一，本文建立了定日镜场的效率计算模型。首先，建立镜场大地坐标系、镜面坐标系和光锥束坐标系，描述定日镜场的参数。太阳光束的入射光线和反射光线考虑为光锥束，计算太阳光的入射和反射，考虑阴影遮挡损失、余弦损失、集热器截断效率等因素。通过坐标变换和方程联立，判断某入射光线及对应的反射光线是否造成阴影遮挡损失所涉及的塔身阴影损失、入射镜面遮挡损失、反射镜面遮挡损失，再判断成功反射出的光线是否被集热器接收。最后得到光学效率和输出热功率的表达式，进一步计算年平均光学效率、年平均热功率、单位镜面面积年平均输出热功率等。在某个定日镜上取点步长 $\tau$ 为 $1\mathrm{m}$ ，在光锥束上取 $\theta_{1} = 0.002rad$ ， $\theta_{2} = 0, \pi / 2, \pi, 3\pi / 2$ ，进行网格化构建入射光线束和反射光线束，计算得到表1和表2。该定日镜场的年平均输出光学效率 0.536230167、年平均输出热功率 32.76117051MW、单位镜面面积年平均输出热功率 0.521508604kW/m²，最后，进行敏感性分析，分析步长 $\tau$ 对结果的影响。 + +针对问题二，本文提出了单位镜面面积年平均输出热功率的优化模型。问题二是在定日镜场的额定年平均输出热功率为60MW的条件下，设计定日镜场的参数，使得单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。决策变量包括吸收塔的位置坐标、定日镜的尺寸（相同）、安装高度、数量和位置。目标函数是单位镜面面积年平均输出热功率的最大值，约束条件包括镜面边长在2m至8m之间、安装高度在2m至6m之间、相邻定日镜底座中心距离比镜面宽度多5m等。先取w,v相等，用蜂窝排列法确定圆环内能排列的定日镜数目和位置。然后将蜂窝进行绕原点旋转μ，用蒙特卡洛模拟法对部分定日镜进行随机抽样，得到粗决策变量，从而进一步计算光学效率和单位面积输出热功率等。最后遍历μ,w=ν,δ,X0,Y0寻找决策变量的最优解。得到该定日镜场的年平均输出光学效率0.591643667、年平均输出热功率68.24427914MW、单位镜面面积年平均输出热功率0.572538333kW/m²。 + +针对问题三，本文提出了单位镜面面积年平均输出热功率的优化模型。问题三是在定日镜尺寸和安装高度可以不同的情况下，设计定日镜场的参数，使得单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。以单位镜面面积年平均输出热功率为目标函数，以吸收塔位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目、定日镜位置为决策变量，以额定功率、相邻定日镜距离、圆形区域半径等为约束条件，建立优化模型。考虑通过第二问求得结果进一步优化，将最外围的定日镜安装高度升高为 $6\mathrm{m}$ ，其他不变，得到该定日镜场的年平均输出光学效率0.496428083、年平均输出热功率60.336111MW、单位镜面面积年平均输出热功率0.506192417kW/m²。 + +关键词：坐标旋转 光学效率 输出热功率 锥形光束 蜂窝排列法 + +# 一、问题分析 + +# 1.1 问题一的分析 + +问题一是在定日镜场参数确定时，计算定日镜场的效率。同时，题中简化计算“年均”指标只需计算每月21日5个时间点等。为了得到最大的效率，我们认为经过定日镜中心反射后的反射光线通过集热器中心，那么其他入射光线也能大部分被集热器接受。因此，太阳位置确定后，经过定日镜中心的入射光线和反射光线确定，可根据向量法则计算定日镜的法向量，从而确定每个定日镜场的俯仰角和方位角。阴影遮挡损伤考虑塔身的阴影损伤、后排镜面接受的太阳光线被前镜阻挡的阴影损伤和后排镜面反射的太阳光线被前镜阻挡的遮挡损伤。余弦损伤考虑为入射光线和镜面法线不平行的能量损伤。最后，建立模型表示集热器的接收能量，计算定日镜场的相应量。 + +# 1.2 问题二的分析 + +优化模型下，吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数量、定日镜位置为决策变量，单位面积年平均输出热功率尽量大为目标函数，每个定日镜尺寸和安装高度相同，在满足约束条件的情况下，使得目标函数尽量大。进行逐步寻优，先确定定日镜尺寸和安装高度，之后逐步寻找其他决策变量的优解，使得目标函数达到局部最优解即可。 + +# 1.3 问题三的分析 + +每个定日镜尺寸和安装高度不同，确定定日镜场的其他参数，在满足约束条件的情况下，使得单位面积年平均输出热功率尽量大。根据问题二的寻优过程，适当调整尺寸和高度。 + +# 二、模型假设 + +为了对模型进行合理简化，我们建立了以下的模型假设： + +1、假设太阳光直接照射到集热器上，不计入我们模型的计算。 +2、假设相对于 $3000 \mathrm{~m}$ 的海拔，定日镜作为垂直于太阳光线的平面，计算 DNI 时的海拔可以忽略定日镜的高度。 +3、假设吸收塔的直径和集热器的直径相同，为 $7 \mathrm{~m}$ 。 +4、假设安装定日镜场时不考虑人工成本、土地利用率等。 + +# 三、符号说明 + +
符号表示符号说明
αs,γs太阳高度角、太阳方位角
η,η̅年平均光学效率，平均光学效率
P_s, P̅年输出平均热功率，单位镜面面积年平均输出热功率
T_i, T_z镜面坐标系、光锥坐标系转到大地坐标系的旋转矩阵
α,β,αz,βz定日镜的方位角、俯仰角，光锥束的方位角和俯仰角
+ +# 四、问题一的模型建立与求解 + +# 4.1 问题一的模型准备 + +# 4.1.1 镜场大地坐标系的建立 + +在计算定日镜场的效率时，由于一年中太阳是运动的，因此需要确定太阳的位置才能计算定日镜场的效率。根据题目描述，为了简化计算，“平均”指标只需在每月21日的9：00、10：30、12：00、13：30、15：00计算，因此当太阳位置位于每月21日的5个时间点时，太阳位置固定，可计算镜场效率。首先，以圆形区域中心为原点，正东方向为 $x$ 轴方向，正北方向为 $y$ 轴方向，垂直地面方向为 $z$ 轴方向建立定日镜场的大地坐标系。 + +![](images/e7a0d42adcd93f0aa5a7181c779b238bfe7734d8cc6a2cdf97048b2c05e30bbf.jpg) +图1：定日镜场的大地坐标系 + +在该坐标系中，第 $i$ 个定日镜中心位置坐标 $d_{i}\left(x_{i},y_{i},z_{i}\right)$ ，集热器中心坐标 $J(0,0,H)$ 。 + +# 4.1.2 太阳主光线入射、反射以及定日镜法向 + +太阳光并非平行光线，而是具有一定锥形角的一束锥形光线。因此，先对太阳的一条主光线进行描述。进行在计算定日镜场效率时，需要首先需要对定日镜的入射主光线、反射主光线、法向、俯仰角和方位角进行建模。首先，根据太阳高度角和太阳方位角的定义和公式，结合下图，则可得到太阳光的入射主光线方向向量如下： + +$$ +\vec {L} _ {i} = \left(- \cos \alpha_ {s} \sin \gamma_ {s}, - \cos \alpha_ {s} \cos \gamma_ {s}, - \sin \alpha_ {s}\right) \tag {1} +$$ + +其中，根据太阳方位角和太阳高度角的公式，ST 为当地时间， $\delta$ 为太阳赤纬角，D 为以春分作为第 0 天起算的天数， $\omega$ 为太阳时角， $\varphi$ 为当地纬度： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sin \alpha_ {s} = \cos \delta \cos \varphi \cos \omega + \sin \delta \sin \varphi \\ \cos \gamma_ {s} = \frac {\sin \delta - \sin \alpha_ {s} \sin \varphi}{\cos \alpha_ {s} \cos \varphi} \\ \omega = \frac {\pi}{1 2} (S T - 1 2) \\ \sin \delta = \sin \frac {2 \pi}{3 6 0} \sin \left(\frac {2 \pi}{3 6 0} 2 3. 4 5\right) \end{array} \right. +$$ + +而正常来说，对于中国区域，早上太阳光从东边射来，中午太阳光从南边射来，傍晚 + +太阳光从西边射来。早上的太阳方位角在 $90^{\circ}$ 左右（但一年当中，有一定的角度范围变化），正中午的太阳方位角在 $180^{\circ}$ （正南方），傍晚的太阳方位角在 $270^{\circ}$ 左右（但一年当中，有一定的角度范围变化）。因此，对于太阳方位角的正弦值需要进行分类讨论，如下： + +$$ +\sin \gamma_ {s} = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {1 - \cos^ {2} \gamma_ {s}}, S T < 1 2 \\ - \sqrt {1 - \cos^ {2} \gamma_ {s}}, S T \geq 1 2 \end{array} \right. +$$ + +![](images/751b0888c6a01a3b1a8af1b8d4b8787860d5899f2bd03fb76364ab5db942a2a1.jpg) +图2：太阳方位角和高度角图示 + +我们认为，控制器控制定日镜的法向（即控制定日镜的俯仰角和方位角）使得经过定日镜中心的反射主光线刚好经过集热器中心，即为定日镜法向对不同太阳位置的最佳调节。因此，经过定日镜中心的反射主光线单位向量为： + +$$ +\vec {L} _ {r} = \frac {\left(- x _ {i} , - y _ {i} , H - z _ {i}\right)}{\left| \left(- x _ {i} , - y _ {i} , H - z _ {i}\right) \right|} +$$ + +根据平行四边形定理，从而得到该时刻太阳位置下，第 $i$ 个定日镜的法向量为（以下简称定日镜法向量）： + +$$ +\vec {n} = \left(- \vec {L} _ {i}\right) + \vec {L} _ {r} +$$ + +通过镜场大地坐标系 $z$ 轴的方向向量 $\vec{Z} = (0,0,1)$ ，计算定日镜的俯仰角 $\beta$ ，即定日镜的法向量与镜场大地坐标系投影轴的夹角，如下图： + +![](images/3288c4a91cbea2fc40ae920a783365fab6f0ddeba3652a483ed74d8e93965454.jpg) +图3：定日镜的方位角（ $\alpha$ ）和俯仰角（ $\beta$ ）计算示意图 + +$$ +\beta = \frac {\pi}{2} - \arccos \left(\frac {\vec {n} \cdot \vec {Z}}{| \vec {n} | \cdot | \vec {Z} |}\right) \tag {2} +$$ + +将定日镜的法向量投影于大地坐标系的 xoy 平面，得到定日镜法向量的投影向量 $\vec{n}_0$ ，计算 $\vec{n}_0$ 与大地坐标系 $x$ 轴的方向向量 $\vec{S}$ 的夹角为方位角 $\alpha$ ，如下： + +$$ +\alpha = \left\{ \begin{array}{l} \arccos \left(\frac {\vec {n} _ {0} \cdot \vec {S}}{| \vec {n} _ {0} | \cdot | \vec {S} |}\right), \vec {n} _ {0} (2) \geq 0 \\ - \arccos \left(\frac {\vec {n} _ {0} \cdot \vec {S}}{| \vec {n} _ {0} | \cdot | \vec {S} |}\right), \vec {n} _ {0} (2) < 0 \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +其中 $\vec{S} = (1,0,0), \vec{n}_0 = (\vec{n}_0(1), \vec{n}_0(2), 0)$ 。光学效率包含了阴影遮挡效率、余弦效率、大气透射率、集热器截断效率和镜面反射率。因此确定太阳的反射和入射及定日镜的法向调节后，需表示太阳光线入射反射造成的阴影遮挡效率、集热器接收情况和余弦效率。 + +# 4.1.3 定日镜面坐标系的建立 + +为了方便表示和计算定日镜面上的坐标，我们需要将定日镜面的坐标系转换到镜场大地坐标系或者将镜场大地坐标系转换到定日镜面坐标系。因此，以定日镜中心为原点，以经过原点 $d$ 并垂直镜面的法向量为 $z$ 轴。以经过原点平行镜面的宽为 $x$ 轴，以经过原点平行镜面的长为 $y$ 轴，建立镜面坐标系（见下图）： + +![](images/db085171e2febfc642455fa6c80f086426c4828eda4ca511ccc98794b991af8f.jpg) +图4：定日镜面的坐标系 + +# 4.1.4 光锥坐标系的建立 + +太阳光并非平行光线，而是具有一定锥形角的一束锥形光线，因此太阳入射光线经定日镜任意一点的反射光线也是一束锥形光线。在考虑阴影遮挡和集热器吸收能量时，需要考虑锥形光束的吸收和遮挡。因此，我们需要建立起以主入射光线和主反射光线为锥体中心线的光锥坐标系。大地坐标系下的反射光锥束的中心主光线 $\vec{L}_z = (m, n, p)$ ，以主光线为 $z$ 轴，则 $z$ 轴的方向向量为 $\vec{s} = (0, 0, 1)$ ，则锥体光线束的俯仰角 $\beta_z$ 为： + +$$ +\beta_ {z} = \frac {\pi}{2} - \arccos \frac {\vec {L} _ {z} \cdot \vec {s}}{\left| \vec {L} _ {z} \right| \cdot | \vec {s} |} +$$ + +锥体光线束的主光线与 $x$ 轴的夹角即方位角 $\alpha_{z}$ 为: + +$$ +\alpha_ {z} = \left\{ \begin{array}{l} \arccos \frac {\vec {L} _ {z} ^ {\prime} \cdot \vec {s} _ {1}}{\left| \vec {L} _ {r} ^ {\prime} \right| \left| \vec {s} _ {1} \right|}, y \leq 0 \\ - \arccos \frac {\vec {L} _ {r} ^ {\prime} \cdot \vec {s} _ {1}}{\left| \vec {L} _ {z} ^ {\prime} \right| \left| \vec {s} _ {1} \right|}, y > 0 \end{array} \right. +$$ + +其中， $\vec{s} = (0,0,1), \vec{s}_1 = (1,0,0)$ 。描述光锥直线，侧边任一光线： + +$$ +\vec {f} = \left(\sin \theta_ {1} \cos \theta_ {2}, \sin \theta_ {1} \sin \theta_ {2}, \cos \theta_ {1}\right) \tag {4} +$$ + +![](images/208054866a37b3497d7aa402cb78ee2ccc8eed56316271b72a40d01ab75a4dd4.jpg) +图5：光椎束的坐标系（X-Y-Z） + +其中， $\theta_{1}\in (0,4.65mrad),\theta_{2}\in (0,2\pi)$ 。 + +# 4.2 问题一的模型建立 + +为计算一束锥形光线的入射和反射受到的阴影遮挡损失和集热器吸收能量等，需要对镜面坐标系、镜场大地坐标系和光锥坐标系进行坐标变换。为此，建立定日镜场的效率计算模型，计算光学效率、输出热功率等： + +# 4.2.1 镜面、大地、光锥坐标系的变换 + +首先，需要将镜面坐标系转成镜场大地坐标系，对于旋转后的矩阵，根据欧拉角旋转矩阵来求解。将镜面坐标系转化为镜场大地坐标系，第 $i$ 个定日镜的俯仰角为 $\beta_{i}$ 和方位角为 $\alpha_{i}$ 。旋转矩阵与俯仰角 $\beta_{i}$ 和方位角 $\alpha_{i}$ 有关，因此首先绕 $\mathbf{x}$ 轴旋转 $\alpha_{i}$ ，再绕 $\mathbf{z}$ 轴旋转 $\beta_{i}$ 。则第 $i$ 个定日镜的镜面坐标系到大地坐标系的转换关系矩阵为： + +$$ +T _ {i} = \left[ \begin{array}{c c c} \cos \alpha_ {i} \cos \left(\pi / 2 - \beta_ {i}\right) & - \sin \alpha_ {i} & \cos \alpha \sin \left(\pi / 2 - \beta_ {i}\right) \\ \sin \alpha_ {i} \cos \left(\pi / 2 - \beta_ {i}\right) & \cos \alpha_ {i} & \sin \alpha \sin \left(\pi / 2 - \beta_ {i}\right) \\ - \sin \left(\pi / 2 - \beta_ {i}\right) & 0 & \cos \left(\pi / 2 - \beta_ {i}\right) \end{array} \right] \tag {5} +$$ + +而将光锥坐标系转到镜场大地坐标系上时，其所对应光锥的俯仰角 $\beta_{z}$ 和方位角 $\alpha_{z}$ 发生变换，且与每束光锥在大地坐标系里的不同俯仰角 $\beta_{z}$ 和方位角 $\alpha_{z}$ 有关，其旋转矩阵也会发生变换： + +$$ +T _ {z} = \left[ \begin{array}{c c c} \cos \alpha_ {z} \cos \left(\pi / 2 - \beta_ {z}\right) & - \sin \alpha_ {z} & \cos \alpha \sin \left(\pi / 2 - \beta_ {z}\right) \\ \sin \alpha_ {z} \cos \left(\pi / 2 - \beta_ {z}\right) & \cos \alpha_ {z} & \sin \alpha \sin \left(\pi / 2 - \beta_ {z}\right) \\ - \sin \left(\pi / 2 - \beta_ {z}\right) & 0 & \cos \left(\pi / 2 - \beta_ {z}\right) \end{array} \right] \tag {6} +$$ + +# 4.2.2 阴影遮挡效率 + +阴影遮挡效率 $\eta_{sb}$ 由阴影遮挡损失计算，阴影遮挡损失分为三部分。若塔身对某入射光线造成阴影遮挡损失，那么不再考虑该入射光线被前定日镜所阻挡和其所对应的反射光线被前定日镜所遮挡。若塔未对某入射光线造成遮挡，则需要考虑二、三部分。对于，某一束入射光锥束，首先先判断是否被塔身遮挡，然后再判断是否被前定日镜遮挡。之后，入射光锥束变为反射光锥束，判断反射光锥束是否会被前定日镜遮挡。若反射光椎束不被前定日镜遮挡，则成功反射出，再考虑是否被集热器接收。 + +# 1）塔对镜场造成的阴影损失 + +首先考虑经过 $a$ 镜上的入射光线是否经过塔身，即被塔身遮挡，当遮挡后即不需考虑是否该光线的入射和反射，示意图如下图7。 + +![](images/c08dc19dddf98812577c42f9c73f6b808a9d35f72ba6b156fda8de64e30b63e4.jpg) +图6：塔损失模型 + +入射光线可表示为: + +$$ +\vec {L} _ {i} = \left(- \cos \alpha_ {s} \sin \gamma_ {s}, - \cos \alpha_ {s} \cos \gamma_ {s}, - \sin \alpha_ {s}\right) = (m, n, p) +$$ + +描述光锥束侧边任一光线： + +$$ +\vec {f} = \left(\sin \theta_ {1} \cos \theta_ {2}, \sin \theta_ {1} \sin \theta_ {2}, \cos \theta_ {1}\right) +$$ + +再将光锥坐标系进行坐标变换，换到地面坐标。结果如下： + +$$ +\vec {f} ^ {\prime} = T _ {z} \cdot \vec {f} +$$ + +其中 $\vec{f}^{\prime} = (m^{\prime},n^{\prime},p^{\prime})$ ，取镜面上任意一点 $D\left(x_0,y_0,z_0\right)$ ，联立方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {x - x _ {0}}{m ^ {\prime}} = \frac {y - y _ {0}}{n ^ {\prime}} = \frac {z - z _ {0}}{p ^ {\prime}} = t \\ x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = x _ {0} + m ^ {\prime} t \\ y = y _ {0} + n ^ {\prime} t \\ z = z _ {0} + p ^ {\prime} t \end{array} \right. \tag {7} +$$ + +得到以下式子： + +$$ +\left(m ^ {\prime 2} + n ^ {\prime 2}\right) t ^ {2} + 2 \left(m ^ {\prime} x _ {0} + n ^ {\prime} y _ {0}\right) t + x _ {0} ^ {2} + y _ {0} ^ {2} - R ^ {2} = 0 \tag {8} +$$ + +其所对应的判别式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 4 \left(m ^ {\prime} x _ {0} + n ^ {\prime} y _ {0}\right) ^ {2} - 4 \left(m ^ {\prime 2} + n ^ {\prime 2}\right) \left(x _ {0} ^ {2} + y _ {0} ^ {2} - R ^ {2}\right) < 0, \quad \text {无 遮 挡} \\ \Delta = 4 \left(m ^ {\prime} x _ {0} + n ^ {\prime} y _ {0}\right) ^ {2} - 4 \left(m ^ {\prime 2} + n ^ {\prime 2}\right) \left(x _ {0} ^ {2} + y _ {0} ^ {2} - R ^ {2}\right) \geq 0, \quad \text {有 交 点} \end{array} \right. \tag {9} +$$ + +若 $\Delta \geq 0$ ，则： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \min \left(z _ {0} + t _ {1} p ^ {\prime}, z _ {0} + t _ {2} p ^ {\prime}\right) \leq 8 4, & \text {遮 挡} \\ \min \left(z _ {0} + t _ {1} p ^ {\prime}, z _ {0} + t _ {2} p ^ {\prime}\right) > 8 4, & \text {无 遮 挡} \end{array} \right. +$$ + +若为判断入射主光线 $(m, n, p)$ 是否被塔身遮挡，同理如上联立方程求判别式。且每块定日镜的入射光线均需要判断是否被塔身遮挡，则此时将第 $i$ 根入射光椎束是否被塔身遮挡记为 $b_{1}^{i}$ ，其为 0，1 变量： + +$$ +b _ {1} ^ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & i f \min \left(z _ {0} + t _ {1} p ^ {\prime}, z _ {0} + t _ {2} p ^ {\prime}\right) > 8 4, \text {未 挡 住} \\ 1, & i f \min \left(z _ {0} + t _ {1} p ^ {\prime}, z _ {0} + t _ {2} p ^ {\prime}\right) \leq 8 4, \text {挡 住} \end{array} \right. \tag {10} +$$ + +# 2）后定日镜接收的入射太阳光被前定日镜所阻挡的阴影损失 + +当 $a$ 镜的入射光线未被塔身遮挡时，需要考虑后定日镜接收的太阳光被前定日镜所阻挡的阴影损失和后定日镜在反射太阳光时被前定日镜阻挡而未到达集热器上的遮挡损失。首先考虑后定日镜接收的太阳光被前定日镜所阻挡的阴影损失，求阴影遮挡损失，即计算经过 $a$ 镜坐标系中的某一点 $D_{1}(x_{1},y_{1},0)$ 的入射光线是否被 $b$ 镜遮挡，判断其与 $b$ 镜平面的交点是否在 $b$ 镜面内。 + +![](images/0bb6e25805e84004dc6efadc53681bbb9ca857223417d424e002dd107031ffbc.jpg) +图7：塔身不遮挡下，定日镜的阴影遮挡损伤模型图示 + +首先进行光线的坐标系变换，将大地坐标系中的入射主光线转换到 $b$ 镜的镜面坐标系中，则转换后的 $b$ 镜坐标系下的入射光线（束）为： + +$$ +\vec {L} _ {i} ^ {\prime} = \left(T _ {b}\right) ^ {T} \cdot \vec {L} _ {i} = \left(\tilde {m}, \tilde {n}, \tilde {p}\right) +$$ + +以该入射主光线为 $z$ 轴建立光锥束坐标系, 其坐标如下: + +$$ +\vec {f} _ {2} = \left(\sin \theta_ {1} \cos \theta_ {2}, \sin \theta_ {1} \sin \theta_ {2}, \cos \theta_ {1}\right) +$$ + +再将光锥坐标系进行坐标变换，换到镜场大地坐标系。结果如下： + +$$ +\vec {f} _ {2} ^ {\prime} = T _ {z} \cdot \vec {f} _ {2} +$$ + +再将镜场大地坐标系的 $\vec{f}_2'$ 转换到 b 镜坐标系下，结果如下： + +$$ +\vec {f} _ {2} ^ {\prime \prime} = \left(T _ {b}\right) ^ {T} \cdot \vec {f} _ {2} ^ {\prime} +$$ + +然后进行点的变换，将 $a$ 镜坐标系上的一点转换到大地坐标系上，再转到 $b$ 镜的坐标系下，其点为 $D_{1}''(x_{1}', y_{1}', z_{1}')$ 。经过 $a$ 镜坐标系中的某一点 $D_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ，则其转换到大地坐标系上的坐标为： + +$$ +D _ {1} ^ {\prime} = T _ {a} \cdot D _ {1} + O _ {a} \tag {11} +$$ + +其中， $D_1'(x_1', y_1', z_1') O_a$ 为 $a$ 镜原点在大地坐标系的坐标，即 $(x_a, y_a, z_a)$ 。再转换到 $b$ 镜坐标系下得到： + +$$ +D _ {1} ^ {\prime \prime} = \left(T _ {b}\right) ^ {T} \cdot \left(D _ {1} ^ {\prime} - O _ {b}\right) \tag {12} +$$ + +其中 $O_{b}$ 为 $b$ 镜原点在大地坐标系的坐标，即 $\left(x_{b},y_{b},z_{b}\right)$ 。最后判断入射光线与 $b$ 镜平面的交点是否在 $b$ 镜的镜面上。设 $b$ 镜坐标系下的入射光线向量 $\vec{L}_i' = \left(a_i,b_i,c_i\right)$ ，计算经过 $D_1''(x_1'',y_1'',z_1'')$ 的入射主光线与 $b$ 镜的交点 $(x_{i},y_{i},0)$ 是否在 $b$ 镜内： + +$$ +\frac {x _ {2} - x _ {1} ^ {\prime \prime}}{a _ {i}} = \frac {y _ {2} - y _ {1} ^ {\prime \prime}}{b _ {i}} = \frac {- z _ {1} ^ {\prime \prime}}{c _ {i}} \tag {13} +$$ + +若 $-3 \leq x_{i} \leq 3, -3 \leq y_{i} \leq 3$ ，且交点经过转换到镜场大地坐标系后的 $Z$ 坐标值要大于 $z_{1}^{\prime}$ 则表明经过 $a$ 镜某点的入射主光线被 $b$ 镜阻挡。同理，光椎束的光线经过转换后，结合 $D_{1}^{\prime \prime}(x_{1}^{\prime \prime}, y_{1}^{\prime \prime}, z_{1}^{\prime \prime})$ ，求 $b$ 镜的交点 $(x_{i}, y_{i}, 0)$ 进行判断。最后，引入 $b_{i}^{2}$ 表示入射主光线或者光锥束是否被前定日镜阻挡，且每个定日镜均需要进行判断： + +$$ +b _ {2} ^ {i} = \left\{ \begin{array}{l} 0, \text {e l s e ， 未 挡 住} \\ 1, i f - 3 \leq x _ {i}, y _ {i} \leq 3 \text {a n d} z _ {1} ^ {\prime} < Z, \text {挡 住} \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +# 3）后定日镜在反射太阳光时被前定日镜阻挡而未到达集热器上的遮挡损失 + +反射光线（束）和入射光线（束）一一对应，即锥形光束入射也是锥体光束反射。入射光线（束）转换到大地坐标系上为 $\vec{f}_2'$ 。根据几何关系，求对应的反射光线满足： + +$$ +\vec {g} - \vec {f} _ {2} ^ {\prime} = - \left| \vec {f} _ {2} ^ {\prime} \right| \cdot \cos \theta \cdot \vec {n} \tag {15} +$$ + +其中， $\vec{n}$ 为镜面法向量。 $\theta$ 为入射光线与法线夹角。得到： + +$$ +\vec {g} = \vec {f} ^ {\prime} - 2 \cdot \vec {f} ^ {\prime} \cdot \vec {n} \cdot \vec {n} +$$ + +$\vec{L}_{r}$ 由以上公式计算。接着，同2）所述，计算定日镜在反射太阳光时被前定日镜阻挡而未到达集热器上的遮挡损失。即判断经过 $a$ 镜坐标系中的某一点 $D_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ 的反射光线落入 $b$ 镜坐标系中，首先进行光线的坐标系变换，将大地坐标系中的反射光线转换到 $b$ 镜的镜面坐标系中，则转换后的 $b$ 镜坐标系下的反射光线为： + +$$ +\vec {L} _ {r} ^ {\prime} = T _ {b} ^ {T} \cdot \vec {L} _ {r} +$$ + +其中 $\vec{L}_r$ 为反射光线向量。设 $b$ 镜坐标系下的反射光线 $\vec{L}_r' = (a_r, b_r, c_r)$ ，反射光线与 $b$ 镜 + +平面的交点为 $\left(x_{r}, y_{r}, 0\right)$ , 计算反射光线与 $b$ 镜的交点是否在 $b$ 镜内: + +$$ +\frac {x _ {r} - x _ {1} ^ {\prime \prime}}{a _ {r}} = \frac {y _ {r} - y _ {1} ^ {\prime \prime}}{b _ {r}} = \frac {- z _ {1} ^ {\prime \prime}}{c _ {r}} \tag {16} +$$ + +若 $-3 \leq x_{r} \leq 3, -3 \leq y_{r} \leq 3$ ，且反射光线与 $b$ 镜的交点相对于大地坐标系的 $Z$ 坐标值大于 $z_{1}^{\prime}$ ，则表明该经过 $a$ 镜某点的反射光线被 $b$ 镜阻挡。 + +$$ +b _ {3} ^ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {e l s e ， 未 挡 住} \\ 1, & \text {i f} - 3 \leq x _ {r}, y _ {r} \leq 3 \text {a n d} z _ {1} ^ {\prime} < Z, \text {挡 住} \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +最后，将综合以上三部分的阴影遮挡损失，可得到阴影遮挡效率，N为总光线数量。 + +$$ +\eta_ {s b} = 1 - \sum_ {i = 1} ^ {N} \left(b _ {1} ^ {i} + b _ {2} ^ {i} + b _ {3} ^ {i}\right) / N +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} i f b _ {1} ^ {i} = 1 \Rightarrow b _ {2} ^ {i} = 0, b _ {3} ^ {i} = 0 \\ i f b _ {1} ^ {i} = 0 \Rightarrow b _ {2} ^ {i} = 0, 1 \\ i f b _ {2} ^ {i} = 0 \Rightarrow b _ {3} ^ {i} = 0, 1 \\ i f b _ {2} ^ {i} = 1 \Rightarrow b _ {3} ^ {i} = 1 \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +# 4.2.3 集热器截断效率 + +考虑经过 $a$ 镜上一点 $\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ 的反射光线向量 $\vec{L}_r$ 。在未被前定日镜遮挡后，成功反射后是否与集热器存在交点。将反射光线与集热器方程进行联立： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}, z \in [ 7 6, 8 4 ] \\ \frac {x - x _ {0}}{- x _ {i}} = \frac {y - y _ {0}}{- y _ {i}} = \frac {z - z _ {0}}{H - z _ {i}} = t \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - x _ {i} t + x _ {0} \\ y = - y _ {i} t + y _ {0} \\ z = (H - z _ {i}) t + z _ {0} \end{array} \right. \tag {19} +$$ + +得到方程如下： + +$$ +\left(- x _ {i} t + x _ {0}\right) ^ {2} + \left(- y _ {i} t + y _ {0}\right) ^ {2} = R ^ {2} \tag {20} +$$ + +整理得到方程如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \Delta \geq 0, & \text {有 交 点} \\ \Delta < 0, & \text {无 法 接 收} \end{array} \right. +$$ + +若 $\Delta \geq 0$ 有交点, 两个解为 $t_{1}, t_{2}$ , 则考虑 $z$ 坐标最小时在集热器的高度范围内: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \min \left\{\left(H - z _ {0}\right) t _ {1} + z _ {i}, \left(H - z _ {0}\right) t _ {2} + z _ {i} \right\} \in [ 7 6, 8 4 ], \text {成 功 接 收} \\ \min \left\{\left(H - z _ {0}\right) t _ {1} + z _ {i}, \left(H - z _ {0}\right) t _ {2} + z _ {i} \right\} \notin [ 7 6, 8 4 ], \text {无 法 接 收} \end{array} \right. +$$ + +引入 0, 1 变量 $r_{j}$ , 表示第 $j$ 根成功反射的光线是否接收。且每块定日镜均需要进行反射光线或光锥束接收计算: + +$$ +r _ {j} = \left\{ \begin{array}{l} 0, \text {阴 影 遮 挡 或 未 被 接 收} \\ 1, \min \left\{\left(H - z _ {0}\right) t _ {1} + z _ {i}, \left(H - z _ {0}\right) t _ {2} + z _ {i} \right\} \in [ 7 6, 8 4 ] \end{array} \right. \tag {21} +$$ + +使用 $r_{j}$ 表示集热器截断效率, 其中, $N^{\prime}$ 表示总光线数: + +$$ +\eta_ {\text {t r u n c}} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {N ^ {\prime}} r _ {j}}{N ^ {\prime} - \sum_ {i = 1} ^ {N ^ {\prime}} \left(b _ {1} ^ {i} + b _ {2} ^ {i} + b _ {3} ^ {i}\right)} \tag {22} +$$ + +# 4.2.4 余弦效率 + +余弦损失，太阳光入射方向与镜面采光口法线方向不平行引起的接收能量损伤。 + +![](images/a1f92a6ddf1b664e4a09c4d916647c11093e773085ca19505aa2155cfad82a20.jpg) +（a）光线沿镜面法线方向入射 + +![](images/3ccdace27ab1b286efc7653f8cc7e63ef62fa51e81a4320e06bdf796e7e8951e.jpg) +（b）光线沿非镜面法线方向入射 +图8：余弦损失的示意图 + +因此，余弦效率的表达式如下： + +$$ +\eta_ {\cos} = \cos \phi = \frac {\vec {L} _ {i} \cdot \vec {L} _ {r}}{\left| \vec {L} _ {i} \right| \cdot \left| \vec {L} _ {r} \right|} = 1 - \frac {S - \cos \phi \cdot S}{S} \tag {23} +$$ + +# 4.2.5 定日镜场的效率计算模型 + +# 1）光学效率 + +$$ +\eta_ {i} ^ {j} = \eta_ {s b} \eta_ {\cos} \eta_ {a t} \eta_ {\text {t r u n c}} \eta_ {\text {r e f}} +$$ + +其中， $\eta_{ref} = 0.92, \eta_{at} = 0.99321 - 0.0001176d_{HR} + 1.97 \times 10^{-8} \times d_{HR}^{2}$ ( $d_{HR} \leq 1000$ ）， $\eta_{i}^{j}$ 表示第 $i$ 面定日镜在第 $j$ 个时刻的光学效率。那么，某月 21 日的平均光学效率为： + +$$ +\bar {\eta} = \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {i = 1} ^ {N} \eta_ {i} ^ {j} / 5 \tag {24} +$$ + +年平均光学效率为每个月的平均光学效率和的平均值： + +$$ +\tilde {\eta} = \left(\bar {\eta} _ {1} + \bar {\eta} _ {2} + \dots + \bar {\eta} _ {1 2}\right) / 1 2 +$$ + +其中， $\bar{\eta}_{1}$ 表示 1 月 21 日的平均光学效率。 + +# 2）输出热功率 + +定日镜场的输出热功率如下，其为某时刻的输出热功率： + +$$ +E _ {\text {f i e l d}} ^ {j} = D N I \cdot \sum_ {i = 1} ^ {n} A _ {i} n _ {i} ^ {j} +$$ + +其中， $A_{i}$ 为第 $i$ 面定日镜的采光面积， $\eta_{i}^{j}$ 表示第 $j$ 个时刻光学效率，法向直接辐射辐照度 DNI 的计算公式如下，其中 $G_{0} = 1.366kW / m^{2}$ ， $H = 3000m$ ： + +$$ +\begin{array}{l} D N I = G _ {0} \left[ a + b \exp \left(- \frac {c}{\sin \alpha_ {s}}\right) \right] \\ a = 0. 4 2 3 7 - 0. 0 0 8 2 1 (6 - H) ^ {2} \\ b = 0. 5 0 5 5 + 0. 0 0 5 9 5 (6. 5 - H) ^ {2} \\ c = 0. 2 7 1 1 + 0. 0 1 8 5 8 (2. 5 - H) ^ {2} \\ \end{array} +$$ + +因此，平均输出热功率 $\overline{E}_{\text {field }}$ 为： + +$$ +\bar {E} _ {\text {f i e l d}} = \frac {1}{5} \sum_ {j = 1} ^ {5} E _ {\text {f i e l d}} ^ {j} = \frac {1}{5} D N I \cdot \sum_ {j = 1} ^ {5} \sum_ {i = 1} ^ {n} A _ {i} n _ {i} ^ {j} \tag {25} +$$ + +$\overline{E}_{field}^{1}$ 表示 1 月 21 日的平均输出热功率, 年输出平均热功率 $\bar{P}$ 为: + +$$ +\bar {P} = \sum_ {i = 1} ^ {1 2} \bar {E} _ {\text {f i e l d}} ^ {i} / 1 2 \tag {26} +$$ + +# 3）单位面积镜面平均输出热功率 + +单位面积镜面的平均输出热功率为平时输出热功率与镜面面积的比值, 如下式: + +$$ +A V E _ {\text {f i e l d}} = \bar {E} _ {\text {f i e l d}} / \sum_ {i = 1} ^ {n} A _ {i} \tag {27} +$$ + +单位镜面面积年平均输出热功率如下： + +$$ +\bar {P} _ {s} = \bar {P} / \sum_ {i = 1} ^ {n} A _ {i} \tag {28} +$$ + +# 4.3 问题一模型的求解 + +# 4.3.1 利用邻接矩阵寻找问题定日镜 + +按照附件顺序进行定日镜编号。首先，通过计算每个定日镜中心在镜场大地坐标系 $xoy$ 的 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 坐标之间的距离，判断 $a$ 定日镜与其他定日镜之间是否属于相邻或者较为相近的定日镜。由于定日镜具有一定尺寸，且太阳定日镜的太阳影子所造成阴影遮挡损失一般与其相邻的定日镜有关，由于在 $a$ 定日镜上取点描述入射、反射光线和光锥束，需要网格化取点和构造外侧锥束线，且 $a$ 定日镜需要与其他1744块定日镜进行阴影遮挡损失计算，计算量至少 $1744\times 1744\times \tau^2\times \lambda^2\times \rho^2$ ， $\tau ,\lambda ,\rho$ 为镜面网格化步长、锥体束 $\theta_{1}$ 角度步长、锥体束 $\theta_{2}$ 角度步长。因此在计算 $a$ 定日镜与其他定日镜的阴影遮挡损失时，考虑利用邻接矩阵减少计算量。每个定日镜中心在镜场大地坐标系 $xoy$ 的 $\mathrm{x,y}$ 坐标之间的距离计算公式如下： + +$$ +d = \sqrt {\left(x _ {k} - x _ {m}\right) ^ {2} + \left(y _ {k} - y _ {m}\right) ^ {2}} +$$ + +通过距离 $d$ 判断是否相邻, 考虑题中要求相邻定日镜底座中心之间的距离比镜面宽度多 $5 \mathrm{~m}$ 。先计算距离, 得到 $d^{\prime}$ 矩阵, 观察距离大小, 给定 $d = 20$ , 邻接矩阵如下: + +$$ +I (i, j) = \left\{ \begin{array}{l} 0, d > 2 0 \\ 1, d \leq 2 0 \end{array} \right. +$$ + +其中， $I(i,j) = 1$ 表示第 $i$ 块定日镜和第 $j$ 块定日镜相邻，否则不相邻。根据此减少 $a$ 定日镜的阴影遮挡损失的定日面遍历数，更加精确地定位问题定日镜。 + +# 4.3.2 网格化镜面和取点求解 + +在某个定日镜上取点, 步长 $1.5 \mathrm{~m}$ , 即镜上取 25 个点, 在光锥束上取 $\theta_{1} = 0.002 \mathrm{rad}, \theta_{2} = 0, \pi / 2, \pi, 3 \pi / 2$ , 即光锥束取 4 个点。首先, 计算以 3 月 21 日为起止的天数 D: + +$$ +\mathrm {D} = [ 3 0 6, 3 3 7, 0, 3 1, 6 1, 9 2, 1 2 2, 1 5 3, 1 8 4, 2 1 4, 2 4 5, 2 7 5 ] +$$ + +根据不同月份、时间内，计算所对应太阳位置。而后需要计算定日镜的俯仰角和方位角。而后，需要遍历每一个入射光线圆锥的光线，根据入射主光线，计算主光线锥体系的旋转矩阵，再通过旋转矩阵将不同坐标系的坐标进行转换。 + +接着判断入射光线（锥束）是否被塔身遮挡，若被塔身遮挡则造成阴影遮挡损失。然后，判断入射光线（锥束）是否被其他光镜遮挡。根据几何关系，计算所对应的反射光线（锥束），判断是否被其他镜遮挡。若未造成遮挡，则计算集热器是否接受。之后计算定日镜场的计算。 + +# 4.3.3 结果计算 + +根据定日镜场效率计算的公式，求解5个时刻的平均值，可得到表1： + +表 1: 问题 1 的每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学 效率平均余弦 效率平均阴影 遮挡效率平均截断 效率单位面积镜面平均输 出热功率(kW/m2)
1月21日0.5040220.7199360.8968440.9059840.439239
2月21日0.526470.740440.9173210.8908860.496346
3月21日0.5416030.761140.9227580.8811620.538716
4月21日0.5549580.779340.9226980.8784680.571094
5月21日0.5641450.7893170.9221210.8801570.589456
6月21日0.5674120.7923590.9219680.8812650.595407
7月21日0.5640430.789211850.922139830.880123250.58926025
8月21日0.554410.7786370.9227470.8784710.569872
9月21日0.5410210.7600920.9226910.8817860.536912
10月21日0.5240310.7378350.9152580.8926570.489964
11月21日0.5017590.7181960.8946270.9070230.433597
12月21日0.4908880.7110820.88250.9120040.40824
+ +表 2: 问题 1 的年平均光学效率及输出功率表 + +
年平均光学 +效率年平均余弦 +效率年平均阴影 +遮挡效率年平均截断 +效率年平均输出 +热功率 +(MW)单位面积镜面 +年平均输出热 +功率(kW/m2)
0.5362301670.7564654880.9136394030.88916552132.761170510.521508604
+ +# 4.4 问题一的结果分析 + +取不同的镜面网格化步长下的1月21日上午9：00的单位镜面面积平均输出热功率，当步长从1.5开始后，单位镜面面积平均输出热功率增长的速度变得缓慢。因此，我们认为当步长为1.5时，单位镜面面积平均输出热功率接近稳定。 + +表 3: 不同的镜面网格化步长下的 1 月 21 日上午 9:00 的单位面积平均输出热功率 + +
τ631.510.50.25
AVEfield0.299824040.357493420.379054150.3899540.398364520.40294417
+ +![](images/4d7afe1ca0f83e596d68f01dd03d5f3ac19f55f44aec5db43187f23c1fecc35c.jpg) +图9：镜面取点步长变小，单位面积平均输出热功率变化 + +在1月21日上午9：00，定日镜场的单位面积平均输出热功率与安装高度的变化： + +表 4: 高度变化下, 1 月 21 日上午 9:00 的单位面积平均输出热功率 + +
高度33.544.555.56
AVEfield0.357980.357720.357490.357300.357050.356630.35641
+ +说明高度对单位面积平均输出热功率的变化影响小。 + +# 五、问题二的模型建立与求解 + +# 5.1 问题二的模型建立 + +根据4.3.1计算邻接矩阵，判断是否相邻。按设计要求，定日镜场的额定年平均输出热功率（以下简称额定功率）为60MW，若所有定日镜尺寸及安装高度相同，设计定日镜场的参数，使得在约束条件下，使得单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。因此，建立以下优化模型： + +1）决策变量：吸收塔位置坐标、定日镜尺寸（宽度和高度）、安装高度、定日镜数目、定日镜位置。 + +吸收塔位置坐标： $\left(X_{o},Y_{o}\right)$ + +定日镜尺寸： $w, v$ ，其中 $w$ 为定日镜宽度， $v$ 为定日镜高度。每个定日镜的尺寸相同均为 $w, v$ ； + +安装高度： $\tilde{h}$ ； + +定日镜数目： $N$ + +定日镜位置: $P_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ , 其中 $z_{i} = h$ , 所有定日镜的安装高度相同。 + +2）目标函数： $\max \left\{\overline{P}_s\right\} = \max \left\{\left[\sum_{i = 1}^{12}\overline{E}_{field}^i\big / (12*\tilde{S})\right]\right\}$ ，其中 $\tilde{S} = A_i\cdot N$ ， $A_{i} = w\cdot v$ 为第 $i$ 面定日镜的面积（均相同）。 + +由于吸收塔位置坐标 $\left(X_{o}, Y_{o}\right)$ 发生变化，计算定日镜场的输出热功率时，塔身对定日镜场的阴影遮挡损失和反射光线在集热器上的接收判别方程发生变化。根据问题一的4.2.2和4.2.3， + +- 阴影遮挡损失变化如下，首先是联立方程发生变化： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {x - x _ {0}}{m ^ {\prime}} = \frac {y - y _ {0}}{n ^ {\prime}} = \frac {z - z _ {0}}{p ^ {\prime}} = t \\ \left(x - X _ {0}\right) ^ {2} + \left(y - Y _ {0}\right) ^ {2} = R ^ {2} \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = x _ {0} + m ^ {\prime} t \\ y = y _ {0} + n ^ {\prime} t \\ z = z _ {0} + p ^ {\prime} t \end{array} \right. \right. \tag {29} +$$ + +得到以下关于 $t$ 的方程式子： + +$$ +A t ^ {2} + B t + C = 0 \tag {30} +$$ + +其所对应的判别式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \Delta = B ^ {2} - 4 A C < 0, & \text {无 遮 挡} \\ \Delta = B ^ {2} - 4 A C \geq 0, & \text {有 交 点} \end{array} \right. +$$ + +接着判断 $\Delta \geq 0$ 时的交点 $t_1, t_2$ 是否在大于 $84\mathrm{m}$ 。 + +- 反射光线在集热器上的接收判别方程变化如下： + +考虑经过 $a$ 镜上一点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的反射光线向量 $\vec{L}_{r}$ 。在未被前定日镜遮挡后，成功反射后是否与集热器存在交点。将反射光线与集热器方程进行联立： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} {\left(x - X _ {0}\right) ^ {2} + \left(y - Y _ {0}\right) ^ {2} = R ^ {2}, z \in [ 7 6, 8 4 ]} \\ {\frac {x - x _ {0}}{- x _ {i}} = \frac {y - y _ {0}}{- y _ {i}} = \frac {z - z _ {0}}{H - z _ {i}} = t} \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - x _ {i} t + x _ {0} \\ y = - y _ {i} t + y _ {0} \\ z = (H - z _ {i}) t + z _ {0} \end{array} \right. \right. \tag {31} +$$ + +得到方程如下： + +$$ +\left(- x _ {i} t + x _ {0} - X _ {0}\right) ^ {2} + \left(- y _ {i} t + y _ {0} - Y _ {0}\right) ^ {2} = R ^ {2} +$$ + +整理得到方程如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \Delta \geq 0, & \text {有 交 点} \\ \Delta < 0, & \text {无 法 接 收} \end{array} \right. +$$ + +若 $\Delta \geq 0$ 有交点，两个解为 $t_{1}, t_{2}$ ，则考虑 z 坐标最小时在集热器的高度 $76 - 84\mathrm{m}$ 范围内。 + +# 3）约束条件： + +- 吸收塔周围 $100 \mathrm{~m}$ 不安装定日镜, 定日镜场的圆形区域半径为 $350 \mathrm{~m}$ : + +$$ +x _ {i} ^ {2} + y _ {i} ^ {2} \leq 3 5 0 ^ {2}, \left(x _ {i} - X _ {0}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - Y _ {0}\right) ^ {2} \geq 1 0 0 ^ {2} +$$ + +- 镜面宽度不小于镜面高度，且镜面边长在 $2 \mathrm{~m}$ 至 $8 \mathrm{~m}$ 之间： + +$$ +w \geq v, 2 \leq w \leq 8, 2 \leq v \leq 8 +$$ + +- 安装高度在 $2 \mathrm{~m}$ 至 $6 \mathrm{~m}$ 之间，安装高度保证水平转轴转动时不触及地面： + +$$ +2 \leq \tilde {h} \leq 6, v / 2 < \tilde {h} +$$ + +相邻定目镜底座中心距离比镜面宽度多 $5 \mathrm{~m}$ : + +$$ +\sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2} + \left(z _ {i} - z _ {j}\right) ^ {2}} > w + 5 +$$ + +其中， $i, j$ 表示两个相邻的定日镜，由邻接矩阵计算。 + +$\bullet$ 达到额定功率： + +$$ +\bar {P} _ {s} \cdot \tilde {S} \geq 6 0 +$$ + +优化模型如下，其中， $i, j$ 表示两个相邻的定日镜： + +$$ +\max \left\{\bar {P} _ {s} \right\} = \max \left\{\left[ \sum_ {i = 1} ^ {1 2} \bar {E} _ {\text {f i e l d}} ^ {i} / (1 2 * \tilde {S}) \right] \right\} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} {\left(x _ {i} - X _ {0}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - Y _ {0}\right) ^ {2} \geq 1 0 0 ^ {2}} \\ w \geq v, 2 \leq w \leq 8, 2 \leq v \leq 8 \\ 2 \leq \tilde {h} \leq 6, v / 2 < \tilde {h} \\ \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2} + \left(z _ {i} - z _ {j}\right) ^ {2}} > w + 5 \\ x _ {i} ^ {2} + y _ {i} ^ {2} \leq 3 5 0 ^ {2} \\ \bar {P} _ {s} \cdot \tilde {S} \geq 6 0 \end{array} \right. \tag {32} +$$ + +# 5.2 问题二的模型求解 + +# 5.2.1 圆环最大镜面面积的蜂窝排列 + +考虑 $E_{\text {field}}$ 与第 $i$ 块面板的光学效率和面积有关。而我们认为在时刻变化时，光学效率基本变化不大。因此，为了首先满足题中的额定功率 60MW，在满足约束条件的情况下，首先需要给定宽度使得定日镜场内排列的定日镜面积尽量大，从而确定定日镜的尺寸、数目和位置。即在内径 $r = 100m$ ，外径 $R = 350m$ 的圆环中尽可能多的排列定日镜，以下我们采用蜂窝排列法，使得每个定日镜与其相邻的定日镜成为正三角形， + +如下布局。根据蜂窝排列法，按照约束条件，得到正六边形边长的限制范围为大于 $w + 5 \leq \kappa$ 。一行行进行考虑，对于第一、二行： + +![](images/5a1a3f4d94b2cc1875d021b2cc234bc881f8388cdd56201553c390b503a3461f.jpg) +图10：蜂窝排列法确定定日镜尺寸、数目和位置（左）和计算后的图（右） + +![](images/338e024f7d932ae199202df4507bbad783e316acf8f172d4fb47df9e6e945fc3.jpg) + +$$ +\begin{array}{l} l i n e 1: \left\{ \begin{array}{l} x _ {1 1} = - R \\ y _ {1 1} = R \end{array} , \left\{ \begin{array}{l} x _ {1 2} = x _ {1 1} + w + 5 \\ y _ {1 2} = y _ {1 1} \end{array} , \dots , \left\{ \begin{array}{l} x _ {1 n} = x _ {1 1} + (n - 1) (w + 5) \\ y _ {1 n} = y _ {1 1} \end{array} \right. \right. \right. \\ l i n e 2: \left\{ \begin{array}{l} x _ {2 1} = - R + \frac {w + 5}{2} \\ y _ {2 1} = R - \frac {w + 5}{2} \sqrt {3} \end{array} , \left\{ \begin{array}{l} x _ {2 2} = - R + \frac {w + 5}{2} + w + 5 \\ y _ {2 2} = R - y _ {2 1} \end{array} , \dots , \left\{ \begin{array}{l} x _ {2 n} = - R + \frac {w + 5}{2} + (n - 1) (w + 5) \\ y _ {2 n} = R - y _ {2 1} \end{array} \right. \right. \right. \\ \end{array} +$$ + +根据上式给出蜂窝排列法的正六边形顶点及中心点的坐标，将坐标与圆环范围判断： + +$$ +x _ {m n} ^ {2} + y _ {m n} ^ {2} \geq 1 0 0 ^ {2}, x _ {m n} ^ {2} + y _ {m n} ^ {2} \leq 3 5 0 ^ {2} +$$ + +最后得到定日镜的位置坐标，类似于附件。 + +# 5.2.2 定日镜场参数的寻优 + +通过蜂窝排列法确定了圆环内能排列下符合要求的镜面全面积，蜂窝中正六边形的顶点和中心点安排定日镜。因此，确定了定日镜的数目、位置和数量后，接着寻优高度和吸收塔的位置坐标，此时计算量为 $\mathrm{N} \times \mathrm{N} \times \tilde{h} \times w \times 350 \times 350$ ，计算量大，难以全局遍历寻优。因此，我们采用蒙特卡洛模拟的方法，对 N 块定日镜进行随机抽样，随机选取 $10\%$ 的定日镜进行光学效率、单位面积输出热功率等计算，计算 10 次，来预测决策变量的粗略值使得 $\overline{P}_{s}$ 最大，以此来减少计算量。之后，再进一步减少步长，计算额定功率是否达到 60MW 即可，作为局部最优解。 + +不同的定日镜位置会影响太阳光的光学效率，因此通过蜂窝排列法得到的定日镜排列是一种初始排列方案。通过二维旋转，将定日镜的位置坐标统一进行旋转 $\mu$ ，坐标变换后的坐标与原坐标的关系如下，其中 $\mu \in [0, \pi / 6]$ ： + +$$ +\left[ \begin{array}{c} x ^ {\prime} \\ y ^ {\prime} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \cos \mu & - \sin \mu \\ \sin \mu & \cos \mu \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] +$$ + +通过蜂窝排列法确定粗排列，且定日镜为正方形，之后通过旋转确定定日镜的位置。 + +因此，决策变量变为 $\mu, w = \nu, \tilde{h}, X_0, Y_0$ ，减少了决策变量。而对 $\mu$ 进行遍历后，对于确定 $w = \nu = 6, \tilde{h} = 4, X_0 = 0, Y_0 = 0$ 的情况下，结果影响不大。而对 $\tilde{h}$ 进行遍历后，在确定 $w = \nu = 6, \mu = 0, X_0 = 0, Y_0 = 0$ 的情况下，其也变化不大。因此，在进行指标影响的研究后，我们需要进一步遍历 $w = \nu, X_0, Y_0$ ，而 $\mu, \tilde{h}$ 取一个在其他决策变量改变的情况下的最佳值，最后得到相应的参数。最后，确定参数后，蒙特卡洛模拟 $30\%$ ，计算5次，取步长为1.5，光锥束同问题一，得到的结果如下表： + +表 5: 问题 2 的每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学 效率平均余弦 效率平均阴影 遮挡效率平均截断 效率单位面积镜面平均输 出热功率(kW/m2)
1月21日0.5963920.9004490.867440.8781840.519412
2月21日0.6041020.8909440.8905520.8739590.569552
3月21日0.5973820.8740670.9009390.869390.594206
4月21日0.5837870.8488280.9035630.871360.60082
5月21日0.5734410.8262110.9064330.8754830.599229
6月21日0.5697290.8166720.907710.8783650.597893
7月21日0.5758720.8273510.9086850.8755770.601676
8月21日0.5872650.8515090.90570.8713920.603707
9月21日0.6015990.8772730.9030570.8699690.597065
10月21日0.6095630.8952380.8924030.8754760.569916
11月21日0.6038620.9043990.8732170.8791150.521385
12月21日0.596730.9065840.862060.8790550.495599
+ +表 6: 问题 2 的年平均光学效率及输出功率表 + +
年平均光学 +效率年平均余 +弦效率年平均阴影 +遮挡效率年平均截断 +效率年平均输出 +热功率 +(MW)单位面积镜面年 +平均输出热功率 +(kW/m2)
0.5916436670.868293750.8934799170.87477708368.244279140.572538333
+ +表 7: 问题 2 的设计参数表 + +
吸收塔位置坐标定日镜尺寸 +(宽×高)定日镜安装高度(m)定日镜总面数定日镜总面积 +(m²)
(0,-250)6×643311119196
+ +题中所述对于额定功率，只需要达到即可。而额定功率的变化，一般需要增加总反射面积，因此，对于需要达到更高的单位面积镜面年平均输出热功率，需要减少定日镜的面数。这样，使得总反射面积减少，同时额定功率减少，但是不安装的定日镜对其他定日镜造成的阴影遮挡损失会减少。因此，在计算遍历计算得到一个满足要求的年平均输出功率后，需要减少遮挡他人的定日镜或阴影遮挡损失较高的定日镜。因 + +此，此处应该是多目标优化模型，使得年平均输出热功率尽量大的情况下，单位面积镜面年平均输出热功率尽量大。 + +# 六、问题三的模型建立与求解 + +# 6.1 问题三的模型建立 + +按设计要求，若定日镜尺寸及安装高度可以不同，设计定日镜场的参数，使得在约束条件下，使得单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。因此，建立以下优化模型。 + +1）决策变量：吸收塔位置坐标、定日镜尺寸（宽度和高度）、安装高度、定日镜数目、定日镜位置。 + +吸收塔位置坐标: $\left(X_{o}, Y_{o}\right)$ ; + +定日镜尺寸: $w_{i}, v_{i}$ , 其中 $w_{i}$ 为第 $i$ 面定日镜宽度, $v_{i}$ 为为第 $i$ 面定日镜高度; + +安装高度： $\tilde{h}_i$ ，表示第 $i$ 面定日镜的安装高度； + +定日镜数目： $N$ + +定日镜位置： $P_{i}\left(x_{i},y_{i},z_{i}\right),z_{i} = h_{i}$ 。 + +2）目标函数： $\max \left\{\overline{P}_s\right\} = \max \left\{\left[\sum_{i = 1}^{12}\overline{E}_{field}^i / (12*\tilde{S})\right]\right\}$ ，其中 $\tilde{S} = A_i \cdot N$ ， $A_i = w_i \cdot v_i$ 为第 $i$ 面定日镜的面积。关于阴影遮挡损失和反射光线（束）接收判断的变化，见 5.1.2）目标函数。 + +# 3）约束条件： + +- 吸收塔周围 $100 \mathrm{~m}$ 不安装定日镜, 圆形区域半径为 $350 \mathrm{~m}$ : + +$$ +\left(x _ {i} - X _ {0}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - Y _ {0}\right) ^ {2} \geq 1 0 0 ^ {2}, x _ {i} ^ {2} + y _ {i} ^ {2} \leq 3 5 0 ^ {2} +$$ + +- 镜面宽度不小于镜面高度，镜面边长在 $2 \mathrm{~m}$ 至 $8 \mathrm{~m}$ 之间： + +$$ +w _ {i} \geq v _ {i}, 2 \leq w _ {i} \leq 8, 2 \leq v _ {i} \leq 8 +$$ + +- 安装高度在 $2 \mathrm{~m}$ 至 $6 \mathrm{~m}$ 之间，安装高度保证水平转轴转动时不触及地面： + +$$ +2 \leq \tilde {h} _ {i} \leq 6, v _ {i} / 2 < \tilde {h} _ {i} +$$ + +相邻定目镜底座中心距离比镜面宽度多 $5 \mathrm{~m}$ + +$$ +\sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2} + \left(z _ {i} - z _ {j}\right) ^ {2}} > w _ {i} + 5 +$$ + +其中， $i,j$ 表示两个相邻的定日镜，由邻接矩阵计算。 + +$\bullet$ 达到额定功率： + +$$ +\bar {P} _ {s} \cdot \tilde {S} \geq 6 0 +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \max \left\{\bar {P} _ {s} \right\} = \max \left\{\left[ \sum_ {i = 1} ^ {1 2} \bar {E} _ {\text {f i e l d}} ^ {i} / (1 2 * \tilde {S}) \right] \right\} \\ \left\{ \begin{array}{l} {\left(x _ {i} - X _ {0}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - Y _ {0}\right) ^ {2} \geq 1 0 0 ^ {2}} \\ w _ {i} \geq v _ {i}, 2 \leq w _ {i} \leq 8, 2 \leq v _ {i} \leq 8 \\ 2 \leq \tilde {h} _ {i} \leq 6, v _ {i} / 2 < \tilde {h} _ {i} \\ \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2} + \left(z _ {i} - z _ {j}\right) ^ {2}} > w _ {i} + 5 \\ x _ {i} ^ {2} + y _ {i} ^ {2} \leq 3 5 0 ^ {2} \\ \overline {{P}} _ {s} \cdot \tilde {S} \geq 6 0 \end{array} \right. \tag {33} \\ \end{array} +$$ + +# 6.2 问题三的模型求解 + +同二问对于每块板的安装高度和尺寸大小可以不同，我们考虑使用第二问的结果进行进一步优化，远离吸收塔的最外围定日镜进行安装高度升高为 $6\mathrm{m}$ ，其他保持不变。最粗优化，然后通过更细的优化，即增加北方的定日镜高度，而减小南方定日镜的安装高度，使得各个定日镜被太阳照射时造成的阴影遮挡损失尽量小。类似于如下图的排列方式，使得前镜的阴影投射后镜的镜面下。 + +![](images/e08112d69bcc47f1fdb6dcd492a39d82f8841c334871c4ac59a2746d573ed4a0.jpg) +图11：斜坡式排列 + +而本文，通过增长最外圈的定日镜高度，提高单位面积镜面平均输出热功率。 + +表 8: 问题 3 的每月 21 日平均光学效率及输出功率 + +
日期平均光学 效率平均余弦 效率平均阴影 遮挡效率平均截断 效率单位面积镜面平均输 出热功率(kW/m2)
1月21日0.5012430.8372420.8686750.7997670.446412
2月21日0.5026730.8358080.8915240.7789160.493947
3月21日0.5000660.8301340.9056230.7684680.517516
4月21日0.4929680.8189820.9086440.7653270.527452
5月21日0.4892480.8076690.910110.7687160.531351
6月21日0.4874230.8026540.911050.7698050.551611
7月21日0.4892930.8078240.910070.7686720.546321
8月21日0.4932690.8195880.9083980.7654710.537681
9月21日0.5005240.8305610.9054770.7688890.516838
10月21日0.5029110.8361840.8889730.7813340.490196
11月21日0.5005480.8372190.8662580.8011380.462046
12月21日0.4969710.8369190.8562830.8066540.452938
+ +表 9: 问题 3 的年平均光学效率及输出功率表 + +
年平均光学 效率年平均余弦 效率年平均阴影 遮挡效率年平均截断 效率年平均输 出热功率 (MW)单位面积镜面年 平均输出热功率 (kW/m2)
0.4964280830.8250653330.8942570830.77859641760.3361110.506192417
+ +表 10: 问题 3 的设计参数表 + +
吸收塔位置坐标定日镜尺寸 (宽×高)定日镜安装高度(m)定日镜总面数定日镜总面积 (m2)
(0,-250)//3311119196
+ +# 七、模型的评价和推广 + +# 7.1 模型的优点 + +在计算时，简化计算，并考虑了锥形束的入射、反射和阴影遮挡损失。 + +# 7.2 模型的缺点 + +在遍历时，取的步长对结果影响大，由于计算量的问题，取得步长过大，使得结果不够精确。 + +# 7.3 模型的推广 + +可将模型推广到定日镜场的优化设计和安排策略。 + +# 八、参考文献 + +[1] 张平等，太阳能塔式光热镜场光学效率计算方法[J]，技术与市场，2021，28(6):5-8. +[2] 杜宇航等，塔式光热电站定日镜不同聚焦策略的影响分析[J]，动力工程学报，2020，40(5):426-432. +[3] https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%AA%E9%98%B3%E9%AB%98%E5%BA%A 6%E8%A7%92/1563831 +[4] https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%AA%E9%98%B3%E6%96%B9%E4%BD%8D %E8%A7%92/2772684 +[5] 孙浩. 基于混合策略鲸鱼优化算法的定日镜场布局研究及优化[D]. 兰州交通大学,2023. + +# 附录 + +本文采用Python进行编程。 + +# 问题一 + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +from math import cos,sin,acos,asin,pi,exp,sqrt +import time +``` + +导入题目的附件并添加Z值 + +$\mathrm{P} = \mathrm{pd.read\_excel(r'}$ 附件.xlsx').values Dis $=$ np.load('distance.npy') + +```javascript +D_0 = [306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275] +``` + +```txt +ST_0 = [9,10.5,12,13.5,15] +``` + +```javascript +D_0=[337,0,31,61,92]; #ST_0=[9] +``` + +delta $t = 1.5$ + +```txt +x_c=0; y_c=0; L=W=6; +``` + +$\mathrm{H0} = 80;\mathrm{H1} = 8;\mathrm{H} = 4;$ + +$\mathrm{HR} = 3.5$ + +```csv +def F(L,W,H,D_0,ST_0, delta_t,H0,H1,HR,Dis,p1,x_c,y_c): +``` + +$\mathrm{N} = (\mathrm{W / delta\_t + 1})^{**2*4}$ + +```python +yita_ref = 0.92 +``` + +$\mathbf{S} = \mathbf{L}^{*}\mathbf{W}$ + +```python +new_column = np.array([H for i in range(len(p1)]) # 安装高度 4m +``` + +$\mathrm{P} = \mathrm{np}$ .column_stack((p1,new_column)) + +```javascript +Yita =np.zeros([len(ST_0),len(P)]); +``` + +```txt +Yita_trunc = np.zeros([len(ST_0), len(P)]) +``` + +```javascript +Yita at =np.zeros([len(ST_0),len(P)]); +``` + +Yita_cos=np.zeros([len(ST_0),len(P)]); + +Yita_sb = np.zeros([len(ST_0), len(P)]) + +$\mathrm{E\_0} = \mathrm{np.zeros([len(D\_0),len(ST\_0)])}$ + +Y1=np.zeros([len(D_0),len(ST_0)]); + +Y2=np.zeros([len(D_0),len(ST_0)]; + +Y3=np.zeros([len(D_0),len(ST_0)]; + +Y4=np.zeros([len(D_0),len(ST_0)]; + +$\mathrm{DF} = \mathrm{np.zeros([len(D\_0),5])}$ + +for di,D in enumerate(D_0): + +for sti,ST in enumerate(ST_0): + +计算太阳位置 以及相关参数 + +fai = 39.4*pi/180; + +$\mathrm{delta} = \mathrm{asin}(\sin (2^{*}\mathrm{pi}^{*}\mathrm{D} / 365)^{*}\sin (2^{*}\mathrm{pi}^{*}23.45 / 360))$ + +$\mathrm{w} = (\mathrm{pi} / 12)^{*}(\mathrm{ST - }12)$ + +$\sin_{-}\mathrm{as} = \cos (\mathrm{delta})^{*}\cos (\mathrm{fai})^{*}\cos (\mathrm{w}) + \sin (\mathrm{delta})^{*}\sin (\mathrm{fai})$ # 太阳高度角 + +$\cos\_ \text{as} = \operatorname{sqrt}(1 - \sin\_ \text{as}^{**}2)$ + +$\cos\_rs = (\sin(\text{delta}) - \sin\_as^*\sin(\text{fai})) / (\sqrt{\operatorname{sqrt}(1 - \sin\_as^{**2})}^*\cos(\text{fai}))$ # 太阳方位角 + +if abs(cos_rs) $>1$ + +$\cos\_ \mathrm{rs} = \cos\_ \mathrm{rs} / \mathrm{abs}(\cos\_ \mathrm{rs})$ + +if ST $< = 12$ .. + +$\sin\_rs = \sqrt{1 - \cos\_rs^{**}}$ + +else: + +$\sin\_ \mathrm{rs} = -\mathrm{sqrt}(1 - \cos\_ \mathrm{rs}^{**}2)$ + +$a = 0.4237 - 0.00821^{*}(6 - 3)^{**}2$ + +$b = 0.5055 + 0.00595^{*}(6.5 - 3)^{**}2$ + +$\mathbf{c} = 0.2711 + 0.01858^{*}(2.5 - 3)^{**}2$ + +[ \mathrm{DNI} = 1.366^{*}(\mathrm{a} + \mathrm{b}^{*}\exp (-\mathrm{c} / \sin_{-}\mathrm{as})) ] + +$\mathrm{A0 = np.array([x_c,y_c,H0])}$ #集热器中心 +Ls $=$ np.array([-cos_as\*sin_rs, -cos_as\*cos_rs, -sin_as]) #入射 + $s =$ np.array([1,0,0]) +for i in range(len(P)):#A镜中点反射向量Di $= \mathrm{P[i]};$ Lr $= \mathrm{A0 - Di}$ $\mathrm{nl} =$ -Ls $^+$ Lr/npl.linalg(norm(Lr） #A的法向量n1 $= \mathrm{nl / np.linalg.norm(nl)}$ beta1 $=$ asin(nl.dot([0,0,1])/np.linalg(norm(nl)) #俯仰角 +n0 $=$ np.array([nl[0],nl[1],0])if nl[1] $\coloneqq 0$ :alpha1 $=$ acos(n0.dot(s)/np.linalg(norm(n0)) #方位角else:alpha1 $=$ -acos(n0.dot(s)/np.linalg(norm(n0)) +#A的旋转矩阵Ta $=$ np.array([cos(alpha1)\*cos(pi/2-beta1),-sin(alpha1),cos(alpha1)\*sin(pi/2-beta1)],[sin(alpha1)\*cos(pi/2-beta1),cos(alpha1),sin(alpha1)\*sin(pi/2-beta1)],[-sin(pi/2-beta1),0,cos(pi/2-beta1)]])light $= 0$ ;empty $= 0$ barr_tower $= 0$ ;barr_s $= 0$ ;barr_r $= 0$ #遍历每一个点for dx in np.arange(-W/2,W/2+0.1, delta_t):for dy in np.arange(-L/2,L/2+0.1, delta_t):Dxy $=$ np.array([dx,dy,0]) #A镜上的某个点在A镜坐标系Di_d $=$ Ta.dot(Dxy)+Di #A镜上的点转置到地面坐标系 + +```txt +#**********遍历每一个入射光线圆锥的光线********** #for the1 in np.arange(0.001,0.00465,0.002): the1 = 0.002 for the2 in np.arange(0,2*pi,pi/2): if_barr=0 #g是入射光线在主光线锥体系的坐标 g = np.array([sin(the1)*cos(the2), sin(the1)*sin(the2), cos(the1)]) #根据入射主光线，计算主光线锥体系的旋转矩阵Ls:入射的太阳主光 v = pi/2 -acos(Ls.dot(np.array([0,0,1]))/np.linalg(norm(Ls)) nl_g0 = np.array([Ls[0],Ls[1],0]) if Ls[1] >= 0: u = acos(nl_g0.dot(s)/np.linalg(norm(nl_g0)) else: u = -acos(nl_g0.dot(s)/np.linalg(norm(nl_g0)) T_s = np.array([[cos(u)*cos(pi/2-v), -sin(u),cos(u)*sin(pi/2-v)], [sin(u)*cos(pi/2-v),cos(u),sin(u)*sin(pi/2-v)], [-sin(pi/2-v),0,cos(pi/2-v)] ]) g_d = T_s.dot(g) #转置到地面坐标系 g:入射光锥中的某条入射线 g_r = g_d - 2*g_d.dot(nl)*(nl) #对应的反射向量 #nl:A的法向量 （一、判断入射光线是否被塔遮挡 a,b,c = g_d;x0,y0,z0 = Di_d delta_tower = 4*(a*(x0-x_c)+b*(y0-y_c))**2-4*(a**2+b**2)((x0-x_c)**2+(y0-y_c)**2-HR**2) if delta_tower >= 0: t1 = (-2*(a*(x0-x_c)+b*(y0-y_c))+sqrt(delta_tower)) / (2*(a**2+b**2)) t2 = (-2*(a*(x0-x_c)+b*(y0-y_c))-sqrt(delta_tower)) / (2*(a**2+b**2)) +``` + +```python +if min(t1*c+z0,t2*c+z0) <= (H0 + H1/2) and min(t1*c+z0,t2*c+z0) >= 0 : barr_tower += 1 continue +>>>**********二、判断入射光线是否被其他光镜遮挡 +>>>**********# 二、判断入射光线是否被其他光镜遮挡 +>>>**********# 二、判断入射光线是否被其他光镜遮挡 +>>>**********# 二、判断入射光线是否被其他光镜遮挡 +>>>**********# 二、判断入射光线是否被其他光镜遮挡 +>>>**********# 二、判断入射光线是否被其他光镜遮挡 +>>>**********# 二、判断入 +induces_in_circle = np.where(Dis[:i] == 1)[0] # 取周围半径 +for j in indices_in_circle: #len(P) +if i==j: + continue +# B 的中心坐标 alpha,beta 直接调取提前计算的 +B = P[j]; Lrb = A0-B +nlb = -Ls + Lrb/npl.linalg(norm(Lrb) # 法向量 +# beta2, alpha2= all_alpha_beta[j,:] +beta2 = asin(nlb.dot([0,0,1])/np.linalg(norm(nlb)) # 俯仰角 +n0b = np.array([nlb[0],nlb[1],0]); +if nlb[1] >= 0: + alpha2 = acos(n0b.dot(s)/np.linalg(norm(n0b)) # 方位角 +else: + alpha2 = -acos(n0b.dot(s)/np.linalg(norm(n0b)) +Tb = np.array( +[cos(alpha2)*cos(pi/2-beta2), -sin(alpha2), cos(alpha2)*sin(pi/2-beta2)], [sin(alpha2)*cos(pi/2-beta2), cos(alpha2), sin(alpha2)*sin(pi/2-beta2)], [-sin(pi/2-beta2),0,cos(pi/2-beta2)] +) +Di_b = Tb.T.dot(Di_d-B) # A 镜上的点从地面坐标系 → B 镜坐标系 +g_b = Tb.T.dot(g_d) # A 入射光线从地面坐标系 → B 镜坐标系 +t = -Di_b[2]/g_b[2] # 计算入线光线的在 B 镜坐标系的交点 +``` + +$\begin{array}{rl} & {\mathrm{x\_b = g\_b[0]*t + Di\_b[0]}}\\ & {\mathrm{y\_b = g\_b[1]*t + Di\_b[1]}}\\ & {\mathrm{D0 = np.array([x\_b,y\_b,0])}}\\ & {\mathrm{D0 = Tb.dot(D0) + B}\quad \# \text{交点转到地面}}\\ & {\mathrm{if abs(x\_b)\leq W / 2 and abs(y\_b)\leq L / 2 and D0[2] > Di\_d[2]:\#}}\\ & {\mathrm{if abs(x\_b)\leq W / 2 and abs(y\_b)\leq L / 2 and D0[2] > Di\_d[2]:\#}}\\ & {\mathrm{if abs(x\_b)\leq W / 2 and abs(y\_b)\leq L / 2 and D0[2] > Di\_d[2]:\#}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2 and abs(y_b) < w / 2 and D0[2] > Di_d[2]:}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2 and abs(y_b) < w / 2 and D0[2] > Di_d[2]:}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2 and abs(y_b) < w / 2 and D0[2] > Di_d[2]:}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2 and abs(x_b) < w / 2 and D0[2] > Di_d[2]:}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2 and abs(y_b) < w / 2 and D0[2] > Di_d[2]:}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2 and abs(y_b) < w / 2 and D0[2] > Di_d[2] :}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2 and abs(y_b) < w / 2 and D0[2] > Di_d[2] :}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2 and abs(y_b) < w / 2 and D0[2] > Di_d[2] :}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2and abs(y_b) < w / 2and D0[2] > Di_d[2] :}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2and abs(y_b) < w / 2and D0[2] > Di_d[2] :}}\\ & {\mathrm{if abs(x_b) < w / 2and abs(y_b) < w / 2and D0[2] > Di_d[2] :}}\\ & {\mathrm{\#}}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ & {\mathrm{\#}}\\ \end{array}$ if absc $= \frac { \text{一} } { \text{一} }$ #iabarr $= 1$ if barr $= 1$ if barr $= 1$ break if barr $= 1$ (4\*a*(x0-x_c)+b*(y0-y_c))**2-4\*(a**2+b**2\*)(x0-x_c)**2+(y0-y_c)**2-HR**2) if delta_recieve>=0: t1 $= (\textrm{-} 2^{*}(\textrm{a}^{*}(\textrm{x0 - x_c}) + \textrm{b}^{*}(\textrm{y0 - y_c})) + \operatorname {sqrt}(\operatorname {delta\_recieve}))$ /(2\*(a**2+b**2)) + +t2 $=$ $\begin{array}{rl}{\mathrm{~(~ - 2^{*}(a^{*}(x0 - x\_ c) + b^{*}(y0 - y\_ c)) - sqrt(deltarecieve)}} & \\ {\mathrm{(2^{*}(a^{**}2 + b^{**}2))}} & \\ {\mathrm{if}\quad \min (t1^{*}c + z0,t2^{*}c + z0) < = (H0 - H1 / 2):} & \\ {\mathrm{light} + = 1} & \\ {\mathrm{else:}} & \\ {\mathrm{empty} + = 1} & \\ {\mathrm{\#~这里是这个时间点,计算第i个面板的数值,并记录,每个列表是1745的长度}} & \\ {\mathrm{yita\_sb} = 1\text{-} (\mathrm{barr\_r} + \mathrm{barr\_s} + \mathrm{barr\_tower}) / \mathrm{N};} & \\ {\mathrm{yita\_cos} = \mathrm{abs(Ls.dot(-nl)/np.linalg.norm(Ls));}} & \\ {\mathrm{HR0} = \mathrm{np.linalg.norm(Lr);}} & \\ {\mathrm{yita\_at} = 0.99321\text{-} 0.0001176^{*}\mathrm{HR0} + 1.97\mathrm{e} - 8^{*}(\mathrm{HR0}^{**}2);} & \\ {\mathrm{if N - barr\_s - barr\_r - barr\_tower} = 0:} & \\ {\mathrm{yita\_trunc} = 1} & \\ {\mathrm{else:}} & \\ {\mathrm{yita\_trunc} = (\mathrm{light}) / (\mathrm{N - barr\_s - barr\_r - barr\_tower})} & \\ {\mathrm{yita = yita\_sb^{*}yita\_cos^{*}yita\_at^{*}yita\_trunc^{*}yita\_ref;}} & \\ {\mathrm{Yita\_sb[sti,i] = yita\_sb}} & \\ {\mathrm{Yita\_cos[sti,i] = yita\_cos}} & \\ {\mathrm{Yita\_at[sti,i] = yita\_at}} & \\ {\mathrm{Yita\_trunc[sti,i] = yita\_trunc}} & \\ {\mathrm{Yita[sti,i] = yita}} & \\ {\# \text{这里是在D,ST的循环里，计算第sti个时间点}} & \\ {\mathrm{E\_0[di,sti] = DNI^{*}sum(S^{*}Yita[sti,:])}} & \\ {\mathrm{Y1[di,sti] = np.mean(Yita[sti,:])}} & \\ {\mathrm{Y2[di,sti] = np.mean(Yita\_cos[sti,:])}} & \\ {\mathrm{Y3[di,sti] = np.mean(Yita\_sb[sti,:])}} & \\ {\mathrm{Y4[di,sti] = np.mean(Yita\_trunc[sti,:])}} & \end{array}$ + +#已经计算完一个具体时间点DF $[\mathrm{di},0] = \mathrm{np.mean}(\mathrm{Y1}[\mathrm{di},:])$ DF $[\mathrm{di},1] = \mathrm{np.mean}(\mathrm{Y2}[\mathrm{di},:])$ DF $[\mathrm{di},2] = \mathrm{np.mean}(\mathrm{Y3}[\mathrm{di},:])$ DF $[\mathrm{di},3] = \mathrm{np.mean}(\mathrm{Y4}[\mathrm{di},:])$ DF $[\mathrm{di},4] = \mathrm{sum}(\mathrm{E\_0}[\mathrm{di},:]) / (\mathrm{len}(\mathrm{P})^{*}\mathrm{S}) / \mathrm{len}(\mathrm{ST\_0})$ #print(DF)return DFstart_time $=$ time.time()Wp $=$ F(L,W,H,D_0,ST_0,delta_t,H0,H1,HR,Dis,P,x_c,y_c)print(Wp)#记录程序运行时间end_time $=$ time.time() elapsed_timeSeconds $=$ end_time - start_time elapsed_time Minutes $=$ round(elapsed_timeSeconds/60,2) print(f"代码运行时间：{elapsed_time Minutes}分钟") +问题二 +import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport randomfrom math import cos,sin,acos,asin,pi,exp,sqrt,floorimport timefrom Function import F#导入题目的附件并添加Z值pl $=$ pd.read_excel(r'D:\数学建模学习\2023国赛\数据文件r6_raw.xlsx',header=None).valuesHR $= 3.5;\mathrm{H} = 4;\mathrm{L} = \mathrm{W} = 6$ + +$$ +\mathrm {H} 0 = 8 0; \mathrm {H} 1 = 8; +$$ + +导入每块板在某时刻的俯仰角与方位角 + +$$ +\# D _ {-} 0 = [ 3 0 6, 3 3 7, 0, 3 1, 6 1, 9 2, 1 2 2, 1 5 3, 1 8 4, 2 1 4, 2 4 5, 2 7 5 ] +$$ + +$$ +\# \mathrm {S T} _ {-} 0 = [ 9, 1 0. 5, 1 2, 1 3. 5, 1 5 ] +$$ + +$$ +D _ {-} 0 = [ 2 7 5 ]; \quad S T _ {-} 0 = [ 1 2 ] +$$ + +# 旋转角度 + +for gama in np.linspace(0,pi/3+0.01,4): + +$$ +\mathrm {T T} = \mathrm {n p . a r r a y} ([ +$$ + +$$ +[ \cos (\mathrm {g a m a}), - \sin (\mathrm {g a m a}) ], +$$ + +$$ +[ \sin (\mathrm {g a m a}), \cos (\mathrm {g a m a}) ] +$$ + +$$ +\rbrack) +$$ + +$$ +p 1 = T T. d o t (p 1. T). T +$$ + +$$ +p 1 = p 1 +$$ + +$$ +\# \operatorname {D i s} 0 = \mathrm {n p . o n e s} ([ \mathrm {l e n} (\mathrm {p} 1), \mathrm {l e n} (\mathrm {p} 1) ]) +$$ + +for i in range(len(p1)): + +for j in range(len(p1)): + +distance $=$ np.linalg.norm(p1[i,:]-p1[j,:]) + +if distance $< 20$ + +Dis0[i,j] = 1 + +else: + +Dis0[i,j] = 0 + +np.save('D:/数学建模学习/2023国赛/数据文件/dist_tran_r6_raw', Dis0) + +Dis0 = np.load('D:/数学建模学习/2023国赛/数据文件/dist_tran_r6_raw.npy') + +$$ +\mathrm {x y} _ {-} \mathrm {l e n} = \operatorname {r a n g e} (- 2 5 0, 2 5 1, 5 0); \mathrm {d e l t a} _ {-} \mathrm {t} = 1 +$$ + +$$ +E P = n p. z e r o s ([ l e n (x y _ {l e n}), l e n (x y _ {l e n}) ]) +$$ + +$$ +\# x _ {-} c = 0; y _ {-} c = - 1 0 0 +$$ + +for m,x_c in enumerate(xy_len): + +for n, y_c in enumerate(xy_len): + +$$ +\# x _ {-} c = 0; y _ {-} c = 2 5 0 +$$ + +$$ +i f x c ^ {* *} 2 + y c ^ {* *} 2 > 2 5 0 ^ {* *} 2: +$$ + +continue + $\mathrm{EP0 = 0}$ $\mathrm{Pi} = []$ +#判断r=100 +for i in range(len(p1)): $\mathrm{dis} = \mathrm{sqrt((p1[i,0] - x_c)^{**2} + (p1[i,1] - y_c)^{**2})}$ ifdis $> = 100$ Pi.append(i) + $\mathrm{p1} = \mathrm{p1}[\mathrm{Pi}]$ +#生成新的连接矩阵 +Dis1 $=$ np.ones([len(Pi),len(Pi)]) +for i in range(len(Pi)): forj in range(len(Pi)): Dis1[i,j] $=$ Dis0[Pi[i],Pi[j]] +m_n=floor(0.1\*len(p1)) +for k in range(1,3): randomnumbers $=$ random.sample(list(range(len(p1))),m_n) p11 $=$ p1[rand Numbers] Dis $=$ np.ones([m_n,m_n]) for i in range(m_n): for j in range(m_n): Dis[i,j] $=$ Dis0[rand Numbers[i],randomNumbers[j]] Wp $=$ F(L,W,H,D_0,ST_0,delta_t,H0,H1,HR,Dis,p11,x_c,y_c) EP0 $+ =$ np.mean(Wp)\*W\*L\*len(p1)/1000 +print(x_c,y_c,EP0/3) EP[m,n] $=$ EP0 +import numpy as np +import pandas as pd + +```python +import matplotlib.pyplot as plt +import random +from math import cos,sin,acos,asin,pi,exp,sqrt,floor +import time +from Function_2 import F +``` + +```lua +导入题目的附件并添加Z值 +p1 = pd.read_excel(r'r6_raw.xlsx', header=None).values +Dis0 = np.load('disttran_r6_raw.npy') +``` + +$\mathrm{HR} = 3.5;\mathrm{H} = 4;\mathrm{L} = \mathrm{W} = 6$ $\mathrm{H0} = 80;\mathrm{H1} = 8;$ +delta_t=1.5#步长 + +导入每块板在某时刻的俯仰角与方位角 + $\# \mathrm{D\_0} = [306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275]$ $\mathrm{ST\_0} = [9,10.5,12,13.5,15]$ $\mathrm{D\_0} = [306]$ +#ST_0=[9] +time.time() + +$\mathrm{x\_c = 0};\mathrm{y\_c = -250}$ +Pi $\equiv$ [] +start_time $=$ time.time() +#判断r=100 +for i in range(len(p1)): dis $=$ sqrt((p1[i,0]-x_c)\*\*2+(p1[i,1]-y_c)\*\*2) ifdis $\geqslant$ 100: Pi.append(i) +p1 $=$ p1[Pi] +Dis1 $=$ np.ones([len(Pi),len(Pi)]) +#生成新的连接矩阵 + +for i in range(len(Pi)): for j in range(len(Pi)): Dis1[i,j] = Dis0[Pi[i],Pi[j]] +m_n=floor(0.3\*len(p1)) randomnumbers $=$ random.sample(list(range(len(p1)),m_n) p11 $=$ p1[randnumbers] Dis $=$ np.ones([m_n,m_n]) +for i in range(m_n): for j in range(m_n): Dis[i,j] $=$ Dis0[randnumbers[i],randomNumbers[j]] +Wp $=$ F(L,W,H,D_0,ST_0,delta_t,H0,H1,HR,Dis,p11,x_c,y_c) +print(Wp) +#记录程序运行时间 +end_time $=$ time.time() elapsed_timeSeconds $\equiv$ end_time - start_time elapsed_time Minutes $=$ round(elapsed_timeSeconds/60,2) print(f'代码运行时间：{elapsed_time Minutes}分钟") +#0.24874209\*36\*3311 + +# Matlab程序 + +clc; clear; + +$\mathrm{k} = 2$ $\%$ 计数 + +$\mathrm{R} = 350$ + +$\mathrm{r} = 11$ $\%$ 宽 $+5$ + +$\mathrm{n = fix(2^{*}R / r)}$ $\%$ 一排的点数 + +% 第一排第一个点 + +$\mathrm{W} = [-\mathrm{R}, \mathrm{R}]$ ; + +W1 = W; + +% 计算第一排 + +for $\mathrm{i} = 1:\mathbf{n}$ + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 1) = \mathrm {W} (\mathrm {k} - 1, 1) + \mathrm {r}; +$$ + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 2) = \mathrm {W} (1, 2); +$$ + +$$ +\mathrm {k} = \mathrm {k} + 1; +$$ + +end + +% 第二排第一个点 + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 1) = - \mathrm {R} + \mathrm {r} / 2; +$$ + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 2) = \mathrm {R} - \mathrm {r} ^ {*} \operatorname {s q r t} (3) / 2; +$$ + +$$ +\mathrm {W} 2 = \mathrm {W} (\mathrm {k},:) +$$ + +$$ +\mathrm {k} = \mathrm {k} + 1; +$$ + +% 计算第二排 + +for $\mathrm{i} = 1:\mathbf{n}$ + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 1) = \mathrm {W} (\mathrm {k} - 1, 1) + \mathrm {r}; +$$ + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 2) = \mathrm {W} (\mathrm {k} - 1, 2); +$$ + +$$ +\mathrm {k} = \mathrm {k} + 1; +$$ + +end + +$$ +\mathrm {n} 1 = \operatorname {f i x} (2 ^ {*} \mathrm {R} / (\mathrm {r} ^ {*} \operatorname {s q r t} (3) / 2)) + 1; +$$ + +% 从第三排开始 + +for $i = 3:n1$ + +if mod(i,2) == 1% 奇数行 + +% 先写该行的第一个点 + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 1) = \mathrm {W} 1 (1, 1); +$$ + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 2) = \mathrm {W} 1 (1, 2) - \operatorname {s q r t} (3) ^ {*} \mathrm {r} ^ {*} (\mathrm {i} - 1) / 2; +$$ + +$$ +\mathrm {k} = \mathrm {k} + 1; +$$ + +$$ +f o r j = 1: n +$$ + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 1) = \mathrm {W} (\mathrm {k} - 1, 1) + \mathrm {r}; +$$ + +$$ +\mathrm {W} (\mathrm {k}, 2) = \mathrm {W} (\mathrm {k} - 1, 2); +$$ + +$$ +\mathrm {k} = \mathrm {k} + 1; +$$ + +end + +```matlab +else % 偶数行 +% 先写该行的第一个点 +W(k, 1) = W2(1, 1); +W(k, 2) = W2(1, 2)-sqrt(3)*r*(i-2)/2; +k = k+1; +for j = 1:n + W(k, 1) = W(k-1, 1)+r; + W(k, 2) = W(k-1, 2); + k = k+1; + end +end +end +% 计算范围内点 +a = 0; +for i = 1:length(W) + if W(i, 1)^2 + W(i, 2)^2 <= (350-(r-5)/2)^2 %& W(i, 1)^2 + W(i, 2)^2 >= 100^2 + a = a+1; + W_e(a,:) = W(i,:) +end +end +scatter(W_e(:, 1), W_e(:, 2),!). +T = [cos(pi/4), -sin(pi/4); +sin(pi/4), cos(pi/4)]; +WW = (T*W)'; +% 计算点距离 +for i = 1:length(W) + for j = i:length(W) +``` + +
D(i,j) = sqrt((WW(i,1)-WW(j,1))^2+(WW(i,2)-WW(j,2))^2);D(j,i) = D(i,j);endend
问题三
import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport randomfrom math import cos,sin,acos,asin,pi,exp,sqrt,floorimport timefrom Function_3 import Fp1 = pd.read_excel(r'D:\数学建模学习\2023国赛\数据文件\r6_raw.xlsx',header=None).valuesDis0 = np.load('D:/数学建模学习/2023国赛/数据文件/disttran_r6_raw.npy')R_dis = [np.linalg.norm(i) for i in p1]new_column = np.array([4 for i in range(len(p1))]) #安装高度4mP = np_column_stack((p1, new_column))#筛选北边的最外层r_1 = 340; r_2 = 351Ai=[[for i in range(len(P)):if R_dis[i] >= r_1 and p1[i,1] > 0:Ai.append(i)P[i,2] = P[i,2] + 2
+ +$\mathrm{x\_c = 0};\mathrm{y\_c = -250}$ + +```txt +Pi=[] +``` + +```txt +for i in range(len(P)): +``` + +dis $=$ sqrt((p1[i,0]-x_c)\*\*2+(p1[i,1]-y_c)\*\*2) + +if $\text{dis} >= 100$ : + +```txt +Pi.append(i) +``` + +$\mathrm{PP} = \mathrm{P}[\mathrm{Pi}]$ + +```txt +## 计算新的邻接矩阵，计算一次后即存储 +``` + +```txt +Dis0 = np.ones([len(PP), len(PP)]) +``` + +```txt +for i in range(len(PP)): +``` + +```txt +for j in range(len(PP)): +``` + +distance $=$ np.linalg.norm(PP[i,·]-PP[j,·]) + +if distance $< 20$ + +```txt +Dis0[i,j] = 1 +``` + +```txt +else: +``` + +```txt +Dis0[i,j] = 0 +``` + +```javascript +np.save('D:/数学建模学习/2023国赛/数据文件/dist_tran_r6_raw_3', Dis0) +``` + +```javascript +np.save('D:/数学建模学习/2023国赛/数据文件/position_3',PP) +``` + +```txt +Dis0 = np.load('D:/数学建模学习/2023国赛/数据文件/dist_tran_r6_raw_3.npy') +``` + +```txt +#%% +``` + +```txt +D_0=[306]; ST_0=[9] +``` + +$\mathrm{HR} = 3.5;\mathrm{H} = 4;\mathrm{L} = \mathrm{W} = 6$ + +$\mathrm{H0} = 80$ ; $\mathrm{H1} = 8$ ; delta_t $= 3$ # 步长 + +$\mathrm{PW} = \mathrm{F(L,W,H,D\_0,ST\_0,delta\_t,H0,H1,HR,Dis0,PP,x\_c,y\_c)}$ + +```txt +print( np.mean(PW)*W*L*len(PP)/1000 ) +``` + +```txt +0%0% +``` + +```javascript +plt.scanter(p1[:,0],p1[:,1],c='b') +``` + +```txt +plt.scanter(p1[Ai,0],p1[Ai,1],c='r') +``` + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +import random +from math import cos,sin,acos,asin,pi,exp,sqrt,floor +import time +from Function_3 import F +``` + +导入题目的附件并添加Z值 + $\mathbf{p} = \mathbf{np}$ .load('D:/数学建模学习/2023国赛/数据文件/position_3.npy')Dis0 $=$ np.load('D:/数学建模学习/2023国赛/数据文件/disttran_r6_raw_3.npy') + +$\mathrm{HR} = 3.5;\mathrm{H} = 4;\mathrm{L} = \mathrm{W} = 6$ $\mathrm{H0} = 80;\mathrm{H1} = 8;\mathrm{delta\_t} = 3\#$ 步长 + +导入每块板在某时刻的俯仰角与方位角 + $\mathrm{D\_0} = [306,337,0,31,61,92,122,153,184,214,245,275]$ $\mathrm{ST\_0} = [9,10.5,12,13.5,15]$ +# $\mathrm{D\_0} = [306]$ +# $\mathrm{ST\_0} = [9]$ +x_c=-250; y_c=-150 + +m_n=floor(0.3\*len(p)) +randomNumbers $\equiv$ random.sample(list(range(len(p))),m_n) +p11 $=$ p[randomnumbers] +Dis $=$ np.ones([m_n,m_n]) +for i in range(m_n): for j in range(m_n): Dis[i,j] $=$ Dis0[random numbers[i],random numbers[j]] + +start_time $\equiv$ time.time() + $\mathrm{PW} = \mathrm{F(L,W,H,D\_0,ST\_0,delta\_t,H0,H1,HR,Dis,p11,x\_c,y\_c)}$ +end_time $=$ time.time() + elapsed_timeSeconds $=$ end_time - start_time + elapsed_time Minutes $=$ round(elapsed_timeSeconds/60,2) +print(f"代码运行时间：{elapsed_time Minutes}分钟") +print(PW) +# print(np.mean(PW)*W*L*len(p)/1000) \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/B226/B226.md b/MCM_CN/2023/B226/B226.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..45059a3b26d50be3fe990bdfbdcd04f77de5c065 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/B226/B226.md @@ -0,0 +1,1478 @@ +# 多波束测线布设 + +# 摘要 + +多波束测深系统是由单波束测深发展而来的水深测量系统，研究多波束测线布设对于海洋测绘具有重要意义。本文建立测线优化模型，运用各类几何方法、向量分析、最小二乘法、贪心算法、模拟退火等方法研究多波束测深的覆盖宽度、相邻条带之间的重叠率以及测线布设问题。 + +针对问题一：首先简要介绍多波束测量仪的工作原理，以海域中心点为坐标原点建立合适的坐标系。其次利用相似三角形原理计算海水深度，并通过几何知识推导关键角的关系式，然后基于正弦定理计算覆盖宽度。接着利用几何知识推导重叠率的计算公式并代入变量计算。最后得到特定位置处的指标，存放在 result1.xlsx 中。同时进行结果分析，并利用控制变量法探究覆盖宽度、重叠率随各参数的变化。 + +针对问题二：以海域坡面中心为坐标原点建立三维空间坐标系，参考问题一，首先利用向量分析，根据向量叉乘得到测线方向与其在水平面上的投影组成的平面和海底坡面的交线的点向式方程，代入相应坐标求得海水深度。其次，利用线面角计算公式求得水平面与覆盖宽度所在直线的夹角。然后根据问题一建立的模型求解得到特定位置处的覆盖宽度，存放在 result2.xlsx 中。最后进行结果分析以及原因分析。 + +针对问题三：对于一个具体的矩形海域，首先利用数学证明得到平行等深线走向进行测线布设是最佳方案。其次建立以测线总长度最短为目标，以测线完全覆盖海域、相邻条带之间的重叠率的取值范围为约束条件，建立单目标优化模型。然后基于贪心算法的循环遍历法，确定最优测线布设为34条，得到测线总长度为 $125936m$ 。最后利用模拟退火对测线布设仿真检验，发现两种方法计算得到的误差很小，由此验证了模型的可靠性，并对开角、坡度进行灵敏度分析。 + +针对问题四：首先利用单波束测量数据确定海域初貌，发现其地形起伏大，难以求解测线布设。其次参考问题三，利用等深线图对该海域进行初步划分。基于最小二乘法将各划分区域拟合成便于求解的坡面方程，通过粒子群算法求解得到坡面方程，并对拟合效果不佳的区域进行进一步划分。然后仍以测线的总长度最小为优化目标，修正问题三的约束条件，建立单目标优化模型。仍采用贪心算法求解各区域测线布设，得到测线的总长度、漏测海区占总待测海域面积的百分比、叠率超过 $20\%$ 部分的总长度分别为622海里、 $3.48\%$ 、30海里。最后进行结果分析和原因分析。 + +文章的最后，对本文建立的模型进行评价，并在考虑检查线的情况对模型进行一定程度的改进。 + +关键词：多波束测线布设、目标优化模型、最小二乘法、贪心算法、模拟退火仿真 + +# 一、问题重述 + +多波束测深系统是由单波束测深发展而来的水深测量系统，近年来得到广泛应用。与单束测深仪相比，多束波测深系统能够同时获取多个相邻窄波束，获取条带式的海底地形数据，实现从“点到线”测量到“线到面”的跨越，具有分辨率高、精度高、效率高、覆盖范围大、自动化成图等优势。[1-2] + +了解多波束测量的工作原理，建立数学模型解决以下问题。 + +问题一：已知海底的坡度为 $\alpha$ ，测线方向垂直于坡面所在的竖直平面，建立多波束测深时覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型，在多波束换能器的开角为 $120^{\circ}$ ，坡度为 $1.5^{\circ}$ ，海域中心海水深度为 $70m$ 时应用该模型，计算海水深度、覆盖率重叠率等指标值。 + +问题二：在一个矩形待测海域中，已知海底坡面法向在水平面上的投影与测线方向的夹角为 $\beta$ ，建立多波束测深覆盖宽度的数学模型。在开角、坡度、海域中心处海水深度确定时，应用该模型计算某些位置、特定 $\beta$ 的覆盖宽度。 + +问题三：在一个长2海里、宽4海里的矩形海域中，海域中心处海水深度、坡度、开角均已知，在满足完全覆盖、重叠率 $10\% \sim 20\%$ 的前提下，为该海域设计一组长度最短的测线。 + +问题四：已知一个确定海域的单波束测量数据，据此设计多波束测量船的测线。为保证测量效果和效率，测线条带要尽可能地完全覆盖整个海域；且相邻条带之间的重叠率尽量小于 $20\%$ ；测线总长度要尽量短。在设计出具体地测线后，从测线的总长度、漏测海域占比、重叠率超过 $20\%$ 的总长度分析该测线的实施效果。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +在问题一中，要求在海底坡度为 $\alpha$ 的情况下建立多波束测深的覆盖宽度和相邻条带之间重叠率的数学模型，并在多波束换能器开角、坡度、海域中心处海水深度等具体参数值下求解海水深度、覆盖宽度和重叠率。首先，以海域中心为坐标原点建立三维空间直角坐标系，由几何知识推导出海水深度的计算公式，在此基础上利用正弦定理得到覆盖宽度的表达式。对于重叠率的计算，根据题目给出海底地形平坦的计算公式推导出重叠率的一般定义式，据此得到重叠率的计算公式。至此，模型建立完成，将具体参数值带入我们的模型中，即可分别得到海水深度、覆盖宽度和重叠率的求解结果。 + +# 2.2 问题二的分析 + +在问题二中，已知一个矩形海域，其测线方向与海底坡面的法向在水平面的投影的夹角为 $\beta$ ，要求我们建立覆盖宽度的数学模型，再代入具体参数求解不同位置、不同测线方向夹角的覆盖宽度。由问题一的模型，只要已知水平面与覆盖宽度所在直线的夹角、该位置处的海水深度，就可以求解覆盖宽度，因此我们需要利用立体几何知识建立数学模型得到这两个参数的计算公式，再利用问题一的模型，即可得到问题二覆盖宽度的求解模型，代入具体参数求解即可。 + +# 2.3 问题三的分析 + +在问题三中，给出一个具体的矩形海域，要求我们为该海域设计一组测线，满足测量长度最短、可完全覆盖整片待测海域、相邻条带之间的重叠率在 $10\% \sim 20\%$ 等限制条件。对于多波束测深的测线布设，需要从测线方向和测线间距两个方面考虑，根据国家明确规定，测线方向平行等深线方向最佳，我们对此进行了证明；对于测线间距建立单目标优化模型，在求解时，首先考虑边界覆盖情况，确定东海岸第一条测线，然后基于贪心算法逐步优化求解第二、第三条测线……从而得到最优测线布设。最后，采用模拟退火对求解结果进行仿真验证。 + +# 2.4 问题四的分析 + +在问题四中，基于某海域的单波束测量数据，为多波束测量提供测线布设方案。为保证测量的完整性和效率，测线扫描形成的条带要尽量覆盖整片海域；相邻条带重叠率在 $20\%$ 以下为宜；测线长度应尽量短。由于海底地形起伏较大，整片海域直接测量，效果不佳，因此需要根据等深线对海域进行划分，对不同区域分别进行测线布设。根据已知海水深度数据基于最小二乘法确定坡面方程，将各海域地形转化为坡面，利用问题三建立的优化模型确定最优布设方案。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设不考虑探测船的垂荡纵摇等运动对测深作业造成的影响。 +2. 假设进行测深作业时，海面上没有漂浮海冰等障碍物影响测线方向的布设。 +3. 假设声波在海水中作匀速直线传播，不会在中途遇到小颗粒等发生折射现象。 +4. 假设单波束测量的海水深度数据较为准确，基本符合该海域的地形，可以为多波束测线布设提供正确参考。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明单位
W多波束测量覆盖宽度m
θ多波束换能器开角°
α海底坡度°
D海水深度m
η相邻条带之间重叠率%
D0问题一海域中心处海水深度m
β测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角°
δ问题二水平面与覆盖宽度所在直线的夹角°
H0问题二海域中心处海水深度m
L问题二测量船距海域中心处的距离m
l1矩形海域南北长度m
l2矩形海域东西宽度m
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一：多波束测深的覆盖宽度及重叠率的数学模型 + +在问题一中，要求在海底坡度为 $\alpha$ 的情况下建立多波束测深的覆盖宽度和相邻条带之间重叠率的数学模型，并在具体参数值下求解海水深度、覆盖宽度和重叠率。首先，我们建立三维直角坐标系，然后由平面几何知识、正弦定理建立模型，得到海水深度、覆盖宽度和重叠率的计算公式，代入具体参数值得到求解结果，具体操作如下。 + +# 5.1.1 多波束测深的覆盖宽度及重叠率模型的建立 + +# 多波束测深原理 + +为了保证模型的建立符合实际情况，首先对多波束测量仪的工作原理进行简要说明。 + +![](images/586f4e47039438498ef51b92f2a77a74c68c3536b889dd312aa9dfbb99cad42e.jpg) +图1：多波束测深原理图 + +与单波束测量不同，多波束系统工作时换能器同时发射多束声波（如左图），在垂直于航向方向上形成一个发射波束扇形声波传播区，从而得到一个条带覆盖区域内多个测点的海底深度值，实现对海底的条带式测量。[3] + +# 三维空间直角坐标系的建立 + +根据测量船的运动情况，以海域中心点为坐标原点 $O$ ，以测量船的行驶方向（测线方向）为 $x$ 轴，以测线间距的分布方向为 $y$ 轴，以海水深度方向为 $z$ 轴，建立三维空间直角坐标系 $O(x,y,z)$ 如下，问题一建模都在此坐标系中进行。 + +![](images/86c59ba4205a0ae99a55c7563b35717841254309db9d0879648e6983d36bf326.jpg) +图2：多波束测量坐标系的建立 + +# 多波束测深覆盖宽度及重叠率的计算 + +# 1) 计算海水深度 + +如图所示，多波束测深条带的覆盖宽度 $W$ 与换能器开角 $\theta$ 、海水深度 $D$ 有关。因此，计算多波束在某位置下的覆盖宽度的前提是海水深度已知。我们通过以下步骤计算测线距中心点不同距离下的海水深度。 + +![](images/bf04ad13335b4cd04b02bf3990a4cec93a870174ef14cb5e5b4c9d5c36e30916.jpg) +图3：不同测线的海水深度 + +由上图分析可知，测量船在坐标原点O处的海水深度为 $D_{0}$ ，测量船在不同位置的海水深度 $D$ 可由海域中心处的海水深度 $D_{0}$ 和该位置据海域中心的距离 $y$ 表示。 + +当测量船在 Y 轴负方向时，海水深度 $D = D_{0} + l$ ，由相似三角形原理，在阴影部分三角形中， $l = y \tan \alpha$ 。当测量船在 Y 轴正方向时，海水深度 $D' = D_{0} - l'$ ，同理， $l' = y \tan \alpha$ 。 + +在上文建立的坐标系中，上图中左方为Y轴负方向， $y$ 取负值；右方为Y轴正方向， $y$ 取正值，因此不同位置的海水深度可以统一为下式： + +$$ +D (y) = D _ {0} - y \tan \alpha \tag {1} +$$ + +# 2) 基于正弦定理计算覆盖宽度 + +由式（1）我们已经得到了海水深度的计算方式，在此基础上，通过增添辅助线，结合平面几何知识和正弦定理可以给出覆盖宽度的计算公式，具体操作如下。 + +![](images/c6ad493844ee75c8aed6b12d8b8beb47522b9470336333b2544a13a410342058.jpg) +图4：覆盖宽度计算 + +在上图中，过点 $A$ 作垂线 $AE \perp BC$ ，垂足为 $E$ ，交海底坡面 $BF$ 于点 $G$ 。通过查阅资料，多波束测深系统发射出的波束总是左右对称的，若波束数为奇数，多波换能器左右发射的波束数相等且沿中央波束对称；若波束数为偶数，多波束换能器左右发射的波束数相等且按换能器垂线方向对称。[4]即 $\triangle ABC$ 为始终为等腰三角形， $AB = AC$ 。 + +由几何关系可知，在 $\triangle ABC$ 中， $AB = AC$ 且 $AE \perp BC$ ，则易得 $AE$ 平分 $\angle BAC$ ，即 $\angle BAE = \angle CAE = \frac{\theta}{2}$ 。在 $\triangle ABG$ 和 $\triangle ABF$ 中，由三角形内角和为 $\pi$ ，易得 $\angle ABG = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} - \alpha$ ， $\angle AFG = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} + \alpha$ 。至此，已知相关各角度，下面通过正弦定理将角与边的联系起来，从而求覆盖宽度 $BF$ 。 + +正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。在 $\triangle ABG$ 、 $\triangle AFG$ 中，应用正弦定理得： + +$$ +\frac {B G}{\sin \angle B A G} = \frac {A G}{\sin \angle A B G} \quad \boxed {\Rightarrow} \quad \begin{array}{l} B G = \frac {A G}{\sin \angle A B G} \cdot \sin \angle B A G \\ F G = \frac {A G}{\sin \angle A F G} \cdot \sin \angle F A G \end{array} \tag {2} +$$ + +其中， $AG$ 即为测量处的海水深度 $D$ ， $BG$ 为多波束测深条带的左覆盖宽度， $FG$ 为多波束测深条带的右覆盖宽度。由 $BG$ 、 $FG$ 可得该处的条带覆盖宽度 $W$ 为 + +$$ +W = B G + F G = \frac {D (y)}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha\right)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} + \frac {D (y)}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} \tag {3} +$$ + +上式中， $D(y)$ 表示距离海域中心 $y$ 处的海水深度； $\theta$ 表示多波束换能器开角； $\alpha$ 表示海底坡度。 + +# 3) 计算相邻条带之间重叠率 + +在多波束测量的过程中，为了实现全覆盖测量，保证数据的完整性，相邻测线测量的相邻条带之间应有一定程度的重叠。兼顾测量的便利性和效率，重叠率的最佳值介于 $10\% \sim 20\%$ 之间。 + +由题目可知，在测线相互平行且海底地形平坦的情况下，相邻条带之间重叠率 $\eta$ 的定义为： + +$$ +\eta = 1 - \frac {d}{W} = \frac {W - d}{W} +$$ + +由几何关系易得， $W - d$ 表示相邻条带的重叠长度，则根据上式，我们得到相邻条带重叠率的一般定义如下： + +$$ +\eta = \frac {\text {相 邻 条 带 的 重 叠 区 域 长 度}}{\text {该 条 带 的 覆 盖 宽 度}} +$$ + +据此一般定义，可以在问题一中测线相互平行且海底地形为坡面的情况下计算相邻条带之间的重叠率。 + +![](images/230e2a141d7a0bb09079f70af2065d64a78e2c29014df22e533e8c72ed6ab829.jpg) +图5：相邻条带之间的重叠 + +如上图所示，假设距海域中心点 $y$ 处的测线的覆盖宽度为 $HI$ ，该测线与相邻测线条带的重叠区域为 $HF$ ，则该测量条带与上一条测线的重叠率 $\eta$ 为： + +$$ +\eta = \frac {H F}{H I} +$$ + +距中心点任意处 $y$ 的测线的覆盖宽度 $H I$ , 即 $W$ , 在上文中已经求得, 关键是求出该测线与其相邻条带的重叠区域 $H F 。 G 、 H 、 F 、 G ^ {\prime}$ 四点共线, 根据几何关系得: + +$$ +H F = G G ^ {\prime} - G H - F G ^ {\prime} = G G ^ {\prime} - \left(G G ^ {\prime} - H G ^ {\prime}\right) - \left(G G ^ {\prime} - G F\right) = H G ^ {\prime} + G F - G G ^ {\prime} +$$ + +其中 $HG'$ 为该测线的测深条带左覆盖宽度， $GF$ 为相邻于该测线的测线条带右覆盖宽度，在上文中均已给计算表达式（2）。 $GG'$ 是相邻测线的波束打到海底坡面的距离，已知相邻测线之间的间距为 $d$ ，由几何关系得， $GG' = \frac{d}{\cos \alpha}$ 。 + +由此可得，距海域中心点 $y$ 处的测线与相邻测线条带的重叠区域为 $HF$ ： + +$$ +H F = \frac {D (y)}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} + \frac {D (y - d)}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} - \frac {d}{\cos \alpha} +$$ + +其中， $D(y)$ 为距海域中心点 $y$ 处的海水深度， $d$ 为测线间距， $\theta$ 为多波束换能器的开角， $\alpha$ 为海底坡度。 + +综上，得到距海域中心点 $y$ 处的测线与其相邻测线条带的重叠率 $\eta$ 为： + +$$ +\eta = \frac {\frac {D (y)}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} + \frac {D (y - d)}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} - \frac {d}{\cos \alpha}}{W} \tag {4} +$$ + +$\succ$ 至此，综合式（1）、（3）、（4），可以得到多波束测深的覆盖宽度及重叠率的数学模型为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} D (y) = D _ {0} - y \tan \alpha \\ W = \frac {D (y)}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} + \frac {D (y)}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} \\ \eta = \frac {\frac {D (y)}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} + \frac {D (y - d)}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} - \frac {d}{\cos \alpha}}{W} \end{array} \right. \tag {5} +$$ + +# 5.1.2 海水深度、覆盖宽度、重叠率的求解 + +根据上述建立的模型（5），将多波束换能器的开角 $\theta = 120^{\circ}$ ，坡度 $\alpha = 1.5^{\circ}$ ，海域中心点处的海水深度 $D_{0} = 70m$ ，测线间距 $d = 200m$ 等参数值代入我们的模型，利用MATLAB编写程序求解，即可得到特定位置处的海水深度、覆盖宽度以及与前一条测线的重叠率，所得结果如下表所示。 + +表 1 问题一的计算结果 + +
测线距中心点处的距离/m-800-600-400-2000200400600800
海水深度/m90.9585.7180.4775.2470.0064.7659.5354.2949.05
覆盖宽度/m315.81297.63279.44261.26243.07224.88206.70188.51170.33
与前一条测线的重叠率/%—35.7031.5126.7421.2614.897.41-1.53-12.36
+ +# 结果分析 + +① 海水深度：不同位置的海水深度随着测线距中心点处的距离增大而减小，减小幅度为 $\tan \alpha$ ，与海底的坡高沿 Y 轴方向增大相符。海水深度只与海域中心处的海水深度和海底坡度 $\alpha$ 有关。 +(2) 覆盖宽度: 多波束测量的覆盖宽度与海水深度的变化趋势一致, 随着海水深度的减小而减小, 说明在测线间距、换能器开角一定时, 多波束测量仪在浅水区的覆盖宽度更小。 +(3) 重叠率: 分析上表可知, 在海水深度较大处相邻条带之间重叠率较大, 能够实现全覆盖, 但影响效率; 在海水深度较小处相邻条带之间的重叠率较小甚至小于 0 , 出现漏测现象。因此, 在深水区可以增大测线间距, 从而提高测量效率; 相应地, 在浅水区应增加测线布设数量, 从而实现全覆盖。 + +# 5.1.3控制变量法探究覆盖宽度、重叠率随各参数的变化规律 + +根据上述的结果分析，为了深入探究覆盖宽度、重叠率随各参数的变化规律，我们利用控制变量法，分别探究多波束换能器的开角 $\theta$ 对条带的覆盖宽度 $W$ 和重叠率 $\eta$ 的影响以及测线间距 $d$ 对相邻条带的重叠率的影响。 + +![](images/51891c77f6e5910091e5009e2d4d829020e4195d4f56d51f87b675611f1328a0.jpg) +多波束换能器的开角对覆盖宽度的影响 +图6：覆盖宽度随开角的变化 + +左图为覆盖宽度随换能器的开角 $\theta$ 的变化曲线。保持测线间距 $d$ 不变，多次改变多波束换能器的开角 $\theta$ ，可以发现开角越大，距中心点不同距离测量的覆盖宽度越大。此外，对于固定一开角 $\theta$ 对应的曲线，覆盖宽度会随着测线距中心点处的距离增大而减小，即海水深度越小，测量的覆盖宽度越小。从数值结果上来看，减少的量满足等差数列，即该线实际上是一条直线。 + +右图为重叠率随换能器的开角 $\theta$ 的变化曲线。保持测线间距 $d$ 不变，多次改变多波束换能器的开角 $\theta$ ，可以发现开角越大，相邻条带之间的重叠率越大。这导致了不同开角下重叠率在 $10\% \sim 20\%$ 范围的差异较大，即开角越大，满足重叠率范围条件的测线距中心点处距离越大。此外，对于固定一开角 $\theta$ 对应的曲线，重叠率会沿Y轴方向不断减小至小于0，又海水深度随Y轴递减，说明浅水区会出现漏测现象。 + +![](images/c49d2bfafc82e987f6a583e9d1badee646da88940feb6f47bf202d9873081732.jpg) +多波束换能器的开角对重叠率的影响 +图7：重叠率随开角的变化 + +![](images/aec2939d1333e0b45560cbb52b9aa52f079fb8152f2f821cf663072d4abefd11.jpg) +测线间距对重叠率的影响 +图8：重叠率随测线间距的变化 + +左图为重叠率随测线间距的变化曲线。保持换能器的开角不变，将 $[-800m,800m]$ 进行 $n$ 等分，从而改变测线间距 $d$ ， $d = \frac{1600}{n}$ 。随测线间距 $d$ 的变小，相邻条带的重叠率增大。此外，对于固定的测线间距，重叠率会沿Y轴方向不断减小至小于0，又海水深度随Y轴递减，说明浅水区会出现漏测现象。重叠率越小就说明与前一条测线的漏测范围在逐渐变大。 + +# 5.2 问题二：多波束测深覆盖宽度的数学模型 + +在问题二中，已知一个矩形海域，坡度为 $\alpha$ ，且测线方向与海底坡面的法向在水平面的投影的夹角为 $\beta$ ，在此前提下建立覆盖宽度的数学模型。由问题一知，只要已知水平面与覆盖宽度所在直线的夹角、该位置处的海水深度，就可以求解覆盖宽度，因此我们需建立数学模型得到这两个参数的计算公式，再利用问题一模型求解即可。问题二的建模思路如下图所示。 + +![](images/eb065bbf44ef3b1b8eaf32123a6d029ad8febf1f1c1f424bb63aa952e05e962d.jpg) +图9：问题二求解流程 + +# 5.2.1 多波束测深覆盖宽度模型的建立 + +# 建立三维空间直角坐标系 + +以海底坡面的中心为坐标原点 $O'$ ，水平向右为 $x$ 轴正方向，垂直向上为 $y$ 轴正方向，海水深度为 $z$ 轴建立新的三维直角坐标系 $O'(X',Y',Z')$ ，坐标系满足右手定则。如图所示： + +![](images/51b9e92f923938634258ae0dbe249a77dcf9e21540fbc8b2230505e936b39b51.jpg) +图10：问题二坐标系 + +# 覆盖宽度的数学模型 + +根据问题一建立的模型（5），只要已知水平面与覆盖宽度所在直线的夹角 $\delta$ 、该位置处的海水深度 $D$ ，即可通过正弦定理求得多波束测深的覆盖宽度。所以问题二的重点是求沿测线方向的海水深度 $D$ 和夹角 $\delta$ 。 + +# 1) 计算海水深度 $D$ + +为了让模型的建立过程更加直观易懂，我们记测线方向与其在 $X^{\prime}O^{\prime}Y^{\prime}$ 面上投影组成的平面为面I，海底坡面为面Ⅱ。记海底坡面法向量为 $\overrightarrow{n_p}$ ，平面I的法向量为 $\overrightarrow{n_l}$ ，如下图所示。 + +![](images/35ab66888b4bc045a0c27a11015b187af30c4f910c44bbff56bf59a03bf4fd80.jpg) +图11：问题二几何关系分析 + +(1) 求海底坡面的法向量 $\overrightarrow{n_{p}}$ + +如上图所示，为了方便表示，将坡面法向量作在坐标原点处，坡面法向量 $\vec{n}_p$ 上面II， $O^{\prime}A\subseteq$ 面Ⅱ，所以 $\overrightarrow{n_p}\bot O'A$ 。在 $Y^{\prime}O^{\prime}Z^{\prime}$ 面上，坡面法向量 $\overrightarrow{n_p}$ 与 $Y^{\prime}$ 轴负方向的夹角为 $\frac{\pi}{2} -\alpha$ ，又因为 $\overrightarrow{n_p}$ 过原点 $O^{\prime}$ ，则 $\overrightarrow{n_p} = (0, - \cos (\frac{\pi}{2} -\alpha),\sin (\frac{\pi}{2} -\alpha)) = (0, - \sin \alpha ,\cos \alpha)$ 。 + +② 求测线方向与其在 $X^{\prime}O^{\prime}Y^{\prime}$ 面上投影组成的平面（面I）的法向量 $\vec{n_{l}}$ + +记测线方向 $X^{\prime}O^{\prime}Y^{\prime}$ 面（水平面）上的投影为直线 $l$ ，而因为坡面法向量 $\overline{n_p}$ 在 $Y^{\prime}O^{\prime}Z^{\prime}$ 面内，则 $\overline{n_p}$ 在 $X^{\prime}O^{\prime}Y^{\prime}$ 面上的投影在 $y$ 轴负方向上。由题可知，测线方向与海底坡面的法向在水平面上的投影的夹角为 $\beta$ ，即直线 $l$ 与 $y$ 轴负方向的夹角为 $\beta$ 。 + +设 $\vec{n_{l}}$ 为平面I的法向量，由于直线 $l$ 在平面I上，即 $l\in$ 平面I，所以 $\vec{n_{l}}\bot l$ 。由平面几何知识可得， $\vec{n_{l}}$ 与 $Y^{\prime}$ 轴负方向的夹角为 $\beta -\frac{\pi}{2}$ 。由此得到向量 $\overrightarrow{n_I} = (\sin (\beta -\frac{\pi}{2}), - \cos (\beta -\frac{\pi}{2}),0) = (-\cos \beta , - \sin \beta ,0)$ 。 + +(3) 求平面 I 与海底坡面的交线 $m$ + +平面I与平面II相交，记交线为直线 $m$ ，交线 $m$ 与海平面之间的距离即为海水深度。由于已知平面I与平面II的法向量分别为 $\overrightarrow{n_p}$ 、 $\overrightarrow{n_I}$ ，则面I与面II的交线 $m$ 的方向向量可利用二者叉乘来表示。根据 $m\perp \overrightarrow{n_p},m\perp \overrightarrow{n_I}$ ，得到交线 $m$ 的方向向量表达式为： + +$$ +\overrightarrow {m} = \overrightarrow {n _ {p}} \times \overrightarrow {n _ {I}} = \left| \begin{array}{c c c} i & j & k \\ 0 & - \sin \alpha & \cos \alpha \\ - \cos \beta & - \sin \beta & 0 \end{array} \right| = (\sin \beta \cos \alpha , - \cos \beta \cos \alpha , - \cos \beta \sin \alpha) +$$ + +因为平面I与平面II均过原点 $O^{\prime}$ ，则二者的交线 $m$ 也过原点 $O^{\prime}$ 。由此得到空间直线 $m$ 的点向式方程为： + +$$ +\frac {x}{\sin \beta \cos \alpha} = \frac {y}{- \cos \beta \cos \alpha} = \frac {z}{- \cos \beta \sin \alpha} +$$ + +(4) 根据交线 $m$ 求海水深度 + +设测量船距海域中心点处的距离为 $L$ , 在此处向下引垂线, 作 $MH \perp$ 面 $X'O'Y'$ , 垂足为 $\mathrm{H}$ 。由几何关系易知, 垂足 $\mathrm{H}$ 在直线 $l$ 上, 且 $MH$ 交直线 $m$ 于点 $N$ , 如下图所示。 + +![](images/18b9def537e49e0c6b4358a93f517d40e6d77226c0c0ce97a92560f8720420fa.jpg) +图12：海水深度计算 + +由几何关系可知，点 $\mathrm{H}$ 的坐标可以表示为 $H = (L\cos (\beta -\frac{\pi}{2}),L\sin (\beta -\frac{\pi}{2}),0)$ 。由于点N与点H的 $X^{\prime},Y^{\prime}$ 坐标相同且位于直线 $m$ 上，因此将 $H$ 的 $X^{\prime}$ 、 $Y^{\prime}$ 的坐标代入直线 $m$ 的点向式方程，即可得到点 $N$ 的 $Z^{\prime}$ 轴方向的坐标值为： + +$$ +z ^ {\prime} = - L \frac {\cos \beta \sin \alpha}{\cos \alpha} = - L \tan \alpha \cos \beta +$$ + +据此，直线 $m$ 到海平面的距离 $MN$ 即海水深度 $D$ 的数学表达式为： + +$$ +D = H _ {0} - z ^ {\prime} = H _ {0} + L \tan \alpha \cos \beta \tag {6} +$$ + +其中 $H_{0}$ 为海域中心点处的海水深度， $L$ 为测量船距海域中心点的距离，单位为 $m$ ，1 海里 = 1852m。 $\alpha$ 为海底坡度， $\beta$ 为测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角。 + +2) 计算水平面与覆盖宽度所在直线的夹角 $\delta$ + +为了使建模过程更加直观，做如下空间三维图和平面二维图，将多波束的扫射平面提取出来，从而将问题二与问题一相联系。在上述过程中，我们已经得到了海水深度的表达式，只需再给出水平面与覆盖宽度所在直线的夹角 $\delta$ 的计算公式，即可利用问题一中的模型求解覆盖宽度 $W$ 。 + +![](images/ca755b9a7abe58fbc3d7b72d2324f90ad6fd12ceca2f0666e86ef26b400bfa94.jpg) +图13：三维空间到二维空间的转化 + +从上图可以直观地看出，测量船沿着测线方向行进，在距海域中心点 $L$ 处时发射多波束，波束打到海底坡面最远处的点为 $A 、 B$ ，图中 $\triangle MAB$ 即为波束范围，AB 即多波束测深条带的覆盖宽度。 + +为了计算出线段AB的长度，我们还需要知道直线AB与水平面的夹角 $\delta$ 。由几何关系可知，测线方向向量 $\overrightarrow{n_c}\bot AB$ 。因为AB在海底坡面上，则海底坡面法向量 $\overrightarrow{n_p}\bot AB$ 。根据 $\overrightarrow{n_c}\bot AB$ 、 $\overrightarrow{n_p}\bot AB$ ，直线AB的方向向量可利用二者叉乘来表示，即直线AB的方向向量表达式为： + +$$ +\overrightarrow {A B} = \overrightarrow {n _ {p}} \times \overrightarrow {n _ {c}} = \left| \begin{array}{c c c} i & j & k \\ 0 & - \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & - \cos \beta & 0 \end{array} \right| = (\cos \beta \cos \alpha , \sin \beta \cos \alpha , \sin \beta \sin \alpha) +$$ + +又因为水平面的法向量 $\vec{n} = (0,0,1)$ ，由线面角的计算公式，得 + +$$ +\sin \delta = \cos < \overrightarrow {A B}, \vec {n} > = \frac {| \overrightarrow {A B} \cdot \vec {n} |}{| \overrightarrow {A B} | | \vec {n} |} = \frac {| \sin \beta \sin \alpha |}{\sqrt {\cos^ {2} \beta \cos^ {2} \alpha + \sin^ {2} \beta}} +$$ + +则直线AB与水平面的夹角 + +$$ +\delta = \arcsin \frac {\left| \sin \beta \sin \alpha \right|}{\sqrt {\cos^ {2} \beta \cos^ {2} \alpha + \sin^ {2} \beta}} \tag {7} +$$ + +$\succ$ 综上，我们已经分别得到了海水深度和覆盖宽度所在直线与水平面的夹角的计算公式（6）、（7），结合问题一的模型，可以得到问题二覆盖宽度的数学模型为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} W = \frac {D}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \delta\right)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} + \frac {D}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \delta\right)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} \\ D = H _ {0} + L \tan \alpha \cos \beta \\ \delta = \arcsin \frac {| \sin \beta \sin \alpha |}{\sqrt {\cos^ {2} \beta \cos^ {2} \alpha + \sin^ {2} \beta}} \end{array} \right. \tag {8} +$$ + +# 5.2.2 覆盖宽度的求解 + +根据上述建立的模型（8），将多波束换能器的开角 $\theta = 120^{\circ}$ ，坡度 $\alpha = 1.5^{\circ}$ ，海域中心点处的海水深度 $H_{0} = 120m$ 等参数值代入我们的模型，利用MATLAB编写程序求解，即可得到特定位置处的覆盖宽度，所得结果如下表所示。 + +表 2 问题二的计算结果 + +
覆盖宽度/m测量船距海域中心点处的距离/海里
00.30.60.91.21.51.82.1
测线方向夹角/°0415.69466.09516.49566.89617.29667.69718.09768.48
45416.19451.87487.55523.23558.91594.59630.27665.95
90416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69
135416.19380.51344.83309.15273.47237.79202.11166.43
180415.69365.29314.89264.50214.10163.70113.3062.90
225416.19380.51344.83309.15273.47237.79202.11166.43
270416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69
315416.19451.87487.55523.23558.91594.59630.27665.95
+ +# 结果分析 + +分析上表结果可知，测线方向的夹角对测量覆盖宽度有一定程度的影响。 + +(1) 当测量船在距海域中心较近的范围内工作时, 多波束的覆盖宽度变化较小, 在海域中心处这一点表现尤为明显, 覆盖深度几乎不随测线方向夹角变化。 +(2) 当测量船在远离海域中心处作业时, 多波束随测线方向夹角变化较为明显, 随着测线方向夹角的增大, 覆盖宽度先减小后又增加, 且都在测线方向夹角为 $180^{\circ}$ 时覆盖宽度达到最小值。 +(3) 当测线夹角方向为 $90^{\circ}$ 和 $270^{\circ}$ 时, 条带的覆盖宽度始终为 $416.69 \mathrm{~m}$ , 并不随测量船距海域中心处的距离改变而变化。 +④ 横向来看，多波束的覆盖宽度随着测量船距海中心点处距离的增大而逐渐增大。 +(5) 纵向来看, 每组数据中测线方向夹角为 $0^{\circ}$ (等深线走向) 时, 条带的覆盖宽度达到最大值。 + +![](images/b2394e0791d4f0e752a97ff9726f4da2c037b31a14ba7765554b81cd7206e7c4.jpg) +图14：不同 $\beta$ 角对覆盖宽度的影响 + +从左图可以直观看出， $45^{\circ}$ 与 $315^{\circ}$ 、 $90^{\circ}$ 与 $270^{\circ}$ 、 $135^{\circ}$ 与 $225^{\circ}$ 分别重合，测线方向的夹角对测量覆盖宽度有显著影响。根本原因是海水深度沿不同测线方向夹角的变化率不同。下面将从 $\beta$ 的不同取值区间探讨测量船的作业所处位置。 + +(1) 当测线方向夹角 $\beta$ 在 $[0,90^{\circ})$ 、 $(270^{\circ},360^{\circ})$ 时，测量船实际上是在往海底坡面的底 + +部前进，越往底部则海水深度越深，则多波束测深条带的覆盖宽度越大。 + +(2) 当测线方向夹角等于 $0^{\circ}$ 或 $360^{\circ}$ 时, 测线刚好沿着坡面底部向下, 海水深度的变化率最大。因此随着测量船距海域中心点处的距离越远, 覆盖宽度的增加幅度最大。纵向观察图表即可看出, 在距海域中心点距离相同时, 该角度下的覆盖宽度最大。 +(3) 当测线方向夹角在 $(90^{\circ}, 270^{\circ})$ 时, 测量船实际上是在往海底坡面的顶部前进, 越往顶部则海水深度越浅, 则多波束测深条带的覆盖宽度越小。 +(4) 当测线方向夹角等于 $270^{\circ}$ 时, 测线刚好沿着坡面顶部向上, 海水深度的变化量最大。因此, 随着测量船在距海域中心点处的距离越远, 覆盖宽度的减小幅度越大。纵向观察图表即可看出, 在距海域中心点距离相同时, 该角度下的覆盖宽度最小。 +(5) 当测线方向夹角等于 $90^{\circ}$ 或 $270^{\circ}$ 时, 测线刚好沿着等深线, 海水深度并不随着测量船在距海域中心点处的距离变化而变化, 因此覆盖宽度不变。 + +# 5.3 问题三：矩形海域测线布设 + +在问题三中，我们对于一个具体的矩形海域，为其设计一组测线，使其测量长度最短、可完全覆盖整个待测海域、相邻条带之间的重叠率在 $10\% \sim 20\%$ 之间。对于测线布设，我们从测线方向和测线间距两个方面考虑，通过证明得到测线方向平行等深线方向最佳；对于测线间距，建立单目标优化模型求解，从而确定最优测线布设方案。 + +# 5.3.1 测线布设模型的建立 + +# 证明测线平行等深线方向是最佳方向 + +对于多波束系统作业的测线布设，要根据任务要求和测区条件来确定。根据国土资源部发布的《海洋多波束水深测量规程》要求规范[5]，主测线一般采用平行等深线走向布设。这样就可以最大限度地增加海域探测覆盖率，提高工作效率。出于建模的严谨性，我们在下文将证明对于具体的矩形海域，测线采用平行等深线布设是最佳的方向。 + +【命题】：平行等深线走向进行测线布设是最佳方案。 + +【证明】：为了证明测线沿着海水等深线方向是最佳方向，只需要证明该测线所对应的覆盖面积大于等于其他方向测线对应的覆盖面积。 + +![](images/78a3a4dc07182170827ea9cb3cd8c07591ba9e5953d99a47ee6e1983b48f29a4.jpg) +图15：待测矩形海域 + +如左图所示，在海底坡面上任取一段长度为 $i$ 的测线 AB，其中 A 在坡面上部，B 在坡面下部，点 o 为 AB 的中点。过 o 点作一条平行于等深线且与 AB 等长的测线 CD。 + +因为该海域西深东浅，则测线AB上的每一个点的海水深度都不同，且海水深度是由A到B一次函数递增的。根据覆盖宽度计算公式可得，覆盖宽度也是由A到B一次函数递增。因此，测线AB构成的扫测面实际上是一个等腰梯形。因为测线CD平行于等深线，则CD上的任意一点的海水深度一样，对应的条纹覆盖宽度也一样。因此，测线CD构成的扫测面是一个矩形。 + +由问题二建立的模型（6）可知，海底坡面任意一处的海水深度是可以计算的。记A点的海水深度为 $H_{1}$ ，B点的海水深度为 $H_{2}$ ，o点的海水深度为 $H_{3}$ ，根据中点得 $H_{3} = (H_{1} + H_{2}) / 2$ 。记A、B、O点的覆盖宽度分别为 $W_{1} 、 W_{2} 、 W_{3}$ ，则测线AB构成的等腰梯形面积为 $S_{1} = (W_{1} + W_{2})i / 2$ ，测线CD构成的矩形面积为 $S_{2} = W_{3} \cdot i$ 。比较 $S_{1}$ 和 + +$S_{2}$ 的大小只需要比较 $(W_{1} + W_{2}) / 2$ 和 $W_{3}$ 的大小, 由问题一中覆盖宽度的计算公式 (8) 可得 + +$$ +\begin{array}{l} \frac {W _ {1} + W _ {2}}{2} = \frac {1}{2} \left(\frac {H _ {1} + H _ {2}}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha^ {\prime}\right)} + \frac {H _ {1} + H _ {2}}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha^ {\prime}\right)}\right) \sin \frac {\theta}{2} \\ W _ {3} = \frac {1}{2} \left(\frac {H _ {1} + H _ {2}}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha\right)} + \frac {H _ {1} + H _ {2}}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha\right)}\right) \sin \frac {\theta}{2} \\ \end{array} +$$ + +对比两式，可以发现 $(W_{1} + W_{2}) / 2$ 和 $W_{3}$ 的大小完全由 $\alpha^{\prime}$ 和 $\alpha$ 的大小决定。对于测线CD，因为其平行于等深线，由几何关系可得 $\alpha$ 即为海底坡度， $\alpha = 1.5^{\circ}$ ，而对于任意测线CD，由几何关系可得 $\alpha^{\prime} \leq 1.5^{\circ}$ 。因此，我们根据表达式得到 $(W_{1} + W_{2}) / 2 \leq W_{3}$ ，所以 $S_{1} \leq S_{2}$ 。 + +> 综上，平行于等深线的测线所对应的覆盖面积最大，即命题测线沿着海水等深线方向为最佳布设方向得证。 + +# 基于单目标优化确定测线位置 + +测线布设包括测线方向和测线间距两方面内容[6]。在上述过程中，我们已经证明了测线布设的最佳方向为平行等深线走向，这一点在问题二的求解结果中也得到了验证。在接下来的过程中，我们将采用目标优化的思想确定最佳测线位置。 + +# $\bullet$ 决策变量 + +测线的条数 $n$ 和相邻测线之间的间距, 其中测线间距可以转化为不同测线的位置,以东海岸为始边, $y_{i}$ 表示测线与东海岸之间的距离, 如下图所示。 + +![](images/579cb4bb733cd30ec9820e565dfab4b2c42a82e54816d584a3fb12c8e864d88e.jpg) +图16：矩形海域测线设计 + +# $\bullet$ 目标函数 + +在设计多波束测深的测线时，为了保证工作效率，希望测线总长度最短。上文已经确定测线平行等深线方向，即南北走向，则每条测线的长度已经确定，即该海域的南北长度 $l_{1} = 2$ 海里 $= 3704m$ 。因此，总测量长度由测线的条数决定，设测线条数为 $n$ ，则优化目标可表示为 + +$$ +\min n l _ {1} +$$ + +# $\bullet$ 约束条件 + +# 1) 完全覆盖整个待测海域 + +在《国际海道测量标准》中明确规定,基于多波束对海水深度的测量,首先必须保证全覆盖[7]。根据题目要求，需要设计一组可以覆盖整个待测海域的测线，从而实现对该海域的全方位探测。全覆盖可以理解为所有测线的覆盖宽度之和大于等于该海域东西宽度，由于相邻条带之间有重叠，重叠部分需要减去，即全覆盖测量的约束条件为： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {n} W _ {i} - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} W _ {i} \eta_ {i} \geq \frac {l _ {2}}{\cos \alpha} +$$ + +上式中， $W_{i}$ 表示第 $i$ 条测线的扫测条带宽度； $\eta_{i}$ 表示第 $i$ 条测线的扫测条带与上一个条带的重叠率； $l_{2}$ 表示矩形海域东西宽度 $l_{2} = 4$ 海里 $= 6814m$ 。 + +# 2）相邻条带之间的重叠率满足要求 + +为保证测量的完整性，不同测线形成的扫射条带之间应有一定的重叠率；同时，为保证探测的效率，相邻条带之间的重叠率不能太大。适宜的重叠率应该在 $10\% \sim 20\%$ 区间内，该值过大会导致探测工作量增加，降低工作效率；该值过小会导致测量不完整，出现漏测现象。因此，对于相邻条带之间重叠率的约束为 + +$$ +10 \% \leq \eta_ {i} \leq 20 \% +$$ + +在问题一中，我们已经给出重叠率的一般定义，在此结合测线位置将重叠率更新为下式： + +$$ +\eta_ {i} = \frac {\left(p _ {i} + W _ {i w}\right) - \left(p _ {i + 1} - W _ {i e}\right)}{W _ {i}} +$$ + +其中， $p_{i}$ 表示沿海底坡度方向的位置，海底坡面与矩形海域水平面的夹角为海底坡度 $\alpha$ ，由几何关系得： + +$$ +y _ {i} = p _ {i} \cos \alpha +$$ + +$W_{iw}$ 表示第 $i$ 个扫测条带的西覆盖宽度； $W_{ie}$ 表示第 $i$ 个扫测条带的东覆盖宽度，二者的计算方法在问题一的模型中已给出。但在问题三中，坐标原点发生变化，坐标原点位于矩形海域东南角，海水深度的计算公式变为： + +$$ +D = h _ {0} + \left(l _ {2} - y _ {i}\right) \tan \alpha +$$ + +其中， $h_0$ 为矩形海域最东边的海水深度，由式（1）计算可得 $h_0 = 13.01m$ 。确定 $D$ 后我们可以得到第 $i$ 条测线西覆盖宽度 $W_{iw}$ 、东覆盖宽度 $W_{ie}$ 、覆盖宽度 $W_i$ 的表达式： + +$$ +\begin{array}{l} W _ {i w} = \frac {D}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2}, W _ {i e} = \frac {D}{\sin (\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} \\ W _ {i} = W _ {i w} + W _ {i e} \\ \end{array} +$$ + +$\succ$ 综上，确定测线位置的单目标优化模型为： + +$$ +\begin{array}{c} \min n l _ {1} \\ \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {n} W _ {i} - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} W _ {i} \eta_ {i} \geq \frac {l _ {2}}{\cos \alpha} \\ 10 \% \leq \eta_ {i} \leq 20 \% \\ \eta_ {i} = \frac {\left(p _ {i} + W _ {i w}\right) - \left(p _ {i + 1} - W _ {i e}\right)}{W _ {i}} \\ D = h _ {0} + \left(l _ {2} - y _ {i}\right) \tan \alpha \\ W _ {i w} = \frac {D}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha\right)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} \\ W _ {i e} = \frac {D}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \cdot \sin \frac {\theta}{2} \\ W _ {i} = W _ {i w} + W _ {i e} \\ y _ {i} = p _ {i} \cos \alpha \end{array} \right. \end{array} \tag{9} +$$ + +# 5.3.2基于贪心算法循环遍历确定最优测线布设 + +![](images/d8b0b423199721f7605cb87333a8370720be310279b4942bf12a437a9a34e9dc.jpg) +图17：最优测线布设求解流程 + +对于上述过程建立的确定测线位置的单目标优化模型，我们基于贪心算法的思想逐步优化求解。 + +Step 1 以矩形海域的东边界为始边，以覆盖宽度恰好能达到东边界确定出第一条测线的位置。 + +Step2从第一条测线的位置开始，以1m为步长逐步向后遍历确定下一条测线的位置，求该测线覆盖宽度与前一条测线的重叠率，将重叠率满足 $10\% \sim 20\%$ 的测线位置都保存起来，利用贪心算法优先选择重叠率为 $10\%$ 的测线，从而确定第二条测线的最优位置，以此类推确定第三条、第四条……测线的位置。 + +Step3 依次遍历直到最新一条测线位置超出海域东西宽度，结束循环，保存该测线之前的确定的所有测线位置。 + +根据上述求解流程，将矩形海域的长宽、海域中心处的海水深度、海底坡度、多波束换能器开角等具体参数值代入模型（9），采用MATLAB编程求解。最终得到需要沿着东西方向布设共34条相互平行且间距不等的测线，根据优化目标可得最小总 + +测量长度为 $125936 \mathrm{~m}$ , 具体测线位置如下表所示。 + +表 3 测线位置 + +
测线编号i1234567
测线位置 yi/m22.9966.71114.50166.57223.10284.32350.45
测线编号i891011121314
测线位置 yi/m422.72500.43584.82677.23777.03885.561003.26
测线编号i15161718192021
测线位置 yi/m1131.541269.931420.881584.011761.891954.222163.68
测线编号i22232425262728
测线位置 yi/m2391.102637.322905.243195.893511.353853.804225.51
测线编号i293031323334
测线位置 yi/m4628.895066.435541.766057.676618.097226.14
+ +已知测线方向和所有测线的具体位置，据此就能够得到该矩形海域的测线布设方案。如下图所示，图中纵坐标零点为东海岸线，红色直线为西海岸线。 + +![](images/78abfe986cc2ed6ec2d3ce2d97be38969da82640c0ad7954f095678d597271f2.jpg) +图18：最优测线布设 + +上图为该矩形待测海域的最优测线布设方案，图中给出了最西边两条测线的条带宽度以及二者之间的重叠区域，可以发现最西边的测线条带宽度已经超出西海岸线，满足全覆盖测量要求。分析该图可知，测线间距从东海岸到西海岸逐渐增大，这是因为待测海域西深东浅，由问题一的结论可知，在浅水区多波束测量的覆盖宽度较小，因此测线较密以防止漏测；在深水区多波束测量的覆盖宽度较大，可以适当增大测线间距以防止重叠率过大，增加探测工作量。 + +# 5.3.3 模拟退火对测线布设仿真检验 + +为了验证所求单目标优化结果的准确性，将模拟退火仿真得到的最优解与上文基于贪心算法循环遍历所求得的测线布设进行比较。模拟退火算法是基于蒙特卡洛迭代求解策略的一种随机寻优算法，该算法在搜索过程中引入随机变量，并以一定概率接受一个比当前解差的解，因此可以有效避免陷入局部最优解，找到全局最优解，该算法的具体操作流程如下。 + +Step 1: 初始化参数: 退火初始温度 $T_{0} = 90^{\circ} \mathrm{C}$ , 温度下降系数 $k = 0.99$ , 结束温度 $T_{1} = 88^{\circ} \mathrm{C}$ 、退火次数 $r = 10000$ 等。 + +Step 2: 生成新解: 当前解为 $\eta(Y_{\text {current}})$ , 表示当前所有测线坐标下的平均重叠率, 在合理范围内对每一个测线坐标 $Y_{i}$ 产生随机扰动, 生成新的测线坐标 $Y_{\text {new }}$ , 则产生新解 $\eta(Y_{\text {new }})$ , 表示新的平均重叠率。退火温度 $T_{i}$ 降温。 + +Step 3: 检验新解: 判断 $\eta(Y_{\text {new}})$ 是否满足目标优化方程的约束条件, 若满足则根据 Metropolis 准则, 确定接受新解 $\eta(Y_{\text {new}})$ 的概率 $p$ , 若不满足则重新产生随机扰动。概率 $p$ 的公式如下: + +$$ +p = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & , \eta (Y _ {n e w}) \leq \eta (Y _ {c u r r e n t}) \\ e ^ {- \frac {\eta (Y _ {n e w}) - \eta (Y _ {c u r r e n t})}{T _ {i}}} & , \eta (Y _ {n e w}) > \eta (Y _ {c u r r e n t}) \end{array} \right. +$$ + +Step 4: 判断温度 $T_{i}$ 是否达到结束温度, 若达到则输出最优解 $\eta(Y_{best})$ , 否则重复上述 2、3 步骤至迭代结束。 + +根据上述模拟退火算法流程，可以仿真得到新的测线布设方案，测线具体位置的结果见附录，下面将仿真结果与贪心算法逐步优化的求解结果进行比较，如下表。 + +表 4 两种方法的误差 + +
求解方法第一条测线位置第二条测线位置……平均重叠率
贪心算法逐步优化22.9966.71……10.35
模拟退火仿真22.9066.44……10.48
绝对误差0.090.27……0.13
相对误差0.39%0.40%……1.25%
+ +上表中，限于篇幅，仅列举出前两条测线的位置的误差，我们计算了两种方法求解的34条测线的误差，得到位置的平均相对误差为 $9.27m$ ，这对于该南北长2海里、东西宽4海里的矩形海域来说，误差很小。经过一番分析，不管是测线位置还是平均重叠率，仿真结果与求解结果的相对误差和绝对误差很小，这也证明了我们模型的可靠性以及求解结果的精确性。 + +# 5.3.4开角、坡度的灵敏度分析 + +基于单目标优化模型确定测线位置会受到多波束换能器的开角 $\theta$ 、海底坡度 $\alpha$ 的影响。我们通过上下调整多波束换能器的开角和海底坡度，对比改变前后所需要的测线数量以及对应的 $y$ 轴坐标。如下左图即为改变多波束换能器的开角对应的图像，右图为改变坡度对应的图像。 + +![](images/c063a2119533d503049c5c5a243f026929a964e34f8eeeab6feefd9cb607c832.jpg) +图19：开角灵敏度分析 + +![](images/abaa9c4b87649797735f132811c2d90d04392d2f4c979313217b344fb0e4359a.jpg) +图20：坡度灵敏度分析 + +左图中，横轴代表可完全覆盖整个待测海域的测线的个数，纵轴代表每个测线的距东海岸距离。可以看出，随着开角的增大，所需要的测线个数会减少，对应最后一个测线距东海岸的距离也会减小，且变化幅度明显。因此测线的位置和数量对多波束换能器的开角的变化较为敏感。 + +右图中，横纵轴所表示的含义与左图相同。可以看出，随着坡度减少，所需要的测线个数会减少，对应最后一个测线距东海岸的距离变化程度不大。因此测线的位置和数量对坡度的变化较为敏感。 + +# 5.4 问题四：基于单波束测深数据设计多波束测探测线 + +在问题四中，基于某海域的单波束测量数据，需要我们为多波束测量提供测线布设方案。为保证测量的完整性和效率，测线扫描形成的条带要尽量覆盖整片海域；相邻条带重叠率在 $20\%$ 以下为宜；测线长度应尽量短。由于该海域的地形起伏较大，需要分区设计测线。 + +# 5.4.1 利用单波束测量数据得到海域初貌 + +以自西向东为 $x$ 轴正方向，由南向北为 $y$ 为正方向，海水深度方向为 $z$ 轴建立三维直角坐标系。根据所给的单波束测量的海水深度数据，对其进行取负数操作，利用MATLAB绘制该待测海域的海底三维图和等深线图。 + +![](images/f956b4a4f26254599edad7becc691d1d6be3d3a6c07f844549770efe5d421fbe.jpg) +图21：海底地貌 + +![](images/afd09bfab67dc0c770169ee6100d019da3b9a6e5913d23085a6b47b17b957f00.jpg) +图22：海域等深线 + +分析海底地貌图和海域等深线图可知，该海域海底的地形起伏较大，整体呈现为一个凸包。其中，可以明显看出海域东南角等深线密集，海底地形陡峭；东北角等深线较为稀疏，地形较为平坦；西南角地势呈现出一个小突起；西北角的地形大致为一个坡面，与问题一、二地形相似。 + +# 5.4.2测线布设模型的建立 + +# $\bullet$ 海域初步划分 + +对于问题四中的真实的海域地形，起伏变化较大，在布设测线时，若采用该海域的平均水深，在海水深度较小处会出现漏测现象，降低探测质量；在海水深度较大处会导致相邻条带之间重叠率过大，降低探测效率。为了尽可能地覆盖整个待测海域，且测量效率较高，选择合理的测线间隔至关重要。受到问题三模型的启发，我们人为地将该海域划分为4个矩形小海域，划分的依据是矩形的一边应尽可能的与所围等深线平行。划分结果如右图所示，对于海域的测线布设也将分区域进行，分别计算漏测区域和重叠率超过 $20\%$ 的情况。 + +![](images/f4bc7579dee6bb99f47729e247d650d27b2c79f1bbc481846dbb8038100f0934.jpg) +图23：待测海域初步划分 + +# $\bullet$ 基于最小二乘法确定坡面方程 + +由前面的三个问题，我们已经知道海底地形为一个坡面时覆盖宽度、重叠率的计算方式以及布设方案的确定模型。因此，在本问中，我们也希望将海底地形拟合成一个坡面以利用前文模型求解。在三维坐标系中，设海底矩形平面的方程为 $z = Ax + By + C$ ，采用最小二乘法，通过附件所给的海水深度数据，对坡面方程的参数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 进行估计。下面我们通过建立最小二乘法的目标规划模型来确定参数的最佳值。 + +$$ +\min \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(z - z _ {\text {测}}\right) ^ {2}}{n} \tag {10} +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} A \in [ - 1 0 0, 1 0 0 ] \\ B \in [ - 1 0 0, 1 0 0 ] \\ C \in [ - 1 0 0, 1 0 0 ] \end{array} \right. \tag {10} +$$ + +# - 基于单目标优化的测线位置确定模型 + +对于每片小海域的测线设计，我们可以参考第三问的建模思想，以测线的总长度最小为优化目标，将相邻条带之间的重叠率尽量控制在 $20\%$ 以下和沿测线形成的条带尽可能覆盖整个待测海域为约束条件，建立单目标优化模型进行求解。 + +约束条件修正：优化目标与问题三相同，约束条件中仅重叠率存在不同的要求，对重叠率的约束修正为 $\eta_{i} \leq 20\%$ 。因此，有如下规划方程： + +$$ +\min n l _ {1} +$$ + +$$ +s.t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {n} W _ {i} - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} W _ {i} \eta_ {i} \geq \frac {l _ {2}}{\cos \alpha} \\ \eta_ {i} \leq 20 \% \end{array} \right. \tag{11} +$$ + +# 5.4.3求解最佳测线布设方案 + +# - 各划分区域坡面方程的确定 + +对于目标规划模型（10）的求解，由于确定坡面方程需要求解A、B、C三个未知量，且三者的范围都较大，所以模型的计算复杂度较高。若采用循环遍历法分别遍历搜索3个变量的值，将大大增加运行时间成本。因此选择粒子群优化算法对目标规划模型进行求解，可以在较短时间内得到较为精确的结果。该算法具体流程如下。 + +Step1 初始化粒子群体：设定粒子群的规模为100，迭代次数为1000，生成随机粒子群 $x_{Ai} = rand(A)$ 、 $x_{Bi} = rand(B)$ 、 $x_{ci} = rand(C)$ 。 + +Step2计算适应度：即计算每个粒子对应的目标函数值。 + +Step3计算各体和全局最优解：首先将每个粒子的适应值 $\text{fun}(x_i)$ 与其经历过的最好位置的适应值 $\text{best}_{id}^{k-1}$ 比较，若 $\text{fun}(x_i) > \text{best}_{id}^{k-1}$ ，则将其更新为每个粒子的最优解，即 $\text{Best}_{id}^k = \text{fun}(x_i)$ ，再将每个粒子的适应值 $\text{Best}_{id}^k$ 与全局最好位置的适应值 $\text{Best}_{gd}^{k-1}$ 比较，若 $\text{Best}_{id}^k > \text{Best}_{gd}^{k-1}$ ，则将其更新为全局最优解 $\text{Best}_{gd}^k$ 。 + +Step 4 判断程序是否结束: 重复上述步骤直至达到迭代最大次数, 停止算法, 否则继续迭代。 + +![](images/fb8dca697c17c02e7d58d4f9dfede6ced5aedd7855b02afe238a4fff9bf867f3.jpg) +图24：粒子群算法流程 + +# $\bullet$ 确定最优测线布设 + +根据上述海域的初步划分结果，下面分区域分析，在初步划分的基础上进行再划分，最终划分为6个矩形区域，分别为其设计测线。 + +(1) 对于矩形 I, 该情形与问题三的矩形海域基本一致, 我们可以按照问题三方法求解模型 (11) 来确定该区域的测线布设。首先, 基于规划模型 (10), 我们可以得到矩形 I 的坡面方程, 利用几何知识可得矩形 I 平面与水平面的夹角 $\alpha$ 。据此求解模型 (11), 利用贪心思想逐步优化, 就可以求得矩形 I 内最佳的测线位置, 且不会出现漏测现象。 +(2) 对于矩形 II, 因为该面内的等深线与该矩形的边基本不平行。考虑到减轻实际测 + +深工作量, 我们仍沿用矩形 I 的最佳测线间隔, 即沿东西延长测线对 II 区进行布设。对于该不规则海域, 我们利用附件中海水深度的下降梯度计算该矩形与水平面的夹角 $\alpha$ 。由于矩形 II 区域海水深度较浅, 预计会出现漏测现象。 + +(3) 对于矩形 III, 采用最小二乘目标函数时其均方误差过大, 拟合效果不好。经过数据分析之后, 我们选择将区域 III 划分为新的两个区域 III、V, 以得到更好的拟合效果。 +(4) 对于矩形 IV, 遇到了与矩形 III 相同的情况, 同样对矩形 IV 进行再分, 划分为矩形 IV 和 VI, 再分别求其坡面方程。 + +![](images/4afbf0dfd8b407832fdd3ee50dee3679466959f9c29d8e4dc404ec53f4b34570.jpg) +图25：海域逐步划分过程 + +根据最终的区域划分结果，通过粒子群算法求解坡面方程、贪心算法循环遍历求解模型（11），得到各个划分区域的测线位置、测线条数、与水平面的夹角 $\alpha$ 、重叠率超过 $20\%$ 的长度、漏测面积。因此可以计算出该海域测线总长度、总漏测面积、漏测海区占总待测海域面积的百分比等结果。限于篇幅，以上求得的所有指标均放在支撑材料“题4”中。在此给出该海域的测线布设图和部分结果表并进行结果分析。 + +![](images/c212d7cd53ae537210b49ddcdbef4747088bf8d4e793461688db7edd0c90b976.jpg) +图26：多波束测线布设 + +由上图可以看出，不同区域测线的布设方向不同，这是由等深线的大致走向决定的。同时，海域西南角的测线布设相对密集；东南角的测线布设相对稀疏，这与海底地形相互印证。在海域西南角，海底地势呈现出一个凸包，地势较高，海水深度较浅，由问题一的分析可知，多波束测深的覆盖宽度在浅水区较小，因此需要增加测线数量以防止漏测。在海域东南角，海底地势陡峭，起伏较大，海水深度较大，多波束测深 + +的覆盖宽度较大，可以适当增大测线间距，避免过度重叠降低测量效率。 + +表 5 测线布设参数 + +
区域测线数量测线总长度/海里漏测面积/m2漏测面积占总面积的百分比/%重叠率超过20%的长度/m夹角
区域I、II4618423902003.485556087.41°
区域III838300053.78°
区域IV656500084.19°
区域V19619600086.78°
区域VI479400089.29°
总海域43762223902003.4855560
+ +由上表可得，该海域的测线总长度为622海里，漏测海区占总待测海域面积的百分比为 $3.48\%$ 。在重叠区域中，重叠率超过 $20\%$ 部分的总长度为 $55560\mathrm{m}$ ，即30海里。 + +# 结果分析 + +(1) 区域 $\mathbf{V}$ 的测线极多。这是因为区域 $\mathbf{V}$ 与水平面的夹角很大, 即区域 $\mathbf{V}$ 很陡 (如右图所示), 使得多波束打到区域 $\mathbf{V}$ 底面的波束宽度很小。又因为区域 $\mathbf{V}$ 的范围较大, 这就需要布设许多测线才能使得沿测线扫描形成的条带尽可能地覆盖整个区域 $\mathbf{V}$ 。 + +(2) 区域 II 出现大量漏测, 这是因为该区域的海底地形较为复杂, 等深线方向极为不一致, 为了降低测量工作难度, 我们采用区域 I 的测线延伸线作为该区域的测线。区域 I 相比,该区域海水较浅, 故出现漏测的情况。 + +![](images/6d3230bba6340e1a013a3cefa3417b0e43665e4865d26d01f72795ff0fc6a73d.jpg) +图27：多波束测深 + +(3) 区域 III、IV、V、VI 并没有出现漏测区域。这是因为对于划分的矩形区域, 我们是基于贪心算法循环遍历求解测线间距的, 该算法会始终让沿测线扫描形成的条带覆盖整个矩形区域。 + +# 六、模型的评价与改进 + +# 6.1 模型的优点 + +② 全文的建模始终基于数学理性思维，利用平面几何知识、立体几何知识、线性代数、数学证明、优化方程等数学理论建立模型，并且进行了结论分析、原因探究、灵敏度分析等，模型建立、结果分析严谨全面。 +在问题三求解最优测线距离布设时，我们先基于贪心思想循环遍历，逐步求解最佳测线间距。然后利用模拟退火算法对求解结果进行仿真验证，通过误差分析说明了我们模型求解的正确性与可靠性。 +选择粒子群优化算法对基于最小二乘法的目标规划模型进行求解，可以在较短时间内得到较为精确的结果，大大减少了运行时间成本。 + +# 6.2 模型的缺点 + +② 对于问题四中测线布设方案的设计,为了简化模型,我们人为对海域进行了划分,且将各区域地形拟合为坡面,从而导致求解结果不精确;对于一些小区域没有沿 + +其等深线方向布设，可能导致较多漏测。 + +我们的模型忽视了测量船行进过程的横摇和纵摇误差，而这种误差现实中是难以消除的，因此我们得到的求解结果可能会与现实存在偏差。 + +# 6.3 模型的改进 + +对于测线布设方案，我们的模型只考虑了主测线间隔和布设方向，而未考虑检查线的布设和实施方案。事实上，布设检查线可以有效地增大测量质量和测量效率。根据《海道测量规范》规定，检查线应分布均匀且尽可能与主测线垂直，这样能普遍检查主测线[8],增大测量效率。因此，我们可以将检查线也考虑进模型中，所得的结果能与现实情况更加吻合。 + +# 七、参考文献 + +[1] 季刚. 条带约束的多波束空间标定算法研究[D]. 山东科技大学, 2020. +[2] 余启义. 基于多波束测深技术的海底地形测量[J]. 测绘与空间地理信息, 2022, 45(09): 262-264. +[3] 丁继胜, 周兴华, 刘忠臣, 张卫红. 多波束测深声纳系统的工作原理[J]. 海洋测绘, 1999, (03): 15-22. +[4] 成芳, 胡迺成. 多波束测量测线布设优化方法研究[J]. 海洋技术学报, 2016, 35(02): 87-91. +[5] 高慎明, 王晓云. 广西某海底管道项目的测线布设方法与优化[A]. 中国石油学会石油工程专业委员会、中国石油学会石油工程建设专业标准委员会. 中国石油石化工程建设创新发展大会--石油天然气勘察技术第二十六次技术交流研讨会论文集[C]. 中国石油学会石油工程专业委员会、中国石油学会石油工程建设专业标准委员会: 中国建筑学会工程勘察分会, 2018:4. +[6] 夏伟, 刘雁春, 边刚, 崔杨. 基于海底地貌表示法确定主测深线间隔和测图比例尺 [J]. 测绘通报, 2004, (03): 24-27. +[7] 国家质量技术监督局. GB 12327-1998. 海道测量规范[S]. 北京: 中国标准出版社, 1999. +[8] 柴进柱. 水深测量作业中的测线布设与实施策略研究[J]. 海洋测绘, 2013, 33(03): 43-46. +[9] 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社. 2011, 1. +[10]司守奎, 孙兆亮. 数学建模算法与应用[M]. 2版. 北京: 国防工业出版社. 2017 + +# 附录 + +# 第一部分：支撑材料 + +
支撑材料
源代码m_picture.mat
m1_shendu.mat
m2_shendu.mat
m3_shendu.mat
m4_shendu.mat
m5_shendu.mat
m6_shendu.mat
problem_1.m
problem_1_f.m
problem_1_f1.m
problem_1_picture.m
problem_2_f.m
problem_2_picture.m
problem_2.solve.m
problem_3.m
problem_3_f.m
problem_3_KaiJiaoLingmindu.m
problem_3_lingminduPicture .m
problem_3_PoDuLingmindu.m
problem_3_SA.m
problem_4_f.m
problem_4_f2.m
problem_4_f3.m
problem_4_f4.m
problem_4_f5.m
problem_4_f6.m
problem_4_m2.m
problem_4_m3.m
problem_4_m4.m
problem_4_m5.m
problem_4_m6.m
problem_4_picture.m
shendu.mat
数据result1.xlsx
result2.xlsx
题3.xlsx
题4.xlsx
图片图片.docx
文献多波束测量测线布设优化方法研究_成芳.pdf +广西某海底管道项目的测线布设方法与优化_高慎明.pdf +水深测量作业中的测线布设与实施策略研究_柴进柱.pdf
+ +第二部分：代码 +```matlab +代码1：求解第一问中的计算结果 +%求解第一问中的计算结果 +H=zeros(1,9);%H为测线距中心处的不同距离对应的海水深度 +for i=-800:200:800 + H((i+1000)/200)=70-i*tan(1.5/180*pi); +end +l1=zeros(1,9);%l1表示左半边覆盖宽度 +l2=zeros(1,9);%l2表示右半边覆盖宽度 +l=zeros(1,9);%l表示覆盖宽度 +for i=1:9 + a1=90-1.5-120/2; + l1(i)=H(i)/sin(a1/180*pi)*sin(120/360*pi); + a2=90+1.5-120/2; + l2(i)=H(i)/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi); +end +l=l1+l2; +yita=zeros(1,8);%yita表示重叠率 +for j=1:8 + yita(j)=(200/cos(1.5/180*pi)-(200/cos(1.5/180*pi)-l2(j))- +(200/cos(1.5/180*pi)-l1(j+1)))/l(j+1)*100; +end +% jud=zeros(1,8);%jud表示判断测线之前是否重叠 +% for k=1:8 + if (k-1)*200/cos(1.5/180*pi)+l2(k)代码2:将坡度、开角代入到该函数中得到问题一中要求的计算结果果function y=problem_1_f(alfa,theta)%该函数的作用是将坡度、开角代入到函数中得到问题一中要求的计算结果H=zeros(1,9);%H为测线距中心处的不同距离对应的海水深度for i=-800:200:800H((i+1000)/200)=70-i*tan(1.5/180*pi);end11=zeros(1,9);%11表示左半边覆盖宽度12=zeros(1,9);%12表示右半边覆盖宽度1=zeros(1,9);%1表示覆盖宽度for i=1:9a1=90-alfa-theta/2;11(i)=H(i)/sin(a1/180*pi)*sin(theta/360*pi);a2=90+alfa-theta/2;12(i)=H(i)/sin(a2/180*pi)*sin(theta/360*pi);endl=l1+l2;yita=zeros(1,8);%yita表示重叠率for j=1:8yita(j)=(200/cos(alfa/180*pi)-(200/cos(alfa/180*pi)-12(j))-200/cos(alfa/180*pi)-11(j+1))/l(j+1)*100;endy=zeros(3,9);y(1,:)=H(1,:)y(2,:)=l(1,:)y(3,2:9)=yita(1,:)end + +
代码3:将坡度、开角、测线距中心点的距离代入到该函数中得到问题一的计算结果
function y=problem_1_fl(alfa,theta,deta) %该函数的作用是将坡度、开角、测线距中心点的距离代入到函数中得到问题一中要求的计算结果H=zeros(1,1600/deta+1);%H为测线距中心处的不同距离对应的海水深度for i=-800:deta:800H(int8((i+800+deta)/deta))=70-i*tan(1.5/180*pi);endl1=zeros(1,1600/deta+1);%l1表示左半边覆盖宽度l2=zeros(1,1600/deta+1);%l2表示右半边覆盖宽度l=zeros(1,1600/deta+1);%l表示覆盖宽度for i=1:1600/deta+1
+ +```matlab +a1=90-alaha-theta/2; +11(i)=H(i)/sin(a1/180*pi)*sin(theta/360*pi); +a2=90+alaha-theta/2; +12(i)=H(i)/sin(a2/180*pi)*sin(theta/360*pi); +end +l=11+12; +yita=zeros(1, 1600/deta);%yita表示重叠率 +for j=1:1600/deta + yita(j)=(deta/cos(alaha/180*pi)-(deta/cos(alaha/180*pi)-12(j))- (deta/cos(alaha/180*pi)-11(j+1))/l(j+1)*100; +end +y=zeros(3, 1600/deta+1); +y(1,:)=H(1,:) +y(2,:)=l(1,:) +y(3,2: 1600/deta+1)=yita(1,:) +end +``` + +代码4：绘制不同多波束换能器的开角情况下，覆盖宽度随测线距中心点处的距离变化的图像 +%绘图函数 +%绘制不同多波束换能器的开角情况下，覆盖宽度随测线距中心点处的距离变化的图像w=zeros(5,9);for i=100:10:140temp=problem_1_f1(1.5,i,200);w((i-90)/10,:)=temp(2,:);endfigure(1);x=-800:200:800;for j=1:5plot(x,w(j,:));hold onendxlabel('测线距中心点处的距离/m');ylabel('覆盖宽度/m');legend('多波束换能器的开角为 $100^{\circ}$ '，多波束换能器的开角为 $110^{\circ}$ '，多波束换能器的开角为 $120^{\circ}$ ',...'多波束换能器的开角为 $130^{\circ}$ '，多波束换能器的开角为 $140^{\circ}$ ); + +%绘制不同多波束换能器的开角情况下，与前一条测线的重叠率随测线距中心点处的距离变化的图像 + +yita=zeros(5,8); +for $\mathrm{i} = 100:10:140$ temp $\equiv$ problem_1_f1(1.5,i,200); yita((i-90)/10,: $=$ temp(3,2:9); +end + +figure(2); + $\mathrm{x}2 = -600:200:800$ +for $\mathrm{j} = 1:5$ +plot(x2,yita(j,:)); +hold on +end + +xlabel('测线距中心点处的距离/m'); + +ylabel('与前一条测线的重叠率/%'); + +line([-600,800],[20,20], 'linestyle',--,'color', 'k'); + +line([-600,800],[10,10], 'linestyle', '-', 'color', 'k'); + +legend('多波束换能器的开角为 $100^{\circ}$ '，'多波束换能器的开角为 $110^{\circ}$ '，'多波束换能器的开角为 $120^{\circ}$ ，... + +'多波束换能器的开角为 $130^{\circ}$ '，多波束换能器的开角为 $140^{\circ}$ ); + +```matlab +figure(3); +y1=problem_1_f1(1.5,120,1600/6); +y2=problem_1_f1(1.5,120,1600/7); +y3=problem_1_f1(1.5,120,200); +y4=problem_1_f1(1.5,120,1600/9); +y5=problem_1_f1(1.5,120,160); +``` + +$\mathrm{x1} = -800 + 1600 / 6:1600 / 6:800;$ $\mathrm{x2} = -800 + 1600 / 7:1600 / 7:800;$ $\mathrm{x3} = -600:200:800;$ $\mathrm{x4} = -800 + 1600 / 9:1600 / 9:800;$ + +$\mathrm{x5 = -800 + 160:1600 / 10:800};$ +plot(x1,y1(3,2:7)); +hold on +plot(x2,y2(3,2:8)); + +```txt +hold on plot(x3,y3(3,2:9)); hold on plot(x4,y4(3,2:10)); +``` + +```txt +hold on +``` + +```javascript +plot(x5,y5(3,2:11)); set(gca,'xlim],[-640,800]); xlabel('测线距中心点处的距离/m'); ylabel('与前一条测线的重叠率/%'); line([-600,800],[20,20], 'linestyle',--',color',k'); line([-600,800],[10,10], 'linestyle',--',color',k'); legend('测线将区域6等分对应的重叠率','测线将区域7等分对应的重叠率','测线将区域8等分对应的重叠率'... '测线将区域9等分对应的重叠率','测线将区域10等分对应的重叠率'); +``` + +```matlab +代码5：将标线方向所在的面对应的法向量、坡面法向量代入求解覆盖宽度 +function f=problem_2_f(beta) +%fa1表示坡面法向量 fa2表示标线方向所在的面对应的法向量 +fa1=[0,-cos((90-1.5)/180*pi),sin((90-1.5)/180*pi)]; +fa2=[sin((beta-90)/180*pi),cos((beta-90)/180*pi),0]; +C=cross(fa1,fa2);%C表示上述两个面交线的方向向量 +qie1=[cos((beta-90)/180*pi),sin((beta-90)/180*pi),0];%qie1表示标线的方向向量 +l=0:0.3:2.1; +l=l*1852; +x=l*cos((beta-90)/180*pi); +y=l*sin((beta-90)/180*pi); +%上述表示不同位置对应的坐标 +w=cross(qie1,fa1);%表示与测线垂直平面交线的方向向量 +h=zeros(1,8);%表示不同位置下的水深 +for i=1:8 + h(i)=120-(C(3)/C(2)*y(i)); +end +if beta==90 + h(1,:)=120; +end +alaha1=abs(asin(w(3)/(w(1).^2+w(2).^2+w(3).^2).^0.5)*180/pi);%alaha 表示对应的测线垂直平面交线与水平面的夹角 +11=zeros(1,8);%l1表示左半边覆盖宽度 +12=zeros(1,8);%l2表示右半边覆盖宽度 +for i=1:8 + a1=90-alaha1-120/2; + 11(i)=h(i)/sin(a1/180*pi)*sin(120/360*pi); + a2=90+alaha1-120/2; +``` + +```matlab +l2(i)=h(i)/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi); +end +f=11+12; +end +``` + +代码6：对不同夹角下的覆盖宽度进行绘图 +x=0:0.3:2.1; +y1=[415.69 466.09 516.49 566.89 617.29 667.69 718.09 768.48]; +y2=[416.19 451.87 487.55 523.23 558.91 594.59 630.27 665.95]; +y3=[416.69 416.69 416.69 416.69 416.69 416.69 416.69]; +y4=[416.19 380.51 344.83 309.15 273.47 237.79 202.11 166.43]; +y5=[415.69 365.29 314.89 264.5 214.1 163.7 113.3 62.9]; +y6=[416.19 380.51 344.83 309.15 273.47 237.79 202.11 166.43]; +y7=[416.69 416.69 416.69 416.69 416.69 416.69 416.69]; +y8=[416.19 451.87 487.55 523.23 558.91 594.59 630.27 665.95]; +plot(x,y1) +hold on +plot(x,y2) +hold on +plot(x,y3) +hold on +plot(x,y4) +hold on +plot(x,y5) +hold on +plot(x,y6) +hold on +plot(x,y7) +hold on +plot(x,y8) +legend('夹角为 $0^{\circ}$ , '夹角为 $45^{\circ}$ , '夹角为 $90^{\circ}$ , '夹角为 $135^{\circ}$ , '夹角为 $180^{\circ}$ , '夹角为 $225^{\circ}$ , '夹角为 $270^{\circ}$ , '夹角为 $315^{\circ}$ ) +xlabel('测量船距海域中心点处的距离/海里') +ylabel('覆盖宽度/m') + +代码7：求解问题二中要求的结果 +```matlab +w=zeros(8,8); +for i=0:45:315 +w(i/45+1,:)=problem_2_f(i); +end +``` + +W + +代码8：基于贪心算法循环遍历求解规划方程最优解并绘图 +```matlab +clear +%本函数基于贪心算法求解规划方程最优解并绘图 +%neta表示与上一条测线所测量宽度的重叠率 +Y=zeros(10000,1); +%Y表示求解测线的位置 +j=1; +k=1; +a2=90+1.5-120/2; +a1=90-1.5-120/2; +%首先确定第一条线的位置 +for i=1:1852 + y=4*1852/cos(1.5/180*pi)-i; + h=207-sin(1.5/180*pi)*y; + a2=90+1.5-120/2; + l2=round(h/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi)); + if l2==i + Y(j)=i; + j=j+1; + end +end +x1=Y(1); +h=207-sin(1.5/180*pi)*(4*1852/cos(1.5/180*pi)-x1); +l1=h/sin(a1/180*pi)*sin(120/360*pi); +lb=l1+x1; +low=lb*0.8; +high=lb*0.9; +j=1; +%上述用来求解第一条曲线的最右侧位置lb以及其第二条曲线最左侧所处位置下限low上限high +for i=lb:4*pi + %求解满足条件的第二条曲线的测线位置 + y=4*1852/cos(1.5/180*pi)-i; + h=207-sin(1.5/180*pi)*y; + a2=90+1.5-120/2; + l2=h/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi); + if (i-l2)>low&&(i-l2)<=high + temp(j)=i; + j=j+1; + end +``` + +end +x1=max(temp); +while $(\mathrm{x}1 < 4^{*}1852 / \cos (1.5 / 180^{*}\mathrm{pi}))$ +%求解后续测线的位置 +k=k+1; +Y(k)=x1; +h=207-sin(1.5/180*pi)*(4*1852/cos(1.5/180*pi)-x1); +l1=h/sin(a1/180*pi)*sin(120/360*pi); +l2=round(h/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi)); +lb=l1+x1; +low=lb-(l1+l2)*0.2; +high=lb-(l1+l2)*0.1; +j=1; +for i=lb:4\*lb +y=4\*1852/cos(1.5/180\*pi)-i; +h=207-sin(1.5/180\*pi)\*y; +a2=90+1.5-120/2; +l2=h/sin(a2/180\*pi)\*sin(120/360\*pi); +if (i-l2)>=low&&(i-l2)<=hightemp(j)=i; +j=j+1; +end +x1=max(temp); +end +end +Y=Y\*cos(1.5/180\*pi); +%求解重叠率 +a2=90+1.5-120/2; +a1=90-1.5-120/2; +for i=1:34 +y=4\*1852/cos(1.5/180\*pi)-Y(i); +h=207-sin(1.5/180\*pi)\*y; +l1(i)=h/sin(a1/180\*pi)\*sin(120/360\*pi); +l2(i)=h/sin(a2/180\*pi)\*sin(120/360\*pi); +end +neta=zeros(1,33); +for i=1:33 +neta(i)=( $(Y(\mathrm{i}) + l1(\mathrm{i})) - (Y(\mathrm{i} + 1) - l2(\mathrm{i} + 1))) / (l1(\mathrm{i}) + l2(\mathrm{i}))^{\ast}100;$ if neta(i)<10||neta(i)>20 +neta(i)=inf; +end + +$\%$ 以下用来绘制测线位置图片 +a2=90+1.5-120/2; +a1=90-1.5-120/2; + $\%$ 求解测线测量宽度 +for i=1:35y=4*1852-Y(i);h=207-sin(1.5/180*pi)*y;11(i)=h/sin(a1/180*pi)*sin(120/360*pi);12(i)=h/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi);end + $\%$ 绘制测线所在的位置图 +for i=1:34line([0,1852*2],[Y(i),Y(i)],'linestyle', '-', 'color', 'b'); +end + $\%$ 绘制测线测量区域所在的部分直线 +for i=33:34line([0,1852*2],[Y(i),Y(i)],'linestyle', '-', 'color', 'b');line([0,1852*2],[Y(i)+11(i),Y(i)+11(i)],'linestyle', '-', 'color', 'black');line([0,1852*2],[Y(i)-12(i),Y(i)-12(i)],'linestyle', '-', 'color', 'black'); +end +line([0,1852*2],[4*1852/cos(1.5/180*pi),4*1852/cos(1.5/180*pi)],'linestyle', '-', 'color', 'red'); + +```matlab +代码9：将第三问中的测线位置代入到该函数得到平均重叠率 +function f=problem_3_f(Y) +%本函数是求解平均重叠率 +a2=90+1.5-120/2; +a1=90-1.5-120/2; +for i=1:34 + y=4*1852/cos(1.5/180*pi)-Y(i); + h=207-sin(1.5/180*pi)*y; + 11(i)=h/sin(a1/180*pi)*sin(120/360*pi); + 12(i)=h/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi); +end +eta=zeros(1,33); +for i=1:33 + neta(i=((Y(i)+l1(i)-(Y(i+1)-l2(i+1))/(l1(i)+l2(i)); +if neta(i)<0.1||neta(i)>0.2 + neta(i)=inf; +``` + +```matlab +end +end +f=mean(neta)*100; +end +``` + +代码10：进行开角灵敏度分析的函数 +function problem_3_KaiJiaoLingmindu(ala) + $\%$ alla $= 120$ $\%$ 换能器开角 + $\%$ 本函数基于贪心算法求解规划方程最优解并绘图 + $\%$ neta表示与上一条测线所测量宽度的重叠率 +Y=zeros(10000,1); + $\%$ Y表示求解测线的位置 +j=1; +k=1; +a2=90+1.5-ala/2; +a1=90-1.5-ala/2; + $\%$ 首先确定第一条线的位置 +for i=1:1852 +y=4*1852/cos(1.5/180*pi)-i; +h=207-sin(1.5/180*pi)*y; +a2=90+1.5-ala/2; +l2=round(h/sin(a2/180*pi)*sin(alaha/360*pi)); +if l2==i +Y(j)=i; +j=j+1; +end +end +x1=Y(1); +h=207-sin(1.5/180*pi)*(4*1852/cos(1.5/180*pi)-x1); +ll=h/sin(a1/180*pi)*sin(alaha/360*pi); +lb=l1+x1; +low=lb*0.8; +high=lb*0.9; +j=1; + $\%$ 上述用来求解第一条曲线的最右侧位置lb以及其第二条曲线最左侧所处位置下限low上限high +for i=lb:4*Ib + $\%$ 求解满足条件的第二条曲线的测线位置 +y=4*1852/cos(1.5/180*pi)-i; +h=207-sin(1.5/180*pi)*y; + +```matlab +a2=90+1.5-alaha/2; +12=h/sin(a2/180*pi)*sin(alaha/360*pi); +if (i-l2)>low&&(i-l2)<=high +temp(j)=i; +j=j+1; +end +end +x1=max(temp); +while(x1<4*1852/cos(1.5/180*pi)) +%求解后续测线的位置 +k=k+1; +Y(k)=x1; +h=207-sin(1.5/180*pi)*(4*1852/cos(1.5/180*pi)-x1); +11=h/sin(a1/180*pi)*sin(alaha/360*pi); +12=round(h/sin(a2/180*pi)*sin(alaha/360*pi)); +lb=l1+x1; +low=lb-(11+l2)*0.2; +high=lb-(11+l2)*0.1; +j=1; +for i=lb:4*i; +y=4*1852/cos(1.5/180*pi)-i; +h=207-sin(1.5/180*pi)*y; +a2=90+1.5-alaha/2; +l2=h/sin(a2/180*pi)*sin(alaha/360*pi); +if (i-l2)>low&&(i-l2)<=high +temp(j)=i; +j=j+1; +end +x1=max(temp); +end +end +Y=Y*cos(1.5/180*pi); +%求解重叠率 +a2=90+1.5-alaha/2; +a1=90-1.5-alaha/2; +for i=1:34 +y=4*1852/cos(1.5/180*pi)-Y(i); +h=207-sin(1.5/180*pi)*y; +11(i)=h/sin(a1/180*pi)*sin(alaha/360*pi); +12(i)=h/sin(a2/180*pi)*sin(alaha/360*pi); +end +neta=zeros(1,33); +``` + +for $\mathrm{i} = 1:33$ $\mathrm{neta(i) = ((Y(i) + 11(i)) - (Y(i + 1) - 12(i + 1))) / (11(i) + 12(i))*100};$ +if neta(i $< 10||$ neta(i)>20 + $\mathrm{neta(i) = inf}$ +end +end + $\mathrm{P = find(Y > 0)}$ +plot(1:length(P),Y(1:length(P),1)); + +代码11：灵敏度分析绘图 +$\% \%$ 对换能器开角进行灵敏度分析 +problem_3_KaiJiaoLingmindu(100) +hold on +problem_3_KaiJiaoLingmindu(110) +hold on +problem_3_KaiJiaoLingmindu(120) +hold on +problem_3_KaiJiaoLingmindu(130) +hold on +problem_3_KaiJiaoLingmindu(140) +legend('开角为 $100^{\circ}$ '，开角为 $110^{\circ}$ '，开角为 $120^{\circ}$ '，开角为 $130^{\circ}$ '，开角为 $140^{\circ}$ ); +xlabel('测线数量/个') +ylabel('距东海岸距离 $\mathrm{y / m}^{\prime})$ $\% \%$ 对海底坡度进行灵敏度分析 +figure(2) +problem_3_PoDuLingmindu(1.3) +hold on +problem_3_PoDuLingmindu(1.4) +hold on +problem_3_PoDuLingmindu(1.5) +hold on +legend('坡度为 $1.3^{\circ}$ '，坡度为 $1.4^{\circ}$ '，坡度为 $1.5^{\circ}$ ); +xlabel('测线数量/个') +ylabel('距东海岸距离 $\mathrm{y / m}^{\prime})$ + +代码12：进行坡度灵敏度分析的函数 +```matlab +function problem_3_PoDuLingmindu(Podu) +% 输入坡度角 Podu +``` + +%本函数基于贪心算法求解规划方程最优解并绘图 + +%eta 表示与上一条测线所测量宽度的重叠率 + +Y=zeros(10000,1); + +$\% \mathrm{Y}$ 表示求解测线的位置 + +$j = 1$ + +$k = 1$ + +a2=90+Podu-120/2; + +a1=90-Podu-120/2; + +%首先确定第一条线的位置 + +for $i = 1:1852$ + +y=4*1852/cos(Podu/180*pi)-i; + +h=207-sin(Podu/180\*pi)\*y; + +a2=90+Podu-120/2; + +12=round(h/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi)); + +if $12 = = \mathrm{i}$ + +$\mathrm{Y(j) = i}$ + +$\mathrm{j = j + 1}$ + +end + +end + +$\mathrm{x1 = Y(1)}$ + +h=207-sin(Podu/180*pi)*(4*1852/cos(Podu/180*pi)-x1); + +11=h/sin(a1/180*pi)*sin(120/360*pi); + +$\mathrm{lb = 11 + x1}$ + +low=1b*0.8; + +high=1b*0.9; + +$j = 1$ + +$\%$ 上述用来求解第一条曲线的最右侧位置 $1b$ 以及其第二条曲线最左侧所处位置下限 low 上限 high + +for $\mathrm{i = lb:4^{*}lb}$ + +%求解满足条件的第二条曲线的测线位置 + +y=4*1852/cos(Podu/180*pi)-i; + +h=207-sin(Podu/180\*pi)\*y; + +a2=90+Podu-120/2; + +12=h/sin(a2/180*pi)*sin(120/360*pi); + +if (i-12) $\geq$ low&&(i-12) $\leq$ high + +$\mathrm{temp(j) = i}$ + +$\mathrm{j = j + 1}$ + +end + +end + +$\mathrm{x1} = \max (\mathrm{temp})$ + +while(x1<4*1852/cos(Podu/180*pi)) + +%求解后续测线的位置 + +$\mathrm{k = k + 1}$ +Y(k)=x1; +h=207-sin(Podu/180\*pi)*(4\*1852/cos(Podu/180\*pi)-x1); +11=h/sin(a1/180\*pi)\*sin(120/360\*pi); +12=round(h/sin(a2/180\*pi)\*sin(120/360\*pi)); +lb=11+x1; +low $\equiv$ lb-(11+12)\*0.2; +high $\equiv$ lb-(11+12)\*0.1; +j=1; +for i $\equiv$ lb:4\*lb +y=4\*1852/cos(Podu/180\*pi)-i; +h=207-sin(Podu/180\*pi)\*y; +a2=90+Podu-120/2; +12=h/sin(a2/180\*pi)\*sin(120/360\*pi); if (i-12)> $=$ low&&(i-12)< $=$ high temp(j)=i; j=j+1; end x1=max(temp); +end +end +Y=Y\*cos(Podu/180\*pi); +%求解重叠率 +a2=90+Podu-120/2; +a1=90-Podu-120/2; +for i=1:34 y=4\*1852/cos(Podu/180\*pi)-Y(i); h=207-sin(Podu/180\*pi)\*y; 11(i)=h/sin(a1/180\*pi)\*sin(120/360\*pi); 12(i)=h/sin(a2/180\*pi)\*sin(120/360\*pi); +end +neta=zeros(1,33); +for i=1:33 +neta(i)=(((Y(i)+l1(i))- (Y(i+1)-l2(i+1)))/(l1(i)+l2(i))*100; if neta(i)< 10||neta(i)>20 neta(i) $=$ inf; +end +end + +代码13：模拟退火进行仿真验证 +%% 模拟退火模拟仿真 +clear all +%% 初始化每个测线的y坐标 +Y_new=zeros(1,34); +Y_current=zeros(1,34); +Y_best=zeros(1,34) +data=[21.84251255 63.3782222 108.779458 158.2377151 211.9457432 +270.1054499 332.9283351 401.5859473 475.4054956 555.5822245 +643.3681649 738.1748317 841.2857811953.095551 1074.967424 +1206.429453 1349.837267 1504.808413 1673.792268 1856.504577 +2055.497583 2271.544783 2505.456427 2759.981256 3036.098608 +3335.784347 3661.108212 4014.238275 4397.445613 4813.109204 +5264.67105 5754.786683 6287.187803 6864.8334 +]; +Limit=[24.1417244 70.04961401 120.2299273 174.8943167 +234.2558215 298.5376025 367.973423 443.8581523 525.4481794 +614.064564 711.0911296815.8774456 929.8421791 1053.421398 +1188.12189 1333.422027 1491.9254 1663.209299 1849.980928 +2051.9261122271.865749 2510.65476 2769.188682 3050.505599 +3355.687935 3686.919542 4046.488024 4436.789672 4860.334625 +5319.752278 5818.846949 6360.553703 6948.997046 7587.447442]; +b=0.954; +answer_current inf; %当前情况下的平均重叠率 +answer_best inf; %保存下来的最佳重叠率 +rand('state',sum(clock)); %初始化随机数发生器 +T_begin=90; %初始温度 +T_end=88; %结束温度 +a = 0.99; %下降温度 +Y_new=data/b; +Y_current=data; +Y_best=data; +%%求解算法 +while T_begin>=T_end %结束条件 +for r=1:10000 %退火次数 +%生成新解 +Y_new=Y_new+rand*0.01; +flag=0; +%%范围约束条件 +for i=1:34 +if Y_new(i)>Limit(i) +flag=1; +continue; + +end end if flag $= = 1$ continue; end % $\% \%$ 全覆盖限制条件 a1=90-1.5-120/2; y=4*1852-Y_new(34); h=207-sin(1.5/180*pi)*y; 11=h/sin(a1/180*pi)*sin(120/360*pi); % if Y_new(34)+11<4*1852 % continue; % end $\% \%$ 退火过程 answer_new=problem_3_f(Y_new); $\%$ 目标函数,求最小的 answer_new if answer_new0) +h=(5-y(n)/1852)*22.11+k(3); +x1=h/sin(117/180\*pi)\*sin(60/180\*pi); +n=n+1; +y(n)=y(n-1)+x1\*sin(87/180\*pi); +end +end + +代码16：代入最小二乘求解区域III的参数求解均方误差的函数 +function f $=$ problem_4_f3(a) + $\%$ 代入最小二乘求解区域III的参数求解均方误差 +load m3_shendu.mat; +[m,n]=size(m3); +z=zeros(m,n); + +for $\mathrm{x = 0:0.02:n^{*}0.02 - 0.02}$ for $\mathrm{y = 0:0.02:m^{*}0.02 - 0.02}$ $\mathrm{z(int16((y + 0.02) / 0.02),int16((x + 0.02) / 0.02)) = a(1)^{*}x + a(2)^{*}y + a(3)}$ end +end + $\mathrm{f = (sum(sum((z - m3).^{\wedge}2))) / m / n};}$ +end + +代码17：代入最小二乘求解区域IV的参数求解均方误差的函数 +```matlab +function f=problem_4_f4(a) +%代入最小二乘求解区域IV的参数求解均方误差 +load m5_shendu.mat; +[m,n]=size(m5); +z=zeros(m,n); +for x=0:0.02:n*0.02-0.02 + for y=0:0.02:m*0.02-0.02 + z(int16((y+0.02)/0.02),int16((x+0.02)/0.02))=a(1)*x+a(2)*y+a(3); + end +end +f=(sum(sum((z-m5).^2))/m/n; +end +``` + +代码18：代入最小二乘求解区域V的参数求解均方误差的函数 +function f $\equiv$ problem_4_f5(a) + $\%$ 代入最小二乘求解区域V的参数求解均方误差 +load m4_shendu.mat; +[m,n]=size(d); +z=zeros(m,n); +for $x = 0:0.02:n^{*}0.02 - 0.02$ for $y = 0:0.02:m^{*}0.02 - 0.02$ z(int16((y+0.02)/0.02),int16((x+0.02)/0.02))=a(1)*x+a(2)*y+a(3); end +end +f=(sum(sum((z-d).^2)))/m/n; +end + +代码19：代入最小二乘求解区域IV的参数求解均方误差的函数 +```matlab +function f=problem_4_f6(a) +%代入最小二乘求解区域IV的参数求解均方误差 +load m6_shendu.mat; +[m,n]=size(m6); +z=zeros(m,n); +for x=0:0.02:n*0.02-0.02 + for y=0:0.02:m*0.02-0.02 + z(int16((y+0.02)/0.02),int16((x+0.02)/0.02))=a(1)*x+a(2)*y+a(3); + end +end +f=(sum(sum((z-m6).^2))/276/100; +end +``` + +代码20：使用粒子群算法，求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域一的测线位置以及区域二的重叠率和未侧面积 +$\%$ 使用粒子群算法，求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域一的测线位置以及区域二的重叠率和未侧面积 $\% y$ 代表其第一区域的位置坐标 $\% lsum$ 表示重叠率超过 $20\%$ 的长度 sum1 表示漏测海区的面积clear;clc;bianliangshu $= 3$ $\mathrm{lb1} = [-100, - 100, - 100];\quad \mathrm{ub1} = [100,100,100];$ $[\mathrm{k},\mathrm{fval}] =$ particleswarm(@problem_4_f,bianliangshu,lb1,ub1)alaha $\equiv$ absatan(k(2))/pi*180);y $\equiv$ problem_4_f2(k);Y=y;load m2_shendu; $[\mathrm{n,m}] =$ find(Y>=0);Y $\equiv$ round(Y/1852,2);xiabiao $\equiv$ find(mod(Y\*100,2==1);Y(1,xiabiao)=Y(1,xiabiao)+0.01; $\mathrm{i} = 1$ u=m2; $\% yy(1,1) = 0$ $\% yy(1,2:34) = y$ forj=1:length(n)-1deta=y(j+1)-y(j);w1=u(int16(Y(j)/0.02)+1,1)/sin(117/180\*pi)\*sin(60/180\*pi);w2=u(int16(Y(j)/0.02)+1,100)/sin(117/180\*pi)\*sin(60/180\*pi);s1(i)=(deta-w1+deta-w2)\*2*1852/2; + +```matlab +i=i+1; +end +mianji=find(s1>0); +sum1=sum(s1(1,mianji)); +i=1; +for j=14:45 + deta=y(j+1)-y(j); + w1=u(int16(Y(j)/0.02)+1,1)/sin(117/180*pi)*sin(60/180*pi); + neta(i)=(w1-deta)/w1; + i=i+1; +end +netar=find(neta>0.2); +num=length(netar); +o=1; +for j=14:30 + for i=1:100 + deta=y(j+1)-y(j); + w1=u(int16(Y(j)/0.02)+1,i)/sin(117/180*pi)*sin(60/180*pi); + neta=(w1-deta)/w1; + if(neta>0.2) + temp(o)=i; + i=100; + o=o+1; +end +end +end +%temp 表示前 15 条超过重叠率 20%的测线所处的位置由于不存在 temp 所以前 15 条并未超过 20% +lsum=num*2*1852; +y=5*1852-y; +``` + +代码21：使用粒子群算法，求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域三的测线位置 +$\%$ 使用粒子群算法，求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域三的测线位置 + $\% y$ 代表其第三区域的位置坐标 +clear;clc; +bianliangshu $= 3$ +lb1 $\equiv$ [-100,-100,-100]; ub1 $\equiv$ [100,100,100]; +[k,fval] $=$ particleswarm(@problem_4_f3,bianliangshu,lb1,ub1) +y $\equiv$ problem_4_f3(k) + +```matlab +alaha=absatank2)/pi\*180); +y(1)=0; +x1=24.4/sin(83/180\*pi)\*sin(60/180\*pi); +n=2; +y(n)=x1\*sin(53/180\*pi); +while((y(n)/1852)<0.66) +h=(y(n)/1852)\*k(2)+k(3); +x1=h/sin(83/180\*pi)\*sin(60/180\*pi); +n=n+1; +y(n)=y(n-1)+x1\*sin(53/180\*pi); +end +``` + +代码22：使用粒子群算法，求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域四的测线位置 + $\%$ 使用粒子群算法，求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域四的测线位置 $\% \mathrm{x}$ 代表其第四区域的位置坐标clear;clc;bianliangshu $= 3$ .lb1 $=$ [-100,-100,-100];ub1 $=$ [100,100,100];[k,fval] $=$ particleswarm(@problem_4_f4,bianliangshu,lb1,ub1) + $\mathrm{x} =$ problem_4_f4(k);alaha $\equiv$ absatan(k(1))/pi\*180);x(1)=0;x1=53/sin((30+ala)1/180\*pi)\*sin(60/180\*pi);n=2;x(n)=x1\*sin(alaha/180\*pi);while((2-x(n)/1852)>1.02)h=(x(n)/1852)\*k(1)+k(3);x1=h/sin((30+ala)/180\*pi)\*sin(60/180\*pi);n=n+1;x(n)=x(n-1)+x1\*sin(alaha/180\*pi);end $x = 2^{*}1852 - x;$ + +
代码23:使用粒子群算法,求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域五的测线位置
bianliangshu = 3; % 使用粒子群算法,求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域五的测线位置 %y代表其第五区域的位置坐标 clear; clc; lb1 = [-100,-100,-100]; ub1 = [100,100,100]; [k, fval] = particleswarm(@problem_4_f5,bianliangshu,lb1,ub1)
y=problem_4_f5(k) alaha=absatan(k(2))/pi*180); y(1)=0; x1=24.4/sin((30+alaha)/180*pi)*sin(60/180*pi); n=2; y(n)=x1*sin(alaha/180*pi); while((y(n)/1852)<3.5-0.66) h=(y(n)/1852)*k(2)+k(3); x1=h/sin((30+alaha)/180*pi)*sin(60/180*pi); n=n+1; y(n)=y(n-1)+x1*sin(alaha/180*pi); end y=0.66*1852+y;
+ +
代码24:使用粒子群算法,求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域六的测线位置
%使用粒子群算法,求解最优参数然后通过代入最优参数求解区域六的测线位置
%x代表其第六区域的位置坐标
clear;clc;
bianliangshu = 3;
lb1 = [-100,-100,-100]; ub1 = [100,100,100];
[k,fval] = particleswarm(@problem_4_f6,bianliangshu,lb1,ub1)
x=problem_4_f6(k);
alaha=abs(acos(1/(k(1).^2+k(2).^2+k(3).^2).^0.5)/pi*180);
x(1)=0;
x1=197/sin((30+ala) / 180*pi)*sin(60/180*pi);
n=2;
x(n)=x1*sin(ala/180*pi);
+ +```matlab +while((4-x(n)/1852)>1) +h=(x(n)/1852)*k(1)+k(3); +x1=h/sin((30+alaha)/180*pi)*sin(60/180*pi); +n=n+1; +x(n)=x(n-1)+x1*sin(alaha/180*pi); +end +x=4*1852-x; +``` + +代码25：问题四中的绘图函数 +```matlab +rectangle('Position',[0,0,4*1852,5*1852]); +line([0,1852],[0.66*1852,0.66*1852], 'Color', 'r'); +line([0,4*1852],[3.5*1852,3.5*1852], 'Color', 'r'); +line([1852,1852],[0,3.5*1852], 'Color', 'r'); +line([2*1852,2*1852],[0,5*1852], 'Color', 'r'); +load m_picture +shumu = find(picture(1,:) > 0); +for i = 1: length(shumu) + line([0,4*1852],[picture(1,i), picture(1,i)], 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.01); +end +shumu = find(picture(2,:) > 0); +for i = 1: length(shumu) + line([0,1852],[picture(2,i), picture(2,i)], 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.01); +end +shumu = find(picture(4,:) > 0); +for i = 1: length(shumu) + line([0,1852],[picture(4,i), picture(4,i)], 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.01); +end +shumu = find(picture(3,:) > 0); +for i = 1: length(shumu) + line([picture(3,i), picture(3,i)], [0,3.5*1852], 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.01); +end +shumu = find(picture(5,:) > 0); +for i = 1: length(shumu) + line([picture(5,i), picture(5,i)], [0,3.5*1852], 'Color', 'b', 'LineWidth', 0.01); +end +xlabel('由西向东/海里'); +ylabel('由南向北/海里'); +figure(2) +x = 0:0.02:4; +``` + +```matlab +y=0:0.02:5; +load('shendu.mat'); +image1=mesh(x,y,-zz); +image1.FaceAlpha=0.5; +colorbar; +title('待测海域图'); +xlabel('由西向东/海里'); +ylabel('由南向北/海里'); +% 平面等高线图 +figure(3) +image2=contour(x,y,zz,80); +% image2=contour(x,y,zz,80) +colorbar; +title('该地区平面等深线图'); +xlabel('由西向东/海里'); +ylabel('由南向北/海里'); +``` + +# 第三部分：表格 + +模拟退火仿真测线位置的结果 + +
测线编号i1234567
测线位置yi22.9066.44114.03165.87222.17283.13348.98
测线编号i891011121314
测线位置yi420.95498.33582.37674.39773.77881.85999.05
测线编号i15161718192021
测线位置yi1126.801264.601414.931577.371754.501946.022154.61
测线编号i22232425262728
测线位置yi2381.082626.272893.063182.503496.633837.644207.80
测线编号i293031323334
测线位置yi4609.485045.195518.536032.276590.357195.84
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/B311/B311.md b/MCM_CN/2023/B311/B311.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2dd68a9a2a2a6b76094739b117767d21f1d45ca9 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/B311/B311.md @@ -0,0 +1,1701 @@ +# 基于主要目标法的测线设计问题 + +# 摘要 + +针对问题1，运用几何分析和正弦定理，求解海水深度 $D$ 关于测线距中心点距离 $x$ 的函数关系式，以及条带覆盖宽度 $W$ 的函数表达式；得到海水深度 $D = D^{\prime} - x\tan \alpha$ ，覆盖宽度 + +$$ +W = \frac {\left(D ^ {\prime} - x \tan \alpha\right) \sin \theta \cos \alpha}{\left(\cos \frac {\theta}{2} \cos \alpha\right) ^ {2} - \left(\sin \frac {\theta}{2} \sin \alpha\right) ^ {2}} 。 +$$ + +对于斜坡上重叠率 $\eta$ 计算，本文依据两种重叠率定义，分别构建两种重叠率模型。 + +利用Matlab计算海水深度 $D$ 、覆盖宽度 $W$ 和两种不同定义重叠率 $\eta$ 四者的结果。 + +利用 CAD 作图，直观比较两种重叠率模型的优劣，选择更贴合本题的模型二，舍去重叠率模型一的结果，明确斜坡重叠率的定义。 + +针对问题2，根据问题2的具体要求，对问题1的覆盖宽度 $W$ 模型进行改进推广，以构建贴合问题2的模型。引入变量，测线在坡面上的投影与海平面的夹角 $\nu$ ，来计算任意点的海水深度 $D$ ；用覆盖宽度与水平面形成的线面角 $\varepsilon$ 代替问题1中 $W$ 模型的坡度 $\alpha$ 。使得问题2的 $W$ 模型可以适用测线沿坡面任意方向延伸的情况。本文先对坡面上任意直线与水平面形成的线面角 $\gamma$ 与坡度 $\alpha$ 关系式进 + +行推导, 再根据 $\beta$ 将 $\nu, \varepsilon$ 用含有 $\alpha, \beta$ 的关系式表达出来, 最后带入问题 1 中的表达式进行求解。 + +针对问题3，首先明确测线延伸方向。对问题2进行结果分析，推断平行测线应该沿等深线方向延伸。文献资料《海道测量规范》(GB12327-2022)的规定为该判断提供佐证和支撑。接着计算测线分布位置。先构建待测海域最西侧的测线位置的表达式，运用Python计算，得出结果。再控制条带重叠率为最小临界值 $\eta = 10\%$ ，依靠Matlab，用递推法依次求出待测海域内的所有测线分布，经过检验处理最终确定该组测线的设计，利用Matlab绘制测线在待测海域上的分布图。该组测线方向均沿等深线延伸，共34条，总长度为68海里。 + +针对问题4，本文将待测海域依据等高线将海底地形划分为三块测区。根据问题3将测线延伸方向定为等深线方向。对于题目中给出的多目标规划，本文采用主要目标法，选择漏测率最少作为主要目标，将重叠率作为约束条件，每个测区以一条等高线作为基准，找出下一条登高线深度与上一条的递推函数关系，利用Matlab画出航线图。并计算出测线总长度为 $466394.4\mathrm{m}$ ，漏测率 $2.3\%$ 。 + +关键词：解三角形，类比法，递推法，多目标规划主要目标法 + +# 一、问题重述 + +多波束测深系统广泛地运用于海洋测绘。它一次能在与航迹垂直的平面内发射大量声波束来测量水体深度。该系统能够在海底形成有一定覆盖宽度的测量条带。若两条侧线间距较近，测量条带将会重叠。 + +1.1 问题 1: 测量船在海平面上以与海底坡向垂直的方向航行, 构造函数表达多波束测深的覆盖宽度和相邻条带重叠率二者之间的数学关系。并在题目规定的换能器开角、坡度、水深的具体情境下应用求解。并将结果填入表格 +1.2 问题 2: 该问是在问题 1 的基础上进行推广, 由二维平面推广至三维的立体空间, 变量由单一的水深变化转向水深和测线方向同时改变。在变量增加的情况下构造多波束测深覆盖宽度的关于位置的数学表达式。根据题目所给数据计算出结果并填入表格。 +1.3 问题 3: 本题给出了待测海域的具体条件和多波束换能器的开角, 要求设计一组测线可覆盖整个待测海域, 并满足总长度最短且相邻条带间的重叠率在 $10\% \sim 20\%$ 之间的条件。 +1.4 问题 4: 根据题目所给海域的单波束测深数据, 设计该海域运用多波束测深系统测量的测线。要求测深条带尽可能覆盖整个待测海域, 相邻条带重叠率尽可能不大于 $20\%$ , 测线总长度尽可能短。测线设计完后, 计算测线总长度。并求出漏测海区占比和重叠率过大部分的总长度。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题1的分析 + +针对问题1，对于覆盖宽度的求解，首先要求出海水深度关于测线距中心点处距离的函数表达式，再根据三角函数和正弦定理求出覆盖宽度与换能器开角、海底坡度及水深之间的函数关系式，进行联立求解，将它们之间的几何关系用代数形式表达。 + +因为对斜坡上重叠率的定义不明朗，为精准描述相邻条带重叠率 $\eta$ ，本文依据重叠率的不同定义，分别构建了两个模型。两种模型都依据题目所给海底平坦条件下的重叠率公式，来推测海底坡度下的重叠率公式，但对重叠率公式中 $d$ 和 $W$ 的定义和取值有所不同，再次利用正弦定理，分别求出所需要的重叠条带宽度。综上即可构造关于覆盖宽度和测线间距的重叠率表达式。利用Matlab将其在题目给出的换能器开角、海底坡度和中心水深的条件下运用求解。 + +利用 CAD 作图，对重叠率为临界值 0 时的测线距中心的距离进行检验，根据检验结果，对两种模型进行比较，选择更优的重叠率模型。将较优的模型的求解结果表格作为本题的最终结果。 + +# 2.2问题2的分析 + +针对问题2，本文首先分析本题和问题1的联系与区别，发现当 $\beta = 90^{\circ}$ 时，与问题1相同，于是，本文决定沿用问题1的大致函数模型，对其中不同的部分，即此时的底角不再是 $\alpha$ ，深度 $D$ 的直接变量也改变了，于是我们希望找出变化后的底角 $\varepsilon$ 等关于 $\alpha, \beta$ 的表达式，从而修改原函数。本文首先利用三角函数求出不与坡底线垂直的坡面上的任意一条线与地面形成的线面角 $\gamma$ 和坡度 $\alpha$ 及测线 + +方向 $\beta$ 的关系, 利用此关系可以求出测线与底面形成的线面角 $\nu$ 以及条带宽度线与底面形成的线面角 $\varepsilon$ 。再利用 $\nu$ 求出水深 $D$ , 联立 $\varepsilon$ 和 $D$ 的关系式, 求出覆盖宽度 $W$ 。最后利用五个特殊情况下的覆盖宽度 $W$ 随 $x$ 的变化进行分析, 检验结果的合理性。 + +# 2.3 问题3的分析 + +针对问题3，对于测线的设计主要针对两个方面，测线的延伸方向和相邻测线间距。 + +对于测线的延伸方向：通过对问题2结果的分析，可以发现当测线沿等深线方向延伸时，测线沿线的条带覆盖宽度不会发生变化，这也为定量控制重叠率提供了条件；反之，即使海底坡度很小，在辽阔的海域空间内，测线沿线的覆盖宽度也会发生比较大的变化。故选择测线方向沿等深线延伸。通过查阅资料进一步佐证本文选择的合理性。 + +对于相邻测线的间距：在控制条带重叠率为最小临界值 $10\%$ 的条件下，已知一条测线距海域中心点的方向和距离，即可递推所有测线距海域中心点的方向和距离，从而确定一组测线在待测海域的位置分布。为了不浪费条带的覆盖宽度，第一条条带的西边界应该与待测海域的西部边界重合。利用Matlab和Python推算出海域内所有测线。 + +验证海域东部边界是否被海域内最东侧测线覆盖。若覆盖，则本题测线设计完毕；若未覆盖，则还需增加一条测线，并调整相邻条带重叠率，使得测线的覆盖面积等于或略大于待测海域面积，且保证所有测线均位于待测海域内。 + +测线设计完成后，利用Matlab绘制测线设计图，直观展示测线分布。最后计算所有测线的总长度之和。 + +# 2.4 问题4的分析 + +针对问题4，对于测线的设计在问题3的基础上进行了推广，第一个方面是将坡线由直线换成曲线，第二个方面是将测线由直线换成曲线。根据问题3，我们可以得出，测线设计的基本思路是沿等深线的方向，那么，本问题要找出使覆盖面积 $S$ 尽量大，总长度尽量短，漏测区域尽量小，重叠率 $\eta$ 大于 $20\%$ 区域面积尽量小，其本质上属于多目标优化问题。对于此问题，本文采用的是主要目标法进行设计，将覆盖面积 $S$ 作为最主要目标，以重叠率为约束条件，作为临界值进行计算，确定测线之间的高度差 $h$ 。依据海底地貌的差异，本文可将整个待测海域进行分区。当测量船沿等深线航行时，若在两条等深线间水平距离最大处满足全覆盖，则两等深线间的所有区域均可实现全覆盖。由一条已知水深的测线，可推得下一条测线的深度，递推后即可推算出该部分测区的所有测线。由此，在确定高度差之后，利用Matlab画出所有测线，并计算测线总长度等所需结果。 + +# 三、模型假设 + +1、假设测量船航行平稳，多波束换能器的横摇角度和纵倾角度均为 $0^{\circ}$ 。 +2、假设测量船换能器发射的声波束可以被接收换能器全部接收。 +3、忽略噪音对多波束测深系统的影响。 +4、假设接收换能器收到的声波信号均到达海底并返回，没有被鱼虾等异物遮挡或干扰。 +5、假设海水平面恒定，测量船没有起伏高度的变化。 + +6、假设海底地形没有剧烈起伏，如出现海沟、海岭等高差变化大的地貌。 +7，假设多波束换能器开角始终为 $120^{\circ}$ 。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明
W多波束测深条带的覆盖宽度
θ多波束换能器的开角
D海水深度
D'海域中心点深度
α海底坡面与水平面的夹角
η相邻条带之间的重叠率
x中心处到测线的距离
y测量船到中心处的距离
v测线与水平面形成的线面角
ε覆盖宽度与水平面形成的线面角
β测线方向与海底坡面法向在水平面上投影夹角
C测线总长度
S覆盖区域总面积
h测线对应的高度差
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题1模型的建立与求解 + +![](images/cd6932f4bd7fd156dc26354190a6b99f419f59612352632fe854d4612f678ee6.jpg) +图1问题1的示意图 + +本图运用 CAD 绘制。图中 $D$ 为海水深度, $\alpha$ 为海底坡面与水平面的夹角, $\theta$ 为多波束换能器开角, 直线 $BC$ 为多波束测深条带的覆盖宽度。 + +对于覆盖宽度，本文首先构建测深条带的覆盖宽度 $W$ 的数学表达式。根据三角函数和正弦定理，可得 + +$$ +\frac {A B}{\sin \frac {\theta}{2}} = \frac {D}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2} - \alpha\right)} \tag {1} +$$ + +经过化简，得测线的左半侧条带宽度为 + +$$ +A B = \frac {D \sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \tag {2} +$$ + +同理可得测线的右半侧条带宽度为 + +$$ +A C = \frac {D \sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} - \alpha\right)} \tag {3} +$$ + +设海域中心点海水深度为 $D'$ , 测线距中心点距离为 $x$ , 则测量船所在海水深度为 + +$$ +D = D ^ {\prime} - x \tan \alpha \tag {4} +$$ + +由于条带的覆盖宽度 $W = AB + AC$ ，将式(2)(3)(4)带入，可得条带覆盖宽度的数学表达式为 + +$$ +W = \frac {\left(D ^ {\prime} - x \tan \alpha\right) \sin \theta \cos \alpha}{\left(\cos \frac {\theta}{2} \cos \alpha\right) ^ {2} - \left(\sin \frac {\theta}{2} \sin \alpha\right) ^ {2}} \tag {5} +$$ + +在海底平坦的海域内，相邻两条测线间距 $d$ 与 $d$ 在海底面上的投影 $BE$ 长度相等，平坦海底重叠率题目定义为 + +$$ +\eta = 1 - \frac {d}{W} \tag {6} +$$ + +容易推得其实式(6)是用测线间距 $d$ 的长度表示 $d$ 在平坦海底的投影 $BE$ 长度。由于本题中海底存在一定坡度，所以相邻两条条带覆盖宽度并不一致。由正弦定理可求得本文所需要的 $d$ 在海底坡面上的投影 $BE$ 长度的表达式为 + +$$ +B E = \frac {d \cos \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \tag {7} +$$ + +针对重叠率，本文建立了两种不同的模型 + +模型一，用 $BE$ 代替式(6)中的 $d$ ，规定本文中的重叠率公式中的 $W$ 指较早测量的条带覆盖宽度。联立式(5)(6)(7)，可以求出在海底坡度不为0时的条带重叠率 $\eta$ 数学表达式为 + +$$ +\eta = 1 - \frac {x \cos \frac {\theta}{2} \left[ \left(\cos \frac {\theta}{2} \cos \alpha\right) ^ {2} - \left(\sin \frac {\theta}{2} \sin \alpha\right) ^ {2} \right]}{\cos \left(\frac {\theta}{2} + \alpha\right) \left(D ^ {\prime} - d \tan \alpha\right) \sin \theta \cos \alpha} \tag {8} +$$ + +将题目所设定的条件开角 $\theta = 120^{\circ}$ , 坡度 $\alpha = 1.5^{\circ}$ , 海域中心点水深 $D^{\prime} = 70m$ 和测线距中心点距离 $x = -800, -600, -400, -200, 0, 200, 400, 600, 800$ 带入式 (8) 中, 利用 Matlab 计算求出问题 1 的解, 并通过 Excel 保留两位小数, 结果如表 1 所示。 + +表 1 问题 1 利用模型一的计算结果 + +
测线距中心点处的距离/m-800-600-400-2000200400600800
海水深度/m90.9585.7180.4775.2470.0064.7659.5354.2949.05
覆盖宽度/m315.81297.63279.44261.26243.07224.88206.70188.51170.33
与前一条测线的重叠率/%-29.5925.0019.7813.786.81-1.39-11.17-23.04
+ +模型二，因为海底坡度 $\alpha = 1.5^{\circ}$ ，坡度极小。测线间距 $d$ 与它在海底坡面上的投影极为接近，故认为测线间距恒为 $d = 200$ 。规定重叠率公式中的 $W$ 是前一个条带的后半段与后一个条带的前半段之和，即 $W = AC + EF$ ，以此为基础进行求解。 + +$$ +\eta = 1 - \frac {2 0 0}{A C + E F} \tag {9} +$$ + +$$ +A C = \frac {\left[ D ^ {\prime} - (x - 2 0 0) \tan \alpha \right] \sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} - \alpha\right)} \tag {10} +$$ + +$$ +E F = \frac {\left(D ^ {\prime} - x \tan \alpha\right) \sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \tag {11} +$$ + +根据式(9)(10)(11)即可求出重叠率 $\eta$ 的值。利用Matlab计算出在题目给定条件下的问题1的解，通过Excel保留两位小数，最终结果如表2所示 + +表 2 问题 1 利用模型二的计算结果 + +
测线距中心点处的距离 /m-800-600-400-2000200400600800
海水深度/m90.9585.7180.4775.2470.0064.7659.5354.2949.05
覆盖宽度/m315.81297.63279.44261.26243.07224.88206.70188.51170.33
与前一条测线的重叠率 /%38.3734.7130.5925.9120.5614.377.14-1.42-11.73
+ +本文需要对两种模型的优劣进行比较。运用CAD绘制多条测线在海域上测深情况如图2所示 + +![](images/9458fcac651d22dc8cb6f18dd78d3643744faccccb7774fc3faf690b112fba26.jpg) +图2多条测线测深情况 + +利用 CAD 作图可以直观看出，距海域中心点距离为 $400m$ 的测线仍然与前一条测线的条带存在重叠，故模型二比模型一更贴合本题。故采用模型二的求解结果。最终本题的计算结果如表 3 所示。 + +表 3 问题 1 的计算结果 + +
测线距中心点处的距离 /m-800-600-400-2000200400600800
海水深度/m90.9585.7180.4775.2470.0064.7659.5354.2949.05
覆盖宽度/m315.81297.63279.44261.26243.07224.88206.70188.51170.33
与前一条测线的重叠率 /%-34.7130.5925.9120.5614.377.14-1.42-11.73
+ +# 5.2 问题2模型的建立与求解 + +![](images/8fc2f96067d0b5b9debb03024dc7b3024267b9801dde1010982f5987a20e7c7b.jpg) +图3关于非斜坡角的线面角的示意图 + +图中平面 $OTN$ 为底角为 $\alpha$ 的斜坡, 类似于海底斜坡。平面 $OMP$ 为水平面。 + +直线 $ON$ 类似于任意方向测线海底坡面上的投影，直线 $OM$ 类似于测线水平面 $OMP$ 的投影。设 $OM$ 长度为 $a$ ， $OM, MP, MN$ 两两垂直且 $MN = TP$ ，则 $OP = a \cos \beta$ ， $MP = a \sin \beta$ ， $TP = a \cos \beta \tan \alpha = MN$ ，联立可推出任意方向测线 + +$$ +\tan \gamma = \frac {M N}{O M} = \cos \beta \tan \alpha \tag {12} +$$ + +![](images/8a916706d7dc732d11f98bbc2a1a8ab0d4bed96bf072162ccc3c08ef59f6fe81.jpg) +图4问题2的示意图 + +图中 $OP$ 为测线方向在斜坡上的投影, $MN$ 为测线在水平面上的投影, $MQ$ 为斜坡法线在水平面上的投影, 线面角 $\nu$ 为 $OP$ 和水平面形成的线面角, 线面角 $\varepsilon$ 为覆盖宽度与水平面形成的线面角, $\beta, \alpha$ 如图所示, 根据式(12) 的推导, 可推出 + +$$ +\tan \nu = \cos (\pi - \beta) \tan \alpha = - \cos \beta \tan \alpha \tag {13} +$$ + +$$ +\tan \varepsilon = \cos \left(\beta - \frac {\pi}{2}\right) \tan \alpha = \sin \beta \tan \alpha \tag {14} +$$ + +在本题中测量船距海域中心点处得距离设为 $y$ ，此时，水深 $D = D' - x \tan \gamma$ ，再将 $\tan \nu, \tan \varepsilon$ 带入(5)可得 + +$$ +W = \frac {\left(D ^ {\prime} + y \cos \beta \tan \alpha\right) \sin \theta \cos \varepsilon}{\left(\cos \frac {\theta}{2} \cos \varepsilon\right) ^ {2} - \left(\sin \frac {\theta}{2} \sin \varepsilon\right) ^ {2}} \tag {15} +$$ + +带入题目中给的数据，得到如下结果 + +表 4 问题 2 的计算结果 + +
覆盖宽度/m测量船距海域中心点处的距离/海里
00.30.60.91.21.51.82.1
测线方向夹角/°0415.69466.09516.49566.89617.29667.69718.09768.48
45416.19451.87487.55523.23558.91594.59630.27665.95
90416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69
135416.19380.51344.83309.15273.47237.79202.11166.43
180415.69365.29314.89264.50214.10163.70113.3062.90
225416.19380.51344.83309.15273.47237.79202.11166.43
270416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69
315416.19451.87487.55523.23558.91594.59630.27665.95
+ +对于上述结果进行检验，根据图像我们可以得出， $W$ 的值应当关于 $\beta = 180^{\circ}$ + +对称, 即测线关于坡度线对称时, 覆盖宽度相等, 满足条件; 其次当 $\beta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ 时, $W$ 应随 $x$ 的变大而变大, 反之变小, 满足条件; 再次, 当 $\beta = 90^{\circ}, 270^{\circ}$ 时,测量船沿着坡面的等深线航行, 所以覆盖宽度不变, 满足条件; 最后, 当 $\beta = 180^{\circ}$ 时, 由于条带宽度线在同一高度上, 且 $\theta = 120^{\circ}$ , 所以 $W = 2\sqrt{3} D$ , 经过计算验证, 误差不超过 0.001 , 满足条件。综上所述, 本文得出的结果可信度高。 + +# 5.3 问题3模型的建立与求解 + +在问题3的矩形海域内，等深线沿正南正北方向延伸，与矩形海域的东西两侧边界平行。当覆盖面积一定时，相邻条带间的重叠率越小，测线的长度越短。由问题2的计算结果可以看出，在均匀坡度的海底地形上，当测线沿等深线测深时，测线上的测量条带覆盖宽度不会发生变化。在此条件下，当两条平行于等深线的测线其间距 $d$ 一定时，重叠率也将确定。故本文可以通过调节相邻测线间距 $d$ 的大小，来定量控制条带间重叠率为最小临界值 $10\%$ ，尽可能缩短测线的长度。 + +由问题2可知，虽然海底坡度 $\alpha$ 角度极小，但是较大的测量长度下，条带的覆盖宽度也会出现明显变化。在2海里的测量长度下，条带的覆盖宽度可变化二三百米。本题所给的海域面积较大，而若平行测线不沿等深线延伸，始末端的测深条带宽度极差较大。在满足条带重叠率在 $10\% \sim 20\%$ 之间的情况下，平行测线始末端所符合的相邻间距范围可能不重叠；即使范围存在重叠部分，在满足测线上水深最浅处条带覆盖率为 $10\%$ ，深水区域的条带覆盖率必然高于 $10\%$ ，不能 + +控制每个部分的条带重叠率为最小临界值 $10\%$ 。相比之下，设计沿等深线方向延伸的测线具有很大的优势。 + +经查阅资料，在《海道测量规范》(GB12327-2022)中明确规定，使用多波束测探仪时，测线的方向布设应平行于等深线总方向。佐证了前文的判断，所以本文选择平行于等深线的方向设计测线。 + +本题在测线沿等深线延伸的条件下，通过确定条带重叠率和其中一条测线距海域中心点的东西向坐标，即可确定另一条测线的位置。 + +![](images/a3d1ff14f5ca2fae72a793d34a12f7e6a398dcc6dbacddb4cc47fb8c1ed921e8.jpg) +图5相邻测线测深示意图 + +本图与图1完全一致，为方便读者的阅读与理解，将本图放于问题3的求解过程中，方便对照。 + +规定向西为正方向，确定第一条测线的位置。第一条测线的西侧条带边界与待测海域的西侧边界重合。这样既不浪费测深条带的覆盖宽度，也不会出现漏测的情况。设待测海域的南北长为 $a$ ，东西长为 $b$ ， $x_{n}$ 为自西向东第 $n$ 条测线与海域中心点的距离，所以 + +$$ +\frac {b}{2} - x _ {1} = A B = \frac {D \sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \tag {16} +$$ + +海水深度 $D$ 的值 + +$$ +D = D ^ {\prime} + x \tan \alpha \tag {17} +$$ + +其中海域中心点处的海水深度 $D^{\prime} = 110m$ 。通过式(16)(17)，即可求出第一条测线与海域中心点的距离 $x_{1}$ 。 + +为了使测线的长度最短，本文先设条带间的重叠率为最小临界值 $\eta = 10\%$ 。对平坦条件下的重叠率 $\eta$ ，即本文中的式(6)，进一步化简得 + +$$ +\eta = \frac {E C}{W} \tag {18} +$$ + +可以发现重叠率 $\eta$ 其实是重叠宽度: 覆盖宽度的比值。根据问题 1, 重叠率公式中的 $W$ 为前一个条带的后半段与后一个条带的前半段之和, 故本题的重叠率 $\eta$ 为 + +$$ +\eta = \frac {B C - B E}{A C + E F} \tag {19} +$$ + +其中 + +$$ +A C + E F = \frac {\left[ D ^ {\prime} + x _ {1} \tan \alpha \right] \sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} - \alpha\right)} + \frac {\left(D ^ {\prime} + x _ {2} \tan \alpha\right) \sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \tag {20} +$$ + +$$ +B C - B E = \frac {\left(D ^ {\prime} + x _ {1} \tan \alpha\right) \sin \theta \cos \alpha}{\left(\cos \frac {\theta}{2} \cos \alpha\right) ^ {2} - \left(\sin \frac {\theta}{2} \sin \alpha\right) ^ {2}} - \frac {\left(x _ {1} - x _ {2}\right) \cos \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \tag {21} +$$ + +在重叠率 $\eta$ 和 $x_{1}$ 确定的情况下，联立式(19)(20)(21)，即可求出 $x_{2}$ 的值，以此类推， $x_{3}, x_{4}, \dots, x_{n}$ 都可以被依次求出，当 $x_{n} \leq 3704m$ 时，停止往后求解 $x_{n}$ 。 + +利用Matlab和Python对 $x_{n}$ 进行求解，求解结果如表5所示 + +表 5 测线 ${x}_{n}$ 与海域中心点的距离表 + +
测线距离/m测线距离/m
x13345.4x21-2728.2
x22753.3x22-2843.7
x32207.8x23-2950.2
x41705.0x24-3048.3
x51241.7x25-3138.7
x6814.7x26-3222.0
x7421.2x27-3298.8
x858.6x28-3369.6
x9-275.5x29-3434.8
x10-583.5x30-3494.9
x11-867.3x31-3550.2
x12-1128.8x32-3601.3
x13-1369.8x33-3648.3
x14-1591.9x34-3691.6
x15-1796.6x35-3731.6
x16-1985.2
x17-2159.0
x18-2319.2
x19-2466.8
x20-2602.8
+ +计算第34条测线 $x_{34}$ 的条带东侧边界，联立式(3)(17)并带入数据，可得第34条测线东侧条带宽 $AC_{34} = 22.1m$ ，故 $\left|x_{34}\right| + AC_{34} = 3713.7 > 3704m$ ，第34条测线的东侧条带已经覆盖了待测海域的东侧边界。故不需要第35条测线，舍去 $x_{35}$ 。 $x_{1} \sim x_{34}$ 为本文所设计的测线，可以将待测海域完全覆盖。 + +以向东为正方向绘制本文所设计的测线示意图 + +![](images/2b4becdda3493b72d9aa9a8b4197f9c0cc9afa396061c198db61f983332ff034.jpg) +图6问题3测线设计图 + +图6中坐标横轴与红色虚线所围成部分为待测海域，蓝线为测线，测线横坐标的绝对值表示该测线距海域中心点的距离，正负号代表方向。 + +本文所设计的测线总长度 $C$ 为 $34a$ ，即68海里；可完全覆盖待测海域；所有测线条带的重叠率均为 $10\%$ 。贴合题目要求。测线的方向布设平行于等深线延伸方向，符合《海道测量规范》(GB12327-2022)中的规定。 + +# 5.4 问题 4 模型的建立与求解 + +本文将附件中的地形数据导入Matlab中，并将海水深度的值取负值，利用Matlab画出海底地形图以及等高线，梯度线。为了方便观察，本文对梯度线进行了删减，并依据等高线对地形进行分区，方便后续测线设计。 + +![](images/64a2dc5a522b0c2ab1bb20d74a2b97836a851d9dae01561d42bbe159a57b8510.jpg) +图7待测海底地形图 + +![](images/4bf956b891be90e60f1cb95518173b8ac1e6606abd6dce67fc79f302392df374.jpg) +图8等高线与梯度线图 + +图8中标数值的为等高线，浅蓝色线为梯度线，垂直于等高线的方向为梯度方向，梯度所跨区域为本文对待测海域的分区。 + +模型建立：在本文中存在多个目标值，在本文的多目标优化问题中，经查阅资料发现，对测区实施全覆盖是测线设计中最重要的考虑因素，于是我们采用主要目标法，将对测区的覆盖率作为第一优先级进行考虑。在两条相邻的等高线上，等高线距离远的地方，地形更平坦；反之，地形会更加陡峭。所以只要满足等高线沿梯度方向距离最远的地方达到全覆盖，其余处也必将实现全覆盖。确定测区方向后，在梯度方向上设计相邻测线的等高距需要考虑到测线总长度最短。根据问题3可知，当重叠率最小时，测线总长度最短，即本题中需要求出等高线最宽处重叠率恰好为零时的等高距，以某一条线开始，第一条线和第二条测线的等高距，以此类推，直到覆盖整个区域面积。 + +以下是公式 + +$$ +D _ {x + 1} = \frac {D _ {x} \left[ \frac {\sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} - \alpha\right)} + \frac {1}{\sin \alpha} \right]}{\left[ \frac {1}{\sin \alpha} - \frac {\sin \frac {\theta}{2}}{\cos \left(\frac {\theta}{2} + \alpha\right)} \right]} \tag {22} +$$ + +模型求解：利用Matlab计算并分别绘制三个区域的测线设计图。 + +![](images/421a4e11119cb6f2806a453d6466bbfee79bef28a6ba88d4f12657e77957bf6a.jpg) +图9A区域测线设计图 + +![](images/74b3b2d4ef21c7f7f7b0946dede11e27591580c8cfe079d853bbdf06cc9116fb.jpg) +图10B区域测线设计图 + +![](images/8f71d252b7b12d13d79c7cd48ea7c80d668eee3e2583cd14ffd57eb8d20e3e89.jpg) +图11C区域测线设计图 + +利用Matlab将等高线进行微元划分，通过欧几里得距离累计相加，可以计 + +算出，C区域的等高线总长度为 $1333.4\mathrm{m}$ ，B区域的等高线总长度为 $31388.5\mathrm{m}$ ，A区域的等高线总长度为 $433672.5\mathrm{m}$ ，总测线长度为 $466394.4\mathrm{m}$ 。由于本文将漏测率放在优先级，本文最终得出漏测率为 $2.3\%$ + +结果验证：由前面的问题可以得出，在平坦的地方，开角相同时，需要的测线更多，所以，在地形图中越平坦时，航线越密集，越稀疏，符合本文给出的结果，所以，本文测线设计具有较高的合理性。 + +# 六、模型的评价与推广 + +# 6.1 模型的优点 + +1. 本文对于重叠率，条带宽度的计算，根据题目中所给出的公式进行推广并且得出了符合实际的结果，定义，推广模型合理准确。 +2. 本文对于几个问题的模型建立具有可传递性, 从问题 1 到问题 4 是对模型的层层递进, 通过增加变量和增加复杂程度来使模型由特殊到一般, 使模型更加有层次。 +3. 本文在建立模型时将复杂问题转化为可以直观呈现出的几何问题，将多目标优化提取主要目标，减少目标，化繁为简是本文模型的一大特点。 +4. 本文在建立模型时都对结果进行了合理性、准确性验证，通过文献等进行佐证，保证了结果的科学性，可行性。 + +# 6.2 模型的缺点 + +1. 本文在坡面上设计测线时仅考虑了直线，未考虑曲线，且仅考虑测线平行排列的设计方式。 +2. 本文在问题4多目标优化时选择了主要目标法。从一定程度上来说，没有对各个目标综合考量。 + +# 6.2 模型的推广 + +1. 本文中对覆盖宽度，重叠率的计算模型，对测线的设计模型可以推广使用到实际生活中的多波束测量中去，尤其可以根据实际情况修正后应用到海洋测绘领域中。 +2. 本文中的模型可以应用到之后关于多波束测深系统的科学研究中。 + +# 七、参考文献 + +[1]杨柳, 王超, 吴忠明. 多波束测深系统与单波束测深仪在长江河道测量应用中的比较与分析[J]. 水利水电快报, 2021,42(05): 23-25+29. DOI:10.15974/j.cnki.slsdkb.2021.05.006. +[2]高君，肖付民，裴文斌等.多波束测深仪扫幅宽度评估方法[J].测绘科学技术学报，2013,30(01):28-32. +[3]成芳, 胡迺成. 多波束测量测线布设优化方法研究[J]. 海洋技术学报, 2016,35(02):87-91. +[4]丁继胜,周兴华,刘忠臣等.多波束测深声纳系统的工作原理[J].海洋测绘,1999(03):15-22. + +# 附录 + +# 问题1： + +# Matlab 代码 + +模型一 + +$$ +a = p i / 1 2 0 +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3 +$$ + +$$ +f o r d = - 8 0 0: 2 0 0: 8 0 0 +$$ + +$$ +\mathrm {D} = 7 0 - \mathrm {d} ^ {*} \tan (\mathrm {a}) +$$ + +$$ +w = ((7 0 - d ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a)) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) +$$ + +$$ +n = 1 - (2 0 0 ^ {*} \cos (b / 2) ^ {*} ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) / (\cos (a + b / 2) ^ {*} (7 0 - d ^ {*} \tan (a)) +$$ + +$$ +) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a))) +$$ + +end + +# 模型二 + +clear + +$$ +a = p i / 1 2 0 +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3 +$$ + +$$ +f o r d = - 8 0 0: 2 0 0: 8 0 0 +$$ + +$$ +x 2 = (7 0 - (d - 2 0 0) ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 - a) +$$ + +$$ +x 1 = (7 0 - d ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a) +$$ + +$$ +n = 1 - 2 0 0 / (x 2 + x 1) +$$ + +End + +$$ +a = p i / 1 2 0 +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3 +$$ + +$$ +f o r d = - 8 0 0: 2 0 0: 8 0 0 +$$ + +$$ +\mathrm {D} = 7 0 - \mathrm {d} ^ {*} \tan (\mathrm {a}) +$$ + +$$ +w = ((7 0 - d ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a)) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) +$$ + +end + +问题1的计算结果 + +
测线距中心点处的距离 /m-800-600-400-2000200400600800
海水深度/m90.9585.7180.4775.2470.0064.7659.5354.2949.05
覆盖宽度/m315.81297.63279.44261.26243.07224.88206.70188.51170.33
与前一条测线的重叠率 /%-34.7130.5925.9120.5614.377.14-1.42-11.73
+ +# 问题2： + +# Matlab代码 + +clear + +$$ +a = p i / 1 2 0 +$$ + +$$ +b = 2 ^ {*} p i / 3 +$$ + +$$ +f o r i = 0: 0. 3: 2. 1 +$$ + +$$ +\mathrm {y} = \mathrm {i} ^ {*} 1 8 5 2 +$$ + +$$ +\mathrm {d e g r e e s} = 0 +$$ + +$$ +\text {r a d i a n s} = \deg 2 \text {r a d (d e g r e e s)} +$$ + +$$ +v = a t a n \left(\sin \left(\text {r a d i a n s}\right) ^ {*} \tan (a)\right) +$$ + +$$ +w = ((1 2 0 + y ^ {*} \cos (\text {r a d i a n s}) ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (v)) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (v)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (v)) +$$ + +$$ +\hat {2}) +$$ + +$$ +\mathrm {e n d} +$$ + +问题2的计算结果 + +
覆盖宽度/m测量船距海域中心点处的距离/海里
00.30.60.91.21.51.82.1
测线方向夹角/°0415.69466.09516.49566.89617.29667.69718.09768.48
45416.19451.87487.55523.23558.91594.59630.27665.95
90416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69
135416.19380.51344.83309.15273.47237.79202.11166.43
180415.69365.29314.89264.50214.10163.70113.3062.90
225416.19380.51344.83309.15273.47237.79202.11166.43
270416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69416.69
315416.19451.87487.55523.23558.91594.59630.27665.95
+ +# 问题3： + +Python 代码确定 $x_{1}$ + +import numpy as np + +from scipy.optimize import fsolve + +定义方程 + +def equation(x): + +$$ +\begin{array}{l} a = n p. p i / 1 2 0 \\ \mathrm {m} = 2 ^ {*} \mathrm {n p . p i} / 3 \\ b = 4 ^ {*} 1 8 5 2 \\ \text {r e t u r n} (1 1 0 + x * \mathrm {n p . t a n} (\mathrm {a})) * \mathrm {n p . s i n} (\mathrm {m} / 2) / \mathrm {n p . c o s} (\mathrm {m} / 2 + \mathrm {a}) - \mathrm {b} / 2 + \mathrm {x} \\ \end{array} +$$ + +# 使用 fsolve 函数求解方程 + +x Solution = fsolve(equation, 0) # 假设 x 的初始值为 0 + +```txt +print("Solution for x:", x_solution) +``` + +输出结果 Solution for x: [3345.36088471] + +# Matlab 代码递推测线 + +clear; + +clc; + +$\mathrm{n} = 0.1$ + +syms x2% 定义x2为符号变量 + +$\mathrm{x}1 = 3345.36088471$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathrm{pi} / 3$ + +$\mathrm{m} = (110 + \mathrm{x}1^{*}\mathrm{tan(a)})^{*}\mathrm{sin(b / 2) / (\cos(b / 2 - a))} + (110 + \mathrm{x}2^{*}\mathrm{tan(a)})^{*}\mathrm{sin(b / 2) / \cos(b / 2 + a)};$ + +\[ k = (110 + x1^* \tan(a))^* \sin(b)^* \cos(a) / ((\cos(b/2)^* \cos(a))^2 - (\sin(b/2)^* \sin(a))^2) - (x1 - + +$\mathrm{x2})^{*}\cos (\mathrm{b} / 2) / \cos (\mathrm{b} / 2 + \mathrm{a})$ + +[ \mathrm{eqn} = \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}} == \mathrm{n}; \% ] 设置方程 $\mathrm{k/m} = 0.1$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x2});\%$ 求解方程，得到x2的解 + +x2_value=double(sol); % 将 x2 转化为浮点数 + +disp(x2_value); % 显示 x2 的解 + +syms x3% 定义x3为符号变量 + +$\mathbf{x}2 = \mathbf{x}2$ value + +$\mathbf{a} = \mathbf{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathrm{pi} / 3$ + +$\mathrm{m} = (110 + \mathrm{x}2^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b} / 2) / (\cos (\mathrm{b} / 2 - \mathrm{a})) + (110 + \mathrm{x}3^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b} / 2) / \cos (\mathrm{b} / 2 + \mathrm{a})$ + +[ \mathrm{k} = (110 + \mathrm{x}2^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b})^{*}\cos (\mathrm{a}) / ((\cos (\mathrm{b} / 2)^{*}\cos (\mathrm{a}))^{\wedge 2} - (\sin (\mathrm{b} / 2)^{*}\sin (\mathrm{a}))^{\wedge 2}) - (\mathrm{x}2 - \mathrm{x}2^{*})^{*}\sin (\mathrm{a})^{*}\cos (\mathrm{a}) / ((\cos (\mathrm{b} / 2)^{*}\cos (\mathrm{a}))^{\wedge 2}) ] + +$\mathrm{x3})^{*}\cos (\mathrm{b} / 2) / \cos (\mathrm{b} / 2 + \mathrm{a})$ + +[ \mathrm{eqn} = \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}} == \mathrm{n}; \% ] 设置方程 $\mathrm{k} / \mathrm{m} = 0.1$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x3})$ ； $\%$ 求解方程，得到x3的解 + +x3_value=double(sol); % 将 x3 转化为浮点数 + +disp(x3_value); % 显示 x3 的解 + +syms x4% 定义x4为符号变量 + +$\mathbf{x}3 = \mathbf{x}3\_ \text{value}$ + +$\mathbf{a} = \mathbf{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathbf{pi} / 3$ + +$\mathrm{m} = (110 + \mathrm{x}3^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b} / 2) / (\cos (\mathrm{b} / 2 - \mathrm{a})) + (110 + \mathrm{x}4^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b} / 2) / \cos (\mathrm{b} / 2 + \mathrm{a})$ + +[ \mathrm{k} = (110 + \mathrm{x}3^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b})^{*}\cos (\mathrm{a}) / ((\cos (\mathrm{b} / 2)^{*}\cos (\mathrm{a}))^{\wedge 2} - (\sin (\mathrm{b} / 2)^{*}\sin (\mathrm{a}))^{\wedge 2}) - (\mathrm{x}3 - \mathrm{x}4)^{*}\sin (\mathrm{a})^{*}\cos (\mathrm{a}) / ((\cos (\mathrm{b} / 2)^{*}\cos (\mathrm{a}))^{\wedge 2}) ] + +$\mathrm{x4})^{*}\cos (\mathrm{b} / 2) / \cos (\mathrm{b} / 2 + \mathrm{a})$ + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n}; \%$ 设置方程 $\mathrm{k / m = 0.1}$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x4})$ ; $\%$ 求解方程，得到x4的解 + +x4_value=double(sol); % 将 x4 转化为浮点数 + +disp(x4_value); % 显示 x4 的解 + +syms x5% 定义x5为符号变量 + +$$ +\mathrm {x} 4 = \mathrm {x} 4 \_ \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +\mathrm {m} = (1 1 0 + \mathrm {x} 4 ^ {*} \tan (\mathrm {a})) ^ {*} \sin (\mathrm {b} / 2) / (\cos (\mathrm {b} / 2 - \mathrm {a})) + (1 1 0 + \mathrm {x} 5 ^ {*} \tan (\mathrm {a})) ^ {*} \sin (\mathrm {b} / 2) / \cos (\mathrm {b} / 2 + \mathrm {a}); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 4 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - (x 4 - +$$ + +$$ +x 5) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n}; \% \text{设置方程}\mathrm{k / m} = 0.1 +$$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x}5);\%$ 求解方程，得到x5的解 + +x5_value=double(sol); % 将 x5 转化为浮点数 + +disp(x5_value); % 显示 x5 的解 + +syms x6% 定义x6为符号变量 + +$$ +\mathrm {x} 5 = \mathrm {x} 5 \quad \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +\mathrm {m} = (1 1 0 + \mathrm {x} 5 ^ {*} \tan (\mathrm {a})) ^ {*} \sin (\mathrm {b} / 2) / (\cos (\mathrm {b} / 2 - \mathrm {a})) + (1 1 0 + \mathrm {x} 6 ^ {*} \tan (\mathrm {a})) ^ {*} \sin (\mathrm {b} / 2) / \cos (\mathrm {b} / 2 + \mathrm {a}); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 5 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - (x 5 - +$$ + +$$ +x 6) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +[ \text{eqn} = \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}} == \mathrm{n}; \% ] 设置方程 $\mathrm{k / m} = 0.1$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x6});\%$ 求解方程，得到x6的解 + +x6_value=double(sol); % 将 x6 转化为浮点数 + +disp(x6_value); % 显示 x6 的解 + +syms x7% 定义x7为符号变量 + +$$ +\mathrm {x} 6 = \mathrm {x} 6 \_ \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +\mathrm {m} = (1 1 0 + \mathrm {x} 6 ^ {*} \tan (\mathrm {a})) ^ {*} \sin (\mathrm {b} / 2) / (\cos (\mathrm {b} / 2 - \mathrm {a})) + (1 1 0 + \mathrm {x} 7 ^ {*} \tan (\mathrm {a})) ^ {*} \sin (\mathrm {b} / 2) / \cos (\mathrm {b} / 2 + \mathrm {a}); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 6 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - (x 6 - +$$ + +$$ +x 7) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n}; \%$ 设置方程 $\mathrm{k / m = 0.1}$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x7});\%$ 求解方程，得到x7的解 + +x7 value=double(sol); % 将 x7 转化为浮点数 + +disp(x7_value); % 显示 x7 的解 + +syms x8% 定义x8为符号变量 + +$$ +\mathrm {x} 7 = \mathrm {x} 7 \quad \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 7 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + x 8 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 7 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - (x 7 - +$$ + +$$ +x 8) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n}; \%$ 设置方程 $\mathrm{k / m = 0.1}$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x8});\%$ 求解方程，得到x8的解 +x8_value=double(sol); $\%$ 将x8转化为浮点数 +disp(x8_value); $\%$ 显示x8的解 + +syms $\mathrm{x9\%}$ 定义x9为符号变量 + +$\mathbf{x8} = \mathbf{x8}$ value + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathbf{p}\mathrm{i} / 3$ + +[ \mathrm{m} = (110 + \mathrm{x}8^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b} / 2) / (\cos (\mathrm{b} / 2 - \mathrm{a})) + (110 + \mathrm{x}9^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b} / 2) / \cos (\mathrm{b} / 2 + \mathrm{a}); ] + +$\mathrm{k} = (110 + \mathrm{x8}^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b})^{*}\cos (\mathrm{a}) / ((\cos (\mathrm{b} / 2)^{*}\cos (\mathrm{a}))^{\wedge}2 - (\sin (\mathrm{b} / 2)^{*}\sin (\mathrm{a}))^{\wedge}2) - (\mathrm{x8} - \mathrm{x9})^{*}\cos (\mathrm{b} / 2) / \cos (\mathrm{b} / 2 + \mathrm{a});$ + +[ \text{eqn} = \frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}} == \mathrm{n}; \% ] 设置方程 $\mathrm{k / m} = 0.1$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x9});\%$ 求解方程，得到x9的解 + +x9_value=double(sol); % 将 x9 转化为浮点数 + +disp(x9_value); % 显示 x9 的解 + +syms x10 + +$\mathrm{x9 = x9\_value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathrm{pi} / 3$ + +$\mathrm{m} = (110 + \mathrm{x}9^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b} / 2) / (\cos (\mathrm{b} / 2 - \mathrm{a})) + (110 + \mathrm{x}10^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b} / 2) / \cos (\mathrm{b} / 2 + \mathrm{a})$ + +[ \mathrm{k} = (110 + \mathrm{x}9^{*}\tan (\mathrm{a}))^{*}\sin (\mathrm{b})^{*}\cos (\mathrm{a}) / ((\cos (\mathrm{b} / 2)^{*}\cos (\mathrm{a}))^{\wedge}2 - (\sin (\mathrm{b} / 2)^{*}\sin (\mathrm{a}))^{\wedge}2) - (\mathrm{x}9 - ] + +$\mathrm{x10)}^{*}\cos (\mathrm{b / 2}) / \cos (\mathrm{b / 2 + a});$ + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} = = \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x10})$ + +x10_value=double(sol); + +disp(x10_value); + +syms x11 + +$\mathrm{x10 = x10\_value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathrm{pi} / 3$ + +m = (110 + x10\*tan(a))\*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + + +x11\*tan(a))\*sin(b/2)/cos(b/2+a); + +k = (110 + x10*tan(a))*sin(b)*cos(a)/((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) + +(x10 - x11)*cos(b/2)/cos(b/2+a); + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} = = \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x11})$ + +x11_value=double(sol); + +disp(x11_value); + +syms x12 + +$\mathrm{x11 = x11\_value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathrm{b} = 2^{*}\mathrm{pi} / 3$ $\begin{array}{rl}{\mathrm{m}}&{=(110+}\end{array}$ $\mathrm{x11^{*}tan(a))^{*}sin(b/2)/(cos(b/2-a))+(110+}$ $\mathrm{x12^{*}tan(a))^{*}sin(b/2)/cos(b/2+a)};$ $\mathrm{k} = (110 + x11^{*}\mathrm{tan(a)})^{*}\mathrm{sin(b)^{*}}\mathrm{cos(a}) / ((\mathrm{cos(b / 2)^{*}}\mathrm{cos(a)})^{\wedge 2} - (\mathrm{sin(b / 2)^{*}}\mathrm{sin(a)})^{\wedge 2}) -$ $(x11 - x12)^{*}\cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a);$ $\mathrm{eqn=k/m==n};$ $\mathrm{sol=solve(eqn,x12)};$ $\mathrm{x12\_value=double(sol)}$ +disp(x12_value); + +```c +syms x13 +x12 = x12_value +a = pi/120; +b = 2*pi/3; +m = (110 + x12*tan(a))*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + x13*tan(a))*sin(b/2)/cos(b/2+a); +k = (110 + x12*tan(a))*sin(b)*cos(a)/(cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - (x12 - x13)*cos(b/2)/cos(b/2+a); +eqn = k/m == n; +sol = solve(eqn, x13); +x13_value=double(sol); +disp(x13_value); +``` + +syms x14 + $\mathrm{x13 = x13\_value}$ +a $\equiv$ pi/120; +b $= 2^{*}\mathrm{pi} / 3$ +m $\begin{array}{rl}{=}&{(110+}\end{array}$ + x13\*tan(a)\*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + +x14\*tan(a))*sin(b/2)/cos(b/2+a); +k $= (110 + \mathrm{x}13^{\ast}\mathrm{tan}(\mathrm{a}))^{\ast}\mathrm{sin}(\mathrm{b})^{\ast}\mathrm{cos}(\mathrm{a}) / ((\mathrm{cos}(\mathrm{b} / 2)^{\ast}\mathrm{cos}(\mathrm{a}))^{\wedge}2 - (\mathrm{sin}(\mathrm{b} / 2)^{\ast}\mathrm{sin}(\mathrm{a}))^{\wedge}2)$ - +(x13-x14)\*cos(b/2)/cos(b/2+a); +eqn $\equiv$ k/m $= =$ n; +sol $\equiv$ solve(eqn, x14); +x14_value=double(sol); +disp(x14_value); + +```txt +syms x15 +x14 = x14_value +a = pi/120; +b = 2*pi/3; +m = (110 + x14*tan(a))*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + x15*tan(a))*sin(b/2)/cos(b/2+a); +k = (110 + x14*tan(a))*sin(b)*cos(a)/((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - (x14 - x15)*cos(b/2)/cos(b/2+a); +``` + +```txt +eqn = k/m == n; +sol = solve(eqn, x15); +x15_value=double(sol); +disp(x15_value); +syms x16 +x15 = x15_value +a = pi/120; +b = 2*pi/3; +m = (110 + x15*tan(a))*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + x16*tan(a))*sin(b/2)/cos(b/2+a); +k = (110 + x15*tan(a))*sin(b) *cos(a) / ((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - (x15 - x16)*cos(b/2)/cos(b/2+a); +eqn = k/m == n; +sol = solve(eqn, x16); +x16_value=double(sol); +disp(x16_value); +syms x17 +x16 = x16_value +a = pi/120; +b = 2*pi/3; +m = (110 + x16*tan(a))*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + x17*tan(a))*sin(b/2)/cos(b/2+a); +k = (110 + x16*tan(a))*sin(b) *cos(a) / ((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - (x16 - x17)*cos(b/2)/cos(b/2+a); +eqn = k/m == n; +sol = solve(eqn, x17); +x17_value=double(sol); +disp(x17_value); +syms x18 +x17 = x17_value +a = pi/120; +b = 2*pi/3; +m = (110 + x17*tan(a))*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + x18*tan(a))*sin(b/2)/cos(b/2+a); +k = (110 + x17*tan(a))*sin(b) *cos(a) / ((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - (x17 - x18)*cos(b/2)/cos(b/2+a); +eqn = k/m == n; +sol = solve(eqn, x18); +x18_value=double(sol); +disp(x18_value); +``` + +syms x19 + +$$ +\mathrm {x} 1 8 = \mathrm {x} 1 8 \_ \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +b = 2 ^ {*} p i / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 1 8 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + +$$ + +$$ +x 1 9 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 1 8 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - +$$ + +$$ +(x 1 8 - x 1 9) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +\mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; +$$ + +$$ +\mathrm {s o l} = \text {s o l v e} (\mathrm {e q n}, \mathrm {x} 1 9); +$$ + +$$ +x 1 9 \_ v a l u e = d o u b l e (s o l); +$$ + +$$ +\operatorname {d i s p} (\mathrm {x} 1 9 \_ v a l u e); +$$ + +$$ +s y m s x 2 0 +$$ + +$$ +\mathrm {x} 1 9 = \mathrm {x} 1 9 \_ \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 1 9 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + +$$ + +$$ +x 2 0 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 1 9 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - +$$ + +$$ +(x 1 9 - x 2 0) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +\mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; +$$ + +$$ +\operatorname {s o l} = \operatorname {s o l v e} (\operatorname {e q n}, x 2 0); +$$ + +$$ +x 2 0 \_ v a l u e = d o u b l e (s o l); +$$ + +$$ +\operatorname {d i s p} (\mathrm {x 2 0 \_ v a l u e}); +$$ + +$$ +s y m s x 2 1 +$$ + +$$ +\mathrm {x} 2 0 = \mathrm {x} 2 0 \quad \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 2 0 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + +$$ + +$$ +x 2 1 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 2 0 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - +$$ + +$$ +(x 2 0 - x 2 1) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +\mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; +$$ + +$$ +\operatorname {s o l} = \operatorname {s o l v e} (\operatorname {e q n}, x 2 1); +$$ + +$$ +x 2 1 \text {v a l u e} = \text {d o u b l e (s o l)}; +$$ + +$$ +\operatorname {d i s p} (\mathrm {x 2 1 \_ v a l u e}); +$$ + +$$ +\begin{array}{c} \text {s y m s x 2 2} \end{array} +$$ + +$$ +\mathrm {x} 2 1 = \mathrm {x} 2 1 \_ \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 2 1 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + +$$ + +$\mathrm{x}22^{*}\mathrm{tan(a))}^{*}\mathrm{sin(b / 2) / cos(b / 2 + a)}$ + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n};$ + +syms x23 + +syms x24 + +$$ +\begin{array}{l} k = (1 1 0 + x 2 1 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - \\ (x 2 1 - x 2 2) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); \\ \operatorname {s o l} = \operatorname {s o l v e} (\operatorname {e q n}, x 2 2); \\ x 2 2 \_ v a l u e = d o u b l e (s o l); \\ \operatorname {d i s p} (\mathrm {x} 2 2 \_ v a l u e); \\ \mathrm {x} 2 2 = \mathrm {x} 2 2 \_ v a l u e \\ a = p i / 1 2 0; \\ \mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; \\ m = (1 1 0 + x 2 2 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + \\ x 2 3 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); \\ k = (1 1 0 + x 2 2 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - \\ (x 2 2 - x 2 3) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); \\ \mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; \\ \operatorname {s o l} = \operatorname {s o l v e} (\operatorname {e q n}, x 2 3); \\ x 2 3 \_ v a l u e = d o u b l e (s o l); \\ \operatorname {d i s p} (\mathrm {x 2 3 \_ v a l u e}); \\ \mathrm {x} 2 3 = \mathrm {x} 2 3 \_ \text {v a l u e} \\ a = p i / 1 2 0; \\ \mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; \\ m = (1 1 0 + x 2 3 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + \\ x 2 4 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); \\ k = (1 1 0 + x 2 3 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - \\ (x 2 3 - x 2 4) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); \\ \mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; \\ \mathrm {s o l} = \text {s o l v e} (\mathrm {e q n}, \mathrm {x 2 4}); \\ x 2 4 \_ v a l u e = d o u b l e (s o l); \\ \operatorname {d i s p} (\mathrm {x 2 4 \_ v a l u e}); \\ s y m s x 2 5 \\ \mathrm {x} 2 4 = \mathrm {x} 2 4 \_ v a l u e \\ a = p i / 1 2 0; \\ \mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; \\ m = (1 1 0 + x 2 4 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + \\ x 2 5 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); \\ k = (1 1 0 + x 2 4 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - \\ (x 2 4 - x 2 5) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); \\ \mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; \\ \operatorname {s o l} = \operatorname {s o l v e} (\text {e q n}, x 2 5); \\ \end{array} +$$ + +```txt +x25_value=double(sol); +disp(x25_value); +``` + +```txt +syms x26 +``` + +$\mathrm{x}25 = \mathrm{x}25\_ \mathrm{value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathbf{p}\mathrm{i} / 3$ + +```javascript +m = (110 + x25\*tan(a))\*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + +``` + +```javascript +x26\*tan(a))\*sin(b/2)/cos(b/2+a); +``` + +```txt +k = (110 + x25*tan(a))*sin(b)*cos(a)/((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - +``` + +```txt +(x25 - x26)*cos(b/2)/cos(b/2+a); +``` + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x26})$ + +```javascript +x26_value=double(sol); +``` + +```txt +disp(x26_value); +``` + +```txt +syms x27 +``` + +$\mathrm{x}26 = \mathrm{x}26\_ \mathrm{value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathbf{p}\mathrm{i} / 3$ + +```javascript +m = (110 + x26\*tan(a))\*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + +``` + +$\mathrm{x}27^{*}\mathrm{tan(a))}^{*}\mathrm{sin(b / 2) / cos(b / 2 + a)}$ + +```txt +k = (110 + x26*tan(a))*sin(b)*cos(a)/((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - +``` + +```javascript +(x26 - x27)\*cos(b/2)/cos(b/2+a); +``` + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x27})$ + +```javascript +x27_value=double(sol); +``` + +```txt +disp(x27_value); +``` + +```txt +syms x28 +``` + +$\mathrm{x}27 = \mathrm{x}27\_ \text{value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathbf{p}\mathrm{i} / 3$ + +```javascript +m = (110 + x27\*tan(a))\*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + +``` + +```javascript +x28\*tan(a))\*sin(b/2)/cos(b/2+a); +``` + +```txt +k = (110 + x27*tan(a))*sin(b)*cos(a)/((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - +``` + +```txt +(x27 - x28)*cos(b/2)/cos(b/2+a); +``` + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x28})$ + +```javascript +x28_value=double(sol); +``` + +```txt +disp(x28_value); +``` + +```txt +syms x29 +``` + +$\mathrm{x}28 = \mathrm{x}28\_ \mathrm{value}$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 2 8 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + +$$ + +$$ +x 2 9 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 2 8 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - +$$ + +$$ +(x 2 8 - x 2 9) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +\mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; +$$ + +$$ +\operatorname {s o l} = \operatorname {s o l v e} (\operatorname {e q n}, x 2 9); +$$ + +$$ +x 2 9 \_ v a l u e = d o u b l e (s o l); +$$ + +$$ +\operatorname {d i s p} (\mathrm {x 2 9 \_ v a l u e}); +$$ + +$$ +\mathrm {s y m s} \mathrm {x} 3 0 +$$ + +$$ +\mathrm {x} 2 9 = \mathrm {x} 2 9 \_ \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 2 9 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + +$$ + +$$ +x 3 0 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 2 9 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - +$$ + +$$ +(x 2 9 - x 3 0) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +\mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; +$$ + +$$ +\operatorname {s o l} = \operatorname {s o l v e} (\operatorname {e q n}, x 3 0); +$$ + +$$ +\mathrm {x} 3 0 \_ \text {v a l u e} = \text {d o u b l e (s o l)}; +$$ + +$$ +\operatorname {d i s p} (\mathrm {x} 3 0 \_ v a l u e); +$$ + +$$ +s y m s x 3 1 +$$ + +$$ +\mathrm {x} 3 0 = \mathrm {x} 3 0 \_ \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +\mathrm {b} = 2 ^ {*} \mathrm {p i} / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 3 0 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / (\cos (b / 2 - a)) + (1 1 0 + +$$ + +$$ +x 3 1 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 3 0 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - +$$ + +$$ +(x 3 0 - x 3 1) ^ {*} \cos (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +\mathrm {e q n} = \mathrm {k} / \mathrm {m} = = \mathrm {n}; +$$ + +$$ +\operatorname {s o l} = \operatorname {s o l v e} (\operatorname {e q n}, x 3 1); +$$ + +$$ +x 3 1 \_ v a l u e = d o u b l e (s o l); +$$ + +$$ +\operatorname {d i s p} (\mathrm {x 3 1 \_ v a l u e}); +$$ + +$$ +\mathrm {s y m s} \times 3 2 +$$ + +$$ +\mathrm {x} 3 1 = \mathrm {x} 3 1 \_ \text {v a l u e} +$$ + +$$ +a = p i / 1 2 0; +$$ + +$$ +b = 2 ^ {*} p i / 3; +$$ + +$$ +m = (1 1 0 + x 3 1 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (\mathrm {b} / 2) / (\cos (\mathrm {b} / 2 - a)) + (1 1 0 + +$$ + +$$ +x 3 2 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b / 2) / \cos (b / 2 + a); +$$ + +$$ +k = (1 1 0 + x 3 1 ^ {*} \tan (a)) ^ {*} \sin (b) ^ {*} \cos (a) / ((\cos (b / 2) ^ {*} \cos (a)) ^ {\wedge} 2 - (\sin (b / 2) ^ {*} \sin (a)) ^ {\wedge} 2) - +$$ + +(x31 - x32)*cos(b/2)/cos(b/2+a); + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x32})$ + +x32_value=double(sol); + +disp(x32_value); + +syms x33 + +$\mathrm{x}32 = \mathrm{x}32\_ \mathrm{value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathrm{b} = 2^{*}\mathrm{pi} / 3$ + +m = (110 + x32\*tan(a))\*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + + +x33\*tan(a))\*sin(b/2)/cos(b/2+a); + +k = (110 + x32*tan(a))*sin(b)*cos(a)/((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - + +(x32 - x33)*cos(b/2)/cos(b/2+a); + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x33})$ + +x33_value=double(sol); + +disp(x33_value); + +syms x34 + +$\mathrm{x}33 = \mathrm{x}33\_ \mathrm{value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathbf{p}\mathrm{i} / 3$ + +m = (110 + x33\*tan(a))\*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + + +x34\*tan(a))\*sin(b/2)/cos(b/2+a); + +k = (110 + x33*tan(a))*sin(b)*cos(a)/((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) - + +(x33 - x34)*cos(b/2)/cos(b/2+a); + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x34})$ + +x34_value=double(sol); + +disp(x34_value); + +syms x35 + +$\mathrm{x}34 = \mathrm{x}34\_ \mathrm{value}$ + +$\mathrm{a} = \mathrm{pi} / 120$ + +$\mathbf{b} = 2^{*}\mathbf{p}\mathrm{i} / 3$ + +m = (110 + x34\*tan(a))\*sin(b/2)/(cos(b/2-a)) + (110 + + +$\mathrm{x}35^{*}\mathrm{tan(a))}^{*}\mathrm{sin(b / 2) / cos(b / 2 + a)}$ + +k = (110 + x34*tan(a))*sin(b)*cos(a)/((cos(b/2)*cos(a))^2 - (sin(b/2)*sin(a))^2) + +(x34 - x35)*cos(b/2)/cos(b/2+a); + +$\mathrm{eqn} = \mathrm{k / m} == \mathrm{n};$ + +$\mathrm{sol} = \mathrm{solve}(\mathrm{eqn},\mathrm{x35})$ + +x35_value=double(sol); + +disp(x35_value) + +```matlab +syms J %J 为 x35 东侧宽度 +a = pi/120; +b = 2*pi/3; +x35 = abs(x35_value) +l = 110-x35*tan(a); +h35 = J/tan(b/2) + J*tan(a); %h35 为第 35 个测点距离海水深度 +eqn = h35 == l; +sol = solve(eqn, J); +J_value = double(sol); +disp(J_value) +Q=x1+x35+358.64 + J_value +x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15,x16,x17,x18,x19,x20,x21,x22,x23,x24,x25,x26,x27,x28,x29,x30,x31,x32,x33,x34_value]; +for i = 1: numel(x) + value = -1 * x(i); + line([value value], [0 2*1852]); + disp(value) +end +hold on; +line([-2*1852 -2*1852], [0 2*1852], 'linestyle', --', 'Color', 'r', 'LineWidth', 2); +line([2*1852 2*1852], [0 2*1852], 'linestyle', --', 'Color', 'r', 'LineWidth', 2); +line([-2*1852 2*1852], [2*1852 2*1852], 'linestyle', --', 'Color', 'r', 'LineWidth', 2); +``` + +# 问题4代码： + +```matlab +clear +data = xlsread('fujian.xlsx'); +firstRow = data(1,:); +firstColumn = data(:,1); +otherData = data(2:end, 2:end); +constant = 1852 +r1=firstRow*constant +r2=firstColumn*constant +x = r1(2:end) +y = r2(2:end) +``` + +# % 创建网格 + +$\left[\mathrm{X}, \mathrm{Y}\right] = \operatorname{meshgrid}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ; + +# % 计算 Z 坐标（地形高度） + +$\mathbf{z} =$ otherData*(-1) + +subplot(1,2,2) + +[N,h]=contourf(X,Y,z,30) + +clabel(N,h) + +title("原始等高线图") + +%第一测区测线 + +data = xsread('fujian.xlsx'); + +firstRow = data(1,:); + +firstColumn $=$ data(:,1); + +otherData = data(2:end, 2:end); + +constant $= 1852$ + +r1=firstRow*constant + +r2=firstColumn*constant + +$\mathbf{x} = \mathbf{r}\mathbf{l}(2:\mathrm{end})$ + +$\mathrm{y} = \mathrm{r2}(2:\mathrm{end})$ + +z = otherData*(-1) + +$\%$ 已知的等高线数值 + +contourValues = [-65.72903 -49.4457 -37.3434 -30.2511 -27.2568 -24.3514 + +-21.2279]; + +$\%$ 其他等高线间距 + +contourSpacing $= 100$ + +$\%$ 绘制等高线图 + +figure; + +contour(x, y, z, contourValues); + +hold on; + +contour(x, y, z, 'LevelStep', contourSpacing); + +hold off; + +% 设置坐标轴标签和标题 + +xlabel('X'); + +ylabel('Y'); + +title('已知数值和其他间距的等高线图'); + +$\mathrm{x = [5000.43555.842740.962296.482111.281926.08]}$ + +$\mathrm{y = [6963.525444.884370.723407.6827782185.36]}$ + +% Plot the point + +hold on; + +plot(x, y, 'ro'); % 'ro' represents a red circle marker + +hold off; + +C区代码 + +```matlab +data = xsread('C:\Users\16925\Desktop\附件.xlsx'); +firstRow = data(1,:) +firstColumn = data(:,1); +otherData = data(2:end,2:end); +constant = 1852 +r1=firstRow*constant +r2=firstColumn*constant +x = r1(2:end) +y = r2(2:end) +z = otherData*(-1) +% 已知的等高线数值 +contourValues = []; +``` + +$\%$ 其他等高线间距 + +contourSpacing $= 10$ + +% 绘制等高线图 + +```matlab +figure; +contour(x,y,z, contourValues); +hold on; +contour(x,y,z,'LevelStep', contourSpacing); +hold off; +``` + +% 设置坐标轴标签和标题 + +```txt +xlabel('X'); +ylabel('Y'); +title('B区域测线设计图'); +``` + +B区代码 + +```matlab +data = xs1read('C:\Users\16925\Desktop\附件.xlsx'); +firstRow = data(1,:) +firstColumn = data(:,1); +otherData = data(2:end, 2:end); +constant = 1852 +r1=firstRow*constant +r2=firstColumn*constant +x = r1(2:end) +y = r2(2:end) +z = otherData*(-1) +% 已知的等高线数值 +contourValues = []; +``` + +% 其他等高线间距 + +```txt +contourSpacing = 10; +``` + +% 绘制等高线图 + +figure; + +contour(x, y, z, contourValues); + +hold on; + +contour(x, y, z, 'LevelStep', contourSpacing); + +hold off; + +% 设置坐标轴标签和标题 + +```javascript +xlabel('X'); +``` + +A区代码 + +```txt +data = xlsread('C:\Users\16925\Desktop\附件.xlsx'); +``` + +firstRow = data(1,:); + +firstColumn $=$ data(:,1); + +```matlab +otherData = data(2:end, 2:end); +``` + +constant $= 1852$ + +```txt +r1=firstRow*constant +``` + +```txt +r2=firstColumn*constant +``` + +$\mathbf{x} = \mathbf{r}1(2:\mathrm{end})$ + +$\mathbf{y} = \mathbf{r}2(2:\mathrm{end})$ + +```txt +z = otherData*(-1) +``` + +$\%$ 已知的等高线数值 + +contourValues $=$ [-65.73-63.9327-62.2061-60.6101-59.7760-58.62734011]; + +$\%$ 其他等高线间距 + +contourSpacing $= 1$ + +% 绘制等高线图 + +figure; + +```javascript +contour(x, y, z, contourValues); +``` + +hold on; + +```javascript +contour(x, y, z, 'LevelStep', contourSpacing); +``` + +hold off; + +% 设置坐标轴标签和标题 + +xlabel('X'); + +ylabel('Y'); + +title('已知数值和其他间距的等高线图'); + +$\mathrm{x = [4074.4 4037.36 4000.32 3963.28 3963.28 3926.24]}$ + +```javascript +y=[7667.28 7445.04 7222.8 7000.56 6889.44 6704.24]; +``` + +% Plot the point + +hold on; + +plot(x, y, 'ro'); % 'ro' represents a red circle marker + +hold off; \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/B477/B477.md b/MCM_CN/2023/B477/B477.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fb5f85bdf13004473000dcb670f17688b7dace2a --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/B477/B477.md @@ -0,0 +1,2193 @@ +# 多波束测深合理探测方案的设计及效果分析 + +# 摘要 + +多波束测深系统比单波束测深系统测量范围大、精度高，适合大面积海底地形的勘探。在实际探测中，海底地形起伏大，不能简单地根据海区平均水深设计测线间隔。本文基于对覆盖宽度、重叠率等的分析，建立了适当的数学模型，设计了合理的探测方案，对提高探测效率和准确性有一定作用。 + +对于问题一，本文建立了二维平面上计算多波束测深的覆盖宽度及条带重叠率的数学模型。根据问题的变化，我们首先给出了坡面情况下重叠率的计算方法。利用三角形中存在的几何关系推导出了海水深度、覆盖宽度、重叠率的计算公式，并计算相关数值将其填入表1，发现最浅两条测线出现了漏测现象。 + +对于问题二，本文在第一问的基础上，在不同测线方向的情况下以深度与坡度角度完善了在三维情况下多波束测深覆盖宽度的数学模型。我们首先提取出了三个主要参数：当前坡度 $\gamma$ 、当前深度 $x_{D}$ 、当前开角 $\theta$ ，并分析了它们之间存在的关系。推导出了各参数在三维情况下的求解公式，以此公式计算出了题中所列位置多波束测深的覆宽，并将它们填入表2。 + +对于问题三，本文制定了基于贪心思想的测线设计方案。我们首先分析出需要使得 $w_{i}$ 在各点最宽以得到最短路径和最佳航向，以重叠率为控制条件进行迭代计算。经过优化后，我们得到了平行的测线方向，共34条。同时对不同重叠率下的路线数量和平行方向上的航线密度做了横向分析。 + +对于问题四，本文首先采用微分思想，利用插值拟合和随机森林模型对数据进行预处理以及数据特点分析，深入探讨了不同曲面以及开角情况下的测量状态，基于第三问的研究改进了飞蛾火焰算法，并给出具体的路径搜索流程，在对区域进行分块之后，以重叠率为 $10\%$ ，在空间内迭代搜索了各区域最佳路径，给出各个分区的数据，经过整合之后，得到了最优化的路线且覆盖率达 $99.96\%$ ，测线总长度为 $434662\mathrm{m}$ 。 + +综上所述，本文基于微分思想和贪心思想建立层层递进的计算与智能搜索模型。我们首先建立二维平面上的多波束测深的覆盖宽度及条带重叠率的数学模型，然后扩展至三维空间中，从简单地形测线的设计推进到复杂真实海底测量策略的优化，解决了多波束测深系统最优路线方案的设计问题，并且给出具体的图像和精确数据。对使用多波束测深系统进行实际海底地形测绘有一定参考价值。 + +关键词：空间几何贪心思想微分随机森林飞蛾火焰算法多波束测深 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +一份详细的海底地形图可以保障水下船体航行，同时在预测海洋灾害、探测海底资源等方面具有重要作用。测绘海底地形图有多种方法，其中多波束测深系统是一种用于测量海底地形的、承载多传感器的系统。它比单波束测深系统测量范围大、速度快、精度高，特别适合大面积海底地形的勘探。 + +进行探测时，测线产生的相邻条带需要有 $10\% \sim 20\%$ 的重叠率。重叠率过高会导致数据冗余、处理测量结果过程繁琐；重叠率过低会导致漏测。由于在实际探测中，海底地形较为复杂，不能简单地根据海区平均水深设计测线间隔。为了避免重叠率过高或过低的情况、提高探测效率和准确性，需要建立适当的数学模型，来设计合理的测线间隔。 + +# 1.2 需要解决的问题 + +1. 当测线方向垂直的平面与海底坡面的交线面面角为 $\alpha$ 时: + +(1) 建立计算多波束测深的覆盖宽度及相邻条带之间重叠率的数学模型。 +(2) 依据该模型计算表 1 中的各指标值。 + +2. 当待测海域为矩形、测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角为 $\beta$ 时: + +(1) 建立矩形待测海域的计算多波束测深覆盖宽度的模型。 +(2) 依据该计算模型探究表2中所列位置多波束测深的覆盖宽度。 + +3. 当矩形海域南北长 2 海里, 东西宽 4 海里, 深度为 $110 \mathrm{~m}$ , 海底西深东浅时: + +(1) 依据 1、2 中的数据模型, 综合考虑探测效率和准确性, 设计一组测线, 使得测量长度最短、 $\eta \epsilon [10 \%, 20 \%]$ , 且要求测线完全覆盖待测的矩形海域。 + +4. 现有南北长 5 海里、东西宽 4 海里的某海域单波束测量的测深数据: + +(1) 设计多波束测量船的测量布线方案，使得测线形成的条带尽可能覆盖待测海域； $\eta$ 尽可能不超过 $20\%$ ；测线的总长度最短。 +(2) 计算设计出的测线的总长度、漏测海区占总待测海域面积的百分比，以及 $\eta > 20\%$ 部分的总长度。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +题目中给出的重叠率的定义是基于水平状态下的，当海底并不平坦时，坡度会给重叠率的计算带来一定的问题。我们需要将重叠率的计算做出适应非水平海底的修正，以适应海底的复杂地形情况。本题要求我们在海底平面坡度为 $\alpha$ 时分析， + +我们可以根据修正后的定义画出该情景下的几何关系简图。利用这些几何关系，在二维平面上给出给定测线距中心点处的距离时，可以做出海水深度、覆盖宽度、与前一条测线重复率的计算。 + +# 2.2 问题二的分析 + +由第一问所建立的模型可知，当前深度由距初始航线的距离来决定。那么对于问题二的解决，我们需要沿用第一问的模型并对此做出相应扩展。参考问题一的模型，可以得到参数间存在的关系。由于当海底平面为均一平面，测量船的航向确定时，坡度也确定为一定值，因此我们需要从深度与坡度着手来解决关于该矩形待测海域的相关计算，完善问题一中的多波束测深覆盖宽度的数学模型。 + +# 2.3 问题三的分析 + +本题要求在南北长2海里、东西宽4海里的矩形海域内求解一组长度最短，且覆盖全海域的测线方案。这里可以提取出两个信息：测线方案的设计中覆盖面积为全海域、且长度最短是必然要求。基于贪心算法的思想，为使测线的长度最短，需要使得在各处尽可能宽，由此可得到最短测线距离。在取得最优的覆宽以及测线长度的条件下，以重叠率为优化与控制结果的关键指标进行迭代计算。 + +# 2.4 问题四的分析 + +由于单波束测深方法是一种单点连续的测量方法，它沿航迹测得的数据密集，却在测线间没有数据。为了解决测得的数据是离散的问题，需要采用学习模型进行拟合，将离散转为连续，从而做到对任意一点坡面高度、梯度、深度的拟合。为了确定出测量方案，需要从航向的确定和重叠率来考虑，以局部最优解组成总体的最优解。得出测量路径后，还需要统计与计算该方案的测线总长、漏测海域占比与重叠超过 $20\%$ 路线总长。 + +# 三、模型假设 + +1. 多波束测深系统进行海底探测得到的数据真实有效。 +2. 不考虑船体颠簸，只考虑航行路线的规划。 +3. 海平面水平，不考虑潮汐、洋流、风向对此造成的影响。 +4. 海底无鱼群或其他物体的遮挡。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明
L重相邻条带重叠部分的长度
xDi当前深度，i为标号
d'投影后的条带间距
γ当前坡度
Δx测量船距海域中心点处的距离（行进距离）
ri测线路径，i为标号
wi某点的覆盖宽度
S船体行进后完成的总覆盖面积
∇g(xi,yi)点(xi,yi)处的梯度向量
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一模型的建立与求解 + +# 5.1.1 相关概念的说明 + +当处于测线相互平行且海底地形平坦的水平状态下，由题目所给的情景可知，相邻条带之间的重叠率 $\eta$ 被定义为： + +$$ +\eta = 1 - \frac {d}{W} \tag {1} +$$ + +$d$ 为测线间距, $W$ 为测线的覆盖宽度, $D$ 为深度, $L_{\text {重 }}$ 为相邻条带重叠部分的长度。各字母量的几何含义如下图所示: + +![](images/fcdca17173c7a367b9937baebe70860a458081e73836b3fa7a67c57345cc4798.jpg) +图1水平状态下重叠率的定义 + +当海底地形并非平坦时，在后续问题中可能会出现的更为复杂的情景，例如有复杂坡度（问题二、三）或海底存在略微弧度（第四问）的情况： + +![](images/84e74a17f2914ea3f1b6726aab5a63ae6ed216c1fe31ce4235302070025ac76f.jpg) +(1) + +![](images/e9d6174e570ca268843ea74ceb7675f171769c1e432dbd93fc87bb87d94c392c.jpg) +(2) +图2不同坡度的情况 + +在这里，我们假设 $d$ 与 $L_{\text {重}}$ 都为定值，此时若再沿用 $1 - \frac{d}{W}$ 的定义，则图2中①的重叠率与②的重叠率相比，显然有： + +$$ +\eta_ {①} < \eta_ {②} \tag {2} +$$ + +而(2)中的结果是反直觉的，显然可以观察出①中的重叠比例是大的，在这样的情况下，计算出的重叠率将失去意义。这种 $\eta$ 公式的失效可能会在后续规划中造成错误。为了适应不同的情景，我们将 $\eta$ 的定义做出扩展性的解读，并参考相关文献[1]与题目中的场景，给出对重叠率改进后的定义：即重叠率是重叠部分长度与总覆盖长度的比值。 + +$$ +\eta = 1 - \frac {W - L _ {\text {重}}}{W} \tag {3} +$$ + +对于改进后的合理性也可以从这个角度来解释：我们作一条与海底斜坡平行的 $l_{2}$ ，将测线间距 $d$ 以最右侧两测线为平行线投影到 $l_{2}$ 上，并平移至 $l_{1}$ 上。由于此时 $d' = W - L_{\text {重}}$ ，因此与水平状态下计算重叠率的(1)式相比，修正重叠率计算公式做出的改动只是将 $d$ 替换为 $d'$ 。而由于 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行，这一步修正可以消除坡度对重叠率计算的影响。 + +![](images/565a58d82f891fcd54dd86978db1944f94f676a87b303784f05aad4f3be1b8d4.jpg) +图3投影测线间距 + +利用式(3)所示的重叠率计算方法可以有效避免在不同场景下造成的 $\eta$ 失效，在后续计算中我们以该定义为准。 + +# 5.1.2 模型构建 + +依据题意，此时需要我们构建当与测线方向垂直的平面和海底坡面的交线构成一条与水平面夹角为 $\alpha$ 的斜线时的计算模型，并依据该模型，在二维平面上给出给定测线距中心点处的距离时，海水深度、覆盖宽度、与前一条测线重复率的计算。 + +如图，以左侧部分为更深区域，我们给出相关位置简图： + +![](images/e14f6bf9d949547ea496fbba5869179150dc1dd4ffe13272fa69f87d7ca08df1.jpg) +图4 相关位置简图 + +利用图3中的几何关系，我们可以写出表格中相关参数的计算方式。其中AB记为 $\left(\frac{W_i}{2}\right)_\text{左}$ ，BC记为 $\left(\frac{W_i}{2}\right)_\text{右}$ 。 + +海水深度：若 $x_{Dj}$ 已知，参考三角相关的公式，有 + +$$ +x _ {D j} = x _ {D i} + \Delta d \cdot \tan \alpha \tag {4} +$$ + +覆盖宽度：将三角形分割成左右并运用正弦定理，有 + +$$ +\frac {\sin \left(\frac {\pi - \theta}{2} - \alpha\right)}{x _ {D j}} = \frac {\sin \frac {\theta}{2}}{\left(\frac {W _ {i}}{2}\right) _ {\text {左}}} \tag {5} +$$ + +$$ +\frac {\sin \left(\frac {\pi - \theta}{2} + \alpha\right)}{x _ {D i}} = \frac {\sin \left(\frac {\theta}{2}\right)}{\left(\frac {W _ {i}}{2}\right) _ {\text {右}}} \tag {6} +$$ + +$$ +\left(\frac {W _ {i}}{2}\right) _ {\text {左}} + \left(\frac {W _ {i}}{2}\right) _ {\text {右}} = W _ {i \text {总}} \tag {7} +$$ + +解出 + +$$ +W _ {i} = x _ {D i} \cdot \sin \frac {\theta}{2} [ \frac {1}{\sin (\frac {\pi - \theta}{2} + \alpha)} + \frac {1}{\sin (\frac {\pi - \theta}{2} - \alpha)} ] \tag {8} +$$ + +同时，易得覆盖宽度在海平面的投影长度为 $W_{i\text{总}} \cdot \cos \alpha$ 。 + +![](images/6dfdb0ce80971939e7257c689b49ade38ffb0d919c239a8f8192a382381eac0f.jpg) +图5投影位置简图 + +对于此处重叠率 $\eta$ 的计算，我们采取前文中在斜面以及复杂情况下修正后的定义，即将 $d$ 以两条最右侧波束作为一组平行线投影到海底斜面上，那么有 + +$$ +\eta = 1 - \frac {d ^ {\prime}}{W} \tag {9} +$$ + +$$ +d ^ {\prime} = d \cdot \frac {\sin \left(\frac {\pi}{2} - \frac {\theta}{2}\right)}{\sin \left(\frac {\pi}{2} - \alpha + \frac {\theta}{2}\right)} \tag {10} +$$ + +# 5.1.3 模型求解 + +依据前文中所述的计算方法，此时我们可以得到计算所需的相关参数信息，并以此建立二维平面模型，模型计算结果如下表所示： + +表 1 问题一的计算结果 + +
测线距中心点处的距离/m-800-600-400-2000200400600800
海水深度/m90.94985.71280.47475.2377064.76359.52654.28849.051
覆盖宽度/m315.813297.628279.442261.256243.070224.884206.699188.513170.327
与前一条测线的重叠率/%--0.3570.3150.2670.2130.1490.074-0.015-0.124
+ +可以发现最后两条测线出现了漏测，更详细的数值计算结果将在表格文件 result1.xlsx 中展示。 + +# 5.2 问题二模型的建立与求解 + +# 5.2.1 模型的准备 + +从第一问的求解中，我们可以提取出各种可以获取信息的参数。在对于后续问题的求解过程中，有3个重要参数：当前坡度 $\gamma$ ，当前深度 $x_{D}$ ，与当前多波束换能器的开角 $\theta$ 。由第一问所建立的模型可知，当前深度 $x_{D}$ 由距初始航线的距离来决 + +定，所以对于问题二的解决，我们需要沿用第一问的模型并对此做出相应扩展。参考问题一的模型，可以得到参数间存在以下关系： + +![](images/6d7e585c1ecf2eaf3fdc829ba91ab2565b3e47212e4b48d7a30c1335770e6d3a.jpg) +图6相关参数关系 + +在解决该问题情境下的矩形待测海域之前，我们首先需要证明1点：若海底平面为一均一平面，当测量船的航向确定（测线方向）时，其坡度也确定，且坡度为定值。这一点结论的证明过程如下： + +![](images/0817253cec06a201da88a580d03ce92f7f489bf32cd2d86755d8206fd5aa1aa5.jpg) +图7航向坡线关系图 + +假设航向法向为 $\vec{n}_{\text{航}} = (a, b, c)$ ，则其代表了一个以 $\vec{n}_{\text{航}}$ 为法向的平面。由于海平面水平，不难证明该平面与海平面垂直。若海底平面法向为 $\vec{n}_{\text{海}} = (a', b', c')$ ，则坡线为两平面交线，且由克莱默法则可以计算出坡线方向为 $(bc' - b'c, ca' - ac', ab' - ba')$ 。所以当测量船的航向确定（测线方向）时，坡度是唯一确定的，且为定值。 + +基于此，我们决定从深度与坡度着手来解决关于该矩形待测海域的相关计算，并完善多波束测深覆盖宽度的数学模型。考虑下图的情况（这里我们以 $\beta = 135^{\circ}$ 为例）： + +![](images/e9547c358aaeb0435db44d221baca70a966a0fd0a61dc8f6880e6ea890a6ba71.jpg) +图 $8\beta = 135^{\circ}$ 时几何关系图 + +在图 7 中, 我们需要得知当前坡度 $\gamma$ 的值。设某一高度为 $h$ , 那么有 + +$$ +\tan \gamma = \frac {h}{\sqrt {\left(\frac {h}{\tan \alpha}\right) ^ {2} + \left(\frac {h}{\tan \beta \cdot \tan \alpha}\right) ^ {2}}} = \tan \alpha \cdot | \sin \beta | \tag {11} +$$ + +对于深度的计算，可以得到 + +$$ +x _ {D i} = x _ {D \text {初}} - \Delta x \cdot \cos (\pi - \beta) \cdot \tan \alpha \tag {12} +$$ + +将变化后的参数引入第一问，可以求得覆盖宽度 $W_{\text{覆}}$ 的数值 + +$$ +W _ {\text {覆}} = x _ {D} \cdot \sin \frac {\theta}{2} \left(\frac {1}{\sin \frac {\pi - \theta}{2} - \gamma} + \frac {1}{\sin \frac {\pi - \theta}{2} + \gamma}\right) \tag {13} +$$ + +至此，我们已经实现了将第一问的模型升维到第二问的工作。在改变 $\Delta x$ 与 $\beta$ 的情况下，可以实现对特定参数的数值计算。 + +# 5.2.2 模型的求解 + +上文中，我们建立了在不同 $\Delta x$ 与 $\beta$ 的数值下，计算多波束测深的覆盖宽度的数学模型，求解的结果以保留小数点后三位的形式放在如下表格中，由于篇幅问题，更详细的数值将在表格文件 result2.xlsx 中呈现。 + +表 2 问题二的计算结果 + +
覆盖宽度/m测量船距海域中心点处的距离/海里
00.30.60.91.21.51.82.1
测线方向夹角/°0415.692466.091516.490566.889617.288667.687718.085768.484
45416.192451.872487.552523.232558.912594.592630.273665.953
90416.692416.692416.692416.692416.692416.692416.692416.692
135416.192380.511344.831309.151273.471237.791202.110116.430
180415.692365.293314.895264.496214.097163.698113.29962.900
225416.192380.511344.831309.151273.471237.791202.110116.430
270416.692416.692416.692416.692416.692416.692416.692416.692
315416.192451.872487.552523.232558.912594.592630.273665.953
+ +通过观察求解结果，可以发现以下规律：(1)在同一点不同航向会使覆盖宽度产生较大变化。(2)在不同深浅的水域中覆盖宽度变化较大，直线行驶时产生的轨迹为类三角（锥）形，并不均匀。(3)经过检验，在参数一致的情况下该模型与第一问建立的模型得出了相同的结果，验证了模型的正确性。 + +# 5.3 问题三模型的建立与求解： + +# 5.3.1 问题分析 + +这个问题中，需要我们在南北长2海里、东西宽4海里的矩形海域内求解一组长度最短，且覆盖全海域的测线方案。这里可以提取出两个重要信息：对于测线方案的设计来说，覆盖整个海域面积和长度最短是必然要求。假设在每处其行进微小的距离为 $\Delta x$ ，在该处的覆盖宽度为 $w_{i}$ ，那么有 $w_{i} = f(\gamma ,x_{Di})$ ，则船体行进完成后总的覆盖面积S为 + +$$ +S = \int w _ {i} \Delta x \tag {14} +$$ + +为了满足题干要求，该面积要覆盖整个海域面积。 + +在第二问的最后一部分结果分析中，我们提到了在不同深度、不同角度下，覆盖宽度 $w_{i}$ 也不同。基于贪心算法的思想，为使测线的长度 $\Delta x$ 最短，需要使得 $w_{i}$ 在各处尽可能宽。由此可得到最短测线距离。 + +下面我们对不同深度下不同角度的 $w_{i}$ 均做出计算，并且可视化出了较深处与较浅处的结果用作说明： + +![](images/a617ef7210ccd17cbb8c0f3fef60c9bc777e8d7e2cb7dd2888cf8cc9f04f08a0.jpg) +图9较浅较深情况（左）与单独抽取的圆锥结构（右） + +![](images/634f915883ba9c9fc317bd76db6d46a8b65ae71801d9f7aabee082b2ec1606bf.jpg) + +由图可看出，不同坡度下，无论大小，总是在方向为 $\frac{\pi}{2} + n\pi$ 的地方取得最高值，此时是与其等高线共线的情况。如果单独抽取出该结构，将不同的方向模拟为一个圆锥，而坡面模拟为一个斜切的面，此时由几何知识可知，该切面为椭圆。而当 $W$ 的长度为其长轴时为最大，这也就是之前航向与等高线平行的原因。 + +由图同时可以观察到，无论是左图中的较浅情况还是右图中所示的较深情况，均于测线方向在 $90^{\circ}$ 与 $270^{\circ}$ 时取得最优的覆盖宽度。而这个方向恰巧是与各点梯度向量垂直的方向。也就是当沿图10所示方向的情况下，各处可以取得最优的覆宽以及测线长度： + +![](images/f24935bd7563d3ef2612ae50d335a4339918822dc5471a4810dc1d641ea5245e.jpg) +图10最优方向 + +![](images/ad9cc239b218172361abcc0f28e21ab847de25ba5669a198f7b7d6057e3888f9.jpg) +图11测线方案问题简化图 + +在确定了每条航线的方向后，该问题就演变成在图11所示平面中合理安排测线方案的问题。 + +# 5.3.2 模型建立 + +为了保证数据的准确性和处理的简单性，重叠率的范围有一定要求。在题目重叠率 $\eta \in [10\%, 20\%]$ 的要求下，我们给出以下计算步骤。其中“重复”的步骤指的是以 $\eta$ 为优化与控制结果的关键指标进行迭代计算。 + +![](images/c6a7b052e9df25ed65cb469f1c6c402244e2feb424af52fe38298bbcdbb7ed3e.jpg) +图12 计算流程图 + +在已知边界深度的计算下，第一条测线的计算方法如下： + +由 $x_{D\text{初}}$ 、 $\alpha$ 得 + +$$ +\left(x _ {D \text {初}} - \Delta r \cdot \tan \alpha\right) \cdot \sin \frac {\theta}{2} \cdot \cos \alpha = x \cdot \sin \left(\frac {\pi - \theta}{2} - \alpha\right) \tag {15} +$$ + +$$ +\Delta r = \frac {\cos \alpha \cdot x _ {D \text {初}} \cdot \sin \frac {\theta}{2}}{\sin \left(\frac {\pi - \theta}{2} - \alpha\right) + \sin \alpha \cdot \sin \frac {\theta}{2}} \tag {16} +$$ + +$$ +x _ {D 1} = x _ {D \text {初}} - \Delta r \cdot \tan \alpha \tag {17} +$$ + +其中 $\Delta r$ 为第一条测线距边界得距离, $x_{D}$ 为其测线深度。同时, 在相邻测线之间还具有以下关系: + +$$ +\left(\frac {w _ {i}}{2}\right) _ {\text {左}} + \left(\frac {w _ {i}}{2}\right) _ {\text {右}} - \Delta d = L _ {\text {重}} \tag {18} +$$ + +$$ +\frac {L _ {\text {重}}}{w _ {i}} = \eta \tag {19} +$$ + +参考一、二问中建立的计算宽度的模型，并结合上几式易得 + +$$ +\frac {x _ {D i - 1} \cdot \sin \frac {\theta}{2}}{A} + \frac {x _ {D i} \cdot \sin \frac {\theta}{2}}{B} - \frac {x _ {D i - 1} - x _ {D i}}{\tan \alpha} = \eta \cdot x _ {D i} \cdot \sin \frac {\theta}{2} \left(\frac {1}{A} + \frac {1}{B}\right) \tag {20} +$$ + +将式(20)化简，那么有 + +$$ +x _ {D i} = x _ {D i - 1} \frac {\frac {\sin \frac {\theta}{2}}{A} - \frac {1}{\tan \alpha}}{\eta \cdot \sin \frac {\theta}{2} \left(\frac {1}{A} + \frac {1}{B}\right) - \frac {\sin \frac {\theta}{2}}{B} - \frac {1}{\tan \alpha}} \tag {21} +$$ + +式(21)即为以前一条测线深度推出后一条测线深度的递推公式。其中 $x_{Di}$ 为待计算深度， $x_{Di-1}$ 为前一已知深度。其中， $A = \sin\left(\frac{\pi - \theta}{2} + \alpha\right)$ ， $B = \sin\left(\frac{\pi - \theta}{2} - \alpha\right)$ 。 + +由于在前文的流程中未确定从较浅处开始迭代还是较深处开始迭代，因此本组对两种情况都做出了计算。我们发现当选择从较深处开始迭代时，最后多测的面积（即超出待测海域的面积）要小于从最浅处开始迭代多测的面积。推测产生此现象的原因，可能是浅处测线覆盖宽度较小、密度较大，所以并不会重复测得很多面积。 + +在以不同重叠率为横坐标、测线数量为纵坐标的图13（左）中，我们不难看出测线数量呈阶梯状比例，最小为34个，最多为38个。这样的结果符合重叠越少，测线越少的直观感受。 + +![](images/f777252955a2308b5a58aa24598bfc5f82ca10d634489390927451f6eb1228fd.jpg) +图13 不同重叠率与测线数量关系（左）与测线位置（右） + +![](images/2f7e6be26841ebc9726fbac748ff0662512164c70f549afa54b83296efe9e83b.jpg) + +同时，我们对当测线数量最少的情况下， $\eta \in [10\%, 12.2\%]$ 测线的具体位置进行了可视化处理，在图13（右）中，横坐标为距初始点距离，纵坐标为测线的垂直深度。可以观察到在垂直深度较深处分布稀疏，而在较浅处分布较为密集。 + +我们以 $\operatorname{Max}(W_i)$ ， $\operatorname{Min}(number(r_i))$ 为优化目标，找出了理想的测线数量。在这里给出了平行的测线方位与位置（见附件）。我们还需要将这些平行测线以“以”字形方式连接起来，连接后便得到了一条完整路径，见图。 + +![](images/f6c52f4ccd4a364f69e8faa621d047868c70b4d4d3db287efd85812af55f33ca.jpg) +图14 连接后的路径 + +# 5.4 问题四的求解 + +# 5.4.1 数据初步处理及可视化 + +在文件附件.xlsx中展示了某海域单波束测量的测深深度数据，该海域范围较大，且数据单位不统一，因此坐标点显得较为稀疏。为了更直观地呈现附件中的数据，并对问题做出初步的分析，我们首先采用分段三次埃尔米特插值对数据进行差值扩充与可视化： + +![](images/f64114e1fa0d85482bdec355d2cdd2777d465d9215539ec5fb97dfae13bdfa57.jpg) +图15 海底深度三维图（左）与等深线地形图（右） + +![](images/9b2cc0587fe058b33c1f0fd4b8fd54cd3c8627765d509bd0f020362ca1ec73bf.jpg) + +在图15中可以观察到，海域大概是从(0,0)点向周围下降，根据图15（右）所示的等深线地形图来看，在右下角的位置达到最深，在右上角线条稀疏，形成了一个较为平缓的鞍部。 + +由于给出的数据是有一定间隔的离散点。在路径优化的时候无法得到任一坐标的相关数据，要克服这一问题的一种方法是插入足够多的数值，用离散的点代替平滑图像。但这种方法在后续计算中有一定缺点：(1)精度较低。(2)由于某些点的缺失导致计算失效。(3)误差累积，致使结果误差很大。(4)数据量过于庞大，使 + +用复杂，计算困难，耗时较长。 + +针对上述问题，经过思考，我们决定采用大型学习模型进行拟合。也就是将已有点的数据作为训练集，建立一个用于辅助计算的机器学习模型，这样，我们给定坐标后，便可以给出精确的数据。使用这种方法将离散转为连续，能够大大提高计算的精确度和便利性。 + +为此，我们尝试了线性回归、支持向量机、随机森林等多种模型，并以拟合接近度 $R^2$ 进行评估，最终发现随机森林模型与原数据拟合度可以达到 $99.999\%$ ，几乎能完全拟合原数据。因此，我们选择训练该模型并作为后续数据的支撑。拟合效果如下： + +![](images/960ad3fa6ea64da61aaf72a1a5b15be1a170907eedd7885ef68461494c06baa4.jpg) +图16 海底深度三维图（左）与模型拟合效果图（右） + +![](images/8cc13890d677e44d14fcceafa4b516d2d93359c0724437f0334db050b505e3d9.jpg) + +基于该模型，同样可以做到对任意一点深度，梯度的拟合，进而计算出每个点的坡度，因此我们对前面部分的某些概念做出优化： + +设有一点 $(x_{i},y_{i})$ ，则该点 + +$$ +\text {梯 度 单 位 向 量 (最 大 坡 度 向 量)}: \vec {g} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) +$$ + +$$ +\text {在 该 梯 度 上 的 坡 度 ：} \alpha \left(x _ {i}, y _ {i}\right) +$$ + +$$ +\text {在 该 点 深 度 ：} x _ {D} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) +$$ + +$$ +\text {在 该 点 探 测 区 域 宽 度 :} w \left(x _ {i}, y _ {i}\right) +$$ + +至此，我们完成了相关数据的准备工作。 + +# 5.4.2 问题分析 + +基于前面几个问题的研究，我们可以明确以下信息： + +$$ +\text {目 的 优 化} \left\{ \begin{array}{l} \min \left(L _ {\text {总}}\right) \\ \min \left(S _ {\text {测}} - S\right) \end{array} \right. \tag {22} +$$ + +则有 + +$$ +\left\{\begin{array}{l}\min \left(L _ {\text {总}}\right)\\\min \left(S _ {\text {测}} - S\right)\rightarrow \max \left(w \left(x _ {i}, y _ {i}\right)\right)\rightarrow \text {最 佳 航 线 方 向}\end{array}\right. \tag {23} +$$ + +找到每一处的最大覆盖宽度是解决问题的关键，这同样也关系到确定航向的问题。为了贴合题目中的要求，需要分别从航向的确定和重叠率来考虑。 + +关于航向的确定，在第三问结尾的相关探索部分已经有所说明：沿等高方向 + +行驶会获得最大覆宽 $w$ 。曲面情况下也需要考虑，因此我们做出了下图中的模拟： + +![](images/2d47d3e9c11bc5f007f1dde3cc565a035248dc258ee859c5f402c425001f86a2.jpg) +图17曲面截取圆锥的截面图 + +![](images/bcc94de3a237757392f1ea536fec5f4c84aca1719e7191ef7369b810558c6ec6.jpg) + +在上图中，我们用圆锥模拟不同方向，用两类斜面去截圆锥，从其在水平面的投影来寻找最优的 $w_{i}$ ，可以看出它们的投影为类椭圆，总体仍然以长轴（即沿梯度为开角方向）取最大，但在极端情况下，可能会出现右侧中长轴变短的情况，不过该地形在本题地图中并未出现，且也可近似认为其类长轴为最宽处。 + +关于重叠率，本题并未给出前几问中那样精确的范围，只需要不超过 $20\%$ 参考题干中的“为保证测量的便利性和数据的完整性，相邻条带之间应有 $10\% \sim 20\%$ 的重叠率”，我们以此作为标准。 + +对于开角的确定，题目中并未给出数值上的参考。我们对开角 $\theta$ 在 $\pm 30^{\circ}$ 内进行了覆宽变化的探究。在深度为70的情况下，做出如下三维图。 + +![](images/940c0c1f307079f50614486622fc6607b1a5942881a9c82b519b771041b605d1.jpg) +图18 不同张角和坡度下最大覆宽变化图 + +可以看出，在开角变大，坡度变大的情况下，测宽显著变大，在地形较倾斜范围海域造成误差，因此开角的选择应根据地形进行合理的制定。开角变小会让测量宽度变小而使航线变密集，航线的分布也会产生微小变化。在本题仍以 $\theta = 120^{\circ}$ 为标准。 + +# 5.4.3 模型建立 + +本题实际上是一个特殊的优化问题，其总体的最优解总是由局部最优解组成。 + +基于前文航向对 $w$ 大小的探究，其航向需要与其梯度方向垂直（或与等高线相切）。针对这个过程，本文查阅到一个很符合该题的群体智能算法“飞蛾火焰算法”[2][4]，同时基于贪心思想和微分思想，并结合第三问，修改了该算法的螺旋函数与适应函数的确定方式，形成自适应的“飞蛾火焰”算法。 + +![](images/b6d46bbba3e715b84a05fc49e259ad1e6a59e7ad5bb8bc3dc2029d672427cace.jpg) +图19 航线图示说明（左）航线运行方向及覆盖示意图（右） + +![](images/ab56ce6d358323e7c1145ab8da72191624e9a8747c7433b6c764eb5fc6f0c56f.jpg) + +假设有如图所示的航线，并有正在探索的航线 $l_{2}$ ，本组做出以下调整： + +# (1) 自适应火源调整方案 + +该火源存在的本意是为了让搜索粒子与火源位置保持一定角度，但本题地形复杂，因此采用随机森林预测出的梯度 $\nabla \vec{g}(x_i, y_i)$ 和一个与 $\nabla \vec{g}(x_i, y_i)$ 正交的单位向量来作为测线方向的自调整的角度。 + +# (2) 地图微分化: + +由于地图范围非常大，而探索船每次探测的部分占比很小，因此我们采用微分思想，将每一点 $(x_{i},y_{i})$ 处的区域认为是与题三中平坦的情形，并采用 $(x_{i},y_{i})$ 处的 $w$ 、 $\alpha$ 、 $g$ 作为整个小区域的数据，对于相邻区域内的另一点 $(x_{j},y_{j})$ 满足： + +$$ +\alpha \left(x _ {i}, y _ {i}\right) = \alpha \left(x _ {j}, y _ {j}\right) \tag {24-1} +$$ + +$$ +\nabla \vec {g} (x _ {i}, y _ {i}) = \nabla \vec {g} (x _ {j}, y _ {j}) \tag {24-2} +$$ + +$$ +x _ {D} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) = x _ {D} \left(x _ {j}, y _ {j}\right) \tag {24-3} +$$ + +# (3) 适应度函数： + +适应度函数是我们需要满足与优化的函数，这里主要是相邻覆盖度，示意图中，在 $l_{2}$ 路线向前探索时不仅要考虑与 $\nabla \vec{g}(x_{i}, y_{i})$ 垂直的方向来保证每处最大的 $w_{max}(x_{i}, y_{i})$ ，还需要考虑相邻（ $l_{1}$ 对 $l_{2}$ ）产生的重叠区域。因此本组在算法寻找最短路径时，设定一个量 $\eta(x_{i}, y_{i})$ 。 + +计算方式如下：图示情况中 $(x_{i},y_{i})$ 为要搜索的点， $(x_{j},y_{j})$ 为相邻已确定的点，且 $l_{2}$ 深度更深。则 + +$$ +L _ {\text {重}} = \frac {x _ {D} \left(x _ {i} , y _ {i}\right) \cdot \sin \frac {\theta}{2}}{\sin \left[ \frac {\pi - \theta}{2} + \alpha \left(x _ {i} , y _ {i}\right) \right]} + \frac {x _ {D} \left(x _ {i} , y _ {i}\right) \cdot \sin \frac {\theta}{2}}{\sin \left[ \frac {\pi - \theta}{2} - \alpha \left(x _ {i} , y _ {i}\right) \right]} - \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2}} \cdot \cos \alpha \left(x _ {i}, y _ {i}\right) \tag {24} +$$ + +$$ +\frac {L _ {\text {重}}}{w \left(x _ {i} , y _ {i}\right)} = \eta \left(x _ {i}, y _ {i}\right) \tag {25} +$$ + +$$ +w \left(x _ {i}, y _ {i}\right) = x _ {D} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) \cdot \sin \frac {\theta}{2} \left(\frac {1}{\sin \left[ \frac {\pi - \theta}{2} + \alpha \left(x _ {i} , y _ {i}\right) \right]} + \frac {1}{\sin \left[ \frac {\pi - \theta}{2} - \alpha \left(x _ {i} , y _ {i}\right) \right]}\right) \tag {26} +$$ + +该式与第三问的计算结构类似，由于本题地形更加起伏，所以其中坡度、梯度等数据均随位置改变，并由训练出的随机森林数据模型提供。 + +位置更新： + +在计算重叠率时，以沿梯度向上（下）的临近点作为参照，所以我们的算法保存住其沿梯度 $\nabla g(x_{i},y_{i})$ 上的最近点。 + +![](images/763b41bcd9c3eb905eb294e7fde02c6f186eb561840d9a4eeb9ca1af72552852.jpg) +图20最近点图示 + +如图，由于梯度垂直其等高线，那么 $(x_{j},y_{j})$ 一定是最近点。在搜索完一路后，我们以梯度作为方向，让粒子跃迁到下一路。并且有 + +$$ +x _ {D i} = x _ {D i - 1} \frac {\frac {\sin \frac {\theta}{2}}{A} - \frac {1}{\tan \alpha \left(x _ {i - 1} , y _ {i - 1}\right)}}{\eta \cdot \sin \frac {\theta}{2} \left(\frac {1}{A} + \frac {1}{B}\right) - \frac {\sin \frac {\theta}{2}}{B} - \frac {1}{\tan \alpha \left(x _ {i - 1} , y _ {i - 1}\right)}} \tag {27} +$$ + +$$ +x _ {i} = x _ {i - 1} + \frac {\nabla \vec {g} \left(x _ {i - 1} , y _ {i - 1}\right)}{\left| \nabla \vec {g} \left(x _ {i - 1} , y _ {i - 1}\right) \right|} \cdot (1, 0) \cdot \frac {x _ {D i} - x _ {D i - 1}}{\tan \alpha \left(x _ {i - 1} , y _ {i - 1}\right)} \tag {28} +$$ + +$$ +y _ {i} = y _ {i - 1} + \frac {\nabla \vec {g} \left(x _ {i - 1} , y _ {i - 1}\right)}{\left| \nabla \vec {g} \left(x _ {i - 1} , y _ {i - 1}\right) \right|} \cdot (0, 1) \cdot \frac {x _ {D i} - x _ {D i - 1}}{\tan \alpha \left(x _ {i - 1} , y _ {i - 1}\right)} \tag {29} +$$ + +其中， $A = \sin [\frac{\pi - \theta}{2} +\alpha (x_{i - 1},y_{i - 1})]$ ， $B = \sin [\frac{\pi - \theta}{2} -\alpha (x_{i - 1},y_{i - 1})]$ 。上式是其跃迁的迭代公式。 + +# 5.4.4 模型的应用及求解 + +基于上述已建模型，我们对航线的计算流程如下： + +![](images/864f76dc9fb327c286a71cd8ff1259608c340a97633a8940ff9cc82fbea69d8f.jpg) +图21 航线计算流程图示 + +经过初步尝试，发现不同起始线最后以固定 $\eta$ 探索出来的路径不同，且在某些区域存在漏测和鲁棒性较差等问题，可用性较差： + +![](images/7b5199119a28bd879b5cc47541fb6e880ba90efd8edb31539149aa7d6f8010d7.jpg) +图22 初步探索路径 + +![](images/f8f41bf73e0a093c6954dd6467ed7dc58c5948df321641eefec9043198cb3abe.jpg) + +这是由于区域参数不同造成的，针对该问题，我们首先考虑到的是分区进行规划，参考等高线，将地图分成了下面几个区域，并适当改进探索步长，参数计算等算法： + +![](images/01de03fec9e1f7fa09751f3e4a77c36be750714ebd12f3cac30798ba6aa851d0.jpg) +图23 地区划分 + +在每个区域内部，走势较为统一，但某些区内，由于区域内浅且坡度平缓（I，II区域）存在随机搜索复杂度较高的情况，于是我们将这类区域单独拿出来进行拟合，得到最终结果。同时，对于不同的初始线，本组也做了相关统计，并最终选择总路线最短的一组作为出实现来作为最佳初始线分布。最终我们综合算法自探索的路线和我们处理的路线得到了所有测线，船只仍可按“己”字形遍历所有 + +测线（如下图）。 + +![](images/6ca0207956e8e11c113312a433f53e4d76aba188e8531c52824bf8bb3b6b998a.jpg) +图24路径规划示意图 + +(注: 左下角圆形区域的曲线仅供位置上参考, 具体条数见下表) + +由于图线过于密集，数量较多，图像提供大概位置示意，具体的位置，已在附件里以散点数据的形式呈现 + +基于积分的思想，我们用下列式子得到总长和覆盖面积，并对其他值进行计算： + +$$ +S ^ {\prime} = \sum_ {i = 1} ^ {n} w \left(x _ {i}, y _ {i}\right) \cdot \Delta L \tag {30} +$$ + +$$ +L _ {\text {总}} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {i - 1}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {i - 1}\right) ^ {2}} \tag {31} +$$ + +并给出了我们每个分区的路线相关数据与统计分析数据（如下表）。由于测线之间有 $10\%$ 重叠率，所以有效覆盖面积为68567951，占总海洋面积68598080的 $99.956\%$ 。 + +表 3 分区计算结果 + +
分区测线长度覆盖面积测线条数
Ⅰ29228100003
Ⅱ49074374000022
Ⅲ1289301355257228
Ⅳ1647243091343924
V54820183191299
Ⅵ2997478094275
Ⅶ421810420463
总和4346627618661394
+ +由于测线之间有 $10\%$ 重叠率，所以有效覆盖面积为68567951，占总海洋面积68598080的 $99.956\%$ 。 + +相关指标的计算如下表： + +表 4 相关指标计算结果 + +
测线的总长度漏测海区所占百分比重叠率超过 20% 部分的总长度
4346620.04%21998
+ +对于该路线，是在 $\eta = 10\%$ 的情况下给出的最短距离，我们尝试了计算之后，当 $\eta = 0\%$ 其路线总长最短，大概为 $\eta = 10\%$ 情形下的总长的 $90\%$ ，这也符合其数学原理。 + +如果测量船需走连续的路线或回到最开始的原位置，还可以参考相关汉密尔顿图和欧拉路径的布置方式对路线进行规划。 + +# 六、模型的评价 + +# 6.1 模型的优点 + +1. 对于覆盖宽度等等信息给出了确切的公式，计算精准。 +2. 采用学习类模型来处理数据，方便了后续的计算的进行，同时增加了精度 +3. 融合并改进了相关算法，并分类解决，更加贴近问题，并能给出较好的解 + +# 6.2 模型的缺点 + +1. 在最后路线的运算中我们只是抽一些点来进行，但运算量已经较大，要想获得更高精度的结果可能需要的时间较长。 +2. 划分区域解决问题后，在不同区域交汇处需要二次处理。 + +# 6.3 模型的推广 + +该模型可以优化高度为目标更换高度，开角也可切换为更多情况，可用于建筑扫描，无人机地形扫描等多种情况，具有较多的可用空间。 + +# 七、参考文献 + +[1]. GB/T 12763.10-2007 海洋调查规范[S].第10部分:海底地形地貌调查 +[2]. 徐炜翔, 朱志宇. 基于飞蛾火焰算法的 AUV 三维全局路径规划. 上海理工大学学报, 2021, 43(2): 148-155. +[3]. 陆丹, 李海森, 魏玉阔, 邓平. 多波束测深系统中的海底地形可视化技术研究[A]. 仪器仪表学报, 2012.2 +[4]. 王智慧，代永强，刘欢.基于自适应飞蛾扑火优化算法的三维路径规划[A].计算机应用研究.2023.1 + +# 附录 + +# 附录材料目录： + +# 1. 处理过的部分数据 + +# 2. 代码部分 + +pc 第二问.py +第三问(1).py +第三问(2).py +第三问(3).py +第三问(4).py +第三问(5)张角与坡度.py +第四问(1)拟合函数.py +第四问(2)梯度.py +第四问(3)插值.py +第四问(4).py +第四问(5).py +第四问(6).py +第四问(7).py +第四问(8).py +第四问(9).py +PS 第一问(1).py + +# 代码部分： + +第一问： + +```txt +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. # 初始化参数 +4. D_0 = 70 +5. theta = 120 +6. alpha = 1.5 +7. d = 200 +8. d = d*np.sin(np radians(90-theta/2))/np.sin(np radians(90-alpha+theta/2)) +9. distances = np.array([-800, -600, -400, -200, 0, 200, 400, 600, 800]) +10. D = D_0 - distances * np.tan(np radians(alpha)) +11. +12. print(D) +13. +14. W=D*np.sin(np radians(theta/2))* (1/np.sin(np radians((180-theta)/2+alpha)) +1/np.sin(np radians((180-theta)/2-alfa))) +15. print(W) +16. n=1-d/W +17. print(n) +18. # 创建DataFrame 用于保存结果 +19. df = pd.DataFrame{'测线距中心点处的距离/m': distances}) +``` + +第二问： +第三问： +```python +20. df['海水深度/m'] = D +21. df['覆盖宽度/m'] = W +22. df['与前一条测线的重叠率/%'] = n +23. # # 将 DataFrame 保存为 Excel 文件 +24. # path=r'C:\Users\PC\Desktop\res1.xlsx' +25. # df.to_excel(path, index=False) +二问: +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. def get_width(B): +4. # 初始化参数 +5. D_0 = 120 # 海底深度（单位：m） +6. alpha = 1.5 # 坡度（单位：度） +7. D = D_0 - distances * np.tan(np radians(alpha)) * np.cos(np radians(180 - B)) +8. theta = 120 # 换能器的开角（单位：度） +9. alpha = np.arange(abs(np.sin(np radians(B))) * np.tan(np radians(alpha))) +*180/np.pi +10. print(D) +11. W = D * np.sin(np radians(theta / 2)) * +12. 1 / np.sin(np radians((180 - theta) / 2 + alpha)) + 1 / np.sin(np radians((180 - theta) / 2 - alpha))) +13. print(W) +14. return W +15. distances = np.array([0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2, 1.5, 1.8, 2.1]) +16. distances = distances * 1852 +17. print(distances) +18. +19. angle=[0,45,90,135,180,225,270,315] +20. W=[[] +21. for i in angle: +22. W.append(get_width(i)) +23. +24. # 将 DataFrame 保存为 Excel 文件 +25. path=r'C:\Users\PC\Desktop\res2.xlsx' +26. pd.DataFrame(W).to_excel(path, index=False) +``` + +(1). +```python +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示中文 +5. def get_width(B, D, 0): +6. #初始化参数 +7. alpha = 1.5 #坡度（单位：度） +8. +9. D = D_0 +10. theta = 120 #换能器的开角（单位：度） +11. alpha= np.arange(abs(np.sin(np radians(B))) * np.tan(np radians(alpha))) +*180/np.pi +``` + +12. +13. print(D) +14. +15. $W = D$ np.sin(np radians(theta / 2)) \* ( +16. 1 / np.sin(np radians((180 - theta) / 2 + alpha)) + 1 / np. sin(np radians((180 - theta) / 2 - alpha))) +17. +18. print(W) +19. return W +20. +21. angle=np.linspace(0,360,360) +22. W=] +23. for i in angle: +24. W.append(get_width(i,150)) +25. +26. print(W) +27. plt.plot(angle,W) +28. +29. pltscatter(90,W[89],color $\equiv$ 'r') +30. pltscatter(270,W[269],color $\equiv$ 'r') +31. plt.text(90,W[89],{'{}，{}').format(90,W[89])) +32. plt.text(270,W[269], {'{}，{}').format(270,W[269])) +33. +34. angle=np.linspace(0,360,360) +35. W=[] +36. for i in angle: +37. W.append(get_width(i,149.5)) +38. +39. print(W) +40. plt.plot(angle,W) +41. +42. pltscatter(90,W[89],color $\equiv$ 'r') +43. pltscatter(270,W[269],color $\equiv$ 'r') +44. plt.text(90,W[89],{'{}，{}').format(90,W[89])) +45. plt.text(270,W[269], {'{}，{}').format(270,W[269])) +46. +47. plt.xlabel("不同角度") +48. pltylabel("覆盖宽度") +49. plt.show() +1 import pandas as pd +2 import numpy as np +3 import matplotlib.pyplot as plt +4 plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示中文 +5. +6 def sin(a): +7 return np.sin(np radians(a)) +8 def cos(a): +9 return np.cos(np radians(a)) +10 def tan(a): +11 return np.tan(np radians(a)) + +12. +13. angle $\equiv$ np.linspace(0,360,360) +14. low $= 110 - 2^{*}1852^{*}$ np.tan(np radians(1.5)) +15. high $= 110 + 2^{*}1852^{*}$ np.tan(np radians(1.5)) +16. +17. alpha $= 1.5$ #坡度（单位：度） +18. theta $= 120$ #换能器的开角（单位：度） +19. +20. n $\equiv$ np.linspace(0.1,0.2,100) +21. cnt=[] +22. for i in n: +23. $x = \sin (\mathrm{theta / 2})\ast \cos (\mathrm{alpha})\ast \mathrm{high / (sin(90 - theta / 2 - alpha)}$ +sin(alpha)\*sin(theta/2)) +24. $x = \mathrm{high - x * tan(alpha)}$ +25.print(x) +26. ans $=$ [] +27. ans.append(x) +28. A $=$ sin(90-theta/2+alpha) +29. B $=$ sin(90-theta/2- $\mathbf{\bar{a}}$ -alpha) +30.C $=$ sin(theta/2)/A-1/tan(alpha) +31. D $=$ i\*sin(theta/2)\* $(1 / A + 1 / B)$ -sin(theta/2)/B-1/t an(alpha) +32. +33. while True: +34. $x = x^{\star}C / D$ +35.if $x < 1$ low: +36 break +37. ans.append(x) +38. +39.#print(len(ans)) +40. cnt.append(len(ans)) +41.#print(ans[-1]) +42. +43.n $\equiv$ np.array(n) +44.print(n) +45.print(cnt) +46.plt.plot(n,cnt,color $\coloneqq '\mathbb{R}'$ ） +47.plt.xlabel("不同重复率") +48.plt.ylabel("测线总数") +49. +50.plt.show() +1 import pandas as pd +2 import numpy as np +3 import matplotlib.pyplot as plt +4 plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']#显示中文 +5. +6.def sin(a): +7. return np.sin(np radians(a)) +8. def cos(a): +9. return np.cos(np radians(a)) + +```python +10. def tan(a): +11. return np.tan(np radians(a)) +12. def get_Wleft(D): +13. return D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2-alpha) +14. +15. +16. angle=np.linspace(0,360,360) +17. low=110-2*1852*np.tan(np radians(1.5)) +18. high=110+2*1852*np.tan(np radians(1.5)) +19. +20. alpha = 1.5 # 坡度（单位：度） +21. theta = 120 # 换能器的开角（单位：度） +22. +23. n=0.1 +24. cnt=[[] +25. x = sin(theta / 2) * cos(alpha) * high / (sin(90 - theta / 2 - alpha) + s in(alpha) * sin(theta / 2)) +26. x = high - x * tan(alpha) +27. print(x) +28. ans = [] +29. ans.append(x) +30. A = sin(90 - theta / 2 + alpha) +31. B = sin(90 - theta / 2 - alpha) +32. C = sin(theta / 2) / A - 1 / tan(alpha) +33. D = n * sin(theta / 2) * (1 / A + 1 / B) - sin(theta / 2) / B - 1 / tan(a lpha) +34. +35. while True: +36. x = x * C / D +37. if x < low: +38. break +39. ans.append(x) +40. +41. # print(len(ans)) +42. # print(ans[-1]) +43. index=np.arange(len(ans)) +44. ans=np.array(ans) +45. dis=[] +46. for i in range(len(ans)-1): +47. dis.append((ans[i]-ans[i+1])/tan(alpha)) +48. for i in range(len(dis)-1): +49. dis[i+1]+=dis[i] +50. +51. +52. # pltscatter(index,ans,color='g') +53. # plt.xlabel("测线编号") +54. # pltylabel("水深") +55. # plt.show() +56. print(dis) +57. dis.insert(0,0) +58. dis=np.array(dis)/1852 +``` + +(4). + +59. $y = np$ .zeros(len(dis)) +60. # plt.scanber(dis,y,marker $\equiv$ x's=10) +61. p1t.xlabel("各测线的水平位置") +62. pltylim(-1.2,1.2) +63. plt;yTicks(alpha=0) +64. plt.tick_parameters(axis='y', width=0) +65. $y = np$ .linspace(-1,1,10000) +66. for i in range(len(dis)-1): +67. $x = np$ .full((1,10000),dis[i]) +68. pltscatter(x,y,s=0.0001,color='c') +69. tx=np.linspace(dis[i],dis[i+1],1000) +70. if i %2==0: +71. ty = 1 +72. else: +73. ty=-1 +74. ty = np.full((1, 1000), ty) +75. pltscatter(tx,ty,s=0.0001,color $\equiv$ c') +76. $x = np$ .full((1,10000),dis[-1]) +77. pltscatter(x,y,s=0.0001,color='c') +78. plt.show() +79. path=r'C:\Users\PC\Desktop\距离.x1sx' +80. +81. +82. # pd.DataFrame(dis).to_excel(path) +83. # path=r'C:\Users\PC\Desktop\水深.xlsx' +84. # # pd.DataFrame(ans).to_excel(path) + +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示中文 +5. +6. def sin(a): +7. return np.sin(np radians(a)) +8. def cos(a): +9. return np.cos(np radians(a)) +10. def tan(a): +11. return np.tan(np radians(a)) +12. def get_Wleft(D): +13. return D\*sin(theta/2)/sin(90-theta/2-alpha) +14. def get_WRight(D): +15. return D\*sin(theta/2)/sin(90-theta/2+alpha) +16. +17. angle=np.linspace(0,360,360) +18. low=110-2*1852*np.tan(np radians(1.5)) +19. high=110+2*1852*np.tan(np radians(1.5)) +20. +21. alpha = 1.5 # 坡度（单位：度） +22. theta = 120 # 换能器的开角（单位：度） +23. +24. $n = 0.1$ + +```python +25. cnt=[] +26. x = sin(theta / 2) * cos(alpha) * high / (sin(90 - theta / 2 - alpha) + s +in(alpha) * sin(theta / 2)) +27. x = high - x * tan(alpha) +28. print(x) +29. ans = [] +30. ans.append(x) +31. +32. while True: +33. high = x - (get_WRight(x) - (get_WRight(x) + get_Wleft(x)) * n) * sin(alpha) +34. x = sin(theta / 2) * cos(alpha) * high / (sin(90 - theta / 2 - alpha) ++ sin(alpha) * sin(theta / 2)) +35. x = high - x * tan(alpha) +36. if x < low: +37. break +38. ans.append(x) +39. +40. print(ans) +41. print(len(ans)) +42. print(ans[-1]) +43. index=np.arange(len(ans)) +44. pltscatter(index, ans, color='g') +45. plt.xlabel("测线编号") +46. pltylabel("水深") +47. +48. plt.show() +49. # path=r'C:\Users\PC\Desktop\水深.xlsx' +50. # pd.DataFrame(ans).to_excel(path) +51. # # path=r'C:\Users\PC\Desktop\水深.xlsx' +52. # # pd.DataFrame(ans).to_excel(path) +``` + +(5). + +```python +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. def sin(a): +5. return np.sin(np radians(a)) +6. def cos(a): +7. return np.cos(np radians(a)) +8. def tan(a): +9. return np.tan(np radians(a)) +10. def get_Wleft(D): +11. return D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2-alpha) +12. +13. +14. angle= 90 +15. alpha = np.linspace(0.5,10,100) +16. theta = np.linspace(90,150,100) +17. x_d=70 +18. w=[] +19. for i in alpha: +20. for j in theta: +``` + +```python +21. w.append(x_d*sin(j/2)*(1/sin(90-j/2-i)+1/sin(90-j/2+i))) +22. print(w) +23. w=np.array(w).reshape(100,100) +24. alpha, theta = npmeshgrid(alpha, theta) +25. +26. # 创建三维图形对象和坐标轴 +27. fig = plt.figure() +28. ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') +29. +30. # 绘制三维图形 +31. ax.plot_surface(alpha, theta, w, cmap='viridis') +32. +33. # 设置坐标轴标签 +34. ax.set_label('alpha') +35. ax.set_label('theta') +36. ax.set_label('w') +37. +38. # 显示图形 +39. plt.show() +``` + +第四问： + +(1).拟合函数 + +```python +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. +5. plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示中文 +6. +7. path=r'C:\Users\PC\Desktop\附件.xlsx' +8. +9. df=pd.read_excel(path) +10. x=np.array(dfiloc[0][2:],dtype="float64") +11. +12. y=[[] +13. for i in range(1,df.shape[0]): +14. y.append(dfiloc[i][1]) +15. +16. y=np.array(y, dtype="float64") +17. +18. x=x*1852 +19. y=y*1852 +20. +21. path=r'C:\Users\PC\Desktop\高度.xlsx' +22. df=pd.read_excel(path) +23. Z=np.array(dfiloc[0]:[0:], dtype="float64") +24. +25. print(x) +26. print(x.shape) +27. print(y.shape) +28. print(Z.shape) +29. data=[[] +30. for j in range(len(y)): +``` + +```python +31. for i in range(len(x)): +32. t=[x[i],y[j],z[j][i]] +33. data.append(t) +34. data=np.array(data) +35. print(data.shape) +36. +37. import numpy as np +38. import matplotlib.pyplot as plt +39. from MPL_toolkits.mplot3d import Axes3D +40. from sklearnensemble import RandomForestRegressor +41. from sklearn.model_selection import train_test_split +42. from joblib import dump, load +43. def get_model(data): +44. x = data[:, 0:2] +45. y = data[:, 2] +46. +47. # 数据分割 +48. X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42) +49. +50. # 创建随机森林模型 +51. rf = RandomForestRegressor(n_estimators=100, random_state=42) +52. +53. # 训练模型 +54. rf.fit(X_train, y_train.ravel()) +55. +56. # 预测 +57. y_pred = rf.predict(X_test) +58. +59. # 评估模型 +60. score = rf.score(X_test, y_test) +61. print(f"R^2 Score: {score}") +62. +63. # 绘图展示预测结果和实际结果 +64. fig = plt.figure() +65. ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') +66. axscatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], y_test, label='True') +67. axscatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], y_pred, label='Predicted', marker='^') +68. ax.set_xlabel('Feature 1') +69. ax.set_ylabel('Feature 2') +70. ax.set_zlabel('Target') +71. ax.legend() +72. plt.show() +73. return rf +74. +75. rf_height=get_model(data) +76. print(rf_height.predict([[30,30]])) +77. # 保存模型 +78. dump(rf_height, 'height_random_forest_model.pkl') +``` + +(2).梯度 + +```txt +1. import numpy as np +2. from scipy interpolate import interp2d +3. import pandas as pd +4. +5. path=r'C:\Users\PC\Desktop\高度.xlsx' +6. df=pd.read_excel(path) +7. Z=np.array(dfiloc[0]:[0:],dtype="float64") +8. +9. import numpy as np +10. import numpy as np +11. import matplotlib.pyplot as plt +12. from MPL_toolkits.mplot3d import Axes3D +13. from sklearn ensemble import RandomForestRegressor +14. from sklearn.model_selection import train_test_split +15. from joblib import dump, load +16. +17. def compute_normalized-gradient(array): +18. m, n = array.shape +19. +20. gradient_x = np.zeros((m, n)) +21. gradient_y = np.zeros((m, n)) +22. +23. normalized-gradient_x = np.zeros((m, n)) +24. normalized-gradient_y = np.zeros((m, n)) +25. +26. for i in range(m): +27. for j in range(n): +28. # 计算x方向的梯度 +29. if j == 0: +30. gradient_x[i, j] = array[i, j + 1] - array[i, j] +31. elif j == n - 1: +32. gradient_x[i, j] = array[i, j] - array[i, j - 1] +33. else: +34. gradient_x[i, j] = (array[i, j + 1] - array[i, j - 1]) / 2.0 +35. +36. # 计算y方向的梯度 +37. if i == 0: +38. gradient_y[i, j] = array[i + 1, j] - array[i, j] +39. elif i == m - 1: +40. gradient_y[i, j] = array[i, j] - array[i - 1, j] +41. else: +42. gradient_y[i, j] = (array[i + 1, j] - array[i - 1, j]) / 2.0 +43. +44. # 计算梯度的模 +45. magnitude = np.sqrt(gradient_x[i, j] ** 2 + gradient_y[i, j] +** 2) +46. +47. # 进行单位化，考虑到除数可能为0的情况 +48. if magnitude == 0: +49. normalized_gradients_x[i, j] = 0 +``` + +```txt +50. normalized_grad_y[i, j] = 0 +51. else: +52. normalized_grad_x[i, j] = gradient_x[i, j] / magnitude +53. normalized_grad_y[i, j] = gradient_y[i, j] / magnitude +54. +55. return normalized_grad_x, normalized_grad_y +56. +57. def compute_grad_angle(normalized_grad_x, normalized_grad_y): +58. m, n = normalized_grad_x.shape +59. gradient_angle = np.zeros((m, n)) +60. +61. for i in range(m): +62. for j in range(n): +63. gradient_angle[i, j] = np.arange2(normalized_grad_y[i, j], normalized_grad_x[i, j]) +64. +65. return gradient_angle*180/np.pi +66. +67. +68. # 测试函数 +69. array = Z +70. gradient_x, gradient_y = compute_normalized_gradment(array) +71. print("Gradient in x direction:\n", gradient_x.shape) +72. print("Gradient in y direction:\n", gradient_y) +73. +74. +75. x=np.linspace(0,4*1852,201) +76. y=np.linspace(0,5*1852,251) +77. print(x) +78. print(x.shape) +79. print(y.shape) +80. print(z.shape) +81. gx=[] +82. for j in range(len(y)): +83. for i in range(len(x)): +84. t=[x[i],y[j],gradient_x[j][i]] +85. gx.append(t) +86. gx=np.array(gx) +87. gy=[] +88. for j in range(len(y)): +89. for i in range(len(x)): +90. t=[x[i],y[j],gradient_y[j][i]] +91. gy.append(t) +92. gy=np.array(gy) +93. def get_model(data): +94. x = data[:, 0:2] +95. y = data[:, 2] +96. +97. # 数据分割 +``` + +```txt +98. X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42) +99. +100. # 创建随机森林模型 +101. rf = RandomForestRegressor(n_estimators=100, random_state=42) +102. +103. # 训练模型 +104. rf.fit(X_train, y_train.ravel()) +105. +106. # 预测 +107. y_pred = rf.predict(X_test) +108. +109. # 评估模型 +110. score = rf.score(X_test, y_test) +111. print(f"R^2 Score: {score}") +112. +113. # 绘图展示预测结果和实际结果 +114. fig = plt.figure() +115. ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') +116. axscatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], y_test, label='True') +117. axscatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], y_pred, label='Predicted', mar +ker='^') +118. ax.set_xlabel('Feature 1') +119. ax.set_ylabel('Feature 2') +120. ax.set_zlabel('Target') +121. ax.legend() +122. plt.show() +123. return rf +124. +125.# rf_gx=get_model(gx) +126.# print(rf_gx.predict([[30,30]])) +127.# # 保存模型 +128.# dump(rf_gx, 'gx_random_forest_model.pkl') +129. rf_gy=get_model(gy) +130.print(rf_gy.predict([[30,30]])) +131.# 保存模型 +132.dump(rf_gy, 'gy_random_forest_model.pkl') +133. +134. +135.# # 利用之前已经计算的单位化梯度来计算角度 +136.# gradient_angle = compute-gradient_angle(gradient_x, gradient_y) +137.# print("Gradient Angle:\n", gradient_angle) +138.# gradient_angle=gradient_angle+90 +139.# path=r'C:\Users\PC\Desktop\角度.xlsx' +140.# pd.DataFrame(gradient_angle).to_excel(path) +``` + +(3) + +```txt +1. import numpy as np +2. from scipy.interpolate import interp2d +3. import pandas as pd +4. +5. path=r'C:\Users\PC\Desktop\1.xlsx' +``` + +(4). + +6. df=pd.read_excel(path) + +7. Z=np.array(dfiloc[0:][0:],dtype="float64") + +8. + +9. #原始二维数组 + +10. original_array = Z + +11. + +12. #原始数组的行列数 + +13. original_rows, original cols = original_array.shape + +14. + +15. # 扩充后的行列数 + +16. expanded_rows, expanded cols = 2510, 2010 + +17. + +18. # 创建行列索引 + +19. $x = np$ .arange(original_cols) + +20. $y =$ np.arange(original_rows) + +21. + +22. # 创建插值函数 + +23. interp_func = interp2d(x, y, original_array, kind='linear') + +24. + +25. # 创建扩充后的行列索引 + +26. expanded_x = np.linspace(0, original_cols - 1, expanded_cols) + +27. expanded_y = np.linspace(0, original_rows - 1, expanded_rows) + +28. + +29. # 进行插值 + +30. expanded_array = interp_func(expanded_x, expanded_y) + +31. + +32. print(expanded_array) + +33. + +34. path=r'C:\Users\PC\Desktop\插值.xlsx' + +35. pd.DataFrame(expanded_array).to_excel(path) + +1. import pandas as pd + +2. import numpy as np + +3. import matplotlib.pyplot as plt + +4. import numpy as np + +5. import matplotlib.pyplot as plt + +6. from mpg_toolkits.mplot3d import Axes3D + +7. from sklearnensemble import RandomForestRegressor + +8. from sklearn.model_selection import train_test_split + +9. from joblib import dump, load + +10. + +11. #加载模型 + +12. height_rf = load('height_random_forest_model.pkl') + +13. gx_rf = load('gx_random_forest_model.pkl') + +14. gy_rf = load('gy_random_forest_model.pkl') + +15. # print.height_rf.predict([[30,30]]) + +16. # print(gy_rf.predict([[30,30]])) + +17. # print(gx_rf.predict([[30,30]])) + +18. + +19. def get_height(x,y): + +20. return floatheight_rf.predict([[x,y]])) + +21. def get_gx(x,y): +22. return float(gx_rf.predict([[x,y]])) +23. def get_gy(x,y): +24. return float(gy_rf.predict([[x,y]])) +25. def get_alpha(x,y): +26. step=0.01 +27. $\mathrm{tx1} = \mathrm{x} + \mathrm{step}^*$ get_gx(x,y) +28. ty1 = y + step*get_gy(x,y) +29. h1=get_height(tx1,ty1) +30. $t x 2 = x - s t e p * g e t_{g}x(x,y)$ +31. ty2 = y - step * get_gy(x, y) +32. h2 = get_height(tx2, ty2) +33. return float(np.arange((abs(h1 - h2))// (2*step)) * 180 / np.pi) +34. def sin(a): +35. return np.sin(np radians(a)) +36. def cos(a): +37. return np.cos(np radians(a)) +38. def tan(a): +39. return np.tan(np radians(a)) +40. def get_Wleft(x,y): +41. D=get_height(x,y) +42. alpha $\equiv$ get_alpha(x,y) +43. return (D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2+alpha))*cos(alpha) +44. def get_wRight(x,y): +45. $D =$ get_height(x, y) +46. alpha = get_alpha(x, y) +47. return (D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2-alpha))*cos(alpha) +48. def forwardDirection(gx,gy): +49. return (-gy,gx) +50. +51. +52. print(get_height(7000,1000)) +53. print(get_alpha(7000,1000)) +54. line $=$ [] +55. loc_x=4200 +56. loc_y=10 +57. step=100 +58. theta=120 +59. for_in range(1000): +60. $\mathrm{gx} =$ get_gx(loc_x,loc_y) +61. $\mathrm{gy} =$ get_gy(loc_x,loc_y) +62. wl=get_Wleft(loc_x,loc_y) +63. wr=get_WRight(loc_x,loc_y) +64. lx=loc_x-w1\*gx +65. $1y = \text{loc\_y - wr}^* gy$ +66. $rx = loc\_x + wl * gx$ +67. $\text{ry} = \text{loc\_y} + \text{wr} * \text{gy}$ +68. dx,dy=forwardDirection(gx,gy) +69. loc_x+=step\*dx +70. loc_y+=step\*dy +71. #plt.scanter(loc_x,loc_y,color $\equiv$ 'r's=1) + +```python +72. #plt.scanl(x, ly, color='b', s=1) +73. #plt.scanl(rx, ry, color='b', s=1) +74. #plt.pause(0.1) +75. if(loc_x>4*1852 or loc_y>5*1852 or loc_y<0 or loc_x<0): +76. break +77. line.append([loc_x,loc_y]) +78. line=np.array(line) +79. +80. #plt.show() +81. #plt.clf() +82. plt.plot(line[;,0],line[;,1]) +83. n=0.1 +84. for i in line: +85. x=i[0] +86. y=i[1] +87. while True: +88. alpha=get_alpha(x,y) +89. h=get_height(x,y) +90. if alpha == 0: +91. d=2*h*tan(theta/2)*(1-n) +92. tx = d * get_gx(x, y) +93. ty = d * get_gy(x, y) +94. x = x+tx +95. y = y+ty +96. else: +97. A = sin(90 - theta / 2 + alpha) +98. B = sin(90 - theta / 2 - alpha) +99. C = sin(theta / 2) / A - 1 / tan(alpha) +100. D = n * sin(theta / 2) * (1 / A + 1 / B) - sin(theta / 2) / B - 1 / tan(alpha) +101. next_h = h * C / D +102. tx = (h - next_h) * get_gx(x, y) +103. ty = (h - next_h) * get_gy(x, y) +104. x = x + tx +105. y = y + ty +106. if (x > 4 * 1852 or y > 5 * 1852 or y < 0 or x < 0 or get_height(x,y)<23): +107. break +108. plt.scanl(x, y, color='b', s=1) +109. plt.pause(0.001) +110. for i in line: +111. x=i[0] +112. y=i[1] +113. while True: +114. alpha=get_alpha(x,y) +115. h=get_height(x,y) +116. if alpha == 0: +117. d=2*h*tan(theta/2)*(1-n) +118. tx = d * get_gx(x, y) +119. ty = d * get_gy(x, y) +120. x = x-tx +121. y = y-ty +``` + +```txt +122. else: +123. A = sin(90 - theta / 2 + alpha) +124. B = sin(90 - theta / 2 - alpha) +125. C = sin(theta / 2) / A - 1 / tan(alpha) +126. D = n * sin(theta / 2) * (1 / A + 1 / B) - sin(theta / 2) / B - 1 / tan(alpha) +127. next_h = h * C / D +128. tx = (h - next_h) * get_gx(x, y) +129. ty = (h - next_h) * get_gy(x, y) +130. x = x - tx +131. y = y - ty +132. if (x > 4 * 1852 or y > 5 * 1852 or y < 0 or x < 0 or get_height(x,y)<21): +133. break +134. plt.scan(x, y, color='b', s=1) +135. plt.pause(0.001) +136. +137. +138. plt.show() +``` + +(5). + +```python +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. +5. plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] +6. +7. path=r'C:\Users\PC\Desktop\附件.xlsx' +8. +9. df=pd.read_excel(path) +10. print(df.head()) +11. x=np.array(df.iloc[0][2:],dtype="float64") +12. +13. y=[[] +14. for i in range(1,df.shape[0]): +15. y.append(df.iloc[i][1]) +16. +17. y=np.array(y, dtype="float64") +18. +19. x=x*1852 +20. y=y*1852 +21. +22. x, y = npmeshgrid(x, y) +23. path=r'C:\Users\PC\Desktop\高度.xlsx' +24. df=pd.read_excel(path) +25. +26. Z=np.array(df.iloc[0]:[0:],dtype="float64") +27. print(Z) +28. Z=200-Z +29. # 创建三维图形对象和坐标轴 +30. fig = plt.figure() +31. ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') +``` + +32. +33. # 绘制三维图形 +34. ax.plot(surface(x, y, Z, cmap='viridis') +35. +36. # 设置坐标轴标签 +37. ax.set_xlabel('x') +38. ax.set_ylabel('Y') +39. ax.set_zlabel('z') +40. +41. # 显示图形 +42. plt.show() +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. import numpy as np +5. import matplotlib.pyplot as plt +6. from mpg_toolkits.mplot3d import Axes3D +7. from sklearnensemble import RandomForestRegressor +8. from sklearn.model_selection import train_test_split +9. from joblib import dump, load +10. import copy +11. +12. #加载模型 +13. height_rf = load('height_random_forest_model.pkl') +14. gx_rf = load('gx_random_forest_model.pkl') +15. gy_rf = load('gy_random_forest_model.pkl') +16. # print.height_rf.predict([[30,30]]) +17. # print(gy_rf.predict([[30,30]])) +18. # print(gx_rf.predict([[30,30]])) +19. +20. def get_height(x,y): +21. return floatheight_rf.predict([[x,y]])) +22. def get_gx(x,y): +23. return float(gx_rf.predict([[x,y]])) +24. def get_gy(x,y): +25. return float(gy_rf.predict([[x,y]])) +26. def get_alpha(x,y): +27. step=0.0001 +28. $\mathrm{tx1} = \mathrm{x} +$ step\*get_gx(x,y) +29. ty1 = y + step*get_gy(x,y) +30. h1=get_height(tx1,ty1) +31. $\mathrm{tx2} = \mathrm{x} -$ step * get_gx(x, y) +32. ty2 = y - step * get_gy(x, y) +33. h2 = get_height(tx2, ty2) +34. return float(np.arange((abs(h1 - h2))// (2 * step)) * 180 / np.pi) +35. def sin(a): +36. return np.sin(np radians(a)) +37. def cos(a): +38. return np.cos(np radians(a)) +39. def tan(a): + +```txt +40. return np.tan(np radians(a)) +41. def get_Wleft(x,y): +42. D=get_height(x,y) +43. alpha=get_alpha(x,y) +44. return (D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2+alpha))*cos(alpha) +45. def get_WRight(x,y): +46. D=get_height(x,y) +47. alpha=get_alpha(x,y) +48. return (D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2-1-alpha))*cos(alpha) +49. def forwardDirection(gx,gy): +50. return (-gy,gx) +51. def figure_lenth(line): +52. sum=0 +53. for i in range(len(line)-1): +54. # print(line[i][0],line[i][1]) +55. # print(i,np.sqrt((line[i][0]-line[i+1][0]**2+(line[i][1]-line[i+1][1]**2))) +56. sum+=np.sqrt((line[i][0]-line[i+1][0]**2+(line[i][1]-line[i+1][1]**2)) +57. return sum +58. def figure_width(line): +59. sum = 0 +60. for i in range(len(line)-1): +61. sum += np.sqrt((line[i][0]-line[i+1][0]**2+(line[i][1]-line[i+1][1]**2)*get_WRight(line[i][0],line[i][1]) + get_WLeft(line[i][0],line[i][1])) +62. return sum +63. dot=np.array([[0,0]]) +64. n=0.1 +65. length=[[ [], [], [], [], [],]] +66. width=[[ [], [], [], [], [],]] +67. line=[] +69. loc_x=1700 +70. loc_y=10 +71. step=50 +72. theta=120 +73. while True: +74. gx=get_gx(loc_x,loc_y) +75. gy=get_gy(loc_x,loc_y) +76. wl=get_Wleft(loc_x,loc_y) +77. wr=get_WRight(loc_x,loc_y) +78. lx=loc_x-wl*gx +79. ly=loc_y-wr*gy +80. rx = loc_x + wl * gx +81. ry = loc_y + wr * gy +82. dx,dy=forwardDirection(gx,gy) +83. loc_x+=step*dx +84. loc_y+=step*dy +85. if(loc_x>4*1852 or loc_y>5*1852 or loc_y<0 or loc_x<0): +86. break +87. line.append([loc_x,loc_y]) +``` + +```python +88. line=np.array(line) +89. plt.plot(line[:1,0], line[:1,1], color='b') +90. while True: +91. flag=0 +92. tl=[] +93. for index,i in enumerate(line): +94. x = i[0] +95. y = i[1] +96. alpha=get_alpha(x,y) +97. h=get_height(x,y) +98. if alpha <= 0.005: +99. d=2*h*tan(theta)*(1-n) +100. tx = d * get_gx(x, y) +101. ty = d * get_gy(x, y) +102. x = x+tx +103. y = y+ty +104. else: +105. A = sin(90 - theta / 2 + alpha) +106. B = sin(90 - theta / 2 - alpha) +107. C = sin(theta / 2) / A - 1 / tan(alpha) +108. D = n * sin(theta / 2) * (1 / A + 1 / B) - sin(theta / 2) / B - 1 / tan(alpha) +109. next_h = h * C / D +110. tx = (h - next_h) * get_gx(x, y) +111. ty = (h - next_h) * get_gy(x, y) +112. x = x+tx +113. y = y+ty +114. if (y < 0 or x < 0 or get_height(x,y)<21 or get_height(x,y)>39): +115. flag=1 +116. else: +117. tl.append([x, y]) +118. if len(line)>5: +119. plt.plot(line[:1, 0], line[:1, 1], color='lightgray') +120. length[0].append(figures_lengthline)) +121. width[0].append(figures_widthline)) +122. dot = np Congenate((-dot, line), axis=0) +123. plt.pause(0.1) +124. if len(tl) == 0: +125. break +126. line=copy.deepcopy(tl) +127. loc_x=line[-1][0] +128. loc_y=line[-1][1] +129. step=25 +130. while True: +131. gx = get_gx(loc_x, loc_y) +132. gy = get_gy(loc_x, loc_y) +133. wl = get_Wleft(loc_x, loc_y) +134. wr = get_WRight(loc_x, loc_y) +135. lx = loc_x - wl * gx +136. ly = loc_y - wr * gy +137. rx = loc_x + wl * gx +``` + +138. ry $=$ loc_y $^+$ wr \* gy +139. dx, dy $=$ forwardDirection(gx, gy) +140. loc_x $+ =$ step \* dx +141. loc_y $+ =$ step \* dy +142. if (loc_x > 4 \* 1852 or loc_y > 5 \* 1852 or loc_y < 0 or loc_x < +0): +143. break +144. line.append([loc_x, loc_y]) +145. line=np.array(line) +146. +147. +148. +149.loc_x=3000 +150.loc_y=10 +151.line=[] +152 step=50 +153.theta=120 +154.while True: +155. gx=get_gx(loc_x,loc_y) +156. gy=get_gy(loc_x,loc_y) +157. wl=get_Wleft(loc_x,loc_y) +158. wr=get_WRight(loc_x,loc_y) +159. lx=loc_x-wl\*gx +160. ly=loc_y-wr\*gy +161. rx $=$ loc_x + wl \* gx +162. ry $=$ loc_y $^+$ wr \* gy +163. dx,dy $=$ forward direction(gx,gy) +164. loc_x+=step\*dx +165. loc_y+=step\*dy +166. if(loc_x>4\*1852 or loc_y>5\*1852 or loc_y<0 or loc_x<0): +167. break +168. line.append([loc_x,loc_y]) +169.line=np.array(line) +170.len1=figure_lenth(line) +171plt.plot(line[: -1,0],line[: -1,1],color='r') +172. while True: +173. flag=0 +174. tl=[] +175. for index,i in enumerate(line): +176. x $=$ i[0] +177. y $=$ i[1] +178. alpha=get_alpha(x,y) +179. h=get_height(x,y) +180. if alpha <= 0.005: +181. d=2*h*tan(theta)*(1-n) +182. tx $=$ d \* get_gx(x,y) +183. ty $=$ d \* get_gy(x,y) +184. x $=$ x-tx +185. y $=$ y-ty +186. else: +187. A $=$ sin(90 - theta / 2 + alpha) + +```txt +188. B = sin(90 - theta / 2 - alpha) +189. C = sin(theta / 2) / A - 1 / tan(alpha) +190. D = n * sin(theta / 2) * (1 / A + 1 / B) - sin(theta / 2) / B - 1 / tan(alpha) +191. next_h = h * C / D +192. tx = (h - next_h) * get_gx(x, y) +193. ty = (h - next_h) * get_gy(x, y) +194. x = x - tx +195. y = y - ty +196. if (x > 4 * 1852 or y > 8100 or y < 0 or x < 0 or get_height(x, y)) >75 or 2500*y-9260*(x-400)<-37040000): +197. flag=1 +198. else: +199. t1.append([x, y]) +200. if len(line)>10: +201. plt.plot(line[:1, 0], line[:1, 1], color='silver') +202. length[1].append(figures_lengthline)) +203. width[1].append(figures_width(line)) +204. dot = np monetate((dot, line), axis=0) +205. plt.pause(0.1) +206. if len(t1)=0: +207. break +208. line=copy.deepcopy(t1) +209. step=50 +210. loc_x=line[-1][0] +211. loc_y=line[-1][1] +212. while True: +213. gx = get_gx(loc_x, loc_y) +214. gy = get_gy(loc_x, loc_y) +215. wl = get_Wleft(loc_x, loc_y) +216. wr = get_WRight(loc_x, loc_y) +217. lx = loc_x - wl * gx +218. ly = loc_y - wr * gy +219. rx = loc_x + wl * gx +220. ry = loc_y + wr * gy +221. dx, dy = forwardDirection(gx, gy) +222. loc_x += step * dx +223. loc_y += step * dy +224. if (loc_x > 4 * 1852 or loc_y >8000 or loc_y < 0 or loc_x < 0): +225. break +226. line.append([loc_x, loc_y]) +227. line=np.array(line) +228. +229. +230. +231. +232.line=[] +233.loc_x=4500 +234.loc_y=10 +235 step=50 +236 theta=120 +237 while True: +``` + +238. $\mathtt{gx} =$ get_gx(loc_x,loc_y) +239. $\mathtt{gy} =$ get_gy(loc_x,loc_y) +240. wl $=$ get_Wleft(loc_x,loc_y) +241. wr $=$ get_WRight(loc_x,loc_y) +242. lx $=$ loc_x-wl\*gx +243. ly $=$ loc_y-wr\*gy +244. rx $=$ loc_x + wl \* gx +245. ry $=$ loc_y $^+$ wr \* gy +246. dx,dy $=$ forwardDirection(gx,gy) +247. loc_x+=step\*dx +248. loc_y+=step\*dy +249. if(loc_x>4\*1852 or loc_y>5\*1852 or loc_y<0 or loc_x<0): +250. break +251. line.append([loc_x,loc_y]) +252.line=np.array(line) +253.len2=figure_lenth(line) +254.plt.plot(line[:-1,0],line[:-1,1],color='g') +255. while True: +256. flag $= 0$ +257. tl $= [$ ] +258. for index,i in enumerate(line): +259. x $=$ i[0] +260. y $=$ i[1] +261. alpha $\equiv$ get_alpha(x,y) +262. h $\equiv$ get_height(x,y) +263. if alpha $< = 0.005$ .. +264. d $= 2^{*}\mathrm{h}^{*}\mathrm{tan}(\mathrm{theta})^{*}(1 - n)$ +265. tx $=$ d \* get_gx(x,y) +266. ty $=$ d \* get_gy(x,y) +267. x $=$ x-tx +268. y $=$ y-ty +269. else: +270. A $\equiv$ sin(90 - theta / 2 + alpha) +271. B $\equiv$ sin(90 - theta / 2 - alpha) +272. C $\equiv$ sin(theta / 2)/A-1/ tan(alpha) +273. D $\equiv$ n \* sin(theta / 2)\* (1/A+1/B)-sin(theta/2)/B -1/tan(alpha) +274. next_h $\equiv$ h \* C/D +275. tx $\equiv$ (h - next_h)\* get_gx(x,y) +276. ty $\equiv$ (h - next_h)\* get_gy(x,y) +277. x $=$ x-tx +278. y $=$ y-ty +279. if (x > 4 \* 1852 or y > 5 \* 1852 or y < 0 or x < 0 or 2500\*y-9260 $*x > - 37040000)$ .. +280. flag $= 1$ +281. else: +282. tl.append([x,y]) +283. +284. plt.plot(line[:1,0],line[:1,1],color='darkgray') +285. dot $=$ np竖坐((dot,line),axis=0) +286. length[2].append figure_lenth(line)) +287. width[2].append figure_width(line)) + +```txt +288. plt.pause(0.1) +289. line=copy.deepcopy(t1) +290. line=np.array(line) +291. if len(t1) == 0: +292. break +293. +294. +295. line=[] +296. loc_x=6500 +297. loc_y=9000 +298. step=50 +299. theta=120 +300. while True: +301. gx=get_gx(loc_x,loc_y) +302. gy=get_gy(loc_x,loc_y) +303. wl=get_wleft(loc_x,loc_y) +304. wr=get_WRight(loc_x,loc_y) +305. lx=loc_x-wl*gx +306. ly=loc_y-wr*gy +307. rx = loc_x + wl * gx +308. ry = loc_y + wr * gy +309. dx,dy=forwardDirection(gx,gy) +310. loc_x+=step*dx +311. loc_y+=step*dy +312. if(loc_x>4*1852 or loc_y>5*1852 or loc_y<0 or loc_x<0): +313. break +314. line.append([loc_x,loc_y]) +315. line=np.array(line) +316. plt.plot(line[-1,0],line[-1,1],color='c') +317. while True: +318. flag=0 +319. tl=[] +320. for index,i in enumerate(line): +321. x = i[0] +322. y = i[1] +323. alpha=get_alpha(x,y) +324. h=get_height(x,y) +325. if alpha <= 0.005: +326. d=2*h*tan(theta)*(1-n) +327. tx = d * get_gx(x,y) +328. ty = d * get_gy(x,y) +329. x = x-tx +330. y = y-ty +331. else: +332. A = sin(90 - theta / 2 + alpha) +333. B = sin(90 - theta / 2 - alpha) +334. C = sin(theta / 2) / A - 1 / tan(alpha) +335. D = n * sin(theta / 2) * (1 / A + 1 / B) - sin(theta / 2) / B - 1 / tan(alpha) +336. next_h = h * C / D +337. tx = (h - next_h) * get_gx(x, y) +``` + +```csv +338. ty = (h - next_h) * get_gy(x, y) +339. x = x-tx +340. y = y-ty +341. if (x > 4 * 1852 or y > 5 * 1852 or y < 0 or x < 0 or 4408*y+2260 +* x < 47598080 or get_height(x,y)>75): +342. flag=1 +343. else: +344. t1.append([x, y]) +345. if len(line)>20: +346. plt.plot(line[-1, 0], line[-1, 1], color='darkgrey') +347. length[3].append(figures_lengthline)) +348. width[3].append(figures_width(line)) +349. dot = np竖坐((dot, line), axis=0) +350. plt.pause(0.1) +351. line=copy.deepcopy(t1) +352. line=np.array(line) +353. if len(t1)=0: +354. break +355. +356. +357.line[]) +358.loc_x=5700 +359.loc_y=7900 +360 step=50 +361 theta=120 +362 while True: +363. gx=get_gx(loc_x, loc_y) +364. gy=get_gy(loc_x, loc_y) +365. wl=get_Wleft(loc_x, loc_y) +366. wr=get_WRight(loc_x, loc_y) +367. lx=loc_x-wl*gx +368. ly=loc_y-wr*gy +369. rx = loc_x + wl * gx +370. ry = loc_y + wr * gy +371. dx, dy=forward direction(gx, gy) +372. loc_x+=step*dx +373. loc_y+=step*dy +374. if(loc_x>4*1852 or loc_y>5*1852 or loc_y<0 or loc_x<0): +375. break +376. line.append([loc_x, loc_y]) +377.line=np.array(line) +378. len3=figure_lengthline) +379. plt.plot(line[-1, 0], line[-1, 1], color='m') +380. while True: +381. flag=0 +382. t1[]) +383. for index,i in enumerate(line): +384. x = i[0] +385. y = i[1] +386. alpha=get_alpha(x,y) +387. h=get_height(x,y) +``` + +```txt +388. if alpha <= 0.005: +389. d=2*h*tan(theta)*(1-n) +390. tx = d * get_gx(x, y) +391. ty = d * get_gy(x, y) +392. x = x-tx +393. y = y-ty +394. else: +395. A = sin(90 - theta / 2 + alpha) +396. B = sin(90 - theta / 2 - alpha) +397. C = sin(theta / 2) / A - 1 / tan(alpha) +398. D = n * sin(theta / 2) * (1 / A + 1 / B) - sin(theta / 2) / B - 1 / tan(alpha) +399. next_h = h * C / D +400. tx = (h - next_h) * get_gx(x, y) +401. ty = (h - next_h) * get_gy(x, y) +402. x = x-tx +403. y = y-ty +404. if (x > 4 * 1852 or y > 1852*5 or x < 0): +405. flag=1 +406. else: +407. t1.append([x, y]) +408. if len(line)>50: +409. plt.plot(line[:1, 0], line[:1, 1], color='gray') +410. length[4].append(figura_lenth(line)) +411. width[4].append(figura_width(line)) +412. dot = np Congenate((dot, line), axis=0) +413. plt.pause(0.1) +414. line=copy.Deepcopy(tl) +415. line=np.array(line) +416. if len(tl)=0: +417. break +418. +419. plt.show() +420. +421. for i in range(5): +422. print(sum(length[i])) +423. print(sum(width[i])) +424. print(len(length[i])) +425. print(len(width[i])) +426. +427. print(len1, len2, len3) +428. +429. path=r'C:\Users\PC\Desktop\dot.xlsx' +430. pd.DataFrame(len).to_excel(path, index=False) +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. import numpy as np +5. import matplotlib.pyplot as plt +6. from plt.toolskits.mplot3d import Axes3D +``` + +```python +7. from sklearn ensemble import RandomForestRegressor +8. from sklearn.model_selection import train_test_split +9. from joblib import dump, load +10. +11. #加载模型 +12. height_rf = load('height_random_forest_model.pkl') +13. gx_rf = load('gx_random_forest_model.pkl') +14. gy_rf = load('gy_random_forest_model.pkl') +15. # print.height_rf.predict([[30,30]]) +16. # print(gy_rf.predict([[30,30]])) +17. # print(gx_rf.predict([[30,30]]) +18. +19. def get_height(x,y): +20. return float Height_rf.predict([[x,y]]) +21. def get_gx(x,y): +22. return float(gx_rf.predict([[x,y]]) +23. def get_gy(x,y): +24. return float(gy_rf.predict([[x,y]]) +25. def get_alpha(x,y): +26. step=0.01 +27. tx1 = x + step*get_gx(x,y) +28. ty1 = y + step*get_gy(x,y) +29. h1=get_height(tx1,ty1) +30. tx2 = x - step * get_gx(x, y) +31. ty2 = y - step * get_gy(x, y) +32. h2 = get_height(tx2,ty2) +33. return float(np.arange(abs(h1-h2)/(2*step))*180/np.pi) +34. def sin(a): +35. return np.sin(np radians(a)) +36. def cos(a): +37. return np.cos(np radians(a)) +38. def tan(a): +39. return np.tan(np radians(a)) +40. def get_Wleft(x,y): +41. D=get_height(x,y) +42. alpha=get_alpha(x,y) +43. return (D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2+alpha))*cos(alpha) +44. def get_WRight(x,y): +45. D=get_height(x,y) +46. alpha=get_alpha(x,y) +47. return (D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2-alpha))*cos(alpha) +48. def forwardDirection(gx,gy): +49. return (-gy,gx) +50. def figure_length(line): +51. sum=0 +52. for i in range(len(line)-1): +53. # print(line[i][0],line[i][1]) +54. # print(i,np.sqrt(line[i][0]-line[i+1][0]**2+(line[i][1]-line[i+1][1]**2)) +55. sum+=np.sqrt(line[i][0]-line[i+1][0]**2+(line[i][1]-line[i+1][1]**2)) +``` + +```python +57. def figure_width(line): +58. sum = 0 +59. for i in range(len(line) - 1): +60. sum += np.sqrt((line[i][0] - line[i + 1][0]) ** 2 + (line[i][1] - line[i + 1][1]) ** 2) * (get_WRight(line[i][0], line[i][1]) + get_Wleft(line[i][0], line[i][1]) +61. return sum +62. line = +63. loc_x=4200 +64. loc_y=10 +65. step=100 +66. theta=120 +67. for _ in range(1000): +68. gx=get_gx(loc_x,loc_y) +69. gy=get_gy(loc_x,loc_y) +70. wl=get_Wleft(loc_x,loc_y) +71. wr=get_WRight(loc_x,loc_y) +72. lx=loc_x-wl*gx +73. ly=loc_y-wr*gy +74. rx = loc_x + wl * gx +75. ry = loc_y + wr * gy +76. dx,dy=forwardDirection(gx,gy) +77. loc_x+=step*dx +78. loc_y+=step*dy +79. # pltscatter(loc_x,loc_y,color='r',s=1) +80. # pltscatter(lx,ly,color='b',s=1) +81. # pltscatter(rx,ry,color='b',s=1) +82. # plt.pause(0.1) +83. if(loc_x>4*1852 or loc_y>5*1852 or loc_y<0 or loc_x<0): +84. break +85. line.append([loc_x,loc_y]) +86. line=np.array(line) +87. +88. # plt.show() +89. # plt clf() +90. plt.plot(line[-1,0],line[-1,1]) +91. n=0.1 +92. length=[] +93. width=[] +94. while True: +95. flag=0 +96. for index,i in enumerate(line): +97. x = i[0] +98. y = i[1] +99. alpha=get_alpha(x,y) +100. h=get_height(x,y) +101. if alpha <= 0.005: +102. d=2*h*tan(theta)*(1-n) +103. tx = d * get_gx(x, y) +104. ty = d * get_gy(x, y) +105. x = tx + x +106. y = ty + y +``` + +```python +107. else: +108. A = sin(90 - theta / 2 + alpha) +109. B = sin(90 - theta / 2 - alpha) +110. C = sin(theta / 2) / A - 1 / tan(alpha) +111. D = n * sin(theta / 2) * (1 / A + 1 / B) - sin(theta / 2) / B - 1 / tan(alpha) +112. next_h = h * C / D +113. tx = (h - next_h) * get_gx(x, y) +114. ty = (h - next_h) * get_gy(x, y) +115. x = tx + x +116. y = ty + y +117. line[index][0] = x +118. line[index][1] = y +119. if (x > 4 * 1852 or y > 5 * 1852 or y < 0 or x < 0 or get_height(x,y)<21): +120. flag=1 +121. +122. plt.scan(line[: -1,0], line[: -1,1], color='b', s=1) +123. length.append.figure_length(line)) +124. width.append.figure_width(line)) +125. plt.pause(0.1) +126. if flag==1: +127. break +128. plt.show() +129. print(length) +130. print(width) +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. +5. plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #显示中文 +6. path=r'C:\Users\PC\Desktop\附件.xlsx' +7. df=pd.read_excel(path) +8. print(df.head()) +9. x=np.array(df.iloc[0][2:], dtype="float64") +10. y=[] +11. for i in range(1,df.shape[0]): +12. y.append(df.iloc[i][1]) +13. y=np.array(y, dtype="float64") +14. x=x*1852 +15. y=y*1852 +16. x, y = npmeshgrid(x, y) +17. path=r'C:\Users\PC\Desktop\1.xlsx' +18. df=pd.read_excel(path) +19. z=np.array(df.iloc[0][0:], dtype="float64") +20. cset = plt.contourf(x,y,Z,60,cmap=plt.cm.hot) +21. contour = plt.contour(x,y,Z,60,colors='k') +22. plt.clabel(contour,fontsize=5,colors='k') +23. plt.colorbar(cset) +24. plt.show() +``` + +(9). + +```python +1. import pandas as pd +2. import numpy as np +3. import matplotlib.pyplot as plt +4. import numpy as np +5. import matplotlib.pyplot as plt +6. from MPL_toolkits.mplot3d import Axes3D +7. from sklearnensemble import RandomForestRegressor +8. from sklearn.model_selection import train_test_split +9. from joblib import dump, load +10. #加载模型 +11. height_rf = load('height_random_forest_model.pkl') +12. gx_rf = load('gx_random_forest_model.pkl') +13. gy_rf = load('gy_random_forest_model.pkl') +14. # printHEIGHT_rf.predict([[30,30]]) +15. # print(gy_rf.predict([[30,30]]) +16. # print(gx_rf.predict([[30,30]]) +17. def get_height(x,y): +18. return floatHEIGHT_rf.predict([[x,y]]) +19. def get_gx(x,y): +20. return float(gx_rf.predict([[x,y]]) +21. def get_gy(x,y): +22. return float(gy_rf.predict([[x,y]]) +23. def get_alpha(x,y): +24. step=0.01 +25. tx1 = x + step*get_gx(x,y) +26. ty1 = y + step*get_gy(x,y) +27. h1=get_height(tx1,ty1) +28. tx2 = x - step * get_gx(x, y) +29. ty2 = y - step * get_gy(x, y) +30. h2 = get_height(tx2, ty2) +31. return np.arange(abs(h1-h2)/(2*step)) * 180/np.pi +32. def sin(a): +33. return np.sin(np radians(a)) +34. def cos(a): +35. return np.cos(np radians(a)) +36. def tan(a): +37. return np.tan(np radians(a)) +38. def get_Wleft(x,y): +39. D=get_height(x,y) +40. alpha=get_alpha(x,y) +41. return (D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2+alpha))*cos(alpha) +42. def get_WRight(x,y): +43. D=get_height(x,y) +44. alpha=get_alpha(x,y) +45. return (D*sin(theta/2)/sin(90-theta/2-alpha))*cos(alpha) +46. def forwardDirection(gx,gy): +47. return (-gy,gx) +48. +49. print(get_height(7000,1000)) +50. print(get_alpha(7000,1000)) +``` + +51. $x = np$ .linspace(0,4\*1852,201) +52. $y = \mathsf{np}$ .linspace(0,5\*1852,251) +53.# +54.# alpha $\equiv$ [] +55.# for j in range(len(y)): +56.# for i in range(len(x)): +57.# print(get_alpha(x[i],y[j])) +58.# alpha.append(get_alpha(x[i],y[j])) +59.# alpha $\equiv$ np.array(alpha).reshape([251,201]) +60.# print(alpha) +61.loc_x=3000 +62.loc_y=10 +63 step=10 +64. theta=120 +65.for_in range(1000): +66.gx $\coloneqq$ get_gx(loc_x,loc_y) +67.gy $\coloneqq$ get_gy(loc_x,loc_y) +68.wl $\equiv$ get_Wleft(loc_x,loc_y) +69 wr $\equiv$ get_WRight(loc_x,loc_y) +70.lx $\equiv$ loc_x-wl\*gx +71.ly $\equiv$ loc_y-wr\*gy +72.rx $\equiv$ loc_x+w1\*gx +73.ry $\equiv$ loc_y+wr\*gy +74.dx,dy $\equiv$ forwardDirection(gx,gy) +75.loc_x+=step\*dx +76.loc_y+=step\*dy +77.plt.scanliloc_x,loc_y,color $\equiv$ 'r's=1) +78.plt.scanl(lx,ly,color $\equiv$ 'b's=1) +79.plt.scanl(rx,ry,color $\equiv$ 'b's=1) +80.pltpause(0.1) +81.if(loc_x>4\*1852 or loc_y>5\*1852 or loc_y<0 or loc_x<2000): break +83.plt.show() \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/C050/C050.md b/MCM_CN/2023/C050/C050.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a88c53c15d8021ce80379665c04a218c13db56a8 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/C050/C050.md @@ -0,0 +1,1246 @@ +# 某商超蔬菜类商品动态定价与补货决策研究 + +# 摘要 + +随着生鲜市场规模的持续扩大，蔬菜零售行业的竞争也愈加激烈。为帮助某商超改善经营模式，本文基于题目所给数据信息，建立数学模型进行分析，从而制定合理的蔬菜类商品动态定价与补货决策，提高商超收益。 + +针对问题一，第一问首先计算出蔬菜品类的标准差、偏度系数、峰度系数等描述统计量。然后进行数据可视化处理，分析各蔬菜品类、单品蔬菜的销售量分布规律。结果可得各单品和各蔬菜品类的日销售量都呈现出不同程度的季节性波动，其中花叶类和辣椒类蔬菜日销售量的波动性较大。第二问引入 Spearman 相关系数，以各蔬菜品类及单品蔬菜的日销售量为指标，进行相关性分析，求解得出除茄类外，其它五种品类蔬菜之间都呈现出显著的正相关关系。然后以单品的总销售量、每日最大销售量和日均销售量为指标，通过 K-means++ 聚类算法将单品划分为热销、畅销、平销和滞销四大类，进行相关性分析，结果可得热销单品较其他单品呈现出高总销售量，高每日最大销售量和高日均销售量特点。 + +针对问题二，第一问首先计算出各蔬菜品类每日成本加成定价，然后通过Pearson相关系数检验出各蔬菜品类销售总量与成本加成定价呈负线性相关关系，于是建立线性回归模型，利用最小二乘法求出线性回归方程。第二问首先针对不同品类蔬菜建立时间序列预测模型，考虑数据的时效性以前半年的日销售量为原始数据预测出未来一周各蔬菜品类的日销售量，再根据预测结果确立决策变量，以利润最大化为目标函数，以蔬菜的补货量、定价、损耗为约束条件建立优化模型，求解出未来一周最大收益为5105.60元，最后引入模拟退火模型求出最优的蔬菜品类的补货和定价策略。 + +针对问题三，首先筛选出可用数据范围，以最大化收益为目标函数，以单品种类数量、陈列量、补货量和定价为约束条件建立优化模型求解，筛选出29种可售单品蔬菜，并估计2023年7月1日最大收益为1282.2631元，最后基于问题二的模拟退火模型求解出最优的单品补货量和定价策略。 + +针对问题四，首先筛选出可代表季度蔬菜丰富度、季度效应和节日因素的指标以及六大蔬菜品类的季度平均销量，运用灰色关联分析模型，以季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量作为子序列，遍历花叶类、辣椒类等六大蔬菜品类季度平均销量作为母序列，求解得出各指标与六大蔬菜品类季度平均销售量的关联度均在0.5以上，具有很强的相关性。此外本文采用文献检索法，综合引入了客流量数据、竞争对手的价格和策略数据、消费者反馈和评价数据等10种相关数据，以此来帮助商超制定合理的蔬菜补货和定价策略。 + +最后本文对所建立的模型进行了讨论和分析，综合评价了模型的优缺点。 + +关键词：K-means++聚类优化模型模拟退火模型灰色关联分析 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +随着社会经济的飞速发展和人民生活水平的提高，我国消费市场呈现持续活跃、稳健增长的态势。而生鲜产品作为保障民生、维护社会安稳的刚需性消费品，市场规模巨大[1]。 + +蔬菜作为人民日常生活不可或缺的食物之一，其本身具有高频性、精致化等消费特点，市场前景广阔。但由于蔬菜具有周期性、季节性、易腐和易伤等自然属性，加之蔬菜品种众多且产地不同所导致的购入成本各异，因此合理的定价和补货决策对于商家实现成本较低、利润最大化的经营目标至关重要，此外，制定针对于不同时间段的蔬菜需求量与供给量、供给种类的促销方案与销售组合也是需要考虑的问题。为了更好地满足市场需求，达到好的经济效益和社会效益，很有必要根据实际情况决定生产和销售活动[4]。可通过较为科学系统的数学方法对蔬菜市场进行研究分析，制定动态灵活的蔬菜商品定价以及补进策略，并依据分析结果策划合理营销方案，持续焕发商业活力，带来更高利润。 + +# 1.2 问题要求 + +附件1、2、3、4所给出的是某商超近三年关于蔬菜类商品的单品编码、类别等基本信息，进价、定价和销量等销售及进货情况。为使该商超在今后蔬菜类商品的销售中做出合理决策，获得更高利润，现需结合实际情况与附近所给信息建立数学模型，分析以下问题： + +问题一：依据附件1中6个蔬菜品类的商品信息以及附件2中的销售流水明细，合并统计相关数据，分别分析蔬菜各品类、蔬菜单品销售量的分布规律、相互关系，判断不同品类或不同单品之间是否存在一定的关联关系。 + +问题二：结合相关文献以及附件1、2、3、4，计算出各蔬菜品类的成本加成定价，再分析其与各蔬菜品类销售总量之间的关系。同时以利润最大化为目标，制定出各蔬菜品类未来一周（2023年7月1日-7日）的日补货总量和定价策略。 + +问题三：从附件2中找出2023年6月24-30日的可售品种，按照单品订购量（销售总量）不少于2.5千克等要求，筛选出27-33个可售单品，并据此制定7月1日的单品补货量和定价策略，尽量满足市场需求，获得最大收益。 + +问题四：整合分析4个附件中的数据，从季节、节日、销售形式等角度观察数据特征，整理出对于制定蔬菜商品的补货和定价决策有较大影响的相关数据，并给出选择理由，提出合理意见。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +针对问题一，第一小问，首先对附件2中的无效数据进行剔除处理，然后引入均值、最大值、最小值、中位数、标准差、偏度系数、峰度系数描述统计量，并通过数据可视化分析，通过绘制柱状图，折线图等直观观测2020年7月1日-2023年6月30日各品类蔬菜和单品蔬菜的销售情况及销售趋势，由此得出其分布规律。第二小问首先引入Spearman相关系数，以第一问得到的各蔬菜大类及大类中的单品蔬菜每日销售量为指标，进行蔬菜各品类销售量的相关性分析。然后采用K-means聚类算法，以 + +单品的总销售量、每日最大销售量和日均销售量为指标，将单品划分为热销、畅销、平销和滞销四大类，进行单品销售量的相关性分析。 + +# 2.2 问题二的分析 + +针对问题二，第一小问先根据成本加成定价公式计算得出各蔬菜品类三年来每日定价情况，然后引入Pearson相关系数判定各蔬菜品类的销售总量与成本加成定价的线性关系，最后建立线性回归模型，使用最小二乘法求出各蔬菜品类与其成本加成定价之间的线性回归方程。第二小问针对不同品类蔬菜建立合适的时间序列预测模型，考虑到数据的时效性，本文首先以前半年日销售量为原始数据预测未来一周各蔬菜品类的日销售量，然后根据预测结果建立优化模型。最后引入模拟退火模型求出最优的蔬菜品类的补货和定价策略。 + +# 2.3 问题三的分析 + +针对问题三，题目要求根据2023年6月24-30日的可售品种，按照单品订购量（销售总量）不少于2.5千克等要求，筛选出27-33个可售单品。以最大收益为目标，制定7月1日的单品补货量和定价策略。本题仍然为优化问题中的线性规划问题，由由此本题基于问题二构建的模拟退火模型。首先根据题意筛选出可用的数据范围，确定目标函数及其约束条件，求出最优的单品补货量和定价策略。 + +# 2.4 问题四的分析 + +针对问题四，首先在现有数据基础之上进行数据预处理，筛选出季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量，分别代表季度蔬菜丰富度、季度效应和节日三个因素。其次利用以上指标数据，建立灰色关联分析模型，以季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量作为子序列，遍历花叶类、辣椒类等六大蔬菜品类季度平均销量作为母序列，求出各指标对销售量的关联度，以关联度值衡量相关性的大小。通过文献检索法综合引入客流量数据、竞争对手的价格和策略数据、消费者反馈和评价数据等10种相关数据，据此制定合适的蔬菜补货和定价策略。 + +# 文章总体思路图如图1所示： + +![](images/2861fbe36089c43ec07b874183df32195c40c991ced709341b8c646c1eb68536.jpg) +图1总体思路图 + +# 三、模型假设 + +1. 假设蔬菜的历史销售数据能够代表未来的销售趋势，本文使用历史销售数据来预测未来的销售。 +2. 假设蔬菜的损耗是固定的，本文使用损耗率来计算蔬菜的单位成本。 +3. 商超的销售空间是固定的，我们假设商超的销售空间在一段时间内是恒定的。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明
xik第i种单品蔬菜第k个指标（单品蔬菜总销量、每日最大销量和日均销量）
kjk第k个聚类中心第j个指标
cSi第i种蔬菜品类销量
cppi第i种蔬菜品类成本加成定价
B单品菜单位成本
C单品蔬菜批发价格
L单品蔬菜损耗率
Sij第i蔬菜品类第j天的日销量
Rij第i蔬菜品类第j天的补货量
Pij第i蔬菜品类第j天的定价
Bi第i蔬菜品类的单位成本
Li第i蔬菜品类平均损耗率
Simax第i蔬菜品类前三年日最大销售量
yi是否补货0-1变量
xmax2023.6.24-6.30第i类单品蔬菜最大补货量
+ +# 五、数据侧写 + +考虑到数据较为庞大和复杂，为更好地分析和理解数据，需在进行问题分析和解答前提前进行数据分析。根据题目要求，综合附件1、附件2、附件3和附件4中的数据和信息，并利用Excel和Python等工具，对数据进行多角度、多标准的整理和观察，以初步了解整体数据的大致情况，便于之后对问题的分析和解答。 + +# 5.1六大品类蔬菜的品种丰富度 + +蔬菜的品种丰富度可以为商超提供洞察消费者需求、增加竞争优势和挖掘市场潜力的机会，有助于商家优化产品组合、关注热门品种、提高销售额和满足消费者的多样化需求，六大品类蔬菜的丰富度如图2所示： + +![](images/f95f17e919d449b08637ca72ccf0fc7871fc469de13b4b3c1cd03c4e9b589cd4.jpg) +图2六大品类蔬菜的品种丰富度占比图 + +由图2可知，花叶类蔬菜占品种数量的 $40\%$ ，品种丰富，意味着市场上有各种各样的花叶类蔬菜可供选择。相比之下，花菜类蔬菜的品种数量只占 $2\%$ ，在市场上可供选择的品种相对较少，选择范围较窄。 + +# 5.2六大品类蔬菜12个季度平均销售量情况 + +蔬菜12个季度的平均销售量情况可以帮助商超了解销售趋势、预测市场需求、调整产品组合和制定竞争策略。对商超进行决策制定、业务规划和市场运营都非常有价值。六大品类蔬菜12个季度平均销售量情况如图3所示： + +![](images/1499dd2b7a5105c5108501b0548bab65223a158aa0cb68c64948aca2e0ff8368.jpg) +图3六大品类蔬菜12个季度的平均销售量折线图 + +由图3知，花叶类较其他五类蔬菜全年销售量较高。花叶类、辣椒类、食用菌和水生根茎类销售量峰值的出现规律都呈现出周期性，大都在每年的一三四季度出现峰值。 + +# 5.3六大品类蔬菜损耗率 + +蔬菜损耗率的分布情况可以帮助商家成本管理和供应链优化，推动可持续发展，并提高商超的市场竞争力。六大蔬菜品类的损耗率如图4所示： + +![](images/8a929c6cccf1b5cd948e8535e8eba7174cfed9062994eb0c37b7eda409d36c42.jpg) +图4六大品类蔬菜损耗率直方图 + +由图4可知，花菜类、水生根茎类以及花叶类的蔬菜损耗率都在 $10\%$ 以上，损耗率较高，较难保存。茄类的损耗率大约为 $7\%$ ，较容易保存，意味着销售时间较长。 + +# 六、问题一模型的建立与求解 + +# 6.1 数据预处理 + +在分析蔬菜各品类及单品的销售量分布情况时，部分商品存在退货的情况，销售单价显示为负值，不能反映实际的销售量情况，属于无效数据，故对附件2中退货的数据进行剔除处理。 + +# 6.2 第一问：通过数据处理分析分布规律 + +# 6.2.1 基于数据的数字特征进行描述 + +题目要求根据蔬菜各品类的商品信息和单品销售量的情况，描述蔬菜各品类和单品的销售量的分布规律，本文引入均值、最大值、最小值、中位数、标准差、偏度系数、峰度系数来描述统计数据。 + +# （1）偏度系数 + +偏度系数（Skewness）用于衡量数据分布的偏斜程度。 $S_{k} = 0$ 表示数据近似对称分布， $S_{k} > 0$ 表示数据呈右偏分布， $S_{k} < 0$ 表示数据呈左偏分布。偏度系数的绝对值越大，数据分布的偏斜程度越明显。其计算公式如下： + +$$ +S _ {k} = E \left[ \left(\frac {X - \mu}{\sigma}\right) ^ {3} \right] = \frac {\mu^ {3}}{\sigma^ {3}} \tag {1} +$$ + +其中 $S_{k}$ 偏度系数, $E(X)$ 为均值, $\mu^{3}$ 为三阶中心距 + +# （2）峰度系数 + +峰度系数（Kurtosis）用于衡量数据分布的峰度程度。 $K_{u} = 0$ 表示数据分布为正态分布， $K_{u} < 0$ 表示数据分布的峰度较小，数据更分散， $K_{u} > 0$ 表示数据分布的峰度较大，数据更集中。峰度系数的绝对值越大，数据分布的峰度程度越明显。其计算公式如下： + +$$ +K _ {u} = E \left[ \left(\frac {X - \mu}{\sigma}\right) ^ {4} \right] = \frac {\mu^ {4}}{\sigma^ {4}} \tag {2} +$$ + +其中 $K_{u}$ 偏度系数, $E(X)$ 为均值, $\mu^{4}$ 为四阶标准距 + +# (3) 系数求解 + +利用MATLAB求解蔬菜六大类及各单品的销售量的描述统计量如下表所示（由于篇幅原因，表1只展示前九种单品的统计量表，其余单品见附件） + +表 1 蔬菜六大品类日销售量统计学指标表 + +
指标花菜类食用菌花叶类辣椒类茄类水生根茎类
最小值0.000.000.000.000.000.00
最大值186.16511.141265.47604.23118.93296.79
均值38.1669.18181.4283.6920.5037.08
中位数33.8657.28172.1172.5418.2730.05
偏度1.472.952.713.061.552.48
峰度7.0319.8527.3620.788.1514.95
标准差22.9048.2087.6553.8213.5731.43
+ +通过计算结果可知，蔬菜的六大品类中，花叶类和辣椒类的均值较高，标准差也相对较大，说明其销售量的波动性较大，销售量不稳定；而茄类的销售量均值较低，标准差也相对较小，说明其销售量的波动性较小，销售量稳定。六大品类中所有的偏度值都大于0，说明数据分布相对于均值向右倾斜，即可能存在一些较高销售量的极端值。其中，辣椒类的偏度值最大，表明其销售量分布相对于其他品类更加右倾。六大品类中所有的峰度值都大于8，表明数据分布相对于正态分布更加尖峰。花叶类的峰度值最高，说明其销售量分布尖峰程度最为窄高，偏离正态分布更远。 + +由于单品蔬菜种类颇多，本文此处选取各类蔬菜中总销售量最大的单品蔬菜和总销售量最少且不低于 $2000\mathrm{kg}$ 的单品蔬菜进行展示（其余单品见附件）。 + +表 2 单品销售量统计学指标表 + +
指标西兰花枝江青梗散花金针菇虫草花云南生菜小白菜
最小值0.000.000.000.000.000.00
最大值152.1347.65284.8841.13152.1615.00
均值25.175.3226.171.9427.631.87
中位数21.700.0018.420.0024.000.00
偏度1.881.914.133.301.611.60
峰度9.646.0330.6323.597.755.13
标准差15.999.7927.003.5018.882.77
指标芜湖青椒青尖椒紫茄子长线茄净藕莲蓬(个)
最小值0.000.000.000.000.000.00
最大值249.9722.00109.4350.21163.5580.00
均值25.741.9412.702.2825.181.91
中位数23.141.2011.050.0022.020.00
偏度2.882.312.713.321.405.54
峰度20.5712.3219.8625.876.9537.63
标准差24.542.379.273.9720.598.36
+ +通过表2可知，金针菇、芜湖青椒和净藕的均值高，标准差也较高，说明其销售量的波动性很大，销售量不稳定；虫草花、小白菜、青尖椒和长线茄的均值低，标准差也低，说明其销售量的波动性较小，销售量相对稳定；所有单品蔬菜的偏度值都大于0，说明数据分布于均值右侧的居多；所有单品蔬菜的峰度值都大于0，表明数据分布相对于正态分布更加尖峰。 + +# 6.2.2 数据可视化处理直观观测数据 + +通过数据描述性分析，首先对蔬菜六大品类及各单品的销售量进行基本情况了解。再对数据进行可视化处理，直观观测数据的模式和趋势，深入分析蔬菜六大品类及各单品的销售量的分布规律。 + +# （1）蔬菜六大品类总销售量分布情况 + +图5蔬菜六大品类的总销售量分布图 +![](images/375508c9f8a867809735f6752d2541bc78c50a0e222ad7b4874a33d6cdc226e5.jpg) +(a) 蔬菜六大品类的总销售量直方图 + +![](images/c1c60fcd406c676a81a55fb8967cc79d9978d96f1372bb24923fdb578c2713b0.jpg) +(b) 蔬菜六大品类的总销售量饼状图 + +通过图5可以看出，花叶类蔬菜的销售量占比高达 $42\%$ ，位居销售量最高位，是消费者最喜爱的品类之一。其次是辣椒类和食用菌，占据相当大的市场份额。这些数据表明花叶类蔬菜在消费者中拥有广泛的认可度和受欢迎程度，辣椒类和食用菌的高销售量也证明了消费者对具有独特风味和营养价值的蔬菜产品的青睐。 + +# （2）蔬菜六大品类日销量分布情况 + +![](images/ea581fb2c5fc8fb2274866c11bcc4b84be500e77b96b60440077335cb06f8433.jpg) + +![](images/5cace3973b3662d67a38e8a79a746fc33eaa2b40b075c6e757af6cea541b438b.jpg) +图6蔬菜六大品类日销量分布图 + +由图6可知，六类蔬菜的日销售量在2020年7月至2023年6月30日都有其高峰和低谷，呈现出明显的季节性波动。这意味着人们对不同品类的蔬菜的需求在不同 + +季节有所变化，并且这种季节性的波动对蔬菜销售量产生了一定的影响。其次，辣椒类和水生根类的销售量在每年的特定时段都达到了最高峰，这可能与某些节日或季节性事件有关。 + +# （3）单品蔬菜的分布情况 + +由于篇幅有限制，本文此处只展示花叶类和茄类的分布情况，其余单品见附件。 + +![](images/fc80f5d198a2edd8b1328a00bec0938052e595b3f6ef09579d4e34e0b6700068.jpg) +(a)花叶类蔬菜品的销售量分布图 + +![](images/5113971e91a6d60d900bd8cb1c8bb049a6f98caac190db5dea4b2dc2514ba6e2.jpg) +(b)茄类蔬菜单品的销售量分布图 +图7单品蔬菜的分布情况 + +由图7可知，各类单品蔬菜都在特定阶段呈现明显的高峰和低谷阶段，说明它们的销售量可能受到季节性的影响。 + +# 6.3 第二问：分别建立模型判断关联关系 + +# 6.3.1 利用 Spearman 相关系数判断各品类之间的相关性 + +# （1）Spearman相关系数的运用 + +Spearman 相关系数是一种非参数的相关性度量，可以等级化变量之间的相关性，用于分析两个连续变量之间的相关性。由于蔬菜各品类的销售量为连续变量，因此本次建模采用 Spearman 相关系数用于分析蔬菜各品类销售量的相关关系。X、Y 为两组独立同分布的数据，其样本个数为 N。 $X_{i}, Y_{i}$ 分别表示两组随机变量的第 $i$ 个值，其中 $i = 1,2,\dots,N$ 。 + +首先对 $\mathrm{X}$ ， $\mathrm{Y}$ 集合同时降序或升序排列，得到两个元素排序集合 $x, y$ ，其中元素 $x_{i}, y_{i}$ 分别为 $X_{i}, Y_{i}$ 在各自集合中的排序。设定d集合为 $\mathrm{X}$ 与 $\mathrm{Y}$ 集合中相同位元素排序之差，d集合各元素计算式如下： + +$$ +d _ {i} = x _ {i} - y _ {i} \tag {3} +$$ + +Spearman 相关系数 $r_{s}$ 计算公式如下： + +$$ +r _ {s} = 1 - \frac {6 \sum_ {i = 1} ^ {N} d _ {i} ^ {2}}{N \left(N ^ {2} - 1\right)} \tag {4} +$$ + +利用MATLAB求解蔬菜六大品类的Spearman相关系数如下表所示： + +表 3 蔬菜六大品类的 Spearman 相关系数表 + +
Spearman相关系数
花菜类花菜类食用菌花叶类辣椒类茄类水生根茎类
1.000.480.640.450.210.41
食用菌0.481.000.610.55-0.080.62
花叶类0.640.611.000.610.270.45
辣椒类0.450.550.611.000.130.35
茄类0.21-0.080.270.131.00-0.18
水生根茎类0.410.620.450.35-0.181.00
+ +由表3可知： + +I. 花菜类与其它品类的相关系数较高，呈正相关，其中花叶类与花菜类的 Spearman 相关系数为 0.64，表明它们之间存在较强的正相关关系。 +II. 食用菌与花菜类，花叶类，辣椒类和水生根茎类呈正相关关系，且相关性较高。但与茄类的 Spearman 相关系数为 -0.08，相关性近似于 0。 +III. 花叶类与其它品类的相关系数较高，表明它们之间存在较强的正相关关系。 +IV. 辣椒类于其它品类具有较强的正相关关系。 +V. 茄类和其它蔬菜品类之间的相关系数较低，说明茄类与其他品类之间的销售量关系较弱。 +VI. 水生根茎类与其它蔬菜品类之间的相关系数均在 0.4 左右，表明它们之间存在一定的正相关关系，但相关性不强。 + +# (2）Spearman相关系数的检验 + +本文对蔬菜六大品类采取 Spearman 相关系数检验，检验步骤如下： + +# Step1）提出假设 + +原假设 $H_0$ : Spearman 系数 $\mathrm{R} \neq 0$ + +备择假设 $H_{1}$ : Spearman 系数 $\mathrm{R} = 0$ + +设定置信水平为 $90\%$ + +# Step2)计算P值 + +本文利用 MATLAB 进行斯皮尔曼系数检验，结果如表 4 所示 + +表 4 六大蔬菜品类的 Spearman 相关系数检验 P 值 + +
p值检验
花菜类食用菌花叶类辣椒类茄类水生根茎类
花菜类1.000.000.000.000.000.00
食用菌0.001.000.000.000.000.00
花叶类0.000.001.000.000.000.00
辣椒类0.000.000.001.000.000.00
茄类0.000.000.000.001.000.00
水生根茎类0.000.000.000.000.001.00
+ +由表4可知，六大蔬菜品类任意两者之间的P值均为0，故接受原假设，可认为各个蔬菜品类之间的销售量存在显著相关性。 + +# 6.3.2 通过K-means++聚类算法找出各单品之间的关联关系 + +# （1）K-means++聚类算法的计算 + +K-means++算法是k-means算法的拓展，在初始化簇中心时，摒弃了K-means算法随机初始化的思想，其选择初始化聚类中心的原则是初始化簇中心之间的相互距离要尽可能地远。 + +本次建模采用K-means++聚类算法，首先将单品名称相同的品种进行数据合并处理，然后以单品的总销售量、每日最大销售量和日均销售量为指标，将单品分为热销、畅销、平销和滞销四大类，进行单品销售量的相关性分析。本文设定K值为4，进行 + +建模聚类。K-means++算法步骤如下： + +Step1）在数据集X中随机选择一个样本点作为第一个初始聚类中心 $c_{i}$ + +Step2）选择出其余的聚类中心： + +计算样本中的每一个样本点与已经初始化的聚类中心之间的距离，并选择其中最短的距离，记为 $d_{i}$ + +计算每个样本点被选为下一个聚类中心的概率 $P(x)$ , 最后选择最大概率值 (或者概率分布) 所对应的样本点作为下一个簇中心; + +$$ +P (x) = \frac {d _ {i} (x) ^ {2}}{\sum_ {x \in X} d _ {i} (x) ^ {2}} \tag {5} +$$ + +Step3）重复上述过程，直到 k 个聚类中心都被确定。 + +Step4）计算各个样本与各个聚类中心的欧式距离： + +$$ +D _ {i j} = \sqrt {\sum_ {k = 1} ^ {m} \left(x _ {i k} - K _ {j k}\right) ^ {2}} \qquad j = 1, 2, \dots , K; i = 1, 2, \dots , n \tag {6} +$$ + +共有 $m$ 个指标， $n$ 个样本。比较得出与各聚类中心最小距离的样本，归为聚类中心的类。 + +Step5）迭代一次后，更新聚类中心，新聚类中心变为： + +$$ +K _ {j} ^ {\prime} = \frac {1}{n ^ {\prime}} \sum_ {x _ {i} \in K _ {j}} x _ {i} \tag {7} +$$ + +Step6）重复 Step4 和 Step5，直到聚类中心不再改变为止。 + +# (2) 得出聚类中心 + +以单品的总销售量、每日最大销售量和日均销售量为指标，使用聚类算法进行分类，将单品分为热销、畅销、平销和滞销四大类。 + +表 5 聚类中心 + +
聚类中心
总销售量每日最大销售量日均销售量类别
聚类中心1438.851891113.935415840.400777983滞销
聚类中心214215.58056142.03712.98226535畅销
聚类中心36087.950891.9855.55977242平销
聚类中心428444.3606200.538625.97658502热销
+ +# （3）问题求解 + +利用MATLAB求解各单品蔬菜的聚类结果如下表所示（由于篇幅原因，只展示前60种单品的聚类结果，其余结果见附件）： + +表 6 六十种单品蔬菜聚类 + +
序号名称类别序号名称类别序号名称类别
1金针菇热销11西峡香菇畅销21洪湖莲藕(粉藕)平销
2净藕热销12小米椒畅销22黄白菜平销
3芜湖青椒热销13云南油麦菜畅销23黄心菜平销
4西兰花热销14紫茄子畅销24牛首油菜平销
5云南生菜热销15白玉菇平销25泡泡椒(精品)平销
6菠菜畅销16保康高山大白菜平销26青梗散花平销
7大白菜畅销17菜心平销27青茄子平销
8螺丝椒畅销18海鲜菇平销28青线椒平销
9奶白菜畅销19红椒平销29双孢菇平销
10上海青畅销20红薯尖平销30甜白菜平销
31茼蒿平销41白菜苔滞销51赤松茸滞销
32娃娃菜平销42白蒿滞销52虫草花滞销
33苋菜平销43薄荷叶滞销53春菜滞销
34小青菜平销44本地黄心油菜滞销54大白菜秧滞销
35小皱皮平销45本地上海青滞销55大芥兰滞销
36杏鲍菇平销46本地小毛白菜滞销56大龙茄子滞销
37枝江红菜苔平销47荸荠滞销57灯笼椒滞销
38枝江青梗散花平销48冰草滞销58东门口小白菜滞销
39竹叶菜平销49蔡甸藜蒿滞销59甘蓝叶滞销
40艾蒿滞销50茶树菇(袋)滞销60高瓜滞销
+ +各单品的销售量相关性分析结果： +I. 热销类别中的单品通常具有高总销售量、高每日最大销售量和高日均销售量。这意味着这些单品销售非常火爆，并且在销售指标上表现出相对一致的趋势。热销类别内的单品之间可能存在很高的相关性，即它们的销售指标相互影响较大。 +II. 畅销类别中的单品在销售指标上表现相对较好，但相对于热销类别来说，它们的总销售量、每日最大销售量和日均销售量可能会稍低。在畅销类别内，单品之间的相关性较强。 +III. 平销类别中的单品的销售指标在中等水平上保持稳定，没有明显的高或低。这些单品之间可能存在较低的相关性，销售指标相对独立。 +IV. 滞销类别中的单品表现出较低的总销售量、每日最大销售量和日均销售量。这些单品之间可能存在较弱的相关性，它们的销售指标相互影响较小。 + +# 七、问题二模型的建立与求解 + +# 7.1 成本加成定价 + +成本加成定价法含义直观，使用简便，在定价实践中运用较为广泛[2]。这种方法是指在商品成本的基础上，根据零售主体的需求加上适当比例的利润，最终形成商品的零售价格。 + +![](images/fa2ff3c861300254c508d591c501f56e7058f207a4a9a16a8423ce647959d74b.jpg) +图8成本加成定价定义 + +# 7.2 第一问：Pearson相关系数判断线性关系 + +# 7.2.1 Pearson相关系数的运用 + +Pearson 相关系数被广泛用来衡量两个变量之间线性相关程度，其取值范围介于 -1 到 1 之间，其中正值表示正向相关，负值表示负向相关，而接近于 0 的值表示两个变量之间几乎没有线性相关性。计算公式如下： + +$$ +r = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(X _ {i} - \bar {X}\right) \left(Y _ {i} - \bar {Y}\right)}{\sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(X _ {i} - \bar {X}\right) ^ {2}} \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(Y _ {i} - \bar {Y}\right) ^ {2}}} \tag {8} +$$ + +# (1) 求解结果 + +Pearson 相关系数结果如下表： + +表 7 Pearson 相关系数 + +
品类花菜类食用菌花叶类辣椒类茄类水生根茎类
相关系数-0.30-0.28-0.27-0.26-0.17-0.21
+ +由上表可知，花菜类、食用菌、辣椒类、茄类、花叶类和水生根茎类的销售总量与成本加成定价的相关系数都小于0，故各蔬菜品类的销售总量与成本加成定价呈负线性相关关系。 + +# (2）Pearson相关系数检验 + +本文对上述结果Pearson相关系数检验，检验步骤如下： + +# Step1）提出假设 + +原假设 $H_{0}$ : Pearson 相关系数 $\mathrm{R} \neq 0$ + +备择假设 $H_{1}$ : Pearson 相关系数 $\mathrm{R} = 0$ + +设定置信水平为 $90\%$ + +# Step2）计算 $\mathbf{P}$ 值 + +本文利用 MATLAB 进行 Pearson 相关系数检验，结果如下表所示： + +表 8 Pearson 相关系数检验 P 值 + +
品类花菜类食用菌花叶类辣椒类茄类水生根茎类
p值0.0010.0010.0010.0010.0010.001
+ +由表8可知，六大蔬菜品类的销售量与其成本加成定价的P值均约为0.001，远小于置信水平0.05，拒绝原假设，即六大蔬菜品类的销售量与其成本加成定价均呈现显著的线性相关关系。 + +# 7.2.2线性回归方程的验证与计算 + +由上述分析知，各品类蔬菜的销售总量与成本加成定价之间存在明显的线性关系。因此，本文以各蔬菜品类的销售总量为自变量，成本加成定价为因变量，建立线性回归模型，进一步判断各品类蔬菜的销售总量与成本加成定价之间线性相关关系的趋势。表达式如下： + +$$ +c p p = \beta_ {0} + \beta_ {1} c s \tag {9} +$$ + +其中，cpp为成本加成定价，cs为各蔬菜品类的销售总量， $\beta_0$ 为截距。 + +最小二乘法通过找到最佳的系数值，使得线性模型的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。 + +$$ +\beta_ {1} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(c s _ {i} - \overline {{c s}}\right) \left(c p p _ {i} - \overline {{c p p}}\right))}{\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(c s _ {i} - \overline {{c s}}\right) ^ {2}} \tag {10} +$$ + +# (1) 求解结果 + +根据最小二乘法，建立线性回归方程 $c p p = \beta_{0} + \beta_{1} c s$ ，通过 SPSS 软件建立线性回归模型，得到如下六个回归模型判断表，其 $p$ 值检验均小于 0.01，故拒绝原假设，回归模型建立效果较好（因篇幅限，此处只展示辣椒类和食用菌的结果，其余见附录）。 + +表 9 回归模型判断表 + +
辣椒类食用菌
非标准化系数标准化系数P非标准化系数标准化系数P
B标准误BetaB标准误Beta
常数9.5080.9149.5080.000** *常数10.0021.01510.0020.000***
销量-3.6231.909-0.0380.067*销量-3.8311.831-0.0530.040**
+ +由表9分析可知，根据标准化系数，建立辣椒类与食用菌的成本加成定价与其销售量的线性方程如下： + +辣椒类： $cpp_{1} = 9.508 - 0.038cs_{1}$ 食用菌： $spp_{2} = 10.002 - 0.053cs_{2}$ + +当辣椒类和食用菌类日销售量为0时，其初始成本加成定价分别为9.508和10.002元。而当辣椒类日销售量每上升 $1\mathrm{kg}$ ，其成本加成定价就会降低0.038元；当食用菌日销售量每上升 $1\mathrm{kg}$ ，其成本加成定价就会降低0.053元。 + +其余线性方程如下： + +花菜类： $cpp_{3} = 20.943 - 0.089\mathrm{cs}_{3}$ 茄类： $cpp_{4} = 13.427 - 0.056\mathrm{cs}_{4}$ 花叶类： $cpp_{5} = 12.076 - 0.093\mathrm{cs}_{5}$ 水生根茎类： $cpp_{6} = 13.834 - 0.034\mathrm{cs}_{6}$ + +当花菜类、茄类、花叶类和水生根茎类日销售量为 0 时，其初始成本加成定价分别为 20.943、13.427、12.076 和 13.834 元。而当其销量每增加 $1 \mathrm{~kg}$ 时，各自成本加成定价分别减少 0.089、0.056、0.093 和 0.034 元。 + +# 7.3 第二问：优化模型制定单周日补货总量和定价策略 + +首先建立时间序列预测模型，为确保数据的时效性，以近半年期间的日销售量为原始数据，预测2023年7月1日-7日的日销售量。然后根据得到的预测结果建立优化模型，最后通过模拟退火模型得出各蔬菜品类的最优补货和定价策略。 + +# 7.3.1利用时间序列预测模型得出相关指标 + +本文利用SPSS软件构建时间序列模型，以专家建模器为基本算法进行预测未来一周的各蔬菜品类日销量。 + +表 10 各品类蔬菜适用的时间序列模型 + +
名称模型
花菜类简单季节性
食用菌简单季节性
花叶类温特斯乘性
辣椒类简单季节性
茄类简单季节性
水生根茎类简单季节性
+ +由表10可知，花叶类所建立的时间序列预测模型为温特斯乘性，花菜类、食用菌、辣椒类、茄类和水生根茎类均呈现季节趋势，故建立了简单季节性模型。 + +# （1）两种模型公式 + +※温特斯乘法模型 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} l _ {t} = \alpha \frac {x _ {t}}{s _ {t - m}} + (1 - \alpha) \left(l _ {t - 1} + b _ {t - 1}\right), (\text {水 平 平 滑 方 程}) \\ b _ {t} = \beta \left(l _ {t} - l _ {t - 1}\right) + (1 - \beta) b _ {t - 1}, (\text {趋 势 平 滑 方 程}) \\ s _ {t} = \gamma \frac {x _ {t}}{l _ {t - 1} - b _ {t - 1}} + (1 - \gamma) s _ {t - m}, (\text {季 节 平 滑 方 程}) \\ \hat {x} _ {t + h} = \left(l _ {t} + h b _ {t}\right) s _ {t + h - m (k + 1)}, k = \left[ \frac {h - 1}{m} \right], (\text {预 测 方 程}) \end{array} \right. \tag {11} +$$ + +※简单季节性模型 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} l _ {t} = \alpha \left(x _ {t} - s _ {t - m}\right) + (1 - \alpha) l _ {t - 1}, (\text {水 平 平 滑 方 程}) \\ s _ {t} = \gamma \left(x _ {t} - l _ {t - 1}\right) + (1 - \gamma) s _ {t - m}, (\text {季 节 平 滑 方 程}) \\ \hat {x} _ {t + h} = l _ {t} + s _ {t + h - m (k + 1)}, k = \left[ \frac {h - 1}{m} \right], (\text {预 测 方 程}) \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +模型中的一些指标解释如下： + +
指标解释
m周期长度（4季度）
α水平平滑参数
β趋势平滑参数
γ季节平滑参数
x̂t+h第h期预测值
xt第t期原始值
+ +由于预测未来一周蔬菜的日销量，故设定 $h = 1,2,\dots ,7$ + +# （2）单位成本计算 + +各蔬菜品类单位成本计算公式： + +$$ +B = C \times (1 + L) \tag {13} +$$ + +其中B为单位成本，C为批发价格，L为损耗率。 + +从而求得各蔬菜品类单位成本分别为花菜类7.57元、食用菌7.20元、花叶类：5.44元、辣椒类：7.61元、茄类：5.17元水生根茎类11.22元。 + +# （3）目标函数的建立 + +本模型的优化目标为利润最大化，其数学表达式为： + +$$ +\max \sum_ {\mathrm {i} = 1} ^ {6} \sum_ {\mathrm {j} = 1} ^ {7} S _ {i j} \times \left(P _ {i j} - B _ {i}\right) - R _ {i j} \times B _ {i} \times L _ {i} \tag {14} +$$ + +其中 $S_{ij}, R_{ij}, P_{ij}, B_i, L_i$ 分别表示第 $i$ 蔬菜品类第 $j$ 天的日销量、补货量、定价、单位成本和平均损耗率 + +# （4）约束条件的确立 + +# (1)需求约束: + +为满足蔬菜的正常供应，各品类蔬菜补货量应当不低于每日销售量，即： + +$$ +R _ {i j} \geq S _ {i j}, i = 1, 2, \dots 6; j \leq 1, 2, \dots , 7 \tag {15} +$$ + +# (2)补货约束: + +为保证商超正常的销售，需要避免某蔬菜品类补货严重过多的情况发生，需使各 + +蔬菜品类未来一周补货量不超过前三年各品类蔬菜日最大销售量，即： + +$$ +R _ {i j} \leq S _ {i m a x}, i = 1, 2, \dots 6; j \leq 1, 2, \dots , 7 \tag {16} +$$ + +其中 $S_{imax}$ 表示第 $i$ 蔬菜品类前三年日最大销售量。 + +各蔬菜品类前三年日均销量如下表： + +表 11 各蔬菜品类前三年日均销量 + +
指标花菜类食用菌花叶类辣椒类茄类水生根茎类
均值38.1669.18181.4283.6920.5037.08
+ +(3)定价约束: + +由于商超收益，各蔬菜品类定价不低于其单位成本的 $110\%$ ，且同时防止定价过高影响销售，故定价不超过单位成本的 $150\%$ ，即 + +$$ +110 \% \times B _ {i} \leq P _ {i j} \leq 150 \% \times B _ {i}, i = 1,2,\dots 6; j \leq 1,2,\dots ,7 \tag{17} +$$ + +(4)损耗约束: + +若蔬菜当日未售出，隔日就无法再售，同时考虑蔬菜运输或销售过程中存在一定损耗，为避免过多的损失需要控制损耗，使补货量中存在的损失不超过前三年各蔬菜品类的最大日均损失，即： + +$$ +B _ {i} \times R _ {i j} \times L _ {i} + \left(R _ {i j} - S _ {i j}\right) \leq L _ {i} \times S _ {i m a x}, i = 1, 2, \dots 6; j \leq 1, 2, \dots , 7 \tag {18} +$$ + +# 7.3.2 优化模型的整合呈现 + +$$ +m a x \sum_ {i = 1} ^ {6} \sum_ {j = 1} ^ {7} S _ {i j} \times (P _ {i j} - B _ {i}) - R _ {i j} \times B _ {i} \times L _ {i} +$$ + +$$ +s t. \left\{ \begin{array}{c} S _ {i j} \leq R _ {i j} \leq S _ {i m a x i}, i = 1, 2, \dots 6; j \leq 1, 2, \dots , 7 \\ 110 \% \times B _ {i} \leq P _ {i j} \leq 150 \% \times B _ {i}, i = 1, 2, \dots 6; j \leq 1, 2, \dots , 7 \\ B _ {i} \times R _ {i j} \times L _ {i} + \left(R _ {i j} - S _ {i j}\right) \leq L _ {i} \times S _ {i m a x}, i = 1, 2, \dots 6; j \leq 1, 2, \dots , 7 \end{array} \right. \tag{19} +$$ + +# 7.3.3 依据模拟退火模型得出较优策略 + +模拟退火算法的基本思想是从某一较高初温出发，伴随温度参数的不断下降，结合一定的概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。 + +# （1）Metropolis准则 + +Metropolis 准则就是如何在局部最优解的情况下让其跳出来，是退火的基础。即以概率来接受新状态，而不是使用完全确定的规则。 + +假设前一个状态为A,系统根据某一指标（梯度下降，上节的能量），状态变为B,相应的，系统的能量由 $f(A)$ 变为 $f(B)$ ，定义系统由变为的接受概率 $p_t$ 为： + +$$ +p _ {t} = \left\{ \begin{array}{c} 1, f (A) < f (B) \\ e ^ {- (f (A) - f (B)) \times C _ {t}}, f (A) \geq f (B) \end{array} \right. \tag {20} +$$ + +此处 $f(A)$ 即为上述目标函数。 + +# （2）模拟退火模型步骤如下： + +Step1) 给定初温 $t = 100$ , 温度衰减系数 $\alpha = 0.95$ 随机产生初始状态 $s = s_{0}$ , 令 $k = 0$ , 每个温度迭代最多不超过 100 次; + +Step2）产生新状态 $s_{j} = \text{Genet e}(s)$ ； + +Step3) 如果 $\min \left\{ 1, \exp \left\lbrack -\frac{C\left( {s}_{j}\right) - C\left( s\right) }{{t}_{k}}\right\rbrack \right\} \geq$ random[0,1],令 $s = {s}_{j}$ ; + +Step4）直到抽样稳定准则满足：退温 $t_{k + 1} = \text{update}(t_k)$ 并令 $k = k + 1$ + +Step5）直到算法终止准则满足：输出算法搜索结果。 + +# （3）模型求解 + +以近半年各蔬菜品类销售情况为基础做出预测折线图，各蔬菜品类预测结果如下： + +![](images/c07bd6549d1cb44e1b06928e4b47b9730483bd3d3c2fce2f858cff91e99611b8.jpg) + +![](images/efed2c48e5d1718f529271d1c443e680437c38210a3d9f103495354ee1d4d589.jpg) + +![](images/cae53e1453215809eb19d3706c3960ec4b2d1b3d158b6656de28d2679a37be90.jpg) +图9花菜类(左)和食用菌(右) + +![](images/477ef7a096f3a643e3c4ca024a441b6dc376707a5b84e77a9ac509901d1ceba7.jpg) + +![](images/2a9a4d97688eafa6fdf77c8350072a38254c212efce652e19056cf42b7a14702.jpg) +图10花叶类(左)和辣椒类(右) + +![](images/141d12c653f076ae8dcfd9c4e188017011ffa592e513487610741825788188a3.jpg) +图11茄类(左)和水生根类(右) + +未来一周各蔬菜品类日销量预测如下表： + +表 12 各蔬菜品类在 2023 年 7 月 1 日-7 日的日补货总量 + +
日期花菜类食用菌花叶类辣椒类茄类水生根茎类
2023-7-133.2168.99188.78112.6427.7932.95
2023-7-234.2963.82179.56106.5027.5528.70
2023-7-323.9842.43126.6075.2421.5416.17
2023-7-425.5838.43120.1673.9619.5615.46
2023-7-526.7343.73121.5473.1719.6815.43
2023-7-628.9243.46117.8979.6419.8115.20
2023-7-732.3554.00132.3597.0623.1122.10
+ +# （4）补货量与定价策略 + +根据优化模型求解得未来一周最大收益为5105.60元。根据优化目标，建立模拟退火模型，求解得到2023年7月1日-7日各蔬菜品类日补货量(单位:kg)与定价策略如下： + +表 13 2023 年 7 月 1 日—7 日各蔬菜品类日补货量(单位：kg)与定价策略 + +
日期花菜类食用菌花叶类
日补货量定价日补货量定价日补货量定价
2023-7-153.3549.8565.2018.64211.4566.53
2023-7-220.1229.8566.9128.64260.4576.53
2023-7-341.1459.8531.8538.64261.4246.53
2023-7-439.2659.8549.3098.64164.1456.53
2023-7-550.9249.8546.7638.64262.4816.53
2023-7-631.459.8558.3318.64260.4736.53
2023-7-729.1759.8561.9658.64203.1246.53
日期辣椒类茄类水生根茎类
日补货量定价日补货量定价日补货量定价
2023-7-175.1449.149.7916.7321.82716.84
2023-7-2108.9579.98.7326.7311.62816.84
2023-7-3109.5519.95.6226.7315.66116.84
2023-7-443.0929.910.8356.739.70914.59
2023-7-5110.0279.93.2956.7318.39414.59
2023-7-6108.92711.436.6246.7310.22414.59
2023-7-770.08711.436.1536.7314.35514.59
+ +![](images/f7baa41fb588e7d1c7e7962b79bd9c687f2fdf2155c5a3742e66b440642707e2.jpg) +图12六大蔬菜品类未来一周补货量(左)与定价(右) + +![](images/bd1c8842d3c020c04afa03ecd95ecbec1ec25d10fb55790b1b53aded165d5ec7.jpg) + +# 八、问题三模型的建立与求解 + +# 8.1 数据预处理 + +根据题目规定，制定较合理的单品补货量和定价策略，选择2023年6月24日-6月30日间所销售的单品蔬菜作为补货选择，。同时为求收益最大，还需筛选出各补货单品蔬菜此期间批发单价和损耗率。 + +共筛选出49种单品蔬菜进行售卖，部分单品蔬菜每日批发单价及其损耗率如下(其余单品蔬菜此期间批发单价和损耗率见附录) + +表 14 单品蔬菜每日批发单价与损耗率表 + +
白玉菇 (袋)菠菜菠菜 (份)菜心虫草花 (份)高瓜 (1)高瓜 (2)海鲜菇 (包)紫茄子 (2)
2023-06-2409.633.94.62.6611.1401.953.8
2023-06-2509.6304.62.6611.313.231.963.8
2023-06-263.589.66002.6611.6513.351.963.8
2023-06-2709.674.134.612.6711.6413.391.953.8
2023-06-283.579.664.194.622.7211.6701.963.8
2023-06-293.5704.202.6311.7113.671.953.8
2023-06-303.299.674.0702.611.6713.691.953.43
损失率6.57%18.51%9.43%13.7%9.43%29.25%9.43%06.07%
+ +说明：上表中单品蔬菜批发单价为0，即当天为对其进行补货。 + +# 8.2优化模型制定单日日补货总量和定价策略 + +# （1）确立目标函数 + +由题意，制定2023年7月1日各单品蔬菜的补货与定价策略使得总收益达到最大，即目标函数为： + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {4 9} y _ {i} \left[ R _ {i} \left(P _ {i} - B _ {i}\right) - R _ {i} B _ {i} L _ {i} \right] \tag {21} +$$ + +其中 $y_{i}$ 为0-1变量，当 $y_{i}$ 若为1是表示采购第 $i$ 种单品蔬菜，若为0则不采购； $R_{i}, P_{i}, B_{i}$ 和 $L_{i}$ 分别表示第 $i$ 种单品蔬菜的补货量、定价、单位成本和损耗率。 + +# （2）设立约束条件 + +# (1)种类数量约束 + +单品蔬菜补货总数在27~33之间，即： + +$$ +2 7 \leq \sum_ {i = 1} ^ {4 9} y _ {i} \leq 3 3 \tag {22} +$$ + +# ②补货最低陈列量约束 + +单品每次补货不低于 $2.5 \mathrm{~kg}$ , 即: + +$$ +R _ {i} \geq 2. 5, i = 1, 2, \dots , 4 9 \tag {23} +$$ + +# ③最高补货量约束 + +根据近期补货规律，为防止补货无限制，则需使各单品蔬菜补货量小于2023年6月24日—6月30日中最大补货量，即： + +$$ +R _ {i} \leq x _ {i m a x}, i = 1, 2, \dots , 4 9 \tag {24} +$$ + +$x_{imax}$ 表示2023年6月24日—6月30日中第i类单品蔬菜的最大补货量。 + +# ④定价约束 + +为保证商超的正常销售和盈利，规定各单品蔬菜定价不低于其单位成本的 $110\%$ 同时不高于 $150\%$ ，即： + +$$ +110 \% \times B _ {i} \leq P _ {i} \leq 150 \% \times B _ {i}, i = 1, 2, \dots , 49 \tag{25} +$$ + +# 8.2.1 优化模型的整合呈现 + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {4 9} y _ {i} \left[ R _ {i} \left(P _ {i} - B _ {i}\right) - R _ {i} B _ {i} L _ {i} \right] \tag {26} +$$ + +$$ +s t. \left\{ \begin{array}{c} 2 7 \leq \sum_ {i = 1} ^ {4 9} y _ {i} \leq 3 3 \\ 2. 5 \leq R _ {i} \leq x _ {i m a x}, i = 1, 2, \dots , 4 9 \\ 1 1 0 +$$ + +# 8.2.2 模型说明 + +在问题三的背景下，本题仍然为优化问题中的线性规划问题，所以本题仍选用模拟退火模型求解。 + +# 8.2.3 模拟退火模型求解补货及定价策略 + +根据优化模型筛选出29种可售单品，并求解得2023年7月1日最大收益为1282.2631元，根据优化目标，建立模拟退火模型，采用MATLAB软件求解，设定模拟退火算法的初始温度为 $100^{\circ}\mathrm{C}$ ，温度衰减系数 $\alpha = 0.95$ ，且在每个温度上迭代最多100次，从而得到各个单品蔬菜的最优补货和定价策略。结果如下（由于篇幅有限，此处只展示前15种单品蔬菜在2023年7月1日的补货量与定价策略，其余见附件） + +表 15 单品蔬菜的补货量与定价策略 + +
序号单品蔬菜名称单位成本日补货总量 (千克)定价收益
1本地小毛白菜3.14465023.1726.66005465911.15086294
2云南生菜5.85712631610.44313.7191469782.10308169
3茼蒿8.2252989.01419.92413935105.4533559
4牛首油菜2.8371158118.2155.50457209548.58771622
5紫茄子(2)4.5611838852.56.6689069595.269307683
6西峡香菇(1)13.7896344617.7220.33419497115.9696123
7西兰花10.0368743618.03716.07104323108.8383038
8净藕(1)4.9584768224.9711.32317767158.9265801
9枝江红菜苔5.639837682.59.0096406948.424507535
10白玉菇(袋)4.3803404412.59.86759291213.71813118
11芜湖青椒(1)3.8883737726.9196.16268358961.222146
12杏鲍菇(2)9.1285463813.15121.7916659239.90148967
13奶白菜(份)2.361256222134.03633138621.77597713
14双孢菇(盒)3.480389508105.32499594818.44606439
15青红杭椒组合装 (份)3.5264755.62013523910.4683262
+ +# 九、问题四模型的建立与求解 + +题目要求分析影响商超收益的因素，并据此制定更优的蔬菜商品补货和定价决策，本文将通过模型分析和文献查阅两种方式提出合理建议。 + +# 9.1 模型分析 + +为更好制定蔬菜补货和定价策略，本文在现在已有数据基础之上进行数据预处理，筛选出季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量，分别可代表季度蔬菜丰富度、季度效应和节日因素，三个指标与其所属蔬菜品类季度平均销量相结合，建立灰色关联分析模型，分析各指标对销量的 + +影响程度，从而可说明这些指标对制定补货和定价策略存在一定影响。 + +# 9.1.1 数据预处理 + +根据现有数据进行处理。本题根本要求为探查各因素对销售情况的影响，故筛选出六大蔬菜品类三年来12季度的平均销售量作为因变量因素；同时筛选出季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量作为自变量因素。 + +# （1）特征单品蔬菜的选取 + +为有效的判断单品蔬菜对其所属蔬菜品类的影响，本文选取各蔬菜品类三年中销售总量最多的单品蔬菜作为特征单品蔬菜。各蔬菜品类特征单品蔬菜如下： + +表 16 特征单品蔬菜 + +
蔬菜品类花菜类食用菌花叶类辣椒类茄类水生根茎类
特征单品蔬菜西兰花西峡香菇(1)云南生菜芜湖青椒(1)紫茄子(1)净藕(1)
+ +# （2）节气期间特征单品蔬菜销量的选取 + +立春、立夏、立秋和立冬处于四个季度较为中心时期，故选择这四个节气周围一周内特征单品蔬菜的销售量作为该指标。 + +# （3）节日期间特征单品蔬菜销量的选取 + +中国人民对于春节、端午、七夕和国庆不同节日的重视程度不一，故选择该四个节日可有效刻画重要节日对对销售情况的影响。 + +# 9.1.2灰色关联分析 + +本文利用以上指标数据，建立灰色关联分析模型，以季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量作为子序列，遍历花叶类、辣椒类等六大蔬菜品类季度平均销量作为母序列，求出各指标对销售量的关联度，以关联度值衡量相关性的大小。 + +灰色关联分析基本思想：根据序列曲线集合形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联程度就越大，反之越小。 + +# 分析步骤如下： + +Step1）画出各个指标的序列折线图，观察指标的趋势走向。 + +Step2）确定母序列和子序列。 + +假设评价对象有 $m$ 个，评价指标有 $n$ 个，母序列为 $x_0 = x_0(k) | k = 1,2,\ldots,n,$ 子序列为 $x_i = x_i(k) | k = 1,2,\ldots,m$ 。 + +Step3）对变量进行预处理。 + +分别对母序列和子序列中的每个指标进行预处理，先求出每个指标的均值，再用该指标中的每个元素都除以其均值。据此可以消除量纲的影响同时缩小变量范围简化计算。设标准化矩阵为 $Z$ ， $Z$ 中的元素记为 $Z_{ij}$ ，计算公式如下： + +$$ +Z _ {i j} = \frac {x _ {i j}}{\overline {{x _ {i j}}}} \tag {27} +$$ + +得到标准化矩阵 $Z$ + +$$ +Z = \left[ \begin{array}{c c c c} Z _ {1 1} & Z _ {1 2} & \dots & Z _ {1 m} \\ Z _ {2 1} & Z _ {2 2} & \dots & Z _ {2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Z _ {n 1} & Z _ {n 2} & \dots & Z _ {n m} \end{array} \right] \tag {28} +$$ + +Step4）计算子序列中各个指标与母序列的关联系数。 + +$$ +y \left(x _ {0} (\boldsymbol {k}), x _ {i} (\boldsymbol {k})\right) = \frac {\boldsymbol {a} + \rho \boldsymbol {b}}{\left| x _ {0} (\boldsymbol {k}) - x _ {i} (\boldsymbol {k}) \right| + \rho \boldsymbol {b}} (i = 1, 2, \dots m, k = 1, 2, \dots n) \tag {29} +$$ + +其中 $\pmb{\rho}$ 为分辨系数，一般取0.5。a为两级最小差，b为两级最大差，计算公式如下： + +$$ +a = \underset {i} {\text {m i n}} \underset {k} {\text {m i n}} | x _ {0} (k) - x _ {i} (k) | \tag {30} +$$ + +$$ +\boldsymbol {b} = \underset {\boldsymbol {i}} {\text {m a x}} \underset {\boldsymbol {k}} {\text {m a x}} | x _ {0} (\boldsymbol {k}) - x _ {i} (\boldsymbol {k}) | +$$ + +Step5) 计算灰色关联度 + +$$ +y \left(x _ {0}, x _ {i}\right) = \frac {1}{n} \sum_ {k = 1} ^ {n} y \left(x _ {0} (k), x _ {i} (k)\right) = \frac {1}{n} \sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {\boldsymbol {a} + \boldsymbol {\rho} \boldsymbol {b}}{\left| x _ {0} (\boldsymbol {k}) - x _ {i} (\boldsymbol {k}) \right| + \boldsymbol {\rho} \boldsymbol {b}} \tag {31} +$$ + +# 9.1.3 模型求解 + +利用MATLAB软件求解，得到三个指标与蔬菜品类季度平均销售量的标准化折线图如下（由于篇幅有限，本文此处只展示花菜类和辣椒类的标准化折线图，其余见附件） + +![](images/862b0d7668a95ad174f13a843fd5bee7a0fc79aa12100f9bf4a7c86b1b592eb9.jpg) +图13三个指标与六大蔬菜品类季度平均销售量标准化折线图 + +![](images/00d57931ea062af8730a1342bf2f06e32ad02e8a73ccd6a6b93747ba6ddad028.jpg) + +经过将原指标值标准化的处理，可以观察到季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量与相应蔬菜品类的季度平均销售量呈现出令人满意的拟合效果。 + +本文采用灰色关联分析模型，量化这些指标之间的关联度，进一步探讨它们的相关性。三个指标与6大蔬菜品类季度平均销售量的关联度如下： + +表 17 三个指标与 6 大蔬菜品类季度平均销售量的关联度表 + +
季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数节气期间特征单品蔬菜销量节日期间特征单品蔬菜销量
花菜类季度平均销量0.90170.69370.6642
食用菌季度平均销量0.8590.72870.7573
花叶类季度平均销量0.73770.59610.5665
辣椒类季度平均销量0.72190.57820.6297
茄类季度平均销量0.77810.58520.6523
水生根茎类季度平均销量0.67530.69180.8103
+ +关联度的取值介于[0,1]之间，关联度值越高，意味着子序列能够很好的反映出母序列的变化趋势，表明子序列与母序列之间具有很强的相关性。从上表可以看出：六大蔬菜品类与季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量这三个指标之间的关联度值都大于0.5以上。 + +# ※总结： + +季度各蔬菜品类的单品蔬菜销售种数、节气期间特征单品蔬菜销量和节日期间特征单品蔬菜销量与六大蔬菜品类季度平均销量具有很强的相关性。因此，商超在制定最优补货与定价策略时参考该三种因素，能够有效地帮助商家制定更好的蔬菜商品的补货和定价决策。 + +# 9.2 文献查阅 + +# 9.2.1 客流量数据： + +不同的时间和日期会对客流量产生显著影响，而客流量与蔬菜的销售量直接相关。商超通过掌握客流量高峰和低谷时段，可以精准调整陈列策略、促销活动时间以及进货量，最大程度地满足顾客需求并提高经营利润。 + +# 9.2.2竞争对手的价格和销售策略信息： + +竞争对手的实力和数量，因为一家超市都有一定的服务商圈，同一商圈内竞争对手的数量、规模、核心竞争力等因素直会影响到超市的定价策略[3]。通过比较其他商超的定价策略，商家可以精准自身价格定位，以此保持竞争力。商家还可以根据竞争对手的销售策略来设计自己的促销方案，通过了解竞争对手关于产品定位、品种选择和组合搭配等方案，选择合理的优惠方式、设置合适的销售季节或节日促销活动等，以提升顾客吸引力。通过对竞争对手商业经营的研究，商家也可以发现差异化的市场机会，并根据市场需求调整自身的经营模式，从而吸引更多顾客。 + +# 9.2.3 消费者反馈和评价数据： + +收集顾客关于商品新鲜度、品质和价格的反馈，可以进一步了解顾客的需求和喜好，从而做出有针对性的销售改进和调整。首先，顾客对商品新鲜度的反馈可以让商家了解保鲜时间较长的商品以及可能存在质量问题的商品，从而对商品的运输储存工作进行调整，确保商品能够以较佳状态售卖给顾客。其次，顾客对商品品质的反馈可以反映商品的优点和不足之处。商家可以借助顾客的反馈选择进货渠道。最后，顾客对商品价格的反馈可以帮助商家了解其定价策略是否与顾客的期望相符，进而对定价策略做出适当调整。 + +# 9.2.4 顾客需求数据： + +通过顾客走访调查、购买记录和反馈收集等方式，了解顾客对蔬菜商品的需求偏好、偏好的品种、包装的偏好、购买频率等信息。 + +基于以上数据，商超可以制定针对性的营销策略和经营决策。首先，根据顾客对蔬菜品种和包装的偏好，商超可以优化产品陈列组合，增加顾客喜欢的蔬菜种类和规格的供应，从而满足多样化的需求。其次，根据顾客对品质、有机认证等需求的偏好以及竞争市场定价情况，商超可以优选进货源、合理定价，平衡产品质量和价格之间的关系，提供更具吸引力和竞争力的蔬菜商品。最后，根据购买频率和顾客偏好，商超可以设计有针对性的促销活动，增加顾客的忠诚度和购买欲望。 + +# 9.2.5天气数据： + +收集未来的天气预报和节假日数据，可以帮助商家做出更准确和有针对性的决策，以应对消费者购物行为的变化和利用特定的销售机会。 + +天气状况对顾客的购物行为有很大的影响。例如，在暴雨天气下，消费者可能不愿意外出购物，而更倾向于线上购物。通过收集未来的天气预报数据，商家可以提前准备，适时调整库存、推广策略和促销活动，以满足消费者的需求和偏好。 + +# 9.2.6 供应链和物流数据： + +收集有关供应商的信息，包括产品产量、产地规模、货源地距离等。这些数据可以帮助商超评估供应商的供货能力，确保供应链不会出现缺货或供应不足的情况。其次，记录供应商的交货时间，并与实际交货时间进行对比。这有助于商超评估供应商的交货准确性和可靠性，以便合理安排库存和补货计划。此外，监测和记录供应商提供的产品的品质和符合性。通过收集顾客的反馈和进行抽样检测，商超可了解各供应商提供的产品质量，并据此判断合作伙伴的可靠性。 + +# 9.2.7库存状况： + +通过了解蔬菜的库存情况，可以预测可能会出现过度库存情况的蔬菜。当某种蔬菜库存过多而需求不足时，商家可能需要考虑采取打折销售、促销活动等措施来减少库存，帮助商家降低库存积压的风险，同时吸引更多的消费者购买，减少损失并库存的新鲜度。另一方面，了解蔬菜的库存情况还可以预测可能出现短缺的蔬菜种类。如果某种蔬菜的库存供应紧张，商家需考虑调高价格或采取其他供应措施，以确保供应的持续性、保持产品的可行性，这有助于商家在供应紧缺的情况下维持合理的利润，并能够及时调整供应链、寻找替代品或与供应商进行谈判。 + +# 9.2.8 财务数据： + +通过分析各蔬菜商品的成本、利润率和销售额，商超可以做出准确的定价决策。商超基于商品的成本和市场需求，可以设定合理的售价，以确保合理的利润水平；其次，根据销售数据和市场趋势，调整商品组合，引入新的热门蔬菜品种，并适应消费者需求的变化，可优化其蔬菜商品组合；通过重点关注高利润率的商品或调整库存量，可提高整体利润率。 + +# 9.2.9退货数据 + +通过分析退货记录可以帮助商家做出更好的决策： + +首先可以帮助商家了解退货的原因：是因为产品质量问题，还是因为顾客对产品不满意，或者是因为误购或者不需要了。其次，退货记录可以揭示产品的质量问题。商家可以根据退货原因和产品类型，对质量问题进行统计和分析，以识别潜在的质量问题，并采取相应的措施，提高产品质量。此外，通过分析退货记录，商家可以确定哪些商品容易被退货。根据这些数据，商家可以考虑调整其商品组合，例如减少或替换不受欢迎的产品，增加更受顾客喜爱的产品。同时，退货记录也提供了有关顾客反馈和满意度的信息。商家可以利用这些数据来改进客户服务，以减少退货率。 + +本文收集了2020年7月1日—2023年6月30日三年期间的退货记录，如下表（由于篇幅原因，此处只展示部分单品数据，其余见附录） + +![](images/97667f2159a73621aaa86039c67c402216bcb5b7ffd85958c888b76673a5e73b.jpg) +图14前三年退货记录图 + +![](images/4124d025905144c02edba8b9167cb024d71f823f003ee410de29268172c111ad.jpg) + +由图14可知，芜湖青椒、西兰花和西峡香菇的退货记录较高，由此商超可以联系退货的顾客，了解退货原因，如若是产品质量问题，可以强化质量控制，确保商品能够以最佳状态到达顾客手中。若是顾客的偏好问题，可以适当降低采购量，减少库存。 + +# 9.2.10 打折次数 + +通过分析单品的打折次数可以帮助商超做出更好的决策： + +打折销售频繁度的单品蔬菜即可反映出其销售呈现俱佳或较差两个极端现象。如果某个单品蔬菜的打折销售频繁度较低或几乎没有打折情况，这可能意味着该蔬菜在市场上非常受欢迎，供不应求。如果某个单品蔬菜的打折销售频繁度较高，这可能意味着该蔬菜的销售相对较弱。商家为了促进销售，采取了多次打折策略。此外，蔬菜的保鲜期通常较短，如果销售不及预期，商家可能需要加快处理和销售以减少损耗。 + +因此，通过观察单品蔬菜的打折销售频繁度，商家可以了解该蔬菜的销售情况表现，从而根据情况调整定价策略、采取促销措施，并有效管理损耗和保持蔬菜的品质。 + +本文收集了2020年7月1日—2023年6月30日三年期间的单品蔬菜的打折次数，如下表（由于篇幅原因，此处只展示前三十种单品数据，其余见附录） + +![](images/c50c09988fec0e2eac2f7a021af865e38205f478f41c8483da58a9fbf4f62593.jpg) +图15前三十种单品蔬菜打折次数 + +由上图可知，净藕的打折次数颇多，可能意味着销售状况不理想或市场竞争激烈。商家可以通过分析销售数据、消费者反馈和竞争情况来确定适当的销售策略和促销措 + +施，以提高净藕的销售额和市场竞争力。 + +# 9.3总结 + +综上所述，商超采集以上相关数据可以为他们制定蔬菜商品的补货和定价决策提供更准确、科学的依据，从而提高经营效益和顾客满意度。 + +# 十、模型的评价与推广 + +# 10.1 模型的优点 + +1、K-means++算法是K-means算法的升级，本文聚类指标量纲差距较大，此算法在初始聚类中心上做出规定，选取了更合理的初始聚类中心，为迭代出最佳迭代聚类中心而奠基。 +2、线性回归模拟各蔬菜品类销售量与成本加成定价的关系，可直观显示各蔬菜品类销售量的变化可引起一定量的成本加成定价的变化。 +3、时间序列预测模型为简单季节性和温特斯乘法，充分分解了各蔬菜品类近三年历史销售量的各项特征结合，近期时效特征，模拟出更加贴合实际和准确的预测值。 +4、模拟退火算法可根据一定概率可以放弃局部最优解，找到全局最优解。 +5、灰色关联分析简单易懂，可直观地反映因素之间的关联程度。通过计算关联度来判断各个因素对目标因素的影响程度，结果易于理解和解释。 + +# 10.2 模型缺点 + +1、K-means++算法初始中心选择不当，仍然可能陷入局部最优解。 +2、灰色关联分析过去浅显，对数据要求过高，数据若存在较大异常值，可能会对结果产生较大的影响。 + +# 10.3 模型推广 + +时间序列可提取数据的长期、季节、循环和不规则趋势，可用其做一社会生产中的经济发展预测或交易预测等，如冷饮销售的预测、服饰销售的预测、天气温度的预测等。 + +# 十一、参考文献 + +[1] 曾敏敏.基于时间情境A生鲜社区超市的动态定价策略研究[D].2021. +[2] 魏泽娥,陈刚,丁胜春,耿军霞.大规模定制产品的成本加成定价方法研究[J].黑龙江对外经贸,2007,No.152(02):84-85. +[3] 刘保政,刘德宝,高立群.供不应求季节性商品的价格控制和生产销售决策模型[J].东北大学学报,2005(11):23-26. +[4] 王艳.中小型连锁超市定价的影响因素及其定价策略探析[J].兰州工业学院学报,2014,21(03):99-102. + +# 十二、附录 + +附录1：支撑材料文件列表 + +附录2：补充表格、图片 + +附录3：代码 + +附录1：支撑材料文件列表 + +
文件列表名
问题一各类每日销售量
特征单品蔬菜每季度销售量
单品蔬菜日销售量
Spearman 相关系数代码
K-means++聚类代码
问题二SPSS 线性回归数据
SPSS 预测各蔬菜品类销售量
补货量与定价策略作图
皮尔逊及其相关系数
优化模型
问题三模拟退火算法
问题四打折统计图
蔬菜品类销售量灰色关联分析
退货统计图
+ +![](images/a256cead856310068fe5cfd4ba1376d25c9af6019125440e144ebfd0a72b89da.jpg) +单品蔬菜的分布情况图 + +![](images/197322b6e7b5701f4cc6b01ef62562b854ff4c579b7dcff4c4a954a4eeb58d8e.jpg) +附录2：补充表格、图片 +食用菌类蔬菜品的销售量分布图 + +![](images/3f3b08a976a8be1b9501812624674266a90e01c02a5fbf4aa31bde6e75507a2f.jpg) +辣椒类蔬菜单品的销售量分布图 +水生根茎类蔬菜单品的销售量分布图 + +![](images/a041cefda0f797f00417ae7c9600059add649028e537628e1148c331e873302c.jpg) +花菜类蔬菜单品的销售量分布图 + +单品销售量统计学指标表 + +
指标荸荠冰草菠菜菜心蔡甸藜蒿茶树菇(袋)赤松茸虫草花春菜大白菜
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值63.334.06102.0072.0018.804.001.1741.134.02244.40
均值1.540.0410.565.980.920.080.011.940.0217.53
中位数0.000.007.884.650.000.000.000.000.000.00
偏度5.658.102.193.083.266.1812.243.3012.232.97
风度50.2187.3012.5122.8616.6044.31153.1223.59189.0613.87
标准差4.730.259.996.152.070.430.083.500.2032.52
指标大白菜秧大芥兰大龙茄子灯笼椒东门口小白菜甘蓝叶高瓜海鲜菇黑牛肝菌黑皮鸡枫菌
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值7.204.9534.286.8915.100.9411.0557.002.002.00
均值0.020.011.070.271.410.001.498.370.000.01
中位数0.000.000.000.000.000.000.907.000.000.00
偏度20.9526.414.114.232.0633.051.721.7520.4314.72
峰度464.25732.7225.2630.527.341093.006.178.89468.47264.42
标准差0.290.173.100.612.380.031.906.380.080.09
指标黑油菜红灯笼椒红杭椒红尖椒红椒红莲藕带红珊瑚(粗叶)红薯尖红线椒红橡叶
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值29.639.6718.4316.00113.844.740.6855.162.750.42
均值0.090.461.251.273.950.090.005.380.030.00
中位数0.000.000.680.002.690.000.002.170.000.00
偏度22.484.233.462.429.716.2633.052.239.4533.05
峰度610.9932.5319.9210.27112.6551.581093.009.96108.611093.00
标准差1.040.891.942.148.080.390.027.710.180.01
指标洪湖莲藕(脆藕)洪湖莲藕(粉藕)洪湖藕带洪山菜苔猴头菇花菇(一人份)花茄子槐花黄白菜黄花菜
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值12.00131.0011.2210.001.001.007.141.38187.730.67
均值0.045.530.680.020.000.000.090.017.440.00
中位数0.000.000.000.000.000.000.000.004.720.00
偏度19.004.633.0123.6719.0319.038.7912.876.6719.98
峰度441.1834.4312.99639.68363.00363.00101.76189.96101.03437.74
标准差0.4612.341.630.350.050.050.480.0810.030.03
指标黄心菜活体银耳鸡枞菌姬菇芥菜芥菜芥兰金针菇净藕菊花油菜
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值68.961.000.5821.002.5910.390.67284.88163.554.88
均值4.390.000.001.960.010.050.0026.1725.180.01
中位数2.390.000.000.220.000.000.0018.4222.020.00
偏度4.0333.0522.522.1712.0613.4033.054.131.4027.94
峰度29.581093.00524.178.74163.06208.431093.0030.636.95849.12
标准差6.710.030.023.000.150.520.0227.0020.590.16
指标快菜辣妹子莲蓬(个)菱角龙牙菜鹿茸菇(盒)萝卜叶螺丝椒绿牛油马齿苋
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值10.327.4080.004.8410.322.0011.5979.001.154.01
均值0.080.111.910.120.170.000.3814.640.000.09
中位数0.000.000.000.000.000.000.0010.290.000.00
偏度10.546.565.545.576.8526.584.271.5533.055.61
峰度113.2158.9937.6339.9156.57742.7324.915.481093.0042.20
标准差0.880.528.360.460.890.071.1913.080.030.35
指标马兰头面条菜木耳菜奶白菜奶白菜苗南瓜尖牛排菇牛首生菜牛首油菜藕尖
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值0.651.2016.85153.225.086.234.0027.2566.0010.43
均值0.000.011.4611.650.020.020.040.823.510.02
中位数0.000.000.007.730.000.000.000.000.000.00
偏度13.389.571.902.7317.6918.3510.054.383.0323.99
峰度216.67108.077.1417.61320.58347.70125.3324.8014.80586.65
标准差0.030.082.3413.190.260.290.272.987.700.39
指标泡泡椒(精品)平菇蒲公英七彩椒青菜苔青梗散花青杭椒青尖椒青茄子青线椒
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值144.0545.040.9417.4412.9688.5113.0022.0034.2537.00
均值8.862.320.000.590.037.670.541.943.394.13
中位数0.000.000.000.000.000.000.001.202.082.94
偏度2.482.5615.875.9620.662.074.292.312.382.77
峰度10.1013.83301.1167.24442.939.4423.9512.3210.7913.81
标准差19.564.350.041.140.5512.001.642.374.174.57
指标上海青双孢菇双沟白菜水果辣椒丝瓜尖四川红香椿随州泡泡青田七甜白菜茼蒿
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值118.0057.002.169.003.0112.8528.471.2471.5843.26
均值9.754.450.000.280.010.300.620.044.285.08
中位数7.410.000.000.000.000.000.000.000.003.72
偏度3.282.0329.244.7115.526.216.024.552.871.57
峰度32.318.16895.7526.99309.9453.4955.9125.6113.346.86
标准差8.157.150.071.100.131.112.220.168.925.61
指标娃娃菜豌豆尖芜湖青椒西兰花西峡花菇西峡香菇鲜木耳鲜藕带(袋)鲜粽叶苋菜
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值407.007.92249.97152.13125.4279.1719.007.00160.0035.95
均值8.220.0825.7425.172.5811.270.900.020.325.05
中位数5.000.0023.1421.700.009.220.000.000.003.28
偏度13.989.552.881.888.241.823.3918.4028.921.30
峰度317.78108.7020.579.64112.637.8119.25393.14895.724.96
标准差16.500.5524.5415.997.2311.521.820.285.085.81
指标襄甜红菜苔(袋)小白菜小米椒小青菜小皱皮蟹味菇杏鲍菇秀珍菇绣球菌野藕
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值26.0015.00227.1272.1056.0030.00116.052.512.0010.20
均值0.041.8711.236.964.880.624.720.010.010.42
中位数0.000.003.494.280.000.004.040.000.000.00
偏度30.161.603.952.262.047.857.8012.4613.503.63
峰度957.055.1346.678.907.8192.90120.00186.28206.4917.39
标准差0.812.7714.609.927.862.056.130.130.101.25
指标野生粉藕银耳(朵)油菜苔余干椒鱼腥草圆茄子云南生菜云南油麦菜长线茄芝麻苋菜
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值6.217.004.874.6122.0018.82152.16166.0050.219.38
均值0.050.260.040.030.460.9627.6317.502.280.01
中位数0.000.000.000.000.000.0024.0013.610.000.00
偏度10.934.1810.7311.495.963.851.612.483.3233.05
峰度137.1823.28126.83149.5353.1824.647.7517.1025.871093.00
标准差0.400.840.340.291.611.8218.8814.013.970.28
指标枝江红菜苔枝江青梗散花猪肚菇(盒)竹叶菜紫白菜紫贝菜紫尖椒紫螺丝椒紫茄子紫苏
最小值0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
最大值89.5347.652.0061.521.581.481.441.97109.433.00
均值4.825.320.017.600.010.020.000.0112.700.06
中位数0.000.000.004.170.000.000.000.0011.050.00
偏度3.531.9115.841.6110.796.6731.0717.442.715.43
峰度18.716.03282.226.57125.7754.38994.83350.9619.8639.45
标准差10.639.790.099.290.120.130.040.089.270.25
指标紫圆茄
最小值0.00
最大值2.53
均值0.01
中位数0.00
偏度18.80
峰度409.63
标准差0.10
+ +单品蔬菜聚类结果 + +
序号名称类别序号名称类别序号名称类别
61黑牛肝菌滞销71洪湖莲藕(脆藕)滞销81姬菇滞销
62黑皮鸡枞菌滞销72洪湖藕带滞销82荠菜滞销
63黑油菜滞销73洪山菜苔滞销83芥菜滞销
64红灯笼椒滞销74猴头菇滞销84芥兰滞销
65红杭椒滞销75花菇(一人份)滞销85菊花油菜滞销
66红尖椒滞销76花茄子滞销86快菜滞销
67红莲藕带滞销77槐花滞销87辣妹子滞销
68红珊瑚(粗叶)滞销78黄花菜滞销88莲蓬(个)滞销
69红线椒滞销79活体银耳滞销89菱角滞销
70红橡叶滞销80鸡枞菌滞销90龙牙菜滞销
91鹿茸菇(盒)滞销101牛首生菜滞销111丝瓜尖滞销
92萝卜叶滞销102藕尖滞销112四川红香椿滞销
93绿牛油滞销103平菇滞销113随州泡泡青滞销
94马齿苋滞销104蒲公英滞销114田七滞销
95马兰头滞销105七彩椒滞销115豌豆尖滞销
96面条菜滞销106青菜苔滞销116西峡花菇滞销
97木耳菜滞销107青杭椒滞销117鲜木耳滞销
98奶白菜苗滞销108青尖椒滞销118鲜藕带(袋)滞销
99南瓜尖滞销109双沟白菜滞销119鲜粽叶滞销
100牛排菇滞销110水果辣椒滞销120襄甜红菜苔(袋)滞销
121小白菜滞销131圆茄子滞销
122蟹味菇滞销132长线茄滞销
123秀珍菇滞销133芝麻苋菜滞销
124绣球菌滞销134猪肚菇(盒)滞销
125野藕滞销135紫白菜滞销
126野生粉藕滞销136紫贝菜滞销
127银耳(朵)滞销137紫尖椒滞销
128油菜苔滞销138紫螺丝椒滞销
129余干椒滞销139紫苏滞销
130鱼腥草滞销140紫圆茄滞销
+ +回归模型判断表 + +
花菜类茄类
非标准化系数标准化系数P非标准化系数标准化系数P
B标准误BetaB标准误Beta
常数20.9432.19620.9430.000***常数13.4270.95613.4270.000***
销量-15.6773.47-0.0890.000***销量-8.331.599-0.0560.000***
花叶类水生根茎类
非标准化系数标准化系数P非标准化系数标准化系数P
B标准误BetaB标准误Beta
常数12.0760.59812.0760.000***常数13.8340.82313.8340.000***
销量-5.0910.69-0.0930.000***销量-10.9881.719-0.0340.000***
+ +单品蔬菜每日批发单价与损耗率表 + +
红椒(2)红莲藕带红薯尖洪湖藕带姜蒜小米椒组合装(小份)金针菇(盒)净藕(1)菱角
2023-06-2413.465.683.6182.631.45119.19
2023-06-2512.85.683.6182.621.46119.18
2023-06-2612.785.673.6182.611.44110
2023-06-2712.915.693.44182.291.4610.649.18
2023-06-2812.815.712.99182.291.4510.69.18
2023-06-2912.85.482.6182.291.4610.69.15
2023-06-3012.725.292.6182.331.4510.389.16
损失率9.43%16.63%8.42%24.05%9.43%0.45%5.54%9.61%
螺丝椒螺丝椒(份)木耳菜木耳菜(份)奶白菜七彩椒(2)青红杭椒组合装(份)青茄子(1)
2023-06-246.242.783.2502.411.923.534.12
2023-06-256.242.753.250011.933.444.12
2023-06-266.62.933.2702.4711.923.364.11
2023-06-277.642.933.281.462.4212.533.063.98
2023-06-287.973.393.2402.7312.842.963.98
2023-06-298.953.873.071.712.5912.132.953.98
2023-06-308.974.293.121.532.5603.323.98
损失率10.18%9.43%7.61%9.43%15.68%9.43%9.43%5.01%
青线椒(份)上海青双孢菇(盒)娃娃菜外地茼蒿芜湖青椒(1)西兰花西峡花菇(1)
2023-06-243.114.323.394.757.662.838.4215.6
2023-06-2504.123.394.8303.468.1515.6
2023-06-262.554.083.424.848.933.487.9415.6
2023-06-2704.083.44.859.193.47.815.6
2023-06-282.544.083.44.8503.37.4515.6
2023-06-2904.083.414.603.597.4215.6
2023-06-3004.093.414.403.637.5915.6
损失率9.43%14.43%0.20%2.48%26.16%5.70%9.26%10.80%
鲜木耳(份)苋菜小米椒(份)小青菜(1)小皱皮(份)蟹味菇与白玉菇双拼(盒)野生粉藕圆茄子(2)
2023-06-2402.312.3631.513.1605.38
2023-06-2502.341.9431.45004.44
2023-06-261.32.332.0531.433.4404.4
2023-06-2702.342.072.911.433.1216.074.41
2023-06-2802.372.172.61.21003.64
2023-06-2902.372.252.61.67016.063.2
2023-06-3002.212.112.72.13.1216.063.2
损失率9.43%18.52%9.43%10.33%9.43%0.84%12.69%6.71%
云南生 菜云南生 菜(份)云南 油麦 菜云南油 麦菜 (份)长线茄枝江青 梗散花竹叶菜紫茄子 (1)
2023-06-245.753.3202.946.949.892.410
2023-06-255.763.594.482.966.9402.370
2023-06-265.763.594.482.796.949.892.420
2023-06-275.743.582.662.86.9902.474.34
2023-06-2803.8502.867.019.942.250
2023-06-295.683.8102.867.069.22.164.34
2023-06-3003.4902.8478.392.150
损失率15.25%9.4312.81 %9.43%6.90%9.43%13.62%9.43%
+ +单品蔬菜的补货量与定价策略 + +
序号单品蔬菜名称单位成本日补货总量 (千克)定价收益
16红椒(2)14.12185182.76228.5360259439.81194896
17蟹味菇与白玉菇双拼(盒)3.3805513912.56.2665281147.214941807
18洪湖莲藕(粉藕)8.09124246713.8473523540.2927692
19小青菜(1)3.0651512835.3176.96402371620.73030472
20云南生菜(份)3.294022393136.53764624442.16711006
21云南油麦菜(份)2.80033163995.44132440823.76893492
22菠菜(份)3.367236569157.99078910269.35328799
23鱼腥草(份)1.910100652.53.1218685023.029419631
24小米椒(份)2.801037051196.12278688963.11324693
25冰草(盒)5.5627122861312.1367256685.46217393
26金针菇(盒)1.694970246202.95789257625.2584466
27黄白菜(2)5.0663713447.7959.95187323238.08248721
28圆茄子(2)4.5917855594.0156.3766126067.166080593
29奶白菜2.7904848986.4713.8037099646.556579405
+ +前三年单品蔬菜退货记录图 + +![](images/bd2df973cd361d6d9d2175af90eef9f4ae0c5e52c97bdea20446e125eb7f2e55.jpg) + +![](images/9b50e7bf1c3f334248beff4bcf19a6fb417f267b1a6689eba4946b0cb817b84c.jpg) + +![](images/b8d317756b858787e4a4e4fc176914a1c9463c064aa6b508a5d1195464137cc1.jpg) + +![](images/1ffceebdaaaa5bdf9edcc1dfff80784fdfb8f410bd81620251152808f137a12e.jpg) + +![](images/9f360fbf0afe37aea46d9bf5974b82756aed7a4e4a28fc064b95bc8ef803965b.jpg) +单品蔬菜打折次数直方图 + +![](images/c8f765f1fe0d1e1d74568743e366f64a7d1e5d9aa73b8e6be0c31c8708a0efcc.jpg) + +![](images/cf80d0ae531ef7c86493d10f67454c6a30d8ddfa510086117c14e96530fa972f.jpg) +三个指标与六大蔬菜品类季度平均销售量标准化折线图 + +![](images/9344c77117e928ddf33d94b1da6a08c41093caef0fe2bc10996a091594636507.jpg) + +![](images/007be56921a6aa9d9658b5d4399862278b7f47c8471ba84065af492a0ec4e688.jpg) + +![](images/fbd19f9cc75d492604cb5df04cfcdb1ba81f4e7265e7caa471d4c4f46acd93dc.jpg) + +![](images/ed97bc73968c5085493b26558e17ce30be6fa65f3c7696e44e12293a0159b046.jpg) + +![](images/fdfed9151d5f5a16be6c0ba5ccb57a577f4a02143f98b24aa599889d037f7569.jpg) + +附录3：代码 +销售量作图代码 +```matlab +data=xlsread('各类每日销售量.xlsx','sheet2','B2:G1096'); +x=[1:1095]; +x=x'; +y1=data(:,1); +y2=data(:,2); +y3=data(:,3); +y4=data(:,4); +y5=data(:,5); +y6=data(:,6); +figure(1) +hold on +plot(x,y1,'b', 'LineWidth', 1) +plot(x,y2,'r', 'LineWidth', 1) +plot(x,y3,'k', 'LineWidth', 1) +set(gca,'linewidth',1) +set(gca,'Box', 'on') +figure(2) +hold on +plot(x,y4,'g', 'LineWidth', 1) +plot(x,y5,'c', 'LineWidth', 1) +plot(x,y6,'m', 'LineWidth', 1) +``` + +set(gca,'linewidth',1) set(gca,'Box','on') +data=xlsread('特征单品蔬菜每季度销售量.xlsx','sheet1','A2:L13'); $x = [1:12]$ . $\mathbf{x} = \mathbf{x}^{\prime}$ . +y1=data(:,1); +y2=data(:,2); +y3=data(:,3); +y4=data(:,4); +y5=data(:,5); +y6=data(:,6); +y7=data(:,7); +y8=data(:,8); +y9=data(:,9); +y10=data(:,10); +y11=data(:,11); +y12=data(:,12); +figure(1) hold on plot(x,y1,'b') plot(x,y2,'r') figure(2) hold on plot(x,y3,'k') plot(x,y4,'g') figure(3) hold on plot(x,y5,'c') plot(x,y6,'m') figure(4) hold on plot(x,y7,'b') plot(x,y8,'r') figure(5) hold on plot(x,y9,'k') plot(x,y10,'g') figure(6) hold on plot(x,y11,'c') plot(x,y12,'m') + +# 描述性统计代码 + +```matlab +Test=xlsread('单品蔬菜日销售量.xlsx','sheet1','B2:EM1096') +%%统计描述 +MIN = min(Test); %每一列最小值 +MAX = max(Test); %每一列最大值 +MEAN = mean(Test); %每一列均值 +MEDIAN = median(Test); %每一列中位数 +SKEWNESS = skewness(Test); %每一列偏度 +KURTOSIS = kurtosis(Test); %每一列峰度 +STD = std(Test); %每一列标准差 +RESULT = [MIN;MAX;MEAN;MEDIAN;SKEWNESS;KURTOSIS;STD] %矩阵表示统计量 +sum=sum(Test); +Test=xlsread('各类每日销售量.xlsx','sheet2','B2:G1096') +%%统计描述 +MIN = min(Test); %每一列最小值 +MAX = max(Test); %每一列最大值 +MEAN = mean(Test); %每一列均值 +MEDIAN = median(Test); %每一列中位数 +SKEWNESS = skewness(Test); %每一列偏度 +KURTOSIS = kurtosis(Test); %每一列峰度 +STD = std(Test); %每一列标准差 +RESULTS = [MIN;MAX;MEAN;MEDIAN;SKEWNESS;KURTOSIS;STD] %矩阵表示统计量 +``` + +Sperman相关系数代码 +$\mathrm{RX = xlsread('各类每日销售量.xlsx', 'sheet2', 'B2:G1096')};$ +[R，P] $\equiv$ fun_spearman(RX，1) +function[p]=calculate_p(r,m,kind) $z = \mathrm{abs}(r)*\mathrm{sqrt}(m - 1);\%$ 计算检验值p=(1-normcdf(z)) \*kind; $\%$ 计算p值 +end +function[r]=calculate_r(X,Y)RX $\equiv$ rank_data(X); $\%$ 计算X的等级RY $\equiv$ rank_data(Y); $\%$ 计算Y的等级d $\equiv$ RX-RY; $\%$ 计算X和Y等级差n $\equiv$ size(X,1); $\%$ 计算样本个数n $r = 1 - (6*\mathrm{sum}(\mathrm{d}.\mathrm{*}\mathrm{d})) / (\mathrm{n}*\mathrm{(n^{\wedge}2 - 1)}));\%$ 计算斯皮尔曼相关系数 +end +function[R,P]=fun_spearman(X,kind)if nargin $= = 1$ $\%$ 判断用户输入的参数kind $= 2$ end[m,n]=size(X); $\%$ 计算样本个数和指标个数 + +if $m < 30\%$ 判断是否样本数量disp('样本个数少于30，请直接查临界值表进行假设检验')elseif $n < 2\%$ 判断是否指标数太少disp('指标个数太少，无法计算')elseif kind $\sim = 1$ &&kind $\sim = 2\%$ 判断kind是否为1或者2disp('kind只能取1或者2')elseR=ones(n)；%初始化R矩阵P=ones(n)；%初始化P矩阵fori=1:nforj=(i+1):r $\mathbf{\bar{r}} =$ calculate_r(X(:,i)，X(:,j));%计算i和j两列的相关系数rp $\equiv$ calculate_p(r,m,kind); $\%$ 计算p值 $R(i,j) = r;R(j,i) = r;\%$ 求得相关系数 $P(i,j) = p;P(j,i) = p;\%$ 求得检验p值endendendend + +K-means++聚类算法代码 +```matlab +X=xlsread('单品蔬菜统计特征数据.xlsx','sheet1','B2:D141'); +%聚类种类 +K = 4; +max_iters = 20; +centroids = init_centroids(X, K); +%迭代更新簇分配和簇质心 +for i = 1:max_iters + %簇分配 + labels = assign_labels(X, centroids); + %更新簇质心 + centroids = update_centroids(X, labels, K); +end +%簇分配函数 +function labels = assign_labels(X, centroids) + [~, labels] = min(pdist2(X, centroids,'squaredeuclidean'), [], 2); +end +%初始化簇质心函数 +function centroids = init_centroids(X, K) + %随机选择一个数据点作为第一个质心 + centroids = X(randperm(size(X, 1), 1), :); + %选择剩余的质心 +``` + +```matlab +for i = 2:K + D = pdist2(X, centroids, 'squaredeuclidean'); + D = min(D, [], 2); + D = D / sum(D); + centroids(i, :) = Xfindrand < cumsum(D), 1),ombo; +end +end +% 更新簇质心函数 +function centroids = update_centroids(X, labels, K) + centroids = zeros(K, size(X, 2)); + for i = 1:K + centroids(i, :) = mean(X(labels == i, :, 1); + end +end +``` + +预测补货量与作图预测代码 +```matlab +data1=xlsread('预测补货量与定价.xlsx','sheet1','B2:G8'); +x=[1:7]; +y1=data1(:,1); +y2=data1(:,2); +y3=data1(:,3); +y4=data1(:,4); +y5=data1(:,5); +y6=data1(:,6); +figure(1) +hold on +plot(x,y1,'b') +plot(x,y2,'r') +plot(x,y3,'k') +plot(x,y4,'g') +plot(x,y5,'c') +plot(x,y6,'m') +data2=xlsread('预测补货量与定价.xlsx','sheet2','B2:G8'); +y1=data2(:,1); +y2=data2(:,2); +y3=data2(:,3); +y4=data2(:,4); +y5=data2(:,5); +y6=data2(:,6); +figure(1) +hold on +plot(x,y1,'b') +``` + +```javascript +plot(x,y2,'r') plot(x,y3,'k') plot(x,y4,'g') plot(x,y5,'c') plot(x,y6,'m') +``` + +Pearson相关系数及其检验 +```matlab +Test=xlsread('六大蔬菜品类销售量与成本加成定价.xlsx', 'sheet1', 'B3:M1097'); +% 计算各列之间的相关系数以及p值 +[ R, P ] = corrcoef(Test); +% 用循环检验所有列的数据的正态分布性 +n_c = size(Test,2); % number of column 数据的列数 +H = zeros(1,n_c); % 初始化节省时间和消耗 +P = zeros(1,n_c);%计算所得检验p值 +for i = 1:n_c + [h,p] = jbtest(Test(:,i),0.01); + H(i)=h; + P(i)=p; +end +disp(H) +disp(P) +%检验相关系数r +r=0.5 +n=input('请输入样本数量:') +alpha=input('请输入建设检验判断值:') +t = r*((n-2)/(1-r^2))^0.5);%n为样本数量 +p=(1-tcdf(t,n-2))*2;%此时的t为输入n后求得的t值,p即为求得的检验值 +disp('检验相关洗漱得到的p值为：') +disp(p) +if p x UB(j) + r = rand(1); + x_new(j) = r*x UB(j) + (1-r)*x0(j); + end +end +x1 = x_new; % 将调整后的 x_new 赋值给新解 x1 +y1 = Obj_fun2(x1); % 计算新解的函数值 +if y1 > y0; % 如果新解函数值大于当前解的函数值 + x0 = x1; % 更新当前解为新解 + y0 = y1; +else + p = exp(-(y0 - y1)/T); % 根据 Metropolis 准则计算一个概率 +if rand(1) < p; % 生成一个随机数和这个概率比较，如果该随机数小于这个概 +率 +x0 = x1; % 更新当前解为新解 +``` + +$\begin{array}{l}\mathrm{y0} = \mathrm{y1};\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \% \text{判断是否要更新找到的最佳的解}\\ \mathrm{if~y0 > max_y~\%~如果当前解更好,则对其进行更新}\\ \mathrm{max_y = y0;~\%~更新最大的y}\\ \mathrm{best_x = x0;~\%~更新找到的最好的x}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{MAXY(iter) = max_y;~\%~保存本轮外循环结束后找到的最大的y}\\ \mathrm{T = alfa*T;~\%~温度下降}\\ \% \mathrm{pause}(0.01)~\% \text{暂停一段时间(单位:秒)后再接着画图}\\ \% \mathrm{h.XData = x0;~\%~更新散点图句柄的x轴的数据(此时解的位置在图上发生了变化)}\\ \% \mathrm{h.YData = Obj_fun1(x0);~\%~更新散点图句柄的y轴的数据(此时解的位置在图上发生了变化)}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{disp('最佳的位置是:');~disp(best_x)%输出的为最后多次迭代不变的解}\\ \mathrm{disp('此时最优值是:');~disp(max_y)%输出的为最后多次迭代不变的最优值}\\ \mathrm{function w = Obj_fun2(y,R,P)}\\ \mathrm{S=xlsread('未来一周六大类日销预测.xlsx','sheet1','B2:G8')};\\ \mathrm{L=xlsread('六大蔬菜品类平均损耗率.xlsx','sheet1','B2:B7')};\\ \mathrm{for i=1:6}\\ \mathrm{for j=1:7}\\ \mathrm{w=w+S(i,j)*(P(i,j)-B(i))-R(i,j)*B(i)*L(i);}\\ \mathrm{end}\end{array}$ + +```matlab +模拟退火模型代码 +B=xlsread('单位成本与损耗率.xlsx','sheet1','A2:F2'); +%% 参数初始化 +narvs = 147; % 变量个数 +T0 = 100; % 初始温度 +T = T0; % 迭代中温度会发生改变，第一次迭代时温度就是T0 +maxgen = 200; % 最大迭代次数 +Lk = 100; % 每个温度下的迭代次数 +alfa = 0.95; % 温度衰减系数 +x.lb = 2.5; % x的下界 +x ub = B; % x的上界 +%% 随机生成一个初始解矩阵 +x0 = zeros(1,narvs); +for i = 1: narvs + x0(i) = x.lb(i) + (x ub(i) - x.lb(i)) * rand(1); +end +``` + +$\mathsf{y0} = \mathsf{Obj\_fun2(x0)}$ ；%计算当前解的函数值 +max_y=y0; %初始化找到的最佳的解对应的函数值为y0 +MAXY=zeros(maxgen,1); %记录每一次外层循环结束后找到的max_y +%%模拟退火过程 +foriter $= 1$ :maxgen%外循环，用于温度降低fori $= 1$ ：Lk%内循环，用于广泛搜索新解y=randn(1,narvs);%生成1行narvs列的N(0,1)随机数z=y/sqrt(sum(y.^2));%根据新解的产生规则计算zx_new=x0+z*T;%根据新解的产生规则计算新解x_new的值%判断新解是否在定义域内，如果这个新解的位置超出了定义域，就对其进行调整forj $= 1$ :narvswith_x_new(j）x ub(j)r= rand(1);x_new(j)=r*x ub(j)+(1-r)*x0(j);endendx1=x_new;%将调整后的x_new赋值给新解x1y1=Obj_fun2(x1);%计算新解的函数值ify1>y0%如果新解函数值大于当前解的函数值x0=x1;%更新当前解为新解y0=y1;elsep=exp(-(y0-y1)/T);%根据Metropolis准则计算一个概率if rand(1)max_y%如果当前解更好，则对其进行更新max_y=y0;%更新最大的ybest_x=x0;%更新找到的最好的xendMAXY(iter)=max_y;%保存本轮外循环结束后找到的最大的yT=alfa*T;%温度下降 +enddisp('最佳的位置是：');disp(best_x)%输出的为最后多次迭代不变的解disp('此时最优值是：');disp(max_y)%输出的为最后多次迭代不变的最优值functionw=Obj_fun1(y,R,P) + +```matlab +L=xlsread('单位成本与损耗率.xlsx','sheet1','B3:BT3'); +for i=1:49 + w=w+y(i)*(R(i)*(p(i)-B(i))-R(i)*B(i)*L(i); +end +``` + +# 灰色关联分析模型 + +```matlab +clear;clc +%load gdp.mat % 导入数据一个6*4的矩阵 +data=zeros(12,4,6); +data(:, :, 1)=xlsread('六大蔬菜品类与其节日、节气和季度蔬菜丰富度指标.xlsx', '花菜类'，'B2:E13'); +data(:, :, 2)=xlsread('六大蔬菜品类与其节日、节气和季度蔬菜丰富度指标.xlsx', '食用菌'，'B2:E13'); +data(:, :, 3)=xlsread('六大蔬菜品类与其节日、节气和季度蔬菜丰富度指标.xlsx', '花叶类'，'B2:E13'); +data(:, :, 4)=xlsread('六大蔬菜品类与其节日、节气和季度蔬菜丰富度指标.xlsx', '辣椒类'，'B2:E13'); +data(:, :, 5)=xlsread('六大蔬菜品类与其节日、节气和季度蔬菜丰富度指标.xlsx', '茄类'，'B2:E13'); +data(:, :, 6)=xlsread('六大蔬菜品类与其节日、节气和季度蔬菜丰富度指标.xlsx', '水生根茎类', 'B2:E13'); +for i=1:6 + Mean = mean(data(:, :, i)); % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理 + data(:, :, i) = data(:, :, i). / repmat(Mean,size(data(:, :, i), 1), 1); + Y = data(:, 1,i); % 母序列 + X = data(:, 2:end,i); % 子序列 + absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2))); % 计算|X0-Xi|矩阵 + a = min(min(absX0_Xi)); % 计算两级最小差a + b = max(max(absX0_Xi)); % 计算两级最大差b + rho = 0.5; % 分辨系数取0.5 + gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi + rho*b); % 计算各指标与母序列的关联系数 + disp('子序列中各个指标的灰色关联度分别为：') + disp(mean(gamma)) + x=1:12; + figure(i) + hold on + plot(x,data(:,1,i), 'k', 'LineWidth', 1) + plot(x,data(:,2,i), 'r', 'LineWidth', 1) + plot(x,data(:,3,i), 'b', 'LineWidth', 1) + plot(x,data(:,4,i), 'g', 'LineWidth', 1) + set(gca,'linewidth', 1) + set(gca,'Box', 'on') +end +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/C126/C126.md b/MCM_CN/2023/C126/C126.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ea51d8e62f0abda379f7ef9673978ccaceb895a --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/C126/C126.md @@ -0,0 +1,2122 @@ +# 商超蔬菜销售数据的统计分析及建模 + +# 摘要 + +根据商超实际购物篮销售数据，将该数据以单品编码为关键字，通过数据透视形成新的销售数据集，即日销售数据，计1084个样本。通过对蔬菜日销售量数据进行相关分析，发现同一品种的蔬菜销量具有较强的相关性，构造直观的评判矩阵，用含“T”“F”的元素字符串，表示“是”“否”相关。对销量数据进行shapiro-wilks正态性检验，结果表明销量数据不服从正态分布，用传统的回归分析将导致精度下降，且日销量数据含大量的0，属零膨胀数据，建模较难。为避开零膨胀数据建模的困难，同时降低WinBUGS运行MCMC的运算压力，用同期平均法将三年数据进行转化，形成一年的数据，对该数据建立Bayesian销量模型及补货量模型，进行30000次迭代计算，燃烧3000次后，用收敛于后验分布的参数MC链，完成参数的后验估计，根据动态轨迹图及MC误差对模型进行评价，模型表现优良，客观表达了单品销售的分布规律及数据间的相互关系，解决了问题1。 + +利用销售量、损耗率、销售次数等是时间序列的特点，按照蔬菜销售“当日未售，隔日大部分无法再售”的原则，确定VAR模型的阶，建立VAR（2）模型，完成了未来一周（2023年7月1-7日）补货量预测、销售量预测，为问题2及3的求解铺平道路，也完成了分类补货总量的填写。利用VAR模型的结果实现了单品总量控制数为29个菜品，同时用频率方法再次确定控制菜品数量，二者结果一致。在VAR预测结果基础上，建立收益最大化的目标函数和满足问题2及3的约束条件的优化模型，完成所有问题的求解。结合商超蔬菜销售实际情况，提出合理的建议，及未来进一步优化补货方法及定价策略的设想。 + +关键词：Bayesian 模型；MC 链收敛性；VAR 模型；优化模型；同期平均 + +# 一、问题重述 + +在生鲜商超日常运营中，蔬菜类商品始终是一个备受关注的焦点。蔬菜保鲜期短，品质容易受时间影响，这意味着商超必须面对迅速变化的市场需求，在不确定的情况下及时做出补货和定价决策。不具备一定的专业知识及数据分析能力，是无法高精度预测各种蔬菜的销量和销售价格。因为蔬菜品种众多、产地不同，而进货交易时间通常在凌晨，大多数商家在几乎不了解具体单品和市场需求的情况下，粗略地做出当日的补货计划，造成大量积压及损耗。为解决这个现实问题，商超需要依赖数据分析和数学建模，制定最佳的销售策略，最大程度地减少损耗，提高经济效益，并满足不断变化的市场需求[1]。这个问题涉及到如何优化补货计划、定价策略，以及如何处理销售数据间的潜在关联性，为商超提供更可持续的生鲜蔬菜经营策略。 + +C题中的附件1包含了6个蔬菜品类的商品信息，附件2和附件3包含了商超从2020年7月1日到2023年6月30日的商品销售明细和批发价格信息，而附件4包含了这些商品的最近损耗率信息。 + +本文基于这些上述数据，通过统计分析及优化建模，从不同角度解决题中提出的各个问题： + +问题1：要求分析蔬菜类商品的销售情况，包括各个品类和单品之间的销售量分布规律以及它们之间存在的相互关系。帮助商超了解哪些蔬菜品类或单品通常一起销售或者被替代销售，以便更好地制定商品陈列和促销策略。 + +问题2：分析各蔬菜品类的销售总量与成本加成定价之间的关系，在收益最大化的前提下，提供一个未来一周的日补货总量和定价策略。为商超确定合适的定价策略提供参考。 + +问题3：在确保各单品的陈列量不低于2.5千克的前提下及收益最大化的条件下，重新设计补货总量和定价策略。帮助商超在有限的销售空间内，满足市场对各品类蔬菜商品的需求。 + +问题4：为商超提出建议，还需要收集哪些数据，以更好地制定蔬菜商品的补货和定价决策？ + +# 二、模型假设 + +1. 假设商超每天营业时间从上午9:00到22:00，即每天营业13个小时。 +2. 假设商超对每个顾客的服务平等，计量工具合格，所陈列的商品顾客能直接做出自己的判断。 + +# 三、符号说明 + +表 1 符号说明 (该符号主要用于数学味道较重的优化模型) + +
符号含义
a_it第i个品种第t天的销售量
p_it第i个品种第t天的零售价
x_it第i个品种第t天的进货量
b_{it}第i个品种第t天损耗率
c_{it}第i个品种第t天的批发价
d_i第i个品种的销量
f2023年7月1日成本利润率
e_{it}第i个品种第t天退货量
f_{it}第i个品种第t天成本利润率
y_i第i个品种2023年7月1日补货量
+ +# 四、模型建立与求解 + +# 4.1 问题一 + +# 4.1.1 相关性分析 + +对于6个类别蔬菜中，半小时销售次数超过0.7次的蔬菜进行shapiro-wilks正态性检验后发现，这些蔬菜销量的分布均不服从正态分布，p在小数点后第16位才不为0。进一步计算相关系数阵，发现这些蔬菜销售量之间有较强的相关性。 + +以花叶类蔬菜中半小时销售次数超过0.7次的13种蔬菜为例进行说明，首先编写R代码（代码见附件），分别进行shapiro-wilks正态性检验（ $\mathrm{H_0}$ ：总体具有正态分布）[2]，检验结果表明，数据不服从正态分布，销量相关系数绝对值大于0.4的蔬菜品种较大，结果见矩阵。 + +
ynscynymcshqzycdbchbc2ynscfbcnbchsjyccxth
ynscTTTFFTTFFTFTF
ynymcTTTFFTTFFFFTF
shqTTTFFTTFFFFTF
zycFFFTFFFFFTTFT
dbcFFFFTFFFFFFFF
hbc2TTTFFTFFFTFTF
ynscfTTTFFFTFFFFFF
bcFFFFFFFTFFFFF
nbcFFFFFFFFTFFFF
hsjTFFTFTFFFTTTF
ycFFFTFFFFFTTFT
cxTTTFFTFFFTFTF
thFFFTFFFFFFTFT
+ +注：1. 蔬菜单品的名称采用汉语拼音首字母组成，比如：ync = ‘云南生菜’，hbc2 = ‘黄白菜（2）’，文中统计分析中的大量变量的命名均采用此方法。 + +2.“T”表示TURE，即对应的两种花叶类蔬菜销量相关系数大于0.4，双侧检验显著；“F”表示FALSE，即应的两种花叶类蔬菜销量相关系数小于0.4，不显著。 + +由于常见蔬菜销量数据不来自正态分布，因此采用常见的回归分析销量数据之间的关系会导致参数估计误差较大，为了解决这一问题，采用Bayesian框架下的正态模型来刻划这些关系。 + +这里仍然以花叶类13种蔬菜销量之间的相关关系较突出，这里用以此为例来说明Bayesian模型的建立过程。 + +# 4.2 蔬菜销量的Bayesian模型 + +# 4.2.1 数据处理 + +为了完成Bayesian模型的建立，按下列方法进行蔬菜销量数据和处理，这里以花叶类蔬菜为例进行说明： + +（1）商超蔬菜销售数据按日汇总数据，有大量的销售数据为0，属于ZIP（零膨胀数据）中的一种，文献资料显示，该类数据在处理时难度较大，远超本科生水平，短时间内无法完成，为此需要销除一部份0，同期平均方法[3]是一个较好的方法。 +（2）数据显示，有一些蔬菜受生产季节的影响，销售有一定的季节性，形成大量的0，另一些蔬菜刚好相反，比如：竹叶菜（zyc），红薯尖（hsj），苋菜（yc）及茼蒿（th）等。即使按同期平均方法处理，仍然有大量的0出现。 +（3）为了降低计算机运行OPenBUGS（版本3.2..3）MCMC算法的压力，按同期平均方法[4]完成数据汇总，形成一个年度销量数据（2022年7月1日—2023年6月3日），再建立Bayesian销量模型，虽然每天的销量数据（1084个数据）整体看成一个样本，由前述该样本不服个正态分布，但每天的一个观测可视为来自一个正态总本，可建立Bayesian销量模型，下同。 + +# 4.2.2 模型设定 + +以销量最大的云南生菜的日销量为响应变量，其他花叶类蔬菜销量为解释变量的Bayesian销量模型为： + +$$ +\begin{array}{l} y n s c _ {t} \sim N (\mu_ {t}, \tau); \sigma^ {2} = \frac {1}{\tau} \\ \mu_ {t} = \alpha + \beta_ {1} y m y m c _ {t} + \beta_ {2} s h q _ {t} + \beta_ {3} z y c _ {t} + \beta_ {4} d b c _ {t} + \beta_ {5} h b c 2 _ {t} + \beta_ {6} y n s c f _ {t} \tag {1} \\ + \beta_ {7} b c _ {t} + \beta_ {8} n b c _ {t} + \beta_ {9} h s j _ {t} + \beta_ {1 0} y c _ {t} + \beta_ {1 1} c x _ {t} + \beta_ {1 2} t h _ {t} \\ \end{array} +$$ + +参数的选验分布选大方差的正态分布 $N(0,0.01)$ ，精度参数选分布 $\text{gamma}(0.01,0.01)$ 为其先验分布[7-8]，方差先验为逆 $\text{gamma}$ 分布，设定各参数的初始值为1，进行30000次迭代运算，燃烧期为2000，通过MC算法得到各参数的后验估计（见表） + +表 2 花叶类 Bayesian 模型的参数估计 + +
meansdMC_errorval2.5pcmedianval97.5pcstartsample
alpha5.1291.1960.034222.7545.1417.427200028001
beta10.12980.066860.001307-0.0016870.12970.2585200028001
beta20.24550.10820.0023650.033290.24520.4583200028001
beta3-0.059810.077780.001745-0.2112-0.059890.09237200028001
beta4-0.058230.025194.66E-04-0.1074-0.05839-0.008176200028001
beta50.29710.054939.18E-040.19010.29650.4054200028001
beta6-0.12550.032835.39E-04-0.1891-0.1257-0.06052200028001
beta70.052920.099470.001479-0.1380.051830.2502200028001
beta80.19790.10330.001947-0.0037430.19670.4200028001
beta90.62880.090620.0018530.44910.62990.8043200028001
beta10-0.092770.089470.001759-0.2697-0.091820.08222200028001
beta110.65850.11070.0016020.44520.65770.8774200028001
beta120.29350.10420.0017720.09060.29340.5007200028001
s224.661.8570.0128721.2624.5628.53200028001
+ +# 4.2.3 模型检验 + +(1) 各参数的历史轨迹图表明, 各条 MC 链的分布收敛于各自的后验分布。 + +![](images/c5cded8b57530f15741f92456bfa3ff2fa731697b4160ba3e74e1541c854e851.jpg) +图1alpha的动态轨迹图 + +![](images/28450e1327fad3701958feef176cfef4a09946986f89f8e77acc987a04dd5386.jpg) +图2beta1的动态轨迹图 + +![](images/7303ecd55dd4dba6c95f97149cb044d551220e8ecae8b4028e6ad941978fd894.jpg) +图3方差动态 $\sigma^2$ 轨迹图 + +(2) 核密度估计曲线呈现单峰对称性分布, 这里只给出部分参数 (alpha,beta1,beta12,beta2) 的核密度估计图, 其他详见附件。 + +![](images/26109d427263a309e2a22ffccc210441301bfeb96818fa89ad860aa6beab5651.jpg) +alpha + +![](images/6a6567cb0913d6eb2a4ae5f8452916b74bd81d03d62979da67b99a47c83082ca.jpg) +beta1 + +![](images/2a152f00950e8d80410f41c8364485d805bdb5bd19a137b9ac1e612616e4c402.jpg) +beta12 + +![](images/b6961c59b1825cd39e5b30dd7bed02140516a44512060c523ddd9cea905993ba.jpg) +beta2 + +(3) MC 链有一定的自相关性, 但滞后 10 期后, 自相关性消退为 0 。 + +![](images/a93af66504d1f29d926c66e75ca367542c91208a3ee9a419f6ce78703fd9a820.jpg) +图4参数alpha,beta1,beta12,beta2的核密度估计曲线 + +![](images/89325254821627dee24d78bc197937c167567db4e07e42bb4036a0cbc9f31ab0.jpg) +lag + +![](images/9586fdca155b1e518aa66711a608dff1f34713bb80cd516a23cc8a25fb3f9d4e.jpg) +lag +lag +图5参数alpha,beta1,beta12,beta2的MC链自相关图 + +![](images/c55fd63d8d8d2cf8eed3711a735277b17778f7548644d1d75d5b12aebcf7c6e2.jpg) +lag + +（4）参数估计的最大MC误差为alpha的MC误差0.03422，最大的标准差为sigma方的标准差1.857，模型表现较好，可以通过其他花叶类蔬菜的销量完成云南生菜的预测。 + +# 4.2.4 模型的表达式 + +将参数的后验估计代入模型表达式得到最终的 Bayesian 销量模型 + +$$ +\begin{array}{l} y n s c _ {t} \sim N (\mu_ {t}, \tau); \sigma^ {2} = \frac {1}{\tau} \\ \mu_ {t} = 5. 1 2 9 + 0. 1 2 9 8 y m y m c _ {t} + 0. 2 4 5 5 s h q _ {t} - 0. 0 5 9 8 1 z y c _ {t} - 0. 0 0 5 8 2 3 d b c _ {t} \tag {2} \\ + 0. 2 9 7 1 h b c 2 _ {t} - 0. 1 2 5 5 y n s c f _ {t} + 0. 0 5 2 9 2 b c _ {t} + 0. 1 9 7 9 n b c _ {t} + 0. 6 2 8 8 h s j _ {t} \\ - 0. 0 9 2 7 7 y c _ {t} + 0. 6 5 8 5 c x _ {t} + 0. 2 9 3 5 t h _ {t} \\ \end{array} +$$ + +结果显示： + +(1) 云南油麦菜 (ynync), 上海青(shq), 黄白菜(2)(hbc), 奶白菜(nbc), 红薯尖(hsj, 苣菜(yc), 菜心(cx), 荷蒿(th)的销量对云南生菜(ynac)的销量的产生正的影响较大, 正影响最大的是菜心, 影响最小的是奶白菜。 +(2) 竹叶菜(zyc), 大白菜(dbc), 云南生菜(份)(ynscf), 荠菜(yc)的销量对云南生菜(ynac)的销量的产生较小的负影响, 其中负影响最大的是云南生菜(份)。 + +# 4.3 各类别蔬菜品种销量指标的Bayesian模型 + +为了完成Bayesian模型的建立，按下列方法进行蔬菜销量数据和处理，这里以花菜类蔬菜为例进行说明： + +# 4.3.1 模型设定 + +（1）以花菜类三个品种的日销量(首两字母加c)为响应变量，销售次数（首两字母加c），批发价c），批发价（首两字母加p），退货次数（首两字母加t)，损耗（首两字母加s）为解释变量的Bayesian销量模型为：（如 $\mathrm{qgx} =$ “青梗散花每日销量”，下同） + +$$ +q g x _ {t} \sim N \left(\mu_ {t}, \sigma^ {2}\right) +$$ + +$$ +\sigma^ {2} = \frac {1}{\tau}; \mu_ {t} = \alpha + \beta_ {1} q g c _ {t} + \beta_ {2} q g p _ {t} + \beta_ {3} q g t _ {t} + \beta_ {4} q g s _ {t} + \beta_ {5} q g j _ {t} \tag {3} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \log (x l x _ {t}) \sim N (\mu_ {t}, \sigma^ {2}) \\ \sigma^ {2} = \frac {1}{\tau}; \mu_ {t} = \alpha + \beta_ {1} x l c _ {t} + \beta_ {2} x l p _ {t} + \beta_ {3} x l t _ {t} + \beta_ {4} x l s _ {t} + \beta_ {5} x l j _ {t} \tag {4} \\ \end{array} +$$ + +$$ +z j x _ {t} \sim N \left(\mu_ {t}, \sigma^ {2}\right) +$$ + +$$ +\sigma^ {2} = \frac {1}{\tau}; \mu_ {t} = \alpha + \beta_ {1} z j c _ {t} + \beta_ {2} z j p _ {t} + \beta_ {3} z j t _ {t} + \beta_ {4} z j s _ {t} + \beta_ {5} z j j _ {t} \tag {5} +$$ + +(2) 各参数的先验分布设定, 迭代次数及燃烧期设定同前, 初始值设定见附件。西兰花销量 (x1x) 模型设定为对数正态模型的目的是和其他两个模型作对比。 + +# 4.3.2 模型求解 + +（1）三个模型的模型检验、参数后验样本的动态轨迹图、核密度估计图因篇幅限制，不在赘述，全部放在支撑材料，这里只给出三个模型的Bayesian参数估计表。 + +表 3 青工梗散花模型参数 Bayesain 估计汇总表 + +
meansdMC_errorval2.5pcmedianval97.5pcstartsample
alpha0.9821.5480.1162-1.8810.91593.98200028001
beta10.55670.006359.77E-050.54430.55670.5692200028001
beta2-0.25980.060720.00113-0.3778-0.2597-0.1403200028001
beta3-1.7899.0380.679-19.14-1.39414.84200028001
beta4-0.10760.056290.001594-0.2179-0.10830.001831200028001
s20.8850.069184.17E-040.76130.88131.03200028001
+ +表 4 枝江青梗散花模型参数 Bayesain 估计汇总表 + +
meansdMC_error val2.5pcmedianval97.5pcstartsample
alpha-55.7818.571.439-95.08-50.48-28.422000
28001
+ +
beta10.44350.0068559.02E-050.430.44350.4569200028001
beta20.084080.070860.001555-0.055380.083890.2213200028001
beta3-0.48390.86190.005684-2.165-0.4871.204200028001
beta459.2119.761.53130.0453.56100.9200028001
beta50.12250.056280.0013230.013120.12210.2351200028001
s21.0180.076774.94E-040.8771.0151.179200028001
+ +表 5 西兰花模型参数 Bayesain 估计汇总表 + +
meansdMC_errorval2.5pcmedianval97.5pcstartsample
alpha-217.210.030.7776-225.5-218.8-182.6200028001
beta10.018930.001391.03E-040.017820.018520.02361200028001
beta20.10940.26820.0208-0.021560.0059371.08200028001
beta30.047990.080030.003263-0.06490.038650.2481200028001
beta423.71.0930.0847819.9123.8724.6200028001
beta5-0.086220.17560.01361-0.7168-0.01819-1.56E-05200028001
s20.025260.045940.0035460.011170.013110.1875200028001
+ +（2）青梗散花最后的Bayesain模型为： + +$$ +\begin{array}{l} q g x _ {t} \sim N \left(\mu_ {t}, \sigma^ {2}\right) \\ \sigma^ {2} = \frac {1}{\tau}; \mu_ {t} = 0. 9 8 2 + 0. 5 5 6 7 q g c _ {t} - 0. 2 5 9 8 q g p _ {t} - 1. 7 8 9 q g s _ {t} \tag {6} \\ - 0. 1 0 7 6 q g j _ {t} \hat {\sigma} ^ {2} = 0. 8 8 5 \\ \end{array} +$$ + +结果表明：对于青梗散花正态模型，销售次数对销售量产生正向影响，原因在于货量流转量（销售次数）越大，利润越高，蔬菜的批发价、损耗和零售价产生反向影响，利润较低。且在2022年6月后，它被枝江青梗散花代替，停止了销售。 + +（3）西兰花最后的对数正态Bayesain模型为： + +$$ +\begin{array}{l} \log (x l x _ {t}) \sim N (\mu_ {t}, \sigma^ {2}) \\ \sigma^ {2} = \frac {1}{\tau}; \mu_ {t} = - 2 1 7. 2 0 + 0. 0 1 8 9 3 x l c _ {t} + 0. 1 0 9 4 x l p _ {t} + 0. 0 4 7 9 9 x l t _ {t} \tag {7} \\ + 2 3. 7 0 x l s _ {t} - 0. 0 8 6 2 2 x l j _ {t} \hat {\sigma} ^ {2} = 0. 0 2 5 2 6 \\ \end{array} +$$ + +结果表明：对于西兰花对数正态模型，销售次数、批发价、退货及损耗对销售量产生正向影响，原因在于货量流转量（销售次数）越大，利润越高，同时蔬菜的损耗主要来源于放置时间，所以去除不好的及退换不新鲜的，有助于提高销量。同时西兰花是三种蔬菜中售价最高的一种，价格对销量产生反向影响，西兰花也是商超该类蔬菜利润的主要来源。 + +(4) 枝江青梗散花最后的对数正态Bayesain模型为: + +$$ +\begin{array}{l} z j x _ {t} \sim N \left(\mu_ {t}, \sigma^ {2}\right) \\ \sigma^ {2} = \frac {1}{\tau}; \mu_ {t} = - 5 5. 7 8 + 0. 4 4 3 5 z j c _ {t} + 0. 0 8 4 0 8 z j p _ {t} - 0. 4 8 3 9 z j t _ {t} \tag {8} \\ + 5 9. 2 1 z j s _ {t} + 0. 1 2 2 5 q g j _ {t} \hat {\sigma} ^ {2} = 1. 0 1 8 \\ \end{array} +$$ + +结果表明：对于枝江青梗散花正态模型，销售次数、批发价损耗和零售价对销售量产生正向影响，原因在于货量流转量（销售次数）越大，利润越高，蔬菜的批发价、损耗和零售价也产生正向影响，说明该产品进价和定价合理，有助于销量的产生。且在2022年6月后，它代替青梗散花进行销售。对于其他剩余5种类别的蔬菜品种，类似地同样可以将每个不同单品销量建立单品销量的正态模型，因时间关系，无法在较短的时间完成。 + +# 4.4 问题二 + +问题2中需要对未来一周（2023年7月1一7日）的补货总量和进行预测，且要求商超收益最大，为此需要建立多变量VAR时序模型及优化模型进行求解。分成两步完成此问题： + +（1）由公式：进货量 $=$ （销售量 $+$ 退货量）/ $(1-$ 损耗率/100)[9]采用附件1一4的销售数据，可计算2022年7月日至2023年6月30日的进货量，进一步用VAR模型完成未来一周的补货量及销售时进行预测。 + +VAR 模型数学表达式为: $y_{t} = A_{1}y_{t - 1} + A_{2}y_{t - 2} + \varepsilon_{t}$ + +其中： $y_{t}$ 是 $\mathbf{n}$ 维同期变量向量， $y_{t-1}$ 是 $\mathbf{n}$ 维滞后1期变量向量， $y_{t-2}$ 是 $\mathbf{n}$ 维滞后2期变量向量， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 是待估计的矩阵， $\varepsilon_{t}$ 为随机的扰动项[10]。 + +（2）由公式：产品价格 $=$ 产品成本 $\times$ （1+成本利润率）[9]，其中：成本利润率 $=$ （净利润/总成本） $\times 100\%$ ，只要计算出成本利润率，就可以完成未来一周蔬菜销售定价策略。 + +# 4.4.1 多变量时间序列VAR模型的建立 + +# （1）数据处理及描述 + +花叶类蔬菜有 13 个品种, 参数估计后有两个 $13 \times 13$ 的参数估计矩阵, 不便正文排版, 为此, 改用 7 种水生根茎蔬菜为例说明建模过程: + +首先附件1一4的水生根茎蔬菜销售数据，按日进行汇总处理，得到7种水生根茎类蔬菜的日销售数据，按由公式进货量 $=$ （销售量 $+$ 退货量）/（1-损耗率/100)，采用可计算2022年7月日至2023年6月30日的常见7种水生根茎类蔬菜的日进货量，在此基础上建立VAR模型完成未来一周的销售量及进货量预测。 + +通常商超在周末会迎来各种商品包括蔬菜的销售高峰，呈现周末销量突增的周期性特征，因此用EVIEWS8.0版，将日销售数据转化为以7天一周的时序进行分析，首先按公式：进货量 $=$ （销售量 $+$ 退货量）/（1-损耗率/100)[9]计算出7种水生根茎蔬菜进货量，并作图。 + +![](images/ccda57c9b8ad02d20ab873dc8975b0aaafbfa823ab2519c6696e2fd79bfe95d0.jpg) +图 6 种水生根茎类蔬菜进货量点线图 + +# （2）VAR模型的建立 + +问题2中指出：“当日未售出，隔日绝大多数蔬菜无法再售”。为此确定滞后期为2期，表明今天销售的蔬菜最多是今天凌晨3一4点进的货，也就是在商超陈列2天，即售卖2天，从而确定VAR模型的阶数为2。 + +将处理好的数据导入 EVIEWS 建立 VAR 模型, 模型参数估计及统计量见表。 + +Vector Autoregression Estimates +Date: 09/08/23 Time: 17:39 +Sample (adjusted): 7/03/2020 6/20/2023 +Observed observations per adjustment +Standard errors in () & t-statistics in [] + +表 6 水生根茎类蔬菜 VAR (2) 模型参数估计及统计量汇总表 + +
JOGG1BQYOHHLOGG2HHOD
JO(-1)0.421583(0.03171)[13.2948]-0.050794(0.01954)[-2.59889]-0.003402(0.00297)[-1.14364]-0.006586(0.00815)[-0.80854]-0.002970(0.00275)[-1.08088]-0.000605(0.00187)[-0.32326]-0.005162(0.00194)[-2.66723]
JO(-2)0.266407(0.03194)[8.33987]0.043688(0.01969)[2.21899]-0.007760(0.00300)[-2.58971]0.006695(0.00821)[0.81593]-0.003340(0.00277)[-1.20676]0.002218(0.00189)[1.17656]-0.000462(0.00195)[-0.23714]
GG1(-1)0.195312(0.05411)[3.60939]0.738824(0.03335)[22.1526]-0.001792(0.00508)[-0.35306]0.070410(0.01390)[5.06549]-0.001919(0.00469)[-0.40915]0.000646(0.00319)[1.20234]0.004613(0.00330)[1.39658]
GG1(-2)-0.252647(0.05423)[-4.65849]-0.052326(0.03343)[-1.56541]0.001678(0.00509)[0.32986]-0.066450(0.01393)[-4.76987]-0.00237(0.00470)[-0.05038]0.001066(0.00320)[1.33316]0.000359(0.00331)[0.10852]
BQ(-1)-0.160066(0.31560)[-0.50718]-0.157147(0.19452)[-0.80787]0.464075(0.02961)[15.6755]-0.089277(0.08107)[-1.10124]0.051375(0.02735)[1.87848]-0.032348(0.01863)[-1.73657]0.010315(0.01926)[0.53548]
BQ(-2)-0.818140(0.31397)[-2.60582]-0.299411(0.19351)[-1.54725]0.257451(0.02945)[8.74149]-0.088269(0.08065)[-1.09447]-0.042834(0.02721)[-1.57434]0.003022(0.01853)[1.01630]-0.020530(0.01916)[-1.07129]
YO(-1)0.013051(0.11651)[1.11202]0.005563(0.07181)[0.07746]-0.006207(0.01093)[-0.56793]0.336302(0.02993)[11.2365]-0.000952(0.01010)[-0.09433]-0.006147(0.00688)[-0.89389]-0.000336(0.00711)[-0.04724]
YO(-2)0.094179(0.11645)[1.80872]0.054926(0.07178)[0.76526]-0.008727(0.01092)[-0.79892]0.371211(0.02991)[12.4094]-0.000916(0.01009)[-0.09080]-0.002276(0.00687)[-0.33111]-0.001117(0.00711)[-0.15720]
HHLO(-1)-0.029800(0.34404)[-0.08662]-0.110933(0.21205)[-0.52315]0.112237(0.03227)[3.47773]-0.017237(0.08838)[-0.19505]0.547755(0.02981)[18.3725]0.013999(0.02031)[0.68939]0.007247(0.02100)[0.34512]
HHLO(-2)-0.312279(0.34624)[-0.90191]-0.171491(0.21340)[-0.80360]-0.058944(0.03248)[-1.81482]-0.011376(0.08894)[-0.12791]0.257224(0.03000)[8.57284]0.027593(0.02044)[1.35021]-0.025706(0.02113)[-1.21638]
GG2(-1)-0.977043(0.47702)[-2.04822]-0.250004(0.29401)[-0.85033]-0.015438(0.04475)[-0.34500]-0.098603(0.02453)[-0.80470]0.057391(0.04134)[1.38836]0.419599(0.02815)[14.9032]0.009117(0.02912)[0.31312]
GG2(-2)1.151753(0.47610)[2.41915]0.648913(0.29344)[1.21140]-0.057686(0.04466)[-1.29167]-0.032400(0.12230)[-0.26493]-0.052854(0.04126)[-1.28107]0.406079(0.02810)[14.4510]-0.023075(0.02906)[-0.79406]
HHOD(-1)0.266347(0.49078)[0.54270]-0.019307(0.30249)[-0.06383]0.031008(0.04604)[-0.67354]0.072395(0.12607)[-0.57425]0.016936(0.04253)[-0.39822]0.00149(0.02897)[1.00514]-0.532064(0.02996)[17.7617]
HHOD(-2)-1.211467(0.48894)[-2.47774]-0.240690(0.30136)[-0.79869]-0.022574(0.04587)[-0.4928]-0.070290(0.12560)[-0.55968]-0.056439(0.04237)[-1.33205]-0.006386(0.02886)[-0.22130]-0.207382(0.02984)[6.94899]
C10.60838(1.08406)[19.78579]2.739230(0.66815)[14.09971]0.727166(0.10169)[17.15078]0.835386(0.27847)[2.999996]0.367220(0.09394)[3.90901]0.052580(0.06398)[1.82177]-0.275764(0.06617)[14.16765]
R-squared0.4896460.5431560.5796720.4512200.6156810.6325560.512787
Adj.R-squared0.4829560.5371680.5741620.4440260.6106430.6277390.506401
Sum sq. resids256143.897303.732253.91416901.301923.52189231329542724
S.E. equation15.486619.5450701.4527243.9780881.3420320.9140560.945258
F-statistic73.1902990.69861105.205062.72391122.2099131.325980.2908
Log likelihood-4496.552-3972.433-1933.594-3024.566-1847.760-1431.836-1468.188
Akaike AIC8.3315827.3636803.5985115.6132343.440002.6719052.73937
Schwarz SC8.4006617.4327593.6675905.6823123.5090792.7409842.808116
Mean dependent26.522016.3291951.5266861.7338550.9039350.4582280.449456
S.D. dependent21.5373614.030312.2261825.3351582.1507441.4981291.345437
Determinant resid covariance (df adj...): 756495
Determinant resid covariable (df adj...): 686129
Log likelihood: -18034.10
Akaike information criterion: 33.49787
Schwarz criterion: 33.98142
+ +# （3）模型评价和检验 + +模型参数估计中第一行为最小二乘估计的系数，第二行为系数估数标准差，第三行为 $t$ 检验统计量，绝大多数系数统计检验显著。 + +模型7个水生根茎类蔬菜进货量变量的AIC值分别为：8.332，7.364，3.599， + +5.613,3.440,2.672,2.739。SC的值分别是8.401，7.433，3.668，5.682，3.509，2.741，2.808值较小，且两个值较接近，因此模型表现较好。 + +R-square 的值为 0.490，0.543，0.580，0.451，0.616，0.633，0.513 有两个超过 0.6，F 值为 73.190，90.700，105.205，62.724，122.210，131.326，80.290 较大，模型整体显著。 + +综合起来，模型可用于对未来一周的进货量进行预测。 + +# （4）VAR模型的求解结果 + +水生根茎类（ssgj）蔬菜的最终预测模型为： + +$$ +s s g j _ {t} = A _ {1} \text {s s g j} _ {t - 1} + A _ {2} \text {s s g j} _ {t - 2} + \varepsilon_ {t} \tag {9} +$$ + +其中： $ssgj_{t} = (jo_{t},gg1_{t},bq_{t},yo_{t},hhlo_{t},gg2_{t},hhod_{t})^{T}$ + +$$ +\operatorname {s s g j} _ {\mathrm {t} - 1} = \left(j o _ {\mathrm {t} - 1}, g g 1 _ {\mathrm {t} - 1}, b q _ {\mathrm {t} - 1}, y o _ {\mathrm {t} - 1}, h h l o _ {\mathrm {t} - 1}, g g 2 _ {\mathrm {t} - 1}, \operatorname {h h o d} _ {\mathrm {t} - 1}\right) ^ {T} +$$ + +$$ +\operatorname {s s g j} _ {\mathrm {t} - 2} = \left(j o _ {\mathrm {t} - 2}, g g 1 _ {\mathrm {t} - 2}, b q _ {\mathrm {t} - 2}, y o _ {\mathrm {t} - 2}, h h l o _ {\mathrm {t} - 2}, g g 2 _ {\mathrm {t} - 2}, h h o d _ {\mathrm {t} - 2}\right) ^ {T} +$$ + +$$ +\varepsilon_ {t} = \left(1 0. 6 0 8 3 8, 2. 7 3 9 2 3, 0. 7 2 7 1 6 6, 0. 8 3 5 3 8 6, 0. 3 6 7 2 2, 0. 0 5 2 8 5, 0. 2 7 5 7 6 4\right) +$$ + +$$ +A _ {l} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c} 0. 4 2 1 5 8 & 0. 1 9 5 3 1 2 & - 0. 1 6 0 0 6 6 & 0. 0 1 3 0 5 1 & - 0. 0 2 9 8 & - 0. 9 7 7 0 4 & 0. 2 6 6 3 4 7 \\ - 0. 0 5 0 7 9 4 & 0. 7 3 8 8 2 4 & - 0. 1 5 7 1 4 7 & 0. 0 0 5 5 6 3 & - 0. 1 1 0 9 3 3 & - 0. 2 5 0 0 0 4 & - 0. 0 1 9 3 0 7 \\ - 0. 0 0 3 4 0 2 & - 0. 0 0 1 7 9 2 & 0. 4 6 4 0 7 5 & - 0. 0 0 6 2 0 7 & 0. 1 1 2 2 3 7 & - 0. 0 1 5 4 3 8 & 0. 0 3 \dot {1} \dot {0} \dot {0} \dot {8} \\ - 0. 0 0 6 \dot {5} \dot {8} \dot {6} & 0. \dot {0} \dot {7} \dot {0} \dot {4} \dot {1} & - 0. \dot {0} \dot {8} \dot {9} \dot {2} \dot {7} \dot {7} & \dot {0}. \dot {3} \dot {3} \dot {6} \dot {3} \dot {0} \dot {2} & - \dot {0}. \dot {1} \dot {7} \dot {2} \dot {3} \dot {7} & - \dot {0}. \dot {0} \dot {9} \dot {8} \dot {6} \dot {0} \dot {3} & \dot {0}. \dot {0} \dot {7} \dot {2} \dot {3} \dot {9} \dot {5} \\ - \dot {0}. \dot {0} \dot {0} \dot {6} \dot {5} \dot {8} & \dot {0}. \dot {0} \dot {7} \dot {0} \dot {4} \dot {1} & - \dot {0}. \dot {8} \dot {9} \dot {2} \dot {7} \dot {7} & \dot {0}. \dot {3} \dot {3} \dot {6} \dot {3} \dot {0} \dot {2} & - \dot {0}. \dot {1} \dot {7} \dot {2} \dot {3} \dot {7} & - \dot {0} . \dot {0} \dot {9} \dot {8} \dot {6} \dot {0} \dot {3} & \dot {0}. \dot {0} \dot {7} \dot {2} \dot {3} \dot {\mathrm {9}} \\ - \dot {0}. \dot {0} \dot {0} \dot {6} \dot {6} \dot {5} & \dot {0}. \dot {0} \dot {0} \dot {6} \dot {4} \dot {6} & - \dot {0}. \dot {3} \dot {2} \ddot {\mathrm {3}} \ddot {\mathrm {4}} & - \dot {0}. \dot {0} \dot {\mathrm {6}} \ddot {\mathrm {1}} \ddot {\mathrm {4}} & \dot {0}. \dot {\mathrm {1}} \ddot {\mathrm {3}} \ddot {\mathrm {9}} \ddot {\mathrm {9}} & \dot {\mathrm {4}}. \ddot {\mathrm {1}} \ddot {\mathrm {9}} \ddot {\mathrm {5}} \ddot {\mathrm {9}} & \dot {\mathrm {0}}. \ddot {\mathrm {0}} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} \\ - \dot {\mathrm {0}}. \ddot {\mathrm {0}} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} & \ddot {\mathrm {0}}. \ddot {\mathrm {0}} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} & - \ddot {\mathrm {0}}. \ddot {\mathrm {0}} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} & - \ddot {\mathrm {0}}. \ddot {\mathrm {1}} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} ^ {\prime} & - (\ddot {\mathrm {1}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {\prime}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, (\ddot {\mathrm {-}}) ^ {'}, & - (i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i), (- i) +$$ + +$$ +\mathrm {A} _ {2} = \left[ \begin{array}{l l l l l l l} 0. 2 6 6 4 0 7 & - 0. 2 5 2 6 4 7 & - 0. 8 1 8 1 4 & 0. 0 9 4 1 7 9 & - 0. 3 1 2 2 7 9 & 1. 1 5 1 7 5 3 & - 1. 2 1 1 4 6 7 \\ 0. 0 4 3 6 8 8 & - 0. 0 5 2 3 2 6 & - 0. 2 9 9 4 1 1 & 0. 0 5 4 9 2 6 & - 0. 1 7 1 4 9 1 & 0. 6 4 8 9 1 3 & 0. 2 4 0 6 9 \\ - 0. 0 0 7 7 6 & 0. 0 0 1 6 7 8 & 0. 2 5 7 4 5 1 & - 0. 0 0 8 7 2 7 & - 0. 0 5 8 9 4 4 & - 0. 0 5 7 6 8 6 & - 0. 0 2 2 5 7 4 \\ 0. 0 0 6 6 9 5 & - 0. 0 6 6 4 5 & - 0. 0 8 8 2 6 9 & 0. 3 7 1 2 1 1 & - 0. 0 1 1 3 7 6 & - 0. 0 3 2 4 & - 0. \dot {0} \dot {7} \dot {0} \dot {2} \dot {9} \\ - \dot {0}. \dot {0} \dot {0} \dot {3} \dot {3} \dot {4} & - \dot {0}. \dot {0} \dot {0} \dot {0} \dot {2} \dot {3} \dot {7} & - \dot {0}. \dot {0} \dot {4} \dot {2} \dot {8} \dot {3} \dot {4} & - \dot {0}. \dot {0} \dot {0} \dot {0} \dot {9} \dot {1} \dot {6} & - \dot {0}. \dot {0} \dot {5} \dot {7} \dot {2} \dot {2} \dot {4} & - \dot {0}. \dot {0} \dot {5} \dot {8} \dot {5} \dot {4} & - \dot {0}. \dot {0} \dot {5} \dot {6} \dot {4} \dot {3} \\ \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- } \text {- }\right] +$$ + +同理可以完成花菜类（hc）的VAR模型的求解，具体的预测模型为： + +$$ +h c _ {t} = A _ {1} h c _ {t - 1} + A _ {2} h c _ {t - 2} + \varepsilon_ {t}, +$$ + +其中： $hc_{t} = (qgsh, xlh, zjqsh)^{T}, hc_{t-1} = (qgsh_{t-1}, xlh_{t-1}, zjqsh_{t-1})^{T},$ + +$$ +h c _ {t - 2} = \left(q g s h _ {t - 2}, x l h _ {t - 2}, z j q h s h _ {t - 2}\right) ^ {T}, \quad \varepsilon_ {t} = \left(2. 8 0 6 8 5 2, 1 0. 9 8 0 3 9, 1. 2 0 6 6 7 5\right) ^ {T} +$$ + +$$ +A _ {l} = \left[ \begin{array}{l l l} 0. 6 5 6 6 9 7 & 0. 0 3 5 4 1 7 & - 0. 0 4 9 8 5 1 \\ 0. 1 2 2 8 6 7 & 0. 5 0 2 6 7 1 & 0. 1 5 1 9 6 5 \\ - 0. 0 2 3 7 7 3 & 0. 0 2 3 1 3 4 & 0. 6 2 0 4 8 8 \end{array} \right], A _ {2} = \left[ \begin{array}{l l l} 0. 1 4 2 7 2 4 & - 0. 0 5 0 4 1 5 & - 0. 0 3 9 7 0 5 \\ - 0. 1 1 4 5 5 & 0. 0 9 2 6 2 6 & - 0. 1 0 8 0 3 5 \\ - 0. 0 1 8 7 6 & - 0. 0 1 8 1 9 2 & 0. 2 2 2 3 1 3 \end{array} \right] +$$ + +用6个时序VAR模型完成6类蔬菜未来一周补货总量及各个单品补货量预测，计算结果汇总见表，排除不补货的单品蔬菜5个，首次确定最终需要补货的品种有34个品种。 + +表 7 未来一周各天各个单品补货 + +
种类单品名称单品编码7月1日7月2日7月3日7月4日7月5日7月6日7月7日
花叶类云南生菜1029000051157793.935.046.397.227.908.398.79
云南油麦菜1029000051159840.271.481.942.452.893.253.58
上海青102900005115823-0.310.360.691.181.551.902.20
竹叶菜10290000511578613.6913.1312.5311.9811.4811.0210.60
大白菜102900005115960-0.920.950.961.732.072.502.86
黄白菜(2)1029000510104552.002.863.363.864.194.514.76
云南生菜(份)10290001103005937.4636.0635.5034.8134.3834.0233.77
菠菜1029000051188170.971.462.002.332.592.792.94
奶白菜1029000110081647.937.777.246.986.766.606.47
红薯尖1029000051199755.915.705.595.445.325.185.06
苋菜1029000051157629.389.038.958.698.448.187.93
菜心1029000051159080.460.981.131.361.501.641.76
茼蒿1029000051158780.390.891.191.501.721.912.07
辣椒类芜湖青椒(1)102900011016701-2.99-3.69-4.21-4.59-4.91-5.18-5.41
泡泡椒(精品)102900005117056-1.272.74-1.79-7.23-10.49-13.73-16.53
螺丝椒102900011000328-0.54-0.57-0.71-0.94-1.15-1.34-1.51
小米椒1029000051258080.440.420.550.620.700.760.83
红椒(1)1029000051162331.731.601.972.092.252.372.47
小米椒(份)10290001103110027.4924.7023.4321.8620.6019.4518.46
青线椒1029000510042940.540.841.021.161.281.371.46
食用菌类西峡香菇(1)1029000051165303.005.106.587.748.629.319.85
金针菇(盒)10694971130025918.1917.3718.0017.9417.9217.7917.63
西峡花菇(1)1029000051152506.766.576.155.815.455.144.85
金针菇(1)1029000051165471.221.512.042.352.642.873.07
花菜类青梗散花西兰花1029000110099701.442.403.163.804.344.815.21
10290000511671422.9224.7826.2227.0327.5527.8628.05
类枝江青梗散 +花10290001103402612.9612.6812.0211.5211.0310.5810.17
水生根茎类净藕(1)1029000051168998.428.260.480.530.341.313.79
高瓜(1)10290000511882413.629.360.871.110.870.793.19
荸荠10290001100927721.3310.011.131.191.120.902.71
野藕(1)10290001101089119.369.511.311.331.230.762.28
洪湖莲藕 +(粉藕)10290001102184219.599.391.391.361.270.771.94
高瓜(2)10290001103273221.158.961.491.421.300.721.67
洪湖藕带10290005100094422.738.481.561.411.280.701.44
茄类紫茄子(2)10290000511625713.2814.1513.8213.8713.7313.6513.55
青茄子(1)1029000051165091.541.331.821.922.122.232.34
长线茄1029000110227645.845.955.014.604.173.843.56
大龙茄子1029000110094440.02-0.21-0.13-0.16-0.09-0.040.03
圆茄子(2)1029000510004631.461.331.261.201.151.121.09
+ +注：负数表示该品种当天未完全卖完，也未退货，第二天可打折销售的产品量，同时也表明当天该品种不需要补货。 + +![](images/a31e3912592c6c27f850f6ac6827d3a5fa5cba0eae92b62ea40c1ee481c7b763.jpg) +(5) 结果分析 +图7未来一周各天各个单品补货对比图 + +# (6) 结果表明: + +未来一周，云南生菜补货量排名居第1位，西兰花居第2位，小米椒（份）居第3位，金针菇（盒）居4位，紫茄子（2）居第5位，竹叶菜居6位，枝江青梗散花居第7位。 + +三个品种（洪湖藕带，野藕（1），高瓜（1），高瓜（2））呈现出快速下降并趋于零的趋势，将这几个品种排除，最后剩下29个，分别是：云南生菜、云南油麦菜、竹叶菜、大白菜、黄白菜（2）、云南生菜（份）、菠菜、奶白菜、红薯尖、苋菜、菜心、茼蒿、小米椒、红椒（1）、小米椒（份）、青线椒、西 + +峡香菇（1）、金针菇（盒）、西峡花菇（1）、金针菇（1）、青梗散花、西兰花、枝江青梗散花、净藕（1）、荸荠、洪湖莲藕（粉藕）、紫茄子（2）、青茄子（1）、长线茄。除了云南生菜及小米椒（份）补货量略有下除外，其他菜品呈稳定略有上升的态势。 + +综合起来，各蔬菜品类未来一周（2023年7月1-7日）的日补货总量是： + +花叶类未来一周（2023年7月1-7日）的日补货总量：81.4513、85.3473、86.7773、88.3452、89.2398、89.9931、90.6048，辣椒类未来一周（2023年7月1-7日）的日补货总量：30.1984、27.5652、26.9727、25.7342、24.8277、23.9539、23.2130，食用菌类未来一周(2023年7月1-7日)的日补货总量：29.1749、30.5565、32.7689、33.8375、34.6317、35.1066、35.4033，花菜类未来一周（2023年7月1-7日）的日补货总量：37.3203、39.8560、41.4045、42.3502、42.9172、43.2481、43.4332， + +水生根茎类未来一周（2023年7月1-7日）的日补货总量：49.3441、27.6608、3.0066、3.0777、2.7360、2.9864、8.4441，茄类类未来一周（2023年7月1-7日）的日补货总量：20.6610、21.4225、20.6580、20.6580、20.3960、20.0122、19.7191、19.4550. + +# 4.5优化模型求解成本利润率完成定价策略 + +本节用优化模型完成本利润率的计算，数学味道较重，符号采用正文开始时的约定的符号构建优化模型，并用Lingo18.0×64完成模型的求解[11]。 + +# 4.5.1 模型建立 + +# （1）目标函数的确定。 + +由实际含义可得，利润 $=$ 销售总价-成本总价，销售总价为蔬菜销售量（ $a_{it}$ ）与产品定价（ $p_{it} = c_{it}(1 + f_{it})$ ）的乘积构成，其中： $c_{it}$ 为蔬菜成本价， $f_{it}$ 为蔬菜的成本利润率。成本总价为蔬菜成本价乘以蔬菜进货量（ $x_{it}$ ）的积，再乘以 $1 + b_{it}$ ，其中 $b_{it}$ 为蔬菜损耗率， $n$ 为某蔬菜类所含菜单品的数目， $m$ 为时段所含天数。对于花菜类来讲： $n = 3, m = 7$ ，其他依次类推。从而得到目标函数。 + +$$ +\operatorname {M a x} \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {t = 1} ^ {m} \left[ a _ {i t} c _ {i t} \left(1 + f _ {i t}\right) - c _ {i t} x _ {i t} \left(1 + b _ {i t}\right) \right] \tag {10} +$$ + +# （2）约束条件 + +商超经营过程中，成本利润率和损耗率有关，通常损耗率越高，成本利润率越低，损耗率越低，成本利润率越高。结合题目要求，因本题所有单品中损耗率最高为 $29.25\%$ ，以损耗率的区间[0,0.3]为基础，将其均等划分为4个子区间，并对成本利润率进行了不等式约束。结合进货量、销量、损耗量和退货量间的关系，建立等式约束。综合起来最终的约束条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c c} x _ {i t} = a _ {i t} + e _ {i t} + b _ {i t} x _ {i t} & i = 1, 2, \dots , n t = 1, 2, \dots , m \\ 0 \leq f _ {i t} \leq 0. 3 & 0. 2 2 5 \leq b _ {i t} \leq 0. 3 \\ 0. 3 \leq f _ {i t} \leq 0. 6 & 0. 1 5 \leq b _ {i t} \leq 0. 2 2 5 \\ 0. 6 \leq f _ {i t} \leq 0. 9 & 0. 0 7 5 \leq b _ {i t} \leq 0. 1 5 \\ 0. 9 \leq f _ {i t} \leq 1. 2 & 0 \leq b _ {i t} \leq 0. 0 7 5 \\ a _ {i t}, c _ {i t}, f _ {i t}, b _ {i t}, e _ {i t} \geq 0 & i = 1, 2, \dots , n t = 1, 2, \dots , m \end{array} \right. \tag {11} +$$ + +# （3）模型的求解 + +目前大多数优化模型均只能解决截面数据相关问题的优化问题，尚不能通过下标的变换实现纵向数据优化问题，本例中涉及到未来一周的补货及定价问题，所以模型（10）（11）中销售量及补货量用VAR模型中的预测值替代，就可用Lingo $18.0 \times 64$ 完成模型的求解。求解得到的成本利润率表，最终定价策略见图，详细结果见附件。 + +表 8 成优化模型下的成本利润率表 + +
种类单品名称7月1日7月2日7月3日7月4日7月5日7月6日7月7日
花菜类青梗散花0.60.60.60.60.60.60.6
西兰花0.90.90.90.90.90.90.9
枝江青梗散花0.90.60.60.60.90.90.9
花叶类云南生菜0.30.60.60.60.30.60.3
云南油麦菜0.60.90.90.90.60.60.6
上海青0.60.60.60.60.60.60.6
竹叶菜0.90.90.90.90.90.90.9
大白菜0.30.30.30.30.30.30.3
黄白菜(2)0.30.30.30.30.30.30.3
云南生菜(份)0.90.90.90.90.90.90.9
菠菜0.60.60.60.30.30.30.3
奶白菜0.60.30.60.60.60.60.6
红薯尖0.90.90.90.90.90.90.9
苋菜0.60.60.60.60.60.60.6
菜心0.90.90.60.90.90.60.6
茼蒿0.90.90.90.90.90.90.9
辣椒类芜湖青椒(1)1.21.21.21.21.21.21.2
泡泡椒(精品)0.90.90.90.90.90.90.9
螺丝椒0.90.90.90.90.90.90.9
小米椒0.90.90.90.90.90.90.9
红椒(1)0.60.60.60.60.60.60.6
小米椒(份)0.90.90.90.90.90.90.9
青线椒0.60.60.60.60.60.60.6
食用菌西峡香菇(1)0.60.60.60.60.60.60.6
金针菇(盒)1.21.21.21.21.21.21.2
西峡花菇(1)0.90.90.90.90.90.90.9
+ +图829种蔬菜未来一周售卖价格策略（只标出部分蔬菜品种的未来价格） +![](images/4861fedb9e45d09cd3e0d3517ba1d09c3467dd289ba79bdac6c30290e57197ae.jpg) +注：数值0表示该产品不再售卖，或者暂时不进货，如青梗散花后期被枝江青梗散花替代不售卖 + +# 4.6 问题三求解 + +# 4.6.1 对于问题三，可售单品控制策略： + +# （1）商超可售单品的再次确定 + +商超早8点到22点除去准备营业及闭门整理时间外，预计13个小时的正常营业时间，蔬菜销售数据附件1一4中含有各个菜品近三年的销售频次信息，该信息表明各个菜品的流量，流量越大，销量越大，周转越快，因此用该信息结合时点，可计算出各个菜品半小时周转次数。因频率稳定于概率，若某单品半小时销售次数超过0.7次，则在半小时内该单品被购买的可能性为0.7，以此为标准从另外一方面进行筛选最终筛选出29个品种，和VAR模型预测结果作为标准筛选得的品种几乎一致，数量也是29个品种，这29个品种能满足大部分的市场需求，也是大多数商超中售卖的蔬菜品种，说明VAR模型预测结果具有一定的代表性和准确性。 + +# （2）销售空间约束的优化模型 + +问题切入 + +在销售空间约束在单品订购满足最小陈列量2.5千克的条件，说明陈列的货品应该包括两部分：今天凌晨补的货品，昨天未售出今天品像可以，还可销售的货品（如藕、辣椒等），问题要求用2023年6月24-30日的可售品种，完成2023年7月1日的补货策略，且满足市场需求（备足合适的货品），使收益最大化，同样只能用优化模型来完成该问题的求解。 + +# （3）进货模型建立 + +由实际含义可得，利润=销售总价-成本总价，销售总价为蔬菜销售量（ $a_{it}$ ）与产品价格（ $p_{it}$ ）的乘积构成，由于用到的数据是2023年6月24-30日的数据，这两个指标的数据是已知的，同时，批发价 $c_{it}$ 及损耗率 $b_{it}$ 指标的数据也是已知 + +的，可完全依靠优化模型求解，完成这几天的补货数量。相应的约束条件类似处理。 $n$ 为某蔬菜类所含蔬菜单品的数目， $m = 7$ （2023年6月24-30日）。从而建立优化模型： + +$$ +M a x \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {t = 1} ^ {7} \left[ a _ {i t} p _ {i t} - c _ {i t} x _ {i t} \left(1 + b _ {i t}\right) \right] +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {i t} = a _ {i t} + e _ {i t} + b _ {i t} x _ {i t} \quad i = 1, 2, \dots , n t = 1, 2, \dots , 7 \\ a _ {i t}, p _ {i t}, c _ {i t}, x _ {i t}, b _ {i t}, e _ {i t} \geq 0 \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +# （4）补货及定价模型的建立 + +通过进货模型（a）可以由真实销售数据在收益最大的条件下求解出7天（2023年6月24-30日）的进货量 $(x_{it})$ 根据7天的进货量，计算平均值 $\overline{x}_i = \frac{1}{7}\sum_{t = 1}^{7}x_{it}$ 作为2023年7月1日的计划进货量，在7月1日销售过程中的补货量为 $y_{i}$ ，成本利润率为 $f$ ，批发价为 $c_{i}$ ，损耗率为 $y_{i}$ ，6月30日的进货量为 $x_{i}$ 销量 $a_{i}$ ，退货量为 $e_i$ ，则 $x_{i} - e_{i} - a_{i}$ 为6月30日剩余可卖的货品，将陈列在货台上，构成销售空间约束： $\overline{x}_i + x_i - e_i - a_i + y_i\geq 2.5$ ，其他约束条件类似，构成优化补货及定价模型。 + +$$ +\operatorname {M a x} \sum_ {i = 1} ^ {m} \left[ d _ {i} c _ {i} (1 + f) - \left(1 + b _ {i}\right) c _ {i} \left(\bar {x} _ {i} + y _ {i}\right) \right] +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \bar {x} _ {i} + x _ {i} - e _ {i} - a _ {i} + y _ {i} \geq 2. 5 & i = 1, 2, \dots , n \\ d _ {i} = \bar {x} _ {i} + y _ {i} + e _ {i} + (\bar {x} _ {i} + y _ {i}) b _ {i} & i = 1, 2, \dots , n \\ d _ {i}, c _ {i}, f d _ {i}, b _ {i}, \bar {x} _ {i}, y _ {i}, x j _ {i}, e _ {i} \geq 0 \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +# （5）模型求解 + +根据模型的表达式在Lingo18.0×64中编写代码求解，得到2023年7月1日补货量，成本利润率及销售量，见表9。 + +表 9 2023 年 7 月 1 日销售量、当填补货量及定价表 + +
种类单品名称销量d价格波动 +水平f（%）补货量y定价
花菜类青梗散花40.74100.0011.168.26
西兰花34.17100.005.9416.64
枝江青梗散花40.60100.0011.815.67
花叶类云南生菜32.41100.0024.706.55
云南油麦菜29.75100.0024.893.32
上海青28.61100.0025.004.84
竹叶菜39.86100.007.994.64
大白菜30.57100.0025.001.68
黄白菜(2)28.90100.0025.006.68
云南生菜(份)71.29100.000.007.21
菠菜31.76100.0024.788.26
奶白菜30.36100.0013.084.33
红薯尖29.54100.0018.176.41
苋菜39.34100.0014.724.65
菜心31.14100.0024.805.27
茼蒿26.57100.0025.005.22
辣椒类芜湖青椒(1)37.89100.007.286.77
泡泡椒(精品)26.77100.0025.003.08
螺丝椒31.54100.0014.7915.03
小米椒26.47100.0025.0017.98
红椒(1)27.94100.0025.0012.74
小米椒(份)47.32100.000.004.27
青线椒26.95100.0025.0012.04
食用菌西峡香菇(1)28.46100.0025.0018.33
金针菇(盒)41.20100.008.732.91
西峡花菇(1)31.44100.0019.0231.20
金针菇(1)25.86100.0025.003.71
+ +# 4.7 问题四 + +# 4.7.1 建议 + +1.为了更好地制定蔬菜商品的补货及定价决策，还需要蔬菜批发商提供批发量，和进货量数据，批发利润率数据，目的在于构造一个蔬菜批发季节指数，对正文中的VAR模型及优化模型进行适当的调整，提高模型对现实商超数据的拟合优度。 +2. 商超需要在适当时机（每个季节）设计调整问卷。在蔬菜售卖过程中，收集顾客对商超蔬菜售卖服务质量的满意度调查。根据顾客对商超服务的评价，在价格、蔬菜质量，品种上适当作优化，进一步提高顾客的忠诚度。从而提高销售量及蔬菜的周转率，间接提升商超的收益率。 + +# （二）展望 + +1.因为时间有限，只针对花叶类的13个品种建立的Bayesian销量预测模型，对花菜类三个品种建立了Bayesian补货量预测模型，给出了WinBUGS代码，其他蔬菜品种类的Bayesian销量及补货量预测模型只要参考相应代码即可完成，因时间关系，暂时未完成。 +2.时间序列模型的建立虽然为问题2的求解铺平道路，如果能在Bayesian框架下完成结果会更理想，有待同行进一步探讨。 +3. 商超蔬菜销售数据属于复杂数据范畴，用机器学习方法也可以完成大量的问题，但数据处理仍是一个值得探讨的问题，有待同行进一步研究。 +4.商超蔬菜销售数据内含大量的缺失值及零数据，本文采用同期平均法解决了一部分缺失值及零数据，原始数据集为零膨胀数据集，采用零膨胀数据建模也 + +是一种值得推荐的方法，也希望同行共同商讨。 + +# 五、参考文献 + +[1] 王旭光. “双赢”坚定企业科创信心[N]. 国际商报, 2022-11-18(005).DOI: +[2] 10.28270/n.cnki.ngjsb.2022.005104. +[3] 朱洪文.应用统计[M].北京：高等教育出版社.2004,7,1:205-235. +[4] Estrada G, Elizabeth, Villaseñor, et al. Shapiro-Wilk test for multivariate skew-normality[J]. Computational Statistics, 2022 (prepublish). +[5] 薛毅.统计建模与R软件（第1版）[M].北京:清华大学出版社.2007,4:402-418 +[6] 朱洪文.应用统计[M].北京：高等教育出版社.2004,7,1:205-235. +[7] Radford M. Neal. Suppressing Random Walks in Markov Chain Monte Carlo Using Ordered Overrelaxation[M]. Learning in Graphical Models. Springer Netherlands, 1998. 205-230. +[8] Lunn D, Jackson Christopher, et al. A Practical Introduction to Bayesian Analysis[M]. CRC Press, 2013. +[9] 赵阳阳. 信息对称/不对称条件下二级供应链协调方法及系统实现[D]. 哈尔滨工业大学,2016.32. +[10]易丹辉.数据分析与EViews应用[M].中国统计出版社,2002.10.166-179. +[11]袁新生、邵大宏、郁时炼. LINGO 和 Excel 在数学建模中的应用[M]. 科学出版社,2007.32 + +# 附录 + +# 一、支撑材料 + +# 1.数据： + +花菜类销量分布.csv +花叶类销量分布.csv +辣椒类销量分布 CSV +茄子类销量分布.csv +食用菌类销量分布.csv +水生根类销量分布.csv +Eviews8VAR模型进货量预测汇总绘图数据.xlsx +Eviews8VAR模型进货量预测数据汇总.xlsx +Eviews8VAR模型销售量预测数据汇总.xlsx +各类蔬菜平均每小时销量大于0.7汇总.xlsx +各品类未来一周的补货总量.xlsx +各蔬菜日平均销量大于1汇总.xlsx +花菜类Bayesain模型.xlsx +花菜类概率.xlsx +花菜类时序分析.xlsx +花菜类相关系数.xlsx +6六个类别别24-30可售品种.xlsx +数据预处理中间体数据.xlsx +问题3Lingo步骤1计算结果预测进货量.xlsx +问题3结果定价策略汇总.xlsx + +# 2.图： + +图1alpha的动态轨迹图.jpg +图2beta1的动态轨迹图.jpg +图3方差动态轨迹图.jpg +图4参数alpha,beta1,beta12,beta2的核密度估计曲线.jpg +图5参数alpha,beta1,beta12,beta2的MC链自相关图.jpg +图6种水生根茎类蔬菜进货量点线图.jpg +图7未来一周各天各个单品补货对比图.jpg + +图829种蔬菜未来一周售卖价格策略（只标出部分蔬菜品种的未来价格）.jpg +参数alpha的动态轨迹图.jpg +参数beta1的动态轨迹图.jpg +参数beta1的核密度估计图.jpg +参数beta3的动态轨迹图.jpg +参数beta3的核估计图.jpg +参数beta4的动态轨迹图.jpg +花菜类Bayesain模型运行结果收敛图表.docx +花菜类Bayesain模型运行结果销量图表.doc +花菜类Eviews 8进货量预测模型分析图表.docx +花叶类Eviews8进货量预测模型分析图表.docx +辣椒类Eviews8进货量预测模型分析图表.docx +茄类Eviews8进货量预测模型分析图表.docx +食用菌Eviews 8进货量预测模型分析图表.docx +水生根茎类Eviews8进货量预测模型分析图表.docx + +# 3.代码文件 + +问题2花菜类.lg4 +问题2花菜类运行结果.lgr +问题2花叶类.lg4 +问题2花叶类运行结果.lgr +问题2辣椒类.lg4 +问题2辣椒类运行结果.lgr +问题2食用菌/lg4 +问题2食用菌类运行结果.lgr + +花菜类问题3步骤1/lg4 +花菜类问题3步骤1运算结果.lgr +花菜类问题3步骤2.lg4 +花菜类问题3步骤2运算结果.lgr +花叶类问题3步骤1.lg4 +花叶类问题3步骤1运算结果.lgr +花叶类问题3步骤2.lg4 +花叶类问题3步骤2运算结果.lgr +辣椒类问题3步骤1.lg4 +辣椒类问题3步骤1运算结果.lgr +辣椒类问题3步骤2.lg4 +辣椒类问题3步骤2运算结果.lgr +食用菌问题3步骤1.lg4 +食用菌问题3步骤1运算结果.lgr +食用菌问题3步骤2.lg4 +食用菌问题3步骤2运算结果.lgr +Rshaprio正态检验.R +花菜类销量.oda +青梗散花正态模型代码.odc +西兰花对数正态模型代码.odc +孜江青梗散花代码.oda + +# 5.Eviews文件 + +花菜类Eviews8进货量预测模型.wf1 +花菜类Eviews8销售量预测模型.wf1 +花叶类Eviews8进货量预测模型.wf1 +花叶类Eviews8销售量预测模型.wf1 + +辣椒类Eviews8进货量预测模型.wf1 +辣椒类Eviews8销售量预测模型.wf1 +茄类Eviews8进货量预测模型.wf1 +茄类Eviews8销售量预测模型.wf1 +食用菌Eviews8进货量预测模型.wf1 +食用菌Eviews8销售量预测模型.wf1 +水生根茎类Eviews8销售量预测模型.wf1 +水生根类Eviews8进货量预测模型.wf1 + +# 二、代码 + +一、云南生菜销量和其他花叶量销量的贝叶斯模型BUGS代码 + +model{ for(i in 1:n){ ynsc[i]~dnorm(mu[i],tau) mu[i]<-alpha+beta1*ynymc[i]+beta2*shq[i]+beta3*zyc[i] +beta4*dbc[i] $^+$ beta5*hbc2[i] $^+$ beta6*ynscf[i] $^+$ beta7*bc[i] $^+$ beta8*nbc[i] $^+$ beta9*hsj[i] +beta10\*yc[i] $^+$ beta11\*cx[i] $^+$ beta12\*th[i] } s2<-1/tau tau-dgamma(0.01,0.01) alpha~dnorm(0,0.01) beta1~dnorm(0,0.01) beta2~dnorm(0,0.01) beta3~dnorm(0,0.01) beta4~dnorm(0,0.01) beta5~dnorm(0,0.01) beta6~dnorm(0,0.01) beta7~dnorm(0,0.01) beta8~dnorm(0,0.01) beta9~dnorm(0,0.01) beta10~dnorm(0,0.01) beta11~dnorm(0,0.01) beta12~dnorm(0,0.01) } + +data + +
list(n=365)
ynsc[] ynymc[]shq[]zyc[]dbc[]hbc2[]ynscf[]bc[]nbc[]hsj[]yc[]cx[]th[]
33.5217.388.1018.958.225.130.674.644.5614.796.2212.080.00
33.6218.696.4215.796.2611.780.674.294.2918.868.5012.050.00
32.5821.588.6314.809.6812.040.005.217.0020.118.4310.180.00
38.4618.1114.9714.6110.5213.870.003.225.8811.964.669.79
0.00
28.9415.987.5219.659.1111.160.002.909.9425.235.859.120.00
32.0413.148.5816.5910.3010.530.004.953.2313.635.558.550.00
26.2821.088.4612.599.978.760.001.992.8910.785.968.700.00
25.6710.027.739.409.810.002.603.3911.766.717.950.00
28.7715.328.7915.9210.0511.100.005.213.069.228.967.500.00
21.8521.2011.1822.6312.5411.110.004.425.0915.476.029.43
0.00
37.1021.1011.5118.719.0022.100.004.773.9713.748.447.910.00
29.1928.845.9619.368.1719.430.002.742.1711.808.269.960.00
29.7612.579.5411.988.3914.240.004.244.8013.752.178.420.00
28.9819.268.8615.2210.4010.980.004.014.1620.792.925.760.00
25.9120.978.7514.2915.3614.430.002.974.8312.013.866.180.00
33.2927.1915.2623.3615.5916.250.005.956.0116.046.735.83
0.00
36.4523.889.0918.9915.5813.480.005.644.0216.3710.179.96
0.00
35.3226.0014.3412.1912.7420.460.002.673.2522.026.9011.42
0.00
31.8933.7015.9516.8211.8517.440.003.384.6513.173.569.09
0.00
34.968.718.0813.0113.6112.650.003.474.1421.697.468.520.00
34.3915.067.5212.5013.0615.520.003.683.4812.607.315.790.00
35.409.549.5414.7112.9116.000.001.923.4920.123.445.620.00
35.3612.387.1814.968.5713.740.002.924.2820.588.755.780.00
36.5720.1910.2013.566.6316.070.004.096.8318.598.906.740.00
43.6517.9815.1515.9314.4916.120.004.304.4214.458.2210.48
0.00
42.2818.958.8110.825.2219.410.001.816.3714.526.6811.060.00
28.3719.3512.3118.017.3812.450.002.933.2814.638.766.620.00
32.5618.3711.6313.2412.2216.050.003.113.6610.2911.13
8.710.00
24.2513.788.4111.957.6417.4624.670.943.066.345.039.490.00
+ +
28.497.356.737.7411.2115.4522.673.235.0213.495.436.860.00
28.7513.2410.839.0116.1319.9319.333.531.269.1110.6714.54
0.00
26.8914.8418.438.9314.1816.9118.332.592.989.9710.9715.67
0.00
32.8916.8815.067.8614.1117.1118.002.773.989.147.9719.14
0.00
4.7124.398.8610.1512.2320.1020.675.883.8119.218.884.340.00
23.6221.3415.3110.7113.0417.9322.671.346.1715.523.23
7.120.00
22.1616.1611.0016.0116.4520.1120.333.261.0513.068.38
15.220.00
17.0420.059.389.2315.7213.0020.673.078.185.5713.460.00
21.9318.679.387.4818.0721.8823.004.634.1312.434.196.660.00
27.1623.3617.616.5112.9327.9020.332.591.5713.026.5910.15
0.00
9.9317.8017.996.4811.4229.0419.673.073.626.885.738.790.00
18.7915.478.929.995.4918.2814.001.713.108.986.4610.330.00
13.3416.2420.248.987.2221.6718.330.003.146.635.399.770.00
16.0927.0315.969.5915.1620.6719.332.152.118.392.237.850.00
27.3213.999.339.9410.7920.6423.002.569.928.447.2112.140.00
29.8814.3610.346.3213.1918.9318.002.676.0917.564.179.76
0.00
29.0323.2814.436.8912.8923.5717.002.896.118.303.348.740.00
14.2522.3513.828.327.3821.1721.331.965.487.686.416.440.00
28.6715.788.443.259.1610.0325.332.433.4220.653.146.350.00
19.9118.5011.417.559.2923.2521.005.203.149.334.709.620.00
41.8710.0710.875.8211.2119.630.002.332.986.245.434.200.00
22.4514.6811.425.4612.4824.5939.002.032.877.945.3613.86
0.00
22.8416.9014.825.2813.6322.3735.333.004.359.926.8810.22
0.00
23.4426.2716.219.5512.8827.9820.332.573.867.799.678.120.00
15.7719.1017.157.738.7825.0716.331.702.056.677.756.630.00
15.6213.7016.765.404.5028.2915.001.585.937.024.024.030.00
24.1313.9010.9311.084.5167.808.001.992.245.545.414.120.00
33.6917.6910.1713.8716.7720.484.002.382.0718.604.755.70
0.00
27.8123.7513.667.1512.1716.437.334.008.706.264.996.560.00
17.5430.9712.235.3012.1421.5220.672.526.725.903.935.380.00
29.4616.3218.085.5411.1925.9417.672.374.596.764.936.420.00
+ +
27.1515.2914.447.767.2121.9219.001.925.845.613.090.540.00
29.348.748.559.2510.2317.3017.331.374.644.732.474.090.00
23.879.7311.527.509.0219.1316.331.282.726.393.075.560.00
17.409.2210.555.6010.3417.6822.671.854.034.844.673.570.00
15.998.795.565.1211.8513.4034.331.654.3110.903.785.180.00
21.2411.329.104.5416.2018.7234.673.089.626.293.583.980.00
22.9315.4314.134.5518.8021.3422.002.099.127.176.088.890.00
30.948.779.584.1817.5114.6016.332.867.717.513.8911.200.00
15.786.969.121.865.4716.1412.671.575.246.882.494.440.00
18.049.058.260.7511.5015.634.001.215.137.352.753.390.00
12.1710.738.854.807.3411.4026.330.724.175.753.112.610.00
14.137.696.739.638.6018.8121.002.249.606.003.232.970.00
29.208.666.568.0920.9514.9523.672.868.107.835.684.020.00
33.1415.148.1713.7713.6421.9623.332.948.454.544.136.620.00
19.906.636.937.1223.9211.9313.672.0010.857.563.754.330.00
18.506.426.598.5615.949.9913.332.258.975.263.652.580.00
19.306.249.366.1312.1210.6316.001.888.225.022.822.600.00
12.169.835.056.626.107.2013.671.735.406.701.971.704.71
15.013.549.256.304.638.3931.331.806.115.453.554.615.20
11.326.0112.029.102.6614.0328.330.194.045.394.684.093.22
21.8810.8814.119.549.5218.6812.332.746.318.414.056.354.75
37.0316.056.945.3411.7926.6016.333.276.076.017.5918.983.67
14.8514.9214.3113.307.6018.3515.332.2614.844.944.1615.05
4.22
20.708.4313.306.768.489.3214.332.246.585.291.576.365.02
14.984.838.007.887.8512.1412.671.725.844.502.794.765.00
22.694.593.177.286.419.0326.001.665.834.502.124.326.43
26.425.794.349.2210.449.9117.676.545.965.011.705.423.60
26.679.576.295.5013.0410.2013.674.805.965.262.605.005.23
17.335.194.987.8816.316.1716.674.484.661.190.639.545.67
8.305.665.214.396.904.6912.676.155.462.191.811.635.56
17.337.822.525.623.7411.3613.334.265.152.013.235.226.01
13.557.205.385.359.007.7411.006.869.873.181.437.256.67
29.8014.548.6411.7610.2210.2210.7930.0011.9913.393.052.60
14.067.68
19.5813.988.8810.2710.8214.5126.3312.964.953.591.806.08
6.18
12.0615.2912.797.1218.0813.7514.6711.896.062.741.547.01
5.81
14.4810.979.069.3716.0617.3621.3311.026.443.532.882.698.29
27.199.5812.665.7830.2522.7720.336.005.943.162.692.955.87
25.4810.046.874.8036.7616.6729.6712.418.555.091.603.5810.82
20.1212.244.414.5228.837.1335.004.768.053.041.292.978.77
17.776.164.654.5122.522.9823.004.297.462.250.844.598.86
13.928.603.352.2314.602.9629.674.095.102.420.652.8911.70
29.0216.844.036.5518.262.0117.675.678.372.371.176.1411.51
17.697.573.602.2917.992.7618.679.815.030.800.793.4710.76
12.793.912.612.4912.473.5417.678.104.261.200.693.1110.22
10.795.142.591.2012.003.5310.675.366.573.430.781.657.79
16.294.642.420.7212.524.7417.3310.603.851.140.471.535.08
22.977.723.080.5613.895.1431.678.625.921.830.486.6012.96
26.019.698.040.7212.074.8937.007.425.942.351.503.2710.41
15.0210.155.480.9518.794.6717.6713.067.832.281.444.449.46
17.917.614.580.0014.425.7420.676.274.651.340.173.048.57
11.201.933.380.0013.004.2716.674.753.441.730.9710.248.39
14.975.605.280.008.805.7116.334.353.651.750.284.258.93
12.104.153.800.0011.544.1442.334.533.611.550.653.936.37
14.012.234.320.008.801.4814.673.633.240.981.244.028.77
12.415.213.220.0024.682.3216.334.095.291.250.838.2010.95
17.456.044.310.0024.501.5112.0011.147.710.711.307.759.14
14.744.722.950.0018.231.2712.0013.043.101.040.443.527.36
11.193.742.550.0014.501.0014.333.433.291.360.503.178.81
9.955.721.700.0019.831.3611.003.463.731.360.642.728.32
6.852.671.960.0017.532.0916.336.332.780.880.813.078.18
9.962.492.250.0011.472.3433.335.923.650.300.882.5414.53
21.884.336.820.0015.242.461.004.798.660.801.163.3211.53
19.4216.814.750.0021.105.030.006.278.020.670.685.8010.65
11.9712.382.610.0020.021.680.006.097.630.280.455.108.30
8.324.725.140.0025.231.000.004.898.660.820.515.3112.79
7.733.402.880.4112.800.890.006.269.290.241.042.847.44
7.798.002.880.0023.671.010.004.113.401.040.002.729.11
16.565.073.720.0013.541.080.006.9914.680.610.004.3715.78
15.766.832.830.3714.182.400.0011.839.631.340.005.5611.47
15.118.228.820.2714.753.670.009.649.360.000.005.0816.44
15.264.944.930.5023.662.720.003.636.610.400.002.199.63
6.775.032.460.0014.531.2811.001.953.050.120.005.846.96
4.574.562.810.1319.570.497.333.831.110.220.007.068.85
4.953.212.560.3016.740.9015.002.707.790.140.002.096.90
3.565.634.010.0017.950.9724.332.985.610.000.005.329.54
5.016.432.490.1319.981.2022.676.191.930.000.003.7411.46
11.464.142.270.0024.712.1412.677.214.340.000.003.4012.00
9.425.643.450.0023.742.4013.673.984.750.000.003.337.25
+ +
6.315.062.360.0012.103.089.003.900.530.000.003.716.92
4.497.792.750.0028.421.5710.0010.223.940.000.003.559.62
4.882.982.470.0012.092.0023.673.763.470.000.004.6610.37
6.675.952.520.0031.501.6150.334.162.570.000.002.0216.66
9.014.623.290.0039.992.904.007.513.770.000.002.7310.70
13.3011.112.680.0074.073.587.0022.5414.560.000.003.14
11.308.024.540.0059.423.958.003.413.310.000.004.2011.73
11.011.811.760.0042.816.0011.330.634.050.000.002.6011.55
3.982.302.440.0022.490.8512.678.662.670.000.001.8712.13
7.541.733.160.0031.670.168.3310.827.450.000.001.675.22
6.124.041.440.0058.202.3822.005.833.520.000.001.2112.03
9.604.611.050.0038.582.602.675.031.830.000.002.386.53
9.256.572.760.0081.471.731.675.595.290.000.002.5213.96
4.9516.501.700.0045.852.570.002.311.870.000.001.588.37
8.133.912.930.0048.984.610.0010.833.160.000.001.317.58
10.006.343.410.0077.7110.140.006.004.140.000.002.807.11
8.113.782.380.0056.992.920.008.024.360.000.003.298.03
9.923.611.540.0083.631.500.002.652.520.000.003.255.00
4.6810.831.440.0038.641.234.6711.274.030.000.001.4310.09
5.504.222.330.0058.511.712.3314.254.540.000.001.8313.96
10.783.842.030.0076.303.339.336.491.620.000.001.9716.59
3.637.712.390.0035.551.5816.335.541.870.000.000.867.54
5.043.822.890.0029.661.4511.335.491.910.000.001.624.79
3.456.311.280.0031.262.1412.009.313.100.000.000.486.96
3.839.311.770.0028.541.2615.009.602.970.000.001.426.27
10.418.423.390.0039.421.989.6710.664.280.000.002.419.32
6.216.423.470.0052.281.206.6711.762.970.000.001.6512.76
6.426.964.100.0073.851.7812.0011.933.240.000.002.179.62
7.216.831.520.0034.563.418.334.591.110.000.001.326.10
6.8310.632.340.0034.021.6613.673.691.170.000.001.546.47
3.232.721.750.0025.210.744.678.381.480.000.000.886.89
4.323.092.590.0029.121.421.337.837.980.000.001.1610.62
7.962.783.820.0021.291.690.006.738.250.000.003.136.83
13.229.185.110.0044.731.550.3310.903.990.000.003.009.34
4.176.873.370.0047.282.521.6712.284.210.000.001.476.36
6.916.332.600.0019.662.2615.675.851.690.000.002.294.70
6.474.493.490.0023.712.288.677.420.600.000.002.102.13
5.016.942.310.0020.711.7011.6711.141.480.000.000.814.50
5.464.624.290.4843.571.1620.008.871.450.000.001.594.44
10.196.402.030.4821.701.1623.3314.574.280.000.000.9910.71
9.839.062.150.0056.872.7016.0017.217.150.000.003.457.60
+ +
4.785.053.420.0060.581.6412.337.971.960.000.002.053.39
2.898.662.160.0046.042.9117.675.522.930.000.001.325.32
6.152.842.950.0048.171.4813.674.440.490.000.002.897.75
3.852.511.910.0025.941.3514.005.160.180.000.001.665.29
9.735.813.520.0024.341.1520.679.181.140.000.003.627.56
9.568.622.920.0025.462.2420.6710.931.080.000.002.157.48
8.076.042.750.0028.822.9514.338.670.610.000.001.904.65
9.994.794.270.0033.632.3214.674.630.250.000.001.455.08
4.643.214.860.0025.152.2113.006.100.290.000.001.773.82
4.556.652.120.0020.461.269.335.711.540.000.000.932.81
3.792.953.220.0028.191.6014.003.981.900.000.001.293.37
5.476.645.370.0018.842.7010.004.673.360.000.000.764.86
9.3810.834.290.0037.852.8116.005.264.050.000.001.765.40
15.004.102.890.0032.641.0413.336.272.210.000.002.036.54
7.598.473.960.0042.493.3911.334.821.720.000.001.226.01
4.346.832.760.0030.801.487.005.041.330.000.001.173.66
3.825.712.000.0032.800.2112.004.881.430.000.001.653.25
4.203.313.050.0030.192.4515.674.456.290.000.001.394.01
6.673.015.380.0025.441.8928.005.842.820.000.001.936.99
9.982.536.500.0031.060.8719.337.814.870.000.002.366.29
10.257.814.690.0040.935.2316.0010.244.720.000.002.203.86
6.147.385.750.0040.143.6612.334.845.960.000.002.885.34
5.804.583.410.8223.001.8316.677.164.480.000.672.045.71
5.554.553.361.0543.241.2221.3310.107.790.000.161.186.84
12.6212.322.870.6428.291.3940.6722.0811.910.000.002.0110.07
8.585.354.270.9551.424.702.505.900.000.002.379.54
13.3714.666.260.7131.483.1016.0013.837.670.001.372.5810.03
11.187.1810.030.2537.533.6822.679.914.160.000.005.519.22
11.0810.813.332.2848.792.384.678.834.130.000.004.794.90
15.745.039.671.1034.714.852.3310.026.430.000.532.444.84
7.4310.8610.150.9430.161.8817.3320.332.410.000.232.417.04
6.766.426.121.1416.152.375.0013.5914.800.000.002.387.38
12.476.967.100.7521.202.793.3311.406.060.000.001.595.44
18.0210.6511.761.3621.854.453.338.645.890.000.902.904.07
14.5313.529.461.1423.492.2512.0013.914.580.001.644.277.81
8.3912.905.962.2141.074.3812.506.554.200.000.537.076.78
7.823.734.811.4914.582.6411.008.674.170.000.902.544.16
4.1312.986.560.9431.003.158.677.204.950.000.883.783.45
2.1118.929.520.1038.472.2611.005.274.660.000.006.583.37
14.4423.208.333.2333.351.8919.6712.258.540.002.585.502.63
13.0410.058.522.4324.782.6126.3311.183.160.001.5810.276.57
+ +
14.5710.747.130.4232.484.3613.0012.103.300.000.414.722.61
3.233.416.590.6831.921.5710.676.853.480.000.682.252.12
9.266.196.781.5726.623.8010.338.462.960.000.213.913.18
10.0110.2510.561.5719.073.4512.677.903.010.001.543.456.90
19.5017.8616.351.7439.963.7612.678.404.800.001.277.8514.42
4.828.034.722.260.000.7124.503.660.002.171.650.00
5.739.152.812.040.000.7527.507.232.960.000.003.110.00
13.5521.057.374.3417.296.9016.336.062.900.101.073.050.00
10.3412.519.820.8617.862.1519.334.225.150.040.483.852.44
15.6621.3111.350.9931.834.0312.338.323.170.000.415.9112.41
15.1712.489.130.6729.091.447.332.214.980.000.524.422.63
5.5512.975.200.6625.932.928.673.052.430.000.231.915.48
10.9517.737.682.5131.312.0515.672.222.140.001.392.437.51
13.139.598.421.1516.583.3910.673.072.650.091.232.645.98
14.429.259.081.3917.113.747.004.852.570.080.721.297.20
11.039.318.570.2214.081.427.001.602.940.101.831.864.34
8.0512.958.190.9816.070.397.332.243.660.000.381.142.53
7.1614.238.390.8016.861.189.670.310.870.000.251.945.00
10.5212.168.150.7524.922.388.332.301.250.400.002.173.64
6.9511.3610.641.2412.102.1011.005.310.480.500.993.452.53
18.6223.9819.590.0033.613.6716.004.594.770.000.224.612.84
10.9519.9210.480.7530.000.977.001.894.180.000.351.373.36
12.2223.6011.921.4541.022.376.333.892.530.002.431.664.61
22.1912.367.231.3326.591.5210.674.422.100.001.432.263.84
8.4110.228.930.1616.316.4711.333.261.550.000.682.002.32
14.319.735.701.9420.042.629.333.382.310.001.602.53
9.218.446.210.2616.532.1810.673.041.840.002.531.270.00
11.2912.205.411.2526.002.6910.673.023.870.002.372.163.57
9.7122.0513.291.9226.333.096.337.233.300.002.891.795.78
4.7116.647.280.7724.883.598.005.520.730.001.181.683.66
11.098.548.271.7423.811.7011.334.682.800.002.572.242.20
10.347.454.430.6714.462.367.673.023.180.000.491.593.71
8.528.256.480.332.1311.331.484.270.000.811.242.08
13.968.509.380.9713.542.5622.331.443.371.060.841.313.13
18.1810.139.062.3711.693.6215.672.102.031.653.361.232.84
11.2710.976.961.735.981.759.674.295.261.072.481.170.52
13.988.596.751.195.002.1213.671.528.090.975.040.676.12
7.775.064.501.054.452.3016.671.992.370.902.850.094.67
5.445.963.401.845.101.4224.671.255.160.435.861.617.27
4.984.574.981.233.971.2723.001.651.290.218.551.616.92
4.926.854.541.608.272.8920.003.891.310.436.710.878.15
+ +
13.657.907.870.444.592.6224.672.464.801.8415.411.7810.97
20.4319.836.737.1210.3910.0616.676.066.050.7211.743.895.13
12.7313.319.551.3915.492.8125.333.096.032.006.381.175.26
9.915.908.631.715.912.3415.674.433.902.315.661.503.01
11.2310.008.880.2611.103.7911.330.304.681.234.240.141.96
7.174.204.770.346.042.7618.671.873.162.204.061.383.70
8.222.685.370.950.890.9430.002.104.922.277.170.944.33
13.3411.127.851.745.593.6819.003.117.164.4411.772.332.69
16.967.825.580.487.025.4315.674.6211.812.4110.164.681.80
10.347.005.472.789.993.7915.670.000.931.725.172.433.60
5.788.635.691.483.291.0611.003.043.282.127.592.231.66
9.167.964.910.849.331.8213.333.074.992.589.981.241.41
7.816.747.492.8414.382.7413.670.440.792.087.831.852.23
10.609.866.073.399.393.6116.334.238.091.5311.363.313.01
15.208.417.796.349.063.5010.674.8114.581.4811.922.273.87
14.714.806.506.228.713.9816.675.378.301.669.673.642.28
14.155.236.394.5613.585.2913.002.655.601.5614.362.892.53
8.418.829.162.9810.004.1219.333.669.932.1919.432.031.81
3.001.482.673.836.270.7513.671.462.580.497.951.581.71
10.413.989.795.8815.273.9411.000.622.662.269.293.760.58
4.135.175.234.8013.352.8518.003.205.210.5611.170.361.70
10.904.164.484.989.083.9213.334.144.322.7816.682.702.91
11.209.0215.695.5515.0911.1017.334.162.931.5512.351.060.67
9.293.8710.834.5814.148.6817.673.863.062.7711.681.321.71
10.016.028.045.0614.552.519.672.874.082.4311.771.380.77
6.303.365.724.987.733.378.333.571.9113.960.001.19
7.852.854.986.4816.374.9012.334.044.332.4110.821.360.00
8.774.458.702.9612.434.8517.673.623.861.5314.051.050.00
9.972.904.388.9412.514.9215.671.454.001.1213.661.223.00
15.565.448.829.8513.887.488.333.283.861.6411.721.700.00
12.377.073.717.5410.534.3815.331.434.832.428.632.410.00
10.203.715.153.758.022.4911.672.493.621.157.981.592.64
8.703.412.6511.076.973.8310.671.618.242.9611.212.500.70
9.764.533.896.3913.755.0116.332.976.510.7510.471.381.24
8.804.293.4415.186.843.8115.672.457.383.1415.410.873.74
10.522.892.9716.048.912.3821.004.1314.134.6910.731.981.59
10.494.913.2813.4311.703.6213.006.317.093.6919.873.602.49
11.044.024.7513.8316.294.0512.333.105.803.0115.383.130.86
9.083.265.3913.907.173.7911.001.584.852.429.431.400.88
8.144.271.809.4211.993.899.001.898.783.040.00
7.934.801.8510.867.702.2912.002.805.292.599.873.300.00
+ +
11.462.970.826.049.333.3512.672.044.863.6810.343.201.82
15.474.034.0311.305.895.275.673.209.365.789.173.112.44
16.888.501.7614.707.344.7916.673.567.185.5913.871.392.56
12.389.745.5118.3211.145.6712.002.336.013.9311.644.441.72
19.458.325.0116.0013.338.458.674.298.425.099.561.573.42
15.298.825.6113.909.685.132.004.115.719.148.071.392.65
9.336.897.1213.187.835.175.674.564.815.7115.652.351.49
8.273.526.6913.365.213.429.674.235.117.3210.663.552.56
9.6210.053.2915.627.645.2413.333.355.345.9012.271.760.00
13.355.745.2718.076.864.649.672.334.566.1512.394.570.00
12.829.204.6412.067.707.257.004.455.645.6715.313.740.00
12.355.093.7110.916.583.4013.001.805.858.919.350.870.00
9.904.533.1815.6210.874.809.332.549.8710.048.944.110.00
9.994.811.5417.126.843.6215.002.347.765.317.264.080.00
10.004.013.5423.994.882.6213.331.9410.695.2712.583.310.00
16.087.977.7723.517.156.0111.675.268.208.239.595.330.00
23.478.761.6218.4318.009.0516.003.2012.098.6110.866.150.00
14.7612.003.9210.5814.596.7218.001.0810.938.268.413.570.00
11.113.471.5213.8210.773.418.674.337.005.117.311.410.00
8.424.192.0813.357.173.458.673.199.205.998.522.030.00
7.914.142.7413.448.673.4913.002.246.086.4910.051.270.00
9.974.763.1019.518.042.6613.671.948.398.3010.160.720.00
13.116.672.7916.644.715.1012.332.639.6612.7210.481.840.00
13.9011.666.1118.797.3812.049.334.078.818.6411.321.390.00
18.649.997.4611.588.7110.1510.331.729.464.257.653.250.00
15.448.775.3119.216.391.1112.334.397.508.189.492.350.00
9.055.964.8710.542.883.889.671.068.457.6111.394.620.00
10.767.041.898.606.315.197.675.3011.648.0413.603.950.00
6.055.102.8911.917.493.5316.003.4910.479.6815.095.300.00
7.306.355.5033.904.784.9518.672.7412.3012.1212.014.120.00
7.1116.307.1324.998.743.738.673.517.708.7013.632.380.00
9.4511.974.7614.2310.474.6213.003.939.777.4412.525.020.00
14.579.542.5317.227.803.9710.673.597.907.726.531.380.00
9.987.622.1818.544.022.549.673.869.886.1211.773.360.00
14.456.853.7925.547.463.8712.002.5511.279.9812.102.660.00
13.755.903.7526.795.834.6015.003.5011.3918.6917.812.800.00
13.393.633.0013.073.283.1523.673.3713.0811.818.882.750.00
24.277.082.0119.074.603.264.004.137.5715.0814.172.500.00
12.9410.415.9921.1011.506.1811.003.127.2911.4110.584.44
0.00
13.498.464.4315.017.444.1010.673.7610.038.277.112.110.00
+ +13.84 6.22 4.94 15.77 3.62 4.92 10.00 2.84 10.55 5.50 7.33 3.27 0.00 +12.00 3.10 5.68 19.85 2.82 2.51 11.00 2.51 10.78 13.48 9.60 2.58 0.00 +10.76 4.59 3.25 21.12 3.40 2.98 25.00 2.49 11.87 14.96 10.26 2.11 0.00 +15.70 3.74 4.44 31.94 4.20 5.46 18.00 4.71 13.32 15.92 12.32 3.48 0.00 +19.91 9.00 6.23 25.30 9.74 3.81 10.67 5.14 11.68 14.40 9.14 3.00 0.00 +14.85 6.03 5.04 21.86 7.27 7.07 9.67 5.33 6.83 11.95 7.76 3.11 0.00 +15.18 6.71 2.94 20.12 6.67 7.11 8.67 0.85 6.10 11.15 8.84 4.93 0.00 +10.89 4.10 2.58 13.87 5.50 3.49 11.00 2.58 8.53 12.63 8.89 1.93 0.00 +10.88 3.40 3.14 14.61 2.85 3.76 12.00 2.76 6.52 11.07 8.35 2.19 0.00 +14.67 4.10 2.65 25.25 5.19 2.17 8.00 2.49 10.06 12.05 12.15 3.28 0.00 +17.79 7.20 5.38 25.16 8.35 7.36 21.00 3.10 14.44 14.68 10.58 4.05 0.00 +22.79 11.53 4.59 26.49 9.07 5.19 8.00 3.03 10.73 17.20 11.02 3.67 0.00 +12.17 11.94 4.06 20.46 8.04 6.50 12.33 3.22 7.71 17.37 8.36 3.03 0.00 +14.32 5.68 3.57 17.09 4.55 4.42 12.00 3.54 8.06 10.87 10.37 6.80 0.00 +13.77 4.94 2.93 18.49 2.91 4.12 11.33 2.54 7.23 14.65 10.48 4.80 0.00 +9.83 $\begin{array}{l} {2,98} \\ {3,69} \\ {6,54} \\ {7,34} \\ {12,13} \end{array}$ $\begin{array}{l} {3,55} \\ {6,21} \\ {7,16} \\ {7,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,89} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \end{array}$ $\begin{array}{l} {3,55} \\ {6,21} \\ {7,34} \\ {7,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \end{array}$ $\begin{array}{l} {3,55} \\ {6,21} \\ {7,34} \\ {7,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \end{array}$ $\begin{array}{l} {3,55} \\ {6,21} \\ {7,34} \\ {7,97} \\ {8,97} \\ {8,97} \end{array}$ $\begin{array}{l} {3,55} \\ {6,21} \\ {7,34} \\ {7,97} \\ {8,97} \end{array}$ $\begin{array}{l} {3,55} \\ {6,21} \\ {7,34} \\ {7,97} \end{array}$ $\begin{array}{l} {3,55} \\ {6,21} \\ {7,34} \\ {7,97} \end{array}$ $\begin{array}{l} {3,55} \\ {6,21} \\ {7,34} \\ {7,97} \end{array}$ $\begin{array}{l}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三是}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{三}\text{一}}\end{array}$ + +init + +```txt +list(alpha=1, beta1=1, beta2=1, beta3=1, beta4=1, beta5=1, beta6=1, beta7=1, beta8=1, beta9=1, beta10=1, beta11=1, beta12=1, tau=1) +``` + +# 二、青梗散花贝叶斯模型 BUGS 代码 + +model{ for(i in 1:n){ qgx[i]~dnorm(mu[i],tau) mu[i]<-alpha+beta1\*qgc[i] $^+$ beta2\*qgp[i] $^+$ beta3\*qgs[i] $^+$ beta4\*qgj[i] } s2<-1/tau tau~dgamma(0.01,0.01) beta1~dnorm(0,0.01) beta2~dnorm(0,0.01) beta3~dnorm(0,0.01) + +list(n=335) +```txt +beta4~dnorm(0,0.01) +alpha~dnorm(0,0.01) +} +``` + +
qgx[]qgc[]qgp[]qgs[]qgj[]
8.3514.673.540.172.40
6.6213.003.330.172.67
9.9519.003.090.172.67
15.2025.672.820.172.67
10.6819.673.050.172.67
12.3425.672.990.172.67
18.0629.002.930.172.67
18.6335.672.710.172.67
28.6853.672.800.172.67
10.8122.002.760.172.67
9.3019.002.710.172.67
20.3234.672.450.172.67
13.5725.002.350.172.67
14.5923.333.780.172.67
14.3125.673.780.172.67
12.4220.673.780.173.33
11.1918.333.660.173.33
9.1817.003.390.173.33
11.5321.673.280.173.33
10.7319.333.290.173.33
8.1917.331.690.173.33
7.3615.001.780.173.33
7.3214.333.490.173.33
7.8615.333.390.173.33
10.6722.673.390.172.93
10.5819.333.340.172.93
6.9514.001.590.172.93
10.8020.671.520.172.93
6.2812.331.470.172.93
7.9216.673.310.172.93
9.6421.331.420.172.93
11.2620.673.320.172.93
8.1518.331.710.172.93
10.8723.671.490.172.93
23.4149.331.550.172.93
9.3918.001.550.172.93
9.1719.671.510.172.93
10.4721.673.570.172.93
8.2216.001.420.172.93
25.1248.673.590.172.93
17.2832.333.600.172.93
8.9119.331.480.172.93
10.3320.331.470.172.93
6.9314.331.700.172.93
8.0316.333.790.172.93
8.1517.673.690.172.93
12.2622.333.590.172.93
14.1228.003.630.172.93
22.3640.333.610.172.93
26.3749.003.630.174.00
23.0642.673.630.174.67
8.6417.671.830.174.67
5.8912.671.780.174.67
6.7013.001.710.174.67
8.2716.001.620.174.67
9.5419.003.820.174.67
7.6817.671.600.174.67
10.4120.334.590.174.67
5.2411.004.700.174.67
5.079.673.960.174.67
2.795.332.060.174.67
7.4714.674.200.174.67
4.208.332.050.174.67
4.338.672.100.174.67
4.939.001.790.174.67
3.807.001.800.174.67
4.507.671.790.173.67
4.629.331.810.173.67
4.178.001.790.173.67
8.5615.331.730.173.67
10.9217.002.760.173.33
6.9112.001.340.173.07
4.808.001.470.173.07
4.618.001.510.173.07
5.4410.002.230.173.07
3.026.332.230.173.07
11.5022.002.010.173.07
6.9314.002.020.173.07
4.167.672.950.173.07
4.337.671.970.173.07
6.9110.671.860.173.07
9.2916.001.850.173.07
6.9110.671.640.173.07
5.1010.671.580.173.07
4.777.001.380.173.07
17.4929.001.380.171.53
29.5048.331.220.173.07
9.2416.001.230.173.07
9.9214.671.330.173.07
6.2510.001.330.173.07
6.829.331.330.173.07
8.0814.001.330.173.07
7.1713.331.330.173.07
9.9818.671.200.173.07
8.0313.001.080.173.07
10.0214.672.950.173.07
14.5122.671.190.173.07
8.7614.331.250.173.07
8.1414.331.230.173.07
6.9813.331.200.173.07
5.5511.001.280.173.07
5.4010.331.340.173.07
4.297.001.500.173.07
3.417.331.500.173.07
5.3310.001.460.173.07
7.5613.001.410.173.07
2.735.001.460.173.07
0.461.001.460.172.33
4.777.671.420.172.33
3.675.671.420.172.33
3.506.671.580.172.33
7.3214.671.580.171.93
5.058.671.440.171.93
3.926.670.970.171.93
4.768.673.180.171.93
24.5242.000.920.171.60
20.3038.000.900.171.60
19.3132.000.890.171.60
5.9910.670.890.171.60
5.048.670.890.171.60
2.544.330.910.171.60
0.441.000.970.171.60
4.885.670.940.171.60
2.714.330.890.171.60
2.583.330.950.171.60
2.434.000.950.171.60
1.182.000.970.171.60
3.826.670.970.171.60
5.6110.001.000.171.60
4.9710.001.030.171.60
13.7524.000.960.171.60
12.4820.330.560.171.60
9.4714.330.530.171.60
8.1314.000.620.171.60
7.3212.670.660.171.60
4.827.330.680.171.60
4.827.330.680.171.60
7.9315.000.770.171.60
6.8212.000.770.171.60
3.867.001.150.171.60
5.6710.331.220.171.60
9.4915.001.260.171.60
5.8610.001.370.170.80
4.357.001.420.171.60
3.335.671.470.170.80
4.308.331.470.171.60
4.117.001.470.171.60
6.8711.331.480.170.97
16.5827.333.770.171.60
6.4211.671.330.171.60
7.3413.331.370.171.60
3.065.001.290.171.60
6.6211.001.290.171.60
4.206.671.380.171.60
8.2914.331.380.171.60
11.6523.331.290.171.60
5.159.001.300.171.60
3.245.671.350.171.60
2.924.332.390.171.60
8.5116.001.600.171.60
5.4612.001.640.171.60
9.7117.331.630.171.60
8.9014.331.660.171.60
6.8613.331.620.171.60
5.2910.001.620.171.73
5.6710.001.630.171.73
17.2424.002.630.171.73
9.4215.671.620.171.73
7.2012.001.670.171.73
6.1511.331.700.173.07
3.897.671.730.173.07
8.9017.331.720.171.83
7.7815.671.770.173.07
7.4414.001.760.173.07
6.6013.001.840.173.07
6.9014.672.770.173.07
7.1014.002.080.173.07
6.0311.332.170.173.07
3.047.002.210.173.07
2.626.002.290.173.07
3.638.672.820.173.07
5.3610.332.850.173.07
6.8314.332.960.173.07
8.0816.332.980.173.07
8.0516.334.710.173.07
9.6916.004.710.173.07
6.4213.004.710.173.07
5.0010.003.020.173.07
4.6410.333.840.173.07
9.0822.333.040.173.07
12.8521.334.650.173.07
8.6516.674.160.173.07
18.6338.674.190.173.07
7.3715.672.320.173.07
6.1513.002.950.173.07
10.3423.003.110.174.60
3.847.672.080.173.07
6.7114.002.080.173.07
7.0016.332.070.173.07
7.0014.671.610.173.60
5.8312.331.650.173.60
9.2619.331.620.173.60
6.6615.331.620.173.60
26.2443.332.370.173.60
27.1044.331.240.173.60
27.0540.331.290.173.60
0.000.000.000.175.00
0.000.000.000.175.00
7.5913.001.400.173.33
1.993.671.400.173.33
7.0511.671.400.173.33
3.016.001.400.173.33
3.997.672.770.173.33
8.4216.331.400.173.33
7.5316.001.400.172.00
5.539.672.530.173.33
4.079.002.780.172.67
4.399.001.470.172.67
7.8613.672.840.172.67
5.349.001.120.172.67
4.537.671.330.172.67
11.6422.671.360.172.67
7.6611.671.330.172.67
4.637.001.330.172.67
3.925.671.330.172.67
3.144.671.270.172.93
3.174.671.270.172.93
7.4813.001.310.172.93
11.8118.672.670.172.93
16.7127.331.230.172.93
10.6321.331.090.172.93
7.2310.671.180.172.93
4.778.671.220.172.93
6.3011.331.300.172.93
4.647.671.340.172.93
8.1814.331.470.172.93
5.829.001.790.172.93
4.057.001.810.172.93
2.986.001.810.172.93
2.905.671.840.172.93
5.6810.671.810.172.93
9.4416.331.440.172.93
4.528.001.450.172.93
11.7021.001.280.172.93
5.5810.001.280.173.60
4.629.331.780.172.50
5.5510.671.830.173.60
5.0810.332.850.173.60
9.4320.331.850.173.60
8.4516.331.820.173.60
7.6713.001.890.173.60
17.5331.002.850.175.40
3.035.671.670.173.60
4.779.331.670.173.60
6.7713.001.670.173.60
16.7430.671.870.173.60
9.9817.671.590.173.60
12.4223.331.490.173.60
8.8615.671.490.173.60
4.619.332.720.174.67
3.786.671.530.174.67
2.745.331.530.174.67
5.5510.671.550.173.67
7.2514.671.590.173.67
8.5816.001.490.173.67
5.229.331.400.173.67
4.139.670.920.173.67
4.048.000.810.173.67
4.418.670.700.172.67
8.9014.670.710.172.67
14.0123.670.710.172.67
8.3213.330.660.172.67
5.037.000.660.172.67
4.567.670.570.172.67
10.1216.670.500.172.67
7.5113.000.520.172.67
8.4915.332.030.172.40
11.6417.330.540.172.40
9.5516.000.520.172.40
5.097.331.430.172.40
2.174.330.540.172.40
4.846.670.550.172.67
5.889.000.690.172.67
5.599.000.730.173.00
7.399.670.680.173.00
3.727.000.440.173.00
3.746.000.490.173.00
6.2111.670.580.173.00
5.3112.000.780.173.00
0.260.671.060.173.00
3.786.671.080.173.00
4.499.330.930.172.40
5.149.000.930.172.40
5.098.330.930.172.40
4.087.670.930.172.40
2.274.670.930.172.40
2.034.000.930.172.40
6.8113.330.920.172.40
4.538.330.930.172.40
7.0212.670.940.172.40
5.089.330.930.172.40
3.194.670.930.172.40
3.586.670.930.172.40
3.015.670.930.172.40
3.726.000.930.172.67
2.323.330.930.172.67
6.189.331.020.172.67
8.2115.671.440.172.67
3.907.331.350.172.33
8.2518.331.280.172.33
5.4010.001.280.172.33
4.628.001.380.172.67
4.337.671.410.174.33
4.486.671.350.174.33
4.166.671.340.174.33
5.178.331.270.174.33
8.4715.331.100.174.33
4.698.331.080.174.33
3.697.001.150.174.33
6.0211.000.910.174.33
5.8110.001.000.174.33
4.487.331.150.174.33
+ +3.64 6.33 1.24 0.17 4.33 + +3.51 6.67 1.32 0.17 4.33 + +3.80 6.00 1.36 0.17 4.33 + +5.25 8.00 1.41 0.17 4.33 + +6.20 10.67 1.12 0.17 4.33 + +6.12 11.67 1.15 0.17 4.33 + +3.93 7.33 3.53 0.17 4.33 + +5.77 8.33 1.22 0.17 4.67 + +6.80 9.00 1.29 0.17 4.67 + +5.84 11.00 1.73 0.17 4.67 + +4.90 10.33 1.53 0.17 4.67 + +3.88 7.00 1.53 0.17 7.07 + +3.54 6.33 1.53 0.17 6.73 + +END + +```c +inite +list(tau=1, alpha=0.1, beta1=0.21, beta2=0.1, beta3=0.1, beta4=0.1) + +# 三、西兰花贝叶斯模型 BUGS 代码 + +```txt +model{ for(i in 1:n){ y[i]<-log(xlx[i]) y[i]~dnorm(mu[i],tau) mu[i]<-alpha+beta1\*xlc[i]+beta2\*xlp[i]+beta3\*xlt[i]+beta4\*xls[i]+beta5\*xlj[i] } s2<-1/tau tau-dgamma(0.01,0.01) beta1~dnorm(0,0.01) beta2~dnorm(0,0.01) beta3~dnorm(0,0.01) beta4~dnorm(0,0.01) beta5~dnorm(0,0.01) alpha~dnorm(0,0.01) } +``` + +list(n=365) + +xlc[] xlx[] xlp[] xlt[]xls[] xlj[] + +57.33 26.13 7.20 0.33 9.26 11.07 + +63.00 28.75 6.92 0.00 9.26 11.07 + +69.67 32.36 6.99 0.33 9.26 11.33 + +71.67 33.89 7.08 0.00 9.26 11.33 + +68.33 33.16 7.19 0.00 9.26 11.33 + +
54.0023.627.220.009.2611.33
56.3326.956.950.009.2610.67
66.0027.926.830.009.2610.67
70.3328.856.760.009.2610.67
95.6740.056.680.009.2610.67
67.6729.796.780.009.2610.00
77.0032.676.690.009.2610.00
65.0028.876.630.009.2610.00
62.0026.516.460.009.2610.67
47.0021.806.440.009.2610.67
82.6735.876.400.009.2610.67
86.6738.566.400.009.2610.67
78.0037.176.240.009.2610.67
79.3334.426.220.009.2610.67
76.6732.926.290.009.2610.40
75.0033.846.560.009.2610.40
67.3329.166.610.009.2610.40
66.6727.626.760.009.2610.73
74.0031.326.860.339.2611.07
92.6740.047.330.009.2611.07
72.0031.037.350.339.2611.07
73.6732.187.350.009.2611.07
74.0033.917.340.009.2611.07
60.0026.097.370.009.2611.07
69.6730.467.190.009.2611.07
74.6733.867.100.009.2611.07
116.6753.437.070.009.2610.33
70.0033.656.870.009.2610.33
68.3329.787.050.009.2610.00
57.6727.336.590.009.2610.00
67.3329.156.630.009.2610.00
80.0035.756.730.009.2610.33
93.3342.386.710.009.2610.33
101.3343.866.800.009.2610
115.0049.207.260.009.2610.33
69.0030.467.410.009.2610.33
64.6727.297.190.009.2610.33
62.0028.206.930.009.2610.33
76.6733.046.870.009.2610.00
87.3340.906.720.009.2610.00
53.3324.036.800.009.2610.00
+ +67.00 30.50 6.87 0.00 9.26 10.00 + +68.00 30.76 6.75 0.00 9.26 10.00 + +82.33 36.98 6.76 0.00 9.26 9.67 + +127.33 66.82 6.69 0.00 9.26 9.33 + +83.33 39.96 6.71 0.00 9.26 9.33 + +57.67 27.33 6.63 0.00 9.26 10.00 + +43.67 18.44 6.66 0.00 9.26 10.40 + +55.00 24.61 6.64 0.00 9.26 10.73 + +28.00 14.62 6.94 0.00 9.26 10.73 + +46.33 19.69 6.96 0.00 9.26 10.73 + +64.33 30.67 7.18 0.00 9.26 10.73 + +87.67 40.36 7.25 0.00 9.26 10.67 + +59.00 30.95 7.48 0.00 9.26 10.67 + +55.33 27.59 7.75 0.00 9.26 10.40 + +59.00 26.14 7.87 0.00 9.26 11.33 + +32.00 14.63 7.72 0.00 9.26 11.33 + +46.67 22.07 8.04 0.00 9.26 11.33 + +61.00 24.08 8.04 0.00 9.26 12.00 + +62.00 25.47 7.99 0.00 9.26 12.00 + +69.67 28.71 8.04 0.00 9.26 12.00 + +80.00 35.39 8.17 0.00 9.26 12.00 + +67.67 28.52 7.98 0.00 9.26 11.33 + +42.67 17.30 7.96 0.00 9.26 12.67 + +44.00 17.27 8.02 0.00 9.26 12.00 + +48.33 20.00 8.08 0.00 9.26 12.00 + +92.33 39.48 8.19 0.00 9.26 12.00 + +39.33 18.76 8.05 0.00 9.26 11.33 + +56.00 31.90 7.78 0.00 9.26 11.00 + +50.00 20.97 7.49 0.00 9.26 11.67 + +63.33 26.91 7.74 0.00 9.26 11.67 + +38.33 15.68 7.60 0.00 9.26 11.67 + +58.67 25.16 7.64 0.00 9.26 11.67 + +55.33 23.43 7.41 0.00 9.26 11.67 + +61.33 28.15 7.00 0.00 9.26 11.67 + +89.67 43.60 6.77 0.00 9.26 11.00 + +73.67 36.52 6.62 0.67 9.26 11.33 + +68.67 30.80 6.98 0.00 9.26 11.33 + +65.67 29.19 6.86 0.33 9.26 11.33 + +53.33 21.45 7.17 0.33 9.26 11.33 + +42.00 19.74 7.35 0.00 9.26 11.33 + +59.67 36.93 7.27 0.67 9.26 11.33 + +
50.6724.477.280.009.2611.20
22.679.657.230.009.2611.20
31.3313.157.480.009.2611.87
36.6715.777.440.009.2611.87
66.0030.527.520.009.2612.00
112.6753.197.590.339.2611.67
84.3336.957.970.339.2611.67
69.6729.527.970.339.2611.67
73.6730.137.410.679.2612.00
103.3343.627.500.679.2612.00
72.0032.627.560.339.2612.00
73.0032.327.670.009.2612.00
52.0021.287.870.009.2612.67
64.3328.707.990.009.2612.67
61.6727.138.141.009.2612.67
44.6718.908.230.009.2612.00
37.3315.648.260.339.2612.67
42.0016.728.180.009.2612.67
36.3315.178.050.009.2612.00
74.0030.157.930.009.2611.73
90.6738.107.890.009.2612.00
89.6741.957.880.009.2612.00
78.0036.148.050.009.2612.00
56.0026.418.230.009.2612.00
46.3319.808.450.009.2612.00
59.0029.938.430.009.2613.33
39.6717.818.610.009.2613.33
40.3317.398.800.009.2614.27
29.6712.889.060.009.2614.27
34.6715.529.650.009.2614.27
27.6711.909.700.009.2614.27
40.3318.429.630.009.2613.93
32.0015.789.550.009.2613.27
44.6722.439.500.339.2612.40
52.0025.418.780.009.2610.80
80.6736.847.290.009.2610.80
71.6735.676.990.009.2610.27
50.5023.327.570.009.2610.80
67.3333.286.660.339.269.73
73.5038.296.940.009.269.80
77.6741.336.270.009.269.20
+ +61.67 32.26 5.69 0.67 9.26 8.53 + +79.00 39.57 6.35 0.00 9.26 9.20 + +77.67 38.41 6.59 0.00 9.26 8.33 + +60.33 27.96 6.55 0.33 9.26 9.00 + +40.67 19.75 6.19 0.00 9.26 8.67 + +64.33 30.55 6.14 0.00 9.26 9.33 + +49.33 21.13 5.84 0.00 9.26 9.33 + +63.00 30.77 5.97 0.00 9.26 9.33 + +86.33 40.98 6.02 0.00 9.26 9.20 + +75.67 35.51 5.98 0.00 9.26 8.87 + +47.67 22.46 5.86 0.00 9.26 8.87 + +47.00 22.69 5.85 0.00 9.26 8.87 + +54.67 26.57 5.85 0.00 9.26 8.67 + +103.00 53.69 5.74 0.33 9.26 8.67 + +68.67 34.25 5.76 0.00 9.26 9.53 + +122.67 64.19 5.53 0.00 9.26 9.33 + +66.33 34.43 5.32 0.00 9.26 8.67 + +43.67 24.36 5.71 0.00 9.26 8.67 + +33.00 22.14 5.73 0.00 9.26 8.87 + +31.33 16.81 6.58 0.00 9.26 9.00 + +36.33 18.39 4.03 0.00 9.26 8.33 + +27.00 12.53 4.13 0.00 9.26 6.00 + +49.00 26.52 5.48 0.00 9.26 8.33 + +44.67 22.58 5.59 0.00 9.26 8.33 + +47.50 22.94 6.34 0.00 9.26 8.00 + +34.00 15.45 5.87 0.50 9.26 8.50 + +36.00 15.24 5.80 0.00 9.26 8.50 + +36.50 18.01 6.23 0.00 9.26 9.50 + +28.00 13.89 5.86 0.00 9.26 9.33 + +54.00 26.97 4.55 0.00 9.26 6.67 + +58.33 27.55 6.08 0.00 9.26 9.00 + +38.67 17.37 6.24 0.00 9.26 9.00 + +40.67 19.85 6.51 0.00 9.26 9.53 + +28.67 12.79 6.50 0.00 9.26 9.53 + +38.67 18.49 6.52 0.00 9.26 9.33 + +52.00 24.36 6.55 0.00 9.26 9.33 + +52.33 21.98 6.53 0.33 9.26 8.67 + +57.67 27.51 6.44 0.00 9.26 9.33 + +35.33 17.42 6.16 0.00 9.26 9.67 + +36.33 18.34 6.03 0.00 9.26 9.00 + +44.00 22.64 5.88 0.00 9.26 7.67 + +55.67 29.62 5.75 0.00 9.26 7.67 + +59.67 29.87 5.76 0.00 9.26 7.67 + +75.00 34.52 5.65 0.00 9.26 7.67 + +72.67 34.57 5.19 0.33 9.26 8.00 + +45.33 22.84 5.49 0.00 9.26 8.00 + +32.67 16.12 5.62 0.00 9.26 8.00 + +47.33 22.99 5.70 0.00 9.26 8.00 + +48.00 22.11 5.96 0.00 9.26 8.73 + +55.00 24.50 6.20 0.00 9.26 8.73 + +53.00 24.81 6.50 0.00 9.26 9.40 + +40.33 19.55 6.66 0.00 9.26 9.40 + +38.33 19.40 6.65 0.00 9.26 9.40 + +37.67 18.79 6.58 0.00 9.26 9.07 + +30.67 14.69 6.40 0.00 9.26 9.07 + +45.00 21.78 6.37 0.00 9.26 9.33 + +53.00 28.42 6.44 0.00 9.26 9.33 + +34.33 17.45 6.60 0.00 9.26 9.33 + +55.33 28.51 6.68 0.00 9.26 9.33 + +47.00 23.87 6.70 0.00 9.26 9.33 + +54.00 24.76 6.73 0.00 9.26 9.33 + +55.33 26.48 6.71 0.00 9.26 9.33 + +46.67 22.33 6.70 0.00 9.26 10.00 + +53.67 25.56 6.89 0.00 9.26 10.33 + +105.00 53.47 6.61 0.00 9.26 10.00 + +53.33 27.07 6.67 0.00 9.26 10.00 + +50.67 27.03 6.81 0.00 9.26 10.33 + +42.33 21.36 6.77 0.00 9.26 10.33 + +38.67 16.82 6.86 0.00 9.26 8.60 + +46.67 24.49 6.83 0.00 9.26 9.00 + +53.33 25.20 6.53 0.00 9.26 9.00 + +60.33 34.45 6.50 0.00 9.26 9.67 + +38.33 18.72 6.51 0.00 9.26 10.00 + +39.33 21.06 6.55 0.00 9.26 10.33 + +60.67 33.08 6.24 0.00 9.26 10.33 + +92.67 49.77 6.33 0.33 9.26 10.33 + +51.50 22.52 6.18 0.00 9.26 9.50 + +67.00 34.43 6.49 0.00 9.26 10.67 + +96.33 49.77 6.70 0.00 9.26 10.67 + +73.67 38.56 6.88 0.00 9.26 11.00 + +90.00 50.14 7.01 0.00 9.26 11.20 + +58.00 28.49 7.08 0.00 9.26 11.20 + +69.00 40.14 6.96 0.00 9.26 11.20 + +79.67 47.42 6.82 0.00 9.26 10.67 + +82.67 49.46 6.70 0.00 9.26 10.67 + +100.67 56.44 6.63 0.00 9.26 10.00 + +43.50 19.74 6.85 0.00 9.26 10.00 + +29.33 16.12 6.60 0.00 9.26 10.00 + +57.67 29.00 6.75 0.00 9.26 10.00 + +80.00 41.15 6.29 0.00 9.26 9.33 + +86.33 42.36 6.00 0.00 9.26 9.33 + +76.67 38.92 5.61 0.00 9.26 9.00 + +83.33 41.10 5.73 0.00 9.26 9.00 + +68.67 32.23 5.90 0.00 9.26 10.00 + +67.00 35.48 6.18 0.00 9.26 10.33 + +64.33 32.01 6.14 0.00 9.26 10.33 + +77.67 43.31 6.06 0.00 9.26 10.00 + +63.00 30.79 6.10 0.00 9.26 9.00 + +71.50 32.96 6.18 0.00 9.26 9.00 + +38.67 18.31 4.15 0.00 9.26 5.73 + +51.00 23.00 5.96 0.00 9.26 8.73 + +51.67 23.52 5.66 0.00 9.26 8.73 + +53.67 25.84 5.72 0.00 9.26 8.73 + +48.67 22.41 5.82 0.00 9.26 8.73 + +64.00 30.43 5.81 0.00 9.26 8.07 + +68.00 33.80 5.61 0.00 9.26 8.07 + +53.33 26.13 5.29 0.00 9.26 8.07 + +51.00 23.03 5.46 0.00 9.26 8.40 + +38.67 18.24 5.50 0.00 9.26 8.40 + +46.33 19.79 5.53 0.00 9.26 8.40 + +53.33 25.59 5.41 0.00 9.26 7.73 + +55.33 26.21 5.42 0.00 9.26 7.73 + +67.00 31.43 5.84 0.00 9.26 9.07 + +67.00 30.07 6.14 0.00 9.26 9.40 + +48.67 22.46 6.20 0.33 9.26 9.27 + +38.67 17.31 6.22 0.00 9.26 9.73 + +49.33 21.53 6.32 0.00 9.26 9.40 + +41.33 18.87 6.32 0.00 9.26 9.60 + +37.67 17.03 6.34 0.00 9.26 9.60 + +59.33 27.09 6.39 0.00 9.26 9.60 + +54.67 24.34 6.42 0.00 9.26 9.60 + +45.33 18.84 6.34 0.00 9.26 9.60 + +29.67 12.28 5.75 0.00 9.26 8.93 + +
31.3313.405.730.009.268.73
24.679.935.630.009.268.73
26.3310.293.190.009.266.33
33.6714.793.990.009.265.67
36.6716.294.290.009.266.00
25.3310.934.470.009.266.67
17.008.054.360.009.266.67
30.0013.577.070.009.269.73
45.6720.427.160.009.2610.00
51.6722.097.040.009.2610.67
55.0025.087.110.009.2610.67
45.3319.627.170.009.2610.67
32.0014.947.100.009.2610.67
31.6714.697.100.009.2610.67
28.6713.437.090.009.2611.00
27.0011.567.070.009.2611.00
31.3313.367.120.009.2611.00
38.6718.677.410.009.2610.67
34.0016.507.530.009.2610.33
27.6712.507.310.009.2610.67
43.5020.067.600.009.2611.00
42.3321.137.320.679.2610.00
38.0018.267.320.009.2610.00
44.3322.387.500.339.269.67
48.0023.167.400.009.269.67
45.6722.817.400.009.269.67
52.0023.517.410.009.2611.00
67.3331.147.450.009.2611.00
21.009.587.450.009.2611.00
33.3315.337.460.009.2611.00
36.6716.857.470.009.2611.00
46.6722.597.520.009.2611.00
33.6716.047.420.009.2610.67
28.0012.527.420.009.2610.00
26.3311.957.420.009.2611.33
27.6712.837.250.009.2611.00
27.6712.767.210.009.2611.67
29.3313.287.480.009.2611.67
31.0013.357.400.009.2611.67
51.6722.107.430.009.2611.67
37.6715.527.490.009.2611.67
24.6710.427.480.009.2611.67
28.6712.947.840.009.2611.33
33.3314.697.820.009.2611.33
42.0018.007.710.009.2611.33
43.0020.587.580.009.2610.67
55.6733.236.930.009.269.93
61.0030.526.370.009.269.27
30.0016.136.450.009.269.33
28.3312.676.230.009.269.33
30.3312.636.280.009.269.87
35.3316.296.440.009.269.87
44.6719.916.480.009.269.00
50.6722.735.970.009.269.33
35.3316.665.920.009.269.33
52.3322.975.830.009.268.67
46.6719.736.160.009.268.67
41.6716.626.390.009.268.67
41.3316.865.470.009.268.67
44.3321.875.320.009.268.00
40.3324.215.530.009.268.00
49.0022.055.970.009.268.67
41.0017.885.460.009.268.67
37.3315.975.700.009.268.67
41.6717.805.800.009.268.00
46.6721.775.800.009.268.33
67.0030.206.130.009.268.33
63.0028.106.260.009.269.00
51.3324.486.440.009.269.33
31.6713.646.460.009.269.33
39.3319.286.410.009.269.33
36.3317.646.360.009.269.00
29.0013.066.480.009.269.73
44.6721.906.640.009.269.73
48.3320.656.820.009.269.73
55.0025.077.040.009.269.73
41.3318.936.860.009.269.33
33.6714.536.820.009.269.33
45.6720.087.220.009.269.73
47.3322.997.250.009.269.73
62.0028.367.080.009.269.73
65.6731.127.030.009.269.07
31.0014.547.210.009.269.33
37.3317.847.170.009.269.67
48.6720.567.220.009.2610.00
39.3317.147.240.009.2610.00
58.3325.567.150.009.2610.40
47.0018.237.230.009.2610.73
56.3326.897.310.009.2611.00
52.6722.757.390.009.2610.40
36.6716.267.370.009.2611.13
31.6714.307.560.009.2611.13
35.3316.367.700.009.2611.13
28.0012.207.560.009.2611.40
49.3320.407.500.009.2611.73
56.6724.367.660.009.2611.07
59.6728.427.700.009.2611.07
58.6728.977.710.009.2611.07
37.3318.267.670.009.2611.73
23.6712.177.680.009.2611.73
65.0030.677.560.009.2611.73
50.6722.747.520.009.2611.73
48.0023.757.360.009.2611.47
40.3320.497.340.009.2611.47
50.0022.837.220.009.2610.13
39.3318.187.240.009.2610.40
37.3316.317.250.009.2610.40
29.6714.806.690.009.2611.07
37.3317.366.660.009.2610.67
73.6732.306.460.009.2610.40
53.0023.946.360.009.269.73
44.0019.266.530.009.2610.00
45.0019.676.500.009.269.73
42.6720.286.550.009.269.73
END
+ +
inite
list(tau=1, alpha=1, beta1=1, beta2=1, beta3=1, beta4=1, beta5=1)
四、枝江青梗散花贝叶斯模型 BUGS 代码
model{
for(i in 1:n) {
zjx[i]~dnorm(mu[i],tau)
mu[i]<-alpha+beta1*zjc[i]+beta2*zjp[i]+beta3*zjt[i]+beta4*zjs[i]+beta5*zjj[i]
+ +```r +} +s2<-1/tau +tau~dgamma(0.01,0.01) +alpha~dnorm(0,0.01) +beta1~dnorm(0,0.01) +beta2~dnorm(0,0.01) +beta3~dnorm(0,0.01) +beta4~dnorm(0,0.01) +beta5~dnorm(0,0.01) +} +``` + +data + +list(n=365) + +zjx[] zjc[] zjp[] zjt[]zjs[] zjj[] + +1.94 2.33 1.71 0.00 0.94 1.43 + +6.22 8.00 1.52 0.00 0.94 1.60 + +3.87 5.33 1.56 0.00 0.94 2.67 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 2.67 + +6.46 8.67 1.57 0.00 0.94 2.67 + +5.31 7.33 1.58 0.00 0.94 1.60 + +6.44 8.00 1.59 0.00 0.94 2.67 + +5.74 8.33 1.62 0.00 0.94 2.67 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 2.67 + +8.12 12.67 1.62 0.00 0.94 1.60 + +0.35 0.67 1.62 0.00 0.94 2.67 + +10.08 16.33 1.56 0.00 0.94 2.67 + +3.74 6.67 1.72 0.00 0.94 1.60 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 1.60 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 1.60 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 1.60 + +0.21 0.33 1.92 0.00 0.94 2.67 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 2.67 + +0.23 0.33 1.92 0.00 0.94 2.67 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 2.67 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 2.67 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 2.67 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 2.67 + +0.00 0.00 0.00 0.00 0.94 2.67 + +11.11 27.00 2.15 0.00 0.94 1.60 + +9.04 17.00 2.06 0.00 0.94 2.67 + +10.08 21.00 2.06 0.00 0.94 3.33 + +
6.2311.331.970.000.943.33
10.6717.331.780.000.941.33
5.9012.671.670.000.942.00
0.290.671.670.000.943.33
6.1912.671.670.000.943.33
10.2823.001.700.000.941.67
7.4018.671.800.000.943.33
6.1314.001.660.000.943.33
7.8716.001.600.000.941.77
8.9621.001.420.000.942.93
6.5612.671.390.000.941.77
7.0915.331.460.000.942.93
6.7812.001.360.000.942.93
5.7710.001.280.330.942.93
6.538.331.280.000.942.93
6.4911.001.270.000.942.93
10.0015.331.270.000.941.77
13.5721.331.100.000.941.77
10.1917.671.190.000.941.77
9.2819.331.220.000.942.93
9.7015.671.190.000.942.93
14.6426.001.200.000.942.93
11.3423.331.290.000.942.93
14.9220.001.260.000.942.93
11.1115.671.260.000.942.93
6.8711.001.250.000.942.93
4.768.001.250.000.942.93
11.1017.001.250.000.942.93
10.2018.331.300.000.942.93
6.549.671.480.000.941.77
4.086.331.480.000.942.93
9.5719.001.480.000.942.93
2.966.001.740.000.941.77
12.7630.332.010.000.944.00
6.6013.672.400.000.944.67
6.4212.332.400.000.944.67
6.3711.672.530.000.944.67
7.0012.332.560.000.942.80
10.3719.332.500.000.944.67
9.1017.002.730.000.942.80
6.1611.332.730.000.942.80
2.103.332.730.000.942.80
7.8119.002.680.330.944.67
12.9130.332.680.330.944.67
9.1522.672.920.000.944.67
11.3723.333.310.000.942.80
12.9029.003.210.000.944.67
8.1018.672.640.000.943.27
7.1216.672.640.000.944.67
3.8610.002.690.000.942.80
7.0114.332.710.000.943.67
10.4223.672.530.000.943.67
7.9419.002.190.000.943.67
5.5813.001.750.000.942.20
7.6617.331.670.000.943.33
4.819.671.740.000.943.07
9.4321.001.740.000.943.07
15.1032.001.740.670.941.83
15.8731.001.740.000.941.83
7.7015.331.740.000.941.53
3.937.671.740.000.941.83
6.8216.331.730.000.941.83
5.9914.001.750.000.941.53
7.6817.331.740.000.941.83
12.1126.671.700.000.941.53
13.3725.331.720.000.941.83
12.6223.001.740.000.943.07
13.8226.331.650.000.941.83
6.5313.671.470.000.941.23
0.280.331.730.000.941.53
11.6522.671.520.000.943.07
14.0930.001.750.330.941.83
4.548.001.710.000.941.83
8.7515.331.660.000.941.83
7.6315.001.620.000.941.83
4.549.331.740.000.941.83
4.6810.001.770.000.941.83
4.7911.001.840.000.943.07
1.703.671.910.000.941.83
8.0215.671.900.000.941.53
9.8516.671.870.000.941.53
6.4213.671.870.000.941.53
11.5826.671.870.000.940.93
2.422.671.780.000.941.23
3.467.671.610.000.943.07
13.9134.001.570.000.943.07
10.9226.671.560.000.943.07
6.1615.671.560.000.943.07
5.3214.001.700.000.941.83
6.3817.001.750.000.941.83
9.5625.001.750.000.941.83
4.5413.001.750.000.941.17
5.3214.001.380.000.940.70
8.0721.331.100.000.942.33
12.1032.001.010.000.942.33
8.8020.001.030.000.941.93
4.2512.000.990.000.941.17
0.000.000.000.000.940.00
10.6730.330.890.000.941.93
0.000.000.000.000.940.00
10.0325.330.800.000.941.17
9.1419.000.800.000.941.60
8.2317.670.740.000.941.60
7.2715.670.730.000.941.60
6.1113.330.680.000.940.97
6.2514.670.680.000.940.97
7.3916.670.690.000.941.60
8.0218.330.740.000.941.60
8.0218.330.840.000.941.60
7.2716.330.800.000.940.97
5.0512.670.770.000.941.60
1.744.670.770.000.941.60
8.8618.670.660.000.941.60
11.2425.000.600.000.941.60
10.0725.330.470.000.941.60
15.8135.670.700.000.941.60
10.7325.000.670.000.941.60
8.5317.000.750.000.941.60
4.8211.000.710.000.941.60
4.6111.000.680.000.941.60
7.1417.000.590.000.941.60
10.0223.000.720.000.941.60
1.062.330.490.000.941.60
2.876.670.490.000.941.60
1.984.330.520.000.941.60
0.000.000.000.000.940.00
0.000.000.000.000.940.00
0.000.000.000.000.940.00
0.000.000.000.000.940.00
7.2716.000.450.000.941.60
10.0923.670.490.000.941.60
3.289.000.510.000.940.80
0.531.670.540.000.940.80
6.1714.330.540.000.941.60
8.6620.670.580.000.941.60
7.1116.670.550.000.941.60
12.7428.330.560.000.941.60
7.4618.330.630.000.940.97
4.0710.000.630.000.941.60
5.2312.670.640.000.941.60
6.4816.670.670.000.941.60
0.952.670.660.000.941.60
0.200.670.800.000.941.60
11.8227.670.810.000.941.60
10.1423.670.900.000.941.60
7.2018.670.930.000.941.60
15.8842.670.940.000.940.97
5.8013.330.930.000.941.60
5.2211.670.920.000.941.60
8.2821.000.930.000.941.60
9.6524.670.950.000.941.60
5.1714.330.960.000.940.97
6.8318.000.920.000.941.60
5.1213.000.920.000.941.60
4.0511.000.960.000.941.03
6.5918.330.980.000.941.73
5.1313.671.030.000.941.03
6.7118.331.040.000.941.73
6.8918.331.060.000.941.73
4.9310.671.090.000.943.07
4.8410.671.280.000.941.83
4.489.331.380.000.943.07
3.9610.001.560.000.943.07
3.187.671.660.000.943.07
3.658.331.710.000.941.83
3.908.331.710.000.943.07
1.894.331.710.000.943.07
5.1111.331.800.000.943.07
2.855.671.820.000.943.07
6.1812.671.670.000.943.07
9.4321.001.630.000.941.83
12.8128.001.680.000.942.13
8.8320.671.650.000.941.53
5.0312.671.640.000.941.83
4.4911.671.710.000.941.83
8.1715.331.730.000.943.07
11.5621.001.760.000.943.07
0.000.000.000.000.940.00
4.344.671.730.000.943.07
7.9011.331.740.000.943.07
7.7313.330.310.000.943.07
2.946.670.100.000.943.07
5.7410.001.730.000.943.07
0.220.331.730.000.943.07
0.000.000.000.000.943.07
5.5513.331.990.000.943.07
6.7314.002.000.000.943.07
7.6216.003.030.000.942.30
4.187.332.060.000.941.83
4.8911.332.070.000.941.83
6.5614.332.070.000.943.07
3.297.672.080.000.942.17
3.057.332.100.000.941.80
3.959.672.130.000.943.60
4.6611.002.170.000.943.60
5.8714.672.200.000.942.17
5.4513.672.300.000.942.17
3.689.332.320.000.942.17
8.4119.003.340.000.945.00
9.1921.003.200.000.943.00
5.5211.671.880.000.943.33
4.9811.001.900.000.943.33
3.777.671.830.000.942.00
3.328.001.790.000.942.00
4.5411.331.690.000.942.00
4.1210.671.500.000.943.33
6.2316.001.530.000.941.67
3.437.331.530.000.942.00
3.829.671.470.000.941.33
4.6511.001.370.000.941.60
1.192.671.450.000.941.60
3.477.671.480.000.941.60
6.1114.331.500.000.941.33
5.8313.331.530.000.941.60
0.000.000.000.000.941.60
4.579.331.660.000.941.60
3.237.001.730.000.941.60
3.777.671.750.000.941.60
4.269.671.890.000.941.77
4.089.002.000.000.941.77
5.0710.671.950.000.941.77
3.487.331.850.000.941.77
3.267.001.810.000.941.77
4.699.671.720.000.941.77
3.186.671.610.000.941.77
3.477.671.620.000.941.77
5.2711.671.670.000.941.47
6.5116.001.680.000.941.47
3.538.001.650.000.941.77
3.036.671.350.000.942.93
3.237.001.520.000.941.77
4.479.331.520.000.941.47
6.7516.671.790.330.942.93
6.4912.671.830.000.942.93
4.359.001.950.000.942.93
5.4212.671.990.000.942.93
6.9716.332.560.670.942.93
4.489.672.770.000.943.60
3.879.002.990.000.941.80
5.6711.003.260.000.942.17
4.298.002.700.000.942.17
10.0119.332.500.000.943.60
3.036.672.520.000.942.17
3.417.332.520.000.942.17
5.8612.003.780.000.945.40
3.568.002.580.000.943.60
6.4514.672.580.000.943.60
4.159.332.570.000.942.17
5.1310.673.050.000.942.17
1.042.333.270.000.942.17
1.974.333.420.000.943.60
7.7917.333.430.000.942.17
3.707.673.170.000.942.80
4.008.332.760.000.944.67
3.287.672.650.000.944.67
4.5610.002.530.000.941.83
2.144.672.390.000.941.83
2.004.332.370.000.943.67
1.392.672.200.000.943.67
2.435.332.110.000.943.67
1.322.672.010.000.941.83
1.863.672.080.000.942.67
3.207.001.950.000.942.67
1.352.671.700.000.942.67
1.884.001.650.000.942.67
1.913.671.660.000.942.67
3.026.331.670.000.942.67
3.286.331.670.000.941.60
5.6110.671.660.000.942.67
0.641.331.630.000.940.97
2.055.001.520.000.940.97
2.265.001.490.000.942.40
3.558.331.730.000.942.40
1.784.671.820.000.942.40
3.678.002.140.000.942.67
5.3513.002.330.000.942.67
5.149.332.470.000.943.00
6.5913.332.510.000.943.00
3.817.002.180.000.941.80
5.8310.331.790.000.943.00
6.2812.001.780.000.943.00
5.288.331.770.000.943.00
8.1414.001.640.000.943.00
8.8815.671.430.000.943.00
0.831.331.200.000.942.40
3.598.001.390.000.942.40
3.676.671.390.000.942.40
3.396.331.400.000.942.40
1.723.001.410.000.942.40
6.6012.001.390.000.942.40
7.3812.671.320.000.942.40
3.676.331.330.000.941.43
2.515.331.340.000.942.40
2.174.331.330.000.942.40
2.204.331.320.000.941.43
2.665.331.350.000.941.43
3.387.331.410.000.942.40
4.259.331.860.000.942.67
1.573.671.950.000.941.33
2.014.001.920.000.941.60
1.022.001.930.000.942.67
2.805.672.330.000.942.33
3.607.672.330.000.942.33
6.2113.002.300.000.942.33
5.1211.002.240.000.941.60
1.724.332.240.000.944.33
1.072.672.830.000.944.33
1.914.672.970.000.944.33
2.004.672.970.000.944.33
1.132.673.000.000.944.33
2.755.002.960.000.944.33
1.562.002.890.000.944.33
2.434.672.720.000.944.33
0.380.672.700.000.944.33
0.000.000.000.000.944.33
0.420.672.830.000.944.33
0.691.333.150.000.944.33
2.195.333.130.000.942.60
2.876.333.110.000.942.60
3.507.332.840.000.944.33
0.000.000.000.000.944.33
0.090.333.160.000.944.33
0.310.673.170.000.944.33
1.823.333.180.000.944.33
0.000.000.000.000.944.33
0.791.333.200.000.944.67
0.000.000.000.000.944.67
0.571.003.230.000.944.67
0.000.000.000.000.944.67
0.000.000.000.000.944.67
0.000.000.000.000.944.67
0.721.333.300.000.944.67
0.000.000.000.000.944.67
0.000.000.000.000.944.67
0.000.000.000.000.944.67
0.891.673.310.000.944.67
9.5114.334.610.000.946.10
10.4117.334.470.000.945.77
END
+ +list(tau=0.1, alpha=1, beta2=1, beta3=1, beta4=1, beta5=1) + +# shapirio 正态性检验（R语言）： + +半小时购买次数超过0.7次的花叶类蔬菜的相关性 + +```r +setwd('E:/cumcm_R') +getwd() +hy<-read.csv('花叶类销量分布.csv') +r<-cor(hy) +(abs(r)>=0.4) +shapiro.test(hy$ynsc) +shapiro.test(hy$ynymc) +shapiro.test(hy$shq) +shapiro.test(hy$zyc) +shapiro.test(hy$dbc) +shapiro.test(hy$hbc2) +shapiro.test(hy$ynscf) +shapiro.test(hy$bc) +shapiro.test(hy$nbc) +shapiro.test(hy$hsj) +shapiro.test(hy$yc) +shapiro.test(hy$cx) +shapiro.test(hy$th) +****************13种花叶菜销量全不服从正态分布 +****************#3种花菜类的相关性 +hc<-read.csv('花菜类销量分布.csv') +r<-cor(hc) +(abs(r)>=0.2) +shapiro.test(hc$qqg) +``` + +```txt +shapiro.test(hc$xlh) +shapiro.test(hc$zjqg) +#3种花菜类销量不服从正态分布 +lj<-read.csv('辣椒类销量分布.csv') +r<-cor(lj) +(abs(r)>=0.4) +shapiro.test(lj$fhqj) +shapiro.test(lj$ppj) +shapiro.test(lj$xmj) +shapiro.test(lj$hj1) +shapiro.test(lj$xmj1) +shapiro.test(lj$qxj) +#6种辣椒类销量不服从正态分布 +qz<-read.csv('茄子类销量分布.csv') +shapiro.test(qz$zqz2) +#紫茄子2销量不服从正态分布 +ssg<-read.csv('水生根类销量分布.csv') +shapiro.test(ssg$jo1) +净藕1销量不服从正态分布 +syj<-read.csv('食用菌类销量分布.csv') +r<-cor(syj) +(abs(r)>=0.25) +shapiro.test(syj$xxxgl) +shapiro.test(syj$jzgh) +shapiro.test(syj$xxhgl) +shapiro.test(syj$jzgl) +食用菌类销量不服从正态分布 +``` + +# Lingo代码 + +问题2 LINGO 18.0 x64代码 + +花菜类： + +```txt +model: +sets: +factory /1..3/ : g; +plant /1..7/ : d; +Cooperation(factory,plant) : a,c,b,x,e,f; +endsets +data: +``` + +$a = 1.64773358,2.741464683,3.615466702,4.29831386,4.847336334,5.293120474,$ 5.659795854 +20.11546576,22.14428791,23.40479613,24.20580402,24.70422188,25.01312136, 25.20132055 +14.99855092, 15.11172446, 14.98070585, 14.78418163, 14.54691887, 14.30438189, 14.07009828; + +$\mathbf{c} = 1.73,1.74,1.73,1.60,1.53,1.53,1.53$ + +6.69,6.66,6.46,6.36,6.53,6.50,6.55 +3.3,0,0,0,3.31,4.61,4.47; + +b=0.1706,0.1706,0.1706,0.1706,0.1706,0.1706 + +0.0926,0.0926,0.0926,0.0926,0.0926,0.0926 + +0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943; + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0$ + +0,0,0,0,0,0,0 +0,0,0,0,0,0,0; + +enddata + +$\max = @sum(\text{factory(i)}: @sum(\text{plant(t)}:\text{a(i,t)}^* (\text{c(i,t)}^* (1 + \text{f(i,t)})) -$ + +$(1 + b(\mathrm{i},t))^{*}c(\mathrm{i},t)^{*}\mathrm{x}(\mathrm{i},t)))$ + +@for(factory(i): @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.075::@bnd(0.9, f(i,t), 1.2)); +@for(factory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.15 #and# b(i,t)#ge# 0.075 : + +@bnd(0.6,f(i,t),0.9)); + +@for(factory(i): @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.225 #and# b(i,t)#ge# 0.15: + +@bnd(0.3, f(i,t), 0.6)); +@forfactory(i): @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.3 #and# b(i,t)#ge# 0.225: +@bnd(0,f(i,t),0.3)); + +end + +花叶类 + +model: + +sets: + +factory /1..13:/g; + +plant /1..7/ : d; + +Cooperation(factory,plant) : a,c,b,x,e,f; + +endsets + +data: + +a=3.334292903,4.195600716,5.105037846,5.648428279,6.230678203, +6.712376957,7.202229163 +0.452504631,0.916061822,1.748154256,2.265418589,2.857064859, +3.341355767,3.835626058 +-0.263344304,0.480282095,0.991834049,1.589588699,2.009890718, +2.358802195,2.628191681 + +9.297499411,6.970562981,5.920699537,5.241634553,4.957030539, + +4.816298939,4.829054878 + +-0.716166036,1.114076344,1.359555911,2.31919627,2.979955471, + +3.746423631,4.461378978 + +1.687966199,2.557475705,2.907961558,3.078626964,3.198417336, + +3.343791924,3.473871875 + +34.00342341,32.17150378,30.80029762,29.44438306,28.25136009, + +27.16735264,26.19631146 + +1.647886819,2.424845275,3.078785455,3.410463134,3.655995931, + +3.820194493,3.95803761 + +6.68278856,6.552816106,6.019348634,5.793166388,5.598947251, + +5.47369204,5.391557579 + +4.473973852,3.567982395,3.032897319,2.747734455,2.579704583, + +2.5127818,2.503087487 + +7.645287587,7.156399534,6.880934188,6.528230219,6.217110446, + +5.954094564,5.727002203 + +0.392767335,0.544459066,0.36813938,0.418170093,0.424243673, + +0.503792016,0.573231286 + +0.359757988,0.98921013,1.374606341,1.751494886,2.051811025, + +2.309092259,2.531055023; + +c=0,5.76,5.76,5.74,0,5.68,0 + +0,4.48,4.48,2.66,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0 + +2.41,2.37,2.42,2.47,2.25,2.16,2.15 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +3.32,3.59,3.59,3.58,3.85,3.81,3.49 + +9.63,9.63,9.66,0,0,0,0 + +2.4,0,2.47,2.42,2.73,2.59,2.56 + +3.6,3.6,3.6,3.44,2.99,2.6,2.6 + +2.31,2.34,2.33,2.34,2.37,2.37,2.21 + +4.6,4.6,0,4.61,4.62,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0; + +b=0.1525,0.1525,0.1525,0.1525,0.1525,0.1525 + +0.1281,0.1281,0.1281,0.1281,0.1281,0.1281 + +0.1443,0.1443,0.1443,0.1443,0.1443,0.1443 + +0.1362,0.1362,0.1362,0.1362,0.1362,0.1362 + +0.2227,0.2227,0.2227,0.2227,0.2227,0.2227 + +0.1561,0.1561,0.1561,0.1561,0.1561,0.1561 + +0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943 + +0.1851,0.1851,0.1851,0.1851,0.1851,0.1851 + +0.1568,0.1568,0.1568,0.1568,0.1568,0.1568 + +0.0842,0.0842,0.0842,0.0842,0.0842,0.0842 + +0.1852,0.1852,0.1852,0.1852,0.1852,0.1852 + +0.137,0.137,0.137,0.137,0.137,0.137 + +0.0627,0.0627,0.0627,0.0627,0.0627,0.0627; + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0$ + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0; + +enddata + +$\max = @sum(\text{factory(i)} : @sum(\text{plant(t)} : \mathrm{a(i,t)}^* (\mathrm{c(i,t)}^* (1 + \mathrm{f(i,t)})) -$ + +$(1 + \mathrm{b(i,t)})^{*}\mathrm{c(i,t)}^{*}\mathrm{x(i,t))})$ + +@for(factory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.075: + +@bnd(0.9, f(i,t), 1.2)); + +@forfactory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.15 #and# b(i,t)#ge# 0.075 : @bnd(0.6, f(i,t), 0.9)); +@forfactory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.225 #and# b(i,t)#ge# 0.15: @bnd(0.3, f(i,t), 0.6)); +@forfactory(i): @for(plant(t)|b(i,t) #1e# 0.3 #and# b(i,t)#ge# 0.225: @bnd(0, f(i,t), 0.3)); + +end + +辣椒类： + +model: + +sets: + +factory /1..7/ : g; + +plant /1..7/ : d; + +Cooperationfactory.plant):a,c,b,x,e,f; + +endsets + +data: + +a=23.63641739,24.91283069,26.45779859,27.19114567,27.77363597, + +28.08561978,28.25970964 + +0.730955764,1.381219775,1.829368424,2.225532846,2.552001667, + +2.835304367,3.085827892 + +7.540208886,7.022068245,6.602855743,6.327239003,6.170336508, + +6.067630061,6.018109823 + +0.47290958,0.4898049,0.582781029,0.631731691,0.694823333, + +0.740559057,0.78247237 + +1.811810742,1.6077392,1.809573606,1.911313458,2.055308277, + +2.138974268,2.20493232 + +24.85654079,21.8299718,20.49332711,18.93052956,17.81984114, + +16.84781008,16.06306041 + +0.737127998,1.063607347,1.16550679,1.254359016,1.31164236, + +1.357346719,1.394342251; + +$\mathrm{c} = 2.83,3.46,3.48,3.4,3.3,3.59,3.63$ + +0,0,0,0,0,0,0 + +6.24,6.24,6.6,7.64,7.97,8.95,8.97 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +2.36,1.94,2.05,2.07,2.17,2.25,2.11 + +0,0,0,0,0,0,0; + +b=0.057,0.057,0.057,0.057,0.057,0.057 + +0.0708,0.0708,0.0708,0.0708,0.0708,0.0708 + +0.1018,0.1018,0.1018,0.1018,0.1018,0.1018 + +0.0586,0.0586,0.0586,0.0586,0.0586,0.0586 + +0.1176,0.1176,0.1176,0.1176,0.1176,0.1176 + +0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943 + +0.078,0.078,0.078,0.078,0.078,0.078,0.078; + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0$ + +0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0; + +enddata + +$\max = @sum(\text{factory(i)} : @sum(\text{plant(t)} : \mathrm{a(i,t)}^* (\mathrm{c(i,t)}^* (1 + \mathrm{f(i,t)}))$ + +$(1 + \mathrm{b}(\mathrm{i},\mathrm{t}))^{*}\mathrm{c}(\mathrm{i},\mathrm{t})^{*}\mathrm{x}(\mathrm{i},\mathrm{t})))$ + +@for(factory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.075: + +@bnd(0.9, f(i,t), 1.2)); + +@for(factory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.15 #and# b(i,t)#ge# 0.075 : + +@bnd(0.6, f(i,t), 0.9)); + +@for(factory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.225 #and# b(i,t)#ge# 0.15: @bnd(0.3, + +f(i,t),0.6)); + +@forfactory(i): @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.3 #and# b(i,t)#ge# 0.225: @bnd(0, f(i,t), 0.3)); + +end + +食用菌类： + +model: + +sets: + +factory /1..4/ : g; + +plant /1..7/ : d; + +Cooperationfactory,plant):a,c,b,x,e,f; + +endsets + +data: + +a=2.587185972,4.397725786,5.695370534,6.706276231,7.472516738, + +8.078029385,8.558385115 + +18.09943869,17.29673248,17.92441459,17.84464327,17.80129486, + +17.63815971,17.44426215 + +6.028128414,5.862298521,5.508185051,5.201698249,4.885341215, + +4.596934978,4.331614088 + +1.176565122,1.62548955,2.212588448,2.613641324,2.976586489, + +3.265736917,3.508537034; + +c=0,0,0,0,0,0,0 + +1.45,1.46,1.44,1.46,1.45,1.46,1.45 + +15.6,15.6,15.6,15.6,15.6,15.6 + +0,0,0,0,0,0,0; + +b=0.1382,0.1382,0.1382,0.1382,0.1382,0.1382 + +0.0045,0.0045,0.0045,0.0045,0.0045,0.0045 + +0.108,0.108,0.108,0.108,0.108,0.108 + +0.0343,0.0343,0.0343,0.0343,0.0343,0.0343; + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0$ + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0; + +enddata + +$\max = @sum(\text{factory}(\mathrm{i}): @sum(\text{plant}(\mathrm{t}): \mathrm{a}(\mathrm{i}, \mathrm{t})^{*} (\mathrm{c}(\mathrm{i}, \mathrm{t})^{*} (1 + \mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{t}))) -$ + +$(1 + \mathrm{b}(\mathrm{i},\mathrm{t}))^{*}\mathrm{c}(\mathrm{i},\mathrm{t})^{*}\mathrm{x}(\mathrm{i},\mathrm{t})))$ + +@for( factory(i): @for(plant(t):x(i,t) = a(i,t) + e(i,t) + b(i,t)*x(i,t)); + +@for(factory(i):@for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.075::@bnd(0.9, f(i,t), 1.2)); + +@forfactory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.15 #and# b(i,t)#ge# 0.075 : @bnd(0.6, f(i,t), 0.9)); + +@for(factory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.225 #and# b(i,t)#ge# 0.15: @bnd(0.3, + +f(i,t),0.6)); + +@forfactory(i) : @for(plant(t)|b(i,t) #le# 0.3 #and# b(i,t)#ge# 0.225: @bnd(0, f(i,t), + +0.3)))) + +end + +问题三： + +花菜类： + +步骤1： + +model: + +sets: + +factory /1..3/ : g; + +plant /1..7/ : d; + +Cooperationfactory,plant):a,p,b,x,c,c; + +endsets + +data: + +a=0,0,0,0,0,0,0 + +9.387,10.681,8.083,14.272,13.401,15.18,16.9 + +2.161,0,0,0,2.668,9.187,11.187; + +$\mathsf{p} = 14,0,0,0,14,14,13$ + +14,0,0,0,14,14,13 + +14,14,14,14,14,14,13; + +c=0,0,0,0,0,0,0 + +8.42,8.15,7.94,7.8,7.45,7.42,7.59 + +9.89,0,0,0,9.94,9.2,8.39; + +b=0.1706,0.1706,0.1706,0.1706,0.1706,0.1706 + +0.0926,0.0926,0.0926,0.0926,0.0926,0.0926 + +0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943; + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0$ + +0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0; + +enddata + +$\max = @sum(\text{factory(i)} : @sum(\text{plant(t)} : a(i, t)^* p(i, t)$ + +$(1 + \mathrm{b}(\mathrm{i},\mathrm{t}))^{*}\mathrm{c}(\mathrm{i},\mathrm{t})^{*}\mathrm{x}(\mathrm{i},\mathrm{t})))$ + +@for( factory(i): @for(plant(t):x(i,t) = a(i,t) + e(i,t) + b(i,t)*x(i,t)); + +End + +步骤2： + +model: + +sets: + +hc/1..3:/d,c,fd,b,y,x,e,a,xj; + +endsets + +data: + +$$ +x = 1 3. 8 3 9 2 2 5 5 7, 1 3. 8 3 9 2 2 5 5 7, 1 3. 8 3 9 2 2 5 5 7; +$$ + +$$ +e = 0, 0, 0; +$$ + +$$ +b = 0. 1 7 0 6, 0. 0 9 2 6, 0. 0 9 4 3; +$$ + +$$ +c = 0, 8. 3 1 8 5 7 1 4 2 9, 2. 8 3 2 8 5 7 1 4 3; +$$ + +$$ +a = 0, 1 3. 4 0 1, 1 3. 0 0 1 8 6 3 1 6; +$$ + +$$ +x j = 0, 1 8. 6 2 4 6 4, 1 2. 3 5 1 7 7; +$$ + +enddata + +$$ +\max = @ \operatorname {s u m} (\operatorname {h c} (\mathrm {i}): (\mathrm {c} (\mathrm {i}) + \operatorname {f d} (\mathrm {i})) - (1 + \mathrm {b} (\mathrm {i}) ^ {*} \mathrm {c} (\mathrm {i}) ^ {*} (\mathrm {x} (\mathrm {i}) + \mathrm {y} (\mathrm {i}))) +$$ + +$$ +@ \text {f o r} (\mathrm {h c} (\mathrm {i}): \mathrm {x} (\mathrm {i}) + \mathrm {x j} (\mathrm {i}) - \mathrm {e} (\mathrm {i}) - \mathrm {a} (\mathrm {i}) + \mathrm {y} (\mathrm {i}) > = 2 5); +$$ + +$$ +@ \operatorname {f o r} (\mathrm {h c} (\mathrm {i}): @ \operatorname {b n d} (0, \mathrm {f d} (\mathrm {i}), 1)); +$$ + +$$ +@ f o r (\mathrm {h c} (\mathrm {i}): \mathrm {d} (\mathrm {i}) = \mathrm {x} (\mathrm {i}) + \mathrm {y} (\mathrm {i}) + \mathrm {e} (\mathrm {i}) + (\mathrm {x} (\mathrm {i}) + \mathrm {y} (\mathrm {i}) ^ {*} \mathrm {b} (\mathrm {i}))) +$$ + +end + +花叶类： + +步骤1： + +model: + +sets: + +$$ +f a c t o r / 1.. 1 3 /: \mathrm {g}; +$$ + +$$ +\text {p l a n t} / 1.. 7 /: \mathrm {d}; +$$ + +$$ +\text {C o o p e r a t i o n (f a c t o r y , p l a n t)}: \mathrm {a}, \mathrm {p}, \mathrm {b}, \mathrm {x}, \mathrm {c}, \mathrm {e}; +$$ + +endsets + +data: + +$$ +a = 0, 0. 5 5 7, 7. 9 7 1, 0. 2 5 1, 0, 2. 9 0 4, 0 +$$ + +$$ +0, 4. 2 3 2, 0. 5 7 3, 0. 2 9 3, 0, 0, 0 +$$ + +$$ +0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 +$$ + +$$ +1 6. 5 6 9, 1 3. 9 4 1, 1 2. 0 2 2, 1 4. 0 9 5, 1 3. 1 5 1, 1 0. 4 1 5, 1 2. 8 8 4 +$$ + +$$ +0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 +$$ + +$$ +0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 +$$ + +$$ +5 8, 3 7, 4, 2 3, 3 3, 3 5, 3 6 +$$ + +$$ +3. 2 5 2, 2. 2 9 3, 1. 2 7 5, 0, 0, 0, 0 +$$ + +$$ +6. 6 0 9, 0, 7. 6 3 6, 6. 8 4 2, 8. 4 8 8, 6. 3 4, 9. 0 4 4 +$$ + +$$ +4. 0 1 1, 3. 0 8 7, 3. 4 9, 7. 0 5 6, 2. 4 3 6, 5. 5 8 6, 5. 8 8 +$$ + +$$ +1 4. 3 9 6, 9. 8 2 4, 7. 7 7 7, 1 1. 0 6 1, 3. 8 0 9, 8. 8 6 8, 6. 7 2 6 +$$ + +$$ +4. 1 1 2, 1. 2 4 2, 0, 0. 8 2 2, 2. 7 0 1, 0, 0 +$$ + +$$ +0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; +$$ + +$$ +p = 0, 9. 2, 9. 2, 9. 2, 0, 9. 2, 0 +$$ + +$$ +0, 7. 2, 7. 2, 7. 2, 0, 0, 0 +$$ + +$$ +0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 +$$ + +$$ +4, 4, 4, 4, 3. 4, 3. 4, 3. 4 +$$ + +$$ +0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 +$$ + +0,0,0,0,0,0,0 + +4.282758621,3.964864865,3.6,4.460869565,4.5,4.037142857,5.73333333 + +14,14,14,0,0,0,0 + +5.2,0,5.2,5.2,5.2,4,4 + +6,6,6,5.2,4.8,4.8,4.8 + +4,4,4,4,3.4,3.4,3.4 + +6,6,0,6,6,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0; + +c=0,5.76,5.76,5.74,0,5.68,0 + +0,4.48,4.48,2.66,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +2.41,2.37,2.42,2.47,2.25,2.16,2.15 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +3.32,3.59,3.59,3.58,3.85,3.81,3.49 + +9.63,9.63,9.66,0,0,0,0 + +2.4,0,2.47,2.42,2.73,2.59,2.56 + +3.6,3.6,3.6,3.44,2.99,2.6,2.6 + +2.31,2.34,2.33,2.34,2.37,2.37,2.21 + +4.6,4.6,0,4.61,4.62,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0; + +b=0.1525,0.1525,0.1525,0.1525,0.1525,0.1525 + +0.1281,0.1281,0.1281,0.1281,0.1281,0.1281 + +0.1443,0.1443,0.1443,0.1443,0.1443,0.1443 + +0.1362,0.1362,0.1362,0.1362,0.1362,0.1362 + +0.2227,0.2227,0.2227,0.2227,0.2227,0.2227 + +0.1561,0.1561,0.1561,0.1561,0.1561,0.1561 + +0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943 + +0.1851,0.1851,0.1851,0.1851,0.1851,0.1851 + +0.1568,0.1568,0.1568,0.1568,0.1568,0.1568 + +0.0842,0.0842,0.0842,0.0842,0.0842,0.0842 + +0.1852,0.1852,0.1852,0.1852,0.1852,0.1852 + +0.137,0.137,0.137,0.137,0.137,0.137 + +0.0627,0.0627,0.0627,0.0627,0.0627,0.0627; + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0$ + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0; + +enddata + +$\max = @sum(\text{factory(i)} : @sum(\text{plant(t)} : a(i, t)^* p(i, t)$ + +$(1 + \mathrm{b}(\mathrm{i},\mathrm{t}))^{*}\mathrm{c}(\mathrm{i},\mathrm{t})^{*}\mathrm{x}(\mathrm{i},\mathrm{t})))$ + +@for( factory(i): @for(plant(t):x(i,t) = a(i,t) + e(i,t) + b(i,t)*x(i,t)); + +end + +步骤2： + +model: + +sets: + +hy/1..13/ : d,c,fd,b,y,x,e,a,xj; + +endsets + +data: + +$\mathrm{x = 1.969321614,0.835285886,0,15.39327714,0,0,35.647249,1.195589286,}$ + +7.617070857,4.920912143,10.95115386,1.469458757,0; + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0$ + +$b = 0.1525,0.1281,0.1443,0.1362,0.2227,0.1561,0.0943,0.1851,0.1568,$ + +0.0842,0.1852,0.137,0.0627; + +c=3.277142857,1.66,0,2.318571429,0,0,3.604285714,4.131428571, + +2.167142857,3.204285714,2.324285714,2.632857143,0; + +$a = 1.669,0.728285714,0,13.29671429,0,0,32.28571429,0.974285714,$ + +6.422714286,4.506571429,8.923,1.268142857,0; + +$\mathrm{xj = 0,0,0,14.91549,0,0,39.74826,0,10.72581,6.420616,8.254786,0,0;}$ + +enddata + +$\max = @sum(\mathrm{hy(i)}:(\mathrm{c(i) + fd(i)}) - (1 + \mathrm{b(i})^{*}\mathrm{c(i})^{*}(\mathrm{x(i) + y(i)}));$ + +@for(hy(i):x(i)+xj(i)-e(i)-a(i)+y(i>=25); + +@for(hy(i) : @bnd(0, fd(i), 1)); + +@for(hy(i):d(i)=x(i)+y(i)+e(i)+(x(i)+y(i)*b(i)); + +end + +辣椒类： + +步骤1： + +model: + +sets: + +factory /1..7/ : g; + +plant /1..7/ : d; + +Cooperationfactory,plant):a,p,b,x,c,e; + +endsets + +data: + +$\mathrm{a = 17.986,11.883,10.334,17.095,11.342,15.098,15.896}$ + +0,0,0,0,0,0 + +9.3,5.332,6.44,4.324,6.339,7.692,8.47 + +0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0 + +20,17,20,19,18,33,23 + +0,0,0,0,0,0; + +$\mathsf{p} = 5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2$ + +0,0,0,0,0,0,0 + +10,10,12,12,12,12,12 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +5.8,5.8,5.685,5.8,5.8,5.8,5.7 + +0,0,0,0,0,0,0; + +$\mathbf{c} = 2.83,3.46,3.48,3.4,3.3,3.59,3.63$ + +0,0,0,0,0,0 + +6.24,6.24,6.6,7.64,7.97,8.95,8.97 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0 + +2.36,1.94,2.05,2.07,2.17,2.25,2.11 + +0,0,0,0,0,0; + +$b = 0.057,0.057,0.057,0.057,0.057,0.057$ + +0.0708,0.0708,0.0708,0.0708,0.0708,0.0708 + +0.1018,0.1018,0.1018,0.1018,0.1018,0.1018 + +0.0586,0.0586,0.0586,0.0586,0.0586,0.0586 + +0.1176,0.1176,0.1176,0.1176,0.1176,0.1176 + +0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943,0.0943 + +0.078,0.078,0.078,0.078,0.078,0.078,0.078; + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0$ + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0,0 + +0,0,0,0,0,0; + +enddata + +$\max = @sum(\text{factory(i)} : @sum(\text{plant(t)} : a(i, t)^* p(i, t)$ + +$(1 + \mathrm{b}(\mathrm{i},\mathrm{t}))^{*}\mathrm{c}(\mathrm{i},\mathrm{t})^{*}\mathrm{x}(\mathrm{i},\mathrm{t})))$ + +```julia +@for( factory(i): @for(plant(t):x(i,t) = a(i,t) + e(i,t) + b(i,t)*x(i,t)); end +``` + +步骤2： + +model: + +sets: + +$\mathrm{lj} / 1..7 / : \mathrm{d}, \mathrm{c}, \mathrm{fd}, \mathrm{b}, \mathrm{y}, \mathrm{x}, \mathrm{e}, \mathrm{a}, \mathrm{xj};$ + +endsets + +data: + +$\mathrm{x = 15.09377143,0,7.617934,0,0,23.65968,0;}$ + +$\mathrm{e} = 0,0,0,0,0,0,0,$ + +```javascript +b=0.057,0.0708,0.1018,0.0586,0.1176,0.0943,0.078; +``` + +```javascript +c=3.384285714,0,7.515714286,0,0,2.135714286,0; +``` + +```javascript +a=14.23342857,0,6.842428571,0,0,21.42857143,0; +``` + +$\mathrm{xj} = 16.85684,0,9.429971,0,0,25.39472,0;$ + +enddata + +$\max = @sum(lj(i):(c(i) + fd(i)) - (1 + b(i)*c(i)*(x(i) + y(i)))$ + +@for( $\mathrm{lj(i)}$ :x(i)+xj(i)-e(i)-a(i)+y(i)>=25); + +```txt +@for(1j(i):@bnd(0,fd(i),1)); +``` + +@for( $\mathrm{lj(i):d(i) = x(i) + y(i) + e(i) + (x(i) + y(i)^{*}b(i))}$ + +end + +食用菌类： + +步骤：1 + +model: + +sets: + +factory /1..4/ : g; + +plant /1..7/ : d; + +```csv +Cooperationfactory,plant):a,p,b,x,c,c; +``` + +endsets + +data: + +$\mathrm{a = 0,0,0,0,0,0,0}$ + +18,11,9,12,26,24,13 + +```csv +6.18,4.271,3.582,3.708,3.742,4.314,6.572 +``` + +0,0,0,0,0,0,0; + +$\mathrm{p = 0,0,0,0,0,0,0}$ + +```csv +1.777777778,2,1.911111111,1.466666667,2,1.933333333,1.938461538 +``` + +```csv +24,24,24,24,24,24 +``` + +```txt +0,0,0,0,0,0; +``` + +```csv +c=0,0,0,0,0,0,0 +``` + +```csv +1.45,1.46,1.44,1.46,1.45,1.46,1.45 +``` + +15.6,15.6,15.6,15.6,15.6,15.6,15.6 +0,0,0,0,0,0; +b=0.1382,0.1382,0.1382,0.1382,0.1382,0.1382 +0.0045,0.0045,0.0045,0.0045,0.0045,0.0045 +0.108,0.108,0.108,0.108,0.108,0.108 +0.0343,0.0343,0.0343,0.0343,0.0343,0.0343; +e=0,0,0,0,0,0 +0,0,0,0,0,0 +0,0,0,0,0,0 +0,0,0,0,0,0 +enddata +max $=$ @sum( factory(i):@sum(plant(t):a(i,t)*p(i,t)- (1+b(i,t))*c(i,t)*x(i,t)); +@for( factory(i): @for(plant(t):x(i,t)= a(i,t)+e(i,t)+b(i,t)*x(i,t)); +end + +步骤2： + +model: +sets: +syj/1..4:/d,c,fd,b,y,x,e,a,xj; +endsets +data: + $\mathrm{x = 0,16.21582757,5.184016714,0}$ $\mathrm{e = 0,0,0,0}$ +b=0.1382,0.0045,0.108,0.0343; +c=0,1.452857143,15.6,0; +a=0,13,6.572,0; +xj=0,13.05876,7.367713,0; +enddata +max $=$ @sum(syj(i):(c(i)+fd(i)-(1+b(i)*c(i)*(x(i)+y(i))))； @for(syj(i):x(i)+xj(i)-e(i)-a(i)+y(i)> $= 25$ ）; @for(syj(i):@bnd(0,fd(i),1)); +@for(syj(i):d(i)=x(i)+y(i)+e(i)+(x(i)+y(i)*b(i)); +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/C228/C228.md b/MCM_CN/2023/C228/C228.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f928ea53e757fe80ef6bc8aece48e279113bd472 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/C228/C228.md @@ -0,0 +1,2572 @@ +# 基于价格弹性的蔬菜类商品自动定价与补货决策 + +# 摘要 + +首先，基于数据高维、庞杂的特征对其进行整合、分析与清洗。对多个附件自然连接（NJ）、对不同变量进行One-hot编码与时间序列处理、将进货销货信息按日/周/月/年聚合；对整合完成的数据挖掘更多信息，实现供应时间、同货异源、折扣退货的分析，并完成蔬菜单品的常年性、季节性、时令性分类。为保证后续求解的准确性，我们设定规则对利润异常值与滞销类无关单品进行清洗。 + +对于问题一，为更好地分析，本文将问题聚焦为探究销售量的时间分布规律、销售分布规律以及相关关系，并从多个时间颗粒维度分析总体、类别、个体的综合信息。其一，我们使用ACF自相关函数与时间序列分解，发现了各销量在各时间颗粒维度上的波动规律和趋势，并结合生活与经济学理论完成了解释和检验。其二，分析销售规律时，发现单品销量呈现长尾分布、各品类销量比以及各单品在品类中的占比差异大、少部分单品有多量少笔或少量多笔的销售特征。其三，采用偏相关性分析发现类别间的替代与互补关系，采用FP-Growt关联度分析发现部分单品的强相关性。 + +对于问题二，为探究销量与成本加成定价的关系，本文选取经济学指标构建双对数需求模型对价格弹性进行估计，结果发现六种品类的销量与定价均呈现出或大或小的负相关性。为提供定价与补货的方案，我们先采用LSTM模型对未来七天各品类的成本与销量进行预测，平均R方均达到0.8以上，并设定价格弹性修正函数融入定价的影响。为求解连续型优化问题，本文使用GBest-PSO算法并对其改进引入先验知识，得到决策方案(具体见附录H)后与平均情况对比，发现收益有明显提升，。 + +对于问题三，本文对确定的可售单品进行滞销过滤、并以单品销量与销售次数为依据采用VIKOR评价方法确定其需求值，初步确定了40个预选目标。为解决混合多目标非线性规划问题，本文选用NSGA-II非支配排序遗传算法，对其改进引入先验知识、采用BG-RI混合编码，建立多重CV约束，确定双优化目标为：最大化收益与最大化市场需求。最终，在Pareto前沿解中确定了最优值，决策方案见附录D。同样与一般收益情况进行对比，发现双效益提升。 + +对于问题四，本文参照在预测与分析中出现的问题、实际经验认知、经济学领域相关文献，从定价方法的角度提出三点兼顾成本、竞争与需求的数据采集建议。其一，收集市场平均定价及主要竞争对手的定价数据以平衡经济效益与竞争优势；其二，收集消费者的预期价格及价格敏感程度以直观了解目标消费群体的满意度；其三，了解当地居民收入及人均消费水平数据，了解居民的整体消费能力与消费意愿。 + +关键词：ACF自相关函数 FP-Growt关联度分析 LSTM模型 VIKOR评价 NSGA-II算法 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +在生鲜商超中，蔬菜类商品保鲜要求严格，隔日产品无法继续销售，因此商家需要每日在凌晨3:00至4:00之间进行补货。在单品种类与进价未知的情况下，如何根据历史销售需求和供应情况作出补货和定价决策使利润达到最大化尤为重要。 + +# 1.2 题目信息 + +- 一般而言，商家对蔬菜定价采用”成本加成定价“方法； +- 蔬菜商品运送过程中会产生损耗，商家会对运损严重的品质较差的商品进行打折； +- 蔬菜类商品的需求量、供给量与时间存在关联关系，在4月至10月供给量较为丰富； +- 商超销售空间有限制，只能进货一定数量的蔬菜种类； +- 附件中给出某商超经销的蔬菜品类与单品信息、2020年7月1日至2023年6月30日各商品的销售明细与批发价、商品近期损耗率。 + +# 1.3 待求解问题 + +问题一：分析数据，找出各蔬菜品类及单品销售量的分布规律与相互关系； + +问题二：分析各蔬菜品类的销售总量与成本加成定价的关系，并以商超利润最大为目标。给出各蔬菜品类未来一周的日补货总量与定价策略； + +问题三：根据过去一周的可售品种，在满足单品数在27到33的范围、且各单品订购量大于2.5千克的条件下，给出7月1日单品补货量和定价策略； + +问题四：分析可能影响蔬菜补货与定价决策效果的其他因素，对上述问题进行改进说明。 + +# 二、模型的假设 + +- 假设短期内商超的进货与售价不会对顾客忠诚度造成影响； +- 假设短期内，历史售价等客观因素不会对顾客当日需求量造成影响； +- 假设商超在这三年中的补货与定价策略已经一定程度上考虑了顾客消费需求； +- 该商超附近无其他竞争对手，不存在由恶意竞争引起的销量波动 + +# 三、问题分析 + +本题主要分为基于数据分析的生鲜商超销售量影响因素及呈现规律探究问题、生鲜商超销售量的预测问题、以及基于对销售量的认知为生鲜商超的定价与补货提供决策方案的最优化问题。 + +分析题目中所给的信息以及附件数据，发现附件数据较为零散，因此首先需要对数据进行整合；其次对信息进行初步分析，对变量进行分类，便于更直观的把握数据的特征；最后大量的数据意味着数据质量可能难以保证，需要对异常值与无关数据进行处理保证后文模型的效果。 + +# 3.1 问题一的分析 + +问题一主要要求我们分析数据，探究各个品类及单品销售量存在的规律与关系。但是由于题目未明确给出具体的探究方向，因此需要先考虑从哪几个角度入手。考虑到销售量的分布规律可分为随时间的分布规律、随每个订单的分布规律、随每个品类的分布规律三个角度；相互关系也可分为品类间的相互关系以及单品间的相互关系，从这几个角度出发即可以较为完整并且清晰地刻画销售量地分布规律与相互关系。同时为了了解分析结果的准确性与其背后的影响因素，可以结合生活实际经验以及经济学理论对其进行解释验证。 + +# 3.2 问题二的分析 + +问题二可以分为三步进行逐一求解。首先分析销售总量与成本加成定价的关系；其次对蔬菜各品类未来一周的销售水平、批发价格进行预测；最后综合销售总量与定价的关系分析结果以及未来一周的预测结果，构建收益最大化决策模型进行求解。其中需要注意的是，销量总量与成本加成定价可能受多种因素的影响，需要建立合适的模型刻画定价与销量的关系。 + +# 3.3 问题三的分析 + +问题三是混合多目标规划问题。尽管题中要求在满足需求量的前提下进行最大收益优化，但是由于单品数量的限制，无法完全满足顾客的购买需求，因此本题应为一个多目标优化类问题，应对顾客需求满足程度与收益情况进行综合优化。但其中需要注意的是顾客的需求度并不能完全简单地与销售量对等，需寻找评价指标综合销量与销售次数等其他因素，得到需求度。此外需要选择合适的优化算法方能求解。 + +# 3.4 问题四的分析 + +问题四是一个较为开放的问题，可以根据前三问数据分析结果、处理信息时遇到的难点、实际生活经验并结合相关专业领域文献寻找对商超决策有利的其他数据。 + +# 四、符号说明 + +
符号意义符号意义
Qi品类i的总销量Qij品类i中单品j的销量
Pi品类i的平均定价Pij品类i中单品j的定价
Li品类i的平均损耗Lij品类i中单品j的损耗
Bi品类i的总补货量Bij品类i中单品j的补货量
Ci品类i的补货成本Cij品类i中单品j的成本
wi品类i的平均加成率wij品类i中单品j的加成率
M总销售额T总成本
wi品类i定价的加成率wij品类i中单价j的加成率
k损耗折扣率Dj需求度
Ep需求价格弹性Ec交叉弹性弹性
Ev价格预期弹性EV交叉弹性弹性
+ +# 五、数据预处理 + +![](images/d485c5ff9ff116130f4e16c048402d0fea445b6490b059e3d6a2527dee10a724.jpg) + +# 5.1 数据整合 + +概览题设所给出的附件信息，可以发现其数据量庞大、信息冗杂琐碎，是典型的实际生活数据。对其进行整理关联、变量处理、数据聚合等初步工作能有效帮助后续数据的处理、分析与预测。 + +- 整理关联：附件一、四共同描述了单品的编号、分类、近期损耗率信息，而附件二、三共同描述了单品的销售、进购信息，通过Python编程以实现表格间自然连接（NJ）。 + +- 变量处理：将附件中的列“销售日期”与“销售时间”处理为时间序列、“销售类型”与“是否打折销售”one-hot编码处理为分类变量。 +- 数据聚合：由于蔬菜单品的销售信息琐碎，故将其以单品和品类两种形式按日、周、月、年进行数据聚合，以品类的日聚合为例介绍聚合规则如下： + +(a) 对于日销售量： + +$$ +Q _ {i} = \sum_ {j} Q _ {i j} \tag {1} +$$ + +其中 $O_{k}$ 表示每个订单的单品编号, $A_{i}$ 表示品类 i 中的单品集合, $Q_{ij}$ 表示品类 i 中的单品 j 的销量, $Q_{i}$ 表示品类 i 的总销量 + +(b) 对于日销售单价、进价、加成率: + +$$ +X _ {i} = \frac {\sum_ {j} Q _ {i j} \times x _ {i}}{Q _ {i}} \tag {2} +$$ + +其含义可以理解为以销量为权重进行加权求均值，其中加成率的计算公式如下： + +$$ +\text {加 成 率} = \frac {\text {定 价} - \text {成 本}}{\text {成 本}} \tag {3} +$$ + +# 5.2数据分析 + +# (a) 单品按时间供应分类 + +对蔬菜的进货信息分析，发现蔬菜的供应季节、周期、时间存在明显差异，查阅相关资料后，本文将从供应时间的角度将菜单品分为以下三类： + +- 常年性蔬菜：这些产品可以在不同的地区或国家生产，几乎整年都可以获得。 +- 季节性蔬菜：受气候和地理条件影响，该类产品只在特定的季节内生长与销售。 +- 时令性蔬菜：该类产品仅在某些特定的节日、假期、节气等短期时间销售。 + +结合题设信息，本文设定如下分类规则： + +规则1：三年中某一年可供天数大于300天，划分为常年性蔬菜； + +规则2：每年最大可供天数小于15天，划分为时令性蔬菜； + +经过规则一处理了 30 个单品、经过规则二处理了 70 个单品，剩余单品划分为季节性蔬菜，对季节性蔬菜进行季节分析进一步统计其所出现的季节，发现如下信息： + +* 若某单品每年可供天数虽不超过 300 天,但是在各季节均可供,应属于常年性蔬菜; +* 若某单品在某些季节可供，但可供天数极少，为异常数据，不能视为该季节蔬菜； +* 若某单品在某季节集中供应且其余季节无供应，则属于典型该季节蔬菜。 + +基于以上信息，增加如下规则： + +规则3：四季都可供，且各季节三年可供天数均大于20天，划分为常年性蔬菜； + +规则4：各个季节三年共计可供天数均小于20天，划分为时令性蔬菜； + +经过规则 3、规则 4 修正, 分别处理了 46 个单品、12 个单品, 余下的 90 种蔬菜均划为季节性蔬菜, 具体分类结果见支持材料, 占比情况和部分结果如下: + +![](images/ad64343856d4a3386cc866410556ddb7950332b2664f2757cad094418a691843.jpg) +图1 各类型蔬菜占比 + +表 1 各类型蔬菜举例 + +
蔬菜类型举例
常年性30%大白菜、胡萝卜、土豆
季节性37%槐花、野藕、薄荷叶
时令性33%莲藕、蒲公英、荸荠
+ +进一步，我们根据各季节性蔬菜在进货信息中常出现的月份，推测各个季节性蔬菜其所属的季节，具体结果见支撑材料。查阅相关资料，我们发现分类的结果十分贴合生活常识，验证了分类的精确性。这为之后蔬菜的分析提供可靠的参考。如“四川红香椿”，统计分析其为春季蔬菜，查阅资料后发现其3月末到4月初为采摘和食用的黄金时间。 + +# (b) 同货异源类蔬菜的分析 + +题目给出的数据中包含不同供应地的同种蔬菜，为避免其对后续建模造成影响，进行其统计分析，发现主要可以分为两种类型： + +- 销量均衡类：如黄心菜 (1) 与黄心菜 (2)，销量分别为 $2911kg$ 与 $1882kg$ ，共计 6 种 +- 销量失衡类：如紫茄子(1)与紫茄子(2)，销量分别为 $279kg$ 与 $13602kg$ ，共计13种 + +但是由于同货异源类蔬菜的进价和售价并不相同，故不能将其合并，应当视作两种不同的蔬菜，故本文不对其做过多处理。 + +# (c) 打折单品与退货单品分析 + +应当注意到，少量（5.39%）蔬菜由于品相等原因打折销售，极少量（5‰）订单由于未知因素被退货。前者因为打折而导致销售单价及销量发生改变、后者因为销售单价为负与正常项不同，但经过数据按时间聚合后，两类数据均不会对结果造成影响。 + +![](images/801b52b1dc41d0dd5d75127a5e99886c608002a7ea17f1be5a3f40aeb0e348e3.jpg) +图2打折与退货的关系 + +![](images/48b7b847c0b7844c061c0e52cadd30fe46c506d44ebea36798902c1d83728bc3.jpg) +图3 商品加成率分布图 + +如图2, 对两者进行 Fisher 精确性检验可以发现 p 值小于 0.05，说明两者存在相关关系，具体来说即，当打折销售时退货的概率会降低。 + +# 5.3 异常数据处理 + +将附件自然连接之后能发现不易被发现的异常数据，如加成率（利润率）。大部分单品的加成率为0.5左右，然而存在部分单品加成率高达200，显然不符合蔬菜一般定价规律。本文对附件二中的87余条销售记录进行如下处理： + +- $3\sigma$ 法则：剔除利润率偏差极大的数值 +- 修正处理：将利润率大于2的销售记录剔除 + +经过处理之后，删去16430条销售记录，对商品加成率画出分布图如图3所示。 + +# 5.4 无关数据处理 + +观察蔬菜销售数据发现，部分蔬菜在供应上未呈现周期规律性，并且供应天数极少销售量同样极少。本文认为该类蔬菜可能为某段时间突然出现的特殊品种蔬菜，存在供应链不稳定，或者市场需求量极少的情况，并不存在稳定销售以及供应规律，在数据分析中属于无关数据，对蔬菜总销量以及未来预测无有利贡献，因此本文不予进行考虑。本文对无关数据进行如下处理： + +- 剔除完全没有销量数据的蔬菜品，共计5个； +- 剔除销售天数小于 10，销售量小于 $3 \text{‰}$ ，且无年周期规律的蔬菜单品，共计 48 个。 + +# 六、问题一的模型建立与求解 + +![](images/7928b10dcc3b97cd0a12b7eee413f1a4cd3de21a942f0c8aed2e629fe90db0c1.jpg) + +# 6.1 问题聚焦 + +问题一要求探究各个品类及单品的蔬菜销售量的分布规律以及相互关系。由于能够考虑的方面很多，我们将问题聚焦为探究以下三个部分： + +# (a) 分布规律之时间： + +题中所给的蔬菜销售数据，存在长期变化趋势和周期变化规律，并且受到购买蔬菜的顾客生活习惯、工作时间以及气候等因素的影响。这些因素对于大部分单品与品类产生的影响是同向性的，能体现外部经济、环境因素的作用。 + +- 首先，对销售总量进行时间上的分布规律分析，观察外部因素对总体销售量的影响； +- 其次，对各品类不同时间维度上的销量分布分析，发掘人们对各个品类的不同需求； +- 最后，基于单品的时间分类对各单品探究其时间分布规律。 + +# (b) 分布规律之销售： + +商品销售模式根据其单笔平均销量以及出售次数的情况可以分为三种：多量少笔、少量多笔、以及零散销售。对每种单品以及品类的总销售量在每笔销售量上的分布情况分析，可以得到蔬菜销售分布规律。 + +# (c) 相互关系: + +探究品类、单品销售量的相互关系时需要注意去除外界因素的干扰，剔除经济、社会、生活习惯对每个品类、单品的影响。本文认为经济生活状况对各种品类销量的影响主要体现在总销量的变化，因此本文采用偏相关性分析剔除其他因素的影响。 + +# 6.2时间分布规律的探究 + +为确定蔬菜总销售量在三年中的变化是否含有周期性的规律变化，本文通过以下三个步骤进行分析： + +步骤一：作图分析：绘制时间序列图，观察曲线趋势，初步分析可能存在的趋势、周期。 + +步骤二：周期性判定：本文采用自相关函数（ACF）图进行时间序列的周期判定。 + +步骤三：时间序列分解：判定周期性后，仍不能确定一个周期内的变化规律，因此本文采用时间序列分解，分离时间序列的总体趋势，周期规律。 + +# 6.2.1 基于自相关函数 ACF 的时间序列分解的模型建立 + +# 自相关函数ACF： + +一个时间序列在不同时间点的值之间可能存在相关性。自相关性通过计算时间序列在不同滞后阶段之间的相关系数来衡量这种相关性。如果在某个滞后阶段存在显著的相关性，那么可以认为时间序列在该阶段具有自相关性。可以按照如下步骤操作： + +1. ACF 的计算：自相关系数计算公式为： + +$$ +\rho_ {k} = \frac {\operatorname {C o v} \left(X _ {t} , X _ {t - k}\right)}{\operatorname {V a r} \left(X _ {t}\right)} +$$ + +其中， $X_{t}$ 是时间序列在时间点 $t$ 的值， $X_{t - k}$ 是在 $t$ 时刻滞后 $k$ 期的值， $Cov$ 表示协方差， $Var$ 表示方差。 + +2. ACF图的绘制：将计算得到的自相关系数绘制成ACF图。横轴表示滞后阶段（lag），纵轴表示自相关系数的值。 +3. ACF 图的解释：相关系数在滞后阶段 0 处为 1，因为时间序列与自身在同一时间点的相关性始终是 1。其他滞后阶段的相关系数将在 ACF 图中显示。 + +- 若 ACF 图在之后的滞后阶段上有正相关性，可能表示存在季节性模式。 +- 若ACF图在之后的滞后阶段上有负相关性，可能表示存在反向的季节性模式。 +- 若 ACF 图在之后的滞后阶段上都接近零，可能表示时间序列随机，无自相关性。 +- 若 ACF 图在某个滞后阶段上出现显著的峰值，相关性系数高于显著性阈值，则表示存在周期性或趋势。 + +# 乘法时间序列分解 + +乘法分解假定时间序列是由趋势、季节性、周期性和噪声等组成部分相乘而成的，通常表示为： + +$$ +Y _ {t} = T _ {t} \cdot S _ {t} \cdot C _ {t} \cdot E _ {t} +$$ + +其中 $Y_{t}$ 为观测值， $T_{t}$ 表示趋势成分， $Q_{t}$ 表示季节性成分， $C_{t}$ 表示周期性成分， $E_{t}$ 表示随机噪音。 + +# 6.2.2 时间分布规律的求解结果 + +# (a) 总销量的分布规律 + +总销量在三年间的变化曲线如图4所示，总体销量在2021.2-2022.5年间处于低迷状态，并于2023年明显提高。 + +![](images/e63fcd0c8feadd5b101d205961011a4415fe2784d9fb57d4c9d7f09b4053741d.jpg) +图4 三年间蔬菜总销量曲线图 + +![](images/2aff8f7b0c192cc80b96099cb847d9507fd51acb9634c63c80c53d9b514f4d49.jpg) +图5 月总销售量自相关函数图 + +![](images/f8cdf821e8ac087611c00949cb872a5bb401e667b1f8aa77e9bf11f5196e9862.jpg) +图6 年时间序列分解 + +# 时间分布规律之年规律： + +考虑到蔬菜的生长周期以及气候变化往往以年为周期进行变化，因此以月为最小单位对总销售量进行整合，分析总销售量是否存在一年的周期关系。 + +绘出自相关函数 ACF 图，如图5所示：结果发现，在与滞后阶段 0 相差 12 个月处自相关性达到峰值，并且超出置信区间，说明时间序列以年存在周期。观察时间序列按年进行分解得到的结果，如图6所示，分析发现其总销量在秋季和春节期间会有大幅度增长。这可以解释为秋季的大丰收和春节的年货采办会促使蔬菜销量增加。 + +# 时间分布规律之周规律： + +考虑到人们的工作往往是以周为单位的，因此一周之内人们购买蔬菜情况可能随工作情况变化。因此取一天的总销量，分析总销售量是否存在一周的周期关系。 + +绘出自相关函数 ACF 图，如图7(a)所示：结果发现，在与滞后阶段 0 相差 7 天处自相关性达到峰值，并且超出置信区间，说明时间序列以周存在周期。时间序列分解情况如图7(b)所示，分析其季节性部分发现，周期波动情况恰好为 7 天，这与自相关系数相互印证。对照日历可以得到，每周的周一销量达到谷值，周六销量达到峰值。这可能是由于周末为人们休息与购物的日子，人们倾向于把一周需要采购的蔬菜都采购完，而在工作日中由于工作较为繁忙，蔬菜的销售量在较低范围内波动。 + +![](images/09a36743e7042705807944c261708d0e68bd06d788000c660df7bb7f19580faa.jpg) +(a) 每日总销量自相关函数图 + +![](images/344c79d86e7e68013733ad963e4772a14441a804460e8ee30a46f14986e9684e.jpg) +(b) 每日总销量时间序列分解 +图7周总销售量周期性分析 + +# 时间分布规律之日规律： + +考虑到人们在一天中可能会存在某种购菜规律，因此一天之内人们蔬菜的销售量可能并不平均。因此以一小时为单位，分析总销售量是否存在一天内的分布规律。 + +绘出自相关函数 ACF 图，如图8(a)，我们发现在与滞后阶段 0 相差 13 处自相关性达到峰值，而这恰好为一天中存在销量的小时数，这说明时间序列以天存在稳定规律。时间序列分解情况如图8(b)所示，在上午 9 点与下午 17 至 19 点时，销售量较多，这可能是因为人们倾向于在上午或者下午下班后前往超市购物。 + +![](images/0708590b113491e71a9da688d2d6771ee20fa75aace901e3ece62ec3d38e367f.jpg) +(a) 时总销量自相关函数图 + +![](images/d5097fd35fd69e112a569c5b59308cb92127534d48f6554eb08d0b9566d83fc9.jpg) +(b) 时总销量时间序列分解 +图8日总销售量周期性分析 + +# 销售量的变化趋势： + +在2020.7至2023.7这段时间中，受到经济发展、疫情影响，人们的购物习惯可能会发生显著的变化，因此本文对时间序列随总体时间变化的影星趋势进行分析。对时间序列进行分解，观察其在三年内的变化趋势，如图9所示，结果发现 + +![](images/166c8820dae975860771e537e6dad82cc5b4124d8b68f6476507c2dedf50fda6.jpg) +图9 三年间总销量趋势图 + +2020年新冠疫情的爆发，给各行业包括蔬菜产业都带来了极大的冲击。 + +# (b) 各品类销量的分布规律 + +绘出在 2020.7 到 2023.7 这段时间中六个品类的总销的变化曲线如图10所示 + +![](images/2c59d9449979a0f06596a52293f44a5fe1e4ab2c894617da23e292dd3276b8f5.jpg) +图10 三年间各品类销量变化图 + +观察图片发现各个品类均会在某一相同的节点出现尖峰或低谷，其中花叶类的波动幅度最大，同时与总销售量曲线相似度最高，而茄类较为平稳，在较低销售量水平波动不明显。这与顾客的需求弹性有关，分析数据，发现花叶类中含有单品种类丰富，除了小白菜、小青菜这种常见食用单品，还有白蒿、鱼腥草等药用单品以及洪山菜薹珍品手提袋、洪山菜薹莲藕拼装礼盒等礼品类单品。对于常见食用单品，作为生活刚需，需求弹性往往较低，但是对于药用类以及礼品类商品，需求弹性往往较高，顾客购买量往往随外部因素影响变化较大。 + +# (c) 各单品销量的分布规律 + +做出全年供应的蔬菜、季节性蔬菜以及时令性蔬菜总销量在2020.7至2023.7的变化曲线，如图11 + +![](images/ac7695dbdc4a45bccd6c13e9456cfa2ca50ea1c235ef9f232539b2ecceddbbf1.jpg) +图11 三年间各类单品总销量曲线图 + +结果发现，全年可供的蔬菜总销量随时间变化的趋势与总销量变化相似度最高，季节性蔬菜销量变化总体趋势也与总销量相似，而时令性蔬菜销量总体波动幅度最小几乎只在0附近变化。概括而言有如下规律： + +1. 对于全年可供的蔬菜而言, 由于其销售量最高, 其变化状态最能影响总体销售量, 因此其变化趋势与总销售量极为相似; +2 季节性蔬菜在不同季节中均有不同单品存在销量，因此在全年整体呈现出相似的状态，各单品也只在自身供应的季节存在销量分布； +3 时令性蔬菜往往出现时间较短，每种单品销量仅分布在一年中的某几天，整体综合销量较低，随时间变化不明显。 + +# 6.3 销量分布规律的探究 + +# 6.3.1 销量占比 + +绘出蔬菜每种单品总销量的的直方图以及累计销量图，如图13所示，结果发现蔬菜高销售额商品只占少部分，而大部分商品的销量相对较低，前 $30\%$ 的蒸菜单品总销售量贡献率达到 $90\%$ ，呈现出明显的长尾分布。 + +各品类销量占比差异同样较大，花叶类品类销量占比最大，其次为辣椒类与食用菌类，茄类销量占比最少。观察各品类中单品数量，发现其与单品种类数相吻合，花叶类中的单品种类较多，并且存在许多常见食用蔬菜，如小白菜小青菜等，茄类与花菜类单品种类较少，销量也会受到影响。 + +在每种品类中，某些品类中单品销售量差异明显，有些差异较小。下图所示： + +![](images/be3dc3073418c3e6eeb7d4e6f533aaa34ea6ec21bbbf1ca12c59b521fc385705.jpg) +(a) 茄类各单品销量占比 + +![](images/67a4bf71f08b23dabf3078cf180d0cc001146330de579e2b8620786bed2acfd0.jpg) +(b) 食用菌各单品销量占比 + +![](images/ed15dac60b04747ad40e3cdd1c14ee9544bc840cf88f71cb4474ee96990a21af.jpg) +图13 各单品总销量与累计销量占比分析 + +![](images/043608170cd3c201bb09e8530e92a6e7dea03f1354a812cb1d0e829837752007.jpg) +图12 典型品类单品销量占比 +图14 单笔销量与日销售数蜂窝图 + +# 6.3.2 销售模式规律 + +商品的销售模式根据其单笔销售量与销售次数的关系可以划分为三种形式，少量多笔、多量少笔以及零散销售。由于每种商品出现天数不同，因此计算每种单品的单笔销量与每日平均销售次数，绘出每种单品的单笔销量与销售次数的蜂窝图图，如图14所示，结果发现大部分单品每日平均销售次数集中在0-20之间，单笔销售量集中在0-0.7之间，部分商品以袋或份的方式进行销售，单笔销售量恒定为1。大部分商品呈现出零散销售的趋势，少部分商品呈现出明显多量少笔与少量多笔的销售模式，其中鲜肉粽与莲蓬呈现出明显的少量多笔特征，泡泡椒与芜湖青椒呈现出明显的多笔少量特征。 + +# 6.4 相互关系的探究 + +由于各品类销售量的数据为时间序列，直接进行相关性计算容易受时间上的宏观因素影响，并不能判断两种单品之间销量的关系。因此本文选择偏相关性分析确定两种品类之间的相互关系。 + +# 6.4.1 偏相关性分析模型 + +偏相关性分析可以在控制若干个对相关性分析结果造成影响的变量的情况下，检验两个变量之间的内在相关关系。 + +确定检验的假设如下所示，以花叶类与茄类为例： + +原假设 $H_{0}$ : 在去除市场总销售额影响的情况下，花叶类与茄类不存在显著的偏相关性。备择假设 $H_{1}$ : 在去除市场总销售额影响的情况下，花叶类与茄类存在显著的偏相关性。 + +# 6.4.2 FP-Growth 关联分析模型 + +FP-growth是一种经典的频繁项集和关联规则的挖掘算法，相较于Apriori算法而言其更适合在大规模的数据集上挖掘商品之间的关联规则。假定商家先前选定当日可售单品时综合考虑了销量因素，那么则可以用FP-growth挖掘单品之间的相关规则。模型建立具体步骤如下： + +- 构建 FP 树：创建项头表：扫描整个数据集，统计每个项的频度，并将它们存储在一个项头表中，按照频度从高到低排序。 +- 构建 FP 树：对于每个事务（交易），根据项头表顺序，构建一颗 FP 树。 +- 构建条件模式基：对于每个频繁项头表中的项，构建其对应的条件模式基。 +- 递归挖掘 FP 树: 对于每个频繁项头表中的项, 递归地构建条件 FP 树, 并找出条件 FP 树中的频繁项集。 +- 构建关联规则：使用找到的频繁项集，生成关联规则。 + +# 6.4.3 相互关系的探究结果 + +# (a) 品类之间： + +采用总销售量进刻画市场总销售额的变化，对六种品类的销售量与总销售量做偏相关性分析，结果如图15所示： + +![](images/481069129411229e53340b51395e2ff57f50208009d4f78b97a303cb46e8101d.jpg) +图15 各品类销售总量的偏相关性分析 + +结果发现花叶类与水生根茎类、花叶类与辣椒类、花叶类与食用菌类有相对较强的负相关性、说明花叶类销量的提高能够对水生根茎类、辣椒类、食用菌类的总销量产生一定程度的挤占，说明花叶类与这些类别互为互补品。而其他品类之间存在的正负偏向关系均不明显，这与蔬菜本身作为必需品的特征有关，与实际销售规律较为吻合。 + +# (b) 单品之间： + +以每日出现的单品种类作为项集，通过模型求解构建出单品之间关联规则，部分列举如下，其余放置附录F。观察数据可以看出支持度大于0.8，置信度大于0.9，可以说明两项之间存在强相关关系，其中一个销售时，另一个往往也会随之销售。 + +表 2 FP-Growth 部分求解结果 + +
前项后项支持度置信度
(102900005115823.0)(102900005116257.0)0.8430.996
(102900005116714.0, 102900005115823.0)(102900005116257.0)0.8370.996
(102900005116899.0, 102900005115823.0)(102900005116257.0)0.8330.996
+ +# 七、问题二的模型建立与求解 + +![](images/c66dc1d98b607acd39822e469a5b7a475d762b13bc480ad5c810e1e5ad96a548.jpg) +图16 问题二主体思路 + +# 7.1 销量与成本加成定价的关系探究 + +由于题中所给的三年销量为时间序列数据，其变化随时间、社会经济等因素变化程度十分明显，直接对销量与定价的关系进行相关性分析难以得出正确的结论。 + +根据经济学理论，价格弹性指的是市场需求量随价格变动的变化程度，价格弹性可分为需求价格弹性、供给价格弹性、交叉价格弹性、预期价格弹性等类型。本题所要求 + +探究各品类蔬菜的销售量与其定价的关系，即为需求弹性： + +$$ +E _ {p} = \frac {d Q / Q}{d P / P} +$$ + +参考相关文献[3]，本文选用双对数需求模型对价格弹性进行估计。双对数需求函数是使用最为广泛的需求函数式，其最大的优点是能直接估计价格弹性，基本形式如下： + +$$ +\ln Q _ {i} = \alpha_ {i} + \sum_ {k} e _ {i k} \ln P _ {k} + e _ {i} \ln x + \varepsilon_ {i} \tag {4} +$$ + +其中 $q_{i}$ 表示每个品类的销售量， $p_{k}$ 表示每个品类的平均销售价格， $x = \sum_{i} Q_{i} \times P_{i}$ 为总销售金额。 $\alpha_{i}$ 为常量参数， $e_{ik}$ 为价格弹性即为 $E_{p}$ ， $e_{i}$ 为支出弹性。 + +# 7.1.1 Double-log模型求解结果 + +采用spsspro平台采用最小二乘法OLS对双对数需求模型参数进行估计，对六种品类的估计结果，其参数取值以及显著性水平如下表所示： + +表 3 双对数需求模型回归结果 + +
lnQ1lnQ2lnQ3lnQ4lnQ5lnQ6
lnP1-0.186***-0.08***-0.058***0.035***-0.103***-0.088***
lnP20.044-0.076***-0.241***-0.397***-0.661***-0.032
lnP30.03**-0.217***-0.221***-0.074***-0.108**-0.012
lnP40.193***0-0.075***-0.168***-0.072***-0.07***
lnP5-0.007-0.159***-0.036**0.139***-0.43***-0.272***
lnP60.023-0.433***-0.078***-0.142***-0.042***-0.381***
PQ-0.0320.956***0.678***0.605***1..441***0.951***
F显著性水平******************
+ +1、***、**分别表示 $1\%$ ， $5\%$ 的显著性水平 +2、1至6分别为：水生根茎类、花叶类、花菜类、茄类、辣椒类、食用菌 + +根据对模型的F检验结果分析可以得到，六种品类销量的回归结果显著性P值均为0.000，水平上呈现显著性，模型基本满足要求。同时其VIF全部小于10，模型构造良好，没有多重共线性问题。 + +分析结果发现，六种品类的需求量的需求价格弹性均在 $1\%$ 的显著性水平下显著，说明顾客对这六种品类的消费受到这六种品类价格影响显著，且为负，及品类价格越高、其销售量越低，符合一般性需求定律。 + +同时六种单品的销售量随总销售金额关系的支出弹性除了水生根茎类不显著外，其余五种均为显著，并且均为正数，属于正常品。其中花叶类、花菜类、茄类、食用菌的 + +支出弹性小于 1 说明销量随总体支出水平变化不明显，属于必需品；而辣椒类的支出弹性大于 1，相对而言属于非必需品。 + +# 7.2未来7天相关数据确定 + +为了更好的对未来七天的定价以及补货情况进行决策，需要对未来七天的销量、品类平均成本、品类平均损耗率、损耗折扣进行确定。 + +# 7.2.1 损耗折扣与损耗率的确定 + +分析一天中同个单品打折与不打折的出售价格之比，进行加权平均，确定损耗折扣率 $\mathrm{k}$ 为0.7。 + +$$ +k = \frac {\sum Q _ {\text {打 折}} \times P _ {\text {折 扣}}}{\sum Q _ {\text {打 折}}} \tag {5} +$$ + +根据附件四中的单品损耗率对其加权平均，得到一种品类的损耗率 $L_{i}$ + +$$ +L _ {i} = \frac {\sum_ {j} Q _ {i j} \times L _ {i}}{Q _ {i}} \tag {6} +$$ + +# 7.2.2 时间序列预测 + +基于问题一的分析可知题中所给的数据为一组时间序列，具有明显的周期性与趋势性，因此普通的回归模型较难良好的进行拟合预测。因此本文采用时间序列预测模型，首先采用ARIMA、岭回归、灰色预测模型等统计时间序列模型进行预测，结果发现效果较差。因此本文采用LSTM长短时记忆网络模型进行预测。 + +# LSTM模型基本介绍： + +LSTM 通过细胞状态和门控机制来管理控制信息的流动，使其能够有效地捕捉时间序列数据中的长期依赖关系，是一种强大的时间序列预测工具。主要优点可以概括为： + +- 长期记忆能力：引入“细胞状态”内部状态，捕捉和保留序列中的长期依赖关系； +- 门控机制：遗忘门、输入门和输出门这些门控单元通过学习来控制信息的流动，有效地管理细胞状态的更新和选择性遗忘； +- 反向传播稳定性：由于 LSTM 的门控机制，它在反向传播时通常不会出现梯度消失或爆炸的问题，训练更加容易。 + +# 模型评价指标的选择： + +由于均方误差、均方根误差、平均绝对误差的范围与数据本身大小密切相关无法直观的了解模型的效果，因此本文主要考虑R方作为评价指标，同时参考MSE、RMSE、MAE综合评估。 + +# 7.2.3 LSTM模型预测结果 + +搭建 LSTM 模型对销售量及成本进行预测，LSTM 模型参数如下： + +表 4 LSTM 模型参数 + +
单层 LSTM 单元数6损失函数均方误差
全连接层神经元数7优化器Adam 梯度下降算法
迭代次数400样本批量1
+ +六种品类补货成本和销售量的预测结果见附录B和附录C。 + +表 5 LSTM 对进价预测效果 + +
指标花叶类花菜类水生根茎类茄类辣椒类食用菌
R方0.880.910.730.910.960.62
MSE0.100.271.470.270.350.82
RMSE0.320.521.210.520.590.91
MAE0.240.390.660.380.420.67
+ +观察上表发现进价预测效果 R 方达到 0.6 以上，最高达到 0.96 较为接近 1；同时 RMSE 与 MAE 的值相对于预测结果小一个数量级，因此本文认为该模型结果较好。 + +表 6 LSTM 对销量预测效果 + +
指标花叶类花菜类水生根茎类茄类辣椒类食用菌
R20.810.750.850.790.850.86
MSE1129.01130.29148.9531.38314.18318.71
RMSE33.6011.4112.205.6017.7317.85
MAE23.928.848.804.1812.7412.21
+ +观察上表发现各品类的进价预测效果R方达到0.75以上；同时RMSE与MAE的值相对于预测结果小一个数量级，因此本文认为该模型结果较好。 + +为直观体现模型的可靠性，以花叶类销量预测为例展示如下，其余可见附录 G: + +![](images/cd769f7cd0740e1bb896929c0433d4ef5c8979c4686989c2c553b8406a373658.jpg) +图17 花叶类预测 + +# 7.3 商超补货与定价策略研究 + +由于蔬菜类商品的进货量与销售量仅受当天商超定价策略以及消费者需求量的影响，并且消费者需求同样仅受当日客观因素的影响，因此可以认为每日销售量与盈利均为独立变量，不会产生相互影响。基于此，可将对7.1-至7.7的定价策略进行单独考虑，分别确定每日的定价与补货策略。 + +# 7.3.1 与定价相关的销售量修正函数确定 + +由 Double-log 模型回归结果可知定价对销售量会产生负相关性的影响，因此本文对 LSTM 预测出未来七天的销售量做一个修正，根据需求价格弹性的含义可知，价格变化率与销售量变化率的比值为需求价格弹性系数，因此本文参照双对数需求模型建立以下销量-定价函数： + +$$ +\ln Q = \ln Q _ {\text {预 测 值}} + E _ {p} \ln \frac {P}{P _ {\text {预 测}}} \tag {7} +$$ + +引入定价作为外生变量后，结合LSTM时间序列以求得的模型对真实销量进行拟合，发现加入变量定价后，模型拟合效果较优，说明本文建立的价格弹性修正函数与求得需求价格弹性参数可靠，各品类需求弹性价格参数如下所示： + +表 7 品类需求弹性参数 + +
花叶类花菜类茄类辣椒类食用菌类水生根茎类
-1.92-0.26-0.07-0.029-0.51-0.03
+ +# 7.3.2 收益最大的最优化模型建立 + +# 决策变量： + +本问需要确立六种品类的定价方案以及补货量，根据成本加成定价法，只需确定六 + +种品类的加成率即可确定最终售价，因此确定决策变量为： + +$$ +\text {加 成 率 :} w _ {i}, \quad (1 \leq i \leq 6) +$$ + +$$ +\text {补 货 量 ：} B _ {i}, \quad (1 \leq i \leq 6) \tag {8} +$$ + +因此某品类的定价为： + +$$ +P _ {i} = \left(1 + w _ {i}\right) \times C _ {i} \tag {9} +$$ + +约束条件： + +由于销量不可能大于进货量，因此确定约束条件： + +$$ +Q _ {i} \leq B _ {i} \tag {10} +$$ + +目标函数： + +在此基础上计算该超商一天的销售金额 $M$ ，以及总成本 $T$ 为： + +$$ +M = \sum_ {i = 1} ^ {6} Q _ {i} \times L _ {i} \times P _ {i} \times k + Q _ {i} \times \left(1 - L _ {i}\right) \times P _ {i} \tag {11} +$$ + +$$ +T = \sum_ {i = 1} ^ {6} B _ {I} \times C _ {i} +$$ + +为使商超利润最大，则目标函数为： + +$$ +f = M - T \tag {12} +$$ + +连续最优化模型 + +$$ +\max f = M - T \tag {13} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} B _ {i}, w _ {i} \quad (1 \leq i \leq 6) \\ P _ {i} = \left(1 + w _ {i}\right) \times C _ {i} \\ \ln Q = \ln Q _ {\text {预 测 值}} + E _ {p} \ln \frac {P}{P _ {\text {预 测}}} \\ Q _ {i} \leq B _ {i} \\ M = \sum_ {i = 1} ^ {6} k Q _ {i} L _ {i} P _ {i} + (1 - L _ {i}) Q _ {i} P _ {i} \\ T = \sum_ {i = 1} ^ {6} B _ {I} \times C _ {i} \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +# 7.3.3 基于改进版全局粒子群算法求解模型构建 + +本文采用GBest PSO对优化模型进行求解。GBest PSO是标准粒子群优化算法的一种变体改进[2]，它在全局最佳位置的概念上进行了改进，以提高算法的性能。通过调整惯性权重的值，平衡粒子的全局搜索和局部搜索能力；引入了约束因子来控制粒子速度的更新，确保粒子在搜索空间中的稳定性，减少震荡，提高收敛速度。 + +# 两重改进： + +(a) 引入先验知识，设定 $30\%$ 的初始粒子为人为设定， $70\%$ 粒子随机生成，使得粒子群算法能够更快的收敛。 +(b) 为了在 PSO 模型中添加约束条件, 本文引入罚函数: + +$$ +F = \left\{ \begin{array}{l l} 2 0 \times \left(Q _ {i} - B _ {i}\right), & i f \quad Q _ {i} > B _ {i} \\ 0, & i f \quad Q _ {i} \leq B _ {i} \end{array} \right. \tag {15} +$$ + +由于粒子群算法寻找最优解为函数最小值，因此需要对目标函数进行处理，修正后的目标函数为： + +$$ +f = - (M - T) + F \tag {16} +$$ + +# 7.4决策模型求解结果 + +经过粒子群 7 轮 300 次迭代得到 7.1 至 7.7 每日收益的最大值, 结果如下表: + +表 8 七日收益最大值 + +
日期7.107.207.307.407.507.607.70
收益1810.021802.871745.221758.421790.441794.121799.79
+ +未来能够好的了解收益最大优化模型的决策效果，本文对过去三年间商超每日的收益进行分析，结果如图18所示。结果发现生鲜商超的日利润基本集中在500至2000的单位内，只有在少数情况出现极高的峰值。分析峰值出现的日期发现，利润的峰值基本集中在每年的二月份，因此可以合理推测此时为农历新年时间，受大型节日的影响，生鲜商超出现利润与销量的波动符合实际情况。 + +对收益数据的波动情况进行进一步的观察发现，生鲜商超的每日收益在每年的六月于十二月会出现一个相对平缓的谷值，根据2023年六月末的数据以及往年变化趋势合理推测在一般情况下该生鲜商超在七月初的收益额约在1000至1500间波动，而采用本文中确定的补货定价方案均大于1740元，最大可达1810元，可以对收益额产生一个明显的提升效果。 + +![](images/f9e1270724077c903b639b661d8bc4e819c1fc2736d7c85b477ea1f489fa1fcf.jpg) +图18 生鲜商超每日收益折线图 + +商超决策结果如下所示，以 7.1 为例（详见附录 H）： + +表 9 7 月 1 日商超最优决策方案 + +
花叶类花菜类水生根茎类茄类辣椒类食用菌
进货量（决策）189.8123.3724.5633.38103.9155.13
利润率（决策）1.200.980.800.881.201.00
销售价格7.2315.3021.608.588.158.02
修正之后的销量186.4924.1424.5333.08103.4355.10
+ +分析结果发现相比于预测销量数据花叶类、花菜类、水生根茎类、食用菌类的销量有所降低，而茄类与辣椒类销量与预测销量相比提高的幅度较小，这恰好与茄类和辣椒类的需求价格弹性相关系数的特征相吻合，验证了模型的准确性。在六个品类中茄类与辣椒类的价格需求弹性相关系数明显低于其他品类，销量随价格的变化程度不明显。 + +# 八、问题三模型的建立与求解 + +![](images/ac482e2636725b7db159389a8e07a17de7c47bcf0617738474aaa4391ac393fa.jpg) + +问题三同样是一道最优化问题，需要给出商超的补货与定价策略。但与问题二不同的是商超补货决策受到销售单品总数与最小陈列量的限制，同时需要满足保障消费者需求与提高商超收益，因此本问需要重新对每种单品的销售量与成本损耗进行预测。此外，问题二的决策变量为连续型，而问题三的决策变量为离散型 + 连续型（混合型），两问需要选择不同的优化算法求解。 + +# 8.1 未来1天相关数据的确定 + +# 8.1.1 单品种类的确定 + +根据题目要求，参照2023年6月24日至6月30日的可售单品确定7月1日补货单品的范围。对6月24日至6月30日有出现的单品进行整合，得到48个单品种类，去除七天内单品总销量小于 $2.5\mathrm{kg}$ 的单品，选出45个进行后续预测与处理。 + +# 8.1.2 各单品销量及成本的确定 + +观察最近筛选出的45种单品的销量，发现均存在不同程度的缺失，采用时间序列模型难以预测出良好的结果。由于单品在短时间内的销量与成本的变化无明显趋势，且无明显的变化规律，数据波动呈现随机性的特征，因此本问直接通过加权平均作为各单品在7月1日的销量与成本预测结果。 + +对于与定价相关的销量修正函数本问同样采用问题二中的公式7建立销量-定价函数进行拟合求参。 + +# 8.1.3 各单品需求度的确定 + +由于各单品本身特性不同，单纯从购买销量角度衡量顾客对单品的需求度可能会忽视单笔销量质量较小，但是订单购买次数较多的单品。因此本文综合考虑单品销量以及单品销售次数，采用综合评价指标评价单品的需求度。 + +本文采用多准则妥协解排序（VIKOR）方法对需求度进行评价： + +VIKOR 方法易于实施，能够同时考虑群体效用最大化和个体遗憾最小化，具有更高的排序稳定性和可信度，设满意度为 $D$ ，其计算过程如下所示： + +- 针对指标归一化矩阵，计算带权值的范数为 1 与范数为无穷大闵可夫斯基距离 + +群体效用: $S_{i} = \sum_{j=1}^{m} \omega_{j}\left(\frac{Max(n_{j}) - n_{ij}}{Max(n_{j}) - Min(n_{j})}\right)$ + +个体遗憾值: $R_{i} = \max_{j=1}\left(\omega_{j}\left(\frac{Max\left(n_{j}\right) - n_{ij}}{Max\left(n_{j}\right) - Min\left(n_{j}\right)}\right)\right)$ + +- 计算折中指标值 + +$$ +D _ {i} = \frac {\nu (S _ {i} - S ^ {*})}{S ^ {-} - S ^ {*}} + \frac {(1 - \nu) (R _ {i} - R ^ {*})}{R ^ {-} - R ^ {*}} +$$ + +其中， $S^{*} = \min_{1\leq i\leq m}S_{i},\quad S^{-} = \max_{1\leq i\leq m}S_{i},\quad R^{*} = \min_{1\leq i\leq m}R_{i},\quad R^{*} = \max_{1\leq i\leq m}R_{i};$ + +需求度判定结果详见支撑材料。 + +为了减少数据维度，同时降低明显不符合要求的单品对模型求解的干扰，本文根据需求度去除需求度排在后五位的单品，最终得到四十种单品进行决策。 + +# 8.2 商超补货与定价策略研究 + +# 8.2.1 双优化目标的决策模型建立 + +# 决策变量 + +不同于以品类为单位进行补货，筛选出的40种单品并不能全部进行补货，因此在第二问决策变量的基础上，还需要加入01变量描述单品是否有进行补货，假设j个单品的进货标志为 $z_{j}$ 、加成率为 $w_{j}$ 、补货量为 $B_{j}$ ： + +进货标志: $z_{j}, \quad (z_{i} j \in [0,1] \quad 1 \leq j \leq 40)$ + +加成率: $w_{j}, \quad (1 \leq j \leq 40)$ (17) + +补货量: $B_{j}, \quad (1 \leq j \leq 40)$ + +# 约束条件 + +由于销售空间的限制，商超补货的单品数限制在27至33之间，且补货单品的最小陈列量为 $2.5\mathrm{kg}$ ，同时总销量不能高于补货量，因此约束1、2为： + +$$ +2 7 \leq \sum_ {j = 1} ^ {4 0} z _ {j} \leq 3 3 \tag {18} +$$ + +$$ +2. 5 \leq z _ {j} \times B _ {j} \leq Q _ {j} \tag {19} +$$ + +# 优化目标 + +计算该超商一天的销售金额 $M$ , 以及总成本 $T$ 为: + +$$ +M = \sum_ {j = 1} ^ {4 0} Q _ {j} \times L _ {j} \times P _ {j} \times k + Q _ {j} \times (1 - L _ {j}) \times P _ {j} +$$ + +$$ +T = \sum_ {j = 1} ^ {4 0} B _ {I} \times C _ {j} \tag {20} +$$ + +本问要求在尽量满足市场对各单品需求，并且使商超收益尽可能地大，目标函数为： + +$$ +f _ {1} = M - T +$$ + +$$ +f _ {2} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {4 0} z _ {j} \times D _ {J}}{\sum_ {j = 1} ^ {4 0} D _ {j}} \tag {21} +$$ + +混合非线性双目标优化模型总结 + +$$ +\max f _ {1} = M - T \tag {22} +$$ + +$$ +\max \quad f _ {2} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {4 0} z _ {j} \times D _ {J}}{\sum_ {j = 1} ^ {4 0} D _ {j}} \tag {23} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} z _ {j}, \quad \left(b _ {i} j \in [ 0, 1 ] \quad 1 \leq j \leq 4 0\right) \\ w _ {j}, B _ {j} \quad (1 \leq j \leq 4 0) \\ 2 7 \leq \sum_ {j = 1} ^ {4 0} z _ {j} \leq 3 3 \\ 2. 5 \leq z _ {j} \times B _ {j} \leq Q _ {j} \\ \ln Q = \ln Q _ {\text {预 测 值}} + E _ {p} \ln \frac {P}{P _ {\text {预 测}}} \\ M = \sum_ {i = 1} ^ {6} k Q _ {i} L _ {i} P _ {i} + (1 - L _ {i}) Q _ {i} P _ {i} \\ T = \sum_ {j = 1} ^ {4 0} B _ {I} \times C _ {j} \end{array} \right. \tag {24} +$$ + +# 8.2.2基于多目标遗传算法的最优化求解模型构建 + +由于本问决策变量中既含有0-1变量又含有连续变量，粒子群算法和传统遗传算法的性能较差，需要使用混合编码和多目标规划的优化算法。本文采用多目标遗传算法NSGA-II，并对其加以改进。相对于传统的多目标遗传算法，NSGA-II引入了非支配排序技术，能够将个体按照非支配性进行分级，保留多个非支配解，找到更多的高质量解；同时引入了克努森分配距离，确保前沿中的个体分布更加均匀，提高了解的多样性[1]。算法改进说明： + +- 混合编码：采用BG编码与RI编码混合编码以适应本问决策变量既有01变量又有连续变量的情况。 +- 先验知识：融入先验知识，指定部分初始值，加快模型收敛。 +- 全局存档：引入全局存档，保留全局最优解，避免优良种群丢失。 + +# 8.3决策模型求解结果 + +经过400次迭代遗传算法输出结果如图19所示, 观察结果选取最优解为: + +$$ +f 1 = 1 6 6 8 6, \quad f 2 = 0. 9 6 6 7 +$$ + +![](images/1c840f32ee8b2d8d401688ad978c865f8d69c0c303463ab132bbc57e379af995.jpg) +图19 NSGA2求解结果 + +此时商超选择进货的部分单品（只列出每个品类的两件单品，全部进货情况见附录D）补货量及定价策略为： + +表 10 部分单品补货量及定价策略 + +
单品名称分类名称利润率进货量
净藕(1)水生根茎类1.199998254.46848427
洪湖藕带水生根茎类1.193755762.7224025
金针菇(盒)食用菌1.194065159.02246278
西峡花菇(1)食用菌1.199999963.58719345
紫茄子(2)茄类1.190657464.09742674
长线茄茄类0.756525096.43350562
芜湖青椒(1)辣椒类1.1573138610.4345508
小米椒(份)辣椒类1.1998424117.1600476
云南生菜(份)花叶类1.198992234.1002955
云南油麦菜(份)花叶类1.1994660414.2922507
+ +# 九、问题四模型的建立与求解 + +分析相关文献[4]可知，当前产品常用的定价方法有：成本导向定价法、竞争导向定价法、需求导向定价法。本文主要采用成本导向定价法，以商超获得经济效益最大为目标确定定价策略。尽管成本导向型定价策略最为直观便捷，但是其只从内部条件出发考虑经济效益，并不能很好适应现实的销售环境。在现实生活中与其他生鲜商超的竞争关系、消费者对商品定价的感知情况及社会经济发展水平，均会产生长远影响。因此本文兼顾成本、竞争与需求这三个重要因素给出商超制定补货和定价决策提出三点建议。 + +# 9.1市场定价数据及主要竞争对手定价 + +在上述问题的研究中可得消费者的消费需求与某种单品的价格存在反相关。本文采用需求价格弹性刻画价格与销量的关系，但是这种函数关系建立在该商超无其他竞争对手的情况。现实生活中消费者往往会对各个生鲜商超的价格进行对比做出选择，因此某一个商超的消费需求还与市场上其他商朝的价格水平有关。 + +根据弹性理论可知，交叉弹性可以衡量一种商品的需求量对另一种商品价格变化的反应程度的指标，例如商品 $y$ 的价格变化时，商品 $x$ 的需求量会产生相应的变化，商品 $x$ 的需求的交叉价格弧弹性公式为： + +$$ +E _ {c} = \frac {d Q _ {x} / Q _ {x}}{d P _ {y} / P _ {y}} +$$ + +当商品互为替代品时交叉弹性为正值，即一种商品的价格相对于其替代品增高时，该商品销售量会减小，在存在竞争关系的社会中，问题二中公式7还需要加上交叉弹性的影响。商超与互为竞争对手的企业所销售的产品相似，互为替代品。因此当商超需要确定定价预测销售量达到利润最大值时，还需要考虑其价格与竞争者商品的差距，以及该品类对价格变化的敏感性，对价格弹性高单品进行灵活定价，吸引更多的顾客。从而更准确的预测对销售量的影响，扩大顾客群体，寻找利润的最大值。 + +# 9.2 消费者的预期价格以及价格敏感度 + +对于消费者而言，对于一种商品价格直观的认知会对消费意愿产生更为直接的影响。部分消费者并不能完全了解市场与同类产品的定价情况，消费者对某个单品的价格预期与实际定价可能会在某些程度上更真实的反应消费意愿。 + +同时当一件单品价格上涨时，通过分析计算价格预期弹性可以了解消费者对该商品价格变化的敏感度，价格预期弹性的计算公式为： + +$$ +E _ {v} = \frac {d F / F}{d C / C} +$$ + +式中，F表示购买者预期未来某种商品的价格，C表示及期未来某种商品的价格。若价格预期弹性大于1，则表明购买者预期价格提高幅度比现实大，消费者的消费意愿下降幅度可能会增大。 + +同时通过了解消费者的预期价格价格和对价格敏感度可以深入了解消费者的满意程度。了解消费者是否认为价格公平合理，是否愿意为产品或服务支付特定价格，分析顾客流失量与保留率。对商超长时间的销售量产生重要影响。 + +# 9.3居民收入变化以及人均消费Pchc变化 + +居民粮食消费行为受到价格、预期、收入、环境的影响，其中收入是影响其消费需求的关键因素。了解本生鲜商超所在地的居民收入变化数据可以更加准确的预估总体销售量的变化情况。马歇尔函数在一定程度上表现了需求量与人均收入的关系： + +$$ +\begin{array}{l} \max u = \left(x _ {1} ^ {\rho} + x _ {2} ^ {\rho}\right) ^ {1 / \rho} \\ \mathrm {s . t .} Y = p 1 \times x 1 + p 2 \times x 2 \\ \end{array} +$$ + +x表示商品的需求量，p表示商品的价格，对于给定价格与收入等外部条件的情况下,Y为一个定值。Y随收入成上升趋势，根据函数求解结果可知，当Y上升时商品需求量也能呈现不同程度的上升。当人均收入增加时，消费者的购买力增强，他们更有可能购买更多的商品。 + +同样人均居民消费 Pchc 变化会反应居民整体的消费意愿，是居民人均收入在消费水平上更直观的体现。商超在对销售量预测时，为了能更加准确的做出决策，需要考虑居民收入对以及人均居民消费 Pchc 的整体影响。 + +# 十、模型鲁棒性检验 + +鲁棒性检验是评估模型在面对不同干扰或噪声情况下的性能稳定性和可靠性的过程。对深度学习模型而言鲁棒性检验可以帮助确定模型在输入数据变化、噪声干扰或其他不确定性因素引入时的表现。稳定的模型在不同情况下能够产生一致的结果。 + +为分析 LSTM 时间序列模型预测的鲁棒性，给输入时间序列一个正态分布的微小扰动，重复输出结果如下图所示 + +![](images/c738355be026400e30222e4ee503cac3824e85b42f9b573458043fff3dc315d7.jpg) +图20 LSTM模型稳定性检验（以辣椒的成本为例） + +在以往的数据中辣椒的成本范围在2到18元左右，当加入微小扰动后，输出范围在3.16至3.93元之间，波动幅度在 $5\%$ 以内，可以认为本文搭建的LSTM模型具有一定的鲁棒性，对干扰变化并不明显。 + +# 十一、优缺点分析 + +# 11.1 模型优点 + +1. 在问题一中对数据出现的信息与规律进行现实意义的解释说明，对数据进行更本质的分析； +2. 参考大量相关领域的文献，选取恰当的经济学模型对数据进行分析预测，引入外生变量对时间序列预测进行优化，采用双对数需求模型对预测销量进行修正； +3. 基于数据特征选择合适的优化模型，建立改进版全局粒子群算法求解模型以及多目标遗传算法求解模型，时先进的算法技术更好的贴合题目信息； +4. 问题四不局限于关注商超内部因素对自身发展的影响，而是基于商超与社会、与竞争对手、与顾客之间的关系对商朝的长期发展提供有效的建议。 + +# 11.2 模型缺点 + +1. 问题二预测销量时，仅考虑自身价格变动对销量产生的影响，未考虑其替代品与互补品价格变动产生的影响，应同时考虑商品销量的交叉价格弹性； + +# 参考文献 + +[1] Kalyanmoy Deb, Samir Agrawal, Amrit Pratap, and et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: Nsga-ii. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 6(2), 2002. +[2] J. Kennedy and R.C. Eberhart. Particle swarm optimization. In Proceedings of the IEEE International Joint Conference on Neural Networks, pages 1942-1948, 1995. +[3] 姚志 and 何蒲明. 中国农村居民粮食消费需求及弹性测算. 统计与决策, 36(03):52-56, 2020. +[4] 毛莉莎. 供应链视角下蔬菜批发市场定价策略及产销模式研究. 2023. + +附录A支撑材料文件列表 + +
文件名类型简介
data_class.pypython 代码文件蔬菜分类代码
data Cleaner.pypython 代码文件数据清洗代码
data_select.pypython 代码文件数据筛选代码
description.pypython 代码文件描述性统计代码
double_log.pypython 代码文件双对数模型回归代码
find_price(seal.pypython 代码文件数据探索性分析代码
lstm.pypython 代码文件LSTM 模型实现代码
main.pypython 代码文件数据探索性分析及描述代码
nsga_i1.pypython 代码文件NSGAII 优化算法实现代码
question3.pypython 代码文件问题三数据整理代码
single_ana.pypython 代码文件单品销售量的分布规律及相互关系探究代码
spo.pypython 代码文件粒子群优化算法实现代码
strmatch.pypython 代码文件单品名称字符串匹配代码
time_series.pypython 代码文件时间序列分解实现代码
关联分析.docxSPSSPRO 输出文件关联分析输出结果
线性回归(1).docxSPSSPRO 输出文件双对数模型回归结果
线性回归(2).docxSPSSPRO 输出文件双对数模型回归结果
线性回归(3).docxSPSSPRO 输出文件双对数模型回归结果
线性回归(4).docxSPSSPRO 输出文件双对数模型回归结果
线性回归(5).docxSPSSPRO 输出文件双对数模型回归结果
线性回归(6).docxSPSSPRO 输出文件双对数模型回归结果
问题三备选单品.xlsx数据预处理文件问题三中决策的备选单品数据
数据探索性分析.xlsx数据预处理文件原始数据的探索性分析
单品分类结果.xlsx数据分析结果文件单品分类结果
+ +# 附录BLSTM对成本预测结果 + +
日期7.17.27.37.47.57.67.7
花叶类3.293.293.293.293.293.303.29
花菜类7.747.767.817.797.757.817.76
水生根茎类12.0211.9112.0311.9411.9212.1211.97
茄类4.564.604.554.554.534.544.60
辣椒类3.713.663.663.683.673.683.65
食用菌4.024.084.034.084.044.024.06
+ +# 附录CLSTM对销量预测结果 + +
日期7.17.27.37.47.57.67.7
花叶类190.76189.94189.23190.35189.09188.56190.11
花菜类28.6228.8728.8728.7428.7828.8728.66
水生根茎类26.9627.8127.6527.2127.8827.7627.24
茄类32.3031.8032.4331.6531.6831.3831.97
辣椒类102.15101.68102.02102.56102.08102.734.06
食用菌56.3157.4058.1356.8156.4657.1957.95
+ +# 附录D7月1日单品补货量及定价策略 + +
单品名称分类名称利润率进货量
净藕(1)水生根茎类1.19999834.4684843
洪湖藕带水生根茎类1.19375582.7224025
高瓜(1)水生根茎类1.19692692.5694186
高瓜(2)水生根茎类1.19897853.3118241
金针菇(盒)食用菌1.19406529.0224628
西峡花菇(1)食用菌1.23.5871935
双孢菇(盒)食用菌1.19504867.1308823
+ +Continued on next page + +
单品名称分类名称利润率进货量
海鲜菇(包)食用菌0.91005394.01525
紫茄子(2)茄类1.19065754.0974267
长线茄茄类0.75652516.4335056
芜湖青椒(1)辣椒类1.157313910.434551
小米椒(份)辣椒类1.199842417.160048
螺丝椒(份)辣椒类1.18226845.0326392
小皱皮(份)辣椒类1.07365686.0000298
螺丝椒辣椒类1.17573034.3256812
姜蒜小米椒组合装(小份)辣椒类1.13147025.603787
红椒(2)辣椒类1.17675542.5761036
七彩椒(2)辣椒类1.18112762.5473168
云南生菜(份)花叶类1.19899224.1002955
云南油麦菜(份)花叶类1.19946614.292251
竹叶菜花叶类0.688680110.51447
苋菜花叶类1.03660754.0608702
娃娃菜花叶类1.19197953.0106372
奶白菜花叶类1.19540726.9103183
木耳菜花叶类0.98521414.1342185
小青菜(1)花叶类1.17983746.0965642
菠菜(份)花叶类1.19999892.6720992
红薯尖花叶类0.64114193.5567912
上海青花叶类1.1795982.9094884
云南生菜花叶类1.19992922.8542299
菠菜花叶类1.15643462.8045198
西兰花花菜类1.18338798.1387696
枝江青梗散花花菜类1.18157192.5205245
+ +附录E频繁项集 + +
项名支持度项的长度
(102900005116714.0)0.9921
(102900005116899.0)0.9741
(102900005116714.0、102900005116899.0)0.9672
(102900005116257.0)0.9421
(102900005116257.0、102900005116714.0)0.9352
(102900005116257.0、102900005116899.0)0.9272
(102900005116257.0、102900005116714.0、102900005116899.0)0.9213
(102900005115823.0)0.8471
(102900005116257.0、102900005115823.0)0.8432
(102900005116714.0、102900005115823.0)0.8412
(102900005116899.0、102900005115823.0)0.8372
(102900005116257.0、102900005116714.0、102900005115823.0)0.8373
(1029000051010455.0)0.8331
(102900005116257.0、102900005116899.0、102900005115823.0)0.8333
(102900005116714.0、102900005116899.0、102900005115823.0)0.8313
+ +# 附录F关联规则 + +
前项后项前项支持者后项支持者总支持者置信度
(102900005115823.0)(102900005116257.0)0.8470.9420.8430.996
(102900005116714.0、
102900005115823.0)(102900005116257.0)0.8410.9420.8370.996
(102900005116899.0、
102900005115823.0)(102900005116257.0)0.8370.9420.8330.996
(102900005116714.0、
102900005116899.0、
102900005115823.0)(102900005116257.0)0.8310.9420.8280.996
(102900005116899.0、
102900005115823.0)(102900005116714.0)0.8370.9920.8310.993
+ +Continued on next page + +
前项后项前项支持者后项支持者总支持者置信度
(102900005116257.0、
102900005116899.0、
102900005115823.0)(102900005116714.0)0.8330.9920.8280.993
(102900005116899.0、
102900051010455.0)(102900005116714.0)0.8120.9920.8060.993
(102900005116257.0、
102900005116899.0)(102900005116714.0)0.9270.9920.9210.993
(102900005116899.0)(102900005116714.0)0.9740.9920.9670.992
(102900005115823.0)(102900005116714.00.8470.9920.8410.992
(102900005116257.0、
102900005115823.0)(102900005116714.0)0.8430.9920.8370.992
(102900051010455.0)(102900005116714.0)0.8330.9920.8270.992
(102900005116257.0)(102900005116714.0)0.9420.9920.9350.992
(102900005116714.0、
102900005115823.0)(102900005116899.0)0.8410.9740.8310.989
(102900005116257.0、
102900005116714.0、
102900005115823.0)(102900005116899.0)0.8370.9740.8280.989
(102900005115823.0)(102900005116899.0)0.8470.9740.8370.988
(102900005116257.0、
102900005115823.0)(102900005116899.0)0.8430.9740.8330.988
(102900005116257.0、
102900005116714.0)(102900005116899.0)0.9350.9740.9210.985
(102900005116257.0)(102900005116899.0)0.9420.9740.9270.984
(102900005116714.0、
102900051010455.0)(102900005116899.0)0.8270.9740.8060.975
(102900005116714.0)(102900005116899.0)0.9920.9740.9670.975
(102900051010455.0)(102900005116899.0)0.8330.9740.8120.975
+ +# 附录GLSTM预测各品类销量结果 + +![](images/ffc5d58a007f4e6418e55a093359678406a6fd6c91ee3006c5c45e77cf617902.jpg) +图21 花叶类LSTM + +![](images/b3e125508371b64ab2ad783262c7cf7ee437187ac9201dc485f0954d8086b2f8.jpg) +图22 花菜类LSTM + +![](images/23f91bc5a551d4a2a13d18fded225a43ea6088d4883f849a562374e0e6e7b043.jpg) +图23 水生根茎类LSTM + +![](images/477f07c6f2b62d51ec07aea6f1d13c205ff9a0c583fa4602bbeea69abeba6fa0.jpg) +图24 茄类LSTM + +![](images/248ba052d2e978ef3883b2652c2a55cbc0c416e2b223f73075a0b50504f2e8e7.jpg) +图25 辣椒类LSTM + +![](images/e58fd77ec294370de9d936798d83378c70df9fe08353066d7563d1576933d248.jpg) +图26 食用菌LSTM + +# 附录H第二题定价和补货策略 + +表 14 7 月 1 日定价与补货策略 + +
指标花叶类花菜类根茎类茄类辣椒类食用菌
进货量（变量）189.8123.3724.5633.38103.9155.13
利润率（变量）1.200.980.800.881.201.00
+ +表 15 7 月 2 日定价与补货策略 + +
指标花叶类花菜类根茎类茄类辣椒类食用菌
进货量（变量）186.0824.0325.5034.46106.2156.37
利润率（变量）1.200.970.800.851.200.99
+ +表 16 7 月 3 日定价与补货策略 + +
指标花叶类花菜类根茎类茄类辣椒类食用菌
进货量（变量）185.6124.3522.1643.30103.7057.76
利润率（变量）1.200.970.800.771.201.00
+ +表 17 7 月 4 日定价与补货策略 + +
指标花叶类花菜类根茎类茄类辣椒类食用菌
进货量（变量）186.7824.3125.0945.03103.7755.78
利润率（变量）1.200.940.780.891.200.99
+ +表 18 7 月 5 日定价与补货策略 + +
指标花叶类花菜类根茎类茄类辣椒类食用菌
进货量（变量）185.9725.9724.7732.30103.4455.75
利润率（变量）1.200.980.780.871.200.98
+ +表 19 7 月 6 日定价与补货策略 + +
指标花叶类花菜类根茎类茄类辣椒类食用菌
进货量（变量）184.7323.9725.2432.81105.3061.69
利润率（变量）1.200.970.790.901.200.98
+ +表 20 7 月 7 日定价与补货策略 + +
指标花叶类花菜类根茎类茄类辣椒类食用菌
进货量（变量）187.5124.3124.8135.24103.9758.03
利润率（变量）1.200.970.800.811.201.00
+ +表 21 每日总利润 + +
日期总利润
7月1日1810.0229504449542
7月2日1802.8689165370076
7月3日1745.2188075578458
7月4日1758.4150069946324
7月5日1790.4355304439705
7月6日1794.1248918808792
7月7日1799.794480480253
+ +# 附录I 蔬菜分类代码 + +111 + +该程序用于蔬菜水果的分类（按照时间） + +分类数据来源：进货数据 + +类别： + +- 常年可供应的蔬菜和水果：这些产品几乎整年都可以获得 + +判断标准：一年中销售天数大于300天 共计30个 + +- 季节性蔬菜和水果：这些产品在特定的季节内生长和销售，受气候和地理条件的影响。 + +判断标准：其他 共计151个 + +- 时令蔬菜和水果：这些产品在某些特定的节日或假期季节内销售。 + +判断标准：一年中销售天数小于15天 共计70个 + +111 + +季节性蔬菜和水果统计 + +import pandas as pd + +import matplotlib.pyplot as plt + +plt.rcParams['font.sans-serif'] = [u'simHei'] + +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False + +csv_file = 'data/附件 1.csv' + +df_1 = pd.read_csv(csv_file) + +csv_file = 'data/附件3.csv' +df = pd.read_csv(csv_file) +df['日期'] = pd.to datetime(df['日期']) +df['月份'] = df['日期'].dt.month +# 分品类 +mapping_dict = df_1.set_index('单品编码')[分类名称].to_dict() +df['品类'] = df['单品编码'].map)mapping_dict) +print(df.head(5)) +grouped = df.groupby('单品编码') +result = {} +for name, group in grouped: + unique Months = group['月份'].unique() + total Months = len(unique Months) + season = [] + season_list = [0]*4 + if 3 in unique Months or 4 in unique Months or 5 in unique Months: + season.append("春季") + season_list[0] = 1 + if 6 in unique Months or 7 in unique Months or 8 in unique Months: + season.append("夏季") + season_list[1] = 1 + if 9 in unique Months or 10 in unique Months or 11 in unique Months: + season.append("秋季") + season_list[2] = 1 + if 12 in unique Months or 1 in unique Months or 2 in unique Months: + season.append("冬季") + season_list[3] = 1 + result[name] = { + '出现的月份': unique Months, + '总共出现的月份数': total Months, + '出现的季节': season, + "季节数": len(season), + "季节列表": season_list} +} +count_all = 0 +count_all_list = [] +for key, value in result.items(): + if value['季节数'] == 4: + count_all += 1 + count_all_list.append(key) +# print(f"单品编码{key}出现在以下月份：{'', '.join(map(str, value['出现的月份']))},总共 $\rightarrow$ 出现的月份数:{value['总共出现的月份数']}，出现在{value['出现的季节']}") + +```python +print(count_all) +print(count_all_list) +```java +#####常年可供应的蔬菜和水果时令蔬菜和水果统计 +df['年份'] = df['日期'].dt.year +result = df.groupby(['单品编码', '年份'].agg{'日期': 'nunique'}).reset_index() +result.rename(columns={'日期':'天数'}, inplace=True) +#print(result) +max每一天 = result.groupby('单品编码')[ '天数'].max().reset_index() +# print(max每一天) +plt.hist(max每一天['天数'], bins=35, edgecolor='k') # 可自行调整 bins 参数来设置柱子数量 +plt.xlabel('天数') +pltylabel('频数') +plt.title('天数分布直方图') +plt.show() +filtered_df = max每一天[max每一天['天数'] <= 15] +cnt = 0 +cnt_list = [] +for index, row in filtered_df.iteratorrows(): + cnt_list.append(row['单品编码']) +``` + +# 附录J数据清洗代码 + +1 1 + +该程序用于数据的预处理中的数据清洗工作： + +1：没有销量的单品不予分析 + +总计：251 剔除：5 剩余：246 + +2：销售天数少（阈值1）且销量低（阈值2）的单品不予分析 + +阈值1：少于或等于10天 + +阈值2：销量占比低于万分之0.3 + +总计：246 剔除：48 剩余：198 + +111 + +import pandas as pd + +import matplotlib.pyplot as plt + +plt.rcParams['font.sans-serif'] = [u'simHei'] + +plt�Param['axes.unicode_minus'] $=$ False + +数据读入 + +```python +csv_file = 'data/附件1.csv' +df_1 = pd.read_csv(csv_file) +csv_file = 'data/附件2.csv' +df = pd.read_csv(csv_file) +``` + +将指定列转换为时间序列 + +df['销售日期'] $=$ pd.to datetime(df['销售日期']) +df['扫码销售时间'] $=$ pd.to datetime(df['销售日期'].astype(str) + ' ' + df['扫码销售时 $\rightarrow$ 间'], errors='coerc', format=%Y-%m-%d %H:%M:%S.%f') +# 计算销售金额 +df['销售金额'] $=$ df['销量（千克）'] * df['销售单价（元/千克）'] +# 分品类 +mapping_dict = df_1.set_index('单品编码')[分类名称'].to_dict() +df['品类'] $=$ df['单品编码'].map)mapping_dict) +print(df.head(5)) + +第一步：处理没有销量的数据 + +```python +unique_values_df = df['单品编码'].unique() +unique_values_df_1 = df_1['单品编码'].unique() +values_only_in_df_1 = set(unique_values_df_1) - set(unique_values_df) +count_values_only_in_df_1 = len(values_only_in_df_1) +``` + +```python +print("df 列'单品编码'的唯一值个数：", len(unique_values_df)) +print("df_1 列'单品编码'的唯一值个数：", len(unique_values_df_1)) +print("df_1 中有但是 df 中没有的值：", values_only_in_df_1) +print(" 这些值的个数：", count_values_only_in_df_1) # 5 +``` + +##### 第二步：销售天数少（阈值1）的单品找出来 + +```txt +threshold_1 = 10 +``` + +```python +import numpy as np +from matplotlib.cm import ScalarMappable +``` + +```lua +result = df.groupby('单品编码')[ '销售日期'].nunique().reset_index() +result.rename(columns={'销售日期': '销售天数'}, inplace=True) +``` + +```python +hist, bins = np.jpeg(result['销售天数'], bins=10) +bincenters = 0.5 * (bins[-1] + bins[1:]) +cmap = plt.cm.coolwarm +norm = plt.Normalize(vmin=min(history), vmax=max(history)) +``` + +colors = cmap(norm.hist) +plt.figure(figsize=(8,6)) +bars = plt.bar.bincenters, hist, width=bins[1] - bins[0], color=colors, edgecolor='k', $\leftrightarrow$ alpha=0.7) +for i, count in enumerate.hist): + plt.text(bincenters[i], count + 5, str(count), ha='center', va='bottom') +plt.xlabel('销售天数') +pltylabel('单品数') +plt.title('销售天数分布直方图') +plt.grid(True) +sm = ScalarMappable(cmap=cmap, norm=norm) +sm.set_array [] +cbar = plt.colorbar(sm, ax=plt.gca(), orientation='vertical') +cbar.set_label('计数', rotation=90, labelpad=15) +plt.show() +# for index, row in result.iterrrows(): +# print(f{'index'} 单品编码: {row["单品编码"], 销售天数: {row["销售天数"]} ) +filtered_result = result[result['销售天数'] <= threshold_1] +count = filtered_result.shape[0] +#print(f"销售天数小于等于{threshold_1}的单品编码和数量:") +list_1 = [] +for index, row in filtered_result.iterrrows(): + if row["销售天数"] <= threshold_1: + list_1.append(row["单品编码]) +print(f'\n阈值为{threshold_1}时被筛除的单品数量: {count}') +print("分别是:.") +print(list_1) +threshold_2 = 0.00003 +#********** 第三步：销量低（阈值2）的单品找出来 +grouped = df.groupby('单品编码')[ '销量（千克)'].sum().reset_index() +print(len(grouped)) +total_sales = grouped['销量（千克)'].sum() +grouped['销量占比'] = grouped['销量（千克)'] / total_sales +low_percentagesamples = grouped[grouped['销量占比'] < threshold_2][ '单品编码'] +list_2 = low-percentages_groups.to_list() +print("\\n所有组的销量总和:", total_sales) +print(f"销量占比低于{threshold_2}的组的单品编码:.") +print(list_2) + +print(f"总数是：{len(low_percentage_groups)}") +```python +data_g = [] +for i in grouped['销量占比']: + if i <= threshold_2: + data_g.append(i) +bins = 10 +n, bins, patches = plt.hist(data_g, bins=bins, edgecolor='k') +plt.xlabel('销量占比') +pltylabel('频数') +plt.title('销量占比直方图') +plt.grid() +for i, rect in enumerate(patches): + height = rect.get_height() + plt annotate(f{'height'}, xy=(rect.get_x() + rect.get_width() / 2, height), + xytext=(0,5), textcoords='offset points', + ha='center', va='bottom') +plt.show() +``` + +第 四步：取交集 +#将列表转换为集合，然后取交集 +intersection $=$ list(set(list_1)& set(list_2)) +print(f"\n交集数量为：{len(intersection)}") +print(intersection) +第 五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 第五步：查看 + +# 附录K数据筛选代码 + +11 11 + +本程序用于筛选出可以进货的单品及其销量的预测值 + +11 11 + +from tool import * + +csv_file = 'data/附件 3.csv' + +csv_file_1 = 'data/type.csv' + +df = pd.read_csv(csv_file) + +df_1 = pd.read_csv(csv_file_1,encoding='GBK') + +print(df.head(5)) + +df['日期'] = pd.to Datetime(df['日期']) + +start_date = pd.to Datetime('2023-06-24') + +end_date = pd.to Datetime('2023-06-30') + +filtered_df = df[(df['日期'] >= start_date) & (df['日期'] <= end_date)] + +unique_product_codes = filtered_df['单品编码'].unique() + +unique_product_codes_list = unique_product_codes.tolist() + +print(f" 可进货的单品 (2023-06-24 到 2023-06-30): \n {unique_product_codes_list}") + +print(f"总计单品类型：{len(unique_product_codes_list)}") + +使用 isin() 方法检查每行中的单品编码是否包含在列表中 + +matching_rows = df_1[df_1['单品编码'].isin(unique_product_codes_list)] + +matched_product_names = matching_rows['单品名称'] + +matched_product_names_list = matched_product_names.tolist() + +print(matched_product_names_list) + +处理附件二 + +csv_file_2 = 'data/filtered_2_with_all_no_deleted.csv' + +data = pd.read_csv(csv_file_2) + +print(data.columns) + +print(len(data)) + +mask = data['单品编码'].isin(unique_product_codes_list) + +filtered_data = data[mask] + +print(len(filters_data)) + +print(filters_data['单品编码']) + +111 + +数据的统计性描述 + +111 + +import pandas as pd + +from scipy.stats import fisher_exact + +from fuzzywuzzy import fuzz + +from fuzzywuzzy import process + +import re + +数据读取和连接 + +单品编码 单品名称 分类编码 分类名称 + +# 销售日期 扫码销售时间 单品编码 销量 (千克) 销售单价 (元/千克) 销售类型 是否打折销售 + +base_info = pd.read_csv("\\data/附件1.csv", encoding="utf-8", index_col=0) + +sale_info = pd.read_csv("/data/附件2.csv", encoding="utf-8") + +sale_info['销售日期'] = pd.to Datetime(sale_info['销售日期']) + +data = sale_info.join(base_info, on="单品编码") + +data = data[["销售日期", "单品名称", "分类名称", "销量(千克)"], "销售单价(元/千克)"], + +$\hookrightarrow$ 销售类型"]] + +data["销售额（元）"] = data["销量（千克）"] * data["销售单价（元/千克）"] + +print("--") + +print("统计打折销售情况") + +print(data["是否打折销售"].groupby([data["是否打折销售"], data["分类名称)])".count()) + +print("--") + +print("统计退货情况") + +print(data["销售类型"].groupby([data["销售类型"], data["分类名称"]]).count()) + +print(" + +print("执行Fisher精确性检验") + +print(data["销售类型"].groupby([data["销售类型"], data["是否打折销售"]]).count()) + +table $=$ [[457，4]，[830680，47362]] + +result = fisher_exact(table, alternative='two-sided') + +print("Fisher 精确性检验结果：") + +print("p-value:", result.pvalue) + +print("statistic:", result.statistic) + +print("--") + +print("执行Fisher精确性检验") + +names = base_info["单品名称"].tolist() + +printnames) + +```python +print("执行字符串匹配") +print("执行字符串匹配") +strings = names +threshold = 80 #设置相似性的阈值 +similar_strings = {} +for string in strings: + print(string) + #使用process.extractOne查找与当前字符串最相似的字符串 + best_MATCH = process.extractOne( + string, + [s for s in strings if s not in [string]], + scorer=fuzz_ratio) +#如果相似性得分高于阈值，并且不是自身，则将其添加到similar_strings字典中 +if best_MATCH[1] >= threshold and best_MATCH[0] != string and best_MATCH[0][2] == string[:2]: + if re.search(r'\"\d+\)', best_MATCH[0]) and re.search(r'\"\d+\)', string): + similar_strings[string] = best_MATCH[0] + #strings = [s for s in strings if s not in [string]] +#输出主要相同的字符串对 +for original, similar in similar_strings.items(): + print(f'[original]'和{'similar}]') +``` + +# 附录M双对数模型回归代码 + +11 11 + +双对数模型拟合 + +111 + +import pandas as pd + +import numpy as np + +from scipy.optimize import minimize + +from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score, meanAbsolutely_error + +from matplotlib import pyplot as plt + +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] + +plt.rsParams['axes.unicode_minus'] = False + +data = pd.read_csv("\\out/result.csv") + +grouped = data.groupby("品类") + +sale_num = pd.DataFrame() + +price $=$ pd.DataFrame() + +for group_name, group_data in grouped: + +print(group_name) + +group_data = group_data [["销售日期", "销量(千克)", "销售单价(元/千克)"]] + +group_data["销售日期"] $=$ pd.to datetime(group_data["销售日期"]） group_data $=$ group_data.set_index("销售日期") if group_name $\equiv$ "水生根茎类": sale_num.index $=$ group_data.index price.index $=$ group_data.index sale_num $=$ sale_num.join(group_data["销量（千克)]". rename(group_name)，on="销售日期"， $\leftrightarrow$ how $=$ "left") price $=$ price.join(group_data["销售单价（元/千克）"]. rename(group_name)，on="销售日期"， $\leftrightarrow$ how $=$ "left") +sale_num fillsna(0) +price fillsna(0) +data $=$ pd.read_excel("/double/double_log.xlsx") +data $=$ data fillsna(0) + $\mathrm{y} =$ data.iloc(:,1] + $\mathbf{x} =$ data.iloc(:,-7:] +#定义多元线性回归的目标函数（最小二乘法） +def objective.params,x,y): a $=$ params[-1] #前7个参数是自变量的系数 b $=$ params[-1] #最后一个参数是截距 y_pred $=$ np.dot(x,a)+b return np.sum((y_pred-y)\*\*2)#最小化误差的平方和 +#定义约束条件，例如 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 1$ +constraints $=$ ({'type':'eq', 'fun': lambda params: np.sum.params[: -1])-1}) +#初始参数猜测 +initial Guess $=$ np.random.randint(8) +#最小化目标函数 +result $=$ minimize(objective,initial Guess, $\mathrm{arg s = (x,y)}$ ，constraints=constraints) +#获取带约束条件的多元线性回归结果 +coefficients $=$ result.x[-1] #前7个参数是自变量的系数 intercept $=$ result.x[-1] #最后一个参数是截距 +#输出多元线性回归结果 +print(f"Coefficients (系数): {coefficients}") +print(f"Intercept (截距): {intercept}") +#使用模型进行预测 +y_pred $=$ np.dot(x,coefficients)+intercept +#计算均方误差(MSE) +mse $=$ mean_squared_error(y,y_pred) +#计算R平方(R-squared) +r2 $=$ r2_score(y,y_pred) +#计算平均绝对误差(MAE) +mae $=$ mean absolute_error(y,y_pred) +#输出模型评估结果 + +```txt +print(f"均方误差(MSE):{mse}") +print(f"R平方(R-squared):{r2}") +print(f"平均绝对误差(MAE):{mae}") +``` + +# 附录N数据探索性分析代码 + +```python +探究一下销量和 +定价 +利润率 +成本 +的关系 +``` +from tool import * +file_path = r'D:\桌面\Project\data\result.csv' +df = pd.read_csv(file_path) +# 提取一个类别 +df['销售日期'] = pd.to datetime(df['销售日期']) +print(df.head(5)) +# 品类列表 [] +list_test = ['花叶类', '花菜类', '水生根茎类', '茄类', '辣椒类', '食用菌'] +def plot_category(df,i): + data = df[df['品类'] == list_test[i]] + print(data.head(5)) + fig, ax = plt.subplot(figsize=(12,10)) + x = data['销售日期'] + y1 = data['销售单价（元/千克）'] + y1 = standar(y1) + y2 = data['批发价格（元/千克）'] + y2 = standar(y2) + y3 = data['销量（千克）'] + y3 = standar(y3) +ax.plot(x, y1, label='销售单价', linestyle=['-','linewidth' = 2) +ax.plot(x, y2, label='批发价格', linestyle=['-','linewidth' = 2) +ax.plot(x, y3, label='销量', linestyle=['-','linewidth' = 2) +axsubplot() +ax.set_title(f{'list_test[i]})销售数据（按周统计}) +ax.set_xlabel('销售日期') +ax.set_ylabel('标准化后的Y') +``` + +```elixir +plt.xricks(x[:5],x[:5]) plt.xricks(rotation=45) beautiful(ax) plt.show() +``` + +# # 按周处理一下 + +df['销售日期'] $=$ df['销售日期'].dt.to_period('W') +grouped $=$ df.groupby(['销售日期'，'品类']) +aggregation $=$ { '销量（千克）': 'sum', '利润率': lambda x: (x \* df.loc[x.index, '销量（千克）)].sum() / df.loc[x.index, '销量（千 克）'].sum(), '销售单价（元/千克）': lambda x: (x \* df.loc[x.index, '销量（千克）'].sum() / df.loc[x.index, '销量（千克）'].sum(), '批发价格（元/千克）': lambda x: (x \* df.loc[x.index, '销量（千克）'].sum() / df.loc[x.index, '销量（千克）'].sum() +} + +# 进行聚合并重置索引 + +```python +result = grouped.agg(aggregation).reset_index() +result['销售日期'] = result['销售日期'].astype(str) +result['销售日期'] = result['销售日期'].str.split('/').str[1] +result.to_csv('result.weekly.csv', index=False) +print(result) +def Correlation_analysis(df, i): + data = df[df['品类'] == list_test[i]] + y1 = data['销售单价（元/千克）'] + y1 = standar(y1) + y2 = data['批发价格（元/千克）'] + y2 = standar(y2) + y3 = data['利润率'] + y3 = standar(y3) + y4 = data['销量（千克）'] + y4 = standar(y4) + data = pd.DataFrame({ + '销售单价': y1, + '批发价格': y2, + '利润率': y3, + '销量': y4 + }) +} +``` + +附录OLSTM模型实现代码 +```python +plt.title(f{"list_test[i]}) Spearman 相关性分析") plt.show() +for i in range(6): Correlation_analysis(result,i) +``` + +```python +``` +LSTM 预测模型 +``` +``` +import pandas as pd +import numpy as np +from keras.models import Sequential +from keras.layers import LSTM, Dense +from sklearnlestheory import MinMaxScaler +from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolut_error, r2_score +from math import sqrt +import matplotlib.pyplot as plt +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +file_path = ".out/result.csv" +df = pd.read_csv(file_path) +print(df.head(5)) +df['销售日期'] = pd.to datetime(df['销售日期']) +df.set_index('销售日期', inplace=True) +list_test = ['花叶类', '花菜类', '水生根茎类', '茄类', '辣椒类', '食用菌'] +i = 4 +print(i) +df = df[df['品类'] == list_test[i]] +# 数据归一化 +scalar = MinMaxScaler feature_range=(0,1)) +scaled_data = scorer.fit_transform(df['批发价格（元/千克）'].values.reshape(-1,1)) +train_size = int(len(scaled_data) * 1) +train = scaled_data[0:train_size, :] +# 转换数据格式为符合 LSTM 输入要求 +def create_dataset(dataset, look_back=1): + dataX, dataY = [], [] + for i in range(len(dataset) - look_back - 1): +``` + +a $=$ dataset[i: $(\mathbf{i} +$ look_back)，0] dataX.append(a) dataY.append(dataT[e + look_back，0]) return np.array(dataX)，np.array(dataY) + +look_back $= 30$ +trainX, trainY $=$ create_dataset(train, look_back) +pre_X $=$ train[-30:] +pre_X $=$ [item for sublist in pre_X for item in sublist] +pre_X $=$ np.array([[pre_X]]) +trainX $=$ np.reshape(trainX, (trainX.shape[0], 1, trainX.shape[1])) + +构建 LSTM 模型 +model $=$ Sequential() +model.add(LSTM(6，input_shape $\equiv$ (1，look_back))) +model.add(Dense(7)) +model.compile(loss $\coloneqq$ 'mean_squared_error'，optimizer $\equiv$ 'adam') +history $=$ model.fit(trainX，trainY，epochs=50，batch_size=1，verbose=2) +trainPredict $=$ model.predict(trainX) +trainPredict $=$ Scaler.inverse_transform(trainPredict) +trainY $=$ Scaler.inverse_transform([trainY]) +pre_Y $=$ model.predict(pre_X) +pre_Y $=$ Scaler.inverse_transform(pre_Y) + +计算 $R$ 方、MSE、RMSE和MAE +```python +mse = mean_squared_error(trainY[0], trainPredict[:, 0]) +rmse = sqrt(mse) +mae = mean_absolut_error(trainY[0], trainPredict[:, 0]) +r2 = r2_score(trainY[0], trainPredict[:, 0]) +print(f'R2: {r2}', MSE: {mse}, RMSE: {rmse}, MAE: {mae}') +``` + +创建一个 figure 和 axes 对象 +```python +fig, ax = plt.subplot(figsize=(12, 6)) +ax.plot(trainY[0], label='{}{list_test[i]}\) 实际进价') +ax.plot(trainPredict[:, 0], label='{}{list_test[i]}\) 实际进价') +ax.set_xlabel('Time') +ax.set_ylabel('Value') +ax.legend() +ax.set_title(f{'list_test[i]'} LSTM 预测结果图') +ax.grid() +beautiful(ax) +``` + +附录P数据探索性分析及描述代码 +```txt +fig.savefig(f".rst2/{list_test[i]}Loss.png") +fig.show() +# 创建一个新的 figure 和 axes 对象 +fig, ax = plt.subplot(figsize=(12, 6)) +loss_history = historyistory['loss'] +ax.plot(loss_history, label='Loss') +ax.setxlabel('Epoch') +ax.set_ylabel('Loss') +ax.legend() +ax.set_title('Loss Over Training Epochs') +ax.grid() +beautiful(ax) +fig.savefig(f".rst2/{list_test[i]}LSTM 预测结果图.png") +fig.show() +``` + +```python +``` +计算 Hurst 指数 +计算自相关函数 ACF +时间序列分解 +平稳性检验 +相关性检验 +``` +import matplotlib.pyplot as plt +from Tools import * +kg_per_date = pd.read_csv("\\out/kg_per_date.csv", index_col=0) +kg_per_date["SUM"] = kg_per_date.sum(axis=1) +kg_per_date.index = pd.to datetime(kg_per_date.index) +kg_per_month = kg_per_date.resample('M').sum() +print(kg_per_date) +``` +```python +>>> print("各品类 Hurst 指数：(按天)") +for colname in kg_per_date: + Hurst_val = hurst(kg_per_date[colname].to_list()) + print(colname, hurst_val) +``` + +# 按照天进行的处理，计算自相关函数 + +print("--") + +print("各品类自相关函数(ACF)(按天)：") + +for colname in kg_per_date: + acf(kg_per_date[colname].tail(60), f".fig/ACF/{colname}.png") + +print(" + +print("各品类时间序列分解：(按天)") + +for column_name in kg_per_date: + val = kg_per_date[column_name].tail(30) + time_series(val, period=7, out figura=f"./fig/时间序列分解/{column_name}.png") + +print("--") + +print("平稳性检验（按天）：") + +for column_name in kg_per_date: print(column_name) adc(kg_per_date[column_name]) + +print(" + +print("协整性检验（按天）：") + +johansen(kg_per_date.iloc[:，:6]) + +print("--") + +print("相关性检验（按天）：") + +correlation_matrix = kg_per_date.corr() +print(correlation_matrix) + +plt.figure(figsize=(8,6)) #设置图形大小 + +sns_heatmap(correlation_matrix, annot=True, cmap='coolwarm', fmt=".2f") + +plt.title('相关性矩阵热力图') + +plttight.layout() + +plt.savefig("/fig/相关性矩阵热力图.png") +plt.show() + +print("--") + +print("滑动窗口相关性检验（按天）：") + +window_size = 365 +step = 365 + +category1 = '水生根茎类' + +category2 = '花叶类' + +correlation_results = [] + +for i in range(0, len(kg_per_date) - window_size + 1, step): + window_data = kg_per_date.iloc[i:i + window_size] + correlation = window_data(category1).corrwindow_data(category2]) + correlation_results.append(correlation) + +plt.plot( range(len(correlation_results)), correlation_results, marker $\equiv$ 'o', linestyle $= 1 - 1$ ） +plt.xlabel('Window Index') +pltylabel('Correlation') +plt.title('Sliding Window Correlation Analysis') +plt.show() +#********** # +#********** # +#********** # +#按照每月进行处理，绘制变化曲线 +print("--") +print("绘制变化曲线（按月）：") +fig，ax $=$ plt.subplotsns(figsize=(12，6)) +for colname in kg_per_month.iloc[.,:6]： val $=$ kg_per_month[colname].to_list() ax.plot(val，label $\equiv$ colname) +ax.set_title("各品类月销量（千克）") +date_num $=$ range(36) +month_string $=$ [ts.strftime("%y-%m') for ts in kg_per_month.index.to_list() ] ax.set_x ticks(date_num，month_string，rotation $= 45$ ） +beautiful(ax) +ax.legend(loc $\coloneqq$ "upper right") +fig.tight.layout() +fig.savefig("\\/fig/各品类月销量（千克）.png") +fig.show() +# 按照每月进行处理 +fig，ax $=$ plt.subplotsns(figsize=(8，6)) +for colname in kg_per_month.iloc[.,-1:]： val $=$ kg_per_month[colname].to_list() ax.plot(val，label $\equiv$ colname，linewidth $= 2$ ） +ax.set_title("月总销量（千克）") +month_string $=$ [ts.strftime("%Y-%m') for ts in kg_per_month.index.to_list() ] ax.set_x ticks(range(36)，month_string，rotation $= 45$ ） beautiful(ax) +axlegend(loc $\equiv$ "upper right") +fig.tight.layout() +fig.savefig("\\/fig/月总销量（千克）.png") fig.show() + +```python +# 按照每月进行处理，计算自相关函数 +print("--------") +print("各品类自相关函数(ACF)(按月): ") +for colname in kg_per_month: + acf(kg_per_month[colname], f"./fig/ACF 月/{colname}") +print("--------") +print("各品类时间序列分解（按月): ") +for column_name in kg_per_month: + val = kg_per_month[colname] + time_series(val, out figura=f"./fig/时间序列分解月/{column_name}.png") +print("--------") +print("各品类hurst指数：(按月)") +for colname in kg_per_month: + hurst_val =hurst(kg_per_month[colname].to_list()) +print(colname,hurst_val) +``` + +# 附录Q NSGAII优化算法实现代码 + +import numpy as np +import pandas as pd +from tool import \* +该程序用于第三问的优化求解： 主要算法方法：NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II) 该算法主要用于多目标规划 改进之处： 1 融入初始值、引入全局存档加快模型收敛 2 引入了混合编码（'BG'编码-解决离散的，'RI'编码-解决连续的） address $=$ r'data/q3.csv' data $=$ pd.read_csv(address) data_40_rows $=$ data.head(40) cost_pre $=$ data_40_rows['批发价格（元/千克)].tolist() # 预测成本 sale_pre $=$ data_40_rows['平均销量'].tolist() # 预测销量 for i in range(40): if sale_pre[i] $< =$ 2.5: sale_pre[i] $= 2.5$ mean_sale $=$ data_40_rows['平均单价'] alph $= [0.1]*40$ # 损耗率 discount $= [0.8]*40$ # 打折 ini_data $=$ np.array([1]\*30+[0]\*10+[0.7]\*40+sale_pre)# 初始值 need_list $=$ data_40_rows['Q'].tolist() + +```python +weight = [0.5] * 40 +def Modify(sale_price): + sale = [] + for i in range(40): + ss = (1 - (sale_price[i] - mean_sale[i]) / (mean_sale[i]) * weight[i]) + sale_pre[i] + sale.append(ss) + return sale +def Obj_fuction(X): + Objv = [] + Cv = [] + for i in range(len(X)): + x = X[i] + #目标一：最大化利润 + decide = x[:40] + profit = x[40:80] + nums = x[80:120] + #计算成本 + cost = [] + for i in range(len(cost_pre)): + cost.append(decide[i] * cost_pre[i]) + #计算售价 + sale_price = [] + for i in range(len(cost_pre)): + s = cost[i] * (1 + profit[i]) + sale_price.append(s) + #计算销量 + sale_modify = Modify(sale_price) + #计算总销售额 + w1 = [] + for i in range(len(sale_modify)): + bad = (sale_modify[i] * alpha[i]) * (discount[i] * sale_price[i]) + good = (sale_modify[i] * (1 - alpha[i])) * (sale_price[i]) + w1.append(bad + good) + sum_sale = sum(w1) + #计算总成本 + w2 = [] + for i in range(len(cost)): + w2.append(numbers[i] * cost[i]) + sum_cost = sum(w2) + penalty = 0 + for i in range(40): + if nums[i] < 2.5: + penalty -= 200 + f1 = sum_sale - sum_cost + penalty +``` + +#目标二：最大化需求 +satisfneed $\equiv$ [] +for i in range(len(decide)): + satisf_need.append(decide[i] \* need_list[i]) +f2 $=$ sum(satif_need)/sum(need_list) +#确定评价函数值 +x Objv $=$ np.hstack([f1,f2]) +#定义约束 +list_cv $=$ [sum(decide)-33,27-sum(decide)] +#for i in range(40): + # list_cu.append(2.5-nums[i]) +x_Cv $=$ np.array(list_cv) +Objv.append(x_Objv) +Cv.append(x_Cv) +Objv $=$ np.array(Oobjv) +Cv $=$ np.array(Cv) +return Objv,Cv +problem $=$ ea.Problem( +name='NSGAII_for_q3', +M = 2, +maxormins $=$ [-1,-1], +Dim $= 120$ , +varTypes=[1] $* 40 + [0] * 80$ , +lb=[0] $* 40 + [0] * 40 + data_{40}$ rows['最小销量'].tolist()， +ub=[1] $* 40 + [1.2] * 40 + data_{40}$ rows['最大销量'].tolist()， +evalVars=Obj_fuction +) +#混合编码 +Encodings=['BG','RI'] +Field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[0], problem.varTypes[:40],ranges=np.array([problem.lb[:40], + $\Leftrightarrow$ problem.ub[:40]])) +Field2 $=$ ea.crtfld(Encodings[1], problem.varTypes[40]:,ranges=np.array([problem.lb[40]], + $\Leftrightarrow$ problem.ub[40:]])) +Fields $=$ [Field1, Field2] +population $=$ ea.PsyPopulation(Encodings=Encodings, Fields=Fields,NIND=100) +algorithm $=$ ea.moea_psy_NSGA2_archive Templet( +problem, +population, +MAXGEN=300, +logTras=20, + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + . + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + \ + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + ... + + */ + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + # +>>> # 混合编码 +Encodings=['BG','RI'] +Field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[0], problem.varTypes[:40],ranges=np.array([problem.lb[:40], + $\Leftrightarrow$ problem.ub[:40]])) +Field2 $=$ ea.crtfld(Encodings[1], problem.varTypes[40]:,ranges=np.array([problem.lb[40]], + $\Leftrightarrow$ problems[:40:]])) +Fields $=$ [Field1, Field2] +population $=$ ea.PsyPopulation(Encodings=Encodings, Fields=Fields, NIND=100) +algorithm $=$ ea.moea_psy_NSGA2_archive Templet( +problem, +population, +MAXGEN=300, +logTras=20, +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[0], problem.varTypes[:40],ranges=np.array([problem.lb[:40], + $\Leftrightarrow$ problem.ub[:40] ] +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[1], problem.varTypes[40]:,ranges=np.array([problem.lb[40]], + $\Leftrightarrow$ problems[:40:]] ) +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[0], problem.varTypes[:40],ranges=np.array([problem.lb[:40], + $\Leftrightarrow$ problems[:40] ] +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[1], problem.varTypes[40]:,ranges=np.array([problem.lb[40]], + $\Leftrightarrow$ problems[:40:]] ) +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[0], program array,[problem.tras]=20, +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[1], program array,[problem.tras]=20, +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[0], program array,[problem.tras]=20, +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[1], program array,[problem.tras]=20, +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=\$ ea.crtfld(Encodings[0], program array,[problem.tras]=20, +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[1], program array,[problem.tras]=20, +>>> # 混合编码 +Encodings ['BG','RI'] +field1 $=$ ea.crtfld(Encodings[0], program array,[problem.tras]=20,\n\n + +```python +prophetPop = ini_data, +maxTrappedCount = 20, +) +res = eaoptimize(algorithm, seed = 1, verbose=True, drawing = 1, outputMsg=True, drawLog = True) +print(f" 最优解是: {res['Vars'] [0]})") +print(f" 最优解值是: {res['ObjV'] [0]}") +print(f"hv 结果为: {res['hv']}") +print(f"spacing 结果为: {res['spacing']}") +``` + +附录R问题三数据整理代码 +```python +``` +问题三数据预处理 +``` +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +from sklearn.preprocessing import StandardScaler +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +sale_data = pd.read_csv("\\data/附件2.csv") +sale_data["销售日期"] = pd.to datetime sale_data["销售日期"] +sale_data = sale_data [["销售日期", "单品编码", "销量(千克)", "销售单价(元/千克)"] +sale_data = sale_data[sale_data["销售日期"]] >= "2023-6-24"] +sale_sum = sale_data [["单品编码", "销量(千克)"].groupby("单品编码").sum() +#sale_sum["单品编码"] = sale_sum.index +sale_sum = sale_sum.sort_values("销量(千克) ", ascending=False) +#sale_sum.index = range(1, len(sale_sum) + 1) +#print(sale_data) +buy_data = pd.read_csv("\\data/附件3.csv") +buy_data["日期"] = pd.to datetime(buy_data["日期"] +buy_data = buy_data[buy_data["日期"]} >= "2023-6-24"] +buy_data = buy_data [["单品编码", "批发价格(元/千克)"].groupby("单品编码").count()) +buy_data["单品编码"] = buy_data.index +buy_data = buy_data [["单品编码"]] +``` + +```txt +buy_data.index = range(1, len(buy_data) + 1) +# print(buy_data) +data = buy_data.merge(sale_sum, on='单品编码', how="left") +data.dropna(inplace=True) +data = data.sort_values("销量（千克) ", ascending=False) +data.index = range(1, len(data) + 1) +data = data[data["销量（千克)”] >= 2.5] +base_info = pd.read_csv("\\./data/附件1.csv") ["单品编码", "分类名称", "单品名称"] +data = data.merge(base_info, on="单品编码", how="left") +sale_data["总售价"] = sale_data["销量（千克）"] * sale_data["销售单价（元/千克）"] +sale-money = sale_data["单品编码", "总售价"].groupby("单品编码").sum() +sale_num = sale_data.groupby("单品编码").count().iloc[:, 1] +sale_num.name = "单数" +# print(sale_num) +data = data.merge(sale-money, on="单品编码", how="left") +data["平均单价"] = data["总售价"] / data["销量（千克）"] +data = data.merge(sale_num, on="单品编码", how="left") +****************** +# VIKOR法 +# 对 'Feature2' 列进行标准化 +data['Feature1'] = StandardScaler().fit_transform(data['销量（千克）']) +data['Feature2'] = StandardScaler().fit_transform(data['单数']) +data['F1'] = (max(data['Feature1']) - data['Feature1']) / (max(data['Feature1']) - min(data['Feature1'])) +data['F2'] = (max(data['Feature2']) - data['Feature2']) / (max(data['Feature2']) - min(data['Feature2'])) +data['S'] = data['F1'] + data['F2'] +data['R'] = np maximum(data['F1'], data['F2'}) +v = 0.5 +data['Q'] = (v * (data['S'] - max(data['S']) / (min(data['S']) - max(data['S'])) + (1 - v) * (data['R'] - max(data['R']) / (min(data['R']) - max(data['R])) +data = data.drop(['Feature1', 'Feature2', 'F1', 'F2', 'S', 'R'], axis=1) +data = data.sort_values("Q", ascending=True) +data['Q'] = (max(data['Q']) - data['Q']) / (max(data['Q']) - min(data['Q'])) +``` + +```python +buy_data = pd.read_csv("\\data/附件3.csv") +buy_data["日期"] = pd.to datetime(buy_data["日期']) +buy_data = buy_data[buy_data["日期"] >= "2023-6-24"] +buy_data = buy_data[[批发价格（元/千克）', '单品编码'].groupby("单品编码").mean() +data = data.merge(buy_data, on="单品编码", how="left") +# print(buy_data) +print(sale_data) +grouped = sale_data.groupby("单品编码") +result_df = pd.DataFrame(columns=['单品编码', '最大销量', '最小销量', '平均销量']) +for group_name, group_data in grouped: +max_sale = group_data.groupby("销售日期").sum()["销量（千克）".max() +min_sale = group_data.groupby("销售日期").sum()["销量（千克）".min() +mean_sale = group_data.groupby("销售日期").sum()["销量（千克）".mean() +result_df = pd.concat([result_df, pd.DataFrame{'单品编码': [group_name], '最大销量': [max_sale], '最小销量': [min_sale], '平均销量': [mean_sale]})], ignore_index=True) +data = data.merge(result_df, on="单品编码", how="left") +loss_data = pd.read_csv("\\data/附件4.csv") +data = data.merge(loss_data, on="单品编码", how="left") +data["损耗率(%)" = data["损耗率(%)" ] / 100 +****************** +# 平均销量修正 +data["平均销量"] = data["平均销量"] / (1 - data["损耗率(%)"]) +# plt.plot(data["销量（千克）")] +# plt.plot(data["销量（千克）"].cumsum()) +# plt.show() +print(data) +data.to_csv("\\q3.csv") +# print(data.groupby("分类名称").count().iloc[:, 1]) +``` + +# 附录S 单品销售量的分布规律及相互关系探究代码 + +11 11 + +该程序用于单品销售量的分布规律及相互关系探究 + +1：去除滞销品（剩余198个单品） + +（非本程序内容）2：分布规律之少量多笔、多量少笔、零散销售 +2：分布规律之常年可供的蔬菜的月份规律和季节规律 +3：分布规律之季节性的蔬菜的月份规律 +4：分布规律之 +``` +list_1 = [102900011023648, 102900011011782, 102900005116776, 102900005116042, + → 102900011032145] +list_2 = [102900011030400, 102900011010563, 102900011021699, 102900011033999, + → 102900011000335, 102900011030417, 102900011029275, 102900011027615, 102900011030561, + → 102900011031841, 106971563780002, 102900011036068, 106931885000356, 102900011034538, + → 102900005128748, 102900011031858, 102900011029299, 102900011032114, 102900011029688, + → 102900011033913, 102900011026618, 102900011033531, 102900011035962, 102900051000890, + → 102900011031742, 10697322330667, 102900011008577, 102900011026502, 102900011034316, + → 102900011031759, 102900011034705, 102900011034323, 10290001103O6I5, 1O29OoOoIiO33562, + → 1O29OoOoIiO3O622, 1O29OoOoIiOIO539I, 1O29OoOoIiOIO3O75, 1O693I885OooOOO35, 1O29OoOoIiOIO69O5, + → 1O29OoOoIiOIO6793, 1O29OoOoIiOIO2I675, 1O29OoOoIiOIO8492, 1O29OoOoIiOIOOP9772, 1O29OoOoIiOIO36266, + → 1O29OoOoIiOIO3O639, 1O29OoOoIiOIO33968, 1O29OoOoIiOIOIO58, 1O29OoOoIiOIO33586] +listdead_stock = list_ $^+$ list_ $^+$ +print(len(listdead_stock)) +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +plt.rcParams['font.sans-serif'] = [u'simHei'] +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +#数据读入 +csv_file = 'data/type.csv' +df_ $^+$ pd.read_csv(csv_file,encoding='GBK') +csv_file = 'data/附件2.csv' +df = pd.read_csv(csv_file) +#将指定列转换为时间序列 +df['销售日期'] = pd.to Datetime(df['销售日期']) +df['扫码销售时间'] = pd.to Datetime(df['销售日期'].astype(str) + ' + df['扫码销售时 + $\leftrightarrow$ 间'], errors='coerc', format=%y-%m-%d %H:%M:%S.%f') +#计算销售金额 +df['销售金额'] = df['销量（千克）'] * df['销售单价（元/千克）'] +#分品类 +mapping_dict = df_ $^+$ set_index('单品编码')[分类名称'].to_dict() +df['品类'] = df['单品编码'].mapmapping_dict) +#分类别 +mapping_dict = df_ $^+$ set_index('单品编码')[类型'].to_dict() +df['类型'] = df['单品编码'].mapmapping_dict) +print(df.head(5)) + +第一步：去滞销产品 + +```txt +df = df[~df['单品编码'].isin(listdead_stock)] +print(len(df['单品编码'].unique())) +``` + +```txt +>>> df['月份'] = df['销售日期'].dt时间和时间 +``` + +```txt +使用 groupby 方法按照“月份”和“类型”进行分组，并计算每组的“销量（千克）”的总和 grouped = df.groupby(['月份', '类型']) ['销量（千克）'].sum().reset_index() +``` + +```txt +创建一个包含多个子图的图表 +``` + +```python +fig, ax = plt.subplot(figsize=(12, 7)) +types = grouped['类型'].unique() +``` + +```python +for type_name in types: + type_data = grouped[grouped['类型'] == type_name] +plt.plot(type_data['月份'], type_data['销量（千克）'], label=type_name,linewidth = 3) +``` + +```python +ax.set_xlabel('月份') +ax.set_ylabel('销量（千克）') +ax.set_title('每种类型的月度销量折线图') +ax.legend(['常年可供的蔬菜','季节性的蔬菜","时令性的蔬菜']) +ax.grid(True) +``` + +```txt +ax.spines['left'].setlinewidth(2) #左边框 +ax.spines['bottom'].setlinewidth(2) #底边框 +ax.spines['right'].setlinewidth(2) #右边框 +ax.spines['top'].setlinewidth(2) #顶边框 +``` + +```python +ax.tick_parameters(axis='both', direction='in', which='both') # 刻度朝向 +ax.tick_parameters(axis='both', which='major', width=2, length=8) # 主刻度 +ax.tick_parameters(axis='both', which='minor', width=1, length=4) # 次刻度 +``` + +将 $\pmb{x}$ 轴标签倾斜45度 +ax.set_xticklabels(ax.get_xticklabels(),rotation $= 45$ ） +plt.show() + +# 附录T粒子群优化算法实现代码 + +1 1 + +该程序为粒子群算法求解第二问（连续型非线性规划） + +主要改进： + +1 GBest PSO (Global Best Particle Swarm Optimization) + +GBest PSO 是 PSO 的一种变体，其中包括全局最优粒子（Global Best Particle） + +2 融入先验知识： $30\%$ 的初始粒子人为指定 $70\%$ 粒子随机生成（可以帮助收敛） +3 根据历史信息限定决策变量范围（上下界） + +1 1 + +from tool import * + +list_l = ['花叶类', '花菜类', '水生根茎类', '茄类', '辣椒类', '食用菌'] + +predit_buy $= [$ + +[3.285864，3.2921748，3.2889733，3.285188，3.2851105，3.2964268，3.2876368]， + +[7.7414317，7.763459，7.814592，7.794937，7.747068，7.810813，7.7633805]， + +[12.018651，11.912668，12.027704，11.941088，11.92054，12.118359，11.972251]， + +[4.5562034，4.601929，4.5483465，4.549116，4.532483，4.539543，4.601603]， + +[3.7067149，3.65774，3.6644902，3.6755412，3.6658049，3.6834998，3.6471841]， + +[4.015016，4.075036，4.025253，4.0783653，4.0397897，4.0211616，4.0569587] ]#预测进价 + +predit_sale $= [$ + +[190.75572, 189.94437, 189.2342, 190.34938, 189.08669, 188.56415, 190.10588], +[28.618061，28.872581，28.873682,28.74203，28.776909，28.86964，28.661997]， +[26.962397，27.805391，27.65219，27.210875，27.88252，27.764929，27.24346]， +[32.29913, 31.795496, 32.425, 31.649815, 31.683603, 31.381622, 31.967655], +[102.14867, 101.67641, 102.01936, 102.55891, 102.07538, 102.73362, 102.2766], +[56.307552, 57.39569, 58.130955, 56.80816, 56.4629, 57.186737, 57.953686] ]#预测销 + +$\hookrightarrow$ 量 + +predit_omega = [0.7]*6 #折扣 + +predit_gama = [0.1283, 0.1551, 0.1365, 0.0668, 0.0924, 0.0945] # 损耗率 + +day = 6 + +ini_pos = [0.6, 0.4, 0.3, 0.6, 0.9, 0.6,150, 30, 20, 20, 100, 60] + +ini_pos = np.array(ini_pos) + +n PARTICLES = 1000 + +n_dimensions = 12 + +lower_bound = np.array([0.3, 0.2, 0.2, 0.3, 0.3, 10, 0, 0, 10, 10, 20]) + +upper_bound = np.array( [1.2, 0.98, 0.8, 0.9, 1.2, 1.0, 450, 90, 75, 60, 300, 250] ) + +bounds = (lower_bound, upper_bound) + +weightIni = 0.3 # 给定的初始值占总粒子的比例 + +pos GIVEN $=$ np.random.uniform( + +low=lower_bound, high=upper_bound, size=(int(nParticles * weightIni), n_dimensions) + +） + +pos GIVEN $= 0.8*$ pos GIVEN $+0.2*$ ini_pos + +pos GIVEN = np.clip(pos GIVEN,lower_bound,upper_bound) + +pos_random = np.random.uniform( + +low=lower_bound, high=upper_bound, size=(int(n PARTICLES * (1-weightIni)), n_dimensions) + +） + +Initial_pos = np.vstack((pos GIVEN, pos_random)) + +defmodify(y,x,idx): ifidx $= = 0$ ： sale $\equiv -1.91\times x + 1.03\times y + 3.82$ ifsale $< 0$ ： return0 else: return sale ifidx $= = 1$ ： sale $= -0.25\times x + 0.94\times y + 1.07$ ifsale $< 0$ ： return0 else: return sale ifidx $= = 2$ ： sale $= -0.03\times x + 0.97\times y + - 0.98$ ifsale $< 0$ ： return0 else: return sale ifidx $= = 3$ ： sale $= -0.07\times x + 0.99\times y + 1.70$ ifsale $< 0$ ： return0 else: return sale ifidx $= = 4$ ： sale $= -0.029\times x + 0.99\times y + 2.54$ ifsale $< 0$ ： return0 else: return sale ifidx $= = 5$ ： sale $= -0.51\times x + 1.01\times y + 2.32$ ifsale $< 0$ ： return0 else: return sale #目标函数 +defObjective_function(x): + +:param alpha:加成率（利润率）（变量）:param beta：进货量（变量）:param gamma：损耗率:param omega：折扣:return：收益"profit_list $=$ []for i in range(n PARTICles）：x_new $\equiv$ x[i]profit $= 0$ for idx in range(6):alpha $\equiv$ x_new[idx] #利润率beta $\equiv$ x_new[idx+6] #进货量buy $=$ predict_buy[idx][day] #预测进价sale_lstm $\equiv$ predict_sale[idx][day] #预测销量omega $\equiv$ predict_omega[idx] #折扣gama $\equiv$ predict_gama[idx] #损耗率sale_price_normal $\equiv$ buy \* (1 + alpha) #好货的售价sale_price_discount $=$ buy \* (1 + alpha) \* omega #差货的售价good $=$ beta \* (1-gama)#好的进货量bad $=$ beta \* gama #差的进货量sale_modify $=$ modify(sale_lstm,sale_price_normal,idx)#预测的销量w1 $=$ sale_modify \* (1-gama) \* sale_price_normal $+$ sale_modify \* gama \* sale_price_discountw2 $=$ beta \* buyif beta $< =$ sale_modify:profit $+ =$ (w1-w2)- (sale_modify -beta)\*20else:profit $+ =$ (w1-w2)profit_list.append(-profit)return profit_listoptions $=$ {'c1':0.5，'c2':0.5，'w':0.6}#个人社会继承optimizer $=$ ps(single.GlobalBestPSO(n PARTICles=n PARTICles, options=options,bounds=bounds,init_pos=Initial_pos) + +```python +best_position, best_cost = optimizer适合自己_function, iters=300, verbose=True) +fig, ax = plt.subplot(figsize=(8,6)) +beautiful(ax) +plot_cost_history(cost_history=optimizer.cost_history, title="目标函数(-利润)变化曲线", ax=ax) +plt.show() +``` + +def pre_salemount(x1,x2): #x1是销售价格 #x2是LSTM预测的销量 list_sale $= []$ foridx in range(6): $\mathrm{x} = \mathrm{x}1[\mathrm{idx}]$ $\mathrm{y} = \mathrm{x}2[\mathrm{idx}]$ sale $=$ modify(y,x,idx) list_sale.append(sale) return list_sale + +```python +def count_how_much(x,y): + # x 是利润率 + # y 是进价 + list_how_much = [] + for i in range(6): + list_how_much.append((x[i] + 1) * y[i]) + return list_how_much +``` + +```txt +print("最大利润："，-(best_position)) +``` + +```lua +print("进货量（变量）：", best_cost[-6].tolist()) +``` + +```python +print("\n预测进价：", [row.day] for row in predict_buy]) +sale_price = count_how_much(best_cost[:6].tolist(), [row.day] for row in predict_buy]) +print("销售价格：", sale_price) +print("利润率（变量）：", best_cost[:6].tolist()) +``` + +```python +print("\nLSTM 预测销量：", [row.day] for row in predict_sale]) +print("修正之后的销量：", pre_salemount(sale_price, [row.day] for row in predict_sale]) +``` + +# 附录U单品名称字符串匹配代码 + +1 1 + +单品名称字符串匹配 + +11 11 + +import pandas as pd + +from fuzzywuzzy import fuzz + +from fuzzywuzzy import process + +import re + +info_data = pd.read_csv("/data/附件1.csv") + +sale_data = pd.read_csv("/data/附件2.csv") + +buy_data = pd.read_csv("/data/附件3.csv") + +loss_data = pd.read_csv("/../data/附件4.csv") + +单品编码 单品名称 分类编码 分类名称 + +# 销售日期 扫码销售时间 单品编码 销量 (千克) 销售单价 (元/千克) 销售类型 是否打折销售 + +#日期单品编码批发价格（元/千克） + +单品编码 单品名称 损耗率 $(\%)$ + +data = pd.merge(buy_data, info_data, on="单品编码", how="left") + +data = data[["日期", "单品名称"]] + +data["日期"] = pd.to Datetime(data["日期"]); + +data = data.set_index("日期") + +grouped = data.groupby("日期") + +for group_name, group_data in grouped: + +print(group_name) + +print(group_data["单品名称"].to_list()) + +strings = group_data["单品名称"].to_list() + +threshold $= 80$ #设置相似性的阈值，可以根据需要调整 + +similar_strings = {} + +for string in strings: + +print(string) + +使用process.extractOne查找与当前字符串最相似的字符串 + +best_MATCH = process.extractOne( + +string, + +[s for s in strings if s not in [string]], + +scorer=fuzz_ratio) + +如果相似性得分高于阈值，并且不是自身，则将其添加到similar_strings字典中 + +if best_MATCH[1] >= threshold and best_MATCH[0] != string and best_MATCH[0][:2] == $\leftrightarrow$ string[:2]: + +if re.search(r' $\backslash (\backslash d + \backslash)$ ', best_MATCH[0]) and re.search(r' $\backslash (\backslash d + \backslash)$ ', string): + +附录V时间序列分解实现代码 +similar_strings[string] $=$ best_MATCH[0] strings $=$ [s for s in strings if s not in [string]] if bool(similar_strings): print(group_name) #输出主要相同的字符串对 for original,similar in similar_strings.items(): print(f"主要相同的字符串：{'original'}和{'similar}") print(data.info) + +```python +``` +时间序列分析 +``` +``` +import matplotlib.pyplot as plt +import pandas as pd +from statsmodels.tsa.scasonal import seasonal_decompose +``` + +```python +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +``` + +```python +def time_series_3d(pd_list: list, name): + num_plots = 4 # 原始、趋势、季节性和残差 + # 创建一个新的绘图窗口 + plt.figure(figsize=(8,6)) + # 创建一个空的 DataFrame 来存储趋势数据 + trend_df = pd.DataFrame() + for df in pd_list: + # 进行时间序列分解 + result = seasonal_decompose(df, model='additive', period=365) + # 绘制分解结果的不同部分 + for i in range(num_plots): + if i == 1: + plt.plot(result.trend, label='Trend') + pltlegend(loc='upper left') +``` + +trend_df[df.name] $=$ result.trend +trend_df.dropna(inplace $\equiv$ True) +trend_df.to_csv(f"./trend/{name}.csv",encoding $\coloneqq$ "GBK") +print(trend_df) +plt.title(name，fontsize $\coloneqq$ 16) +plt.tight.layout() +plt.show() +#读取数据 +info_data $=$ pd.read_csv("\\./data/附件1.csv") +sale_data $=$ pd.read_csv("\\./data/附件2.csv") +buy_data $=$ pd.read_csv("\\./data/附件3.csv") +loss_data $=$ pd.read_csv("\\./data/附件4.csv") +print(sale_data) +sale_data["销售日期"] $=$ pd.todatetime(sale_data["销售日期']) +rst_data $=$ pd.read_csv("\\/out/result.csv") +#处理 +grouped $=$ rst_data.groupby("品类") +for group_name，group_data in grouped: # print(group_name) # print(group_data.info()) group_data["销售日期"] $=$ pd.to datetime(group_data["销售日期']) group_data $=$ group_data.set_index("销售日期") time_series_3d( [group_data["销量（千克）"]，group_data["利润率"]，group_data["批发价格（元/千克）"]， group_data["销售单价（元/千克）"]，name $\equiv$ group_name) \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/D039/D039.md b/MCM_CN/2023/D039/D039.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..74f29c2f436111700e871f656d84de6b283cb777 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/D039/D039.md @@ -0,0 +1,995 @@ +# 圈养湖羊空间利用率的优化问题 + +# 一、摘要 + +湖羊是优秀的养殖品种，湖羊养殖场通常有若干标准羊栏，根据湖羊的性别和生长阶段分群饲养，不同阶段、性别和大小的羊只对空间要求不同，所以每一羊栏所容纳的羊只数量由上述因素决定。在实际运营中，空间利用率是相对独立并影响养殖场经营效益的重要问题。本文主要研究了湖羊养殖过程中空间利用率的问题，给出了具体生产计划，较好地解决了提出的三个问题。 + +针对问题1，母羊的工作周期包括交配期、孕期、哺乳期和休整期，一整个周期持续229天。仅考虑单个批次一定数量的基础母羊以固定周期的方式重复工作，可求出其(包括羔羊)所占用的羊栏天数，在理想状态下多批次交替工作可以把羊栏使用数的波动抹平，而出栏羊数正比于基础母羊的数量n，可求出n对应的每一栏能转化为多少年化出栏数。遍历n便可以得到年化出栏羊只数量范围的估计为1163至1312，要想年化出栏羊只数量达到1500，缺口约为16至32。 + +针对问题2，我们考虑了一般情形，即决策变量为批次之间的间隔 $g_{i}$ 和每批次进入交配期的基础母羊数量 $x_{i}$ ，以母羊总数量为目标函数，112个羊栏数量为约束条件建立规划模型。然而该模型是非线性的整数规划，且非线性约束条件非常多，基本不可解。我们对模型进行了化简，固定间隔和数量，即 $g_{i} = g, x_{i} = x$ ，这样决策变量只有两个整数，决策空间有限，用遍历的方法得到最优解 $g = 22, x = 40$ 在一个工作周期内重复10次，该方案的年化出栏羊只数量1200(2年3胎)。然而该方案最多只使用了110个羊栏，有2个羊栏的冗余，且空间利用率只有 $95.56\%$ 。我们经过一定范围的遍历得到了更优解 $g = 22, x_{1} = 48, x_{2} = \dots = x_{10} = 40$ ，年化出栏羊只数量达到了1224只，且空间利用率 $97.38\%$ 为最优解。 + +针对问题3，我们研究了随机因素对母羊和羔羊各个时期的影响，怀孕时间和孕期的分布使得我们需要在孕期、哺乳期、休整期对母羊分批次管理，包括育肥期的羔羊，不同分支的决策各有不同。我们确定225天的大周期，且每批次之间间隔25天，随着时间发展将出现分支。第51天，部分没有成功怀孕的母羊退出本次工作，随后按孕期结束时间不同分了3个分支，每个分支尽量保证哺乳期的时长，但不能过于压缩休整期。与之对应的羔羊也分为了3个分支。这样只需要确定每批次进入交配期的基础母羊的数量 $x$ ，具体方案就确定下来了。我们用计算机模拟充分多的周期，用蒙特卡洛方法计算损失数期望，并以其最小为优化目标，建立优化问题模型。由于决策变量是1维的，我们用遍历法求解。我们观察到随着 $x$ 的增加损失先递减后递增，在 $x = 40$ 时得到最小的日均损失数3.79，并给出了局部和全局的羊栏数使用情况可视化结果。 + +关键词：圈养湖羊，遍历，蒙特卡罗方法，MATLAB + +# 二、问题重述 + +湖羊是优秀的养殖品种，湖羊养殖场通常有若干标准羊栏，根据湖羊的性别和生长阶段分群饲养，不同阶段、性别和大小的羊只对空间要求不同，所以每一羊栏所容纳的羊只数量由上述因素决定，从而保障羊只安全和健康。在实际运营中，虽然还要考虑很多其他因素，但空间利用率是相对独立并影响养殖场经营效益的重要问题。 + +湖羊养殖的生产过程主要包括自然交配繁殖和育肥两大环节。怀孕母羊分娩后给羔羊哺乳，羔羊断奶后独立喂饲，育肥长成后出栏，母羊停止哺乳后经过休整期，可以再次配种。按上述周期，一般每只基础母羊每2年可生产3胎。种公羊与基础母羊一般按不低于1:50的比例配置。 + +某湖羊养殖场设置标准羊栏，规格是：空怀休整期每栏基础母羊不超过14只；非交配期的种公羊每栏不超过4只；自然交配期每栏1只种公羊及不超过14只基础母羊；怀孕期每栏不超过8只待产母羊；分娩后的哺乳期，每栏不超过6只母羊及它们的羔羊；育肥期每栏不超过14只羔羊。原则上不同阶段的羊只不能同栏。 + +养殖场的经营管理者为保障效益，需要通过制定生产计划来优化养殖场的空间利用率，也就是说要决定什么时间开始对多少可配种的基础母羊进行配种，控制羊只繁育，进而调节对羊栏的需求量。 + +需要建立数学模型解决以下三个问题： + +1、根据给定的各种羊只不同状态下的数据，不考虑不确定因素和种羊的淘汰更新，在连续生产的情况下，确定养殖场种公羊与基础母羊的合理数量，并估算年化出栏羊只数量的范围。如果年出栏不少于1500只羊，估算现有标准羊栏数量的缺口。 +2、在问题1的基础上，给出112个标准羊栏的具体生产计划，使得年化出栏羊只数量最大。 +3、根据实际情形，考虑若干不确定性的因素，制定具体的生产计划，使得整体方案的期望损失最小。 + +# 三、模型假设 + +1、简单起见，在方案中各批次之间的交配期不重合。 + +2、按2年3胎的方式计算年化出栏羊只数量 +3、假设羔羊进入育肥期就不会死亡。 +4、允许同批次的母羊之间的移动，即从1个该批次的羊栏移至另1个同批次的羊栏。这样如果同批次的不同羊栏都有母羊移除至下一个阶段，那么剩余的同批次羊可以合并。 +5、母羊的怀孕时间和孕期近似服从均匀分布. + +# 四、问题分析 + +# 4.1. 问题1的分析 + +针对问题1，注意到母羊的工作周期为229天，我们考虑让n只基础母羊进入交配期，且过了休整期后立刻进入下一个工作周期。在这个周期内这n只母羊与其生产的羔羊在每个时间段使用多少羊栏是唯一确定的。如果只有1个批次反复来回，那么使用的羊栏数必然波动较大。增加批次可以使得羊栏的使用更平均。我们按理想状态估算，即多批次交替后，综合羊栏使用数量关于时间成近似的常数函数关系，那么该批次平均占用的羊栏数量就可以求出来。而年化出栏数与母羊数量正相关，因此可以求出在不同决策下每一个羊栏对应的出栏羊只数量，让n从一个固定的范围遍历便可以得到112个羊栏的条件下出栏羊只数量的范围，也可以估算要达到1500只年化出栏羊数额外需要的羊栏数。 + +# 4.2. 问题2的分析 + +针对问题2，沿用问题1中固定数量的基础母羊和批次之间固定间隔的生产模式。而当每批次基础母羊和间隔给定后，我们需要计算在这样的决策下进入稳定期后，每一天所使用的羊栏数。我们建立优化模型，以母羊数量总和为优化目标，以最大羊栏数为约束条件，而经过简化，决策变量就是二维的整数，我们考虑采用遍历的方法进行求解，并进一步的对我们的结果进行优化。 + +# 4.3.问题3的分析 + +针对问题3，仍然采用问题1和2的固定数量固定间隔的生产模式，但是因为有随机因素的参与，问题变得更加复杂。虽然交配期没变，但是孕期结束的时间并不固定，同时还有部分未能成功受孕的母羊因为要进入后续批次而退出。根据我们的简化假设，孕期结束的时间相互相差21天，而根据孕期哺乳期的条件，需要把同一批进入交配期的羊分成3个分支，这3个分支的状态和决策各不相同，包括后续产下的羔羊也对应的 + +分为3个分支. + +经过我们分析，应尽可能的延长哺乳期的时间，但是又不能压缩休整期的时间。多方考虑下我们需要确定好工作周期的长度和固定间隔，当基础母羊数量给定后，对应的羊栏使用数量以及相应的损失也可以求出，类似问题1，让母羊数量遍历找到使得损失最小的方案以最大程度的利用空间。 + +# 五、符号定义及说明 + +
符号含义单位
[x]表示对x向上取整
[x]表示对x四舍五入取整
pi母羊和羔羊各个状态持续的时间天
ni母羊和羔羊各个状态下每个标准羊栏能容下的最大数量只
N(t)第t天使用的羊栏数量个
+ +# 六、模型的建立与求解 + +# 6.1 问题1：年化出栏数和羊栏数缺口估算 + +# 6.1.1 模型准备——基本生产模式 + +1只公羊工作20天对应14只母羊工作229天，如果在平稳期尽可能利用公羊的交配能力，公羊和母羊的比例应该定为 $1:\frac{14\times 229}{20}\approx 1:160$ ，远低于1:50，因此公羊必然有长时间处于非工作期．而羔羊是由母羊生产所得，因此出栏羊只的数量取决于母羊的数量. + +总体而言，公羊数量较少，占据羊栏数相比母羊小得多，因此在作估计时不考虑公羊所占的羊栏数，仅考虑母羊和羔羊需要的羊栏数。 + +为了简化问题的复杂度，我们考虑较为规律的生产模式，即每隔固定的天数让固 + +定数量的母羊进行交配。同一个时间进入交配期的母羊称为同一批的母羊。因此，我们需要做的决策是确定间隔的时间和每批次母羊的数。我们把公羊、母羊和羔羊的各种状态的持续时间和对羊栏数的要求罗列如下： + +表 1: 各种羊的不同状态情况 + +
状态持续时间(天)标准羊栏数要求
公羊交配期201只公羊与不超过14只基础母羊
非交配期≥0不超过4只公羊
母羊交配期201只公羊与不超过14只基础母羊
孕期149不超过8只孕期母羊
哺乳期40不超过6只哺乳期母羊与它们的羊羔
空怀休整期20不超过14只基础母羊
羔羊育肥期210不超过14只羔羊
+ +为了不让交配期重叠，我们考虑间隔天数大于交配期20天。不妨以间隔时间20天为例，各个批次的母羊在这样的生产模式下各时间段（天数）的状态如下： + +表 2: 各批次母羊的不同状态时间 + +
状态
批次交配期孕期哺乳期空怀休整期交配期孕期哺乳期空怀休整期...
11-2021-169170-209210-229230-249250-398399-438439-458...
221-4041-189190-229230-249250-269270-418419-458459-478...
341-6061-209210-249250-269270-289290-438439-478479-498...
461-8081-229230-269270-289290-309310-458459-498499-518...
..............................
天数
+ +# 6.1.2 年化出栏羊只数量和羊栏缺口数估计 + +记批次为 $k$ ，相邻批次间隔天数为 $g \geq 20$ ，当每批次的母羊数量 $x$ 确定后，生产计划就得到了。按时间顺序，记母羊的四个状态：交配期、孕期、哺乳期、空怀休整期的时间分别为 + +$$ +p _ {1} = 2 0, p _ {2} = 1 4 9, p _ {3} = 4 0, p _ {4} = 2 0, +$$ + +各个状态下 1 个标准羊栏能容下的最大数量分别为 + +$$ +n _ {1} = 1 4, n _ {2} = 8, n _ {3} = 6, n _ {4} = 1 4, +$$ + +羔羊的育肥期 $p_{5} = 210$ , 每一栏最多能容纳 $n_{5} = 14$ 只育肥期羔羊. + +为了最大化生产效率，我们不让母羊休息，当完成一个完整的周期(229天)后立刻进入下一个周期。那么每个批次都有4个关键节点，各个批次的关键节点交错形成不同的阶段，每个阶段各个批次的羊将处于不同的时期，对标准羊栏的需求各有不同，且过了哺乳期后，羔羊需要长时间占用羊栏。进入稳定期后，各批次的母羊的各种状态交织在一起，形成229天复杂的周期，但每个批次在该一个周期内的状态仅相差一个平移，本质上是等价的，因此在做估计时只需要考虑单个周期的情形即可。下面我们研究单个批次的母羊在一个完整周期内所需羊栏数的规律，并对年化出栏羊只范围和羊栏数缺口作估计，以40只母羊为例，得下表： + +表 3: 年化出栏数估计 + +
交配天数孕期天数哺乳期天数空怀休整期天数育肥期天数
母羊数量40201494020羔羊数量80210
羊栏数3573羊栏数6
羊栏天数分项小计60745280601260
羊栏天数合计2405平均每一栏能提供年化出栏数11.42619543
羊栏数为112时年化出栏数估计1279.733888
+ +1、计算一整个周期(229天）每批次的母羊数量 $x$ 时需要的总羊栏天数： + +$$ +A = \underbrace {2 0 \times \left[ \frac {p _ {1}}{n _ {1}} \right]} _ {\text {交 配 期}} + \underbrace {1 4 9 \times \left[ \frac {p _ {2}}{n _ {2}} \right]} _ {\text {孕 期}} + \underbrace {4 0 \times \left[ \frac {p _ {3}}{n _ {3}} \right]} _ {\text {哺 乳 期}} + \underbrace {2 0 \times \left[ \frac {p _ {4}}{n _ {4}} \right]} _ {\text {空 怀 休 整 期}} + \underbrace {2 1 0 \times \left[ \frac {p _ {5}}{n _ {5}} \right]} _ {\text {羔 羊 育 肥 期}}; +$$ + +2、按2年3胎计算一整个周期(229天）每批次的母羊数量 $x$ 时的年化出栏数： + +$$ +B = 2 x \times \frac {3}{2} = 3 x; +$$ + +3、计算每批次的母羊数量 $x$ ，羊栏数为 112 时年化出栏数的估计： + +$$ +C = \frac {1 1 2 \times 2 2 9 \times B}{A} +$$ + +4、计算想要得到年化1500的出栏数欠缺的羊栏数的估计： + +$$ +D = \frac {1 5 0 0 \times A}{2 2 9 \times B} - 1 1 2. +$$ + +取 $x \in [30,60]$ ，我们能得到年化出栏羊只数量范围在 $[1163,1312]$ ，羊栏缺口数为 + +[16,32]. + +表 4: 羊栏数缺口估计 + +
母羊数量112个羊栏出栏羊只数估计平均每栏出栏数估计羊栏数缺口
301174.12004110.4832146531.0858806
311189.06480610.6166500529.2875053
321227.42173510.9591226324.8722707
331178.26078910.5201856130.5830356
341213.96566110.8389791226.3894169
351249.67053411.1577726222.4354336
361171.24059210.4575052931.4376516
371183.75384610.5692307729.9213974
381215.74719310.8548856526.1866238
391247.74054111.1405405422.643377
401279.73388811.4261954319.2772926
411235.20125311.0285826224.0102247
421265.32811311.2975724420.771886
431163.3586510.387130832.4094648
441190.41350210.6286919829.1274315
451217.46835410.8702531625.9912664
461244.52320711.1118143522.9914562
471271.57805911.3533755320.1192976
481298.63291111.5949367117.3668122
491243.0781411.0989119723.1483825
501186.30897310.592044429.6157205
511210.03515310.8038852926.8389417
521233.76133211.0157261824.168962
531257.48751211.2275670721.5997363
541281.21369111.4394079619.1256672
551289.04051211.5092902818.3294958
561312.47761211.7185501116.0021834
571191.14828910.6352525829.0403739
581212.04562710.8218359626.6086433
591232.94296611.0084193424.2593442
601253.84030411.1950027221.9883552
最大值(取整)131232
最小值(取整)116316
+ +# 6.2 问题2：112个标准羊栏的最优生产计划 + +在第1问的基础上，设一共有 $k$ 个批次，固定公羊有 $m$ 只，相邻批次间隔天数为 $g \geq 20$ ，每个批次的基础母羊数量分别设为 $x_{1},\ldots,x_{k}$ 。 + +先对批次 $k$ 做个估计. $\left\lceil \frac{50}{14} \right\rceil = 4$ ，因此取 $k = 4$ ，否则公羊的交配能力将被浪费. 而公羊的数量范围可以考虑4的整数倍，而4只公羊对应最多200只母羊，数量太少导致羊栏空置率较大，因此取公羊数量 $m = 8$ + +# 6.2.1 模型建立——规划模型 + +我们先对 $k = 4$ 划分时间段 + +1、对第 1 批次：令初始时刻 $t_{1,1} = 1$ ，接下来 $t_{1,j+1} = t_{1,1} + \sum_{l=1}^{j} p_l$ ，则母羊在 $[t_{1,j}, t_{1,j+1} - 1]$ 上将处于第 $j$ 个状态；该批次的羔羊将在母羊哺乳期结束后进入育肥期并占用新的羊栏 $p_5$ 天，即羔羊在 $[T_{1,1}, T_{1,2} - 1]$ 上处于育肥期，其中 $T_{1,1} = t_{1,4}, T_{1,2} = t_{1,4} + p_5$ 。考虑到湖羊圈养通常是 3 年 2 胎的方式，再加上第 1 个初始的周期，我们一共考虑 4 个周期，即按 $t_{1,j+4} = t_{1,j} + \sum_{l=1}^{4} p_l, T_{1,j+2} = T_{1,j} + \sum_{l=1}^{4} p_l$ 的方式迭代产生各个时间节点 $\{t_{1,1}, \dots, t_{1,17}\}$ 和 $\{T_{1,1}, \dots, T_{1,8}\}$ 。 + +2、对第 2-4 批次：按间隔时间顺延，即 $t_{i+1,j} = t_{i,j} + g, T_{i+1,j} = T_{i,j} + g$ 。这样就得到了一组时间节点 + +$$ +\left\{t _ {i j}, i = 1, \dots , k, j = 1, \dots , 4 k + 1 \right\}, \left\{T _ {i j}, i = 1, \dots , k, j = 1, \dots , 2 k \right\}. +$$ + +3、确定每一天不同批次的羊所处的状态：记 $t_m = \max \left\{t_{ij}, T_{ij}\right\}$ ，对 $t \in [1, t_m]$ 求出 $t$ 时刻各个批次公羊和母羊、羔羊的状态： + +3.1、用0-1变量 $\delta_{ij}$ 表示第 $i$ 批次的母羊是否处在第 $j$ 个状态，是则取1，否则取0，找到 $k$ 使得 $t_{i,k} \leq t \leq t_{i,k+1} - 1$ ，则： + +$$ +\delta_ {i j} (t) = 1, \text {其 中} j = 1 + (k - 1) \bmod 4. +$$ + +即当 $t \in \left[t_{i,4(k-1) + j-1}, t_{i,4(k-1) + j} - 1\right]$ 时，母羊处于 $j$ 个状态； + +3.2、用 0-1 变量 $\bar{\delta}_i$ 表示第 $i$ 批次的羔羊是否处在育肥期, 是则取 1 , 而取 0 表示羔羊未出生或仍处在哺乳期, 不占用羊栏, 则: + +$$ +\overline {{\delta_ {i}}} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {存 在 整 数} k \in [ 1, 4 ] \text {使 得} T _ {i, 2 (k - 1) + 1} \leq t \leq T _ {i, 2 k} - 1 \\ 0, & \text {其 他} \end{array} \right. +$$ + +即当 $t \in \left[T_{i,2(k - 1) + 1}, T_{i,2k} - 1\right]$ 时，第 $i$ 批次的羔羊正处于育肥期； + +3.3、用 0-1 变量 $\Delta(t)$ 表示公羊是否处在交配期的状态，是则取 1，否则取 0，则： + +$$ +\Delta (t) = \max _ {i} \left\{\delta_ {i 1} (t) \right\} +$$ + +即当任意一批次的母羊在交配期时，公羊也在交配期。 + +4、计算第 $t$ 天所需要的羊栏数 $N(t), t \in [1, t_m]$ : + +4.1、母羊占用的羊栏数 $\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{4} \left[ \frac{\delta_{ij}(t) x_i}{n_j} \right]$ ; +4.2、羔羊占用的羊栏数 $\sum_{i=1}^{4}\left[\frac{2\overline{\delta_i}(t)x_i}{n_1}\right]$ ; +4.3、公羊占用的羊栏数 $\left[\frac{\left[1 - \Delta(t)\right]m}{4}\right]$ ; + +可求得 + +$$ +N (t) = \sum_ {i = 1} ^ {4} \sum_ {j = 1} ^ {4} \left\lceil \frac {\delta_ {i j} (t) x _ {i}}{n _ {j}} \right\rceil + \sum_ {i = 1} ^ {4} \left\lceil \frac {\overline {{\delta_ {i}}} (t) x _ {i}}{n _ {1}} \right\rceil + \left\lceil \frac {\left[ 1 - \Delta (t) \right] m}{4} \right\rceil \tag {1} +$$ + +# 5、建立非线性整数规划模型： + +5.1、常量：公羊数量 $m = 8$ ，总批次 $k = 4$ ，批次之间的间隔 $g = 20$ ； +5.2、决策变量：每批次母羊的数量 $m \leq x_{i} \leq n_{i} m$ ； +5.3、目标函数：按2年3胎折算的每年出栏羊只数量 $3 \sum_{i=1}^{k} x_i$ ； +5.4、约束条件： $N(t) \leq 112, t = 1, \dots, t_m$ . + +模型建立后我们发现求解是极其困难的，因为约束条件多而且是非线性的，因此我们考虑对模型进行简化。 + +# 6.2.2 模型简化——重复循环的生产计划 + +令 $x_{i}$ 为常量，即 $x_{i} = x$ 。在固定间隔的情况下，各个批次羊只的状态是有固定规律的（见表2），仍然可以用(1)式求得每一时刻使用的羊栏数。固定间隔 $g$ 对 $x$ 进行遍历求得（图1）当公羊为8只，母羊为392只，间隔为21天，可以得到最多羊栏需求量为112个，羊栏的平均空间利用率为 $91.11\%$ 。 + +![](images/727471a0b853139dca2adde42a94bd7b9c59a9f4769221afdbfddf5d8b38676f.jpg) +图1：4批次的最优解 + +# 6.2.3 模型检验与反馈 + +观察上述结果，我们发现，对于 $k = 4$ 个批次，母羊集中怀孕、哺乳，羔羊集中育肥，这样羊栏的使用会过于集中，当羊羔集中出栏时，羊栏利用率就明显下降。针对这种情况，我们考虑将批次增多，这样可以使得羊栏使用不会过于集中，从而提高利用率。 + +然而，在具体计算时，当批次增加后，每1批次的母羊数量就会减少，公羊按1:14的比例进行交配不一定是最省羊栏的，需要做优化。首先当批次 $k$ 和每批次的母羊数量 $x$ 给定后，公羊数量可确定为 $m = \left\lceil \frac{kx}{50} \right\rceil$ ，我们需要建立函数来描述 $x$ 和 $m$ 给定后交配期需要的最少的羊栏数。 + +记 $n_1 = n_1(x, m), m_1 = m_1(x, m)$ 分别表示交配期母羊占用的羊栏数和交配期空闲公羊占用的羊栏数： + +1、先求出最小的交配期公羊的数量 $\left\lceil \frac{x}{14} \right\rceil$ +2、让交配期的公羊 $i$ 从 $\left\lceil \frac{x}{14} \right\rceil$ 到 $m$ 遍历, 找到使得 $i + \left\lceil \frac{m - i}{4} \right\rceil$ 最小, 不妨记为 $i_0$ . +3、则 $n_1 = i_0, m_1 = \left\lceil \frac{m - i_0}{4} \right\rceil$ + +考虑到一批母羊从第一次交配到第二次交配中间需要 229 天，我们选择周期为 $k = 10$ ，考虑 8 只公羊，每批 40 只，共计 400 只，每批次间隔 22 天。运行程序（图 2） + +我们发现，羊栏最多使用110个，平均空间利用率为 $95.56\%$ 。相对于4个批次，羊栏的平均空间利用率有所提升。 + +![](images/0c109c96d82807750587d0e900627d6af3e271cded1ad971dd10f1f76a45ea59.jpg) +图2：8只公羊400只母羊10批次的解 + +对于上述情形，112个羊栏没有完全使用，于是我们在上述结果附近进行调整，利用穷举法得到（图3），当选择周期为 $k = 10$ ，9只公羊，第一批48只，之后每批40只，共计408只母羊，每批次间隔22（或23）天时，羊栏的最大值为112，平均空间利用率为 $97.38\%$ ，且年化出栏羊只数量最大为1224只，为最优解. + +![](images/1cd74f55999cd738653e71e126030cd35f941f9a3a6539b09394ff6743e59f9f.jpg) +图3：9只公羊408只母羊10批次的解 + +所以，综上讨论，最终我们选择周期为 $k = 10$ ，考虑9只公羊，第一批48只，之后每批 + +40 只, 共计 408 只, 每批次间隔 22 天, 年化出栏羊只数量最大为 1224 只。一个周期 (229 天) 的生产计划（部分，完整版见支撑材料）见下表： + +表 5: 最优的生产计划 + +
母羊交配批次数量羊的种类第1-12天第13天第14-18天第19-20天第21-31天第32-34天第35天第36-40天第41-51天第52-53天第54-56天第57天第58-71天第72-73天第74-75天第76-78天第79天
所需羊栏数
第1批48母羊8888844444446666
羔羊7000077777777777
第2批40母羊5577777777333333
羔羊6666660000666666
第3批40母羊5555555777777773
羔羊6666666666600066
第4批40母羊5555555555557777
羔羊6666666666666660
第5批40母羊5555555555555555
羔羊6666666666666666
第6批40母羊5555555555555555
羔羊6666666666666666
第7批40母羊5555555555555555
羔羊6666666666666666
第8批40母羊5555555555555555
羔羊6666666666666666
第9批40母羊3335555555555555
羔羊6666666666666666
第10批40母羊3333333355555555
羔羊6666666666666666
空闲公羊2223222232222322
汇总112105107110109112106108111110112106108111110112
每批交配间隔天数22
最大羊栏数112
+ +# 6.3 问题3：考虑不确定因素的生产计划 + +# 6.3.1 划分时间段和决策分支 + +设随机变量 $\xi_1, \xi_2$ 表示母羊在第 $\xi_1$ 天怀上，孕期为 $\xi_2$ 天．则孕期将在第 $\xi_1 + \xi_2$ 天结束．根据假设，交配时间和孕期均服从均匀分布且两者相互独立，即 + +$$ +P \left\{\xi_ {1} = i \right\} = \frac {1}{2 0}, i = 1, \dots , 2 0; P \left\{\xi_ {2} = j \right\} = \frac {1}{4}, j = 1 4 7, \dots , 1 5 0. +$$ + +下面我们计算随机变量 $\xi = \xi_{1} + \xi_{2}$ 的分布. + +$$ +P \left\{\xi = k \right\} = \sum_ {i + j = k} P \left\{\xi_ {1} = i \right\} P \left\{\xi_ {2} = j \right\}. ^ {[ 1 ]} +$$ + +其分布律如下： + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c c} \xi & 1 4 8 & 1 4 9 & 1 5 0 & 1 5 1 & \dots & 1 6 7 & 1 6 8 & 1 6 9 & 1 7 0 \\ P & \frac {1}{8 0} & \frac {2}{8 0} & \frac {3}{8 0} & \frac {4}{8 0} & \dots & \frac {4}{8 0} & \frac {3}{8 0} & \frac {2}{8 0} & \frac {1}{8 0} \end{array} . +$$ + +但是 $\xi$ 的取值范围有 23 个数，超过了 21，7 的倍数，为了简化问题，我们把两端的分布抹去，平均的加到中间： + +$\xi$ 148 149 150 151 … 167 168 169 170 $P$ 0 $\frac{2}{78}$ $\frac{3}{78}$ $\frac{4}{78}$ … $\frac{4}{78}$ $\frac{3}{78}$ $\frac{2}{78}$ 0 + +这样孕期结束后正好可以分成3个分支进入哺乳期．下面确定时间段. + +1、交配期： $t\in [1,20]$ +2、开始阶段 $t \in [21, 50]$ ，所有羊均作为孕期进入羊栏中，称为孕期 1. +3、孕期结束的时间受随机变量 $\xi$ 取值的影响, 最早结束于 149 天, 最晚结束于 169 天,那么在 $t \in [51,148]$ 上, 去掉未成功受孕的母羊, 其余的都在孕期, 称为孕期 2. +4、接下来进入孕期分支： +4.1、孕期将结束于 $t \in [149, 155]$ ； +4.2、孕期将结束于 $t \in [156, 162]$ +4.3、孕期将结束于 $t \in [163, 169]$ . +5、接下来进入哺乳期分支，每只羊延长1天哺乳期平均需要增加 $\frac{1}{6}$ 羊栏天数，而减少2天育肥期平均可以减少 $2 \cdot \frac{2}{14} = \frac{2}{7}$ 羊栏天数，因此延长哺乳期将有益于节省羊栏，我们尽可能的增加孕期，那么各分支对应的决策如下： +5.1、选择哺乳期45天，则哺乳期将结束于 $t \in [194, 200]$ ； +5.2、选择哺乳期45天，则哺乳期结束于 $t \in [201, 207]$ ； +5.3、该分支哺乳期统一结束于 $t = 207$ ，原因如下：考虑到当孕期 1 在第 50 天结束时，没有成功受孕的母羊将进入后续批次继续交配，因此相邻批次的间隔最好选择能被 50 整除的整数，例如 25．哺乳期结束后的休整期可以把各个分支的统一调整至能够进入交配期的状态，那么在 25 的整数倍结束休整期能极大程度的简化后续安排，而如果把休整期定于 225 天结束，哺乳期不能超过 207 天。 +6、接下来进入休整期分支，正如前面分析，所有分支的休整期均应该在225天结束，于是有： +6.1、休整期开始于 $t \in [195, 201]$ +6.2、休整期开始于 $t \in [202, 208]$ ； +6.3、休整期开始于 $t = 208$ + +以上三个分支的休整期母羊后两支可以一起安排羊栏. + +7、接下来考虑羔羊育肥期的分支，由于各分支的哺乳期结束的时间和持续时间均已确定，各个分支羔羊的育肥期也是唯一确定的： + +7.1、育肥期开始于 $t \in [195, 201]$ ，并持续200天； +7.2、育肥期开始于 $t \in [202, 208]$ ，并持续 200 天； +7.3、育肥期开始于 $t = 208$ 。持续时间以2为步长从202至214天。 + +以上三个分支的羔羊后两支可以一起安排羊栏 + +8、我们把1-225天的安排汇总如下： + +表 6: 各个阶段和对应的分支 + +
交配期孕期1孕期2孕期结束分支哺乳期分支休整期分支
1→2021→5051→148{149:155}{150:156→194:200}{195:201→225}
{156:162}{157:163→201:207}{202:208→225}
{163:169}{164:170→207}{208→225}
+ +# 6.3.2 第1-2批各个时间段上羊栏数量的计算 + +计算第 1 个周期的羊栏使用情况。先考虑母羊占用的羊栏数，即 + +$$ +N _ {1} (t), t \in [ 1, 2 2 5 ]. +$$ + +1、交配期， $t \in [1,20]$ ：所有的羊都处于交配期， + +$$ +N _ {1} (t) = n _ {1} (x, m). +$$ + +2、孕期 1, $t \in [21,50]$ : 这 30 天内所有的羊都进入孕期, + +$$ +N _ {1} (t) = \left\lceil \frac {x}{8} \right\rceil . +$$ + +3、孕期 2, $t \in [51,148]$ : 这段时间内确定怀孕的继续孕期, $y = [x \times 85\%]$ 为此阶段孕期母羊数 + +$$ +N _ {1} (t) = \left\lceil \frac {y}{8} \right\rceil , +$$ + +剩余的 $x - y$ 只羊进入下两个批次的交配期 + +4、出现分支，此时按分布随机生成 $y_{1}, \ldots, y_{21}$ ，其中 $y_{1}, \ldots, y_{7}$ 为第 1 分支， $y_{8}, \ldots, y_{14}$ 为第 2 分支， $y_{15}, \ldots, y_{21}$ 为第 3 分支，计算各个分支在 $t \in [149, 225]$ 哺乳期和休整期的数量： + +$M_{11}(t), M_{12}(t), M_{13}(t)$ 表示 3 个分支哺乳期的母羊数量, + +$M_{21}(t), M_{22}(t), M_{23}(t)$ 表示 3 个分支修整期的母羊数量, + +则该时间段内哺乳期和休整期的母羊占用的羊栏数分别为： + +$$ +\left\lceil \frac {M _ {1 1} (t)}{6} \right\rceil + \left\lceil \frac {M _ {1 2} (t)}{6} \right\rceil + \left\lceil \frac {M _ {1 3} (t)}{6} \right\rceil \text {和} \left\lceil \frac {M _ {2 1} (t)}{1 4} \right\rceil + \left\lceil \frac {M _ {2 2} (t) + M _ {2 3} (t)}{1 4} \right\rceil . +$$ + +4.1、对第 1 分支 $y_{i}, i = 1, \ldots, 7$ ，哺乳期 $t \in [149 + i, 193 + i]$ ，休整期为 $t \in [194 + i, 225]$ ，且这一分支的母羊进入同一批次的哺乳期： + +$$ +M _ {1 1} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {t - 1 4 9} y _ {i}, & t \in [ 1 5 0, 1 5 6 ]; \quad (\text {每 隔} 1 \text {天 有 一 个} y _ {i} \text {进 入 哺 乳 期}) \\ \sum_ {i = 1} ^ {7} y _ {i}, & t \in [ 1 5 7, 1 9 3 ]; \quad (\text {都 在 哺 乳 期}) \\ \sum_ {i = t - 1 9 3} ^ {7} y _ {i}, & t \in [ 1 9 4, 2 0 0 ]; \quad (\text {每 隔} 1 \text {天 有 一 个} y _ {i} \text {退 出 哺 乳 期}) \\ 0, & \text {其 它}. \end{array} \right. +$$ + +$$ +M _ {2 1} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {t - 1 9 4} y _ {i}, & t \in [ 1 9 5, 2 0 1 ]; \quad (\text {每 隔} 1 \text {天 有 一 个} y _ {i} \text {进 入 修 整 期}) \\ \sum_ {i = 1} ^ {7} y _ {i}, & t \in [ 2 0 2, 2 2 5 ]; \quad (\text {都 在 休 整 期}) \\ 0, & \text {其 它 .} \end{array} \right. +$$ + +4.2、对第2分支 $y_{i}, i = 8, \ldots, 14$ ，哺乳期 $t \in [149 + i, 193 + i]$ ，休整期为 $t \in [194 + i, 225]$ ，且这一分支的母羊进入同一批次的哺乳期： + +$$ +M _ {1 2} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 8} ^ {t - 1 4 9} y _ {i}, & t \in [ 1 5 7, 1 6 3 ]; \quad (\text {每 隔} 1 \text {天 有 一 个} y _ {i} \text {进 入 哺 乳 期}) \\ \sum_ {i = 8} ^ {1 4} y _ {i}, & t \in [ 1 6 4, 2 0 0 ]; \quad (\text {都 在 哺 乳 期}) \\ \sum_ {i = t - 1 9 3} ^ {1 4} y _ {i}, & t \in [ 2 0 1, 2 0 7 ]; \quad (\text {每 隔} 1 \text {天 有 一 个} y _ {i} \text {退 出 哺 乳 期}) \\ 0, & \text {其 它 .} \end{array} \right. +$$ + +$$ +M _ {2 2} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 8} ^ {t - 1 9 4} y _ {i}, & t \in [ 2 0 2, 2 0 8 ]; \quad (\text {每 隔} 1 \text {天 有 一 个} y _ {i} \text {进 入 修 整 期}) \\ \sum_ {i = 8} ^ {1 4} y _ {i}, & t \in [ 2 0 9, 2 2 5 ]; \quad (\text {都 在 休 整 期}) \\ 0, & \text {其 它 .} \end{array} \right. +$$ + +4.3、对第3分支 $y_{i}, i = 15, \ldots, 21$ ，哺乳期 $t \in [149 + i, 207]$ ，休整期为 $t \in [208, 225]$ ，且这一分支的母羊进入同一批次的哺乳期： + +$$ +M _ {1 3} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1 5} ^ {t - 1 4 9} y _ {i}, & t \in [ 1 6 4, 1 7 0 ]; \quad (\text {每 隔} 1 \text {天 有 一 个} y _ {i} \text {进 入 哺 乳 期}) \\ \sum_ {i = 1 5} ^ {2 1} y _ {i}, & t \in [ 1 7 1, 2 0 7 ]; \quad (\text {都 在 哺 乳 期}) \\ 0, & \text {其 它 .} \end{array} \right. +$$ + +$$ +M _ {2 3} (t) = \left\{ \begin{array}{c c} \sum_ {i = 1 5} ^ {2 1} y _ {i}, & t \in [ 2 0 8, 2 2 5 ]; \\ 0, & \text {其 它 .} \end{array} \right. (\text {在 同 一 天 转 入 休 整 期}) +$$ + +4.4、孕期母羊的数量： $L(t) = y - \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} M_{ij}(t), t \in [149, 225]$ . + +结合4.1-4.4可得 + +$$ +N _ {1} (t) = \left\lceil \frac {L (t)}{8} \right\rceil + \sum_ {j = 1} ^ {3} \left\lceil \frac {M _ {1 j} (t)}{6} \right\rceil + \left\lceil \frac {\sum_ {j = 1} ^ {3} M _ {2 1} (t)}{1 4} \right\rceil , t \in [ 1 4 9, 2 2 5 ]. +$$ + +5、计算第 1 批次对应的羔羊占用羊栏数的情况。同样分为三个分支 $y_{1}, \ldots, y_{7} 、 y_{8}, \ldots, y_{14}$ 和 $y_{15}, \ldots, y_{21}$ ，只是后两个分支的羔羊可以作为同一批次进入羊栏。持续时间为 $t \in [195, 421]$ 。下面计算三个分支的羔羊数量 + +$$ +G _ {1} (t), G _ {2} (t), G _ {2} (t), t \in [ 1 9 5, 4 2 1 ]. +$$ + +5.1、第1分支的羔羊育肥期均为200天， + +$$ +G _ {1} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {t - 194} \left[ 2.2 \times y _ {i} \times 97 \% \right], & t \in [ 195, 201 ]; \quad (\text {每过1天有一个} y _ {i} \text {生出羔羊进入育肥期}) \\ \sum_ {i = 1} ^ {7} \left[ 2.2 \times y _ {i} \times 97 \% \right], & t \in [ 202, 393 ]; \quad (\text {都在育肥期}) \\ \sum_ {i = t - 393} ^ {7} \left[ 2.2 \times y _ {i} \times 97 \% \right], & t \in [ 394, 400 ]; \quad (\text {每过1天有一个} y _ {i} \text {带来的羔羊出栏}) \\ 0, & \text {其它}. \end{array} \right. +$$ + +5.2、第2分支和第1分支类似， + +$$ +G _ {2} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 8} ^ {t - 194} \left[ 2.2 \times y _ {i} \times 97 \% \right], & t \in [ 202, 208 ]; \quad (\text {每过1天有一个} y _ {i} \text {生出羔羊进入育肥期}) \\ \sum_ {i = 8} ^ {14} \left[ 2.2 \times y _ {i} \times 97 \% \right], & t \in [ 209, 400 ]; \quad (\text {都在育肥期}) \\ \sum_ {i = t - 393} ^ {14} \left[ 2.2 \times y _ {i} \times 97 \% \right], & t \in [ 401, 407 ]; \quad (\text {每过1天有一个} y _ {i} \text {带来的羔羊出栏}) \\ 0, & \text {其它}. \end{array} \right. +$$ + +5.3、第3分支，每个2天就有1批羔羊出栏， + +$$ +G _ {3} (t) = \left\{ \begin{array}{c c c} \sum_ {i = 1 5} ^ {2 1} \left[ 2. 2 \times y _ {i} \times 97 \% \right], & t \in [ 208, 409 ]; & (\text {都在育肥期}) \\ \sum_ {i = 1 5 + k} ^ {2 1} \left[ 2. 2 \times y _ {i} \times 97 \% \right], & t \in \left[ 409 + 2 (k - 1) + 1, 409 + 2 k \right], k = 1, \dots 6; & (\text {每过2天有一个} y _ {i} \text {带来的羔羊出栏}) \\ 0, & \text {其它}. & \end{array} \right. +$$ + +5.4、羔羊所占的羊栏数为 + +$$ +N _ {2} (t) = \left\lceil \frac {G _ {1} (t)}{1 4} \right\rceil + \left\lceil \frac {G _ {2} (t) + G _ {3} (t)}{1 4} \right\rceil , t \in [ 1 9 5, 4 2 1 ]. +$$ + +该批次出栏的羊只数为 + +$$ +\bar{G} = \sum_{i = 1}^{21}\left[2.2\times y_{i}\times 97\%\right]. +$$ + +6.4、计算空闲公羊所占的栏数： + +$$ +N _ {3} (t) = \left\{ \begin{array}{c c} m 1 (x, m), & t \in [ 1, 2 0 ]; \\ m 2, & t \in [ 2 1, 2 5 ]; \\ 0, & \text {其 它 .} \end{array} \right. \quad \left(交 配 期 空 闲 公 羊 所 占 的 栏 数\right) \quad \left(\text {全 体 空 闲 公 羊 所 占 的 栏 数}\right). +$$ + +7、汇总：将 $N_{1}(t), N_{2}(t), N_{3}(t)$ 的定义域以补零的方式扩充至 $t \in [1,421]$ 并求和得到该批次所占有的羊栏数 + +$$ +N (t) = N _ {1} (t) + N _ {2} (t) + N _ {3} (t), t \in [ 1, 4 2 1 ]. +$$ + +只要输入进入交配期的母羊数量 $x$ 就能生成这样一组数列. + +8、第2批次也能生成一个数列，只是需要平移25天，即 $N\left(t + 25\right), t \in [1,421]$ 。 + +# 6.3.3 后续迭代与优化 + +对 $T > 0$ 充分大，扩充定义域是默认补零，对第1批次，输入母羊数量 $x$ 生成一段数列 $N(t)$ ，并记 + +$$ +N (1, t) = N (t), +$$ + +且在第 51 分钟被识别出未能成功受孕的记为 $\Delta x_{1}$ , 该批次能出栏的羊只数记为 $\bar{G}_{i}$ . + +第2批次仍然输入母羊数量 $x$ ，生成一段数列，不妨仍记为 $N(t)$ ，记 + +$$ +N (2, t + 2 5) = N (t), +$$ + +且在第 76 分钟被识别出未能成功受孕的记为 $\Delta x_{2}$ . + +从第3批次开始迭代： + +1、对 $i \geq 3$ ，输入母羊数量变为 $x + \Delta x_{i-2}$ ，生成数列 $N(t)$ ，记 + +$$ +N (i, t + 2 5 (i - 1)) = N (t), +$$ + +且在第 $25(i + 1) + 1$ 分钟被识别出未能成功受孕的记为 $\Delta x_{i}$ . + +2、取充分大的迭代次数 $i$ ，选择充分稳定的区间对给定的 $x$ 计算平均每个周期的损失费用。取 $P = 1000$ ，最大迭代 $9P - 1$ 次，取 $T = 25(9P - 1) + 420$ 。得到最终的羊栏使用情况： + +$$ +N _ {f} (t) = \sum_ {i = 1} ^ {9 P - 1} N (i, t). +$$ + +可求得损失费用： + +$$ +C (t) = \left\{ \begin{array}{c c} 3 \left[ N _ {f} (t) - 1 1 2 \right], & N _ {f} (t) \geq 1 1 2; \\ 1 1 2 - N _ {f} (t), & 1 1 2 > N _ {f} (t). \end{array} \right.. +$$ + +取内部平稳期 $t \in [451, 225P]$ ，计算每天平均的费用： + +$$ +C _ {f} = \frac {\sum_ {t = 4 5 1} ^ {2 2 5 P} C (t)}{2 2 5 P - 4 5 0}. +$$ + +这相当于用蒙特卡罗方法计算每天平均损失费用. + +3、用枚举法搜索最优的平均损失费用：取 $x \in [30,60]$ ，可求得 $C_f(x)$ ，找到使 $C_f(x)$ 最小的 $x = x_0$ ，得到最小的损失费用 $C_f(x_0)$ 以及平均年化出栏数 $\frac{3}{2} \frac{k \sum_{i=18}^{9P-1} \overline{G}_i}{9P-18} = \frac{k \sum_{i=18}^{9P-1} \overline{G}_i}{6P-12}$ 。计算结果如下： + +表 7: 问题 3 结果 + +
每批基础母羊数量日均损失费用年化羊只出栏数
3027.17469161825.7244489
3125.3997996854.7069138
3223.78064128883.6187375
3317.34683144912.5696393
3415.80247161941.0380762
3512.99007793970.0806613
3611.30858606999.0225451
379.7854509021028.248497
387.0294411041057.549599
395.4305321751086.556112
403.7868136271116.266032
416.5608461371145.625752
4214.821255851175.137275
4319.78565131204.387275
4424.792460481234.262525
4529.858476951263.918337
4635.115163661293.814629
4740.057648631322.992485
4845.199372081352.990982
4968.334388781382.804609
5073.07123581412.496493
5178.577087511442.580661
5283.399358721472.185371
5388.502084171502.40481
5493.597715431532.213928
55102.24843021562.326653
56107.31657981592.155311
57125.01543091622.141784
58130.01336011652.048597
59135.15434871682.305611
60140.28736141712.332665
+ +可以看出年化羊只出栏数是递增的，而损失费用先递减后递增，在 $x = 40$ 时取最小值。综合考量，每批次母羊数量选择40只是较优的方案，最小损失数约为3.79，对应的年化羊只出栏数为1116只。下面我们给出一些可视化结果。 + +![](images/85bba4f7b4e5a610efce3b8c8138d666d71a1f6a0a28c6f4f28772384ea5f155.jpg) +图4：全局羊栏数使用情况 + +![](images/86b62f2e8c78a23dc2d16b94c900ef0f0f10e929c05e205e97246e28003a3cd3.jpg) +图5：局部稳定期羊栏数使用情况 + +可以看出当 $x = 40$ 时，羊栏数围绕着112且波动较小，大部分羊栏都被很好地利用了. + +# 七、模型的评价和改进 + +# 7.1 模型的评价 + +模型的优点：具有较强的可实施性，规律的生产计划容易安排且优化效果不错。 + +模型的缺点：模型稳定性稍有欠缺，有些地方依赖参数设置的大小。如果已知条件有一定的扰动，很可能结果相差较大。 + +# 7.2 模型的改进 + +在本文中我们为了计算简便，对决策空间做了一些限制，未来可以进一步考虑非常数间隔、交配期重叠等情况. + +参考文献： + +[1] 盛耀, 谢式千, 潘承毅, 概率论与数理统计（第四版）, 高等教育出版社, 2008年. + +附录： + +MATLAB程序源代码，版本R2022a + +支撑材料文件列表： + +![](images/c4e0fdfa67fdd42d766777b230b810899f51a1968a1743f5e3497cabd7df8395.jpg) + +f3.m + +![](images/61c72fb546aa541842b78557c8616325627fb013f381b861a292bc60e72c7678.jpg) + +numjp.m + +![](images/1a6a8083894a87d28526e9a03ebef2f3ee807faac859438cebc6fcae19c563d8.jpg) + +problem1.xlsx + +![](images/78e97ac562524afd6a8414406be37cc20940896972d27ee7086085e18a080c61.jpg) + +problem2.m + +![](images/dd7287e2d84f9517837d185d230775f34b480aa6f685c91b52feb8bf6134fe42.jpg) + +problem2.xlsx + +![](images/e762d71cca8c04d76c05877b8a663e696a731717ecbf9fca75c4bbe696747e05.jpg) + +problem3.m + +![](images/dc1a44507b80850814cb3bd8342b5f564418f5cfd7173d3ad1d29522232b15d3.jpg) + +rdnump.m + +# %problem2.m + +clear; + +% 10批次 + +pp = 4; % 周期数 + +g(1:10) = 22; % 批次之间间隔的天数 + +p = [20, 149, 40, 20]; % 母羊各种状态持续的时间 + +k = 10; % floor(sum(p)/p(1)) - 1; % 总批次数量 + +p5 = 210; % 羔羊育肥期持续的时间 + +$\mathrm{x}(1:\mathrm{k}) = 40; \mathrm{x}(1) = 48; \%$ 输入每个批次的母羊数量 + +m = ceil(sum(x) / 50); % 公羊数量 + +m2 = ceil(m/4); %非交配期空闲公羊占用的栏数 + +% 说明： + +当 $x < 42$ 时，交配期母羊用3个栏，空闲公羊6只，占2个栏 + +当x>42时，交配母羊用5个栏，空闲公羊4只，占1个栏 + +nn = [14, 8, 6, 14]; % 各个状态下 1 个标准羊栏能容下的最大数量 + +# % 数据初始化 + +t(1:k,1:4\*pp + 1) = 0; % 各个时间节点 + +T(1:k,1:2\*pp) = 0; + +% 第1批次时间节点的计算 + +$t(1, 1) = 1$ ; % 初始时刻 + +for $j = 2:5$ $\%$ 计算t(1,2)到t(1,6) + +$$ +t (1, j) = t (1, j - 1) + p (j - 1); +$$ + +end + +T(1,1) = t(1,4); T(1,2) = t(1,4) + p5; + +for i = 2:pp % 计算后续的 pp-1个周期 + +$$ +t (1, 4 * (i - 1) + 2: 4 * i + 1) = t (1, 4 * (i - 2) + 2: 4 * (i - 1) + 1) + \operatorname {s u m} (p); +$$ + +$$ +T (1, 2 * (i - 1) + 1: 2 * i) = T (1, 2 * (i - 2) + 1: 2 * (i - 1)) + \operatorname {s u m} (p); +$$ + +end + +```python +tmax = 1000; % max(max(t(:,1:4*(pp-1) + 1)); % 终止时间 + +$\%$ 第k批次时间节点的计算 + +for $i = 2:k$ + +$$ +t (i,:) = t (i - 1,:) + g (i - 1); +$$ + +$$ +T (i,:) = T (i - 1,:) + g (i - 1); +$$ + +end + +$\% \mathrm{T} = \mathrm{sort}(\mathrm{unique}(\mathrm{t}(:)))$ ； $\%$ 细分时间节点 + +M = length(T) - 1; % 一共细分了 M 个时间段 + +$\%$ 计算母羊的状态 + +$\%$ 初始化 $\theta -1$ 变量 + +deltaij(1:k,1:4,1:tmax) = 0; % 表示母羊状态的 0-1 变量 + +for $l = 1: t \max$ + +for i = 1:k + +$$ +k k = f i n d (t (i,:)) < = 1, 1, " l a s t"); +$$ + +$$ +j = 1 + \mod ((k k - 1), 4); +$$ + +$$ +\operatorname {d e l t a i j} (i, j, l) = 1; +$$ + +end + +end + +for $l = 1: \text{sum}(p)$ + +for i = 1:k + +if max(deltaij(i,:l)) == 0 % 如果第1分钟第i个批次的母羊没有在工作期 + +deltai(j(i,4,l) = 1; % 把此处的状态认定为空怀休整期 + +end + +end + +end + +% 验证每一个批次的羊同一个时间段内仅处于同一种状态 + +$\%$ aaa $= []$ ;bbb $\coloneqq$ []; + $\%$ for i $= 1$ :tmax + $\%$ aaa $= [$ aaa,min(sum(delayaij(:,,i),2)]]; + $\%$ bbb $= [$ bbb;max(sum(delayaij(:,,i),2)]]; + $\%$ end + $\%$ min(aaa) + $\%$ max(bbb) + $\%$ 计算羔羊的状态 + $\%$ 初始化0-1变量 +delta_bar(1:k,1:tmax) $= 0$ . +for l $= 1$ :tmax for i $= 1$ k kk $=$ find(T(i,:)<=1,1,"last"); if mod(kk,2) $= = 1$ delta_bar(i,l) $= 1$ end end end + $\%$ 计算公羊的状态 + $\%$ 初始化0-1变量 +Delta(1:tmax) $= 0$ . +for l $= 1$ :tmax Delta(l) $= \mathrm{max}(\mathrm{delta}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{j}(:,1,\mathrm{l}))$ ： +end + $\%$ 计算羊栏数 +N(1:tmax) $= 0$ ； $\%$ 初始化 +for l $= 1$ :tmax $\%$ N1 $= 0;\mathrm{N}2 = 0$ . for i $= 1$ :k [n1,m1] $=$ numjp(x(i),m); n $=$ [n1 + m1,ceil(x(i)/nn(2)),ceil(x(i)/nn(3)),ceil(x(i)/nn(4))]; $\%$ 各个状态下x只母羊需要的羊栏数 for j $= 1:4$ N1 $=$ N1+ceil(delayaij(i,j,l)*n(j)); $\%$ 计算母羊占用的羊栏数(交配期时把空 闲公羊也算进来) end N2 $= \mathrm{N}2+$ ceil(2 \* delayi_bar(i,l)\* x(i）/14); end $\%$ 计算公羊占用的羊栏数 N3 $= (1 - \text{Delta}(l))*m2;$ N(1)=N1+N2+N3; +end +plot((1:length(N)),N) xlabel('天数') ylabel('羊栏数') + $\%$ 计算空间利用率 +N_max $= \mathrm{max}(N)$ ； $\%$ 最大羊栏数 index1 $= \mathrm{find}(N == \mathrm{max}(N),1)$ ； $\%$ 第1次达到最大羊栏使用数的天数 pct $=$ sum(N(index1:index1+sum(p)-1))/(sum(p)\*N_max); $\%$ 空间利用率 + $\%$ 计算一个周期各个批次的羊使用羊栏的情况 +NN1(1:k,1,sum(p)) $= 0$ ； $\%$ 记录k个批次母羊使用羊栏的情况 +NN2(1:k,1,sum(p)) $= 0$ ； $\%$ 记录k个批次母羊产生的羔羊使用羊栏的情况 +NN3(1,sum(p)) $= 0$ ； $\%$ 记录空闲公羊使用羊栏的情况 +for l $=$ index1:index1+sum(p)-1 for i $= 1$ k [n1,m1] $=$ numjp(x(i),m); + +n = [n1, ceil(x(i) / nn(2)), ceil(x(i) / nn(3)), ceil(x(i) / nn(4))]; % 各个状态下x只母羊需要的羊栏数 + +for $j = 1:4$ NN1(i,l - index1 + 1) = NN1(i,l - index1 + 1) + deltaij(i,j,l) * n(j); end NN2(i,l - index1 + 1) = NN2(i,l - index1 + 1) + delta_i_bar(i,l) * ceil(2 * x(i) / 14); NN3(1 - index1 + 1) = NN3(1 - index1 + 1) + deltaij(i,1,l) * m1; end NN3(1 - index1 + 1) = NN3(1 - index1 + 1) + (1 - Delta(l)) * m2; end + +```matlab +NN_re(1:2 * k + 1, 1:sum(p)) = 0; % 结果汇总 +NN_re(1:2:2 * k,:) = NN1; +NN_re(2:2:2 * k,:) = NN2; +NN_re(2* k + 1,:) = NN3; +``` + +```matlab +%problem3.m +clear; +C_f = [] +G_f = [] +for x = 30:60 +P = 1000; % 预计约 P 次完整的 225 周期 +imax = 9 * P - 1; % 一共有imax批次 +T = 25 * (9 * P - 1) + 420; % 最大天数 +% 逐次迭代的整体数据初始化 +N(1:1:T) = 0; +C = N; % 损失数函数 +Delta_x = [] +G_bar = [] +% 第 1 批次 +i = 1; +[NN,Delta_xx,GG_bar] = f3(x); +Delta_x = [Delta_x,Delta_xx]; +G_bar = [G_bar,GG_bar]; +N(1 + 25 * (i - 1):1 + 25 * (i - 1) + 420) = N(1 + 25 * (i - 1):1 + 25 * (i - 1) + 420) + NN; +% 第 2 批次 +i = 2; +[NN,Delta_xx,GG_bar] = f3(x); +Delta_x = [Delta_x,Delta_xx]; +G_bar = [G_bar,GG_bar]; +N(1 + 25 * (i - 1):1 + 25 * (i - 1) + 420) = N(1 + 25 * (i - 1):1 + 25 * (i - 1) + 420)+ NN; +for i = 3:imax +xx = x + Delta_x(i-2); +[NN,Delta_xx,GG_bar] = f3(xx); +Delta_x = [Delta_x,Delta_xx]; +G_bar = [G_bar,GG_bar]; +N(1 + 25 * (i - 1):1 + 25 * (i - 1) + 420) = N(1 + 25 * (i - 1):1 + 25 * (i - 1) + 420) + NN; +end +index1 = 901:1800; % 数据演示用 +% plot(index1,N(index1)) +index2 = 451:225 * P; % 平稳期 +for t = 1:T +if N(t) >= 112 +C(t) = 3 * (N(t) - 112); +else +C(t) = 112 - N(t); +end +end +C_f = [C_f; mean(C(index2))]; % 计算每个周期的平均费用 +G_f = [G_f; sum(G_bar(18:9 * P - 1)) / (6 * P - 12)]; % 计算年化出栏羊只数量 +end +plot(index1,N(index1)) +xlabel('天数') +ylabel('羊栏数') +``` + +# %f3.m + +```matlab +function [N,Delta_x,G_bar] = f3(x) +``` + +%f3 第 3 问需要用到的生成数列的函数 + +$\%$ 输入基础母羊数量 $\times$ + +% 输出该决策下生成的数列 N + +输出该决策下随机生成的过了交配期后未能成功怀孕的母羊数量 Delta_x + +% 输出该批次出栏的羊只数量 G_bar + +$\%$ 已知参数 + +p = [20, 149, 40, 20]; % 母羊各种状态持续的时间 + +n = [14, 8, 6, 14]; % 各个状态下 1 个标准羊栏能容下的最大数量 + +p5 = 210; % 羔羊育肥期持续的时间 + +k = 9; % 一共 9 批次 + +三个分支的分布律 + +xi = 149:169; + +p(1:length(xi)) = 4 / 78; + +p(1) = 2 / 78; p(2) = 3 / 78; + +p(20) = 3 / 78; p(21) = 2 / 78; + +% 设置变量 + +$\% \times = 40;\%$ 每批次母羊数量 + +$\%$ 其它需要的量 + +m = ceil(k * sum(x) / 50); % 公羊数量 + +[n1,m1] = numjp(x,m); % 交配期母羊占用的羊栏数和空闲公羊占用的羊栏数 + +m2 = ceil(m/4); % 所有公羊都处于空闲期时占用的羊栏数 + +% 数列初始化 + +N(1:421) = 0; % 总羊栏使用数量 + +N1 = N; % 母羊羊栏使用数量 + +N2 = N; % 羔羊羊栏使用数量 + +N3 = N; % 公羊羊栏使用数量 + +M11 = N; % 第1个分支哺乳期母羊的数量 + +M12 = N; % 第 2 个分支哺乳期母羊的数量 + +M13 = N; % 第3个分支哺乳期母羊的数量 + +M21 = N; % 第1个分支休整期母羊的数量 + +M22 = N； % 第 2 个分支休整期母羊的数量 + +M23 = N; % 第3个分支休整期母羊的数量 + +L = N; % 在分支时间段上孕期母羊的数量 + +G1 = N; % 第1个分支母羊产下的羔羊数量 + +G2 = N; % 第2个分支母羊产下的羔羊数量 + +G3 = N; % 第3个分支母羊产下的羔羊数量 + +$\%$ 交配期 + +N1(1:20) = n1; + +% 孕期1 + +N1(21:50) = ceil(x / n(2)); + +$\%$ 孕期2 + +y = round(x * 0.85); % 正式怀孕的母羊 + +N1(51:148) = ceil(y / n(2)); % 怀孕母羊占的羊栏数 + +Delta_x = x - y; % 留给后续批次的待孕母羊数量 + +% 后续分支 + +% 第1分支 + +yi = rdnump(xi,p,y); %生成随机分布 + +% 计算第1分支哺乳期母羊数量 + +for ii = 150:156 + +M11(ii) = sum(yi(1:ii - 149)); + +end + +for ii = 157:193 + +```matlab +M11(ii) = sum(yi(1:7)); +end +for ii = 194:200 +M11(ii) = sum(yi(ii-193:7)); +end +% 计算第1分支休整期母羊数量 +for ii = 195:201 +M21(ii) = sum(yi(1:ii - 194)); +end +for ii = 202:225 +M21(ii) = sum(yi(1:7)); +end +% 第2分支 +% 计算第2分支哺乳期母羊数量 +for ii = 157:163 +M12(ii) = sum(yi(8:ii - 149)); +end +for ii = 164:200 +M12(ii) = sum(yi(8:14)); +end +for ii = 201:207 +M12(ii) = sum(yi(ii-193:14)); +end +% 计算第2分支休整期母羊数量 +for ii = 202:208 +M22(ii) = sum(yi(8:ii - 194)); +end +for ii = 209:225 +M22(ii) = sum(yi(8:14)); +end +% 第3分支 +% 计算第3分支哺乳期母羊数量 +for ii = 164:170 +M13(ii) = sum(yi(15:ii - 149)); +end +for ii = 171:207 +M13(ii) = sum(yi(15:21)); +end +% 计算第3分支休整期母羊数量 +for ii = 208:208 +M23(ii) = sum(yi(8:ii - 194)); +end +for ii = 209:225 +M23(ii) = sum(yi(8:14)); +end +% 计算分支段上孕期期母羊数量 +index1 = 149:225; +L(index1) = y - M11(index1) - M12(-M23(index1)); +% 计算分支段上母羊占用羊栏的数量 +N1(index1) = ceil(L(index1) / n(2)) + ceil(M13(index1) / n(3)) + n(4)); +% 计算羔羊占用羊栏的数量 +% 计算第1分支的羔羊占用羊栏的数量 +for ii=195:201 +G1(ii) = sum(round(2.2 * 0.97 * +``` + +```matlab +for ii=202:393 G1(ii) = sum(round(2.2 * 0.97 * yi(1:7))); +end +for ii=394:400 G1(ii) = sum(round(2.2 * 0.97 * yi(ii - 393:7))); +end +% 计算第2分支的羔羊占用羊栏的数量 +for ii=202:208 G2(ii) = sum(round(2.2 * 0.97 * yi(8:i1 - 194))), +end +for ii=209:400 G2(ii) = sum(round(2.2 * 0.97 * yi(8:14))), +end +for ii=401:407 G2(ii) = sum(round(2.2 * 0.97 * yi(ii - 393:14))) +end +% 计算第3分支的羔羊占用羊栏的数量 +for ii=208:409 G3(ii) = sum(round(2.2 * 0.97 * yi(15:21))), +end +for k = 1:6 for ii = 409 + 2 * (k-1) + 1:409 + 2 * k G3(ii) = sum(round(2.2 * 0.97 * yi(15 + k:21)) +end +index2 = 195:421; +% 计算羔羊占用的羊栏数 +N2(index2) = ceil(G1(index2) / n(4)) + ceil((G2(index G_bar = sum(round(2.2 * 0.97 * yi(1:21)))); % 该批次出 +% 计算空闲公羊占用的羊栏数 +for ii = 1:20 N3(ii) = m1; +end +for ii = 21:25 N3(ii) = m2; +end +% 汇总 +N = N1 + N2 + N3; +% plot(1:length(N),N) +``` + +%numjp.m +```matlab +function [n1,m1] = numjp(x,m) +%numjp 输入盖批次母羊的数量 x 以及公羊 m 的数量，输出交配期母羊占用的栏数 n1 和空闲公羊占用的栏数 m1 +% 先求出最小的的非空闲公羊数量 mmrr,1); +yi(index) = yi(index) + 1; +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/E032/E032.md b/MCM_CN/2023/E032/E032.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0ca1b46e84dd08e7f3acd72e02017f186e8d6632 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/E032/E032.md @@ -0,0 +1,1613 @@ +# 基于时间序列分析预测的黄河水沙监测模型 + +# 摘要 + +在对黄河进行水文研究时，常通过探究水沙关系分析水沙通量的各种特性和变化规律，从而指导水资源分配和调水调沙、防洪减灾等措施。本文在对各附件数据进行预处理后，通过回归分析、小波分析、时间序列分析方法建立水沙关系模型和水沙通量模型，利用时间序列预测模型预测水沙通量的变化趋势，优化水文站采样监测方案，分析调水调沙效果。本文主要借助Python、Excel、Matlab等软件进行相关计算。 + +对于问题一，用“均值替补法”补充缺失数据后，分别研究含沙量与时间、水位、水流量的关系，并进行模型展示。针对含沙量-水位关系和含沙量-水流量关系分别进行回归分析，运用最小二乘法进行分段拟合，利用Matlab中多项式拟合得到分段函数，同时进行拟合度检验。最后建立年总排沙量、年总水流量模型，估算了近6年数据，又运用优化的数值积分法对上述模型进行了检验。 + +
日期201620172018201920202021
年总排沙量(亿吨)0.1820.1912.9183.0513.5102.239
年总水流量(亿m3)143.809153.353388.973387.239433.910472.626
+ +对于问题二，按月汇总附件1数据，将每月水沙通量的特性、变化规律通过月流量均值和月排沙量均值两要素描述。突变性利用“累积距平法”得到累积距平曲线，找到突变月份，利用“M-K突变检验”，判断两要素突变时间；季节性研究通过季节分解原理得两要素的时间序列分解图，由此分析季节性变化规律；周期性研究运用小波分析法得到该水文站6年来每月“小波方差分析图”与“小波变换系数实数等值线图”，获得两要素各自的变化周期。根据各特性进一步得到水沙通量的变化规律。 + +对于问题三，针对水沙通量趋势的预测，建立SARIMA预测模型。将2016-2020年月流量数据作为训练集，预测2021年月水沙通量变化趋势。2021年月水沙通量作为测试集，将模型预测结果与实际数据进行拟合，观察结果，将参数进行调整，找到最优参数，建立准确SARIMA预测模型，以此预测未来两年水沙通量变化趋势。根据未来两年趋势走向图，判断出未来两年水沙通量的周期性与突变性，制定最优采样监测方案。 + +对于问题四，从水沙通量变化、河底高程变化，水情监测数据变化三方面分析调水调沙实际效果。结合问题二水沙通量变化，调水调沙起到一定作用；结合水位、河底高程与起点距离的关系，分析了水面宽度与水深的变化；采用“断面测量法”计算了水道断面面积，采用“流速面积法”计算了水道平均流速，计算结果展示出面积增大、流速略增的趋势。得出若不调水调沙，河底高程会升高的结论。 + +关键词：回归分析，数值积分法，累积距平法，M-K突变检验，小波分析， + +SARIMA 模型，流速面积法 + +# 一、问题背景与问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +黄河是中华民族的母亲河。研究黄河水沙通量的变化规律对沿黄流域的环境治理、气候变化和人民生活的影响，以及对优化黄河流域水资源分配、协调人地关系、调水调沙、防洪减灾等方面都具有重要的理论指导意义。 + +# 1.2 已知条件 + +为深入研究黄河水沙通量的变化规律，选取位于小浪底水文站下游黄河某水文站的数据为研究依据。 + +1. 该水文站近6年的水位、水流量与含沙量的实际监测数据（附件1）； +2. 该水文站近6年黄河断面的测量数据（附件2）； +3. 该水文站部分监测点的相关数据（附件3）。 + +# 1.3 问题重述 + +问题1 研究该水文站黄河水的含沙量与时间、水位、水流量的关系，并估算近6年该水文站的年总水流量和年总排沙量。 + +问题2分析近6年该水文站水沙通量的突变性、季节性和周期性等特性，研究水沙通量的变化规律。 + +问题3根据该水文站水沙通量的变化规律，预测分析该水文站未来两年水沙通量的变化趋势，并为该水文站制订未来两年最优的采样监测方案（采样监测次数和具体时间等），使其既能及时掌握水沙通量的动态变化情况，又能最大程度地减少监测成本资源。 + +问题4根据该水文站的水沙通量和河底高程的变化情况，分析每年6-7月小浪底水文站进行“调水调沙”的实际效果。如果不进行“调水调沙”，10年以后该水文站的河底高程会如何？ + +# 二、模型假设 + +1. 假设题目所给的数据真实可靠； +2. 假设水文站监测仪器因素导致的数据误差属于不可消除误差，忽略不计； +3. 假设所监测的黄河水只含水和沙，不考虑石子等其他物质的影响； +4. 假设选取的小浪底水文站下游的黄河水文站数据具有一定的代表性； +5. 假设黄河水中沙的密度为 $2.5 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ; +6. 假设不考虑太阳蒸发对黄河水位的影响； +7. 假设不考虑地理因素及自然灾害的影响； +8. 假设“水位”和“河底高程”均以“1985国家高程基准”（海拔72.36米）为基准面； +9. 假设附件中的“起点距离”以河岸边某定点作为起点。 + +# 三、符号说明 + +
符号符号含义
Q沙含沙量
t时间
Z水位
Q水水流量
Q流量
Q年沙年总排沙量
Q年水年总水流量
Q月月流量均值
Q月沙月含沙量均值
Q月排月排沙量均值
WCAj第j年的累计距平值
Di第i个起点距离
an第i个起点距离
Si第i个梯形的面积
h1-1第i个梯形的上底，即第i-1个测深读数
hi第i个梯形的下底，即第i个测深读数
bij第i次测速中第j个小长方形的高度
v水速均值
S水到断面总面积
+ +# 四、模型的分析、建立与求解 + +# 4.1 本文的研究思路 + +![](images/67f7655009b2096c31d9d4563ae2ab3d1fa0f6200c60b4241a80125950b4d4e5.jpg) +图1.本文的研究路径 + +# 4.2 问题一 + +分析该水文站黄河水含沙量的检测数据时，从时间、水位、水流量三方面入手，并对6年该水文站的年总水流量和年总排查量进行了合理估算。 + +# 4.2.1 数据预处理 + +(1)对附件各sheet进行“首行冻结”操作。 +(2)通过“数据筛选”发现，2017、2018、2019、2021年中有日期缺失情况。因此将缺失日期补全。 +(3) 观察“附件1”，6年中，第 $i$ 年 $(i = 1\sim 5)$ 12月31日24:00与第 $i + 1$ 年1月1日0:00的数据完全一致，因而去掉重复值。 + +# 4.2.2 问题一的模型建立与求解 + +# 1. 研究含沙量与时间的关系 + +考虑到涉及时间的分析，各年数据的数量应具有的一致性，因此剔除掉2016、2020这两个闰年的2月29日数据。 + +对处理后的各年度数据进行汇总、转置操作，结果如表1所示： + +表 1 含沙量数据展示汇总表 + +
1月1日1月2日1月3日1月4日1月5日1月6日1月7日1月8日1月9日1月10日1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日1月16日1月17日1月18日...12月23日12月24日12月25日12月26日12月27日12月28日12月29日12月30日12月31日
2016年0.80.840.670.650.690.730.710.920.950.960.870.860.850.880.830.870.890.88...0.40.40.40.30.30.30.40.40.4
2017年0.510.580.470.420.420.440.470.530.530.530.480.52...0.80.680.760.730.640.680.620.670.79
2018年0.590.640.640.790.680.711.190.970.681.050.711.020.840.860.970.860.80.97...0.60.80.90.80.90.70.90.80.7
2019年0.920.890.830.680.680.810.730.730.70.720.830.860.860.920.820.820.90.76...1.10.91.10.81.11.61.91.72
2020年1.531.61.461.031.290.940.881.150.991.211.030.971.0210.970.971.020.98...1.131.20.90.751.122.12
2021年0.951.422.012.251.361.02...1.83.12.4
+ +其中，蓝色格子代表该日期的8点时段获得了含沙量数据，而空白格子表示该日期未获得数据，因此，采用“均值替补法”对空数据进行补充。观察到每年1月1日的数据都是完整的，则针对某年度，从1月2日起，逐一扫描每个 $Q_{\text{沙}}$ ，若缺少第 $t$ 日的含沙量 $Q_{\text{沙} \mathrm{t}}$ ，则向后探测各含沙量数据，直到探测到非空值停止，再考虑前后时点与缺失的第 $t$ 日的间隔不同，使用时点间隔 $d$ 设置权数，进行加 + +权计算，给出公式 + +$$ +Q _ {\text {沙} \mathrm {t}} = \frac {d}{d + 1} Q _ {\text {沙} \mathrm {t - 1}} + \frac {1}{d + 1} Q _ {\text {沙} \mathrm {t + d}} +$$ + +公式1 + +补充第 $t$ 目的含沙量，Python代码见附录。 + +在对附件1数据进行预处理并汇总的基础上，建立含沙量矩阵来描述6年中每日含沙量的监测数据： + +$$ +\boldsymbol {Q} _ {\text {沙}} = \left( \begin{array}{c c c c} q _ {1 1} & q _ {1 2} & \dots & q _ {1, 3 6 5} \\ q _ {2 1} & q _ {2 1} & \dots & q _ {2, 3 6 5} \\ & & \dots \\ q _ {6, 1} & q _ {6, 2} & \dots & q _ {6, 3 6 5} \end{array} \right) _ {6 \times 3 6 5}. +$$ + +公式2 + +$Q_{\text {沙}}$ 中的任一元素 $Q_{ij} (i = 1 \sim 6, j = 1 \sim 365)$ 表示第 $i$ 年的第 $j$ 天监测到的含沙量， $i$ 、 $j$ 分别是年、日的逻辑编号。考虑对各年度的同一天的数据进行统计用以分析含沙量与时间的关系，并定义： + +$$ +\overline {{q}} _ {j} = \frac {1}{6} \sum_ {i = 1} ^ {6} q _ {i j}, +$$ + +公式3 + +从而获得每日含沙量向量 + +$$ +\overline {{Q}} _ {\text {沙}} = \left( \begin{array}{c c c c} {\overline {{q}} _ {1}} & {\overline {{q}} _ {2}} & {\dots} & {\overline {{q}} _ {3 6 5}} \end{array} \right) +$$ + +根据以上模型，利用Excel软件的绘图功能，描述含沙量与时间的关系如图2： + +![](images/d174d93b194d567c019ada840b0c6137b2513a2574ff2e5c70c911c992228402.jpg) +图2 含沙量与时间的关系图 + +由于同日均值是各年度同一天的概括性度量，较单独的一天数据更方便表示含沙量的变化规律。观察并分析出不同时间段的含沙量特征如下： + +(1) 10 月 15 日至来年 6 月 30 日含沙量较低, 一般不超过 $4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ , 均值为 + +2.23 kg/m³，标准差为0.96 kg/m³； + +(2) 7月1日至当年10月14日含沙量较高，一般高于 $4\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ ，均值为 $6.45\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ ，标准差为 $2.79\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ 。 + +# 2. 研究含沙量与水位的关系 + +# 1）数据准备 + +对在 4.2.1 中预处理之后的 6 年的所有数据, 筛选剔除含沙量缺失的行, 保留其余的 2154 行。从中选取 “水位”、“含沙量” 所在列, 作为研究数据。 + +# 2）组距分组 + +上述分析中，“日期”属于离散型数据，故而进行单变量分组。与日期不同，“水位”属于较多的连续型变量，需要把水位值的变化范围分成若干个区间，每个水位值归属于相应的区间，故而进行组距分组。 + +组距分组时，为了获得较好的组距，采用统计学家 Sturges 提出的经验公式确定组数，公式为： + +$$ +K \approx 1 + \frac {\ln N}{\ln 2} \quad \text {公 式} 3 +$$ + +式中， $K$ 代表组数， $N$ 代表水位值的总数，这里 $N = 2154$ ， $K = 12.0728$ ，通常分组取奇数，因而分13组。 + +利用Excel函数“=（max(A)-min(A))/13”确定组距，进而获得各组上限、下限。 + +# 3）求解组内含沙量均值 + +利用Excel函数,“=VLOOKUP(B2, $F$ 3: $G$ 15,2,TRUE)”模糊查找小于水位值的每组下限,进而将2154个水位值归属为13组,获得第k组内各含沙量数据: + +$$ +Q _ {k} = \left(q _ {k 1} ^ {\prime} q _ {k 2} ^ {\prime} \dots q _ {k n} ^ {\prime}\right). \quad \text {公 式} 4 +$$ + +式中， $\mathrm{i} = 1\sim 13$ ，n表示第i组的数据频数。 + +利用“数据透视表”功能，求得各组均值 + +$$ +\overline {{q}} _ {k} ^ {\prime} = \frac {1}{n} \sum_ {j = 1} ^ {n} q _ {k j}. \quad \text {公 式} 5 +$$ + +结果如表2所示： + +表 2 各组水位的含沙量均值 + +
水位分组组内含沙量均值 \( \left( {\mathrm{{kg}}/{\mathrm{m}}^{3}}\right) \)
41.50~42.23组0.576724638
42.23~42.58组0.932594595
42.58~42.93组1.637192727
42.93~43.29组3.649313889
43.29~43.64组5.293121387
43.64~43.99组7. 347054264
43.99~44.34组16.66772277
44.34~44.69组16.08071429
44.69~45.04组14.67
45.04~45.40组12.82211268
45.40~45.75组10.68325
45.75~46.10组6.438888889
46.10~47.00组6.6568
+ +取其变化趋势展示如图3： + +![](images/89a6fc68e8f0c37d25f288e63c39f629afb0a4f489f459c7ab581b94b1ca8858.jpg) +图3 含沙量与水位的关系图 + +由上述图、表可以得出，前七组水位数据含沙量的数值是随着水位数值的增加逐渐增长的，特别是水位变化到43.99-44.34m时，含沙量数值陡增。而此后，水位再增加时，含沙量的值却开始缓慢下降，显然，变化规律很难拟合成一个函数，该关系曲线更符合分段函数的特点。 + +# 4）利用回归分析拟合“含沙量-水位”关系曲线 + +利用线性最小二乘法进行回归分析，借助Matlab分别对前后两段曲线进行 $m$ 次多项式拟合，由图中曲线变化趋势可以观察出，前段曲线符合三次函数特点， + +后端曲线变化更接近直线。因此两段函数拟合时，选用三次曲线和一次线进行拟合，即多项式函数的次数 $m$ 分别取3和1，得到前后两段函数形成的分段函数表示为： + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{l l} 3. 7 3 x ^ {3} - 4 7 7. 3 6 x ^ {2} + 2 0 3 7 7. 6 0 x - 2 8 9 9 7 8. 6 5, & 4 2. 0 8 \leq x < 4 4. 3 4, \\ - 5. 4 6 x + 2 5 8. 7 4, & 4 4. 3 4 \leq x \leq 4 6. 2 4. \end{array} \right. +$$ + +以水位分组后每组数据的均值为横坐标，取每组含沙量的均值为纵坐标，绘制拟合后的“含沙量-水位”分段函数图像见图4： + +![](images/a238675a566f64d9925c4d9901bcafd9b15e977f81de5414c258297a640f53f4.jpg) +图4.“含沙量-水位”拟合函数曲线 + +# 5）回归模型的拟合度检验 + +利用Matlab对两段拟合曲线进行“拟合优度检验”，程序见附件。左边拟合成三次曲线，其 $R^2 = 0.98$ ，右边拟合成直线，其 $R^2 = 0.941$ 。两段拟合的都非常理想。如果左边用二次曲线去拟合，其 $R^2 = 0.952$ ，可见三次曲线拟合效果好。 + +在第二段函数中含沙量数值随水位数值的增大而减小，这种情况的产生受多因素影响，其中，可能包含该地区进行了“调水调沙”这一因素所产生的作用。 + +# 3. 研究含沙量与水流量的关系 + +# 1）数据准备 + +在前期筛选剔除含沙量缺失的行后保留的2154行数据基础上，选取“流量”、“含沙量”所在列，作为两列研究对象。而问题一中需要研究“含沙量”与“水流量”的关系，因此给出水流量与流量的转换公式，从而补充附件1中含沙量对应的水流量数据作为研究数据。水流量模型： + +$$ +Q _ {\text {水}} = Q \left(1 - \frac {Q _ {\text {沙}}}{\rho_ {\text {沙}}}\right) ， \left(\rho_ {\text {沙}} = 2. 5 8 \times 1 0 ^ {3} \mathrm {k g / m} ^ {3}\right) +$$ + +公式6 + +# 2）组距分组 + +“流量”数据的特点与“水位”类似，属于较多的连续型变量，因此同样需要把“水流量”值的变化范围分成若干个区间，每个水流量数值归属于相应的区间，故而进行组距分组。分组方法同“水位”数据分组，利用经验公式确定组数，求得水流量值同样可分为13组。再利用Excel函数“=（max(A)-min(A))/13”确定组距，进而获得各组上限、下限。 + +利用“数据透视表”功能，求得各组均值，结果如表3所示。 + +表 3 各组水流量的含沙量均值 + +
水流量分组组内含沙量均值(kg/m³)
0~548.12组0.903063325
548.12~917.27组1.893426439
917.27~1286.42组4.244539249
1286.42~1655.57组5.031612903
1655.57~2024.72组8.182527473
2024.72~2393.87组17.74513158
2393.87~2763.02组16.24623656
2763.02~3132.16组13.46295455
3132.16~3501.31组12.06622222
3501.31~3870.46组15.74454545
3870.46~4239.61组10.02794118
4239.61~4608.76组7.8375
4608.76~5000组6.705416667
+ +其变化趋势展示如图5： + +![](images/d1be533954084d76107ecb343345e0f1acc5a009f7dbd1d547a52163eac75927.jpg) +图5.含沙量-水流量关系图 + +同样利用线性最小二乘法进行回归分析，借助Matlab分别对前、后两段曲线进行 $m$ 次多项式拟合，多项式函数的次数 $\mathfrak{m}$ 分别取2和1，得到前后两段函数形成的分段函数表示为： + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{l l} 2. 3 7 \times 1 0 ^ {- 6} x ^ {2} + 9. 8 1 \times 1 0 ^ {- 4} x - 0. 0 2 2, & 3 6 3. 7 1 \leq x < 2 5 7 6. 9 6, \\ - 0. 0 0 4 x + 2 6. 5 2, & 4 4. 3 4 \leq x \leq 4 4 8 1 6. 6 1. \end{array} \right. +$$ + +以水流量分组后每组数据的均值为横坐标，取每组含沙量的均值为纵坐标，绘制拟合后的“含沙量-水流量”分段函数图像见图6： + +![](images/6c3b4ca40d3fee8ab33aba6e144bcb817c282111e57857c6089b7b496471b683.jpg) +图6.“含沙量-水流量”拟合函数曲线 + +利用Matlab对两段拟合曲线进行“拟合优度检验”，左边拟合成三次曲线，其 $R^2 = 0.924$ ，右边拟合成直线，其 $R^2 = 0.754$ 。左侧拟合得比右侧效果更理想。如果左边用二次曲线去拟合，其 $R^2 = 0.907$ ，可见三次曲线拟合效果好。 + +# 4.估算近6年该水文站年总水流量和年总排沙量 + +（1）年总排沙量模型的建立与求解 + +给出第 $i$ 年的年总排沙量的计算模型： + +$$ +Q _ {\text {年 沙}} = 1 0 ^ {- 1 1} \cdot \sum_ {j = 1} ^ {3 6 5} Q _ {\text {沙} j} \cdot Q _ {j} \cdot t \quad \text {公 式} 7 +$$ + +其中， $Q_{\text{沙}j}$ 表示第 $j$ 天 8 点的含沙量， $Q_{j}$ 表示第 $j$ 天含沙量数据对应的流量， $t$ 表示每天的时长， $t = 86400$ 秒。参考水文研究中常用量纲，将年总排沙量的单位取为“亿吨”。利用上述模型，计算出近六年的年总排沙量，结果见表 4： + +表 4 2016-2021 年的年总排沙量表 + +
日期201620172018201920202021
年总排沙量(亿吨)0.1820.1912.9183.0513.5102.239
+ +# (2) 年总水流量模型的建立与求解 + +年总水流量计算应利用前面给出的“水流量模型 $Q_{\text{水}} = Q(1 - \frac{Q_{\text{沙}}}{\rho_{\text{沙}}})$ ”计算求得，经过对该模型的分析，由于 $Q_{\text{沙}} \ll \rho_{\text{沙}}$ ，因此 $1 - \frac{Q_{\text{沙}}}{\rho_{\text{沙}}} \approx 1$ ，即水流量的数值近似取流量的数值。所以在估算近6年的年总水流量时，直接选取流量数据进行计算。给出第i年的年总水流量的计算模型： + +$$ +Q _ {\text {年 水}} = 1 0 ^ {- 8} \cdot \sum_ {j = 1} ^ {n} \Delta t _ {j} \cdot Q \quad \text {公 式} 8 +$$ + +式中， $Q_{\text{年水}}$ 为某年总排水量，设相邻两次监测时点之间为一个时段， $\Delta t$ 为时段长度， $n$ 为每年时段总个数。 + +模型求解时，首先观察到监测时点均为整点，因而使用Excel函数“=TEXT(A6,"h")”取出小时数。其次，利用“=IF(TEXT(A6,"h))-TEXT(A5, "h"))>0,TEXT(A6,"h))-TEXT(A5,"h"),TEXT(A6,"h))-TEXT(A5,"h")+24)*3600”计算时段长度并将小时转换为秒，统一时间单位。最后，利用“=SUMPRODUCT(B5:B2383,C5:C2383)/10^8”返回年总排水量，并将量纲调整为“亿立方米”。结果见表5： + +表 5 2016-2021 年的年总水流量表 + +
日期201620172018201920202021
年总水流量(亿m3)143.809153.353388.973387.239433.910472.626
+ +# （3）年总水流量与年总排沙量的优化模型——数值积分法 + +应用上述两个模型，分别求出了2016-2021年的年总水流量和年总排沙量，为了验证模型计算数值的准确性，对模型进行了进一步改进，运用水文研究中流量估计的模型——数值积分法进行估算（程序代码见附录），从而对模型进行了检验和优化，年总排沙量和年总水流量的计算结果如下表6： + +表 6 “数值积分法”估算的年总排沙量和年总水流量表 + +
日期201620172018201920202021
年总排沙量(亿吨)0.1470.2150.1814.3013.5102.239
年总水流量(亿m3)133.436161.478395.784518.374449.518444.308
+ +# 4.3 问题二 + +# 4.3.1 问题二的分析 + +# 1. 数据预处理 + +为方便研究水沙通量的突变性、季节性和周期性的特征，我们将附件1中的数据进行按月汇总、分析。利用Excel处理附件1中数据，得到6年来月流量和月排沙量的均值 $\overline{Q}_{\text{月}}$ 和 $\overline{Q}_{\text{月排}}$ （ $\overline{Q}_{\text{月排}} = \overline{Q}_{\text{月沙}} \cdot \overline{Q}_{\text{月}}$ ）。研究每年中每月的水沙通量，主要通过 $\overline{Q}_{\text{月}}$ 和 $\overline{Q}_{\text{月排}}$ 这两个要素的变化规律描述水沙通量的各种特性。 + +# 2.水沙通量的突变性分析 + +利用“累积距平法”得到累积距平曲线，根据曲线的极值点找到每年中月水沙通量变化两要素各自趋势改变的月份。利用“M-K检验法”对该水文站6年来月水沙通量两要素进行突变检验，从而判断水沙通量的两要素各自发生突变的时间，找出其突变性特征。 + +# 3. 水沙通量的季节性分析 + +根据每月水沙通量的均值，将6年来流量数据和排沙量数据按照季节性分解原理分离成不同成分，其中包括：原始数据均值，长期趋势(Trend)，季节性(Seasonality)和随机残差(Residual)。 + +# 4. 水沙通量的周期性分析 + +运用小波分析方法得到该水文站6年来每月小波方差分析图与小波变换系数实数等值线图，得到水沙通量的两要素各自的变化周期。 + +# 4.3.2 问题二的模型建立与求解 + +# 1. 水沙通量突变性模型的建立与求解 + +运用累积距平法对水沙通量进行突变性分析。累积距平法的思路是：在研究 + +的时段内，计算的累积距平值的数值越大，说明原数据越大于均值，得到的曲线在这一段呈现上升的态势，反之则曲线呈下降的态势。数据的变化特征是通过累积距平曲线的极值体现出来的。对于该水文站6年来每月水沙通量值序列，其累积距平值计算公式为： + +$$ +W _ {C A j} = \sum_ {i = 1} ^ {j} \left(W _ {i} - \bar {W}\right), \quad \text {公 式} 9 +$$ + +其中， $W_{CAj}$ 表示为水沙通量序列 $W_{i}$ 在第 $j$ 年的累积距平值， $W_{i}$ 表示为第 $i$ 年数值， $n$ 表示为序列长度， $\bar{W}$ 表示为序列平均值。 + +Mann-Kendall法可进一步运用于检验序列突变。首先构建时间序列的秩序列为： + +$$ +S _ {k} = \sum_ {i = 1} ^ {k} R _ {i}, \quad \text {公 式} 1 0 +$$ + +其中， $R_{i}$ 表示 $X_{i} > X_{j}(1 \leq j \leq i)$ 的累积数。在时间序列独立的假设下，定义统计量： + +$$ +U F _ {k} = \frac {S _ {k} - E \left(S _ {k}\right)}{\sqrt {\operatorname {V a r} \left(S _ {k}\right)}}, k = 1, 2, \dots 1 2. \quad \text {公 式} 1 1 +$$ + +其中， $UF_{1} = 0$ ， $E(S_{k})$ 和 $Var(S_{k})$ 分别表示序列 $S_{k}$ 的期望和方差，它们可由下式表示： + +$$ +E \left(S _ {k}\right) = \frac {n (n + 1)}{4}, \quad \operatorname {V a r} \left(S _ {k}\right) = \frac {n (n - 1) (2 n + 5)}{7 2}. \tag {公式12} +$$ + +将时间序列逆序排列，重复上述过程，同时令 $UB_{k} = -UF_{k}$ ，且 $UB_{1} = 0$ 。分析统计序列 $UB_{k}$ 和 $UF_{k}$ 可以进一步分析序列 $x$ 突变的时间节点，显示突变的区域。若 $UF_{k} > 0$ ，则表明序列呈上升趋势；反之序列呈下降趋势。如果 $UB_{k}$ 和 $UF_{k}$ 曲线出现交点，且交点在两临界直线之间，那么交点对应的时刻为突变开始的时刻。 + +首先根据2016-2021年流量和含沙量数据，整理得每年12个月中每月平均流量和含沙量，进而得到每月平均流量和排沙量数据。根据累积距平法将月均流量建立模型，利用python绘制首先得到月均流量累积距平曲线，如图7所示，通过对曲线图的分析，按照极值点将6年来流量变化分为两个阶段，分别是2016- + +2018年的枯水期和2018-2021年的丰水期，分析累积距平图后发现流量变化的极值分别出现在2018年间，2019年间，2021年间。 + +![](images/cf2e430afe679323947bda60557b2860fc062bb7472a0193545ecf5bcf012b72.jpg) +图7.2016-2021年月均流量累积距平曲线 + +运用M-K检验法对水文站月流量进行“突变性检验”，得到图7，为了方便观察规律，将在同一图中分析2016-2021年72个月流量和排沙量的某一性质。分析图中曲线变化趋势可明显观察到，在2016年和2018-2021年两阶段 $UF > 0$ ，在此阶段内，该水文站的流量处于增加阶段，在2016年5月份之前和2016年11月到2017年5月间， $UF < 0$ ，说明在这期间水文站的流量呈下降趋势。从图8可知在置信区间内月流量统计量曲线 $UF$ 、 $UB$ 在第25个月和第30个月间相交，说明在此对应时段内可能存在突变点。综合上文所做的累积距平过程图在2018、2019、2021年间出现的转折点，确定该水文站的月流量在2018年间发生突变。 + +![](images/e961a4bd768a66c6c87c20e41f6422d1d901447dfcaf1eaee40f893b303c9dd9.jpg) +图8.2016-2021年月均流量突变性检验 + +将2016-2021年间月排沙量根据利用累积距平法建立模型，得到图9排沙量累积距平曲线图，由于累积距平曲线表现出不稳定波动的趋势，故以起伏变化的最大值点对应时间进行趋势变化的区分，分别是2016-2018年中与2021年下半年的枯沙期和2018年中-2021年中的丰沙期。分析累积距平曲线（如图9）后可见月排沙量变化的极值点分别出现在2018年间，2019年间和2021年间。 + +![](images/a3c19ec3b7d7ac9ece536d03995112634e05e47b3fa3822b55fa0b2d29ca1ec5.jpg) +图9.2016-2021年月均排沙量累积距平曲线 + +为了得到更精确的突变时间，利用M-K突变检验方法，分析6年来每月平均排沙量，得到图10，根据曲线变化趋势，观察到在第22个月之后 $UF > 0$ ，说明排沙量在此期间呈增大趋势，在第22个月之前，曲线变化趋势波动明显，但是总体是 $UF < 0$ ，说明排沙量减少。 $UF$ 、UB曲线在第25个月和第30个月之间出现交点，说明突变点发生在此时间段内。与排沙量累积距平图得到的结果综合比较，可以发现，水文站月排沙量在2018年间发生突变。 + +![](images/c510001445cddfa273adeaf7a9b9c55ab37e0c399bade11d6db2f6bed2f66c12.jpg) +图10.2016-2021年每月平均排沙量突变性检验 + +该水文站月流量和月排沙量累积曲线表现较不规律的主要原因是由于小浪底水库对下游水沙要进行调控。小浪底水库要有效调节下泄水量，实现黄河下游不断流，并且要在汛前调水调沙，增加对下游河道的冲刷。 + +# 2. 水沙通量季节性模型的建立与求解 + +通过2016-2021年每月平均流量数据，通过季节分解原理得到6年来关于流量的时间序列分解图，如图11： + +![](images/10fa67c187712b02d968b7e040ff5e0f3baecc14fe330ed04cd77db8bc8f471f.jpg) +图11.2016-2021年每月平均流量时间序列分解图 + +根据图中趋势(Trend)曲线，可以观察到水流量在2018年呈明显上升趋势，并且在2018年5月份之后趋于稳定，在2021年水流量再次出现小范围波动。从季节性(Seasonality)曲线图可以看出，每年春季流量逐渐增大，夏季流量出现急剧上升趋势，在6、7月份达到最大，汛期过后流量急剧减少，秋季流量较平稳，冬季阶段流量骤减。 + +根据2016-2021年每月平均排沙量数据，通过季节分解原理得到6年来关于排沙量的时间序列分解图，见图12，根据图中曲线分别分析趋势和季节性，由趋势(Trend)曲线可以看出排沙量在2018年出现急剧上升，自2018年5月之后趋势趋于平缓，2021年开始排沙量开始呈下降趋势。根据季节性(Seasonality)曲线图可以看出，每年春季排沙量呈逐步增长趋势，在进入夏季之前出现小范围波动；进入夏季之后排沙量急剧上升在6，7月份达到最大值，汛期之后排沙量急剧下降；进入秋季出现小范围上升趋势，但不会超过汛期最大排沙量；冬季排沙量逐步下降。 + +![](images/9341b210ecfcc41f687e34efba51eceb8ae3f622727e43f1e82ee26ca84b6a4e.jpg) + +![](images/7bb3bde9d5da214f2d5981e5eba14aca245e113ca966bde8785b00320f5fef71.jpg) + +![](images/aa7b4c05f56c9cd3229a9cad47a917dbd6515dcea3401188cd566aa692ccdb6a.jpg) + +![](images/2d45bfcbfc9b392506ec6138a3b1c1734cfb28dd67b6d6fad65f9b5176ec0d50.jpg) +图12. 2016-2021年每月平均排沙量时间序列分解图 + +# 3. 水沙通量周期性模型的建立与求解 + +小波分析是通过伸缩、平移等运算对数据逐步地多尺度地细化，进而满足不同特征数据的分析需求，获取不同条件下的变化周期的方法。通过小波变换方程对流量时间序列进行连续小波变换，可以得到小波变换系数，提取小波系数实部，绘制等值线图，从等值线图中识别水文序列在时间上的周期性特征。通过小波方差进行检验可以识别流域流量序列的主要周期，小波方差图上波峰对应尺度为主周期。 + +选取2016-2021年小浪底水库每月流量相关数据，使用Matlab编程进行Morlet小波变换，得到小波变换系数。通过origin绘图工具得到小波变换系数实部等值线图，得到图13。图中的横坐标对应时间，即所选取的研究时段各个月份，纵坐标对应频率，即对应不同的小波周期。通过图像可以看出该水文站流量值数值较大对应实部值大于零处，这些大于0处的部分在图中以实线区反映出来；相反的流量值较小时，是用图中虚线区块显示出来。而在图中的实线区与虚线区相交的小波系数等于零的位置，则代表数据所处年代发生了突变。 + +![](images/9f166c0b3bdb4ccaba13116c626db3b81b62358776fc6d04147aa74bc5633ecb.jpg) +图13.2016-2021年每月平均流量小波系数实部等值线图 + +根据图13观察出，小浪底水文站周期变化主要有2种，分别是3-5个月、10个月。所有主要周期变化中以10个月为周期尺度的时间序列表现最为稳定，在此周期有明显的明暗交替的丰枯振荡变化。 + +将2016-2021年小浪底水库每月流量进行小波系数方差分析，得到图14，小波方差图上极值的数值越大，表明该极值点对应的波动越强烈，这也表示其对方差的贡献越大。由图13可以观察得到，在3个月，10个月，38-40个月位置有明显峰值，其峰值与实部等值线图中的周期规律很好对应该水文站序列变化的第一主周期为10个月；第二主周期、第三主周期分别为40个月和3个月。 + +![](images/2c09f12ae6038ff42778d5d400b16826ae2964ad7e8b61919b29cb9da1006180.jpg) +图14.2016-2021年每月平均流量小波系数方差图 + +图15是2016-2021年每月排沙量小波系数实部等值线图，根据图中信息可以看出其周期变化主要有2-3个月、10个月。 + +![](images/f466986ebf667759914f1f172529c8cc01ff672fd7c12b9cf13c4b9af6c7e1ce.jpg) +图15.2016-2021年每月平均排沙量小波系数实部等值线图 + +将2016-2021年小浪底水库每月排沙量进行小波系数方差分析，得到图16，根据方差曲线得到，在4个月，10个月，40个月位置有明显峰值，其峰值与实部等值线图中的周期规律很好对应该水文站序列变化的第一主周期为10个月；第二主周期为40个月、第三主周期为3个月。 + +![](images/3b6cf9153305554359ac1114a36c8e5b3c390ec156a0b5966c8e66f065c6febe.jpg) +图16.2016-2021年每月平均排沙量小波系数方差图 + +根据突变性、季节性和周期性综合分析可知，流量在2018年急剧增长，这是由于2018年开始黄河水量增加，进入丰水期，由于小浪底水文站的调水调沙功能，排沙量在2018年同样剧增；根据季节性分析结论，流量和排沙量在夏季最多，汛期时期达到峰值，春季与冬季的水量与排沙量差距不明显，秋季的水量与排沙量变化不明显；通过数据的周期性分析得到，流量与排沙量主要以10个月为周期变化，其次以40个月，3个月为周期变化。 + +# 4.4 问题三 + +# 4.4.1 问题三的分析 + +问题三是根据问题二水沙通量的变化规律研究预测其变化趋势。ARIMA时间序列预测模型是水文研究中常用的预测模型，它是将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。 + +进行序列预测时，对序列 $\{x_{t}\}$ 进行小波分解后得到各层细节系数和逼近系数，重构后的细节系数一般可视为平稳过程来处理，通过模型识别可用选用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)等模型进行预测，逼近系数表示序列的趋势或走向，一般为非平稳序列，因此不能直接采用ARIMA模型，需要经过季节差分采取SARIMA模型。 + +# 4.4.2 问题三的模型建立 + +时间序列预测是数据分析预测中经常遇到的问题，本题主要研究ARIMA模型，也是最常用的时间序列模型。本剧第二问的水沙通量变化规律，时间序列具有突变性、周期性、季节性等特征，因此可能无法直接使用ARIMA建立模型。 + +因此建立季节差分自回归移动平均模型——SARIMA 预测模型。建模流程如下图 17 所示。 + +![](images/6aeda6f32ae7d5d836b9a862619b4c6398fad5a32f089053feddf0df492965ec.jpg) +图17.SARIMA原理分析图 + +# 4.4.2 问题三模型的求解 + +# 1.SRAIMA模型预测： + +# 1）ARIMA模型更新 + +对成熟的 ARIMA 进行时间序列预测，借助 MATLAB 程序进行简单分析，得到预测图 18 如下： + +![](images/831969d5fa275a79b1cbcb0e62dd98516920a7cc84b9f2f9ba407f88d444d6bd.jpg) +图18.ARIMA预测图 + +分析可得，由于时序数据中存在季节/周期性等的特征，所以ARIMA模型无法识别数据到底是哪种季节/周期特征，导致预测输出为一条直线。最后，已知有季节/周期性数据存在，所以就不能再用那个简单的ARIMA模型来处理。因此我们使用SARIMA。 + +# 2) 建立水沙通量预测序列数据 + +根据问题2水沙通量特性研究，发现水流量与排沙量都存在突变性、季节性、周期性等规律，且规律基本一致，在本节中我们将水沙通量综合考虑为流量。下面引入ARIMA序列预测模型建立对未来水沙通量的趋势预测。 + +首先选取2016-2020年此5年的月流量和月排沙量作为原始数据，得到两个连续时间下的60组数据集合，将数据按3个月为一季节划分尺度，建立季节性自回归移动平均模型。 + +# 3）检查时间序列的平稳性 + +为进行 SARIMA 序列预测，数据需要检查时间序列的平稳性，获取被观测 + +系统时间序列数据，对数据绘图，观测是否为平稳时间序列；此时可进行平稳性测试，我们使用Augmented Dickey-Fuller单位根测试测试平稳性。对于平稳的时间序列，由ADF测试得到的p值必须小于 $5\%$ 。如果 $\mathfrak{p}$ 值大于0.05或 $5\%$ ，则可以得出结论：时间序列具有单位根，这意味着它是一个非平稳过程。对于非平稳时间序列要先进行d阶差分运算，化为平稳时间序列。对前60组数据进行处理得到如下图19：可以看出序列为非平稳序列。 + +![](images/6057333036d5ef1d5e713f95f0825a65cfb7cf0652c906dace28cb967e092b60.jpg) +图19. 原时间序列图 + +# (2) 差分操作 + +针对非平稳时间序列，进行序列的差分操作，差分操作是通过计算当前观测值与前一个观测值之间的差异来消除非平稳性。对于本题的序列，我们需要先消除其季节性，因此进行季节差分处理，得到如下图20数据： + +![](images/506f76f6918b05e402fd8b276fcd3bf7fdffc9cc3887f9bf284dcbf4294f7b06.jpg) +图20.季节差分处理图 + +观察发现序列仍具有一定的不平稳性，因此进行差分处理。此时可以连续多次应用差分方法，产生“一阶差分”，“二阶差分”等，直到得到平稳的差分序列。在我们进行下一步之前，我们应用适当的差分顺序（d）使时间序列平稳。差分公式如下： + +一阶差分： $X_{T} - X_{T - 1}$ + +二阶差分： $\nabla X_{T} - X_{T - 1} = (X_{T} - X_{T - 1}) - (X_{T - 1} - X_{T - 2})$ 公式13 + +$K$ 步差分： $X_{T} - X_{T - K}$ + +将原始数据进行一阶差分得到下图21，为实现更优效果，进行二阶差分，如图21。从图22中可以看出，二阶差分之后数据趋势逐渐平稳。 + +![](images/6ba011b1eb5dd8ff73cab6b97b6dd478061bc679fd63d9eb9443cbff877deafc.jpg) +图21.一阶差分序列图 + +![](images/01c64ff711b545ed77f61b372829cc57b26864b7a75b25d2d0ec3ed5877b3b0c.jpg) +图22.二阶差分序列图 + +# （3）模型选择： + +经过第二步处理，已经得到平稳时间序列。然后开始对得到的模型进行模型检验。根据差分操作后的时间序列，可以确定SARIMA模型的参数。季节性SARIMA(p,d,q)(P,D,Q,s)模型由7个参数表示：自回归阶数(p)、差分阶数(d)、移动平均阶数(q)和季节自回归的阶数(P)、季节差分阶数(D)、季节移动平均阶数(Q)。 + +一个 $\mathrm{p}$ 阶自回归模型可以表示如下： + +$$ +y _ {t} = c + \phi_ {1} y _ {t - 1} + \phi_ {2} y _ {t - 2} + \dots + \phi_ {p} y _ {t - p} + \varepsilon_ {t}, \quad \text {公 式} 1 4 +$$ + +这里的 $\varepsilon_{t}$ 是白噪声。这相当于将预测变量替换为目标变量的历史值的多元回归。将这个模型称为 AR(p) 模型——p 阶自回归模型。可以使用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图形，以及信息准则（如 AIC、BIC 等）等指标来选择合适的模型参数。 + +识别 AR 模型的 p 阶：对于 AR 模型，ACF 将以指数方式衰减，PACF 将用于识别 AR 模型的顺序（p）。如果我们在 PACF 上的滞后 1 处有一个显著峰值，那么我们有一个 1 阶 AR 模型，即 AR（1）。如果我们在 PACF 上有滞后 1,2 和 3 的显著峰值，那么我们有一个 3 阶 AR 模型，即 AR（3）。 + +识别MA模型的q阶：对于MA模型，PACF将以指数方式衰减，ACF图将用于识别MA过程的顺序。如果我们在ACF上的滞后1处有一个显著的峰值，那么我们有一个1阶的MA模型，即MA（1）。如果我们在ACF上的滞后1,2和3处有显著的峰值，那么我们有一个3阶的MA模型，即MA（3）。 + +下图展示了季节差分及二阶差分后的ACF及PACF图像。 + +![](images/ff614274e2c7e964745462f9168ab90c93b310ccfe7e2cbc36bf463dce0ee350.jpg) +图23.一阶差分ACF、PACF图 + +![](images/c9002bca2905facfed4aa0f82eec74acf60fb3ae763fafd632852f737b930c72.jpg) + +![](images/f1c34f4b90acaf1179c99f79b104ea4134b599b4723c89c67aac66d372e2f657.jpg) +图24.二阶差分ACF、PACF图 + +![](images/38bdf88b5e4ea9a3c853b0ddd1b2543b23bb8b8db6bfea36b26dbe36506df0c1.jpg) + +ARIMA 模型结构的初步识别主要依据 ACF(自相关系数)和 PACF(偏自相关系数)的衰减情况。根据模型识别方法，p 阶自回归过程为 ACF 是拖尾的（即呈指数逐步衰减），而其 PACF 在步距 p 之后截尾；相应地，q 阶滑动平均过程为 ACF 在步距 q 之后截尾，而 PACF 拖尾。 + +热力图定阶结果如下图25所示： + +![](images/b5e96d9cbad0076bf37b41e778f22e47facbead2bfd9f7f7c0569ea46cda3947.jpg) +图25.热力图 + +根据ACF和PACF图定阶，确定出 $p = 2, q = 3$ 。 + +# （4）模型拟合 + +由以上分析得到：自回归阶数 $(p) = 2$ ；移动平均阶数 $(q) = 3$ ；此外可以确定地是，季节性判定 $S = 6$ ，差分阶数 $(d) = 2$ ，做了2阶差分，季节差分阶数 $(D) = 1$ ，做了季节差分。 + +得到SARIMA模型。为了预测的可靠性，接下来，借助AIC信息准则及BIC信息准则，利用SARIMA模型，带入程序来选择最优的参数。对差分后的时间序列进行模型拟合，算法会估计模型的未知参数，以最小化预测误差。在四个自变量的81组候选参数中，得到最优参数组为[2,3,0,1]，即自回归阶数 $(\mathfrak{p}) = 2$ ，移动平均阶数 $(\mathrm{q}) = 3$ ，和季节自回归的阶数 $(\mathrm{P}) = 0$ ，季节移动平均阶数 $(\mathrm{Q}) = 1$ 。 + +基于SARIMA模型对水沙通量数据进行预测，并将实际数据与预测数据进行拟合。得到图18，此时贴合度为 $90\%$ 。贴合度如图26所示： + +![](images/8d3cc6d706da4c4fa4c6706a41354d12d56bf3e898945e9a34d7ca0b43b4655e.jpg) +图26.贴合度图 + +# （5）模型诊断： + +为检验模型的准确性，考虑选取模型残差的白噪声指标对拟合的SARIMA模型进行D-W检验，以验证模型的适用性，D-W检验可以检查残差序列是否满足白噪声假设，即不存在自相关性。根据上文得到的结果，我们可以得到D-W检验值为2.020419531977266，已知当D-W检验值接近于2时，不存在自相关性，所以我们选取的SARIMA模型对数据拟合充分。 + +# （6）模型预测 + +使用训练好的SARIMA模型对序列进行内预测，同时为未来的时间序列进行外预测，如下图27展示： + +![](images/9393df1804bc1b8b2ab7bffa817078a68b81f89edea04d4b18e3af7424b2b187.jpg) +图27.序列预测结果图 + +根据内预测数据我们发现，建立的SARIMA模型与有良好的预测性，数据能够接近真实值。此时，外预测图像展示了未来两年的水文站水沙通量情况。从图中可以看出，未来两年水文站水沙通量在仍有一定的季节性、周期性等特征，在未来一段时间内呈现上升趋势，22年具有极值点，在到达极值点后开始呈下降趋势。 + +# 2. 制定采样监测方案 + +根据上述预测，得到未来两年的水沙通量数据，根据图像分析变化趋势，制定有效监测水沙动态的方案。在以下方案中平均采样次数保持在每3-5天采样一次。 + +（1）在秋季时段内，水沙通量具有一定的稳定变化趋势，则只需在该时间段内测得水沙通量数据连续稳定10天后可以每3天监测一次，在监测到水沙通量数据开始发生突变时，开始采取每天监测一次选取起始点和终止点的数据即可获取在时间趋势内的稳定变化数据情况。 +(2) 每年进入夏季之前, 水沙通量会发生突变, 则从 5 月下旬开始每天早上 8:00 和 20:00 一天监测两次, 6-7 月每天在早上 8:00、中午 14:00 和晚上 20:00 监测三次。 +（3）每年春季和冬季时间，水沙通量具有一定的周期性，在每年春季水沙通量逐步增长，在此期间，采取每天监测一次的采样方案，在5月下旬调整至每天监测2次。水沙通量在每年冬季水沙通量逐渐减少，在10月底开始监测方案由每3天采样一次调整到每天监测一次。 + +# 4.5 问题四 + +# 4.5.1 问题四的分析 + +由问题一结果看到，2016、2017两年的总排沙量、总水流量不及2018-2021年的 $10\%$ ，说明6年间前期调水调沙能力不如后期。下图展示了2016年6-7月进行的调水调沙之前、之后的黄河河岸某定点处主河槽的河底高程情况。 + +![](images/d31232adad212eb67dbfda4522332fea8e461c005ce4f8bd3d45ffd3dcf0e836.jpg) + +![](images/0ca5399ca7d8b03e0ded0e67d87a8007e592bdb2d2e0f88e6df1f93de472dcdf.jpg) +图28.2016年检测日河底高程变化图 + +借助问题二该水文站月均流量、月均排沙量的计算结果，从主河槽剖面形态变化、平均下切高度两方面入手，分析了附件2黄河断面河底高程的变化情况；从测点水面宽度深度、流动力（水流速）、冲击力（水动能）三方面入手，分析附件3该水文站部分监测点数据。从而展示“调水调沙”的实际效果，即：小浪底下游河段具有河槽稳定、河床开阔、加深的趋势，黄河下游的“悬河”风险呈现降低态势，过洪能力提高。 + +# 4.5.2 问题四的模型建立与求解 + +# 1. 从水沙通量变化研究调水调沙效果 + +每年6-7月小浪底水库进行调水调沙，为研究调水调沙效果，借助问题二中计算的该水文站每年每月的月均流量和月均排沙量，提取出每年5-10月的对应数据作为水沙通量的主要数据，绘制出图29和图30观察分析6-7月调水调沙前后数据变化。 + +![](images/05f54172f95f3eca24b355448e8ecffbe12d91799ad5bfe5cc9ceb251b695120.jpg) +图29.六年中5-10月的月均流量走势图 + +观察图29可以看出，每年从6月到7月，月均流量都在增大，一般7月达到峰值，主要是因为7、8月份往往是汛期。理论上讲，6-7月调水调沙后河道变宽变深，流量应该增大，但由于汛期降水多，同时上游冲刷来的泥沙多，水沙量的增速大于调水调沙后的有利影响，所以从图像上看，6-7月份之后，月均流量数值在降低，但过了汛期之后，特别是8-9月之后，调水调沙的作用就逐渐显现出来，由于河道畅通，水沙流速增大，月均流量在多数年份有所增加。如果不进行调水调沙，七月达到的峰值会更高，河道快速变窄变浅，不利于排水排沙。 + +![](images/c36b53ec58527b4aacedd5552c019d046ee47c42be5423bc6d9d258c246951f4.jpg) +图30. 六年中5-10月的月均排沙量走势图 + +结合图29和图30可以看出，月均排沙量的变化与月均流量的变化趋势类 + +似，每年从6月到7月，月均排沙量都在增大，主要是七八月汛期的影响。调水调沙后，虽然月均排沙量数值在降低，但过了汛期之后，调水调沙的作用就逐渐显现出来。 + +问题二研究水沙通量的突变性时，发现2018年是水沙通量的突变年，可能是当地政府采取了技术更好的调水调沙方式，因此效果较以往明显。 + +# 2. 从河底高程变化研究调水调沙效果 + +从附件2的数据出发，选取2016年和2019年河底高程与水位和起点距离的数据，分析在这两年调水调沙前后水面宽度与水深的变化。2016年6月8日与2016年10月20日河底淤沙的截面图在图15中直观地可以看出，经过6、7月份调水调沙，河底高程明显降低。为了检验我们的观察，根据附件1分析2016年6月8日与2016年10月20日两天的平均水位分别为 $42.201\mathrm{m}$ ， $42.396\mathrm{m}$ ，水位轻微增长但变化不明显。我们将河底淤沙建立积分模型求得6月8日的淤沙截面面积为 $276753.8425\mathrm{m}^2$ ，10月20日淤沙截面的面积为 $277733.05\mathrm{m}^2$ ，综合分析水位和淤沙截面面积的变化验证了我们的观察。 + +同样，我们将2019年4月13日和2019年10月15日的淤沙截面图作图如图16，由于2019年4月13日数据较粗略，只能看出河底高程最低高度无明显变化，所以不能从淤沙截面面积分析变化，故从水深变化以及水面宽度变化来描述结果。从水深角度出发，4月13日平均水位为 $43.167\mathrm{m}$ ，10月15日平均水位为 $43.802\mathrm{m}$ ，水位轻微上升；从水面宽度角度出发，在附件2中可以看出4月13日起点距离在 $1681\mathrm{m}$ 和 $2072\mathrm{m}$ 之间为水面宽度，约为 $391\mathrm{m}$ ，10月15日起点距离在 $1600\mathrm{m}$ 和 $2055\mathrm{m}$ 之间为水面宽度，约为 $455\mathrm{m}$ ，水面宽度明显加宽。 + +综合以上结果分析得：小浪底水库调水调沙使得水面宽度变宽，故而水沙通量加大，确保了汛期黄河防洪安全；调水调沙前后河底高程无明显变化，实现了水库排沙减淤的调度目标，调水调沙带来的“清淤效果”极为显著，为下游通航提供了最基本的保障。 + +# 3. 从“水情监测数据”研究调水调沙效果 + +观察附件3数据中河槽内各处水深不同，且“测深点”、“测速点”间隔出现，考虑以测深垂线为边界，将若干条边界之间的面积视为直角梯形（前后两个三角形视为直角梯形的特例），分别计算出每一部分的面积（中面积），求和即为水道 + +断面总面积。示意图31如下： + +![](images/6e68dbb96a88314f2860e9988211662b5cc8bd8020213a899d986ecf6ee85e24.jpg) +图31. 求解水道断面面积示意图 + +记 $\mathrm{n}$ 次测深监测中, $P_{i}(i = 1 \sim n)$ 为第 $i$ 个测深点, $D_{i}$ 表示监测点 $P_{i}$ 起点距离, 定义 $a_{i}$ 为第 $i$ 个直角梯形的高度, 公式为: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} {a _ {0} = \text {水 深 为} 0 \text {时 的 起 点 距 离};} \\ {a _ {1} = D _ {1} - a _ {0};} \\ {a _ {2} = D _ {2} - D _ {1}} \\ {\dots \dots} \\ {a _ {n} = D _ {n} - D _ {n - 1}} \end{array} \right. +$$ + +公式15 + +定义 $h_{i}$ 为第 $i$ 个直角梯形的下底, 公式为: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} {h _ {0} = 0} \\ {h _ {i} = \text {第} i \text {个 测 深 点 读 数} (i = 0 \sim n)} \end{array} \right. +$$ + +公式16 + +定义 $S_{i}$ 为第 $i$ 个直角梯形的面积, 公式为: + +$$ +S _ {i} = \frac {1}{2} \left(h _ {i - 1} + h _ {i}\right) \cdot a _ {i} +$$ + +公式17 + +定义 $S$ 为水道断面总面积, 公式为: + +$$ +S = \sum_ {i = 1} ^ {n} S _ {i} +$$ + +公式18 + +进一步观察附件3的水流速数据，发现“测点水速”随起点距离的不同、与 + +河道中心距离不同、与水面距离不同而发生变化，即水速会受河床地形的影响。由于每个“测速点”在水道断面的坐标位置不同，不能直接代表河道水速。 + +考虑采用“流速面积法”计算平均水流速度。以各测速点之间的中点为边界，将若干直角梯形进一步划分为若干长方形（小面积），作为该测点的水速的作用区域。示意图32如下： + +![](images/f338eee8fafcc12846cd1dfac0d9984cd74d00f133cdee4d267b7df07b6f6a7b.jpg) +图32. 求解水道平均速度示意图 + +记 $m(m > n)$ 次测速中， $Q_{i}(i = 1\sim m)$ 为第 $i$ 次测速，在该次监测中的不同水深处共获得了 $k$ 个水速值和水深值，分别表示为 $\nu_{ij}(i = 1\sim m,j = 1\sim k)$ 、 $l_{ij}(i = 1\sim m,j = 1\sim k)$ 。定义 $b_{ij}$ 为第 $i$ 次测速中第 $j$ 个小长方形的高度，计算公式为： + +$$ +b _ {i j} = \frac {1}{2} \left(l _ {i j} + l _ {i, j + 1}\right) \quad \text {公 式} 1 9 +$$ + +第i次测速中第j个小长方形的宽度即为第i次测深中直角梯形的高度，因而该小长方形的面积定义为： + +$$ +S _ {i j} = a _ {i j} b _ {i j} \quad \text {公 式 2 0} +$$ + +定义 $\overline{\nu}$ 为水速均值，公式为： + +$$ +\bar {v} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {m} v _ {i j} s _ {i j}}{S} \quad \text {公 式} 2 1 +$$ + +观察附件3发现，每个测深点读数皆为相邻各测速点的水深读数之和，考虑该水文站大概率地采用了“对角拉线法”测水速。依此规律更正了部分数据，使得“测点水深”大于“水深”。 + +在Python下，针对每个监测日的数据，分别计算水道断面总面积、水道平均速度，并在Excel下对部分监测日的计算结果进行了检验。部分结果如下表7： + +表 7. 各监测日水道断面面积、平均水速 + +
年 +月2018.4.42019. 4. 172020.4.172020.7.102020.7.112021.7.9
面积572.675741.6721.3251221.61240.751056.1
水速0.81720.69690.80051.01190.42770.973
+ +从以上结果中看出，水道断面具有面积增大的趋势，增强了路经船只的通行能力；同时水速略有上升，为河道的清淤提供了保障。 + +# 4. 调水调沙的作用和必要性 + +水库进行调水调沙是在现代化技术条件下，利用工程设施和调度手段，通过水流的冲击，将水库里的泥沙和河床上的淤沙适时送入大海，从而减少库区和河床的淤积，增大主槽的行洪能力，同时塑造一个稳定的中水河槽，改善滩区的防洪风险。因此，小浪底水库调水调沙的主要是用水转移黄河中的泥沙，冲刷黄河下游的淤泥，防止黄河的河床再次抬升。 + +如果小浪底水库不进行调水调沙，10年后不同起点距离的河底高程会逐渐升高，河底高程最低点的增长趋势最明显，势必会造成大面积的灾害，同时影响生态平衡，造成不可挽回的重大损失。 + +# 五、模型检验 + +问题一中，在将含沙量与时间、水位、水流量的关系模型用图、表描述后，用回归分析的方法对各散点图进行了分段曲线拟合，用Matlab程序拟合多项式曲线的同时，对各段函数进行了“拟合优度检验”。 + +经检验，在含沙量与水位的关系的拟合曲线中，根据散点图特点分成两段进行拟合，左边拟合成三次曲线，其 $R^2 = 0.98$ ，右边拟合成直线，其 $R^2 = 0.941$ 。两段拟合的都非常理想。如果左边用二次曲线去拟合，其 $R^2 = 0.952$ ，不如用三次曲线拟合效果好。同样，在含沙量与水流量关系的分段拟合曲线中，左边拟合成 + +三次曲线, 其 $R^{2} = 0.924$ , 右边拟合成直线, 其 $R^{2} = 0.754$ 。左侧拟合得比右侧效果更理想。如果左边用二次曲线去拟合, 其 $R^{2} = 0.907$ , 仍然不如用三次曲线拟合效果好。两图关系曲线的拟合都通过检验。 + +随后，又建立了年总水流量和年总排沙量模型，为检验模型估算的数据是否较为准确合理，又选择了更优化的“数值积分法”模型同时进行估算，用一种模型的计算数据去检验另一种。结果显示，两种模型的数据比较接近，计算结果准确、合理，通过检验。 + +问题二、问题三和问题四所建的模型中，在建模求解的过程中都同时包含了检验过程。结果均通过检验。 + +# 六、模型评价与推广 + +# 6.1 模型的优、缺点评价分析 + +# 6.1.1 模型的优点 + +（1）问题一中含沙量与水位和水流量的关系，画出散点图后都进行了分段拟合，经拟合优度检验，拟合度非常高，说明模型较为准确的反应了含沙量与二者的关系。年总水流量和年总排沙量的估算运用了两种方法分别建模，用一个模型去验证另一个模型，通过验证，说明模型结果准确可靠。 +（2）文中建立的“ARIMA时间序列预测模型”在各类预测方面，具有很好的通用性和推广性。 +（3）建立各类水文模型之前，对附件中的数据进行了预处理，补充了缺失数据，校正了个别错误数据，建立了各类数据之间的联系，找出其规律，便于分析解决问题。 +（4）文中多个水文模型采用“定量分析与定性分析相结合”，“对已知数据的研究与对未来数据的预测相结合”，使所建模型更有说服力。 +（5）本文所有的数据处理均经过精确的分析、比对、效验，具有很强的准确性，真实性；模型求解结果进行了检验，可信度高，可靠性强。 +（6）模型求解用到 Phthon、MATLAB、Excel 等多种软件，使求解过程更清晰、专业，运用多种绘图使得数据表达更加清晰明了。 + +# 6.1.2 模型的缺点 + +(1) 在对含沙量与水流量的关系图像进行拟合时, 分成左、右两端, 右端用一次直线拟合, 其 $R^{2} = 0.754 < 0.8$ , 此段拟合效果不够理想。如果将该图像分为三段拟合, 可能拟合度会进一步提高。 +(2) 累积距平法模型在应用时, 所求平均值为 6 年来每月平均流量和平均排沙量, 对于分析短期突变性的效果不够直观。 + +# 6.2 模型的改进与推广 + +(1) 在问题一中, 在对含沙量与水流量的图像进行多项式拟合时, 分成左、右两端分别拟合, 右端用一次直线拟合, 通过拟合优度检验得 $R^{2} = 0.754$ , 拟合效果不够理想。如果将该图像分为三段, 分别进行拟合, 可能拟合度会进一步提高。 +(2) 问题二在应用累积距平法解决突变性问题时, 可以将每年的月均流量和月均排沙量分别作出累积距平曲线, 进一步分析每年中发生突变的更具体的时间。 +（3）问题二、问题三中建立的M-K突变检验模型、小波分析模型、ARIMA模型近贴近实际，适用于对各领域的问题的分析与预测，有着广泛的通用性和借鉴意义，模型可操作性强，值得推广。 +（4）问题四的解决，对政府和相关部门、企业采取一定的应对措施进行防洪减灾，把握问题发展趋势起到了积极的指导作用。 + +# 七、参考文献 + +[1]姜启源，谢金星，叶俊．数学模型[M]，北京：高等教育出版社，2018.5 +[2]韩中庚，周素静．数学建模实用教程[M]，北京：高等教育出版社，2020.8 +[3]司守奎，孙兆亮．数学建模算法与应用[M]，北京：国防工业出版社，2015.9 +[4]卓金武. MATLAB 数学建模方法与实践 [M], 北京: 北京航空航天大学出版社, 2011 +[5]路贺．白龙江干流舟曲、武都和碧口水文站水沙特征研究[D].兰州大学,2019 +[6]卢晗, 王昱, 李小宁, 周伟. 黑河流域水沙通量多尺度变化特征及影响因素[J], + +泥沙研究, 2023.3 + +[7]王光辉, 近60年黄河干流径流泥沙变异性分析[D], 清华大学, 2019 +[8]许磊,温雅琴,全栋.黄河干流头道拐水文站水沙关系季节性特征分析[J],泥沙研究，2023.9 +[9]潘彬, 黄河水沙变化及其对气候变化和人类活动的响应 [D], 山东师范大学, 2021. +[10]薛小杰, 蒋晓辉, 黄强. 小波分析在水文序列趋势分析中的应用[J], 应用科学学报, 2002, 20 + +# 八、附录 + +# 一、问题一的程序代码 + +# 1. 补充第 $t$ 日的含沙量数据 + +```python +import pandas as pd +def fill_data(list_t): + for i in range(len(list_t)): + if list_t[i] == 999: + for j in range(i, len(list_t)): + if list_t[j] != 999: + t = (list_t[i - 1] + list_t[j]) / 2 + list_t[i] = t + break +return pd.Series(list_t) +if __name__ == ' __main__ ' : + fl_path = r'./Data/转置汇总_t.xlsx' + fl_save = r'./Data/转置汇总_re.xlsx' + df ori = pd.read_excel(fl_path) + df ori = df orifillna(999) + df ori"'2017_t'] = fill_data(df ori"'2017_t'].values.tolist()) + df ori"'2018_t'] = fill_data(df ori"'2018_t'].values.tolist()) + df ori"'2019_t'] = fill_data(df ori"'2019_t'].values.tolist()) + df ori"'2020_t'] = fill_data(df ori"'2020_t'].values.tolist()) + df ori"'2021_t'] = fill_data(df ori"'2021_t'].values.tolist()) +print(df ori) +df ori.to_excel(f1_save, index=False) +``` + +# 2. 含沙量与时间关系的画图程序： + +```txt +clc,clear +``` + +clc,clear +data $=$ xlsread('time-hansha.xlsx', 'sheet1'); +time2016 $\equiv$ data(:,1); +time2017 $\equiv$ data(:,1); +time2018 $\equiv$ data(:,1); +time2019 $\equiv$ data(:,1); +time2020 $\equiv$ data(:,1); +time2021 $\equiv$ data(:,1); +sha2016 $\equiv$ data(:,2); +sha2017 $\equiv$ data(:,3); +sha2018 $\equiv$ data(:,4); +sha2019 $\equiv$ data(:,5); +sha2020 $\equiv$ data(:,6); +sha2021 $\equiv$ data(:,7); +sha2016f $\equiv$ sha2016\*3600\*24; +sha2017f $\equiv$ sha2017\*3600\*24; +sha2018f $\equiv$ sha2018\*3600\*24; +sha2019f $\equiv$ sha2019\*3600\*24; +sha2020f $\equiv$ sha2020\*3600\*24; +sha2021f $\equiv$ sha2021\*3600\*24; +subplot(1,2,1),plot(time2016(1:365),sha2016(1:365),'\*\*) figure +subplot(1,2,1),plot(time2017(1:365),sha2017(1:365),'\*\*) figure +subplot(1,2,1),plot(time2018(1:365),sha2018(1:365),'\*\*) figure +subplot(1,2,1),plot(time2019(1:365),sha2019(1:365),'\*\*) figure +subplot(1,2,1),plot(time2020(1:365),sha2020(1:365),'\*\*) figure +subplot(1,2,1),plot(time2021(1:365),sha2021(1:365),'\*\*) + +# 3. 含沙量与水位的分段拟合及检验程序 + +clc,clear +data $=$ xlsread('nihejisuan-shuiwei.xlsx', 'sheet1'); +wei $\equiv$ data(:,1); +sha2016 $\equiv$ data(:,2); +format long e nihe1 $\equiv$ polyfit(wei(1:7),sha2016(1:7),2); $\mathrm{x} =$ wei(1:7); y $\equiv$ sha2016(1:7); f $\equiv$ polyval(nihe1,x); md1l $\equiv$ fitlm(y,f) + +$\% \mathrm{R}1 = 1 - (\mathrm{sum}(\mathrm{f - y}).\wedge 2 / \mathrm{sum}((\mathrm{y - mean}(\mathrm{y})).\wedge 2))$ + +plot(x,f) + +hold on + +plot(x,y,'*') + +xlim([42 46.5]); + +ylim([0 18]); + +nihe2 = polyfit(wei(8:13), sha2016(8:13), 1); + +$\mathrm{x2 =}$ wei8:13); + +f2=sha2016(8:13); + +$\mathrm{y2} =$ polyval(nihe2,wei(8:13)); + +mdl2=fitlm(y2,f2) + +$\mathrm{rmse2} = \mathrm{sqrt}(\mathrm{sum}((\mathrm{sha2016}(8:13) - \mathrm{y2}).^2));$ + +$\% \mathrm{R}2 = 1$ -(sum(y2-sha2016(7:13)).^2/sum((sha2016(7:13)-mean(sha2016(7:13))).^2)) + +plot(wei(8:13), y2) + +hold on + +plot(wei(8:13),sha2016(8:13),'.') + +rmse2; + +hold off + +# 4. 含沙量与水流量关系的分段曲线拟合及检验程序： + +clc,clear + +data $=$ xlsread('nihejisuan-shuiliu.xlsx','sheet1'); + +liu=data(:,1); + +sha=data(:,2); + +plot( Liu,sha) + +hold off + +format long e + +$\mathrm{nihe1} = \mathrm{polyfit}(\mathrm{liu}(1:7),\mathrm{sha}(1:7),3)$ + +$\mathrm{x = liu(1:7)}$ + +y=sha(1:7); + +yhat1 = polyval(nihe1, x); + +md1=fitlm(y,yhat1) + +cha1 = sum((sha(1:7)-yhat1.^2)); rmse1 = sqrt(cha1); + +plot(liu(1:7), yhat1) + +hold on + +plot( Liu(1:7),sha(1:7),"*") + +rmse1; + +nihe2 = polyfit(liu(7:13), sha(7:13), 1); + +$\mathrm{x2 = liu(7:13)}$ + +y2=sha(7:13); + +yhat2 = polyval(nihe2, liu(7:13)); + +mdl2=fitlm(y2,yhat2) + +$\mathrm{rmse2} = \mathrm{sqrt}(\mathrm{sum}((\mathrm{sha}(7:13) - \mathrm{yhat2}).^{\wedge 2}))$ plot(1iu(7:13), yhat2) hold on plot(liu(7:13),sha(7:13),"") rmse2; hold off + +# 5. “数值积分法”年总水流量程序： + +clc,clear +data $=$ xlsread('time-shuiliu.xlsx', 'sheet1'); +time2016 $\equiv$ data(:,1); +time2017 $\equiv$ data(:,1); +time2018 $\equiv$ data(:,1); +time2019 $\equiv$ data(:,1); +time2020 $\equiv$ data(:,1); +time2021 $\equiv$ data(:,1); +liu2016 $\equiv$ data(:,2); +liu2017 $\equiv$ data(:,3); +liu2018 $\equiv$ data(:,4); +liu2019 $\equiv$ data(:,5); +liu2020 $\equiv$ data(:,6); +liu2021 $\equiv$ data(:,7); +liu2016f $\equiv$ liu2016\*3600\*24; +liu2017f $\equiv$ liu2017\*3600\*24; +liu2018f $\equiv$ liu2018\*3600\*24; +liu2019f $\equiv$ liu2019\*3600\*24; +liu2020f $\equiv$ liu2020\*3600\*24; +liu2021f $\equiv$ liu2021\*3600\*24; +i=1:365; +t=i; +t1 $\equiv$ t(1);t2 $\equiv$ t(end); +pp2016 $\equiv$ csape(t,liu2016f); +pp2017 $\equiv$ csape(t,liu2017f); +pp2018 $\equiv$ csape(t,liu2018f); +pp2019 $\equiv$ csape(t,liu2019f); +pp2020 $\equiv$ csape(t,liu2020f); +pp2021 $\equiv$ csape(t,liu2021f); +xsh2016 $\equiv$ pp2016.coefs +xsh2017 $\equiv$ pp2017.coefs +xsh2018 $\equiv$ pp2018.coefs +xsh2019 $\equiv$ pp2019.coefs +xsh2020 $\equiv$ pp2020.coefs +xsh2021 $\equiv$ pp2021.coefs +TL2016 $\equiv$ quadl(@ (tt)fnval(pp2016,tt),t1,t2) + +TL2017=quadl(@ (tt)fnval(pp2017,tt),t1,t2) + +TL2018=quadl(@ (tt)fnval(pp2018,tt),t1,t2) + +TL2019=quadl(@ (tt)fnval(pp2019,tt),t1,t2) + +TL2020=quadl(@ (tt)fnval(pp2020,tt),t1,t2) + +TL2021=quadl(@ (tt)fnval(pp2021,tt),t1,t2) + +$\mathbf{a} = [\mathrm{TL2016,TL2017,TL2018,TL2019,TL2020,TL2021}]$ + +# 6. “数值积分法”年总排沙量程序： + +clc,clear +data $=$ xlsread('time-hansha.xlsx', 'sheet1'); +time2016 $\equiv$ data(:,1); +time2017 $\equiv$ data(:,1); +time2018 $\equiv$ data(:,1); +time2019 $\equiv$ data(:,1); +time2020 $\equiv$ data(:,1); +time2021 $\equiv$ data(:,1); +sha2016 $\equiv$ data(:,2); +sha2017 $\equiv$ data(:,3); +sha2018 $\equiv$ data(:,4); +sha2019 $\equiv$ data(:,5); +sha2020 $\equiv$ data(:,6); +sha2021 $\equiv$ data(:,7); +sha2016f $\equiv$ sha2016/1000; +sha2017f $\equiv$ sha2017/1000; +sha2018f $\equiv$ sha2018/1000; +sha2019f $\equiv$ sha2019/1000; +sha2020f $\equiv$ sha2020/1000; +sha2021f $\equiv$ sha2021/1000; +i=1:365; +t=i; +t1=t(1);t2=t(end); +pp2016=cscape(t,sha2016f); +pp2017=cscape(t,sha2017f); +pp2018=cscape(t,sha2018f); +pp2019=cscape(t,sha2019f); +pp2020=cscape(t,sha2020f); +pp2021=cscape(t,sha2021f); +xsh2016 $\equiv$ pp2016.coefs +xsh2017 $\equiv$ pp2017.coefs +xsh2018 $\equiv$ pp2018.coefs +xsh2019 $\equiv$ pp2019.coefs +xsh2020 $\equiv$ pp2020.coefs +xsh2021 $\equiv$ pp2021.coefs +TL2016 $\equiv$ quadl(@ (tt)fnval(pp2016,tt),t1,t2) + +```julia +TL2017=quadl(@ (tt)fnval(pp2017,tt),t1,t2) +TL2018=quadl(@ (tt)fnval(pp2018,tt),t1,t2) +TL2019=quadl(@ (tt)fnval(pp2019,tt),t1,t2) +TL2020=quadl(@ (tt)fnval(pp2020,tt),t1,t2) +TL2021=quadl(@ (tt)fnval(pp2021,tt),t1,t2) +a = [TL2016,TL2017,TL2018,TL2019,TL2020,TL2021] +``` + +# 二、问题二的程序代码 + +# 1. 月流量累积距平曲线代码 + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +``` + +```txt +#读取数据 +data = pd.read_excel(r'/Data/月输沙量_1.xlsx') +#去除重复数据和缺失值 +data.drop_duplicates(inplace=True) +data.dropna(inplace=True) +#将日期转换为时间格式 +data['时间'] = pd.to Datetime(data['时间']) +``` + +```txt +计算每日距平流量 +daily_mean = data.groupby(data['时间'].dt.dayofyear)[['流量'].mean() +data['flow_anomaly'] = data['流量'] - daily_mean[data['时间'].dt.dayofyear].values +``` + +```python +计算累积距平流量 +data['flow_cumsum'] = data['flow_anomaly'].cumsum() +print(data['时间'].values) +print(data['flow_cumsum']) +``` + +```txt +绘制累积距平曲线 +plt.figure(figsize=(12,8), dpi=120) +plt.plot(data['时间'].values, data['flow_cumsum'].values.tolist(), color='black') +plt.xlabel('Date') +pltylabel('Cumulative Anomaly') +plt.title('Cumulative Anomaly Curve') +plt.show() +``` + +# 2. 月排沙量累积距平曲线代码 + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import matplotlib.pyplot as plt +``` + +# 读取数据 + +data = pd.read_excel(r'/Data/月输沙量_1.xlsx') + +去除重复数据和缺失值 + +data.drop_duplicates(inplace=True) + +data.dropna(inplace=True) + +将日期转换为时间格式 + +data['时间'] = pd.to Datetime(data['时间']) + +计算每日距平输沙量 + +daily_mean = data.groupby(data['时间'].dt.dayofyear)[['输沙量'].mean() + +data['flow_anomaly'] = data['输沙量'] - daily_mean[data['时间'].dt.dayofyear].values + +计算累积距平输沙量 + +data['flow_cumsum'] = data['flow_anomaly'].cumsum() + +print(data['时间'].values) + +print(data['flow_cumsum']) + +绘制累积距平曲线 + +plt.figure(figsize=(12,8), dpi=120) + +plt.plot(data['时间'].values, data['flow_cumsum'].values.tolist(), color='black') + +plt.xlabel('Date') + +plt.ylabel('Cumulative Anomaly') + +plt.title('Cumulative Anomaly Curve') + +plt.show() + +# 3. 月流量M-K突变检验代码 + +import numpy as np + +import pandas as pd + +from pylab import * + +df ori = pd.read_excel(r'./Data/月流量_1.xlsx') + +df ori_time = pd.to datetime(df ori['时间'].values.tolist()) + +df = pd.DataFrame(df ori['均值'].values.tolist(), index=pd.date_range('2016-01-01', # + +periods=72,freq='M'),columns=['均值']) + +df_t = df ori['流量'] + +np_t = np.array(df_t.values.tolist()) + +Data = np_t + +对时序数据X，生成一个序号序列，次数列范围为 $2\sim \mathfrak{n}$ 。 + +i 从 2 开始（即第二个数，其编号为 1，此时 1 处没有必要进行计算，因为其之前没有数据，所以这里从 2 开始生成） + +# 规定第一个结果为 0 , 因此我们不考虑第一个位置的结果 + +$\mathrm{NUMI} = \mathrm{np}$ .arange(1, len(Data)) + +计算E + +$$ +\# E = N U M I * (N U M I - 1) / 4 +$$ + +$$ +E = (N U M I + 1) * N U M I / 4 +$$ + +计算Var + +$$ +\# \operatorname {V A R} = \operatorname {N U M I} * (\operatorname {N U M I} - 1) * (2 * \operatorname {N U M I} + 5) / 7 2 +$$ + +$$ +\operatorname {V A R} = (\text {N U M I} + 1) * \text {N U M I} * (2 * (\text {N U M I} + 1) + 5) / 7 2 +$$ + +1. 计算 Ri。即：序列中的某一个值与此值之前的所有值以此相比，结果为大出现的次数。 + +$\mathrm{Ri} = \left[\left(\mathrm{Data[i] > Data[:i]}\right).\mathrm{sum() for i in NUMI}\right]\# 2.$ 计算Sk。使用numpy累计求和函数cumsum。 + +$\mathrm{Sk} = \mathrm{np.cumsum(Ri)}\# 3.$ 计算UFk。考虑到i从1开始，因此把未计算的两个位置填充0。 + +$$ +\mathrm {U F k} = \mathrm {n p . p a d} ((\mathrm {S k - E}) / \mathrm {n p . s q r t (V A R)}, (1, 0)) +$$ + +思路参考第一步，这里进行简写。 + +## 对于倒序，由于 Python 支持传入负数表示倒序取值，这里利用此特性直接生成倒序（反向）Bk，不包含最后一个数（编号 -1）。 + +$$ +\mathrm {B k} = \mathrm {n p . c u m s u m} ([ (\text {D a t a} [ \mathrm {i} ] > \text {D a t a} [ \mathrm {i}: ]) \cdot \text {s u m} () \text {f o r i i n - (N U M I + 1)} ]) +$$ + +## 按照 UFk 的计算方法后取负数即为 UBk。由于本身未对 Data 进行倒序，这里计算完成后对数据进行倒序。 + +$$ +\mathrm {U B k} = \mathrm {n p . p a d} \left(\left(- (\mathrm {B k} - \mathrm {E}) / \mathrm {n p . s q r t} (\mathrm {V A R})\right), (1, 0)\right) [ :: - 1 ] +$$ + +$$ +i m p o r t \quad m a t p l o t t i b. p y p l o t a s p l t +$$ + +配置参数 + +$$ +\mathrm {P A R} = \{\text {" f o n t . s a n s - s e r i f": ' T i m e s N e w R o m a n', ' a x e s . u n i c o d e \_ m i n u s': F a l s e} \} +$$ + +$$ +\text {p l t . r c P a r a m s . u p d a t e (P A R)} +$$ + +$$ +\operatorname {p l t}. \text {f i g u r e} (\text {f i g s i z e} = (1 0, 5. 5), \mathrm {d p i} = 3 0 0) +$$ + +$$ +\operatorname {m p l. r c P a r a m s} [ \text {f o n t . s a n s - s e r i f} ] = [ \text {S i m H e i} ] +$$ + +$$ +\text {p l t . t i t l e} \left(^ {\prime} 2 0 1 6 - 2 0 2 1 \text {年 流 量 M - K 突 变 检 验 曲 线} ^ {\prime}\right) +$$ + +$$ +\operatorname {p l t. p l o t} (\text {r a n g e} (1, \text {l e n} (\text {D a t a}) + 1), \text {U F k}, \text {l a b e l} = ^ {\prime} \text {U F k} ^ {\prime}, \text {c o l o r} = ^ {\prime} \text {r} ^ {\prime}) +$$ + +$$ +\text {p l t . p l o t} (\text {r a n g e} (1, \text {l e n} (\text {D a t a}) + 1), \text {U B k}, \text {l a b e l} = ^ {\prime} \text {U B k} ^ {\prime}, \text {c o l o r} = ^ {\prime} \text {b l a c k} ^ {\prime}) +$$ + +plt.grid(True,linestyle $= (0,(6,6))$ , linewidth $= 0.4$ ##画出0.05置信区间边界 + +$$ +x _ {\text {l i m}} = p l t. x l i m () +$$ + +$$ +\operatorname {p l t. p l o t} (\mathrm {x} _ {\lim }, [ - 1. 9 6, - 1. 9 6 ], \text {l i n e s t y l e} = (0, (6, 6)), \text {c o l o r} = ^ {\prime} \mathrm {g} ^ {\prime}) +$$ + +$$ +\operatorname {p l t. p l o t} (\mathrm {x} _ {\text {l i m}}, [ 0, 0 ], \text {l i n e s t y l e} = (0, (6, 6)), \text {c o l o r} = ^ {\prime} \mathrm {g} ^ {\prime}) +$$ + +$$ +\operatorname {p l t. p l o t} (\mathrm {x} _ {-} \lim , [ 1. 9 6, 1. 9 6 ], \text {l i n e s t y l e} = (0, (6, 6)), \text {c o l o r} = ^ {\prime} \mathrm {g} ^ {\prime}) +$$ + +$$ +\text {p l t . l e g e n d (f r a m e o n = F a l s e)} +$$ + +$$ +\mathsf {p l t . s h o w ()} +$$ + +# 4. 月排沙量 M-K 突变检验代码 + +import numpy as np + +import pandas as pd + +from pylab import * + +df ori = pd.read_excel(r'/Data/月输沙量_1.xlsx') + +df_ori_time = pd.to datetime(df_ori['时间'].values.tolist()) + +df = pd.DataFrame(df ori['均值'].values.tolist(), index=pd.date_range('2016-01-01', # + +periods=72, freq='M'), columns=['均值']) + +df_t = df_ori['输沙量'] + +np_t = np.array(df_t.values.tolist()) + +Data = np_t + +对时序数据X，生成一个序号序列，次数列范围为 $2\sim \mathrm{n}$ 。 + +i 从 2 开始（即第二个数，其编号为 1，此时 1 处没有必要进行计算，因为其之前没有数据，所以这里从 2 开始生成） + +# 规定第一个结果为 0 , 因此我们不考虑第一个位置的结果 + +$\mathrm{NUMI} = \mathrm{np.arange}(1,\mathrm{len}(\mathrm{Data}))$ + +计算E + +E = NUMI * (NUMI - 1) / 4 + +[ \mathrm{E} = (\mathrm{NUMI} + 1)^{*}\mathrm{NUMI} / 4 ] + +计算Var + +$\mathrm{VAR} = \mathrm{NUMI}^* (\mathrm{NUMI} - 1)^* (2^* \mathrm{NUMI} + 5) / 72$ + +$\mathrm{VAR} = (\mathrm{NUMI} + 1)$ \* NUMI \* $(2*(\mathrm{NUMI} + 1) + 5) / 72$ + +1. 计算 Ri。即：序列中的某一个值与此值之前的所有值以此相比，结果为大出现的次数。 + +$\mathrm{Ri} = \left[(\mathrm{Data[i]} > \mathrm{Data[:i]}).\mathrm{sum() for i in NUMI}\right]\# 2.$ 计算 Sk。使用 numpy 累计求和函数 cumsum。 + +$\mathrm{Sk} = \mathrm{np.cumsum(Ri)}\# 3.$ 计算UFk。考虑到i从1开始，因此把未计算的两个位置填充0。 + +$\mathrm{UFk} = \mathrm{np}.pad((\mathrm{Sk - E}) / \mathrm{np}.sqrt(\mathrm{VAR}), (1,0))$ + +思路参考第一步，这里进行简写。 + +## 对于倒序，由于 Python 支持传入负数表示倒序取值，这里利用此特性直接生成倒序（反向）Bk，不包含最后一个数（编号 -1）。 + +$\mathrm{Bk} = \mathrm{np.cumsum}([(\mathrm{Data[i]} > \mathrm{Data[i]})].\mathrm{sum()}$ for i in - $(\mathrm{NUMI + 1})])$ + +## 按照 UFk 的计算方法后取负数即为 UBk。由于本身未对 Data 进行倒序，这里计算完成后对数据进行倒序。 + +$\mathrm{UBk} = \mathrm{np}. \mathrm{pad}((-\mathrm{(Bk - E)} / \mathrm{np}. \mathrm{sqrt}(\mathrm{VAR})), (1,0))[::-1]$ + +import matplotlib.pyplot as plt + +配置参数 + +$\mathrm{PAR} = \{\text{font.sans-serif}: \text{Times New Roman}', \text{axes.unicode_minus}: \text{False}\}$ + +plt.roParams.update(PAR) + +plt.figure(figsize $=$ (10,5.5),dpi $= 300$ + +mpl.roParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] + +plt.title('2016-2021年输沙量M-K突变检验曲线') + +plt.plot(range(1, len(Data) + 1), UFk, label = 'UFk', color = 'r') + +plt.plot(range(1, len(Data) + 1), UBk, label = 'UBk', color = 'black') + +plt.grid(True,linestyle $= (0,(6,6))$ , linewidth $= 0.4$ ##画出0.05置信区间边界 + +$\mathrm{x\_lim} = \mathrm{plt.xlim()}$ + +plt.plot(xLim,[-1.96,-1.96],linestyle $=$ (0,(6,6)),color $\equiv$ g') + +plt.plot(x_lim, [0,0],linestyle = (0,(6,6)), color = 'g') + +plt.plot(x_lim,[1.96,1.96],linestyle $=$ (0,(6,6)),color $\equiv$ 'g') +pltlegend(frameon $=$ False) +plt.show() + +# 5. 流量季节性分析 + +1 + +季节分解法 + +1 + +```python +import pandas as pd +from statsmodels.tsa.scasonal import seasonal_decompose +import matplotlib.pyplot as plt +``` + +```python +def cal_avg(df ori): + "计算每月均值 + " + list ori = df ori.values.tolist() + print(str(list ori[0][0]).split('')[0]) + list_time = [] + for i in range(len(list ori)): + list_time.append(str(list ori[i][0]).split('')[0]) + list_re = [] + sum_num = 0 + list_t = [list_time[0]] + flag = list_time[0].split('-') [1] +count_num = 0 +for i in range(len(list ori)): if list_time[i].split('-') [1] == flag: count_num = count_num + 1 sum_num = sum_num + list_ori[i][1] else: avg_num = sum_num / count_num +list_t.append(avg_num) +list_re.append(list_t) +sum_num = list_ori[i][1] +flag = list_time[i].split('-') [1] +list_t = [list_time[i]] +count_num = 1 +list_t.append(sum_num/count_num) +list_re.append(list_t) +df_avg = pd.DataFrame(list_re) +df_avg.to_excel(r'./Data/时间流量_month.xlsx') +``` + +if_name $= =$ 'main'： df ori $\equiv$ pd.read_excel(r'./Data/月流量_1.xlsx') df ori_time $\equiv$ pd.to datetime(df ori['时间'].values.tolist()) df $\equiv$ pd.DataFrame(df ori['流量'].values.tolist(), index $\equiv$ pd.date_range('2016-01-01', periods $= 72$ ,freq $\equiv$ M'),columns $\equiv$ ['流量']) print(df) #cal_avg(df ori) result.mul $=$ seasonal_decompose(df['流量'], model $\equiv$ 'multiplicative', extrapolate_trend $\equiv$ 'freq') plt.rcParams.update({'figure.figsize': (10,10)}) result.mul.plot().suptitle('Multiplicative Decompose') plt.show() + +# 6. 月排沙量季节性分析 + +1 + +季节分解法 + +1 + +```python +import pandas as pd +from statsmodels.tsa.scasonal import seasonal_decompose +import matplotlib.pyplot as plt +``` + +```python +def cal_avg(df ori): + "计算每月均值 + " + list ori = df ori.values.tolist() + print(str(list ori[0][0]).split('')[0]) + list_time = [] + for i in range(len(list ori)): + list_time.append(str(list ori[i][0]).split('')[0]) + list_re = [] + sum_num = 0 + list_t = [list_time[0]] + flag = list_time[0].split('-') [1] + count_num = 0 + for i in range(len(list ori)): if list_time[i].split('-') [1] == flag: count_num = count_num + 1 sum_num = sum_num + list_ori[i][1] else: avg_num = sum_num / count_num +``` + +```python +list_t.append(avg_num) +list_re.append(list_t) +sum_num = list_ori[i][1] +flag = list_time[i].split('-')[1] +list_t = [list_time[i]] +count_num = 1 +list_t.append(sum_num/count_num) +list_re.append(list_t) +df_avg = pd.DataFrame(list_re) +df_avg.to_excel(r'./Data/时间流量_month.xlsx') +if __name__ == '__main__': + df ori = pd.read_excel(r'./Data/月输沙量_1.xlsx') + df ori_time = pd.to datetime(df ori['时间'].values.tolist()) + df = pd.DataFrame(df ori['输沙量'].values.tolist(), index=pd.date_range('2016-01-01'), periods=72, freq='M'), columns=['输沙量']) +print(df) +# cal_avg(df ori) +result.mul = seasonal_decompose(df['输沙量'], model='multiplicative', extrapolate_trend='freq') +plt.rcParams.update({'figure.figsize': (10, 10)}) +result.mul.plot().title('Multiplicative Decompose') +plt.show() +``` + +# 三、问题三的程序代码 + +# SRAIMA 模型的建立与预测 + +import warnings #do not disturb mode + +warnings.filterWarnings('ignore') + +Load packages + +import numpy as np + +import pandas as pd # tables and data manipulations + +import matplotlib.pyplot as plt + +import seaborn as sns # more plots + +from dateutil.relativedelta import relativedelta # working with dates with style + +from scipy.optimize import minimize # for function minimization + +import statsmodels.formula/api as smf # statistics and econometrics + +import statsmodels.tsa/api as sm +import statsmodels api as sm +import scipy.stats as scs + +from itertools import product from tqdm import tqdm.notebook + +some useful functions + +# Importing everything from forecasting quality metrics +from sklearn.metrics import r2_score, median Absolute_error, mean_Absolute_error +from sklearn.metrics import median_Absolute_error, mean_Squared_error, mean_Squared_log_error + +MAPE +def mean_absolute_percentage_error(y_true, y_pred): return np.mean(np.abs((y_true - y_pred) / y_true)) * 100 +def tsplot(y, lags=None, figsize=(12, 7), style='bmh'): Plot time series, its ACF and PACF, calculate Dickey-Fuller test y - timeseries lags - how many lags to include in ACF, PACF calculation if not isinstance(y, pd.Series): $y =$ pd.Series(y) with plt.style.context(style): fig $=$ plt.figure(figsize=figsize) layout $= (2,2)$ ts_ax $=$ plt.subplot2grid.layout,(0,0),colspan $\equiv 2$ ) acf_ax $=$ plt.subplot2grid.layout,(1,0)) pacf_ax $=$ plt.subplot2grid.layout,(1,1)) y.plot(ax=ts_ax, color='black') p_value $=$ sm.tsa.stattools.adfuller(y)[1] ts_ax.set_title('Time Series Analysis Plots\n Dickey-Fuller: $\mathsf{p} = \{0:.5\mathsf{f}\}$ '.format(p_value)) smt.graphics.plot_acf(y, lags=lags, ax=acf_ax) smt.graphics.plot_pacf(y, lags=lags, ax=pacf_ax) plt.tight_layout() plt.show() +index $=$ pd.date_range('2016-01', periods $= 72$ ,freq $=$ M') + +index $=$ list(index) + +df = pd.read_excel(r'/Data/时间流量_month.xlsx') + +data_list = df['均值'].values.tolist() + +dataframe = pd.DataFrame(data_list, index=pd.date_range('2016-01', periods=72, + +freq='M'),columns=['Ads']) + +dataframe.to_csv(r'/Data/ARMA_test_old.csv',index=0) + +ads = dataframe + +print('the data is existing') + +plt.figure(figsize=(18,6)) + +plt.plot(ads, color='black') + +plt.title('Monthly average flow') + +plt.show() + +ads_diff = ads.ads - ads.adsshift(3) #季节差分 + +tsplot(ads_diff[3:], lags=25) + +ads_diff = ads_diff - ads_diff-shift(1) #一阶差分 + +ads_diff = ads_diff - ads_diff-shift(1) #二阶差分 + +ads_diff = ads_diff fillsna(0) + +tsplot(ads_diff[3:], lags=25) + +# setting initial values and some bounds for them + +ps = range(0, 4) + +d=2 #除去季节差分外的差分次数 + +$\mathrm{qs} = \mathrm{range}(0,4)$ + +$\mathrm{Ps} = \mathrm{range}(0,4)$ + +D=1 + +$\mathrm{Qs} = \mathrm{range}(0,4)$ + +$\mathrm{s} = 6$ # season length is still 24 + +# creating list with all the possible combinations of parameters + +parameters $=$ product(ps, qs, Ps, Qs) + +parameters_list $=$ list(parameers) + +len parameters_list) # 36 + +def optimizeSARIMA parameters_list, d, D, s): + +""Return dataframe with parameters and corresponding AIC + +parameters_list - list with (p, q, P, Q) tuples + +d - integration order in ARIMA model + +D - seasonal integration order + +s - length of season + +1 1 + +results $=$ [] + +bestaic $=$ float("inf") + +for param in tqdm(notebook(parameters_list): + +we need try-except because on some combinations model fails to converge try: model $\equiv$ sm.tsa_statespace.SARIMAX(ads.ads, order $\equiv$ (param[0], d, param[1]), + +seasonal_order=(param[2], D, param[3], + +s)).fit(disp=-1) + +except: + +continue + +aic $=$ model.aic + +# saving best model, AIC and parameters + +if aic $<$ best_aic: + +best_model $=$ model + +bestaic=aic + +best param $=$ param + +results.append(param, model.aic]) + +result_table = pd.DataFrame(resultss) + +result_table.columns = ['parameters', 'aic'] + +# sorting in ascending order, the lower AIC is - the better + +result_table = result_table.sort_values(by='aic', + +ascending=True).reset_index.drop=True) + +return result_table + +warnings.filter warnings("ignore") + +result_table = optimizeSARIMA(param_list, d, D, s) + +print(result_table.params[0]) + +set the parameters that give the lowest AIC + +p, q, P, Q = result_table.params[0] + +best_model $\equiv$ sm.tsa_statespace.SARIMAX(ads_diff, order $\equiv$ (p, d, q), + +seasonal_order=(P, D, Q, s)).fit(disp=-1) + +tsplot(best_model.resid[3+1:], lags=25) + +def plotSARIMA(series, model, n_steps): + +""Plots model vs predicted values + +series - dataset with timeseries + +```txt +model - fitted SARIMA model +n_steps - number of steps to predict in the future +``` + +```python +# adding model values +data = series.copy() +data.columns = ['actual'] +data['sarima_model'] = model.fittedvalues +# making a shift on s+d steps, because these values were unobserved by the model +# due to the differentiating +data['sarima_model'][:s+d] = np NaN +``` + +```python +# forecasting on n_steps forward +forecast = model.predict(start = data.shape[0], end = data.shape[0] + n_steps) +forecast = data.sarima_model.append_forecast) +``` + +calculate error, again having shifted on $s + d$ steps from the beginning error = meanAbsolutely_percentage_error(data['actual'])[s+d:], data['sarima_model'][s+d:]) + +```txt +plt.figure(figsize=(15,7)) +plt.title("Mean Absolute Percentage Error: {0:.2f}%.format(error)) +plt.plot_forecast, color='r', label="model") +plt(axvspan(data.index[-1], forecast.index[-1], alpha=0.5, color='lightgrey') +plt.plot(data(actual, label="actual") +plt.legend() +plt.grid(True) +plt.show() +``` + +```txt +plotSARIMA(ads, best_model, 12) +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2023/E176/E176.md b/MCM_CN/2023/E176/E176.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2a99ba92bdd24bae72be2651444aaed623383b52 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2023/E176/E176.md @@ -0,0 +1,2643 @@ +# 基于小波变换和背包模型的小浪底水库最优监测方案研究 + +# 摘要 + +本文针对黄河小浪底水库的水沙通量变化趋势及最优监测方案进行了研究。 + +首先，对附件1、附件2、附件3的数据进行了整理，使用python软件对大量的缺失数据采用平均值进行了填补。 + +针对问题(1)，首先，研究含沙量与时间的关系，得出结论：一是2016、2017年的含沙量较小，但从2018年开始大幅度增长，含沙量随着年份存在周期性波动。二是每年2、3季度为旺季，每年1、4季度为淡季。三是建立了含沙量随时间（日）变化的正弦函数。其次，分别建立了含沙量与水位、水流量的双对数回归方程，得出结论：水位每增加 $1\%$ ，含沙量增加 $36.31\%$ ；水流量每增加 $1\%$ ，含沙量增加 $1.06\%$ 。第三，估算出年均水流量324亿 $\mathrm{m}^3$ ，年均总排沙量2亿吨。 + +针对问题(2)，把数据整理成以“月”为时间点的时间序列，首先，描述性分析得出结论：各月水流量分化严重，但平均波动幅度较小，排沙量则相反。其次，季节性分析得出结论：水通量和沙通量都在每年7月比例最大，在1月占比最小；水通量、沙通量每年6月-10月是旺季，每年1月-3月、11月、12月是淡季。第三，周期性分析得出结论：水沙通量的周期为365天，2018年有突变现象。第四，使用M-K检验法进行突变性分析得出结论：从 $t = 30$ 开始出现显著的上升趋势，在 $t = 27$ 时出现突变点。再使用Fisher最优分割法进行验证，得出的结论与M-K法检验法一致。第五，为了详细而准确地寻找水沙通量的周期性和突变点，还使用小波变换分析法得出结论：水通量、沙通量均以20月为周期振荡，呈现了5次正负循环交替，出现了8个突变点。 + +针对问题(3)，首先，使用R/S分析法研究水沙通量是否在未来2年存在相同趋势、反转趋势或随机趋势。把全时段2016-2021年分为2个阶段，第一阶段（2016-2017年）用于检验，第二阶段（2018-2021年）用于预测，检验结果表明：R/S分析法具有一定的可靠性，可以用于预测，预测结果表明：水沙通量未来变化将出现反转趋势。其次，分别针对水通量、沙通量建立了傅里叶级数，预测出未来2年的水沙通量数据。第三，借用背包问题建立了0-1规划模型，获得了未来2年最优的采样监测方案。 + +针对问题(4)，首先，使用“微元法”计算平均河底高程，观察其变化情况得出结论：每年“调水调沙”成效不佳，河底高程始终保持在 $45\mathrm{m}$ 左右，2019年成效尤其不佳，下降了 $0.23\mathrm{m}$ 。其次，考察水通量的变化情况得出结论：每年“调水调沙”成效不佳，水通量呈现逐年下降趋势，2018年成效尤其不佳，水通量下降了 $72\%$ 。如果不“调水调沙”，那么水通量逐年上升趋势越来越严重，2022年水通量上升幅度尤其不佳，上升了 $6.4\%$ 。第三，考察沙通量的变化情况得出结论：每年“调水调沙”成效不佳，2021年与2020年相比，沙通量下降了 $45.4\%$ 。第四，使用灰色GM（1,1）模型预测了未来十年的河底高程。 + +本文优点是使用季节指数、双对数回归方程、M-K检验法、最优分割法、小波变换法、R/S分析法研究分析季节性、周期性、突变性，能够交叉验证，可靠性强；使用傅里叶级数逼近水沙通量曲线预测精度较高；在建立最优采样监测方案时巧妙转化为背包问题，存在最优解；在计算曲线的平均高度时，使用了“微元法”。不足之处是在预测未来2年的水沙通量时，难以给出突变点数值，导致在突变点处误差较大。 + +本文所使用的模型或方法可以推广到水文资料分析问题中，还可以推广到其它有关季节性、周期性、突变性等问题的分析中。 + +关键词：双对数回归；M-K检验；小波变换；R/S分析；傅里叶级数；0-1规划；微元法 + +# 一、问题重述 + +通过研究黄河水沙通量的变化规律可以对沿黄流域的环境治理、气候变化和人民生活的影响做出一定判断，以及对优化黄河流域水资源分配、协调人地关系、调水调沙、防洪减灾提供帮助。对黄河的治理发展有重要的理论指导意义。 + +根据附件中的数据，建立数学模型，解决下列问题： + +（1）研究含沙量与时间、水位、水流量的关系，并估算近6年的年总水流量和年总排沙量。 +(2) 分析水沙通量的突变性、季节性和周期性等特性, 研究水沙通量的变化规律。 +（3）根据水沙通量的变化规律，预测该水文站未来两年水沙通量的变化趋势，并为该水文站制订未来两年最优的采样监测方案，使其既能及时掌握水沙通量的动态变化情况，又能最大程度地减少监测成本资源。 +（4）分析每年6-7月小浪底水库进行“调水调沙”的实际效果。如果不进行“调水调沙”，10年以后该水文站的河底高程将会带来什么结果和影响。 + +# 二、问题分析 + +首先，要对原始数据进行整理，主要是对空缺数据的补充。 + +针对问题(1)，该问题分为两个方面，一是研究水位、水流量、时间与含沙量的关系，二是估算近六年的该水文站的年总流水量和年总排沙量。对于含沙量与时间的关系，可以通过时序图、季节指数、时间趋势等方法来描述。对于含沙量与水位的关系，可以通过相关分析、回归分析来解决。然后定义年总流水量和年总排沙量，并计算6年的数值结果。 + +针对问题(2)，水通量就是径流量（亿m3），沙通量就是排沙量（亿吨），研究它们的变化规律，需要从统计特征、季节性、周期性和突变性四个方面来入手。季节性可通过月份指数、季度指数来描述。周期性可通过时序图、建立三角函数来解决。突变性可通过非参数Mann-Kendall检验法来解决。 + +针对问题(3)，为预测水沙通量的变化趋势，我们借鉴R/S分析法分析水沙通量的分形特征和长期记忆过程，以判断其未来存在相同趋势、反转趋势或随机趋势。为了制订采样监测方案，使用小波分析法分析信号不同周期的时间演变规律，以掌握其丰枯旱涝情况，再根据这些情况制订最优的采样监测方案。 + +针对问题(4)，要评估“调水调沙”的实际效果，可以比较“调水调沙”前后河底高程、水沙通量、水流量等指标的变化。根据起点距的定义，使用“微元法”近似计算平均河底高程。 + +针对本文建立的模型，还需要进行敏感性分析和稳健性分析。 + +本文研究路径如图1所示。 + +![](images/0b5190bc271e5de8a390d41df75ff7e080af88aeffee1f8d34c12dedf0cf7da5.jpg) +图1研究路径 + +# 三、符号说明 + +
y: 因变量 (含沙量)x: 自变量 (水位、时间、水流量)
β1: 回归系数β0: 回归常数
z: 表示年总水流量 (亿 m3)x1: 水位
p: 表示水通量 (亿 m3)xt(2): 表示 时刻的水流量 (m3/s)
q: 表示沙通量 (亿吨)x2: 水流量
f(t): 表示 t 时刻的水沙通量t: 表示时刻 (日)
xt: 表示 t 时刻的水沙通量H: R/S 分析法的统计量
+ +注：其余符号在文中给出. + +# 四、模型假设 + +为了简化问题，作如下假设： + +（1）附件数据准确无误。 +（2）水位和河底高程固定均以海拔72.26米为基准面。 +(3) $f(t)$ 表示 $t$ 时刻的水沙通量，假设其满足狄利赫里（Dirichlet）条件。 +（4）水通量、沙通量序列是独立序列。 +（5）每年6-7月份“调水调沙”一次。 + +# 五、模型建立与求解 + +# 5.0数据整理 + +本文提供了以“日”“月”“年”为时间单位的时间序列。首先，检查日期是否连续，如果不连续，就补充完整。其次，由于数据存在缺失，就用邻近值代替。第三，为了排除闰年的影响，一年定为365天。附件 + +1的数据整理结果（样表）如表1所示。 + +表 1 数据整理 + +
序号年月日水位(m)流量(m3/s)含沙量kg/m3)
120161142.793570.825
220161142.83630.825
320161142.83630.796
420161142.813680.796
520161142.843840.796
…
23382016123042.192170.415
+ +# 5.1 问题（1）——建立含沙量与时间、水位和水流量的关系 + +问题分析：含沙量与时间的关系，可以通过时序图、季节指数、时间趋势等方法来描述。含沙量与水位、水流量的关系，可以通过相关性、建立回归方程来描述。 + +建模思路：首先，研究含沙量与时间的关系，画时序图观察是否存在某种趋势，计算季节指数观察是否存在旺季和淡季。其次，以含沙量为因变量，以水位、水流量为自变量，建立回归方程。 + +# 5.1.1 研究含沙量与时间的关系 + +# 5.1.1.1 研究含沙量与月份、季度的关系 + +画出含沙量的时序图，如图2所示。从图中可知，有几个离群点，必须剔除。剔除离群点之后，时序图如图3所示，从图中可得出以下结论： + +（1）2016、2017年的含沙量较小，但从2018年开始大幅度增长。 +（2）含沙量随着年份存在周期性波动。 + +![](images/dc7c3c808d5f00a9351222e0b2460d5292b5987aef138e0b8e4939f267c8c3a4.jpg) +图2含沙量时序图 + +![](images/3a950010bf5459ffb6e50794d9fdee8886b2d3f78d7fd8da9f0ab596e468b09a.jpg) +图3剔除离群点后的含沙量时序图 + +分别计算12个月的月份指数和4个季度的季度指数，如图4、图5所示，从图中可得出以下结论： + +（1）每年7月、9月、10月为旺季，每年1月、2月、11月、12月为淡季。 +（2）每年2、3季度为旺季，每年1、4季度为淡季。 + +![](images/ceb778f5a1a98ef3bbc22682b33ab879911df5b3c973ccf9a081ca1be11f7101.jpg) +图4含沙量的月份指数 + +![](images/b48fb3fa5f81266778f4b120f5fd3fb2ffdd00386707cff3b743eeadde36c859.jpg) +图5含沙量的季度指数 + +# 5.1.1.2研究含沙量与时刻（日）的关系 + +设 $y$ 表示含沙量（ $\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ ）， $t$ 表示时刻（日）， $y$ 和 $t$ 的函数关系为 + +$$ +y = A \sin (\omega t + \phi) + C \tag {1} +$$ + +由于 $y$ 的周期为365天，故 $T = 365 = \frac{2\pi}{\omega},\omega = \frac{2\pi}{365}$ ，于是 + +$$ +y = A \sin \left(\frac {2 \pi}{3 6 5} t + \phi\right) + C \tag {2} +$$ + +使用最小二乘法进行分段拟合得， + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{l} 0. 3 0 \sin \left(\frac {2 \pi}{3 6 5} t - 0. 2 7\right) + 1. 0 2, \quad t \in [ 0, 7 3 0) \\ 3. 7 8 \sin \left(\frac {2 \pi}{3 6 5} t - 1. 9 3\right) + 4. 4 9, \quad t \in [ 7 3 1, 2 1 9 0) \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +拟合效果如图6、图7所示，从图中可知，拟合精度较高。 + +![](images/e43dd6c0e5529bbecd4444c70e21ca85387d94d43fe5140bf4d9aaa463cee1ed.jpg) +图62016-2017年含沙量函数拟合效果 + +![](images/23a9baa9627a327b7b7b850efc556d4fbf37a997785fc0356b9d2c080b9e35f0.jpg) +图72018-2021年含沙量函数拟合效果 + +# 5.1.2 研究含沙量与水位、水流量的关系 + +画出水位、水流量、含沙量两两之间的散点图，如图6所示。从图中可得出以下结论： + +（1）水位与水流量之间是高度的线性正相关关系。 + +（2）水位与含沙量之间是线性正相关关系。 +（3）水流量与含沙量之间是线性正相关关系。 + +基于以上结论，可分别建立含沙量与水位、含沙量与水流量的回归方程，但不能以水位、水流量为自变量建立二元回归模型，这是因为水位与水流量高度相关的缘故。 + +![](images/dc5353055fa9cb67c4261901b63c28f10e6ea803d87dbfa2e5ad763ba53f307d.jpg) +图8水位、水流量、含沙量的散点图 + +![](images/a2506d8ab05e65bffaab0adbec934745948088d6a6f5463952ddcbe5cb6b3107.jpg) + +![](images/cac555e34ab051a38974fcdcf7a496885b341e4da81c722e8bf24fe0f4b08d68.jpg) + +# 5.1.2.1 一元线性回归模型简介 + +因变量 $y$ 和自变量 $x$ 的一元线性回归模型为[1] + +$$ +y = \beta_ {0} + \beta_ {1} x + \varepsilon \tag {4} +$$ + +其中， $\beta_{1}$ 为回归系数， $\beta_{0}$ 为回归常数， $\varepsilon \sim N(0, \sigma^{2})$ ， $\varepsilon_{i}$ 相互独立。 + +估计的回归方程为 $y = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$ (5) + +# 5.1.2.2含沙量与水位的回归方程 + +设 $y$ 表示含沙量（ $\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ ）， $x_1$ 表示水位（ $\mathrm{m}$ ）， $y$ 和 $x_1$ 的双对数回归模型为 + +$$ +\ln y = \beta_ {0} + \beta_ {1} \ln x _ {1} + \varepsilon \tag {6} +$$ + +使用MATLAB软件，给定显著性水平0.05，使用最小二乘法进行参数估计，结果如表2所示。 + +表 2 参数估计及其检验结果 + +
系数估计值95%置信区间下限95%置信区间上限
β0-135.95-140.98-130.92
β136.3134.9737.64
+ +$$ +R ^ {2} = 0. 5 7 9 7, \quad p = 0. 0 0 0 0, \quad s _ {y} = 0. 3 1 +$$ + +从表2可知，2个回归系数的 $95\%$ 置信区间均不包含0,故回归系数检验通过。拟合优度 $R^2 = 0.5797$ ，表明拟合精度尚可；F检验的相伴概率 $p = 0.0000 < 0.05$ ，表明含沙量 $\ln y$ 与水位 $\ln x_{1}$ 的线性关系显著成立。于是有 + +$$ +\ln y = - 1 3 5. 9 5 + 3 6. 3 1 \ln x _ {1}, \quad x _ {1} \in (0, + \infty) \tag {7} +$$ + +画出带有正态分布概率曲线的标准化残差直方图，如图9所示，从图中可知，残差服从均值为0的正态 + +分布。 + +以标准化预测值为横坐标，以标准化残差为纵坐标，画散点图，如图10所示，从图中可知，残差随机分布在 $\pm 3\sigma$ 以内，且没有明显的趋势，表明残差的标准差是常数，且相互独立。 + +根据式（7）可以得出以下结论： + +（1）含沙量与水位是正相关关系。 +（2）水位每增加 $1\%$ ，含沙量增加 $36.31\%$ ，含沙量对水位的变化非常敏感。 + +![](images/c91123dad8f7f36258d4f94f58b798e9209f7d982bcd0346f41384cb32578ee4.jpg) +图9标准化残差直方图 + +![](images/3d731024bdd637a1abc2265e33961b8dd166058505e5e4d9b283d7ef1ba8ef07.jpg) +图10标准化残差与标准化预测值的散点图 + +# 5.1.2.3 含沙量与水流量的回归方程 + +设 $y$ 表示含沙量（ $\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ ）， $x_2$ 表示水流量（ $\mathrm{m}^3 / \mathrm{s}$ ）， $y$ 和 $x_2$ 的回归模型为 + +$$ +\ln y = \beta_ {0} + \beta_ {1} \ln x _ {1} + \varepsilon \tag {8} +$$ + +使用MATLAB软件，给定显著性水平0.05，使用最小二乘法进行参数估计，结果如表3所示。 + +表 3 参数估计及其检验结果 + +
系数估计值95%置信区间下限95%置信区间上限
β0-6.35-6.50-6.20
β11.061.031.08
+ +$$ +R ^ {2} = 0. 8 0 1 3, \quad p = 0. 0 0 0 0, \quad s _ {y} = 0. 1 4 6 6 +$$ + +从表3可知，2个回归系数的 $95\%$ 置信区间均不包含0，故回归系数检验通过。拟合优度 $R^2 = 0.8013$ ，表明拟合精度较高；F检验的相伴概率 $p = 0.0000 < 0.05$ ，表明 $\ln y$ 与 $\ln x_2$ 的线性关系显著成立。于是有 + +$$ +\ln y = - 6. 3 5 + 1. 0 6 \ln x _ {2}, \quad x _ {2} \in (0, + \infty) \tag {9} +$$ + +画出带有正态分布概率曲线的标准化残差直方图，如图11所示，从图中可知，残差服从均值为0的正态分布。 + +以标准化预测值为横坐标，以标准化残差为纵坐标，画散点图，如图12所示，从图中可知，大多数残差随机分布在 $\pm 3\sigma$ 以内，且没有明显的趋势，表明残差的标准差是常数，且相互独立。但存在个别离群点。 + +根据式（9）可以得出以下结论： + +（1）含沙量与水位是正相关关系。 + +（2）水流量每增加 $1\%$ ，含沙量增加 $1.06\%$ ，含沙量对水位的变化不敏感。 + +![](images/97bf18c9fa32119128cd973727a72bcbb85630c161c75f282c1e4132e95913ef.jpg) +图11 标准化残差直方图 + +![](images/c85f8d7917754be5cb0b36b4cfa7c15e64bba0a2aa7f2cb79be7dbcdefbf25a6.jpg) +图12标准化残差与标准化预测值的散点图 + +# 5.1.3估算年总水流量和年总排沙量 + +设 $x_{t}^{(2)}$ 表示某年 $t$ 时刻（日）的水流量 $(\mathrm{m}^3 /\mathrm{s})$ ， $z$ 表示该年总水流量（亿 $\mathrm{m}^3$ )，则某年总水流量为 + +$$ +z = \frac {3 6 5 \times 2 4 \times 3 6 0 0}{3 6 5 \times 1 0 0 0 0 0 0 0} \sum_ {t = 1} ^ {3 6 5} x _ {t} ^ {(2)} = 0. 0 0 0 8 6 4 \sum_ {t = 1} ^ {3 6 5} x _ {t} ^ {(2)} \tag {10} +$$ + +设 $y_{t}$ 表示 $t$ 时刻（日）的含沙量 $(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3})$ ， $u$ 表示年总含沙量（亿t），则该年总含沙量为 + +$$ +u = \frac {\sum_ {t = 1} ^ {3 6 5} y _ {t} z _ {t}}{1 0 ^ {1 1}} \tag {11} +$$ + +计算结果如表4所示。 + +表 4 年总水流量与年总排沙量 + +
年份201620172018201920202021平均
年总流量/亿m3141.13151.31383.06381.95424.22466.71324.73
年总含沙量/吨0.180.192.912.993.412.241.99
+ +根据表4画出直方图，如图13、图14所示。 + +![](images/fff0301a471c3d9ec6e92c2b0d9e3d06b531c7fe32289ac01a114b36d9c9700e.jpg) +图13年总流量 + +![](images/df5eed1d04d1689e5f132e31e264ddd70443319f468070f2162b612d18a03605.jpg) +图14年总含沙量 + +# 5.2问题（2）——研究水沙通量的变化规律 + +问题分析：水通量就是径流量（亿m3），沙通量就是排沙量（亿吨），研究它们的变化规律，需要从统计特征、季节性、周期性和突变性四个方面来入手。 + +建模思路：首先，研究水沙通量的季节性，包括月份指数、月份分布、统计特征等。其次，研究水沙通量的周期性，包括时序图、即三角函数等。第三，研究水、沙通量的突变点，使用非参数Mann-Kendall检验法来解决。 + +使用python软件整理数据，把每年的数据整理成以“月”为时间点的时间序列。 + +# 5.2.1水沙通量的统计特征 + +对水通量、沙通量进行统计描述，结果如表5所示。从表中可以得出以下结论： + +（1）各月水流量分化严重，最大流量105.85亿 $\mathrm{m}^3$ ，最小流量5.05亿 $\mathrm{m}^3$ 。但平均波动幅度较小。 +（2）各月排沙量分化不严重，最大流量1.34亿吨，最小流量0亿吨，但平均波动幅度较大。 + +表 5 水沙通量的特征 + +
平均值标准差最小值最大值极差变异系数
水流量/亿m³27.1020.675.05105.85100.800.76
排沙量/亿吨0.170.270.001.341.331.66
+ +# 5.2.2水沙通量的季节性 + +# 5.2.2.1水沙通量的月份分布 + +计算水沙通量在各月分布，如表6所示。从表中可以得出以下结论： + +（1）水通量在每年7月比例最大，占全年 $15.36\%$ 。在1月占比最小，仅占 $2.69\%$ 。 +（2）排沙量在每年7月比例最大，占全年 $31.17\%$ 。在1月占比最小，仅占 $0.42\%$ 。 + +表 6 水沙通量的月份分布 + +
1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
水通量2.693.516.117.798.3311.1415.3610.0211.6412.816.24.4
沙通量0.420.943.094.824.677.6131.1718.3713.6811.552.561.12
+ +# 5.2.2.2水沙通量的月份指数 + +计算水沙通量的月份指数，如表7所示。 + +表 7 水沙通量的月份指数 + +
1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
水通量0.3220.4210.7330.9350.9991.3371.8441.2021.3971.5370.7450.528
沙通量0.0500.1120.3710.5790.5600.9133.7402.2051.6421.3860.3070.134
+ +根据表1画出图形，如图15、图16所示。从图中可得出以下结论： + +（1）水通量每年6月-10月是旺季，每年1月-3月、11月、12月是淡季。 +（2）沙通量每年7月-10月是旺季，每年1月-5月、11月、12月是淡季。 + +![](images/7d090ea882b7d2fe87a03441a3d186dbe4ddc7840dd365066eda2408e72dc91b.jpg) +图15水通量的月份指数 + +![](images/176d4c6b98b642f49f626475ed4f1d8e620502a04a5179899e3a43debffab2d7.jpg) +图16 沙通量的月份指数 + +# 5.2.3水沙通量的周期性 + +画出水沙通量的时序图，如图17、图18所示。从图中可得出以下结论： + +（1）水通量具有周期性，周期为365天，2018年有突变现象，且呈上升趋势。 +（2）沙通量具有周期性，周期为365天，2018年有突变现象，且呈下降趋势。 + +![](images/6b31692e5a97a0faad01080278fbb32e5d77caf34dcf0304242424aea733fe3c.jpg) +图17水通量的时序图 + +![](images/70140c25e355825bec9a996d6ba68f5128c67ab17e7496c3d16d66afc808a391.jpg) +图18沙通量的时序图 + +设 $p$ 表示水通量（亿 $\mathrm{m}^3$ ）， $t$ 表示时刻（日）， $p$ 和 $t$ 的函数关系为 + +$$ +p = A \sin \left(\frac {2 \pi}{1 2} t + \phi\right) + C \tag {12} +$$ + +根据实际情况，可直接从第2阶段（2018-2021年）拟合，结果如下： + +$$ +p = 2 2. 7 6 \sin \left(\frac {2 \pi}{1 2} t - 2. 4 4\right) + 3 4. 5 4 \tag {13} +$$ + +同理，设 $q$ 表示沙通量（亿吨）， $t$ 表示时刻（日）， $q$ 和 $t$ 的函数关系为 + +$$ +q = 0. 3 0 \sin \left(\frac {2 \pi}{1 2} t - 2. 4 3\right) + 0. 2 4 \tag {14} +$$ + +拟合效果检验如图19、图20所示，从图中可知，拟合效果较好。 + +![](images/5457b9c166ab0bf097132ba2db2498b090d513a4ecb21ee6c6d2b0d47e12ab6d.jpg) +图19 水通量的时序图 + +![](images/d763ded2770c99ae88c5e6ecd748e53702b47e7fb7ac4f4ddff0f1101a4ed7fc.jpg) +图20沙通量的时序图 + +# 5.2.4水沙通量的突变性 + +# 5.2.4.1水沙通量的变化趋势性 + +为判定水沙通量是否存在显著的上升或下降趋势，使用M-K检验法来判定。 + +M-K检验法最初是由曼(H．B．Mann）和肯德尔（M．G．Kendall）提出了原理并发展了这一方法，是世界气象组织推荐的用于提取序列变化趋势的有效工具。M-K检验法不受个别异常值的干扰，能够客观反映时间序列趋势，广泛应用于检验某一自然过程是处于自然波动亦或是存在确定的变化趋势，目前已经被广泛用于气候参数和水文序列的分析中。 + +M-K法可以根据输出的两个序列（ $UF$ 和 $UB$ ）明确突变的时段和区域。若 $UF$ 值大于0，则表明序列呈上升趋势，小于0则表明呈下降趋势。当它们超过临界置信水平直线时(显著性水平为0.05时，置信水平线为 $\pm 1.96$ ），表明上升或下降趋势显著，超过临界线的范围确定为出现突变的时间区域。如果 $UF$ 和 $UB$ 两条曲线出现交点，且交点在临界线之间，那么交点对应的时刻便是突变开始的时间。 + +水通量的趋势检验结果如图21所示，从图中可得出以下结论： + +$UF$ 值从 $t = 23$ 开始大于0,表明序列呈上升趋势。从 $t = 30$ 开始超过临界线(显著性水平为0.05),表明上升趋势显著,此后为出现突变的时间区域。 $UF$ 和 $UB$ 两条曲线在 $t = 27$ 时出现交点,且交点在临界线之间,于是此时刻便是突变开始的时刻。 + +![](images/740bf46afe688cc33a9801f28ecae78b0ad93253d871cc239cffff29c99ab6f6.jpg) +图21水通量的趋势检验 + +沙通量的趋势检验结果如图22所示，从图中可得出以下结论： + +$UF$ 值从 $t = 23$ 开始大于0,表明序列呈上升趋势。从 $t = 30$ 开始超过临界线(显著性水平为0.05时，置信水平线为 $\pm 1.96)$ ，表明上升趋势显著，此后为出现突变的时间区域。 $UF$ 和UB两条曲线在 $t = 27$ 时出现交点，且交点在临界线之间，于是此时刻便是突变开始的时刻。 + +![](images/e176d7d2fb48a0e5a0f89e273d7e4fc2470f2f18491d440ac2532e95eb893330.jpg) +图22 沙通量的趋势检验 + +# 5.2.4.2水沙通量的突变点 + +为确定水沙通量在6年（72个月）是否有转折性的变化和显著的转折点（变点），使用Fisher最优分割法来判定。 + +Fisher最优分割法也称有序聚类分析[3],是多元统计分析中针对有序样品的一种统计分类方法.对有序样品分类,实际上就是要将这些样品组成的有序序列进行分段,每个分段为一类,这种分类称为分割.费歇尔(Fisher)曾给出了一个求最优分类的算法,其基本思想是:寻找一个分割使类内样品间的差异最小,而类间样品的差异最大. + +使用Fisher最优分割法来判定是否存在突变点的方法是：把时间序列 $x_{t}$ 按照时间点 $t$ 从小到大排序成为一个有序序列，再使用最优分割法进行分类，就可以获得突变点。 + +水通量的突变点检验结果如图23所示，从图中可得出以下结论：在 $t = 27$ 时水流量被分为2类，说明此时为突变点，这个结论与M-K法检验法一致。 + +![](images/8dc987f3df2b990ad2ee070f531ca52072b1564b53eb5829f479c71535b99ba5.jpg) +图23水通量的突变点 + +沙通量的突变点检验结果如图24所示，从图中可得出以下结论：在 $t = 30$ 时沙流量被分为2类，说明此时为突变点，这个结论与M-K法检验法一致。 + +![](images/e23e1bd95cc2ddbee8381f79e3d0055ced5175dafab2d9e144cc40d5afe9916c.jpg) +图24 沙通量的突变点 + +# 5.2.5水沙通量时间尺度的变化特征 + +为了详细而准确地寻找水沙通量的周期性和突变点，需要使用小波变换分析法[4]。 + +小波变换是窗口大小固定但形状可改变、时间窗和频率窗都可改变的时-频局域化分析法，被誉为数学显微镜，它除了可以实现多分辨分析之外，在地球物理资料的处理中还可提取具有物理意义的最缓慢变化部分。小波变换分析在降水和水文资料的研究中得到了广泛的应用。 + +使用 MATLAB 软件作小波变换，再使用 Origin 软件画图。 + +画出水通量小波等值线图，如图25所示；画出水通量小波方差分析图，如图26所示。从图25可得出以下结论： + +（1）水通量在 $45\sim 60$ 月的时间尺度上振荡明显，呈现了3次正负循环交替，但振幅较平缓，丰水期在1、36、70月附近，枯水期在18、54月附近，相应地，突变点在12、26、43、64月附近。 +(2) 水通量在 $15 \sim 25$ 月的时间尺度上振荡明显，呈现了 5 次正负循环交替，振幅陡峭，丰水期在 18、30、43、50、66 月附近，枯水期在 25、38、50、66 月附近，相应地，突变点在 22、26、34、40、46、54、60、66 月附近。 + +从图2可得出以下结论：水通量的主周期在20月附近，次周期在55月附近。 + +综合而言，水通量以20月为周期振荡，且振荡幅度很大；以55月为周期振荡，且振荡幅度较大。 + +![](images/a3035fd267b6ff8845b332948283489b5e152875f0af0869393813639119d0ef.jpg) +图25水通量小波等值线图 + +![](images/01ee5d382de94cceea8a832931062ba3285efd22a48687c028bee4f893ef7f18.jpg) +图26水通量小波方差分析图 + +画出沙通量小波等值线图，如图27所示；画出沙通量小波方差分析图，如图28所示。从图27可得出以下结论： + +（1）沙通量在30月以上的时间尺度上振荡消失。 +(2) 沙通量在 $15 \sim 25$ 月的时间尺度上振荡明显，呈现了 5 次正负循环交替，振幅陡峭，丰沙期与水通量相同，枯沙期也与水通量相同，突变点也与水通量相同。 + +从图4可得出以下结论：沙通量的主周期在20月附近。 + +综合而言，沙通量以20月为周期振荡，且振荡幅度很大，与水通量相同。 + +![](images/d67f1cb8294a333403b7b04ffa993e734fce4aa3065b5ea7766db61cca870277.jpg) +图27 沙通量小波等值线图 + +![](images/5a8a0f53133b70c7961018f3cbdd75b2d01c932eeab5d04b4f442110f8ba3fa6.jpg) +图28 沙通量小波方差分析图 + +# 5.3问题（3）——预测水沙通量的未来趋势并制订采样监测方案 + +问题分析：题目要求预测未来2年水沙通量的变化趋势，并制订未来2年最优的采样监测方案。为预测水沙通量的变化趋势，使用R/S分析法分析水沙通量的分形特征和长期记忆过程，以判断其未来是否存在相同趋势、反转趋势或随机趋势。为预测未来2年的水沙通量数据，可建立傅里叶级数去逼近。为制订采样监测方案，使用小波分析法分析信号不同周期的时间演变规律，以掌握其丰枯旱涝情况，再根据这些情况把最优方案问题转化为背包问题，从而通过建立0-1规划模型来制订最优的采样监测方案。 + +建模思路：首先，使用R/S分析法研究水沙通量是否在未来2年存在反转趋势。其次，建立傅里叶级数，预测未来2年的水沙通量数据。第三，使用小波分析法掌握其丰枯旱涝情况，再建立0-1规划模型，获得最优的采样监测方案。仍然把水沙通量整理成以“月”为时间点的时间序列。 + +# 5.3.1水沙通量的分形特征 + +为定量描述水沙通量的分形特征和长期记忆过程，探寻未来水沙通量的变化趋势，使用R/S分析法[6]。 + +R/S分析法也称为重标极差分析法（Rescaled Range Analysis），通常用于分析时间序列的分形特征和长期记忆过程。R/S分析法属于非参数分析法，它不必假定潜在的分布是正态高斯分布，仅仅独立就可以。R/S分析法被称为最具代表性的分形分析方法之一，在分形理论中有着重要的应用，目前已广泛应用于洪水、年径流序列以及气候变化的趋势分析中。 + +$H$ 为 $\mathrm{R} / \mathrm{S}$ 分析法的统计量， $0\leq H\leq 1$ 。 $H$ 能揭示出时间序列中的趋势性成分，同时可以根据 $H$ 的大小来判断趋势性成分的强弱。当 $H = 0.5$ 时，说明时间序列为独立同分布的随机序列，即现在的变化对未来没有影响；当 $0\leq H < 0.5$ 时，表明该过程具有反持续性，未来变化将与过去总体趋势相反， $H$ 越接近于0，反持续性越强；当 $0.5\leq H\leq 1$ 时，时间序列具有长程依赖性，即未来与过去具有相同的变化趋势， $H$ 越接近于1，持续性越强。 + +根据假设，水通量、沙通量序列是独立序列。 + +以全时段（2016-2021年，一共72个月）为例，水通量、沙通量 $\ln (\mathrm{R} / \mathrm{S})$ 与 $\ln (\mathrm{n})$ 的散点图如图29、图30所示，从图中可知， $\ln (\mathrm{R} / \mathrm{S})$ 与 $\ln (\mathrm{n})$ 二者的线性关系成立，其Hurst指数有效。 + +![](images/80f86e8af61c688d55313b9c3aa71179a9da08293936a91b6ad90a914cdfccf1.jpg) +图29水通量 $\ln (\mathbb{R} / \mathbb{S})$ 与 $\ln (\mathfrak{n})$ 的散点图 + +![](images/84877a1f2fbdfd25476bb39539e85aab5d14e848c69fde03d3deadc54df1b237.jpg) +图30 沙通量 $\ln (\mathbb{R} / \mathbb{S})$ 与 $\ln (\mathfrak{n})$ 的散点图 + +把全时段2016-2021年（1-72日）分为2个阶段：2016-2017年（1-24日）和2018-2021年（25-72日），第一阶段用于检验，第二阶段用于预测，结果如表8所示。 + +表 8 R/S 分析法的结果 + +
阶段2016-2021年(1-72日)2016-2017年(1-24日)2018-2021年(25-72日)
水沙通量水通量沙通量水通量沙通量水通量沙通量
Hurst指数0.23150.20290.33170.28420.22610.2233
判定结果趋势反转趋势反转趋势反转趋势反转趋势反转趋势反转
+ +从表1中可以得出以下结论： + +（1）在模型检验阶段，首先，水通量 $\mathrm{H} = 0.3317 < 0.5$ ，预示水流量未来变化将与过去总体趋势相反，这与实际情况相符。其次，沙通量 $\mathrm{H} = 0.2842 < 0.5$ ，预示排沙量未来变化将与过去总体趋势相反，这也与实际情况相符。第三，沙通量 $\mathrm{H} <$ 水通量 $\mathrm{H}$ ，说明沙通量的反转趋势比水通量更强，这也与实际情况相符。以上结果表明，R/S分析法具有一定的可靠性，可以用于预测。 +（2）在模型预测阶段，首先，水通量 $\mathrm{H} = 0.2261 < 0.5$ ，预示水流量未来变化将与过去总体趋势相反。其次，沙通量 $\mathrm{H} = 0.2233 < 0.5$ ，预示排沙量未来变化将与过去总体趋势相反。第三，沙通量 $\mathrm{H} <$ 水通量 $\mathrm{H}$ ，说明沙通量的反转趋势比水通量更强。 + +# 5.3.2水沙通量的预测 + +# 5.3.2.1 预测函数的建立 + +根据前文分析，水通量、沙通量都具有周期性，因此使用傅里叶级数去逼近。 + +设 $f(t)$ 表示 $t$ 时刻的水沙通量，根据假设，其满足狄利赫里（Dirichlet）条件，那么 $f(t)$ 的傅里叶级数处处收敛，于是 + +$$ +f (t) = \frac {a _ {0}}{2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \left(a _ {n} \cos n t + b _ {n} \sin n t\right) \tag {15} +$$ + +由于水沙通量的周期为12，于是水沙通量 $f(t)$ 的函数逼近解析式（取10阶）为 + +$$ +\begin{array}{l} y = f (t) \\ = \frac {a _ {0}}{2} + \left(a _ {1} \cos \frac {\pi}{6} t + b _ {1} \sin \frac {\pi}{6} t\right) \tag {16} \\ + \left(a _ {2} \cos \frac {2 \pi}{6} t + b _ {2} \sin \frac {2 \pi}{6} t\right) + \ldots + \left(a _ {1 0} \cos \frac {1 0 \pi}{6} t + b _ {1 0} \sin \frac {1 0 \pi}{6} t\right) \\ \end{array} +$$ + +误差检验公式为 + +$$ +e = \sqrt {\frac {1}{n} \sum_ {t = 1} ^ {n} \left(\hat {y} _ {t} - y _ {t}\right) ^ {2}} \tag {17} +$$ + +其中， $\hat{y}_t, y_t$ 分别表示模拟值和实际值， $n$ 为时间点个数。 + +# 5.3.2.2 预测函数的拟合和应用 + +取2018-2020年（36个月）的水沙通量数据作拟合，再对2021年（12个月）的水沙通量数据进行预测，接着作预测误差估计，最后对今后2年（2022-2023年24个月）的水沙通量数据作预测。 + +对水通量、沙通量函数进行拟合，傅里叶系数的估计结果如表9所示。 + +表 9 水沙通量函数的傅里叶系数 + +
序号水通量沙通量序号水通量沙通量
a033.070.26---
a1-18.26-0.25a6-1.06-0.04
b1-16.53-0.26b61.001.00
a2-2.48-0.02a72.170.04
b22.211.09b73.351.02
a3-0.370.04a8-0.15-0.04
b3-0.030.95b8-0.670.96
a4-0.15-0.04a9-0.370.04
b44.971.04b92.031.05
a51.620.04a10-1.55-0.02
b50.770.98b10-1.450.91
+ +拟合效果如图31、图32所示，从图中可知，拟合效果较好。 + +![](images/227ab52d341df271f1c3fe04504065271fb35b6e398e3ca8f7f9a86b29098fc9.jpg) +图31水通量的拟合效果比较 + +![](images/665226311b60e3e97761badd1a62ec6f859d4440e728f9eca2af98c498b1e19d.jpg) +图32沙通量的拟合效果比较 + +预测误差估计结果如表10所示，从表中可知，预测误差较小。 + +表 10 预测误差的估计 + +
模拟误差预测误差
水通量0.10110.3205
沙通量5.711624.6572
+ +为了比较水通量、沙通量的预测效果，画出全部6年数据与未来2年数据的时序图，如图33、图34所示，从图中可知，未来2年的预测值也具有相同的周期性，说明预测效果较好。 + +![](images/8a2465a3b72b157e6cf662a79c9a69981e61b7c354bdcd4f06720ef3b8b9edbf.jpg) +图33水通量过去值与未来值的比较 + +![](images/17c2dbf3423353df51d66190cd613ae61ff3f7aa09fcbc0c1f5011fc898ef41d.jpg) +图34沙通量过去值与未来值的比较 + +# 5.3.3制订水沙通量的最优采样监测方案 + +为制定最优的采样监测方案，基本思路是：在水沙通量变化平缓的时间点减少采样次数，相反，在水沙通量变化急剧的时间点增加采样次数。 + +# 5.3.3.1未来2年水沙通量时间尺度的变化特征 + +画出未来2年水通量、沙通量小波等值线图，如图35、图36所示，从图中可得出以下结论： + +（1）水通量在未来2年（73～96月）振荡减弱，只呈现了1次正负循环交替，振幅较平缓，有3个突变点，因此可减少监测次数。 +（2）沙通量在未来2年（ $73\sim 96$ 月）的变化趋势与水通量相同，也可减少监测次数。 + +![](images/884440b37af205f98cc27f495af6411f9ea57e31d7d1c9953cc419723b49d2a5.jpg) +图35水通量小波等值线图 + +![](images/1d69d6527617c86c071198efb8d6466b700c9e6b537cf51d90374a0bd3bd65c8.jpg) +图36 沙通量小波等值线图 + +# 5.3.3.2未来2年水沙通量的采样监测方案 + +问题分析：基于对水沙通量的小波分析，要制订监测方案，所追求的目标是既要节约监测成本（监测次数），又要及时掌握水沙通量的动态变化。该问题可以转化为背包问题来解决，把水通量的动态变化信 + +息看作价值，把监测看作物品（有成本），在价值一定的情况下，如何监测才能使得成本最小。 + +建模思路：以时间点“月”为例，首先，对历年每月的水沙通量所携带的信息进行度量，并汇总成月均信息量。其次，对未来2年每月的水沙通量所携带的信息进行度量。第三，以月均信息量为约束条件，以总监测次数最小为目标，建立0-1规划模型。 + +下面开始建模。以时间点“月”为例（模型可以推广到周、日、小时等时间单位），以年为方案制订的周期。 + +设 $x_{t}$ 表示 $t$ 时刻的水沙通量（水通量或沙通量）， $t = 1,2,\ldots,12$ ，令 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {t + 1} = \left| x _ {t + 1} - x _ {t} \right|, \quad t = 1, 2, \dots , 1 1 \\ y _ {1} = y _ {2} \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +$y_{t}$ 表示 $t$ 时刻水沙通量所携带的动态信息，可以提前进行估计， $y_{t} \geq 0$ 。 + +设 $\overline{y}$ 表示水沙通量所携带的动态信息的月平均值，可以用历史数据进行估计。 + +设 $z_{t} = 1$ 表示 $t$ 时刻监测， $z_{t} = 0$ 表示 $t$ 时刻不监测，则目标函数为 + +$$ +f = \sum_ {t = 1} ^ {1 2} z _ {t} \tag {19} +$$ + +目标函数求最小值，即 + +$$ +\min f \tag {20} +$$ + +约束条件为 + +$$ +\frac {1}{1 2} \sum_ {t = 1} ^ {1 2} z _ {t} y _ {t} \geq \bar {y} \tag {21} +$$ + +汇总得， + +$$ +\min \quad f = \sum_ {t = 1} ^ {1 2} z _ {t} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \frac {1}{1 2} \sum_ {t = 1} ^ {1 2} z _ {t} y _ {t} \geq \bar {y}, \\ z _ {t} \in \{0, 1 \} \end{array} \right. \tag {22} +$$ + +下面开始参数估计。根据前面的分析，水通量与水通量的变化趋势相同，故仅制订水通量的监测方案即可。根据 $2018\sim 2021$ 年每月的水通量可以估计出 $\overline{y} = 10.8$ （亿 $\mathrm{m}^3$ ）。再根据2022年、2023年的水通量数据 $x_{t}$ 计算出 $y_{t}$ ，如表11所示。从表中可知，2022、2023年的 $y_{t}$ 是相同的，这是由于水通量周期性所致。 + +使用LINGO软件求解，计算结果如表11所示。 + +表 11 参数估计和最优解 + +
月份123456789101112
2022年差分/亿m34.28514.28516.88399.5081.407411.183928.143620.00183.873413.423324.75194.2575
最优解111101111111
2023年差分/亿m34.28514.28516.88399.5081.407411.183928.143620.00183.873413.423324.75194.2575
111101111111
+ +从表11可知，2022年、2023年均在5月不监测，其余月份都要监测，监测次数减少了1次。 + +结果检验：由于5月份差分值最小（1.41），表明5月份与4月份的水通量变化不大，故可以不监测。 + +# 5.4问题（4）——分析“调水调沙”的实际效果 + +问题分析：为了评估“调水调沙”的实际效果，可以比较“调水调沙”前后河底高程、水沙通量、水流量等指标的变化。 + +建模思路：首先，使用“微元法”计算不同时间点的平均河底高程，并进行比较。其次，使用“微元法”计算平均水深，在此基础上计算不同时间点的水通量，并进行比较。第三，计算不同时间点的沙通量，并进行比较。 + +根据假设，每年6-7月份“调水调沙”一次。 + +# 5.4.1 “调水调沙”对河底高程的影响 + +定义1 河道断面左侧为起点桩位置，断面上测点距起点桩的距离即为起点距. + +河道断面如图37所示。为了计算平均河底高程，需要使用“微元法”。 + +![](images/90a84073a92ca0178d3d80217762b87f90fb6bf24df45cd4bcafbe60fad6cd95.jpg) +图37 河道断面示意图 + +根据起点距的定义，使用“微元法”近似计算平均河底高程，步骤如下： + +第1步，把数据点 $\left(x_{i},y_{i}\right)$ 按照起点距 $x_{i}$ 从小到大排序， $i = 1,2,\dots,n$ 。 + +第2步，计算相邻两个起点距的长度： $\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}$ ， $i = 2,3,\dots,n$ 。 + +第3步，计算相邻两个河底高程的平均高度： $\overline{y}_i = 0.5\left(y_i + y_{i - 1}\right), i = 2,3,\dots,n$ 。 + +第4步，计算面积微元： $dS = \Delta x_{i}\overline{v}_{i},\quad i = 2,3,\dots,n$ 。 + +第5步，计算总面积： $S = \sum_{i = 2}^{n}\Delta x_{i}\overline{y}_{i}$ + +第 6 步, 计算平均河底高程: $h = \frac{S}{a}$ , 其中 $a$ 为起点桩与终点桩之间的距离。 + +根据附件2的数据，计算结果如图38所示。从图中可得出以下结论： + +（1）每年的“调水调沙”成效显著，河底高程始终保持在 $45\mathrm{m}$ 左右，如果不调沙的话，必将出现上升现象。 +（2）2019年“调水调沙”前后成效尤其显著，从 $45\mathrm{m}$ 下降到 $44.77\mathrm{m}$ ，下降了 $0.23\mathrm{m}$ 。 + +# 5.4.2 “调水调沙”对水通量的影响 + +根据水通量的计算公式，计算水通量（亿 $\mathrm{m}^3$ ），结果如图39、图40所示。从图39中可得出以下结论： + +（1）每年的“调水调沙”效果不佳，水通量呈现逐年下降趋势。 +（2）2018年“调水调沙”前后成效尤其不佳，水通量从9.46亿 $\mathrm{m}^3$ 下降5.49亿 $\mathrm{m}^3$ 。下降了 $72\%$ + +![](images/d76c3ea181b66050dc19922758f84a1c321fddd164dc0e22ac2ee7c66da58b9b.jpg) +图38 河底高程的变化情况 + +![](images/2aa863c8fe5528c857cc939476ff6421f98e2b5062c3f2cc33de37628f0e1279.jpg) +图39水通量的变化情况 + +从图39中可得出以下结论： + +（1）如果不“调水调沙”，那么水通量逐年下降趋势越来越严重。 +（2）2022年水通量上升幅度尤其显著，上升了 $6.4\%$ ，调沙效果尤其不好。 + +# 5.4.3 “调水调沙”对沙通量的影响 + +根据沙通量的计算公式，计算沙通量（亿吨），结果如图40所示。从图中可得出以下结论： + +（1）“调水调沙”成效不佳，2021年与2020年相比，沙通量下降了 $45.4\%$ + +![](images/5bf791531cb6f07db74f71ab02d3a1210b5ac0f374f3e96cce3976f49993283e.jpg) +图40日均水通量的变化情况 + +![](images/a60dbb88ad7703d1c7c63639e114f7d7719aa47a2545099729ee3f544fafcc2d.jpg) +图40日均水通量的变化情况 + +# 5.4.4未来10年河底高程的预测 + +根据附件2的数据，把9个时间点的平均河底高程估算出来，为了排除每年6、7月份“调水调沙”的影响，把本年度排沙后的河底高程减去上年度排沙前的河底高程，形成新的时间序列，具体情况如表12 + +所示。 + +表 12 新的时间序列产生方式 + +
时间点1234
两个时间点数据相减2017/5/11-2016/10/202019/4/13-2018/9/132020/3/19-2019/10/152021/3/14-2020/3/19
+ +新的时间序列如表13所示， + +表 13 新的时间序列 + +
时间点1234
上年度数据45.1445.3144.7744.93
本年度数据45.1945.0044.9344.95
数据相减0.05-0.310.150.03
+ +由于新的时间序列只有4个时间点，故选择灰色模型GM(1,1)进行预测。 + +设 $\left\{z_{t}\right\}$ 为时间序列， $z_{t}$ 表示 $t$ 时刻河底高程1年的增量， $z_{t} \in (-\infty, +\infty)$ ， $t = 1,2,3,4$ ，令 + +$$ +u _ {t} = z _ {t} + z _ {0}, t = 1, 2, 3, 4 \tag {23} +$$ + +则 $u_{t} > 0$ ，这里取 $z_{0} = 1$ ，于是建立 $\mathrm{GM}(1,1)$ 模型对未来 $m$ 个时间点的数据进行预测，得到预测时间序列 $\{\hat{u}_t\}$ ， $t = 1,2,\dots,4 + m$ ，再还原得 + +$$ +\hat {z} _ {t} = \hat {u} _ {t} - z _ {0}, t = 1, 2, \dots , 4 + m \tag {24} +$$ + +则 $\hat{z}_t$ 表示河底高程1年的增量值，再还原为 $t$ 时刻河底高程。 + +使用MATLAB编程计算，结果如表14所示。 + +表 14 模拟数据与预测数据 + +
时间1234567891011121314
数据45.1945.1244.7245.0445.3445.8846.6747.7849.2651.1653.5856.5860.2864.79
+ +根据表14，画出河底高程的演变趋势，如图41所示。从表14和图41可知，未来如果不进行“调水调沙”，那么河底高程将持续升高，10年后将达到 $64.79\mathrm{m}$ 。 + +![](images/bcae4b02641ad40f5ef98cc91f121d55f6437ce217f5ed550a6e6e063c7cae4b.jpg) +图41 河底高程未来10年的变化情况 + +# 六、模型的评价和推广 + +# 6.1 模型优点 + +(1) 在分析含沙量与时间的关系时, 建立了季节指数, 得到了时间上的分布规律; 在分析含沙量与 + +水位、水流量的关系时，建立了双对数回归方程，得到了相关性和弹性。 + +（2）在分析水沙通量的季节性时，仍然建立了季节指数；在分析周期性时，建立了三角函数；在分析突变性时，分别使用M-K检验法和Fisher最优分割法进行交叉验证，可靠性强；为了详细寻找周期性和突变点，还使用了小波变换法，进一步验证了结论的正确性。 +（3）在分析水沙通量的趋势性时，使用R/S分析法；在预测未来2年的水沙通量时，建立了傅里叶级数，预测精度较高；在建立最优采样监测方案时巧妙转化为背包问题，存在最优解。 +（4）在计算曲线的平均高度时，使用了“微元法”。 + +# 6.2 模型缺点 + +（1）在预测未来2年的水沙通量时，难以给出突变点的数值，导致在突变点的预测值偏低。 + +# 6.3模型推广 + +本文所使用的模型或方法可以推广到水文资料分析问题中，还可以推广到其它有关季节性、周期性、突变性等问题的分析中。 + +# 七、参考文献 + +[1]郑锦秀.一元线性回归方程在大电流分流器测量中的应用[J].计测技术，2009,(5):17-19. +[2]靳明.基于M-K检验方法的沈阳地区典型水文站近53年洪水要素演变分析[J].地下水，2019,(2):119-161. +[3] 刘克琳等. "Fisher 最优分割法在汛期分期中的应用." 水利水电科技进展, 2017, (6): 19-23. +[4]王海龙.基于小波分析的汀江水沙通量变化规律研究[J].泥沙研究，2012. +[5]方国华.线性回归法和R/S分析法在南平市年平均气温变化趋势分析中的应用[C]//中国水文科技新发展——2012中国水文学术讨论会论文集.2012. +[6]王天华王平洋范明天.用0-1规划求解馈线自动化规划问题[J].中国电机工程学报，2000,20(5):54-58. +[7]王晓佳．基于数据分析的预测理论与方法研究．Diss．合肥工业大学，2012. + +# 附录 + +# 1. 支撑材料列表 + +![](images/d90b56bec0b9fc56903471fac06ec803130b90512c483d65e32236a18db12975.jpg) + +# 2. 支撑材料内容 + +2.0数据整理（Python软件） + +from格式转换类importwk_format +foryear in range(2016，2022): + wk_format(year) +fromopenpyxlimportWorkbook，load_workbook +defwk_format(year): + new_wk:Workbook $=$ Workbook() + new_sheet $=$ new_wk.active + old_wk:Workbook $=$ load_workbook("待整理数据表格.xlsx"，data_only=True) + forrow in old_wk.get_sheet_by_name(str(year)): + cell_list $= []$ + forcell in row: + cell_list.append(cell.value) + new_sheet.append(cell_list) + new_wk.save(f"\{year}.xlsx") +frompyecharts.chartsimportBar +frompyecharts options import\* + +from统计工具类import\* +bar $=$ Bar() + $\mathbf{x} = \mathrm{[}^{\prime}2016^{\prime},\mathrm{[}^{\prime}2017^{\prime},\mathrm{[}^{\prime}2018^{\prime},\mathrm{[}^{\prime}2019^{\prime},\mathrm{[}^{\prime}2020^{\prime},\mathrm{[}^{\prime}2021^{\prime}]$ +a， $\mathtt{b} =$ sum_utils() +y=a +fori in range(len(y)): y[i] $= y[i]$ /100000000 +bar.add_xaxis(x) + +```python +bar.add_yaxis("年总水流量(亿立方米) ", y, label_opts=LabelOptions(is_show=True, position="top")) +``` + +全局设置 + +```txt +bar.set_global_options( +``` + +```python +legend_opts=LegendOptions(is_show=True, pos_top='2%') +title_opts=TitleOptions(title=f'2016-2021 各年总水流量", pos_left='center', pos_bottom='2%')) +bar.render("年总水流量图.html") +``` + +```python +from pyecharts.charts import Bar +from pyecharts(options import * +from 测试代码.年总量计算类.统计工具类 import sum_utils +bar = Bar() +x = ['2016', '2017', '2018', '2019', '2020', '2021'] +a, b = sum_utils() +y = b +bar.add_xaxis(x) +bar.add_yaxis("年总输沙量(亿吨)", y, label_opts=LabelOptions(is_show=True, position="top")) +for i in range(len(y)): + y[i] = y[i] / 100000000 +bar.set_global_opts( + legend_opts=LegendOptions(is_show=True, pos_top='2%'), + title_opts=TitleOptions(title='2016-2021各年总输沙量", pos_left='center', pos_bottom='2%')) +bar.render("年总输沙量图.html") +``` + +import decimal +from math import floor +from openpyxl import Workbook,load Workbook +def get_sum(year): wk:Workbook $=$ load_workbook(f'\{year\}年日平均计算.xlsx') sheet $\equiv$ wk.active sum1 $\equiv$ decimal.Decimal('0.0000') sum2 $\equiv$ decimal.Decimal('0.0000') for cell in sheet['G2:G361']: sum1 $+ =$ decimal.Decimal(cell[O].value) for cell in sheet['H2:H361']: sum2 $+ =$ decimal.Decimal(cell[O].value) return floor(suml),floor(sum2) +def sum_utils(): sum_list1 $\equiv$ [] sum_list2 $\equiv$ [] for year in range(2016,2022): value1, value2 $\equiv$ get_sum(year) sum_list1.append(value1) sum_list2.append(value2) return sum_list1,sum_list2 + +```python +from 日平均计算类 import day_start +from 月平均计算类 import month_start +from 折线图处理类 import line_start +``` + +from openpyxl import Workbook,load Workbook +import decimal +def day_start(file):wk:Workbook $\equiv$ load Workbook(file,data_only=True) sheet $=$ wk.active prev_d $= 1$ prev_m $= 1$ count $=$ decimal.Decimal('0.0') water_level_sum $=$ decimal.Decimal('0.00') flow_sum $=$ decimal.Decimal('0.00') sand_content_sum $=$ decimal.Decimal('0.00') new_wk $\equiv$ Workbook() new_sheet $\equiv$ new_wk.active new_sheet.append(['年'，'月'，'日'，'平均水位'，'平均流量'，'平均含沙量'，'径流量(立方米)'，'输沙量(吨)']) flag $\equiv$ True for row in sheet: if flag: flag $=$ False continue year $=$ row[1].value month $=$ row[2].value day $=$ row[3].value water_level $=$ row[4].value flow $=$ row[5].value sand_content $=$ row[6].value water_level $=$ decimal.Decimal(water_level).quantizedecimal.Decimal('0.000')) flow $=$ decimal.Decimal.flow).quantizedecimal.Decimal('0.000')) sand_content $=$ decimal.Decimal(sand_content).quantizedecimal.Decimal('0.000')) if prev_d != day: water_level_sum $=$ water_level_sum / count flow_sum $=$ flow_sum / count sand_content_sum $=$ sand_content_sum / count runoff_sum $=$ flow_sum $\ast 3600\ast 24$ sediment_load_sum $=$ sand_content_sum $\ast$ flow_sum $\ast 3600\ast 24$ /1000 new_sheet.append( [year,prev_m,prev_d,water_level_sum,flow_sum,sand_content_sum,runoff_sum,sediment_load_sum]) prev_d $\equiv$ day prev_m $\equiv$ month water_level_sum $\equiv$ decimal.Decimal(water_level) flow_sum $=$ decimal.Decimal.flow) sand_content_sum $\equiv$ decimal.Decimal(sand_content) count $=$ decimal.Decimal('1.0') + +```python +else: water_level_sum += decimal.Decimal(water_level) flow_sum += decimal.Decimal.flow) sand_content_sum += decimal.Decimal(sand_content) count += 1 water_level_sum = water_level_sum / count flow_sum = flow_sum / count sand_content_sum = sand_content_sum / count runoff_sum = water_level_sum * 3600 * 24 sediment_load_sum = sand_content_sum * flow_sum * 3600 * 24 / 1000 +new_sheet.append([year, month, day, water_level_sum, flow_sum, sand_content_sum, runoff_sum, sediment_load_sum]) +new_wk.save(f' {year}年日平均计算.xlsx') +``` + +from openpyxl import Workbook,load Workbook +from pyecharts.charts import Line +import decimal +def month_start(year): wk:Workbook $=$ load Workbook(f' {year}年日平均计算.xlsx') prev_d $= 1$ prev_m $= 1$ count $=$ decimal.Decimal('0.0') new_wk $=$ Workbook() sheet $=$ wk.active new_sheet $=$ new_wk.active new_sheet.append(['年','月','日','平均径流量(立方米)','平均输沙量(吨)']) runoff_sum $=$ decimal.Decimal('0.0000') sediment_load_sum $=$ decimal.Decimal('0.0000') flag $=$ True for row in sheet: if flag: flag $=$ False continue year $=$ row[O].value month $=$ row[1].value day $=$ row[2].value runoff $=$ decimal.Decimal(row[6].value) sediment_load $=$ decimal.Decimal(row[7].value) if prev_m != month: runoff_sum $=$ runoff_sum / count sediment_load_sum $=$ sediment_load_sum / count new_sheet.append([year,prev_m,prev_d, runoff_sum,sediment_load_sum]) prev_m $=$ month prev_d $=$ day runoff_sum $=$ runoff sediment_load_sum $=$ sediment_load count $=$ decimal.Decimal('1.0') + +else: runoff_sum += runoff sediment_load_sum += sediment_load count $+ = 1$ +runoff_sum $=$ runoff_sum / count sediment_load_sum $=$ sediment_load_sum / count +new_sheet.append([year, month, day, runoff_sum, sediment_load_sum]) +new_wk.save(f' {year}年月平均计算.xlsx') + +```python +from openpyxl import Workbook, load_workbook from openpyxl.chart import LineChart, Reference +``` + +```txt +def line_start(year): +``` + +```txt +wk: Workbook = load Workbook(f" {year} 年月平均计算. xlsx") +``` + +```txt +sheet = wk.active +``` + +```txt +new_wk = Workbook() +new_sheet = new_wk.active +``` + +```python +data_list = [] +for row in sheet: + year = row[0].value + month = row[1].value + day = row[2].value + runoff = row[3].value + sediment_load = row[4].value + data_list.append(year, month, day, runoff, sediment_load]) + new_sheet.append(data_list[-1]) +c1 = LineChart() +``` + +```txt +c1.title = "月平均径流量图" +``` + +```txt +cl.x_axis.title = "月份" +``` + +cl.y_axis.title = "月平均径流量" +data_c1 = Referencesheet,min_col $= 4$ ，min_row $= 1$ ，max_col $= 4$ ，max_row $= 13$ +cl.add_data(data_cl，titles_from_data $\equiv$ True) +c2 $=$ LineChart() + +```txt +c2.title = "月平均输沙量图" +``` + +```txt +c2.x_axis.title = "月份" +``` + +c2.y_axis.title = "月平均输沙量" +data_c2 = Referencesheet,min_col $= 5$ ，min_row $= 1$ ，max_col $= 5$ ，max_row $= 13$ +c2.add_data(data_c2，titles_from_data $\equiv$ True) +new_sheet.add chart(c1，"G2") +new_sheet.add chart(c2，"P2") +new_wk.save(f"\{year\}水流通量折线图.xlsx") + +# 2.1 问题1的程序和结果 + +# 2.1.1 数据整理（Excel） + +# 2.1.2程序（MATLAB软件） + +$\%$ 5.0数据整理 + +clc,clear all + +load data % a1, a2, a3, a4, a5, a6=矩阵，若干行*5（5列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +%% + +a $\{1\} = a1$ + +a $\{2\} = a2$ + +a $\{3\} = a3$ + +a $\{4\} = a4$ + +a $\{5\} = a5$ + +a $\{6\} = a6$ + +save data2 a + +$\%$ 5.1.1研究含沙量与时间的关系 + +clc,clear all + +load data2 % a{} = 数组，6个矩阵，若干行*5（5列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +$\% \%$ 按日汇总：含沙量、水位、水流量 + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{b = a\{i\}}$ $\%$ 年数据 + +$\mathrm{b}(:,1) = []$ + +for $j = 1:12$ + +$\mathrm{p = f i n d(b(:,1) == j)}$ + +$\mathrm{b2 = b(p,:)}$ $\%$ 月数据 + +b2(:,1) = []; + +for $k = 1:30$ + +q=find(b2(:,1)=k); + +b3=b2(q,:);%日数据 + +b3(:,1) = []; + +b5=mean(b3,1); + +c $(\mathrm{k},\therefore ,\mathrm{j},\mathrm{i}) = \mathrm{b}5;\%$ 数组， $30*3*12*6$ + +end + +end + +end + +$\%$ 含沙量与水位、水流量 + +$\mathrm{d} = \left[\right]$ + +for $\mathrm{i} = 1:6$ + +for $j = 1:12$ + +$c2 = c(:, :, j, i)$ + +$\mathrm{d} = [\mathrm{d};\mathrm{c}2];\%$ 时间序列矩阵， $2160*3$ + +end + +end + +$\% \%$ 画时序图， + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{d}(:,3);\%$ 含沙量 + +plot(d2,'*'); + +$\mathrm{k1} = 1.5$ + +k2=3; + +y=1iqundian3(d2,k1,k2)；%识别离群点 + +$\mathrm{i =}$ find(y==2）; + +$\mathrm{d}2(i) = []$ + +plot(d2,'*'); + +$\%$ 月份指数 + +$\mathrm{d}3 = []$ + +for $i = 1:6$ + +for $j = 1:12$ + +c2=c(:, :, j, i); + +$\mathrm{n = size(c2,1)}$ + +$\mathrm{c3 = [j*ones(n,1),c2]}$ + +[ \mathrm{d}3 = [\mathrm{d}3; \mathrm{c}3]; \% ] 时间序列矩阵，2160*4（月份-水位-水流量-含沙量） + +end + +end + +$\mathrm{d}5 = \mathrm{d}3(:,[1,\mathrm{end}])$ + +$\% \%$ 计算月份指数 + +y=1iqundian3(d5(:,2),k1,k2);%识别离群点 + +$\mathrm{i = find(y == 2)}$ + +$\mathrm{d}5(i,:) = []$ + +for $i = 1:12$ + +k=find(d5(:,1)=i); + +$\mathrm{d}6 = \mathrm{d}5(\mathrm{k},2)$ + +$\mathrm{d}7(\mathrm{i}) = \mathrm{mean}(\mathrm{d}6)$ + +end + +$\mathrm{d8 = d7 / mean(d7)};\%$ 月份指数 + +plot(d8,'*') + +$\% \%$ 计算季度指数 + +k=find(d5(:,1)>=1&d5(:,1<=3)； + +$\mathrm{d}6 = \mathrm{d}5$ (k,2)； + +$\mathrm{d9(1) = mean(d6)}$ + +k=find(d5(:,1)>4&d5(:,1)<=6)； + +$\mathrm{d}6 = \mathrm{d}5(\mathrm{k},2)$ + +$\mathrm{d9(2) = mean(d6)}$ + +k=find(d5(:,1)>=7&d5(:,1)<=9)； + +$\mathrm{d}6 = \mathrm{d}5(\mathrm{k},2)$ + +d9(3)=mean(d6); + +k=find(d5(:,1)>=10&d5(:,1)<=12）; + +$\mathrm{d6 = d5(k,2)}$ + +d9(4)=mean(d6); + +d10=d9/mean(d9);%月份指数 + +bar(d10); + +5.1.2研究含沙量与水位、水流量的关系 + +clc,clear all + +load data2 % a{}=数组，6个矩阵，若干行*5（5列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +% 按日汇总：含沙量、水位、水流量 + +for $\mathrm{i} = 1:6$ $\mathrm{b = a\{i\} ; \%}$ 年数据 + $\mathrm{b(:,1)} = []$ +for $\mathrm{j} = 1:12$ $\mathrm{p = find(b(:,1) == j)}$ $\mathrm{b2 = b(p,;);}\%$ 月数据 + $\mathrm{b2(:,1)} = []$ +for $\mathrm{k} = 1:30$ $\mathrm{q = find(b2(:,1) == k)}$ $\mathrm{b3 = b2(q,;);}\%$ 日数据 + $\mathrm{b3(:,1)} = []$ $\mathrm{b5 = mean(b3,1)}$ +c $(k,:j,i) = b5;\%$ 数组， $30*3*12*6$ +end +end + +$\%$ 含沙量与水位、水流量 + +$\mathrm{d = []}$ +for $\mathrm{i} = 1:6$ for $\mathrm{j} = 1:12$ $\mathrm{c2 = c(:, :, j, i)}$ $\mathrm{d = [d;c2]};\%$ 时间序列矩阵， $2160*3$ end +end + +$\%$ 剔除离群点 + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{d}(:,3);\%$ 含沙量 + +plot(d2,'*'); + +$\mathrm{k1} = 1.5$ + +$\mathrm{k}2 = 3$ + +y=ligundian3(d2,k1,k2);%识别离群点 + +$\mathrm{i = find(y == 2)}$ + +$\mathrm{d}(i,): = []$ + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{d}(:,2);\%$ 检验，是否存在离群点 + +```javascript +plot(d2,'*'); +``` + +$\%$ 画散点图 + +subplot(1,3,1); plot(d(:,1),d(:,2),'.');xlabel('水位');ylabel('水流量'); + +subplot(1,3,2); plot(d(:,1),d(:,3), 'o');xlabel('水位');ylabel('含沙量'); + +subplot(1,3,3); plot(d(:,2),d(:,3), '\*');xlabel('水流量');ylabel('含沙量'); + +$\% \%$ 建立回归方程 + +$\mathrm{y = d(:,3),}\%$ 含沙量 + +$\mathrm{x = d(:,1)}$ $\%$ 水位或水流量，分别对应2个回归方程 + +$\mathrm{n =}$ length(x); + +```javascript +[b, hint, r,rint, stats] = regress(log(y), [ones(n,1) log(x)], 0.05); +``` + +$\mathrm{z} = [\mathrm{b}$ hint], + +```txt +stats, +``` + +$\%$ 残差检验 + +$\mathrm{r2 = (r - mean(r)) / sqrtuveats(4)}$ + +```javascript +figure, histfit(r2); +``` + +```javascript +y2=(y-mean(y))/std(y); +``` + +```javascript +figure, plot(y2,r2,'*'); +``` + +$\%$ 5.1.3估算年总水流量和年总排沙量 + +```txt +clc,clear all +``` + +```txt +load data2 % a{} = 数组，6个矩阵，若干行*5（5列：年-月-日-水位-流量-含沙量） +``` + +$\% \%$ 按日汇总：含沙量、水位、水流量 + +for $i = 1:6$ + +```txt +b=a{i}；%年数据 +``` + +```txt +b(:,1)=[]； +``` + +for $j = 1:12$ + +$\mathrm{p = f i n d(b(:,1) == j)}$ + +$\mathrm{b2 = b(p,:)}$ $\%$ 月数据 + +b2 $(\cdot ,1) = \left[ \right]$ + +for $k = 1:30$ + +```javascript +q=find(b2(:,1)=k); +``` + +```txt +b3=b2(q,:);%日数据 +``` + +```javascript +b3(:,1)=[; +``` + +```javascript +b5=mean(b3,1); +``` + +$\mathrm{c(k,(:,j,i) = b5;\%}$ 数组， $30*3*12*6$ + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +$\%$ 含沙量与水位、水流量 + +for $i = 1:6$ + +```javascript +c2=c(:, :, i); +``` + +```javascript +c3=mean(mean(c2,1),3); +``` + +$\mathrm{d = c3(:,2)}$ $\mathrm{d}2 = 365*24*3600 / 10^{\circ}8^{\circ}\mathrm{d};$ $\mathrm{d}3(\mathrm{i}) = \mathrm{d}2;\quad \%$ 年总水流量，亿立方米 +end + $\mathrm{d}4 = \mathrm{mean}(\mathrm{d}3);$ $\mathrm{d}5 = [\mathrm{d}3,\mathrm{d}4]$ + +$\% \%$ 含沙量与水位、水流量 +d9=0; +for $\mathrm{i} = 1:6$ +c2=c(:, :, i); +for $\mathrm{j} = 1:12$ +c3=c2(:, :, j); +for $\mathrm{k} = 1:30$ +c4=c3(k,); +d8=c4(2)*c4(3)*24*3600/1000;%吨 +d9=d9+d8; +end +end +d10(i)=d9/10^8; +end +d11=mean(d10); +d12=[d10,d11]; + +```txt +%% 输出 +e=[d5; d12] +``` + +$\% \%$ 剔除离群点 +d2=d(:,3);%含沙量 +plot(d2,'*'); +k1=1.5; +k2=3; +y=liquundian3(d2,k1,k2);%识别离群点 +i=find(y==2); +d(i,:)=[]; + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{d}(:,2);\%$ 检验，是否存在离群点plot(d2,'*'); + +$\% \%$ 年总水流量 +d3=d(:,2); +d4=mean(d3)*365*24*3600/100000000 %亿立方米 + +$\% \%$ 年总排沙量 +d5=d(:,3); +d6=mean(d4)*d4/1000 %吨 + +# $\%$ 5.1.1研究含沙量与时间的关系 + +clc,clear all + +load data2 % a{} = 数组，6个矩阵，若干行*5（5列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +$\% \%$ 按日汇总：含沙量、水位、水流量 + +for $\mathrm{i} = 1:6$ $\mathrm{b = a\{i\} ; \%}$ 年数据 + $\mathrm{b(:,1)} = []$ +for $\mathrm{j} = 1:12$ $\mathrm{p = find(b(:,1) == j)}$ $\mathrm{b2 = b(p,:)};\%$ 月数据 + $\mathrm{b2(:,1)} = []$ +for $\mathrm{k} = 1:30$ $\mathrm{q = find(b2(:,1) == k)}$ $\mathrm{b3 = b2(q,):}\%$ 日数据 + $\mathrm{b3(:,1)} = []$ $\mathrm{b5 = mean(b3,1)}$ +c $(k,:j,i) = b5;\%$ 数组， $30*3*12*6$ +end +end +end + +%% + +$\mathrm{d} = []$ + +for $i = 1:2$ $\%$ 拟合三角函数（2016-2017年） + +for $j = 1:12$ $\mathrm{c2} = \mathrm{c}(:, :, \mathrm{j}, \mathrm{i})$ ; $\mathrm{d} = [\mathrm{d}; \mathrm{c2}]; \%$ 时间序列矩阵，若干日*3 +end + +end + +$\mathrm{n = size(d,1)}$ + +$\mathrm{d}2 = \left[\left[1:\mathrm{n}\right]^{\prime},\mathrm{d}(:,\mathrm{end})\right];\%$ 矩阵，若干行 $^{\ast 2}$ （2列：日序号-含沙量） + +$\%$ 剔除离群点 + +$\mathrm{d3 =}$ sortrows(d2,2); + +$\mathrm{d4 = f1ipud(d3)}$ + +$\mathrm{d}4(1:3,:) = []$ $\%$ 有3个离群点 + +d5=sortrows(d4,1); %剔除离群点以后的矩阵，若干行*2（2列：日序号-含沙量） + +$\mathrm{d6 = d5(:,2)}$ $\%$ 检验，是否存在离群点 + +figure, plot(d6,'*'); + +$\%$ 拟合三角函数（2016-2017年） + +$\mathrm{t = d5(:,1)}$ + +$\mathrm{y = d5(:,2)}$ + +f=inline('p(1)*sin(2*pi/365*t+p(2))+p(3)', 'p', 't'); + +$\mathrm{p = 1}$ sqcurvefit(f，[0.3,-0.3,1],t,y) + +$\%$ 拟合检验 + +$\mathrm{n = }$ size(d5,1); + +t2=1:n; + +$\mathrm{f2 = p(1)*sin(2*pi / 365*t + p(2)) + p(3)}$ + +figure, plot(t,y,'',t2,f2,''); + +$\%$ 5.1.1研究含沙量与时间的关系 + +clc,clear all + +load data2 % a{} = 数组，6个矩阵，若干行*5（5列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +% 按日汇总：含沙量、水位、水流量 + +for $i = 1:6$ + +b=a{i};%年数据 + +b(:,1)=[]; + +for $j = 1:12$ + +$\mathrm{p =}$ find $(\mathrm{b}(:,1) == \mathrm{j})$ + +$\mathrm{b2 = b(p, :)}$ $\%$ 月数据 + +b2(:,1) = []; + +for $k = 1:30$ + +q=find(b2(:,1)=k); + +b3=b2(q,:);%日数据 + +b3(:,1) = []; + +b5=mean(b3,1); + +c(k,:,j,i)=b5;% 数组，30*3*12*6 + +end + +end + +end + +%% + +$\mathrm{d} = []$ + +for $\mathrm{i} = 3 : 6\%$ 拟合三角函数 (2018-2021年) + +for $j = 1:12$ + +$c2 = c(:, :, j, i)$ + +$\mathrm{d} = [\mathrm{d};\mathrm{c2}];\%$ 时间序列矩阵，若干日 $*3$ + +end + +end + +$\mathrm{n =}$ size(d,1); + +$\mathrm{d}2 = \left[[1:n]\right]^{\prime},\mathrm{d}(\cdot ,\mathrm{end})];\%$ 矩阵，若干行 $\ast 2$ （2列：日序号-含沙量） + +% 剔除离群点 + +$\mathrm{d3 =}$ sortrows(d2,2); + +$\mathrm{d4 = f1ipud(d3)}$ + +$\mathrm{d}4(1:7,:) = []$ ;%有7个离群点 + +d5=sqrtows(d4,1); %剔除离群点以后的矩阵，若干行*2（2列：日序号-含沙量） + +$\mathrm{d6 = d5(:,2)}$ $\%$ 检验，是否存在离群点 + +figure, plot(d6,'*'); + +$\%$ 拟合三角函数（2016-2017年） + +$\mathrm{t = d5(:,1)}$ + +$\mathrm{y = d5(:,2)}$ + +f=inline('p(1)*sin(2*pi/365*t+p(2))+p(3)', 'p', 't'); + +$\mathrm{p = l}$ sqcurvefit(f，[4,-2,5]，t,y) + +$\%$ 拟合检验 + +$\mathrm{n =}$ size(d5,1); + +t2=1:n; + +f2=p(1)*sin(2*pi/365*t+p(2))+p(3); + +figure, plot(t,y,'',t2,f2,''); + +# 2.2问题2的程序和结果 + +# 2.2.1 季节性（MATLAB） + +$\%$ 5.2.1水、沙通量的季节性 + +clc, clear all + +load data2 % a{}=数组，6个矩阵，若干行*6（6列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +$\%$ 按月汇总，水通量，沙通量 + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{b = a\{i\}}$ ；%年数据 + +b(:,1) = []; % 若干行*5（5列：月-日-水位-流量-含沙量） + +for $j = 1:12$ + +p = find(b(:, 1) == j); + +$\mathrm{b2 = b(p,:)}$ $\%$ 月数据 + +b2(:,1) = []; % 若干行*4（4列：日-水位-流量-含沙量） + +c2=0; + +$\mathrm{d}2 = 0$ + +for $k = 1:30$ + +q=find(b2(:,1)=k); + +b3=b2(q,:);%日数据 + +b3(:,1:2) = []; % 若干行*2（2列：流量-含沙量） + +b5=mean(b3,1); % 1*2（2列：流量-含沙量），日均数据 + +$\%$ 计算水通量 + +c=b5(1)*24*3600/10^8;%亿立方米 + +$c2 = c2 + c$ + +$\%$ 计算沙通量 + +$\mathrm{d = b5(2)*b5(1)*24*3600 / 1000 / 10^8}$ %亿吨 + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{d}2 + \mathrm{d}$ + +end + +c3(j,:)=[j,c2];%数组，12*2列（月-水通量） + +$\mathrm{d}3(\mathrm{j},:) = [\mathrm{j},\mathrm{d}2];\%$ 数组，12*2列（月-沙通量） + +end + +c4(:, :, i) = c3; %亿立方米，12*2*6，水通量 + +$\mathrm{d4((:, :, i) = d3; \%}$ 亿吨， $12*2*6$ ，沙通量 + +end + +$\%$ 计算月份指数（水通量） + +```matlab +c5=mean(c4,3); +c6=c5(:,2); +c7=c6/mean(c6);% 水通量的月份指数 +subplot(1,2,1); plot(c7,'*')； xlabel('月份');ylabel('水通量指数'); +c8=c7/sum(c7) +``` + +$\% \%$ 计算月份指数（沙通量） + +$\mathrm{d}5 = \mathrm{mean}$ (d4,3); + +$\mathrm{d6 = d5(:,2)}$ + +$\mathrm{d7 = d6 / mean(d6)}$ $\%$ 水通量的月份指数 + +subplot(1,2,2); plot(d7,'o-'); xlabel('月份');ylabel('沙通量指数'); + +$\mathrm{d8 = d7 / sum(d7)}$ + +$\% \%$ 输出：季节指数 + +$\mathrm{e} = [\mathrm{c7},\mathrm{d7}]$ + +$\mathrm{e}2 = [\mathrm{c8,d8}]$ + +$\%$ 5.2.1水、沙通量的季节性 + +clc, clear all + +load data2 % a{} = 数组，6个矩阵，若干行*6（6列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +% 按月汇总，水通量，沙通量 + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{b = a\{i\} ; \%}$ 年数据 + +b(:,1) = []; % 若干行*5（5列：月-日-水位-流量-含沙量） + +for $j = 1:12$ $\mathrm{p = find(b(:,1) == j)}$ $\mathrm{b2 = b(p,):}\%$ 月数据 + +b2(:,1) = []; % 若干行*4（4列：日-水位-流量-含沙量） + +c2=0; + +$\mathrm{d}2 = 0$ + +for $k = 1:30$ + +q=find(b2(:,1)=k); + +b3=b2(q,:);%日数据 + +b3(:,1:2) = []; % 若干行*2（2列：流量-含沙量） + +b5=mean(b3,1); % 1*2（2列：流量-含沙量），日均数据 + +$\%$ 计算水通量 + +c=b5(1)*24*3600/10^8;%亿立方米 + +$\mathrm{c2 = c2 + c}$ + +$\%$ 计算沙通量 + +$\mathrm{d = b5(2)*b5(1)*24*3600 / 1000 / 10^8}$ %亿吨 + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{d}2 + \mathrm{d}$ + +end + +$\mathrm{c3(j,:) = [j,c2]}$ $\%$ 数组，12*2列（月-水通量） + +$\mathrm{d}3(j,:) = [j,d2];\%$ 数组，12*2列（月-沙通量） + +end + +c4(:, :, i) = c3;%亿立方米，12*2*6，水通量 + +d4(:, :, i) = d3; %亿吨，12*2*6，沙通量 + +end + +$\%$ 描述分析 + +$\mathrm{c6 = [ ]}$ $\mathrm{d6 = [ ]}$ + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{c}5 = \mathrm{c}4(:, :, \mathrm{i})$ + +c5=c5(:,2); + +$\mathrm{c6 = [c6;c5]}$ + +% + +$\mathrm{d}5 = \mathrm{d}4(:, :, \mathrm{i})$ + +$\mathrm{d}5 = \mathrm{d}5(:,2)$ + +$\mathrm{d6 = [d6;d5]}$ + +end + +c7=[mean(c6), std(c6), min(c6), max(c6), range(c6), std(c6)/mean(c6)]; + +$\mathrm{d7} = [\mathrm{mean}(\mathrm{d6}), \mathrm{std}(\mathrm{d6}), \mathrm{min}(\mathrm{d6}), \mathrm{max}(\mathrm{d6}), \mathrm{range}(\mathrm{d6}), \mathrm{std}(\mathrm{d6}) / \mathrm{mean}(\mathrm{d6})]$ ; + +$\% \%$ 输出 + +$\mathrm{e} = [\mathrm{c7};\mathrm{d7}]$ + +# 2.2.2 周期性（MATLAB） + +$\%$ 5.2.2水、沙通量的周期性 + +clc,clear all + +load data2 % a{} = 数组，6个矩阵，若干行*6（6列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +$\%$ 按月汇总，水通量，沙通量 + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{b = a\{i\}}$ $\%$ 年数据 + +b(:,1) = []; % 若干行*5（5列：月-日-水位-流量-含沙量） + +for $j = 1:12$ + +$\mathrm{p = f i n d(b(:,1) == j)}$ + +$\mathrm{b2 = b(p,:)}$ $\%$ 月数据 + +b2(:,1) = []; % 若干行*4（4列：日-水位-流量-含沙量） + +c2=0; + +$\mathrm{d}2 = 0$ + +for $k = 1:30$ + +q=find(b2(:,1)=k); + +b3=b2(q,:);%日数据 + +b3(:,1:2) = []; % 若干行*2（2列：流量-含沙量） + +b5=mean(b3,1);% 1*2（2列：流量-含沙量），日均数据 + +$\%$ 计算水通量 + +c=b5(1)*24*3600/10^8;%亿立方米 + +$c2 = c2 + c$ + +$\%$ 计算沙通量 + +$\mathrm{d = b5(2)*b5(1)*24*3600 / 1000 / 10^8}$ %亿吨 + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{d}2 + \mathrm{d}$ + +end + +c3(j,:)=[j,c2];%数组，12*2列（月-水通量）d3(j,:)=[j,d2];%数组，12*2列（月-沙通量）endc4(:,i)=c3;%亿立方米，12*2*6，水通量d4(:,i)=d3;%亿吨，12*2*6，沙通量 +end + $\%$ 周期性(水通量) +c6=[[；]； +d6=[[；]； +for i=1:6c5=c4(:,i);c5=c5(:,2);c6=[c6;c5];%d5=d4(:,i);d5=d5(:,2);d6=[d6;d5]; +end +subplot(1,2,1); plot(c6,'-.'); xlabel('月份');ylabel('水通量'); +subplot(1,2,2); plot(d6,'-.'); xlabel('月份');ylabel('沙通量');%5.2.2水、沙通量的周期性 +clc,clear all +load data2 $\% \mathrm{a}\{\} =$ 数组，6个矩阵，若干行\*6（6列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +% 按月汇总，水通量，沙通量 + +for $\mathrm{i} = 1:6$ +b=a{i};%年数据 + $\mathtt{b(:,1)} = []$ %若干行 $\ast 5$ （5列：月-日-水位-流量-含沙量） +for $\mathrm{j} = 1:12$ $\begin{array}{rl} & {\mathrm{p = find(b(:,1) == j);}}\\ & {\mathrm{b2 = b(p,);}%;}\end{array}$ 月数据 + $\mathtt{b2(:,1)} = []$ %若干行 $\ast 4$ （4列：日-水位-流量-含沙量） +c2=0; +d2=0; +for k=1:30q=find(b2(:,1)=k);b3=b2(q,:);%日数据b3(:,1:2) $=$ []；%若干行 $\ast 2$ （2列：流量-含沙量）b5=mean(b3,1);%1\*2（2列：流量-含沙量），日均数据 $\%$ 计算水通量c=b5(1)*24\*3600/10^8;%亿立方米c2=c2+c; $\%$ 计算沙通量 $\mathtt{d = b5(2)*b5(1)*24*3600 / 1000 / 10^{\circ}8;\%}$ 亿吨 $\mathtt{d2 = d2 + d}$ + +```txt +end +c3(j,:)=[j,c2];%数组，12*2列（月-水通量）d3(j,:)=[j,d2];%数组，12*2列（月-沙通量） +end +c4(:, :,i)=c3;%亿立方米，12*2*6，水通量d4(:, :,i)=d3;%亿吨，12*2*6，沙通量 +end +``` + +$\% \%$ 周期性（水通量、沙通量） + +$\mathrm{c6 = []}$ $\mathrm{d6 = []}$ +for $\mathrm{i} = 3:6$ （2021年） $\begin{array}{l}\mathrm{c5 = c4(:, :, i)};\\ \mathrm{c5 = c5(:, 2)};\\ \mathrm{c6 = [c6;c5]};\\ \% \\ \mathrm{d5 = d4(:, :, i)};\\ \mathrm{d5 = d5(:, 2)};\\ \mathrm{d6 = [d6;d5]};\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{n = length(c6)};\\ \mathrm{t = 1:n;} \end{array}$ + +% 剔除离群点 + +$\mathrm{e = [t',c6]}$ $\%$ （水通量、或者沙通量） + $t = e(:,1)$ $\mathrm{y} = \mathrm{e}(:,2)$ +plot(t,y,'*')； +f=inline('p(1)*sin(2*pi/12*t+p(2))+p(3)','p', 't'); +p=lsqcurvefit(f,[22,-2,34],t,y) + $\% \%$ 拟合检验 + $\mathrm{f2 = p(1)*sin(2*pi / 12*t + p(2)) + p(3)}$ +plot(t,y,'*',t,f2,'-'); + +# 2.2.3 突变性（MATLAB） + +$\%$ 5.2.4.1水沙通量的变化趋势性 + +clc, clear all + +load data2 % a{} = 数组，6个矩阵，若干行*6（6列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +$\%$ 按月汇总，水通量，沙通量 + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{b = a\{i\}}$ $\%$ 年数据 + +b(:,1) = []; % 若干行*5（5列：月-日-水位-流量-含沙量） + +for $j = 1:12$ + +$\mathrm{p = f i n d(b(:,1) == j)}$ + +b2=b(p,:);%月数据 + +b2(:,1) = []; % 若干行*4（4列：日-水位-流量-含沙量） + +```matlab +c2=0; +d2=0; +for k=1:30 + q=find(b2(:,1) == k); + b3=b2(q,:);%日数据 + b3(:,1:2) = [];;%若干行*2（2列：流量-含沙量） + b5=mean(b3,1);%1*2（2列：流量-含沙量），日均数据 + %计算水通量 + c=b5(1)*24*3600/10^8;%亿立方米 + c2=c2+c; + %计算沙通量 + d=b5(2)*b5(1)*24*3600/1000/10^8;%亿吨 + d2=d2+d; +end +c3(j,:)=[j,c2];%数组，12*2列（月-水通量） +d3(j,:)=[j,d2];%数组，12*2列（月-沙通量） +end +c4(:, :,i)=c3;%亿立方米，12*2*6，水通量 +d4(:, :,i)=d3;%亿吨，12*2*6，沙通量 +end +``` + +$\% \%$ 趋势性 +c6=[]； +d6=[]； +for i=1:6c5=c4(:, :,i);c5=c5(:,2);c6=[c6;c5]; $\%$ d5=d4(:, :,i);d5=d5(:,2);d6=[d6;d5]; +end +n=length(c6)； $\%$ 水通量，或沙通量，在这里输入变量！！！！！！！！！！！t=[1:n]';e=[t,c6];y3=MKtest(e) + +$\%$ 5.2.4.2水沙通量的突变点 + +clc,clear all loaddata2 $\% \mathrm{a}\{\} =$ 数组，6个矩阵，若干行 $*6$ （6列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +$\%$ 按月汇总，水通量，沙通量 + +for $\mathrm{i} = 1:6$ $\mathrm{b = a\{i\};\%}$ 年数据 + $\mathrm{b(:,1) = []};\%$ 若干行 $^{*5}$ （5列：月-日-水位-流量-含沙量） +for $\mathrm{j} = 1:12$ + +p=find(b(:,1)=j);b2=b(p,:);%月数据b2(:,1)=[];%若干行\*4（4列：日-水位-流量-含沙量）c2=0;d2=0;fork=1:30q=find(b2(:,1)=k);b3=b2(q,:);%日数据b3(:,1:2)=[];%若干行\*2（2列：流量-含沙量）b5=mean(b3,1);%1\*2（2列：流量-含沙量），日均数据 $\%$ 计算水通量c=b5(1)\*24\*3600/10\*8;%亿立方米c2=c2+c;%计算沙通量d=b5(2)\*b5(1)\*24\*3600/1000/10\*8;%亿吨d2=d2+d;endc3(j,:)=[j,c2];%数组，12\*2列（月-水通量）d3(j,:)=[j,d2];%数组，12\*2列（月-沙通量）endc4(:,:,i)=c3;%亿立方米，12\*2\*6，水通量d4(:,:,i)=d3;%亿吨，12\*2\*6，沙通量 +end + $\% \%$ 趋势性 +c6=[]； +d6=[]； +for i=1:6c5=c4(:,:,i);c5=c5(:,2);c6=[c6;c5];%d5=d4(:,:,i);d5=d5(:,2);d6=[d6;d5]; +end +n=length(c6); $\%$ 水通量，或沙通量，在这里输入变量！！！！！！！！！！！t=[1:n]'; + $\% \%$ 最优分割法e=c6; $\%$ 水通量，或沙通量，在这里输入变量！！！！！！！！！e=e';m=2; $\%$ 类别个数y=fenlei(e,m)；e2=[t,y']plot(t,y,'*') + +%分类函数 + +function $y =$ fenlei(a, m) + +$\%$ a是一个行向量（从小到大排序或者从大到小排序）， +$\% \mathrm{m} = 6$ 是预先估计的分类个数，然后根据输出图形的结果再调整 +$\% \mathrm{y}=$ 行向量，每个样品的类别 + +%% + +$\left[\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\right] =$ sunshi(a)；% z是分点矩阵n*n(例如26*26) + +$\mathrm{n = size(z,1)}$ + +$\mathrm{a = zeros(1,n)}$ + +$\mathrm{y = z(n,m)}$ + +a $(1,y:n) = m$ + +$\mathrm{t = y - 1}$ + +for $j = 1:(m - 1)$ + +$\mathrm{i} = \mathrm{m} - \mathrm{j}$ + +if i>1 + +$\mathrm{y = z(t,i)}$ + +a $(1,y:t) = i$ + +$\mathrm{t = y - 1}$ + +else + +a $(1,1:t) = 1$ + +end + +end + +y=a; + +$\%$ 最优分割法--计算直径的函数 + +function y=zhijing(a) + +$\%$ a是一个行向量（本文中是相对误差） + +%% + +$\mathrm{b = size(a)}$ + +$\mathrm{e} = \mathrm{zeros}\left(\mathrm{b}(2)\right)$ + +for $\mathrm{i} = 1$ : (b(2) - 1) + +for $j = (i + 1):b(2)$ + +$\mathrm{c = a(i,j)}$ + +$\mathrm{f = size(c)}$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{mean}(\mathrm{c})$ + +for $k = 1:f(2)$ + +$\mathrm{e(i,j) = e(i,j) + (c(1,k) - d)^2}$ + +end + +end + +end + +y=e; + +function $[x,y,z] =$ sunshi(a) + +$\%$ a是一个行向量（从小到大排序） +$\% \mathrm{x} =$ 直径D(i,j)矩阵，是b阶方阵 +$\% \mathrm{y}=$ 损失函数值L[b*(1,k)]矩阵，是b阶方阵 +$\% \mathrm{z} =$ 分类位置点j矩阵，是b阶方阵 + +%% + +$\mathrm{d =}$ zhijing(a); $\%$ d是直径矩阵，zhijing()是自编的求直径的函数 + +b=length(a)； + +$\mathrm{c = z e r o s(b)}$ + +$\mathrm{e = zeros(b)}$ + +$\mathrm{f = zeros(1,b)}$ + +$k = 2$ + +for $\mathrm{i} = (\mathrm{k} + 1):\mathrm{b}$ + +for $j = k:i$ + +$f(1,j) = d(1,j - 1) + d(j,i)$ + +end + +$\mathrm{g} =$ nonzeros(f); + +$\mathrm{c(i,k) = min(g)}$ + +for $j = 1:b$ + +if $f(1, j) == \min(g)$ + +$\mathrm{e}(\mathrm{i},\mathrm{k}) = \mathrm{j}$ + +end + +end + +end + +$\mathrm{h = zeros(1,b)}$ + +for $k = 3:b - 1$ + +for $\mathrm{i} = (\mathrm{k} + 1):\mathrm{b}$ + +for $j = k: i$ + +$\mathrm{h}(1,\mathrm{j}) = \mathrm{c}(\mathrm{j} - 1,\mathrm{k} - 1) + \mathrm{d}(\mathrm{j},\mathrm{i});$ + +end + +g=nonzeros(h)； + +$\mathrm{c(i,k) = min(g)}$ + +for $j = 1:b$ + +if $\mathrm{h}(1,\mathrm{j}) = =\min (\mathrm{g})$ + +$\mathrm{e}(\mathrm{i},\mathrm{k}) = \mathrm{j}$ + +end + +end + +end + +end + +$\mathrm{x = d}$ ； $\%$ 输出直径D(i,j)矩阵，是b阶方阵 + +$\mathrm{y = c}$ ； $\%$ 输出损失函数值L[b*(1,k)]矩阵，是b阶方阵 + +$\mathrm{z = e}$ ； $\%$ 输出分类位置点j矩阵，是b阶方阵 + +$\mathrm{x1 = 2:b - 1}$ + +$\mathrm{y1 = c(b,2:b - 1)}$ + +plot(x1,y1,'-*\*） %画出损失函数关于分类数的变化图像 + +$\%$ M-K检验法（Mann-Kendall检验法） + +% clc, clear all + +$\%$ load data $\%$ a=矩阵，若干行*2列（时间点-平均温度序列） + +function y3=MKtest(a) + +%% + +$\mathrm{y = a(:,2)}$ 平均温度序列 + +Sk=zeros(size(y)); %定义累计量序列Sk，长度=y，初始值=0，Sk(1)=0 + +$\mathrm{UFk = zeros(size(y))}$ $\%$ 定义统计量UFk，长度 $= y$ ，初始值 $= 0$ ，UFk(1)=0 + +s=0; %定义Sk序列的元素s + +for $\mathrm{i} = 2 : \operatorname{length}\left( \mathrm{y}\right)$ + +for $j = 1:i$ + +if $y(i) > y(j)$ + +$s = s + 1$ + +else + +$s = s + 0$ + +end + +end + +$\mathrm{Sk(i) = s}$ + +$\mathrm{Var} = \mathrm{i}*(\mathrm{i} - 1)*(2*\mathrm{i} + 5) / 72;\% \mathrm{Sk}(\mathrm{i})$ 方差，见式(3) + +$\mathrm{E} = \mathrm{i}*(\mathrm{i} - 1) / 4;\% \mathrm{Sk}(\mathrm{i})$ 的均值，见式(3) + +$\mathrm{UFk(i) = (Sk(i) - E) / sqrt(Var)}$ $\%$ 正序列UF值，见式(2) + +end + +%% + +$\mathrm{Sk2 = zeros(size(y))}$ $\%$ 定义逆序累计量序列Sk2，长度 $= y$ ，初始值 $= 0$ ， $\mathrm{Sk}(2) = 0$ + +UBk=zeros(size(y));%定义逆序统计量UBk，长度=y，初始值=0，UBk(1)=0 + +$s = 0$ + +y2=flipud(y);%按时间序列逆转平均温度序列 + +for $i = 2$ :length(y2) + +for $j = 1:i$ + +if y2(i)>y2(j) + +$s = s + 1$ + +else + +$s = s + 0$ + +end + +end + +$\mathrm{Sk2(i) = s}$ + +$\mathrm{E} = \mathrm{i}*(\mathrm{i} - 1) / 4$ %均值 + +$\mathrm{Var} = \mathrm{i}*(\mathrm{i} - 1)*(2*\mathrm{i} + 5) / 72$ %方差 + +UBk(i) $= 0 -$ (Sk2(i)-E)/sqrt(Var); + +end + +UBk2=f1ipud(UBk)；%逆序列UB值 + +%% + +$\mathrm{x = a(:,1)}$ %年份序列 + +$\mathrm{n =}$ length(x)； 年份序列的长度 + +figure, %画图 + +set (gcf,'unit','centimeters','position',[35126])%设置图形的位置及大小 + +set（gca,'Position',[0.15 0.18 0.8 0.78]）；%设置图片比例大小 + +plot(x,UFk,'r--,'linewidth',1.5); %画UF线 + +hold on + +plot(x,UBk2,'b-.','linewidth',1.5); %画UB线 + +plot(x,1.96*ones(n,1),'k':,'linewidth',2) ; + +plot(x,-1.96*ones(n,1), 'k:','linewidth',2); + +```matlab +plot(x,0*ones(n,1),'k-.','linewidth',1)；%画0水平线 +xlabel('月'); +ylabel('M-K值'); +legend('UF统计量','UB统计量','0.05显著水平')；%设置图例 +%% +y3=[x,UFk,UBk2]; +``` + +# 2.3问题3的结果 + +# 2.3.1R/S分析 + +$\%$ 5.2.2水、沙通量的周期性 + +```txt +clc, clear all +``` + +```txt +load data2 % a{} = 数组，6个矩阵，若干行*6（6列：年-月-日-水位-流量-含沙量） +``` + +% 按月汇总，水通量，沙通量 + +for $\mathrm{i} = 1:6$ +b=a{i};%年数据 + $\mathtt{b}(:,1) = [];\%$ 若干行 $^{\ast}5$ （5列：月-日-水位-流量-含沙量） +for $\mathrm{j} = 1:12$ +p=find(b(:,1)=j); +b2=b(p,:);%月数据 +b2(:,1)=[;%若干行\*4（4列：日-水位-流量-含沙量） +c2=0; +d2=0; +for k=1:30 +q=find(b2(:,1)=k); +b3=b2(q,:);%日数据 +b3(:,1:2)=[;%若干行\*2（2列：流量-含沙量） +b5=mean(b3,1);%1\*2（2列：流量-含沙量），日均数据 +%计算水通量 +c=b5(1)*24*3600/10^8;%亿立方米 +c2=c2+c; +%计算沙通量 +d=b5(2)*b5(1)*24*3600/1000/10^8;%亿吨 +d2=d2+d; +end +c3(j,:)=[j,c2];%数组，12\*2列（月-水通量） +d3(j,:)=[j,d2];%数组，12\*2列（月-沙通量） +end +c4(:,:,i)=c3;%亿立方米，12\*2\*6，水通量 +d4(:,:,i)=d3;%亿吨，12\*2\*6，沙通量 +end + +$\%$ 建立时间序列 + +$\mathrm{c6 = []}$ + +$\mathrm{d}6 = []$ + +for $i = 1:6$ + +```txt +c5=c4(:, :, i); +``` + +$\mathrm{c5 = c5(:,2)}$ $\mathrm{c6 = [c6;c5]}$ $\%$ d5=d4(:, :, i); d5=d5(:, 2); d6=[d6;d5]; end + +$\% \%$ 分形特征 + +$\mathrm{x = d6(25:end)}$ + +y3=RSzhishu2(x) + +$\% \mathrm{R} / \mathrm{S}$ 分析法，也称为重标极差分析法 + +function $y = \mathrm{RSzhishu}(x,n)$ + +$\% \mathrm{x}=$ 列向量，m*1, + +$\% \mathrm{n}=$ 把x分成p个区间，每个区间有n个元素， $\mathrm{n} * \mathrm{p} = \mathrm{m}$ + +$\% \mathrm{y} = \mathrm{R} / \mathrm{S}$ 值，1*1 + +$\% \mathrm{n} = 12$ + +$\mathfrak{m} = \mathrm{size}(\mathbf{x})$ + +$\mathrm{p = m / n}$ + +$\mathrm{c = [ ]}$ + +while length(x) > 0 + +$\mathrm{c = [c,x(1:n)]}$ + +$\mathrm{x}(1:\mathrm{n}) = []$ + +end + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{p}$ + +$\mathrm{c2 = c(:,i)}$ + +c3 = mean(c2); + +c4=c2-c3; + +c5=cumsum(c4); + +c6=max(c5)-min(c5)； + +c7=std(c2); + +c8(i)=(c6-c7) ^2; % 有的文献这样定义 + +c8(i) $= \mathrm{c6 / c7}$ %有的文献这样定义 + +end + +y=mean(c8); + +$\% \mathrm{R} / \mathrm{S}$ 分析法，也称为重标极差分析法 + +function y3=RSzhishu2(x) + +$\mathfrak{m} =$ length(x); + +$\mathrm{n0 = find(rem(m. / (1:m),1) == 0)}$ + +$\mathrm{n0}(1) = []$ + +$\mathrm{n0}(\mathrm{end}) = []$ + +$\mathrm{k} =$ length(n0)； + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{k}$ + +$\mathrm{n = n0(i)}$ + +$\mathrm{y = R S z h i s h u(x,n)}$ + +y2(i,:)=[n,y]; + +end + +$\% \%$ 拟合多项式系数 + +```matlab +p=polyfit(y2(:,1),y2(:,2),1)；%多项式系数按照降幂排列，最后1个是常数项系数 +y3=polyval(p,y2(:,1)); %求多项式的值 +plot(y2(:,1),y2(:,2),‘*',y2(:,1),y3,'-'); +y3=p(1); +``` + +# 2.3.2 傅里叶级数 + +$\%$ 5.2.2水、沙通量的周期性 + +clc,clear all + +load data2 % a{}=数组，6个矩阵，若干行*6（6列：年-月-日-水位-流量-含沙量） + +$\%$ 按月汇总，水通量，沙通量 + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{b = a\{i\} ; \%}$ 年数据 + +b(:,1) = []; % 若干行*5（5列：月-日-水位-流量-含沙量） + +for $j = 1:12$ + +$\mathrm{p = f i n d(b(:,1) == j)}$ + +$\mathrm{b2 = b(p, :)}$ $\%$ 月数据 + +b2(:,1) = []; % 若干行*4（4列：日-水位-流量-含沙量） + +c2=0; + +$\mathrm{d}2 = 0$ + +for $k = 1:30$ + +q=find(b2(:,1)=k); + +b3=b2(q,:);%日数据 + +b3(:,1:2) = []; % 若干行*2（2列：流量-含沙量） + +b5=mean(b3,1); % 1*2（2列：流量-含沙量），日均数据 + +$\%$ 计算水通量 + +c=b5(1)*24*3600/10^8;%亿立方米 + +$c2 = c2 + c$ + +$\%$ 计算沙通量 + +$\mathrm{d = b5(2)*b5(1)*24*3600 / 1000 / 10^8};$ %亿吨 + +$\mathrm{d}2 = \mathrm{d}2 + \mathrm{d}$ + +end + +$\mathrm{c3(j,:) = [j,c2];\%}$ 数组，12*2列（月-水通量） + +$\mathrm{d}3(j,:) = [j,d2];\%$ 数组，12*2列（月-沙通量） + +end + +c4(:, :, i) = c3; %亿立方米，12*2*6，水通量 + +d4(:, :, i) = d3; %亿吨，12*2*6，沙通量 + +end + +$\%$ 建立时间序列 + +$\mathrm{c6 = [ ]}$ + +$\mathrm{d}6 = []$ + +for $i = 1:6$ + +c5=c4(:, :, i); + +$\mathrm{c5 = c5(:,2)}$ + +$\mathrm{c6 = [c6;c5]}$ $\%$ d5=d4（：，：，i）；d5=d5（：，2）；d6=[d6;d5]；end + +$\% \%$ 拟合傅里叶级数 + +$\mathrm{y = d6(25:60)}$ $\%$ （水通量、或者沙通量） + +y3=d6(61:72)； $\%$ 留出最后1年用于预测误差的估计 + +$\mathrm{t = 1:length(y)}$ + +$t = t^{\prime}$ + +plot(t,y,'*'); + +```javascript +f=inline('p(1)+(p(2)*cos(pi/6*t)+p(3)*sin(pi/6*t))+p(4)*cos(pi/6*2*t)+p(5)*sin(pi/6*2*t))+p(6)*cos(pi/6*3*t)+p(7) +``` + +$\ast \sin (\mathrm{pi} / 6*3*\mathrm{t})) + (\mathrm{p}(8)*\cos (\mathrm{pi} / 6*4*\mathrm{t}) + \mathrm{p}(9)*\sin (\mathrm{pi} / 6*4*\mathrm{t})) + (\mathrm{p}(10)*\cos (\mathrm{pi} / 6*5*\mathrm{t}) + \mathrm{p}(11)*\sin (\mathrm{pi} / 6*5*\mathrm{t})) + (\mathrm{p}(12)*\cos (\mathrm{pi} / 6*6*$ + +$\ast \mathrm{t}) + \mathrm{p}(13)*\sin (\mathrm{pi} / 6*6*\mathrm{t})) + (\mathrm{p}(14)*\cos (\mathrm{pi} / 6*7*\mathrm{t}) + \mathrm{p}(15)*\sin (\mathrm{pi} / 6*7*\mathrm{t})) + (\mathrm{p}(16)*\cos (\mathrm{pi} / 6*8*\mathrm{t}) + \mathrm{p}(17)*\sin (\mathrm{pi} / 6*8*\mathrm{t})) + (\mathrm{p}(18)$ + +$\ast \cos (\mathrm{pi} / 6*9*\mathrm{t}) + \mathrm{p}(19)*\sin (\mathrm{pi} / 6*9*\mathrm{t})) + (\mathrm{p}(20)*\cos (\mathrm{pi} / 6*10*\mathrm{t}) + \mathrm{p}(21)*\sin (\mathrm{pi} / 6*10*\mathrm{t}))',\mathrm{p}',\mathrm{t}')$ + +$\mathrm{p = 1}$ sqcurvefit(f,ones(1,21),t,y); + +```txt +p=p' +``` + +$\%$ 拟合检验 + +```javascript +f2=p(1)+(p(2)*cos(pi/6* t)+p(3)*sin(pi/6* t))+ (p(4)*cos(pi/6*2*t)+p(5)*sin(pi/6*2*t))+ (p(6)*cos(pi/6*3*t)+p(7)*sin(pi +``` + +```javascript +\(/6*3*t)) + (p(8)*cos(pi/6*4*t) + p(9)*sin(pi/6*4*t)) + (p(10)*cos(pi/6*5*t) + p(11)*sin(pi/6*5*t)) + (p(12)*cos(pi/6*6*t) + p(1 +``` + +```javascript +3)*sin(pi/6*6*t)+(p(14)*cos(pi/6*7*t)+p(15)*sin(pi/6*7*t))+p(16)*cos(pi/6*8*t)+p(17)*sin(pi/6*8*t))+p(18)*cos(pi +``` + +$/6*9*t) + p(19)*sin(pi/6*9*t)) + (p(20)*cos(pi/6*10*t) + p(21)*sin(pi/6*10*t));$ + +```txt +plot(t,y,'*',t,f2,'-'); +``` + +$\mathrm{e} = \mathrm{sqrt}(\mathrm{mean}((\mathrm{f2 - y}),\hat{\mathrm{~2}}))$ + +$\%$ 预测误差估计 + +t2=37:48; + +t2=t2'; + +```javascript +f3=p(1)+(p(2)*cos(pi/6*t2)+p(3)*sin(pi/6*t2))+ (p(4)*cos(pi/6*2*t2)+p(5)*sin(pi/6*2*t2))+ (p(6)*cos(pi/6*3*t2)+p(7)*s +``` + +```txt +in \((\mathrm{pi} / 6*3*t2)) + (\mathrm{p}(8)*\cos(\mathrm{pi} / 6*4*t2) + \mathrm{p}(9)*\sin(\mathrm{pi} / 6*4*t2)) + (\mathrm{p}(10)*\cos(\mathrm{pi} / 6*5*t2) + \mathrm{p}(11)*\sin(\mathrm{pi} / 6*5*t2)) + (\mathrm{p}(12)*\cos(\mathrm{pi} / +``` + +```txt +6*6*t2) + p(13)*sin(pi/6*6*t2)) + (p(14)*cos(pi/6*7*t2) + p(15)*sin(pi/6*7*t2)) + (p(16)*cos(pi/6*8*t2) + p(17)*sin(pi/6*8*t2) +``` + +$(+p(18)*\cos (pi / 6*9*t2) + p(19)*\sin (pi / 6*9*t2)) + (p(20)*\cos (pi / 6*10*t2) + p(21)*\sin (pi / 6*10*t2));$ + +$\mathrm{e2 = sqrt(mean((f3 - y3).^2))}$ + +$\%$ 今后2年的预测 + +t2=49:72; + +t2=t2'; + +```javascript +f3=p(1)+(p(2)*cos(pi/6*t2)+p(3)*sin(pi/6*t2))+ (p(4)*cos(pi/6*2*t2)+p(5)*sin(pi/6*2*t2))+ (p(6)*cos(pi/6*3*t2)+p(7)*s +``` + +$\mathrm{in(pi / 6*3*t2) + (p(8)*cos(pi / 6*4*t2) + p(9)*sin(pi / 6*4*t2)) + (p(10)*cos(pi / 6*5*t2) + p(11)*sin(pi / 6*5*t2)) + (p(12)*cos(pi / }$ + +```c +6*6*t2) + p(13) *sin(pi/6*6*t2)) + (p(14) *cos(pi/6*7*t2) + p(15) *sin(pi/6*7*t2)) + (p(16) *cos(pi/6*8*t2) + p(17) *sin(pi/6*8*t2) +``` + +$+(\mathrm{p}(18)*\cos (\mathrm{pi} / 6*9*t2) + \mathrm{p}(19)*\sin (\mathrm{pi} / 6*9*t2)) + (\mathrm{p}(20)*\cos (\mathrm{pi} / 6*10*t2) + \mathrm{p}(21)*\sin (\mathrm{pi} / 6*10*t2));$ + +%把8年数据放到一起检验 + +$\mathrm{t = 1}$ :length(d6）; + +$\mathrm{t = t^{\prime}}$ · +t2=73:96; +plot(t,d6,'*-'，t2,f3,'o')； $\%$ （水通量、或者沙通量） + +# 2.3.4小波分析 + +```matlab +waveletAnalyzer +>> shibu=real(coefs); +>> mo=abs(coefs); +>> mofang=mo.^2; +>> fangcha=sum(mofang,2); +``` + +# 2.3.5制定方案 + +！一般模型； +MODEL:sets:yue/1..12:/y,z;endsetsdata:y $\equiv$ @file(y2023.txt);enddata@for(yue(i): $@$ bin(z(i)););@sum(yue(i):z(i)\*y(i))/12> $= 10.8$ ： $\equiv$ @sum(yue(i):z(i)); +END + +# 2.4 问题 4 的程序和结果 + +# 2.4.1 中间处理类 1 + +from openpyxl import Workbook，load Workbook +def flow2_1(): wk：Workbook $=$ load_workbook('处理数据2.xlsx'，data_only=True) sheet $\equiv$ wk.active new_wk $=$ Workbook() new_sheet $=$ new_wk.active new_sheet.append(['年'，'月'，'日'，'起点距离'，'水位'，'水深'，'测点水深'，'测点水流速'，'测点含沙量']) for row in sheet: if str(row[0].value) $= =$ '日期': continue string:str $=$ str(row[0].value) sp $=$ string.split('）[0].split(-') cell_list $=$ [int(sp[0]),int(sp[1]),int(sp[2]),row[1].value,row[2].value,row[3].value,row[4].value, row[5].value,row[6].value] new_sheet.append(cell_list) new_wk.save('中间数据1.xlsx') + +# 中间处理类2 + +from openpyxl import Workbook，load Workbook +def flow2_2(）： wk:Workbook $=$ load Workbook('中间数据1.xlsx'，data_only=True) sheet $\equiv$ wk.active new_wk $\equiv$ Workbook() + +```python +new_sheet = new_wk.active +new_sheet.append( + ['年', '月', '日', '起点距离', '水位', '水深', '测点水流速', '测点含沙量', '计数'] +flag = True +row_list = [] +for row in sheet: + if flag: + flag = False + continue + year = int(row[0].value) + month = int(row[1].value) + day = int(row[2].value) + s = int(row[3].value) + w = float(row[4].value) + h = float(row[5].value) + v = float(row[7].value) + try: + sand = float(row[8].value) + except: + sand = None + row_list.append((year, month, day, s, w, h, v, sand)) +count = 1 +for i in range(len(row_list) - 1): + year = row_list[i][0] + month = row_list[i][1] + day = row_list[i][2] + s = row_list[i][3] + w = row_list[i][4] + h = row_list[i][5] + v = row_list[i][6] + sand = row_list[i][7] + new_sheet.append([year, month, day, s, w, h, v, sand, count]) +if row_list[i][3] != row_list[i + 1][3]: + count += 1 +new_wk.save("中间数据2.x1sx") +``` + +# 2.4.2 数据整理主方法 + +```txt +from数据处理类import flow1 +from中间处理类1import flow2_1 +from中间处理类2import flow2_2 +from平均流速处理类import flow3 +from部分面积处理类import flow4 +from径流量处理类import flow5 +flow1() +flow2_1() +flow2_2() +``` + +flow3() + +flow4() + +flow5() + +# 2.4.3数据处理类 + +from openpyxl import Workbook，load Workbook +def flow1(): wk：Workbook $=$ load_workbook('附件3.xlsx'，data_only=True) sheet $\equiv$ wk.active new_wk $\equiv$ Workbook() new_sheet $\equiv$ new_wk.active new_sheet.append( ['日期'，'起点距离(m)，'水位(m)，'水深(m)，'测点水深(m)，'测点水流速 $(\mathrm{m / s})$ ，'测点含沙量 $(\mathrm{kg / m3})]$ ） #1.水深 $= 0$ 去除 for row in sheet: try: if float(row[3].value) $>0$ cell_list $\equiv$ [] forcellinrow: cell_list.append(cell_value) new_sheet.append(cell_list) except: continue new_wk.save("处理数据1.xlsx") #2.测点水深 $\rightharpoondown$ 水深/水位去除 wk：Workbook $=$ load_workbook('处理数据1.xlsx'，data_only=True) sheet $\equiv$ wk.active new_wk $\equiv$ Workbook() new_sheet $\equiv$ new_wk.active new_sheet.append( ['日期'，'起点距离(m)，'水位(m)，'水深(m)，'测点水深(m)，'测点水流速 $(\mathrm{m / s})$ ，'测点含沙量 $(\mathrm{kg / m3})]$ ） for row in sheet: try: if row[4].value $= =$ None or row[4].value $\rightharpoonup$ row[3].value: continue except: continue cell_list $=$ [] forcellin row: cell_list.append(cell_value) new_sheet.append(cell_list) new_wk.save("处理数据2.xlsx") + +# 2.4.4平均流速处理类 + +from openpyxl import Workbook，load_workbook +def flow3（）： wk:Workbook $=$ load_workbook('中间数据2.xlsx'，data_only=True) sheet $\equiv$ wk.active + +```txt +new_wk = Workbook() +new_sheet = new_wk.active +``` + +new_sheet.append([''年',''月',''日',''起点距离',''水位',''水深',''平均水流速',''测点含沙量']) + +```python +count_list = [] +vc_list = [] +sc_list = [] +def water_v(n, vc): + list1 = [] + for i in vc: + if int(i[1]) == n: + list1.append(float(i[0])) + return list1 +def sand_sum(n, sc): + list1 = [] + for i in sc: + if int(i[1]) == n: + list1.append(float(i[0])) + return list1 +flag = True +for row in sheet: + if flag: + flag = False + continue + v = float(row[6].value) + try: + s = float(row[7].value) +except: + s = 0 +count = int(row[8].value) +count_list.append(count) +vc_list.append((v, count)) +sc_list.append((s, count)) +i = 0 +flag = True +for row in sheet: + if flag: + flag = False +continue +year = int(row[0].value) +month = int(row[1].value) +day = int(row[2].value) +s = int(row[3].value) +w = float(row[4].value) +h = float(row[5].value) +v = float(row[6].value) +n = int(row[8].value) +``` + +```python +cell_list = [] +if i != 0: + i -= 1 + continue +if count_list.count(n) == 1: + cell_list = [year, month, day, s, w, h, v, None] + i = 0 +elif count_list.count(n) == 2: + v_list = water_v(n, vc_list) + a = v_list[0] + b = v_list[1] + sum = (a + b) / 2 +cell_list = [year, month, day, s, w, h, sum, None] + i = 1 +elif count_list.count(n) == 5: + v_list = water_v(n, vc_list) + a = v_list[0] + b = v_list[1] + c = v_list[2] + d = v_list[3] + e = v_list[4] + sum = (a + 3 * b + 3 * c + 2 * d + e) / 10 +sand_list = sand_sum(n, sc_list) +sand = 0.0 +for sha in sand_list: + sand += sha +sand = sand / 5 +if sand == 0: + sand = None +cell_list = [year, month, day, s, w, h, sum, sand] +i = 4 +new_sheet.append(cell_list) +new_wk.save('平均流速.xlsx') +``` + +# 2.4.5 径流量处理类 + +from openpyxl import Workbook，load_workbook +def flow5(): wk：Workbook $=$ load_workbook('部分面积.xlsx'，data_only=True) sheet $\equiv$ wk.active new_wk $\equiv$ Workbook() new_sheet $\equiv$ new_wk.active new_sheet.append( + +[年'，'月'，'日'，'起点距离'，'水位'，'水深'，'平均水流速'，'截面面积'，'截面水流量'，'径流量'，'测点含沙量'， + +'截面输沙量']） + +```hcl +row_list = [] +flag = True +``` + +for row in sheet: if flag: flag $=$ False continue year $=$ int(row[0].value) month $=$ int(row[1].value) day $=$ int(row[2].value) s $=$ int(row[3].value) w $=$ float(row[4].value) h $=$ float(row[5].value) v $=$ float(row[6].value) try: m $=$ float(row[7].value) js $=$ float(row[8].value) except: m $=$ None js $=$ None try: sand $=$ float(row[9].value) except: sand $=$ None row_list.append((year, month, day, s, w, h, v, sand, m, js)) for i in range(0, len(row_list)): if flag: flag $=$ False continue year $=$ row_list[i][0] month $=$ row_list[i][1] day $=$ row_list[i][2] s $=$ row_list[i][3] w $=$ row_list[i][4] h $=$ row_list[i][5] v $=$ row_list[i][6] try: m $=$ row_list[i][8] js $=$ row_list[i][9] except: m $=$ None js $=$ None try: sand $=$ row_list[i][7] except: sand $=$ None if m != None: cell_list = [year, month, day, s, w, h, v, m, js, js * 24 * 3600] else: + +```python +cell_list = [year, month, day, s, w, h, v, m, js, None] +if sand: + cell_list.append(sand) + if row_list[i + 2][7]: + pj(js = (float(row_list[i][9]) + float(row_list[i + 1][9])) / 2 + pj_sand = (float(row_list[i][7]) + float(row_list[i + 2][7])) / 2 + cell_list.append(pj(js * pj_sand * 24 * 3600) + else: + cell_list.append(sand) + cell_list.append(sand) + new_sheet.append(cell_list) +new_wk.save('径流量.xlsx') +``` + +# 2.4.6部分面积处理类 + +from openpyxl import Workbook,load Workbook +def flow4(): wk:Workbook $=$ load_workbook('平均流速.xlsx'，data_only=True) sheet $\equiv$ wk.active new_wk $=$ Workbook() new_sheet $=$ new_wk.active new_sheet.append( ['年'，'月'，'日'，'起点距离'，'水位'，'水深'，'平均水流速'，'截面面积'，'截面水流量'，'测点含沙量']） s_list $= []$ h_list $= []$ v_list $= []$ row_list $= []$ flag $=$ True for row in sheet: if flag: flag $=$ False continue year $=$ int(row[0].value) month $=$ int(row[1].value) day $=$ int(row[2].value) s $=$ int(row[3].value) w $=$ float(row[4].value) h $=$ float(row[5].value) v $=$ float(row[6].value) try: sand $=$ float(row[7].value) except: sand $=$ None row_list.append((year,month,day,s,w,h,v,sand)) index $= 0$ flag $=$ True for i in range(0,len(row_list)): if flag: + +flag $=$ False continue year $=$ row_list[i-1][0] month $=$ row_list[i-1][1] day $=$ row_list[i-1][2] s $=$ row_list[i-1][3] w $=$ row_list[i-1][4] h $=$ row_list[i-1][5] v $=$ row_list[i-1][6] try: sand $=$ row_list[i-1][7] except: sand $=$ None if i $= =$ len(row_list)-1: cell_list $=$ [year,month,day,s,w,h,v,None,None,sand] elseif row_list[i][2] $= =$ row_list[i-1][2]: sub $=$ abs(row_list[i-1][3]-row_list[i][3]) hc $=$ abs(row_list[i-1][5]+row_list[i][5])/2 vc $=$ (row_list[i-1][6]+row_list[i][6])/2 cell_list $=$ [year,month,day,s,w,h,v,sub $\ast$ hc,sub $\ast$ hc $\ast$ vc,sand] else: cell_list $=$ [year,month,day,s,w,h,v,None,None,sand] new_sheet.append(cell_list) +new_wk.save('部分面积.xlsx') \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2023/Problems/D\351\242\230/D\351\242\230.md" "b/MCM_CN/2023/Problems/D\351\242\230/D\351\242\230.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cdb23f268022d20b6d02ec9fe433f075db1b97b2 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2023/Problems/D\351\242\230/D\351\242\230.md" @@ -0,0 +1,34 @@ +# D题 圈养湖羊的空间利用率 + +规模化的圈养养殖场通常根据牲畜的性别和生长阶段分群饲养，适应不同种类、不同阶段的牲畜对空间的不同要求，以保障牲畜安全和健康；与此同时，也要尽量减少空间闲置所造成的资源浪费。在实际运营中，还需要考虑市场上饲料价格和产品销售价格的波动以及气候、疾病、种畜淘汰、更新等诸多复杂且关联的因素，但空间利用率是相对独立并影响养殖场经营效益的重要问题。 + +湖羊是国家级绵羊保护品种，具有早期生长快、性成熟早、四季发情并且可以圈养等优良特性。湖羊养殖场通常建有若干标准羊栏，每一标准羊栏所能容纳的羊只数量由羊的性别、大小、生长阶段决定。 + +湖羊养殖的生产过程主要包括繁殖和育肥两大环节。人工授精技术要求高，因此湖羊繁殖大多采用种公羊和基础母羊自然交配的方式。怀孕母羊分娩后给羔羊哺乳，羔羊断奶后独立喂饲，育肥长成后出栏。自然交配时将若干基础母羊与一只种公羊关在一个羊栏中，自然交配期约为3周，然后将种公羊移出。受孕母羊的孕期约为5个月，每胎通常产羔2只。母羊分娩后哺乳期通常控制在6周左右，断奶后将羔羊移至育肥羊栏喂饲。一般情况下，羔羊断奶后经过7个月左右育肥就可以出栏。母羊停止哺乳后，经过约3周的空怀休整期，一般会很快发情，可以再次配种。按上述周期，正常情况下，每只基础母羊每2年可生产3胎。在不考虑种公羊配种能力差异的情况下，种公羊与基础母羊一般按不低于1:50的比例配置。种公羊和母羊在非交配期原则上不关在同一栏中。 + +某湖羊养殖场设置标准羊栏，规格是：空怀休整期每栏基础母羊不超过14只；非交配期的种公羊每栏不超过4只；自然交配期每栏1只种公羊及不超过14只基础母羊；怀孕期每栏不超过8只待产母羊；分娩后的哺乳期，每栏不超过6只母羊及它们的羔羊；育肥期每栏不超过14只羔羊。原则上不同阶段的羊只不能同栏。 + +养殖场的经营管理者为保障效益，需要通过制定生产计划来优化养殖场的空间利用率。这里的生产计划，主要是决定什么时间开始对多少可配种的基础母羊进行配种，控制羊只的繁育期，进而调节对羊栏的需求量，以确保有足够多的羊栏，同时尽量减少羊栏闲置。当羊栏不够时，可以租用其他场地。 + +请建立数学模型讨论并解决以下问题： + +问题1 不考虑不确定因素和种羊的淘汰更新，假定自然交配期20天，母羊都能受孕，孕期149天，每胎产羔2只，哺乳期40天，羔羊育肥期210天，母羊空怀休整期20天。该湖羊养殖场现有112个标准羊栏，在实现连续生产的条件下，试确定养殖场种公羊与基础母羊的合理数量，并估算年化出栏羊只数量的范围。若该养殖场希望每年出栏不少于1500只羊，试估算现有标准羊栏数量的缺口。 + +问题2 在问题1的基础上，对112个标准羊栏给出具体的生产计划（包括种公羊与基础母羊的配种时机和数量、羊栏的使用方案、年化出栏羊只数量等），使得年化出栏羊只数量最大。 + +问题3 问题1和问题2中用到的数据都没有考虑不确定性，一旦决定了什么时间开始对多少可配种的基础母羊进行配种，后续对羊栏的安排和需求也就随之确定。例如，用3个羊栏 + +给42只母羊进行配种，孕期需要6个羊栏，哺乳期需要7个羊栏给怀孕母羊分娩和哺乳，哺乳期结束就需要给84只断奶羔羊和42只母羊共安排9个羊栏进行育肥和休整。但实际情况并非如此，配种成功率、分娩羔羊的数目和死亡率等都有不确定性，哺乳时间也可以调控，这些都会影响空间需求。 + +现根据经验作以下考虑： + +(1) 母羊通过自然交配受孕率为 $85\%$ ，交配期结束后 30 天可识别出是否成功受孕； +(2) 在自然交配的 20 天中受孕母羊的受孕时间并不确知，而孕期会在 147-150 天内波动，这些因素将影响到预产期范围； +(3) 怀孕母羊分娩时一般每胎产羔 2 只，少部分每胎产羔 1 只或 3 只及以上，目前尚没有实用手段控制或提前得知产羔数。羔羊出生时，有夭折的可能，多羔死亡率高于正常。通常可以按平均每胎产羔 2.2 只、羔羊平均死亡率 $3\%$ 估算。 +(4) 母羊哺乳期过短不利于羔羊后期的生长, 通常是羔羊体重达到一定标准后断奶; 而哺乳期过长, 母羊的身体消耗就越大, 早点断奶, 有利于早恢复、早发情配种。一种经验做法是将哺乳期控制在 35-45 天内, 以 40 天为基准, 哺乳期每减少 1 天, 羔羊的育肥期增加 2 天; 哺乳期每增加 1 天, 羔羊的育肥期减少 2 天。除此之外, 母羊的空怀休整期可在不少于 18 天的前提下灵活调控。 + +此外，如有必要，允许分娩日期相差不超过7天的哺乳期母羊及所产羔羊同栏，允许断奶日期相差不超过7天的育肥期羔羊同栏，允许断奶日期相差不超过7天的休整期母羊同栏。为简化问题，不考虑母羊流产、死亡以及羔羊在哺乳期或育肥期夭折和个体发育快慢等情况。 + +在以上不确定性的考虑下，生产计划的制定与问题1和问题2将有较大的不同：一旦作出了“什么时间开始对多少可配种的基础母羊进行配种”的决定，后续羊栏的需求和安排不再是随之确定的，而是每一步都会出现若干种可能的情况需要作相应的并遵从基本规则的安排处理，但无法改变或调整上一步。因此，某种意义上，本问题要讨论研究的生产计划将是一个应对多种可能情况的“预案集”。 + +请综合考虑可行性和年化出栏羊只数量，制定具体的生产计划，使得整体方案的期望损失最小。其中整体方案的损失由羊栏使用情况决定，当羊栏空置时，每栏每天的损失为1；当羊栏数量不够时，所缺的羊栏每栏每天的损失（即租用费）为3。 \ No newline at end of file