diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/_\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241_\346\250\241\345\236\213\345\222\214\350\257\204\350\277\260/_\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241_\346\250\241\345\236\213\345\222\214\350\257\204\350\277\260.md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/_\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241_\346\250\241\345\236\213\345\222\214\350\257\204\350\277\260/_\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241_\346\250\241\345\236\213\345\222\214\350\257\204\350\277\260.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5817a0528a8e3f457a72e42cc0adc1754cb07938 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/_\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241_\346\250\241\345\236\213\345\222\214\350\257\204\350\277\260/_\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241_\346\250\241\345\236\213\345\222\214\350\257\204\350\277\260.md" @@ -0,0 +1,202 @@ +# “零件的参数设计”模型和评述 + +姜启源 + +（清华大学，北京100084） + +1997年大学生数学建模竞赛题目“零件的参数设计”的素材，是美国明尼苏达大学运筹与管理科学系助理教授李文连提供的。李在美国取得博士学位后，曾在福特汽车公司工作过一段时间，这个问题是他亲自遇到并研究过的，题目中的经验公式、参数标定值范围和容差等级都是真实的，在形成赛题过程中只对质量损失费用和零件成本等作了一些加工和简化。 + +零件的参数设计是机械工业设计工作中的重要步骤之一，确定零件参数的标定值和容差又是参数设计的基本内容。在批量生产过程中，标志产品质量的指标（在本题中表示为产品某参数偏离目标值的大小）取决于零件参数的标定值和容差。从经济角度考虑，标定值设计不合理或容差设计得太大，会使产品参数远离目标值，造成质量损失；而容差设计得太小，又会增加零件制造（或订购）成本。综合考虑产品质量和零件成本，设计时必须作出某种折中。 + +工程上进行零件参数设计的一种现成方法，是近年来我国某些专家提倡和推广的。日本学者田口玄一提出的所谓“三次设计”，简称田口方法。这次有一些参赛队查到了相关资料[1]，用该方法解决这个问题，本刊选登了几篇用得较好的论文，供大家参考，本文不再涉及田口方法。但是要指出的是，田口方法存在一些缺点（特别是用于本题）。首先，它是先对标定值后对容差分别选优，又没有迭代过程，所以一般说来得不到总体最优解。其次，它采用正交试验设计方法，标定值和容差必须离散化，对于像本题标定值有连续变化范围的问题，这是不方便和不够精确的。下面结合参赛队的一些作法给出这一问题的基本模型和解法。 + +# 一、关于质量损失函数 + +题目说：“如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大”。这个损失是对整个社会而言的，意思是只要 $|y - y_0|$ 不等于零（ $y$ 和 $y_0$ 分别表示产品参数和它的目标值），就有损失，于是质量损失函数 $L(y)$ 应该是 $(y - y_0)$ 的连续函数。考虑到题目所给条件： $y$ 偏离 $y_0 \pm 0.1$ 时损失 1000 元；偏离 $\pm 0.3$ 时损失 9000 元，可以合理地假设质量损失函数为 $(y - y_0)$ 的二次函数 + +$$ +L (y) = k \left(y - y _ {0}\right) ^ {2}, \quad k = 1 0 ^ {5} \tag {1} +$$ + +不少参赛队将损失理解为仅对工厂而言，又注意到“ $y$ 偏离 $y_0 \pm 0.1$ 时产品为次品，偏离 $\pm 0.3$ 时产品为废品”的叙述，认为这里的产品就是工厂出售的最终产品，于是正品没有损失；只要是次品，损失都一样；废品损失也一样．所以设质量损失函数为 + +$$ +L (y) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & | y - y _ {0} | \leq 0. 1 \\ 1 0 0 0, & 0. 1 < | y - y _ {0} | \leq 0. 3 \\ 9 0 0 0, & | y - y _ {0} | > 0. 3 \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +其实仅对工厂而言，如果认为这里的产品仅是最终产品的某一部件， $y$ 对 $y_0$ 的偏离会“连续地”影响最终产品的质量，损失函数用(1)式似乎更合理些. + +在全国评阅中，这两种形式的损失函数都认为是合理的 + +# 二、基本模型 + +显然这是一个优化问题, 目标函数应为成批生产时 (平均每件) 产品的质量损失与零件成本之和, 决策变量是零件参数的标定值和容差. + +可以合理地假设零件参数为相互独立的随机变量 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，期望（平均值）和均方差分别记作 $x_{i0}$ 和 $\sigma_{i}$ ，（绝对）容差记为 $r_{i} = 3\sigma_{i}$ ，相对容差记为 $t_{i} = r_{i} / x_{i0} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，再记 $x_{0} = (x_{10}, x_{20}, \dots, x_{n0})$ ， $t = (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n})$ 。 + +由于产品参数 $y$ 是由零件参数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 决定的，记作 $y = f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ ，显然 $y$ 也是随机变量，大量生产时（平均每件）产品的质量损失费用应该用损失函数 $\mathcal{L}(y)$ 的期望来度量，它取决于零件参数标定值 $x_{0}$ 和容差 $t$ ，我们记为 + +$$ +Q \left(x _ {0}, t\right) = E [ L (y) ] \tag {3} +$$ + +零件成本只取决于容差，第 $i$ 种零件的成本记作 $c_{i}(t_{i})$ ；则零件总成本为 + +$$ +C (t) = \sum_ {i = 1} ^ {n} C _ {i} \left(t _ {i}\right) \tag {4} +$$ + +于是该优化问题的目标函数可表示为 + +$$ +Z \left(x _ {0}, t\right) = E [ L (y) ] + C (t) \tag {5} +$$ + +下面分别就 (1) 和 (2) 式定义的损失函数 $L(y)$ , 讨论目标函数 $Z(x_0, t)$ 的表达式. 对于 (1) 式我们有 + +$$ +Q \left(x _ {0}, t\right) = 1 0 ^ {5} E \left(y - y _ {0}\right) ^ {2} = 1 0 ^ {5} \left[ \left(E y - y _ {0}\right) ^ {2} + \sigma_ {y} ^ {2} \right] \tag {6} +$$ + +其中 $\sigma_{y}^{2}$ 是 $y$ 的方差。为了得到 $Ey$ 和 $\sigma_{y}^{2}$ 的简单表达式，在 $x_0$ 处对 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 作Taylor展开，并略去二阶及二阶以上诸项，有 + +$$ +y = f \left(x _ {0}\right) + \sum_ {i = 1} ^ {n} d _ {i} \left(x _ {i} - x _ {i 0}\right), \quad d _ {i} = \frac {\partial f}{\partial x _ {i}} \Bigg | _ {x _ {0}} \tag {7} +$$ + +于是 + +$$ +E y = f \left(x _ {0}\right), \quad \sigma_ {y} ^ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {n} d _ {i} ^ {2} \sigma_ {i} ^ {2} = \frac {1}{9} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(d _ {i} x _ {i 0} t _ {i}\right) ^ {2} \tag {8} +$$ + +目标函数为 + +$$ +Z \left(x _ {0}, t\right) = 1 0 ^ {5} \left[ f \left(x _ {0}\right) - y _ {0} \right] ^ {2} + \frac {1 0 ^ {5}}{9} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(d _ {i} x _ {i 0} t _ {i}\right) ^ {2} + \sum_ {i = 1} ^ {n} c _ {i} \left(t _ {i}\right) \tag {9} +$$ + +注意在推导(9)式的过程中我们只用到随机变量 $x_{i}$ 的期望和方差，与它的概率分布无关，这里的误差来源于(7)式中忽略的高阶项. + +当损失函数取(2)式时，计算期望需要随机变量 $y$ 的概率分布，于是必须知道 $x_{i}$ 的概率分布．可以合理地假定 $\pmb{x}_{i}$ 服从正态分布 $N(x_{i0},\sigma_i)$ ，则在(7)式近似下 $_y$ 也服从正态分布 $N(f(x_0),\sigma_y),\sigma_y$ 由(8)式确定．若记概率 + +$$ +P _ {1} = P \left(0. 1 < | y - y _ {0} | \leq 0. 3\right), \quad P _ {2} = P \left(| y - y _ {0} | > 0. 3\right) \tag {10} +$$ + +则目标函数为 + +$$ +Z \left(x _ {0}, t\right) = 1 0 0 0 P _ {1} + 9 0 0 0 P _ {2} + \sum_ {i = 1} ^ {n} c _ {i} \left(t _ {i}\right) \tag {11} +$$ + +为了计算 $P_{1}, P_{2}$ , 令 + +$$ +z _ {1} = \left[ y _ {0} - 0. 3 - f (x _ {0}) \right] / \sigma_ {y}, \quad z _ {2} = \left[ y _ {0} - 0. 1 - f (x _ {0}) \right] / \sigma_ {y}, +$$ + +$$ +z _ {3} = \left[ y _ {0} + 0. 1 - f \left(x _ {0}\right) \right] / \sigma_ {y}, \quad z _ {4} = \left[ y _ {0} + 0. 3 - f \left(x _ {0}\right) \right] / \sigma_ {y} \tag {12} +$$ + +则 + +$$ +P _ {1} = \Phi (z _ {4}) - \Phi (z _ {3}) + \Phi (z _ {2}) - (z _ {1}), \quad P _ {2} = 1 - \Phi (z _ {4}) + \Phi (z _ {1}) \tag {13} +$$ + +其中 + +$$ +\Phi (z) = \int_ {- \infty} ^ {z} \varphi (x) d x, \quad \varphi (x) = \frac {1}{\sqrt {2} \pi} e ^ {- \frac {x ^ {2}}{2}} \tag {14} +$$ + +可以作近似计算或由标准正态分布表查出. + +本题的基本模型为在条件 + +$$ +a _ {i} \leq x _ {i 0} \leq b _ {i}, \quad t _ {i} = 0. 0 1, 0. 0 5, 0. 1, \quad i = 1, 2, \dots , n \tag {15} +$$ + +下 $(d_{i}, b_{i}$ 由题目数据给出）求零件参数标定值 $x_0$ 和容差 $t$ ，使(9)或(11)式表示的目标函数 $Z(x_0, t)$ 达到最小. + +有一些参赛队认为，要使 $Z(x_0, t)$ 最小，首先必须选 $x_0$ 满足 + +$$ +f \left(x _ {0}\right) = y _ {0} \tag {16} +$$ + +然后再确定容差。这是不对的，因为这样固然可以使 (9) 式右端的第一项消失，但是第二项也与 $x_0$ 有关，满足 (16) 式的 $x_0$ 不一定能使两项之和最小。 + +还有的参赛队先选 $x_0$ ，使之满足 + +$$ +\left| f \left(x _ {0}\right) - y _ {0} \right| < \varepsilon \tag {17} +$$ + +譬如给定 $\epsilon = 0.01$ , 然后再对于这样一些 $x_0$ 确定容差, 经过比较得到最终的解. 这样做虽然可以得到相当不错的数字结果, 但从理论上说是有缺陷的, 因为满足 (17) 式的 $x_0$ 位于一个非常复杂的多维区域内, 不可能对所有的 $x_0$ 进行比较. + +# 三、基本解法 + +注意到在基本模型(9)(或(11))和(15)式中，决策变量 $x_0$ 是连续的， $t$ 是离散的，而且 $t$ 的取值仅 $2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 = 108$ 种，可以先固定 $t$ ，求解如下一系列子问题 + +$$ +\operatorname {M i n} Z _ {1} \left(x _ {0}\right) = 1 0 ^ {5} \left[ f \left(x _ {0}\right) - y _ {0} \right] ^ {2} + \frac {1 0 ^ {5}}{9} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(d _ {i} x _ {i 0} t _ {i}\right) ^ {2} \tag {18} +$$ + +$$ +s. t. a _ {i} \leq x _ {i 0} \leq b _ {i}, \quad i = 1, 2, \dots , n \tag {19} +$$ + +得到最优解 $x_0^*, t^0$ 和最优值 $Z_1^*$ ，然后对 108 个 $t$ 比较 + +$$ +Z \left(x _ {0} ^ {*}, t\right) = Z _ {1} ^ {*} + C (t) \tag {20} +$$ + +得到全局最优解 $x_0^*$ 和最优值 $Z^{*}$ . 对于 (11) 式表示的目标函数, 求解思路一样. + +子问题(18)、(19)是非线性规划模型，可以选用现成的软件包(如LINDO)求解．而(7)式中导数 $d_{i}$ 应事先算出(如用Mathematica软件). + +可以设计某种减少子问题数目的程序，例如按照 $C(t)$ 的数值由小到大排序，依次计算。每解出一个子问题，立即由(20)式算出当前的最优值 $Z_{c}^{*}$ ，对待求解的子问题，先判断 $C(t) > Z_{c}^{*}$ 是否成立，若成立，则该子问题不必再解。 + +也可以设计一种迭代程序， $x_0$ 和 $t$ 一个固定，另一个优选，反复进行直到它们不再变化为止[2]. + +下面给出一组计算结果，供参考. + +对于模型(9),(15)，参数标定值为 $x_0^{**} = (0.075,0.375,0.125,0.1185,1.1616,19.96,0.5625)$ ，容差为 $t^* = (0.05, 0.05, 0.05, 0.1, 0.1, 0.05, 0.05)$ ，即容差等级为 $(B,B,B,C,C,B,B)$ ，（平均每件）产品的总费用为 $Z^* = 748.7$ （元） + +对于模型(11)、(15)，在上面的 $x_0^{**}$ 和 $t^*$ 下也得到最小的总费用421.2元(最优解可能不唯一). + +# 四、关于随机模拟 + +有一些参赛队利用了随机模拟(MonteCarlo模拟)方法，基本步骤为，设 $\pmb{x}_i$ 服从正态分布 $N(x_{i0},\sigma_i)$ 对每一组选定的 $x_0,t,$ 随机产生 $N$ 个数据(向量） $x^{(j)}$ ，然后根据(3)式作模拟计算： $\pmb{y}$ 以 $f(x^{(j)})$ 代替，对(1)式表示的 $L(y)$ 有 + +$$ +Q \left(x _ {0}, t\right) = \frac {1 0 ^ {5}}{N} \sum_ {j = 1} ^ {N} \left[ f \left(x ^ {(j)} - y _ {0}\right) \right] \tag {21} +$$ + +最后，对不同的 $x_0, t$ ，从 $Z = Q + C$ 中选优。对 (2) 式表示的 $L(y)$ 可作类似的处理。 + +这种方法虽然不需要算出 $f$ 的导数、 $y$ 的方差等，但是要想得到满意的结果，必须进行更大量的计算，不仅 $N$ 要很大，而且 $x_0$ 要在给定范围内离散地布点（须相当稠密）. + +一般地说，仅当一个问题无法解析地求解时，才利用随机模拟，否则这个方法只是用作结果的检验。所以本题还是应该用前面讨论的方法做，仅用随机模拟不能认为是好的答卷。 + +# 五、其 它 + +在评阅中我们发现，除了上述的基本模型和基本解法外，还有一些值得提出的，如： + +有的队（如本刊选登的上海交通大学队）作了7个参数标定值的变化对费用的敏感性分析，找出其中最敏感的如 $x_{1}, x_{2}$ ，这不仅对问题的求解有用（搜索时对敏感的参数步长缩小），而且对实际应用有一定的指导意义； + +有的队 (如本刊选登的四川联合大学队) 对 $y$ 的分布作了统计检验, 他们先用正态分布的 $x_{i}$ 模拟产生 $y_{i}$ , 作 $y$ 的直方图, 用 $x^{2}$ 拟合正态分布, 然后再在线性近似下证明 $y$ 确为正态分布, 这种作法是符合认识规律的; + +许多队在求解时都采用了多种方法，如本刊选登的西南石油学院队考虑到 $x_0$ 连续取值而 $t$ 离散取值，采用因素交替法、一维搜索法和穷举法，他们还研制了Windows环境下的参数优化设计软件，又如本刊选登的四川联合大学队为克服陷入局部极小的缺点，采用了模拟退火方法。 + +评阅中还发现有的队不够严肃认真，如他们给出的最低费用甚至小于420元(对模型(11)、(15))，但是用他们给出的最优解校核，根本得不到这个费用. + +# 参考文献 + +[1] 韩之俊、章谓基著，质量工程学，科学出版社，北京，1991年. +[2] Chan, L. K. and Xiao, P. H., Combined Robust Design, Quality Engineering 8(1), 1995, 47-56. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241/\345\205\263\344\272\216\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241.md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241/\345\205\263\344\272\216\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4fad2b609c804a38a65c80f0769369b36abeb3f7 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241/\345\205\263\344\272\216\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241.md" @@ -0,0 +1,212 @@ +# 关于零件参数问题的建模 + +余辉 那永林 肖云翔 + +指导教师：史道济 + +（天津大学，天津300072） + +编者按 本文在合理的假设下取质量损失函数，符合实际情况，说明了 $y$ 近似服从正态分布。给出了单位产品质量损失的表达式和较完整的数学模型。特别是在最优化过程中，探讨了其算法。 + +摘要 这是一个如何安排加工次序的组合优化问题，首先建立了一般问题的数学模型，在对其求解过程中我们采取了分枝限界法，保证了所得结果的最优性，且具有很高的时效性。其次针对某部门所采取的贪婪算法给以了评价，在评价中以其近似解与最优解的接近程度、得到最优解的概率为标准，利用计算机模拟对其进行评估，发现对于该问题贪婪算法并不能保证解的最优性，但近似程度较好。而后对调整刀具费用为0的情形进行了讨论，首先给出了一个引理，然后给出了一个简明的优化准则：当对各切割平面按其厚费比以不升序排列时，所得次序为最优加工次序。最后利用题中所给数据进行了验证，再次表明了所得结论的正确性。 + +# 一、问题的背景分析（略） + +# 二、问题的假设 + +# (1) 模型的参数 + +$\cos t$ ： 总费用函数(单位产品)； $\cos t_{1}$ ： 质量损失函数(单位产品)； + +$\cos t_2$ ： 成本函数（单位产品）； $\Delta_{i}$ ： 代表零件 $i$ 的容差; + +$C_1$ ： 产生一个费品造成的损失； $C_2$ ： 产生一个次品造成的损失; + +$A_{1}$ ： 费品的界限； $A_{2}$ ： 次品的界限; + +$Y$ ： 表征产品性能的指标； $\sigma_{i}$ ： 零件参数的方差； + +$x_{i} = E[x_{i}]$ ： 零件参数标定值的期望； $\sigma_y$ ： 产品性能指标的方差; + +$Y_{0} = E[Y]$ ： 产品性能指标的期望; $Y_0^*$ ： $Y$ 的目标值1.50; + +$P(y)$ ： 代表产品性能指标的分布概率 $N$ ： 产品生产数目； + +在程序及打印数据中以 $dy$ 代替 $x_{i}$ ： 7个零件参数的标定值 $(i = 1,\dots ,7)$ + +$$ +a _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {代 表 第} i \text {个 零 件 中 第} j \text {个 等 级 容 差}; \\ 0, & \text {代 表 第} i \text {个 零 件 末 选 中 第} j \text {个 等 级 容 差}; \end{array} \right. +$$ + +其中 $i = 1,\dots ,7,j = 1,\dots ,3.$ + +# (2）模型的假设 + +a. 为简化模型只考虑用单参数指标 $y$ 表征产品性能并已知 $y = f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ +b. 容差 $\Delta_{i}$ 近似等于3倍均方差 $(\Delta_{i} = 3\sigma_{i})$ ， $x_{i}$ 服从正态分布 $-N\left[x_{i},\left(\frac{\Delta_{i}}{3}\right)^{2}\right]$ ， $X_{i}$ 之间相互独立； +c. $Y$ 的目标值 $Y_0^*$ 已定，（即 $y_0^* = 1.5$ ）； + +d. 结合问题并考虑到实际生产，假设已知质量损失函数； + +$$ +Q (y) = \left\{ \begin{array}{l l} {C _ {1},} & {\quad Y _ {0} ^ {*} - A _ {1} > y \text {或} y < Y _ {0} ^ {*} + A _ {1},} \\ {C _ {2},} & {\quad Y _ {0} ^ {*} - A _ {1} < y < Y _ {0} ^ {*} - A _ {2} \text {或} Y _ {0} ^ {*} + A _ {2} < y < Y _ {0} ^ {*} + A _ {1}.} \\ {0,} & {\quad Y _ {0} ^ {*} - A _ {2} < y < Y _ {0} ^ {*} + A _ {2}} \end{array} \right. +$$ + +e. 由于批量生产，产品性能指标 $Y$ 受到多个设计参数及加工工艺的影响，所以假设 $Y$ 近似服从正态分布。 +f. 由于批量生产数目 $\mathbf{N}$ 较大（实例中 $\mathbf{N} = 1000$ ），造成一批产品质量的损失，则 $Q(Y)$ 可近似看成为一连续的函数。 + +# 三、模型的建立 + +# A 问题的进一步分析 + +(I) 容差等级选取的精度升高，造成成本 $\cos t_{1}$ 上升；零件标定值 $X_{i}$ 选取的不同影响 $Y$ 中心值 $(Y_{0}^{*})$ 变动，它和容差共同影响次废品出现的概率，从而影响质量损失 $\cos t_{2}$ ，因此考虑总费用 + +$$ +\cos t = \cos t _ {1} + \cos t _ {2} +$$ + +(II) 容差等级是离散的，即对每一个 $\Delta_{i}$ 只有几个是可选的，考虑用0一1整数规划，表示 $\cos t_2$ 如下：g + +$$ +\cos t _ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {3} K _ {i j} a _ {i j} +$$ + +其中 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {3} a _ {i j} = 1, \qquad a _ {i j} \text {取} 0 \text {或} 1 +$$ + +$K_{ij}$ 为第 $i$ 种零件 $j$ 级精度时的单位价格。对于本问题中不存在的等级，其价格 $K_{ij}$ 可取 $+\infty$ 或直接改变 $a_{ij}$ 值进行优化，如本问题中第1组零件只有一个容差等级2(即B等)，那么在用计算机进行优化时可直接约定 $a_{12} = 1, a_{13} = a_{11} = 0$ 即可。 + +III) 由于单位产品的质量损失可视为连续函数, 而且设计中心值 $Y_0^*$ 和废次品范围已定 ( $y < 1.2$ 或 $y > 1.8$ 为废品, $y$ 在 [1.2, 1.4] 或 [1.6, 1.8] 范围可视为次品), 所以 + +$$ +\cos t _ {1} = 9 0 0 0 \left(\int_ {- \infty} ^ {1. 2} P (y) d y + \int_ {1. 8} ^ {+ \infty} P (y) d y\right) + 1 0 0 0 \left(\int_ {1. 2} ^ {1. 4} (y) d y + \int_ {1. 6} ^ {1. 8} P (y) d y\right) +$$ + +其中 + +$$ +P (y) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma_ {y}}} 2 e ^ {\frac {- (y - y _ {0}) ^ {2}}{2 \sigma_ {y} ^ {2}}}, \qquad \sigma_ {y} ^ {2} =. \sum_ {i = 1} ^ {7} \left(\frac {\partial y}{\partial x _ {i}}\right) \sigma_ {x _ {i}} ^ {2} +$$ + +$$ +\sigma_ {x _ {i}} ^ {2} = \left(\frac {\Delta i}{3}\right) \left[ 0. 9 1 ^ {2} \cdot a _ {i 1} ^ {2} + 0. 0 5 ^ {2} \cdot a _ {i 2} ^ {2} + 0. 1 \cdot a _ {i 3} ^ {2} \right] +$$ + +B 综合上述分析，完整模型表示如下： + +$$ +\operatorname {M i n} \left(\cos t = \cos t _ {1} + \cos t _ {2}\right), \quad \cos t _ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {3} K _ {i j} a _ {i j} +$$ + +其中 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {3} a _ {i j} = 1, \qquad a _ {i j} \text {取} 0 \text {或} 1 +$$ + +$$ +\cos t _ {1} = 9 0 0 0 \left(\int_ {- \infty} ^ {1. 2} P (y) d y + \int_ {1. 8} ^ {+ \infty} P (y) d y\right) + 1 0 0 0 \left(\int_ {1. 2} ^ {1. 4} P (y) d y + \int_ {1. 6} ^ {1. 8} P (y) d y\right) +$$ + +其中 + +$$ +P (y) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma_ {y}}} e ^ {\frac {- (y - y _ {0}) ^ {3}}{2 \sigma_ {y} ^ {2}}}, \quad \sigma_ {y} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \left(\frac {\partial y}{\partial x _ {i}}\right) \sigma_ {x _ {i}} +$$ + +$$ +Y = f \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {7}\right) \quad \sigma_ {i} ^ {2} = \left(\frac {\Delta i}{3}\right) \left[ 0. 0 1 ^ {2} \cdot a _ {i 1} ^ {2} + 0. 0 5 ^ {2} \cdot a _ {i 2} + 0. 1 \cdot a _ {i 3} ^ {2} \right] +$$ + +# 四、模型算法的探讨 + +（一）本模型可以归为运筹学中的非线性规划问题。目前非线性规划还没有适用于各种问题的一般算法。我们知道线性规划问题最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是在可行域的顶点上到达）。而非线性规划问题最优解（如果存在）则可能在其可行域中任一点达到，所以从理论上各种算法寻找的均为局部最优极值点，从现实角度考虑要求算法收敛快，稳定性好，寻到的极值接近最优值。 +（二）采用问题所给的数据我们先用Mathcad软件作出 $\cos t_1 - (y_0,\sigma)$ 的三维关系图（彩色附图略），通过做等值线分析可知： + +i）当 $y_0$ 偏离1.5较远时， $\cos t_{1}$ 对 $y_{0}$ 取值敏感性要远大于对取值敏感性 + +ii）当 $y_0$ 很接近1.5时， $\cos t_{1}$ 对 $\sigma_{u}$ 敏感性较大 + +结论 考虑本身变动范围较小，综合i）、ii）分析所得，并结合Mathcad软件粗略运算得到 $\cos t_1 = 300$ 时有 $\left|\frac{\partial\cos t_1}{\partial y_0}\right| = 10\left|\frac{d\cos t_1}{\sigma_y}\right|$ ，所以 $\cos t_{1} > 300$ 时（ $\sigma_{y}$ 动范围为 $0.09\sim 0.100$ ）， $y_{0}$ 的邻域在首次搜索时定为[1.48,1.52]. + +# （三）程序算法分析： + +在编程计算时，考虑到程序执行时间因素，故采用三分算法进行计算，这样可使程序执行效率提高上千倍甚至更高（试验证明，此种方法比穷举法效率提高几万倍）。具体算法步骤如下： + +首先将各参量所允许区间分为四等分，取其三个分点进行计算（取点如下） + +
参量下界分点一分点二分点三上界步长
x10.0750.08750.10.11250.1250.0125
x20.2250.26250.30.33750.3750.0375
x30.0750.08750.10.11250.1250.0125
x40.0750.08750.10.11250.1250.0125
x51.1251.31251.51.68751.8750.1875
x612141618202
x70.56250.66250.750.850.9350.1
+ +如上，算出各分点（共 $3^{7}$ 个）各自的质量损失，经过比较得到 $\cos t_{1}$ 最低的几个点. + +其次，在所得到的点的小邻域内继续采取相同的算法，计算步长逐步缩小，并对0所得点的质量损失函数值进行比较，逐步筛选. + +再将上述过程重复数次，直至质量函数值变化不大为止，取其最小进行容差设计. + +最后，在最优点的很小邻域内进行最后选优，容差选取考虑采用穷举法。经过比较总费用 $\cos t$ 计算得出几组最优解，数据结果附下。 + +结果数据 + +
\( X_1 \)\( X_2 \)\( X_3 \)\( X_4 \)\( X_5 \)\( X_6 \)\( X_7 \)\( cos t \)Y\( DY \)
值等值等值等值等值等值等值等
.075B.29B.108B.095C1.33C19.3B.64B427.721.4952.091308
.075B.29B.109B.095C1.31C19.6B.65B427.681.4954.091315
.075B.30B.108B.095C1.252C19.2B.65B426.211.4954.091199
.075B.30B.108B.095C1.298C19.1B.60B426.171.4966.091272
+ +注：其中，“值”代表标定值，“等”代表等级；cost的单位为(元/个) + +# （四）算法程序（具体程序略） + +其中 程序一的功能为完成数据点的初次搜索； + +程序二的功能为在初选点的基础上通过调整容差使结果进一步优化； + +# （五）实例问题的求解 + +在原设计中，一个零件参数的标定值为： $x_{1} = 0.1, x_{2} = 0.3, x_{3} = 0.1, x_{4} = 0.1, x_{5} = 1.5, x_{6} = 16, x_{7} = 0.75;$ + +$$ +a _ {i j} = \begin{array}{c c c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} +$$ + +$$ +\cos t _ {2} = 9 0 0 0 \left(\int_ {- \infty} ^ {1. 2} P (y) d y + \int_ {1. 8} ^ {+ \infty} P (y) d y\right) + 1 0 0 0 \left(\int_ {1. 2} ^ {1. 4} P (y) d y + \int_ {1. 6} ^ {1. 8} P (y) d y\right) = 2 8 8 7 \text {元 / 个} +$$ + +$$ +\cos t _ {2} = 2 0 0 \text {元 / 个} \quad \cos t = 3 0 8 7 \text {元 / 个} +$$ + +采用我们的算法程序求得 + +
X1X2X3X4X5X6X7cos tYDY
值等值等值等值等值等值等值等///
0.75B.30B.108B.095C1.298C19.1B.60B426.171.4966.091272
+ +与原设计比较，总费用降低了2660.83(元/个) $\times 1000$ 个\~26万元 + +# 五、一般零件的参数设计（略） + +# 六、模型的评价 + +本模型的成功之处在于使一个多因素的问题，以极简便的方法快速得到结论。采用本模型辅以一台PC机，可以在十几分钟之内寻找出问题的优化答案，而采用普通的算法通常在十几小时都难于找出答案。这就为解决涉及多因素的问题提出了一条捷径，另外此模型并不涉及许多深奥的数学理论，可以很方便地推广到实际生产中。模型的不足之处在于模型求解需要依靠计算机进行，离开计算机进行求解会有一定困难。 + +优点为当具体问题中影响产品性能指标的零件数目减少时，用网格法搜索时，计算量呈指数下降，所以可以考虑直接寻优. + +# 七、模型的推广 + +本模型可广泛用于实际生产中的诸多领域，对受多种因素影响的具体问题可以很方便地求出优化解，而且也可用于理论分析和科学实验中，其特点在于用一段简单的程序就可将一复杂问题解决. + +# 参考文献 + +[1] 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，长沙. +[2] 衷光定，应用概率统计—MATHCAD 数理分析图形软件，北京师范大学出版社，北京. +[3]盛昭瀚、雷忻，最优的方法教程，东南大学出版社，南京. +[4] 傅家良、周仲良、魏国华，运筹学，复旦大学出版社，北京 +[5] 叶其孝，卢树铭，数学建模教育与国际数学建模竞赛，中国工业与应用数学学会，工科数学杂志社. +[6] 谭浩强编，C程序设计，清华大学出版社，北京. +[7] 姬振豫，正交设计，天津科技翻译出版公司，天津 +[8] 可计算理论目的三次设计，中国现场统计研究会三次设计组编著. + +![](images/ef99bfce3a0cce2664cdd2fbe594ac6dfada6aa5e7605d8e30093db2c456fd42.jpg) +程序图1 + +![](images/bccb1fe7ecc9a4f0a52ec93980c450d06098392de1c112362ae1a2582944a3d9.jpg) +程序图2 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241.md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..3b25ec4db1106ddb7c11db5009e9f7916e5166b2 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241.md" @@ -0,0 +1,205 @@ +# 零件参数的优化设计 + +初昀辉 刘晓曦 虞朝阳 + +指导教师：王命宇 + +（西北工业大学，西安710972） + +编者按 本文使用田口玄一的三次设计思想. 在离散的损失函数条件下找到了最优. 对问题的分析条理清楚、文字表述简谐. + +摘要本文讨论了零件参数的最优设计问题。假定标志产品性能的某个参数 $y$ 由零件参数的标定值和容差决定。本文首先给出了零件参数和产品性能参数的统计模型，然后根据三次设计的思想和方法进行标定值和容差设计：先利用直积法做正交试验，得到不同试验条件下的信噪比和 $y$ 值，综合考虑这两项指标，找出较优的零件参数水平，并通过方差分析，确定显著和不显著因素。通过对显著因素的调整，使 $y$ 值更接近于目标值，同时使其均方差保持在较小的值上，这样就兼顾了 $y$ 值的准确性和稳定性，然后再作容差设计。 + +模型求解用C语言编程实现，并用随机模拟法对结果进行了验证。结果表明，本文所建模型是稳定、准确、可靠的．最后得到的零件参数设计与原设计相比，使单位产品总费用由3165元降低到422元. + +# 一、问题的提出（略） + +# 二、问题的分析 + +1. 要减少质量损失，就必须使次品和废品尽量少。因此应使 $y$ 值接近目标值 $y_0$ ，同时应使 $y$ 值的波动尽量小。也就是说，要同时考虑 $y$ 的准确性与稳定性。 +2. 当零件参数的容差固定时， $y$ 的准确性与稳定性取决于零件参数的标定值。若标定值不合适，减小零件容差有可能使质量损失增大，同时成本亦会增大。因此，应首先确定标定值的最优解或较优解，然后再调整容差。 +3. 各零件参数对 $y$ 值影响的显著性是不同的，对标定值或容差作调整时，应首先考虑显著性大的零件参数。 + +# 三、符号说明 + +大写字母表示随机变量 + +$X_{i}$ $(i = 1,2,\dots ,7)$ ：零件参数； $Y$ ：产品参数； $F$ ：单位产品费用； $L$ ：单位产品质量损失；小写字母表示确定量 + +$y$ ：产品参数期望值； $y_{0}$ ：产品参数目标值； $f$ ：单位产品费用期望值； + +$l$ ：单位产品质量损失期望值； $c$ ：单位产品成本； $x_{i}$ $(i = 1,2,\dots ,7)$ ：零件参数标定值； + +$\bar{y}$ ：产品参数的随机数； $\delta x_{i}$ $(i = 1,2,\dots ,7)$ ：零件参数容差； $x_{i}$ ：零件参数的随机数； + +$\sigma x_{i}$ $(i = 1,2,\dots ,7)$ ：零件参数均方差； + +# 四、模型建立 + +基本假设：大量产品的零件参数视为相互独立的随机变量，且服从正态分布。产品性能取决于零件参数的标定值和容差。 + +根据题述条件，有 + +$$ +Y = 1 7 4. 4 2 \left(\frac {X _ {1}}{X _ {5}}\right) \left(\frac {X _ {3}}{X _ {2} - X _ {1}}\right) ^ {0. 8 5} \cdot \sqrt {\frac {1 - 2 . 6 2 \left[ 1 - 0 . 3 6 \left(\frac {X _ {4}}{X _ {2}}\right) ^ {- 0 . 5 6} \right] ^ {3 / 2} \left(\frac {X _ {4}}{X _ {2}}\right) ^ {1 . 1 6}}{X _ {6} X _ {7}}} \tag {1} +$$ + +$$ +\boldsymbol {F} = \boldsymbol {c} + \boldsymbol {L} \tag {2} +$$ + +要使费用最小，也就是使 $\mathbf{F}$ 的期望值最小．由式(2)得 + +$$ +f = c + l = c + P \{| Y - 1. 5 | > 0. 3 \} \times 9 0 0 0 + P \{0. 1 < | Y - 1. 5 | < 0. 3 \} \times 1 0 0 0 +$$ + +因 $Y$ 是 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{7}$ 的函数，且 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{7}$ 相互独立且均服从正态分布，故 $Y$ 的分布由 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{7}$ 的均值和方差决定，即由标定值和容差决定。而成本 $c$ 是容差的函数。我们称一组零件参数标定值 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{7}$ ，容差 $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \dots, \Delta x_{7}$ 为一个设计方案，需要做的是在给定范围内找到一个设计方案，使 $f$ 取得最小值。 + +# 五、模型求解及结果分析 + +# 1. 对给定的设计方案，求解费用期望值 $f$ + +成本 $c$ 容易由零件容量求出，下面讨论如何求质量损失期望值 $l$ + +因难以确定 $Y$ 的分布，我们用随机模拟法求 $l$ 。正态随机数的产生方法为：先采用贝斯-德拉姆洗牌技术产生均匀分布随机数，再用反变换法产生正态随机数[1]。 + +每次试验，产生7个相互独立的正态随机数 $\tilde{x}_i,\tilde{x}_i$ 是服从 $N(x_{i},\frac{1}{2}\Delta x_{i}^{2})$ 分布的一个随机数， $i = 1,2,\dots ,7.$ 由式（1）可得一个 $\tilde{y}$ ，重复试检 $m$ 次，统计其中的次品数 $n_1$ ，废品数 $n_2$ ，可得 + +$$ +l = \frac {1 0 0 0 n _ {1} + 9 0 0 0 n _ {2}}{m} +$$ + +于是可进一步求出 $f$ ，根据 $f$ 值可评价给定设计方案的优劣。 + +用原设计的给定值： + +$$ +x _ {1} = 0. 1, \quad x _ {2} = 0. 3, \quad x _ {3} = 0. 1, \quad x _ {4} = 0. 1, +$$ + +$$ +x _ {5} = 1. 5, \quad x _ {6} = 1 6, \quad x _ {7} = 0. 7 5, +$$ + +容差均取最便宜等级. 进行 2 万次随机试验, 得到 $f = 3165, y = 1.7256$ , 次品率 $63.22\%$ , 废品率 $25.92\%$ . + +由以上数据看出，由于 $y$ 值偏离 $y_0$ 太多，使废品率和次品率很高，导致费用很高，因而这是一个较差的设计方案。 + +# 2. 用三次设计法寻求最优设计方案 [2] + +所谓“三次设计”，指系统设计、参数设计（标定值设计）、容差设计，现在 $y$ 与 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{7}$ 的关系式已给出，故不需作系统设计。下面给出参数设计和容差设计的过程和数据。 + +# (1) 参数设计 + +我们以 $y$ 值和信噪比 $\eta$ 为指标用直积法作正交试验， $y$ 和 $\eta$ 分别反映了 $Y$ 的准确性和稳定性，综合考虑这两个指标，定出最优方案的大致范围，以及各因素对 $y$ 和 $\eta$ 影响的显著性大小（由方差分析得到）。然后调整标定值的区间，再进行试验，重复 $2\sim 3$ 次即可得到标定值的最优解（使用该方法所能得到的最优解）。限于篇幅，下面只列出主要数据[2]。 + +# (a) 内外表设计 (见图 1); + +可控因素水平表和误差因素水平表如下列两表所示 + +表 1 可控因素水平表 + +
水平\因素X1X2X3X4X5X6X7
10.07500.22500.07500.07501.125012.00.56250
20.10000.30000.10000.10001.500016.00.74875
30.12500.37500.12500.12501.875020.00.93500
+ +表 2 误差因素水平表 + +
水平\因素\( \Delta {X}_{1} \)\( \Delta {X}_{2} \)\( \Delta {X}_{3} \)\( \Delta {X}_{4} \)\( \Delta {X}_{5} \)\( \Delta {X}_{6} \)\( \Delta {X}_{7} \)
1\( {0.95}{X}_{1} \)\( {0.9}{X}_{2} \)\( {0.9}{X}_{3} \)\( {0.9}{X}_{4} \)\( {0.9}{X}_{5} \)\( {0.9}{X}_{6} \)\( {0.95}{X}_{7} \)
2\( {X}_{1} \)\( {X}_{2} \)\( {X}_{3} \)\( {X}_{4} \)\( {X}_{5} \)\( {X}_{6} \)\( {X}_{7} \)
3\( {1.05}{X}_{1} \)\( {1.1}{X}_{2} \)\( {1.1}{X}_{3} \)\( {1.1}{X}_{4} \)\( {1.1}{X}_{5} \)\( {1.1}{X}_{6} \)\( {1.05}{X}_{7} \)
+ +# (b) 内表数据及信噪比数据的分析 + +表内数据及信噪比 (SN 值) $\eta$ 如表 3 所示. 只列出试验号, 每次试验所对应的各素水平值可参照 $L_{27}(3^{13})$ 正交表. + +从下表数据中，综合考虑信噪比和 $y$ 值，完成： + +(i) 通过对信噪比和 $y$ 值分别作方差分析，得到各因素对信噪比和 $y$ 值影响的显著性大小. +(ii) 根据 (i) 所得出的结果，选择出各因素的最优水平。上述 (i)，(ii) 两项可参看表 4-7。 + +表 3 信噪比与 $Y$ 值 + +
条件号信噪比SN(dB)Y条件号信噪比SN(dB)Y
(1)16.46772.4487(2)15.07772.8423
(3)14.82754.2658(4)16.18261.6680
(5)16.35782.7210(6)15.34442.6606
(7)16.72600.9705(8)16.15071.9220
(9)15.50373.2459(10)15.99971.0543
(11)15.87172.3448(12)14.24805.0711
(13)16.80621.0699(14)15.99971.5868
(15)15.01143.0022(16)16.48640.7763
(17)15.92212.0031(18)15.99971.6421
(19)16.38021.3849(20)15.62252.0571
(21)13.66452.2577(22)16.49020.9919
(23)15.67651.3230(24)15.73821.9875
(25)16.26441.2865(26)16.40270.7490
(27)15.73701.3569
+ +表 4 Y 值方差分析辅助表 + +
水平\因素X1X2X3X4X5X6X7
(1)1.29462.63631.63952.07592.52722.31822.1967
(2)1.94991.89012.00492.09682.06121.84712.1035
(3)2.83221.55032.43231.90401.48831.91131.7764
+ +表4元素由表3对应列中同水平条件的 $y$ 值相加并除以水平重复数得到 + +表 5 Y 值方差分析表 + +
因素平方和S自由度f均方和VF
X110.71725.35832.177
X25.55522.77816.680
X32.83421.4178.510
X40.20220.1010.605
X54.87422.43714.635
X61.17520.5873.528
X70.87720.4382.633
e1.998120.1670.000
T28.233260.0000.000
+ +由于 $a = 0.05$ 时， $F(2,12) = 3.89, a = 0.01$ 时， $F(2,12) = 6.93$ ，从表5可得：对 $Y$ 值影响最显著的因素是 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ . + +表 6 信噪比 SN 方差分析辅助表 + +
水平\因素X1X2X3X4X5X6X7
(1)147.804138.160141.705139.303142.638141.980142.604
(2)143.081143.607142.324142.547142.345142.310142.337
(3)136.074145.193142.931145.110141.976142.370142.018
+ +表 7 信噪比 SN 方差分析法 + +
因素平方和S自由度f均方和VF
X17.74023.870$0.893
X23.02421.51212.071
X30.08320.0420.331
X40.88220.9417.513
X50.02420.0120.098
X60.02620.0130.106
X70.01920.0100.076
e1.503120.1250.000
T14.303260.0000.000
+ +由表7的 $F$ 值可得：对信噪比影响最显著的因素是 $\dot{X}_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ ，因素 $X_{i} (i = 1, 2, \dots, 7)$ 最优水平的选择依据以下原则进行： + +(i) 若 $X_{i}$ 对 $Y$ 影响显著，则从表4第i列中，选取值最接近目标值 $y_0 = 1.5$ 的水平作为最优水平. +(ii) 若 $x_{i}$ 对信噪比影响显著，则从表6第i列中，选取数值最大的水平作为最优水平. +(iii) 若 $X_{i}$ 对信噪比和 $\gamma$ 值影响都显著或都不显著，则按表4选取. + +采用上述原则的理由是： + +(i) 当 $x_{i}$ 只对一个指标显著时，显然应根据该指标选取最优水平. +(ii) 当 $x_{i}$ 对两指标都显著或都不显著时，应优先考虑使 $\pmb{y}$ 接近1.5，因为准确性比稳定性更重要一些. + +对最后结果的验证也表明了上述原则的合理性 + +按照上述步骤可得到一组较优的水平，以该组值作为中心值，将搜索区间长度变为原来的一半，重复上述步骤，共进行3次之后，得到一组认为是最佳的标定值： + +$$ +x _ {1} = 0. 0 9 7 5, \quad x _ {2} = 0. 3 0 0 0, \quad x _ {3} = 0. 1 0 0 0, \quad x _ {4} = 0. 1 0 0 0, +$$ + +$$ +x _ {5} = 1. 5 5 0 0, \quad x _ {6} = 1 6. 4 0 0, \quad X _ {7} = 0. 8 4 3 1 +$$ + +# (2)容差设计 + +我们以上述最优标定值为基础，对各零件参数的容差等级进行穷举搜索（共108种），得到了一组使费用最少的组合为 + +$$ +x _ {1}: B, \quad x _ {2}: B \quad x _ {3}: B, \quad x _ {4}: C +$$ + +$$ +x _ {5}: C, \quad x _ {6}: B \quad x _ {7}: B. +$$ + +这样就得到了完整的零件参数设计， + +# (3) 结果验证 + +用20000次随机试验对上述最优设计方案的验证结果为： $y = 1.5009, f = 422$ ，次品率为 $16.52\%$ ，废品率 $0.01\%$ ，显然大大优于原设计。 + +# 五、模型优缺点分析及改进措施 + +# 1. 优点： + +该模型人为假设少，因而能比较准确地反映实际情况；模型求解时充分考虑了准确性和稳定性，采用了合理的择优原则，因而该模型可靠性好。 + +# 2. 不 足： + +在容差设计中，我们采用了穷举法，这是考虑到容差等级少，穷举法必定能找到最佳组合，且运算量也不大。但作为一种一般方法，若容差等级增多，则运算量会急剧增大。 + +# 3. 改进措施： + +当容差等级较多时，容差设计可采用正交试验法，亦可进行方差分析，找到对误差影响最大的因素，进行有针对性的调整，这样虽然不一定能找到最佳值，但总可以找到比较优的解，当运算量很大时，这是实际可行的方法。 + +# 参考文献 + +[1] 杨惠中, 汪蕙编著, 效值计算方法与 C 语言工程函数库, 科学出版社, 北京, 1996. +[2] 中国现场统计研究会三次设计组, 全国总工会电教中心编著, 正交法和三次设计, 科学出版社, 北京, 1985. +[3] 陈兆能, 邱泽麟, 余经洪编著, 试验分析与设计, 上海交通大学出版社, 上海, 1991. +[4]谭浩强编著C程序设计，清华大学出版社，北京，1995. + +![](images/95cc7ae3ac23969beb21e2f2ff48cd2436230b66d71c367ac3d2b84e22a69fa1.jpg) +图1 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\345\212\250\346\200\201\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\345\212\250\346\200\201\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\345\212\250\346\200\201\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\345\212\250\346\200\201\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ce5b31dfd63ca5eb54b748da94ba7de2f11a3678 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\345\212\250\346\200\201\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\345\212\250\346\200\201\350\247\204\345\210\222\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,232 @@ +# 零件参数设计的动态规划模型 + +高洁郭去疾 康俊海 + +指导教师：季识卓 + +（中国科技大学，合肥230026） + +编者按 本文按相对误差来定义产品参数 $y$ 对各零件参数的敏感程度，以此为依据进行空间裁减，尽快地在解最可能出现的区域中搜索到满意的解。文中关于次品率的讨论，以及利用 $y$ 的矩来对结果过进行优度评估，也很有特色。 + +摘要 对于本零件参数设计问题，我们建立一个动态规划模型，分阶段以不同的目标搜索求优，在每阶段中，必须以继承和保持前面已获得的目标做为约束条件。在实施动态规划前，根据题设经验公式，先把零件参数根据敏感性进行分类，对零件参数的取值空间作裁剪，把求优空间充分缩小。 + +假设各零件参数独立正态分布，对求优空间中的每组候选值，随机模拟出性能参数 $y$ 的概率密度函数，从而确定它是否满足阶段目标和最终目标. + +编制程序实现算法后, 我们得到了四百多组满意的设计方案, 并给出一组推荐方案. 其总费用为 421 元 / 台. 求得原设计方案的总费用为 3202 元 / 台, 费用降低为 2781 元. + +当零件参数的分布函数未知时，我们利用矩的方法重建产品性能参数 $y$ 的分布函数，从而可以利用我们的动态规划的模型进行参数设计。我们对模型进行总结，给出了零件设计的一般方法。最后，我们对模型和算法进行了进一步的讨论，并给厂家提出了一些实用的建议。 + +# 一、问题的提出（略） + +# 二、合理的假设 + +1. 产品参数 $y$ 与零件参数的关系只由题中所给的经验公式决定，与其他因素无关。 +2. 对同一种零件，在标定值范围内其成本只由容差等级所决定，与标定值的大小无关。 +3. 零件的标定值在其允许范围内可连续变化，不考虑有分立的国标值的情况 +4. 各个零件的标定值和容差相互独立 +5. 零件的参数是随机变量，满足正态分布，标定值是其数学期望 +6. 在生产单件产品的过程中，每种零件只用了一个 +7. 按照工业生产的惯例，假设 $y$ 偏离目标值造成的损失是阶梯性的，即 $y$ 的偏离值小于 0.1 时损失为 0, $y$ 的偏离值在 0.1 和 0.3 之间损失为 1000 元， $y$ 的偏离值大于 0.3 时损失为 9000 元。符号说明 + +$\eta$ ：对产品性能有影响的零件种类， $n = 7;x_{i}$ ：第 $_i$ 个零件的参数， $i = 1,2,\dots ,n;$ + +$F$ ：生产离子分离器的总费用； $N$ ：生产粒子分离器的总数目； + +$c$ ：零件总成本； $L:y$ 偏离所带来的总损失 $\mathbf{L}$ + +$L_{1}, L_{2}$ ：产品分别为次品和废品时带来的损失； $P_{1}, P_{2}$ ：产品分别为次品和废品的几率； + +$q_{i}^{2}$ ：产品性能对零件参数的敏感系数，即全系数； $\sigma_{i},\sigma_{y}$ ：第 $i$ 个零件和的 $y$ 均方差 + +# 三、问题的分析 + +# 1. 目标函数的建立 + +生产离子分离器的总费用 $F$ 由两部分组成：零件成本 $C$ 和 $\mathcal{V}$ 偏离 $\mathcal{V}_0$ 所带来的损失 $L$ ，即： + +$$ +F = C + L \tag {1} +$$ + +令 $L_{1}$ 表示产品为次品时的损失， $L_{2}$ 表示产品为废品时的损失， $P_{1}, P_{2}$ 分别表示次品和废产生的几率，则总损失可表示为： + +$$ +L = N \left(L _ {1} \cdot P _ {1} + K _ {2} \cdot P _ {2}\right) \tag {2} +$$ + +由经验公式， $y$ 是各零件参数的函数，其密度分布函数设为 $f(y)$ ，则次品和废品产生的几率 $P_{1}, P_{2}$ 可表示为： + +$$ +P _ {1} = \int_ {y _ {0} - 0. 3} ^ {y _ {0} - 0. 1} f (y) d y + \int_ {y _ {0} + 0. 1} ^ {y _ {0} + 0. 3} f (y) d y \tag {3} +$$ + +$$ +P _ {2} = \int_ {- \infty} ^ {y _ {0} - 0. 3} f (y) d y + \int_ {y _ {0} + 0. 3} ^ {+ \infty} f (y) d y +$$ + +综合上式，我们的目标函数为： + +$$ +\min \{F \} = \min \left\{C + N \left(L _ {1} \cot P _ {1} + L _ {2} \cdot F _ {2}\right) \right\} \tag {4} +$$ + +由于 $P_{1}, P_{2}$ 是统计量，因此即使在零件的参数包括标定值和容差确定的情况下， $F$ 也是一个统计量，有一个波动范围，也就是说我们的目标函数实际： $\min \{E(F)\}$ ，即 $F$ 的期望的最小值。实际上，我们在下文中讨论的多数命题都是在统计意义下成立的。 + +# 2. 目标函数与零件参数的关系 + +直接研究目标函数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 与之间的关系较为困难，因此，我们分成两个步骤来考虑：一是研究目标函数与 $y$ 的关系，另一个是研究 $y$ 与 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的关系. + +(1) 不考虑成本影响时，目标函数是的密度函数的区间积分值，因为前者无法得到解析表达，要得到两者严格的数学关系是不可能的，但总体上讲， $y$ 的均值离标定值 1.5 越近，这个积分值越大； $y$ 的方差越大，这个积分值也越大；在均值接近 1.5，方差一定时， $y$ 的分布左右不对称性越大，目标函数值越大。以上三点虽然只是定性的说明，但实际上有概率论中矩的说明作为背景，同时也为后面我们模型的建立提供了重要依据。 + +# (2)敏感性分析 + +$y$ 对各变量的敏感程度是不同的，为了度量这种敏感程度并作为分组的根据，由误差传递公式得到： + +$$ +\frac {\sigma_ {y}}{y} = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {n} q _ {i} ^ {2} \left(\frac {\sigma_ {i}}{x _ {i}}\right) ^ {2}} \tag {5} +$$ + +其中 $q^2 = (q_1^2, q_2^2, \dots, q_n^2)$ 就是度量敏感程度的量，即权系数.（编者注：此处 $q_i = \frac{x_i}{y} \frac{\partial y}{\partial x_i}$ . + +根据经验公式，对 $y(\vec{x}), (\vec{x}) = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ ，求全微分并除以得： + +$$ +\begin{array}{l} \frac {d y}{y} = \sum_ {i = 1} ^ {7} q _ {i} \frac {d x _ {i}}{x _ {i}} \\ = \frac {x _ {2} - 0 . 1 5 x _ {1} d x _ {1} ^ {\prime}}{x _ {2} - x _ {1}} \frac {d x _ {1} ^ {\prime}}{x _ {1}} + \frac {\left(1 . 5 2 x _ {4} ^ {1 . 1 6} x _ {2} ^ {- 2 . 1 6} a ^ {3 / 2} + 0 . 4 x _ {4} ^ {- 1 . 6} x _ {2} ^ {- 1 . 6} a ^ {1 / 2}\right) \cdot x _ {2}}{1 - 2 . 6 2 [ a ] ^ {3 / 2} \left(x _ {4} / x _ {2}\right) ^ {1 . 1 6}} \frac {d x _ {2}}{x _ {2}} \\ + 0. 8 5 \frac {d x _ {3}}{x _ {3}} - \frac {\left(1 . 5 2 x _ {4} ^ {0 . 1 6} x _ {2} ^ {- 1 . 1 6} a ^ {3 / 2} - 0 . 4 x _ {4} ^ {- 0 . 4} x _ {2} ^ {- 0 . 6} a ^ {1 / 2}\right) \cdot x _ {4}}{1 - 2 . 6 2 [ a ] ^ {3 / 2} \left(x _ {4} / x _ {2}\right) ^ {1 . 1 6}} \frac {d x _ {4}}{x _ {4}} \\ - \frac {d x _ {5}}{x _ {5}} - 0. 5 \frac {d x _ {6}}{x _ {6}} - 0. 5 \frac {d x _ {7}}{x _ {7}} \tag {6} \\ \end{array} +$$ + +其中 $a = 1 - 0.36\left(\frac{x_4}{x_2}\right)^{-0.56}$ + +表 1 各零件权系数表 + +
权系数1234567
最大值4.25390.77450.72250.019710.250.25
最小值1.47010.00370.72250.002810.250.25
+ +由上表可以看出权系数 $q_{i}^{2}$ 在空间 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 中变化范围不大，且 $x_{1}, x_{5}, x_{3}$ 的权系数与 $x_{2}, x_{4}, x_{6}, x_{7}$ 相比要大得多。 + +从(6)式中我们还得到信息： $x_{1},x_{2},x_{4}$ 的权系数是相互关联的，而 $x_{3},x_{5},x_{6},x_{7}$ 的权系数为常数 + +# (3) $y$ 的取值范围的估计 + +首先 $y$ 与 $x_{1}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}$ 的单调性都是清楚的，对于 $x_{2}$ ，我们可以对 $y$ 的表达式作适当的化简，但作为估计，我们的关键点是标定值 1.5 是否落在 $y$ 的取值范围中，通过计算得，不考虑 $x_{i}$ 的方差时， $y$ 的取值区间为 $[0.50, 8.35]$ ，而且最值在各自变量的端点取到。因为在给定区间内， $y$ 是 $x_{i}$ 的连续函数，因此一定存在使 $y$ 等于 1.5 的 $x_{i}$ 值。 + +# (4) 求解方法选取的分析 + +本参数问题涉及到一组连续参数（标定值）和一组离散参数(容差)， $Y$ 表达式的复杂性决定了必须用计算机搜索．我们于是首先把连续参数离散化，并希望借助随机模拟得到 $Y$ 的分布的数值表示，但由于运算自由度多而约束条件少，运算的复杂度很大，我们不采用全遍历．同时，目标函数关系不简明，静态规划实现有困难．故我们考虑用动态规划，把目标分阶段求解，在每个阶段附加一些约束，减少搜索范围. + +容差等级的分布离散化程度高，其阶跃性改变对结果会很大，且其影响在连续的标定值取值区间中有一致性，容易确定最优组合，可以先行搜索。在小区间中对 $y$ 作多维Taylor展开，可以化减目标函数表达，但区间过大时，近似程度太低。 + +# 四、空间裁剪和动态规划模型 + +我们把整个建模过程分为两大步骤： + +(1) “空间裁剪”一排除参数取值空间中不可能出现所需解的区域，确定解最可能出现的区域. + +因为容差等级的取值空间是离散的，裁剪主要对容差等级进行 + +(2) “动态规划”——我们对 (1) 中确定的区域进行搜索，引入“阶段”的概念，为每阶段的搜索建立一个阶段目标，通过多阶段的搜索的求得问题的解。 + +具体实现步骤如下： + +(1) “空间裁剪”: 首先考虑改变权系数最大 (即其值变化对 $y$ 的影响最大) 的 $x_{1}, x_{5}, x_{3}$ , 保持原设计的 $x_{2}, x_{4}, x_{6}, x_{7}$ 不变, 遍历所有的容差等级, 使得目标函数小于某一常数, 并对不同的容差等级组合的出现几率进行统计, 选择其中出现几率最大的几组. +(2) “动态规划”: 通过上一步确定的等级选取, 我们人为地把搜索空间分为几个阶段: + +阶段一、搜索： $x_{1}, x_{2}, x_{4}$ ，目标： $\sigma_{y}^{2}$ 最小， + +说明： $x_{3}, x_{5}, x_{6}, x_{7}$ 不影响 $\sigma^{2}$ . + +阶段二、沿用阶段一中确定的 $x_{1}, x_{2}, x_{4}$ ，再对搜索： $x_{3}, x_{5}, x_{6}, x_{7}$ 进行搜索，目标：使 $|y - y_{0}|$ 小于一个小的正常数 $k$ 。 + +阶段三、对阶段二求得的解进行搜索目标：目标函数 $\min \{F\}$ + +说明：因目标函数只是个统计量，目标的数学表达只能是使 $F$ 小于定值 $K$ . + +# 五、模型的结果与分析 + +1. 由模拟的结果可知, 满意解的容差等级的组合一般固定, 但零件标定值的组合有几百种之多, 为了给厂家更多的选择, 我们列出部分值. + +我们推荐一组零件参数如下： + +表 2 推荐零件参数值表 + +
x1x2x3x4x5x6x7
标定值0.0750.3750.1190.0751.29160.584
等级BBBCCBB
+ +对应的次品率： $14.6\%$ ；费品率： $< 1 / 100000$ ；总费用：421元/台 $\pmb{y}$ 的离散模拟分布图和密度函数 $f(y)$ 分别如下图： + +![](images/25ea6ab586a4c4e18162c253ce362c3ba4500e0b3c572071a920dbd441401e37.jpg) + +![](images/e21e7127b42cb0db869f784072293fc78546ce1fb7197b38340754a16bcc6e5e.jpg) + +由图可知，我们原先对 $y$ 的性状的估计是正确的，它正是一个左右近似对称的“钟型”图形. + +2.若用原题给定的参数设计，我们得到，次品率： $62\%$ 废品率： $26.47\%$ 总费用：3202元/台 + +两者对比费用降低： $3202 - 421 = 2781$ 元/台 + +在实际的模拟过程中，平均费用会有一定的起伏。实验表明，本题中万次模拟的费用值本身就有 $\pm 4$ 元的偏差。而千次模拟该偏差可达到 $\pm 20$ 元。 + +3. 对次品率的分析 在分析中，只考虑成本的降低是不够的，次品和废品不仅仅会带来一些直接的损失，还会导致厂商信誉的下降。因此我们在降低成本的同时还要兼顾到次品率和废品率。在我们的结果中次品率为 $14.6\%$ ，但零件都未选 $A$ 等。若第 $i$ 个零件选取 $A$ 等，而其余的不变，则总的费用和次品率废品率如下表所示： + +(由于 $x_{1}, x_{2}, x_{5}$ 无此等级，我们根据题目中零件价格的比例关系，我们设 $x_{1}$ 的 $A$ 等价格为 100 元， $x_{2}$ 的 $A$ 等为 200 元， $x_{5}$ 的 $A$ 等为 500 元)： + +表 3 选用 $A$ 等零件的花费表 + +
零件1234567
总费用460547555872762490492
成本350425425725725350350
损失11012213014737140142
次品率(%)11.012.213.014.73.714.014.2
+ +从表上可以看出，除 $x_{5}$ 以外，选取 $A$ 等的零件次品率虽略有降低，但成本大大提高，说明比起 $B$ 等零件， $A$ 等零件不能大幅度的减少次品率，而且非常昂贵。因此对除 $x_{6}$ 以外的零件没有必要选取 $A$ 等级，除非 $A$ 等品的价格有大幅度的降低。 + +# 4. 对 $x_{4}$ 的一些讨论 + +对 $x_{5}$ 选取 $A$ 等可以使次品率降为 $3.7\%$ ，但成本同时大幅度提高，因此选取 $\mathbf{A}$ 等也不能降低总费用．我们假设 $x_{5}$ 也有 $B$ 等品，价格为100元，从而得到次品率为 $6.4\%$ 总费用为389元/台，每台费用降低32元．这说明，若 $x_{5}$ 有 $B$ 等品，只要其价格低于 $100 + 32 = 132$ 元/件，则选用 $B$ 等级的 $x_{5}$ 还是合算的．而且 $x_{5}$ 选用 $B$ 等级还可以大大提高 $_y$ 的稳定性，使其方差变为原来的一半. + +# 5. 结果的优度评估 + +由于随机模拟引入的不确定性，无法严格证明解的最优性。但由概率论，一个随机变量分布的特征可以用矩来描述。由于有很多组可行解，我们可以通过计算 $y$ 的高阶矩来评估结果，通过模拟， $y$ 的高阶矩的值如下： + +表 4 推荐解对应 $y$ 的各阶中心值表 + +
阶数2阶3阶4阶5阶6阶7阶
矩值0.0047820.0000850.0000690.0000030.0000020.000000
+ +由表可见， $y$ 的2阶矩远大于各高阶矩，故我们原来的假定成立，即 $y$ 的性状主要由1,2阶矩限定，由我们的模型知，我们已使其均值趋于标定值1.5，且2阶矩最小．同时知道这些条件与目标函数取最小密切相关. + +此外我 计算出 $\mathbf{y}$ 的偏度系数小于 $1e - 8$ . 更重要的是我们在方差最小的情况下，对四变量的搜索是完备的，所以排开随机模拟的不确定性和3阶矩的微小影响，我们的解足够好. + +# 六、模型的进一步讨论 + +# （一）模拟次数的选取 + +所有的搜索算法都面临同样的问题：速度在本问题中，因为参数空间的每一点都需要模拟一个分布，这个问题尤为突出。而模拟次数的选取是解决运算复杂度出即速度的核心问题之一，为此，我们在算法中引入反馈控制来动态改变模拟次数。 + +假设我们要确定某组参数取值的损失是否小于定值 $L$ ，我们先用小较样本进行模拟（例如： $S_0 = 500$ ），得到平均损失 $L_0$ 。若 $L_0 - L > P_0$ （ $P_0$ 事先取定），则认为该组选取不是所需解，停止模拟；反之，再进行次数为 $S_1$ 的模拟，有类似定义的 $L_1, P_1$ ，以此类推，直至 $S_m$ 模拟后证明该选取是满意解，或中述某次退出模拟。 + +在实际实现中，次数等级不必太多，取三等已有显著的速度收益，一个经验性的参考等级分级为： $S_0 = 500, S_1 = 2000, S_2 = 10000, P_0 = 100, P_1 = 50, P_2 = 20.$ + +# （二）空间划分 + +我们前面的动态规划的模型必须依赖函数形式和参数空间的某些特殊性. 对于一般函数形式和参数空间, 是无法断然把目标分成几个阶段目标的, 因为常常在较早阶段达到的目标在后来不能保持. 所以, 对于一般的情形, 就必须对空间进行划分, 然后在每个空间分区中再利用特殊性. 例如 DEC 公司为配置 400 多项 VAX 机部件设计的专家系统就曾成功地采用了空间划分法 [4]. + +# (三）多子空间并行搜索 + +如果问题需要对空间进行划分，那么很自然的问题就是如何确定这些子区间搜索的顺序，以期较快地得到解。我们思考的结论是：因为这个问题涉及的因素太多，所以与其去分析这样一个顺序关系，不如提出一种多子空间并行搜索的方法，在不同的子空间同时搜索。每一时段有唯一的主搜索区，在主搜索区中进行多步搜索，而在其它区域单步搜索。用评估函数的值不断改变主搜索区，从而及时找到较优解。 + +# 七、讨论当 $x_{i}$ 的分布未知的情形（略） + +# 八、参数设计的一般方法 + +在一般的情况下，我们给出如下设计步骤：（一）构造目标函数，确定目标值与条件参数的函数关系．（二）分析零件参数的变化对目标函数的影响的敏感性．（三）由各参数的敏感程度确定各零件参数(包括标定值和容差)的分组，确定搜索步骤．（四）逐步搜索，得到最优解. + +此方法的关键在于确定参数分组和搜索的步骤，它同具体的函数关系有关，没有固定的方法，我们推荐以下几种方法： + +1. 对目标函数作全微分，对各变量的系数进行排序，据此对变量进行分组 +2. 按变量的相互联系程度分组，把联系紧密的变量分为一组 +3. 先搜索对目标函数影响大的变量组，再搜索对目标函数影响小的变量组 +4. 考察 $x_{i}$ 和 $y$ 的单调性关系，按此进行分组 + +# 九、模型的优缺点（略） + +# 参考文献 + +[1] 陈希儒，概率论与数理统计，中国科学技术大学出版社，合肥，1996. +[2] D. J. 华尔德, C. S. 皮特勒著, 尤云程译, 优选法基础, 科学出版社, 北京, 1978. +[3] 孙德敏，工程最优化方法及应用，中国科学技术大学出版社，合肥，1991. +[4] 吴秀清，专家系统概论，中国科学技术大学无线电系，合肥，1987. +[5] A. V. 奥本海姆等著，刘树棠译，信号与系统，西安交通大学出版社，西安，1985. +[6] 沈凤麟, 钱玉美, 信号统计分析基础, 中国科技大学出版社, 合肥, 1989. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2064fe9e838c56c5449b9ece3fbea60ed9e4d78c --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\351\233\266\344\273\266\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,189 @@ +# 零件参数设计的数学模型 + +黄杲 陈旭东 邵伟 + +指导教师： 数模组 + +（浙江大学，杭州310027） + +编者按 本文先将粒子分离器参数 $y$ 进行局部线性化处理，并将 $\frac{\Delta y}{\sigma_y}$ 化归为标准正态，其中 $\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^{7} \left( \frac{\partial z_i}{\partial x_i} \sigma_i \right)^2$ ，最后把总费用的目标函数归纳为一个标准正态的式子（文中 (4) 式）。以上结果合理、简洁明确。采用网格法及蒙特卡罗法分别计算，结果吻合、满意，得到的解较优，其中用蒙特卡罗法（取二万个点）计算，在维数不变的情况下，不失为一种速而有效的算法。 + +摘要 本文建立了一个关于零件参数设计的数学模型. 本文首先利用概率的理论, 假设各零件产品的参数服务从正态分布, 推出粒子分离器某参数 $(y)$ 偏差的分布函数, 进而可得一批产品总费用的目标函数, 运用龙贝格数值积分将其转化为计算机可求值的函数, 然后运用网格搜索法和蒙特卡罗法求出目标函数的全局最优解. + +本文将两种方法的结果精度、算法复杂度等进行比较，重点讨论了效果较好的蒙特卡罗法。本文最后分析了模型误差，并对模型进行了评价和推广。 + +本模型最终得出产品总费用为42.146万元/千件，其设定的零件参数为 $X^T[0.075, 0.375, 0.123, 0.115, 1.273, 12, 0.771]^T$ ，其容差等级为 $G^T = [B, B, B, C, C; B, B]^T$ . + +# 一、问题的分析 + +要求解的问题是使总费用最低, 而总费用包括各零件成本及次、废品损失费, 综合考虑两种因素, 问题可归纳为总费用的非线性优化问题. + +由于待优化的目标函数复杂，无法利用其解析性质求最优解，故可考虑用直接全局搜索法或随机试验点法. + +从生产实际考虑，本问题对解的精确度要求很高，但是对求解算法的实时性无明确要求。我们认为，只要求解时间不是太长，都是可接受的。 + +# 二、模型的假设及说明 + +1. 假设各零件参数服从参数 $\mu_{i},\sigma_{i}^{2}$ 为的正态分布，且不同零件的参数相互独立 +2. 假设各零件容差的等级与其标定值的比为定值，分别为：A级 $\pm 1\%$ ，B级 $\pm 5\%$ ，C级 $\pm 10\%$ + +说明根据概率论知识和工程实际生产的一些测量数据可知，成批生产的零件的参数服从能数为 $\mu_{i},\sigma_{i}$ 的正态分布，其中 $\mu_{i}$ 为各零件参数的期望值(标定值). $\sigma_{i}$ 为均方差(即容差的1/3)，可推知各零件的偏差 $\Delta x_{i}$ 服从参数为 $0,\sigma_{i}$ 的正态分布. + +# 三、文中用到符号及说明 + +
y:产品某参数x_i:各零件参数
y_0:y 的目标值(y_0=1.5)μ_i:各零件参数的标定值
y_x:各零件标定值确定C_i:各零件成本
的零件参数Δy:产品的参数的偏差
g_i:各零件容差等级比xi:各零件参数偏差
x^T:x_i 标定值向量 (i=1,2,...,7)pi:各零件参数均方差
x^(7):x^T 的取值空间p_i:次品概率
G^T:等级取值向量p_2:废品概率
σ_y:产品参数的均方差
+ +# 四、模型的建立和求解 + +本模型的建立基于概率论与误差的有关理论 + +各零件偏差 $\Delta x_{i}$ 相对于其标定值较小，根据公式(1)， $y$ 在 $y_{x}$ 附近可以表示为： + +$$ +y \approx y _ {x} + \sum_ {i = 1} ^ {7} \frac {\partial y}{\partial x _ {i}} \cdot d x _ {i} \tag {2} +$$ + +由于 $\Delta x_{i}$ 较小，则可得 $dx_{i} \approx \Delta x_{i}$ ，由于 $\Delta y = y - y_{x}$ ，则 + +$$ +\Delta y = \sum_ {i = 1} ^ {7} \frac {\partial y}{\partial x _ {i}} \cdot \Delta x _ {i} \tag {3} +$$ + +在此，我们不加证明的引入： + +引理1 $x_{i}$ 服从参数为 $\mu_{i},\sigma_{i}$ 的正态分布，且彼此相互独立， $\alpha_{i}$ 为不全为零的常数，若 $X = \sum_{i = 1}^{7}x_{i}$ 则 + +$$ +X \sim \left(\sum_ {i = 1} ^ {\bar {7}} \alpha_ {i} ^ {*} \mu_ {i}, \sum_ {i = 1} ^ {\bar {7}} \alpha_ {i} ^ {2 *} \sigma_ {i} ^ {2}\right) +$$ + +根据公式 (3) $\frac{\partial y}{\partial x_i}$ 对应一组 $x_i$ 为一定值，而与 $\Delta x_i$ 无关，则由引理1可得 + +$$ +\Delta y \sim N (0, \sigma_ {y} ^ {2}), \quad \left(\sigma_ {y} ^ {2} \triangleq \sum_ {i = 1} ^ {7} \left(\frac {\partial y}{\partial x _ {i}} \cdot \sigma_ {i}\right) ^ {2}\right) +$$ + +(以上结论也可由方差合成定理推得，见文献[2]p93). + +由概率论知识可得 $\frac{\Delta y}{\sigma_y} \sim N(0,1)$ + +目标函数的建立 + +产品总费用 $=$ 零件总成本 $+$ 次品的损失费 $+$ 废品损失费 + +即 $W = \sum_{i=1}^{7} C_i + 1000 \times p_1 + 9000 \times p_2$ 可得 + +$$ +\begin{array}{l} W = \sum_ {i = 1} ^ {7} C _ {i} + 9 0 0 0 + 1 0 0 0 \times \left[ \Phi \left(\frac {1 . 4 - y _ {x}}{\sigma_ {y}}\right) - \Phi \left(\frac {1 . 6 - y _ {x}}{\sigma_ {y}}\right) \right] \\ - 8 0 0 0 \times \left[ \Phi \left(\frac {1 . 8 - y _ {x}}{\sigma_ {y}}\right) - \Phi \left(\frac {1 . 2 - y _ {x}}{\sigma_ {y}}\right) \right] \tag {4} \\ \end{array} +$$ + +目标函数为 + +$$ +\min \quad W, \quad \text {s . t} \quad X ^ {T} \in X ^ {(7)} +$$ + +# （一）对于原设计数据的求解 + +1. 在Mathematics 2.1下运行，代入数据 $X^T = [0.1, 0.3, 0.1, 0.1, 1.5, 16.0.75]$ ， $G = [B, C, C, C, C, C, B]$ 可得结果如下： + +$$ +y = 1. 7 2 5 5 9, \quad p _ {1} = 0. 6 2 4 0, \quad p _ {2} = 0. 2 5 0 5, \quad W = 3 0 7. 8 5 \text {万 元}. +$$ + +从结果可以看出， $p_1 + p_2 = 0.8745$ ，即产品大部分为次废品，这是 $\mathcal{Z}_{\pi}$ 偏离 $y_{0}$ 过大的结果，此时产品总费用主要由次废品损失费决定，由此可知，在进行参数设计时，应尽量先使 $y_{x}$ 靠近 $y_{0}$ ，同时降低均方差．这也是本模型降低算法复杂度的一个方向. + +# （二）对目标函数 $\min W$ 的求解及参数的重新设计 + +# 1. 将目标函数转化为计算机可求解模型 + +由于原目标函数中的积分部分中被积函数为正态分布函数，且其积分限为含有7维变量的复杂函数，无法直接求解，所以需将其转化为计算机可求解模型，我们考虑用二种方法进行转化. + +对于标准正态分布函数可采用最小二乘拟合法逼近，将其转化为多项式表达，但从其结果来看，误差较大，故不可取。所以我们采用精度较高的龙贝格数值积分法来转化目标函数[4]。此方法为本模型高精度求解的出发点。 + +# 2. 用直接搜索法求最优解（网格法） + +原目标函数为7维多峰函数，无法用解析法精确求解，故考虑用直接搜索法。常用的算法对于一般的多峰函数极值问题只能求出局部最优解，而网格法为求解多峰函数全局最优解的一种较适宜的方法，所以我们首先考虑用网格法求解最优目标。 + +我们对于每一个 $x_{i}$ 在其取值范围内均取6个步长，分为 $6^{7}$ 个网格，结合可能的容差等级组合，在Pentium120计算机上运行，搜索约二十分钟后，得到一个最优解，结果是 $X^{T} = [0.075,0.345,0.115,0.115,1.275,12,0.7875]^{T},G^{T} = [B,B,B,C,C,B,B]^{T},Y_{X} = 1.497145,\sigma_{Y} = 0.069220,w = 42.49146$ 万元．从结果可以看出，在一定精度内已求得一个较好的最优解，我们可以通过降低算法复杂度，使模型得到更好的应用. + +但是根据网格法基本原理，其循环次数由步长所决定，而步长又由模型精度所决定，故在一定精度要求下，其算法复杂度不能大幅度降低。我们可考虑采用蒙特卡罗法进行求解。 + +# 3. 蒙特卡罗法 + +蒙特卡罗法，也就是随机实验点法。它的基本思想是：在函数的可行域内随机地选取实验点，由于随机取得的点在区域中分配比较均匀，所以对函数的大致形态能较好地体现[3]。 + +模型中的随机点是用以下方法产生的， + +设 $m = 2^{16}, r_0 = 5$ ，由迭代式可得 $(0,1)$ 间的 $p_i$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} {r _ {i} = \bmod (2 0 5 3 r _ {i - 1} + 1 3 8 4 9; m),} & {i = 1, 2, \dots} \\ {p _ {i} = r _ {i} / m} & {p _ {i} \text {为 第} i \text {个 随 机 数}} \end{array} \right. +$$ + +设 $q_{i}$ 为 $a$ 到 $b$ 间的随机数，则 $q_{i} = a + (b - a)p_{i}$ 。我们编制了蒙特卡罗算法的程序（略）。程序的运行时间为2分钟，最终的计算结果为 $X^{T} = [0.0778, 0.374, 0.0979, 0.1067, 1.200, 12, 526, 0.636]^{T}, G^{T} = [B, B, B, C, C, B, B]^{T}; y_{x} = 1.499136\sigma_{y} = 0.069125; W = 42.3174$ 万元。为了降低蒙特卡罗法网格法的复杂度，采用了一些优化的方法： + +# (1) 程序的优化 + +必要的判断语句应尽量提早进行，以减小循次数或计算量．(如： $y_{x}$ 应尽量靠近 $\pmb{y_0}$ ，因此可将偏离 $y_{0}$ 过大的 $y_{x}$ 判断排除，以减少计算次数). + +# (2) 数据排除技巧 + +从粗略的直接搜索法结果可以看出，不同容差等级组合对应的局部最优角相差较大，而 $G_{1}^{T}$ 和 $G_{2}^{T}$ 因为总成本过大，是不可能取到的. + +4. 为进一步比较内最优解的大小，可分别对优化目标在 $G_1^T$ 和 $G_2^T$ 内的最优解附近作探测性移动（类似于直接搜索方法中的 Hooke=Jceves 方法[3]），进行高精度计算，分别得到 $W_1' = 43.14865, W_2' = 42.68475$ ，因此，能够求得具有一定精度的最优解42.14865万元。此时所对应的零件参数为 + +$$ +X ^ {T} = \left[ 0. 0 7 5, 0. 3 4 5, 0. 1 2 3, 0. 1 1 5, 1. 2 7 3, 1 2, 0. 7 7 1 \right] ^ {T}, +$$ + +$$ +G ^ {T} = [ B, B, B, C, C, B, B ] ^ {T}, +$$ + +$$ +y _ {x} = 1. 4 9 6 8 3, \quad \sigma_ {y} = 0. 0 6 8 7 7 7, \quad W = 4 2. 1 4 6 3 \text {万 元}. +$$ + +# 五、模型的检验及误差分析 + +# (一) 模型的检验 + +由于我们没有一个确定的标准对本模型的解进行判断检验，只能采取不同的方法，对结果进行比较. + +检验模型 + +在对题目中给定数据的计算结果分析时，我们曾说过，在设计参数时，应尽量使 $y_{X}$ 靠过 $y_{0}$ ，由此可建立如下模型。在同一容差等级组合下，令 $y_{x} = y_{0}$ 将 $x_{5}$ 视为 + +$$ +\begin{array}{l} 1 7 4. 4 2 \times \left(\frac {x _ {1}}{y _ {x}}\right) \times \left(x _ {3} / \left(x _ {2} - x _ {1}\right)\right) ^ {0. 8 5} \\ \times \left(\left(1 - 2. 6 2 \times \left(1 - 0. 3 6 \times \left(\frac {x _ {4}}{x _ {2}}\right) ^ {- 0. 5 6},\right) ^ {1 / 1 6}\right) / (x _ {1} \times x _ {7}) ^ {0. 5}\right) \\ \end{array} +$$ + +函数，由概率论知识，当 $y_{x} = y_{0}$ 时，若 $\sigma_y$ ，次废品概率越小，总费用越低，因此，可将目标函数变为 $\min \sigma_y$ s.t $y_{x} = 1.5$ ，运行最后结果为 $X^{T} = [0.075,0.375,0.075,0.12,0.934,12.8,0.5625]^{T}$ ； $y_{x} = 1.5000$ ； $\sigma_y = 0.068901$ ； $W = 42.1949$ 万元。比较原模型和检验模型的结果可知，产品的最低总费用应在 $42.1\sim 42.2$ 万元之间，而且对应最低总费用的零件参数值较合理，这说明原模型的算法是可靠的。 + +另外，网格法和蒙特卡罗方法所求得的最优解也相互吻合，这也说明此结果是值得信赖的. + +对于目标函数本身而言，它虽然不是一个初等函数，却是对于七个自变量的连续函数，由连续函数的介值定理，在全局最优解附近存在一个区域，其内任何一点的值均小于其它鞍点的值，即使这块区域只有整个容许区域的万分之一，在蒙特卡罗方法取二万个点的情况下，落入该区域的概率仍接近 $60\%$ （点与点之间相互独立），在多次运用蒙特卡罗求解的情况下，一般是能够求出全局最优解的，当然，我们并不排除得到的只是局部最优解而非全局最优解的可能性。 + +# (二) 误差分析 + +# 1. 建模误差 + +根据实际情况分析，可知公式(2)的推导带有一定误差，它实际上舍弃了Talyor展开时的七个变量的一阶无穷小量，其依据是 $\frac{\Delta x_i}{x_i} \leq 0.1$ ，虽然较小，但仍代有一定误差。 + +# 2. 计算机截断误差 + +计算机在进行求解时位长有限，有一部分数值会被舍弃，但对本模型基本上可乎略. + +3. 受网格法的步长限制不能搜索到准确数值，该误差可能较大，但通过模型求解部分的探测性移动方法可使该误差减小； + +同时，龙贝格数值积分也会有误差，程序中的积分精度为 $10^{-5}$ + +# 六、模型的评价（略） + +# 参考文献 + +[1] 范大菌、陈永华，概率论与数理统计，浙江大学出版社，杭州，1996. +[2] 肖明耀，误差理论与应用，计量出版社，北京，1985. +[3]席少霖、赵凤治，最优化计算方法，上海科学技术出版社，上海，1983. +[4] 徐士良，C 常用算法程序集 (第二版)，清化大学出版社，北京，1996. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(1)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(1).md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(1)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(1).md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..875b4b6638f9a0482c9188ad5af67a62c8bf3798 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(1)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(1).md" @@ -0,0 +1,215 @@ +# 零件的参数设计 + +何华海 李江滔 束礼宝 + +指导教师：薛剑耿 + +（中国科技大学，合肥230026） + +编者按 本文深入分析了零件参数设计中的优化问题, 将其归结为一个有约束的非线性规划问题, 并提出“分两步走”的策略来简化问题. 采用了蒙特卡罗方法模拟和线性近似计算了总体参数的最优解. 从实用角度文章又引人了一个目标函数, 使得整个处理大大简化. 本文对模型的检验也有特色, 一方面用拟合优度检验了 $y$ 是否服从正态的检也很有特色, 另一方面也对分两步走策略的有效性进行了检验. + +摘要本文对零件参数设计问题提出了有效的算法，零件参数设计可以归结为在一定的约束条件下求总费用（成本和质量损失的总和）最小的一个非线性规划问题。我们采用分两步走的策略来简化问题，即首先选定零件参数的标定值，再在此基础上选取零件容差等级。 + +设计的总费用是由 $y$ 的具体分布所决定的。我们采用了两种方法来计算 $y$ 的概率分布：一种是用蒙特卡罗方法来模拟；另一种是将 $y$ 的经验公式作线性近似，得到 $y$ 近似服从正态分布。我们又引入了函数 $E(y - 1.5)^2$ ，以此作为新的目标函数对问题进行简化。对模型的求解，我们采用了梯度法来搜索目标函数在限定区域内的最优解。得到相应的总费用（单件产品）为430元，远低于原设计方案的3150元。 + +通过检验，我们发现通过线性近似得到 $y$ 服从正态分布的结论是基本可靠的，分两步走策略也是合理、有效的。最后我们还讨论了当质量损失函数为连续（特例为抛物线）时的情形。 + +# 一、问题的提出（略） + +# 二、模型的假设 + +1. 各个零件的参数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{7}$ 是互相独立的正态分布随机变量； +2. 标定值在容许范围内都可以取，并且在此范围内 $y$ 是二阶可导的； +3. 产量1000是大数，可以用各种概率上的极限定理； +4. 所有零件的均方差都是其容差的三分之一； +5. 1000 个产品中，每个产品都用相同等级的零件； +6. 假设产品当 $1.4 < y < 1.6$ 时为正品，此时无质量损失；当 $1.2 < y \leq 1.4$ 或 $1.6 \leq y \leq 1.8$ 为次品，损失 1000 元；当 $y \leq 1.2$ 或 $y \geq 1.8$ 时为废品，损失 9000 元。 + +# 三、符号约定 + +$$ +\begin{array}{l} x _ {i} (i = 1, 2, \dots , 7) \\ \mu_ {i} (i = 1, 2, \dots , \bar {r}) \\ \sigma_ {i} \quad \text {或} \sigma_ {x _ {i}} (i = 1, 2, \dots , 7) \\ a _ {i}, b _ {i} (i = 1, 2, \dots , 7) \\ y: \\ y _ {0}: \\ \sigma : \quad \text {或} \sigma_ {y}: \\ f (y): \\ g (y): \\ p _ {i} \left(\frac {3 \sigma_ {i}}{\mu_ {i}}\right): \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {零 件 参 数 ，} \quad \vec {x} = (x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {7}), \\ \text {零 件 参 数 的 标 定 值 ，} \quad \vec {\mu} = (\mu_ {1}, \mu_ {2}, \dots , \mu_ {7}), \\ \text {零 件 参 数 的 均 方 差}, \\ x _ {i} \text {标 定 值 的 上 下 界}, \\ \text {产 品 性 能 的 参 数}, \\ y \text {的 目 标 值} (y _ {0} = 1. 5), \\ \text {产 品 参 数 的 均 方 差}, \\ y \text {的 概 率 密 度 函 数}, \\ \text {单 件 产 品} y \text {偏 离} y _ {0} \text {造 成 的 损 失}; \\ \text {第} i \text {个 零 件 选 取 容 差 为} \frac {3 \sigma}{\mu_ {i}} \text {时 的 成 本} \\ \end{array} +$$ + +# 四、问题的分析 + +单件产品的费用包括两部分：一是七个零件的总成本，二是由产品性能参数 $(y)$ 偏离目标值 $(y_0)$ 而造成的损失。零件的成本是由零件的容差等级决定的；对于大批产品， $y$ 偏离 $y_0$ 而造成的损失则由 $y$ 的具体分布决定，而 $y$ 的分布又取决于各零件的标定值和容差等级。因此，原问题归结为在一定约束条件下求某目标函数的最小值的一个非线性规划问题。这里的目标函数就是零件参数设计的总费用，而约束条件则是各零件标定值的容许范围和可能的容差等级。 + +由于容差等级和零件参数标定值是结合在一起决定总费用，因此，为求得总费用的最小值，必须将两者结合起来考虑。由于七个零件容差等级选取总共可以有 $1^{2} \times 2^{2} \times 3^{3} = 108$ 种，使问题变得很复杂为简便起见，求解这个非线性规划问题时，我们可以分两步来考虑。首先固定各零件容差等级（对应固定零件参数的方差和成本），选择零件参数标定值使得损失质量最小；然后在此基础上，固定各零件参数标定值，在所有容差等级选取方法(共108种)中选取使得成本最小的配置。这种分两布走的方法虽然并不完全等价于原来的非线性规划，但它却可以是问题大大简化。实际上，这也是工业上采用的零件参数设计的一般方法。 + +我们假设了七个零件参数 $x_{i}(i = 1,2,\dots ,7)$ 是互相独立的正态分布随机变量，产品的性能参数 $\pmb{y}$ 由这些零件参数所决定，但是由于 $\pmb{y}$ 的经验公式很复杂，我们无法解析地给出 $\pmb{y}$ 的具体分布。一种处理的方法是采用蒙特卡罗方法，通过计算机模拟来获得 $\pmb{y}$ 的分布；另外也可通过对 $\pmb{y}$ 的经验公式作某种近似（如线性化等），以期能解析地给出 $\pmb{y}$ 的近似分布。 + +# 五、模型的建立 + +# 1. 目标函数 + +我们的目标函数是总的费用 $F$ ，它包含两项，质量损失 $L$ 和零件成本 $C$ ，即 $F = L + C$ . + +对于大批产品的平均质量损失，有 $L = \int_{-\infty}^{+\infty}f(y)g(y)dy$ ，其中 $f(y)$ 为 $y$ 的概率密度函数， $g(y)$ 为单件产品参数 $y$ 偏离 $y_0$ 造成的损失函．我们假设了 $g(y)$ 呈阶梯状，也就是说产品当 $1.4 < y < 1.6$ 时为正品，此时无质量损失；当 $1.2 < y \leq 1.4$ 或 $1.6 \leq y < 1.8$ 为次品，损失1000元；当 $y \leq 1.2$ 或 $1.6 \leq y < 1.8$ 时为废品，损失9000元. + +$$ +\begin{array}{l} L = \int_ {- \infty} ^ {+ \infty} f (y) g (y) d y \\ = 9 0 0 0 \left(\int_ {- \infty} ^ {1. 2} + \int_ {1. 8} ^ {+ \infty}\right) f (y) d y + 1 0 0 0 \left(\int_ {1. 2} ^ {1. 4} + \int_ {1. 4} ^ {1. 6}\right) f (y) d y \\ = 9 0 0 0 - 8 0 0 0 \int_ {1. 2} ^ {1. 8} \int_ {1. 2} ^ {1. 6} f (y) d y - 1 0 0 0 \int_ {1. 4} ^ {1. 8} f (y) d y \\ \end{array} +$$ + +因此单个产品的成本 $c$ 为各个零件的成本总和， $C = \sum_{i=1}^{7} p_i(\sigma_i / \mu_i)$ ，其中 $p_i(\sigma_i / \mu_i)$ 第 $i$ 种零件容差为 $(3\sigma_i / \mu_i)$ 等级对应的成本 $(i = 1,2,\dots,7)$ . + +我们的目标是使总费用最小，即求解如下非线性规划问题： + +$$ +\begin{array}{l} \min F = L + C = F \left(\mu_ {1}, \dots , \mu_ {i}; \sigma_ {i}, \dots , \sigma_ {7}\right) \\ s. t. \quad a _ {i} \leq \mu_ {i} \leq b _ {i} \\ 3 \frac {\sigma_ {i}}{\mu_ {i}} = 1 \% \text{或} 5 \% \text{或} 10 \% , i = 1, 2, \dots , 7. \\ \end{array} +$$ + +根据我们前面提出的两步走策略，这个问题可以分解为以下两个子问题： + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {P} _ {1}: \quad \min L = L (\mu_ {i}, \dots , \mu_ {7}), \\ \mathrm {s . t .} a _ {i} \leq \mu_ {i} \leq b _ {i}, \quad {\frac {\sigma_ {I}}{\mu_ {i}}} \text {给 定}, \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {P} _ {2}: \quad \min F = L + C = F (\sigma_ {1}, \dots , \sigma_ {7}), \\ s.t. 3 \frac {\sigma_ {i}}{\mu_ {i}} = 1 \% \text{或} 5 \% \text{或} 10 \% , \\ \end{array} +$$ + +依次求解 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 后，可得到近似的最优解，其中求解 $P_{1}$ 时给定一组 $\frac{\sigma_i}{\mu_i} (i = 1,2,\dots ,7)$ ，而求解 $p_2$ 时则使用 $P_{1}$ 给出的一组标定值. + +# 2. 目标函数的求值 + +# (1) 蒙特卡罗方法 + +如果给定 $\mu_1, \dots, \mu_7; \sigma_1, \dots, \sigma_7$ 则 $y$ 的分布是一定的，但是，由于 $y$ 的经验公式很复杂，我们难以给出解析形式。而求目标函数值又必须要用到 $f(y)$ 的函数值。一种方法是使用蒙特卡罗法，借助于计算机的伪随机数模拟去近似 $f(y)$ 。 + +由计算机可直接得到 $U[0,1]$ , 再用舍取法产生标准正态分布 $N(0,1)$ , 由 $N(0,1)$ 经过变换即可得到一般正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ . 从而可模拟 $x_1, x_2, \dots, x_7$ 这七个两两独立的正态分布的随机变量. 每模拟一次, 都可根据 $y$ 的经验公式得到 $y$ 的一个样本. 知道了大量的 $y$ 的样本, 自然很容易求出 $f(y)$ 来, 从而可以得到目标函数值. + +# (2) 线性近似 + +由于每求一次目标函数值都需用蒙特卡罗法模拟 $y$ 的分布，这样运算量便很大。一种简单的方法是用解析的形式给出 $y$ 的近似分布。 + +对 $y$ 在 $(\mu_1,\dots ,\mu_7)$ 处作泰勒展开，近似到一阶，得到 $y$ 的近似表达式 + +$$ +y \left(x _ {1}, \dots , x _ {7}\right) = y \left(\mu_ {1}, \dots , \mu_ {7}\right) + \sum_ {i = 1} ^ {7} \frac {\partial_ {y} \left(x _ {i} , \cdots , x _ {7}\right)}{\partial \mu_ {i}} \Bigg | _ {\vec {x} = \vec {\mu}} \cdot \left(x _ {i} - \mu_ {i}\right), +$$ + +可见 $y$ 已被近似为7零件参数的线性组合．由于 $x_{i}$ 是相互独立的正态分布随机变量， $x_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2})$ 由概率知识容易知道 $y$ 是服从均值为 $\mu_y$ ，方差为 $\sigma_y^2$ 的正态分布随机变量，其中 + +$$ +\mu_ {i} = E y = y \left(\mu_ {1}, \dots , \mu_ {7}\right), \quad \sigma_ {y} ^ {2} \operatorname {V a r} y \sum_ {i = 1} ^ {7} \left(\frac {\partial y}{\partial x _ {i}}\right) ^ {2} \sigma_ {x _ {i}} ^ {2} +$$ + +于是， $y$ 的概率密度函数为 + +$$ +f (y) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi \sigma_ {y} ^ {2}}} \exp \left\{- \frac {(y - \mu_ {y}) ^ {2}}{2 \sigma_ {y} ^ {2}} \right\} +$$ + +从而质量损失 + +$$ +L = 9 0 0 0 - 1 0 0 0 \left[ 8 \Phi \left(\frac {1 . 8 - \mu}{\sigma}\right) - 8 \Phi \left(\frac {1 . 2 - \mu}{\sigma}\right) + \Phi \left(\frac {1 . 6 - \mu}{\sigma}\right) - P h i \left(\frac {1 . 4 - \mu}{\sigma}\right) \right] +$$ + +其中 + +$$ +\Phi (x) = \int_ {- \infty} ^ {x} \frac {1}{\sqrt {2} \pi}, \exp \left\{- \frac {z ^ {2}}{2} \right\} d z. +$$ + +# 3. 新的目标函数 + +从总费用的表达式可以看出，只要 $y$ 尽可能地分布于 $y_0$ 周围，则可以使 $P(1.4 < y < 1.6)$ 和 $P(1.2 < y < 1.8)$ 尽可能地大，从而使总费用最低。基于这种考虑，我们提出了一个新的目标函数： $E(y - y_0)^2$ ，并在原有约束下求此目标函数的最小值。 + +$$ +E (y - y _ {0}) ^ {2} = \operatorname {V a r} \left(y - y _ {0}\right) ^ {2} + [ E (y - y _ {0}) ] ^ {2} = \operatorname {V a r} y + (E y - y _ {0}) ^ {2} +$$ + +类似于线性模型 + +$$ +\operatorname {V a r} y = \sigma_ {y} ^ {2} = \sum \left(\frac {\partial f}{\partial x _ {i}} \Bigg | _ {\vec {\mu}} \sigma_ {i}\right) ^ {2}, E y = f (\vec {\mu}) +$$ + +因此 $E(y - y_0)^2 = \sigma^2 + [f(\bar{\mu}) - y_0]^2$ 这样问题就转化为在给定约束条件下，求上式的最小值. + +# 六、模型求解 + +# 1. 子问题 $P_{\mathrm{t}}$ 的求解 + +我们的目的是使目标函数 $L(\mu_1,\dots ,\mu_7)$ 最小化，这是一个有约束 $(a_{i}\leq \mu_{i}\leq b_{i},i = 1,\dots ,r)$ 的非线性规划问题．我们使用梯度算法[3]来求得极值，并假设在约束范围内有极值且可由一组初始值求得. + +所谓梯度法就是逐点确定寻优方向，再通过一维寻优确定步长的求解多维无约束非线性规划问题的方法. + +为了使 $L(\mu_1,\dots ,\mu_7)$ 最小，我们列出主要步骤如下： + +(1) 给定一初始值 $\hat{\mu}^{(0)}$ 与精度 $c > 0, R > 0$ ; +(2) 若 $\| \nabla g(\hat{\mu}^{(i)})\| \leq \varepsilon$ 则停止，并求出最小值 $\vec{a}^* = \vec{\mu}^{(k)}$ ；否则转 (3)； +(3) 由 $\min(g(\vec{\mu}^{(k)} - \lambda \nabla g(\vec{\mu}^{(k)}))$ 求得 $\lambda_{k}$ , 并令 $\vec{\mu}^{(k+1)} = \vec{\mu}^{(k)} - \lambda_{k} \nabla g(\vec{\mu}^{(k)})$ , 令 $k=1$ 转入 (2). + +对子问题的求解给出的极值点就是我们选择的标定值 + +# 2. 对 $P_{1}$ 子问题的求解 + +在选定标定值的基础上，我们从所有可能的容差选择方式（共108种）中选取使总费用最低的一种(或几种)作为我们的设计的容差等级. + +由于零件的容差也影响 $y$ 的质量。必须综合考虑零件标定值和容差，并一起调整使之最优。但是若每次都穷举容差的话，会计算复杂度大大增加可设想先使各零件等级最低，求出 $\mu_1 \sim \mu_7$ 的一组值，分析相应的效益值，然后可删除成本过高的等级，再进行穷举。 + +# 七、结果 + +使用梯度法，代入初值 $x_{1} \sim x_{7}$ ，并对零件的各个等级遍历，求出一组局部最优解。由于 $y$ 的分布是用计算机随机数模拟出来的，所以每次运行结果都不一定相同，目标函数波动为 15。 + +
x1x2x3x4x5x6x7等级费用
初始值0.10.30.10.11.5160.75BCCCCB3150
蒙特卡罗法0.0930.3020.0960.1011.50160.75BBBCCBB430
线性近似0.0790.3050.0870.1041.40112.00.60BBBCCBB435
新目标函数0.0930.3020.0960.1011.500160.75BBBCCBB754
+ +# 八、模型的检验 + +# 1. 用正态分布近似 $y$ 的分布的可行性检验 + +在线性模型中，我们用正态分布 $N(\mu_y,\sigma_y^2)$ 来近似 $\mathbf{y}$ 的分布．对此，我们在最优解处作了拟合优度检验. + +i) 由蒙特卡洛法模拟产生 $y$ 的 $N$ 个样本值； +ii) 把 $y$ 的可能取值范围分成 $k(k = 14)$ 个区间，并判断样本落在各区间的频数 $v_{i}$ ，(并使 $Np_{i} \geq 5$ )； + +iii) 计算统计量 $Z = \sum (N p_{i} - v_{i})^{2} / N p_{i}$ , 其中 $p_i$ 为正态分布 $N(\mu_y, \sigma_y^2)$ 在第 $i$ 个区间内的理论概率; +iv) 拟合优度 $p(Z) = 1 - \sum_{k=1}^{2}(Z)$ . + +通过计算，我们得到 $p(Z) = 0.19$ ，这说明我们用正态分布 $N(\mu_y,\sigma_y^2)$ 来近似 $_y$ 的实际分布是可靠的。 + +# 2. 模拟的误差 + +我们用蒙特卡洛法模拟 $y$ 的分布时使用的样本个数是1000，与成批生产的产量一致，但是计算机模拟的统计量必然有一定的波动性，我们对同样一组标定值和等级进行多次模拟，发现目标函数的波动程度在15元左右。因此，我们的模型所给出的精度顶多也只能达到这个值。 + +# 3. 参数选择分两步走的有效性 + +若同时对标定值和容差等级求最优解，则计算复杂度过大，为此我们采用了两步走的近似方法： + +第一步 使各零件都取最低容差等级，求出各零件标定值的最优解(梯度法)； + +第二步 固定标定值，求容差等级的最优解(遍历). + +作为对比，在线性模型中，我们同时考虑标定值和容差等级，也用梯度法求得极值，结果为430元，这和分两步走的结果435元非常接近，这说明了我们的分两步策略是十分有效的. + +# 八、讨论 + +# 1. 质量损失 $g(y)$ 的另一种理解 + +有些产品参数，离目标值越近越好，甚至于突破人为的等级限制，即 $g(y)$ 随 $y$ 连续变化，而不是如假设6所述的阶梯函数一种可能的情况是 $g(y) = k(y - 1.5)^2$ ，其中 $k = 10^5$ ，此时 $L = \int_{-\infty}^{+\infty}f(y)dy = kE(y - 1.5)^2$ 这正是我们前面提出的第二个目标函数以这种解释求得的目标函数最优解780. + +# 2. 原部最优解和全局最优解 + +我们的模型给出的都是局部的最优解（区域内的极值（），这不一定就是目标函数在整个区域内的最优解．但是，如果多取几个初始值求极值的话，可以尽可能缩小我们的结果与最优解的差距，甚至达到最优解. + +# 3. 优缺点分析 + +1. 线性模型避免了蒙特卡洛法所需的大量模拟，从而提高了运算速度； +2. 线性模型在一般的情况下也能给出比较理想的结果； +3. 分两步走的策略有效地简化了问题，同时也给出了非常接近最优解的结果； +4. 我们给出的都是局部的最优解，并不能保证它就是问题的全局最优解； +5. 由于进行蒙特卡洛方法模拟的次数有限 (1000), 这使得我们给出的总费用精度有限, 误差为 $\pm 15$ 元. + +# 参考文献 + +[1] 严颖、成世学，运筹学随机模型，中国人民大学出版社，北京，1995. +[2]盛昭瀚、曹忻，最优化方法基本教程，东南大学出版社，南京，1993. +[3] 徐士良，C 常用算法程序集，清华大学出版社，北京，1994. +[4] 陈希儒，概率论与数理统计，中国科技大学出版社，合肥，1993. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(2)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(2).md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(2)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(2).md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5cc6dd5417e9dde4aead0cbcbd52d33b995fd523 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(2)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(2).md" @@ -0,0 +1,219 @@ +# 零件的参数设计 + +叶庆春 侯小虎 刘淑君 + +指导教师： 甘湘华 + +（四川联合大学（四川大学）.成都610034） + +编者按 本文针对参数最优设计问题的实际背景提出综合考虑损失函数与元件成本的概率统计最优化模型，并用模拟褪火法寻求最优解，较好地解决了最优参数设计问题，论文还用统计实验及泰劳展开论证了参数 $y$ 近似服从正态分布的结论。论文叙述简洁、语言流畅、有一定的参考价值。 + +摘要 本文解决解决的问题是一个零件参数优化设计问题 + +首先我们利用统计抽样方法给出了频率直方图，估计参数 $y$ 应当服从正态分布，进一步利用经验公式作多元一阶Taylor展开，得到一个正态随机变量的线性组合式，确定 $y$ 近似正态分布，且用 $\chi^2$ 拟合优度加以检验。然后可直接求出原设计的生产总费用为3,074,790元，接着对第地二个问题建立了一个优化模型，用模拟退火全局优化算法，得到第二个问题的解：标定值依次为0.0829,0.3223,0.1195,0.0881,1.8097,12.9960,0.6297，总费用合为434,681.2352元，与原设计相比总费用减少：2,639,109.7648元。 + +最后，我们用统计抽样进行模型的检验，以及给出了模型的评价与改进方向. + +# 一、问题的重述与背景分析（略） + +# 二、模型的基本假设及符号说明 + +1. 假设零件参数的标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差为均方差的3倍； +2. 假设粒子分离器参数 $y$ 偏离 $y_0 \pm 0.1$ 时，产品为次品，质量损失为 1000 元； + +当 $y$ 偏离参数 $y_{0} = \pm 0.3$ 时，产品为废品，损失为9000元； + +3. 零件参数的标定值有一定的容许范围； +4. 容差分为 $A, B, C$ 三个等级，用与标定值的相对值表示， $A$ 等为 $\pm 1\%$ ， $B$ 等为 $\pm 5\%$ ， $C$ 等为 $\pm 10\%$ ； +5. 假设7个零件随机误差都符合正态分布 + +文中所用符号说明 + +$A = (a_{ij})_{7\times 3}$ 成本矩阵; + +$D_{i}$ 第 $i$ 种零件的容差行向量； + +$B = (b_{ij})_{7\times 2}$ 容差设计矩阵; + +$X_{2}$ 标定值的上界； + +$y_0$ $y$ 的目标值； + +$\delta_{i}$ $x_{i}$ 的均方差； + +$\delta$ $y$ 的均方差； + +$X_{i}$ 标定值的下界； + +$B_{i}$ 第 $i$ 行向量; + +$C_1$ 一件产品的生产成本； + +$P_{2}$ 产品是废品的概率; + +$\bar{y}$ $y$ 的期望值； + +$P_{1}$ 产品是次品的概率; + +$C_2$ 一件产品的质量损失的期望值; + +value 生产总费用； + +$X = (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ 标定值的向量； $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ 经验函数； + +$$ +b _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text {当} i \text {的 容 差 为} j \text {时}, \\ 0 & \text {否 则}. \end{array} \right. +$$ + +# 三、模型的分析与建立 + +# （一）确定 $y$ 的分布函数 + +# a）利用统计抽样来估计 $y$ 的分布 + +由经验公式不能直接看出参数 $y$ 的分布，于是为了对 $y$ 的分布有一个直观上的了解，我们采用统计抽样的方法绘出 $y$ 的频率直方图. + +直方图的画法：为随机数落入各区间 $[t_{i - j}, t_i]$ 内的个数， $f_i = \frac{u_i}{n}$ . + +在 $xy$ 平面上对每一个 $i$ , 以 $[t_{i-j}, t_i]$ 为底, $y_i = \frac{t_i}{\Delta}$ 为高画小长形即为直方图, 容易看出, 样本容量越大, 分组越细, 则直方图越接近密度函数曲线下的曲边梯形, 教学软件Maplev3统计包中画直方图即根据上面原理. + +为了得到较直观、准确的直方图，取了500个样本点即 $y$ 值，直方图如下： + +![](images/3c30a4a651af51aa42df81185060e11f994c3dfb0eee2dbc0ffd9c15fee67c95.jpg) + +由图可以估计， $y$ 的分布近似于正态分布 + +b）受(a)的启发，我们便想从经验公式出发推导出 $y$ 的概率密度函数 + +方法1 从理论上严格推导 $y$ 的概率密度函数。我们实践后发现，既使利用概率密度函数的和、差、商能算出 $y$ 的发布，其表达式也是相当复杂且得不到一个确定的表达式，因此，此方法在理论上可行，在实际中则要视具体情况而定。 + +方法2 由经验方程及 $x_{i}$ 所容许的范围，我们知道 $\pmb{y}$ 对 $\pmb{x}_{i}$ 任意的 $\pmb{n}$ 阶偏导连续则可将其在标定值 $Z_0 = (x_{i0})_{i=1\dots7}$ 作Taylor展开式： + +$$ +\begin{array}{l} y = f \left(x _ {1 0}, x _ {2 0}, \dots , x _ {7 0}\right) + \frac {\partial f}{\partial x _ {1}} \left| x _ {0} \left(x - x _ {1 0}\right) + \frac {\partial f}{\partial x _ {2}} \right| x _ {0} \left(x _ {2} - x _ {2 0}\right) \\ + \dots + \frac {\partial f}{\partial x _ {7}} | x _ {0} (x _ {7} - x _ {7 0}) + R _ {n}, \qquad \text {其 中} R _ {n} \text {为 余 项} \\ \end{array} +$$ + +这里 $x_{i} - x_{i0}$ 有明显的物理意义，即 $x_{i} - x_{i0}$ 是零件 $i$ 的随机误差，有 $x_{i} - x_{i0} \sim (0, \delta_{i}^{2})$ ，对随机变量 $x_{i} \sim (x_{i}, \delta_{i}^{2})$ + +我们认为展开式忽略2阶小后能够很好地逼近 $y$ 值，理由主要有： + +1. 就本问题我们可以求出： $\delta_{\max} = \delta_0 = \frac{20 \times 10\%}{8} = 0.667$ ，可见 $x_i$ 的方差不大， $i = 1, \dots, 7$ +2. 当 $x_{i}$ 与 $x_{i0}$ 相差很小时， $x_{i} \sim N(\dot{x}_{i}, \delta_{i}^{2})$ ， $P(|x_{i} - x_{i0}| < \varepsilon$ 很大，则在 $(x_{1}x_{2}\dots x_{n})$ 的领域内，近似值已很接近真实值。 + +当 $x_{i}$ 与 $x_{i0}$ 相差很大时， $P(|x_{i} - x_{i0}| < \varepsilon)$ 很小，可以忽略其对真实值的影响， + +所以在这个近似计算下： $y - f(x_{10},x_{20},\sim x_{70})$ 是 $\pmb{x_i}$ 的随机误差 $x_{i} - x_{i0}$ 的线性组合函数， $x_{i} - x_{i0}\sim N(0,\delta_{i}^{2})$ 且 $x_{i} - x_{i0}$ 互不相关. + +定理2个独立正态随机变量 $\xi_{k}\sim N(\mu_{k},\delta_{k}^{2})$ ， $(k = 1,2)$ 的任意线性组合 $\sum_{i = 1}^{2}\alpha_{i}\xi_{i}$ 为正态变量且 $\sum_{i = 1}^{2}\alpha_{i}\xi_{i}\sim N(\sum_{i = 1}^{2}\alpha_{i}^{2},\mu_{i}^{2},\sum_{i = 1}^{2}\alpha_{i}\delta_{i}^{2}).$ + +由此我们知道 $y - f(x_{10},\dots ,x_{70})$ 服从正态分布，由定理 $y = f(x_{10},\dots ,x_{70}) + \sum_{i = 1}^{7}\frac{\partial f}{\partial x_i} (x_i - x_{i0})$ 服从正态分布，且 + +$$ +\bar {y} = E (y) = f \left(x _ {1 0}, \dots , x _ {7 0}\right), \quad \delta^ {2} = D (y) = \sum_ {i = 1} ^ {7} \left(\frac {\partial f}{\partial x _ {i}} \mid X = X _ {0}\right) ^ {2} \delta_ {i} ^ {2} +$$ + +这比我们期望的结果还要好 + +基于统计抽样和近似算法的结论，我们得到 $y \sim N(f(x_0, \dots, x\tau_0), \sum_{i=1}^{7} (\frac{cf_i}{x_{2i}} |X = X_0)^2 \delta_i^2)$ 。为了进一步肯定我们的假设是正确的，我们利用样本数据作了 $\chi^2$ 拟合优度检验，在这里我们仅记录下检验结果 $\chi^2$ （计算值） $= 13.2410 < \chi_{(0.05)}^2 (11 - 2 - 1) = 15.507.$ + +即 $y\sim N(f(x_{1},0,\dots ,x^{3}70),\sum_{i = 1}^{\gamma}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\mid X = X_0\right)$ 是可接受的. + +# （二）模型及分析： + +零件参数的优化设计： + +目标函数： $\min (C_1 + C_2)$ ，s.t.： $X_{1}\leq X\leq X_{2},$ + +一件产品成本费用： $C_1\sum_{i = 1}^{7}\sum_{j = 1}^{3}a_{ij}b_{ij},$ + +一件产品质量损失费用的期望值： $C_2 = P_1 \times 1000 + 9000 \times P_2,$ + +产品是次品的概率： $P_{1} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\delta}}\left[\int_{y_{0} - 0.3}^{y_{0} - 0.1}e^{-\frac{(1 - y)^{2}}{2\delta^{2}}}dt + \int_{y_{0} + 0.1}^{y_{0} - 0.3}e^{\frac{(1 - y)^{2}}{2\delta^{2}}}dt\right]$ + +产品的废品的概率： $P_{2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta}\left[\int_{-\infty}^{y_{0} - 0.3}e^{\frac{-(1 - y)^{2}}{2\delta^{2}}}dt + \int_{y_{0} + 0.3}^{-\infty}e^{\frac{-(1 - y)^{2}}{2\delta^{2}}}dt\right],$ + +$$ +\delta_ {i} = \left(\sum_ {j = 1} ^ {3} x _ {i} B _ {i} \times D _ {i} ^ {\prime}\right) / 3, \quad \delta^ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \left[ \left(\frac {\partial f}{\partial x _ {i}}\right) \Big | _ {x _ {0}} \delta_ {0} \right] ^ {2}, \overline {{Y}} = f (x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {7}). +$$ + +# 四、模型的求解 + +# 1）原设计的生产费用： + +由原设计知： $x = (0.1, 0.3, 0.1, 0.1, 1.5, 16, 0.75)$ + +$$ +B = \left[ \begin{array}{l l l} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] +$$ + +即得： + +$$ +\bar {y} = 1. 7 2 5 5 8 9 2 6 2, \quad \delta = 0. 1 1 0 3 7 1 9 2 3 9, +$$ + +$$ +C _ {1} = 2 0 0, \quad C _ {2} = 2 8 7 4. 7 9, +$$ + +生产总费用 + +$$ +\text {v a l u e} = (2 8 7 4. 7 9 + 2 0 0) \times 1 0 0 0 = 3, 0 7 4, 7 9 0 (\text {元}) +$$ + +# 2）优化模型的求解 + +目标函数可能存在局部最优解，这使我们寻找全局最优解变得很困难，为了避免搜索过程因陷于局部最优解而无法自拔，提高全局最优解的可信度，我们在这里采用模拟退火算法，其算法如下： + +Step1 给定 $X^0 \in \mathbb{R}^n, T_0 > 0, \beta > 0$ , 给定产生随机向量的概率密度函数和控制温度下降过程的温度更新函数, 给定常数 $\beta > 0$ , 计算 $f(x^0)$ , 置 $X^0 = x^0, X_{\min}^0 = x_0, f_{\min} = f(x^0), k = 0$ ; + +Step 2 根据给定的概率密度函数产生一个随机向量 $Z^k$ ，利用当前迭代点 $X^k$ 和随机向量 $Z^k$ 产生一个新的试探点 $Y^k$ 。即 $Y^k = X^k + Z^k$ ，计算 $f(Y^k)$ ； + +Step3 产生一个在 $(0,1)$ 上均匀分布的随机数 $n$ ，计算在给定当前迭代点 $X^k$ 和温度 $T_k$ 下接受试探点 $Y^k$ 的概率 $P_a[Y^{rk} \mid X^k, T_k)$ 即 + +$$ +P _ {a} \left[ Y ^ {k} \mid X ^ {k}, T _ {k} \right] = \min \left\{1, \exp \left(\frac {f \left(X ^ {k}\right) - f \left(Y ^ {k}\right)}{\beta T ^ {k}}\right) \right\} +$$ + +如果 $\eta \leq (P_n[Y^k \mid X^k, T_k]$ ，则置 $X^{k+1} = Y^k, f(X^{k+1}) = f(Y^{k};$ + +否则置 $X^{k + 1} = X^k, f(X^{k + 1}) = f(X^k)$ + +Step4如果 $f(X^{k + 1}) < f_{\mathrm{min}}$ 则置 $X_{\min} = \lambda^{k + 1},f_{\min} = f(X^{k + 1})$ + +Step 5 如果迭代终止条件满足，则算法结束， $X_{\min}$ 就作为近似的全局最优解， $f_{\min}$ 为相应的最优值，否则继续 Step 6. + +Step 3 根据给定的温度更新函数产生一个新的温度 $T_{k+1}$ , 置 $k=k+1$ 转至 Step 2. + +考虑到容差的组合，我们第一个想法就是对容差进行穷举，然后利用退火法来搜索最优解，但上机时，计算机内存不够，只能计算少数几组值；并且将均匀分布的随机数发生器换以不同的种子后， $x$ 的“最优解”的波动较大，即在我们现在计算机上此法不合适，于是想到一个折中的算法。 + +第一步 我们确定零件的容差，然后利用退火算法多次循环计算总费用值，取最小值，记为 $f_{1}^{*}$ ，以及对应的最优解 $x_{1}^{*}$ ，转入第二步。 + +第二步 固定 $X_{k-1}^{*}$ ，将零件的容差的所有组合进行穷举，计算得此时对应的地最优容差组合记为 $B_{k}^{*}$ ，产生新 $f^{*}$ ，最小值记为 $f_{k}^{*}$ 。 + +第三步 若 $f_{k + 1}^{\prime} - f_{k} < \varepsilon$ （ $\varepsilon$ 是任意事先指定的常数），终止，否则转入第一步. + +利用上面的思想通过编程我们最后得到： + +一批零件的总生产费用的最优解为 $434.6812*1000 = 434681.2$ 元.容差向量为[2,2,2,1,1,2,2] + +# 五、模型结果的分析 + +在分析我们得到的最优解和最优值时，注意到在我们建模时是用正态分布函数代替经验分布函数的，在这里会产生误差. + +我们在这个最优值上，进行随机抽样实验，共抽样10次，每次抽样500个随机数据计算每次抽样的质量损失费，然后求平均值算出在此点的平均质量损失费为149.0，即总生产成本为 $149.6 + 275 = 424.6$ ，则实际成本较之可能还要小。可见我们的最优值别较大。 + +这个误差一般来说是由于对经验分布函数进行估计所带来的，如果允许一定的误差，我们这种以模型的简练换精度还是值得的。 + +# 六、模型优缺点和改进方向（略） + +# 七、附 录(略) + +# 参考文献 + +[1] 叶其孝，数学模型. +[2] 系统工程理论与实践，1997,5. +[3] 耿素云，张立昂，概率统计，北京大学出版社，北京. +[4] 概率统计与随机过程，武汉大学出版社，武汉. +[5] 叶其孝主编，数学建模教育与国际数学建模竞赛. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(3)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(3).md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(3)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(3).md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ab3baa0ad20540f64a5b6580fddabe4fef9ba791 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(3)/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241(3).md" @@ -0,0 +1,358 @@ +# 零件的参数设计 + +闽令建 黄毅 汪细敏 + +指导教师：丁旺才 + +(兰州铁道学院，兰州730070) + +编者按 本文用田口玄一的三次设计方法解决零件的参数设计问题。通过统计分析调整参数值，基本达到较优解。文字清晰。 + +摘要 本文对零件的参数设计问题进行了分析，提出了质量特性的全微分形式，从而根据零件参数的分布函数求得质量特性的分布函数，并求出了总质量损失，这种方法也适用于质量损失函数为不连续分段函数形式的情况。本文对零件参数的设计方法做了进一步探讨，本模型为望目特性的参数设计，对于模型的求解首先进行改善信噪比的设计，然后进行目标值的修正，最后进行容差设计，使总费用达到最小。对题中的分离器参数进行的再设计，使总费用从原设计的3,085,700元降低到468,300元。所用方法基于数理统计理论，得到的结果合理。本文还讨论了模型的优缺点，并给出了一般的零件参数设计方法。 + +# 一、问题概述（略） + +# 二、符号说明 + +$x_{i}, i = 1,2,\dots,7$ 零件参数变量； $Q$ 质量损失； + +$X_{i}, i = 1,2,\dots,7$ 零件参数标定值； C 成本； + +$\Delta_{i,1,2,\dots ,7}$ 零件参数容差； $y$ 产品参数(即产品质量特性); + +$F$ 总费用； $y_{0}$ 产品质量特性目标值 (1.50); + +# 三、问题分析 + +参数设计是产品设计的核心，它在系统设计之后进行。该问题目的是要选择系统中所有参数的最佳水平组合，从而尽量减少各种干扰的影响，使所设计的产品质量特性 $y$ 波动小，稳定性好。 + +1统计特性 + +该问题是针对批量生产的产品进行分析。由于 $X_{i} (i = 1,2,\dots,7)$ 的随机波动，使 $y$ 产生波动，从而偏离目标值，产生质量损失。所以该问题要用概率统计的理论方法进行分析设计。 + +2 非线性效应与参数标定值设计 + +通常产品质量特性 $y$ 与零件参数的水平 (标定值) 之间是非线性关系. 本问题亦然 + +例如在图一中，若参数 $x$ 取水平 $X_{1}$ ，由于波动 $\Delta X$ ，引起 $y$ 的波动范围为 $\Delta Y_{1}$ ，通过参数设计，若将水平 $X_{1}$ 移到水平 $X_{2}$ ，此时对于同样的波动范围 $\Delta X, Y$ 的波动范围缩小为 $\Delta Y_{2}$ 。易见 $\Delta Y_{2} \ll \Delta Y_{1}$ 。可见，只要合理地选择参数的水平，在参数的波动范围 + +不变的条件下(因而不增加成本)，就可大大减少质量特性的波动范围，提高了产品的稳定性．若按照传统的设计方法，单纯提高零件的质量，把 $C$ 等品改为 $A$ 等品，此时参数 $X$ 的波动范围由 $\Delta X$ 缩小为 $\Delta X_{1}$ ，而质量特性 $Y$ 在水平 $X_{1}$ 处相应的波动范围变为 $\Delta Y_{3}$ ，虽然 $\Delta Y_3\gg \Delta Y_2$ + +所以并非由 $A$ 等品组装起来的产品就一定是一级产品，参数设计就是要利用这种非线性效应，寻找参数的最佳水平(标定值)组合. + +![](images/9e4da193e344b92a3fd32a9749ac2240d3c46c9fcf66a399ebc80d49fcc98731.jpg) +图1 + +# 3 容差设计： + +容差大小对质量特性 $Y$ 的影向可在图1中表明，若缩小 $\Delta X$ ，则 $\Delta Y$ 也缩小. + +容差设计的思路是：根据各参数的波动对产品质量特性影响的大小，从经济角度考虑有无必要对影响大的参数给予较小的容差，以便进一步减少质量特性的波动，减少质量损失，但这样会使产品的成本有所提高。因此，要寻找使总费用最小的容差设计方案，使所设计的产品质量特性 $y$ 波动小，稳定性好。 + +# 四、模型的建立及求解 + +根据对本题的分析，我们的设计目标是设计一组参数标定值 $X_{i}(i = 1,2,\dots ,7)$ 及其容差 $\Delta_{i}i = 1,2,\dots ,7$ 使得： + +$$ +E (y) = y _ {0}, \qquad v (y) = \sigma^ {2} \text {越 小 越 好} +$$ + +以上即为望目特性的参数设计. + +# 1 质量特性 $y$ 的全微分及质量损失 + +要计算质量损失需知道 $y$ 的分布函数。由于本题 $y = f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{7})$ 是一较复杂的经验公式，所以尽管已知 $x_{i}i = 1,2,\dots ,7$ 的分布函数，但无法直接推出 $_y$ 的分布函数. + +如果各偏导数存在且连续，则我们用全微分原理能够得到 + +$$ +\delta y = \sum_ {i = 1} ^ {7} \frac {\partial f}{\partial x _ {i}} \Delta x _ {i} \tag {1} +$$ + +这些偏导数，我们可利用Mathematic软件包进行求解。从上式可知各偏导数的值影响了 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{7}$ 各自波动时对 $y$ 值波动的贡献系数，当一组标定值 $X_{i} (i = 1, 2, \ldots, 7)$ 确定以后，我们近似的认为这些贡献系数是一些常数。则 $\delta y$ 与 $\Delta x_{i} (i = 1, 2, \ldots, 7)$ 有关，由于后者为正态分布，则也可认为 $\delta y$ 是正态分布，这样也从另一方面说明了假设4的合理性。我们可以由 $\Delta x_{i} (i = 1, 2, \ldots, 7)$ 的方差求得 $\delta y$ 的方差 + +$$ +\sigma^ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \left(\frac {\partial f}{\partial x _ {i}}\right) ^ {2} \sigma_ {i} ^ {2} \tag {2} +$$ + +于是，对于正态分布的 $y$ + +$$ +E (y) = Y = f \left(X _ {1}, X _ {2}, \dots , X _ {7}\right) \tag {3} +$$ + +$$ +D (y) = \sigma^ {2} \tag {4} +$$ + +即 $y$ 的概率密度函数为 + +$$ +f (y) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma^ {2}} e ^ {\frac {- (y - y _ {0}) ^ {2}}{2 \sigma^ {2}}} \tag {5} +$$ + +由于质量损失函数 + +$$ +Q (\dot {y}) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & | y - y _ {0} | < 0. 1 \\ 1 0 0 0, & 0. 1 \leq | y - y _ {0} | < 0. 3 \\ 9 \dot {0} 0 0, & | y - y _ {0} | \geq 0. 3 \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +求得总的质量损失： + +$$ +\tilde {Q} = \int Q (y) f (y) d y = 1 0 0 0 \int f (y) d y + 9 0 0 0 \int f (y) d y +$$ + +$$ +0. 1 \leq | y - y _ {0} | \leq 0. 3 \quad | y - y _ {0} | \geq 0. 3 \tag {7} +$$ + +若总成本为 $C$ ，则总费用 $\pmb{F}$ 为 + +$$ +\boldsymbol {F} = \widetilde {\boldsymbol {Q}} + \boldsymbol {C} \tag {8} +$$ + +根据以上算法求得的原设计值下的结果为：正品率： $12.55\%$ ，次品率： $62.31\%$ 费品率： $25.14\%$ ，总的质量损失： $\widetilde{Q} = 2,885,700$ (元)；总成本： $C = 200,000$ (元)；总费用： $F = 3,085,700$ (元)； + +2. 标定值 $X_{i}(i = 1,2,3,\dots ,7)$ 选优设计： + +标定值选择的好坏，直接影响了 $Y$ 的受力大小。为了反映各零件参数对质量特性 $Y$ 的影响，我们引入信噪比和灵敏度这两个统计指标进行了分析，分两段进行 + +(a) 信噪比分析：寻找使信噪比达到最大，即稳定性最好的最佳水平组合. +(b) 灵敏度分析：寻找与信噪比无关，灵敏度显著的可控因素——称为调整因素。并进行调整作业，使最佳条件下质量特性的期望值趋近目标值 $y_0$ 。 + +我们利用正交表的内外表直积法进行求解 + +(1) 可控因素及误差因素 + +所谓可控因素，系指在技术上已指定，并且能够进行选择和控制的质量因素。我们构成经验公式的变量，可控因素有7个 + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, X _ {3}, X _ {4}, X _ {5}, X _ {6}, X _ {7}. +$$ + +所谓误差因素，系指使系统质量产生波动的原因的总和，即所有波动的原因，有时也称之为干扰。为了区分可控因素和误差因素，我们利用在英文字母的右边加 $x_{1}$ 来表示误差因素，如 $x_{1}$ 表示 $x_{1}$ 因素是误差因素。 + +误差因素有7个， $\Delta x_{i}(i = 1,2,\dots ,7)$ + +(2）确定可控因素水平 + +我们考虑用原设计的参数值作为可控因素的第二水平，第一、第三水平采用等差数列来确定，并且其差尽量取得大些，以便使研究的范围更广些。 + +我们所确定的第二水平为： $x_{1} = 0.1, x_{2} = 0.3, x_{3} = 0.1, x_{4} = 0.1, x_{5} = 1.5, x_{6} = 16, x_{7} = 0.75$ + +按等差数列来确定第一、三水平，得到可控因素水平表(见表2)，此为7因素水平。 + +可控因素水平表 1 + +
水平x1x2x3x4x5x6x7
水平10.0750.2250.0750.0751.125120.565
水平20.10.30.10.11.5160.75
水平30.1250.3750.1250.1251.875200.935
+ +(3) 内设计 + +安排可控因素的正交表称为内表，相应的设计称为内设计，我们选用正交表 $L36(3^{13})$ 作为内表进行内设计. + +表头设计为 + +
列号12345678910111213
因素X1X2X3X4X5X6X7
+ +空列作为误差列，内表见表2 + +(4) 外设计 + +安排误差因素和信号因素的正交表称为外表，相应的设计称为外设计。对于外设计，我们仍选用 $L36(3^{13})$ 正交表进行。为不失一般性，我们把 $\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{7}$ 共7个误差因素依次排列在正交表 $L36(3^{13})$ 中的第一列，…，第七列，其余为空列。 + +(5）计算信噪比 + +信噪比的计算公式（附录略） + +(6) 内表的统计分析 + +表 2 内表及信噪比数据 + +
编号 +1η(DB) +7.293358编号 +2η(DB) +-0.667325编号 +3η(DB) +-7.809498编号 +4η(DB) +-0.944386
56.0723015612.0189507-15.59951786.791221
9-4.632693106.53492111-1.063730120.042895
13-6.152885140.025610159.569289164.319945
174.369740187.672041917.75265920,6.314679
2110.426882210.32445234.981981248.3599532
2515.421156269.988859277.414917280.945912
293.442791305.1418543110.77024732-3.260096
3311.277733421.635672359.2600983610.731010
+ +内表的统计分析对象是信噪比, 它是衡量内表中方案稳健性的指标. 我们首先计算出每个因素 $(x_{1} \sim x_{7}$ 共 7 个因素) 各水平 (三个水平) 下信噪比的合计值及平均值, 结果见表 5. 然后计算各种波动平方和与自由度. + +总波动 $s$ + +$$ +S _ {r} = \sum_ {i = 1} ^ {3 6} \left(\eta_ {i} - \bar {\eta}\right) ^ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {3 6} \eta_ {i} ^ {2} - 1 / 3 6 \left(\sum_ {i = 1} ^ {3 6} \eta_ {i i}\right) ^ {2} +$$ + +表 3 外港 + +
编号y-y0编号y-y0编号y-y0编号y-y0
10.0131292-0.20580833722614-0.240722
5-0.40525060.1020157-0.0476238-0.096853
9-0.401065100.03872711-0.31265612-0.39549
13-0.25544214-0.364351150.05074116-0.007782
17-0.42192318-0.11288319-0.54511820-0.1.2668
210.1469922-0.37466823-0.09715424-0.107961
25-0.464484260.04064327-0.12410528-0.317290
29-0.18435030-0.15851631-0.39164832-0.229455
330.08281434-0.612884350.021405360.122002
+ +然后, 将上述结果整理为方差分析表 (见表 5). 从方差分析表可以看出, $X_{6}$ 高度显著, 因素 $X_{1}, X_{7}$ 显著, $X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}$ 不显著. + +表 4 方差分析辅助表 + +
Tix1x2x3x4x5x6x7
T112.12908.869510.42749.08509.830810.425013.6580
T27.817412.098510.21469.888712.52966.20909.5773
T311.702310.680811.006712.6759.288415.01488.4134
T189.892
+ +# (7). 确定参数组合： + +(a) 本题中 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 因素不显著，所以其水平可自由选取；显著因素和高度显著因素 $x_{1}, x_{7}$ 和 $x_{6}$ 的水平必须由信噪比来选取。从而得到一组满足稳健性的参数（见表6）。 +将这一组满足稳健性的参数标定值代入经验公式得到 $Y = 0.71$ +(b) 再利用不显著因素求 (一致性) 参数组合。用于满足稳健性的参数组合对应的输出特性与目标值相差太大（偏移过多），我们必须进行校正。通过调整对信噪比影响不显著，但对灵敏度影响显著的因素的参数值，使输出特性接近目标值。 + +表 5 参数设计表内表的方差分析 + +
来源SfVF
X133.863216.9320.442
X215.7127.858
X31.00820.504
X421.297210.649
X514.12527.063
X6116.384258.1921.516
X745.565222.7820.594
l1640.9552150.522
l1193.103(29)38.383
T189.42235
+ +表6 + +
参数X1X2X3X4X5X6X7
水平1213331
+ +(c) 为了确定具体的调整因素，我们需要求出灵敏度。所谓灵敏度，是反映平均特性的指标。计作 $s = \hat{\mu}^2 \mu$ 的无偏估计为 $\hat{\mu}^2 = (Sm - Ve) / n$ + +因此，我们利用类似求信噪比的方法，得到灵敏度的估计公式如下： + +$$ +S = 1 0 \log \left[ 1 / n \left(S _ {m} - V _ {e}\right) \right] +$$ + +从而得到灵敏度的值（如表7） + +表7 + +
012345678
-1.6064-12.0466-21.1154-14.8225-8.52117.556130-28.1167-1.978-17.9564
91011121314151617
-3.2513-15.161-10.73-19.741-14.1154.6633-6.447-10.63142.753
181920212223242526
-2.088-3.0467.7046-6.4040-4.943.089-3.07883.844-0.9729
272829303132333435
-13.575-6.61-3.515-6.10-14.0527.18-0.3852.25956.5231
+ +通过以上的两阶段设计，我们把可控因素分成以下几个类（见表8） + +表 8 可控因素分类 + +
信噪比灵敏度因素名称
X1显著显著确定因素
X2不显著显著可调因素
X3不显著显著可调因素
X4不显著不显著次要因素
X5不显著显著可调因素
X6显著不显著确定因素
X7显著显著确定因素
+ +表9 + +
X2 增大Y 减小
X3 增大Y 增大
X5 增大Y 减小
+ +由于通过参数设计得到的一组水平组合代入 $y$ 的表达式所得 $Y$ 值与目标值相差过大，我们应该通过调整可调因素 $X_{2}, X_{3}, X_{5}$ 来调整 $y$ 值使其更接近于目标值 1.50，易推知 $Y$ 随 $X_{2}, X_{3}, X_{5}$ 的变化关系如表 9. + +我们也利用Mathematica软件画出 $y$ 值随 $X_{2}, X_{3}, X_{5}$ 的变化关系曲线（如图2—4） + +# 3 容差设计 + +通过以上调整得到一组最佳组合下的 $x_{i}(i = 1,2,\dots ,7)$ 的标定值，在此标定值下 $E(y) = y_0$ 。我们应该找到一组零件质量等级的组合使总的费用最小。因随零件质量等级的不同，生产成本也不同，所以提高零件质量未必能减少总费用。而应该提高那些对产品质量波动影响较显著的零件的质量等级，即给这些零件以较小的容差范围。而对那些对产品影响甚小的零件，给以较大的容差范围，以降低生产成本。 + +通过上面的分析我们知道，应当首先确定 $X_{i}, (i = 1,2,\dots ,7)$ 中哪些零件的容差对产品影响较大，这就是容差设计. + +因此我们应使 $x_{2}, x_{5}$ 的值减小， $x_{3}$ 的值增大，从而使 $y$ 值增大. + +通过计算我们得到了一组标定值 $X_{i}$ 的最佳水平组合 $X_{1} = 0.075, X_{2} = 0.225, X_{3} = 0.125, X_{4} = 0.125, X_{5} = 1.621, X_{6} = 20, X_{7} = 0.565$ + +# (1) 给出误差因素水平表 + +以最佳条件 $x_{1} = 0.075, x_{2} = 0.225, x_{3} = 0.125, x_{4} = 0.125, x_{5} = 1.62067, x_{6} = 20, x_{7} = 0.565$ 为标定值，按各零件的最低等级作为零件质量特性的波动范围，可得到如下的误差因素水平表 (表10). + +表 10 容差设计水平表 + +
水平x1x2x3x4x5x6x7
水平10.071250.20250.11250.11251.4586180.53675
水平20.0750.2250.1250.1251.02067200.565
水平30.078750.24750.13750.13751.78273220.59325
+ +(2) 我们选用 $\mathbf{L}36(3^{13})$ 的正交表进行容差设计. 把误差因素依次排在正交表的 1-7 列, 由 $y$ 的经验公式 $y = j(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{7})$ 计算出输出特性 $y$ 及 $\Delta y = y - y_{0}$ , $y$ 及 $\Delta y$ 的计算可用 C 语言编程实现. 其结果见表 11. + +# (3）方差分析 + +因该设计中误差水平等间隔，故可用正交多项式的回归理论进行方差分析. + +根据波动平方和的分析公式 + +$$ +S _ {T} ^ {\prime} = \sum_ {i = 1} ^ {3 6} \left(y _ {i} - y _ {0}\right) ^ {2} = n _ {(b a r y - y _ {0}) ^ {2}} + \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(y _ {i} - \bar {y}\right) ^ {2} +$$ + +该式说明总波动来自两个方面： + +第一是均值偏移波动 $n$ + +第二是以 $\bar{y}$ 为中心的随机波动 $\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2$ , 若 $S_m$ 表示第一波动, $S_i$ 表示因素波动, 则 + +$$ +S _ {T} ^ {\prime} = S _ {m} + \sum_ {i = 1} ^ {7} S _ {x _ {i}} + S _ {e} +$$ + +另外，我们将因素的波动还可以分解为一次波动 $s_{e}$ 和二次波动 $s_{q}$ + +下面我们给出计算各自波动的平方和及自由度的公式总波动： $S_T' = \sum_{i=1}^{7}(y_i - 1.5)^2$ ；均值偏移波动： $S_m$ . $X_i$ 因素的一次项波动 + +$$ +S x _ {i} e = (- 1 \times T _ {1} + 0 \times T _ {2} + 1 \times T _ {3}) ^ {2} / (r \lambda^ {2} s), \quad (r = 1 2, \lambda^ {2} s = 2) +$$ + +$$ +F x _ {i} e = 1, +$$ + +$x_{i}$ 因素的二次项波动 + +$$ +S x _ {i} q = (1 \times T _ {1} - 2 \times T _ {2} + 1 \times T _ {3}) ^ {2} / (r \lambda^ {2} s), \quad (r = 1 2, \lambda^ {2} s = 6) +$$ + +$$ +F x _ {i} q = 1 +$$ + +对以上调整方案总成本的计算和模型前面部分给定标定值时的求解方法完全相同。通过对以下调整方案的比较我们得出了此问题的最优解。 + +调整方案为： $X_{3}(B$ 等） $x_{4}$ （b等） $X_{5}(B$ 等） + +综上，我们得出再设计后的结果如下： + +标定值 $X_{1} = 0.075, X_{2} = 0.025, X_{3} = 0.125, X_{4} = 0.125, X_{5} = 1.621, X_{6} = 20, X_{7} = 0.565$ . 容差等级分别取 $B, C, B, B, C, B, B$ 得出正品率： $82.62\%$ ，次品率： $17.38\%$ ，总成本：295000元，损失费：1738000元，总费用：468800元. + +表 11 最佳条件下的输出特性值 + +
编号y-y0编号y-y0编号y-y0编号y-y0
10.25383012-0.0000003-0.1929274-0.0404470
5-0.23116160.3567707-0.0470998-0.221959
9-0.1576281070.13908111-0.22231412-0.017327
13-0.02733614-0.11278015-0.03741916-0.229514
17-0.25048518-0.10769019-0.472865720-0.281010
210.25441122-0.288519230.28804124-0.017174
25-0.180150260.14112127-0.0199728-0.055204
29-0.2591450300.14628531-0.21539632-0.027410
330.33451534-0.41636935-0005057360.4490059
+ +为了进行方差分析我们首先给出方差分析的辅助表 + +表 12 容差的方差分析的辅助表 + +
Tix1x2x3x4x5x6x7
T1-0.37220.4965-1.33791.58611.87830.96260.4920
T2-0.23680.2139-0.07100.1553-0.05220.244-0.0765
T31.2825-0.63791.4814-1.8669-1.7540-1.1317-0.3429
T0.07258
+ +方差分析表见表13, 由表可知道误差因素 $X_{3}, X_{4}, X_{5}$ 显著 + +表 13 容差的方差分析表 + +
来源SfVFS'ρ(%)
m0.0001461
x1x110.2120110.212011.724110.0898.43
x1q0.0085111
x2x210.053621
x2q0.00451
x3x310.2849710.284972.317430.16215.34
x3q0.0011321
x4x410.4414610.441463.590020.318530.16
x4q0.002151
x5x510.5495910.549594.469360.426640.40
x5q0.0007291
x6x610.1827810.182781.486440.059825.56
x6q0.0058981
x7x710.029041
x7q0.001271
e3.705221
e3.8120(31)0.12297
T5.4829360.15230
+ +# (4）容差的确定 + +由方差分析表上看出，只有 $X_{1}, X_{3}, X_{4}, X_{5}, X_{6}$ 的容差对质量损失有影响。又 $X_{1}, X_{5}$ 的容差是不可调的，因此只有调整 $X_{3}, X_{4}, X_{6}$ 的容差。其可行的调整方法有如下几种（表 14） + +表14 + +
等级
X₃X₄X₆
未调整CCC
调整方案CBC
CAC
BBC
ABC
BBB
BBA
+ +# 五、 横型优缺点及一般零件参数设计步骤 + +(1) 模型的建立及求解依据数理统计的原理与方法，结果合理可靠； +(2) 模型引入质量特性的全微分近似求解的偏差, 可得到它的分布函数, 解决了质量损失函数分段不连续的问题; +(3) 零件的参数设计采用“新概念”设计，即设计阶段采用波动大，价格低廉的零件，通过调整寻找它们最佳水平组合，设计出稳定可靠的产品。因此对象我国这样的发展中国家来说，这是一个重要的质量管理方法； +(4) 设计中采用正交设计方法, 这种多因素选优法能够从代表性强的少数几次试验, 选取最优设计方案; +(5) 本文所采用的方法可以大规模地在我国各行各业的参数设计中采用. + +一般零件参数设计步骤 (略) + +# 参考文献 + +[1] 韩之俊等，质量工程学一线外，线内质量管理，科学出版社，北京，1991. +[2] 韩之俊等，质量工程学，北京理工大学出版社，北京，1991. +[3] 盛聚等编，概率论与数理统计，高等教育出版社，北京，1989. +[4] 邹应，数学分析，高等教育出版社，北京，1995. + +\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\* + +# 勘误 + +由于我刊编缉工作中的疏忽，本刊第二十七卷第三期发表的“新中国数学会的始末”一文中误把原文中“…还有胡鹏、杨从仁、关肇直和我，…(p281,倒6行),误印为“…还有胡鹏、杨从仁、关肇直和张友余，…，特此更正．感谢作者张友余先生指出这一错误，并明确指出“我”指的是姚志坚先生．此外，该文p283倒16行中“…刘晋年(1094—1967)，…”应为“…刘晋年(1904—1967)，…”. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241.md" "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..06e6d79413dfaef758cd7754d8f51f42d53b70e7 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/A\351\242\230/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241/\351\233\266\344\273\266\347\232\204\345\217\202\346\225\260\350\256\276\350\256\241.md" @@ -0,0 +1,244 @@ +# 零件的参数设计 + +孙连山 洪献 曹奕剑 + +指导教师：周钢 + +（上海交通大学，上海200030） + +编者按 本文的建模思路很有条理，模型简洁、正确，并对结果的敏感性作了详尽的分析，在算法上也作了探讨，有一定创造。 + +摘要模型是研究产品各零件参数对产品某一性能影响的连续模型，以减少生产产品总费用最小为最终目的。主要用非线性规划化的思想建立。因为零件参数为随机变量，所以建模时要用概率论的方法给出非线性规划化问题目标函数。模型形式简洁。因零件加工精度的限制，实际参数标定值的选取是离散的，我们可充分利用计算机的数值计算能力，用格种方法搜索最优值。其中虎克－吉福斯直接搜索法效果最好。 + +# 一、问题重述（略） + +# 二、合理的假设 + +根据零件设计工艺中的一些具体要求，并为达到简化问题的目的，除问题中已给出的假设外，我们进一步做以下假设： + +1. 假设组成产品的各个零件在生产过程中互不影响，而且这些零件可以无困难的组装成一件产品。即若视各零件的参数为随机变量，则它们相互独立。 +2. 假设问题中的经验公式在给定的零件参数变化范围之中是有效的. +3. 在大批量生产当中，假设整批零件都处在同一等级。本题中可视1000个零件都是A等、B等或C等。 +4. 设得到的产品分三个等级：正品、次品、废品。各等级产品性能参数的目标值分别为：正品： $y \in (y_0 - 0.1, y_0 + 0.1)$ 次品： $y \in [y_0 - 0.3, y_0 - 0.1] \cup [y_0 + 0.1, y_0 + 0.3]$ 废品： $y \in \{y \mid |y - y_0| \geq 0.3\}$ + +并设生产过程中没有工艺失误造成产品的损坏 + +5. 由于制造工艺技术上的限制，标定值只能以某种确定的间隔来选取。例如本问题中，则由于精度的关系，我们可以选取的最小步长为0.001。 + +# 三、符号约定 + +$y$ ： 粒子分离器某性能参数; + +$y_0$ ： $y$ 的目标值 $(y_0 = 1.50)$ + +$y_{-}$ 的计算值； + +$X = (x_{1},\dots ,x_{7})^{T}$ 其中 $x_{i} = (i = 1,\dots ,7)$ 为7个零件参数; + +$x\min x_{i}$ ： $x_{i}$ 的取值下限； + +$x\max x_{i}$ ： $x_{i}$ 的取值上限； + +$F(X)$ ： $y$ 关于 $X$ 的经验公式； + +$u_{i}$ 参数 $x_{i}$ 的标定值； $(i = 1,\dots ,7)$ + +$\Delta x_{i}$ ：参数 $x_{i}$ 的容差； + +$\Delta y$ 参数 $y$ 的变化量； + $r_i$ ： 容差关于标定值 $u_{i}$ 的相对系数；即 $\Delta x_{i} = r_{1}u_{1}(i = 1,\dots ,7)$ $\sigma_{i}$ ： $x_{i}$ 的方差 $(i = 1,\dots ,7)$ $\sigma$ ： $y$ 的方差； + $C(X)$ ： 产品的成本函数(单位：元)； + $N(\mu ,\sigma^2)$ ： 表示以 $\mu$ 为均值， $\sigma^2$ 为方差的正态分布； + $f(y)$ ： $y$ 的分布密度函数： + $W(X)$ ： 产品质量损失函数（单位/元）； + $C$ ： 产品的总成本（单位/元）； + $W$ ： 产品质量总损失（单位/元）； + $N$ ： 产品数量（单位/个）； + $C_i$ ： 零件容差等级分类标准值 $j = 1,\dots ,m$ + +# 四、问题分析 + +本问题是一个有条件约束的非线性规划问题 + +问题的约束条件由零件参数（包括标定值和容差）变化范围确定。参数标定值的有效取值范围构成问题解的可行域。我们的目标是确定零件参数的可行值，使得我们的产品总费用尽可能低。 + +问题的目标函数就是总费用函数。总费用由产品参数偏离目标值引起的质量损失费用和产品的成本费用两部分组成。由于零件参数为随机变量，具有不确定性，我们考虑采用概率论方法来生成目标函数。对于值在可行域内的参数变量，利用它们的概率分布通过经验公式得出产品参数的概率分布，从而可以得出产品的质量损失费用函数 $W(X)$ ，而对应参数向量 $X$ 存在一个成本费用函数 $C(X)$ 。于是得出我们的产品总费用函数表示 $W(X) + C(X)$ 。我们的目标就是确定参数向量 $X$ 的值以及各种零件的等级，使目标函数 $W(X) + C(X)$ 达到最小。 + +本问题的求解过程实际上是一种优解搜索过程，由于参数的标定值容许范围是一个连续域，穷举法显然是不可行的，而各种传统的优解搜索方法都只能得到局部最优解。既然得到全局最优解有困难，从方法的可行性和有效性方面考虑，我们考虑采用混合搜索方法，利用计算机强大的计算能力，由点到面，从多个局部最优解中选取最优的作为近似最优解。具体算法及其实现将在第七小解中详细讨论。 + +# 五、原理和建模 + +因原问题是一个非线性规划问题，我们可设目标函数为 $g(X), X = (x_1, \dots, x_n)^T$ ，则一般模型可以写成如下形式： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \min & g (X) \\ \text {s . t .} & x \min x _ {i} \leq x \max x _ {i} \\ r _ {i} = a _ {j} & i = 1, \dots , n, j = 1, \dots , m \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +在本问题中，目标函数受 $y$ 偏移 $y_0$ 造成的损失 $W(X)$ 和 $C(X)$ 选取零件所需成本两发面的影响.则有 $q(X) = W(X) + C(X)$ . 下面分别求出 $W(X)$ 和 $C(X)$ 就可得到本问题的数学模型 + +1. 求成本消耗函数 $C(X)$ 生产中用到的第 $\mathrm{i}$ 种零件成本为，则一件产品的成本为，从而批量生产总成本为： + +$$ +C (X) = N \tag {2} +$$ + +2. 求目标 $y$ 值偏离 $y_{0}$ 造成的损耗 $W(X)$ . 因为零件参数是随机变量 $u_{i}$ 是其标定值, 即 $u_{i} = Ex_{i}$ 是 $x_{i}$ 的数学期望. $\sigma_{i}$ 是其均方差. 当进行大批量生产时, 根据概率论中的大数定律就有服从 + +正态分布. 即 $\Delta x_{i} = -x_{i} - u_{i}$ 服从期望为0、方差为 $\sigma_{i}^{2}$ 的正态分布．记为 $\Delta x_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2})$ . 又容差通常规定为均方差的3倍，则有 $3\sigma_{i} = u_{i}r_{i}$ ，即 $\sigma_{i} = u_{i}r_{i} / 3.$ 由 $y = F(X)$ 得 + +$$ +\Delta y = \sum_ {i = 1} ^ {7} \Delta x _ {i} \cdot F _ {x} ^ {\prime} \tag {3} +$$ + +其中对于一组给定的标定值 $(u_{1},\dots ,u_{7})F_{x_{i}}^{\prime}$ 是确定的数值，记为 $F_{i}$ 由概率论中相关的结论就有 $\Delta y\sim N(0,\sum_{i = 1}^{7}\frac{F_i^2u_i^2r_i^2}{9}).$ 从而由有服从期望为 $y = y_{-} + \Delta y$ 方差为 $\sigma^2 = \sum_{i = 1}^{7}\frac{F_i^2u_i^2r_i^2}{9}$ 的正态分布.则其密度函数为 + +$$ +f (y) = \frac {1}{\sigma \sqrt {2} \pi} e ^ {- \frac {(y - y _ {0}) ^ {2}}{2 \sigma^ {2}}} \tag {4} +$$ + +则由假设 $y$ 为正品的概率为 + +$$ +p _ {1} = \int_ {y _ {0} - 0. 1} ^ {y _ {0} + 0. 1} f (y) d y +$$ + +$y$ 为次品的概率为 + +$$ +p _ {2} = \int_ {y _ {0} - 0. 3} ^ {y _ {0} - 0. 1} f (y) + \int_ {y _ {0} - 0. 1} ^ {y _ {0} - 0. 3} f (y) d y +$$ + +$y$ 为废品的概率为 + +$$ +p _ {3} = \int_ {y _ {0} + 0. 3} ^ {+ \infty} f (y) d y + \int_ {+ \infty} ^ {y _ {0} - 0. 3} f (y) d y +$$ + +则总损失为 + +$$ +W (X) = N \left(1 0 0 0 p _ {2} + 9 0 0 0 p _ {3}\right) \tag {5} +$$ + +综和上面 (1)、(2)、(5) 的结论可得到数学模型如下 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \min & N \sum_ {i = 1} ^ {7} c _ {i} + N (1 0 0 0 p _ {2} + 9 0 0 0 p _ {3}) \\ \text {s . t .} & x \min x _ {i} \leq u _ {i} \leq x \max x _ {i} \\ & r _ {i} = a _ {i} i = 1, \dots , 7, j = 1 \dots 3 \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +# 六、模型的计算机解法及框图 + +对该非线性规划问题，一般只能通过计算机编程，采用随 $\#$ 求解。我们采用的搜索法中主要的一个单步搜索的步骤如下： + +首先，对当前的 $\mathbf{X}$ 计算其目标函数值。然后，对其中的当前搜索的分量加大一个步长。如果此时新的在允许的变化范围内，同时其目标值优于前值，则沿这个方向（即加大小方向）一直往前找，直到 $x_{i}$ 越界，或者找到一个 $x_{i}$ 值，使得目标值在该点不优。此时退回一步得到 $x_{i}^{*}$ 。如果原来的 $x_{i}$ 增加步长后已经超过了允许范围，或者新的目标值并不比旧的优秀，则同样的沿减小方向搜索，类似的获得 $x_{i}^{*}$ 这个 $x_{i}^{*}$ 所对应的 $X^{x}$ 就是在其他分量不变的情况下，目标函数沿 $x_{i}$ 方向上的一个局部最优解。 + +这样的单步搜索步骤对每个分量都适用。因此可以循环的对每个 $x_{i}$ 依次进行搜索，直到目标值逐渐变优。由于程序是离散的有穷取点，根据题意也应存在一个全局最优值，则程序应在有限步内结束。 + +给定搜索初值, 对于零件等级的各种选取排列方法, 依次取得在该排列下的局部最优解, 经比较即得在该搜索初值下的局部最优解. 给定更多的初值, 则能得到更接近全局最优解的解在程序设计中采 + +用了几种改进方法. 其一是采用两倍或更多倍最小步长 (即能达到精度要求的最大步长) 搜索, 获得该步长下的局部最优解 $X^{*}$ . 再修改程序, 在 $X^{*}$ 附近以最小步长或缩短的步长进行搜索, 这样可能获得一个更优的解. 其二是当获得一个局部最优解时, 把不可能的解域删除, 如 $x_{4}$ 取 $A$ 等的情况, 这样可以减少循环次数. 其三建立在对 $F(X)$ 的值的分析上. 注意到 $F(X)$ 不能与 $y_{0}$ 有太大偏差. 诸如 $F(X)$ 不能大于 $y_{0} + 0.1$ , 否则至少有一半的产品是次品, 单产品损失就超过 $1000 \times 1000 \times \frac{1}{2} = 500000$ , 超过了某些局部最优值. + +实际上考察这些局部最优值，可发现其对应 $F(X)$ 值都在 $\pm 0.3$ 之间。因此在搜索前先检验 $F(X)$ 值，对超过这个范围的初值不进行搜索，这样能减少最耗时间的搜索步骤。 + +该模型的计算机解法中还需要几个对 $F(X)$ 求偏导数后的函数，这个可以采用离散的方法解决。实际中为了保证偏导函数的精度，我们使用Mathematica数学软件包计算出了这几个偏导函数的形式，将其换为 $\mathbb{C}++$ 语言以认可的形式，直接使用 $\wp$ 语函数求得精度较高的值。 + +当给定等级方案及初值 $X$ 时的搜索程序框图（略） + +# 七、结果分析 + +# (一)参数分析 + +求解模型所得的最优设计方案，主要显示了各参数的综合效果。为了了解各参数对最优设计方案的影响，以便于在以后的设计中控制这些参数的调整范围。因此有必要将各参数对优化设计方案的影响进行具体分析。 + +为了研究某个参数对结果的影响程度，以最优值点为基础，先暂时固定其余的参数，有规律地改变该参数变量值，观察其偏离最优值变化对目标函数的影响。下面给出了目标函数在最优解附近对七个零件参数的敏感程度曲线图（其中系列 $i$ 对应零件参数 $\pmb{x}_i$ ）。 + +![](images/10baf7bfc2b8801f9db890140c88a7743ba22bfe57c9dbc2c57798ad00c9fcfa.jpg) +优解对零件参数的敏感性曲线图 + +根据曲线与零件参数的对应关系，从上图可以看出，参数 $x_{1}$ 在最优解附近对目标函数影响最大，即目标函数最优点附近对零件参数 $x_{1}$ 的敏感度大。相比之下，对零件参数 $x_{4}, x_{6}, x_{7}$ 的敏感度较小，也据是说，在最优点附近改变单个零件参数 $x_{4}$ 或 $x_{6}$ 或 $x_{7}$ 的标定值，不会引起目标值即总费用太大变化。而对于参数 $x_{5}$ 来说，则是随标定值减少方向敏感而相反方向几乎没有引起目标值的变化。总之目标值对各个零件参数，在最优点附近的敏感性综合如下： + +$x_{1}$ ：敏感性高； $x_{2}$ ：左侧敏感性次高，右侧敏感性低； $x_{3}$ ：左侧不敏感，右侧敏感性低； $x_{4}$ ：不敏感 + +$x_{5}$ ：左侧敏感性次高，右侧敏感性低； $x_{6}$ ：不敏感； $x_{7}$ ：不敏感 + +有了以上参数分析的结果，便可在设计实践中指导控制参数。例如对敏感性高的参数，应尽量保证它在最优值附近；而对那些不敏感的参数可以放宽对他的要求，必要时可作适当调整。 + +# (二) 误差分析 + +零件参数的取值误差均会引起计算结果的误差. 在以上参数分析中我们讨论了各个参数在最优点 + +附近对目标函数的影响，由于关系式 + +$$ +x _ {i} = u _ {i} + \Delta x _ {i}, \quad \Delta x _ {i} = r _ {i} u _ {i}, i = 1 \dots 7 +$$ + +即 + +$$ +x _ {i} = u _ {i} + r _ {i} u _ {i} \quad i = 1 \dots 7 +$$ + +固定 $r_i$ ，则 $x_{i}$ 与 $u_{i}$ 是线性关系，于是从以上分析结果可以窥得标定值误差对计算结果的影响．结合误差理论，根据多变量误差传递公式，参数 $\mathbf{y}$ 的标准误差为 + +$$ +\sigma = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {7} \left(\frac {\partial F}{\partial x _ {i}}\right) \sigma_ {i} ^ {2}} +$$ + +再由 $y$ 的计算值 $y_{-}$ ，可得它的百分误差为： $\frac{\sigma}{y - }\times 100\%$ + +在最优点时有结果 + +$$ +\sigma = 0.071864, \quad y _ {-} = 1.49994 \quad \frac {\sigma}{y _ {-}} \times 100 \% = 4.79 \% +$$ + +又由建模部分有如下关系式 $\sigma_{i} = r_{i}u_{i}$ 对于固定的一组标定值，标准误差 $\sigma$ 与某个相对系数 $r_i$ 的关系是 + +$$ +\sigma = \sqrt {D + L r _ {i} ^ {2}} +$$ + +其中 $D, L$ 为某一常数值. 于是 + +$$ +\frac {\partial \sqrt {D + L r _ {i} ^ {2}}}{\partial r _ {i}} = \frac {r _ {i}}{\sqrt {D + L r _ {i} ^ {2}}} \rightarrow 0, r _ {1} \rightarrow 0 +$$ + +这就说明 $\sigma$ 对单个相对系数有良好的稳定性。以下给出了A,B,C三个等次相对偏差系数分别对最优解的影响关系曲线。 + +![](images/519170bfb1c99c5d3bf4f16da6924704c89861382d3bc9824afa13622e515ecd.jpg) +优解对相对零件系数的敏感性曲线图 + +注 系列 1 曲线对应 C 等, 系列 2 对应 B 等, 横坐标 4 处为最优值点. 描点步长为各等级最大相对系数的 $\frac{1}{10}$ 即依次为 $1\%, 0.5\%, 0.1\%$ . + +图形表明改变相对系数在最优值点对结果影响不大。例如把B等以 $5\%$ 为标准改为以 $5.5\%$ 或 $4.5\%$ 为标准，其它保持不变，可以看出最优目标值变化很小。同理A等标准从 $1\%$ 改为 $0.9\%$ 或 $1.1\%$ 目标值几乎不变。C等标准不变引起目标值不变稍微大些，但这也在情理之中。因为相对系数处于越大值，传递的误差也越大。 + +# 八、模型的特点、改进、推广及实际工艺操作 + +在该模型的建立过程中，我们用了概率论和误差传递的知识，简洁地对实际问题构造了一种数学模型。该模型可以用于一般的零件设计，其给出的目标函数也可以用于通常的产品生产中以估算成本。在建模的过程中，我们充分发挥了计算机的功能，行之有效的获得了几组局部最优解。我们还针对了解灵活的调整程序，从而大大加快了程序运行的效率，并获得了更优的解。但是或许由于模型自身的问题，或许由于非线性规划的现行解法的问题，我们所得的只能是局部最优解，并且由于过多的依赖计算机的运算能力，对该模型的数学内涵也讨论的偏少。同时，该搜索方法随着问题所要求的精度的提高，计算时间上将成灾难性的增长。 + +对于该模型的改进，今后可以对函数作一些性质上的分析，以减少搜索的范围。在搜索方法上，可以采用最优速降法，以加快搜索速度，还可以采用遗传算法。对染色体的基因组采用浮点编码，通过繁殖交叉从而在大量解空间内很快的接近全局最优解。如果不考虑工艺加工上的限制，由于函数的连续性，这样的基因编码方式是可行的。 + +在实际问题中，考虑的因素将更多，模型将相当复杂。譬如零件标定值的改变可能造成产品不能装配，这样零件间就不是独立相关的了。还可能在实际生产中，该产品的质量要求远远大于其价格因素（如开发新产品的过程中），那么目标函数可变为 + +$$ +\min : g (x) = \operatorname {w e i g h t} \times N \sum_ {i = 1} ^ {7} + N (1 0 0 0 p _ {2} + 9 0 0 0 p _ {3}) +$$ + +其中 weight 表示产品质量对产品价值影响的重要性。weight 越小产品质量越重要，weight 大产品质量不太重要。也有可能要增加一个零件。这样有两种调整方案，一种是对全局的零件都进行调整，另一种就针对新加零件进行调整。如果考虑算法的效率、工艺操作的简捷性以及人事诸多方面的因素，似乎还是第二种更为合理些。在这种方案下，如果不使用计算机，考虑到使 $F(X)$ 接近 $y_0$ 对目标值产生的影响远大于选等级的影响，可以采用如下方法调整： + +首先选用该零件的最劣等级，然后采用类似搜索的方法来试生产，步长可以适当拉大些，直到达到一个优值的生产点。最后，调整该产品的等级，再次在这个标定值下进行试生产。一般的，每批试生产的产品不需要太多，有 $3 \sim 50$ 个左右，就可以使产品很好的符合正态分布，满足其内在的数学规律。如果在标定值范围内共有 $2m + 1$ 个生产点的话，至多试生产 $50(m + 4)$ 个产品就可以得到一个尚可的生产点了。对于 $m = 3$ 时，可以采取如图的试生产步骤： + +![](images/cd3be4736f9d72334083839e363ca552cd4cd2c2a1b85903fac68b1244945878.jpg) +$m = 3$ 时的操作步骤（共7次） + +对于需要全局调整的方案，这种操作合理但不经济．建议采用计算机求解 + +# 参考文献 + +[1] 符曦著，系统最优化及控制. +[2] 詹姆斯恩－西多著，最优工程设计-原理及应用 +[3] 陈立周等著，工程离散变量优化设计方法-原理及应用，复旦大学出版，上海. +[4] 概率论，机械工业出版社. +[5] 魏权龄等著，数学规划与优化设计，国防工业出版社. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\347\232\204\344\274\230\345\214\226/\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\347\232\204\344\274\230\345\214\226.md" "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\347\232\204\344\274\230\345\214\226/\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\347\232\204\344\274\230\345\214\226.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b7d625eaeae6ec20780a00b289d672229a3fdcc6 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\347\232\204\344\274\230\345\214\226/\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\347\232\204\344\274\230\345\214\226.md" @@ -0,0 +1,216 @@ +# 切割次序的优化 + +王玉波 谷云洪 伍土刚 + +指导教师：数模组 + +（杭州电子工学院，杭州310037） + +编者按 本文用图论模型描述截断切割问题，对优化准则也作了论证 + +摘要 这是一个如何安排加工次序的组合优化问题，文章首先建立了一般问题的数学模型，在对其求解过程中我们采取了分枝限界法，保证了所得结果的最优性，且具有很高的时效性。其次针对某部门所采取的贪婪算法给以了评价，在评价中以其近似解与最优解的接近程度、得到最优解的概率为标准，利用计算机模拟对其进行评估，发现对于该问题贪婪算法并不能保证解的最优性，但近似程度较好。而后我们对调整刀具费用为0的情形进行了讨论，首先给出了一个引理，然后给出了一个简明的优化准则：当对各切割平面按其厚费比以不升序排列时，所得次序为最优加工次序。最后利用题中所给数据进行了验证，再次表明了所得结论的正确性。 + +# 一、问题重述（略） + +# 二、问题的分析 + +某些工业部门在生产加工过程中，对同一块原材料的截割存在着多种切割方式，在各种切割方式中各切割平面的截割面积有所变化，而且各种切割方式相应的刀具调整次数也有所不同，又由于水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的倍，且调整刀具时需支出额外费用 $e$ ，从而对同一材料的加工存在多种切割费用。从经济角度出发，应该选择使加工费用最少的切割方式。 + +为叙述方便起见，我们将长方体的六个面分别赋一标号，如下图. + +（上底面为1，下底面为6，左侧面为2.正面为3， + +右侧面为4，后面为5,2,4平行，3.5平行 + +以后所提到的切割平面 $i$ 是指以平面 $\mathrm{i}$ 进行切割） + +在安排加工工序时，由于工艺上的要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的。所以在加工过程中，水平切割面和垂直切割面被唯一确定。考虑到在切割过程中需要对原材料进行固定。而对固定的限制直接影响到可行切割次数，根据对固定的限制，有如下两种情形： + +![](images/cc64e427729bf448b5f57d24366b13b1eec1e2cc4fc07a7684ef61c9ef998ef2.jpg) + +I）对工件可多次固定，则共有 $6! = 720$ 种可行切割方案，考虑到如果在某一切割方式中存在相邻的两切割面平行的情况时，将它们进行对调后不改变加工费用，根据组合学原理，至多有426种不同的加工费用. +II）当与水平工作台接触的长方体的底面被指定后，对原料进行固定，且在今后的加工过程中不允许再对其进行固定，则切割平面6应安排在最后，否则其后工件将无法固定，以进行后继切割，所以应待其它切割平面全部切割后再对其进行切割，从而共有 $5! = 120$ 种可行切割方式．只需在前5个平面的各种切割方式中找到费用最小的切割方式，再加上切割平面6即得到最优解，鉴于与(I)中相同的原因，此时至多有78种不同的加工费用. + +虽然在不同约束下，本问题有不同的可行切割方式，但就模型建立，求解而言 (I)、(II) 无本质区别，以下我们首先就情形 (I) 进行讨论，所得结论对 (II) 仍然适用。 + +由于调整刀具时需支出额外费用 $\varepsilon$ ，使问题的求解困难。所以以下我们首先就一般问题建立模型，然后讨论它的求解方法。其次对于特殊情形如 $\varepsilon = 0$ ，希望能找到一种简明最优准则。 + +# 三、模型假设 + +1. 由于工艺要求，与水平工作台接触的长方体的底面是事先指定的。 + +2. 加工前后两长方体的对应表面是平行的 + +# 四、符号定义及说明 + +$S_{i}$ ：表示某一次截断的切割面； $f_{i}$ ：表示切割 $s_i$ 时单位面积的切割费用； + +$d_{i}$ ：表示切割 $s_i$ 的厚费比，这里厚费比是指以 $s_i$ 进行切割后长方体中被割离部分的厚度 $g_{i}$ 与 $f_{i}$ 之比，即 $d_{i} = \frac{g_{i}}{f_{i}}$ ，如图所示； + +$F$ ：总的加工费用； $e$ ：调整刀具时额外的支出费用； + +$r$ ：水平切割单位面积的费用与垂直切割单位面积的比值； $k$ ：刀具调整次数；其余符号在文中用到时再作说明. + +# 五、模型的建立及求解 + +根据对问题的分析，长方体的每一种切割方式与各切割平面的一种排列一一对应，对任一组排列 $P = (p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})$ 唯一对应着一个加工费用 $F = F(P)$ 而问题就是要求出这样一组排列 $P^{*} = (p_{1}^{*},p_{2}^{*},p_{3}^{*},p_{4}^{*},p_{5}^{*},p_{6}^{*})$ 使得 $\min F = F(P^{\prime \prime})$ 对各切割平面的所有排列可用一棵树来表示（如图一所示）. + +这棵树中每一条从根节点到叶子的路对应着一种切割方式及一个加工费用。对这棵树进行遍历，当遍历完所有叶子后，也就找到了最优解，但其运算量无疑是很大的。为了尽快地搜索到最优解，我们采用了深度、广度并行搜索的分枝限界法；目的就是使最优解尽早被发现，而非最优解所在的枝尽早被剪掉。 + +对树上的每一个节点，我们定义一个状态，这个状态记录了如下数据： + +(1) 该节点所对应的切割平面； +(2）该节点在树上的层次； +(3）从根节点到该节点的路及这条路的费用； +(4）沿着这条路切割下来所得到的新长方体的各边边长； +(5) 在该节点前是否已发生过刀具调整和一个费用下界 (即沿着该节点搜索下去所得各种切割方式的费用下界). + +称当前正被访问的状态为活动状态，若它是一个叶子节点（最后一层上的结点），则停止搜索，输出该状态，否则为每一个不在从根节点到该节点路上的切割平面创建子节点，子节点的状态称为新状态，新状态的各项值用下述方法得到： + +1）层次为父节点（活动状态）的层次加1； +2）路为父节点的路加上该新状态对应的切割平面； +3）下界由随后定义的下界函数计算； +4）费用为父节点的费用加上在父节点的长方体上切割该平面所支出的切割费用； +5）切割后得到的长方体即为新状态的长方体； + +将新状态挂起，按其费用下界的大小插入等待序列（该序列按从小到大的次序排列）中，使其处于等待状态，而原活动状态则被撤消，不复存在。 + +每一次从等待序列首部摘下一个状态，使它成为活动状态，重复上面的工作，直到出现一个叶子节点上的状态。由状态的插入规则，可知每一个活动状态的费用下界都不大于在等待序列上的状态的费用下界，而所有新节点的费用下界都不小于其父节点的费用下界，故活动状态的费用下界是所有现存及将要出现的状态中最小的。当其为叶子时，费用下界就是当前切割方式的费用，从而由费用下界的定义可知，它就是最优解。 + +现在我们来定义费用下界函数 $B$ (status): + +设搜索到某节点时还有 $N$ 个面未切割，当 $\epsilon = 0$ 时，将它们按其厚费比以不升序排列，设以该种加工次序加工时的加工费为 $F_{N}$ ；当 $\epsilon \neq 0$ 时，最小加工费为 $F_{N}^{\prime}$ 。根据本模型在后文提出的优化准则（参见第七节），当 $\epsilon = 0$ ，按厚费比排列得到的切割方式是最优的，有 $F_{N} < F_{N}^{\prime}$ 。这样我们可以取 $F_{N}$ 和当前支出费用的和作为该状态的下界 $B$ ，即 $B =$ 当前支出费用 $+F_{N}$ 。 + +另外由于在每一种切割方式中, 至少发生一次调整刀具, 这样我们利用在状态 status 中的记录, 若当前没有发生过刀具调整, 则修整费用下界, 将其加上 $\epsilon$ 。 + +数据结构与算法如下： + +数组 $A[6]$ 存储按厚费比从大到小排序的各个切割平面； + +记录status: + +$a, b, c$ ：当前状态下的长方体各边边长； $i$ ：该状态对应的切割平面； + +数组 route. 记载从根节点到当前节点的路；ptr 该节点在树中的层次； + +bonder费用下界；flag标记位记录是否已发生过刀具调整； + +cost 当前支出费用；链表 list 其上挂着按费用下界从小到大排列的等待状态。 + +# 算法 + +Step1 初始化数组与链表。将各切割平面按厚费比从大到小排列，然后依次填入到数组中。构造一个初始状态（即为树图中的根节点），它的当前费用为0，所在层次为0层。刀具调整的标记为没有发生过调整，它所记录的长方体为未切割的原长方体。将这个状态作为链表的唯一节点挂入链表中； + +Step2 从链表首部取下一个状态，使它成为活动状态，如果它是叶子，则转STEP3，否则为每一个不在从根节点到活动状态的路中出现的切割平面创建新状态，计算每个新状态的各项值，并将它们按费用下界的大小插入到链表（链表中所记录的状态按升序排列）中，转STEP2（循环）； + +Step3 已找到一种最优加工方式，输出结果。 + +# 六、关于贪婪算法的评价 + +在实际生产加工中，由于条件或其它因素限制，一些部门在安排各切割面的加工次序时，采用了贪婪准则，即每次选择一个加工费用最小的待切割面进行切割。但此准则在该问题中并不能保证得出最优解。例如：对问题（5）中的（a）组数据，其最少加工费用为374元，相应的加工工序为（6、3、1、2、5、4）或（6、3、2、1、5、4），而利用贪婪算法所得的解为：最少加工费用为404元，加工工序为（1，3，6，2，5，4）（注：以上数据是对情形I求解，情形II雷同）。 + +为了评定由贪婪算法所得近似解的好坏，可从两个方面出发，首先是时间复杂性方面的要求，即要求有一个多项式时间界，对于贪婪算法满足该项要求。其次是性能方面的要求即希望所得的近似解尽可能接近最优解，以下我们从两种角度对其进行了度量。 + +1）以算法在通常情况下的行为标准，研究以贪婪准则得到的近似解与最优解的接近程度， + +$$ +\eta = \frac {\text {最 优 解}}{\text {近 似 解}}; +$$ + +2）以算法在平均情况下的行为标准，研究得到最优解的概率 $p$ 。 + +由于对(1)、(2)难以给出严格的理论分析，为了对其进行评价，我们采用了计算机模拟技术，在各加工参数由计算机随机产生的基础上，得到下表： + +
测试次数ηp
10000(ε=0)86.8%84%
10000(ε≠0)86.7%50%
+ +由上表可以看出就本问题而言贪婪算法近似程度较高，适用于一些工作条件简陋的场所，或对时间要求较高的场所。 + +# 七、当 $e = 0$ 时简明的优化准则 + +当 $e = 0$ 时，是否存在简明的优化准则呢？为了能够找出其中的规律，我们利用计算机对几组拟订的加工数据进行了列表分析后，发现最优加工工序总是按各切割面所截立体厚费比以不升序排列，这与我们在日常生活中的常识相符合，而后我们又进行了大量的随机检验，发现其普遍成立。进而通过理论证明得到如下结论： + +引理当仅对一长方体进行2次截断切割时，若要使加工费用最少，应采取如下切割方式： + +1）如果两切割平面 $s_1,s_2$ 平行，则加工费用与两个切割面的加工次序无关； +2）如果两切割平面 $s_1, s_2$ 垂直，则应该选取厚费比大的切割平面先进行切割。如果它们的厚费比相同，则加工费用与加工次序无关。（图略） + +证 设切割面 $S_{1}, S_{2}$ 的单位面积费用分别为 $f_{1}, f_{2}, F_{12}, F_{21}$ 。表示分别按 $S_{1}, S_{2}$ 和 $S_{2}, S_{1}$ 工序切割时所需费用， $L_{1}, L_{2}$ 分别为 $S_{1}, S_{2}$ 的长度， $g_{1}, g_{2}$ 分别为 $S_{1}S_{2}$ 所截立体的厚度， $d_{1} = \frac{v_{1}}{f_{1}}, d_{2} = \frac{v_{2}}{f_{2}}$ 为 $S_{1}, S_{2}$ 的厚费比。 + +1）如果 $s_1$ 与 $s_2$ 平行，则 $F_{12} = F_{21} = hL_{1}f_{1} + hL_{2}f_{2}$ +2）如果 $S_{1}$ 与 $s_2$ 垂直相交，则有 $F_{12} = hL_{1}f_{1} + h(L_{2} - g_{1})f_{2}, F_{21} = hL_{2}f_{2} + h(L_{1} - g_{2})f_{1}$ ，所以 + +$$ +F _ {1 2} - F _ {2 1} = h g _ {2} f _ {1} - h g _ {1} f _ {2} = h f _ {1} f _ {2} \left(d _ {2} - d _ {1}\right) \tag {*} +$$ + +当 $d_{2} > d_{1}$ 时，由 $(^{*})$ 式得 $F_{12} > F_{2}$ ，则应以 $S_{2}, S_{1}$ 上序切割；同理当 $d_{2} < d_{1}$ ，则应以 $S_{1}, S_{2}$ 工序切割； $d_{2} = d_{1}$ 时， $F_{12} = F_{21}$ ，则费用与次序无关。证毕 + +根据引理，我们对 $\epsilon = 0$ 的情形给出了如下简明的优化准则 + +定理（优化准则）当调整刀具所需的额外费用 $e = 0$ 时，将各切割平面按其厚费比以不升序进行排列，所得序列，即为使加工费用最小的加工工序。 + +证设 $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{i}, S_{i+1}, \dots, S_{n}$ 为一个切割次序，相应的厚费比为 $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{i}, d_{i+1}, \dots, d_{n}$ ，按该次序进行加工所需费用为 $F$ 。 + +若 $d_{1} < d_{i+1}$ , 将 $S_{i}, S_{i+1}$ 进行对调, 得到加工次序 $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{i+1}, S_{i}, \ldots, S_{n}$ , 在该次序下, 切割 $S_{1}, \ldots, S_{i-1}$ 及 $S_{i+2}, \ldots, S_{n}$ . 所需费用与第一种次序中相同, 而由引理可知, 切割 $S_{i}, S_{i+1}$ 的费用应以第二种为好, 即将 $S_{i}, S_{i+1}$ 对调后会使总费用 $F$ 减少, 所以如果第一种加工工序的厚费比没有按照不升序排列, 则可通过两两对调后调整为按厚费比的不升序排列, 而每次对调均使总费用减少, 由此定理得证. + +另外由引理可知, 当在某一切割方式中存在相邻的两个切割面平行的情况时, 调换它们间的次序, 不会改变加工费用, 所以对所有的不升序排列, 通过对调相邻的两平行面, 可得出在 $e = 0$ 时的全部最优加工工序. + +# 八、模型验证及结果分析 + +为了进一步验证我们所给算法、所编程序的正确性，我们对问题中所给数据进行了计算，得到如下结果：（注：(I)、(II)所述情形详见问题分析） + +A) $e = 0$ + +I）下底面6无须留待最后切割，可行方案为720种； + +II）下底面6必须留待最后切割，可行方案为120种； + +
数 据III
rr最优加工次序最小费用最优加工次序最小费用
106、3、1、2、5、43743、1、2、5、4、6446.5
6、3、2、1、5、43、2、1、5、4、6
1.503、2、6、5、1、4437.53、2、5、1、4、6455.5
3、6、2、5、1、4
803、2、5、6、4、1540.53、2、5、4、1、6542.5
+ +(注：上底面为1，下底面为6，左侧面为2，正面为3，右侧面为4，后面为5)B） $\epsilon \neq 0$ + +由于在各种不同的切割方式下的刀具的调整次数 $k$ 只与垂直切割平面的切割次序有关，设这四个面为 $a_1, a_2, b_1, b_2$ （其中 $a_1 // a_2, b_1 // b_2$ ），根据组合知识，不同排列方式下 $k$ 的取值只有三种，如下： + +
次序调整次数K
a1a2b1b21
a1b1b2a22
a1b1a2b23
+ +设刀具的调整次数为 $k (k = 1,2,3)$ 时的最优切割方式为 $X_{k}$ , 相应的切割各表面费用的和为 $c_{k}$ , 则总费用 $F_{k} = c_{k} + k\epsilon$ ; $(F_{k}$ 为调整次数为 $k$ 时的最少总费用) + +所以全体的最优解 + +$$ +F _ {\min } = \min _ {k = 1, 2, 3} \left\{F _ {k} \right\} = \min _ {k = 1, 2, 3} \left\{c _ {k} + k e \right\}, +$$ + +如果 $e$ 在某范围内连续变化时，我们可对它进行如下讨论：当 $e$ 满足 + +$\left\{ \begin{array}{l}c_1 + e\leq c_2 + 2e,\\ c_1 + e\leq c_3 + 3e, \end{array} \right.$ 即 $e\geq \max \left\{c_1 - c_2,\frac{1}{2} (c_1 - c_3)\right\}$ 时， $X_{i}$ 为最优切割方式 + +同理，当 $c_{2} - c_{3}\leq e\leq c_{1} - c_{2}$ 时， $x_{2}$ 为最优切割方式； + +当 $c \leq \min \left\{c_{2} - c_{3}, \frac{1}{2}(c_{1} - c_{3})\right\}$ 时， $X_{3}$ 为最优切割方式. + +求解 $X_{k}$ $(k = 1,2,3)$ 时，可以将原分枝限界法稍作修改，使其仅在调整次数不超过 $k$ 时才进行分枝，以得到 $X_{k}$ 及 $c_{k}$ ；另外，值得一提的是，我们可以利用 $e = 0$ 时的简单准则作出一个切割方式 $X$ ，设其调整次数为 $k$ ，则必有 $X_{k0} = X$ ，从而减少了一次分枝限界过程； + +根据以上讨论，对数据（4）进行求解 $(r = 1.5,2\leq c\leq 15)$ ，得 + +
\( e \) 的取值范围最优加工次序最小加工费用
I\( 2 \leq e \leq {25} \)3、2、6、5、1、4\( {437.5} + 3 \)
3、6、2、5、1、4
\( {2.5} \leq e \leq {15} \)3、6、5、2、1、4\( 4\text{、}{2.5} + e \)
II\( {4.75} \leq e \leq {15} \)3、2、5、1、4、6\( {455.5} + 3 \)
3、5、2、1、4、6\( {465} + e \)
5、3、2、1、4、6
+ +# 九、模型的评价 + +本文讨论的是切割加工问题，首先我们针对一般性的问题建立了数学模型，并在求解中自然地引入了分枝限界法。尽管在最坏的情况下它的搜索量很大，但对于实际问题，最坏情况很难取到，且由于分枝限界法的时效在很大程度上取决于下界函数，而对于一个好的下界函数而言，其在实际情况下的时效可能很好。在制定下界函数时，我们充分地利用了 $e = 0$ 时的优化准则，并将刀具的调整考虑在内，使得在求解问题时，为得到最优解平均只需搜索10次，这个时效相对于本问题的规模而言，是相当不错的。为了进一步检验这个算法的时效，我们作了大量的实践检验。我们知道，通过遍历前文提到的那样一棵树来寻找最优解需要很大的运算量，为了便于比较，我们将被访问节点的个数作为衡量这个算法时效的一个标准。检验如下：使切割长方体的各个参数（边长等）均在0--100范围内变化，并符合该区间上的均匀分布； $r$ 值在(0-50)内变化，对每一种情况下 $e$ 的进行10000次计算机模拟检验，得到下表： + +
e值102030501001000
平均访问个数88991022
最多访问个数2635443869253
最少访问个数666666
+ +由上表可以看出，当时 $\epsilon = 100$ ，平均访问个数也只有10个，而这个 $\epsilon$ 值相对于所给的长方体参数已是很大的了．可见在实际情况下的该算法的时效是非常好的. + +当 $\epsilon = 0$ 时，我们所给出的优化准则，其操作比贪婪准则更简明易行，并能保证得到最优解，同时我们给出了严格的理论证明。另外厚费比的概念又被应用于求解分枝限界法的下界之中，从而得到了一个高效算法用于求解 $\epsilon \neq 0$ 时的情形。 + +由于时间有限，对贪婪准则的评价，我们只是采用计算机模拟技术对其进行评价，而没能从理论上给予更严格的分析，有待今后进一步深入研究. + +# 参考文献 + +[1] A. V. Aho 等著，唐守文等译，数据结构与算法，科学出版社，北京，1987. +[2] 谢政、李建平著，网络算法与复杂性理论，国防科技大学出版社，北京，1995. +[3] 卢开澄著，组合数学算法与分析，清华大学出版社，北京，1893. +[4] 江裕钊、辛培清编著，数学模型与计算机模拟，电子科技大学出版社，1989. +[5] C. H. Papaddinitriou, K. Steiglite 著，刘振宏、蔡茂诚译，组合最优化算法和复杂性，清华大学出版社，北京，1988. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\270\255\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\216\222\345\210\227\351\227\256\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\270\255\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\216\222\345\210\227\351\227\256\351\242\230.md" "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\270\255\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\216\222\345\210\227\351\227\256\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\270\255\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\216\222\345\210\227\351\227\256\351\242\230.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..11ff23b9b4a78ff1ebcae9d678abfd33d3934c63 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\270\255\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\216\222\345\210\227\351\227\256\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\270\255\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\216\222\345\210\227\351\227\256\351\242\230.md" @@ -0,0 +1,138 @@ +# 截断切割中的最优排列问题 + +俞文鰍 + +（华东理工大学应用数学研究所，上海200237） + +谭永基 + +（复旦大学数学系，上海200433） + +最优排列问题广泛地出现在生产作业调度中，出现在各种生产实践与日常生活中，1997年全国大学生数学建模竞赛B题就是一例，在本文中，我们结合阅卷情况，简述一些有关该题解答的要点. + +# 一、关于建立数学模型与计数 + +先将该题大略复述如下： + +从一个长方体加工出一个尺寸与位置预定的长方体（这二个长方体的对立表面是平行的），通常要经过六次截断切割。设水平切割单位面积的费用是垂直切割的 $fr$ 倍；且当先后二次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 $f\epsilon$ 。试设计一种切割方式，使加工费用最少。 + +设这六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，可将它们相应的编号为1、2、3、4、5、6.这样，一个切割方式就可以表示为加工面 $f\{1,2,3,4,5,6\}$ 的一个排列，这种排列的全体记为 $fP_{6}$ 其中任一排列可记为 $f\sigma = \sigma_1\sigma_2\sigma_3\sigma_4\sigma_5\sigma_6$ .根据题意，目标函数 $ff(\sigma)$ 定义在 $fP_{6}$ 上．作为总的切割费用， $ff(\sigma)$ 包括二部分，一部分是加权切割面积之和，另一部分是刀具调整费用之和．为了清楚地表达题意，在建立数学模型时，应尽量将 $ff(\sigma)$ 用显式写出．从体现变量依赖关系的角度来看，我们有： + +$$ +f (\sigma) = \sum_ {i = 1} ^ {6} w \left(\sigma_ {i}\right) S \left(\sigma_ {1}, \sigma_ {2}, \dots , \sigma_ {i}\right) + q (\sigma) e, \tag {1} +$$ + +其中 $f\sigma = \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\sigma_{4}\sigma_{5}\sigma_{6}$ ，各项含义如下： + +$fS(\sigma_1,\sigma_2,\dots ,\sigma_i)$ 表示在加工面 $f\sigma_{1},\sigma_{2},\dots ,\sigma_{i - 1}$ 进行切割之后，加工面 $f\sigma_{i}$ 的切割面积 + +$f w(\sigma_{i})$ 为相应切割面的权，根据题意有： $f w(1) = w(2) = w(3) = w(4) = 1, f w(5) = w(6) = r.$ + +$fq(\sigma)$ 为加工面排列 $f\sigma$ 所相应的刀具调整次数．记 $f\sigma^{\prime}$ 为 $f\sigma$ 中将5与6移去的排列，称为 $f\sigma$ 的简约排列，如 $f\sigma = (1,5,3,4,6,2)$ ，有 $f\sigma^{\prime} = (1,3,4,2)$ ．显然 $fq(\sigma)$ 只与 $f\sigma^{\prime}$ 有关，仍记 $fq(\sigma^{\prime})$ ．根据题意，有 + +$$ +q (1 2 3 4) = q (3 4 1 2) = 1, \quad q (1 3 4 2) = q (3 1 2 4) = 2, \quad q (1 3 2 4) = q (3 1 4 2) = 1. +$$ + +关于 $f f(\sigma)$ 的上述表示形式中， $f S(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_i)$ 是某状态下加工面 $f \sigma_i$ 的切割面积。它可由原始长方体经加工面 $f \sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_{i-1}$ 进行切割之后所得的长方体的几何尺寸给出（与它们的次序无关，请思考）。这些几何尺寸可用递推的形式写出来，进一步的描述在这里从略。 + +于是，我们可以把问题归结为在 $fP_{6}$ 上求 $ff(\sigma)$ 的最小化问题。当然，也可采用动态规划或最短路线的图论模型来描述该问题，但关键是要把可行域与目标函数描述清楚。 + +例可用二进制向量 $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{6})$ 来描述切割过程中的状态，其中 $f x_{i} = 0$ 表示加工面 $f i$ 未被切割， $f x_{i} = 1$ 表示加工面 $f i$ 已被切割；这样，恰有 $f k$ 个加工面已被切割的状态集合便是 + +$$ +\left\{(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {6}) \Bigg | \sum_ {i = 1} ^ {6} x _ {i}, x _ {i} = 0 \text {或} 1 \right\} +$$ + +它可作为切割过程的第 $k$ 个阶段，进一步的描述亦从略 + +在问题 $\min \{f(\sigma) | \sigma \in P_6\}$ 中可行域的规模为 $|P_6| = 720$ ，也就是不同切割方式的总数。由于相邻二个平行面的次序交换不影响总费用 $f(\sigma)$ ，在此观点下，可将可行域的规模缩小为 426，该数字可由容斥原理算得。同时，考虑切割面 $k$ 离开相应边界面的距离 $h_k$ ，把它称为切割厚度。不失一般性，可以假设： + +$$ +h _ {1} \geq h _ {2}, \quad h _ {3} \geq h _ {4}, \quad h _ {5} \geq h _ {6}. \tag {2} +$$ + +当(2)式不成立时，假如 $h_1 < h_2$ ，则把左右次序交换一下便可，其余可类似处理，在成立(2）时，我们只需考虑 $P_{6}$ 的一个子集，即只考虑1在2前、3在4前、5在6前的那些排列；该子集的规模为 $720 / 2^{3} = 90$ 进一步减少规模的分析，将在（三）中叙述 + +# 二、关于 $e = 0$ 时的优化方法 + +这时的优化准则为：将 $h_1, h_2, h_3, h_4, h_5 / r, h_6 / r$ 排列成简单不增序列，相应的指标序列即为切割面的最优序列。 + +通过计算实验，是发现这个准则的一个途径。在证明中，不妨设 $r = 1$ ，否则在垂直方向作一个因子为 $1 / r$ 的变换。其切割面积和的最小化相当于原来的加权面积和最小化。这样，在证明中便不妨假设 $w(i) = i (i = 1, 2, \dots, 6)$ 。同时现在考虑 $e = 0$ 的情形，于是（1）式成为： + +$$ +f (\sigma) = \sum_ {i = 1} ^ {6} S \left(\sigma_ {1}, \sigma_ {2}, \dots , \sigma_ {i}\right), \tag {3} +$$ + +其中 $\sigma = \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\sigma_{4}\sigma_{5}\sigma_{6}$ + +下列性质被称为相邻交换原则：设 $\sigma = (\dots ,k,j,\dots)$ ， $h_j\geq h_k$ ，将相邻加工面 $\pmb{k}$ 与 $\textit{\textbf{j}}$ 交换后得 $\sigma^{\prime} =$ $(\dots ,j,k,\dots)$ ，则对（3）给出的函数，必定成立 + +$$ +f \left(\sigma^ {\prime}\right) \leq f (\sigma). \tag {4} +$$ + +在证明这个原则后，就可以得到上述优化准则了。这是因为，从任何一个最优解出发，如 $h_j$ 最大，切割面 $j$ 通过交换总可调整至第一位，由于（4）式，可保持为最优解；对 $h_i$ 次大者，亦可以这样做，等等。 + +以下是相邻交换原则的简单证法。设相应于切割方式 $\sigma = (\dots, k, j, \dots)$ 中加工面 $k, j$ 的切割面积为 $S_{k}, S_{j}$ ，设相应于切割方式 $\sigma' = (\dots, j, k, \dots)$ 中加工面 $j, k$ 的切割面面积为 $S_{j}', S_{k}'$ 。由几何直观可知 + +$$ +h _ {k} S _ {k} + h _ {j} S _ {j} = h _ {j} S _ {j} ^ {\prime} + h _ {k} S _ {k} ^ {\prime}. \tag {5} +$$ + +事实上，上式二者均等于在加工方式 $\sigma$ （或 $\sigma^{\prime}$ ）之下加工面 $k$ 与 $j$ 被切割之前与被切割之后的体积差．由（5）移项即得 + +$$ +h _ {k} \left(S _ {k} - S _ {k} ^ {\prime}\right) = h _ {j} \left(S _ {j} ^ {\prime} - S _ {j}\right) > 0, +$$ + +由 $h_j \geq h_k$ 及上式，我们得到 $S_k - S'_k > S'_j - S_j$ ，即 + +$$ +S _ {j} ^ {\prime} + S _ {k} ^ {\prime} \leq S _ {k} + S _ {j}. \tag {6} +$$ + +但 $f(\sigma') - (S_j' + S_k')$ 与 $f(\sigma) - (S_k + S_j)$ 所含有的各项均相同，于是从（6）便有结论（4）。当然，从有关四个切割面积的表达式着手，也可证明（6）式。 + +由(5)及 $h_j \geq h_k$ 得出(6)，相关条件是 $S_k > S_k'$ . 个别参赛队提到，这个结论可以推广到多项相加的情形．我们认为，这是没有根据的，除非能发掘足够的相关条件. + +逐项选择最小费用切割面的准则，可以用例子说明不能达到最优，但较之随机选择切割面，还是要好些. + +# 三、关于 $e \neq 0$ 时的优化方法 + +用表达式 (1) 建立截断切割的数学模型之后, 通常可采用穷举法或分支定界法来求解. 在用分支定界法求解时, 每一分支相当于前面几个面的切割方式已经确定的情形. 这时, 后面几个切割面还可以用多种方式排列, 相应费用的下界可由二部分和来表示. 一部分为加权切割面的面积之和, 它可由 $e = 0$ 时的优化准则得到, 另一部分为刀具调整费用的下界, 它总是零或 $e$ . + +借助于 $\epsilon = 0$ 时的解来求 $\epsilon \neq 0$ 时的解，是一种更为简便的方法。当 $\epsilon = 0$ 时的最优解 $\sigma = \sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\sigma_{4}\sigma_{5}\sigma_{6}$ 的刀具调整次数 $q(\sigma)$ 为1时， $\sigma$ 使(1)中的二项同时达到最小值。因此 $\sigma$ 亦必然使(1)达到最小。当 $\sigma$ 的刀具调整次数 $q(\sigma)$ 为2时，则只能断言 $\sigma$ 使(1)在所有刀具调整次数大于1的切割方式中达到最小。为求(1)的整体最小，还补充考虑刀具调整次数 $q(\sigma)$ 为1的切割方式。前面提及，不妨设(2)式成立。这时，可只考虑1在2前、3在4前、5在6前的那些切割方式。在刀具调整次数为1时，在那些切割方式中，加工面1、2、3、4的排列方式只可能是1234与3412。 + +然后将加工面5与6按照相邻交换原则插入到适当的位置，可得若干个候选的切割方式，它们相当于一定意义的局部解。这些局部解与上述 $\sigma$ 组成了候选解；比较所有候选解，便得到 $e \neq 0$ 时的最优的切割方式。由于 $h_i$ 按排列1234的次序至多有2个单调下降段（因为(2)），可知加工面5与6按相邻单调下降方式插入时，至多可得3个局部解。对排列3412衣如此。所以， $q(\sigma) = 2$ 时候解总数至多为 $3 + 3 + 1 = 7$ 。当 $\sigma$ 的刀具调整次数 $q(\sigma)$ 为3时，除了补充考虑刀具调整次数为1的切割方式外，还必须补充考虑刀具调整次数为2的切割方式，它们可由加工面5与6按照相邻交换原则插入到1342与3124。 + +它们各具2个单调下降段（二者的插入方式各不超过3)，或者，二者之一具有3个单调下降段，而另一则必定只有1个单调下降段（前者的插入方式不超过6，后者的插入方式为1，总数不超过7），所以候选解的总数不超过 $7 + 6 + 1 = 14$ + +个别参赛队认为， $e = 0$ 时的优化准则可以推广到 $e \neq 0$ 的情况。所设想的方法是： + +(i) 将 $h_1, h_2, h_3, h_4, h_5 / r, h_6 / r$ 作为判据，先在它们中取最大者，以相应的加工面作为第一个切割面. +(ii) 以后每次选择切割面时，如某个切割面意味着调整刀具，则将该判据减去 $e$ 的某个倍数，否则仍用原来的判据。在修改判据之后，仍取一个判据最大者所相应的加工面作为下一个切割面。 + +我们指出，上述方法是不对的，(i) 就可能导致错误的结果。下面举一个二维的例子，将 $e$ 取得相当大，将各个加工面（此时为加工线）的权均取为相同。于是，最优解必在刀具调整次数为 1 的切割方式得到，只要比较以下二值即可： + +$$ +f (1 2 3 4) = C + 2 h _ {3} + 2 h _ {4} + e, \tag {7} +$$ + +$$ +f (3 4 1 2) = C + 2 h _ {1} + 2 h _ {2} + e, \tag {8} +$$ + +其中 $c$ 为成品长方形的周长， $h_1, h_2, h_3, h_4$ 的意义同前，可使它们的取值满足： + +$$ +h _ {1} > h _ {3} > h _ {4} > h _ {2} ^ {\prime}, \quad h _ {1} + h _ {2} < h _ {3} + h _ {4}. \tag {9} +$$ + +按上述 (i), 加工线 1 应排在第一位, 但由上述 (7)-(9) 知, 只有 $\sigma = 3412$ 才是最优解. + +# 四、推 广 + +按切割厚度递减逐次选择切割面的原则，对于题意中的长方体情形已被证明能达到切割面积和的最优。在实际运用中，当从任何一个物体通过多次截断切割加工成为一个凸多面体时，可以设想，推广运用这一准则，按平均切割厚度递减的准则确定切割方式，也能达到较好的效果。但对此一般情形，要想得到最优解，还必须能取得在各个加工面切割时的截面积数据，以形成明确的数学问题，并进行深入的分析，这是值得探讨的。 + +不过，在二维的一般情形，截断切割问题可以提得相当明确。设要从一个平面区域内割出一个预定的 $m$ 边凸多边形（其非相邻边的延长线在该平面区域内不相交），单独地沿第 $i$ 边切割时，可得到3个长度；第 $i$ 边的边长 $l_{i}$ ，第 $i$ 边二侧的长度 $x_{i}$ 与 $y_{i}$ 。已知上述 $3m$ 个长度，如何确定这 $m$ 个边的切割方式，使切割总长度最少？这就是本文末尾留给读者的一个问题。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7be42918f10c83cbe8a43ff9b6016d8923622e6d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,273 @@ +# 截断切割优化模型 + +祁洪全 李焕新 万珍 + +指导教师：马传秀 + +（湖南大学，长沙410082） + +编者按 本文对截断切割问题的数学模型的描述、优化准则、参数分析等方面作了深入的讨论，有一定特色. + +摘要 本文讨论的是长方体的切割方式选择问题。首先，我们从理论上表述了对“考虑切割方式”理解，其次利用一个等效转化方法将 $r \neq 1$ 的情形作简化，再分类思想对所需考虑的切割方式进行分类找出每一类的最优切割方式，最后用简明直观的图解方法建立了数学模型。另外，我们通过机理分析探讨了模型二一规划模型的可行性，并作了一定的深入讨论。对于较特殊的情况，我们还给出了简明的优化方法。 + +# 一、问题的提出（略） + +# 二、符号说明 + +$a, b, c$ ：待加工长方体的长、宽、高； $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ ：两长方体左侧面、正面、底面之间的距离； $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ：两长方体右侧面、反面、上平面之间的距离； $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ ：成品长方体的长、宽、高； $c$ ：第 $i$ 个面的面积； $k$ ：垂直切割单位面积费用； $\varepsilon$ ：调整一次刀具额外费用 $e$ . + +$P$ ：费用； $r$ ：水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比； + +# 三、问题的分析 + +对于 $\delta$ 个面共有 $P_{\mathrm{e}}^{0} = 720$ 种不同的加工次序，一般来说，各种加工次序使得各加工费用互不相等，但可以肯定的是这720种切割次序中有相当多的一部分是加工费用很大的切割，因此对这部分切割方式我们不予考虑。为此，先提出我们对问题中“需考虑的不同切割方式”的理解：对于两个相对的平行平面不管它们之间是否穿插有其它平面的切割，两者之间进行切割的先后次序已经确定，即总是先切掉厚度大的部分，再考虑切厚度小的部分（其中厚度定义为待切长方体六个面到内部成品长方体相应平面的距离）。因此，“需考虑的不同切割方式”是指：在满足两个平行平面的切割先后次序是先切厚度大的， + +再切厚度小的的条件下的不同的切割方式. 事实上, 我们可以对上述考虑方式的可行性作出证明: 以待加工长方体的 1、2(图略) 两个平行侧面为例, 假设 $d_{1} > d_{1}$ , 由于切割 1、2 两面的费用相同 (设为 $P_{0}$ ), 它们的切割都对以后的 3、4、5、6 面的切割产生影响, 不妨假设 3、4、5、6 面均未进切割, 并设 $r = 1, e = 0$ , 则先 + +1) 切 1, 再依次切 3、4、5、6, 则费用为 + +$$ +P _ {1} = P _ {0} + 2 \left(a - d _ {1}\right) c k + 2 b _ {1} \left(a - d _ {1}\right) k = P _ {0} + 2 \left(a - d _ {1}\right) \left(c + b _ {1}\right) k +$$ + +2) 先切 2, 再依次切 3、4、5、6, 则费用为 + +$$ +P _ {2} = P _ {0} + 2 \left(a - l _ {1}\right) c k + 2 b _ {1} \left(a - l _ {1}\right) k = P _ {0} + 2 \left(a - l _ {1}\right) \left(c + b _ {1}\right) k +$$ + +显然，当 $d_{1} > l_{1}$ 时 $P_{1} < P_{2}$ ，因此对两平行平面只考虑厚度大的先切割这一种次序. + +类似地可证：对于3、4、5、6面全部或部分已切割的情形上述结论也成立. + +# 四、模型假设 + +假设成品长方体处于一般的位置，即需要切6刀才能从待切长方体中切割而得. + +# 五、模型的建立及求解 + +# 1. 确定考虑的不同切割方式的总数 + +为从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体，我们根据两个长方体的对应平面是平行的以及对“需考虑切割方式”的理解，可以利用排列组合的知识求出“需考虑的不同切割方式”的总数。 + +在六个空格中任选两个放左右侧面1、2，因为依据 $d_{1}, l_{1}$ 已先确定了1、2的先后顺序，故其放法有 $c_{6}^{2}$ 种。同理，正反面3、4一共有 $c_{4}^{2}$ 种放法，5、6则放剩下的两个空格且只有一种放法。综上所述，需考虑的不同切割方式的总数为 + +$$ +C _ {6} ^ {2} C _ {4} ^ {2} = 9 0 \text {种} +$$ + +# 2. 加工费用优化的切割方式模型 + +# 模型一、首先给出两个说明： + +1) 先假定：左、右两侧面要切割部分厚度大的面为 1 面，另一侧为 2 面；微反两面要切割部分厚度大的面为 3 面，另一侧为 4 面；上、下两面要切割部分厚度大的面为 5 面，另一侧为 6 面. +2）为使问题简化，在所有 $r \neq 1$ 的问题求解中，我们都首先将单位面积切割费用统一化；具体做法是：如果水平单位面积切割费用是垂直面单位面积切割费用 $k$ 的 $r$ 倍时，我们利用等效转换的方法，将长方体的高都缩短（伸长）至原来的 $\frac{1}{r}$ 倍，则统一的单位面积切割费用都为 $r^{\frac{1}{r}}$ 。 + +根据（1）一共有90种切割方式，我们利用计算机编程将90种需考虑的切割方式进行遍历，并根据切割次序确定调刀次数. + +据题目条件，我们调整刀具最多3次，至少为1次，所以，我们在程序中将90种切割方式按调刀次数 $i = 1,2,3$ 进行分类，并分别求出相应类最小面积Min(1)表达式，以及对应的切割方式. + +则额外调刀1，2，3次切割方式的最小总费用分别为： + +$$ +P _ {1} = \operatorname {M i n} (1) k r + e \quad P _ {2} = \operatorname {M i n} (2) k r + 2 e \quad P _ {3} = \operatorname {M i n} (3) k r + 3 e +$$ + +在具体的确定某种材料切割方式的方案中，我们只需要输入 $a, b, c, a_1, b_1, c_1$ 和 $d_1, d_2, d_3$ 及 $k, r$ 的值，则计算机会输出相应的关于 $\epsilon$ 的函数表达式 $P_i = \min(i)kr + i\epsilon, (i = 1, 2, 3)$ ，其中的 $\min(i)kr$ 是一个常数。 + +如果 $\epsilon$ 已是一个确定的数，则我们可以直接代入比较 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 的大小，不妨设 $P_{i}$ 最小，则 $P_{i}$ 所对应的切割方式就为最优的切割方式。 + +模型二、设 $n$ 为所需截断切割次数， $n = 6$ + +设长方体各面号安排规则为左面为1号面，右面为2号面，上平面为5号面，底面为6号面，正面为3号面，反面为4号面； + +设 $C_{k}$ 是指第 $t$ 面在第次进行切割所需的费用，构造如下的切割费用矩阵 $C = (C_{k})$ + +设 $Y_{t}$ □用来指示第 $\pmb{t}$ 号面是否在第 $\pmb{\mathcal{T}}$ 次进行切割，于是，整个长方体的各面加工次序可用如下的切割次序矩阵来表示 $\mathbf{Y} = (\mathbf{Y}_{k\bullet})$ 其中 + +$$ +Y _ {t s} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {若} t \text {号 面 在 第} s \text {次 进 行 切 割}; \\ 0, & \text {若} t \text {号 面 不 是 在 第} s \text {次 进 行 切}; \end{array} \right. +$$ + +由于 $\mathbf{Y}_{t}$ 只取0,1值，故 $\mathbf{Y}$ 矩阵的每一个具体值都对应一个排序方案，且 $\mathbf{Y}_{t}$ 必满足约束方程组1： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {k = 1} ^ {n} Y _ {k s} = 1; s = 1, 2, \dots , n; \\ \sum_ {s = 1} ^ {n} Y _ {k s} = 1; t = 1. 2, \dots , n; \end{array} \right. +$$ + +设 $C_t$ 为切割第 $t$ 号面的费用： + +$$ +C _ {t} = Y _ {t 1} \cdot C _ {t 1} + Y _ {t} \cdot C _ {t 2} + \dots + Y _ {t n} \cdot C _ {t n}; +$$ + +由此加工一个长方体的总费用为： + +$$ +Z = \sum_ {k = 1} ^ {n} \sum_ {s = 1} ^ {n} \left[ Y _ {k s} C _ {k s} \right] +$$ + +那么要求使加工费用最少的各面加工次序，即要求满足方程组1的约束的，使 $z$ 取最小值的切割次序矩阵 $Y$ ，我们构造了如下的规划模型 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} \min Z, \\ \sum_ {s = 1} ^ {n} Y _ {t s}, & t = 1, 2, \dots , n; \\ \sum_ {t = 1} ^ {n} Y _ {t s}, & s = 1, 2, \dots , n; \end{array} \right. +$$ + +设 $h$ 为第 $s$ 次切割的面号. + +下面对模型中的切割费用矩阵 $c$ 进行量化 + +$C_{t}$ 是与 $h_1$ 至 $h_{s-1}$ 有关的。设 $h_1$ 对 $h_2$ 面的切割费用有影响 $m_1, h_2$ 对 $h_3$ 面的切割费用有影响 $m_2$ ，则由 $m_1, m_2$ 可以求出 $h_1$ 面和 $h_2$ 面对 $h_3$ 面切割费用的影响。以此递推，可得到 $a_1$ 至 $h_{s-1}$ 面对 $h_s$ 面切割费用的影响。 + +设 $X_{ij}$ 表示切第 $i$ 面对随后切第 $j$ 面的费用的影响，即对切割面积费用的影响，于是我们建立一个费用影响矩阵 $X$ 来表示任一个面对在它随后切割的其它面的费用影响 $X = (X_{ij})$ 则 + +$$ +C _ {t s} = C _ {t 1} - \left[ \sum_ {i = 1} ^ {n} Y _ {i 1} X _ {i t} + \sum_ {i = 1} ^ {n} Y _ {i 2} X _ {i t} + \dots + \sum_ {i = 1} ^ {n} Y _ {i (s - 1)} \cdot X _ {i t} \right] + F _ {t s} +$$ + +其中 $F_{t}$ ，表示第 $\pmb{t}$ 面在第 $\mathfrak{s}$ 次切割所需的调刀费用求 $X_{ij}$ 分三种情况： + +a：当 $i = j$ 时， $X_{i,j} = 0;$ + +b：当 $j = i + (-1)^{i + 1}$ 时，即 $j$ 面是 $i$ 面的平行面时， $X_{ij} = 0$ + +c：当 $j\neq i + (-1)^{i + 1}$ 且 $j\neq i$ 时，即一般情况时： + +$X_{ij}$ 的大小与假设当以 $j$ 面为顶面，它的相邻的两对对称侧面中的那对不包含 $i$ 面的侧面是否切过有关. + +例 $i = 1, j = 5$ ，则 $x_{ij}$ 与第3、4面是否切过有关，而第3、4面是否切过可以用 $\mathbf{Y}_{i\bullet}$ 来表示 + +设先切第 $i$ 面，随后切 $j$ 面，以 $j$ 面为顶面的两个侧面号为 $\cdot_{p,q}$ + +$X_{ij} = \sum_{s=1}^{n}[Y_{ps} \cdot \text{若} p \text{面已切对} j \text{面省去的切割面积费用 } G_p]$ +$\sum_{s = 1}^{n}[Y_{qs}\cdot$ （若 $q$ 面已切对 $j$ 面省去的切割面积费用 $G_{q}]$ + +若 $p$ 面已切对 $j$ 面省去的切割面积费用又与 $i$ 的平行面 $W$ 是否切割有关. + +例 $i = 1, j = 5, p = 3, G_{3}$ 又与 $i$ 的平行面2是否已切有关，而面2是否已切可用 $Y_{i\tau}$ 表示. + +当 $W$ 面已切时， $G_{p} = p$ 面已切对 $j$ 面的最大的省去切割面积费用 $-W$ 面已切对 $G_{p}$ 的最大影响。当 $W$ 面没切时， $G_{p} = p$ 面已切对 $j$ 的最大的省去切割面积费用）。 + +例 $i = 1, j = 5, p = 3$ 时， $W = 2$ 若2面已切 $G_{p} =$ 切割所有阴影部分的费用一切割阴影部分1的费用). + +设 $t_{pj}$ 是指 $\mathcal{P}$ 面已切对 $j$ 面最大的省去切割费用，我们建立一个最大省费矩阵T来表示 $\mathcal{P}$ 面对 $j$ 面的最大省去切割费用，通过计算，我们得到如下的T： + +
p\j123
100C·di
200C·[a-(ai+di)]
3C·d2C···d20
4C·[b-(d2+b1)]C·[b-(d2+b1)]0
5b·[C-(C1+b3)]b·[C(C1+d3)]a·[C-(C1+d3)]
6b·d3b·d3a·d3
+ +
p\j456
1C·d1b·d1b·d1
2C·[a-(a1+d1)]b·[a(a1+d1)]b·[a-(ai+d1)]
30a·d2a·d2
40a[b-[d2+bi)]a[b-(d2+bi)]
5a·[C-(C1+b3)]00
6b·d300
+ +设 $r_{wp}$ 表示 $W$ 面已切对 $G_p$ 的最大影响，从而建立一个矩阵 $\pmb{R}$ 来表示 $W$ 面已切对 $G_p$ 的最大影响，通过计算，我们得到如下的 $\pmb{R}$ ： + +
p\j123
100d1·d2
200d2·[a-(a1+d1)]
3d1·d2d2·[a-(a1+d1)]0
4d1[b-(b1+d2)][a-(a1+d1)·[b-(b1+d2)]0
5d1·[a-(a1+d1)·[C-(C1+d3)]d2·[C-(C1+d3)]d2·[C-(C1+d3)]
6d1·d3[a-(a1+d1)]d2·d3
+ +
p\j456
1d1·[b-(b1+d2)]d·[C-(C1+d3)]d1·ds
2[a-(a1+d1)·[b-(b1+d2)][a-(a1+d1)]·[C-(C1+d1)]d3·[a-(a1+d1)]
30d2·[C-(C1+d3)]d2·ds
40[b-(b1+d2)]·[C-(C1+d2)]d3·[b-(b1+d2)]
5[b-(b1+d2)]·[C-(C1+d3)]00
6d3·[b-(b1+d2)]00
+ +所以 $G_{p} = \left(t_{pj}\sum_{s = 1}^{n}Y_{ws}r_{wp}\right)\cdot k\cdot r$ 同理 $G_{q} = \left(t_{qq}\sum_{s = 1}^{n}Y_{ws}r_{wq}\right)\cdot k\cdot r$ 其中 + +$$ +p = \left[ n - \left(\frac {i + i \bmod 2}{2} + \frac {j + j \bmod , 2}{2}\right) \right] \cdot 2 - 1; +$$ + +$$ +q = p - (- 1) ^ {p}; \quad W = i - (- 1) ^ {i}. +$$ + +于是 + +$$ +\begin{array}{l} X _ {i j} = \sum_ {s = 1} ^ {n} \left[ Y _ {p s} \cdot G _ {p} \right] + \sum_ {s = 1} ^ {n} \left[ Y _ {q s} \cdot G _ {q} \right] \\ = \sum_ {s = 1} ^ {n} \left[ Y _ {p s} \left(t _ {p j} - \sum_ {s = 1} ^ {n} Y _ {w s} r _ {w p}\right) \right] + \sum_ {s = 1} ^ {n} \left[ Y _ {q s} \cdot \left(t _ {q j} \sum_ {s = 1} ^ {n} Y _ {w s} r _ {w q}\right) \right] \\ \end{array} +$$ + +当 $e = 0$ 时 $F_{k,s} = 0$ . $(k = 1,2,\dots ,n,s = 1,2,\dots ,n)$ 可以由上述规划模型求得最优的切割方式； + +当 $e \neq 0$ 时， $F_{t_0} \neq 0$ ，只要求出 $F_{t_1}$ 的表达式，就能求出 $C_{t_1}$ ，据此也可以根据前述的规划模型的表达式求出使加工费用最小的切割方式。 + +# 模型三、 $(\epsilon = 0$ 时的准则模型） + +特别当 $e = 0$ 时，我们得到一个简明的优化准则：首先依等效转换方法将高缩短（伸长）使垂直面、水平面单位面积切割费用化归为 $kr$ ，然后依次切割待切割部分厚度最大的。如果有 $n$ 个待切厚度相同，则厚度相同的 $n$ 个待切部分对应的面的编号作全排列，得到 $n!$ 种最优切割方式。这个准则实际上就是一种最优的数学模型，我们称之为准则模型。下面给出了最优性证明： + +任意选两个满足条件的长方体，假设经过 $i (i < 5)$ 次切割之后侧面1、正面3还未切割，且 $d_{1} > d_{2}$ 不妨设此时待切长方体的长为 $a$ ，宽为 $b$ ，高为 $c$ ，则 + +1) 先切 1, 再切 3 的两次切割总费用为: + +$$ +P _ {1 3} = [ b c + (a - d _ {1}) c ] k r = (b c + a c - d _ {1} c) k r +$$ + +2) 先切3，再切1的两次切割总费用为： + +$$ +P _ {3 1} = [ a c + (b - d _ {2}) c ] k r = [ b c + a c - d _ {2} ] k r +$$ + +显然 $P_{13}$ 与 $P_{31}$ 的费用分别与厚度 $d_{1}, d_{2}$ 有关，先切厚度大的侧面1，再切正面3的总费用更小. + +我们将六个面按厚度从大到小的顺序依次记为 $j_{1}, j_{0}$ ，这就是按 $\epsilon = 0$ 时的准则模型得到的最优加工次序。 + +根据上述证明可知，某一部门的“每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割”切割准则不是最优的。因为该准则相当于“每一次都选取面积最小的面进行切割”，而我们已验证 $e = 0$ 时，每次都选取厚度大的待切部分进行切割。显然，厚度 $h = V / S$ ，式中 $V, S$ 分别为待切部分的体积和面积，当 $S$ 为最小时，因受体积 $V$ 的影响， $h$ 并不一定为最大，所以在切割时不仅仅要考虑待切割部分的面积，还必须同时考虑待切割部分的体积。另外，我们利用所给问题5的（b）情形，也可以验证这不是最优的，因为按每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割的费用为461.5元，而通过我们的准则，最少费用为437.5元。 + +# 六、模型的应用与检验 + +给出待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10,14.5,19和3,2,4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9(单位均为厘米).垂直切割费用为每平方厘米1元. + +此时待加工长方体的左、右、正、反、上、下的编号分别为1、2、3、4、6、5. + +1. 对 a. $r = 1, r = 0$ , b. $r = 1.5, e = 0$ ; c. $r = 8, e = 0$ 三种情形，我们根据模型中 $e = 0$ 的简明 + +
rcc1最优切割方式最少费用
1194531642374
536142
1.519×2/34×3351462437.5
315462
819×1/82314526540.5
+ +注：表中的 $c, c_{1}$ 均为经过等效转换后的长方体的高 + +2. $r = 1.5, e \in [2,15]$ 所有的最优解 + +依据模型一将待定的长、宽、高、厚度、 $k,r$ 输入程序一中，则计算机将所考虑的90种切割方式依调整刀具的次数分类后将每一类的最小费用表达式分别表示为： + +$$ +l _ {1}: P _ {1} = 4 4 2. 5 + e; \quad \text {调 整 一 次 刀 具} +$$ + +对应的切割方式：354162 + +$$ +l _ {2}: P _ {2} = 4 5 6. 5 + 2 e; \quad \text {调 整 二 次 刀 具} +$$ + +对应的切割方式：135462 + +$$ +l _ {3}: P _ {3} = 4 3 7. 5 + 3 c; \quad \text {调 整 三 次 刀 具} +$$ + +对应的切割方式：315462和351462 + +我们先求出直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 在 $\epsilon \in [0, \infty)$ 区间中的交点 + +$$ +e _ {1} = 2. 5, e _ {2} = 1 9. +$$ + +并在坐标中画出图形. + +我们利用图解法可知： + +1） $e\in [2,2.5]$ 时，最小费用表达式为 $P$ $= P_{3} = 437.5 + 3e$ （对应于直线 $l_{3}$ ，其对应的最佳切割方式为315462和351462； +2） $\epsilon \in [2.5, 1.5]$ 时，最小费用表达式为 $P = P_{1} = 413.6 + \epsilon$ （对应于直线 $l_{1}$ ），其对应的最佳切割方式为：354162； + +另外，我们通过计算机可以对90种不同的切割方式进行枚举，所得到的结果与我们计算出来的结果是相一致的. + +![](images/bd0ebec15caade81366f2f64aeed7b4d75e52ef5ccd3b06d9b8b380f22947ce3.jpg) +七、模型的评价和推广 + +我们从问题的要求出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了较一般的数学模型，并进行了理论论证和实例验证；对于特殊情况，我们也给出了一种简明的数学模型，并作了论证。事实证明，我们建立的模型能较好地解决问题。 + +对于另外一类特殊的情况，即目标长方体可能有某几个面不需切割时，可将对应的厚度视为0，于是上面给出的三个模型仍然是适用的。 + +但是，我们的模型二也存在一定的缺陷，即对于求解使切割费用最小的切割次序的规划模型，仅从理论上得到了最优切割方式，由于第 $t$ 面在第 $s$ 次切割时的调刀次数没能找到一个数学表达式来表达，故此规划模型可能还只适用于 $e = 0$ 时的情况。根据规律求出调刀次数的表达式，使得规划模型能适用于 $\pmb{\mathcal{C}}$ 为任何值的情况，是该模型改进的方向。 + +# 附录（略） + +# 参考文献 + +[1] 叶其孝主编，数学建模教育与国际数学建模竞赛，工科数学杂志社，8.1994. +[2] 钱颂迪等主编，运筹学，清华大学出版社，北京，1988. +[3] D.P. 柏塞克斯著，李人厚、韩宗昭译，动态规划确定性和随机模型，西安交通大学出版社，西安，1990. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210.md" "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c9dc9ec187ce31cfe4f5988c2441c097b322fc1a --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210/\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210.md" @@ -0,0 +1,386 @@ +# 截断切割的最优方案 + +温涛 马衍青 徐峰 + +指导教师：鲁习文 刘朝晖 + +（华东理工大学，上海200237） + +编者按 本文借助于递推形式建立目标函数表达式，对优化准则及推广运用优化准则也作了研究. + +摘要我们在充分分析问题的基础上，根据问题的条件和要求建立了模型，讨论了模型的推广，给出了截断切割问题的最优方案，回答了题目中所有问题，并且对模型进行了评价. + +当成品长方体位于待加工长方体内部而没有公共面时，需要考虑的不同切割方式总数为 $P = 720$ 种。如果有公共面可类似计算。 + +从描述连续切割时长方体的形状变化过程出发，在深入研究了不同切割方式特征的基础上，我们建立了模型，并给出了求解方法，运用若干优势准则，只需考虑至多25种切割方式就可以找到最优切割方案. + +对 $e = 0$ 的情形，我们得到了相当简明的最优切割准则：按成品长方体各面与待加工长方体对应面间加权距离的非增排列顺序进行切割. + +按照“每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割”的准则进行切割，我们发现一般得不到最优解。并且，我们随机列举了80个例子进行比较，采用该方法得到的近似最优解与最优解的平均比值为1.0266。 + +对所给的数据，我们进行了实例验证，得到的计算结果如下： + +a）最小加工费用为 $f = 374$ 元，调整刀具次数均为 $n = 3$ ；b）最小加工费用为 $f = 437.5$ 元，调整刀具次数均为 $n = 3$ ； +c）最小加工费用为 $f = 540.5$ 元，调整刀具次数 $n = 3$ ；d）当 $2e < 2.5$ 时有二种最优切割方案，此时调整刀具3次。 + +当 $e = 2.5$ 时有三种最优切割方案。当 $2.5 < e < 15$ 时只有一种最优切割方案，此时只须调刀一次，并且我们还发现这种切割方案在 $e > 15$ 时仍是最优的。由此，可观察到当 $e$ 增加时，调刀次数逐步减小。 + +我们建立的模型可以推广到一般 $n$ 面体的截断切割问题，并可进一步推广到连续加工若干个待加工多面体的问题。我们建立的模型具有清晰简明的数学表达式，计算简单，优化方便。 + +# 一、问题重述（略） + +# 二、基本假设 + +1. 与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的，因此长、宽、高位置一定。但是这不影响切割方案的讨论，即并不因为底面已经被指定，而要求最后切割底面。 +2. “截断切割”如问题中所定义的为“将物体沿某个切割平面分成两部分”. +3. 成品长方体与待加工长方体没有公共面。即：成品长方体必须由待加工长方体经过6次截断切 + +割后得到. + +# 三、变量及符号说明 + +符号说明 + +$a_0, b_0, c_0$ ：长方体的长、宽、高； $a_k, b_k, c_k$ ： + +第 $k$ 次切割后得到的长方体的长、宽、高； $f_{k}$ 为 + +第 $k$ 次切割所需费用. + +对长方体的“截断切割”共计有三种方式： + +水平切割：平行于底面切割； + +垂直纵向切割：平行于侧面切割； + +![](images/384f41254bcee6cf8a8dfd08d86635677d42730a79604ec41729eb98c4dbfe9c.jpg) + +垂直横向切割：平行于正面切割 + +3、对长方体的六个平面分别进行标号，如图所示： + +其中左侧面为1面，右侧面为2面，正面为3面，背面为4面，底面为5面，顶面为6面。待加工长方体和成品 + +长方体两者左侧面、右侧面、顶面、底面、正面、 + +背面间的距离分别为 $u, u, w, w, v, v$ . + +以某一方式切割出一个长方体需要调整刀具的次数为 $n$ ，则有 $1 \leq n \leq 3$ + +# 四、问题分析和模型建立 + +通过分析我们可以知道，对长方体进行第 $k$ 次切割的费用函数和切割后长方体的长、宽、高，有三种情况： + +i) 第 $k$ 次切割为水平切割： + +$$ +f _ {k} = r a _ {k - 1} b _ {k - 1} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} {a _ {k} = a _ {k - 1}} \\ {b _ {k} = b _ {k - 1}} \\ {c _ {k} = c _ {k - 1} - w _ {1}} \end{array} \right. \quad \text {或} \quad \left\{ \begin{array}{l l} {a _ {k} = a _ {k - 1}} \\ {b _ {k} = b _ {k - 1}} \\ {c _ {k} = c _ {k - 1} - w _ {2}} \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +ii) 第 $k$ 次切削为垂直横向切割： + +$$ +f _ {k} = a _ {k - 1} c _ {k - 1} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} {a _ {k} = a _ {k - 1}} \\ {b _ {k} = b _ {k - 1} - v _ {1}} \\ {c _ {k} = c _ {k - 1}} \end{array} \right. \quad \text {或} \quad \left\{ \begin{array}{l l} {a _ {k} = a _ {k - 1}} \\ {b _ {k} = b _ {k - 1} - v _ {2}} \\ {c _ {k} = c _ {k - 1}} \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +iii) 第 $k$ 次切割为垂直纵向切割： + +$$ +f _ {k} = b _ {k - 1} \cdot c _ {k - 1} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} {a _ {k} = a _ {k - 1} - u _ {1}} \\ {b _ {k} = b _ {k - 1}} \\ {c _ {k} = c _ {k - 1}} \end{array} \right. \quad \text {或} \quad \left\{ \begin{array}{l l} {a _ {k} = a _ {k - 1} - u _ {2}} \\ {b _ {k} = b _ {k - 1}} \\ {c _ {k} = c _ {k - 1}} \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +所以，总切割费用可表示为 $\min f = \sum_{i=1}^{6} f_k + \sum_{k=1}^{6} \delta_k \cdot e$ 其中 + +$$ +\delta_ {1} = 0, \delta = \left\{ \begin{array}{l l} {1,} & {\text {第} k \text {次 切 割 调 正 了 刀 具}} \\ {0,} & {\text {否 则}} \end{array} \right. \qquad k = 2, \dots , 6 +$$ + +我们的目标就是找到一种切割顺序，使得的值最小 + +# 五、模型求解 + +关于上述模型的求解，我们能够建立以下四个定理，优化求解过程，减小运算量. + +我们以表示一个切割顺序，相应于第 $i$ 次切割的长方体厚度（若为水平切割，该厚度等于实际切割厚度的 $1 / r$ ）. + +定理1两次相互平行的切割，取待切割平面与原长方体的相应表，面距离大的优先切割(不论这两次平行切割操作是否连续). + +例水平切割共有两次，设成品长方体与待加工长方体的底面、顶面相距 $w, w$ 选择距离大的优先切割，即 + +若 $w_{1} > w_{2}$ , 则两次水平切割操作中, 先切割出成品长方体的底面; + +若 $w_{1} < w_{2}$ , 则两次水平切割操作中, 先切割出成品长方体的顶面; + +若 $w_{1} = w_{2}$ ，则顺序可任意选择 + +证 若在某种切割顺序 $(\cdots p_{i} \cdots p_{j} \cdots)$ 中，两次平行的切割 $p_{i}, p_{j}$ 不符合定理 1, 即 $p_{i} < p_{j}$ ，则我们交换它们的位置，这不影响 $p_{i}$ 之前和 $p_{j}$ 之后每次切割的切割面积，而对于 $p_{i}$ 与 $p_{j}$ 之间的每次切割的切割面积只会减小，所以若 $p_{i}$ 与 $p_{j}$ 不符合定理 1，则交换与的位置后，总的切割费用不会增加。 + +定理2如果水平切割与垂直横向切割是相邻的两个操作，那么 + +若 $w / r > v$ ，则先水平切割，然后再垂直横向切割； + +若 $w / r < v$ ，则先垂直横向切割，再水平切割； + +若 $w / r = v$ ，则顺序可任意选择， + +这里的 $w, v$ 用相应的 $w_{1}, w_{2}, v_{1}, v_{2}$ 代入. + +证设第 $k,k + 1$ 次切割为水平切割与垂直横向切割，当先水平切割，然后再垂直横向切割，这两次切割的费用为 + +$$ +f _ {k} + f _ {k + 1} = a _ {k - 1} b _ {k - 1} r a _ {k} c _ {k} = a _ {k - 1} b _ {k - 1} r + a _ {k - 1} \left(c _ {k - 1} - w _ {1}\right) +$$ + +这里不妨设 $\pmb{w}$ 为 $\pmb{w}_{1}$ + +当先垂直横向切割，再水平切割，这两次切割的费用为 + +$$ +\begin{array}{l} f _ {k} ^ {\prime} + f _ {k + 1} ^ {\prime} = a _ {k - 1} c _ {k - 1} + a _ {k} b _ {k} r \\ = a _ {k - 1} c _ {k - 1} + a _ {k - 1} \left(b _ {k - 1} - v _ {1}\right) r \\ \end{array} +$$ + +这里不妨设 $\pmb{v}$ 为 $v_{1}$ + +两个费用之差为 + +$$ +f _ {k} + f _ {k + 1} - \left(f _ {k} ^ {\prime} + f _ {k + 1} ^ {\prime}\right) = a _ {k - 1} r \left(v _ {1} - w _ {1} / r\right) +$$ + +所以，若 $v_{1} > w_{1} / r$ ，先垂直横向切割，然后再水平切割，费用减小；其他情形同理可证. + +定理3如果水平切割与垂直纵向切割是相邻的两个操作，那么 + +若 $w / r > u$ ，则先水平切割，然后再垂直纵向切割；若 $w / r < u$ ，则先垂直纵向切割，再水平切割；若 $w / r = u$ ，则顺序可任意选择， + +这里的 $w, u$ 用相应的 $w_{1}, w_{2}, u_{1}, u_{1}$ 代入. 证明与定理2相似 + +解法一按 $u_{1},u_{2},w_{1} / r,w_{2} / r,v_{1},v_{1}$ 非升序排列进行切割 + +例若 $v_{2} > w_{1} / r > u_{2} > u_{1} > v_{1} > w_{2} / r,$ 则先切割背面，再切割底面，再切割右侧面，…，最后切割顶面，也就是按 $(v_{2},w_{1} / r,u_{2},u_{1},v_{1},w_{2} / r)$ 的方式进行切割. + +定理4 若 $e = 0$ ，则按解法一找到的切割方式是最优的 + +证设解法一得到的切割方式为 $(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})$ 因而 $p_1\geq p_2\geq p_3\geq p_4\geq p_6\geq p_8$ 又设 $(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})$ 是一最优切割方式，但与解法一得到的切割方式不一致，则其中必然存在 $i_k$ 与 $i_{k + 1}$ ，满足 $i_k > i_{k + 1}$ ，使得 $p_{i_k}\leq p_{i_{k + 1}}$ ，分析以下几种情形： + +1) $p_{i_k}$ 与 $p_{i_{k+1}}$ 一个相应于水平切割，一个相应于垂直切割，此时由定理2和3知交换与的次序不导致费用增加. +2) $p_{i_k}$ 与 $p_{i_{k + 1}}$ 相应于两个平行的切割，由定理1知交换它们的次序不导致费用增加. +3） $p_{i_k}$ 与 $p_{i_{k + 1}}$ 一个相应于垂直横向，一个相应于垂直纵向切割，此时用与定理2相似的方法，可证明交换 $p_{ik}$ 与 $p_{ik - 1}$ 的次序不导致费用增加. + +根据上面的分析，在任何情况下，交换 $p_{ik}$ 与 $p_{ik-1}$ 的次序都不导致费用增加，即还是最优切割，但交换后 $p_{ik}$ 与 $p_{ik+1}$ 的次序符合解法一生成的切割方式。 + +结论1若按解法一找到的切割方式只须调整刀具一次，则解法一找到的切割方式是最优切割方法. + +证明 因为目标函数 + +$$ +f = \sum_ {k = 1} ^ {6} f _ {k} + e \sum_ {k = 1} ^ {6} \quad \delta_ {k} = \sum_ {k = 1} ^ {6} f _ {k} + n \cdot e +$$ + +由定理4知在不考虑刀具调整费用时，解法一找到的切割方法使 $\sum_{k=1}^{6}$ 得达到最小；此外任何切割方法需调整刀具至少一次，即 $n \geq 1$ ，所以按解法一找到的切割方法如果只须调整刀具一次，则此切割方法是最优的。 + +结论2若按解法一找到的切割方法需调整刀具两次，设为切割方法一，费用为 $q_{0}$ 此外，所有调整次数为1的切割方法的费用分别为 $q_{1}, q_{2}, \dots, q_{k}$ ，则最优切割方法的费用为： $f = \min(q_{0}, q_{1}, q_{2}, \dots, q_{k})$ 相应的切割方案为最优切割方案. + +证明 注意到用方法一切割的费用为 $q_{0} = \sum_{k=1}^{6} f_{k} + 2e$ ，此时 $\sum_{k=1}^{6} f_{k}$ 达到最小，任意一个调整刀具三次的切割方法的费用为 $\sum_{k=1}^{6} f_{k}' + 3e$ 且 $\sum_{k=1}^{6} f_{k}' > \sum_{k=1}^{6} f_{k}$ ，所以，最优切割方案只需在方法一和所有调整次数为1的切割方法中寻找。 + +利用定理1,2,3,我们给出下面的方法枚举所有刀具调整次数为1的切割方案. + +步骤1不妨设 $u_{1} > u_{2}, v_{1} > v_{2}, w_{1} > w_{1}$ 由定理1,当进行垂直纵向切割时，必先切割与左侧相距 $u_{1}$ 的面，记切割面代号为1；再切割与右侧相距 $u_{2}$ 的面，记为2；当进行垂直横向切割时，必先切割与正面距 $v_{1}$ 的面，记为3；再切割与背面相距 $v_{2}$ 的面，记为4；当进行水平切割时，必先切割与底面相距 $w_{1}$ 的面，记代号为5，再切割与顶面相距 $w_{2}$ 的面，记为6. + +步骤2 由于切割过程中调整刀具次数为1，在两次垂直纵向切割中不能插入垂直横向切割；同样，在两次垂直横向切割中不能插入垂直纵向切割。这样，只需枚举以下次序： + +$$ +- 1 - 2 - 3 - 4 - \tag {4} +$$ + +或 + +$$ +- 3 - 4 - 1 - 2 \tag {5} +$$ + +其中，“—”处可插入5,6. + +步骤3在第2步的基础上插入第5个面 + +对于 (4), 插入第 5 个面共有五种情况: + +$$ +\underline {{5}} \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \tag {6} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} 1 & 5 & 2 & 3 & 4 \end{array} \tag {7} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} 1 & 2 & 5 & 3 & 4 \end{array} \tag {8} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} 1 & 2 & 3 & 5 & 4 \end{array} \tag {9} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array} \tag {10} +$$ + +由定理3可知，第1,5面顺序可确定，故(6)，(7)中只需计算一种．由定理4,第3,5面顺序可确定，故(8)，(9)中只需计算一种．故(4)中插入5简化为3种情况. + +假设简化为 (6), (8), (10) 三种 + +步骤4在第3步的基础上插入第6个面．第6个面只能在第5个面之后. + +对于 (6), 插第 6 个面共有五种情况: + +$$ +5 \quad 6 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \tag {11} +$$ + +$$ +5 \quad 1 \quad 6 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \tag {12} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c} 5 & 1 & 2 & 6 & 3 & 4 \end{array} \tag {13} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c} 5 & 1 & 2 & 3 & 6 & 4 \end{array} \tag {14} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c} 5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 \end{array} \tag {15} +$$ + +同理，由定理2和3可简化为3种情况 + +对于 (8), 插第 6 个面共有三种情况: + +
125634
125364
125346
+ +由定理2,3可简化为2种情况 + +对于 (10), 插第 6 个面只有一种情况: + +
123456
+ +综上所述，故对于 (4) 只需考虑 $3 + 2 + 1 = 6$ 种插入 5, 6 的方式。对于 (5) 同理也只考虑 6 种插入 5, 6 的方式。那么枚举次数总计为 12 种。 + +结论3若按解法一找到的切割方式需调整刀具2次，设为方法一，费用为 $q_{0}$ ，所有调整刀具次数为1的切割方式的费用为 $q_{1},q_{2},\dots ,q_{m}$ ；所有调整刀具次数为2的切割方式的费用为 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ 则最优切割的费用为： + +$$ +f = \min \left(q _ {1}, \bar {q} _ {2}, \dots , q _ {m}, p _ {1}, p _ {2}, \dots , p _ {n}\right) +$$ + +相应的切割方式为最优切割方案. 证明方法与结论2类似 + +此时，我们枚举所有调整刀具次数为1的切割方式和所有调整刀具次数为2的切割方式。由结论2中的讨论，知在切割过程中调整刀具次数为1的切割方式只需考虑12种。下面讨论切割过程中调整刀具次数为2的切割方式。 + +若切割过程中调整刀具次数为2，则可能先垂直纵向，然后垂直横向，再垂直横向，最后垂直纵向切割；或者先垂直横向，然后垂直纵向，再垂直纵向，最后垂直横向切割。这样，只需枚举以下顺序： + +$$ +- 1 - 3 - 4 - 2 - \tag {16} +$$ + +或 + +$$ +- 3 - 1 - 2 - 4 - \tag {17} +$$ + +其中，“—”处可插入5,6,插入方式类似调整刀具次数为1的情形. + +基于上述讨论，下面我们对截断切割问题给出解法二 + +解法二 首先用解法一求解，然后做下面三步之一： + +1) 若只调整刀具一次，则最优解已定； +2) 若调整刀具两次，则从该切割方式与所有只调整一次的切割方式中找最优解。 +3) 若调整刀具三次，则从该切割方式与所有只调整刀具一次和两次的切割方式中找最优解. 由前面结论1至3讨论，易知解法二至多需比较25种不同切割方式. + +# (二) 模型二的建立与解法 (略) + +# 六、问题回答 + +# （一）不同的切割方式的总数： + +在假设条件下，切割方式总数为 $P_{6}^{6} = 6! = 720$ 种 + +若考虑要求最后切割底面，则切割方式为 $P_{5}^{5} = 5! = 120$ 种。若考虑到待加工长方体和成品长方体可能共面，则切割方式总数为 $P_{3}^{3} = 3! = 6$ （三个面共面）； $P_{4}^{4} = 4! = 24$ （二个面共面）； $P_{5}^{6} = 5! = 120$ （一个面共面）等。 +（二）若每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割，假设单位面积的切割费用为1，即简化为寻找面积最小的待割面： $A_{k} - \min (a_{k - 1},b_{k - 1}r,a_{k - 1}c_{k - 1},b_{k - 1},c_{k - 1})$ ，将找到的面切割，得到下一个待加工长方体，用同样规则进行切割．根据这规则我们给出了程序(附录二略).用这个程序我们随机选取80种情况进行求解并对比，同时与模型所得最优解(附录略)进行了比较. + +优点：规则考虑到了优化的思想，每次切割找最佳割面，通过与最优解比较，有些值就是最优解，例如 $a = 10, b = 14.5, c_0 = 19, a_6 = 3, b_6 = 2, c_6 = 4, u_1 = 6, v_1 = 7, w_1 = 9, e = 1, r = 1.5$ 时，得到 $\min f = 540.5$ ，与最优解一致，次序同为 $(3, 5, 1, 4, 6, 2)$ 。 + +缺点：规则不是最优的，这是因为 + +$$ +A _ {k} - \min \left(a _ {k - 1}, b _ {k - 1}, c _ {k - 1}, b _ {k - 1}, c _ {k - 1}\right), = \max \left(c _ {k - 1} / r, b _ {k - 1}, a _ {k - 1}\right) +$$ + +而忽略了厚度的影响和换刀具的费用 $ne$ ，因此造成了一定的小差别，通过对比80组数据的比较统计(以最优费用为分母)，得平均比值 $p = 1.0266$ + +不是最优解的情况举例： $a = 20, b_{0} = 15, c_{0} = 20, a_{6} = 4, b_{6} = 5, c_{6} = 6, u - 1 = 6, v_{1} = 7, w_{1} = 8, e = 1, r = 1.5$ 时，按此规则得到 $\min = 797$ ，而最优解为783，此时比值 $p = 1.0189$ + +# （三）对 $e = 0$ 的情形有简明的优化准则，见模型中的定理4 + +# （四）实例数据 + +$a = 10, b = 14.5, c = 19, a = 3, b = 2, c = 4, u = 6, v = 7, w = 9$ 用切割面的序列表示一种切割方式，切割面的序列的定义同定理4中所述，对于所给实例数据，我们得到的计算结果如下： + +$$ +\text {a)} r = 1, e = 0 +$$ + +切割面的序列最优解为 $[5,3,1,6,4,2]$ 或 $[5,2,6,1,4,2]$ ，调整刀具次数均为 $n = 3$ ，最小加工费用为 $f = 374$ 元. + +$$ +b) r = 1. 5, e = 0 +$$ + +切割面的序列最优解为 $[3,1,5,4,6,2]$ 或 $[3,5,1,4,6,2]$ ，调整刀具次数均为 $n = 3$ ，最小加工费用为 $f = 437.5$ 元。 + +$$ +\mathrm {c)} r = 8, e = 0 +$$ + +切割面的序列最优解为 $[3,1,4,5,2,6]$ ，调整刀具次数 $n = 3$ ，最小加工费用为 $f = 540.5$ 元。 + +$$ +\mathrm {d}) r = 1. 5, 2 \leq e \leq 1 5 +$$ + +当 $2 \leq e \leq 2.5$ 时，切割面的序列最优解为 [mathcail] [3, 1, 5, 4, 6, 2] 或 [3, 5, 1, 4, 6, 2], 调整刀具次数均为 $n = 3$ ; + +当 $e = 2.5$ 时，切割面的序列最优解为 [mathcai2][3,1,5,4,6,2]、[3,5,1,4,6,2] 或 [3,5,4,1,6,2], 前两组解的调整刀具次数均为 $n = 3$ , 第三组解的调整刀具次 $n = 1$ ; + +当 $2.5 \leq e \leq 15$ 时，切割面的序列最优解为 [mathcai3] [3, 5, 1, 4, 6, 2], 调整刀具次数 $n = 1$ . + +对于问题a),b),c)直接运行即可得出结果.而对于问题d)，由于 $\mathbf{e}$ 的值在某闭区间内连续变化，因此需“离散”化处理．设 $e = 2,e = e + 0.5\times i,(i = 1,2,\dots ,25,26)$ ，每次输入一组 $(e_i,r)$ ，得出其最优解、最小加工费用，然后分析最优解的变化规律. + +最小加工费用值随 $e$ 值变化如下表： + +
序号12345...252627
e22.533.54...1414.515
f/(元)443.5445445.5446446.5...456.5457457.5
+ +由上表分析可知， $e = 2 \rightarrow 2.5$ 时， $f$ 每次增加1.5. 而 $e = 2.5 \rightarrow 15$ 时， $f$ 每次增加0.5. 这是因为临界点 $e = 2.5$ 时，最优解发生了变化。 $e$ 的增加必将减少最优解的调整刀具次数。 $e = 2$ 时调整刀具次数 $n = 3$ ，而 $e$ 增至2.5时， $n = 3$ 或1； $e$ 继续增大时， $n = 1$ + +# 七、模型评价 + +模型特色在于它深入研究了不同切割方式的特点，找出了若干优势准则，运用这些准则只需考虑至多25个切割方式就可以找到最优切割方案。优化方便，而且可以将之扩大应用于一般性 $n$ 面体的截断切割问题。 + +# 参考文献 + +[1] 钱颂迪, 运筹学, 清华大学出版社, 北京, 1990. +[2] 郭耀煌等，运筹学与工程系统分析，中国建筑工业出版社，北京，1986. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\234\200\344\274\230\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\346\250\241\345\236\213/\346\234\200\344\274\230\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\234\200\344\274\230\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\346\250\241\345\236\213/\346\234\200\344\274\230\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9215ccd78fe6b7ac7b64aa781027147d0b87b2da --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\234\200\344\274\230\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\346\250\241\345\236\213/\346\234\200\344\274\230\345\210\207\345\211\262\346\254\241\345\272\217\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,329 @@ +# 最优切割次序模型 + +陈俊 倪江 李凌 + +指导教师：包维柱 + +（清华大学，北京100084） + +编者按 本文对截断切割问题先得到伸缩换性质与交换引理，再得到 $e = 0$ 时的优化准则，并用于对 $e > 0$ 的情况进行分析。本文结构清晰，使所讨论的问题逐步深化。 + +摘要本文研究了截断切割的最优切割次序模型，利用简单的并缩变换，我们将 $p \neq 1$ 的情况统一到的情况；我们讨论了切割方式的一些性质，如描述互换相邻割对费用的影响的交换引理，同时在此基础上经严格证明给出了 $e = 0$ 时的一种十分简明的优化准则；每次选择切去长度最长的切割；在 $e > 0$ 的情况下，利用我们给出的引理及准则，我们将需考虑的不同切割方式数由最初的90种减少到不到20种。我们讨论了所建立模型的优缺点，同时也对另一种“加工费用最少者优先”的准则作了简单评估。 + +# 一、问题重述（略） + +# 二、问题分析 + +如图1建立直角坐标系， $o$ 为坐标原点．所谓用截断切割的方法从待加工长方体中加工出一个成品长方体，就是以后者的6个面为切割平面各切一刀，使切割后形成的长方体恰为成品长方体．每次切割使得待加工长方体一分为二，同时移去(舍弃)不含成品长方体的那一部分. + +如果在每次切割之后都将原本应移去的那一部分保留在原处，则很容易就可以知道，切割的总面积总是等于待加工长方体的表面积 $2(ab + bc + ca)$ ，总费用也总是一固定值(先考虑 $\epsilon = 0$ 的情况)，而不管6面的加工次序如何.正是由于切割后移去了“无用”的部分，使得其后的切割面积和费用有可能比不移去的情况少，也使得切割总面积和总费用不再与加工次 + +![](images/9bcc31489ce06413dba82259f153823cc753b6176473afcb85240ef16424c6a4.jpg) +图1 待加工长方体与成品长方体 + +序无关．而当 $e \neq 0$ 时，切割费用还和垂直换刀的次数有关；这同样表明了切割费用与切割方式(加工次序)有关．我们的任务，就是找到战一种方法来合理地安排各面的加工次序，使得总费用最小. + +由于6个面的加工次序的排列是一有限数(720)，因此费用最小的切割方式(或称最优切割方式)是存在的．而且由于文中将说到的原因，费用最小的切割方式不一定是唯一的. + +# 三、问题的假设 + +1. 待加工长方体的表面与成品长方体的表面不相接触，也即切割次数至少为6； +2. 每次截断切割的切割平面均为成品长方体的某一表面所在的平面，这样保证了没有多余的切割。也即切割次数一定为 $\epsilon$ ； +3. 水平切割指的是垂直于长方体的高（见图1）所做的切割；垂直切割指的是垂直于长方体的长或是宽所做的切割，其切割平面与长方体的高平行； +4. 我们认为加工部门有一种方法来固定加工过程中的长方体，而不需考虑切除长方体底面后的固定问题； + +5. 由后面所给的定理一的推论可知，任一 $r \neq 1$ 的切割模型的求解，可以通过伸缩变换等价地转换为一个 $r = 1$ 的切割模型的求解。因此，除非另有说明，我们假定模型的 $r = 1$ ； +6. 在 $r = 1$ 的前提下，我们认为水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用均为每平方厘米 1 元，同时认为费用单位为元、面积单位为平方厘米。这样，在文中将每次切割的面积与切割的费用（不包括换刀费用）等同对待。 + +另外，文中用“长方体”表示待加工长方体与正在加工过程中的长方体. + +# 四、模型建立及符号说明 + +建模中所用的符号及一些术语说明如下： + +$a, b, c$ ： 待加工长方体的长、宽、高. + +$a_{1}(a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2})$ ： 待加工长方体和成品长方体两者的左侧面（右侧面、正面、背面、底面、顶面）之间的距离，也称为切去长度. + +$a_{1}$ 切割：沿着成品长方体的左侧面所做的使得长方体的长减少 $a_{2}$ 的切割. 切割只表明切割的方位，而和长方体的切割历史无关， + +$a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 切割：含义类同切割 + +$a(b,c)$ 类切割： $\mathbf{a}_{1}(b_{1},c_{1})$ 切割与 $c_{2}(b_{2},c_{2})$ 切割统称为 $a(b,c)$ 类切割. + +同类切割，异类切割：同属于 $a$ 类切割或 $b$ 类切割或 $c$ 类切割的两种切割为同类切割，否则为异类切割. + +$\Gamma = x_{1}x_{2}r_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ 表示一种切割方式， $x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ 为 $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ 切割的一个排列， $\pmb{x_i}$ 表示第 $_i$ 次切割. + +$x_{i} = x_{j}^{\prime}$ 表示 $x_{i}$ 与 $x_{j}^{\prime}$ （在各自的模型中）同为 $a_1$ （或 $a_2,b_1,b_2,c_1,c_2)$ 切割. + +$f_{i}$ ： $x_{i}$ 的切割费用(不含换刀费用). + +$f(\Gamma, e)$ : 切割方式 $\Gamma$ 的加工费用，当 $e = 0$ 时简记为 $f(\Gamma)$ . 它是切割费用与换刀费用的总和. + +$l_{i}$ ： $x_{i}$ 的切去长度. + +我们在文中还将不加说明地使用这些符号的一些变形(如带撇、带下标等), 它们的含义通过上下文可以容易地确定. 例如, 我们认为 $\Gamma^{\prime} = x_{1}^{\prime}x_{2}^{\prime}x_{3}^{\prime}x_{4}^{\prime}x_{5}^{\prime}x_{6}^{\prime}$ 是记号 $\Gamma = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ 的带撇的变形, 且 $l_{i}^{\prime}$ 即为 $\hat{x}_{i}^{\prime}$ 的切去长度. + +切割模型为 $M = \{a, a_1, a_2, b, b_1, b_2, c, c_1, c_2, e, r\}$ , 是一个 11 元的有序序列. 模型的求解就是要针对 $M$ 得到一个切割方式 $\Gamma_{\min}$ , 使得 $f(\Gamma_{\min}, e) = \min_{\Gamma} f(\Gamma, e)$ + +# 五、模型求解 + +# 1. 伸宿交换 + +水平切割与垂直切割在费用上有 $r$ 倍的差别，这是由实际的工艺决定的。但这样却使切割的模型复杂化了。其实，有如下定理： + +定理1设某一 $r\neq 1$ 的切割模型 $M = \{a,a_{1},a_{2},b,b_{1},b_{2},c,c_{1},c_{2},e,r\}$ ，其任一切割方式为 $\Gamma = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6};$ （20 $M$ 经如下伸缩变换 + +$$ +a ^ {\prime} = a \sqrt {r}, \quad a _ {1} ^ {\prime} = a _ {1} \sqrt {r}, \quad a _ {2} ^ {\prime} = a _ {2} \sqrt {r}, +$$ + +$$ +b ^ {\prime} = b \sqrt {r}, \quad b _ {1} ^ {\prime} = b _ {1} \sqrt {r}, \quad b _ {2} ^ {\prime} = b _ {2} \sqrt {r}, +$$ + +$$ +c ^ {\prime} = c \sqrt {r}, \quad c _ {1} ^ {\prime} = c _ {1} \sqrt {r}, \quad c _ {2} ^ {\prime} = a _ {2} \sqrt {r}, \tag {1} +$$ + +后得到另一 $r' = 1$ 的模型 $M' = \{a', a_1', a_2', b', b_1', b_2', c', c_1', c_2', e, r' = 1\}$ , $\Gamma$ 在 $M'$ 中的对应切割方式为 $\Gamma' = x_1' x_2' x_3' x_4' x_5' x_6'$ , 则有 $f(\Gamma, e = f(\Gamma', e)$ . $\Gamma$ 与 $\Gamma'$ 互为对应切割方式指的是 $x_i = x_i'$ , $\forall i = 1 - 6$ . 对应切割方式的存在性与唯一性十分显然. + +证 先考虑第一次切割。由变换 (1) 及 $x_{1}$ 与 $x_{1}^{\prime}$ 的对应性，同时考虑到两个模型的 $r$ 与 $r^{\prime}$ 不同，则 $x_{1}$ 的切割费用 $f_{1}$ 与 $x_{1}^{\prime}$ 的费用 $f_{1}^{\prime}$ 有如下关系： + +$$ +f _ {1} ^ {\prime} = \left\{ \begin{array}{l l} {{b ^ {\prime} c ^ {\prime} = b \sqrt {r} \cdot c / \sqrt {r} = b c}} & {{(a \text {类 切 割})}} \\ {{c ^ {\prime} a ^ {\prime} = c \sqrt {r} \cdot a \sqrt {r} = c a}} & {{(b \text {类 切 割})}} \\ {{r ^ {\prime} a ^ {\prime} b ^ {\prime} = a \sqrt {r} \cdot b / \sqrt {r} = r a b}} & {{(c \text {类 切 割})}} \end{array} \right\} = f _ {1}. +$$ + +由于 $\Gamma'$ 是 $\Gamma$ 在模型 $M'$ 中的对应切割方式，由假设2可知模型 $M$ 与 $M'$ 在 $x_{1}$ 与 $x_{1}'$ 切割之后分别剩余的长方体的尺寸及成品长方体的位置，仍满足(1)的比例关系，因此以上的讨论适用于所有的六次切割，也即有 $f_{i}^{\prime} = f_{i} (i = 1 - 6)$ 。另外，显然 $\Gamma'$ 和 $\Gamma$ 两个解的垂直换刀次数是一样的，可设为 $k$ ，则有加工费用。 + +推论对任一 $r \neq 1$ 的切割模型 $M'$ ，存在一个 $r' = 1$ 的模型 $M$ ，使得 $M'$ 的任一最优切割方式在 $M$ 中的对应切割方式是 $M$ 的最优切割方式；反过来， $M$ 的任一最优切割方式在 $M'$ 中的对应切割方式也是 $M'$ 的最优切割方式。也即模型 $M$ 的求解可转化为模型 $M'$ 的求解。 + +证取 $M^{\prime}$ 为 $M$ 经伸缩变换后所得的 $r^{\prime} = 1$ 的模型．设 $\Gamma^{\prime}$ 是 $M^{\prime}$ 的任一最优切割方式，其在 $M$ 中的对应切割方式为 $\Gamma$ 若 $\Gamma$ 不是 $M$ 的最优切割方式，则必存在 $\Gamma_{1}$ 使得 $f(\Gamma_1,e) < f(\Gamma ,e)$ ，从而由定理一， $\Gamma_{1}$ 在 $M^{\prime}$ 中的对应切割方式 $\Gamma_1^\prime$ 满足 $f(\Gamma_1',e) = f(\Gamma_1,e) < f(\Gamma ,e) = f(\Gamma ',e)$ .这与假设 $\Gamma^{\prime}$ 是 $M^{\prime}$ 的最优切割方式矛盾．故 $\Gamma$ 也是 $M$ 的最优切割方式．同理可证反过来的情形. + +由定理一的推论可知，对 $r \neq 1$ 的切割模型的求解，可以通过伸缩变换等价地转换为求解一 $r = 1$ 的切割模型。因此，除非另有说明，在以后的讨论中我们默认模型的 $r = 1$ 。 + +2. 不考虑刀具调整费用 $(e = 0)$ + +本节讨论当 $e = 0$ 时模型的求解。此时，切割方式 $\Gamma$ 的加工费用为 + +$$ +f (\Gamma) = \sum_ {i = 1} ^ {6} f _ {i}. \tag {2} +$$ + +引理1(交换引理）设切割方式 $\Gamma = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ ， $\Gamma$ 经交换相邻的两次切割 $x_{i},x_{i + 1}$ 后得到另一种切割方式，则有： + +(1) 若 $x_{i}, x_{i+1}$ 为同类切割，则 $f(\Gamma) = f(\Gamma')$ +(2) 若 $x_{i}, x_{i+1}$ 为异类切割. 则 + +$$ +l _ {i} > l _ {i + 1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) < f \left(\Gamma^ {\prime}\right) \quad l _ {i} = l _ {i + 1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) = f \left(\Gamma^ {\prime}\right) \quad l _ {i} < l _ {i + 1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) > f \left(\Gamma^ {\prime}\right). +$$ + +证 由费用计算公式 (2)： + +$$ +f (\Gamma) = \sum_ {k = 1} ^ {i - 1} f _ {k} + f _ {i} + f _ {i + 1} + \sum_ {k = i + 2} ^ {6} f _ {k}, \quad f (\Gamma^ {\prime}) = \sum_ {k = 1} ^ {i - 1} f _ {k} ^ {\prime} + f _ {i} ^ {\prime} + f _ {i + 1} ^ {\prime} + \sum_ {k = i + 2} ^ {6} f _ {k} ^ {\prime} +$$ + +显然，由 $\Gamma'$ 的形式知当 $1 \leq k \leq i - 1$ 时， $f_k = f_k'$ ；而且，因为 $\Gamma$ 与 $\Gamma'$ 的不同仅在于它们互换了第 $i, i + 1$ 次切割的顺序，所以采用 $\Gamma$ 的前 $i + 1$ 次切割后得到的长方体与采用 $\Gamma'$ 的前 $i + 1$ 次切割后得到的长方体是相同的，又 $i + 2 \leq k \leq 6$ 时 $x_k' = x_k$ ，所以 $i + 2 \leq k \leq 6$ 时 $f_k' = f_k$ 。这样， + +$$ +f (\Gamma) - f \left(\Gamma^ {\prime}\right) = f _ {i} + f _ {i + 1} - f _ {i} ^ {\prime} - f _ {i + 1} ^ {\prime}. +$$ + +第 $i - 1$ 次切割后 $\Gamma$ 得到的长方体的长、宽、高与 $\Gamma^{\prime}$ 得到的长方体的长、宽、高是相同的，设它们分别为 $a^\prime ,b^\prime ,c^\prime$ + +若 $x_{i}, x_{i+1}$ 为同类切割，不失一般性设其为 $a_{1}, a_{2}$ 切割，则 $f_{i} = b'c', f_{i+1} = b'c'; f_{i}' = b'c'$ ， $f_{i+1}' = b'c'$ 。 + +从而 $f(\Gamma) = f(\Gamma')$ + +若 $x_{i}, x_{i+1}$ 为异类切割。不失一般性设其为 $a_{1}, b_{1}$ 切割，则 $l_{i} = a_{1}$ ， $l_{i+1} = b_{1}$ ， $f_{i} = b'c', f_{i+1} = (a' - a_{1})c'$ ， $f_{i}' = a'c', f_{i+1}' = (b' - b_{1})c'$ 。从而 $f(\Gamma) - f(\Gamma') = b'c' + (a' - a_{1})c' - a'c' - (b' - b_{1})c' = (b_{1} - a_{1})c'$ 考虑到 $c' > 0$ ，则有 + +$$ +a _ {1} > b _ {1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) < f \left(\Gamma^ {\prime}\right) \quad a _ {1} = b _ {1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) = f \left(\Gamma^ {\prime}\right) \quad a _ {1} < b _ {1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) > f \left(\Gamma^ {\prime}\right) +$$ + +由 $x_{i}, x_{i+1}$ 的一般性，我们可得所求结论： + +$$ +l _ {i} > l _ {i + 1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) < f \left(\Gamma^ {\prime}\right) \quad l _ {i} = l _ {i + 1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) = f \left(\Gamma^ {\prime}\right) \quad l _ {i} < l _ {i + 1} \Longleftrightarrow f (\Gamma) > f \left(\Gamma^ {\prime}\right) +$$ + +定义（正规切割方式）若切割方式 $\Gamma = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ 满足当 $x_{i},x_{i + 1}$ 为同类切割时 $l_{i}\geq l_{i + 1},\forall i = 1 - 5,$ 则称为正规切割方式. + +定义 (等价正规切割方式) 根据引理 1(交换引理), 交换任一切割方式 $\mathbf{r}$ 中相邻的同类切割, 加工费用不变, 所以我们可以把 $\mathbf{r}$ 化为加工费用相同的正规切割方式 $\mathbf{r}^{\prime}$ . $\mathbf{r}^{\prime}$ 即称为 $\mathbf{r}$ 的等价正规切割方式. + +定义（有序切割方式）若切割方式 $\Gamma$ 满足 $l_{i} \geq l_{i+1}, \forall i=1,5$ ，则称 $\Gamma$ 为有序切割方式。有序切割方式一定是正规切割方式。 + +引理2（最少费用引理）若正规切割方式 $\Gamma = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ 不是有序切割方式，则 $\Gamma$ 不是费用最少的. + +证 $\Gamma$ 是正规切割方式，但不是有序切割方式，因此 $\exists i$ ，使得 $l_{i} < l_{i+1}$ 且 $x_{i}, x_{i+1}$ 为异类切割，再由交换引理知存在加工费用更少的切割方式. + +引理3(有序切割引理)若切割方式 $\Gamma$ 和 $\Gamma^{\prime}$ 均为模型 $M$ 的有序切割方式，则 $f(\Gamma) = f(\Gamma^{\prime})$ + +证 首先，易知 $l_{i} = l_{i}^{\prime}, \forall i = 1 - 6.$ 若 $x_{i} = x_{i}^{\prime}, \forall i = 1 - 3,$ 则结论显然成立. + +否则，设 $k$ 为使 $x_{i} \neq x_{i}'$ 成立的最小的 $i$ ，即 + +$$ +x _ {1} = x _ {1} ^ {\prime}, \dots , x _ {k - 1} = x _ {k - 1} ^ {\prime}, x _ {k} \neq x _ {k} ^ {\prime}. +$$ + +设 $j$ 使 $x_{j}^{\prime} = x_{k}$ ，由于当 $j < k$ 时 $x_{j}^{\prime} = x_{j} \neq x_{k}, j = k$ 时 $x_{j}^{\prime} = x_{k}^{\prime} \neq x_{k}$ ，故 $j > k$ 。这时 $l_{j}^{\prime} = l_{k} = l_{k}^{\prime}$ 。则由 $\Gamma^{\prime}$ 是有序切割方式可知 $l_{k}^{\prime} = l_{k + 1}^{\prime} = \dots = l_{j}^{\prime}$ 。 + +现对 $\Gamma'$ 进行一系列相邻交换，使 $x_j'$ 在 $\Gamma'$ 中的位置逐次前移，直到其与 $x_k'$ 交换，这样得到一个新的有序切割方式 $\Gamma''$ 。 + +$$ +\Gamma^ {\prime \prime} = x _ {1} ^ {\prime} \dots x _ {k - 1} x _ {j} ^ {\prime} x _ {k} ^ {\prime} \dots x _ {j - 1} ^ {\prime} x _ {j + 1} ^ {\prime} \dots x _ {6} = x _ {1} \dots x _ {k - 1} x _ {k} x _ {k} ^ {\prime} \dots x _ {j - 1} ^ {\prime} x _ {j + 1} ^ {\prime} \dots x _ {6} ^ {\prime}, +$$ + +由引理1, $f(\Gamma^{\prime \prime}) = f(\Gamma^{\prime})$ ，但 $\Gamma''$ 与 $\Gamma$ 在序列前部连续相同的切割的数目至少比 $\Gamma^{\prime}$ 与 $\Gamma$ 相同的数目 (即 $k$ ) 大. 以 $\Gamma''$ 代替 $\Gamma^{\prime}$ 重复上述过程，则经过不超过6次这样的过程，必可得到 $\Gamma''' = \Gamma$ ，所以 $f(\Gamma^{\prime})(\Gamma'''') = f(\Gamma)$ . + +定理2 切割方式 $\Gamma = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ 为最少费用切割方式 $\Longleftrightarrow$ 其等价正规切割方式 $\Gamma' = x_1'x_2'x_3'x_4'x_5'x_6'$ 为有序切割方式. + +证 (1) 充分性 $(\Leftarrow)$ 的证明：采用反证法 + +反设 $\Gamma$ 不是最少费用切割方式，即存在 $\Gamma'' = x_1''x_2''x_3''x_4''x_5''x_6''$ ，其加工费用最少，且 $f(\Gamma'') < f(\Gamma)$ 。不妨设 $\Gamma''$ 为正规切割方式（否则可考虑 $\Gamma''$ 的等价正规切割方式）。 + +若 $\mathbf{r}''$ 是有序切割方式，由引理3, $f(\Gamma^{\prime \prime}) = f(\Gamma^{\prime})$ ，与反设 $(\Gamma^{\prime \prime}) < f(\Gamma)$ 及 $f(\Gamma) = f(\Gamma^{\prime})$ （等价正规切割方式的定义）矛盾．若 $\mathbf{r}''$ 不是有序切割方式，则由引理2知 $\mathbf{r}''$ 的加工费用不是最少的，亦矛盾. + +由此知 $\Gamma$ 是最少费用切割方式 + +(2) 必要性 $(\Rightarrow)$ 的证明：即为引理 2 的逆否命题 + +由定理2可知有序切割序列是最优切割序列，因此在实际的切割操作中，只需考虑有序切割序列这一种最简单的情形即可。这也就是我们所给出的优化准则，即每次挑选使得切去长度最长的切割面来切割。这样得到的切割序列必定是有序切割序列，从而也就必是最优切割序列。 + +3. 考虑刀具调整费用 $(E > 0)$ + +A.加工费用曲线 + +![](images/e02faad240dcad3fa1e74c1dd5051a5ca78dfe06953d814958c275fc89b4c82d.jpg) +(a) + +![](images/2ff8bca3857469afdbffc296f1ba3795f55c3d971c94827a4479427247dbc2ec.jpg) +(b) +图2加工费用曲线 + +对于切割方式 $\Gamma$ ，设它的换刀次数为 $k, (1 \leq k \leq 3)$ ，则有加工费用 + +$$ +f (\Gamma , e) = k e + f (\Gamma). \tag {3} +$$ + +从式(3)中可以看出，如果能够得到切割方式 $\Gamma$ 在 $e = 0$ 时的加工费用 $f(\Gamma)$ ，则根据 $\Gamma$ 的垂直换刀次数 $k$ 就可以计算出任意 $e$ 值下的加工费用。根据式(3)能画出 $f \sim e$ 加工费用曲线，如图2(a)，它是一条斜率为 $k$ ，纵轴截距为 $f(\Gamma)$ 的射线。给定 $e$ 值，即可由曲线上的相应点的纵坐标得到该 $e$ 值下的加工费用。 + +根据上面的讨论，我们可以想象，若是在同一坐标系中画出模型 $M$ 的所有切割方式的费用曲线，则对于任意的 $\mathbf{e}$ 值，从图中就能找到该 $\mathbf{e}$ 值下所有曲线的最低点，即为图2(b)中的点 $s, s$ 的纵坐标即为该 $\mathbf{e}$ 值下的最小费用，而 $s$ 所在的曲线即代表了相应的最优切割方式. + +考虑到换刀次数 $k$ 相同的所有切割方式的费用曲线是一组平行射线，因而在寻求最优解时只需考虑它们中纵轴截距 $f(\Gamma)$ 最小的那条射线。如果记 $\Gamma_{k}$ 为那条射线所对应的切割方式，则我们在求最优解时就只需考虑切割方式 $\Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3}$ ，而在图上就只需考虑 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}$ 对应的三条射线。而不同 $e$ 值下的最小费用 $f_{\min}(e)$ 即为： + +$$ +f _ {\min } (e) = \min \left[ f (\Gamma_ {1}, e), \text {而} (\Gamma_ {2}, e), f (\Gamma_ {3}, e) \right], +$$ + +反映在图形上，即为虫三条 $f \sim e$ 曲线 $f(\Gamma_1, e) f(\Gamma_2, e) f(\Gamma_3, e)$ 的最靠近 $e$ 轴的片断所形成的“包络线”，称为最小费用曲线。其典型形状见图 2(b) 中的折线 PQRK。而三个截距 $f(\Gamma_1) f(\Gamma_2) f(\Gamma_3)$ 的相对位置则决定了最小费用曲线是否有突变点（转折点），及突变点的个数。从图中可以形象地看出，随着 $e$ 的增大，最优解逐渐经过每个突变点（在突变点存在的情况下）；在两个突变点之间，最优解是固定的，最小费用曲线的斜率也是固定的；而每经过一个突变点，最小费用曲线的斜率减小，最优解也发生改变。突变点处的最优解，则包括了其左右两侧曲线对应的切割方式。 + +# B. $e > 0$ 时的求最优解的考虑范围 + +对于同类切割的相互位置对加工费用的影响，我们有如下引理： + +引理4在切割方式 $\Gamma = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ 中，若 $x_{i},x_{j}$ 为同类切割，且 $l_{i}\leq l_{j},i < j,$ 则对于 + +$$ +\Gamma^ {\prime} = x _ {1} ^ {\prime} x _ {2} ^ {\prime} x _ {3} ^ {\prime} x _ {4} ^ {\prime} x _ {5} ^ {\prime} x _ {6} ^ {\prime} = x _ {1} \dots x _ {i - 1} x _ {j} x _ {i + 1} \dots x _ {j - 1} x _ {i} x _ {j + 1} \dots x _ {6}, +$$ + +有 $f(\Gamma) \geq f(\Gamma')$ . + +证不失一般性设 $x_{i},x_{j}$ 为 $\pmb{a}$ 类切割．首先 $\Gamma ,\Gamma^{\prime}$ 中换刀次数相同，所以可以不考虑换刀费用的影响．下面我们通过比较两者每次切割的费用来给出证明.： + +前 $i - 1$ 次切割中，每次切割后 $\Gamma, \Gamma'$ 得到的长方体相同，所以当 $1 \leq k \leq i - 1$ 时， $f_k = f_k'$ . 又 $\Gamma, \Gamma'$ 的第 $i$ 次切割为同类切割，所以 $f_i = f_i'$ + +第 $i$ 次切割后， $\Gamma, \Gamma'$ ，得到的长方体的长分别为 $a - l_i, a - l_j$ ，而宽和高分别相同。从第 $i + 1$ 次到第 $j - 1$ 次的切割，均不是 $a$ 类切割，所以每次切割后 $\Gamma, \Gamma'$ 得到的长方体长仍分别为 $a - l_i, a - l_j$ ，而宽和高分别相同。所以当 $i + 1 \leq k \leq j - 1$ 时， $f_k: f_k' = (a - l_i):(a - l_j)$ ，即 $f_k \geq f_k'$ 。 + +第 $j$ 次切割时， $\Gamma, \Gamma'$ 的长方体的宽和高分别相同，所以 $f_{j} = f_{j}'$ + +第 $j$ 次切割后， $\Gamma, \Gamma'$ 得到的长方体相同。从第 $j+1$ 次到第 6 次的切割，每次切割时 $\Gamma, \Gamma'$ 的长方体相同，所以当时 $j+1 \leq k \leq 6, f_k = f_k'$ 。 + +综上，可知 $f(\Gamma) \geq f(\Gamma')$ 。由 $x_{i}, x_{j}$ 的一般性，可知命题成立。 + +# + +利用以上引理，我们下面将讨论在 $\varepsilon > 0$ 时寻求最优解所需考虑的切割方式的范围. + +换刀次数 $k$ 与水平切割 $c_{1}, c_{2}$ 无关，仅与垂直 $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ 切割的顺序有关。不妨设 $a_{1} \geq a_{2}, b_{1} \geq b_{2}, c_{1} \geq c_{2}$ ，对 $\Gamma = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}x_{6}$ ，为了尽量减少加工费用，由引理4， $a_{1}$ 切割在 $\Gamma$ 中的位置应在 $a_{2}$ 切割之前， $b_{1}$ 切割应在 $b_{2}$ 切割之前， $c_{1}$ 切割应在 $c_{2}$ 切割之前。因此只需考虑这样的切割方式 $\Gamma$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ 切割的排列为下列六种之一 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} a _ {1} a _ {2} b _ {1} b _ {2}, b _ {1} b _ {2} a _ {1} a _ {2}, & (k = 1); \\ a _ {1} b _ {1} b _ {2} a _ {2}, b _ {1} a _ {1} a _ {2} b _ {2}, & (k = 2); \\ a _ {1} b _ {1} a _ {2} b _ {2}, b _ {1} a _ {1} b _ {2} a _ {2}, & (k = 3); \end{array} \right. +$$ + +当 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 的排列确定之后，则可将 $c_1, c_2$ 插入到排列中去，同时保持 $c_1$ 在前、 $c_2$ 在后的顺序，这样就可以得到完整的切割方式 $\Gamma$ 。例如把 $c_1, c_2$ 插入 $a_1a_2b_1b_2$ ，可以为 $a_1c_1c_2a_2b_1b_2$ ，或 $a_1c_1a_2b_1c_2b_2$ ，等等，可得到 $C_5^2 + C_5^1 = 15$ 种切割方式。同样，把 $c_1, c_2$ 插入 $b_1b_2a_1a_2$ 也可得 15 种切割方式，所以对 $k = 1$ 共有 30 种切割方式需要考虑。同样，对于 $k = 2, 3$ ，亦各有 30 种切割方式需要考虑。所以，一般说来，我们要考虑 90 种切割方式方能确定最优解。 + +下面我们着重分析如何把要考虑的范围尽可能缩小。在确定 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 的排列后，我们将它分成几个连续子序列的连接，使得每一子序列中的切割长度是依次（非严格）递减的，而任意相邻两个子序列的连接却不能满足连续递减的条件。我们称这样的每一个子序列为“坡”。由于在每一个坡内，切割长度的排列是有序的，由引理1可知，只有在 $c_i$ 插入某个坡后形成的子序列仍保持有序性的情况下，才可能使加工费用最少。所以在 $c_i$ 插入某个坡时，我们只需考虑使插入后形成的子序列仍保持有序性的一种插法。对于一个有 $n$ 个坡的的 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 排列，若是将 $c_1, c_2$ 均插入到同一个坡中，则有 $n$ 种方法；而将 $c_1, c_2$ 分别插入到不同的坡中，则有 $C_n^2$ 种方法。故总共有 $n + C_n^2 = C_{n+1}^2$ 种方法。一般说来，这样所确定的考虑范围已大大小于原先所说的30种的范围。下面我们具体地来看看此时需考虑范围的大小。 + +$k = 1$ 时，需要把 $c_{1}, c_{2}$ 插入 $a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}, b_{1}b_{2}a_{1}a_{2}$ . + +若 $a_2 \geq b_1$ , 则 $a_1 a_2 b_1 b_2$ 中, $a_1 \geq a_2 \geq b_1 \geq b_2$ , 只存在一个坡, 把 $c_1, c_2$ 插入 $a_1 a_2 b_1 b_2$ , 只有 1 种方法; 而 $b_1 b_2 a_1 a_2$ 中, 因为 $b_2 \leq b_1 \leq a_2 \leq a_1$ , 所以存在两个坡 $b_1 b_2, a_1 a_2$ 、把 $c_1, c_2$ 插入 $b_1 b_2 a_1 a_2$ , 共有 $C_3^2 = 3$ 种方法. 事实上, 把 $c_1, c_2$ 插入 $a_1 a_2 b_1 b_2$ 的那种方法已经是有序切割方式, 即已为最优解, 所以把 $c_1, c_2$ 插入 $b_1 b_2 a_1 a_2$ 的 3 种方法其实不用考虑. 因此, 共只需考虑 1 种切割方式. + +若 $a_2 < b_1$ ，则 $a_1 a_2 b_1 b_2$ 中， $a_1 \geq a_2, a_2 < b_1, b_1 \geq b_2$ ，有两个坡 $a_1 a_2, \quad b_1 b_2$ 。把 $c_1 c_2$ 插入 $a_1 a_2 b_1 b_2$ ，共有 $C_3^2 = 3$ 种方法；而 $b_1 b_2 a_1 a_2$ 中，当 $b_2 \geq a_1$ 时有一个坡，对应 1 种方法，当 $b_2 < a_1$ 时有两个坡，对应 3 种方法。所以 $a_2 < b_1$ 时共需考虑 4 种或 6 种切割方式。 + +这样，我们把 $k = 1$ 时的考虑范围由30种缩小为1种或4种或6种 + +用同样的方法， $k = 2$ 时，考虑范围由30种缩小为1种或6种． $k = 3$ 时，考虑范围由30种缩小为1种或6种．因此，这样总的考虑范围就不超过 $6 + 6 + 6 = 18$ 种. + +综上，引入坡的概念后，用我们的方法，极大地缩小了考虑范围，用手工计算也能很快求得最优解. + +# 4.具体问题求解 + +下面用题目中所给的实例来验证我们的方法。实例中的数据在我们的模型中体现为： $a_1 = 6, a_2 = 1, b_1 = 7, b_2 = 5.5, c_1 = 9, c_2 = 6$ 。 + +按照定理二，我们可以求出a题、b题、c题这三种 $e = 0$ 情况下的最优解： + +
题号题目条件费用最少的切割方式 Γ最少切割费用 f(Γ)
ar=1, e=0c1b1a1c2b2a2374
c1b1c2a1b2a2
br=1.5, e=0b1a1c1b2c2a2437.5
b1c1a1b2c2a2
cr=8, e=0b1a1b2c1a2c2540.5
+ +再来看d题，条件为 $r = 1.5,2\leq e\leq 15$ 是属于 $e > 0$ 的情况．我们对 $e > 0$ 的情况的讨论来求解此题，过程如下： + +(1) $e = 0$ 时，用“坡”的概念可以求出 + +$$ +\Gamma_ {1} = b _ {1} c _ {1} b _ {2} a _ {1} c _ {2} a _ {2}, +$$ + +$$ +f (\Gamma_ {1}) = 4 4 2. 5, +$$ + +$$ +\Gamma_ {2} = a _ {1} b _ {1} c _ {1} b _ {2} c _ {2} a _ {2}, +$$ + +$$ +f \left(\Gamma_ {2}\right) = 4 5 6. 5, +$$ + +$$ +\Gamma_ {3} = b _ {1} a _ {1} c _ {1} b _ {2} c _ {2} a _ {2} \text {或} b _ {1} c _ {1} a _ {1} b _ {2} c _ {2} a _ {2}, +$$ + +$$ +f \left(\Gamma_ {3}\right) = 4 3 7. 5: +$$ + +(2) 画出三条 $f \sim e$ 曲线 (如图3), 可以得到突变点为 $e = 2.5$ , 进一步有如下结果: + +
e的取值费用最少切割方式
2≤e<2.5b1a1c1b2c2a2b1c1a1b2c2a2
e=25b1a1c1b2c2a2b1c1a1b2c2a2b1c1b2a1c1a2
2.5<e≤15b1c1b2a1c2a2
+ +![](images/cb07c2698564e152821b0d21256066412eeb3ac376bad93b4ccddb94831aaeec.jpg) +图3 + +# 六、模型评价（及改进） + +在我们的模型中，首先，我们通过简单的伸缩变换，把 $r \neq 1$ 的情况化为 $r = 1$ 的情况，使得 $r \neq 1$ 的情况和 $r = 1$ 的情况可以统一处理。然后，我们对 $e = 0$ 的情况进行了深入讨论，得到了一个经严格证明的极其简明的最优化准则，即每次选择使得切去长度最长的切割面来切割，或简单地说，“长者优先”。在此基础上，我们对 $e > 0$ 的情况给出了一种需考虑范围较少的解法。我们首先从图形上直观地解释了当 $e$ 增大时，最优的切割方式可能存在突变，同时指出只需考虑在 $e = 0$ 时三种换刀次数下各自的最优解（及其加工费用），即可找到 $e$ 为任意值时的最优解。最后我们给出了一个把考虑范围从90种切割方式缩小为不超过18种的方法。在附录中我们还给出了切割的“贡献”这一概念，并且利用这种概念的深刻的物理内涵，证明了全文的基础，即交换引理。 + +总的来说，我们的模型准确地描述了截断切割问题，而我们所引入的若干概念及定理，使得模型的求解既严密又优美，同时得到了极好的结果。但其对于 $e > 0$ 的情况没有得到简明的准则，只是把考虑范围缩小为不大于18种。相对于原先的720种或是90种，18种已是一种手工操作可以接收的数，但有时仍显略多。 + +顺便指出 (1) 题目中的 2) 所提出的“每次选择加工费用最少的待切面切割”的切割准则是没有道理的。完全可以设计一种例子，使得即使在 $e = 0$ 的条件下用这种准则求得的切割方式的费用是最多的。如一种例子为 $a = 10, b = 7, c = 4$ ， $a_1 = 1, a_2 = 1.5, b_1 = 1.6$ ， $b_2 = 1.7, c_1 = 1.8, c_2 = 1.9$ ，而 $r = 1, e = 0$ 。用该准则得到的切割方的费用为 171.5，恰为切割费用的最大值。（2）本题没有必要用计算机搜索所有切割方式来求解。但如果实际的切割车间有计算机，则简单的穷举法即可胜任求最优解的任务。 + +我们的模型很容易推广到成品长方体与待加工长方体有重合面的情况。它也容易被推广到水平切割与垂直切割之间需要额外换刀费用的更复杂情形。 + +# 七、附 录(略) \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\345\210\207\345\211\262\347\255\226\347\225\245/\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\345\210\207\345\211\262\347\255\226\347\225\245.md" "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\345\210\207\345\211\262\347\255\226\347\225\245/\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\345\210\207\345\211\262\347\255\226\347\225\245.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..842f83de21d00afcd37828c4f1a48e2134b5fe93 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\345\210\207\345\211\262\347\255\226\347\225\245/\346\234\200\345\260\217\350\264\271\347\224\250\345\210\207\345\211\262\347\255\226\347\225\245.md" @@ -0,0 +1,307 @@ +# 最小费用切割策略 + +崔龙 龚玉萍 汪霖 + +指导教师： 王开华 + +（南京通信工程学院，南京210016） + +编者按 本文在目标函数表达式、优化准则、启发式算法等方面都有清晰的叙述和讨论. + +摘要 本文对于寻求费用最小的切割方式这一有限状态的离散问题，建立了优化模型，通过对该模型的讨论与求解，解决了问题一至五. + +首先，对于问题一，运用给出的平行相邻等效定理，求得了需考虑的不同切割方式的总数为426. + +其次，本文建立了寻求费用最小切割方式的优化模型，在该模型的求解中： + +(1) 用穷举法得到了所有费用最小的切割方式； +(2) 给出并证明了平行切割厚者优先定理. 缩小了搜索范围; +(3) 引入并改进了人工智能领域的算法，求得全部费用最小的切割方式，对三种不同的启发函数进行了讨论、比较。 + +然而，对 $e = 0$ 的情况下给出了等效厚度厚者优先切割准则，同时文中还讨论该准则在 $e \neq 0$ 时的适用性： + +此外，对原题问题三所提出的准则从两个方面进行了评价；并给出了问题五所要求的费用最小的所有切割方式. + +最后，通过变换，将结论的应用范围推广到一般平行六面体的切割问题 + +# 一、建模准备 + +# 基本假设 + +(H1) 每切割一刀后，将待加工的部分留在工作台上，各个面的位置关系保持不变，而将被切割下的部分取走，不予考虑. +(H2) 加工费用为切割费用和调整刀具的费用之和，其它的费用 (如刀具磨损费等)，本文不作讨论. +(H3) 刀具在水平切割与垂直切割之间进行转换时，刀具的调整不需要额外费用；但当先后两次垂直切割的平面不平行时，不管它们之间是否穿插水平切割，调整刀具均需要额外费用。以下讨论的调整刀具特指垂直方向间的调整。 + +# 题意澄清 + +(1) “与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的”, 其含义是事先固定长方体在水平工作台上的放置方式, 相应地确定了水平切割面和垂直切割面. +(2) 建立如图一的直角坐标系来明确待切. 割长方体和成品长方体各个面的空间位置关系. + +图中 $O^{\prime}(0,0,0),L^{\prime}(a_{1},b_{1},c_{1})$ 为待加工长方体的体对角线的两顶点坐标； + +![](images/0b9462459fd412a471c1afd6d69623db8ec49355c66954ed29b00a221c222fbf.jpg) +图1待切割长方体和成品长方体位置图 + +$O(a_{3},b_{3},c_{3}),L(a_{2},b_{2},c_{2})$ 为成品长方体的体对角线的两顶点坐标 + +为了表述方便, 我们将待加工的长方体和成品长方体各个面进行编号, 其对应关系如下: $1(1'), 2(2'), 3(3'), 4(4'), 5(5'), 6(6')$ 分别表示待加工的长方体和成品长方体的右侧面、背面、上底面、左侧面、正面、下底面. + +符号说明 + +1. $\beta$ ：表示切割方式， $\beta = (i_1,i_2,i_3,i_4,i_5,i_6)$ ，(其中 $i_k$ 表示第 $k$ 次切割的面的编号)，它反映了切割的先后顺序. +2. $A$ ：所有的 $\beta$ 组成的集合． $|A|$ 表示 $\pmb{A}$ 中元素的个数．在本文中 $|A| = P_{6}^{6}$ +3. $P(\beta)$ ：切割方式为 $\beta$ 时的切割费用， $T(\beta)$ ：切割方式为 $\beta$ 时的刀具调整的次数， $C(\beta)$ ：切割方式为 $\beta$ 时的加工费用， $C(\beta) = P(\beta) + T(\beta)\cdot e;$ +4. $d_{j}$ ：成品长方体 $j$ 面的等效厚度， + +$$ +d _ {j} = \left\{ \begin{array}{l l} t _ {j}, & \text {第} j \text {为 水 平 面}; \\ r \cdot t _ {j}, & \text {第} j \text {为 垂 直 面}; \end{array} \right. +$$ + +其中 $t_j$ 表示成品长方体第 $j$ 面到待切割长方体第 $j'$ 面的距离； + +# 二、问题一的解答 + +问题一要求计算需考虑的不同切割方式(即各面的加工次序)的总数。我们关注的重点是费用。在所有的切割方式中，有些切割方式，例如切割方式(4.1.6.2.5.3)和切割方式(1,4,6.2.5.3)，对任意尺寸和位置的待加工长方体和成品长方体，其加工费用都相等。那么我们只要考虑其中的一种切割方式就行了。这样，我们需要考虑的不同的切割方式的总数就是所有加工费用可能不同的切割方式的总数，记为 $N$ 则考虑这 $N$ 种切割方式的加工费用后，一定不会漏掉任何一种加工费用不同的切割方式。 + +记 $I = \{C(\beta) \mid \beta \in A\}$ ，则 $\coloneqq \max \{I\}$ . + +定理1（平行相邻等价定理）： + +在 $\alpha = (i_1, \dots, i_{k-1}, i_k, i_{k+1}, i_{k+2}, \dots, i_6)$ , $\beta = (i_1, \dots, i_{k-1}, i_k, i_{k+1}, i_{k+2}, \dots, i_6)$ 中，若 $|i_k - i_{k+1}| = 3$ 则 $C(\alpha) = C(\beta)$ . 证明略. + +记： $P = \{\beta |\beta$ 中4与1相邻且4在1前面}； $Q\{\beta |\beta$ 中5与2相邻且5在2前面}； $R = \{\beta |\beta$ 中6与3相邻且6在3前面}。 + +则 $|P| = |Q| = |R| = P_5^5; |P \cap Q| = |Q \cap R| = |P \cap R| = P_4^4; |P \cap Q \cap R| = P_3^3$ ；则 + +$$ +\begin{array}{l} N \leq | A | - \overline {{P \cup Q \cup R}} \\ = P _ {6} ^ {6} - | P | - | Q | - | R | + | P \cap Q | + | Q \cap R | + | P \cap R | - | P \cap Q \cap R | = 4 2 6 \\ \end{array} +$$ + +这样得到了 $N$ 的上界为 426. + +在给定的一组初值的情况下，求出了426种各不相同的加工费用值。说明至少要考虑426种切割方式，即 $N$ 的下界也为426，即 $N \geq 426$ 。所以 $N = 426$ 。 + +# 三、模型建立与求解 + +模型的建立 + +我们的问题是在 $\mathbf{A}$ 中选取合适的 $\beta$ ，使 $C(\beta)$ 最小目标函数为： + +$$ +\min C (\beta) = \sum_ {m = 1} ^ {6} r (i _ {m}) S _ {m} \left(i _ {1}, i _ {2}, \dots , i _ {m}\right) + T (\beta) \cdot e +$$ + +s.t. $i_m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, m = 1, 2, \dots, 6$ （20 $i_m$ 两两互不相等， + +$$ +r (i _ {m}) = r, \quad i _ {m} = 3, 6; \quad r (i _ {m}) = 1, \qquad i _ {m} \text {为 其 它}. +$$ + +其中 $S_{m}(i_{1},i_{2},\dots ,i_{m})$ 为在前 $m - 1$ 次切割顺序为 $(i_1,i_2,\dots ,i_{m - 1})$ 时第 $m$ 次切割待加工长方体第 $i_m$ 面所形成的截断面的面积. + +为了求解模型，我们先引入代价树 $\mathbf{T}$ 来描述切割的过程(略). + +注 $S_{0}$ 为结点：表示初始状态，即待加工的长方体； $S_{ij}(1 \leq i \leq 5, 1 \leq j \leq P_6^i)$ 为结点；表示中间状态，即已切割掉一些面的待加工长方体； $i$ 为代价树的层数； $j$ 为同一层中结点的序号； $S_{\alpha,k}(1 \leq k \leq p_6^k)$ 为叶结点，它表示已经切割成成品长方体. + +从结点 $S_{i,j}(1 \leq i \leq 6, 1 \leq j \leq p_6^i)$ 转移到结点 $S(i + 1)_k(1 \leq k \leq P_6^{i + 1})$ 的边赋上一定的权值 $d(S_{i,j}, S_{(i + 1), k})$ 表示这一转移所付出的代价，即从状态 $S_{i,j}$ 到 $S_{(i + 1), k}$ 切割一次所需的费用。如果前后切割需要刀具调整，则它还包括调整刀具的费用。 + +从根结点 $s_0$ 到每一个第6级叶结点 $S_{\mathfrak{e},\mathfrak{k}}(1 \leq k \leq P_{\mathfrak{o}}^{\mathfrak{e}})$ 的路对应了一个切割方式，那么从 $s_0$ 到 $S_{\mathfrak{e},\mathfrak{k}}$ 的代价之和即为该切割方式的加工费用，原问题即转化为求此代价树的最小代价路径. + +求此最小代价路径有如下的几个方向： + +(1) 穷举出所有路径的代价；(2) 寻求一些必要条件来减少搜索的路径；(3) 引入并改进启发式搜索法——A*算法； + +# 一、穷举法及其改进 + +欲寻求有限代价树的最小代价路径，采用穷举法一定能够找到最优解。显然，如果不附加任何约束条件，一般的穷举法需遍历所有的路径，即搜索 $P_{6}^{6} = 720$ 条路径。其效率是比较低的，为此我们对穷举法进行改进如下： + +# 1. 平行相邻切割改进法 + +由定理1, 对于一种切割方式, 如果其中有相邻的两次切割面平行, 交换这两次切割次序, 则加工费用一定相等. 由前面的求解可知只需搜索426条路径. + +# 2. 平行厚度优先改进法 + +引理如果 $t_4 > t_1$ ，则切割方式 $\alpha = (4,i_2,\dots ,i_{n - 1},1,i_{n + 1},\dots ,i_6)$ ，所需的加工费用不大于 $\beta = (i_1,i_2,i_{n - 1},4,$ $i_{n + 1},\dots ,i_{c})$ 所需的加工费用，即 $C(\alpha)\leq C(\beta)$ + +定理2（平行切割厚者优先定理）如果 $t_j > t_k$ ，且 $|j - k| = 3$ ，则切割方式 $\alpha = (i_1, \dots, i_{n-1}, j, i_{n+1}, \dots, i_{m-1}, k, i_{m+1}, \dots, i_6) (1 \leq n < m \leq 6)$ 所需的加工费用不大于 $\beta = (i_1, \dots, i_{n-1}, k, i_{n+1}, \dots, i_{m-1}, j, i_{m+1}, \dots, i_6)$ 所需的加工费用，即 $C(\alpha) \leq C(\beta)$ . + +证明 不妨设 $j = 4, k = 1$ . + +可以分以下两种情况讨论： + +1. $n = 1$ 时，即 $\beta$ 中 $k$ 是第1次切割， $\alpha$ 中 $j$ 是第1次切割．则根据引理， $C(\alpha) \leq C(\beta)$ . +2. $n > 1$ 时，显然，两种情况下 $i_1, \dots, i_{n-1}$ 加工费用是相同的，设加工费用为 $C_1$ . + +设初始状态时长方体为 $\lambda$ 经过 $i_1, \dots, i_{n-1}$ 切割后成为长方体 $\lambda'$ 考虑对长方体 $\lambda'$ 的两种切割顺序： + +$$ +k, i _ {n + 1}, \dots , i _ {m - 1}, j, i _ {m + 1}, \dots , i _ {6}; \quad j, i _ {n + 1}, \dots , i _ {m - 1}, k, i _ {m + 1}, \dots , i _ {6} +$$ + +将两种切割方法补充 $n - 1$ 次虚切割 $i_1^*, \dots, i_{n - 1}^* (i_1^* = i_1, \dots, i_{n - 1}^* = i_{n - 1}$ , 虚切割 $i_j^*$ 与 $i_j (j = 1, \dots, n - 1)$ 切割的位置相同, 但切割下去的体积为 0 , 代价也为 0 ), 则补充后的切割方法也是一个完整的切割方式. 根据引理可得: $C(\alpha) \leq C(\beta)$ . + +同理可得： $j = 5,k = 2$ 或 $j = 6,k = 3$ 时同样有 $C(\alpha)\leq C(\beta)$ 证毕 + +根据上面的定理，就可以将搜索的路径减少到 $P_{d}^{6} / (P_{2}^{2}, P_{2}^{2}, P_{2}^{2})$ 。大大缩小了搜索空间。 + +# （二）、启发式搜索策略 + +为了提高搜索效率，我们引入启发式搜索法。启发式搜索法在人工智能领域中的应用已经形成了一套成熟的理论，其中有著名的 $A^*$ 算法。它具有较强的启发能力，可以大大地提高搜索效率[1]。 + +# 1. $A^*$ 算法的引入 + +如图二所示[1]，为起始结点 $s_0$ 到目标结点 $s_y$ 的一条可行路径，为该路径上的某一结点. + +# $A^{*}$ 算法定义估计函数： $f(n) = g(n) + h(n)$ + +其中 $f(n)$ 为起始结点 $S_0$ 经过 $\pmb{n}$ 结点到达目标结点 $S_{y}$ 的最小代价路径代价的估计值； $g(n)$ 是从初始结点 $S_0$ 到结点 $\pmb{n}$ 的实际代价； $h(n)$ 是从结 + +点 $n$ 到目标结点 $s_{g}$ 的最小代价路径的估计值，它体现了搜索的启发信息，称启发式函数， $A^{*}$ 算法的核心是要寻求合适的 $h(n)$ 以提高搜索效率. + +![](images/c5d70a3dcacf38ab82c9177c0d9155beef393f551ae51987b64ec552c0df4c57.jpg) +图2 $A^{\star}$ 算法的估计函数定义示图 + +类似地我们定义在图五的代价树中的加工费用估计函数： + +$$ +f \left(S _ {i, j}\right) = g \left(S _ {i, j}\right) + h \left(S _ {i, j}\right) +$$ + +其中 $f(S_{i,j})$ 为根结点 $S_0$ 经过结点 $S_{i,j}$ 到达叶结点 $S_{6,k}$ 的最小费用路径的费用估计值， $g(n)$ 是从根结点 $S_0$ 经过结点 $S_{i,j}$ 的实际费用， $h(S_{i,j})$ 是从结点 $S_{i,j}$ 到达叶结点 $S_{6,k}$ 的最小费用路径的估计费用，它同样体现了搜索的启发信息，也称启发式函数。记 $h^{*}(S_{i,j})$ 为从结点 $S_{i,j}$ 到达叶结点 $S_{6,k}$ 的最小费用。 + +当 $h(S_{i,j})$ 满足许可性条件时[1], $A^{*}$ 算法一定能搜索到从结点 $S_0$ 到达叶结点 $S_{6,k}$ 的最小费用 + +2. 启发式函数 $\mathbf{h}(s_{i,j})$ 的选择 + +下面我们具体构造出三种 $h(S_{i,j})$ 的表达式： + +(1) $h_1(S_{i,j}) \equiv 0$ ，这种特殊的情况完全缺乏有关的启发信息，算法退化为宽度优先搜索法。 +(2) $h_{2}(S_{i,j}) = \sigma_{2} - \sigma_{1}$ ; 式中 $\sigma_{2}$ 表示第 $i$ 次切割将在待加工长方体上形成的截断面的面积, $\sigma_{1}$ 表示成品长方体与该截断面重叠部分的面积. +(3) $h_{3}(S_{i,j}) = \sigma_{2} - \sigma_{1} + \sigma_{3}$ ; 式中 $\sigma_{3}$ 为第 $i$ 次切割前成品长方体尚未被切割到的各个面 (共 7—i 个) 面积之和. + +此时有 $h_1(S_{i,j})\leq h_2(S_{i,j})\leq h_3(S_{i,j})\leq h^* (S_{i,j}).$ + +针对原问题我们应用 $A^{*}$ 算法，引入OPEN表及CLOSE表编程计算，(其具体的步骤附录略).当搜索结束后CLOSE表结点数目就是算法执行过程中搜索过的结点数目，是算法效率的体现. + +我们将三种不同的启发式函数 $h(S_{i,j})$ 代入 $A^{*}$ 算法，并将 $h_1(S_{i,j}), h_2(S_{i,j}), h_3(S_{i,j})$ 时的 $A^{*}$ 算法分别记 $A_1^*, A_2^*, A_3^*$ ，计算终止后CLOSE表中结点数列于表一： + +表 1 三种搜索算法结束时 CLOSE 表结点数目表 + +
h(Si,j)A*CLOSE 表的结点数
h1(Si,j)A1*119
h2(Si,j)A2*19
h3(Si,j)A3*15
+ +由表可见上述三种启发式函数 $h(S_{i,j})$ 越来越趋近于 $h^{*}(S_{i,j})$ , 也即含有的启发信息依次增加, 从而使得搜索结束后 CLOSE 表结点数目依次减少, 搜索的效率越来越高, 此结果与算法的性质十分吻合. + +由此我们建议采用启发式函数 $h_{\mathfrak{s}}(S_{i,j}) = \sigma_{\mathfrak{s}} + \sigma_{1}$ ，这样可使得搜索的效率大大提高. + +# (三) 改进型 $A^{*}$ 算法 + +# 1. 改进方案 + +$A^{*}$ 算法的效率虽然很高，但它还存在以下两点明显的不足之处： + +(1) 搜索的空间还可以进一步的压缩；(2) $A^{*}$ 算法只能得到一个最优解，不能得到全部的最优解. + +我们对 $A^{*}$ 算法进行改进如下：首先，将平行切割厚度优先原则应用于 $A^{*}$ 算法；其次，在判断算法结束时，并不是找到OPEN表中第一个最优解（对应的最优值为 $f^{*}(S_{i,j})$ ）就结束搜索，而是继续对那些 $f(S_{i,j})$ 值与 $f^{*}(S_{i,j}^{t})$ 相同的结点，再进行扩展、判断，直到达到最低层，这样就搜索到了全部的最优路径。 + +改进后的 $A^{*}$ 算法称为改进型 $A^{*}$ 算法 + +# 2. 改进型 $A^{*}$ 算法的检验 + +固定点 $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ ，变动点 $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ ， $(a_{3}, b_{3}, c_{3})$ 中的一个，且仅沿三维坐标轴的一个变动，分别用改进型 $A_{1}^{*}, A_{2}^{*}, A_{3}^{*}$ 算法计算，从而可以评价和检验算法的效率、稳定性；并讨论当成品长方体的边长变化（即成品长方体越来越接近于待加工的长方体时）对 $A_{1}^{*}, A_{2}^{*}, A_{3}^{*}$ 的效率的影响．初始条件分别取： + +(1) $r = 1, e = 0, (a_{1}, b_{1}, c_{1}) = (10, 14.5, 19), (a_{3}, b_{3}, c_{3}) = (2, 7, 9)$ +(2) $r = 1, e = 0, (a_1, b_1, c_1) = (10, 14.5, 19), (a_2, b_2, c_2) = (7, 10, 15)$ + +具体表格、数据及分析结论略。 + +# 四、厚者优先准则 + +# 一、准则的提出 + +对于本文中有限状态的搜索问题，其最优的切割方式一定存在（用穷举法即可找到）。不妨设加工费用最小的切割方式为： $\alpha^{*} = (i_{1}^{*}, i_{2}^{*}, i_{3}^{*}, i_{4}^{*}, i_{5}^{*}, i_{6}^{*})$ ，由贝尔曼最优化原理， $\alpha^{*}$ 具有：在原长方体第 $k(1 \leq k \leq 5)$ 次切割第 $i_{k}^{*}$ 面后， $(i_{k+1}^{*}, i_{k+2}^{*}, \dots, i_{6}^{*})$ 是切割剩余长方体的最优方式。基于此性质，从最后一刀向前逆推；并结合平行切割厚者优先定理可得到 $r = 1, e = 0$ 如下简明的优化准（具体讨论略）： + +等效厚度厚者优先准则（以下简称厚者优先准则）： + +每次选择一个等效厚度最大的待切割面进行切割。当几个面的等效厚度相同时，可在其中任选一个面进行切割。 + +# 二、厚者优先准则的应用 + +为了检验此准则的实用性，我们给出一组初值，用改进型 $A^*$ 算法求出最小费用 $C^*$ ，用该准则计算出的加工费用为 $C$ ，定义偏离度 $\xi = \frac{C - C^*}{C^*} (\xi \geq 0)$ ， $\xi$ 反映了该准则的优化效果。 $\xi$ 越小则说明准则的优化效果越佳。 + +# 具体方案为 + +1. $e = 0, r = 1.5$ . 固定待加工长方体的大小，在其内部，任取两点作为成品长方体的两对角顶点，这样取1000组初始数据，分别用厚者优先准则和 $A_{3}^{*}$ 算法计算加工费用 $C$ 和 $C^{*}$ 、切割方式 $\alpha$ 与 $\alpha^{*}$ ，并比较 $\alpha$ 与 $\alpha^{*}$ 的异同。 +II. $e$ 分别为1,2,3,5,8,10,15. 按方案I的方法模拟，计算用厚度优先准则所花的加工费用 $c$ 与最优解对应的加工费用 $c^{*}$ 的相对偏差 $\xi = \frac{c - c^{*}}{c^{*}}$ 的平均值 $\bar{\xi}$ ，我们模拟得到表二. + +表 2 模拟结果表 + +
e0123581015
平均相对偏差ξ(%)00.050.21.052.305.326.8111.29
+ +由以上结果我们得出厚者优先准则具有两个明显的特点： + +1. 该准则简明易行，计算量只需经过简单的乘法计算和六个数的大小比较，就可以迅速确定一个最优的切割方式。 +2. 该准则对 $e = 0$ 的情况得到加工费用最小的切割方式；对 $e \neq 0$ 的情况，虽然不一定总能得到加工费用最小的切割方式，但用该准则得到的加工费用与最小加工费用的绝对偏差 $c - c^*$ 不会超过 $2e$ ，因此在没有计算机用穷举法和算法进行计算时，该准则仍不失为一种好的准则。 + +# 五、问题三的解答 + +问题三所给准则是：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。对于该准则，我们从两个方面来进行评价。 + +I. 用特例说明：按照该准则进行切割加工，没有使加工费用最少。 + +例 $e = 0, r = 1$ ，相应的数据如图3所示（阴影实体为成品长方体），即只需进行两次相互垂直的切割即可切出成品长方体。 + +![](images/412d01ca3bc384eed2561207a1d7fe32d14e16916d7ed66cc07d3c9611f77bb3.jpg) +图3 特例的示意图 + +![](images/9af6eddd1df152a87083a80f2adb6cb7ad8d972efa9d38d3b43ec8ea707970bc.jpg) + +按原题目问题 (3) 所给准则切割, 应先垂直切割, 其加工费用 (单位: 元) 为: $[(2 + 2) \times 2 + 4 \times 2] \times 1 = 16$ . 如不按该准则, 即交换这两次切割的次序, 先水平切割, 其加工费用为: $[(4 + 1) \times 2 + 2 \times 2] \times 1 = 14 < 16$ . 此例中按原题目问题 (3) 所给准则进行切割, 不能使加工费用最小. + +# II. 用模拟结果来评价该准则： + +在图一的坐标系中，令 $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) = (10, 14.5, 19)$ ， $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = (9, 9, 13)$ ， $(a_{3}, b_{3}, c_{3}) = (6, 7, 9)$ 。首先我们利用改进型 $A^{*}$ 算法得到最小加工费用 $C^{*}$ ；然后再利用问题（三）所给准则进行切割的加工费用与利用改进型 $A^{*}$ 算法所得的最小加工费用进行比较。在此我们采用偏离度 $\xi = \frac{C - C^{*}}{C^{*}}$ ，来衡量该准则合理的程度。 + +具体的模拟方案是 (1) 取定 $e = 0, r = 1$ , 固定 $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ 中的两个, 让另一个按一定的比率增加; (2) 取定 $r = 1.5$ , 让 $e$ 以步长 1 从 2 增加到 15 时, 固定 $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ 中的两个, 让另一个变动; 通过比较模拟结果可得: 不同的 $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ 很多种情况中除个别情况外, 偏离度 $\xi$ 都是较大, 说明该准则对于普通的情形是不合理的. + +# 六、问题五的解答 + +# 一、问题的解答 + +综合以上的讨论，当 $e = 0$ 时要得到最优的切割方式，我们可以采用穷举法、改进型的穷举法、 $A^*$ 算法、改进型 $A^*$ 算法以及厚者优先准则均得到相同的结果。当时 $e \neq$ 等效厚者优先准则所得的结果与最优解很相近，而 $A^*$ 算法、改进型 $A^*$ 算法均能得到最优的切割方式。 + +对于题中的 $a, b, c$ 三组数据，我们用上述所有的方法均可得到如下的最优解。结果如下： + +情况a最优的切割方式为 $(6,5,3,4,2,1)$ 及 $(6,5,4,3,2,1)$ 加工费用为374元. + +情况 $\mathbf{b}$ 最优的切割方式为 $(5,4,6,2,3,1)$ 及 $(5,6,4,2,3,1)$ 加工费用为437.5元 + +情况c最优的切割方式为(5,4,2,6,1,3).加工费用为540.3元 + +(注：1为右侧面、2为背面、3为上底面、4为左侧面、5为正面、6为下底面) + +情况d 解智见表三 + +表 $3r = 1.5,2\leq e\leq 15$ 时的解答 + +
e元加工费用C(元)刀具调整次数最优的切割方式α*
[0,2.5)437.5+3e3(5,4,6,2,3,1) +(5,6,4,3,2,1,)
2.54453(5,6,4,2,3,1) +(5,6,4,2,3,1)
1(5,6,2,4,3,1)
(2.5,15]442.5+e1(5,6,2,4,3,1)
+ +# 二、结果分析及讨论 + +1. $e = 0$ 时 $\pmb{r}$ 对切割方式的影响 + +$r$ 的物理意义为水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积的费用之比， $r$ 的取值对切割方式是有一定影响的。 $e = 0$ 时，根据厚者优先准则， $r$ 增大，即使实际厚度较小，也有可能使得等效厚度为最大，应予以先行切割，这样有利于减少加工费用。由结果中 $r$ 从1变到1.5再变到8时加工费用最小切割方式的变化可以看出，随着 $r$ 的增大，6和3的位置是逐次靠后的。特别是当 $r \to \infty$ ，显然第3,6面应为最后两刀切割； $r \to 0$ ，第3,6面应首先切割。 + +# 2. $e$ 对切割方式的影响 + +图和表中的数据实际上反映了调整刀具对切割方式、加工费用的影响，调整刀具的次数只可能为1次、2次或3次。当 $e = 0$ 时，调整刀具的次数不会影响最优的切割顺序，当 $e$ 充分大时，显然应该让调整的次数尽量少，最好为1次。在本例中，由于原始数据的巧合，调整的次数由3次直接跳变为1次更为一般的情况 $C \sim e$ 是的曲线分成三段。 + +# 七、模型的推广 (略) + +# 参考文献 + +[1] 何华灿等编著，人工智能导论，西北工业大学出版社，西安1988. +[2] 邵嘉裕著，组合数学，同济大学出版社，上海1991. +[3] 李建德等编著，动态规划及其应用，国防工业出版社，1994. +[4] Mathematica 手册, 沈风贤等编译, 海洋出版社, 北京, 1992. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\351\225\277\346\226\271\344\275\223\346\235\220\346\226\231\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241/\351\225\277\346\226\271\344\275\223\346\235\220\346\226\231\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241.md" "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\351\225\277\346\226\271\344\275\223\346\235\220\346\226\231\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241/\351\225\277\346\226\271\344\275\223\346\235\220\346\226\231\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7679d5d4b812c0f7c6d4baf548c3fc65f5af881e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/1997/B\351\242\230/\351\225\277\346\226\271\344\275\223\346\235\220\346\226\231\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241/\351\225\277\346\226\271\344\275\223\346\235\220\346\226\231\346\210\252\346\226\255\345\210\207\345\211\262\347\232\204\344\274\230\345\214\226\350\256\276\350\256\241.md" @@ -0,0 +1,249 @@ +# 长方体材料截断切割的优化设计 + +姚健钢 侯作良 罗武安 + +指导教师：马斌 + +（北京大学，北京100871） + +编者按 本文对截断切割问题从问题从多方面进行的讨论，包括 $e = 0$ 时的准则， $e \neq 0$ 时的多种解法、 $e \neq 0$ 时各种优化准则的讨论与随机模拟. + +摘要在工业生产中，常需要采取将物体一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工费用取决于水平切割和垂直切割的截面面积，以及调整刀具时的额外费用。本文讨论了怎样安排切割的次序可使加工费用最少。 + +首先我们通过恰当地变换使水平切割和垂直切割具有对称性，简化了问题。然后通过分析各次切割之间的相互关系，运用局部调整的方法给出并巧妙地证明了无额外费用情形下的最优准则，且讨论了最优解的唯一性。对于一般情形，得到了两种算法： + +一、把问题用图论语言描述，将其转化为求有向图中的最短路径，并结合这里的特点对Dijkstra法进行了改进； +二、通过缩减需要考虑的切割方式的数目，对调整刀具的次数分类枚举求解。我们将无额外费用时的最优准则与局部最优准则相结合，得出了一般情形下的优化准则，并通过随机模拟进行检验，证实其在概率的意义下具有良好的效果，同时对局部最优准则也作出了合理的评价。最后，我们将所得的结论和算法应用于一组实例。 + +# 一、问题的表述（略） + +# 二、符号约定与 $r$ 的处理 + +我们将长方体材料中构成其底面的两个方向的边分别称为长和宽，而垂直于底面的边称为高。如图1所示，长方体的长、宽、高均被分成了三段，中间的一段是要切出的小长方体相应边的尺寸，分别用 $A, B, C$ 表示，而其余各段则为两长方体对应侧面之间的距离，分别用 $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ 表示。 + +下面我们考虑 $r$ ，设待切长方体材料的水平切割与垂直切割的单位面积的费用之比为 $r$ ，现构造一个新的长方体如下： + +![](images/76f62829fbff704dc63298382bbc0d66699204021111fe85d3c27b4b46318b13.jpg) +图1 + +保持待切长方体的长、宽不变, 将高变为原来的 $1 / r$ ; 保持水平切割单位面积的费用不变, 而垂直切割单位面积的费用扩大 $r$ 倍. 对于两长方体相应的切割方式, 在水平方向上的截面面积和切割费用是相同的, 在垂直方向上, 新长方体的截面面积和切割费用分别是原来的 $1 / r$ 和 $r$ 倍, 而 $1 / r \times \text{times} r = 1$ , 因此对两个长方体计算出的加工费用总是相等的. 这样我们对原长方体的考虑可通过新长方体来实现, 而对新长方体两方向切割的单位面积的费用比是 1. 也就是说, 可以通过调整长方体的尺寸而将 $r$ 变为 1, 以增加水平切割与垂直切割的对称性. 在下文中, 除特别说明之外, 均认为 $r = 1$ . + +# 三、无额外费用情形下的最优准则 + +所进行的六次切割是与小长方体的各侧面相对应的，即每个切割截面中分别包含小长方体的一个侧面．而小长方体的侧面又能用它与原长方体的相应侧面之间的距离来标识，是为方便起见，可将各次切割的位置用字母 $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ 来代表．并且易见当某次切割的位置为 $\pmb{x}_i$ （ $x$ 取 $a,b,c,i = 1,2$ ）时， + +此次切去的长方体中垂直于截面的那条边的长度亦为 $r_i$ 。这样每种切割顺序便对应于 $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ 的一个排列，该排列既可看作字母序列，又可看作数值序列，两者的联系将在下文中体现。 + +此时 $e = 0$ ，又由 §2 知不妨设 $r = 1$ ，故水平切割和垂直切割之间具有完全的对称性。 + +下面我们考虑调整相邻两次切割的顺序是否能够降低费用？这两次切割进行之前材料的大小是确定的，显然无论两次切割的顺序怎样安排，切后得到的长方体都是相同的，于是仅需比较在两种不同的顺序下，这两次切割的截面面积之和即可. + +如果这相邻两次切割的截面是平行的，那么无论谁先谁后，两次切割的结果都是把被切的长方体分成三片，保留中间含有小长方体的一片，在两个切割位置上的截面面积是不变的，因此顺序调整与否不影响费用. + +如果这相邻两次切割的截面不平行，由于目前所具有的对称性，我们不妨设它们的位置为 $a_{i}$ 和 $b_{j}$ ，而在这两次切割之前的长方体中有关线段的长度如图2所示. + +![](images/2ba84b4f3ac058a3ec1a87349fc45358f0cd34b1ef414252fbfb7a17c5dd5d4a.jpg) +图2 + +![](images/955346995a3efaf20f99d230d0a7f5d65077998c4b2cb395c0eef53c67bea251.jpg) +图3 + +![](images/b03cf02890f706cecb424c72c2ec30775768cbc6dd935f8099187efd0fa700c3.jpg) + +两种顺序下切割所得到的截面中总有一条边的长是 $h$ ，于是比较截面面积就转化为对各截面中另一条边长度的比较。如图3，在顺序 $\dots a, b, j$ 下，两截面中非 $h$ 的边的长度之和是；在顺序 $\dots b, a, j$ 下，相应的和是，两者之差为 + +$$ +(x + y + b _ {j}) - (x + y + a _ {i}) = b _ {j} - a _ {i} \tag {1} +$$ + +于是当 $a_{i} \geq b_{j}$ 时，切割顺序 $\dots a_{i}b_{j}\dots$ 的费用相对较少；而当 $a_{i} \leq b_{j}$ 时，交换它们的切割顺序后费用较少. + +综上所述，我们得到结论： + +在切割顺序的数值序列中，如果有相邻两个数，其中前面的数小于等于后面的数，那么交换这两次切割的顺序，加工费用将有所减少或保持不变。 + +对于任意一种切割方式所对应的切割顺序数值序列，我们对其进行如下形式的调整：只要有相邻的两个数中前面的数小于等于后面的数，便交换它们的顺序。由前述结论，交换后所得序列对应切割方式的加工费用将不多于交换前的费用。我们将这种交换过程分阶段地进行下去：首先将数列中最大的数与原本排在它前面的数一一交换而使其成为第一项，然后再将次大的数逐次向前调整到第二项，依次类推，最终使得此序列成为单调递减的数列。 + +注意到在调整过程中，加工的费用总是减少或不变的，因此该单调递减序列所对应切割方式的加工费用小于等于任何其它切割方式的费用，从而它就是最优解。换言之，我们得到在 $\epsilon = 0$ 情形下的优化准则（称之为有序切割准则）： + +计算出小长方体各侧面与原长方体相应侧面之间的距离 $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ ，并将它们按数值从大到小排列得到一字母序列，据此顺序来逐次选择截面位置的切割方式就是最优的。 + +以下我们对最优解的唯一性作些讨论 + +当 $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 中至少有两个数相等时，将它们排成单调递减数列有多种方式，即相等的那些数之间的先后关系是不确定的。不过由前面的讨论知，交换相邻的相等两数后而引起的切割方式的改变对费用没有影响。故这些递减数列所对应的各种切割方式的加工费用都是相等的，它们均为问题的最优解。 + +当 $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ 这些数互不相同时，只能排成唯一的一个单调递减的数列。如果还有某种切割方式也是最优的，那么与其对应的数值序列在变为单调递减数列的调整过程中，各次交换时应总保持费用不变，于是由 (1) 式得这种交换只能为同方向的切割位置之间的交换。逆过来看就是说，当单调递减数列中有相邻两项对应同一个方向时，还有其它最优解，例如交换此两项的顺序后所得到的切割方式。 + +从而我们知道当 $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ 这六个数互不相同，且按数值从大到小排成的序列中，相邻两项的字母不同时，最优切割方式是唯一的。 + +# 四、对可能为最优解的切割方式的讨论 + +现在考虑在一种切割方式中, 截面平行的两次切割的顺序, 不妨讨论截面是与长方体的长方向垂直的切割, 用 §2 中的记号, 就是位置为 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的切割. 设 $a_{1}, a_{2}$ 分别是第 $m, n$ 次切割, 且 $a_{1}, a_{2}$ . 当 $m > n$ 时, 交换 $a_{1}, a_{2}$ 的次序, 得到另一种切割方式. 新、旧切割方式相比, 各次切割的方向是相同的, 因此调整刀具的额外费用不变. 易见两方式前 $n$ 次切割的截面面积也是对应相等的: 从而这些步骤的费用也相同. 如图 4, 对第 $n$ 次切割后新旧切割方式所得到的两个长方体, 将其中一个关于截面作反射后得到的长方体与另一个相比, 两者就小长方体的相对位置而言是相同的, 在宽和高方向上的长度也是相等的, 只是新方式得到的长方体在长方向上缩短了 $a_{1} - a_{2}$ . 这两个长方体此后各次切割的位置也是对应相同的, 因此新切割方式的截面面积总不超过旧切割方式的相应面积, 故按新切割方式的加工费用小于等于按旧切割方式的加工费用. 这样我们可以得到如下的论断: + +![](images/a0659b2d11e467fbc8a637d7baa4db4fa9fe9005e83b61fdd4b989b777eccd2e.jpg) +$a_1$ A a2 + +![](images/72e965a8b66d4474fb8451a490d46e32d58c391c83923bf8802783944f22fd0a.jpg) +$a_1$ A +图4 + +![](images/97805251c3b1ce35e450de588b369e1d4c12f5cf070fd9c71bc42790ba13d7e4.jpg) +$u_{2}$ A + +有些切割方式对应的数值序列中，同方向上的两个数总是排在前面的较大(或两数相等).取出所有这样的切割方式，其中必定含有最优解. + +下面考虑这些切割方式的总数。切割的位置共有六个，而六个元素的全排列数为 $6! = 720$ ，因此不同的切割方式本来共有720种。但对于一组已知数据而言， $a_1$ 与 $a_2, b_1$ 与 $b_2, c_1$ 与 $c_2$ 的大小关系是确定的，故它们在切割顺序数值序列中的相对位置是固定的，从而需考虑的切割方式可以缩减为 $\frac{a_1}{2!2!21} = 90$ 种。 + +# 五、一般情形下的算法 + +把一系列切割以后待加工物体所处的状态和这些切割中最后一次垂直切割的方向合在一起作为一个顶点。如果待加工物体从顶点 $x$ 所代表的状态出发，经过一次切割 $F$ 以后可以变成另一顶点 $y$ 所代表的状态，就作一条从顶点 $x$ 到顶点 $y$ 的有向边，同时把此次切割 $F$ 的加工费用作为这条有向边的长度。这样就得到一个有向图，把它称为状态图。从而问题转化为在状态图中求一条从表示待加工物体原始状态的顶点（称为起点）到最终状态的顶点（称为终点）的最短路径。 + +以下是Dijkstra提出的寻求最短路径的标号算法[1]. + +算法1 (Dijkstra标号算法) + +设有向图 $G = V(V,E,\varphi)$ ，其中 $V$ 是图 $G$ 所有顶点的集合， $E\subseteq \{\langle a,b\rangle |a,b\in G,a\neq b\}$ .是图 $G$ 中全部有向边的集合， $\varphi (\langle x,y\rangle)$ 是有向边 $\langle x,y\rangle$ 的长度. + +现要搜索一条从起点 $s$ 到终点 $t$ 的最短路径。我们用 $\operatorname{flag}(\mathbf{x})$ 表示顶点 $x$ 是否作了标记，用 $d(x)$ 表示从 $s$ 仅经过已作标记顶点到达 $x$ 的最短路径的长度， $y$ 表示已作标记的最后一个顶点。 + +(1)赋初值 + +$$ +f l u g (x) = f a l s e \quad d (x) = + \infty , \quad \forall x \in V, +$$ + +$$ +d (s) = 0, \quad f l a g (s) = t r u e, \quad y = s +$$ + +(2) 对于所有满足 $flag(x) = false$ 的顶点 $x$ ，重新定义 $d(x)$ 如下 + +$$ +d (x) = \min \left\{d (x), d (y), + \varphi (\langle y, x \rangle \right\} \tag {2} +$$ + +当 $\langle y,x\rangle \notin E$ 时，认为 $\varphi ((y,x))$ + +(3) 如果所有满足 $\text{flag}(x) = \text{ful} \circ \text{r}$ 的顶点 $x$ 都成立，则不存在从 $S$ 到 $t$ 的通路，算法终止；否则取 $y = x_0$ ，其中 $x_0$ 满足 + +$$ +d \left(x _ {0}\right) = \quad \min _ {x \in V} \quad \left\{d (x) \right\}, \tag {3} +$$ + +$$ +f l a g (x) = f u l s e +$$ + +然后令 $flag(x_0) = true$ . + +(4) 如果 $\text{flag}(t) = \text{true}$ ，则找到一条从 $s$ 到 $t$ 的最短路径，算法终止；否则重复进行步骤 (2)，直到最后形成一条从 $s$ 到 $t$ 的最短路径。 + +结合此具体问题的特殊性还能对算法1作出改进。首先根据§4中的结论,沿同一方向的两次切割的顺序不妨认为是确定的,于是可从状态图中删去一些边。其次,如果把为达到与某顶点相应的状态而需要进行的切割次数作为该顶点的层数,那么状态图便具有层次结构。于是可以从第零层出发,以层次代替标号,采用按广度搜索的方法,寻找最短路径。从而得到下面的算法。 + +# 算法2层次搜索算法 + +设有向图 $G = (V, E, \varphi, \psi)$ . 其中 $V$ 是图 $G$ 所有顶点的集合， $E \subseteq \{\langle x, y \rangle | x, y \in G\}$ ，是图 $G$ 中全部有向边的集合， $\varphi(\langle x, y \rangle)$ 是有向边的 $\langle x, y \rangle$ 长度， $\psi(x)$ 为顶点 $x$ 的层次. + +现要搜索一条从起点 $s$ 到终点 $t$ 的最短路径，显然有 $\psi(x) = 0, \psi(t) = 6$ 。我们用 $d(x)$ 表示从 $s$ 仅经过层次比 $\psi(x)$ 小的顶点到达 $x$ 的最短路径的长度，用 level 表示搜索的层次， $\text{back}_{\text{tcp}}(y)$ 代表从起点 $s$ 到顶点 $y$ 的最短路径中比 $y$ 的层次低一级的顶点。 + +(1) 赋初值: $d(x) = +\infty, \forall x \in V; d(s) = 0, \text{level} = 1$ . +(2) 对于所有满足 $\psi(y) = \text{level}$ 的顶点 $y$ , 重新定义 $d(g)$ 如下 + +$$ +d (y) = \min \left\{d (y), \quad \min _ {\substack {x \in V \\ (x, y) \in E}} \left\{d (x) + \varphi (\langle x, y \rangle)\right) \right\} \tag{4} +$$ + +如果 $d(y)$ 发生了变化，则令back_step(y)为使达到最小值的顶点 $\pmb{x}$ + +(3) 如果 level 小于 6, 重复进行步骤 (2), 直到 level=6. +(4) 利用 $\text{back}_{\text{step}}$ 中记录的信息，就得到一条从 $s$ 到 $t$ 的最短路径，同时 $d(t)$ 就是这条路径的长度. + +对于确定的 $e$ 值, 用算法2可以很容易地求出一种最优切割方式. 算法2本质上是穷举算法一种改进, 比简单地逐一枚举速度要快. 但具体到这里, 问题的规模很小, 在 §4 中我们已经把需考虑的切割方式减少到90种, 因此采用下述的分类枚举法也是可行的, 并且它能够给出当 $e$ 在一定范围内变化时的全部最优解. + +垂直切割的方向有两个，因此至少要调整刀具一次。垂直切割共进行四次，故调整刀具的次数至多是 $4 - 1 = 3$ 。于是额外费用有 $t, 2t, 3t$ 三种可能。由对称性易见，在那90种候选的切割方式中，额外费用为 $t, 2t, 3t$ 的各有30种。我们把切割费用和额外费用分开考虑，便得到如下的算法3。 + +# 算法3分类枚举法 + +(1) 根据给定的数据 $a_{1}, A, a_{2}, b_{1}, B, b_{2}, c_{1}, C, c_{2}$ , 对 90 种候选的切割方式逐一计算出六次切割的费用之和. + +(2) 对这些切割方式，按照它们额外费用的值 $e, 2e, 3e$ 分成三类，在各类的 30 种切割方式中，分别将切割费用最少的方式全部选出。这三个最小费用分别记为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ 。 +(3) 对 $e$ 分情况讨论，比较出 $d_{1} + e, d_{2} + 2e, d_{3} + 3e$ 中的最小值，与此相对应的切割方式即为最优的. +(4) 按照 S 4 中最后的分析，通过适当调整来求出全部最优解 + +我们编制了 $\mathrm{C}++$ 程序 css.cpp 和 qcpp 来分别实现算法 2 和算法 3(略). + +# 六、各种优化准则的讨论 + +当调整刀具的额外费用 $e \neq 0$ 时，对于适当数据，§4 中提到的 90 种候选切割方式都有可能成为最优解。现已有如下的两种优化准则。 + +局部最优准则：每次选择一个包括调整刀具费用在内的加工费用最少的待切割面进行切割 + +有序切割准则: 按照§3中给出的有序切割准则确定切割的次序. + +从 §5 中的分析可以知道，最优的切割次序是从整体来考虑切割和调整刀具的费用而得到的。对于有序切割准则，它忽略了调整刀具的费用，只考虑切割的费用，可以肯定当调整刀具的费用与切割的费用的比值 $t$ 不大时，它是非常有效的；如果 $t$ 较大，则由此给出的切割方式就有可能不够理想。对于局部最优准则，它只注意了当前的情况，缺乏全局的考虑，因此有一定的局限性。但另一方面它同时考虑了切割的费用和调整刀具的费用，所以具有一定的稳定性，不会出现非常差的情形。 + +注意到在加工过程中，如果有一个垂直方向的两次切割都已经完成，那么在以后的切割中，不论怎么安排切割次序，调整刀具的费用都不会发生变化，所以这时可以忽略调整刀具的费用，按照有序切割的准则安排后面的切割次序。于是我们考虑先按照局部最优准则，再按照有序切割准则安排切割次序，从而得到一种新的准则。由于有序切割准则的操作十分方便，并且在某些情况下能够得到非常好的结果，因此不妨再把新准则的结果与有序准则的结果相比较，选择一种较好的切割次序。 + +综合优化准则 (1) 先按照局部最优的准则安排切割次序，直到有一个垂直方向的两次切割都已经完成，再按照有序切割准则安排剩下的切割次序，并计算出相应的费用．(2) 按照有序切割准则安排切割次序，并计算相应的费用．(3) 从前两种方案中选择加工费用较少的切割次序进行切割. + +为了给出量上的比较，我们进行了随机模拟。具体算法为：产生九个 $(0,1]$ 区间上和一个 $[0,t]$ 区间上均匀分布的随机数，依次表示待加工长方体的长、宽、高分别被切割成三段的长度和调整刀具的额外费用，其中 $t$ 是反映调整刀具的额外费用与切割费用比值的参数，并约定单位面积的切割费用是一个单位。然后对这三种优化准则各自确定的切割方式，分别计算出它们的费用比实际最优切割方式的费用多花销的百分比，称为浪费率。浪费率越接近 0。说明此准则的优良程度越好。依次令 $t$ 为 1 和 10，各进行 1000 次随机实验，再利用 MATLAB 软件工具箱中的数据处理函数，得到各种准则在不同情况下浪费率的均值（见表 1）和分布图象（略）。 + +表1 + +
t=1t=10
局部最优准则t=1bt=10
有序切割准则14.34%44.34%
综合优化准则3.49%3.89
+ +从这些数据和图(略)象中可以看出：当 $t = 1$ 时，局部最优准则浪费率的均值最大，并且分布也最分散，效果不好；有序切割准则的浪费率均值低于 $10\%$ ，并且它的分布主要集中在0到 $20\%$ 之间，效果还可以；综合优化准则的浪费率均值非常低，并且它的分布集中在 $10\%$ 以内，效果很好. + +当 $t = 10$ 时，局部最优准则的浪费率均值低于 $10\%$ . 效果比 $t = 1$ 时有所提高；有序切割准则的浪费率的期望急剧增加，分布也很分散，效果很差；综合优化准则的浪费率分布与 $t = 1$ 时相比没有显著变化. 由此可见，随机模拟实验的结果与我们最初的分析是一致的. + +# 七、实例分析 + +我们考虑这样一组实例 $a_1 = 6, A = 3, a_2 = 1, b_1 = 7, B = 2, b_2 = 5.5, c_1 = 9, C = 4, c_2 = 6$ 和 $c$ 的取值如表2所示. + +其中各线段长的单位为厘米， $\varepsilon$ 的单位是元，垂直切割的费用为每平方厘米1元。在下文中，长度的单位均为厘米，面积的单位为平方厘米，费用的单位为元。 + +如图1.与 $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ 相对应的切割位置分别产生小长方体的左侧面、右侧面、前侧面、后侧面、下底面和上底面，下面我们用这些方位来描述切割的顺序. + +表2 + +
情形a情形b情形c情形d
r=1、e=0r=1.5，e=0r=8、e=0r=1.5、2≤e≤15
+ +对于前三种情形,根据§2中对r进行的讨论和§3中给出的优化准则,其最优解可直接写出,结果如下. + +情形a此时有 $c_{1} > b_{1} > a_{1} = c_{2} > b_{2} > a_{2}$ ，故最优切割方式如表3(略）所示，总的截面面积是374，即加工费用总计是374元. + +情形b因为 $r = 1.5$ 故 $c_{1}, c_{2}$ 应调整为 $c_{1} = 9 \div 1.5 = 6, C = 4 \div 1.5 = 8 / 3, c_{2} = 6 \div 1.5 = 4,$ 且每平方厘米的切割费用为 $(r = )1.5$ 元．现在有 $b_{1} > c_{1} = a_{1} > b_{2} > c_{2} > a_{2}$ ；最优切割方式如表4(略）所示. + +总的截面面积是 $875 / 3$ ，加工费用为 $875 / 3 \times 1.5 = 437.5$ 元 + +情形c此时r=8.所以c1,C,c2应调整为c1=9÷8=1.125,C=4÷8=0.5,c2=6÷8=0.75且每平方厘米的切割费用为(r=)8元．显然有b>au>b>c>a²>²，故最优切割方式如表5(略）所示. + +截面面积总计是67.5625，加工费用为 $67.5625 \times 8 = 540.5$ 元 + +根据 §3 中对于最优解唯一性的分析可知，前两种情形下的最优切割方式都有两种，另一种切割方式分别是由 a. 交换第三刀和第四刀、b. 交换第二刀和第三刀的切割位置而得到的；而情形 c 下的最优解是唯一的。 + +情形d同情形b.应先将 $c_{1},c_{2}$ 分别调整为 $c_{1} = 6,c = 8 / 3,c_{2} = 4,$ 且每平方厘米的切割费用为1.5元. + +运用§5中的算法3可得出需调整刀具1至3次时的最小切割费用分别是d1=442.5元, d2=456.5元, d3=437.5元. 由于d2>d1, 因此总有d2+2e>d1+e. 于是对e分情况讨论时只需比较d1+e和d3+e即可. 与d3相应的切割方式在表(略)中给出, 与d1相应的切割方式见下表, 并且是唯一的. + +表3 + +
切割序号第一刀第二刀第三刀第四刀第五刀第六刀
切割位置前下后左上右
截面边长10×38/310×7.510×20/32×20/34×22×8/3
截面面积380/375200/340/3816/3
总截面面积295总加工费用295×1.5=442.5元
+ +解关于 $\epsilon$ 的方程 $d_{1} + \epsilon = d_{3} + 3r$ 得 $\epsilon = 2.5$ . 于是我们得到结果： + +当 $2 \leqslant \epsilon < 2.5$ 时，最优切割方式有“前下左后上右”和“前左下后上右”两种，最小费用是 $437.5 + 3\epsilon$ 元； + +当 $e = 2.5$ 时，最优切割方式有“前下左后上右”、“前左下后上右”和“前下后左上右”三种，最小费用均为445元； + +当 $2.5 < \epsilon \leq 15$ 时，最优切割方式为“前下后左上右”。最小费用是 $442.5 + \epsilon$ 元。 + +# 八、模型的评价 + +优点1. 对于 $\epsilon = 0$ 的情形给出了确切、简明的最优准则；而在 $\epsilon \neq 0$ 时，所述的优化准则在概率意义下亦接近于最优。2. 通过构造状态图给切割问题以图论描述，随后利用寻求最短路径的算法求解的过程，不仅适用于长方体形状材料的切割，而且可以处理其它各种形状的切割问题，具有一般性。当计算的规模增大时，它与单纯的穷举算法相比，能够显著地提高效率。3. 分类枚举的算法对求解此问题也具有实用性，在尺寸给定的情况下，一次搜索便能够得出 $\epsilon$ 取各种值时的最优切割方式。4. 采用随机模拟对各优化准则进行的评价是较为全面和合理的。 + +缺点：对于 $\epsilon = 0$ 的情形，尚没有得到确定的最优准则 + +# 参考文献 + +[1] 陈森发，网络模型及其优化，东南大学出版社，北京，1992年. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213/DNA\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213/DNA\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dfc7d5b6ca90b57ff0e6b249f5fd73491b4f0908 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213/DNA\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,479 @@ +employ the BP (back propagation) algorithm to train NN by use of the Neural Network Toolbox in MATLAB software package. In this paper, two three-story NN are created to input the extracted DNA character vectors as samples into them. After the training, characters are extracted from the 20 unclassified artificial sequence samples and 182 natural sequence samples to form the character vectors as input of the two NN for clustering. The results show: the clustering method presented in this paper can classify the DNA sequences in quite high accuracy and precision. It is quite feasible to apply the artificial neural network to DNA sequence clustering + +# DNA + +![](images/8ab95118fef91f2a13edb13f45c047c69df4e96a94431a087d2dabbb5ffbe7a8.jpg) + +# 1 （ ） + +2 + +(1) 21—40 A B $5\%$ . +(2) keyword $t$ s t s (t,s +(3) A B DNA + +3 + +DNA , A + +B A,B + +A B + +A,B ， + +DNA + +# 4 + +A 1—10 DNA + +B : 11—20 DNA + +(word): a, c, t, g + +(keyword): + +A + +B + +a,c,t,g + +(s): + +word + +DNA + +（1）： + +$(n)$ :DNA + +$(m)$ + +（t）: t = l $\frac{4^m}{n} m$ + +$(f)$ + +(D): DNA + +# 5 + +(1) Keywords + +keyword + +keyword + +keyword + +word( ). A + +1 word + +$$ +i = 1; +$$ + +1, + +‘a’‘c’‘g’‘t’， $i + 1$ + +: $i = 1$ ， 1 word a’c + +g’t 1 g' + +‘a’‘c’‘g’‘t’， ‘ga’‘gc’‘gg + +'gt' 2 + +$i = i + 1,$ + +1: + +: keywords( + +AB + +word, word + +word, + +word + +![](images/57fc5fbeac1c027771ef3832ec5a020bb5d1579a5f34d8d563e11f049903cae7.jpg) +1 + +word + +30 + +keyword + +t s + +$f$ ： + +$f$ + +$f$ + +$f(s,t) = s^{\alpha}t^{\beta}$ (1) + +$\alpha$ $\beta$ $s$ t + +word, (1) + +30 word + +$\alpha$ $\beta .$ A + +A + +word + +$t_1, t_2, \ldots, t_{39} \quad s_1, s_2, \ldots, s_{39}$ + +(1) + +： + +$\log f = \alpha \log s + \beta \log t$ (2) + +word + +keyword $f$ + +， + +A 39 + +） + +39 + +，αβ， + +39 + +$g(\alpha, \beta) = \sum_{i=1} (\alpha \log s_i + \beta \log t_i - \log 50)^2$ (3) + +MATLAB + +$$ +\alpha_ {A} = 0. 4 6 2 5 \quad \beta_ {A} = 0. 8 0 5 7 +$$ + +B + +26 word + +$$ +\alpha_ {B} = 0. 2 2 1 7 \quad \beta_ {B} = 1. 3 0 6 0 +$$ + +A B + +$f_{A} = s^{\alpha_{A}}t^{\beta_{A}}$ (4) + +$f_{B} = s^{\alpha_{B}}t^{\beta_{B}}$ (5) + +A B word s t (4) (5), word f + +, word 16 word + +keywords + +keyw ords $\alpha \beta$ + +word + +16 keyword + +αβ + +$$ +\alpha_ {1} = 0. 4 5 8 5 \quad \beta_ {1} = 0. 8 8 5 1 +$$ + +$$ +\alpha_ {3} = 0. 2 3 4 7 \quad \beta_ {3} = 1. 3 7 6 9 +$$ + +keyword + +， 32 keyword A B A + +B keyword + +Keywords 1. + +1 + +
AB
agga329taa5010
ga10910ttta5210
ggcgg287aa11910
ggc699tat14810
ggaggc118at13110
aa1158ttaa3410
agg654tatt3610
ggaa3410ta6210
ggcgg1710att8010
a31810a32510
cgg8010ttat4210
cgga4210attt4410
ggagg269tta10510
gga9310tttttt5810
gg19810t5527
g42510ttt19310
+ +2 word + +keyword + +![](images/f68eb67d2d0c5b7f76154703a29b87c6de7873c515c436eec9f69b38419a1daa.jpg) +(2) + +![](images/20eebe3d2230a1ddb051f54695a0c915aab2c1727777d0d97e13f43db4af8532.jpg) +AB + +A B + +$P$ ， + +$l$ （204 keyword + +D keyword P + +![](images/4add038658fef6bb207c62eb1c43f099f9cb071a53da95a523ee59727e53944e.jpg) + +![](images/dd5f157a1e988e5b8887ef7ebf055344424ad5d20a2bd9774322ba3164ca226d.jpg) + +$$ +D _ {A} (P) = \int_ {i = 1} ^ {1 6} f _ {A, i} ^ {\lambda_ {A}} x _ {A, i} (P) \tag {6} +$$ + +$$ +D _ {B} (P) = \int_ {i = 1} ^ {1 6} f _ {B, i} ^ {\lambda_ {B}} x _ {B, i} (P) \tag {7} +$$ + +(6) $f_{A,i}$ A keyword + +XA,i P A i keyword + +A keyword + +(7) + +$D_{A}(P)$ $\mathrm{P}\quad \mathrm{D}_{\mathrm{A}}\quad ,D_{B}(P)\quad \mathrm{P}\quad \mathrm{D}_{\mathrm{B}}$ + +$\lambda_{\mathrm{d}}$ $\lambda_{\mathrm{B}},\quad \lambda_{\mathrm{d}}$ + +10 A $D_{A}$ （ ） ， + +$\lambda_{\mathrm{A}}$ $\lambda_{\mathrm{A,k}}$ $k$ （204 keyword + +3 + +$$ +h \left(\lambda_ {i, k}\right) = \int_ {i = 1} ^ {1 0} \binom {k} {j = 1} f _ {A, j} ^ {\lambda_ {i, k}} (P _ {i}) - d \bigg) ^ {2} \tag {8} +$$ + +MA TLAB $\lambda_{\mathrm{A},k}$ （20 $h(\lambda_{\mathrm{A},k})$ （ + +，d ） + +3 + +![](images/09d9ba4c5e41b0f5fa1b8f80c00b04b5738b7cc72e4a8ce0271c0701daa0dde6.jpg) + +
12345678
λA-3.5033-1.7439-1.1226-0.9562-0.6998-0.28400.65560.7058
λB-0.8553-0.1686-0.07160.00070.03010.05840.23000.2651
910111213141516
λA0.79530.94801.14251.16281.28121.33281.49401.5398
λB0.32500.33530.35130.40420.42720.49150.50500.5220
+ +4: + +4 + +P, + +AB + +keyword + +P + +$l_{A}, l_{B}$ + +$D_{A}$ $D_B$ + +$k_{A}$ $D_{B}$ + +$P$ + +(A) + +a) + +16 $k_{A} - k_{B} > 1$ + +A $(^{* * *})$ + +b) + +15-14 + +$k_{A} - k_{B} > 1$ + +$k_{A} = k_{B}$ $D_{A}$ + +- $D_B > 1$ + +c) + +13-7 + +A $(^{**})$ + +d) + +； + +P A B + +![](images/aa155961419c567d974f3afadde75f13cecb1f843469946d14a3d6d10d9550e3.jpg) +图4 + +A $(^{*})$ + +# 5 + +A B + +A + +$D_{A}$ ,B + +$D_B$ + +； 20 + +,A B + +A (11): 23 + +25 27 29 + +32 34 35 + +36 37 + +39; B (9): + +21 24 26 28 30 31 33 38 40 + +182 :（） + +keyword + +A B. + +A,B + +# 6 + +keyword + +( 16 keyword), + +A,B + +keyword + +B ) + +DNA + +A + +A (1) + +A,B + +# 7 + +(1) + +ym( ）. + +DNA + +（ ）. + +DNA + +(2) + +‘m’ + +keyword + +(3) + +20 + +DNA + +keyword + +: DNA + +（ ）， keyword + +[1] ，MATLAB +[2] 1 [3] ， c+ + +[4] +[5] + +# The Grouping of DNA Sequences Model + +# YANGJian， WANGChi, YANG Yong + +(Peking University, Beijing 100871) + +Abstract In this paper, a method to classify the DNA sequences is proposed. Mathematical methods such as statistics and optimization are used to build the model. The data is analysed sufficiently and the "critical words" is got, which can represent the characteristics of each group. According to this, a quantitative standard for grouping is brought forward. This model can properly classify the given data through testing. First, the strings which appear repeatedly (called words) in the given data are scanned out. The standard frequency and dispersion for each word are calculated. Second, using the Least Squares method, the priority function is fixed. Through stepwise optimization, the coefficients are made stable. Third, the key words are selected out and calculate the weight according to the priority function. At last, using the "analyse hierarchy process", the undetemined data is classified. This method can classify the undetemined data (No. 21—No. 40) fairly well, it can also give good result for the last 182 sequences + +# DNA + +（ 310027) + +sequences The second is the periodic property of the DNA sequences The third is that amount of information of the sequences By using this method, we classify the nature sequences and artificial sequences At last, we analyze the characteristic in this model and consider the generalization of this model + +![](images/038f92c21a37d1a356ea8402eb93eaf8639c81b86a6b8e56cf3594544c849939.jpg) +DNA + +# 1 （） + +DNA + +A T C G + +1- 10 + +A ,11-20 + +B. + +1) + +AB + +； + +2) + +AB + +20 + +182 + +AB + +（ A B A B ） + +1-20 + +BP + +# 2 + +1) +2) +3) + +[1] \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\344\270\255\347\232\204\347\273\223\346\236\204\344\270\216\347\256\200\345\214\226\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\344\270\255\347\232\204\347\273\223\346\236\204\344\270\216\347\256\200\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\344\270\255\347\232\204\347\273\223\346\236\204\344\270\216\347\256\200\345\214\226\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\344\270\255\347\232\204\347\273\223\346\236\204\344\270\216\347\256\200\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..675c6af23d7fc1881b4b62cd9e58b5267dade8d0 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\344\270\255\347\232\204\347\273\223\346\236\204\344\270\216\347\256\200\345\214\226\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\344\270\255\347\232\204\347\273\223\346\236\204\344\270\216\347\256\200\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,109 @@ +![](images/d778f1c3b468a5875b725534d714edd0c96189beaa6dbaf0f51311b3133c4382.jpg) +DNA +1 + +![](images/4979bc2f6430db222fe1a07de64db36c2ee66d24b925afbcfb7894491ce454aa.jpg) + +![](images/3ba0e81fc4a280ca41efa7956b9a85629de2be8b033d028dbbc50987caa12e65.jpg) +2 A + +(Post-Genome Project), + +(Bio information). + +[2] + +DNA + +ATCG + +100 + +, DNA + +A + +DNA + +# 3 A + +A + +DNA + +DAN + +, DNA + +A T C G + +DNA + +A + +DNA + +# DNA + +(Exon) + +DNA + +"Exon-Intron Structure", + +K-Peng + +;A + +1992 + +Nature + +DNA + +[3] + +DNA + +DNA + +DNA + +DNA + +. A + +DNA + +A + +A + +A + +![](images/a22da5966239dacd3324316aba98fca9eb53ccd538140a17e3f6f004bd306ac8.jpg) + +![](images/651c2eac488c61d216fbe321f5c8a4ee299939ac996a19bcffaeb657e0f6f9f4.jpg) + +[1] ， ： ,2000 7 +[2] Mathematics: Frontiers and Perspectives, AMS Providence, 2000 M. Atiyah +[3] Peng C. K. Buldyvev, S. V. Goldberger, A. L. Havlin, S. Xsortino, F. Simonso, M. And Stanley, H. E. Long-range correlation in nucleotide sequences, nature 356: 168-170 +[4] Claverie JM. Computational methods for the identification of genes in vertebrate genomic sequence hum Mol Genet, 1997, 6(10): 1735-1744 +[5] Green P, Lipman D, Hillier L, Waterston R, States D, Clavierie JM. Ancient conserved regions in new gene sequences and the protein databases Science, 1993, 259: 1711-1716 +[6] Kroyh A, Mian I S, Hanssler D. A hidden Markov model that finds genes in E. coli DNA, Nucleic Acids Res, 1994, 22(22): 4768-4778 +[7] Gelfand M S, Roytberg M A. Prediction of the exon-intron structure by a dynamic programming approach. Biosystems, 1993, 30(1 3): 173 182 +[8] Tiwavi S, Ramachandran S, Bhattacharga A, Bhattacharga S, Ramaswamy R. Prediction of probable genes by Fourier analysis of genomic sequences comput App1Biosci, 1997, 13(3): 263-270 +[9] Fickett JM, Tung CS. Assessment of protein coding measures. Nucleic Acids Res, 1992, 20(24): 6441-6450 +[10] Guigo R, Knudsen S, Drake N, Smith T. Prediction of gene structure J Mol Biol, 1992, 226(1): 141-157. +[11] Dong S, Searls D B. Gene structure prediction by linguistic methods Genomics, 23(3): 540 551. +[12] Salzberg S. Locating protein coding regions in human DNA using a decision tree algorithm. J Comput Biol, 2(3): 473-485 +[13] 2000 +[14] ZHANG Chun-Ting, L N Zhe-suai, YNA Ming, ZHANG Ren A Novel Approach to Distinguish Between Intron-containing and Intronless Genes Based on Format of Z Curves J theor Biol, 1998, 192: 467-473 + +# The Structure of DNA Sequence and Simple Model + +M EN G Da-zhi + +(Department of Applied Mathematics, Beijing Polytechnic University, Beijing 100022) + +Abstract In this article the scientific research background of the problem A in the CUM CM - 2000 as well as its intention and conception are simply stated. Moreover, some excellent methods proposed by the students participating in the contest for the answer to this problem are introduced and reviewed \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..58284571f710f01c7360d458f2c069e0b92b3df1 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\347\232\204\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,532 @@ +![](images/e88ae254087241235ba1a6ebdbd92a77d7284a44d5bbc5bdc077ada7326b07a3.jpg) +DNA + +1 （） +2 + +DNA + +4 + +(A T G C) + +（ ）， + +（ ）， + +DNA + +1.1（） + +R (A + +G) + +Y (C + +T) (2) + +M (A + +C) + +K (G + +T) + +S (G + +C) + +W (A + +T), + +DNA + +Euclid + +G + +![](images/cb09241aaf43688663aa47143ca6eccf08b12d021f7cc89e23dccd4bae40d290.jpg) +ACGT + +![](images/4b227b4bb7c26b88e984f3d1a87f2acb716ddf9340d59c8de4ce070bb85a88fc.jpg) +1.2 + +L + +DNA + +， + +$$ +(n = 1, 2, \dots , L), +$$ + +1 + +n + +$$ +A _ {n} C _ {n} G _ {n} T _ {n} +$$ + +4 + +$$ +\textit {A C G T} +$$ + +1.3 + +$P_{n}$ + +1.3 + +$$ +, \quad P _ {n} +$$ + +$$ +X _ {n} = 2 \left(A _ {n} + G _ {n}\right) - n, Y _ {n} = 2 \left(A _ {n} + C _ {n}\right) - n, Z _ {n} = 2 \left(A _ {n} + T n\right) - n, X _ {n}, Y _ {n}, Z _ {n} [ - n, +$$ + +$$ +n ], n = 1, 2, \dots , L; +$$ + +$$ +X _ {n}, Y _ {n} \quad Z _ {n} \quad P _ {n} \quad . \quad n \quad 1 \quad L \quad , \quad P _ {1}, P _ {2}, \dots , +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} P _ {L} & L \end{array} +$$ + +$$ +P - \quad . \quad , P - \quad \text {D N A} \quad , +$$ + +$$ +\mathrm {D N A} +$$ + +$$ +\mathrm {D N A} +$$ + +$$ +, P - +$$ + +$$ +\mathrm {D N A} +$$ + +$$ +P - +$$ + +![](images/16db55458cd782780dae5968d6612665a85e3938084e280191f7fca5b15d45da.jpg) + +![](images/2c0043f0d5ce6158d11e1335794bdd4e973f7782aaadb0531e9b66275adec3af.jpg) +1.3 DNA + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c} & \text {D N A} & & & & P - & \\ & \text {D N A} & & & & \\ & P - & & & : X _ {n} & / & \\ & 1 & n & & , X _ {n} > 0; & X _ {n} < 0; & X _ {n} \\ = 0 & , Y _ {n} & / & & . & & \\ Y _ {n} > 0; & , Y _ {n} < 0; & Y _ {n} = 0 Z _ {n} & / & & . \\ & & , Z _ {n} > 0; & , Z _ {n} < 0; & Z _ {n} = 0 & & : \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} \text {D N A} & & & & ; & & & & \\ P _ {n} & & & & , & Y _ {n} Z _ {n} & & & \\ , \text {A} & & , \text {B} & & . \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +$$ + +$$ +f (t) = \begin{array}{c} L \\ 0 \end{array} X _ {n} (t) d t +$$ + +，A ,B + +$$ +\begin{array}{c c c c c} \text {‘} X & & / & & \\ & & & 2 1 & 4 0 \end{array} , +$$ + +A :2,3,5,7,9,14,15,17,19;B :1,4,6,8,10,11,12,13,16,18,20 + +：1. ；2 ；3 + +4 LVQ + +1. a c g t DNA （ 4） + +2 a c g t DNA (4² + +3 a c g t DNA (4³ + +12 + +（ + +1. : + +Perceptron + +F. Rosenblatt + +（ ）， + +2 + +1, + +0 + +(1.4): + +感知器神经元 +![](images/5fb0502474adfb98eef58798716dec88d022d47afaa6107798bd1f6d9da9ac41.jpg) +1.4 + +3. + +：（ + +） + +$y_{k}$ + +$y_{k}$ + +1 + +4 + +a) 20 + +DNA + +4 + +（ ） + +20 + +（ ） + +90% , + +4 + +17 + +b) + +20 + +DNA + +4 + +（ + +4 + +20 + +（ ） + +95% , + +4 + +17 + +c) + +20 + +DNA + +4 + +（ ） + +20 + +（ ） + +95% , + +4 + +17 + +5. + +6 + +： + +（ + +BP + +BP + +δ + +1 :BP + +![](images/fa62c2becdeeee4b2274a8f75bb419789b499d7e3fb56d22897a7a8ad28347b7.jpg) + +2 ：（ +3 : ( , +4 ， + +5 + +4 100 (A + G) + +BP + +a) 20 DNA 4 , 20 + +95% ( , BP LVQ + +）， 4 17 + +b) 20 DNA 4 + +20 100%. + +40 20 + +21 40 : + +A :22,23,25,27,29,34,35,37,39;B :21,24,26,28,30,31,32,33,36,38,40 + +DNA + +1.6)（ ）. + +DNA $L$ ， $A_{n},G_{n},C_{n},T_{n}$ 1 n A,G,C,T + +$P_{n}$ + +$$ +P _ {n} = A _ {n} + G _ {n} i - T _ {n} - C _ {n} = \left(A _ {n} - T _ {n}\right) + i \left(G _ {n} - C _ {n}\right) = r _ {n} e ^ {i \theta_ {h}}, +$$ + +$$ +r _ {n} = \sqrt {\left(A _ {n} - T _ {n}\right) ^ {2} + \left(G _ {n} - C _ {n}\right) ^ {2}}, \theta_ {n} = A r g P _ {n}, \overline {{\theta}} = \frac {1}{L} \sum_ {k = 1} ^ {L} \theta_ {k} +$$ + +$$ +n = 0, A _ {n} = G _ {n} = C _ {n} = T _ {n} = 0, \quad n \quad 0 \quad L \quad , \quad L + 1 \quad , +$$ + +DNA + +DNA + +$\exists p$ $N, \mathrm{st}$ + +$n > p$ + +0 + +: 20 + +DNA + +$P_{n} = (A_{n} - T_{n}) +$ + +$i(G_{n} - C_{n})$ + +0j,k + +i j + +DNA + +A $\mathrm{rg}P_{\kappa}$ + +$$ +\bar {\theta} _ {j} = \frac {1}{L} \sum_ {k = 1} ^ {L} \theta_ {i, k}, j = 1, 2, \dots , 1 0, i = 1, 2 +$$ + +$$ +\theta_ {\mathrm {n i n}} = \min _ {1} \max _ {j} \theta_ {j}, \quad \theta_ {\max } = \max _ {1} \max _ {j} \theta_ {j}, +$$ + +$$ +[ \theta_ {\min }, \theta_ {\max } ]. +$$ + +$$ +[ \theta_ {\min }, \theta_ {\max } ^ {]} ] +$$ + +$$ +[ \theta_ {\min }, \theta_ {\max } ] = \varnothing , +$$ + +$$ +\mathrm {D N A} +$$ + +$$ +\bar {\theta} \quad [ \theta_ {\min }, \theta_ {\max } ] +$$ + +$$ +i \quad ; +$$ + +$$ +\mathrm {D N A} +$$ + +DNA + +0 + +$$ +\exists p \quad N \text {s t} \quad n > p, +$$ + +$$ +\mathrm {D N A} +$$ + +$$ += \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma_ {i}} e ^ {i} +$$ + +$$ +, \quad \{\theta \} 1 j 1 0 \} +$$ + +$$ +\mu_ {i} +$$ + +$$ +\sigma_ {i} +$$ + +$$ +i +$$ + +$$ +p _ {i} (\theta) +$$ + +$$ +0 5 +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} \text {D N A} & , \bar {\theta} \end{array} +$$ + +$$ +i \quad : +$$ + +$$ +P _ {i} (\bar {\theta}) = \lim _ {\theta \rightarrow 0 +} \frac {\theta_ {+} \theta_ {+}}{\theta_ {+} \theta_ {+} [ p _ {1} (\theta) + p _ {2} (\theta) ] d \theta} = \frac {p _ {i} (\bar {\theta})}{p _ {1} (\bar {\theta}) + p _ {2} (\bar {\theta})} +$$ + +$$ +X _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & n \\ 0, & \end{array} \right. +$$ + +$$ +N (a, \sigma^ {2}), i = 1, 2, \dots , n, \quad Z = (X _ {1} + X _ {2} + \dots + X _ {n}) / n, \quad Y = (Z - a) / (\sigma^ {2} / n) ^ {1 / 2} \quad N (0, 1), +$$ + +$$ +\sigma^ {2} \quad , \quad S n ^ {2} = \left[ (X _ {1} - Z) ^ {2} + (X _ {2} - Z) ^ {2} + \dots + (X _ {n} - Z) ^ {2} \right] / (n - 1) +$$ + +$$ +\sigma^ {2}, (Z - a) / \left(S n ^ {2} / n\right) ^ {1 / 2} = (Z - a) \left(\sigma^ {2} / n\right) ^ {- 1 / 2} / \left(S n ^ {2} / \sigma^ {2}\right) ^ {1 / 2} = Y / \left(S n ^ {2} / \sigma^ {2}\right) ^ {1 / 2}, \quad Y \quad N (0, +$$ + +$$ +\begin{array}{l} 1), (S n ^ {2} / \sigma^ {2}) ^ {1 / 2} = \left\{\left[ (X _ {1} - Z) / \sigma \right] ^ {2} + \left[ (X _ {2} - Z) / \sigma \right] ^ {2} + \dots + \left[ (X _ {n} - Z) / \sigma \right] ^ {2} \right\} / (n - 1) \quad \lambda^ {2} (n - \\ 1), \quad t = (Z - a) / \left(S n ^ {2} / n\right) ^ {1 / 2} \quad t (n - 1), \quad Y \quad \left(S n ^ {2} / \sigma^ {2}\right) ^ {1 / 2}. \\ \end{array} +$$ + +$$ +t (n - 1) \quad t ^ {*}, \quad P r (\left| t \right| \quad t ^ {*}) = 1 - \alpha , \quad P r (\left| Z - a \right| / \left(S n ^ {2} / n\right) ^ {1 / 2} \quad t ^ {*}) = 1 - +$$ + +$\alpha$ + +$$ +a \quad 1 - \alpha +$$ + +$$ +[ Z - t ^ {*} S n / n ^ {1 / 2}, Z + t ^ {*} S n / n ^ {1 / 2} ]. +$$ + +$$ +1 0 +$$ + +$$ +X _ {1}, X _ {2}, \dots , X _ {1 0}, +$$ + +$$ +Y \quad (S n ^ {2} / \sigma^ {2}) ^ {1 / 2} +$$ + +$$ +1 0 +$$ + +$$ +Z = \left(X _ {1} + X _ {2} + \dots + X _ {5}\right) / 5, Z = \left(X _ {6} + X _ {7} + \dots + X _ {1 0}\right) / 5, Y = (Z - +$$ + +$$ +a) / \left(\sigma^ {2} / 5\right) ^ {1 / 2}, S _ {5} ^ {2} = \left[ \left(X _ {6 -} Z\right) ^ {2} + \left(X _ {7 -} Z\right) ^ {2} + \dots + \left(X _ {1 0 -} Z\right) ^ {2} \right] / (5 - 1), t = (Z - a) / \left(S _ {5} ^ {2} / \right. +$$ + +$$ +5) ^ {1 / 2}, +$$ + +$$ +\alpha , +$$ + +$$ +a \quad 1 - +$$ + +$$ +\left[ Z - t ^ {*} S _ {5} / 5 ^ {1 / 2}, Z + t ^ {*} S _ {5} \right. +$$ + +$$ +5 ^ {1 / 2} ] +$$ + +# The Mathematical Models on the Classification of The DNA Sequences + +LU Jin-chi, MA Xiao-long, CAO Fang + +(The University of Science and Technology of China, Hefei 230026) + +Abstract This paper deals with the problem of how to classify the DNA sequences from three different angles and accordingly establishes three kinds of models + +Firstly, on the point of biological background and geometrical symmetry, we established a descriptive model of 3-dimensional space curve on the DNA sequence, by which we got a rudimentary mathematical model-Calculus model. Through the integration of the model function, we have acquired the classification results of the DNA sequences from 1 to 20, and found them identical to the classification results given by the problem. Then we classified the latter 20 DNA sequences + +Then, on the view of the artificial neural networks, a second model - The Artificial neural networks model was established. We chosen three kinds of basic networks, which well fit into the classification at last. And by the same time, we proposed the improvement of the BP network, and finally procured comparatively ideal classification results by various training programmes also, we found the results identical to what we have got by Calculus model + +By the end, we endowed A, C, G, T with geometrical meaning: A indicates right, while C as down, G as up, T as left. We got a mobile curve from each sequence with the points of the plain moving according to the controlling of the DNA sequence. By following the feature of the moving direction, the model function was established. By the way we acquired the classification results of the latter 20 DNA sequences and found them practically identical to the results of the two above models (One of results differently showed in this model is regarded as indivisible). This model contains more information, and is more stable \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273.md" "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..04877e9999dfead9ed83dc0d0efb0d6ae14cd57e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273.md" @@ -0,0 +1,528 @@ +（ ）， keyword + +[1] ，MATLAB +[2] . 1 [3] ， c+ + +[4] +[5] + +# The Grouping of DNA Sequences Model + +# YANGJian， WANGChi, YANG Yong + +(Peking University, Beijing 100871) + +Abstract In this paper, a method to classify the DNA sequences is proposed. Mathematical methods such as statistics and optimization are used to build the model. The data is analysed sufficiently and the "critical words" is got, which can represent the characteristics of each group. According to this, a quantitative standard for grouping is brought forward. This model can properly classify the given data through testing. First, the strings which appear repeatedly (called words) in the given data are scanned out. The standard frequency and dispersion for each word are calculated. Second, using the Least Squares method, the priority function is fixed. Through stepwise optimization, the coefficients are made stable. Third, the key words are selected out and calculate the weight according to the priority function. At last, using the "analyse hierarchy process", the undetemined data is classified. This method can classify the undetemined data (No. 21—No. 40) fairly well, it can also give good result for the last 182 sequences + +DNA + +（ 310027) + +1 （ ） +2 （ ） +3 + +na: + +A + +； + +ng: + +G + +； + +nt: + +T + +： + +nc: + +C + +。 + +Gi + +4 +4.1 + +4.2 + +T + +A , DNA A,G,T,C na,ng,nt,nc, (na,ng,nt,nc). na,nt,ng,nc (na+ng+nt+nc=1) (na,nt,ng) i + +X i. + +X + +： + +$G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{k}$ + +$G_{i}$ + +$x$ ， + +k + +$x$ ， + +$X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ + +X + +DNA + +$k = 2,G_{1} = A,G_{2} = B$ + +X + +$$ +n = 2 0 +$$ + +10 + +A,10 + +B. + +(Euclid) + +(M ahalanobis) + +Fisher + +# 4.2.1 (Euclid) + +(Euclid) + +1. + +A + +B + +10 + +$$ +C _ {A} = \frac {1}{1 0} _ {i = 1} ^ {1 0} X _ {i} \quad C _ {B} = \frac {1}{1 0} _ {i = 1 1} ^ {2 0} X _ {i} +$$ + +2. + +$$ +X _ {i}, +$$ + +CA + +$$ +D _ {A} = \left| X _ {i} - C _ {A} \right|, +$$ + +$$ +C _ {B} \quad D _ {B} = \left| X _ {i ^ {-}} C _ {B} \right|; +$$ + +3. + +： + +(1) $D_{A} < D_{B}$ ， X + +A ； + +(2) $D_{A} > D_{B}$ ， X + +B ； + +(3) $D_{A} = D_{B}$ ， X + +A1—A20 + +A 4 + +B + +19 + +95%. + +A 21—A 40 + +A :22,23,25,27,29,30,32,34,35,36,37,39;B :21,24,26,28,31,33,38,40 + +N1—N182 + +.（） + +# 4.2.2 (M aha lan obis) + +： + +$G$ $\mu = (\mu_1,\mu_2,\mu_3)^T,$ $V_{3x3},$ （20 + +G + +$$ +d m (X, G) = \sqrt {(X - \mu) ^ {T} V ^ {- 1} (X - \mu)} +$$ + +$\mu$ 1 V + +1. $dm(X,A) < dm(X,B)$ , + +x A ； + +2. $dm(X,A) > dm(X,B)$ + +$x$ B ； + +3. $dm(X,A) = dm(X,B)$ + +A1-A20 + +A 4 + +B + +19 + +95%. + +A 21—A 40 + +A :22,23,25,27,29,30,32,33,34,35,36,37 + +B : 21, 24, 26, 28, 31, 38, 39, 40 + +N1—N182 + +.（ ） + +# 4.2.3 Fisher + +Fisher + +. Fisher + +X d + +$y$ ， + +$u,$ $y$ （20 $X$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c} y = & u ^ {T} x. & & u & & . & & & & y & & , & & y & & \\ , & & & & X & & G & & & & y = & u ^ {T} x & y c = & u ^ {T} c \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad : +$$ + +$$ +L (X, G) = \left| y - y c \right| = \left| u ^ {T} (x - c) \right| +$$ + +C + +Fisher + +1 $L(X,A) < L(X,B),$ ； +2 $L(X,A) > L(X,B)$ ， +3 $L(X,A) = L(X,B),$ + +$u$ ,Fisher + +$$ +u = (0. 3 3 6 5, - 0. 0 8 7, 0. 9 3 7 7) T +$$ + +$$ +L (X, A) = \left| 0. 3 3 6 5 ^ {*} (n a - 0. 2 8 6 0) - 0. 0 8 7 ^ {*} (n t - 0. 1 5 5 0) + 0. 9 3 7 7 ^ {*} (n g - 0. 3 8 3 0) \right| +$$ + +$$ +L (X, B) = \left| 0. 3 3 6 5 ^ {*} (n a - 0. 2 9 4 0) - 0. 0 8 7 ^ {*} (n t - 0. 5 0 1 0) + 0. 9 3 7 7 ^ {*} (n g - 0. 1 0 1 0) \right| +$$ + +A1-A20 A4 + +B , 19 $95\%$ + +A 21—A 40 + +A :22,23,25,27,29,34,35,36,37;B :21,24,26,28,30,31,32,33,38,39,40 + +N1-N182 （） + +# 4.2.4 + +A 30,A 32,A 33 A 39, + +1. + +1 + +
Fisher
30AAB
32AAB
33BAB
39ABB
+ +A 4 + +# 4.3 + +A, T, G, C + +DNA + +DNA + +， + +(A TGC) (CGTA) + +， + +# DNA + +4.3.1 + +$$ +m \quad n, \quad \quad \quad “ m \odot n ” +$$ + +2 + +4.3.2 + +0, + +0 + +4.3.3 + +N + +$$ +A i ( \begin{array}{c c} & 0 \\ & & i \end{array} ) +$$ + +$$ +< N), +$$ + +$$ +A ^ {+} j: \quad 0 \quad j < N, A _ {j} ^ {+} = A _ {j}; \quad - \quad < j < 0 \quad N \quad j < \quad , A ^ {+} j = O. +$$ + +0 + +4.3.4 + +$$ +A _ {N}, B _ {M}, +$$ + +A + +B + +$$ +S _ {i}: +$$ + +$$ +S _ {i} = \underset {k = 0} {A} _ {k + 2 - i} ^ {+} \otimes B _ {k} ^ {+} \quad (0 \leq i \leq n + m - 1) +$$ + +B + +A + +： + +$$ +S = M A X \left\{S _ {i} \right\} \quad (0 \leq i \leq n + m - 1) +$$ + +$$ +A \left\{T, C, T \right\} +$$ + +$$ +B \left\{A, G, T, C, T, C \right\}, +$$ + +： + +$$ +: S _ {0} = A _ {2} \odot B _ {0} = T \odot A = 0 +$$ + +$$ +\ldots \quad A ^ {\ddagger} _ {1} \quad A ^ {\ddagger} _ {0} \quad A ^ {\ddagger} _ {1} \quad A ^ {\ddagger} _ {2} \quad A ^ {\ddagger} _ {3} \quad A ^ {\ddagger} _ {4} \quad A ^ {\ddagger} _ {5} \quad A ^ {\ddagger} _ {6} \quad A ^ {\ddagger} _ {7} \quad A ^ {\ddagger} _ {8} \quad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \quad O \quad T \quad C \quad T \quad O \quad O \quad O \quad O \quad O \quad O \quad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \qquad O \qquad O \qquad O \qquad A \qquad G \qquad T \qquad C \qquad T \qquad C \qquad O \qquad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \quad B _ {- 3} ^ {+} \quad B _ {- 2} ^ {+} \quad B _ {- 1} ^ {+} \quad B _ {0} ^ {\ddagger} \quad B _ {1} ^ {\dagger} \quad B _ {2} ^ {\ddagger} \quad B _ {3} ^ {\ddagger} \quad B _ {4} ^ {\ddagger} \quad B _ {5} ^ {\ddagger} \quad B _ {6} ^ {\ddagger} \quad \ldots +$$ + +$$ +: S _ {1} = A _ {1} \odot B _ {0} + A _ {2} \odot B _ {1} = T \odot G + C \odot A = 0 +$$ + +$$ +\ldots \quad A ^ {\frac {1}{2}} \quad A ^ {\frac {1}{1}} \quad A ^ {\frac {1}{0}} \quad A ^ {\frac {1}{1}} \quad A ^ {\frac {1}{2}} \quad A ^ {\frac {1}{3}} \quad A ^ {\frac {1}{4}} \quad A ^ {\frac {1}{5}} \quad A ^ {\frac {1}{6}} \quad A ^ {\frac {1}{7}} \quad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \qquad O \qquad O \qquad T \qquad C \qquad T \qquad O \qquad O \qquad O \qquad O \qquad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \quad O \quad O \quad O \quad A \quad G \quad T \quad C \quad T \quad C \quad O \quad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \quad B _ {3} ^ {+} \quad B _ {2} ^ {+} \quad B _ {1} ^ {+} \quad B _ {0} ^ {\ddagger} \quad B _ {1} ^ {\ddagger} \quad B _ {2} ^ {\ddagger} \quad B _ {3} ^ {\ddagger} \quad B _ {4} ^ {\ddagger} \quad B _ {5} ^ {\ddagger} \quad B _ {6} ^ {\ddagger} \quad \ldots +$$ + +$$ +: S _ {2} = A _ {0} \odot B _ {0} + A _ {1} \odot B _ {1} = T \odot T + G \odot C + A \odot T = 1 +$$ + +$$ +\ldots \quad A _ {3} ^ {+} \quad A _ {2} ^ {+} \quad A _ {1} ^ {+} \quad A _ {0} ^ {\ddagger} \quad A _ {1} ^ {\ddagger} \quad A _ {2} ^ {\ddagger} \quad A _ {3} ^ {\ddagger} \quad A _ {4} ^ {\ddagger} \quad A _ {5} ^ {\ddagger} \quad A _ {6} ^ {\ddagger} \quad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \qquad O \qquad O \qquad O \qquad T \qquad C \qquad T \qquad O \qquad O \qquad O \qquad O \qquad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \quad O \quad O \quad O \quad A \quad G \quad T \quad C \quad T \quad C \quad O \quad \ldots +$$ + +$$ +\ldots \quad B _ {- 3} ^ {+} \quad B _ {- 2} ^ {+} \quad B _ {- 1} ^ {+} \quad B _ {0} ^ {\ddagger} \quad B _ {1} ^ {\ddagger} \quad B _ {2} ^ {\ddagger} \quad B _ {3} ^ {\ddagger} \quad B _ {4} ^ {\ddagger} \quad B _ {5} ^ {\ddagger} \quad B _ {6} ^ {\ddagger} \quad \ldots +$$ + +$$ +(\quad): +$$ + +$$ +: S _ {3} = A _ {0} \odot B _ {1} + A _ {1} \odot B _ {2} + A _ {2} \odot B _ {3} = T \odot C + C \odot T + T \odot G = 0 +$$ + +$$ +\begin{array}{l} : S _ {4} = A _ {0} \odot B _ {2} + A _ {1} \odot B _ {3} + A _ {2} \odot B _ {4} = T \odot T + C \odot C + T \odot T = 3 \\ : S _ {5} = A _ {0} \odot B _ {3} + A _ {1} \odot B _ {4} + A _ {2} \odot B _ {5} = T \odot C + C \odot T + T \odot C = 0 \\ : S _ {6} = A _ {0} \odot B _ {4} + A _ {1} \odot B _ {5} = C \odot C + T \odot T = 2 \\ : S _ {7} = A _ {0} \otimes B _ {5} = T \otimes C = 0 \\ \end{array} +$$ + +
: S7=A0⊗B5=T⊗C=0
...A+8A+7A+6A+5A+4A+3A+2A+1A0A†...
...OOOOOOOOTC...
...OOOAGTCTCO...
...B+3B+2B+1B0B†B2B3B4BξB6...
+ +$$ +S = M A X \left\{S _ {i} \right\} = S _ {5} = 3; +$$ + +4.3.5 S,A,B, A S B S + +A ， A S B S + +4.3.6 + +1. A 21—A 40, N 1—N 182 , A 1—A 20 + +$$ +\mathrm {S S 1}, \mathrm {S S 2}, \mathrm {S S 3} \dots \dots \mathrm {S S 2 0}; +$$ + +2. $\mathrm{SA} = (\mathrm{SS1} + \mathrm{SS2} + \dots \dots \mathrm{SS10}) / 10,$ + +A + +3. $\mathrm{SB} = (\mathrm{SS11} + \mathrm{SS12} + \dots \dots \mathrm{SS20}) / 10,$ + +B + +4. $\mathrm{W} = \mathrm{SA} / \mathrm{SB}$ + +W>1, X A ； + +W<1, X B ； + +W=1, X + +5.W W 1, A + +B , ; ,W 1 + +A B + +A1-A20 ,A,B + +100%. + +A 21—A 40 + +A :22 23 25 27 29 34 35 36 37 + +B : 21 24 26 28 30 31 32 33 38 39 40 + +N1—N182 （ ）. + +4.3.7 + +
1.182;
2.182 W
3.A, W
A( ,A , A , ,
A. )
4.B, W
B( ,B , B , ,
B. )
5.,
.
182,
,W1 ,
,
+ +5 +5.1 + +
DNADNA.
,
.,
,
64, 64
64,
,,
,,
,,
+ +5.2 + +
,
,
(na, nt, ng):
1.,3a, b, c;
, 1;Sigmoid.
2.(a, b, c)(0, 0, 0); A1; B
0
3.,S = a * na + b * nt + c * ng;
4.S,,
+ +W idrow-Hoff + +5. +6. + +$$ +a ^ {*} n a + b ^ {*} n t + c ^ {*} n g +$$ + +（ ） + +$$ +, S = +$$ + +6 + +DNA + +[1] , 1996. +[2] 2000. +[3] 1986. +[4] ， 1991. +[5] 1990. +[6] Duane Hanselman. Bruce Littlefield Mastering MATLAB: a comprehensive tutorial and reference. Prentice Hall, 1996. + +# Classification of DNA Sequences + +HAN Yi-ping, YU Hang, L U Wei + +(Zhejiang Univ., Hangzhou 310027) + +Abstract This paper proposes several methods for the classification of DNA sequences We noticed that different sequences have different alkali radicals and therefore set up models using Euclidean distance, Mahalanobis distance and Fisher principle We also noticed that different sequences have different permutations of alkali radicals and an algorithm using relativity analysis is proposed Further we discussed a relativity analysis algorithm with feed-back mechanism. A s to the natural and artificial data given our algorithm swork well and fine results are given. At last several other common algorithms are compared, especially on their stabilities \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..be37e81f190d2ff109e40de755273a7c9a04568e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213/DNA\345\272\217\345\210\227\347\232\204\345\210\206\347\261\273\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,575 @@ +![](images/1935a5e70a29e8c6513d6a0e4f7cb62fc4e777f40ee1faff6d0a6b9d889f5ce3.jpg) +DNA + +1 （ ） + +2 + +$$ +\begin{array}{c c c} & , & \\ S _ {1}, S _ {2}, S _ {3} \dots \dots S _ {4 0}, S _ {i} = x _ {1} x _ {2} x _ {3} \dots x n _ {i}, & x _ {j} & \{a, t, c, g \}; \end{array} +$$ + +$$ +A, B, \quad A \quad B = \phi , \quad 1 \leq i \leq 1 0, S _ {i} A; \quad 1 1 \leq i \leq 2 0, S _ {i} B. +$$ + +$$ +2 1 \leq i \leq 4 0, S _ {i} \quad A \quad B. +$$ + +20 + +3 + +(1) + +A + +B + +(2) + +20 + +gt + +A + +10 + +gt + +B + +g + +4 + +DNA + +, DNA + +182 + +1 + +DNA + +DNA + +GC + +DNA + +A T + +1, + +2( ). + +, + +GTC + +AB + +B + +A + +G + +,B + +T + +A T G C + +$$ +\left(P _ {A}, P _ {G}, P _ {T}, P _ {C}\right), +$$ + +$$ +A _ {i} B _ {i} (i = 1, +$$ + +2,3.....10), + +21 40 + +C, + +Hilbert + +C + +B + +$$ +\begin{array}{c c} \mathop {1 0} & \\ \overline {{C}} \cdot \overline {{A}} _ {i} & \\ \hline i = 1 \end{array} \begin{array}{c c} \mathop {1 0} & \\ \overline {{C}} \cdot \overline {{B}} _ {i}, \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} (c _ {1}, c _ {2}, c _ {3}, c _ {4}). (a _ {1}, a _ {2}, a _ {3}, a _ {4}) = c _ {1} a _ {1} + c _ {2} a _ {2} + c _ {3} a _ {3} + c _ {4} a _ {4} \\ = \frac {\left(P _ {A} , P _ {G} , P _ {T} , P _ {C}\right) _ {A} \cdot \left(P _ {A} , P _ {G} , P _ {T} , P _ {C}\right)}{\left| A \right| \cdot \left| \right|} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c} ^ {1 0} \\ i = 1 \end{array} \overline {{C}}. \overline {{A}} _ {i} > \begin{array}{c} ^ {1 0} \\ i = 1 \end{array} \overline {{C}}. \overline {{B}} _ {i}, +$$ + +C + +A + +B + +3 + +C + +$$ +\begin{array}{c c} 1 0 & 1 0 \\ \overline {{C}} \cdot \overline {{A}} _ {i} & \overline {{C}} \cdot \overline {{B}} _ {i} \end{array} +$$ + +$$ +F _ {1} (l), +$$ + +$$ +F _ {1} (l) = \begin{array}{c} 1 0 \\ \frac {i = 1}{1 0} \\ \overline {{C}} \cdot \overline {{B _ {i}}} \end{array} +$$ + +3 + +
ABAB
10.8157810.938814B110.8522310.920957B
20.9269220.803952A120.8669760.853967A
30.9397270.656827A130.8609550.917122B
40.7885240.937135B140.9616890.67678A
50.9481940.772073A150.9603220.739089A
60.8012010.930121B160.9042820.747578A
70.9530190.76695A170.9447240.723664A
80.7460710.968035B180.758620.954652B
90.9310070.613193A190.8856310.811837A
100.8977740.844082A200.755840.941B
+ +A,B DNA + +DNA + +， a + +$t_1, t_2, \dots, t_{k+1}$ , + +ti + +ti + +ti + +$$ +s _ {i} = t _ {i + 1} - t _ {i} +$$ + +$$ +i = \begin{array}{c} 1, 2, \dots , k \end{array} +$$ + +a + +$$ +S 1, S 2, \dots \dots , S n +$$ + +a + +” + +$$ +S 1, S 2, \dots \dots , S n +$$ + +$$ +s _ {i} (i = 1, 2, \dots \dots , k) +$$ + +Si + +$$ +\operatorname {V a r} _ {a} \left(s _ {1}, s _ {2}, \dots \dots , s _ {n}\right) = \sqrt {\frac {1}{n - l} ^ {n} {} _ {i = 1} \left(s _ {i} - \bar {s}\right) ^ {2}}, \quad \bar {s} = \frac {{} _ {i = 1} ^ {n} S _ {i}}{n} +$$ + +$\mathrm{Var}_{\mathrm{g}} \mathrm{Var}_{t} \mathrm{Var}_{\mathrm{o}}$ + +Varg VAr, + +AB + +$$ +F _ {2} = \mathrm {V a r} _ {g} / \mathrm {V a r} _ {t} +$$ + +1 + +A + +B + +B + +,A + +![](images/acc24ea868e1cee49321333266bb2f730767fd7b4840aae0793aaf9aebe4fe78.jpg) +1 + +A,B + +3 + +DNA + +AB + +（ ） + +AB + +$$ +L = \left(a _ {1}, a _ {2}, a _ {3}, \dots \dots , a _ {n}\right); \quad m +$$ + +$$ +f _ {m} (l), +$$ + +$$ +g _ {m} (l) = f _ {m} (l) - f _ {m - 1} (l), +$$ + +$g_{m}(l)$ + +m + +$$ +f _ {n} (l) = \begin{array}{c} n \\ i = 1 \end{array} g _ {i} (1), \quad f _ {n} (l) +$$ + +$$ +\quad , \quad g _ {m} (l) = f _ {m} (l) - f _ {m - 1} (l), +$$ + +$$ +F _ {3} (l) = \frac {f _ {n} (1)}{| 1 |} +$$ + +$$ +g _ {m} (l). +$$ + +:g + +1: $g_{m}(l) > 0$ + +2: m + +$$ +, g _ {m} (l) +$$ + +3: m + +； $g_{m}(l)$ ； + +4: $f_{0}(l) = 0$ + +） + +$$ +, g _ {m} (l) +$$ + +， + +$$ +g _ {m} (l) = \frac {b}{b + t _ {1} O _ {1} + t _ {2} O _ {2} + \dots \dots + t _ {p} O _ {p}} +$$ + +b + +M + +$$ +\sigma_ {i} = \quad a ^ {t} \delta_ {i}; +$$ + +$$ +\delta_ {i t} = \left\{ \begin{array}{c c} i = 1 & m - t \\ 1 & \\ 0 & \end{array} \right. +$$ + +$$ +a \quad 1, +$$ + +$$ +\sigma_ {i} \quad , t +$$ + +? + +3, + +$$ +\begin{array}{c c c} & t & i \\ \hline \end{array} +$$ + +， + +$$ +, \mathrm {i} \quad , +$$ + +σi + +$$ +\begin{array}{l} t _ {i}, \\ = c ^ {i - 1}, \\ \end{array} +$$ + +$c > 1,$ （20 $t_i$ + +$$ +a b c p +$$ + +1 6 + +$$ +a = 0. 3 9 2, b = 0. 1, c = 3 +$$ + +AB $F_{3}(l)$ + +（ ） + +A + +A,B + +B + +DNA + +DNA + +DNA + +AB + +$$ +: F _ {1} (l), F _ {2} (l), F _ {3} (l), +$$ + +$$ +L = \{l \mid l \quad a, g, t, c +$$ + +$$ +F, \qquad F +$$ + +$$ +\begin{array}{l} F _ {1} (l), F _ {2} (l), F _ {3} (l) \\ \xi_ {i} = f _ {i} (l) (i = 1, 2, 3, \\ L \quad , A, B \\ \end{array} +$$ + +L + +$$ +f _ {i} +$$ + +$$ +g _ {i} = \frac {\xi_ {i} - E \xi_ {i}}{\operatorname {V a r} \xi_ {i}} \tag {1} +$$ + +$$ +f _ {i} (1 1), f _ {i} (1 2), \dots \dots , f _ {i} (1 2 0) +$$ + +$$ +E \xi_ {i} = \frac {1}{n} _ {j = 1} ^ {n} f _ {i} (l _ {i}) +$$ + +$$ +\operatorname {V a r} \xi_ {i} = \sqrt {\frac {1}{n - 1} _ {j = 1} ^ {n} \left(f _ {i} \left(l _ {i}\right) - E S _ {i}\right) ^ {2}} +$$ + +(1) $g_{i}$ + +$g_{i}$ （20 $L$ + +$$ +, g _ {i} (A) \quad g _ {i} (B) +$$ + +$x_{i}$ + +$$ +g _ {i} (A) = \left\{g (a) \mid a A \right\} +$$ + +$$ +g _ {i} (B) = \left\{g (b) \mid b B \right\} +$$ + +g1 ,A 10 + +B 10 + +$$ +x _ {i} \quad (- 0. 2 7 6 7 5 8, 0. 4 8 2 2 9 6) +$$ + +$$ +g _ {i} (l) +$$ + +A,B + +$$ +\frac {E g _ {i} (A) + E g _ {i} (B)}{2}, \quad E g _ {i} (A) + E g _ {i} (B) +$$ + +20 + +$$ +\underset {i = 1} {g} \left(l _ {i}\right) = 0 (\quad g). +$$ + +$$ +0 \quad (- 0. 2 7 6 7 5 8, 0. 4 8 2 2 9 6), \quad x _ {1} = 0 +$$ + +$$ +, x _ {2} = 0, x _ {3} = 0 +$$ + +$$ +g ^ {2}, g ^ {3} +$$ + +$$ +F = a _ {1} g _ {1} + a _ {2} g _ {2} + a _ {3} g _ {3}, +$$ + +$$ +x = a _ {1} \times 0 + a _ {2} \times 0 + a _ {3} \times 0 = 0 +$$ + +$$ +F \quad , F +$$ + +A + +B + +A,B + +0.5 4, 5 : + +$$ +a _ {1} = 1, a _ {2} = - 1, a _ {3} = +$$ + +4 + +
A11.8028861.7535511-1.3852816-2.60295
21.7589471.25115B1217-0.0165438
32.588781.4137113-0.94000418-1.31022
40.2758291.901114-0.9361219-2.6043
52.1781101.9728215-2.2746520-3.603
+ +5 + +
21- 1.96454B31- 1.06638B
220.873279A32- 0.668504B
232.32887A33- 0.877053B
24- 1.48005B342.60904A
251.21328A351.69535A
26- 1.184B361.22298A
271.22569A371.83991A
28- 3.71616B38- 3.01466B
292.69272A390.499763A
300.550393A40- 2.77993B
+ +![](images/d593a052f3746e4f7dccf7c2c0730a4182df917925609defb366f0c372ee612f.jpg) + +5 + +[1] ( 1992. +[2] 1996. +[3] ． ( ，1991. +[4] , 1992. +[5] 1994. +[6] 1999. + +# The Classified Model for DNA Sequences + +TANG Shi-jie, ZHOU Liang, WANG Xiao-ling + +(Uiversity of Science and Technology of China, Hefei 230026) + +Abstract Classifying the DNA sequences is a practice problem in biology. In this paper, a mathematics model is established for the classifying of DNA sequences. Since there are both locality and globality in the DNA sequences, we discuss the criterion about whether the classified method is good or not. That is whether the method bases on all properties that the DNA sequences have + +So a classified method with a single standard is not enough for the problem. Here is a synthesis method on three different classified ways. The three ways base on varied property that DNA sequences have. The first is the frequency of occurrences of the element in the DNA + +sequences The second is the periodic property of the DNA sequences The third is that amount of information of the sequences By using this method, we classify the nature sequences and artificial sequences At last, we analyze the characteristic in this model and consider the generalization of this model + +![](images/d6c015ba9e540fe0039ad67b0b2a5bca75994a940af40ab1cf173c1f7f675eaa.jpg) +DNA + +# 1 （） + +DNA + +A T C G + +1- 10 + +A ,11-20 + +B. + +1) + +AB + +； + +2) + +AB + +20 + +182 + +AB + +（ AB A B ）.， 1-20 AB BP + +# 2 + +1) +2) +3) + +[1] + +![](images/50a46d7fa3982493df63cdf2b79174537012cac3064bb8d34dba517e59bab92b.jpg) +DNA + +1 （） +2 + +DNA 4 (A T G C) + +（ ）， + +（ ）， + +DNA 1.1( ) R(A) + +G) Y(C T) (2) + +M (A C) K(G T) + +S(G C) + +W (A T), + +DNA + +Euclid + +1.2 + +， $G$ + +G \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\250\241\345\236\213/\345\205\263\344\272\216DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\250\241\345\236\213/\345\205\263\344\272\216DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b833eb7142194af3875008c99820ad662324ca62 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/A\351\242\230/\345\205\263\344\272\216DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\250\241\345\236\213/\345\205\263\344\272\216DNA\345\272\217\345\210\227\345\210\206\347\261\273\351\227\256\351\242\230\347\232\204\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,384 @@ +sequences The second is the periodic property of the DNA sequences The third is that amount of information of the sequences By using this method, we classify the nature sequences and artificial sequences At last, we analyze the characteristic in this model and consider the generalization of this model + +# DNA + +![](images/791e0c8d826e4b2463ec28d54ad935ac5ef303d913dcafaef67f0c29b9ed40a4.jpg) + +1 （） + +DNA + +ATCG + +1- 10 + +A ,11-20 + +B. + +1) + +AB + +； + +2) + +AB + +20 + +182 + +AB + +（ A B ， A B ）. + +BP + +1-20 + +AB + +2 + +1) +2) +3) + +[1] + +![](images/2ccb61ce705cb4ff675e39ef1ded5ca11e1936fe664856c41fa51cc020086596.jpg) + +# 3 + +1) + +: (1) + +A, T, C, G + +; (2) + +（ + +2) + +DNA + +DNA + +# 4 + +# 41 + +AB + +AB + +(a) + +(b), + +(a): + +(a) + +1 + +1-20 + +ATCG + +Pi, Pi= Ti/(S— + +$$ +\mathrm {M} + 1), \mathrm {i} = \mathrm {A}, \mathrm {T}, \mathrm {C}, \mathrm {G} +$$ + +S + +,M + +$(\mathrm{,M} = 1),\mathrm{T}\mathrm{i}$ + +1-20 + +(a) + +：（ ） + +(b): + +(b) + +1 + +2 + +1-20 + +ATCG + +（ + +. + +） + +， +， + +1-20 + +AB + +1- + +20 + +# + +64 1 , aggcacggaa . . . . gcttgg +A a, 2 +2) ggc +3) (tgg) ( A 2-10 A +A 1 :aggcacggaa +1) 5 ,aggca, 3 :agg,ggc,gca, 3 3 ( ggc 10 agg gca , ggc, a). +2) ( a) (1) A 1-10 B A. A B +20) 5 ， A B +. 1-20 $\mathrm{/(S - M + 1),}\quad \mathrm{M = 3)}$ ： $3^{*}$ （20 $\mathrm{/(S - M + 1),}\quad \mathrm{M = 3).}$ + +42 + +```txt +， ， ， ， ， 1 ， ， ， · 1 2 40 A -1,B 1. , BP +``` + +43 BP + +BP + +1 2, + +12 + +BP + +$$ +(\quad - 1 + 1). +$$ + +R. PLippmann + +$$ +{ } ^ { [ 4 ] } : \quad \mathrm { K } \quad , \quad 2 K + 1 +$$ + +$$ +N = 5, +$$ + +4 4 + +$$ +1 \quad 2 0 \quad , \quad \mathrm {A} \quad 7 \quad (1 \quad 7) \quad \mathrm {B} \quad 7 \quad (1 1 \quad 1 7) +$$ + +$$ +\text {S t r a i n ,} \quad 8 \quad 1 0 \quad 1 8 \quad 2 0 \quad \text {S t e s t} \quad 1: 2 5 - 5 - 1 \quad 1 9 +$$ + +$$ +- 5 - 1 \quad , \quad 1 0 - 5. +$$ + +$$ +0. 2 +$$ + +$$ +1 2 \quad - 0. 2 + +$$ + +$$ +1. 0), \quad \alpha \quad 0. 6 (\quad 2 \quad \alpha \quad 0. 7), \quad T \quad 1 0. \quad E, +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} \text {B P} & , \end{array} +$$ + +$$ +1 \quad , \quad \eta \quad 0. 9 (\quad 2 +$$ + +$$ +1 (\mathrm {b}) \quad 2 (\mathrm {b}) (\quad): +$$ + +$$ +1 (\mathrm {a}) \quad 2 (\mathrm {a}), \quad 1 \quad 3 0 3 \quad , \quad 2 \quad 2 4 1 \quad , +$$ + +$$ +1 (\mathrm {b}) \quad 2 (\mathrm {b}), \quad 10 \% , \quad 1 +$$ + +$$ +98.3\% , \quad 2 \quad 94.7\% , \quad 100\% , +$$ + +$$ +\text {S t r a i n} + \text {t e s t} \quad . \quad , \quad 1 2 +$$ + +5 + +5.1 21 40 + +$$ +\text {M A T L A B} \quad (\mathrm {B P}) +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} : & 0. 9 & - 0. 9 & , & \text {B P} \\ \hline \end{array} , +$$ + +$$ +1 \qquad \qquad \qquad . \qquad \qquad \qquad : +$$ + +$$ +2 \quad 1, \quad ; +$$ + +. + +$$ +1 2 +$$ + +$$ +, \quad , \quad 1. +$$ + +$$ +, \quad 1 \quad , \quad : A \quad : 2 2, 2 3, 2 5, 2 7, 2 9, 3 4, 3 5, 3 7, 3 9; B \quad : 2 1, +$$ + +$$ +2 4, 2 6, 2 8, 3 0, 3 1, 3 2, 3 3, 3 6, 3 8, 4 0 +$$ + +52 182 + +$$ +2 1 \quad 4 0 \quad , \quad 1 \quad , +$$ + +$$ +1 0 ^ {- 5}. \quad 0, 0. 2, 0. 5 \quad 0, 0. 2, 0. 5 \quad , \quad 1 8 2 +$$ + +$$ +: \left( \begin{array}{c} \end{array} \right) +$$ + +$$ +, \quad 0 \quad 1 8 2 \quad . +$$ + +6 + +BP + +BP + +BP + +[1] , 1998. +[2] Funahashi K J. the Approximate Realization of Continuous Mapping by Neural Networks. Neutral Networks, 1989, (2). +[3] Rumelhart D E, Moccell J L. Parallel Distributed Processing: Exploration in the Microstructure of cognition. M IT Press, London, 1996 +[4] 1999. +[5] 1995. +[6] ,MATLAB 1999. +[7] ，. 1995. +[8] 1993. + +# A Model for DNA Sequence Clustering Problem + +FENG Tao, KANG Zhewen, HAN Xiao-jun + +(Dalian University of Technology, Dalian 116024) + +Abstract This paper presents a method applying artificial neural network (NN) to DNA clustering problem. First we use the probability statistics method to extract the characters from the 20 artificial DNA sequences whose categories are known. Thus we can get the character vectors of the DNA sequences and input them as samples into BP neuron NN for learning. We + +employ the BP (back propagation) algorithm to train NN by use of the Neural Network Toolbox in MATLAB software package. In this paper, two three-story NN are created to input the extracted DNA character vectors as samples into them. After the training, characters are extracted from the 20 unclassified artificial sequence samples and 182 natural sequence samples to form the character vectors as input of the two NN for clustering. The results show: the clustering method presented in this paper can classify the DNA sequences in quite high accuracy and precision. It is quite feasible to apply the artificial neural network to DNA sequence clustering + +# DNA + +![](images/b080964d86e4affa9060df4ccbf2b0a43cd4d8c87d3d43a8b035be0c9fcafea5.jpg) + +# 1 （ ） + +2 + +(1) 21—40 A B $5\%$ . +(2) keyword $t$ s t s (t,s +(3) A B DNA + +3 + +DNA , A + +B A,B + +A B + +A,B ， + +DNA + +![](images/d0bb7f0e31d964e6466968a413e2643c5a152d861046cdc0a8211fbc3cec74ff.jpg) +DNA + +1 （ ） + +2 + +$$ +\begin{array}{c c c} & , & \\ S _ {1}, S _ {2}, S _ {3} \dots \dots S _ {4 0}, S _ {i} = x _ {1} x _ {2} x _ {3} \dots x n _ {i}, & x _ {j} & \{a, t, c, g \}; \end{array} +$$ + +$$ +A, B, \quad A \quad B = \phi , \quad 1 \leq i \leq 1 0, S _ {i} A; \quad 1 1 \leq i \leq 2 0, S _ {i} B. +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} 2 1 \leq i \leq 4 0 & , S _ {i} & A & B & . \\ , & & & & 2 0 \end{array} +$$ + +3 + +(1) + +A + +B + +(2) + +20 + +gt + +A + +10 + +gt + +B + +g \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5d3be2a120407863ddea119999fe363b7ba67e8e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\241.md" @@ -0,0 +1,479 @@ +# The Order and Transportation of Pipelines + +DNG Yong, XUE Fei, ZHANG Zhen + +(Southeast University, Nangjing 210096) + +Abstract We succeeded in drawing up an optimal plan for the order and transportation of pipelines by establishing two models. A diagrammatic model is set up for the first problem in which there is no branch in the track of pipelines. Solution of the problem is then equivalent to the plan that minimizes some area of a special diagram. The idea of flow in network helps to set up a non-linear programming model for the last problem where the track is a tree diagram. The regular form of the model makes it convenient to find the solution by The SAS System. The model is also used to give an accurate sensitivity analysis for the first problem. + +1 + +2000 + +2000 + +B + +[1] + +B + +1. + +（ ）. + +2 +3 +4. +） + +# 2 + +$$ +\begin{array}{c c c c c} & G (V, E), V & (\quad) & A _ {1}, \\ A _ {2}, \dots , A _ {n} & , E & \cdot & \\ G _ {1} (V _ {1}, E _ {1}), & & G _ {2} (V _ {2}, E _ {2}), G _ {2} & \cdot & \\ & \cdot & & & , \\ & \cdot & \cdot & & , \\ & , & [ A _ {i}, A _ {i + 1} ] & , & A _ {i} \\ A _ {i + 1} & \cdot , & \end{array} +$$ + +$$ +[ A _ {i}, A _ {i + 1} ] +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +m — — +$$ + +$$ +n - G _ {2} +$$ + +$$ +C _ {i j} - +$$ + +$$ +t _ {j k} - \quad G _ {2} +$$ + +$$ +N _ {j} - +$$ + +$$ +x _ {i j} - - +$$ + +$$ +y _ {i k} - A _ {j} +$$ + +$$ +x _ {j j}, y _ {j k} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} S _ {i} & A _ {j} \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} A _ {j} & A _ {k} \end{array} +$$ + +$$ +A _ {j} A _ {k} +$$ + +$$ +A _ {k} +$$ + +$$ +k +$$ + +$$ +A _ {k} A _ {k} \quad A _ {k} +$$ + +$$ +c _ {i j}, +$$ + +$$ +A _ {j} +$$ + +![](images/2b73fdd2c30a167a127ed63994a03c8013723ba135885ec12e55b69212042251.jpg) + +$$ +\begin{array}{l} \text {D i j k s t r a} \\ \text {G 1} \\ \text {G 2} \\ \text {A j} \\ \text {1 k m} \end{array} \quad \begin{array}{l} \text {,} \\ \text {,} \\ \text {A i} \\ \text {A j A k} \\ \text {A k} \\ \text {y j k m} \\ \text {,} \\ \text {0 . 1 (1 + 2 + ... + y j k) = \frac {0 . 1}{2} y _ {i k} (y _ {i k}} \\ \text {+ 1).} \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c} & & & & , & & \\ A _ {j} A _ {k} & , & & & A _ {j} A _ {k} & t _ {j k}, & G _ {2} \\ & & & & m \\ & & y _ {k j} & A _ {j} & x _ {i j}, \\ & & k N _ {j} \end{array} \quad , +$$ + +$$ +\min _ {i = 1 j = 1} ^ {m n} \left(c _ {i j} + p _ {i}\right) x _ {i j} + \frac {0 - 1}{2} _ {j = 1 k N _ {j}} ^ {n} y _ {j k} \left(y _ {j k} + 1\right) \tag {1} +$$ + +$$ +s t _ {i = 1} ^ {m} x _ {i j} = \underset {k} {\sum_ {L _ {j}}} y _ {j k} \quad j = 1, 2, \dots , n \tag {2} +$$ + +$$ +y _ {j k} + y _ {k j} = t _ {j k} \quad k \quad N _ {j}, k < j, j = 1, 2, \dots , n \tag {3} +$$ + +$$ +x _ {i j} \quad 0 \quad i = 1, 2, \dots , m; j = 1, 2, \dots , n \tag {4} +$$ + +$$ +y _ {j k} \quad 0 \quad k \quad N _ {j}; j = 1, 2, \dots , n \tag {5} +$$ + +$$ +\underset {j = 1} {\overset {n} {x}} x _ {i j} \quad \{0 \} \quad [ 5 0 0, s _ {i} ] \quad i = 1, 2, \dots , m \tag {6} +$$ + +$$ +I \quad , \tag {6} +$$ + +$$ +0 _ {j = 1} ^ {n} \quad x _ {i j} \quad s _ {i} \tag {7} +$$ + +$$ +x _ {i j} = 0 \quad_ {j = 1} ^ {n} \tag {8} +$$ + +$$ +5 0 0 \quad_ {j = 1} ^ {n} x _ {i j} \quad s _ {i} \tag {9} +$$ + +$$ +{ } ^ { [ 3 ] } , +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} (6) & & & & (8) & (9) \\ & (7) & & (6) & , \\ & . \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (6), +$$ + +$$ +I \quad . \quad (6) \quad m \quad , \quad 0 < \begin{array}{c} n \\ j = 1 \end{array} x _ {i j} < s _ {i} \quad i +$$ + +(1)—(6) + +(8) + +(9) + +(6) + +(6) + +I 1 2m . ， I +I W, $w_{i} = 0$ （20 $S_{i}$ + +$$ +i = 6 \quad i = 7 \tag {6} +$$ + +$$ +0 - - 1 \quad w _ {i}, \quad w _ {i} = 1 \quad S _ {i} +$$ + +$$ +0 - 1 \quad . +$$ + +3 + +1. 2, ( ) + +2 $\begin{array}{rlrlrlrlrlrl} & & & & & & & , & & & & & & \mathrm{km} & & .\\ & \mathrm{I} & & & & y_{jk} & & , & x_{ik} & & . & & & & (1) - (6)\\ & & & y_{jk} & & . & & , & A_{j}A_{k} & & y_{jk} = l & y_{jk} = l + 1 \\ , & & l & l + 1 & 1\mathrm{km} & & A_{j} & A_{k} & & . & 1\mathrm{km} \end{array}$ + +$A_{j}$ $A_{k}$ 1km 1km A j l l 1km + +$$ +u _ {j} + 0 1 (l + 1) \quad u _ {k} + 0 1 (t - l), +$$ + +$$ +u _ {j} + 0 1 (l + 1) = u _ {k} + 0 1 (t - l) +$$ + +$$ +u _ {j} - u _ {k} = 0. 1 (t - 2 l - 1) +$$ + +$$ +A _ {j} \quad l + \epsilon (\mathrm {k m}) (0 \quad \epsilon 1), \quad A _ {j} A _ {k} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} u _ {j} (l + \epsilon) + \frac {0 . 1}{2} l (l + 1) + 0. 1 (l + 1) \epsilon + u _ {k} (t - l - \epsilon) + \frac {0 . 1}{2} (t - l) (t - l + 1) - 0. 1 (t - l) \epsilon \\ = u _ {j} l + \frac {0 1}{2} l (l + 1) + u _ {k} (t - l) + \frac {0 1}{2} (t - l) (t - l + 1) + \epsilon \left(u _ {j} - u _ {k}\right) + 0. 1 (2 l - t + 1) \epsilon \\ = u _ {j} l + \frac {0 1}{2} l (l + 1) + u _ {k} (t - l) + \frac {0 1}{2} (t - l) (t - l + 1) \\ \end{array} +$$ + +$$ +\epsilon \quad . \quad y _ {j k} = l \quad y _ {j k} = l + 1 +$$ + +$$ +y _ {j k} \quad , \quad y _ {j k} = l + \epsilon , 0 < \epsilon < 1, +$$ + +(1) + +$$ +\begin{array}{l} u _ {j} (l + \epsilon) + \frac {0 . 1}{2} (l + \epsilon) (l + 1 + \epsilon) + u _ {k} (t - l - \epsilon) + \frac {0 . 1}{2} (t - l - \epsilon) (t - l - \epsilon + 1) \\ = u _ {j} l + \frac {0 . 1}{2} l (l + 1) + u _ {k} (t - l) + \frac {0 . 1}{2} (t - l) (t - l + 1) - 0. 1 \epsilon (1 - \epsilon) \\ \end{array} +$$ + +$$ +0. 1 \epsilon (1 - \epsilon), +$$ + +$$ +y _ {j k} = l + \frac {1}{2}, +$$ + +$$ +0 0 2 5 +$$ + +3 + +4. + +1km + +1km + +， + +$$ +\frac {0 - 1}{2} y _ {j k} \left(y _ {j k} + 1\right) +$$ + +$$ +0 \int_ {0} ^ {y _ {j k}} x d x = \frac {0 1}{2} y _ {j k} ^ {2} +$$ + +$$ +A _ {j} A _ {k} +$$ + +$$ +\frac {0 - 1}{2} \left[ y _ {j k} ^ {2} + \left(t _ {j k} - y _ {j k}\right) ^ {2} \right] +$$ + +(1) + +$$ +\frac {0 1}{2} \left[ y _ {j k} + \left(t _ {j k} - y _ {j k}\right) \right] = 0. 0 5 t _ {j k} +$$ + +$$ +0 0 5 L, \quad L = _ {A _ {j} A _ {k}} t _ {j k} +$$ + +$$ +. +$$ + +$$ +y _ {j k} ^ {2} \quad y _ {j k} (y _ {j k} +$$ + ++1) + +(1) + +0.05L. + +4 + +km + +$$ +k = 1, 2, \dots r. +$$ + +$c_{ij}$ + +$S_{i}$ + +$h$ + +eih + +$G_{2}$ + +A A k + +A j + +$q$ 1 + +$$ +e _ {j h} = \operatorname {m i n} \left\{p _ {i} + c _ {i j} + 0. 1 q, p _ {i} + c _ {i k} + 0. 1 (t _ {j k} - q + 1) \right\} +$$ + +$$ +A _ {j} A _ {k} +$$ + +1 + +$$ +\begin{array}{c c} A _ {0} & A _ {1 5} \end{array} +$$ + +， $e_{ih}$ + +$h$ + +$$ +Z _ {i h} (i = 1, 2, \dots m; h = 1, 2, \dots , r), \quad Z _ {i h} = 1 +$$ + +$h$ $S_{i}$ + +$Z_{ih} = 0$ + +$h$ + +$S_{i}$ + +II + +min + +$$ +\begin{array}{l} e _ {i h} Z _ {i h} \\ i = 1 h = 1 \\ \end{array} +$$ + +n + +$$ +\mathrm {s} \quad \mathrm {t} \quad Z _ {i h} = 1 +$$ + +$$ +h = 1, 2, \dots , r +$$ + +(11) + +r + +$$ +Z _ {i h} \quad \{0 \} +$$ + +$$ +[ 5 0 0, s _ {i} ] +$$ + +$$ +i = 1, 2, \dots , m +$$ + +(12) + +$$ +h = 1 +$$ + +$$ +Z _ {i t h} \quad \{0, 1 \} +$$ + +$$ +i = 1, 2, \dots , m; h = 1, 2, \dots , r +$$ + +(13) + +(12) + +(13) + +$Z_{ih}$ + +0, + +， + +(11) + +$Z_{ih}$ + +0, + +$Z_{ih}$ + +$$ +\{0, 1 \}. +$$ + +$$ +\left( \begin{array}{c c} r & \end{array} \right), +$$ + +(12), + +$h$ + +$$ +\underset { \begin{array}{c c} i & m \end{array} } {\text {m i n}} e _ {i h}, +$$ + +$$ +i _ {0} (h) +$$ + +， + +$$ +e _ {i _ {0} (h), h} = \underset {\textbf {m} i, m} {\mathrm {l}} e _ {i h}, +$$ + +$$ +Z _ {i h} = \left\{ \begin{array}{c c c} 1, & i = & i _ {0} (h) \\ 0 & i & i _ {0} (h) \end{array} \right. +$$ + +$$ +h = \begin{array}{l} 1, 2, \dots , r \end{array} +$$ + +$$ +(1 0) (1 1) (1 3) \tag {10} +$$ + +$$ +(1 2), +$$ + +![](images/1d632a8765f05b94023910636ac01dfa30bb981770e476b94762761844b45057.jpg) + +# Modeling a Kind of Transportation Problems + +FEI Pu-sheng, ZHAO She-feng, L I Jian + +(Wuhan University, Wuhan 430072) + +Abstract This paper introduces the motivations for problem B of CUMCM 2000. Two models and solving methods are also presented + +![](images/1f39cbd29d3062d82aba1c207778e6cc0433e74b63265e161a60b8edbb08240b.jpg) + +1 + +$$ +\begin{array}{l} S i (i = 1, 2 \dots 7) \quad (\quad) \quad (\quad) \quad A _ {j} (j = 1, 2 \dots 1 5 \\ j = 1, 2, \dots 2 1) \quad C _ {i j} \quad (\quad \\ \end{array} +$$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\2411/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\2411.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\2411/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\2411.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..59af0e6b9ccb11bb5cb8bf9b57ca703ad4208fc0 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\2411/\344\270\200\347\261\273\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230\347\232\204\345\273\272\346\250\2411.md" @@ -0,0 +1,485 @@ +# The Order and Transportation of Pipelines + +DNG Yong, XUE Fei, ZHANG Zhen + +(Southeast University, Nangjing 210096) + +Abstract We succeeded in drawing up an optimal plan for the order and transportation of pipelines by establishing two models. A diagrammatic model is set up for the first problem in which there is no branch in the track of pipelines. Solution of the problem is then equivalent to the plan that minimizes some area of a special diagram. The idea of flow in network helps to set up a non-linear programming model for the last problem where the track is a tree diagram. The regular form of the model makes it convenient to find the solution by The SAS System. The model is also used to give an accurate sensitivity analysis for the first problem. + +1 + +2000 + +2000 + +B + +B + +0-1 + +[1] + +B + +1. + +( ）. + +2 +3 +4. +） + +# 2 + +$$ +\begin{array}{c c c c c} & G (V, E), V & (\quad) & A _ {1}, \\ A _ {2}, \dots , A _ {n} & , E & \cdot & \\ G _ {1} (V _ {1}, E _ {1}), & & G _ {2} (V _ {2}, E _ {2}), G _ {2} & \cdot & \\ & \cdot & & & , \\ & \cdot & \cdot & & , \\ & , & [ A _ {i}, A _ {i + 1} ] & , & A _ {i} \\ A _ {i + 1} & \cdot , & \end{array} +$$ + +$$ +[ A _ {i}, A _ {i + 1} ] +$$ + +$$ + +$$ + +$$ +m — — +$$ + +$$ +n - G _ {2} +$$ + +$$ +C _ {i j} - +$$ + +$$ +t _ {j k} - \quad G _ {2} +$$ + +$$ +N _ {j} - +$$ + +$$ +x _ {i j} - - +$$ + +$$ +y _ {i k} - A _ {j} +$$ + +$$ +x _ {j j}, y _ {j k} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} S _ {i} & A _ {j} \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} A _ {j} & A _ {k} \end{array} +$$ + +$$ +A _ {j} A _ {k} +$$ + +$$ +A _ {k} +$$ + +$$ +k +$$ + +$$ +A _ {j} A _ {k} \quad A _ {k} +$$ + +$$ +c _ {i j}, +$$ + +$$ +A _ {j} +$$ + +![](images/2b73fdd2c30a167a127ed63994a03c8013723ba135885ec12e55b69212042251.jpg) + +$$ +\begin{array}{l} \text {D i j k s t r a} \\ \text {G 1} \\ \text {G 2} \\ \text {A j} \\ \text {y j k} \\ \text {0 . 1 (1 + 2 + ... + y j k) = \frac {0 . 1}{2} y _ {i k} (y _ {i k}} \\ \text {+ 1).} \end{array} \quad \begin{array}{l} G _ {1} \left(V _ {1}, E _ {1}\right) \\ \text {[ 2 ]} \\ \text {A i} \\ \text {c i j .} \\ \text {y j k m} \\ \text {y j k (y _ {i k}) = \frac {0 . 1}{2} y _ {i k} (y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y _ {i k}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\prime}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {\Delta y ^ {\mathrm {m}}} \\ \text {y _ {j}} \\ \text {A _ {j}} \\ \text {A _ {j} A _ {k}} \\ \text {A _ {k}} \\ \text {y _ {j k} k m} \\ \text {y _ {j k} k m} \\ \text {y _ {j k} k m} \\ \text {y _ {j k} k m} \\ \text {y _ {j k} k m} \\ \text {y _ {j k} k m} \\ \text {y _ {j k} k m} \\ \text {y _ {j k} k m} \\ \text {y _ {j j} j k m} \\ \text {y _ {j j} j k m} \\ \text {y _ {j j} j k m} \\ \text {y _ {j j} j k m} \\ \text {y _ {j j} j k m} \\ \text {y _ {j j} j k m} \\ \text {y _ {j j} j k m} \\ \text {y _ {j j} j k. m} \\ \text {(2)} & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\\ &{\Delta y ^ {\prime}}\end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c} & & & & , & & \\ A _ {j} A _ {k} & , & & & A _ {j} A _ {k} & t _ {j k}, & G _ {2} \\ & & & & m \\ & & y _ {k j} & A _ {j} & x _ {i j}, \\ & & k N _ {j} \end{array} \quad , +$$ + +$$ +\min _ {i = 1 j = 1} ^ {m n} \left(c _ {i j} + p _ {i}\right) x _ {i j} + \frac {0 - 1}{2} _ {j = 1 k N _ {j}} ^ {n} y _ {j k} \left(y _ {j k} + 1\right) \tag {1} +$$ + +$$ +s t _ {i = 1} ^ {m} x _ {i j} = y _ {j k} \quad j = 1, 2, \dots , n \tag {2} +$$ + +$$ +y _ {j k} + y _ {k j} = t _ {j k} \quad k \quad N _ {j}, k < j, j = 1, 2, \dots , n \tag {3} +$$ + +$$ +x _ {i j} \quad 0 \quad i = 1, 2, \dots , m; j = 1, 2, \dots , n \tag {4} +$$ + +$$ +y _ {j k} \quad 0 \quad k \quad N _ {j}; j = 1, 2, \dots , n \tag {5} +$$ + +$$ +\underset {j = 1} {\overset {n} {x}} x _ {i j} \quad \{0 \} \quad [ 5 0 0, s _ {i} ] \quad i = 1, 2, \dots , m \tag {6} +$$ + +$$ +I \quad , \tag {6} +$$ + +$$ +0 _ {j = 1} ^ {n} \quad x _ {i j} \quad s _ {i} \tag {7} +$$ + +$$ +x _ {i j} = 0 \quad_ {j = 1} ^ {n} \tag {8} +$$ + +$$ +5 0 0 \quad_ {j = 1} ^ {n} x _ {i j} \quad s _ {i} \tag {9} +$$ + +$$ +{ } ^ { [ 3 ] } , +$$ + +$$ +\begin{array}{l l} (6) & \quad (8) (9) \\ (7) & (6) \end{array} . +$$ + +$$ +I \quad . \quad , \quad . \quad (6), +$$ + +$$ +I \quad . \quad (6) \quad m \quad , \quad 0 < \begin{array}{c} n \\ j = 1 \end{array} x _ {i j} < s _ {i} \quad i +$$ + +(1)—(6) + +(8) + +(9) + +(6) + +(6) + +I 1 2m . ， I +I W $w_{i} = 0$ + +$$ +i = 6 \quad i = 7 \tag {6} +$$ + +$$ +0 - - 1 \quad w _ {i}, \quad w _ {i} = 1 \quad S _ {i} +$$ + +$$ +0 - 1 \quad . +$$ + +3 + +1. 2, ( ) + +2 $\begin{array}{rlrlrlrlrlrl} & & & & & & & , & & & & & & \mathrm{km} & & .\\ & \mathrm{I} & & & & y_{jk} & & , & x_{ik} & & . & & & & (1) - (6)\\ & & & y_{jk} & & . & & , & A_{j}A_{k} & & y_{jk} = l & y_{jk} = l + 1 \\ , & & l & l + 1 & 1\mathrm{km} & & A_{j} & A_{k} & & . & 1\mathrm{km} \end{array}$ + +A j A k + +$y_{jk}$ $A_{j}$ $l$ $1\mathrm{km}$ $1\mathrm{km}$ $A_{j}$ $A_{k}$ $u_{j}$ $u_{k}$ $A_{j}$ $A_{k}$ $1\mathrm{km}$ + +$$ +u _ {j} + 0 1 (l + 1) \quad u _ {k} + 0 1 (t - l), +$$ + +$$ +u _ {j} + 0. 1 (l + 1) = u _ {k} + 0. 1 (t - l) +$$ + +$$ +u _ {j} - u _ {k} = 0. 1 (t - 2 l - 1) +$$ + +$A_{j}$ $l + \epsilon (\mathrm{km})$ 0 1）, A jA k + +$$ +\begin{array}{l} u _ {j} (l + \epsilon) + \frac {0 1}{2} l (l + 1) + 0. 1 (l + 1) \epsilon + u _ {k} (t - l - \epsilon) + \frac {0 1}{2} (t - l) (t - l + 1) - 0. 1 (t - l) \epsilon \\ = u _ {j} l + \frac {0 1}{2} l (l + 1) + u _ {k} (t - l) + \frac {0 1}{2} (t - l) (t - l + 1) + \epsilon \left(u _ {j} - u _ {k}\right) + 0. 1 (2 l - t + 1) \epsilon \\ = u _ {j} l + \frac {0 1}{2} l (l + 1) + u _ {k} (t - l) + \frac {0 1}{2} (t - l) (t - l + 1) \\ \end{array} +$$ + +$\epsilon$ 1 $y_{jk} = l y_{jk} = l + 1$ + +$$ +y _ {j k} \quad , \quad y _ {j k} = l + \epsilon , 0 < \epsilon < 1, +$$ + +(1) + +$$ +\begin{array}{l} u _ {j} (l + \epsilon) + \frac {0 . 1}{2} (l + \epsilon) (l + 1 + \epsilon) + u _ {k} (t - l - \epsilon) + \frac {0 . 1}{2} (t - l - \epsilon) (t - l - \epsilon + 1) \\ = u _ {j} l + \frac {0 . 1}{2} l (l + 1) + u _ {k} (t - l) + \frac {0 . 1}{2} (t - l) (t - l + 1) - 0. 1 \epsilon (1 - \epsilon) \\ \end{array} +$$ + +$$ +0. 1 \epsilon (1 - \epsilon), +$$ + +$$ +y _ {j k} = l + \frac {1}{2}, +$$ + +$$ +0 0 2 5 +$$ + +3 + +4. + +1km + +1km + +， + +$$ +\frac {0 - 1}{2} y _ {j k} \left(y _ {j k} + 1\right) +$$ + +$$ +0 1 _ {0} ^ {y _ {j k}} x d x = \frac {0 1}{2} y _ {j k} ^ {2} +$$ + +$$ +A _ {j} A _ {k} +$$ + +$$ +\frac {0 - 1}{2} \left[ y _ {j k} ^ {2} + \left(t _ {j k} - y _ {j k}\right) ^ {2} \right] +$$ + +(1) + +$$ +\frac {0 1}{2} \left[ y _ {j k} + \left(t _ {j k} - y _ {j k}\right) \right] = 0. 0 5 t _ {j k} +$$ + +$$ +0 0 5 L, \quad L = _ {A _ {j} A _ {k}} t _ {j k} +$$ + +$$ +. +$$ + +$$ +y _ {j k} ^ {2} \quad y _ {j k} (y _ {j k} +$$ + ++1) + +(1) + +0.05L. + +4 + +km + +$$ +k = 1, 2, \dots r. +$$ + +$c_{ij}$ + +$S_{i}$ + +$h$ + +eih + +$G_{2}$ + +A A k + +A j + +$q$ 1 + +$$ +e _ {j h} = \operatorname {m i n} \left\{p _ {i} + c _ {i j} + 0. 1 q, p _ {i} + c _ {i k} + 0. 1 (t _ {j k} - q + 1) \right\} +$$ + +$$ +A _ {j} A _ {k} +$$ + +1 + +$$ +\begin{array}{c c} A _ {0} & A _ {1 5} \end{array} +$$ + +， $e_{ih}$ + +$h$ + +$$ +Z _ {i h} (i = 1, 2, \dots m; h = 1, 2, \dots , r), \quad Z _ {i h} = 1 +$$ + +$h$ $S_{i}$ + +$Z_{ih} = 0$ + +$h$ + +$S_{i}$ + +II + +min + +$$ +\begin{array}{l} e _ {i h} Z _ {i h} \\ i = 1 h = 1 \\ \end{array} +$$ + +n + +$$ +\mathrm {s} \quad \mathrm {t} \quad Z _ {i h} = 1 +$$ + +$$ +h = 1, 2, \dots , r +$$ + +(11) + +$\therefore m = \frac{3}{11}$ + +$$ +Z _ {i h} \quad \{0 \} +$$ + +$$ +[ 5 0 0, s _ {i} ] +$$ + +$$ +i = 1, 2, \dots , m +$$ + +(12) + +$$ +h = 1 +$$ + +$$ +Z _ {i t h} \quad \{0, 1 \} +$$ + +$$ +i = 1, 2, \dots , m; h = 1, 2, \dots , r +$$ + +(13) + +(12) + +(13) + +$Z_{ih}$ + +0, + +， + +(11) + +$Z_{ih}$ + +0, + +$Z_{ih}$ + +$$ +\{0, 1 \}. +$$ + +$$ +\left( \begin{array}{c c} r & \end{array} \right), +$$ + +(12), + +$h$ + +$$ +\underset { \begin{array}{c c} i & m \end{array} } {\text {m i n}} e _ {i h}, +$$ + +$$ +i _ {0} (h) +$$ + +， + +$$ +e _ {i _ {0} (h), h} = \underset {\textbf {m} i, m} {\mathrm {l}} e _ {i h}, +$$ + +$$ +Z _ {i h} = \left\{ \begin{array}{c c c} 1, & i = & i _ {0} (h) \\ 0 & i & i _ {0} (h) \end{array} \right. +$$ + +$$ +h = \begin{array}{l} 1, 2, \dots , r \end{array} +$$ + +$$ +(1 0) (1 1) (1 3) \tag {10} +$$ + +$$ +(1 2), +$$ + +![](images/1d632a8765f05b94023910636ac01dfa30bb981770e476b94762761844b45057.jpg) + +# Modeling a Kind of Transportation Problems + +FEI Pu-sheng, ZHAO She-feng, L IJian + +(Wuhan University, Wuhan 430072) + +Abstract This paper introduces the motivations for problem B of CUMCM 2000. Two models and solving methods are also presented + +![](images/1f39cbd29d3062d82aba1c207778e6cc0433e74b63265e161a60b8edbb08240b.jpg) + +1 + +$$ +\begin{array}{l} S i (i = 1, 2 \dots 7) \quad (\quad) \quad (\quad) \quad A _ {j} (j = 1, 2 \dots 1 5 \\ j = 1, 2, \dots 2 1) \quad C _ {i j} \quad (\quad \\ \end{array} +$$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\344\270\216\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\344\270\216\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\344\270\216\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\344\270\216\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7ae8336471eb86e7f2e3a4de218575337b9f7d07 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\344\270\216\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\344\270\216\350\277\220\350\276\223\351\227\256\351\242\230.md" @@ -0,0 +1,287 @@ +1 （） + +2 + +(1) +(2) +(3) +(4) + +3 + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} m: & & \cdot & & n: & & \cdot \\ S i: & i & \cdot & & s i: & i & & & \cdot \\ p i: & i & & \cdot & A i: & & i & & \cdot \\ d i: & & i & \cdot & F: & \cdot & \\ C _ {i j}: & & S _ {i} (i = 1, 2, \dots , m) & d _ {j} (j = 1, 2, \dots , n) & & & \cdot \end{array} +$$ + +4 + +$V_{i} V_{j}$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} & & \vdots & & & & & & . \\ & & S _ {i} & & p _ {i}, & & , & & S _ {i} \\ S _ {i}, & & l _ {i}, & & l _ {i} = 0 1 \times p _ {i}; & & & & , \\ & S _ {i} & & 0 & & & & & \\ & & & & & . & & \\ & & & , & & & & \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l l} A _ {1} & A _ {1 5} \\ . & A _ {1}, A _ {2},.. A _ {1 5} \\ , & \text {F l o y d} \\ 5 1 7 1; & , n = 5 9 0 3) \end{array} \qquad \begin{array}{l l} ( & n \\ n & ( & , n = \\ , n = & 7 \\ , & 7 \end{array} +$$ + +5 + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c} & 4, & & & & , & \\ & & & \cdot & & , & & \\ & & & & C _ {i j} (\quad) & & \text {m} \\ & (\quad), n & & , & & \vdots \\ & m & n & , & u _ {i} \quad \{\mathbf {0} \} & \{\mathbf {5 0 0}, s _ {i} \}; \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} 1 \\ \hline \end{array} , \qquad \qquad \begin{array}{c} C, \\ \hline \vdots \\ m n \\ \min F = \begin{array}{l l} m & n \\ i = 1 & j = 1 \end{array} C _ {i j} x _ {i j} \end{array} . +$$ + +$$ +s t \left\{ \begin{array}{l} n \\ x _ {i j} \quad \{0 \} \quad \{5 0 0, S _ {i} \} \quad i = 1, 2, \dots , m \\ m \\ x _ {i j} = 1 \quad j = 1, 2, \dots n \\ x _ {i j} = 0 \quad 1 \end{array} \right. +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathbf {C} = \left( \begin{array}{c c c c} C _ {1 1} & C _ {1 2} & \dots & C _ {1 n} \\ \vdots & & & \vdots \\ C _ {m 1} & C _ {m 2} & \dots & C _ {m n} \\ x _ {1 1} & x _ {1 2} & \dots & x _ {1 n} \\ \vdots & & & \vdots \\ x _ {m 1} & x _ {m 2} & \dots & x _ {m n} \end{array} \right) \\ \mathbf {X} = \left( \begin{array}{c c c c} x _ {1 1} & x _ {1 2} & \dots & x _ {1 n} \\ \vdots & & & \vdots \\ x _ {m 1} & x _ {m 2} & \dots & x _ {m n} \end{array} \right) \end{array} , \quad 0 - 1 +$$ + +6 + +![](images/19912e35bb14f59d031ff83053b66557370e9017f2b776d70b40ce29fc3f8a67.jpg) + +(1) + +$$ +\begin{array}{c c c c c} & C & n & & \vdots \\ C & C _ {i j}; & & & \\ x _ {i j} = 1; & & & & \\ C & j & & + & ; \\ & _ {n} x _ {i j} = s _ {i}, & i & & \\ & j = 1 \end{array} , \quad C _ {i j} = i \quad \text {e q :} \quad C _ {i j} = i \quad \text {e q :} \quad C _ {i j} = i +$$ + +1414515.2 + +）， + +1407383 + +$$ +\begin{array}{c c c c c} C & j & & + & ; \\ & n & & \\ & x _ {i j} = s _ {i}, & i & \\ & & , \end{array} +$$ + +(2) + +500, + +500 + +500 + +0 + +500, + +0. + +0 + +500 + +F2 + +, $S_{7}$ + +1279019 + +245, + +1280506 + +$S_{7}$ 0 + +\* + +$(x,a)$ + +$C(y,b)$ + +y + +$a, x$ + +b + +$C(y,a)$ + +$r(x,b)$ + +： + +$$ +C (y, a) + r (x, b) < C (x, a) + C (y, b) +$$ + +$m = 7$ + +$C_7^2 = 21$ + +， + +Step1 + +1) +2) + +Xi + +Xj + +i= + +1. + +2, + +·· + +m + +> + += + +1, + +， + +, n + +i + +j + +A + += + +[a] + +a2, + +c} + +B + += + +b1 + +$\mathbf{b}_2$ + +..} + +Xj + +， + +A + += + +{ + +, + +1, + +.} + +Xi + +， + +B + += + +1 + +， + +1 + +. + +.} + +5) + +A + +B + +6) + +， + +C + ++ + +" + +。 + +0 + +Step2 + +$\delta (\delta$ + +$C_m^2$ + +F + +， + +. + +F + +一 + +$F > \delta (\delta$ + +(3) + +（） + +）. + +）. + +， + +S + +p + +. + +:1279019 + +[1] +[2] +[3] +[4] + +,1998 +，1996 +,1990 +,1996 + +# The Order and Transportation of the Tube Pipe + +YANG Zhi-jiang, + +LIGuo-xin, + +ZHANG M in + +(China University of M in ing and Technology, Xuzhou 221008) + +Abstract In this paper, through the rational hypothesis, as well as the principle of equivalent transformation, the problem of order and transportation of tube pipe could be transformed to that of the road transportation. By using the idea and method of combinatorial optimization, we \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ad50bbe6c319f995a3bbc3e84d7a65959b95306 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223/\347\256\241\351\201\223\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223.md" @@ -0,0 +1,190 @@ +1 （ ） +2 （ ） +3 + +P: （ ） + +$C_{i,j}$ $S_{i}$ （20 $A_{j}$ + +$X_{i,j}$ ： $S_{i}$ （20 $A_{j}$ + +$l_{j}$ ： $A_{j}$ （20 $A_{j + 1}$ + +Ca: A j A $j + 1$ + +D: + +$S_{i}$ + +$a_{j}$ ： $A_{j}$ + +$a_{j,1}$ ： $A_{j}$ + +$a_{j,2}$ ： $A_{j}$ + +$t_i$ ： $S_{i}$ + +Cost: + +4 + +(1) : + +（ $C_{i,j})$ + +(2) $A_{j}$ ， A +I. $S_{i}(i = 1,\dots,7)$ （20 $A_{j}(j = 1,\dots,15)$ ： +II. $A_{i}$ 15 I C0st1 = C i,jX i,j +II $\mathrm{Co} s t_{2} = \mathrm{Ca}_{j}$ + +$$ +C a _ {j} = \frac {0 . 1 \times (a _ {j - 2} - 1) \times a _ {j - 2}}{2} + \frac {0 . 1 \times (a _ {j + 1 , 1} - 1) \times a _ {j + 1 , 1}}{2} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \operatorname {m i n C o s} t = \cos t _ {1} + \cos t _ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 5} C _ {i, j} X _ {i, j} + \sum_ {j = 1} ^ {1 5} \left[ \frac {\left(a _ {j - 1} - 1\right) \cdot a _ {j - 1}}{2} + \frac {\left(a _ {j - 2} - 1\right) \cdot a _ {j - 2}}{2} \right] \times 0. 1 \\ \mathrm {s t} \quad a _ {j, 2} + a _ {j + 1, 1} = l _ {j} (j = 1, \dots , 1 4) \\ 1 5 \quad 1 5 \\ 5 0 0 \quad \begin{array}{c c c} X _ {i, j} & S _ {i} & \text {o r} \\ j = 1 & \end{array} \quad \begin{array}{c c c} X _ {i, j} = 0 \end{array} \\ 7 \\ \underset {i = 1} {X} _ {i, j} = a _ {j, 2} + a _ {j + 1, 1} (j = 1, \dots , 1 4) \\ X _ {i, j} \quad 0, a _ {j, 1} \quad 0, a _ {j, 2} \quad 0 \\ \end{array} +$$ + +5 + +： $A_{2}$ （20 $A_{15}$ ， $a_{2,1} = 104,a_{15,2} = 0;$ A1A2…A15 + +$$ +a _ {j, 2} + a _ {j + 1, 1} = l _ {j}, +$$ + +$$ +\begin{array}{l} C a _ {j} = 0. 0 5 \times \left[ \left(a _ {j, 2}\right) ^ {2} + \left(a _ {j + 1, 1}\right) ^ {2} - a _ {j, 2} - a _ {j + 1, 1} \right] \\ = 0. 0 5 \times \left[ \left(a _ {j, 2}\right) ^ {2} + \left(a _ {j + 1, 1}\right) ^ {2} - \left(a _ {j, 2} + a _ {j + 1, 1}\right) \right] \\ = 0. 0 5 \times \left[ \left(a _ {j, 2}\right) ^ {2} + \left(a _ {j + 1, 1}\right) ^ {2} - l _ {j} \right] \\ 0 0 5 \times (2 a _ {j, 2} \cdot a _ {j + 1, 1 -} l _ {j}) \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} C a _ {j} = 0 1 \times \left[ \left(a _ {j, 2} - 1\right) a _ {j, 2} + \left(l _ {j} - a _ {j, 2} - 1\right) \left(l _ {j} - a _ {j, 2}\right) \right] / 2 \\ = 0. 0 5 \times \left[ 2 \left(a _ {j, 2}\right) ^ {2} + l _ {j} ^ {2} - 2 l _ {j} \cdot a _ {j, 2} - l _ {j} \right] \\ = 0. 0 5 \times \left[ 2 \left(a _ {j, 2} - l _ {j} / 2\right) ^ {2} + l _ {j} ^ {2} / 2 - l _ {j} \right] \\ \end{array} +$$ + +$a_{j,2} = a_{j + 1,1}$ $a_{j,2} = 0$ + +， $Ca_{j}$ ： + +$$ +\mathrm {m} \text {i n} C a _ {j} = 0. 1 \times \left[ \left(l _ {j}\right) ^ {2} - 2 l _ {j} \right] / 4, \quad \mathrm {m} \text {i n} C a _ {j} = 6 1 0 6 4. 3 2 5, +$$ + +$$ +\max C a _ {j} = 0. 1 \times [ (l _ {j}) ^ {2} - l _ {j} ] / 2, \quad \max C a _ {j} = 1 2 2 3 8 7. 2, +$$ + +$$ +\begin{array}{l} , \max C a _ {j} - \min C a _ {j} = 6 1 3 2 2. 8 7 5 \\ \mathrm {I}, \mathrm {I I} \quad , \\ \end{array} +$$ + +$S_{i}$ （20 $A_{j}$ + +A j + +$$ +a _ {j, 2} = a _ {j + 1, 1} = l _ {j} / 2 +$$ + +$$ +a _ {j} = \left(l _ {j - 1} + l _ {j}\right) / 2 +$$ + +7 15 + +m in $Cost_{1} = \sum_{i=1}^{n} C_{i,j} X_{i,j}$ + +7 + +s.t $X_{i,j} = a_j(j = 1,\dots,14)$ + +$$ +5 0 0 \quad_ {j = 1} ^ {1 5} X _ {i, j} \quad S _ {i} \quad \text {o r} \quad_ {j = 1} ^ {1 5} X _ {i, j} = 0 +$$ + +$$ +X _ {i, j} \quad 0 (i = 1, \dots , 7, j = 1, \dots , 1 4) +$$ + +500 + +
S1S2S3S4S5S6S7
8008001000500831740500
+ +:1242957. + +$S_{4}$ 500 + +$S_{4}$ $S_{7}$ + +$S_{4}$ ： + +
S1S2S3S4S5S6S7
800800100001331740500
+ +: 1237047. + +$S_{1}$ $S_{2}$ $S_{3}$ + +$S_{5}$ $S_{6}$ $S_{7}$ + +800 800 1000 + +500 831 1240 0 + +: 1241672 $S_{4}$ $S_{7}$ + +· + +$S_{1}$ $S_{2}$ $S_{3}$ + +$S_{4}$ $S_{5}$ $S_{6}$ $S_{7}$ + +800 800 1000 + +0 941 1630 0 + +:1236122 + +， + +$a_{j}$ + +61064, + +: 1236122+ 61064= 1297186 + +
A 10A 11A 12A 13A 14A 15
S 5212188206221.2228242
S 6212201195176.2161178
+ +![](images/d8ff7e0889e1b138e849c9bd94bb4bcaf81b3ee4457f6e118e7c8924913817ab.jpg) + +$S_{6}$ + +A 14 A 15 + +$S_{7}$ + +$S_{7}, S_{6}$ + +, $S_{6}$ + +```txt +A11,A12,A13,A14 S7 ， S6 ， S6 +S7 A11,A12A13,A14, S4 A10,A11,A12 S5 S6 5 5 5 +A10,A11,A12 A11,A12 S5 S6 . +， 14 Ca= 3069726 j= 10 +， S1,S2,S3 445 . +， S5 +： A1 A10 S1,S2,S3,S4,S5 +， 46725, 1288326. ：Cost= 1278198 +： +] ， . ,1990 +] ， . . ,1992 +] . . . ,1989 +] . . . ,1994. +``` + +# Model for Ordering and Transportation of Pipeline + +MA X in, GUO Shi-qiang, WANG Jia + +(Dalian Maritime University, Dalian 116026) + +Abstract By analysing of the graph, we gave a nonlinear optimum model of question one, and we solve the question one in two ways \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\351\222\242\347\256\241\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210/\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\351\222\242\347\256\241\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\351\222\242\347\256\241\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210/\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\351\222\242\347\256\241\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a6cb0a1ae48ef2d7370040c68e409e13f41deaf2 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\351\222\242\347\256\241\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210/\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\351\222\242\347\256\241\347\232\204\346\234\200\344\274\230\346\226\271\346\241\210.md" @@ -0,0 +1,170 @@ +distance network to a supply-demand transportation price table. Based on this, we constructed three models: the linear-cost-network-flow model, the developed linear-cost-network-flow model and the non-linear-cost-network-flow model. By generalizing the traditional minimum-cost maximum-flow algorithm, we solved the non-linear-cost-network-flow model. We also gave the truth proving and the complexity-analysis to our algorithm. + +# 1 （） + +# 2 + +1) + +2) $(i = 1,2,\dots ,7,j = 1,2,\dots ,15)$ + +$$ +\begin{array}{l} S _ {i} (i = 1, \dots , 7) \quad ; \\ s i: \quad S _ {i} \quad ; \\ p _ {i}: \quad S _ {i} \quad (\quad : \quad); \\ d: \quad (d = 0. 1); \\ e: \quad ( \begin{array}{c} 1) \end{array} ; \\ c _ {i j}: 1 \quad S _ {i} \quad A _ {j} \quad (\quad : \quad); \\ b _ {j}: \quad A _ {j} \quad A _ {j + 1} \quad (\quad : \quad); \\ x _ {i j}: \quad S _ {i} \quad A _ {j} \quad ; \\ y _ {j}: \quad A _ {j} \quad ; \\ z _ {j}: \quad A _ {j} \quad ; \\ t i: = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & S _ {i} \\ 0, & S _ {i} \end{array} \right.; \\ \end{array} +$$ + +W: （ ）； + +1 + +
r( : )r 300301 r 350351 r 400401 r 450451 r 500
e( : )2023262932
501 r 600601 r 700701 r 800801 r 900901 r 1000r 1000
37445055605[ [r-1000/100] + 1] + 60
+ +3 + +$W$ ， $Q$ ， $P$ ， T. + +$$ +W = \begin{array}{c} Q \\ 7 \end{array} + \begin{array}{c} P \\ 1 5 \end{array} + T +$$ + +$$ +Q = \underset {i = 1 j = 1} {p _ {j}} \bullet x _ {i j}, P = \underset {i = 1 j = 1} {c _ {i j}} \bullet x _ {i j}, +$$ + +T :A j ,yj zj + +$$ +d \cdot 1 + d \cdot 2 + \dots + d \cdot y _ {j} = d \frac {(1 + y _ {i}) y _ {i}}{2} \quad d \frac {(1 + z _ {i}) z _ {i}}{2} +$$ + +$$ +T = d _ {j = 1} ^ {1 5} \left(\frac {\left(1 + y _ {j}\right) y _ {j}}{2} + \frac {\left(1 + z _ {j}\right) z _ {j}}{2}\right) +$$ + +： + +$$ +: 5 0 0 \bullet t _ {i} \quad_ {j = 1} ^ {1 5} x _ {i j} \quad s _ {i} \bullet t _ {i} \quad (i = 1, \dots , 7) \quad (t _ {i} = 0 \quad 1) +$$ + +7 + +$A_{j}$ $\begin{array}{rlr}{:}&{}&{x_{ij}=y_j+z_j\quad(j=1,...,15)}\end{array}$ + +$A_{j}$ $A_{j - 1}$ $z_{j} + y_{j + 1} = b_{j}$ $(j = 1,\dots ,14)$ + +$$ +: x _ {i j} \quad 0, y _ {j} \quad 0, z _ {j} \quad 0, (i = 1, \dots , 7, j = 1, \dots , 1 5). +$$ + +I + +$$ +\text {O b j 1 : m i n} \quad W = \begin{array}{l} 7 \\ i = 1 \end{array} p _ {i} \bullet x _ {i j} + \begin{array}{l} 7 \\ i = 1 \end{array} c _ {i j} \bullet x _ {i j} + d _ {j = 1} ^ {1 5} \left[ \frac {(1 + y _ {j}) y _ {j}}{2} + \frac {(1 + z _ {j}) z _ {j}}{2} \right] +$$ + +s t + +$$ +5 0 0 \bullet t _ {i} \quad_ {j = 1} ^ {1 5} x _ {i j} \quad s _ {i} \bullet t _ {i} \quad (i = 1, \dots , 7) +$$ + +$$ +x _ {i j} = y _ {j} + z _ {j} \quad (j = 1, \dots , 1 5) +$$ + +$$ +z _ {j} + y _ {j + 1} = b _ {j} \quad (j = 1, \dots , 1 4) +$$ + +$$ +y _ {1} = 0, \quad z _ {1 5} = 0 +$$ + +$$ +x _ {i j} \quad 0, y _ {j} \quad 0, z _ {j} \quad 0, \quad (i = 1, \dots , 7, j = 1, \dots , 1 5) +$$ + +$$ +t _ {i} = 0 \quad 1 \quad (i = 1, \dots , 7) +$$ + +4 Obj1 + +$(c_{ij})_{7\times 15},$ （20 $c_{ij}$ （20 $S_{i}$ （20 $A_{j}$ ， + +$$ +\begin{array}{l} c _ {i j} \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad 3 9 \\ \quad , \\ \quad A _ {i}, A _ {j} \\ \quad , \\ \quad A ^ {1}, A ^ {2} \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad 0. 1 \times A ^ {2} \\ \quad , \\ \quad “ \\ \quad ” (\quad) \\ \quad A ^ {2}. \\ \quad A = m i n (A ^ {1}, A ^ {2}), m i n \\ \quad A ^ {1} \\ \quad A ^ {2} \\ \quad . \\ \quad A, \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad S _ {i} \\ \quad A _ {j} \\ \quad C. \\ \quad S _ {i} \\ \quad p _ {i} \\ \quad C S _ {i} \\ \quad , \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \quad , \\ \quad , \\ \quad C \\ \quad , \\ \quad A _ {1} \\ \quad A _ {8}: S _ {1} \\ \quad , S _ {2} \\ \quad , S _ {3} \\ \quad ; A _ {9}: S _ {3} \\ \quad , S _ {1} \\ \quad ; A _ {1 0}: A _ {1 1}: S _ {5} \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad , \\ \quad S _ {7} \\ \quad . S _ {4} \\ \quad \\ \quad , \\ \quad S _ {5} \\ \quad S _ {7} \\ \quad , \\ \quad A _ {1 0} \\ \quad A _ {1 5} \\ \quad S _ {5} \\ \quad S _ {7} \\ \quad . \\ \quad A _ {1 5} \\ \quad . \\ \quad 5 0 0 \\ \quad , \\ \quad A _ {1 5} \\ \quad . \\ \quad 5 0 0 \\ \quad , \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad. \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad . \\ \quad 5 0 0 & , & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & +\end{array} +$$ + +# 5 Obj1 + +1) + +$$ +\pm 10 \% \mathrm {p} _ {\mathrm {i}} \quad , \quad \mathrm {W} +$$ + +$\mathbf{p}_{\mathrm{i}}$ + +$$ +\mathrm {W} = \mathrm {f} \left(\mathrm {p} _ {1}, \mathrm {p} _ {2}, \dots , \mathrm {p} _ {7}\right), +$$ + +$$ +\Delta \mathbf {W} = \frac {\partial}{\Delta \mathbf {p} _ {1}} \cdot \Delta \mathbf {p} _ {1} + \frac {\partial}{\Delta \mathbf {p} _ {2}} \Delta \mathbf {p} _ {2} + \dots + \frac {\partial}{\partial \mathbf {p} _ {7}} \Delta \mathbf {p} _ {7} +$$ + +
Δf/φiΔf/φiΔf/φ6= 2000Δz/φ6= S6Δz/φ6= S6
Obj1Δf/φ6= 2000Δf/φ6= S6Δz/φ6= S6Δz/φ6= S6
Δf/φ6= S6Δf/φ6= S6
Δf/φ6= S6Δf/φ6= S6
Δf/φ6= S6Δf/φ6= S6
Δf/φ6= S6Δf/φ6= S6
S1A1A8S1S1ΔSS1S1
S1S1S1CA i (i=1,...,8)
S1S1S1Obj1S1S12536
S1800S110%S1A9S3
S3634A12 A13 A14 A15, S6S6
1205A11 A10 S5S5796S6
51% , 2% , 4% , 6% , 8% , 10%
2ΔSA10, S5
S1,S1>2536,0 (S1)2)
S1ΔS
ΔSS1S2S3S5S6
ΔzΔzΔzΔzΔzΔzΔzΔzΔzΔz
( )z(%)(%)(%)(%)(%)(%)(%)(%)
1%8720.0683280.0253100.0240000
2%17440.1366560.0516200.0480000
4%34880.27213120.10212400.0960000
6%52320.40819680.15318600.1450000
8%69760.54426240.20424800.1930000
10%87200.68532800.25631000.2420000
+ +# 6 III + +$$ +\left( \begin{array}{l l} & \\ & \end{array} \right), \quad y _ {1 j}, y _ {2 j}, \dots , z _ {1 j}, z _ {2 j}, \dots , +$$ + +$$ +y _ {1 j} + y _ {2 j} + \dots + z _ {1 j} + z _ {2 j} + \dots = x _ {i j}, +$$ + +$$ +, \quad \text {I I I} \quad (m _ {j} \quad A _ {j}) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} O b j 2: m i n W = \int_ {i = 1} ^ {7} \int_ {j = 1} ^ {2 1} p _ {i} x _ {i j} + \int_ {i = 1} ^ {7} \int_ {j = 1} ^ {2 1} c _ {i j} x _ {i j} + d \left[ \int_ {i = 2} ^ {1 5} \frac {y _ {i} \left(y _ {i} + 1\right)}{2} + \int_ {i = 1} ^ {1 4} z _ {i} \frac {\left(z _ {i} + 1\right)}{2} \right. \\ + \frac {m _ {9} (m _ {9} + 1)}{2} + \frac {m _ {1 1} (m _ {1 1} + 1)}{2} + \frac {m _ {1 7} (m _ {1 7} + 1)}{2} \Bigg ] \\ \end{array} +$$ + +$$ +s t \quad 5 0 0 \cdot t _ {i} \quad x _ {i j} \quad s _ {i} \cdot t _ {i} \quad (i = 1, \dots , 7) +$$ + +7 + +$$ +\begin{array}{l} x _ {i j} = y _ {j} + z _ {j} \quad (j = 1, \dots , 2 1 \quad j \quad 9, 1 1, 1 7) \\ i = 1 \\ 7 \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} x _ {i j} = y _ {j} + z _ {j} + m _ {j} \quad (j = 9, 1 1, 1 7) \\ i = 1 \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} z _ {j} + y _ {j + 1} = b _ {j} \quad (j = 1, 2, \dots , 1 4) \\ m _ {9} + y _ {1 6} = 4 2, \quad z _ {1 9} + y _ {2 0} = 2 6 0 \\ z _ {2 0} + y _ {2 1} = 1 0 0, \quad m _ {1 1} + m _ {1 7} = 1 0 \\ y _ {1 7} + y _ {1 8} = 1 3 0, \quad z _ {1 7} + y _ {1 9} = 1 9 0 \\ x _ {i j}, y _ {j}, z _ {j}, m _ {j} \quad 0 \quad (i = 1, \dots , 7, j = 1, \dots , 2 1), \quad t _ {i} = 0 \quad 1 \quad (i = 1, \dots , 7) \\ L i n g o 5. 0: \\ W _ {2} ^ {\prime} = 1. 4 0 6 3 3 \times 1 0 ^ {6} (\quad) \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} [ 1 ] \quad . \quad . \quad , \quad , 1 9 9 6 \\ [ 2 ] \quad , \quad . \quad . \quad , \quad , 1 9 9 2 \\ [ 3 ] \quad . \quad , \quad , 1 9 9 3 \\ \end{array} +$$ + +# Optimal Scheme for Purchasing and Transporting Steel Tubes + +LU Wei-xin, L N Hao, CHEN Xiao-dong + +(Sichuan University, Chengdu 610064) + +Abstract The optimal scheme in the construction of the nature gas pipeline has been studied in this article. We have set up a quadratic programming model in which the objective function is the total expense of the construction \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6b5cab8a9c7f6e349816ff970ac9b3b4d5e8a2c4 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223.md" @@ -0,0 +1,109 @@ +![](images/483940be0b5e2d7cfcf23d2dfad41ca1476025422af4e749e602d44a9c77b432.jpg) + +1 + +![](images/64f60f56bf591275a60cfa2cb87d2d2436257eec1d51ab30c292c1172673e41f.jpg) + +2 + +![](images/fb15ee8acfc886cc2da4dbcf1ca6323cba374ddfcfcf16b1e59abd9264df217a.jpg) + +A 15 + +![](images/9819b5c5b4b5e5d0ea96f451302ee882d67855a342d4f9ea9e0b09fdc8008f14.jpg) + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c} & & & & & , \\ , & & ( & & ) & & : \\ & \Delta_ {i j} (x) & X & S _ {i} & S _ {j} & & ; \\ L & & & , | L | & L & & \\ , & A _ {1} C _ {2} & S _ {1}, & A _ {1} C _ {2} & S _ {1} & & \\ L _ {1}, & L _ {1} & & \Delta_ {1 2} (x) d x & \left| L _ {1} \right| = 8 0 0, & \Delta_ {1 2} (x) \\ , & & & , & L _ {1} = B _ {3} B _ {4}, & B _ {3} = 1 4 3 6 B _ {3} = \\ 6, \Delta_ {1 2} = \Delta_ {1 2} (B _ {4}) = 6 8, & L _ {1} & \Delta_ {1 2} (x) & 6 8; \end{array} +$$ + +$$ +, \quad L _ {1} \qquad \Delta_ {1 j} (x) \mathrm {d} x , j = \begin{array}{c} 2, 3, 5, 6 \end{array} ; +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c} S _ {1} & & & S _ {1}, & A _ {1} B _ {3} & B _ {4} B _ {5} & S _ {2}, & S _ {2} \\ & , & L _ {2}, & L _ {2} & \Delta_ {2 3} (X) \mathrm {d} x & & | L _ {2} | \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} = 8 0 0, \quad L _ {2} = A _ {1} B _ {2} \quad B _ {4} B _ {5}, \quad B _ {1} = 5 0 0 B _ {4} = 2 2 3 6 B _ {5} = 2 5 3 6, \Delta_ {2 3} (B _ {1}) \\ = \Delta_ {2 3} (B _ {5}) = 1 0, \quad L _ {1} L _ {2} \quad \Delta_ {2 3} (x) \quad 1 0, \quad L _ {2} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \Delta_ {2 j} (x) \mathrm {d} x, j = 3, 5, 6 \\ S _ {1} S _ {2}, \quad B _ {1} B _ {3} \quad B _ {5} C _ {4} \quad S _ {3}, \quad S _ {3} \\ L _ {3}, \quad L _ {3} \quad 2 j (x) d x \quad \left| L _ {3} \right| = 1 0 0 0, L _ {3} = B _ {1} B _ {2} \quad B _ {5} B _ {6} \quad B _ {1} \\ = 5 0 0 B _ {2} = 8 3 6 B _ {5} = 2 5 3 6 B _ {6} = 3 2 0 0 \quad \Delta_ {3 5} (B _ {2}) = \Delta_ {3 5} (B _ {6}) = 2 5; \quad L _ {3} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\Delta_ {3} j \left(x\right) \mathrm {d} x , j = 5, 6 \qquad \qquad ; +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{c c c c c} S _ {1} & S _ {2} & S _ {3}, & B _ {2} B _ {3} & B _ {6} C _ {5} \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{c c c c c} S _ {5}, \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{c c c c c} S _ {5} \\ \hline \end{array} \\ , \quad L _ {5} = B _ {2} B _ {3} \quad B _ {6} C _ {5}; \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} , \quad B _ {7} A _ {1 5} \quad S _ {6}, \quad S _ {6} \\ , \quad L _ {6} = B 7 A _ {1 5}; \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} 1 2 7 8 6 3 1. 6 (1278631.6) \\ 1 2 7 8 3 7 3 \quad . (1278373) \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} & , & \cdot & , S _ {6} \\ , & 1 2 0 5 (\quad S _ {5} & , & B _ {6} C _ {2} & S _ {5} \quad S _ {6} \\ , & ) & , & . & , \quad S _ {6} \\ , & A _ {1 1} A _ {1 5} & S _ {6} & , & . \\ & S _ {i} & & , & S _ {i} \\ \Delta_ {i j} (x) j > i & , & S _ {1.} & A _ {1} C _ {2} \\ & S _ {2} & , & S _ {1} & A _ {1} C _ {2} \\ ; & , & S _ {1} & & \max _ {x \in L _ {1}} \Delta_ {1 2} + \max _ {x \in L _ {1}} \Delta_ {2 3} + \\ \max _ {x \notin L _ {1}} \Delta_ {3 5} = 6 8 + 2 5 + 1 0 = 1 0 3, & S _ {1} & , \\ , & , & . & . \\ , & , & , \\ x _ {i k} & S _ {1} & A _ {k}, M _ {k} & A _ {k} & A _ {j} \\ A _ {j} & . & & . \\ A _ {1} & & , & A _ {K} & A _ {K _ {0}} (\\ ), & A _ {K} A _ {K 2}...... A _ {K N (k)}, & N (k) & (\\ y _ {k} ( & 0), A _ {k} & A _ {k} & y _ {k 1} \\ y _ {k N (k)}. & : \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s t} \left\{ \begin{array}{l} 0 \leq y _ {k} \leq A j \alpha A _ {k} \\ y _ {2} = A A _ {2} \\ x _ {i k} \geq 0 \quad i = 1 - 7, k = 2 - 2 1 \\ M _ {k} = y _ {k} + \underset {p = 1} {\overset {N (K)} {\operatorname * {\operatorname* {I n}}}} [ A A _ {k p} - y _ {k p} ] = \underset {i = 1} {\overset {i = 7} {\operatorname * {\operatorname* {I n}}}} x _ {i k} k = 2 - 2 1 \\ 5 0 0 \leq x _ {k} \leq s _ {i} \quad \text {o r} \quad x _ {i k} = 0 \quad i = 1 - 7 \\ , f 1 \end{array} \right. \\ , f 2 \end{array} \quad A _ {k} (k = 2 2 1) \quad , f 3 +$$ + +3 + +$$ +): +$$ + +$$ +F = F ^ {*} - 1 0 3 \times (s _ {1} - 8 0 0) (7 0 0 \leq s _ {1} \leq 9 0 0) F = F ^ {*} - 3 5 \times (s _ {2} - 8 0 0) (7 0 0 \leq s _ {2} \leq 9 0 0) +$$ + +$$ +F = F ^ {*} - 2 5 \times (s _ {2} - 1 0 0 0) (9 0 0 \leq s _ {3} \leq 1 1 0 0) F = F ^ {*} + 8 0 0 \times (p _ {2} - 1 6 0) (1 4 5 \leq p _ {1} \leq 1 7 0) +$$ + +$$ +F = F ^ {*} + 8 0 0 \times (p _ {2} - 1 5 5) (1 4 5 \leq p _ {2} \leq 1 6 5) F = F ^ {*} + 1 0 0 0 \times (p _ {3} - 1 5 5) (1 4 5 \leq p _ {3} \leq 1 6 5) +$$ + +![](images/2464397e6fa516fddf42f60e0c86c5fc03d703701482f2d60b5aae4b8285488a.jpg) + +4 + +![](images/bd9e32b39f8a34da32fe8f79279fa0a8da4c716e4b4b64d71b80d0f5f354d108.jpg) + +[1] .SA S 1998. +[2] 1993 +[3] 1990 + +# The Order and Transportation of Pipelines + +DNG Yong, XUE Fei, ZHANG Zhen + +(Southeast University, Nangjing 210096) + +Abstract We succeeded in drawing up an optimal plan for the order and transportation of pipelines by establishing two models. A diagrammatic model is set up for the first problem in which there is no branch in the track of pipelines. Solution of the problem is then equivalent to the plan that minimizes some area of a special diagram. The idea of flow in network helps to set up a non-linear programming model for the last problem where the track is a tree diagram. The regular form of the model makes it convenient to find the solution by The SAS System. The model is also used to give an accurate sensitivity analysis for the first problem. + +1 + +2000 + +2000 + +B + +[1] + +B + +1. + +） \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\350\247\243\347\255\224\346\250\241\345\236\213/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\350\247\243\347\255\224\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\350\247\243\347\255\224\346\250\241\345\236\213/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\350\247\243\347\255\224\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b1701b9156a7ee3fb9ed6096ff8d5d013c0603de --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\350\247\243\347\255\224\346\250\241\345\236\213/\351\222\242\347\256\241\347\232\204\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\350\247\243\347\255\224\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,304 @@ +1 B 13 100084） +2 +21 ； ； +2 +3 ； ； +4 （ S ） 10 ； +5 ， 10000 ； +6 ， 40 ； +7. +22 +1 （S）， n， $S_{1}S_{2},\ldots S_{n};$ +2 $\textit{,S}_{i}$ ， $i = 1,\dots n;$ +3 （ A ， ）， m ， A1A2，..Am; +4 $\textit{,A}_{j}$ （20 $A_{j}$ ， $j = 1,$ +m; + +5 $P_{jk}$ ， $A_{j}A_{k}$ 5 $P_{jk}$ ， +6 SAQij $S_{i}\quad A_{j}$ ， $i = 1,\dots n,j = 1,\dots m;$ +7. $SA P_{ij}$ （20 $S_{i}A_{j}$ ， $i = 1,\dots n,j = 1,\dots m;$ +8 $AAQ_{jk}$ A j A k, j, k= 1,..m. + +$$ +A A Q _ {j k} + A A Q _ {k j} = P _ {j k}; +$$ + +9. + +3 + +31 + +1. (S) + +2 (s + +3 (A + +(A ) + +(S + +(A ) + +$$ +: W = \begin{array}{c c} & n \\ & i = 1 \quad j = 1 \end{array} S A Q _ {i j} \times S A P _ {i j}. +$$ + +SA P + +32 + +SA P + +SA $P$ ： + +1. $T$ ( + ++ ） + +2 $T$ （ ） + +C. + +3 ， （ + +$G,\quad i,j$ $G_{ij} = +$ + +4 $(i,j)$ $\{1,\dots n\} \times \{1,\dots m\}$ $C_{ij} < + ,$ （20 $G_{ij},$ + +$G_{ij} = \mathrm{m}$ in $\{C_{ij}, G_{ij}\}$ . + +5 $S$ A + +SA P 1 + +1 SAP + +
A +S123456789101112131415
1170716031402986380205312126429209601060121212801420
2215720531902171611109558607121142142014601560171217801920
3230722032002181612101055960862482820860960111211801320
426072503235221661560140513101162842620510610762830970
525572453225220661460130512101112792570330510712730870
626572553235221661560140513101212842620510450262110280
72757265324522266166015051410131299276066056038226020
+ +3 3 + +$$ +: R i: \quad i, L i: \quad i +$$ + +$$ +: S _ {i}, S A Q _ {i j}, A _ {j}, A A Q _ {j k} +$$ + +$$ +\mathrm {m i n} (c 1 + c 2 + c 3) +$$ + +s t + +$$ +c 1 = \begin{array}{c} n \\ S _ {i} \times R _ {i} \\ i = 1 \\ n m \end{array} +$$ + +$$ +c 2 = \begin{array}{c} S A Q _ {i j} \times S A P _ {i j} \\ i = 1 j = 1 \\ m m \end{array} +$$ + +$$ +c 3 = \underset { \begin{array}{c} j = 1 \\ m \end{array} } {\text {A A Q}} _ {j k} \times (A A Q _ {j k} + 1) / 2) +$$ + +$$ +S _ {i} = \sum_ {\substack {j = 1 \\ n}} S A Q _ {i j} +$$ + +$$ +A_{j} = \sum_{\substack{i = 1\\ m}}SAQ_{ij} +$$ + +$$ +A _ {j} = A A Q _ {j k} +$$ + +$$ +A A Q _ {j k} + A A Q _ {k j} = P _ {j k} +$$ + +$$ +S _ {i} < = L _ {i} +$$ + +$$ +S _ {i} = 0 \text {o r} S _ {i} > = 5 0 0 +$$ + +4 + +$$ +S _ {i} = 0 \text {o r} S _ {i} > = 5 0 0 \quad : +$$ + +A. +B. +C. + +$$ +\{0, [ 5 0 0, L i ] \} ” +$$ + +41 + +( 1): + +$(A,B),A$ + +1) Source, Source $S$ 5 + +L i, $S_{i}$ R + +2) $S_{i} \quad A_{j}$ , + , SA $P_{ij}$ , $S_{i} \quad A_{j}$ +3) $P$ ， Len, A,j,Ak,P L en + +$P_{11}, P_{12}, P_{13})$ ， $A_{j}$ （20 $L$ en + +1, 1, 2, 3..., $L$ en, $A_{k}$ $L$ en + +Len,Len-1,..3,2,1. + +4) 3) Target + +![](images/28c97e6c9cf5acc14c692ea9e4a2c691d3af5b0b1c768ebb01057be9c6b2e2f0.jpg) + +1, 0 + +$$ +\begin{array}{c c c c c} & , & \cdot & T l & , \qquad T l > n \quad m. \\ T l & , & 3 \times T l, & T l \\ O \left(V ^ {3} \times M a x F l o w\right), & , & O \left(T l ^ {4}\right). & , T l \\ , T l ^ {4} \quad 1 0 ^ {1 5}, & . \end{array} +$$ + +42 (2) + +（ $P_{11},P_{12},P_{13}$ （20 $P_{1})$ ，A + +（ ）， Target $P_{i}(P_{i}$ + +0 + +$$ +n + m + P \text {c o u n t} + 2, \quad 2 \times T l. +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} (A & P \\ \hline \end{array} +$$ + +$$ +> 1), +$$ + +43 (3) + +1) +2) $A$ 1 $P$ 1 +3) $A$ + +$$ +, \quad = \times (\quad + 1) / 2 +$$ + +![](images/cfc7ccfc497395b8eef61cd566dfe045913f7089884793e2cb284c5e38fabd8e.jpg) +2 + +![](images/e30eb96c374195baa10e9432e3961955afbfc65f1f01d4389658e93659ba29b8.jpg) +3 + +Step 0: + +Step 1: $\nu (f) = \nu_{\max}, f D \quad \nu_{\max}$ ; Step 2; + +Step 2: $D(f)$ (Source, Target), $D(f)$ + +Vmax ， ， D(f) U， Step3 + +Step 3: $c(U)$ + +Step 1. + +4 4 + +[Low, High], + +( 4): + +![](images/4926cf19831bb3f8d409959b914039018c0979e1c33f87b5a8b3cb3472b65c2b.jpg) + +4 + +1) 0 $S_{1}^{\prime}$ +2) Source $S_{1}$ , Low 1, 0, +3) $S_{1}, S_{1} + \dots, 0,$ +4) Source $S_{1}$ High $\cdot$ Low + +$$ +\begin{array}{c}n\\ \text{\rm{L}}\mathrm{ow}_{i}\times R_{i}\\ i = 1 \end{array} +$$ + +45 + +$$ +\{0, [ 5 0 0, L i ] \} +$$ + +```txt +1) (0-800, 0-800, 0-1000, 0-2000, 0-2000, 0-2000, 0-2000), : 12753516, = (800, 800, 1000, 0, 1366, 960, 245). +2) 1 7 245 (0,500), : +i : (0-800, 0-800, 0-1000, 0-2000, 0-2000, 0-2000, 0-0) : 12786316, (800, 800, 1000, 0, 1366, 1205, 0), +ii : (0-800, 0-800, 0-1000, 0-2000, 0-2000, 0-2000, 500-2000) : 12796606, (800, 800, 1000, 0, 1336, 735, 500) +> , : 12786316, (800, 800, 1000, 0, 1366, 1205, 0), +``` + +46 + +```csv +1 12786316 +S1 S7 = (800,800,1000,0,1366,1205,0) +2 : 14066314 +S1 S7 = (800,800,1000,0,1303,2000,0) +``` + +47 + +$(V, V = n + m + P \text{count} + 2, T l)$ +i $O(V^{3})$ +ii $2^{n}$ . + +iii $(V^3\times Tl),$ + +$O(V^3\times Tl)$ $O(V^{3}\times Tl\times 2^{n})$ . $10^{10}$ + +[1] + +[2] + +, 1998 + +, 1995 + +# Model for Ordering and Transportation of Steel Pipe + +SHAO Zheng, ZHOU Tian-ling, MA Jian-bing + +(Tsinghua University, Beijing 100084) + +Abstract First we simplified the supply-dem and distance network by using the shortest-path algorithm. We got rid of the properties of the railways and roads, reduced the supply-dem and + +distance network to a supply-demand transportation price table. Based on this, we constructed three models: the linear-cost-network-flow model, the developed linear-cost-network-flow model and the non-linear-cost-network-flow model. By generalizing the traditional minimum-cost maximum-flow algorithm, we solved the non-linear-cost-network-flow model. We also gave the truth proving and the complexity-analysis to our algorithm. + +# 1 （） + +2 + +1) + +2) $(i = 1,2,\dots ,7,j = 1,2,\dots ,15):$ + +$$ +\begin{array}{l} s i: \quad S _ {i} \quad ; \\ p _ {i}: \quad S _ {i} \quad (\quad : \quad); \\ d: \quad (d = 0. 1); \\ e: \quad ( \begin{array}{c} 1) \end{array} ; \\ c _ {i j}: 1 \quad S _ {i} \quad A _ {j} \quad (\quad : \quad); \\ b _ {j}: \quad A _ {j} \quad A _ {j + 1} \quad (\quad : \quad); \\ x _ {i j}: \quad S _ {i} \quad A _ {j} \quad ; \\ y _ {j}: \quad A _ {j} \quad ; \\ z _ {j}: \quad A _ {j} \quad ; \\ t i: = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & S _ {i} \\ 0, & S _ {i} \end{array} \right.; \\ \end{array} +$$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7e90330ad1753b075180f883ab524d852f6632ce --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\344\274\230\345\214\226\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,581 @@ +# 钢管订购和运输优化模型 + +王海涛 张浩 许翔 + +指导教师：谭欣欣 + +摘要：本文建立一个钢管订购和运输模型，从钢厂到主管道结点的运费是影响总费用的重要因素。为使总费用最小，须使从钢厂到主管道结点的运费——钢管运输费最小。对求网络中最短路径的 Dijkstra 算法进行改进，得到新的算法，可对含多种权重计算方式的网络进行搜索，得出最小费用路径（最短路径）。在此基础上，建立起描述总费用的函数，把钢管的订购和运输问题归结为在一定约束条件下求最小总费用的二次规划问题。用 Matlab 软件中的 QP() 函数求得问题的最优解。 + +对于问题（1），最小总费用为129.17亿元；对于问题（2），钢厂 $\mathbf{S}_1$ 的产量上限的变化和钢厂 $\mathbf{S}_5$ 的钢管销价的变化对订购和运输计划及其总费用的影响最大；对于问题（3），最小总费用为141.83亿元。 + +# 一．问题的提出 + +要铺设一条输送天然气的主管道 $\mathrm{A}_{1} \rightarrow \mathrm{A}_{2} \rightarrow \dots \rightarrow \mathrm{A}_{15}$ , 能生产这种钢管的厂家一共有: $\mathrm{S}_{1}, \mathrm{~S}_{2}, \dots, \mathrm{S}_{7}$ 。厂家与管道间的交通网络已知。假设沿管道或者原来有公路, 或者建有施工公路。 + +为方便计算, $1 \mathrm{~km}$ 主管道钢管称为 1 单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管, 至少需要生产 500 个单位。钢厂 $\mathrm{S}_{\mathrm{i}}$ 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为 $\mathrm{s}_{\mathrm{i}}$ 个单位, 钢厂 1 单位钢管的出厂销价为 $\mathrm{p}_{\mathrm{i}}$ 万元, 如表一(见附录)。 + +1单位钢管的铁路运价如表二(见附录)， $1000\mathrm{km}$ 以上每增加1至 $100\mathrm{km}$ 运价增加5万元。 + +公路运输费用为 1 单位钢管每公里 0.1 万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到主管道结点 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \cdots, \mathrm{~A}_{15}$ ，而是管道全线）。 + +（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。 +（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。 +(3) 如果要铺设的管道不是一条线, 而是一个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 请就这种更一般的情况给出一种解决办法, 并对图 (2) 的情形给出模型和结果。 + +# 二．问题的条件和假设 + +沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路。 + +个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。 + +钢管的铺设是全线的，而不只是运到点 $\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \dots, \mathrm{A}_{15}$ 。 + +钢厂的钢管销价不随定货量的改变而变化。 + +# 三．符号说明 + +A i 主管道与公路的第i个交点，称为结点； + +$\mathbf{S}_{\mathrm{i}}$ 第i个钢厂； + +$\mathbf{s}_{\mathrm{i}}$ 钢厂 $\mathbf{S}_{\mathrm{i}}$ 在指定期限内生产钢管的最大数量； + +由钢厂 $\mathbf{S}_{\mathrm{i}}$ 生产的单位钢管的出厂销价； + +Xij 从钢厂Si运到主管道结点A的钢管数量； + +$\mathbf{C_{ij}}$ 从钢厂 $\mathbf{S}_{i}$ 运一单位钢管到主管道结点 $\mathbf{A}_{j}$ 的最小费用； + +$\mathrm{T}_{i1}$ 从主管道结点 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 向左端铺管道所用钢管的数量； + +$\mathrm{T}_{\mathrm{i}2}$ 从主管道结点 $\mathbf{A}_{\mathrm{i}}$ 向右端铺管道所用钢管的数量； + +$\mathrm{T}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}$ 从主管道结点 $\mathbf{A}_{\mathrm{i}}$ 向 $\mathbf{A}_{\mathrm{j}}$ 方向铺管道所用钢管的数量； + +H 公路单位运费； + +Mat(i,j) 结点i到结点j的距离。 + +# 四．问题的分析： + +总费用由三部分组成： + +钢管的订购费。 + +支付钢厂订购钢管的费用。 + +因为钢厂生产单位钢管的出厂销价为常量，所以在运费相同的情况下，应从销价低的钢厂订购钢管。 + +把钢管从钢厂运到主管道结点所需的运费。 + +我们发现，总费用最小时，把单位钢管从钢厂运到主管道结点的费用也最小。因为，如果存在一条路径，使钢厂到主管道结点的单位钢管运费更小，则从这条路径运输，可使总费用更小。因此，可先对运费进行优化，即先求出把单位钢管从钢厂运到主管道结点的最小费用。这样做，既进行了初步优化，又便于表达运输钢管所需费用的函数。 + +运到主管道结点后从结点向两边铺设管道的费用。 + +铺设管道时，存在铺设里程数不为整数的情况。由题意，不足整公里部分按整公里计算。设铺设里程数为 $x$ 。当 $x$ 为整数时，费用为： + +$$ +\frac {1}{2} x (x + 1) \cdot H +$$ + +x 为非整数时，通过估算可知，铺设管道费用远较订购钢管费用为小，故用上式近似表达铺设管道费用，对总费用而言，引起的偏差很小。 + +但当 $\mathbf{X}$ 较小时是与实际不符的。这时 $\mathbf{X}$ 应看作是连续的。费用为： + +$$ +\frac {1}{2} x ^ {2} \cdot H +$$ + +观察图一和图二（图见附录，下略）可知 $x$ 均较大，故可用近似式求解。这样，问题归结为一个二次规划问题。 + +# 五．问题（1）的模型的建立和求解 + +# 1. 求从钢厂 $\mathrm{S}_{\mathrm{i}}$ 运单位钢管到主管道结点 $\mathrm{A}_{\mathrm{j}}$ 的最小费用 + +从钢厂 $\mathrm{S}_{\mathrm{i}}$ 运单位钢管到主管道结点 $\mathrm{A}_{\mathrm{j}}$ 的费用由两部分组成：公路费用和铁路费用。求最小费用，即相当于求最短路径。 + +Dijkstra 给出一种对只含一种权重计算方式的网络求一结点到其它各结点的最短路 + +径的算法。我们基于其思想，进行加工和改进，得到了对含多种权重计算方式的网络求任意两点间最小费用的算法。具体步骤如下： + +建立由火车站构成的图，确定一源火车站，由Dijkstra算法给出源火车站到其它火车站的最短路径。 + +② 改变源火车站，重复1的步骤，可得到任意两个火车站间最短路径。 + +建立由火车站、主管道结点构成的图（如图一）。用 $\mathrm{v_n}$ 表示图的第n个结点， $\mathrm{e}_{i,j}$ + +表示 $\mathrm{v}_{\mathrm{i}}, \mathrm{v}_{\mathrm{j}}$ 间的边。任意两点 $\mathrm{v}_{\mathrm{i}}, \mathrm{v}_{\mathrm{j}}$ ：若 $\mathrm{v}_{\mathrm{i}}, \mathrm{v}_{\mathrm{j}}$ 间有铁路相连（可经过结点），则认为 $\mathrm{v}_{\mathrm{i}}, \mathrm{v}_{\mathrm{j}}$ 相连接。把两点间的最短路径（由①，②给出）转化为铁路费用，作为 $\mathrm{e}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}$ 的权。若 $\mathrm{v}_{\mathrm{i}}, \mathrm{v}_{\mathrm{j}}$ 以公路相连接且不经过其它结点，则把两点间公路长度转化为公路费用，作为 $\mathrm{e}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}$ 的权。 + +(4) 对上图, 确定一源结点, 由 Dijkstra 算法给出源结点到其它各结点的最短路径。 +(5) 改变源结点，可求得任意两个结点间最小费用。 + +算法由程序(见附录三)实现。在求得任一钢厂到每个主管道结点最小费用的同时，并给出对应的路线。 + +# 分析最小费用路径，除去无用结点。 + +观察最小费用路径，发现主管道结点 $\mathrm{A}_{2}$ 总在任意钢厂 $\mathrm{S}_{\mathrm{i}}$ 到 $\mathrm{A}_{1}$ 最小费用路径上。同样，主管道结点 $\mathrm{A}_{5}$ 也总在任意钢厂 $\mathrm{S}_{\mathrm{i}}$ 到 $\mathrm{A}_{4}$ 最小费用路径上。因为所求路径表示的是最小费用路径，所以对于 $\mathrm{A}_{1}$ 和 $\mathrm{A}_{4}$ 这样的点，就可以认为它们是无用的铺设结点。从而 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}$ 间的管道，全部由 $\mathrm{A}_{2}$ 向 $\mathrm{A}_{1}$ 铺设；同样 $\mathrm{A}_{3} \mathrm{~A}_{4}$ ， $\mathrm{A}_{4} \mathrm{~A}_{5}$ 间的管道，全部由 $\mathrm{A}_{3}, \mathrm{~A}_{5}$ 向 $\mathrm{A}_{4}$ 铺设。即： $\mathrm{T}_{2,1}$ 为常数，等于 $\mathrm{A}_{2}$ ， $\mathrm{A}_{1}$ 间的距离； $\mathrm{T}_{1,2}$ 为常数，等于 0。这样就可简化网络为 $\mathrm{S}_{1} \cdots \mathrm{S}_{7}$ 与 $\mathrm{A}_{2} \mathrm{~A}_{3} \mathrm{~A}_{5} \cdots \mathrm{A}_{15}$ 这 13 个铺设点间的最小费用。 + +# 把原问题归结为最优化问题 + +钢管的订购费： $\sum_{i = 1}^{7}[(\sum_{j = 1}^{13}X_{ij})\bullet p_i]$ + +把钢管从钢厂运到主管道结点所需的运费: $\sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{13} X_{ij} C_{ij}$ + +从主管道结点向两边铺设管道的费用: $\sum_{i=1}^{7} \frac{1}{2} [T_{i1}(T_{i1} + 1) + T_{i2}(T_{i2} + 1)] \cdot H$ + +所以钢管订购和运输的总费用为： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 3} X _ {i j} C _ {i j} + \sum_ {i = 1} ^ {7} \left[ \left(\sum_ {j = 1} ^ {1 3} X _ {i j}\right) \bullet p _ {i} \right] + \sum_ {i = 1} ^ {7} \frac {1}{2} \left[ T _ {i 1} \left(T _ {i 1} + 1\right) + T _ {i 2} \left(T _ {i 2} + 1\right) \right] \cdot H +$$ + +有如下约束条件： + +1. 钢厂的订购量有其上限和下限： + +$$ +\text {当} \sum_ {j = 1} ^ {1 3} X _ {i j} \geq 5 0 0 \text {时 有} 5 0 0 \leq \sum_ {j = 1} ^ {1 3} X _ {i j} \leq s _ {i}; +$$ + +$$ +\text {当} \sum_ {j = 1} ^ {1 3} X _ {i j} < 5 0 0 \text {时 有} \sum_ {j = 1} ^ {1 3} X _ {i j} = 5 0 0 \text {或} \sum_ {j = 1} ^ {1 3} X _ {i j} = 0 +$$ + +定义函数：Sub（X）来表示上述关系。 + +2. 运抵结点的钢管数等于从结点向两端铺设的钢管数： + +$$ +T _ {j 1} + T _ {j 2} = \sum_ {i = 1} ^ {7} X _ {i j} \quad (j = 1, 2, \dots , 1 5) +$$ + +3. 运抵结点的钢管数等于从结点向两端铺设的钢管数： + +设 $\mathrm{A_i}$ 在 $\mathrm{A_j}$ 的左方且相邻，则从 $\mathrm{A_i}$ 向右铺设的钢管数与从 $\mathrm{A_j}$ 向左铺设的钢管数之和等于 $\mathrm{A_iA_j}$ 间的距离。即： + +$$ +T _ {i 2} + T _ {i + 1, 1} = m a t (i, i + 1) \quad (i = 1, 2, \dots 1 4) \quad \text {其 中 ，} m a t (i, i + 1) \text {表 示} A _ {i} \text {到} A _ {i + 1} \text {的 距 离 。} +$$ + +于是问题（1）归结为如下最优化问题： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \min \left\{\sum_ {i = 1} ^ {7} \sum_ {j = 1} ^ {1 5} X _ {i j} C _ {i j} + \sum_ {i = 1} ^ {7} [ (\sum_ {j = 1} ^ {1 5} X _ {i j}) \bullet p _ {i} ] + \sum_ {i = 1} ^ {7} \frac {1}{2} \left[ T _ {i 1} \left(T _ {i 1} + 1\right) + T _ {i 2} \left(T _ {i 2} + 1\right) \right] \right\} \\ \text {s . t} \quad \operatorname {s u b} \left(X _ {i}\right) \\ \quad T _ {j 1} + T _ {j 2} = \sum_ {i = 1} ^ {7} X _ {i j} \quad (j = 1, 2, \dots , 1 5) \\ \quad T _ {i 2} + T _ {i + 1, 1} = m a t (i, i + 1) \quad (i = 1, 2, \dots 1 4) \end{array} \right. +$$ + +# 4 优化求解 + +利用MATLAB工具箱中的QP函数求问题（1）这一二次规划问题的最优解。先把各变量的下限设为0，求出在无约束条件下的最优解；以该解为初始点进行分析： + +我们发现: S 7 厂的订购量不满足 Sub(x) 函数的条件。因此, 为满足该条件, 我们分别对两种情形分析, 得出最优解列如下表: + +
A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15定购总数
S10000349.5194256.500000000800
S20104860450.500159.50000000800
S300252000007480000001000
S40000000000000000
S50051900000004800000999
S6000000000402040268782801572
S70000000000000000
**01048570800194256.5159.574840248040268782805171
总费用:1291698万元
+ +\*\*\*: 表示所有钢厂运到主管道结点的钢管总长度。 + +# 六．问题（2）的分析 + +①钢厂钢管产量上限的变化对购运计划和总费用的影响分析： + +由问题（1）的解，我们可以看出：只有 $\mathrm{S}_{1} 、 \mathrm{~S}_{2} 、 \mathrm{~S}_{3}$ 三厂的订购量达到各自的上限，故产量上限的变化只对这三个厂有影响。进行灵敏度分析，保持两个厂产量上限不变，另一个厂的产量上限分别增加： $2\%$ ， $4\%$ ， $6\%$ ， $8\%$ ， $10\%$ 。求得的最小总费用如下表： + +单位：万元 + +
2%4%6%8%10%
S112900501288402128675412851061283458
S212911381290578129001812894581288898
S312911981290698129019812896981289198
+ +由计算结果可以看出：钢厂 $\mathbf{S}_{1}$ 的产量上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。 + +②钢厂钢管销价的变化对购运计划和总费用的影响分析： + +当钢厂钢管销价的变化时，进行灵敏度分析，保持六个钢厂的钢管销价不变，另一钢厂的钢管销价分别增加：5万元，10万元。得到相应的最小总费用如下表： + +单位：万元 + +
钢管销价S1S2S3S4S5S6S7
+51295698129569812966981291698129669312977881291698
+101299698129969813016981291698130000812999381291698
+ +可见，钢厂 $\mathrm{S}_{1} 、 \mathrm{~S}_{2} 、 \mathrm{~S}_{3}$ 因为订购量达到上限，故钢管销价的变化对最小总费用影响较大。钢厂 $\mathrm{S}_{5}$ 的钢管销价的改变引起最小总费用的变化也比较快，但随销价升高，订购量变小。钢厂 $\mathrm{S}_{4} 、 \mathrm{~S}_{7}$ 因为订购量为零，故对最小总费用无影响。 + +# 七．问题（3）的求解 + +当主管道由直线变为树形图，铁路、公路和管道构成的网络时，求从钢厂 $S_{i}$ 运单位钢管到主管道结点 $A_{i}$ 的最小费用的算法仍旧适用，求解问题（1）的思想也适合于求解问题（3），但有些细节问题需要注意（见附录三）。 + +主管道变为图后，有些结点有多个分岔，即可向多个相邻结点铺设管道，将导致未知数的增加。在分析最小费用路径来去掉无用点时，有些结点起到中转作用，如主管道结点 $\mathrm{A}_{11}$ 。这时， $\mathrm{A}_{17}$ 经 $\mathrm{A}_{11}$ 向 $\mathrm{A}_{10}$ ， $\mathrm{A}_{12}$ 铺设管道，其运钢管的费用比 $\mathrm{T}_{17,10}$ ， $\mathrm{T}_{17,12}$ 多一段经 $\mathrm{A}_{17}$ 到 $\mathrm{A}_{11}$ 的费用（这里 $\mathrm{T}_{17,10}$ 表示由 $\mathrm{T}_{17}$ 运到 $\mathrm{T}_{11}$ 的钢管经 $\mathrm{T}_{11}$ 向 $\mathrm{T}_{10}$ 铺设的长度； $\mathrm{T}_{17,12}$ 也同理）。这将导致目标函数中经 $\mathrm{A}_{11}$ 向 $\mathrm{A}_{10}$ ， $\mathrm{A}_{12}$ 铺设管道铺设费用项的表达式变为： + +$$ +\left[ \frac {1}{2} \left[ \left(T _ {1 7, 1 0} + 1\right) \cdot T _ {1 7, 1 0} + T _ {1 7, 1 2} \cdot \left(T _ {1 7, 1 2} + 1\right) \right] + m a t (1 7, 1 1) \cdot \left(T _ {1 7, 1 0} + T _ {1 7, 1 2}\right) \right. +$$ + ++ $\frac{1}{2} (mat(17,11) + 1)\cdot mat(17,11)]\cdot H$ 。用Matlab中的QP（）函数进行求解，得： + +
S1S2S3S4S5S6S7最小总费用
800800100001303200001418319万元
+ +# 八．模型的评价和改进 + +我们在建立模型和构造算法时对各种可能的情况都进行了考虑，故模型的一般性很强，能够求解由铁路、公路构成的交通网络的钢管订购和运输的最优化问题，给出订购计划，最佳运输路径和铺设管道方式。这种处理方法，对于更一般的运输和分配问题，也是适用的。 + +目标函数中，在处理铺设管道费用时有些草率，仅采用近似表达式计算。如能采用更为精确的表达式且使问题仍能可解，可得到更优的解。 + +# 参考文献： + +[1] 张志涌 刘瑞桢 杨祖婴，掌握和精通MATLAB，北京航空航天大学出版社，北京，1997. +[2] 严蔚敏 吴伟民，数据结构，清华大学出版社，北京，1992. + +# 附录: + +附录一、 + +表一 + +
I1234567
SI80080010002000200020003000
Pi160155155160155150160
+ +表二 + +
里程(km)≤300301~350351~400401~450451~500
运价（万元）2023262932
里程(km)501~600601~700701~800801~900901~10000
运价（万元）3744505560
+ +# 附录二、Matlab函数的说明 + +Matlab 中的 QP() 函数被用来进行二次规划求解，它的使用格式是： + +$$ +\mathrm {X} = \mathrm {q p} (\mathrm {H}, \mathrm {C}, \mathrm {A}, \mathrm {B}, \mathrm {V L B}, \mathrm {V U B}, \mathrm {X 0}, \mathrm {n}) +$$ + +各参数的意义： $\mathrm{F(x) = X^{*}H^{*}X + C^{*}X}$ + +$$ +\mathrm {A} ^ {*} \mathrm {X} < = \mathrm {B} +$$ + +$$ +\mathrm {V L B} < = \mathrm {X} < = \mathrm {V U B} +$$ + +n表示条件中的前 $\mathbf{n}$ 个为等式。 + +附录三、图和源程序对原附图的结点进行编号得到如下二图。 + +程序从数据文件 d:\mat_load_1.txt（d:\mat_load_2.txt）中读取数据，经过运算后得到任一钢厂到每个主管道结点最小费用及相应的路线，分别存入数据文件： + +d\result_1.txt (d:\result_2.txt)和 d:\HighwayPath_1.txt(d:\HighwayPath_2.txt)中。 + +文件名中，_1表示对问题一求解，_2表示对问题三求解。给出的源程序可对问题一求解，把源程序中的所有的_1替换为_2便可实现对问题三的求解。 + +![](images/2be1f26bf8c4f96624fd11798b66a8e0d9d9df4532bc4935a75f3cd8127e39fa.jpg) +图一 + +![](images/c4191f62ab89630fbcd3950bfd57bc259993fe124c711e09d39cbf7cd2b4786b.jpg) +图二 + +\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\* + +'Need input Number of Vex. + +'File: mat_load_i + +'The First Row: the number of Edge. + +'The rest Row: + +'Vex i, Vex j, Length(i, j), State(i, j) + +\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\*\* + +'n is the number of vex. + +Public n As Integer + +Dim Dist() As.urlValue + +Dim OKSet() As Integer + +Private Sub cmdMinWay_Click() + +Dim i As Integer, j As Integer + +'v is the beginning point. + +Dim v As Integer + +'w is the minimum point. + +Dim w As Integer + +Dim iI As Integer, iJ As Integer + +Dim iNum As Integer + +Dim Mat() As.urlValue + +'输入结点数： + +n = InputBox("Input number of vex:") + +ReDim OKSet(1 To n) As Integer + +ReDim Dist(1 To n) As.urlValue + +ReDim Mat(1 To n, 1 To n) As.urlValue + +For $\mathrm{i} = 1\mathrm{{To}}\mathrm{n}$ + +For $j = 1$ To n + +Mat(i, j).Value = Infin + +Mat(i, j).State = -1 + +Next j + +Next i + +，********** + +' FileName is mat_load_1.txt. + +，************************* + +Open "d:\mat_load_1.txt" For Input As #1 + +Input #1, iNum + +For $i = 1$ To $iNum$ + +Input #1, iI, iJ, mvalue, mstate + +If mstate = 0 Then + +Mat(iI, iJ).Value = mvalue + +Mat(iI, ij).State = 0 + +Mat(iJ, iI).Value = mvalue + +Mat(iJ, iI).State = 0 + +End If + +Next i + +Close #1 + +Open "d:\RailwayPath_1.txt" For Output As #1 + +Close #1 + +'v is beginning point. + +'v:Steel Factory. + +For $\mathrm{v} = 16$ To n + +For $\mathrm{i} = 1\mathrm{{To}}\mathrm{n}$ + +Dist(i).Value $=$ Mat(v，i).Value + +If Mat(v, i).State = 0 Then + +Dist(i).Previous $=$ v + +Else + +Dist(i).Previous $= 0$ + +End If + +OKSet(i) = 0 + +Next i + +OKSet(v) = 1 + +Dist(v).Value $= 0$ + +For $\mathrm{i} = 1\mathrm{{To}}\mathrm{n} - 1$ + +'find minimat. + +Dim mI As Integer, mTemp As Integer + +Dim mC As Double 'mC:Yunfee. + +mTemp = Infin + +For mI = 1 To n + +$\mathrm{mC} = \mathrm{Dist}(\mathrm{mI}).$ Value + +If OKSet(mI) = 0 And mC <= mTemp Then + +mTemp $=$ mC + +$\mathrm{W} = \mathrm{mI}$ + +End If + +Next mI + +return w. + +OKSet(w) = 1 + +For $j = 1$ TOn Dim ttt As Integer ttt $= 1$ +If OKSet(j) $= 0$ Then spath $\equiv$ OutputRailway(v,i) +If +Dist(w).Value $^+$ Mat(w,j).Value0$ Mat(iI,iJ).State $\equiv$ mstate If Dist(fi).Previous $= 0$ Then Exit Do +Print #1, Dist(fi).Previous; Mat(iJ,iI).Value $\equiv$ mvalue fi $=$ Dist(fi).Previous Mat(iJ,iI).State $\equiv$ mstate Loop End If Print #1," Next i Close #1 Else Open "d:\modeldata_1.txt" For Output As #1 + +```vba +Print #1, n Open "d:\result_1.txt" For Output As #1 +For i = 1 To n Close #1 +For j = 1 To n Open "d:\HighwayPath_1.txt" For Output As #1 +Print #1, i; j; Mat(i, j).Value; Mat(i, j).State Close #1 +Next j +Next i '********** +Close #1 'SourceDataFile: modeldata_1.txt +Open "d:\modeldata_1.txt" For Input As #1 +Print "End" Input #1, n +End Sub ReDim Dist(1 To n) As urlValue +ReDim OKSet(1 To n) As Integer +Private Sub Form KeyPress(KeyAsci As Integer) ReDim Mat(1 To n, 1 To n) As urlValue +If KeyAsci = 27 Then End +End Sub For i = 1 To n * n Input #1, iI, iJ, mvalue, mstate +Private Sub Form_Load() If mstate = -1 Then mstate = 0 +With frmInitMatrix Mat(iI, iJ).Value = mvalue +.Left = (Screen.Width - .Width) / 2 Mat(iI, iJ).State = mstate +.Top = (Screen.Height - .Height) / 2 'Mat(iJ, iI).Value = mvalue +End With 'Mat(iJ, iI).State = mstate Next i +End Sub Close #1 +'v = 1' v is beginning point. +'********** +Structure of modeldata: For i = 1 To n +The first row: n:number of vex. Dist(i).Previous = v +The rest row: Matrix(i, j) If Mat(v, i).State = 1 Then Dist(i).Value = TranFee(Mat(v, i).Value, 1) +Dim n As Integer Dist(i).State = 2 Else +Dim v As Integer Dist(i).Value = TranFee(Mat(v, i).Value, 0) +Dim i As Integer, j As Integer Dist(i).State = 2 End If +Dim v As Integer OKSet(i) = 0 +w is the minimum point. Next i +Dim w As Integer +Dim i I As Integer, ij As Integer OKSet(v) = 1 +Dim fi As Integer Dist(v).Value = 0 +Dim Dist() As.urlValue 'From railway. +Dim OKSet() As Integer Dist(v).State = 0 +Dim Mat() As.urlValue +``` + +```vba +For i = 1 To n - 1 Next i +'find minimat. Close #1 +Dim mI As Integer, mTemp As Integer +Dim mC As Double 'Yunfee. #1 +mTemp = Infin Print #1, "The Steel Factory is:"; v +For mI = 1 To n For i = 1 To n +mC = TranFee(Dist(mI).Value, Dist(mI).State) fi = Dist(i).Previous +If OKSet(mI) = 0 And mC <= mTemp Then Print #1, i; +mTemp = mC If fi = v Then +w = mI If Mat(i, v).State = 0 Then +End If +Next mI Print #1, OutputRailway(i, v) +'return w. +OKSet(w) = 1 End If +For j = 1 To n End If +If OKSet(j) = 0 Then Do While fi <> v +'Yunfee Print #1, fi; +Dim yFee As Double If Dist(fi).Previous = v Then +Dim mY As Double If Mat(fi, v).State = 0 Then +'Dist(w).state is same as Mat(w, j).state. +If Dist(w).State = 0 And Mat(w, j).State = 0 Then Print #1, OutputRailway(fi, v) +If TranFee(Dist(w).Value + Mat(w, j).Value, 0) < End If +TranFee(Dist(j).Value, Dist(j).State) Then Exit Do +Dist(j).Value = Dist(w).Value + Mat(w, j).Value +Dist(j).State = 0 Loop +Dist(j).Previous = w +End If +Else Next i +mY = TranFee(Dist(w).Value, Dist(w).State) _ ++ TranFee(Mat(w, j).Value, Mat(w, j).State) +If mY < TranFee(Dist(j).Value, Dist(j).State) Then End Sub +Dist(j).Value = mY +Dist(j).State = 2 Private Sub Form-KeyPress(KeyASCII As Integer) +End If +End If +End If +Next j +Next i +'Output to result.txt. +Open "d:\result_1.txt" For Append As #1 +For i = 1 To n End With +``` + +Print #1, v; i; Dist(感谢网站建设一如既往的支持和厚d Sub + +
**********Case Is <= 600
** mobile **rFee = 37
**********Case Is <= 700
Public Const Infin As Integer = 10000rFee = 44
Type urlValueCase Is <= 800
Previous As IntegerrFee = 50
Cost As DoubleCase Is <= 900
Value As DoublerFee = 55
State As IntegerCase Is <= 1000
End TyperFee = 60
'State:Case Else
'-1:NoWay 0:RailWayrFee = Int((rDist - 901) / 100) * 5 + 60
'1:HighWay 2:YunFeeEnd Select
Sub main()Case 1
Dim sName As StringrFee = 0.1 * rDist
sName = InputBox("Input frmInit or frmMCM:")Case 2
rFee = rDist
Do While TrueEnd Select
If sName = "frmInit" Or sName = "frminit" ThenTranFee = rFee
frmInitMatrix.ShowEnd Function
Exit DoFunction OutputRailway(cFi As Integer, cv
ElseIf sName = "frmMCM" Or sName = "frmmcm" ThenAs Integer) As String
frmMCM.ShowDim cBegin As Integer, cEnd As Integer
Exit DoDim cString As String
End IfDim cLength As Integer
LoopDim cLastS As String
End SubcLastS = "end"
Function TranFee(rDist As Double, iState AsOpen "d:\RailwayPath_1.txt" For Input As #2
Integer)Do Until EOF(2)
Dim rFee As DoubleLine Input #2, cString
Select Case iStatecString = Trim(cString)
Case 0cLength = Len(cString)
Select Case rDistcBegin = Val(Mid(cString, 1, 2))
Case Is <= 300cEnd = Val(Mid(cString, cLength - 1, 2))
rFee = 20If cFi = cBegin And cv = cEnd Then
Case Is <= 350cLastS = Mid(cString, 4, cLength - 2)
rFee = 23Exit Do
Case Is <= 400End If
rFee = 26Loop
Case Is <= 450Close #2
rFee = 29
Case Is <= 500OutputRailway = cLastS
rFee = 32End Function
+ +附录四、数据文件格式说明及部分文件 + +数据文件d:\mat_load_1.txt（d:\mat_load_2.txt）的格式为： + +第一行：图中边的条数 + +以下每行：结点 结点 两点间距离 道路类型 + +例如： 28 38 450 0 + +（道路类型 -1：两结点不相邻；0：铁路；1：公路；2：两点间距离为运费） + +数据文件 d\result_1.txt (d:\result_2.txt) 的格式为： + +每行：结点 结点 两点间最小费用 + +例如：21 1 170.7 + +数据文件 d:\HighwayPath_1.txt(d:\HighwayPath_2.txt) 的格式为： + +每行：起始点 途经点 终点 + +例如： 1 228303135 21 + +result_1.txt: （问题（1）钢厂到各铺设点的最小运费） + +
211170.7231241597261411
212230.7251261528
160.3232255.7271
213220.3252275.7
140.2233245.3272
21498.6200.2253265.3
21538234225.2273
21620.5181.6254245.2
2173.1235206.6274
21821.2121255146226.6
21964.2236256275166
211092105.5130.5276
21119623796257121150.5
2112106238258277141
211386.2111.2278
121.223925979.2131.2
211412848.225105727999.2
21151422310251133271076
22182251251271166
215.723112513
2228671.2
205.32312251473
22396251587
190.223261
224111.2265.7
171.62314262
225111118255.3
22695.52315263
22786132235.2
22871.2
Result_2.txt: (问题(3) 钢厂到各铺设点的最小运费)
211170.7233200.2255146
212160.3234181.6256130.5
213140.2235121257121
21498.6236105.5258111.2
215382379625979.2
21620.523886.2251057
2173.123948.2251133
21821.2231082251251
21964.2231186251371.2
211092231296251473
2111962313251587
2112106111.2251675
21132314118251732
121.22315132251845
2114128231644251950
2115142231785252065
211660231890252675
211795231995261260.7
21181002320105262250.3
21191052326115263235.2
2120115241260.7264216.6
2126125242250.3265156
221215.7243235.2266140.5
222205.3244216.6267128.1
223190.2245156268116.2
224171.6246140.526984.2
225111247131261061
22695.5248116.2261147
2278624984.2261237
22871.2241062261316.2
229114.2241151261411
2210142241261261528
2211146241376.2261680
2212156241483261746
2213241597261833
171.2241680261936
2214178241750262010
2215192241855271275.7
2216110241960272265.3
2217145242070273245.2
2218150242680274226.6
2219155251255.7275166
2220165252245.3276150.5
2226175253225.2277141
+ +HighwayPath_1：（问题（1）钢厂到各铺设点的最小运费路径） + +
The Steel Factory is: 21
122830313521
22830313521
32930313521
4532333421
532333421
6333421
721
83521
9163521
10361621
11171621
12191821
13201821
14381621
15391621
The Steel Factory is: 2210363724
122830313522
22830313522
32930313522
45322122
25322122
6332122
7342122
83522
9163522
10361622
11171622
121918222281725
132018223291725
1438182222224532172553217256331725
734172525253351725453217255321725
63317252525633172573417258351725
835172525259163637172591636371725
The Steel Factory is: 23
+ +
45322026
5322026
6332026
7342026
8352026
916363718203826
10362026
11173718203826
12191826
13203826
1426
15393826
The Steel Factory is: 27
12282027
2282027
3292027
45322027
5322027
6332027
7342027
8352027
916363718203839
1036163618203839
1117171820383927
12191827
1320383927
14383927
152715271635221716221816221918221918221918221918221918221918221918221918221918221918221918221918
HighwayPath_2.txt: (问题(3)钢厂到各铺设点的最小运费 路径) The Steel Factory is: 21 1 2 28 30 31 35 35 21 2 28 30 31 35 21 3 29 30 31 35 21 4 5 32 33 34 34 21 5 32 33 34 21 6 33 34 21 7 21 8 35 21 9 16 35 21 10 36 16 23 9 16 23 10 36 16 23 11 36 16 23 12 36 16 23 13 36 16 23 14 36 16 23 15 36 16 23 16 36 16 23 17 36 16 23 18 36 16 23 19 36 16 23 20 188 22 26 20 18 22 27 28 28 28 16 23 28 28 16 23 28 28 16 23 28 28 16 23 28 28 16 23 28 28 16 23 28 28 16 23 28 28 16 23 28 28 16 23 28
+ +
12191821
13201821
14381621
25391621
163521
171621
181621
191821
201821
26201821
The Steel Factory is: 22
122830313522
22830313522
32930313522
45322122
5322122
6332122
7342122
83522
9163522
10361622
11171622
12191822
13201822
14381622
15391622
163522
171622
181622
191822
2018822
26201822
The Steel Factory is: 23The Steel Factory is: 25
12281623
2281623
3291623
45321623
5321623
6331623
7341623
8351623
91623
10361623
11171623
+ +
12191825
13201825
14381725
2515391725
251636371725
25172525163637182038392739273927272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727
25181725182038392727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727
1819182519182727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727
38201825203839272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727
392617252638392727272727272727272727272727272727272727272727272727272727
+ +The Steel Factory is: 26 + +
12282026
2282026
3292026
45322026
5322026
6332026
7212026
8352026
916363718203826
10362026
1117182026
12192026
132026
1426
15393826
16363718203826
17182026
182026
192026
2026
26 end
+ +The Steel Factory is: 27 + +
12282027
2282027
3292027
45322027
5322027
6332027
7342027
8352027
916363718203839
+ +27 + +
1036391527
11171820383927
\ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\347\255\226\347\225\245/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\347\255\226\347\225\245.md" "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\347\255\226\347\225\245/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\347\255\226\347\225\245.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..57095b39477eb8405f813e1e3bbe934ad517c2cc --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2000/B\351\242\230/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\347\255\226\347\225\245/\351\222\242\347\256\241\350\256\242\350\264\255\345\222\214\350\277\220\350\276\223\347\255\226\347\225\245.md" @@ -0,0 +1,169 @@ +have the mathematical model—a model of indefinite output + +After designing the model, firstly we use the method of improved minimal factors and the method of improved algorithm to get an initial solution; Secondly we use the method of iteration and the method of trial to adjust and modify it; Lastly we draw a conclusion + +![](images/5c1c11b255811d5c34199528eb596d05cd91250257358e9de9766e4c03c130ce.jpg) + +# 1 + +$S_{i}$ +$w_{i,j}\colon A_i\quad A_j$ +$c_{ij}$ $S_{i}$ A +$x_{i}$ $S_{i}$ +$y_{ij}$ ： $S_{i}$ A j ； +$z_{j}$ ： $A_{j}$ （20 $A_{j}\quad A_{j + 1}$ +- $z_{ij}$ : $A_{i}$ $A_{i}$ $A_{j}$ ; +$d(A_{j})$ ： $A_{j}$ +$\bullet d^{-}(A_{j})$ ： $A_{j}$ +$\bullet d^{+}(A_{j})$ ： $A_{j}$ +$\mu$ 1 + +# 2 + +1. $A_{j}$ ， $A_{j - 1}A_{j + 1}$ （20 $A_{j}$ + +A j A j-1 A j+1 A j A j+1 A j A j+2 + +A j+1 + +2 10% 300 600 3 + +3 + +1. 1 + +(1) + +0-1 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{7},$ （20 $x_{i}$ （20 $S_{i}$ 1 $x_{i} = 1,$ （20 $x_{i} = 0$ A1,A2,.,A15 ，， A j . S i A j + +$$ +i = 1, 2, \dots , 7; j = 1, 2, \dots , 1 5 +$$ + +$$ +z _ {j} \quad A _ {j} \quad A _ {j} \quad A _ {j + 1}, +$$ + +$$ +j = 1, 2, \dots , 1 4 +$$ + +$$ +: x _ {i} (i = 1, 2, \dots , 7); y _ {i j} (i = 1, 2, \dots , 7; j = 1, 2, +$$ + +$$ +\ldots , 1 5); z _ {k} (k = 1, 2, \dots , 1 4). +$$ + +(2) + +1 ； $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{15}$ + +$c_{ij}$ $S_{i}$ （20 $A_{j}$ 7 15 $u_{1} = \begin{array}{l}c_{ij}y_{ij},\\ i = 1\quad j = 1 \end{array}$ + +$$ +A _ {1}, A _ {2}, \dots , A _ {1 5} \quad , \quad 3, \quad A _ {j} +$$ + +$$ +A _ {j + 1} +$$ + +$$ +\frac {\mu z _ {j} (z _ {j} - 1)}{2} + \frac {\mu (w _ {j , j + 1} - z _ {j}) (w _ {j , j + 1} - z _ {j} - 1)}{2}, +$$ + +$w_{j,j+1}$ $A_{j} = A_{j+1}$ , $u_{2} = \frac{\mu}{2}_{j=1}^{14}[(z_{j} - 1)z_{j} + (w_{j,j+1} - z_{j})(w_{j,j+1} - z_{j} - 1)]$ . + +(3) + +500 $S_{i}$ 15 $500x_{i}\leq \sum_{j = 1}^{15}y_{ij}\leq s_{i}x_{i},\quad i = 1,2,\ldots ,7.$ + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{c c c c} A _ {1} & A _ {2} & \dots & A _ {1 5} \end{array} \\ \begin{array}{c c} 7 & 1 5 \end{array} \\ y _ {i j} = 5 1 7 1. \\ i = 1 j = 1 \\ \end{array} +$$ + +$$ +z _ {j} \leq w _ {j, j + 1}, \quad z _ {j} > w _ {j, j + 1}, \quad z _ {j} - w _ {j, j + 1} +$$ + +A j + +A j+1 + +A j + +A j + +7 + +$$ +y _ {i j} = z _ {j} + \left(w _ {j - 1, j} - z _ {j - 1}\right), \quad j = 2, 3, \dots , 1 4 +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} 7 & 7 \end{array} +$$ + +$$ +y _ {i 1} = z _ {1} \quad y _ {i, 1 5} = w _ {1 4, 1 5} - z _ {1 4} +$$ + +(4) + +1 + +$$ +\mathrm {m i n} _ {\substack {i = 1 \\ j = 1}} ^ {7 \quad 15} c _ {i j} y _ {i j} + \frac {\mu}{2} _ {j = 1} ^ {14} [ z _ {j} (z _ {j} - 1) + (w _ {j, j + 1} - z _ {j}) (w _ {j, j + 1} - z _ {j} - 1) ] +$$ + +$$ +\left(A\right) s t \left\{ \begin{array}{l l} 5 0 0 x _ {i} \leq y _ {i j} \leq s i x _ {i}, & j = 1, 2, \dots , 7 \\ 7 \quad 1 5 & \\ y _ {i j} = 5 1 7 1 \\ \begin{array}{l} i = 1 \\ j = 1 \\ 7 \end{array} \\ y _ {i j} = z _ {j} + (w _ {j - 1, j} - z _ {j - 1}), & j = 2, 3, \dots , 1 4 \\ \begin{array}{l} i = 1 \\ 7 \end{array} \\ y _ {i 1} = z _ {1} \\ \begin{array}{l} i = 1 \\ 7 \end{array} \\ y _ {i, 1 5} = w _ {1 4, 1 5} - z _ {1 4} \\ i = 1 \\ 0 \leq z _ {j} \leq w _ {j, j + 1}, & j = 1, 2, \dots , 1 4 \\ x _ {i} = 0, 1, & i = 1, 2, \dots , 7 \\ y _ {i j} \geq 0, & i = 1, 2, \dots , 7; j = 1, 2, \dots , 1 5 \end{array} \right. +$$ + +2. 2 + +(A), + +Matlab + +3. 3 + +$$ +1. \quad 1, \quad 0 - 1 \quad x _ {i} (i = 1, 2, \dots , 7) \quad y _ {i j} (i = 1, 2, \dots , 7, +$$ + +$$ +j = 1, 2, \dots , 2 1), \quad 1 \quad . \quad 1, +$$ + +$$ +\left(A _ {i}, A _ {j}\right), +$$ + +$$ +\mathcal {Z} _ {i j} +$$ + +$$ +A _ {i} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c} A _ {i} & A _ {j} \end{array} +$$ + +![](images/abd1547a2cde56b81a14ff411ab4bbb1b0f3f99dc6bc210ce476f57d580124ec.jpg) + +$$ +\begin{array}{l} \text {m i n} _ {i = 1 j = 1} ^ {7 1 5} c _ {i j} y _ {i j} + \frac {\mu}{2} _ {(A _ {i}, A _ {j}) E (T)} [ z _ {i j} (z _ {i j} - 1) + (w _ {i, j} - z _ {i j}) (w _ {i, j} - z _ {i j} - 1) ] \\ \left\{ \begin{array}{l} 5 0 0 x _ {i} \leq_ {j = 1} ^ {2 1} y _ {i j} \leq s _ {i} x _ {i}, \quad j = 1, 2, \dots , 7 \\ 7 2 1 \\ i = 1 j = 1 \\ d (A _ {j}) > 1, \quad \begin{array}{l} 7 \\ i = 1 \\ 7 \end{array} \quad y _ {i j} = \begin{array}{l} (A _ {j}, A _ {k}) E (T) \end{array} z _ {j k} + (w _ {h, j} - z _ {h j}), \quad (A _ {h}, A _ {j}) E (T) \\ d ^ {+} (A _ {j}) = 0, \quad \begin{array}{l} i = 1 \\ 7 \end{array} y _ {j 1} = w _ {k, j} - z _ {k j}, \quad (A _ {k}, A _ {j}) E (T) \\ d ^ {-} (A _ {j}) = 0, \quad \begin{array}{l} i = 1 \\ 7 \end{array} y _ {i j} = z _ {j k}, \quad (A _ {j}, A _ {k}) E (T) \\ 0 \leq z _ {i j} \leq w _ {i, j}, \quad \begin{array}{l} (A _ {i}, A _ {j}) E (T) \\ i = 1, 2, \dots , 7 \\ i = 1, 2, \dots , 7; j = 1, 2, \dots , 2 1 \end{array} \\ : \\ [ 1 ] \quad , \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \\ [ 2 ] \quad , \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad. \\ [ 3 ] \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . +$$ + +# The Strategy of Ordering and Transporting Steel Tubes + +DUAN Xiao-jun, YU Chang-sheng, WU Jian-de + +(Northwestern Polytechnical University, Xian 710072) + +Abstract In the case the pipelines are in line-shape, we provide a nonlinear programming model for the problem. Since there are not too much variables, most of the constraints are linear, and the goal function is quadratic, one can get satisfactory strategies quickly by using the software Lingo. With the software Matlab, for each plant we get the curve that reflects the influence of the variation of its steel tubes price to the total cost. Comparing these curves, we determine for which plant, the variation of its steel tubes price has the serious influence to the total cost. As to the influences of the variations of the upper bound of the output of the steel tube to the total cost and the strategy of ordering and transporting, we treat the problem in a similar way. In the case the main pipelines are in tree-shape, we assign a direction to each edge of the tree and establish a model similar to the model in the line-shape case. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2002/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\344\274\230\351\200\211\346\250\241\345\236\213/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\344\274\230\351\200\211\346\250\241\345\236\213.md" "b/MCM_CN/2002/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\344\274\230\351\200\211\346\250\241\345\236\213/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\344\274\230\351\200\211\346\250\241\345\236\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bbb8ff6b885e6b43c9c4b5e420dd70fc08366d88 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2002/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\344\274\230\351\200\211\346\250\241\345\236\213/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\344\274\230\351\200\211\346\250\241\345\236\213.md" @@ -0,0 +1,334 @@ +文章编号：1005-3085(2003)05-0100-07 + +# 彩票方案的优选模型 + +洪善艳，周姝，刘梅娟 + +指导老师：刘琼荪 + +（重庆大学，重庆400044） + +编者按：本文的特点是：1.在构造方案合理度的过程中考虑了奖项设置、奖金、总中奖概率等因素，对每一因素确定一个标准值，定义其对合理度的影响力，且标准值的确定采用了向量取模的方法，有一定的合理性；2.在层次分析建模中，同层元素之间不应存在太大的联系，本文的层次结构较合理；3.对优化模型约束条件的分析较仔细，提出了各因素的浮动区间概念，有新意。不足之处有：没有考虑一等奖的中奖概率对合理性的影响；各因素对合理性的影响只考虑线性的；符号的使用有些不够规范。 +摘要：影响彩票中奖的主要因素有中奖率、奖金额的设置、彩票的规则对彩民的吸引力等。本文对各种因素进行了综合分析，建立了评价彩票发行方案合理性的目标函数，即度量各种因素对彩民吸引力程度的函数——合理度G，并由层次分析法得到模型中涉及到的各因素的权重值 $w_{j}$ 和各种因素的标准值 $C_j$ ，通过Matlab软件编程计算，评价出给定29种彩票方案的合理性，同时还设计出了更好的方案。 + +关键词：层次分析；合理度 + +分类号：AMS（2000）90C05 + +中图分类号：0221.1 + +文献标识码：A + +# 1 问题重述（略） + +# 2 假设和符号说明 + +假设 + +1）彩票形式多种多样，在此问题中，我们仅讨论“传统型”和“乐透型”两种； +2）假定各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同； + +符号说明： + +$G$ : 合理度, 用来评价彩票发行方案合理性的目标函数; + +$h_j$ : 各种因素对彩票合理度 $G$ 的影响力； + +$w_{j}$ ：各种因素对彩票合理度 $G$ 的贡献权重； + +$P_{i}$ ：各个奖项的中奖概率； + +$R_{i}$ ：各个奖项 $i$ 的设置及奖金(高项奖 $R_{i}$ 为比例值，低项奖 $R_{i}$ 为金额值）； + +$P_{\text{和}}$ ：彩票中奖的概率总和； + +$C_i$ ：影响合理度的每一种因素的标准值； + +$I$ ：彩票方案中设置的最低级奖项，也就是奖项数； + +$I^{\prime}$ ：高项奖的奖项数； + +$A$ ：合理度的几个影响因素通过两两比较得到的判断矩阵； + +$\lambda_{\max}$ : 判断矩阵 $A$ 的最大特征值; + +C.I.: 判断矩阵 $A$ 的一致性指标。 + +# 3 问题分析和模型建立 + +1) 各种奖项的概率计算 (略) +2）模型建立 + +模型1 + +彩票的发行方案包括彩票类型(有传统型和乐透型, 乐透型又分单项型和复合型), 彩票总数码、中奖基本号码及特别号码的设置以及奖项、奖金额的设置, 这些设置又直接影响到彩票方案的中奖概率和, 另外, 彩票方案的奖项、金额设置以及中奖概率和又是吸引彩民购买彩票的关键因素。为了评价彩票发行方案的合理性, 设定一目标函数值 $G$ , 称为合理度, $G$ 值越高说明彩票方案越合理。我们认为高项奖的奖金比例分配、低项奖的奖金金额和彩票方案的中奖概率和是影响彩票方案合理性的最直接因素。因此, 合理度 $G$ 的计算与以下因素有关: (1) 彩票方案中各个奖项 $i$ 的设置及奖金 $R_{i} (i = 1,2,\dots,I,I)$ 为彩票方案中设置的最低级奖项, 也就是奖项数, $I'$ 为高项奖的奖项数, 高项奖中 $R_{i}$ 为比例值, 低项奖中 $R_{i}$ 为金额值), (2) 彩票中奖的概率总和 $P_{\text{和}}$ , 这与彩票方案所采用的中彩类型和奖项设置有关。我们用下面的式子形象的表示合理度 $G$ 和各个因素的关系模型 + +$$ +G = f \left(R _ {1}, R _ {2}, L, R _ {I}, R\right) \tag {1} +$$ + +式子中各因素不是简单的相加关系，它们彼此间的量纲不同，为了将各种因素的量纲统一起来寻求计算合理度 $G$ 的目标函数，现作如下考虑： + +就每一种因素设定一个标准值 $C_i$ ，将该种因素值 $R_i$ 或 $P_i$ 和相应标准值 $C_i$ 的比值 $\frac{R_i}{C_i} \cdot \frac{P_i}{C_i}$ 作为该种因素 $R_i$ 或 $P_i$ 对彩票方案合理度目标函数的影响力 $h_i$ ，即 + +$$ +h _ {i} = \frac {R _ {i}}{C _ {i}} \quad \frac {P}{C _ {i}}, \quad i = 1, 2, \dots , I \tag {2} +$$ + +彩票方案合理度的目标函数定义为各种因素影响力 $h_i$ 加权平均和。 + +由于各类不同的彩民对上述各种不同因素的取舍不同，那么各种因素对合理度 $G$ 的值的贡献也不同，设置各个因素对合理度 $G$ 的贡献权重为： $W = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{l}, w)$ ，由此得到确切的评价彩票方案合理度 $G$ 目标函数 + +$$ +G = W ^ {T} H = \left(w _ {1}, w _ {2}, \dots , w _ {I}, w\right) ^ {T} \left(h _ {1}, h _ {2}, \dots , h _ {I}, h\right) \tag {3} +$$ + +模型中权重值 $w_{j}$ 通过层次分析法得到，各种因素的标准值 $C_j$ 可利用题目所给的数据通过向量的标准化得到。由于各种彩票方案的奖项、金额设置以及中奖概率和是已知的，因此可计算得到题中的所有方案的合理度 $G$ ，通过 $G$ 的大小比较确定出所有29种方案较为合理的方案。 + +模型2 + +为了取得最合理彩票方案，要使得合理度 $G$ 的目标函数达到最大值，即 + +$$ +G = W ^ {T} H = \left(w _ {1}, w _ {2}, \dots , w _ {l}, w\right) ^ {T} \left(h _ {1}, h _ {2}, \dots , h _ {l}, h\right) \Rightarrow \max \tag {4} +$$ + +在现实的彩票方案中，有以下的约束条件： + +a.前面已经分析，彩票方案的中奖概率总和与彩票方案的发行类型 type、彩票总数码 $n$ 、中奖基本号码 $m$ 及特别号码的设置以及奖项 $I$ 的设置有关。所以不同类型 type 中奖概率和应该是 $n, m, i$ 等因素的函数，即 + +$$ +P _ {\text {和}} = f (n, m, \text {t y p e}, I) \tag {5} +$$ + +b. 高项奖的奖金比例和为 1 , 所以模型中 + +$$ +\sum_ {i} R _ {i} = 1 \quad i = 1, \dots , I ^ {\prime} \tag {6} +$$ + +c.部分彩民热衷彩票，其心态是基于特大奖(一等奖）的诱惑，为了能够吸引这一部分彩民，方案必须使得一等奖的奖金要占高项奖总金额的大部分，设一等奖的奖金比例的合理区间为 $[\alpha_{1},\beta_{1}]$ ，通常， $0.5 < \alpha_{1},\beta_{1}\leqslant 1$ ，所以 + +$$ +R _ {1} \in [ \alpha_ {1}, \beta_ {1} ] \tag {7} +$$ + +d.相应的，除一等奖以外的其他高项奖的奖金比例也在某一合理区间内，可表示为 + +$$ +R _ {i} \in [ \alpha_ {i}, \beta_ {i} ], \quad i = 2, \dots , I ^ {\prime} \tag {8} +$$ + +e. 要提高彩票方案的吸引力, 就要提高彩票方案的中奖概率和, 其最直接的方法就是增加奖项 $I$ , 每一个低项奖的奖金金额同样要处于某一合理区间 $[c_i, d_i]i$ 为低项奖奖项, 允许低项奖的奖金金额为 0 , 表示相应彩票方案中不设置该奖项。 + +$$ +R _ {i} \in [ c _ {i}, d _ {i} ] \quad i = I ^ {\prime} + 1, \dots , I \tag {9} +$$ + +f.高一等奖项肯定要比低一等奖项的奖金金额高，这是显然的，由于高项奖和低项奖的量纲不一样，分两种情况处理，即 + +$$ +R _ {i} > R _ {i + 1}, \quad i = 1, \dots , I ^ {\prime} - 1 +$$ + +$$ +R _ {i} > R _ {i + 1}, \quad i = I ^ {\prime} + 1, \dots , I - 1 \tag {10} +$$ + +g. 模型1的假设, 方案中奖项、奖金的设置以及中奖概率和与各因素对合理度 $G$ 的影响力存在以下关系 + +$$ +h _ {i} = \frac {R _ {i}}{C _ {i}} \frac {P}{C _ {i}}, \quad i = 1, 2, \dots , I \tag {11} +$$ + +综上所述，建立取得最合理彩票发行方案的目标规划模型 + +$$ +\max G = W ^ {T} H = \left(w _ {1}, w _ {2}, \dots , w _ {I}, w\right) ^ {T} \left(h _ {1}, h _ {2}, \dots , h _ {I}, h\right) +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} P f (n, m, \text {t y p e}, I) \\ \sum_ {i} R _ {i} = 1, \quad i = 1, \dots , I ^ {\prime} \\ R _ {i} \in [ \alpha_ {i}, \beta_ {i} ], \quad i = 1, \dots , I ^ {\prime} \\ R _ {i} \in [ c _ {i}, d _ {i} ], \quad i = I ^ {\prime} + 1, \dots , I \\ R _ {i} > R _ {i + 1}, \quad i = 1, \dots , I ^ {\prime} - 1 \\ R _ {i} > R _ {i + 1}, \quad i = I ^ {\prime} + 1, \dots , I - 1 \\ h _ {i} = \frac {R _ {i}}{C _ {i}} \quad \frac {P}{C _ {i}}, \quad i = 1, 2, \dots , I \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +# 4 模型的求解 + +# 模型1的求解 + +根据前面建立的数学模型，我们可以得到确切的评价彩票方案合理度 $G$ 的目标函数 + +$$ +G = W ^ {T} H = \left(w _ {1}, w _ {2}, \dots , w _ {I}, w\right) ^ {T} \left(h _ {1}, h _ {2}, \dots , h _ {I}, h\right) \tag {13} +$$ + +关键是计算影响度 $h_j$ 和权重 $\pmb{w}_j$ 。 + +1）计算影响度 $h_j$ + +利用向量的单位化就可以求得每一种因素中的各个值的影响力 + +$$ +h _ {j} = \frac {R _ {j}}{C _ {j}} = \frac {R _ {j}}{\| R _ {j} \|} \text {或 者} H _ {j} = \frac {P}{C _ {j}} = \frac {P}{\| P \|} \tag {14} +$$ + +其中 $\| R_j\| = \sqrt{\left[R_j,R_j\right]} = \sqrt{R_{j1}^2 + R_{j2}^2 + \cdots + R_{jn}^2}$ 是 $n$ 维向量 $R_{j}$ 的长度。 + +根据上述公式，即可得到任一个因素的标准值，从而得到各种因素对合理度 $G$ 的影响力 $h_j$ 。计算过程中对数据的处理： + +a）分“传统型”和“乐透型”两种情况分别处理； +b) 23 组数据特殊, 暂时取出不处理; +c) 设总的奖项数为 7 , 其中高项奖数为 3 , 对于某些方案为设全 7 个低项奖的情况, 视其最后的几个最低未设的奖项奖金金额为 0 。 + +2) 用层次分析法计算权重 $w_{j}$ ，具体的算法如下所述： + +a) 在认真分析影响彩票方案合理度的各个直接因素（七种奖项）之间的关系后，我们建立彩票方案的递阶层次结构： +b）对同一层次的各个元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。在构造两两比较判断矩阵的过程中，按 $1 \sim 9$ 比例标度对重要性程度进行赋值。 + +对于任何一个准则，几个被比较元素通过两两比较就可以得到一个判断矩阵 + +$$ +A = \left(a _ {i j}\right) _ {n \times x} \tag {15} +$$ + +其中， $a_{ij}$ 就是 $u_{i}$ 与 $u_{j}$ 相对于 $C$ 的重要性的比例标度。 + +![](images/bf70c4f97969f89e1f3f538fe78a1ecc596a4e9cc384c2855ad67defd39c4287.jpg) +图1 彩票方案递阶层次结构 + +c) 根据得到的判断矩阵, 我们采用“特征根法”来求解判断矩阵中被比较元素的排序权 + +重向量。 + +对于本模型而言，我们认为高项奖比中奖面稍稍重要，中奖面比除高项奖外的中项奖稍稍重要，中项奖比低项奖稍重要，依据上述的层次分析方法，计算得到如下各个层次下的判断矩阵和其对应的排序权重向量、一致性指标： + +表 1 目标层的判断矩阵 + +
AB1B2B3B4w(2)
B113520.4729
B21/3131/20.1699
B31/51/311/40.0729
B41/22410.2844
+ +$$ +\lambda_ {\max } = 2 +$$ + +$$ +C. I. = 0 +$$ + +$$ +R. I. = 0 +$$ + +$$ +C. R. = 0 +$$ + +$$ +\lambda_ {\max } = 4. 0 5 1 1 +$$ + +$$ +C. I. = 0. 0 1 7 0 +$$ + +$$ +R. I. = 0. 8 9 0 0 +$$ + +$$ +C. R. = 0. 0 1 9 1 +$$ + +表 2 准则层 ${\mathbf{B}}_{2}$ 的判断矩阵 + +
B2C2C3P2(3)
C2130.75
C31/310.25
+ +表 3 准则层 ${B}_{3}$ 的判断矩阵 + +
B3C4C5C6C7P3(3)
C412340.4673
C51/21230.2772
C61/31/2120.1601
C71/41/31/210.0954
+ +$$ +\lambda_ {\max } = 4. 0 3 1 0 +$$ + +$$ +C. I. = 0. 0 1 0 3 +$$ + +$$ +R. I. = 0. 8 9 0 0 +$$ + +$$ +C. R. = 0. 0 1 1 6 +$$ + +$C$ 层对 $A$ 的总排序 $\mathcal{W}^{(3)} = (w_{1}^{(3)}, w_{1}^{(3)}, \dots, w_{8}^{(3)})^{T}$ 可用下表计算得： + +表 4 合成排序 + +
B +Cw1(2) = 0.4729w2(2) = 0.1699w3(2) = 0.0729w4(2) = 0.2844W(3)
P1(3)P2(3)P3(3)P4(3)
C110000.4729
C200.75000.1274
C300.25000.0425
C4000.467300.0341
C5000.277200.0202
C6000.160100.0117
C7000.095400.0069
C800010.2844
+ +实际上表4中得到的 $W^{(3)}$ 即为影响彩票方案合理度的各因素的权重向量 $\mathcal{W}$ 。 + +根据多层一致性指标的计算方法 + +$$ +C. R. ^ {(k)} = \frac {C . I . ^ {(k)}}{R . I . ^ {(k)}} = \frac {\left(C . I . _ {1} ^ {(k)} \cdots , C . I . _ {n _ {k - 1}} ^ {(k)}\right) W ^ {(k - 1)}}{\left(R . I . _ {1} ^ {(k)}, \cdots , R . I . _ {n _ {k - 1}} ^ {(k)}\right) W ^ {(k - 1)}} \tag {16} +$$ + +利用上面求得的各个层次的一致性比例，得到 $C.I.$ $(3) = 0.0116 < 0.1$ ，符合递阶层次结构在3层水平以上的所有判断具有整体满足一致性的标准，即所得的排序权重向量是合理的。 + +由此得到 $w_{j},h_{j}$ 的值，根据公式(13)计算出评价彩票方案合理度目标函数值如下表 + +表 5 “传统型”各方案合理度 + +
序列号1234
合理度G0.22230.41200.41380.4243
+ +表 6 “乐透型”各方案合理度 + +
序列号5678910111213141516
合理度G0.16550.17220.25940.25210.25210.24380.15620.15620.15340.15710.15230.1529
序列号171819202122242526272829
合理度G0.14970.21080.15100.20930.22270.20950.16270.16050.19650.21720.15680.1467
+ +由表可知，对于“传统型”，4号方案最优，对于“乐透型”，7号方案最优，为7/30。 + +模型2的求解： + +以模型1的求解结果为前提，每一种因素的权重、标准值分别为模型1中计算得到的 $w_{j}$ $C_j$ ，模型2的未知变量比较多，其计算过程如下： + +1) 先要确定各个决策变量的合理浮动区间, 如各奖项的奖金设置及中奖概率和的浮动区间, 其浮动区间的设置存在人为主观因素的影响, 即彩票发行部门有权对浮动区间的范围进行修改, 本文先从提供的方案中总结各变量的大致浮动范围, 如表7所示: + +表 7 变量浮动区间 + +
变量R1R2R3R4R5R6R7P*
浮动区间[0.5,0.80][0.1,0.25][0.1,0.3][50,1000][20,100][5,50][2,10][0.01,0.03]
+ +2) 利用穷举法, 让 $n$ 从 20 到 40, $m$ 从 3 到 8, 步进为 1, 遍历上表中未知变量的浮动范围, 以求得最大合理度, 即最优彩票发行方案。因为有较多的未知变量, 计算量非常大, 所以将因素分为高项奖和低项奖进行分段遍历搜索: 先固定低项奖的金额值, 让高项奖金额比例浮动; 然后固定计算得到的高项奖金额比例, 计算低项奖的金额。这样可以大大地减少计算量, 加快计算速度。 +3) 模型2的计算通过Matlab编程实现, 对于不同的变量浮动范围, 该模型都可以很快的得到有最大合理度的方案。 + +通过计算，求得彩票发行的最优方案，如表8所示（抽奖方式同“乐透型单项式”方案）： + +表 8 不同中奖面的最优方案 + +
P和浮动区间[0.1,0.3][0.3,0.4][0.4,0.5]
单项式复合式单项式复合式单项式复合式
最优方案7/317+1/208/256+1/217/276+1/20
R10.750.650.750.650.750.65
R20.150.250.150.250.150.25
R30.100.100.100.100.100.10
R4800800800800800800
R5100100100100100100
R6505050505050
R7101010101010
G0.11140.10000.12530.12760.15580.1512
+ +不同的彩票发行部门对表7中的浮动范围有不同的取舍，我们可以修改上表8中的变量浮动范围，求得不同的最优方案：改变中奖面 $p_{\text{和}}$ 的浮动范围，其他变量同表7，计算结果如表8所示，从表8可知：适当提高中奖面 $p_{\text{和}}$ 的浮动范围，彩票发行方案更合理。 + +由上述分析可知，基于彩票发行单位的不同要求，有不同的变量浮动范围，可得出不同的最优方案。变量的约束条件可根据彩票发行单位的意愿决定，该模型可以很快为彩票发行部门求得不同约束条件下的最优方案。 + +# 参考文献： + +[1] 王沫然、MATLAB6.0与科学计算[M].北京：电子工业出版社，2001 +[2] 云舟工作室, MATLAB 数学建模基础教程[M]. 北京: 人民邮电出版社, 2001 +[3] 姜启源等. 数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999 +[4] 梅长林, 王宁, 周家良. 概率论和数理统计[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2001 +[5] 王莲芬, 许树伯. 层次分析发引论[M]. 北京: 中国人民大学出版社, 1990 + +# The Model of Lottery Scheme's Optimization + +HONG Shan-yan, ZHOU Shu, LIU Mei-juan + +Advisor: LIU Qiong-sun + +(Chongqing University, Chongqing 400044) + +Abstract: The major factors that affect winning a prize in a lottery are the probability, the setting of the bonus money, the attraction to people about the regulation of the lottery. This paper analyzes all kinds of factors, sets up an objective function, rationality $G$ , which evaluates the rationality about the emission scheme of the lottery, that is, measures the attraction extent to people of various factors. Through AHP gets weightiness $w_{j}$ and standard value $C_{j}$ . Then by matlab, calculates the value of the rationality about the 29 schemes, meanwhile designs a more perfect scheme. + +Keywords: AHP; rationality \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2002/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\345\220\210\347\220\206\346\200\247\344\274\230\345\214\226/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\345\220\210\347\220\206\346\200\247\344\274\230\345\214\226.md" "b/MCM_CN/2002/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\345\220\210\347\220\206\346\200\247\344\274\230\345\214\226/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\345\220\210\347\220\206\346\200\247\344\274\230\345\214\226.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..46d59fbd0c16cd711a9f5449f0d13386c5d07991 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2002/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\345\220\210\347\220\206\346\200\247\344\274\230\345\214\226/2002\345\271\264B\351\242\230\345\275\251\347\245\250\346\226\271\346\241\210\347\232\204\345\220\210\347\220\206\346\200\247\344\274\230\345\214\226.md" @@ -0,0 +1,188 @@ +文章编号：1005-3085(2003)05-0088-06 + +# 彩票方案的合理性优化 + +奚悦，窦文，高云强 + +指导老师：张志强 + +（东南大学，南京210096） + +编者按：本文从彩票方案对彩民的吸引力、中奖面、奖金分配几个层次对各方案的合理进行了评价。其主要特点就是在确定各级判断矩阵的权数时通过问卷调查给出，而不时凭主观愿望直接给出数据，这也是用数学模型解决实际问题的一种重要方面。 +摘要：本文主要研究了彩票中各奖项的中奖概率、奖项和奖金的设置以及对彩民的吸引力等因素对彩票方案合理性的影响。在问题一给出的29种方案中，我们用模糊综合评判的方法量化各个方案的合理度，分别给影响合理度的因素加权从而求出合理度，发现方案26、27的合理度分别为0.5300和0.6414，是两套较优的方案，之后我们分析了模型的稳定性；在问题二中，我们基于问题一中的29套方案，对于每种方案的合理度采用线性规划模型，用Lingo软件求得相应的最优合理度和最优奖项设置，最后我们补充分析了模型中未考虑的一些因素，并向管理部门和彩民提出了一些建议。 + +关键词：中奖概率；奖项和奖金的设置；吸引力；方案的合理度；模糊综合评判 + +分类号：AMS（2000）90C05 + +中图分类号：0221.1 + +文献标识码：A + +# 1 问题与记号 + +近年来彩票流行，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 + +我们的主要问题是对现有的29种彩票方案的合理性进行评价，并在此基础上设计出更好的方案，以吸引更多的彩民购买，为国家筹集资金。 + +在分析论述过程中，我们用到下列记号 + +单张奖券中第 $i$ 项奖的中奖率 $P_{i}(i = 1,2,\dots \dots ,7)$ ，单张奖券的中奖率 $P$ ，合理度 $Q$ ，对彩民的吸引力 $R$ ，彩票的销量 $n$ ，销售额 $S$ ，成本 $C$ ，利润 $B$ ，各级奖金的金额 $X_{i}(i = 1,2,\dots \dots ,7)$ ，返奖率 $X_{8}$ ，奖金分配效用值 $X$ ，单注期望收益 $E$ ，奖金分配效用的权值矩阵 $F_{\circ}$ + +# 2 模型的分析与建立 + +在问题(1)中我们假设每期奖金都可以分完，即不记奖池效应，并且暂不记税收的影响。我们希望建立一个模型，将合理性量化，以便于进行比较。我们采用模糊综合评判的方法来达到此目的。 + +首先，合理性可以从销售者和购买者两方面的满意程度来衡量，建立一级评判集 $A =$ [对彩民吸引力，销售者利润]和权重集 $B^{\prime} = [b1,b2]$ 其中 $b1$ 为对彩民吸引力的权重， $b2$ 为销售者利润的权重。 + +再者, 销售者的利润和销售额与返奖率有关, 而在销售额等同的情况下可以由返奖率表示。对彩民的吸引力可以由以下几个因素衡量: 中奖的几率, 奖金的分配对彩民的效用和单张彩票的期望收益。由此建立二级评判集 $C = \{ \text{中奖的概率}, \text{奖金的分配对彩民的效用}, \text{单张彩票的期望收益} \}$ 和对应的权重集 $D = [d1, d2, d3]$ 。 + +中奖的概率可以由式算出。单张彩票期望收益也可由销售额和返奖率算出。奖金分配对彩民的效用是由各个奖项的期望奖金有关, 那么建立三级评判集 $E' = \left[\right.$ 一等奖, 二等奖, 三等奖, 四等奖, 五等奖, 六等奖, 七等奖] 和对应权重集 $F = [f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7]$ 。 + +至此就建立了一个用数值反映合理度的模型, 其结构可由图 1 给出 + +![](images/08d4d62015028c435c1554785de3371f35cc859b5613e7c9a68798ffc2027881.jpg) +图1 合理度层次模型 + +# 3 模型的求解 + +# A. 单张彩票获得单项奖金几率 + +根据古典概率公式计算 + +$I$ 、传统 $1 + 6 / 10$ 型 + +$$ +P 1 = 1 0 ^ {- 6} \times \frac {1}{5} = 0. 0 0 0 0 0 2, \quad P 2 = 1 0 ^ {- 6} \times \frac {4}{5} = 0. 0 0 0 0 0 8 +$$ + +$$ +P 3 = 9 \times 1 0 ^ {- 6} \times 2 = 0. 0 0 0 0 1 8, \quad P 4 = \frac {9 \times 1 0}{1 0 0 0 0 0 0} \times 2 + \frac {9 \times 9}{1 0 0 0 0 0 0} = 0. 0 0 0 2 6 1 +$$ + +$$ +P 5 = 2 \times \frac {9 \times 1 0 \times 1 0}{1 0 0 0 0 0} = 0. 0 0 3 4 +$$ + +$$ +P 6 = 2 \times \frac {9 \times (1 0 0 0 - 1)}{1 0 0 0 0 0 0} + 3 \times \frac {9 \times 9 \times 1 0 \times 1 0}{1 0 0 0 0 0 0} - 3 \times \frac {9 \times 9}{1 0 0 0 0 0 0} = 0. 0 4 2 0 3 9 +$$ + +# II. 乐透型 + +可以分为3种类型进行考虑 + +(1) $n / m$ 型 + +$$ +\begin{array}{l} P 1 = \frac {1}{C _ {m} ^ {n}}; P 2 = \frac {C _ {n} ^ {n - 1} C _ {1} ^ {1}}{C _ {m} ^ {n}}; \quad P 3 = \frac {C _ {n} ^ {n - 1} C _ {m - n - 1} ^ {1}}{C _ {m} ^ {n}}; \quad P 4 = \frac {C _ {n} ^ {n - 2} C _ {m - n - 1} ^ {1} C _ {1} ^ {1}}{C _ {m} ^ {n}} \\ P 5 = \frac {C _ {n} ^ {n - 2} C _ {m - n - 1} ^ {2}}{C _ {m} ^ {n}}; \quad P 6 = \frac {C _ {n} ^ {n - 3} C _ {m - n - 1} ^ {2} C _ {1} ^ {1}}{C _ {m} ^ {n}}; \quad P 7 = \frac {C _ {n} ^ {n - 3} C _ {m - n - 1} ^ {3}}{C _ {m} ^ {n}} \\ \end{array} +$$ + +(2) $n / m$ 无特别号型 + +$$ +P 1 = \frac {1}{C _ {m} ^ {n}}; P 2 = \frac {C _ {n} ^ {n - 1} C _ {m - n} ^ {1}}{C _ {m} ^ {n}}; P 3 = \frac {C _ {n} ^ {n - 2} C _ {m - n} ^ {2}}{C _ {m} ^ {n}}; P 4 = \frac {C _ {n} ^ {n - 3} C _ {m - n} ^ {3}}{C _ {m} ^ {n}}; P 5 = \frac {C _ {n} ^ {n - 4} C _ {m - n} ^ {4}}{C _ {m} ^ {n}} +$$ + +(3) $6 + 1 / m$ 型 + +$$ +P 1 = \frac {1}{C _ {m} ^ {7}}; \quad P 2 = \frac {C _ {6} ^ {6} C _ {m - 7} ^ {1}}{C _ {m} ^ {7}}; \quad P 3 = \frac {C _ {6} ^ {5} C _ {m - 7} ^ {1} C _ {1} ^ {1}}{C _ {m} ^ {7}}; \quad P 4 = \frac {C _ {6} ^ {5} C _ {m - 7} ^ {2}}{C _ {m} ^ {7}} +$$ + +$$ +P 5 = \frac {C _ {6} ^ {4} C _ {m - 7} ^ {2} C _ {1} ^ {1}}{C _ {m} ^ {7}}; \quad P 6 = \frac {C _ {6} ^ {4} C _ {m - 7} ^ {3}}{C _ {m} ^ {7}}; \quad P 7 = \frac {C _ {6} ^ {3} C _ {m - 7} ^ {3} C _ {1} ^ {1}}{C _ {m} ^ {7}} +$$ + +分别计算29种方案的总中奖率(表1)和中各单项奖的概率(略)。 + +# $\pmb{B}$ .单注的期望收益 + +由于销售方拿出销售额的 $50\%$ 作为总的奖金分配，若投注的单注金额为2元，那么理论上每注期望收益为1元。虽然受到一等奖保底和封顶以及“奖池”中累计奖金的影响，但由于一等奖的获奖概率很小，影响不大。而且，从长期来看，奖金是趋于 $50\%$ 的销售额的。所以可以近似将单注期望收益看为1元。 + +# $C$ .奖金的分配 + +假设销售额总额为 $2n$ ，那么我们希望算出各个高项奖所分配的奖金数。 + +首先应当求出各个高项奖期望中奖的彩票数。这可以由单张彩票单项中奖概率求出。根据中心极限定理，当彩票数趋于无穷时，每个高项奖彩票数概率应服从正态分布。这里我们用 $n$ 次贝努里试验来近似这一结果。根据贝努里原理，若设中某高项奖的几率为 $p$ ，则不中此奖的几率为 $q = 1 - p$ 。那么第 $k$ 项奖的概率 $P(X = k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ 。 + +可以得知，第 $i$ 项奖的期望彩票数为 $n * Pi, i = 1, 2, \ldots, 7$ 。 + +那么根据模型所给出公式 + +[（当期销售总额 $\times$ 总奖金比例）-低项奖总额] $\times$ 单项奖比例 + +可算出各奖项每注分配到的期望奖金数 $R = [R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7]$ ，如表1所示。 + +# $D$ .求解各方案的合理度 + +求解此模型，我们最主要的是确定各个权值矩阵。对于权值矩阵的确定，我们用调查统计和迭代的方法来求出各个权值。首先对与一级评判权值矩阵 $B = [b1, b2]$ ，由于返奖率固定为 $50\%$ ，销售者利润是一固定值，对合理性的贡献是一定的，所以为了简化模型考虑，定 $B = [1,0]$ 。其次，为了求出二级评判矩阵 $D = [d1, d2, d3]$ ，我们发放了100份的问卷调查，得到调查者所认为的 $\frac{w1}{w2}, \frac{w1}{w3}, \frac{w2}{w3}$ 的值，取算术平均后得到迭代初始值 $\frac{w1}{w2} = 0.32, \frac{w1}{w3} = 2.67, \frac{w2}{w3} = 6.77$ ；通过迭代求出稳定的权值 $D = [0.2, 0.692, 0.0720]$ 。为了求出三级评判 + +权值矩阵 $F = [f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7]$ , 对 100 份问卷调查所得值经相似处理, 可以得到 $F$ 的值大致为 $F = [0.4, 0.3, 0.1, 0.08, 0.06, 0.04, 0.02]$ ; 则奖金的总额与分配对彩民的效用分别为 $X = F * R'$ , $Q = d1 * P + d2 * E + d3 * X$ 先将各奖项的单注期望奖金归一化, 可以得到值 $X1 \sim X7$ , 再根据模型求合理度, 列出合理度表, 如表 1 所示。 + +表 1 计算结果列表 + +
序号奖项方案一等奖金额二等奖金额三等奖金额四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额总中奖率合理度
16+1/10246740024670016400500.000280.4658
26+1/10192930016080071003002050.04570.4126
36+1/10209010012060071003002050.04570.3887
46+1/10225090012060054003002050.04570.3918
57/297557003600017003003050.00790.1525
66+1/296593001250012002002050.01800.1327
77/30761500251001500500501550.03320.2116
87/30945300193001800200501050.03320.2057
97/301085600207001400200301050.03320.2059
107/317953002840021005005020100.02920.2223
117/3117035003240021003203050.00560.2086
127/32177280058400320050050100.00480.2562
137/32190920039000320050050100.00480.2485
147/32204560039000240050050100.00480.2538
157/3324612005020040006006060.00420.3012
167/332390300455002700500501050.02300.3187
177/3431419001036053005003060.00350.2990
187/343039300766004900500501020.02040.3874
197/35428710013120049003005050.00300.4724
207/3533764006890051005001003050.01820.4357
217/35322070061300340010001005050.01820.4417
227/354388000784002900200502050.01820.4615
237/35 无特4281900200020420.12490.5038
246+1/3642054001930057005001001050.01640.4350
256+1/364778100206004100500100100.00760.4448
267/364865800993007100500501050.01630.5300
277/37500000016750058001500100500.00230.6414
286/4029927006080015002001010.00510.2966
295/6029221001948003600300300.00270.4223
+ +从上表中可以看出，方案26、27是相对于其他方案较为合理的。 + +# 4 模型验证 + +从26,27两方案分析可知，方案26的中奖率高，高额奖奖金较高。而方案27的虽中奖 + +率不高, 但高额奖金和低额奖金均很高。可以看到, 高中奖率和高额奖金额反映了模型的合理性。我们通过改变权值, 可以调整各个部分对最后合理度的影响程度。比如在冒险投资者看来, 一等奖要比其它因素重要的多, 而在保守投资者看来, 中奖率则比其它因素更重要些。通过改变权值, 就可以使模型反映不同的情况。我们计算了两个较为极端的情况 $D = [0.1, 0.8, 0.1]$ , $F = [0.85, 0.1, 0.05, 0, 0, 0, 0]$ (模拟冒险型) 和 $D = [0.5, 0.4, 0.1]$ , $F = [0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.08, 0.07, 0.05]$ (模拟保守型) 的合理性, 并列出表 2, 可以看出合理性在不同条件(权值)下的变化。 + +由表2综合表1可看出冒险型比保守型对高额奖奖金更敏感。比如传统型彩票方案中，1、2两种方案由于较低的高额奖奖金保守型合理度相对冒险型合理度有所提高，而3、4种方案则由于相对较高的高额奖奖金而有所降低。这说明奖金的设置对不同类别的人群有着不同的效用。所以在发行彩票前应对对象人群进行调查，以确定最为适合的权重，以此进行最合理的奖金分配。 + +表 2 不同权值对合理度的影响 + +
序号奖项方案冒险型 +合理度保守型 +合理度序号奖项方案冒险型 +合理度保守型 +合理度
16+1/100.42080.4374167/330.36100.3161
26+1/100.37690.3849177/340.42710.2906
36+1/100.38730.3698187/340.45820.3688
46+1/100.40550.3632197/350.61480.4104
57/290.11050.1574207/350.49860.4361
66+1/290.10590.1413217/350.47180.4525
77/300.14840.2378227/350.63370.4200
87/300.17230.2271237/35无特0.76290.4464
97/300.19080.2201246+1/360.59530.4306
107/310.14870.2620256+1/360.65580.4137
117/310.23500.2013267/360.71020.4914
127/320.25280.2516277/370.72250.5983
137/320.26580.2472286/400.41570.2527
147/320.28260.2469295/600.44460.3537
157/330.34450.2920
+ +稳定性分析 我们对权值 $F$ 作一微小改动，使 $F' = [0.37, 0.35, 0.13, 0.03, 0.05, 0.04, 0.03]$ 并计算合理度，和使用 $F$ 的合理度进行比较。 + +图2给出了改动权值矩阵 $\pmb{F}$ 前后合理度的值的图解。图中 $\pmb{x}$ 轴坐标表示第 $i$ 套方案。从图中可以看出权值的微小改变并不十分影响结果，特别是各个奖项的排位。 + +在此基础上我们可以建立一个线性的模型，得到更优的新方案(略)。从而解决了问题(2)。 + +注 合理度只适用于同栏数据比较 + +![](images/40859b7b5828dd338ee9d6db25dde2c1a1ce225222e44330288997c60df0bb1d.jpg) +图2 合理度在 $F$ 微小扰动时的变化情况 + +# 5 给管理部门和彩民的建议 + +下面是一些管理上的建议： + +从以上问题二的模型假设和求解中，我们将衡量彩票规划的合理性量化，量化后的值由 + +对它直接有影响的利润和对彩民的吸引力加权求得。合理性的大小直接影响了彩票方案的可行性。彩票管理部门为了获得更高的利润，就必须提高彩票的销售量，提高销售量需做到以下几点： + +1）提高彩票对彩民的吸引力，彩票管理部门要有一个合理的奖金分配方案。 +2）头等奖要封顶，奖池中的基金数要充足。 +3）确保摇奖的公正，延长兑奖的时间。提高彩票的观赏和收藏价值。 +4) 考虑彩票发行的负面效应。如彩票发行过多, 会造成银行储蓄和消费额的急剧下降。给金融和经济秩序造成混乱。 + +下面是给彩民的一点意见： + +首先，彩民购买彩票应注意心态问题，一些彩民把买彩票当做投资，当做事业，甚至把未来全部寄托在彩票上。这种过高的期望值必然造成极大的心理落差。在彩民这个庞大的群体中，需要的是冷静和平和，不需要急躁和狂热。抱着献爱心的心态买彩票，往往就不会再过于计较得失。总之，摸彩抱着一颗平常心，才不会把娱乐变成一种压力。再者，买彩票中奖还要考虑纳税问题，我国的税法要求对彩票收取个人所得税。购买社会彩票一次中奖收入不超过10000元的暂免征收个人所得税，对一次中奖收人超过10000元的，应按税法规定金额征税 $(20\%)$ 。最后，不要迷信有投资彩票的诀窍。预测软件和操作技巧没有任何意义。另外，买彩票的出发点应该是支持国家相关部门的建设与发展，应把中奖看成是对你的善举给予回报。 + +# 6 模型的讨论 + +本题中权值是由我们在一个小范围调查得出的，不够准确。另外本题的模型是理想化的，而现实中，还需考虑彩票的其他附加费用，如销售成本、预留奖金、税收等。 + +1). 公司发行彩票时肯定是需要成本, 成本是一个不定值, 但现在彩票大都采用电脑销售, 成本随着彩票销售量的改变变化不大, 可看成是一个定值。我们在做题时为简化模型而忽略了成本的影响。 +2). 中奖金额高于一万元应交纳 $20\%$ 的个人所得税, 因此实际的奖金额需要折算成税后金额, 这直接影响了彩民的彩票效用期望。 +3). 现实彩票销售中, 滚存是经常发生的, 本期剩余的奖金滚入下一期。滚存存在的可能性为 $P = (1 - )$ (其中 $n$ 为销售量), 为一张彩票中一等奖的概率, 所以愈大, $n$ 愈大, 滚存的可能性愈小。结合江苏省各期彩票的销售量情况, 大都在 100 万至 150 万之间, 也就是说当为 1:1000000 时滚存可能性在 $22.3\% - 33.7\%$ 之间。这时滚存将会大大提高彩票对彩民的吸引力。 + +# 参考文献： + +[1] 胡运权, 郭耀煌. 运筹学教程[M]. 北京: 清华大学出版社, 1998 +[2] 叶其孝. 大学生数学建模竞赛辅导教材[M]. 长沙：湖南教育出版社，1993 +[3] 姜启源. 数学模型[M]. 北京：高等教育出版社，1993 +[4] Hanselman D, Littlefield B.精通 Matlab 6[M]. 北京: 清华大学出版社, 2002 + +（下转73页） \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2003/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230 SARS\347\232\204\344\274\240\346\222\255\350\256\272\346\226\207/SARS\344\274\240\346\222\255\347\232\204\346\225\260\345\255\246\345\216\237\347\220\206\345\217\212\351\242\204\346\265\213\344\270\216\346\216\247\345\210\266/SARS\344\274\240\346\222\255\347\232\204\346\225\260\345\255\246\345\216\237\347\220\206\345\217\212\351\242\204\346\265\213\344\270\216\346\216\247\345\210\266.md" "b/MCM_CN/2003/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230 SARS\347\232\204\344\274\240\346\222\255\350\256\272\346\226\207/SARS\344\274\240\346\222\255\347\232\204\346\225\260\345\255\246\345\216\237\347\220\206\345\217\212\351\242\204\346\265\213\344\270\216\346\216\247\345\210\266/SARS\344\274\240\346\222\255\347\232\204\346\225\260\345\255\246\345\216\237\347\220\206\345\217\212\351\242\204\346\265\213\344\270\216\346\216\247\345\210\266.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..667a70606baeba106b180c6ddacd581023418d13 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2003/\350\256\272\346\226\207/A\351\242\230 SARS\347\232\204\344\274\240\346\222\255\350\256\272\346\226\207/SARS\344\274\240\346\222\255\347\232\204\346\225\260\345\255\246\345\216\237\347\220\206\345\217\212\351\242\204\346\265\213\344\270\216\346\216\247\345\210\266/SARS\344\274\240\346\222\255\347\232\204\346\225\260\345\255\246\345\216\237\347\220\206\345\217\212\351\242\204\346\265\213\344\270\216\346\216\247\345\210\266.md" @@ -0,0 +1,225 @@ +文章编号：1005-3085(2003)07-0029-06 + +# SARS传播的数学原理及预测与控制 + +邹宇庭，郑晓练，缪旭晖 + +指导教师：谭忠 + +（厦门大学，福建厦门361005） + +编者按：本文建立了SARS传播的具有负反馈的差分方程模型。用两个参数分别刻画疾病传播能力和对疾病采取有效控制措施的能力，并用标准差趋于稳定来判定数据拟合的合理性，是本文的突出优点。文章将这一方法用于北京，广州，山西和香港，均获得较好效果。 + +摘要：众所周知，SARS对中国社会带来了重大的影响。我们以北京地区4月到6月有关SARS的数据为参考资料，就病毒的实际传播特征引入了电子线路中的负反馈的概念，建立了SARS传播的负反馈系统，并在分析该系统参数实际意义的情况下，建立时间序列的模型。该模型将传染率定义为时间的函数，以拟合数据和实际数据之间的总残差最小为目标，利用matlab中的fminsearch函数模拟得到最优的模型参数。该模型可以较好的预测SARS的发展趋势，且可以就此趋势提出如何控制SARS传播的措施。继而，本文通过模拟出在不同日期提前或滞后5天实施隔离政策所引起SARS发展趋势变化的曲线，分析了卫生部门实施隔离政策的日期对SARS发展趋势的影响。 + +在SARS对经济影响的这个问题上，本文适当选取医疗业具有代表性的17支股票，构造了医疗板块指数，以此测度医疗业的经济表现。在传统的CAPM模型中，我们引入了虚拟变量，利用OLS技术进行估计分析，检验出SARS这一事件对医药业的经济影响是正影响。该影响反映在医疗版指数的日收益上，但这个影响是由SARS引起的，会随着SARS的结束而结束。 + +关键词：SARS；负反馈系统；时间序列模型；资本资产定价模型 + +分类号：AMS(2000)62M10 + +中图分类号：O212.3 + +文献标识码：A + +# 1 数学模型的分析与建立 + +# 1.1假设与符号说明 + +1)统计数据是可靠的；2)病人处于潜伏期时不传染他人；3)采取的所有控制措施对于阻止SARS病毒的传播都是有效的。 $I_{n}$ ：到第 $\pmb{n}$ 天为止累计确诊的病人数； $D_{\mathrm{n}}$ ：到第 $\pmb{\pi}$ 天为止累计的死亡人数； $S_{n}$ ：第 $\pmb{n}$ 天的疑似病人数； $C_n$ ：到第 $\pmb{n}$ 天为止治愈病人数；d：死亡率；g：治愈率； $S_{1}$ ：新增病人与新增疑似病人的比值； $S_{2}$ ：疑似病人转化为正常人的比率； $K_{0}$ ：区域内的自反馈参量； $F_{n}$ ：反馈变量； $K_{\mathrm{f}}$ ：反馈系数。 + +1.2现在我们分析问题并建立相应的数学模型： + +社会的反应往往是一个渐变的过程，会随疫情的变化而变化，是一个负反馈过程，比如， + +当疫情严重时人们会自觉地减少与他人接触，相反的当疫情不显著时人们会放松警惕而增加与他人接触的机会。为此我们建立如下负反馈系统(图1)。将实际情况与控制力度的关系通过反馈系数实现自动调节，这样就能及时采取控制措施，使得病情传播速度迅速减小，以求最后达到消灭病情的目的。 + +在以上系统中： + +① A是开环增益(Open Loop Gain)，表示基本放大器的放大倍率，即为输出信号与输入信号的比值。在研究SARS传播的模型中，我们将此定义为SARS病毒在未受控制情况下的自然传播速度，即病毒的基本传播率。② $\mathbf{K}_{\mathrm{f}}$ 是反馈网络中的反馈系 + +![](images/e5a0dce8c05ed6805d56cd895388632490972ec8d42bc0691511b022b8c21c89.jpg) +图1 系统示意 + +数, 即反馈信号与输出信号的比值。在该模型中我们将它定义为各种反应因素的总和, 通过负反馈可以减小病毒传播速度。③输入信号 $\mathbf{X}_{\mathrm{i}}$ 定义为当前情况下SARS的传播情况。④输出信号 $\mathbf{X}_0$ 定义为 $\pmb{\tau}$ 时间后社会上SARS的传播情况。 + +$\spadesuit$ 通过以上系统，我们得到参量 $\mathbf{A},\mathbf{K}_{\mathrm{f}}$ 与输入信号 $(\mathbf{X}_i,\mathbf{X}_i^{\prime})$ ，输出信号 $(\mathbf{X}_0)$ 以及反馈信号 $\mathbf{X}\mathbf{f}$ 之间的关系： + +$$ +X _ {0} = A \cdot X _ {i} ^ {\prime} \quad (1), \quad X _ {f} = K _ {f} \cdot X _ {0} \quad (2), \quad X _ {i} = X _ {i} ^ {\prime} + X _ {f} \tag {3} +$$ + +定义闭环增益(Closed Loop Gain) $\mathbf{A}_{\mathrm{f}}$ 为病毒的实际传播率，定义反馈深度F，表示对调节元件灵敏度的折中，并将式(1)(2)(3)代入则 + +$$ +A _ {f} = \frac {X _ {0}}{X _ {i}} = \frac {A}{1 + \frac {X _ {f}}{X _ {i}}}, \quad F = 1 + \frac {X _ {f}}{X _ {i}} = 1 + \frac {X _ {f}}{X _ {0}} \cdot \frac {X _ {0}}{X _ {i}} = 1 + K _ {f} \cdot A, \quad A _ {f} = \frac {A}{F} +$$ + +由上式分析得到： + +① 当反馈系数 $\mathrm{K_f} < 0$ 时，系统是负反馈的，这正是我们需要的系统。这样社会上病毒传播速度即系统中的输出量变化时，系统参数自我调节为： $\mathrm{X_i}\uparrow \rightarrow \mathrm{X_j'}\uparrow \rightarrow \mathrm{X_0}\uparrow \rightarrow \mathrm{K_f}\uparrow \rightarrow \mathrm{A_f}\downarrow \rightarrow \mathrm{X_i'}\downarrow$ +② 当反馈系数 $\mathrm{K_f} > 0$ 时，系统是正反馈的，由于控制措施的目的是阻止病毒传播，因此 $\mathbf{K}_{\mathrm{f}}$ 不可能是正值，除非处理SARS的方法是错误的。对于这个系统来说，可以不考虑这种情况。 + +$\spadesuit$ 基于对以上系统的分析，我们考虑建立现实的SARS传播模型： + +①因为要控制的实际量为SARS确诊病例人数，因此 $\mathbf{X}_{\mathrm{i}}$ 就为 $\mathbf{l}_{\mathrm{n}},\mathbf{X}_{0}$ 为 $\mathbf{l}_{\mathrm{n + 1}},\mathbf{l}_{\mathrm{n}}$ 表示到第 $\mathfrak{n}$ 天为止累计确诊的病人数。 +② 量化时间，以天为单位。 +③选定某一区域为研究区域，在模型中建立各反馈参量： + +a)设该区域内的自反馈参量为 $\mathbf{K}_0$ ，表示该地区在未采取控制措施时SARS的传播能力。 +b) 设该地区反馈量 $\mathbf{F}_{\mathfrak{n}}$ 的变化率为 $\mathbf{f}_{\mathbf{k}}$ ，即每增加一个病人引起反馈量 $\mathbf{F}_{\mathfrak{n}}$ 的变化量。 $\mathbf{f}_{\mathbf{k}}$ 表示该地区的病情控制情况。 + +由此，建立以下时间序列模型： + +$$ +F _ {n} = K _ {0} + f _ {k} \cdot \left(I _ {n} + S _ {n}\right) \tag {1} +$$ + +$$ +I _ {n + 1} = I _ {n} + F _ {n} \cdot I _ {n} - C _ {n} - \left(D _ {n} - D _ {n - 1}\right) \tag {2} +$$ + +$$ +D _ {n + 1} = D _ {n} + d \left(I _ {n} - D _ {n} - C _ {n}\right) \tag {3} +$$ + +$$ +S _ {n, 1} = S _ {n} + \left(I _ {n + 1} - I _ {n}\right) \cdot S _ {1} - S _ {n} \cdot S _ {2} \tag {4} +$$ + +$$ +C _ {n + 1} = C _ {n} + g \cdot \left(I _ {n} - I _ {n - 1}\right) \tag {5} +$$ + +其中式(1)表示反馈量是自反馈参量和人为控制后的反馈参量的和；式(2)表示确诊病人总数的变化情况；式(3)表示死亡人数的变化情况；式(4)表示疑似病例数量的变化情况；式(5)表示治愈病人数的变化情况。如果病情得到控制，既病人不再增加，那么反馈量应该是0，易得 $f_{k}$ 必须为负数。所以 + +$$ +\lim _ {x \rightarrow \infty} F _ {n} \rightarrow 0 \quad \lim _ {x \rightarrow \infty} I _ {n + 1} \rightarrow I _ {n} \quad \lim _ {x \rightarrow \infty} D _ {n + 1} \rightarrow D _ {n} \quad \lim _ {x \rightarrow \infty} S _ {n + 1} \rightarrow 0 +$$ + +# 1.3问题的求解 + +设实际数据为 $\mathbf{I}_{\mathfrak{n}0}$ ，拟合数据为 $\mathbf{I}_{\mathfrak{n}}$ ，则我们确定参数的目标是使总残差最小，即： $\min E = \sum_{n = 0}^{n}(I_n - I_{n0})^2$ 。我们用matlab中的fminsearch函数来求解，得到总残差最小时的参数 $\mathbf{k}_0,\mathbf{f_k}$ 并由模型中式(1)、(2)迭代求出 $\mathbf{I}_{\mathfrak{n}}$ 发展趋势的曲线。取用实际数据量不同，各参数以及最小总残差便不 + +![](images/8b18c4e10598402c01c33799a6ca97b91e22d182b706ed0b4af97d61427a707f.jpg) +图2 标准差曲线 + +同。模拟时，只要达到一定的数据量就可以很好地拟合出曲线，我们以标准差来判断数据量是否已经足够。数据量从10天变化到64天，标准差变化的曲线如图2所示： + +将标准差接近平稳状态的数据量取值区间抽出： + +
数据量(天)232425262728293031
标准差14.04713.89413.83313.80113.7813.76213.78213.8213.816
+ +可见，数据量取到25天以上后标准差已经稳定。因此，可以认为拟合北京市SARS发展趋势线只要取其从4月1日开始的25天数据即可。因篇幅有限删除具体计算程序。取前25天数据拟合出的各发展曲线如图3所示 + +![](images/a10ba5204b4d0b6cb5a5d8f3988220f6d7593641198829361024e73d8c10850d.jpg) +图3发展曲线 + +![](images/5f5544ec8c7d740703dd835deedbee9f98d3820c0d6e637b2dec25f21ceb93a7.jpg) +图4广州 + +该曲线图不仅描绘出25天的发展情况，而且通过预测描绘出25天以后的发展情况。对比25天后预测数据和实际数据：①对于累计确诊病人数，它们之间的标准差稳定在13. + +586附近，因此两者是十分吻合的。②对于疑似病人数，由于疑似病例的判断受主观因素的影响，拟合情况不如其他两条曲线。③对于死亡病人数，吻合程度依然比较高，误差产生的原因可能是个人的免疫能力不同这个原因无法在定义的反馈系数中体现出来。由此可以看出以上的预测十分成功。 + +$\spadesuit$ 为验证该方法的有效性，我们分别计算了广州，山西和香港的累积确诊病例发展趋势，得到的预测数据和实际数据吻合程度很高，可见该方法是十分有效的。具体见图4-6： + +# 1.4对卫生部门措施的评论 + +A)对发展趋势曲线的影响： + +![](images/0ccfd161b954942f6d4e7f1d6817932dd247aa2df35ec698f92612ec12394524.jpg) +图5山西 + +![](images/d815e5d8f04d2018e6b20a82cd2bb6e68ba99cf0d1bb5054b3677fd4895559cb.jpg) +图6香港 + +图7体现了从不同时间点开始提前或滞后5天实施隔离政策，得到的总患病人数随日期的发展变化，如图中取了①、②、③、④四个时间点。原始数据反映的总患病人数的曲线为（），若提早5天采取隔离政策，则对应四个时间点的总患病人数的曲线分别为（）、（）、（），若推迟5天，则对应四个时间点的总患病人数的曲线分别为（）、（）、（）。从图中可以很明显地看到从任一给定时刻起提前5天采取政策比正常情况下可减少一定的患病者，而滞后5天则会增加患病者，这一时刻取得越早，就可使越多的人免于得病，因而政策的效用就越大。 + +B)对总确诊人数的影响：（图8中的每一对点对应统一的横坐标） + +
影响值第7天第8天第9天第10天第11天
滞后5天1.8991.8371.7671.6921.613
提前5天0.620.6530.6890.7270.766
影响值第12天第13天第14天第15天第16天
滞后5天1.5321.4521.3761.3061.245
提前5天0.8030.8390.870.8980.921
影响值第17天第18天第19天第20天第21天
滞后5天1.1921.1491.1141.0861.065
提前5天0.9390.9540.9660.9740.981
影响值第22天第23天第24天第25天第26天
滞后5天1.0481.0361.0261.0191.014
提前5天0.9860.990.9930.9950.996
影响值第27天第28天第29天第30天第31天
滞后5天1.0111.0081.0061.0041.003
提前5天0.9970.9980.9990.9990.999
+ +上表为从第5个时间点即第5天开始考虑提前和滞后5天采取隔离措施带来的总确诊人数的影响，影响值以影响后的总确诊人数与无影响下的总确诊人数的比值表示。由上表 + +和图7-8可见，越早实施隔离政策，最后总确诊病例数就越少，而且新增病人数就越快接近0，这意味着SARS病情越早得以控制。 + +# 2 SARS对经济影响的数学模型分析与建立 + +SARS对国民经济的各方面均带来冲击，并给国民经济带来重大损失，但同时SARS也给某些行业，如医疗业带来正面的影响。下面构建带虚拟变量的CAPM模型实证检验 + +![](images/acb62ad72763de37b49f300bf9c02f8b0bb1741049c106bc5c51fb5e878fe875.jpg) +图7 对发展趋势曲线的影响 + +![](images/48480c88597772bc18715563b360c4408f7b41a12b0e599cce811e7f3b6b67d9.jpg) +图8 提前或滞后5天的总确诊病人数 + +SARS是否给医疗业带来影响和多大程度的影响。行业的股票指数在一定程度上反映了整个行业在大经济环境下的业绩表现。模型的数据的获取从http://www.moneywise.com.cn/downspj.htm取得，选取的时间段从2002年9月2号到2003年6月30号。选取的股票为：万东医疗，浙江医药，恒瑞医药，南京医药，鲁抗医药，上海医药，华东医药，三九医药，广济药业，金陵药业，新华制药，百科药业，四环药业，东北药，ST海药，恒和制药，云南白药。定义： $\mathbf{P}_{\mathrm{it}}$ 为第i只股票第t日的收盘价格； $\mathbf{P}_{\mathrm{Mt}}$ 为深圳成指的第t日的收盘价； $\mathbf{r}_{\mathrm{Et}}$ 医疗股指的日收益； $\mathbf{r}_{\mathrm{Mt}}$ 市场指数的日收益率。构建医疗业板块的股票指数：以等权重法计算医疗业股指，计算过程中考虑到了新增股和个股退市的权重调整，具体表达式为 + +$$ +P _ {E t} = \frac {\sum_ {i} P _ {i t}}{\sum i} \quad r _ {E t} = l n \frac {P _ {E t}}{P _ {E t} - 1} \quad r _ {M t} = l n \frac {P _ {M t}}{P _ {M t} - 1} +$$ + +建立模型如下 + +$$ +\left(r _ {E} - r _ {f}\right) _ {t} = \alpha + \beta \left(r _ {M} - r _ {f}\right) _ {t} + \gamma D _ {t} + \varepsilon_ {t} +$$ + +$\mathrm{D_i} = \left\{ \begin{array}{ll}0 & \mathrm{t}\text{处于2002年9月2号到2003年2月11号}\\ 1 & \mathrm{t}\text{处于2002年2月11号到SARS结束以后} \end{array} \right.$ + +其中 $\mathrm{D}_{\mathrm{t}}$ 为虚拟变量，当有SARS影响时 $\mathbf{D}_{\mathrm{t}}$ 为1，无影响则为0。由于SARS开始的日期为2003年2月11日，因此采集的数据时往前至2002年9月2号往后到2003年6月30号。 $\alpha, \beta, \gamma$ 为待估计系数，其中： $\alpha$ 为截距项； $\beta$ 即为CAPM中的“ $\beta$ ”系数，用以衡量个股（板块）的系统风险； $\gamma$ 为分析的重点，如果 $\gamma$ 统计上显著异于零，则说明SARS对医疗业发生了显著影响，并且影响程度为 $\gamma; \varepsilon_{\mathrm{t}}$ 为扰动项； $\mathbf{r}_{\mathrm{f}}$ 为无风险利率，在本模型中用银行3月期存款利率测度； $\mathbf{r}_{\mathrm{M}}$ 为市场指数收益，本模型中用深圳成份指数测度。 + +# 2.2.3 模型求解 + +
VariableCoefficientStd. Errort - StatisticProb.
C-0.0014280.001497-0.9544240.3413
RM - RF0.2925760.0886413.3006650.0012
D0.0002130.0025553.8605540.0126
R-squared0.766419Mean dependent var-0.00137
Adjusted R-squared0.7763S.D. dependent var0.01566
S.E. of regression0.015227Akaike info criterion-5.51277
Sum squared resid0.036172Schwarz criterion-5.45487
Log likelihood441.2653F-statistic5.549341
Durbin - Watson stat1.991851Prob(F-statistic)0.004697
+ +从表中可以看出：SARS的爆发对医疗设备，医疗药物的需求带来了冲击性的影响，反映在医疗版指数的日收益上，带来了 $0.0213\%$ 的额外日收益。当然，这些收益是由于SARS带来的，随着SARS的平息，这个正的效益也会随之平息。这便是SARS对医疗行业的经济影响。 + +# 参考文献 + +[1] 姜启源. 数学模型. 北京: 高等教育出版社, 2002 +[2] 邓聚龙, 郭洪. 灰色理论. 北京: 全华出版, 2002 +[3] 谢嘉奎. 电子线路-线形部分. 北京: 高等教育出版社, 1999 +[4] James D, Hamilton. 时间序列分析. 北京: 中国社会科学出版社, 1999 + +# The Mathematical Principle Of The Spread Of SARS and Its Application On Forcasting and Controlling SARS Epidemic + +ZOU Yu-ting, ZHENG Xiao-lian, MIAO Xu-hui + +Advisor: TAN Zhong + +(Xiamen University, Xiamen, Fujian 361005) + +Abstract: It is well known that SARS has a tremendous effect on Chinese society. Based on the statistics related to SARS in Beijing from April to June in 2003, we modeled the Negative Feedback system of the spreading of SARS by introducing the concept of Negative Feedback System in electro-circuit and the nature of the SARS virus. Moreover, by analyzing the practical meanings of the parameters in this system, a complete Time Sequences derived model is presented. It defines the spreading rate as a function of time, and adopts the fminsearch function in matlab to give the best parameters, with the object of minimum total difference between the actual statistics and computed results. This model well forecasts the spreading trend of SARS, according to which proper advices can be put forward on controlling policies. Further, curves are drawn that simulate the different development trends as the result of the quarantine carried out five days ahead of or five days later than a series of different dates. Comparison between these curves makes it possible to analyze the impact exerted by the date when the sanitary department carried out a quarantine. + +Concerning the influence of SARS on economy, 17 representative stocks of medicine industry are chosen in order to measure specifically and indirectly the overall trend of this industry in spreading of SARS. Dummy variations are introduced to the traditional CAMP model in order to verify the positive effect imposed on medicine industry by SARS epidemic, employing OLS technique. This positive effect was reflected by the daily interest calculated from these stocks. Yet, this impact would be gone when its cause, the SARS epidemic, comes to an end. + +Keywords: SARS epidemic; negative feedback system; time sequences; CAMP model + +# SARS传播的数学原理及预测与控制 + +作者： 邹宇庭，郑晓练，缪旭晖 + +作者单位： 厦门大学，福建，厦门，361005 + +刊名：工程数学学报ISTICPKU + +英文刊名： CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS + +年，卷(期)： 2003，20(z1) + +被引用次数： 0次 + +# 参考文献(4条) + +1.姜启源数学模型2002 +2.邓聚龙.郭洪灰色理论 2002 +3. 谢嘉奎 电子线路-线形部分 1999 +4.JamesD.Hamilton时间序列分析1999 + +本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gcsxxb2003z1003.aspx + +授权使用：西安交通大学(wfxajd)，授权号：41480ceb-7alf-4bdd-912f-9dc5010a47bc + +下载时间：2010年8月1日 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2003/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230 \351\234\262\345\244\251\347\237\277\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222\350\256\272\346\226\207/2003-\351\234\262\345\244\251\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222--\345\216\206\345\271\264\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\244\247\345\205\250/2003-\351\234\262\345\244\251\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222--\345\216\206\345\271\264\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\244\247\345\205\250.md" "b/MCM_CN/2003/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230 \351\234\262\345\244\251\347\237\277\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222\350\256\272\346\226\207/2003-\351\234\262\345\244\251\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222--\345\216\206\345\271\264\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\244\247\345\205\250/2003-\351\234\262\345\244\251\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222--\345\216\206\345\271\264\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\244\247\345\205\250.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b837461126c204eb9080ac5d215cd87fad379988 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2003/\350\256\272\346\226\207/B\351\242\230 \351\234\262\345\244\251\347\237\277\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222\350\256\272\346\226\207/2003-\351\234\262\345\244\251\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222--\345\216\206\345\271\264\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\244\247\345\205\250/2003-\351\234\262\345\244\251\347\224\237\344\272\247\347\232\204\350\275\246\350\276\206\345\256\211\346\216\222--\345\216\206\345\271\264\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\344\274\230\347\247\200\350\256\272\346\226\207\345\244\247\345\205\250.md" @@ -0,0 +1,596 @@ +2003 9 25~28 + +![](images/d981c35a948ec4bf0eaece8c3f6a43dfd43adb12f2c7f455ab3762fb3356302e.jpg) + +![](images/3a9951f9d6e23634eb724816b8117831804d5f76f9d6ead3ab4eac70d6709ffd.jpg) + +3 + +5 + +154 + +8 + +3 + +$m_{ij}$ + +j + +i + +$n_{ij}$ + +j + +i + +$d_{ij}$ + +$j$ + +i + +$A_{j}$ + +$j$ + +$B_{j}$ + +j + +$c_{j}$ + +j + +$M_{i}$ + +i + +x + +$\alpha$ + +$i = 1$ + +$i = 2$ + +$i = 3$ + +$i = 4$ + +$i = 5$ + +4 + +1. + +1 + +$$ +\begin{array}{l} m _ {1 1} \times d _ {1 1} + m _ {1 2} \times d _ {1 2} + \dots + m _ {1, 1 0} \times d _ {1, 1 0} + m _ {2 1} \times d _ {2 1} + \dots + m _ {2, 1 0} \times d _ {2, 1 0} + \dots \\ + m _ {5 1} \times d _ {5 1} + \dots + m _ {5, 1 0} \times d _ {5, 1 0} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(m _ {i j} \times d _ {i j}\right) +$$ + +$$ +\min z _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(m _ {i j} \times d _ {i j}\right) \quad - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +$$ + +$$ +\min z _ {2} = x \quad - - - - - (2) +$$ + +$$ +m _ {1 1} + m _ {2 1} + \dots + m _ {1, 1 0} \leq 1. 2 +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 0} m _ {i j} = M _ {i} \quad i = 1 \quad 2.. 5 \quad - - - - - (3) +$$ + +$$ +m _ {1 j} + m _ {2 j} + m _ {5 j} \leq A _ {j} \quad j = 1 \quad 2 \dots 1 0 +$$ + +$$ +m _ {3 j} + m _ {4 j} \leq B _ {j} \quad j = 1 \quad 2.. 1 0 \quad - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +$$ + +29. $5\% \pm 1\%$ + +8 29.5%±1% + +$$ +28.5\% \leq \frac{\sum_{j = 1}^{10}m_{ij}c_{j}}{M_{i}}\leq 30.5\% \quad i = 1,2,5 \quad - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +$$ + +$$ +n _ {i j} \quad j \quad i \quad n _ {i j} = \left\lfloor \frac {i}{0 . 0 1 5 4} \right\rfloor (\left\lfloor \right. +$$ + +$$ +n _ {i j} = \left\lfloor \frac {m _ {i j}}{0 . 0 1 5 4} \right\rfloor = \left[ \frac {m _ {i j}}{0 . 0 1 5 4} \right] + 1) \quad n _ {i j} +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} n _ {i j} \times \frac {8}{6 0} +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} 2 \times \frac {n _ {i j} \times d _ {i j}}{2 8} +$$ + +2 + +x + +8x + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} (2 \times \frac {n _ {i j} \times d _ {i j}}{2 8} + n _ {i j} \times \frac {8}{6 0}) - 8 x \leq 0 +$$ + +6 + +1 + +1 + +5 + +12 + +8 + +% + +j + +% + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} m _ {i j} \leq 9 6 \times 0. 0 1 5 4 +$$ + +$j = 1$ + +2..10 + +# + +7 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 0} m _ {i j} \leq 1 6 0 \times 0. 0 1 5 4 +$$ + +$i = 1$ 2..5 + +- - - + +8 + +$$ +m _ {i j} +$$ + +$j$ + +i + +$$ +m _ {i j} \geq 0 +$$ + +$i = 1$ + +2..5 + +$j = 1$ + +2..10 + +--- + +9 + +$0\leq x\leq 20$ + +x + +- - - + +10 + +$$ +1 \quad \dots \dots \quad 1 0 +$$ + +$$ +\min z _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(m _ {i j} \times d _ {i j}\right) +$$ + +$$ +\min z _ {2} = x +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 0} m _ {i j} = M _ {i} +$$ + +$$ +i = 1, 2.. 5 +$$ + +$$ +m _ {1 j} + m _ {2 j} + m _ {5 j} \leq A _ {j} +$$ + +$$ +j = 1, 2 \dots 1 0 +$$ + +$$ +m _ {3 j} + m _ {4 j} \leq B _ {j} +$$ + +$$ +j = 1, 2 \dots 1 0 +$$ + +$$ +28.5\% \leq \frac{\sum_{j = 1}^{10}m_{ij}c_{j}}{M_{i}}\leq 30.5\% +$$ + +$$ +i = 1, 2, 5 +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(2 \times \frac {n _ {i j} \times d _ {i j}}{2 8} + n _ {i j} \times \frac {8}{6 0}\right) - 8 x \leq 0 +$$ + +$$ +n _ {i j} = \left\lfloor \frac {m _ {i j}}{0 . 0 1 5 4} \right\rfloor +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} m _ {i j} \leq 9 6 \times 0. 0 1 5 4 \quad j = 1 \quad 2.. 1 0 +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 0} m _ {i j} \leq 1 6 0 \times 0. 0 1 5 4 \quad i = 1 \quad 2.. 5 +$$ + +$$ +0 \leq x \leq 2 0 \quad x +$$ + +$$ +m _ {i j} \geq 0 \quad i = 1 \quad 2 \dots 5 \quad j = 1 \quad 2 \dots 1 0 +$$ + +2 + +2 + +1-α + +$$ +\max z _ {3} = \alpha \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(m _ {3 j} + m _ {4 j}\right) + (1 - \alpha) \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(m _ {1 j} + m _ {2 j} + m _ {5 j}\right) \quad - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 0} m _ {i j} \geq M _ {i} \tag {3} +$$ + +20 (6) $x = 20$ + +2 + +$$ +\max z _ {3} = \alpha \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(m _ {3 j} + m _ {4 j}\right) + (1 - \alpha) \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(m _ {1 j} + m _ {2 j} + m _ {5 j}\right) +$$ + +s.t. $\sum_{j = 1}^{10}m_{ij}\geq M_i$ $i = 1\quad 2\dots 5$ + +$$ +m _ {1 j} + m _ {2 j} + m _ {5 j} \leq A _ {j} \quad j = 1, 2.. 1 0 +$$ + +$$ +m _ {3 j} + m _ {4 j} \leq B _ {j} \quad j = 1, 2 \dots 1 0 +$$ + +$$ +28.5\% \leq \frac{\sum_{j = 1}^{10}m_{ij}c_{j}}{M_{i}}\leq 30.5\% \quad i = 1,2,5 +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(2 \times \frac {n _ {i j} \times d _ {i j}}{2 8} + n _ {i j} \times \frac {8}{6 0}\right) - 8 \times 2 0 \leq 0 \quad (n _ {i j} = \left\lfloor \frac {m _ {i j}}{0 . 0 1 5 4} \right\rfloor) +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} m _ {i j} \leq 9 6 \times 0. 0 1 5 4 \quad j = 1, 2.. 1 0 +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 0} m _ {i j} \leq 1 6 0 \times 0. 0 1 5 4 \quad i = 1 \quad 2.. 5 +$$ + +$$ +m _ {i j} \geq 0 \quad i = 1 \quad 2 \dots 5 \quad j = 1 \quad 2 \dots 1 0 +$$ + +# 5 + +1. + +20 + +$$ +\min z _ {2} = x +$$ + +s.t. $\sum_{j = 1}^{10}m_{ij} = M_i$ （20 $i = 1,2\dots 5$ + +$$ +m _ {1 j} + m _ {2 j} + m _ {5 j} \leq A _ {j} \quad j = 1, 2.. 1 0 +$$ + +$$ +m _ {3 j} + m _ {4 j} \leq B _ {j} \quad j = 1, 2 \dots 1 0 +$$ + +$$ +28.5\% \leq \frac{\sum_{j = 1}^{10}m_{ij}c_{j}}{M_{i}}\leq 30.5\% \quad i = 1,2,5 +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} (2 \times \frac {n _ {i j} \times d _ {i j}}{2 8} + n _ {i j} \times \frac {8}{6 0}) - 8 x \leq 0 \quad (\quad n _ {i j} = \left\lfloor \frac {m _ {i j}}{0 . 0 1 5 4} \right\rfloor) +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} m _ {i j} \leq 9 6 \times 0. 0 1 5 4 \quad j = 1 \quad 2.. 1 0 +$$ + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 0} m _ {i j} \leq 1 6 0 \times 0. 0 1 5 4 \quad i = 1 \quad 2.. 5 +$$ + +$$ +0 \leq x \leq 2 0 \quad x +$$ + +$$ +m _ {i j} \geq 0 \quad i = 1 \quad 2... 5 \quad j = 1 \quad 2... 1 0 +$$ + +13 + +13 20 + +13 20 + +$$ +\min z _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} \left(m _ {i j} \times d _ {i j}\right) +$$ + +s.t. $\sum_{j = 1}^{10}m_{ij} = M_i$ + +$i = 1,2\dots 5$ + +$$ +m _ {1 j} + m _ {2 j} + m _ {5 j} \leq A _ {j} +$$ + +$j = 1$ ，2..10 + +$$ +m _ {3 j} + m _ {4 j} \leq B _ {j} +$$ + +$j = 1$ ，2..10 + +$$ +28.5\% \leq \frac{\sum_{j = 1}^{10}m_{ij}c_{j}}{M_{i}}\leq 30.5\% +$$ + +$i = 1,2,5$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} \sum_ {j = 1} ^ {1 0} (2 \times \frac {n _ {i j} \times d _ {i j}}{2 8} + n _ {i j} \times \frac {8}{6 0}) - 8 x \leq 0 \quad (\quad n _ {i j} = \left\lfloor \frac {m _ {i j}}{0 . 0 1 5 4} \right\rfloor) +$$ + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {5} m _ {i j} \leq 9 6 \times 0. 0 1 5 4 +$$ + +$j = 1$ 2...10 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {1 0} m _ {i j} \leq 1 6 0 \times 0. 0 1 5 4 +$$ + +$i = 1$ 2..5 + +$$ +0 \leq x \leq 2 0 \quad x +$$ + +$$ +m _ {i j} \geq 0 +$$ + +$i = 1\quad 2\dots 5\quad j = 1\quad 2\dots 10$ + +Matlab6.1 + +C + +1 + +1 + +
131420
8. 48298. 48298. 4829
777
+ +1 + +13 + +20 + +13 + +7 + +8.4829 13 +1 2 3 4 8 9,10 2 + +
2
12345678910
\0.82\\\\\1.82\0.31
\1.05\1.15\\\\\\
\\\\\\\\1.830.33
1.81\1.18\\\\\\\
\0.72\\\\\\\1.48
21111
12 4913
A
20.5
1
+ +
3 4 3
12345678910
\\\\\\\
\\\\\\\\
\\\\\\\\
\\\\\\\\
\\\\\\\\
+ +4 + +
112
221
331
441
551
661
772
882
992
+ +
13
25
46
789
+ +2 + +$\alpha$ 0.55 1 0.05 $\alpha$ + +10 + +Mablab6.1 + +5 + +5 $\alpha$ + +
α55%60%65%70%75%80%85%90%95%100%
7.627.537.527.556.997.007.027.047.937.63
3.703.703.693.693.153.163.173.173.603.70
+ +: $\alpha = 95\%$ 6 α + +
6 (1 1)
12345678910
1110000100
0100000000
1010000111
1110100110
0110000001
+ +6 + +1. + +A $(n - 3)(k - 1) > 0$ + +$$ +n > 3 \quad (n - 5) (k - 1) > 0 +$$ + +$$ +n > 5 \quad n > 5 +$$ + +2 + +3. 1 + +# 7 + +1. +2 +3. +4. + +[1] J. P. + +.1982 + +[2] 1987 + +[3] 2002 + +[4] Chen Chi -tsong. Linear system theory and design. New York: Holt, Rinehart and Winston. 1984 +[5] http://www.iurpp.net.cn/02kejichengjuo/s0015kjcg-ln351.html 2003.9.22 + +# 9 + +A + +k + +n + +V + +$$ +\frac {2 d _ {i j}}{v} + 5 - n (k - 1) + (n - 3) (k - 1) +$$ + +$$ +K < \frac {2}{n} d _ {i j} + \frac {5}{n} + 1 +$$ + +$$ +\frac {2 d _ {i j}}{v} + 3 - n (k - 1) + (n - 5) (k - 1) \quad K < \frac {2}{n} d _ {i j} + \frac {5}{n} + 1 \quad d _ {i j} +$$ + +![](images/09e6d2cda0a77e6316d4aa1ecb09b027bb923ef099621162a9fcaccb85b6bfdb.jpg) + +AD BC n A + +DC + +$AD = BC$ + +${AB}$ + +k + +n + +A + +1 + +$A(B)$ + +$A(B)$ + +1 + +B + +$$ +\frac {2 d _ {i j}}{v} + 5 - n (k - 1) +$$ + +$$ +K < \frac {2}{n} d _ {i j} + \frac {5}{n} + 1 +$$ + +1 A + +2 $(n - 3)$ + +$B$ $A(B)$ + +$(n - 3)$ + +$(k - 1)$ + +B + +$$ +(n - 3) (k - 1) +$$ + +$$ +\frac {2 d _ {i j}}{v} + 5 - n (k - 1) + (n - 3) (k - 1) \quad K < \frac {2}{n} d _ {i j} + \frac {5}{n} + 1 +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \frac {2 d _ {i j}}{v} + 3 - n (k - 1) + (n - 5) (k - 1) \quad K < \frac {2}{n} d _ {i j} + \frac {5}{n} + 1 \\ K < \frac {2}{n} d _ {i j} + \frac {5}{n} + 1 \\ \end{array} +$$ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2008/B\351\242\230/1910/1910.md" "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/1910/1910.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f8282ac29e414157d885f669bde798d7ea00e234 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/1910/1910.md" @@ -0,0 +1,1069 @@ +# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B + +我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1910 + +所属学校（请填写完整的全名）： 华南农业大学 + +参赛队员 (打印并签名)：1. 关继杰 + +2. 刘文彬 + +3. 许润萍 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 聂笃宪 + +日期：2008年9月21日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
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备注
+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 高等教育学费标准探讨 + +# 摘要 + +教育是关系国计民生的大事，本文建立了教育-社会贡献转化优化规划模型，贫困生生活质量改善优化规划模型和助学补助函数模型来对高等教育学费标准进行探讨。 + +文中首先对2006年中国教育公报历史数据进行因子分析，根据不同省份的地方政府生均拨款、培养费用的总量和增长比例，得到省份的综合实力得分排名和发展潜力得分排名，初步得到各个省份教育实力的差异。接着根据城镇居民人均可支配收入进行聚类分析，选取8个代表性地区，建立学费走廊构造模型，得到政府对地区城镇居民学费补贴的金额。由于高等教育事业关系国家社会的发展和家庭个人的前途，国家在社会与家庭个人都应当承担一定的教育成本费用，因此国家在发展教育事业上应该做到三个“合理”：承担合理的教育成本，制定合理的学费标准，并给予贫困生合理的助学补助。根据这三个“合理”建立教育-社会贡献转化优化规划模型和贫困生生活质量改善优化规划模型这两个模型来分析当前高等教育学费的合理性；并在模型2建立的基础上建立助学补助函数模型，使助学金的分配更加方便。 + +模型1 教育-社会贡献转化优化规划模型 以承担合理的教育成本和制定合理的学费标准作为评价指标，考虑到家庭、个人承担的学费能力情况及对教学资源的需求，国家、社会投入经费的有限性为约束条件，全体大学生对社会未来发展的贡献率最大为目标函数，建立优化规划模型，求解得到不同级别院校不同专业的学费标准以及政府、社会对应需要投入的教育经费。 + +模型2贫困生生活质量改善优化规划模型 引入贫困生助学基金分配原则，以给予贫困生合理的助学补助作为评价标准，对模型1进行进一步讨论，以不同家庭的收入水平和相应得到的助学金金额为约束条件，贫困生生活质量得到改善最大为目标函数，建立优化规划模型，最终得到不同收入阶层的家庭学生就读不同级别院校不同专业得到的政府教育补贴的金额。 + +同时以广东高等教育院校为分析对象，将大学分为3个批类，选取13个类型的专业，对模型1和模型2进行求解，得到不同级别院校不同专业的学费标准以及政府、社会对应需要投入的教育经费，对比广东各大高校的收费标准，可以得出当前大部分专业学费标准比较合理，而农林类专业和生物类专业学费现行收费明显低于标准值。 + +模型3助学补助函数模型为了使助学金的分配更加方便，提出了简单求解法，并运用这种方法，在第二个模型的基础上建立助学补助函数模型，求解出助学补助与学生家庭可支配收入和需交学费之间的函数关系式，为助学金分配和学费标准的制定提供定量分析的依据。 + +最后对模型进行推广并根据模型的结果给有关部门提出建议。 + +关键词：学费走廊 教育一社会贡献转化最优模型 贫困生生活质量改善优化模型 助学补助函数模型 + +# 一 问题的重述 + +# 1.1 背景资料： + +高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。 + +学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。 + +# 1.2 需要解决的问题： + +请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。最后，根据你们建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。 + +# 二 问题的分析 + +# 2.1现行中国大学教育学费分布的大致状况 + +大学教育不同的领域，不同的专业间的学费收费标准各不相同。收费最高为艺术类院校，每年学费达到15000—18000元，有的高达25000元；艺术设计专业，音乐，美术专业的收费价位集中在10000元。其他理工专业大致为4600—5500元，外语，医科专业5000—6000元，文科院校如经济类，财政类学费标准为4200—5000元之间。 + +高校收费的特点：一名牌，重点大学收费较高，一般大学收费较低，重点大学中，大部分学校和专业的收费标准在3000—4000元/学年，专科院校的平均费用反而比大部分本科要高。二热门专业收费较高，一般专业收费较低：发达地区以及沿海地区收费较高，发展中地区和内陆地区收费较低。三艺术类，计算机类，广告设计类等新型热门专业收费较高；国家重点扶持专业如师范类，军事类，农林类的收费就会相对较低。 + +# 2.2 关于影响学费标准因素的分析 + +高校收费需要考虑的因素有生均教育成本，学校办校水平及专业方向，不同经济状况与财政模式的影响，国家对人才的需要，学生居住地标准，教育收费标准的相关指标比较。 + +根据专家的研究，学费应该按照生均教育成本 $25\%$ 收取，而且高等教育成本会随时间的推移呈上升的趋势，超过居民的可支配收入和家庭财产增长的幅度，也会超过居民家庭心理承受能力和预期的增长情况。 + +学校办学质量可以看做是一种品牌效应和成本的沉淀。名牌学校的资源充裕， + +有良好的社会口碑，得到国家和政府的财政补贴相对较多，会更加注重学生的质量和学习能力，而民办学校或者一般本科则更看重学生的经济条件，学杂费对学校的正常运转有不可忽略的作用。 + +中央政府对教育的持续投资，对大学生实行奖学金，助学金和银行贷款补助，重视科学技术作为第一生产力，实行科教兴国战略。国家对教育支持的经费主要来自税收，取之于民用之于民。但是培养人才是一种长期的投资，收益回报的时间漫长，因此需要地方政府的配合。地方经济的发展程度直接影响当地的教育水平和教育质量，还会对家庭的承担能力和需求效力起到潜在的促进或者抑制作用。 + +![](images/a6efc511c627c4863a0b030fcd935b4ca680d0899ca373685b510a2525b38407.jpg) +图1学费总体因素关系模型 + +# 2.3 评价学费合理程度需要考虑的指标 + +# (1) 中央政府和地方政府对教育的重视程度 + +政府对教育投入的经费越多，所占财政支出的比例越大，教育的发展前景就会越好。衡量的指标主要体现在预算内教育拨款增长与财政经常性收入，包括预算内教育拨款包括教育事业费、科研经费、基建经费和其他经费。但同时考虑地方财政经常性收入增长比例无法统一测算，表中各地财政经常性收入增长比例采用财政收入自然口径增长比例作为参考；预算内教育经费占财政支出比例情况；各级教育生均预算内教育事业费增长情况；各级教育生均预算内公用经费增长情况等等。 + +需要分析不同地区的教育综合实力和未来的发展前景。可以将全国不同的省份进行归类，讨论不同地区现存的优势和不足。 + +# (2) 高校的资金来源 + +国家财政性教育经费，社会团体和公民个人办学经费，社会捐资和集资办学经费，学费和杂费和其他教育经费构成高校的日常运营发展的全部资金。同时要考虑到不同的资金来源会导致地区学费差异扩大。高等教育属于准公共商品，处于垄断竞争市场。国家财政性教育经费的支付者为政府，政府的投入越多，自然单个家庭的负担就会减轻，但是容易造成公地悲剧，使得纳税人承担昂贵的学 + +费，高收入者的支付减少，穷人的状况变坏，加剧贫富悬殊。社会团体和公民个人办学主要是作为一种长期稳定投资，更关注收益，追求利润最大化，私立学校自负盈亏，会提高最低学费，增加学生的负担。社会捐资和集资办学经费，来源有限，资金运转很容易出现短缺，教学质量难以保证。而其他教育经费所占的比例很小，影响不大。 + +通过对这几类因素进行聚类分析和因子，讨论当前不同地区的教育发展制约因素。 + +# (3) 城镇居民和农村居民可以承担的学费界限 + +随着经济的快速发展，城乡收入差距逐步夸大，上学难上学贵成为热门话题。教育收费标准要考虑到居民的承受能力和家庭的生活水平，不能因为供养大学生而使得普通家庭返回贫困线，负载累累。根据两类家庭的人均可支配收入差别和高校的盈利水平为上下限，政府进行价格调控，对高校进行补贴，尽可能兼顾各方的利益，达到局部最优局面。 + +根据（1）和（2）的分类结果，抽取具有代表性的地区进行定量分析，考虑城乡差距，可以首先满足城镇居民的承担水平，再根据这个指标对农村进行适当的补贴，以达到不能让一个孩子因为经济条件而退学的目的。 + +# （4）专业收费标准的确定 + +这里我们重点分析广东的13种类型专业的基本情况。考虑专业类别的不同会导致教育成本的差异。根据隶属数据推测出广东所有高校第一批，第二批和第三批不同专业所占的比例，同时以社会需求和国家的未来发展确定不同专业的潜在社会贡献率，通过计算机多次模拟可以得到各批别院校各类专业的标准收费和各类别院校各类专业应该分配到的用于教学部分的国家拨款和社会资助。最后考虑我国正处于社会主义初级阶段，教育资金投入有限，引入财政限制因子，对专业收费标准和分配到的用于教学部分的国家拨款和社会资助进行调整。 + +![](images/7c70b273c2e46f089c7a2c2c20bbb46e81d3640a386dad623a679979a4d522db.jpg) +图2学校费用收支情况 + +# (5) 给相关部门的建议 + +教育关系到国家的兴旺发达和家庭的幸福未来，必须要高度重视。高等教 + +育作为准公共物品，处于垄断竞争市场中，容易引发逆向选择和“公地悲剧”，因此学费需要政府和居民户来共同承担，兼顾高校的经济效益，达到最优决策，各方面的满意度最大。但考虑城乡居民收入差距扩大化，政府必须对困难户进行合适补贴，推行奖学金，助学金，助学贷款，减轻困难户的负担，提高其接受教育的积极性，同时又要防止困难户对政府的过度依赖。 + +根据模型所得到结果，结合实际，分别给广东政府，教育局，物价局提出对应的建议。 + +# 三 模型假设 + +1. 在一定范围内，学生教育经费与教育成本的比值可以近似认为正比于教学质量；（事实上这种内在的联系是不明确的，只知道为正相关关系，在这种情况下用简单的能表述这种关系的简单函数表述可使模型得到简化。） +2. 当教育经费增加到程度以后，其增加对教育质量的提高帮助不大；（很多事物的发展都具有一定的限度，假设是合理的。） +3. 贫困生均匀分布于各类水平的低收入家庭；（虽然社会收入呈现正态分布，但在贫富分化严重的今天正态曲线趋向平缓，假设不会引起大的误差。） +4. 贫困生按各批别院校专业人数比例分配于各专业中；（由于学生报考具有随机性，贫困生作为总体学生的一个样本分布与总体类似，假设合理。） + +# 四 符号说明 + +# 模型1的符号说明 + +$Q$ 可分配高等教育总经费，包括国家拨款、社会资助等，（单位：元）； + +$Q_{1}$ 国家社会对大学教育成本应担总基本费用，（单位：元）； + +$Q_{2}$ 国家社会对贫困生的学费补助及生活补贴总经费，（单位：元）； + +$\eta_{1}$ 大学教育经费在总高等教育费用中所占的比重, 高等教育费用除了用于大学教育外还有研究生研究生教育及其他科研支出, 大学教育仅仅占其中一部分, 但大学教育设计人数最多, 而且研究生教育即科研一般都有国家科研基金另外拨款, 所以这里仅考虑大学教育收费问题; + +$\eta_{2}$ 直接发放的贫困生补助的教育经费在总的补助经费中的比例，补助经费一部分用于发放给贫困学生，另一部分于用于处理贫困生应急事件及鼓励贫困生奋发图强的贫困生奖学金； + +$N$ ：当前接受大学高等教育的总人数，（单位：人）； + +$X_{ij}$ 表示就读第 $j$ 批院校专业 $i$ 的学生需要缴纳的学费 + +$V_{ij}$ 表示就读第 $j$ 批院校专业 $i$ 的学生占总学生的比例； + +$F_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校专业 $i$ 分配到的教育程度（单位：元）； + +$C_{i}$ 表示专业 $i$ 的教育成本（单位：元）； + +$m_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校的教育质量； + +$K_{j}$ 表示第 $j$ 批院校的平均教育质量系数（反映院校的教育水平和学生素质，根院 + +
校的高考录取分数进行大约评估);
Pi表示专业i的潜在社会贡献率（根据目前社会中各专业的发展情况以及对社会的贡献程度估计所得）;
K表示单位教育质量潜能实现率，可以视为定值;
qij表示学生就读第j批院校专业i平均可实现的社会贡献率;
+ +# 模型2的符号说明 + +
ai表示第i类贫困生家庭平均可支配收入(单位:元);
Xj表示第j种类别的专业需交学费(单位:元);
bij表示就读专业j的第i类贫困生可获得国家助学补助(单位:元);
hi表示国家给与第i类贫困生的最低限度学费补助率（反映国家对第i类贫困生的照顾程度);
f0表示贫困生的年需基本生活费用,值为3000(单位:元);
d0表示相邻两类型贫困生家庭年平均可支配收入平均差距,值为5000(单位:元);
pi表示第i类贫困生占总学生人数的比例;
vi表示专业j的学生占总学生人数的比例;
Wij表示就读专业j的地i类贫困生占总学生人数的比例;
λ1表示国家及社会对教育成本承担的最高上线率,值为90%;
λ2表示国家及社会对教育成本无偏承担最低限度,即平等对待不同级别的学校;
λ3学生总经费与教育成本比例上限;
λ4表示应该承担的教育成本的比率;
γj表示国家及社会对第j批院校的有偏承担最低限度要求,满足γj=λ2Kj;
nj表示第j批院校专业i的学生总人数;
hi表示国家给予第i类贫困生的最低限度;
+ +# 五 模型的建立和求解 + +# 5.1 宏观数据内在规律的探讨 + +# 5.1.1地方政府的教育财政支出综合实力分析 + +预算内教育经费体现政府对教育的支持程度，经费越多，则教育事业的发展前景就越好；政府的对大学生培养人均花费的教育事业费用和公用费用能够减轻家庭教育费用的负担，加快教育的普及程度；教职工工资体现该地区教育质量水平，高工资往往能够留住高素质的人才。参考教育部，国家统计局和财政部关于2006年全国教育经费执行情况统计公告，对统计数据进行整理，得到地方政府 + +教育综合实力因子如表1所示： + +表 1 地方政府的教育财政支出综合实力 +年份：2006 + +
城市预算内教育经费（亿元）大学生人均预算内教育事业费（元）大学生人均预算内公用经费（元）教育职工工资总额（亿元）
北京250.1418228.3611389.27139.51
天津95.229158.634458.8347.07
河北230.213625.97974.93134.03
山西145.993939.481128.5781.09
内蒙古113.564109.84889.3670.90
辽宁221.844386.891613.14102.12
吉林114.984024.892104.0466.78
黑龙江146.763844.391158.283.07
上海255.1111942.857043.9592.10
江苏377.155315.152227.27208.31
浙江328.117154.512331.51200.41
安徽172.763485.29671.2199.57
福建174.874522.931531.6891.11
江西115.672219.41503.1172.67
山东330.273371.39848.02226.43
河南282.84487.951873.67185.30
湖北151.913325.721367.31106.95
湖南180.012722.43840.62121.48
广东523.328272.893591.04260.96
广西150.874084.731444.9288.68
海南34.792693.09386.6817.45
重庆104.273597.322045.0559.86
四川227.022352.761207.24130.29
贵州115.073905.26891.1262.00
云南180.144663.752100.1488.41
西藏26.349872.672932.529.25
陕西138.193466.761249.9685.58
甘肃99.984734.261551.3854.25
青海32.817343.271126.3714.97
宁夏31.265861.481238.8415.73
新疆119.653651.191357.1963.27
+ +采用因子分析，运用主成分方法提取贡献率达到 $85\%$ 的前两个因子，运用统计软件SAS编程。由结果提取前两个因子进行分析，累计贡献率达到 $97.78\%$ 其中第一个因子的贡献率为 $57.53\%$ ，第二个因子的贡献率为 $40.25\%$ ，采用加权评价法得到因子综合得分情况如表2，详细内容如附录9.1所示。 + +镖2 地区教育综合实力得分情况 + +
地区综合得分地区综合得分地区综合得分
广东省1.876009云南省-0.07961西藏自治-0.4435
北京市1.83102福建省-0.12958新疆维吾-0.45726
江苏省1.003412湖南省-0.1317重庆市-0.4619
浙江省0.969058湖北省-0.19173甘肃省-0.46695
上海市0.916839安徽省-0.22007贵州省-0.49328
山东省0.76137广西壮族-0.23011江西省-0.57089
河南省0.596579黑龙江省-0.30225青海省-0.68667
河北省0.110073山西省-0.31宁夏回族-0.7674
辽宁省0.030907陕西省-0.32621海南省-1.00437
四川省0.025402吉林省-0.37371
天津市-0.03143内蒙古自-0.44207
+ +最后可以得到地方政府的教育财政支出综合实力前五名的城市为广东，北京，江苏，浙江，上海；后五名的城市为海南，宁夏，青海，江西，贵州。由此可以初步推断出经济特区和沿海城市地方政府教育综合实力相对较强，西北部内陆地区则处于劣势地位，需要中央财政加大拨款力度，重点支援。 + +# 5.1.2 地方政府的教育财政支出发展前景分析 + +教育的总体支出与当地的经济实力密切相关，经济占绝对优势的东部沿海城市和经济特区教育实力肯定会远远超过西北部内陆地区，需要引入相对增长比例指标来衡量政府对教育的重视程度和未来发展前景。 + +表 3 地方政府的教育财政支出发展前景 +年份：2006 + +
地区预算内教育拨款增长与财政经常性收入增长比较教育经费增长比例预算内教育经费占财政支出比例生均预算内教育事业费增长生均预算内公用经费增长
北京3.0620.02-0.476.56
天津3.1221.3-0.230.2610.87
河北-1.2412.88-1.3331.553.41
山西3.4122.38-1.89-2.722.57
内蒙古-4.3119.70.0723.9825.36
辽宁4.0218.80.090.791.03
吉林12.4420.270.860.85.48
黑龙江3.2919.37-0.469.492.39
上海0.118.82-0.033.842.61
江苏-4.718.11-0.356.911.74
浙江-2.6819.210.5411.482.56
安徽-0.723.04-1.320.4922.31
福建-1.0921.83-0.2-7.97-18.75
江西7.4420.63-0.390.6-19.52
山东2.618.76-0.965.527.75
河南-0.6322.29-1.0820.4146.33
湖北-22.5419.21-1.8526.1235.43
湖南0.118.37-0.51.38-13.38
广东-0.1516.510.889.875.64
广西-4.1128.041.412.942.62
海南0.2921.731.03-32.14-61.77
重庆4.2922.330.06-1.52-2.42
四川14.0727.320.3713.3328.36
贵州1.2116.15-0.194.92-5.13
云南6.419.860.55-4.3312.07
西藏-35.12-8.61-2.38-16.79-36.2
陕西12.9743.11.665.57-1.28
甘肃8.8530.171.0218.9858.23
青海24.0934.360.8922.94-7.39
宁夏-2.5818.36-0.385.6140.27
新疆2.2921.81-1.2916.4346.62
+ +采用因子分析，运用主成分方法提取贡献率达到 $85\%$ 的前两个因子，运用统计软件SAS编程，提取前3个因子作为分析的参考标准，累计贡献率为 $89.85\%$ 其中第一个因子的贡献率为 $46.07\%$ ，第二个因子的贡献率为 $34.93\%$ ，第三个因子的贡献率为 $8.86\%$ 。采用加权分析方法得到因子综合得分情况如表4，详细内容如附录9.2所示。 + +表 4 地区发展前景综合得分情况 + +
地区综合得分地区综合得分地区综合得分
宁夏回族1.540525北京市0.041228山西省-0.17922
青海省1.002155山东省0.007107安徽省-0.20475
四川省0.611716广东省0.005353湖南省-0.24439
甘肃省0.611253江西省-0.019江苏省-0.26012
河北省0.595846云南省-0.0339广西壮族-0.39227
新疆维吾0.329208上海市-0.0549湖北省-0.45076
河南省0.292481辽宁省-0.0551福建省-0.52566
吉林省0.274734贵州省-0.08108海南省-1.11027
陕西省0.177004天津市-0.08644西藏自治-1.82475
内蒙古自0.171567浙江省-0.09438
黑龙江省0.0902重庆市-0.13339
+ +最后可以得到地方政府的教育财政支出最具发展前景前五名的城市为宁夏，青海，四川，甘肃，河北。还需要引起政府高度重视前五名的地区为西藏，海南，福建，湖北，广西。 + +# 5.2 基于数据的深度挖掘的进一步分析 + +# 5.2.1 基于不同类别代表省份高校平均学费与家庭年收入的关系分析 + +根据表5给出2003年我国高校平均学费占家庭年收入的比例的数据，用统计软件SAS进行初步数据处理和分类，可以得到基本的描述性统计量和学费占收入比例的城乡差距状况如表6，表7所示 + +表 5 2003 年我国高校平均学费占家庭年收入的比例 (%) + +
省市 +北京城镇家庭 +12.21农村家庭 +23.58省市 +上海城镇家庭 +10.94农村家庭 +21.07
湖北20.2741.73云南18.7160.17
天津14.8327.63江苏17.1729.3
河北19.5438.71浙江13.1927.18
广东10.572.35陕西22.4264.2
山西22.8448.9安徽21.0250.41
广西18.3847.25甘肃24.456.47
内蒙古22.7749.34福建14.4329.78
海南18.3536.8青海22.0152.46
辽宁22.2344.72江西20.742.41
重庆19.3755.66宁夏23.3948.56
吉林23.8849.3山东17.9940.33
四川20.6353.74新疆20.5553.77
黑龙江24.1747.22河南22.6447.42
贵州21.3966.58全国平均18.2443.16
+ +(注, 数据来源: 文新兰, 《石油教育》2004年5月, 《从不同阶层人群支付能力看我国公立高校的学费》) + +表 6 城镇和农村两类家庭描述性统计量 + +
城镇家庭农村家庭
平均19.3444828平均43.34621
标准误差0.74289518标准误差2.636333
中位数20.55中位数47.25
标准差4.00061298标准差14.19709
方差16.0049042方差201.5574
峰度-0.1531094峰度1.093885
偏度-0.8859572偏度-0.89379
区域13.83区域64.23
最小值10.57最小值2.35
最大值24.4最大值66.58
求和560.99求和1257.04
观测数29观测数29
+ +表 7 等方差检验和均值相等检验结果 +F-检验 双样本方差分析 + +
城镇家庭农村家庭
平均19.344482843.3462069
方差16.0049042201.5573744
观测值2929
df2828
F0.0794062
P(F<=f)单尾1.0837E-09
F单尾临界0.5313272
t-检验：双样本异方差假设
城镇家庭农村家庭
平均19.344482843.3462069
方差16.0049042201.5573744
观测值2929
假设平均差0
df32
t Stat-8.762936
P(T<=t)单尾2.5849E-10
t单尾临界1.6938887
P(T<=t)双尾5.1698E-10
t双尾临界2.03693333
+ +由表6可知，平均而言，对于城乡居民家庭来说，2003年高校学费平均占家庭收入的 $19.34\%$ ，而对于农村居民家庭，却占到 $43.34\%$ 。从表7中，可以看到等方差假设条件下的F检验概率值 $\mathrm{P} = 0.07 < 0.53$ ，拒绝原假设，这说明了两类家庭的承受能力存在显著差异，城镇家庭的变异系数为0.83,远远小于农村家庭的变异系数4.65，说明农村家庭承受学费的压力更大且波动范围广泛。 + +已知的数据中仅仅考虑学费所占家庭收入的比例这一项，忽略了杂费、住宿费、生活费等其他必要支出，但是学生在校学习期间可以参加勤工助学，课外兼职等活动赚钱，减轻家庭的负担，因此相对于学费而言，这些因素的影响作用相对较小，在此可以忽略。 + +农村家庭存在普遍超生现象，一户人家往往需要同时提供几个孩子就学。虽然国家已经普及九年义务教育政策，但是接受高等教育的费用依然没有使农民的负担减轻。农民长期以来自给自足，现金收入来源缺乏，收入易受到自然灾害的影响，波动很大。 + +# 5.2.2居民支付能力的地区差异显著 + +对表5中的数据进行聚类分析，采用类间平均距离法作为分类的标准，通过统计软件SAS编程得到最终的分类结果如图5所示。 + +![](images/09821b5369908f06da770b5d53143fdb64d544a0ad9314eff12a53d6c5249cb0.jpg) +图5 类间平均距离聚类法分类结果 + +根据谱系聚类法的统计量中的 $\mathbb{R}^2$ 统计量，半偏相关统计量，伪F统计量和伪 $\mathrm{t}^2$ 统计量决定分为3类最为合适。分析结果整理如下： + +城乡居民家庭对高校学费承受能力最高的省市地区为：北京，上海； + +城乡居民家庭对高校学费承受力相对比较高的省市地区为：江苏、浙江、河南，广东，山东； + +城乡居民家庭对高校学费承受力相对比较低的省市地区为：天津，湖北、河北、山西、广西、内蒙古、海南、辽宁、重庆、吉林、四川、黑龙江、贵州、陕西、安徽、甘肃、青海、江西、宁夏、新疆、云南。 + +从这个分析结果中看出，经济相对发达的东部沿海省市地区和经济特区的城乡居民家庭对高校学费的承受能力相对比较强；而中、西部地区经济相对比较落后的省市地区对于高校学费的承受能力也相对比较弱。 + +通过上述分析，下面我们选取上海，北京，广州，浙江，福建，江苏，河南，江西8个代表性地区作为重点建模对象。 + +# 5.3学费走廊模型 + +# 5.3.1 模型建立的背景： + +利率走廊调控机制，又称无货币供给量变动的利率调控模式，其主要是靠央行改变自己的存贷款利率而不是变动基础货币供给，简便、直接、透明和有效，通过设定利率区间来稳定市场利率的政策操作模式。利率操作区间由中央银行设定的存、贷款利率机制形成，相应的存贷款利率则构成了市场利率波动的上下限。 + +现在相对应的定义学校盈利为学费征收的最高标准，家庭平均承受能力为学费征收的最低标准，学费波动的可操作区间就在两个标准间波动，相应的标准就是学费波动的上下限。中央政府可以通过调整财政支出中教育经费支出的比例和教育补贴来实现 + +![](images/9a79d4ba32064e6de9e381d2cd2c0ef3a7b41eab32afae987f86330514a010cb.jpg) +图3 学费走廊构造模型 + +而国家需要助学的调动情况就在这里面波动，这样就会很清晰地找到各个地区补助情况，也很清晰地了解到该地区的经济收入情况，更好地为那个地区改变学费的标准提供指标。图中可以知道，当学校的学费最低标准和所有家庭的承受学费能力差距越大，那么“学费走廊”就越宽，说明国家需要补助的费用就越大，教育问题就越突出，学校的学费最低标准和所有家庭的承受学费能力差距较小，说明学费问题矛盾减弱而逐渐得到解决。 + +# 5.3.2 模型的求解过程 + +政府对教育进行补贴的最终目标是为了不让任何一个孩子因为经济问题而不能上学，保证教育的公平和质量。因此，根据居民的收入状况和各个地区平均学费的标准可以推算出政府对城镇和农村居民户均补贴费用，定义学费占城镇居民家庭可支配收入的 $25\%$ ，占农民家庭可支配收入的 $40\%$ ，得到不同地区需要补助额如表9所示。 + +其中：农村需要的补助=现行学费的下限—农村家庭能够承受的学费费用；城镇需要的补助=现行学费的下限—城镇家庭能够承受的学费费用。 + +表 8 代表性地区居民的收入状况【5】 + +
地区调查户数(户)平均每户家庭人口(人)平均每户就业人口(人)平均每人季总收入(元)平均每人季可支配收入(元)
上海10002.971.6315428.3613911.74
北京50002.761.4213875.5412546.12
广东31503.281.6211227.2210293.6
浙江44502.731.3813511.6312425.08
福建18003.151.6810375.69556.37
江苏51002.851.4110473.899763.61
河南23992.891.447082.656778.65
山西18102.91.336759.126423.86
+ +表 9 代表性地区平均可承受学费的资助情况 (单位：元) + +
地区现行学费下限现行学费上限100%农村家庭平均能够承受学费费用100%城镇家庭平均能够承受的学费费用农村需要的补助城镇需要的补助
上海50005000363551471365-147
北京4200550046536127-453-1927
广东45605200300736651553896
浙江40004800269347241307-724
福建3900520028353845106555
江苏4000460031185115882-1115
河南27003100167625401024160
山西28003800152524341275366
+ +定义负数代表政府不需要对该地区的家庭进行补贴，且负值越大，家庭承担学费的能力就越高。由表7的结果可以得到8个代表城市的学费走廊模型如图3所示： + +![](images/5478425cd80a04825f4cd1f81fb56d72ff70583ba3da6fc50dafed7d3674f1e1.jpg) +图3不同地区的学费走廊 + +# 5.3 模型1：国家一家庭成本责任分配模型 + +教育事业的蓬勃发展既能够推动国家和社会的繁荣昌盛，又能改变家庭和个人的未来前景，因而受到全社会的高度重视。在教育事业的资金投入方面，以国家和社会投入为主，家庭也需要承担一定的比例。培养高素质人才是一种投资，未来能够为社会创造巨大的财富，因此以高等教育能转化的社会贡献为最大目标建立国家—家庭成本责任分配模型，对高等教育的学费标准进行定量研究。 + +# 5.3.1分配原则的数学模型 + +（1）个人教育需求的约束 + +国家社会从整体发展利益出发总是愿意为优秀院校的学生承担更多的教育成本。考虑到教育效率和收益，必须保证个人实际缴纳的学费不应低于个人应承担的基本教育成本，即 $X_{ij} \geq \lambda_4 C_i$ ；同时个人分配到的教育经费不应低于其所在专业的国家人均培养经费，即 $\frac{F_{ij}}{n_{ij}} \geq r_j - C_i$ 。因而需要满足的约束条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} X _ {i j} \geq \lambda_ {4} C _ {i} \\ \frac {F _ {i j}}{n _ {i j}} \geq r _ {j} - C _ {i} \end{array} \right. +$$ + +其中： + +$X_{ij}$ 表示就读第 $j$ 批院校专业 $i$ 的学生需要缴纳的学费 + +$\lambda_{4}$ 表示应该承担的教育成本的比率 + +$C_{i}$ 表示专业 $i$ 的教育成本（单位：元）；a + +$F_{ii}$ 表示第 $j$ 批院校专业 $i$ 分配到的教育经费（单位：元） + +$\gamma_{j}$ 表示国家及社会对第 $j$ 批院校的有偏承担最低限度要求, 满足 $\gamma_{j} = \lambda_{2} - K_{j}$ + +# (2) 资源的稀缺性约束 + +教育的投入资金总会受到国家的经济实力和具体国情所限制，所以需要考虑教育投入资金的合理分配。首先所有的教育经费不能超过国家总承担费用，即 $\sum \sum F_{ij} \leq \lambda_1 Q_1$ ；个人分配到的教育经费不能超过对应专业的可支配教育经费，即 $\frac{F_{ij}}{n_{ij}} \leq \eta_1 C_i$ 。因而需要满足的约束条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \sum \sum F _ {i j} \leq \lambda_ {1} Q _ {1} \\ \frac {F _ {i j}}{n _ {i j}} \leq \eta_ {1} C _ {i} \end{array} \right. +$$ + +其中： + +$F_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校专业 $i$ 分配到的教育程度（单位：元）； + +$\lambda_{1}$ 表示国家及社会对教育成本承担的最高上限率； + +$Q_{1}$ 表示国家社会对大学教育成本应担总基本费用（单位：元）； + +$n_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校专业 $i$ 的学生总人数。 + +# (3) 教育的收益约束 + +从经费利用效率来考虑，根据假设（1），需要对学生个人教育可用经费进行抑制国家对个人的培养费用和个人所承担的学费的总和不应超过个人总的教育成本，即 $\frac{F_{ij}}{n_{ij}} + X_{ij} \leq \lambda_3 C_i$ + +最后得到国家——家庭成本责任分配模型的约束条件为： + +$$ +\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} X _ {i j} \geq \lambda_ {4} C _ {i} \\ \frac {F _ {i j}}{n _ {i j}} \geq r _ {j} - C _ {i} \\ F _ {i j} \geq 0 \\ X _ {i j} \geq 0 \\ \frac {F _ {i j}}{n _ {i j}} \leq \eta_ {1} C _ {i} \\ \sum \sum F _ {i j} \leq \lambda_ {1} Q _ {1} \end{array} \right. +$$ + +# 1.2 对社会未来贡献的教育转化数学模型 + +# （1）社会贡献率指标 + +由于教育到社会贡献的转化除了与专业有关系，很大程度上还与教育质量有关，其关系可以用下面的关系式表示： + +$$ +q _ {i j} = K m _ {i j} \rho_ {i} +$$ + +其中： + +$q_{ij}$ 表示学生就读第 $j$ 批院校专业 $i$ 平均可实现的社会贡献率； + +$K$ 表示单位教育质量潜能实现率，可以看做是定值； + +$m_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校的教育质量； + +$P_{i}$ 表示专业 $i$ 的潜在社会贡献率（根据目前社会中各专业的发展情况以及对社会的贡献程度估计所得）； + +# (2) 教育质量指标 + +教学质量与教育经费，教育成本，学校教学水平和学生素质密切相关，一般认为院校的级别与教学水平和学生素质呈正相关。得到教育质量的表达式为： + +$$ +m _ {i j} = k _ {j} * \frac {\frac {F _ {i j}}{n _ {i j}} + X _ {i j}}{C _ {i}} +$$ + +其中： + +$m_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校的教育质量； + +$k_{j}$ 表示第 $j$ 批院校的教育质量系数; + +$F_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校专业 $i$ 分配到的教育程度（单位：元） + +$n_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校专业 $i$ 的学生总人数 + +$X_{ij}$ 表示就读第 $j$ 批院校专业 $i$ 的学生需要缴纳的学费 + +$C_{i}$ 表示专业 $i$ 的教育成本（单位：元） + +而教育的目的是为社会和国家未来的发展贡献，由教育转化成的社会总贡献可表示为： + +$$ +S = \sum \sum n _ {i j} q _ {i j} +$$ + +其中： $n_{ij}$ 表示第 $j$ 批院校专业 $i$ 的学生总人数 + +$q_{ij}$ 表示学生就读第 $j$ 批院校专业 $i$ 平均可实现的社会贡献率；这就是教育对社会未来贡献的转化模型。 + +# 1.3 教育—社会贡献转化的优化规划模型。 + +无论是国家社会还是家庭个人，对教育的投资都是着眼于社会的未来发展的。因此，国家社会的教育资助与个人学费标准问题可以归纳为以教育转化成的社会贡献最大为目标，承担责任分配原则为约束条件的优化规划模型，结合模型1.1和模型1.2得到教育—社会贡献转化的优化规划模型 + +$$ +M A X S = \sum \sum n _ {i j} q _ {i j} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} X _ {i j} \geq \lambda_ {4} C _ {i} \\ \frac {F _ {i j}}{n _ {i j}} \geq r _ {j} - C _ {i} \\ F _ {i j} \geq 0 \\ X _ {i j} \geq 0 \\ \frac {F _ {i j}}{n _ {i j}} \leq \eta_ {1} C _ {i} \\ \sum \sum F _ {i j} \leq \lambda_ {1} Q _ {1} \end{array} \right. +$$ + +# 1.4 模型的求解 + +由于各个地区家庭收入水平，教育水平，学生在各个专业的分配程度不一样，而且教育经费按地区分配，所以模型求解应该结合各地区的实际分别求解，下面就以广东省为例对模型进行求解。相关数据见附录。 + +利用数学软件MATLAB线性规划LINPROG命令进行求解，结果如下所示： + +各批别院校各类专业的标准收费如下：（单位：元） + +
专业类别第一批第二批第三批
文史6674.655293.275665.46
语言5840.455082.205399.69
医学7322.588086.188585.39
理学6300.056451.868928.00
工程6977.437698.5110504.24
信息6829.368007.449829.99
农林6373.046808.917437.97
生物7423.587826.078224.27
管理4523.475109.315213.30
经济4881.205581.775411.07
教育5148.445068.045389.51
艺术6473.316953.637223.55
体育6849.448655.7511959.18
+ +各类别院校各类专业应该分配到的用于教学部分的国家拨款和社会资助：（单位：万元） + +
专业类别第一批第二批第三批
文史5365.2619548.3516170.41
语言8847.0741481.9649142.97
医学50737.7076121.3578730.40
理学142182.60456474.70682102.40
工程168351.80528492.10783319.20
信息144429.00591949.00709028.10
农林66508.48224432.60115241.30
生物24351.92108398.40128629.60
管理126746.90552891.30465107.40
经济130169.40564894.40436295.40
教育15251.3969452.2682096.85
艺术35046.17156061.60186174.80
体育5614.433161.661028.57
+ +由于各专业的社会贡献的前景不一样，因此专业会影响到国家的教育投资，但是即使是相同的专业，由于院校类别不一样，教育水平与学生素质会存在差异，最终教育能够转化成的社会贡献也不一样。国家在教育投资时，更偏向于高等院校。国家对教育的投资是针对院校与专业整体，而个人学费交付只针对个人，学费在一定程度上也受专业就读人数的影响。 + +根据输出结果与广东目前各批别院校各专业的学费标准的比较得出以下结论： + +(1) 当前大学收费与模拟结果基本符合, 而其中理科稍微偏低, 文科稍微偏高,说明当前高等教育学费收取基本合理。 +(2) 其中农林类专业收费偏低程度较大，收取的学费仅占标准收费的 $40\%$ ，国家对其补贴费用高达 $60\%$ ，由于现实生活中农林专业社会地位较低，会阻碍农林专业的发展，而国家发展农业经济需要大量的专业人才，因此国家必须加大对农林专业的投入以吸引更多的人才，所以出现这种异常现象。 +(3) 另外生物专业收费偏低程度也较大, 21 世纪是生命科学的世纪, 国家顺应时代发展的潮流, 加大对生物类专业的投入, 体现国家科教兴国的政策。 + +# 5.3.2 模型2 贫困生生活改变优化规划模型 + +# (1) 贫困生助学基金分配原则 + +模型I中主要从国家及社会的总体未来利益出发进行优化规划，考虑到贫困学生的家庭承受能力，国家和社会应给予补助，帮助其顺利完成学业。但是补助不能盲目补助，需要有一定的依据，国家在给予贫困生助学时应遵循如下原则： + +1) 学费补助与学生的贫困程度呈正相关。越贫困的学生得到越多的补助，以体现教育的公平。 +2) 补助费用不能使学生的贫困水平改变，也不能超过学费与年生活费用，这是为了避免社会惰性，确实极度贫困的学生应通过助学贷款途径解决。 +(3) 优秀院校的学生更具发展前途，国家应给予更大的补助，有利于社会和 + +谐发展。 + +4) 国家的总助学金应保留一部分用于贫困生的应急处理，提供社会保障。 + +下面在模型1的基础上建立贫困生质量改善优化模型对国家助学金补助标准进行定量分析。 + +# （2）模型的建立 + +国家助学金补助是以改善贫困生生活质量为目的，在一定的原则下对助学进行分配。在国家补助下对学生生活质量的改善可以用学生上学后，家庭可支配收入占原来的比率来表示，所以总体贫困生的生活改变可表示为： + +$$ +G = n \sum \sum \frac {a _ {i} - x _ {i} + b _ {i j}}{a _ {i}} w _ {i j} +$$ + +其中， + +$a_{i}$ 表示第 $i$ 类贫困生家庭平均可支配收入； + +$\mathrm{X}_{\mathrm{j}}$ 表示第 $j$ 种类别的专业需交学费； + +$b_{ij}$ 表示就读专业 $j$ 的第 $i$ 类贫困生可获得国家助学补助； + +$W_{ij}$ 表示就读专业 $j$ 的地 $i$ 类贫困生占总学生人数的比例； + +根据基本假设3和4： + +$$ +w _ {i j} = p _ {i} v _ {i j}, +$$ + +其中， $p_i$ 表示第 $i$ 类贫困生占总学生人数的比例； + +$V_{ij}$ 表示就读第 $j$ 批院校专业 $i$ 的学生占总学生的比例。 + +根据分配原则1)，贫困生可以获得的国家助学金存在限度，即 + +$$ +b _ {i j} \geq h _ {i} x _ {j} +$$ + +其中， $h_i$ 表示国家给与第 $i$ 类贫困生的最低限度学费补助率（反映国家对第 $i$ 类贫困生的照顾程度），根据贫困生的家庭收入水平，取 $h = [0.4 \, 0.3 \, 0.2 \, 0.1]$ 根据分配原则 2)，得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} b _ {i j} \leq d _ {0} \\ b _ {i j} \leq x _ {i} + f _ {0} \end{array} \right. +$$ + +其中， + +$f_{0}$ 表示贫困生的年需基本生活费用（单位：元）； + +$d_{0}$ 表示相邻两类型贫困生家庭年平均可支配收入平均差距（单位：元）； + +根据分配原则 4), 得到目标函数 + +$$ +G = \sum \sum m _ {i j} b _ {i j} \leq \eta Q _ {2} +$$ + +其中， + +$Q_{2}$ 表示国家社会对贫困生的学费补助及生活补贴总经费 + +$\eta_{2}$ 表示直接发放的贫困生补助的教育经费在总的补助经费中的比例，补助经费一部分用于发放给贫困学生，另一部分用于处理贫困生应急事件及鼓励贫困 + +生奋发图强的贫困生奖学金； + +由实际情况有 $b_{ij} \geq 0$ + +综上所述，分配原则可用数学模型的约束条件表示为： + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{c} h _ {i} x _ {j} \leq b _ {i j} \leq x _ {1} + f _ {0} \\ 0 \leq b _ {i j} \leq d _ {0} \\ \sum \sum m _ {i j} b _ {i j} \leq \eta Q _ {2} \end{array} \right. +$$ + +所以建立的贫困生生活改变优化规划模型为 + +$$ +\max G = \sum \sum m _ {i j} b _ {i j} \leq \eta Q _ {2} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{c} h _ {i} x _ {j} \leq b _ {i j} \leq x _ {1} + f _ {0} \\ 0 \leq b _ {i j} \leq d _ {0} \\ \sum \sum m _ {i j} b _ {i j} \leq \eta Q _ {2} \end{array} \right. +$$ + +# （3）模型的求解 + +利用数学软件 MATLAB 线性规划 LINPROG 命令进行求解，结果如下所示：四类不同家庭收入的贫困生应该获得的国家补贴如下： + +1. 家庭年均收入为 5000 元以下的各专业学生应该获得的国家补贴如下：（单位：元） + +
专业类别第一批第二批第三批
文史2056.271532.931673.86
语言1740.251452.951573.13
医学2301.112590.142779.11
理学1913.941971.402908.72
工程2170.362443.303505.35
信息2114.322560.263250.17
农林1941.612106.562344.72
生物2339.472491.652642.37
管理1241.401463.161502.52
经济1376.821642.011577.39
教育1478.141447.571569.25
艺术1979.632161.362263.52
体育2122.462806.764059.42
+ +2. 家庭年均收入为 5000 元 $\sim 10000$ 元的各专业学生应该获得的国家补贴如下：（单位：元） + +
专业类别第一批第二批第三批
文史1424.561031.981137.68
语言1187.50971.981062.11
医学1608.111824.871966.60
理学1317.721360.792063.80
工程1510.031714.752511.32
信息1468.001802.442319.85
农林1338.471462.181640.80
生物1636.901751.001864.04
管理813.31979.621009.15
经济914.881113.771065.30
教育990.89967.941059.20
艺术1367.001503.271579.91
体育1474.201987.532927.40
+ +3. 家庭年均收入为 10000 元 $\sim 15000$ 元的各专业学生应该获得的国家补贴如下：（单位：元） + +
专业类别第一批第二批第三批
文史792.85531.27601.52
语言635.80491.01551.09
医学915.111059.611154.10
理学721.49750.201218.87
工程849.70986.171517.23
信息821.681044.641389.60
农林735.34817.80936.88
生物934.331010.351085.71
管理385.21496.09515.77
经济452.93585.50553.20
教育503.73488.30549.15
艺术754.37845.20896.28
体育825.941168.321795.39
+ +4. 家庭年均收入为 15000 元 $\sim$ 25000 元的各专业学生应该获得的国家补贴如下：（单位：元） + +
专业类别第一批第二批第三批
文史207.0932.7165.32
语言82.0111.1840.10
医学222.10294.34341.59
理学125.27139.61373.95
工程189.37257.60523.12
信息175.36286.83459.31
农林132.30173.41232.96
生物233.74269.70307.38
管理0.0013.2322.78
经济0.5857.2741.11
教育16.4157.1839.09
艺术144.65187.12212.66
体育223.88349.05664.50
+ +![](images/03af2921f0872f592139e74c9559b1664222b1ad2041948d391f42621c532d91.jpg) +图4 国家补助与学生学费和家庭收入收入关系图 + +# 模型III 助学补助函数模型 + +模型I中给出了不同院校类别，不同专业的39种价格不同的学费标准；模型Ⅱ求出了不同家庭收入的贫困生就读不同价格专业时可获得的国家助学补助，但是这样在查找应给与贫困生多少助学金时较为麻烦。如果能够给出国家助学补助 $b_{ij}$ 与贫困生家庭收入 $a_i$ 和学费标准 $X_j$ 之间的一个函数关系式： $b_{ij} = f(a_i, x_j)$ 。这将可以为国家助学补助提供更好的定量分析依据和更方便的分配帮助。 + +为实现这一目标，下面以模型1和模型2为基础，建立助学补助函数模型时对国家助学补助 $b_{ij}$ 与贫困生家庭收入 $a_i$ 和学费标准 $X_j$ 之间的一个函数关系式进行简单求解。 + +# （1）简单求解定义： + +所谓简单求解是指对一些不明确表达式但知道自变量与固变量间正负相关的函数。其表达式可以用简单一次函数或反比例来表示。只要求解结果满足一定的拟合程度，即可将其作为简单求解的结果，如果不能满足拟合要求则将求解结果进行逐步修正直到达到满意的拟合程度。对很多实际问题，如果变量间的函数关系式十分复杂这是不利于应用，而简单的表达式即使准确性没有那么高但只要不超出一定的范围就更具有实用性。简单求解法就是解决不完全明确或极度复杂函数的一种很好的方法。 + +下面运用简单求解的原理来对国家助学补助的函数关系式进行求解。 + +# （2）模型的建立 + +虽然国家助学补助的函数关系式是不明确的但是根据助学补助分配原则1), 有两点应该需要满足的相关关系: + +A.学费越高，得到的助学学费补助率(助学金与学校比率)越大。 +B. 家庭收入越低，学费支付率(学费与家庭收入比率)越小。 + +根据明确点A可以得到： + +$$ +\frac {\partial b _ {i j}}{\partial x _ {j}} = k _ {1} X _ {j} + k _ {2} +$$ + +根据明确点B可以得到： + +$$ +\frac {\partial b _ {i j}}{\partial a _ {i}} = k _ {3} a _ {i} + k _ {4} +$$ + +解得： + +$$ +\begin{array}{l} b _ {i j} = \left(k _ {1} + k _ {2}\right) X _ {j} a _ {i} + k _ {4} X _ {j} + k _ {2} a _ {i} + k _ {5} \\ = k X X \\ \end{array} +$$ + +其中， + +$$ +\begin{array}{l} k = \left[ \begin{array}{c c c c} (k _ {1} + k _ {2}) & k _ {4} & k _ {2} & k _ {5} \end{array} \right], \\ X X = \left[ \begin{array}{c c c c} X _ {j} a _ {i} & X _ {j} & a _ {i} & 1 \end{array} \right] \\ \end{array} +$$ + +# （3）模型的求解 + +引用模型1和模型2的数据，用MATLAB的REGRESS命令对国家助学补助的函数表达式进行求解，结果如下： + +对国家补助与学生学费和家庭收入的关系进行二元二次拟合，拟合的相关系数为：9.912600e-001 + +拟合方程如下： + +国家补助 $= (-1.637883\mathrm{e} - 005)\times$ 学费 $\times$ 家庭收入 $+ (4.716577\mathrm{e} - 001)\times$ 学费 $+$ (9.721088e-004) $\times$ 家庭收入 $+ (-4.808359\mathrm{e} + 002)$ + +分析： + +拟合的相关系数为0.99, 拟合效果极好, 观察各参数发现家庭收入的系数和常数项系数都较小, 可以认为对国家助学补助的影响不大, 为了简化模型, 剔除这两个因素, 对模型进一步拟合, 得到下面的结果。 + +对国家补助与学生学费和家庭收入的关系进行二元二次拟合，拟合的相关系数为：-9.672045e-001 + +拟合方程如下： + +国家补助 $= (1.091206 \mathrm{e} - 005) \times$ 学费 $\times$ 家庭收入 $+ (-2.684984 \mathrm{e} - 002) \times$ 学费 + +分析： + +相关系数为0.967，虽然拟合效果没有上一个模型那么理想，但是仍然显著，达到令人满意的效果，而且更便于应用，为教育助学经费的分配提供简洁的定量分析依据。 + +# 六 模型的评价 + +# 6.1 模型的优点 + +（1）模型建立的原始数据均来自中国统计局网站，准确率高，有很好的权威性，对全国不同省份进行宏观深度数据挖掘，采用成熟的统计软件SAS编程求解，可行度高。 +(2) 用因子分析综合评价不同省份的优势和劣势, 得到整体的认识; 再根据聚类分析抽取典型城市进一步分析, 由一般到特殊, 建立学费价格走廊模型,进一步探讨居民收入和政府补贴的关系。 +(3) 综合考虑了多方面因素对模型的影响，考虑比较系统，只要对相关参数进行修改既可以对不同地区的数据进行求解。 +(4) 提出了一种解决不明确函数或高度复杂函数表达式使用求解的方法, 具有较广的适用性与较强实用性。 + +# 6.2 模型的缺点 + +模型的部分数据来源与估计，可能与实际存在一定的偏差从而造成了模型的误差。 + +# 6.3 模型的推广 + +（1）价格走廊模型可以广泛应用于中央银行的宏观调控政策，通过调整商业银行同业间拆借利率，迅速通过市场执行紧缩或者扩张的财政政策。 +(2) 模型还可以用于应用与城市住房分配，解决当前的住房分配问题。 + +# 七 给有关部门的报告 + +社会和谐发展，教育经费怎么吠 + +政府在教育收费中扮演平衡高校收益和家庭学生利益的平衡角色。我国地区贫富悬殊，发展不均衡，为了保证教育的公平和效率，保证贫困人口的入学率和接受教育均等的权利，必须对市场价格进行调控和有效管理。根据社会对人才的需求和培养费用来确定高校学费，保证高校的正常运转，同时兼顾居民的收入水平，对教育事业加大投资。 + +政府在完善贫困学生资助政策的同时，要积极为学生提供勤工俭学机会，妥善设计贷款品种和额度以更好满足不同家庭背景学生的需要，贷款偿还的年限与毕业生收入挂钩缓解学生的还款压力，加强学生的诚信建设以培育银行对助学贷款业务的积极性等，动员全社会力量，建设社会资助体系。 + +广泛调用社会各种资金投资教育，对通过质量评估的民办大学予以财政补贴，允许公立大学在政府管理的范围内实行差别收费，由高校根据财政拨款水平、教育成本、物价水平和生源状况，对收费标准进行自主调节。 + +教育事业的蓬勃发展既能够推动国家和社会的繁荣昌盛，又能改变家庭和个人的未来前景，因而受到全社会的高度重视。在教育事业的资金投入方面，以 + +国家和社会投入为主，家庭也需要承担一定的比例。根据我们的模拟结果发现目前，文科的学费普遍偏高，理科专业则偏低，另外第二批专业也有普遍偏低现象；而农林类专业和生物类专业享有国家特别的照顾。 + +考虑到贫困学生的家庭承受能力，国家和社会应给予补助，帮助其顺利完成学业。但是补助不能盲目补助，需要有一定的依据，国家在给予贫困生助学时应遵循如下原则： + +(1)学费补助与学生的贫困程度呈正相关。越贫困的学生得到越多的补助，以体现教育的公平。 +(2)补助费用不能使学生的贫困水平改变，也不能超过学费与年生活费用，这是为了避免社会惰性，确实极度贫困的学生应通过助学贷款途径解决。 +(3)优秀院校的学生更具发展前途，国家应给予更大的补助，有利于社会和谐发展。 +(4)国家的总助学金应保留一部分用于贫困生的应急处理，提供社会保障。 + +根据以上原则在分配助学经费时，建议有关部门参考以下的公式： + +国家补助 $= (1.091206 \mathrm{e} - 005) \times$ 学费 $\times$ 家庭收入 $+ (-2.684984 \mathrm{e} - 002) \times$ 学费 + +# 八 参考文献 + +[1] 中华人民共和国教育部，2008年教育部公报，http://www.moe.edu.cn，2008-9-19。 +[2] 中华人民共和国国家统计局，中国统计年鉴 2007，http://www.sei.gov.cn/try/hgjj/yearbook/2007/indexCh.htm,2008-9-19。 +[3] 柴效武，高校学费制度研究，北京：经济管理出版社，2003。 +[4] 杨周复，高等学校学生资助政策研究，北京：高等出版社，2003。 +[5] 王蕾，我国高等教育学费与居民家庭支付能力的现状分析，北京理工大学学报（社会科学报），第7卷第4期：90-96，2005。 +[6] 皮江红，我国农村居民家庭高等教育学费支付能力研究，达县师范高等专科学校学报（社会科学报），第13卷第1期：100-103，2003。 +[7] 胡海鸥，贾德奎，“利率走廊”调控的理论与实践：货币政策操作的新思路新方法，上海：上海人民出版社，2006-8-1。 + +# 九 附录 + +# 9.1 基于地方政府财政支出综合实力的聚类分析和因子模型 + +其中：X1=预算内教育经费 + +X2=生均预算内教育事业费 + +X3=高等教育生均预算内公用经费 + +X4=教育职工工资 + +
城市预算内教育经费（亿元）生均预算内教育事业费各级教育生均预算内公用经费教育职工工资总额
北京市250.1418228.3611389.27139.51
天津市95.229158.634458.8347.07
河北省230.213625.97974.93134.03
山西省145.993939.481128.5781.09
内蒙古自治区113.564109.84889.3670.90
辽宁省221.844386.891613.14102.12
吉林省114.984024.892104.0466.78
黑龙江省146.763844.391158.283.07
上海市255.1111942.857043.9592.10
江苏省377.155315.152227.27208.31
浙江省328.117154.512331.51200.41
安徽省172.763485.29671.2199.57
福建省174.874522.931531.6891.11
江西省115.672219.41503.1172.67
山东省330.273371.39848.02226.43
河南省282.84487.951873.67185.30
湖北省151.913325.721367.31106.95
湖南省180.012722.43840.62121.48
广东省523.328272.893591.04260.96
广西壮族自治区150.874084.731444.9288.68
海南省34.792693.09386.6817.45
重庆市104.273597.322045.0559.86
四川省227.022352.761207.24130.29
贵州省115.073905.26891.1262.00
云南省180.144663.752100.1488.41
西藏自治区26.349872.672932.529.25
陕西省138.193466.761249.9685.58
甘肃省99.984734.261551.3854.25
青海省32.817343.271126.3714.97
宁夏回族自治区31.265861.481238.8415.73
新疆维吾尔自治区119.653651.191357.1963.27
+ +（聚类程序，采用类间平均距离法） + +DATA A; + +INPUT CITY\\( X1-X4; + +CARDS; + +； + +PROC PRINT DATA=A; + +RUN; + +PROC CLUSTER DATA=A METHOD=AVE STD PSEUDO CCC OUTTREE=B; + +VAR X1-X4; + +ID CITY; + +PROC TREE DATA=B HORIZONTAL GRAPHICS; + +RUN; + +聚类分析的主要结果及分析 + +
Cluster History
NCLClusters JoinedFREQSPRSQRSQERSQCCCPSFPST2Norm RMS Dist 0.1179
30河北广西20.00051..74.4.
29河南CL3030.00120.998..42.42.60.1757
28贵州宁夏20.00110.997..39.4.0.184
27上海黑龙江20.00120.996..37.8.0.193
26广东福建20.0020.994..33.0.2431
25CL29辽宁40.00290.991..27.73.50.2591
24湖南陕西20.00230.989..26.8.0.2599
23CL28内蒙古30.00260.986..25.92.30.2608
22四川天津20.00230.984..26.1.0.2637
21山东安徽20.00250.981..26.2.0.2759
20CL24江西30.00320.978..25.91.40.2973
19CL23甘肃40.00370.974..25.320.3062
18CL27CL2560.00610.968..23.44.10.3079
17江苏浙江20.0040.964..23.7.0.3453
16CL19云南50.00560.959..23.22.20.3647
15CL18山西70.00690.952..22.62.90.3886
14CL21CL1590.01030.942..213.40.3986
13北京海南20.00650.935..21.6.0.4418
12青海西藏20.00860.926..21.7.0.5084
11CL26CL2050.01850.908..19.77.50.5222
10CL13新疆30.01220.896..201.90.569
9CL17吉林30.01420.881..20.53.60.591
8CL14CL16140.06590.816..14.517.60.6322
7CL10CL2250.02370.792..15.23.40.6381
6CL11湖北60.02330.7690.796-1.316.63.60.7044
5CL9重庆40.02330.7450.757-0.46192.60.7467
4CL7CL8190.10870.6370.705-2.215.811.90.8338
3CL4CL6250.20170.4350.627-410.814.80.9975
2CL5CL3290.1790.2560.475-3.3108.71.115
1CL2CL12310.2559000.101.5801
+ +Name of Observation or Cluster + +![](images/841c8180c1c706f00375df86db4f2c603ea8eae6d5a22bf6759909af856baede.jpg) +图9.1 聚类结果树形图 + +因子分析的主要结果及分析： + +提取前两个因子进行分析，累计贡献率达到 $97.78\%$ ，其中第一个因子的贡献率为 $57.53\%$ ，第二个因子的贡献率为 $40.25\%$ ，两个因子的贡献率差距不大，需要综合考虑分析。 + +
Eigenvalues of the Correlation Matrix: Total = 4 Average = 1
EigenvalueDifferenceProportionCumulative
12.301379150.691404170.57530.5753
21.609974981.550064740.40250.9778
30.059910240.031174610.01500.9928
40.028735630.00721.0000
+ +相关系数矩阵以及因子旋转后的指标 + +
Orthogonal Transformation Matrix
1234
10.720220.693510.013970.01139
2-0.693550.72029-0.009260.00940
30.016430.00258-0.999410.02994
40.002170.01476-0.02986-0.99944
+ +
Rotated Factor Pattern
Factor1Factor2Factor3Factor4
X10.981460.145240.006650.12486
X20.043730.98487-0.167490.00866
X30.132450.974760.179620.00571
X40.992710.030730.00958-0.11619
+ +
Variance Explained by Each Factor
Factor1Factor2Factor3Factor4
1.96818901.94216020.06045280.0291981
+ +标准后的因子得分矩阵 + +
Standardized Scoring Coefficients
Factor1Factor2Factor3Factor4
X10.49549219-0.0748165-0.09300374.20601343
X2-0.02262930.53216502-2.8621061-0.2886624
X3-0.06759560.49986772.91099857-0.2051893
X40.52748268-0.0161647-0.1703657-4.1182907
+ +不同地区前两个因子得分情况 + +
CITYFactor1Factor2CITYFactor1Factor2
北京市0.292024.15412广西壮族-0.1775-0.3179
上海市0.093332.15677新疆维吾-0.5265-0.3797
天津市-0.9071.2366山西省-0.2527-0.4086
西藏自治-1.49321.05637内蒙古自-0.4783-0.4117
广东省2.856140.54862黑龙江省-0.2328-0.4181
青海省-1.34250.22993贵州省-0.5451-0.4428
浙江省1.513410.2282陕西省-0.2505-0.4523
宁夏回族-1.33650.01941湖北省-0.0115-0.4627
云南省-0.0723-0.0943河北省0.57954-0.5652
江苏省1.81671-0.1257安徽省0.04097-0.6096
吉林省-0.5438-0.1457海南省-1.258-0.6868
甘肃省-0.7045-0.1459湖南省0.25799-0.7033
重庆市-0.6456-0.2187四川省0.53512-0.7124
福建省-0.0547-0.2447山东省1.81412-0.7271
河南省1.21435-0.2694江西省-0.429-0.8052
辽宁省0.24815-0.2826
+ +# 9.2地方政府的教育财政支出发展前景聚类分析和因子分析 + +DATA A; + +INPUT CITY\\(X1-X5; + +CARDS; + +
北京3.0620.02-0.476.56
天津3.1221.3-0.230.2610.87
河北-1.2412.88-1.3331.553.41
山西3.4122.38-1.89-2.722.57
内蒙古-4.3119.70.0723.9825.36
辽宁4.0218.80.090.791.03
吉林12.4420.270.860.85.48
黑龙江3.2919.37-0.469.492.39
上海0.118.82-0.033.842.61
江苏-4.718.11-0.356.911.74
浙江-2.6819.210.5411.482.56
安徽-0.723.04-1.320.4922.31
福建-1.0921.83-0.2-7.97-18.75
江西7.4420.63-0.390.6-19.52
山东2.618.76-0.965.527.75
河南-0.6322.29-1.0820.4146.33
湖北-22.5419.21-1.8526.1235.43
湖南0.118.37-0.51.38-13.38
广东-0.1516.510.889.875.64
广西-4.1128.041.412.942.62
海南0.2921.731.03-32.14-61.77
重庆4.2922.330.06-1.52-2.42
四川14.0727.320.3713.3328.36
贵州1.2116.15-0.194.92-5.13
云南6.419.860.55-4.3312.07
西藏-35.12-8.61-2.38-16.79-36.2
陕西12.9743.11.665.57-1.28
甘肃8.8530.171.0218.9858.23
青海24.0934.360.8922.94-7.39
宁夏-2.5818.36-0.385.6140.27
新疆2.2921.81-1.2916.4346.62
+ +； + +PROC PRINT DATA=A; + +RUN; + +PROC CLUSTER DATA=A METHOD=AVE STD PSEUDO CCC OUTTREE=B; + +VAR X1-X5; + +ID CITY; + +PROC TREE DATA=B HORIZONTAL GRAPHICS; + +RUN; + +（因子分析程序） + +PROC FACTOR M=PRINCIPAL ROTATE $\equiv$ V NFACTOR $= 4$ EV SCORE OUT=B; + +VAR X1-X5; + +RUN; + +PROC PRINT DATA=B; + +RUN; + +PROC PLOT; + +PLOT FACTOR2*FACTOR1=CITY; + +RUN; + +聚类分析的主要结果： + +
Cluster History
NCLClusters JoinedFREQSPRSQRSQERSQCCCPSFPST2NormRMSDist0.0732
30北京黑龙江省20.00021..193.
29河南新疆20.00060.999..94.8.0.1313
28辽宁重庆20.00070.999..74.9.0.1479
27浙江广东20.0010.997..61.3.0.1751
26湖南贵州20.00110.996..55.9.0.1784
25CL30天津30.00140.995..50.27.80.181
24CL25山东40.0020.993..43.62.50.2175
23吉林云南20.00190.991..40.6.0.2417
22江苏CL2630.00220.989..38.12.10.2418
21CL24CL2860.00490.984..30.74.60.2714
20CL21CL2290.00590.978..25.83.30.2896
19福建江西20.00320.975..25.9.0.3087
18山西安徽20.00370.971..25.8.0.3331
17CL20CL19110.00920.962..22.13.80.3728
16内蒙古CL2730.00760.954..20.97.40.4223
15河北CL2930.00820.946..20.114.30.4348
14四川甘肃20.00750.939..20.0.473
13CL17上海120.01160.927..19.13.80.4809
12CL13CL16150.02410.903..16.16.20.4968
11CL12CL23170.01930.884..15.23.80.5034
10陕西青海20.01260.871..15.8.0.6154
9CL11CL18190.03520.836..1460.6387
8CL9广西200.02610.81..143.50.7202
7CL15湖北40.02790.782..14.36.40.7765
6CL14CL1040.03820.7440.775-1.214.53.80.8502
5CL8CL7240.13240.6110.735-3.810.214.70.9245
4CL5CL6280.16120.450.68-4.87.410.81.0632
3CL4海南290.08940.3610.596-4.77.94.41.2977
2CL3宁夏300.12190.2390.383-2.69.15.31.4906
1CL2西藏310.2388000.9.12.0202
+ +根据聚类分类的统计量可知分为6类最为合适，类型1：西藏；类型2：宁夏；类型3：海南；类型4：四川，甘肃，陕西，青海；类型5：河北，河南，新疆，湖北；类型6：北京，黑龙江，天津，山东，辽宁，重庆，江苏，海南，贵州，福建，江西，上海，内蒙古，浙江，广东，吉林，云南，安徽，广西。分类树型图如下： + +![](images/99fc686961e732758fe0e03a923eb6ce93daf13f94ba28ecfd2002f64c2e4a2d.jpg) +Name of Observation or Cluster + +因子分析的主要结果： + +提取前3个因子作为分析的参考标准，累计贡献率为 $89.85\%$ ，其中第一个因子的贡献率为 $46.07\%$ ，第二个因子的贡献率为 $34.93\%$ ，第三个因子的贡献率为 $8.86\%$ 。前两个因子的贡献率差距不大，需要综合考虑。 + +
Eigenvalues of the Correlation Matrix: Total = 5 Average = 1
EigenvalueDifferenceProportionCumulative
12.303412040.557006840.46070.4607
21.746405201.303633470.34930.8100
30.442771730.169674110.08860.8985
40.273097620.038784210.05460.9531
50.234313410.04691.0000
+ +4 factors will be retained by the NFACTOR criterion. + +因子旋转后的相关系数矩阵以及每个因子的方差贡献率： + +
Orthogonal Transformation Matrix
1234
10.171920.707950.571080.37832
20.95355-0.06358-0.276070.10238
30.23877-0.410390.74611-0.46679
4-0.06460-0.571270.202440.79278
+ +
Rotated Factor Pattern
Factor1Factor2Factor3Factor4
X10.041600.942580.281950.14905
X20.107610.570440.414570.65038
X3-0.095040.328830.913260.13082
X40.966300.034830.06860-0.12720
X50.852250.04478-0.227760.37094
+ +
Variance Explained by Each Factor
Factor1Factor2Factor3Factor4
1.68240131.32519991.14198340.6161020
+ +
Final Communality Estimates: Total = 4.765687
X1X2X3X4X5
0.991891920.931845970.968317240.955831990.91779947
+ +标准化后的因子得分系数： + +
Standardized Scoring Coefficients
Factor1Factor2Factor3Factor4
X1-0.01943641.26136704-0.4348818-0.6716572
X2-0.0947378-0.09250830.077637341.13766073
X30.09174837-0.39763371.10948622-0.0687071
X40.714377570.074610560.33033647-0.7542323
X50.38653354-0.1788325-0.23938580.73664033
+ +全国各个省份前三个因子的得分情况： + +
CITYFactor1Factor2Factor3
北京市-0.10110.33788-0.3392
天津市-0.28720.20692-0.2971
河北省1.521740.02913-1.2706
山西省-0.68870.93789-2.1189
内蒙古自0.87584-0.81820.61163
辽宁省-0.35860.288860.09743
吉林省-0.25360.972070.56845
黑龙江省-0.06920.43611-0.3401
上海市-0.1096-0.03180.07378
江苏省-0.1355-0.58350.07122
浙江省0.11274-0.68951.05646
安徽省-0.21990.07239-1.4325
福建省-1.0344-0.15610.05343
江西省-0.74591.02286-0.3764
山东省-0.17460.50447-0.9907
河南省0.91482-0.0953-1.0552
湖北省0.97065-2.3554-0.8097
湖南省-0.59480.14818-0.2519
广东省0.15647-0.51051.24502
广西壮族-0.2243-1.34542.01983
海南省-2.4709-0.27041.344
重庆市-0.54060.309290.07817
四川省0.428171.178680.02466
贵州省-0.28680.142930.00904
云南省-0.35850.290250.32671
西藏自治-1.4105-3.0507-1.2021
陕西省-0.36770.527141.79618
甘肃省1.124280.059050.81574
青海省0.197822.412540.74187
宁夏回族3.37832-0.30581.03931
新疆维吾0.751290.33598-1.4887
+ +# 9.3 模型1的相关程序及结果 + +表 1 广东高等教育信息数据 + +
专业类别第一批第二批第三批
文史456038004400
语言516038005500
医学576045804800
理学516055005500
工程576055006000
信息800080008000
农林258021503500
生物516045005000
管理456055005500
经济456055005500
教育516045004300
艺术100001000012800
体育516043005500
+ +注：数据来源 http://zhidao.baidu.com/question/68924243.html + +表 2 广东各批院校不同专业的现行收费标准 + +
专业类别教育成本第一批比例第二批比例第三批比例潜在社会贡献率
文史200000.20%0.66%0.56%5.65%
语言200100.31%1.38%1.67%6.78%
医学320901.02%1.58%1.67%9.30%
理学280003.26%10.54%17.85%8.47%
工程312003.46%11.20%18.97%9.47%
信息304003.05%13.17%17.24%7.91%
农林280001.53%5.27%2.79%10.17%
生物312000.51%2.31%2.79%9.47%
管理200004.07%18.44%15.62%6.78%
经济216003.87%17.52%13.39%8.34%
教育200000.51%2.31%2.79%7.34%
艺术280000.81%3.69%4.46%5.65%
体育208000.20%0.13%0.06%4.65%
+ +注：数据来源《广东省2006年高等学校招生专业目录》 + +模型1的程序 + +[xfbz.m] + +clear all; + +a=[20000 0.0020 0.0066 0.0056 0.0565 + +20010 0.0031 0.0138 0.0167 0.0678 + +32090 0.0102 0.0158 0.0167 0.0930 + +28000 0.0326 0.1054 0.1785 0.0847 + +31200 0.0346 0.1120 0.1897 0.0947 + +30400 0.0305 0.1317 0.1724 0.0791 + +28000 0.0153 0.0527 0.0279 0.1017 + +31200 0.0051 0.0231 0.0279 0.0947 + +20000 0.0407 0.1844 0.1562 0.0678 + +21600 0.0387 0.1752 0.1339 0.0834 + +20000 0.0051 0.0231 0.0279 0.0734 + +28000 0.0081 0.0369 0.0446 0.0565 + +20800 0.0020 0.0013 0.0006 0.0465 + +]; + +$\mathrm{k = [10.50.1]}$ + +n=190*10^4; + +$Q = 300^{*}10^{\wedge}9;I = 1 / 3;Q = Q^{*}I;$ + +d1=zeros(39,39);d2=eye(39); + +c1=[a(:,1);a(:,1);a(:,1)]; + +c2=[k(1).\*a(:,1);k(2).\*a(:,1);k(3).\*a(:,1)]; + +$\mathsf{v} = [\mathsf{a}(:,2);\mathsf{a}(:,3);\mathsf{a}(:,4)];$ + +A1=[d1,d2;d1,-d2;-d2,d1;d2 diag((1./v)/n);zeros(1,39),ones(1,39)]; + +b=[0.9*n*c1.\*v;-0.5*n*c2.\*v;-0.1*c1;1.05*c1;Q]; + +f1 = [k(1)./a(:,1)' k(2)./a(:,1)' k(3)./a(:,1)']; + +$f = -[f1(f1./v')/n]$ ; + +[X fm]=linprog(f,A1,b,[],[],zeros(1,78),inf*ones(1,78)); + +c=[' 文史 '；语言 '；医学 '；理学 '；工程 '；信息 + +' 农林 '；' 生物 '；' 管理 '；' 经济 '；' 教育 '；' 艺术 '；' 体育 '」; + +$\times 1 = (\mathrm{X}(1:39));$ + +$x2 = (X(40:78) / 10^{\wedge}4)$ + +for $i = 1:13$ + +play1(i,:=sprintf(' %d %d %d',x1(i),x1(13+i),x1(26+i)); + +play2(i,:)=sprintf(' %d %d %d',x2(i),x2(13+i),x2(26+i)); + +end + +play11=[c play1];play22=[c play2]; + +disp('各批别院校各类专业的标准收费如下：（单位：元）') + +disp('专业类别 第一批 第二批 第三批 + +1) + +disp play11) + +disp('') + +disp('') + +disp('各类别院校各类专业应该分配到的用于教学部分的国家拨款和社会资助：（单位：万元）') + +disp('专业类别 + +第一批 + +第二批 + +第三批 + +） + +disp play22) + +模型2和模型3的程序 + +[Un.m] + +clear all;clc; + +xfbz; + +a2=[5000 12500 17500 22500]; + +$h = [0.40.30.20.1]$ + +t1=eye(156); + +f0=3000; p=0.25; + +Q1=sum(X(40:78));p1=0.7; + +Q2 = Q - Q1; do = 5000; Q2 = p * Q2; + +A11=[t1;-t1; $(\mathsf{p}^{*}\mathsf{n})$ .*[v;v;v;v]'; + +E1=[x1;x1;x1;x1]; + +E2=-[h(1)*x1;h(2)*x1;h(3)*x1;h(4)*x1]; + +E=zeros(313,1); + +$\% E = [E1;E2:Q2]$ + +[ \mathrm{E}(1:156) = \mathrm{E}1 + \mathrm{f}0; \mathrm{E}(157:312) = \mathrm{E}2; \mathrm{E}(313) = \mathrm{Q}2; ] + +f2=zeros(1,156); + +for $i = 1:4$ + +f2(39*i-38:39*i)=-a2(i); + +end + +format rat + +[Uf2m]=linprog(f2,A11,E,[], [],zeros(1,156),do*ones(1,156)); + +for $j = 1:4$ + +$\times 3(:,j) = U(39^{*}j - 38:39^{*}j,:)$ + +for $i = 1:13$ + +play3(i,:)j) $\equiv$ printf(' + +%d + +%d + +$\% \mathrm{d}^{\prime},\mathrm{x3(i,j)},\mathrm{x3(13 + i,j)},\mathrm{x3(26 + i,j))};$ + +end + +end + +disp('四类不同家庭收入的贫困生应该获得的国家补贴如下：') + +%家庭年均收入为5000元以下 + +play13=[c play3(:,:,1)]; + +disp('') + +disp('1.家庭年均收入为5000元以下的各专业学生应该获得的国家补贴如下： + +（单位：元） + +disp('专业类别 + +第一批 + +第二批 + +第三批 + +```matlab +') +disp play13) +%家庭年均收入为5000元～10000元 +play13=[c play3(:,.,2)]; +disp('') +disp('2.家庭年均收入为5000元～10000元的各专业学生应该获得的国家补贴如下：（单位：元）') +disp('专业类别 第一批 第二批 第三批') +disp play13) +%家庭年均收入为10000元～15000元 +play13=[c play3(:,.,3)]; +disp('') +disp('3.家庭年均收入为10000元～15000元的各专业学生应该获得的国家补贴如下：（单位：元）') +disp('专业类别 第一批 第二批 第三批') +disp play13) +%家庭年均收入为15000元～25000元 +play13=[c play3(:,.,4)]; +disp('') +disp('4.家庭年均收入为15000元～25000元的各专业学生应该获得的国家补贴如下：（单位：元）') +disp('专业类别 第一批 第二批 第三批') +disp play13) +[y1,y2]=meshgrid(a2,x1); +title('国家补助与学生学费和家庭收入的关系图像') +xlabel('家庭年平均收入/元') +ylabel('学生需交学费/元') +zlabel('国家补助/元') +mesh(y1,y2,x3) +surf(y1,y2,x3) +xx=zeros(156,2); +xx(:,1)=E1; +for i=1:4 + xx(39*i-38:39*i,2)=a2(i); +end +[k,res,re]=regress(U,[xx(:,1).*xx(:,2)xxones(156,1)]); +ss=sum((U-mean(U)).^2);rs=sum(re.^2);R=(ss-rs)/ss; +disp('') +disp('') +pl1=sprintf('对国家补助与学生学费和家庭收入的关系进行二元二次拟合，拟合的相关系数为：%d',R); +``` + +disp(p11) +disp('拟合方程如下：') +pl2=sprintf('国家补助=(%d)×学费×家庭收入+(%d)×学费+(%d)×家庭收入 +$+(\% \mathrm{d})^{\prime},\mathrm{k})$ +disp(pl2) \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\351\253\230\346\240\241\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\347\232\204\347\240\224\347\251\266/\351\253\230\346\240\241\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\347\232\204\347\240\224\347\251\266.md" "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\351\253\230\346\240\241\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\347\232\204\347\240\224\347\251\266/\351\253\230\346\240\241\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\347\232\204\347\240\224\347\251\266.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0eb7928e190e41eb4c6d9d2407c3b741b74f73cf --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2008/B\351\242\230/\351\253\230\346\240\241\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\347\232\204\347\240\224\347\251\266/\351\253\230\346\240\241\346\225\231\350\202\262\345\255\246\350\264\271\346\240\207\345\207\206\347\232\204\347\240\224\347\251\266.md" @@ -0,0 +1,741 @@ +# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B + +我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1919 + +所属学校（请填写完整的全名）： 华南农业大学 + +参赛队员 (打印并签名)：1. 张迪英 +2. 麦培元 +3. 陈寅 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 金玲玉 + +日期：2008年9月22日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
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+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 高等教育学费标准问题的研究 + +# 摘要 + +本文主要分两个不同的角度对学费标准问题进行了研究，第一角度是通过建立综合评价模型来制定学费合理性的评价方法，第二角度是通过建立多目标规划模型来制定合理的学费价格体系。 + +从第一个角度出发，建立了一个综合评价模型（模型一）来制定学费合理性的评价方法，运用这种方法可按照各类学校或专业的学费合理程度的高低对其进行综合排序。 + +模型一首先是从教育投资效益的角度出发来分析“学费的合理性”的影响因素，构造了劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标，并利用极差标准化法对这5个指标进行标准化处理。然后运用偏大型正态分布函数作为动态加权函数，对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标，指标的数值越大说明学费的合理性越高。模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。若将全国所有普通高等学校按照省份分为31类，应用模型一，各类高校学费的综合评价结果是浙江省、湖北省、江西省高校的学费合理性最大，福建省高校的学费合理性最小。 + +从第二个角度出发，建立了一个多目标规划模型（模型二）来制定合理的学费价格体系，运用这个体系可制定出全国整体水平的最优学费价格和生均奖贷助学金。 + +模型二是从全国整体水平出发，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担约束、社会经济约束和学校财力约束，建立多目标规划模型。通过线性加权将多目标规划模型化为单目标规划模型，用LINGO软件求得全局最优解。求解的结果是全国普通高等学校最优的平均学费价格是4298.35元，生均奖贷助学金是644.75元。分析结果得出，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，应当进行适当地下调高校学费，下调的幅度大概为 $12.84\%$ ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为 $5.79\%$ 。 + +模型的改进方面，在模型二的基础上，建立了一个能够对具体学校的具体专业学费进行合理定价的模型。 + +本文的最大的亮点在于学费价格体系中不仅考虑了学费标准，还考虑了奖贷助学金的发放标准。另外，运用了偏大型正态分布函数作为动态加权函数，对评价指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标也是本文的一个优点。最后，本文还对制定学费标准的具体方案给出了建议，并对三个模型在实际中的应用价值进行了讨论。 + +关键词：高等教育学费标准 多目标规划 综合评价指标 学费价格体系 + +# 一 问题的提出 + +学费政策是教育财政政策的重要组成部分。在现行制度下，大学学费标准的制定和实行属于地方管辖，即由学校所属地区的地方政府物价局根据当地物价水平来确定，所以全国各地的大学学费标准及其确定方式也不尽相同。[1] + +高等教育的学费问题涉及到每一个大学生及其家庭。过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又会导致学校财力不足而无法保证培养质量。根据相关规定，高等教育属于非义务教育，其成本主要是根据高等教育收益分享情况进行分摊，即遵循“谁收益、谁负担”的原则。基于此理论，我国于1993年试行并轨招生，缴费上学制度开始在部分高校试行。到1997年，全国高校全部并轨收费。然而，自高等教育实行收费政策以来，收费标准出现了逐步攀升的情况，以至于学费水平在一定程度上成了人们关注的社会问题，也成为人们争议的社会焦点。[2] + +本文需解决的问题是根据中国国情，收集相关数据，并据此建立数学模型，对学费标准进行定量分析，得出明确的、有说服力的结论。然后根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。 + +# 二 问题的分析 + +高等教育的经费主要由政府拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成，其中由受教育者及其家庭所承担的学费是本文主要的讨论对象。目前学费收入已成为高等学校办学经费的主要来源之一，也已成为维系学生与学校经济关系的主要纽带。在学费的背后，体现着市场经济下学生、学校之间重要的经济关系。高等教育学费是一种作为市场主体的高等学校和学生之间的自愿市场交换行为，其中高等教育是一种商品，学费是高等教育产品的价格表现。因此，无论从形式还是内容上其价格的性质都已经具备。简而言之，高等教育学费就是一种价格。【3】 + +为了探讨学费的标准，首先要分析普通高等学校教育经费的收入来源和支出用途，根据《2007中国教育经费统计年鉴》，分析得出高校经费的收入来源和支出用途，如下图所示： + +![](images/f9812d75e48db0ecd69d2ee5803d012d89f2401d35146fe0aa0e8647f90f68e3.jpg) +图1 普通高等学校经费的收入和支出 + +另外，为了照顾符合接受高等教育条件但是家庭经济困难的学生，可以通过申请奖学金、贷学金和助学金来获得资助、减少学费的支出。因此，在研究学费标准时，不仅要考虑学费自身的标准，还要兼顾考虑奖学金、贷学金和助学金的标准。这里为了简化问题，我们将奖学金、贷学金和助学金结合起来进行分析，统称为“奖贷助学金”。 + +对于这个问题，我们考虑从整体和局部两个角度出发来分析和解决问题。 + +首先，从整体出发，分成三个步骤来对我国的学费价格进行定量分析。 + +![](images/cd8bb5ed80f568be1505d08f84ca883d4e00a816f4ce48a6063fb728045ba338.jpg) +图2 整体解题步骤 + +第一步是探讨学费价格的影响因素，即在确定学费时需要考虑哪些因素的影响。比如，主要的影响因素有家庭经济承担能力、生均培养成本的分担情况和学校的财政能力等。然后根据分析结果来收集所需的相关数据。 + +第二步是建立一个评价学费是否合理的方法，来分析目前我国高等教育学费的合理性，即确定学费的收取是否合理。概括地说，就是根据前面的分析结果，结合主要的相关因素，利用综合评价方法，建立一个评价准则，然后运用这个评价方法，可对几类学校或专业的学费合理性进行评价。 + +第三步是根据学费价格的影响因素，制定出科学合理的学费价格体系，即确定最优的学费价格和奖贷助学金。简单地说，科学合理的学费价格体系是指既能使学生有能力支付，又能满足学校财务需求、并保证教学质量。 + +以上三个步骤是对全国的平均学费价格水平进行总体分析。 + +然后，具体地，从局部出发，结合三个方面对问题进行深入探讨。 + +![](images/f146a23aec7f19cb09a5af6fd13374946bb887a45296835ba14f2e18e3077861.jpg) +图3 局部分析的三个方面 + +这里的局部性是指具体考虑适合某个地区的某类学校中某个专业的学费价格体系。 + +第一方面是考虑地区差异对学费价格的影响，主要是考虑当地的区域经济发展水平的影响。我国各地区的经济发展并不均衡，各地居民的经济收入状况也存在差异，导致了高校的学费水平也存在区域差异。 + +第二方面是考虑学科专业差异对学费价格的影响，即考虑专业的冷热门、专业的培养需求和对社会的贡献率的影响。也就是说，相对而言，热门专业的学生应缴纳较高的学费，来与其毕业后较高的收益想匹配。同时，某些专业自身的特点使其培养成本较高，相应地要求就读的学生缴纳较高的学费，比如艺术类专业。而对于社会回报率较高、个人回报率较低的专业，其学费应保持在一个较低的水平。[5] + +第三方面是考虑办学层次的差异，即考虑学校的性质是本科院校、专科院校还是民办院校。学费和教育成本的关系非常密切，本科院校属于重点学校，其教育成本一般比专科院校的教育成本高，因为本科院校需要聘请更多的优秀教学科研人员，所以需要支付更高的薪酬；同时，本科院校的科研、教学、生活设施一般要比专科院校完善，这也会带来更多的投入。又因为重点学校的需求也比普通学校多，所以理论上其学费价格也 + +应该比较高，才能使成本与收益相匹配。但是由于重点学校得到政府和社会提供的财政经费要远高于普通学校，因此能够接受相对较低的学费。这就是我国高等教育中普遍存在“高质低价、低质高价”现象的原因。另外，民办高校由于缺少政府的财政扶持，主要依靠学费作为办学经费的主要来源，所以其学费水平应高于同类的公立院校。 + +以上三个方面的分析是对问题的细化和深化，使得学费的确定标准更加具体、更加具有针对性。 + +# 三 模型的假设 + +（1）假设各类学校学费价格的制定互不影响。 +（2）假设国家和社会对普通高等学校的资助金额能够全部到位。 +（3）假设不考虑流动资金的时延性。 + +# 四符号的说明 + +
\(I_i\)模型一的第i个指标(i=1,2,···,5);\(w_i\)模型一第i个指标的权值(i=1,2,···,5)
\(M_1\)应届应该毕业的学生总数;\(M_1'\)应届实际毕业的学生人数;
\(M_2\)学校教职工人数;\(M_2'\)高校的教师总数;
\(S_2\)年获得国家授权的科研项目数;\(M_3\)学校用于教学性经费的支出
\(Y_i\)模型二的第i个指标(i=1,2,3,4);\(C_i\)第i个比率(i=1,2,3,4);
\(x_1\)学费价格;\(x_2\)生均奖贷助学金;
\(F\)高等学校经费总收入;\(F'\)高等学校经费总支出;
\(F_1\)国家对高校的财政拨款;\(F_2\)社会对高校的捐资经费;
\(F_3\)学校自筹资金;\(F_4\)高校教职工的工资福利;
\(F_5\)学校公务费;\(F_6\)学校设备建设;
\(f_1\)国家生均拨款;\(f_2\)生均社会捐资经费;
\(f_3\)生均学校自筹资金;\(f\)生均教育培养成本;
\(E\)恩格尔系数;\(N\)学生总人数;
\(p_1\)居民人均收入;\(p_2\)大学毕业生的人均工资;
\(\overline{p}_2\)人均工资;\(p_3\)平均家庭收入;
\(p_4\)人均GDP;λ专业培养系数;
μ专业的社会贡献系数;ξ学校重点系数;
+ +# 五 模型的建立与求解 + +本节主要分为两大部分，第一部分是通过建立综合评价模型来制定学费合理性的评价方法。模型一中，以劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标为评价指标，运用偏大型正态分布函数对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标，模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。第二部分是通过建立多目标规划模型来制定合理的学费价格体系。模型二中，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担约束、社会经济约束和学校财力约束。模型二可制定出全国整体水平的最优学费价格和生均奖贷助学金。 + +# 5.1学费合理性的综合评价方法 + +# 5.1.1 模型一的分析 + +建立这个模型的目的是为了对学费的合理性进行综合评价，这就需要对评价指标进行设置。在问题的分析中提过，高等教育是一种商品，学费是高等教育产品的价格表现，因此所设置的评价指标要能够反映出高等学校的教育投资效益。评价指标的设置必须能够充分反映办学目标的要求，既要结合当前的实际又要着眼于未来。 + +高等教育的宏观效益包括社会效益和经济效益两大方面。高等教育的社会职能是教学、科研、生产三者相结合，是培养高级人才和发展科学文化技术的部门，因此从某种意义上讲，其社会效益也包含在经济效益内。 + +结合实际情况和理论分析，构建了评价指标体系，包括了以下5个评价指标： + +指标1：劳动成果指标； + +指标2：科研成果指标； + +指标3：劳动占用指标； + +指标4：劳动消耗指标； + +指标5：资源利用指标。 + +# 指标分析： + +# （1）劳动成果指标 + +这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中的劳动成果，这个劳动成果是指接受高等教育学生的质量，这里用毕业生的人数来进行度量。如果实际毕业的学生人数占应该毕业人数的比例较小的话，就说明毕业生的质量达不到基本条件，劳动成果的合格率太低；如果实际毕业的学生人数占应该毕业人数的比例较大，就说明毕业生的质量达到基本条件，劳动成果的合格率较高。所以这个指标的数值越大，效益越好。劳动成果指标可表示为 + +$$ +I _ {2} = \frac {M _ {1} ^ {\prime}}{M _ {1}}, \tag {1} +$$ + +其中， $M_{1}$ 为应届应该毕业的学生总数； $M_{1}^{\prime}$ 为应届实际毕业的学生人数。 + +# （2）科研成果指标 + +科研成果是作为考核高校内部投资效益的辅助指标，这里用学校教职工人均创造的科研成果数来进行量化。如果学校人均创造的科研成果数越多，则说明学校师资力量大， + +科研能力强；如果学校人均创造的科研成果数越少，则说明学校师资力量小，科研能力弱。所以这个指标的数值越大，效益越好。科研成果指标可表示为 + +$$ +I _ {3} = \frac {S _ {2}}{M _ {2}}, \tag {2} +$$ + +其中， $M_{2}$ 为学校教职工人数； $S_{2}$ 为年获得国家授权的科研项目数。 + +# （3）劳动占用指标 + +这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对劳动资源的占用情况，这里是用学校中学生与教师的比例来进行量化。如果学生与教师的比例越大，则说明单位劳动力的服务范围越大，因此对劳动力资源的占用就越小；如果学生与教师的比例越小，则说明单位劳动力的服务范围越小，因此对劳动力资源的占用就越大。所以这个指标的数值越大，效益越好。劳动占用指标可表示为 + +$$ +I _ {4} = \frac {N}{M _ {2} ^ {\prime}}, \tag {3} +$$ + +其中， $N$ 为高校的在校学生总数； $M_2'$ 为高校的教师总数。 + +# （4）劳动消耗指标 + +这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对劳动资源的消耗程度，这里是用学校用于培养每一名大学生的年实际消耗来进行量化。如果高校对于劳动的消耗程度越快，则需要的投资就越多。这个指标的数值越小，效益越好。劳动消耗指标可表示为 + +$$ +I _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} / N + x _ {1}, \tag {4} +$$ + +其中， $F_{1}$ 为国家财政拨款； $F_{2}$ 为社会捐资经费； $F_{3}$ 为学校自筹资金； + +$N$ 为高校的学生总数； $x_{1}$ 为学费价格。 + +# （5）资源利用指标 + +这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对资源的利用情况，这里是用学校教学性经费占教育事业总支出的比例来进行量化。如果学校教学性经费占教育事业总支出的比例越大，说明学校把越多的经费放在教学质量上，即把资源主要利用在教学上。这个指标的数值越大，效益越好。资源利用指标可表示为 + +$$ +I _ {5} = \frac {M _ {3} ^ {\prime}}{M _ {3}} \tag {5} +$$ + +其中， $M_{3}$ 为学校用于教学性经费的支出； $M_{3}^{\prime}$ 为学校用于教育事业的总支出。 + +# 5.1.2 模型一的建立 + +基于5.1.1的分析，以 $(1)\sim (5)$ 为评价指标，建立综合评价模型。这个模型的作用是对于已知的若干类学校的学费价格及其相关的基本情况，求出这些学校的学费价格的综合评价指标，然后可按照综合评价指标的大小对这些学校进行排序，其综合评价指标越大的学校，其学费价格的合理性越高。 + +在建立评价指标体系时，考虑了5个指标，其中有4个指标是越大越好，1个指标是越小越好。同时，由于不同指标的性质不同，量纲不同，之间不具有可比性。为了得到一个实用性更强的综合评价模型，我们首先将各指标统一成标准化指标。 + +这里应用相对隶属度的定义，取方案集的最大特征值对优的相对隶属度为1，方案集的最小特征值对优的相对隶属度为0。 + +具体地，对于“值越大越好”的指标，已知进行评价的 $k$ 类学校的指标值，其极差标准化的公式为 + +$$ +\frac {I _ {k} - \min \{I \}}{\max \{I \} - \min \{I \}} \tag {6} +$$ + +对于“值越小越好”的指标，已知进行评价的 $k$ 类学校的指标值，其极差标准化的公式为 + +$$ +\frac {\operatorname* {m a x} \left\{I \right\} - I _ {k}}{\operatorname* {m a x} \left\{I \right\} - \operatorname* {m i n} \left\{I \right\}} \tag {7} +$$ + +然后采用动态加权法来确定相应的综合评价指标，这里取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即 + +$$ +w _ {i} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & x \leq \alpha_ {i} \\ 1 - \exp \left[ - \left(\frac {x - \alpha_ {i}}{\sigma_ {i}}\right) ^ {2} \right], & x \geq \alpha_ {i} \end{array} \quad (i = 1, 2, \dots , 5) \right. \tag {8} +$$ + +由实际数据经计算可得 $\alpha_{1} = 0.7112$ ， $\alpha_{2} = 0.6567$ ， $\alpha_{3} = 0.1733$ ， $\alpha_{4} = 0.6694$ ， $\alpha_{5} = 0.3376$ ； $\sigma_{1} = 0.2186$ ， $\sigma_{2} = 0.2348$ ， $\sigma_{3} = 0.2433$ ， $\sigma_{4} = 0.2542$ ， $\sigma_{5} = 0.2208$ 。代入上式可以得到5项指标的权值函数。因此，某类学校学费合理性的综合评价指标定义为 + +$$ +R = \sum_ {i = 1} ^ {5} w _ {i} \left(I _ {i}\right) \times I _ {i} \tag {9} +$$ + +这个模型的优点是适用性和灵活性强。通过收集相应的数据，这个模型可适用于评价和比较不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。这里不同类型的学校是指可根据实际需要对学校进行分类，比如可以将学校按所在省份分为广东省高校、湖南省高校等；或按学校性质分为本科高校、专科高校和民办高校；或按学校特点分为师范类、理工类等。 + +# 5.1.3 模型一的应用 + +具体地，我们将全国所有的普通高等学校按其所在省份分为31类，再应用模型一，对全国31个省份的高校学费价格进行综合评价分析。 + +首先，收集模型一所需要用到的数据，如下表所列 + +表 1 求解模型一所收集的数据 + +
各省份应届应该毕业的学生总数各省份应届实际毕业的学生人数
各省份普通高校教职工人数各省份年获得国家授权的科研项目数
各省份普通高校的在校学生总数各省份高校获得的政府财政拨款
各省份高校获得的社会捐资经费各省份的高校自筹资金
各省份的高校学生总数各省份的高校学费价格
各省份高校用于教学性经费的支出各省份高校用于教育事业的总支出
+ +注：以上数据来源于《2007 中国统计年鉴》和《2007 中国教育经费统计年鉴》, 其中部 + +分数据是通过年鉴中的相关数据计算求得的。 + +然后，应用综合评价模型，运用Matlab软件编程进行求解，先求出模型中5个评价指标的值（其具体数值见附录的表9）；接着将5个指标的数据进行标准化（其具体数值见附录的表10）；再对5个指标标准化后的值进行动态加权，得出31个省份的综合评价指数。按照综合评价指标的大小对这些学校进行排序，其综合评价指标越大的学校，其学费价格的合理性越高。结果如下表所示： + +表 2 各省份的综合评价指数和排序 + +
省份综合评价指数排序省份综合评价指数排序
北京0.836212湖北1.55722
天津0.433525湖南1.19267
河北1.20226广东1.20255
山西0.29929广西0.08230
内蒙古0.472524海南0.841511
辽宁0.511622重庆0.377328
吉林1.15118四川0.479423
黑龙江0.563321贵州0.743415
上海0.885610云南0.625518
江苏0.579120西藏1.2254
浙江1.63561陕西0.580719
安徽0.794414甘肃0.713117
福建0.05631青海0.96419
江西1.54913宁夏0.40927
山东0.427826新疆0.720216
河南0.796713
+ +由上表结果可知，在全国的31个省份中，浙江省高校的学费合理性最高，其次是湖北省和江西省；福建省高校的合理性最低。 + +# 5.2 制定科学合理的学费价格体系 + +# 5.2.1 数据的处理 + +# (1) 生均奖贷助学金 + +对于适合接受高等教育但又经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。因此，奖助贷学金的发放，从一定程度上降低了受教育者在经济上的负担。也就是说，对于经济困难的学生，可能所制定的学费超过其经济承受能力，但由于奖助贷学金的资助，使得贫困生实际交纳的学费又降低到其经济承受能力之内。因此，在制定学费标准时，同时要结合考虑奖贷助学金的制定对其产生的影响。 + +这里为了便于和学费进行统计分析，引入一个生均奖贷助学金的概念。 + +生均奖贷助学金是指每个受教育学生可以摊分到的奖贷助学金，其中奖贷助学金是对奖学金、贷学金和助学金的统称。其计算方法为 + +$$ +\text {生 均 奖 助 贷 学 金} = \frac {\text {全 国 奖 贷 助 学 金 支 出}}{\text {学 生 总 数}}. +$$ + +# (2) 生均教育培养成本 + +一般来说教育培养成本是指学校为培养高级专门人才而开支的费用，它是确定收费标准的基础。而生均教育培养成本就是指学校培养每个学生而开支的平均费用。 + +按照我国颁布的《高等学校收费管理暂行办法》，教育培养成本包括公务费、业务费、设备购置费、修缮费、教职工作人员经费等正常办学费用支出。因此，将教育培养成本除以学生总数就可得到生均教育培养成本。 + +# 5.2.2 模型二的分析 + +建立这个模型的目的是为了制定对于全国整体水平来说合理的学费价格和生均奖贷助学金。我们以学费价格和生均奖贷助学金作为变量，设全国高等学校的平均学费价格为 $x_{1}$ ，平均的生均奖贷助学金为 $x_{2}$ 。结合实际，主要考虑制定合理的学费价格和生均奖贷助学金，以满足如下几个需求因素： + +目标1：培养质量指标最大； + +目标2：学生就读指标最大； + +目标3：办学收益指标最大； + +目标4：学生收益指标最大。 + +# 目标分析： + +# 目标1：培养质量指标最大 + +高校是高等教育的供给方，而学费具有价格的功能，因此学费价格会影响高校所供给的培养质量。同时，培养质量是高等教育的一个核心指标，其质量需要有相应的经费来做保障，即运用学费的价格功能能够促使高校提高办学质量。 + +对于培养质量，我们主要从三方面进行衡量，分别是师资力量、教育设备和教学氛围。师资力量主要体现在教师人数和教师级别上，这可以用教育经费中教职工的工资费用来衡量；教育设备可以用教育经费中在教学设备上的花费来衡量；教学氛围主要体现在学生的学习积极性上，可以用教育经费中学校奖学金的资助力度来衡量。这三方面的花费在教育经费总支出中的比重可以从一定程度上反映出培养质量。 + +如果学校的经费越充足，则可以花费在这三方面的经费就越多，相应地，学校对学生的培养质量就越高。也就是说，学费价格会对培养质量产生影响，因为学费越高，学校的经费就越充足。 + +因此结合全国高校在师资、设备和奖贷助学金这三方面的费用和学费价格，定义一个培养质量指标。因为培养质量越大越好，所以培养质量指标最大可表示为 + +$$ +\max Y _ {1} = \frac {x _ {1}}{f _ {1}} \times \frac {F _ {4} + F _ {6} + N x _ {2}}{F ^ {\prime}}, \tag {10} +$$ + +其中， $F^{\prime} = \sum_{i = 4}^{7}F_{i} + Nx_{2}$ ， $F^{\prime}$ 为全国高校经费的总支出； + +$x_{1}$ 为全国高等学校的平均学费价格； $x_{2}$ 为全国平均的生均奖贷助学金； + +$f_{1}$ 为国家生均拨款； $N$ 为全国高校的学生总数； + +$F_{4}$ 为全国高校教职工的工资福利； $F_{6}$ 为全国高校的设备费用。 + +在这个指标中， $\frac{F_{4} + F_{6} + Nx_{2}}{F^{\prime}}$ 是学校培养质量型经费占教育事业总支出的比例，如 + +果学费越高或生均奖贷助学金越高，则花费在培养质量的经费就越多，培养质量也越大。 + +# 目标2：学生就读指标最大 + +虽然学费越高，学校对学生的培养质量也越高，但是过高的学费会使学生无力支付，为此我们建立第二个目标函数。我国目前的高等教育是处于供不应求的情况，教育部门按照高考成绩和考生志愿来分配学位。但是由于学费价格的影响，对于无法承担这个学费价格的学生，可能会选择放弃这个受教育机会。也就是说，学费价格的提高或降低对高校学生的就读率产生影响。如果学费越高，在经济上无法承担的学生就越多，则学校的学生就读率就越低；相反地，如果学费越低，在经济上能够承担的学生就越多，则学校的学生就读率就越高。 + +因此结合恩格尔系数、居民人均收入和学费、生均奖贷助学金的关系，定义一个学生就读指标。因为学生就读指标越大越好，所以学生就读指标最大可表示为 + +$$ +\max Y _ {2} = \frac {(1 - E) \times p _ {1}}{x _ {1} - x _ {2}}, \tag {11} +$$ + +其中， $E$ 为恩格尔系数； $p_1$ 为全国的居民人均收入。 + +因为恩格尔系数反映了居民均收入中用于购买食物的百分比，所以在这个指标的计算公式中，分子表示居民均收入中满足温饱之后的可支配金额；分母是将学费价格减去生均奖贷助学金，即平均每个学生为缴纳学费所支出的费用。如果这个指标越大，说明居民的人均支配金额能够承受学费的能力越大，相应地，学校的学生就读率就越高。 + +# 目标3：办学收益指标最大 + +在问题的分析中提过，高等教育是一种商品，它是非义务教育，因此，学校作为一个经营者，必然希望自己在经济上的获利越多越好。学校的收入来源包括国家拨款、社会捐资、学校自筹资金和学费收入，学校的支出包括教职工的工资福利、学生的奖贷助学金、公务费、设备建设费用和基建支出。将这些收入和支出摊分到每个学生身上，如果学校在每个学生身上的获利越多，则其办学总获利就越大；相反地，如果学校在每个学生身上的获利越少，则其办学总获利就越少。 + +因此定义一个办学获利指标来衡量学校在每个学生身上的获利。因为对于学校而言，办学获利指标越大越好，所以办学获利指标最大可表示为 + +$$ +\max Y _ {3} = \frac {f _ {1} + f _ {2} + f _ {3} + x _ {1}}{\sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} / N + x _ {2}}, \tag {12} +$$ + +其中， $f_{1}$ 为国家生均拨款； $f_{2}$ 为生均社会捐资经费； $f_{3}$ 为生均学校自筹资金； + +$F_{4}$ 为全国高校教职工的工资福利； $F_{5}$ 为全国高校的公务费用； + +$F_{6}$ 为全国高校的设备费用； $F_{7}$ 为全国高校的基建支出费用； + +$N$ 为全国高校的学生总数。 + +# 目标4：学生收益指标最大 + +对于学生而言，选择接受高等教育相当于是对自身进行一种投资，因为在当今社会，拥有的专业知识水平越高，则竞争力也越大，相应得到的工资也会越高。也就是说，学生在大学期间是一个投资的阶段，而大学毕业之后是一个获利的阶段。如果相对于大学期间的投资而言，毕业后获得的利润越大的话，那么表明学生接受高等教育的收益越大。 + +因此结合学生投入的资金和毕业后获利的资金之间的关系，定义一个学生收益指标来衡量每个学生的投资和获利比。因为对于学生而言，收益指标越大越好，所以学生收益指标最大可表示为 + +$$ +\max \quad Y _ {4} = \frac {p _ {2} - \bar {p} _ {2}}{x _ {1} - x _ {2}}, \tag {13} +$$ + +其中， $p_2$ 是全国大学毕业生的人均工资； $\overline{p}_2$ 是全国的人均工资。 + +在这个指标中，分子是大学毕业生人均工资比全国人均工资的差值，它反映了接受大学教育与全国平均教育程度的利润差。分母是将学费价格减去生均奖贷助学金，即平均每个学生为缴纳学费所支出的费用。如果这个指标越大，说明学费的制定使得学生获得的收益越大。 + +# 约束分析： + +# （1）成本分担约束 + +美国经济学家布鲁斯·约翰斯顿在其出版的《高等教育的成本分担：英国、联邦德国、法国、瑞典和美国的学生财政资助》一书中，提出了著名的成本分担理论，即应由政府、学生家庭和社会捐赠共同分担高等教育的成本。因此，学费标准应根据年生均教育培养成本的一定比例确定。我国规定[8]，现阶段高等学校学费占年生均教育培养成本的比例最高不得超过 $25\%$ 。则成本分担约束可表示为 + +$$ +\frac {x _ {1}}{f} \leq C _ {1}, \tag {14} +$$ + +其中， $f = \sum_{i=4}^{7} F_i / N + x_2$ ， $f$ 是生均教育培养成本； + +$C_{1}$ 是比例阈值，可根据需要设定。这里根据国家规定，取 $C_{1} = 25\%$ 。 + +# （2）家庭负担约束 + +高等教育投资对于受教育者来讲是一种教育消费，对于家庭来说是整个家庭消费的一部分。收费越高，会过多挤占家庭在其它方面的消费，加重家庭的生活负担。所以高等教育收费政策的制定必须考虑我国居民承受能力，特别是奖贷助学金的发放，就是为了确保弱势群体在接受高等教育时不受经济条件的限制，为更多的人提供接受高等教育的机会，促进教育资源得到有效的配置。因此需要约束学费价格来促进教育公平的实现。 + +因而，收费标准的确定必须建立在学生及其家庭的经济基础之上，在学生及家庭的经济承受能力的允许范围之内。则家庭负担约束可表示为 + +$$ +\frac {x _ {1} - x _ {2}}{p _ {3}} \leq C _ {2}, \tag {15} +$$ + +其中， $p_3$ 是平均家庭收入，即等于全国居民人均收入乘以全国平均家庭规模； + +$C_{2}$ 是比例阈值，可根据需要设定。 + +# （3）社会经济约束 + +合理的大学学费价格必须是社会可以承受的价格。近30年的改革开放使我国在经济、科技、文化和教育等各方面都有了显著进步，最显著的变化之一就是人均GDP的提高。但是如果高校学费的增长大大高于人均GDP的增长，就会出现大学学费与人均GDP严重“倒挂”的现象。基于国民承受能力的角度，必须根据人均GDP，对我国高 + +校的学费标准进行限制。从世界整体水平而言，学费占人均GDP的比例一般在 $20\%$ 左右。则社会经济约束可表示为 + +$$ +\frac {x _ {1}}{p _ {4}} \leq C _ {3}, \tag {16} +$$ + +其中， $p_4$ 是全国人均GDP； $C_3$ 是比例阈值，这里根据世界水平取 $C_3 = 20\%$ 。 + +# （4）学校财力约束 + +过低的学费会使学校财力不足而无法保证其教学正常运作，因此，学生缴纳的学费总数需要能够保障学校教学工作的开展，即学校的总收入必须大于学校的总支出。则学校财力约束可表示为 + +$$ +N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i}, \tag {17} +$$ + +其中， $F_{1}$ 为国家财政拨款； $F_{2}$ 为社会捐资经费； $F_{3}$ 为学校自筹资金； + +$F_{4}$ 为全国高校教职工的工资福利； $F_{5}$ 为全国高校的公务费用； + +$F_{6}$ 为全国高校的设备费用； $F_{7}$ 为全国高校的基建支出费用； + +$N$ 为全国高校的学生总数。 + +# （5）学费资助约束 + +为了确保贫困生在接受高等教育时不受经济条件的限制，学校发放给贫困生助学金或贷学金；为了鼓励品学兼优的学生，学校发放给优秀生奖学金。这些资助费用都从一定程度上减免了学生的学费。本文为了便于计算，提出一个生均奖贷助学金的概念，即将奖贷助学金摊分给每个受教育学生，其中奖贷助学金是对奖学金、贷学金和助学金的统称。为了在资助学生的同时又保证学校的利益，生均奖贷助学金占学费的比例需要有一个上限。则学费资助约束可表示为 + +$$ +\frac {x _ {2}}{x _ {1}} \leq C _ {4}, \tag {18} +$$ + +其中， $C_4$ 是比例阈值，可根据需要设定。 + +# 5.2.3 模型二的建立 + +针对这个多目标决策问题，基于5.2.1的分析，以 $(10)\sim (13)$ 为目标，以 $(14)\sim (18)$ 为约束，建立多目标规划模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \max \quad Y _ {1} = \frac {x _ {1}}{f _ {1}} \times \frac {F _ {4} + F _ {6} + N x _ {2}}{F ^ {\prime}} \\ \max \quad Y _ {2} = \frac {(1 - E) \times p _ {1}}{x _ {1} - x _ {2}} \\ \max Y _ {3} = \frac {f _ {1} + f _ {2} + f _ {3} + x _ {1}}{\sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} / N + x _ {2}} \\ \max \quad Y _ {4} = \frac {p _ {2} - \bar {p} _ {2}}{x _ {1} - x _ {2}} \\ \end{array} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} - x _ {2} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right. +$$ + +模型说明： + +目标1为培养质量指标最大，目标2为学生就读指标最大，目标3为办学获利指标最大，目标4为学生收益指标最大； + +约束1为成本分担约束，约束2为家庭负担约束，约束3是社会经济约束，约束4是学校财力约束，约束5是学费资助约束； + +$x_{1}$ 为全国高等学校的平均学费价格； $x_{2}$ 为全国平均的生均奖贷助学金； + +$F_{1}$ 为国家财政拨款； $F_{2}$ 为社会捐资经费； $F_{3}$ 为学校自筹资金； + +$F_{4}$ 为全国高校教职工的工资福利； $F_{5}$ 为全国高校的公务费用； + +$F_{6}$ 为全国高校的设备费用； $F_{7}$ 为全国高校的基建支出费用； + +$N$ 为全国高校的学生总数； $F^{\prime}$ 为全国高校经费的总支出； $E$ 为恩格尔系数； + +$p_{1}$ 为全国的居民人均收入； $p_{2}$ 是全国大学毕业生的人均工资； + +$\overline{p}_{2}$ 是全国的人均工资； $p_{3}$ 是平均家庭收入； $p_{4}$ 是全国人均GDP； + +$f$ 是生均教育培养成本； $f_{1}$ 为国家生均拨款； $f_{2}$ 为生均社会捐资经费； + +$f_{3}$ 为生均学校自筹资金； $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $C_{4}$ 是比例阈值。 + +# 5.2.4 模型二的求解 + +# （1）数据的收集 + +为了对模型二进行求解，首先我们收集求解模型所需要用到的数据，如下表所列： + +表 3 求解模型二所用的数据 + +
数据名称数据
全国普通高等学校国家财政拨款125,957,124,000元
全国普通高等学校社会捐资经费1,933,151,000元
全国普通高等学校自筹资金56,972,147,000元
全国高校教职工的工资福利92,109,757,000元
全国高校的公务费用82,509,664,000元
全国高校的设备费用36,744,586,000元
全国高校的基建支出费用37,113,047,000元
全国高校的学生总数19,158,000人
全国的居民人均收入7174.7元
全国人均GDP18268元
全国恩格尔系数39.8%
全国平均家庭户规模3.17人/户
全国大学毕业生的人均工资33444元
全国的人均工资21001元
+ +注：以上数据来源于《2007 中国统计年鉴》和《2007 中国教育经费统计年鉴》，其中部分数据是通过年鉴中的相关数据计算求得的。 + +# （2）模型的求解 + +这是一个多目标决策问题，其求解可采用多属性效用函数，将多目标规划模型转化为单目标规划模型来求解。 + +首先，这里考虑到模型二中的4个目标函数都是要求最大化，因此我们运用线性加权法将多目标规划模型化为单目标规划模型来求解，加权得到的优化模型如下所示： + +$$ +\max Z = \omega_ {1} Y _ {1} + \omega_ {2} Y _ {2} + \omega_ {3} Y _ {3} + \omega_ {4} Y _ {4} \tag {19} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} - x _ {2} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right. +$$ + +根据前面的分析，约束条件中的4个比例阈值分别取为 $C_1 = 25\%$ 、 $C_2 = 20\%$ 、 $C_3 = 20\%$ 、 $C_4 = 15\%$ 。另外，取 $\omega_{1} = \omega_{2} = \omega_{3} = \omega_{4} = 0.25$ ，然后运用LINGO软件编程求解全局最优解，得到的结果为 + +表 4 全国水平的合理学费价格 (单位：元) + +
项目费用
学费4298.35
生均奖贷助学金644.75
+ +上表显示，全国普通高等学校每位学生每年的平均学费为4298.35元，生均奖贷助学金为644.75元是最优值。 + +由《2007中国教育经费统计年鉴》中的数据，用全国高等学校的总学费收入除以在校学生数，得到目前普通高等学校的平均学费为4931.58元；用全国高等学校的总奖助学金除以在校学生数，得到目前普通高等学校的生均奖贷助学金为609.46元。 + +根据结果可知，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，进行适当地下调，下调的幅度大概为 $12.84\%$ ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为 $5.79\%$ 。这样既能够减少学生的经济负担，又可以保证培养质量，同时也不会影响学校教学工作的正常运作。 + +# 六 模型的改进 + +运用模型二，我们可以制定出针对全国高等学校平均水平的合理学费价格和生均奖贷助学金。在实际生活中，不同地区、不同类型的学校、不同专业的学生所需要缴纳的学费各不相同。为了能够具体地制定出某地区某个学校中某个专业的合理学费价格，在模型的改进方面，我们考虑对模型二进行改进，建立一个能够计算出具体地区、具体学校、具体专业的模型。 + +在问题的分析中提过，地区、学校类型和专业这三个因素都会对学费价格产生影响。为了衡量这些因素所产生的影响，我们制定了以下三个系数： + +# （1）社会贡献系数 $\lambda$ + +这个系数是根据专业性质来确定的。对于不同的专业，由于其学生毕业之后对社会的贡献不同，相应地，国家的资助力度也不相同。比如师范类专业，由于师范类专业学生毕业后大部分为国家的教育事业服务，对社会的贡献较大，而教师的工资水平不高，所以个人获得的回报较少，因此国家对师范类专业的资助力度较大。因此，对于这种社会贡献率较高、个人回报率较低的专业，由于国家的资助力度较大，所以其学费可以保持在一个较低的水平。 + +针对这种情况，我们根据专业性质定义一个社会贡献系数，来对不同专业获得的国家资助力度对学费产生的影响进行量化。 + +这里我们将专业分为7大类，分别是理工类、文科类、商科类、师范类、艺术类、农林类、医科类。根据每个专业的性质，对其社会贡献系数进行估计，如下表所示： + +表 5 各专业的社会贡献系数 + +
专业理工类文科类商科类师范类艺术类农林类医科类
社会贡献系数1111.511.81.2
+ +# (2) 专业培养系数 $\mu$ + +这个系数是根据专业特点来确定的。对于不同的专业，受教育学生的培养成本不同。某些专业自身的特点使其培养成本较高，相应地要求就读的学生缴纳较高的学费，比如艺术类专业。 + +针对这种情况，我们根据专业特点定义一个专业培养系数，来对不同专业的生均培养成本对学费产生的影响进行量化。 + +根据每个专业的特点，对其社会贡献系数进行估计，如下表所示： + +表 6 各专业的专业培养系数 + +
专业理工类文科类商科类师范类艺术类农林类医科类
专业培养系数1110.81.80.81.6
+ +# （3）学校重点系数 $\xi$ + +由于重点学校得到政府和社会提供的财政经费要远高于普通学校，因此重点高校能够接受相对较低的学费。这就是我国高等教育中普遍存在“高质低价、低质高价”现象的原因。另外，民办高校由于缺少政府的财政扶持，主要依靠学费作为办学经费的主要来源，所以其学费水平应高于同类的公立院校。 + +针对这种情况，我们根据学校性质定义一个学校重点系数，来对不同类学校获得的国家资助力度对学费产生的影响进行量化。 + +这里我们将学校按其重点程度分为3类，分别是重点本科学校、普通本科学校和专科学校。根据每类学校的性质，对其学校重点系数进行估计，如下表所示： + +表 7 各类学校的学校重点系数 + +
学校重点本科普通本科专科
学校重点系数1.51.21
+ +建立这个改进模型的目的是为了制定某类学校具体专业的合理学费价格和生均奖贷助学金。我们以学费价格和生均奖贷助学金作为变量，设该学校该专业的学费价格为 $x_{1}$ ，生均奖贷助学金为 $x_{2}$ 。 + +在模型二的基础上，结合以上3个系数，建立如下多目标规划模型，这个改进模型的优点是能够对某类学校具体专业的学费和生均奖贷助学金进行合理定价。 + +max $Y_{1} = \frac{x_{1} / \lambda}{\mu\xi F_{1}}\times \frac{F_{4} + F_{6} + x_{2}\times N}{F^{\prime}}$ + +max $Y_{2} = \frac{(1 - E)\times p_{1}}{x_{1} - x_{2}}$ + +$\max_{Y_3} Y_3 = \frac{\mu\xi(F_1 + F_2 + F_3) / N + x_1 / \lambda}{(F_4 + F_5) / N + x_2}$ + +max $Y_{4} = \frac{\mu\xi\left(p_{2} - \overline{p}_{2}\right)}{x_{1} - x_{2}}$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} \mu \xi f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right. +$$ + +模型说明： + +目标1为培养质量指标最大，目标2为学生就读指标最大，目标3为办学获利指标最大，目标4为学生收益指标最大； + +约束 1 为成本分担约束，约束 2 为家庭负担约束，约束 3 是社会经济约束，约束 4 是学校财力约束，约束 5 是学费资助约束； + +$x_{1}$ 为该校该专业的学费价格； $x_{2}$ 为该校该专业的生均奖贷助学金； + +$\lambda$ 是该专业的培养系数； $\mu$ 是该专业的社会贡献系数； $\xi$ 是该校的学校重点系数； + +$F_{1}$ 为该校获得的国家财政拨款； $F_{2}$ 为该校获得的社会捐资经费； $F_{3}$ 为该校的自筹资金； + +$F_{4}$ 为该校教职工的工资福利； $F_{5}$ 为该校的公务费用； + +$F_{6}$ 为该校的设备费用; $F_{7}$ 为该校的基建支出费用; + +$N$ 为该校的学生总数； $F^{\prime}$ 为该校经费的总支出； $E$ 为该校所在地的恩格尔系数； + +$p_{1}$ 为当地的居民人均收入； $p_{2}$ 是该校该专业大学毕业生的人均工资； + +$\bar{p}_{2}$ 是当地的人均工资； $p_{3}$ 是当地平均家庭收入； $p_{4}$ 是当地人均 GDP； + +$f$ 是生均教育培养成本; $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ 是比例阈值。 + +# 七 模型的讨论 + +# 7.1 模型的评价 + +模型一是从教育投资效益的角度出发来分析“学费的合理性”的影响因素，构造了劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标。然后运用偏大型正态分布函数对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标。模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。 + +模型二是从全国整体水平出发，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担约束、社会经济约束和学校财力约束，建立多目标规划模型。通过线性加权将多目标规划模型化为单目标规划模型，用LINGO软件求得全局最优解。 + +模型的改进方面，在模型二的基础上，引进了社会贡献系数、专业培养系数和学校重点系数，建立了一个能够对某类学校（本科、专科）的具体专业的学费进行合理定价的模型。 + +# 7.2 模型的优点 + +(1) 模型的适用性和灵活性强，通过收集不同的相关数据，即可对各个地区的学校学费、各类学校的学费和不同专业的学费进行定量分析。 +(2) 综合评价模型中运用偏大型正态分布函数作为动态加权函数, 这种动态加权可以使指标更加关心该地区的强项, 忽略弱项, 使模型更有针对性的分析不同地区的特点, 并且使差别更加鲜明, 排序更加有据。 +（3）模型的有良好的可推广性，模型只需修改必要的变量，就可以适用于不同地区，专业的学费定价问题。 + +# 7.3 模型的缺点 + +(1) 指标的定义存在一定的主观性, 由于问题的复杂因素较多, 不能对所有因素进行全面的考虑。 +(2) 模型涉及到很多方面的相关数据, 对数据的收集有一定的依赖性。 + +# 八 给教育部门的报告 + +# 当前高等教育学费的合理性分析 + +自1994年招生和收费并轨以来，特别是1999年扩招以来，贫困大学生就业越来越成为社会各界关注的热点问题。高等教育是实现社会分层的重要机制，也是弱势群体获得社会升迁的重要途径。一个人能否接受高等教育，在很大程度上决定了他是否能在未来的生活中处于优势地位。学费对高等教育入学机会由重要影响，所以研究学费有十分重要的社会意义。 + +为了研究当前高等教育学费的合理性，我们建立了一个综合评价模型来进行量化分析。这种方法是从教育投资效益的角度出发，构造了包括有劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标的综合评价体系。 + +应用这个综合评价体系，我们对31个省份的普通高等学校的学费合理性进行量化分析，并根据综合评价指标的大小来比较不同省份高校学费的合理性。结果表明，浙江省、湖北省、江西省的学费合理性最大，福建省的学费合理性最小。具体的评价结果如下图所示： + +![](images/b21a4203b7ef7de56f4f57d428be1c38fb6228a22db82dac60b6927353981fc7.jpg) + +![](images/e28467246ce5fad0da93cfa911c86fbeae56e61dce473d0a1be0c051fdf8158c.jpg) + +![](images/489faa5eebb1c63e34b54814bd76a7c0738263dbb269e9656dc38c4f662faca5.jpg) +图4 各地区的综合指标值 + +为了确保弱势群体在接受高等教育时不受经济条件的限制，为更多的人提供接受高等教育的机会，促进教育资源得到有效的配置。因此需要制定一个合理的学费价格来促 + +进教育公平的实现。 + +因此我们又从全国整体水平出发，希望能够制定一个合理的学费价格，使得一方面既能够提高培养质量、提高学生就读比例、提高学校办学收益和学生收益；另一方面又能够满足成本分担、家庭负担、社会经济和学校财力的要求。 + +为了照顾符合接受高等教育条件但是家庭经济困难的学生，国家规定贫困生可以通过申请奖学金、贷学金和助学金来获得资助、减少学费的支出。因此，在研究学费标准时，不仅要考虑学费自身的标准，还要兼顾考虑奖学金、贷学金和助学金的标准。这里我们将奖学金、贷学金和助学金结合起来进行分析，统称为“奖贷助学金”。 + +经过计算分析，我们提出一个学费价格的调整方案：将全国普通高等学校的平均学费价格调整为4298.35元，生均奖贷助学金为644.75元，即全国的奖贷助学金支出调整为12,352,120,500元。 + +而目前普通高等学校的平均学费为4931.58元，全国的奖贷助学金支出为10,597,273,000元，即生均奖贷助学金为609.46元。对比可知，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，应当进行适当地下调，下调的幅度大概为 $12.84\%$ ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为 $5.79\%$ 。 + +综上所述，普通高等学校学费水平偏高是造成教育不公平的原因之一，它涉及到广大居民的根本利益。因此，我们认为制定学费政策时要构建合理的高等教育成本分担体系，完善各种资助制度，制定合理的高等教育学费制度，使学费政策符合社会的整体利益，从而实现高等教育机会的公平性。这样才能使高校贫困生问题得到缓解，才能使我国的教育事业健康发展。 + +# 九 参考文献 + +[1] 乔锦忠，大学学费额度确定探讨，2004年中国教育经济学学术年会论文 +[2] 赵勤，高等教育学费价格机制影响因素分析，事业财会，总第106期，第 $9\sim 11$ 页，2007年 +[3] 张庆亮，杨莲娜，高等教育学费的价格属性、影响因素及其实施保障，国家教育行政学院学报，第 $48\sim 52$ 页，2006年4月 +[4] 谭章禄，张小萍，高等教育学费价格市场模型分析，黑龙江高教研究，总第140期，第 $1\sim 3$ 页，2005年 +[5] 冯涛，我国大学学费定价的实证分析及政策建议，中国物价，第 $31\sim 37$ 页，2008年3月 +[6] 冯涛，陈松，我国大学学费定价的理论依据及改进建议——基于收益论和居住地的视角，价格理论与实践，第 $29\sim 30$ 页，2008年第3期 +[7] 章茂山，中国民办高校学费问题研究，厦门大学博士学位论文，2007年5月 +[8] 周晓红，我国高等教育学费问题研究述评，2004年中国教育经济学学术年会论文 +[9] 陈家洪，高等教育投资效益的综合评价，第 $47\sim 48$ 页，统计与决策，2006年9月 +[10] 丁建立，我国高等教育投资效益的量标与评价，第 $47\sim 48$ 页，江苏高教，1995年第6期 + +# 十附录 + +# （1）模型一中5个评价指标的值 + +表 9 模型一 5 个评价指标的值 + +
省份劳动消耗指标劳动成果指标科研成果指标劳动占用指标资源利用指标
北京9.23892190.91701580.094494915.810.6423242
天津4.14087280.86407950.098486816.590.6051613
河北3.76692930.89578390.051120518.160.654553
山西4.23641120.82902120.02875317.770.6816482
内蒙古5.11405880.80786480.031410615.540.771388
辽宁4.391780.87692390.087525917.480.6508745
吉林4.00474690.91980720.0408816.860.6467239
黑龙江3.95630640.85842280.05306817.960.6442573
上海9.06965940.8855840.231706517.460.6503511
江苏5.09362950.78790770.146301318.540.5502117
浙江7.89626310.85042230.44411318.670.5696199
安徽3.80437230.78319040.038810218.470.6238151
福建5.43034590.81211260.138673817.330.615177
江西2.45242440.65801190.023274118.910.5184224
山东3.72779350.75298030.131529217.070.5997779
河南3.67471830.74831840.062884618.40.6585752
湖北3.10569820.92198340.041350417.790.4955911
湖南3.89596150.87349910.065185818.660.5160728
广东7.99776040.807550.433784918.150.5816968
广西4.73044780.75206080.036752917.190.6596294
海南5.19708560.76347080.02906719.070.6708091
重庆4.60236570.83031640.114686918.20.5525373
四川4.22041020.75588330.080399218.210.5659039
贵州6.29605950.85246450.052447818.390.7394335
云南6.98408930.85976680.051271617.60.7742064
西藏12.9344580.86719280.030348414.110.9552459
陕西3.21050990.83388480.028108315.840.5473129
甘肃4.53209930.87383120.029506718.010.7091713
青海7.98318370.8638370.016064914.130.8582669
宁夏6.49835330.77157080.038233417.270.7627281
新疆7.66483130.89760680.046978316.690.7022879
+ +# （2）模型一中5个评价指标进行标准化后的值 + +表 10 模型一中 5 个评价指标标准化后的值 + +
省份劳动消耗指标劳动成果指标科研成果指标劳动占用指标资源利用指标
天津0.83890.78060.19260.50.2384
河北0.87460.90070.08190.81650.3458
山西0.82980.64780.02960.73790.4048
内蒙古0.74610.56770.03590.28830.6
辽宁0.8150.82930.16690.67940.3378
吉 林0.85190.99180.0580.55440.3288
黑龙江0.85650.75920.08640.77620.3234
上 海0.36870.86210.50380.67540.3367
江 苏0.7480.49210.30430.89310.1188
浙 江0.48070.728910.91940.1611
安 徽0.8710.47420.05310.8790.279
福 建0.71590.58380.28640.64920.2602
江 西100.01680.96770.0497
山 东0.87830.35980.26970.59680.2267
河 南0.88340.34210.10940.86490.3546
湖 北0.937710.05910.74190
湖 南0.86230.81630.11480.91730.0446
广 东0.4710.56650.97590.81450.1873
广 西0.78270.35630.04830.6210.3569
海 南0.73820.39950.030410.3812
重 庆0.79490.65270.23040.82460.1239
四 川0.83130.37080.15030.82660.153
贵 州0.63330.73660.0850.86290.5305
云 南0.56770.76430.08220.70360.6061
西 藏00.79240.033401
陕 西0.92770.66630.02810.34880.1125
甘 肃0.80160.81760.03140.78630.4647
青 海0.47240.779700.0040.789
宁 夏0.6140.43020.05180.63710.5812
新 疆0.50270.90770.07220.52020.4497
+ +# (3) 模型一的程序 + +```matlab +function [data, ans1, ans2, mean1, std1, we] = sta +load matlab.mat; +%±ê×1/4》-a = min(data(:, 1)); +b = max(data(:, 1)); +data(:, 1) = (b-data(:, 1)) / (b-a); +for j = 2:5 + a = min(data(:, j)); + b = max(data(:, j)); + data(:, j) = (data(:, j) - a) / (b - a); +end +%µUO»ÖÖ¼OE"ÄFDIar = 0.5;aaa +for j = 1:5a + w(j) = (1 - ar) * ar^j; +end +ans1 = w(1) * data(:, 1) + w(2) * data(:, 2) + w(3) * data(:, 3) + w(4) * data(:, 4) + w(5) * data(:, 5); +plot(1:31, ans1, '*'); +%^-I^-½OE"ÄFDIfor j = 1:5mean1(j) = mean(data(:, j));std1(j) = std(data(:, j));end +ans2 = zeros(31, 1); +``` + +（4）模型二的程序： +for $i = 1:31$ +for $j = 1:5$ +ans2(i) $\equiv$ ans2(i)+weight(j,mean1(j),std1(j),data(i,j))*data(i,j); we(i,j) $\equiv$ weight(j,mean1(j),std1(j),data(i,j)); +end +end +figure(2) +plot(1:31,ans2,'*'); +function y $\equiv$ weight(j,mu,secma,x) +if x<=mu +y=0; +else y=1-exp(-(x-mu)^2/secma^2); +end + +```txt +model: +data: +F1=125957124000; +F2=1933151000; +F3=56972147000; +F4=92109757000; +F5=82509664000; +F6=36744586000; +F7=37113047000; +N=19158000; +!N=17388000; +E=0.398; +p1=7174.7; +p2=33444; +p2g=21001; +p4=18268; +C1=0.25; +C2=0.2; +C3=0.2; +C4=0.15; +enddata +max=0.25*x1/sf1*(F4+F6+N*x2)/FP+0.25*(1-E)*p1/(x1-x2)+0.25*(sf1+sf2+sf3+x1)/(F4+F5+F6+F7)*N+x2+0.25*(p2-p2g)/(x1-x2); +x1评阅人评分备注 + +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 车道被占用对城市道路通行能力的影响 + +# 摘要 + +交通是城市的命脉。车道往往会因为交通事故等原因被占用，从而降低了道路的通行能力，严重的话会导致交通堵塞。为了帮助交通管理部门更好地管理城市交通，需要正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度。 + +为了更准确地计算视频中上流路口进入事发路段的车辆和通过交通事故所占车道的横断面的车辆情况，本文在使用了背景差分法为主，直方图均衡化、中值滤波法、、形态学滤波法和边缘检测算法为辅的图像处理方法得到检测运动车辆的视频，使计算更简便。 + +针对问题一，根据权威文献计算出事故发生期间事故所处横断面理论通行能力和实际通行能力，由两种通行能力随时间变化的图像可知实际通行能力在事故期间随时间在理论通行能力上下波动，而且这种波动符合正态分布。 + +针对问题二，在视频一和视频二的数据通过正态检验和方差齐次检验后，利用这些数据使用方差分析得到同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力的影响无显著性差异的结论。为了得到这种影响的实际情况，本文又进一步使用了通径分析，得到的结果为同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力的影响决定于各车道的流量比例。 + +针对问题三，首先使用城市交通二流理论计算得到事发路段随事故持续时间增加而改变的排队长度，然后使用非线性比例尺改进算法统计视频的排队长度。然后用夹角余弦法对事故横断面实际通行能力、路段上游车流量分配权重统一为一个自变量，和事故持续时间一同作为BP神经网络的输入样本，排队长度作为输出样本进行训练，得到一个拥挤交通流排队长度模型。最后用遗传算法对神经网络进行优化。模型的结果和样本数据拟合效果较好，显示排队长度会随着排队时间变大，路段上游车流量变大，事故横断面实际通行能力下降而不断增加。 + +针对问题四，将车看作元胞，根据所给的数据制定元胞运动规则，构造出基于元胞自动机的交通流预测模型。经过模拟仿真，得到的结果为：事故发生后，在上游车流量波动不大的情况下，经过8.3分钟到9分钟之间的时间，车辆排队长度将到达上游路口。对模型进行改进，考虑红绿灯的情况，得到车辆排队长度达到上游路口的时间缩短为8分到8.4分钟之间，平均时间为8.36分钟，且排队长度曲线的波动程度变大。 + +关键词：背景差分法 通径分析 二流理论 神经网络 遗传算法 元胞自动机 + +# 一、问题重述 + +车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 + +车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 + +视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题： + +1. 根据视频 1（附件 1），描述视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 +2. 根据问题 1 所得结论, 结合视频 2 (附件 2), 分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 +3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 +4. 假如视频 1（附件 1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为 140 米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为 $1500 \mathrm{pcu} / \mathrm{h}$ ，事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。 + +# 二、模型假设 + +1. 只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。 +2. 车只分为小、中、大三种车型，小轿车、小型客货车为小型，中型客货车、轻型客货车为中型，大型货车、大型客车为大型，且同一车型的车大小相差不大。 +3.上游车流量不受事故持续时间影响。 + +# 三、符号说明 + +
符号意义
Pb(k)灰度级k在图像中出现的概率
fK直方图均衡法的变换函数
D(x,y,tk)差异积累背景建模法的差异动态矩阵
Nmax基本通行能力
γi(i=1,2,3,4,5,6)修正系数
Nt理论通行能力
Nx实际通行能力
S0初始时刻（t=0时）上、下游断面之间的车辆数
∑i=13SU(i,t)t时刻通过上游断面的车辆累计数
∑i=13SD(i,t)t时刻通过下游断面的车辆累计数
ΔS(t)t时刻上、下游断面之间的车辆数
L上、下游断面之间的距离
km上、下游断面之间的交通流最佳密度
kj上、下游断面之间的交通流阻塞密度
k(t)表示时刻t时刻上、下游断面之间的平均单车道交通流密度
ωf横断面实际通行能力、路段上游车流量的权重
+ +# 四、数据获取与处理 + +# 4.1 数据获取 + +观看视频一和视频二，发现这些视频资料在采集过程中受到各种干扰，或者由于光照亮度、摄像机曝光不足的原因，从而导致图像质量下降，图像中车辆的特征信息模糊，给后续的分析计算带来困难。 + +为了更好地计算事故发生至撤离期间的车辆通行情况，这里运用Matlab图像处理的相关算法对视频中的车辆进行检测和定位。因为人的视觉特性是对亮度更敏感，因此要根据图像的亮度预先在处理前将视频里的所有图像转为灰度图像（灰度级取256），而且节省了存储空间减少了后续算法的计算量。 + +图像处理的过程如下： + +![](images/1f4f6f676272ff1b14570cec4f66c7bf9fb7817b4b437ac845b37ae93a1b954b.jpg) +图1 + +其中图像增强使用了直方图均衡化，并用中值滤波法去噪，图像检测使用了背景差分法，后处理经过对比后使用了形态学滤波法，最后使用了边缘检测提取边缘。图1的具体过程如下。 + +# 4.1.1 图像增强 + +图像增强的方法分为两大类：空域方法和频域方法。为了保证图像处理的实时性，这里使用了两种空域方法，直接对图像中灰度值进行运算处理。 + +如果一副图像的像素占有更多的灰度级并且分布均匀，那么这样的图像往往有高对比度和多变的灰度色调。直方图均衡化就是一种能仅靠输入图像直方图信息自动达到这种效果的变换函数。它的基本思想是对图像中像素个数多的灰度级进行展宽，而对图像中像素个数少的灰度进行压缩，从而扩展像元取值的动态范围，提高了对比度和灰度色调的变化，使图像更加清晰。 + +一幅图像中灰度级 $\mathsf{k}$ 出现的概率近似为： + +$$ +P _ {b} (k) = \frac {n _ {k}}{n} (k = 0, 1, 2, \dots , 2 5 5) \text {且} \sum_ {k = 0} ^ {2 5 5} P _ {b} (k) = 1 \tag {1} +$$ + +其中 $\mathsf{n}$ 为图像像素的总和， $\mathsf{n}_{\mathsf{k}}$ 为灰度级为 $\mathsf{k}$ 的像素个数。变换函数可表示为： + +$$ +f _ {k} = \sum_ {j = 0} ^ {k} P _ {b} (j) = \sum_ {j = 0} ^ {k} \frac {n _ {j}}{n} \tag {2} +$$ + +直方图均衡化的具体实现步奏如下： + +1. 列出原图像的灰度级 k，并统计原始直方图各灰度级像素个数 $n_k$ ； +2. 应用公式(1)计算各灰度级分布概率，并应用公式(2)计算各个灰度级的累积分布概率； +3. 确定映射关系进行直方图均衡化计算, 得到处理后图像的像素值为 $255 \times f_{k}$ 。 + +使用Matlab进行处理得到直方图均衡化的图像左下图，原图像如右下图： + +![](images/9b2754c25e001e92d85f828919311f3e3ffc59ceb754687abc33ad20073ae455.jpg) +图2 + +分析图2可知直方图均衡化后的图像效果更佳，对比度更明显。 + +同时，考虑到图像出现的噪声，为了使图像更清晰，需要过滤这些噪声。抑制噪声常用的方法有领域平均法滤波和中值滤波。但是领域平均法滤波实际上是一种低通滤波器，可能会使带有高频信息的边界变得模糊。因此这里使用了中值滤波法，过滤噪声的同时，又能很好地保护边缘轮廓信息。 + +使用Matlab的中值滤波函数medfilt2，得到的效果图如下： + +![](images/77951c023e4c74860528d62840bc8e0ec639912e673ee493e9cef8ca3746ecd3.jpg) +图3 + +观察图2右图和图3可知此时色调变化更圆融了，有效地消除了噪声的干扰，同时边缘信息并没有消失，更有利于对交通情况的分析。 + +# 4.1.2 图像检测 + +图像检测是为了对视频中的运动目标进行检测和识别，进而描述运动目标的行为。这里使用背景差分法进行图像检测。背景差分法的基本思想是将当前图像与背景图像相减，通过选取合适的阈值进行二值化来检测运动目标。背景差分法最关键的步骤为背景建模。 + +背景建模的常用方法主要有直方图法、平均值法和差异积累背景建模法等。直方图法对于该视频交通阻塞或缓慢运动的车辆失效，而且比较浪费内存。由于视频中车流量有大有小，而平均值法在车流量较大时失效而且浪费存储空间，因此使用差异积累背景建模法最佳。 + +差异积累背景建模法的具体步骤如下： + +1. 对于 $\mathsf{N}$ 帧的视频图像 $I(x, y, t)$ , 设 $I(x, y, t_{1})$ 为基准图像。第 $\mathsf{k}$ 帧图像与基准图像差异记为 $F(x, y, t_{k})$ , 差异动态矩阵记为 $D(x, y, t_{k})$ , 变化阈值选为 $\mathsf{T}$ : + +$$ +F (x, y, t _ {k}) = \left\{ \begin{array}{l} 1, | I (x, y, t _ {k}) - I (x, y, t _ {k - 1}) | > T \\ 0 \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +$$ +D (x, y, t _ {k}) = \left\{ \begin{array}{l} D (x, y, t _ {k - 1}) + 1, F (x, y, t _ {k}) = 0 \text {且} D (x, y, t _ {k - 1}) < m \\ 0 \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +2. $D(x, y, t_{k})$ 记录像素的变化，并进行实时更新。当 $D(x, y, t_{k}) = m$ 时，可知该位置短时间灰度变化不大，将该位置的像素更新为背景。更新的背景模型记为 $B(x, y, t_{k})$ ，背景更新公式为： + +$$ +B (x, y, t _ {k}) = \alpha I (x, y, t _ {k}) + (1 - \alpha) B (x, y, t _ {k - 1}) \tag {5} +$$ + +$\alpha$ 决定了背景缓存平滑滤波程度及更新速度，由经验取[0.05,0.1]。 + +使用Matlab经过差异积累背景建模得到的部分图像如下： + +![](images/ebe5f64750640750914825830d13ccaff62d69c9d798a36093f741f755fa42a9.jpg) +图4 + +可见背景建模的效果基本理想，但仍需进一步改进。 + +背景建模后对运动前景进行检测和处理，这里分别使用了Otsu算法和形态学滤波法进行处理，发现形态学滤波方法最佳。形态学的基本思想是使用具有一定形态的结构元素来度量和提取图像中的对应形状，从而实现对图像进行分析和识别。这里使用了形态学滤波法的开操作，开操作主要是为了消除离散点和毛刺，即对图像进行平滑。其Otsu算法与形态学滤波法处理的图像如下： + +![](images/a61a938b620d4f59e0c0de5f79b05011ec141789eae010f0743a1c52bdc77d77.jpg) +图5 + +比较二图可知形态学滤波效果更佳且运动目标从远处过来时会逐渐变大，这一点利于计算。 + +# 图像的后处理 + +为了更好标志图像的车辆，这里使用了边缘检测作为后处理的方法。它能剔除不相关的信息，保留图像重要的结构属性。边缘检测最常用的算子是Canny算子，其步骤如下： + +1. 用高斯滤波器对图像进行滤波，去除图像中的部分噪声； +2. 用高斯算子的一阶微分对图像进行滤波，得到图像梯度的强度和方向； +3. 对梯度进行非抑制和滞后阈值处理，得到边缘图像。 + +边缘检测的最终图像如下： + +![](images/3f0f09203b1d9d12f3fcc8d6816a60631ac8ad863b09780b9e0ca34d392ab332.jpg) +图6 + +观察图6可知汽车轮廓比较明显，轮廓比较小的是小轿车，轮廓最大的是公交车。过轮廓对汽车的特征表现不够，这一点需要增强。 + +# 4.2 数据处理 + +对两个视频进行图像处理后，忽略前几秒不稳定显示的视频，开始计算视频一中每一分钟通过事故横断面和从上游路口涌现的大、中、小型机动车及电瓶车的数量及排队长度。之所以选择一分钟，是因为附件五显示上游路口信号周期为60秒，如果选取30秒的话，上游路口会出现数量上升下降的周期性，不便于数据分析。为简化模型，将视频中车辆分为大中小三类，因为小轿车是该交通要段的主要交通工具，故作为标准车当量，中型车是小型客车等，其标准车当量为1.5，大型车为公交，它的标准车当量为2。最后统计视频中事故的持续时间和排队长度。经过计算，得到每一分钟通过事故横断面和从上游路口涌现的各种车型的车辆数量见附录。 + +其中，由于视频中出现了一些卡顿、暂停、跳变、镜头拉伸的现象，这些现象是图像处理后的结果不稳定，需要对这部分视频信息进行剔除。 + +# 五、 问题一模型 + +# 5.1 问题分析及模型选取 + +视频中交通事故发生至撤离期间，原本通畅的三车道变成拥挤的单车道。对于该横断面，通行能力受到严重限制，此时的理论通行能力迅速下降，实际通行能力也因此下降，易于导致交通堵塞。 + +为了正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，为交通管理部门正确引导车辆行驶提供根据，需要建立事故期间事故所处横断面实际通行能力随时间变化的序列模型，并分析实际通行能力与理论通行能力之间的关系。 + +# 5.2 模型建立及求解 + +由参考文献[1]可知通行能力分为理论通行能力、实际通行能力和规划通行能力。 + +# 5.2.1理论通行能力的计算 + +理论通行能力是以基本通行能力为基础考虑到实际的道路和交通状况，确定其修正系数，再依此修正系数乘以前述的基本通行能力，即得实际道路、交通与一定环境条件下的理论通行能力。 + +其中基本通行能力 $\mathrm{N}_{\max}$ 为由参考文献[2]可知为 $2000\mathrm{pcu / h}$ 。修正系数有：①车道宽度修正系数 $\gamma_{1} = 0.94$ ；②侧向净空的修正系数 $\gamma_{2} = 1$ ；③纵坡度修正系数 $\gamma_{3} = 1$ ；④视距不足修正系数 $\gamma_{4} = 1$ ；⑤沿途条件修正系数 $\gamma_{5} = 0.7$ ；⑥考 + +虑到不同车型影响的交通条件修正系数 $\gamma_{6}$ 。 + +交通条件修正系数 $\gamma_{6}$ 由下面的公式计算, 其中 $\mathrm{H}$ 为大车占流量的比例: + +$$ +\gamma_ {6} = \left[ \frac {1 0 0}{1 0 0 - H} + 2 H \right] \tag {6} +$$ + +由上面的系数和下式理论通行能力便可计算得到： + +$$ +N _ {t k} = N _ {\max } \gamma_ {1} \gamma_ {2} \gamma_ {3} \gamma_ {4} \gamma_ {5} \gamma_ {6} \tag {7} +$$ + +计算得到的理论通行能力大约在 1315pcu/h。 + +# 5.2.2 实际通行能力的计算 + +实际通行能力有两种计算方法，第一种可由交通部《公路通行能力手册》的资料得到，即道路在特定时段内所能通过的最大车辆小时流率。其公式如下： + +$$ +N _ {p 1 k} = n _ {k} \times 6 0 \tag {8} +$$ + +$N_{p1k}$ 为实际通行能力, $n_k$ 为第 $k$ 分钟该道路通过的车当量数, 之所以乘以 60 是因为 $n_k$ 统计的是六十分之一小时的车当量数, 需化为标准当量。计算出来的具体数值如下: + +
时间点 (min)12345678
实际通行能力 (pcu/h)16201290105012601110132014701140
时间点 (min)9101112131415
实际通行能力 (pcu/h)1440102010801200105010201350
+ +表格1 + +由表格1可知实际通行能力具有比较大的波动，同时波动是在理论通行能力附近，其具体关系仍需进一步观察。 + +第二种方法是由参考文献[1]提供的公式计算得到实际通行能力： + +$$ +N _ {p 2 k} = N _ {t} \times x \times f W \times f H V \times f p \tag {9} +$$ + +其中 $x$ 为车道数，事故发生后这里取1，fw是车道宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数，fHV是大型车对通行能力的修正系数，计算公式为： + +$$ +f H V = \frac {1}{\left[ 1 + p H V (E H V - 1) \right]} \tag {10} +$$ + +EHV为大型车换算成小客车的车辆换算系数，PHV为大型车交通量占总交通量的百分比。 + +计算得到的实际通行能力同样在理论通行能力附近波动，具体数值见附录。 + +# 5.2.3 实际通行能力的变化过程的描述 + +由式(7)、(8)和(9)计算得到的理论通行能力和实际通行能力随时间变化的情况如下： + +![](images/a19135e594a2cab025a8f8eac804280b3687b6fb816c42a59a5ac78a527fc007.jpg) +图7 + +可以看到两种计算方法得到的实际通行能力都在理论通行能力附近波动，使用SPSS对其进行正态检验，发现两者的sig都大于0.05，说明两者都服从正态分布。因此实际通行能力在事故期间是在理论通行能力附近随着时间波动且满足正态分布，即是说，实际通行能力本质上是由理论通行能力决定，受现实条件影响。 + +# 六、 问题二模型 + +# 6.1 问题分析及模型选取 + +观察视频二事故发生地点横断面的实际通行能力与理论通行能力和事故持续时间变化的图像如下： + +![](images/6d23283d43e61505eb20350f3effd3dfc6bc5c869eb2c138da4778c5855eab0e.jpg) +图8 + +其实际通行能力同样在理论通行能力上下变动，故总体特征与视频一的情况相似。 + +然而观察视频一和视频二交通事故发生的车道和附件三，可知视频一交通事故占用了车道二和车道三，视频二交通事故占用了车道一和车道二。由常识可知，当一辆车开进事故所处路段时，如果它需要右转，它会往车道一上开，如果想需要直行则往车道二上开，同理，如果需要左转则往车道三上开。又由附件三可知右转流量比例为 $21\%$ ，直行流量比例为 $44\%$ ，左转流量比例为 $35\%$ 。因此可知实际上三条车道的实际通行能力是有差别的，因此交通事故所占车道不同可能对该横断面实际通行能力影响有差异。 + +分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，实际上是要建立一个评价同一横断面的交通事故所占车道不同对通行能力影响的模型。要分析这种影响，先要分析视频一和视频二交通事故所占车道不同对该横断面通信能力的影响是否有显著性差异。分析显著性差异的常用方法为方差分析。不过方差分析需要通过正态检验和方差齐次检验，如果不通过这两种检验则需要进行非参数检验。 + +为了进一步分析同一横断面的交通事故所占车道不同对通行能力影响，可以通过分析该车道流通量与该横断面实际通行能力的关系。由于车道可能会相互作用，为了排除其它因素的影响，本文使用通径分析描述该车道流通量与该横断面实际通行能力的关系。 + +# 6.2 模型建立及求解 + +先使用 SPSS 对视频一横断面实际通行能力进行正态性检验，使用的实际通行能力的数据由计算方法一(8)得到，正态性检验得到的结果如下： + +Tests of Normality + +
Kolmogorov-SmirnovaShapiro-Wilk
StatisticdfSig.StatisticdfSig.
视频1横截面通行能力.14915.200*.92215.206
+ +\*This is a lower bound of the true significance. +a. Lilliefors Significance Correction + +图9 + +可知 $\mathrm{sig} > 0.05$ ，说明视频一横断面实际通行能力符合正态性。 + +接着对视频二横断面实际通行能力进行正态性检验，其计算方法同式(8)，检验的结果如下： + +Tests of Normality + +
Kolmogorov-SmirnovaShapiro-Wilk
StatisticdfSig.StatisticdfSig.
视频2横截面通行能力.09829.200*.97029.566
+ +\*This is a lower bound of the true significance. +a. Lilliefors Significance Correction + +图10 + +可知 $\mathrm{sig} > 0.05$ ，故视频二横断面实际通行能力也符合正态性。说明视频一和视频二的横断面实际通行能力都服从正态分布，接着进行方差齐次检验，使用SPSS检验的结果如下： + +Test of Homogeneity of Variances +横截面通行能力 + +
Levene +Statisticdf1df2Sig.
.969142.331
+ +图11 + +由图11可知 $\mathrm{sig} > 0.05$ ，故服从齐次性检验，因此可以通过方差分析直接判断两者是否有显著性差异，使用Matlab得到的结果如下： + +
SourceSSdfMSFProb>F
Groups62619.9162619.92.130.1522
Error12365714229442.2
Total1299190.943
+ +图12 + +由图 12 可 $p > 0.05$ , 因此在置信水平为 0.05 的情况下两者的实际通行能力并 + +没有什么显著性差异。对于这样的结果存在两种可能的解释，一是可能通道一和通道三的流量比例相差不大，事故又都占住通道二，因此实际通行能力差异不大；二是当只有一道车道时，所有车辆无法考虑之后的转向因而无法选择车道，因此被占住的车道是哪一道都没有影响。因此需要对这两种解释进行进一步的探讨。 + +为了进一步得到同一横断面的交通事故所占车道不同对通行能力的具体影响，需要进行通径分析，从而得到单个车道对同一横断面通行能力的影响。通径分析是相关分析的深入。在多元回归的基础上将相关系数分解，得到直接通径、间接通径及总通径系数。这些系数代表了某一变量对因变量的直接作用、通过其他变量对因变量的间接作用效果和综合作用效果。通径分析的步骤如下： + +1. 以各个车道一分钟的交通量为自变量 $X_{i}(i = 1,2,3)$ ， $X_{i}$ 计算公式为： + +$$ +X _ {i} = N _ {u} \eta_ {i} \tag {11} +$$ + +其中 $\mathsf{N}_{\mathsf{U}}$ 是上游一分钟的总交通量，因为叉路口1、2的总交通量比较少故忽略不计。 $\eta_{i}$ 为第 $i$ 个车道流量比例。以横断面的通行能力为因变量， $\overline{X_{i}}$ 为 $\mathsf{X}_{\mathsf{i}}$ 的平均值， $\overline{Y}$ 为因变量的平均值，进行一般的多元线性回归分析得： + +$$ +Y = \beta_ {0} + \beta_ {1} X _ {1} + \beta_ {2} X _ {2} + \beta_ {3} X _ {3} \tag {12} +$$ + +$$ +\bar {Y} = \beta_ {0} + \beta_ {1} \bar {X _ {1}} + \beta_ {2} \bar {X _ {2}} + \beta_ {3} \bar {X _ {3}} \tag {13} +$$ + +2. 将(12)一(13)得： + +$$ +Y - \bar {Y} = \beta_ {1} \left(X _ {1} - \bar {X} _ {1}\right) + \beta_ {2} \left(X _ {2} - \bar {X} _ {2}\right) + \beta_ {3} \left(X _ {3} - \bar {X} _ {3}\right) \tag {14} +$$ + +3. 式(14)两边同时除以 $Y$ 的标准差 $\sigma_{y}$ : + +$$ +\frac {Y - \bar {Y}}{\sigma_ {y}} = \beta_ {1} \frac {\sigma_ {x 1}}{\sigma_ {y}} \frac {\left(X _ {1} - \bar {X} _ {1}\right)}{\sigma_ {x 1}} + \beta_ {2} \frac {\sigma_ {x 2}}{\sigma_ {y}} \frac {\left(X _ {2} - \bar {X} _ {2}\right)}{\sigma_ {x 2}} + \beta_ {3} \frac {\sigma_ {x 3}}{\sigma_ {y}} \frac {\left(X _ {3} - \bar {X} _ {3}\right)}{\sigma_ {x 3}} \tag {15} +$$ + +4. 利用最小二乘法求出式(15)各自变量线性回归系数的求解模型，在此基础上，进行一定的数量变换，则可得出如下各简单相关系数的分解方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} P _ {1 Y} + r _ {1 2} P _ {2 Y} + r _ {1 3} P _ {3 Y} = r _ {1 Y} \\ r _ {2 1} P _ {1 Y} + P _ {2 Y} + r _ {2 3} P _ {3 Y} = r _ {2 Y} \\ r _ {3 1} P _ {1 Y} + r _ {3 2} P _ {2 Y} + P _ {3 Y} = r _ {3 Y} \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +式(16)便是通径分析的基本模型了，其中 $r_{ij}$ 为 $X_i$ 与 $X_j$ 的简单相关系数， $r_{iY}$ 为 $X_i$ 与 $Y$ 的简单相关系数， $P_{iY}$ 为直接通径，即是 $X_i$ 与 $Y$ 标准化后的偏相关系数，表示 $X_i$ 对 $Y$ 的直接影响效应。 + +接着使用 SPSS 进行通径分析，得到的结果如下： + +Coefficientsa + +
ModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.
BStd. ErrorBeta
1(Constant)1206.697233.4885.168.000
视频1上游右流量.0991.059.026.093.927
+ +a. Dependent Variable: 视频1横截面通行能力 + +Coefficientsa + +
ModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.
BStd. ErrorBeta
1(Constant)1360.506156.9368.669.000
视频2上游右流量-.220.640-.066-.344.734
+ +a. Dependent Variable: 视频2横截面通行能力 + +由图13可知上游右流量对横断面实际通行能力具有促进作用，这是因为视频一中交通事故所占的车道是车道二和车道三，因此对右转车道影响不大，因此上游路口右流量的增大有利于提高横断面的实际道路通行能力。 + +与此相反的是，图14显示上游路口右流量对横断面实际通行能力影响有抑制作用，这是因为视频二中交通事故所占的车道是车道一和车道二，即右转车道被占。右转车道被占后，上游路口右流量增大，车队后面的司机观察不到前面车道的情况，等到了事故发生地点已很难通过该横断面，因此横断面的实际通行能力下降。情况如视频二的某一截图： + +![](images/fd10bab8bad55fca2aff66f57e38b1873d65cc27d3439e979f900f4763ea0ff1.jpg) +图13 +图14 +图15 + +综上所述，同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力的影响由各通道的流量比例决定。当流量比例相差不大时，无论是哪个车道被占实际 + +通行能力都差不多，当流量比例相差比较大时，如果流量比例比较大的通道被占时，横断面的实际通道能力下降的比较大，如果流量比例比较小的通道被占时结果则相反。 + +# 七、问题三模型 + +# 7.1 问题分析及模型选取 + +由题意可知，分析视频一交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，本质上就是要建立一个拥挤交通流排队长度模型。 + +对于交通流当量排队长度模型的分析，涉及了概率论、排队论、随机过程、累计曲线、冲击波、神经网络与微观模拟等方法。考虑到车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系非常复杂，优先使用神经网络模型求解这种非线性关系。以事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量为输入样本，车辆排队长度为输出样本对BP神经网络进行。 + +不过排队长度很难通过视频测出来，如果简单地用线性比例尺带来的误差必定因为角度问题而变得比较大，因此这里提出两种思路，一是使用Herman等人在1979年及1984年提出的基于多车道交通的动力学理论的城市交通二流理论（见参考文献[3]），二是使用非线性比例尺，对这种计算方法进行比较再决定使用哪种。 + +# 7.2排队长度的计算 + +# 7.2.1基于二流理论的排队长度计算 + +城市交通二流理论把车辆分为运动车辆和停止车辆两种，其中运动车辆形成的交通流称为行驶交通流，停止车辆形成的交通流称为阻塞交通流。如图16，将过渡状态B的不均匀交通流看作是均匀的A部分阻塞交通流和C部分行驶交通流的某种加权和，即只含2种均匀交通流。因此，可把图16转化为图17，即把交通流实际运行状态转化为二流运行状态。在转化过程中，把交通流B受到排队减速行驶的影响和交通流A的排队长度一同等效为当量排队长度 $\mathsf{L}_{\mathsf{A}}^{\prime}$ ，即交通流二流运行状态中阻塞交通流的长度。 + +![](images/8c4bac0e6527fa707a5b585bec9d2a5ecbfed925d0a5af977d006a018c8af6e8.jpg) +图16：发生交通事件后路段上交通流实际运行状态 + +![](images/e5271eee5adb46b1dfcb11a8fb09ae82bf26d2257e8b42c5242a65f8e3a52fda.jpg) +图17：发生交通事件后路段上交通流二流运行状态 + +对于单入口单出口的多车道路段，当其中一条车道队伍比起其它队伍过长时，该车道的车主往往会选择换道其它车道上，即车辆换道现象是存在的，使所有车道的车辆队伍会趋向于平均，故可用平均值来描述多车道路段整体上的当量排队长度。 + +通过交通流理论可知，流量-密度曲线为二次抛物线型，当密度取最佳值时，流量达到最大值，由此可把交通流状态分为非拥挤和拥挤2种状态，并把拥挤和非拥挤的临界状态作为行驶交通流的标准。 + +根据流量守恒定理，本题中单入口单出口三车道路段满足下面的关系： + +$$ +S _ {0} + \sum_ {i = 1} ^ {3} S _ {U} (i, t) = \sum_ {i = 1} ^ {3} S _ {D} (i, t) + \Delta S (t) \tag {17} +$$ + +在该式中， $S_0$ 为初始时刻（ $t = 0$ 时）上、下游断面之间的车辆数； $\sum_{i=1}^{3} S_U(i, t)$ 为 $t$ 时刻通过上游断面的车辆累计数； $\sum_{i=1}^{3} S_D(i, t)$ 为 $t$ 时刻通过下游断面的车辆累计数； $\Delta S(t)$ 为 $t$ 时刻上、下游断面之间的车辆数。上游断面即是事故所占车道所在的横断面，下游断面是指视频中最长的排队长度最后一辆车所处的横断面，即离上游路口120米处，离事故所在横断面120米处。 + +根据二流理论， $\Delta S(t)$ 由 $\mathfrak{t}$ 时刻上下游断面间平均当量排队长度 $\overline{L_D}(t)$ 计算得到： + +$$ +\Delta S (t) = \bar {k} _ {j} \bar {L} _ {D} (t) + \bar {k} _ {m} [ L - \bar {L} _ {D} (t) ] \tag {18} +$$ + +其中， $L$ 为上下游断面之间的距离，也是平均当量排队长度 $\overline{L}_d(t)$ 不能超过的数值（故 $L$ 取视频中最大排队长度 $120\mathrm{m}$ ）； $\overline{k_m}$ 为上下游断面之间的平均单车道最佳密度，根据格林伯模型得 $59\mathrm{pcu / km}$ ； $\overline{k_j}$ 为上下游断面之间的平均单车道阻塞密度，查阅资料可知为 $160\mathrm{pcu / km}$ 。 + +由式(17)和(18)解得： + +$$ +\bar {L _ {D}} (t) = \frac {S _ {0} + \sum_ {i = 0} ^ {3} S _ {U} (i , t) - \sum_ {i = 3} ^ {3} S _ {D} (i , t) - 3 \bar {k _ {\text {m}}} L}{3 \left(\bar {k _ {j}} - \bar {k _ {\text {m}}}\right)} \tag {19} +$$ + +这就是基于二流理论的多车道当量排队长度模型。 + +用 $\overline{\mathrm{k}} (\mathrm{t})$ 表示时刻 $\mathfrak{t}$ 时刻上、下游断面之间的平均单车道交通流密度，且满足 $\overline{k(t)} = S_0 + \sum_{i = 0}^{3}S_U(i,t) - \sum_{i = 3}^{3}S_D(i,t)$ 。故当 $0\leq \overline{k} (t) < \overline{k}_{m}$ 时，上、下游之间的交通流处于非拥挤状态；当 $\overline{\mathrm{k}} (\mathrm{t}) = \overline{\mathrm{k}}_{\mathrm{m}}$ 时，上、下游之间交通流处于最佳行驶状态；当 $\overline{k_m} < \overline{k}(t)\leq \overline{k}_j$ 时，上、下游之间交通流处于拥挤状态。当 $S_0 + \sum_{i = 0}^{3}S_U(i,t)-$ $\sum_{i = 3}^{3}S_{D}(i,t) = 3\overline{k}_{m}L$ 时， $\overline{L_d} (t) = 0$ ，此时当量排队长度取得最小值，即恰好没有排队，上、下游之间的交通流以最佳密度运行。这是式(19)的边界条件。 + +由于 $\sum_{i=0}^{3} S_{U}(i, t)$ 和 $\sum_{i=0}^{3} S_{D}(i, t)$ 分别满足 + +$$ +\sum_ {i = 0} ^ {3} S _ {U} (i, t) = \sum_ {i = 0} ^ {3} S _ {U} (i, t - T) + Q _ {U} (t) \tag {20} +$$ + +$$ +\sum_ {i = 0} ^ {3} S _ {D} (i, t) = \sum_ {i = 0} ^ {3} S _ {D} (i, t - T) + Q _ {D} (t) \tag {21} +$$ + +$Q_{U}(t)$ 为上个 $\mathsf{T}$ 时间内通过上游断面的车辆数， $\mathsf{T}$ 在本文取10s， $Q_{D}(t)$ 为上个 $\mathsf{T}$ 时间内通过下游断面的车辆数。 + +因此可通过计算视频一初始时刻（ $t = 0$ 时）上、下游断面之间的车辆数 $S_{0}$ ，再计算每个10秒通过上游断面的车辆数 $Q_{U}(t)$ 和通过上游断面的车辆数 $Q_{D}(t)$ ，即可得到每隔10秒的排队长度。最后由式(19)计算得到排队长度随时间变化的图如下： + +![](images/7a550be95558924bf17e5b19f19bf514bb0f94fe4cf546765ef81a5c30c43110.jpg) +图18 + +其中 $2 \sim 81$ 为事故期间，故可知大体上排队长度随事故持续时间波动变长，后期略有下降。其中队长最大是在67左右，大约是在16点54分左右，将该视频该时刻截屏得到： + +![](images/e625154c466687bbc17738ae0fdc50aeeab48bcf44b2bb69d57c45c5ed41d608.jpg) +图19 + +此时排队长度达到了 120 米，故该模型符合事实。对于 $10 \sim 30$ 排队最短的时间，大概是 16 点 44 分到 16 点 47 分左右，这段时间截图如下： + +![](images/dc8554eaf3b8fd0bbfbc241efa8ee6ecff9cc1aa7a0233154922f78b0e6618d0.jpg) + +![](images/b64cada5ec78a82a6c05b2f9f20cdc4db75853a11eec2ac6a251973bb2fb100d.jpg) + +第一幅截图在44分的时候没有排队，但是第二幅截图在45分的时候出现了排队，而该模型却没有预测出该结果。这是因为使用二流理论本质上是对排队长度的预测。在进行预测时，是把10秒内车当量的变化平均化，根据上文提到的边界条件，可知式(19)的适用条件为 $\overline{k_m} \leq \overline{k}(t) \leq \overline{k_j}$ ，当实际的平均交通流密度是会小于 $\overline{k_m}$ ，因此该模型在这种情况下会预测失败。 + +# 7.2.2基于非线性比例尺的排队长度计算改进 + +由问题分析可知，如果使用线性比例尺计算视频的排队长度会出现严重误差。见右图，尽管 $\mathrm{AG} = \mathrm{BG}$ ，但是从D点看来，由于视频是平面的，故看到CE不等于EF。故无法用线性比例尺进行测量。因此考虑使用非线性比例尺。 + +![](images/5abd42232208f7a0b6b74637352f4e8080ce68e620133ef955b0ba0e8e5381f5.jpg) +图20 + +因为在视频中道路在接近下游路口时离摄像机比较近，故比例比较小，而在接近上游路口时，离摄像机比较远，故比例比较大。因此可知比例随着道路愈接近上游路口愈大，这里考虑两种非线性比例尺去模拟比例尺的非线性关系，一是幂数模型，即实际长度 $\mathsf{y}$ 与视频图像长度 $\times$ 满足 $y = Cx^{\alpha}$ 的关系；二是指数模型，实际长度 $\mathsf{y}$ 与视频图像长度 $\times$ 满足 $y = Ce^{\alpha x}$ 的关系。 + +先对幂数模型进行检验，以事故发生地点为坐标原点，将事故发生点(6,120)和(9,240)带入计算可得 $\alpha = 1.710$ ， $C = 9.584$ ，将叉路口1坐标带入计算得到 $\gamma = 55\mathrm{m}$ ，实际距离为 $60\mathrm{m}$ ，误差为1/12，故拟合效果比较好。当用指数模型带入计算时发现拟合效果比较差，故用幂数模型作为非线性比例尺。 + +用非线性比例尺计算视频的排队长度，得到排队长度随时间变化情况如下： + +![](images/47c1d3c95244f5bca78257440b955b4614df403cf3ee45fac1bcd62c478857ff.jpg) +图21 + +与二流法得到的排队长度相对比，可知二流理论在事故前期和事故后期的排队长度预测误差比较大。因此作为训练样本时优先使用非线性比例尺统计计算得到的排队长度。为了简化计算，使用了图像处理后的视频测量排队长度，对比度更高，效果图如下： + +![](images/939f9aa393d9669779d444556b7a4e628f8c17d1d82b046b6aee186f16e7406e.jpg) +图22 + +# 7.3 影响排队长度因素的神经网络模型求解 + +接着使用BP神经网络进行训练。BP神经网络，即前向反馈网络，它模拟人大脑神经元并行运行的过程，能从预测结果和真实结果的差值的反馈进行学习，从而得到越来越准确的预测值。它是由输入层，隐含层和输出层组成，层内的神经元之间没有连接，但是每一个神经元都和后面一层所有神经元都有连接，其联系是以带有权重的网络组成，权重代表了神经元连接的强度。当学习样本从输入层神经元输入进去后，通过层层隐含层神经元最后输出到输出层神经元，在输出层发生反应将预测值和实际值比较后的结果反向通过各层隐含层回到输入层，并在返回的过程中不断修正权值等因子，从而改善神经网络的预测值。这样反复进行的过程是预测的效果越来越好。BP算法的核心依据是“负梯度下降”理论。 + +这里输入样本有事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量三种，但是考虑到如果加入排队长度这个输出量，就有四个变量，使用神经网络 + +得到的图像无法直观描述四个变量的关系。接着使用 SPSS 探究三个自变量和因变量的关系： + +![](images/8c29b1c0639ff5a1144edda5c9114b96d879ea2e14b997ea75280e880f649c8f.jpg) +图23：通径分析结果 + +使用通径分析后，发现事故持续时间对排队长度的影响程度远强于事故横断面实际通行能力和路段上游车流量，因此可以考虑使用客观赋权法将事故持续时间和路段上游车流量两个自变量统一，这样最后的BP神经网络输入层细胞有两个，输出层细胞有一个。 + +夹角余弦法的步骤为： + +1. 首先将两种分数组成指标矩阵 J; +2. 根据指标矩阵求出最佳方案和最劣方案； + +最佳U1=[10.51];最劣U2=[011]; + +3. 由式和式求出效益型矩阵和相对偏差矩阵： + +$$ +R (i, j) = \frac {\left| U 1 (i) - J (i , j) \right|}{\max _ {j} \{J (i , j) \} - \min _ {j} \{J (i , j) \}} \tag {22} +$$ + +$$ +\delta (i, j) = 1 - R (i, j) \tag {23} +$$ + +4. 由式和式得到各项的权重： + +$$ +c (i) = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {n} R (i , j) \times \delta (i , j)}{\sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {n} R (i , j) ^ {2}} \times \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {n} \delta (i , j) ^ {2}}} \tag {24} +$$ + +$$ +\omega f (i) = \frac {c (i)}{\sum_ {i = 1} ^ {m} c _ {i}} \tag {25} +$$ + +最后求得 $\omega f = [0.3950.605]$ 。由此可知路段上游车流量的分配的权重是0.395，事故横断面实际通行能力分配的权重是0.605。 + +得到权重后，便可求得路段上游车流量与事故横断面实际通行能力统一的新的自变量。然后将该自变量和事故持续时间作为BP神经网络的输入样本，前面计算的两种排队长度作为BP神经网络的输出样本分别进行训练，其中隐含层细胞有3层。最后模拟得到的结果如下，并与样本进行对比： + +![](images/e215ee4f87acc9b6286891bcc46179bf71ba4839782031bce83b644b57115028.jpg) +图24：二流法计算得到的排队长度作为输出样本得到的模型 + +![](images/5e38fd221532605482eb475f337e55fa28b5d42a2f44e2596d1fe0d0fc79a59f.jpg) + +![](images/c7f499026d102e679ff2fb4d9d18b8ce96d6c930fc1a559cd9c9defd87b9f0e0.jpg) +图25：非线性比例尺计算得到的排队长度作为输出样本得到的模型 + +![](images/e68b137f9c47834b641785dfaa83b2e012b8adbfee44ae96e1c27bc4e6f5685d.jpg) + +与样本比对可知，神经网络模拟的结果大致符合样本的变化趋势，当事故持续时间越大；排队长度越大，当路段上游车流量越大事故横断面通行能力越差，排队长度也越大，这样的结果也比较符合常识。但模拟的过程中出现了不同程度的波动，这也是因为样本的波动性导致的。从根本上说，基本的BP神经网络收敛速度慢且容易陷入局部最优解。因此需要对基本的BP神经网络模型进行改进。 + +# 7.4基于遗传算法的神经网络模型改进 + +遗传算法是Holland教授于1962年提出的模拟自然界遗传机制和生物进化论而成的一种并行随机搜索最优化方法。它的基本思想是把生物界“优胜劣汰”的进化原理引入优化参数形成的编码串联群体中，按照所选择的适应度函数并通过遗传中的选择、交叉和变异对个体进行筛选，使适应度好的个体被保留，适应度差的个体被淘汰，新的群体既继承上一代的信息，又优于上一代。这样反复循环，直至满足条件。它的基本步骤如下： + +# 1. 随机初始化种群； + +2. 计算种群适应度，从中找出最优个体； +3. 依次进行选择操作、交叉操作和变异操作； +4. 重复验算，达到预定的进化代数时为止。 + +遗传算法优化BP神经网络分为BP神经网络结构确定、遗传算法优化和BP神经网络预测3个部分。 + +![](images/0c790b5ab1308dd9026b35e5241e063b4eacce6e04e39e09988b76aa93b1b8ce.jpg) +图26 + +如上图，BP神经网络结构确定部分根据拟合函数输入输出参数个数确定BP神经网络结构，进而确定遗传算法个体的长度。遗传算法优化使用遗传算法优化BP神经网络的权值和阈值，种群中的每个个体都包含了一个网络所有权值和阈值，个体通过适应度函数计算个体适应度值，遗传算法通过选择、交叉和变异操作找到最优适应度值对应个体。BP神经网络预测用遗传算法得到最优个体对网络初始权值和阈值赋值，网络经训练后预测函数输出。 + +经过多次验算，遗传算法参数最后选定进化次数为11次，交叉概率为0.4，变异概率为0.2，样本量为81，BP神经网络参数同上，仿真预测的结果如图27： + +![](images/ce644facdc9938f8e27661a69d07805ae3be3ee01168a4daf1f1c292d98d90a5.jpg) +图27 + +![](images/07450fe34c3852ace1a95faaeda49f51b901ba120c3aef7331977e1d8f502fca.jpg) + +将结果同图25左图和图21非线性比例尺计算得到的样本相比较，发现样本拟合效果较好，如初始状态的变动等信息也保留，仿真结果显示排队长度随着事故持续时间变大、横断面实际通行能力减弱、路段上游车流量增加而增长。 + +# 八、 问题四模型 + +# 8.1 问题分析及模型选取 + +要知道从事故发生开始，经过多长时间车辆排队长度将到达上游路口，需要建立一个预测模型。关于交通流的预测模型主要分为两类，一类是以数理统计和微积分等传统数学和物理方法为基础的预测模型；一类是以现代科学技术和方法为主要研究手段而形成的预测模型。 + +和视频一视频二事故发生的地点相比，交通事故发生的横断面离上游路口更近了，路段上游车流量确定，事故发生时车辆初始排队长度确定为零，且事故持续不撤离。如果用传统的预测模型，如时间预测模型，神经网络模型等等，都需要数据样本支持，就算是数据要求最少的灰色预测模型也需要4个以上的样本，因此这些模型不适用。因此考虑使用仿真预测模型，比如元胞自动机。元胞自动机是一种非线性动力学系统，作为交通流预测模型非常适合。 + +# 8.2 模型建立及求解 + +元胞自动机本质上是一种理想的离散动力学系统模型，其元胞在空间和时间上是离散有限的，元胞的状态也是有限的。 + +元胞是元胞自动机的基本单元。它具有记忆状态的功能，其状态由自身状态和邻近元胞的状态决定。通常，二维元胞自动机考虑两种邻居：一是Von Neumann邻居，由一个中心元胞（要演化的元胞）和4个位于其邻近东西南北方位的元胞组成；另一是Moore邻居，它另包括次邻近的位于东北、西北、东南和西南方位的4个元胞，共9个元胞。这两种邻居如下： + +![](images/670fd8576b7606cf757a91ab296df38acc68f998e8521df2e66d20fe1a1323ee.jpg) + +如果某元胞自动机是有边界的，则需要考虑元胞缺少规则所需要的邻居的情况。 + +元胞自动机在空间上可划分为一维，二维，三维元胞自动机，从概率上分为概率机和非概率机。 + +根据题意，将小车看做元胞，本文构建的元胞自动机模型行为和规则如下： + +1. 元胞位于二维网格，根据统计学数据，小轿车车头距平均为4.8米，故140米相当于29个网格，因为有3个车道，因此元胞位于一个长29个网格，宽3个网格的二维网格，如下图： + +![](images/addb1cd082dd1b202abc6162316173aa1569f81195902a78063ca076fe8ec371.jpg) + +2. 元胞的状态考虑前、左、右三个邻居，边界条件取固定边界条件； + +3. 元胞的前进规则： + +(1) 当前面一个网格没有车时, 该元胞才考虑是否前进, 否则选择不前进; +(2) 当元胞离事故地点所在横断面有 5 个网格以上的距离时, 前进的概率为 1 , 否则前进的概率取 $0.18 \times n$ , n 为元胞离事故地点所在横断面的网格数, 故前进概率最低为 0.18 ; + +4. 元胞的换道规则： + +(1) 当元胞无法前进时, 才考虑换道; +(2) $50\%$ 的概率先考虑左边的网络, $50\%$ 的概率先考虑右边的网格; +(3) 当先考虑左边的网格时, 如果左边无车则换到左边的网格, 否则考虑右边的网格, 如果右边的网格无车则换到右边的网格, 否则留在原来的网格, 当先考虑右边的网格时同理; + +5. 元胞的更新规则： + +(1) 使用圆盘赌法, 当Matlab生成的随机数小于一秒钟有车出现的概率时才增加新元胞; +(2) 当要增加新元胞时, 根据视频的统计数据, 小车的概率为 0.9 , 使用圆盘赌法, 当Matlab生成的随机数小于 0.9 时更新的元胞为小车, 否则为大车; +(3) 当要增加新元胞时, 元胞出现的车道按附件三的提供的三个车道的流量比例进行分配; +(4) 当元胞到达最右边的右转车道时, 认为此时它已不再受事故影响,从二维网格上剔除; + +6. 仿真结束的条件，即排队长度到达上游路口的条件：现实中一条车道往往还没有停满车就已经影响到上游路口，因此当一条车道的元胞达到27个时就判定车辆排队长度到达上游路口。更新二维网格的时间为1s。 + +7. 该模型服从如下假设： + +(1) 只考虑小、大两种车型; +（2）大型车拆分成两个小型车进行考虑； +(3) 车在事发路段的速度为匀速, 因为事发路段比较拥挤, 故时速比较低, 时速大约为 $17.28 \mathrm{~km}$ , 不考虑加速过程。 + +按照以上的规则进行运行，运行的部分效果图如下： + +![](images/41ba3a001e263541413b73709a5531226e31812569751342f4f4fac98bac6e5c.jpg) +图28 + +上图中上下两条黑线之间为边界，中间为事发道路，中间的小黑点代表元胞，车道中最左边那一列的两个元胞代表发生交通事故的两辆车。小黑点在最右边的前进速度比较快，随着越来越接近事故发生地点时，由于通道变窄并且车流变密，故前进速度变慢。 + +![](images/8310196fa46af1a65d049a48508b2156455edac41aafa7c2abfd48b8010adb89.jpg) +图29 + +上图代表排队长度达到上游路口时的情况，此时如果可能会进一步导致上游交叉路口发生交通堵塞，因此交通管理部门需要及时处理该堵塞现象。 + +经过100次的仿真模拟，统计事故发生后车辆排队长度到达上游路口的时间在8.3分钟到9分钟之间，平均时间为8.4分钟。 + +将仿真模拟过程中的排队长度记录下来，可以进一步得到排队长度随事故持续时间变化的图像： + +![](images/aed20a0fa00cbf5bab72efdb265dcd376bffb124a441b8ef523e5320c1b3abbb.jpg) +图30 + +图30显示排队长度波动上升，这一点符合常识。但是其波动比起前面现实统计的现实数据相比波动幅度较小，这是因为没有考虑到红绿灯的影响，故上流车流量的变化比较平均，导致排队长度的波动较小。 + +# 7.3 模型的改进 + +考虑到红绿灯的影响，更改元胞的更新规则，不在每一秒都考虑元胞的更新。 + +如今每隔30秒才考虑元胞的更新，并且连续考虑30秒，此时选择增加元胞的概率增加为原来的两倍 $p = 0.83\%$ 。 + +经过改进后，进行100次仿真模拟，得到的排队长度到达上游路口的时间区间缩短为[8,8.4]（单位：分钟）。总体上比起改进前缩短了，这是因为考虑到红绿灯后，车队即将达到上游路口之前，下一波的车流量更密了，使车队的长度提前到达上游路口。 + +同样将仿真过程中排队长度的变化记录下来，得到的图像如下： + +![](images/4a50b0f877fe280bdab70c316f2a88904cb2531e0970bf784aaadeca2931cff2.jpg) +图31 + +从图31可知，此时排队长度的波动已经是非常剧烈的了，这更符合因红绿灯不断变化的上游车流量给排队长度带来的变动。 + +两个模型模拟的结果都不到10分钟。就是说当该处发生交通事故时，会在不到10分钟的时间内影响到上游路口的交通，因此交通管理部门需要及时对这里的车流进行引导，防止变成区域性交通堵塞。 + +# 九、模型评价及改进 + +问题一根据查到的文献，通行能力分为理论通行能力和实际通行能力，利用公式进行计算。分析实际通行能力时，发现实际通行能力随时间而变动，对这种变化进行正态性检验，发现这种变动满足正态分布。将实际通行能力与理论通行能力进行比较，发现实际通行能力在理论通行能力上下变动。说明实际通行能力由理论通行能力决定，受现实条件影响。不过该模型并没有进一步探究实际通行能力受到的现实条件的影响。 + +问题二在视频一和视频二的实际通行能力通过正态检验和方差齐次检验后进行方差分析，发现没有显著性差异。为了进一步分析同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力的影响，分别对视频一和视频二的实际通行能力进行通径分析，得到同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力的影响决定于各车道的流量比例的结论。该模型清晰易懂，易于实行，便于推广。 + +问题三首先通过城市交通二流理论预测各个时间点的排队长度，发现它受边 + +界条件的影响，故在一些时间段与现实不符合。于是构造非线性比例尺统计视频一的各个时间点的排队长度，再用夹角余弦法将因变量降为两个。接着使用BP神经网络进行训练和仿真预测，发现效果不佳。为了增强仿真效果，使用遗传算法优化神经网络结构。该模型简单易行，且使用遗传算法优化神经网络结构克服了局部最优解。但是计算排队长度时仍然存在误差，需要更精确的算法计算视频各个时间点的排队长度。 + +问题四使用了离散动力学系统模型元胞自动机，该模型仿真能力强，能很好地模拟现实中城市交通流的某些规则。模拟的结果显示排队长度在不到10分钟的时间内就到达上游路口了。进一步考虑红绿灯的影响，更改元胞的更新规则，然后再进行仿真模拟，发现排队长度波动变大，且排队长度到达上游路口的时间总体上变短。 + +# 十、参考资料 + +[1]王建军,《路网环境下高速公路交通事故影响传播分析与控制》,北京:科学出版社,2010 +[2]交调管理员，《道路路段通行能力分析》，http://www.sdj.net/Article/zhishi/200411/82.html，2013/9/14 +[3]韩延玲，《智能交通系统中视频车辆检测与定位技术研究》，http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1909086.aspx, 2013/9/13 +[4]Bastien Chopard, M. D., 《物理系统的元胞自动机模拟》, 北京: 清华大学出版社, 2003 +[5]Matlab 中文论坛,《Matlab 神经网络 30 个案例分析》,北京:北京航空航天大学出版社出版发行,2010 +[6]杜家菊等,《使用 SPSS 线性回归实现通径分析的方法》,生物学通报,2010,45(2):4-6,2010 + +# 附录 + +问题一视频一获取的数据 + +
时间小型车中型车大型车
16:38:30511
16:39:30811
16:40:301611
16:41:301731
事故发生时横断面
时间通过横截面的车上游路口过来的车
小型车中型车大型车小型车中型车大型车
16:42:301624903
16:43:3018111300
16:44:3016101411
16:45:3019011010
16:46:3014301901
16:47:3017211330
16:48:3020301811
16:49:3071000
16:50:0014211620
16:51:0018401930
16:52:0012211601
16:53:0013211622
16:54:0015211310
16:55:0013301210
16:58:0014201111
16:59:0014321011
17:00:00
17:01:00事故结束
时间小型车大型车
17:02:00424
+ +计算方法二得到的实际通行能力 + +
时间点 +(min)12345678
实际通行能力 +(pcu/h)1108.11314.21436.41311.51436.41316.71436.41299.6
时间点 +(min)9101112131415
实际通行能力(pcu/h)1436.41285.21292.81305.81436.41436.41219.6
+ +问题二视频二获取的数据 + +
横截面上游路口
时间小型车中型车大型车小型车中型车大型车
17:29:0016201210
17:30:0023011701
事故发生
17:34:1718121613
17:35:1719221221
17:36:1716211801
17:37:1716231103
17:38:1719011202
17:39:1714031903
17:40:1717121312
17:41:1720011102
17:42:1721221311
17:43:1715111501
17:44:1720111511
17:45:1712011012
17:46:1713141012
17:47:1717111711
17:48:1722111901
17:49:1717212311
17:50:1718302311
17:51:1716111301
17:52:1716111102
17:53:1717021911
17:54:171911702
17:55:1715231104
17:56:1717031502
17:57:1716021215
17:58:1710132201
17:59:1715221702
18:00:1717021502
18:01:1717111711
18:02:1718121002
18:03:28
+ +# 问题二两个视频各个车道的流量 + +
视频1横截面通行能力上游流量上游左流量上游中流量上游右流量
1620900315396189
1290780273343.2163.8
10501050367.5462220.5
1260690241.5303.6144.9
11101260441554.4264.6
13201050367.5462220.5
14701290451.5567.6270.9
11401140399501.6239.4
14401410493.5620.4296.1
10201080378475.2226.8
10801380483607.2289.8
1200870304.5382.8182.7
1050810283.5356.4170.1
1020870304.5382.8182.7
1350810283.5356.4170.1
+ +
视频2横截面通行能力上游流量上游左流量上游中流量上游右流量
14101410493.5620.4296.1
15601020357448.8214.2
12601200420528252
15001020357448.8214.2
1260960336422.4201.6
12001500525660315
13501110388.5488.4233.1
1320900315396189
1680990346.5435.6207.9
11101020357448.8214.2
14101110388.5488.4233.1
840930325.5409.2195.3
1350930325.5409.2195.3
12301230430.5541.2258.3
15301260441554.4264.6
13201590556.5699.6333.9
13501590556.5699.6333.9
1170900315396189
1170900315396189
12601350472.5594283.5
1350660231290.4138.6
14401140399501.6239.4
13801140399501.6239.4
12001410493.5620.4296.1
10501440504633.6302.4
13201260441554.4264.6
12601140399501.6239.4
12301230430.5541.2258.3
1410840294369.6176.4
+ +# 问题三视频一的部分数据 + +
横截面中间叉路
时间小型车中型车大型车小型车中型车大型车小型车中型车大型车
16:43:502100
16:44:003110
16:44:10320
16:44:20250
16:44:30210
16:44:40420
16:44:50311
16:45:00130
16:45:10320
16:45:201170
16:45:3021411
16:45:40310
16:45:50300
16:46:001101
16:46:102310
16:46:20331
16:46:303130
16:46:40300
16:46:50200
16:47:00221
16:47:10320
16:47:20150
16:47:3034110
16:47:40242
16:47:502110
16:48:00410
16:48:10351
16:48:20330
16:48:304710
16:48:40311
16:48:50300
16:49:001201
16:49:10330
16:49:20351
16:50:10332
16:50:20390
16:50:303620
16:50:40300
16:50:503100
16:51:00401
16:51:102131
16:51:2011710
16:51:303190
16:51:4011010
16:51:50330
+ +# 源程序引索 + +# 问题一源程序 + +problem1.m + +problem1_2.m + +# 问题二源程序 + +problem2.m + +ti2.m + +ti21.m + +ti2.sav + +ti2_1sav + +ti2_2sav + +问题2结果.spv + +# 问题三源程序 + +problem3.m + +problem3_2.m + +ti3.m + +ti31.m + +ti3.sav + +问题3结果.spv + +# 问题四源程序 + +problem4.m + +注：m 文件是 Matlab 程序，sav、spv 是 SPSS 文件 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2013/B201/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237.md" "b/MCM_CN/2013/B201/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..844936549bb5dd70cd658d041684e43cc862e138 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2013/B201/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237/\345\224\220\351\232\275\347\216\211\357\274\214\345\255\231\351\233\252\346\270\205\357\274\214\350\203\241\346\226\207\344\274\237.md" @@ -0,0 +1,1350 @@ +# 2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B + +我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： + +所属学校（请填写完整的全名）： 西南交通大学 + +参赛队员 (打印并签名)：1. 唐隽玉 + +2. 胡文伟 + +3. 孙雪清 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 徐跃良 + +(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) + +日期：2013年9月16日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
评阅人
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备注
+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 碎纸片的拼接复原 + +# 摘要 + +本文运用左右边界匹配、图片特征匹配、上下边界匹配等方法研究单页打印纵切纸片、单页打印横、纵切纸片以及双页打印横、纵切纸片的拼接与复原问题。 + +针对问题一，首先对图像进行数据处理，读取图片的灰度信息，构建灰度矩阵，并将灰度矩阵转化为0-1矩阵，从而将二维图片数值化。接着，提取出0-1矩阵的第一列与最后一列，存储在图片的左右边界矩阵中，通过建立两张图片的左右边界匹配度模型，探究图片的左右邻接关系。计算结果为：汉字图片从左到右依次为：008、014、012、015、003、010、002、016、001、004、005、009、013、018、011、007、017、000、006，英文的排序结果为：003、006、002、007、015、018、011、000、005、001、009、013、010、008、012、014、017、016、004。 + +问题二，采用二层筛选的方法，第一层做行位置筛选，读取图片的前100个像素行，存入图片的特征列向量中，并将此列向量作为行特征的唯一标识，建立图片的特征匹配模型，将列向量元素差异最小的图片聚类，中文确定出15类，英文归为16类。然后通过人为干预，实现类的合并，使每类中的图片个数相同，将中英文都聚成11类，每一类包含19张图片。构建行内图片的左右边界匹配模型，最终确定出每类内部图片的排序；第二层做列位置筛选，建立每行上下边界匹配模型，得出在各行的上下位置序列，经过两层筛选，得出原文件图片序列。最后，视人工干预后的最终结果为正确答案，检验未加入人工干预计算机排序结果，得到中文的拼接正确率为 $90.4\%$ ，英文的拼接正确率为 $65.1\%$ 。 + +对于问题三，建立两次特征匹配模型将图片聚类，即首先任取一碎片的一面依次与其他碎片的两个面分别作第一次特征匹配，寻得与该面特征匹配程度高的另一碎片的一面，再将这两个碎片的另一面做第二次特征匹配，在两者匹配很好的前提下，探求出两碎片的确定面属于同一类。加入人工干预，对类的个数降维，并保证每类中图片的数量相同。再利用问题二中的模型构建方法，通过左右边界匹配模型的求解、上下边界匹配模型的构建方法，完成了本问的研究。最后，我们从问题二的模型多增加一层特征匹配约束可得到问题三的模型这一角度出发，得出了模型三的拼接精度更高这一结论。 + +本文综合各种匹配方法，根据问题的深入，对匹配模型加以不断的改进，结合matlab编程、word拼图等手段，对碎纸片的拼接复原做了逐步深入分析，并给出了基于边界灰度、图片行特征灰度的匹配模型。在文章的最后对模型的适用范围做出了推广，在实际应用中有较大的参考价值。 + +关键词：左右边界匹配 特征匹配 上下边界匹配 matlab 两层筛选 + +# 一、问题重述 + +破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： + +1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及规定的表格形式表达。 +2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 +3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。 + +# 二、问题分析 + +碎片的拼接复原，通常的做法是人工识别碎片边缘的字迹断线、和理解碎片内文字含义，这样利用人工智能的方法虽然准确度高，但是当碎片的数量很大时，人工的效率就显得低，而且出错率会明显提高；而计算机拼接与复原图像，虽不及人工识别智能，但能充分发挥其运算量大，运算速度快的特点。 + +故本问题的目标就是利用附件中给的碎片数据，分单页纵切，单页横纵切，双页打印横纵切三种情况，把拼接复原问题抽象成一个明确完整的数学模型，利用计算机，并加以人工干预，复原出原图表。 + +# 问题一的分析 + +问题一要求仅考虑单面纵切，建立来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎的纵切纸片拼接复原模型和算法。通过对附件1和附件2给出的碎片数据图的观察，发现本题的碎片图像具有相对文字（汉字、英文）方向纵向规则剪开的特征，所以不适合基于碎片的边缘线建模，也不适合基于两幅图片的重合度建模。我们可以根据打印文件的每行文件具有前后连续性，考虑先从读取文件数据入手，存储每幅图片对应的灰度值矩阵。依靠得到的灰度值矩阵转化为0-1二值矩阵，并利用相邻接左右边界差异不大这一特性作为依据来建立左右边界匹配模型，来解决此问题，复原出图片的原始序列。 + +# 问题二的分析 + +此题加入了横向切割，使得切割方式更加多样化和更接近实际。它相对于第一问而言，图片的信息量更小，图片的个数增多了一倍。图片总体不仅在纵向具有无序性，而且在横向也具有无序性。若仅采用问题一中的方法，定位约束太少，可能会出现一个图片与多个图片最小差异度相等，导致该图片与多个图片相联系，从而增加问题求解的难 + +度。通过观察图片的平行切割特点，发现来自原文件同一行的文字切割后的图片一般在相同的行位置上。所以可以考虑，先进行行位置筛选，通过构建图片的特征列向量作为唯一标识，建立特征匹配模型，得到具有相同行特征的图片，聚成同一类。考虑到每类包含的图片个数不一致，可加入人工干预，对类的个数降维，使得行集合包含的碎片个数一致。而利用左右边界匹配模型可以确定同一行的图片的序列；可采用相同的原理，建立上下边界匹配模型来解决纵向图片的定序问题。这样一来，可以拼接出本问的原文件，完成问题二的求解。 + +# 问题三的分析 + +问题三在前两问的基础上，加入了双面打印这一条件。本问中图片的个数相较于问题二增大了一倍，达 $2 \times 11 \times 19 = 418$ 个，较前两问复杂度最高。由于从单面看问题二和问题三没有任何区别，所以可以采取相似的方法对问题三求解。但我们思考总结出如下两方面：一方面不能思维定势，也就是说所有编号中带有 a 的图不一定都来自同一面，即有可能是碎纸片的正面也有可能是碎纸片的反面。另一方面如果采用问题二中相同的处理方法对附件 5 中所有的图片排序的话，可能会发生一个图片的匹配图片过多，或者出现将一个碎纸片的正反面归为同一类的错误。综合以上两方面的思考，问题三的求解过程的特点在于：先对一张碎纸片构建其对应的特征匹配模型，若得到另外一张碎纸片与这张碎纸片匹配，则随后对它们的反面进行匹配以检验。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设附件中每张碎纸片都是大小相等的矩形，切割边缘光滑； +2. 假设附件中编号为 000 的图片为第一张图片，编号为 001 的图片为第二张图片，依此类推； +3. 假设附件中每张图片无倾斜，即底边水平； +4. 假设附件中的每张图片是无噪的，仅考虑图像的拼接无须考虑图像的修补； +5.假设每一附件为同一页纸的碎片数据； +6.假设包含000a图片的那页为原文件的正面 + +# 四、符号说明与名称解释 + +# 4.1符号说明 + +$A^{(k)}$ ：第 $k$ 张图片的灰度值矩阵 + +$a_{i,j}^{(k)}$ ：第 $k$ 张图片的灰度值矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 + +$C^{(k)}$ ：第 $k$ 张图片的灰度值矩阵转化的0-1矩阵 + +$c_{i,j}^{(k)}$ : 第 $k$ 张图片 0-1 矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 + +$B^{(k)}$ ：第 $k$ 张图片左、右边界线上的0-1边界矩阵 + +$P_{k,s}^{r}$ ：第 $k$ 张图片右边界与第 $s$ 张图片的左边界的边界匹配值 + +$P_{k,s}^{l}$ ：第 $k$ 张图片左边界与第 $s$ 张图片的右边界的边界匹配值 + +$P_{k}^{*}$ ：第 $k$ 张图片左右边界匹配时最优的匹配值 + +$D^{(k)}$ ：存入特征灰度信息的的特征列向量 + +$d_{i}^{(k)}$ ：第 $k$ 张图片灰度信息特征列向量 + +$W_{k,s}$ ：反映图片 $k$ 及图片 $s$ 的特征信息吻合程度的特征值 + +# 4.2 名称解释 + +1. 原文件：每个附件中所有图片拼接复原图； + +2.图片行：以附件中各个图片为单位组成的行； +3. 文字行：以图片内部文字为单位组成的行； +4.像素行：图片内部像素矩阵的行； +5.行集合：具有相同行特征的碎片组成的图片行。 + +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一的模型建立与求解 + +问题一要求拼接复原来自同一页纵切的破碎纸片。这个问题仅在纵向的维度对碎纸片的拼接复原提出了要求，对此本文从以下三个步骤进行回答： + +步骤一：读取每张图片文件的数据，其目的是将附件中给的bmp格式的碎纸片图以灰度值矩阵的形式存储。再将灰度值矩阵转化为0-1矩阵，来得到模型的数据基础； + +步骤二：基于上述0-1矩阵，提取每幅图片左右边界的0-1值，建立左右边界匹配模型，确定出图片的序列； + +步骤三：根据上面的步骤，将附件图片拼接，以图片和表格形式展现。 + +# 5.1.1 图像的数据处理 + +Step1.灰度值矩阵的获取[1] + +附件中无论印有汉字还是英文的碎纸片均以bmp格式的图片形式给出。先将附件中的图片以元胞矩阵的形式存入matlab中 + +为建立模型，必须得到数字依据。 + +所以用matlab的imread函数读取图片的灰度信息，将第 $k$ 张图片的灰度信息分别存入灰度值矩阵 $A^{(k)}$ 中 $(k = 1,2\dots 19)$ ： + +$$ +A ^ {(k)} = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1, 1} ^ {(k)} & a _ {1, 2} ^ {(k)} & \dots & a _ {1, 7 2} ^ {(k)} \\ a _ {2, 1} ^ {(k)} & a _ {2, 2} ^ {(k)} & \dots & a _ {2, 7 2} ^ {(k)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _ {m, 1} ^ {(k)} & a _ {m, 2} ^ {(k)} & \dots & a _ {m, n} ^ {(k)} \end{array} \right] +$$ + +其中，第 $k$ 个图片的灰度信息以0~255的灰度值存储在矩阵 $A^{(k)}$ 中，颜色越深，灰度值越大。 + +Step2.0-1 矩阵的建立 + +由于matlab在计算时，为防止灰度值溢出，会将值限制在0~255的范围内。在此模型的计算中，为保证灰度匹配模型中绝对值的和不受这个约束的影响，同时简便计算，需将灰度值矩阵 $A^{(k)}$ 进行转化为0-1矩阵 $C^{(k)} (k = 1,2\dots 19)$ ，具体转化操作如下： + +若 $A^{(k)}$ 中某个元素灰度值 $a_{i,j}^{(k)}$ 小于 255，则 $C^{(k)}$ 中相同位置的元素值 $c_{i,j}^{(k)}$ 记为 0，否则记为 1。即： + +$$ +c _ {i, j} ^ {(k)} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & a _ {i, j} ^ {(k)} < 2 5 5 \\ 1, & a _ {i, j} ^ {(k)} = 2 5 5 \end{array} \right. \tag {5.1} +$$ + +于是，建立了0-1矩阵 $C^{(k)}$ + +$$ +C ^ {(k)} = \left[ \begin{array}{c c c c} c _ {1, 1} ^ {(k)} & c _ {1, 2} ^ {(k)} & \dots & c _ {1, n} ^ {(k)} \\ c _ {2, 1} ^ {(k)} & c _ {2, 2} ^ {(k)} & \dots & c _ {2, n} ^ {(k)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c _ {m, 1} ^ {(k)} & c _ {m, 2} ^ {(k)} & \dots & c _ {m, n} ^ {(k)} \end{array} \right] +$$ + +Step3: 获取左、右边界矩阵 + +根据0-1矩阵 $C^{(k)}$ ，将第 $k$ 张图片的左、右边界处的元素分别存于 $B^{(k)} (k = 1,2\dots 19)$ 矩阵的第一列、第二列中。得到保存左、右边界线上的0-1值的 $B^{(k)}$ 边界矩阵； + +$$ +\boldsymbol {B} ^ {(k)} = \left[ \begin{array}{c c} c _ {1, 1} ^ {(k)} & c _ {1, n} ^ {(k)} \\ c _ {2, 1} ^ {(k)} & c _ {2, n} ^ {(k)} \\ \vdots & \vdots \\ c _ {m, 1} ^ {(k)} & c _ {m, n} ^ {(k)} \end{array} \right] +$$ + +# 5.1.2 边界匹配模型的建立 + +为了得到每个附件中各幅图片的邻接关系，采用边界匹配法。它是基于纵向规则切割特性：两相邻图片中第一幅图片的右边界上的文字和第二幅图片左边界上文字多数来自同一个汉字或英文字母，即两邻接图片的边界的差异度小。 + +边界匹配模型的建立具体步骤如下： + +# 1. 右边界匹配模型的构建 + +将第 $k$ 个图片的右边界与第 $s$ 张 $(s = 1,2\dots 19$ 且 $s\neq k)$ 图片的左边界进行右边界匹配，即求第 $k$ 个图片边界矩阵的第二列与第 $s$ 张边界矩阵的第一列对应行元素的差，再求差的绝对值的和—— $P_{k,s}^{r}$ ： + +$$ +P _ {k, s} ^ {r} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| c _ {i, n} ^ {(k)} - c _ {i, 1} ^ {(s)} \right| \tag {5.2} +$$ + +将第 $k$ 个图片的右边界依次与其余的任意一张图片的左边界进行右边界匹配, 得到 $\mathsf{n}$ 个值: $P_{k,1}^{r}, P_{k,2}^{r}, \dots, P_{k,n}^{r}$ 。通过比较, 取这 $\mathsf{n}$ 个值中最小值, 作为右边界匹配值。 + +$$ +P _ {k, s} ^ {r} = \min \left\{P _ {k, 1} ^ {r}, P _ {k, 2} ^ {r}, \dots , P _ {k, n} ^ {r} \right\} \tag {5.3} +$$ + +# 2. 左边界匹配模型的构建 + +将第 $k$ 个图片的左边界分别与第 $s$ 张 $(s = 1,2\dots 19$ 且 $s\neq k)$ 图片的右边界进行左边界匹配，即求第 $k$ 个图片边界矩阵的第一列与第 $s$ 张边界矩阵的第二列对应行元素的差，再求差的绝对值的和—— $P_{k,s}^{l}$ ： + +$$ +P _ {k, s} ^ {l} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| c _ {i, 1} ^ {(k)} - c _ {i, n} ^ {(s)} \right| \tag {5.4} +$$ + +将第 $k$ 个图片的左边界依次与其余的任意一张图片的右边界进行左边界匹配，得到 $\mathsf{n}$ 个值： $P_{k,1}^{l}, P_{k,2}^{l}, \dots, P_{k,n}^{l}$ 。通过比较，取这 $\mathsf{n}$ 个值中最小值，作为左边界匹配值。 + +$$ +P _ {k, s} ^ {l} = \min \left\{P _ {k, 1} ^ {l}, P _ {k, 2} ^ {l}, \dots , P _ {k, n} ^ {l} \right\} \tag {5.5} +$$ + +# 3.最佳边界匹配模型的建立 + +取第 $k$ 个图片，先与任意一张图片 $s (s = 1,2\dots 19$ 且 $s\neq k)$ 图片依次进行右边界匹配，求得 $P_{k,s}^{r}$ ，再与任意一张图片 $s (s = 1,2\dots 19$ 且 $s\neq k)$ 图片依次进行左边界匹配，得 $P_{k,s}^{l}$ ，取两值之间的最小值： + +$$ +P _ {k} ^ {*} = \min \left\{P _ {k, s} ^ {l}, P _ {k, s} ^ {r} \right\} \tag {5.6} +$$ + +$P_{k}^{*}$ 对应的匹配方式即为第 $k$ 张图片与第 $s$ 张图片的最佳匹配方式。若 $P_{k}^{*} = P_{k,s}^{r}$ ，则说明第 $k$ 张图片的右边接于第 $s$ 张图片的左边，记做 $k \to s$ ； $P_{k}^{*} = P_{k,s}^{l}$ 时，说明第 $k$ 张图片的左边与第 $s$ 张图片的右边相连，记做 $s \to k$ 。 + +综上，我们的左右边界匹配模型可以总结为： + +$$ +P _ {k} ^ {*} = \min \left\{P _ {k, s} ^ {l}, P _ {k, s} ^ {r} \right\} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} P _ {k, s} ^ {r} = \min \left\{P _ {k, 1} ^ {r}, P _ {k, 2} ^ {r}, \dots , P _ {k, n} ^ {r} \right\} \\ P _ {k, s} ^ {r} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| c _ {i, n} ^ {(k)} - c _ {i, 1} ^ {(s)} \right| \\ P _ {k, s} ^ {l} = \min \left\{P _ {k, 1} ^ {l}, P _ {k, 2} ^ {l}, \dots , P _ {k, n} ^ {l} \right\} \\ P _ {k, s} ^ {l} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| c _ {i, 1} ^ {(k)} - c _ {i, n} ^ {(s)} \right| \end{array} \right. \tag {5.7} +$$ + +# 5.1.4 模型的求解 + +# 1.求解算法 + +Step1 取附件中第 $i$ 张碎片, 将其依次与第 1 张碎片, 第 2 张碎片, 第 $i-1$ 张碎片, $\ldots$ , 第 $i+1$ 张碎片, $\ldots$ , 第 $n$ 张碎片进行右边界匹配, 得到右边界匹配值; + +Step2 取附件中第 $i$ 张碎片, 将其依次与第 1 张碎片, 第 2 张碎片, 第 $i-1$ 张碎片, $\ldots$ , 第 $i+1$ 张碎片, $\ldots$ , 第 $\mathbf{n}$ 张碎片进行左边界匹配, 得到左边界匹配值; + +Step3 比较右边界匹配值与左边界匹配值的大小，选择两者之间的最小值对应的匹配方式，将两张图片按匹配方式结合，视为一体。 + +Step4 重复进行 Step1 $\rightarrow$ Step3，直至确定出附件原文件的图片序列。 + +# 2.编程实现 + +我们利用matlab求解（具体程序见附录），得到如下： + +附件1,2分别包含了19张图片，通过matlab中“imread”命令，得到灰度值矩阵 $A^{(k)}$ 考虑到本题中 $A^{(k)}$ 的维度为 $1980\times 72$ ，且这是中间过程的结果，故不予以展示。 + +同样地，由于0-1矩阵 $C^{(k)}$ 的大小为 $1980\times 72$ ，边界矩阵 $B^{(k)}$ 的维度为本题中它的维数为 $1980\times 2$ ，不在正文中显示矩阵的具体值。 + +本文仅列举右边界匹配值 $P_{k,s}^{\text {右 }}$ 与邻接关系，附件1、2的情况一并显示在表1中： + +表 1 问题一的邻接关系与 ${P}_{k,s}^{ * }$ 值 + +
附件1（汉字）附件2（英文）
邻接关系Pk,s值邻接关系Pk,s值
000→006282000→005281
001→004284001→009228
002→016333002→007135
003→010332003→006172
004→005279004→003101
005→009296005→001185
006→008169006→002185
007→017318007→015212
008→014238008→012180
009→013375009→013200
010→002330010→008198
011→007259011→000145
012→015212012→014230
013→01871013→010178
014→012262014→017169
015→003372015→01846
016→001336016→004143
017→000322017→016195
018→011327018→011192
+ +复原结果：附件1对应的复原表格见表2，附件2对应的复原表格见表3。按照表2、3的序列，把图片设置成相同的高和宽的统一大小，将图片复制，粘贴进word，即用word拼图，得到复原图，依次见附录1.4、1.5。 + +表 2 附件 1 (汉字) 复原的碎片序号 + +
008014012015003010002016001004005009013018011007017000006
表3 附件2（英文）复原的碎片序号
003006002007015018011000005001009013010008012014017016004
+ +# 5.1.4 模型结果的分析 + +本问中，建立边界匹配模型，利用matlab编程进行求解，可以得到附件1（汉字）、附件2（英文）的图片排列顺序，在word中拼出图片见附录2.1、2.2。观察图片，通过观察碎片边缘的字迹断线的连接、理解碎片内文字含义，检验了拼接复原结果正确性。也说明边界匹配模型在不需要人工干预的情况下很好地解决了问题一。 + +# 5.2 问题二的模型建立与求解 + +问题二要求在碎纸机既纵切又横切的情形下，对碎纸片进行拼接复原。我们认为由以下四个步骤组成： + +步骤一：进行模型的准备，用问题一的方法对图像进行预处理，分别构建反映中英文文章行特征的特征向量以及确定需要扫描像素行的行数； + +步骤二：通过分别建立特征匹配模型，左右边界匹配模型，上下边界匹配模型三个模型，完成单页打印横纵切纸片匹配模型的构建； + +步骤三：对模型进行求解。特别的，特征匹配模型求解后加入人工干预； + +步骤四：对求解结果进行分析。 + +# 5.2.1 模型的准备 + +# 1.图像的预处理 + +对于图像的预处理，我们采用问题一中的方法，首先用matlab读取每张图片的灰度信息，再将灰度信息转换为0-1矩阵。 + +# 2.构建特征灰度条向量 + +# （1）构建中文特征灰度条向量 + +特征灰度条是指记录图片中文字的行方向信息的列向量 $D^{(k)}$ ，建造特征灰度条的方法为：对于预处理后的图像，建造一个与碎片的图像行数一致的列向量 $D^{(k)}$ 。对图像中像素行进行扫描，若此行中有像素值为0的点，则将列向量 $D^{(k)}$ 中相同行处的值设为0，否则设为1。图000.bmp的特征灰度条如图2所示 + +![](images/849ed388ca2621dc45119e2347f32384918974cfa4aa8a85a340d9fc7839e69e.jpg) +图2 图000.bmp及其灰度条 + +$$ +d _ {i} ^ {(k)} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {第} k \text {张 图 片 中 第} i \text {行 出 现 了} 0 \\ 1, & \text {第} k \text {张 图 片 中 第} i \text {行 全 为} 1 \end{array} \right. \tag {5.8} +$$ + +特征灰度条的列向量 $D^{(k)}$ 为： + +$$ +D ^ {(k)} = \left(d _ {1} ^ {(k)}, d _ {2} ^ {(k)}, \dots , d _ {m} ^ {(k)}\right) ^ {T} +$$ + +根据此法，便可得到每张碎纸片的特征灰度条。若某两张碎片的灰度条相似程度达到精度要求，则它们就具有相同的图像行特征，位于原文件的同一行。 + +# (2) 构建英文特征灰度条向量 + +英文与汉字的结构不同。各个英文字母在上、中、下三格的分布情况不同。有些图片中的某一行只含有中格字母，如附件四中的011.bmp图片第二行只含有o、c、r和a，而与它相邻图片的对应行同时含有中上格、中下格字母，例如位于011.bmp图片右边的154.bmp图片第二行含有中上格字母“t”。如果用汉字特征灰度条的构建方法来制作这两个英文图片的特征灰度条，则154.bmp的特征灰度条在文字第二行区域的黑色段会比011.bmp的要长。在第一轮筛选过程中，会因为这个黑色段长度的差异而将两者归入不同的行集合中。为了使第一轮筛选结果尽量准确，必须要避免这种情况。通过分析英文字母的结构特性，发现所有的英文字母的主体部分都在中格，所以在构建特征灰度条时，可以只考虑每行英文字母的中格部分，这样就规避了因字母在上、中、下三格分布情况不同而造成筛选不准确的情况。具体方法如下： + +将预处理后的附件四图像，建造一个与碎片0-1矩阵行数相同的列向量。逐次扫描图像的像素行。若某行元素之和小于 $M$ ，说明该像素行中黑点较多，是英文字母的主体部分，位于此文字行的中格，则在列向量中相同行处的元素记为0，否则记为1。多次试验后，我们选取合适的值为56。以011.bmp图片为例构建的特征灰度条如图3所示： + +![](images/3301f012558f77acc662cf08dee20c4883df634722eb10db62697690c4a6a708.jpg) +图3 图011.bmp及其灰度条 + +$$ +d _ {i} ^ {(k)} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {第} k \text {张 图 片 中 第} i \text {行 元 素 之 和} < M \\ 1, & \text {第} k \text {张 图 片 中 第} i \text {行 元 素 之 和} \geq M \end{array} \right. \tag {5.9} +$$ + +特征灰度条的列向量 $D^{(k)}$ 为： + +$$ +D ^ {(k)} = \left(d _ {1} ^ {(k)}, d _ {2} ^ {(k)}, \dots , d _ {m} ^ {(k)}\right) ^ {T} +$$ + +根据此法，便可得到附件四中每张碎纸片的特征灰度条。若某两张碎片的灰度条相似程度达到精度要求，则它们就具有相同的图像行特征，位于原文件的同一行。 + +# 3. 确定扫描像素行的行数[1] + +扫描一幅图片的像素点，其自然的思路就是对第 $k$ 张图像的每一行进行扫描，得到每行的像素值。但在构造特征灰度条矩阵的时候，发现了一些特殊情况，如下图所示： + +色一 + +，异： + +170.bmp + +·分 + +乡风 + +205.bmp + +图1特殊情况举例 + +编号为170和编号为205的图片人为可以判断他们是左右相邻的，两幅图刚好位于一篇文章的最后三行文字的位置，其中编号为170的图片位置靠前，所以图片截到了第三行末尾的句号，但编号为205的图片位置靠后，图中第三文字行已经到了换行符之后，是空白的。两者的特征灰度条会在下边界处出现明显偏差，原本应归入同一集合的两张碎片会被分开。 + +这种情况的出现，会加重计算的复杂度，而且造成结果冗余而不准确。为了得到准确的结果，必须要削弱这种情况所带来的干扰。结合附件中图片特征，发现文字大多集中在图片三分之二高度的区域内，所以，构建特征灰度条时，没必要每一行都扫描到。为了得到合适的扫描行数，分别试验了扫描前100行、前120行和前140行的方案，得到的效果如下（附件三和附件四中每张图片总共有180个像素行）： + +表 4 关于图像扫描行数确定的几次尝试 + +
扫描像素行数行集合的个数
10015
12016
14019
+ +通过观察结果可以看出，扫描前100行得到的碎片总行数是最少的，很接近题目中切割源文件的行数11。所以，本文仅对每张图像的前100个像素行进行扫描，并提高匹配的精度要求，这样更有利于解决问题。 + +# 5.2.2 建立横纵切纸片匹配模型 + +# （1）建立特征匹配模型 + +将碎片 $k$ 与碎片 $s$ 进行特征比较 $(s = 0,1\dots 208$ 且 $s\neq k)$ ，即求碎片 $k$ 的特征列向量 $D^{(k)}$ 与碎片 $s$ 的特征列向量 $D^{(s)}$ 对应元素的差的绝对值，再求和，得到特征值 $W_{k,s}$ ： + +$$ +W _ {k, s} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| d _ {i} ^ {(k)} - d _ {i} ^ {(s)} \right| \tag {5.10} +$$ + +考虑到每个汉字或者每个英文字母结构的差异性，位于同一行文字的高度可能会出现微小的偏差，很难出现特征灰度条相同（即 $W_{k,s} = 0$ ）的情况，若取 $W_{k,s} = 0$ 作为判断原则，那么原本位于同一行的两张图片可能因为这微小的偏差而归于不同的行集合中。 + +取一个合适小的置信区间 $[a,b]$ ，若 $W_{k,s} \in [a,b]$ ，则认为碎片 $k$ 与碎片 $s$ 来自原文件的同一行。 + +# （2）建立左右边界匹配模型 + +本问中的左右边界匹配模型相对于第一问中的边界匹配模型而言，差异性在于问题一中的边界匹配模型是19个纵向大长条，信息量大；而本问中是19个纵向小长条，信息量小。 + +也就是说，问题一中的左右边界矩阵为 + +$$ +\boldsymbol {B} ^ {(k)} = \left[ \begin{array}{c c} c _ {1, 1} ^ {(k)} & c _ {1, 7 2} ^ {(k)} \\ c _ {2, 1} ^ {(k)} & c _ {2, 7 2} ^ {(k)} \\ \vdots & \vdots \\ c _ {1 9 8 0 1} ^ {(k)} & c _ {1 9 8 0 7 2} ^ {(k)} \end{array} \right] +$$ + +而问题二中的左右边界矩阵为 + +$$ +\boldsymbol {B} ^ {(k)} = \left[ \begin{array}{c c} c _ {1, 1} ^ {(k)} & c _ {1, 7 2} ^ {(k)} \\ c _ {2, 1} ^ {(k)} & c _ {2, 7 2} ^ {(k)} \\ \vdots & \vdots \\ c _ {1 8 0, 1} ^ {(k)} & c _ {1 8 0, 7 2} ^ {(k)} \end{array} \right] +$$ + +其余模型的建立步骤同问题一，即： + +1. 构建右边界匹配模型； +2. 构建左边界匹配模型； +3. 构建最佳匹配模型。 + +# (3) 建立上下边界匹配模型 + +本模型的基本思路与第一问中边界匹配模型的构建一致，因为问题一中是一长列的边界匹配，是纵向的边界匹配，本模型是一长行的边界匹配，是横向的边界匹配。但是不同之处在于：问题一中匹配的19条纵列的左右边界匹配模型，而本模型为11条行的上下边界匹配模型。将第 $k$ 张图片的上、下边界处的元素分别存于 $E^{(k)} (k = 1,2\dots 11)$ 矩阵的第一行、第二行中。即上下边界匹配模型中第 $k$ 行的上下边界矩阵为： + +$$ +E ^ {(k)} = \left[ \begin{array}{c c c c} c _ {1, 1} ^ {(k)} & c _ {1, 2} ^ {(k)} & \dots & c _ {1, n} ^ {(k)} \\ c _ {m, 1} ^ {(k)} & c _ {m, 2} ^ {(k)} & \dots & c _ {m, n} ^ {(k)} \end{array} \right] +$$ + +故模型的构建如下： + +# 1.上边界匹配模型的构建 + +将第 $k$ 行的上边界与第 $s$ ( $s = 1,2\dots 11$ 且 $s \neq k$ ) 行的下边界进行上边界匹配，即求第 $k$ 行的边界矩阵的第一行与第 $s$ 行的边界矩阵的第二行对应列元素的差，再求差的绝对值的和—— $Q_{k,s}^{u}$ ： + +$$ +Q _ {k, s} ^ {u} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \left| c _ {1, j} ^ {(k)} - c _ {m, j} ^ {(s)} \right| \tag {5.11} +$$ + +将第 $k$ 行的上边界依次与其余的任意一行的下边界进行上边界匹配，得到 $\mathsf{n}$ 个值： $Q_{k,1}^{u}, Q_{k,2}^{u}, \dots, Q_{k,2}^{u}$ 。通过比较，取这 $\mathsf{n}$ 个值中最小值，作为上边界匹配值。 + +$$ +Q _ {k, s} ^ {u} = \min \left\{Q _ {k, 1} ^ {u}, Q _ {k, 2} ^ {u}, \dots , Q _ {k, n} ^ {u} \right\} \tag {5.12} +$$ + +# 2.下边界匹配模型的构建 + +将第 $k$ 行的下边界与第 $s$ $(s = 1,2\dots 11$ 且 $s\neq k)$ 行的上边界进行下边界匹配，即求第 $k$ 行边界矩阵的第二行与第 $s$ 行边界矩阵的第一列对应列元素的差，再求差的绝对值的和 $Q_{k,s}^{d}$ ： + +$$ +Q _ {k, s} ^ {d} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \left| c _ {m, j} ^ {(k)} - c _ {1, j} ^ {(s)} \right| \tag {5.13} +$$ + +将第 $k$ 个行的下边界依次与其余的任意一行的上边界进行下边界匹配，得到 $\mathbf{n}$ 个值： $Q_{k,1}^{d}, Q_{k,2}^{d}, \dots, Q_{k,2}^{d}$ 。通过比较，取这 $\mathbf{n}$ 个值中最小值，作为下边界匹配值。 + +$$ +Q _ {k, s} ^ {d} = \min \left\{Q _ {k, 1} ^ {d}, Q _ {k, 2} ^ {d}, \dots , Q _ {k, 3} ^ {d} \right\} \tag {5.14} +$$ + +# 3.最佳边界匹配模型的建立 + +取第 $k$ 行，先与任意一行 $s (s = 1,2\dots 11$ 且 $s\neq k)$ 依次进行上匹配，求得 $Q_{k,s}^{u}$ ，再与任意一行 $s (s = 1,2\dots 11$ 且 $s\neq k)$ 依次进行下匹配， $Q_{k,s}^{d}$ ，取两值之间的最小值： + +$$ +Q _ {k} ^ {*} = \min \left\{Q _ {k, s} ^ {u}, Q _ {k, s} ^ {d} \right\} \tag {5.15} +$$ + +$Q_{k}^{*}$ 对应的匹配方式即为第 $k$ 行与第 $s$ 行的最佳匹配方式。若 $Q_{k}^{*} = Q_{k,s}^{u}$ ，则说明第 $k$ 行上边接于第 $s$ 行的下边； $Q_{k}^{*} = Q_{k,s}^{d}$ 时，说明第 $k$ 行的下边与第 $s$ 行的上边相连。 + +综上，我们构建的横纵切纸片匹配模型为： + +$$ +Q _ {k} ^ {*} = \min \left\{Q _ {k, s} ^ {u}, Q _ {k, s} ^ {d} \right\} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} W _ {k, s} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| d _ {i} ^ {(k)} - d _ {i} ^ {(s)} \right| \in [ a, b ] \\ Q _ {k, s} ^ {u} = \min \left\{Q _ {k, 1} ^ {u}, Q _ {k, 2} ^ {u}, \dots , Q _ {k, n} ^ {u} \right\} \\ Q _ {k, s} ^ {u} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \left| c _ {1, j} ^ {(k)} - c _ {m, j} ^ {(s)} \right| \\ Q _ {k, s} ^ {d} = \min \left\{Q _ {k, 1} ^ {d}, Q _ {k, 2} ^ {d}, \dots , Q _ {k, n} ^ {d} \right\} \\ Q _ {k, s} ^ {d} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \left| c _ {m, j} ^ {(k)} - c _ {1, j} ^ {(s)} \right| \end{array} \right. \tag {5.16} +$$ + +# 5.2.3 模型的求解 + +# 1.求解步骤 + +Step1 取附件中第 $i$ 张碎片, 将其依次与第 1 张碎片, 第 2 张碎片, 第 $i-1$ 张碎片, $\ldots$ , 第 $i+1$ 张碎片, $\ldots$ , 第 $n$ 张碎片进行特征匹配, 将匹配成功的碎片存入同一行; + +Step2 重复 Step1，得到具有相同行特征的行集合； + +Step3 人工识别碎片边缘的字迹断线、理解碎片内文字含义的方式对相邻接的图片，即加入人工干预，将得到的类的个数降维； + +Step4 取同一行中第 $i$ 张碎片，将其依次与第 1 张碎片，第 2 张碎片，第 $i - 1$ 张碎片，...，第 $i + 1$ 张碎片，...，第 $\mathbf{n}$ 张碎片先进行右边界匹配，得到右边界匹配值，再依次进行左边界匹配，得到左边界匹配值。比较右边界匹配值与左边界匹配值的大小，选择两者之间的最小值对应的匹配方式，将两张图片按匹配方式结合，视为一体。 + +Step5 重复进行 Step4，直至确定出每行内部图片的排列顺序。 + +Step6 取第 $i$ 行，将其依次与第 1 行，第 2 行，第 $i - 1$ 行，...，第 $i + 1$ 行，...，第 n 行先进行上边界匹配，得到上边界匹配值，再依次进行下边界匹配，得到下边界匹配值。比较上边界匹配值与下边界匹配值的大小，选择两者之间的最小值对应的匹配方式，将两张图片按匹配方式结合，视为一体。 + +Step7 重复进行 Step6，直至确定出每行的上下位置，从而得到图片的原始序列。 + +# 2. 算法实现 + +（1）结合特征匹配模型，利用matlab编程（见附录)，得到每行集合的碎片个数，附件3(中文)对应的15个行集合中碎片个数，如表5所示： + +表 5 15 行中每行的碎片个数 + +
行集合的编号123456789101112131415
碎图片的个数19191918151919193218161814
+ +为了直观表现，我们将表5的数据绘制成条形图： + +![](images/73c411d75d6a9d0b2aa860ce5c7557fef538b73385e2ca002933068e0441e43d.jpg) +图2 15行包含的碎纸图个数 + +由表5、图2知道：包含19个碎图片行集合的个数有6个，编号分别为：1、2、3、6、7、8，这6个可以唯一对应原文件的6个图像行；行集合的包含的图片个数大于10且小于19的行的个数有5，分别的标号为：4、5、11、12、13。该列行集合中包含于原文件中图片行。而行集合中元素个数小于10的行的个数有4个，行集合编号分别为：9、10、14、15。 + +由于附件3中的图片是 $11 \times 19$ 个，所以需要将4个行集合中的图片分配到5个行集合中去。 + +（2）此外还得到了每行所包含的图片编号，考虑到数据过多，本文仅列举其中三行，见表6。 + +表 6 特征匹配模型求解结果示例 + +
行集合1行集合2行集合3
碎图片的编号07321182321122
455356263041284954
687093506276576591
126137138868710095118129
153158166120142147141143178
174175196168179191186188190
208195192
+ +(3) 人工干预 + +由上文且结合附件3、4是 $11 \times 19$ 规模的文件，在特征匹配模型求解完成后加入第一次人工干预，即将表5中4个行集合中的图片元素通过与对应的5个行集合的图片进行人工配对，来人为生成与原文件相同的11个行集合。具体的人工配对方法如下： + +Step1. 按行集合编号的顺序选择 9 集合中的一个图片，通过文义匹配和边缘断线匹配的方法，将其与集合 4、5、11、12、13 中各抽取出一个图片共 5 张图片，进行依次比较，如果与某行集合中的那个图片匹配成功，就将这个图片存入该行集合中； + +Step2：循环进行 Step1 步骤，直至将集合 9、10、14、15 中共计 10 个图片分别归于各自的行集合中。 + +在最不利的情况下，需要匹配 $5 \times 5 + 5 + 4 + 3 + 2 = 39$ 次，而在最有利的情况下只需配对9次。可以见得人工干预的复杂度不高，从而充分发挥了人工智能的准确度高的优点，而且很好的规避了人效率不高的缺点。 + +通过人工干预，将未分配的图片归入对应的行中之后，利用左右边界匹配模型对附件三中每一行图片进行横向排序，使行内图片排列固定下来。附件3中的各类图片的排列顺序如表7： + +表 7 附件 3 各类图片的排列顺序 + +
类1168100076062142030041023147191050179120086195026001087018
类2125013182109197016184110187066106150021173157181204139145
类3061019078067069099162096131079063116163072006177020052036
类4094034084183090047121042124144077112149097136164127058043
类5007208138158126068175045174000137053056093153070166032196
类6038148046161024035081189122103130193088167025008009105074
类7014128003159082199135012073160203169134039031051107115176
类8029064111201005092180048037075055044206010104098172171059
类9089146102154114040151207155140185108117004101113194119123
类10049054065143186002057192178118190095011022129028091188141
类1107115608313220001708003320219801513317020585152165027060
+ +再根据上、下匹配模型，得到行与行之间的邻接关系为： $8\rightarrow 5$ ； $1\rightarrow 6$ ； $6\rightarrow 11$ ； $7\rightarrow$ 4； $10\to 3$ ； $2\to 8$ ； $3\to 1$ ； $11\to 7$ ； $4\to 2$ ； $5\to 9$ 。进而便可得到行的排列顺序为： $10\to 3\to$ $1\to 6\to 11\to 7\to 4\to 2\to 8\to 5\to 9$ 。 + +同理，对于附件四采用相同的办法得到行内图片的排列如表8所示： + +表 8 附件 4 各行内图片的排列顺序 + +
类1020041108116136073036207135015076043199045173079161179143
类2132181095069167163166188111144206003130034013110025027178
类3086051107029040158186098024117150005059058092030037046127
类4208021007049061119033142168062169054192133118189162197112
类5171042066205010157074145083134055018056035016009183152044
类6159139001129063138153053038123120175085050160187097203031
类7191075011154190184002104180064106004149032204065039067147
类8070084060014068174137195008047172156096023099122090185109
类9081077128200131052125140193087089048072012177124000102115
类10019194093141088121126105155114176182151022057202071165082
类11201148170196198094113164078103091080101026100006017028146
+ +根据上、下匹配模型，得到行与行之间的邻接关系为： $5\rightarrow 9$ ； $7\rightarrow 11$ ； $10\rightarrow 6$ ； $8\rightarrow 2$ ； $11\rightarrow 3$ ； $6\rightarrow 1$ ； $4\rightarrow 8$ ； $1\rightarrow 4$ ； $2\rightarrow 5$ ； $3\rightarrow 10$ ；由此得到行与行之间的排列顺序： $7\rightarrow 11\rightarrow 3$ $\rightarrow 10\rightarrow 6\rightarrow 1\rightarrow 4\rightarrow 8\rightarrow 2\rightarrow 5\rightarrow 9$ 。 + +# 3.复原结果 + +将已经得到的行内图片排列顺序以及行与行之间的排列顺序相结合，便可以得到各个碎图片在原文件中的位置，从而将原文件复原。结合用word拼图，使复原的结果分别以表格和图像的形式表现。其中附件三的复原表格见表9，复原图见附录2.7，附件四的复原表见表10，复原图见附录2.8。 + +表 9 附件 3 (汉字) 复原的碎片序号 + +
049054065143186002057192178118190095011022129028091188141
061019078067069099162096131079063116163072006177020052036
168100076062142030041023147191050179120086195026001087018
038148046161024035081189122103130193088167025008009105074
071156083132200017080033202198015133170205085152165027060
014128003159082199135012073160203169134039031051107115176
094034084183090047121042124144077112149097136164127058043
125013182109197016184110187066106150021173157181204139145
029064111201005092180048037075055044206010104098172171059
007208138158126068175045174000137053056093153070166032196
089146102154114040151207155140185108117004101113194119123
+ +表 10 附件 4 (英文) 复原的碎片序号 + +
191075011154190184002104180064106004149032204065039067147
201148170196198094113164078103091080101026100006017028146
086051107029040158186098024117150005059058092030037046127
019194093141088121126105155114176182151022057202071165082
159139001129063138153053038123120175085050160187097203031
020041108116136073036207135015076043199045173079161179143
208021007049061119033142168062169054192133118189162197112
070084060014068174137195008047172156096023099122090185109
13218109506916716316618811114420600313003401311002527178
171042066205010157074145083134055018056035016009183152044
081077128200131052125140193087089048072012177124000102115
+ +# 5.2.4 结果分析 + +同理，视人工干预后的最终结果为正确答案，检验未加入人工干预计算机排序结果。因为本问中人工干预只选择图片的首序列，对图片的排列顺序没有任何影响，所以附件3（中文）的排序正确率为 $90.4\%$ ，附件4（英文）的排序正确率为 $65.1\%$ 。 + +由此可得，三模型两筛选的方法能很好的解决中文单页打印横纵切纸片的拼接复原问题，而对于英文单页打印横纵切纸片的拼接复原效果不理想。 + +# 5.3 问题三的模型建立与求解 + +问题三要求在双面打印横纵切割的情况下，对碎纸片进行拼接复原。由于问题三相较于问题二，仅加入了双面打印一个新的条件，故可知问题三的基本求解思路与问题二一致。 + +# 5.3.1 模型的准备 + +# 1.图像的数据处理 + +利用matlab读取每张图片的灰度信息，再将灰度信息转换为0-1矩阵。 + +# 2.构建正、反面特征矩阵 + +利用问题二中英文灰度条的构建方法，先得到图片 $\mathbf{k}$ 的a面特征灰度条，再扫描特征灰度条，得到a面的特征列向量： + +$$ +D _ {a} ^ {(k)} = \left(d _ {1, a} ^ {(k)}, d _ {2, a} ^ {(k)}, \dots , d _ {m, a} ^ {(k)}\right) ^ {T} +$$ + +其中 $d_{i,a}^{(k)} = \begin{cases} 0, & \text{第 } k \text{ 张图片中第 } i \text{ 行元素之和} < M \\ 1, & \text{第 } k \text{ 张图片中第 } i \text{ 行元素之和} \geq M \end{cases}$ + +同理，得到 b 面的特征列向量： + +$$ +D _ {b} ^ {(k)} = \left(d _ {1, b} ^ {(k)}, d _ {2, b} ^ {(k)}, \dots , d _ {m, b} ^ {(k)}\right) ^ {T} +$$ + +其中 $d_{i,b}^{(k)} = \begin{cases} 0, & \text{第 } k \text{ 张图片中第 } i \text{ 行元素之和} < M \\ 1, & \text{第 } k \text{ 张图片中第 } i \text{ 行元素之和} \geq M \end{cases}$ + +# 5.3.3 建立双面横纵切纸片匹配模型 + +# （1）建立两次特征匹配模型 + +参考问题二的求解思路，需要进行两次特征匹配： + +第一次特征匹配： + +将碎片 $\mathbf{k}$ 的a面与碎片 $\mathrm{s}(s = 0,1\dots 208$ 且 $s\neq k)$ 的a面进行特征比较，即求碎片 $\mathbf{k}$ 的a面特征列向量 $D_{a}^{(k)}$ 与碎片s的a面特征列向量 $D_{a}^{(s)}$ 的对应元素之差，再对差的绝对值求和，得到特征值 $R_{k,s}^{a,a}$ ： + +$$ +R _ {k, s} ^ {a, a} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| d _ {i, a} ^ {(k)} - d _ {i, a} ^ {(s)} \right| \tag {5.17} +$$ + +再将碎片 $\mathbf{k}$ 的a面与碎片 $s(s = 0,1\dots 208$ 且 $s\neq k)$ 的b面进行特征比较，即求碎片k的a面特征列向量 $D_b^{(k)}$ 与碎片s的b面特征列向量 $D_b^{(s)}$ 的对应元素之差，再对差的绝对值求和，得到特征值 $R_{k,s}^{a,b}$ ： + +$$ +R _ {k, s} ^ {a, b} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| d _ {i, a} ^ {(k)} - d _ {i, b} ^ {(s)} \right| \tag {5.18} +$$ + +$$ +R _ {k} ^ {1} = \min \left\{R _ {k, s} ^ {a, a}, R _ {k, s} ^ {a, b} \right\} \tag {5.19} +$$ + +取一个合适小的置信区间 $[c,d]$ ，若 $R_{k}^{1}\in [c,d]$ ，则进行第二次特征匹配： + +情况一（ $R_{k}^{1} = R_{k,s}^{a,a}$ ）：将碎片 $\mathbf{k}$ 的 $\mathbf{b}$ 面与碎片 $\mathrm{s}(s = 0,1\dots 208$ 且 $s\neq k)$ 的 $\mathbf{b}$ 面进行特征比较，即求碎片 $\mathbf{k}$ 的 $\mathbf{b}$ 面特征列向量 $D_b^{(k)}$ 与碎片 $\mathbf{s}$ 的 $\mathbf{b}$ 面特征列向量 $D_b^{(s)}$ 的对应元素之差，再对差的绝对值求和，得到特征值 $R_{k,s}^{b,b}$ ： + +$$ +R _ {k, s} ^ {b, b} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| d _ {i, b} ^ {(k)} - d _ {i, b} ^ {(s)} \right| \tag {5.20} +$$ + +若取一个合适小的置信区间 $[e, f]$ , 若 $R_{k, s}^{b, b} \in [e, f]$ , 则认为碎片 k 与碎片 s 的匹配方式为 k 的 a 面与 s 的 a 面处于一面的同一行, k 的 b 面与 s 的 b 面处于另一面的同一行。 + +情况二（ $R_{k}^{1} = R_{k,s}^{a,b}$ ）：将碎片 $\mathbf{k}$ 的 $\mathbf{b}$ 面与碎片 $\mathbf{s}(s = 0,1\dots 208$ 且 $s\neq k)$ 的 $\mathbf{a}$ 面进行特征比较，即求碎片 $\mathbf{k}$ 的 $\mathbf{b}$ 面特征列向量 $D_{b}^{(k)}$ 与碎片 $\mathbf{s}$ 的 $\mathbf{a}$ 面特征列向量 $D_{b}^{(s)}$ 的对应元素之差，再对差的绝对值求和，得到特征值 $R_{k,s}^{b,a}$ ： + +$$ +R _ {k, s} ^ {b, a} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left| d _ {i, b} ^ {(k)} - d _ {i, a} ^ {(k)} \right| \tag {5.21} +$$ + +若取一个合适小的置信区间 $[e, f]$ , 若 $R_{k, s}^{b, a} \in [e, f]$ , 则认为碎片 k 与碎片 s 的匹配方式为 k 的 b 面与 s 的 a 面处于一面的同一行, k 的 a 面与 s 的 b 面处于另一面的同一行。 + +(2)建立左右边界匹配模型 + +本问中此模型的构建方式同于问题二的思路。 + +(3)建立上下边界匹配模型 + +本问中上下边界匹配模型的建立与问题二的构建过程类似。 + +# 5.3.4 模型的求解 + +# (1) 算法 + +Step1 读取图片数据，构建0-1矩阵； + +Step2 任取碎片 $i$ 依次与其他碎片 $s$ 进行二次特征匹配，确定出 $i$ 与 $s$ 的特定面来自原文件的同一行； + +Step3 重复 Step2，将附件中的图片聚类，将相同特征的图片放入同一行； + +Step4 加入同问题二中的人工干预方式，将类的个数降维，并使得每类的图片个数相同。 + +Step5取同一行中第i张碎片,将其依次与第1张碎片,第2张碎片,第i-1张碎片,...,第i+1张碎片,...,第n张碎片先进行右边界匹配,得到右边界匹配值,再依次进行左边界匹配,得到左边界匹配值。比较右边界匹配值与左边界匹配值的大小,选择两者之间的最小值对应的匹配方式,将两张图片按匹配方式结合,视为一个整体。 + +Step6 重复进行 Step5，直至确定出每行内部图片的排列顺序。 + +Step7 取第 $i$ 行，将其依次与第 1 行，第 2 行，第 $i - 1$ 行，...，第 $i + 1$ 行，...，第 n 行先进行上边界匹配，得到上边界匹配值，再依次进行下边界匹配，得到下边界匹配值。比较上边界匹配值与下边界匹配值的大小，选择两者之间的最小值对应的匹配方式，将两张图片按匹配方式结合，视为一体。 + +Step8 重复进行 Step7，直至确定出每行的上下位置，从而得到图片的原始序列。 + +# (2) 算法的实现 + +根据上述模型的分类原则，通过matlab编程(见附录)，将附件五中的 $2 \times 209$ 张图片进行了归类。程序计算出来的结果中总共含有36类，由于数据太多，这里只选取其中三类的元素展示在表11中： + +表 11 特征匹配后的聚类结果 + +
类1类2类3
0730456912376570624265791
848586105121881071151391519699100103106
135141148176185162166170180191109112113134196
20480126187203
+ +在这36类中，每一类的元素个数参差不齐。这时需要加入人工干预，先从元素较少的类中挑出元素与其他类的图片进行比较，通过对比图中文字到上边界的距离、文字含义等特征来将这些图片归入其他元素较多的类别，直至使正、反两面都有11类，每类19个元素。 + +利用左右边界匹配模型，对每一类中各个碎片进行横向排序，得到各类中图片的排列顺序。再利用上下边界匹配模型，求出类与类之间的排列顺序。结合碎片在行内的排列顺序以及类与类之间的排列顺序，就可以得到每个碎片的正反面在原文件中的位置，进而复原出原文件。 + +为了结果表述的方便，而且由于正反面的地位相同，也就是一张纸既可以说正面的后面是反面，也可以说反面的后面是正面。设包含000a的那一页为原图片的正面。 + +本文结合word拼图方式，将复原出的正反两面的信息分别以表格和图片的形式给出，其中正面的碎片序列表格见表12，其图片见附录3.3，反面的碎片序列表格见表13，其图片见附录3.4。 + +表 12 附件五正面的复原的碎片序号 + +
136a047b020b164a081a189a029b018a108b066b110b174a183a150b155b140b125b111a078a
005b152b147b060a059b014b079b144b120a022b124a192b025a044b178b076a036b010a089b
143a200a086a187a131a056a138b045b137a061a094a098b121b038b030b042a084a153b186a
083b039a097b175b072a093b132a087b198a181a034b156b206a173a194a169a161b011a199a
090b203a162a002b139a070a041b170a151a001a166a115a065a191b037a180b149a107b088a
013b024b057b142b208b064a102a017a012b028a154a197b158b058b207b116a179a184a114b
035b159b073a193a163b130b021a202b053a177a016a019a092a190a050b201b031b171a146b
172b122b182a040b127b188b068a008a117a167b075a063a067b046b168b157b128b195b165a
105b204a141b135a027b080a000a185b176b126a074a032b069b004b077b148a085a007a003a
009a145b082a205b015a101b118a129a062b052b071a033a119b160a095b051a048b133b023a
054a196a112b103b055a100a106a091b049a026a113b134b104b006b123b109b096a043b099b
+ +表 13 附件五反面的复原的碎片序号 + +
078b111b125a140a155a150a183b174b110a066a108a018b029a189b081b164b020a047a136b
089a010b036a076b178a044a025b192a124b022a120b144a079a014a059a060b147a152a005a
186b153a084b042b030a038a121a098a094b061b137b045a138a056b131b187b086b200b143b
199b011b161a169b194b173b206b156a034a181b198b087a132b093a072b175a097a039b083a
088b107a149b180a037b191a065b115b166b001b151b170b041a070b139b002a162b203b090a
114a184b179b116b207a058a158a197a154b028b012a017b102b064b208a142a057a024a013a
146a171b031a201a050a190b092b019b016b177b053b202a021b130a163a193b073b159a035a
165b195a128a157a168a046a067a063b075b167a117b008b068b188a127a040a182b122a172a
003b007b085b148b077a004a069a032a074b126b176a185a000b080b027a135b141a204b105a
023b133a048a051b095a160b119a033b071b052a062a129b118b101a015b205a082b145a009b
099a043a096b109a123a006a104a134a113a026b049b091a106b100b055b103a112a196b054b
+ +# 5.4.4 模型的分析 + +从模型的构建过程及算法的实现过程来看，问题三的双面横纵切纸片匹配模型实质就是对问题二的横纵切纸片匹配模型增加了一层特征匹配程度约束。从而可知使得问题三的模型的精确度比问题二中模型的精确度高。 + +# 六、模型的评价与推广 + +# 6.1 模型的评价 + +本文建立的模型简单易懂，建立过程自然，流畅。并随着问题的深入，而不断加以改进，通过对结果进行分析，可知本文的模型精确度较高，可以合理的解决规则边缘碎纸片的拼接复原问题。 + +但也存在缺点：对于灰度匹配模型，是以两图像左右对应的边界矩阵的相应元素的差异值越小为原则，此模型计算简单，运算时间复杂度低。但是，带来了两种可能对最终造成不利的影响。第一种：存在两张不相邻的碎片，一张图片的右边界上没有任何文字，另一幅碎纸片左边界上也空白，没有任何文字。通过灰度匹配模型计算，两张图片的配对指标值 $P_{k,s}^{*}$ 特别小，于是会犯将这两张图片归为相邻图片的错误；第二种不利影响是基于附件图片的观测得到，直接忽略了如下情况：存在四张图片 $A, B, C, D$ ， $A, B$ 图片邻接， $C, D$ 邻接且 $A, B$ 与 $C, D$ 它们的碎片边缘字迹断线是一模一样的，这样会出现 $A$ 与 $D$ 邻接的误判断。 + +总体来说，本文建立的模型层层深入，可以很好的解决这类精确度要求不高的题目。 + +# 6.2 模型的推广[2] + +本文解决的平行或垂直规则切割的碎纸片拼接复原问题。但现实生活中，在扫描文档碎片的时候，会不会水平而是倾斜的扫描、或者切割文档文件的时候，倾斜切割，导致得到的碎纸片是倾斜的碎纸片。为了解决这类更为贴近现实的问题，我们对模型做了推广。我们可先将碎纸片方向进行调整，再利用本文建立的模型完成碎纸片的重构。故我们设计算法如下： + +Step1 找到平行于碎片中文字的直线的斜率：找到图片 $1 - x$ 列，每一列最上面像素值为 0 的点，从 $x$ 个点中选出最上面的点。同理得到 $(m - x) - m$ （ $m$ 为碎片图片的宽度）列中处于最上面像素值为 0 的点。使用这两个点得到平行于碎片中文字方向的直线； + +Step2 根据找到直线的斜率对碎片进行碎片角度的调整； + +Step3 根据本文建立的模型拼接复原碎纸片； + +# 参考文献 + +[1] 作者不详，matlab批量读入数据文件的方法，http://hi.baidu.com/ben_wf/item/57196ac8671f7c1db77a2424，访问时间（2013.9.13） +[2] 张翠，基于点线的文档图片数字水印与碎片拼接，http://www.cnki.net/KCMS/detail/detail.aspx?QueryID=1&CurRec=1&recid=&filename=1011229650.nh&dbname=CMFDLAST2012&dbcode=CMFD&pr=&urlid=&yx=&uid=WEEvREcwS1JHSldTTGJhY1JWelhJSFpId0xaa3FJQzBSb1VxYWtGa0dRMEJnL1pWcXBnY1pubVZqZ1REecEJQVQ==&v=MTY1MTJyNUViUElSOGVYMUx1eFITN0RoMVQzcVRyV00xRnJDVVJmbWZidWRrnl2Z1c3L0xWRjI2SDdHNkY5Zko=，访问时间（2013.9.13）。 + +# 附录 + +附录清单： + +1.问题一 + +1.1 将灰度值矩阵转换成 0-1 矩阵的函数 +1.2 提取左右边界处0-1值的程序 +1.3 对每张图片进行灰度匹配并排序的程序 +1.4 附件1的复原图片 +1.5 附件2的复原图片 + +2.问题二 + +2.1 对附件三提取数据以及构造图片边界矩阵的程序 +2.2 将附件三中各图片做行归类的程序 +2.3 将附件三中人工干预后得到的横条做行排序的程序 +2.4 将附件四提取数据以及构造图片边界矩阵的程序 +2.5 将附件四中各图片做行归类的程序 +2.6 将附件四中人工干预后得到的横条做行排序的程序 +2.7 附件3的复原图片 +2.8 附件4的复原图片 + +3.问题三 + +3.1针对附件五提取数据的程序 +3.2 对附件五中各图片做行归类的程序 +3.3 附件5正面的复原图片 +3.4 附件五反面的复原图片 + +1.问题一： + +注：首先应该对应附件中的图片复制到 MATLAB 的当前目录下。 + +1.1 将灰度值矩阵转换成 0-1 矩阵的函数 + +文件名：jz01zh.m + +function B= jz01zh(A) + +%将灰度值矩阵A转换为0-1矩阵B + +[rows cols] $\equiv$ size(A); + +for i=1:rows + +for $j = 1$ :cols if $\mathrm{A(i,j) < 255}$ $\mathrm{B(i,j) = 0}$ end if $\mathrm{A(i,j) = 25}$ $\mathrm{B(i,j) = 1}$ end end + +end + +1.2 提取左右边界处0-1值的程序 + +文件名：boundary.m + +clear;clc + +$\mathrm{m} = 1;\mathrm{n} = 1$ + +for $k = 0:18$ + +if k>=10 t= strcat('0',int2str(k),'.bmp'); al{m} $\equiv$ jz01zh((imread(t)); m=m+1; +end +if k<10 t= strcat('00',int2str(k),'.bmp') a2{n} $\equiv$ jz01zh((imread(t)); n=n+1; +end + +$\mathrm{a = [a2,a1]}$ + +for $k = 1:19$ + +```matlab +temp=a{k}; [row col]=size(temp); br=temp(:,col); bl=temp(:,1); bound{k=[bl,br]; +``` + +end + +1.3对每张图片进行灰度匹配并排序的程序 + +文件名：sortpicture.m + +org=bound{1};ord=[1]; + +while length(ord) $< 19$ + +```matlab +pfh1=10000; pfh2=10000; +[raw, col]=size(org); +for i=2:19 + templ=bound{i}; + p1=sum(abs(org(:, col)-templ(:, 1));%right + if p1p2 + org=[bound{cn2}, org]; ord=[cn2, ord]; +end +``` + +# 1.4附录1对应的复原图片 + +城上层楼叠嶂。城下清淮古汴。举手揖吴云，人与暮天俱远。魂断。魂断。后夜松江月满。簌簌衣巾莎枣花。村里村北响缫车。牛衣古柳卖黄瓜。海棠珠缀一重重。清晓近帘拢。胭脂谁与匀淡，偏向脸边浓。小郑非常强记，二南依旧能诗。更有鲈鱼堪切脍，儿辈莫教知。自古相从休务日，何妨低唱微吟。天垂云重作春阴。坐中人半醉，帘外雪将深。双鬟绿坠。娇眼横波眉黛翠。妙舞踊踊。掌上身轻意态妍。碧雾轻笼两凤，寒烟淡拂双鸦。为谁流睇不归家。错认门前过马。 + +我劝髯张归去好，从来自己忘情。尘心消尽道心平。江南与塞北，何处不堪行。闲离阻。谁念萦损襄王，何曾梦云雨。旧恨前欢，心事两无据。要知欲见无由，痴心犹自，倩人道、一声传语。风卷珠帘自上钩。萧萧乱叶报新秋。独携纤手上高楼。临水纵横回晚鞍。归来转觉情怀动。梅笛烟中闻几弄。秋阴重。西山雪淡云凝冻。凭高眺远，见长空万里，云无留迹。桂魄飞来光射处，冷浸一天秋碧。玉宇琼楼，乘鸾来去，人在清凉国。江山如画，望中烟树历历。省可清言挥玉尘，真须保器全真。风流何似道家纯。不应同蜀客，惟爱卓文君。自惜风流云雨散。关山有限情无限。待君重见寻芳伴。为说泪思，目断西楼燕。莫恨黄花未吐。且教红粉相扶。酒阑不必看茱萸。俯仰人间今古。玉骨那愁瘴雾，冰姿自有仙风。海仙时遣探芳丛。倒挂绿毛么凤。 + +俎豆庚桑真过矣，凭君说与南荣。愿闻吴越报丰登。君王如有问，结袜赖王生。师唱谁家曲，宗风嗣阿谁。借君拍板与门槌。我也逢场作戏、莫相疑。晕腮嫌枕印。印枕嫌腮晕。闲照晚妆残。残妆晚照闲。可恨相逢能几日，不知重会是何年。茱萸仔细更重看。午夜风翻幔，三更月到床。簟纹如水玉肌凉。何物与侬归去、有残妆。金炉犹暖磨煤残。惜香更把宝钗翻。重闻处，余熏在，这一番、气味胜从前。菊暗荷枯一夜霜。新苞绿叶照林光。竹篱茅舍出青黄。霜降水痕收。浅碧鳞鳞露远洲。酒力渐消风力软，飕飕。破帽多情却恋头。烛影摇风，一枕伤春绪。归不去。凤楼何处。芳草迷归路。汤发云腴酝白，盏浮花乳轻圆。人间谁敢更争妍。斗取红窗粉面。炙手无人傍屋头。萧萧晚雨脱梧楸，谁怜季子敞貂裘。 + +# 1.5 附录2对应的复原图片 + +fair of face. + +The customer is always right. East, west, home's best. Life's not all beer and skittles. The devil looks after his own. Manners maketh man. Many a mickle makes a muckle. A man who is his own lawyer has a fool for his client. + +You can't make a silk purse from a sow's ear. As thick as thieves. Clothes make the man. All that glisters is not gold. The pen is mightier than sword. Is fair and wise and good and gay. Make love not war. Devil take the hindmost. The female of the species is more deadly than the male. A place for everything and everything in its place. Hell hath no fury like a woman scorned. When in Rome, do as the Romans do. To err is human; to forgive divine. Enough is as good as a feast. People who live in glass houses shouldn't throw stones. Nature abhors a vacuum. Moderation in all things. + +Everything comes to him who waits. Tomorrow is another day. Better to light a candle than to curse the darkness. + +Two is company, but three's a crowd. It's the squeaky wheel that gets the grease. Please enjoy the pain which is unable to avoid. Don't teach your Grandma to suck eggs. He who lives by the sword shall die by the sword. Don't meet troubles half-way. Oil and water don't mix. All work and no play makes Jack a dull boy. + +The best things in life are free. Finders keepers, losers weepers. There's no place like home. Speak softly and carry a big stick. Music has charms to soothe the savage breast. Ne'er cast a clout till May be out. There's no such thing as a free lunch. Nothing venture, nothing gain. He who can does, he who cannot, teaches. A stitch in time saves nine. The child is the father of the man. And a child that's born on the Sab + +2.问题 + +2.1对附件三提取数据以及构造图片边界矩阵的程序 + +文件名：ticushuju.m + +clear;clc + +$\mathrm{m = 1}$ $\mathrm{n = 1}$ $q = 1$ + +for $k = 0:208$ + +if k<10 t= strcat('00',int2str(k),'.bmp'); al{m} $\equiv$ jz01zh((imread(t)); m=m+1; +end +if k>=10 && k<=99 t= strcat('0',int2str(k),'.bmp'); a2{n} $\equiv$ jz01zh((imread(t)); n=n+1; +end +if k>=100 t= strcat(int2str(k),'.bmp'); a3{q} $\equiv$ jz01zh((imread(t)); q=q+1; +end +al,a2,a3]; +k=1:209 +temp=a{k}; [row col]=size(temp); br $\equiv$ temp(:,col); bl $\equiv$ temp(:,1); bu $\equiv$ temp(1,:) bd $\equiv$ temp(row,:) bound1{k}=[bl,br]; bound2{k}=[bu',bd']; + +2.2将附件三中各图片做行归类的程序 + +文件名：jl.m + +clc + +$\mathrm{jd} = []$ + +for $k = 1:209$ + +temp=a{k}; + +for $i = 1:180$ + +if sum(temp(i,:))~=72 + +jd1(i) = 0; + +end + +if sum(temp(i,:)) == 72 + +jd1 $(\mathrm{i}) = 1$ + +end + +end + +$\mathrm{jd} = [\mathrm{jd}\quad \mathrm{jd}1]$ + +end + +tp=[]；m=1; + +for $i = 1$ + +temp $=$ []； + +temp(i) $= 10000$ + +for $j = 1:209$ + +if $\mathrm{j}^{\sim} = \mathrm{i}$ + +temp(j) $\equiv$ sum(abs(jd(1:100,i)-jd(1:100,j))）; + +end + +end + +jm=min(temp); + +pipe1=find(temp>=jm-5); + +pipei2=find(temp<=jm+5); + +pipei3=intersect(pipei1, pipei2); + +tp=[tp, pipei3]; + +if isemptyfind $(\mathrm{tp} = = \mathrm{i})$ 1 + +pipei3=[i, pipei3]; + +julei{m} $\equiv$ pipei3; + +$\mathrm{m = m + 1}$ + +end + +2.3将附件三中人工干预后得到的横条做行排序的程序： + +文件名：hangpaixu.m + +AA=[168 100 76 62 142 30 41 23 147 191 50 179 120 86 195 26 1 87 18 + +125 13 182 109 197 16 184 110 187 66 106 150 21 173 157 181 204 139 145 + +61 19 78 67 69 99 162 96 131 79 63 116 163 72 6 177 20 52 36 + +94 34 84 183 90 47 121 42 124 144 77 112 149 97 136 164 127 58 43 + +7 208 138 158 126 68 175 45 174 0 137 53 56 93 153 70 166 32 196 + +38 148 46 161 24 35 81 189 122 103 130 193 88 167 25 8 9 105 74 + +14 128 3 159 82 199 135 12 73 160 203 169 134 39 31 51 107 115 176 + +29 64 111 201 5 92 180 48 37 75 55 44 206 10 104 98 172 171 59 + +89 146 102 154 114 40 151 207 155 140 185 108 117 4 101 113 194 119 123 + +49 54 65 143 186 2 57 192 178 118 190 95 11 22 129 28 91 188 141 + +71 156 83 132 200 17 80 33 202 198 15 133 170 205 85 152 165 27 60 + +]； + +for $i = 1:11$ + +tp1=[]; + +for $j = 1:19$ + +tt=AA(i,j); + +$\mathrm{tp1} = [\mathrm{tp1}\mathrm{a}\{\mathrm{tt}\} ]$ + +end + +hang{i} $\equiv$ tp1; + +end + +%for $\mathrm{i} = 1:11$ + +$\%$ $\mathrm{tp1} = []$ + +$\%$ for $j = 1:19$ + +$\%$ $\mathrm{tp1} = [\mathrm{tp1}$ a{AA(i,j)}]； + +$\%$ end + +$\%$ hang{i}=tp1; + +%end + +$\% \mathrm{tp1} = \mathrm{hang}\{1\}$ + +%for $i = 1:180$ + +$\%$ if sum(tp1(i,:))<=56 + +$\%$ AB(i)=0; + $\%$ else AB(i)=1; + $\%$ end +swxw=[];syxy=[];swxy=[];syxw=[]; +for i=1:11 temp=hang{i}; sh=sum(temp(1,:));xh=sum(temp(180,:)); if sh $= = 1368$ if xh $= = 1368$ swxw=[swxw i]; end end if sh $= = 1368$ if xh<1368 swxy=[swxy i]; end end if sh<1368 if xh $= = 1368$ syxw=[syxw i]; end end if sh<1368 if xh<1368 syxy=[syxy i]; end end + +```matlab +for i=1:3 +org=hang{swxy(i)}; pfh=10000000; +for j=1:11 +temp=hang{j}; +p=sum(abs(organ(180, :)-temp(1, :)); +if p=10 && k<=99 t= strcat('0',int2str(k),'.bmp'); a2{n} $\equiv$ jz01zh((imread(t)); n=n+1; +end +if k>=100 t= strcat(int2str(k),'.bmp'); a3{q} $\equiv$ jz01zh((imread(t)); q=q+1; +end +end +a=[a1,a2,a3]; +for k=1:209 temp=a{k}; [row col]=size(temp); br $\equiv$ temp(:,col); bl $\equiv$ temp(:,1); bu $\equiv$ temp(1,::); bd $\equiv$ temp(row,:); bound1{k}=[bl,br]; bound2{k}=[bu',bd']; +end + +2.5 将附件四中各图片做行归类的程序 + +文件名：jl_4.m +clc +id +for $k = 1:209$ + +temp=a{k} + +for $i = 1$ + +if sum(temp(i,:))<=56 +jd1(i) = 0; + +if sum(temp(i,:))>56 +jd1(i)=1; +end + +end + +jd=[jd jdl']; + +end + +clear julei + +tp=[]；m=1; + +for $i = 1:209$ + +temp=[]； + +temp(i) $= 10000$ + +for $j = 1:209$ + +if $j\sim = i$ + +temp(j)=sum(abs(jd(1:100,i)-jd(1:100,j)))； + +end + +jm=min(temp); + +pipeil $=$ find(temp $\rightharpoondown$ jm-8); + +pipei2=find(temp=10 && k<=99 t=strcat('0',int2str(k), 'a.bmp'); a2{n}=jz01zh((imread(t)); n=n+1; +end if k>=100 t=strcat(int2str(k), 'a.bmp'); a3{q}=jz01zh((imread(t)); q=q+1; +end +end +a=[a1,a2,a3]; +m=1;n=1;q=1; +for k=0:208 if k<10 t=strcat('00',int2str(k), 'b.bmp'); b1{m}=jz01zh((imread(t)); m=m+1; +end if k>=10 && k<=99 t=strcat('0',int2str(k), 'b.bmp'); b2{n}=jz01zh((imread(t)); n=n+1; +end if k>=100 t=strcat(int2str(k), 'b.bmp'); b3{q}=jz01zh((imread(t)); q=q+1; +end +end +b=[b1,b2,b3]; +for k=1:209 temp=a{k}; [row col]=size(temp); + +```txt +br=temp(:,col); +bl=temp(:,1); +bu=temp(1,:)； +bd=temp(row,:)； +boundary1{k}=[bl,br]; +bounda2{k}=[bu',bd']; +end +for k=1:209 +temp=b{k}; +[row col]=size(temp); +br=temp(:,col); +bl=temp(:,1); +bu=temp(1,:)； +bd=temp(row,:)； +boundb1{k}=[bl,br]; +boundb2{k}=[bu',bd']; +end +3.2对附件五中各图片做行归类的程序 +文件名：fenhang.m +clc;clear glei +jda=[];jdb=[]; +jd=[[]; +for k=1:209 +temp=a{k}; +for i=1:180 +if sum(temp(i,:))~=72 +jd(i)=0; +end +if sum(temp(i,:))~=72 +jd(i)=1; +end +end +jda=[jda jd']; +end +jd=[[]; +for k=1:209 +temp=b{k}; +for i=1:180 +if sum(temp(i,:))~=72 +jd(i)=0; +end +if sum(temp(i,:))~=72 +jd(i)=1; +end +end +jdb=[jdb jd']; +end +nm=1;tep=[[]; +for j=1:209 +tl=[[];xu=j; +for i=1:209 +if i~=xu && isemptyfind(tep==i)) +ch1=sum(abs(jda(:,xu)-jda(:,i));ch2=sum(abs(jda(:,xu)-jdb(:,i));ch3=sum(abs(jdb(:,xu)-jda(:,i));ch4=sum(abs(jdb(:,xu)-jdb(:,i));[chm,ind]=min([ch1,ch2,ch3,ch4]);if chm<=18if ind(1)~=1chch=abs(jdb(:,1)-jdb(:,i));endif ind(1)~=2chch=abs(jdb(:,1)-jda(:,i));endif ind(1)~=3chch=abs(jda(:,1)-jdb(:,i));endif ind(1)~=4chch=abs(jda(:,1)-jda(:,i));endif chch<=1tl=[tl i];endendend +end +tep=[[]; +if nm>1 +for tt=1:nm-1 +tep=[tep,glei{tt}]; +end +end +if isempty_find(tp==xu)) +glei{nm}=[xutl]; +``` + +# 3.3 附录5一面的复原图片 + +He who laughs last laughs longest. Red sky at night shepherd's delight; red sky in the morning, shepherd's warning. Don't burn your bridges behind you. Don't cross the bridge till you come to it. Hindsight is always twenty-twenty. + +Never go to bed on an argument. The course of true love never did run smooth. When the oak is before the ash, then you will only get a splash; when the ash is before the oak, then you may expect a soak. What you lose on the swings you gain on the roundabouts. + +Love thy neighbour as thyself. Worrying never did anyone any good. There's nowt so queer as folk. Don't try to walk before you can crawl. Tell the truth and shame the Devil. From the sublime to the ridiculous is only one step. Don't wash your dirty linen in public. Beware of Greeks bearing gifts. Horses for courses. Saturday's child works hard for its living. + +Life begins at forty. An apple a day keeps the doctor away. Thursday's child has far to go. Take care of the pence and the pounds will take care of themselves. The husband is always the last to know. It's all grist to the mill. Let the dead bury the dead. Count your blessings. Revenge is a dish best served cold. All's for the best in the best of all possible worlds. It's the empty can that makes the most noise. Never tell tales out of school. Little pitchers have big ears. Love is blind. The price of liberty is eternal vigilance. Let the punishment fit the crime. + +The more things change, the more they stay the same. The bread always falls buttered side down. Blood is thicker than water. He who fights and runs away, may live to fight another day. Eat, drink and be merry, for tomorrow we die. + +# 3.4 附录五反面的复原图片 + +What can't be cured must be endured. Bad money drives out good. Hard cases make bad law. Talk is cheap. See a pin and pick it up, all the day you'll have good luck; see a pin and let it lie, bad luck you'll have all day. If you pay peanuts, you get monkeys. If you can't be good, be careful. Share and share alike. All's well that ends well. Better late than never. Fish always stink from the head down. A new broom sweeps clean. April showers bring forth May flowers. It never rains but it pours. Never let the sun go down on your anger. + +Pearls of wisdom. The proof of the pudding is in the eating. Parsley seed goes nine times to the Devil. Judge not, + +that ye be not judged. The longest journey starts with a single step. Big fish eat little fish. Great minds think alike. The end justifies the means. Cowards may die many times before their death. You can't win them all. Do as I say, not as I do. Don't upset the apple-cart. Behind every great man there's a great woman. Pride goes before a fall. + +You can lead a horse to water, but you can't make it drink. Two heads are better than one. March winds and April showers bring forth May flowers. A swarm in May is worth a load of hay; a swarm in June is worth a silver spoon; but a swarm in July is not worth a fly. Might is right. Let bygones be bygones. It takes all sorts to make a world. A change is as good as a rest. Into every life a little rain must fall. A chain is only as strong as its weakest link. + +Don't look a gift horse in the mouth. Old soldiers never die, they just fade away. Seeing is believing. The opera ain't over till the fat lady sings. Silence is golden. Variety is the spice of life. Tomorrow never comes. If it ain't broke, don't fix it. Look before you leap. The road to hell is paved with good \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2013/C048/1C2302/\346\210\220\351\203\275\345\267\245\344\270\232\345\255\246\351\231\242 \344\270\2235 C \350\202\226\347\221\234\347\220\263 \345\210\230\346\226\260\347\207\225 \351\273\204\351\276\231/\346\210\220\351\203\275\345\267\245\344\270\232\345\255\246\351\231\242 \344\270\2235 C \350\202\226\347\221\234\347\220\263 \345\210\230\346\226\260\347\207\225 \351\273\204\351\276\231.md" "b/MCM_CN/2013/C048/1C2302/\346\210\220\351\203\275\345\267\245\344\270\232\345\255\246\351\231\242 \344\270\2235 C \350\202\226\347\221\234\347\220\263 \345\210\230\346\226\260\347\207\225 \351\273\204\351\276\231/\346\210\220\351\203\275\345\267\245\344\270\232\345\255\246\351\231\242 \344\270\2235 C \350\202\226\347\221\234\347\220\263 \345\210\230\346\226\260\347\207\225 \351\273\204\351\276\231.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..29387327675135535355a172d0eebdd6a4a61b78 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2013/C048/1C2302/\346\210\220\351\203\275\345\267\245\344\270\232\345\255\246\351\231\242 \344\270\2235 C \350\202\226\347\221\234\347\220\263 \345\210\230\346\226\260\347\207\225 \351\273\204\351\276\231/\346\210\220\351\203\275\345\267\245\344\270\232\345\255\246\351\231\242 \344\270\2235 C \350\202\226\347\221\234\347\220\263 \345\210\230\346\226\260\347\207\225 \351\273\204\351\276\231.md" @@ -0,0 +1,1305 @@ +# 2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 + +我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： C + +我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： + +所属学校（请填写完整的全名）： 成都工业学院 + +参赛队员 (打印并签名) : 1. 肖渝琳 + +2. 刘新燕 +3. 黄龙 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 任大源 + +(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) + +日期： 年 月 日 + +# 2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
评阅人
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备注
+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 古塔的变形 + +# 摘要 + +本文要求根据测绘公司对古塔的4次测量数据，给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并分析古塔的变形情况及其变形趋势。为了计算的精度，我们首先对各变形量进行了合理的数学定义，并对附录的缺失数据进行合理的赋值。 + +对于问题一，我们通过最小二乘法拟合观测点所在平面，再建立优化模型，在拟合平面上寻找到各观测点距离的平方和最小的点作为古塔该层的中心点。利用MATLAB编程求解，得到了每次观测古塔各层中心坐标的通用方法及各层的中心点坐标。 + +对于问题二，我们将古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，分别给予合理的数学描述。对于倾斜变形，我们定义了倾斜角 $\alpha$ ，即塔尖与底层中心的水平距离与塔高的比值；对于弯曲变形，我们定义了弯曲率 $K$ ，即用中心点所拟合出的空间曲线的曲率来描述古塔各处弯曲率；对于扭曲变形，我们定义了相对扭曲度 $\theta$ ，利用坐标的旋转变换角度描述古塔的扭曲变形情况。利用空间曲线拟合、坐标变换等方法以及MATLAB程序，分别求出了三个变形刻画量的量化指标。 + +对于问题三，我们考虑通过古塔的倾斜、弯曲及扭曲程度来分析古塔的变形趋势。由于数据量较少，我们建立灰色预测模型分析这三种变形因素的变化趋势，利用相应的MATLAB程序，得到了倾斜角、弯曲率以及相对扭曲度的预测函数和误差检验，验证了模型的可靠性，并继而分析古塔的变形趋势。 + +本文巧妙地将各种变形量给予了合理的数学描述及模型，并运用最小二乘法、曲线投影拟合、坐标变换等数学方法实现了求解，并利用灰色预测对未来变形趋势进行了预测，具有较好的实用性和可推广性。 + +关键词：古塔变形；最小二乘拟合；空间曲线曲率；坐标矩阵变换；灰色预测； + +# 1、问题重述 + +由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。 + +某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。 + +请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题： + +1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 +2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 +3. 分析该塔的变形趋势。 + +# 2、模型的假设 + +1. 由于中国古代建筑物多为对称图形，假设古塔是对称的。 +2. 假设每次古塔的测量点选取是固定的。 +3. 假设测量数据都是准确可靠的。 +4. 假设古塔的变形只由倾斜、弯曲和扭曲变形造成，不考虑其他因素。 + +# 3、变量说明 + +$(x_{ij}(k),y_{ij}(k),z_{ij}(k))$ ：第 $k$ 次测量时第 $i$ 层第 $j$ 个观测点的观测坐标 + +$$ +(i = 1, 2, \dots , 1 3, j = 1, 2, \dots , 8, k = 1, 2, 3, 4); +$$ + +$(x_{i}^{*}(k),y_{i}^{*}(k),z_{i}^{*}(k))$ ：第 $k$ 次测量时第 $i$ 层中心点坐标 $(i = 1,2,\dots ,13,k = 1,2,3,4)$ + +$(x_{j}^{\wedge}(k),y_{j}^{\wedge}(k),z_{j}^{\wedge}(k))$ : 第 $k$ 次测量时塔尖第 $j$ 个观测点的观测坐标 + +$$ +(j = 1, 2, \dots , 4, k = 1, 2, 3, 4) +$$ + +$(x^{*}(k),y^{*}(k),z^{*}(k))$ ：第 $k$ 次测量时塔尖的中心点坐标（ $k = 1,2,3,4$ ） + +$d_{ij}(k)$ : 第 $k$ 次测量时第 $i$ 层第 $j$ 个观测点与该层中心点的距离 + +$$ +(i = 1, 2, \dots , 1 3, j = 1, 2, \dots , 8, k = 1, 2, 3, 4); +$$ + +[ z = A_{i}(k)x + B_{i}(k)y + C_{i}(k) ] : 第 $k$ 次测量时第 $i$ 层观测点的拟合平面方程 + +$$ +(i = 1, 2, \dots 1 3, k = 1, 2, 3, 4); +$$ + +$H(k)$ ：第 $k$ 次测量时古塔的塔高（ $k = 1,2,3,4$ ）； + +$d(k)$ ：第 $k$ 次测量时古塔的塔尖与塔的底层中心的水平距离（ $k = 1,2,3,4$ ）； + +$\alpha (k)$ ：第 $k$ 次测量时古塔的倾斜角（ $k = 1,2,3,4$ ）； + +$\left\{ \begin{array}{l}x_{k}(t) = a_{1}(k)t^{2} + b_{1}(k)t + c_{1}(k)\\ y_{k}(t) = a_{2}(k)t^{2} + b_{2}(k)t + c_{2}(k):\\ z_{k}(t) = t \end{array} \right.$ 第 $k$ 次测量时古塔各层中心点的拟合曲线 + +$$ +(k = 1, 2, 3, 4); +$$ + +$K_{k}$ ：第 $k$ 次测量时古塔的弯曲率（ $k = 1,2,3,4$ ）； + +$\theta_{ij}(k)$ : 第 $k$ 次测量时古塔第 $i$ 层第 $j$ 个观测点相对于上次测量的扭曲度 + +$$ +(i = 1, 2, \dots , 1 3, j = 1, 2, \dots , 8, k = 2, 3, 4); +$$ + +$\overline{\theta}_i(k)$ ：第 $k$ 次测量时古塔第 $i$ 层相对于上次测量的平均扭曲度 + +$$ +(i = 1, 2, \dots , 1 3, k = 2, 3, 4); +$$ + +$(p_{i}(k),q_{i}(k))$ ：第 $k$ 次测量时古塔第 $i$ 层相对于上次测量的水平坐标平移量 + +$$ +(i = 1, 2, \dots , 1 3, k = 2, 3, 4) +$$ + +$x^{(0)}$ ：灰色系统原始数据序列； + +$x^{(1)}$ ：灰色系统原始数据一次累加序列； + +$\alpha^{(1)}x^{(0)}$ ：灰色系统原始数据一次累减序列； + +$z^{(1)}$ ：灰色系统原始数据一次累加序列的均值序列； + +# 4、模型准备 + +# 4.1 对建筑物变形、倾斜、弯曲、扭曲的理解 + +根据《中华人民共和国行业标准建筑变形测量规范(JGJ8-2007)》[1], 我们对以下关键概念进行了定义, 并给出合理的数学解释: + +建筑变形：建筑的地基、基础、上部结构及其场地受各种作用力而产生的形状或位置变化现象。在本文中，我们认为建筑变形主要由建筑物的倾斜、弯曲、扭曲以及沉降等现象共同造成。 + +倾斜：建筑中心线或其墙、柱等，在不同高度的点对其相应底部点的偏移现象。在本文中，我们定义倾斜角 $\alpha$ ，其正切值即塔尖与底层中心的水平距离与塔高的比值，即 $\tan \alpha = \frac{d}{H}$ 。 + +弯曲：当杆件受到与杆轴线垂直的外力或在轴线平面内的力偶作用时，杆的轴线由原来的直线变成弯曲，这种变形叫弯曲变形。在本文中，我们利用古塔各层中心位置所在空间曲线的曲率定义了古塔的弯曲率 $K$ 。 + +扭曲：建筑产生的非竖向变形。由于扭曲为非竖向的变形，讨论古塔扭曲时只需考虑水平方向的坐标变化，即 $x, y$ 坐标的水平旋转，因此我们用古塔水平旋转角度的扭曲度 $\theta$ 来描述。 + +# 4.2 缺失数据的预处理： + +第十三层的缺失数据：由于在第一次和第二次的观测数据中，第十三层缺少一个点的观测数据，使得在寻找第十三层中心点时产生较大误差。因此，我们结合十二层与十一层第5个观测点坐标的相对变化情况，对第十三层的缺失数据进行了合理地赋值。根据对古塔各观测点散点图观察可见，古塔相邻两层的对应观测点坐标之间具有类似的关系。通过计算可得第一次测量中第十二层第5个观测点相对于第十一层第5个点的坐标变化值为 $(-0.055, 0.173, 4.271)$ ，从而由第十二层第5个观测点坐标加上相对变化值可将第十三层的缺失数据赋值为(567.984, 519.588, 52.984)。同理可将第二次测量中第十三层的缺失数据赋值为(567.99, 519.5816, 52.983)。 + +塔尖的数据：在后两次测量中，塔尖仅有一个观测数据。由于塔尖各点坐标变化很小，所以对于只有一个测量点的塔尖数据，我们将其近似处理为塔尖中心点坐标。 + +# 5、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题1模型建立与求解 + +# 5.1.1 建模思路 + +问题一要求确定古塔各层中心位置的通用方法。根据建筑变形测量规范，在建筑物变形测量中，为更好地测量出建筑物变形程度的各个指标，我们假设每次测量应选取固定的测量点，且在同一层所选取的测量点在未变形前处于同一个水平面上。而经过对各层观测点三维散点图（如图1所示）的绘制发现，各层的八个点近似对称地分布在一个平面上，只是因为年代久远发生变形导致了些许偏差。因此为了更准确地找出各层中心点，我们考虑先利用最小二乘法拟合出各层观测点所在的平面方程，再建立优化模型在该平面上寻找一点使其到各观测点距离的平方和最小，以此确立古塔各层中心坐标。 + +![](images/4bbe766ce524c29063e80b406055bf1dfe31a881a2d6b35f48b564b864acca5a.jpg) +图1：各层观测点三维图 + +# 5.1.2 平面拟合 + +# (1)模型分析与建立 + +根据假设，在变形前，同层的观测点应处于同一平面上，而由于该层各点发生的变形程度的不同使其与该平面有微小的偏差，因此我们首先根据各层的观测值通过最小二乘法[2]拟合所在平面。 + +平面方程的一般表达式为： + +$$ +\begin{array}{l} A x + B y + C z + D = 0 (C \neq 0) \\ \Rightarrow z = - \frac {A}{C} x - \frac {B}{C} y - \frac {D}{C} \\ \end{array} +$$ + +因此可设第 $k$ 次测量时第 $i$ 层观测点的拟合平面方程为 + +$$ +z = A _ {i} (k) x + B _ {i} (k) y + C _ {i} (k) +$$ + +利用最小二乘法的思想，建立如下优化模型 + +$$ +\min \sum_ {j = 1} ^ {8} \left(A _ {i} (k) x _ {i j} (k) + B _ {i} (k) y _ {i j} (k) + C _ {i} (k) - z _ {i j} (k)\right) ^ {2} (\mathrm {i} = 1, 2, \dots , 1 3; k = 1, 2, 3, 4) +$$ + +寻找与各层观测点最接近的平面方程。 + +# (2) 模型求解 + +该问题为无条件极值问题，函数 + +$$ +f \left(A _ {i} (k), B _ {i} (k), C _ {i} (k)\right) = \sum_ {j = 1} ^ {8} \left(A _ {i} (k) x _ {i j} (k) + B _ {i} (k) y _ {i j} (k) + C _ {i} (k) - z _ {i j} (k)\right) ^ {2} +$$ + +取得极小值的必要条件是三个偏导数应满足： + +$$ +\frac {\partial f}{\partial A} = \frac {\partial f}{\partial B} = \frac {\partial f}{\partial C} = 0, +$$ + +即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {j = 1} ^ {8} 2 \left[ A _ {i} (k) x _ {i j} (k) + B _ {i} (k) y _ {i j} (k) + C _ {i} (k) - z _ {i j} (k) \right] x _ {i j} (k) = 0 \\ \sum_ {j = 1} ^ {8} 2 \left[ A _ {i} (k) x _ {i j} (k) + B _ {i} (k) y _ {i j} (k) + C _ {i} (k) - z _ {i j} (k) \right] y _ {i j} (k) = 0 \\ \sum_ {j = 1} ^ {8} 2 \left[ A _ {i} (k) x _ {i j} (k) + B _ {i} (k) y _ {i j} (k) + C _ {i} (k) - z _ {i j} (k) \right] z _ {i j} (k) = 0 \end{array} \right. +$$ + +整理可得 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} A _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} x _ {i j} ^ {2} (k) + B _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} \left[ x _ {i j} (k) y _ {i j} (k) \right] + C _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} x _ {i j} (k) = \sum_ {j = 1} ^ {8} \left[ x _ {i j} (k) z _ {i j} (k) \right] \\ A _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} \left[ x _ {i j} (k) y _ {i j} (k) \right] + B _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} y _ {i j} ^ {2} (k) + C _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} y _ {i j} (k) = \sum_ {j = 1} ^ {8} \left[ y _ {i j} (k) z _ {i j} (k) \right] \\ A _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} \left[ x _ {i j} (k) z _ {i j} (k) \right] + B _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} \left[ y _ {i j} (k) z _ {i j} (k) \right] + C _ {i} (k) \sum_ {j = 1} ^ {8} z _ {i j} (k) = \sum_ {j = 1} ^ {8} z _ {i j} ^ {2} (k) \end{array} \right. +$$ + +将各层观测值 $x_{ij}(k), y_{ij}(k)$ 带入上式，利用 MATLAB 编程（程序见附录 1）解上述线性方程组，解得每次测量各层的拟合平面系数 $A_i(k), B_i(k), C_i(k)$ 如表 1 所示。 + +表 1: 拟合后各层的系数 + +
第i层第一次测量拟合平面系数第i层第二次测量拟合平面系数
ABCABC
1-0.000830.0034170.4719561-0.001490.0037150.6844
2-0.000820.0036295.8871892-0.000490.0037825.617203
3-0.10353-0.1706160.10733-0.10388-0.1706160.2976
4-0.08443-0.13913137.25564-0.0829-0.13916136.4015
5-0.09317-0.15634155.81575-0.09355-0.15634156.0257
6-0.10906-0.15576169.05036-0.1087-0.15562168.7628
7-0.09725-0.13291154.0987-0.09689-0.13279153.8289
8-0.10094-0.13874162.76538-0.10135-0.13866162.9446
9-0.10708-0.14904175.12849-0.10664-0.14886174.7784
10-0.10713-0.15624182.259210-0.10768-0.15628182.591
11-0.13503-0.21748234.257611-0.13553-0.21745234.5202
12-0.14529-0.23331252.614912-0.14591-0.23338252.9946
13-0.14784-0.25395268.996513-0.14817-0.25401269.2087
塔尖1.14480.7035-961.701塔尖1.2695040.641135-999.836
第i层第三次测量拟合平面系数第i层第四次测量拟合平面系数
ABCABC
1-0.00237-0.003775.0799851-0.00233-0.003745.040576
2-0.00397-0.000199.6612222-0.00255-0.0025310.06101
30.17178-0.10499-30.246130.172475-0.10626-29.9822
40.140823-0.08276-19.892840.140913-0.08503-18.7722
50.157628-0.0909-20.558350.158721-0.09192-20.6534
60.168466-0.11876-7.6328660.168404-0.11917-7.39017
70.134088-0.09533.26999670.133926-0.094933.161969
80.139157-0.100756.76671480.139362-0.100796.667407
90.147529-0.104827.63640290.148239-0.107218.463752
100.152723-0.103467.301055100.15518-0.107137.808521
110.215153-0.13588-6.99514110.216632-0.13885-6.29511
120.232414-0.14731-6.56117120.231244-0.14226-8.55393
130.241372-0.15773-2.08825130.241593-0.15841-1.86442
+ +# 5.1.3 中心点的确定 + +# (1)模型分析与建立 + +中心点即与四周距离相等的点。根据各层实际观测点近似对称地分布在一个平面的特征，我们在5.1.2中所求得的各层拟合平面中寻找一点，使其到该层各观测点距离的平方和最小，建立如下优化模型： + +目标函数： + +到该层各观测点距离的平方和最小，即 + +$$ +\min \sum_ {j = 1} ^ {8} d _ {i j} (k) = \sum_ {j = 1} ^ {8} \left[ \left(x _ {i j} (k) - x _ {i} ^ {*} (k)\right) ^ {2} + \left(y _ {i j} (k) - y _ {i} ^ {*} (k)\right) ^ {2} + \left(z _ {i j} (k) + z _ {i} ^ {*} (k)\right) ^ {2} \right] +$$ + +约束条件： + +该中心点在拟合平面上，即 + +$$ +z _ {i} ^ {*} (k) = A _ {i} (k) x _ {i} ^ {*} (k) + B _ {i} (k) y _ {i} ^ {*} (k) + C _ {i} (k) +$$ + +# (2) 模型求解 + +该问题为条件极值问题，将约束条件 $z_{i}^{*}(k) = A_{i}(k)x_{i}^{*}(k) + B_{i}(k)y_{i}^{*}(k) + C_{i}(k)$ 带入目标函数可将其转换为无条件极值问题： + +$$ +\min \sum_ {j = 1} ^ {8} d _ {i j} (k) = \sum_ {j = 1} ^ {8} \left[ \left(x _ {i j} (k) - x _ {i} ^ {*} (k)\right) ^ {2} + \left(y _ {i j} (k) - y _ {i} ^ {*} (k)\right) ^ {2} + \left(z _ {i j} (k) - A _ {i} (k) x _ {i} ^ {*} (k) - B _ {i} (k) y _ {i} ^ {*} (k) - C _ {i} (k)\right) ^ {2} \right] +$$ + +利用 MATLAB 编程（程序见附录 2）求解该无条件极值问题，求得每次各层中心点坐标如表 2 所示，将其绘成三维图如图 2 所示。 + +表 2: 各次各层中心点坐标 + +
第i层第一次测量各层的中心坐标第i层第二次测量各层的中心坐标
xyzxyz
1566.6647522.71051.7873751566.665522.71021.783001
2566.7196522.66837.320252566.7205522.66757.314628
3566.7251522.547512.287663566.7265522.545912.28297
4566.7842522.541816.700284566.787522.539516.69614
5566.8246522.496221.317655566.8273522.493321.31278
6566.866522.463925.847126566.8696522.460625.84084
7566.9167522.46729.527127566.9206522.46329.52177
8566.9538522.450633.04958566.9579522.446333.04364
9566.9897522.431836.555869566.9946522.426836.54837
10567.0267522.418439.8909910567.0317522.413239.88566
11567.0565522.345644.0850311567.062522.339944.07846
12567.1007522.301748.3605812567.1065522.295548.35469
13567.148522.261552.5192113567.154522.255252.51373
塔尖567.2641522.254155.10855塔尖567.2543522.236655.11965
第i层第三次测量各层的中心坐标第i层第四次测量各层的中心坐标
xyzxyz
1566.7268522.70151.76451566.7269522.70141.76325
2566.764522.66937.3092566.7642522.6697.2905
3566.8798522.589612.267763566.8809522.589112.25993
4566.8829522.581716.688984566.883522.580516.67334
5566.9238522.5521.307175566.9252522.548821.29916
6567.0101522.489825.83726567.0107522.488925.83086
7567.0214522.482329.509627567.0222522.481629.50188
8567.0722522.449433.039548567.0732522.448633.03601
9567.1256522.415336.545369567.1263522.41436.52683
10567.1797522.364739.8809710567.1816522.362539.86353
11567.2556522.306944.0806511567.2575522.304544.07157
12567.3032522.264948.3526412567.3044522.265248.33555
13567.3515522.21952.4858113567.3529522.217452.48076
塔尖567.336522.214855.091塔尖567.3375522.213555.087
+ +![](images/eaed58e6f782c7e48b6b926abe33c2aa0de3332937f4b3a80e5008a55641d0ad.jpg) +图2：中心点的三维图 + +# 5.1.4 模型的结果分析 + +通过模型求出的古塔的各层中心点的坐标，给出了确定古塔各层中心点的通用方法，达到了建立本模型的目的。且该模型可以到各种对称物体的中心点位置的确定。 + +# 5.2 问题2模型建立与求解 + +# 5.2.1建模思路 + +问题二要求分析古塔的各种变形情况。根据《中华人民共和国行业标准建筑变形测量规范(JGJ8-2007)》[1]知，变形是建筑的地基、基础、上部结构及其场地受各种作用力而产生的形状或位置变化现象。在本问中，我们主要分析古塔三种主要的变形情况：倾斜、弯曲、扭曲。 + +对于倾斜变形，我们定义倾斜角 $\alpha$ 进行描述，其正切值等于塔尖与底层中心的水平距离与塔高的比值，即 $\tan \alpha = \frac{d}{H}$ ；对于弯曲变形，我们首先通过投影法拟合出古塔各层中心点所在空间曲线的参数方程，再利用空间曲线的曲率来刻画古塔的弯曲度 $K$ ；对于扭曲变形，考虑到扭曲变形实际为古塔水平面的旋转产生，因此我们采用二维坐标 $(x, y)$ 旋转的矩阵变换，通过各观测量点前后的坐标确定古塔的旋转角度 $\theta$ ，以此刻画古塔的扭曲度。但是，实际中水平面坐标 $(x, y)$ 不仅发生了旋转变换，还受到倾斜弯曲变形等所引起的平移变化的影响，因此我们在考虑坐标变换的时候加入了平移量 $(p, q)$ ，使其更加准确合理。 + +# 5.2.2 倾斜变形 + +# （1）模型分析与建立 + +古塔的倾斜变形可用其倾斜角 $\alpha$ 来描述，其正切值等于塔尖与底层中心的水平距离与塔高的比值，即 + +$$ +\tan \alpha = \frac {d}{H} +$$ + +因此，第 $k$ 次测量的倾斜角可以用如下式子表示： + +$$ +\alpha (k) = \arctan \frac {d (k)}{H (k)} +$$ + +其中，塔尖与底层中心的水平距离 + +$$ +d (k) = \sqrt {\left[ x ^ {*} (k) - x _ {1} ^ {*} (k) \right] ^ {2} + \left[ y ^ {*} (k) - y _ {1} ^ {*} (k) \right]} , +$$ + +塔高即塔尖与底层中心的纵坐标之差 + +$$ +H (k) = z ^ {*} (k) - z _ {1} ^ {*} (k) +$$ + +# （2）模型求解 + +根据问题1所求出的塔尖与底层的中心坐标，利用距离公式可计算出 $d(k)$ ， $H(k)$ 的值，其计算方法如下： + +$$ +d (k) = \sqrt {\left[ x ^ {*} (k) - x _ {1} ^ {*} (k) \right] ^ {2} + \left[ y ^ {*} (k) - y _ {1} ^ {*} (k) \right]}, \quad H (k) = z ^ {*} (k) - z _ {1} ^ {*} (k) +$$ + +再将所得 $d(k)$ , $H(k)$ 的值代入 + +$$ +\alpha (k) = \arctan \frac {d (k)}{H (k)}, +$$ + +利用MATLAB编程（程序见附录3）求解出 $\alpha (k)$ 的值如表3所示。 + +表 3: 各次测量的倾斜角 + +
测量次数倾斜角
第1次0.0141
第2次0.0142
第3次0.0146
第4次0.0147
+ +# （3）模型结果的分析 + +根据求解古塔的倾斜模型，我们得到古塔4次观测的倾斜角分别为0.0141,0.0142，0.0146，0.0147。根据数据我们可以发现古塔倾斜变化的变化趋势，以制定相应的保护措施，具有较强的参考依据。 + +# 5.2.3 弯曲变形 + +# （1）模型分析与建立 + +古塔的弯曲变形是指当杆件受到与杆轴线垂直的外力或在轴线平面内的力偶作用时，杆的轴线由原来的直线变成弯曲。因此，古塔的弯曲率即因为变形致使古塔轴线弯 + +曲的程度。 + +在本文中，我们把古塔各层中心点拟合出的空间曲线作为古塔的轴线。首先将问题1所得到的各层中心点的坐标分别投影到 $zOx$ 平面和 $yOz$ 平面，利用投影法拟合出轴线的参数方程，然后利用拟合出的空间曲线曲率来刻画古塔在各层的弯曲率 $K$ 。 + +# ① 空间曲线拟合 + +将第 $k$ 次测量时各层中心点分别投影到 $zOx$ 平面和 $yOz$ 平面, 得到其投影点坐标 + +$$ +(x _ {i} ^ {*} (k), 0, z _ {i} ^ {*} (k)), (0, y _ {i} ^ {*} (k), z _ {i} ^ {*} (k)) (\mathrm {i} = 1, 2, \dots , 1 3), (x ^ {*} (k), 0, z ^ {*} (k)), (0, y ^ {*} (k), z ^ {*} (k)) +$$ + +利用投影点坐标对 $x, z$ 坐标及 $y, z$ 坐标分别进行二次拟合得空间曲线 $l_{k}$ 的参数方程如下 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x _ {k} (t) = a _ {1} (k) t ^ {2} + b _ {1} (k) t + c _ {1} (k) \\ y _ {k} (t) = a _ {2} (k) t ^ {2} + b _ {2} (k) t + c _ {2} (k) \\ z _ {k} (t) = t \end{array} \right. +$$ + +# ② 曲率计算 + +根据拟合得到的空间曲线的参数方程 $\left\{ \begin{array}{l}x_{k}(t) = a_{1}(k)t^{2} + b_{1}(k)t + c_{1}(k)\\ y_{k}(t) = a_{2}(k)t^{2} + b_{2}(k)t + c_{2}(k)\\ z_{k}(t) = t \end{array} \right.$ 以及空间曲线的曲率公式[3] + +$$ +K _ {k} = \frac {\sqrt {\left| \begin{array}{l l} x _ {k} ^ {\prime} (t) & y _ {k} ^ {\prime} (t) \\ x _ {k} ^ {\prime \prime} (t) & y _ {k} ^ {\prime \prime} (t) \end{array} \right| ^ {2} + \left| \begin{array}{l l} y _ {k} ^ {\prime} (t) & z _ {k} ^ {\prime} (t) \\ y _ {k} ^ {\prime \prime} (t) & z _ {k} ^ {\prime \prime} (t) \end{array} \right| ^ {2} + \left| \begin{array}{l l} z _ {k} ^ {\prime} (t) & x _ {k} ^ {\prime} (t) \\ z _ {k} ^ {\prime \prime} (t) & x _ {k} ^ {\prime \prime} (t) \end{array} \right| ^ {2}}}{\left\{\left[ x _ {k} ^ {\prime} (t) \right] ^ {2} + \left[ y _ {k} ^ {\prime} (t) \right] ^ {2} + \left[ z _ {k} ^ {\prime} (t) \right] ^ {2} \right\} ^ {3 / 2}}, +$$ + +即得到第 $k$ 次测量时古塔的弯曲率函数 $K_{k}(t)$ 。 + +# （2）模型求解 + +# ① 空间曲线拟合 + +根据问题1得到各层中心点的坐标在 $zOx$ 平面和 $yOz$ 平面的投影坐标如附录所示。通过投影坐标对 $x, z$ 及 $y, z$ 坐标分别进行二次拟合，设拟合出的空间曲线参数方程为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x _ {k} (t) = a _ {1} (k) t ^ {2} + b _ {1} (k) t + c _ {1} (k) \\ y _ {k} (t) = a _ {2} (k) t ^ {2} + b _ {2} (k) t + c _ {2} (k), \\ z _ {k} (t) = t \end{array} \right. +$$ + +利用MATLAB编程（程序见附录4），可计算得到拟合空间曲线系数 $a_{i}(k),b_{i}(k),c_{i}(k)$ $(i = 1,2;k = 1,2,3,4)$ 如表4所示。 + +表 4: 中心点拟合得到的空间曲线的系数值 + +
ai(k)bi(k)ci(k)
x1(t)0.000070.00640566.65624
y1(t)0.00001-0.00863522.70188
x2(t)0.000060.00690566.65375
y2(t)0.00001-0.00856522.70036
x3(t)0.000020.01078566.70341
y3(t)-0.00004-0.00682522.70905
x4(t)0.000020.01083566.70353
y4(t)0.000020.01083566.70353
+ +# ② 曲率计算 + +对拟合空间曲线参数方程 $\left\{ \begin{array}{l} x_{k}(t) = a_{1}(k)t^{2} + b_{1}(k)t + c_{1}(k) \\ y_{k}(t) = a_{2}(k)t^{2} + b_{2}(k)t + c_{2}(k) \\ z_{k}(t) = t \end{array} \right.$ 各式对 $t$ 求一阶导数可得 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x _ {k} ^ {\prime} (t) = 2 a _ {1} (k) t + b _ {1} (k) \\ y _ {k} ^ {\prime} (t) = 2 a _ {2} (k) t + b _ {2} (k), \\ z _ {k} ^ {\prime} (t) = 1 \end{array} \right. +$$ + +求二阶导数可得 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x _ {k} ^ {\prime \prime} (t) = 2 a _ {1} (k) \\ y _ {k} ^ {\prime \prime} (t) = 2 a _ {2} (k), \\ z _ {k} ^ {\prime \prime} (t) = 0 \end{array} \right. +$$ + +将表4所求得的系数 $a_{i}(k),b_{i}(k),c_{i}(k)(i = 1,2;k = 1,2,3,4)$ 代入参数方程 $x,y,z$ 分别对 $t$ 的一阶导数和二阶导数，再利用空间曲线的曲率公式[3] + +$$ +K _ {k} = \frac {\sqrt {\left| \begin{array}{l l} x _ {k} ^ {\prime} (t) & y _ {k} ^ {\prime} (t) \\ x _ {k} ^ {\prime \prime} (t) & y _ {k} ^ {\prime \prime} (t) \end{array} \right| ^ {2} + \left| \begin{array}{l l} y _ {k} ^ {\prime} (t) & z _ {k} ^ {\prime} (t) \\ y _ {k} ^ {\prime \prime} (t) & z _ {k} ^ {\prime \prime} (t) \end{array} \right| ^ {2} + \left| \begin{array}{l l} z _ {k} ^ {\prime} (t) & x _ {k} ^ {\prime} (t) \\ z _ {k} ^ {\prime \prime} (t) & x _ {k} ^ {\prime \prime} (t) \end{array} \right| ^ {2}}}{\left\{\left[ x _ {k} ^ {\prime} (t) \right] ^ {2} + \left[ y _ {k} ^ {\prime} (t) \right] ^ {2} + \left[ z _ {k} ^ {\prime} (t) \right] ^ {2} \right\} ^ {3 / 2}}, +$$ + +通过MATLAB编程（程序见附录5），求解得到 $K_{k}$ 的值如表5所示。 + +表 5: ${K}_{k}$ 的值 + +
年 份 +第 i 层1989199920092011
10.0001414040.0001216390.0000898600.000056555
20.0001414050.0001216410.0000899200.000056556
30.0001414060.0001216420.0000899770.000056556
40.0001414070.0001216430.0000900300.000056557
50.0001414080.0001216440.0000900890.000056557
60.0001414080.0001216450.0000901490.000056558
70.0001414090.0001216460.0000902000.000056558
80.0001414090.0001216460.0000902500.000056558
90.0001414090.0001216470.0000903010.000056559
100.0001414090.0001216470.0000903520.000056559
110.0001414080.0001216480.0000904170.000056559
120.0001414080.0001216480.0000904860.000056560
130.0001414080.0001216480.0000905550.000056560
塔尖0.0001414070.0001216480.0000905990.000056560
+ +# （3）模型结果的分析 + +根据上表数据可知，古塔在各层的弯曲率差距不大，且最近两次观测弯曲现象有“矫正”倾向，可能是因为古塔的修复引起。 + +# 5.2.4 扭曲变形 + +# （1）模型分析与建立 + +扭曲变形是建筑产生的非竖向变形，实际上是由水平坐标 $(x, y)$ 的旋转变换所致。因此我们考虑对古塔各观测点的水平坐标进行坐标旋转，通过计算其旋转角度 $\theta$ 来描述该点相对于上次测量的扭曲度，并对每层各观测点的扭曲度取平均值得到该层相对于上次测量的平均扭曲度。 + +由于古塔的水平坐标变换不仅由扭曲所导致的旋转变换决定，还与倾斜和弯曲所引起的平移变换有关，因此为了更准确地描述实际的变换规律，我们引入逆时针变换的相对扭曲度 $\theta$ 和水平坐标的相对平移量 $(p,q)$ ，综合考虑水平坐标的旋转变换和平移变换，建立如下代数模型： + +$$ +(x _ {i j} (k - 1), y _ {i j} (k - 1)) \cdot \left( \begin{array}{c c} \cos \theta_ {i j} (k) & - \sin \theta_ {i j} (k) \\ \sin \theta_ {i j} (k) & \cos \theta_ {i j} (k) \end{array} \right) + \left(p _ {i} (k), q _ {i} (k)\right) = \left(x _ {i j} (k), y _ {i j} (k)\right) +$$ + +即可求得第 $k$ 次测量时每层各观测点的相对扭曲度 $\theta_{ij}(k)$ , 再对同一层的 $\theta_{ij}(k)$ 取平均值 + +$$ +\bar {\theta} _ {i} (k) = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {8} \theta_ {i j} (k)}{8}, +$$ + +则可求得第 $k$ 次测量时每层的平均相对扭曲度。 + +# （2）模型求解 + +上述代数模型通过矩阵乘法得到如下形式： + +$$ +\begin{array}{l} \left(x _ {i j} (k - 1) \cos \theta_ {i j} (k) + y _ {i j} (k - 1) \sin \theta_ {i j} (k), - x _ {i j} (k - 1) \sin \theta_ {i j} (k) + y _ {i j} (k - 1) \cos \theta_ {i j} (k)\right) \\ + \left(p _ {i} (k), q _ {i} (k)\right) = \left(x _ {i j} (k), y _ {i j} (k)\right) \\ \end{array} +$$ + +即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {i j} (k - 1) \cos \theta_ {i j} (k) + y _ {i j} (k - 1) \sin \theta_ {i j} (k) = x _ {i j} (k) - p _ {i} (k) \\ - x _ {i j} (k - 1) \sin \theta_ {i j} (k) + y _ {i j} (k - 1) \cos \theta_ {i j} (k) = y _ {i j} (k) - q _ {i} (k) \end{array} \right. +$$ + +但考虑到实际中其他因素也可能导致水平坐标的改变以及计算误差所带来的影响，上述 + +两个方程不可能同时满足，因此，我们考虑最小二乘的思想，寻找一个 $\theta_{ij}(k)$ 使得 + +$$ +\left\{x _ {i j} (k - 1) \cos \theta_ {i j} (k) + y _ {i j} (k - 1) \sin \theta_ {i j} (k) - [ x _ {i j} (k) - p _ {i} (k) ] \right\} ^ {2} + +$$ + +$$ +\left. \left\{- x _ {i j} (k - 1) \sin \theta_ {i j} (k) + y _ {i j} (k - 1) \cos \theta_ {i j} (k) - \left[ y _ {i j} (k) - q _ {i} (k) \right] \right\} ^ {2} \right. +$$ + +最小，即求解优化模型 + +$$ +\min \quad \left\{x _ {i j} (k - 1) \cos \theta_ {i j} (k) + y _ {i j} (k - 1) \sin \theta_ {i j} (k) - \left[ x _ {i j} (k) - p _ {i} (k) \right] \right\} ^ {2} + +$$ + +$$ +\left. \left\{- x _ {i j} (k - 1) \sin \theta_ {i j} (k) + y _ {i j} (k - 1) \cos \theta_ {i j} (k) - \left[ y _ {i j} (k) - q _ {i} (k) \right] \right\} ^ {2} \right. +$$ + +为简化该无条件极值的计算，我们令 $x = \sin \theta, \sqrt{1 - x^2} = \cos \theta$ ，将其转换为关于 $x$ 的无条件极值问题，并利用MATLAB编程（程序见附录6）计算出 $\theta_{ij}(k)$ 从而得到 $\overline{\theta}_i(k)$ 的值如表6所示。 + +图6：各层的平均相对扭曲度 + +
第i层各层的平均相对扭曲度\(\overline{\theta}_{i}(k)\)
199920092011
1-7.16E-08-3.95E-062.80E-09
21.05E-08-3.48E-06-5.58E-08
31.83E-07-4.40E-05-1.44E-06
4-6.65E-07-3.05E-05-3.83E-07
53.09E-08-3.50E-05-1.34E-06
6-1.21E-07-4.12E-05-4.87E-08
7-8.74E-08-2.59E-051.32E-07
87.86E-08-2.32E-05-1.56E-07
9-5.02E-08-2.10E-05-1.62E-07
101.18E-07-1.84E-05-1.76E-06
111.76E-07-3.68E-05-1.96E-06
121.98E-07-4.70E-051.66E-06
131.59E-07-7.17E-05-2.39E-07
+ +# (3) 模型结果的分析: + +由上表数据可知古塔在1999年到2009年期间发生了较大的扭曲变形。 + +# 5.3 问题三模型的建立与求解 + +# 5.3.1 模型的分析与建立 + +本题是分析古塔的变形情况。本文中，我们认为建筑物变形由建筑物的倾斜、弯曲、扭曲等因素共同造成。由于附录只给出了四次统计的数据，而我们的目标是分析古塔未来多年的变化趋势，因此我们采用信息不完全、不充分的预测系统——灰色预测对古塔未来的变形趋势进行预测。我们建立灰色预测模型GM（2.1）模型[4] + +$$ +\frac {d ^ {2} x ^ {(1)}}{d t ^ {2}} + a \frac {d x ^ {(1)}}{d t} = b +$$ + +分别从古塔的倾斜、弯曲、扭曲三个方面来研究古塔的变形趋势。 + +# 5.3.2 模型求解 + +由5.2所得到的数据结果可知三种变形情况的原始数据序列，记为 + +$$ +x ^ {(0)} = (x ^ {(0)} (1), x ^ {(0)} (2), x ^ {(0)} (3), x ^ {(0)} (4)), +$$ + +对其序列做一次累加得到的累加序列记为 + +$$ +x ^ {(1)} = (x ^ {(1)} (1), x ^ {(1)} (2), x ^ {(1)} (3), x ^ {(1)} (4)), +$$ + +对 $x^{(1)}$ 求均值得到均值序列记为 + +$$ +\alpha^ {(1)} x ^ {(0)} = \left(\alpha^ {(1)} x ^ {0} (1), \alpha^ {(1)} x ^ {0} (2), \alpha^ {(1)} x ^ {(0)} (3), \alpha^ {(1)} x ^ {(0)} (4)\right), +$$ + +即可建立得到古塔三种变形情况的变化趋势的白化微分方程为： + +$$ +\frac {d ^ {2} x ^ {(1)}}{d t ^ {2}} + a \frac {d x ^ {(1)}}{d t} = b +$$ + +由于 DGM(2.1)模型 $\frac{d^2x^{(1)}}{dt^2} + a\frac{dx^{(1)}}{dt} = b$ 中参数的最小二乘估计满足： + +$$ +\hat {u} = \left[ \hat {a}, \hat {b} \right] ^ {T} \left(B ^ {T} B\right) ^ {- 1} B ^ {T} Y +$$ + +其中 + +$$ +B = \left[ \begin{array}{c c c} - x ^ {(0)} (2) & - z ^ {(1)} (2) & 1 \\ - x ^ {(0)} (3) & - z ^ {(1)} (3) & 1 \\ \mathrm {M} & \mathrm {M} & \mathrm {M} \\ - x ^ {(0)} (n) & - z ^ {(1)} (n) & 1 \end{array} \right] +$$ + +$$ +Y = \left[ \begin{array}{c} \alpha^ {(1)} x ^ {(0)} (1) \\ \alpha^ {(1)} x ^ {(0)} (2) \\ \mathrm {M} \\ \alpha^ {(1)} x ^ {(0)} (n) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x ^ {(0)} (2) - x ^ {(0)} (1) \\ x ^ {(0)} (3) - x ^ {(0)} (2) \\ \mathrm {M} \\ x ^ {(0)} (n) - x ^ {(0)} (n - 1) \end{array} \right] +$$ + +利用 MATLAB 编程（程序见附录 7），即可得倾斜角的预测函数 + +$$ +\alpha = 0. 0 1 3 5 6 6 7 \mathrm {t} + 0. 0 0 2 4 8 8 8 9 \mathrm {e} ^ {0. 2 1 4 2 8 6 t} + 0. 0 1 1 6 1 1 1 +$$ + +以及倾斜角 $\alpha$ 的误差检验如表7所示。 + +表 7：倾斜角 $\alpha$ 的误差检验表 + +
序号原始数据预测数据残差相对误差
20.01420.01420.00003850.27%
30.01460.01430.00029642.03%
40.01470.01450.00022031.50%
+ +弯曲率的预测函数 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} K _ {1} = 0. 0 0 0 2 2 6 1 5 5 t - 0. 0 0 0 4 0 9 9 3 7 e ^ {0. 2 0 6 7 4 2 t} + 0. 0 0 0 5 5 1 3 4 1 \\ K _ {2} = 0. 0 0 0 2 2 5 6 2 3 t - 0. 0 0 0 4 0 5 7 1 6 e ^ {0. 2 0 7 5 8 t} + 0. 0 0 0 5 4 7 1 2 1 \\ K _ {3} = 0. 0 0 0 2 2 5 1 2 3 t - 0. 0 0 0 4 0 1 7 5 5 e ^ {0. 2 0 8 3 7 8 t} + 0. 0 0 0 5 4 3 1 6 1 \\ K _ {4} = 0. 0 0 0 2 2 4 6 6 6 t - 0. 0 0 0 3 9 8 1 5 7 e ^ {0. 2 0 9 1 1 t} + 0. 0 0 0 5 3 9 5 6 4 \\ K _ {5} = 0. 0 0 0 2 2 4 1 5 2 t - 0. 0 0 0 3 9 4 1 3 e ^ {0. 2 0 9 9 4 t} + 0. 0 0 0 5 3 5 5 3 8 \\ K _ {6} = 0. 0 0 0 2 2 3 6 2 7 t - 0. 0 0 0 3 9 0 0 4 6 e ^ {0. 2 1 0 7 9 3 t} + 0. 0 0 0 5 3 \text {1} \text {4} \text {5} \text {4} \\ K _ {7} = \left. \begin{array}{l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l l l l l l l l l l l l l l l l l l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l l l l l l l l l l l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l l l l l l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l l l l l l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. \\ K _ {8} = \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\right) & \left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\ right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{array}\right\}\left\{\begin{array}{l} \end{aligned} \right\}\left\{\begin{aligned} & K _ {9} = & K _ {1} = & K _ {1,2} = & K _ {1,3} = & K _ {1,4} = & K _ {1,5} = & K _ {1,6} = & K _ {1,7} = & K _ {1,8} = & K _ {1,9} = & K _ {1,10} = & K _ {1,11} = & K _ {1,12} = & K _ {1,13} = & K _ {1,14} = & K _ {1,15} = & K _ {1,16} = & K _ {1,17} = & K _ {1,18} = & K _ {1,19} = & K _ {1,20} = & K _ {1,21} = & K _ {1,22} = & K _ {1,23} = \\ & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & & \\ K _ {1,2} = & K _ {1,3} = & K _ {1,4} = & K _ {1,5} = & K _ {1,6} = & K _ {1,7} = & K _ {1,8} = & K _ {1,9} = & K _ {1,10} = & K _ {1,11} = & K _ {1,12},\\ K _ {1,3} = & K _ {1,4} = & K _ {1,5} = & K _ {1,6},\\ K _ {1,6},\\ K _ {1,7},\\ K _ {1,8},\\ K _ {1,9},\\ K _ {1,10},\\ K _ {1,11},\\ K _ {1,12},\\ K _ {1,13},\\ K _ {1,14},\\ K _ {1,15},\\ K _ {1,16},\\ K _ {1,17},\\ K _ {1,18},\\ K _ {1,2},\\ K _ {1,2},\\ K _ {1,3},\\ K _ {1,4},\\ K _ {1,5},\\ K _ {1,6},\\ K _ {1,7},\\ K _ {1,8},\\ K _ {1,9},\\ K _ {1,10},\\ K _ {1,2},\\ K _ {1,3},\\ K _ {1,4},\\ K _ {1,5},\\ K _ {1,6},\\ K _ {1,7},\\ K _ {1,8},\\ K _ {1,9},\\ K _ \cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot ,\text{} \\K_{2}=&K_{3}=&K_{4}=&K_{5}=&K_{6}=&K_{7}=&K_{8}=&K_{9}=&K_{10}=&K_{11}=&K_{12}=&K_{13}=&K_{14}=&K_{15}=&K_{16}=&K_{17}=&K_{18}=&K_{19}=&K_{20}=&K_{21}=&K_{22}=&K_{23}=&K_{24}=&K_{25}=&K_{26}=&K_{27}=&K_{28}=&K_{29}=&K_{30}=&K_{31}=&K_{32}=&K_{33}=&K_{34}=&K_{35}=&K_{36}=&K_{37}=&K_{38}=&K_{39}=&K_{40}=&K_{41}=&K_{42}=&K_{43}=&K_{44}=\\ +$$ + +以及弯曲率 $K$ 的误差检验如表8所示。 + +表 8: 弯曲率 $K$ 的误差检验表 + +
1序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121640.00013201-1.04E-050.08523536
38.99E-050.00011038-2.05E-050.22840483
45.66E-058.38E-05-2.72E-050.48167361
2序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121640.00013203-1.04E-050.08537756
38.99E-050.00011043-2.05E-050.22813545
45.66E-058.39E-05-2.73E-050.4827811
3序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121640.00013204-1.04E-050.08552043
39.00E-050.00011048-2.05E-050.2278777
45.66E-058.39E-05-2.74E-050.48385119
4序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121640.00013206-1.04E-050.08565237
39.00E-050.00011052-2.05E-050.22763725
45.66E-058.40E-05-2.74E-050.48482181
5序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121640.00013208-1.04E-050.08580125
39.01E-050.00011057-2.05E-050.22737505
45.66E-058.40E-05-2.75E-050.48594058
6序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.0001321-1.05E-050.08594743
39.01E-050.00011062-2.05E-050.2271102
45.66E-058.41E-05-2.75E-050.48706908
7序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.00013212-1.05E-050.08607666
39.02E-050.00011067-2.05E-050.22688853
45.66E-058.42E-05-2.76E-050.48804652
8序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.00013213-1.05E-050.08620579
39.03E-050.00011071-2.05E-050.22666792
45.66E-058.42E-05-2.77E-050.48900734
9序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.00013215-1.05E-050.08632996
39.03E-050.00011075-2.04E-050.22644922
45.66E-058.43E-05-2.77E-050.48997823
10序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.00013216-1.05E-050.08646241
39.04E-050.00011079-2.04E-050.22622799
45.66E-058.43E-05-2.78E-050.49096737
11序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.00013219-1.05E-050.08662038
39.04E-050.00011085-2.04E-050.22595906
45.66E-058.44E-05-2.78E-050.49226508
12序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.00013221-1.06E-050.08679961
39.05E-050.00011091-2.04E-050.22566269
45.66E-058.45E-05-2.79E-050.49358866
13序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.00013223-1.06E-050.0869807
39.06E-050.00011096-2.04E-050.22537323
45.66E-058.46E-05-2.80E-050.49495082
14序号原始数据预测数据残差相对误差
20.000121650.00013224-1.06E-050.0870919
39.06E-050.000111-2.04E-050.22519297
45.66E-058.46E-05-2.80E-050.49583821
+ +相对扭曲度的预测函数 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \theta_ {1} = 9. 6 9 5 1 2 1 0 ^ {- 7} e ^ {1. 9 8 1 1 8 t} - 0. 0 0 0 0 1 9 9 2 3 8 t - 0. 0 0 0 0 1 0 4 1 1 1 \\ \theta_ {2} = 8. 7 2 5 4 5 1 0 ^ {- 7} e ^ {2. 0 1 9 3 6 t} - 0. 0 0 0 0 1 7 5 1 4 8 t - 8. 6 2 0 4 5 1 0 ^ {- 7} \\ \theta_ {3} = 0. 0 0 0 0 1 1 0 4 1 9 e ^ {2. 0 3 8 1 3 t} - 0. 0 0 0 0 2 2 3 2 1 8 t - 0. 0 0 0 0 1 0 8 5 8 9 \\ \theta_ {4} = 0. 0 0 0 0 7 4 5 8 5 8 e ^ {1. 9 9 0 6 4 t} - 0. 0 0 0 0 1 5 5 1 2 3 t - 0. 0 0 0 0 8 1 2 3 5 8 \\ \theta_ {5} = 0. 0 0 0 0 8 7 5 4 2 4 e ^ {2. 0 4 0 7 3 t} - 0. 0 0 0 0 1 7 8 3 4 t - 0. 0 0 0 0 8 7 2 3 3 4 \\ \theta_ {6} = 0. 0 0 0 0 1 0 2 6 9 7 e ^ {1. 9 9 8 2 a t} - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad - \quad + \\ \theta_ {7} = \left. \begin{array}{l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l} \right. & \left. \begin{array}{l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l} \right. & \left. \begin{array}{l l l l l l l l l l l l l l} \right. & \left. \begin{array}{l l l l l l l} \right. & \left. \begin{array}{l l l l l l} \right. & \left. \begin{array}{l l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{array} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. & \left. \begin{array}{l} \end{aligned} \right. \\ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ {\theta_ {8}} = {0. } {0} {0} {0} {0} {0} {5} {8} {1} {9} {5} {e ^ {2 . } {0} {1} {0} {1} {8 t}} - {0. } {0} {0} {0} {1} {1} {6} {1} {9} {6 t} - {0. } {0} {0} {0} {0} {5} {7} {4} {0} {9} \\ {\theta_ {9}} = {0. } {0} {0} {0} {0} {5} {2} {3} {7} {4} {1} e ^ {2. } {0} {5} {37 t} - {0. } {0} {0} {0} {1} {0} {5} {53 t} - {0. } {0} {0} {0} {528761}\\ {\theta_ {1 _ {0}}} = {0. } {0} {0} {0} {0} {461629} e ^ {2. } {11286 t}- {\left. {\begin{array}{l l l l l l l l l l l l l}\end{array}}\right. } {\left. {\begin{array}{l l l l l l}\right. } {\left. {\begin{array}{l l}\end{array}}\right. }}{\left. {\begin{array}{l}\right. }}{\left. {\begin{array}{l}\right. }}{\left. {\begin{array}{l}\right. }}{\left. {\begin{array}{l}\right. }}{\left. {\begin{array}{l}\right. }}{\left. {\begin{array}{l}\right. }}{\left. {\begin{array}{l}\right. }}{\left. {\begin{array}{l}\right) }\right|}\right|{\left|{\begin{array}{l}\end{array}}\right|}\right|{\left|{\begin{array}{l}\end{array}}\right|}\right|{\left|{\begin{array}{l}\end{array}}\right|}\right|{\left|{\begin{array}{l}\end{array}}\right|}\right|{\left|{\begin{array}{l}\end{array}}\right|}\right|{\left|{\begin{array}{l}\end{array}}^{\prime}}\\ {\theta_ {1 _ {1}}} = {\left. {\begin{array}{l}\end{array}}\right|}. \left. {\begin{array}{l}\right|}. {\left. {\begin{array}{l}\end{array}}\right|}. {\left. {\begin{array}{l}\end{array}}\right|}. {\left. {\begin{array}{l}\end{array}}\right|}. {\left. {\begin{array}{l}\end{array}}\right|}. {\left. {\begin{array}{l}\end{array}}\right|}. {\left. {\begin{array}{l}\end{array}}\right|}. \left. \begin{aligned} \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {2}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {3}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {4}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {5}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {6}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {7}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {8}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {9}}} = \left|\begin{aligned} \theta_ {1 _ {1}} = \left|\begin{aligned} \theta_ {1 _ {1}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {2}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {3}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {4}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {5}}} = \left|\begin{aligned} {\theta_ {1 _ {6}}} = \left|\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {7}}} = \left|\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {8}}} = \left|\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {9}}} = \left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {1}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {1}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {2}}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {3}}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {4}}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {5}}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {6}}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {7}}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {8}}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {9}}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {1}} = {\left|{\begin{aligned} {\Theta_ {1 _ {1}} = {\mid\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}_{\mathbb{T}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} +$$ + +以及相对扭曲度 $\theta$ 的误差检验如表9所示。 + +表 9: 相对扭曲度 $\theta$ 的误差检验表 + +
1序号原始数据预测数据残差相对误差
2-7.16E-08-7.16E-087.94E-231.11E-15
3-3.95E-064.07E-06-8.02E-062.02995356
42.80E-094.20E-05-4.20E-0514983.0723
2序号原始数据预测数据残差相对误差
21.05E-081.05E-081.64E-221.56E-14
3-3.48E-063.95E-06-7.43E-062.13485731
4-5.58E-084.12E-05-4.13E-05739.270658
3序号原始数据预测数据残差相对误差
21.83E-071.83E-072.38E-221.30E-15
3-4.40E-055.14E-05-9.54E-052.16810922
4-1.44E-060.00054356-0.000545378.474144
4序号原始数据预测数据残差相对误差
2-6.65E-07-6.65E-074.24E-226.37E-16
3-3.05E-053.16E-05-6.21E-052.03696247
4-3.83E-070.00032956-0.0003299861.467921
5序号原始数据预测数据残差相对误差
23.09E-083.09E-081.70E-215.50E-14
3-3.50E-054.08E-05-7.58E-052.16531668
4-1.34E-060.00043332-0.0004347324.372527
6序号原始数据预测数据残差相对误差
2-1.21E-07-1.21E-071.03E-218.53E-15
3-4.12E-054.48E-05-8.60E-052.08830854
4-4.87E-080.00046235-0.00046249494.82312
7序号原始数据预测数据残差相对误差
2-8.74E-08-8.74E-082.12E-222.42E-15
3-2.59E-052.79E-05-5.38E-052.07681617
41.32E-070.00028621-0.00028612167.28747
8序号原始数据预测数据残差相对误差
27.86E-087.86E-08-3.97E-225.05E-15
3-2.32E-052.60E-05-4.92E-052.12075321
4-1.56E-070.00026921-0.00026941726.70136
9序号原始数据预测数据残差相对误差
2-5.02E-08-5.02E-08-3.97E-237.91E-16
3-2.10E-052.31E-05-4.41E-052.10081839
4-1.62E-070.00023958-0.00023971479.87097
10序号原始数据预测数据残差相对误差
21.18E-071.18E-074.50E-223.81E-15
3-1.84E-052.39E-05-4.23E-052.30073297
4-1.76E-060.00026804-0.0002698153.297364
11序号原始数据预测数据残差相对误差
21.76E-071.76E-073.18E-221.80E-15
3-3.68E-054.45E-05-8.13E-052.20818439
4-1.96E-060.00047862-0.0004806245.193722
12序号原始数据预测数据残差相对误差
21.98E-071.98E-07-4.76E-222.41E-15
3-4.70E-054.97E-05-9.67E-052.05849067
41.66E-060.00049889-0.0004972299.53605
13序号原始数据预测数据残差相对误差
21.59E-071.59E-073.44E-222.16E-15
3-7.17E-057.96E-05-0.00015132.11085072
4-2.39E-070.00082247-0.00082273442.2884
+ +# 6、模型的分析、推广与改进 + +本文中讨论了古塔的变形特征，围绕着中心点刻画了三种不同变形情况的数学描述，能够较为合理准确地刻画各种变形量，所得结果对于古塔保护的相关部门制定必要的保护措施具有一定的指导意义，具有较强的实用性。 + +本文题目给出的确定古塔各层中心点位置的通用方法可以推广至其他建筑物及测量方式。由于问题三建立的灰色预测模型相对误差值较大，可以考虑建立更合理的灰色预测模型或差分方程模型解决。本模型仍然存在一些不足之处，比如在各步骤上，由于数据本身和算法实现都可能对结果产生一定的误差，因此确定古塔中心及古塔变形量也可考虑用其他模型进行刻画，从而尽可能减少误差。 + +# 7、参考文献 + +[1] 《中华人民共和国行业标准建筑变形测量规范(JGJ8—2007)》 +[2] 百度文库. http://wenku.baidu.com/view/c9d0713710661ed9ac51f305.html. +[3] 褚宝增，齐良平，平面曲线与空间曲线曲率及其算法[J]. 德州学院学报，2013.4，第92卷第2期. +[4] 司守奎，孙玺菁，数学建模算法与应用[M].北京国防工业出版社，2011. +[5] Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox，数学建模(第3版)[M].北京：机械工业出版社，2005. +[6] 韩中庚，数学建模实用教程[M].高等教育出版社，2011. + +# 8、附录 + +程序一：（平面拟合） + +m=数据一.xls; + +$\mathrm{a = m(.1:3)}$ + +a1=m(:,4:6); + +a2=m(:,7:9); + +a3=m(:,10:12); + +hold on; + +$\mathsf{c} = [1,8;9,16;16,24;24,32;32,40;40,48;48,56;56,64;64,72;72,80;80,88;88,96;96,104]$ + +b=zeros(3,13); + +for $k = 1:13$ + +$\mathrm{x = a([c(k,1):c(k,2)],1)}$ + +y=a([c(k,1):c(k,2)], 2); + +$\mathrm{z = a([c(k,1):c(k,2)],3)}$ + +Xcolv $=$ x(:); + +Ycolv $=$ y(:); + +Zcolv $= z(:,)$ + +Const $=$ ones(size(Xcolv)); + +Coefficients1(:,k) = [Xcolv Ycolv Const]\Zcolv; + +XCoeff = Coefficients1(1); + +YCoeff = Coefficients1(2); + +CCoeff = Coefficients1(3); + +L=plot3(x,y,z,'ro'); % 绘制三维图形 + +set(L,'Markersize',2\*get(L,'Markersize')) + +set(L,'Markerfacecolor','r') + +hold on; + +grid on; + +[xx，yy]=meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1); + +zz = XCoeff * xx + YCoeff * yy + CCoeff; + +surf(xx,yy,zz) + +title(sprintf('Plotting plane $z = (\% f)^{*}x + (\% f)^{*}y + (\% f)^{'}$ ,XCoeff, YCoeff, + +CCoeff)) + +end + +Coefficients1%由程序计算所得的系数 + +for $k = 1:13$ + +$\mathrm{x = a1([c(k,1):c(k,2)],1)}$ + +y=a1([c(k,1):c(k,2)], 2); + +z=a1([c(k,1):c(k,2)],3); + +Xcolv = x(:,); + +Ycolv $=$ y(:); + +Zcolv $= z(:,)$ + +Const $=$ ones(size(Xcolv)); + +Coefficients2(:,k) = [Xcolv Ycolv Const]\Zcolv; + +```matlab +XCoeff = Coefficients2(1); +YCoeff = Coefficients2(2); +CCoeff = Coefficients2(3); +L=plot3(x,y,z,'ro'); % 绘制三维图形 +set(L,'Markersize',2*get(L,'Markersize')) +set(L,'Markerfacecolor','r') +hold on; +grid on; +[xx,yy]=meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1); +zz = XCoeff * xx + YCoeff * yy + CCoeff; +surf(xx,yy,zz) +title(sprintf('Plotting plane z=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,CCoeff)) +end +Coefficients2%由程序计算所得的系数 +``` + +```matlab +for k=1:13 +x=a2([c(k,1):c(k,2)], 1); +y=a2([c(k,1):c(k,2)], 2); +z=a2([c(k,1):c(k,2)], 3); +Xcolv = x(:); +Ycolv = y(:); +Zcolv = z(:); +Const = ones(size(Xcolv)); +Coefficients3(:,k) = [Xcolv Ycolv Const]\Zcolv; +XCoeff = Coefficients3(1); +YCoeff = Coefficients3(2); +CCoeff = Coefficients3(3); +L=plot3(x,y,z,'ro'); % 绘制三维图形 +set(L,'Markersize',2*get(L,'Markersize')) +set(L,'Markerfacecolor','r') +hold on; +grid on; +[xx,yy]=meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1); +zz = XCoeff * xx + YCoeff * yy + CCoeff; +surf(xx,yy,zz) +title(sprintf('Plotting plane z=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff, YCoeff, CCoeff)) +end +Coefficients3%由程序计算所得的系数 +m=数据一.xls; +a=m(:,1:3);%1989年观测数据 +a1=m(:,4:6);%1999年观测数据 +a2=m(:,7:9);%2009年观测数据 +``` + +```matlab +a3=m(:,10:12);%2011年观测数据 +for k=1:13 +x=a3([c(k,1):c(k,2)],1); +y=a3([c(k,1):c(k,2)],2); +z=a3([c(k,1):c(k,2)],3); +Xcolv = x(:); +Ycolv = y(:); +Zcolv = z(:); +Const = ones(size(Xcolv)); +Coefficients4(:,k) = [Xcolv Ycolv Const]\Zcolv; +XCoeff = Coefficients4(1); +YCoeff = Coefficients4(2); +CCoeff = Coefficients4(3); +L=plot3(x,y,z,'ro'); %绘制三维图形 +set(L,'Markersize',2*get(L,'Markersize')) +set(L,'Markerfacecolor','r') +hold on; +grid on; +[xx,yy]=meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1); +zz = XCoeff * xx + YCoeff * yy + CCoeff; +surf(xx,yy,zz) +title(sprintf('Plotting plane z=(%f)*x+(%f)*y+(%f)',XCoeff,YCoeff,CCoeff)) +end +Coefficients4%由程序计算所得的系数 +``` + +# 程序二：（中心点坐标的确定） + +首先应用matlab建立ff2.m文件： + +function $f = \text{ff2}(x, A, B)$ $x1 = A(:, 1); y = A(:, 2); z = A(:, 3)$ $f = \text{sum}((x1 - x(1)) \cdot^2 + (y - x(2)) \cdot^2 + (z - (B(1) * x(1) + B(2) * x(2) + B(3))) \cdot^2)$ + +然后，再运行如下程序： + +# m=数据一.xls; + +F1=m(:,1:3);%1989年观测数据 + +$\mathrm{F2 = m(:,4:6);1999}$ 年观测数据 + +F3=m(:,7:9);%2009年观测数据 + +$\mathrm{F4 = m(:,10:12);}\% 2011$ 年观测数据 + +```txt +P1=[-0.000830978 0.003417388 0.471956284 +``` + +-0.000817778 0.003628518 5.887189422 + +-0.103531579 -0.170598336 160.1073406 + +-0.084434924 -0.139125499 137.2555526 + +-0.093172538 -0.156337182 155.8157108 + +-0.10905983 -0.155763638 169.0503192 + +-0.097249562 -0.132905095 154.0980362 + +-0.100944809 -0.138739994 162.7653381 + +-0.107075519 -0.14903722 175.1283597 + +-0.107132219 -0.156237569 182.2592083 + +-0.135031497 -0.217484619 234.2576489 + +-0.145292163 -0.233311605 252.6149174 + +-0.147842995 -0.253950265 268.9965036 + +]; + +P2=[-0.001487998 0.003714862 0.684399642 + +-0.000492827 0.003781979 5.617202869 + +-0.103877083 -0.170596425 160.2976036 + +-0.082898692 -0.139164862 136.4014982 + +-0.093547416 -0.156341154 156.0256571 + +-0.108695055 -0.155620482 168.7628486 + +-0.096893482 -0.132785851 153.8288996 + +-0.101347724 -0.138656209 162.9445585 + +-0.106635181 -0.148858581 174.7784003 + +-0.107683182 -0.156283925 182.5910487 + +-0.135533438 -0.21745348 234.5201978 + +-0.14590835 -0.233379092 252.9945534 + +-0.148170132 -0.254010047 269.2086747 + +]; + +P3=[-0.002373299 -0.003769787 5.079985167 + +-0.003971777 -0.000193548 9.66122192 + +0.171779992 -0.104986237 -30.24613939 + +0.140823091 -0.082759129 -19.89282395 + +0.157627698 -0.09089535 -20.55834552 + +0.168465935 -0.118761803 -7.632855986 + +0.134087929 -0.095297204 3.269995936 + +0.139156581 -0.100754259 6.766714304 + +0.147528599 -0.104817538 7.636402368 + +0.15272301 -0.103455455 7.301054717 + +0.215152629 -0.135879385 -6.995143348 + +0.232413579 -0.147310618 -6.561167274 + +0.2413723 -0.157728579 -2.08825351 + +]; + +P4=[-0.002333174 -0.003740287 5.040576042 + +-0.002554701 -0.002530475 10.06101404 + +0.172474839 -0.106260378 -29.98224837 + +0.14091257 -0.085030797 -18.77216725 + +0.158721438 -0.09191605 -20.65340477 + +0.168403679 -0.119171259 -7.390169205 + +0.133926192 -0.094930062 3.161969153 + +0.139361927 -0.100794271 6.667407016 + +0.148239426 -0.107208857 8.463752307 + +0.155180017 -0.107129134 7.808521389 + +0.216632193 -0.138845389 -6.295107563 + +0.231243928 -0.142257642 -8.553926047 + +0.241592539 -0.158407287 -1.864415599 + +]; + +c=[1,8;9,16;17,24;25,32;33,40;41,48;49,56;57,64;65,72;73,80;81,88;89,96;97,104]; + +b1=zeros(3,13); + +for $k = 1:13$ + +[ \mathrm{A} = \mathrm{F1}([\mathrm{c}(k,1):\mathrm{c}(k,2),:) \% 1986 ] 年观测数据 + +$\mathrm{a = P1(k_{\cdot})}$ + +$\mathrm{b1}(1:2,\mathrm{k}) = \mathrm{fminsearch}(@(\mathrm{x})\mathrm{ff2}(\mathrm{x},\mathrm{A},\mathrm{a}),[1,2])$ + +$\mathrm{b1}(3,\mathrm{k}) = \mathrm{b1}(1,\mathrm{k})^{*}\mathrm{P1}(\mathrm{k},1) + \mathrm{b1}(2,\mathrm{k})^{*}\mathrm{P1}(\mathrm{k},2) + \mathrm{P1}(\mathrm{k},3);$ + +end + +b2=zeros(3,13); + +for $k = 1:13$ + +[ \mathrm{A} = \mathrm{F2}([\mathrm{c}(\mathrm{k},1):\mathrm{c}(\mathrm{k},2)],\therefore)\% 1996 ] 年观测数据 + +a=P2(k.); + +$\mathrm{b2(1:2,k) = fminsearch(@(x)ff2(x,A,a),[1,2])}$ + +$\mathrm{b2(3,k) = b2(1,k)*P2(k,1) + b1(2,k)*P2(k,2) + P2(k,3)}$ + +end + +b3=zeros(3,13); + +for $k = 1:13$ + +[ \mathrm{A} = \mathrm{F3}(\left[\mathrm{c}(\mathrm{k},1):\mathrm{c}(\mathrm{k},2)\right],\therefore); \% 2009 ] 年观测数据 + +$\mathrm{a = P3(k_{\cdot}l)}$ + +$\mathrm{b3(1:2,k) = fminsearch(@(x)ff2(x,A,a),[1,2])}$ + +$\mathrm{b3(3,k) = b3(1,k)*P3(k,1) + b3(2,k)*P3(k,2) + P3(k,3)}$ + +end + +b4=zeros(3,13); + +for $k = 1:13$ + +[ \mathrm{A} = \mathrm{F4}([\mathrm{c}(\mathrm{k},1):\mathrm{c}(\mathrm{k},2)],\dots); \% 2011 ] 年观测数据 + +$\mathrm{a = P4(k_{\cdot})}$ + +$\mathrm{b4(1:2,k) = fminsearch(@(x)ff2(x,A,a),[1,2])}$ + +$\mathrm{b4(3,k) = b4(1,k)*P4(k,1) + b4(2,k)*P4(k,2) + P4(k,3)}$ + +end + +b1,b2,b3,b4 + +# 程序三：（倾斜角的计算） + +clear + +clc + +a=[566.664741 567.2640516 + +522.7105282 522.2540994 + +1.787375037 55.10854517 + +566.6649707 567.2543 + +522.7101805 522.2366 + +1.783000777 55.11965447 + +566.7268041 567.336 + +522.7014735 522.2148 + +1.76449979 55.091 + +566.7269181 567.3375 + +522.7013548 522.2135 + +1.763250449 55.087 + +],%各次底层中心点及塔尖中心点的坐标值 + +$\mathbf{b} =$ zeros(4,1); + +for $i = 1:4$ + +b(i,1)=atan(square((a(3*i-2,1)-a(3*i-2,2))^2+(a(3*i-1,1)-a(3*i-1,2))^2)/(a(3*i,2)-a(3*i,1)); + +end + +b + +程序四：（空间曲线方程的拟合） + +clear + +clc + +a1=[566.664741 566.7196032 566.7251066 566.7841861 566.824563 566.8660307 566.9166678 566.9538279 566.9897481 567.0267344 567.0564911 567.1007311 567.148014 567.2640516 + +522.7105282 522.668344 522.5474854 522.5418216 522.4961758 522.4639359 522.4669521 +522.4505947 522.4317649 522.4184393 522.3456014 522.3016699 522.2614503 +522.2540994 + +1.787375037 7.320250093 12.28766395 16.70028124 21.31764794 25.84712287 29.52711866 +33.04949985 36.55586028 39.89098906 44.08502791 48.36058464 52.5192089 +55.10854517 + +]; + +$\mathrm{x = a1(1,)}$ + +y=a1(2,:); + +$\mathrm{z = a1(3,)}$ + +x1 = polyfit(z, x, 2) % z 为自变量，x 为因变量 + +y1 = polyfit(z, y, 2) % z 为自变量，y 为因变量 + +a2=[566.6649707 566.7205451 566.7265463 566.7869552 566.827267 566.8696053 566.9205503 566.9579355 566.9946391 567.0317229 567.0620474 567.1064981 567.1540086 567.2543 + +522.7101805 522.6674562 522.5459168 522.5394603 522.4932815 522.4605572 522.4630366 522.4463037 522.4268193 522.4132488 522.3398815 522.2955148 522.2552224 522.2366 + +1.783000777 7.314628384 12.2829702 16.69614048 21.31277587 25.84083613 29.52177461 +33.04364328 36.54837315 39.88566431 44.07846016 48.35469052 52.51373486 +55.11965447 + +]; + +$\mathrm{x = a2(1,)}$ + +y=a2(2,); + +$$ +z = a 2 (3, \therefore); +$$ + +$\mathrm{x}2 = \text{polyfit}(\mathrm{z}, \mathrm{x}, 2) \% \mathrm{z}$ 为自变量， $\mathrm{x}$ 为因变量 + +y2=polyfit(z,y,2)%z 为自变量，y为因变量 + +a3=[566.7268041 566.763964 566.8798373 566.8829498 566.9237686 567.0100817 + +567.0214421 567.0722482 567.1256312 567.1797278 567.2555827 567.3031922 + +567.3514709 567.336 + +522.7014735 522.6692942 522.5896155 522.5816831 522.5500444 522.4897794 522.482311 + +522.449441 522.4153258 522.3647064 522.3068783 522.2648641 522.2190398 522.2148 + +1.76449979 7.309000247 12.2677573 16.68898035 21.30717388 25.83719934 29.50962342 + +33.03954325 36.54536393 39.88097158 44.08064918 48.35263811 52.48580886 55.091 + +]; + +$$ +x = a 3 (1,:) +$$ + +$$ +y = a 3 (2, \therefore); +$$ + +$$ +z = a 3 (3,:) +$$ + +[ x3 = \frac{polyfit(z, x, 2)}{\% z} ] 为自变量，x为因变量 + +y3=polyfit(z,y,2)%z 为自变量，y为因变量 + +a4=[566.7269181 566.7641741 566.8809476 566.8830262 566.9252064 567.0107413 + +567.0222307 567.0732454 567.1263284 567.1816335 567.257516 567.3043501 + +567.3528621 567.3375 + +522.7013548 522.6689947 522.5891489 522.5805209 522.5487839 522.4889408 522.4816388 + +522.4139989 522.3625187 522.3044631 522.2651696 522.2174357 522.2135 + +1.763250449 7.290500213 12.2599313 16.67333868 21.29915907 25.83086076 29.50188293 + +33.03600551 36.52682599 39.86353266 44.07156577 48.33554872 52.48075565 55.087 + +]; + +$$ +x = a 4 (1, \therefore); +$$ + +$$ +\mathrm {y} = \mathrm {a} 4 (2, \therefore); +$$ + +$$ +z = a 4 (3,:) +$$ + +x4=polyfit(z,x,2)%z 为自变量，x 为因变量 + +y4=polyfit(z,y,2)%z 为自变量，y为因变量 + +程序五：（曲率 $K$ 值的计算） + +clear + +clc + +$$ +\mathrm {s y m s} x 1 \mathrm {y} 1 x 2 \mathrm {y} 2 x 3 \mathrm {y} 3 \mathrm {x} 4 \mathrm {y} 4 z; +$$ + +$$ +x 1 = - 0. 0 0 0 0 7 * z ^ {\wedge} 2 + 0. 0 0 6 4 * z + 5 6 6. 6 5 6 2 4; +$$ + +$$ +y 1 = - 0. 0 0 0 0 1 ^ {*} z ^ {\wedge} 2 - 0. 0 0 8 6 3 ^ {*} z + 5 2 2. 7 1 0 8 8; +$$ + +$$ +x 2 = - 0. 0 0 0 0 6 ^ {*} z ^ {\wedge} 2 + 0. 0 0 6 9 ^ {*} z + 5 6 6. 6 5 3 7 5; +$$ + +$$ +\mathrm {y} 2 = 0. 0 0 0 0 1 ^ {*} \mathrm {z} ^ {\wedge} 2 + 0. 0 0 8 5 6 ^ {*} \mathrm {z} + 5 2 2. 7 0 0 3 6; +$$ + +$$ +x 3 = 0. 0 0 0 0 2 ^ {*} z ^ {\wedge} 2 + 0. 0 1 0 7 8 ^ {*} z + 5 6 6. 7 0 3 7 4; +$$ + +$$ +y 3 = - 0. 0 0 0 0 4 * z ^ {\wedge} 2 - 0. 0 0 6 8 2 * z + 5 2 2. 7 0 9 0 5; +$$ + +$$ +\mathrm {x} 4 = 0. 0 0 0 0 2 ^ {*} \mathrm {z} ^ {\wedge} 2 - 0. 0 1 0 8 3 ^ {*} \mathrm {z} + 5 6 6. 7 0 3 5 3; +$$ + +$$ +y 4 = - 0. 0 0 0 0 2 ^ {*} z ^ {\wedge} 2 + 0. 0 1 0 8 3 ^ {*} z + 5 6 6. 7 0 3 5 3; +$$ + +$$ +\mathrm {d x} 1 = \text {d i f f} (\mathrm {x} 1, \mathrm {z}, 1) +$$ + +$$ +\mathrm {d d x} 1 = \text {d i f f} (\mathrm {x} 1, \mathrm {z}, 2) +$$ + +dy1=diff(y1,z,1) +ddy1=diff(y1,z,2) +dx2=diff(x2,z,1) +ddx2=diff(x2,z,2) +dy2=diff(y2,z,1) +ddy2=diff(y2,z,2) +dx3=diff(x3,z,1) +ddx3=diff(x3,z,2) +dy3=diff(y3,z,1) +ddy3=diff(y3,z,2) +dx4=diff(x4,z,1) +ddx4=diff(x4,z,2) +dy4=diff(y4,z,1) +ddy4=diff(y4,z,2) +n=[1.787375037 7.320250093 12.28766395 16.70028124 21.31764794 25.84712287 29.52711866 33.04949985 36.55586028 39.89098906 44.08502791 48.36058464 52.5192089 55.10854517 +1.783000777 7.314628384 12.2829702 16.69614048 21.31277587 25.84083613 29.52177461 33.04364328 36.54837315 39.88566431 44.07846016 48.35469052 52.51373486 55.11965447 +1.76449979 7.309000247 12.2677573 16.68898035 21.30717388 25.83719934 29.50962342 33.03954325 36.54536393 39.88097158 44.08064918 48.35263811 52.48580886 55.091 +1.763250449 7.290500213 12.2599313 16.67333868 21.29915907 25.83086076 29.50188293 33.03600551 36.52682599 39.86353266 44.07156577 48.33554872 52.48075565 55.087]; +%中心点的z轴数据 +for k=1:length(n) +a(k,1)=sqrt((4/625-(7*n(1,k))/50000)*(−1/50000)-(−863/100000-n(1,k)/50000)*(−7/50000))^2+(-7/5000)^2+(−1/5000)^^2)/sqrt((4/625-(7*n(1,k))/50000)^^2+(-863/10000-n(1,k)/50000)^^2+1)^^3); +b(k,1)=sqrt((69/10000-(3*n(2,k))/25000)*(1/50000)-(107/12500-n(2,k)/50000)*(−3/25000)^^2+(−1/5000)^^2)/sqrt((69/10000-(3*n(2,k))/25000)^^2+(107/12500-n(2,k)/50000)^^2+1)^^3); +c(k,1)=sqrt((((n(3,k))/25000+539/5000)*(-1/1250)-(-341/5000-n(3,k)/1250)*(7/500))^2+(1/1250)^^2+(-1/2500)^^2)/sqrt((n(3,k)/25000+539/5000)^^2+(-341/5000-n(3,k)/1250)^^2+1)^^3); +d(k,1)=sqrt((n(4,k)/2500-1083/10000)*(-1/2500)-(1083/10000-n(4,k)/2500)*(-1/250))^2+(-1/25) + $\text{d} (k,1) = \text{sqrt} ((n(4,k)/25\text{~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~}$ ^^2+(-1/2) + $\text{d} (k,1) = \text{sqrt} ((n(4,k)/25\text{~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~}$ ^^2+(-1/ + +程序六：（扭转量的计算） +首次应建立niuqv1.m文件 +function $f = \mathrm{niuqv1(x,A,B)}$ + +$\mathrm{x1 = A(1);y = A(2);z = A(3);k = A(4);m = B(1);n = B(2)}$ + +$f = (x1^{\star}x + y^{\star}x - (z - m))^{\wedge 2} + (-x1^{\star}x + y^{\star}\operatorname {sqrt}(1 - x\wedge 2) - (k - n))^{\wedge 2};$ + +再运行下列程序： + +# $\mathrm{F} =$ 数据 $\cdot \mathbf{x}\mid \mathbf{s}$ + +```latex +\(\mathrm{P = [566.664741}\) 522.7105282 566.6649707 522.7101805 566.7268041 +522.7014735 566.7269181 522.7013548 +566.7196032 522.668344 566.7205451 522.6674562 566.763964 522.6692942 +566.7641741 522.6689947 +566.7251066 522.5474854 566.7265463 522.5459168 566.8798373 522.5896155 +566.8809476 522.5891489 +566.7841861 522.5418216 566.7869552 522.5394603 566.8829498 522.5816831 +566.8830262 522.5805209 +566.824563 522.4961758 566.827267 522.4932815 566.9237686 522.5500444 +566.9252064 522.5487839 +566.8660307 522.4639359 566.8696053 522.4605572 567.0100817 522.4897794 +567.0107413 522.4889408 +566.9166678 522.4669521 566.9205503 522.4630366 567.0214421 522.482311 +567.0222307 522.4816388 +566.9538279 522.4505947 566.9579355 522.4463037 567.0722482 522.449441 +567.0732454 522.44856 +566.9897481 522.4317649 566.9946391 522.4268193 567.1256312 522.4153258 +567.1263284 522.4139989 +567.0267344 522.4184393 567.0317229 522.4132488 567.1797278 522.3647064 +567.1816335 522.3625187 +567.0564911 522.3456014 567.0620474 522.3398815 567.2555827 522.3068783 +\(A_{S}^{*} = F(:,[1:4])\) ： +\(\mathrm{A}^{\prime} = \mathrm{F}(:,[3:6])\) ： +\(\mathrm{A}^{\prime} = \mathrm{F}(:,[5:8])\) ： +\(\mathrm{B}1(:,1) = \mathrm{P}(:,3) - \mathrm{P}(:,1)\) ： +\(\mathrm{B}1(:,,2) = \mathrm{P}(:,,4) - \mathrm{P}(:,,2)\) ： +\(\mathrm{B}^{\prime} = \mathrm{P}(:,,\\) (\\( ,\\) -\\( ,\\) )\) ： +\(\mathrm{B}^{\prime} = \mathrm{P}(:,\\) (\\) ,\\( -\\) \\) . \(B_{3}(:,,1) = P(:,\\) (\\) ,\\( -\\) \\) . \(B_{3}(:,,\\) (\\) ,\\( -\\) \\) . \(B_{3}(:,,\\) (\\) ,\\( -\\) \\) . \(B_{3}(:,,\\) (\\) ,\\( -\\) \\) . \(B_{3}(:,,\\) (\\) ,\\( -\\) \\) . \(B_{m = 1:8}\) +\(\mathbf{x(m,1)} = \mathbf{fminbnd(@(x))niuqv1(x,A_1(m,:),B_1(1,:)), - 0.\mathbf{00}}\) ，0.00）; +end +``` + +for $m = 9:16$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},2) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(2,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 17:24$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},3) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(3,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 25:32$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},4) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(4,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 33:40$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},5) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(5,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 41:48$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},6) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(6,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 49:56$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},7) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(7,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 57:64$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},8) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(8,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 65:72$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},9) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(9,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 73:80$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},10) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(10,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 81:88$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},11) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(11,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 89:96$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},12) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(12,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 97:104$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},13) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A1}(\mathbf{m},:),\mathrm{B1}(13,:)), - 0.005,0.005);$ +end +al(:,1)=asin(sum(x)/8); +for $m = 1:8$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},1) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A2}(\mathbf{m},:),\mathrm{B2}(1,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 9:16$ +x(m,2)=fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(2,:)),-0.005,0.005); +end + +$\begin{array}{rl} & {\mathrm{x(m,3) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(3,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 25:32}}\\ & {\mathrm{x(m,4) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(4,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 33:40}}\\ & {\mathrm{x(m,5) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(5,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 41:48}}\\ & {\mathrm{x(m,6) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(6,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 49:56}}\\ & {\mathrm{x(m,7) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(7,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 57:64}}\\ & {\mathrm{x(m,8) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(8,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 65:72}}\\ & {\mathrm{x(m,9) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(9,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 73:80}}\\ & {\mathrm{x(m,10) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(10,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 81:88}}\\ & {\mathrm{x(m,11) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(11,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 89:96}}\\ & {\mathrm{x(m,12) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(12,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 97:104}}\\ & {\mathrm{x(m,13) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A2(m,:),B2(13,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{a1(:,2) = asin(sum(x)/8);}\\ & {\mathrm{for~m = 1:8}}\\ & {\mathrm{x(m,1) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A3(m,:),B3(1,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 9:16}}\\ & {\mathrm{x(m,2) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A3(m,:),B3(2,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 17:24}}\\ & {\mathrm{x(m,3) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A3(m,:),B3(3,:)), - 0.005,0.005);}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{for~m = 25:32}}\\ & {\mathrm{x(m,4) = fminbnd(@(x)niuqv1(x,A3(m,:),B3(4,:)), - 0.005,0.005);} \end{array}$ + +end +for $m = 33:40$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},5) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(5,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 41:48$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},6) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(6,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 49:56$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},7) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(7,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 57:64$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},8) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(8,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 65:72$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},9) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(9,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 73:80$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},10) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(10,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 81:88$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},11) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(11,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 89:96$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},12) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(12,:)), - 0.005,0.005);$ +end +for $m = 97:104$ $\mathbf{x}(\mathbf{m},13) = \mathrm{fminbnd}(@(\mathbf{x})\mathrm{niuqv1}(\mathbf{x},\mathrm{A3}(\mathbf{m},:),\mathrm{B3}(13,:)), - 0.005,0.005);$ +end +a1(:,3)=asin(sum(x)/8); + +程序七：（灰色模型求值） + +clc,clear + +$\mathrm{x0} = [0.0141,0.0142,0.0146,0.0147];\%$ 原始数据序列 + +$\mathrm{n =}$ length(x0); + +a_x0 = diff(x0)';% 求 1 次累减序列，即 1 阶向前差分 + +$\mathrm{B} = [-\mathrm{x}0(2:\mathrm{end})',\mathrm{ones}(\mathrm{n - 1},1)];$ + +u=B\a_x0%最小二乘拟合参数 + +$\mathrm{x = dsolve('D2x + a*Dx = b',x(0) = c1,Dx(0) = c2')};\%$ 求二阶微分方程的符号解 + +$\mathrm{x = subs(x,{'a',b',c1',c2'}},\{u(1),u(2),x0(1),x0(1)\})$ + +yuce=subs(x,'t',0:n-1)%求已知数据点1次累加序列的预测值 + +$\mathrm{x = vpa(x,6)}$ + +x0_hat=[yuce(1),diff(yuce)]%求已知数据点的预测值 + +epsilon=x0-x0_hat%求残差 + +delta=abs(epsilon./x0)%求相对误差 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2014/A063/A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253/A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253 /A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253 .md" "b/MCM_CN/2014/A063/A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253/A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253 /A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253 .md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e313217b1a150243831276f5841c7cc10c93558b --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2014/A063/A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253/A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253 /A23022014_\346\235\234\347\243\212_\346\261\237\345\220\257\346\226\207_\346\261\252\351\221\253 .md" @@ -0,0 +1,1058 @@ +# 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 + +# 摘要 + +本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制问题，建立了三维动力学模型、二维动力学模型、区域选择模型、悬停模型、采用参数优化，对软着陆轨道的设计提供了方案，并提出控制策略，经检验模型的受干扰能力强，可靠性高。 + +问题一中，要求我们确定准备着陆轨道近月点和远月点的位置以及嫦娥三号在该点的速度。为使得轨道最优，本文先通过简化的抛物线模型初步对近月点的空间范围 $(55.30^{\circ}W;16.56^{\circ}W,15km)$ ， $(55.30^{\circ}N;40.50^{\circ}N,15km)$ ，通过高斯-克吕格坐标将地面坐标转化为经纬坐标，为找到准备着陆轨道近月点和远月点的位置，假设嫦娥三号在近月点、着陆点和月心所确定的平面上运动，由此建立了二维动力学模型，以燃料消耗最少为目标，采用参数优化算法。求得近月点的坐标为 $\left(20.08^{\circ}W,30.1^{\circ}N\right)$ ，远月点的坐标为 $\left(160.49^{\circ}E,22.45^{\circ}S\right)$ ，近月点速度为 $1.692km / s$ ，远月点速度为 $1.639km / s$ + +问题二中，要求确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。因此本文先确定嫦娥三号的着陆轨道，由于实际过程嫦娥三号受多种因素的干扰，该着陆轨道并非在一定的平面内，因此先建立月心惯性坐标系，以各阶段不同目标为约束条件，燃料消耗最少为目标，建立三维动力学模型，采用参数优化算法，求得各阶段控制策略如下：①着陆准备轨道阶段：根据能量守恒和开普勒第二定律确定近月点的速度大小②主减速阶段：得到该阶段控制函数 $u_{1} = [F_{1}\theta_{1}\psi_{1}]^{T}$ ③快速调整阶段：为使得嫦娥三号快速调整，以嫦娥三号下降过程飞行距离距离最短为目标，得到该阶段控制函数 $u_{2} = [F_{2}\theta_{2}\psi_{2}]^{T}$ ④粗避障阶段：分析数字高程图，为确保嫦娥三号避开大陨石坑，我们由参考文献[得知，将高度 $h$ 大于 $50\mathrm{m}$ 的像素点列为危险像素点，采用边缘检测模型，以螺旋前进搜索方法，对着陆点进行初步修正，得到安全区域中心点坐标为 $\left(19.51^{\circ}W,35.12^{\circ}N\right)$ ⑤精避障阶段：为确保避开月面的障碍物，建立了安全坡度筛选模型，采用螺旋式前进搜索方法，对着陆点进行精确修正。得到目标着陆点为 $\left(18.4^{\circ}W,33.7^{\circ}N\right)$ ⑥缓速下降阶段：在指向月心方向做竖直匀减速运动，速度降为 $0m / s$ + +问题三中，要求我们对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。首先进行误差分析，通过误差转移矩阵，检验误差影响后，确定的着陆点位置误差在同一数量级之后，我们对近月点的初始状态进行 $5\%$ 的波动，检测得知在波动为 $5\%$ 内着陆点能够较好地满足要求。对于敏感行分析我们提取了模型中的部分参数嫦娥三号的开始 $m_0$ 、 $\nu_{e}$ 、 $F_{\mathrm{max}}$ ，经过作发动机推力和角度图像发现 $m_0$ 、 $\nu_{e}$ 对模型的较为明显， $F_{\mathrm{max}}$ 在不低4900N时对模型对模型的影响不明显。 + +本文最大的特色，第一问中，先通过简化的抛物线模型求解出备选的近月点范围，缩小了优化模型的搜索范围；第二问中，通过边缘检测和安全坡度筛选的方法对粗避障和精避障过程进行描述，较为准确的确定了安全着陆点；第三问中，以误差转移矩阵，验证了在不同条件下，误差所导致的影响在同一数量级，便于下文准确的误差分析。 + +关键词：轨道设计与控制、三维动力学模型、参数优化算法、坡度筛选、边缘检测 + +# 一、问题提出 + +嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为 $2940\mathrm{m / s}$ ，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。 + +嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 $15\mathrm{km}$ ，远月点 $100\mathrm{km}$ 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 + +根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题： + +（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 +（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 +（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 + +# 二、基本假设 + +1、月球为密度均匀的球体； +2、不考虑地球引力对探测器的影响； +3、不考虑探测器内部间的摩擦损耗 + +# 三、符号说明 + +
符号意义符号意义
a长半轴v1近月点的速度
b短半轴v2远月点的速度
φ/λ分别为坐标的经度和纬度m0探测器初始质量
h相对月球面的高度ω探测器围绕月心的角速度
c椭球第一偏心率Δhi相对高程
+ +# 四、问题分析 + +问题一要求，确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。经初步分析，如果将月球假想为一个均匀的球体，那么能到达预着陆点，该近月点应该有无数个，所以无法求得近月点的具体位置。为设计最优的着陆轨道，这里我们考虑到最优的轨道应当消耗燃料最少，因此初步应该选择在虹湾着落区域上方的点作为近月点。 + +为在该区域找到最优着陆准备轨道，并确定近月点的位置，我们可以采用以燃料消耗最少为优化目标，建立嫦娥三号的动力学模型，从而得到最优的近月点位置。 + +问题二要求，确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。为确定6个阶段的最优控制策略，在第一问确定了最优近月点的基础上。对6个阶段分析如下 + +
准备着陆轨道主减速快速调整粗避障精避障缓速下降
近月点速度确定以57m/s,基本位于目标上方使得水平速度为0m/s避开大陨石坑精细避开月面障碍物缓速下降
+ +因此需要对各阶段轨道进行修正，使得嫦娥三号满足每个阶段在关键点所处的状态，并准确安全到达着陆点附近。 + +问题三要求，对于本文设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。问题三的实质是为了验证问题二提出的策略是否在拥有误差的情况下能依旧保持较为准确降落，验证该策略是否可靠。 + +误差分析，首先我们可以考虑运用误差转移矩阵对该三维动力学模型进行最数量级的验证，初步判断误差存在时，对着陆点的影响是否在同一同一数量级内，否则不需要进行下一步精确的验证。如在同一数量级内，可以对近月点的坐标和速度进行一个误差区域的处理，再通过第二问的模型计算出相应的着陆点误差区域，如果较为准确地着陆在理想着落点附近，那么就能说明该模型有较好的适应能力，可靠性高。 + +敏感度分析，为验证该策略的敏感性，我们可以选择模型中一部分参数，比如嫦娥三号的质量、嫦娥三号的推力等，判断在这些参数变化时模型所确定的各量是否具有明显变化。 + +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一模型建立与求解 + +# 5.1.1 问题一的分析 + +问题一要求我们确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。通过查阅文献得知，嫦娥三号在达到月球表面之前并非唯一确定，而是尽量使得其在近月点的位置附近。 + +本文先假设嫦娥三号的运动轨迹为平面的抛物线，根据近月点和着陆点上方位置确定该抛物线的解析式。由该解析式能确定近月点的位置为在着陆点上方 $15\mathrm{km}$ 的一条圆 + +曲线，由此可确定近月点的范围，然后通过优化模型，确定最优近月点位置，通过近月点远月点几何关系再确定远月点位置。 + +为确定近月点远月点速度，我们将绕月轨道看成椭圆，再考虑在月球万有引力作用下求解出近月点远月点速度的大小。再通过坐标系转化，将月球经纬坐标系转化为月心惯性坐标系，由于在轨道平面内近月点速度的方向为轨道圆的切线方向，并且垂直于月心、近月点、着陆点所定平面的法向量，由此可确定该近月点远月点速度方向。 + +# 5.1.2 问题一模型的建立 + +# (1) 嫁娥三号运动轨迹的确定 + +由于在嫦娥三号接近月球表面的过程中，从着陆准备轨道开始下降，为了使得能量消耗地最少该下降路径一般是一个平面内，也即是与近月点和远月点共面的平面，该路径近似于一条抛物线，如右图所示： + +由于初始点和终点的速度和位置确定。本文根据初始点坐标 $A(0,15000)$ 、速度 $\nu_{A} = 17000km / s$ 和主减速结束点 $B(0,3000)$ 和 $\nu_{B} = 57m / s$ 。将该过程简化为抛物线运动，在 $x$ 轴方向做匀减速运动，在 $y$ 轴方向嫦娥三号在月球引力的作用下做匀加速运动。因此可以求得嫦娥三号（5.1）的水平移动距离 $s$ + +![](images/95ddbbbacd846e9b5a29fc00e8ceaeb8357afcb1b5432c2c3804152b974db425.jpg) +图1下降路线示意图 + +1 简化抛物线图 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} 2 g h = v _ {B y} & a _ {x} = \frac {v _ {A} - v _ {B x}}{t} \\ t = \frac {v _ {B y}}{g} & s = v _ {A} t - \frac {1}{2} a t ^ {2} \end{array} \right. \tag {5.1} +$$ + +# (2) 着陆区域的确定 + +嫦娥三号为了到达着陆点，首先需要接近着陆点的上方，并且以抛物线的形式下降。 + +由上文近月点到着陆点上方抛物线假设可知，近月点投影在月球表面应是以着陆点为圆心嫦娥三号到达着陆点上方水平位移长度为半径的全曲线。在虹湾着陆区绘制该圆曲线如图所示。 + +虹湾着陆区在月球表面的投影为长356千米、宽91千米的矩形区域。因此根据大地坐标转换成高斯-克吕格坐标[5]的算法，将该平面上的点坐标转化为经纬坐标。转化公式如下： + +![](images/69a5aeb6929ac4b14cd2417ccce3ff7a835bd4cd7610a6d160d23739c1321aa8.jpg) +图2着陆区域示意图 + +$$ +\begin{array}{l} x = X + \frac {1}{2} N \sin B \cos B (\triangle L) ^ {2} \left[ 1 + \frac {1}{1 2} (\triangle L) ^ {2} \cos^ {2} B \times \left(5 - t ^ {2} + 9 \eta^ {2} + 4 \eta^ {4}\right) + \right. \tag {5.2} \\ \frac {1}{3 6 0} \left(\triangle L\right) ^ {4} \cos^ {4} B \times \left(6 1 - 5 8 t ^ {2} + t ^ {4}\right) ] \\ \end{array} +$$ + +$$ +y = N \cos B (\triangle L) \left[ 1 + \frac {1}{6} (\triangle L) ^ {2} \cos^ {2} B \times \left(1 - t ^ {2} + \eta^ {2}\right) + \frac {1}{1 2 0} (\triangle L) ^ {4} \times \cos^ {4} B \times \right. \tag {5.3} +$$ + +$$ +\left. \left(5 - 1 8 t ^ {2} + t ^ {4} - 1 4 \eta^ {2} - 5 8 \eta^ {2} t ^ {2}\right) \right] +$$ + +$$ +\begin{array}{l} X = a \left(1 - e ^ {2}\right) \left(C _ {1} B - \frac {1}{2} C _ {2} \sin 2 B + \frac {1}{4} C _ {3} \sin 4 B - \frac {1}{6} C _ {4} \sin 6 B + C _ {5} \sin 8 B\right) \tag {5.4} \\ N = \frac {a}{\sqrt {\triangle L - e ^ {2} \sin^ {2} B}} \\ C _ {1} = 1 + \frac {3}{4} e ^ {2} + \frac {4 5}{6 4} e ^ {4} + \frac {1 7 5}{2 5 6} e ^ {6} + \frac {1 1 0 2 5}{1 6 3 8 4} e ^ {8}; C _ {2} = \frac {3}{4} e ^ {2} + \frac {1 5}{1 6} e ^ {4} + \frac {5 2 5}{5 1 2} e ^ {6} + \frac {2 2 0 5}{2 4 0 8} e ^ {8}; \\ C _ {3} = \frac {4 5}{6 4} e ^ {4} + \frac {1 0 5}{2 5 6} e ^ {6} + \frac {2 2 0 5}{2 4 0 8} e ^ {8}; C _ {4} = \frac {3 5}{5 1 2} e ^ {6} + \frac {3 1 5}{2 4 0 8} e ^ {8}; \\ \end{array} +$$ + +式中，月球经纬度 $(\varphi, \lambda)$ 、中央经线 $L_{0}$ 单位均为弧度 $(rad)$ ； $X$ 是从赤道沿子午线到该点的一段弧长； $a$ 为椭球长半轴 $(m)$ ； $e$ 、 $e'$ 分别为地球参考椭球的第一、第二偏心率； $N$ 是该点的卯酉曲率半径； $\Delta L = L - L_{0}$ ； $t = \tan B$ ； $\eta^{2} = (e')^{2} \cos^{2} B$ ； $x$ 和 $y$ 是相对于本带原点的高斯平面坐标，单位为 $m$ 。 + +# （2）准备轨道近月点区域的确定 + +上文以确定了着陆点的范围，因此可以通过嫦娥三号的运动轨迹来确定准备着陆的空间区域。空间区域示意图如下： + +![](images/d02180530fb9029186085c87b5b7c4b59ca66190e8bd4b39908474366e4d4cf3.jpg) +图3 空间区域示意图 + +由于在着陆区域内接近着陆点的近月点有无数，由上文确定的嫦娥三号水平的位移 $s$ ，可以在月球上表面 $15000m$ 处确定确定准备轨道近月点区域，由此可以通过优化模型在该区域确定最后的近月点。 + +# （3）最优近月点的确定 + +① 坐标的转化 + +为了便于计算我们参考地心惯性坐标系与地球经纬坐标系，建立了月心惯性坐标系与月球经纬坐标系的转化公式。大地经纬坐标（纬度 $\varphi$ ，经度 $\lambda$ ）可以用地心直角坐标 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 系表示，其中直角坐标系原点位于月心； $Z$ 为极轴，向北为正； $X$ 轴穿过本初子午线赤道的交点； $Y$ 轴穿过赤道与东经 $90^{\circ}$ 的交点。由于月球并不是一个均匀的球体，为了使得坐标的转化更为精确，本文考虑椭球的偏心率，得到如下转化公式： + +设月球的长半轴为 $a$ , 短半轴为 $b$ + +$$ +X = (v + h) \cos \varphi \cos \lambda , Y = (v + h) \cos \varphi \sin \lambda , Z = \left[ \left(1 - e ^ {2}\right) v + h \right] \sin \varphi +$$ + +式中： $\nu$ 为纬度 $\varphi$ 处的卯酉圈经纬半径， $a / (1 - e^2 \sin^2 \varphi)^{0.5}$ ， $\varphi$ 和 $\lambda$ 分别为坐标的经度和纬度， $h$ 为相对月球面的高度， $c$ 为椭球第一偏心率， $e^2 = (a^2 - b^2) / a^2$ 。 + +(2)二维动力学模型的建立 + +，我们假设对于从近月点到预着陆点在一个平面内，如图建立极坐标系取月心 $o$ 为坐标原点， $oy$ 指向着陆转移轨道的近月点 $A$ ； $r$ 为探测器到月心的距离； $\theta$ 是 $oy$ 和 $or$ 的夹角； $\psi$ 为推力方向与垂线的夹角； $F$ 为制动的推力。 + +可得动力学模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \dot {r} = v \\ \dot {v} = \frac {F}{m} \sin \psi - \frac {\mu}{r ^ {2}} + r \omega^ {2} \\ \dot {\theta} = \omega \\ \dot {\omega} = - \frac {F}{m r} \cos \psi + \frac {2 v \omega}{r} \\ \dot {m} = - \frac {F}{C} \end{array} \right. \tag {5.5} +$$ + +![](images/2bad5c4e5f25388c40647a9ac592797d8140adcd930176ff41d75432d9add911.jpg) +图4 月心极坐标系 + +其中 $\nu$ 为 $or$ 方向上的速度， $\omega$ 为探测器围绕月心的角速度， $C$ 为制动发动机比冲。③初始条件的确定 + +探测器在近月点处开始软着陆，即近月点为系统初始点。根据近月点处飞行器的状态可知系统的初值为： + +$$ +r (0) = r _ {0}, \quad v (0) = 0, \quad \theta (0) = 0, \quad \omega (0) = \omega_ {0}, \quad m (0) = m _ {0} \tag {5.6} +$$ + +其中 $r_{0}$ 是月心到近月点的距离即 $r_{0} = R + 15km, m_{0}$ 为探测器初始质量 + +(4)终端状态的确定 + +假定终端时刻 $t_f$ 自由，考虑到软着陆的目的，系统终端状态应满足如下要求： + +$$ +r \left(t _ {f}\right) = r _ {f}, \quad 0 \leq v \left(t _ {f}\right) \leq v _ {f}, \quad \omega \left(t _ {f}\right) = 0 \tag {5.7} +$$ + +其中 $r_{f}$ 是月球半径, $\nu_{f}$ 为探测器到到达月球表面所允许的最大速度。此外, 整个软着陆过程还应有 $r\left(t_{f}\right) \geq r_{f}, t \in [0, t_{f}]$ + +(5)目标函数的确定 + +探测器的剩余质量 $J = m(0) - m\left(t_{f}\right) = m_{0} - m\left(t_{f}\right)$ + +(6) 基于燃料消耗的最优近月点选取模型 + +因此对于主制动阶段最优控制策略模型可以归纳如下：求解初始条件为（5.6）的系统的控制函数 $u = [F \psi]^T$ ，使 $\min J = m(0) - m(t_f) = m_0 - m(t_f)$ ，且满足终端约束（5.7） + +（4）近月点与远月点的速度大小确定 + +根据能量守恒、开普勒第二定律（面积定律），建立以下模型 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} r _ {1} v _ {1} = r _ {2} v _ {2} \\ \frac {1}{2} m v _ {1} ^ {2} + m g h = \frac {1}{2} m v _ {2} ^ {2} + m g H \end{array} \right. \tag {5.8} +$$ + +则近月点的速度，近月点的速度： + +$$ +v _ {1} = \sqrt {\frac {2 g (H - h) r _ {2} ^ {2}}{r _ {2} ^ {2} - r _ {1} ^ {2}}}, v _ {2} = \sqrt {\frac {2 g (H - h) r _ {1} ^ {2}}{r _ {2} ^ {2} - r _ {1} ^ {2}}} \tag {5.9} +$$ + +其中： $m$ 为卫星的质量， $h_1$ 为海拔高度， $h$ 近月点距月球表面的距离； $r_1 = h + r_0 + h_1$ ， $r_2 = H + r_0 + h_1$ ， $r_0$ 月球半径， $H$ 远月点距月球表面的距离， $g$ 月球重力加速度， $\nu_{1}$ 近月点的速度， $\nu_{2}$ 近月点的速度。 + +（5）近月点远月点几何关系 + +设近月点的坐标坐标为 $(x_0, y_0, z_0)$ ，则根据几何关系推导出远月点的坐标 $(x_0', y_0', z_0')$ ，为： + +$$ +\left(x _ {0} ^ {\prime}, y _ {0} ^ {\prime}, z _ {0} ^ {\prime}\right) = - \frac {a + c}{a - c} \left(x _ {0}, y _ {0}, z _ {0}\right) +$$ + +其中 $a$ 为椭圆轨道的长轴, $c$ 为焦点长. + +# 5.1.3 问题一模型的求解 + +（1）近月点速度的求解 + +由 $m_{0} = 2400 \mathrm{~kg}, R = 1737.013 \mathrm{~km}, r_{1} = R + 15 \mathrm{~km}, r_{2} = R + 100 \mathrm{~km}$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} r _ {1} v _ {1} = r _ {2} v _ {2} \\ \frac {1}{2} m v _ {1} ^ {2} + m g h = \frac {1}{2} m v _ {2} ^ {2} + m g H \end{array} \right. +$$ + +$$ +v _ {1} = \sqrt {\frac {2 g (H - h) r _ {2} ^ {2}}{r _ {2} ^ {2} - r _ {1} ^ {2}}} = 1 6 9 2 m / s +$$ + +(2) 嫣娥三号运动轨迹的确定 + +由简化的抛物线坐标，根据 $A$ 点初始状态 $A(0,15000)$ ， $\nu_{A} = 1692m / s$ ；根据 $B$ 点初始状态 $B(0,3000)$ ， $\nu_{B} = 57m / s$ ； + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} 2 g h = v _ {B y} \quad a _ {x} = \frac {v _ {A} - v _ {B x}}{t} \\ t = \frac {v _ {B y}}{g} \quad s = v _ {A} t - \frac {1}{2} a t ^ {2} \end{array} \right. +$$ + +将 $A 、 B$ 点状态带入求得 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} v _ {B y} = 1 9 7. 9 8 9 9 m / s \quad a _ {x} = 1 2. 3 0 8 5 m / s ^ {2} \\ t = 1 2 1. 2 1 8 3 s \quad s = 1 1. 4 4 3 k m \end{array} \right. +$$ + +(3) 准备轨道近月点区域的求解 + +通过抛物线平行移动的距离 $s$ 求得近月点区域在月球表面的投影范围，由此确定该范围为 $\left(p_{x}, p_{y}\right)$ 。 + +$$ +\left(p _ {x} = 5 8 4. 8 5 8 9 k m, p _ {y} = 3 1 9. 8 5 8 9 k m\right) +$$ + +已知月球的椭球长半轴 $a = 384339km$ ； $e = 1 / 963.7256$ ； $N = \frac{a}{(1 - e^2\sin^2\varphi)^{1/2}}$ 是该点的卵西曲率半径。再根据高斯-克吕格坐标转化算法算法： + +$$ +\begin{array}{l} x = X + \frac {1}{2} N \sin B \cos B (\triangle L) ^ {2} [ 1 + \frac {1}{1 2} (\triangle L) ^ {2} \cos^ {2} B \times (5 - t ^ {2} + 9 \eta^ {2} + 4 \eta^ {4}) + \\ \frac {1}{3 6 0} \left(\triangle L\right) ^ {4} \cos^ {4} B \times \left(6 1 - 5 8 t ^ {2} + t ^ {4}\right) ] \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} y = N \cos B (\triangle L) \left[ 1 + \frac {1}{6} (\triangle L) ^ {2} \cos^ {2} B \times \left(1 - t ^ {2} + \eta^ {2}\right) + \frac {1}{1 2 0} (\triangle L) ^ {4} \times \cos^ {4} B \times \right. \\ \left. \left(5 - 1 8 t ^ {2} + t ^ {4} - 1 4 \eta^ {2} - 5 8 \eta^ {2} t ^ {2}\right) \right] \\ \end{array} +$$ + +求准备轨道近月点范围为 + +$$ +\left(5 5. 3 0 ^ {\circ} W; 1 6. 5 6 ^ {\circ} w; 1 5 k m\right), \left(5 5. 3 0 ^ {\circ} N; 4 0. 5 0 ^ {\circ} N; 1 5 k m\right) +$$ + +（4）最优近月点的求解 + +运用参数化控制的方法，其主要思想是用若干个分段常值函数逼近最优解，将最优控制问题转化为参数优化问题。将动态的月球探测器软着陆燃料消耗最优控制问题转化成静态的参数优化问题，利用经典的参数优化算法即可求出登月飞行器的软着陆最优控制的一组逼近解。利用此算法，增加时间的分段个数 $p$ 重新进行优化。经过多次优化即可得到满意精度的最优解。具体求解算法步骤如下： + +step1 给出分点个数 $n_p$ ，约束变换技术中参数 $\varepsilon$ 和 $\tau$ ，选定序列[0,1]区间上的单调序列 $\{\xi_k^p\}_{k=0}^{n_p}$ ； + +step2任意选取一组参数 $\{\sigma_{F,j}^p\}_{i = 0}^{n_p}$ ， $\{\sigma_{\psi ,j}^p\}_{i = 1}^{n_p}$ 和 $\{\delta_{\psi ,j}^p\}_{i = 1}^{n_p}$ + +step3 将参数代入给定系统和终端状态约束与不等式约束，并求取指标函数关于参数的梯度 + +step4利用经典的优化算法更新 $\{\sigma_{F,j}^{p}\}_{i = 0}^{n_{p}}$ ， $\{\sigma_{\psi ,j}^{p}\}_{i = 1}^{n_{p}}$ 和 $\{\delta_{\psi ,j}^{p}\}_{i = 1}^{n_p}$ + +step5 判断更新后的参数是否满足终端状态约束和不等式约束，同时指标泛函的值是否满足要求；满足则程序退出，给出结果，否则转回步骤 step2。 + +给定参数 $\varepsilon = 0.01$ ， $\tau = 0.0025$ ， $n_p = 30$ ， $\zeta_k^p = \frac{k}{n_p}$ ， $k = 0,1,\dots n_p$ + +
地点经度纬度
近月点20.08°W30.1°N
远月点160.49°E22.45°S
+ +# 5.2 问题二模型建立与求解 + +# 5.2.1 问题二的分析 + +# (1) 解决思路 + +问题二要求，确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。为确定6个阶段的最优控制策略，在第一问确定了最优近月点的基础上。因此需要对各阶段轨道进行修正，使得嫦娥三号满足每个阶段在关键点所处的状态，并准确安全到达着陆点附近。 + +# (2)高程图信息的读取 + +表 1 距月面 ${2400}\mathrm{\;m}$ 处的数字高程图信息表 + +
1234567...
1102999896979796...
299989796979797...
398979696979898...
+ +![](images/8da864b6b552e8f2c67d7cbcc2d1d7626a045566f609ca3c140310f8c7e8e9e5.jpg) +图5 高程信息图 + +# 5.2.2 问题二模型的建立 + +# （1）三维动力学模型的建立 + +首先我们建立月心惯性坐标系 $oxyz$ 和月固坐标系 $ox_{L}y_{L}z_{L}$ + +![](images/c1bc1200b76421fb981f12fd80cf999f5ee26853b20c416f279ce690b5b3a1b8.jpg) +图6月心惯性坐标系 + +![](images/f189847775dec8703834746ab08aba05b2db14889298207ac4db3675ceb0a77c.jpg) + +在月固坐标系中探测器的动力学模型可表示如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \dot {x} _ {L} = V _ {x L} \quad \dot {V} _ {x L} = O F / m - g _ {x L} - 2 \omega_ {L} V _ {z L} \\ \dot {y} _ {L} = V _ {y L} \quad \dot {V} _ {y L} = P F / m - g _ {y L} \\ \dot {z} _ {L} = V _ {z L} \quad \dot {V} _ {z L} = Q F / m - g _ {z L} + 2 \omega_ {L} V _ {x L} \\ \dot {m} = - F _ {\text {t h r u s t}} / v _ {e} \end{array} \right. \tag {5.10} +$$ + +其中 $V_{xL}, V_{yL}$ 和 $V_{zL}$ 为探测器速度矢量在月固坐标系各轴上的投影， $g_{xL}, g_{yL}$ 和 $g_{zL}$ 为该高度月球重力加速度在月固坐标系各轴上的投影， $\omega_L$ 为月球自转角速度。 $F_{\text{thrust}}$ 是发动机的推力，单位是牛顿； $\nu_e$ 是以米/秒为单位的比冲； $\dot{m}$ 是单位时间燃料消耗的公斤数。 + +# （2）着陆准备轨道 + +由第一问近月点速度的计算模型，可以确定近点速度 $v_{A}$ 的表达式为 + +$$ +v _ {A} = \frac {b}{a - c} \cdot \sqrt {\frac {G M}{a}} +$$ + +# （3）主减速阶段 + +# ①初始条件确定 + +假设仅仅已知探测器在软着陆起始点到月心的距离 $r_{0}$ 和探测器初始质量 $m_{0}$ , 而软着陆起始点另两个空间位置信息角 $\alpha$ 与 $\beta$ 角的初始值与未知, 因而令 $\alpha_{0}$ 与 $\beta_{0}$ 为系统待定参数, 则系统初始状况可以表示为: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} x _ {L} (0) = r _ {0} \cos \alpha_ {0} \sin \beta_ {0} & v _ {x L} (0) = v _ {0} \cos \alpha_ {0} \sin \beta_ {0} \\ y _ {L} (0) = r _ {0} \cos \beta_ {0} & v _ {y L} \left(t _ {f}\right) = v _ {0} \sin \beta_ {0} \\ z _ {L} (0) = r _ {0} \sin \alpha_ {0} \cos \beta_ {0} & v _ {z L} \left(t _ {f}\right) = v _ {0} \sin \alpha_ {0} \cos \beta_ {0} \\ m (0) = m _ {0} & \end{array} \right. \tag {5.11} +$$ + +其中 $v_{0}$ 为探测器的初始速率 + +由于探测器是经过无动力下降的霍曼转移段来到软着陆初始点（亦即霍曼转椭圆轨道的近月点），因而初始速率 $\nu_{0}$ 可由下式给出 + +$$ +v _ {0} = \sqrt {\frac {2 \mu r _ {a}}{r _ {0} \left(r _ {a} + r _ {0}\right)}} \tag {5.12} +$$ + +其中 $r_0$ 为已知的远月点到月心的距离。 + +# (2)终端状态确定 + +假定终端时刻 $t_f$ 自由，探测器定点软着陆的主制动段结束点位置坐标信息 $(x_{Lf},y_{Lf},z_{Lf})$ 已知。主减速段将基本位于着陆点正上方 $3\mathrm{km}$ 处，此时探测器速度为 $57\mathrm{m / s}$ ，进入最终着陆段，因而系统(2-15)终端状态应当满足如下要求： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {L} \left(t _ {f}\right) = x _ {L f} \quad \sqrt {\nu_ {x L} \left(t _ {f}\right) ^ {2} + \nu_ {y L} \left(t _ {f}\right) ^ {2} + \nu_ {z L} \left(t _ {f}\right) ^ {2}} = 5 7 m / s \\ y _ {L} \left(t _ {f}\right) = y _ {L f} \quad h = \sqrt {x _ {L} ^ {2} + y _ {L} ^ {2} + z _ {L} ^ {2}} - r _ {f} \geq 0 \\ z _ {L} \left(t _ {f}\right) = 3 0 0 0 \end{array} \right. \tag {5.13} +$$ + +其中 $r_{f}$ 是主制动段结束点到月心距离，在本文等于月球半径再加上 $3km$ 。 + +# ③目标函数确定 + +探测器的剩余质量为 $J = m(0) - m\left(t_{f}\right) = m_{0} - m\left(t_{f}\right)$ + +# ④基于燃料的消耗最优控制策略模型 + +因此对于主制动阶段最优控制策略模型可以归纳如下: 求解初始条件下的三维动力学系统的控制函数 $u = \left[F \theta \psi\right]^{T}$ , 使 $\min J = m(0) - m\left(t_{f}\right) = m_{0} - m\left(t_{f}\right)$ , 且满足终端约束条件 + +# （3）快速调整 + +为使嫦娥三号进行快速的调整，使得水平速度变为 $0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，并且要达到距离月球表面 $r = R + 2400 \mathrm{~m}$ 的过程中嫦娥三号通过的路径最短。也即是 + +$$ +\min S _ {1} = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {f}} \left(v _ {x} + v _ {y} + v _ {z}\right) d t \tag {5.14} +$$ + +我们以着陆点上方 $(x, y, 2400)$ 作为预着陆点，求解系统的控制函数 $u_{2} = [F_{2} \theta_{2} \psi_{2}]^{T}$ ，使 $\min S_{1} = \int_{t_{0}}^{t_{f}} \left( v_{x} + v_{y} + v_{z} \right) dt$ ，且满足终端约束 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} x _ {L} \left(t _ {f}\right) = x _ {L c} & v _ {x L} \left(t _ {f}\right) = 0 \\ y _ {L} \left(t _ {f}\right) = y _ {L c} & v _ {y L} \left(t _ {f}\right) = v \\ z _ {L} \left(t _ {f}\right) = 2 4 0 0 & v _ {z L} \left(t _ {f}\right) = 0 \end{array} \right. \tag {5.15} +$$ + +（4）粗避障 + +①安全着陆区域确定 + +step1 最佳着陆区平面拟合 + +首先定义备选着陆区坐标系。由于着陆区域尺寸远小月球半径，所以可以将着陆区域近似为平面。将着陆区域原点定义为着陆区坐标系的原点， $x$ 轴正向指向正东， $y$ 轴正向指向正北， $z$ 轴与 $x$ ， $y$ 轴组成右手系。附件提供了离散的数据点的高程信息，每一个数据点视为一个网格点，在着陆区坐标心中可以用三维坐标 $\boldsymbol{x}_i = [x_i, y_i, z_i]^T$ 表示，每一个网格点周围的数据点可以用一系列坐标点表示 + +$$ +N = \left\{x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {m} \right\} +$$ + +随机选取地表高程图中 $N$ 个数据点中三个不共线的样本点 $\{x_{a}, x_{b}, x_{c}\}$ , 可以唯一确定平面 + +$$ +n \cdot x + d = 0 +$$ + +其中 $n$ 为着陆区平面的法向量 + +$$ +n = \left(x _ {b} - x _ {a}\right) \left(x _ {c} - x _ {a}\right) +$$ + +$d$ 为平面偏移量 + +$$ +d = - n \cdot x _ {a} +$$ + +利用上述计算得到的平面, 计算 $N$ 中其他数据点 $x_{j}$ 相对于该平面的残差值 + +$$ +r _ {j} = \left(n \cdot x _ {j} + d\right) ^ {2} +$$ + +从而可以得到残差 $r_{j}$ 的中值 $r_{M}$ + +经过次迭代计算，选取残差中值 $r_{M}$ 中最小的一项 $r_{med}$ ，所对应的最小中值平面参数 $\{n_{best}, d_{best}\}$ 。另外，标准偏差值定义为 + +$$ +\sigma_ {r} ^ {2} = [ 1. 4 8 2 6 (1 + \frac {5}{t - 3}) ] ^ {2} r _ {m e d} +$$ + +则 $x_{k}$ 属于内点。 + +利用得到的所有内点 $(x_{in},y_{in},z_{in})$ ，最佳着陆区平面方程为 + +$$ +a x + b y + c = z +$$ + +定义 $A = \begin{bmatrix} x_{i1} & y_{i1} & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{in} & y_{in} & 1 \end{bmatrix}$ ， $b = \begin{bmatrix} z_{i1}\\ \vdots \\ z_{in} \end{bmatrix}$ ， $X = \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ ，则最佳着陆平面参数可以通过最小二乘法拟合得到。 + +$$ +X = \left(A ^ {T} A\right) ^ {- 1} \left(A ^ {T} b\right) +$$ + +step2 着陆区域相对高程计算 + +通过数字高程信息与最佳着陆平面之间的相对高程信息，可以对着陆区内的地形进行分类，并计算各类地形所占的比例。对于着陆区域内的点 $x_{i} = \left[x_{i},y_{i},z_{i}\right]^{T}$ ，其对应的最佳着陆平面点为 $x_{i} = [x_{i},y_{i},\hat{z}_{i}]^{T}$ ，其中 $\hat{z}_i = ax_i + by_i + c$ ，相对高程为 $\Delta h_{i} = \left|z_{i} - \hat{z}_{i}\right|$ 。 + +step3 安全着陆区域的选取 + +安全着陆区选取，采用从着陆器中心开始顺时针螺旋前进搜索的方法，直至找到符合安全着陆要求的着陆区域为止 + +![](images/2c067b3b4b7aa3755d1591cf6863a85229c8b3adf2c8cda35eb04d869a393228.jpg) +图7 安全着陆区域 + +通过相对高程信息，可以将相对高程小于 $50\mathrm{m}$ 的区域设定为安全着陆区域。 + +# (2)着陆状态粗调整 + +我们将安全着陆区域的中心 $(x_{Lc},y_{Lc},100)$ 作为预着陆中心，求解系统(2-15)的控制函数 $u_{3} = [F_{3}\theta_{3}\psi_{3}]^{T}$ ，使 $\min J_2 = m(0) - m(t_f) = m_0 - m(t_f)$ ，且满足终端约束 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} x _ {L} \left(t _ {f}\right) = x _ {L c} & v _ {x L} \left(t _ {f}\right) = 0 \\ y _ {L} \left(t _ {f}\right) = y _ {L c} & v _ {y L} \left(t _ {f}\right) = 0 \\ z _ {L} \left(t _ {f}\right) = 1 0 0 & v _ {z L} \left(t _ {f}\right) = 0 \end{array} \right. \tag {5.16} +$$ + +# (3)悬停的定义 + +本文对航天器悬停的定义，是指通过对嫦娥三号进行控制，使嫦娥三号相对着陆点上方的位置始终保持不变，在着陆点上方的当地轨道坐标系 $T - xyz$ 中，嫦娥三号相对于着陆点上方仿佛是静止“悬停”于某个固定点上。其实质是，在悬停的过程中，在此坐标系内嫦娥三号相对于着陆点上方是静止不动的，相对位置不变，相对速度为零。 + +![](images/fd59126dce50925a54252986edbca2bb6b8b0a4d3af175cb6a8ab6591114215d.jpg) +图8 悬停的过程示意图 + +为了使得嫦娥三号 $C$ 与目标点相对静止，因此嫦娥三号 $C$ 应该与着陆点围绕同一轴线进行旋转，其轨道中心为 $O'$ ，显然嫦娥三号的运行轨道为非开普勒轨道，并且嫦娥三号 $C$ 的轨道平面与着陆点 $T$ 的轨道平面平行，两轨道之间的距离 $d$ 保持不变，记为： + +$$ +d = O _ {E} O ^ {\prime} = k \times \sin \beta +$$ + +由悬停定义知，嫦娥三号和着陆点的轨道平面法矢量方向重合且轨道角速度大小始终保持相等方可实现悬停飞行。令着陆点 $T$ 的运行速度为 $\nu_{T}$ ，嫦娥三号 $C$ 的速度表示 $\nu_{c}$ + +$$ +r _ {T} \times v _ {T} = r _ {C} ^ {\prime} \times v _ {1} ^ {\prime} +$$ + +$$ +\omega_ {T} = \omega_ {C} = \frac {v _ {T}}{r _ {T}} = \frac {v _ {C} ^ {\prime}}{r _ {C} ^ {\prime}} = \sqrt {\frac {\mu}{r _ {T} ^ {3}}} +$$ + +式中： $\mu$ 为月球引力常数。由于 $r_T \perp v_T$ 、 $r_C' \perp v_C'$ ，因此 $v_T$ 和 $v_C$ 矢量之间的夹角角应当等于 $\angle S'O_E T$ ，即： + +$$ +\varphi = \arccos \frac {v _ {T} \cdot v _ {C} ^ {\prime}}{v _ {T} v _ {C} ^ {\prime}} = \arctan \frac {k \cos \beta \cos \alpha}{r _ {T} + k \cos \beta \sin \alpha} \tag {5.17} +$$ + +如图2.7所示， $\varphi$ 以目标地心矢径方向为基准，顺时针为正逆时针为负。即 $\alpha \in \left[-90^{\circ}, 90^{\circ}\right]$ 时， $\varphi \geq 0$ ，否则 $\varphi < 0$ ，图中的 $\varphi$ 为正值。 + +嫦娥三号 $C$ 的轨道半径 $r_{C}$ 可以写为 + +$$ +r _ {C} ^ {\prime} = \sqrt {r _ {T} ^ {2} + (k \cos \beta) ^ {2} + 2 r _ {T} \cos \beta \cos \left(\frac {\pi}{2} \alpha\right)} \tag {5.18} +$$ + +则嫦娥三号 $C$ 的月心距可表示为： + +$$ +r _ {C} = \sqrt {\left(r _ {C} ^ {\prime}\right) ^ {2} + \left(k \sin \beta\right) ^ {2}} \tag {5.19} +$$ + +![](images/e69b21ca2aa28e3603816db46e5fdca5dba8e3177745b76a01cfd61d097a3c0b.jpg) +图9悬停的过程示意图 + +着陆点 $T$ 和嫦娥三号 $C$ 的受力分析如图所示。嫦娥三号 $C$ 本身受到月球的万有引力作用，其万有引力加速度为 $g_{C}$ ，嫦娥三号 $C$ 的向心加速度 $g_{C}^{\prime}$ 与 $r_{C}^{\prime}$ 方向相反。 $a_{r}$ 方向由 $C$ 指向月心 $O_{E}$ ， $SS^{\prime}O_{E}$ 平面内 $a_{r}$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 为 $a_{f}$ 的指向。嫦娥三号 $C$ 所需的控制加速度 $a$ 采用下式计算得到 + +$$ +a = g _ {c} ^ {\prime} - g _ {c} +$$ + +$g_{C}^{\prime}$ 和 $g_{C}$ 之间的夹角为 $\theta$ + +则任务器需要施加的径向、切向标称控制加速度 $a_{r}$ 、 $a_{f}$ 分别表示将为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} a _ {r} = g _ {C} ^ {\prime} \cos \theta - g _ {C} \quad g _ {C} = \frac {\mu}{r _ {S} ^ {2}} \\ a _ {f} = g _ {C} ^ {\prime} \sin \theta \quad g _ {C} ^ {\prime} = r _ {C} ^ {\prime} \omega_ {C} ^ {2} = r _ {C} ^ {\prime} \frac {\mu}{r _ {T} ^ {3}} \end{array} \right. \tag {5.20} +$$ + +# （5）精避障 + +# (1)区域最优点确定 + +通过粗避障阶段探测器已经确定了安全着陆区域，因此在该区域内探测器需要选择一个最优着陆点，对于该着陆点的选择应该考虑一下原则：1. 坡度必须小于一定的角度，以避免着陆器接触月面时发生倾覆；2. 突起的石块高度和凹坑陷入的深度都不能超过一定值，以避免磕碰和翻倒；3. 安全着陆区尽可能接近当前着陆器位置，以避免出现过多的推进剂消耗。 + +# step1 着陆点坡度计算 + +由于高程数据只能提供离散的数据点信息，需要通过网格点周围多个临近数据点计算得到网格点的坡度。 + +对于网格点 $x_{i}$ ，如果数据点 $x$ 满足 $\sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2} < \rho$ 则 $x$ 属于网格点 $x_{i}$ 的临近数据点，式中 $\rho$ 为指定的距离容限。 + +网格点 $x_{i}$ 的临近数据点可用集合 + +$$ +M = \{x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {l} \} +$$ + +表示，在集合 $M$ 中任取两个数据点 $x_{d}, x_{e}$ ，计算地理法向量 + +$$ +n _ {g} = (x _ {d} - x _ {i}) \times (x _ {e} - x _ {i}) +$$ + +网格点的坡度定义为最佳着陆区平面法向量 $n_{best}$ 与地理法向量 $n_g$ 之间的夹角 + +$$ +\alpha_ {i} = a \cos \left(n _ {\text {b e s t}} \cdot n _ {g} / \left\| n _ {\text {b e s t}} \right\| \left\| n _ {g} \right\|\right) +$$ + +最终将 $\alpha_{i}$ 的中值定义为该网格点的坡度值。 + +$$ +\alpha = \operatorname {M e d} \left(\alpha_ {i}\right) +$$ + +step2 着陆点相对高程计算 $\Delta h_{i} = \left|z_{i} - \hat{z}_{i}\right|$ + +step3 最优着陆点的选择 + +采用从着陆器中心开始顺时针螺旋前进搜索的方法，直至找到符合安全着陆要求的着陆点为止 + +将相对高程小于 $50 \mathrm{~m}$ , 并且坡度值小于 $2^{\circ}$ 的区域设定为安全着陆点 + +②着陆状态精调整 + +我们将安全着陆点 $(x_{Lb\text{es}}, y_{Lb\text{es}}) 30$ 作为预着陆中心，求解系统(2-15)的控制函数 $u_4 = [F_4 \theta_4 \psi]^T$ ，使 $\min J_4 = m(0) - m(t_f) = m_0 - m(t_f)$ ，且满足终端约束 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} x _ {L} \left(t _ {f}\right) = x _ {L b e s t} & v _ {x L} \left(t _ {f}\right) = 0 \\ y _ {L} \left(t _ {f}\right) = y _ {L b e s t} & v _ {y L} \left(t _ {f}\right) = v \\ z _ {L} \left(t _ {f}\right) = 3 0 & v _ {z L} \left(t _ {f}\right) = 0 \end{array} \right. \tag {5.22} +$$ + +（6）缓速下降 + +我们将安全着陆点 $(x_{Lb\text{es}}y_{Lb\text{es}}4$ 作为预着陆中心，求解系统的控制函数 $u_{5} = [F_{5}\theta_{5}\psi_{5}]^{T}$ ，使 $\min J = m(0) - m(t_f) = m_0 - m(t_f)$ ，且满足终端约束 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} x _ {L} \left(t _ {f}\right) = x _ {L b e s t} & v _ {x L} \left(t _ {f}\right) = 0 \\ y _ {L} \left(t _ {f}\right) = y _ {L b e s t} & v _ {y L} \left(t _ {f}\right) = 0 \\ z _ {L} \left(t _ {f}\right) = 4 & v _ {z L} \left(t _ {f}\right) = 0 \end{array} \right. \tag {5.23} +$$ + +# 5.2.3 问题二模型的求解 + +由于每个阶段都是求解已知初始条件的动力学模型系统的控制函数 $u = [F\theta \psi]^T$ ，使 $\min J = m(0) - m(t_f) = m_0 - m(t_f)$ ，且满足终端约束。因此我们在此仅将主减速阶段作为示范进行求解，其余阶段求解方法类似。 + +同样我们引入参数化控制的方法，利用参数化控制器和强化技术以及约束变换技术，问题转化为如下 + +给定系统 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} d x _ {L} / d s = v ^ {p} (s) \hat {v} _ {x L} & d \hat {v} _ {x L} / d s = v ^ {p} (s) \left(O F ^ {p} / m - g _ {x L} + 2 \omega_ {L} \hat {v} _ {z L}\right) \\ d y _ {L} / d s = v ^ {p} \hat {v} _ {y L} & d \hat {v} _ {y L} / d s = v ^ {p} \left(P F ^ {p} / m - g _ {y L}\right) \\ d \hat {z} _ {L} / d s = v ^ {p} \hat {v} _ {z L} & d \hat {v} _ {z L} / d s = - v ^ {p} F ^ {p} / v _ {e} \\ d t / d s = v ^ {p} \end{array} \right. \tag {5.24} +$$ + +及初始条件 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} x _ {L} (0) = r _ {0} \cos \alpha_ {0} \sin \beta_ {0} & \hat {v} _ {x L} (0) = v _ {0} \cos \alpha_ {0} \sin \beta_ {0} \\ y _ {L} (0) = r _ {0} \cos \beta_ {0} & \hat {v} _ {y L} \left(t _ {f}\right) = v _ {0} \sin \beta_ {0} \\ \hat {z} _ {L} (0) = r _ {0} \sin \alpha_ {0} \cos \beta_ {0} & \hat {v} _ {z L} \left(t _ {f}\right) = v _ {0} \sin \alpha_ {0} \cos \beta_ {0} \\ m (0) = m _ {0} & \end{array} \right. \tag {5.25} +$$ + +约束条件变为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} g _ {1} = x _ {L} (1) - x _ {L f} = 0 & g _ {4} = \int_ {0} ^ {1} v ^ {p} G _ {\varepsilon} d s + \tau \geq 0 \\ g _ {2} = y _ {L} (1) - y _ {L f} = 0 & g _ {5} = t (1) - t _ {f} = 0 \\ g _ {3} = \hat {z} _ {L} (1) - z _ {L f} = 0 \end{array} \right. \tag {5.26} +$$ + +其中 $L_{\varepsilon}(h) = \left\{ \begin{array}{ll}h, & if h\geq \varepsilon \\ (h - \varepsilon)^2\big{/}4\varepsilon ,if - \varepsilon < h < \varepsilon ;\\ 0, & if h\leq -\varepsilon \end{array} \right.$ $h(s) = h(t(s)) = \sqrt{x_L^2 + y_L^2 + z_L^2} -r_f$ + +控制器 + +$$ +u (s) = \left[ \begin{array}{l} \theta^ {p} (s) = \sum_ {i} ^ {n _ {p}} \sigma_ {\theta , i} ^ {p} \chi_ {[ \xi_ {i - 1} ^ {p}, \xi_ {i} ^ {p})} (s) \\ \psi^ {p} (s) = \sum_ {i} ^ {n _ {p}} \sigma_ {\psi , i} ^ {p} \chi_ {[ \xi_ {i - 1} ^ {p}, \xi_ {i} ^ {p})} (s) \\ F ^ {p} (s) = \sum_ {i} ^ {n _ {p}} \sigma_ {F, i} ^ {p} \chi_ {[ \xi_ {i - 1} ^ {p}, \xi_ {i} ^ {p})} (s) \\ v ^ {p} (s) = \sum_ {i} ^ {n _ {p}} \delta_ {i} ^ {p} \chi_ {[ \xi_ {i - 1} ^ {p}, \xi_ {i} ^ {p})} (s) \end{array} \right] \tag {5.27} +$$ + +给定系统以及含有系统参数的初始条件，选取适当的控制参数 $\{\sigma_{\theta ,i}^{p}\}_{i = 1}^{n_{p}}$ ， $\{\sigma_{\psi ,i}^{p}\}_{i = 1}^{n_{p}}$ 和 $\{\sigma_i^p\}_{i = 1}^{n_p}$ ， $\{\delta_i^p\}_{i = 1}^{n_p}$ 以及系统参数 $\alpha_0$ 与 $\beta_0$ ，最小化指标函数且满足约束 + +将动态的月球探测器软着陆燃料消耗最优控制问题转化成静态的参数优化问题，利用经典的参数优化算法即可求出登月飞行器的软着陆最优控制的一组逼近解。利用此算法，增加时间的分段个数 $p$ 重新进行优化。经过多次优化即可得到满意精度的最优解。 + +具体求解算法步骤如下： + +step1 给出分点个数 $n_p$ , 约束变换技术中参数 $\varepsilon$ 和 $\tau$ , 选定序列[0,1]区间上的单调序列 $\{\xi_k^p\}_{k=0}^{n_p}$ ; + +step2任意选取一组参数 $\{\sigma_{\theta ,i}^{p}\}_{i = 1}^{n_{p}}$ ， $\{\sigma_{\psi ,i}^{p}\}_{i = 1}^{n_{p}}$ 和 $\{\sigma_i^p\}_{i = 1}^{n_p}$ ， $\{\delta_i^p\}_{i = 1}^{n_p}$ 以及系统参数 $\alpha_0$ 和 $\beta_0$ + +step3 将参数代入给定系统和终端状态约束与不等式约束，并求取指标函数关于参数的梯度 + +step4 利用经典的优化算法更新 $\{\sigma_{\theta ,i}^{p}\}_{i = 1}^{n_{p}}$ ， $\{\sigma_{\psi ,i}^{p}\}_{i = 1}^{n_{p}}$ 和 $\{\sigma_i^p\}_{i = 1}^{n_p}$ ， $\{\delta_i^p\}_{i = 1}^{n_p}$ 以及系统参数 $\alpha_0$ 和 $\beta_0$ + +step5 判断更新后的参数是否满足终端状态约束和不等式约束，同时指标泛函的值是否满足要求；满足则程序退出，给出结果，否则转回步骤 step2。 + +求解结果 + +给定参数 $\varepsilon = 0.01$ ， $\tau = 0.0025$ ， $n_p = 30$ ， $\zeta_k^p = \frac{k}{n_p}$ ， $k = 0,1,\dots n_{p}$ ，最终利用本文的参数化控制得到主减速末时刻 $t_f = 450s$ ，下图分别为参数化控制所得的最优推力大小变化曲线和参数化控制所得的最优推力方向角变化曲线 + +![](images/c327e810d0dfec1c97794d011e7229c570b430b730ca4bc7b3e91be122924324.jpg) +图10最优推力变化曲线 + +![](images/5b3ba04dfbd77c28d6336a2d44a5623e2e23d7f232773d7b0772312f49340b3a.jpg) +图11 最优推力方向变化 + +![](images/f4c2d6ba2fc5801991129409873783757bb40908a92e11e2af30ae82b5e85424.jpg) +图12推力方向角 $\theta$ 变化曲线 + +![](images/9786726964456826d5ee1867f150d66d3772157e5bcfd2e5c4be02f573e2d074.jpg) +图13 质量变化曲线 + +![](images/907d05c3eead6c412d8e8b0265c277601476caf59436d42952bde2980e3f9610.jpg) +图14月球探测器主减速阶段的三维轨迹 + +# 5.2.2 问题二结果的分析及验证 + +同理我们可以求解出来粗避障和精避障阶段运动轨迹，并且我们还做出了为避障时的运动轨迹，从下图我们可以看出粗避障和精避障阶段确实是对探测器的运动轨迹产生了影响，即有效的避开了月面的障碍物，确保了探测器软着陆的安全性。 + +![](images/b5825a598a728d056a19ada8be41ddb2b1cac55aed3ec601ad99b7daeec26a24.jpg) +图15月球探测器粗避障阶段和精避障阶段的三维轨迹 + +![](images/672eba07b6a276ceb4c6fed46c0a6a2a037d326d4ae18df2fedc5100a38ba368.jpg) +图16 着陆轨道三维轨迹 + +# 5.3 问题三模型建立与求解 + +# 5.3.1 误差分析模型的分析 + +问题二要求，对于我们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。对于软着陆轨道而言，误差的来源主要有两部分一部分是系统误差（主要为力学模型误差），另一部分为入轨、测轨误差与轨道控制误差，由此导致了实际近月点在理想近月点坐标波动。 + +首先需要判断误差传播过程中，误差导致的偏移是否为同一数量级，否则不需要再判断。如果误差在同一数量级，则考虑当近月点坐标在一定误差范围内波动的时候，按照该模型计算出理想着陆点与实际着陆点的偏差。 + +# 5.3.2 误差分析模型的建立 + +# （1）误差偏移特性的确定 + +考虑该系统误差为力学模型系统的误差，设嫦娥三号轨道的力学模型为 + +$$ +\dot {T} = F \left(T _ {0}, t _ {0}; t\right) = F (T, t) \tag {5.28} +$$ + +式中： $T = (x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z})$ 为嫦娥三号的状态量，使用一阶泰勒级数将式（5.28）中的非线性函数展开成多项式 + +$$ +\Delta \dot {T} = \frac {\partial F}{\partial T (t _ {0})} \Delta T (t _ {0}) + o (T (t _ {0})) \tag {5.29} +$$ + +忽略高阶无穷小 $o\left(T\left(t_{0}\right)\right)$ , 对上式子积分可以得到误差传播的线性传播公式为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \Delta T (t) = A \left(t _ {0}, t\right) \Delta T \left(t _ {0}\right) \\ \dot {A} \left(t _ {0}, t\right) = \frac {\partial F}{\partial T} \end{array} \right. \tag {5.30} +$$ + +式中： $\Delta T(t_0)$ 和 $\Delta X(t)$ 表示初始时刻 $t_0$ 和其后某时刻 $t$ 嫩娥三号的实际状态量相对标称转移轨道偏移量； $A(t_0, t)$ 为状态转移矩阵，即本文中提到的误差传递矩阵。由此可确定初始误差 $\Delta T(t_0)$ 引起的最终误差 $\Delta T(t)$ 的变化。 + +对于嫦娥三号转移轨道，由于不同的量纲不具有可比性，因此本文均采用无量纲归一化单位，归一化量纲分别为 + +$$ +\begin{array}{l} [ P ] = m _ {m} + m _ {0}, \\ \left[ \begin{array}{c} Q \end{array} \right] = d, \\ \left[ R \right] = \left[ d ^ {3} / \left[ G \left(m _ {m} + m _ {c}\right) \right] \right] ^ {1 / 2} = 1 / \omega \\ \end{array} +$$ + +其中： $m_{m}$ 和 $m_{0}$ 分别为月球和嫦娥三号的质量， $d$ 为嫦娥三号到月球的平均距离， $\omega$ 为嫦娥三号与月球相对运动的角速度。将式中给出的状态量 $T = (x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z})^{T}$ 中的为位置分量和速度分量分别记为 $r = (x, y, z)^{T}$ 和 $\dot{r} = (\dot{x}, \dot{y}, \dot{z})^{T}$ ，则误差传播矩阵 $T$ 可以写成下面的形式： + +$$ +A _ {t _ {0}, t _ {0}} = \frac {\partial T (t)}{\partial T (t _ {0})} = \left( \begin{array}{l l} A _ {1} & A _ {2} \\ A _ {3} & A _ {4} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} \frac {\partial r (t)}{\partial r (t _ {0})} & \frac {\partial r (t)}{\partial \dot {r} (t)} \\ \frac {\partial \dot {r} (t)}{\partial r (t _ {0})} & \frac {\partial \dot {r} (t)}{\partial \dot {r} (t _ {0})} \end{array} \right) \tag {5.31} +$$ + +式中：4个矩阵都是 $3 \times 3$ 的矩阵，一般而言对于不同约束条件下的大推力转移轨道数量级大致相同，其数量级如下： + +$$ +\left(\begin{array}{l l}\frac {\partial r (t)}{\partial r (t _ {0})}&\frac {\partial r (t)}{\partial \dot {r} (t)}\\\frac {\partial \dot {r} (t)}{\partial r (t _ {0})}&\frac {\partial \dot {r} (t)}{\partial \dot {r} (t _ {0})}\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{l l}1 0 ^ {2}&1 0 ^ {0}\\1 0 ^ {4}&1 0 ^ {2}\end{array}\right) \tag {5.32} +$$ + +由该矩阵可以看出，相同量级的初始误差引起的位置偏移量比速度偏移量传播得要慢，而同样量级的初始误差，位置引起的偏移量比速度引起的偏移量传播要快(归一化单位。由此我们初步找到位置的偏移和速度偏移的特征。 + +# （2）近月点误差区域的设定 + +由上文可知，一般而言对于不同约束条件下的大推力转移轨道数量级大致相同，因此为验证模型区近月点存在误差情况下的处理能力，是否能够尽可能准确地到达着陆点，因此本文选择让近月点坐标的位置和方向在 $95\% \sim 105\%$ 波动。误差区域示意图如下： + +![](images/6ef7143fddbe261fe95c66db49bdaf6db3c6cebd4c8113b45b74f831eec412a4.jpg) +图17近月点误差区域 + +$$ +r _ {t _ {0}} = \left(x _ {t _ {0}}, y _ {t _ {0}}, z _ {t _ {0}}\right) ^ {T} = \left(x _ {0}, y _ {0}, z _ {0}\right) ^ {T} \times (100 \% \pm 5 \%) +$$ + +$$ +\dot {r} _ {t _ {0}} = \left(\dot {x} _ {t _ {0}}, \dot {y} _ {t _ {0}}, \dot {z} _ {t _ {0}}\right) ^ {T} = \left(\dot {x} _ {0}, \dot {y} _ {0}, \dot {z} _ {0}\right) ^ {T} \times \left(100 \% \pm 5 \%\right) +$$ + +式中： $\left(x_{t_0},y_{t_0},z_{t_0}\right)$ 为近月点坐标， $\left(\dot{x}_{t_0},\dot{y}_{t_0},\dot{z}_{t_0}\right)$ 为近月点速度 + +# （3）着陆点误差区域的求解 + +由问题二嫦娥三号优化控制模型 $F\left(T_{0}, t_{0}; t\right)$ 确定如下转移工程 + +$$ +F \left(T _ {t _ {0}}, t _ {0}\right)\rightarrow F \left(T _ {t _ {f}}, t _ {f}\right) +$$ + +$$ +\boldsymbol {r} _ {t _ {f}} = \left(x _ {t _ {f}}, y _ {t _ {f}}, z _ {t _ {f}}\right) ^ {T} +$$ + +$$ +\dot {r} _ {t _ {f}} = \left(\dot {x} _ {t _ {f}}, \dot {y} _ {t _ {f}}, \dot {z} _ {t _ {f}}\right) ^ {T} +$$ + +式中： $T = \left(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}\right)$ 为嫦娥三号的状态量， $\left(x_{t_f},y_{t_f},z_{t_f}\right)$ 为实际着陆点坐标， $\left(\dot{x}_{t_f},\dot{y}_{t_f},\dot{z}_{t_f}\right)$ 为实际着陆点速度。 + +# 5.3.3 误差分析模型的求解 + +运用问题二模型求解结果如下： + +
误差初值误差值相对误差
1%θ30.3032.221.39%
ψ181.80192.301.83%
F7676.007743.491.89%
2%θ30.6030.892.97%
ψ183.60189.483.27%
F7752.008154.882.30%
3%θ30.9032.623.73%
ψ185.40198.133.07%
F7828.007934.573.40%
4%θ31.2031.034.43%
ψ187.20198.775.43%
F7904.008148.627.22%
5%θ31.5033.245.81%
ψ189.00195.298.49%
F7980.008147.607.21%
+ +以最大推力为例，误差分析图如下： + +![](images/a4b42c77e332d55f39c9e9b1ba250626a0ffb188e6e02a34b5b5a1c4acbcda34.jpg) +图18 误差分析图 + +![](images/d180bf7d51ec1c5f0f3a3ac18187a3a35a9c8f1770ea0a2419103db4762f3d87.jpg) + +![](images/1ac9ec1c300c46ab55582672e6a61301008dedb68cf7b3a59f13924806eae6eb.jpg) + +由此可判断出在 $5 \%$ 误差设定范围内，模型有较好的自适应性，该模型准确可靠 + +# 5.3.4敏感分析模型的分析 + +对于模型敏感性的分析，由于在整个控制过程中存在很多参数，列如 $m_{0} 、 v_{e} 、 F_{\max}$ 嫁娥三号的尺寸等等，这里我们考虑当这些尺寸变化是是否对着陆点的变化有着明显的 + +
参数初值误差值相对误差
+ +影响。 + +# 5.3.5敏感分析模型的建立 + +对于问题二建立的三维动力学方程，我们用 $U, V$ 和 $U_{f}, V_{f}$ 分别表示探测器在当地水平方向当前时刻和终端时刻两个速度分量； $a_{H}$ 为当前时刻推力加速度的当地水平分量。因此我们易得推力方位角控制量 $\psi^{*}$ 和推力仰角控制量 $\theta^{*}$ 的表达式 + +$$ +\psi^ {*} = \psi_ {0} = \tan^ {- 1} \left(\left(V _ {f} - V\right) / \left(U _ {f} - U\right)\right) +$$ + +$$ +\theta^ {*} = \sin^ {- 1} \left[ \left(a _ {r} + \frac {\mu_ {m}}{r ^ {2}} - \frac {U ^ {2} + V ^ {2}}{r}\right) / a _ {F} \right] +$$ + +其中， $a_{F} = F / m$ ，为当前时刻的推力加速度 + +上两式表示的推力角制导律与初始位置和速度无关，并不能纠正由初始条件带来的偏差。而实际飞行中，初始位置和速度偏差的存在将对着陆点水平方向的位置精度产生较大的影响。因此，考虑在制动段下降之前，对于上两式推力角控制量的基础上分别引入前馈项，用于消除初始偏差对着陆精度的影响。 + +推力方位角 $\psi$ 和推力仰角 $\theta$ 分别控制当地水平面内横向和纵向的位置和速度。因此，根据初始位置和速度偏差的正负和大小，便可以给出两个控制量的前馈项。不妨将前馈项表示成如下形式： + +$$ +\Delta \psi (^ {\circ}) = K _ {y} \cdot \alpha_ {\text {e r r}} (^ {\circ}) + K _ {v} \cdot V _ {\text {e r r}} \quad \Delta \theta (^ {\circ}) = K _ {x} \cdot \beta_ {\text {e r r}} (^ {\circ}) + K _ {U} \cdot U _ {\text {e r r}} +$$ + +其中， $(\bullet)_{err} = (\bullet)_{do} - (\bullet)_{ro}$ ， $(\bullet)$ 分别表示 $\alpha$ ， $\beta$ ， $U$ ， $V$ ；下标 $(\bullet)_{do}$ 和 $(\bullet)_{ro}$ 分别表示理想和偏差情况下的初始变量； $K_x$ ， $K_y$ ， $K_V$ ，为推力角控制量的前馈项系数，可通过仿真得到； $U$ ， $V$ 分别是纵向和横向的速度分量； $\alpha$ ， $\beta$ 是与探测器位置有关的参数，以制动下降初始为起点，则探测器经过的纵向和横向的月面距离可表示为 + +$$ +L = R _ {m} \left(\beta - \beta_ {0}\right), \quad S = R _ {m} \left(\alpha - \alpha_ {0}\right) \sin \beta +$$ + +于是，综上，即可得到软着陆制动段的燃料次优解析+前馈制导律： + +$$ +\psi = \psi^ {*} + \Delta \psi , \theta = \theta^ {*} + \Delta \theta +$$ + +问题二中的模型中运用了以下参数： + +
参数意义符号
m0嫦娥三号的初始质量
Fmax发动机推力
νe比冲
+ +运动的轨迹与上述各参数的敏感性不同，我们考虑适当改变参数的大小，来观察是否对着陆点的位置有明显影响。 + +# 5.3.6敏感分析模型的求解 + +以 $m_{0} 、 v_{e} 、 F_{\max}$ 为参数, 运用问题二模型求解结果如下: + +
Fmaxθ30. 3435. 5616.67%
ψ180. 78178.561.11%
F1500.533800. 89153.33%
veθ51.6540.8420.92%
ψ265.05309.8116.89%
F2926.156620.20126.24%
m。θ30.7048.3157.37%
ψ231.85287.1023.83%
F2065.746419.71210.77%
+ +通过参数的调整，敏感性分析图如下： + +![](images/4987d0005abc6b44cd2e906decf7529e52126909826c8880316a8e20ebd73a6a.jpg) +图19 敏感度分析图 + +![](images/0b06e79406cc701e574360b9567723edce8a5faa35adb8d3e9925a5b507b6c52.jpg) + +![](images/a0426e1fd413c064c572931e8869f663b6da98523b8577e466193b60c4748350.jpg) + +有敏感分析图可知， $m_0$ 、 $\nu_e$ 、 $F_{\mathrm{max}}$ ，经过作发动机推力和角度图像发现 $m_0$ 、 $\nu_e$ 对模型的较为明显， $F_{\mathrm{max}}$ 在不低 4900N 时对模型对模型的影响不明显。 + +# 六、模型的评价与推广 + +# 6.1 模型的评价 + +# （1）模型的优点 + +本文最大的特色，第一问中，先通过简化的抛物线模型求解出备选的近月点范围，缩小了优化模型的搜索范围；第二问中，通过边缘检测和安全坡度筛选的方法对粗避障和精避障过程进行描述，较为准确的确定了安全着陆点；第三问中，以误差转移矩阵，验证了在不同条件下，误差所导致的影响在同一数量级，便于下文准确的误差分析。 + +# （2）模型的缺点 + +问题二目标函数的确定只考虑到使得燃料消耗最少，并未考虑时间的消耗，因此计算结果可能导致，嫦娥三号运行的时间过长。 + +问题二边缘检测模型，像素点的选择并未考虑嫦娥三号的尺寸，可以根据嫦娥三号的尺寸，选择整合后的最佳像素点区域。 + +# 6.2 模型的推广 + +本文研究了嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略，文中所建立的以燃料节省作为优化目标的动力学模型可以很好的选择探测器软着陆最优轨道，例如可以推广应用到火星探测的最优轨道选择。 + +# 七、参考文献 + +[1] 姜启源等. 数学模型（第四版）. 北京：高等教育出版社，2003年8月 +[2] 司守奎，孙玺箐. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2012. +[3] 单永正, 段广仁, 张烽. 月球精确定点软着陆轨道设计及初始点选取[J]. 宇航学报, 2009, 06:2099-2104. +[4]郗晓宁．月球探测器轨道动力学及其设计[D].中国科学院上海天文台，2000. +[5]于正湜, 朱圣英, 崔平远. 基于LIDAR的月球着陆区评估与选择方法[A]. 中国宇航学会深空探测技术专业委员会、飞行器动力学与控制教育部重点实验室、国家重点基础研究发展计划项目（深空973）办公室. 中国宇航学会深空探测技术专业委员会第九届学术年会论文集（上册）[C]. 中国宇航学会深空探测技术专业委员会、飞行器动力学与控制教育部重点实验室、国家重点基础研究发展计划项目（深空973）办公室:, 2012:8. +[6]张洪华, 梁俊, 黄翔宇, 赵宇, 王立, 关轶峰, 程铭, 李骥, 王鹏基, 于洁, 袁利. 婷娥三号自主避障软着陆控制技术[J]. 中国科学: 技术科学, 2014, 06:559-568. +[7]周杰, 刘付成, 张树瑜. 火星探测器地火转移轨道误差分析与控制策略研究 [A]. 中国宇航学会深空探测技术专业委员会. 中国宇航学会深空探测技术专业委员会第八届学术年会论文集（上篇）[C]. 中国宇航学会深空探测技术专业委员会:, 2011:11. +[8]刘建军．大地坐标转换成高斯-克吕格坐标的算法研究[A]．中国航海学会船舶机电与通信导航专业委员会.中国航海学会船舶机电与通信导航专业委员会2002年学术年会论文集（通信导航分册）[C].中国航海学会船舶机电与通信导航专业委员会:, 2002:3. +[9]王建伟, 李兴. 近日点和远日点速度的两种典型解法[J]. 物理教师, 2013, 06:58. +[10]王鹏基, 张熵, 曲广吉. 月球软着陆制动段飞行轨迹与制导律研究[J]. 飞行力学, 2007, 03:62-66。 + +# 八、附录 + +# 8.1附录清单 + +附录1：月球坐标系定义 + +附录2：读取高程图的Matlab程序 + +附录3：求解问题一的Matlab程序 + +附录4：求解问题二的Matlab程序 + +附录5：求解问题三的Matlab程序 + +![](images/04d89c830ae047a1ab5d4d6c6efdc23934059ad7a8c36f7631775db80b965278.jpg) + +![](images/a02c086c6cf7ebbc1460d36cbe5d145ca526c6a822629f534eb0598eb52dd778.jpg) + +如图所示，参考地心惯性坐标系[5]的定义，引入月心惯性坐标系[6] $xyz$ ，原点在月心，参考平面是月球赤道面， $ox$ 轴指向月球赤道相对于白道的升交点， $oy$ 轴指向月球自转角速度方向， $oz$ 轴按右手坐标系确定。再定义月固坐标系 $ox_{L}y_{L}z_{L}$ ，坐标原点同样在月心，以月球赤道面为参考平面， $ox_{L}$ 轴指向赤道面与起始子午面的交线方向， $oy_{L}$ 指向月球自转角速度方向， $oz_{L}$ 轴按右手坐标系确定。 + +$Ax_{l}y_{l}z_{l}$ 为原点在探测器质心的轨道坐标系， $Ay_{1}$ 指向从月心到着陆器的延伸线方向， $Ax_{1}$ 垂直 $Ay_{1}$ 指向运动方向， $Az_{1}$ 按右手坐标系确定。制动发动机推力 $F$ 的方向与探测器纵轴重合， $\theta$ 为 $F$ 与 $Ay_{1}$ 轴正向所成夹角， $\psi$ 为 $F$ 在 $x_{1}Az_{1}$ 平面上的投影与 $Ax_{1}$ 轴负向所成夹角。 $\beta$ 为 $Ay_{1}$ 与 $oy$ 所成夹角， $\alpha$ 为 $Ax_{1}$ 在 $xoz$ 平面上的投影与 $ox$ 轴正向所成夹角。 $\gamma$ 为由于月球自转而产生的月固坐标系相对惯性坐标系的转角，不妨假设初始时刻月固坐标系与惯性坐标系重合。 + +# 附录2：求解问题一的Matlab程序 + +(1)读图程序: + +A=double(imread('附件3距2400m处的数字高程图.tif')); + +```matlab +[m n]=size(A); +subplot(1,2,1); +[X Y]=meshgrid(1:m,1:n); +mesh(X,Y,A) +%% +B=double(imread('附件4') +[m n]=size(B); +subplot(1,2,2); +[X Y]=meshgrid(1:m,1:n); +mesh(X,Y,B) +``` + +```matlab +clear +clc +w0=pi/4; k1=0.1; k2=35; v=50; +syms t x y k g v0 sinwcosw; +X=dsolve('D2x=-Dx'; 'x(0)=0, +Dx(0)=v0*cosw'; 't'); +X=simplify(X) +``` + +```matlab +X=subs(X, cosw, cos(w0)); +X=subs(X, v0, v); +T=finverse(X); +T=subs(T' t' x); +Y=dsolve('D2y=-Dy-g' y(0)=0, Dy(0)=v0*sinw' 't'); +Y=subs(Y, t, T); +Y=simplify(Y); +Y=subs(Y;g;9.8); +Y=subs(Y;v0;v); +Y=subs(Y;sinw;sin(w0)); +Y=subs(Y;cosw;cos(w0)); +%% +V0=5; theta=pi/3; +A=v0*cos(theta); +b=v0*sin(theta); +g=9.8/6; +t=0:0.01:3; +x=a-a*exp(-t); +y=-exp(-t)*(g+b)-g*t+g+b; +plot(x, y); +grid +``` + +# 附录3：求解问题二的Matlab程序 + +# 边缘检测程序 + +```matlab +I=imread('附件3距2400m处的数字高程图.tif'); +BW22= edge(I,'Canny',0.4)；%edge调用Canny为检测算子判别阈值为0.4 +%figure, +imshow(BW22); +title('阈值为0.4的Canny算子边缘检测图像(2400m处)'); +%% +I=imread('附件4距月面100m处的数字高程图.tif'); +BW22= edge(I,'Canny',0.4)；%edge调用Canny为检测算子判别阈值为0.4 +figure,imshow(BW22); +title('阈值为0.4的Canny算子边缘检测图像（100m处）'); +``` + +阈值为0.4的Canny算子边缘检测图像(2400m处）阈值为0.4的Canny算子边缘检测图像（100m处） + +![](images/23fdece392f4db8aee91121d1e83f2d292eb514983b355dcfbab0d4fd8f5f8df.jpg) +图8.1 阈值为0.4的Canny算子边缘检测图像（2400m处） + +![](images/e00c6133aadc5022e5c6e9a9789689d003106b2f644bf43fb712d5542de7a824.jpg) +图8.2 阈值为0.4的Canny算子边缘检测图像（100m处） + +```matlab +function [x,y,z,vx,vy,vz] = rv_moon(a,e,incl,raan,argp,M) +mu_e = 4.902793455e3; % unit in km^3/s^2 +d2r = pi/180; +% transform to proper units +a = a; +incl = incl*d2r; +raan = raan*d2r; +argp = argp*d2r; +M = M*d2r; +EO = M; +for i=1:100 +MO = EO - e*sin(EO); +% check for convergence +error = M - MO; +if abs(error) < 1e-15 +E=E0; +break +end +% Newton iteration step +E = EO + error/(1 - e*cos(E0)); +EO = E; +end +``` + +%% + +temp = tan(E/2)/sqrt((1-e)/(1+e)); + +theta = atan(temp)*2; + +% orbital radius and velocity + +$\mathrm{r} = \mathrm{a}*(1 - \mathrm{e}^{\hat{2}}) / (1 + \mathrm{e}*\cos (\mathrm{theta}))$ + +v = sqrt(2 * mu_e / r - mu_e / a); + +% flight-path angle + +gamma = atan(e*sin(theta)/(1+e*cos(theta)); + +% compute position and velocity vector + +w = theta + argp; + +$\mathrm{x} = \mathrm{r}^{*}$ (cos(w)*cos(raan) - sin(w)*cos(incl)*sin(raan)); + +y = r* (cos(w) * sin(raan) + sin(w) * cos(incl) * cos(raan)); + +$\mathrm{z} = \mathrm{r}*$ (sin(w)*sin(incl)); + +$\mathrm{vx} = \mathrm{v} * (-\sin (\mathrm{w} - \mathrm{gamma}) * \cos (\mathrm{raan}) - \cos (\mathrm{w} - \mathrm{gamma}) * \cos (\mathrm{incl}) * \sin (\mathrm{raan}))$ + +$\mathrm{vy} = \mathrm{v} * (-\sin (\mathrm{w} - \mathrm{gamma}) * \sin (\mathrm{raan}) + \cos (\mathrm{w} - \mathrm{gamma}) * \cos (\mathrm{incl}) * \cos (\mathrm{raan}))$ + +$\mathrm{vz} = \mathrm{v}^{*}(\cos (\mathrm{w - gamma})^{*}\sin (\mathrm{incl}))$ + +fid = fopen(fname, 'r'); + +A = fscanf(fid, %13c*c*, 1); + +B = fscanf(fid, %d%6d%*c%5d%*3c%2d%f%f%5d%*c%*d%5d%*c%*d%5d', [1, 10]); + +C = fscanf(fid, %d%6d%f%f%f%f%f', [1,8]); + +fclose(fid); + +$\mathrm{satname = A}$ + +% The value of mu is for the earth + +$\mathrm{mu} = 3.986004415\mathrm{e}5$ + +% Calculate 2-digit year (Oh no!, look out for Y2K bug!) + +$\mathrm{yr} = \mathrm{B}(1,4)$ + +% Calculate epoch in julian days + +epoch $= \mathrm{B}(1,5)$ + +$\% \mathrm{ndot} = \mathrm{B}(1,6)$ + +$\% \mathrm{n2dot} = \mathrm{B}(1,7)$ + +% Assign variables to the orbital elements + +$\mathrm{i} = \mathrm{C}(1,3)*\mathrm{pi} / 180;$ %inclination + +$\mathrm{Om} = \mathrm{C}(1,4)*\mathrm{pi} / 180;$ %Right Ascension of the Ascending Node + +e = C(1, 5)/1e7; % Eccentricity + +om = C(1,6)*pi/180; % Argument of periapsis + +M = C(1, 7) * pi/180; % Mean anomaly + +n = C(1,8)*2*pi/(24*3600); % Mean motion + +% Calculate the semi-major axis + +a = (mu/n^2) ^ (1/3); + +% Calculate the eccentric anomaly using mean anomaly $\mathrm{E} =$ EofMe(M,e,1e-10); +% Calculate true anomaly from eccentric anomaly $\cos \mathrm{nu} = (\mathrm{e} - \cos(\mathrm{E})) / (\mathrm{e} * \cos(\mathrm{E}) - 1)$ ; + $\sin \mathrm{nu} = ((\mathrm{a} * \mathrm{sqrt}(1 - \mathrm{e} * \mathrm{e})) / (\mathrm{a} * (1 - \mathrm{e} * \cos(\mathrm{E}))) * \sin(\mathrm{E})$ ; + $\mathrm{nu} =$ atan2(sinnu,cosnu); +if $(\mathrm{nu} < 0)$ , $\mathrm{nu} = \mathrm{nu} + 2 * \mathrm{pi}$ ; end +% Return the orbital elements in a 1x6 matrix + $\mathrm{oe} = [\mathrm{a} * \mathrm{i} \, \mathrm{Om} \, \mathrm{om} \, \mathrm{nu}]$ ; \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2014/A377/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222.md" "b/MCM_CN/2014/A377/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f11351cda6b5b63775403867930eb2d09c91453d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2014/A377/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222/A11168020_\351\203\221\345\273\272\345\233\275_\351\231\266\347\246\271\350\257\272_\344\270\245\346\264\222\346\264\222.md" @@ -0,0 +1,1580 @@ +# 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A + +我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 11168020 + +所属学校（请填写完整的全名）： 中国计量学院 + +参赛队员 (打印并签名)：1. 郑建国 + +2. 陶禹诺 + +3. 严洒洒 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 数模组 + +(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致, 只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对, 提交后将不再允许做任何修改。如填写错误, 论文可能被取消评奖资格。) + +日期：2014年9月15日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
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+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 + +# 摘要 + +本文研究的是嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制策略问题，根据动力学相关原理，建立了嫦娥三号软着陆轨迹模型，以燃料消耗量最小为目标，得到软着陆过程中各阶段的最优控制策略。 + +针对问题1，首先确定通过嫦娥三号着陆准备轨道位于其着陆点所在经线与月心构成的平面内，然后对嫦娥三号在主减速段进行受力分析，以近月点在月球表面的投影点为原点，以着陆轨道参考系纵向平面为 $xoy$ 面，以初始飞行方向为 $\mathbf{x}$ 轴，以原点与近月点的连线方向为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，根据牛顿第二定律，建立嫦娥三号主减速段轨迹模型，以燃料消耗量最小为目标，通过轨迹离散化，逐步迭代求得该阶段的水平位移，再依据地理学经纬度计算规则，建立地表距离与经纬度转化模型，最终得到近月点在月球表面的投影位置为 $19.51^{\circ}W, 31.68^{\circ}N$ ，距离月球表面高度为 $15km$ ，远月点在月球表面的投影位置为 $160.49^{\circ}E, 31.68^{\circ}S$ ，距离月球表面高度为 $100km$ 。利用机械能守恒定理和开普勒第二定律，最终得到近月点与远月点速度的大小分别为为 $1.692km/s$ ， $1.614km/s$ 。 + +针对问题2，根据牛顿第二定律，以每个阶段初始点和终值点的状态为约束，以燃料消耗最小为目标，建立全局最优模型，通过轨迹离散化，逐步迭代求得每个阶段的水平位移，分别得到软着陆过程6个阶段着陆轨迹方程及其对应的最优控制策略；在粗避阶段和精避阶段，我们将所给数字高程图均分成9块，综合相对高程差与标准差定义平坦度指标来衡量每一块区域，从而选取最佳着陆点；在粗避阶段，分别从两种运动状态：其一是先把主减速发动机关闭，在进行一段时间匀加速直线运动后，再次打开发动机，进行减速直线运动，其二是整个阶段都进行匀速直线运动，以燃料消耗最小为目标，确定前者更优从而确定该阶段最优控制策略。 + +针对问题3，从改变近月点离月球表面的距离和主减速发动机提供的推力两个方面，对嫦娥三号在该段的水平位移、燃料消耗等参数进行灵敏度分析，发现近月点离月球表面的距离与该段的水平位移和燃料消耗呈线性正相关，发现主减速发动机提供的推力与该段的水平位移呈线性负相关，与该段的燃料消耗呈线性正相关。由于嫦娥三号在主减速段水平位移最大，选取该段从对近月点离月球表面的距离变化和主减速发动机提供的推力变化两个角度对模型进行局部阶段误差分析，通过计算每个阶段时间的相对误差对模型进行整体误差分析。 + +最后，对模型的优缺点进行评价，并提出改进的方向。 + +关键词：逐步迭代 最优控制 微分方程模型 + +# 一、问题的背景与重述 + +# 1.1 问题的背景 + +随着科学技术的进步和发展，了解太空、探索地球以外的物质，一直是人类不懈追求的目标。我国月球探测工程的展开，促进了我国航天技术的创新与发展。嫦娥三号成功登月，对提升中国大陆制造业整体水平和向高附加值产品转化有着积极的影响，因此，探究嫦娥三号软着陆轨道及其控制策略具有重大意义。 + +# 1.2 问题的重述 + +嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲为 $2940\mathrm{m / s}$ ，可以满足调整速度的控制要求。在其四周安装有姿态调整发动机，可自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。 + +嫦娥三号在高速飞行的情况下，其软着陆轨道设计的基本要求： + +(1)着陆准备轨道为近月点 $15 \mathrm{~km}$ , 远月点 $100 \mathrm{~km}$ 的椭圆形轨道; +(2)着陆轨道为从近月点至着陆点, 其软着陆过程共分为 6 个阶段, 要求满足每个阶段在关键点所处的状态; +(3)尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 + +根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题： + +（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置、嫦娥三号相应速度大小与方向。 +（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 +（3）对所设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 + +# 二、问题的分析 + +嫦娥三号从实施近月制动到成功着陆主要经历了环月轨道 $\rightarrow$ 椭圆轨道 $\rightarrow$ 着陆轨道三个变轨过程，从环月轨道下降到着陆点的过程，称为软着陆过程，其包括着陆准备轨道、主减速段、快速调整段、粗避障段、精避障段、缓速下降阶段六个阶段（如图2-1所示）： + +![](images/d775db953ae383e8f830b62c36ce820f022e4757fd40df866aa62309107388cc.jpg) +图2-1：嫦娥三号软着陆的六个阶段示意图 + +# 2.1名词分析 + +软着陆：指嫦娥三号以相对月球较小的速度着陆，速度一般为几米/每秒； + +比冲：火箭发动机单位质量推进剂产生的冲量，或单位流量的推进剂产生的推力； + +# 2.2 软着陆轨道设计与控制策略问题分析 + +针对问题1，首先对软着陆过程进行简化分析，可知主减速段终点已基本位于着陆点上方，其空间坐标在月面上投影即为着陆点坐标，仅考虑主减速段着陆过程，可利用主减速段终点逆推出近月点位置。因此，可取嫦娥三号处于主减速段终点时在月球表面的投影点作为原点，软着陆运动轨迹所在平面建立二维坐标系。结合动力学知识，建立最优主减速轨迹模型，并需满足主减速段燃料消耗最小，得到其着陆轨迹微分方程，利用仿真求解得到近月点坐标，运用地表距离与经纬度转化关系，最终得到近月点与远月点地理位置。结合开普勒第二定律和机械能守恒定律，建立两个相关等式，求得近月点、远月点处速度大小，基于最优主减速段轨迹模型求解结果，便可根据近月点运动方向与坐标轴夹角得到速度方向。 + +针对问题2，确定嫦娥三号着陆轨道及6个阶段的最优控制策略时，始终要满足燃料消耗最小原则。在问题1中已经对近月点及对主减速段的运动情况进行求解，近月点和主减速段终值点的位置、速度及发动机推力大小均已知，在此基础上，给定准备轨道、主减速段最优控制策略。快速调整段主要是对探测器姿态进行调整，采取与主减速同样的建模方法，得到该段质心动力学方程，在满足约束条件及阶段要求下给出具体最优控制策略。对于粗避障段，首先对其数字高程图进行划分，对每个区域的平坦程度进行分析，取最平坦区域作为着陆大致范围。同样需建立动力学模型对运动轨迹进行描述，考虑到可能存在匀速直线运动和先匀加速后又在恒定推力下减速至0两种情况，在可行情况下，选择燃料消耗最少的方案作为最优策略。 + +针对问题3，从改变近月点离月球表面的距离和主减速发动机提供的推力两个方面，对嫦娥三号在该段的水平位移、燃料消耗等参数进行灵敏度分析，进而求得近月点离月球表面的距离与该段的水平位移和燃料消耗之间的关系、主减速发动机提供的推力与该段的水平位移及该段的燃料消耗之间的关系；由于嫦娥三号在主减速段水平位移最大，选取该段从对近月点离月球表面的距离变化和主减速发动机提供的推力变化两个角度对模型进行局部阶段误差分析，通过计算每个阶段时间的相对误差对模型进行整体误差分析。 + +# 三、模型的假设 + +# 3.1 模型的假设 + +（1）假设月球引力场为垂直于月面的均匀引力场； +(2) 假设在几百秒范围内的下降时间里, 月球引力非球项、日月引力摄动和月球自转均可以忽略; +（3）假设只考虑惯性和引力作用下的稳定的椭圆运动状态，而对于“嫦娥三号”的变轨状态，情况过于复杂，不予以考虑； +（4）制动发动机的最大推力与初始质量之比大于月面引力加速度，并且制动推进系统能够在一定的初始条件下将探测器停于月面上。 + +# 四、符号说明 + +
符号表示含义单位
A点表示近月点
B点表示远月点
G表示万有引力引力常量N·m2/kg2
R表示卫星与其所环绕运行星球几何中心的距离m
r表示月球平均半径m
M表示月球的质量kg
m表示嫦娥三号的质量kg
RA表示嫦娥三号在近地点距离月球表面的距离m
RB表示嫦娥三号在远地点距离月球表面的距离m
vA表示嫦娥三号在近地点的运行速度大小m/s
vB表示嫦娥三号在远地点的运行速度大小m/s
g月表示月球上的重力加速度m/s2
F推表示主减速发动机产生的推力N
νe表示比冲m/s
h表示嫦娥三号着陆过程中的海拔高度m
ν表示嫦娥三号着陆过程中的合速度大小m/s
t表示嫦娥三号着陆过程中的所用时间s
x表示嫦娥三号向着陆点方向上的水平位移m
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 近月点与远月点的位置及速度 + +为使得软着陆过程易于理解，可将其六个阶段大致简化为如下三个阶段（如图5-1所示）： + +①霍曼转移段：根据预先选定的着陆位置，在环月轨道上进行变轨，转入一条椭圆过渡轨道； +②主减速段：起始点在椭圆过渡轨道的近月点，是一个全推力制动过程，这个阶段的主要任务在于消除探测器速度的水平分量； +③垂直下降段：在嫦娥三号水平速度减小为零后，调整姿态使其保持垂直向下软着陆到月面。 + +![](images/e6840c7c9ad3c0afd02b57b4a74b80f9adf6fe26fd763a295d5e008149000d0e.jpg) +图5-1：软着落过程主要变化阶段示意图 + +- 在主减速阶段制动发动机点火工作用以抵消初始速度,所带燃料的大部分将用于此阶段。所以设计主制动段的制导控制策略时,需满足如下条件: + +①在轨道终值点状态满足下一阶段要求的前提下，根据燃料消耗最小的原则进行设计。 +②主减速阶段后，嫦娥三号基本位于着陆点上方，即可认为主减速后嫦娥三号在月面上投影坐标与着陆点相同。 + +# 5.1.1 近月点和远月点位置模型 + +在虹湾着陆区内，嫦娥三号着陆点所在经线与月心共同确定了着陆准备轨道所在平面，即椭圆轨道位于该平面内。 + +设原点 $o$ 为嫦娥三号处于主减速段末位置时在月球表面的投影点，以着陆轨道参考系纵向平面为 $xoy$ 面，月心与近月点在月球表面投影点的连线方向为 $y$ 轴，取与近月点在月球表面投影点经度与着陆点经度相同，纬度大于着陆点的方向为 $x$ 轴，建立直角坐标系，嫦娥三号的着陆轨道位于此平面内。如图5-2所示： + +![](images/348ca9bc43335d697068b00c98dee1fdeb7f95172f18c0f201a56ce0585d3ae2.jpg) +图5-2：月球平面直角坐标系 + +# 1）主减速段最优控制模型 + +(1) 设计主减速段的控制策略时, 需根据燃料消耗最小原则进行设计, 为此, 定义燃料消耗的性能指标: + +$$ +\min \Delta m = \int_ {0} ^ {t} \dot {m} (t) \times d t \tag {1} +$$ + +其中， $\dot{m}$ 一为单位时间燃料消耗的公斤数； + +$\Delta m$ 一由燃料消耗所导致的嫦娥三号的减少质量。 + +由题可知比冲的关系式为: $F_{\text {推}} = \dot{m} v_{e} = v_{e} \frac{d m}{d t}$ (2) + +嫦娥三号在着陆过程中的质量变化： + +$$ +m = m _ {0} - \Delta m \tag {3} +$$ + +其中： $m$ ——嫦娥三号的质量（是时间 $t$ 的函数），在短时间内可视为常量； + +$m_{0}$ 一嫦娥三号初始质量。 + +② 基于以上嫦娥三号软着落过程主要变化阶段及着陆过程中的受力分析可知，其着陆方式符合重力转弯软着陆[1]的情况，即推力 $F_{\text{推}}$ 的方向与下降速度方向相反， $\alpha$ 为发动机推力方向在 $xoy$ 平面的投影与 $x$ 轴的夹角。 + +将推力 $F_{\text{推}}$ 沿 $\mathbf{x}$ 方向分解为 $F_{\text{推}} \cos \alpha$ ，沿 $\mathbf{y}$ 方向分解为 $F_{\text{推}} \sin \alpha$ ，根据牛顿第二定律可得： + +$$ +- F _ {\text {推}} \cos \alpha = m a _ {x} \tag {4} +$$ + +$$ +m g _ {\text {月}} - F _ {\text {推}} \sin \alpha = m a _ {y} \tag {5} +$$ + +其中， $g_{\text {月}}$ 一为月球表面的重力加速度。 + +将（2）式、（3）式联立后，分别代入（4）式和（5）式可得： + +$$ +a _ {x} = \frac {- F _ {\text {推}} \cos \alpha}{m _ {0} - \Delta m} \tag {6} +$$ + +$$ +a _ {y} = g _ {\text {月}} - \frac {F _ {\text {推}} \sin \alpha}{m _ {0} - \Delta m} \tag {7} +$$ + +利用（6）、（7）式结合加速度关于质点运动的微分方程，最终得到嫦娥三号软着陆主减速段轨迹的微分方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d ^ {2} x}{d t ^ {2}} = \frac {- F _ {\text {推}} \cos \alpha}{m _ {0} - \Delta m} \\ \frac {d ^ {2} y}{d t ^ {2}} = g _ {\text {月}} - \frac {F _ {\text {推}} \sin \alpha}{m _ {0} - \Delta m} \end{array} \right. \tag {8} +$$ + +其约束条件为: $\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0} = v_A$ , $\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0} = 0$ , $\left.\frac{ds}{dt}\right|_{t=t_1} = v_1$ 。 + +2）近月点和远月点位置坐标求解 + +由题可知，着陆准备轨道为近月点 $15\mathrm{km}$ ，远月点 $100\mathrm{km}$ 的椭圆轨道，则近月点的位置距月球表面距离为 $15\mathrm{km}$ ，远月点的位置距月球表面距离为 $100\mathrm{km}$ 。 + +由于（8）式微分方程不易求解析解，因而假设推力 $F_{\text{推}}$ 大小恒定，则可得： + +$$ +\Delta m = \int_ {0} ^ {t} \frac {F _ {\text {推}}}{v _ {e}} d t = \frac {F _ {\text {推}}}{v _ {e}} t \tag {9} +$$ + +将（8）、（9）式代入（7）式后，发现若要满足燃料消耗量最少，则当 $F_{\text{推}}$ 及 $\alpha$ 确定时，下落时间便易于求得，但由于初始 $\alpha$ 角度的不确定性，针对上述最优控制问题，首先把月球软着陆过程进行离散化，整个主减速运动时间等分割为 $N$ 段，假定每个小段近似为匀变速直线运动过程，可利用第 $k - 1$ 段的运动状态对第 $k$ 段的运动状态进行近似求解，以此步骤进行迭代递推，进而通过MATLAB软件对主减速段进行仿真迭代运算（程序详见附录1），多次试验 $\alpha$ 值后，发现当 $\alpha$ 的初始值为 $9.654^{\circ}$ 时，可令主减速末状态满足题目要求，此时 $F_{\text{推}} = 7500N$ ，求得下落时间为 $421.3s$ ，得到如下运动轨迹示意图： + +![](images/9df0f3fd1946cdba9cb786650e43cf275db8d26cad3c13d1e25f40ad90f6b325.jpg) +图5-3：主减速段嫦娥三号运动轨迹图 + +结合图5-3能够较为直观的观察主减速段运动轨迹，图中A点即为所求近月点位置，其水平方向上的位移为 $377095.38m$ 。 + +3）近月点在月球的投影经纬度计算 + +(1)由于绕月轨道所在平面包含预着陆点, 因此, 近月点、远月点与主减速段末位置均处于同一经线上, 经度同为 $19.51^{\circ} W$ ; +(2)由已知条件可知, 月球平均半径 $R = 1737.013 \mathrm{~km}$ , 圆周率为 $\pi$ 。 + +同一经线上, 纬度每变化一度对应的地表距离为: $\frac{\pi R}{180} = 30.317(km)$ ; + +由此可得， $a$ 点的纬度： $\varphi_{a} = \varphi_{b} - \frac{L_{SN}}{\pi R} \times 180 \approx \varphi_{b} - \frac{L_{x}}{\pi R} \times 180$ 。 + +其中： $a$ 点一卫星在近月点处，沿着 Z 轴方向投影至月球表面的地点； + +$b$ 点一卫星预着陆点所在的月球表面上空 3000 米； + +$L_{x}$ 一在 $x$ 轴方向上的飞行距离，此处为377095.38米； + +$L_{SN} - A$ 地和 $B$ 地之间的在南北方向上的地表距离； + +$\varphi$ 一纬度值, 此处纬度为 $19.51^{\circ} W$ ; + +基于以上经纬度转化公式，最终得到： $\varphi_{a} = 31.68^{\circ}N$ 。 + +综上所述，近月点在月球表面的投影点处位置为 $(19.51^{\circ}W, 31.86^{\circ}N)$ ，高度 15000 米，根据近月点、远月点经纬度对称原则，远月点在月球表面的投影点处位置为 $(160.49^{\circ}E, 31.68^{\circ}S)$ ，高度 100000 米。 + +# 5.1.2 近月点和远月点的速度求解[1] + +# 1）速度大小 + +设月球平均半径为 $r$ ，万有引力引力常量为 $G$ ，月球质量为 $M$ ，嫦娥三号在近月点距离月球表面的距离为 $R_A$ ，嫦娥三号在远月点距离月球表面的距离 $R_B$ 。 + +(1)由于嫦娥三号在运动过程中只受万有引力作用, 所以遵循机械能守恒定律。 + +从远日点运动到近日点的过程中，根据机械能守恒定律得： + +$$ +\frac {1}{2} m v _ {A} ^ {2} - \frac {G M m}{R _ {A} + r} = \frac {1}{2} m v _ {B} ^ {2} - \frac {G M m}{R _ {B} + r} \tag {10} +$$ + +(2)根据开普勒第二定律及引出的推论可知, 其不仅适用绕太阳运转的所有行星, 还适用于卫星沿椭圆轨道运行的情况。为此, 由开普勒第二定律可得: + +$$ +\frac {1}{2} \left(R _ {A} + r\right) v _ {A} \Delta t = \frac {1}{2} \left(R _ {B} + r\right) v _ {B} \Delta t \tag {11} +$$ + +将（2）式与（1）式联立可得： + +$$ +v _ {A} = \sqrt {\frac {2 (R _ {B} + r) G M}{(R _ {A} + r) (R _ {A} + R _ {B} + 2 r)}} \tag {12} +$$ + +$$ +v _ {B} = \sqrt {\frac {2 (R _ {A} + r) G M}{(R _ {B} + r) (R _ {A} + R _ {B} + 2 r)}} \tag {13} +$$ + +其中， $r = 1737.013 \times 10^{3}m$ ， $G = 6.67 \times 10^{-11}N \cdot m^{2} / kg^{2}$ ， $M = 7.3477 \times 10^{22}kg$ ， $R_{A} = 15 \times 10^{3}m$ ， $R_{B} = 100 \times 10^{3}m$ 。 + +综上求得: 近月点速度大小 $v_{A} = 1692 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 远月点速度大小 $v_{B} = 1614 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ + +# 2）速度方向 + +由最优主减速轨迹模型的求解结果可知，近月点速度方向与 $x$ 轴正方向成 $9.654^{\circ}$ 且切于近月点所在经纬度。可以容易推断远月点速度方向与 $x$ 轴负方向成 $9.654^{\circ}$ ，且切于远月点所在经纬度。 + +# $\bullet$ 综上所述： + +近月点位置为 $19.51^{\circ} W, 31.68^{\circ} N$ , 海拔高度为 $15000 m$ , 速度为 $1692 m / s$ , 与 $x$ 轴正方向成 $9.654^{\circ}$ , 且切于近月点所在经纬度。 + +远月点位置为 $19.51^{\circ} E, 31.68^{\circ} S$ , 海拔高度为 $100000 m$ , 速度为 $1614 m / s$ , 与 $x$ 轴负方向成 $9.654^{\circ}$ , 且切于远月点所在经纬度。 + +# 5.2 不同阶段着陆轨道及最优控制方案 + +# 5.2.1 着陆准备轨道段 + +嫦娥三号在着陆准备轨道上绕月球做椭圆运动，当且仅当其处于近月点时，恰好刚刚进入着陆轨迹。基于问题1中最优主减速轨迹模型求解结果可知，在该模型坐标系下，以最小燃料消耗为目标，嫦娥三号在近月点处的飞行状态如下表所示： + +表 5-1: 婚娥三号在近月点处飞行状态数据表 + +
推力方向速度大小速度方向位置坐标
vA的反向1692m/s切于A点且α=9.654°19.51°W 31.68°N
+ +根据5-1相应数据，对嫦娥三号的着陆轨道初始点位置进行选定，其着陆准备轨道必然在近月点与远月点经纬度及着陆点位置三点所构成的平面之内，且由已知条件近月点海拔15千米、远月点海拔100千米和月球形状扁率1/963.7256，可以完全确定着陆准备的椭圆轨道，在该轨道近月点处，按照表中飞行状态数据作为最优控制策略，对嫦娥三号进行控制。 + +# 5.2.2 主减速段最优轨迹控制模型——模型1 + +# 1. 模型的建立 + +1）根据问题 1 所建最优主减速轨迹模型，得到如（8）式嫦娥三号软着陆主减速段轨迹的质心动力学方程。 + +# 2）约束条件： + +①边值约束条件： + +初始约束: $y \big|_{t=0} = h_1, \left. \frac{dx}{dt} \right|_{t=0} = v_A, \left. \frac{dy}{dt} \right|_{t=0} = 0$ + +终值约束： $y\big|_{t = t_1} = h_2$ ， $\frac{ds}{dt} = v_1$ + +其中： $h_1$ 一为嫦娥三号在主减速阶段初始点的高度； + +$h_{2}$ 一为嫦娥三号在主减速阶段终值点的高度； + +$\nu_{1}$ 一表示嫦娥三号在主减速阶段终值点的速度； + +$t_{1}$ 一表示嫦娥三号在主减速段下落时间。 + +(2)过程约束条件: + +嫦娥三号在整个软着陆过程中，某些参数应当满足一定的实际约束： + +控制约束： $0\leq F_{\text{推}}(t)\leq F_{\max}$ + +高度约束: $h(t) \geq r$ + +质量约束: $m_{\text {net}} \leq m(t) \leq m_{0}$ + +其中： $F_{\mathrm{max}}$ 一为发动机的推力上限； $r$ —为月球半径； $m_{\mathrm{net}}$ 一嫦娥三号净质量。 + +3）燃料消耗最小原则： $\Delta m = \int_{0}^{t_1}\frac{F_{\text{推}}}{v_e} dt$ 最小。 + +# 2. 模型的求解： + +最终求解结果，即为问题1中最优主减速轨迹模型求解结果，主减速段着陆轨道见图5-3，最优控制策略则为： + +表 5-2：主减速段最优控制策略 + +
推力大小推力方向燃料消耗量运动时间水平位移末速度
7500Nv的反向1075kg421.3s377095.3m57.15m/s
+ +# 5.2.3 快速调整段最优轨迹控制模型——模型2 + +# 1. 模型的建立： + +1）采取模型1同样的建模方法，同理可得嫦娥三号快速调整段质心动力学方程： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d ^ {2} x}{d t ^ {2}} = \frac {- F _ {\text {推}} \cos \alpha}{m _ {1} - \Delta m} \\ \frac {d ^ {2} y}{d t ^ {2}} = g _ {\text {月}} - \frac {F _ {\text {推}} \sin \alpha}{m _ {1} - \Delta m} \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +其中: $m_{1}$ 一为主减速段终值点嫦娥三号的质量 + +$\alpha_{1}$ 一为主减速段终值点嫦娥三号速度方向与 $x$ 轴的夹角 + +# 2）约束条件： + +(1)边值约束条件: + +初始约束： $y \big|_{t = t_1} = h_2, \quad x \big|_{t = t_1} = x_1, \quad \left. \frac{dx}{dt} \right|_{t = t_1} = v_{x1}, \quad \left. \frac{dy}{dt} \right|_{t = t_1} = v_{y1}, \quad \alpha \big|_{t = t_1} = \alpha_1$ + +终值约束： $\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t = t_1 + t_2} = 0$ ， $\alpha \big|_{t = t_1 + t_2} = 90^\circ$ ， $y\big|_{t = t_1 + t_2} = h_3$ + +其中： $h_3$ 一为嫦娥三号在快速调整段终值点的高度 + +$t_{2}$ 一表示嫦娥三号在快速调整段下落时间 + +$x_{1}$ 一表示嫦娥三号在快速调整段向 $x$ 轴方向上的水平位移 + +$v_{x1}$ 、 $v_{y1}$ —分别表示嫦娥三号在主减速阶段终值点的速度在 $\mathrm{x}$ 轴和 $\mathrm{y}$ 轴的分量 + +(2) 过程约束条件: 在整个软着陆过程约束条件均保持一致, 即与模型 1 相同。 + +3）燃料消耗最小原则： $\Delta m = \int_{t_1}^{t_1 + t_2}\frac{F_{\text{推}}}{v_e} dt$ 最小 + +# 2. 模型求解： + +基于模型1相同的求解方法，运用仿真迭代运算，由于初始角度 $\alpha \big|_{t = t_1} = \alpha_1$ 现已确定，通过改变推力 $F_{\text{推}}$ 的大小，观察燃料消耗量 $\Delta m$ 的变化，利用MATLAB软件（程序详见附录2)，得到快速调整段推力 $F_{\text{推}}$ 与各相关变量的关系图如下： + +![](images/28e5007ccd7f6f2f1ffd8723cfcb32853f6a335bccfb448671e5f82e5ec5b843.jpg) + +![](images/ffcfa4fbabe4f41ebfbf6e837bffaa87e4fdeabd591b9019f6ef0f3a8284925f.jpg) + +![](images/5ff9606552d34f67e511c3b54c8a51265ca2398801f874339625c15d01441370.jpg) +图 5-4: 快速调整段推力与各变量关系图 + +![](images/c66723b39f461391ba8c99dec09aa274c6c44a810f4fe3c65152aca38d59ad18.jpg) + +由题可知，在快速调整段需满足水平末速度为0，发动机推力方向向下的条件，观察图5-4中推力与水平末速度趋势图可以发现，推力至少要大于 $5000N$ 才能够保证水平末速度为0，而推力大致在 $5000N\sim 6000N$ 之间时，燃油消耗量成明显快速上升趋势，此推力阶段，下落时间变化也与燃料消耗趋势基本一致，水平位移变化量也近似最大。 + +基于变化趋势的大致分析能够确定在 $4500N \sim 5500N$ 之间将存在一个最小推力，使得水平末速度恰好为 0，此时燃料消耗量即为最小值，现利用燃料消耗最小原则，利用 MATLAB 软件对 $F_{\text{推}}$ 进行具体数值确定（程序详见附录 2）： + +表 5-3：发动机推力与各变量之间的数值变化 + +
推力值燃料消耗量末速度水平末速度运行时间水平位移
450025.8723.936.9716.9307.19
450125.8723.926.9616.9307.14
..................
508140.441.310.0623.4289.20
508240.790.840.0223.6289.13
508342.190.54024.4289.06
508444.790.20025.9289.00
..................
5500925.831.170.00494.9262.07
5501929.371.130.00496.7262.08
+ +- 由表中数据可知, 当推力值为 $5083 \mathrm{~N}$ 时, 水平末速度首次达到 $0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 此时燃料消耗量为 $42.19 \mathrm{~kg}$ , 末状态合速度大小为 $0.554 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 水平位移 $289.06 \mathrm{~m}$ , 此阶段运行时间为 $24.4 \mathrm{~s}$ , 且在重力转弯软着陆情况下, 主减速发动机产生的可调节推力方向始终与 + +合速度方向相反。 + +根据以上轨迹动力方程及所求合理变量数值，利用MATLAB软件画出快速调整阶段的运动轨迹图（程序详见附录2）： + +![](images/536a19536b6606480f076f752128b97f5318f045f34bddec3a4dac091d82eb89.jpg) +图5-5：快速调整段着陆轨迹图 + +根据快速调整段运动轨迹特征及最优控制条件下嫦娥三号的运动状态，则可确定快速调整段最优控制策略为： + +表 5-4: 快速调整段最优控制策略 + +
推力大小(N)燃料消耗(kg)运动时间(s)水平位移(m)末速度(m/s)
508342.1924.4289.060.554
+ +# 5.2.4 粗避障段最优轨迹控制模型——模型3 + +# 1. 距月球表面 2400 米处高程图分析 + +①由于粗避障阶段主要是对大致着陆方位进行初步确定，所以可将原始图片分割成九块小区域，以便于嫦娥三号进一步缩小着陆范围，分割区域及编号如下图所示： + +![](images/e62bb6081acc25712ab3cb0f0e8ee576875b3e5f15e32689cbb634e2a6085a84.jpg) +图5-6：距月面2400米处高程图区域划分 + +(2)为衡量各区域高程差相对于整体区域的分布情况, 定义相对高程差作为评价指标: + +该区域高程均值-总体高程均值相对高程=总体高程均值 + +(3)嫦娥三号对着陆区域的筛选目的是为了避开大的陨石坑，而对于陨石坑存在与否的判定，主要是通过所拍照片的各区域高程差的大小来反映，因此，需利用 MATLAB 软件来计算每一块区域关于高程差的相关统计量（程序详见附录 3）： + +表 5-5: 高程差不同区域的相关统计量 + +
区域序号123456789
均值117.67117.7694.1396.39106.08115.3392.69108.8495.87
极差158.00218.0060.0076.00110.00173.0075.00126.0076.00
标准差30.3945.495.6310.1220.1237.478.8824.5911.37
相对高程0.1210.1220.1030.0820.0110.0990.1170.0370.087
+ +针对以上相关统计量的结果进行分析： + +i. 均值能够反应各个区域平均的高程差情况，但是对于凹凸差异较大的区域而言，不能够作为月面情况的描述指标； +ii. 极差能够直观反映出各区域陨石坑凹凸高度变化范围，但是不能对区域整体平滑程度做出判断。 + +iii. 标准差刻画的是高程波动情况，即该区域高程值的波动； + +iv.相对高程刻画的是高程的平均程度。 + +后两个指标都能很好描述该区域是否适合着陆。 + +④由于这两个指标本身表征的含义不具有统一性，但对比标准统一，都是为了反映各区域高程的整体情况，因此，需把这两个指标进行归一化，采取线性加权的方式，综合成一个平坦度指标。且平坦度越小，就越适合作为着陆点。 + +※归一化模型： + +$$ +n _ {i} ^ {*} = \frac {n _ {i} - n _ {\min}}{n _ {\max} - n _ {\min}} +$$ + +其中： $n_{i}$ 、 $n_{i}^{*}$ ——分别表示数据归一化前后的值 + +$n_{\max}, n_{\min}$ 一分别表示样本数据中的最小、最大值。 + +经过归一化处理之后，得到如下结果： + +表 5-6: 粗避障段归一化处理后各指标的数值 + +
区域序号123456789
标准差0.621.000.000.110.360.800.080.480.14
相对高程0.991.000.830.640.000.790.960.240.68
平坦度1.612.000.830.750.361.591.040.710.82
+ +- 由表中平坦度大小可知，区域5的平坦度最小，则表明区域5最适合最为着陆点所在范围。因此，取区域5的中心位置作为粗避障段终值点坐标，由题中所给附件3可知，区域5中心点位置坐标为（1150,1150），与整个区域中心点重合，因此，粗避障阶段总的水平位移为0。区域5具体等高线信息如下图所示： + +![](images/0eb6e3e506f39ae3defc52d6170f0e7ef468cdbb28a3efca950c8ad1cecf0bd0.jpg) +距月面2400m处的等高线图 + +![](images/a35ad34cd62fe4bdc260eaffed4845934b9db7b0662d55c42a3aef546a026b63.jpg) +5号区域等高线图 + +# 2. 模型建立： + +1）嫦娥三号在粗避障段受力分析 + +![](images/4f3b9c9f3a55a27b290dc97ebee54d07d47d929b8eb255bcb24d6225f29b91e4.jpg) +图7：区域5具体等高线示图 +图5-8：嫦娥三号在粗避障段受力情况 + +根据嫦娥三号在粗避障段的受力分析可知，在发动机推力对嫦娥三号的作用方式存在两种可能粗避障段软着陆方案： + +方案1：嫦娥三号始终受到推力作用，一直做匀速直线运动，在距月面100米高度处速度瞬间变为0，满足悬停状态要求。 + +方案2：嫦娥三号先在一段时间内做匀加速直线运动，然后再受到推力作用，使得在粗避障段终值点处合速度为0，悬停于目标上方。 + +2）采取模型1同样的建模方法，同理可得嫦娥三号粗避障段质心动力学方程如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d ^ {2} x}{d t ^ {2}} = \frac {- F _ {\text {推}} \cos \alpha}{m _ {2} - \Delta m} \\ \frac {d ^ {2} y}{d t ^ {2}} = g _ {\text {月}} - \frac {F _ {\text {推}} \sin \alpha}{m _ {2} - \Delta m} \end{array} \right. \tag {15} +$$ + +其中: $m_{2}$ 一为快速调整段结束后嫦娥三号的质量 + +$x_{2}$ 为嫦娥三号在快速调整段水平方向的位移 + +$h_{4}$ 一为嫦娥三号在粗避障段终值点的高度 + +$v_{y2}$ 一为快速调整阶段结束后嫦娥三号在 $\mathrm{y}$ 轴方向的速度 + +- 由于在粗避障段初始点时, 要满足发动机推力方向向下, 即初始角度 $\alpha \big|_{t = t_{1} + t_{2}} = 90^{\circ}$ ,因此, 可以针对 (15) 式模型进行简化, 简化模型如下: + +$$ +\frac {d ^ {2} y}{d t ^ {2}} = g _ {\text {月}} - \frac {F _ {\text {推}}}{m _ {2} - \Delta m} \tag {16} +$$ + +# 3）约束条件： + +(1)边值约束条件: + +初始约束： $y\big|_{t = t_1 + t_2} = h_3$ ， $\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t = t_1 + t_2} = v_{y2}$ + +终值约束： $\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t = t_1 + t_2 + t_3} = 0$ ， $y\big|_{t = t_1 + t_2 + t_3} = h_4$ + +其中： $t_3$ 一为嫦娥三号在粗避障段下落时间 + +(2) 过程约束条件: 在整个软着陆过程约束条件均保持一致, 即与模型 1 相同 + +4）燃料消耗最小原则： $\Delta m = \int_{t_1 + t_2}^{t_1 + t_2 + t_3}\frac{F_{\text{推}}}{v_e} dt$ 最小 + +# 3. 模型求解： + +1）方案1的求解 + +(1)求解步骤: + +Step1: 利用匀速直线运动的性质, 计算出下落所需时间。 + +Step2: 运用仿真迭代运算, 将时间 $t_{3}$ 等分成 $N$ 段, 且每段的推力 $F_{\text {推}}$ 当成恒力。 + +Step3: 利用第 $k - 1$ 段 $F_{\text {推}} = m g_{\text {月}}$ , 推得此段内燃料消耗量为 $\Delta m$ , 则第 $k$ 段内嫦娥三号的质量为 $m_{2} - \Delta m$ 。 + +以此步骤进行迭代类推，得到方案1燃料的总消耗量及下落所用时间，如下表所示： + +表 5-7: 方案 1 运动过程中燃料消耗量 + +
方案总运动时间嫦娥剩余质量燃料消耗
粗避障匀速运动情况10417 s3.92 kg1274.81 kg
+ +# 2）方案2的求解 + +①在此情况下，匀加速直线运动阶段无燃料损失，仅当启动发动机推力时，才会产生燃料的消耗。由于匀加速直线运动的时间存在不确定性，因此，需根据相关文献[2]中粗避段下落时间的理论值，对均加速直线运动时间进行大致设定，进而得到匀加速直线运动的末状态。 +②采用模型1相同的求解方法，在假设推力为恒力的条件下，通过计算机迭代仿真求得该情况下燃料的总消耗量及下落总时间。 +③选取不同的匀加速直线运动时间，进而得到各种情况下的最小燃料消耗量，从而近似确定最小的燃料消耗量及下落时间。 + +利用MATLAB软件（程序详见附录4）在选取不同匀加速直线运动时间的情况下，观察燃料消耗量、恒定推力等运动过程描述量的变化情况，得到如下表格： + +表 5-8: 方案 2 运动过程描述量随匀加速运动时间变化情况 + +
匀加速运动时间总运动时间末速度嫦娥剩余质量燃料消耗恒定推力
25108.30.0141203.9974.7402637.90
26104.50.0571206.5572.1782703.26
3091.70.0341215.1563.5793029.56
3579.30.0021223.5355.1953663.04
4069.70.0361230.0948.6394814.79
4562.10.1731235.3543.3807458.25
+ +# - 两方案结果对比： + +方案1过程燃料消耗量高达 $1274.81kg$ ，由模型1与模型2的求解结果可知，前两个阶段燃料消耗总量为 $1117.19kg$ ，而嫦娥三号总质量为 $2400kg$ ，所以采取方案1之后，嫦娥三号的质量仅剩余 $8kg$ ，显然与实际情况不符，由此断定方案1为非最优策略。 + +方案2在不断改变均加速直线运动时间的情况下，匀加速度直线运动时间取 $45s$ 时，燃料消耗量最少为 $43.380kg$ ，此时运动总时间最少为 $62.1s$ ，推力最大为 $7458.25N$ 。根据以上变化规律进行推断，若增加匀加速直线运动时间不断，恒定推力的取值也随之增加，而运动总时间不断减少，同时消耗燃料质量也有所下降。 + +综上所述，粗避障段最优控制策略为： + +表 5-9: 粗避障段最优控制策略 + +
时间段运动状态推力大小推力方向
0~45s匀速直线运动0不存在
45~62.1s减速直线运动7458.25Nv的反向
+ +在此最优控制策略下，燃料消耗量最小为 $43.380 \mathrm{~kg}$ 。 + +# 5.2.5 精避障段最优轨迹控制模型——模型4 + +精避障段是在粗避障段所确定的着陆区域基础上，进行再次更为精确的陨石坑排查，在满足燃料消耗量最少的条件下，确定最佳着陆点。 + +1. 距月球表面 100 米处高程图分析 + +(1)同粗避障区域划分方式相同, 首先将其分割成 9 个小区域: + +![](images/4e8fc231071c370c0221463523fbae335e442127ae53f40e3491d5b0fc8b0660.jpg) +图5-9：距月球表面100米处高程图的区域划分 + +②评价指标的归一化处理 + +表 5-10: 精避障段归一化处理后各指标数值 + +
区域序号123456789
标准差0.1610.0470.1831.0000.5890.1370.4550.2620.000
相对高程0.0520.2500.0750.0001.0000.3850.4970.2100.415
平坦度0.2140.2970.2581.0001.5890.5210.9520.4720.415
+ +③由表中平坦度大小可知，区域1的平坦度最小，则表明区域1最适合最为着陆点所在范围。因此，取区域1的中心位置作为精避障段终值点坐标，由题中所给附件4中高程图可知，区域1中心点位置坐标为(200,800)，整个区域中心点坐标为(500,500)。 +(4)以区域 1 的中心点和整个区域中心点之间的距离作为粗避障阶段总的水平位移,根据两中心点坐标, 利用两点间距离公式得到两点在高程图上的距离为 424.3 , 由题可知, 该高程的水平分辨率为 $0.1 \mathrm{~m}$ / 像素, 则可得实际距离 $42.43 \mathrm{~m}$ 。 + +# 2）模型的建立 + +1. 受力分析：精避障段嫦娥三号运动状态可分为两部分 + +(1)前一部分推力促使其向目标着陆点的方向前进，受力分析如下图： + +![](images/4e952cde075a54e41ed9d2003d4ae04109324b25311a6fffa0850cea20a6386b.jpg) + +图5-10：精避障段前一部分受力分析 + +(2)后一部分推力促使其在水平方向上的速度减小为 0 , 受力情况与主减速段一致, 如图 5-2 所示。 + +2. 采取模型1同样的建模方法，同理可得嫦娥三号精避障段质心动力学方程如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d ^ {2} x}{d t ^ {2}} = \frac {- F _ {\text {推}} \cos \alpha}{m _ {3} - \Delta m} \\ \frac {d ^ {2} y}{d t ^ {2}} = g _ {\text {月}} - \frac {F _ {\text {推}} \sin \alpha}{m _ {3} - \Delta m} \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +其中： $m_{3}$ 一为粗避障阶段结束后嫦娥三号的质量 + +$h_{5}$ 一为嫦娥三号在精避障阶段终值点的高度 + +3. 约束条件： + +(1)边值约束条件: + +初始约束： $y \Big|_{t = t_1 + t_2 + t_3} = h_4$ ， $x \Big|_{t = t_1 + t_2 + t_3} = x_1 + x_2$ ， $\frac{dx}{dt} \Bigg|_{t = t_1 + t_2 + t_3} = 0$ ， $\frac{dy}{dt} \Bigg|_{t = t_1 + t_2 + t_3} = 0$ ， $\alpha \Big|_{t = t_1 + t_2 + t_3} = 90^\circ$ + +终值约束： $\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t = t_1 + t_2 + t_3 + t_4} = 0$ ， $y\big|_{t = t_1 + t_2 + t_3 + t_4} = h_5$ ， $x\Big|_{t = t_1 + t_2 + t_3 + t_4} = x_1 + x_2 + x_4$ + +(2)过程约束条件: + +嫦娥三号控制约束: $0 \leq F_{\text {推 }}(t) \leq F_{\max }$ + +嫦娥三号质量约束: $m_{\text {net}} \leq m(t) \leq m_{0}$ + +其中， $F_{\mathrm{max}}$ 为推力器所能提供的推力上限， $m_{\mathrm{net}}$ 为着陆器净质量， $m_0$ 为着陆器初始质量。 + +4.燃料消耗最小原则： $\Delta m = \int_{t_1 + t_2 + t_3}^{t_1 + t_2 + t_3 + t_4}\frac{F_{\text{推}}}{v_e} dt$ 最小 + +3）模型求解： + +①采用模型1相同的求解方法，在假设推力为恒力的条件下，通过计算机迭代仿真求对该情况下燃料的总消耗量进行求解，但由于精避障阶段运动的距离较小，从而可以忽略由于燃料消耗而导致嫦娥三号质量的减少，即假设其在该阶段的质量保持不变，从而对模型进行进一步化简。 +② 设定该阶段前一部分的运行时间，改变推力 $F_{\text{推}}$ 的大小，找到满足精避障段结束后水平速度为 0 的参数，进而确定前一部分运动结束后的状态。选取不同的前一部分运行时间，分别求得到各自满足要求的推力 $F_{\text{推}}$ 大小，根据相关文献[2]中粗避障段下落时间的理论值大致为 22s，从而近似确定推力 $F_{\text{推}}$ 大小及其运动状态，得到精避障阶段运动轨迹图： + +![](images/609ba84aee822c64868edc8f75ae2a513b51b31fe7cb592a5ec6badfc642713a.jpg) +精避障运动轨迹图 +图5-11：精避障段运动轨迹图 + +综上所述，最优控制策略为： + +表 5-11: 精避段最优控制策略 + +
分段情况推力方向推力大小下落时间总时间
前一部分v的同向2445.37N4.63s9.26s
后一部分v的反向2445.37N4.63s
+ +# 5.2.6 缓速下降段最优轨迹控制模型——模型5 + +- 缓速下降段最优轨迹控制模型与粗避障阶段的化简模型相同 + +1. 受力分析：同模型3中受力情况一致。 + +2. 模型的建立： + +1) 由于缓速下降段 $\alpha = 90^{\circ}$ , 因此, 可根据粗避障段的化简模型, 同理可得嫦娥三号质心动力学方程: + +$$ +\frac {d ^ {2} y}{d t ^ {2}} = g _ {\text {月}} - \frac {F _ {\text {推}}}{m _ {4} - \Delta m} \tag {18} +$$ + +其中： $m_{4}$ —表示精避障阶段结束后嫦娥三号的质量 + +2）约束条件： + +(1)边值约束条件: + +初始约束： $y\big|_{t = t_1 + t_2 + t_3 + t_4} = h_5$ ， $\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t = t_1 + t_2 + t_3 + t_4} = v_{y4}$ + +终值约束： $\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5} = 0,\left.y\right|_{t = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5} = h_6$ + +(2)过程约束条件: 与模型 4 中约束条件一致 + +3）燃料消耗最小原则： $\Delta m = \int_{t_1 + t_2 + t_3 + t_4}^{t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5}\frac{F_{\text{推}}}{v_e} dt$ 最小 + +3. 模型求解： + +同粗避障阶段的化简模型求解方法相同，可得到缓速下降段过程最优控制策略： + +表 5-12：缓速下降段过程最优控制策略 + +
下落时间推力大小推力方向
3.44s5416.77N方向竖直向上
+ +# 5.3 软着陆过程整体分析 + +综合以上对软着陆过程6个阶段的分析： + +(1)利用 MATLAB 软件作出如下完整软着陆过程轨迹图（程序详见附录 6）： + +![](images/4830d040bb6c1b9cfbf9900d3da623bd375af5e708d8c20bfacc792528906fab.jpg) +图5-12：软着陆过程轨迹图 + +软着陆轨迹能够很直观的反映出嫦娥三号着陆大致曲线，但是对于后面四个阶段具体运动轨迹的描述不够清晰，为此，利用MATLAB软件对后四个阶段着陆轨迹进行作图（程序详见附录6）： + +![](images/bcc17d44d39627f6117921be8bb1bd92dff06edc85f5a375863b696fd6e90e0b.jpg) +图5-13：软着陆过程后四个阶段着陆轨迹 + +②整个软着陆过程中燃料消耗情况: + +表 5-13: 软着陆过程各阶段燃料消耗量 (kg) + +
6个阶段着陆准备轨道主减速段快速调整段粗屏障段精屏障段缓速下降段
消耗量0107542.1943.3800
总消耗量1160.57
剩余质量1239.43
+ +根据燃料消耗情况进行分析，主减速段消耗量最大，对于准备着陆轨道、精屏障及缓速下降段而言，几乎不产生燃料的损耗。 + +# 5.4 问题四 + +# 5.4.1 敏感性分析 + +①在软着陆过程中，下落高度与嫦娥三号的运动状态及姿态调整之间存在着密切的关联性，因此，以主减速段为例，通过改变下落高度，进而观察其他变量的情况： + +![](images/7cf4c58b02d3058bd531f1fd2f6f6c3f1c5a5e1cb8f96bd4917fb6fe3581a91b.jpg) + +![](images/bb7d6d719c5eb9511b3da8065db48e0b095be4ec98dbcb5524192ec3d8744c92.jpg) + +![](images/b51be7a61270e4b05e53e25d658d6f1f569f4374a5b720940ca9cefae40345d2.jpg) + +![](images/427868d8aa28dc150521631195730347693949cf60dd8baf6907e494c4492da8.jpg) + +![](images/69476e2fb0229c84093de2fd43dff2fb6b0029a756295a6974240d3c80d40bb1.jpg) +图5-14：下落高度与各个变量之间的关系 + +![](images/1000985d38a76e725306d89ec43a54fa9503e8761500a822686aa4ba30b1fb4b.jpg) + +由图可知，当下落高度不断增大时，燃料消耗量、下落时间、水平位移及末速度与水平方向的夹角也基本呈线性增大趋势，终值点的质量和末速度与下落高度呈明显负相关趋势，则可以说明下落高度的改变对各个变量数值均会产生较大影响。 + +②发动机推力是控制嫦娥三号下落高度及飞行状态的重要影响因素，因此，现以主减速段为例，通过改变F，观察其他变量的变化情况： + +![](images/d5826d6f7f16c8ccca4322379987e0b39d57ed92ac43d1940c1ff870b9135491.jpg) + +![](images/d021d707491c0083b58cde159ebace54b772deedc7cf39f23f41b511ccd10efd.jpg) + +![](images/d6ae30b3e2d515817bd720deecfc5a0f537ecee3b899c55c0bf85cf135ff0433.jpg) + +![](images/d7889be7381e1e49a958deb56bd14d76e72ec2b864c7ceec01fc9c57655c2f19.jpg) + +![](images/76c1981cb30c44eb91b6fe46753440dd549e6a75e57e785ba6bc7929dc3dd030.jpg) +图5-15：推力的改变对其他变量的影响关系 + +![](images/cfa0ec842579391593f74aa37c949ce1bdba1415ccdb9c0bba37276d5b81d190.jpg) + +由图可以较为直观的看出，各个变量与推力之间存在着较强关联性，推力的变化能够明显影响其余变量的数值。 + +# 5.4.2 误差分析 + +# 1）时间相对误差 + +表 5-14: 实际值与模型值的各阶段时间相对误差 + +
阶段主减速阶段快速调整阶段粗避障段精避障缓冲阶段
实际值487161252219
模型值421.324.462.19.263.44
相对误差0.1350.5250.5030.5790.819
+ +由上表中相对误差值大小可知，主减速段相对误差最小为0.135，而缓冲阶段相对误差最大达到0.819，基于敏感性分析可知，由于各阶段下落时间在软着陆过程是一个变量，且会受到推力及下落高度的影响，同时，在实际过程中，存在较多外界影响因素会对下落时间造成影响，在本模型求解过程中，考虑因素较少，模型过于理想化将导致后面三个阶段下落时间远小于实际值。 + +# 2）推力的改变对于水平位移产生的相对误差 + +在主减速段，为便于求得最优控制策略取推力为固定值进行计算，为检验推力对于嫦娥三号水平位移的影响程度，利用MATLAB软件对其相对误差进行求解： + +表 5-15: 主减速阶段推力改变时水平位移的相对误差 + +
推力700070107020703070407050
相对误差0.05110.05010.04910.04810.04720.0462
+ +为了更为直观的反映出主减速阶段推力改变对水平位移产生的影响程度，作出如下趋势图： + +![](images/47b3229805cbdd53a25125c4729110f780b59306a48f75e15887076993fbdd1b.jpg) +图5-16：主减速阶段推力变化对水平位移的相对误差图 + +从图中可以明显看出，当主减速段推力逐渐增大时，相对误差逐渐减少，基本呈负相关趋势，在主减速段最优策略模型中，取推力为7500N，此时对于位移的相对误差为0，由此可以得出结论，问题1中所建立的主减速最优控制模型，取推力为7500N，对水平位移基本无影响，则取值具有合理性。 + +# 4）下落高度的改变对水平位移的影响 + +表 5-16: 主减速阶段 h 改变时水平位移的相对误差 + +
下落距离11985119901199512000120051201012015
相对误差0.000020.000020.000010.000000.000010.000030.00003
+ +由表中相对误差数值大小可以看出，主减速阶段下落高度改变时对水平位移的相对误差影响非常小，而且随着下落距离的增加，相对误差变化规律具有波动性。为此，作出相对误差趋势图来寻找下落高度对水平位移的相对误差影响趋势： + +![](images/e5152fcf2f362298f232b86abf7aff0f7ce3df52c72b8bcfc6a73ca43c3747eb.jpg) +图5-17：主减速段下落高度的改变对水平位移相对误差的影响趋势由上图中曲线趋势可知： + +(1)当下落高度小于 $1.2 \times 10^{4}$ 米时, 相对误差与下落高度呈负相关趋势 +(2)当下落高度大于 $1.2 \times 10^{4}$ 米时, 相对误差与下落高度呈正相关趋势 + +# 六、模型的评价与改进 + +# 6.1 模型的评价 + +# 6.1.1 模型的优点 + +1、本文采用动力学模型对嫦娥三号软着陆过程轨迹进行描述，具有严谨的推导过程，且模型具有普适性。 +2、在仿真模型过程中，模型参数能够根据要求通过计算机程序随时进行调整，修改或补充，使得能够快速掌握各种可能性的仿真结果，为进一步完善研究方案提供了极大的方便。 + +# 6.1.2 模型的缺点 + +1、迭代仿真计算方法求解过程略微繁琐，结果不够精确 +2、考虑的影响因素较少，在处理问题时可能存在一些误差。 + +# 6.2 模型的改进 + +由于本文采用逐步迭代的方法，近似求得最优控制策略，但由于每小段都近似看成匀变速直线运动，对结果会产生较大误差，因此，需要寻求更优的算法对模型进行求解，例如，蚁群算法、遗传算法等对模型进行改进。 + +# 七、模型的应用与推广 + +本文主要运用到动力学相关知识以及仿真迭代求解方法，动力学模型在宏观经济和微观经济，飞行模拟，射击模拟，汽车驾驶训练，危险工种行动训练，军事训练等都有广泛的应用，可以将该方法推广到各种不同情况下的宇宙探测问题中，动力学模型，能够解决对事物的控制问题，没有动力学，就没有控制理论发展的空间，具有很强的推广意义。 + +# 八、参考文献 + +[1]王鹏基，张熵，曲广吉．月球软着陆重力转弯轨道设计与分析[C].//中国宇航学会深空探测技术专业委员会第二届学术会议．2005. +[2] 张洪华，关轶峰，黄翔宇，等．嫦娥三号着陆器动力下降的制导导航与控制[J]. 中国科学：技术科学，2014，4：006. +[3]和兴锁，林胜勇，张亚锋．月球探测器直接软着陆最优轨道设计[J].宇航学报，2007，(2). +[4]王建伟，李兴．近日点和远日点速度的两种典型解法[J].物理教师，2013，34(6). +[5]田晓岑．由“嫦娥一号”引起的思考[J].大学物理，2008，(12):18-20. +[6] 刘浩敏，冯军华，崔祜涛，等．月球软着陆制导律设计及其误差分析[J]. 系统仿真学报，2009 (4): 936-938. + +# 附录 + +# 附录1 + +MATLAB R2012b 软件求解问题 1 中主减速段下落轨迹及关键点状态 $\% \%$ 主减速阶段的数值近似求解 + +clc;clear;close all; + +g=1.633; %月球重力加速度 + +m0=2.4*10^3;%卫星初始质量 + +Ve=2940；%比冲 + +theta=9.654*pi/180;%初速度与水平方向的夹角 + +F=7500; %推力 + +V0=1692.464；%近日点初速度 + +$t = 0$ ; %初始时间 + +$\mathrm{T} = 0.1$ %时间步长 + +$\mathrm{Vx0 = V0*cos(-theta)}$ ；%水平初速度 + +Vy0=V0*sin(-theta); %竖直初速度 + +Ay0=g-F*sin(-theta)/(mO-F/Ve*t);%竖直初加速度 + +$\mathrm{Ax0 = -F*\cos(-theta) / (m0 - F / Ve*t)}$ ;%水平初加速度 + +count=0; + +X res=Vx0*t+0.5*Ax0*t^2; + +Y_res = Vy0*t + 0.5 * Ax0*t^2; + +Result $= []$ + +h=12000;%主减速阶段的下落距离 + +%% 迭代求 分解速度和分解位移 + +while (Y_res评阅人评分备注 + +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要 + +本文对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略问题进行了探讨。 + +对于问题一，本文建立了模型I—轨道定位模型。模型对月球软着陆全过程下降轨迹进行了设计研究，建立了下降轨道参考系和月心赤道惯性系两个三维坐标系，根据它们之间的关系使用matlab软件求得出转换矩阵。并通过软着陆动力学模型得出近月点经纬度的表达式。从远月点至近月点运动过程符合霍曼转移，直接运用轨道能量守衡方程式，即可求得该阶段终点即近月点和起点及远月点的速度分别为 $\nu_{A} = 1692.219m / s$ ， $\nu_{B} = 1613.918m / s$ 。在合理的假设下，若轨道倾角 $i_0$ 为 $60^{\circ}$ ，环月停泊轨道的升交点赤经 $\Omega$ 为 $15^{\circ}$ ， $\tau$ 的值为 $43.95^{\circ}$ ，则可求得近月点的位置为 $123.90^{\circ}E,84.45^{\circ}N$ 的正上方 $15km$ 处，远月点的位置为 $56.10^{\circ}W,84.45^{\circ}S$ 的正上方 $100km$ 处。 + +针对问题二，本文建立了模型 II—控制策略最优模型。模型分别对 6 个软着陆阶段进行了研究，基于动力学模型，着重对主减速段进行了优化设计。该段考虑到该段燃料消耗很大，以燃料最优为设计指标，建立最优化方程。由于接近段距离月面较近，且经姿态调整后接近垂直下降，拟采用平面月球模型，对轨道进行离散化处理，并通过函数迭代和数值逼近的方法，得到了燃料最优的软着陆轨道，模拟仿真结果见图 8、9。针对粗避障阶段和精避障阶段，进行了同类分析，运用 matlab 程序求解对应着陆点不同精度的位置确定来划分区域，寻找最优着陆区域，同时运用角度分析，求得其轨道偏转大小和方向，结果可见图 13。 + +针对问题三，本文建立了模型Ⅲ一误差和敏感性分析模型。基于问题二中设计的着陆轨道和控制策略，本文针对模型中的重要变量和参数，设计出合理的变化区间，首先采取控制变量法的思想，对单一的变量和参数分别进行误差分析和敏感性分析，然后结果整体，联合多个变量做误差分析，结果表明模型具有较强的稳定性。 + +本文的亮点在于：在对月球软着陆轨道离散化时，利用离散点处状态连续作为约束条件，把常推力月球软着陆轨道优化问题归结为一个非线性规划问题，对于此问题的求解，其初值均为有物理意义的状态和控制量，从而避免了采用传统优化方法在解决此优化问题时对没有物理意义变量初值的猜测。 + +关键词：嫦娥三号 动力学模型 最优控制策略 误差分析 敏感性分析 + +# 1 问题重述 + +# 1.1 问题的背景 + +嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 $2.4t$ ，其安装在下部的主减速发动机能够产生 $1500N$ 到 $7500N$ 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为 $2940m/s$ ，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为 $19.51W$ ， $44.12N$ ，海拔为 $-2641m$ 。 + +嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点 $15\mathrm{km}$ ，远月点 $100\mathrm{km}$ 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 + +# 1.2 要解决的问题 + +(1) 确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 +(2) 确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 +(3) 对于设计出的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 + +# 2 问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +为简化问题，先假设软着陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内。要描述确定的近月点和远月点的位置，需要用到经纬度。我们在问题基础上建立下降轨道参考系和月心赤道惯性系，通过这两个坐标系之间的转换关系求出近月点和着陆点在月心赤道惯性系下的坐标，再通过软着陆动力学模型求出近月点的经纬度，根据远月点和近月点之间的对称关系即可得到远月点的位置。针对确定速度大小与方向的问题，可利用霍曼转移的计算公式得到。 + +# 2.2 问题二的分析 + +对嫦娥三号着陆轨道的确定需要将六个阶段分开考虑，因为每个阶段运动的状态和时间都不同。因此对该题的求解需要我们分别分析描述着陆轨道的每个阶段的运动情况，针对不同的运动状态，找到影响其着陆轨道的具体因素。对于最优控制策略，属于优化问题，需要针对不同阶段，分别找到其优化的目标条件和约束因子等，构构建优化模型，进而求得最优结果。 + +# 2.3 问题三的分析 + +要对设计的着陆轨道和控制策略做出相应的误差分析和敏感性分析，本文针对模型中的重要变量和参数，设计出合理的变化趋势，采取控制变量的方法，分别对单个变量做误差分析和单个参数做敏感性分析，再结果整体，联合多个变量做误差分析，然后根据结果对建立的模型进行评价。 + +# 3 模型假设 + +(1)假设软着陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内； +(2)假设嫦娥三号只受重力影响，不考虑科氏加速度； + +(3)假设月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计； +(4)假设忽略月球自转。 + +# 4符号说明 + +$i_0$ 环月停泊轨道的轨道倾角 + +$\Omega$ 环月停泊轨道的升交点赤经 + +$\beta$ 婚娥三号经过的月心角 + +$\Delta \alpha_{L}$ 婚娥三号的赤经的变化量 + +$\Delta \beta_{L}$ 婚娥三号的赤纬的变化量 + +$\lambda_{L0}$ 近月点的经度 + +$\varphi_{L0}$ 近月点的纬度 + +$v_{A}$ 近月点速度 + +$v_{B}$ 远月点速度 + +$v_{li}$ 经历第 $i$ 阶段所用时间（ $i = 1,2,3,4,5$ ） + +# 5 模型的建立与求解 + +# 5.1 模型I—轨道定位模型 + +# 5.1.1 近月点与远月点位置的确定 + +嫦娥三号从环月轨道离轨进入霍曼转移轨道后,自近月点开始下降。月球软着陆通常需要经历制动段、接近段和着陆段三个阶段[4]。自近月点开始到距离月面几公里高度的一段制动下降过程称为制动段,也叫动力下降段。其主要目的是通过制动发动机抵消近月点处较大的初始速度。因此,制动段应以燃料优化为首要目标。接近段介于制动段和着陆段之间,该段将引入较为精确的导航设备,主要目的是修正制动段的较大偏差,使其满足着陆段下降要求,同时兼顾燃料优化。着陆段从距离月面几百米甚至更近处开始下降,以着陆器的安全性为首要目的。 + +在制动段中，嫦娥三号距离月面相对较高，且嫦娥三号走过的月面距离比较长，将月球视为平面建立模型会带来较大的偏差。因此，制动段有必要将月球视为球体来建立均匀球体下的三维软着陆模型。为方便软着陆过程下降轨迹各参数的分析，需要将模型建立在合适的参考坐标系下。 + +首先定义几个坐标系： + +(1) 月心惯性参考坐标系 $O X_{r} Y_{r} Z_{r}$ : 该坐标系原点 $O$ 位于月心, $Z_{r}$ 轴由月心指向初始软着陆点, $X_{r}$ 轴位于环月轨道平面内且指向前进方向, $Y_{r}$ 轴与 $X_{r}$ 和 $Z_{r}$ 构成直角坐标系, 如图 1 所示。该坐标系仅用于软着陆下降轨迹和制导律设计中。 + +![](images/a661946e904ab9df4d3cbab3becc9b9e319a772a3351c044615695f79bc71300.jpg) +图1 月心惯性参考坐标系 + +(2) 月心赤道惯性系 $OXYZ$ 的定义: 原点 $O$ 位于月球中心, $XY$ 平面在月球赤道平面内, 其中, $X$ 轴指向 $J2000$ 平春分点在月球赤道上的投影, $Z$ 轴指向月球北极, $Y$ 轴与 $X$ 和 $Z$ 轴构成直角坐标系 [3]。 + +要考察着陆器在月心赤道惯性坐标系下的运动规律，需要得到月心赤道惯性系与月心惯性参考系之间的变换关系。以降轨着陆为例，两坐标系的关系如图2所示。 + +![](images/cc8df8e27c419108ef98632887e3967809484d06c61c8cc02ead990a6e200241.jpg) +图2 月心赤道惯性系 + +![](images/ceb0d3f8eacba8c8a9b9bfd123587490cdd475a053a77d2a7e0533ea02ab44b5.jpg) + +可以看出，由月心赤道惯性系 $OXYZ$ 变换到月心惯性参考系 $OX_{r}Y_{r}Z_{r}$ 需经过4次旋转： $Z(\Omega +180^{\circ})\rightarrow X(-i_0)\rightarrow Z(\rho)\rightarrow X(90^{\circ})$ ，即先绕 $Z$ 轴旋转 $\Omega +180^{\circ}$ ，再绕 $X$ 轴旋转 $-i_0$ ，再绕 $Z$ 轴旋转 $\rho$ ，最后再绕 $X$ 轴旋转 $90^{\circ}$ 。由此可以得出它们之间的坐标变换矩阵 + +$$ +C = C _ {X} (9 0 ^ {\circ}) C _ {Z} (\rho) C _ {X} \left(- i _ {0}\right) C _ {Z} \left(\Omega + 1 8 0 ^ {\circ}\right) \tag {1.1} +$$ + +其中， $i_0$ 为环月停泊轨道的轨道倾角， $\Omega$ 为环月停泊轨道的升交点赤经；旋转角 $\rho$ 可利用式子 $\rho = 90^{\circ} - \beta - \tau$ 求得。 + +其中， $\beta$ 为嫦娥三号经过的月心角，角 $\tau$ 如图所示，图中 $L$ 为着陆点位置， + +$N^{\prime}$ 为环月轨道降交点。 + +于是，月心赤道惯性系下的位置可表示为 + +$$ +\left[ \begin{array}{c c c} X & Y & Z \end{array} \right] ^ {T} = C ^ {T} \left[ \begin{array}{c c c} X _ {r} & Y _ {r} & Z _ {r} \end{array} \right] ^ {T} \tag {1.2} +$$ + +为了求得近月点和着陆点在月心赤道惯性系的具体坐标，我们需要把变换矩阵 $C$ 求出，然后根据式（1.2）求出具体坐标。坐标旋转转换矩阵 $\alpha$ 的计算方法如下： + +在讨论绕不同的坐标轴旋转所对应的坐标旋转转换矩阵时，旋转角度的符号由以下方法确定：当由旋转角按右手法则确定的旋转方向和旋转轴正方向一致时，取正号；相反则取负号。 + +设仅绕 $x$ 轴旋转 $\gamma$ 角度的坐标旋转转换矩阵为 $\alpha^x$ ，仅绕 $y$ 轴旋转 $\beta$ 角度的坐标旋转转换矩阵为 $\alpha^y$ ，仅绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ 角度的坐标旋转转换矩阵为 $\alpha^z$ ，它们的成分分别如下： + +$$ +\alpha_ {i j} ^ {x} = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \gamma & \sin \gamma \\ 0 & - \sin \gamma & \cos \gamma \end{array} \right) +$$ + +$$ +\alpha_ {i j} ^ {y} = \left( \begin{array}{c c c} \cos \beta & 0 & - \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \beta & 0 & \cos \beta \end{array} \right) +$$ + +$$ +\alpha_ {i j} ^ {z} = \left( \begin{array}{c c c} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) +$$ + +则有： + +$$ +C _ {Z} (\Omega + 1 8 0 ^ {\circ}) = \left( \begin{array}{c c c} - \cos \Omega & - \sin \Omega & 0 \\ \sin \Omega & - \cos \Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad C _ {X} (- i _ {0}) = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos i _ {0} & - \sin i _ {0} \\ 0 & \sin i _ {0} & \cos i _ {0} \end{array} \right) +$$ + +$$ +C _ {Z} (\rho) = \left( \begin{array}{c c c} \cos \rho & \sin \rho & 0 \\ - \sin \rho & \cos \rho & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad \qquad C _ {X} (9 0 ^ {\circ}) = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array} \right) +$$ + +利用Matlab软件即可求得矩阵 $C$ 的具体表达为 + +$$ +C = \left( \begin{array}{c c c} \cos i _ {0} \sin \Omega \sin \rho - \cos \Omega \cos \rho & - \cos \rho \sin \Omega - \cos i _ {0} \cos \Omega \sin \rho & - \sin i _ {0} \sin \rho \\ \sin i _ {0} \sin \Omega & - \cos \Omega \sin i _ {0} & \cos i _ {0} \\ - \cos \Omega \sin \rho - \cos i _ {0} \cos \rho \sin \Omega & \cos i _ {0} \cos \Omega \cos \rho - \sin \Omega \sin \rho & \cos \rho \sin i _ {0} \end{array} \right) +$$ + +其中，环月停泊轨道的轨道倾角 $i_{0}$ 、环月停泊轨道的升交点赤经 $\Omega$ 、旋转角 $\rho$ 都是未知参数， $\rho$ 是由嫦娥三号经过的月心角 $\beta$ 和角 $\tau$ 所决定。而 $i_{0} 、 \rho 、 \tau$ 的大小与嫦娥三号的环月停泊轨道的选取有关，由于环月停泊轨道的选取不能完全确定下来，所以 $i_{0} 、 \rho 、 \tau$ 的取值只能依实际情况而定。着嫦娥三号过的月心角 $\beta$ 与轨道面并无太大关系，可依据下面所述方法求出。 + +近月点到月球表面的距离相对于月球半径其实是相当小的，因而经过的月面可近似看成是直线。此段可将月球视为平面来建立月球平面直角坐标系 + +将月球视为平面，建立月球平面直角坐标系，如图3所示。 + +![](images/92ad5790cd43388a910c347b4ecbb3053df160972596e1c1a69332083468320c.jpg) +图3 月球表面直角坐标系 + +![](images/5f336a97521fef3306ae306070fc00d8ae95cde6b51c54c08a253a29044e9c68.jpg) + +嫦娥三号将在近月点15公里处以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零，即水平方向的速度由原来的每秒1.7公里逐渐降为零。假设水平方向为匀减速运动，则其满足运动学公式： + +$$ +v _ {t} = v _ {0} + a t +$$ + +$$ +v _ {t} ^ {2} - v _ {0} ^ {2} = 2 a S +$$ + +其中， $v_{t} = 1700m / s$ ， $v_{0} = 0$ ， $t = 750s$ （由附件一得到），则由此可求得水平位移 $S$ 的值，所求得的 $S = 637500m$ 。由图3可看出，近月点到月球表面的距离相对于月球半径其实是相当小的。由图中的几何关系结合三角函数可得： + +$$ +\beta = 2 \arcsin (S / 2 R) +$$ + +其中， $R$ 为月球的半径，其值为 $R = 1737013m$ ，则可求得 $\beta = 0.369101$ ，转换为度数为 $\beta = 0.369101 \times 57.29578 = 21.1479^{\circ}$ + +求出了嫦娥三号经过的月心角 $\beta$ 的具体值，则由式（1.2）可分别得出嫦娥三号和着陆点在月心赤道惯性系下的坐标得表达式。首先需要获得软着陆过程赤经赤纬的变化。这里需要利用软着陆下降轨迹设计的一个结论：软着陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内。 + +月心赤道惯性系下的嫦娥三号位置可表示如下 + +$$ +X = r \sin \beta_ {L} \cos \alpha_ {L}, Y = r \sin \beta_ {L} \sin \alpha_ {L}, Z = r \cos \beta_ {L} +$$ + +其中， $r$ 为嫦娥三号矢径； $\alpha_{L}$ 为嫦娥三号的赤经；嫦娥三号的赤纬等于 $90 - \beta_{L}$ 。 + +于是，容易得出 $\alpha_{L}, \beta_{L}$ 的表达式： + +$$ +\alpha_ {L} = \left\{ \begin{array}{l l} \arctan (Y / X), & X > 0, Y > 0 \\ \arctan (Y / X) + \pi , & X < 0 \\ \arctan (Y / X) + 2 \pi , & X > 0, Y < 0 \end{array} \right. \tag {1.3} +$$ + +$$ +\beta_ {L} = \arccos (Z / r) +$$ + +由(1.3)式即可求得赤经和赤纬的变化量 $\Delta \alpha_{L} = \alpha_{Lf} - \alpha_{L0}, \Delta \beta_{L} = \beta_{Lf} - \beta_{L0}$ 。于是，由下式即得软着陆初始下降点（即近月点）的经纬度 $\lambda_{L0}$ 和 $\varphi_{L0}$ ，如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \lambda_ {L 0} = \lambda_ {L f} - \Delta \alpha_ {L} \\ \varphi_ {L 0} = \varphi_ {L f} + \Delta \beta_ {L} \end{array} \right. \tag {1.4} +$$ + +由于嫦娥三号的停泊轨道没能确定，故经计算得出的近月点具体位置为含参数的表达式，将之前算出的嫦娥三号和着陆点在月心赤道惯性系下的坐标代入式（1.4），则可求出近月点的位置。由地理知识远月点与近月点都是在同一个椭圆轨道上面，并且连接两点的直线经过月心，则远月点的经纬度与近月点的经纬度是关于月心对称的。 + +例如, 假设环月停泊轨道的轨道倾角 $i_{0}$ 为 $60^{\circ}$ , 环月停泊轨道的升交点赤经 $\Omega$ 为 $15^{\circ}, \tau$ 的值为 $43.95^{\circ}$ , 则可利用 matlab 编程得到近月点的经纬度为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \lambda_ {L 0} = 1 2 3. 9 0 ^ {\circ} E \\ \varphi_ {L 0} = 8 4. 4 5 ^ {\circ} N \end{array} \right. +$$ + +则相应的远月点的经纬度为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \lambda_ {L y} = 5 6. 1 0 ^ {\circ} W \\ \varphi_ {L y} = 8 4. 4 5 ^ {\circ} S \end{array} \right. +$$ + +即近月点的位置为 $123.90^{\circ} E, 84.45^{\circ} N$ 的正上方 $15 \mathrm{~km}$ 处，远月点的位置为 $56.10^{\circ} W, 84.45^{\circ} S$ 的正上方 $100 \mathrm{~km}$ 处。 + +# 5.1.2 近月点与远月点速度大小和方向的确定 + +下图为嫦娥三号卫星实施近月制动进入环月轨道，从高轨道 $a$ 制动进入较低轨道 $b$ 的霍曼转移轨道。嫦娥三号在其预先轨道瞬间制动减速后，进入一个椭圆形的转移轨道。由此椭圆轨道的远月点开始，抵达近月点后再开始制动，进入主减速阶段，开始实施降落。 + +![](images/b03e8b42f2aa9fe6b70a65749bf577ae6b712883e249e3963f1f4156cdc20ae3.jpg) +图4 霍曼转移示意图 + +霍曼转移轨道为一种变更发射卫星轨道的方法，途中需要两次引擎推荐，具体变化方式如图4所示。嫦娥三号在实施制动进入环月轨道在远月点紧急制动减速经历霍曼转移轨道到达近月点。霍曼轨道上物体的总能等于动能与重力位能的和，而总能又等于重力位能（轨道半径为轨道半长轴 $a$ 时的重力位能）的一半，公式表示即为： + +$$ +E = \frac {1}{2} m v ^ {2} - \frac {G M m}{r} = - \frac {G M m}{2 a} +$$ + +将上式进行变换，以 $\nu$ 为未知解方程式，得到如下计算公式： + +$$ +v ^ {2} = \mu \left(\frac {2}{r} - \frac {1}{a}\right) \tag {1.5} +$$ + +其中： + +$\nu$ 为物体的速度； + +$\mu = GM$ 为中央物体的标准重力参数； + +$r$ 为物体至中央物体中心的距离; + +$a$ 为物体轨道的半长轴； + +嫦娥三号卫星进入实施制动进入绕月轨道经历霍曼转移过程中，取月球平均半径为 $1737.013km$ ，则可求得其近月点 $r_A = 1752.013km$ 和远月点 $r_B = 1837.013km$ 。已知月球的质量 $M = 7.3477 \times 10^{22}kg$ ，万有引力常量 $G = 6.67 \times 10^{-11}Nm^2/kg^2$ 。 + +将已知数据代入式子（1.5），计算可得嫦娥三号卫星在近月点和远月点的速度分别为： + +$$ +v _ {A} = 1 6 9 2. 2 1 9 m / s +$$ + +$$ +v _ {B} = 1 6 1 3. 9 1 8 m / s +$$ + +方向如图4中所示，近月点与远月点的方向相反，近月点沿轨道切线方向向下，远月点沿轨道切线方向向上。 + +# 5.2模型II一控制策略最优模型 + +# 5.2.16个阶段的最优控制 + +软着陆过程的任务概貌如图4所示。图中软着陆任务由轨道器和着陆器共同完成，着陆器由轨道器送入一条高度为 $100\mathrm{km}$ 的环月圆轨道，在此轨道上，着陆器与轨道器分离。然后，着陆器调整姿态准备开始软着陆。按经环月轨道的着陆方式，软着陆可分为如下6个阶段（如图5)，本文中所指的软着陆就是假定按这种方式进行从着陆准备轨道近月点开始的过程，研究用于着陆月面的制导控制方法。 + +![](images/0bd218af503fff127956d1bac2fe8f8a46f41df92f7b402b663e70e3d8d38d23.jpg) +图5 软着陆各阶段示意图 + +# 5.2.1.1 着陆准备轨道 + +# 5.2.1.1 分析思路 + +分析着陆准备轨道我们主要着手三方面进行开展，首先是速度，该段的起始点和终止点分别为嫦娥三号着陆器在该运行轨道中的远月点以及近月点，可直接利用轨道能量守恒方程式进行计算。其次，求解该段的运动时间，结合开普勒第三定律，推导可得公式求得答案。最后分析其轨道形状，由假设可知，着陆准备轨道与软着陆轨道处于同一平面内，且其运行轨道为半椭圆形。 + +# 5.2.1.2 模型推导 + +开普勒第一定律阐明, 行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的面积是 $\pi a b$ ,其中 $a$ 与 $b$ 分别为椭圆轨道的半长轴与半短轴。由开普勒第二定律推导可得, 行星-太阳连线扫过区域速度 $\frac{d A}{d t}$ 为 + +$$ +\frac {d A}{d t} = \frac {l}{2 m} +$$ + +所以，行星公转周期 $T$ 为 + +$$ +T = \frac {2 m \pi a b}{l} \tag {2.1} +$$ + +关于此行星环绕太阳，椭圆的半周长 $a$ ，半短轴 $b$ 与近拱距 $r_{A}$ （近拱点 $A$ 与引力中心之间的距离），远拱距 $r_{B}$ （近拱点 $B$ 与引力中心之间的距离）的关系分别为 + +$$ +a = \left(r _ {A} + r _ {B}\right) / 2 \tag {2.2} +$$ + +$$ +b = \sqrt {r _ {A} r _ {B}} \tag {2.3} +$$ + +欲知道半长轴与半短轴，必须先求得近拱距与远拱距。依据能量守恒定律， + +$$ +E = \frac {1}{2} m r ^ {2} \theta^ {2} - G \frac {M m}{r} = \frac {l ^ {2}}{2 m r ^ {2}} - G \frac {M m}{r} +$$ + +稍微加以编排即可以得到 $r$ 的一元二次方程： + +$$ +r ^ {2} + \frac {G M m}{E} r - \frac {l ^ {2}}{2 m E} = 0 +$$ + +运用公式法求解上式一元二次方程可得两个跟分别为椭圆轨道的近拱距 $r_A$ 与远拱距 $r_B$ ： + +$$ +r _ {A} = \left(- \frac {G M m}{E} - \sqrt {\left(\frac {G M m}{E}\right) ^ {2} + \frac {2 l ^ {2}}{m E}}\right) / 2 +$$ + +$$ +r _ {B} = \left(- \frac {G M m}{E} + \sqrt {\left(\frac {G M m}{E}\right) ^ {2} + \frac {2 l ^ {2}}{m E}}\right) / 2 +$$ + +代入方程（2.2）与（2.3），可得 + +$$ +a = - \frac {G M m}{2 E} +$$ + +$$ +b = \frac {l}{\sqrt {- 2 m E}} = \frac {l}{m} \frac {\sqrt {a}}{\sqrt {G M}} +$$ + +将 $a$ 和 $b$ 的表达式代入方程（2.1），即可得该椭圆轨道周期方程为 + +$$ +T = \frac {2 \pi a ^ {3 / 2}}{\sqrt {G M}} +$$ + +由图 4 可得霍曼转移轨道为椭圆轨道的一半, 因此霍曼转移所花的时间为 + +$$ +t _ {H} = \frac {1}{2} \sqrt {\frac {4 \pi^ {2} a ^ {3}}{\mu}} = \pi \sqrt {\frac {\left(r _ {A} + r _ {B}\right) ^ {3}}{8 \mu}} \tag {2.4} +$$ + +其中 $\mu = \mathrm{GM}$ + +# 5.2.1.3 模型求解 + +嫦娥三号卫星进入实施制动进入绕月轨道经历霍曼转移过程中，取月球平均半径为 $1737.013km$ ，则可求得其近月点 $r_A = 1752.013km$ 和远月点 $r_B = 1837.0km$ 。已知月球的质量 $M = 7.3477 \times 10^{22}kg$ ，万有引力常量 $G = 6.67 \times 10^{-11}Nm^2/kg^2$ 。 + +将已知数据代入式子（2.4），计算可得嫦娥三号卫星在蒙曼转移轨道的运行时间为： + +$$ +t = 3 4 1 1. 3 8 8 s +$$ + +# 5.2.1.2 主减速段 + +主减速段的区间是距离月面 $15\mathrm{km}$ 到 $3\mathrm{km}$ 。该阶段的主要是减速，实现到距离3公里处嫦娥三号的速度降到 $57\mathrm{m / s}$ 。 + +# 5.2.1.2.1系统模型 + +由于月球表面附近没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。而且从 $15\mathrm{km}$ 左右的轨道高度软着陆到非常接近月球表面的时间比较短，一般在几百秒的范围内，所以诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计。 + +如图所示，在惯性坐标系中，假设发动机的推力 $F$ 总与推进速度 $\nu$ 方向完全相反，以月心为原点的坐标形式受控飞行器动力学方程为： + +$$ +a _ {n} = \frac {F \cdot \cos \beta}{m - \dot {m}} +$$ + +$$ +a _ {r} = g _ {m} - \frac {F \cdot \sin \beta}{m - \dot {m}} +$$ + +$$ +v _ {n} (t) = v _ {n} (t - \Delta t) - a _ {n} \cdot \Delta t +$$ + +$$ +v _ {r} (t) = v _ {r} (t - \Delta t) - a _ {r} \cdot \Delta t +$$ + +$\bullet$ 初始条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} v _ {n} \left(t _ {0}\right) = 1 7 0 0 m / s \\ v _ {r} \left(t _ {0}\right) = 0 m / s \\ h \left(t _ {0}\right) = 1 5 0 0 m \end{array} \right. \tag {2.5} +$$ + +- 终端条件为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} v _ {n} \left(t _ {f}\right) = 0 m / s \\ v _ {r} \left(t _ {f}\right) = 5 7 m / s \\ h \left(t _ {f}\right) = 3 0 0 0 m \end{array} \right. \tag {2.6} +$$ + +$\bullet$ 约束条件为： + +$$ +h = \int_ {0} ^ {t} \frac {v _ {t} ^ {2} - v _ {t - 1} ^ {2}}{2 a _ {t - 1}} \leq 1 2 0 0 0 m \tag {2.7} +$$ + +# $\bullet$ 目标函数 + +对于推力幅值恒定飞行器，性能指标可以表达为燃料消耗达到极小，即 + +$$ +J = \int_ {0} ^ {t _ {f}} m d t = \int_ {0} ^ {t _ {f}} \frac {F}{v _ {e} g _ {m}} d t = \frac {F}{v _ {e} g _ {m}} t f \rightarrow \min \tag {2.8} +$$ + +由式（2.8）可以看出，燃耗最优问题就是时间最优问题[5]。 + +# 5.2.1.2.2轨道离散化 + +针对上述最优控制问题, 首先把月球软着陆轨道进行离散化, 整个的轨道可分割为 $N$ 个小段, 每段的节点设一个推力方向, 如图6所示 + +![](images/8b43ad50836aa17b0e4fa9c29389e69e13127c5b81645a3037d8c12cf11116a9.jpg) +图6 各推力方向示意图 + +为了能够反映推力方向角随时间的变化趋势，作如下假设，推力方向角 $\beta$ 可以表示成一个多项式的形式， + +即 + +$$ +\beta = \sum_ {i = 0} ^ {2} a _ {i} t ^ {i} \tag {2.9} +$$ + +其中， $a_0$ 是常数， $a_1$ 是 $t$ 的系数， $a_2$ 是 $t^2$ 的系数。 + +# 5.2.1.2.3算法思想 + +对上述问题，我们利用Matlab进行迭代算法和数值逼近的方法进行求解，步骤如下： + +Step1: 初始速度、时间的赋值，建立加速度随时间的变化函数关系； + +Step2：对时间进行数值逼近处理； + +Step3：迭代计算横向速度和纵向速度的数值； + +Step4：观察速度的时间序列末端值是否符合题目要求的终端条件，并检验是否满足约束条件； + +Step5：若满足Step3的条件，输出时间 $t$ ，否则返回Step2。 + +# 5.2.1.2.4仿真结果 + +初始时刻的飞行器质量 $m = 2.4 t$ , 发动机比冲为 $\nu_{e} = 2940 m / s$ , 飞行器轨道高度 $h = 15 k m$ , 切向速度为 $\nu_{H0} = 1.7 k m / s$ , 法向速度 $\nu_{r0} = 0$ 。末端时刻, 飞行器降落在月面, $r_{f} = a_{L} = 1738 k m$ , 速度 $\nu_{rf} = 0$ , $\nu_{Hf} = 0$ 。 + +由上计算结果可知，着陆器的下降时间约为621秒，最终燃料消耗 $1584.1837kg$ 。 + +我们对 $\cos \beta$ 和时间 $t$ 进行曲线拟合，利用Matlab软件得到拟合方程： + +$$ +\cos \beta = - 2. 0 9 7 8 \times 1 0 ^ {- 6} x ^ {2} - 3. 7 3 7 4 \times 1 0 ^ {- 4} x + 1. 0 1 8 3 +$$ + +![](images/c467946959ea093802aa5b43f13dc29ecf6fa15203b9890b1681c501428d7700.jpg) +图7 曲线拟合图 + +图7为推力方向角随时间的变化趋势，由图可以看出，推力方向角由水平与地面的0度逐渐变为与地面的垂直（90度）。着陆器水平速度随时间变化如图： + +![](images/ca0eaa8c8458da0f399c9dba4c18adc8c19b9dd57e984704ed812c4947df7be4.jpg) +图8 水平速度变化趋势图 + +![](images/6261d149a53b56f854da2e1e20d3590b7cb71e2bd9655bddca34a5321d5170ba.jpg) +图9 推力方向角变化趋势图 + +# 5.2.1.3快速调整段 + +快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面 $3km$ 到 $2.4km$ 处将水平速度减为 $0m/s$ ，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。由此可知在快速调整阶段嫦娥三号在竖直方向上的位移为 $h_2 = 600m$ ，水平位移基本为0，在距离月球表面 $3km$ 处的速度为 $\nu_0 = 57m/s$ ，而在距离月球表面 $2.4km$ 时速度 $\nu_t = 0$ 。因此可以将这一段的运动看成是减速直线运动。考虑到要使得燃料消耗尽量少，若此阶段为匀减速直线运动，则推力保持不变，由公式 + +$$ +F _ {\text {t h r u s t}} = v _ {e} \dot {m} \tag {2.10} +$$ + +可知单位时间内燃料消耗的公斤数保持不变。此时消耗的燃料量最小。 + +由主减速段的分析可求得该阶段燃料所消耗的公斤数，其值为 $1584.18 \mathrm{~kg}$ ， + +嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 $2400 \mathrm{~kg}$ , 经过了主减速段后, 其质量减少为 $m = 2400 - 1584.18 = 815.82 \mathrm{~kg}$ , 对嫦娥三号进行受力分析右图所示, 则在快速调解阶段嫦娥三号做匀减速运动的满足 + +$$ +m a = F _ {l 1} - m g _ {m} +$$ + +其中， $F_{l1}$ 为此阶段发动机产生的推力， $g_{m}$ 为月球表面的重力加速度。 + +由运动学公式 $v_{t}^{2} - v_{0}^{2} = 2aS$ ，可得到匀减速运动时的加速度为 + +![](images/87526d63603022ab106365680a7a3b69ebf49f432feac771f83f692738e06152.jpg) +图 10 受力分析图 a + +$$ +a = \frac {v _ {0} ^ {2} - v _ {t} ^ {2}}{2 S} = 2. 7 1 m / s ^ {2} +$$ + +因此，嫦娥三号在此阶段所经历的时间为 + +$$ +t _ {l 2} = \frac {v _ {0} - v _ {t}}{a} = 2 1. 0 3 s +$$ + +发动机所产生的推力为 $F_{l1} = ma + mg_m = 3540.64N$ ，单位时间内燃料消耗的公斤数为 $\dot{m} = \frac{F_{l1}}{\nu_e} = 1.204$ ，其中 $\nu_{e}$ 为以米/秒为单位的比冲。由此可得到快速调解阶段所消耗的燃料为 $m^{\prime} = \dot{m} t_{l2} = 25.33kg$ ，则在距离月球表面 $2.4km$ 时，嫦娥三号的质量为 $869.39 - 26.99 = 844.06kg$ 。 + +# 5.2.1.4 粗避障段 + +# 5.2.1.4.1 分析思路 + +粗避障阶段主要因素就是如何躲避陨石坑，因此在分析其运行轨迹时首要考虑的问题就是要确定陨石坑的位置，根据其的大致分布来考虑该阶段的着陆轨迹该如何改变。跟据附件3数据可求得距月面 $2400\mathrm{m}$ 处高程图（如图11），该高程图是以其预着落点为中心进行测量绘制所得，通过观察，可以划出在该区域内适合降落即无陨石坑分布的区域，其横向长度为 $1000\sim 1500\mathrm{m}$ 和纵向长度为 $1000\sim 1500\mathrm{m}$ 的预计着落时范畴，为得到存在陨石坑的精确点，可通过编写matlab程序求解，尽管由于该阶段着陆器距月球表面高度较大而所得数据精确度不高，但依旧可以较为准确的避开较大陨石坑所在区域。 + +![](images/b8cb6d095ad24c25202626f46e947f5e160ae63db066d1a49eee68fee7c1da75.jpg) +图11 距月面 $2400\mathrm{m}$ 处的高程图 + +# 5.2.1.4.1 算法思想 + +为求得其陨石坑所在位置具体的区域分布图，我们需要进一步的指导该陨石坑的具体位置。我们假设某地海拔高度与其周围一点高度大于 $10\mathrm{m}$ 时，即可认定该地存在较大陨石坑，基于此假设，将观测所划出的区域分为 $500\times 500$ 部分，命令从(1,1)点开始： + +Step1: 计算各点与其都成九宫格的周围 的八个点求差值; + +Step2：若所得差值大于10，返回其所在位置的横纵坐标；若所得差值小于等于10，即返回Step1。 + +# 5.2.1.4.3 结果分析 + +通过运行改程序可以得到表1数据，为了更加形象的展示其陨石坑的具体位置分布，建立网格图（如图12所示，图中白色部分表示没有较大陨石坑），将表中数据标记在网格图中，有色网格即为存在陨石坑点的区域。 + +表 1 粗略估计较大陨石坑结果输出表 + +
xyhxyh
10361492101199137810
10361493101199137910
10371493101218140810
10801470101224137710
10371494101245134711
11561394111309143310
11561452101323148210
11571451101323148310
11571453101324148311
11581452111324148410
11581453101325148411
1159145210
+ +![](images/787c1140df6f77b65aafb3202f3d89f5c0fb580a95e36a7ce5b3d3ec8a517229.jpg) +图12 较大陨石坑数量分布图 + +为保证该着陆器顺利下降至下一阶段，在粗避障阶段，嫦娥三号需在其原预计着落点的左方区域与偏移即可保证避开较大陨石坑。另一方面，为保证嫦娥三号落在其预定着落点附近，因此偏移距离应控制在合理范围内。假设其最大合理偏差距离为 $800\mathrm{m}$ ，如图13所示为嫦娥三号着陆器进入粗避障和精避障其运行轨迹偏转示意图。 + +![](images/33e5a6eb310d785bdfd9ad382419d816df3521de167cca9a0137a640e3a58f20.jpg) +图13 着陆器偏移范围 + +存在下列关系式， + +$$ +\tan \theta = \frac {A B}{B C} +$$ + +其中 $AB = 2400m$ ， $BC = 800m$ + +代入上式求解可得 $\theta = 19.1767^{\circ}$ 。因此可得在粗避障轨道为使得其顺利降落，避开较大陨石坑，在该区间应将嫦娥三号着陆器在其原竖直下降轨道方向向图中左方偏移角度少于 $\theta = 19.1767^{\circ}$ ，即可顺利进入下一轨道进行降落，允许下落范围如图阴影部分所示。 + +# 5.2.1.5精避障段 + +# 5.2.1.5.1 建模思路 + +同粗避障分析类似，我们需要确定陨石坑的分布来分析其在该段的着陆轨迹偏移，找到优化控制策略，但为了精确的找到陨石坑所在位置，我们引进一种新的方法进行求解。我们在描述一组数据的稳定性大小时，常会通过计算其标准差。标准差一般用 $\sigma$ 表示，它反应了一组数值中某一数值与其平均值的差异程度，经常被用来评估一组数值变化或波动程度具体的数学定义如下。 + +设有一组数值 $x_{1} 、 x_{2} 、 \ldots 、 x_{n}$ (均为实数), 其平均值为: + +$$ +x = \frac {1}{N} \sum_ {i = 1} ^ {N} x _ {i} +$$ + +$$ +\sigma = \sqrt {\frac {1}{N} \sum_ {i = 1} ^ {N} \left(x _ {i} - \bar {x}\right) ^ {2}} +$$ + +延伸至测量学中, 标准差也经常用于衡量误差分布的离散程度。因此, 推广至地理学中, 如果将 $x_{i}$ 换成某一区域的高程值, 标准差就成为“高程标准差”。同理, 高程标准差的值越大, 高程波动的范围就越大, 地形也就越不平坦, 这样就可以用高程标准差来衡量地形的起伏程度。因此我们选择矩形窗口通过高程图来计算距月面 $100 \mathrm{~m}$ 处所处区域范围这一区域内的高程标准差, 编写 matlab 程序在该数据区域内以一定的步长和方向移动, 这样就可以计算出整个数据区的高程标准差 + +分布图, 从而表达地形的起伏状况。计算高程标准差用到了这一区域内所有点的高程值, 而最大高程值和最小高程值之差的方法, 仅仅用到两个点的高程值, 因此标准差方法更能综合反映这一区域的地形起伏状况, 同时能够反映出地形的局部起伏变化。 + +# 5.2.1.5.2 算法思想 + +选择矩形窗口通过高程图来计算距月面 $100\mathrm{m}$ 处所处区域范围这一区域内的高程标准差，在该数据区域内以一定的步长和方向移动，逐点计算，并逐一输出。 + +# 5.2.1.5.2 结果分析 + +运行matlab程序后输出结果同时输出高程标准值分布图，值越小，表面其地区越平缓，说明陨石坑存在的可能性也越小。 + +![](images/6409d69f22d091120539440a60abf72b5574067defce465bfa315966a19dc1c7.jpg) +图14 高程标准值示意图 + +假设进入精避障区段时，嫦娥三号着落器的预计着落点位于图中心位置，该图中心位置左右两边均有较明显陨石坑分布，通过编程即可得到较平缓表面分布区域，主要聚集在横向区域 $50\sim 56\mathrm{m}$ 之间及纵向区域 $24\sim 31\mathrm{m}$ 之间，部分数据如表2所示（由于数据较多，全部表格见附录)，因此此时为保证着落器的顺利安全着落，可使用嫦娥三号的姿态调整发动机，通过平移避开陨石坑口到达该区域范围内的平缓地带上空再进而进行下一步的着陆。 + +表 2 平缓区域分布图 + +
xyxy
548245537253
544248538253
545248535254
547251536254
548251534255
539252537257
547252530258
567252526262
537253530262
538253529263
+ +# 5.2.2燃料最少计算 + +粗避障阶段： + +粗避障段的范围是距离月面 $2.4 \mathrm{~km}$ 到 $100 \mathrm{~m}$ 区间, 其主要是要求避开大的陨石坑, 实现在设计着陆点上方 $100 \mathrm{~m}$ 处悬停, 并初步确定落月地点。由此可知, 婷娥三号在距离月面 $2.4 \mathrm{~km}$ 到 $100 \mathrm{~m}$ 的时候速度均为零。在该阶段的运动可分为两个部分, 第一部分为自由落体运动, 第二部分为匀减速直线运动, 且此时的推力为最大推力, 以减少燃料的消耗。这两个过程嫦娥三号的受力示意图如图所示: + +在整个过程中，满足： + +![](images/029899dfc65eeb7cb5e6c392babfeeb669688613bb5c7cfb1c816a2205b22557.jpg) + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} v = g _ {m} t _ {1} \\ v = a t _ {2} \\ h = \bar {v} \left(t _ {1} + t _ {2}\right) \\ v = 2 \bar {v} \\ m a = F _ {l 2} - m g _ {m} \end{array} \right. \tag {2.11} +$$ + +其中： $\nu$ 为此阶段最大的速度，即加速过程的最大速度； + +$F_{l2}$ 为此阶段发动机产生的推力; + +$g_{m}$ 为月球表面的重力加速度。 + +$a$ 为匀减速运动是的加速度大小; + +$h$ 为此阶段竖直方向的位移； + +$\overline{\nu}$ 为此阶段的平均速度； + +$t_{1}$ 为做自由落体阶段的时间; + +$t_{2}$ 为做匀减速直线运动的时间。 + +解得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} a = 7. 2 5 6 m / s ^ {2} \\ t _ {1} = 7 9. 0 5 1 s \\ t _ {2} = 1 7. 7 5 8 s \end{array} \right. +$$ + +可得出精避障阶段和缓速下降阶段所用的时间为 $t_{l2} = t_1 + t_2 = 96.809s$ ，单位时间内所耗燃料公斤数为 $\dot{m} = \frac{F_{l3}}{\nu_e} = 2.55$ 。则粗避障阶段所消耗的燃料为 $m^{\prime} = \dot{m} t_{l3} = 45.283kg$ ，在距离月球表面 $100m$ 时，嫦娥三号的质量为 $844.06 - 45.283 = 798.777kg$ 。 + +精避障阶段与缓速下降阶段： + +精细避障段的区间是距离月面 $100m$ 到 $30m$ 。要求嫦娥三号悬停在距离月面 $100m$ 处，对着陆点附近区域 $100m$ 范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方 $30m$ 处水平方向速度为 $0m / s$ 。缓速下降阶段的区间是距离月面 $30m$ 到 $4m$ 。该阶段的主要任务控制着陆器在距离月面 $4m$ 处的速度为 $0m / s$ ，即实现在距离月面 $4m$ 处相对月面静止。由此可知，嫦娥三号在距离月面 $100m$ 到 $4m$ 的时候速度均为零。从距离月面 $100m$ 到 $4m$ 的运动过程与粗避障阶段的运动过程一样，即分为自由落体运动和匀减速直线运动两个部分。 + +由式子（2.10）可求得 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} a = 7. 7 5 9 m / s ^ {2} \\ t _ {1} = 1 5. 6 0 2 s \\ t _ {2} = 3. 2 7 7 s \end{array} \right. +$$ + +则精避障阶段和缓速下降阶段所用的时间为 $t_{l4} = t_1 + t_2 = 18.879s$ ，单位时间内所耗燃料公斤数为 $\dot{m} = \frac{F_{l3}}{v_e} = 2.551$ 。则粗避障阶段所消耗的燃料为 $m^{\prime} = \dot{m} t_{l4} = 8.356kg$ ，在距离月球表面 $100m$ 时，嫦娥三号的质量为 $798.777 - 8.356 = 790.421kg$ 。 + +自由落体阶段： + +$$ +t _ {l 5} = \sqrt {\frac {2 h}{g _ {m}}} = 2. 2 2 s +$$ + +则六个阶段的总时间为 $t = t_{l1} + t_{l2} + t_{l3} + t_{l4} + t_{l5} = 759.938 \mathrm{~s}$ 。而在这 6 个阶段中燃料的消耗量为嫦娥三号质量的减少量，即 $2400 - 790.421 = 1609.579 \mathrm{~kg}$ 。 + +# 5.3模型III—误差和敏感性分析模型 + +# 5.3.1 误差分析 + +主减速段被业内形容为最惊心动魄的环节。在这个阶段，嫦娥三号要完全依靠自主导航控制，完成降低高度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键动作，人工干预的可能性几乎为零，因此此阶段对精度要求比较高。 + +基于问题二中建立的最优目标方程，我们采用控制变量的方法，进行主要影响因素对模型的误差分析。 + +在模型II中，我们设定一系列条件，在允许误差范围内最优解为 $t = 621s$ ，如图所示。为了让后面阶段能够在预测的轨道上正常运行，基于问题二中的算法，本文可以通过在适当的范围内改变变量的大小来推测模型的稳定性。 + +![](images/75841bf45d6bc51a33926c658bd87d81c41acaaf6431611b2b5b1bfffe25360d.jpg) +图15 水平速度变化趋势图 + +这里，我们主要考虑的因素是常推力 $F$ 、飞行器质量 $m$ 和初速度 $v_{0}$ 。 + +我们保持其他变量不变，只改变常推力 $F$ 的值，在[7400,7620]间隔内每改变20N运算一次，运行结果如下表所示： + +表 3 经历时间随推力变化 + +
F(N)t(s)F(N)t(s)
74006307520620
74206287540618
74406267560616
74606257580615
74806237600613
75006217620612
+ +由表中的数据可得，常推力 $F$ 每改变20N，该阶段的时间最优解改变1或2秒，即 $F$ 改变 $1\%$ ，时间 $t(s)$ 大约改变 $1.1\%$ ，从而可得模型可靠性非常高。 + +我们保持其他变量不变，只改变飞行器质量 $m$ 的值，在[2300,2520]间隔内每改变 $20\mathrm{kg}$ 运算一次，运行结果如下表所示： + +表 4 经历时间随飞行器质量变化 + +
m(kg)t(s)m(kg)t(s)
23005952420626
23206012440632
23406062460637
23606112480642
23806162500647
24006212520752
+ +由表中的数据可得，飞行器质量 $m$ 每改变 $20\mathrm{kg}$ ，该阶段的时间最优解改变5或6秒，即 $m$ 改变 $1\%$ ，时间 $t(s)$ 大约改变 $0.9\%$ ，从而可得模型可靠性非常高。 + +我们保持其他变量不变, , 只改变初速度 $\nu_{0}$ 的值, 在[1600,1820]间隔内每改变 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 运算一次, 运行结果如下表所示: + +表 5 经历时间随初速度变化 + +
v0(m/s)t(s)v0(m/s)t(s)
16005961720626
16206011740631
16406061760636
16606111780641
16806161800646
17006211820650
+ +我们保持其他变量不变，同时改变常推力 $F$ 和飞行器质量 $m$ 。由式（2.10）可得时间最优解不变。 + +我们保持其他变量不变，同时改变常推力 $F$ 和初速度 $\nu_{0}$ 的 $1\%$ ， $t(s)$ 改变 $0.7\%$ 结果如表所示。 + +表 6 经历时间随推力与速度百分比变化 + +
改变百分比t(s)
-0.03627
-0.02625
-0.01623
0.01619
0.02617
0.03615
+ +同理，可以同时只改变飞行器质量 $m$ 和初速度 $\nu_{0}$ ，或是同时只改变飞行器质量 $m$ 、初速度 $\nu_{0}$ 和飞行器质量 $m$ 。 + +综合以上分析，我们可以认为设计的模型具有较高的稳定性。 + +# 5.3.1.1 敏感性分析 + +敏感性分析分参数逐个进行，一次仅进行一个参数的敏感性分析。将当前进行敏感性分析的参数称为分析参数，其它参数称为非分析参数。敏感性分析的具体方法是，固定所有非分析参数的值不变，对分析参数，以其现值为中心，上、下各取若干个值分别进行模拟计算，求出模拟结果的变化随参数值变化的规律，以此判断参数是否敏感，原则上，当参数的值变化时，模拟过程有剧烈变化或较大变化时，该参数为高度敏感参数；当参数的值变化时，模拟的过程有明显变化时，该参数为敏感参数；当参数的值变化时，模拟的过程有一定变化，但不明显时，该参数为不敏感参数。 + +本文中主要对参数 $\nu_{e}$ 进行敏感性分析，主要研究部分依旧是主减速段，结果以时间 $t$ 展示。 + +表 7 速度变化率与时间关系表 + +
νe(m/s)t(s)
-0.03615
-0.02617
-0.01619
0.01623
0.02625
0.03627
+ +结果如表7所示。从表中可以看出，每增加或减少1个百分比，时间t减少或增减2s，大概 $0.03\%$ ，即参数 $\nu_{e}$ 为不敏感参数。 + +# 6 模型的讨论 + +# 6.1 模型的优点 + +(1) 分别建立了下降轨道参考系和月心赤道惯性系下的两种均匀球体模型,便于飞行轨迹的计算分析。 +(2) 模型 II 针对主减速阶段建立的最优化方程模型, 对轨道进行离散处理,避免了采用传统优化方法在解决此优化问题时对没有物理意义变量初值的猜测,使模型结论更具有准确性。 +(3) 模型 II 中分析精避障阶段，为求得更加精确地陨石坑分布位置，引入的“高程标准差”概念，相较于粗避障阶段该方法不仅新颖而且求解方式更精确，利于得出结论。 + +# 6.2 模型的局限性 + +(1) 模型 I 只适用于霍曼转移轨道与软着陆轨道处于同一平面的情况, 使用范围有限。 +(2) 针对精避障阶段分析所建模型, 由于没有用高程标准差方法表达地形起伏度的参考案例, 计算结果也是在特定地区的地形数据上计算得出的, 因而结论可能具有局限性。窗口的大小、栅格单元的大小、标准差的分级等都有待于通过更多的实验数据来验证, 以便发现规律, 制定标准, 促进应用。 + +# 参考文献 + +[1] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2011.1。 +[2] 马莉，MATLAB 数学实验与建模[M]，北京：清华大学出版社，2010。 +[3] 王鹏基, 张熵, 曲广吉, 月球软着陆飞行动力学和制导控制建模与仿真, 中国科学 (E辑: 技术科学), 2009 +[4] 王鹏基，张熵，曲广吉，月球软着陆下降轨迹与制导律优化设计研究，宇航学报，2007 +[5] 王大轶，月球软着陆的一种燃耗次优制导方法，宇航学报，第21卷，第4期，北京控制工程研究所 + +# 附录： + +# matlab程序1： + +```matlab +clc,clear; +q=pi\*22.62/180; +b=pi\*150/180; +c=pi\*25/180; +x=0; +y=0; +z=1752013; +r0=15000; +A=[1,0,0;0,0,1;0,-1,0]; +B=[cos(q),sin(q),0;-sin(q),cos(q),0;0,0,1]; +C=[1,0,0;0,cos(b),-sin(b);0,sin(b),cos(b)]; +D=[-cos(c),-sin(c),0;sinc(c),-cos(c),0;0,0,1]; +E=A\*B\*C\*D; +F=E'; +X=F\* [x,y,z]'; +Q=X(1,1)/X(2,1); +if X(1,1)>0 if X(2,1)>0 a=atan(Q)\*57.2957795131 else a=atan(Q)\*57.2957795131+360 end +else a=atan(Q)\*57.2957795131+180 end r=r0+1737013; W=X(3,1)/r; p=acos(W)\*57.2957795131 +q=pi\*22.62/180; +b=pi\*30/180; +c=pi\*25/180; +x=1209430; +y=0; +z=1246800; +r0=0; +A=[1,0,0;0,0,1;0,-1,0]; +B=[cos(q),sin(q),0;-sin(q),cos(q),0;0,0,1]; C=[1,0,0;0,cos(b),-sin(b);0,sin(b),cos(b)]; D=[-cos(c),-sin(c),0;sinc(c),-cos(c),0;0,0,1]; E=A\*B\*C\*D; +F=E'; +X=F\* [x,y,z]'; +Q=X(1,1)/X(2,1); +if X(1,1)>0 if X(2,1)>0 al=atan(Q)\*57.2957795131 else +``` + +```matlab +a1=atan(Q)*57.2957795131+360 end +else a1=atan(Q)\*57.2957795131+180 end r=r0+1737013; W=X(3,1)/r; p1=acos(W)\*57.2957795131 i=a1-a; j=p1-p; I=19.51-i J=44.12+j +``` + +# 程序2： + +```matlab +clc; clear; +m=imread('C:\Users\Princess\Desktop\A',124p3 +34a2400m'|µAÉy×Ö,8³Iͼ.tif'); +for i=800:1500 + for j=800:1100 +a=[m(i-1,j-1),m(i-1,j),m(i-1,j+1),m(i,j-1),m(i,j),m(i,j+1), m(i+1,j-1),m(i+1,j),m(i+1,j+1)]; + b=max(a)-min(a); + if b>=10 + c(1)=i; + c(2)=j; + c(3)=b; + c +end +end +``` + +# 程序3: + +clc; clear; +n=imread('C:\Users\Princess\Desktop\A\124p4 +34aOAAæ100m' $\mu$ AEyxO, B³I14.tif'); +for i=2:999 + for j=2:999 +d=[n(i-1,j-1), n(i-1,j), n(i-1,j+1), n(i,j-1), n(i,j), n(i,j+1), n(i+1,j-1), n(i+1,j), n(i+1,j+1)]; + d=num2str(d); + d=str2num(d); + for k=1:9 + e(k)=(d(k)-d(5))^2; + f(i-1,j-1)=sqrt((sum(e)/9)); +end +end + +end + +# 程序4: + +```matlab +clc; clear; +t0=500; +b=1:90; +vh=[];vh(t0)=1000; +vr=[];vr(t0)=1000; +q=3; +while 1 +if abs(vh(t0)-0)>q +ydata1=cos(pi*b/180); +xdata=linspace(0,t0,90); +for i=1:5 + a1=polyfit(xdata,ydata1,i); + A1=polyval(a1,xdata);%计算拟合函数在xdata处的值 + if sum((A1-ydata1)^2)<0.1 + c1=i; + break; + end +end +F=7500;m=2400;a=F/m;g=1.63; +vh(1)=1700; +vr(1)=0; +for t=1:1:t0 + vh(t+1)=vh(t)-F/(m-F/(2940*(1+0.03))*t)*polyval(a1,t); + ss=polyval(a1,t); + s(t)=acos(ss)*180/pi; + s=s'; + s=real(s); +end +t0=t0+1; +else break +end +end +figure +plot(vh); +xlabel('时间(s)');ylabel('水平速度');hold on +plot(0:620,q,'r.')； +figure +plot(s); +xlabel('时间(s)');ylabel('推力方向角'); +t0-1 +``` + +表格1: + +
xyxyxyxyxy
548245549267523275526280523288
544248530268537275537280549288
545248531268522276538280524289
547251532268523276554280536289
548251533268526276568280545290
539252548268534276526281555290
547252525269535276537281525291
567252530269564276538281545291
537253548269576276539281555291
538253524270522277554281556291
535254525270523277539282535292
536254548270535277540282556292
534255568270552277541282526293
537257524271553277554282523294
530258548271571277555282545294
526262549271522278556282546294
530262523272523278565282559294
529263524272535278539283523295
530263549272552278540283559295
535263562272553278541283527298
529264523273554278556283531298
530264524273555278557283537302
534264527273522279565283530305
554264528273523279522284541305
566264529273537279523284532306
528265519274553279523285553307
534265523274554279551285543310
566265527274568279552285544310
523266542274522280523286545310
522267522275523280523287546310
\ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2014/B009/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244.md" "b/MCM_CN/2014/B009/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..48951d8454202a8832ae11190a501d9ecfd82b63 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2014/B009/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244/B16046004_\347\250\213\345\217\214\346\263\275_\346\235\216\345\220\233\346\230\214_\351\231\210\345\207\214\345\213\244.md" @@ -0,0 +1,1456 @@ +![](images/3aabd1a4a7e54c1ed903d2e1c468290e35930912b5f3a66b54240870a3d4230a.jpg) + +![](images/6594e7cb67d8a6af9ba91c653bf17339ee540813098afbbf78fd08fd711d6bbd.jpg) + +(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) + +![](images/1438c8b3b1a68b6ee83426dbc8f839decc6a54a00b9dc6ace81650c4e7a32a57.jpg) + +( +( ) + +![](images/50fc04d521643175bb90420d6c82ffe7d51e356aa0b353e089ea20b8723b8f5d.jpg) + +( +( + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{c c c c c c c c c} & & & & & & & \\ & & & & y & & & z \\ & & & u & & P & & \\ v & & P & y o z \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \begin{array}{l} d \left(y - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right) \sin \theta = z \left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right). \\ u = L / 2 \qquad \qquad (5 - 1 2) \quad (5 - 1 3). \\ \qquad \qquad 2 0. 0 9 \quad 1 9. 6 0 \quad 1 8. 7 7 \quad 1 7. 5 9 \quad 1 6. 0 6 \quad 1 4. 1 4 \quad 1 1. 8 1 \quad 9. 0 0 \\ 5. 5 3 (\mathrm {c m}). \end{array} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c} & \text {(} & & & \\ & \theta & 1. 0 6 0 5 (\quad) & & \\ L & 1 5 8. 5 6 \mathrm {c m}. \end{array} \qquad \begin{array}{c c c c c} & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ & \text {(} & & & \\ \text {M a t l a b} & , \\ s & 4 3. 8 0 \mathrm {c m} \\ \text {s} & 4 3. 8 0 \mathrm {c m} \\ \text {L} & 1 5 8. 5 6 \mathrm {c m}. \end{array} +$$ + +8 + +1. $120\mathrm{cm}\times 50\mathrm{cm}\times 3\mathrm{cm}$ 2.5 cm 53 cm. +2. 70 cm 80 cm +3. 8 + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c} u, v & u & x & v \\ y O z & . & \overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O C} + \overrightarrow {C P} & \overrightarrow {O C} & \overrightarrow {C P} \\ & \overrightarrow {O P} & . & l \\ & ( & ). & \\ & & ( & ) \\ & & & . u \\ & . & \text {M a t l a b} \end{array} +$$ + +Matlab + +$L$ + +8 + +1. +2. +3. +4. + +$r$ +W +W +d +len +l +L: +$\theta$ +$h$ +S + +（ ） + +5.1 + +![](images/efc6eaa65eca064c35a80699172808ecf3717098d61a1ebb63700a66760b9fb4.jpg) +5-1 + +![](images/d6d895d2fbed06cbce700b0e7abfecc3164077516f971ecb6c83137b9734b568.jpg) +5-2 + +y + +x + +xoy + +5-2 + +5.2 （ ） + +5.1 + +$$ +P = (x, y, z) \quad u \quad P +$$ + +$xOz$ + +V + +P + +yOz + +$$ +\overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O C} + \overrightarrow {C P}. +$$ + +5-3 + +![](images/acd61c81590f57b6c8e84b0890984a073258d4434f40e1bdfc0279c2add20146.jpg) +5-3 + +BM + +B P + +(1) + +D P + +C P + +0 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} \\ z = 0 \end{array} \right. \tag {5-1} +$$ + +$$ +r = \sqrt {\left(\frac {W}{2}\right) ^ {2} + w ^ {2}} \tag {5-2} +$$ + +W W + +(2) $\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{CP}$ + +C P + +yOz $x = v$ + +C $xOz$ + +$xOz$ + +$$ +C \left(v, \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}, 0\right) +$$ + +$$ +\overrightarrow {O C} = \left(v, \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}, 0\right). \tag {5-3} +$$ + +$$ +C \quad \left| \overrightarrow {C P} \right| = u - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}. +$$ + +$$ +5 - 4 \quad 5 - 5 \quad M (v, d \cos \theta + w, d \sin \theta) +$$ + +$$ +\left| \overrightarrow {N M} \right| +$$ + +d + +$\theta$ + +![](images/dc5820733839a4505e6e95865476f879f96ee22273086cbccc840ae65511b481.jpg) +5-4 + +![](images/94f79716e5b21dc01a09a95356aae2f2ba0f0fa92a9fd00b4b81e646c6008374.jpg) +5-5 + +x + +$$ +\overrightarrow {C B} = \overrightarrow {O B} - \overrightarrow {O C} = \left(0, d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}, d \sin \theta\right). +$$ + +B + +$$ +\begin{array}{l} \left| \overrightarrow {C B} \right| = \sqrt {\left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right) ^ {2} + \left(d \sin \theta\right) ^ {2}} \\ = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - v ^ {2} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}} \cos \theta + 2 d w \cos \theta \\ \end{array} +$$ + +$$ +\overrightarrow {C P} = \frac {\overrightarrow {C B}}{\left| \overrightarrow {C B} \right|} \left| \overrightarrow {C P} \right| = \frac {\left(0 , d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} , d \sin \theta\right)}{\sqrt {\left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right) ^ {2} + \left(d \sin \theta\right) ^ {2}}} \left(u - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right) +$$ + +$$ +\overrightarrow {C P} = \frac {\left(0 , d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} , d \sin \theta\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - v ^ {2}} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} + 2 d w \cos \theta} \left(u - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right) \tag {5-4} +$$ + +(3) + +$$ +\overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O C} + \overrightarrow {C P} = \left(v, \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}, 0\right) + \frac {\left(0 , d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} , d \sin \theta\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - v ^ {2}} - 2 \left(d \cos \theta + w\right) \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} + 2 d w \cos \theta} \left(u - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right) \tag {5-5} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = v, \\ y = \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} + \frac {\left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right) \cdot \left(u - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - v ^ {2}} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} + 2 d w \cos \theta}, \\ z = \frac {d \sin \theta \left(u - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - v ^ {2}} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} + 2 d w \cos \theta}, \\ (u, v). \end{array} \right. \tag {5-6} +$$ + +(4) + +$$ +y - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} \quad z +$$ + +$$ +\frac {y - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}}{z} = \frac {d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}}{d \sin \theta} +$$ + +$$ +x = \nu +$$ + +$$ +z = \frac {d \left(y - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right) \sin \theta}{d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}} \tag {5-7} +$$ + +5.3 + +2n + +y + +5-1 + +x + +n + +i + +$$ +v = w i, C \left(w i, \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}, 0\right) \quad B = \left(w i, d \cos \theta + w, d \sin \theta\right), +$$ + +$$ +\left| \overrightarrow {B C} \right| = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - (w i) ^ {2} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - (w i) ^ {2}} + 2 d w \cos \theta}. +$$ + +$$ +l e n \left(x _ {i}\right) = \left| \overrightarrow {B C} \right| - \left(d + w - \frac {l}{2}\right) \quad l \quad i +$$ + +$$ +l e n \left(x _ {i}\right) = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - x ^ {2} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} + 2 d w \cos \theta} + \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} - d - w \tag {5-8} +$$ + +： + +$$ +\frac {l}{2} = \sqrt {r ^ {2} - (w i) ^ {2}} \tag {5-9} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} l e n \left(x _ {i}\right) = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - (w i) ^ {2} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - (w i) ^ {2}} + 2 d w \cos \theta} + \sqrt {r ^ {2} - (w i) ^ {2}} - d - w (5-10) \\ = \frac {L - l}{2} (5-11) \\ \end{array} +$$ + +L + +$$ += \frac {\frac {L}{2} - w}{2} - \operatorname {l e n} (i) = \frac {L}{4} - \frac {w}{2} - \operatorname {l e n} (i) \tag {5-12} +$$ + +5.4 + +L + +( ) + +$$ +(x) \quad \frac {L}{2}. \tag {5-6} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = v, \\ y = \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} + \frac {\left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right) \left(\frac {L}{2} - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - v ^ {2}} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} + 2 d w \cos \theta}, \\ z = \frac {d \sin \theta \left(\frac {L}{2} - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - v ^ {2}} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}} + 2 d w \cos \theta}, \\ (v). \end{array} \right. (5-13) \\ \left\{ \begin{array}{l} d \left(y - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right) \sin \theta = z \left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right) \\ d \sin \theta \left(\frac {L}{2} - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right) = z \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - x ^ {2} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} + 2 d w \cos \theta} \end{array} \right. (5-14) \\ \end{array} +$$ + +5.5 +5.5.1 + +$$ +\begin{array}{l} W = 5 0 \quad w = 2. 5 \tag {5-2} \\ r = \sqrt {\left(\frac {W}{2}\right) ^ {2} + w ^ {2}} = \sqrt {6 3 1 . 2 5} = 2 5. 1 2 5. \\ d = \frac {1}{2} \left(\frac {L}{2} - w\right) = 2 8. 7 5. \\ \end{array} +$$ + +$$ +h = 5 3 - 3 = 5 0 \quad 2 d = 5 7. 5 +$$ + +$$ +\sin \theta = \frac {h}{2 d} = \frac {5 0}{5 7 . 5} +$$ + +$$ +\theta = \arcsin \left(\frac {h}{2 d}\right) = \arcsin (0. 8 6 9 6) = 1. 0 5 4 3. +$$ + +(5-7) + +$$ +z = \frac {2 5 \left(y - \sqrt {6 3 1 . 2 5 - x ^ {2}}\right)}{1 6 . 7 0 - \sqrt {6 3 1 . 2 5 - x ^ {2}}} \tag {5-15} +$$ + +5.5.2 + +(1) + +$$ +\begin{array}{l} r ^ {2} = 6 3 1. 2 5 \quad w = 2. 5 \quad (5 - 9) \quad (5 - 1 1) \\ \frac {l}{2} = \sqrt {6 3 1 . 2 5 - 6 . 2 5 i ^ {2}}, \quad i = 1 \quad \dots \dots 1 0. \\ = 6 0 - \frac {l}{2}. \\ \end{array} +$$ + +
1(cm)
i12345678910
5049.2447.9646.143.5840.3236.0630.4222.365
32.532.8833.5234.4535.7137.3439.4742.2946.3255
+ +(2) + +$$ +\begin{array}{l} d = 2 8. 7 5, r ^ {2} = 6 3 1. 2 5, \sin \theta = \frac {5 0}{5 7 . 5} (5-10) \\ \operatorname {l e n} \left(x _ {i}\right) = \sqrt {1 4 6 4 . 0 6 - 6 . 2 5 i ^ {2} - 3 3 . 4 \sqrt {6 3 1 . 2 5 - 6 . 2 5 i ^ {2}} + 7 0 . 9 9} + \sqrt {6 3 1 . 2 5 - 6 . 2 5 i ^ {2}} - 3 1. 2 5 (5-16) \\ L = 1 2 0 c m, w = 2. 5 c m \quad (5 - 1 2) \quad = 2 8. 7 5 - l e n (i). \\ \end{array} +$$ + +
2(cm)
i12345678910
8.669.159.9811.1612.6914.6116.9419.7523.2228.75
20.0919.6018.7717.5916.0614.1411.819.005.530
+ +5.5.3 + +$$ +\begin{array}{l} d = 2 8. 7 5, r ^ {2} = 6 3 1. 2 5 \quad w = 2. 5 \quad \sin \theta = \frac {5 0}{5 7 . 5} (5-14) \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 5 \left(y - \sqrt {6 3 1 . 2 5 - x ^ {2}}\right) = z \left(1 6. 7 - \sqrt {6 3 1 . 2 5 - x ^ {2}}\right) \\ 2 5 \left(6 0 - \sqrt {6 3 1 . 2 5 - x ^ {2}}\right) = z \sqrt {1 5 3 5 . 0 6 - x ^ {2} - 3 3 . 4 \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}} \end{array} \right. (5-17) \\ \end{array} +$$ + +Matlab + +5-6( + +1) + +![](images/c640f2b7b6c6b61c64312ad58331d0de3cacf62c04c321bb6e8d19eb456f3d48.jpg) +5-6 + +![](images/4551e047b83d14612e70ed5f62f98f17c97fe9f17d00e04cdd023d540f31f29f.jpg) +（ ） + +5.5.4 + +$$ +r ^ {2} = 6 3 1. 2 5 +$$ + +$$ +x = w i +$$ + +$$ +(5 - 1) +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} w ^ {2} i ^ {2} + y ^ {2} = 6 3 1. 2 5 \\ z = 0 \end{array} \right. +$$ + +BM + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x = w i \\ y = d \cos \theta + w \\ z = d \sin \theta \end{array} \right. +$$ + +$$ +i = - 1 0, \dots , 0, 1, 2, \dots , 1 0 +$$ + +$$ +x > 0 +$$ + +20 + +$$ +C _ {i} \left(x _ {c _ {i}}, y _ {c _ {i}}, z _ {c _ {i}}\right) \quad B _ {i} \left(x _ {b _ {i}}, y _ {b _ {i}}, z _ {b _ {i}}\right), i = - 1 0, \dots , 0, 1, 2, \dots , 1 0. +$$ + +C + +B + +D + +$$ +D _ {i} \left(x _ {d _ {i}}, y _ {d _ {i}}, z _ {d _ {i}}\right), i = - 1 0, \dots , 0, 1, 2, \dots , 1 0. +$$ + +B + +$$ +\left| \overrightarrow {B D} \right| = l - \left| \overrightarrow {C A} \right| - \left| \overrightarrow {B C} \right| +$$ + +$$ +A _ {i} = (w i, 0, 0) \quad i = - 1 0, \dots , 0, 1, 2, \dots , 1 0. +$$ + +$$ +k = \frac {\frac {L}{2} - \left| \overrightarrow {A C} \right|}{\left| \overrightarrow {B C} \right|} +$$ + +$$ +\frac {x _ {d _ {i}} - x _ {c _ {i}}}{x _ {b _ {i}} - x _ {c _ {i}}} = \frac {y _ {d _ {i}} - y _ {c _ {i}}}{y _ {b _ {i}} - y _ {c _ {i}}} = \frac {z _ {d _ {i}} - z _ {c _ {i}}}{z _ {b _ {i}} - z _ {c _ {i}}} = k +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x _ {d _ {i}} = x _ {c _ {i}} + k \left(x _ {b _ {i}} - x _ {c _ {i}}\right) \\ y _ {d _ {i}} = y _ {c _ {i}} + k \left(y _ {b _ {i}} - y _ {c _ {i}}\right) \\ z _ {d _ {i}} = z _ {c _ {i}} + k \left(z _ {b _ {i}} - z _ {c _ {i}}\right) \end{array} \right. +$$ + +D + +B + +$\theta$ + +$\theta$ + +$$ +\theta = \frac {1}{6} \times 1. 0 5 4 3, \frac {2}{6} \times 1. 0 5 4 3, \frac {3}{6} \times 1. 0 5 4 3, \frac {4}{6} \times 1. 0 5 4 3, \frac {5}{6} \times 1. 0 5 4 3, 1. 0 5 4 3, \quad \text {m a t l a b} +$$ + +5-7( + +2) + +![](images/7e3c619192c0e7300e96f2ad66cc9aea5fcd3ac11ae0353b453584d337f5656c.jpg) + +![](images/e6bd066a783600f1e14be83ec7bdbe1e41a9b0c8eabf8d914fc7e30882a8a89b.jpg) + +![](images/37b8a2a61f6cca4887fdfd1b2002375ba2a786709dc1c30f4487d532041e50ae.jpg) + +![](images/5f8a976f4aef14076fd0c098a8f3a3771217de232c92b8f5c720fbcefdacaa67.jpg) + +![](images/09e218b0328aac01ebeac2f31c7de0c0efa09f2061659c7c79aaefebccd32ecd.jpg) + +![](images/00f5c058fde03c7f328c563e3ce8129301978db1b4a681cc6ceeed9b722758fa.jpg) + +5-7 + +6.1 +6.1.1 + +L + +$\theta$ + +6-1 + +6-2 + +![](images/6d520aba07cbd2dbf4455f13a5dd5dc8345a5b8cd3808284841432718b4caccc.jpg) + +![](images/6680052f565458c4bf90d75aa47121bfd6473f63dbf3eacd993f6c7c110ac4c5.jpg) + +6-1 + +6.1.2 + +(1) + +![](images/e92a8239f799d742b2d202bcd288aafea5befd6a657fb2b7216a5e5df0765da7.jpg) + +6-2 + +（ ） + +$$ +\min \frac {h}{\sin \theta} \quad \max \sin \theta \tag {6-1} +$$ + +(2) + +W W + +$$ +2 n = \frac {W}{w} +$$ + +4n + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {n} \operatorname {l e n} \left(x _ {i}\right) \tag {6-2} +$$ + +$$ +x _ {i} = w i \quad i \tag {5-9} +$$ + +$$ +l e n \left(x _ {i}\right) = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - (w i) ^ {2} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - (w i) ^ {2}} + 2 d w \cos \theta} + \sqrt {r ^ {2} - (w i) ^ {2}} - d - w +$$ + +$$ +d = \frac {h}{\sin \theta} - s. +$$ + +6.1.3 + +(1) + +$\theta$ + +S. + +$$ +\operatorname {l e n} \left(x _ {i}\right) < s - \lambda , \quad i = 1, 2, \dots , n \tag {6-3} +$$ + +(2) + +$$ +y \quad y _ {D} (x _ {i}) +$$ + +$$ +y _ {D} \left(x _ {i}\right) \geq 0, i = 1, 2, \dots , n \tag {6-4} +$$ + +$$ +(5 - 1 2) +$$ + +$$ +y _ {D} (x) = \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} + \frac {\left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right) \left(d + w - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - x ^ {2}} - 2 \left(d \cos \theta + w\right) \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} + 2 d w \cdot \cos \theta} +$$ + +(3) + +W a + +$$ +2 (w + h \cot \theta) \geq a W \tag {6-5} +$$ + +(4) + +4 + +4 （ h). 2 $z$ （20 $z_{D}(x_{i})$ （20 + +$$ +z _ {D} \left(x _ {i}\right) \leq h, i = 1, 2, \dots , n - 1 \tag {6-6} +$$ + +Z + +$$ +z _ {D} (x) = \frac {d \sin \theta \left(\frac {L}{2} - \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}}\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - x ^ {2}} - 2 (d \cos \theta + w) \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} + 2 d w \cos \theta} +$$ + +6.1.4 + +(6-1) (6-2) + +$$ +(6 - 3) (6 - 4) (6 - 5) (6 - 6) +$$ + +$$ +\min h / \sin \theta +$$ + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {n} \operatorname {l e n} \left(x _ {i}\right) \tag {6-7} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} l e n \left(x _ {i}\right) < s - \lambda , i = 1, 2, \dots , n \\ y _ {D} \left(x _ {i}\right) \geq 0, i = 1, 2, \dots , n \\ 2 (w + h \cot \theta) \geq a W \\ z _ {D} \left(x _ {i}\right) \leq h, i = 1, 2, \dots , n - 1 \end{array} \right. +$$ + +( ) + +$$ +l e n \left(x _ {i}\right) = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - x _ {i} ^ {2} - 2 \left(d \cos \theta + w\right) \sqrt {r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}} + 2 d \cos \theta \cdot w} + \sqrt {r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}} - d - w +$$ + +$$ +y _ {D} \left(x _ {i}\right) = \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} + \frac {\left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}}\right) \left(d + w - \sqrt {r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}}\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}} - 2 \left(d \cos \theta + w\right) \sqrt {r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}} + 2 d w \cdot \cos \theta} +$$ + +$$ +z _ {D} \left(x _ {i}\right) = \frac {d \sin \theta \left(\frac {L}{2} - \sqrt {r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}}\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}} - 2 \left(d \cos \theta + w\right) \sqrt {r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}} + 2 d w \cos \theta} +$$ + +$$ +x _ {i} = w i \quad d = \frac {h}{\sin \theta} - s. +$$ + +6.1.5 + +6-2 + +L + +$$ +\begin{array}{l} L = 2 \left(w + \frac {h}{\sin \theta}\right) \\ = s - \operatorname {l e n} (i). \\ \end{array} +$$ + +6.2 +6.21 + +Matlab + +$$ +h = 7 0 c m \quad w = 2. 5 \quad W = 8 0 c m. +$$ + +$$ +\lambda = 5 \quad a \quad 1 \quad 0. 6 1 8 +$$ + +(6-6) + +$$ +\begin{array}{l} \min 7 0 / \sin \theta \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} \operatorname {l e n} \left(x _ {i}\right) < s - 5, i = 1, 2, \dots , n \\ y _ {D} \left(x _ {i}\right) \geq 0, i = 1, 2, \dots , n \\ 5 + 1 4 0 \cot \theta \geq 8 0 \\ z _ {D} \left(x _ {i}\right) \leq h, i = 1, 2, \dots , n - 1 \end{array} \right. \\ \theta = 1. 0 6 0 5 \quad L = 1 5 8. 5 6. \quad \theta = 1. 0 6 0 5 \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{c} \min \sum_ {i = 1} ^ {n} l e n (x _ {i}) \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} l e n (x _ {i}) < s - 5, i = 1, 2, \dots , n \\ y _ {D} (x _ {i}) \geq 0, i = 1, 2, \dots , n \\ 5 + 1 4 0 \cot \theta \geq 8 0 \\ z _ {D} (x _ {i}) \leq h, i = 1, 2, \dots , n - 1 \end{array} \right. \\ s = 4 3. 8 0. \\ \theta \quad 1. 0 6 0 5 (\quad) \end{array} +$$ + +$s$ 43.80cm $L$ 158.56cm. + +6.2 2 + +(1) + +$$ +\begin{array}{r l} & d = \frac {L}{2} - s - 2. 5 = 3 2. 9 8 \\ W = 8 0 & w = 2. 5 \quad (5 - 2) \\ & r ^ {2} = \left(\frac {W}{2}\right) ^ {2} + w ^ {2} = 1 6 0 6. 2 5 c m. \\ d = 3 2. 9 8 & r ^ {2} = 1 6 0 6. 2 5 \quad \theta = 1. 0 6 0 5 \quad (5 - 1 0) \\ & \text {l e n} (i) = \sqrt {2 2 1 5 . 8 3 - 6 . 2 5 i ^ {2}} - 4 9. 3 7 \sqrt {1 6 0 6 . 2 5 - 6 . 2 5 i ^ {2}} + \sqrt {1 6 0 6 . 2 5 - 6 . 2 5 i ^ {2}} - 2 4. 6 5 \\ s = 5 8. 8 3 & = s - \text {l e n} (i) \end{array} +$$ + +3. + +
3 cm)
i12345678
4.835.195.806.667.769.1310.7712.69
38.9738.6138.0037.1536.0434.6733.0331.11
i910111213141516
14.9117.4320.2923.5227.1631.3036.16-
28.9026.3723.5120.2816.6412.517.64-
+ +(2) + +$$ +\begin{array}{l l} r ^ {2} = 1 6 0 6. 2 5 & w = 2. 5 \quad (5 - 9) \\ & \frac {l}{2} = \sqrt {r ^ {2} - (w i) ^ {2}} = \sqrt {1 6 0 6 . 2 5 - 6 . 2 5 i ^ {2}}. \end{array} +$$ + +$$ +L = 1 5 8. 5 6 \quad w = 2. 5 \tag {5-11} +$$ + +$$ += 7 9. 2 8 - \frac {l}{2} +$$ + +4. + +
4(cm)
i12345678
8079.5278.7477.6276.1674.3472.1269.46
39.2839.5239.9140.4741.242.1143.2244.55
i910111213141516
66.3462.6458.353.1646.939.0628.285
46.1147.9650.1352.755.8359.7565.1476.78
+ +6.23 + +5.5.4 4) 6-4. + +70 cm 80cm + +![](images/94d554c8782939bb65cf3f553b6e9fa4336cd53e73d16a19cc703f5ff7fecffa.jpg) + +6-4 (70 cm 80 cm) + +7.1 + +( + +$$ +y = f (x) +$$ + +$y = g(x)$ 7-1. + +![](images/77f4f22d28dba882ea825f1a9bd57ba1ada0a43bb389023b77cf9cca24e5a190.jpg) + +7-1 + +$$ +\begin{array}{l} f (x) \quad \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} \\ f (x) \quad \sqrt {r ^ {2} - x ^ {2}} (\quad f (v) \quad \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}) (5-6) (5-7) \\ \left\{ \begin{array}{l} x = v, \\ y = f (v) + \frac {\left(d \cos \theta + w - f (v)\right) \cdot \left(u - f (v)\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} (v) - 2 (d \cos \theta + w) f (v) + 2 d w \cos \theta}}, \\ z = \frac {d \sin \theta (u - f (v))}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} (v) - 2 (d \cos \theta + w) f (v) + 2 d w \cos \theta}}, \\ (u, v \quad .) \end{array} \right. (7-1) \\ z = \frac {d (y - f (x)) \sin \theta}{d \cos \theta + w - f (x)} (7-2) \\ \end{array} +$$ + +$d$ + +W + +$$ +(x, y) = (x, g (x)) \quad (x) \quad u = g (x) +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = v, \\ y = f (v) + \frac {\left(d \cos \theta + w - \sqrt {r ^ {2} - v ^ {2}}\right) \cdot \left(g (v) - f (v)\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} (v) - 2 (d \cos \theta + w) f (v) + 2 d w \cos \theta}}, \\ z = \frac {d \sin \theta \left(g (v) - f (v)\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} (v) - 2 (d \cos \theta + w) f (v) + 2 d w \cos \theta}}, \\ (v \quad .) \end{array} \right. \tag {7-3} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} d (y - f (x)) \sin \theta = z (d \cos \theta + w - f (x)) \\ d (g (x) - f (x)) \sin \theta = z \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} (x) - 2 (d \cos \theta + w) f (x) + 2 d w \cos \theta} \end{array} \right. \tag {7-4} +$$ + +$$ +l e n \left(x _ {i}\right) = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} \left(x _ {i}\right) - 2 (d \cos \theta + w) f \left(x _ {i}\right) + 2 d w \cos \theta} + f \left(x _ {i}\right) - d - w \tag {7-5} +$$ + +7.2 + +$$ +y = f (x) \quad y = g (x) +$$ + +$h$ 2 + +$$ +\min h / \sin \theta +$$ + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {n} \operatorname {l e n} \left(x _ {i}\right) \tag {7-6} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} l e n \left(x _ {i}\right) < s - \lambda , i = 1, 2, \dots , n \\ y _ {D} \left(x _ {i}\right) \geq 0, i = 1, 2, \dots , n \\ 2 \left(w + h \cot \theta\right) \geq a W \\ z _ {D} \left(x _ {i}\right) \leq h, i = 1, 2, \dots , n - 1 \end{array} \right. +$$ + +s （ ） + +$$ +\begin{array}{l} a \quad \lambda \quad . \quad s \quad \theta \\ \operatorname {l e n} (x _ {i}) = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} (x _ {i}) - 2 (d \cos \theta + w) f (x _ {i}) + 2 d \cos \theta \cdot w} + f (x _ {i}) - d - w \end{array} +$$ + +$$ +y _ {D} \left(x _ {i}\right) = f \left(x _ {i}\right) + \frac {\left(d \cos \theta + w - f \left(x _ {i}\right)\right) \left(d + w - f \left(x _ {i}\right)\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} \left(x _ {i}\right) - 2 \left(d \cos \theta + w\right) f \left(x _ {i}\right) + 2 d w \cdot \cos \theta}} +$$ + +$$ +z _ {D} \left(x _ {i}\right) = \frac {d \sin \theta \left(g \left(x _ {i}\right) - f \left(x _ {i}\right)\right)}{\sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} \left(x _ {i}\right) - 2 (d \cos \theta + w) f \left(x _ {i}\right) + 2 d w \cos \theta}} +$$ + +$$ +x _ {i} = w i \quad d = \frac {h}{\sin \theta} - s. +$$ + +7.3 + +7.3.1 + +![](images/b7490fe3803900df444624c5573dc3034e2db19cf00cd610ab46a6275fc6ed97.jpg) +7-2 + +(1) + +6.2.1 + +$$ +h = 5 7 \quad w = 2. 5 \quad W = 6 0. \quad \lambda = 5 \quad a = 1 \tag {7-6} +$$ + +5) + +$$ +\theta = 1. 0 4 7 2 \quad s = 3 2. +$$ + +(2) + +$$ +d = \frac {h}{\sin \theta} - s = 3 6. 3 1 8 \quad w = 2. 5 \quad \theta = 1. 0 4 7 2 +$$ + +$$ +l e n \left(x _ {i}\right) = \sqrt {d ^ {2} + w ^ {2} + f ^ {2} \left(x _ {i}\right) - 2 (d \cos \theta + w) f \left(x _ {i}\right) + 2 d \cos \theta \cdot w} + f \left(x _ {i}\right) - d - w +$$ + +5. + +5. + +
5(cm)
i123456789101112
137.07137.30137.74138.38139.20140.19141.31142.53143.81145.07146.28147.36
29.5029.2328.7127.9326.8925.5823.9822.1019.9417.4914.7611.766
2.502.773.2974.075.116.428.029.9012.06114.51117.24420.24
60555045403530252015105
44.5746.9549.2451.4453.5655.5957.5359.3861.1462.8064.3665.82
+ +(3) + +$\theta$ + +$\theta$ + +$$ +\theta = 0, 0. 1 4 9 6, 0. 2 9 9 2, 0. 4 4 8 8, 0. 5 9 8 4, 0. 7 4 8 0, 0. 8 9 7 6, 1. 0 4 7 2 +$$ + +matlab + +7-3 + +7-4. ( + +6) + +![](images/259d4de917edb1341ecf816b815a4729cfe5a400e7beb503e31f7b53948cc8b2.jpg) + +![](images/652f250bdc130873844c4052f55d73384e30084a1e6edd019fd44f2ca7d8f645.jpg) + +![](images/e91aaa083f9b07895a89795ec1385bafa7459c50f43c9e780130c8ef1a62d927.jpg) + +7-4 + +# 7.3.2 8 + +70cm + +8 (7-5) + +60cm + +![](images/46ae8b654c640265aeba83ba4a21176dabcad5e7640323de4a4b9b064cfab05c.jpg) +7-5 8 + +$h = 67\quad w = 2.5\quad W = 90.\quad \lambda = 5\quad a = 1$ (7-6) （7） $\theta = 1.2217$ （ ） $s = 40$ ： + +6. + +
6 8(cm)
i123456789
149.2149.1148.9148.5147.9147.1146.2145.1143.8
30.2826.0222.6919.9417.6415.7214.1412.8711.90
9.7213.9817.3120.0622.3624.2825.8627.1328.10
106.03114.54121.20126.70131.31135.15138.31140.84142.77
106.03114.54121.20126.70131.31135.15138.31140.8459.4
i1011121314151617
23.8122.4421.6221.3521.6222.4423.8125.74
11.2210.8110.6810.8111.2211.9012.8714.14
28.7829.1929.3229.1928.7828.1027.1325.86
23.8122.4421.6221.3521.6222.4423.8125.74
144.14144.96145.23144.96144.14142.77140.84138.31
+ +matlab + +7-6 7-7.（ + +7) + +![](images/6d02569db3eac9417ff62c6c275d043e160561863aeb21aad8b08f2ae97c24f4.jpg) + +![](images/548e76d1122ab2c8ff0ee2fef5666af9e4cee9a70b119aee604eba667f12003b.jpg) + +8.1 +8.2 +8.3 + +d + +$\theta (x_{i})$ + +$\theta (x_{i})$ + +$f(x)$ + +
ψ(x)
ψ(x)ψ(x)
f(x)ψ(x)
[1]( )2006.
[1]2007.
+ +# 1 + +%canshu + +$\mathrm{w} = 2.5$ + +$\mathrm{r} = \mathrm{sqrt}(100 + 1)^{*}\mathrm{w};$ + +$1 = 60 - w$ + +$d = 1 / 2$ + +$h = 53 - 3$ + +theta $=$ asin(h/l); + +%shengcheng canshu + +$\mathrm{v} = -25:25$ + +u=25:60: + +[ [\mathrm{u},\mathrm{v}] = \text{meshgrid}(\mathrm{u},\mathrm{v}) ] + +%qumian canshu fangcheng + +$\mathrm{X = V}$ + +$\mathrm{y} = \mathrm{sqrt}(\mathrm{r}^{\wedge}2 - \mathrm{v}.^{\wedge}2) + (\mathrm{d}^{*}\cos (\mathrm{theta}) + \mathrm{w - sqrt}(\mathrm{r}^{\wedge}2 - \mathrm{v}.^{\wedge}2))$ + +$^{*}(\mathrm{u - sqrt(r^{\wedge}2 - v.^{\wedge}2)) / sqrt(d^{\wedge}2 + w^{\wedge}2 + r^{\wedge}2 - v.^{\wedge}2 - 2^{*}(d^{*}}}$ + +$\cos (\mathrm{theta}) + \mathrm{w})^{*}\mathrm{sqrt}(\mathrm{r}^{\wedge}2 - \mathrm{v}.^{\wedge}2) + 2^{*}\mathrm{d}^{*}\mathrm{w}^{*}\cos (\mathrm{theta}))$ + +$\mathrm{z = d^{*}sin(theta)^{*}(u - sqrt(r^{\wedge}2 - v.^{\wedge}2)). / sqrt(d^{\wedge}2 - + w^{\wedge}2 + }$ + +$\mathbf{r}^{\wedge}2$ -v.^2-2\*d\*cos(theta)+w\*sqrt(r^2-v.^2) $+2^{*}\mathrm{d}^{*}$ + +w\*cos(theta)); + +$\mathrm{Z} = -\mathrm{Z}$ + +%cemian tuxiang + +figure(1); + +mesh(x,y,z); + +%zhuojiao bianyuanxian + +$\mathrm{u} = 60$ + +v=-25:25; + +$\mathrm{X = V}$ + +$\mathrm{y = sqrt(r^{\wedge}2 - v.^{\wedge}2) + (d^{*}\cos(\theta e t a) + w - sqrt(r^{\wedge}2 - v.^{\wedge}2))}$ + +$\mathrm{^*u - sqrt(r^{\wedge}2 - v.^{\wedge}2)) / sqrt(d^{\wedge}2 + w^{\wedge}2 + r^{\wedge}2 - v.^{\wedge}2 - 2^{*}(d^{*}}$ + +$\cos (\mathrm{theta}) + \mathrm{w})^{*}\mathrm{sqrt}(\mathrm{r}^{\wedge}2 - \mathrm{v}.^{\wedge}2) + 2^{*}\mathrm{d}^{*}\mathrm{w}^{*}\cos (\mathrm{theta}))$ + +$\mathrm{z = d^{*}sin(theta)^{*}(u - sqrt(r^{\wedge}2 - v.^{\wedge}2)). / sqrt(d^{\wedge}2 - + w^{\wedge}2 + }$ + +$\mathrm{r}^{\wedge}2$ -v.^2-2\*d\*cos(theta)+w\*sqrt(r^2-v.^2)+2\*d\* + +w\*cos(theta)); + +Z=-Z; + +figure(2); + +plot3(x,y,z,'LineWidth',2); + +grid on; + +# 2 + +%canshu + +$\mathrm{w} = 2.5$ + +$\mathrm{r} = \mathrm{sqrt}(100 + 1)^{*}\mathrm{w};$ + +$1 = 60 - w$ + +$d = 1 / 2$ + +$h = 53 - 3$ + +theta $=$ asin(h/l); + +%zhuobian dian zuobiao + +xc=-10:10; + +XC=XC\*W; + +yc=sqrtr^2-xc.^2); + +zc=zeros(1,21); + +%gangjin dian zuobiao + +$\mathrm{xg} = -10:10$ + +$\mathrm{Xg = Xg^{*}W}$ + +$\mathrm{yg = d^{*}cos(theta)^{*}ones(1,21) + w}$ + +$\mathrm{zg = d^{*}sin(\theta t h e t a)^{*}ones(1,21)}$ + +%zhuobian dao gangjin de juli: + +for $i = 1:21$ + +dis(i) $\equiv$ norm([xc(i),yc(i),zc(i)]-[xg(i),yg(i),zg(i)]; + +end + +%kaicang dao banbian de juli: + +for $i = 1:21$ + +$\mathrm{margin(i) = 60 - yc(i) - dis(i)}$ + +end + +%mubandingdian zuobiao + +for $i = 1:21$ + +$\mathrm{k = (margin(i) + dis(i)) / dis(i)}$ + +$\mathrm{xd(i) = xc(i) + k^* (xg(i) - xc(i))}$ + +$\mathrm{yd(i) = yc(i) + k^*(yg(i) - yc(i))}$ + +$\mathrm{zd(i) = zc(i) + k^* (zg(i) - zc(i))}$ + +end + +figure(1); hold on; + +plot3(xc,yc,zc,'*', 'LineWidth',2); + +plot3(xg,yg,zg,'r','LineWidth',2); + +for $i = 1:21$ + +line([xc(i),xg(i)],[yc(i),yg(i)],[zc(i),zg(i)],'LineWidth + +th',2); + +line([xd(i),xg(i)],[yd(i),yg(i)],[zd(i),zg(i)],'LineWi + +dth',2); + +end + +figure(1); hold on; + +plot3(xc,-yc,zc,'*k'); + +plot3(xg,-yg,zg,'t'); + +for $i = 1:21$ + +line([xc(i),xg(i)],[-yc(i),-yg(i)],[zc(i),zg(i)],'LineW + +```c +idth',1,'Color',[.2..2.]); + +line([xd(i),xg(i)],[-yd(i),-yg(i)],[zd(i),zg(i)],'LineW + +```c +idth',1,'Color',[.2..2.]); + +end + +plot3(xc,yc,zc);plot3(xc,-yc,zc); + +line([xc(1),xc(1)],[yc(1),-yc(1)],[zc(1),zc(1)],'Line + +Width',2); + +line([xc(21),xc(21)],[yc(21),-yc(21)],[zc(21),zc(21) + +)], 'LineWidth', 2); + +view(3) + +$[\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}] = \mathrm{sphere}(30)$ + +$\mathrm{X = 25^{*}X;Y = 25^{*}Y;Z = zeros(31)}$ + +surf(X,Y,Z); + +colormap(spring); + +alpha(.5) + +shading interp; axis equal; axis off; + +# 3 (2) + +global w h a W r x lamda; + +$\mathrm{w = 2.5}$ $\mathrm{h = 70 - 3;a = 1;W = 80}$ ;lamda $= 1.5$ r=sqrt(40\*40 + ++2.5\*2.5); + +$\mathrm{x = [2.5:2.5:40]^{\prime}}$ + +$\mathrm{ts0} = [\mathrm{pi} / 4,\mathrm{h} / 2]$ + +$\mathrm{lb} = [0,0]$ + +ub=[pi/2,h]; + +ts=fmincon(@objfun,ts0,[],[],[],],lb,ub,@confun) + +# objfun.m + +function f=objfun(ts) + +$\mathrm{f = -sin(ts(1))}$ + +%di er mubiao + +$\% \mathrm{l} = \mathrm{w} + \mathrm{h} / \sin (\mathrm{ts}(1));$ + +$\% \mathrm{d} = 1 - \mathrm{ts}(2)$ + +$\% \mathrm{q} = 32.5$ -abs(x); + +$\% \mathrm{len} = \mathrm{sqrtd}(\mathrm{d}^{\wedge}2 - + \mathrm{w}^{\wedge}2 + \mathrm{q}^{\wedge}2 - 2^{*}(\mathrm{d}^{*}\cos (\mathrm{ts}(1)) + \mathrm{w})^{*}\mathrm{q} +$ + +$2^{*}\mathrm{d}^{*}\mathrm{w}^{*}\cos (\mathrm{ts}(1))) + \mathrm{q - d - w}$ + +$\% \mathrm{f} = \mathrm{sum}(\mathrm{len})$ + +# confun.m + +function [c,ceq]=confun(ts) + +$\% \mathrm{ts} = [\mathrm{theta},\mathrm{s}]$ + +global w h a W r x lamda; + +$l = w + h / \sin (ts(1))$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{l}\cdot \mathrm{ts}(2)$ + +q=sqrtr(\^2-x.^2); + +[ \text{len} = \sqrt{\text{sqrt}(\text{d}^2 - +\text{w}^2 + \text{r}^2 - \text{x}.^2 - 2^* (\text{d}^* \cos(\text{ts}(1)) + \text{w})^*} ] + +q+2\*d\*w\*cos(ts(1)))+q-d-w; + +$\mathrm{c = [a^{*}W - 2^{*}(w + h^{*}\cot(ts(1)))}$ + +$-(\mathbf{q} + (\mathbf{d}^{*}\cos (\mathbf{ts}(1)) + \mathbf{w - q}).^{*}(\mathbf{l - q}).$ /sqrt(d^2--w^2+r^2- + +x.^2-2\*(d\*cos(ts(1))+w)\*q+2\*dw\*cos(ts(1))) + +len-ts(2)+lamda + +]; + +$\mathrm{ceq} = []$ + +# 4 2 + +%canshu + +global wh a Wrx lamda n; + +$\mathrm{w} = 2.5;\mathrm{h} = 70 - 3;\mathrm{a} = 1;\mathrm{W} = 80;\mathrm{l}$ amda $= 5$ r $\equiv$ sqrt(40*40+ + +2.5*2.5); + +%youhua qiujie + +$\mathrm{x = [2.5:2.5:40]^{\prime}}$ + +$\mathrm{ts0} = [\mathrm{pi / 4,h / 2}]$ + +$\mathrm{lb} = [0,0]$ + +ub=[pi/2,h]; + +ts=fmincon(@objfun,ts0,[], [], [],],lb,ub,@confun) + +```python +theta = ts(1); % youhua jieguo + +s=ts(2); %youhua jieguo + +$\mathrm{l = w + h / sin(\theta t h e t a)}$ + +$\mathrm{d} = 1 - \mathrm{s}$ + +$\mathrm{n = 80 / 2.5 + 1}$ + +%zhuobian dian zuobiao + +xc=-40:2.5:40; + +yc=sqrt(r^2-xc.^2); + +zc=zeros(1,n); + +%gangjin dian zuobiao + +$\mathrm{xg} = -40:2.5:40$ + +$\mathrm{yg = d^{*}cos(\thetaeta)^{*}ones(1,n) + w}$ + +$\mathrm{zg = d^{*}sin(theta)^{*}ones(1,n)}$ + +%zhuobian dao gangjin de juli: + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +dis(i) $\equiv$ norm([xc(i),yc(i),zc(i)]-[xg(i),yg(i),zg(i)]; + +end + +%kaicang dao banbian de juli: + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +$\mathrm{margin(i) = l - yc(i) - dis(i)}$ + +end + +%mubandingdian zuobiao + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +$\mathrm{k = (margin(i) + dis(i)) / dis(i)}$ + +$\mathrm{xd(i) = xc(i) + k^* (xg(i) - xc(i))}$ + +$\mathrm{yd(i) = yc(i) + k^*(yg(i) - yc(i))}$ + +$\mathrm{zd(i) = zc(i) + k^* (zg(i) - zc(i))}$ + +end + +figure(1); hold on; + +plot3(xc,yc,zc,'*'); + +plot3(xg,yg,zg,'r'); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +line([xc(i),xg(i)],[yc(i),yg(i)],[zc(i),zg(i)],'LineWidth + +th',2); + +```c +line([xd(i),xg(i)],[yd(i),yg(i)],[zd(i),zg(i)],'LineWi' + +$\mathrm{dth^{\prime},2)}$ + +end + +figure(1); hold on; + +plot3(xc,-yc,zc,'*'); + +plot3(xg,-yg,zg,''); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +line([xc(i),xg(i)],[-yc(i),-yg(i)],[zc(i),zg(i)],'LineW + +$\mathrm{width}^{\prime},1,\mathrm{Color}^{\prime},[.2.2.2])$ + +line([xd(i),xg(i)],[-yd(i),-yg(i)],[zd(i),zg(i)],'LineWidth',1,'Color',[.2 .2 .2]); +end + +plot3(xc,yc,zc);plot3(xc,-yc,zc); line([xc(1),xc(1)],[yc(1),-yc(1)],[zc(1),zc(1)], 'Line Width',2); line([xc(n),xc(n)],[yc(n),-yc(n)],[zc(n),zc(n)], 'Line Width',2); view(3) + +$\mathrm{[X,Y,Z] = sphere(30)}$ $\mathrm{X = l^{*}X / 2;Y = l^{*}Y / 2;Z = zeros(31)}$ +surf(X,Y,Z); +colormap(spring); +alpha(.5) +shading interp; axis equal; axis off; + +# 5 (3) + +global w h a W x lamda; +w=2.5:h=60-3;a=1;W=60:lamda=5; +x=[2.5:2.5:30]'; +%8xing, gaiwei: +%w=2.5:h=70-3;a=1;W=90:lamda=5; +%x=[2.5:2.5:45]'; +ts0=[pi/4,h/2]; +lb=[0,0]; +ub=[pi/2,h]; +ts=fmincon(@objfun,ts0,[],[],[],],lb,ub,@confun) + +```python +confun.m: + function [c,ceq] = confun(ts) + %ts = [theta, s]; + +global w h a W x lamda; +l=w+h/sin(ts(1)); +d=l-ts(2); +q=32.5-abs(x); %8xing, gaiwei: +q=sqrt(30^2-(x-15)^2); +len=sqrt(d^2+w^2+q^2-2*(d*cos(ts(1))+w)*q+2*d*w*cos(ts(1))+q-d-w; + +$\mathbf{c} = [\mathbf{a}^{*}\mathbf{W} - 2^{*}(\mathbf{w} + \mathbf{h}^{*}\mathrm{cot}(\mathbf{ts}(1)))$ +- $(\mathrm{q} + (\mathrm{d}^{*}\cos (\mathrm{ts}(1)) + \mathrm{w} - \mathrm{q}).^{*}(\mathrm{l} - \mathrm{q}). / \mathrm{sqrt}(\mathrm{d}^{\wedge 2} - + \mathrm{w}^{\wedge 2} + \mathrm{r}^{\wedge 2}-$ +x. ${}^{\wedge}2 - 2^{*}(d^{*}\cos (ts(1)) + w)^{*}q + 2^{*}d^{*}w^{*}\cos (ts(1)))$ len-ts(2)+lamda +]; +ceq=[]; + +objfun.m +function f=objfun(ts) +f=-sin(ts(1)); +%di er mubiao +%l=w+h/sin(ts(1)); + +$\% \mathrm{d} = 1$ -ts(2); + $\% \mathrm{q} = 32.5$ -abs(x); + $\% \mathrm{len} = \mathrm{sqrt}(\mathrm{d}^{\wedge}2 + + \mathrm{w}^{\wedge}2 + \mathrm{q}^{\wedge}2 - 2^{*}(\mathrm{d}^{*}\cos (\mathrm{ts}(1)) + \mathrm{w})^{*}\mathrm{q} + 2^{*}\mathrm{d}^{*}\mathrm{w}^{*}\cos (\mathrm{ts}(1))) + \mathrm{q} - \mathrm{d} - \mathrm{w}$ $\% \mathrm{f} = \mathrm{sum}(\mathrm{len})$ + +6 +clear; +% canshu + $\mathrm{w = 2.5};\mathrm{h = 60 - 3;a = 1};\mathrm{W = 60};\mathrm{n = W / 2.5 + 1;s = 32};$ t=pi/3; +l=w+h/sin(t); +R=sqrt(1^2+30^2); + +%zhuobian dian zuobiao +xc=-30:2.5:30; +yc=32.5-abs(xc); +zc=zeros(1,n); + +xd=xc; xg=xc; +ll=sqrt(R^2-xc.^2); +d=l-s; + +for $m = 1:8$ tt=linspace(0,8,8); theta $\equiv$ tt(m)\*t/8; %gangjin dian zuobiao yg $\equiv$ d\*cos(theta)\*ones(1,n)+w; zg $\equiv$ d\*sin(theta)\*ones(1,n); + +%zhuobian dao gangjin de juli: for i=1:n + +dis(i) $\equiv$ norm([xc(i),yc(i),zc(i)]-[xg(i),yg(i),zg(i)]; end + +%kaicang dao banbian de juli: margin $\equiv$ ll-yc-dis; +%muban dingdian zuobiao for i=1:n k=(margin(i)+dis(i))/dis(i yd(i) $\equiv$ yc(i) $^+$ k\*(yg(i)-yc(i) zd(i) $\equiv$ zc(i) $^+$ k\*(zg(i)-zc(i) +end + +subplot(2,4,m) +figure(1); hold on; +plot3(xc,yc,zc,'*'); +plot3(xg,yg,zg,'r'); +for i=1:n + +line([xc(i),xg(i)],[yc(i),yg(i)],[zc(i),zg(i]),'LineWidth',2); + +line([xd(i),xg(i)],[yd(i),yg(i)],[zd(i),zg(i)],'LineWi + +$\mathrm{dth^{\prime},2)}$ + +end + +plot3(xc,-yc,zc,'*'); + +plot3(xg,-yg,zg,''); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +line([xc(i),xg(i)],[-yc(i),-yg(i)],[zc(i),zg(i)],'LineWidth',1,'Color',[.2 .2 .2]); + +line([xd(i),xg(i)],[-yd(i),-yg(i)],[zd(i),zg(i)],'LineWidth',1,'Color',[.2 .2 .2]); + +end + +plot3(xc,yc,zc);plot3(xc,-yc,zc); + +line([xc(1),xc(1)],[yc(1),-yc(1)],[zc(1),zc(1)],'Line Width',2); + +line([xc(n),xc(n)],[yc(n),-yc(n)],[zc(n),zc(n)], 'Line Width',2); + +view(3) + +$\mathrm{X = [00; - 11;00]}$ $\mathrm{Y = [11;00; - 1 - 1]}$ + +$\mathrm{X = 32.5^{*}X;Y = 32.5^{*}Y;Z = zeros(3,2)}$ + +surf(X,Y,Z); + +colormap(spring); + +alpha(.5) + +shading interp; axis equal; axis off; end + +figure(2); + +plot3(xd,yd,zd);plot3(xd,-yd,zd); + +# 78 + +clear; + +%canshu + +$\mathrm{w = 2.5}$ $\mathrm{h = 70 - 3}$ $\mathrm{W} = 90$ n $= \mathrm{W / 2.5 - 1}$ s $= 40$ + +$\mathrm{t = pi^{*}70 / 180}$ + +%zhuobian dian zuobiao + +xc=-42.5:2.5:42.5; + +yc=sqrt(30^2-(abs(xc)-15).^2); + +zc=zeros(1,n); + +$1 = \mathrm{yc}(1) + \mathrm{h} / \sin (\mathrm{t})$ + +xd=xc; xg=xc; + +$\mathrm{d} = 1 - \mathrm{s}$ + +for $m = 1:8$ + +theta=m*t/8; + +%gangjin dian zuobiao + +$\mathrm{yg = d^{*}cos(theta)^{*}ones(1,n) + w}$ + +$\mathrm{zg = d^{*}sin(theta)^{*}ones(1,n)}$ + +%zhuobian dao gangjin de juli: + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +dis(i) $\equiv$ norm([xc(i),yc(i),zc(i)]-[xg(i),yg(i),zg(i)]; end + +%kaicang dao banbian de juli: + +margin $\equiv$ l-yc-dis; + +%mubandingdian zuobiao + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +$\mathrm{k = (margin(i) + dis(i)) / dis(i)}$ + +$\mathrm{yd(i) = yc(i) + k^*(yg(i) - yc(i))}$ + +$\mathrm{zd(i) = zc(i) + k^* (zg(i) - zc(i))}$ + +end + +subplot(2,4,m) + +figure(1); hold on; + +plot3(xc,yc,zc,'*'); + +plot3(xg,yg,zg,'r'); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +line([xc(i),xg(i)],[yc(i),yg(i)],[zc(i),zg(i]),'LineWidth',2); + +```c +Line([xd(i), xg(i)], [yd(i), yg(i)], [zd(i), zg(i)], 'LineWidth', 2); + +end + +plot3(xc,-yc,zc,'*'); + +plot3(xg,-yg,zg,'r'); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ + +line([xc(i),xg(i)],[-yc(i),-yg(i)],[zc(i),zg(i]),'LineWidth',1,'Color',[.2 .2 .2]); + +line([xd(i),xg(i)],[-yd(i),-yg(i)],[zd(i),zg(i)],'LineWidth',1,'Color',[.2 .2 .2]); + +end + +plot3(xc,yc,zc);plot3(xc,-yc,zc); + +line([xc(1),xc(1)],[yc(1),-yc(1)],[zc(1),zc(1)],'Line Width',2); + +line([xc(n),xc(n)],[yc(n),-yc(n)],[zc(n),zc(n)], 'Line Width',2); + +view(3) + +$[\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z}] = \mathrm{sphere}(30)$ + +$\mathrm{X = 30^{*}X;Y = 30^{*}Y;Z = zeros(31)}$ + +$\mathrm{X = X + 15}$ surf(X,Y,Z); + +$\mathrm{X = X - 30}$ surf(X,Y,Z); + +colormap(spring); + +alpha(.5) + +shading interp; axis equal; axis off; + +end + +figure(2); + +plot3(xd,yd,zd);plot3(xd,-yd,zd); \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2014/B261/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215.md" "b/MCM_CN/2014/B261/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2cb9a0b536a74766e3ed6d87fe18d8086f318734 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2014/B261/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215/B27042017_\345\220\264\344\277\212\351\224\213_\350\260\255\347\277\224\351\243\236_\345\272\204\351\207\215.md" @@ -0,0 +1,773 @@ +# 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B + +我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 27042017 + +所属学校（请填写完整的全名）：__________ 空军工程大学__________ + +参赛队员 (打印并签名)：1. 庄重 + +2. 吴俊锋 +3. 谭翔飞 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 安芹力 + +(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致, 只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对, 提交后将不再允许做任何修改。如填写错误, 论文可能被取消评奖资格。) + +日期：2014年9月15日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
评阅人
评分
备注
+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# B题 创意平板折叠桌 + +# 摘要 + +本文通过建立数学模型，对平板折叠桌进行优化设计，旨在设计出产品稳固性好、加工方便、用材最少的平板折叠桌。同时根据折叠桌桌面边缘线的演化，建立了任意桌型的优化设计模型，并结合实际，设计、仿真出具有创意的平板折叠桌。 + +对于问题一，本文建立了桌面边缘线为圆形的折叠桌离散型动态描述模型和连续型动态描述模型。离散模型实现了对产品设计参数的精确描述，结合已知尺寸，计算出此折叠桌的加工参数（滑槽位置及长度），并得出最长滑槽为 $17.87\mathrm{cm}$ 。同时，分析了每根木条随桌腿的运动情况并仿真展示。在连续模型中，将木条的运动抽象成线的运动，以此实现了桌脚边缘线的连续描述，结合运动过程仿真模拟，清晰的展示了桌脚边缘线的动态过程。 + +对于问题二，本文建立了桌面边缘线为圆形的折叠桌优化设计模型。通过对折叠桌的稳定性，设计尺寸，滑槽长度的综合优化，得出最优设计尺寸和加工参数。在稳定性分析过程中，首先对立置折叠桌进行受力分析，得出只有桌腿承力，因此可进行折叠桌简化分析，确定单侧木桌重心的位置，求解力的平衡方程得出稳定条件。在尺寸设计过程中，根据稳定时的桌腿位置与高度的关系，得出平板的设计尺寸。在滑槽设计过程中，因滑槽的长短和加工位置是影响系统稳定性及木板设计尺寸的关键，同时从易于加工的角度考虑，得出符合产品设计的约束条件。根据题设折叠桌参数，结合优化设计模型得出，在地面摩擦系数为0.4和0.5，权重值为0.5的情况下，最佳木板长度均为 $159\mathrm{cm}$ 滑槽长度为 $34.64\mathrm{cm}$ + +对于问题三，本文建立了任意桌形折叠桌优化设计模型。由于桌面形状的不确定性，需要抽象描述桌形。分析发现，任意桌形的设计必须满足沿桌长方向对称，桌宽方向桌形可不对称，这就需要根据折叠桌桌面的对称情况考虑是否需要分别优化通过重力作用点的 $yoz$ 平面两侧桌型。为了表示通用的数学模型，仅对一侧建立优化模型，结合实际采用离散的优化模型，对折叠桌的稳定性，设计尺寸，滑槽长度进行分析。考虑到客户期望的桌脚边缘线是连续的，建立连续的设计桌脚边缘线方程，通过空间曲线间距离的积分来描述两边缘线的接近程度。综合上述条件，可以设计出稳定性好、加工方便、用材最少的任意桌形的折叠桌并得出最优设计尺寸和加工参数。结合实际，设计出具有创意的心形和菱形的平板折叠桌，并用3D MAX进行动画展示。 + +本文脉络清晰，层层递进，分析合理，描述准确，所建立的任意桌形优化设计模型具有很强的通用性，为折叠桌软件设计提供了有力的理论支撑。 + +关键词：折叠桌 受力分析 优化 仿真 3DMAX MATLAB + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。 + +# 1.2 目标任务 + +问题一：给定长方形平板尺寸为 $120\mathrm{cm}\times 50\mathrm{cm}\times 3\mathrm{cm}$ ，每根木条宽 $2.5\mathrm{cm}$ ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 $53~\mathrm{cm}$ 。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。 + +问题二：折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。对于桌高 $70 \mathrm{~cm}$ ，桌面直径 $80 \mathrm{~cm}$ 的情形，确定最优设计加工参数。 + +问题三：开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。 + +# 二、问题分析 + +非创意，不生活！创意不仅是一种生活态度，更是对更高生活品质的追求。创意平板折叠桌不仅可以表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性，还可以最大程度的节省空间。 + +题目介绍了一种新型的平板折叠桌，桌腿上固定有钢筋，钢筋贯穿桌腿之间的所有木条，钢筋沿木条内部的空槽运动，以保证该折叠桌可通过桌腿绕铰链活动平摊成一张平板。 + +对于问题一，题目中给出平板折叠桌的高度、平面尺寸、板厚、木条宽度及钢筋位置等具体数据，由立体几何中的相关知识可以建立坐标系，将已知数据代入得到空间数学模型中，即可解得此折叠桌的设计参数及桌脚边缘线的数学描述，可以通过仿真得到折叠桌桌角的动态变化过程。 + +对于问题二，题目要求折叠桌的设计应做到稳固性好、加工方便、用材最少，本文将建立多目标优化模型，研究长方形平板材料制作折叠桌时的设计参数。首先，利用立体几何关系建立折叠桌设计参数；然后，鉴于到折叠桌这种艺术品实际使用过程中不会承受较大重物，因而只考虑折叠桌本身重力对其稳定性的影响，并且根据折叠桌材料选取适当的地面摩擦系数建立稳定性方程；最后，在稳定的基础上从加工方便及耗材最少的角度出发，建立优化设计的模型，确定最优解。 + +对于问题三，为了满足客户需求，本文将原先的圆形桌面推广成任意形状（只要关于 $x$ 轴对称）的桌面，结合第二问中的目标函数及约束建立数学模型，用范数描述实际桌脚边缘线与用户需求的桌脚边缘线相近的相近程度。然后，以此模型为背景，设计几种构造合理、实用价值相对较高的折叠桌，并利用一、二问的结果求出设计参数并画出动态特性图。 + +平板折叠桌通过最边缘的两根位置固定的钢筋和具有滑槽可运动的木条组成，本文通过建立数学模型，分析其折叠过程中的动态变化过程，从设计加工参数着手，建立多 + +目标优化模型，旨在设计出符合客户需求，产品稳定性好，加工方便，用材最少的平板折叠桌。 + +# 三、模型假设 + +1、桌面圆与每根木条的始端相交于木条宽度的中心位置； +2、为了不改变产品的美观，设计折叠桌时木条宽度保持不变； +3、折叠桌板在平置时不会因桌面设计产生中空部分； +4、木条间缝隙尺寸为零； +5、木条与圆桌面之间的交接处间隙很小，可忽略不记； +6、材料均匀，木条在加工过程中不会变形或折断； +7、实际加工误差对设计影响很小，可忽略不记； +8、不计钢筋尺寸； +9、钢筋每次运动到最大滑槽的极限位置，且折叠桌缓慢放置于地面之上； +10、折叠桌桌面设计要满足桌面关于 $x$ 轴对称。 + +# 四、符号说明 + +
序号符号说明
1L木板的长度
2R桌面圆半径
3D木板的厚度
4B木板的宽度
5H木板的高度
6W木条的宽度
7li(i=1,2,...,N)木条i的长度（i=1时表示桌腿）
8θi(i=1,2,...,N)木条i移动过程中与桌面的夹角
9θend最终位置时桌腿与桌面的夹角
10bi(x,y)(i=1,2,...,N)桌面圆内与木条i连接部分的位置
11xi(yi,zi)木条i在末端坐标系内的坐标
12dx(dy,dz)钢筋在Oxyz坐标系内的坐标
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 圆面折叠桌的动态描述 + +在本问中，为了充分描述创意平板折叠桌的动态变化过程，首先要确定静态折叠桌各个参量的数学表达式，然后从折叠过程中运动的每根木条入手，假定折叠桌腿以匀角速运动，根据木条与桌腿之间的运动关系得出木条运动角速度以及角加速度，同时，钢筋在木条内部运动，通过求解其在不同木条中的始末位置求解滑槽长度，最后确定木条末端的运动过程中的位置，确定桌角边缘线的形状及变化过程。 + +# 5.1.1 圆面折叠桌的离散型动态描述 + +初始状态时，折叠桌处于平放位置，在上面建立坐标系，并表达出各个参量的位置如下图所示，其中 $z$ 轴垂直于 $xoy$ 平面向内： + +![](images/35482c56234e2af4bfeeea6194fa03599d4f10fe46275f30f35d09b21b8b284c.jpg) +图1折叠桌示意图 + +根据示意图，可以表示出木条 $i$ 的长度为： + +$$ +l _ {i} = \frac {1}{2} L - \sqrt {R ^ {2} - \left(R - \left(i - \frac {1}{2}\right) \times W\right) ^ {2}} \quad (i = 1, 2, \dots , B a r N u m b e r) \tag {1} +$$ + +其中当木条运动到末态位置，滑槽与钢筋卡紧时，桌腿与桌面的夹角为： + +$$ +\theta_ {e n d} = \arcsin \left(\frac {H - D}{l _ {1}}\right) \tag {2} +$$ + +![](images/fd5d0a96e54dee27835f2fbdcdd80b7a036d56860bcd9b061b6e360261159d48.jpg) +图2 末态位置桌腿位置示意图 + +运动过程中，桌面圆内与木条 $i$ 连接部位到 $yoz$ 平面的长度不变，根据假设桌面圆相交于桌腿的中心位置为，可以确定木条 $i$ 连接部位到 $yoz$ 平面的长度： + +$$ +b _ {i x} = \frac {1}{2} L - l _ {i} = \sqrt {R ^ {2} - \left(R - \left(i - \frac {1}{2}\right) \times W\right) ^ {2}} \quad (i = 1, 2 \dots , B a r N u m b e r) \tag {3} +$$ + +在图示 $O_{xyz}$ 坐标系内, 桌面圆内与木条 $i$ 连接部分 $y$ 坐标可以用下式表示: + +$$ +b _ {i y} = \left(\frac {\text {B a r N u m b e r}}{2} - i + \frac {1}{2}\right) W _ {i} \quad (i = 1, 2, \dots , \text {B a r N u m b e r}) \tag {4} +$$ + +桌腿运动过程中，设钢筋位置固接在桌腿的位置到桌边的长度与桌腿总长的比值为 $\alpha \left(\frac{2R}{L} < \alpha < 1\right)$ ，之所以 $\frac{2R}{L} < \alpha < 1$ ，是因为桌面处于平放位置时，钢筋位置不能穿过桌面，而桌面立置时，钢筋不能穿过桌面边缘，由此钢筋所在位置可以表示为： + +$$ +d _ {x} = b _ {1 x} + \alpha l _ {1} \cos \theta_ {1} \quad (0 \leq \theta_ {1} \leq \theta_ {e n d}) \tag {5} +$$ + +$$ +d _ {z} = \alpha l _ {1} \sin \theta_ {1} \quad (0 \leq \theta_ {1} \leq \theta_ {e n d}) \tag {6} +$$ + +木条运动过程中，滑槽时刻与钢筋保持接触，利用几何关系可以确定每根木条与桌面的夹角为： + +$$ +\theta_ {i} = \arctan \frac {d _ {z}}{d _ {x} - b _ {i x}} \quad (i = 1, 2, \dots , B a r N u m b e r) \tag {7} +$$ + +将式（5）和式（6）带入式(7)得： + +$$ +\theta_ {i} = \arctan \frac {\alpha l _ {1} \sin \theta_ {1}}{\alpha l _ {1} \cos \theta_ {1} + b _ {1 x} - b _ {i x}} \quad (i = 1, 2, \dots , B a r N u m b e r) \tag {8} +$$ + +假设桌腿匀角速度运动，即 $\theta_{1} = \omega t$ ，每根木条运动的角速度可以表示为： + +$$ +\omega_ {i} (t) = \frac {d \theta_ {i}}{d t} = \frac {\omega \alpha^ {2} l _ {1} ^ {2} + \omega \alpha l _ {1} \left(b _ {1 x} - b _ {i x}\right) \cos \omega t}{\left(\alpha l _ {1} \cos \omega t + b _ {1 x} - b _ {i x}\right) ^ {2} + \left(\alpha l _ {1} \sin \omega t\right) ^ {2}} \tag {9} +$$ + +同样，每根木条运动的角加速度可以表示为： + +$$ +\alpha_ {i} (t) = \frac {d \omega_ {i}}{d t} = - \frac {\omega^ {2} \alpha l _ {1} \left(b _ {1 x} - b _ {i x}\right) \sin \omega t \left[ \left(b _ {1 x} - b _ {i x}\right) ^ {2} + 3 \alpha^ {2} l _ {1} ^ {2} \right]}{\left[ \left(\alpha l _ {1} \cos \omega t + b _ {1 x} - b _ {i x}\right) ^ {2} + \left(\alpha l _ {1} \sin \omega t\right) ^ {2} \right] ^ {2}} \tag {10} +$$ + +在每根木条的运动状态确定之后，钢筋在木条内部的运动也可以随相对位置而确定，钢筋与每根木条接触的位置到桌面圆边缘的距离可以用下式表示： + +$$ +d _ {i} (\theta) = \sqrt {\left(\alpha L \sin \theta\right) ^ {2} + \left[ b _ {1 x} - b _ {i x} + \alpha L \cos \theta \right] ^ {2}} \quad (0 \leq \theta \leq \theta_ {e n d}) \tag {11} +$$ + +$$ +d _ {i} (\theta) = \sqrt {\alpha^ {2} L ^ {2} + \left(b _ {1 x} - b _ {i x}\right) ^ {2} + 2 \alpha L \left(b _ {1 x} - b _ {i x}\right) \cos \theta} \quad (0 \leq \theta \leq \theta_ {e n d}) +$$ + +从整理后的公式可以分析得出，钢筋在没根木条滑槽内部的位置仅与 $\cos \theta$ 的大小有关，而 $\cos \theta$ 在 $0 \leq \theta \leq \theta_{\text {end }}$ 范围内逐渐减小，因而 $d_{i}(\theta)$ 在对应区间内单调递增。即随着桌腿的移动，钢筋在每根木条中的位置逐渐向木条末端（背离桌面的方向）延伸，能够延伸的距离即为木条内部开槽长度，为： + +$$ +D _ {c a o i} = d _ {i} \left(\theta_ {e n d}\right) - d _ {i} (0) \tag {12} +$$ + +为了确定桌角边缘线的形状及变化过程，本文将每根木条的末端坐标如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x _ {i} = b _ {i x} + \frac {l _ {i}}{2} \cos \theta_ {i} \\ y _ {i} = b _ {i y} = \left(\frac {N}{2} - i + \frac {1}{2}\right) W _ {i} \\ z _ {i} = \frac {l _ {i}}{2} \sin \theta \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +# 5.1.2 圆面折叠桌的连续型动态描述模型 + +为了形象的描述木条运动过程中桌角边缘线的形状及变化过程，由离散型动态描述，本文利用每个时刻木条末端坐标来描绘边角线时，末端坐标离散，绘制曲线不连续，尽管可以通过插值拟合的方式把所有末端坐标用以连续曲线绘出，但是此曲线只是为了近似而近似，不具有明确的物理含义。为了更准确地描绘边角线，本文设计了折叠桌连续型动态描述模型，将每根木条无限细化，宽度无限减小，桌子立置时，可以得出无穷多的木条末端坐标，其中相邻的两木条末端坐标无限接近，此时将所有末端连接起来，可以得到更为精确的边角线描述。 + +此时，因木条宽度忽略不计，每根木条的长度可以表示为： + +$$ +l _ {i} = \frac {1}{2} L - \sqrt {R ^ {2} - b _ {i y} ^ {2}} \quad (0 \leq b _ {i y} \leq R - \frac {1}{2} W \approx R) \tag {14} +$$ + +桌面圆内与桌腿连接部分的长度近似为 0 : + +$$ +b _ {1 x} = \sqrt {R ^ {2} - \left(R - \frac {1}{2} W\right) ^ {2}} \approx 0 \tag {15} +$$ + +桌腿的长度近似为木板总长度的一半： + +$$ +l _ {1} = \frac {1}{2} L - b _ {1 x} = \frac {1}{2} L \tag {16} +$$ + +任意一根木条与桌面圆内连接部分的长度可表示为： + +$$ +b _ {x} = \sqrt {R ^ {2} - b _ {y} ^ {2}} \quad (0 \leq b _ {y} \leq R - \frac {1}{2} W \approx R) \tag {17} +$$ + +此时，钢筋的位置到桌面边缘的距离的坐标为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} d _ {1 x} (\theta) = b _ {1 x} + \alpha \frac {L - W}{2} \cos (\theta) \approx b _ {1 x} + \alpha \frac {L}{2} \cos (\theta) \quad (0 \leq \theta \leq \theta_ {e n d}) \\ d _ {1 z} (\theta) = \alpha \frac {L - W}{2} \sin (\theta) \approx \alpha \frac {L}{2} \sin (\theta) \quad (0 \leq \theta \leq \theta_ {e n d}) \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +对于每根木条，运动过程中滑槽内部钢筋到桌面边缘的距离为： + +$$ +\begin{array}{l} D _ {i} (\theta) = \sqrt {\left(\alpha \frac {L - W}{2} \sin \theta\right) ^ {2} + \left(\alpha \frac {L - W}{2} \cos \theta + b _ {1 x} - b _ {i x}\right) ^ {2}} \quad (0 \leq \theta \leq \theta_ {e n d}) \\ \approx \sqrt {\left(\alpha \frac {L}{2} \sin \theta\right) ^ {2} + \left(\alpha \frac {L}{2} \cos \theta - b _ {x}\right) ^ {2}} \quad (0 \leq \theta \leq \theta_ {e n d}) \tag {19} \\ \end{array} +$$ + +每根木条，运动过程中与桌面（xoy平面）的夹角为： + +$$ +\theta = \arctan \frac {\alpha l _ {1} \sin \theta_ {e n d}}{\alpha l _ {1} \cos \theta_ {e n d} + b _ {1 x} - b _ {x}} \approx \arctan \frac {\alpha \frac {L}{2} \sin \theta_ {e n d}}{\alpha \frac {L}{2} \cos \theta_ {e n d} - b _ {x}} \tag {20} +$$ + +综上，可以确定每根木条的末端坐标如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x = b _ {x} + \frac {l _ {x}}{2} \cos \theta \\ y = b _ {y} \\ z = \frac {l _ {x}}{2} \sin \theta \end{array} \right. \tag {21} +$$ + +# 5.1.3 模型的求解 + +根据题目条件，给定长方形平板尺寸为 $120cm \times 50cm \times 3cm$ ，每根木条宽 $2.5cm$ ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 $53cm$ 。 + +# 5.1.3.1 设计加工参数的确定 + +桌子关于 $xoz$ 和 $yoz$ 平面对称，所以只需要考虑四分之一桌面内具体参数的情况。当桌板水平放置时，根据假设桌面圆相交于桌腿木条的中心位置，运用MATLAB进行数值计算，可以得出四分之一桌面内木条的长度如下： + +表 1 四分之一桌面内每根木条长度 + +
木条编号12345
木条长度（cm）52.1946.8343.4641.0039.12
木条编号678910
木条长度（cm）37.6736.5835.7935.2835.03
+ +木条长度确定后，可以算出桌腿运动的最终位置： + +$$ +\theta_ {e n d} = \arcsin \left(\frac {H - D}{l _ {1}}\right) = 7 3. 4 3 ^ {\circ} +$$ + +木条运动过程的同时，钢筋在滑槽内部运动，始末位置确定后根据式（12）可确定滑槽长度如下表： + +表 2 钢筋位置及滑槽长度表 + +
木条编号12345
钢筋初始位置（cm）33.9033.9033.9033.9033.90
钢筋最终位置（cm）33.9038.2541.5644.2746.49
滑槽长度（cm）0.004.357.6610.3612.59
木条编号678910
钢筋初始位置（cm）33.9033.9033.9033.9033.90
钢筋最终位置（cm）48.2949.7050.7451.4351.77
滑槽长度（cm）14.3915.8016.8417.5317.87
+ +分析表中数据，可以分析得出，钢筋从相同的初始状态开始移动， $b_{ix}$ 越大的木条，即木条起点距离 $yoz$ 平面越远的木条，其滑槽长度越长。 + +# 5.1.3.2 动态变化过程的描述 + +根据式（8）（9）（10），确定每根木条角度、角速度、角加速度变化情况。 + +起始位置桌面平置时，所有木条与桌面所在平面夹角 $\theta_{i} = 0$ ，角加速度 $\alpha_{1} = 0$ ，假定第一根杆（桌腿）以恒定的角速度进行折叠折叠运动，为了反映每根杆角速度的变化情况，用MATLAB编程求解所有木条角加速度并表示如下： + +![](images/8b5afb2d4cf8516919d5d17ac4dcc51ccaf5e0621394c9fb3ec6bef575e48298.jpg) +图3木条角加速度的变化情况 + +从角加速度变化过程可以分析得出，始端距离 $yoz$ 平面越远的木条，角速度变化越快，这与所有杆转过角度的大小一致，距离 $yoz$ 平面越远的木条自始至终转过的角度越大；但到了中后期，其角速度变化最小，距离 $yoz$ 平面近的木条角速度变化更快。 + +# 5.1.3.3 桌脚边缘线的数学描述： + +根据圆面折叠桌的连续型动态描述模型，带入已经确定的设计加工参数，运用MATLAB描点作图即可得出连续的光滑的桌角边缘线： + +![](images/64f5455caac3eab7c2cbd7403d2558c98400aaf3931424c1eeec70f0fdff48e0.jpg) +图4 桌角边缘线动态过程示意图 + +由桌角边缘线的变化情况可以分析得出，随着 $\theta$ 从初始状态到极限位置的变化，桌角边缘线弯曲程度逐渐增大，最终形成一道三维曲线。 + +# 5.1.4 折叠桌动态过程仿真 + +运用 MATLAB 对折叠桌运动进行模拟，得运动过程示意图如下： + +![](images/a8c345705da6f571e21fd4d5e4701822dbfff684de975c86bcf0afc241f2b915.jpg) +图5折叠桌MATLAB动态变化示意图的 + +此外，运用3D MAX进行设计三维建模，可得到更为逼真的运动过程示意图如下： + +![](images/6d5192cb40e86f47a99d98a61fec533c0e092ce4fe9318e232dd97ff0e32bd6e.jpg) +图6折叠桌3D MAX动态变化示意图 + +# 5.2 圆面折叠桌设计的优化模型及实例分析 + +# 5.2.1 折叠桌的优化设计模型 + +折叠桌的设计应做到稳固性好、加工方便、用材最少，所以折叠桌设计优化模型的建立应从三个方面入手，分别是折叠桌稳定性设计，尺寸设计，以及滑槽设计。 + +# 5.2.1.1 折叠桌的稳定型设计 + +在优化设计折叠桌的过程中，首先应满足稳定性条件，为了研究折叠桌的稳定性，本文决定分析其受力情况，如下图所示： + +![](images/d60674cf750a8bad2f6e4f055b3d7c882cb5da4c36b0129334c0dfe35e681816.jpg) +图7折叠桌运动趋势示意图 + +每根木条的滑槽在整个系统运动到最后时刻时会达到终点，被卡住，假设桌腿达到极限位置 $\theta_{\text {end }}$ 时，所有木条的滑槽末端均与钢筋接触。如视频展示，将折叠桌缓慢放置于地面之上（只考虑自身结构特点，忽略人为因素影响），在桌子使用过程中，不论桌面是否承担重物，桌腿只有上图绿色箭头方向的运动趋势，此时对于第 $i$ 根木条，钢筋在滑槽内部只有向上的运动趋势（绿色箭头方向），从滑槽末端向内运动。那么，在折叠桌放置于地面并趋于稳定的过程中，桌腿延绿箭头方向的微小扰动会使两桌腿之间任意一根木条的滑槽末端离开钢筋，即所有的木条都不是紧绷的，对钢筋没有拉力（沿绿箭头方向）的作用，此时，只有四条桌腿承受整个系统的全部重力。如下图所示： + +![](images/f3a3795e13d2548e7c534d3b17d9f592109bcc2dd0b734c01c2c86fba1acf2ff.jpg) +图8折叠桌受力情况简化图 + +经上述受力分析，可以将系统的承力结构剥离出来，如上图所示，从蓝色箭头方向观察，系统关于 $yoz$ 平面对称，若分析左侧部分，整个系统的重心位置如红色箭头所示（不可将一条桌腿剥离出来分析，因为桌腿与桌腿之间有钢条连接，内部力的大小及作用方向未知，地面给每条桌腿提供的摩擦力在沿 $y$ 轴方向的分量难以确定），整个系统分成左右两部分进行简化，将大大减少了运算难度，并保持了严密的物理过程。此时，钢条对每条桌腿的力是内力，地面对两条桌腿的摩擦力在 $y$ 轴方向的分量相互抵消，只存在沿 $x$ 轴方向的分量。 + +所以可以精确地确定半张桌子在直立状态下的重心的位置，因为桌高很小，重力加速度近似保持不变，求系统重心位置即是求系统质心位置。系统关于 $yoz$ 平面对称， $m_{iy} = 0$ ，计算杆的总质心位置如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} m _ {l x} = \frac {\sum m _ {i} x _ {i}}{\sum m _ {i}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {N} \rho D W l _ {i} \left(b _ {i x} + \frac {1}{2} l _ {i} \cos \theta_ {i}\right)}{\sum m _ {i}} \\ m _ {i y} = 0 \\ m _ {l z} = \frac {\sum m _ {i} z _ {i}}{\sum m _ {i}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {N} \rho D W l _ {i} \left(\frac {1}{2} l _ {i} \sin \theta_ {i} + D\right)}{\sum m _ {i}} \end{array} \right. \tag {22} +$$ + +其中 $N = \frac{2R}{W}$ ，此外，半圆板质量 $m_{c} = \rho \frac{1}{2}\pi R^{2}D$ ，根据巴普斯定理，可得半圆板的重心位置距离圆心 $x_{c} = \frac{4R}{3\pi}$ 。 + +综上，可以算出系统质心位置： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} m _ {x} = \frac {\sum m _ {i} x _ {i} + \rho \frac {1}{2} \pi R ^ {2} \frac {4 R}{3 \pi} D}{\rho R L D} \\ m _ {y} = 0 \\ m _ {z} = H - \frac {\sum m _ {i} z _ {i} + \rho \frac {1}{2} \pi R ^ {2} \frac {D}{2}}{\rho R L D} \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +在计算过程中，为了简化计算难度，将杆的宽度无限减小，使用连续型杆重心确定方法代替离散型杆重心确定方法，建立极坐标系，运用微元法确定质心的 $x$ 方向坐标和 $z$ 方向坐标，运用微积分的方法对坐标进行求解： + +![](images/4f1e1047081978bbc877007795bcf6f96b5f5502bb70ce439c16dc60dffafac6.jpg) +图9极坐标系 + +所以，桌子立置时，木条整体的质心位置可确定如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} m _ {l x} = \frac {\sum m _ {i} x _ {i}}{\sum m _ {i}} = \frac {\int_ {0} ^ {\pi} D \rho (\frac {L}{2} - R \sin \varphi) R \sin \varphi \left[ \frac {1}{2} (\frac {L}{2} L - R \sin \varphi) \cos \theta + R \sin \varphi \right] d \varphi}{\sum m _ {i}} \\ m _ {i y} = 0 \\ m _ {l z} = \frac {\sum m _ {i} z _ {i}}{\sum m _ {i}} = \frac {\int_ {0} ^ {\pi} D \rho (\frac {L}{2} - R \sin \varphi) R \sin \varphi [ D + \frac {1}{2} (\frac {L}{2} - R \sin \varphi) \sin \theta ] d \varphi}{\sum m _ {i}} \end{array} \right. \tag {24} +$$ + +其中， $\theta$ 与 $\varphi$ 的关系表示如下： + +$$ +\tan \theta = \frac {\alpha \frac {1}{2} L \sin \theta_ {e n d}}{\alpha \frac {1}{2} L \cos \theta_ {e n d} - R \sin \varphi} \tag {25} +$$ + +综上，半张桌子的质心位置确定如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} m _ {x} = \frac {\sum m _ {i} x _ {i} + \rho \frac {1}{2} \pi R ^ {2} \frac {4 R}{3 \pi} D}{\rho R L D} \\ m _ {y} = 0 \\ m _ {z} = H - \frac {\sum m _ {i} z _ {i} + \rho \frac {1}{2} \pi R ^ {2} \frac {D}{2}}{\rho R L D} \end{array} \right. \tag {26} +$$ + +当系统质心（即重心）位置确定之后，对系统进行受力分析，如下图所示： + +![](images/2091960db002c3c3a547b18d06824c5d8f7b8b576e84fd1f32927f3623c7d8bf.jpg) +图10折叠桌简化系统受力分析示意图 + +以 $yoz$ 平面对称的两部分在接触位置不会存在剪力，故研究的右侧系统重力等于两条桌腿提供的支持力： + +$$ +F _ {N} = G _ {r i g h t} +$$ + +对 $y$ 轴取矩，根据稳定状态力矩平衡， + +$$ +\sum M _ {y} = 0 +$$ + +$$ +\mu F _ {N} H \geq G _ {\text {r i g h t}} \left(\frac {H}{\tan \theta_ {\text {e n d}}} - x _ {m}\right) +$$ + +整理得： + +$$ +\mu \geq \frac {1}{\tan \theta} - \frac {x _ {m}}{H} \tag {27} +$$ + +在折叠桌设计过程中，这是必须满足的条件。 + +# 5.2.1.2 折叠桌的尺寸设计 + +当设计折叠桌尺寸时，考虑桌腿与桌面所在平面的夹角，在桌面高度一定时，将桌腿长度表示出来，与此同时，将桌腿与桌面连接部分到 $yoz$ 平面的长度 $b_{ix}$ 表示出来，二 + +者之和即为桌子平置时桌长的一半。由示意图可以清晰的看出几何关系。 + +![](images/dde37d00fcb1985a6a0c48b2fb728adf27d89393e2574aa5923e43f66f2e8189.jpg) +图11折叠桌尺寸设计示意图 + +![](images/d864cff38bdd92325dc97b6169d57878ae88d6636fbdfd977352c108afa6b336.jpg) + +计算桌子长度如下： + +$$ +L = 2 \left[ \frac {H}{\sin \theta_ {\text {e n d}}} + \sqrt {R ^ {2} - \left(R - \frac {1}{2} W\right) ^ {2}} \right] \tag {28} +$$ + +# 5.2.1.3 折叠桌的滑槽设计 + +当设计折叠桌滑槽的时候，由第一问实例分析可以得出结论：钢筋从相同的初始状态开始移动， $b_{ix}$ 越大的木条，即木条起点距离 $yoz$ 平面越远的木条，其滑槽长度越长，确定每一根木条滑槽的末端位置，并用红色的曲线连接起来，为了加工方便，我们将所有滑槽按最大槽长设计（蓝线所在位置），如下图所示： + +![](images/4e50830c3eccf2d4b944dea560faa9ddd9d7c81853caa5ae358e774c7a05d88f.jpg) +图12折叠桌滑槽位置示意图 + +其中，桌腿始端到 $yoz$ 平面的距离可以表示为： + +$$ +b _ {1 x} = \sqrt {R ^ {2} - \left(R - \frac {1}{2} W\right) ^ {2}} \tag {29} +$$ + +距 $yoz$ 平面最远的木条的始端与 $yoz$ 平面的距离可以表示为: + +$$ +b _ {n x} = \sqrt {R ^ {2} - \left(\frac {1}{2} W\right) ^ {2}} \tag {30} +$$ + +初始位置桌面平置时，滑槽位置，如图黑线表示在坐标系 $xoy$ 内的 $x$ 坐标为： + +$$ +d _ {n} (0) = \alpha \times \frac {L}{2} \tag {31} +$$ + +移动木条到最终位置时，钢筋在滑槽内运动到极限位置卡住，此刻滑槽位置在桌面平置时的位置可以表达为： + +$$ +d _ {n} \left(\theta_ {\text {e n d}}\right) = b _ {n x} + \sqrt {\left[ \alpha \left(\frac {1}{2} L - b _ {1 x}\right) \sin \theta \right] ^ {2} + \left[ b _ {1 x} + \alpha \left(\frac {1}{2} L - b _ {1 x}\right) \cos \theta - b _ {n x} \right] ^ {2}} \tag {32} +$$ + +因此，滑槽长度可以表示为： + +$$ +D _ {c a o} = d _ {n} \left(\theta_ {e n d}\right) - d _ {n} (0) \tag {33} +$$ + +为了滑槽设计的约束条件，本文研究钢筋在其内部的运动情况，初始位置时，钢筋位置不能超过距离 $y$ 轴最远的的第 $n$ 根杆对应的桌面圆边界，即为： + +$$ +d _ {n} (0) \geq b _ {n x} \tag {34} +$$ + +此时，在折叠桌腿运动到极限位置时，钢筋位置不能超过距离 $y$ 轴最远的的第 $n$ 根杆对应的桌面边界，即为： + +$$ +d _ {n} \left(\theta_ {\text {e n d}}\right) \leq \frac {1}{2} L \tag {35} +$$ + +其中， $0\leq \theta \leq \theta_{end}$ ， $\frac{2R}{L} < \alpha < 1$ + +# 5.2.1.4 折叠桌的优化设计模型 + +为了满足优化设计条件，必须全面考虑上述三方面的优化设计指标，建立优化模型。综合考虑桌子的稳定性，加工复杂程度，用材量及桌脚边缘线吻合程度，确定平板尺寸，钢筋位置，开槽长度，得到最优设计。 + +目标函数： + +$$ +f = \min \left[ u L (\theta) + (1 - u) D _ {c a o} (\theta) \right] \tag {36} +$$ + +其中 $u\in [0,1]$ 。 + +约束条件： + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{c} \mu \geq \frac {d (\theta)}{H} = \frac {\frac {H}{\tan \theta} - x _ {m}}{H} = \frac {1}{\tan \theta} - \frac {x _ {m}}{H} \\ L = 2 \left[ \frac {H}{\sin \theta} + \sqrt {R ^ {2} - (R - \frac {1}{2} W) ^ {2}} \right] \\ D _ {c a o} = d _ {n} \left(\theta_ {e n d}\right) - d _ {n} (0) \\ d _ {n} (0) \geq b _ {n x} \\ d _ {n} \left(\theta_ {e n d}\right) \leq \frac {1}{2} L \\ 0 \leq \theta \leq \theta_ {e n d} \\ \frac {2 R}{L} < \alpha < 1 \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +# 5.2.2 折叠桌优化设计的实例分析 + +题设已知桌高 $70~\mathrm{cm}$ ，桌面直径 $80~\mathrm{cm}$ ，确定最优设计加工参数，使产品稳固性好、加工方便、用材最少。查阅相关资料可知，木材与地面之间摩擦系数为 $0.4 \sim 0.5$ ，由上述优化模型，通过MATLAB计算可得最优设计尺寸和加工参数如下。 + +表 3 不同 $\mu$ 值下折叠桌的优化设计参数 + +
μ=0.4u值0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00
板长159.0159.0159.0159.0159.0159.0160.0164.0164.0164.0164.0
钢筋位置0.500.500.500.500.500.500.500.500.500.500.50
滑槽起始位置44.7144.7144.7144.7144.7144.7144.9645.9645.9645.9645.96
滑槽末端位置79.3579.3579.3579.3579.3579.3578.8977.4477.4477.4477.44
滑槽长度34.6434.6434.6434.6434.6434.6433.9331.4831.4831.4831.48
μ=0.5u值0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00
板长159.0159.0159.0159.0159.0159. 0165.0169.0169.0169.0169.0
钢筋位置0.500.500.500.500.500.500.600.600.600.600.60
滑槽起始位置44.7144.7144.7144.7144.7144.7153.4754.6754.6754.6754.67
滑槽末端位置79.3579.3579.3579.3579.3579.3582.3381.5181.5181.5181.51
滑槽长度34.6434.6434.6434.6434.6434.6428.8626.8426.8426.8426.84
+ +# 结论： + +当 $u$ 值在0到1范围内变化时，全局最优解在集中于几个值，分析可确定全局最优解。用户可根据自身情况对最优解进行选择。 + +# 5.3 折叠桌任意桌型的优化设计方案 + +在第二问中，圆形折叠桌的优化方案从稳定性、加工参数、圆桌用材三个方面进行设计。在第三问中，根据题设可知，桌面的边缘线形状及桌面大小、高度由客户给定，同时客户会给出桌角边缘线的大致形状。为了得到设计合理，结构优化，具有较好稳定性的创意平板折叠桌，本文将在第二问的基础上，建立任意桌型的优化设计方案，并结合实际情况展示出设计产品。 + +# 5.3.1 任意桌型的数学假设 + +在条件假设中，桌面的设计必须满足关于 $x$ 轴对称，因为按照这种设计理念，可设计的桌面形状更多更复杂，满足客户需求，关于 $x$ 轴对称木条以对称的方式折叠，满足美学设计理念，且按这种方式折叠，系统质量关于 $x$ 的对称，稳定性更加优异，设计过程中，还要保证在同一坐标系内，给定一个 $x$ 值，只对应一个 $y$ 值，否则折叠桌平置时桌面会有空洞。建立坐标系于所设计桌面的中心位置，因桌型的不确定性，可以分别优化两侧折叠桌，所得的总体最优设计即是最佳结果。 + +![](images/5c65e3b883dd6841234c3fb640d070b3cd3f6197519957dce8699065b6d28f43.jpg) +图12任意桌型参变量示意图 + +因客户的桌面边缘线关于 $x$ 的对称，取桌面坐标的一、四象限或者二、三象限进行分析等价，此处选取一、四象限分析，假定桌面边缘线为： + +$$ +x = f (y), y \in \left(0, \frac {B}{2}\right) \tag {29} +$$ + +因桌面的实际切割情况是离散的，单边的木条数为 $N = \frac{B}{2W}$ ，曲线与木条的交点为木条宽度的中心位置，该点到 $yoz$ 平面的距离： + +$$ +b _ {i x} = f \left(\frac {B}{2} - (i - \frac {1}{2}) W\right) \quad i \in (1, 2, \dots , N) \tag {30} +$$ + +木条的长度可表示为： + +$$ +l _ {i} = \frac {L}{2} - b _ {i x} \quad i \in (1, 2, 3 \dots N) \tag {31} +$$ + +分析单侧桌面，最长可活动木条（桌腿）记为 $l_{k}$ ： + +$$ +l _ {k} = \max _ {1 \leq i \leq N} \left(\frac {L}{2} - b _ {i x}\right) \tag {32} +$$ + +其始端到到 $yoz$ 平面的距离为 $b_{k}$ : + +$$ +b _ {k} = \frac {L}{2} - l _ {k} \tag {33} +$$ + +最短可活动木条记为 $l_{j}$ : + +$$ +l _ {j} = \min _ {1 \leq i \leq N} \left(\frac {L}{2} - b _ {i x}\right) \tag {34} +$$ + +其始端到到 $yoz$ 平面的距离为 $b_{j}$ : + +$$ +b _ {j} = \frac {L}{2} - l _ {j} \tag {35} +$$ + +为满足稳定性需求和美观设计理念，最长可活动木条在最短木条的外侧，即 + +$$ +y _ {k} > y _ {j} \tag {37} +$$ + +因为桌腿四点组成的支撑面积越大，稳定性越好，同样的，如果最长可活动木条不在最外侧，钢筋难以固定增加工艺复杂程度。 + +钢筋的初始位置位置为： + +$$ +d _ {0} (0) = \alpha l _ {k} + b _ {k} \tag {38} +$$ + +其中 $\frac{2b_{j}}{L} \leq \alpha \leq 1$ ，说明钢筋位置不能破坏桌面且不能脱离桌腿。 + +以上参数设定了任意桌型的基本参数及相关约束。 + +# 5.3.2 任意桌型的稳定性分析 + +在第二问，由圆形桌面稳定性分析可知，折叠桌的受力杆为可活动的最长杆，且钢筋的位置固定在此杆上，其余杆均不受力。本问中，滑槽及钢筋相对位置保持一致时，稳定性条件依旧成立，即： + +$$ +\mu \geq \frac {1}{\tan \theta_ {e n d}} - \frac {x _ {m}}{H} +$$ + +由于桌形的改变，导致质心 $x_{m}$ 发生变化，为了适用于任何设计合理的桌形，根据桌面边缘线方程，对质心重新计算。实际情况下，木条始端、终端是参差不齐的，即离散分布的，为了便于计算，此处假设木条宽度无限小，用连续型模型处理木条质心。 + +由示意图可知，半桌面部分的质心 $x_{1}$ 为： + +$$ +x _ {1} = \frac {\int_ {- B / 2} ^ {B / 2} \frac {1}{2} \rho f (y) ^ {2} d y}{\int_ {- B / 2} ^ {B / 2} f (y) d y} \tag {39} +$$ + +木条部分质心 $x_{2}$ 为： + +$$ +x _ {2} = \frac {\int_ {- B / 2} ^ {B / 2} \rho \left(b _ {x} + \frac {1}{2} l _ {x} \tan \varphi\right) l _ {x} d _ {y}}{\frac {1}{2} L _ {\text {h a l f}} B - \int_ {- B / 2} ^ {B / 2} f (y) d y} \tag {40} +$$ + +综合以上两部分质心，则总质心 $x_{m}$ 位置为： + +$$ +x _ {m} = \frac {\int_ {- B / 2} ^ {B / 2} \frac {1}{2} \rho f (y) ^ {2} d y + \int_ {- B / 2} ^ {B / 2} \rho \left(b _ {x} + \frac {1}{2} l _ {x} \tan \varphi\right) l _ {x} d _ {y}}{L _ {\text {h a l f}} B} \tag {41} +$$ + +对于任意桌面边缘线的折叠桌，设计其 $\theta_{\text {end }}$ 时应满足 + +$$ +\mu \geq \frac {1}{\tan \theta_ {e n d}} - \frac {x _ {m}}{H} +$$ + +在此条件下，设计出的折叠桌在 $\theta_{end}$ 的取值范围内满足稳定性。 + +# 5.3.3 任意桌型的尺寸设计 + +在桌型的尺寸设计过程中，结合实际，采用离散型的数学模型。 + +从桌的结构上可以知道，最长的木条（桌腿）与地面相接，在折叠桌立置的情况下，该木条与桌面的夹角为 $\theta_{\text{end}}$ ，因高度 $H$ 是客户给定的，则可以得出桌腿长度为 $l_{k} = H / \sin \theta_{\text{end}}$ 。则半个平板桌的长度 $L_{\text{half}}$ 为： + +$$ +L _ {\text {h a l f}} = \frac {H}{\sin \theta_ {\text {e n d}}} + b _ {k} \tag {42} +$$ + +因此可以给出单侧折叠桌设计所需木材： + +$$ +S = B L _ {\text {h a l f}} \tag {43} +$$ + +其中，半个平板桌的长度并非实际半个木板的长度，而是简化模型中可以一分为二的任意一部分，一分为二的界限在桌子重力作用点的 $yoz$ 平面，此时两部分之间无剪力作用，符合力的简化模型。 + +# 5.3.4 任意桌型的滑槽设计 + +滑槽的长度受到钢筋位置的影响，而钢筋在木条滑槽内部的运动仅受最大滑槽长度的限制，最大滑槽长度受到最短木条长度的限制。为了易于加工，降低加工成本，将所有需要加工的滑槽按最大滑槽加工。此时，只需确定最大滑槽的最短长度。 + +滑槽的初始位置为： + +$$ +d _ {k} (o) = \alpha l _ {k} + b _ {k} \tag {44} +$$ + +滑槽的末端最大位置为： + +$$ +d _ {j} \left(\theta_ {\text {e n d}}\right) = b _ {j} + \sqrt {\left(l _ {k} \sin \theta_ {\text {e n d}}\right) ^ {2} + \left(l _ {k} \cos \theta_ {\text {e n d}} + b _ {k} - b _ {j}\right) ^ {2}} \tag {45} +$$ + +则滑槽设计长度为： + +$$ +d _ {c a o} = d _ {j} \left(\theta_ {e n d}\right) - d _ {k} (o) \tag {46} +$$ + +滑槽长度受到钢筋位置的限制，即钢筋初始位置不能嵌入桌面，钢筋末端最大位置不能超过桌板边缘： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} d _ {k} (o) > b _ {j} \\ d _ {j} \left(\theta_ {\text {e n d}}\right) < b _ {j} + l _ {j} \end{array} \right. \tag {47} +$$ + +# 5.3.5 任意桌型的桌脚边缘线优化 + +为了直观可靠地描述设计的桌脚边缘线与客户期望的桌脚边缘线的关系，从极限的角度出发，采用连续的桌脚边缘线刻画。 + +桌脚边缘线 $\Gamma_{\text{desgin}}(x, y, z)$ 为: + +$$ +\Gamma_ {\text {d e s g i n}} (x, y, z) = \left\{ \begin{array}{l} x = b _ {x} + l _ {x} \cos \varphi \\ y = y \\ z = l _ {x} \sin \varphi \end{array} \right. \tag {48} +$$ + +客户期望桌脚边缘线 $\Gamma_{\text {wish}}(x, y, z)$ 为 + +$$ +\Gamma_ {w i s h} (x, y, z) = \left\{ \begin{array}{l} y = y \\ x = x (y, z) \\ z = z (x, y) \end{array} \right. \tag {49} +$$ + +为了刻画设计桌脚边缘线与期望桌脚边缘线的接近程度，此处建立误差模型： + +$$ +\Delta \Gamma = \int_ {0} ^ {B / 2} \sqrt {\left(x _ {\text {d e s i g i n}} - x _ {\text {w i s h}}\right) ^ {2} + \left(z _ {\text {d e s i g i n}} - z _ {\text {w i s h}}\right) ^ {2}} d y \tag {50} +$$ + +# 5.3.6 折叠桌任意桌型的优化设计模型 + +建立任意折叠桌型优化模型，综合考虑桌子的稳定性，加工复杂程度，用材量及桌脚边缘线吻合程度，给出在任意桌型（符合设计规则）的最优设计加工参数，如平板尺寸，钢筋位置，开槽长度等。 + +目标函数为： + +$$ +f = \min \left(u L _ {\text {l e f t}} + v d _ {c a o} + w \Delta \Gamma\right) \tag {51} +$$ + +其中， $u\in (0,1),v\in (0,1),w\in (0,1),u + v + w = 1$ 。 + +约束条件为： + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \mu \geq \frac {1}{\tan \theta_ {\text {e n d}}} - \frac {x _ {m}}{H} \\ \frac {2 b _ {j}}{L} \leq \alpha \leq 1 \\ l _ {k} = \max _ {1 \leq i \leq N} (\frac {L}{2} - b _ {i x}) \\ l _ {j} = \min _ {1 \leq i \leq N} (\frac {L}{2} - b _ {i x}) \\ y _ {k} > y _ {j} \\ d _ {k} (o) > b _ {j} \quad d _ {j} (\theta_ {\text {e n d}}) < L _ {\text {h a l f}} \end{array} \right. \tag {52} +$$ + +# 5.3.7 折叠桌任意桌型的优化设计实例 + +修改相关参数，得出给定桌面边缘线的最优桌型，本文结合实际情况，分别设计桌面为菱形和心形的折叠桌，运用MATLAB对新生成的典型折叠桌的运动进行模拟，得运动过程示意图如下： + +# 5.3.7.1 菱形桌面折叠桌的设计参数及仿真 + +表 4 菱形桌面折叠桌的设计参数 + +
板长板宽木条数滑槽初始位置滑槽末端位置桌高
98.0840.961919.043.6541.54
+ +
木条编号12345
木条长度48.2945.9843.8541.7139.63
木条编号678910
木条长度37.5035.35.3733.0631.1529.02
+ +![](images/cf57c3a401d9d4208a351efa0459fbbabf0c36bac110164242ed22ee82cc22b9.jpg) +图13 桌面为正方形时折叠桌的运动过程示意图 + +此外，运用3D MAX软件对给定桌面边缘线的最优桌型进行建模，对其运动状态进行模拟，得不同桌型运动过程示意图如下： + +![](images/047dfefaa10ccc3669e0fb18c8948c759715398ac12565ba1df1757cc1434ea0.jpg) +图14 桌面为正方形时折叠桌的运动过程示意图 + +# 5.3.7.2心形桌面折叠桌的设计参数及仿真 + +表 5 心形桌面折叠桌的设计参数 + +
板长板宽木条数左侧滑槽起点
127.5045.001817.31
左侧滑槽终点右侧滑槽起点右侧滑槽终点桌高
2.0230.1724.2349.04
+ +
木条编号12345
木条长度左61.4457.9854.8151.9249.21
木条长度右56.7152.1050.1348.8148.23
木条编号6789注:为了使心尖更明显,取奇数根杆。
木条长度左46.3343.2740.3837.5
木条长度右48.1248.0048.6950.37
+ +![](images/1a8e6173960796d7dfc8b741dc3b6a425ef7cb112437ca7f72017e53f426c261.jpg) +图15桌面为心形时折叠桌的运动过程示意图 + +桌面为心型的折叠桌美观大方，满足设计要求并佐证了假设的正确性，整个桌型关于yoz平面对称，xoz平面两侧桌型虽然不对称，但可通过受力分析简化，使其满足稳定性的需求，综合两侧对于桌面大小和滑槽长度的需求，确定最佳加工参数。 + +# 参考文献 + +[1]许丽佳, 穆炯. MATLAB 程序设计及应用. 清华大学出版社, 2011。 + +# 附录 + +![](images/308cfd4dfe08858a3cae1899fc21acc1e2e6af6d1b4086685d773e63976e6afd.jpg) + +![](images/34e5223f9a58f4ef82ad64059cc181174794a93ccf81cfbee51b5890a0165d0c.jpg) + +![](images/eb2f632e788d4a0fd7c1ec23d83e3a07ab2c8ecd3ddaf131060aea9b52c387ce.jpg) + +![](images/edfc9a3e9f7c4b5fc673f34d9370236e357ed372406984bef82bc99467333d55.jpg) + +![](images/1d89a9bb658d353aff55c73094b30b2ee79d62936c99365e0576a58cd36496a1.jpg) + +![](images/e6eb39d0cc5eb0c4e0d12c812cac1a94eee0119c8aff405e2bd3bffd5d9f2db0.jpg) +图16 桌面为正六边形时折叠桌的运动过程示意图 + +![](images/bf5ce1df4c0ce3a787918a5ccf6d902e477c56b23fecb5ae01b3d0b45962ccf3.jpg) + +![](images/a38d8c1ed1d8b4c04f1829085afab1b6f65a0a3adead035ce29bde13882149f0.jpg) + +![](images/55d0cefacd4965ed876c1089b176dfe5366f76750902781a46817b2ce000bdec.jpg) + +![](images/4a5b635c8472db40bdc3fd734ddd0d45367610d16defc23eff6a8ab1a6123860.jpg) + +![](images/5b4ad533d0e82b1d1be049d83560b13f0b5167cb5a89d615d0034f2ba52dda30.jpg) + +![](images/2a2f2a0930d32892f3796914af45e29b8d22305dc84185b0546190a4768cbd5b.jpg) + +![](images/1665520790ee89985f4aa7994e96065393155fc974fda3e054996bcde427987e.jpg) + +![](images/18f7806ab40d439a15da1dd1677f071424406db2823fdd1489b6fbd781810f3a.jpg) + +![](images/34c7f7799c726c2c63402479dafe1ccf7cbe0b4e76d24a9f6e27e0ac1de4a04d.jpg) + +![](images/7e66ce556ff707f6af8cafc4871d91fc7f9fe78a02febe6959f959c0a113b9ef.jpg) +图17 桌面为椭圆形时折叠桌的运动过程示意图 + +![](images/c27fdd461ae7a07aeb99c85001e10e237948fb8f98bde8f4ea1fb34f13831e5b.jpg) + +![](images/27a308f53659b1b92aee392de7fc0bd64905fa220a95788151ad028026d98662.jpg) + +![](images/4a48aeb8547e150ff2115f08b836ce60cbb5854ca280cd59ea534a7e5048826e.jpg) + +![](images/715dd920c8b360f00ce1b93b68c90265e52c50aee560f377272d14583ddc75cb.jpg) \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2014/C022/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236.md" "b/MCM_CN/2014/C022/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cc3cadd15e91694ed526fdcefd082e09e5540d9e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2014/C022/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236/C19510015_\346\235\250\351\207\221\346\264\252_\346\264\252\345\230\211\350\277\234_\350\260\242\346\200\235\351\234\236.md" @@ -0,0 +1,397 @@ +# 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 承诺书 + +我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 + +我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 + +我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 + +我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 + +我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 + +我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C + +我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：19510015 + +所属学校（请填写完整的全名）：广东科学技术职业学院 + +参赛队员 (打印并签名)：1. 杨金洪 + +2. 洪嘉远 + +3. 谢思霞 + +指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 李广 + +(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致, 只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对, 提交后将不再允许做任何修改。如填写错误, 论文可能被取消评奖资格。) + +日期：2014 年 9 月 15 日 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +# 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 + +# 编号专用页 + +赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： + +赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： + +
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+ +全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： + +全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： + +# 生猪养殖场的经营管理 + +# 【摘要】 + +随着近几年中国生猪饲养产业的增加，2014年中国猪肉市场上涌现全国性的供给大于需求的现象，导致生猪市场价格低迷，且饲料价格居高不下、人工成本费用增加，这些因素对农民饲养生猪的主动性有一定影响，因此有必要建立生猪的生产模型来指导养殖户的生产与销售以提高收益。 + +对于问题一，要求求出当生猪养殖成本及生猪价格保持不变，且不出售猪苗时，小猪全部转为种猪与肉猪，要达到或超过盈亏平衡点时的每头母猪每年平均产仔量。我们利用经济学中盈亏平衡点分析的思想，列出肉猪销售后获得的收入与饲养猪群过程中的饲养成本，并逐步增加考虑的因素以优化模型，最终得出模型III： + +$$ +[ m x - \frac {1}{4} (1 + \frac {1}{2 0}) m ] p - (1 + \frac {1}{2 0}) m c - [ m x - \frac {1}{4} (1 + \frac {1}{2 0}) m ] k _ {a} - \frac {1}{4} (1 + \frac {1}{2 0}) m k _ {b} \geq 0 +$$ + +再通过查找文献资料获得相应参数值,运用Mathematica软件求解出 $x \geq 13.3698$ ,即每头母猪每年平均产仔量大于或等于14头时,可以超过盈亏平衡点。 + +对于问题二，求使得该养殖场养殖规模达到饱和时，小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数。利用该养殖场猪群结构的数学关系列出方程求解，其中对于母猪的存栏数还需考虑多每年淘汰的失去生育能力的母猪。最终得出模型 IV： + +$$ +\begin{array}{l} m + \frac {1}{2 0} m + 9 m = 1 0 0 0 0 + \frac {1}{8} (1 + \frac {1}{2 0}) \mathrm {m} \\ \frac {m \times \frac {1}{8} (1 + \frac {1}{2 0})}{9 m} = a \\ \end{array} +$$ + +运用 Mathematica 软件求解出存栏母猪头数 $m = 1008.19$ 和小猪选为种猪的比例 $a = 0.01458$ 。 + +对于问题三，要求根据该养猪场对未来3年的生猪价格变化的预测曲线，确定该养猪场的最佳经营策略，求出三年内的平均年利润，并给出在此策略下的母猪及肉猪存栏数曲线。根据题目给定的小猪长成肉猪出栏需要9个月，而母猪一年两胎，得出养殖场一年可以卖7次猪。比较每次出售猪苗与出售肉猪的获利大小，制定出经营策略。按此经营策略养殖厂在三年内的平均年利润是8.8402百万元，其相应的母猪及肉猪存栏数曲线见正文。 + +养猪企业是一个劳动集约型和技术密集型的行业，同时又是一个高风险的行业。它同时具有投资小、建设周期短、技术要求高、社会效益大于经济效益，市场竞争激烈、企业数目多等特点。本文各个问题的模型在建立过程中运用了经济学中的盈亏平衡分析思想，结合生物的自然生长周期考虑影响因素，具有一定的科学性。另外，模型在实际生活中还可以推广运用到其他牲畜的养殖生产。 + +关键词 生猪养殖成本 盈亏平衡点 经营策略 Mathematica + +# 一、问题重述 + +某养猪场最多能养10000头猪，该养猪场利用自己的种猪进行繁育。养猪的一般过程是：母猪配种后怀孕约114天产下乳猪，经过哺乳期后乳猪成为小猪。小猪的一部分将被选为种猪（其中公猪母猪的比例因配种方式而异），长大以后承担养猪场的繁殖任务；有时也会将一部分小猪作为猪苗出售以控制养殖规模；而大部分小猪经阉割后养成肉猪出栏（见图1）。母猪的生育期一般为 $3\sim 5$ 年，失去生育能力的公猪和母猪将被无害化处理掉。种猪和肉猪每天都要消耗饲料，但种猪的饲料成本更高一些。养殖场根据市场情况通过决定留种数量、配种时间、存栏规模等优化经营策略以提高盈利水平。请收集相关数据，建立数学模型回答以下问题： + +![](images/986851a1e5b53bd70f7e93f0a61965660b9c4ecdc9518cdebaf562e24e9d32c1.jpg) +图1猪的繁殖过程 + +1. 假设生猪养殖成本及生猪价格保持不变，且不出售猪苗，小猪全部转为种猪与肉猪，要达到或超过盈亏平衡点，每头母猪每年平均产仔量要达到多少？ +2. 生育期母猪每头年产 2 胎左右, 每胎成活 9 头左右。求使得该养殖场养殖规模达到饱和时, 小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数, 并结合所收集到的数据给出具体的结果。 +3. 已知从母猪配种到所产的猪仔长成肉猪出栏需要约 9 个月时间。假设该养猪场估计 9 个月后三年内生猪价格变化的预测曲线如图 2 所示, 请根据此价格预测确定该养猪场的最佳经营策略, 计算这三年内的平均年利润, 并给出在此策略下的母猪及肉猪存栏数曲线。 + +![](images/9ca1a461e2634fb8bb804be039df99777664b9802ffc70fde836e5d09d6449a7.jpg) +图2三年价格预测曲线 + +横坐标说明：以开始预测时为第一年，D2 表示第二年，依次类推 + +# 二、问题分析 + +对于问题1，由问题知道母猪生产出来的小猪可以转化为种猪和肉猪，而不考虑作为猪苗出售，其中种猪包括公猪和母猪，按一定的配种比例生产下一代，不出售且需要养殖成本；肉猪则可以出售获得收入，本身也需要养殖成本。题目要求求出达到或超出盈亏平衡点时，平均每头母猪的产仔量。根据经济学的定义知该问题求的是：当肉猪出售获得的收入恰好抵消掉所有养殖成本时的每头母猪产仔量。针对此，我们逐步增加考虑的因素优化建立的模型，最终得出模型III。又由于模型的求解涉及一些经验数据（参数），如种猪养殖成本、肉猪养殖成本等，我们通过相应的具有一定权威性的网站查得数据。 + +对于问题2，是求当养殖场养殖规模达到10000头时的小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数。可以假定养殖场已经达到饱和，且后继续维持在养猪场的猪头数为10000头这一平衡点，并考虑母猪的淘汰率，则可分析养殖场的猪群结构：母猪、公猪、猪仔和被淘汰的母猪数之间的数学关系，构造出数学模型。 + +对于问题3，要求根据该养猪场对未来3年的生猪价格变化的预测曲线，确定该养猪场的最佳经营策略，求出三年内的平均年利润，并给出在此策略下的母猪及肉猪存栏数曲线。根据题目给定的猪仔长成肉猪出栏需要9个月，而母猪一年两胎，得出养殖场一年可以卖7次猪。从题目提供的猪群结构图可以知道每一次卖的猪可以是肉猪，也可以是猪苗，且每一次销售获得的收入还要扣除养殖成熟种猪的成本、养殖肉猪的成本（如果小猪全作为猪苗出售，则不考虑肉猪成本）。在这样的分析基础上，来确定每一胎产下的小猪是留为肉猪还是作为猪苗出售，作为经营策略的依据。在根据猪群结构的数学关系，确定出母猪及肉猪在每一胎过后的数目，做出曲线图。 + +# 三、模型的假设 + +为简化模型的建立，我们做出如下假设： + +【1】假设公猪与母猪的饲料成本相等； +【2】假设所有种猪短期内的饲养成本都是一样； + +【3】假设所有肉猪都能出售，短期内出售价格一样； +【4】假设所有出售的肉猪重量一样且养殖成本一样； +【5】假设在相关范围内，猪数量是影响收入和成本的唯一因素； +【6】假设在相关范围内，收入和总成本与产量的关系都是线性的； +【7】假设在养殖种猪与肉猪的过程中，不存在猪苗死亡或丢失的问题； +【8】假设所有种猪都是以本交配种, 公猪: 母猪为 1: 20 的配比进行交配; + +注：在各个模型的建立中，我们会补充具体假设 +四、符号的说明 + +
符号说明单位
P每头肉猪出售价元/头
pi第I次出售肉猪时的生猪肉价元/kg
X每头母猪每年平均产仔量头
W所有的猪的养殖总成本元
Q所有肉猪销售出去的收入元
ka为肉猪养殖过程中的成本元
kb为种猪养殖过程中的成本元
c每头母猪养殖成本元
m成年母猪的头数头
a为小猪选为种猪的比例
L为母猪的存栏数头
Ri每一次售猪的利润元
R三年内的年平均利润元
+ +# 五、数据的援引与说明 + +1、对于肉猪的养殖成本 1503.6 元，我们是在参考了北京市农业科学院农业经济与发展研究所发表的文章《2011 年 7 月生猪养殖成本收益分析》[1]里的生猪养殖总成本 1450.79 元的基础上，结合国内物价上涨的经济现象，采用了中国养猪网《生猪价格汇总：2014 下半年生猪出售价格及养殖成本方向估量》[2]里的 2014 年上半年平均每头出栏生猪主产品产值 1503.6 元的结论。由于种猪的饲料成本比肉猪的饲料成本更高一些，由经验数据得种猪饲料成本 1600 元。 + +2、对与本交配种的比例 1: 20, 是在参照了辽宁省畜牧兽医局[3]的《猪人工授精和本交配种的效果调查》中本交配种公猪每头每年只能担负 25—30 头母猪的配种任务的结论基础上, 结合专业养猪网站[4]得出商品猪养殖场以本交 1:20 來計算。 +3、每头肉猪以240斤出售，每斤以市场价7.5元/斤计算，每头肉猪1800元。 +4、中小型猪场以一头母猪年产20头小猪的保守估计来计算成本，一头母猪年消耗饲料1100千克，母猪养殖成本主要为妊娠母猪饲料和哺乳母猪饲料，平均一下价格为：2.56元/千克，所以，一头母猪年饲料成本： $1100 \times 2.56 = 2816$ 元，加上药物免疫和人工成本484元，则一共为3300元[5]。 +5、后备母猪中地方品种的初配年龄是在 6~8 月龄, 这是在参照了《上海畜牧兽医通讯》[6]里的文献和中国养猪网的资料得出的。从长期考虑, 后备母猪与成熟母猪的配种时间取平均是在 6 月龄。 +6、在援引4中的文献还可以得出猪苗价格455.1元。 + +表 1 参数与其数值表 + +
描述参考数据备注
肉猪的养殖成本1503.5元
本交配种的比例1:20公猪：母猪
每头肉猪的出售价格1800元每头肉猪以240斤出售， 每斤以市场价7.5计算
一头母猪年饲料成本3300元
后备母猪的初配年龄6月龄
猪苗价格455.1元
种猪饲料价格1600元
+ +# 六、模型的建立与求解 + +# 6.1 问题1的模型 + +# 6.11 模型 I 的建立与求解 + +根据相关资料知：盈亏平衡点是指全部销售收入等于全部成本时（销售收入线与总成本线的交点）的产量。从图3可以看出当产量大于盈亏平衡点时，肉猪售出总收入线对应的y值高于总猪数养殖成本线对应的y值，也就是大于该平衡点后，养猪户能保证获利。 + +由盈亏平衡点的定义可知盈亏平衡点的出栏数，按照一般情况下的公式满足： + +总收入 $=$ 总成本 + +而： + +总收入=商品猪销售头数×商品猪出栏单价 + +即： + +总成本 $=$ 商品猪销售头数 $\times$ 单位商品猪养殖成本 $+$ 种猪的饲养成本 $\times$ 种猪头数 + +![](images/d7f5b6f7b63371dd6cd9bc1c9e2736091933ad28b95b26f9ef10baa40a81dc66.jpg) +图3 肉猪销售的盈亏平衡点分析图 + +假设所有小猪都只转化为肉猪，则应考虑肉猪与母猪的养殖成本、肉猪的销售收入。设每头肉猪售价为P，每头母猪每年平均产仔量X，肉猪养殖过程中的成本Ka,每头母猪养殖成本C，则依前述有： + +$$ +\begin{array}{l} Q = m p x \\ W = m x k _ {a} + m c \\ Q - W \geq 0 \\ \end{array} +$$ + +利用 Mathematica 软件，代入数据求解得 $x \geq 11.1336$ + +结果表明，在所有小猪都只转化为肉猪的情况下，当每头母猪每年平均产仔量12头时，可以达到或超过盈亏平衡点。 + +然而模型1的建立忽略了养殖场中与母猪配比的公猪的养殖成本，所以在改进的模型中必须考虑多公猪的养殖成本。 + +# 6.12 模型Ⅱ的建立与求解 + +由数据的援引与说明知，以本交配种方式生产猪仔，公猪与母猪以1：20的配比进行交配，则在模型I的基础上有： + +$$ +\begin{array}{l} Q = m p x \\ W = m x k _ {a} + m \left(1 + \frac {1}{2 0}\right) c \\ Q - W \geq 0 \\ \end{array} +$$ + +利用 Mathematica 软件，代入数据求解得 $x \geq 11.6903$ + +结果表明，在所有小猪都只转化为肉猪的情况下，当每头母猪每年平均产仔量12头时，可以达到或超过盈亏平衡点。 + +从数值结果上我们可以看出模型I与模型II的数值相差不大，原因是公猪的饲料成本影响小。事实上模型I与模型II的建立都忽略了养殖场需要留下一定的种猪进行后续的养殖规模发展，且忽略了母猪在经过一定的时间后需要被淘汰，因此这两个模型都不符合实际应用，据此我们引入模型III。 + +# 6.13 模型III的建立与求解 + +我们假定猪场规模不扩大，即每年作为种猪的数目一定，又由问题重述知，母猪的生育期一般为 $3 \sim 5$ 年，失去生育能力的公猪和母猪将被无害化处理掉，我们取其生育期为 4 年，则平均每年淘汰 $1 / 4$ 的种猪，补进 $1 / 4$ 的种猪。 + +因此有： + +$$ +\begin{array}{l} Q - W \geq 0 \\ Q = [ m x - \frac {1}{4} (1 + \frac {1}{2 0}) m ] p \\ W = (1 + \frac {1}{2 0}) m c + [ m x - \frac {1}{4} (1 + \frac {1}{2 0}) m ] k _ {a} + \frac {1}{4} (1 + \frac {1}{2 0}) m k _ {b} \\ \end{array} +$$ + +其中 $k_{b}$ 为种猪的饲养成本，代入数据求解得： $x \geq 13.3698$ + +即当每头母猪每年平均产仔量14头时，可以达到或超过盈亏平衡点。 + +# 6.2 问题2的模型 + +# 6.21 模型IV的建立与求解 + +结合问题 2 和题目陈述, 可以知道该养殖场养殖规模达到饱和时的总猪数目是 10000 头, 那么可以理解为当达到饱和时养殖场实现的平衡是每一胎出生后都维持在 10000 头。根据模型 III 的分析知平均每年淘汰 $1 / 4$ 的成熟母猪, 更新 $1 / 4$ 母猪种, 等价于母猪不变, 同理知公猪也等价于不变。在不考虑猪苗出售的情况下, 可知 10000 头猪中由母猪、公猪、猪仔组成, 而小猪中选为猪种的比例等于成熟猪种更新补进的数目比小猪数, 故有: + +$$ +\begin{array}{l} m + \frac {1}{2 0} m + 1 8 m = 1 0 0 0 0 \\ \frac {m \times \frac {1}{4} (1 + \frac {1}{2 0})}{1 8 m} = a \\ \end{array} +$$ + +求解上述模型求得 $m = 524.93, a = 0.01458$ ，即存栏母猪 524 头，小猪选为种猪的比例是 $1.46\%$ 。事实上模型 IV 没有考虑到养殖场一年两胎，它可能在第一胎就已经达到饱和值，因此模型建立时的设立周期应为 0.5 年，另外也没有考虑到母猪生完一胎后需要淘汰的母猪。在这些考虑的前提下，我们修正模型 IV 得出模型 V。 + +# 6.22 模型V的建立与求解 + +因为模型建立时设立的周期为 0.5 年则每半年淘汰 $1 / 8$ 。由于肉猪在 $6 \sim 12$ 月龄即可售出，为简化模型，我们在这一问题上做出下述具体假设： + +假设没有猪苗出售； + +假设肉猪在每个半年期的时间点上并没有立即售出。 + +那么我们以半年为计算周期，母猪生一胎9头，即 $9m$ 。值得注意的是母猪的平均配种时间在6月龄，因此不必考虑母猪数中包括更新的1/8后备母猪不满足生育月龄。当第一胎母猪生产后，养殖场达到的猪数总数目扣除掉没有生育能力的母猪数目，就剩下10000头猪。根据猪群结构的数学关系，我们可以列出下式： + +# 公猪数+母猪数+第一胎的小猪数=10000+淘汰的母猪数 + +# 存栏母猪数=m + +因此有： + +$$ +\begin{array}{l} m + \frac {1}{2 0} m + 9 m = 1 0 0 0 0 + \frac {1}{8} (1 + \frac {1}{2 0}) \mathrm {m} \\ \frac {m \times \frac {1}{8} (1 + \frac {1}{2 0})}{9 m} = a \\ L = m \\ \end{array} +$$ + +运用 Mathematica 软件分别求解出 $m = 1008.19, a = 0.01458$ ，即存栏母猪数 1008 头，小猪选为种猪的比例是 $1.45\%$ 。 + +# 6.3 问题3的模型 + +# 6.31 模型VI的建立与求解 + +问题3中指出从母猪配种到所产的小猪长成肉猪出栏需要约9个月时间，并给出该养猪场所估计的9个月后三年内生猪价格变化的预测曲线，对题目所提供预测曲线进行数据转化处理，得出关于三年内每一月份的市场生猪价格表2由此可知每胎从产下到出栏销售需要九个月时间，由问题2知母猪平均六个月1胎，则在三年里可以销售7次，如下图4与表3所示： + +表 2 每一月份的市场生猪价格表 + +
日期价格（元/公斤）日期价格（元/公斤）日期价格（元/公斤）日期价格（元/公斤）
D2.6.1219.4D3.3.1215.1D3.12.1216.4D4.9.1215.5
D2.6.2219.6D3.3.2214.3D3.12.2217.1D4.9.2215.6
D2.7.219.4D3.4.214.2D4.1.217.5D4.10.215.5
D2.7.1219D3.4.1214.3D4.1.1217D4.10.1215.5
D2.7.2219.1D3.4.2214.1D4.1.2215.8D4.10.2215.5
D2.8.219.2D3.5.213.7D4.2.215.6D4.11.215.6
D2.8.1219.3D3.5.1213.6D4.2.1214.3D4.11.1215.8
D2.8.2219.4D3.5.2213.5D4.2.2213.8D4.11.2215.9
D2.9.219.5D3.6.214D4.3.213.6D4.12.215.6
D2.9.1219.3D3.6.1213.6D4.3.1213.1D4.12.1215.4
D2.9.2218.9D3.6.2213.7D4.3.2212.4D4.12.2214.6
D2.10.218.3D3.7.213.7D4.4.212.3D5.1.213.6
D2.10.1217.8D3.7.1213.7D4.4.1212.3D5.1.1213
D2.10.2217D3.7.2213.8D4.4.2212.1D5.1.2212.8
D2.11.217D3.8.214.1D4.5.212.6D5.2.212.6
D2.11.1216.7D3.8.1214.2D4.5.1213.7D5.2.1212.1
D2.11.2216.6D3.8.2214.5D4.5.2214.4D5.2.2211.8
D2.12.217.1D3.9.214.8D4.6.214.2D5.3.211.4
D2.12.1217.2D3.9.1214.6D4.6.1214.3D5.3.1210.9
D2.12.2217.3D3.9.2214.6D4.6.2214.3D5.3.2210.8
D3.1.217.5D3.10.214.5D4.7.214.7D5.4.210.7
D3.1.1217.4D3.10.1214.4D4.7.1215D5.4.1210.8
D3.1.2217D3.10.2214.4D4.7.2215.6D5.4.2211.9
D3.2.216.7D3.11.214.7D4.8.215.8D5.5.213.8
D3.2.1216.1D3.11.1215D4.8.1215.7D5.5.1213.7
D3.2.2215.8D3.11.2215.9D4.8.2216D5.6.213.1
D3.3.215.6D3.12.216.2D4.9.215.8D5.6.1213.4
+ +![](images/15b4a004c5893ab9a4ecab4ce30fb76f8dae165b33d0c5de25f4aefcb7078974.jpg) +图4（绿点表示的每一胎出生的时间，红点表示每次销售的价格） +表 3 生猪出售时间与对应生猪价格 + +
日期D2.6.2D2.12.D3.6.2D3.12.D4.6.1D4.12.D5.6.1
22222222
价格（元/ 公斤）19.617.31417.114.315.613.4
+ +在建立模型过程中，考虑到能使养殖厂获利的主要是肉猪销售的收入，而成本来自于肉猪的养殖成本和成熟种猪的养殖成本。为了便利于本模型的建立，我们作出如下假设： + +假设没有猪苗的出售； + +假设养殖场规模达到饱和，维持在10000头； + +由于该养殖场所做的预测曲线是在3年期，而母猪的生育年限是在 $3 \sim 5$ 年，所以不考虑成熟母猪的淘汰，又根据养殖场规模维持在10000头的假设，结合第二问，我们知成熟母猪头数为1008头，即每一胎产下的猪仔都不考虑留做种猪。因此肉猪售出获得的收入、养殖猪群过程中的养殖成本、和其销售利润R之间满足下式： + +$$ +Q - W = R _ {i} +$$ + +$$ +Q = 1 2 0 \times P _ {1} \times 9 m +$$ + +$$ +W = 9 m \times k _ {a} + m (1 + \frac {1}{2 0}) c +$$ + +$$ +\bar {R} = \frac {R _ {1} + R _ {2} + R _ {3} + R _ {4} + R _ {5} + R _ {6} + R _ {7}}{3} +$$ + +代入数据，求得每一次出售的收益，绘制成表4。 + +表 4 每一次售猪的利润 + +
R1R2R3R4R5R6R7ΣRR
利润 (百万)5.0772.570-1.3502.360-0.6930.723-1.6727.0182.339
+ +# 6.32 模型VI的优化 + +由表4看出，第3次、第5次、第7次销售肉猪后都是亏损，那么是不是每一次的单位肉猪销售后获得的利润都高于单位猪苗销售后获得的利润，对此，分别求出每一次销售时两者的数值，选取猪苗获得的利润高于肉猪获得的利润时的次数，绘制成表5。具体求法如下（依照问题一，每只猪以240斤，即120公斤计算）： + +单位猪价*每只肉猪重量- 肉猪养殖成本=肉猪销售利润 + +代入参数肉猪养殖成本 $k_{a} = 1503.6$ ，将求得数据绘制成表4 + +表 5 单位肉猪与单位猪苗的销售利润对比 + +
次数 +类型R3R5R6R7
肉猪销售利润140.4212.4368.4104.4
猪苗销售利润450450450450
+ +由上表4知，如果在第3次、第5次、第7次出售的是肉猪则会亏损，而在第6次出售的是肉猪则会降低收益而不会亏损。据此，在前面的经营策略上我们做出调整，使养殖场在第3次、第5次、第6次、第7次时只将母猪产下的猪仔作为猪苗出售，而不留做肉猪，计算求得的数据如表6。 + +表 6 每一次售猪的利润 + +
R1R2R3R4R5R6R7ΣRR
利润 (百万)5.0772.5704.1282.3604.1280.7234.12826.528.840
+ +即最终总收入26.52百万，这三年内的平均年利润为8.840百万。其经营策略为： + +第一次在D2.6.22时出售肉猪； + +第二次在D2.12.22时出售肉猪； + +第三次在D3.6.2时出售猪苗； + +第四次在D3.12.22出售肉猪； + +第五次在D4.6.12出售猪苗； + +第六次在D4.12.12出售猪苗； + +第七次在D5.6.12出售肉猪。 + +在此策略下，根据生猪价格变化曲线可得，母猪存栏数曲线如图5，肉猪存栏数曲线如图6所示 + +![](images/e1f991200658e5be21daec6d8169080c191e8ab120607aa7c028c2b9ecad9e8e.jpg) +图5母猪存栏数曲线图 + +![](images/8e5d1cdb24c92d0b6cd8b310eb367128b23d84d35d66516e9b2514c0e9b520c9.jpg) +图6 肉猪存栏数曲线图 + +事实上，作为养猪企业投资决策中的投资经济分析，是建立在分析人员对未来事件所作的预测与判断的基础之上的。由于影响方案经济效果的政治、经济形势，外部环境条件，技术发展情况等因素的未来的变化带有不确定性，加上预测方法和工作条件的局限性，对养猪企业投资方案经济效果评价中使用的投资、成本、饲养头数或销售价格等基础数据的估算与预测结果不可避免地会有误差，这就使得方案经济效果的实际值可能偏离其预期值，从而给投资者和经营者带来风险。例如，投资超支，生产能力达不到设计要求，饲料价格上涨，人工费增加等都可能使一个养猪投资项目达不到预期的经济效果，甚至发生亏损。因此在题目给出的信息太少的前提下，本问中制定的经营策略的收益距离实际收益有所出入。 + +# 七、模型的评估与推广 + +盈亏平衡分析是一种无论在理论上还是实践上都极有价值的模型。由于盈亏平衡分析的基础模型需要一系列的假设条件，而在现实的养猪企业生产经营中这些条件很难达到，所以建立更为复杂及考虑全面的数学模型，而本论文的模型建立无论从深度广度都还是不够的，由于篇幅所限本文所作的仅仅是一些较粗略的探讨，文中的不足及有待深入研究的方面还有很多。下面是对本文所建的模型的一个简单评估与推广。 + +# 7.1 模型的优点 + +1、论文的各个模型基于一定的经济学理论建立，比如问题 1 模型的建立是在盈亏平衡点分析的理论知识上得出的，有其科学基础 +2、本论文建立的各个模型中援引到的数据以及知识，都是通过查找大量文献资料，结合权威数据与养殖户的经验数据得出的，有一定可靠性。 +3、模型的建立思路简洁，适用于猪场养殖户在实际生产生活中的运用，以便于通过控制猪群结构影响肉猪数量与猪苗数量，使得经济效益最大化。 + +# 7.2 模型的缺点 + +1、模型在建立的过程中所做的一些假设在实际生产运用中，并不能忽略。 +2、问题 3 模型建立时，没有考虑到养殖场总猪数目不一定一直维持在 10000，而应该是随着市场价格而调整总猪数。 +3、论文引用到的参数数值与实际上的计算结果往往有出入，因为每个猪场的先进程度和生产水平不一样，生产指标不尽相同，所以在设计现代化猪场计算猪群结构时，应根据自己可能达到的水平，拟定工艺参数，如母猪繁殖周期、窝平产仔数、各个时期的成活率等等。 + +# 7.3 模型的推广 + +本文针对各个问题建立的数学模型架构不单适用于解决生猪养殖场的经营管理时遇到的诸如使养猪户保本的单位母猪平均产仔量，还可运用到相类似的牲畜养殖模型中，其中论文运用到的盈亏平衡点分析思想在实际生产生活中主要有以下几方面的运用： + +(1)根据市场状况制定竞争策略 + +通过盈亏平衡点销售量的预测，再根据企业实际销售量并结合市场竞争状况使企业可在价格、销售量等方面作出相应的决策。 + +(2)选择恰当的营销渠道 + +企业的销售渠道不同，企业的销售成本和管理成本也不同，产品的定价也不同。通过盈亏平衡点的销售量的计算，并根据企业对潜在市场的广泛分析和研究之后，再结合企业的实际情况，对多种销售渠道进行筛选，最后选出最优方案。 + +(3)制定合理的价格决策 + +根据盈亏平衡点基础模型公式，企业可以评价不同的价格水平对盈亏平衡点所起的各种作用，从而估计到按这些价格计算的高于盈亏平衡点的销售额概率。 + +(4)劳动用工决策 + +企业利用平衡点基础模型通过几种不同的用工形式的成本进行比较，来确定哪种用工形式有得于节约成本。 + +(5)制定产品决策 + +在激烈的市场竞争中，企业取消一种产品，就如同新增一种产品一样，是十分重要的，一种失去了吸引力的产品很可能还被继续生产，使产量超过它那小而无利可图的定单的数量，这种产品需要短而费资金的生产周期，还要耗费过多的管理时间，并冻结了可以用到别的更有利的产品上去的资金。如果一种产品按当前的售价，补偿了可变成本，而且正在为补偿固定成本而生产着，那么短期内，虽然没有盈利，也应该继续保留这种产品。 + +# 八、参考文献 + +[1] 王祖力，王济民，《中国猪业》，北京市农业科学院农业经济与发展研究所：2011年08期，www.cnki.net,中国知网 +[2] 《生猪价格汇总:2014下半年生猪出售价格及养殖成本方向估量》， + +出自【中国养猪网】：http://www.zhuwang.cc/zzxjgfx/201409/195281_2.html +[3] 辽宁省畜牧兽局 + +http://www.cnaho.com/gyfw/syjs/201209/t20120929_966035.html + +[4] 畜牧人网站，http://www.xumuren.com +[5] 畜牧人网站, http://www.xumuren.com/article-105597-1.html +[6] 谷夏先，文章，《母猪初配年龄》，《上海畜牧兽医通讯》1989年05期，http://wuxizazhi.cnki.net/Search/SYTX198905013.html +[7] 姜启源，谢金星，叶俊，《数学模型》，高等教育出版社，2011年1月第4版。 +[8] 周凯，宋军全，郭学军，《数学建模竞赛入门与提高》，浙江大学出版社，2013年1月第二次印刷。 +[9] 杨景培，徐仲仁，刘伯宗，《现代养猪技术问答》，广东科技出版社，1999年9月第一次印刷 + +# 附录 + +模型一： + +$$ +\operatorname {R e d u c e} [ 1 8 0 0 * x - (x ^ {*} 1 5 0 3. 6 + 3 3 0 0) > = 0, x ] +$$ + +模型二（1）： + +$$ +\operatorname {R e d u c e} [ 1 8 0 0 * x - (x ^ {*} 1 5 0 3. 6 + (1 + 1 / 2 0) ^ {*} 3 3 0 0) > = 0, x ] +$$ + +模型二（2）： + +$$ +\begin{array}{r l} \text {R e d u c e} & [ (\mathrm {x -} \\ & 0. 2 5 (1 + 1 / 2 0)) ^ {*} 1 8 0 0 - ((1 + 1 / 2 0) ^ {*} 3 3 0 0 + (\mathrm {x -} \\ & 0. 2 5 (1 + 1 / 2 0)) ^ {*} 1 5 0 3. 6 + 0. 2 5 ^ {*} (1 + 1 / 2 0) ^ {*} 1 6 0 0) > = 0, \mathrm {x} ] \end{array} +$$ \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2015/A095/A095.md b/MCM_CN/2015/A095/A095.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..dc2c646186c4b9d2284c670b50cefe3cb501aaef --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2015/A095/A095.md @@ -0,0 +1,856 @@ +# 太阳影子定位模型 + +# 摘要 + +针对太阳影子定位问题，本文结合地理学和天文学的相关知识，建立了不同数据类型下的太阳影子定位模型，实现了视频拍摄地点和日期的快速精准确定。 + +对于问题一，首先从地理学角度，基于地理坐标，直杆长度，时间这三个影响影子长度的参数，计算出时角，赤纬角，太阳高度角，进而给出了影子长度与三个参数之间的关系式。结果显示，影长对日期和时刻都呈现出先减小后增大的趋势；对杆长呈正比关系增长；对经度呈现先急剧增长到峰值再突变为0，而后突变到峰值后再急剧下降；对纬度呈缓慢上升趋势。然后，根据附件1中提供的数据，画出了天安门广场上直杆的太阳影子分布曲线图。 + +对于问题二，基于问题一中对影响影子长度因素的分析，根据地理学知识建立双目标规划模型，确立目标函数分别为： $\min \sum_{i=1}^{20} |\Delta A_i - \Delta A_i'|, \min \sum_{i=1}^{21} |S_{\text{归}i} - S_{\text{归}i}'|$ 。然后在约束条件下对杆子的地点坐标应用网格逼近算法优化求解，得出最符合题目所提供数据的杆子地理位置为： $(19.1^\circ E, 108.71^\circ N)$ ——海南东方市境内，此时，杆长为2.03米，太阳方向角残差比为 $1.8\%$ ，影长残差比为 $0.9\%$ ，误差均很小。 + +对于问题三，首先建立了与问题二相似的目标规划模型，由于日期未知，模型求解的时间复杂度较高。为提高计算速度，引入了粒子群算法。分别对附件2和3中的数据进行分析，确定出的地点坐标分别为 $(80.51^{\circ}E,32.13^{\circ}N)$ ， $(110.20^{\circ}E,24.83^{\circ}N)$ 和 $(81.43^{\circ}E,32.24^{\circ}N)$ ， $(111.56^{\circ}E,23.68^{\circ}N)$ ，附件2为西藏阿里，日期为8/14或4/29，附件3为广西梧州市，日期为12/27或12/14。可以发现，两种算法的结果极为接近，但粒子群算法计算时间要远小于网格逼近算法。 + +对于问题四，首先对视频数据进行采集和预处理，由于视频拍摄角度的存在，从视频中直接得到的影长并不是实际长度，而是其投影长度，这里采用基于Hough变换和透视变换的图像矫正法，对斜视图像进行矫正，得出实际影长。然后将得到的数据带入问题二的模型中，给出视频拍摄地点为 $(110.70^{\circ}E,42.31^{\circ}N)$ ——内蒙包头市境内；在拍摄日期未知的情况下，将变化而来的实际影长代入问题三的基于粒子群算法的目标规划模型，求解出视频拍摄地点为 $(109.76^{\circ}E,42.66^{\circ}N)$ ——内蒙包头市境内，拍摄日期为6/11或7/13。 + +对于模型的推广，根据物体采集到的太阳地理信息进行计算，可以应用到求建筑物群合理间距问题。 + +关键词：双目标规划 粒子群算法 Hough变换 透视变换 + +# 一、问题的重述 + +# 1.1 问题的背景 + +“日长影移”是生活中人人熟知的自然现象，这个词说明地面上的影子变化与太阳活动有着密切的联系。而古代智慧的先民就利用了这个现象制作了日晷，是最早且最精确的计时工具之一。在图像信息充斥的当代，如何通过图像数据获得图像拍摄时的相关信息是图像分析学科的重要课题，而利用太阳光影变换获得时间和地理信息，是非常方便可靠的。 + +# 1.2 问题的提出 + +太阳影子定位技术，是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。针对上述背景和应用需求，提出以下问题： + +1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00- 15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 +2. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 +3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 +4. 如果已有一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。若拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期。 + +# 二、问题的分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +题目要求在固定地点，给定日期和杆长的条件下，求解出直杆投影长度的变化曲线。对于水平地面上的垂直直杆，直杆长度与影子的比值即为太阳高度角的正切值，因此需要知道此时间段内的太阳高度角变化。查阅资料[6]可得，太阳高度角与当地地方时、经纬度密切相关，因此知道上述两个量就可确定直杆的变化过程。 + +# 2.2 问题二的分析 + +题目要求根据影子的变化情况和给出的日期求出直杆的位置, 实际上是问题 + +一的逆求解过程。这里杆长和地点都是未知量，逆求解是非常困难的，于是将问题二转化为双目标规划问题。当太阳方位角与影长的实际值与理论值差值的绝对值之和达到最小时，所得经纬度即为杆子的地点坐标。 + +# 2.3 问题三的分析 + +与问题二不同的是，该问中日期是个未知量。首先考虑沿用上一问的模型。由于日期未知，所以要考虑一年365天的所有情况，这将大大增加运算时间。从减少运算量的角度考虑，有必要改进算法。考虑引入现代优化算法之一的粒子群算法，将所有解视为粒子所要去的位置，由于适应度与目标函数相联系，选取合理的适应度函数，期望提高计算效率。 + +# 2.4 问题四的分析 + +本问的数据由视频给出，那么首先要对视频进行数据预处理。由于视频时间较长，所以不考虑将视频逐帧分析，而是每隔一段时间对视频进行获取分析，对图像所给出的影长和影子角度进行测量。考虑到视频拍摄角度的存在，从视频中直接得到的影长并不是实际长度，而是其投影长度，因而要对斜视图像进行矫正，得出实际影长。然后再分别利用问题二和问题三的模型进行求解。 + +# 三、 问题的假设 + +1. 每年的太阳活动情况是相同的，均为“恒星年”。 +2. 地球是一个完美的球形，不考虑海拔、地球扁率的影响。 +3. 无光线衍射造成的影子减淡现象。 +5. 在小尺度考虑直杆投影问题时，地表是绝对水平的。 +6. 不考虑地球公转的影响。 +7. 题目所给的数据是真实的，可靠的。 + +# 四、 符号说明 + +
符号说明
θ太阳高度角
L水平地面上直杆长度
S水平地面上直杆影子长度
h当地地方时时角
δ当地太阳赤纬
当地纬度值
γ当地经度值
t当地地方时
t0北京时间
n当日日期序号
P当地经纬度坐标
A当地太阳高度角
T时间（包含时刻与日期）
β离散化后的方位朝向
εi每组数据影长与x坐标轴的夹角
xi, yi题目附件提供的第i组直杆坐标
d日期
+ +注：其他符号将在下文中给出具体说明。 + +# 五、 模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一 + +# 5.1.1 模型的建立 + +本模型结合相关地理学知识，对影子的变化情况进行分析描述。下面将明确一些地理学定义，以及重新定义一些本模型需要用到的参数。 + +太阳高度角，也称太阳高度，是指某地的太阳光线与当地地平面的所交的最小线面角，这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。在水平地面上，直杆长度与影长的比值即为太阳高度角的的正切值： + +$$ +\tan \theta = \frac {L}{S} \tag {1} +$$ + +![](images/a5fcfdc8495148eaafbde56a682ea337e2893794c1b9ef68ae0f3e1f9bd0e10f.jpg) +图1 太阳方位角示意图 + +其中 $L$ 为杆长， $S$ 为影长。 + +通过查阅相关资料[6]，得知太阳高度角的计算公式为： + +$$ +\sin \theta = \cos h \cos \delta \cos \phi + \sin \delta \sin \phi \tag {2} +$$ + +其中 $\theta$ 为太阳高度角， $h$ 为地方时时角， $\delta$ 为当时的太阳赤纬， $\phi$ 为当地纬度。 + +以一个地方太阳升到最高的地方的时间为正午12时，将连续两个正午12时之间等分为24个小时，所成的时间系统，称为地方时。地球上每一个地点都有其相应的地方时。由于题目只提供了当地时间的北京时间，因此在计算地方时时角时，要先将北京时间换算为当地地方时 $t$ ： + +$$ +t = t _ {0} + \frac {\gamma - 1 2 0 ^ {\circ}}{1 5 ^ {\circ}} \tag {3} +$$ + +其中 $t_{0}$ 为北京时间， $\gamma$ 为当地经度。 + +根据某地地方时，可以换算出当地的地方时时角。地方时时角 $h$ 即为当地与子午线之间相差的角度： + +$$ +h = 1 5 ^ {\circ} \times (t - 1 2) \tag {4} +$$ + +太阳的赤纬等于太阳入射光与地球赤道之间的角度，由于地球自转轴与公转平面之间的角度基本不变，因此太阳的赤纬随季节不同而有周期性变化。太阳赤纬的最高度数为 $23^{\circ}26'$ ，夏至时太阳的赤纬为 $+23^{\circ}26'$ ，冬至时太阳的赤纬为 $-23^{\circ}26'$ 。春分和秋分时太阳的赤纬为 $0^{\circ}$ 。 + +由于地球公转轨道的偏心率非常低，可以看作是一个圆圈，太阳赤纬 $\delta$ 可用下面这个公式来计算： + +$$ +\delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {2 \pi (2 8 4 + n)}{3 6 5}\right) \tag {5} +$$ + +其中 $n$ 为当日日期序号，1月1日时 $n = 1$ ，以此类推得10月22日 $n = 295$ 。 + +联立式子(2)-(5)得到方程组： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \tan \theta = \frac {L}{S} \\ \sin \theta = \cos h \cos \delta \cos \phi + \sin \delta \sin \phi \\ t = t _ {0} + \frac {\gamma - 1 2 0 ^ {\circ}}{1 5 ^ {\circ}} \\ h = 1 5 ^ {\circ} \times (t - 1 2) \\ \delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {2 \pi (2 8 4 + n)}{3 6 5}\right) \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +求解上述方程组，得： + +$$ +S = L / \tan \left(\arcsin \left(\cos (1 5 ^ {\circ} \times (t - 1 2)) \cos (\delta) \cos \phi + \sin (\delta) \sin \phi\right)\right) \tag {7} +$$ + +可见，影子长度的变化与当地地理位置 $P(\varphi, \phi)$ ，直杆长度 $L$ ，时间 $T(t, d)$ 这三个参数有关。 + +# 5.1.2 模型的求解 + +首先计算题目所给条件下的 $h$ ， $\delta$ 与 $\phi$ ，再将上述参数值代入(2)式，得出从9:00-15:00的太阳高度角随时间的变化（具体值见附录）。相应地，可求得直杆影长数据（具体见附录）。从结果中挑选出几个比较重要的时间点，将相应结果制成下表以供参考： + +表 1 影子长度分布 + +
北京时间太阳高度角/度影长/m
9:0021.187.74
12:0037.883.85
12:1437.993.84
15:0025.356.33
+ +将影长随时间变化的情况用 MATLAB 绘制成图像: + +![](images/4688147d9687d56a1135716bdf506cd02cc964d12079eff653d9b0d981a5aa19.jpg) +图2 影子长度变化曲线 + +对于影子长度关于各个参数的变化规律，从时间，地点和杆长三个方面对其 + +进行分析，分析某一个参数时，将其他变量看做常量，只改变一个未知量。我们将时间参数分为日期和时刻这两种情况进行运算求解，影长关于时刻的变化在图2中已经给出；对于地点，将其分为经度 $\gamma$ 和纬度 $\phi$ 这两个参数进行运算求解，求解后的变化规律图如下： + +![](images/e62a5cf92cb53f89f70fa2cc440f6157f5527615ab7db8312bf1ff937080489e.jpg) +图3影长与日期关系曲线 + +![](images/17a056705a434ae03915c72f02aa0c5296575efe62e0de71506bddd49ddc107f.jpg) +图4影长与杆长关系曲线 + +![](images/794c3c06e2276e473acdb496f03649b8e6a1a8e2eb32deb7cb992f31b2b9037b.jpg) +图5影长与经度关系曲线 + +![](images/485ce37bb9cbb6ff3002676555ea4849cfe269f8e45610666f2767f372c766d3.jpg) +图6影长与纬度关系曲线 + +# 5.1.3 结果分析 + +从图3中可以发现，影长随着时间的增加，呈现先减小后增大的趋势，影长最小点出现在12:14，这是由于北京时刻为 $120^{\circ}E$ 的地方时，换算到 $116^{\circ}E$ 附近时，会产生时差，显然是符合常理的。 + +从图4中可以发现，影长与杆长呈正比关系，这是由于 $\tan \theta = \frac{L}{S}$ ，从而验证了模型的准确性。 + +从图5中可以发现，影长随时间变化出现了两个明显的“脉冲”。这是因为当太阳逼近地平线时，影长变化的速度非常快，影子也是最长的。而太阳一旦在地平线以下，就不存在影子，影子长度也为0。 + +从图6中可以发现，图5中的曲线随纬度增加，总趋势是增加的，这是随着纬度的增加太阳高度角减小，从而导致了影长的增加。 + +# 5.2 问题二——基于网格逼近算法的双目标规划模型 + +# 5.2.1 数据预处理 + +分析题目所给的数据（附件1），可以发现这些数据不仅能计算出影长，还能够得知影子方位角的变化，但是附件没有给出坐标系的方位朝向，故假设坐标系 $x$ 轴的方位朝向角为 $\beta (0^{\circ}\leq \beta < 360^{\circ})$ ，取正北方向时， $x$ 轴的方位朝向角为 $0^{\circ}$ 。由此，可以得出21个时间点影子的太阳方位角。我们以每五个时间点为间隔，选取部分呈现在下表中： + +表 3 影子方位角数据表 + +
北京时间x坐标/米y坐标/米方位角/度
14:421.03560.4973β+25.63°
14:571.20870.5255β+23.49°
15:121.39550.5541β+21.65°
15:271.60330.5833β+20.02°
15:421.82770.6135β+18.55°
+ +# 5.2.2 模型的建立 + +首先引入太阳方位角的定义。太阳方位角是太阳在方位上的角度，它通常被定义为从北方沿着地平线顺时针量度的角： + +$$ +\cos A = \frac {\sin \delta \cdot \cos \phi - \cos h \cdot \cos \delta \cdot \sin \phi}{\cos \alpha} \tag {8} +$$ + +上述公式可以用来计算近似的太阳方位角，不过因为公式是使用余弦函数，所以方位角永远是正值，因此，角度永远被解释为小于180度，而必须依据时角来修正。当时角为负值时（上午），方位角的角度小于180度，时角为正值时（下午），方位角应该大于180度，即要取补角的值，故作如下修正： + +$$ +A = \left\{ \begin{array}{l} \arccos \left(\frac {\sin \delta \cdot \cos \phi - \cos h \cdot \cos \delta \cdot \sin \phi}{\cos \alpha}\right), \quad h < 0 \\ 3 6 0 ^ {\circ} - \arccos \left(\frac {\sin \delta \cdot \cos \phi - \cos h \cdot \cos \delta \cdot \sin \phi}{\cos \alpha}\right), h \geq 0 \end{array} \right. \tag {9} +$$ + +由上述推导可得，方位角 $A$ 与坐标系方位朝向 $\beta$ 的关系为： + +$$ +A _ {i} = \beta + \varepsilon_ {i}, \quad i = 1, 2, \dots , 2 1 \tag {10} +$$ + +其中 $\varepsilon_{i}$ 为每组数据影长与 $x$ 坐标轴的夹角： + +$$ +\varepsilon_ {i} = \arctan \frac {y _ {i}}{x _ {i}}, \quad i = 1, 2, \dots , 2 1 \tag {11} +$$ + +将上一问题的某些参数关系与式(8)-(11)列成方程组： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {i} = \arctan \frac {y _ {i}}{x _ {i}}, \quad i = 1, 2, \dots , 2 1 \\ A _ {i} = \beta + \varepsilon_ {i}, \quad i = 1, 2, \dots , 2 1 \\ \delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {2 \pi (2 8 4 + n)}{3 6 5}\right) \\ h = 1 5 ^ {\circ} \times (t - 1 2) \\ \theta = \cos (1 5 ^ {\circ} \times (t - 1 2)) \cos (\delta) \cos \phi + \sin (\delta) \sin \phi \\ t = t _ {0} + \frac {\gamma - 1 2 0 ^ {\circ}}{1 5 ^ {\circ}} \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +将上述求太阳高度角的方程化为如下关系式： + +$$ +\cos (A) = \frac {(\sin (\delta) \cdot \cos \phi - \cos [ 1 5 ^ {\circ} \times (t _ {0} + \frac {\gamma - 1 2 0 ^ {\circ}}{1 5 ^ {\circ}} - 1 2) ] \times \cos (\delta) \cdot \sin \phi)}{\cos (\arcsin (\cos (1 5 ^ {\circ} \times (t _ {0} + \frac {\gamma - 1 2 0 ^ {\circ}}{1 5 ^ {\circ}} - 1 2)) \cos (\delta) \cos \phi + \sin (\delta) \sin \phi))} \tag {13} +$$ + +下面对各个参量进行影响因素的分析： + +对于时角来说，由 $t = t_0 + \frac{\gamma - 120^\circ}{15^\circ}$ ， $h = 15^\circ \times (t - 12)$ 式子可知，时角的变化与当地经度 $\gamma$ 的变化以及时间 $t_0$ 有关；对于赤纬角，由 $\delta = 23.45^\circ \sin \left(\frac{2\pi(284 + n)}{365}\right)$ 式子可知，赤纬角的变化与当地日期有关，而在此模型中，日期为定值，故可认为赤纬角 $\delta$ 为常量；对于太阳高度角，由 $\sin \theta = \cos h \cos \delta \cos \phi + \sin \delta \sin \phi$ 式子可知，太阳高度角的变化，与时角的大小，纬度的大小有关，即与经纬度的大小有关，我们可以将其理解为地点的变化；对于太阳方位角，由式子(8)可知，太阳方位角的变化，与时角的大小，纬度的大小以及太阳高度角有关，即与经纬度的大小有关，同样可以将其理解为地点参数的变化。 + +综上，我们对参量的影响因素进行总结，可以得到下表： + +表 4 影响因素分析 + +
参量影响因素
时角(h)经度γ，时间t0
赤纬角(δ)常量
太阳高度角(θ)地点坐标(γ,φ)，时间t0
太阳方位角(A)地点坐标(γ,φ)，时间t0
+ +可以发现，在式(13)中，方程右端的未知量只有地点坐标 $(\gamma, \phi)$ 和北京时间 $t_0$ ，故可以将其简化为如下形式： + +$$ +F (\gamma , \phi , t _ {0}) = \cos (A) \tag {14} +$$ + +式中，映射 $F$ 表示方程右端关于地点坐标 $(\gamma, \phi)$ 这两个自变量的函数。 + +因此，对于21个不同时刻对应的太阳方位角 $A_{i}(i = 1,2,\dots,21)$ ，我们可以得出21个不同的方程，将其列成方程组如下所示： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} F (\gamma , \phi , t _ {0}) = \cos \left(A _ {1}\right) \\ F (\gamma , \phi , t _ {0}) = \cos \left(A _ {2}\right) \\ \vdots \\ F (\gamma , \phi , t _ {0}) = \cos \left(A _ {2 1}\right) \end{array} \right. \tag {15} +$$ + +由式(9)，我们可以根据地点坐标 $(\gamma, \phi)$ 计算得出此处不同时刻的太阳方位角 $A_{i}^{\prime}$ ，将其去前一项作差，即可得到太阳方位角的差值 $\Delta A_{i}^{\prime}$ ；由式(7)，我们可以根据地点坐标 $(\gamma, \phi)$ 算出此处不同时刻下的影子长度 $S_{i}^{\prime}$ ，对其进行归一化处理，可以得到： + +$$ +S _ {\text {归} i} ^ {\prime} = \frac {S _ {i} ^ {\prime} - \frac {1}{2 1} \sum_ {i = 1} ^ {2 1} S _ {i} ^ {\prime}}{S _ {i \max } ^ {\prime} - S _ {i \min } ^ {\prime}} \tag {16} +$$ + +对此我们可采用遍历算法对不同经纬度 $(\gamma, \phi)$ 下的太阳方位角的插值 $\Delta A_{i}^{\prime}$ 以及归一化后的影子长度 $S_{\text{归} i}$ 进行求解，从而与实际值作差进行比较，进而得出最优解。 + +故此，我们建立多目标规划模型： + +目标函数： $\left\{ \begin{array}{ll}\min \sum_{i = 1}^{20}| \Delta A_i - \Delta A_i' |\\ \min \sum_{i = 1}^{21}| S_{\text{归} i} - S_{\text{归} i}' | \end{array} \right.$ (17) + +约束条件： $\left\{ \begin{array}{l} - 180^{\circ}\leq \gamma \leq 180^{\circ}\\ -90^{\circ}\leq \phi \leq 90^{\circ}\\ 0^{\circ}\leq \theta \leq 90^{\circ} \end{array} \right.$ (18) + +式中， $\Delta A_{i}$ 表示实际的太阳方位角， $S_{\text{归} i}$ 表示归一化后的实际影长。 + +# 5.2.1 模型的求解 + +为了方便计算机编程求解，我们对经纬度进行离散化处理，选取步长为0.01，对其进行MATLAB编程求解： + +表 5 定点坐标数据 + +
经度纬度杆高
108.71°19.12°2.03m
+ +表 6 误差分析表 + +
太阳方向角残差影长残差太阳方向角残差比影长残差比
0.0260.0141.8%0.9%
+ +即杆子所处地点坐标为 $(19.1^{\circ} E, 108.71^{\circ} N)$ , 在海南东方市境内。 + +# 5.2.1 结果分析 + +通过误差分析表可以发现，在经纬度坐标为 $(108.71^{\circ}E, 19.12^{\circ}N)$ 时，计算所得的影子长度残差比为 $0.9\%$ ，太阳方向角残差比为 $1.8\%$ ，这个数值是较小的，说明得到的经纬度坐标 $(108.71^{\circ}E, 19.12^{\circ}N)$ 是较为精确的。 + +# 5.3 问题三 + +# 5.3.1 模型的建立 + +不难发现，此问在上一问的基础上将日期变为了未知量，在其他输入参数不变的情况下，要求模型输出杆子所处的地点和日期。 + +由表3可以看出，日期影响的参量为赤纬角，其他参量并不受日期的影响，太阳赤纬公式为： + +$$ +\delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {2 \pi (2 8 4 + n)}{3 6 5}\right) \tag {19} +$$ + +式中， $n$ 为当日日期序号，1月1日时 $n = 1$ ，以此类推，日期每增加一天，对 $n$ 进行加1即可。 + +对此，我们采用遍历算法，对日期参数 $n$ 及经纬度坐标 $(\gamma, \phi)$ 进行遍历求解，建立与上一问相似的多目标规划模型，从而求出最优解： + +目标函数： $\left\{ \begin{array}{ll}\min \sum_{i = 1}^{20}| \Delta A_i - \Delta A_i' |\\ \min \sum_{i = 1}^{21}|S_{\text{归} i} - S_{\text{归} i}'| \end{array} \right.$ (20） + +约束条件： $\left\{ \begin{array}{l} - 180^{\circ}\leq \gamma \leq 180^{\circ}\\ -90^{\circ}\leq \phi \leq 90^{\circ}\\ 0^{\circ}\leq \theta \leq 90^{\circ}\\ L > 0 \end{array} \right.$ (21) + +式中， $\Delta A_{i}$ 表示实际的太阳方位角， $S_{\text{归} i}$ 表示归一化后的实际影长。 + +# 5.3.2 模型的求解 + +同样，对经纬度进行离散化处理后，选取步长为0.01，对其进行MATLAB编程求解： + +表 7 杆子所处地点和日期及误差分析数据表 + +
附件二附件三
经度80.51°E经度110.20°E
纬度32.13°N纬度24.83°N
杆高2.04m杆高3.10m
太阳方向角残差比2.0%太阳方向角残差比2.3%
影长残差比1.1%影长残差比0.35%
日期8/14或4/29日期12/27或12/14
+ +# 5.3.3 模型的改进——基于粒子群算法的目标规划模型 + +在实际求解中，发现由于加入新的未知量日期，使得模型的可行域大大增加，增加了遍历算法的时间复杂度，因此，我们引入粒子群算法[9]对目标函数进行求解，从而降低模型求解的时间复杂度。 + +假定有一个 $D$ 维的目标搜索空间，有 $n$ 个微粒组成了一个粒子群，其中每个微粒都用一个 $D$ 维的向量描述，将它的空间位置表示为 $m_{i} = \left(m_{i1},m_{i2},\dots ,m_{iD}\right),i = 1,2,\ldots ,n$ ；这可看做目标优化问题中的一个解，代入适应度函数计算出适应度值可以衡量微粒的优劣；第 $i$ 个微粒的飞行速度也是一个 $D$ 维的向量，记为 $\nu_{i} = (\nu_{i1},\nu_{i2},\dots ,\nu_{iD})$ ；第 $i$ 个微粒所经历过的具有最好适应值的位置称为个体历史最好位置，记为 $p_i = (p_{i1},p_{i2},\dots ,p_{iD})$ ；整个微粒群所经历过的最好位置称为全局历史最好位置，记为 $p_g = (p_{g1},p_{g2},\dots ,p_{gd})$ ，粒子群的进化方程可描述为： + +$$ +\begin{array}{l} v _ {i j} (t + 1) = v _ {i j} (t) + c _ {1} r _ {1} (t) \left(p _ {i j} (t) - x _ {i j} (t)\right) + c _ {2} r _ {2} (t) \left(p _ {g j} (t) - x _ {i j} (t)\right) \tag {22} \\ m _ {i j} (t + 1) = m _ {i j} (t) + v _ {i j} (t + 1) \\ \end{array} +$$ + +其中 $i$ 表示第 $i$ 个微粒, $j$ 表示微粒的第 $j$ 个维度, $t$ 表示第 $t$ 代, $c_{1}, c_{2}$ 是两个加速常量, 通常的取值范围是 $(0,2)$ , $r_{1} \sim U(0,1)$ , $r_{2} \sim U(0,1)$ 是两个相互独立的随机函数。 + +从上式看出， $c_{1}$ 可以调节微粒去往自身周边的最好位置， $c_{2}$ 可以调节微粒去往整个粒子群所能找到的最好位置。 + +将这种算法应用到本问中。算法中的“位置”就是本文中不同日期的所有离散的坐标值点: $m_{i} = (\gamma, \phi, d)$ , 即 “粒子 $Z_{j}$ ” 就是存放并寻找解的动态变量。为了能够寻找到足够好的优化解, 而且避免计算量的增大, 本模型中设置了 20 个 “粒子” 来进行优化解搜索, 即令 $i = 20$ 。由于本问中直杆坐标和日期都是未知的, 因此将粒子设为储存三个参数: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} Z _ {1} = \text {经 度} \gamma \\ Z _ {2} = \text {纬 度} \phi \\ Z _ {3} = \text {日 期} d \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +首先要对所有粒子进行初始化，即让粒子中的不同参数取可行范围内的随机值，如令 $\gamma = rand(-180, + 180)$ ， $\phi = rand(-90, + 90)$ ， $d = rand(1,365)$ 。这个过程 + +相当于在整个“位置”区域内的某些点散布了寻找最优解的“种子”。在何处散布了“种子”与其后来能够寻找到的“最优解”密切相关。当散布位置不理想时，“最优解”很可能会是局部最优解，而非全局最优解。 + +其次计算每个粒子的适应值。本问的适应度值可以使用目标函数来进行计算，但由于最优解是令目标函数最小，而最优解的适应度值应该尽量大。所以对适应度值 $Q$ 做定义为： + +$$ +Q = \left\{ \begin{array}{l} R = \left(\frac {1}{V}\right) ^ {2} \\ V = \sum_ {i = 1} ^ {2 0} \left| \Delta A _ {i} - \Delta A _ {i} ^ {\prime} \right| + \sum_ {i = 1} ^ {2 1} \left| S _ {\text {归} i} - S _ {\text {归} i} ^ {\prime} \right| \end{array} \right. \tag {24} +$$ + +然后记录这些值。对每个粒子，将其适应度与个体最好历史记录和全局最好记录做比较。如果能够比最好记录更好就将此值设为最好记录。 + +接下来，参照式(22)，对每个粒子的去向进行调整。每次调整时，都要对 $c_{1} \in (0, 2)$ ， $c_{2} \in (0, 2)$ ， $r_{1} \in (0, 1)$ ， $r_{1} \in (0, 1)$ 进行重新随机取值，保证粒子行为的随机性：既能有向最优解靠近的趋势，也能存在寻找其他更优解的可能。 + +最后，查看迭代次数。为了保证找到的解最优，需要给予粒子足够多的行动时间寻找解。这里令迭代次数为1000。 + +# 5.3.4 粒子群算法模型的求解 + +对经纬度进行离散化处理后，选取步长为0.01，对其进行MATLAB编程求解： + +表 8 杆子所处地点和日期及误差分析数据表 + +
附件二附件三
经度81.43°E经度111.56°E
纬度32.24°N纬度23.68°N
杆高2.23m杆高3.02m
太阳方向角残差比1.33%太阳方向角残差比3.12%
影长残差比0.45%影长残差比1.13%
日期8/14或4/29日期12/27或12/14
+ +# 5.3.5 模型的综合结果分析 + +将两个模型的结果对比可以发现，两个模型求解出来的经纬度极为接近，附件1的杆子所在地为西藏阿里地区，附件2的杆子所在地为广西梧州室内。且得到的日期分别关于夏至日6/22及冬至日12/22对称，这是由于太阳的运动是关于夏至日以及冬至日对称的。同时在太阳方向角残差比以及影长残差比这两个参量上，粒子群算法的误差并没有显著提升，最大值仅为 $3.12\%$ ，这是可以接受的； + +而在时间复杂度上，粒子群算法的求解时间大大缩短，更为快捷，因而我们在未知参量增加时，可以使用粒子群算法进行求解。 + +# 5.4 问题四 + +# 5.4.1 数据的采集及预处理——基于Hough变换及透视变换的图像矫正 + +观看视频可以发现，由于摄像机在拍摄时的角度原因，从视频中得出的影长是真实影长向摄像机方向的投影值，其必定小于或等于真实影长，并不是影长的真实值，而且从摄像机拍摄的图片中无法得知影子转动的角度。因此我们需要通过透视变换[7]的相关知识从图片中还原出影子的真实长度及变换的角度。 + +透视投影的一个主要特征是可以延伸到无穷远的物体在照片平面中可以获得它的有限延伸范围。例如，在世界坐标中平行的直线（铁轨等），则可以投影成为照片平面中相交的直线，且他们在照片平面中的交点为这些平行直线的消隐点方向。 + +而消隐点在水平方向上的延长即为地平线。据此，可以引出地平线的性质：在透视图里，从地平线上任一点引出的两条直线都是平行的。 + +对于题目所给的资料，认为摄像机水平拍摄，且图中左下角两条直线在现实中处于水平面内且互相平行（图中的两条绿色直线），因此将其延长可在远处得到消隐点，消隐点在水平方向的延长线就是地平线。 + +![](images/ac65343b9480a871522301f39720b04e72cf51fe8e7f38eb7bd9a63d1ed1d712.jpg) + +令地平线与直杆的交点为 $P$ ，则 $P$ 点就是直杆向其正前方的消隐点。从直杆底部引出一水平辅助线 $B$ ，则从 $P$ 点到直杆底部 $O$ 的连线 $L$ 与水平线垂直。将影子端点 $R$ 与 $P$ 相连，得到辅助线 $A$ 。由刚才引出的地平线定理得，从 $P$ 点引出的任意两条线都平行，因此直线 $A$ 平行于 $L$ 。由平行线定理得，直线 $A$ 与 $B$ 也垂直。因此， $\angle RQO$ 为直角，三角形 $\Delta RQO$ 为直角三角形。 + +下面利用Hough变换[5]提取平行直线，我们知道，当图像中存在很多条直线时，直接利用霍夫变换并不能较好地提取出合适的直线，因此，对算法进行改进，若直线的宽度大于1，则舍弃。 + +由于在照片平面中，物体已经过了成像透视变换而产生形变，因此对其做透视逆变换就可以恢复出原来的样子。一个二维图像经过透视变换变成另一个图像， + +这个过程可以表示成: + +$$ +m = \frac {a x + b y + c}{o x + p y + 1}, n = \frac {d x + e y + f}{q x + p y + 1} \tag {25} +$$ + +式中，斜视图像点的像素坐标为 $(x,y)$ ，正视图像的像素坐标为 $(m,n)$ ， $a,b,c,d,e,f,o,p,q$ 为透视变换参数。 + +为了提高算法的精确性，还需要对图像进行预处理，从而减少计算难度。首先，利用MATLAB对其进行图像提取（提取速度为每2分钟一帧），对整个视频产生的22幅图片进行灰度处理和高斯滤波处理： + +![](images/4d6bc1ae66ee7e631e007172fcbd73708efa5648943f899d25e5e5644d699521.jpg) +灰度处理 + +![](images/1e2007997d9aff829c86be2e4108cac3b2064f8983eb0d13e1ded5bb4602d024.jpg) +高斯滤波 + +可以发现，进行高斯滤波后图像的噪点明显减少，大大减少了运算难度，图中阴影也变得更加清晰。 + +对已经进行降噪处理后的图像，我们利用MATLAB对其进行矫正处理，提取到实际情况下影子长度的变化（见附录）。 + +# 5.4.2 模型的建立 + +# 1. 在拍摄时间已知的情况下： + +在数据处理部分，我们已经得到不同时刻下，杆子影子长度变化情况，将其代入到问题二的多目标规划模型中，即可得到视频拍摄地点 $(\gamma, \phi)$ 。 + +$$ +\text {目 标 函 数 ：} \left\{ \begin{array}{l} \min \sum_ {i = 1} ^ {2 0} \left| \Delta A _ {i} - \Delta A _ {i} ^ {\prime} \right| \\ \min \sum_ {i = 1} ^ {2 1} \left| S _ {\text {归} i} - S _ {\text {归} i} ^ {\prime} \right| \end{array} \right. \tag {26} +$$ + +$$ +\text {约 束 条 件 ：} \left\{ \begin{array}{l} - 1 8 0 ^ {\circ} \leq \gamma \leq 1 8 0 ^ {\circ} \\ - 9 0 ^ {\circ} \leq \phi \leq 9 0 ^ {\circ} \\ 0 ^ {\circ} \leq \theta \leq 9 0 ^ {\circ} \end{array} \right. \tag {27} +$$ + +式中, $\Delta A_{i}$ 表示实际的太阳方位角, $S_{\text {归} i}$ 表示归一化后的实际影长。 + +# 2. 在拍摄时间未知的情况下： + +在问题三中，已经发现，在日期未知的情况下，如果对视频拍摄地点和日期进行求解，利用遍历算法，时间复杂度将会非常高，而粒子群算法会大大减少时间复杂度，并且误差比很小。 + +因此，将数据处理部分得到的不同时刻下，杆子影子长度变化情况带入到问题三的目标规划模型中利用粒子群算法进行求解： + +$$ +\text {目 标 函 数 ：} \left\{ \begin{array}{l} \min \sum_ {i = 1} ^ {2 0} \left| \Delta A _ {i} - \Delta A _ {i} ^ {\prime} \right| \\ \min \sum_ {i = 1} ^ {2 1} \left| S _ {\text {归} i} - S _ {\text {归} i} ^ {\prime} \right| \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +$$ +\text {约 束 条 件 ：} \left\{ \begin{array}{l} - 1 8 0 ^ {\circ} \leq \gamma \leq 1 8 0 ^ {\circ} \\ - 9 0 ^ {\circ} \leq \phi \leq 9 0 ^ {\circ} \\ 0 ^ {\circ} \leq \theta \leq 9 0 ^ {\circ} \\ L > 0 \end{array} \right. \tag {29} +$$ + +式中， $\Delta A_{i}$ 表示实际的太阳方位角， $S_{\text{归} i}$ 表示归一化后的实际影长。 + +# 5.4.3 模型的求解 + +对经纬度进行离散化处理后，选取步长为0.01，对其进行MATLAB编程求解： + +表 9 杆子所处地点和日期及误差分析数据表 + +
已知日期未知日期
经度110.70°E经度109.76°E
纬度42.31°N纬度42.66°N
杆高2.0m杆高2.0m
影长残差比1.32%影长残差比2.45%
日期——日期6/11或7/13
+ +# 5.4.4 结果分析 + +通过表格的对比可以发现，当把日期作为未知量对模型进行求解时，得到的地点坐标为 $(109.76^{\circ}E,42.66^{\circ}N)$ ，与已知日期所得地点坐标 $(110.70^{\circ}E,42.31^{\circ}N)$ 经度上基本无变化，在内蒙包头市内，纬度相差 $3.4^{\circ}$ ，变化幅度为 $1.8\%$ ，由于数据的采集和预处理不可避免的造成了误差，是可以接受的。所求日期为 6/11，而视频日期为 7/13，两者刚好关于夏至日 6/22 对称，验证了模型的可靠性。 + +# 六、 模型的检验 + +# 6.1 误差分析 + +1. 标准解与模型所求解的误差：由于本模型使用了目标规划方法对问题进行 + +行求解，且对地理坐标进行了离散化，可能存在离散化所带来的误差；而且理论值与测量值本来就会存在误差，两者综合就是模型会产生的第一种误差，但求解发现其最大值为 $3.45\%$ ，是可以近似忽略的。 + +2. 局部最优解造成的地理坐标误差：粒子群算法的本身原理会导致其收敛在局部的最优解。为了减少运算量，也为了避免模型陷入局部最优，在程序运行过程中，有时候需要人为干预来筛去一些的地区，可能造成冗余解或缺解。 +3. 视频数据预处理过程中的误差：利用Hough变换寻找出的平行线并不一定是处在同一水平面上的，因此做透视变换的时候可能会产生误差。 + +# 6.2 敏感性分析 + +这里主要对问题四进行敏感性分析，因为问题四相对于前三问增加了视频数据的提取及预处理的过程，且模型也相对较为复杂。在第四问的数据提取过程中，我们是以每2分钟一帧的速度，从0时刻开始对其提取了22组数据。如果将起始时刻进行变换，即可以取1,3,5,...,39这些时间节点的视频数据，在已知日期的情况下带入模型进行求解，从而检验视频数据的改变，对模型结果产生的影响，得到的结果如下： + +表 10 敏感性检验对比数据 + +
原始数据检验数据
经度110.70°E经度110.23°E
纬度42.31°N纬度41.86°N
+ +对结果进行比较发现，视频拍摄地点坐标并没有因为数据采集节点的不同而发生明显波动，对同一视频得出基本相同的地点坐标，说明本模型具有很好的稳健性。 + +# 七、 模型推广 + +本文研究了利用视频中所提供的信息，确定视频拍摄地点以及某个物体影长的问题。由于本文模型的实质是根据物体采集到的太阳地理信息进行计算，因此可以应用到求建筑物群合理间距问题。 + +对于一般的小区，楼体一般情况下沿相互平行的平行线进行建筑。利用这个模型可以求解适当的楼间距以保证不同楼层，不同地区住户的采光质量。将楼体看做是同样高度的一排直杆，计算出其在一年间的日影变化情况，并将其最大值在楼间距离上的投影作为楼间距，可以保证不同楼间不互相遮挡。而在现实情况下，只要求住户有一定时间的日照时间，将两幢建筑物按其朝向简化为两个相互平行的铅垂面，其在地面上的投影为两平行线，当所取的轨迹线上的时间差刚好等于要求的必要日照时间数时，两幢建筑之间的垂直距离即为合理的间距，这种方法适用于两幢建筑物等高的情况。 + +假设楼体1的投影直线方程为 $y_{1} = kx_{1}$ ，楼体2的投影直线方程为 $y_{2} = kx_{2} + b$ 需要获取的日照时间数为 $t_{s}$ ，先求直线1与投影曲线的交点 $(x_0,y_0)$ ，将其代入模型可求解太阳高度角 $\theta = \operatorname{arccot}\left(\frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}}{L}\right)$ ，及其相应的时角 $h$ 。由于日照时间段 $t_{s} = \frac{h}{15^{\circ}} + 12$ ，将其代入原模型计算出 $(x',y')$ ，最后由直线间的距离公式即可得到楼间距 $d = \frac{|b|}{\sqrt{1 + k^2}} = \frac{y' - kx'}{\sqrt{1 + k^2}}$ 。 + +# 八、 模型的评价 + +模型的优点： + +1. 灵活性高。由于用的核心算法和程序是普适的，当未知量不同的时候，只中需要对模型代码进行部分修改就可以进行计算。 +2. 准确度高。遍历算法一定可以寻找到最优解，而粒子群算法有很好的全局搜索能力，一般不会陷入局部最优。 +3. 实用性高。只需要一段描述日影变化过程的视频以及相应的时间就可以求出当地的经纬度坐标。 + +模型的缺点： + +1. 只能应用在水平地面上。没有考虑斜坡和坎坷地面上的情况。 +2. 对于拍摄角度不好的视频，该模型产生的误差较大。 +3. 对形状规格较为复杂的建筑，本模型不能适用。 + +# 九、 参考文献 + +[1] 姜启源，谢金星，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。 +[2] 袁新生，邵大宏，LINGO和EXCEL在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007。 +[3] 谢金星，薛毅，优化建模与 LINDO/LINGO 软件，北京：清华大学出版社，2011。 +[4] 刘卫国，MATLAB 程序设计与应用，高等教育出版社，2012。 +[5] 孙荣峰，快速霍夫变换算法，计算机学报，24(10)：1104-1109，2001。 +[6] 郑鹏飞，林大钧，基于影子轨线反求采光效果的技术研究，华东理工大学学报(自然科学版)，36(3)：458-463，2010。 +[7] 何援军，透视和透视投影变换，计算机辅助设计和图形学学报，17(4)：734-739，2005。 +[8] 武琳，基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术研究，天津大学，2010。 +[9] 叶德意，基于自适应变异粒子群算法的分布式电源选址与容量确定，电网技术 + +# 十、附录 + +# 10.1 数据表格 + +表 11 太阳高度角与影长数据 + +
时间太阳高度角影长
921.187959167.739285385
9.122.085392227.393516144
9.222.966792967.078961334
9.323.831452266.791810435
9.424.678639376.528878247
9.525.507602246.287483704
9.626.317568086.065355925
9.727.107744185.860560612
9.827.877318955.671441842
9.928.625463295.496575609
1029.351332225.334732453
10.130.05406695.184847152
10.230.732796985.045993971
10.331.38664334.917366313
10.432.014721014.798259878
10.532.616143074.688058642
10.633.190024174.586223124
10.733.7354854.492280503
10.834.251656914.405816267
10.934.737686894.32646711
1135.192742924.253914878
11.135.616019514.187881381
11.236.006743424.128123949
11.336.364179584.074431599
11.436.687636934.026621749
11.536.97647433.984537385
11.637.230106033.948044642
11.737.448007373.917030738
11.837.629719483.891402238
11.937.774853963.871083607
1237.883096753.85601604
12.137.954211353.846156549
12.237.988041333.84147729
12.337.9845123.841965126
12.437.943631143.847621425
12.537.8654893.858462078
12.637.750257273.87451775
12.737.598187323.895834358
12.837.409607513.922473789
12.937.184919883.954514861
1336.924596093.992054546
13.136.629172764.035209463
13.236.299246474.084117684
13.335.935468274.138940853
13.435.538537974.199866688
13.535.109198314.267111889
13.634.648229054.340925527
13.734.156441154.421592976
13.833.6346714.509440499
13.933.083774964.604840581
1432.504624074.708218169
14.131.898099134.820057994
14.231.265086084.940913186
14.330.606471845.071415481
14.429.923140445.212287351
14.529.215969595.364356511
14.628.485827685.528573364
14.727.73357115.706032109
14.826.960041975.89799644
14.926.166066196.105931061
1525.352451896.331540604
+ +表 12 视频采集数据 + +
时间节点影长
12.424024024
22.391081081
32.357837838
42.324834835
52.315825826
62.276546547
72.246546547
82.207417417
92.176066066
102.162462462
112.121861862
122.105255255
132.09039039
142.054144144
152.027087087
162.003063063
171.966996997
181.94
191.912942943
201.900900901
211.876876877
221.858858859
+ +# 10.1 源程序 + +第一问程序： +```matlab +clc; +clear; +shadow1=zeros(1,601);%初始化不同时间段影长 +sthet=zeros(1,601);%初始化不同时间段太阳高度角的sin值 +thet=zeros(1,601);%初始化不同时间段太阳高度角 +n=295;%1月1日到10月22日间的天数 +time=[9:0.01:15];%从9点运算到15点，步长为0.01h +h=[-48.60833333:0.15:41.39166667];%9点到15点地方恒星时系统下的时角 +delta=23.45*sin(2*pi*(284+n)/365);%太阳赤纬 +height=3;%旗杆高度 +phi=39.90722222222222;%天安门纬度 +for i=1:601%从9点运算到15点，共运算601个值 +sthet(i)=cos(h(i)*pi/180)*cos(diffa*pi/180)*cos phi*pi/180)+sin(diffa*pi/180)*sin(phi*pi/180);%计算出太阳高度角的sin值 +thet(i)=asin(sthet(i))*180/pi;%计算出太阳高度角 +shadow1(i)=sqrt((height/sthet(i))^2-(height)^2);%计算影长 +end +plot(time,shadow1)%输出图形 +ylabel('影长/m'); +xlabel('时间/时'); +title('影子长度与时间的关系'); +grid on; +``` + +# 第二问程序 + +clc + +clear all + +%附件一数据 +$\mathrm{x = [1.0365}$ 1.0699 1.1038 1.1383 1.1732 1.2087 1.2448 ... 1.2815 1.3189 1.3568 1.3955 1.4349 1.4751 1.516 ... 1.5577 1.6003 1.6438 1.6882 1.7337 1.7801 1.8277]; $\mathrm{y = [0.4973}$ 0.5029 0.5085 0.5142 0.5198 0.5255 0.5311... 0.5368 0.5426 0.5483 0.5541 0.5598 0.5657 0.5715... 0.5774 0.5833 0.5892 0.5952 0.6013 0.6074 0.6135]; + +result $=$ [ ]； %经纬度 +```matlab +length = sqrt(x.^2 + y.^2); +sOLen = sum(length); +Length = length; +length = (length(2:21) - length(1:20)). / (length(2) - length(1)); +angle = acos((x(2:21).*x(1:20) + y(2:21).*y(1:20)). / (sqrt(x(2:21).^2 + y(2:21).^2)).); +``` + +```txt +t=14.7:0.05:15.7; %北京时间 +``` + +```matlab +min = 0.05; +kkk=0.1; +lon=80:kkk:120; +``` + +```txt +begin1=10\*ones(1,size(lon,2)); +endl=40\*ones(1,size(lon,2)); +``` + +```matlab +n=108;%2015年4月18日 +delta=23.45\*sin(2\*pi\*(284+n)/365)；%赤纬角 +for i = 1:size(1on,2) + ts=t-(120-1on(1,i))/15; %当地地方时 + omega=15\*(ts-12); %时角 + beginl(1,i); + endl(1,i); + for lat = beginl(1,i):kkk:endl(1,i) + phi=lat; %纬度 +``` + +```txt +h=asin(sin(phi*pi/180)*sin(delaya*pi/180)+cos(phi*pi/180)*cos(delaya*pi/180)*cos(omega*pi/180));%太阳高度角 a=2*pi-acos((sin(delaya*pi/180)-sin(h)*sin(phi*pi/180))./(cos(h)*cos(phi*pi/180)))；%太阳方位角l=100./tan(h)；%影长l=(1(2:21)-1(1:20))/((1(2)-1(1)); +``` + +```matlab +a=a(2:21)-a(1:20); +% if (sum(abs(l-length))ParticleScope(h,2) + TempV(:,h)=ParticleScope(h,2); + end + if TempV(:,h)<-ParticleScope(h,2) + TempV(:,h)=-ParticleScope(h,2)+1e-10;%加1e-10防止适应度函数被 +``` + +零除 + +```txt +end end +``` + +更新该粒子速度值 + +```matlab +ParSwarm(row, ParCol + 1:2 * ParCol) = TempV; +a = 0.729; % 约束因子 +TempPos = ParSwarm(row, 1: ParCol) + a * TempV +``` + +%限制位置范围的代码 + +```matlab +for h=1:ParCol + if TempPos(:,h)>ParticleScope(h,2) + TempPos(:,h)=ParticleScope(h,2); +end +if TempPos(:,h)<=ParticleScope(h,1) + TempPos(:,h)=ParticleScope(h,1)+1e-10;%加1e-10防止适应度函数被零除 +``` + +```txt +end end +``` + +$\%$ 更新该粒子位置值 + +```txt +ParSwarm(row,1:ParCol)=TempPos; +``` + +$\%$ 计算每个粒子的新的适应度值 + +```matlab +ParSwarm(row,2\*ParCol+1)=AdaptFunc(ParSwarm(row,1:ParCol)); if ParSwarm(row,2\*ParCol+1)>AdaptFunc(OptSwarm(row,1:ParCol)) OptSwarm(row,1:ParCol)=ParSwarm(row,1:ParCol); end end +``` + +%for循环结束 +%寻找适应度函数值最大的解在矩阵中的位置(行数)，进行全局最优值的改变 + +```matlab +[maxValue,row]=max(ParSwarm(:,2\*ParCol+1)); +if AdaptFunc(ParSwarm(row,1:ParCol))>AdaptFunc(OptSwarm(ParRow+1,:) OptSwarm(ParRow+1,:)=ParSwarm(row,1:ParCol); +end +``` + +# 图像处理程序 + +$\%$ 测试霍夫变换 + +```txt +clc clear close all +``` + +$\%$ 读取图像 + +```matlab +I = imread('circuit.tif'); +rotI = imrotate(I,80,'crop'); % 旋转33度，保持原图片大小 +fig1 = imshow(rotI); +``` + +$\%$ 提取边 + +```matlab +BW = edge(rotI,'canny'); +figure,imshow(BW); +``` + +霍夫变换 + +```matlab +[H,theta,rho] = hough(BW); % 计算二值图像的标准霍夫变换，H为霍夫变换矩阵，theta,rho为计算霍夫变换的角度和半径值 +figure,imshow(imadjust(mat2gray(H)),[],'XData',theta,'YData',rho,...'InitialMagnification','fit'); +xlabel('\\theta(degrees)')，ylabel('\\rho'); +axis on，axis normal，hold on; +colormap(hot) +``` + +$\%$ 显示霍夫变换矩阵中的极值点 + +```txt +P = houghpeaks(H,50,'threshold',ceil(0.3*max(H(:))))；%从霍夫变换矩阵H中提取5个极值点 +``` + +$\mathbf{x} =$ theta $(P(:,2))$ +y $=$ rho $(P(:,1))$ +plot(x,y,'s','color','black'); + +$\%$ 找原图中的线 + +```matlab +lines = houghlines(BW, theta, rho, P, 'FillGap', 18, 'MinLength', 180); +figure, imshow(rotI), hold on +max_len = 0; +for k = 1: lengthlines) +``` + +$\%$ 绘制各条线 + +```matlab +xy = [lines(k).point1; lines(k).point2]; plot(xy(:,1),xy(:,2), 'LineWidth', 2, 'Color', 'green'); +``` + +$\%$ 绘制线的起点、终点 + +```javascript +plot(xy(1,1),xy(1,2), 'x', 'LineWidth', 2, 'Color', 'yellow'); plot(xy(2,1), xy(2,2), 'x', 'LineWidth', 2, 'Color', 'red'); +``` + +$\%$ 计算线的长度，找最长线段 + +len $=$ normlines(k).point1 - lines(k).point2); if (len $\rightharpoondown$ max_len) max_len $\equiv$ len; xy_long $\equiv$ xy; +end +end + +$\%$ 以红色线高亮显示最长的线 + +```javascript +plot(xy_long(:,1),xy_long(:,2,'LineWidth',2,'Color','red'); +``` + +# 第四问程序 + +```txt +clc clear all +``` + +%视频数据 + +```matlab +length=[2.424024024 2.391081081 2.357837838 2.324834835 +2.315825826... +2.276546547 2.246546547 2.207417417 2.176066066 2.162462462... +2.121861862 2.105255255 2.09039039 2.054144144 2.027087087... +2.003063063 1.966996997 1.94 1.912942943 1.900900901... +1.876876877 1.858858859]; +``` + +```txt +Length = length; +sOLen = sum(Length); +result = []; %经纬度 +``` + +$t = 8.901666666666667:0.03333333333333332:9.60166666666667;$ %北京时间min $= 2$ + +```txt +bc=0.1; +lon=105:bc:150; +``` + +beginl $= -30^{*}$ ones(1,size(1on,2)); + +```javascript +end1=70\*ones(1,size(1on,2)); +``` + +n=194;%2015年7月13日 +```matlab +delta=23.45*sin(2*pi*(284+n)/365); %赤纬角 +for i = 1: size(lon,2) + ts=t-(120-1on(1,i))/15; %当地时间 + omega=15*(ts-12); %时角 + beginl(1,i); + endl(1,i); + for lat = beginl(1,i):bc:endl(1,i) + phi=lat; %纬度 +``` + +h=asin(sin(ghi*pi/180)*sin(delaya*pi/180)+cos(ghi*pi/180)*cos(delaya*pi/180)*cos(omega*pi/180)); %太阳高度角 +```txt +l=2./tan(h)；%影子长度 +if (sum(abs(l-length))纬度经度日期大致地点附件二40795月25日新疆图木舒克市附件三3310610月31日陕西，汉中广元之间 + +第四问要求分析竖直杆的影子变化视频，分别在日期已知和未知的情况下求出其所在地点与拍摄日期。本文首先利用动态追踪技术，找出影子顶点在每一时刻的像素坐标，计算出每时刻的太阳高度角。进而利用天文学公式中太阳高度角与日期、纬度、经度的确定关系，分别在日期已知和未知的情况下建立计算求解模型，考虑到模型存在系统误差，难以得到完美解，故将问题转换为非线性规划问题遍历求解。得到最能满足条件的位置与日期为： + +
纬度经度日期大致地点
日期确定431157月13日内蒙古锡林郭勒盟西南
日期未定441136月25日内蒙古锡林郭勒盟西
+ +本文亦对文中使用的天文学公式的误差及所求出的结果进行了讨论，在给出最优解之外还讨论了其他解存在的可能性。 + +关键词：计算求解模型、控制变量法、多目标规划、分层求解法、误差分析 + +# 1. 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +现代科技的发展使得人们能够更为方便地记录高质量的视频文件。在分析视频材料时，有时需要确定视频的拍摄地点及日期，而利用天文学知识，对视频物体中的太阳影子变化进行分析是确定视频拍摄地点及日期的一种方法。 + +# 1.2 相关信息 + +本题给出了三组某处某固定直杆在水平地面上太阳影子的顶点坐标数据，每组数据皆包含21个等间距时刻（北京时间）直杆太阳影子的 $x, y$ 顶点坐标。其中，第一组数据还额外包括了数据对应的日期。坐标系以直杆底端为原点，水平地面为 $x, y$ 平面，直杆垂直于地面。 + +除三组数据以外，本题亦给出了一根直杆在太阳下的影子变化视频，视频中清晰的记录了2015年7月13日8点54分06秒到同日9点34分36秒某地高为2米的直杆的太阳影子变化过程。以上信息中，各直杆的地理位置皆未知。 + +# 1.3 需要解决的问题 + +1）建立太阳影子变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律并应用这一模型画出2015年10月22日北京时间9:00- 15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度变化曲线。 +2）建立数学模型，根据题目提供的附件一中的影子顶点坐标数据，给出该直杆所在的可能地点。 +3) 建立数学模型, 根据题目提供的附件二、三种影子顶点坐标数据, 给出对应直杆所在的可能的地点。 +4) 分析题目提供的视频，确定视频拍摄地点的数学模型，分别讨论在拍摄日期已知和未知两种情况下，能否确定视频的拍摄地点与日期，并给出该视频可能的拍摄地点。 + +# 2. 模型假设 + +假设一：本文研究的所有对象所在的地面皆为平地。 + +假设二：本文研究的所有对象所处地海拔为0。 + +# 3. 符号说明 + +
符号符号说明
αi时刻i的太阳高度角
δ太阳赤纬
d代表天数，当日期为1月1日时，d=1
φ目标对象所在地的纬度。为正数时代表北纬，负数为南纬
l目标对象所在位置经度。为正数时代表东经，负数为西经
ti时刻i下研究对象对应时角
L直杆长度
Ly_i直杆在时刻i时的影长
L'_yi直杆在时刻i的理论影长
θi直杆影子在时刻i被测得的方位角
θ'_i直杆影子在时刻i的理论方位角值
f1每一对理论的影长之比的差的平方和
f2方位角差值之差的平方和
ts本地太阳时间
lt本地时
ti0i时刻i时子午线当地标准时间
E时差
+ +# 4. 问题分析 + +# 问题（一） + +第一问要求建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并画出题目指定的直杆的太阳影子长度变化曲线。由于本题要求研究太阳影子以定位，结合实际生活体验可知，对于一个自身长度固定的竖直杆，其影 + +子长度不仅仅与其所在地理位置有关，还与地球自转情况、地球绕太阳公转的情况有关。因地球自转与公转分别导致了昼夜交替及四季变化，故影子长度应该还与对应的当天时刻和日期有关。 + +考虑到这些因素，可进一步搜索相关的文献，建立数学模型表现影长与地理位置、时间的关系，通过研究关系式以得出题目要求求解的答案。 + +# 问题（二） + +第二问要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。本问相对于第一问，直杆长度未知，但因知道太阳影子顶点在一个连续时间段内的数据，故相当于知道了此时间段内影子的影长以及其角度变化情况。经过第一问的分析与解答可知，影长与直杆长度、当天日期、时间、经纬度此5个因素有关；本问中，日期、时间皆为已知量，而特殊地，当其他因素恒定时，直杆长度与影长呈正比关系，故可以研究两个时刻的影长比值，消除直杆长度这一未知量。这一比值仅仅与直杆所在的经纬度有关，因而能够达到减少未知数的目的。 + +除了分析影长以外，角度也是一个不可忽略的因素。虽然影长信息已经足以解出未知数，但再增加角度信息，能够提高方程组冗余度，使得模型的稳健性和抗噪性得以提升。 + +用来表示角度的量应当能够体现影子的方位，参考资料可知，因方位角能够表现影子在地平面上的方向，使用方位角[1]这一指标较为合适。在本题中，虽然每个时刻的方位角的值难以得到，但是两个时刻的方位角差却与坐标系自身无关，可以根据两个时刻的影子顶点在同一坐标系中的相对位置计算。 + +因而，综合考虑影长和角度两个指标，以直杆所在经纬度为 $x, y$ 时，计算所得两时刻的影子长度比与对应时刻测得的影子长度比的差值最小为第一个目标函数，以计算所得两时刻方位角差值与测得的方位角差值的差值最小为第二个目标，建立多目标规划模型，找出可行的直杆对应的经纬度值。 + +# 问题（三） + +第三问与第二问类似，不同的是日期未知，要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点与日期。与第二问相同，可综合考虑影长和角度两个指标，以直杆所在经纬度与日期分别为 $x, y, z$ 时，计算所得两时刻的影子长度比与对应时刻测得的影子长度比的差值最小为第一个目标函数，以计算所得两时刻方位角差值与测得的方位角差值的差值最小为第二个目标，建立多目标规划模型，找出可行的直杆对应的经纬度值与日期。 + +# 问题（四） + +第四问要求分析题目提供的视频，确定视频拍摄地点的数学模型，分别讨论在拍摄日期已知和未知两种情况下，能否确定视频的拍摄地点与日期。因此，需要先对附件四的视频进行处理，找出正确的太阳高度角在拍摄时间段内各个时刻的值。 + +因第一、二、三问建模过程中，确定经纬度并不一定需要直杆长度以及影长这两个量同时已知，需要的仅仅是由之计算得到的太阳高度角在不同时刻的值，因而得到此信息后可将问题转换为与前三问类似的问题。在前三问的建模过程中，使用了关联太阳高度角、日期、纬度、经度、及时间的等式，故可利用该等式建立计算求解模型求解。 + +# 5. 数据分析 + +# 5.1 附件四视频处理 + +本题附件四是一根直杆在太阳下的影子变化视频，视频中清晰的记录了2015年7月13日8点54分06秒到同日9点34分36秒某地高为2米的直杆的太阳影子变化过程。直杆的地理位置皆未知。为了使用该视频中的信息解答第四问，需要对视频做一定的处理，找出各个时刻直杆影子尖端部分的变化。 + +![](images/942d0acb30c7760c778aa321cec1b440eb00e35bc76590fa8de33503c64fc389.jpg) +图5.1.1 附件4视频截图 + +图5.1.1为附件4的视频截图。因已知竖直杆垂直于地面，观察该视频发现：竖直杆的中心位于画面中央，可认为摄像机的轴线是与直杆垂直的。随着时间的推移，可以用肉眼观察到影子的长度变短，因此可以推断该视频拍摄在当地正午时间前，则可以作为左上角的时间是该地所在时区的时间的佐证。 + +此外，由于在视频所记录的时间里，直杆影子转动的角度十分小，而在图示画面中，可认为影子所在的直线是和摄像机的视线垂直的，因此可以认为影子长 + +度在透视矫正前后变化不大，因而不需要在处理视频的时候对视频做透视矫正，即认为影子和直杆构成的平面垂直于摄像机的视线。 + +![](images/4a145a661f1a8127f959d3ff87aaa79afb3ea1d543ad8ba214771c3fd5bfa512.jpg) +图5.1.2 附件4处理示意图 + +利用 Adobe After Effect 软件读取该视频，采用软件自带的动态追踪技术读取视频每一帧影子顶部的像素坐标 C、直杆顶端的坐标 A 以及影子上的任一其他点的像素坐标 B 由此，即可得到同一坐标系内的两条向量 $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AC}$ ，进而解得两向量的夹角大小，用于之后的各项运算。 + +![](images/6ef4deef82b39fdce48b88549681b807ed6aedfebf283f4f0249fee639948b0f.jpg) + +![](images/e9da63b843653f1131b3002493c14bb88c10f9adcb571c14904483a6fa3c8726.jpg) +图5.1.3 动态追踪操作示意图 + +动态追踪 C 点的具体操作如图所示, 图中有一大一小两个白边方框, 小方框 + +中是追踪的目标即影子顶点及周围的地面。由于影子顶点具有固定的形状与较深的颜色，小白框内的像素的颜色信息有一种特征明显的分布，故可对每一帧图像寻找最符合的像素区域来进行追踪。而另一方面，由于移动是连续的，为提高追踪精度，大方框规定了下一帧目标点出现的范围。对追踪参数进行适当调试，可得出图示的轨迹。 + +实际操作中，应将选择较为靠近直杆底座的点作为B点，如此便不需要每次都移动B点，而可将之大致固定在一个位置，便于计算。在6.1.1的分析中将体现， $\angle ACB$ 即为太阳高度角。 + +# 6. 模型的建立与求解 + +# 问题（一）的求解 + +# 6.1.1 模型的分析 + +为建立合适的数学模型，首先须对垂直直杆在太阳照耀下成影情况进行分析。可构建示意图如下： + +![](images/2ec8f67fcb445e631810213079c6d069b6c7106ea7492d003509e17d18a47c1b.jpg) +图6.1.1.1 竖直直杆成影示意图 + +如图6.1.1.1所示，平面XOY代表大地，此处可将大地看作是平坦的。OA为竖直直杆，其中 $O$ 点为直杆和大地的接触点，OB为竖直杆OA的影子。黄色有向线代表了由太阳射来的光线。由此构成了竖直直杆成影的示意图。由于直杆长度OA已知为3米，故只需知道 $\angle ABO$ 的值，即可求出影子 $OB$ 的长度。其中， $\angle ABO$ 为太阳高度角。 + +参考有关太阳高度角的资料[2]，可以得到太阳高度角的求解公式如下： + +$$ +\alpha = \arcsin (\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t) +$$ + +其中， $\alpha$ 为太阳高度角， $\delta$ 为太阳赤纬， $\delta$ 的计算方式为[3]： $\delta = 23.45^{\circ}\sin \left(\frac{360}{365} (d - 81)\right)$ ， $d$ 代表天数，当日期为1月1日时， $d = 1$ 。 $\varphi$ 为竖直杆所在地的纬度， $t$ 为时角。同时，由于 $AO \perp BO$ ，故 $\sin \alpha = \frac{L}{\sqrt{L^2 + L_y^2}}$ ， $L, L_y$ 分别为直杆长度和影长。 + +通常，时角可由本地时换算得到。然而因本地时常常因地球自转及人为调整影响，而与该地真实的本地太阳时不相同，故本文采用精度更高的调整后计算时角的公式。参考相关文献可知[3]， $t = 15^{\circ}(t_{ls} - 12)$ ， $t_{ls}$ 为本地太阳时间， $t_{ls} = t_{lt} + \frac{\rho}{60}$ 。 $t_{lt}$ 为本地时。本地时的计算方法为 $t_{lt} = t_0 + \frac{l}{15}$ ，其中， $l$ 为目标所在位置经度，当 $l$ 为负时代表所在位置为西经，为正时即东经。 $t_0$ 为子午线当地标准时间。 $E$ 为时差（EoT）。值得注意的是，此处的时差并非生活中使用的区时时差，而是定义为： $E = 9.87\sin(2B) - 7.53\cos(B) - 1.5\sin(B)$ ， $B = \frac{360}{365}(d - 81)$ 。由此，即可得出精度较高的时角数值，其计算方式为： + +$$ +t = 1 5 ^ {\circ} \left(t _ {0} + \frac {l}{1 5} + \frac {9 . 8 7 \sin (2 B) - 7 . 5 3 \cos (B) - 1 . 5 \sin (B)}{6 0} - 1 2\right), B = \frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1) +$$ + +经过以上分析，可发现，当目标经纬度、日期、时间都已知时，可以求出相应的太阳高度角。又因杆长已知，故可求出相应时刻的影长。因题目要求绘制出2015年10月22日北京时间9:00- 15:00（即子午线标准时间1:00-7:00）之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，故可写出太阳此地此日太阳影子长度与时间的关系式，从而在给定的定义域中，画出此直杆影子长度的变化曲线。 + +# 6.1.2 模型的建立 + +根据6.1.1中的分析，可建立有关影长 $L_{y}$ 与子午线当地标准时间 $t_0$ 的计算求解模型如下： + +$$ +L _ {y} = L \sqrt {\left(\frac {1}{\left(\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t\right) ^ {2}} - 1\right)} +$$ + +$$ +t _ {0} \in [ 1, 7 ] +$$ + +其中 $L_{y}$ 为直杆的影长， $L$ 是直杆长度，为3米。 $\delta$ 为太阳赤纬，计算方式为： $\delta = 23.45^{\circ} \sin \left( \frac{360}{365} (d - 81) \right)$ ， $d$ 代表天数，当日期为1月1日时， $d = 1$ 。 $\varphi$ 为竖直杆所在地的纬度，竖直杆在北半球时， $\varphi$ 为正，否则为负。 $t$ 为时角，根据6.1.1中的分析，可以得出： + +$$ +t = 1 5 ^ {\circ} \left(t _ {0} + \frac {l}{1 5} + \frac {9 . 8 7 \sin (2 B) - 7 . 5 3 \cos (B) - 1 . 5 \sin (B)}{6 0} - 1 2\right), B = \frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1) +$$ + +$t_0$ 为子午线当地标准时间， $l$ 为目标所在位置经度，当竖直杆经度为东经时， $l$ 为正，否则为负。 + +可以看出，由于日期、杆长、经纬度皆为已知，所建立的模型实际上为 $L_{y}$ 关于 $t_0$ ，定义域为[1,7]，解析式为 $L_{y} = L\sqrt{\left(\frac{1}{\left(\sin\delta\sin\varphi + \cos\delta\cos\varphi\cos t\right)^{2}} - 1\right)}$ 的函数关系式。 + +综上所述，第一问的模型为： + +$$ +L _ {y} = L \sqrt {\left(\frac {1}{\left(\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t\right) ^ {2}} - 1\right)}, t _ {0} \in [ 1, 7 ] +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1)\right) \\ t = 1 5 ^ {\circ} \left(t _ {0} + \frac {l}{1 5} + \frac {9 . 8 7 \sin (2 B) - 7 . 5 3 \cos (B) - 1 . 5 \sin (B)}{6 0} - 1 2\right) \\ B = \frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1) \end{array} \right. +$$ + +# 6.1.3 模型的求解 + +采用MATLAB编程求解，可以得出直杆影子长度的变化曲线如下： + +![](images/5efb970540d4ebb975f5872a7c2833e3836b45e83c542f37eaa055dd6948ccb8.jpg) +图6.1.3.1 直杆的太阳影子长度变化曲线 + +图6.1.3.1表示了2015年10月22日北京时间9:00-15:00（即子午线标准时间1:00-7:00）之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，横轴北京时间（小时），纵轴为直杆影 + +长（米）。 + +需要注意的是，由于本题中计算太阳赤纬、时角误差修正的公式并非完全精确，因此本模型仍然存在一定的系统误差。在本问解答结束后，将会对本模型的误差进行分析。 + +# 6.1.4 结果分析 + +根据本文的计算结果，直杆的太阳影子长度变化曲线如图6.1.3.1所示，其在11点58分30秒时，直杆影长达到最小值3.8410米；影长在9点到11点58分30秒时随时间变短，此后随时间增长。 + +决定影子长度的除了当天的时间之外，还有杆长、日期、经度、纬度这四个 + +![](images/4615b0aa400b0eaf2f4c749b6381a141c20f4e7c8ccaaca8b18dc08d06771b5f.jpg) + +![](images/e48501a74e27e3fd4cfef121e1f467e826012b20f185e26d7e50ed974f6977b8.jpg) +图6.1.4.1 直杆的太阳影子长度在一年中的变化曲线 + +因素。由于杆长与影子长度呈正比例关系，故本文不多加讨论，而着重在日期、经度、纬度三个方面给出讨论。为方便表现影子长度关于各个因素的关系，须控制变量，作图如下： + +图6.1.4.1是1月1日至12月31日北京时间12:00（即子午线标准时间4:00）北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒（上图）与南纬39度54分26秒，东经116度23分29秒（下图）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，横轴为日期（1代表1月1日，2代表1月2日，由此类推），纵轴为直杆影长（米）。 + +可以看出，对处在北半球的直杆而言从1月1日到夏至日左右（6月22日），影子的长度随着时间推移而变短，夏至日后，随着时间推移而变长，在冬至日左右（12月22日）达到最长后又开始减小。而对于处在南半球的直杆，情况恰好 + +完全相反。 + +![](images/56d0d0eac9fb0bec5b3dcde26e81b1399b336a2fdb7ed4268e3e6f99aade23d5.jpg) + +![](images/2dc5530cf9ad138a45b3833322400f60bbcf906d3d456776b08c956a67288cd7.jpg) +图6.1.4.2 修正前与修正后直杆影长与经度关系曲线 + +图6.1.4.2体现的是6月22日北京时间12:00（即子午线标准时间4:00）北纬39度54分26秒,处于180度到本初子午线的3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，横轴为经度（负数为西经，正数为东经），纵轴为直杆影长（米）。 + +第一幅图未经过任何处理，为修正前变化曲线。可以看出，在西经120度左右到东经10度左右的区域，子午线标准时间为4:00时太阳尚未升起或已经落下，因此对其讨论直杆影长毫无意义。而在此二经度附近的区域，太阳刚刚升起或落下，若当地大地较为平坦，则影子长度极大，会影响对其他经度区域影子长度的观察，因此本文将影子长度大于30米的区域统一设定为30米后，绘制出修正后的曲线。 + +观察两幅图可以发现，在东经120度附近，直杆太阳影子最短，而以120度为中心向东西延伸，影子长度不断变长，直到达到晨昏线分界线后，影子消失。 + +![](images/c6e627980904a134a4eeb755cfbdb64769a106f9dc1274f6284fa02cd7ad1631.jpg) + +![](images/ff6dad6efc3c2c09af044066629ac98df37d3d91b96791971c810b68d0c13d8c.jpg) +图6.1.4.3 修正前与修正后直杆影长与纬度关系曲线 + +图6.1.4.3体现的是6月22日北京时间12:00（即子午线标准时间4:00）东经116度23分29秒,处于南纬90度到北纬90度的3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，横轴为纬度（负数为南纬，正数为北纬），纵轴为直杆影长（米）。 + +第一幅图未经过任何处理，为修正前变化曲线。可以看出，在南纬84度左右到南纬90度，北京时间12:00时为黑夜，因此对其讨论直杆影长毫无意义。而在此南纬84度附近的区域，太阳刚刚升起，若当地大地较为平坦，则影子长度极大，会影响对其他经度区域影子长度的观察，因此本文将影子长度大于30米的区域统一设定为30米后，绘制出修正后的曲线。 + +观察两幅图可以发现，在北回归线处，直杆太阳影子最短，而以北回归线为中心向东西延伸，影子长度不断变长，直到达到南纬84度左右，影子消失。 + +综上所述，题目要求绘出的天安门广场3米高竖直杆在10月22日9至12点的曲线如图6.1.3.1所示。观察竖直杆与当日时间、日期、经度、纬度的关系可以总结规律如下： + +表 6.1.4.4 影子长度关于各个参数的变化规律 + +
杆长当日时间日期经度纬度
影子长度与竖直杆长正午前逐渐变短，正午北半球的直杆在去年12月22日至6月22日逐渐变短，6月22日至当年12月22日在有日照的区域内，某一经线上的太阳影子最短，以此经线为在有日照的区域内，某一纬度上的太阳影子最短，以此纬线为
变化成正比后逐渐变长逐渐变长，南半球直杆反之。中心，向东西两侧影子逐渐变长中心，向南北两侧影子逐渐变长
+ +# 误差分析与改进 + +由于第一问求解时所用的公式会在二、三、四问的建模过程中沿用，故于此处，有必要对使用的模型进行误差分析。 + +于第一问的计算求解模型建立过程中，其核心公式为：太阳高度角的计算公式，即： $\alpha = \arcsin \left(\sin \delta \sin \varphi +\cos \delta \cos \varphi \cos t\right)$ 。各项中，太阳赤纬 $\delta$ 以及时角 $t$ 的修正 $E$ 都是近似式，因而本模型的主要系统误差来自于此两项。由于 $\delta$ 与 $E$ 皆为仅仅与日期 $d$ 有关的变量，故可以选择一个精度较高的天文计算器[4]，将之计算的 $d$ 为1至365时的 $\delta$ 和 $E$ 值作为真实值，而将本文模型中计算的 $\delta$ 与 $E$ 值作为计算值，做误差分析。 + +本文作为参考的计算器为MIDC SPA CALCULATOR[5]。对比计算得出的误差如下图所示： + +![](images/c86194a137d812b8551305a7ff827ffbd7c7de1cefd4d68ef551dfc23fe1158f.jpg) + +![](images/eb9a82f0d2697d517981c03981c130e799ce5d4634c9333561db4fd6eabc5551.jpg) +图6.1 误差对比 + +如图6.1所示，上方图为 $E$ 值在取1至365时采用本文以及真实结果的比较，下方图为太阳赤纬 $\delta$ 的计算值和理论值的比较。其中，蓝色线为本文方案的计算 + +值，棕色线为改进后结果，X点为SPA计算器算出的值，即真实值。可以看出，本文的计算值与真实值之间存在一定偏差，因此，可以采用更为精确的模型加以修正。 + +参考其它文献[6][7][8]，得到更为精确的太阳赤纬 $\delta$ 与时差 $E$ 的计算方式如下： + +$$ +\delta = - \arcsin \left(0. 3 9 7 7 9 \cos \left(0. 9 8 5 6 5 ^ {\circ} \cdot (D + 1 0)\right) + 1. 9 1 4 \cdot \frac {1 8 0 \sin \left(0 . 9 8 5 6 5 ^ {\circ} \cdot (D - 2)\right)}{\pi}\right) +$$ + +$E = 720(C - [C])$ ，其中： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} C = \frac {\left(A - \arctan \left(\frac {\tan \left(B ^ {\circ}\right)}{\cos \left(2 3 . 4 4 ^ {\circ}\right)}\right)\right)}{1 8 0} \\ B = A + 1. 9 1 4 \sin \left(\left(W (D - 2)\right) ^ {\circ}\right), \\ A = W (D + 1 0) \\ W = \frac {3 6 0}{3 6 5 . 2 4} \end{array} \right. +$$ + +$D$ 为天数。当日期为1月1日时， $D$ 为0。 + +修正前后，本文模型计算得到的误差与 SPA 计算器的比较如下表： + +表 6.2 修正前后时差与太阳赤纬误差对比 + +
最大残差绝对值残差平方和平均残差绝对值
修正前修正后修正前修正后修正前修正后
时差1.32060.2221147.4626.27650.49770.1153
太阳赤纬1.14920.2221115.05090.66890.43990.0377
+ +可见，经过精度更高的公式修正之后，时差和太阳赤纬的误差得到了较为明显的改善。然而，由于在之后的模型中，时差和太阳赤纬是用来计算太阳高度角以及方位角的中间步骤，因此还须检测修正前后太阳高度角和方位角的误差变化。 + +表 6.3 修正前后太阳高度角与方位角误差对比 + +
平均残差绝对值（单位为角度）
修正前修正后
太阳高度角0.34110.0222
方位角0.32030.1760
+ +从表6.3可以发现，修正后对于太阳高度角的误差减少效果较为明显。然而可以看出，即使不加以修正，现在使用的公式产生的误差亦并非很大。 + +![](images/3dbd4e1f6be5217f0e291b58f7eec683771b290d23e71d876865cf36fb8dfaef.jpg) + +![](images/8857c9c3061ab4c9ac78bbd873b45ad177a918136a847efcb0dd45f885ea2608.jpg) +图6.4 修正前后太阳高度角与方位角残差分布图 + +图6.4为修正前后太阳高度角与方位角残差分布图。横轴以小时为单位，从左到右为1月1日至12月31日，纵轴为残差。蓝色为修正前曲线，红色为修正后曲线。可见，修正前的残差最大亦不足2度，虽然修正后降低误差效果明显，但是原本的误差也在可接受的范围之内。 + +考虑到修正的计算方法复杂，会影响模型效率，因而本文将在明确模型存在系统误差的前提下，在之后几问沿用第一问中使用的天文学公式。 + +将修正后的公式代入第一问，可以得到影长在北京时间9至15点的最小的值为3.6638米，对应时间为11点59分24秒。 + +# 问题（二）的求解 + +# 6.2.1 模型的分析 + +本问相对于第一问，不知道直杆的长度，但因知道太阳影子顶点在一个连续时间段内的坐标数据，故相当于知道了此时间段内等间隔时刻影子的影长以及其角度变化（即方向）。因此，合理的经纬度（直杆位置）应不仅仅能够拟合直杆的影长及其变化，还应当拟合影子方位角的变化。 + +由于特定时刻，特定经纬度下的影子太阳高度角和方位角皆可以计算，且同一地点的同一直杆在一天中两不同时刻的影长只与太阳高度角有关，故可以计算不同时刻的理论影长比及方位角差。因而，可以依照问题分析（二）中提出的思路，构造以直杆所在经纬度为 $x, y$ 时，计算所得两时刻的影子长度比与对应时刻测得的影子长度比的差值最小为第一个目标函数，以计算所得两时刻方位角差值与测得的方位角差值的差值最小为第二个目标的多目标规划模型，利用遍历求出尽可能精确的解。 + +![](images/5550b92c6506bd0478d82fcc6069aca42dff3b881fcbcc4f6b3939c52f8dd6ae.jpg) +图6.2.1.1 竖直直杆在不同时刻成影示意图 + +如图6.2.1.1所示，该图表现了竖直直杆在同一天中两个时刻的成影示意图。该示意图表示的情况已过当地时间正午，故OB为较早时的成影，OC为较晚时的成影。与第一问相同， $\angle B$ ， $\angle C$ 分别为影子OB、OC的太阳高度角。而第一问中，参考有关太阳高度角的资料[1]，可以得到太阳高度角的求解公式为 $\alpha = \arcsin \left(\sin \delta \sin \varphi +\cos \delta \cos \varphi \cos t\right)$ ，且 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 。因此，时刻 $t_1,t_2$ 的理论影长之比即为 $\frac{L_{y1}'}{L_{y2}} = \frac{L\cot\alpha_1}{L\cot\alpha_2} = \frac{\cot\alpha_1}{\cot\alpha_2}$ ，实际影长之比可以通过所给数据计算，即为 $\frac{L_{y1}}{L_{y2}}$ 。 + +由于方位角是在地平坐标系上的角[1]，竖直直杆是垂直于大地的，因此可以将面XOY看作是地平坐标系，因而∠BOC即为时刻i,j方位角 $\theta_{1},\theta_{2}$ 的差值。查阅资料可知，方位角的计算公式为： $\theta = \arccos \left(\frac{\left(\sin\delta\cos\varphi - \cos\delta\sin\varphi\cos t\right)}{\cos\alpha}\right)$ ，因而可以计算出两时刻方位角理论计算值的差值的绝对值 $\left|\theta_1^{\prime} - \theta_2^{\prime}\right|$ 。对于实际的方位角差值，因已经知道了向量 $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}$ 的坐标，故 $\left|\theta_{1}-\theta_{2}\right|=\left|\arccos \frac{\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OB}\right|\left|\overrightarrow{OA}\right|}\right|$ + +通过计算所得到的理想经纬度应该能够使得实际和理论的影长之比以及方 + +位角差值之差尽可能为0，因而，可建立多目标多目标规划模型，找出满足条件的经纬度。 + +需要注意的是，因为附件中一共提供了21组数据，为了使一对数据的差别尽可能大，从而减少误差，选择每一个时刻与其之后的第十个时刻为一对（例如，时刻1，即14:42的数据应与时刻11，即15:12时的数据成为一对），得到共十组数据，找出符合条件的经纬度使得每一对理论的影长之比的差的平方和接近于0，且方位角差值之差的平方和接近于0,由此建立多目标规划模型。 + +# 6.2.2 模型的建立 + +根据模型分析及问题分析，建立已实际和理论的影长之比以及方位角差值之差尽可能为0二者为目标的多目标规划模型。目标函数为： + +$$ +\min f _ {1} (\varphi , l) = \sum_ {i, j} \left(\frac {L _ {y i}}{L _ {y j}} - \frac {L _ {y i} ^ {\prime}}{L _ {y j} ^ {\prime}}\right) ^ {2} +$$ + +$$ +\min f _ {2} (\varphi , l) = \sum_ {i, j} \left[ \left(\theta_ {i} - \theta_ {j}\right) - \left(\theta_ {i} ^ {\prime} - \theta_ {j} ^ {\prime}\right) \right] ^ {2} +$$ + +$\varphi$ 和 $l$ 分别为直杆所在的纬度和经度。目标函数是两个关于经纬度的二元函数。其中， $f_{1}$ 为每一对理论与实测的影长之比的差的平方和， $L_{yi}, L_{yj}$ 分别为时刻 $i, j$ 测得的影长， $L_{yi}^{\prime}, L_{yj}^{\prime}$ 为时刻 $i, j$ 的理论影长。 $f_{2}$ 为每一对理论与实测方位角差值之差的平方和， $\theta_{i}, \theta_{j}$ 分别为时刻 $i, j$ 测得的方位角， $\theta_{i}^{\prime}, \theta_{j}^{\prime}$ 分别为时刻 $i, j$ 的理论方位角值。 + +目标函数的约束条件如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {L _ {y i} ^ {\prime}}{L _ {y j} ^ {\prime}} = \frac {\cot \alpha_ {i}}{\cot \alpha_ {j}} \\ \alpha_ {k} \in \left(0, \frac {\pi}{2}\right) \\ \alpha_ {k} = \arcsin \left(\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t _ {k}\right) \\ \theta_ {k} ^ {\prime} = \arccos \left(\frac {\left(\sin \delta \cos \varphi - \cos \delta \sin \varphi \cos t _ {k}\right)}{\cos \alpha_ {k}}\right) \\ \delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1)\right) \\ t _ {k} = 1 5 ^ {\circ} \left(t _ {k 0} + \frac {l}{1 5} + \frac {9 . 8 7 \sin (2 B) - 7 . 5 3 \cos (B) - 1 . 5 \sin (B)}{6 0} - 1 2\right) \\ B = \frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1) \\ i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 0 \}, j = i + 1 0 \\ \varphi \in [ - 9 0 ^ {\circ}, 9 0 ^ {\circ} ] \\ l \in (- 1 8 0 ^ {\circ}, 1 8 0 ^ {\circ}) \end{array} \right. +$$ + +条件一给出了理论影长之比的计算方式， $\alpha_{k}$ 为 $k$ 时刻的太阳高度角， $k$ 可取 $i, j$ 。条件二给出了 $\alpha_{k}$ 的约束条件，即 $\alpha_{k}$ 须为锐角，仅仅在这种情况下，当地时间才为白天，讨论影子才有意义。条件三给出了 $\alpha_{k}$ 的计算方式： $\delta$ 为太阳赤纬， $\varphi$ 为竖直杆所在地的纬度，竖直杆在北半球时， $\varphi$ 为正，否则为负。 $t_{k}$ 为时刻 $k$ 的时角。条件四给出了理论方位角的计算公式。 + +条件五、六、七给出了 $\delta$ 、 $t_{k}$ 以及一个相关量 $B$ 的求解方式。其中 $d$ 代表天数，当日期为1月1日时， $d = 1$ ，本问中 $d = 108$ ； $l$ 为直杆所在经度， $t_{k0}$ 为时刻 $k$ 的格林威治标准时间。 + +条件八给出了 $i, j$ 对应所指的时刻。最后两个条件给出了经纬度的定义域。 + +综上所述，本文建立的多目标规划模型为： + +$$ +\begin{array}{l} \min f _ {1} (\varphi , l) = \sum_ {i, j} \left(\frac {L _ {y i}}{L _ {y j}} - \frac {L _ {y i} ^ {\prime}}{L _ {y j} ^ {\prime}}\right) ^ {2} \\ \min f _ {2} (\varphi , l) = \sum_ {i, j} \left[ \left(\theta_ {i} - \theta_ {j}\right) - \left(\theta_ {i} ^ {\prime} - \theta_ {j} ^ {\prime}\right) \right] ^ {2} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {L _ {y i} ^ {\prime}}{L _ {y j} ^ {\prime}} = \frac {\cot \alpha_ {i}}{\cot \alpha_ {j}} \\ \alpha_ {k} \in \left(0, \frac {\pi}{2}\right) \\ \alpha_ {k} = \arcsin \left(\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t _ {k}\right) \\ \theta_ {k} ^ {\prime} = \arccos \left(\frac {\left(\sin \delta \cos \varphi - \cos \delta \sin \varphi \cos t _ {k}\right)}{\cos \alpha_ {k}}\right) \\ \delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1)\right) \\ t _ {k} = 1 5 ^ {\circ} \left(t _ {k 0} + \frac {l}{1 5} + \frac {9 . 8 7 \sin (2 B) - 7 . 5 3 \cos (B) - 1 . 5 \sin (B)}{6 0} - 1 2\right) \\ B = \frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1) \\ i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 0 \}, j = i + 1 0 \\ \varphi \in [ - 9 0 ^ {\circ}, 9 0 ^ {\circ} ] \\ l \in (- 1 8 0 ^ {\circ}, 1 8 0 ^ {\circ}) \end{array} \right. +$$ + +# 6.2.3 模型的求解 + +由于在所给的数据中，影子长度的变化较为明显，而角度的变化则相比之下更为微小，因此即使是在所用公式精度相同的情况下，以角度为首要标准来解答也会产生更大的误差。因此，为较为精确的定位，本文采用分层求解法解该多目标规划问题。 + +以 $\min f_{1}(\varphi, l)$ （即影子长度比之差）为首要优化目标，在完成此步优化之后，得到多组 $\varphi, l$ 使得 $f_{1}(\varphi, l) = \lambda$ ，进而以第一步的优化结果作为约束条件，即 $f_{1}(\varphi, l) \leq \lambda$ ，以 $\min f_{2}(\varphi, l)$ 作为优化目标再次优化，得出答案。 + +通过MATLAB编程遍历求解，得出最为符合条件的地点为北纬19度，东经109度，位于我国海南省境内： + +![](images/787bfd6f48a3e77ce7539bb942114180e56ccb4763ca5456b26146a9f067d108.jpg) +图6.2.3.1北纬19度，东经109度定位（谷歌地图） + +由于本文采用的计算方法自身存在一定的系统误差，因而此多目标规划得到的答案并非精确的答案。于结果分析中，本文会进一步给出各经纬度下的误差分析，指出其他可能点所在的范围。 + +# 6.2.4 结果分析 + +得到最优结果之后，可以分别以 $f_{1}(\varphi, l)$ 值为因变量，以纬度、经度为自变量作图分析。如本文之前所解释，角度的计算引起的偏差可能较大，因此结果分析部分将着重于影子长度的理论值和测量值吻合情况，这一做法亦与本文求解多目标规划模型的思路一致。所得图像如下： + +![](images/dd545c86f98524e5f7f2a893d8ac225e767ef61a9282f637f04af2db4228c501.jpg) +图6.2.4.1 不同经纬度的理论影长与实际测得影长的吻合情况 + +图6.2.4.1反映的是不同经纬度的理论影长与实际测得的影长的吻合情况，图中，横轴为经度，经度为负即代表西经，为正即东经；纵轴为纬度，纬度为正时即北纬，为负时即南纬。颜色越蓝，越深则代表此经纬度的直杆吻合情况越好；颜色越黄，越浅即代表此经纬度的直杆吻合情况越差。 + +为了更好的描述 $f_{1}(\varphi, l)$ 的相对大小，可对 $f_{1}(\varphi, l)$ 的数据值做离差标准化，将 + +离差标准化后的值命名为误差程度，该值越低代表误差越小。 + +根据该图可以看出，除了北纬19度，东经109度以外，还有其他的地点的误差程度也相对较好。因此，可以再遍历所有的地点，搜寻各个局部的最优中心：即以此点为中心，其邻近点的误差程度皆劣于该点。找到这些局部最优中心后，再筛选出误差程度低于0.002的点，可以得到七个中心，这些中心也是直杆可能的所在地： + +表 6.2.4.2 直杆可能所在地经纬度 + +
纬度经度误差程度大致地点
241000.0012云南
-31040.0017印度尼西亚，巨港
211060.0008越南，河内
201080.0019海南西北
191090海南
181100.0006海南东南
171110.0018西沙群岛
+ +表6.2.4.2中，纬度为正代表北纬，反之代表南纬；经度为正代表东经，反之为西经。可以看出，北纬19度，东经109度也包含在这7个点中，其误差程度亦是最小的。误差程度越小代表：依照本题模型，直杆处在该地的可能性越大。可以看出：直杆处在海南（北纬19度，东经109度）的可能性是最大的，其次是在海南东南的北纬18，东经109度以及越南河内（北纬21度，东经106度）。但因模型自身或存在系统误差，测量影子坐标时亦可能出现错误，因此，仍然不能排除直杆位于其他各地点的可能性。 + +以上各点在地图上的相对位置如下： + +![](images/e6d3a2a6272f2c230c2ffac5ff59ef33fab003cde4d0e05c9c21eec42ec5e3f1.jpg) +图6.2.4.3 直杆可能所在地在地图上的位置（谷歌地图截图） + +如图 6.2.4.3 所示, 上述 7 个可能的位置都已经用星星标出, 其中, 加上红色 + +图钉的点为北纬19度，东经109度。 + +# 问题（三）的求解 + +# 6.3.1 模型的分析 + +第三问的其他条件与第二问一致，只不过相比于第二问，日期是一个未知值。因此，可以沿用第二问的多目标规划模型，不过须将原来的二元目标函数更改为含有日期（几月几日）、纬度和经度三个未知数的三元函数，再建立与第二问类似的多目标规划模型，采用分层求解法遍历求解。 + +# 6.3.2 模型的建立 + +根据模型分析，参照第二问的模型，建立已实际和理论的影长之比以及方位角差值之差尽可能为0二者为目标的多目标规划模型。目标函数为： + +$$ +\begin{array}{l} \min f _ {1} (\varphi , l, d) = \sum_ {i, j} \left(\frac {L _ {y i}}{L _ {y j}} - \frac {L _ {y i} ^ {\prime}}{L _ {y j} ^ {\prime}}\right) ^ {2} \\ \min f _ {2} (\varphi , l, d) = \sum_ {i, j} \left[ \left(\theta_ {i} - \theta_ {j}\right) - \left(\theta_ {i} ^ {\prime} - \theta_ {j} ^ {\prime}\right) \right] ^ {2} \\ \end{array} +$$ + +$\varphi$ 和 $l$ 分别为直杆所在的纬度和经度， $d$ 为日期，当日期为1月1日时， $d$ 的值为1。目标函数是两个关于经纬度与日期的二元函数。其中， $f_{1}$ 为每一对理论的影长之比的差的平方和， $L_{yi}, L_{yj}$ 分别为时刻 $i, j$ 测得的影长， $L_{yi}^{\prime}, L_{yj}^{\prime}$ 为时刻 $i, j$ 的理论影长。 $f_{2}$ 为方位角差值之差的平方和， $\theta_{i}, \theta_{j}$ 分别为时刻 $i, j$ 测得的方位角， $\theta_{i}^{\prime}, \theta_{j}^{\prime}$ 分别为时刻 $i, j$ 的理论方位角值。 + +目标函数的约束条件如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {L _ {y 1} ^ {\prime}}{L _ {y 2} ^ {\prime}} = \frac {\cot \alpha_ {1}}{\cot \alpha_ {2}} \\ \alpha_ {k} \in \left(0, \frac {\pi}{2}\right) \\ \alpha_ {k} = \arcsin \left(\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t _ {k}\right) \\ \theta_ {k} ^ {\prime} = \arccos \left(\frac {\left(\sin \delta \cos \varphi - \cos \delta \sin \varphi \cos t _ {k}\right)}{\cos \alpha_ {k}}\right) \\ \delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1)\right) \\ t _ {k} = 1 5 ^ {\circ} \left(t _ {k 0} + \frac {l}{1 5} + \frac {9 . 8 7 \sin (2 B) - 7 . 5 3 \cos (B) - 1 . 5 \sin (B)}{6 0} - 1 2\right) \\ B = \frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1) \\ i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 0 \}, j = i + 1 0 \\ \varphi \in [ - 9 0 ^ {\circ}, 9 0 ^ {\circ} ], l \in (- 1 8 0 ^ {\circ}, 1 8 0 ^ {\circ}) \\ d \in [ 1, 3 6 5 ] \end{array} \right. +$$ + +条件一给出了理论影长之比的计算方式， $\alpha_{k}$ 为 $k$ 时刻的太阳高度角， $k$ 可取 $i, j$ 。条件二给出了 $\alpha_{k}$ 的约束条件，即 $\alpha_{k}$ 须为锐角。条件三给出了 $\alpha_{k}$ 的计算方式： $\delta$ 为太阳赤纬， $\varphi$ 为竖直杆所在地的纬度，竖直杆在北半球时， $\varphi$ 为正，否则为负。 $t_{k}$ 为时刻 $k$ 的时角。条件四给出了理论方位角的计算公式。 + +条件五、六、七给出了 $\delta 、 t_{k}$ 以及一个相关量 $B$ 的求解方式。其中 $d$ 代表天数, $l$ 为直杆所在经度, $t_{k0}$ 为时刻 $k$ 的格林威治标准时间。 + +条件八给出了 $i, j$ 对应所指的时刻。最后三个条件分别给出了经纬度和日期的定义域。 + +综上所述，本文建立的多目标规划模型为： + +$$ +\begin{array}{l} \min f _ {1} (\varphi , l, d) = \sum_ {i, j} \left(\frac {L _ {y i}}{L _ {y j}} - \frac {L _ {y i} ^ {\prime}}{L _ {y j} ^ {\prime}}\right) ^ {2} \\ \min f _ {2} (\varphi , l, d) = \sum_ {i, j} \left[ \left(\theta_ {i} - \theta_ {j}\right) - \left(\theta_ {i} ^ {\prime} - \theta_ {j} ^ {\prime}\right) \right] ^ {2} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \frac {L _ {y 1} ^ {\prime}}{L _ {y 2} ^ {\prime}} = \frac {\cot \alpha_ {1}}{\cot \alpha_ {2}} \\ \alpha_ {k} \in \left(0, \frac {\pi}{2}\right) \\ \alpha_ {k} = \arcsin \left(\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t _ {k}\right) \\ \theta_ {k} ^ {\prime} = \arccos \left(\frac {\left(\sin \delta \cos \varphi - \cos \delta \sin \varphi \cos t _ {k}\right)}{\cos \alpha_ {k}}\right) \\ \delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1)\right) \\ t _ {k} = 1 5 ^ {\circ} \left(t _ {k 0} + \frac {l}{1 5} + \frac {9 . 8 7 \sin (2 B) - 7 . 5 3 \cos (B) - 1 . 5 \sin (B)}{6 0} - 1 2\right) \\ B = \frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1) \\ i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 0 \}, j = i + 1 0 \\ \varphi \in [ - 9 0 ^ {\circ}, 9 0 ^ {\circ} ], l \in (- 1 8 0 ^ {\circ}, 1 8 0 ^ {\circ}) \\ d \in [ 1, 3 6 5 ] \end{array} \right. s. t. +$$ + +# 6.3.3 模型的求解 + +与第二问类似，采用分层求解法，利用MATLAB编程遍历求解，可得到根据附件二、三计算出相应位置相应的日期为： + +表、图 6.3.3.1 第三问最可能答案及在地图上的大概位置（谷歌地图） + +
纬度经度日期大致地点
附件二40795/25新疆图木舒克市
附件三3310610/31陕西，汉中广元之间
+ +![](images/ed26a4043f8b4197b07fc26f00c0b3d571d2bcb5744773beb95dd0c96480a5f2.jpg) + +纬度为正即为北纬，经度为正代表为东经。图中两星标点即为上述两点。其 + +中，带图钉的点为附件二的位置。由于年份不可确定，只能确定日期，因而对应的日期具体年份不可知。同时，因为本题的计算方式存在一定的误差，因而满足目标函数最好的解并不一定是真实的解，进一步分析会在结果分析中给出。 + +# 6.3.4 结果分析 + +得到最优结果之后，与第二问类似，可以分别对特定的纬度与经度 $\varphi, l$ 以其对应的最小的 $f_{1}(\varphi, l, d)$ 值为因变量，以纬度、经度为自变量作图分析。因附件二数据和附件三的数据在分析过程中没有区别，故本部分仅仅以附件二为样本，进行结果分析。所得图像如下： + +![](images/740ce587b9ea927b8041141d3a81bbfed756f364677a0ba53aa23b8ee3585a8b.jpg) +图6.3.4.1不同经纬度的理论影长与实际测得影长的误差值 + +图6.3.4.1反映的是不同经纬度的理论影长与实际测得的影长的吻合情况，图中，横轴为经度，经度为负即代表西经，为正即东经；纵轴为纬度，纬度为正时即北纬，为负时即南纬。竖轴为误差值，该值越小，代表理论影长与实际影长的误差越小，即目标吻合情况越好。 + +为了更好的描述 $f_{1}(\varphi, l, d)$ 的相对大小，可对 $f_{1}(\varphi, l, d)$ 的数据值做离差标准化，更易于绘图。此外，为了便于观察，本文将误差值大于 0.001 的点的误差值统一设为 0.001，由此在保留观察误差值趋势变化的同时，便于读者观察。 + +根据该图可以看出，当遍历地点逐渐靠近到东经50度，南北回归线范围前后时，误差明显减小，由此从该图可以看出，较为准确的定位应该在此范围内。为了更进一步的从图像上看出结果，可以将误差值大于0.000001的点的误差值全部规定为0.000001，修正后得到的图如下： + +![](images/e6e6610b753c21853544def5ff6080304dba756a2973b5f34ba22423dc1a12a3.jpg) +图6.3.4.2修正后不同经纬度的理论影长与实际测得影长的误差值 + +从图6.3.4.2中可以明显的看出，存在两簇地理位置的点的误差很小，因本题所采用的模型自身存在一定的误差，所以尽管各点对第一个目标的满足情况仍然有差异，但是不能排除这些点为正确地点的可能。因而，图中的结果进一步体现了选择若干的可能点作为可能所在的位置的理由，并展示了这些结果的地理位置之间直观的相对关系。对附件二中的点取误差值低于 $10^{-7}$ ，附件三中的点取误差值小于 $10^{-9}$ ，得出的可能解如下： + +表 6.3.4.3 第三问可能答案 + +
附件二附件三
经度纬度日期误差值经度纬度日期误差值
78-4112/33.22E-08110-364/147.23E-09
82-411/76.56E-08111-348/171.96E-10
77-4011/243.94E-08112-338/27.32E-09
82-401/178.91E-08112-327/291.19E-09
76-3911/173.59E-08110-315/319.22E-09
82-381/308.85E-08112-317/212.81E-09
83-381/298.93E-08110-306/38.39E-09
75-3711/66.08E-081073011/228.75E-09
82-372/48.77E-081083012/18.58E-09
80368/107.88E-081093012/109.94E-09
78375/75.73E-08113301/206.35E-09
78385/122.83E-081073111/206.88E-09
81387/315.19E-08113311/165.93E-09
81397/259.54E-081063211/44.67E-09
79405/2501063310/310
81407/192.11E-081063410/251.19E-10
79416/27.30E-08114342/105.94E-09
80416/46.93E-081063510/189.48E-09
81417/102.97E-08
+ +上述的点为第三问中附件二和附件三的直杆可能的所在地及对应数据记录的日期，注意年份无法确定。误差值越小的可认为直杆在该位置的可能越大。 + +# 问题（四）的求解 + +# 6.4.1 模型的分析 + +在数据分析部分已经得出了视频所给的时间间隔中各个时刻的太阳高度角信息。由于已知关系式 $\alpha = \arcsin \left(\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t\right)$ ，且各个时刻的太阳高度角及时间皆为已知量，故可以组成若干个方程形成的方程组，建立计算求解模型求解。 + +# 6.4.2 模型的建立 + +根据模型分析，参照第二、三问的模型，当日期已知时，建立的模型为： + +$$ +\alpha_ {i} = \arcsin \left(\sin \delta_ {i} \sin \varphi + \cos \delta_ {i} \cos \varphi \cos t _ {i}\right) +$$ + +日期未知时，建立的模型为： + +$$ +\alpha_ {i} = \arcsin (\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t _ {i}) +$$ + +其中， $\delta = 23.45^{\circ}\sin \left(\frac{360}{365} (d - 81)\right)$ ，当日期未知时， $d$ 是一个变量。 $d$ 为日期，当日期为1月1日时， $d$ 的值为1。 $\varphi$ 为直杆所在的纬度，为未知数。 $t$ 为时角，其计算方式为： $t_{k} = 15^{\circ} \left(t_{k0} + \frac{l}{15} + \frac{9.87\sin(2B) - 7.53\cos(B) - 1.5\sin(B)}{60} - 12\right)$ ，其中， $B = \frac{360}{365} (d - 81)$ ， $l$ 为直杆所在的经度，是一个未知数。此处的 $i$ 代表该方程为利用第 $i$ 时刻数据所列的方程。 + +因而可以看出，当日期已知时，待求解方程组中有 $\varphi$ 与 $l$ 两个未知数；日期未知时，有 $\varphi$ 与 $l$ 和 $d$ 三个未知数。 + +综上所述，所建立的计算求解模型为： + +当日期已知时： + +$$ +\alpha_ {i} = \arcsin \left(\sin \delta_ {i} \sin \varphi + \cos \delta_ {i} \cos \varphi \cos t _ {i}\right) +$$ + +日期未知时： + +$$ +\alpha_ {i} = \arcsin (\sin \delta \sin \varphi + \cos \delta \cos \varphi \cos t _ {i}) +$$ + +其中： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \delta = 2 3. 4 5 ^ {\circ} \sin \left(\frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1)\right) \\ t _ {k} = 1 5 ^ {\circ} \left(t _ {k 0} + \frac {l}{1 5} + \frac {9 . 8 7 \sin (2 B) - 7 . 5 3 \cos (B) - 1 . 5 \sin (B)}{6 0} - 1 2\right) \\ B = \frac {3 6 0}{3 6 5} (d - 8 1) \end{array} \right. +$$ + +# 6.4.3 模型的求解 + +利用MATLAB编程，考虑到天文学公式自身存在系统误差，故转换为非线性规划模型求解。 + +在日期已知的情况下，以 $\min = \sum_{i}\left(\left(\sin \delta_{i}\sin \varphi +\cos \delta_{i}\cos \varphi \cos t_{i}\right) - \sin \alpha_{i}\right)^{2}$ 为目标函数，在日期未知的情况下，以 $\min = \sum_{i}\left(\left(\sin \delta \sin \varphi +\cos \delta \cos \varphi \cos t_{i}\right) - \sin \alpha_{i}\right)^{2}$ 为目标函数，遍历求解，可得到日期确定与未确定的情况下，计算出的相应经纬度、日期和大致地点如下： + +表、图 6.4.3.1 第四问最可能答案及在地图上的大概位置（谷歌地图） + +
纬度经度日期大致地点
日期确定431157/13内蒙古锡林郭勒盟西南
日期未定441136/25内蒙古锡林郭勒盟西
+ +![](images/f33a1bc5980dae720ea9ab317bde29f6ff675ca6d225ab2e467aa9b88772c9b1.jpg) + +纬度为正即为北纬，经度为正代表为东经。图中两星标点即为上述两点。其中，带图钉的点为日期未定时的位置。年份不可确定。虽然本文在日期已知和未 + +知的情况下都给出了答案，但是因为本题的计算方式存在一定的误差，因而满足目标函数最好的解并不一定是真实的解，进一步分析会在结果分析中给出。 + +# 6.4.4 结果分析 + +得到结果之后，与第三问类似，可以分别对特定的纬度与经度 $\varphi, l$ ，以其对应的最小的离差标准化后的本问目标函数值为因变量，以纬度、经度为自变量作图分析。因当日期确定的情况下该部分的分析与日期未确定时类似，故本部分主要以日期未确定时的情况为样本，进行结果分析。所得图像如下： + +![](images/d652c27eddd471a58e0c28dd243e72fb383141d1545d145c8d988b7a36399615.jpg) +图6.4.4.1不同经纬度的理论影长与实际测得影长的误差值 + +图6.4.4.1反映的是不同经纬度的理论影长与实际测得的影长的吻合情况，图中，横轴为经度，经度为负即代表西经，为正即东经；纵轴为纬度，纬度为正时即北纬，为负时即南纬。竖轴为误差值，该值越小，代表理论影长与实际影长的误差越小，即目标吻合情况越好。 + +为了更好的描述目标函数值的相对大小，可对目标函数值做离差标准化，更易于绘图。 + +根据该图可以看出，当地点在东经110度左右，西经150度左右，误差明显减小，由此从该图可以看出，较为准确的定位应该在此范围内。为了更进一步的从图像上看出结果，可以将误差值大于0.001的点的误差值全部规定为0.001，修正后得到的图如下： + +![](images/3cac28c3688836d06378ed702894c15110ed4a61c132b3739c66a2abe504e2e5.jpg) +图6.4.4.2修正后不同经纬度的理论影长与实际测得影长的误差值 + +从图6.4.4.2中可以明显的看出，存在两簇地理位置的点的误差很小，其位置分别在东经110度左右，北纬40度、南纬40度左右。因本题所采用的模型自身存在一定的误差，所以尽管各点对第一个目标的满足情况仍然有差异，但是不能排除这些点正确的可能。因而，图中的结果进一步体现了选择若干的可能点作为可能所在的位置的理由，并展示了这些结果的地理位置之间直观的相对关系。 + +对于日期确定的情况，可作类似的图如下： + +![](images/bbbb040fc5a0befc8828620526b6766c20d422a70842273540e555490bfb47d2.jpg) +图6.4.4.3日期确定时修正后不同经纬度的理论影长与实际测得影长的误差值 + +图6.4.4.3给出了日期确定的情况下不同经纬度的理论影长与实际测得的影长的吻合情况。横轴为经度，纵轴为纬度，等高线状图代表着离差标准化后误差 + +值相等的点。越蓝代表误差越小。同样的，可以看出在东经110度左右，北纬40度、南纬10度左右存在两簇地理位置的点的误差很小。 + +对日期不定的情况下取误差值低于 $10^{-3}$ 的点，附件三中的点取误差值小于0.05的点，得出的可能解如下： + +表 6.3.4.3 第四问可能答案 + +
日期确定日期未定
经度纬度误差值经度纬度日期误差值
115430111-4412/50.000904
116460.009332112-4412/210.000711
114390.016437113-4412/280.000268
127-60.017337111-4311/263.73E-05
128-70.022651114-431/40.000304
126-50.027358115-431/90.000495
117480.028334120-421/300.000835
133-120.029911121-412/40.000927
129-80.030939118405/10.000947
132-110.032562115425/150.000955
130-90.035856116425/110.000939
131-100.036016117427/260.00046
134-130.036652113435/300.000466
118500.047725114437/70.000311
124-20.04793113446/250
114447/50.00074
+ +上述的点为第四问中日期确认时与日期不确认时直杆可能的所在地及对应数据记录的日期，注意年份无法确定。误差值越小的可认为直杆在该位置的可能越大。 + +# 7. 模型的评价、改进及推广 + +# 7.1 模型评价 + +# 7.1.1 模型优点 + +本文中的模型具有以下优点： + +1. 模型结构简单，在精度要求不高的情况下可以采纳。 +2. 求解时可采用遍历求解，在现有情况下提供了较为精确的答案。 +3. 采用多目标规划模型，并合理的根据模型采用的计算公式和实际情况决定目标的优先顺序，考虑更为周全。 + +4. 在提供现有模型给出的最可能解的前提下，模型可给出其他可能解，方便读者参考选择。 + +# 7.1.2 模型缺点 + +本文中的模型主要缺点如下： + +1. 没有考虑诸如海拔等复杂的现实因素。 +2. 模型本身存在一定的误差，无法给出十分准确的答案。 +3. 第四问模型缺少通用性，因没有对视频进行透视矫正，所用方法并不适用于一般的视频。 + +# 7.1.3 模型改进 + +1. 在条件允许的情况下，多考虑如海拔等实际因素。 +2. 利用误差分析的结果对现有的模型做出修正，提高精准度。 +3. 在第四问模型中加以透视矫正，增强模型的通用性。 + +# 7.1.4 模型推广 + +1）用于分析同一组照片拍摄的地点及时间。 +2）检验视频或照片是否被为伪造品。 + +# 8. 参考文献 + +[1] PV Education, Azimuth Angle, http://www.pveducation.org/pvcdrom/properties-of-sunlight/azimuth-angle, 2015/9/12 +[2] PV Education, Elevation Angle, http://www.pveducation.org/pvcdrom/properties-of-sunlight/elevation-angle, 2015/9/12 + +[3] PV Education, The Sun's Position, http://www.pveducation.org/pvcdrom/properties-of-sunlight/suns-position, 2015/9/12 +[4] Reda I, Andreas A. Solar Position Algorithm for Solar Radiation Applications. 2003. +[5] National Renewable Energy Laboratory, MIDC SPA Calculator, http://www.nrel.gov/midc/solpos/spa.html, 2015/9/13 +[6] Wikipedia, Position of the Sun. (2015, August 29), https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Position_of_the_Sun&oldid=678477646, 2015/9/13 +[7] C Johnson. Sundial Time Correction - Equation of Time, http://mbsoft.com/public3/equatime.html, September 13, 2015 +[8] Wikipedia, Equation of time. (2015, May 27), https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Equation_of_time&oldid=664315122, + +September 13, 2015 + +# 附录 + +# 附录一：所用程序 + +1. MATLAB R2015a +2. Adobe After Effect CC +3. Adobe Photoshop CS + +# 附录二：MATLAB源程序代码 + +第一问解答代码（Q1）： +```matlab +clear all; clc; +L = 3; +LT = 9:0.001:15; +GMT=LT-8; +DateString = '22-Oct-2015'; +DateString2 = '1-Jan-2015'; +formatIn = 'dd-mmm-yyyy'; +d= datumum(DateString, formatIn) - +datenum(DateString2, formatIn) + 1; +LONGITUDE=116.3914; +LATITUDE=39.0972; +dGMT = LT - GMT; +LSTM = 15.*dGMT; +B = (360./365).*(d - 81); +EoT = 9.87.*sin(2.*B./180.*pi) - +7.53.*cos(B./180.*pi) - 1.5.*sin(B./180.*pi); +TC = 4.*(LONGITUDE - LSTM) + EoT; +LST = LT + TC./60; +HRA = 15.*(LST - 12); +DEC = 23.45.*sin(B./180.*pi); +elevation = +asin(sin(DEC./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi) + +cos(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi).*cos(HR A./180.*pi)); +azimuth = +acos((sin(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi) - +``` + +```matlab +cos (DEC./180.*pi).*sin (LATITUDE./180.*pi).*cos (HR A./180.*pi))./cos(elevation)); %azimuth = azimuth(elevation>0); %elevation = elevation(elevation>0); for i=1:length(azimuth) if LST(i)>12 || HRA(i)>0 azimuth(i) = 2*pi - azimuth(i); end end %disp(elevation./pi.*180); %disp(azimuth./pi.*180); %polar(azimuth,L./tan(elevation),'-'); plot(LT,L./tan(elevation),'-'); xlabel('±±34°E±14a'); ylabel('Ö±, EÖ°3a'); title('Ö±, EμÄI«NoÖ°×Ö3a¶Eμıä»CúßB'); +``` + +# 第二问解答程序（Q2_tol） + +```matlab +data = xlsread('dataQ2', 'sheet1'); +len = sqrt(data(:, 1).^2 + data(:, 2).^2); +left = 1 : ceil(length(len)/2); +right = ceil(length(len)/2) : (length(len)); +%left = 1 : length(len)-1; +%right = 2 : length(len); +bleft = left; +bright = right; +rateT = len(left). / len(right); +X1 = data(bleft, 1); +Xr = data(bright, 1); +Y1 = data(bleft, 2); +Yr = data(bright, 2); +angleT = acos((X1 .* Xr + Y1 .* Yr) ./ (len(bleft) .* len(bright)) ); +longRange = -180:180; +latiRange = -90:90; +ErrorT = zeros(length(longRange) , length(latiRange)); +``` + +```matlab +ErrorTA = zeros(length(longRange), length(latiRange)); +DateString = '11-Sep-2015'; +DateString2 = '1-Jan-2015'; +formatIn = 'dd-mmm-yyyy'; +d= datumum(DateString, formatIn) - datumum(DateString2, formatIn) + 1; +L = 3; +LT = 14.7 :0.05:15.7; +%LT = T; +GMT=LT-8; +dGMT = LT - GMT; +LSTM = 15.*dGMT; +B = (360./365).*(d - 81); +EoT = 9.87.*sin(2.*B./180.*pi) - 7.53.*cos(B./180.*pi) - 1.5.*sin(B./180.*pi); +for i =1 : length(longRange) +%disp(i); +for j =1 : length(latiRange) +LONGITUDE =longRange(i); +LATITUDE = latiRange(j); +TC = 4.*(LONGITUDE - LSTM) + EoT; +LST = LT + TC./60; +HRA = 15.*(LST - 12); +DEC = 23.45.*sin(B./180.*pi); +elevation = asin(sin(DEC./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi) + cos(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi).*cos(HR A./180.*pi)); +azimuth = acos(sin(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi) - cos(DEC./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi).*cos(HR A./180.*pi))./cos(elevation); +azimuth(elevation < 0) = 0; +angleP = abs(azimuth(bleft) - azimuth(bright)); +%azimuth = azimuth(elevation > 0); +%elevation = elevation(elevation > 0); +``` + +$\%$ azimuth(LST > 12) = 2*pi - azimuth(LST > 12); lenP = L ./tan(elevation); lenP(elevation < 0) = 0; rateP = lenP(left) ./ lenP(right); ErrorT(i, j) = sqrt(sum((rateT-rateP')^2)); ErrorTA(i, j) = sqrt(sum((angleP-angleT')^2)); + +end +end +Tmin $=$ min(min(ErrorT)); tol $= 1.01^{*}$ Tmin; $\%$ ErrorT((ErrorT $\rightharpoondown$ tol） $=$ tol; ErrorT((ErrorT $\rightharpoonup$ 1)) $= 1$ . ErrorTA((ErrorTA $\rightharpoonup$ 1)) $= 1$ . ErrorTA((ErrorT $\equiv$ tol)) $= 1$ . $\%$ ErrorT $=$ (ErrorT - min(min(ErrorT))) / (max(max(ErrorT)) - min(min(ErrorT))) ; $\%$ ErrorTA $=$ (ErrorTA - min(min(ErrorTA))) / (max(max(ErrorTA)) - min(min(ErrorTA))) ; $\%$ ErrorTT $=$ ErrorT + ErrorTA; [X,Y] $=$ meshgrid(longRange, latiRange); surf(X,Y, ErrorTT'); figure; contour(X,Y, ErrorT(selectX,selectY)); %figure; surf(X,Y, ErrorT'); %figure; %contour(X,Y, ErrorTA'); $\%$ [a,b] $=$ find(ErrorTT $\equiv$ min(min(ErrorTT)); + +# 第三问解答程序（Q3） + +clc; +clear all; +data $\equiv$ xlsread('dataQ2'，'sheet2'); +xTemp $=$ data(:,1); +yTemp $\equiv$ data(:,2); +T $= (12 + 41 / 60)$ :1/20:(13+41/60）; +len $=$ sqrt(xTemp.^2+yTemp.^2); + +$\% \mathrm{rateT} =$ len(1:ceil(length(len)/2))./len (ceil(length(len)/2) : length(len)) ;rateT $=$ len(1:(length(len)-1))/len(2 :length(len)) ;angleT $=$ acos((data(1:ceil(length(len)/2), 1).* data (ceil(length(len)/2): (length(len)), 1)+...data(1:ceil(length(len)/2), 2).*data (ceil(length(len)/2):(length(len)), 2))./...%(len(1:ceil(length(len)/2)) .*len (ceil(length(len)/2)):length(len))) angleT $=$ acos((data(1:length(len)-1,1).*data(2:length(len),1)+...%(data(1:length(len)-1,2).*data(2:(length(len)),2))))./...%(len(1:length(len)-1).*len(2 :length(len))) + +```javascript +angleT = acos((xTemp(1 : length(len) - 1)) * xTemp(2 : length(len) + ... (yTemp(1 : length(len) - 1)) * yTemp(2 : length(len)))) . /... (len(1 : length(len) - 1) * len(2 : length(len)) ); +``` + +```matlab +angleT =atan(yTemp(2 : length(len) ) ./ xTemp(2 : length(len) ) ) - ... +atan(yTemp(1 : length(len) - 1) ./ xTemp(1 : length(len) - 1)); +longRange = -180 : 180; +latiRange = -90 : 90 ; +dateRange = 1 : 365 ; +ErrorT = zeros(length(longRange)), +length(latiRange), length(dateRange)); +%ErrorTA = zeros(length(longRange)), +length(latiRange)); +for i =1 : length(longRange) + disp(i); + for j =1 : length(latiRange) + for k = 1 : length(dateRange) +``` + +```matlab +d = k; +LONGITUDE =longRange(i); +LATITUDE = latiRange(j); +L = 3; +LT = T; +GMT=LT-8; +dGMT = LT - GMT; +LSTM = 15.*dGMT; +B = (360./365).*(d - 81); +EoT = 9.87.*sin(2.*B./180.*pi) - 7.53.*cos(B./180.*pi) - 1.5.*sin(B./180.*pi); +TC = 4.*(LONGITUDE - LSTM) + EoT; +LST = LT + TC./60; +HRA = 15.*(LST - 12); +DEC = 23.45.*sin(B./180.*pi); +elevation = +asin(sin(DEC./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi) + cos(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi).*cos(HR A./180.*pi)); +% azimuth = acos +(sin(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi) - cos(DEC./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi).*cos(HR A./180.*pi))./cos(elevation); +% azimuth(elevation < 0) = 0; +% angleP = abs(azimuth(1 : length(len)/2)) - azimuth(ceil(length(len)/2) : length(len)); +% angleP = abs((azimuth(1 : length(len) - 1) - azimuth(2 : length(len))))); +% azimuth = azimuth(elevation > 0); +% elevation = elevation(elevation > 0); +% azimuth(LST > 12) = 2*pi - azimuth(LST > 12); +lenP = L ./tan(elevation); +lenP(elevation < 0) = 0; +% rateP = lenP(1 : ceil(length(len)/2)) ./ lenP(ceil(length(len)/2) : length(len)) ; +rateP = lenP(1 : length(len) - 1) ./ lenP(2: length(len)); +ErrorT(i, j, k) = (sum((rateT-rateP')^2)); +% ErrorTA(i, j) = sqrt(sum((angleP- +``` + +```matlab +angleT') .^2)); end end end +end +ErrorT((ErrorT > 1)) = 1; %ErrorTA((ErrorTA >0.5)) = 0.5; %ErrorT = ( ErrorT - min(min(ErrorT))) / (max(max(ErrorT)) - min(min(ErrorT)); %ErrorTA = ( ErrorTA - min(min(ErrorTA))) / (max(max(ErrorTA)) - min(min(ErrorTA)); %ErrorTT = ErrorT + ErrorTA; +RangeX = 1 : 361 ; +RangeY = 1 : 181; [X, Y] = meshgrid(longRange(RangeX), latiRange(RangeY)); min(ErrorT(), [], 3); [temp, test] = min(ErrorT(), [], 3); temp= ( temp - min(min(temp))) / (max(max(temp)) - min(min(temp)); %surf(X, Y, temp'); A = temp(RangeX, RangeY); A(A > 0.000001) = 0.000001; %contour(X, Y, A') +%surf(X, Y, ErrorTT'); %surf(X, Y, A'); %surf(X, Y, ErrorTA'); acc = 1 * 10 ^(-6); [a, b] = find(A < acc); a = a - 181 ; b = b - 91; c = [a b test( find(A < acc)) A.find(A < acc)) ]; +``` + +# 第四问解答程序（Q4,日期已知） + +clc; +clear all; +dataraw $=$ xlsread('keyframeData'，'sheet1'); +top $= [891.2205]$ ; +bottom $= [891.2885]$ . +L $=$ bottom(2)-top(2）; + +len $=$ sqrt((dataraw(:,1)-top(1)).\*2+(dataraw(:,2)-top(2)).\*2); +startTime=8+54/60+7/3600; +endTime $= 9 + 34 / 60 + 46 / 3600$ . +step $=$ (endTime-startTime)/ (length(dataraw)- 1); +elevationTest $\equiv$ L./len; +T $=$ startTime:step:endTime; +longRange $= -180$ :180; +latiRange $= -90$ :90; +ErrorT $=$ zeros(length(longRange), +length(latiRange)); +%ErrorTA $=$ zeros(length(longRange), +length(latiRange)); +QueryString $= 13$ -July-2015'; +QueryString2 $= 1$ -Jan-2015'; +formatIn $=$ 'dd-mmm-yyyy'; +d= datumum(DateString,formatIn)- +datumum(DateString2,formatIn) $^+$ 1; +for i $= 1$ : length(longRange) disp(i); for j $= 1$ : length(latiRange) LONGITUDE $=$ longRange(i); LATITUDE $=$ latiRange(j); LT $\equiv$ T; GMT $\equiv$ LT-8; dGMT $\equiv$ LT-GMT; LSTM $\equiv$ 15.\*dGMT; B $\equiv$ (360./365).\*(d-81); EoT $\equiv$ 9.87.\*sin(2.\*B./180.\*pi)- +7.53.\*cos(B./180.\*pi)-1.5.\*sin(B./180.\*pi); TC $\equiv$ 4.\* (LONGITUDE-LSTM)+EoT; LST $\equiv$ LT+TC./60; HRA $\equiv$ 15.\* (LST-12); DEC $\equiv$ 23.45.\*sin(B./180.\*pi); elevation $=$ (sin(DEC./180.\*pi).\*sin(LATITUDE./180.\*pi)+ +cos(DEC./180.\*pi).\*cos(LATITUDE./180.\*pi).\*cos(HR A./180.\*pi)); %azimuth $=$ acos (sin(DEC./180.\*pi).\*cos(LATITUDE./180.\*pi)- +cos(DEC./180.\*pi).\*sin(LATITUDE./180.\*pi).\*cos(HR + +A./180.\*pi）.cos(elevation); %azimuth(elevation $< 0$ ）=0; %angleP $\equiv$ abs(azimuth(1： +ceil(length(len)/2)) - +azimuth(ceil(length(len)/2)：length(len)); %angleP $\equiv$ abs(azimuth(1：length(len)-1） - azimuth(2：length(len)))； %azimuth $\equiv$ azimuth(elevation>0)； %elevation $\equiv$ elevation(elevation>0)； %azimuth(LST>12)=2\*pi-azimuth(LST> +12); %lenP $\equiv$ L./tan(elevation); %lenP(elevation $< 0$ ）=0; %rateP $\equiv$ lenP(1：ceil(length(len)/2)) ./ +lenP(ceil(length(len)/2)：length(len)）; %rateP $\equiv$ lenP(1：length(len)-1）. / +lenP(2: length(len)）; ErrorT(i，j） $=$ sqrt(sum((elevation-elevationTest')^2)); %ErrorTA(i，j） $=$ sqrt(sum((angleP-angleT')^2)); end +end + +```matlab +ErrorT((ErrorT > 1)) = 1; +%ErrorTA((ErrorTA >0.5)) = 0.5; +ErrorT = (ErrorT - min(min(ErrorT))) / (max(max(ErrorT)) - min(min(ErrorT)); +%ErrorTA = (ErrorTA - min(min(ErrorTA))) / (max(max(ErrorTA)) - min(min(ErrorTA)); +%ErrorTT = ErrorT + ErrorTA; +[X, Y] = meshgrid(longRange, latiRange); +%surf(X, Y, ErrorTT'); +%surf(X, Y, ErrorT'); +%surf(X, Y, ErrorTA'); +count = 0; +for i = 2 : length(longRange) - 1 + for j = 2 : length(latiRange) - 1 + if (ErrorT(i, j) - ErrorT(i, j + 1) < 0 && ErrorT(i, j) - ErrorT(i, j - 1) < 0 && ErrorT(i, j) - ErrorT(i + 1, j) < 0 && & +``` + +j）<0） count $=$ count $+1$ · c(:，count）=[i-181 j-91 ErrorT(i， j)]; end end end contour(X,Y,ErrorT'); $\% [a,b] =$ find(ErrorTT $\equiv =$ min(min(ErrorTT))）; + +# 第四问解答程序（Q4_2,日期未知） + +clc; +clear all; +dataraw $=$ xlsread('keyframeData'，'sheet1'); top $= [891.2205]$ ; +bottom $= [891.2885]$ . +L $=$ bottom(2)-top(2）; +len $=$ sqrt((dataraw(:,1)-top(1))^2+(dataraw(:,2)-top(2))^2); +startTime $= 8 + 54 / 60 + 7 / 3600$ +endTime $= 9 + 34 / 60 + 46 / 3600$ +step $=$ (endTime -startTime)/length(dataraw)-1); +elevationTest $= L$ ./len; +T $=$ startTime:step:endTime; +longRange $= -180:180$ +latiRange $= -90:90$ ： +dateRange $= 1:365$ ： +ErrorT $=$ zeros(length(longRange), +length(latiRange)，length(dateRange)); %ErrorTA $=$ zeros(length(longRange), +length(latiRange)); +for i $= 1$ :length(longRange) disp(i); for $\mathrm{j} = 1$ :length(latiRange) for $\mathrm{k} = 1$ :length(dateRange) d=k; LONGITUDE $=$ longRange(i); LATITUDE $=$ latiRange(j); LT=T; GMT=LT-8; + +```matlab +dGMT = LT - GMT; LSTM = 15.*dGMT; B = (360./365).*(d - 81); EoT = 9.87.*sin(2.*B./180.*pi) - 7.53.*cos(B./180.*pi) - 1.5.*sin(B./180.*pi); TC = 4.*(LONGITUDE - LSTM) + EoT; LST = LT + TC./60; HRA = 15.*(LST - 12); DEC = 23.45.*sin(B./180.*pi); elevation = (sin(DEC./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi) + cos(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi).*cos(HR A./180.*pi)); % azimuth = acos (sin(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi) - cos(DEC./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi).*cos(HR A./180.*pi))./cos(elevation); % azimuth(elevation < 0) = 0; %angleP = abs(azimuth(1 : ceil(length(len)/2)) - azimuth (ceil(length(len)/2) : length(len))); %angleP = abs(azimuth(1 : length(len) - 1) - azimuth(2 : length(len))); % azimuth = azimuth(elevation>0); %elevation = elevation(elevation>0); % azimuth(LST > 12) = 2*pi - azimuth(LST > 12); % lenP = L ./tan(elevation); % lenP(elevation < 0) = 0; % rateP = lenP(1 : ceil(length(len)/2)) ./ lenP (ceil(length(len)/2) : length(len) ); %rateP = lenP(1 : length(len) - 1) ./ lenP(2: length(len)); ErrorT(i, j, k) = sqrt(sum((elevation-elevationTest') ^ 2)); %ErrorTA(i, j) = sqrt(sum((angleP-angleT') ^ 2)); end end end +``` + +```matlab +RangeX = 1 : 361 ; +RangeY = 1 : 181; +[X, Y] = meshgrid(longRange(RangeX), latiRange(RangeY)); +[temp, test] = min(ErrorT(), [], 3); +temp = (temp - min(min(temp))) / (max(max(temp)) - min(min(temp))); +A = temp(RangeX, RangeY); +A(A > 0.1) = 0.1; +surf(X, Y, A'); +acc = 1 * 10 ^(-6); +[a, b] = find(A < acc); +a = a - 181; +b = b - 91; +c = [a b test( find(A < acc)) A.find(A < acc)) ]; +``` + +# 太阳赤纬误差分析（Declination_acc） + +```matlab +figure; +d = 0:364; +DEC2 = -asin(0.39779 * cosd(0.98565*(d+10) + 1.914 * sind(0.98565*(d-2)) ))/pi*180; +B = (360./365).*(d - 82); +DEC1 = 23.45.*sind(B); +%B = (360./365).*(d + 10); +%DEC1 = -23.44.*cosd(B); +spa = dlmread('Data/SPA_DEC_EoT_2015/data.txt'); +spa = spa(:,1); +plot(0:5:364,spa(1:5:end), 'kx', d, DEC1, d, DEC2); +legend('SPA Data','Method 1','Method 2'); +disp(max(abs(DEC1'-spa))); +disp(max(abs(DEC2'-spa))); +disp(sum((DEC1'-spa).^2)); +disp(sum((DEC2'-spa).^2)); +``` + +```txt +disp(mean(abs(DEC1'-spa))）; disp(mean(abs(DEC2'-spa))）; +``` + +# 时差误差分析（EoT_acc） + +```matlab +D = 0:364; +W = 360/365.24; +A = W.* (D+10); +B = A+1.914.* sind(W.* (D-2)); +C = (A-atand(tand(B).cosd(23.44))/180; +EoT2 = 720.* (C-round(C)); +B = (360./365).*(D - 80); +EoT1 = 9.87.*sin(2.*B./180.*pi) - 7.53.*cos(B./180.*pi) - 1.5.*sin(B./180.*pi); +spa = dlmread('Data/SPA_DEC_EoT_2015/data.txt'); +spa = spa(:,2); +plot(0:5:364,spa(1:5:end), 'kx',d,EoT1,d,EoT2); +legend('SPA Data','Method 1','Method 2'); +disp(max(abs(EoT1'-spa))); +disp(max(abs(EoT2'-spa))); +disp(sum((EoT1'-spa)^2)); +disp(sum((EoT2'-spa)^2)); +disp(mean(abs(EoT1'-spa))); +disp(mean(abs(EoT2'-spa))); +``` + +# 总误差分析（Q1_err） + +```matlab +clear all; +LT = 0:23; +GMT=LT-8; +d=1:365; +LONGITUDE=116.3914; +LATITUDE=39.0972; +%convert to matrix +d = repmat(d',1,24); +``` + +```javascript +LT = repmat(LT, 365, 1); +``` + +dGMT $= 8$ + +```txt +LSTM = 15.\*dGMT; +``` + +```javascript +B = (360./365).* (d - 81); +``` + +$\mathrm{EoT} = 9.87.\star \sin (2.\star \mathrm{B}. / 180.\star \mathrm{pi}) -$ + +```txt +7.53.*cos(B./180.*pi) - 1.5.*sin(B./180.*pi); +``` + +TC = 4. $\star$ (LONGITUDE - LSTM) + EoT; + +```txt +LST = LT + TC./60; +``` + +HRA $= 15$ $\star$ (LST - 12); + +```txt +DEC = 23.45.*sin(B./180.*pi); +``` + +```javascript +D = d-1; +``` + +```javascript +W = 360/365.24; +``` + +```javascript +A = W.\* (D+10); +``` + +```javascript +B = A+1.914.* sind(W.* (D-2)); +``` + +```javascript +C = (A-atand(tand(B) ./cosd(23.44))) / 180; +``` + +```txt +EoT2 = 720.* (C-round (C)); +``` + +TC2 = 4. $\star$ (LONGITUDE - LSTM) + EoT; + +```txt +LST2 = LT + TC./60; +``` + +```javascript +HRA2 = 15.\*(LST - 12); +``` + +$\% \mathrm{DEC2} = -23.44.\star \cos d(A)$ + +```txt +DEC2 = -asin(0.39779 * cosd(0.98565*(D+10) + +``` + +```javascript +1.914 * sind(0.98565*(D-2))))/pi*180; +``` + +```txt +elevation = +``` + +```txt +asin(sin(DEC./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi) + +``` + +```txt +cos (DEC./180.*pi).*cos (LATITUDE./180.*pi).*cos (HR +``` + +```txt +A./180.*pi)); +``` + +```txt +azimuth = +``` + +```txt +acos((sin(DEC./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi) - +``` + +```txt +cos (DEC./180.*pi).*sin (LATITUDE./180.*pi).*cos (HR +``` + +```txt +A./180.*pi))/cos(elevation)); +``` + +```txt +elevation2 = +``` + +```cmake +asin(sin(DEC2./180.*pi).*sin(LATITUDE./180.*pi) + +``` + +```txt +cos (DEC2./180.*pi).*cos (LATITUDE./180.*pi).*cos(H +``` + +```javascript +RA2./180.*pi)); +``` + +```txt +azimuth2 +``` + +```txt +acos((sin(DEC2./180.*pi).*cos(LATITUDE./180.*pi) +``` + +cos (DEC2./180.*pi).*sin (LATITUDE./180.*pi).*cos (H RA2./180.*pi))./cos(elevation2)); + +azimuth(LST>12) = 2*pi - azimuth(LST>12); +azimuth(LST<0) = 2*pi - azimuth(LST<0); + +azimuth2(LST>12) = 2*pi - azimuth2(LST>12); +azimuth2(LST<0) = 2*pi - azimuth2(LST<0); + +elevation = 90-elevation./pi.*180; +elevation = reshape(elevation', numel(elevation), 1); +azimuth = (azimuth) ./pi.*180; +azimuth = reshape(azimuth', numel(azimuth), 1); + +elevation2 = 90-elevation2./pi.*180; +elevation2 = +reshape(elevation2', numel(elevation2), 1); +azimuth2 = (azimuth2). / pi.*180; +azimuth2 = reshape(azimuth2', numel(azimuth2), 1); + +spa = dlmread('Data/SPA_DEC_EoT_2015/angle.txt'); +spa_ele = spa(:,1); +spa_azi = spa(:,2); + +%special cases +TMP = abs(azimuth-spa_azi)>3; +id = find(TMP); +azimuth(id) = 360-azimuth(id); +azimuth2(id) = 360-azimuth2(id); + +disp(mean(abs(elevation-spa_ie)); disp(mean((elevation2-spa_ie)); + +disp(mean(abs(azimuth- Spa_azi))）; disp(mean(abs(azimuth2-spa_azi)))； \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2015/B006/B006.md b/MCM_CN/2015/B006/B006.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..60c5eccfa6678cfd499b5f48a6868d88c24c2a81 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2015/B006/B006.md @@ -0,0 +1,1763 @@ +# “互联网+”时代的出租车资源配置模型 + +# 摘要 + +本文通过建立出租车资源“供求匹配”度指标评定出租车资源匹配效率，及分析补贴方案对打车难指数的影响，而后在现有补贴方案基础上设立增加推动城市出租车整体分布平稳的补贴方案和降低打车难指数的等车时间补贴方案，同时论证其合理性。 + +针对问题一，建立出租车资源“供求匹配”度指标评价模型。首先，建立定义为出租车需求量和供给量差值绝对值的最大值同出租车需求量和供给量总和比值的不同时空出租车资源“供求匹配”度指标及评价标准。选择具有代表性的西安、上海两城市进行具体求解分析，因各城市出租车具体分布情况不同，需要先运用参数均值聚类法对城市区域进行划分；然后对所查找的日出租车分布及需求数据进行多项式拟合，但由于数据量过少，需要先运用三次样条插值法及线性插值法进行插值，而后添入由出租车分布数据确定的各分区的函数参数，得到各分区具体函数；最后将各分区出租车资源“供求匹配”度加权平均得到该城市整体出租车资源“供求匹配”度，同时将所得数据与比对表比对得到该城市出租车资源“供求匹配”度评价。其中西安及上海的出租车资源“供求匹配”度评价如下： + +西安及上海的出租车资源“供求匹配”度具体值及评价结果表 + +
城市出租车资源“供求匹配”度具体值评价结果
西安0.76916良
上海0.96638差
+ +针对问题二，建立打车难指标模型。首先分析“滴滴出行”和“快的打车”两公司的补贴方案，知补贴可分为对乘客的补贴、对出租车司机的补贴和其它补贴特点，然后探寻出其对出租车供给、需求的刺激函数。而刺激供、需函数与乘客等待时间和出租车空载率具有函数关系，同时乘客等待时间和出租车空载率均为出租车的打车难指标的评判因子，将两因子与打车难指标建立函数关系，最终得到补贴方案与打车难指标的函数及评价标准。通过查询相关数据，确定函数系数，分析西安、上海两城市补贴前后打车难指标变化。最终得出补贴方案对缓解打车难有一定效果，但仍然存在补贴方案无效的情况，及其具体是西安市补贴方案每单给乘客和司机分别补贴11元和6元。 + +针对问题三，根据已有的出租车补贴方案的弊端，我们提出了新的打车软件服务平台的设计思路及补贴方案，分别建立以降低空载率为目的的出租车均衡分配补贴模型、以提高匹配效率为目的的最优供求匹配动态任务分派模型和以降低打车难指数为目的的等待时长补贴模型，证明该补贴方案的合理性。最后对西安地区进行模型模拟，假定存在100辆车和100位乘客，并将其地理位置随机分配，通过Matlab软件求解线性规划模型，得到最终匹配矩阵，估算出等待时间，并给出相应补贴金额。 + +关键字：出租车软件服务平台匹配程度打车难指数出租车软件补贴 + +# 一、问题重述 + +改革开放以来，我国的国民经济快速发展，人民的生活水平也不断提高，我国是人口大国，始终坚持着“以人为本”建设小康社会，时刻关注着民生问题。如今，市民出行需求在数量、质量上都在不断提升，许多市民因为公交车里乘客的拥挤、行驶的速度缓慢以及不能直接到达目的地，而倾向于将出租车作为出行的重要选择，但是“打车难”的现象也日益严重，并逐渐成为人们关注的一个社会热点问题。 + +随着科技的发展，“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，如“嘀嘀打车”、“快的打车”、“优步打车”等等，乘客将软件下载至手机，方便快捷地实现了自己与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案，不仅节约了时间同时节省了资金。 + +我们将打车问题具体化，通过搜集相关数据，运用数学思想，建立数学模型来研究出租车资源配置中的以下问题： + +（1）试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。 + +（2）分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助。 + +（3）如果要创建一个新的打车软件服务平台，将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。 + +# 二、模型假设与符号说明 + +# 2.1模型假设 + +（1）出租车每次只能接一单生意，不能同时接两单以上的生意； +（2）出租车的供给量及需求量仅受到打车软件补贴方案的影响，不考虑天气、政府政策等其他影响因素； +（3）打车软件不存在软件漏洞，或出现使用过程中信息获取失败的情况，影响乘客与司机间信息的及时更新； +（4）乘客在使用软件打车后在等待出租车前来的过程中，不会放弃已选择的出租车。 + +2.2符号说明 + +
符号符号的含义
P出租车“供求匹配”度
Q(t,x,y)在t时刻点(x,y)处出租车的需求量
D(t,x,y)在t时刻点(x,y)处出租车的供给量
θ多项式拟合程度的比例系数
βi第i个分区的出租车需求量比例系数
Q(t,βi)第i个分区打车需求函数
αi第i个分区的出租车供给量比例系数
D(t,αi)第i个分区出租车供给函数
R“打车难”指标
m1(t), m2(t), m3(t)乘客补贴、司机补贴、其他非现金补贴
Q(t)补贴方案实施时的需求函数
D(t)补贴方案实施时的供给函数
T乘客等车时间
δ出租车的空载率
+ +# 三、问题一的分析、模型建立与求解 + +# 3.1问题分析 + +问题一要求建立合理的指标，并分析不同时间、空间出租车资源的“供求匹配”程度。首先，定义出租车资源“供求匹配”是指在某一确定时空中，出租车的需求量与出租车的供给量是相等的。然后将出租车需求量和供给量差值绝对值的最大值与出租车需求量与供给量和的比值定为出租车资源“供求匹配”评价指标。可以具体求得特定时间段、具体区域的评价指标值和评价分类等级。 + +对于具体的城市计算，首先需要对空间进行划分，运用K-Means算法建立聚类分析模型，根据某时刻出租车分布的位置及相应的数量，作出立体等量线图，选取特定聚类中心点，以欧氏距离作为相似度将距离中心点最近的其它点聚类，重复此过程直至新的聚类中心与原聚类中心相等或距离函数开始收敛，确定对城市的划分。然后，建立出租车资源供求函数模型，在已有的数据基础上结合三次样条插值法及线性插值法进行数据的增添，由此利用Matlab软件编程， $\theta \geq 90\%$ 为衡量标准对数据进行多项式拟合，再由另一天的数据进行检验，得到一天中出租车的供给量及需求量关于时间的函数。根据各个分区内供给量及需求量占城区总供给量及需求量的比例，我们可以得到每个分区的供求函数。最后，以供求不匹配度 $P_{i}$ 作为第 $i$ 个分区评判指标，并建立城市评判指标。然后，我们以西安及上海为代表城市，具体应用所建立的城市评价指标模型，对出租车资源的“供求匹配”程度进行分析。 + +# 3.2模型建立与求解 + +# 3.2.1模型建立 + +1.建立指标评价模型 + +首先，定义出租车资源“供求匹配”是指在某一确定时空中，出租车的需求 + +量与出租车的供给量是相等的。然后，根据定义建立“供求匹配”评价模型。起初，在某一特定时间段中，将出租车需求量和供给量差值绝对值的最大值定义为“供求匹配”评价指标，但不同城市的出租车数量具有量级上的差异。因此，在原先的基础上，引进出租车需求量与供给量的指标，具体的，用出租车需求量和供给量差值绝对值的最大值与出租车需求量与供给量和作比，并将其重新定义为“供求匹配”评价指标。指标表示方式如下： + +$$ +P = \max _ {t \mid t _ {1}, t _ {2} ]} \frac {\left| Q (t , x , y) - D (t , x , y) \right|}{Q (t , x , y) + D (t , x , y)} +$$ + +其中 $P$ 为出租车“供求匹配”度， $Q(t, x, y)$ 为在 $t$ 时刻点 $(x, y)$ 处出租车的需求量， $D(t, x, y)$ 为在 $t$ 时刻点 $(x, y)$ 处出租车的供给量， $t_1$ 、 $t_2$ 为所求出租车“供求匹配”评价度的时间起止点。点属 $(x, y)$ 于评价指标所考虑区域范围。通过本评价标准即可求得所考虑区域在特定时间范围的出租车“供求匹配”度。且当 $P$ 值越接近 1，则说明该地区在指定时间段的匹配度越差，当 $P$ 值越接近 0，则说明该地区在指定时间段的匹配度越好。 + +而对于P具体值的匹配程度评价，我们是根据所查阅文献资料以及相关数据，以及结合5种不同级别城市具体事例计算，建立如下的确定指标评价评定标准表： + +表1：“供求匹配”程度对照表 + +
P值匹配程度
P>0.9差
0.9>P>0.8较差
0.8>P>0.7良
0.7>P>0.6较优
0<P<0.6优
+ +# 2.指定城市的具体算法 + +由于城市的行政划分不同，无法笼统的得出城市确定具体坐标时出租车需求和供给的函数，因此需要先将城市进行分区，然后才可以得到各个分区的供给和需求函数。 + +# （1）建立聚类分区模型 + +根据打车高峰期出租车分布的位置及相应的数量，作出三维立体等量线图。我们以标志性的建筑或路段作为该附近出租车所处位置名称进行统计，运用K-Means算法迭代更新的思想进行聚类。聚类过程如下：在所有点中随机选取了k个点作为初始聚类中心，该位置坐标为 $M_{i}(a_{i},b_{i})(i = 1,2,\Lambda ,k)$ ，剩余其它 $k^{\prime}$ 点的位置坐标 $N_{j}(a_{j}^{\prime},b_{j}^{\prime})(j = 1,2,\Lambda ,k^{\prime})$ ，通过计算其它点与这些聚类中心点的欧氏距离： + +$$ +d _ {i j} = \sqrt {\left(a _ {i} - a _ {j} ^ {\prime}\right) ^ {2} + \left(b _ {i} - b _ {j} ^ {\prime}\right) ^ {2}} +$$ + +作为相似性的评价指标，即认为两个点的距离越近，相似度越大，可分为同一个区。将其它点分配给距离最近的聚类中心点所在的聚类。然后对划分好后的聚类重新进行上述步骤，这一过程不断重复直到新的聚类中心与原聚类中心相等或距 + +离函数开始收敛，分区结束。 + +对所有点进行聚类分区之后，很难看出每个分区的边界，因此需要对边界进行运算，绘制出区域的边界过程如下：首先建立平面直角坐标系，以坐标系的原点为中心点均分为 $m$ 等份区域，每个区域的角度为 $360/m$ 。 + +![](images/25ed42015b51c0683b4f19c25d0c99ed42596475583167f200cb24eaa4012925.jpg) +图1：m等份区域图 + +之后，将k个聚类中心点放入该坐标系，使得中心点与坐标原点重合。我们已知每个点的坐标，通过计算其它点与中心点所形成的三角函数关系，即可得到每个点与中心点所形成的夹角，进而将这些点归入之前所划分的m等份区域。依次计算每个区域里每个点距离中心点的距离，记录各区域内距离中心点最远的点，如图中A点。最后，将每个区域内的最远点相连接，即可得到点集的相应边界，同时确定了以k个聚类中心点将该城市完整划分了k个分区。 + +# （2）建立出租车资源供求函数模型 + +# （i）数据的预处理 + +我们发现获取的数据时间间隔不一并且数量偏少，而我们需要较多的数据，因此首先运用三次样条插值法若不适用则采用线性插值法，在已有的数据基础上进行数据的增添。三次样条插值法避免了因高次插值具有不收敛稳定性差的缺点，同时样条富有弹性的特性弥补了低次线性插值的光滑性较差的不足。多个样条相互弯曲连接后沿其边缘画出的曲线就是三次样条曲线。求解三次样条插值函数过程如下： + +若函数 $F(t)$ 在节点 $t_1, t_2, \Lambda, t_n$ 处的函数值为： + +$$ +F (t _ {1}) = x _ {1} \quad i = 1, 2, \Lambda , n +$$ + +并且关于这个节点集的三次样条函数 $G(t)$ 满足： + +（i）插值条件： $G(t_{i}) = x_{i}$ （20 $i = 1,2,\Lambda ,n$ +（ii）连续性条件： $\lim_{t\to t_0}G(t) = G(t_0) = x_i$ $i = 1,2,\Lambda ,n - 1$ + +（i）一阶导数连续条件： $\lim_{t\to t_0}G'(t) = G'(t_i)$ $i = 1,2,\Lambda ,n - 1$ + +（iv）二阶导数连续条件： $\lim_{t\to t_0}G^{\prime}(t) = G^{\prime}(t_i)$ $i = 1,2,\Lambda ,n - 1$ + +则求解出三次样条函数 $G(t)$ 即为三次样条插值函数，当曲线中有趋于直线的情形时，拟合效果不好，也不能解决具有垂直切线的问题，二阶导数不连续时，将产生较大的误差，因此当不适用三次样条插值法时，我们使用线性插值法。线性插值是通过连接两个已知点的直线来确定在这两个点之间一个未知点的取值方法。过程如下： + +首先必须满足插值函数 $G(t)$ 与 $F(t)$ 在节点 $t_1, t_2, \Lambda, t_n$ 处的函数值相同，即为： + +$$ +G \left(t _ {i}\right) = F \left(t _ {i}\right) = x _ {i} \quad i = 1, 2, \Lambda , n +$$ + +假设我们已知两点坐标 $(t_{1},x_{1})$ 与 $(t_{2},x_{2})$ ，要得到 $[t_1,t_2]$ 区间内由两点确定的直线上某点 $(t,x)$ 。根据 $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{t - t_1}{t_2 - t_1} = \lambda$ ，即可得到 $x = x_{1} + \lambda (x_{2} - x_{1})$ ，以此增添两点间的数据，为后续的数据拟合奠定基础，但无法确定 $G(t)$ 具体的函数形式。 + +我们可得到插值函数 $G(t)$ 代表的样本数据曲线，根据图像的走势，利用多项式回归，通过Matlab软件编程对图线进行拟合，可得到拟合函数 $f(t)$ 。运用最小二乘思想，设拟合程度的比例系数为 $\theta$ ，则 + +$$ +\theta = 1 - \frac {R S S}{T S S} +$$ + +其中残差平方和： + +$$ +\begin{array}{l} R S S = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} e _ {r} ^ {2} d t \\ = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} [ f (t) - G (t) ] ^ {2} d t \\ \end{array} +$$ + +总平方和： + +$$ +T S S = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} [ G (t) - \bar {G} (t) ] ^ {2} d t +$$ + +用从低至高的不同阶数多项式依次进行拟合，最初我们选取 $\theta \geq 95\%$ 作为判定拟合结果的标准，但考虑到本文研究出租车的空车在运量及打车的需求量波动频繁且幅度差距较大，做出来的拟合曲线在对未来预测时会出现较大的偏差，因此我们选取 $\theta \geq 90\%$ 为衡量标准，即可认为拟合程度达到要求。 + +我们需要查找某城市某一天出租车的供给量以及乘客打车需求量的数据，运用三次样条插值法，使数据得以充足，再由上述拟合数据的方法得到了出租车在该天每时每刻的供给量 $D_{1}(t)$ 及需求量 $Q_{1}(t)$ 关于时间的函数。再根据另外某一天的 + +数据进行检验，同样由最小二乘思想，以 $\theta$ 作为阈值，若 $\theta \geq 90\%$ ，则代表拟合结果是可用的。 + +（ii）出租车需求函数 + +由于考虑到该城市不同分区内的乘客对出租车需求量的情况不同，因此第 $i$ 个分区打车需求的函数表达式为： $Q(t,\beta_i) = \beta_iQ_1(t)$ ① + +$$ +\beta_ {i} = \frac {\text {第} i \text {区 需 求 量}}{\text {城 市 总 需 求 量}} \tag {②} +$$ + +$\beta_{i}$ 表示第 $i$ 个分区的出租车需求量比例系数。 + +（iii）出租车供给函数 + +该城市不同分区内的出租车供给量即空车在运量的情况也不同，因此第 $i$ 个分区出租车供给的函数表达式为： $D(t,\alpha_{j}) = \alpha_{j}D_{1}(t)$ ③ + +$$ +\alpha_ {i} = \frac {\text {第} i \text {区 供 给 量}}{\text {城 市 总 供 给 量}} \tag {4} +$$ + +$\alpha_{i}$ 表示第 $i$ 个分区的出租车供给量比例系数。 + +（3）城市具体“匹配程度”指标求解 + +根据以上的所确定的函数，可以确定出第 $i$ 个分区中的出租车“供求匹配”度，然后结合该城市所有分区的评判指标，加权平均得到该城市的“供求匹配”程度，其表达式如下。 + +$$ +P = \sum_ {i = 1} ^ {k} P _ {i} \alpha_ {i} \quad (i = 1, 2, \Lambda , k) +$$ + +其中 $P_{i}$ 的具体表达式为： + +$$ +P _ {i} = \max _ {t \in [ t _ {1}, t _ {1} ]} \frac {\left| Q _ {i} (t , p (x , y)) - D _ {i} (t , p (x , y)) \right|}{Q _ {i} (t , p (x , y)) + D _ {i} (t , p (x , y))} \quad (i = 1, 2, \Lambda , k) +$$ + +且点 $p(x,y)$ 属于第 $i$ 个分区。 + +# 3.2.2模型求解 + +根据上述建立的模型，我们以分析西安和上海出租车资源为例，因为这两个城市可以称为打车软件的起源地，并且在软件投入市场后，使用的人数日益增加，在全国的消费者中占有较大的比例。 + +1.搜集数据及预处理 + +首先，需要搜集城市出租车的分布及打车需求量的数据，但这类数据属于企业的内部资料，我们尝试了多种途径都无法获取，最终找到了“滴滴快的智能出行平台”（网址为v.kuaidadi.com）。点开该网页后，选择web开发者中的浏览器控制台，再根据网页数据分析，标志成XHR消息其中含有ZIP数据，将我们需要的ZIP压缩数据保存即可，由此分步得到西安及上海出租车分布及打车需求量的数 + +据。 + +![](images/53c43d850e8f60a9d02f53caf2379f6502219a033ff829281a94359b0b6a3e48.jpg) +图2：搜集数据图 + +# 2.西安及上海的指标求解 + +# （1）西安市 + +# （i）聚类分区 + +我们搜集到2015年9月10日这一天西安出租车的分布及打车需求量的数据，在实际情况中，西安打车的早高峰期大致在10点左右，一般的上下班时间大多数市民选择公共交通，因此我们根据在10点出租车分布的位置及相应的数量，作出三维立体等量线图。 + +![](images/87bface4db6f1290a9ee240146a4c9d256b1d7ea25cd171dc1b51f76eb517842.jpg) +图3：2015年9月10日10点西安出租车在运分布不同视角立体等量线图 + +![](images/e0a9605e16eb743a710ff2489ae2d48f9ed80f4f17c1fed8757a69ed04c95932.jpg) + +在图中有11个出租车在运数量峰值点，利用建立的聚类分区模型，随机选取11个点为初始聚类中心，其它点与该中心点间的欧氏距离最小为目标函数，每个点以其经纬度作为该点的位置坐标，将其它点分配至距离最近的中心点，在对所有点进行聚类之后，重新进行上述步骤，这一过程不断重复直到新的聚类中心与原聚类中心相等或距离函数开始收敛，分区结束。再绘制每个分区的边界，所建立的坐标系以原点为中心点均分为8等份区域，每个区域的角度为360/8度，将中心点与坐标原点重合，将其它点归入这8个区域中，将各区域内距离中心点最远的点相连接，即得到相应边界，最终将西安划分为11个分区。分区结果如下图所示： + +![](images/efa6b2c38af972afe6f7f4b7d626db07571af01d3cbddb8f69a1d5dbc822fb98.jpg) +图4：西安分区图 + +# （ii）拟合供求函数 + +由建立的出租车资源供求函数模型，运用三次样条插值法及线性插值法，在已获取的数据基础上增添更多用于拟合函数的数据，并运用Matlab分别拟合得到出租车在运量及需求量的函数。 + +![](images/ba0cba7a600b6956fd4fdeb138eb55958ab77e85094fbf5edb1014137228df18.jpg) +图5：2015年9月10日西安出租车在运量拟合函数 + +![](images/aaf838fb4afd99a97cf46f554898c7c0eb686558ac02200162682b4c5838c219.jpg) +图6：2015年9月10日西安出租车需求拟合函数 + +但是为了之后得到供求不匹配度，我们需要的数据为出租车的供给量，即空 + +车在运量，但无法直接获取供给量的数据。我们通过数据分析，得到乘客的平均等待时间为15分钟，因此我们运用出租车在运量减去前15分钟的乘客需求量，得到当前的出租车供给量，再由多项式拟合得到如下结果： + +![](images/29a9c20be7e65fb48ff997a0c2de7126e4ee8bdc3748e2cd472fe8dc24fe5e62.jpg) +图7：2015年9月10日西安出租车供给拟合函数 + +经计算，出租车供给量与需求量的函数拟合程度θ值分别为95.9725%、99.6155%，均大于90%，可认为拟合程度达到要求，拟合函数可以使用。 + +表2：西安出租车供给及需求函数 + +
函数西安出租车
供给函数D1(xt)←(3207425907810293*xt^22)/20282409603651670423947251286016+(6536126813547615*xt^21)/158456325028528675187087900672-(3096880563601467*xt^20)/618970019642690137449562112+(905815685028217*xt^19)/2417851639229258349412352-(5859371070086633*xt^18)/302231454903657293676544+(3473515506559737*xt^17)/4722366482869645213696-(6251562180418525*xt^16)/295147905179352825856+(8722310737356789*xt^15)/18446744073709551616-(1194176735816519*xt^14)/144115188075855872+(4133761437988275*xt^13)/3602879701896396-(5662115724679661*xt^12)/4503599627370496+(6121169706031259*xt^11)/56294995342131-(2593587266555487*xt^10)/35184372088832+(3406693994801575*xt^9)/8796093022208-(6821327461862607*xt^8)/4398046511104+(5084704079783413*xt^7)/1099511627776-(2730345961922407*xt^6)/274877906944+(8053520395732303*xt^5)/549755813888-(3783899749972077*xt^4)/274877906944+(7914850010495531*xt^3)/1099511627776-(6328194098778205*xt^2)/4398046511104-(1965205281936441*xt)/8796093022208+7034099226953473/35184372088832
需求函数Q2(xt)←(2144228751433607*xt^22)/10141204801825835211973625643008+(278576970496001*xt^21)/4951760157141521099596496896-(8621870802798059*xt^20)/1237940039285380274899124224+(5151028800909423*xt^19)/9671406556917033397649408-(1064186004026791*xt^18)/37778931862957161709568+(2581215075138221*xt^17)/2361183241434822606848-(2378330231456161*xt^16)/73786976294838206464+(6803244295370179*xt^15)/9223372036854775808-(7649488040276821*xt^14)/576460752303423488+(850953155439203*xt^13)/4503599627370496-(2402462893860275*xt^12)/1125899906842624+(1342019021269307*xt^11)/70368744177664-(4717560645809999*xt^10)/35184372088832+(6455761571046379*xt^9)/8796093022208-(6775104359312433*xt^8)/2199023255552+(5338691068392695*xt^7)/549755813888-(6134368797890861*xt^6)/274877906944+(4929515882794193*xt^5)/137438953472-(2604095402295297*xt^4)/68719476736+(6542430745099143*xt^3)/274877906944-(4009537120589005*xt^2)/549755813888+(4267604824163107*xt)/8796093022208+869840804586383/35184372088832
+ +由①②式，我们可得到第 $i$ 个分区出租车的需求函数 $Q(t, \beta_i)$ ；由③④式，得到第 $i$ 个分区出租车的供给函数 $D(t, \alpha_i)$ ， $i = 1, 2, \Lambda, 11$ 。计算得到第 $i$ 个分区的出租车供给比例系数 $\alpha_i$ 及需求比例系数 $\beta_i$ 结果如下： + +表3：西安分区供求比例系数结果表 + +
西安分区αβ
10.0760.083
20.0820.077
30.1490.149
40.1420.135
50.0910.091
60.1010.125
70.1100.124
80.1010.112
90.0900.085
100.0290.031
110.0300.012
+ +# （iii）评价指标 + +根据以上所求到的函数指标，以及西安城市分区确定，先确定出各11个分区的匹配程度数据，其数据分别为： + +表4：西安市11个分区的“供求匹配”程度值 + +
区号1234567891011
P值0.7885420.7885420.7706330.7688260.7713980.8099870.7925110.7913640.7691890.7881360.664981
+ +再结合加权平均的方法，利用函数： + +$$ +P = \sum_ {i = 1} ^ {k} P _ {i} \alpha_ {i} \quad (i = 1, 2, \Lambda , k) +$$ + +最终得到西安市的“供求匹配”程度为 $P = 0.76916$ 。再与“供求匹配”程度对照表比对，可知，西安的“供求匹配”程度等级为一般。 + +# （2）上海市 + +# （i）聚类分区 + +我们搜集到2015年9月10日这一天上海出租车的分布及打车需求量的数据，考虑到上海的经济水平及发展速度高于西安，且出行的人流量较大，上海打车的早高峰期大致在9点左右，因此我们根据9点出租车分布的位置及相应的数量，作出三维立体等量线图。 + +![](images/53432b0f53c1830a63ac22d2d5c6cfa72252ac155ce0eea4f03751851f069186.jpg) +图8：2015年9月10日10点上海出租车在运分布不同视角立体等量线图 + +![](images/648d05a34fb595b3862f4a4cfa8165a84a327d622cd29da82ae6bc42e825e56f.jpg) + +在图中有15个出租车在运数量峰值点，利用建立的聚类分区模型，以最高点为聚类分区的中心点，我们得到15个聚类中心点，再以其它点与中心点间的欧氏距离最小为目标函数，每个点以其经纬度作为该点的位置坐标，将其它点聚类至距离最近的中心点。在对所有点进行聚类之后，再绘制每个分区的边界，所建立的坐标系以原点为中心点均分为8等份区域，每个区域的角度为360/8度，将中心点与坐标原点重合，将其它点归入这8个区域中，将各区域内距离中心点最远的点相连接，即得到相应边界，最终将上海划分为15个分区，如下图所示： + +![](images/1e46445dd64b3b0e0c677ae6357102e8d0125981980a3146542d7c2a593cc2c5.jpg) +图9：上海分区图 + +# （ii）拟合供求函数 + +由建立的出租车资源供求函数模型，我们首先增添数据，对数据处理得到出租车的供给量数据，并运用Matlab分别拟合得到出租车供给及需求函数。 + +![](images/86b070ac2cbc83809fdff35ead18bc8cfb805efe443b92beecd5c7f303fe73b5.jpg) +图10：2015年9月10日上海出租车供给拟合函数 + +![](images/743980007a7ccb952705ecb8c2796f69dbe14e1126b4c038c56f83a3e68ec98c.jpg) +图11：2015年9月10日上海出租车需求拟合函数 + +经计算，出租车供给量与需求量的函数拟合程度θ值分别为97.2161%、98.2240%，均大于90%，可认为拟合程度达到要求，拟合函数可以使用。 + +表5上海出租车供给及需求函数 + +
函数上海出租车
供给函数D0(t)=(7485355993172379*t-20)/79228162514264337593543950336-(438342472509979*t-19)/19342813113834066795298816+(3035718628471209*t-18)/1208925819614629174706176-(1610374139570469*t-17)/9444732965739290427392+(4684163543301997*t-16)/590295810358705651712-(4948313814419229*t-15)/18446744073709551616+(7852071876010713*t-14)/1152921504606846976-(298268947217459*t-13)/2251799813685248+(2246280942484617*t-12)/1125899906842624-(3290055834153119*t-11)/140737488355328+(7491403977478181*t-10)/35184372088832-(1647873296996751*t-9)/1099511627776+(8866660068026755*t-8)/1099511627776-(8962271272951597*t-7)/274877906944+(6637709410672437*t-6)/68719476736-(6945734520943715*t-5)/34359738368+(4865955916243901*t-4)/17179869184-(8402578987808037*t-3)/34359738368+(3818253896836985*t-2)/34359738368-(4393418302056267*t)/274877906944
需求函数Q0(t)=(2401279659650985*t-16)/9671406556917033397649408+(35066286494409021*t-15)/75557863725914323419136-(2308315153826953*t-14)/590295810358705651712+(3619706570887317*t-13)/18446744073709551616-(7524460693461519*t-12)/1152921504606846976+(2729639243468191*t-11)/18014398509481984-(5672995663961671*t-10)/2251799813685248+(2131318095730349*t-9)/70368744177664-(1155586451912119*t-8)/4398046511104+(3572035120930019*t-7)/2199023255552-(1921772421210759*t-6)/274877906944+(2775482047298817*t-5)/137438953472-(5083187137340841*t-4)/137438953472+(1341595924525593*t-3)/34359738368-(5239012746351475*t-2)/274877906944-(7370522834745623*t)/8796093022208+1652097692509909/274877906944
+ +由①②式，我们可得到第i个分区出租车的需求函数 $Q(t, \beta_i)$ ；由③④式，得到第i个分区出租车的供给函数 $D(t, \alpha_i)$ ， $i = 1, 2, \Lambda, 15$ 。计算得到第i个分区的出租车供给比例系数 $\alpha_i$ 及需求比例系数 $\beta_i$ 结果如下： + +表 6：上海分区供求比例系数结果表 + +
上海分区αβ
10.1040.094
20.0920.09
30.0340.038
40.1410.134
50.0500.045
60.0760.075
70.0300.028
80.1030.102
90.0060.006
100.0180.018
110.0090.009
120.1790.176
130.0320.028
140.0470.054
150.0790.103
+ +# （i）评价指标 + +根据以上所求到的函数指标，以及上海市城市分区确定，先确定出各15个分区的匹配程度数据，其数据分别为： + +表7：上海市11个分区的“供求匹配”程度值 + +
区号12345678
P值0.963150.9660460.9699390.9650810.9628380.9662210.9641520.966298
区号9101112131415
P值0.9678810.9670090.9648140.9662090.9622460.9709390.974433
+ +再结合加权平均的方法，利用函数： + +$$ +P = \sum_ {i = 1} ^ {k} P _ {i} \alpha_ {i} \quad (i = 1, 2, \Lambda , k) +$$ + +最终得到上海市的“供求匹配”程度为 $P = 0.96638$ 。再与“供求匹配”程度对照表比照，知上海市的“供求匹配”程度等级为差。 + +# 3.3结果检验 + +我们选取西安和上海这两个城市另外一天的出租车需求量及供给量，对拟合的供求函数进行检验。例如，选取2015年9月9日这天的数据，由所拟合的供求函数，取不同时刻得到相应的供求量的函数值，运用最小二乘思想，以拟合比例系数 $\theta \geq 90\%$ 为检验的衡量标准，若符合要求，则函数适用。经验证，西安出租车用该天的需求量数据计算的 $\theta$ 值为 $95.245\%$ ，供给量数据计算结果为 $96.674\%$ ；上海出租车用该天的需求量、供给量数据计算的 $\theta$ 值分别为 $96.256\%$ 、 $94.785\%$ 均满足检验标准，故通过检验，拟合函数是适用的。 + +# 3.4结果分析 + +# 1.算例分析结果 + +根据模型对西安和上海两个城市的“供求匹配”程度进行求解，且其最终得到的“供求匹配”程度分别为： + +表 8：西安和上海“供求匹配”程度等级结果表 + +
城市“供求匹配”程度等级
西安良
上海差
+ +查询相关资料，知上海属于人数众多热门旅游城市，其对于出租车的需求基数非常大，但上海市的出租车数量与需求相比是不足的，上海市出租车的总数在近几年的年增加量不足 $10\%$ ，因此产生了“供求匹配”程度等级为差的最终结果。而西安作为比上海人口总数较少的一级城市，虽然没有像上海那样的大量出租车需求，但存在古城旅游需求，因此西安市的出租车需求量仍然是较大的，不过其增长速度并不大，近五年的增长率均不超过 $8\%$ 。西安市出租车需求总量与西安市出租车总量增长速度较为平衡，因此，最终得到西安市“供求匹配”程度为较差。 + +上海市与西安市的“供求匹配”程度均为不理想状态，其主要原因为西安、上海均作为城市总人口基数较大的热门旅游城市，有大量的出租车需求，但出租车的供给量不能达到实际需求量。不过，相对而言，西安的需求量较小，匹配程度较高，且最终的匹配程度最终等级为一般。 + +# 2.指标模型分析 + +通过运用西安及上海两个城市的具体算例分析，得到最终的评价结果分别为一般和差。然后查找两个地区关于出租车匹配相关的问卷调查分析，知西安与上海两城市的实际出租车匹配结果与本指标体系建立结果一致。且查的资料的结果是：上海评价为差，西安评价为较易。由于指标体系建立的分级方式不同，因此可能略有差异。但最终结果是有高类似度的。即说明本模型的指标建立是有效的。 + +# 四、问题二的分析、模型建立与求解 + +# 4.1问题分析 + +问题二要求分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有所帮助。 + +首先，对各公司的出租车补贴方案进行分析，我们查找了使用人数最多具有代表性的“滴滴出行”（原名“滴滴打车”）及“快的打车”软件情况。现将“滴滴打车”与“快的打车”的补贴政策变化作如下整理： + +表 9：滴滴出行与快的打车补贴方案 + +
时间\软件滴滴出行补贴方案快的打车补贴方案补贴特点
2014年1月10日司机、乘客双向每单补贴10元无补贴初期,对金额的补贴刺激了乘客对出租车的需求,提高了司机工作的积极性
2014年1月20日不变司机、乘客双向每单补贴10元
2014年2月10日司机、乘客双向每单补贴5元乘客每单补贴10元、司机每单补贴5元补贴金额的下降使得客户少量流失
2014年2月17日乘客每单补贴10-15乘客每单补贴11元,司机补贴高潮期,两家公司的竞
元,司机每单补贴5元每单补贴5-11元争使得补贴金额变动频繁,并且采用随机金额补贴,最高达到20元,同时也推出其他补贴方式,大大的刺激了出租车的需求及供给。
2014年2月18日开启“游戏补贴”模式,同时也上调乘客补贴至12-20元且每天3次,并送“全民飞机大战”中的战机用支付宝付车费满5次,在淘宝和天猫可享受退货包邮,每单最少给乘客补贴13元且每天2次
2014年3月4日部分城市补贴调整到起步价至20元不等乘客每单补贴10元,司机补贴不变
2014年3月5日不变乘客每单补贴5元补贴热度下降期,补贴金额的下调导致使用打车软件的客户流失,但逐渐趋于稳定的使用量。
2014年3月7日乘客每单补贴随机6-15元不变
2014年3月22日不变乘客每单补贴3-5元
2014年3月23日乘客每单补贴3-5元不变
2014年5月17日乘客补贴“归零”补贴后期,对乘客及司机的补贴依次归零,打车软件对出租车的供求无明显影响。
2014年7月9日司机每单补贴降为2元
2014年8月9日取消对司机接单的常规补贴
+ +由上表及所查阅的资料，在补贴政策实施期间，“滴滴打车”投入十数亿资金补贴给司机和乘客，有上亿用户参与到多轮促销战中，同时在补贴热潮的五个月中，“快的打车”覆盖的城市从40多个迅速扩展至近300个，每天帮助数百万人出行。在这样一个能够及时了解到打车信息的服务平台，并且具有补贴政策优惠条件的情况下，大大刺激了乘客对出租车的需求，拉动了出租车行业的发展。 + +我们有以下结论： + +（1）“滴滴出行”、“快的打车”分别于2012年6月和8月进入市场至2013年底，由于社会的熟知度较低，使用人数较少，为提高软件的使用人数，于2014年1月发起补贴优惠； +（2）自2014年1月至3月这两家软件对司机和乘客进行双重补贴活动，并在此期间两大软件先后频繁的调整乘客与司机之间的补贴，对出租车的供求量及供给量产生重要的影响； +（3）在2014年3月底，已有多地政府交通管理部门发布对打车软件的限制措施，随后两家打车软件公司也分别下调补贴，烧钱大战出现降温。至8月已经对乘客和司机的补贴归零，此时注册打车软件的人数与之前已经有了大幅度的提高。 +（4）虽然补贴的热潮已经结束，但在之后的特殊日期如节假日等，偶尔推出优惠措施，吸引用户的关注和使用，避免了打车软件市场的萧条。 + +下图为2012-2015年打车软件累计注册用户量的条形统计图； + +![](images/d0a6a4d047f6dfe075605c9f2af6e4a3002af3f293c27138ce365924fc9adbb9.jpg) +图12：2012-2015年打车软件累计注册用户量条形统计图 + +由上图可直观地看出，从2012年至2015年打车累计的注册用户量持续上升，在2012年注册人数还不足500万人，而在2013年注册人数有了明显的上升，这段时间是打车软件的宣传推广使用期，让更多的市民了解到打车软件的便捷性，并尝试使用。从2014年至2015年，注册人数再次出现大幅度上升，在此期间受到打车软件补贴热潮的影响，由此吸引了大量的市民选择这样的出行方式，甚至使得有些乘客愿意增加打车时间，也使司机愿意在拥堵的时间运行或开往偏远地区。 + +出现“打车难”的情况，意味着乘客等车的时间较长，或者有空车的情况但因开往的地方偏远，司机不愿接单。我们以乘客等车时间及出租车的空载率衡量打车的难易程度，打车软件采取的补贴措施调整了出租车的供给量和需求量分布，而供求量的变化决定了等车时间及空载率，进一步影响到“打车难”指数的取值。 + +# 4.2模型建立与求解 + +# 4.2.1建立模型 + +我们定义“打车难”指标受到乘客等车时间 $T$ 及出租车空载率 $\delta$ 的影响，以及司机拒载的情形，因拒载的情况下等车时间无限长，可将其归为乘客等车时间的影响。乘客等车时间越长，出租车空载率越小，代表打车越难，有： + +$$ +R = c _ {1} T + \frac {c _ {2}}{\delta} +$$ + +其中 $R$ 为“打车难”指标， $R$ 越大代表打车越难。 + +以下分步对上式中的函数进行具体说明： + +# （1）建立供求函数 + +根据打车软件公司实施的补贴政策，我们发现出租车的需求与供给受到补贴政策的影响显著，其中包括乘客补贴 $m_{1}(t)$ 、司机补贴 $m_{2}(t)$ 以及其他非现金补贴 $m_{3}(t)$ ，在问题一中我们已经得到了需求函数 $Q_{0}(t)$ 以及供给函数 $D_{0}(t)$ ，打车软件的补贴方案导致需求及供给在原来函数的基础上发生改变，建立新的需求函数 $Q(t)$ 及供给函数 $D(t)$ 如下： + +$$ +\begin{array}{l} \varrho (t) = \left[ k _ {1} m _ {1} (t) - k _ {2} m _ {2} (t) + k _ {3} n _ {3} (t) \right] + \varrho_ {0} (t) \\ D (t) = \left[ l _ {1} m _ {1} (t) + l _ {2} m _ {2} (t) + l _ {3} m _ {3} (t) \right] + D _ {0} (t) \\ \end{array} +$$ + +其中， $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 表示相应的补贴方式对需求量刺激的比例系数， $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 表示相应的补贴方式对供给量刺激的比例系数。当对司机的补贴金额 $m_{2}(t)$ 增加时，司机接单的数量增加，减少了乘客的等车时间，使得同一时间内出租车的需求降低。 + +定义 $E$ 表示需求量与供给量的差值 + +$$ +\begin{array}{l} E = | Q (t) - D (t) | \tag {7} \\ = \left| n _ {1} m _ {1} (t) + n _ {2} m _ {2} (t) + n _ {3} m _ {3} (t) + Q _ {0} (t) - D _ {0} (t) \right| \\ \end{array} +$$ + +其中 $n_1 = k_1 - l_1, n_2 = -k_2 - l_2, n_3 = k_3 - l_3$ 。因为司机补贴 $m_2(t)$ 的系数 $n_2$ 一定为负，我们直接考虑 $m_1(t) = m_3(t) = 0$ 这种仅对司机补贴的特殊情况，此时司机补贴金额的增加，缩短了供给量和需求量之间的差值，使供求匹配度缩小，使“打车难”的问题得以缓解。 + +（2）建立等车时间及空载率模型 + +“打车难”的问题主要体现为乘客的等车时间 $T$ 以及出租车的空载率 $\delta$ ，空载率为一天内出租车无客时行驶路程与行驶总路程的比值。 + +$$ +T = \left\{ \begin{array}{l l} b _ {1} (Q - D) & Q \geq D \\ \max \left\{T _ {0}, \frac {b _ {2}}{D - Q} \right\} & Q < D \end{array} \right. \tag {8} +$$ + +$T_{0}$ 为乘客等车的最小满意时间， $b_{1}, b_{2}$ 为转化为时间为的比例系数。 + +当 $Q \geq D$ 时，出租车的需求量大于供给量，此时等车时间受到等车人数的影响，我们以需求量与供给量的差值进行衡量；当 $Q < D$ 时，出租车的供给量大于需求量，此时我们以乘客等车的最小满意时间及供给量与需求量差值的反函数比较，建立等车时间的数学模型。 + +$$ +\delta = \left\{ \begin{array}{l l} \max \left\{\delta_ {0}, \frac {b _ {3}}{Q - D} \right\} & Q > D \\ b _ {4} (D - Q) & Q \leq D \end{array} \right. \tag {⑨} +$$ + +$\delta_0$ 为出租车空载率的最大满意程度， $b_{3}, b_{4}$ 为转化为空载率的比例系数。 + +当 $Q \leq D$ 时，出租车的供给量大于需求量，此时空载率以供给量与需求量的差值进行衡量；当 $Q > D$ 时，出租车的需求量大于供给量，此时我们以出租车空载率的最大满意程度及需求量与供给量差值的反函数比较，建立出租车空载率的数学模型。 + +（3）建立打车难易指标 + +记R为打车难易指标，乘客等车时间越长，出租车空载率越小，R越大导致 + +代表打车越难， + +$$ +R = c _ {1} T + \frac {c _ {2}}{\delta} +$$ + +其中， $c_{1}, c_{2}$ 为比例系数，将⑦⑧⑨式带入上式，得到最终“打车难”指标为 + +$$ +R = \left\{ \begin{array}{l l} e _ {1} E + c _ {2} \max \left\{\delta_ {0}, \frac {b _ {3}}{E} \right\} & Q > D \\ c _ {1} \max \left\{\frac {b _ {2}}{E}, T _ {0} \right\} + e _ {2} \frac {1}{E} & Q \leq D \end{array} \right. +$$ + +其中， $e_1 = c_1b_1$ ， $e_2 = \frac{c_2}{b_4}$ + +# 4.2.2模型求解 + +仍然以西安及上海为代表，根据已经建立的打车难易指标 $r$ ，比较这两个城市在补贴方案实施前后“打车难”的程度。经查找相关数据，乘客等车的最小满意时间 $T_{0} = 5\mathrm{min}$ ，出租车空载率的最大满意程度 $\delta_{0} = 30\%$ 。因为西安和上海的经济发展情况不同以及当地人们消费水平的差异，导致因补贴对出租车供给量及需求量造成的刺激程度不同，即相应的比例系数不同。我们分别分析西安和上海补贴政策对“打车难”的影响。 + +表 10：西安、上海供求刺激比例系数 + +
西安供求刺激系数上海供求刺激系数
需求量刺激系数供给量刺激系数需求量刺激系数供给量刺激系数
k1=8 k2=7 k3=2l1=1 l2=10 l3=1k1=3 k2=2 k3=0.2l1=0.5 l2=3 l3=0.2
+ +（1）西安市 +（i）补贴前的打车难易指数 + +打车公司未实施打车方案前，不存在各类补贴，即 $m_{1}(t) = m_{2}(t) = m_{3}(t) = 0$ ，代入式中得到 $R = 2.7023$ ，这是西安未补贴时打车难的指数。 + +（ii）补贴后的打车难易指数 + +依据我们搜集到的打车公司的补贴方案，任选某一时间对应的补贴情况。例如在2014年2月10日“滴滴出行”补贴方案为司机与乘客双向补贴5元，即 $(m_{1}(t),m_{2}(t),m_{3}(t)) = (5,5,0)$ ，得到其 $R = 1.6523$ 。在2014年2月17日“快的打车”补贴方案为乘客补贴11元，司机补贴6元，即 $(m_1(t),m_2(t),m_3(t)) = (11,6,0)$ ，得到 $R = 3.1423$ + +（2）上海市 + +（i）补贴前的打车难易指数 + +打车公司未实施打车方案前，不存在各类补贴，即 $m_{1}(t) = m_{2}(t) = m_{3}(t) = 0$ ，代入式中得到 $R = 8.5603$ ，这是上海未补贴时打车难的指数。 + +（ii）补贴后的打车难易指数 + +依据我们搜集到的打车公司的补贴方案，任选某一时间对应的补贴情况。例如在2014年1月10日“滴滴出行”补贴方案为司机与乘客双向补贴10元，即 $(m_{1}(t),m_{2}(t),m_{3}(t)) = (10,10,0)$ ，得到其 $R = 8.428$ 。在2014年3月5日“快的打车”补贴方案为乘客补贴5元，司机补贴10元，无其他非金额补贴，即 $(m_{1}(t),m_{2}(t),m_{3}(t)) = (5,10,0)$ ，得到 $R = 8.5516$ 。 + +# 4.3结果分析 + +1.算例分析结果 + +我们分别计算出了西安和上海实施补贴政策前“打车难”指数，以此作为标准与补贴后的具体补贴情况得到的“打车难”指数进行比较： + +(1) 若补贴前的打车难指数小于补贴后的打车难指数, 则说明补贴方案没有缓解 “打车难” 的问题; 若补贴后的打车难指数大于补贴后的 “打车难” 指数, 则说明补贴方案缓解了 “打车难” 的问题。 +（2）在计算西安补贴后某天的“打车难”指数中，出现了大于未补贴时的指数，可能是由于司机在就近的范围内接单即可获得补贴，因此更不愿去偏远的地区，使得当地的乘客打车难的情况不但没有缓解，反而更加严重。 + +2.指标模型分析 + +由上述模型的建立，我们得到了受到乘客等车时间及出租车的空载率影响的“打车难”指数，用其来分析补贴方案是否对“打车难”的问题进行有效缓解。一般情况下补贴后对该问题会有所缓解，但对于一些偏远地区该下问题有可能会加重。 + +# 五、问题三的分析、模型建立与求解 + +5.1问题分析 + +本问中要求创建一个新的打车软件服务平台，设计补贴方案，并论证其合理性。根据这个问题，我们进行如下因素分析： + +1.创建新打车软件的动机 + +根据问题一中的出租车供求匹配度、问题二中的打车难指数以及其对应的算例分析，发现存在下列问题。 + +（1）出租车供求匹配度不高。问题一中的两个算例的匹配度均不为满意状态，明显的反映出实际生活中出租车供给和需求的匹配差异。 +（2）问题二中，在有补贴条件下，一定程度的缓解了打车难的问题，但仍旧出现了补贴无效用的情况。这就反映出补贴的方案存在缺陷。 + +2.打车软件平台建立的思路 + +针对以上问题，我们首先分析问题二提供的各公司出租车补贴方案，可以看出在打车软件服务平台建立初期阶段，各公司对司机、乘客双向补贴的力度都很大，目的在于吸引更多的司机和乘客接触并使用该服务平台。随着时间的推移，平台注册用户积累到一定数量后，各公司逐渐减少补贴金额。之后，继续减少补贴金额，只在节假日或者举办活动期间给予部分用户补贴。我们所建立的服务平台将继续沿用问题二提供的补贴方案，并在此基础上提出了以下新方案： + +(1) 针对不同时段、不同区域给予相应的补贴，用来保证在整个城市范围内，达到乘用车客的一致性，公平性，均等性。以求降低空载率。 + +（2）提出期望等待时间的指标，考虑当实际等待时间大于期望等待时间时，给予用户相应的补贴，减少打车难度指数。 + +最后，根据所提出的新方案，建立模型。建立模型时以增高出租车供求匹配度和降低打车难指数为目标，提出成本函数的概念，最终分别建立了以降低空载率为主要目的的出租车均衡分配补贴模型、基于人车匹配的最优供求匹配动态模型以及以降低打车难指数为目的的等待时长补贴模型。在进行具体计算时，还计算了所考虑地区出组成供给量的最佳配置，同时可为政府对于该地区出租车配置量提供建议。 + +# 5.2模型建立与求解 + +# 5.2.1模型建立 + +1.建立出租车均衡分配补贴模型 + +在问题二中我们发现在补贴后，出现了“打车难”不但没有缓解反而加重的特殊情况，这种情况的出现往往是由于司机不愿开往偏僻地区，导致空载率较高，因此我们建立出租车均匀分配补贴模型，使出租车开往任何地方都具有均等性。 + +对以下三种情况出租车接单进行加倍补贴： + +1）行驶偏僻的地区；2）途径拥堵的路段；3）人流出行的高峰期。 + +t时刻两点间的成本函数表示为： + +$$ +D (t, A, B) = \lambda (t, A, B) d (A, B) \quad \lambda (t, A, B) \geq 1 +$$ + +其中 $D(t, A, B)$ 表示 $t$ 时刻行驶 $A, B$ 两点间的成本， $\lambda(t, A, B)$ 为行驶 $A, B$ 两点间补贴系数，当其为1时表示没有进行补贴。 + +2.建立最优供求匹配动态模型 + +在问题一中我们建立了出租车供求匹配度指标，为了达到对出租车资源的充分调动和利用，我们需要进一步建立供求匹配动态模型，直接确定每个出租车去往的需求位置。 + +设在 $t$ 时刻，有 $X$ 辆出租车可供给，同时有 $Z$ 名乘客对出租车存在需求（出租车车辆数利用文献中的方法计算得到）。若 $X < Z$ 时，即出租车的供给量小于需求量，我们向政府反映实际情况，申请增加出租车的供给量。若 $X \geq Z$ 时，为保证一匹配可进行，在 $X$ 辆可供给的出租车中选择 $Z$ 辆作为实际的可供给量，以 $t$ 时刻第 $i$ 个车到第 $j$ 个目的地的成本最小思想，我们建立如下的优化模型： + +$$ +\begin{array}{l} \min V = \sum_ {j = 1} ^ {z} \sum_ {i = 1} ^ {z} G _ {y} (t) \alpha_ {y} \\ s. t \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {X} \alpha_ {i j} = 1 \quad j = 1, \Lambda , Z \\ \sum_ {j = 1} ^ {Z} \alpha_ {i j} = 1 \quad i = 1, \Lambda , Z \\ \alpha_ {i j} = 0 \quad o r \quad 1 \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +以所有出租车开往相匹配乘客的总成本 $V$ 为目标函数，以第 $i$ 个车响应第 $j$ 个 + +乘客需求 $\alpha_{ij}$ 为决策变量，响应记为1否则为0。定义 $t$ 时刻第 $j$ 个乘客搭乘第 $i$ 个出租车的成本函数： + +$$ +G _ {i j} (t) = \lambda (t, A (i), B (j)) \cdot d (A (i), B (j)) +$$ + +若出租车已经载有乘客，记 $G_{ij}(t) = \infty$ ，表示该车在时刻 $t$ 不能进行匹配。通过Matlab软件运算，可得到最佳的供求匹配方案。 + +# 3.建立等待时间模型 + +乘客打车等待时间，作为决定打车难指数的影响因素，其中也包含司机拒载的情况，我们希望将打车难的现象得以缓解，因此以降低打车难指数为目的，建立等待时间模型。 + +在上述建立的最优供求匹配动态模型中，我们已经将得到的最优结果，记为第 $j_{0}$ 个乘客搭乘第 $j_{0}$ 个出租车。根据距离时间公式，建立等待时间模型如下： + +$$ +T _ {i j} = \frac {d \left((t , A (i _ {0}) , B (j _ {0})\right)}{v (i _ {0})} +$$ + +其中， $T_{ij}$ 表示在时刻 $t$ 第 $j_0$ 个乘客搭乘第 $i_0$ 个出租车的等待时间， $d\big((t,A(i_0),B(j_0))$ 为在时刻 $t$ 第 $j_0$ 个乘客所在位置 $B$ 与搭乘第 $i_0$ 个出租车所在位置 $A$ 之间难的距离， $v(i_0)$ 表示第 $i_0$ 个出租车的行驶速度。 + +$T_{0}$ 为乘客等车的最小满意时间，若 $T_{ij} \leq T_{0}$ ，则认为达到缓解打车难的目的；若 $T_{ij} > T_{0}$ ，即乘客等车时间较长，可对其进行一定金额的补贴，但是如果该乘客不愿等待，则交易失败，没有达到缓解打车难的目的。对于交易失败的情况，我们可以通过调整补贴金额，降低这种现象发生的概率。 + +# 4.合理性分析 + +在上述三点中，我们分别基于出租车的空载率、供求匹配度以及乘客等待时间建立模型，必然符合模型所需条件。其中供求匹配度恰好为问题一中建立的指标，对出租车资源进行合理评判，而出租车的空载率与乘客等车时间均为问题二中决定打车难指数的影响指标，且通过上述三个模型的建立，使得供求匹配度提高，打车难指数下降，这是符合我们期望的状态，因此所建立的模型是合理的。 + +# 5.2.2模型求解 + +以西安市数据为例进行所建模型的应用。由于不存在出租车和乘客位置点的数据，因此对人车匹配模型进行模拟求解。求解过程如下。 + +# 1.计算出租车供给量的最佳配置量 + +首先计算出租车承担的西安居民出行周转量： + +$$ +F_{1} = I_{1}G_{1}S_{1}R_{1} = 855.29\times 3.06\times 6.61\times 2.56\% = 442.87 +$$ + +其中， $F_{1}$ 表示西安出租车承担的城市居民出行周转量（万人·km）， $I_{1}$ 为西安 + +居民人口总量（万人）： $G_{1}$ 为西安居民人均日出行次数； $S_{1}$ 为西安居民平均选择出租车出行的距离 $(km)$ 。 $R_{1}$ 为西安居民选择出租车在出行方式体系中所占的比例。 + +然后计算出租车承担的西安流动人口出行周转量， + +$$ +F _ {2} = I _ {2} G _ {2} R _ {2} S _ {2} = 47.46 \times 2.85 \times 34 \% \times 6.61 = 303.99 +$$ + +式子中：为出租车承担的流动人口出行周转量（10人·km） + +$I_{1}$ 为流动人口人口总量（ $10^{4}$ 人）； $G_{2}$ 为流动人口人均日出行次数； $R_{3}$ 为流动人口出行方式结构中出租车所占的比例； $S_{4}$ 为流动人口平均以出租车方式出行的距离（km） + +# 2.建立广义距离矩阵 + +首先，查找西安市的地理纬度跨度和经度跨度，计算出类西安市的实际长度和纵向高度。将其以 $10\mathrm{m}$ 的间隔进行横纵的划分，并求出厂义距离矩阵。但由于划分过细，数据量过大，Matlab软件运行该程序需要耗费大量的时间。因此，我们仅以西安市的城区为代表进行划分，且取 $200\mathrm{m}$ 为划分间隔进行划分，得到划分的城区图。 + +以每个划分小区间的中心点记为该区间的代表点，继而定义广义距离，即任意两点之间的距离定义为该两点所在区间的距离，而且两区间的距离定义是指两区间的横向和纵向连接线的长度。其示意分析图如下： + +![](images/14f70bbfb0eb0154cc256e247defcb547830e9369f1e3a3d42f90daa9b813432.jpg) +图13：广义距离示意图 + +通过对西安地区的城区的划分和运用Matlab求解得到任意两点的广义距离胞元数组，其部分数据截图如下： + +![](images/0bdf31597b59bf9ddc8f915cb8d14b5f7a669a915750b1a11c177696439c0f39.jpg) +图14：广义距离胞元数组部分数据截图 + +# 3.建立成本函数 + +由西安的出租车供求情况，我们确定以下三种情况出租车接单进行加倍补贴：1）行驶偏僻的地区；2）途径拥堵的路段；3）人流出行的高峰期。具体做法为将以上三种情况的区间点矩阵进行合并，统一计算。 + +t时刻两点间的成本函数表示为： + +$$ +D (t, A, B) = \lambda (t, A, B) d (A, B) \quad \lambda (t, A, B) \geq 1 +$$ + +当出现上面三种情况时，给定补贴系数 $\lambda (t,A,B) = 2$ ，其他情况该值为1，即不进行补贴。 + +# 4.建立最优供求匹配动态模型 + +由以上计算结果已经得到成本函数矩阵，根据已经建立的优化模型： + +$$ +\min V = \sum_ {j = 1} ^ {Z} \sum_ {t = 1} ^ {Z} G _ {y} (t) \alpha_ {y} +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {X} \alpha_ {i j} = 1 \quad j = 1, \Lambda , Z \\ \sum_ {j = 1} ^ {Z} \alpha_ {i j} = 1 \quad i = 1, \Lambda , Z \\ \alpha_ {i j} = 0 \quad o r \quad 1 \end{array} \right. +$$ + +用Lingo软件进行计算，求得最终的人车匹配矩阵a，且矩阵部分数据截图如下： + +![](images/b8795442d5a93728b8c8934528abcf5d37af4820ce1a1f17eee9a537ddd2b888.jpg) +图15：人车匹配矩阵部分数据截图 + +# 5.等待时间计算 + +由线性规划模型已解得人车匹配矩阵。假设方程： + +$$ +T _ {i j} = \frac {d \left((t , A \left(i _ {0}\right) , B \left(j _ {0}\right)\right)}{v \left(i _ {0}\right)} +$$ + +中的 $v(i0) = 40km/h$ 是恒定值，即可求得100组人车匹配对的等待时间，且等待时间矩阵的数据如下： + +表 11: 等待时间数据表 + +
5.51.951.62.311.43.3544.354.11.7
2.751.951.652.35.76.882.7541.8
2.73.91.652.352.96.84.055.241.9
5.41.851.752.3563.54.12.541.9
2.63.61.84.963.554.12.41.751.9
51.81.92.553.057.24.152.251.752.05
2.251.83.85.13.053.754.24.51.652.05
4.41.752.152.66.17.64.252.21.62.05
4.11.552.155.33.17.64.252.151.654.4
41.552.22.653.153.858.72.11.652.25
+ +定义期望等待时间为5min，当乘客实际等待时间大于5min时，为其提供补贴5元现金。 + +# 5.3结果分析 + +由查找到的数据，通过所建立的模型，我们可以计算得到西安所供给的出租车与需要打车的乘客之间一一匹配的对应关系，以及最短的等车时间，也可用于其他地区的分析。这样的结果是令人满意的，分步建立的数学模型形式上也较为简单，易于分析和理解。将其运用于实际生活中，也有较强的适用性。在初始的补贴方案、均衡的补贴方案、优化的补贴方案是具有高有效性的。 + +# 六、模型的优缺点评价 + +# 6.1模型的优点 + +（1）我们在建立模型之后，根据搜集到代表性城市的相关数据，都将模型应用到具体的实例中，体现了模型的易操作和适用性。 +(2) 在问题一中, 我们运用 K-Means 算法建立聚类分析模型, 便于计算, 有效地对空间进行划分, 并且划分区域简单明了。在对数据的拟合过程中, 结合三次样条插值法及线性插值法进行数据的增添, 即保证了增添数据的准确性, 同时为之后拟合多项式奠定基础。 +（3）在问题二中，找到两家具有代表性的打车软件，根据其补贴政策进行分析，并较好的以空载率及打车等待时间作为衡量“打车难”的标准。 +（4）在问题三中，我们在前两问的基础上建立更加人性化、智能化的打车软件服务平台，并论证了其满足合理性。 + +# 6.2模型的缺点 + +(1) 问题一中对空间和时间的划分不够细致, 主要考虑具有代表性的城市, 及打车的高峰期, 从而分析不够全面。 +（2）问题三中我们建立的打车软件平台，有些乘客因对等车时间不满而存在交易失败的情况。 + +# 七、问题的进一步考虑与推广 + +本文研究了“互联网+”新时代，打车软件对出租车的资源配置问题，我们建立了出租车的供给函数，定义了供求匹配度，分析了在不同时空出租车的资源配置情况，又建立了打车难指数模型，以及最后设计了新的打车软件平台。 + +我们可以以本文的模型为基础，进一步推广至国内外更多地区和不同时节及节假日情况下，研究出租车的资源配置情况。以及更全面的针对不同的补贴政策，考虑对“打车难”问题的影响。 + +# 八、参考文献 + +[1]SHAW ShihLung, Modeling of taxi drivers' experience for routing applications, Science China(Technological Sciences), 中国科学:技术科学(英文版), 2010, S1期：12-15 +[2]吕玉强，秦勇，贾利民，董宏辉，贾献博，孙智源，基于出租车GPS数据聚类分析的交通小区动态划分方法研究，物流技术2010，5（216）：86-88 +[3]陆建，王炜，城市出租车拥有量确定方法（J），交通运输工程学报，2004，4(1)：1671-1637 + +%第一问程序：附录一至附录十二 +%第二问程序：附录十三至附录十四 +%第三问程序：附录十五至附录十六 + +# 附录一 + +# %XiAnGongJi.m + +%此程序得到2015年9月10日不同时刻西安出租车供给情况 +%求得西安市出租车供给拟合函数并作出2015年9月10日不同时刻西安出租车供给情况图像 + +%gongJi表示当前的出租车供给量 + +gongJi=[152,70,30,31,28,41,51,200,991,836,431,313,261,213,380,512,601,680,1321,1623,1351,119 + +7,903,523,134]; + +x=0:24; + +plot(x,gongJi,'k--o') + +xlim([0,24]) + +x1=min(x):0.2.max(x); + +%得到对gongJi插值后的数据y1 + +y1=interp1(x,gongJi,x1,'linear'); + +%拟合阶数的确定 + +for $i = 1:30$ + +y2=polyfit(x1,y1,i); + +Y=polyval(y2,x1),%计算拟合函数在x处的值 + +if sum((Y-y1).2)/sum((y1-means(y1)).2)<0.005 + +c=i + +break; + +end + +end + +%得到c即为多项式的阶数 + +warning off + +%消除拟合多项式时提示的警告 + +syms xt f(xt) + +%f(x1)表示拟合曲线函数 + +f(xt)=poly2sym(y2,xt) + +y3-eval(f(xt)); + +y4=subs(y3,xt,x1), + +hold on + +plot(x1,y4,'r') + +title(2015年9月10日不同时刻西安出租车供给情况'fontweight',bold') + +xlabel('时刻')， + +ylabel(出租车供给总量); + +```matlab +legend('真实值','拟合曲线','Location','NorthWest') +hold off +%theta1表示拟合程度的比例系数 +y5=sum((y4-y1)^2)/sum((y1-mean(y1))^2); +theta1=1-vpa(y5) +``` + +# 附录二 + +# %XiAnXuQiu.m + +%此程序得到2015年9月10日不同时刻西安出租车需求总量情况 + +%求得西安市出租车需求拟合函数并作出2015年9月10日不同时刻西安出租车需求情况图像 + +%xianXu表示从9月4日至9月11日不同时刻出租车需求数据 + +%xian_x2表示9月10日不同时刻的出租车需求数据 + +xianXu-[244,228,108,134,80,144,545,2098,2739,1302,842,1049,850,956,1155,1741,1930,2120,260 + +9,1869,2020,2648,2620,1010,119,82,60,42,43,85,129,197,313,269,371,526,368,455,671,1048,764.5 + +99,624,587,538,538,389,295,145,64,30,46,21,75,249,823,1047,530,387,437,420,381,483,731,637,6 + +12,893,493,331,479,274,190,87,63,24,32,24,78,236,830,993,430,318,296,220,265,303,479,499,479 + +604,413,423,479,382,195,122,99,46,32,33,59,177,940,1161,434,278,282,274,266,375,568,513,752,1 + +424,917,593,690,393,219,108,65,36,78,46,62,342,1784,1660,496,474,482,581,575,633,864,485,718 + +1035,680,474,408,410,179,112,57,47,36,69,80,335,1375,1463,558,328,386,471,572,701,856,808,17 + +07,2501,2005,1536,1430,733,244,506,405,250,257,232,480,796,1722,1711,1295,1170,1347,1307,13 + +43.1390.1551.1491.1548.1789.1589.1416.1400.1106.949]； + +xian_x2=xianXu(144:168); + +x=0.24; + +plot(x,xian_x2,'k--0') + +xlim([0,24]); + +x1-min(x):0.2.max(x), + +%得到对xian_x2插值后的数据y1 + +y1=interp1(x,xian_x2,x1,'linear'); + +%拟合阶数的确定 + +for $i = 1:50$ + +y2=polyfit(x1,y1,i); + +Y=polyval(y2,x1);%计算拟合函数在x处的值 + +if sum((Y-y1)^2)/sum((y1-mean(y1))^2) < 0.006 + +c=i + +break; + +end + +end + +%得到c即为多项式的阶数 + +warning off %消除拟合多项式时提示的警告 + +syms xt f(xt) + +%f(xt)表示拟合曲线函数 + +f(xt)=poly2sym(y2,xt) + +y3_1=eval(f(xt)); + +y4_1=subs(y3_1,xt,x1); + +```matlab +hold on +plot(x1,y4_1,'r'); +title('2015年9月10日不同时刻西安出租车客 +xlabel('时刻'); +ylabel('出租车需求总量'); +legend('真实值','拟合曲线'); +hold off +%theta1表示拟合程度的比例系数 +y5=sum((y4_1-y1)^2)/sum((y1-mean(y1))^2); +theta1=1-vpa(y5) +``` + +# 附录三 + +# %XiAnZaiYun.m + +%此程序得到2015年9月10日不同时刻西安在运出租车总量情况 + +求得西安市在运出租车拟合函数并作出2015年9月10日不同时刻西安在运出租车总量情况图像 + +%xianZai表示从9月4日至9月11日不同时刻在运出租车数据 + +%xian_z2表示9月10日不同时刻的在运出租车数据 + +```javascript +xianZai=[11072,8692,6974,5083,5188,9396,15435,21388,24944,24689,22412,20546,20345,20464,18571,15152,12484,12590,12031,11294,11408,11603,12199,13212,11753,9896,7361,5387,5653,10325,17458,22292,24135,23160,20497,18502,18071,18438,16695,13181,10387,11509,11548,11461,11526,11600,12416,12649,11808,9503,7208,5276,5988,11693,18963,17592,16023,18302,18507,17593,17805,19804,19356,14284,10994,11013,9941,10605,11385,12044,13142,14086,11920,9423,7457.5207.5482.10998.19335.19688.17941.19497.19211.19556.19587.20069.19200.14729.11454.11759.11199.11791.12609.12141.12081.13663.11696.9558.6973.5894.5766.10320.18248.18174.16365.17911.9566.18766.19136.21262.20005.15548.12119.11094.9005.9622.10997.11089. 123l4. 13702. 0860.8776.6594.5958.5745.9780. 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 +``` + +```txt +xian_z2=xianZai(144:168); +x=0:24; +plot(x,xian_z2,'k--o'); +xlim([0,24]); +ylim([0,30000]); +``` + +```matlab +x1=min(x):0.2:max(x); +%得到对xian_z2插值后的数据y1 +y1=interp1(x,xian_z2,x1,'spline'); +``` + +%拟合阶数的确定 + +```matlab +for i=1:30 + y2=polyfit(x1,y1,i); + Y=polyval(y2,x1);%计算拟合函数在x处的值。 + if sum((Y-y1).^2)/sum((y1-mean(y1)).^2)<0.05 + c=i + break; + end +end +``` + +%得到c即为多项式的阶数 + +```txt +warning off %消除拟合多项式时提示的警告 +``` + +```matlab +syms xt f(xt) +%if(xt)表示拟合曲线函数 +f(xt)=poly2sym(y2,xt) +y3=eval(f(xt)); +y4=subs(y3,xt,x1); +hold on +plot(x1,y4,'r'); +title('2015年9月10日不同时刻西安在运出租车总量情况','fontweight','bold') +xlabel('时刻'); +ylabel('在运出租车总量'); +legend('真实值','拟合曲线'); +hold off +y5=sum((y4-y1)^2)/sum((y1-mean(y1))^2); +%theta1表示拟合程度的比例系数 +theta1=1-vpa(y5) +``` + +# 附录四 + +# %XiAnJuLei.m + +%此程序运用kmeans函数求得2015年9月10日上午10点西安市出租车的分布区域划分情况%A1存放的是经过筛选后(对不符合西安市经纬度的点进行剔除)10点西安市出租车的分布数据 +$\% \mathrm{Al}(\cdot ,1)$ 表示经度，A（.2）表示纬度，A（.3）代表出租车数量 + +load A1 + +%用kmeans函数对A1中的数据进行划分，分为11个聚类[IDX,C,sum,D]=kmeans(A1(-1:2),11); +%IDX表示每个样本点所在的类别 +%C表示所聚类别的中心点坐标位置 +%sumd表示每个类内各点到中心点的距离之和 +%D表示每个点到各类中心点的距离 + +comb=[IDX,A1]; + +[ \text{[M,N]} = \text{size(comb)} ] + +%对n1n11赋初值 + +$$ +\begin{array}{l} n 1 = 1; n 2 = 1; n 3 = 1; n 4 = 1; \\ n 5 = 1; n 6 = 1; n 7 = 1; n 8 = 1; \\ n 9 = 1; n 1 0 = 1; n 1 1 = 1; \\ \end{array} +$$ + +%fenQu1表示在一类区域里的点，fenQu2表示在二类区域里的点，依次类推 for i=1:M + +```matlab +switch comb(i,1) +case 1 + fenQu1(n1,1:3)=comb(i,2:4);n1=n1+1; + case 2 + fenQu2(n2,1:3)=comb(i,2:4);n2=n2+1; + case 3 + fenQu3(n3,1:3)=comb(i,2:4);n3=n3+1; + case 4 + fenQu4(n4,1:3)=comb(i,2:4);n4=n4+1; + case 5 + fenQu5(n5,1:3)=comb(i,2:4);n5=n5+1; + case 6 + fenQu6(n6,1:3)=comb(i,2:4);n6=n6+1; + case 7 + fenQu7(n7,1:3)=comb(i,2:4);n7=n7+1; + case 8 + fenQu8(n8,1:3)=comb(i,2:4);n8=n8+1; +``` + +```matlab +case 9 + fenQu9(n9,1:3) = comb(i,2:4); n9 = n9 + 1; + case 10 + fenQu10(n10,1:3) = comb(i,2:4); n10 = n10 + 1; + case 11 + fenQu11(n11,1:3) = comb(i,2:4); n11 = n11 + 1; +end +``` + +%即把所有数据分为11个聚类 + +# 附录五 + +# %XiAnLiTiTu.m + +```matlab +%2015年9月10日上午10点西安市的出租车分布的散点图和立体图 +load A1 %A1存放的是经过筛选后(对不符合西安市经纬度的点进行剔除)10点西安市出租车的分布数据 +x=A1(-1); +y=A1(-2); +z=A1(-3); +figure(1) +scatter(x,y,5,z) +title('2015年9月10日10时西安在运出租车分布散点图','fontweight','bold') +xlabel('东经/度'); +ylabel('北纬/度'); +figure(2) +[X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(min(x),max(x),100)),linspace(min(y),max(y),100), 'cubic'),%插值% +surf(X,Y,Z); +title('2015年9月10日10时西安在运出租车分布立体图','fontweight','bold') +xlabel('东经/度'); +ylabel('北纬/度'); +zlabel('数量'); +%2015年9月10日上午10点西安市的出租车分布的散点图和立体图 +load A1 %A1存放的是经过筛选后(对不符合西安市经纬度的点进行剔除)10点西安市出租车的分布数据 +x=A1(-1); +y=A1(-2); +z=A1(-3); +figure(1) +scatter(x,y,5,z) +title('2015年9月10日 10时西安在运出租车分布散点图','fontweight','bold') +xlabel('东经/度'); +ylabel('北纬/度'); +figure(2) +[X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(min(x),max(x),100)),linspace(min(y),max(y),100), 'cubic'),%插值% +surf(X,Y,Z); +title('2015年9月10日 10时西安在运出租车分布立体图','fontweight','bold') +xlabel('东经/度'); +ylabel('北纬/度'); +zlabel('数量'); +``` + +# 附录六 + +# %XiAnQiuP.m + +%alpha1表示的是2015年9月10日上午10点西安市出租车的分布情况聚类后不同区域占总区域的占比 +%beta1表示的是2015年9月10日上午10点西安市出租车需求量的聚类后不同区域占总区域的占比 + +alpha1=[0.076,0.081,0.148,0.142,0.090,0.100,0.110,0.100,0.089,0.028,0.030]; + +beta1=[0.083,0.077,0.149,0.135,0.091,0.125,0.124,0.112,0.085,0.031,0.012]; + +```javascript +x=0.24; +x1=min(x):0.2.max(x); +``` + +```matlab +for i=1:11 +N_max(i)=(alpha1(i)*y3-beta1(i)*y3_1)(alpha1(i)*y3+beta1(i)*y3_1); +max_t=subs(N_max(i),xt,x1); +max_p=abs(max_t); +maxValue(i)=max(double(max_p)); +end +``` + +```txt +for i=1:11 +temp_value(i)=alpha1(i)*maxValue(i); +end +``` + +```txt +P=sum(temp_value) +``` + +```txt +%即为西安出租车资源的匹配程度P +``` + +# 附录七 + +%ShangHaiGongJi.m +```txt +%此程序得到2015年9月10日不同时刻上海出租车供给情况 +%求得上海市出租车供给拟合函数并作出2015年9月10日不同时刻上海出租车供给情况图像 +``` + +```matlab +%gongJi2表示当前的出租车供给量 +gongJi2=[11118,14261,13221,9829,3341,1478,642,554,320,1251,6407,15392,27685,13489,11908,7 +252,10324,11385,9733,9960,10283,13442,16823,12332,10278]; +x=0:24; +plot(x,gongJi2,'k--o'); +xlim([0,24]); +x1=min(x):0.2:max(x); +%得到对gongJi2插值后的数据y1 +y1=interp1(x,gongJi2,x1,'linear'); +``` + +```matlab +%拟合阶数的确定 +for i=1:50 + y2=polyfit(x1,y1,i), + Y=polyval(y2,x1),%计算拟合函数在x处的值。 + if sum((Y-y1)^2)/sum((y1-mean(y1))^2)<0.03 + c=i + break; + end +end +``` + +```matlab +%得到c即为多项式的阶数 +warning off +syms xt f(xt) +%fxt)表示拟合曲线函数 +f(xt)=poly2sym(y2,xt) +y3=eval(f(xt)); +y4=subs(y3,xt,x1); +hold on +plot(x1,y4,'r'); +title('2015年9月10日不同时刻上海出租车供给情况','fontweight','bold') +xlabel('时刻'); +ylabel('出租车供给总量'); +legend('真实值','拟合曲线','Location','NorthWest'); +hold off +%theta1表示拟合程度的比例系数 +y5=sum((y4-y1)^2)/sum((y1-mean(y1))^2), +theta1=1-vpa(y5) +``` + +# 附录八 + +# %ShangHaiXuQiu.m + +%此程序得到2015年9月10日不同时刻上海出租车需求总量情况 + +%求得上海市出租车需求拟合函数并作出2015年9月10日不同时刻上海出租车需求情况图像 + +shangHaiXu表示从9月4日至9月11日不同时刻出租车需求数据 + +shangHaix2表示9月10日不同时刻的出租车需求数据 + +shangHaiXu=[6458,2625,1772,1191,1205,3431,10921,27226,52042,47726,42139,46740,55510,563 + +40,54632,42717,58384,82059,80443,47638,46307,53288,51384,31595,4280,2694,1178,874,781,154 + +1,2014,4634,8183,8538,6718,6434,6888,7190,6947,6472,7546,9675,8011,7336,7007,6178,5122,350 + +1,1873,1069,681,514,621,2033,6227,10862,14647,9113,6224,6300,6805,7816,7584,7088,8138,1148 + +9,10539,8344,7222,8413,6944,4004,2033,1115,767,595,616,2381,7781,18579,29412,18419,7447,63 + +55,7125,7924,7476,7219,8138,12383,12969,9359,9002,11265,8534,4657,2141,1216,942,541,643,21 + +43,7271,16784,28495,20012,8561,6985,7674,9436,8113,8252,9566,14150,15970,10420,9526,12514 + +11052,5444,2390,1278,962,442,615,2055,7462,17351,28939,19913,9267,8162,8165,11118,9811,10 + +061,11016,16920,19119,12622,11951,16319,13651,5930,2516,1318,913,484,642,2117,7527,18050 + +30310,21911,10571,8994,9012,11585,10719,11665,13041,19043,20641,13759,12787,18533,17558 + +7627,5360,3907,3059,2350,2867,5479,8116,10776,13454,11199,8889,8862,9001,9409,8966,8893.9 + +529,11091,10771,9637,9563,10425,9622,7079]; + +shangHai x2=shangHaiXu(144:168); + +x=0:24; + +plot(x,shangHai_x2,k--o); + +xlim([0,24]) + +x1=min(x):0.2.max(x); + +%得到对shangHai_x2插值后的数据y1 + +y1=interp1(x,shangHai x2,x1,'linear'); + +%拟合阶数的确定 + +for $i = 1:30$ + +y2=polyfit(x1,y1,i); + +Y=polyval(y2,x1).%计算拟合函数在x处的值。 + +if sum((Y-y1).2)/sum((y1-mean(y1)).2)<0.03 + +c=i + +break; + +end + +end + +%得到c即为多项式的阶数 + +warning off + +syms xt f(xt) + +%f(xt)表示拟合曲线函数 + +f(xt)=poly2sym(y2,xt) + +```matlab +y3_1=eval(f(xt)); +y4_1=subs(y3_1,xt,x1); +hold on +plot(x1,y4_1,'r'); +title('2015年9月10日不同时刻上海出租车需求总量情况','fontweight','bold') +xlabel('时刻'); +ylabel('出租车需求总量'); +legend('真实值','拟合曲线'); +hold off +%theta1表示拟合程度的比例系数 +y5=sum((y4_1-y1)^2)/sum((y1-mean(y1))^2); +theta1=1-vpa(y5) +``` + +# 附录九 + +# %ShangHaiZaiYun.m + +%此程序得到2015年9月10日不同时刻上海在运出租车总量情况 + +求得上海市在运出租车拟合函数并作出2015年9月10日不同时刻上海在运出租车总量情况图像 + +shangHaiZai表示从9月4日至9月11日不同时刻在运出租车数据 + +shangHai 2表示9月10日不同时刻的在运出租车数据 + +```txt +shangHaiZai=[160903,117069,78082,54699,55571,97936,151409,201873,240253,255116,244837,2 10605,200079,206442,210955,214227,212300,187577,177850,183217,187309,192873,192292,173 965,133897,96571,76379,51736,54604,92097,143927,186873,224561,228904,232606,210493,2018 65,207748,208725,207629,205344,189374,184270,186459,191883,199538,204468,192130,159920 ,112833,74311,49097,51194,105877,185582,199608,205747,245836,261025,233858,225943,225580 ,217613,218865,214889,183247,181982,202987,227281,233400,234812,221296,175948,124540.84 127,55996,56244,112428,194580,185139,175798,206756,233874,221856,218274,220445,222759.2 25638,215239,181958,177899,204215,232727,244307,243287,240859,199433,140354,88812.5676 8.55072.109508.187446.186385.177614.205887.223333.213928.210333.210359.215653.216165.20 3694.171518.166281.197312.225420.238634.238694.233988.197636.147383.93917.60263.59021. 1 15933.189625.180427.173310.205487.222271.206112.203216.200575.205471.205952.195655.1666 03.161740.190324.217838.233278.235204.236998.202363.149760.97499.63638.61204.1I 309.18OJ3Z.174TOW. 2I 0J 、I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I . I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I .I +``` + +```matlab +shangHai_z2-shangHaiZai(144:168); +x=0:24; +plot(x, shangHai_z2, k--o); +xlim([0,24]); +ylim([0,300000]); +``` + +```javascript +x1=min(x):0.2:max(x); +``` + +```txt +%得到对shangHai_z2插值后的数据y1y1=interp1(x,shangHai_z2,x1,'spline'); +``` + +%拟合阶数的确定 +```matlab +for i=1:30 + y2=polyfit(x1,y1,i); + Y=polyval(y2,x1),%计算拟合函数在x处的值， + if sum((Y-y1).^2)/sum((y1-mean(y1)).^2)<0.05 + c=i + break; + end +``` + +```matlab +end +%得到c即为多项式的阶数 +warning off +syms xt f(xt) +%fxt)表示拟合曲线函数 +f(xt)=poly2sym(y2,xt) +y3=eval(f(xt)); +y4=subs(y3,xt,x1); +hold on +plot(x1,y4,'r'); +title('2015年9月10日不同时刻上海在运出租车总量情况','fontweight','bold') +xlabel('时刻'); +ylabel('在运出租车总量'); +legend('真实值','拟合曲线'); +hold off +y5=sum((y4-y1)^2)/sum((y1-mean(y1))^2); +%theta1表示拟合程度的比例系数 +theta1=1-vpa(y5) +``` + +# 附录十 + +# %ShangHaiJuLei.m + +%此程序运用kmeans函数求得2015年9月10日上午9点上海市出租车的分布区域划分情况%A2存放的是经过筛选后(对不符合上海市经纬度的点进行剔除)9点上海市出租车的分布数据%A2(.1)表示经度,A(.2)表示纬度,A(.3)代表出租车数量 + +```matlab +load A2 +%用kmeans函数对A1中的数据进行划分，分为15个聚类 +[ \text{[IDX,C,sum,D]} = \text{kmeans(A2(-1.2),15)} ] +%IDX表示每个样本点所在的类别 +%C表示所聚类别的中心点坐标位置 +%sumd表示每个类内各点到中心点的距离之和 +%D表示每个点到各类中心点的距离 +``` + +```txt +comb=[IDX,A2]; +[M,N]=size(comb); +``` + +```matlab +%对n1:n15赋初值 +n1=1;n2=1;n3=1;n4=1; +n5=1;n6=1;n7=1;n8=1; +n9=1;n10=1;n11=1;n12=1; +n13=1;n14=1;n15=1; +``` + +%fenQu1表示在一类区域里的点，fenQu2表示在二类区域里的点，依次类推 for i=1:M + +```matlab +switch comb(i,1) +case 1 + fenQu1(n1,1:3)=comb(i,2:4);n1=n1+1; +case 2 + fenQu2(n2,1:3)=comb(i,2:4),n2=n2+1; +case 3 + fenQu3(n3,1:3)=comb(i,2:4),n3=n3+1; +case 4 + fenQu4(n4,1:3)=comb(i,2:4),n4=n4+1; +case 5 + fenQu5(n5,1:3)=comb(i,2:4),n5=n5+1; +case 6 + fenQu6(n6,1:3)=comb(i,2:4),n6=n6+1; +case 7 + fenQu7(n7,1:3)=comb(i,2:4),n7=n7+1; +case 8 + fenQu8(n8,1:3)=comb(i,2:4),n8=n8+1; +``` + +```matlab +case 9 + fenQu9(n9,1:3)=comb(i,2:4);n9=n9+1; + case 10 + fenQu10(n10,1:3)=comb(i,2:4);n10=n10+1; + case 11 + fenQu11(n11,1:3)=comb(i,2:4);n11=n11+1; + case 12 + fenQu12(n12,1:3)=comb(i,2:4);n12=n12+1; + case 13 + fenQu13(n13,1:3)=comb(i,2:4);n13=n13+1; + case 14 + fenQu14(n14,1:3)=comb(i,2:4);n14=n14+1; + case 15 + fenQu15(n15,1:3)=comb(i,2:4);n15=n15+1; +end +``` + +%即把所有数据分为15个聚类 + +# 附录十一 + +%ShangHaiLiTiTu.m +```matlab +%2015年9月10日上午9点上海市的出租车分布的散点图和立体图 +load A2 %A2存放的是经过筛选后(对不符合上海市经纬度的点进行剔除)9点上海市出租车的分布数据 +x=A2(-1); +y=A2(-2); +z=A2(-3); +figure(1) +scatter(x,y,5,z) +title('2015年9月10日9时上海在运出租车分布散点图','fontweight','bold') +xlabel('东经/度'); +ylabel('北纬/度'); +figure(2) +[X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(min(x),max(x),100)),linspace(min(y),max(y),100), 'cubic'),%插值%surf(X,Y,Z); +title('2015年9月10日9时上海在运出租车分布立体图','fontweight','bold') +xlabel('东经/度'); +ylabel('北纬/度'); +zlabel('数量'); +``` + +# 附录十二 + +# %ShangHaiQiuP.m + +%alpha2表示的是2015年9月10日上午9点上海市出租车的分布情况聚类后不同区域占总区 域的占比 + +%beta2表示的是2015年9月10日上午9点上海市出租车需求量的聚类后不同区域占总区域的占比 + +alpha2=[0.104,0.0917,0.034,0.140,0.050,0.076,0.030,0.103,0.006,0.017,0.0093,0.178,0.031,0.047,0.078]; + +beta2=[0.094,0.090,0.038,0.134,0.045,0.075,0.028,0.102,0.006,0.018,0.0088,0.176,0.028,0.054,0.102]; + +x=0:24; +x1=min(x):0.2:max(x); + +for i=1:15 +N_max(i)=(alpha2(i)*y3-beta2(i)*y3_1)(alpha2(i)*y3+beta2(i)*y3_1); +max_t=subs(N_max(i),xt,x1); +max_p=abs(max_t); +maxValue(i)=max(double((max_p)); +end + +for i=1:15 temp_Value(i) = alpha2(i)*maxValue(i); end + +P=sum(temp_Value) %即为上海出租车资源的匹配程度P + +# 附录十三 + +# %XiAnQiuR.m + +%此程序求解R，即打车难易度（值越大表示越难打到车） + +%m1,m2,m3分别表示对乘客的补贴金额，对出租车的补贴金额以及其他补贴金额 + +```txt +function R=XiAnQiuR(m1,m2,m3) +``` + +```txt +load QD_XiAn +``` + +%QD_XiAn存放的是第一间中拟合后的值，其中Q_XiAn表示出租车需求量，D_XiAn表示出租车供给量 + +```txt +globalQXiAnDXiAn %声明全局变量 +``` + +```javascript +Q0=mean(Q_XiAn); +``` + +```javascript +D0=mean(D_XiAn); +``` + +```txt +aver-Q0-D0; +``` + +%载入初始化数据 + +```txt +load ChuShi_XiAn +``` + +```javascript +k1=8;k2=7;k3=2; +``` + +```javascript +11=1;12=10;13=1; +``` + +```txt +n1=k1-l1; +``` + +```txt +n2=k2-12; +``` + +```txt +n3=k3-13; +``` + +```javascript +e=qiuE(m1,m2,m3); +``` + +```javascript +q=qiUQ(m1,m2,m3); +``` + +```javascript +d=qiD(m1,m2,m3); +``` + +```txt +ifq>d +``` + +```javascript +R=1*e+e2*max(sig,b3/e); +``` + +```txt +else +``` + +```javascript +R=c1\*max(b2/e,t0)+t2/e; +``` + +```txt +end +``` + +%三个子函数分别求Q.D.E + +其中Q表示补贴后的出租车需求量，D表示补贴后的出租车供给量 + +function $Q = qiuQ(m1,m2,m3)$ + +```javascript +Q=(k1*m1-k2*m2+k3*m3)+Q0; +``` + +```txt +end +``` + +```matlab +function D=qiuD(m1,m2,m3) +``` + +```txt +D=（11*m1+12*m2+13*m3）+D0; +``` + +```txt +end +``` + +```javascript +function E=qiuE(m1,m2,m3) +``` + +```javascript +E=abs(n1*m1+n2*m2+n3*m3+aver); +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +# 附录十四 + +# %ShangHaiQiuR.m + +%此程序求解R，即打车难易度（值越大表示越难打到车） + +%m1,m2,m3分别表示对乘客的补贴金额，对出租车的补贴金额以及其他补贴金额 + +```txt +function R=ShangHaiQiuR(m1,m2,m3) +``` + +```txt +load QD_ShangHai +``` + +%QD_ShangHai 存放的是第一间中拟合后的值，其中 Q_ShangHai 表示出租车需求量，D_ShangHai 表示出租车供给量 + +```txt +global Q_ShangHai D_ShangHai %声明全局变量 +``` + +```javascript +Q0=mean(Q_ShangHai); +``` + +```javascript +D0=mean(D_ShangHai); +``` + +```txt +aver-Q0-D0; +``` + +%载入初始化数据 + +```txt +load ChuShi_ShangHai +``` + +```javascript +k1=3;k2=2;k3=0.2; +``` + +```javascript +11=0.5;12=3;13=0.2; +``` + +```txt +n1=k1-ll; +``` + +```txt +n2=k2-12; +``` + +```txt +n3=k3-13; +``` + +```javascript +e=qiE(m1,m2,m3); +``` + +```javascript +q=qiUQ(m1,m2,m3); +``` + +```javascript +d=qiD(m1,m2,m3); +``` + +```txt +ifq>d +``` + +```javascript +R=1*e+e2*max(sig,b3/e); +``` + +```txt +else +``` + +```javascript +R=c1\*max(b2/e,t0)+t2/e; +``` + +```txt +end +``` + +%三个子函数分别求Q.D.E + +其中Q表示补贴后的出租车需求量，D表示补贴后的出租车供给量 + +function Q=qiUQ(m1,m2,m3) $Q = (k1^{*}m1 - k2^{*}m2 + k3^{*}m3) + Q0;$ end + +```matlab +function D=qiuD(m1,m2,m3) +D=(11*m1+12*m2+13*m3)+D0; +end +``` + +```matlab +function E=qiuE(m1,m2,m3) +E=abs(n1*m1+n2*m2+n3*m3+aver); +end +``` + +```txt +end +``` + +# 附录十五 + +# %WangGeJuLi.m + +%此程序将西安市化作网格，求出每个网格中心与其他网格中心的距离 +%并将最终随机分布的人和出租车的坐标间的距离矩阵导出 +%31620和16740表示的是西安市市区内经纬度经过转化得到的数据，单位为m + +P=floor(31620/200); + +Q=floor(16740/200); + +%JuLi 是大小为 158*83 的胞元数组，每个胞元大小为 158*53，里边存放的是其余网格点和当前序号坐标的距离 + +```matlab +for i=1:P + for j=1:Q + for m=1:P + for n=1:Q + JuLi{i,j}(m,n) = abs(m-n) + abs(n-j); + end + end + end +``` + +%划分四个偏僻地区 + +```matlab +for i=1:floor(P/4) + for j=1:floor(Q/4) + Jul.i{i,j}=2*Jul{i,j}; + end +end +``` + +for i=1:flood(P/4) for j=flood(Q*3/4)Q JuLi{i,j} $\equiv$ 2\*JuLi{i,j}; end +end + +```matlab +for i=floor(P*3/4):P + for j=1:floor(Q/4) + JuLi{i,j}=2*JuLi{i,j}; + end +end +``` + +```matlab +for i=floor(P*3/4):P + for j=floor(Q*3/4):Q + JuLi{i,j}=2*JuLi{i,j}; +``` + +```matlab +end +end +%划分一个拥挤区域 +for i=floor(P*3/8):floor(P*5/8) +for j=floor(Q*3/8):floor(Q*5/8) +JuLi{i,j}=2*JuLi{i,j}; +end +end +``` + +```matlab +%划分一个高峰区域 +for i=floor(P/4):floor(P/2) + for j=floor(Q/2):floor(Q*3/4) + JuLi{i,j}=2*JuLi{i,j}; + end +end +``` + +$\%$ 在158*83的矩阵中产生随机数，per中存放随机的100人及他们的坐标 +r1=randi(200,158,83); +[m1,ind1]=sort(r1(:), 'descend'); +szX1=size(r1); +[i1,j1]=ind2sub(szX1,ind1); +q1=[i1,j1,m1]; +per=q1(1:100,:); + +$\%$ 在158*83的矩阵中产生随机数，taxi中存放随机的100辆车及其的坐标 +r2=randi(200,158,83); +[m2,ind2]=sort(r2(), 'descend'); +szX2=size(r2); +[i2,j2]=ind2sub(szX2,ind2); +q2=[i2,j2,m2]; +taxi=q2(1:100,:); + +$\%$ 计算Cij，Cij表示100个随机分布的出租车和100个随机分布的人之间的距离 + $\% \mathrm{Cij} = \mathrm{d}(\mathrm{p(i)},\mathrm{p(j)})$ +for $i = 1:100$ forj=1:100 Cij(i,j) $\equiv$ JuLi{taxi(i,1),taxi(i,2)}(per(j,1),per(j,2)); end +end + +```txt +%将Cij的数据写入Cij.txt以便在lingo中求解非线性约束规划dmwrit(E,Cij.txt'Cij) +``` + +# 附录十六 + +# %YouHua.txt + +该程序使用lingo求解非线性约束规划 + +model: + +sets + +11/1...100//ii + +11/1..100//j: + +links(I1,J1):C,X; + +endsets + +data: + +ii=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; + +jj=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; + +C=@file(F:\Cij.txt') + +enddata + +min $\equiv$ @sum(links(i,j):C(ij)*X(i,j)) + +@forl1(i):@sum(J1(j):X(i,j))=1); + +@for(11(j):@sum(J1(i):X(i,j))=1); + +@for(links(i,j)bin(X(i,j))), + +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2015/B013/B013.md b/MCM_CN/2015/B013/B013.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1bf7dda2d6f9113a0fda1f6d4adfab9509594909 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2015/B013/B013.md @@ -0,0 +1,738 @@ +# “互联网+”时代的出租车资源配置 + +# 摘要 + +“互联网+”时代实现了乘客与出租车司机之间的信息互通。本文通过建立合理的数学模型，对出租车资源配置问题进行了分析。 + +针对问题一，通过确立里程利用率和供求比率两个指标，我们建立了供求匹配模型。从供给角度和需求角度出发，求得里程利用率和供求比率的理想值。将这两个指标抽象为二维空间中的坐标，通过实际点与平衡点之间的距离来判断综合不匹配程度。运用此模型，我们求解出高峰时段、常规时段、市区和郊区的综合不匹配程度分别为：2.4103, 2.1056, 3.2238, 2.1493，从而分析得出高峰时段的供求匹配程度优于常规时段，郊区的供求匹配程度优于市区。 + +针对问题二，我们以滴滴和快的打车公司为例，分别计算出各公司对乘客和司机的补贴金额，通过确定意愿半径和打车软件使用人数比例这两个指标，建立了缓解程度判断模型。接着，我们对未使用打车软件及使用打车软件两种情况进行了对比分析，分别得出两种情况下的人均出租车占有率，以此判断补贴方案对于“打车难”的缓解程度。最终求得各公司缓解率的分布范围为-0.02~0.37，说明各公司出租车的补贴方案对缓解“打车难”有一定帮助，但效果不大。 + +针对问题三，我们综合考虑了空间和时间因素，将城市划分为若干区域，制定了分区域动态实时补贴方案。以各区域内的乘客数与出租车数之比为基准，以总量一定为原则，实时确定了各个区域的补偿金额。然后以西安市为例，我们将城市划分为9个区域，以9月11日各时段的出租车与乘客数据为基础，得出分区域动态实时补贴方案，结果显示补偿金额在2~10元之间，高峰时段补贴金额要高于常规时段，人多车少区域的补贴金额要高于人少车多区域。继而通过计算机仿真，我们计算得出城市出租车的供求匹配度提高了 $3.84\%$ ，验证了方案的合理性。 + +综上所述，本文通过建立供求匹配模型，缓解程度判断模型，对出租车资源的供求匹配程度和补贴方案进行了分析，并设计了分区域动态实时补贴方案，这对于今后的实际生产和应用具有重要的参考价值。 + +关键词：出租车资源配置 供求匹配模型 缓解程度判断模型 分区域动态实时补贴方案 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 背景资料与条件 + +出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。 + +# 1.2 需要解决的问题 + +（1）试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。 +（2）分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助。 +（3）如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +问题一要求建立合理的指标以分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度，我们可以选取里程利用率和供求比率两个指标。 + +针对里程利用率这一指标，可以从供给角度和需求角度分别测量出租车的载客里程，使二者相等，从而得到里程利用率的理想值 $K^{*}$ 。针对供求比率这一指标，我们可依据供求关系将区域分为三个部分：供大于求部分，供等于求部分，供小于求部分，利用供给比率的相关定义，求得供求比率的理想值 $\eta^{*}$ 。将两个指标抽象为二维空间的坐标，将里程利用率 $K$ 和供求比率 $\eta$ 转化为点 $Q(K, \eta)$ ，通过归一化处理后，计算实际点与平衡点距离。距离越大，供求匹配度越低；距离越小，供求匹配度越高；距离为零，此时达到平衡点，供求完全匹配。 + +# 2.2 问题二的分析 + +问题二要求分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助，我们首先描绘出滴滴和快的两个公司在不同时间补贴方案的图，以滴滴打车为例，计算出公司对乘客的补贴金额 $m_{1}$ 和对司机的补贴金额 $m_{2}$ ，通过意愿半径 $R$ 和软件使用人数比例 $\lambda$ 这两个指标，分别对未使用补贴方案及使用补贴方案两种情况进行分析对比，可以得出这两种情况下的人均车辆占有率 $\overline{a_{1}}, \overline{a_{2}}$ ，令 $w = \left(\overline{a_{2}} - \overline{a_{1}}\right) / \overline{a_{1}} \times 100\%$ ，求出使用补贴方案后对于补贴方案前的车辆占有率的相对提高量，以此来判断补贴方案对于打车难的缓解程度。 + +# 2.3 问题三的分析 + +问题三要求我们设计补贴方案并论证合理性，我们可以从乘客和司机两个方面实施补贴方案。 + +针对乘客方面，可以采用积分奖励，红包抽取等激励补贴政策；针对司机方面，我们将地区划分为九个部分，利用每辆车的车单数与所获补贴之间的比例关系列出等式，从时间和空间两个角度对模型进行求解，从而得出结果，并验证合理性。 + +# 三、模型假设 + +（1）假设司机和等车乘客按二维正态分布存在于在一个城市中。 +（2）假设使用打车软件打车的情况可以估计所有的打车情况。 +（3）假设乘客和出租车司机会因补贴政策的驱使而倾向于使用打车软件。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明
l载客里程
N出租车总保有量
n人口总量
σ人均日出行次数
d平均出行距离
K里程利用率
η供求比率
R意愿半径
λ打车软件使用人数比例
m补贴金额
a人均出租车拥有量
w缓解率
μ车单数
+ +# 四、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一的模型建立与求解 + +# 5.1.1 指标确立 + +“供求匹配”分为三种情况：供大于求，供小于求，供求相等。为了分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度，我们确立了里程利用率和供求比率两个指标。 + +# 1、里程利用率 $K$ + +里程利用率[1]是指载客里程与行驶里程之比，公式表示如下： + +里程利用率 $K =$ 载客里程(公里)/行驶里程(公里) $\times 100\%$ (1) + +这一指标反映了车辆载客效率，若该指标高，说明车辆行驶中载客比例高，空驶率比较低，对于打车的乘客来说可供租用的车辆不多，供求关系比例紧张，但经营者赢利多。若该指标低，则说明车辆载客效率低车辆空驶率高，可供租用的车辆多，但经营者赢利下降。 + +# 2、供求比率 $\eta$ + +供求比率[2]被视为衡量供需平衡程度的重要指标，公式表示如下： + +$$ +\text{供求比率}\eta = \frac {\text {一定时间内某市场可供额总和} (S)}{\text {相应的需求额总和} (D)} \times 100 \% \tag{2} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \text {当} \eta > 1 \text {时 ， 供 大 于 求 ， 此 时 的 供 求 比 率 可 称 为 供 过 于 求 程 度 ；} \\ \text {当} \eta < 1 \text {时 ， 供 小 于 求 ， 此 时 的 供 求 比 率 可 称 为 供 小 于 求 程 度 ；} \\ \text {当} \eta = 1 \text {时 ， 供 求 平 衡 ， 此 时 的 供 求 比 率 可 称 为 供 求 平 衡 程 度 。} \end{array} \right. +$$ + +# 5.1.2 模型建立与求解 + +# 1、里程利用率理想值的确定 + +我们以出租车的总载客里程 $l$ 为该模型的衡量标准，对里程利用率 $K$ 的理想值进行求解。 + +1）从供给角度测量出租车总载客里程 $l_{s}$ + +设某地区的出租车总保有量为 $N$ ，单位为 $10^{4}\mathrm{veh}$ ；出租车每日主要时间段的平均运营时间为 $T$ ，单位为 $\mathrm{h}$ ；出租车的平均行驶速率为 $\bar{\nu}$ ，单位为 $\mathrm{km/h}$ ； $l_{s}$ 为出租车总裁客里程，单位为 $10^{4}\mathrm{km}$ ； $\alpha$ 为出租车的出车率，本文取 $90\%$ ； $\beta$ 为出租车运营主要时间段对应的出行量占一天出行量的百分比。则根据公式（1）可得： + +$$ +K = \frac {l _ {s} \beta}{T \bar {v} N \alpha} \times 100 \% \tag{3} +$$ + +由上式可得，某地区出租车平均每日可以供给的总载客里程为： + +$$ +l _ {s} = \frac {K T N \bar {v} \alpha}{\beta} \tag {4} +$$ + +2）从需求角度测量出租车总载客里程 $l_{d}$ + +假设： + +$n$ ——某地区人口总量，单位为 $10^{4}$ 人； + +$\sigma$ ——人均日出行次数； + +$p$ ——该地区人民使用出租车出行在所有出行方式中所占比例； + +$d$ ——该地区人民每次出行的平均出行距离，单位为 $\mathrm{km}$ ； + +$Q$ ——出租车承担该地区人民的出行周转量，单位为 $10^{4}$ 人·km； + +$l_{d}$ ——出租车总裁客旅程, 单位为 $10^{4} \mathrm{~km}$ 。 + +则出行周转量为： + +$$ +Q = n \sigma p d \tag {5} +$$ + +假设 $s$ 为该地区平均每天的出租车载客总人数，单位为人，则某地区人民所需求的出租车总裁客里程为： + +$$ +l _ {d} = \frac {Q}{s} = \frac {n \sigma p d}{s} \tag {6} +$$ + +# 3）求解里程利用率的理想值 + +若供求平衡，即供给量与需求量相等，则里程利用率达到理想值。我们令出租车载客里程的需求量等于供给量，即（4）式与（6）式相等： + +$$ +\frac {n \sigma p d}{s} = \frac {K T N \bar {v} \alpha}{\beta} \tag {7} +$$ + +可以求出： + +$$ +K ^ {*} = \frac {n \sigma p d \beta}{T N s v \alpha} \tag {8} +$$ + +上式即为里程利用率的理想值，在 $K$ 取该值时供求平衡。 + +# 2、供求比率理想值的确定 + +1）我们假设使用软件打车的情况可以用来估计总体的打车情况，为了求解供需比率，我们利用苍穹（滴滴快的智能出行平台），对不同时间，不同地点的可供出租车数和顾客需求出租车数进行数据采集。 + +我们将某区域划分为 $n$ 个四边形区域，由于苍穹软件可以显示出每个地点的打车订单数，因此我们可以采集出每个四边形区域的订单数，即每个区域顾客需求的出租车数，记为 $D_{i}$ （ $i = 1,2,3,\dots n$ ）。接下来我们以每个人为圆心，以出租车司机为接单愿意行驶的最大距离为半径画圆，我们将此半径称为意愿半径。如果某出租车落在圆中，则说明此出租车会接单，据此我们可以统计出每个人可以打到的出租车数，进而统计出每个矩形区域内出租车的供给量，设为 $S_{i}$ （ $i = 1,2,3,\dots n$ ），具体情况如下图所示： + +![](images/105dea3ef16426ef8e6822cf2cb8800979bc560c60b2cb4c65edb68f6b008d9f.jpg) +图1 出租车与乘客位置示意图 + +由（2）式可得： + +$$ +\eta = \frac {S}{D} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} S _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} D _ {i}} \tag {9} +$$ + +我们依据供求关系将 $n$ 个四边形区域分为三个部分，每个部分都由若干个四边形区域组成，三个部分分别为： + +供大于求部分，设出租车供给量 $S_{\mathrm{I}}$ ，需求量为 $D_{\mathrm{I}}$ 供等于求部分，设出租车供给量 $S_{\mathrm{II}}$ ，需求量为 $D_{\mathrm{II}}$ 供小于求部分，设出租车供给量 $S_{\mathrm{III}}$ ，需求量为 $D_{\mathrm{III}}$ + +由（9）式得： + +$$ +\eta = \frac {S _ {\mathrm {I}} + S _ {\mathrm {I I}} + S _ {\mathrm {I I I}}}{D} = \frac {S _ {\mathrm {I}}}{D} + \frac {S _ {\mathrm {I I}}}{D} + \frac {S _ {\mathrm {I I I}}}{D} = \frac {D _ {\mathrm {I}}}{D} \cdot \frac {S _ {\mathrm {I}}}{D _ {\mathrm {I}}} + \frac {D _ {\mathrm {I I}}}{D} \cdot \frac {S _ {\mathrm {I I}}}{D _ {\mathrm {I I}}} + \frac {D _ {\mathrm {I I I}}}{D} \cdot \frac {S _ {\mathrm {I I I}}}{D _ {\mathrm {I I I}}} \tag {10} +$$ + +因为: + +$$ +\eta_ {i} = \frac {S _ {i}}{D _ {i}} \tag {11} +$$ + +因此式（10）可以写作： + +$$ +\eta = \frac {D _ {\mathrm {I}}}{D} \cdot \eta_ {\mathrm {I}} + \frac {D _ {\mathrm {I I}}}{D} \cdot \eta_ {\mathrm {I I}} + \frac {D _ {\mathrm {I I I}}}{D} \cdot \eta_ {\mathrm {I I I}} \tag {12} +$$ + +由上文可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \eta_ {\mathrm {I}} > 1 \\ \eta_ {\mathrm {I I}} = 1 \\ \eta_ {\mathrm {I I I}} < 1 \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +# 2）求解供求比率的理想值 + +通过分析我们可以判断，式（12）并不能准确衡量供求平衡与不平衡的综合程度。由式（12）可以看出总供求比率实际上是 $\eta_{\mathrm{I}}$ ， $\eta_{\mathrm{II}}$ ， $\eta_{\mathrm{III}}$ 的加权算术平均，权数是需求结构。但是由于 $\eta_{\mathrm{I}}$ ， $\eta_{\mathrm{III}}$ 在判断供求平衡程度时是取相反值的， $\eta_{\mathrm{I}}$ 越大，表示供求越不平衡；而 $\eta_{\mathrm{III}}$ 越大，表示供求越平衡，因此这两者的加权结果是会相互抵消的，用在这里显然不合适。 + +通过查阅相关资料，我们推导得到了供求比例理想值的正确求法： + +$$ +\eta = \frac {D _ {\mathrm {I}}}{D} \cdot \eta_ {\mathrm {I}} + \frac {D _ {\mathrm {I I}}}{D} \cdot \eta_ {\mathrm {I I}} + \frac {D _ {\mathrm {I I I}}}{D} \cdot \frac {1}{\eta_ {\mathrm {I I I}}} \tag {14} +$$ + +由式（14）可得， $\eta$ 最终的值为一个大于 1 的数， $\eta$ 的理想值 $\eta^{*}$ 为 1。 + +# 3、供求匹配模型的建立 + +我们将里程利用率和供求比率两个指标抽象为二维空间上的点 $Q(K, \eta)$ 。通过前两问，结合相关数据，我们可以求出里程利用率的理想值 $K^{*}$ 和供求比率的理想值 $\eta^{*}$ ，则平衡点的坐标为 $Q(K^{*}, \eta^{*})$ ，在此平衡点上，供求达到平衡，若偏离该点，供求不平衡。结合实际调查与计算机模拟，可得出不同时空实际情况下的里程利用率 $K_{r}$ 和 $\eta_{r}$ ，其对应在二维空间的坐标为 $Q(K_{r}, \eta_{r})$ 。 + +将实际情况下的坐标进行归一化处理： + +$$ +Q ^ {\prime} \left(\frac {K _ {r} - K ^ {*}}{K ^ {*}}, \frac {\eta_ {r} - \eta^ {*}}{\eta^ {*}}\right) \tag {15} +$$ + +求点 $Q^{\prime}$ 到原点的距离，我们将其定义为综合不平衡度： + +$$ +r _ {O Q ^ {\prime}} = \sqrt {\left(\frac {K _ {r} - K ^ {*}}{K ^ {*}}\right) ^ {2} + \left(\frac {\eta_ {r} - \eta^ {*}}{\eta^ {*}}\right) ^ {2}} \tag {16} +$$ + +供求不平衡度是判断“供求匹配”程度的标准：若 $r_{OO'} = 0$ ，则 $K_r = K * \eta_r = \eta^*$ ，达到了一个平衡点，供求完全匹配，供等于求；若 $r_{OO'} > 0$ ，则供求不匹配。而且 $r_{OO'}$ 的值越大，匹配程度越差， $r_{OO'}$ 的值越小，匹配程度越好，越接近供求平衡。 + +# 5.1.3 模型求解 + +截至2014年，西安市人口人数为862.75万，取 $n = 862.75$ ；查阅相关资料得知西安市2015年出租车保有量约为15250辆，取 $N = 15250$ ；根据2008年西安市居民出行调查总报告[5]，取人均日出行次数 $\sigma = 2.18$ ，出租车平均载客数目 $s = 1.76$ 人，居民乘坐出租车日出行里程 $d = 6.5km$ ，出租车每日主要运营时间 $T = 15$ 小时，出租车平均行驶速度 $\bar{\nu} = 24km/h$ ，主要运营时间段出车占全天出车比例 $\beta = 0.85$ ，排除保养维修等问题的出租车出车率 $\alpha = 0.9$ 。 + +代入以上各数据可解得 $K^{*} = 66.79\%$ ，由前所述 $\eta^{*} = 1$ 。得到了两个指标的理想值之后，我们以西安市为例，应用此模型对出租车的实际供求匹配程度进行评价。 + +由于难以找到全面的数据，我们以已有的西安市居民出行情况调查数据、“滴滴快的智能打车平台”[4]上的出租车分布数据、西安市的地图数据等为基础，对现实世界进行适度的简化和抽象，使用MATLAB软件对城市的出租车行驶即载客状况进行动态的仿真模拟，在仿真时主要考虑时间和空间两个方面。 + +# 1、时间角度 + +我们将全天的时间分为高峰时段和常规时段两部分，通过模拟得到两个时间段的供求比率和里程利用率，得到高峰时段和常规时段的各指标： + +表 1 不同时间段西安市各指标 + +
数目不平衡度里程利用率综合不平衡度
高峰时段3.39830.75972.4103
常规时段3.03500.31102.1056
+ +将各指标随时间变化情况绘制成下图： + +![](images/f2bc2786e1ae639e053c4fab5c075401144474619361c73a2d152a1a863cce36.jpg) + +![](images/ee35b19b1c7cd7d818b21aff3729d8e909c25f3201bfa2c56dd395f84d28a386.jpg) + +![](images/93af1587921435a08e5738d88e10ed82f0fc1c1abbf2922ee7a8150029c41c39.jpg) +图2各指标随时间变化情况 + +可以发现，在高峰时段的里程利用率显著高于平衡值 $66.79\%$ ，这表明乘客数目较多，出租车载客率较高，出现了供不应求的情况。而常规时段的里程利用率显著低于平衡值，说明出现了供过于求的情况，此时居民出行人数较少，出租车大部分是在不载客的情况下空驶。 + +同时，在高峰时段出行人数不断增多的情况下，综合不平衡度呈现不断增大的状态，表示仅当出行人数开始减少时，交通拥堵得以缓解，供需匹配才可以达到较佳的状态。 + +# 2、空间角度 + +从空间角度来看，我们将西安市划分为市区和郊区两部分（市区定义为二环线以内地区，其余地区为郊区），在高峰时段内，对两区域内的各指标分别进行评价，得到结果如下： + +表 2 不同空间下的各指标 + +
数目不平衡度里程利用率综合不平衡度
市区4.21290.74563.2238
郊区3.10950.44232.1493
+ +![](images/37b29b0a53ce0b4a10cd230da1a320d432a790dcf19824a5301b7349c677800c.jpg) + +![](images/e18c31f7efbe8c2b60d5efb9bacdd37c6a432bb5806a136217da00686713f204.jpg) + +![](images/42698a71d6250f95871bf83195e70a95577344977b7a89fa5a14c265574581d5.jpg) +图3不同空间下的各指标变化情况 + +不难发现，在数目不平衡度方面，郊区低于市区，这证明仅就乘客数量和出租车数目而言，郊区更为平衡；市区里程利用率显著高于平衡值，处于供不应求的状况，而郊区的里程利用率仅略低于平衡值。综合起来看，相较于市区，郊区的供需匹配度更佳。 + +# 5.1.4 结果分析 + +在高峰时段的里程利用率显著高于平衡值 $66.79\%$ ，出现了供不应求的情况。而常规时段的里程利用率显著低于平衡值，出现了供过于求的情况。同时，在高 + +峰时段出行人数不断增多的情况下，综合不平衡度呈现不断增大的状态，表示仅当出行人数开始减少时，供求匹配才可以达到较佳的状态。 + +在数目不平衡度方面，郊区低于市区，但郊区的里程利用率略低于平衡值。综合分析，郊区的供求匹配度优于市区。 + +# 5.2 问题二的模型建立与求解 + +# 5.2.1 模型准备 + +# 1、绘出补贴金额图像 + +通过查阅打车软件公司的相关资料，我们得到了滴滴打车和快的打车在不同时间段的补贴方案，详见附录。我们以时间 $t$ 为横坐标，补贴金额 $m$ 为纵坐标，用MATLAB绘出不同时间两家公司的补贴金额折线图，如下图所示： + +![](images/49981868dc7bb8a27b1bdf9f2f7bc63ac7c3769a0bd5ee1a0212da6ca1631b4c.jpg) +乘客补贴方案 + +![](images/27ac832c193a1545ffaa782e252297b358d118fb0095e9cf61b6b9b07e56ba75.jpg) +出租车司机补贴方案 +图4 出租车司机与乘客补贴方案 + +以滴滴打车公司为例，由上图我们可以求出滴滴打车对乘客的平均补贴金额10.6元，对司机的平均补贴金额为10.8925元。 + +# 2、确定软件使用人数比例 $\lambda$ + +我们以滴滴打车公司为例进行分析。查阅资料可知，使用滴滴打车软件的乘客占所有出租车乘客的比例为 $63.06\%$ ，使用滴滴打车软件的司机占所有出租车司机的比例为 $76.8\%$ [3]。实际上乘客比例和司机比例是随着补贴方案的改变呈现波动变化的，若补贴金额高，则使用软件的人数多，比例大；若补贴金额低，则使用软件的人数少，比例小；若补贴金额为0，使用打车软件的人数接近于0；若补贴金额无穷大时，比例的增长率趋近于0。 + +为了能够形象地描述二者的关系，我们利用指数函数的定义对二者关系进行描述。对于滴滴打车公司而言，假设使用打车软件的乘客占所有出租车乘客的比例为 $\lambda_{1}$ （ $i = 1,2,3\ldots$ ），补贴金额为 $m_{1}$ ，司机平均补贴金额为 $\overline{m_{1}}$ ；假设使用打车软件的司机占所有出租车司机的比例为 $\lambda_{2}$ （ $i = 1,2,3\ldots$ ），补贴金额为 $m_{2}$ ，司机平均补贴金额为 $\overline{m_{2}}$ ，我们可以认定任一补贴金额所对应的比例为： + +$$ +\lambda = 100 \% - e ^ {- \alpha m} \tag{17} +$$ + +对于乘客而言，补贴金额为 $\overline{m_1}$ 时， $\lambda_1 = 63.06\%$ ，将这两个量代入（17）式求出 $\alpha_{1}$ 的值为0.09395。同理，对于司机而言，补贴金额为 $\overline{m_2}$ 时， $\lambda_2 = 76.8\%$ ，代入（17）式可求出 $\alpha_{2}$ 的值为0.13413。绘出补贴金额与软件使用人数比例的关系图如下： + +![](images/d1ced0f824b9f798d7778cb1cbdcf33035cb7c2d877dd14986221711362bd651.jpg) +图5 补贴金额与 $\lambda$ 关系图 + +# 3、确立意愿半径 $R$ + +在第一问中我们已对意愿半径进行了简单介绍，即司机为接单愿意行驶的最大距离。在现实生活中，若乘客所在地点太远，司机可能会放弃此单，因此司机愿意行驶的路程是有上限的，我们将此上限称为意愿半径，单位为 $\mathrm{km}$ 。以人为本圆心，以此距离为半径画圆，则落在圆面积范围内的出租车为乘客能够打到的车。 + +我们假定司机的补贴金额 $m_{2}$ 与意愿半径 $R$ 成线性关系，假设意愿半径的基础半径 $R_{0}$ （没有补贴金额时司机愿意行驶的最大距离）为 $0.2\mathrm{km}$ ，以汽车行驶燃油消耗的钱来判断线性关系的斜率，通过查阅资料，得出出租车平均每千米的耗油量为 $0.1\mathrm{L}$ ，油价为 $5.85$ 元/L，即平均每千米的耗费金额为 $0.585$ 元。我们以 + +司机补贴金额 $m_{2}$ 为横坐标，以意愿半径 $R$ 为纵坐标，则图像的斜率为 $1 / 0.585$ 即1.709,得出意愿半径的表达式： + +$$ +R = 0. 2 + 1. 7 0 9 m _ {2} \tag {18} +$$ + +# 5.2.2 缓解程度判断模型的建立 + +![](images/85892b6fe1a5a766801d310545e2c11697e755b43744e61530a64e006c686f9c.jpg) +该模型的流程图如下所示： +图6缓解程度判断模型流程图 + +下面我们根据流程图作如下分析： + +我们将城市抽象为二维图，建立 $x$ 轴， $y$ 轴。假设图形服从二维正态分布：城市中心概率最大，以圆形向外扩散，越往边缘概率越小。这与城市的人流及出租车分布实际情况相吻合，市中心人口密度最大，出租车数量最多；城市边缘人口最稀疏，出租车数量最少。我们以二维正态分布为基础在城市中随机产生乘客和出租车，分别对未使用打车软件及使用打车软件两种情况进行分析对比，来判断补贴方案是否对缓解打车难有帮助。 + +# 1）未用打车软件 + +我们在二维正态分布图上随机模拟产生乘客和出租车。以每个乘客为圆心，以基础半径 $R_{0}$ 为半径画圆，得到圆内的出租车数，即乘客可以打到的车数。统计出该区域内某时刻所有乘客数 $z_{1}$ 和每个圆内的出租车数相加的总数 $n_{1}$ ，令： + +$$ +a _ {1} = \frac {n _ {1}}{z _ {1}} \tag {19} +$$ + +我们将其定义为人均周围出租车数量，即平均每个人可以打到的出租车数。对此情况进行多次模拟，得到的所有 $a_1$ 一起求平均值 $\overline{a_1}$ ，做为未用打车软件的乘客可以打到的车数。 + +# 2）有打车软件 + +该区域内所有乘客数为 $z$ , 所有出租车数为 $n$ 。则根据该次乘客司机各自的补贴 $(m_{1}, m_{2})$ 算出所有乘客中使用打车软件的人数为 $z \lambda_{1}$ , 不使用打车软件的人为 $z(1 - \lambda_{1})$ ; 所有司机中使用打车软件的人数为 $z \lambda_{2}$ , 不使用打车软件的人为 $z(1 - \lambda_{2})$ 。此时对这四类人群各自按二维正态分布在同一个图中生成散点。 + +因为打车难问题是针对乘客，因此我们从乘客角度出发，分以下几种情况考虑： + +(1) 乘客不使用打车软件（流程图上“无软件乘客”） + +在此情况下，无论司机是否使用打车软件，双方都不能享受到补贴方案，则与1）中算法相同，以每个乘客为圆心，以基础半径 $R_0$ 为半径画圆，得 $z_{1}^{\prime}, n_{1}^{\prime}$ 。 + +②乘客使用打车软件（流程图上“有软件乘客”） + +这种情况又分为两种情况： + +I 司机不使用打车软件（流程图上”无软件司机”） + +这种情况下人均出租车拥有量的算法与①中一致，得 $z_{2}^{\prime \prime}, n_{2}^{\prime \prime}$ 。 + +II 司机使用打车软件(流程图上“有软件司机”) + +这种情况下意愿半径不再为基础半径 $R_{0}$ ，由于补贴方案的刺激，使得司机的意愿半径增大，通过式（18）可计算出某时刻的 $R$ 。以该区域中的每个人为圆心， $R$ 为半径，画出若干个圆，统计出所有圆中包含的出租车数 $z_{2}^{\prime \prime}$ 和所有的乘客数 $n_{2}^{\prime \prime}$ 。 + +综上，求出使用补贴方案情况下的人均出租车拥有率： + +$$ +a _ {2} = \frac {z _ {2} ^ {\prime} + z _ {2} ^ {\prime \prime} + z _ {2} ^ {\prime \prime \prime}}{n _ {2} ^ {\prime} + n _ {2} ^ {\prime \prime} + n _ {2} ^ {\prime \prime \prime}} \tag {20} +$$ + +对此情况进行多次模拟，得到多组 $a_{2}$ ，对其取均值得到 $\overline{a_{2}}$ 。 + +# 3）缓解率 $w$ + +我们将缓解率定义为： + +$$ +w = \frac {\overline {a _ {2}} - \overline {a _ {1}}}{\overline {a _ {1}}} \times 100 \% \tag{21} +$$ + +该式用来表示使用补贴方案后与使用前相比的打车难的缓解程度。对各个公司每个时刻的补贴方案 $(m_{1}, m_{2})$ 进行多次模拟，求出不同时间的 $\overline{a_{1}}$ ， $\overline{a_{2}}$ ，从而利用式（22）求出不同时刻的 $w$ 。所有时段各自都有一个缓解率，各个时段组合起来就是一个公司对于时间的缓解率折线 $w - t$ 。 + +# 5.2.3 模型求解及结果分析 + +用 MATLAB 模拟出不同时刻的缓解率，如下图所示： + +![](images/526e9c03598766dd96af823c7b32483f3460788808dae29a971feed8376afdfb.jpg) +图7 不同时刻缓解率 + +通过观察模型的求解结果，我们有以下几点分析： + +# 1）打车软件推广前后比较： + +由上图可以看出，两个公司的缓解率大致分布范围在 $-0.02\sim 0.37$ ，说明滴滴打车和快的打车两个公司的投对乘客打车难的问题是有一定缓解的，但这个缓解效果并不是很大。我们可以很明显看到滴滴打车的缓解率在后半段显著下降，甚至缓解率出现了负值，这说明在后半段滴滴打车的补贴不仅没有缓解乘客打车难的问题，甚至加重了问题的严重性。 + +据新闻数据显示，滴滴快的两个公司对补贴的投入总金额甚至达到了19亿，可谓是一个烧钱的补贴。事实上，两个公司之所以要进行补贴的根本目的并不完 + +全是要缓解打车难问题，主要还是因为两个公司为了抢占客户量，只是这样的竞争战顺带对打车难问题有了一定的缓解。 + +综上，两个公司的补贴方案确实是对打车难问题有一定缓解，但是缓解程度并不理想。 + +# 2）两公司之间分析： + +由上图可知，滴滴打车在前半段的缓解率是要优于快的打车的，究其原因，应该是滴滴打车在前半段的补贴投入高于快的打车。而后半段滴滴打车不如快的打车，主要是因为滴滴打车在后半段补贴投入突然大幅下降造成的，这种大幅下降甚至造成了率出现轻微程度的负值，是及其不利的。 +3）综合上面分析，可以看出：两个打车公司的补贴方案带来了一定程度的缓解。单从缓解打车难问题看，这种补贴方案缺乏一定的针对性。针对这个问题，我们给出了第三问的分区域动态实时补贴模型。 + +# 5.3 问题三的模型建立与求解 + +针对此问题，我们首先对补贴方案进行定性分析： + +1）缓解打车难不只是要调度出租车来满足乘客的需求，从乘客角度出发，打车软件服务平台也应考虑给予乘客一定的拼车优惠，特别是在上下班交通流量高峰期。由于车流量比较大，，就需要尽量发挥已载有乘客的出租车的剩余载客资源，让高峰阶段的每辆出租车尽量载满乘客，提高载客率。拼车政策可以用积分的形式给车上原有乘客实施奖励，不仅对原有乘客起到激励作用，还可以给后来乘客免费乘车的机会，能够很大程度上调动人们拼车的积极性。 +2）在一些节假日即将到来时，打车软件服务平台可以提前预测流量高峰地点，例如一些景区等等，针对人流量高峰地点以外的其他地区，我们可以使打车软件给予乘客乘车补贴，通过经济干预来平衡人流密度。 + +接下来，我们针对补贴方案，建立相关模型进行定量分析。 + +# 5.3.1 分区域动态实时补贴模型的建立 + +某地区可被划分为若干个区域，以便由总体到局部分别进行分析。为简单起见，我们将其划分为九个区域，抽象为九宫格的形式。 + +假设某一区域内某时刻出租车总数为 $n$ ，该区域内所有的车单数为 $\mu$ ， $c$ 为某时刻每辆车对应的单数，则： + +$$ +c = \frac {\mu}{n} \tag {22} +$$ + +设 $c_{i}$ （ $\mathrm{i} = 1,2,\dots \dots .9)$ 为各区域每辆车对应的单数， $\mu_{i}$ （ $\mathrm{i} = 1,2,\dots \dots .9)$ 各区域的车单数， $k$ 为每接一单司机获得的补贴， $\overline{k_i}$ 为九个区域内每单司机获得的平均补贴， $k_{i}$ （ $\mathrm{i} = 1,2,\dots \dots .9)$ 为每个区域每单司机获得的补贴。某时刻每辆车对应的单数越多，则获得的补贴越多，二者的比值是一定的，据此我们列出方程组： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \frac {k _ {1}}{c _ {1}} = \frac {k _ {2}}{c _ {2}} = \dots \dots \frac {k _ {3}}{c _ {3}} \\ \mu_ {1} k _ {1} + \mu_ {2} k _ {2} + \dots \dots \mu_ {9} k _ {9} = \mu \overline {{k _ {i}}} \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +对方程组进行求解，得到： + +$$ +k _ {1} = \frac {\mu c _ {1} \bar {k} _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {9} \mu_ {i} c _ {i}} \tag {24} +$$ + +$$ +k _ {2} = \frac {\mu c _ {2} \bar {k _ {i}}}{\sum_ {i = 1} ^ {9} \mu_ {i} c _ {i}} \tag {25} +$$ + +以此类推，得出： + +$$ +k _ {i} = \frac {\mu c _ {i} \bar {k} _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {9} \mu_ {i} c _ {i}} \tag {26} +$$ + +由上式可以看出，通过数据采集，可以求出各区域每辆车对应的单数 $c_{i}$ ，各区域的车单数 $\mu_{i}$ ，以及该地区所有区域的总单数 $\mu$ 。只需求得九个区域内每单司机获得的平均补贴 $\overline{k_{i}}$ ，就可得出每个区域平均每单的补贴。 + +我们将时间划分为高峰时段和常规时段两部分，将西安市划分为九个区域。高峰时段为8:30-9:30，17:30-19:30，共3小时，常规时段为剩下的21个小时。设高峰时段每单补贴给司机的金额为 $k_{\text{高}}$ ，常规时段每单补贴给司机的金额为 $k_{\text{平}}$ 。我们假定 $k_{\text{高}} = 2k_{\text{平}}$ ，即高峰时段平均每单的补贴是常规时段平均每单补贴的2倍，同时假定公司对于每辆车每单的平均补贴金额为2元，据此可列出以下等式： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \frac {3}{2 4} k _ {\text {高}} + \frac {2 1}{2 4} k _ {\text {平}} = 2 \\ k _ {\text {高}} = 2 k _ {\text {平}} \end{array} \right. \tag {27} +$$ + +对式（28）进行求解，得到： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} k _ {\text {高}} = 3. 5 6 \text {元} \\ k _ {\text {平}} = 1. 7 8 \text {元} \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +将高峰时段和常规时段的补贴方案代入式（27），可以得到不同时间段每个区域的补偿方案。不停地切换时间，可以得到不同时间不同地点的补偿方案。 + +# 5.3.2 模型求解及结果分析 + +我们使用此模型，对西安市进行网格划分，结合“滴滴快递智能出行平台”9月11日（周五）13:00~20:00的数据，进行当天的动态补偿方案的制定。 + +当天的某时刻出租车和车单分布如下图所示： + +![](images/154fcdb30cf51b395ea93601750b5b811abea78ed518b3518ea799ea38a851ae.jpg) +图89月11日某时刻西安市出租车和乘客数目分布 + +当天的出租车数目和车单数如下表： + +表 3 9 月 11 日西安市出租车数目 + +
常规时段出租车数高峰时段出租车数
13:00018644717:0024120961
113548428346441271578
1709290147115711010
14:004616692218:0029112117
11273705949511931550
139127514877091767
15:005013359619:00251003119
1530226311976751116390
1038113344842103724
16:00378564220:0045800124
106613207217781853509
11671225308209880
+ +表 4 9 月 11 日西安市车单数 + +
常规时段车单数高峰时段车单数
13:00238717:00143919
4264469921631
4480215625422
14:0013221318:0045228
2184465817371
611041829730211
15:0019328919:0025224
36125377117850
1102032216715521
16:0020293220:0022520
7211748417626
117134209712522
+ +由以上数据可以计算出当天的动态补贴方案： + +表 5 动态补偿方案 + +
常规时段补贴(元)高峰时段补贴(元)
13:008.221.138.2217:0010.940.605.84
2.040.733.052.883.191.01
1.421.522.352.534.3310.94
14:006.510.3013.6118:001.560.5318.67
0.430.521.121.292.111.46
1.010.878.644.373.731.86
15:002.870.187.0119:001.651.074.15
0.180.420.232.163.282.64
0.801.353.784.083.0718.00
16:006.010.388.4720:001.651.166.00
0.750.990.741.961.531.90
1.111.227.414.404.716.00
+ +可以看到13:00处的第一网格以及17:00处的第一网格等乘客多而车少的地方得到了较高的补偿，我们认为这样的补偿可以促进出租车的合理流动，增大乘客和出租车之间的供需匹配程度。 + +现对我们补偿政策的效用进行验证，以第一问中的仿真模拟为基础，将出租车移动的方式由随机游走改为有较大的概率向c值较低的地方行驶，得到几个指标值如下图所示： + +![](images/e864ae67a1784f1cb75ef97fdaa18b628be1cb1d94346ce1a98ffa6ef3097e40.jpg) + +![](images/71e3e557d9c627d642321ad200711e00522f89709a1e1070d7d2de20b4580e4f.jpg) + +![](images/19464ab112914fe486ffcc24a1094c714e192d3a01f9edd57a622077f45664c1.jpg) +图9补贴前后指标变化 + +可以发现，通过对以上动态补贴方案的论证，供需匹配程度得到了较好的改善，证明我们提出的分区域动态实时补贴方案是合理的。 + +# 六、模型的评价 + +# 6.1 模型的优点 + +1）该模型以人为本，以司机愿意行驶的最大距离为半径画圆，通过观察圆覆盖的出租车数来衡量供需程度，该指标比较新颖且合理，不同于传统的空驶率、万人拥有量、等指标，具有创新意义。 +2）运用模拟的方式进行数据采集，得到了具体数据结果，有较强说服力，较好的解决了数据缺乏的问题。 +3）在第三问中，我们提出了分区域动态实时补贴模型，使补贴随着不同情况呈现动态变化，相较于原有的盲目全面补贴更有针对性。 + +# 6.2 模型的缺点 + +由于真实数据难以搜集全面，数据缺乏的问题使得我们无法对模型进行强有力的支撑与验证，只能通过程序的模拟间接处理。 + +# 七、模型的改进与推广 + +# 7.1 模型的改进 + +该模型没有对打车软件公司的成本给予过多考虑，使得考虑可以考虑在涉及补偿方案的时候加入打车软件公司成本等限制因素。 + +# 7.2 模型的推广 + +本文是对出租车资源配置进行了分析与评价，我们可以将其推广至载人摩托车，人力车等资源配置问题，并加以改进，具有很强的现实意义。 + +# 八、参考文献 + +[1] 衡量出租车供求的三大指标——里程利用率、车辆满载率、万人拥有量，http://wenku.baidu.com/link?url=o5vDb7x1hv1eQBfGaULjdCCTkXmR_nXwedmLa_Z79NzZc_ZD NyJgrvCECnWP4AXSHbqp2jwXrA-lrWvfqgowENjDF_0DHqUgdPhxVFixNtu，2015-9-12。 +[2] 苏为华，浅谈测量市场商品供需平衡程度的统计指标[J]，商业经济与管理，1993（2）：1993。 +[3] 李冬新 桑洁，滴滴打车的营销策略与发展对策研究[N]，青岛科技大学学报(社会科学版)，31（1）：2015。 +[4] http://v.kuaidadi.com/,2015-9-13。 +[5] 西安市居民出行调查领导小组办公室，西安市居民出行调查总报告[R]: 2009(6)。 + +# 附录 + +# Matlab主程序： + +clear all + +% 数据结构设计 +$\%$ passengers: +$\%$ [出发点横坐标，出发点纵坐标，目的地横坐标，目的地纵坐标，出行里程] +$\%$ 即 $[xs,ys,xd,yd,l]$ +% taxis +$\%$ [出租车位置横坐标，出租车位置纵坐标，出租车被占用里程] +$\%$ 即[x_taxi,y_taxi,lo] +% + +r_valid = 2/10; %出租车有效覆盖半径 + +$$ +\max = 1 1 1 ^ {\star} \cos (\text {p i} ^ {\star} 3 4 / 1 8 0) ^ {\star} 1. 4; +$$ + +$$ +\mathrm {y m a x} = 0. 7 * 1 1 1; +$$ + +$$ +\max = \max / 1 0; +$$ + +$$ +\mathrm {y m a x} = \mathrm {y m a x} / 1 0; +$$ + +$$ +\text {p s n g e r} _ {\text {t o t a l}} = 8 0; +$$ + +$$ +\text {t a x i} = 1 5 2; +$$ + +%先生成5000个出发点 + +for i = 1:psnger_total + +passengers(i,:) = gen-passenger(); + +end + +for i = 1: taxi_total + +taxis(i,:） $=$ gen_taxi(); + +end + +figure(5) + +scatter(taxis(:,1)*10,taxis(:,2)*10) + +```matlab +xlabel('x(km)') +ylabel('y(km)') +all_B = []; +all_K = []; +for i = 1:200 +``` + +% 首先更新出租车状态 + +$\mathrm{lc} = \mathrm{taxis}(:,3) - 0.01;\%$ 出租车被占用里程 + $\mathrm{lc}(\mathrm{lc} < 0) = 0;$ $\mathrm{taxis}(:,3) = \mathrm{lc};$ + +%空车随机一个方向前进 0.01 + +validlines $=$ find(1c $\equiv = 0$ ）; +all_K=[all_K,1-length(validLines)/taxi_total]; +for m $=$ 1:length(validlines) +k $=$ validlines(m); +while(1) degree $= 2^{*}\mathrm{pi}^{*}$ rand();%出行方向 new_x $=$ taxis(k,1) $+0.01$ .\*cos(degree); new_y $=$ taxis(k,2) $+0.01$ .\*sin(degree); if(new_x>=0 &&new_x<=xmax &&new_y>=0 &&new_y<=ymax) taxis(k,1:2) $=$ [new_x,new_y]; break end end end + +乘客加入系统 + +add-passengers_total = 4;%round(normrnd(10,3)); +add-passengers $=$ zeros(add-passengers_total,5); +for $\mathrm{n} = 1$ :add-passengers_total add-passengers(n，:) $=$ gen_passenger(); + +end + +passengers = [passengers; add_passengers]; + +%计算各乘客视野内出租车数目 + +for $j = 1$ :length(passengers) + +p = passengers(j, :); + +if isnan(p(1)) + +continue + +end + +temp_tax $=$ taxis; + +$\%$ 被占用的出租车不参与打车 + +invalidlines $=$ find(temp taxis(:,3)>0); + +temp_taxis invalidlines,:) $=$ nan; + +$\text{念}$ 然后是乘客乘车 + +r = sqrt((temp_tax(:,1)-p(1)).^2+(temp_tax(:,2)-p(2)).^2); + +taxi_num = find(r109.4), (34->34.7) +% xmax = 111*cos(pi*34/180)*1.4 = 129 +% ymax = 0.7*111 = 78 +``` + +$\begin{aligned} & \text{xmax} = 111^{\star}\cos (\text{pi} *34 / 180)^{\star}1.4 / 10; \\ & \text{ymax} = 0.7^{\star}111 / 10; \\ & \text{ux} = \text{xmax} /2;\text{uy} = \text{ymax} /2; \\ & \text{sigm} = \text{xmax} /2 / 3;\text{sigm} = \text{ymax} /2 / 3; \\ & \text{th} = 6.5 / ((\text{pi} /2)^{\wedge}0.5); \\ & \text{while} (1) \\ & \text{xs} = \text{normrnd} (\text{ux},\text{sigmax});\% \text{出发点横坐标}\\ & \text{ys} = \text{normrnd} (\text{uy},\text{sigmay});\% \text{出发点纵坐标}\\ & \text{if xs<0 || xs > xmax || ys<0 || ys > ymax}\\ & \text{continue}\\ & \text{end}\\ & \text{d_go} = \text{sqrt} (-2^{\star}\text{th}^{\wedge}2^{\star}\log (1 - \text{rand})) / 10;\% \text{出行距离}\\ & \text{degree} = 2^{\star}\text{pi}^{\star}\text{rand});\% \text{出行角度}\\ & \text{xd} = \text{xs} +\text{d_go}.^{\star}\cos (\text{degree});\\ & \text{yd} = \text{ys} +\text{d_go}.^{\star}\sin (\text{degree});\\ & \text{if xd >= 0 && xd <= xmax && yd >= 0 && yd <= ymax)}\\ & \text{ret} = [xs,ys,xd,yd,d_go];\\ & \text{break}\\ & \text{end} \end{aligned}$ + +end + +end + +# 子程序2: + +```matlab +function [ ret ] = gen_taxi( input_args ) +%UNTITLEED4 Summary of this function goes here +% Detailed explanation goes here +xmax = 111*cos(pi*34/180)*1.4/10; +ymax = 0.7*111/10; +ux = xmax/2;uy = ymax/2; +sigmax = xmax/2/3;sigmay = ymax/2/3; +while(1) + x = normrnd(ux,sigmax);%出发点横坐标 + y = normrnd(uy,sigmay);%出发点纵坐标 + if x>=0 && x<=xmax && y>=0 && y<=ymax + break + end +end +ret = [x,y,0]; +end +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2015/B285/B285.md b/MCM_CN/2015/B285/B285.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a4726400fb7b19af8ef6686fe32e0b05bee1608b --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2015/B285/B285.md @@ -0,0 +1,863 @@ +# “互联网+”时代的出租车资源配置 + +# 摘要 + +随着当今社会信息技术的飞速发展和智能移动终端的普及，“互联网 $+$ ”时代飞速到来，基于智能手机的互联网应用应运而生。本文应用非线性拟合的手段，结合图像分析，研究了传统出租车市场不平衡的供需关系在新环境下的现状；进一步的，根据智能城市理论，对于已有数据进行聚簇分析，化简了繁冗的现实模型，模拟了出租车搜寻、载客的行为模式，并建立了定量评判各公司对于缓解打车难问题的数学模型；最后我们引入社会福利最大化模型，考察对于司乘双向的补贴方案的合理性，并得出了在具体情况下的最佳补贴方案。 + +针对问题一，我们依据工作日和节假日的抽样数据，利用插值法绘制不同时段、不同位置的上海市出租车分布、乘客需求量分布、乘客等待时间的3D图像，并利用聚簇的思想选取市区和郊区的代表性地段，得出衡量供求关系的平均空驶率K的单日变化情况。随后，我们根据Morisugi的社会福利最大化理论，引入了供求满意度函数f，建立了出租车供求关系平衡的数学模型，运用聚簇方法、非线性拟合思想和Origin工具得到了上海市区的供求平衡模型，并将其利用于评价上海市出租车资源“供求匹配”程度上。 + +针对问题二，我们借鉴智能交通领域关于城市街道的研究经验，对选定的城区进行网格状划分；使用网格近似处理行车轨迹、以网格作为聚簇的基本单位、运用数据挖掘方法得到最短路径矩阵和需求矩阵，并计算了出租车完成两地间交易的概率矩阵，从“使用打车软件但不进行补贴”的情况出发，给出了最初的吸引力函数；从实际的物理意义出发，引入了始末地点间最短距离和目标地需求量，进而建立了总空驶里程的考察指标；之后，我们又考虑到当给予双向的司乘补贴后，乘客与司机两方面的心理预期会发生改变，进而改写了原有吸引力函数，并由此建立出不同补贴政策对于出租车行为影响的模型，最终用以评价不同补贴方案对于缓解打车难这一现实问题的具体情况。 + +针对问题三，我们沿用问题二的网格模型作为数据来源，并引入了社会总福利最大化模型，定义了司机剩余价值和乘客剩余价值，从而得出了研究社会内的总福利的函数模型。通过控制变量方法，将社会总福利函数改写成为具体研究对象，即，双向补贴金额的因变量，建立二元函数关系，并通过研究非线性问题的图像来优化求解最佳的补贴方案。 + +最终，我们结合实际的打车软件以及出租车使用情况，对之前的所有模型进行了客观的评价。 + +[关键词] 供需关系 时空分布 聚簇分析 智能城市 社会福利最大化模型 + +# 1 问题的重述与提出 + +# 1.1 “互联网 $+$ ”时代的出租车行业概况 + +随着网络通信技术的不断发展和智能手机等移动终端的迅速普及，打车软件正在全国范围内兴起，并且大有改变传统出租车市场的趋势。当前出租车市场面临的主要问题，用三个字概括就是“打车难”。其原因有三： + +一是出租车绝对数量供给不足，出租车数量的国家标准为“大城市每万人不宜少于20辆”，多数城市都远远达不到这个标准。出租车市场的绝对需求大于绝对供给导致卖方市场，司机处于优势一方，乘客处于劣势一方，使得出租车价格较高。 + +二是由于信息不对称，出租车相对数量供给不足。想打车的人不知道哪里有车，出租车不知道哪里有人打车。这样必然会造成出租车有效资源的大量浪费，在绝对数量不足的情况下，雪上加霜。更加会出现不可思议的空驶率高和打车难并存的怪现象。 + +三是部分司机选择性停运，原因在于出租车司机不愿出车或选择性出车，导致道路上行驶的出租车数量少。正是由于出租车市场的不均衡，需求远远大于供给。出租车司机处于优势地位，便会去挑选客人、路线、地点等，从而产生司机拒载的现象。 + +打车软件出现之后，对由于信息不对称产生的打车难现象有所缓解，并且使得司机也可以选择周边的乘客进行服务，宏观上来看，减小了无效空驶旅程，并增加了燃油利用效率。不仅如此，由于打车软件是新兴事物，其渴望占有原出租车市场的行业份额，故必然会提出各项补贴的政策，从而刺激消费者群体的积极性，并建立司机群体中的使用习惯。打车软件公司在决策过程中遇到了一系列的问题，而这些问题就是本文探讨的重点。 + +# 1.2 需解决的问题 + +出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。 + +请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题： + +(1) 试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。 +(2) 分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？ +(3) 如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。 + +# 2 符号说明 + +$K$ ：一段时间内簇内平均空驶率 + +$T$ ：簇内平均等待时间 + +t: 真实时间 + +$Q$ ：居民出行需求 + +A: 社会环境衡量参数 + +$(K_{0},T_{0})$ ：供求平衡点 + +$Q_{i}$ ：从地点i出发的总需求量 + +$D_{j}$ ：到达地点j的车辆总量 + +$E_{i}$ ：地点i附近的空驶车总量 + +$p_{ij}$ 司机选择从地点i到地点j的概率 + +# 3 基本假设 + +(1) 针对短时间内的同一个社区模型，认为其社会环境系统是不变的； +(2) 针对短时间内的同一个出租车交通系统，认为其出租车总数量是不变的； +(3) 假设驾驶员选择行为的随机性满足二重指数分布； + +(4) 假设不考虑天气、突发事件等非人为可控因素的影响； +(5) 认为问题中给出的数据能客观反映现实情况，值得相信； +(6) 默认打车请求都被受理； +(7) 忽略行业内部不正当竞争等隐形因素对模型的影响； +(8) 将出租车个体视为质点，且不考虑城市道路堵塞等诸多因素的影响； + +# 4 问题分析 + +# 4.1 问题（1）的分析 + +该问题要求建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。本文基于“苍穹——滴滴快的智能出行平台”[1]中使用滴滴打车的出租车以及用户的行为情况，建立了供求匹配情况下的出租车模型，并用以评价上海市的出租车资源“供求匹配”程度。 + +衡量出租车运营情况的最直观数据就是出租车的位置分布，衡量出租车需求程度的最直观数据是打车人数即请求单数的分布，而直接和打车软件用户体验相关联的数据则是乘客打车时间，这里我们用接单时间来衡量。由于空驶率K可以对应出租车供应量，而乘客等待时间可以对应出租车需求量，故两者的函数关系可以作为衡量供应量的指标。通过对以上三个基本数据进行分析，我们得出可以用空驶率K和乘客等待时间T作为衡量供求情况的具体指标。通过考察城区和郊区全天24小时的K变化规律，我们得出空间（城郊）和时间（全天）两个维度的供求关系分布情况。 + +这部分我们分为三个部分进行探讨： + +先，我们想确定在某个时间段内，研究上海市出租车粗略的空间分配情况。我们对某工作日和节假日进行抽样，使用插值的方法在Matlab中分别绘制出了这一天低峰10：00、高峰17:00时段，全上海市的采样点地理位置(经度x,纬度y)与出租车分布、乘客需求量分布、以及等待时间的三维图像，为进一步讨论打下了基础。 + +接下来，我们想讨论时间对于出租车分配调度的影响。由于数据量过大，且不同数据指标取样点的空间位置不是严格对应的，我们利用集簇的思想，选择了20个具有代表性的商圈以及城郊，并根据具体位置选择合适的半径，囊括其周边的采样数据点，并算出平均等待时间，作为某一具体时刻，具体地点的供求分配程度的量度。我们选择出具有代表性的商圈与城郊，考察他们在工作日、非工作日的情况，并作出了其周边一天内平均空载率Kave与真实时间t的二维图像。 + +最后，我们引入了供求满意度函数f，建立了出租车供需关系平衡的数学模型，并综合第二部分中的数据，利用曲线拟合工具得到了上海市区的供需平衡模型，并将其利用于评价上海市出租车资源“供求匹配”程度。 + +# 4.2 问题（2）的分析 + +该问题要求分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助。为了更客观的研究整个出租车模型，我们想要建立一种合适的模拟过程方案，可以体现出在用打车软件的情况下，有无补贴以及补贴力度不同时出租车盈利、行为模式的不同。 + +此时为了在大量的数据中选取合适的研究对象，我们查阅资料后发现，可以应用智能城市过往研究方法网格化我们的地图，并进行近似处理。 + +“打车难”具体可以表现为出租车总空驶路程：即空驶路程越长，说明司机浪费在搜寻乘客的路途上越长；反之，则说明乘客打车难受到了缓解。 + +在第一问的基础上，我们注意到此时的重点是考察补贴方案不同时，出租车盈利、行为模式有何不同。我们认识到补贴是双向的，既有用户的红包奖励，还有对司机的奖励或者燃油补助。所以，我们在思考后决定，将这两个方面用参数的形式体现在我们建立的模型中。并且，我们还提出了多种可能合适的数学模型进行研究，用以分析补贴对于“缓解打车难”的帮助情况。 + +# 4.3 问题（3）的分析 + +该问题要求讨论如果要创建一个新的打车软件服务平台，什么样的补贴方案比较合适，并论证其合理性。我们认为全文的研究范畴更为理想化，而不涉及公司竞争市场份额行为，更偏向于解决当今的“打车难”问题。 + +所以，本文以提高总体社会福利为总目标，考察不同的补贴方案对社会带来的影响。首先，本文结合经济学中的柯布道格拉斯函数，确立了社会福利中司机和用户的剩余价值考察方式，并由此推导出了社会总福利函数。进一步的，根据问题（2）中对于空驶路程的表达得到了社会总福利函数与司机补贴金额和用户补贴金额的二元函数，并以此确定了短期内动态的补贴方案。 + +除此之外，我们还注意到实际情况中存在拒载、爽约、空车不停等现象，故在全文的最后对几个在具体决策过程中值得关注的方面进行了定性分析，优化理论模型，得出了公司决策的最终方案。 + +# 5 模型建立与求解 + +# 5.1 问题（1）的模型建立与求解 + +根据题目要求，从数据平台获取资料之后，我们首先粗略考察了在时间维度不变的情况下，上海市内空间与出租车配布、用户需求以及用户等待时间的分布关系。为了进一步在时间上讨论出租车资源的供求匹配程度，我们选择不同时间，及节假日、工作日中打车高峰以及平常时间段作为考察变量。此时，注意到出租车配布取样点和用户需求取样点是不完全一一对应的，所以我们又利用集簇的思想，将数据处理在既定的商圈与郊区的范围内，从而有效规避了此问题，并且精简了数据规模，使结果更加直观，得到了一天内各时段出租车平均空载率K与真实时间t的二维图像。最后，我们建立了供求满意度函数 $\mathrm{T} = \mathrm{f}(\mathrm{K})$ 作为指标，得了出租车供需关系平衡的数学模型，并综合第二部分中的数据，利用Origin曲线拟合得到了上海市区的供需平衡模型，并将其利用于评价上海市出租车资源“供求匹配”程度。 + +# 5.1.1 数据的获取 + +针对“苍穹——滴滴快的智能出行平台”网站提供的数据，利用Python语言和urllib2等基本的Python抓包工具编写爬虫，获得了从5月18日起至9月10日110天左右的上海市全市出租车数量分布、请求单数和用户等待时间三组数据。每组数据均为每小时采样一次，每日24次采样，每次采样选取全市300个左右采样点（可能存在低谷时段不足300个采样点的情况）。考虑到工作日和非工作日的人口流动特点有很大不同，我们对5月中旬以来的法定节假日、双休日[2]进行筛选，在后续的研究过程中将其与平常工作日分开考察。由此得到了本问题的原始数据。 + +此外，还应注意到我们的数据来源仅为占主要市场份额的滴滴快的公司，并不能代替全部出租车的运营情况。 + +# 5.1.2 建立出租车分配等指标在时间一定时的空间分布 + +得到数据的基础上，我们随机考察了某天的客流高峰并设另外两个时段作为对照，引入出租车数量、请求单数、用户等待时间作为考察指标。运用MATLAB仿真软件对采集数据进行处理，我们得到了若干张空间分布图。受每小时采样数量限制，采样点坐标选择较为随机和松散，因此我们在MATLAB内置的griddate函数中将method模式参数的取值定为'v4'，否则在超出数据范围或某些区域数据点较少的情况下将会得到不可导曲面。 + +最终结果如图所示： + +根据我们收集到的数据，我们将考虑以下几个指标，包括接单时间长度，请求单数，和出租车数量，其中将发出的单量视为打车的需求量。通过在时间上高峰和低峰时段的对比以及在空间上市中心和郊区的对比，可以看到市中心和郊区在三个指标上都有比较明显的差异，从中我们可以得到以下几个直观的信息： + +(1)市中心与郊区相比，可以看到市中心具有接单时间长，需求量大的特点。 +(2)很有意思的情况是，通过对曲面的观察，无论在高峰还是低峰时段，可以看到到市区内的出租车量相对于郊区来说是较少的。对此我们根据对数据的分析提出了两点假设，首先是出租车分布不均可能来源于乘车的需求，由于工作、生活等种种原因，郊区的人进入市中心的需求比较高，而市中心居民的活动范围比较小，所以出租车较多的在郊区和市中心往返，停留在郊区的几率比较大；另一方面，城区的人收入普遍较高，可能更多的采取私家车出 + +行的方式，所以会出现市中心车辆相对少的情况。 + +![](images/a7ca02d145f9a308d8abc31d0c41cc86188123a12c0826fe77093e8404ba988e.jpg) +Figure 1: 10时出租车分布 + +![](images/974ccb3eb6b8e6eac49b3c6c4845bbc60a87b0031b6dcb634c618b6c8040a286.jpg) +Figure 2: 17时出租车分布 + +![](images/ea5291a5bfee88abe9b64c79f22bc896018ba0a98872892eb68f96ee164e7483.jpg) +Figure 3: 10时出租车需求量 + +![](images/94a7d9a4f9318d36c0e1cca3e84e43361c71adb9170aad329a690f2f7a7bda4c.jpg) +Figure 4: 17时出租车需求量 + +![](images/3b47d5d0b37e42c3c2f6d806a27f7f06f1281f196412fa8c0f3dece619d1b8c2.jpg) +Figure 5: 10时接单时间 + +![](images/6a1a2efd60c1d47a85a6326704a193191e87d24cec5ad8d4167fb4faf0a5cb94.jpg) +Figure 6: 17时接单时间 + +(3)高峰时段与低峰时段对比，我们可以观察到高峰时段具有接单时间长，请求单数多的特点。 +(4)在高峰时段，出租车的量分布的相对比较均匀，而在低峰时间段，出租车量具有很明显的峰值，通过经纬度对应，出租车集中的点存在于闵行-松江一带，与前文观察到的出租车集中于郊区的结论相一致。 + +所以由上面几个图我们基本可以看出出租车时空分布上存在不均匀的情况，可能由于出租车司机有拒载的情况，使得出租车司机自己去挑选客人，从而导致选择性出车使得道路上行驶的出租车数量减少了。 + +# 5.1.3 建立平均空驶率指标在空间一定时的时间分布 + +根据从数据平台所得到的资料，我们拟引入供求因数Q作为一项指标来初步衡量供求情况，有： + +$$ +Q = N - D \tag {1} +$$ + +其中：N为出租车数量；D为请求单数。 + +但是，仔细研究后发现，我们的采样点中，N与D是由不同的采样点得来的原始数据，由此空间上的经纬(x,y)会有细微差别，不能再使用线性或者v4等插值方式拟合曲面作差得Q，否则得出的参数将因为两次拟合而偏差过大。 + +所以，我们引入了聚簇的概念，将所有的数据点按照我们选择的20个具有代表性的商圈以及城郊区域，根据适当的半径（商圈1km，城郊10km）进行划分。其中经纬度根据利用MapGIS等地理信息系统工具获取的信息，在上海地区的大致转化尺标为： + +$$ +\begin{array}{l} \text {纬 度}: 1 \text {度} = 1 1 0. 9 4 \mathrm {k m}, 1 \text {分} = 1. 8 4 9 \text {公 里}, 1 \text {秒} = 3 0. 8 \text {米} \\ \text {经 度 ：} 1 \text {度} = 8 5. 2 7 6 \mathrm {k m}, 1 \text {分} = 1. 4 2 \text {公 里}, 1 \text {秒} = 2 3. 6 9 \text {米} \\ \end{array} +$$ + +另外，在一个城市出租车合理分担率已确定的基础上，出租车空驶率是表征出租车供给水平的一项重要指标，可用出租车空驶率来表示出租车供给水平： + +$$ +K = J \left(A _ {0}, Q\right) \tag {2} +$$ + +其中：K—出租车空驶率；Q为居民出行需求； $A_0$ —出租车特定的社会环境系统。 + +出租车空驶率分为时间上和空间上的空驶率，时间上的空驶率是指一定时间内出租车空驶时间与总的行驶时间的比值；空间意义上的空驶率是指在一定时间内出租车空驶里程与总的行驶里程的比值。结合本文中所采用数据进行适当定义改写，得到： + +$$ +K = \text {(总 车 辆 － 需 求数)} / \text {总 车 辆} +$$ + +在本文中的出租车的空驶率是从空间意义上讲，在一定供给水平下，当出租车需求越高，这时出租车空驶率也就越小；当出租车需求越小，这时出租车空驶率也就会越大。 + +所以在集簇之后，我们选择簇内平均出租车空载率作为指标，重新处理数据，处理数据后得到17个上海地标位置以及城郊区域的K与真实时间t的关系，选择其中4张如表1所示： + +由于数据量较大，我们最终选择人民广场，以及闵行东川路附近作为具体样本作折线图，分别得到了商圈与郊区的工作与节假日内24小时的变化情况，如图7-10： + +由K-T对折线图我们可以得到以下几个结论: + +(1) 同一天横向比较发现，市中心附近的空驶率整体上较城郊地区要高，并且在工作日与休息日时有一样的趋势，即市区的供求关系较城郊地区供求关系相对缓和。 +(2）比较休息日与工作日的K分布趋势发现，在工作日的早晚高峰时间段，K均处于曲线上较低的位置；而在休息日时，则没有类似现象。此现象符合常识规律，因为休息日早晨出行人数较少，且晚高峰时间段均属于用餐时间，故打车需求也较少。 +(3) 由于使用打车软件的人只占一部分，所以仍然存在很严重的信息不对称，导致出租车资源配置不合理。也就出现了高空载率和打车难并存的情况。 + +![](images/fbba4562e316c82c97e40dd09da062cf5fcd8f56b4b1f6c3662b3a530c3c6dbd.jpg) +Figure 7: 东川路休息日k-t + +![](images/fd4711d8d36fe1b17e330ac9f43e9dca0c5b553b7601a729395f09f8bd982edf.jpg) +Figure 8: 人民广场休息日k-t + +![](images/a8bba77fcd020a6acdd3087625dd65579851e6f02bbb48675f022a3d4e8b8570.jpg) +Figure 9: 东川路工作日k-t + +![](images/b5e801363f507706053792ae3bd58cbf788a316b2d1d3245ac2bdcca09b6b51e.jpg) +Figure 10: 人民广场工作日 k-t + +# 5.1.4 建立出租车供需平衡状态下的出租车使用模型 + +通过前两点的分析，粗略得到供小于求的结论，但是度量标准上还是趋于朴实单一，由此，我们接下来将提出一套较为全面的度量模式，供数据信息支持情况下使用，并将应用于上海供求匹配程度的评价中。 + +模型的建立根据Morisugi[3]提出的社会福利最大化模型，当对社会活动系统中的出租车需求进行分析时，我们用出行需求Q来表示，因此交通运输需求模型可表示为： $Q = D(A, S)$ + +其中：Q—居民出行需求；D—需求函数；A—社会环境系统；S—服务水平。 + +因此居民出行需求由社会环境系统A和服务水平S共同决定。从国内外发展的历程可以看出，当社会活动越频繁，居民出行需求越大，因此，Q与A成正比；当社会环境系统一定的情况下，服务水平越高，人们的出行意愿越强，因此出行需求也就越高。 + +当影响出租车需求的城市经济发展水平、城市规模、自然地理条件、城市交通环境等外界因素一定的情况下，出租车需求主要由出租车服务水平决定。而当出租车车型、驾驶员行为、价格体系以及道路状况一定的情况下，出租车需求主要由乘客最长等车时间来决定。当出租车乘客可接受的等车时间越短，则出租车乘客对出租车供给水平要求越高；反之，当出租车乘客可接受等车时间越长，则出租车乘客对出租车供给水平要求越低。 + +所以进一步的，我们修改了原有模型，在出租车车型、驾驶员行为、价格体系以及道路状况一定的情况下，出租车需求可表示为： + +$$ +Q = D \left(A _ {0}, T\right) \tag {3} +$$ + +其中：T—出租车乘客最长等车时间；A0—出租车特定的社会环境系统。 + +带入到式（3）中，即可得到K与T关系表达式： + +$$ +K = J \left(A _ {0}, D \left(A _ {0}, T\right)\right) \tag {4} +$$ + +在本文中探讨的都是上海市这一固定社会环境的问题，且注意到J的反函数是存在的，故上式可重新表述为： + +$$ +T = J ^ {- 1} (K) = f (K) \tag {5} +$$ + +表达式的意义在于： + +对于上海市，出租车需求度量指标K与供应度量指标T之间存在固定关系f，由此确立了出租车供需平衡状态下的出租车使用模型。 + +通过研究出租车空驶率与出租车乘客最长等车时间之间的关系发现，出租车空驶率越大，乘客最长等车时间越短，当空驶率增大到一定程度后，乘客最长等车时间将趋于一个最小值而不再变化；反之，出租车空驶率越小，则乘客最长等车时间越长，且当空驶率减小到一定程度后，乘客最长等车时间将趋于一个最大值而不再变化。 + +故理想曲线f可以得到类似图x的关系： + +图中 $T_{0}$ 为乘客愿意最长等待时间，可反映出对服务满意程度，与之对应的 $K_{0}$ 则为供求平衡下的出租车空驶率。 + +由第二问中处理后的数据，可作散点图，并导入Origin中拟合最佳曲线。 + +对于最佳拟合，希望能将模型误差和测量误差对曲线拟合的影响减至最小。目前，使用较多的拟合函数有一阶指数衰减函数模型和指数模型，也有学者选择Fourier对曲线进行分析。本文通过使用一阶指数衰减函数、指数拟合以及Fourier拟合方法，最终发现一阶指数衰减函数拟合效果最佳，并得函数拟合图线，如下： + +对于每一既定时空（K,T）对，均可在f空间上找到对应点，结合实际意义后得出结论： + +(1) 当其落在曲线下方时，表示K一定时，用户愿意最长等待时间小于平均值，此时供大于求； + +(2) 当其落在曲线上方时，表示K一定时，用户愿意最长等待时间大于平均值，此时供小于求； +(3）当且仅当其落在 $(K_0,T_0)$ 时，供应于求；当其落在曲线的其他位置时仍处于供求不匹配的情况。 + +在散点图中可以看到，大部分的点落在曲线的上方，也就是供小于求的情况占大多数，数据分析的结果也与实际“打车难”的结果相符。每万人出租车仅为十辆左右，距离"大城市每万人出租车不宜少于20辆"的国家标准还有相当大的差距。绝对需求远大于绝对供给，由于司机处于优势的卖方市场和国家价格管制两方面并存，导致了市场不能达到平衡点，所以会出现很严重的供不应求的情况。另一方面，由于信息不对称的关系，造成出租车有效资源的 + +大量浪费，在绝对数量远远不足的情况下，就会导致不可思议的空驶率高和打车难并存的怪现象。 + +![](images/e61932cd2acd43ed3f799dce1c34f1e073dd6742621aca63f5616ee86291c5a9.jpg) +Figure 11: 理想k-t图线 + +![](images/dc6d865ec4aba783904c8da4be9b50c81e5b6d55c92342b248c1f7fbb37fb109.jpg) +Figure 12: 函数拟合图线 + +# 5.2 问题（2）的模型建立与求解 + +本环节将模拟出租车司机的行为模式：软件后台系统实时维护着所有出租车的状态，在接收到一个用户请求后，搜索出满足新用户条件和车上已有乘客条件的最优的车。这里的最优是指出租车去接一个新的用户所增加的里程最小。该研究成果可以为城市节约大量的燃油、减少污染物排放量，大大提高整个出租车系统的运送能力，缩短乘客的等待时间，降低乘客的打车费用并提高司机的收入[4] + +我们根据大数据与智能交通领域以往关于城市街道的研究，使用网格近似处理行车轨迹，并根据已有数据得到相应需求，引入补贴对于乘客与司机两方面的心理预期改变参数，并由此建立出不同补贴政策对于出租车行为的影响，具体表现为出租车空驶里程的改变量。 + +# 5.2.1 模型的提出与建立 + +考察网格图 $G(A, E)$ ，其中 $A$ 为考察点集， $E$ 为点间的网格线段集，设 $I$ 、 $J$ 分别为乘客出发、到达点集，则有 $I$ 、 $J$ 为 $\mathrm{E}$ 的子集。 + +现在我们假定出租车到达目的地以后不作停留，立即出发寻找下一单乘客；同时，我们假定乘客与到达后的出租车均集中在网格中心点，这样的好处在于：根据以往关于城市智能规划的研究，可以使用网格边沿距离近似代替实际街道，并简化了数据模型。 + +取 $i\in I,j\in J,$ 对于地点 $i$ 到 $j$ 的乘客需求总量 $q_{ij},Q_i$ 为从 $i$ 出发的需求总量，有： + +$$ +Q _ {i} = \sum_ {j \in J} q _ {i j} \tag {6} +$$ + +$D_{j}$ 到达地点 $j$ 的车辆总到达量，有： + +$$ +D _ {j} = \sum_ {i \in I} q _ {i j} \tag {7} +$$ + +定义地点 $i$ 到 $j$ 的最短网格路径 $d_{ij}$ , 并联系实际意义, 对 $d_{ij}$ 的取值进行修正, 得到: + +$$ +d _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} | \bigtriangleup x | + | \bigtriangleup y | & O _ {i} \neq 0, \\ \infty & O _ {i} = 0. \end{array} \right. +$$ + +(8) + +考虑地点i附近的空驶车总量 $E_{j}$ ，且联系实际，到达地点j之后载客出租车在乘客下车后均转化为了空驶出租车，因此有： + +$$ +E _ {j} = D _ {j} = \sum q _ {i j} \tag {9} +$$ + +$$ +p _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {e x p [ \theta (- d _ {i j} + \mu Q _ {i}) ]}{\sum_ {k \in J} e x p [ \theta (- d _ {i j} + \mu Q _ {i}) ]} & i \neq j, \\ 0 & i = j. \end{array} \right. +$$ + +(10)式子中 $\theta$ 为司机个人特征修正值，越大代表对网格及需求等特征之的不确定性越小，也就是对于路网及需求等特征值的不确定性越小，即掌握的情况越精确； $\mu$ 为将出行需求对效用值影响转化为出行距离对效用值影响的转换系数 + +# 5.2.2 数据处理方式与过程 + +由于网格图较实际地图在功能区划分、道路表示和运输能力衡量等方面更加抽象，也更易于基础模型的展开，所以我们选择将前述网格图G(V,E)映射到上海市实际城区地图中，利用网格化了的地图来考察出租车在城市各区域间的运动情况5。希望以此得出研究范围内全部出租车辆空载里程总和的期望值。为此，我们将选择上海市某日晚高峰时段17时一小时内的打车需求量即出租车请求单数，作为衡量需求的标准，进而选择网格所在区域，并得出该区域上的需求分布情况。 + +在选取前，我们必须认识到这样几个问题： + +(1) 由于网格图以网格中心点为代表，我们选取该网格覆盖范围内所有采样点的请求单数的平均值作为该中心点的代表值。考虑到我们的数据来源同样基于随机位置的采样，不同时间的采样位置自然有所不同，继续利用集簇思想来代表数据是很必要的。同样，我们在衡量任意两网格点间最短距离时，也使用网格边沿距离代替实际道路距离。这样做既可以极大程度上简化运算，也对一定城区范围内南北走向为主的道路起到了较好的贴合。 +(2) 我们拟选定 $10^{*} 10$ 共计 100 个方格的连续区域作为研究范围，单个方格的边长既不宜太长也不宜太短：若选择边长过长，单个网格内的交通运输情况差异太大，已经不能用抽象的中心采样点来代替；若选择边长过短，考虑到数据本身的数量问题，可能会造成部分网格内没有采样数据落入的情况，对后续计算的开展带来不便。 +(3) 选取的范围内打车需求量不宜太过平均，也不宜出现过分极端。否则不易考察出问题的典型特征或结论容易受到采样点的干扰。 + +综上所述，我们最终决定以(东经 $121.4000^{\circ}$ ，北纬 $31.2000^{\circ}$ ) + +（约延安西路古北）和(东经121.4821°,北纬31.2631°）（约宝山路东宝兴路段）为对角线，作边长7公里的正方形，即边长700米的小正方形共计100个。范围覆盖了上海市长宁、徐汇、静安、黄浦的主要部分，具有较好的代表性。 + +![](images/0433775ea4a7fce8b117e2de590d177201118404ce219738d3e4eafd4bc46698.jpg) +Figure 13: 方格区域选取初筛 + +![](images/a6312bf50acc8d9ba294663436127651486bbc39ece49ba9f7c4e325aa9537c2.jpg) +Figure 14: 方格区域定经纬度-等高线 + +考虑到数据的规模和处理的便捷程度，我们选取了7个数据点进一步展开模型。对于得到的10*10的方格，我们通过随机数生成坐标选取7个点落在地图上；对于每个点，我们统计其所在方格内的平均数据作为该点所在方格中心点的代表数据、以方格中心点为准计算和其他选定点之间的边界距离作为最短距离。由此，我们得到了，以样本1为代表的最短距离矩阵和点对间的需求矩阵 + +![](images/a21aa30420c36e70b37462711ddca070e065d1412e07370e33ceffa8a720b06e.jpg) +Figure 15: 最短距离矩阵 + +![](images/cf7d348fc689a5481e2619a3db35fac5c2d355216c298a9cf45df37e09934efc.jpg) +Figure 16: 点对间需求矩阵 + +注意这里由于是网格地图，所以点对间最短距离是无向的。但在实际生活中，存在诸如单行道限制等众多实际问题，A到B地的最短距离反之并不一定是B到A地的最短距离。此外，由于打车需求量仅表示离开采样点的需求量，所以我们专门对该区域范围内的出租车出行轨迹数据进行了抓取，得到了非对称的点对间需求矩阵。具体讨论过程中我们选择使用meshin1数据表格。 + +# 5.2.3 具体分类讨论过程 + +当出租车在搜索乘客时，其不仅受行驶路程影响，还需要考虑需求的分布特征，即以期望最短行驶路径达到最有可能存在的最大需求出，行驶路径和需求分布特征共同决定了搜索行为，那么位于 $j$ 小区的空驶出租车搜索至下一个 $i$ 小区行驶的单词期望空驶里程 $d_{j}$ 为 + +$$ +d _ {j} = \sum_ {i \in I} d _ {j i} P _ {j i} \tag {11} +$$ + +当我们分别求出j小区空驶出租车的单词期望空驶里程与规模后，即可求得研究范围内搜索产生的出租车空驶里程V,有 + +$$ +V = \sum_ {j \in j} E _ {j} d _ {j} = \sum_ {j \in J} \sum_ {i \in I} d _ {i j} \sum_ {i \in I} u _ {j i} P _ {j i} \tag {12} +$$ + +(a) 使用打车软件但是没有补贴机制的情况 + +在使用了打车软件的情况下，出租车司机改变了传统依靠自身储备信息以及常识来寻找潜在乘客的模式，空驶时可与乘客提前充分沟通，并且选择最短路径到达所定地点。值得注意的是，我们认为某地点的需求总量的吸引力体现在司机更可能去往该区域来锁定订单，故仍处于我们的参量考察范围内；另外，司机个人也具有使用打车软件的不同习惯，这会影响到他最终的搜索决策，故也应纳入考量中。 + +综上所述，我们引入了参数对 $(\theta, \mu)$ ，其中， $\theta$ 为司机对于软件的信任、偏好程度，越大说明司机越愿意使用打车软件进行乘客的搜索； $\mu$ 为乘客需求量对司机吸引力的转化系数，目的是使得距离与需求可加，并且 $mu$ 越大表示乘客需求变化量对于司机行为影响越明显。 + +从而建立了如下方程，引入吸引力指标函数： + +$$ +A _ {i j} = \exp \left[ \theta \left(- d _ {i j} + \mu Q _ {i}\right) \right] \tag {13} +$$ + +根据查阅资料后确定使用 $(\theta ,\mu) = (0.3,0.05)^{[6]}$ ，结合5.2.2中的数据，可以得到 $P_{ij}$ 的7*7表格，如表所示： + +![](images/b8069c0d9367f39c3985bb3d55ad1d274e57e8a6a750a8f2b9793e0f6c35d80d.jpg) +Figure 17: $P_{ij}$ 矩阵 + +进一步，根据式（12）求出 $\mathrm{V} = 939.7610\mathrm{km}$ + +(b) 使用打车软件并且有补贴机制的情况在研究之初，我们小组遇到了一定的困难，即：用什么指标来表征补贴机制对于出租车行为的改变。最后，我们确定使用双向的参数简化司机决策的过程。 + +实际过程中，补贴是双向的，一方面，司机得到了每单奖励或者燃油补贴，刺激了其可接受的最长搜索距离；另一方面，乘客的需求也被公司的补贴政策所激发，表现为总需求的增大。由此，我们在(a)讨论的基础上引入了新的参数对(m,n)来研究其对于出租车行为的影响。这里，我们发现目标函数 $P_{ij}^{\prime}(d_{ij},Q_i)$ 在研究域D上应有如下若干特性： + +i) 无穷处趋于0; +ii) D内连续，可能为分段函数，但依然可以用若干个正域可导函数来拟合； +iii) $d_{ij} = 0$ 时没有意义，趋势是先增大后减小的，且可能存在极值点。 + +在尝试过使用收放因子控制 $(\theta, \mu)$ 的影响后，效果并不理想；最后，我们受到信号系统研究中常见信号的启发，提出如下的函数模型： + +$$ +A _ {i j} ^ {\prime} = \frac {\exp \left[ \theta \left(- d _ {i j} + \mu Q _ {i}\right) \right] + \exp \left[ m \left(- d _ {i j} + n Q _ {i}\right) \right]}{2} \tag {14} +$$ + +可以看到，式子为对称形式，故可定义m为给予补贴后司机对于软件的信任、偏好程度；n在基于原有miu的基础上，增加了调节功能，用来表示补贴对乘客需求量增加的衡量，由此得到m，n的取值范围： + +$\theta \leq m$ ，其中M是由自然、不可控因素决定的上限； + +$\mu \leq n \leq N$ ，其中N是由公司投入成本，市场具体情况，消费者偏好共同决定的上限；但是由于M、N的取值不是本文具体讨论重点，且可能涉及到公司的商业机密，故假定 $\mathrm{M} = 0.7$ ， $\mathrm{N} = 0.1$ + +根据过往滴滴打车、快的打车公司（两者市场总份额约为 $90\%$ ）的补贴政策的改变过程，如后表 + +拟固定 $(\mathrm{m}, \mathrm{n}) = (0.5, 0.06)$ , 进而可以得到 $P_{ij}'$ 表 + +![](images/b9ebee3e44d397544fc20d9c5d78f76a5045cc7dcd1843f27cfe4acbc72aa12c.jpg) +关注数学模型获取更多资讯 + +
时间快的补贴政策时间滴滴补贴政策
乘客司机乘客司机
2014.01.2010102014.01.101010
2014.02.17115-112014.02.1710-150
2014.02.181302014.02.1812-200
2014.03.041002014.03.076-150
2014.03.05502014.03.233-50
2014.03.223-502014.05.1700
2014.05.17002014.07.0902
2014.07.09022014.08.1200
2014.08.0900
+ +![](images/71c124d2e0b2a18ee7e00bde2c5b3d432b8753c46c1888bb17edce33762c1e55.jpg) +Figure 18: 补贴金额 +Figure 19: 最短距离矩阵 + +根据式（10）得到此时 $V_{t} = 403.2197 \leq V$ ，说明双向补贴对于缓解打车难有一定的帮助。 + +另外，我们还想研究V关于(m, n)对的变化情况，将相关数据导入matlab中作图，画出 $V$ 等高线的分布情况，具体如图20： + +![](images/44da66692981a09ccf00b06879cdac67e25ff253e3c899a13fe07ac3c7be138f.jpg) +Figure 20: 等高线分布情况 + +图像的颜色深浅代表了 $V_{I}$ 的取值，可以得到直观的结论，即： $V_{I}$ 在考察范围内均小于(a)中得到的总空驶路程，从而得到打车软件公司的补贴方案对缓解"打车难"有一定帮助，但是仍然存在较长的空驶路程。 + +# 5.3 问题(3)的模型建立与求解 + +本环节将探讨实际操作过程中，补贴方案对于社会总福利的影响。在我国传统出租车市场中，社会福利的最大化是由政府部门出租车系统的运营规模、服务价格及服务质量等方面相关管制政策保证的；随着打车软件的出现，新兴的服务方式开始占据一定的市场份额，此时，龙头公司的福利决策方案可以甚至必然会对现有社会福利产生影 + +响。社会总福利根据社会学定义是由消费者剩余与生产者剩余两方面构成，在出租车行业主要表现为司乘双方的剩余价值。保证消费者剩余可提高乘客的满意度，维持消费刺激；保证生产者剩余有利于出租车行业的可持续发展 $\Theta^{[7]}$ + +# 5.3.1 建立社会总福利函数与补贴的函数关系 + +乘客需求受到出租车价格与等待时间的影响，价格与等待时间增加则会抑制乘客需求，等待时间可直接与出租车空驶里程相关，即：空驶里程越大，出租车空驶在道路上的概率越大，乘客越容易搭乘空驶出租车。根据文献中的结论，本文将采用经济学中柯布一道格拉斯函数.[8]形式来量化需求与价格及里程的关系，即： + +$$ +D = k _ {1} p ^ {\alpha} t ^ {\beta} \tag {15} +$$ + +$$ +t = k _ {2} V ^ {\gamma} \tag {16} +$$ + +其中，D为出租车出行需求，即实载里程（km）；p表示出租车价格（元）；t表示乘客等待时间（min）；V同第二问，表示出租车空势里程（km）； $\alpha$ 为价格需求弹性； $\beta$ 为等待时间需求弹性； $\gamma$ 表示空驶里程需求弹性； $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 表示需求弹性系数，由城市的经济水平、空间布局、路网特征等因素综合确定。由于出租车的需求与价格及空驶里程均呈负相关性，有 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma \leq 0$ 。 + +我们研究一个封闭的社会模型R，对于其中的某一出租车个体i与其当前服务的乘客有如下剩余价值模型： + +(1)出租车个体i的剩余价值 $S_{d}$ + +$$ +S _ {d} = p D - c (D + V) \tag {17} +$$ + +其中，p为单位里程平均运价（元），c为平均单位里程成本。 + +(2)针对i当前运送过程，乘客的剩余价值 $S_{p}$ ：由以上式子可得： + +$$ +p = \left(\frac {D}{k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} V ^ {\gamma \beta}}\right) ^ {\frac {1}{\alpha}} \tag {18} +$$ + +根据相关研究价格弹性系数 $\alpha \leq -1$ 符合现实情况，所以乘客剩余价值 $S_{p}$ 可表示为 + +$$ +S _ {p} = \left\{ \begin{array}{l l} \int_ {0} ^ {D _ {i}} \left(\frac {x}{k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} V _ {i} ^ {\gamma \beta}}\right) ^ {\frac {1}{\alpha}} d x - p D _ {i} & \\ = \left(\frac {1}{k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} V _ {i} ^ {\gamma \beta}}\right) ^ {\frac {1}{\alpha}} \frac {D _ {i} ^ {\frac {1}{\alpha}}}{\frac {1}{\alpha} + 1} - p D & \alpha \geq - 1, \\ \infty & \alpha \neq - 1. \end{array} \right. \tag {19} +$$ + +最终我们得到，对于每一司乘对，均可表示为： + +$$ +\begin{array}{l} S _ {i} = S _ {r} + S _ {p} \\ = p D _ {i} - c \left(D _ {i} + V _ {i}\right) + \left(\frac {1}{k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} V _ {i} ^ {\gamma \beta}}\right) ^ {\frac {1}{\alpha}} \frac {D _ {i} ^ {\frac {1}{\alpha} + 1}}{\frac {1}{\alpha} + 1} - p D _ {i} q q u a d (2 0) \\ = \left(\frac {1}{k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} V _ {i} ^ {\gamma \beta}}\right) ^ {\frac {1}{\alpha}} \frac {D _ {i} ^ {\frac {1}{\alpha} + 1}}{\frac {1}{\alpha} + 1} - c \left(D _ {i} + V _ {i}\right), \alpha < - 1 \\ \end{array} +$$ + +则对于此社会R，社会总福利S为 + +$$ +S = \sum_ {i = 1} S _ {i} = \sum_ {i = 1} \left(\frac {1}{k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} V _ {i} ^ {\gamma \beta}}\right) ^ {\frac {1}{\alpha}} \frac {D _ {i} ^ {\frac {1}{\alpha} + 1}}{\frac {1}{\alpha} + 1} - c \left(D _ {i} + V _ {i}\right), \alpha < - 1 \tag {21} +$$ + +其中， $D_{i}$ 由式（柯布-道格拉斯函数）可得： + +$$ +D _ {i} = k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} p ^ {\alpha} V _ {i} ^ {\gamma \beta} +$$ + +(22) + +带入式（21）化简可以得到： + +$$ +S = \sum_ {i \in R} \left[ \frac {p ^ {\alpha + 1} \alpha}{\alpha + 1} \left(k _ {1} k _ {2} ^ {\beta}\right) ^ {\frac {1}{\alpha}} V _ {i} ^ {\frac {\gamma \beta}{\alpha}} - c \left(k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} p ^ {\alpha} V _ {i} ^ {\gamma \beta} + V _ {i}\right) \right] +$$ + +(23) + +结合第二问模型，V实际上是一个关于 $(\mathrm{m},\mathrm{n})$ 的二元函数，可以得到： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} S = \sum_ {i \in R} \left[ \frac {p ^ {\alpha + 1} \alpha}{\alpha + 1} (k _ {1} k _ {2} ^ {\beta}) ^ {\frac {1}{\alpha}} V _ {i} ^ {\frac {\gamma \beta}{\alpha}} - c (k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} p ^ {\alpha} V _ {i} ^ {\gamma \beta} + V _ {i}) \right] \\ V = \sum_ {i \in R} V _ {i} \\ V = \sum_ {k \in I} E _ {k} d _ {k} = g (m, n) \\ \alpha < - 1 \end{array} \right. +$$ + +(24) + +为了衡量具体金额的补贴对于社会福利的影响，我们令 $r_1$ 为研究范围内整个市场对于司机的补贴金额期望（元/单）； $r_2$ 为研究范围内整个市场对于乘客的补贴金额期望（元/单）；而对于福利决策方案来说，假设我们对司机补贴 $x_1$ （元/单），对乘客补贴 $x_2$ （元/单），则可以建立新的 $(m', n')$ 参数对，表达了 $x_1, x_2$ 在市场中的刺激作用： + +$$ +m ^ {\prime} = \left(x _ {1} / r _ {1}\right) * m \tag {25} +$$ + +$$ +n! = \left(x _ {2} / r _ {2}\right) * n \tag {26} +$$ + +可以看到，当 $x_{1} = r_{1}$ 且 $x_{2} = r_{2}$ 时，我们的补贴方案是不影响原社会总福利的；将式（25）(26)带入到式（24），即用 $(m^{\prime},n^{\prime})$ 替代原来的 $(m,n)$ 参数对，得到了实施特定补贴方案 $(x_{1},x_{2})$ 时的社会总福利模型： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} S = \sum_ {i \in R} \left[ \frac {p ^ {\alpha + 1} \alpha}{\alpha + 1} (k _ {1} k _ {2} ^ {\beta}) ^ {\frac {1}{\alpha}} V _ {i} ^ {\frac {\gamma \beta}{\alpha}} - c (k _ {1} k _ {2} ^ {\beta} p ^ {\alpha} V _ {i} ^ {\gamma \beta} + V _ {i}) \right] \\ V = \sum_ {i \in R} V _ {i} \\ V = \sum_ {k \in I} E _ {k} d _ {k} = g [ (\frac {x _ {1}}{r _ {1}}) m, (\frac {x _ {2}}{r _ {2}}) n ] \\ \alpha < - 1 \end{array} \right. +$$ + +(27) + +其中，k1，k2，α，β，γ在不同系统下为常数，不属于本文讨论的重点。查阅相关资料后，根据上海市数据统计，再经计算后可以得到以上相关常数的取值： $k_{1} = 45061$ ， $k_{2} = 1386$ ， $\alpha = -1.3$ ， $\beta = -0.2$ ， $\gamma = -1$ ， $c = 1.803$ ， $p = 4.41$ 。与问题（2）假定的(m,n)取一样的值，即： $(\mathrm{m},\mathrm{n}) = (0.5,0.06)$ ；使用Matlab仿真模拟得到了S变化量程度 $(S - S_0) / S_0$ 与 $(x_{1} / r_{1},x_{2} / r_{2})$ 的图像，如图，具体数据见附录： + +从以上数据可以看出： + +(1)对出租车司机或者乘客采取价格补贴是一个有助于提高社会总福利的手段。实际上影响出租车服务成交量的要素是出租车服务在消费者和司机心中产生的价格预期，所以说价格低不一定对提高服务量，增大社会总福利有积极意义。 +(2)对上图研究表明:在绝对值优惠低时,相对值优惠效应明显;在绝对优惠高时,相对值优惠效应不明显。所以同时增加对顾客和司机的补贴是可以达到增加总社会福利的效果。但是考虑到公司的补贴成本，增加对司机的补贴会比较有效。对于大部分乘客来说表现为价格不敏感，因为愿意花时间使用红包的人必定是价格敏感的，所以对于乘客 + +![](images/c8977315b70815ef9c2ad937ee0f407989ce58a7a7e64213f1ca47584da1cb01.jpg) +Figure 21: $(S - S_0) / S_0$ 与 $(x_{1} / r_{1},x_{2} / r_{2})$ 的关系 + +更有效率的补贴方式是采用红包的方式。 + +# 5.3.2 方案的确定 + +考虑到每次打车行为都涉及到一个司机与乘客的补贴问题，所以当总投入为定值的情况下，可以考虑成比例的 $(x_{1} / r_{1}, x_{2} / r_{2})$ 对，则此时，可以作若干条直线 $\mathrm{x1 / r1 + x2 / r2 = w}$ ，w为单次打车公司投入金额系数，w越大说明投入力度越大；求其与等高线的切点。平移直线得到了直线系，并且得到若干切点，顺序连接切点，即可得到当前比例下的最佳投入刺激曲线，曲线与直线系的交点决定了最终的投入方案，例如：按照表（滴滴快的竞争）可以假设当前 $\mathrm{r1} = 5$ ， $\mathrm{r2} = 5$ ，从而绘制出了图 + +![](images/921a726042778a9b0072ac1d980e1195b1420861e2be482191929ea8b36f9d1b.jpg) +Figure 22: 决策方案图 + +若 $\mathrm{w} = 2.5$ ，可以得到 $x_{2} / r_{2}$ 可以得到 $x_{2} / r_{2} = 2.5$ ， $x_{1} / r_{1} = 1.5$ ，即此时 $x_{1} = 15$ ， $x_{2} = 12.5$ 为最优的补贴方案。 + +# 6 模型的评价 + +# 6.1 模型的优点 + +(1) 建立了出租车数量、请求单数、用户等待时间的评价指标，并采用模拟曲面的思想方法分析问题，将评价指标用高度以及颜色表示，其连续的变化趋势以及尖点均直观的表示了出来，便于统计和定性的分析。 +(2）采用聚簇的思想对大量数据进行筛选和近似处理，所谓“聚簇”是为了提高对于某个属性的搜索或者使用的效率，因为数据量高达10000点/天，且不同指标取样点的经纬度不是严格对应的，所以，将地区分为若干块提取特征信息，并选择具有代表意义的网格，最终得出了较一般的定性结论。 +(3) 对于问题 (2) 的建模时首先考虑没有激励时的基础吸引力模型，并通过函数应该有的性质，联系专业知识，选择到了一个较为理想的函数模型与激励情况下较复杂的吸引力模型相对应。 +(4) 使用双向的考察方式, 考虑了司乘双方对于补贴的激励响应, 并定量讨论了两方面的影响, 这是以往文献里所没有的, 是本文的一大创新点。 + +(5) 在定量研究具体决策问题的情况下，没有受到数据的限制，用r1，r2代替了具体市场情况，并且还联系实际，通过易元的方式改写原有函数，并由此建立了实际决策模型，拟合效果较好，并具有很强的实际意义。 + +# 6.2 模型的不足 + +(1) 模型验证数据的来源仅为滴滴快的，虽然市场份额较大，实际情况中仍需要考虑其他市场份额的竞争问题。 +(2) 实际情况中，出租车不能简单抽象为质点，还应该考虑道路容纳问题，简单调配会引起道路堵塞。 +(3）在第二问的模型中，直接认为接单时间就是乘客从开始请求打车到已经搭乘上出租车的时间间隔，而实际上会一定程度上小于打车时间，故产生了时间上的模糊。 + +# 7 参考文献 + +[1]苍穹. 滴滴快的智能出行平台[DB/OL]. 2015-09-11, [2015-09-12]. http://v.kuaidadi.com/ +[2]国务院办公厅. 国务院办公厅关于2015年部分节假日安排的通知[EB/OL]. 2014-12-16, [2015-09-11]. http://www.gov.cn/zhe12/16/content9302.htm +[3]Morisugi H, Arintono S, Parajuli BP. Fare level and fleet optimization of taxi and bus operation in Yogyakara, Indonesia[J]. Journal of the Eastern Asia Society for Transportation Studies, 1997, 2(5): 1547-1553. +[4]Shuo Ma; Yu Zheng; Wolfson, O., "T-share: A large-scale dynamic taxi ridesharing service," in Data Engineering (ICDE), 2013 IEEE 29th International Conference on, vol., no., pp.410-421, 8-12 April 2013. +[5]曹,陶宇,罗霞. 打车软件使用率对出租车社会福利的影响[J]. 交通运输系统工程与信息,2015,03:1-6+24. +[6]罗端高, 史峰. 考虑需求分布影响的城市出租车运营平衡模型[J]. 铁道科学与工程学报, 2009(1): 87-91 +[7]袁长伟, 吴群琪. 不同目标下城市出租车最优实载率模型[J]. 长安大学学报(自然科学版), 2014, 34(2): 88-93 +[8]Douglas G W. Price regulation and optimal service standards: The taxicab industry[J]. Journal of Transport Economics and Policy, 1972, 6(2): 116-12 +[9]冯晓梅. 供需平衡状态下的出租车发展规模研究[D]. 西南交通大学, 2010. + +# 附录 + +# 附录1 问题（1）主要代码 + +附录1.1 网页爬虫 +# +# Name: parser +# Purpose: 抓取“苍穹”网站数据的Python爬虫 +# Created: 12/09/2015 +# Copyright: (c)数模小组2015 +# 运行环境Python2.7.10 +# +import urllib2 +import datetime +def toDate(date):# 对网站请求所需的绝对日期date进行相对转换 dateO=datetime.date.today()-datetime.timedelta(8) DGo=dateO+datetime.timedelta(date) DATE=%02d"%int(DGo.month)+"%02d"%int(DGo.day) return DATE +def urlString(date, item):# 生成请求URL return "http://v.kuaidadi.com/point?cityld=310100&scope=city&date=" + str(date)+"&dimension="+item+"&num=300" +def get_page(date, item): #date:int $0\sim (-100)$ # item:string 'distribute', 'demand', 'response' Return=" DATE=toDate(date)Url=urllib2(urlopen(URL,timeout=default_timeout)#超过响应时间则判Error Return=content.read() except: content("Error..."+DATE) pass return Return + +```python +if __name__ == "_main_: +Item=['move'] +default_timeout=60 +for dx in range(6,5,-1): + for ix in Item: + content=get_page(dx,ix) + if (type(content)!str or content==''): + print('----- cannot Catch'+str(dx)+'----') + break + originals=resail(content) + result=origins['result'] + TrueDate=resail['date'] + TrueDate=TrueDate[0:4]+'-'+TrueDate[5:7]+'-'+TrueDate[8:10] + f=open(TrueDate+ix+.csv',w') + mokyo=resail['data'] + for i in range(len(mokyo)): + print str(i)+'-----' + line=mokyo[i] + for tic in range(len(line)): + arr=line[tis] + print len(arr[4]) + f.write(str(i)+','+str(arr[1])+','+str(arr[2])+','+str(arr[3])+'\n') + f.close() +print(toDate(dx)+' finished...'+str(dx)) +``` + +# 附录1.2 出租车数量、请求单数、用户等待时间空间分布图3D + +（以2015年9月6日17时出租车数量分布为例） + +```matlab +distribute=xlsread('20150906distribute.csv'); +Dis=(); +m1=17; +for i=1:length(distribute) + if (distribute(i,1) == m1) + [Dis] = [Dis; distribute(i,:)]; + end +end +figure +[x1] = Dis(:,2); [y1] = Dis(:,3); [z1] = Dis(:,4); +nxDis=linspace(min(x1), max(x1), 100); +nyDis=linspace(min(y1), max(y1), 100); +[xx1,yy1] = meshgrid(nxDis,nyDis); +[X1,Y1,Z1] = griddata(x1,y1,z1,xx1,yy1,'v4'); +surf(X1,Y1,Z1); +``` + +```matlab +%colormap gray; +%axis equal; +xlabel('经度/°'); +ylabel('纬度/°'); +title('2015年9月6日高峰（17时）上海市出租车数量分布'); +``` + +# 附录1.3 特定商圈、城郊地区全天空驶率（事先用Excel处理好数据）变化折线图 + +（以2015年8月30日全天东川路地铁站中心10km范围为例） +```matlab +data=xlsread('0830东川路.csv'); +[t0]=data(:,1); +[K]=data(:,7); +figure; +plot(t0,K,'-- +rs','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor','g','MarkerSize',10); +axis([0 24 0 1]); +set(gca,'xtick',0:1:24); +xlabel('t/小时'); +ylabel('K/空驶率'); +title('2015年8月30日（工作日）东川路地铁站中心10km范围内空载率全天变化图'); +``` + +# 附录2 问题（2）主要代码 + +附录2.1 边长 $7km$ 方形区域内请求单数等高线和随机位置（Excel随机指定）散点图（问题（2）基于2015年9月10日下午17时选定经纬区域内的全部数据） +```matlab +xmin=121.4; +xmax=121.4824; +ymin=31.2; +ymax=31.263; +% 经纬度范围 +dx=(xmax-xmin)/9; dy=(ymax-ymin)/9; +nx=linspace(xmin,xmax+dx,11); +ny=linspace(ymin,ymax+dy,11); +demand=xlsread('0910demand.csv'); +De=[]; +m=17; +for i=1:length(demand) + if (demand(i,1) == m) + [De] = [De; demand(i,:)]; +``` + +```matlab +end +end +figure; +[x1]=De(:,2);[y1]=De(:,3);[z1]=De(:,4); +nxDis=linspace(min(x1),max(x1,80); +nyDis=linspace(min(y1),max(y1,80); +[xx1,yy1]=meshgrid(nxDis,nyDis); +z2=griddata(x1,y1,z1,xx1,yy1,'v4'); +contour(xx1,yy1,z2,200,'s'); +axis([xmin xmax+dx ymin ymax+dy]); +set(gca,'xtick',nx); +set(gca,'ytick',ny); +set(gca,'DataAspectRatio',[110.94 85.276 1]); %将横纵坐标按照经纬度折算公里数缩放使得图中显示恰好为正方形 +grid on; +rotateticklabel(gca,'x',-30); +hold on; +Dio=xlsread('meshin4.xls'); +scatter(Dio(:,2),Dio(:,1),90,'+r'); +title('随机散点分布情况'); +``` + +附录2.2（选取出7个随机点后）网格模型计算点对间最短路径、需求方向矩阵（计算量较大、只保留部分代码） +```matlab +% { + unit length: 700m + unit length: 700m +} +Rand=xlsread('A.349.x1sx'); +[Nil]=Rand(:, [1 2]); +[NC]=Rand(:, [3 4]); % center point LonLat +[Distance]=Rand(:, [5:11]); +raw=xlsread('0910demand.csv'); +mokyo=[[]; +m=17; +for i=1:length(raw) + if (raw(i,1) == m) + [mokyo]=[mokyo; raw(i,:)]; + end +end +nx=linspace(xmin,xmax,10); +ny=linspace(ymin,ymax,10); +``` + +$\mathrm{dx} = (\mathrm{xmax - xmin}) / 9$ dy $\equiv$ (ymax-ymin)/9; +for $i = 1:1:7$ for $j = 1:1:7$ Demand(i,8) $\equiv$ Demand(i,8)+Demand(i,j); end +end +disp(Demand) +xlswrite('meshin',NC,'Sheet1'); +xlswrite('meshin',average,'Sheet2'); +xlswrite('meshin',Distance,'Sheet3'); +xlswrite('meshin',Demand,'Sheet4'); + +附录2.3 网格模型概率矩阵计算 +function[P]=Pij(miu,fileNmep=xlsread(fileNmep,3)；%最短路径矩阵De=xlsread(fileNmep,4)； $\%$ 方向需求矩阵（非对称）P=zeros(7);theta=0.3;for $i = 1:1:7$ Qi=De(i,8);for $j = 1:1:7$ if $(\mathrm{i} = = \mathrm{j})$ continueendfuko $\equiv$ exp(theta*(-d(i,j)+miu*Qi)); $\%$ 计算分子的值fumu=0;fork=1:1:7fumu=fumu+exp(theta*(-d(i,k)+miu*Qi)); $\%$ 计算分母的值endif(fumu $\sim = 0$ P(i,j)=fuko/fumu;elseP(i,j)=0;endendend%disp(P);end + +附录2.4 网格模型空驶总里程期望值计算 +function [V] $\equiv$ V0 (miu,filename) +d=xlsread(fileName,3); +De=xlsread(fileName,4); +[P] $=$ Pij (miu,filename); + $\mathrm{V} = 0$ . +for i=1:1:7 Ei $\equiv$ De(8,i); di=0; for j=1:1:7 di $\equiv$ di+d(i,j)*P(i,j); end V $\equiv$ V+Ei\*di; +end %disp(V); +end + +附录2.5 模型的敏感性分析（针对不同输入测试模型的输出结果——整体走势保持较高的相似度，证明模型具有较强的鲁棒性） + +（以模型2随机文件1为例） +```matlab +M=0.8:0.2:2.4; +N=0.1:0.1:1; +x=[]; +y=[]; +z=[]; +[Result]=zeros(length(M),length(N)); +for i=1:length(M) + for j=1:length(N) + m0=M(i); + n0=N(j); + V=Vmt(0.05,'meshin1.xls',m0,n0); + [x]=[x m0]; + [y]=[y n0]; + [z]=[z V]; + Result(i,j)=V; + end +end +disp(Result); +xlabelwrite('AfdI2mesh1VÖμ.xls',Result); +nx=linspace(min(x),max(x),100); +ny=linspace(min(y),max(y),100); +``` + +[xx,yy] $\equiv$ meshgrid(nx,ny); figure z1=griddata(x,y,z,xx,yy,'v4'); contour(xx,yy,z1,100,'s'); colorbar; hold on; h $=$ plot(0.3,0.05,'+'); legend(h,'(theta,miu)');xlabel('m');ylabel('n'); + +# 附录3 问题（3）主要代码 + +附录3.1 社会总福利函数、对司机和乘客双方的补贴策略对(A,B)和社会总福利关系的计算 + +```matlab +function[S]=Tsa() +A=0.5:0.5:5; +B=0.5:0.5:5; +m=0.5; +n=0.06; +miu=0.05; +fileName='meshin1.xls'; +p=4.41;% p为市场平均单位距离价格（元/公里） +alpha=-1.3; +beta=-0.2; +gamma=-1;% alpha, beta, gamma均为弹性系数 +K1=45061; +K2=1386; +c=1.803;% c为单位距离运营成本（元/公里） +%------为方便求和运算 定义中间系数A1,A2,A3 +A1=(p^(alpha+1) * alpha * (K1*K2^beta)^(1/alpha)) / (alpha+1); +A2=gamma*beta/alpha; +A3=K1*K2^beta*p^alpha; +A4=gamma*beta; +Base=S0(); +d=xlsread(fileName,3); +x=[[]; +y=[[]; +z=[[]; +(Result]=zeros(length(A)+1,length(B)+1); +``` + +```matlab +for aa=1:1:length(A) +for bb=1:1:length(B) +%-----对于每一组A，B求出当前概率矩阵-----% +[P]=PijD(miu, fileName,A(aa)*m,B(bb)*n); +%-----对于每一组A，B求出当前以j为目的地的空驶里程期望数列-----% +[adj]=[]; +for i=1:1:7 +tmp=0; +for j=1:1:7 +tmp=tmp+d(i,j)*P(i,j); +end +[dj]=[dj tmp]; +end +%-----对于每一组A，B求出社会福利S-----% +S=0; +for j=1:1:7 +S=S+A1*dj(j)^A2-c*(A3*dj(j)^A4+dj(j)); +end +ratio=(S-Base)/abs(Base); +disp(ratio); +%-----计算社会福利改变的百分比-----% +[x]=[xA(aa)]; +[y]=[yB(bb)]; +[z]=[z ratio]; +Result(aa+1,bb+1)=ratio; +end +end +Result(2=length(A)+1,1)=A; +Result(1,2=length(B)+1)=B; +xlabel('补贴比例-社会福利.xls',Result); +nx=linspace(min(x),max(x),100); +ny=linspace(min(y),max(y),100); +[xx,yy]=meshgrid(nx,ny); +figure +z1=griddata(x,y,z,xx,yy,'v4'); +h contour(xx,yy,z1,50,'s'); +colorbar; +hold on; +plot(1,1,'+'); +xlabel('x1/r1'); +ylabel('x2/r2'); +saveas(h,'补贴比例-社会福利.jpg') +``` + +附录3.2 补贴策略矩阵与社会福利变化率数据 + +
0.20.30.40.50.60.70.8
0.2-0.09463-0.09529-0.09596-0.09662-0.09729-0.09795-0.09861
0.3-0.08236-0.08313-0.08389-0.08467-0.08544-0.08621-0.08698
0.4-0.07139-0.07207-0.07277-0.07347-0.07417-0.07487-0.07558
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2.90.4403230.4407380.4410250.4412230.4413590.4414520.4415170.441561
30.4555320.4559010.4561530.4563250.4564420.4565210.4565750.456612
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2015/B309/B309.md b/MCM_CN/2015/B309/B309.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..377fe2aeab44c77ca121507bd2b54034219c1901 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2015/B309/B309.md @@ -0,0 +1,1078 @@ +# “互联网+”时代的出租车资源配置模型 + +摘要 + +“打车难”一直是近年来社会关注的问题，随着“互联网+”时代的到来，建立在手机和移动互联网基础之上的打车服务平台实现了乘客与出租车之间信息互通，也影响着广大人民的打车问题。本文就出租车的资源配置现状，以及出租车公司补贴方案对打车难易程度的影响进行讨论与分析，进而推出更优的补贴方案。 + +针对问题（1），根据滴滴、快的智能出行平台搜集了2015年9月9日成都市1点至24点出租车的分布情况和乘客的需求情况，根据数据，绘制图像，得到成都市乘客需求的高峰期发生在早上8-9点和晚上19点；另外，为查看各时段的出租车和乘客的匹配情况，我们按每个时点计算了出租车分布和乘客需求的均值，并进行描图和分析。在此基础上，建立匹配模型：引入“最近邻”思想，以乘客为中心，按一定的半径画圆，以圈内出租车的总数量和乘客需求量来定义匹配度，并构建度量指标 $mN_{i}(t)$ ，根据该指标得到打车由难到易所需的最小半径，即得出打车难易程度。根据度量指标和描出的图形，得出了不同“时空”出租车资源配置的“供求匹配”程度：从空间上，成都东、双流北、以及都江堰中心地带较易出现打车难问题；从时间上，打车较难的时间点集中在8-10点，下午16点，傍晚19点。 + +针对问题(2)，我们搜集了滴滴打车和快的打车的补贴方案数据，出租车司机和乘客在使用打车软件后，出租车的空驶率、乘客的等待时间和出租车司机与乘客的经济收益变化等数据；根据分析，补贴方案的存在，能充分调动司机和乘客使用软件的积极性，使得使用软件的人数持续增加，这既缩短了乘客打车等待的时间，也减少了司机的空驶率，故可以有效的缓解打车难的问题。但随着补贴的降低，乘客和司机对打车软件使用的激情开始降低，尤其在高峰时段，司机不需要使用软件接单，其空驶率也很低，而乘客即便使用打车软件，也会在高峰期打不到车，即出现打车难的问题；另外，由于老年人群不会使用打车软件，所以无论什么补贴政策，都不能缓解他们打车难的问题。 + +针对问题（3），首先对问题（2）所搜集的数据进行处理，计算出乘客的累计补贴和司机的累计补贴，利用SPSS软件，以乘客累计补贴和司机累计补贴为自变量，以日均订单量/用户数的百分比为因变量进行S曲线拟合，且效果非常显著，并得到相应的经验公式。在此基础上提出新的补贴方案1：低峰时段出行并成功打到车的给予一定的现金或积分奖励；但根据前面的S曲线模型进行模拟，发现影响率稳定在 $5\%$ 左右，基本不能缓解打车难问题，接着我们分析了不能缓解的根本原因，并在此基础上提出了补贴方案2：鼓励出租车前往人流密集处，打车软件可以通过大数据的实时分析，告诉司机哪个区域打车需求大，通过一定的现金或积分奖励，鼓励司机抢人流密集处的定单。通过举例，论证了方案2能较好的缓解打车难问题，得出方案2是可行的。 + +关键词：匹配度 打车软件 打车难易程度 补贴方案 + +# 一．问题重述 + +城市人们在出行过程中，出租车是其重要的交通工具之一，但随着城市人口密度和车密度的增加，对交通运行带来了不便，所以即便一个城市的出租车数量大于需求量，也会出现打车难的问题。为了缓解这个问题，加上“互联网+”时代的到来，有多家公司比如滴滴、快的等依托移动互联网建立了打车软件服务平台，乘客可以事先预约打车，司机可以根据预约地点和当时所处位置，进行信息互通，为了争取用户使用，各家公司推出了不同的补贴方案。问题要求搜集相关数据，完成如下问题： + +（1）根据搜集的数据，构造匹配指标，并分析在不同时间和不同空间的出租车资源的“供求匹配”程度； +（2）分析滴滴、快的等打车软件公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助，并得出结论； +（3）根据问题（1）和（2）的结果，设计合理的补贴方案，并论证给出方案的合理性，提出建议。 + +# 二．模型假设 + +1. 假设通过滴滴、快的智能出行平台搜集 2015 年的 9 月 9 号 1 点至 24 点出租车分布数据和乘客需求量数据是可靠的； +2. 假设搜集的出租车分布数据当时全部都是空载； +3. 假设搜集的乘客打车的需求都不会因为主观或者客观因素的改变而改变； +4. 在问题（1）中计算邻域半径时，按理应该采用地图距离，最好是基于可达的地图距离，但是，由于数据难于得到，故而此处暂且考虑地图球面距离； +5. 在论证问题（3）的方案2时，假设所有的出租车分布点都有 $1\%$ 的出租车进行迁移。 + +# 三．符号说明 + +
符号说明符号说明
pxi第i个乘客数据点的经度i第i个乘客数据点
pyi第i个乘客数据点的纬度j第j个出租车数据点
pi第i个乘客数据点的需求量n乘客数据点的个数
pxi(t)第t个时点第i个乘客数据点的经度m出租车数据点的个数
p yi(t)第t个时点第i个乘客数据点的纬度d(A,B)A,B两点的球面距离
pi(t)第t个时点第i个乘客数据点的需求量C指定邻域半径
Txj(t)第t个时点第j个出租车数据点的经度Ai(t)第t个时点第i个乘客数据点
Tj(t)第t个时点第j个出租车数据点的纬度Bj(t)第t个时点第j个出租车数据点
Tj(t)第t个时点第j个出租车数据点的出租车分布数量Ni(t)Ai(t)匹配度
LonA点A的经度Nick(t)邻域半径取Ck时，t时刻点第i个乘客数据点Ai(t)的匹配度
LatA点A的纬度k领域半径的个数
LonB点B的经度mNt(t)度量指标
LatB点B的纬度Ck第k个领域半径
R1地球半径N城市人群
N1老年人群N2一般人群
D1日均订单量D2乘客累计补贴
D3司机累计补贴D4用户数
+ +# 四．问题分析 + +打车难包含出租车揽不到活，乘客打不到车这两层意思，也就是资源配置不合理。实际中，有的地方比如机场，扎堆了太多的出租车，因为机场往往离市区比较远，出租车载客去机场，往往不愿空车回来，可是航班到达有时间安排，乘客分布也是有疏有密，因此，往往导致出租车扎堆等待现象，最后能成功载上一个客人，一般要等待1-2小时。这就出现了非常严重的资源浪费问题。因此，搭建乘客与出租车之间的信息互通平台，合理分配出租车资源，有效缓解乘客和出租车的平均等待时间，就显得意义非凡。 + +问题(1)的分析：为了衡量不同时空出租车资源“供求匹配”程度，首先根据滴滴、快的智能出行平台搜集了2015年9月9日成都市1点至24点出租车的分布情况和乘客的需求情况，根据这些数据，作图同时反应出租车位置和乘客位置的分布情况，得到乘客需求较大的高峰期出现在早上8-9点和晚上19点；为更清晰查看各个时段的出租车 + +和乘客的匹配情况，文中按每个时点计算了出租车分布和乘客需求的均值，并进行描图和分析。在此基础上，建立匹配模型：引入“最近邻”思想，以乘客为中心，按一定的半径画圆，以圈内出租车的总数量和乘客需求量来定义匹配度，并定义度量指标 $mN_{i}(t)$ 根据该指标找到打车由难到易所需的最小半径，得出打车难易程度。根据指标和描出的图形，得出了空间上，成都东，双流北，以及都江堰中心地带较易出现打车难问题。另外，我们还绘制了不同时点，乘客打车的难易度条形图，从时间上得到打车难易程度的分布。 + +问题(2）的分析：我们搜集了滴滴打车和快的打车的补贴方案数据、滴滴打车在实施补贴方案以后，用户数和订单数的变化情况，出租车司机和乘客在使用打车软件后，出租车的空驶率，乘客的等待时间以及出租车司机和乘客的经济收益等数据；根据分析，由于补贴的存在，能充分调动乘客和司机使用软件的积极性，使得使用软件的人数会持续增加，这样既缩短了乘客打车时间的等待，也减少了司机的空驶率，故可以有效的缓解打车难的问题。但随着补贴的降低，乘客和司机对打车软件使用的激情开始降低，尤其在高峰时段，司机不需要使用软件接单，其空驶率也很低，而乘客即便使用打车软件，也会在高峰期打不到车，即出现打车难的问题；另外，老年人群占城市人口的 $20\%$ 左右，由于他们不会使用打车软件，所以无论什么补贴政策，都不能缓解他们打车难的问题；以上这些问题为问题（3）中我们提出新的补贴方案提供依据。 + +问题(3）的分析：首先对问题（2）所搜集的数据进行处理，计算出乘客的累计补贴和司机的累计补贴，利用SPSS软件，以乘客累计补贴和司机累计补贴为自变量，以日均订单量为因变量进行S曲线拟合，通过检验，效果非常显著，但若以用户量为因变量进行S曲线的拟合，拟合效果不显著，所以我们只考虑以日均订单量为因变量的随机模拟，并且把日均订单量对应到问题(1)中的乘客需求量，由于计数单位的不同，后面重新提出以日均订单量/用户数的百分比为因变量的S曲线进行拟合，通过检验且其效果非常显著，并得到相应的经验公式，在此基础上提出了新的补贴方案1：低峰时段出行并成功打到车的给予一定的现金或积分奖励；但根据前面的S曲线模型进行模拟，发现影响率稳定在 $5\%$ 左右，基本不能缓解打车难问题，接着我们分析了不能缓解的根本原因：无论哪个时段，出租车的分布规律基本上处于一个不变的趋势，大致都是那些区域，在此基础上，提出了补贴方案2：鼓励出租车司机前往人流密集处，打车软件可以通过大数据的实时分析，告诉司机哪个区域打车需求量大，通过一定的现金或积分奖励，鼓励司机抢人流密集处的定单。以高峰时段的早上8点为例，根据计算和分析，论证了方案2能较好的缓解打车难问题，说明该方案可行。 + +# 五．数据搜集 + +数据主要来源于互联网，其中问题(1)的出租车分布数据和乘客打车需求数据主要来源于滴滴快的智能出行平台(网址：http://v.kuaidadi.com/)。 + +# 六．模型的建立与求解 + +# 6.1．问题（1）的建模与求解 + +我们搜集了成都市2015年9月9号从1点至24点，每隔1个小时的出租车分布数 + +据以及乘客打车需求数据，经过整理，数据如表1-1所示。 + +表 1-1 成都市 2015 年 9 月 9 号从 1 点至 24 点出租车和乘客分布数据 + +
1点钟2点钟......24点钟
出租车分布乘客出租车分布乘客出租车分布乘客
经度纬度数量经度纬度需求经度纬度数量经度纬度需求经度纬度数量经度纬度需求
104.2730.5628121.4531.331282104.0830.62390104.1130.6614104.0730.631114103.8930.8185
103.6231.0083104.0830.632116104.0830.61272103.6530.9913104.0930.658110104.0330.56511
104.1730.8344103.6430.97869104.0830.63455103.8430.6783104.0330.64573104.4230.8667
104.1730.7195104.0530.63369104.0330.64955104.0430.6444104.0830.63571103.6630.9724
104.3230.6028104.0730.63268103.9730.58155104.0730.6549104.0630.63971103.9930.6655
103.6631.00117103.8430.69767104.0830.65455104.2630.555104.0630.62771104.1730.8053
104.0230.6628104.0230.64667104.0930.64854104.230.8263104.0730.65171103.6630.99713
103.8230.6855104.130.64467104.0430.63754103.8530.69570104.2830.56611
103.9730.7635104.0930.6766103.8430.69354104.0530.68969103.6430.99910
103.9130.7997103.6530.99466104.0230.6754104.130.65669103.6530.8563
104.1230.67511104.130.63166104.0430.69354103.6431.00268104.0630.5445
103.6330.99311104.0730.65665104.0730.66153104.0630.63767104.2630.8927
103.7330.5914104.130.65564104.0730.64452103.6530.99566104.0930.6493
103.930.8073104.0730.65264104.0230.68752104.130.66566103.9330.5733
+ +# 6.1.1. 数据的描述分析 + +首先，针对表1-1所示的数据，我们绘制了二维散点图，散点图的点阵大小揭示了出租车数量或者乘客需求量的多少。 + +![](images/8aa580f0c54ea6c1de049e5570173c9c10916bd79c53a5de2c9c8aa88ec4199b.jpg) +图1-1成都市1点钟的分布图 + +![](images/4add2219888fd47761105b41ef70bdd085043007497c0095beee0da3c9fd1c4f.jpg) +图1-2 成都市8点钟的分布图 + +![](images/322e60a21fba08eeacf3d303618dbd01fa815e071b60586ce81fc923eb108bdc.jpg) + +![](images/a3370aaaf6c139afcff1e045a8fa1b209de9ec9880f643ea5819fcbc5b6f48d9.jpg) + +图1-1—图1-4绘出了1点，8点，9点和19点的成都市的出租车和乘客的分布图，全天24小时的分布图见附件A。从这些图可以看出，无论何时，均存在一定的出租车分布和乘客需求，甚至午夜时分也存在着较大的乘客需求。通观全天，从这些图中，可以发现，乘客需求较大的高峰期发生在早上8-9点和晚上19点，因为此时红色区域所占的面积较大，较易发生“打车难”现象。 + +![](images/b2554b458aa6692b5a2092577cc13e1fd61365cffe7113f00e45fa382f08cc40.jpg) +图1-3成都市9点钟的分布图 +图1-4成都市19点钟的分布图 +图1-5成都市2015年9月9日全天出租车分布和乘客需求均值图 + +为了更好的查看各个时段的出租车和乘客的匹配情况，我们按每个时点计算了出租车分布和乘客需求的均值，均值图见图1-5。从图1-5可以看出，总体而言，成都市的各个时点的出租车平均数量大于乘客的平均需求量，大约相差2倍左右。因此，平均而言，不会出现“打车难”问题。 + +从图1-5我们还可以看出，出租车在凌晨5点的时候分布最少，平均大约20辆左右，这是1天中的最低点。而出租车分布的最高点出现在午夜23点左右，大约有近50辆出租车，表明成都市民的夜生活还是蛮丰富的，从早7点到下午的18点，出租车基本稳定在40辆左右。 + +相对于出租车而言，乘客的需求量呈现出不一样的规律。早上8-9点是乘客需求最大的时候，平均而言，有近15个需求；此外，下午的18-19点也出现了乘客需求的小高峰，平均大约10个左右；其余时段中，白天的11点至下午的17点，以及晚上的20-22点基本稳定在8个需求左右；从午夜23点至第二天凌晨6点，乘客需求最低，大约在5个左右。 + +# 6.1.2. 出租车和乘客的匹配模型 + +从前面的分析可知，虽然平均而言，不会出现“打车难”问题，但是从图 1-4 以及附 + +录 A 的所有图形，可以看出，存在出租车和乘客需求分布不均衡现象。有的区域非常集中，而个别乘客分布点则非常孤立，周边基本上不存在出租车，显然，这也会导致打不到车的现象。 + +为此，下面我们主要以乘客为中心，建立匹配模型，以及衡量“打车难”程度的度量指标，分析成都市的出租车问题。 + +不难看出，每个时点，我们所采集的数据的具体位置不同。这一方面体现了数据的动态性和随机性，另一方面，也为我们进行出租车和乘客的匹配增加了难度。如何建立一个合理的模型以及指标，来衡量“打车难”的程度呢？ + +这里，我们引入“最近邻”的思想来进行匹配。所谓“最近邻”的思想，就是基于每个时点，每个乘客需求点，寻找离它最近的出租车进行匹配。但是这会导致一个问题，比如图1-6中的A点，即彭州南部的某点，该点处的乘客距离所有的出租车似乎都较远，如果硬要安排最近一辆出租车去接他，或许没有问题；但是从市场经济的角度出发，出租车司机应该不会空载那么长距离，单纯为了接这位乘客。 + +![](images/4e177d83c3ae5b8ca92dd8d96b255e3824e477df7f6eb1230f55584b74a9dfcb.jpg) +图1-6 成都市9点的出租车和乘客需求图 + +所以，我们认为比较合理的匹配模型，应该是基于地图距离（当然，最好是基于可达的地图距离，但是，由于数据难于得到，故而此处暂且考虑地图球面距离），按照离乘客所在点一定距离的出租车圈来进行匹配，比如500米，1千米，或者2千米等。 + +记乘客数据结构为 $\{(P_{x_i}, P_{y_i}, P_i), i = 1, 2, \dots, n.\}$ 这里， $P_{x_i}$ 表示第 $i$ 个乘客数据点的经度， $P_{y_i}$ 表示第 $i$ 个乘客数据点的纬度， $P_i$ 表示第 $i$ 个乘客数据点的需求量。 $n$ 表示搜集到的乘客数据点个数，这里我们分不同时点进行考虑，因为不同的时点，会得到不同的乘客数据点集，以及不同的乘客数据点个数 $n$ ，为了表述的方便，我们在符号中可加入时间这个因素，得到的乘客数据点集合为 + +$$ +\{(P _ {x _ {i}} (t), P _ {y _ {i}} (t), P _ {i} (t)), \quad i = 1, 2, \dots , n (t). \} +$$ + +其中 $t = 1,2,\ldots ,24$ + +相应的，我们可以得到出租车的数据点集 + +$$ +\{(T _ {x _ {j}} (t), T _ {y _ {j}} (t), T _ {j} (t)), \quad j = 1, 2, \dots , m (t). \} +$$ + +其中, $T_{x_{j}}(t)$ 表示第 $t$ 个时点第 $j$ 个出租车数据点的经度, $T_{y_{j}}(t)$ 表示第 $t$ 个时点第 $j$ 个出租车数据点的纬度, $T_{j}(t)$ 表示第 $t$ 个时点第 $j$ 个出租车数据点的出租车分布数量。 + +记 $d(\mathrm{A},\mathrm{B})$ 表示 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 两点的球面距离, $\mathrm{C}$ 为指定的邻域半径, 定义第 $t$ 个时点第 $i$ 个乘客数据点 $A_{i}(t)$ 的匹配度为 + +$$ +N _ {i} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \sum_ {j: d (A _ {i} (t), B _ {j} (t)) \leq C} T _ {j} (t) < P _ {i} (t) \\ 0, & \sum_ {j: d (A _ {i} (t), B _ {j} (t)) \leq C} T _ {j} (t) = P _ {i} (t) \\ - 1, & \sum_ {j: d (A _ {i} (t), B _ {j} (t)) \leq C} T _ {j} (t) > P _ {i} (t) \end{array} \right. +$$ + +其中， $t = 1,2,\ldots,24$ ， $B_{j}(t)$ 表示第 $t$ 个时点第 $j$ 个出租车数据点。不难看出，如果与乘客点 $A_{i}(t)$ 的距离不超过 C 的出租车之和大于乘客需求，即不会出现打车难问题，定义匹配度 $N_{i}(t)$ 等于-1。如果与乘客点 $A_{i}(t)$ 的距离不超过 C 的出租车之和小于乘客需求，则表明会出现打车难问题，定义此时的匹配度 $N_{i}(t)$ 等于1。如果恰好相等，则定义匹配度等于0. + +因此， $N_{i}(t)$ 值越大，打车就越难。 + +考虑到本题我们获取的是经度纬度数据，可根据网站（网址：http://www.cnblogs.com/ycsfwhh/archive/2010/12/20/1911232.html）所述方法计算地球上任意两点间的距离。 + +设第一点A的经，纬度为(LonA, LatA)，第二点B的经、纬度为(LonB, LatB)，按照0度经线的基准，东经取经度的正值(Longitude)，西经取经度负值(-Longitude)，北纬取90-纬度值(90-Latitude)，南纬取 $90+$ 纬度值 $(90+Lat\text{itude})$ ，则经过上述处理过后的两点被计为(MLonA,MLatA)和(MLonB,MLatB)。那么根据三角推导，可以得到计算两点距离的如下公式： + +$$ +C _ {0} = \sin (M L a t A) \times \sin (M L a t B) \times \cos (M L o n A - M L o n B) + \cos (M L a t A) \times \cos (M L a t B) +$$ + +$$ +\text {D i s t a n c e} = R _ {1} \times \operatorname {A r c c o s} \left(\mathrm {C} _ {0}\right) \times \mathrm {P i} / 1 8 0 +$$ + +这里， $R_{1}$ 和 $\text{Distance}$ 单位相同，如果是采用 6371.004 千米作为半径，那么 $\text{Distance}$ 的单位就为千米。 + +前面所述的 $d(\mathrm{A},\mathrm{B})$ 可相应的替换成这里的距离公式 $\mathrm{Distance}(\mathrm{A},\mathrm{B})$ 。从而，邻域半径C可取一系列值。本文取100米，200米，...，1000米，2千米，...，50千米等59个刻度，并分别标号为1,2,3,...,59。如表1-2所述。 + +表 1-2 邻域半径 C (单位: 千米) 的格点取法以及对应序号 + +
序号123...91011...5859
半径C(单位:千米)0.10.20.3...0.912...4950
+ +可以预计，领域半径越小，匹配度取1的概率越大，随着邻域半径逐步增大，匹配度会从1变向-1，也就是，在一个小的范围内打不到车，但如果较大范围的出租车都参与乘客订单竞争的话，乘客能顺利打到车的概率会明显增加。 + +由此，我们定义如下的打车难易度的度量指标： + +$$ +m N _ {i} (t) = \min _ {k} \{\mathrm {N} _ {i} ^ {c _ {k}} (t) = - 1, k = 1, 2, 3, \ldots , 5 9 \} +$$ + +其中， $\mathrm{N}_i^{c_k}(t)$ 表示邻域半径取 $c_{k}$ 时，第 $t$ 个时点第 $i$ 个乘客数据点 $A_{i}(t)$ 的匹配度。度量指标 $mN_{i}(t)$ ，即为使得打车由难到易所需的最小半径所对应的序号，序号越大表明需要较大半径的出租车参与乘客数据点的运输，才能满足乘客的打车需求。即 $mN_{i}(t)$ 越大，表明成功打到车的难度越大；而 $mN_{i}(t)$ 越小，表明成功打到车的难度越小。 + +![](images/71fe0bfda6d652c7cb10c10ee8fea0ce585a66ad2b46c4a0b84d6d2a91277777.jpg) +图1-7成都市1点的打车难易度图 + +![](images/c90b63616b96b27e994159b9f927cb453a93b8c9da2ea5efb43ff790745de6f6.jpg) +图1-8成都市8点的打车难易度图 + +图1-7—图1-10给出了成都市2015年9月9日，1点，8点，9点和19点的难易度分布图。更多时点的图形参考附录B。 + +从这些图形可以看出，数据点面积最大的集中在早上8-9点和晚上19点，即早晚高峰上下班时段。这些时段打车难的区域主要集中在成都东这片区域。 + +![](images/b71cf9bc7bb55b4c928d49bfdab7c0e8771caf6c5b9c192c86b43c60c8087e59.jpg) +图1-9成都市9点的打车难易度图 + +![](images/464c075b07e1ef1fce275f020a4abb3289448d6e13ce62861436d5b211c3b178.jpg) +图1-10成都市19点的打车难易度图 + +我们还绘制了所有时段乘客数据点的难易度散点图，见图1-11。从图1-11可以看出，一般在2公里范围内的出租车即可满足乘客的打车需求，大部分在1公里之内即可满足，只有极少部分数据点，需要10公里左右甚至更大，比如30多公里的出租车才能满足。这些数据点就是打车最难的数据点。 + +![](images/dc3b28d369d363929c3cdf8fe1bbe307fb106654468edb85ff4b10778f69ca13.jpg) +图1-11所有时段乘客打车难易度散点 图1-12所有时段乘客打车难易度分布 + +![](images/0731ff42cf0402830e6a2842cb3241a3a0ecf1570da4de35743e1b9c973720fa.jpg) + +从所有时段的乘客打车难易度的分布图12来看，成都东，双流北，以及都江堰中心地带较易出现打车难问题。 + +![](images/4ecf3b50f6ea7299d111f56d26fa77559c2e75eccf35d70cdd1ba533812a9bca.jpg) +图1-13 不同时段乘客打车难易度条图 + +图1-13 绘制了不同时点，乘客打车的难易度条形图。由图可知，任何时点在不超过1千米的距离内都有出租车满足大部分乘客需求。早高峰时段出现在早上的8点-9点，傍晚19点会出现一个晚高峰时段；白天基本持平，深夜1点-5点的频数最低。 + +# 6.2. 问题(2)的讨论 + +该部分通过搜集的信息和数据，主要讨论打车软件的补贴政策与打车难易程度之间的关系，并找出现有打车软件补贴政策变化带来的新的问题，为问题(3)构建新的打车方案做准备。详细分析如下： + +# 6.2.1. 滴滴打车和快的打车对乘客进行补贴的比较分析 + +根据收集的数据，滴滴打车和快的打车对乘客的补助如下表2-1所示。（数据来源：http://chuansong.me/n/651901） + +表 2-1 2014 年 2-1 月滴滴打车和快的打车对乘客的优惠额度对比 + +
时间滴滴打车补贴方案快的打车补贴方案
1月10日每单减10元减0元
1月20日持续每单减10元持续每单减10元
2月11日每单减5元每单减10元
2月17日每单减10元，新司机首单50元每单减11元
2月18日每单减12-20元每单减13元
3月3日每单减12-20元每单减10元
3月18日每单减5元每单减5元
3月22日每单减5元每单减3-5元
3月23日每单减3-5元持续每单减3-5元
+ +纵观补贴方案的数据，可以得出如下结论：滴滴打车对司机的补贴1月10日为10元，而快的为0元。然后滴滴打车出现先减后增的趋势，直到3月3日后，补贴开始狂减至0元，这说明公司开始为了争取用户使用，增大补贴力度，而当用户群体达到一定份额后，对乘客的奖励逐渐取消，此时大部分乘客已经习惯使用打车软件进行打车，所以取消补贴，乘客的对打车软件使用率会降低，但不会明显下降，尤其是高峰时期为了减少等待时间乘客更愿意使用打车软件，以减少打车难的问题；而快的打车的补贴从开始就持续增加，目的是为了与滴滴打车竞争，争取更多的用户，后面开始减少补贴后其用户的变化和滴滴打车类似。 + +# 6.2.2. 滴滴打车和快的打车对司机进行补贴的对比分析 + +表 2-2 2014 年 1-3 月滴滴打车和快的打车对司机的补贴额度对比 + +
时间滴滴打车补贴方案快的打车补贴方案
1月10日每单减10元减0元
1月20日持续每单减10元每单减10元
1月21日持续每单减10元每单减15元
2月12日持续每单减10元每单减5元
2月17日每单减5元持续每单减5元
2月18日持续每单减5元每单减5-11元
2月19日持续每单减5元每单减5-13元
3月4日每单减10元持续每单减5-13元
3月22日持续每单减10元每单减2元
3月23日每单减2元持续每单减2元
+ +滴滴打车和快的打车对司机的补助如上表2-2所示（数据来源：http://chuansong.me/n/651901）。纵观补贴方案的数据，滴滴打车对司机的补贴开始稳定在10元/单，后面开始逐渐减少，而快的打车的补助总体上比滴滴打车多，目的是抢占市场份额，当达到一定规模时，补贴降为0。这其中包括： + +(1).当补贴很高的时候，司机更愿意去接收订单，这一方面可以减少乘客的等待时间，但是对于没有使用软件下订单的乘客，他们很难打到车，对这一部分乘客增加了打车难度，而对其中老人小孩群体，会出现根本打不到车的局面。 +(2).当补贴降为0以后，根据调查（http://www.ithome.com/html/it/98292.htm）司机抢单热情下降，特别是打车高峰期，随时随地都可能拉到客人，所以总体上讲，打车的难易局面与没有打车软件的情形差不多。 + +# 6.2.3. 从乘客的等待时间和出租车的空驶率讨论对“打车难易程度”的影响 + +针对滴滴打车，自补贴从2014年1月10日开始以来，2014年1月-3月的注册用户量变化情况和日均订单量的增长情况如表2-3所示。数据来源： + +(http://news.mydrivers.com/1/298/298626.htm) + +表 2-3 滴滴打车用户、日均订单占用户数据 + +
日期用户数日均订单日均订单/用户数
1月10日2200万35万1.6%
2月9日4000万183万4.6%
2月24日8260万316万3.8%
3月27日1亿521.83万5.2%
+ +通过表2-3可以得出，滴滴打车从2014年1月至3月，随着补贴的进行，除了注册用户持续增加以外，订单数也持续增加，“订单/用户数”的百分比稳定在 $4\% -5\%$ 之间。通过市场份额的估算，截至2014年12月，中国打车APP累计账户规模达1.72亿，其中快的打车市场份额为 $56.5\%$ ，滴滴打车为 $43.3\%$ ，这说明补贴政策极大的吸引了打车用户的注册和下单；快的打车的变化情况和滴滴打车类似。 + +(数据来源: http://www.askci.com/news/chanye/2015/02/13/172139y4la.shtml)。 + +调查显示，使用打车软件后， $94.0\%$ 的乘客打车等候时间在10分钟内，等候时间在10分钟以上的乘客比重下降了 $29.9\%$ 。而使用打车软件后， $90.3\%$ 的司机认为降低了空驶率，其中 $55.0\%$ 的司机认为每月空驶率下降 $10\%$ 以下， $41.2\%$ 的司机认为每月空驶率下降 $10 - 30\%$ ， $3.9\%$ 的司机认为每月空驶率下降 $30\%$ 以上。（数据来源：http://chuansong.me/n/651901）。 + +综上分析，司机的空驶率下降，说明载客率增加，乘客的等待时间减少，说明打车变得容易，所以通过前面的分析，有补贴政策，且补贴较高，司机和乘客都更愿意去使用打车软件，这样司机空驶率下降，乘客等待时间也下降，两个下降都使得打车变得容易。 + +# 6.2.4. 从乘客和司机的经济收益讨论补贴方案对“打车难易”程度的影响 + +调查显示，2014年1月以来，快的打车与滴滴打车在补贴金额上一直互相较劲，双方补贴金额合计在25亿以上。除补贴司机外，大部分补贴均被乘客获得。调查显示， $81.0\%$ 的乘客认为节约了打车费用。 + +由于打车软件为司机每单提供补贴，这为司机提供加价收入来源。调查显示，在使用打车软件后， $92.0\%$ 的司机认为平均每单收入有增加。其中， $48.0\%$ 的司机认为平均每单收入增加 $10 - 30\%$ ， $51.8\%$ 的司机认为平均每单收入增加 $10\%$ 以下， $0.2\%$ 的司机认为平均每单收入增加 $30\%$ 以上。(数据来源：http://chuansong.me/n/651901)。 + +因此，无论从乘客的角度，还是从司机的角度，在经济方面都获得了收益，所以在这种经济补贴的环境下，双方都更愿意去使用打车软件，根据上面的结论，软件使用率越高，对使用软件打车的乘客，打车变得容易。 + +通过 1-4 的分析, 我们将城市人群 $N$ 分类: 老年人群 $N_{1}$ 和一般人群 $N_{2}$ ; + +(1). 对于老年人群 $N_{1}$ (20%左右), 由于这部分人群使用智能手机的较少, 也就是即便打车软件提供补贴, 对他们的“打车难”问题仍然很难解决。 +(2). 对于一般人群 $N_{2}$ , 可以得出如下关系图 2-1: + +![](images/03b0d60290f7bf4adec0a0d6c09c4d9059cc87baa12a50976ac30d5508e74fb2.jpg) +图2-1 补贴政策与打车难易程度关系图 + +也就是说针对人群 $N_{2}$ ，随着乘客和出租车司机补贴的存在或者提高，充分调动了他们使用软件的积极性，使得用软件的人数会持续增加，这样既缩短了乘客打车时间的等待，也减少了司机的空驶率，故可以有效的缓解打车难的问题。但随着补贴的降低，乘客和司机对打车软件使用的激情开始降低，尤其在高峰时段，司机不需要使用软件接单，其空驶率也很低；而乘客基本使用打车软件，在高峰期打车依然困难，这说明对补贴方案的改变和调整需要进一步讨论。 + +由于使用打车软件预约打车，尤其在高峰时段，司机由于可以享受打车补贴。所以没有预约需要打车的人，在高峰时段几乎打不到车，所以很多城市比如上海、济南等城市严禁高峰期使用打车软件。这也说明对打车软件公司的补贴政策需要进一步讨论。（数据来源：http://news.sohu.com/20140226/n395713186.shtml; + +http://readmeok.com/2014-3/6_29733.html) + +# 6.3. 问题(3)的设计方案 + +# 6.3.1. 影响“打车难”可能的因素 + +根据北京晨报的报道，影响打车难的主要因素包括如下几个方面： + +原因一：人多车少司机挑活儿； + +原因二：司机收车常现空当儿； + +原因三：禁限行路段宁愿空跑； + +原因四：车辆调配不当效率差； + +原因五：道路拥堵运营太耗时； + +原因六：部分区域“黑车”当道； + +原因七：新手不认路效率太低。 + +纵观以上因素，这些原因分别与职业道德、信息畅通、调度、信用、道路拥挤，外部竞争，职业素养等因素有关。而其中的调度直接和现有的打车软件有密切关系，所以在新的补贴方案中应考虑其他影响打车难的因素，比如错开高峰时段打车进行补贴，调动出租车去密集地区给予补助等。 + +# 6.3.2. 借助S曲线模型，恰当补贴，减缓打车难 + +通过对现有打车软件补贴方案的比较分析，我们可以看到，目前的补贴方案对时空的区分较少，千篇一律。虽然在一定程度上可以缓解打车难问题，但是对于高峰时段，以及那些很难打到车的区域效果不是太明显。 + +结合问题(1)的求解可知，人们出行集中在早晚高峰时段，即早上8-9点，和晚上19点左右。其他时段，白天的打车需求相对于夜晚的较大。虽然白天的出租车分布也比夜晚的多，但二者相对来说可以持平。可是由于白天出租车流动性很大，从图13各个时段的分布图可以看出，白天如果人们要成功打到车，往往需要大约3公里之内的出租车参与运载才行。这也就意味着，人们为了成功打到车，往往需要等待一会，甚至较长的时间。所以，打车软件的补贴方案应该考虑不同时段区别对待，高峰时段和低峰时段的补贴应该有所不同，尽量引导人们避开高峰时段。 + +此外，我们还可以看到，就成都市而言，“打车难”容易出现的区域是有集中趋势的，比如成都东，双流北，这些地方往往是人流比较集中的地方，比如火车站（成都东站），或者机场（双流机场），或者学校，写字楼等等。因此，为了有效缓解“打车难”问题，在设计软件的时候需要加入区域的因素，也就是分流的思想。通过补贴引导乘客尽量走走路，从人流密集的，难于打到车的区域往人流稍微稀疏，较容易打到车的地方挪动。 + +鉴于此，我们设计了如下的补贴方案： + +方案1：低峰时段出行并成功打到车的给予一定的现金或积分奖励； + +方案2：鼓励出租车前往人流密集处，打车软件可以通过大数据的实时分析，告诉司机哪个区域打车需求大，通过一定的现金或者积分奖励，鼓励司机抢人流密集处的定单。 + +下面，我们利用模拟对这两种方案的实施效果进行评价。 + +对问题(2)所搜集的数据，我们可以计算出乘客的累计补贴和司机的累计补贴，见表3-1。一般而言，补贴刚开始投入时，人们知之甚少，因此产生的效果也不是太明显；随着补贴的逐渐加大，补贴的累计效应将逐步产生，表现在用户数和日均订单量均显著增加；但到了后期，随着市场饱和等等因素的影响，补贴的效应将明显下降，用户数和日均订单量将趋于一个平衡状态。整个变化过程，可以用S曲线来进行刻画。 + +表 3-1 滴滴打车软件的补贴数据与 S 曲线预测结果 + +
日期间 +隔乘客 +补贴(元)司机 +补贴(元)乘客累 +计补贴(元)司机累 +计补贴(元)用户 +数(万)日均订 +单(万)基于乘客累计补贴的日均订单量预测(万)基于司机累计补贴的日均订单量预测(万)
2014/1/1001010101022003533.2138233.08413
2014/1/201010102020121.33963125.65335
2014/1/211110103030186.88047196.04641
2014/2/930101040404000183231.92339244.87886
2014/2/11325104550249.23255279.83803
2014/2/12335105060264.00548305.8748
2014/2/17381056065287.8228316.52212
2014/2/18392058070320.63838325.9429
2014/2/194020510075342.09734334.33409
2014/2/2445205120808260316357.19537341.8534
2014/3/35220514085368.38595348.6284
2014/3/453201016095377.00836360.3438
2014/3/1867510165105378.86315370.11543
2014/3/2271510170115380.61716378.3872
2014/3/237252175117382.27838379.89132
2014/3/27765218011910000521.83383.85397381.35057
+ +所谓S曲线模型，假定自变量为 $t$ ，因变量为 $y$ ，则S曲线定义为： + +$$ +y = \exp \left(b _ {0} + \frac {b _ {1}}{t}\right) +$$ + +或者 + +$$ +\log (y) = b _ {0} + \frac {b _ {1}}{t} +$$ + +其中 $b_{0}$ 和 $b_{1}$ 为待定常数，需要通过数据拟合得到。将 S 曲线模型代入 SPSS 软件，可以得到如下拟合结果。 + +表 3-2 日均订单量的 S 曲线拟合的拟合度 + +
自变量为乘客累计补贴模型摘要ANOVA
RR平方调整后的R平方标准估算的错误平方和自由度均方F显著性
.979.959.939.290回归(R)3.96313.96347.131.021
残差.1682.084
总计4.1323
自变量为司机累计补贴RR平方调整后的R平方标准估算的错误平方和自由度均方F显著性
.976.953.930.310回归(R)3.93913.93940.914.024
残差.1932.096
总计4.1323
+ +从表3-2可以看出，以乘客累计补贴和司机累计补贴为自变量，以日均订单量为因变量的S曲线拟合效果非常显著，R平方非常接近于1，方差分析的显著性水平也小于0.05。而S曲线拟合的系数估计见表格3-3.记 $D_{1}$ 为日均订单量， $D_{2}$ 为乘客累计补贴， $D_{3}$ 为司机累计补贴。 + +从表3-3我们可以得到如下经验公式： + +$$ +D _ {1} = \exp (6. 0 9 4 - \frac {2 5 . 9 1 3}{D _ {2}}) +$$ + +或者 + +$$ +D _ {1} = \exp (6. 1 6 8 - \frac {2 6 . 6 8 9}{D _ {3}}) +$$ + +表 3-3 日均订单量的 S 曲线拟合的参数估计 + +
自变量为乘客累计补贴系数
非标准化系数标准系数t显著性
B标准错误贝塔
1/乘客累计补贴-25.9133.774-.979-6.865.021
(常量)6.094.19531.181.001
自变量为司机累计补贴1/司机累计补贴-26.6894.173-.976-6.396.024
(常量)6.168.21728.380.001
因变量为ln(日均订单)。
+ +基于上述两个经验公式，我们可以得到日均订单量的预测值，见表格3-1。对用户量为因变量的模型分析表明，S曲线拟合效果不显著，故在接下来的分析中，我们只考虑以日均订单量为因变量的随机模拟。 + +我们把日均订单量对应到问题(1)中的乘客需求量。但是这里的单位是万，而问题(1)中的单位为个，为此，在进行模拟时，我们需要考虑日均订单量除以用户量的百分比，采用前面的S曲线拟合，拟合结果见表3-4和表3-5。 + +表 3-4 日均订单量/用户数的百分比的 S 曲线拟合的拟合度 + +
自变量为乘客累计补贴模型摘要ANOVA
RR平方调整后的R平方标准估算的错误平方和自由度均方F显著性
.955.912.868.194回归(R)0.78510.78520.763.045
残差.0762.038
总计0.8613
自变量为司机累计补贴RR平方调整后的R平方标准估算的错误平方和自由度均方F显著性
.964.929.894.174回归(R)0.80010.80026.325.036
残差.0612.030
总计0.8613
+ +表 3-5 日均订单量/用户数的百分比的 S 曲线拟合的参数估计 + +
自变量为乘客累计补贴系数
非标准化系数标准系数t显著性
B标准错误贝塔
1/乘客累计补贴-11.5322.531-.955-4.557.045
(常量)1.645.13112.553.006
自变量为司机累计补贴1/司机累计补贴-12.0262.344-.964-5.131.036
(常量)1.683.12213.788.005
因变量为ln(日均订单/用户数)
+ +从表3-4可以看出，以乘客累计补贴和司机累计补贴为自变量，以日均订单量/用户数的百分比为因变量的S曲线拟合效果非常显著，R平方非常接近于1，方差分析的显著性水平也小于0.05，由S曲线拟合的系数估计表3-5，记 $D_{1}$ 为日均订单量， $D_{2}$ 为乘客累计补贴， $D_{3}$ 为司机累计补贴， $D_{4}$ 为用户数；可以得到如下经验公式： + +$$ +D _ {1} / D _ {4} = \exp (1. 6 4 5 - \frac {1 1 . 5 3 2}{D _ {2}}) +$$ + +或者 + +$$ +D _ {1} / D _ {4} = \exp (1. 6 8 3 - \frac {1 2 . 0 2 6}{D _ {3}}) +$$ + +表 3-6 日均订单/用户数百分比 S 曲线预测结果 + +
时间间隔乘客补贴司机补贴乘客累计补贴司机累计补贴用户数日均订单百分比=日均订单/用户数基于乘客累计补贴的百分比预测基于司机累计补贴的百分比预测
2014/1/100101010102200351.5909090911.635471.61726
2014/1/2010101020202.911082.95074
2014/1/2111101030303.527963.60563
2014/2/9301010404040001834.5753.883823.98572
2014/2/113251045504.010254.23274
2014/2/123351050604.114344.40587
2014/2/173810560654.275574.47433
2014/2/183920580704.486034.53386
2014/2/1940205100754.617244.58608
2014/2/24452051208082603163.825665864.706844.63228
2014/3/352205140854.77194.67342
2014/3/4532010160954.821294.74355
2014/3/18675101651054.831834.80108
2014/3/22715101701154.841784.84914
2014/3/2372521751174.851174.85782
2014/3/27765218011910000521.835.21834.860064.86622
+ +表3-6为日均订单/用户量百分比预测结果，可以看出后期稳定后，其影响的百分比在 $5\%$ 左右。 + +在模拟时，我们首先需要设定乘客的补贴标准，比如我们按每天补贴1-5元不等，补贴1个月，按30天计算，可以得到模拟的日均订单量/用户量的百分比。假定问题(1)所获得的出租车分布数据不变，然后结合补贴方案1以及百分比的S曲线拟合值，乘以问题(1)中所获得乘客的需求数据，即可得到在方案1下，乘客需求的变化情况，从而可进行方案1在缓解打车难问题上的评价。 + +# 6.3.3. 方案1的模拟评价 + +方案1：低峰时段出行并成功打上车的给予一定的现金或积分奖励。 + +问题(1)的求解中，我们已经指出早高峰时段出现在早上8点-9点，晚小高峰时段是傍晚19点。为了说明补贴方案1的是否合理。我们假定预计在8点钟出行的乘客，在补贴方案1的鼓励下，提前至早上7点出行，看看能否显著的缓解打车难问题。 + +经过测算，相应的Matlab代码见附录C。我们发现，若按S曲线模型，最后稳定 + +在 $5\%$ 左右的影响力的话，基本上不会太影响问题(1)中所定义的难易度。也就是，如果仅是乘客避让高峰期，而且是在补贴方案影响不大的情况下，很难缓解打车难问题。 + +究其原因，通过对附录A的出租车分布图进行比较分析，我们发现，无论哪个时段，出租车的分布规律基本上处于一个不变的趋势，大致都是那些区域。 + +所以，为了缓解打车难，我们得从出租车入手。 + +# 6.3.4. 方案2的模拟评价 + +基于方案1的评价，我们提出了让出租车跑起来的方案2，希望方案2能有效缓解打车难问题。 + +方案2：鼓励出租车前往人流密集处，打车软件可以通过大数据的实时分析，告诉司机哪个区域打车需求大，通过一定的现金或者积分奖励，鼓励司机抢人流密集处的定单。 + +我们依然以高峰时段的早上8点为例进行评价。 + +![](images/80ce0c2ec46319212d34fedea7556c93e0e02d3a14bb5edd466e58848f61921e.jpg) +图3-1成都市8点乘客需求条型图 + +![](images/3e2b8d00873661c46dfbd2067429368439186b8435a17cc746805a9adc1dec39.jpg) +图3-2成都市8点打车需求最密集点 + +早上8点，成都市的乘客需求的条形图见图3-1，从图3-1可知，有 $72.6\%$ 的乘客数据点的打车需求8辆左右， $12.33\%$ 的乘客数据点的打车需求在20辆左右，只有极少数数据点的打车需求超过30辆。 + +不难发现8点的乘客需求中，有一个是极端点，该点的经度为104.277，纬度为30.8972，乘客的打车需求达到了112辆，远远大于其他数据点。见图3-2中的红色方框所在地。从地图对应关系来看，大致可以判断该点是西南石油大学所在地，而我们的数据采集是2015年9月9号，恰逢新生入学报到，故而出租车的需求会明显高于其他地方。 + +假如该点的乘客发出订单，表明有打车需求，如果打车软件鼓励较远的出租车司机进行抢单，抢单并搭载成功，按距离远近给予不同程度的奖励，采用S曲线的初始值 $1\%$ 的影响率，假如所有的出租车分布点都有 $1\%$ 的出租车迁移到该点，我们看看情况会如何呢？ + +![](images/369cf0ee5cfb14d228c7055c32ba27fa153636d0cfef5bcdfb7eb24c61bec975.jpg) +图3-3方案2的应用前后对比图 + +图3-3绘制了乘客部分数据点使用方案2前后的打车难易度对比结果，相应的Matlab代码见附录C。不难看出，方案2使用后，第9个数据点（也就是前面的打车需求最大的数据点）的打车难度显著下降，从原来的难易度为11下降到现在的1，而其他数据点的变化几乎为0。这表明针对乘客打车密集点的补贴方案2能较好的缓解打车难问题。 + +# 七．模型评价与展望 + +本文针对“互联网 $+$ ”时代的出租车资源配置的评价以及优化问题进行了数据分析和数学建模。搜集了成都市2015年9月9日的出租车分布以及乘客打车需求数据。基于该数据，通过统计分析以及数学建模手段，给出了评判出租车资源“供求匹配”程度大小，即难易度度量指标。借助于该指标，我们得出了时间上，成都市早上8-9点是出租车打车的高峰时段，傍晚18点是另一个小高峰时段。这两个时段较易出现打车难问题。而通过区域比较分析，空间上，我们发现成都东火车站，以及双流北，大约在双流机场等位置，较易出现打车难问题。 + +对现行的最流行的滴滴打车和快的打车软件的补贴措施的比较分析，我们发现，现行的补贴措施主要是为了吸引用户，扩大软件影响力。当然，这也大大提高了用户使用软件打车率，在一定程度上缓解了打车难问题。但是，应该看到，这样的补贴措施，不分时段，不分地点，没有侧重点，没有体现时空差异，以及大数据时代的数据时效性，以及实时监控策略，存在着一定的不足之处。 + +基于问题(1)的求解，以及问题(2)中各大软件补贴存在的问题，在问题(3)中，我们提出了2种设计软件的补贴方案。经过建模分析，我们发现方案1，基于乘客避让高峰的补贴措施效果并不明显；而方案2，鼓励出租车司机接纳打车密集地乘客订单的方案，在缓解打车难问题上，效果显著。 + +未来的研究方向，我们可以搜集更多一些的数据，比如北京，上海，广州等一线城市的，以及其他二、三线城市的出租车运行数据，利用本文所建立的模型来评价各个地方的出租车“供求匹配”程度大小。此外，我们还可以搜集一周，或者一个月，或者一季度，一年的数据，进一步探讨出租车“供求匹配”随时间的变化趋势。除此之外，我们的老年人由于使用智能手机的人数较少，所以没办法通过打车软件进行打车，所以打车软件公司可以专门设置搭乘老年人额外奖励的方案，缓解老年人打车难的问题。总之，还可以提出更好的补贴方案，优化出租车资源配置，缓解打车难问题。 + +# 参考文献 + +[1] 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2007. +[2] 张圣勤，MATLAB 7.0 实用教程，北京：机械工业出版社，2006. +[3] 罗聪坤，关于出租车打车软件问题的研究，兰州教育学院学报，第31卷第3期：1-3，2015. +[4] 随心，滴滴打车用户数正式破亿，http://news.mydrivers.com/1/298/298626.htm, 2015-09-12. +[5] 汪光焘等，关于加强打车软件综合管理的建议，城市交通，2014年第5期，1-3，2014. +[6] 胡建军等, 基于最近邻优先的高校聚类算法, 四川大学学报 (工程科学版), 第 36 卷第 6 期, 3-6, 2004. +[7] 张文彤, SPSS统计分析基础教程（第二版），北京：高等教育出版社，2011. +[8] 宋晓霞, 基于 MATLAB 的通用数据拟合办法, 山东大同大学学报 (自然科学版), 第 30 卷第 4 期, 2-4, 2014. + +附录： + +![](images/03005c6c8dda55bccfe9f0453debb4e72be2be00e9b7a08a0585fa6f20374378.jpg) +附录A.成都市各个时点出租车和乘客的分布散点图 + +![](images/9b4740ef64249aa31f8e44413c27693b9dcb87d4d27a7b759e374efc7e38f73c.jpg) + +![](images/0726b8909761f3e150a846679b179d395bf830a6c38f537ab47129b240b27031.jpg) + +![](images/2f64ec4787624b091c9fc619adb3cfe4679c0630ff10773960f620362c765e60.jpg) + +![](images/807eb09e46ca5f01a949944f22b68ad6094ec621773fc3a8e98760c8a52adab7.jpg) + +![](images/a671ea2d7adeb6e825168d5e9ec71dd63207ced900c278ed2b587be56abad598.jpg) + +![](images/97dba10efe8d4a5376304b06a837f6ac7de5de380bfc929d8db4c0f0d40a384b.jpg) + +![](images/604b029352fd6e74b1b4651b80d3449c59778e821d330abf731d0091c7164b5a.jpg) + +![](images/320e6c357fc3bad4f1137a42db15dcb16ebcb0c262dfbfd6848809836c63ae95.jpg) + +![](images/98eb631b83e03cfc1fb9d58bdd4b6847bf6c818ca9cc3abb43b9030b96cda239.jpg) + +![](images/7942790019383fcc739c7b5f815b03ca9216724ca80c44daebfc4e153b742034.jpg) + +![](images/11afe59c978d602b026e5c67e0ff4278d77dce570264503d45ad11571c39a646.jpg) + +![](images/db08835a965e14d72068757758a03dfccb5dafa5b1d332cb18aee5b26baf2b71.jpg) + +![](images/2b18125341acb7b188abb411ff4edc6b45586316f74ccffd42885f2a30999909.jpg) + +![](images/d17e12885a79a74f5b3fc77b47299ada3d8f5058937001003f75957c09215486.jpg) + +![](images/a99f9f020bdd9fdf189a63a5b33716b491d79f74fcbad14afcb4d367672c744e.jpg) + +![](images/d7b1444f9aa72efba2bbf0209201a8d783a6ecaf31a4fba878743f4e558213c0.jpg) + +![](images/0f1609eba4b83db19c9828196ae1e1f6ce8b085a8be702fe94057625d016aaab.jpg) + +![](images/3813f490b4d419954d8fa1fd8459a30692aa38a42a5573f5e1ab0a2f107c5fc9.jpg) + +![](images/74fa14678f6050d01ea82bb9bda313d13e87804c9281bf83f983b3e495f7f1ec.jpg) + +![](images/a55fc89f9d605fbee08dbf29220e5856702f4081e0b806992f5b70922cdfa0fd.jpg) + +![](images/b524e6937cc1da6df68e82786f4fdd8809cab41b4d39959f605410762fb3204c.jpg) + +![](images/6f8365accfcfe2a8d1e5777219743921f9df9073eb87db37b8a4cd3e683aafcf.jpg) + +![](images/1479cdd34ee54d5deb4f835b57982816d8d0fe0217532aecf9a44474ac78217c.jpg) + +![](images/cc770f6943ddf7c4c13cfd74be625687a9e4b31564f7b28a7329730f454fffa2.jpg) +附录B.成都市各个时点打车难易度分布图 + +![](images/a7ca7cfa48531a5240de2b40a2e0832f60810f89f0c08befc6c92821b836ce8f.jpg) + +![](images/a607f1af37379a33313556a8a8330dde19b17a3b0abe72dfb3f3cc18d73e66f7.jpg) + +![](images/1680a8d515d0387c9f805c857744067aff45d0ab2b4e64de57f800055769eb05.jpg) + +![](images/df37574053237ef28530bffaf52a9dab89e1a5fcc1813bcde76164ef3bb1f399.jpg) + +![](images/17628709a29b916fbfae9323879e03e8181b27e757c98fa166080fa93a7f793a.jpg) + +![](images/8523c0d60262745bcdd661f4e374ea25999ea83e04c0e293df5a81a52d8362bb.jpg) + +![](images/051af67af38d87e8521520eab7940f147947f2da53ffb1b032ac2fca6014803b.jpg) + +![](images/a6e705c9d71b28d73f15b73139b523b36ee59950dc2c166f1abb1174646e41dd.jpg) + +![](images/ca4ba224f128f81c152701adf5b30002f670c4f7de144dda998da22faaa4d949.jpg) + +![](images/7e2c33d55bf05d973b60825c3bc4f2a49d86b8e6c1b84a9129a17a45ac16fe9f.jpg) + +![](images/b1e014a9602343f01bea20dcfeb2ca937500868c8ede7cea50de769fbe71ddbe.jpg) + +![](images/b47cf08c91a7cae1246c13c22ffb9840d987917fa8ac8e55a17c0a415fdef263.jpg) + +![](images/e2ffab8d828f5f6ae05fa01991db323c63d93ce68051f20f33d42f710d62e1e0.jpg) + +![](images/ce2b3b2fb2f6a86cb6b6137c480ed97279fa1aa8c69fd884dab599a0b4a80990.jpg) + +![](images/9370eb31881f69f1ce29a6a7b17303250b95178982a4e6c3201ef2551d74f68b.jpg) + +![](images/d0b3c29bab77d506a19ad2f5d98635a954d8c96b7289dcb3eb70b8f602113182.jpg) + +![](images/e19d31adad8a8dc018a1d25a2169d2d07048119018442a68532978100e79c5dd.jpg) + +![](images/28a128fdca45e2e3cf4f55fd36795ef269b51864415ede043bd151485b5f47eb.jpg) + +![](images/89d9c9a05f64ec5879fc77d8e185198b58e76cd070ed504f9b8441918b18928d.jpg) + +![](images/5ada52f166961318fece0510344800b26c647ef1ebe4b1ee9a41eaa205677858.jpg) + +![](images/e42b90e284d393e922d68c175f1e024f908630ae1353d4da6c05c36762f9a52a.jpg) + +![](images/8158d89539c5f963f92c4d0f05d841b503fc944fe053cc6fafe5d65cfc895d39.jpg) + +![](images/3df57079a540afc551555942f5e76547f3a558425923c2e9b5d96eb15760f769.jpg) + +# 附录 C.Matlab 程序代码 + +# 1.问题(1)的代码 + +%问题(1) + +```javascript +sheng=shaperead('counties_china.shp', 'UseGeoCoords', true); +``` + +chengdu $=$ sheng(2333:2345); + +boundall $= []$ + +```javascript +name=cell(13,1); +``` + +for $i = 1$ :length(chengdu) + +```javascript +boundall=[boundall;chengdu(i).BoundingBox]; +``` + +name{i} $\equiv$ chengdu(i).LAST_NAME9; + +```txt +end +``` + +```javascript +name{1}='成都'; +``` + +```javascript +name{2}='金堂'; +``` + +```javascript +name{3}='双流'; +``` + +```txt +name{4}='温江'; +``` + +```javascript +name{6}='新都'; +``` + +```txt +name{7}='大邑'; +``` + +```txt +name{8}='浦江'; +``` + +```txt +name{9}='新津'; +``` + +```javascript +name{10}='都江堰'; +``` + +```javascript +name{11}='彭州'; +``` + +```javascript +name{12}='邛崃'; +``` + +```javascript +name{13}='崇州'; +``` + +minlon=min-boundall(:,1) $\%$ min(chengdu.Lon); + +```matlab +maxlon=max(rangeId(:,1));%max(chengdu.Lon); +``` + +```matlab +minlat=min Boundall(:,2); %min(chengdu.Lat); +``` + +```matlab +maxlat=max-boundall(:,2));%max(chengdu.Lat); +``` + +dataall $= []$ + +for $\mathrm{i} = 1:24$ + +```javascript +data=dlmread(['cityID510100realDate20150909_,num2str(i),'_t.txt')); +``` + +```matlab +tlen=length(data); +nump=tlen/3; +datat=zeros(nump,3); +datat(:,1)=data(1:3:tlen); +datat(:,2)=data(2:3:tlen); +datat(:,3)=data(3:3:tlen); +cancel=datat(:,1)>maxlon | datat(:,1)maxlat | datat(:,2)maxlon | datap(:,1)maxlat | datap(:,2)1 +``` + +subplot(ceil(eachfignum/2),2,mod(i,eachfignum)*(mod(i,eachfignum) $\sim = 0$ )+eachfignum\*(modi,eachfignum $= = 0$ ）） end geoshow(chengdu); title([num2str(i)，'点；黄-成都;绿-出租;红-乘客']） hold on scatter(matat(:,1),datat(:,2),datat(:,3)，'filled','o','g') scatter(matap(:,1),datap(:,2),datap(:,3)，'filled','s','r') title([num2str(i)，'点；成都;绿-出租;红-乘客'])xlabel('经度')ylabel('纬度') forkk=1:length(chengdu) + +```matlab +text(mean(chengdu(kk).BoundingBox(:,1)),mean(chengdu(kk).BoundingBox(:,2)),name(kk)); end +``` + +```txt +hold off +``` + +```txt +if mod(i-1, eachfignum) == 0 +``` + +figname $\equiv$ strcat('chengdu_part',num2str(k),'.jpg'); + +saveas(hfig,figname,'jpg'); end end savefig(fignum,'chengdu.fig') close all figs $\equiv$ openfig('chengdu.fig'); for $k = 1$ :length(fignum) figname $\equiv$ strcat('chengdu_part',num2str(k),'.jpg'); saveas(figs(k),figname,'jpg'); end close all mean plot meanall $\equiv$ []; for i=1:24 meanall $\equiv$ [meanall;[mean(dataall(i).taxi(:,3)),mean(dataall(i).passenger(:,3))]]; end h=1:24; set(gcf,'PaperType','A4',... 'paperOrientation', 'portrait', ... 'paperrunits','CENTIMETERS','PaperPosition',[.00,.00,16,10]); [hAx,hLine1,hLine2] $\equiv$ plotyy(h,meanall(:,1),h,meanall(:,2)); ylabel(hAx(1),'出租车均值') ylabel(hAx(2),'乘客均值') set(hLine1,'LineStyle','--','Marker','\*\*','MarkerSize',6,'LineWidth',1.5) set(hLine2,'LineStyle','\*\*','Marker','o','MarkerSize',6,'LineWidth',1.5) xtlabel $\equiv$ num2cell(h);%cat(2,num2cell(h(1:4:end-2)),method); set(hAx,'XTick',h,'XTickLabel',xtlabel,'xlim',[1,24]) grid on xlabel('时间') leglabel $\equiv$ {'出租车均值'，乘客需求均值'}; + +```javascript +legend(leglabel,'Location','Best') +``` + +title('成都市2015年9月9日全天出租车分布和乘客需求均值图') + +```javascript +figname= strcat('chengdu_mean','.jpg'); +``` + +```javascript +saveas(gcf, figname, 'jpg'); +``` + +```txt +%matching +``` + +$\mathrm{C0 = [0.1:0.1:0.9,1:50]}$ + +$\mathrm{lc0 =}$ length(C0); + +match $= []$ + +matchall $= []$ + +matchpoint $\equiv$ []; + +for $i = 1:24$ + +$\mathrm{p0 =}$ dataall(i).passenger; + +```javascript +lp0=size(p0,1); +``` + +```javascript +t0=dataall(i).taxi; +``` + +$\mathrm{r =}$ size(t0,1); + +```javascript +disp=zeros(lp0,lc0); +``` + +for $j = 1:lp0$ + +```txt +p00=ones(r,1)*p0(j,1:2); +``` + +$\mathrm{d} = \mathrm{dis}(\mathrm{p00}(:,1),\mathrm{p00}(:,2),\mathrm{t0}(:,1),\mathrm{t0}(:,2));$ + +for $k = 1:1c0$ + +```javascript +ts=sum(t0(d<=C0(k),3)); +``` + +```txt +if ts \mathrm{p0(j,3)}$ + +$\mathrm{disp(j,k) = -1}$ + +```txt +else +``` + +$\mathrm{disp}(\mathbf{j},\mathbf{k}) = 0$ + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +```matlab +idx=ones(lp0,1)*(1:lc0); +idx(disp>0)=inf; +idxsel=min(idx,[],2); +idxsel(isinf(idxsel))=C0(end); +match(i).loc=p0(:,1:2); +match(i).matchp=disp; +match(i).matchstats=idxsel; +matchall=[matchall; [i*ones(lp0,1),p0(:,1:2),disp,idxsel]]; +matchpoint=[matchpoint,lp0]; +end +mathpointcum=cumsum(matchpoint); +newtime=zeros(size(matchall,1),1); +newtime(ismember(matchall(:,1),[8,9]))=1; +newtime(ismember(matchall(:,1),[18,19]))=2; +newtime(ismember(matchall(:,1),[7,10:17]))=3; +newtime(ismember(matchall(:,1),20:22))=4; +newtime(ismember(matchall(:,1),[1:6,23:24]))=5; +%plot +fignum=[[]; +eachfignum=1; +for i=1:24 + loc=match(i).loc; + measure=match(i).matchstats; + if mod(i-1, eachfignum) == 0 + k=ceil(i/eachfignum); + hfig=figure(k); % figure(i); % figure(ceil(i/6)); % + fignum=[fignum,hfig]; + if eachfignum == 1 + set(gcf,'PaperType','A4', ... + 'paperOrientation', 'portrait', ... +``` + +'paperunits','CENTIMETERS', 'PaperPosition', [.00, .00,10,8]); else set(gcf,'PaperType','A4', ... 'paperOrientation', 'portrait', ... 'paperunits','CENTIMETERS', 'PaperPosition', [.00, .00,21,29]); end end if eachfignum>1 +subplot (ceil(eachfignum/2), 2, mod(i, eachfignum)*(mod(i, eachfignum)~=0)+eachfignum*(mod(i, eachfignum)=0)) end geoshow(chengdu); % 此处用 mapshow 投影会不正确 hold on scatter(loc(:,1),loc(:,2),measure,'filled','s','b') title([num2str(i), '点;成都;蓝-打车难易程度;'])xlabel('经度')ylabel('纬度') for kk=1:length(chengdu) +text(mean(chengdu(kk).BoundingBox(:,1)), mean(chengdu(kk).BoundingBox(:,2)), name(kk)); end hold off if mod(i-1, eachfignum) $= = 0$ figname $\equiv$ strcat('chengdupipei_part', num2str(k), '.jpg'); saveas(hfig, figname, 'jpg'); end end savefig(fignum,'chengdupipei.fig') close all figs $\equiv$ openfig('chengdupipei.fig'); + +```matlab +for k=1:length(fignum) + fignum= strcat('chengdupipei_part',num2str(k),'.jpg'); + saveas(figs(k), fignum, 'jpg'); +end +close all +%%%所有时点乘客打车难易度散点 +set(gcf,'PaperType','A4',... + 'paperOrientation', 'portrait', ... + 'paperunits','CENTIMETERS','PaperPosition',[.00,.00,16,14]); +plot(matchall(:,end), '*') +xlabel('乘客数据点') +ylabel('邻域半径(km)') +title('所有时点乘客打车难易度') +set(gca,'YTick',1:5:1c0) +xlabel='cat(2,num2cell(C0(1:5:1c0))'); +set(gca,'YTickLabel',xlabel) +axis tight +grid on +fignum= strcat('chengdupipei scramter','.jpg'); +saveas(gcf, fignum, 'jpg'); +%%%所有时点乘客打车难易度分布 +set(gcf,'PaperType','A4',... + 'paperOrientation', 'portrait', ... + 'paperunits','CENTIMETERS','PaperPosition',[.00,.00,16,14]); +geoshow(chengdu); +hold on +scatter(matchall(:,1), matchall(:,2), matchall(:,end), filled', 's', 'b') +title('所有时点;成都;蓝-打车难易程度.') +xlabel('经度') +``` + +ylabel('纬度') + +for $\mathrm{kk} = 1$ :length(chengdu) + +text(mean(chengdu(kk).BoundingBox(:,1)),mean(chengdu(kk).BoundingBox(:,2)),name(kk)); + +end + +hold off + +fignum= strcat('chengdupipei_all','.jpg'); + +saveas(gcf, figname, 'jpg'); + +# 2.问题(3)的代码 + +%问题(3)方案1 + +time=8; + +op=dataall(time).passenger;%选择8点的乘客数据 + +$\mathrm{lp0 = size(op,1)}$ + +ebt=10;%每天补贴1元 + +$\mathrm{Ib t = 30;}$ %补贴30天 + +bt=ebt*ones(1, lbt); + +cbt=cumsum(bt);%累计补贴 + +$\mathrm{b0 = 1.645}$ + +baifenbi $=$ @(butie)exp(b0-11.532./butie);%S curve + +cper=baifenbi(cbt)/100;%预测订单数 + +t0=dataall(time-1).taxi; + +$\mathrm{r =}$ size(t0,1); + +matchn $= []$ + +matchna=match(time).matchstats;%8点的难易度 + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{lstb}$ + +$\mathbf{p0 = op}$ + +$\mathrm{p0(:,3) = p0(:,3).*(1 - cper(i))}$ + +disp=zeros(lp0,lc0); + +for $j = 1:lp0$ + +```matlab +p00=ones(r,1)*p0(j,1:2); +d=dis(p00(:,1),p00(:,2),t0(:,1),t0(:,2)); +for k=1:lc0 + ts=sum(t0(d<=C0(k),3)); + if ts< p0(j,3) + disp(j,k)=1; + elseif ts>p0(j,3) + disp(j,k)=-1; + else + disp(j,k)=0; +end +end +end +idx=ones(lp0,1)*(1:lc0); +idx(disp>0)=inf; +idxsel=min(idx,[],2); +idxsel(isinf(idxsel))=C0(end); +matchn(i).loc=p0(:,1:2); +matchn(i).matchp=disp; +matchn(i).matchstats=idxsel; +matchna=[matchna,idxsel]; +end +``` + +%问题(3)方案2 + +time=8; + +op=dataall(time).passenger;%选择8点的乘客数据 + +[count,center] $\equiv$ hist(op(:,3)); + +count = count./sum(count); + +set(gcf,'PaperType','A4',... + +'paperOrientation', 'portrait', ... + +```matlab +'paperunits','CENTIMETERS', 'PaperPosition', [.00, .00,10,8]); +hist(op(:,3)) +ylabel('频数') +xlabel('乘客需求') +title('成都市8点乘客需求条图') +figname= strcat('chengdu8bar','.jpg'); +saveas(gcf, figname,'.jpg'); +``` + +%密集点 + +datat $\equiv$ dataall(8).taxi; +datap $\equiv$ dataall(8).passenger; +set(gcf,'PaperType','A4',... paperOrientation'，'portrait'，... paperunits'，'CENTIMETERS'，'PaperPosition'，[.00，.00,10,8]); geoshow(chengdu)；%此处用mapshow投影会不正确 title('8点成都乘客打车需求最大区') +hold on +scatter(matat(:,1),datat(:,2),datat(:,3)，'filled'，'o'，'g') + $[\sim ,\mathrm{idx}] = \max (\mathrm{datap}(:,3))$ ： +scatter(matap(idx,1),datap(idx,2),datap(idx,3)，'filled'，'s'，'r') +legend('出租车','乘客','Location','Best') +xlabel('经度') +ylabel('纬度') +for kk=1:length(chengdu) +text(mean(chengdu(kk).BoundingBox(:,1)),mean(chengdu(kk).Bou end +hold off +figname $\equiv$ strcat('chengdu8miji','.jpg'); +saveas(gcf,figname,'.jpg'); + +%方案2 + +datat=dataall(8).taxi; + +datap=dataall(8).passenger; + +sumt=sum(matat(:,3)); + +datat(:,3) $\equiv$ datat(:,3)*0.99; + +datat(end+1,1:2)=datap(idx,1:2); + +datat(end,3)=sumt-sum(datat(:,3)); + +$\mathbf{p0} =$ datap; + +t0=datat; + +$\mathbf{r} = \mathrm{size}(t0,1)$ + +disp=zeros(lp0,lc0); + +matchn $\equiv$ []; + +matchna=match(time).matchstats;%8点的难易度 + +for $j = 1:\mathrm{lp0}$ + +p00=ones(r,1)*p0(j,1:2); + +$\mathrm{d =}$ dis(p00(:,1),p00(:,2),t0(:,1),t0(:,2)); + +for $k = 1:1c0$ + +ts=sum(t0(d<=C0(k),3)); + +if tsp0(j,3) + +$\mathrm{disp(j,k) = -1}$ + +else + +$\mathrm{disp}(\mathbf{j},\mathbf{k}) = 0$ + +end + +end + +end + +idxs=ones(lp0,1)*(1:lc0); + +idxs(disp>0)=inf; + +```matlab +idxsel=min(idxs,[],2); +idxsel(isinf(idxsel))=C0(end); +matchn.loc=p0(:,1:2); +matchn.matchp=disp; +matchn.matchstats=idxsel; +matchna=[matchna,idxsel]; +set(gcf,'PaperType','A4',... +``` + +```txt +'paperOrientation', 'portrait', ... +``` + +```javascript +'paperunits','CENTIMETERS', 'PaperPosition', [.00, .00,12,8]); +``` + +```python +plot(1:40, matchna(1:40, 1), 'ro', 1:40, matchna(1:40, 2), 'b+') +``` + +```javascript +title('方案2的应用前后对比') +``` + +```txt +xlabel('数据点') +``` + +```txt +ylabel('难易度') +``` + +```txt +grid on +``` + +fignum $\equiv$ strcat('chengdu8mijiduibi','.jpg'); + +```javascript +saveas(gcf, figname, 'jpg'); +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2015/B340/B340.md b/MCM_CN/2015/B340/B340.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..28129fce8547b25ebb2cca79fcd21a38845cbe9e --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2015/B340/B340.md @@ -0,0 +1,877 @@ +# “互联网+”时代基于动态补贴的出租车资源优化配置摘要 + +本文研究了“互联网+”时代出租车资源的优化配置问题。通过模糊综合评价和多元回归拟合方法给出了供求匹配评价模型，提出了基于打车难度系数的出租车动态补贴方案。 + +对于不同时空出租车资源的供求匹配程度问题，本文从宏观和微观两个角度进行评价。宏观上引入里程利用率、车辆满载率、万人拥有量作为评价指标，采用模糊综合评价的方法，求出了深圳、西安、拉萨这三个城市的评价分数（分别为0.1868、0.3046、0.7029），即西安、拉萨的供求平衡比深圳要好。微观上本文以深圳市为例，利用供、求的影响因素，建立了基于多元回归拟合的供求匹配模型，通过拟合供给和需求的表达式，采用供求比作为供求匹配程度的衡量指标，求解不同时空（高峰期、低谷期、拥堵区、非拥堵区）的供求比，结果分别为0.7046、1.6037、0.6886、1.5813，结果表明：高峰期的供求比远小于低谷期，拥堵区的供求比远小于非拥堵区。 + +对于现有补贴方案能否缓解打车难的问题，本文首先分析了补贴方案对降低司机拒单率，提高乘客拼车率的影响。依据司机拒单率、乘客拼车率与司机的补贴、乘客补贴的正负相关性，本文分别使用高斯分布模型和Logit模型求解函数表达式。进而通过拒单率、拼车率对问题一的供应量表达式进行改进，构建打车难度系数评价模型。针对深圳市2014年9月5号的统计数据，求解可得总体打车难度系数在不补贴时为0.2816，在快的打车的补贴模式下为0.1885，在滴滴打车补贴模式下为0.2030。仿真结果表明：补贴后乘客、出租车的成功匹配率提高了 $11\%$ 左右。 + +在设计合理的补贴方案时，本文综合考虑了社会供求关系和公司补贴金额这两个因素。依据现行的补贴方案，采用等步长逐步搜索法，求出使得供求匹配最佳时，司机和乘客的最优补贴金额（司机11.4元每单，乘客15.4元每单）。接着，本文给出供求比置信区间(0.8—1)，以解决供求匹配最佳导致补贴费用过高的问题，此时求得供求比为0.8，司机补贴7.3元每单，乘客不补贴，将其定义为基础补贴。为权衡供求和补贴金额，建立基于供求优化的动态补贴模型，使实际补贴在基础补贴的前提下浮动小于5元。最后，本文结合Logit模型及经济学原理，求解总补贴金额的函数表达式。仿真结果表明，相对于不补贴的情况，新的补贴方案下供求匹配度提高了 $34.62\%$ 左右。 + +关键词：模糊评价、Logit模型、多元回归拟合、动态优化、仿真 + +# 一、问题重述 + +出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。 + +请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题： + +(1) 试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。 +(2) 分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？ +(3) 如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。 + +# 二、问题分析 + +出租车问题与人民生活密切相关，但现实生活中往往出现打车难的现象。我们分析打车难的原因主要是供求不匹配。首先，针对打车难的现状，我们可以从多个方面得到评价指标，对不同时空的供求匹配程度做出评价。我们可以通过供求匹配指标，求出补贴前后的打车难度系数，分析能否缓解打车难。为了进一步解决供求匹配问题，同时考虑到软件公司的补贴花费，我们可以设计基于多因素的动态补贴方案，并通过模拟仿真，判断补贴方案推行前后，打车难的问题是否得到缓解。 + +# 2.1 问题一的分析 + +在分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度时，考虑到时空既可以指不同的城市、年份，又可以指某个城市内部的不同区域、时间段，所以我们从宏观和微观这两个角度来分析这个问题。从宏观上看，随着“互联网+”时代的到来，打车软件使用率明显增加，从而改善了供求关系。而在同一年中，一线、二线、三线城市的出租车供求匹配程度同样差异巨大。分析可知，供求的主要体现指标为：里程利用率、车辆满载率、万人拥有量。我们采用模糊综合评价的方法，得到不同城市的供求匹配度。从微观上看，我们选取某个城市（深圳）作为研究对象，从乘客和出租车司机这两个角度分析影响供求的因素。通过数据可以拟合出供应和需求的函数表达式，就可以得到供求比。对于不同时空的分析，我们选取高峰期、低谷期、拥堵区和非拥堵区，分别计算其供求比，评价不同时空的供求匹配程度。 + +# 2.2 问题二的分析 + +在分析出租车公司的补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助时，首先需要对打车难度进行界定，然后再分析补贴方案实施前后，打车难度的变化。考虑到打车难的原因主要为出租车供不应求，司机可能会拒单，乘客可能会拒绝拼车，因此我们利用第一问的供求匹配模型，引入拒单率、拼车率来构建打车难度系数关系式。由常识可知，拒单率、拼车率与补贴分别是负相关和正相关的，我们利用概率模型就可以得到其函数表达式。 + +通过查阅资料，我们可以得到快的打车和滴滴打车的现行补贴方案。由于对司机和乘客进行补贴会使得拒单量和拼车率发生变化，所以我们可以求出补贴前后的拒单率和拼车率，再结合打车难度系数关系式，计算出具体结果从而判断补贴是否能有效缓解打车难。但是，考虑到打车软件的使用群众多为中青年，我们可以分析打车难度系数与年龄的关系，从而得到更加符合实际的模型。为了更直观地分析 + +补贴对打车难度的影响，我们还可以进行仿真实验。 + +# 2.3 问题三的分析 + +首先需要分析补贴的目的，我们认为补贴会对社会和软件公司造成影响，第一、补贴能够调节供求匹配度，第二、从软件公司利益的角度，要尽可能使得补贴金额少。所以我们从这两方面进行综合考虑设计补贴方案。 + +经过调查发现，现有的补贴方案是按接单数进行补贴，所以我们通过接单数对乘客和司机分别补贴。通过分析可知，补贴对乘客的影响因素为等待时间，补贴对司机的影响因素为堵车时间及油费，因此我们可以通过这些因素构建动态补贴模型对补贴金额进行适当调整。 + +在设计具体的补贴方案时，我们可以从第二问中公司现行的补贴方案出发，通过对补贴金额进行调整，搜索出供求匹配程度为 $0.8\sim 1$ 的最佳补贴金额范围。在此置信区间内时，我们寻找出尽可能使得软件公司的补贴花费最小的最佳补贴金额，可以作为基础补贴金额。在基础补贴金额上，再进行优化供求的动态调整。与问题二类似，我们可以使用仿真来检验新的补贴方案下供求匹配程度是否得到改善。 + +# 三、模型假设 + +1、出租车司机收入按正常打表计算，不考虑消费者额外给的小费。 +2、司机认为利益受损失不会接单，即不会前往顾客所在地。 +3、司机一旦到达乘客所在处就表示一定接单。 +4、考虑现实生活中的拒单、拼车等实际情况。 +5、顾客按单计算，即两人一起拼车记为一单。 +6、每一单的路程均大于起步价所含路程。 +7、采用对乘客和司机进行补贴的方案可以有效地平衡供求。 +8、不考虑突发情况，极端自然状况导致的绕行和停车。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明
P乘客乘车费用
T乘客平均乘车时间
w乘客平均等候时间
Q乘客对出租车的需求
M出租车供给量
C出租车固定开销
η供求比
F打车难度系数
q1,q2补贴司机钱数、补贴乘客钱数
P1补贴后出租车总收费
P2补贴后乘客乘车费用
φ拒单率
λ拼车率
+ +注：其它符号将在下文中给出具体说明 + +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 不同时空下出租车资源的“供求匹配”评价模型 + +由于各个城市的经济状况，交通运输条件、人民生活水平不同，且同一城市各个年份的发展状态也不同，所以在对出租车资源的“供求匹配”程度进行评价时，需要先按城市、年份得出“供求匹配”指标并进行宏观评价。在综合分析了各城市、年份的出租车资源之后，可以对某一城市（如：深圳）进行具体某时刻段和某地区的分析，从而给出合理的“供求匹配”评价指标并进行微观评价。 + +该模型的整体构架图如下： + +“互联网 $^+$ ”时代 +宏观 空：一线、二线、三线城市 进行模糊综合评价万人拥有量 +微观：以深圳市为例 时：高峰期、低谷期 求出多元回归拟合函数求得供求比空：拥堵区、非拥堵区 + +# 5.1.1 宏观时空的供求匹配评价模型 + +宏观时空可以从两方面考虑，从横向角度分析为不同城市的对比，从纵向角度分析为“互联网+”时代和“非互联网+”时代的对比。在供求匹配评价时，分析影响出租汽车需求的因素有：社会经济发展水平、城市化水平和城市人口规模、城市交通基础设施。影响出租汽车供给的因素有：政府对出租汽车政策、出租汽车运价水平和燃油价格。 + +因此，可以从横向角度及纵向角度分别考虑，通过分析出租车需求及供给因素，得到供求匹配评价指标。 + +# 1、横向对比 + +在对不同城市进行分析时，选取一线城市（如深圳）、二线城市（如西安）、三线及以下城市（如拉萨）作为研究对象。分析一、二、三线城市可知，出租车的载客运行距离占运行总距离的比例越小，载客的出租车数量相对于总数量越少，平均每人拥有的车辆数越多，则供应相对于需求越充足，反映出供求匹配程度。因此我们用里程利用率、车辆满载率、万人拥有量作为评价指标来构建供求匹配模型，最后使用模糊综合评价方法评价“供求匹配”程度。 + +我们定义符号为: 里程利用率 $\gamma$ , 营业里程 $S_{0}$ , 行驶里程 $S_{sum}$ , 车辆满载率 $\psi$ , 载客车辆 $V_{0}$ , 总通过车辆 $V_{sum}$ , 万人拥有量 $G$ , 车辆总数 $V$ , 人口规模 $\varepsilon$ , 则: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \gamma = \frac {S _ {0}}{S _ {\text {s u m}}} \\ \psi = \frac {V _ {0}}{V _ {\text {s u m}}} (5. 1 - 1) \\ G = \frac {V}{\varepsilon} \end{array} \right. +$$ + +在这个问题中，评价因素有：里程利用率、车载满载率和万人拥有量。对此使用模糊综合评价方法评价。 + +首先需要确定评价权重。设指标集 $A = \{a1, a2, a3\}$ ；相应的权重集 $B = \{b1, b2, b3\}$ ；为了确定权重集，不妨设强度集为{很强，强，较强，略强，一般}，对应的数值分别为5、4、3、2、1。可以认为，取偏大型柯西分布函数作为该评价的隶属函数最符合实际情况。 + +偏大型柯西分布函数如下： + +$$ +f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {1}{1 + a (x - b) ^ {- 2}}, 1 \leq x \leq 3 \\ c l n x + d, 3 \leq x \leq 5 \end{array} \right. (5. 1 - 2) +$$ + +其中 $a, b, c, d$ 是待定系数。实际上，强度为“很强”时隶属度为1，当强度为“强”时隶属度为0.6，当强度为“一般”时，隶属度为0.1，据此确定待定系数 $a, b, c, d$ 的值分别为 $a = 0.1239, b = 2.3713, c = 0.3915, d = 0.3699$ 。把四个系数代入到方程中得到各因素的隶属值和归一化值如下表： + +表 1: 各因素的隶属值和归一化值 + +
指标万人拥有量车辆满载率里程利用率
赋予值强略强略强
隶属值0.60.42490.4249
归一化值0.41390.29310.2931
+ +于是我们得到权重向量为（0.4139, 0.2931, 0.2931）。 + +通过相关资料得到深圳、西安、拉萨的相关数据如下： + +表 2: 深圳、西安、拉萨各指标数据 + +
指标万人拥有量车辆满载率里程利用率
深圳14.0377.95%69.10%
西安25.0070.57%70.00%
拉萨20.7469.33%72.46%
+ +因为三者都为大型城市，故其万人拥有量越接近20辆，“供求匹配”程度越高。而对于车辆满载率和里程利用率，其越接近 $70\%$ ，“供求匹配”程度越高。将上表数据与理想值作差，并作标准化，即 + +$$ +a ^ {\prime} = \frac {a - a _ {\min}}{a _ {\max} - a _ {\min}} (5. 1 - 3) +$$ + +使用模糊评价得到的权重向量对三个城市进行“供求匹配”评价，得到他们的偏离评价分数（约接近0越好）如下表所示： + +表 4：深圳、西安、拉萨偏离评价分数 + +
城市深圳西安拉萨
偏离评价分数0.81320.29540.2971
+ +综合上表发现，作为一线城市的深圳供应量远小于需求量，即供求匹配程度较小。而作为二线城市的西安和三线城市的拉萨虽然与供求平衡有一定距离，但偏差不大即供求匹配程度较大。 + +# 2、纵向对比 + +从“非互联网+”时代迈入“互联网+”时代，由于打车软件的广泛使用，国家政府对公路交通的大力补贴，使得出租车数量快速增长，同时使得原来打车困难的人群，可以通过网络便捷地打到车。根据滴滴打车软件所提供的数据，“非互联网+”时代出租车总数为804891辆，打车难度系数为0.6左右，“互联网+”时代出租车总数为1053183辆，打车难度系数为0.3左右并且有逐年缩小的趋势。综上，我们可以选用打车难度系数作为指标去衡量供求匹配程度。得到结论为“互联网+” + +时代的供求匹配程度较高，“非互联网+”时代的匹配程度较低。 + +# 5.1.2 微观时空供求匹配评价模型 + +在宏观分析了各城市、年份之间的出租车供求匹配程度后，从某个城市内部各区域及一天内各时间段的出租车供给、需求情况的角度出发，可以建立微观时空供求匹配评价模型。考虑到出租车的需求量、地区经济水平、人口情况等因素，选用一线城市：深圳市，作为该问题的研究对象。 + +# 1、基于多元回归拟合的供求匹配评价模型 + +分析出租系统的动态变化过程可知，出租系统不是一个恒定状态，而是处在一种动态的供求平衡状态。当供给或者需求发生变化时，出租系统会产生自发的调整。其流程图如下所示： + +![](images/56d1c16040d5c34e3b1de0e7b98655ac0a86f91f794cfa6c58e1bcb4325c1399.jpg) +图1：出租系统动态供求平衡流程图 + +当空车率上升时，供求差异明显会导致出租车服务质量上升，从而需求量上升，最终达到供求平衡状态，这是一个动态平衡模型。为了得到合适的指标，来评价深圳市内部不同时空的供求匹配程度，可以从需求量、供给量、供求比这三个角度进行分析。 + +(1)需求量（从乘客的角度） + +将位于深圳市这一区域内，等待乘坐出租车的行人量定义为需求量 $Q$ 。则需求量的影响因素有：乘客乘车费用 $P$ 、乘客平均乘车时间 $T$ 、平均等候时间 $w$ 。分析以上影响因素可知：乘客乘车费用、平均乘车时间、平均等待时间会在一定程度上影响需求量，同时平均等候时间又会受空驶出租车 $N_{1}$ 的影响，平均乘车时间会受到空驶出租车 $N_{1}$ 、载客出租车 $N_{2}$ 、社会总车辆 $N_{3}$ 的影响。 + +所以针对上述各种影响关系，我们得出需求量的函数关系式为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} Q = f (P, T, w) \\ w = n \left(N _ {1}\right) = n \left(N _ {3} - Q T\right) \\ T = t \left(N _ {1}, N _ {2}, N _ {3}\right) \end{array} \right. \tag {5.1-4} +$$ + +分析上述表达式可知，乘客乘车费用及平均乘车时间、平均等候时间均越少，需求量越高。利用各影响因素的数据，可以进行多元回归拟合，进而求解需求量的显示函数表达式。 + +(2)供给量（从出租车司机的角度） + +出租车的供应量 $M$ 取决于出租车司机是否愿意接乘客并将其送到目的地。分析其影响因素有：从当前位置到乘客所在地所需时间 $\omega$ （也就是乘客的等待时间）、出租车收费 $P$ （即乘客乘车费用）、出租车的固定开销 $C$ （出租车月租金 $A$ 和油钱 $B$ 之和）。 + +分析以上因素可知：从当前位置到乘客所在地所需时间、出租车收费、出租车固定开销均会影响出租车供给量。其月租金和油钱会影响固定开销，空驶出租车 $N_{1}$ 同时又会影响去接乘客的时间。针对以上影响关系，我们得出供给量的函数表达式为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} M = g (w, C, P) \\ C = A + B \\ w = n \left(N _ {1}\right) = n \left(N _ {3} - Q T\right) \end{array} \right. \tag {5.1-5} +$$ + +分析上述表达式可知，从当前位置到乘客所在地所需时间越短、出租车收费越高、固定开销越低，供给量越高。利用各影响因素的数据，可以进行多元回归拟合，进而求解供给量的显示函数表达式。 + +③供求比 + +依据从乘客和出租车司机两个角度出发求得的供给量和需求量，可以得到供求比作为供求匹配程度的衡量指标，供求比公式为： + +$$ +\eta = \frac {M}{Q} (5. 1 - 6) +$$ + +# 2、模型求解 + +采用深圳市2014年9月5日的出租车信息作为数据样本，求解出租车供求匹配模型。 + +# 步骤一：数据预处理 + +首先去除原始数据中的坏值（信息异常的值和经纬度偏差较大的值）。利用处理后的数据绘制这一天的出租车分布散点图(如图2)、空间分布图（如图3）。分析散点图及空间分布图可知，出租车一天的运动范围较广，几乎可以覆盖整个深圳市，构建出了深圳市交通网络干到。但各个区域之间不均匀，出租车主要集中在市区和远郊的部分地区，也有部分出租车行驶距离较远（如去往香港）。 + +![](images/d14628ee27c74ef6a153a6a33f01dc18719c7ce6e4e5aa3347858703b95672a1.jpg) +图2：深圳市出租车分布散点图（由出租车航迹绘制而成） + +![](images/2f7bef972a2eaf9f6bda4c6b4f464745157bfd2425cec2fa6699d6ede419bc99.jpg) +图3：深圳市出租车空间分布图 + +步骤二：基于多元回归拟合求解出租车的供求函数式及供求比。 + +利用滴滴打车软件每一天的实时统计数据（如表5所示），可以得到乘客对出租车的需求量、出租车供给量的函数关系式。 + +表 5: 实时统计数据 + +
日期需求量供给量平均车费平均抢单时间乘客平均乘车时间
0905144971042153.7330.16787.3
0906159571012753.5134.53752.1
090717843952659.6935.7805.6
090819185925763.1537.15885.3
+ +# ①需求量 + +利用滴滴打车软件每一天的实时统计数据，可以得到乘客对出租车的需求量 $Q$ 、乘客乘车费用 $P$ 、平均抢单时间 $\omega$ （由于平均等待时间可由平均抢单时间决定，所以此处我们使用平均抢单时间来替代）。根据租车状态数据，可知每辆出租车每一时刻是否有乘客，从而计算出乘客的平均乘车时间 $T$ 。 + +统计出这四个变量的数据后，使用MATLAB进行多元回归拟合。 + +因为现实生活中的需求量与各个因素没有明确的正负相关关系，同时真实情况下随机性很大，所以使用线性拟合来简化模型，大致反映各因素对需求的影响，从而得到需求量表达式为： + +$$ +Q = 1 6 8 6 9. 6 - 2 4 0. 0 P + 3 4 5. 3 T + 0. 1 3 9 w +$$ + +# ②供给量 + +固定开销 $C$ 可以认为是定值，一般在深圳开一天出租车的油钱为570元左右，月租金为4000元。利用与求需求量相同的方法，统计出出租车费用 $P$ ，平均抢单时间 $\omega$ （即出租车到达乘客所在地所需时间）等数据，使用MATLAB多元拟合得到供应量的表达式： + +$$ +M = 1. 9 0 3 1 C + - 7 2. 5 5 w + 7 2. 7 1 P +$$ + +③供求比 + +$$ +\eta = \frac {M}{Q} = \frac {1 . 9 0 3 1 C + - 7 2 . 5 5 w + 7 2 . 7 1 P}{1 6 8 6 9 . 6 - 2 4 0 . 0 P + 3 4 5 . 3 T + 0 . 1 3 9 w} +$$ + +# 步骤三：求解不同时空的供求匹配程度 + +![](images/9b7c28dae8e111e42d5f7929d669689e2c9255627900c152b069f01598700a94.jpg) +畅通基本畅通缓行较拥堵拥堵暂无数据 +图4：深圳市13:00各区域交通拥堵情况 + +![](images/c5f767a411b1540c853a34c42d9ebe2f4c377cd11103886293fc2cc871beea45.jpg) +图5：深圳市18:00各区域交通拥堵情况 + +对比深圳市在13:00和18:00的道路情况图（如图4、5）可以发现：不同时间段、不同空间的道路情况不同，这会导致出租车的供求匹配程度发生变化。所以下面即对深圳市的上班高峰期、低谷期、拥堵区、非拥堵区进行具体分析。 + +# 1、深圳市高峰期、低谷期的供求匹配程度计算 + +选取7:00-10:00作为高峰区，选取13:00-16:00作为低谷区，利用统计数据，可以求得相关因素的值。统计四天的统计数据（详见附录一）可知供求函数关系式如下： + +# I、高峰期 + +高峰期需求: $Q = 494.56 P + 464.05 w - 22.66 T - 18524.81$ + +高峰期供给: $M = 105.01 P - 272.04 w + 17792.50$ + +105.01P-272.04w+17792.50高峰期供求比： 494.56P+464.05w-22.66T-18524.81 + +利用具体数据带入计算得 $\eta = 0.7046$ 。 + +# II、低谷期 + +低谷期需求： $Q = -881.33P - 62.13w + 54.15T + 16343.69$ + +低谷期供给： $M = -218.00P - 17.05w + 22759.90$ + +-218.00P-17.05w+22759.90低谷期供求比： -881.33P-62.13w+54.15T+16343.69 + +利用具体数据带入计算得 $\eta = 1.6037$ 。 + +# 2、深圳市拥堵区、非拥堵区的供求匹配程度计算 + +分析深圳市的拥堵情况可知，在同一时间段内，深圳市区内部分区域拥堵而部分区域道路畅通，选取在18:00的深圳道路情况作为研究对象，选取南油作为拥堵区、大冲作为非拥堵区进行研究。统计四天的统计数据（详见附录一），可知供求函数关系如下： + +# I、拥堵区 + +拥堵区需求： $Q = -54.15P + 32.99w + 7.00T - 3910.86$ + +拥堵区供给： $M = 22.11P - 38.29w + 2735.02$ + +22.11P-38.29w+2735.02拥堵区供求比： -54.15P+32.99w+7.00T-3910.86 + +利用具体数据带入计算得 $\eta = 0.6886$ 。 + +# II、非拥堵区 + +非拥堵区需求： $Q = -5.57P + 12.51w + 1.40T - 588.27$ + +非拥堵区供应： $M = -2.63P - 1.04w + 359.73$ + +非拥堵区供求比： $\eta = \frac{-2.63P - 1.04w + 359.73}{-5.57P + 12.51w + 1.40T - 588.27}$ + +利用具体数据带入计算得 $\eta = 1.5813$ 。 + +经检验，上班高峰区的出租车供求比较小，而拥堵区的出租车供求比较小，符合实际。 + +# 5.2基于概率分析的打车难度系数评价模型 + +分析实际可得，打车难问题出现的原因主要有：供求匹配不均衡、司机拒单和乘客拒绝拼车。从模型一中的供求比函数出发，分析补贴带来的供求关系变化，可以建立基于概率分析的打车难度系数评价模型。再结合打车软件的使用人群，可以对模型进行改进和完善。 + +# 1、模型建立 + +在目前的供求匹配情况下，司机拒单会使得用户的需求得不到满足，乘客拒绝拼车会导致出租车总体的需求增大。而通过对司机以及乘客进行补贴，会改变拒单率和拼车率。同时，补贴也会对出租车司机收益、乘客乘车费用、乘客等待时间造成影响，进而影响供求关系函数。分析补贴对拒单率和拼车率的影响从而调整供求关系如下图所示： + +![](images/bf22d77e2fdf7cc48dff4e24b40b6f4c3f3ad463751b8b3751c043f6e443a5da.jpg) +图6：补贴对拒单率、拼车率的影响 + +定义打车难度系数为 $F$ ，它可以由供求比 $\eta$ 、拒单率 $\varphi$ 、拼车率 $\lambda$ ，补贴 $q$ 决定。利用模型一中的供给函数 $g$ 并对它进行改进，引入拒单率、拼车率、补贴，得到新的供给函数为 $g_{1}$ ， $g_{1}$ 同时又与原始满载率 $\rho_{0}$ 有关。又由分析可知，供求比越接近 1 为越优，我们以此为基础来进行构建打车难度系数评价模型。 + +定义符号如下： $q_{1}$ ：司机补贴量， $q_{2}$ ：乘客补贴量， $T$ ：平均乘车时间， $w$ ：平均等候时间， $C$ ：固定开销， $p_{1}$ ：出租车单次收费， $p_{2}$ ：乘客单次花费。建立目标约束函数如下所示： + +$$ +F = \min \left\{\frac {g _ {1} (w , c , P _ {1})}{f \left(P _ {2} , T , w\right)} - 1 \right\} +$$ + +其中： $g_{1}(w,c,P_{1}) = g(w,c,P_{1})\cdot (1 + \lambda (q_{2})\rho_{0}) - g(w,c,P_{1})\cdot (1 - \rho_{0})\cdot \varphi (q_{1})$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} w = w _ {\text {原 始}} + \Delta w \\ T = T _ {\text {原 始}} + \Delta T \\ p _ {1} = p + q _ {1} \\ p _ {2} = p - q _ {2} \end{array} \right. +$$ + +其中，拒单率和拼车率分别是关于司机补贴、乘客补贴的函数，结合现实经验可知，拒单量是司机补贴的减函数。具体求解过程如下：由于现实中的相关函数一般满足高斯分布，假定原始拒单量为0.3，可以求出拒单量与补贴的函数表达式为： $\varphi (q_{1}) = 0.3\mathrm{e}^{-0.009\pi q_{1}^{2}}$ 。 + +拼车率是乘客补贴的增函数，其相关变化关系大致符合Logit模型变化，当补贴达到阈值，就认为再增加补贴时，拼车率不会发生变化。具体求解过程如下：利用Logit模型，假定原始拼车率为0.1，假定阈值为20元，可达到最大拼车率为 + +0.9。可以求得函数表达式为: $\lambda \left(q_{2}\right)=0.9-0.8 / \left(1+e^{0.6\left(x_{1}-10\right)}\right)$ 。 + +拒单率和拼车率曲线变化图如下所示： + +![](images/b16db75700864721f1b94e0c335f4b3a3f057135d55e6117eb8c906fd0abfb69.jpg) +图7：拒单率随补贴的变化曲线图 + +![](images/02ffef68825f4c4dd02457805775e193bfa2ddc0dc22afd3bc819318b8f6ec86.jpg) +图8：拼车率随补贴变化曲线图 + +由上述分析可知，在给予司机和乘客一定补贴时，司机会更愿意去较远的地方接乘客，同时乘客也愿意多花更多的时间等待，从而实现供求匹配程度的改善，在一定程度上缓解了“打车难”。 + +但由于补贴是通过打车软件的使用来实现的，对于不同年龄的人群分析可知，老年人使用打车软件的次数要比中青年人少的多。因此，对于不使用打车软件的人群（如老年人等），由于出租车得到补贴后更愿意网上接单，导致老年人的打车难度增加。所以，打车难度系数与人群年龄有关，结合实际情况，我们应该对模型进行改进，引入中青年人在社会总体中的比例，来代表现实中实际的打车难度系数。分析可知，打车难度系数与中青年人占总人数的比例也近似满足反比例关系（如图9所示）。 + +![](images/a8c8b8346bec0fe4dbdf4ae9898cb47ebf825ebbe1e52cc0d062c906e5a23964.jpg) +图9：打车难度系数与中青年占总人口比例函数关系图 + +假定青年乘客占乘客总体的比例是 $\alpha$ ，总体的打车难度系数为 $F_{1}$ ，则由反比例关系可知： + +$$ +F _ {1} \cdot \alpha = F \cdot 1, +$$ + +综上，基于实际的总体打车难度系数为： + +$$ +F _ {1} = \frac {1}{\alpha} \min \left\{\frac {g _ {1} (w , c , P _ {1})}{f (P _ {2} , T , w)} - 1 \right\} +$$ + +# 2、模型求解 + +查阅资料可知，快的打车和滴滴打车的补贴方案如下： + +- 快的打车：司机每接一单补贴10元，乘客每乘坐一次出租补贴1元。 +- 滴滴打车：司机每接一单补贴11元，乘客每乘坐一次出租补贴3元。 + +同时依据资料可知，深圳市出租车满载率为 $75\%$ ，利用深圳市2014年9月5日的统计数据，代入上述模型，分别计算不进行补贴、快的公司的补贴方案、滴滴公司的补贴方案下的打车难度系数 $F$ ： + +不补贴时：0.2816，快的打车：0.1885，滴滴打车：0.2030 + +为了求解基于实际的打车难度系数，定义60岁以上老年人，10岁到60岁之间为中青年（即打车软件使用群体），查阅资料可知，中青壮年占总人口比例为 $80\%$ ，即 $\alpha = 8$ ，带入模型二表达式可以求得三种情况下的总体的打车难度系数 $F_{1}$ ： + +不补贴时：0.3520，快的打车：0.2356，滴滴打车：0.2538 + +分析可知，目标函数（打车难度系数）越小越好，所以，在滴滴公司和快递公司的补贴方案下，供求匹配程度得到了改善，打车难度系数变低。但是，由于按接单数进行补贴的方案过于简单，所以存在更优的补贴方案。综上，快的公司、滴滴公司的补贴方案可以在一定程度上有效地缓解“打车难”。 + +# 3、模型仿真 + +依据以上模型，模拟一个真实情况，进行仿真论证各公司补贴在一定程度上缓解了“打车难”。 + +# ① 仿真过程 + +构造了一个包含四条街道的井字型街道小世界，如下图所示 + +![](images/2d48affec6d8ee6e54d61621f4cdc738fbdf87db24cba7d70acba06551b44e8e.jpg) +图10：仿真包含四条街道的井字型街道 + +分析可知，对于每条街道可以随机生成20辆初始状态为空车的出租车以及25个需要打车的人作为基本元素，认为出租车的视野半径为 $200\mathrm{m}$ ，对于每辆空的出租车，如果其这个视野半径内存在还没匹配成功的人，就认为该人物可以成功上车。但是如果司机的视野半径内有多个人物，认为司机具有短视性，故出租车只会和最近的人匹配，即建立雇佣关系。 + +对于公司对司机的补贴方案，认为其在这个小世界中会对司机的视野距离产生影响，为了简化仿真模型，假定每提升一元，司机视野距离增加 $10\mathrm{m}$ 。对于车与人的距离，利用该世界的道路分布特点，采用曼哈顿距离（Manhattan Distance）进行计算，即对人 $(x,y)$ 和车 $(x_{1},y_{1})$ 有： + +$$ +d = \left| x - x _ {1} \right| + \left| y - y _ {1} \right| +$$ + +在对打车难度进行刻画时，采用成功匹配次数来刻画打车难度，成功匹配次数越多，难度越低。依据上述思想，使用matlab来实现仿真。 + +![](images/e945dcebb0b0abd5aa3ae439262e3ea1052666e27286e6d02c0a3ffaf7b604b1.jpg) +图11：加入滴滴补贴方案后的匹配图 + +图12：加入快的补贴方案后的匹配图 +![](images/d83f8eba93d2a97100ce384ee9ea8729fae0222ed2d69c3969f27c0dd461d236.jpg) +注：成功匹配点表示该位置的人成功打车 + +# ②结果分析 + +利用matlab计算出无补贴、快的打车补贴、滴滴打车补贴的成功匹配次数如下表所示： + +表 6: 各公司补贴方案下成功匹配次数 + +
不同补贴方案无补贴快的打车版补贴滴滴打车版补贴
成功匹配次数576465
补贴方案无司机10元，乘客1元司机11元，乘客3元
+ +对比可知，在该仿真下，补贴之后相对补贴之前，成功匹配次数增加 $11\%$ 左右，有效地缓解了打车难的问题。 + +# 5.3 基于供求优化的动态补贴模型 + +# 1、模型建立 + +由上述求得的打车难度系数规划模型可知，对司机和乘客进行补贴能够调整供求匹配程度。但由于现行的补贴方案是按照接单数进行补贴，并不能最优地调整供求关系，所以为了有效缓解“打车难”问题，可以先利用模型二进行搜索得到最优补贴方案，依据各影响因素对其做动态调整，进一步实现供求关系的优化。 + +在进行补贴方案设计时，应该从社会和软件公司这两个角度进行考虑。补贴之后，既要使得打车难度系数下降，又要使得补贴金额控制尽可能的少（在可接受范围之内）。补贴方案的具体求法如下： + +# 步骤一：搜索在置信区间内现有补贴方案的最优解 + +分析快的打车、滴滴打车的现有补贴方案可知，补贴会导致司机更愿意接乘客，乘客更愿意使用打车软件。这两个公司的补贴方案均能使得打车难度系数降低，在一定程度上缓解打车难，但是不同的补贴方案对打车难的缓解程度也不同。因此，以打车难度系数最低为目标函数，采用等步长搜索法，可以得到理论上的最优补贴方案。逐步搜索算法流程如下： + +![](images/634ad085b75388eb98688819358228c54857cc3f49e5bf6e77c4db0db57572c0.jpg) +图13：逐步搜索算法流程图 + +通过逐步搜索，可以求得打车难度系数最小时的补贴方案。 + +对最优供求比进行上下小幅度波动，可以得到供求比置信区间，在这个区间里，打车难度系数较小，且在可接受范围内。此时，还需要在基本满足供求关系的前提下，使得补贴的总金额尽可能小，利用规划求出基础补贴金额（乘客： $q_{\text{乘客}}$ ，司机： $q_{\text{司机}}$ ）。 + +# 步骤二：在补贴可接受范围内，确定最佳动态补贴函数 + +补贴分为对乘客的补贴和对司机的补贴这两大类，分别分析其影响因素如下：乘客获得补贴后，会愿意用比原来更久的时间等车。司机获得补贴后，会愿意去更远的地方以及拥堵区接乘客。因此，通过补贴，可以调节供求关系，缓解打车难问题。 + +总体补贴金额可以由基础补贴金额和动态补贴金额表示： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} q _ {1} = q _ {\text {乘 客}} + \Delta q _ {1} \\ q _ {2} = q _ {\text {司 机}} + \Delta q _ {2} \end{array} \right. \tag {5.3-1} +$$ + +下面具体求解动态补贴金额： + +(1)对乘客的动态补贴金额 + +![](images/dcd52f4120d1873b82748d8ed773f78d3d7b61f94d875ef37494b401c35ec8c8.jpg) +图14：乘客等待时间与补贴函数关系图 + +分析可知，乘客等待时间 $\omega_{1}$ 与补贴是正相关的，其关系基本满足Logit型曲线。假定等车时间超过10分钟会获得补贴，当等车时间为30分钟时及以上时补贴为3元，则乘客动态补贴表达式为： + +$$ +\Delta q _ {1} = - \frac {3}{1 + e ^ {0 . 5 \left(\omega_ {1} - 2 0\right)}} + 3 \tag {5.3-2} +$$ + +(2)对司机的动态补贴金额 + +由于司机去堵车区消耗的时间成本可以按一定概率在非堵车区接送乘客，同时司机去接较远位置的乘客时会花费较多的油钱，所以综合这两个方面对司机进行补贴。为了将补贴控制在可接受的范围内，结合油费和堵车时间的表达式中变量的数量级，选定合理的堵车奖励系数，油费补贴系数。设一次接送的油费为 $B_{0}$ ，堵车时间为 $\omega_{2}$ ，则司机动态补贴表达式为： + +$$ +\Delta q _ {2} = 0. 2 \omega_ {2} \cdot v + 0. 1 B _ {0} (5. 3 - 3) +$$ + +将乘客动态补贴函数、司机动态补贴函数代入式（5.3-1）可得总补贴函数为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} q _ {1} = q _ {\text {乘 客}} - \frac {3}{1 + e ^ {0 . 5 \left(\omega_ {1} - 2 0\right)}} + 3 \\ q _ {2} = q _ {\text {司 机}} + 0. 2 \omega_ {2} \cdot v + 0. 1 B _ {0} \end{array} \right. \tag {5.3-4} +$$ + +(注: $q_{\text {乘 客}}$ 和 $q_{\text {司 机}}$ 为常数, 可由步骤一得到) + +# 2、模型求解 + +通过绘制补贴金额与供求量的关系图，分析可以得出补贴金额最小的补贴方案，从而得到可接受补贴范围。 + +经等步长搜索可得，给司机11.4元补贴，给乘客15.4元补贴时，打车难度系数最小，此时的供求比约等于1。但是在这种情况情况下，补贴的总金额太高，不符合实际情况，所以，可以选定置信区间为（0.8，1），绘制补贴金额与供求匹配区域图如下所示，将供求比在置信区间的区域标蓝。 + +![](images/99a2ab2cde471efd8854ca16b61c0b29bc372846c681c99805cad993f6b13bbb.jpg) +图15：补贴金额与供求匹配区域图（蓝色区域代表匹配程度大于0.8） + +分析图15可知，当对乘客补贴0元，对司机补贴7.3元时，能满足在打车难度小于0.2的前提下，使得总补贴金额最小。7.3元即为司机基础补贴 $q_{\text{司机}}$ ，0元为乘客基础补贴 $q_{\text{乘客}}$ 。 + +因此，为了在尽可能满足供求的情况下减少补贴的钱数，以7.3元和0元进 + +行上下波动，规定补贴可接受波动范围为5元，得到可接受补贴范围为：司机：7.3元-12.3元，乘客：0-5元。在这一范围内，可以依据耗油费、堵车时间、待时间，求解动态补贴金额，再加上基础补贴金额，得到总补贴金额： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} q _ {1} = - \frac {3}{1 + e ^ {0 . 5 \left(\omega_ {1} - 2 0\right)}} + 3 \\ q _ {2} = 7. 3 + 0. 2 \omega_ {2} \cdot v + 0. 1 B _ {0} \end{array} \right. \tag {5.3-5} +$$ + +为给出补贴方案，求取部分条件下的补贴总金额如下表所示： + +表 7: 乘客部分补贴方案 + +
乘客等待时间 ω1（分钟）0-1015203040
补贴q1（元）00.231.533
+ +表 8：出租车司机部分补贴方案 + +
司机堵车时间ω2（分钟）1015202530
油耗费用B'（元）1.534.567.5
补贴q2（元）8.659.410.1510.911.3
+ +# 3、模型仿真 + +依据上述模型，模拟真实情况，仿真在新的补贴规则下，供求关系的变化。 + +# ① 仿真过程 + +首先建立一个包含四条街道的井字形街道小世界。未来模拟动态补贴，加入了“帧数”概念，使其变为动态的世界。在每条街道上，随机生成20辆初始状态为空车的出租车以及25个需要打车的乘客作为基本元素，设定出租车的初始视野半径为 $200\mathrm{m}$ ，对于每辆空的出租车，如果其这个视野半径内存在还没匹配成功的乘客，就认为该乘客可以成功上车，但如果视野半径内有多个人物，由于短视效应，出租车只会和最近的人匹配，即建立雇佣关系。按照上述思想，对每辆出租车匹配乘客。 + +没有补贴时，人们相对不愿意等较久时间，出租车视野半径也较小。而加入乘客补贴和司机补贴后人们愿意等较久时间，司机也更加愿意接收乘客。所以根据这个思想来对没有补贴、有乘客补贴和司机补贴的情况分别进行模拟仿真，仍使用曼哈顿距离来衡量司机与目标客人的距离，即 + +$$ +d = | x - x _ {1} | + | y - y _ {1} | +$$ + +在这个仿真中，以司机-乘客成功匹配次数，即成功打到车的人数作为唯一评价标准。 + +对于仿真细节，假定有乘客补贴的情况下乘客愿意等的时间是原始无补贴时间的三倍，即 + +$$ +t _ {\text {a f t e r}} = 3 t _ {\text {o r i g i n a l}}, +$$ + +并假定司机补贴7.3元/单。 + +仿真结果如下： + +![](images/aa32881ae55027e850b98ad7841867d6589ed337d57ef6e16dd6b1fc89b7ddc7.jpg) +图16：有无补贴方案前后匹配成功仿真图 + +(2)结果分析 + +模拟仿真结果如下： + +表 9：新补贴方案下的成功匹配数据 + +
补贴方案没有补贴两者皆有补贴
成功打到车的人数5270
+ +分析可得，在提供有限出租车的情况下，加入补贴政策后，人数增加 $34.62\%$ 显著降低了打车的难度。 + +# 六、结果分析 + +# 1. 供求比关于补贴金额的灵敏度分析 + +为了解规划函数的敏感度情况，将自变量司机补腿儿贴p1及顾客补贴p2上下随机浮动 $5\%$ ，使用matlab编程，采样100个点，得到他们的匹配程度值浮动程度分布为下表 + +表 10: 灵敏度分析表 + +
灵敏度区间小于5%小于25%小于50%小于100%
占采样总数百分比50%83%93%97%
+ +平均匹配程度值浮动程度为 $16.19\%$ ，数据比较敏感。 + +2、通过供求比来衡量供求匹配关系时，本文是通过已知的部分点拟合得到供、需曲线，得到的结果是含参表达式，不能直观地反映供求比的大小。因此，对于高峰区、低谷区、拥堵区、非拥堵区，求出每个区域内部的所有点的供求比，再求取平均值得到的。结果表明：高峰区的供求比要远小于低谷期，拥堵区的供求比要远小于非拥堵区，产生这种结果的原因是：高峰期和拥堵区的人流量远大于低谷期，即潜在需求量也大，同时，高峰期和拥堵区的交通运行缓慢，导致及时有空车也无法及时到达乘客所在地。 +3、仿真结果表明：现行的补贴方案已经能有效地增加匹配成功次数，且经过改进后的补贴政策对于供求匹配的调整效果更好。但是在仿真过程中，对于道路的设计较为简单，乘客数量与出租车数量也比真实情况中少，所以仿真结果只能在一定程度上检验模型的正确性， + +# 七、模型评价与推广 + +1、宏观、微观时空的供求匹配评价模型讨论了宏观、微观两种情况的出租车资源的“供求匹配程度”，具有全面性，并建立了多层符合实际的指标，利用模糊综合评价和多元回归拟合将“供求匹配”程度体现出来，评价结果较为可靠，且可以推广到其他领域比如 +2、基于概率分析的打车难度系数规划模型不仅考虑了第一问中的影响因素，还考虑了拒单率、拼车率、使用打车软件的年龄分布和供求的关系，并利用这些因素的关系建立了单目标规划模型，并进行了模型仿真。使用该模型分析补贴方案对“缓解打车难”问题具有极高的说服力。 +3、基于动态补贴的供求优化模型利用问题二的规划模型求解出了最优情况，并依照社会实际对其进行动态调整，得出了一个既能解决“打车难”又最节省金钱的方案，满足了社会需要，模型严谨，考虑全面。 +4、三个模型环环相扣，可以被推广到各行业的补贴、评价问题研究中。 + +# 八、参考文献 + +[1] 姜启源，谢金星，数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003。 +[2] 陈枫，基于供求平衡的城市出租车合理规模研究，36-39页，2010。 +[3] 王虎军，行业管制下分时段大城市出租车供求关系研究，22页，2007。 +[4] 张文全, 影响城市出租车供求关系的因素分析, 河北交通职业技术学院学报第 8 卷 第 1 期: 1-3 页, 2011。 +[5]百度百科，各城市出租车相关数据统计表，http://wenku.baidu.com/link?url=pNGDm8v3uIyEPsESto8VH0No4xQRJLvgkOiKPX ENGh961zpIL1HC60qK4z q4srYtxaWfurzobuwPunxkFKDohZYBbJkVKybt5os 8X2b17& qq-pf-to=pcqq.group, 2015.9.11。 + +# 附录： + +附录1：深圳市四天内的高峰期、低谷期、拥堵区、非拥堵区统计数据高峰期： + +
日期需求平均车费（元）平均抢单时间（秒）乘客平均乘车时间（秒）
09055949584934.88910.8
0906688957.8439.41947.9
0907850162.7742.631050.3
0908905770.3145.091240.7
+ +低谷期： + +
日期需求平均车费（元）平均抢单时间（秒）乘客平均乘车时间（秒）
0905308952.8120.85638.7
0906376051.7726.72640.9
0907430556.4926.99728.1
0908509159.2628.47789.4
+ +拥堵区： + +
日期需求平均车费（元）平均抢单时间（秒）乘客平均乘车时间（秒）
090564258.9741.58910.8
090675157.8847.21891.4
090779066.7149.69953.6
090898469.9353.07990.3
+ +非拥堵区： + +
日期需求平均车费（元）平均抢单时间（秒）乘客平均乘车时间（秒）
090528050.8122.16625.7
090630849.9425.73610.3
090741457.4327.12703.6
090848962.1727.99768.4
+ +附录2： + +使用matlab2014a以及dev $\mathrm{c} + +$ 5.11软件编程 + +需求数据处理.cpp: + +```c +/* +data processing +data formatting +from data: 0905_needed.txt (Saturday) +0906_needed.txt (Sunday) +0908_needed.txt (Tuesday) +0909_needed.txt (Wednesday) +etc. +section 1. +let the data be easy to process（格式化数据） +then we can use excel to continue. +*/ +#include +using namespace std; +int main() +{ + freopen("0909.txt","r",stdin); + freopen("0909_1.txt","w",stdout); + char x; + while (cin >> x) + { + if (x == '{' || x == ' ['] || x == '\''') + continue; + else if (x == ',') + cout << ';' + else if (x == ')' + printf("\\n"); + else + cout << x; + } + return 0; +``` + +附录3： + +Brute_force.m + +第三问搜索算法 + +```matlab +functionminQ = brute_force(G, F, phi, lambda) +minQ=1000; +fori = 1:301 % p2 +``` + +for $j = 1:301\% p1$ $\%$ if abs((G(i)*(0.75*lambda(j)+1)-G(i)*0.25*phi(i))/F(j)-1) 0 +cnt = cnt + 1; +p_pos(nowbest(2),3) = 0; +end +end +cnt% $\tilde{\mathbf{A}}\tilde{\mathbf{O}}\tilde{\mathbf{D}}^{2}{}^{1}$ Iu +t_p_pos = p_pos; +holdon +p_pos = p_pos_t; +car_pos = car_pos_t; +d = 310;cnt = 0; +fori = 1:80 +nowbest = [d,0]; +forj = 1:100 +ifp_pos(j,3) == 0 +continue; +end +delta = abs(car_pos(i,1)-p_pos(j,1)) + abs(car_pos(i,2)-p_pos(j,2)); +if delta < nowbest(1) +nowbest(2) = j; + +```matlab +ifnowbest(1) < d &&nowbest(2) > 0 +cnt = cnt + 1; +p_pos(nowbest(2), 3) = 0; +end +end +fori = 1:100 +ift_p_pos(i, 3) == 0 +plot(t_p_pos(i, 1), t_p_pos(i, 2), 'go'); +elseifp_pos(i, 3) == 0 +plot(p_pos(i, 1), p_pos(i, 2), 'r'); +end +end +cnt +figure(2) +holdon +p_pos = p_pos_t; +car_pos = car_pos_t; +d = 300; cnt = 0; +fori = 1:80 +nowbest = [d, 0]; +for j = 1:100 +ifp_pos(j, 3) == 0 +continue; +end +delta = abs(car_pos(i, 1) - p_pos(j, 1)) + abs(car_pos(i, 2) - p_pos(j, 2)); +if delta < nowbest(1) +nowbest(2) = j; +nowbest(1) = delta; +end +end +ifnowbest(1) < d &&nowbest(2) > 0 +cnt = cnt + 1; +p_pos(nowbest(2), 3) = 0; +end +end +fori = 1:100 +ift_p_pos(i, 3) == 0 +plot(t_p_pos(i, 1), t_p_pos(i, 2), 'go'); +elseifp_pos(i, 3) == 0. +plot(p_pos(i, 1), p_pos(i, 2), 'r'); +end +end +``` + +end + +附录5： + +fangzhen3.m + +%第三问仿真 + +```matlab +function [cnt, cnt1] = fangzhen3() +car_pos1 = rand(20, 1); +car_pos1 = [ones(20, 1).*2000, car_pos1.*6000]; +car_pos2 = rand(20, 1); +car_pos2 = [ones(20, 1).*4000, car_pos2.*6000]; +car_pos3 = rand(20, 1); +car_pos3 = [car_pos3.*6000, ones(20, 1).*2000]; +car_pos4 = rand(20, 1); +car_pos4 = [car_pos4.*6000, ones(20, 1).*4000]; +car_pos = [[car_pos1; car_pos2; car_pos3; car_pos4], ones(80, 1)]; +car_pos_t = car_pos; +car_pos1 = rand(25, 1); +car_pos1 = [ones(25, 1).*2000, car_pos1.*6000]; +car_pos2 = rand(25, 1); +car_pos2 = [ones(25, 1).*4000, car_pos2.*6000]; +car_pos3 = rand(25, 1); +car_pos3 = [car_pos3.*6000, ones(25, 1).*2000]; +car_pos4 = rand(25, 1); +car_pos4 = [car_pos4.*6000, ones(25, 1).*4000]; +p_pos = [[car_pos1; car_pos2; car_pos3; car_pos4], ones(100, 1)]; +p_pos_t = p_pos; +figure(1) +holdon +d = 200; cnt = 0; +fori = 1:80 +nowbest = [d, 0]; +ifcar_pos(i, 3) == 0 +continue; +end +for j = 1:100 +ifp_pos(j, 3) == 0 +continue; +end +delta = abs(car_pos(i, 1) - p_pos(j, 1)) + abs(car_pos(i, 2) - p_pos(j, 2)); +if delta < nowbest(1) +nowbest(2) = j; +nowbest(1) = delta; +end +``` + +end +ifnowbest(1) < d &&nowbest(2) > 0 +cnt = cnt + 1; +p_pos(nowbest(2), 3) = 0; +car_pos(i, 3) = 0; +end +end +cnt% $\tilde{\mathbf{A}}\tilde{\mathbf{B}}^{2}{}^{1}$ lu +t_p_pos=p_pos; + $\% \mathrm{OB}^{2}{}^{1}$ lu $\mu \tilde{\mathbf{A}}\cdot \tilde{\mathbf{A}}\tilde{\mathbf{O}}\tilde{\mathbf{a}}$ $\% \mathrm{EEAC},\mathrm{u}\hat{\mathrm{O}},\mathrm{O}\hat{\mathrm{a}}\hat{\mathrm{U}}$ $\% \mathrm{E} / 4\gg \mathrm{u},\mathrm{u}\hat{\mathrm{O}},\mathrm{O}\hat{\mathrm{A}}\hat{\mathrm{E}}\hat{\mathrm{Y}}\hat{\mathrm{O}}\hat{\mathrm{I}}\cdot \frac{1}{2}$ +max_car_d = 500; +holdon +p_pos = p_pos_t; +car_pos = car_pos_t; +d = 295; cnt1 = 0; +foriter = 1:3 +fori = 1:80 +ifcar_pos(i, 3) == 0 +continue; +end +nowbest = [d, 0]; +for j = 1:100 +ifp_pos(j, 3) == 0 +continue; +end +delta = abs(car_pos(i, 1) - p_pos(j, 1)) + abs(car_pos(i, 2) - +p_pos(j, 2)); +if delta < nowbest(1) +nowbest(2) = j; +nowbest(1) = delta; +end +end +ifnowbest(1) < d &&nowbest(2) > 0 +cnt1 = cnt1 + 1; +p_pos(nowbest(2), 3) = 0; +car_pos(i, 3) = 0; +end +end +fori=1:80 +ifcar_pos(i, 1) == 2000 || car_pos(i, 1) == 4000 +car_pos(i, 2) = car_pos(i, 2) + 2*max_car_d*(rand()-0.5); +ifcar_pos(i, 2)>6000 + +```matlab +car_pos(i,2) = car_pos(i,2) - max_car_d; +elseif car_pos(i,2) < 0 +car_pos(i,2) = car_pos(i,2) + max_car_d; +end +end +if car_pos(i,2) == 2000 || car_pos(i,2) == 4000 +car_pos(i,1) = car_pos(i,1) + 2*max_car_d*(rand()-0.5); +if car_pos(i,1) > 6000 +car_pos(i,1) = car_pos(i,1) - max_car_d; +elseif car_pos(i,1) < 0 +car_pos(i,1) = car_pos(i,1) + max_car_d; +end +end +end +end +end +for i = 1:100 +ift_p_pos(i,3) == 0 +plot(t_p_pos(i,1), t_p_pos(i,2), 'go'); +elseif p_pos(i,3) == 0 +plot(p_pos(i,1), p_pos(i,2), 'r*'); +end +end +``` + +附录6：灵敏度分析.m + +$\% \text{Aé}\tilde{\text{A}}\text{ô}\text{è} \bullet \text{O}\hat{\text{I}}\text{ö}$ +cc_percent $= []$ . +fori $= 50:149$ p1 $=$ floor(i\*1+0.05\*rand())； p2 $=$ floor(i\*1+0.05\*rand()))； ans1 $=$ abs((G(i)\*0.75\*lambda(i)+1)-G(i)\*0.25\*phi(i))/F(i)-1); ans2 $=$ abs((G(p1)\*0.75\*lambda(p2)+1)-G(p1)\*0.25\*phi(p1))/F(p2)- 1); cc_percent(i-49） $=$ abs((ans1-ans2)/ans1); +end \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2015/Problems/D/\351\231\204\344\273\2662 \344\270\255\345\215\216\344\272\272\346\260\221\345\205\261\345\222\214\345\233\275\345\234\237\345\234\260\345\242\236\345\200\274\347\250\216\346\232\202\350\241\214\346\235\241\344\276\213/\351\231\204\344\273\2662 \344\270\255\345\215\216\344\272\272\346\260\221\345\205\261\345\222\214\345\233\275\345\234\237\345\234\260\345\242\236\345\200\274\347\250\216\346\232\202\350\241\214\346\235\241\344\276\213.md" "b/MCM_CN/2015/Problems/D/\351\231\204\344\273\2662 \344\270\255\345\215\216\344\272\272\346\260\221\345\205\261\345\222\214\345\233\275\345\234\237\345\234\260\345\242\236\345\200\274\347\250\216\346\232\202\350\241\214\346\235\241\344\276\213/\351\231\204\344\273\2662 \344\270\255\345\215\216\344\272\272\346\260\221\345\205\261\345\222\214\345\233\275\345\234\237\345\234\260\345\242\236\345\200\274\347\250\216\346\232\202\350\241\214\346\235\241\344\276\213.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f6b98f456553385000bf00cec42c4931b6741237 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2015/Problems/D/\351\231\204\344\273\2662 \344\270\255\345\215\216\344\272\272\346\260\221\345\205\261\345\222\214\345\233\275\345\234\237\345\234\260\345\242\236\345\200\274\347\250\216\346\232\202\350\241\214\346\235\241\344\276\213/\351\231\204\344\273\2662 \344\270\255\345\215\216\344\272\272\346\260\221\345\205\261\345\222\214\345\233\275\345\234\237\345\234\260\345\242\236\345\200\274\347\250\216\346\232\202\350\241\214\346\235\241\344\276\213.md" @@ -0,0 +1,141 @@ +# 附件2 中华人民共和国土地增值税暂行条例（如其他条例与本条例有冲突，请以本条例的规定和数据为准） + +土地增值税是指国家制定的用以调整土地增值税征收与缴纳之间的权利及义务关系的法律规范，现行土地增值税的基本规范，是1993年12月13日国务院颁布的《中华人民共和国土地增值税暂行条例》。 + +# 1.1 土地增值税的定义 + +所谓土地增值税，就是对有偿转让国有土地使用权及地上建筑物和其他附着物产权，取得增值收入的单位和个人征收的一种税。土地增值税的纳税义务人是指有偿转让国有土地使用权，地上建筑物及其附着物(简称房地产)并取得收入的个人和单位。个人包括个体经营者。单位包括各类企业、事业单位、国家机关和社会团体及其他组织。土地增值税的征税范围包括转让国有土地使用权、地上建筑物及其附着物，不包括通过继承和赠予等无偿方式转让的房地产，课税对象为有偿转让的土地增值额。 + +1949年中华人民共和国成立以来，我国对土地房屋等不动产的征税制度比较薄弱，1993年12月13日国务院发布了《中华人民共和国土地增值税暂行条例》，从1994年1月1日起开征上地增值税。1995年1月27日财政部又颁布了《土地增值税暂行条例实施细则》，进一步细化了土地增值税的征收管理办法。之后依此文件为蓝本相继追加了其他补充说明的政策文件。 + +# 1.2我国土地增值税的税率 + +根据国务院颁布的《中华人民共和国土地增值税暂行条例》，我国土地增值税实行四级超率累进税率： + +(1) 增值额未超过扣除项目金额 $50\%$ 的情况, 税率为 $30\%$ + +土地增值税税额 $=$ 增值额 $\times 30\%$ + +(2) 增值额超过扣除项目金额 $50 \%$ , 未超过扣除项目金额 $100 \%$ 的情况, 税率为 $40 \%$ + +土地增值税税额 $=$ 增值额 $\times 40\%$ -扣除项目金额 $\times 5\%$ + +(3) 增值额超过扣除项目金额 $100 \%$ , 未超过 $200 \%$ 的情况, 税率为 $50 \%$ + +土地增值税税额 $=$ 增值额 $\times 50\%$ -扣除项目金额 $\times 15\%$ + +(4) 增值额超过扣除项目金额 $200\%$ 的情况, 税率为 $60\%$ + +土地增值税税额 $=$ 增值额 $\times 60\%$ -扣除项目金额 $\times 35\%$ + +上述所列四级超率累进税率，每级增值额未超过扣除项目金额的比例，均包括本比例数。具体如下表： + +表 1.2 土地增值税四级超率累进税率表 + +
级距税率速算扣除系数说明
增值额未超过扣除项目金额50%的部分30%0扣除项目指取得土地使用权所支付的金额；开发土地的成本、费用；新建房及配套设施的成本、费用或旧房及建筑物的评估价格；与转让房地产有关的税金；财政部规定的其他扣除项目。
增值额超过扣除项目金额50%，未超过100%的部分40%5%
增值额超过扣除项目金额100%，未超过200%的部分50%15%
增值额超过扣除项目金额200%的部分60%35%
+ +累进税率的特点是税基越大，税率越高，税负呈累进趋势。在财政方面，它使税收收入的增长快于经济的增长，具有更大的弹性；在经济方面，有利于自动地调节社会总需求的规模，保持经济的相对稳定。累进税率对于调节纳税人收入，有特殊的作用和效果，所以现代税收制度中，各种所得税一般都采用累进税率。 + +# 1.3 土地增值税的税收优惠 + +# （1）建造普通标准住宅的税收优惠 + +纳税人建造普通标准住宅出售，增值额未超过扣除项目金额 $20\%$ 的，免征土地增值税。这里所讲的普通标准住宅是指按所在地一般民用住宅标准建造的居住用住宅。高级公寓、别墅、度假村等不属于普通标准住宅。普通标准住宅与其他住宅的具体划分界限由各省、自治区、直辖市人民政府规定。 + +普通住宅与非普通住宅的区别具体如下： + +表 1.3 普通标准住宅与非普通标准住宅的差别 + +
普通标准住宅非普通标准住宅
建设容积率1.0（含）以上1.0以下
单套建筑面积144平方米（含）以下144平米以上
实际成交价格/同级别土地平均地价1.2倍以下1.2倍以上
+ +同时满足以上三个标准的为普通住宅，反之为非普通住宅。对于纳税人既建普通住宅又搞其他房地产开发的，应分别核算增值额。不分别核算增值额或不能准确核算增值额的，其建造的普通标准住宅不能使用这一免税规定。 + +# (2) 建国家征用收回的房地产的税收优惠 + +因国家建设需要依法征用、收回的房地产，免征土地增值税。 + +# （3）个人转让房地产的税收优惠 + +个人因工作调动或改善居住条件而转让原自用住房，经向税务机关申报核准，凡居住满5年或5年以上的，免征土地增值税；居住满3年未满5年的减半征收土地增值税， + +居住未满3年的，按规定计征土地增值税。 + +# 1.4土地增值额的确定 + +土地增值税纳税人转让房地产取得的收入减除规定的扣除项目金额后的余额，为增值额。 + +增值额是土地增值税的关键所在。由于计算土地增值税是以增值额与扣除项目金额的比率大小按相适用的税率累进计算征收的，增值额与扣除项目金额的比率越大，适用的税率越高，缴纳的税款越多。因此，准确核算增值额是很重要的。当然，准确核算增值额，还需要有准确的房地产收入金额和扣除项目金额。 + +# 1.5 土地增值税应税收入的确定 + +根据《土地增值税暂行条例》及其实施细则的规定，纳税人转让房地产取得的应税收入，应包括转让房地产取得的全部价款及相关的经济利益。从收入的形势来看，包括货币收入、实物收入和其他收入。此外还包括： + +1.房地产开发企业将开发产品用于职工福利、奖励、对外投资、分配给股东或投资人、抵偿债务、换取其他单位和个人的非货币性资产等，发生所有权转移时应视同销售房地产，其收入按下列方法和顺序确认： + +（1）按本企业在同一地区、同一年度销售的同类房地产的平均价格确定。 +(2) 由主管税务机关参照当地当年同类房地产的市场价格或评估价值确定。 + +2. 房地产开发企业将开发的部分房地产转为企业自用或用于出租等商业用途时，如果产权未发生转移，不征收土地增值税，在税款清算时不列收入，也不扣除相应的成本和费用。 + +# 1.6 土地增值税扣除项目金额的确定 + +计算土地增值税的应纳税额，并不是直接对转让房地产所取得的收入征税，而是要对应收入额减除国家规定的各项扣除项目金额后的余额计算征税(这个余额就是纳税人，在转让房地产中获取的增值额)。因此，要计算增值额，首先必须确定扣除项目金额。 + +扣除的项目金额须提供合法有效的凭证，如不能提供合法有效凭证的，不予扣除。税法准予纳税人从转让收入中减除的扣除项目金额包括以下几项： + +1.取得土地使用权所支付的金额 + +取得土地使用权所支付的金额包括以下两方面的内容： + +（1）纳税人为取得土地使用权所支付的地价款。 +（2）纳税人在取得土地使用权时按照国家统一规定缴纳的有关费用。 + +2.房地产开发成本 + +房地产开发成本是指纳税人房地产开发项目实际发生的成本，包括土地的征用及拆迁补偿费、前期工程费、建筑安装工程费、基础设施费、公共配套设施费、开发间接费 + +等。 + +土地征用及拆迁补偿费。包括土地征用费、耕地占用税、劳动力安置费及有关地上、地下附着物拆迁补偿的净支出、安置动迁用房支出等。 + +前期工程费。包括规划、设计、项目可行性研究和水文、地质、勘察、测绘、三通一平等支出。 + +建筑安装工程费。指以出包方式支付给承包单位的建筑安装工程费，以自营方式发生的建筑安装工程费。 + +基础设施费。包括开发小区内道路、供水、供电、供气、排污、排洪、通信、照明、环卫、绿化等工程发生的支出。 + +公共配套设施费。包括不能有偿转让的开发小区内公共配套设施发生的支出。具体为开发项目内发生的、独立的、非营利性的，且产权属于全体业主的，或无偿赠与地方政府、政府公用事业单位的公共配套设施支出。 + +开发间接费。指直接组织、管理开发项目发生的费用，包括工资、职工福利费、折旧费、修理费、办公费、水电费、劳动保护费、周转房摊销等。 + +# 3.房地产开发费用 + +房地产开发费用是开发土地和新建房及配套设施的费用，是指与房地产开发项目有关的销售费用、管理费用、财务费用。 + +依据《土地增值税暂行条例实施细则》第七条中关于利息支出扣除项目之规定：凡能够按转让房地产项目计算分摊并提供金融机构证明的，允许据实扣除，但最高不能超过按商业银行同类同期贷款利率计算的金额。 + +凡不能按转让房地产项目计算分摊利息支出或不能提供金融机构证明的，房地产开发费用按取得上地使用权所支付的金额和房地产开发成本规定计算的金额之和的 $10\%$ 以内计算扣除。 + +上述计算扣除的具体比例，由各省、自治区、直辖市人民政府规定。 + +# 4.与转让房地产有关的税金 + +与转让房地产有关的税金是指在转让房地产时缴纳的营业税、城市维护建设税、教育费附加、印花税;在某些城市还有一些地方税种。但房地产此项计算时不包括印花税。 + +# 5.其它扣除项目 + +对从事房地产开发的纳税人可按《实施细则》第七条取得土地使用权所支付的金额和房地产开发成本规定计算的金额之和，加计 $20\%$ 扣除。在此，应特别强调的是：此条优惠只适用于从事房地产开发的纳税人，除此之外的其他纳税人不适用。 + +# 6.旧房及建筑物的评估价格 + +旧房及建筑物的评估价格是指在转让己使用的房屋及建筑物时，由政府批准设立的房地产评估机构评定的重置成本价乘以成新度折扣率后的价格。评估价格须经当地税务机关确认。此外，转让旧房的，应按房屋及建筑物的评估价格、取得土地使用权所支付 + +的地价款和按照国家统一规定缴纳的有关费用及在转让环节缴纳的税金作为扣除项目金额计征土地增值税。对取得土地使用权时未支付地价款或不能提供已支付的地价款凭据的，在计征土地增值税时是不允许扣除的。 + +# 7. [2009]31号文规定的其它扣除项目 + +国税发[2009]31号文第三十二条规定，允许三项预提费用在预提时依法进行税前扣除，除以下几项预提(应付)费用外，计税成本均应为实际发生的成本。 + +（1）出包工程未最终办理结算而未取得全额发票的，在证明资料充分的前提下，其发票不足金额可以预提，但最高不得超过合同总金额的 $10\%$ +（2）公共配套设施尚未建造或尚未完工的，可按预算造价合理预提建造费用。此类公共配套设施必须符合已在售房合同、协议或广告、模型中明确承诺建造且不可撤销，或按照法律法规规定必须配套建造的条件。 +（3）应向政府上交但尚未上交的报批报建费用、物业完善费用可以按规定预提。物业完善费用是指按规定应由企业承担的物业管理基金、公建维修基金或其他专项基金。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2015/Problems/D/\351\231\204\344\273\2663 \345\205\266\344\273\226\347\233\270\345\205\263\350\257\264\346\230\216/\351\231\204\344\273\2663 \345\205\266\344\273\226\347\233\270\345\205\263\350\257\264\346\230\216.md" "b/MCM_CN/2015/Problems/D/\351\231\204\344\273\2663 \345\205\266\344\273\226\347\233\270\345\205\263\350\257\264\346\230\216/\351\231\204\344\273\2663 \345\205\266\344\273\226\347\233\270\345\205\263\350\257\264\346\230\216.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..9857453ac6a0258ff0be96c9583f6a1dd7a3c027 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2015/Problems/D/\351\231\204\344\273\2663 \345\205\266\344\273\226\347\233\270\345\205\263\350\257\264\346\230\216/\351\231\204\344\273\2663 \345\205\266\344\273\226\347\233\270\345\205\263\350\257\264\346\230\216.md" @@ -0,0 +1,9 @@ +# 附件3本题的其他相关说明（如本说明与其他说明有冲突，以本说明为准） + +一般开发商得到土地之后，它所面临的任务就是商品房规划设计，成熟的企业首先由规划设计部门提供土地开发方案，即各种房屋类型的建筑面积。再交给财务部门进行收益核算，并对规划设计部门提供的建设方案进行一定限度的微调，一起提供更加符合企业战略的建设方案。规划设计部门考虑的主要是地理位置和生态环境，而财务部门则重点考虑的是成本效益。 + +房地产规划设计部门设计的商品房类型一般有很多种，各种类型的商品房在需求、特色、开发成本、建筑面积上都有不同的约束。在设计方案中，随着各种房型建设比例而成本有所变化的主要就是土地增值税了。事实上土地增值税的核算从很大程度上会影响企业最终收益的大小（企业的最终收益等于售房总收入减去成本投入和国家征收的土地增值税）。目前国家对土地增值税的核算中，普通宅和非普通宅是分开的（如果属于其他类别则按规定将实际发生的成本按照普通宅和非普通宅建筑面积比进行分摊计算），计算土地增值税是以增值额与扣除项目金额的比率大小按相适用的税率累进计算征收的，增值额与扣除项目金额的比率越大，适用的税率越高，缴纳的税款越多。因此，准确核算土地增值额是很重要的。 + +容积率指项目用地范围内总建筑面积与项目总用地面积的比值。是一个小区的总建筑面积与用地面积的比率。企业在申请开发土地时已经申请了容积率。实际的建筑面积与用地面积的比率不能超过申请的容积率。 + +本题在增值税核算中规定了部分房型其发生的开发成本项不能列入增值税核算，在实际核算中应特别注意。 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/A194/A194.md b/MCM_CN/2016/A194/A194.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7a6e5a535f87b44b13e0f3a7416e83eaae91244f --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/A194/A194.md @@ -0,0 +1,813 @@ +# 基于力学分析的系泊系统设计 + +# 摘要 + +关于系泊系统的设计问题，需要对稳态下的各个物体进行受力分析和力矩分析，建立力学分析模型来求解问题。 + +针对问题1，先对稳态下的各个物体进行受力分析和力矩分析，建立满足受力平衡和力矩平衡的力学模型。再以浮标的吃水深度为搜索变量，采用二分法，计算海水深度为 $18\mathrm{m}$ 时所对应的吃水深度和各物体的倾角。利用MATLAB软件求解可得，风速为 $12\mathrm{m/s}$ 时，钢桶与竖直方向的夹角为 $1.2319^{\circ}$ ，钢管与竖直方向的夹角依次为 $1.2064^{\circ}, 1.2064^{\circ}, 1.2148^{\circ}, 1.2233^{\circ}$ 。浮标的吃水深度和游动半径分别为 $0.6715\mathrm{m}, 14.6552\mathrm{m}$ 。风速为 $24\mathrm{m/s}$ 时，钢桶夹角为 $4.6763^{\circ}$ ，钢管夹角依次为 $4.5360^{\circ}, 4.5836^{\circ}, 4.6141^{\circ}, 4.6450^{\circ}$ ；浮标的吃水深度和游动半径分别为 $0.6857\mathrm{m}, 17.7614\mathrm{m}$ 。 + +针对问题2，可利用问题1中建立的数学模型，利用MATLAB进行求解，可得风速为 $36\mathrm{m / s}$ 时，钢桶夹角 $9.6592^{\circ}$ ；钢管夹角依次为 $9.4814^{\circ}$ ， $9.4814^{\circ}$ ， $9.5399^{\circ}$ ， $9.5992^{\circ}$ ；浮标的吃水深度和游动半径分别为0.7086m，18.4906m；最后一节锚链与水平面的夹角为 $20.9997^{\circ}$ 。故以钢桶夹角小于 $5^{\circ}$ 和锚链夹角小于 $16^{\circ}$ 为约束条件，逐步增加重物球的质量，采用二分法向水深18m进行逼近。当重物球的质量为 $2280\mathrm{kg}$ 时，浮标的吃水深度为 $0.9848\mathrm{m}$ ；钢桶夹角为 $4.4737^{\circ}$ ；锚链夹角为 $15.9748^{\circ}$ ；为使通讯设备的工作效果增强，重物球的质量可以在 $2280\mathrm{kg}$ 的基础上进行适当增加。 + +针对问题3, 可在问题1的受力分析时加入水流力的作用, 以最大风速 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 最大水流速度 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 为设计指标, 通过控制单一变量的方式可确定链条的型号为 V 型的电焊锚链。以锚链长度和重物球质量为决策变量。在水深为 $16 \mathrm{~m}$ 时考虑钢桶的倾斜角度小于 $5^{\circ}, 20 \mathrm{~m}$ 时的最后一节锚链与水平方向的夹角小于 $16^{\circ}$ 的约束条件, 对锚链的长度及重物球的质量进行修正。利用 MATLAB 软件求解得, 锚链长为 $21.78 \mathrm{~m}$ , 在水深 $16 \mathrm{~m}$ 时, 钢桶与竖直方向的夹角为 $4.9488^{\circ}$ , 钢管与竖直方向的夹角依次为 $4.6784^{\circ} 、 4.6784^{\circ} 、 4.7929^{\circ} 、 4.9032^{\circ}$ , 浮标的吃水深度和游动半径分别为 $1.5330 \mathrm{~m} 、 19.1566 \mathrm{~m}$ ; 在水深为 $20 \mathrm{~m}$ 时, 钢桶与竖直方向上的夹角为 $4.9668^{\circ}$ , 钢管与竖直方向上夹角依次为 $4.7594^{\circ} 、 4.7594^{\circ} 、 4.8283^{\circ} 、 4.8974^{\circ}$ , 浮标的吃水深度和游动半径分别为 $1.5830 \mathrm{~m} 、 16.9056 \mathrm{~m}$ 。 + +利用物体上节点做参考点时力矩平衡关系，重新计算问题1和问题2中的力矩，经比对发现完全吻合。对问题3的链条长度和重物球质量进行最优化检验，结果完全吻合。 + +关键词：受力平衡 力矩平衡 二分法 控制单一变量 + +# 一、问题重述 + +# 1.1、问题引言 + +系泊系统不论是在船舶航行，还是在海洋资源的综合利用与开发中，均得到了广泛应用。对于系泊系统的问题而言，就是确定锚链型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域以及钢桶的倾角尽可能小。 + +# 1.2、题目给出的信息及数据 + +(1) 浮标系统可简化为底面直径为 $2 \mathrm{~m}$ , 高 $2 \mathrm{~m}$ 的圆柱体, 其质量为 $1000 \mathrm{~kg}$ ; +(2) 钢管共 4 节, 每节长度为 $1 \mathrm{~m}$ , 直径为 $50 \mathrm{~mm}$ , 质量为 $10 \mathrm{~kg}$ ; +(3) 水声通讯系统安装在一个长 $1 \mathrm{~m}$ , 外径 $30 \mathrm{~mm}$ 的密封圆柱形钢桶内, 设备和钢桶总重为 $100 \mathrm{~kg}$ ; +(4) 锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过 16 度, 否则锚会被拖行, 致使节点位移丢失; +(5) 钢桶倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过 5 度时，设备的工作效果较差，为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 + +# 1.3、问题的提出 + +我们可以通过题目中给出的信息及题目的要求，建立系泊系统的数学模型和算法来求解以下问题： + +问题1要求选用长为 $22.05 \mathrm{~m}$ 的II型电焊锚链、重 $1200 \mathrm{~kg}$ 的重物球，在海水静止、水深 $18 \mathrm{~m}$ 、海床平坦且海水密度为 $1.025 \times 103 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ 的海域，计算出海面风速为 $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 和 $24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +问题2要求在问题1的假设下，计算海面风速为 $36\mathrm{m / s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚点处的锚链与海床的夹角不超过16度。 + +问题3，考虑潮汐因素的影响，在水深 $16\mathrm{m}\sim 20\mathrm{m}$ 之间、海水速度最大可达到 $1.5\mathrm{m / s}$ 、风速最大可达到 $36\mathrm{m / s}$ 的海域，给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 + +# 二、问题分析 + +系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。因此： + +对于问题 1 , 根据题目所给的数据及要求可知, 锚链型号为 II 型电焊锚链, 其长度为 $22.05 \mathrm{~m}$ , 重物球重 $1200 \mathrm{~kg}$ ; 传输节点布放在海水静止、水深为 $18 \mathrm{~m}$ 、海 + +床平坦、海水密度为 $1.025 \times 103 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ 的海域。计算出海面风速为 $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 和 $24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时, 钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动范围。对此, 可选取位置相对固定的锚链末端与锚的链接点作为参考点, 建立力学分析模型, 依次对浮标、钢桶、单节钢管和电焊锚链进行受力分析, 稳态时, 各物体受力平衡; 而钢管、钢桶和电焊锚链都是刚性物体, 钢管、钢桶和电焊锚链的受力方向与物体间存在夹角, 利用稳态时物体间的力矩平衡, 对每节钢管、钢桶和每节电焊锚链与海平面的夹角进行求解, 当每节钢管、钢桶和每节电焊锚链的长度在竖直方向的距离的总和满足水深时, 求出的夹角和吃水深度便是所需的值; 利用钢管、钢桶以及每节锚链的倾斜角度便可求出电焊锚链的形状和浮标的浮动范围。 + +对于问题2，根据题目所给的数据信息及要求，可以利用问题1中的数学模型，求解出海面风速为 $36\mathrm{m / s}$ 时，钢桶和各节钢管的倾斜角度，链条形状和浮标的游动区域。要求调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，最后一节锚链与海床的夹角不超过16度。对此，以钢桶的倾斜角度和最后一节锚链与海床的夹角为约束条件，逐步增加重物球的质量，采用二分法，对海水深度进行求解，当计算值与实际深度相等时，重物球的质量即所需的最小质量。 + +对于问题3,现在已知海水深度在 $16\mathrm{m}\sim 20\mathrm{m}$ 之间，海水速度最大可达到 $1.5\mathrm{m / s}$ ，风速最大可达到 $36\mathrm{m / s}$ 。要求给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。对此我们可利用问题一中的模型，运用控制变量法求解出风力、水深等情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃水深度和游动区域；对于水流力，与风力求解方式相似；而海水流动会对浮标、钢管、钢桶以及锚链产生推力，因此需要对模型一进行修正。对于系统设计，可以在问题2的基础上，通过控制单一变量的方式，对锚链型号、长度和重物球的质量与吃水深度、游动区域及钢桶的倾斜角度间的关系进行分析，以吃水深度、游动范围尽量小，钢桶的倾斜角度小于 $5^{\circ}$ 和最后一节锚链的锚链与海床的夹角小于 $16^{\circ}$ 的选取原则，便可确定锚链的型号。以锚链长度和重物球质量为搜索变量，利用遍历法，对满足最大水流速度和风速指标，水深 $16\mathrm{m}$ 时的钢桶角度和 $20\mathrm{m}$ 时的最后一节锚链与水平方向的夹角为约束的重力球质量与锚链长度进行求解。利用修正后的模型一便可的到不同情况下的各种参数。 + +# 三模型假设 + +1 假设重物球是实心且质地均匀的钢球； +2假设风是平行于海平面吹拂的，海水流向与风向相同； +3 假设重力加速度为 $9.80655 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2$ (南海黄岩岛附近), 重力球和电焊锚链的密度为 $7.85 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3$ ; +4 假设浮标一直处于平浮状态，不会受海面风力的影响而发生倾斜； +5各深度处水流的流速近似相等； + +6 各节锚链近似为相互连接的圆柱体; +7 题目所给数据均有效且可靠； + +四符号说明 + +
符号单位定义
G浮标N浮标的自身重力
GiN第i个物体的自身重力
Dm浮标的底面直径
D1m钢桶的底面直径
Hm海水深度
hm浮标的吃水深度
i——第i个物体,其中i=1,2,3,4为钢管;i=5为钢桶; i=6,7,...,n为锚链
TiN第i个物体所受的拉力
F风N近海风载荷
Sm物体在风向法平面的投影面积
vm/s风速
F水N近海水流力
v1m/s水流速度
θi度第i个物体所受力与水平方向的夹角
φi度第i个物体与水平方向的夹角
F浮0N浮标在海平面上所受浮力
F浮iN第i(i=1,2,3,4)节钢管在海里所受浮力;第i-5(i=6,7,...,n)条锚链在海里所受浮力
GiN第i(i=1,2,3,4)节钢管在海里所受自身的重力;第i-5(i=6,7,...,n)节钢管在海里所受自身的重力
Lim第i个物体的长度
+ +# 五、模型的建立与求解 + +系泊系统的设计问题需要我们确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的池水深度和游动区域以及钢桶的倾角尽可能小。因此，我们可以根据题目所给信息和要求，建立以下数学模型和算法： + +# 5.1 模型一的建立与求解 + +# 5.1.1 模型一的建立 + +由题可知, 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统 + +组成（如图1所示），对此，我们可建立力学分析模型，依次对浮标、钢管、钢桶和锚链的受力平衡和力矩平衡进行分析，将浮标与第一节钢管的结点记为1，以此类推将倒数第一节与倒数第二节锚链链接点记为n；同理，将第一节钢管记为1，最后一节锚链记为n，因此： + +![](images/641d41b0f25580d7a40c378e8101b1a655206887b853515f07a22963b79625b3.jpg) +图1传输节点示意图 + +# (1) 对浮标进行受力分析 + +我们以位置相对固定的锚链末端与锚的链接点作为参考点，对浮标进行受力分析（如图2所示）。 + +![](images/90c5f88f6ab46c4b1dec45fd1b036957750a06dc131bf5dc07bd49b0a8b6641a.jpg) +图2浮标受力分析示意图 + +由浮标受力分析示意图（图2）可知，浮标所受钢管的拉力 $T_{1}$ 、风力 $F_{\text{风}}$ 、重力 $G_{\text{浮标}}$ 和浮力 $F_{\text{浮标}}$ 的合力应为零，即： + +$$ +\vec {\mathrm {T}} _ {1} + \vec {\mathrm {F}} _ {\text {风}} + \vec {\mathrm {F}} _ {\text {浮 标}} + \vec {\mathrm {G}} _ {\text {浮 标}} = 0 \tag {5-1} +$$ + +对浮标所受的力按水平、竖直两个方向进行分解，可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {T} _ {1} \cos \theta_ {1} = \mathrm {F} _ {\text {风}} \\ \mathrm {T} _ {1} \sin \theta_ {1} = \mathrm {F} _ {\text {浮 标}} - \mathrm {G} _ {\text {浮 标}} \end{array} \right. \tag {5-2} +$$ + +其中 $G_{\text {浮标}}$ 为浮标的自重, 可通过 $G_{\text {浮标}} = m_{\text {浮标}} g$ 计算得到。由题目可知钢管共有四节, 最上端的钢管与浮标相连, 该钢管对浮标的拉力记为 $T_{1}$ , 与水平方向的倾斜角度记为 $\theta_{1}$ 。 + +为简化计算，假设浮标处于平浮状态，则海风风力引起的水平力 $F_{\text {风}}$ 的大小 + +为: + +$$ +\mathrm {F} _ {\text {风}} = 0. 6 2 5 \mathrm {D} (2 - \mathrm {h}) \mathrm {v} ^ {2} \tag {5-3} +$$ + +浮标受到的浮力 $\mathrm{F}_{\text {浮标 }}$ 为: + +$$ +\mathrm {F} _ {\text {浮 标}} = \rho_ {\text {海 水}} g \pi r ^ {2} h \tag {5-4} +$$ + +其中 $\mathrm{h}$ 为浮标的吃水深度， $\mathrm{r}$ 为浮标底部半径， $\mathrm{D}$ 为浮标底部的直径。 + +# (2) 对钢管进行受力分析和力矩平衡分析 + +对于第一节钢管，我们可对其进行受力分析（如图3所示）。 + +![](images/105f39aeee6f4292e69a3426b24f6079c7a22771e03402af82ed765e0eada703.jpg) +图3 钢管受力分析示意图 + +由钢管受力分析示意图（图3）可知，钢管所受拉力 $\mathrm{T}_{1}$ 、 $\mathrm{T}_{2}$ 、重力 $\mathbf{G}_{1}$ 和浮力 $\mathrm{F}_{1}$ 浮的合力应为零，即： + +$$ +\vec {\mathrm {T}} _ {1} + \vec {\mathrm {T}} _ {2} + \vec {\mathrm {F}} _ {1 \text {浮}} + \vec {\mathrm {G}} _ {1} = 0 \tag {5-5} +$$ + +对浮标所受的力按水平、竖直两个方向进行分解，可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {T} _ {2} \cos \theta_ {2} = \mathrm {T} _ {1} \cos \theta_ {1} \\ \mathrm {T} _ {2} \sin \theta_ {2} = \mathrm {T} _ {1} \sin \theta_ {1} - G _ {1} + \mathrm {F} _ {1} \text {浮} \end{array} \right. \tag {5-6} +$$ + +其中 $G_{1}$ 为第一节钢管所受的重力，可通过 $G_{1} = m_{1}g$ 计算得到， $T_{2}$ 为第二节钢管对第一节钢管的拉力，与水平方向的倾斜角度记为 $\theta_{2}$ 。 + +由于钢管是刚性物体，受到多个力的作用，所以需要对第一节钢管的力矩的平衡性进行分析（如图4所示）： + +![](images/15dfae7fcd3f27fa8197ff3db65c96e1798a451788be4bf165cb94fe58731e8a.jpg) +图4 钢管力矩平衡分析示意图 + +由力矩关系定理和钢管力矩平衡分析示意图（图4）知，可分别以节点2和节点1作为参考点，对钢管的力矩进行力矩平衡性分析可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {L} _ {1} \mathrm {T} _ {1} \sin \left(\theta_ {1} - \varphi_ {1}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {1} \left(\mathrm {G} _ {1} - \mathrm {F} _ {1} \text {浮}\right) \cos \varphi_ {1} \\ \mathrm {L} _ {1} \mathrm {T} _ {2} \sin \left(\varphi_ {1} - \theta_ {2}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {1} \left(\mathrm {G} _ {1} - \mathrm {F} _ {1} \text {浮}\right) \cos \varphi_ {1} \end{array} \right. \tag {5-7} +$$ + +其中 $\phi_{1}$ 为钢管与水平面的夹角。 + +对于后面几节钢管，可将第一节钢管的分析方式进行推广，故可得钢管在水平方向和竖直方向上的受力，即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \cos \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}} (\mathrm {i} = 1, 2, 3, 4) \\ \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right) (\mathrm {i} = 1, 2, 3, 4) \end{array} \right. \tag {5-8} +$$ + +其中 $\mathrm{F}_{\text {浮 } \mathrm{i}} (\mathrm{i} = 1,2,3,4)$ 表示第i节钢管在海里所受浮力，可通过公式（5-8）解得； $\mathrm{G}_{\mathrm{i}} (\mathrm{i} = 1,2,3,4)$ 表示第i节钢管所受重力。 + +对于其他钢管的力矩平衡求解时，也可将第一节钢管的力矩分析进行推广，分别以节点 $i + 1$ 和节点 $i$ 作为参考点，对钢管的力矩进行力矩平衡性分析可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \left(\theta_ {\mathrm {i}} - \varphi_ {\mathrm {i}}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right) \cos \varphi_ {\mathrm {i}}, (\mathrm {i} = 1, 2, 3, 4) \\ \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \left(\varphi_ {\mathrm {i}} - \theta_ {\mathrm {i} + 1}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right) \cos \varphi_ {\mathrm {i}}, (\mathrm {i} = 1, 2, 3, 4) \end{array} \right. \tag {5-9} +$$ + +将公式（5-9）进行化简，便可得到钢管与海平面夹角 $\varphi_{\mathrm{i}}(\mathrm{i} = 1,2,3,4)$ 的递推公式： + +$$ +\tan \varphi_ {\mathrm {i}} = \frac {2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right)}{2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}}} \quad , (\mathrm {i} = 1, 2, 3, 4) \tag {5-10} +$$ + +（3）对钢桶的受力分析与力矩平衡的分析 + +对于钢桶，我们可对其进行受力分析（如图5所示）。 + +![](images/75ab378afe2f7e0991f4485ddaa4200d445d397057723e13da83e64594eb31ef.jpg) +图5 钢桶受力分析示意图 + +钢桶所受合力应为零，即： + +$$ +\vec {\mathrm {T}} _ {5} + \vec {\mathrm {T}} _ {6} + \vec {\mathrm {G}} _ {5} + \vec {\mathrm {F}} _ {\text {浮} 5} + \vec {\mathrm {G}} _ {\text {球}} + \vec {\mathrm {F}} _ {\text {浮 球}} = 0 \tag {5-11} +$$ + +对钢桶所受的力按水平、竖直两个方向进行分解，可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {T} _ {6} \cos \theta_ {6} = \mathrm {T} _ {5} \cos \theta_ {5} \\ \mathrm {T} _ {6} \sin \theta_ {6} = \mathrm {T} _ {5} \sin \theta_ {5} - \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right) - \left(\mathrm {G} _ {5} - \mathrm {F} _ {\text {浮 5}}\right) \end{array} \right. \tag {5-12} +$$ + +其中 $\mathrm{G}_{\text {球 }}$ 表示重物球受到的自身重力, $\mathrm{G}_{5}$ 表示钢桶受到的自身重力, $\mathrm{F}_{\text {浮球 }}$ 表示重物球受到的浮力, 可通过公式 $\mathrm{F}_{\text {浮球 }} = \rho_{\text {海水}} g \frac{m_{\text {球 }}}{\rho_{\text {钢}}} \text {求得}, m_{\text {球}}$ 为重力球的质量, $\rho_{\text {钢}}$ 为钢材的密度。 $\mathrm{F}_{\text {浮 } 5}$ 表示钢桶受到的浮力。 + +由于钢桶也是刚性物体，受到多个力的作用，所以需要对钢桶的力矩的平衡性进行分析（如图6所示）： + +![](images/cbbacc4b17608f592c7bfed58ed136b9fcea358d3a95fb027cd33bb0855f36c3.jpg) +图6 钢桶力矩平衡分析示意图 + +由力矩关系定理和钢管力矩平衡分析示意图（图4）知，可分别以节点6和节点5作为参考点，对钢管的力矩进行力矩平衡性分析可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \mathrm {L} _ {5} \mathrm {T} _ {5} \sin \left(\theta_ {5} - \varphi_ {5}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {5} \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right) \cos \varphi_ {5} \\ \mathrm {L} _ {5} \mathrm {T} _ {6} \sin \left(\varphi_ {5} - \theta_ {6}\right) + \mathrm {L} _ {5} \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right) \sin \left(\frac {\pi}{2} - \varphi_ {5}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {5} \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right) \cos \varphi_ {5} \end{array} \right. +$$ + +将公式进行化简，便可得到钢管与海平面夹角 $\varphi_{5}$ 的关系为： + +$$ +\tan \varphi_ {5} = \frac {2 \mathrm {T} _ {5} \sin \theta_ {5} - \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right)}{2 \mathrm {T} _ {5} \cos \theta_ {5}} \tag {5-13} +$$ + +（5）对锚链进行受力分析与力矩平衡分析 + +对于第一节电焊锚链，我们可对其进行受力分析（如图7示）。 + +![](images/4e21cfc6d0cdacd61ec973e8daa705f246a7985e9a62aa3db2328a92ac43f58c.jpg) +图7锚链受力分析示意图 + +由锚链受力分析示意图（图7）所示，第一节锚链所受合力应该为零，即： + +$$ +\vec {\mathrm {T}} _ {6} + \vec {\mathrm {T}} _ {7} + \vec {\mathrm {F}} _ {\text {浮} 6} + \vec {\mathrm {G}} _ {6} = 0 \tag {5-14} +$$ + +对钢桶所受的力按水平、竖直两个方向进行分解，可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {T} _ {7} \cos \theta_ {7} = \mathrm {T} _ {6} \cos \theta_ {6} \\ \mathrm {T} _ {7} \sin \theta_ {7} = \mathrm {T} _ {6} \sin \theta_ {6} - \left(\mathrm {G} _ {6} - F _ {\text {浮} 6}\right) \end{array} \right. \tag {5-15} +$$ + +其中 $G_{6}$ 为第一节电焊锚链所受的重力, $\mathrm{T}_{7}$ 为第二节锚链对第一节锚链的拉力,与水平方向的倾斜角度记为 $\theta_{7}$ 。第一节电焊锚链所受的浮力 $F_{\text {浮 } 6}$ 可通过公式 $F_{\text {浮 } 6} = \rho_{\text {海水}} g \frac{m_{\text {单链}}}{\rho_{\text {钢}}} \text {算得}, m_{\text {单链}}$ 表示单节电焊锚链的质量。 + +由于电焊锚链也是刚性物体，所以电焊锚链所受拉力的方向与电焊锚链所在方向之间存在夹角，故我们可对第一节电焊锚链进行力矩平衡分析（如图7示）： + +![](images/6b35e798a92263af2ee3addfb5b5a1d501bad1590c1ac4035c7b9a8a06618486.jpg) +图8 锚链受力分析示意图 + +由力矩关系定理和钢管力矩平衡分析示意图（图4）知，可分别以节点7和节点6作为参考点，对钢管的力矩进行力矩平衡性分析可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {L} _ {6} \mathrm {T} _ {6} \sin \left(\theta_ {6} - \varphi_ {6}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {6} \left(\mathrm {G} _ {6} - F _ {\text {浮} 6}\right) \cos \varphi_ {6} \\ \mathrm {L} _ {6} \mathrm {T} _ {7} \sin \left(\varphi_ {6} - \theta_ {7}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {6} \left(\mathrm {G} _ {6} - F _ {\text {浮} 6}\right) \cos \varphi_ {6} \end{array} \right. \tag {5-16} +$$ + +其中 $\phi_{6}$ 为电焊锚链与水平面的夹角。 + +对于后面的电焊锚链，可将第一节锚链的分析方式进行推广，故可得每节锚链在水平方向和竖直方向上的受力，即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \cos \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}}, (\mathrm {i} = 6, 7, \dots , \mathrm {n}) \\ \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right), (\mathrm {i} = 6, 7, \dots , \mathrm {n}) \end{array} \right. \tag {5-17} +$$ + +其中 $\mathrm{F}_{\text{浮} \mathrm{i}}(\mathrm{i} = 6,7,\dots ,\mathrm{n})$ 表示第i节钢管在海里所受浮力， $\mathrm{G_i}\big(\mathrm{i} = 6,7,\dots ,\mathrm{n}\big)$ 表示第i节钢管所受重力。 + +对于其他锚链的力矩平衡求解时，也可将第一节锚链的力矩分析进行推广，分别以节点 $i + 1$ 和节点 $i$ 作为参考点，对钢管的力矩进行力矩平衡性分析可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \left(\theta_ {\mathrm {i}} - \varphi_ {\mathrm {i}}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right) \cos \varphi_ {\mathrm {i}}, (\mathrm {i} = 6, 7, \dots , \mathrm {n}) \\ \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \left(\varphi_ {\mathrm {i}} - \theta_ {\mathrm {i} + 1}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right) \cos \varphi_ {\mathrm {i}}, (\mathrm {i} = 6, 7, \dots , \mathrm {n}) \end{array} \right. \tag {5-18} +$$ + +将公式（5-18）进行化简，便可得到钢管与海平面夹角 $\varphi_{\mathrm{i}}(\mathrm{i} = 6,7,\dots ,\mathrm{n})$ 的递推公式： + +$$ +\tan \varphi_ {\mathrm {i}} = \frac {2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right)}{2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}}} \quad , (\mathrm {i} = 1, 2, 3, 4) \tag {5-10} +$$ + +其中 $\mathrm{F}_{\text{浮} \mathrm{i}}(\mathrm{i} = 6,7,\dots ,\mathrm{n})$ 表示第i条锚链在海里所受浮力； $G_{\mathrm{i}}(\mathrm{i} = 6,7,\dots ,\mathrm{n})$ 表示第i条锚链所受重力。 + +因此，可利用各个物体的长度 $L_{i}$ 与各个物体与水平面的夹角 $\phi_{\mathrm{i}}$ 之间的对应关系求得海水深度 $\mathrm{H}$ 与吃水深度 $\mathrm{h}$ 之间的关系为： + +$$ +\mathrm {H} = \sum_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} \sin \varphi_ {\mathrm {i}} + \mathrm {h} \tag {5-11} +$$ + +也可利用各个物体的长度 $L_{i}$ 与各个物体与水平面的夹角 $\varphi_{\mathrm{i}}$ 的对应关系求得浮标的游动半径为： + +$$ +R = \sum_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} \cos \varphi_ {\mathrm {i}} \tag {5-12} +$$ + +将上述的力学分析和和力矩平衡的递推公式进行整理，可得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} {\left\{ \begin{array}{l l} {\mathrm {T} _ {1} \cos \theta_ {1} = 0. 6 2 5 \times \mathrm {D} (2 - \mathrm {h}) \mathrm {v} ^ {2}} \\ {\mathrm {T} _ {1} \sin \theta_ {1} = \rho_ {\text {海 水}} g \pi r ^ {2} h - \mathrm {m} _ {\text {浮 标}} \mathrm {g}} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{l l} {\mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \cos \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}}} \\ {\mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - (\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\mathrm {i}} \text {浮})} & (\mathrm {i} \neq 5) \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{l l} {\mathrm {T} _ {6} \cos \theta_ {6} = \mathrm {T} _ {5} \cos \theta_ {5}} \\ {\mathrm {T} _ {6} \sin \theta_ {6} = \mathrm {T} _ {5} \sin \theta_ {5} - (\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}) - (\mathrm {G} _ {5} - \mathrm {F} _ {\text {浮 5}})} & (\mathrm {i} = 5) \end{array} \right.} \\ {\varphi_ {\mathrm {i}} = \arctan \left(\frac {2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - (\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 i}})}{2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}}}\right), (\mathrm {i} = 1, 2, \dots , \mathrm {n})} \\ {\mathrm {H} = \sum_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} s i n \varphi_ {\mathrm {i}} + h} \\ {\mathrm {R} = \sum_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} c o s \varphi_ {\mathrm {i}}} \end{array} \right. +$$ + +# 5.1.2 模型一的求解 + +根据上述建立的数学模型，利用MATLAB软件编程可得到以吃水深度为自变量与海水深度为因变量间的变化曲线： + +![](images/cbc6a0cf4bf061d5d9b5e174c63733ba986160ca72d865024d504768093b00c5.jpg) +图9 吃水深度与海水深度的变化曲线 + +从吃水深度与海水深度的变化曲线（见图9）可知，海水深度H与浮标的吃水深度h成正相关。浮标吃水深度越深，对应的海水深度就越深。 + +由于浮标的吃水深度未知，所以在计算时，可将浮标吃水深度h作为搜索变量，利用上述模型中的关系式，计算出海水深度为 $18\mathrm{m}$ 时，钢桶和各个钢桶之间的倾斜角度、浮标的吃水深度及游动区域，结果如下表所示： + +表 1 不同风速下各种指标的结果统计表 + +
风速(m/s)1224
1~4节钢管与海平面竖直方向夹角(度)1.20644.5360
1.20644.5836
1.21484.6141
1.22334.6450
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)1.23194.6763
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)04.8300
浮标的吃水深度(m)0.67150.6857
浮标的游动半径(m)(以锚所在位置为圆心)14.655217.7614
+ +从不同风速下各种指标的结果统计表（表1）可知，在风速为 $12\mathrm{m / s}$ 时，四节钢管与竖直方向的夹角依次为 $1.2064^{\circ}$ 、 $1.2064^{\circ}$ 、 $1.2148^{\circ}$ 、 $1.2233^{\circ}$ ；钢桶与竖直方向上的夹角为1.2319度。钢桶几乎处于垂直状态，说明通讯设备的工作状态良好。而最后一条锚链与海平面的夹角为0度，说明此时的锚链有一部分平铺在海床上。浮标的吃水深度和游动半径分别为 $0.6715\mathrm{m}$ 、 $14.6552\mathrm{m}$ 。 + +在海面风速为 $24\mathrm{m / s}$ 时，四节钢管与竖直方向的夹角依次为 $4.5360^{\circ}$ 、 $4.5836^{\circ}$ 、 $4.6141^{\circ}$ 、 $4.6450^{\circ}$ ；钢桶与竖直方向上的夹角为 $4.6763^{\circ}$ ；此时钢桶的倾斜角度接近 $5^{\circ}$ ，由于钢桶的倾斜角度超过 $5^{\circ}$ 时，设备的工作效率较差，若风速继续增大，钢桶与竖直方向的夹角会超 $5^{\circ}$ 。这个过临界值，对通讯设备的工作效率造成很大的影响。而最后一条锚链与海平面水平方向夹角为 $4.8300$ 度，说明此时的锚链被完全拉起。浮标的吃水深度和游动半径分别为 $0.6857\mathrm{m}$ 、 $17.7614\mathrm{m}$ 。 + +对于锚链的形状，可根据各节锚链的长度与锚链倾斜角度进行求解，借用MATLAB软件解得海面风速在 $12\mathrm{m / s}$ 和 $24\mathrm{m / s}$ 时的锚链形状图（如下图所示）。 + +![](images/83fefabc96943b9acd2c2d495a91a7d0c7b1482edcdee81bc504718bfdeb3336.jpg) +图10 风速 $12\mathrm{m / s}$ 时锚链的形状 + +![](images/4e2e32d2a1e70bd355fe4793c0b4435b17d742b30d5ea6a414e36d4f68cc6989.jpg) +图11 风速 $24\mathrm{m / s}$ 时锚链的形状 + +通过图9和图10的链条形状，我们可以清晰的看出，海面风速为 $12\mathrm{m / s}$ 时，有一部分锚链平铺在海床上；海面风速为 $24\mathrm{m / s}$ 时，锚链全部被拉起，不存在锚链平铺海床的情况。 + +# 5.2 模型二的建立与求解 + +# 5.2.1 模型二的建立 + +(1)求解风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时各参数的值 + +要求在问题1的假设下，计算海面风速为 $36\mathrm{m / s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度，链条形状和浮标的游动区域。对此，可继续使用问题1中的数学模型，以重物球的质量为搜索变量，钢桶的倾斜角度小于 $5^{\circ}$ 和最后一节锚链的锚链与海床的夹角小于 $16^{\circ}$ 为约束条件，采用二分法对海水深度 $18\mathrm{m}$ 进行逼近，得到的重物球的质量即所需的最小质量。 + +对于此问题，可直接利用问题一中建立的模型（5-13）便可计算海面风为 + +$$ +\left\{ \right.\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l l}{\mathrm {T} _ {1} \cos \theta_ {1} = 0. 6 2 5 \times \mathrm {D} (2 - \mathrm {h}) \mathrm {v} ^ {2}}\\{\mathrm {T} _ {1} \sin \theta_ {1} = \rho_ {\text {海 水}} g \pi r ^ {2} h - \mathrm {m} _ {\text {浮 标}} \mathrm {g}}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l l}{\mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \cos \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}}}\\{\mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - (\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\mathrm {i} \text {浮}})}&{\quad (\mathrm {i} \neq 5)}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{l l}{\mathrm {T} _ {6} \cos \theta_ {6} = \mathrm {T} _ {5} \cos \theta_ {5}}\\{\mathrm {T} _ {6} \sin \theta_ {6} = \mathrm {T} _ {5} \sin \theta_ {5} - (\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}) - (\mathrm {G} _ {5} - \mathrm {F} _ {\text {浮 5}})}&{\quad (\mathrm {i} = 5)}\end{array}\right.}\\{\tan \varphi_ {\mathrm {i}} = \frac {2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - (\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 i}})}{2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}}} (\mathrm {i} = 1, 2, \dots , \mathrm {n})}\\{\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad }\\{\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad H = 2 ^ {n} L _ {i} s i n q _ {\mathrm {i}} + h}\\{\quad R = 2 ^ {n} L _ {i} c o s q _ {\mathrm {i}}}\\{\quad ,}&{}\end{array} +$$ + +$36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时，钢桶和各节钢管的倾斜角度，链条形状以及浮标的游动区域。 + +# （2）求满足设计要求的最小重物球质量的模型 + +通过问题1的求解结果可知，在海面风速为 $24\mathrm{m / s}$ 时，钢桶与竖直方向上的夹角为 $4.6763^{\circ}$ ；与钢桶的倾斜角度的临界值 $5^{\circ}$ 很接近，若风速继续增大，对通讯设备的工作效率造成很大的影响，因此海面风速达到 $36\mathrm{m / s}$ 时，钢桶的倾斜角度和最后一节锚链与海床的夹角不满足约束条件，因此，需改变重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度与最后一节锚链的锚链与海床的夹角满足约束条件。 + +$$ +\mathrm {M i n} \quad m _ {\text {球}} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s t .} \left\{ \begin{array}{l} \left\{\mathrm {T} _ {1} \cos \theta_ {1} = 0. 6 2 5 \times \mathrm {D} (2 - \mathrm {h}) \mathrm {v} ^ {2} \right. \\ \left\{\mathrm {T} _ {1} \sin \theta_ {1} = \rho_ {\text {海 水}} g \pi r ^ {2} h - \mathrm {m} _ {\text {浮 标}} \mathrm {g} \right. \\ \left\{\mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \cos \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}} \right. \\ \left\{\mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \theta_ {\mathrm {i} + 1} = \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\mathrm {i} \text {浮}}\right) \right. & (\mathrm {i} \neq 5) \\ \left\{\mathrm {T} _ {6} \cos \theta_ {6} = \mathrm {T} _ {5} \cos \theta_ {5} \right. \\ \left\{\mathrm {T} _ {6} \sin \theta_ {6} = \mathrm {T} _ {5} \sin \theta_ {5} - \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right) - \left(\mathrm {G} _ {5} - \mathrm {F} _ {\text {浮 5}}\right) \right. & (\mathrm {i} = 5) \\ \tan \varphi_ {\mathrm {i}} = \frac {2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \sin \theta_ {\mathrm {i}} - \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 i}}\right)}{2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i}} \cos \theta_ {\mathrm {i}}} (\mathrm {i} = 1, 2, \dots , n) \\ \mathrm {H} = \sum_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} \sin \varphi_ {\mathrm {i}} + h \\ R = \sum_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} c o s \varphi_ {\mathrm {i}} \\ \varphi_ {2 1 5} \leq 1 6 ^ {\circ} \\ 9 0 ^ {\circ} - \varphi_ {5} \leq 5 ^ {\circ} \end{array} \right. +$$ + +# (3) 求满足设计要求的最小重物球质量 + +对此，以重物球的质量为搜索变量，钢桶的倾斜角度小于 $5^{\circ}$ 和最后一节锚 + +链的锚链与海床的夹角小于 $16^{\circ}$ 为约束条件，采用二分法对海水深度 $18 \mathrm{~m}$ 进行逼近，得到的重物球的质量即所需的最小质量，其具体步骤如下： + +a、先人工确定出重物球质量的大致范围，再在该范围内以小步长遍历重物球质量m； +b、选取浮标吃水深度的区间。以恰好提起所有重物时的浮标吃水深度为左区间，以浮标高度为右区间[ha, hb]。 +c、利用海水深度 H 与吃水深度 h 之间的关系式（5-11）可以求得上述浮标吃水深度的区间所对应海水深度的区间[Ha, Hb]; +d、利用二分法对海水深度 $18 \mathrm{~m}$ 进行逼近, 求满足钢桶的倾斜角度 $\psi_{5}<5^{\circ}$ 、最后一节锚链与海平面的夹角 $\varphi_{215}<16^{\circ}$ 和海水深度Hc满足 $\left|\mathrm{Hc}-18\right|<$ eps件的浮标吃水深度和重物球的质量, 具体流程见二分法的步骤见图 (图 12); +e、记录满足约束条件的浮标吃水深度和重物球的质量。 + +![](images/37b03e7739a579cf52a24adc7184382dd5a8fa907bcfc56957ad9460d8c2d4a1.jpg) +图12二分法流程示意图 + +# 5.2.2 模型二的求解 + +运用问题1中的数学模型，利用MATLAB软件求解出海面风速为 $36\mathrm{m / s}$ 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、链条形状和浮标的游动区域，其结果详见下表： + +表 2 风速为 ${36}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ 时各种指标的统计表 + +
风速(m/s)36
重物球质量(kg)1200
1~4节钢管与海平面竖直方向夹角(度)9.4814
9.4814
9.5399
9.5992
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)9.6592
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)20.9997
浮标的吃水深度(m)0.7086
浮标的游动半径(m)(以锚所在位置为圆心)18.8546
+ +由风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时各种指标的统计表（表2）可知，风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时钢桶的倾斜角度为 $9.6592^{\circ}$ ，最后一条锚链与海平面的夹角为 $20.9997^{\circ}$ ，说明此时锚链容易被拖行，通讯设备的工作效果受到严重影响。因此，需要调节重物球的质量，使得钢桶倾角和最后一节锚链与海床的夹角满足要求。若锚链被拖行，浮标的游动半径会比求解出的游动半径要大。 + +确定重物球质量时，以重物球的质量为搜索变量，钢桶的倾斜角度小于 $5^{\circ}$ 和最后一节锚链的锚链与海床的夹角小于 $16^{\circ}$ 为约束条件，采用二分法对海水深度 $18\mathrm{m}$ 进行逼近，得到的重物球的质量即所需的最小质量。借用MATLAB软件解得满足要求的结果，如下表所示： + +表 3 调节质量后的各种指标统计结果 + +
风速(m/s)36
重物球质量(kg)2280
1~4节钢管与海平面 竖直方向夹角(度)4.4244
4.4244
4.4407
4.4572
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)4.4737
最后一条锚链与海平面水平方向夹角 (度)15.9748
浮标的吃水深度(m)0.9848
浮标的游动半径(m) (以锚所在位置为圆心)18.4906
+ +由调节质量后的各种指标统计结果（表3）可知，当重物球的质量增加到 $2280\mathrm{kg}$ 时，系统满足约束条件，此时钢桶与竖直方向夹角为 $4.4737^{\circ}$ ，最后一条锚链与海平面水平方向夹角 $15.9748^{\circ}$ ，浮标的吃水深度和游动半径分别为 + +0.9848m、18.4906，为了让通讯设备拥有更好的工作效果，可将中午球的质量适当增大。 + +# 5.3模型三的建立与求解 + +# 5.3.1 模型三的建立 + +针对此问题，需要先对系泊系统进行设计，而系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。因此，可以在问题2的基础上，通过控制单一变量的方式，对锚链型号、长度和重物球的质量与吃水深度、游动区域及钢桶的倾斜角度间的关系进行分析，以吃水深度、游动范围尽量小，钢桶的倾斜角度小于 $5^{\circ}$ 和最后一节锚链的锚链与海床的夹角小于 $16^{\circ}$ 的选取原则，便可确定锚链的型号。以锚链长度和重物球质量为搜索变量，利用遍历法，对满足最大水流速度和风速指标，水深 $16\mathrm{m}$ 时的钢桶角度和 $20\mathrm{m}$ 时的最后一节锚链与水平方向的夹角为约束的重力球质量与锚链长度进行求解。利用模型一便可的到不同情况下的各种参数。由于存在水流力的影响，需要对模型一进行修正。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} {\left\{ \begin{array}{c} {\mathrm {T _ {1}} \mathrm {c o s} \theta_ {1} = 0. 6 2 5 \mathrm {D} (2 - \mathrm {h}) \mathrm {v} ^ {2} + 3 7 4 \mathrm {D h v} ^ {2}} \\ {\mathrm {T _ {1}} \mathrm {s i n} \theta_ {1} = \rho_ {\text {海 水}} g \pi r ^ {2} h - \mathrm {m} _ {\text {浮 标}} \mathrm {g}} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{l} {\mathrm {T _ {i + 1}} \mathrm {c o s} \theta_ {\mathrm {i + 1}} = \mathrm {T _ {i}} \mathrm {c o s} \theta_ {\mathrm {i}} + \overrightarrow {\mathrm {F}} _ {\text {水} \mathrm {i}}} \\ {\mathrm {T _ {i + 1}} \mathrm {s i n} \theta_ {\mathrm {i + 1}} = \mathrm {T _ {i}} \mathrm {s i n} \theta_ {\mathrm {i}} - \left(\mathrm {G _ {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right)} \end{array} \right. (\mathrm {i} \neq 5)} \\ {\left\{ \begin{array}{l} {\mathrm {T _ {6}} \mathrm {c o s} \theta_ {6} = \mathrm {T _ {5}} \mathrm {c o s} \theta_ {5} + \mathrm {F} _ {\text {水} 5} + \mathrm {F} _ {\text {水 球}}} \\ {\mathrm {T _ {6}} \mathrm {s i n} \theta_ {6} = \mathrm {T _ {5}} \mathrm {s i n} \theta_ {5} - \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right) - \left(\mathrm {G} _ {5} - \mathrm {F} _ {\text {浮} 5}\right)} \end{array} \right. (\mathrm {i} = 5)} \\ {\varphi_ {\mathrm {i}} = \arctan \left(\frac {{} ^ {2} \mathrm {T _ {i}} \mathrm {s i n} \theta_ {\mathrm {i}} - (\mathrm {G _ {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}})}{{} ^ {2} \mathrm {T _ {i}} \mathrm {c o s} \theta_ {\mathrm {i}}}\right) (\mathrm {i} = 1, 2, \dots , \mathrm {n})} \\ {\mathrm {H} = \sum_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} \sin \varphi_ {\mathrm {i}} + \mathrm {h}} \\ {\mathrm {R} = \sum_ {i = 1} ^ {n} L _ {i} c o s \varphi_ {\mathrm {i}}} \\ {1 6 \leq H \leq 2 0} \\ {\varphi_ {\mathrm {n}} \leq 1 6 ^ {\circ}} \\ {9 0 - \varphi_ {5} \leq 5 ^ {\circ}} \end{array} \right. +$$ + +# 5.3.2 模型三的求解 + +# （1）锚链型号对评价指标的影响分析 + +由题目所给可得锚链型号I~V中每节链环的长度，在模型一和模型二的条件下，假设其他变量分别为固定值，即海水深度 $H = 18 \mathrm{~m}$ 、锚链总长 $L = 22.05 \mathrm{~m}$ 、风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 、重物球质量为 $1200 \mathrm{~kg}$ 、海水静止或水流速度为 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ；根据下述公式可以求得各个锚链型号对应锚链节数 $t$ ，具体数据见下表： + +$$ +t = \frac {L}{1} \tag {5-20} +$$ + +其中l表示一节锚链的长度。 + +表 4 各锚链型号对应锚链节数 + +
锚链型号ⅠⅡⅢⅣⅤ
每节锚链长度(m)0.0780.1050.1200.1500.180
锚链节数（节）283210184147123
+ +①海水静止时锚链型号对评价指标的影响 + +表 5 海水静止时锚链型号与参数的间的关系 + +
锚链型号IIIIIIIVV
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)9.86859.48738.95608.26237.5554
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)28.453421.26759.720600
浮标的吃水深度(m)0.70330.71500.73300.75900.7890
浮标的游动区域的半径(m)(以锚对应海平面上的位置为圆心的圆)19.013318.785618.437217.543616.8132
+ +② 海水流速为 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时锚链型号对评价指标的影响 + +表 6 海水流速与锚链型号间的关系 + +
锚链型号IIIIIIIVV
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)14.229813.828513.308512.647411.8907
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)30.599326.901221.359515.13837.6743
浮标的吃水深度(m)0.74600.75900.77700.80200.8340
浮标的游动区域的半径(m)(以锚对应海平面上的位置为圆心的圆)19.387219.278219.209518.900618.5765
+ +从表 可得各个锚链型号满足题目中要求浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小的条件，在海水静止时各个型号锚链对钢桶与海平面竖直方向夹角的作用几乎可以看做相同，因此海水流速为 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时首先将选用浮标的游动区域最小的锚链型号，即V号锚链，并在该型号锚链下判断条件：①钢桶与海平面竖直方向夹角小于5度；②最后一条锚链与海平面水平方向夹角小于16度。通过MATLAB编程结果并进行优化后可得V号锚链满足上述判断条件，则V号锚链为对评价指标最优的锚链。 + +# （2）链条节数对评价指标的影响分析 + +若要分析链条节数对评价指标的影响，可以给定等跨度为50的3个链条节数210、260、310，在模型二的条件下，假设其他变量分别为固定值，即II号锚链（总长度未知）、海水深度 $\mathrm{H} = 18 \mathrm{~m}$ 、重物球质量为 $2280 \mathrm{~kg}$ 、水流速度为 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 、风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ；可以得到不同链条节数对评价指标的影响，具体数据见下表： + +表 7 不同链条节数与各参数间的关系 + +
链条节数210260310
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)8.46828.66438.7477
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)25.829016.462210.0252
浮标的吃水深度(m)1.05001.03301.0260
浮标的游动区域的半径(m)(以锚对应海平面上的位置为圆心的圆)19.092725.074530.6716
+ +分析表格中的数据可得在控制其他变量的情况下，链条节数即锚链总长度逐渐增大时会满足最后一条锚链与海平面水平方向夹角小于16度的条件；链条节数即锚链总长度逐渐减少时会满足钢桶与海平面竖直方向夹角小于5度的条件；因此需选取同时满足这两个约束条件的链条节数。 + +# (3) 风速与水流速对评价指标的影响分析 + +# A、风速对评价指标的影响分析 + +由题目所给可得风速分别为 $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 、 24 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 、 36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 在模型一和模型二的条件下, 假设其他变量分别为固定值, 即 II 号锚链、海水深度 $\mathrm{H} = 18 \mathrm{~m}$ 、锚链总长 $\mathrm{L} = 22.05 \mathrm{~m}$ 、重物球质量为 $1200 \mathrm{~kg}$ 、海水静止; 可以得到不同风速下对评价指标的影响, 具体数据见下表: + +表 8 不同风速对各指标的影响 + +
风速(m/s)122436
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)1.20754.58989.4873
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)05.128221.2675
浮标的吃水深度(m)0.67800.69200.7150
浮标的游动区域的半径(m)(以锚对应海平面上的位置为圆心的圆)14.493117.697418.7856
+ +分析表格中的数据可得在风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 该风速对评价指标表示的能力最差,也就是说在该风速的情况下对满足钢桶与海平面竖直方向夹角小于 5 度和最后一条锚链与海平面水平方向夹角小于 16 度的条件更加严格, 因此只要在该风速下满足条件, 则对于其他风速均满足。 + +# B、水流速对评价指标的影响分析 + +由题目所给可得水流速度最大为 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , 在模型二的条件下海水静止, 假设其他变量分别为固定值, 即 II 号锚链、海水深度 $\mathrm{H} = 18 \mathrm{~m}$ 、锚链总长 $\mathrm{L} = 22.05 \mathrm{~m}$ 、重物球质量为 $2280 \mathrm{~kg}$ 、风速为 $36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ; 可以得到不同水流速度下对评价指标的影响, 具体数据见下表: + +表 9 水流速度对各参数的影响 + +
水流速度(m/s)01.5
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)4.37368.4682
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)15.261825.8290
浮标的吃水深度(m)0.99501.0500
浮标的游动区域的半径(m)(以锚对应海平面上的位置为圆心的圆)18.557219.0927
+ +分析表格中的数据可得在水流速度为 $1.5\mathrm{m / s}$ ，该风速对评价指标表示的能力最差，也就是说在该风速的情况下对满足钢桶与海平面竖直方向夹角小于5度和最后一条锚链与海平面水平方向夹角小于16度的条件更加严格，因此只要在该风速下满足条件，则对于其他水流速度均满足。 + +# (4)重物球质量对评价指标的影响分析 + +若要分析重物球质量对评价指标的影响，可以给定等跨度为1000的4个重物球质量 $1280(\mathrm{kg})$ 、 $2280(\mathrm{kg})$ 、 $3280(\mathrm{kg})$ 、 $4280(\mathrm{kg})$ ，在模型二的条件下，假设其他变量分别为固定值，即II号锚链、锚链总长 $\mathrm{L} = 22.05\mathrm{m}$ 、海水深度 $\mathrm{H} = 18\mathrm{m}$ 、水流速度为 $1.5\mathrm{m / s}$ 、风速为 $36\mathrm{m / s}$ ；可以得到不同重物球质量对评价指标的影响，具体数据见下表： + +表 10 重物球质量与各参数间的关系 + +
重物球质量(kg)1280228032804280
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)13.22568.46826.23994.9439
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)26.634325.829024.868724.3071
浮标的吃水深度(m)0.78001.05001.31901.5890
浮标的游动区域的半径(m)(以锚对应海平面上的位置为圆心的圆)19.284619.092719.125819.1552
+ +分析表格中的数据可得在控制其他变量的情况下，重物球质量逐渐增大时会满足钢桶与海平面竖直方向夹角小于5度和最后一条锚链与海平面水平方向夹角小于16度的条件。 + +# （5）海水深度对评价指标的影响分析 + +在上面分析中已经求出固定参考值为V号锚链、水流速度为1.5m/s、风速为36m/s，由题目所给可得布放海域的实测水深介于 $16\mathrm{~m} \sim 20\mathrm{~m}$ 之间，分别以布放海域的实测水深的两个边界水深进行分析。在水深为16m只需钢桶满足钢桶与海平面竖直方向夹角小于5度的条件，则水深时同样满足；在水深为20m只需满足最后一条锚链与海平面水平方向夹角小于16度的条件，则水浅时同样满 + +足。 + +从前面问题的分析可得，已选定锚链型号、风速、水流速度，因此这里的海水深度只与锚链节数和重物球的质量有关。因此按照增加链条节数和重物球质量的方法，满足判断条件：①钢桶与海平面竖直方向夹角小于5度；②最后一条锚链与海平面水平方向夹角小于16度。并且题目中要求使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。以水深为 $\mathrm{H} = 16\mathrm{m}$ 为例，具体步骤如下： + +a 计算锚链初始节数k，即满足浮标位置为锚在海平面上的对应位置时所需锚链的节数，从下图中可得，锚链初始节数k的计算公式： + +$$ +\mathrm {k} = \frac {\mathrm {H} - 4 \mathrm {L} _ {1} - \mathrm {L} _ {2}}{\mathrm {l} _ {1}} \tag {5-14} +$$ + +其中 $\mathrm{L}_{1}$ 表示每节钢管的长度; $\mathrm{L}_{2}$ 表示钢桶高度; $\mathrm{l}_{1}$ 表示 号一条锚链的长度。 + +b 在锚链初始节数k上依次增加链条节数，同时判断上述约束条件①、②是否满足。若条件满足则进入下一步；若条件不满足则重复步骤（2），直至满足条件进入下一步停止； +c 在步骤（2）中得到增加后的链条节数，保证该链条节数不变，在重物球初始质量（模型二中调节后的质量）上增加质量，同时判断上述约束条件①、②是否满足。若条件满足则进入下一步；若条件不满足则重复步骤（3），直至满足条件进入下一步停止； +d 在步骤（3）中得到增加后的重物球质量，保证该重物球质量不变，在步骤（2）中得到增加后的链条节数上依次减去链条节数，同时判断上述约束条件①、②是否满足。若条件不满足则直接停止，记录此时的链条节数和重物球质量；若条件满足则重复步骤（4），直至不满足条件停止； + +最终记录的链条节数和重物球质量，作为在水深为 $\mathrm{H} = 16 \mathrm{~m}$ 时既满足约束条件①、②，同时又满足题目要求使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。同理可以将该步骤应用于计算水深为 $\mathrm{H} = 20 \mathrm{~m}$ 中，利用MATLAB编程计算得到满足要求链条节数和重物球质量。具体数据见下表： + +表 11 海水深度与各参数间的关系 + +
海水深度(m)1620
重物球质量(kg)38803880
链条节数121121
1~4节钢管与海平面竖直方向夹角(度)4.67844.7594
4.67844.7594
4.79294.8283
4.90324.8974
钢桶与海平面竖直方向夹角(度)4.94884.9668
最后一条锚链与海平面水平方向夹角(度)015.4390
浮标的吃水深度(m)1.53301.5830
浮标的游动区域的半径(m)(以锚对应海平面上的位置为圆心的圆)19.156616.9056
+ +通过 MATLAB 作图画出海水深度为 $16 \mathrm{~m}$ 和 $20 \mathrm{~m}$ 时的锚链形状图，如图和图所示： + +![](images/4d824ec33520a442eee37834b015b87e97f8b5681ec4dfc448d9632f5bf9a118.jpg) +图13水深16米锚链形状 + +![](images/1db063f3b9c56244eb291642b224dc313c3d159fae0b1543dfad7d14ae004fa0.jpg) +图14 水深20米锚链形状 + +![](images/09de76d2086773c9d304cc468c1d36436fa994d6ba1aa39d44460fbc1316fde6.jpg) +图15锚链形状 + +通过观察此图，可得知海深的长度的增加会导致，锚链平躺数量会增加，导致角度的降低，所以往后的图线会越来越接近于海床面。并且在同等长度的锚链，越接近于 $0^{\circ}$ ，那么对应的海深会越小，或者是在钢桶处悬挂的重物球越重。 + +# 六、模型检验 + +# 1、对模型一、二力矩平衡关系的检验 + +同模型一中对力矩平衡关系的分析，对于钢管的力矩平衡关系，在这里以第i个节点作为参考点时，则满足下面的力矩平衡关系式： + +$$ +\mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \left(\varphi_ {\mathrm {i}} - \theta_ {\mathrm {i} + 1}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {\mathrm {i}} \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right) \cos \varphi_ {\mathrm {i}} (\mathrm {i} = 1, 2, 3, 4) \tag {5-20} +$$ + +通过式（5-20）可得钢管与海平面夹角 $\varphi_{\mathrm{i}}(\mathrm{i} = 1,2,3,4)$ 的递推公式： + +$$ +\tan \varphi_ {\mathrm {i}} = \frac {2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \theta_ {\mathrm {i} + 1} + \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right)}{2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \cos \theta_ {\mathrm {i} + 1}} (\mathrm {i} = 1, 2, 3, 4) \tag {5-21} +$$ + +对于钢桶的力矩平衡关系，以节点1作为参考点，对力矩分析可得： + +$$ +\mathrm {L} _ {5} \mathrm {T} _ {6} \sin \left(\varphi_ {5} - \theta_ {6}\right) + \mathrm {L} _ {5} \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right) \sin \left(\frac {\pi}{2} - \varphi_ {5}\right) = \frac {1}{2} \mathrm {L} _ {5} \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right) \cos \varphi_ {5} \tag {5-21} +$$ + +通过式（5-20）可得钢桶与海平面夹角 $\varphi_{5}$ 的递推公式： + +$$ +\tan \varphi_ {5} = \frac {2 \mathrm {T} _ {6} \sin \theta_ {6} - \left(\mathrm {G} _ {\text {球}} - \mathrm {F} _ {\text {浮 球}}\right)}{2 \mathrm {T} _ {6} \cos \theta_ {6}} \tag {5-21} +$$ + +从模型一、二可得对于锚链的力矩平衡关系和钢管的力矩平衡关系可以经过递推得到锚链与海平面夹角 $\varphi_{\mathrm{i}} (\mathrm{i} = 6,7,\dots ,\mathrm{n})$ 的递推公式: + +$$ +\tan \varphi_ {\mathrm {i}} = \frac {2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \sin \theta_ {\mathrm {i} + 1} + \left(\mathrm {G} _ {\mathrm {i}} - \mathrm {F} _ {\text {浮} \mathrm {i}}\right)}{2 \mathrm {T} _ {\mathrm {i} + 1} \cos \theta_ {\mathrm {i} + 1}} (\mathrm {i} = 6, 7, \dots , \mathrm {n}) \tag {5-21} +$$ + +分析对于锚链与海平面夹角 $\phi_{\mathrm{i}}$ ，在以第i个节点作为参考点和第i+1个节点作为参考点时得到的递推公式相同，因此模型一、二中采用以下一个节点作为参考点分析得到的力矩平衡关系成立。 + +2、对模型三布放海域的实测水深介于 $16 \mathrm{~m} \sim 20 \mathrm{~m}$ 之间对钢桶与海平面竖直方向夹角和最后一节锚链与海平面水平方向夹角的检验 + +在模型三中，对于布放海域的实测水深的左右临界值，分别将两个临界值作为钢桶与海平面竖直方向夹角的水深计算值和最后一节锚链与海平面水平方向夹角的水深计算值，采用模型三中的优化模型，计算布放海域的实测水深介于 $16\mathrm{m}\sim 20\mathrm{m}$ 之间时对应的钢桶倾角和最后一节锚链与海床夹角，利用MATLAB绘制海水深度与钢桶倾角和最后一节锚链与海床上的夹角的曲线 + +![](images/5717e9250dd9c9f173e482693189b212e07a345fb07a531b6928c07628d6b24a.jpg) + +从图中可得布放海域的实测水深介于 $16\mathrm{m}\sim 20\mathrm{m}$ 之间时，钢桶在水平方向上的夹角均满足小于85度；最后一节锚链与海床上的夹角均满足小于16度。因此对于模型三中选定边界计算的方法完全适用。 + +3、对模型三选用V号锚链的检验 + +在模型三中，对于V号锚链的选取，判断选取的准确性。采用模型三中的优化模型，计算II号锚链和V号锚链对应的钢桶倾角和最后一节锚链与海床夹角，利用MATLAB绘制II号锚链和V号锚链与钢桶倾角和最后一节锚链在海床上的夹角的曲线，如下图： + +![](images/db6155b4f2f81094fcf9dd15ffa8eafbb451ce16569317e80f339d92dbf8ab0e.jpg) + +从图中可得布放海域的实测水深介于 $16 \mathrm{~m} \sim 20 \mathrm{~m}$ 之间时，对于II号锚链和V号锚链的钢桶倾角的变化曲线几乎重合，因此只分析II号锚链和V号锚链对最后一节锚链与海床上的夹角范围，从上图中可得V号锚链中最后一节锚链与海床上的夹角均满足小于16度，因此选用V号锚链更为准确。 + +# 七、模型的评价与改进 + +# 7.1模型优点 + +1、在所有模型中均先以下一个节点作为参考点对上一个节点进行受力分析和力矩平衡分析，得到递推公式，便于推广，整理及计算。 +2、模型中采用了控制变量法，准确且快速的分析出某两个变量之间的关系，算法思想简单易懂，模型运算效率较高且推广性较强。 +3、模型结果较优且和曲线的结果吻合得较好。 + +# 7.2 模型缺点 + +1、模型中只考虑理想状态下浮标处于平浮情况下的受力，并没有结合实际情况，考虑浮标会在一定的风速下会产生。 +2、模型中只考虑了风力方向与海水力方向相同的情况，并没有结合实际环境考虑风力方向与海水力方向可能相反或存在夹角。 + +# 7.3 模型改进 + +针对模型缺点一，在问题中的求解中，只考虑了浮标处于平浮情况下的受力。在实际环境下，海面风力与海水力对浮标均有影响，模型在改进时，可将浮标受到风力和海水力影响产生的偏转角度考虑在内，对浮标受到风力和海水力重新进行受力分析和力矩平衡分析，在进行求解得到更加准确地答案。 + +针对模型缺点二，仅考虑了风力方向与海水力方向相同的情况，然而风力方 + +向与海水力方向不可能时时相同。因此，模型改进的时候还应考虑到风力方向与海水力方向相反或存在夹角的情况，对浮标受到风力和海水力重新进行受力分析和力矩平衡分析，在进行求解得到更加准确地答案。 + +# 八、模型推广 + +可将系泊系统中的重物球改为储油罐，作为原油开采的中转站，供运输船系泊和装卸原油，使其充分发挥经济运输的优越性；也可以在技术上和经济上不宜铺设海底管道的区域，用此系泊系统代替输油、输水、供电及通讯的管道；将系泊系统向深海推进，增强海洋资源的综合利用和开发。另外，可将该系泊系统用于保护我国的海洋利益和海洋安全。 + +# 参考文献 + +[1] 司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用.北京:国防工业出版社,2011.8. +[2]温宝贵,悬链线特性分析[J].中国海上油气(工程),1993年02期. +[3] 齐民友,经典力学的数学方法.高等教育出版社,2016.1. +[4] 刘浩,韩晶.MATLAB2014a 完全自学一本通.北京:电子工业出版社,2015.1. +[5] 刘延柱,刚体动力学理论与应用.上海交通大学出版社,2006.8. +[6] 吴建国,数学建模案例精编.北京:中国水利水电出版社,2005.1. + +# 附录 + +附录一 问题一程序 +```matlab +clear,clc +zhunzhongli1=[]； +cd=[0.078 0.105 0.12 0.15 0.18];%锚链长度 +zl=[3.2,7,12.5,19.5,28.12];%锚链单位长度质量 +m=[1000 10 10 10 10 100]; +mm1=1200;%重物球的质量 +for j=1:(22.05/0.105) + m1=7*0.105; + m=[m,m1]; +end +l=[1,1,1,1,1]; +for jj=1:(22.05/0.105) + l=[1,0.105]; +end +g=9.80665; +for i=1:length(m) + if i==1 + zhunzhongli=m(i)*g; + zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli]; + elseif i<=5&&i>=2 + v1=0.025^2*pi*1;%钢管体积 + zhunzhongli=-1025*g*v1+m(i)*g;%重力加速度 g=9.8 + zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli]; +elseif i==6 + v2=0.15^2*pi*1; + zhunzhongli=-1025*g*v2+m(i)*g; + zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli]; +elseif i>=7 + zl=7*0.105; + v3=z1./7850; + zhunzhongli=-1025*g*v3+m(i)*g; + zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli]; +``` + +end +end +theta $\equiv$ []； +theta3 $= \{\}$ +k=1; +phy1 $= \{\}$ ： +v=36; +ro=1025; +ii=1000/(ro*pi); +wz $\equiv$ []； +aa2 $= \{\}$ ： +fx $\equiv$ []； +fy $\equiv$ []； +h2 $= \{\}$ ： +t1 $= \{\}$ ： +T1 $= \{\}$ ： +theta1 $= \{\}$ ： +theta $= \{\}$ ： +f111 $= \{\}$ ： +fyy $= \{\}$ ： +h3=[0.3:0.0001:0.8]； +for h=h3 + phy=zeros(1,215)； + fyy $\equiv$ []； + aa1 $= \{\}$ ： + h1 $= \{\}$ ： + h2 $= \{\}$ ： + fuli=ffuli(g,h)； + fengli=ffengli(v,h);%v指风速 + fx(1)=fengli; + fy(1)=fuli-zhunzhongli1(1)； + phy(1)=atan((2*fy(1))-zhunzhongli1(2))/fx(1)/2)； + for j=2:215 + if j==6 + +$\mathrm{vz} = \mathrm{mml} / 7085$ +f11=-1025*vz*g+mm1*g; +fy(6)=fy(5)-zhunzhongli1(5)-f11; +fx(6)=fx(5);phy(j)=atan((2*fy(j-1))-zhunzhongli1(j))/(fx(j-1)*2));else +fy(j)=fy(j-1)-zhunzhongli1(j);%准重力的编号从浮标开始为1fx(j)=fx(j-1);phy(j)=atan((2*fy(j-1))-zhunzhongli1(j))/(fx(j-1)*2));endiffy(j)<0breakend +end +fl11{k}=fy;phyl{k}=phy;h1=sin(phy).*1H(k)=sum(h1)+h;k=k+1;phy=[]； +end[h_min,u]=min(abs(18-H(:)))cshd=0.3+u*0.0001;jd=phyl{u};yy=0;xx=0;xx1=[]；yy1=[]；yfx=sin(phyl{u}).\*1;xfx=cos(phyl{u}).\*1;fori=length(yfx):-1:6yy=yy+yfx(i);yy1=[yy1,yy];xx=xx+xfx(i); + +$\mathrm{xx1} = [\mathrm{xx1},\mathrm{xx}]$ +end +plot(xx1,yy1) +xlabel('x轴') +ylabel('y轴') +title('风速 $36\mathrm{m / s}$ 时锚链形状') +R=sum(cos(jd).*l); +调用风力函数 +function[fengli]=ffengli(v,h) +s=(2-h)*2; +fengli=0.625*s*v.*v; +end +调用浮力函数 +function[fuli ro]=ffuli(g,h) +ro=1025; +r=1; +vpai=pi*r*r*h; +fuli=ro*g*vpai; +end + +# 附录二 问题二程序 + +```matlab +clear,clc +q=2;%对应的型号 +v=36;%风速 +eps=0.0001;%设定误差 +eps1=0.01; +g=9.80665;%重力加速 +hs=18;%海水的深度 +ha=0.3; +hb=2; +l=[1,1,1,1,1]; +for jj=1:(22.05/0.105) +l=[1,0.105]; +end +for mml=1200;10:3000 +while(1) +Ha=fH(q, mm1, hs, v, g, ha); +Hb=fH(q, mm1, hs, v, g, hb); +hx=0.5*(ha+hb); +[Hx, phy1]=fH(q, mm1, hs, v, g, hx); +if Ha>hs||Hbhs +hb=hx; +else +ha=hx; +end +if abs(Hx-hs)=2 + v1=0.025^2*pi*1;%钢管体积 + zhunzhongli=-1025*g*v1+m(i)*g;%重力加速度 g=9.8 + zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli]; + elseif i==6 + v2=0.15^2*pi*1; + zhunzhongli=-1025*g*v2+m(i)*g; + zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli]; + elseif i>=7 + z12=z1(q)*cd(q); + v3=z12./7850; + zhunzhongli=-1025*g*v3+m(i)*g; + zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli]; +end +end +fx=[[]; +fy=[[]; +h2=[[]; +phy=zeros(1,215); +h1=[[]; +fuli=ffuli(g,h); +fengli=ffengli(v,h);%v指风速%%%%% +%力和杆的角度递推 +fx(1)=fengli; +fy(1)=fuli-zhunzhongli1(1); +phy(1)=atan((2*fy(1))-zhunzhongli1(2))/fx(1)/2); +for j=2:215 + if j==6 +``` + +$\mathrm{vz = mml. / 7850};$ $\mathrm{f11} = -1025*\mathrm{vz*g + mml.*g};$ $\mathrm{fy(6) = fy(5) - zhunzhongli1(5) - f11;}$ $\mathrm{fx(6) = fx(5)}$ $\mathrm{phy(j) =atan((2*fy(j-1)) - zhunzhongli1(j)) / (fx(j-1)*2));}$ else $\mathrm{fy(j) = fy(j - 1) - zhunzhongli1(j);}$ $\%$ 准重力的编号从浮标开始为1 $\mathrm{fx(j) = fx(j - 1)}$ $\mathrm{phy(j) = atan((2*fy(j - 1)) - zhunzhongli1(j)) / (fx(j - 1)*2))}$ end if $\mathrm{fy(j)} < 0$ break end end $\mathrm{phyl = phy};$ $\mathrm{h1} = \sin (\mathrm{phy}).\ast 1;\%$ 分段长度 $\mathrm{Hk = sum(hl) + h};$ +end + +# 附录三 问题三程序 + +clear,clcq=5;%类型hs=16;%海深16或20mmm1=3880;%重物球lts=121;%链条数%%%依次增加v=36;%风速vs=1.5;%水速[hc,phy2,R]=f3(q,hs,mml,lts,v,vs);调用函数f3function [hc,phy2,R] = f3(q,hs,mml,lts,v,vs)zhunzhongli1=[];zl=[];cd=[0.078 0.105 0.12 0.15 0.18];%锚链长度zl1=[3.2,7,12.5,19.5,28.12];%锚链单位长度质量m=[1000 10 10 10 10 100];for j=1:lltsmlz11(q).*cd(q); $\mathbf{m} = [\mathbf{m},\mathbf{m}]$ endl=[1,1,1,1,1];for jj=1:lls1=[l,cd(q)];endg=9.80665;for i=1:length(m)if $i = = 1$ zhunzhongli=m(i)*g;zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli];elseif i<=5&&i>=2v1=0.025^2*pi*1;%钢管体积zhunzhongli=-1025*g*v1+m(i)*g;%重力加速度g=9.80665zhunzhongli1=[zhunzhongli1,zhunzhongli];elseif i==6 + +$\begin{array}{l}\mathrm{v2 = 0.15^{\circ}2*pi*1;}\\ \mathrm{zhunzhongli = -1025*g*v2 + m(i)*g;}\\ \mathrm{zhunzhongli1 = [zhunzhongli1, zhunzhongli]};\\ \mathrm{elseif i > = 7}\\ \mathrm{z1 = z11(q).*cd(q);}\\ \mathrm{v3 = z1. / 7850;}\\ \mathrm{zhunzhongli = -1025*g*v3 + m(i)*g;}\\ \mathrm{zhunzhongli1 = [zhunzhongli1, zhunzhongli]};\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{k = 1};\\ \mathrm{phy1 = \{\}};\\ \mathrm{wz = \{\}};\\ \mathrm{aa2 = \{\}};\\ \mathrm{fx = \{\}};\\ \mathrm{fy = \{\}};\\ \mathrm{h2 = \{\}};\\ \mathrm{f111 = \{\}};\\ \mathrm{fyy = \{\}};\\ \mathrm{h3 = [0.3:0.001:2]};\\ \mathrm{for h = h3}\\ \mathrm{phy = zeros(1, lts + 5)};\\ \mathrm{fyy = \{\}};\\ \mathrm{h1 = \{\}};\\ \mathrm{fuli = ffuli(g,h)};\\ \mathrm{fengli = ffengli(v,h)};\% v指风速\\ \% \% \% \% \\ \% 力和杆的角度递推\\ fx(1) = fengli + 374*2*h*vs*vs;%%%*vs指水速\\ fy(1) = fuli-zhunzhongli1(1);\\ phy(1) = atan((2*fy(1))-zhunzhongli1(2))/fx(1)/2);\\ for j=2:lts+5\\ if j<=5\\ \mathrm{fy(j) = fy(j - 1) - zhunzhongli1(j)}; \quad \%准重力的编号从浮标开始} \end{array}$ + +为1 + +fx(j) $=$ fx(j-1)+374*vs*vs*sin(phj(j-1))*0.05\*1; phy(j)=atan((2*fy(j-1))-zhunzhongli1(j))/(fx(j-1)*2)); elseif j==6 $\mathrm{vz} = \mathrm{mm}1 / 7850$ . fll=-1025*vz*g+mm1*g; fy(6)=fy(5)-zhunzhongli1(5)-fll; +fx(6)=fx(5)+374*vs*vs*sin(phy(5))*0.3\*1+374*vs*vs*(3*mml/4/pi/7850)\~ ( +2/3)*pi; phy(j)=atan((2*fy(j-1))-zhunzhongli1(j))/(fx(j-1)*2)); else fy(j) $=$ fy(j-1)-zhunzhongli1(j); %准重力的编号从浮标开始为1 fx(j) $=$ fx(j-1)+374*vs*vs*sin(phy(j-1))*2*sqrt(m(j)*l(j- +1)/7850/pi); phy(j)=atan((2*fy(j-1))-zhunzhongli1(j))/(fx(j-1)*2)); end if fy(j)<0 break end end fl11{k}=fy; phy1{k}=phy; h1=sin(phy).*l; H(k)=sum(h1)+h; k=k+1; phy=[]; +end [h_min,u]=min(abs(vs-H(:)))； hc=0.3+u\*0.001; phy2=phy1{u}\*180/pi; R=sum(cos(phy2*pi/180).*l); +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/B022/B022.md b/MCM_CN/2016/B022/B022.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..058cfb53dfc0b4ad0ba3215f2c5efc8aa54e3226 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/B022/B022.md @@ -0,0 +1,825 @@ +# 小区开放对道路通行的影响 + +# 摘要 + +交通在城市的可持续发展中起着关键性的作用，老式封闭小区阻碍城市交通体系的发展，因此，研究小区开放对城市道路通行的影响具有重要意义。 + +对于问题一，本文从周边路网、路段服务水平及交叉口处交通状况三个大的方面来建立评价指标体系，用以分析小区开放对周边道路通行的影响。其中，周边路网情形主要从车辆通行能力及延误时间两个方面来衡量，路段服务水平选取了道路上行驶车辆的排队长度及饱和度两个指标，而在交叉口处则选择了车头间距和车辆平均行进速度两个指标。基于以上评价体系，为了客观、定量评价小区开放前后对道路通行的影响，我们选取小区开放前后一天中九个时段的指标值建立投影寻踪评价模型进行评价，运用模拟退火算法求得最优投影方向为(0.4935, 0.1349, 0.4898, 0.4962, 0.1956, 0.4624)，最后求得各样本的投影评价值，并将该小区开放前后的评价值做比较得出相应的结论。 + +对于问题二，为研究小区开放对周边道路通行的影响，考虑到不同道路结构下交通流的差异，本文将道路结构细分为直行车道、T字型车道以及入闸式车道三种情形分别建立车辆通行模型。在直行车道上，我们利用微分方程推导出了车速、车辆位置、道路负荷系数等车辆行进特征的模型，类似于直行车道，我们得出了T型车道和入闸式车道的相应指标的模型。进一步地，我们使用元胞自动机进行仿真模拟，将上述三种道路结构下的车辆行进特征作为元胞演变的规则，仿真得到不同道路结构下车辆通行模型的动态变化图。 + +对于问题三，我们首先选取了正方形小区和三角形小区两种类型，分别对两种类型小区进行道路结构的设计，其中对于正方形小区设置三种周边道路结构，对于三角形小区设置一种周边道路结构。然后我们考虑了小区开放前后对高峰期车流量、平常期车流量的影响，利用第一问的评价模型得出开放前后各类型小区不同时期的评价值，在高峰时期和平常时期方形小区的综合评价值分别为1.2543、0.3367，接着利用第二问的模型得出开放前后元胞所表示的车流量变化的平面演化图，结合仿真结果和评价值进行结果分析，得出在不同时期各类型小区开放前后对道路通行的影响。通过观察，我们发现模型中方形小区T型通道的开通并没有缓解交通拥堵，于是提出此种交通结构符合Breass悖论的猜想，并利用仿真的数据进一步对我们的猜想进行了论证。最后我们设置元胞自动机中的变道概率和转弯概率在 $20\%$ 范围左右波动，进行敏感性分析，发现评价值的波动在 $5\%$ 的范围内，得出模型稳定性强的结论。 + +对于问题四，我们根据以上研究得出的结论，从改善交通拥堵、解决安全问题等方面对有关部门提出了相应的建议。 + +最后，我们对模型进行了中肯的评价和适当的推广。 + +关键词：投影寻踪 模拟退火算法 微分方程模型 元胞自动机 Breass检验 + +# 一 问题的重述 + +# 1.1 引言 + +《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》文件的出台，引起了社会各界广泛的关注和热议，小区开放究竟是利大于弊还是弊大于利，每个人都有自己独特的见解。一方面封闭式小区，堵塞了城市“毛细血管”，增加了交通的压力，阻碍着城市可持续发展；另一方面小区开放后，也会遇到一系列的问题，比如业主权利侵犯的问题，安全问题等。那么小区开放对道路通行会产生怎样的影响呢？ + +# 1.2 问题的提出 + +(1) 通过选取构建恰当的评价指标体系, 评价小区开放对其周围道路所产生的影响。 +(2) 通过建立车辆通行的模型, 以此为基础分析小区开放对道路通行的影响。 +(3) 小区开放产生的效果, 与诸多因素相关, 通过考虑不同类型的小区, 在你们构建的模型的基础上, 对各类型小区开放前后对交通产生的影响进行定量分析。 +（4）依据研究结果，基于交通通行的角度考虑，对城市规划和交通管理部门，提出你们的合理化建议。 + +# 二 问题的分析 + +# 2.1 问题一 + +要求我们通过建立评价指标体系，以此为基础来分析小区开放对其周围道路通行所产生的影响。小区开放会增加交通流，其对交通的影响是多方面多层次的，在建立评价指标体系时，采用定性定量分析相结合的原则，通过查阅文献和利用相关知识，我们选取了评价指标，同时对评价指标进行量化，构建评价指标体系，然后结合所选取的评价指标利用投影寻踪法进行综合评价。 + +# 2.2 问题二 + +要求我们通过建立车辆通行的模型，以此讨论小区开放对周围道路通行所产生的影响。首先我们把局部道路类型分为不同的情况进行考虑，即直行车道、T字型车道以及入闸式通道，然后在道路类型的基础上研究正常路段以及交叉口路段的车辆通行，最后在正常路段以及交叉口路段，分别研究小区开放前后车辆位置、车速以及道路荷载量的变化，来分析小区开放对道路通行的影响。 + +# 2.3 问题三 + +通过考虑不同类型的小区，利用所构建的模型，对小区开放前后对交通产生的影响进行定量分析。我们首先对小区类型进行划分，然后考虑小区周边道路不同的开路类型，由于不同时间段内车流量会存在不同，此时我们模拟每种类型下的小区开放前后的车辆通行状况，以此判断小区开放前后对道路通行的影响。 + +# 2.4 问题四 + +基于交通通行的角度进行考虑，我们在前三问求解的基础上，通过对小区开放对其周围道路通行所产生的影响的研究，据此我们从不同角度向有关部门提出我们的建议。 + +# 三 问题的假设 + +3.1 假设小区周围交通状况处于理想状态，没有交通意外事故的发生。 +3.2 假设开放小区后，其内部交通不会发生堵塞。 +3.3 假设车辆驶入公路时对于车道的选择是随机的。 +3.4 假设小区周围公路均为双向四车道的主干道，小区内开放通道为次主干道 + +# 四符号的说明 + +
符号说明
PF2信号影响修正系数
RP车辆到达率
γ车辆影响系数
zi投影特征值
R局部密度的窗口半径
+ +# 五 模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一模型的建立与求解 + +要求我们通过建立评价指标体系，以此为基础来分析小区开放对其周围道路通行所产生的影响。小区开放会增加交通流，其对交通的影响是多方面多层次的，在建立评价指标体系时，我们采用定性定量分析相结合的原则，通过查阅文献和利用相关知识，我们选取了评价指标，然后结合所选取的评价指标利用投影寻踪法进行综合评价。 + +# 5.1.1 评价指标的选取 + +为了使评价更具有科学性、全面性以及客观性，我们在选取交通影响度的评价指标时，采用定量指标与定性指标相结合，同时使指标之间具有可比性以及可行性的原则，从三个方面进行选取。 + +小区开放在一定程度上会增加交通流量[1]，其作用于周边路网，进而对周边路段的服务水平以及交叉口路段产生影响，因此我们主要从这3个方面进行指标的选取。结合我国城市发展现状，同时综合考虑影响交通状况的主要因素，我们最终选取了饱和度、排队长度、通行能力、延误、车头间距以及车流平均速度6个指标进行分析。 + +表 1 评价指标的选取 + +
序号指标
1饱和度
2排队长度
3通行能力
4延误
5车头间距
6平均速度
+ +# 5.1.2 评价指标的量化计算 + +# （1）饱和度 + +饱和度是反映路段服务水平的主要指标以及衡量道路通行的重要参数。若饱和度大于1，则表明此时交通处于拥堵状态；反之若小于1，则出现局部时间以及空间的过饱和现象。其计算公式如下： + +$$ +x _ {i} = \frac {v _ {i} \mathcal {E}}{c _ {i}} +$$ + +其中 $\nu_{i}$ 表示实际交通量， $\varepsilon$ 表示阻碍系数， $c_{i}$ 表示设计最大车流量 + +# (2）排队长度 + +排队长度主要是用来衡量交叉口状况，车辆在交叉口时，通常来说需要减速以及停车。当前的排队长度是分析时间段内滞留车辆的平均数和当前来车行程排队的车辆数目之和。其计算公式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} P F _ {2} = \frac {\left(1 - R _ {P} \frac {g}{C}\right) \left(1 - \frac {v _ {L}}{s _ {L}}\right)}{\left(1 - \frac {g}{C}\right) \left[ 1 - R _ {P} \left(\frac {v _ {L}}{s _ {L}}\right) \right]} \\ Q = P F _ {2} \frac {v _ {L} C \left(1 - \frac {g}{C}\right)}{1 - \left[ \min \left(1 . 0 , X _ {L}\right) \frac {g}{C} \right]} \end{array} \right. +$$ + +其中 $v_{L}$ 表示车道到达流量， $s_{L}$ 表示车道饱和流率， $C$ 表示信号周期， $\frac{g}{C}$ 表示绿信比， $PF_{2}$ 表示信号影响修正系数， $R_{P}$ 表示车辆到达率。 + +# (3) 通行能力 + +通行能力是指在单位时段内车辆通过断面的交通流量[2]，其大小直接影响交通疏散及道路所承受压力的能力。我们首先计算建议值得出理论上的通行能力，然后求出可能的通行能力，最后依据路段服务水平求解设计通行能力。其计算公式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} N _ {\text {理 论}} = \frac {3 6 0 0}{h _ {t}} \\ N _ {p} = N _ {\text {理 论}} \cdot \gamma \cdot \eta \cdot c \\ N = N _ {p} \times (v / c) \end{array} \right. +$$ + +其中 $N_{\text{理论}}(pcn / h)$ 表示理论通行能力， $h_t(s)$ 表示平均车头时距， $N_p(pcn(km / .\ln))$ 表示可能通行能力 $\gamma$ 表示车辆影响系数， $c$ 表示交叉口影响系数， $(v / c)$ 表示修正系数。 + +修正系数在很大程度上有路段服务水平确定，我们查阅相关文献，得出建议值如下表： + +表 2 道路修正系数 + +
等级快速路主干道次干道支路
修正系数0.750.80.850.9
+ +# （4）延误 + +延误是指车辆在行驶中，由于交通控制设施失误、受除自身以外其他车辆的影响等的阻碍而造成的时间损失，主要有停车延误、引道延误以及控制延误。延误可以用来反映司机的状态、油耗以及行驶时间的损失。我们采用交叉口平均延误进行求解，其计算公式如下： + +$$ +d = \frac {0 . 5 T \left(1 - \frac {t _ {g}}{T}\right)}{1 - \left[ \min (1 , x) \cdot \frac {t _ {g}}{T} \right]} +$$ + +其中 $T$ 表示信号周期长度, $t_{g}$ 表示有效绿灯时间, $x$ 表示饱和度 + +# (5) 车头间距 + +车头间距是位于同一车道上处于行驶状态下，对前后邻近两辆车辆的车头之间一种距离的度量。我们根据车头时距来计算车头间距，其计算公式如下： + +$$ +h _ {s} = \frac {h _ {t}}{3 . 6} V +$$ + +其中 $h_s(m)$ 表示车头间距, $h_t(s)$ 表示车头时距, $V(km/h)$ 表示车辆行驶速度 + +# (6) 车辆平均速度 + +车辆平均速度表示单位时间内车辆的行驶快慢程度和运动方向，其计算公式如下： + +$$ +\overline {{v}} = \frac {\Delta s}{\Delta t} +$$ + +# 5.1.3 评价指标体系的构建 + +小区开放使交通量增加，作用于周边路网，从而使周围路段的服务水平发生变化以及影响交叉口的交通状况[3]。三者之间存在关联性，进而各自所选取的指标之间也相互影响、相互制约，共同作用形成一个有机的整体，因此我们构建的小区交通影响度评价指标体系如下： + +![](images/7464e3640898ff2a2b18a738675b12d3fd61752df6aea7dd517349c9c0d0b5e4.jpg) +图1小区交通影响指标体系 + +描述周边路网服务水平的指标有车流量、车辆的行驶速度、停车延误等，一方面由于在预测情况下，这些指标在获得准确的数据存在一定的难度，同时这些指标与通行能力、延误存在重复性，因此选择通行能力、延误来描述周边路网的影响。饱和度以及 + +排队长度能综合反映交通的拥堵情况，是衡量服务水平的重要参数，因此选择它们来描述路段服务水平。研究新增加的交通量对交叉口产生的影响，实质上归结于交叉口服务水平的改变，而平均速度特别是高峰时段的车速和车头间距，最能反映交叉口的交通状况，因此选择车头间距、平均速度来描述交叉口的交通。 + +# 5.1.4基于投影寻踪的评价模型的建立 + +我们打算通过比较小区开放前后交通状况的改变来判断小区开放的影响，由于我们选择了6个评价指标，这些指标对小区开放前后的交通影响存在很大的差异，这样在进行评价时，容易出现仅根据个别指标，使评价带有主观性。为了更客观、科学的进行评价，综合考虑各个指标的情况，我们选择投影寻踪进行评价。 + +投影寻踪法[3]，通过某种组合使数据样本投影到低维子空间上，并通过极化投影指标寻找出能反映原数据结构或特征的投影，即寻找出使投影指标函数达到最优的投影值，然后根据该投影值对样本集进行相应的评价。这样得到的结果在一定程度上解决了仅根据单项指标评价而导致结果不相容的问题，从而可以提高综合评价各层次的分辨力和评价模型的精度。 + +投影寻踪综合评价模型建立与求解的具体步骤如下： + +# Step1: 数据的处理 + +# （1）指标的正负向性分析 + +我们选取了 5 个评价指标，在建立评价模型之前，我们首先要对这些指标的正负向性进行分析，即分析该指标值的大小对道路通行的影响。 + +表 3 各个指标的正负向性分析 + +
指标正负向性
饱和度-
排队长度-
通行能力-
延误-
车头间距+
平均速度+
+ +定义：正向性：指标值越大越好；负向性：指标值越小越好。 + +# (2) 归一化处理 + +由于所选取指标的单位不统一，为了消除各评价指标量纲的影响，我们对正负向性不同的指标分别进行归一化处理。 + +对于正向性指标，归一化公式如下： + +$$ +x _ {j} = \frac {x _ {j} - \operatorname* {m i n} x _ {j}}{\operatorname* {m a x} x _ {j} - \operatorname* {m i n} x _ {j}} +$$ + +对于负向性指标，归一化公式如下： + +$$ +x _ {j} = \frac {\max x _ {j} - x _ {j}}{\max x _ {j} - \min x _ {j}} +$$ + +其中 $\max x_{j}$ 为第 $j$ 列指标的最大值， $\min x_{j}$ 为第 $j$ 列指标的最小值。 + +# Step2: 线性投影 + +从不同的方向或角度去观察数据，寻找最能充分挖掘数据特征的最优投影方向。设 $a = \left(a_{1}a_{2}\dots a_{m}\right)$ 为 $m$ 维单位向量，即为各指标的投影方向向量，则第 $i$ 个样本在一维线性空间的投影特征值 $z_{j}$ 的表达式为： + +$$ +z _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {j} x _ {i j} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} a _ {j} > 0 \\ \sum_ {j = 1} ^ {m} a _ {j} ^ {2} = 1 \end{array} \right. +$$ + +# Step3:构造投影指标函数 + +在综合投影值时，要求投影值 $Z_{i}(i = 1,\dots,6)$ 的散布特征满足局部投影点尽可能密集，最好凝聚成若干个点团，而在整体上投影点团之间尽可能散开[2]。为此，投影指标函数可构造为： + +$$ +\max Q (a) = S _ {a} D _ {a} +$$ + +其中 $S_{a}$ 为投影值 $Z_{i}(i = 1,\dots,6)$ 的标准差， $D_{a}$ 为投影值 $Z_{i}(i = 1,\dots,6)$ 的局部密度，即： + +$$ +S _ {a} = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {6} \left(Z _ {i} - \overline {{Z _ {a}}}\right) / (n - 1)} +$$ + +$$ +D _ {a} = \sum_ {i = 1} ^ {6} \sum_ {j = 1} ^ {7} \left(R _ {i j} - r _ {i j}\right) \cup \left(R _ {i j} - r _ {i j}\right) +$$ + +式中， $\overline{Z}$ 为序列 $Z_{i}(i = 1,\dots,n)$ 的均值； $R$ 为求局部密度的窗口半径，它的选取既要使包含在窗口内的投影点的平均个数不太少，避免滑动平均偏差太大，又不能使它随着 $n$ 的增大而增加太快；距离 $r_{ij} = \left|Z_i - Z_j\right|$ ； $U(h)$ 为单位阶跃函数， + +综上所述，得到非线性优化模型： + +$$ +\begin{array}{l} \max Q (a) = S _ {a} D _ {a} \\ \begin{array}{l} S _ {a} = \sqrt {\sum_ {i = 1} ^ {6} \left(Z _ {i} - \overline {{Z _ {a}}}\right) / (n - 1)} \\ D _ {a} = \sum_ {i = 1} ^ {6} \sum_ {j = 1} ^ {7} \left(R _ {i j} - r _ {i j}\right) \cup \left(R _ {i j} - r _ {i j}\right) \\ R = \left(\max \left(r _ {k l}\right) + m\right) / 2 \\ r _ {k l} = \left| z _ {k} - z _ {l} \right| \\ z _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {j} x _ {i j} \\ \sum_ {j = 1} ^ {m} a _ {j} ^ {2} = 1 \\ 0 < a _ {j} < 1 \end{array} \\ \end{array} +$$ + +# Step4: 优化投影方向 + +当各指标值的样本集给定时，投影指标函数 $Q(a)$ 只随着投影方向的投影寻踪法变化而变化。不同的投影方向反映不同的数据结构特征，最佳投影方向就是最大可能体现高维数据某类特征结构的投影方向。因此，可通过求解投影指标函数最大化问题来寻找最佳投影方向 + +目标函数： + +$$ +\max Q (a) = S _ {a} D _ {a} +$$ + +约束条件： + +$$ +s. t. \sum_ {j = 1} ^ {n} a _ {j} ^ {2} = 1 +$$ + +这是一个以 $\left\{a_{j} \mid j = 1 \sim n\right\}$ 为优化变量的复杂非线性优化问题，运用Lingo等软件难以求出其解，考虑到模拟退火算法具有收敛速度快等特点，我们使用模拟退火算法[4]来求解最优投影方向。 + +求解最优投影方向的模拟退火算法模型可以表示为下式： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y 1 = \operatorname {s q r t} \left(b. ^ {\wedge} 2 / \operatorname {s u m} \left(b. ^ {\wedge} 2\right)\right) \mathrm {b} \text {为 随 机} 1 \times 5 \text {的} (0, 1) \text {序 列} \\ \text {f o r} k = 1: n b (k) = \operatorname {r a n d ()} \text {产 生 新 解} \\ p = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text {d e l t a \_ e > 0} \\ \exp (\operatorname {d e l t a \_ e} / T) & \text {d e l t a \_ e \leq 0} \end{array} \right. \\ T _ {0} = q * T _ {0} \end{array} \right. +$$ + +# Step5: 求解投影评价值 + +利用求解所得的最佳投影方向 $a^{*}$ 计算样本的投影指标值： + +$$ +z _ {i} ^ {*} = \sum_ {j = 1} ^ {n} a _ {j} ^ {*} \times x _ {i, j} +$$ + +# Step6: 求解结果及分析 + +我们利用matlab软件进行编程求解，求解结果如下： + +最优投影方向：(0.4935, 0.1349, 0.4898, 0.4962, 0.1956, 0.4624) + +表 4 18 组样本的投影评价值 + +
样本编号投影评价值样本编号投影评价值
12.0159102.2560
21.5533111.9795
30.5033120.8626
40.9935131.5732
51.1340141.7559
60.9731151.6726
70.4521161.0097
81.1493171.5958
91.7676182.1200
+ +其中，1-9组为该小区开放前各时段的投影评价值，10-18组为该小区开放后各时段的投影评价值。根据以上结果，小区在高峰期时的评价值普遍偏低，在平常期的评价 + +值普遍偏高；且小区在开放后的周边道路的交通状况评价值明显提高，说明拥堵状况得到了一定程度上的改善。 + +# 5.2 问题二模型的建立与求解 + +要求我们通过建立车辆通行的模型，以此讨论小区开放对周围道路通行所产生的影响。首先我们基于元胞自动机模型，通过规则的考虑，把局部道路类型分为3种情况进行考虑，即直行车道、T字型车道以及入闸式通道，然后从正常路段以及交叉口路段两方面考虑，分别研究小区开放前后车辆位置、车速以及道路负荷量的变化，来分析小区开放对道路通行的影响[5]。初步解决思路 + +![](images/835afdcff3e3ab63d6c60664679a3c9b4e252294d6f56837701174acef7e118f.jpg) +图2求解流程图 + +# 5.2.1 基于直行路段的车辆通行模型的建立 + +# Step1: 车道变换的考虑 + +联系实际可知, 左右车道都存在一定的概率相互变道, 但由于靠边的车道是转向车道,所以车道 $2 \rightarrow 1, 3 \rightarrow 4$ 的概率 $p_{m}$ 大于车道 $1 \rightarrow 2, 4 \rightarrow 3$ 的概率 $p_{n}$ + +![](images/417f0d4d14f4c6c24532e49f1a10386b72b632260b3dd3fba0c419119f294d0c.jpg) +图3小区外围道路车道示意图 + +# Step2: 车辆位置与车流量变化 + +某一时刻 $t$ 车流量的变化为: + +$$ +q _ {t} - q _ {t - 1} = q _ {0} - q _ {m} +$$ + +其中 $q_{m}$ 表示该时刻末将要驶出该段路的车量数目 + +于是远离交叉口处主干道上车流量的变化公式如下： + +$$ +\frac {d M _ {t , 1}}{d t} = q _ {0} + M _ {1, (t - 1)} \cdot p _ {m} + M _ {(t - 1), 2} \cdot p _ {n} + q _ {t} +$$ + +其中 $M_{t,j}$ 表示 $t$ 时刻车道 $j$ 的车流量， $p_m, p_n$ 表示两个车道内车辆变道的概率。 + +# Step3: 道路负荷系数 + +道路负荷系数的求解公式为： + +$$ +x _ {t} = \sum \frac {M _ {t}}{C} +$$ + +其中 $C$ 表示公路的最大荷载量。 + +# Step4: 基于交通流的车速 + +交通流是车辆在道路上连续行驶形成的车流，宏观上交通流可以等于连续可压缩的流体。我们将物理学中的动量定理引入到交通流的概念中： + +$$ +P + M v _ {m} = P _ {0} + M v _ {0} \tag {1} +$$ + +其中 $\mathrm{P}$ 表示当前的交通压力， $\nu_{m}$ 是出口处的速度， $\nu_{0}$ 是当前驶入道路车辆的速度。 + +在元胞自动机的仿真中，我们假定在某一特定的时间段（如高峰期）内驶入车辆的车速不变，驶入的车道变化为随机，则 + +$$ +\frac {\partial M _ {0}}{\partial S} = 0, \frac {\partial v _ {0}}{\partial S} = 0 \tag {2} +$$ + +对于（1）式我们对车辆离入口处的距离S做微分 + +$$ +\frac {\partial P}{\partial S} = \frac {\partial (M v)}{\partial S} - u _ {0} \frac {\partial M}{\partial S} \tag {3} +$$ + +此时我们再引入车流密度 $k_{m}$ , 为车流量与速度的比值, + +$$ +k _ {m} = \frac {M}{v} \tag {4} +$$ + +将（4）式带入（3）式得 + +$$ +- \frac {1}{k _ {\mathrm {m}}} \frac {\partial P}{\partial S} = \frac {\partial v}{\partial t} + v \frac {\partial v}{\partial S} + \frac {\left(\mathrm {v} - v _ {0}\right)}{k _ {m}} v \frac {\partial k _ {m}}{\partial S} - v _ {0} \frac {\partial v}{\partial S} \tag {5} +$$ + +此时我们引入交通流中的连续性方程[6] + +$$ +\frac {\partial k _ {m}}{\partial t} + \frac {\partial (\mathrm {k} _ {m} \mathrm {v})}{\partial S} = 0 +$$ + +利用分部积分法 + +$$ +\frac {\partial k _ {m}}{\partial S} = - \left(\frac {\partial k _ {m}}{\partial t} + k _ {m} \frac {\partial v}{\partial t}\right) \tag {6} +$$ + +将式（6）带入（5）式得， + +$$ +\frac {d v}{d t} = - \frac {1}{k} \frac {\partial P}{\partial S} + \frac {\left(v - v _ {0}\right)}{k} \frac {\partial k _ {m}}{\partial S} + v \frac {\partial v}{\partial S} +$$ + +由于模型中车流密度和车流压力是常量，即 + +$$ +\frac {\partial P}{\partial S} = 0, \frac {\partial \mathrm {k} _ {\mathrm {m}}}{\partial t} = 0 +$$ + +则 $\frac{dv}{dt} = v\frac{\partial v}{\partial S}$ (7) + +对公式（7）进行离散化处理，我们就可以求得每辆车的速度公式： + +$$ +\frac {\partial v (t + \tau)}{\partial t} = \frac {v}{S _ {n} (t) - S _ {n + 1} (t)} [ v _ {n} (t) - v _ {n + 1} (t) ] +$$ + +# 5.2.2 基于“T”型交叉口通道的车辆通行模型的建立 + +![](images/30c59389cc1d686bcf0d90c7657414533f87f89bc2ef451e3fd69aef7730857d.jpg) +图4“T”型交叉口通道示意图 + +# Step1: 车量位置与车流量变化 + +当交叉口的交通灯开始转化为绿灯时，此时路口前存在一个排队长度为 $Q$ 的车流，在我们的仿真模型中，考虑到车辆行驶的安全性，因此我们假定前一辆车启动后，后一辆车在延迟时间 $T$ 后才启动。 + +因此建立的车流量位置模型如下： + +$$ +S _ {n} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} L - (n - 1) (i + D), & 0 \leq t < (n - 1) T \\ L - (n - 1) (i + D) + \frac {a}{2} (t - (n - 1) T) ^ {2}, & (n - 1) T \leq t < (n - 1) T + \frac {v _ {\max}}{a} \\ L - (n - 1) (i + D) + \frac {v _ {\max} {} ^ {2}}{2 a} + v _ {\max} (t - (n - 1) T - t _ {0}), & t \geq (n - 1) T + \frac {v _ {\max}}{a} \end{array} \right. +$$ + +其中 $i$ 表示平均的车身长度, $\mathrm{L}$ 表示车辆离入口处的距离, $(n - 1) T$ 表示第 $n$ 辆车启动时间 + +# Step2:负荷系数 + +当车辆度过‘T’型路口时，有部分车辆会选择向右转弯进入小区内部通道，而小区内通道为次主干道，此时道路设计负载的量会发生变化。 + +当交叉路口处于自由状态时，靠边的转向车道会进行转弯操作则此时路道 1 车流量 + +M的变化为 + +$$ +\frac {d M _ {t}}{d t} = M _ {t - 1} \cdot \varepsilon_ {a} +$$ + +车道2的车流量暂时保持不变，即满足下式： + +$$ +\frac {d M _ {t}}{d t} = 0 +$$ + +令主干道的道路的设计车流量为 $C_{1}$ , 小区内次干道的设计车流量为 $C_{2}$ , 则负载系数为: + +$$ +x = \frac {\sum \ddot {M}}{C _ {2}} +$$ + +# Step3: 基于交通流的车速 + +由于红绿灯的阻隔作用，此时交叉路口前方有一段路程没有车辆，所以此时车辆以 $\nu_{\mathrm{max}}$ 运动行驶。 + +因此建立的车速模型如下： + +$$ +v _ {n} (t) = \frac {\partial \left(S _ {n} (t)\right)}{\partial t} +$$ + +# 5.2.3 基于入闸式通道的车辆通行模型的建立 + +当道路类型为入闸式时，车辆在直行路段与小区未开放时差异不大，关键在于交叉口的车辆流量发生的变化。我们构造了入闸路口的交叉时的变化模型。 + +入闸口不设置交通灯，小区内的车辆只能单向驶出而不能流入，具体情况如下图所示： + +![](images/fb4589a3007ce1945309e8dcb1397857bb931280e98f248eca78dbbb716a0d9b.jpg) +图5入闸式通道车辆通行示意图 + +# Step1: 车量位置与车流量变化 + +在 $\mathrm{T}$ 型通道的模型中我们假设过小区驶入车辆数为 $q_{\alpha}$ , 而在入闸式通道中, 所有小区内车辆都是输入至车道 1 , 而车道 2 并没有小区内的车辆输入, 因此建立的模型如下: + +$$ +\frac {d M _ {t , 1}}{d t} = 2 q _ {0} - M _ {(t - 1), 1} \cdot p _ {m} + M _ {(t - 1), 2} \cdot p _ {n} + q _ {t} +$$ + +$$ +\frac {d M _ {t , 1}}{d t} = M _ {(t - 1), 2} \cdot p _ {n} + q _ {t} - M _ {(t - 1), 1} \cdot p _ {m} +$$ + +# Step2:道路负荷系数 + +查阅文献知，当两组车道的车辆混合后道路荷载系数的计算为： + +$$ +x = \left\{ \begin{array}{l l} c v _ {\max } \left(m k _ {m} + M e ^ {2 q _ {0 / M}}\right) & \quad v _ {\max } e ^ {q _ {0 / M}} \leq k _ {m} \leq \dot {k} e ^ {q _ {0 / M}} \\ 0. 2 5 c v _ {\max } m e ^ {2 q _ {0 / M}} & \quad \dot {k} e ^ {q _ {0 / M}} \leq k _ {m} \leq 0. 5 e ^ {q _ {0 / M}} \\ c m v _ {\max } \left(k _ {m} - k ^ {2} _ {m} e ^ {- 2 q _ {0 / M}}\right) & \quad 0. 5 e ^ {q _ {0 / M}} \leq k _ {m} \leq e ^ {q _ {0 / M}} \end{array} \right. +$$ + +其中 $\nu_{\max}$ 表示自由流时最大速度, $q_{0}$ 表示小区内驶入主干道的流量, $k_{m}$ 表示车流密度, $m$ 表示主干道波速系数, 我们通过元胞自动机中的 nfit 函数回归拟合求解。 + +# Step3:基于交通流的车速的计算 + +入闸式通道的车速与直行通道时的车速相同，因此其模型如下： + +$$ +\frac {\partial v (t + \tau)}{\partial t} = \frac {v}{S _ {n} (t) - S _ {n + 1} (t)} [ v _ {n} (t) - v _ {n + 1} (t) ] +$$ + +# 5.2.4基于上述模型的元胞自动机的求解 + +在以上的模型中，我们通过设置一定的规则来分别对车流量、车速以及道路负荷系数进行一定的约束，因此基于设置的规则，我们利用元胞自动机进行仿真，模拟小区开放前后车辆通行的变化情况。 + +# 5.2.4.1元胞自动机仿真模型的建立 + +元胞自动机最早是由冯·诺依曼提出来的[7]，早期主要是用于对自我复制的自动机的研究，其是一种时空都是离散的，参量只取具有有限性数值集特征的物理系统的一种理想化下的模型。其特征是，空间被分成若干离散的格子，比如方形、三角形以及六边形等，并且会随着时间的改变而不断演化。元胞处于所有可能的状态，其演化过程主要受到周围元胞的影响，并且元胞的演化是是同步进行的。利用元胞自动机的特质，我们将有车或者无车的状态映射到二维元胞自动机中，具体的关系式如下： + +$$ +\text {S i t u t i o n} _ {i, j} = \left\{ \begin{array}{l l} z _ {i, j} = 0 & \text {无 车} \\ z _ {i, j} = 1 & \text {有 车} \end{array} \right. +$$ + +由于数据是一维的，向多维映射时我们采取交叉重叠的原则，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} v = \text {r a n d p e r m} (n) \\ z _ {i, j} = \left(z _ {i} ^ {\prime} + z _ {v (j)} ^ {\prime}\right) / 2 \end{array} \right. +$$ + +元胞之间的邻居关系，有VonNeumann型邻居和Moore型邻居，考虑到本题中车辆移动的实际情况，只有相邻区域之间存在影响，所以选择VonNeumann型邻居更加符合现实情况。 + +元胞的演化过程, 不仅受到自身初始值的影响, 同时也会受到周围相邻元胞的影响。我们把相邻元胞的影响权值记为 weight1, 自身的影响权值记为 weight2。于是元胞演化的规则方程可表示为: + +$$ +z _ {i, j} ^ {\prime} = \sum_ {x = i - 1} ^ {i + 1} \sum_ {y = j - 1} ^ {j + 1} z _ {i, j} \cdot f (w e i g h t, x, y, i, j) +$$ + +$$ +f (w e i g h t, x, y, i, j) = \left\{ \begin{array}{l l} w e i g h t _ {1} & (x, y)! = (i, j) \\ w e i g h t _ {2} & (x, y) = = (i, j) \end{array} \right. +$$ + +# 5.2.4.2仿真结果及分析 + +我们利用元胞自动机对小区周边道路的车流进行仿真模拟，截取动态图像中的静态图像作为仿真结果，其中，道路是双向四车道，其中某一时刻的仿真图如下： + +# 1）直行路口的仿真 + +![](images/5dc35b2553153eb468fa72918af5ab0308579b1207adf11fec8b27f6d04988f4.jpg) + +从上图可以看出，主干道的车辆分布密集，拥堵情况十分严重，急需进行改善。 + +# 2）T型路口的仿真 + +![](images/5c7b4ccf21247b09ecb25527e34acd5ba224703162cb7df725d9d25efedcc7e2.jpg) + +从上图可以看到，主干道的车流在经过小区开放后拥堵程度减轻，原因是旁边开的新道路对车辆进行了分流。 + +# 3）入闸式路口的仿真 + +![](images/5624b6481a98104573282798f59c148bbe4fc68d947da42db831f42917cfa0dd.jpg) + +从上图可以看到，主干道的车流在经过小区开放后拥堵程度相比前两种情况减轻了许多，说明入闸式路口分流效果较好。 + +# 5.3 问题三模型的建立与求解 + +在问题二中，我们构建了不同类型路口的数学模型，旨在研究基础的路口对小区周边道路的影响。在本问中，我们选取不同类型、不同结构的小区，以问题二中的路口类型为基础，利用元胞自动机在不同时段下分别对小区周边的道路交通情况进行仿真模拟。 + +# 5.3.1 小区类型的选取 + +对小区的定义有广义和狭义的界定，在这里我们假定小区仅仅指居住区。根据我国小区发展现状，小区具有多种多样的类型，对于小区开放问题，我们选取了具有一般性和代表性的小区类型，即方形和三角形小区。 + +# 5.3.2 开放后小区道路结构的设计 + +在评价小区开放对周边道路产生的影响时，道路结构是其主要影响因素，我们考虑了在不同形状的小区的各种开放结构，选取了方形小区中具有代表性的三种开放结构以及三角形小区中具有代表性的一种开放结构如下： + +![](images/f1d3d409172fcb7ee29e743904dbe6984c49e21827c630404612267feb704046.jpg) +(1) 方形小区道路结构的设计 + +![](images/9347bc15d6c80d5920c0cdd1bae303de2028d16b484c99de7a824acb44e2db2b.jpg) +（2）三角形小区道路结构的设计 + +![](images/49de8b979e7f285dc18dc2268d9cee34bd80a5740b04fa1177cbcaff3be6a3ca.jpg) + +# 5.3.3同一小区不同开放时期的选取 + +小区开放会对周边道路造成一定的影响，为了评价小区在不同时期的开放情况，我们选取了同一小区的高峰期和平常期的周边道路交通情况。 + +# 5.3.4 基于元胞自动机的小区周边道路情况的仿真模拟 + +根据以上分析，我们利用元胞自动机分别对方形和三角形小区的各种开放结构进行仿真模拟，我们设置了双向四车道的道路模型（黄色代表小车），根据第二问的相应模型设置演化方程。首先，在不开放小区的情况下进行仿真模拟，得到以下结果： + +# 5.3.4.1 方形小区仿真对比 + +# 1）高峰期未开放小区与平常期末开放小区 + +![](images/980ec0ca4d43231515c35568f9f1484883374a475d4c3c922b7e745b03971a71.jpg) +图6高峰期未开放方形小区仿真图 + +![](images/708029aa49f7576ba3793b3c9c5f11d58dc181f310687d7844b49773e5ca8b31.jpg) +图7平常期未开放小区仿真图 + +由图6和图7可知，在不开放的方形小区周边道路情况图中，高峰期的道路拥挤现象过于严重，平常期也存在一定的拥堵现象，交通拥堵问题亟待解决。 + +# 2）平常期未开放小区与平常期第一种开放类型 + +![](images/e0bb734003a44f50c79c8500b4c2ec6a28f323e87a77410936e727268c49a038.jpg) +图8平常期未开放方形小区仿真图 + +![](images/fcbfd9d17d0848ded79513fbcc0b3fa0a74922ae2f3a7964ed0b9594d8874090.jpg) +图9平常时期第一种开放类型仿真图 + +在图8和图9中可以看到，在方形小区中，以第一种结构开放时平常时期的四条主干道上的交通拥堵程度没有得到改善，仍然存在道路拥挤的现象。 + +# 3）高峰期未开放小区与高峰期第一、二、三种开放类型 + +![](images/6ea1effc8ee288d36491a7feaa1fa23de1ae49dc77424f334e9bc09fda10e931.jpg) +图10高峰期未开放小区仿真图 + +![](images/c904aee0d5742ad7c59349ca7c9204d3d13f7a16984e393cbd4f0cfd3331f183.jpg) +图11高峰期第一种开放结构仿真图 + +![](images/7740fbd1d849bb1a22c7e9dfb42f67b82c9dfc39af255d156669760195e42d86.jpg) +图12 高峰期第二种开放结构仿真图 + +![](images/7906d66e22c3fd226ba3abfdc527e6086ed0a330cf12a5a4d2eb6b0e503d5b83.jpg) +图13 高峰期第三种开放结构仿真图 + +由上面四幅图可以看出，高峰期第一种开放结构不但没有减缓交通拥堵情况，反而增加了交通压力；高峰期第二种开放结构在四条主干道上体现出一定程度内减缓了交通拥堵情况；高峰期第三种开放结构在四条主干道上交通拥堵情况得到了明显的改善。 + +# 5.3.4.2 三角形小区仿真对比 + +高峰期未开放小区与高峰期已开放小区 + +![](images/60ad20b88037e067191a42fd86c74009af089d6ed891445753075a31f98148cf.jpg) +图14 高峰期未开放小区仿真图 + +![](images/c108a9916dd714a78f8b68d8e8587cbac032cd9ee229cb065f764e772cdb7805.jpg) +图15 高峰期已开放小区仿真图 + +由图14和图15可以看出，在高峰时期，未开放小区周边的道路存在严重的拥堵情况，开放后的小区在一定程度上解决了三条主干道的拥堵情况，效果可观。 + +# 5.3.5 基于各种开放情况的综合评价 + +# 5.3.5.1 各种开放情况下的指标值计算 + +在第一问中我们选取了饱和度、排队长度、通行能力、延误、车头间距和车辆平均速度六个指标，我们根据元胞自动机的仿真结果，结合第一问中各项指标的计算公式，分别得出了未开放的方形小区、第一、二、三种开放结构的方形小区、未开放的三角形小区以及开放的三角形小区的高峰期和平常期的各项指标的值，一共12组样本，给这12组样本分别标号1-12。 + +表 5 12 组样本各项指标的值 + +
样本编号饱和度排队长度通行能力延误车头间距平均速度
10.7424.1500072.561870.55
20.8038.8620076.32842.23
30.6218.5420056.262475.64
40.8140.2640083.27739.76
50.5113.5310035.692776.67
60.6320.6440058.122577.75
70.7222.7470070.392067.53
80.8343.2710080.64535.42
90.7624.5523672.361857.32
100.8240.1635075.60740.36
110.5012.4390031.332884.96
120.6218.7450057.692475.62
+ +# 5.3.5.2 基于投影寻踪模型的综合评价 + +将得到的 12 组样本的指标值代入第一问的投影寻踪模型进行综合评价, 通过模拟退火算法, 将寻优程序循环了 100 次得到最优投影方向为: + +$$ +(0. 3 3 3 8, 0. 4 8 6 8, 0. 4 0 2 2, 0. 1 0 4 8, 0. 4 8 2 5, 0. 4 9 6 1) +$$ + +根据最优投影方向求得各样本的投影评价值如下表： + +表 6 各样本投影评价值 + +
样本编号投影评价值样本编号投影评价值
11.254371.3440
20.336781.0053
31.155992.1761
40.2317101.2471
52.1685112.2257
61.7312121.7181
+ +其中，奇数样本编号为高峰期各样本，偶数样本为平常期各样本。 + +分析：通过评价值可以看出，对于方形小区的第二、三种结构的开放状况，样本的投影评价值得到了显著的提高，道路拥堵状况得到了显著的改善，与前面元胞自动机的仿真结果图相符。第一种结构的开放状况的评价值下降，与前面仿真结果为更加拥堵的情况相匹配；对于三角形小区的开放状况，投影评价值得到了提升，拥堵状况得到了改善，也与前面仿真结果相符合。 + +# 5.3.5.3 对于最终评价结果的分析 + +通过比较各种类型的开放小区结构的高峰期和平常期的投影评价值，我们发现对于同一种开放小区结构，平常期的评价值总是高于高峰期，表明其交通状况更好；我们还发现在小区开放之后，在大部分样本中，交通拥堵程度得到了改善，但是在少数样本中，小区开放并不能使其拥堵程度得到一定的改善；在小区开放之后，高峰期得到的交通状况的改善比平常期要明显。 + +# 5.3.6 敏感性分析 + +在元胞自动机的演化过程中，我们设置了变道概率和转弯概率等参数，现将这些参数的值进行调整，检验模型的稳定性。 + +表 7 敏感性分析结果 + +
参数p1、p2部分投影评价值
0.3、0.41.2543, 0.3367, 1.1559, 0.2317, 2.1685, 1.7312
0.4、0.351.3147, 0.3742, 1.2211, 0.3567, 2.0812, 1.5682
0.4、0.41.2750, 0.2563, 1.1819, 0.3018, 2.1215, 1.6091
+ +![](images/a468f3bac5d236bc88d105cf5b7c529bb90c75c17b2994223b5c077867a75333.jpg) +图16敏感性分析结果 + +分析：从上图可以看到，在一定范围内改变变道概率以及转弯概率后，投影评价值的趋势没有改变，且波动范围小，说明模型的稳定性强，具有一定的泛化能力。 + +# 5.3.7 利用 Braess 悖论对异常结论进行猜想检验 + +在进行评价分析时，我们发现，在增加了某一道路之后，投影寻踪的评价值变小，反而产生了不好的效果。 + +于是我们提出猜想：由于这条道路的出现导致了交通网发生了变化，从而达到了Braess悖论产生的条件[9]，从而使周边道路通行 + +在车辆通行模型中，理想状态下通车的线路当然越多越好，可是实际情况中车辆在选择路线的过程中，往往只会考虑到自身的最优线路，而造成整个周边道路并不一定是最优情况，导致开放的某个周边道路反而对道路通行产生了负面的影响。 + +当非合作网络中 Nash 平衡点并不是 Pateto 最优解时，就会导致 Braess 悖论的产生。Braess 悖论的证明问题早已被解决，此处我们只介绍该理论在本模型中的应用。 + +![](images/d95bb21b11d01d22fcc97f7fb420ce092e73b6ba1973a4293cdaa33fa8db8021.jpg) +图17道路模型示意图 + +通行时间的计算公式： + +$$ +t _ {i} = a _ {i} + b _ {i} f _ {i} +$$ + +其中 $t_{i}$ 表示在该路段 i 的通行时间, $f_{i}$ 表示流过该路段的车流量, b 表示延迟系数。当 $\frac{b_{3}}{b_{1} + b_{2}} \geq \frac{b_{4} + b_{5}}{b_{6}}$ 时, 此时存在均衡点与平衡点的不一致, 发生 Braess 悖论。 + +我们选取元胞自动机的模型几个转态，整理出每小时该路段的车流量 $f_{i}$ ，通过公式 $t_{i} = \frac{S}{\overline{\nu}}$ 得出 $t_{i}$ 只。接着用MATLAB进行线性拟合，得出结果如下： + +表 8 延迟系数的求解结果 + +
b1b2b3b4b5b6b7
0.02390.05180.01360.02350.02070.02310.0652
+ +然后用MATLAB进行拟合，得出各个路段的延迟参数值 $b_{i}$ + +计算得出 $\frac{b_{3}}{b_{1} + b_{2}} = 0.27364 \geq \frac{b_{4} + b_{5}}{b_{6}} = 1.9134$ , 该交通模型符合 Braess 悖论。 + +# 5.4 问题四模型的建立与求解 + +基于交通通行的角度进行考虑，我们在前三问求解的基础上，通过对小区开放对其周围道路通行所产生影响的研究，据此向有关部门提出建议。 + +我们建议应该采取的具体措施如下： + +1、从小区周围交通状况的角度：对于一个小区是否应该开放，在做决策时不能一概而论，而应考虑小区周围的交通状况。通过第三问可以发现，高峰期时段小区开放所带来的评价值的提高，要远远大于非高峰期的评价值的变化，即高峰时期开放小区所达到的效果更佳。而非高峰期，例如模型中T通道所带来的评价值的改变只有0.09，考虑到开放小区的成本和带来的安全隐患，当小区周围车流量和道路负荷系数不高时，没有必要进行开放小区。 +2、从保障小区居民安全的角度：小区开放以后，小区内部通道会涌现大量的机动车。我们观察元胞自动机仿真出的小区内部通道的状态，发现在某些时刻小区内的车速会接近 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ ，这给小区内居民的交通安全带来极大的隐患，建议在开放小区时，应对进入小区内通道的车辆进行限速。我们通过查阅资料并综合本文的模型，认为速度应该 + +限制在 $40\mathrm{km / h}$ 内。 + +3、从小区管理的角度：我国现有的入闸式通道很少设置红绿灯，尽管入闸式通道的交通流变化简单，但是我们通过第三问发现，在某些高峰时间段，也会造成交通拥堵，使排队时间延长，因此建议在高峰期安排交通警察执勤以维持交通秩序。 +4、从改善道路交通拥堵的角度：理想状态下，车道数量的增加会减少市民出行所用的时间。但由Brease悖论可知，车道的增加有时反而会使拥堵现象更严重。所以建议有关部门在规划开放小区的线路方案时，应进行一次Brease仿真检验。如若发现可能会出现Brease悖论现象，可以考虑多增设一条线路，例如本文中T型通道至双T型通道的变化，极大地提高了周边道路的通行能力。 + +# 六 模型的评价与推广 + +# 6.1 模型的优点 + +（1）通过建立微分方程模型对交通流与道路之间的相互作用以及对道路车辆之间的相互影响进行定量分析，从更加本质的角度反映道路通行的客观规律。 +（2）利用Braccess悖论验证小区开放对道路交通的影响，从更加客观的角度评价开放小区道路的影响，使模型更加严谨。 + +# 6.2 模型的缺点 + +只考虑了一些最常见的小区结构和道路结果，对一些多车道和复杂形状的车道如S形车道的交通流规律没有考虑。 + +# 6.3 模型的推广 + +微分方程模型用以描述对象特征随时间变化的规律，可推广到研究物理学、生物学、化学、天文学和人口变化的规律。 + +# 七 参考文献 + +[1]李向朋．城市交通拥堵对策一封闭型小区交通开放研究[D].长沙理工大学，2014. +[2] 杨晓光, 赵靖, 马万经, 白玉. 信号控制交叉口通行能力计算方法研究综述[J]. 中国公路学报, 2014, 05:148-157. +[3]闫俊峰. 城市建设项目交通影响评价研究[D]. 吉林大学, 2012 +[4]张学喜, 王国体, 张明. 基于加速遗传算法的投影寻踪评价模型在边坡稳定性评价中的应用[J]. 合肥工业大学学报(自然科学版), 2008, 03:430-432+454. +[5]冯玉蓉．模拟退火算法的研究及其应用[D].昆明理工大学，2005. +[6]丁中俊．元胞自动机交通流模型中的相变现象和解析研究[D].中国科学技术大学,2012. +[7]沈威．基于微分方程模型构建基因调控网络的研究[D].吉林大学，2012. +[8]熊桂林，黄悦．元胞自动机在混合交通仿真中的应用[J].系统工程,2006,06:24-27. +[9]薛熠, 曹正正, 刘姗. 交通网络中 Braess 悖论的实证分析[J]. 北京电力高等专科学校学报: 社会科学版, 2011, 28(3):25-25. + +# 附录 + +附录一：投影寻踪评价程序（结合模拟退火算法）（matlab） +```matlab +clear all;close all;clc +%导入数据 +x=importdata('C:\Users\Pro\Desktop\第一题数据.txt'); +%归一化 +max1=max(x); +min1=min(x); +x(:,1)=(max1(1)-x(:,1))/(max1(1)-min1(1)); +x(:,2)=(max1(2)-x(:,2))/(max1(2)-min1(2)); +x(:,3)=(max1(3)-x(:,3))/(max1(3)-min1(3)); +x(:,4)=(max1(4)-x(:,4))/(max1(4)-min1(4)); +x(:,5)=(x(:,5)-min1(5))/(max1(5)-min1(5)); +x(:,6)=(x(:,6)-min1(6))/(max1(6)-min1(6)); +tic +for k=1:100 +%退火寻找最优投影方向 +temperature=1000;%初始温度 +iter=100;%迭代次数 +l=1; +n=6;%指标个数 +a=suiji(n);%初始序列 +p=a; +y=Target(x,a); +while temperature>0.01 +for i=l:iter +al=suiji(n); +y1=Target(x,al); +delta_e=y1-y; +if delta_e>0 +y=y1; +p=a1; +else +if exp(delta_e/temperature)>rand() +y=y1; +p=a1; +end +end +l=1+1; +temperature=temperature*0.99; +end +w(k)=y; +``` + +$\mathrm{e(k,:) = p}$ +end +toc +disp(max(w)); +%求得各样本投影值r +a=e.find $(w = =$ max(w)),:); +for i=1:12 r(i)=sum(x(i,:).*a); +end +function a=suiji(n) for k=1:n b(k)=rand(); end temp=sum(b.^2); a=sqrt(b.^2/temp); +end +function y=Target(x,a) [m,n]=size(x); for i=1:m s1=0; for j=1:n s1=s1+a(j)*x(i,j); end z(i)=s1; end Sz=std(z); R=0.1*Sz; s3=0; for i=1:m for j=1:m r=abs(z(i)-z(j)); t=R-r; if t>=0 u=1; else u=0; end s3=s3+t*u; end end Dz=s3; y=Sz*Dz; +end + +附录二：元胞自动机仿真程序（matlab） +clear all;close all;clc +%% +%定义button +plotbutton=uicontrol('style','pushbutton',.. +'stream'，'Run'，... +'fontsize'，12,... +'position'，[100,400,50,20]，.. +'callback'，'run=1;')； +erasebutton=uicontrol('style','pushbutton',.. +'stream'，'Stop'，... +'fontsize'，12,... +'position'，[300,400,50,20]，.. +'callback'，'freeze $= 1$ '）； +number=uicontrol('style','text',.. +'stream'，'1'，.. +'fontsize'，12,... +'position'，[20,400,50,20]）； +z=zeros(38,4)； +cells $= \mathbb{Z}$ %元胞矩阵 +p1=0.4;%变道概率 +p2=0.4;%转弯概率 +t1=0;%时间变量 +t2=0;%时间变量 +%初始状态 +cells(1,1)=0; +cells(1,2)=1; +cells(38,3)=0; +cells(38,4)=1; +run=0; +freeze $= 0$ ： +while 1 if run $= =$ %下行 for j=1:37 if cells(j,1) $= = 1\& \&$ cells(j,2) $= = 0$ if rand()>pl cells(j+1,1)=0; cells(j+1,2)=1; else cells(j+1,1)=1; cells(j+1,2)=0; end end + +if cells(j,1) $= = 0$ &&cells(j,2) $= = 1$ if rand()>p1 cells(j+1,1)=1; cells(j+1,2)=0; else cells(j+1,1)=0; cells(j+1,2)=1; end end if cells(j,1) $= = 1$ &&cells(j,2) $= = 1$ cells(j+1,1)=1; cells(j+1,2)=1; end if cells(j,1) $= = 0$ &&cells(j,2) $= = 0$ cells(j+1,1)=0; cells(j+1,2)=0; end end $\%$ 上行 for j=38:-1:2 if cells(j,3) $= = 1$ &&cells(j,4) $= = 0$ if rand()>p1 cells(j-1,3)=0; cells(j-1,4)=1; else cells(j-1,3)=1; cells(j-1,4)=0; end end if cells(j,3) $= = 0$ &&cells(j,4) $= = 1$ if rand()>p1 cells(j-1,3)=1; cells(j-1,4)=0; else cells(j-1,3)=0; cells(j-1,4)=1; end end if cells(j,3) $= = 1$ &&cells(j,4) $= = 1$ cells(j-1,3)=1; + +cells(j-1,4)=1; end if cells(j,3) $= = 0$ &&cells(j,4) $\equiv = 0$ +cells(j-1,3)=0; +cells(j-1,4)=0; +end +end %显示图像 [A,B]=size(cells); Area(1:A,1:B,1)=zeros(A,B); Area(1:A,1:B,2)=zeros(A,B); Area(1:A,1:B,3)=zeros(A,B); for i=1:A for j=1:B if cells(i,j) $= = 1$ Area(i,j,:)=[255,222,0]; elseif cells(i,j) $= = 0$ Area(i,j,:)=[0,90,171]; end end end Area=uint8(Area); Area=imagesc(Area); axis equal; axis tight; +%计步 stepnumber $= 1 +$ str2num(get(number,'string')); set(number,'string',num2str(stepnumber)); +end if freeze $= = 1$ run=0; freeze=0; +end drawnow +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2016/C014/C014.md b/MCM_CN/2016/C014/C014.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..e0fde68c3530b0fcf83bc7b6b6179a80d7e13126 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2016/C014/C014.md @@ -0,0 +1,518 @@ +# 电池剩余放电时间预测 + +# 摘要 + +铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压(Um，本题中为9V)。本文针对电池剩余放电时间预测问题，综合分析了电流强度、电压、电池衰减对剩余放电时间的影响，分别建立了数学模型。 + +问题1 首先根据附件1的采样数据我们采用二次多项式分别表示出电流强度为20A到100A的9条放电曲线，不仅建立了电池放电时间和电压的关系式，还建立了电池剩余放电时间和电压的关系式，每条放电曲线的模型拟合度R2均达到 $99\%$ 以上；然后根据题目中平均相对误差的定义，按照题目要求提取出231个样本点计算各放电曲线的平均相对误差（MRE），平均相对误差大体位于 $0.0035\sim 0.0178$ 之间，拟合数据与实测数据几乎吻合；根据建立的电池剩余放电时间随电压变化的模型，预测当电压为9.8V，电流强度分别为30A，40A，50A，60A，70A时，电池的剩余放电时间，并同实测数据中电压最接近9.8V的实测值进行相对误差计算，5个误差值均小于0.0007，此预测模型的可信度较高。 + +问题2 以问题1中求得的固定电流强度下，放电时间随电压的变化关系式为基础，寻找问题1中9条方程的系数随电流的变化关系，我们发现，当电流I取对数log时，二次项系数、一次项系数和常数项系数均同 $\log (I)$ 呈线性关系，拟合度均超过 $95\%$ ，从而得到放电时间随电压和电流同时变化的数学模型，即得到20A-100A内任一恒定电流强度放电时的放电曲线模型；计算模型的平均相对误差，算得MRE为0.09；以此模型能较好预测55A时的放电曲线。 + +问题3 同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电，我们发现，当放电一段时间后，即电压大约在10.3V以后，不同衰减状态下的放电时间差值之比趋于一个常数。因此容易算出在衰减状态3下的放电时间，最后用最大放电时间减去放电时间则得到题中要求的剩余放电时间。 + +关键词：剩余放电时间；多项式拟合；模型拟合度；平均相对误差MRE + +# 一、问题重述 + +铅酸蓄电池经过一百多年的发展，技术不断更新，现已被广泛应用于汽车、通信、电力、铁路、电动车等各个领域。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压、从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减。 + +# 1.1 已知铅酸电池的基本情况与要求 + +（1）已知20A、30A、40A、50A、60A、70A、80A、90A、100A的电流强度下，电池放电时间随电压的变化； +(2) MRE 的定义: 按不超过 $0.005 \mathrm{~V}$ 的最大间隔提取 231 个样本点, 这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差; +（3）在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压 $\mathrm{U}_{\mathrm{m}}$ ，本文 $\mathrm{U}_{\mathrm{m}} = 9\mathrm{V}$ 。 + +# 1.2 需要解决的问题 + +# 1.2.1 问题1需要解决以下三点： + +（1）给出从20A到100A共9个不同电流强度下的电压随时间变化的关系； +(2)分别从 20A 到 100A 共 9 个不同电流强度中各提取符合条件的 231 个样本点，并分别给出 9 个平均相对误差（MRE）； +(3) 当测得电压为 $9.8 \mathrm{~V}$ , 分别以 $30 \mathrm{~A}, 40 \mathrm{~A}, 50 \mathrm{~A}, 60 \mathrm{~A}, 70 \mathrm{~A}$ 电流强度放电时,给出各自的电池剩余放电时间。 + +# 1.2.2 需要解决以下三点： + +（1）建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型； +（2）用MRE评估模型的精度； +（3）用表格和图形给出电流强度为55A时的放电曲线。 + +# 1.2.3 问题3需要解决： + +同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电，根据已知的新电池状态，衰减状态1，衰减状态2，预测衰减状态3的剩余放电时间。 + +# 二、问题分析 + +铅酸电池剩余放电时间预测问题是一类带精度检验的拟合问题。本问题处理的难点 + +是实际值和预测值之间的差异，还有不同衰减程度对储存的电压的影响。 + +# 2.1 问题1 + +（1）附件1给出了从20A到100A共9个不同电流强度下的电压随时间变化的关系，对已有数据进行预处理，筛选出异常数据，对剩余数据进行多项式拟合，得到各电流强度下电压与时间的拟合函数，并以此建立好数学模型； +（2）分别计算20A到100A共9个不同电流强度下的电压间隔，各提取符合条件（间隔不超过0.005）的231个样本点，将其带入（1）得到的数学模型，得出预测值，并分别给出9个平均相对误差（MRE）； +（3）当测得电压为 $9.8\mathrm{V}$ ，分别带入以 $30\mathrm{A}$ ， $40\mathrm{A}$ ， $50\mathrm{A}$ ， $60\mathrm{A}$ ， $70\mathrm{A}$ 电流强度放电时的数学模型，计算电池剩余放电时间。 + +# 2.2 问题2 + +(1) 建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型, 以问题1中求得的固定电流强度下, 放电时间随电压的变化关系式为基础, 寻找问题1中9条方程的系数随电流的变化关系, 我们发现, 当电流I取对数log时, 二次项系数、一次项系数和常数项系数均同log (I) 呈线性关系, 进行线性拟合; + +(2) 提取符合条件的231个样本点计算MRE; +(3) 应用模型, 用表格和图形给出了电流强度为 $55 \mathrm{~A}$ 时的放电曲线。, + +# 2.3 问题3 + +问题三是预测电池衰减状态3的剩余放电时间。通过分析新电池状态和衰减状态1的关系，衰减状态1和衰减状态2的关系，衰减状态2和衰减状态3的关系，寻求相似点。 + +# 三、模型假设与约定 + +1、电阻是恒定不变的 +2、没有外部因数影响电压的变化的因数（比如电池是否生锈、环境等） +3、充电规范，不会因为操作原因导致电池出现故障 + +# 四、符号说明及名词定义 + +
符号意义
a(i)第i安的电流下实际放电电压
b(i)第i安的电流下预测放电电压
w(i)第i安的电流下平均相对误差
R^2(i)第i安的电流下各函数拟合度
n(i)拟合函数的个数
D1表示新电池状态与衰减状态1的时间差
D2表示衰减状态1与衰减状态2的时间差
D3表示衰减状态2与衰减状态3的时间差
R1表示衰减状态1与衰减状态2的时间差和新电池状态与衰减状态1的时间差的比值
R2表示衰减状态2与衰减状态3的时间差和衰减状态1与衰减状态2的时间差的比值
+ +$\mathrm{i} = 20$ ，30，40，50，60，70，80，90，100 + +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一的分析与求解 + +# 1.对初等函数的理解 + +概念的引用：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数 + +# 2. 对 MER 的理解 + +从Um开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点。这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差即为MRE + +# 3. 模型一（多项式模型） + +# 1、电压随时间变化的关系 + +在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，所以电压随剩 + +余放电时间单调上升，为了缩小横纵坐标数量级差异，提高模型系数的精度，我们将时间单位由分（min）转换成天（day），以剩余放电时间 $\mathrm{T}_{\text{剩}}$ 为纵坐标， $\mathrm{V - U_m}$ 为横坐标，其中 $\mathrm{U_m} = 9\mathrm{V}$ ，得到9条关系曲线图如下： + +![](images/38fb43bf81783eeacb2e0823bfb05e0d7f2fd37c098d7c5de5fee6e0efe64031.jpg) + +图中9条曲线的尾端表示电池在各个电流强度下刚开始放电瞬间的状态，经过一小段时间后趋于稳定放电状态，因此我们在建模时，尾端数据不参与建模过程(钝化机理)，即删除题中附件一excel表里各个电流强度下对应的前 $10\%$ 的数据，留取后 $90\%$ 的数据建立模型。 + +我们采用多项式模型 $y = a_{1}x^{n} + a_{2}x^{n - 1} + \ldots + a_{n - 1}x + a_{n}$ 进行拟合，其中 $x$ 为 $U - U_{m}$ ， $y$ 为剩余放电时间。运用数学软件Matlab进行多项式拟合（程序见本文附件1），以20A电流为例，当选择5次多项式拟合时，模型拟合度 $R^2$ 达到了1，如下图所示： + +![](images/5a9d0a6f679b0448a55318fed66a33903a90ec382e1455593f2a7b38eb6f4b16.jpg) + +![](images/9bd5b1dbc7eed37fc5e408d30cd0b09c7766cd79c40b3a7b4f9e50c6be611dc7.jpg) + +由于二次函数模型相较于五次函数模型大大降低了模型复杂度，所以我们决定采用二次多项式对9条曲线进行拟合，得到了非常满意的结果，我们将拟合图像陈列于下图 + +中： + +![](images/ed4b53e1d2e524864c12d34bb50056868f47afdb850e58845cc633ea97168ca4.jpg) + +![](images/f992237278122f95ab6909b4aa5a60cbdf288a31a02945e582f451ecdeb3a6e3.jpg) + +![](images/098842086d75d32c05d9c470d434cb0ae405f3b366d793fc5cab630cad975ad0.jpg) + +![](images/7e820f74d6b4fc3132429a71c899b6f5ef3abbde7d8be76460d2721f6659ef60.jpg) + +![](images/adafa1cb0eec999a6bcf3517334d3187fccc4581ca8504e451e7e6ffc9c93d7d.jpg) + +![](images/126172dbbc9037551280a0b80c9aeee5c3e9fc0027206a0681b1e5c937d10e9a.jpg) + +![](images/8a9afab8b1d14ba343aa4726b2aa8108472373c1a5b78b8bbc71e8a716534b1c.jpg) + +![](images/afd478455cf66893dd3d6ccf70d0f1f5ed5b5fba81b52e78484e92df719d5e08.jpg) + +![](images/69590e037f88cd5cb14f88b6e3d8b840d31e95da3cd11bcc7494c7802fae9f84.jpg) + +上 + +图中各个电流强度下黑线为测量值，黄线为拟合值，9条曲线的拟合度 $\mathbf{R}^2$ 都高达0.9999，9个模型方程如表1所示： + +表 1 给定电流下,电池剩余时间随电压变化的关系 + +
电流强度T剩=f(U-Um)=f(U-9)
20AT剩=0.9298(U-9)²+0.0818(U-9)-0.0087
30AT剩=0.6205(U-9)²+0.0584(U-9)-0.0190
40AT剩=0.4799(U-9)²-0.0137(U-9)+0.0069
50AT剩=0.4112(U-9)²-0.0533(U-9)+0.0096
60AT剩=0.3422(U-9)²-0.0428(U-9)+0.0089
70AT剩=0.3011(U-9)²-0.0349(U-9)+0.0124
80AT剩=0.2615(U-9)²-0.0201(U-9)+0.0098
90AT剩=0.2316(U-9)²-0.0171(U-9)+0.0095
100AT剩=0.2032(U-9)²-0.0027(U-9)+0.0062
+ +放电曲线是电压随时间变化的关系，因此我们将上述表格中的关系表达式整理成电压U和放电时间T的关系式，其中 $\mathrm{T}_{\text{放}} = \mathrm{T}_{\text{max}} - \mathrm{T}_{\text{剩}}$ 。由题中附件1，各个电流强度下的 $\mathrm{T}_{\text{max}}$ 见表2： + +表 2 给定电流下, 电池的最大放电时间 + +
电流(A)2030405060708090100
Tmax(day)2.61391.70421.19720.90830.72500.59860.50690.43060.3736
+ +得到电压U随时间T的变化关系式如表3： + +表3 给定电流下，电池的电压随放电时间变化的关系 + +
电流强度电压U和放电时间T的关系式
20AT = -0.9298U² + 16.6542U - 71.9703
30AT = -0.6205U² + 11.1111U - 48.0521
40AT = -0.4799U² + 8.6528U - 37.7951
50AT = -0.4112U² + 7.4546U - 32.8675
60AT = -0.3422U² + 6.2030U - 27.3722
70AT = -0.3011U² + 5.4544U - 24.0912
80AT = -0.2615U² + 4.7266U - 20.8434
90AT = -0.2316U² + 4.1864U - 18.4754
100AT = -0.2032U² + 3.6598U - 16.0999
+ +# 2、提取样本点，计算平均相对误差（MRE） + +MRE的定义如下：从 $\mathrm{U}_{\mathrm{m}}$ 开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点，这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差即为MRE。 + +# 第一步：提取231个样本点。 + +提取231个样本点分两种提取方式：（1）、按不超过0.005V的最大间隔提取连续样本点；（2）、不要求样本点连续。该两种方式都需要先计算出相邻电压间隔，以20A电流强度为例，计算流程如下图所示： + +![](images/c4953fdcc8356bb204a41d5c95b2a10292f28c45a5f856df3c805f092cc19722.jpg) + +因为题中要求从 $\mathrm{U}_{\mathrm{m}}$ 开始选取，首先将原始数据共1883个样本点倒置排列，然后从上往下依次求相邻两电压的差值，筛选出的差值的绝对值不超过0.005的样本点，并获得这些样本点的位置，即在倒置数据向量中的序号，记作Location=[L1,L2,L3,...,Ln]。间隔不超过0.005的样本点个数见表4： + +表 4 各个电流强度下, 间隔不超过 0.005 的样本点个数 + +
电流(A)2030405060708090100
个数18511183808593454365291230189
+ +# (1)、提取连续样本点 + +如果要提取231个连续样本点，假设从 $\mathrm{L_i}$ 开始位置序号是连续的，则有式 $\mathrm{L_i + 230 = L_{i + 230}}$ 成立，采用数学软件Matlab编程，从 $\mathrm{i} = 1$ 开始循环，找到使得式 $\mathrm{L_i + 230 = L_{i + 230}}$ 成立的所有i，并选取最小的i作为选取231个样本点的起始位置。具体Matlab程序见附录1。 + +# (2)、不要求样本点连续 + +如果不要求样本点连续，则直接从 $\mathrm{L}_{1}$ 开始选取直到 $\mathrm{L}_{231}$ 。 + +注意，这里选出来的样本点序号均是在对原始数据倒置过后所在的位置。 + +第二步：计算提取出的231个样本点对应的测量值和模型预测值的平均相对误差(MRE)。 + +根据第一步的方法，列出20A,30A,...,90A,100A共9组数据的231个所需样本点，如表5所示： + +表 5 各个电流强度下两种提取方法的样本点序号 + +
电流（A）样本点连续不要求样本点连续
20A31~261向量 Location 的前 231 个
30A184~414向量 Location 的前 231 个
40A222~452向量 Location 的前 231 个
50A124~354向量 Location 的前 231 个
60A无向量 Location 的前 231 个
70A无向量 Location 的前 231 个
80A无向量 Location 的前 231 个
90A无向量 Location 的前 230 个
100A无向量 Location 的前 189 个
+ +由上表可知，当电流强度为20A，30A，40A，50A时能够取到231个连续的间隔不超过0.005的样本点，此时可以计算两种方式下的MRE；当电流强度为60A，70A，80A时，无法取到231个连续的间隔不超过0.005的样本点，因此，只能计算样本点不连续时的MRE；当电流强度为90A，100A时，间隔不超过0.005的样本点个数甚至不足231个，因此计算能够找到的所有间隔不超过0.005的样本点的MRE，计算结果见表6，程序见附件1： + +表6 + +
电流（A）样本点连续MRE不要求样本点连续MRE
20A0.04440.0640
30A0.02810.0743
40A0.00710.0178
50A0.00620.0099
60A无0.0066
70A无0.0044
80A无0.0037
90A无0.0044
100A无0.0035
+ +# 3、电压为 $9.8 \mathrm{~V}$ ，电流强度分别为 $30 \mathrm{~A}, 40 \mathrm{~A}, 50 \mathrm{~A}, 60 \mathrm{~A}, 70 \mathrm{~A}$ 时，电池的剩余放电时间 + +当电压 $U = 9.8V$ 时，将 U 分别带入表 1 中电流为 30A，40A，50A，60A，70A 的剩余时间表达式，为了和题目保持一致，将算得的以天(day)为单位的 $\mathrm{T}_{\text{剩}}$ 转换成以分（min）为单位的 $\mathrm{T}_{\text{剩}}$ ，求得 $\mathrm{T}_{\text{剩}}$ 如表 7 所示： + +表 7 电池的剩余放电时间 + +
电流（A）30A40A50A60A70A
T剩(day)0.42480.30310.23020.19370.1771
T剩(min)611.6945436.4990331.4665278.8661255.0647
+ +# 5.2 问题二的分析与求解 + +问题2需要解决以下三点： + +(1) 建立以 20A 到 100A 之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型; +（2）用MRE评估模型的精度； +(3) 用表格和图形给出电流强度为 $55 \mathrm{~A}$ 时的放电曲线。 + +# 1、建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型 + +问题一中，我们已经得到了9组放电时间T关于电压U的关系表达式，下面再次罗列如下： + +
电流强度电压U和放电时间T的关系式
20AT=-0.9298U²+16.6542U-71.9703
30AT=-0.6205U²+11.1111U-48.0521
40AT=-0.4799U²+8.6528U-37.7951
50AT=-0.4112U²+7.4546U-32.8675
60AT=-0.3422U²+6.2030U-27.3722
70AT=-0.3011U²+5.4544U-24.0912
80AT=-0.2615U²+4.7266U-20.8434
90AT=-0.2316U²+4.1864U-18.4754
100AT=-0.2032U²+3.6598U-16.0999
+ +通过观察不同电流下，模型的二次项系数，一次项系数，和常数项，发现存在一定的规律，其图形如下： + +![](images/501ad9fed1afa094a1ba846d2a93742ab4939b23a2879f638238152001583781.jpg) + +![](images/50b83fcf725d518cac8a5e65fa0588e4214f0bf73d50695189f238b660aa8f46.jpg) + +![](images/48d028658aa0521aa40db17c3a6c515bcefcfc6446bbdaef266c1b4bb6e63ad8.jpg) + +图形中多项式系数呈现出来的规律，可以通过拟合得到，从而得到20A—100A之间任一电流强度的方程的系数，最终得到任一电流强度方程的表达式。 + +假设20A—100A之间任一电流强度模型为： + +$$ +\mathbf {T} = \mathbf {p} _ {1} (\mathbf {I}) \mathbf {U} ^ {2} + \mathbf {p} _ {2} (\mathbf {I}) \mathbf {U} + \mathbf {p} _ {3} (I) +$$ + +其中 $p_{i}(I) (i = 1,2,3)$ 为模型的系数， $I$ 为 $20\mathrm{A} - 100\mathrm{A}$ 之间任一电流强度。 + +利用matlab求出系数拟合模型 + +表 8 多项式系数拟合模型 + +
系数拟合模型
p1(I)=a1logI+b1
p2(I)=a2logI+b2
p3(I)=a3logI+b3
+ +利用这个方法求出 20A—100A 的新的模型如下： + +表 9 系数拟合后 $20 \mathrm{~A} - 100 \mathrm{~A}$ 电压与放电时间的关系式 + +
电流强度电压U和放电时间T的关系式
20AT = -0.837U²+15.005U-64.899
30AT = -0.665 U²+ 11.944U-51.769
40AT = -0.544 U²+ 9.772U-42.453
50AT = -0.449 U²+ 8.088U-35.229
60AT = -0.372 U²+ 6.712U-29.326
70AT = -0.307 U2+ 5.548U-24.333
80AT = -0.251 U2+ 4.540U-20.011
90AT = -0.201 U2+ 3.651U-16.196
100AT = -0.156U2+ 2.855U-12.783
+ +对新的模型进一步作残差分析（见图），用问题一相同的方法得到其每个模型的平均相对误差（MRE）见下表： + +表 10: 系数拟合后 $20\mathrm{A} - 100\mathrm{A}$ 平均相对误差 + +
电流强度平均相对误差（MRE）
20A9.17%
30A7.7%
40A8.2%
50A6.6%
60A6.3%
70A5.8%
80A5.2%
90A5.1%
100A4.7%
+ +通过残差分析可以看出，实际值与预测值的差并不大，并且模型的平均相对误差在 $10\%$ 以内，说明拟合程度较高，具有一定的预测价值。 + +利用这个曲面拟合模型对电流为55时的放电曲线进行预测，其数据表和图形如下： + +表 11 电流为 $55 \mathrm{~A}$ 时电压与放电时间的关系 + +
电压109.959.99.85……9.159.19.059
放电时间676728770812……1070107610801086
+ +![](images/6ed90ad8e949da88cf3158e0a34628fbe743e0a2590395b414af435807271022.jpg) + +结果说明： + +本题通过函数拟合的方法，找到观测值的拟合函数，然后通过发现不同拟合函数中系数的变化规律，求得任一电流下的放电曲线的数学模型，此模型能较好地反应数据变化，并能较好地预测20A—100A电流强度下的放电数学模型。 + +# 5.3 问题三的分析与求解 + +随着随电池使用的时间的增长，蓄电池内含有的电解液硫酸发生了分层，高级板电池的底部硫酸密度升高，加之远离极耳处电流密度过低，是得高级板电池下半部的活性物质反应活性下降，充电时PbSO4难以完全氧化为PbO2.未转化的PbSO4附着在电极表面，造成活性物质导电性降低，而且也阻碍了硫酸电解质扩散到活性物质内部继续参加反应，使极板下半部活性物质的利用率大大降低，电池很快失效。 + +根据附件2中同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据，我们作出以电压U（V）为横坐标，放电时间T（min）为纵坐标的曲线图，如下图所示： + +![](images/c3137e0c538a11c45e059de7dff709a750515aa0e5924b5692f9c57ac817ca41.jpg) + +其中，蓝线、绿线、黄线分别代表新电池状态，衰减状态1和衰减状态2，黑线代表衰减状态3已知的数据，我们需要预测出衰减状态3的后半段放电过程，即电压从9.76V开始直到降为9V这一过程的放电时间。 + +通过观察曲线图像，我们猜测相邻两条曲线的纵向差值之间可能存在一定的关系。计算相邻两条曲线在同一电压下的放电时间差 $\mathbf{D}_{\mathrm{i}}$ （ $\mathrm{i} = 1,2,3$ ）和差值比 $\mathbf{R}_{\mathrm{i}}$ （ $\mathrm{i} = 1,2,3$ ），定义如下： + +$$ +\mathrm {D} _ {1} = \mathrm {T} _ {\text {蓝}} - \mathrm {T} _ {\text {绿}}, +$$ + +$$ +\mathrm {D} _ {2} = \mathrm {T} _ {\text {绿}} - \mathrm {T} _ {\text {黄}}, +$$ + +$$ +\mathrm {D} _ {3} = \mathrm {T} _ {\text {黄}} - \mathrm {T} _ {\text {黑}}, +$$ + +$$ +\mathrm {R} _ {1} = \mathrm {D} _ {2} / \mathrm {D} _ {1}, +$$ + +$$ +\mathrm {R} _ {2} = \mathrm {D} _ {3} / \mathrm {D} _ {2}, +$$ + +其中， $\mathrm{D}_3$ 和 $\mathbf{R}_2$ 只计算 $10.5\mathrm{V}$ 到 $9.765\mathrm{V}$ 这一段对应的值， $\mathrm{D}_1, \mathrm{D}_2, \mathrm{D}_3$ 的值见附录三，运用数学软件Matlab做出 $\mathbf{R}_1$ 和 $\mathbf{R}_2$ 的曲线图，如下图所示，蓝线表示 $\mathbf{R}_1$ ，红线表示 $\mathbf{R}_2$ ： + +![](images/33105416cd505b2c471687594de90c8299fc285bf2e44cb6593b60b03a220f1e.jpg) + +我们发现，当放电一段时间后，即电压大约在 $10.3\mathrm{V}$ 以后，差值比 $\mathbf{R}_1$ 趋于一个常数。又因为差值比 $\mathbf{R}_2$ 在有数据的部分（即红线部分）趋于一个常数，和 $\mathbf{R}_1$ 具有相同的特征，所以，我们有理由认为 $\mathbf{R}_2$ 为一个常数。以 $9.765\mathrm{V}$ 到 $10\mathrm{V}$ 的差值比平均值估计 $\mathbf{R}_2 = 1.2094$ 根据表达式 + +$$ +\mathrm {R} _ {2} = \mathrm {D} _ {3} / \mathrm {D} _ {2} = (\mathrm {T} _ {\text {黄}} - \mathrm {T} _ {\text {红}}) / (\mathrm {T} _ {\text {绿}} - \mathrm {T} _ {\text {黄}}), +$$ + +得到 $\mathrm{T}_{\text {红}} = \mathrm{T}_{\text {黄}} - \left(\mathrm{T}_{\text {绿}} - \mathrm{T}_{\text {黄}}\right) * \mathrm{R}_{2}$ , 算得预测值见本文附录 3。作图如下所示: + +![](images/57026ecb8aeece1cabd4a6cdd1f0f73789f0be982bb81deecaf94ff7db4db268.jpg) + +其中，红线代表衰减状态3下的预测放电时间。用电池放电时间最大值减去放电时间即得到问题3中要求的剩余放电时间， $\mathrm{T}_{\text {剩}} = \mathrm{T}_{\text {max}} - \mathrm{T}_{\text {红}}$ 。部分数据见表12。 + +表 12 相邻曲线放电时间之差 + +
D1D2D3t红t剩
-1.22.80.8-1.3863828.2438
-2.34.30.8-1.1004827.9579
-2.43.72.21.2252825.6323
...............
176.9126.5124.7824.11092.7466
176.3125.8128.2826.85750
+ +# 七、模型评价与推广 + +# MRE模型 + +优点：简明，易求的特点，与标准误差、拟合度等指标配合使用，可以从不同角度检验模型的精度，而且无需指定模型，因而既克服传统线性模型对样本参数中估计所导致错误增大的问题。 + +缺点：只能对现有数据进行处理 + +# 多项式模型 + +优点：可以广泛应用于各个学科，在表示较少元数和较低次数的对象时非常方便，在参数性质和运算性质方便由于纯量多项式模型 + +缺点：在描述多维高次对象时，由于纯量多项式模型的项数非常多影响运算的简便性，这时人们通常就会舍去大量的复杂项而保留一些简单项进行研究，致使模型失去完整性 + +# 八、参考文献 + +【1】崔文顺&李建玲.就平均相对误差的算法与李庆振等商榷 河北林学院学报【J】1989年 第四卷 4期 74-75 +【2】张纯江&董杰&刘君&贲冰.蓄电池与超级电容混合储能系统的控制策略电工技术学报【J】2014年4期 334-340 +【3】李伟&胡勇.动力铅酸电池的发展现状及其使用寿命的研究进展至中国制造业信息化【J】2011年第40卷第7期70-72 +【4】百度百科. 初等函数【Z】链接：http://baike.baidu.com/subview/46323/46323.html 2016年9月11日 +【5】百度文库.铅酸电池应用非常广泛【Z】链接：http://wenku.baidu.com/view/621e89feaef8941ea76e051a.html?from $\equiv$ search + +2016年9月11日 + +【6】360百科.MDR【Z】链接： + +http://baike.so.com/doc/6806418-7023367.html 2016年9月11日 + +【7】侯世亮.铅酸蓄电池放电特性研究新课程学习（下）【J】2013年6期 + +182-183 + +【8】陈静谨&余宁梅. 阀控铅酸蓄电池分段恒流充电特征的研究 电源技术【J】 2004 + +年1期32-33 + +【9】潘香英&徐强&王克俭&周立新&唐致远.大容量电动车VRLA电池早期容量的衰减电 + +源技术 2008年3期 170-173 + +【10】尹智&王解先& 许才军. 基于线性变换的多项式模型 大地测量与地球动力学 + +2011年5期 91-96 + +【11】高经纬&张培林&任国全&李兵. 油液光谱分析比例模型的建立 内燃机工 + +程2014年06期34-37 + +# 附录： + +# 电池剩余放电时间关于电压的关系拟合 + +function[x,y,p,yy] $=$ xxyyfit(time,ele) +ele.find(ele $\equiv = 0$ ） $) = []$ +n=length(ele); +t=time(1:n); +mid $\equiv$ ceil $(\mathrm{n}^{*}0.1)$ . +xx $\equiv$ t(mid:n)/(60*24); +xmin $\equiv$ max(xx)-xx; +y $\equiv$ flipud(xmid); +x $\equiv$ flipud(ele(mid:n)-9); +[p,s]=polyfit(x,y,2); +yy $\equiv$ polyval(p,x); +end + +# 提取电池放电时间测量值 + +```matlab +function [ TimeAll] = FangDianTime( data1, time ) +TimeAll = {}; +data = {}; +for i = 1:9 + data{i} = data1(:, i); +``` + +```matlab +data{i} (find(data{i}==0)) = []; +n=length(data{i}); +TimeAll{i}=time(1:n)/(60*24); +TimeAll{i}=flipud(max(TimeAll{i})-TimeAll{i}); +end +end +``` + +# 电池剩余放电时间模拟值 + +```matlab +function [TimeFitAll] = FangDianFit(data1, time) +TimeFitAll = {}; +for i = 1:9 +[ x, y, p, yy ] = xxyyfit(time, data1(:, i)); +TimeFitAll{i} = yy; +end +end +``` + +# 计算平均相对误差MRE + +```matlab +function [ MRE, what, dd ] = ccc(dataa, time) +what = []; +data = dataa; +data (find (data == 0)) = []; +data = flipud (data); +ccc = []; +a = []; +n1 = length (data); +cha = data(1:n1-1) - data(2:n1); +num = find(abs(cha <= 0.005)); +n2 = length(num); +for i = 1:n2-230 +if num(i + 230) == num(i) + 230 +a = 1; +ccc = [ccc a]; +else +a = 0; +ccc = [ccc a]; +end +end +who = find(ccc == 1); +dd = who(1); +what = num(dd + 230); +n3 = what(1); +``` + +```matlab +n4=what(length (what)); +[x,y,p] = xxyfit(time,dataa); +yy=polyval(p,x); +MRE=mean(abs(yy(n3:n4)-y(n3:n4))./y(n3:n4)); +end +``` + +# 预测电压为9.8v时，电池的剩余放电时间 + +function [ EP,T] = EveryT( data1, time ) +[ \text{EP} = \left\lbrack \right\rbrack ;] +for $\mathrm{i} = 1 : 9$ + ele=data1(:,i); + time; + [x,y,p] = xxyfit( time,ele ); + [ \text{EP} = \left\lbrack \text{EP};\text{p}\right\rbrack ;] +end + $V = \left\lbrack \begin{array}{llll} {0.64} & {0.8} & 1 \end{array}\right\rbrack {}^{\prime }$ ; + $T = {60} * {24} * {EP} * V$ ; +end + +# 筛选间隔不超过0.005的样本点并计数 + +```matlab +function [ num,N ] = MreNum( data ) +ele=\{}; +num=\{}; +for i=1:9 + ele{i}=data(:,i); + ele{i} (find(ele{i})==0))=[[]; + n=length(ele{i}); + mid=ele{i} (1:n-1)-ele{i} (2:n); + num{i}=find(abs(mid) <= 0.005); +end +N=[]; +for i=1:9 + N=[N length(num{i})]; +end +end +``` + +# 计算任一电流和电压下的电池放电时间 + +```matlab +function [tfit] = TT(data,II) +``` + +```matlab +data (find (data) == 0) = []; +n=length (data); +tfit = []; +for i = 1:n +I = II; +U = data(i); +T = (0.4227 * log(I) - 2.103) * U^2 + (-7.549 * log(I) + 37.62) * U + 32.38 * log(I) - 161.9; +tfit = [tfit; T]; +end +end +``` + +# 预测附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间 + +```matlab +function [ tfit ] = Q3ans(Q3 change1 = Q3(:,2) - Q3(:,3); change2 = Q3(:,3) - Q3(:,4); rate1 = change2 ./change1; change3 = Q3(:,4) - Q3(:,5); rate2 = change3 ./change2; rate2 (isnan(rate2) == 1) = []; n = length (rate2); rate = mean (rate2(101:n)); N = length (change2); BaseChange = change2(n+1:N); BaseNum = Q3(n+1:N,4); tfit = BaseNum - BaseChange * rate; +``` + +$\mathrm{x = Q3(:,1)}$ +y1 $\equiv$ Q3(:,2); +y2 $\equiv$ Q3(:,3); +y3 $\equiv$ Q3(:,4); +y4 $\equiv$ Q3(:,5); +y4 (isnan(y4) $= = 1) = []$ . +plot(x,y1) +hold on +plot(x,y2,'g') +plot(x,y3,'y') +plot(x(1:148),y4,'k') +plot(x(149:301),tfit,'r') +end \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271.md" "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8644116e6812ace01134f963e2b26c63d1144f3c --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241A\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271.md" @@ -0,0 +1,51 @@ +# CT系统参数标定及成像 + +根据图1所示的二维平行光CT系统成像过程和模板（附件1）及其接收数据（附件2），建立数学模型标定CT系统的各个参数。进一步根据标定的系统参数，对附件3和附件4进行成像。 + +问题1 建立基于正方形托盘下待重建物体与接收信息之间关系的数学模型，并分析在所给模板下接收数据关于系统参数的变化规律。接收信息与X射线经过介质的长度成正比，根据附件1中模板介质的吸收率为1，可以得到系统的放大增益。若仅仅采用CT相关参考文献给出的通用性的线积分模型，不根据所给模板给出具体的数学模型，仅仅用非线性优化方法对所有参数一起求解，一般不可能得到系统参数中旋转角度的精准标定。 + +![](images/719b7a80981ad58bdf1d2a6e8a15042460f4934cd6e36d35618ea850e331b5dc.jpg) + +上图给出了所建立的坐标系和第一个旋转角度的示意图。旋转中心为 $(-9.2663, 6.2729)$ ，旋转中心到探测器的垂足离探测器左端点的距离为 70.7107，探测器单元的间距为 0.2768，增益（即信号的放大倍数）为 1.7725。前几个旋转角度分别为 $29.6463^{\circ}, 30.9999^{\circ}, 31.5553^{\circ}, 32.6447^{\circ}, 33.6770^{\circ}, 34.6463^{\circ}, 35.6463^{\circ}$ ；第 16 个旋转角度为 $44.7967^{\circ}$ ；第 32 个旋转角度为 $60.5453^{\circ}$ ；第 89 个旋转角度为 $117.4437^{\circ}$ ；最后两个旋转角度为 $207.6463^{\circ}, 208.6358^{\circ}$ 。 + +探测器的位置大都是在前一个位置的基础上逆时针旋转 $1^{\circ}$ 。 + +问题2 根据问题1得到的系统参数，对另外一组接收数据进行重建。 + +可以采用一般的CT重建模型，但应注意CT的旋转中心不在正方形托盘的中心，需要进行处理。一般的CT重建模型是求解第一类积分方程，属于近似解法，本题需要针对待重建介质几何形状为椭圆且吸收率为分片常数这种特殊性质，对成像模型和算法进行改进。 + +也可以使用数学软件中的命令来完成，但此时可能会出现重构图像平移和旋转，应说明如何处理。 + +重构图像为 + +![](images/efe330e3b2ae2fa299d587d6127995e19dd81b8085651915ef90b2b9d34a63b3.jpg) + +各椭圆介质的参数见表1。 + +表1 + +
椭圆序号中心x坐标中心y坐标半轴长1半轴长2旋转角度吸收率
10.63442.391621.681440.9723-4.99761.0044
2-4.541525.08575.58423.064730.00521.1987
33.935320.89467.249812.6679-1.99641.2991
4-9.7845-19.30765.448810.348143.99850
512.5797-16.83754.46911.7643-29.99850
6-1.98525.75871.82241.2426-60.00391.0616
+ +10个特征点的吸收率见表2。 + +表2 + +
序号12345
吸收率01.004401.19871.0616
序号678910
吸收率1.49341.2991000
+ +问题3 由于接收数据含有噪声，对在重建的基础上，加上抑制噪声的模型，应给予较好的评价。 + +介质的吸收率在[1,9]之间，空气部分的吸收率小于0.1。 + +重构图像为 + +![](images/4f7548c54f943ffaa80175028e624e44725fa4977dfd0d691098ba390eeb5686.jpg) + +10个特征点的吸收率见表3。 + +表3 + +
序号12345
吸收率0.00632.56586.86980.00760.0185
序号678910
吸收率3.37936.20050.00258.2590.0071
+ +问题4 这一问题是开放的，可以进行多方面的讨论：能够实现标定的条件（例如需要假设模板在各个角度下的投影值探测器都能接收到、所给的模板能够实现标定的原因、一个椭圆为什么不能等）；不同情况下的标定算法性能（最好和最坏的情况分析）；测量数据有噪声时对模型和算法的影响。 + +对能够自行构造数据进行模型检验的论文，应给予较好的评价。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241B\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241B\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271.md" "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241B\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241B\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..28133bbce9a3bd1600a61da2d627af492bef66f7 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241B\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271/2017\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241B\351\242\230\350\257\204\351\230\205\350\246\201\347\202\271.md" @@ -0,0 +1,19 @@ +# 2017 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题评阅要点 + +本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 + +本题来源于实际问题，要求对“拍照赚钱”项目中的任务进行定价，使得任务对会员有吸引力而不至于被会员所放弃，特别是那些处在比较偏远位置的任务。 + +问题1：在已经结束的项目中研究任务定价规律，分析任务未完成的原因。理论上任务定价跟所有会员的限额、会员与任务之间距离有关，在已知的定价数据上，这是一个高维数据函数拟合问题，需要一定的降维处理；同样，任务是否完成也跟所有会员的限额、会员与任务之间距离有关，在已知任务完成与否的情况下，这是一个高维数据分类问题。 + +问题2：问题2要求对已结束项目中的任务设计新的定价方案。不同的原则可能对应于不同的定价，一个好的定价方案应该考虑到以下几点： + +1. 任务定价的主要目的是在不提高平台的运行成本的前提下，尽量提高任务的完成率。 +2. 定价方案应该对所有会员都有一定的吸引力，均衡性是一种可能的方案； +3. 定价方案需要照顾到优质会员的利益，也要对新会员保留一定的机会；对定价方案的评价可以模拟会员抢单，统计任务完成率进行评价。 + +问题 3: 问题 3 是考虑任务打包问题, 按照一定的原则打包 (比如就近打包和远近搭配打包等方式), 在保证任务完成率的情况下节省成本也可以作为一个评价定价方案的新维度。 + +问题4：问题4就是将前面问题2和问题3的方案应用到实际任务之中，需要通过模拟用户抢单，统计任务完成率来对方案进行评价。 + +评阅时主要关注模型的合理性和正确性。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/A\351\242\230CT\347\263\273\347\273\237\345\217\202\346\225\260\346\240\207\345\256\232\345\217\212\346\210\220\345\203\217\350\224\241\345\277\227\346\235\260/A\351\242\230CT\347\263\273\347\273\237\345\217\202\346\225\260\346\240\207\345\256\232\345\217\212\346\210\220\345\203\217\350\224\241\345\277\227\346\235\260.md" "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/A\351\242\230CT\347\263\273\347\273\237\345\217\202\346\225\260\346\240\207\345\256\232\345\217\212\346\210\220\345\203\217\350\224\241\345\277\227\346\235\260/A\351\242\230CT\347\263\273\347\273\237\345\217\202\346\225\260\346\240\207\345\256\232\345\217\212\346\210\220\345\203\217\350\224\241\345\277\227\346\235\260.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a5ac4aaee51b76798ae9ec9da885de52c3e11a9e --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/A\351\242\230CT\347\263\273\347\273\237\345\217\202\346\225\260\346\240\207\345\256\232\345\217\212\346\210\220\345\203\217\350\224\241\345\277\227\346\235\260/A\351\242\230CT\347\263\273\347\273\237\345\217\202\346\225\260\346\240\207\345\256\232\345\217\212\346\210\220\345\203\217\350\224\241\345\277\227\346\235\260.md" @@ -0,0 +1,306 @@ +# CT 系统参数标定及成像 + +蔡志杰 + +复旦大学数学科学学院 + +2017.11.25 + +# 一、问题的提出 + +一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列. X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次. 对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息. + +![](images/698a3415e583b5fb5f04f8970158b3f06ecbefe88deb5256668d57e552526bcf.jpg) +图1 + +CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品(称为模板)标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像. + +现要求建立数学模型和算法, 解决以下几个问题: + +(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板, 模板的几何信息如图 2 所示, 相应的数据文件见附件 1, 其中每一点的数值反映了该点的吸收强度, 称为吸收系数. 对应于该模板的接收信息见附件 2. 请根据这一模板及其接收信息, 确定 CT 系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该 CT 系统使用的 X 射线的 180 个方向. + +![](images/c7c36850b2ac7bac94b80608e4f32b4f70bbce8cb80502ba1257308e91ed6e43.jpg) +图2 + +(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收系数等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收系数，相应的数据文件见附件4。 + +![](images/b8c8e535d995ba4b3ef8d012cd221d40a1f0b316e64d55e553f57d82453c6aa8.jpg) +图3 + +(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息. 利用(1)中得到的标定参数, 给出该未知介质的相关信息. 另外, 请具体给出图3所示的10个位置处的吸收系数. +(4) 分析 (1) 中参数标定的精度和稳定性. 在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型, 以改进标定精度和稳定性, 并说明理由. + +# 二、CT成像的基本原理 + +X射线在穿过物质时，其强度的衰减与物质的厚度及入射辐射强度成正比，比例系数记为 $\mu$ 。若X射线的入射强度为 $I_0$ ，X射线在均匀物质中传播的距离为 $l$ ，则X射线通过均匀 + +物质后的强度为 + +$$ +I = I _ {0} \mathrm {e} ^ {- \mu l}. \tag {2.1} +$$ + +对于不均匀物质, + +$$ +I = I _ {0} \exp \left(- \int_ {L} \mu \mathrm {d} l\right). \tag {2.2} +$$ + +# 三、标准模板的计算 + +考察X射线经过形如标准椭圆 + +$$ +\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 \tag {3.1} +$$ + +的均匀介质的长度. 设 $\mathrm{X}$ 射线经过 $(x_0, y_0)$ 点, 方向角度为 $\phi$ , 则射线的参数方程可写为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = x _ {0} + p t, \\ y = y _ {0} + q t, \end{array} \right. \tag {3.2} +$$ + +其中 $p = \cos \phi$ ， $q = \sin \phi$ + +当 $\Delta_1\geq 0$ 时，X射线经过椭圆，其中 + +$$ +\Delta_ {1} = - \frac {\left(x _ {0} q - y _ {0} p\right) ^ {2}}{a ^ {2} b ^ {2}} + \frac {p ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {q ^ {2}}{b ^ {2}}. \tag {3.3} +$$ + +X射线经过椭圆的长度为 + +$$ +l = \frac {2 \sqrt {\Delta_ {1}}}{\frac {p ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {q ^ {2}}{b ^ {2}}}. \tag {3.4} +$$ + +对圆形的均匀介质 + +$$ +(x - c) ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}, \tag {3.5} +$$ + +当 + +$$ +\Delta_ {2} = r ^ {2} - \left(p y _ {0} - q \left(x _ {0} - c\right)\right) ^ {2} \geq 0 \tag {3.6} +$$ + +时, X 射线经过圆, 其长度为 + +$$ +l = 2 \sqrt {\Delta_ {2}}. \tag {3.7} +$$ + +# 四、系统参数的标定 + +系统参数标定的基本思想是采用最小二乘法，将问题归结为参数辨识的优化模型，即确定系统的各个参数，使得接收信息的理论计算值与测量值之间的平方误差最小。 + +模型可描述为：确定系统的旋转中心 $(x_{c},y_{c})$ ，旋转中心离探测器左端点的距离 $d_{c}$ ，探测器单元的间距 $d$ ，探测器各方向角度 $\theta_{i}$ $(i = 1,2,\dots ,m,m = 180$ 为CT系统的旋转次数)，系统的增益 $\mu$ ，使得 + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {m} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(I _ {i j} - I _ {i j} ^ {*}\right) ^ {2} \tag {4.1} +$$ + +达到最小. + +这是一个非线性优化模型，参数达到近200个，直接进行非线性优化计算，速度慢，精度低，还会陷入局部极小值，从而得不到所需要的结果。因此，必须将问题进行分解，分阶段来确定参数。 + +第1步 确定系统的增益 $\mu$ 和探测器单元的间距 $d$ . + +设经过圆的X射线共有 $n$ 条， + +$$ +x = x _ {i} = x _ {0} + i d, \quad i = 1, 2, \dots , n, \tag {4.2} +$$ + +则X射线在介质中传播的距离分别为 + +$$ +l _ {i} = 2 \sqrt {r ^ {2} - x _ {i} ^ {2}}, \quad i = 1, 2, \dots , n. \tag {4.3} +$$ + +于是接收信息为 + +$$ +I _ {i} = \mu l _ {i} = 2 \mu \sqrt {r ^ {2} - (x _ {0} + i d) ^ {2}}, \quad i = 1, 2, \dots , n. \tag {4.4} +$$ + +利用非线性最小二乘法, 将确定 $\mu, d$ 和 $x_0$ 的数学模型归结为 + +$$ +\min \quad \sum_ {i = 1} ^ {n} \left[ 2 \mu \sqrt {r ^ {2} - (x _ {0} + i d) ^ {2}} - I _ {i} ^ {*} \right] ^ {2}, \tag {4.5} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \quad \mu > 0, \quad d > 0, \quad x _ {0} \leq - r, \tag {4.6} +$$ + +其中 $I_{i}^{*}$ 为第 $i$ 条射线的实际接收信息 + +直接求解上述优化问题, 结果不理想. 对 (4.4) 作变换, 去掉根号, 得到 + +$$ +\frac {I _ {i} ^ {2}}{4 \mu^ {2}} + (x _ {0} + i d) ^ {2} = r ^ {2}, \tag {4.7} +$$ + +从而得到如下优化模型： + +$$ +\min \quad \sum_ {i = 1} ^ {n} \left[ \frac {I _ {i} ^ {* 2}}{4 \mu^ {2}} + (x _ {0} + i d) ^ {2} - r ^ {2} \right] ^ {2}, \tag {4.8} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \quad \mu > 0, \quad d > 0, \quad x _ {0} \leq - r. \tag {4.9} +$$ + +为了更好地确定参数, 给出更为确切的参数范围. 对单独圆的情形, 从附件2中提取出每个角度经过圆的射线数, 即接收信息为非零的个数. 记最小个数为 $n_{\mathrm{min}}$ , 最大个数为 $n_{\mathrm{max}}$ , 则探测器单元之间的距离 $d$ 满足 + +$$ +d _ {\min } = \frac {2 r}{n _ {\min } + 1} \leq d \leq \frac {2 r}{n _ {\max } - 1} = d _ {\max }. \tag {4.10} +$$ + +由此可得 $x_0$ 的范围为 + +$$ +- r - d _ {\max } \leq x _ {0} \leq - r. \tag {4.11} +$$ + +从而得到反演的优化模型 + +$$ +\min \quad \sum_ {i = 1} ^ {n} \left[ \frac {I _ {i} ^ {* 2}}{4 \mu^ {2}} + (x _ {0} + i d) ^ {2} - r ^ {2} \right] ^ {2}, \tag {4.12} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \quad \mu > 0, \quad d _ {\min } \leq d \leq d _ {\max }, \quad - r - d _ {\max } \leq x _ {0} \leq - r. \tag {4.13} +$$ + +第2步 确定系统的各个旋转角度 $\theta_{j}$ $(j = 1,2,\dots ,m)$ + +不妨设探测器经过原点, 探测器上原点右侧的第一个单元与原点之间的距离记为 $d_0$ . 当探测器水平时, 各单元 $P_i$ 的坐标分别为 $(d_0 + id, 0)$ . 对探测器第 $j$ 个方向角度 $\theta_j$ , 各单元 $P_i$ 的坐标为 + +$$ +x _ {i j} = \left(d _ {0} + i d\right) \cos \theta_ {j}, \quad y _ {i j} = \left(d _ {0} + i d\right) \sin \theta_ {j}, \tag {4.14} +$$ + +将其记为 $P_{ij}$ + +下面确定探测器的左端点与原点之间的距离 $d_{l}$ .对固定的 $j$ ，记 $n_j^1$ 为 $I_{ij}$ 中第1个非零值的单元号， $n_j^2$ 为 $I_{ij}^{*}$ 中第1个非零值的单元号，其中 $I_{ij}^{*}$ 为实际接收数据.为书写方便，下面省略下标 $j$ .则左端点与原点之间的距离为 + +$$ +d _ {l} = d _ {0} - \left(n + n ^ {1} - n ^ {2}\right) d. \tag {4.15} +$$ + +利用非线性最小二乘法, 将确定 $d_0$ 和 $\theta$ 的数学模型归结为 + +$$ +\min \quad \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(I _ {i + n ^ {1} - n ^ {2}} - I _ {i} ^ {*}\right) ^ {2}. \tag {4.16} +$$ + +再来确定约束条件. 显然 + +$$ +0 \leq d _ {0} \leq d. \tag {4.17} +$$ + +根据接收数据的图像可以看出，有一部分射线仅通过圆，而没有经过椭圆。通过计算椭圆与圆内公切线的斜率，就可以确定第1条射线方向角度的大致范围。 + +探测器的方向角度满足 + +$$ +\phi_ {1} - 9 0 \leq \theta \leq \phi_ {2} - 9 0. \tag {4.18} +$$ + +记第1条仅通过圆介质的射线是第 $l$ 条射线，由于探测器的旋转角度大约为1度，因此探测器的第1个方向角度应在 $\phi_2 - 90 - l$ 附近， + +$$ +\phi_ {2} - 9 1 - l \leq \theta_ {1} \leq \phi_ {2} - 8 9 - l. \tag {4.19} +$$ + +确定 $d_0$ 和 $\theta_{1}$ ，使得 + +$$ +\min \quad \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(I _ {i + n ^ {1} - n ^ {2}} - I _ {i} ^ {*}\right) ^ {2}, \tag {4.20} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \quad 0 \leq d _ {0} \leq d, \quad \phi_ {2} - 9 1 - l \leq \theta_ {1} \leq \phi_ {2} - 8 9 - l. \tag {4.21} +$$ + +对 $\theta_{j}$ $(j = 2,\dots ,m)$ 类似处理, 其中相应的约束条件改为 + +$$ +\theta_ {j - 1} \leq \theta_ {j} \leq \theta_ {j - 1} + 2. \tag {4.22} +$$ + +第3步 确定系统的旋转中心 $(x_{c},y_{c})$ 和旋转中心离左端点的距离 $d_{c}$ + +我们有 + +$$ +x _ {c} \cos \theta + y _ {c} \sin \theta - d _ {c} = - d _ {l}. \tag {4.23} +$$ + +利用180个旋转角度的数据，采用线性最小二乘法即可求得 $(x_{c},y_{c})$ 和 $d_{c}$ + +# 五、图像重构 + +将整个正方形托盘划分成 $p \times p$ 个单元, 将每个单元中的吸收系数近似为一个常数, 第 $i$ 行第 $j$ 列单元的吸收系数记为 $\mu_{ij} (i,j = 1,2,\dots ,p)$ . 这样, 共有 $p + 1$ 条横线和 $p + 1$ 条纵线. 分别计算出不同旋转角度、不同位置的射线与这些横线和纵线之间的交点, 将这些交点按 $x$ 坐标升序排列, 相邻两点之间的距离就是经过该单元的长度. 对第 $i$ 条射线的第 $j$ 个旋转角度来说, 经过各单元的长度矩阵记为 $L_{ij} = (l_{ijkl})_{p \times p}$ . 这样, 该射线的接收信息为 + +$$ +\sum_ {k, l = 1} ^ {p} l _ {i j k l} \mu_ {k l} = I _ {i j} ^ {*}. \tag {5.1} +$$ + +这就是关于各单元吸收系数矩阵 $K = (\mu_{kl})_{p\times p}$ 的线性代数方程组. 注意, 为了方便, 这里的接收信息已经去掉了系统整体增益的影响. + +通常这是超定或欠定方程组, 例如, 就赛题而言, 正方形托盘划分成 $256 \times 256$ 个单元, 射线数为 $n = 512$ , 旋转角度数为 $m = 180$ , 那么, 方程数远远大于变量数, 这是超定方程组. 因此, 需要使用线性最小二乘法来求解. + +另一方面, 由于方程组的规模非常大, 不能用直接法进行求解, 而应采用间接法求解. + +需要注意的是：数值计算必然会导致误差，从而导致吸收系数的计算结果出现负值，因此必须对其进行处理。一种处理方法是，在迭代过程中将负值取为0。 + +Matlab 提供了图像重构的命令 iradon, 用于实现二维平行光束的 CT 重建, 采用的方法是滤波反投影算法. 但是, 使用该命令的前提是旋转中心在正方形托盘的中心, 且坐标系是一致的, 不能相差一个角度. 因此, 直接用 iradon 命令, 重构的图像会相差一个平移和旋转. + +为了消除旋转的影响, 可在 iradon 函数中加入射线旋转角度参数, 但这仍相差一个平移. + +消除平移的一种方法是, 对附件 2 用 iradon 函数进行图像重构, 确定出重构图像中椭圆的中心位置, 其与原点的偏移量就是附件 3 重构图像的偏移量. 减去这一偏移量, 就可以得到正确的图像了. + +# 六、确定图像中图形的几何信息 + +赛题要求给出附件3中各个几何图形的信息，也就是要求给出附件3中6个椭圆的中心坐标、两个半轴长、旋转角度及吸收系数. + +首先提取各个椭圆的边界, 然后对其作二次曲线拟合, 得到一般椭圆的方程. 设对某一个椭圆拟合得到的椭圆方程为 + +$$ +a x ^ {2} + 2 b x y + c y ^ {2} + 2 d x + 2 e y + f = 0, \tag {6.1} +$$ + +其中 $b^{2} - ac < 0$ + +计算椭圆的中心坐标、两个半轴长及倾斜角度 + +将得到的椭圆信息作为初始值, 采用非线性最小二乘法, 可以得到更精确的结果 + +# 七、对含有噪声的接收信息的处理 + +附件5含有噪声.采用问题2同样的方法进行图像重构，可以看到，重构图像四周应为空气，其吸收系数为0.当某些位置的X射线沿某些角度穿过该图像时，其吸收强度应为0，而附件5中相应的接收信息不为0. + +取出这些接收信息进行分析，可以知道它们满足 $[0, 0.3]$ 的均匀分布。因此，可以将接收信息小于0.3的部分置为0。 + +另一种方法是，在迭代过程中，不必等到数值结果收敛，只要相邻两次迭代的误差小于噪声水平就停止迭代。 + +# 八、竞赛论文的评述 + +1. 增加了额外的假设条件 +(1) 旋转中心在探测器的中点. +(2) 系统均匀旋转, 每次旋转角度为 $1^{\circ}$ . 也有用拟合方式, 得到均匀旋转的角度. +2. 用较少信息进行标定 +3. 没有注意到离散与连续之间的区别 +假设必有一条射线经过椭圆中心、圆心，与椭圆水平相切、垂直相切，就椭圆与圆的公切线等. +4. 没有按要求完成赛题 +5. 没有考虑实际应用的方便性 +6. 编程能力较弱 +7. 参考文献的引用 +8. 检验 +9. 设计新模板, 但没有重新计算, 没有说明为什么要这样设计. \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/C\351\242\230\350\256\262\350\257\2042017\346\230\206\346\230\216 \345\264\224\346\201\222\345\273\272/C\351\242\230\350\256\262\350\257\2042017\346\230\206\346\230\216 \345\264\224\346\201\222\345\273\272.md" "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/C\351\242\230\350\256\262\350\257\2042017\346\230\206\346\230\216 \345\264\224\346\201\222\345\273\272/C\351\242\230\350\256\262\350\257\2042017\346\230\206\346\230\216 \345\264\224\346\201\222\345\273\272.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f0fb98e6004f48ad0fb808edc71c69b574ed02b2 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/C\351\242\230\350\256\262\350\257\2042017\346\230\206\346\230\216 \345\264\224\346\201\222\345\273\272/C\351\242\230\350\256\262\350\257\2042017\346\230\206\346\230\216 \345\264\224\346\201\222\345\273\272.md" @@ -0,0 +1,699 @@ +# C -- 题 + +# 颜色与物质浓度辨识 + +崔恒建 + +首都师范大学 + +昆明，2017.11.25 + +甲醛测量，试纸读颜色 +随着照相技术和颜色分辨率的提高, 希望建立颜色读数和物质浓度的数量关系 + +只要输入照片中颜色读数就能够获得待测物质浓度 + +# 二氧化硫 + +0水 + +![](images/f29becd9dd7dc826c57ca70407a1ccf9ba36d113d94725c80e3711c776183aec.jpg) + +10 + +![](images/dd44d09c4544a3608b2a0109fd87dc14fa3408dc1ccc80ea79418890d1df68bb.jpg) + +20 + +![](images/f991ac41c6f86522d2172882f62c7b11c357e940201122788bf231407944754e.jpg) + +40 + +![](images/98664a17c4147bcfa24581cbcdbb5eb4e8599b53df9198fa4f843e160c2904ad.jpg) + +60 + +![](images/c5724a5ba7b3b828ef811a84878494ff37b3524d881f17402c42c39b2f45d451.jpg) + +100 + +![](images/008b4be6b607f6d10459438eb5b9fe3175d97a2ee26c620995ffe8f6fedcb291.jpg) + +- 试根据附件所提供的有关颜色读数和物质浓度数据, 请你完成下列问题: + +1. 附件Data1.xls中分别给出了5种物质的在不同浓度下的颜色读数，讨论从这5组数据能否确定颜色读数和物质浓度之间的关系，并给出一些准则来评价这5组数据的优劣。 +2. 对附件Data2.xls中所给数据，建立颜色、读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析。 +3. 探讨数据量和颜色维度对模型的影响。 + +希望用颜色预测浓度构建模型: + +$$ +Y \sim f (R, G, B, H, S) +$$ + +这里 $f$ 一般未知, 根据机理, 可对每个变量单调。 + +# 思路: + +- 用 Data1 探索建模方法（数据质量评估） +- 用 Data2 验证上述建模方法 +影响建模的变量选择与分析 + +1. 建模过程就是选择 $f$ 的过程。 + +通常 $f$ 选择的类型（可用于预测）： + +参数或半参数函数形式，如： + +$$ +f = f _ {0} \left(b _ {0} + b _ {1} R + b _ {2} G + b _ {3} B + b _ {4} S + b _ {5} H\right) +$$ + +$f_{0}$ 单调, $\mathrm{S}$ 型。 + +线性模型（大多数学生用） +线性模型的单调变换（建议） + +$$ +Y \sim f _ {0} (b _ {0} + b _ {1} R + b _ {2} G + b _ {3} B + b _ {4} S + b _ {5} H) +$$ + +广义线性模型（ $f_{0}$ 形式已知， + +如 logistic 变换等) + +# 2. 数据质量评估（新）： + +数据质量是建模的基础，本题主要考虑基于模型的 + +误差分析与评判: + +残差图、MSE、MSCV、R^2 + +异常或离群点识别: + +3sigma准则、Boxplot + +3. 样本大小和颜色维数对模型的影响。 + +逐步回归，变量选择误差分析与比较 + +4. 使用R、Matlab语言 + +![](images/f1b5b7b71cf0b81789070342eceaaef632caa807de6f17d479c9141afbceb8d2.jpg) + +![](images/a85b9437c51dfc614d0694d6d337d991f5810d6329d5f033bc85ac38a3fc8812.jpg) + +![](images/bba942e60f72bc021c813cbceca89dc82b5f190273d11377c2681ce4ef281f71.jpg) + +![](images/92bdf6f8b15549caf838443dc05124c215818e2f4b1449e235bc1c78dad6939c.jpg) + +![](images/336621b44abfed10e6a2ad11049a532c7d1bd401c1c2af386ac8dba72db57538.jpg) + +# 基本数据可视化 + +# 1. 矩阵散点图 + +![](images/54fffa6b26825a907b6048be17694fab3a0b809030f0b25e5f803e356c7bbb71.jpg) +矩阵散点图 + +# 2.3-sigma控制图: + +![](images/ea19a1d4ea21cf40c3b05c1ababf1eba34c36a35bcfbd5d0dfe6b9afe6af9cdd.jpg) + +# 3. 箱线图（异常点识别） + +![](images/191353b19f53f9e7bba386ec8ca85333b2a711d8993ac7aec7715c95517ce9f5.jpg) + +# 4. 其他可视化方法 + +# 二、线性回归模型 + +$$ +\begin{array}{l} Y = b _ {0} + b _ {1} R + b _ {2} G + b _ {3} B + b _ {4} S + b _ {5} H + \varepsilon \\ = X ^ {T} b + \varepsilon \\ \end{array} +$$ + +其中: $X^{T} = (1, R, G, B, S, H)$ + +$$ +\begin{array}{l} E (\varepsilon) = 0, \\ V a r (\varepsilon) = \sigma^ {2} \\ \end{array} +$$ + +$$ +\boldsymbol {Y} _ {i} = \boldsymbol {X} _ {i} ^ {T} \boldsymbol {b} + \varepsilon_ {i} (1 \leq i \leq n) +$$ + +最小二乘估计: + +$$ +\hat {\boldsymbol {b}} = (\mathbf {X} ^ {T} \mathbf {X}) ^ {- 1} \mathbf {X} ^ {T} \mathbf {Y} +$$ + +$$ +E (\hat {\boldsymbol {b}}) = \boldsymbol {b}, \operatorname {C o v} (\hat {\boldsymbol {b}}) = \left(\mathbf {X} ^ {T} \mathbf {X}\right) ^ {- 1} \sigma^ {2} +$$ + +残差: $r_{i} = y_{i} - X_{i}^{T}\hat{b}$ + +T-化残差: $r_{i}^{*} = r_{i} / s(r)$ + +- 复相关系数（决定系数）： + +$$ +R ^ {2} = \frac {S S R}{S S T} = 1 - \frac {S S E}{S S T} +$$ + +调整的复相关系数: + +$$ +R ^ {* 2} = 1 - \frac {S S E / (n - p - 1)}{S S T / (n - 1)} +$$ + +MSE: MSE = $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i^2$ + +- MSCV（平均平方交叉核实预测误差）：Dep + +$$ +M S C V = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(y _ {i} - X _ {i} ^ {T} \hat {\boldsymbol {b}} _ {(- i)}\right) ^ {2} +$$ + +显著性检验: $H_{0}: b_{j} = 0, H_{1}: b_{j} \neq 0$ + +$$ +T = \frac {\left(\mathbf {X} ^ {\mathrm {T}} \mathbf {X}\right) _ {i} ^ {1 / 2} \hat {b} _ {i}}{\sqrt {n M S E / (n - p - 1)}} \approx t (n - p - 1) +$$ + +近似t检验。 + +# - 变量选择 + +$$ +\frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(y _ {i} - X _ {i} ^ {T} b\right) ^ {2} + \sum_ {j = 1} ^ {p} P _ {\lambda} \left(\left| b _ {j} \right|\right) = \min +$$ + +# - $P_{\lambda}(\cdot)$ 是惩罚函数: + +![](images/2570aa545c871ce1ab3f1de6b277b7e7cd447e37db45a8eed92ac0a546a9ffee.jpg) + +![](images/395d1f3b0ea03d339b40282da5bfd8b317f55de8d7f442e62cf653616992dd21.jpg) + +![](images/1dc0fcc3c0084a1801a66a218d4381619ce626ac7a1c5b1d99c820926d0270ce.jpg) + +# 例如: + +# 组胺 (n=10) + +# 一、矩阵散点图 + +![](images/8f33a13417c58b6b639867c0da10bdc7348b7af4dfecd11cd36b7f615f6c0dde.jpg) +矩阵散点图 + +# 二、线性回归模型: + +Call: + +$$ +\operatorname {l m} (\text {f o r m u l a} = \mathrm {y} \sim \mathrm {x} [, 1 ] + \mathrm {x} [, 2 ] + \mathrm {x} [, 3 ] + \mathrm {x} [, 4 ] + \mathrm {x} [, 5 ]) +$$ + +Residuals: + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{c c c c c c c c c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ - 0. 9 9 3 1 3 & - 0. 0 8 3 2 4 & - 0. 1 8 4 0 5 & - 0. 0 8 7 0 7 & 0. 9 2 0 2 0 & 0. 7 3 3 3 7 & 0. 1 4 1 8 0 & - 0. 2 2 2 3 5 & 1. 0 5 6 5 1 \\ 1 0 \end{array} \\ - 1. 2 8 2 0 2 \\ \end{array} +$$ + +Coefficients: + +$$ +\begin{array}{l} \text {(I n t e r c e p t)} - 2 1 2. 7 6 5 0 \quad 8 4. 1 7 1 4 \quad - 2. 5 2 8 \quad 0. 0 6 4 8 1 9 \\ x [, 1 ] \quad 2. 8 5 4 8 \quad 0. 9 0 8 9 \quad 3. 1 4 1 \quad 0. 0 3 4 8 1 9 \star \\ x [, 2 ] \quad - 4. 4 8 7 3 \quad 0. 4 4 7 0 \quad - 1 0. 0 3 9 \quad 0. 0 0 0 5 5 4 \quad * * * \\ x [, 3 ] \quad 2. 3 2 1 3 \quad 0. 6 5 3 3 \quad 3. 5 5 3 \quad 0. 0 2 3 7 3 3 \star \\ x [, 4 ] \quad 4. 5 9 3 2 \quad 0. 8 6 6 3 \quad 5. 3 0 2 \quad 0. 0 0 6 0 7 8 \star \\ x [, 5 ] \quad 1. 1 4 1 5 \quad 0. 4 2 9 8 \quad 2. 6 5 6 \quad 0. 0 5 6 6 4 1 \end{array} . +$$ + +$$ +\text {S i g n i f . c o d e s :} 0 ^ {\prime \prime \prime \prime} 0. 0 0 1 ^ {\prime \prime \prime} 0. 0 1 ^ {\prime \prime} 0. 0 5 ^ {\prime \prime} 0. 1 ^ {\prime \prime} 1 +$$ + +Residual standard error: 1.145 on 4 degrees of freedom + +Multiple R-squared: 0.9996, Adjusted R-squared: 0.9991 + +F-statistic: 1904 on 5 and 4 DF, p-value: 7.71e-07 + +![](images/873fa8422b7bc5f4d6e94d2e6a1256d9c82c26c23f4da2d79402fb329bdd5207.jpg) +线性回归t-化残差图 + +![](images/0fc5550dab91c0a6df8394de3e8cfebae8042f4645e5bb3ae02d32c0e90416e3.jpg) +线性回归真实值与预测值之间的关系 + +![](images/cbe44f4a6271ec9c6ff344ce3df8a6ff63ddeb4bfdae23084c624a24f8e02592.jpg) +t-化CCV + +1. MSE和MSCV(标准化) + +MSE: 0.525 (0.0004) + +MSCV: 3.511 (0.0025) + +2.3或 2sigma 点 + +2sigma: 无, +3sigma: 无 + +# 三、Logistic回归模型 + +机理：取 + +$$ +f _ {0} (x) = \frac {\exp (x)}{1 + \exp (x)} +$$ + +$$ +Z \approx \frac {\exp \left(b _ {0} + b _ {1} R + b _ {2} G + b _ {3} B + b _ {4} S + b _ {5} H\right)}{1 + \exp \left(b _ {0} + b _ {1} R + b _ {2} G + b _ {3} B + b _ {4} S + b _ {5} H\right)} +$$ + +这里, $Z = \frac{Y - \min + d}{\max - \min + 2d}$ , $Y$ 是浓度。 + +Call: + +$$ +\operatorname {l m} (\text {f o r m u l a} = \mathrm {Z} \sim \mathrm {x}) +$$ + +# Residuals: + +```txt +1 2 3 4 5 6 7 8 -0.0036797 -0.0002991 -0.0006495 -0.0003076 0.0033442 0.0027068 0.0005114 -0.0008541 9 10 0.0039005 -0.0046728 +``` + +# Coefficients: + +Estimate Std. Error t value $\mathsf{Pr}(|t|)$ (Intercept) -0.956310 0.308917 -3.096 0.036373 \* xV2 0.010391 0.003336 3.115 0.035700 \* xV3 -0.016369 0.001640 -9.978 0.000567 \*\* xV4 0.008492 0.002398 3.541 0.023981 \* xV5 0.016704 0.003179 5.254 0.006280 \*\* xV6 0.004144 0.001578 2.627 0.058394 . + +```txt +Signif. codes: 0 \*\*\* 0.001 \*\* 0.01 \*\* 0.05 .0.1 1 +``` + +Residual standard error: 0.004204 on 4 degrees of freedom + +Multiple R-squared: 0.9996, Adjusted R-squared: 0.999 + +F-statistic: 1879 on 5 and 4 DF, p-value: 7.921e-07 + +![](images/ce1d7ec71c30822cab924583359fe90ae10284f8a054082e40abb04f52280694.jpg) +logistic回归函数形式 + +![](images/002ef4c6eec3d6630491aaeb50b6c159f01b8f9273750c2917d8868c6189d615.jpg) + +![](images/a4fcd5ecd787477d0e445bee6e7579dcf278252421ab3731ac74e697f9d0a255.jpg) +logistic回归t-残差图 + +![](images/d50182daee23e2f7e32bed5e0913ed7f4458f208a7c1083de42fdf37fb2f1921.jpg) +logistic拟合值与真实值的关系 + +![](images/bfcd4a4c5669fa6d2d53db53cdf01a80bf7752822a9d8f8208c1d6d198eb5998.jpg) +t-CCV + +1. MSE和MScV(标准化) + +MSE: 0.529 (0.0004), + +MSCV: 3.536 (0.0025) + +2.3或 2sigma 点 +2sigma: 无, +3sigma: 无 + +# 四、变量选择 + +> scad<-ncvreg(x+0,y,family="gaussian",penalty="SCAD") +> dof<-apply(abs(scad\ $beta[2:(pp+1),])>.Machine\$ double.eps,2,sum) +> bic<-as.vector(n\*log(scad\$loss) + 2\*log(n)\*dof) ##BIC准则 +> t1<-sort(bic,ind=T) +> sbeta<-as.vector(scad\$beta[2: (pp+1), t1\$ix[1]]) +>sbeta + +[1] 0.401292 -4.445134 2.979073 4.578606 0.000000 + +> + +- 可去掉第5个变量，再进行建模，影响不大，与上述结果基本一致。 + +![](images/8cda44de7854c51c1fca175a2a9923b4458a7562a258521b4e616a5fa4f7031c.jpg) + +![](images/617d7cf1374881411962fee4634c69467d2a795705a4463fe55dc938994b671f.jpg) + +![](images/aec6d186da6375492abf6be8ccf3fdffc4718012fb6fecfbc3b3ec072ab984a0.jpg) + +![](images/69ab591ff1d05988af67d751b2594d4dbe42479b97488dffb2181523a6e34aac.jpg) + +![](images/7728cd64da29c5030c075357020af7cadece99c84d05023dbf0ee7e29e0e5225.jpg) + +![](images/569acb66927dc0b6579e9e556a99becc656d26c477ad3e1eb64aa5b79f0b0b91.jpg) + +# 奶中尿素（n=15） + +# 一、矩阵图散点图 + +![](images/f66b8f852bc1111dd66bf49fa07adab710e8ee3182d798e0c6e0b5c44e16b495.jpg) +矩阵散点图 + +![](images/bb1ef7d1da6737cd8a211dd576e1188fe3885ad97d272658b02a988ec00c9e69.jpg) + +![](images/36a6f14bf412c5c490ed6fad2ea63cb80521224684ba9a483de3db428d518393.jpg) + +![](images/0a6322f5570cd2e577d8732135caa5c68c929b88dd4c558b9fefe316ad7f559e.jpg) + +# 二、线性回归 + +Call: + +$$ +\operatorname {l m} (\text {f o r m u l a} = \mathrm {y} \sim \mathrm {x} [, 1 ] + \mathrm {x} [, 2 ] + \mathrm {x} [, 3 ] + \mathrm {x} [, 4 ] + \mathrm {x} [, 5 ]) +$$ + +Residuals: + +Min 1Q Median 3Q Max + +$$ +- 3 6 8. 5 8 - 1 5 8. 5 5 \quad 1 0. 1 9 \quad 7 1. 7 0 \quad 5 8 7. 0 3 +$$ + +Coefficients: + +Estimate Std. Error t value $\mathrm{Pr}(|t|)$ + +(Intercept) 12221.2 10790.0 1.133 0.2866 +x[，1] 280.1 280.5 0.999 0.3440 +x[，2] 495.2 181.6 2.726 0.0234\* +x[，3] -811.3 314.9 -2.576 0.0299\* +x[，4] -365.9 122.7 -2.981 0.0154\* +x[，5] 251.1 158.2 1.587 0.1470 + +一一 + +Signif. codes: 0 \*\*\* 0.001 \*\* 0.01 \* 0.05 .0.1 1 + +Residual standard error: 303.1 on 9 degrees of freedom + +(2 observations deleted due to missingness) + +Multiple R-squared: 0.9019, Adjusted R-squared: 0.8473 + +F-statistic: 16.54 on 5 and 9 DF, p-value: 0.0002653 + +![](images/1bc26ae66a67a221b1ec08ccc2af9d24bce4f0fbca8856e1addcb2e958b46f0c.jpg) +线性回归t-化残差图 + +![](images/c441de8b020523708133e3ddfee7c70d1058ede22d3aceb29a8a0530941dd154.jpg) + +![](images/466bb57910827f54173ac4347af0559ade36a46a87ba37051fb9e02329779393.jpg) +t-化CCV + +1. MSE和MSCV(标准化) + +MSE: 55118 (0.1910) + +MSCV: 125338 (0.2083) + +2.3或 2sigma 点 +2sigma: 5, 3sigma: 无 +3. 点 $7, 8$ 不匹配。 + +# 三、Logistic回归模型 + +Call: + +$$ +\operatorname {l m} (\text {f o r m u l a} = \mathrm {Z} \sim \mathrm {x}) +$$ + +Residuals: + +Min + +1Q + +Median + +3Q + +Max + +$$ +- 0. 5 7 7 7 5 - 0. 2 2 4 5 7 \quad 0. 0 3 1 2 5 \quad 0. 1 5 4 9 0 \quad 0. 9 3 9 9 1 +$$ + +Coefficients: + +Estimate Std. Error t value $\mathrm{Pr}(|t|)$ + +(Intercept) 13.1882 17.1554 0.769 0.4617 + +xV2 0.5379 0.4460 1.206 0.2585 + +xV3 0.7686 0.2888 2.662 0.0260* + +xV4 -1.3352 0.5007 -2.667 0.0258 * + +xV5 -0.5507 0.1952 -2.822 0.0200\* + +xV6 0.4466 0.2516 1.775 0.1096 + +--- + +Signif. codes: 0 \*\*\* 0.001 \*\* 0.01 \* 0.05 .0.1 1 + +Residual standard error: 0.4819 on 9 degrees of freedom + +Multiple R-squared: 0.8995, Adjusted R-squared: 0.8437 + +F-statistic: 16.12 on 5 and 9 DF, p-value: 0.0002936 + +![](images/b75ff5ac884ac7c4fb5d60837b55b016999927c7483e834db7bdc57d61b0b509.jpg) +logistic回归函数形式 + +![](images/70c5c16a4f0a76a6c7dc4921ac9727423ab61fad4462a3e70d8e983059c7d661.jpg) +logistic拟合值与真实值的关系 +t-CCV + +![](images/f02130787ba231ce0f5115b8dc2c5c084024f42d0cb7c6af938e9a2e406d2ac5.jpg) +logistic回归t-残差图 + +![](images/e8e74ea3b60831cd3ade5d696e39681611edafd242112403c898fa4b7f0d3312.jpg) + +1. MSE和MSCV(标准化) + +MSE: 50788 (0.0916) + +MSCV: 117778 (0.2083) + +2.3或 2sigma 点 +2sigma: 5, 3sigma: 无 +3. 点 $7, 8$ 不匹配。 + +# 四、变量选择 + +> scad<-ncvreg(x+0,y,family="gaussian",penalty="SCAD") +> dof<-apply(abs(scad\ $beta[2:(pp+1),])>.Machine\$ double.eps,2,sum) +> bic<-as.vector(n\*log(scad\$loss)+2\*log(n)\*dof) #BIC准则 +> t1<-sort(bic,ind=T) +> sbeta<-as.vector(scad\$beta[2: (pp+1), t1\$ix[1]]) +>sbeta + +[1] -112.4755 + +0.0000 + +0.0000 + +0.0000 + +0.0000 + +只与x1有关。 + +- 5组数据中，依照模型与数据的拟合和匹配程度评估： + +组胺 $> =$ 溴酸钾：基本可以确定关系 + +奶中尿素：不确定，倾向于可以确定关系 + +硫酸铝钾 >=工业碱：不能很好确定关系。 + +![](images/09e980dcee64ead3714db11abe2aac678052052a5cf7f961971bb6b56cacf2f5.jpg) + +![](images/ed3ff616cfb012170b89c89e6d0fa9def4cbd026228f3f5fdcb069102a620ae7.jpg) + +![](images/68aa9368c785b001cc09993b7bb57663bf35a9900563c8fe92da551ac58770f7.jpg) + +# 二氧化硫 (n=25) + +# 一、矩阵图散点图 + +![](images/e950c016c274017063decb50db130ee96c9fb09d30e60e801b0174adc7642bec.jpg) +矩阵散点图 + +# 二、线性回归 + +Call: + +$$ +\operatorname {l m} (\text {f o r m u l a} = \mathrm {y} \sim \mathrm {x} [, 1 ] + \mathrm {x} [, 2 ] + \mathrm {x} [, 3 ] + \mathrm {x} [, 4 ] + \mathrm {x} [, 5 ]) +$$ + +Residuals: + +Min 1Q Median 3Q Max -38.558 -11.042 5.562 11.209 21.361 + +Coefficients: + +Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2846.2912 1235.6515 2.303 0.032719 * +x[，1] 0.6472 5.8138 0.111 0.912533 +x[，2] -19.9277 5.1190 -3.893 0.000978 *** +x[，3] 5.2729 3.8861 1.357 0.190735 +x[，4] -4.8962 6.0724 -0.806 0.430049 +x[，5] -10.3539 3.3588 -3.083 0.006128 ** + +Signif. codes: 0 \*\*\* 0.001 \*\* 0.01 \*\* 0.05 .' 0.1 1 + +Residual standard error: 18.55 on 19 degrees of freedom + +Multiple R-squared: 0.8996, Adjusted R-squared: 0.8731 + +F-statistic: 34.04 on 5 and 19 DF, p-value: 7.567e-09 + +![](images/f9d5928621b24e3dff33ce42ee42a05d4aee4ae53644e426f89ebff1ce3987e4.jpg) +线性回归真实值与预测值之间的关系 + +![](images/2f3f957f19557e903a39806b46f32d35decc573dab7047752654686f5f624011.jpg) +线性回归t-化残差图 +Index + +![](images/bfb662a37cc2631cac2254267081f223445342ddcad51cebeaa78a3240b65bf4.jpg) +t-化CCV +Index + +1. MSE和MScV(标准化) + +MSE: 261.38 (0.0964) + +MSCV: 390.38 (0.1440) + +2. 3或 2sigma 点 +2sigma: 第15, 3sigma: 无 + +# 三、logistic回归 + +Call: + +$$ +\operatorname {l m} (\text {f o r m u l a} = \mathrm {Z} \sim \mathrm {x}) +$$ + +Residuals: + +Min + +1Q + +Median + +3Q + +Max + +-0.13467 -0.03865 0.01915 0.03913 0.07464 + +Coefficients: + +Estimate Std. Error t value $\mathrm{Pr}(|t|)$ + +(Intercept) 9.65521 4.31349 2.238 0.037365 * + +xV2 0.00253 0.02030 0.125 0.902103 + +xV3 -0.06951 0.01787 -3.890 0.000985 *** + +xV4 0.01827 0.01357 1.347 0.193812 + +xV5 -0.01717 0.02120 -0.810 0.427846 + +xV6 -0.03605 0.01172 -3.075 0.006238 ** + +Signif. codes: 0 \*\*\* 0.001 \*\* 0.01 \* 0.05 .0.1 1 + +Residual standard error: 0.06474 on 19 degrees of freedom + +Multiple R-squared: 0.8998, Adjusted R-squared: 0.8734 + +F-statistic: 34.13 on 5 and 19 DF, p-value: 7.395e-09 + +![](images/7d277164bdc05f7bea1e724813ae4f58d30ba5d5dc35ddbc50112b9686f73a51.jpg) +logistic拟合值与真实值的关系 + +![](images/ca3bc8d01dc5e022f640391aad6426fa13cebf8eb4687564126f10a7a4f4e0d2.jpg) + +![](images/1b2564e36344b8f9a700bb29787e235adde0750da7dff37e5924062be310e573.jpg) +logistic回归t-残差图 + +![](images/dd51de11f6f54ffe7a43a4b79b09c82dd7ea41d34bee31ca7b76125987c0f8b9.jpg) +t-CCV + +1. MSE和MScV(标准化) + +MSE: 260.84 (0.0956) + +MSCV: 389.02 (0.1389) + +2. 3或 2sigma 点 +2sigma: 第14, 15, 3sigma: 无 + +# 四、变量选择 + +> scad<-ncvreg(x+0,y,family="gaussian",penalty="SCAD") +> dof<-apply(abs(scad\ $beta[2:(pp+1),])>.Machine\$ double.eps,2,sum) +> bic<-as.vector(n\*log(scad\$loss) + 2\*log(n)\*dof) #BIC准则 +> t1<-sort(bic,ind=T) +> sbeta<-as.vector(scad\$beta[2:(pp+1),t1\$ix[1]]) +>sbeta + +[1] 1.468999 -11.109252 0.000000 0.000000 -4.530689 + +> + +- 可去掉第2，3个变量，再进行建模，与上述结果基本一致。 + +# 可考虑其他模型: + +概率变换模型 +单指标（single-index）模型（ $f_{0}$ 形式未知，用于探索） + +# 谢谢! + +![](images/37c10c1b63d32bf1254acb92f4bd84bc79062161a46378fc194ef76adc115cd3.jpg) + +![](images/e030c3a5117f6963bb108c73215661de3a334b3770ae66a35090d484cb8df2c2.jpg) + +# C评判标准: 关键是模型的选择与误差分析 + +# 一、仅是线性模型+拟合 $(<=5)$ : + +i).无误差分析(R^2,MSE,残差图,CV等)和异常点分析（3sigma准则等）、单一变量模型 + +$$ +< = 2; +$$ + +ii). 误差分析和异常点分析至少有一个 $>=2$ ; +iii). ii)+逐步回归或变量选择(共线分析)或样本变化分析: >=3。 + +二、非线性回归+拟合：i)+0；ii) +1；iii) +1； +三、非线性单调回归+拟合: i)+0; ii)+2; iii)+2. + +- 5组数据中，依照模型与数据的拟合和匹配程度排序： + +组胺 >= 溴酸钾：基本可以确定关系 + +奶中尿素：不确定，倾向于可以确定关系 + +硫酸铝钾 >=工业碱：不能很好确定关系。 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/D\351\242\230 2017\345\205\250\345\233\275\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\256\262\350\257\204\344\274\232/D\351\242\230 2017\345\205\250\345\233\275\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\256\262\350\257\204\344\274\232.md" "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/D\351\242\230 2017\345\205\250\345\233\275\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\256\262\350\257\204\344\274\232/D\351\242\230 2017\345\205\250\345\233\275\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\256\262\350\257\204\344\274\232.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..a81a940bac2af293b05b99409542d6722c4bafe7 --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/D\351\242\230 2017\345\205\250\345\233\275\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\256\262\350\257\204\344\274\232/D\351\242\230 2017\345\205\250\345\233\275\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\256\262\350\257\204\344\274\232.md" @@ -0,0 +1,411 @@ +# 巡检线路的排班 + +——2017年D题讲评 + +# 主讲人：北京工业大学 薛毅 + +2017全国数学建模评会 + +云南、昆明 + +2017年11月25日 + +# 巡检线路的排班——2017年D题讲评 + +- 题目 +- 问题分析及问题1的求解 +- 问题2的求解 +- 问题3的求解 +- 阅卷情况简述 + +# 1. 题目——巡检线路的排班 + +某化工厂有26个点需要进行巡检以保证正常生产，各个点的巡检周期、巡检耗时、两点之间的连通关系及行走所需时间在附件中给出。 + +每个点每次巡检需要一名工人，巡检工人的巡检起始地点在巡检调度中心（XJ0022），工人可以按固定时间上班，也可以错时上班，在调度中心得到巡检任务后开始巡检。现需要建立模型来安排巡检人数和巡检路线，使得所有点都能按要求完成巡检，并且耗费的人力资源尽可能少，同时还应考虑每名工人在一时间段内（如一周或一月等）的工作量尽量平衡。 + +表1 Excel表中的基本信息 + +
位号周期(分钟)巡检耗时(分钟)
XJ-0001353
XJ-0002502
XJ-0003353
XJ-0004352
XJ-00057202
XJ-0006353
XJ-0007802
XJ-0008353
XJ-0009354
XJ-00101202
XJ-0011353
XJ-0012352
XJ-0013805
XJ-0014353
XJ-0015352
XJ-0016353
XJ-00174802
XJ-0018352
XJ-0019352
XJ-0020353
XJ-0021803
XJ-0022352
XJ-0023353
XJ-0024352
XJ-00251202
XJ-0026352
+ +表2 Excel表中的连通关系 + +
巡检点A巡检点B耗时（分钟）
122
231
243
2195
351
361
4211
4234
572
682
6141
6105
8171
9242
9253
10112
+ +
巡检点A巡检点B耗时（分钟）
10126
11132
11157
12152
13162
15182
15266
16183
17251
19202
20222
21222
22231
23241
25263
+ +![](images/f80637ce9278998d5831c2f230c286d85edfd9390b0eb94a88eb1947b25c9b4b.jpg) +图1 Excel表中的连通图 + +# 全国大学生数学建模竞赛赛题讲评 + +问题1. 如果采用固定上班时间，不考虑巡检人员的休息时间，采用每天三班倒，每班工作8小时左右，每班需要多少人，巡检线路如何安排，并给出巡检人员的巡检线路和巡检的时间表。 + +问题3. 如果采用错时上班，重新讨论问题 1 和问题 2，试分析错时上班是否更节省人力。 + +问题2. 如果巡检人员每巡检 2 小时左右需要休息一次, 休息时间大约是 5 到 10 分钟, 在中午 12 时和下午 6 时左右需要进餐一次, 每次进餐时间为 30 分钟,仍采用每天三班倒, 每班需要多少人, 巡检线路如何安排,并给出巡检人员的巡检线路和巡检的时间表。 + +# 2. 问题分析与模型建立 + +这个问题说的复杂一点是旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP），或者是多旅行商问题（m-TSP），更严格的说，是车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP），而且还是带有时间窗口的车辆路径问题（Vehicle Routing Problem with Time Windows, VRPTW）。 + +如果这样考虑问题，这个问题将变得非常复杂。事实上，这个问题并没有这么复杂，因为它只有26个需要巡视的点，如果每个巡视点安排一个人的话，一个班至多是26个人。当然，没有那糟糕，如果一个人能巡视 $3 \sim 5$ 个点的话，一个班也就是 $6 \sim 9$ 个人。因此，只需要启发式算法就可能得到问题的计算结果。 + +# 2.1巡检人员下限估计 + +为估计巡检人员数量的下限，先计算出旅行商问题所需要的时间（包括路程时间和巡检耗时）。对于只有26个城市的旅行商问题，无论是精确计算，还是近似计算都是不困难的。 + +可以考虑使用LINGO程序（见[1]）得到精确的计算结果（见图2），其中路程耗时68分钟和检查耗时67分钟，共计135分钟。 + +![](images/eeded1d9aacf72a72d5b60417207df90d9e69409a9eb9cb5e145941226960f61.jpg) +图2 26个点的TSP线路图 + +# 全国大学生数学建模竞赛赛题讲评 + +由于巡视点两次巡视的最小间隔时间是35分钟，且 $135 / 35 = 3.86$ ，因此，一个班至少需要4名工人。从图2（TSP图形）和题目要求（从22号点开始巡视）来看，只用4名工人巡视，肯定是不够的，应考虑增加1名工人，一个班使用5名工人。 + +从上述计算过程来看，实际上，并不需要精确求解TSP，只需近似计算，估计出一个下界即可。 + +# 问题分析——巡检人员下限估计 + +例如，可以采用手工计算，也可以采用某些启发式算法，如最近领域法、最近插入法、最远插入法、最便宜插入法、任意插入法和交换两边改进方法等。 + +如果不打算自己手工编程，可以使用现成的软件，例如，R软件中的TSP函数（见[2]）就可以很好地解决这些问题，提供不同的参数，选择你喜欢的算法。 + +# 2.2 问题1的求解 + +现知道每个班需要5名工人，所以需要将巡视点划分成5个区域，每个区域最多包含6个点，最少也要有4个点，其目的是保证每个区域的工作量（巡视时间）尽量平衡。 + +由于题目要求，每位工人均从22号点开始巡视，因此，距22号点较近的点则多安排一些，而距22号较远的 + +点则少安排一些。为了完成这种需求的安排，需要计算从22号点至其余各点的最短路，这项工作可用Dijkstra（戴克斯特拉）算法完成。 + +当然，也不需要自己编程计算，直接调用R软件的shortest_paths()函数和get.shortest_paths()函数（见[2]）就可完成此问题，所绘图形如图3所示。 + +![](images/f32c58001f38e8c0bccaea0d84f4e047f0b4956cfc1c3fe1232a9ee480ce0531.jpg) +图3 22号点至其余各点的最短路 + +# 全国大学生数学建模竞赛赛题讲评 + +从图3出发，作如下尝试，将 + +• 22、20、19、2、4和21号点编为第一组; +• 23、24、9、8、17和25号点编为第二组; +• 1、3、6、14、5和7号点编为第三组; +• 26、15、18和12号点编为第四组; +• 11、13、16和10号点编为第五组。 + +# 问题分析——问题1的求解 + +每一组都找出相应TSP的结果，具体分组和相应的TSP图形如图4所示。 + +这种分组方式是为了满足题目的要求： + +- 在规定的巡视时间间隔内完成巡视； +- 每位工人的工作量尽量平衡，巡视时间即不能过长，也不能过短。 + +![](images/db553b2005cf0ee4b4d3cd36b52a1a51e8b046adc19231a8098d953f3986cd3a.jpg) +图4 巡检线路的分组情况，5-TSP + +# 全国大学生数学建模竞赛赛题讲评 + +# 下面给出具体的巡视路线和巡视时间： + +• 第1组（22、20、19、2、4和21号点）的巡视周期是29分钟，而21号点的周期间隔是80分钟，可以两个35分钟巡视一次，所以此时巡视同期是27分钟。 +• 第2组（23、24、9、8、17和25号点）的巡视，最长周期是32分钟、最短周期28分钟（17号点和25号点的时间间隔为分别为480分钟和 + +# 问题分析——问题1的求解 + +120分钟）。 + +• 第3组（1、3、6、14、5和7号点）的巡视，最长周期是32分钟，最短周期19分钟（5号点和7号点的时间间隔分别为720分钟和80分钟）。 +• 第4组（26、15、18和12号点）的巡视，周期长度是28分钟。 +• 第5组（11、13、16和10号点）的巡视，周期长度是25分钟。 + +表3 第1组巡视的时间表（部分） + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
白班
122358:008:028:358:379:109:12
220358:048:078:398:429:149:17
319358:098:118:448:469:199:21
42508:168:188:518:539:269:28
54358:218:238:568:589:319:33
621808:248:27------9:349:37
722358:298:299:019:019:399:39
中班
1223516:0016:0216:3516:3717:1017:12
2203516:0416:0716:3916:4217:1417:17
3193516:0916:1116:4416:4617:1917:21
425016:1616:1816:5116:5317:2617:28
543516:2116:2316:5616:5817:3117:33
6218016:2416:27------17:3417:37
7223516:2916:2917:0117:0117:3917:39
晚班
122350:000:020:350:371:101:12
220350:040:070:390:421:141:17
319350:090:110:440:461:191:21
42500:160:180:510:531:261:28
54350:210:230:560:581:311:33
621800:240:27------1:341:37
722350:290:291:011:011:391:39
+ +
开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
14:1714:1914:5114:5315:2515:27
14:2114:2414:5514:5815:2915:32
14:2614:2815:0015:0215:3415:36
14:3314:3515:0715:0915:4115:43
14:3814:4015:1215:1415:4615:48
------15:1515:18------
14:4314:4315:2015:2015:5115:51
22:1722:1922:5122:5323:2523:27
22:2122:2422:5522:5823:2923:32
22:2622:2823:0023:0223:3423:36
22:3322:3523:0723:0923:4123:43
22:3822:4023:1223:1423:4623:48
------23:1523:18------
22:4322:4323:2023:2023:5123:51
6:176:196:516:537:257:27
6:216:246:556:587:297:32
6:266:287:007:027:347:36
6:336:357:077:097:417:43
6:386:407:127:147:467:48
------7:157:18------
6:436:437:207:207:517:51
+ +表4 第2组巡视的时间表（部分） + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
白班228:00
123358:018:048:368:399:119:14
224358:058:078:408:429:159:17
39358:098:138:448:489:199:23
48358:188:218:538:569:289:31
5174808:228:24------------
6251208:258:27------------
723358:338:339:049:049:399:39
2215:55白班下班时间
中班2216:00
1233516:0116:0416:3616:3917:1117:14
2243516:0516:0716:4016:4217:1517:17
393516:0916:1316:4416:4817:1917:23
483516:1816:2116:5316:5617:2817:31
51748016:2216:24------------
62512016:2516:27------------
7233516:3316:3317:0417:0417:3917:39
2223:55中班下班时间
晚班220:00
123350:010:040:360:391:111:14
224350:050:070:400:421:151:17
39350:090:130:440:481:191:23
48350:180:210:530:561:281:31
5174800:220:24------------
6251200:250:27------------
723350:330:331:041:041:391:39
227:55晚班下班时间
+ +
离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
13:4714:1814:2114:5214:5515:2615:29
13:5014:2214:2414:5614:5815:3015:32
13:5614:2614:3015:0015:0415:3415:38
14:0414:3514:3815:0915:1215:4315:46
---------------------
---------15:1415:16------
14:1214:4614:4615:2215:2215:5415:54
21:4722:1822:2122:5222:5523:2623:29
21:5022:2222:2422:5622:5823:3023:32
21:5622:2622:3023:0023:0423:3423:38
22:0422:3522:3823:0923:1223:4323:46
---------------------
---------23:1423:16------
22:1222:4622:4623:2223:2223:5423:54
5:476:186:216:526:557:267:29
5:506:226:246:566:587:307:32
5:566:266:307:007:047:347:38
6:046:356:387:097:127:437:46
---------------------
---------7:147:16------
6:126:466:467:227:227:547:54
+ +表5 第3组巡视的时间表（部分） + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
白班228:00
11358:088:118:438:469:189:21
23358:148:178:498:529:249:27
36358:188:218:538:569:289:31
414358:228:258:579:009:329:35
557208:288:30------------
67808:328:34------9:409:42
71358:408:409:059:059:489:48
2215:59
中班2216:00
113516:0816:1116:4316:4617:1817:21
233516:1416:1716:4916:5217:2417:27
363516:1816:2116:5316:5617:2817:31
4143516:2216:2516:5717:0017:3217:35
5572016:2816:30------------
678016:3216:34------17:4017:42
713516:4016:4017:0517:0517:4817:48
2223:59
晚班220:00
11350:080:110:430:461:181:21
23350:140:170:490:521:241:27
36350:180:210:530:561:281:31
414350:220:250:571:001:321:35
557200:280:30------------
67800:320:34------1:401:42
71350:400:401:051:051:481:48
227:59
+ +
开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
14:2514:2814:5915:0215:3315:36
14:3114:3415:0515:0815:3915:42
14:3514:3815:0915:1215:4315:46
14:3914:4215:1315:1615:4715:50
------------------
------15:2115:23------
14:4714:4715:2915:2915:59回到22号点
22:2522:2822:5923:0223:3323:36
22:3122:3423:0523:0823:3923:42
22:3522:3823:0923:1223:4323:46
22:3922:4223:1323:1623:4723:50
------------------
------23:2123:23------
22:4722:4723:2923:2923:59回到22号点
6:256:286:597:027:337:36
6:316:347:057:087:397:42
6:356:387:097:127:437:46
6:396:427:137:167:477:50
------------------
------7:217:23------
6:476:477:297:297:59回到22号点
+ +表6 第4组巡视的时间表（部分） + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
白班228:00
126358:108:128:458:479:209:22
215358:188:208:538:559:289:30
318358:228:248:578:599:329:34
412358:288:309:039:059:389:40
526358:388:389:139:139:489:48
2216:13
中班2216:00
1263516:1016:1216:4516:4717:2017:22
2153516:1816:2016:5316:5517:2817:30
3183516:2216:2416:5716:5917:3217:34
4123516:2816:3017:0317:0517:3817:40
5263516:3816:3817:1317:1317:4817:48
220:13
晚班220:00
126350:100:120:450:471:201:22
215350:180:200:530:551:281:30
318350:220:240:570:591:321:34
412350:280:301:031:051:381:40
526350:380:381:131:131:481:48
228:13
+ +
开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
14:2714:2915:0115:0315:3515:37
14:3514:3715:0915:1115:4315:45
14:3914:4115:1315:1515:4715:49
14:4514:4715:1915:2115:5315:55
14:5514:5515:2915:2916:0316:03
22:2722:2923:0123:0323:3523:37
22:3522:3723:0923:1123:4323:45
22:3922:4123:1323:1523:4723:49
22:4522:4723:1923:2123:5323:55
22:5522:5523:2923:290:030:03
6:276:297:017:037:357:37
6:356:377:097:117:437:45
6:396:417:137:157:477:49
6:456:477:197:217:537:55
6:556:557:297:298:038:03
+ +表7 第5组巡视的时间表（部分） + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
白班228:00
111358:158:188:508:539:259:28
213808:208:258:55休息5分钟9:309:35
316358:278:309:029:059:379:40
4101208:368:38------------
511358:408:409:099:099:449:44
2216:14
中班2216:00
1113516:1516:1816:5016:5317:2517:28
2138016:2016:2516:5517:0017:3017:35
3163516:2716:3017:0217:0517:3717:40
41012016:3616:38------------
5113516:4016:4017:0917:0917:4417:44
220:14
晚班220:00
111350:150:180:500:531:251:28
213800:200:250:551:001:301:35
316350:270:301:021:051:371:40
4101200:360:38------------
511350:400:401:091:091:441:44
228:14
+ +
开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
14:3214:3515:0615:0915:4015:43
14:37休息5分钟15:1115:1615:45休息5分钟
14:4414:4715:1815:2115:5215:55
------15:2715:29------
14:5114:5115:3115:3116:14回到22号点
22:3222:3523:0623:0923:4023:43
22:3722:4223:1123:1623:4523:50
22:4422:4723:1823:2123:5223:55
------23:2723:29------
22:5122:5123:3123:310:14回到22号点
6:326:357:067:097:407:43
6:376:427:117:167:457:50
6:446:477:187:217:527:55
------7:277:29------
6:516:517:317:318:14回到22号点
+ +# 3. 问题2的求解 + +# 3.1 休息时间 + +为了简化问题，先不用考虑“每巡视2小时左右休息大约5到10分钟”这一要求。 + +因为在问题1的求解过程中，5名工人在巡视过程中，多次出现5分钟的空余时间，这些空余时间可作休息时间。 + +# 3.2 进餐时间 + +在问题1的讨论中，每班需要5名工人，考虑两次进餐时间（1小时），就需要增加5小时，如果再考虑进餐的衔接时间，需要增加的时间还不止5小时，所以仅依赖于原来的5名工人而挤出进餐时间几乎是不可能的。 + +因此，需要增加1名工人让他在其他工人进餐时，完成巡视工作。 + +# 排班的方法是: + +• 原来的排班时间不变; +• 5名工人的进餐时间安排在11时至13时之间，和17时至19时之间； +• 进餐时间为35分钟（最小的时间间隔），进餐时的巡视工作由第6名（机动）工人完成； +- 第6名（机动）工人的进餐时间可安排在他不替班的非工作时间。 + +表8至表12给出了部分排班的时间表（白班和中班），图中的黄色部分是可用于吃饭的时间。 + +第6名（机动）工人的巡视时间表，以及替换组的情况如表13所示。 + +表8 第1组巡视的时间表（部分，包含进餐时间） + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间
白班
122359:109:129:459:4710:1910:2110:5310:5511:2711:2912:0112:03
220359:149:179:499:5210:2310:2610:5711:0011:3111:3412:0512:08
319359:199:219:549:5610:2810:3011:0211:0411:3611:3812:1012:12
42509:269:2810:0110:0310:3510:3711:0911:1111:4311:4512:1712:19
54359:319:3310:0610:0810:4010:4211:1411:1611:4811:5012:2212:24
621809:349:37------10:4310:46------11:5111:54------
722359:399:3910:1110:1110:4810:4811:1911:1911:5611:5612:2712:27
吃饭时间
中班
1223517:1017:1217:4517:4718:1918:2118:5318:5519:2719:2920:0120:03
2203517:1417:1717:4917:5218:2318:2618:5719:0019:3119:3420:0520:08
3193517:1917:2117:5417:5618:2818:3019:0219:0419:3619:3820:1020:12
425017:2617:2818:0118:0318:3518:3719:0919:1119:4319:4520:1720:19
543517:3117:3318:0618:0818:4018:4219:1419:1619:4819:5020:2220:24
6218017:3417:37------18:4318:46------19:5119:54------
7223517:3917:3918:1118:1118:4818:4819:1919:1919:5619:5620:2720:27
吃饭时间
晚班
122351:101:121:451:472:192:212:532:553:273:294:014:03
220351:141:171:491:522:232:262:573:003:313:344:054:08
319351:191:211:541:562:282:303:023:043:363:384:104:12
42501:261:282:012:032:352:373:093:113:433:454:174:19
54351:311:332:062:082:402:423:143:163:483:504:224:24
621801:341:37------2:432:46------3:513:54------
722351:391:392:112:112:482:483:193:193:563:564:274:27
+ +表9 第2组巡视的时间表（部分，包含进餐时间） + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
白班228:00
123358:018:048:368:399:119:14
224358:058:078:408:429:159:17
39358:098:138:448:489:199:23
48358:188:218:538:569:289:31
5174808:228:24------------
6251208:258:27------------
723358:338:339:049:049:399:39
2215:55白班下班时间
中班2216:00
1233516:0116:0416:3616:3917:1117:14
2243516:0516:0716:4016:4217:1517:17
393516:0916:1316:4416:4817:1917:23
483516:1816:2116:5316:5617:2817:31
51748016:2216:24------------
62512016:2516:27------------
7233516:3316:3317:0417:0417:3917:39
2223:55中班下班时间吃饭时间
晚班220:00
123350:010:040:360:391:111:14
224350:050:070:400:421:151:17
39350:090:130:440:481:191:23
48350:180:210:530:561:281:31
5174800:220:24------------
6251200:250:27------------
723350:330:331:041:041:391:39
227:55晚班下班时间
+ +
开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
11:30
10:2010:2310:5410:5711:2811:31
10:2410:2610:5811:0011:3211:34
10:2810:3211:0211:0611:3611:40
10:3710:4011:1111:1411:4511:48
------------------
------------11:5011:52
10:4810:4811:2211:2211:5811:58
10:49吃饭时间
18:2018:2318:5418:5719:2819:31
18:2418:2618:5819:0019:3219:34
18:2818:3219:0219:0619:3619:40
18:3718:4019:1119:1419:4519:48
------------------
------------19:5019:52
18:4818:4819:2219:2219:5819:58
2:202:232:542:573:283:31
2:242:262:583:003:323:34
2:282:323:023:063:363:40
2:372:403:113:143:453:48
------------------
------------3:503:52
2:482:483:223:223:583:58
+ +
巡视点巡视周期
白班22
1135
2335
3635
41435
55720
6780
7135
22
中班22
1135
2335
3635
41435
55720
6780
7135
22
晚班22
1135
2335
3635
41435
55720
6780
7135
+ +表10 第3组巡视的时间表（部分，包含进餐时间） + +
开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
12:35
9:539:5610:2710:3011:0111:0411:3511:3812:0912:1212:4312:46
9:5910:0210:3310:3611:0711:1011:4111:4412:1512:1812:4912:52
10:0310:0610:3710:4011:1111:1411:4511:4812:1912:2212:5312:56
10:0710:1010:4110:4411:1511:1811:4911:5212:2312:2612:5713:00
------------------------------------------
------10:4910:51------11:5711:59------13:0513:07
10:1510:1510:5710:5711:2311:2312:0512:0512:3112:3113:1313:13
12:19吃饭时间（在1号点）
18:53
17:5317:5618:2718:3019:0119:0419:3519:3820:0920:1220:4320:46
17:5918:0218:3318:3619:0719:1019:4119:4420:1520:1820:4920:52
18:0318:0618:3718:4019:1119:1419:4519:4820:1920:2220:5320:56
18:0718:1018:4118:4419:1519:1819:4919:5220:2320:2620:5721:00
------------------------------------------
------18:4918:51------19:5719:59------21:0521:07
18:1518:1518:5718:5719:2319:2320:0520:0520:3120:3121:1321:13
18:19吃饭时间（在1号点
1:531:562:272:303:013:043:353:384:094:124:434:46
1:592:022:332:363:073:103:413:444:154:184:494:52
2:032:062:372:403:113:143:453:484:194:224:534:56
2:072:102:412:443:153:183:493:524:234:264:575:00
------------------------------------------
------2:492:51------3:573:59------5:055:07
2:152:152:572:573:233:234:054:054:314:315:135:13
+ +表11 第4组巡视的时间表（部分，包含进餐时间） + +
巡视点巡视周期
白班22
12635
21535
31835
41235
52635
22
中班22
12635
21535
31835
41235
52635
22
晚班22
12635
21535
31835
41235
52635
22
+ +
开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
13:43
11:0311:0511:3711:3912:1112:1312:4512:4713:1913:2113:5313:55
11:1111:1311:4511:4712:1912:2112:5312:5513:2713:2914:0114:03
11:1511:1711:4911:5112:2312:2512:5712:5913:3113:3314:0514:07
11:2111:2311:5511:5712:2912:3113:0313:0513:3713:3914:1114:13
11:3111:3112:0512:0512:3912:3913:1313:1313:4713:4714:2114:21
13:23吃饭时间（在26号点
20:01
19:0319:0519:3719:3920:1120:1320:4520:4721:1921:2121:5321:55
19:1119:1319:4519:4720:1920:2120:5320:5521:2721:2922:0122:03
19:1519:1719:4919:5120:2320:2520:5720:5921:3121:3322:0522:07
19:2119:2319:5519:5720:2920:3121:0321:0521:3721:3922:1122:13
19:3119:3120:0520:0520:3920:3921:1321:1321:4721:4722:2122:21
19:41吃饭时间（在26号点
3:033:053:373:394:114:134:454:475:195:215:535:55
3:113:133:453:474:194:214:534:555:275:296:016:03
3:153:173:493:514:234:254:574:595:315:336:056:07
3:213:233:553:574:294:315:035:055:375:396:116:13
3:313:314:054:054:394:395:135:135:475:476:216:21
+ +表12 第5组巡视的时间表（部分，包含进餐时间） + +
巡视点巡视周期
白班22
11135
21380
31635
410120
51135
22
中班22
11135
21380
31635
410120
51135
22
晚班22
11135
21380
31635
410120
51135
22
+ +
开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间
13:09
10:3410:3711:0811:1111:4211:4512:1612:1912:5012:5313:2413:27
10:3910:4411:13休息5分钟11:4711:5212:21休息5分钟12:5513:0013:29休息5分钟
10:4610:4911:2011:2311:5411:5712:2812:3113:0213:0513:3613:39
------------12:0312:05------------13:4513:47
10:5310:5311:2711:2712:0712:0712:3512:3513:0913:0913:4913:49
12:50吃饭时间（在11号点
19:27
18:3418:3719:0819:1119:4219:4520:1620:1920:5020:5321:2421:27
18:3918:4419:1319:1819:4719:5220:2120:2620:5521:0021:2921:34
18:4618:4919:2019:2319:5419:5720:2820:3121:0221:0521:3621:39
------------20:0320:05------------21:4521:47
18:5318:5319:2719:2720:0720:0720:3520:3521:0921:0921:4921:49
19:08吃饭时间（在11号点
2:342:373:083:113:423:454:164:194:504:535:245:27
2:392:443:133:183:473:524:214:264:555:005:295:34
2:462:493:203:233:543:574:284:315:025:055:365:39
------------4:034:05------------5:455:47
2:532:533:273:274:074:074:354:355:095:095:495:49
+ +表13 第6组（机动）的巡视时间表 + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间
22上午10:53下午17:10接替第2组
233510:5410:5717:1117:14
243510:5811:0017:1517:17
93511:0211:0617:1917:23
83511:1111:1417:2817:31
1748011:1511:17------
2512011:1811:20------
223511:2717:40
223511:2711:2917:4517:47接替第1组
203511:3111:3417:4917:52
193511:3611:3817:5417:56
25011:4311:4518:0118:03
43511:4811:5018:0618:08
218011:5111:54------
13512:0018:13
13512:0912:1218:2718:30接替第3组
33512:1512:1818:3318:36
63512:1912:2218:3718:40
143512:2312:2618:4118:44
78012:3112:33------
113512:4418:52
+ +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间
113512:5012:5319:0819:11接替第5组
138012:5513:0019:1319:18
163513:0213:0519:2019:23
263513:1619:34
263513:1913:2119:3719:39接替第4组
153513:2713:2919:4519:47
183513:3113:3319:4919:51
123513:3713:3919:5519:57
223513:5720:15
+ +# 4. 问题3的求解 + +问题3是考虑错时上班能否更省人力。 + +# 4.1 上班时间 + +由前面的分析（巡视人员的下限和问题1），知道人员的下限是每班4人，而固定时间上班则需要每班5人。那么，是否能省下这1个人成为问题的关键。 + +如果能省，应在哪个地方省；如果不能省，这个问题也就没有讨论的必要了。 + +每个点的检查时间（共计67分钟）肯定是不能省，因此，要省也只能省下巡视中所花的路程时间。 + +巡视全部点（26个点）的最短路程这恰好是一个旅行商问题，由前面的计算已知，这个时间是68分钟。 + +那么巡视全部点的最短时间是135分钟。而题目要求，要在规定的时间间隔（最短为35分钟）内完成各点的巡视。 + +这样，只能换一种排班方法，让每名巡视工人完成一轮（26个点）的巡视，而每名工人的上班时间向后错35分钟，即在前一位工人开始巡视的35分钟之后，再安排另一名工人巡视。 + +对于巡视间隔要求大于35分钟的点，可以采用下面的方法处理： + +- 无论哪一个点，一律在35分钟巡视一次，这样肯定满足题目的要求； +在满足巡视时间间隔要求的情况下，可以不巡视，但要在相应点处休息，休息的时间就是该点的巡视需要的时间。 + +# 全国大学生数学建模竞赛赛题讲评 + +因此，得到如下的排班方法：第1名工人在8:00开始巡视（上班或换班），第2名工人则在8:35开始巡视，第3名是9:10，第4名是9:45。而每位工人都走最优的旅行商路线。 + +注意到，每名巡视工人的间隔时间是35分钟，4名工人的间隔时间是140分钟，而一次26个点的旅行商问题的用时是135分钟。 + +# 问题3——上班时间 + +如果第1名工人在第一轮巡视后，休息5分钟，那么他要在10:20开始第二轮的巡视，与第一轮巡视的第4名工人的巡视时间间隔正好相差35分钟。第2名工人第二轮巡视的开始时间是10:55，与第1名工人相差35分钟，以此类推。 + +由上述推导可知，4名工人足够满足巡视的要求，同时也达到了巡视人员要求的下界，是最优的。 + +表14 错时上班的时间表 (部分) + +
巡视点巡视周期开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间开始时间离开时间离开时间
22358:008:028:358:379:109:129:459:47
19358:068:088:418:439:169:189:519:53
20358:108:138:458:489:209:239:559:58
21808:178:208:528:559:279:3010:0210:05
4358:218:238:568:589:319:3310:0610:08
..............................
243510:0810:1010:4310:4511:1811:2011:5311:55
233510:1110:1410:4610:4911:2111:2411:5611:59
223510:1510:1510:5010:5011:2511:2512:0012:00
223510:2010:2210:5510:5711:3011:3212:0512:07
193510:2610:2811:0111:0311:3611:3812:1112:13
203510:3010:3311:0511:0811:4011:4312:1512:18
218010:3710:4011:1211:1511:4711:5012:2212:25
43510:4110:4311:1611:1811:5111:5312:2612:28
..............................
243512:2812:3013:0313:0513:3813:4014:1314:15
233512:3112:3413:0613:0913:4113:4414:1614:19
223512:3512:3513:1013:1013:4513:4514:2014:20
223512:4012:4213:1513:1713:5013:5214:2514:27
193512:4612:4813:2113:2313:5613:5814:3114:33
203512:5012:5313:2513:2814:0014:0314:3514:38
218012:5713:0013:3213:3514:0714:1014:4214:45
43513:0113:0313:3613:3814:1114:1314:4614:48
+ +# 4.2 换班时间 + +由于题目要求，上班或换班的地点只能是调度中心，也就是说，只能在完成一轮（26个点）巡视后才能换班。因此，每名工人的换班时间只能是140分钟的整数倍，选择合适的时间点，工作7个小时开始换班。 + +例如，第一班工作的4名工人上班的时间分别是8:00、8:35、9:10和 + +9:45，那么，第二班的4名工人的换班时间分别是15:00、15:35、16:10和16:45，第三班的4名工人的换班时间分别是22:00、22:35、23:10和23:45。 + +由于每天是24小时，而换班的时间是7小时，三班下来是21小时，所以每天的换班时间比前一天提前3小时。 + +也就是说，第一班的4名工人在第二天的换班时间分别是 $5: 00$ 、 $5: 35$ 、 $6: 10$ 和 $6: 45$ ；第二班的4名工人在第二天的换班时间分别是 $12: 00$ 、 $12: 35$ 、 $13: 10$ 和 $13: 45$ ；第三班的4名工人在第二天的换班时间分别是 $19: 00$ 、 $19: 35$ 、 $20: 10$ 和 $20: 45$ 。 + +以后的各天以此类推，每天提早3个小时换班。 + +一周7天，有7个24小时，恰好有8个21小时，所以这种换班方案一周重复一次。具体换班方案如表15所示。 + +# 4.3 中间休息 + +与问题2相同，这里不用考虑每2个小时左右休息5分钟的问题，因为这里面有太多的休息时间。例如，一轮巡视后，可休息5分钟。 + +表15 错时上班的换班时间表 + +
第一班第二班第三班
8:008:359:109:4515:0015:3516:1016:4522:0022:3523:1023:45
5:005:356:106:4512:0012:3513:1013:4519:0019:3520:1020:45
2:002:353:103:459:009:3510:1010:4516:0016:3517:1017:45
23:0023:350:100:456:006:357:107:4513:0013:3514:1014:45
20:0020:3521:1021:453:003:354:104:4510:0010:3511:1011:45
17:0017:3518:1018:450:000:351:101:457:007:358:108:45
14:0014:3515:1015:4521:0021:3522:1022:454:004:355:105:45
11:0011:3512:1012:4518:0018:3519:1019:451:001:352:102:45
+ +# 4.4 进餐时间 + +考虑进餐时间会使排班麻烦一些。首先由于进餐时间增加了4个小时，所以，不可能在一个班内由4名工人完成。与问题2一样，需要增加1名机动工人，顶替工人吃饭时的巡视。 + +由于题目要求，换班只能在22号点完成，也就是说，吃饭的换班时间也只能在22号点完成，也就是在完成 + +某一轮的巡视后，才可以考虑进餐。 + +还以第一班工作时间为例，考虑进餐时间的安排。 + +从8:35开始工作的第2名工人,在10:50完成第一轮的巡视, 如果他不进餐, 将在10:55开始第二轮的巡视, 这时, 可以考虑让他停止工作,选择吃午饭, 他的工作由机动 (第5名) 工人替代完成。 + +在30分钟后，让11:25完成第一轮巡视的第3名工人休息进餐，而第2名工人来接替他，在11:30开始工作。 + +之后，第3名工作完成进餐后，接替12:05开始工作的第4名工人，让第4名工人吃午饭。 + +第4名工人午饭后，在12:40接替第1名工人的工作，第1名工人开始吃午饭。 + +第1名工人在午饭后就不工作了，需要等到下午18:30分，接替第2名工人的工作，直到这个班工作结束。在这中间也不考虑他吃晚饭的时间，因为他可以在18:30以前吃完晚饭。 + +此时(18:30)，第2名工人在吃晚饭，饭后(19:05)他接替第3位工人的工作。 + +19:05, 第3名工人在吃晚饭, 19:40接替第4位工人的工作。 + +# 全国大学生数学建模竞赛赛题讲评 + +20:15，第4位工人开始工作，接替第5位（机动）工人的工作。而机动工人则下班休息（这时不用考虑他是否吃晚饭），因为到第二天的10:50才接替第1位工人的工作，让第1位工人吃午饭。 + +这个过程较为复杂，详细排班请见错时上班的换班时间表，表16显示了Excel表中排班和换班的部分表格。 + +表16 增加吃饭时间的排班表 + +
第1人第2人第3人第4人机动
8:008:359:109:45
10:2010:5511:3012:05
吃饭时间吃饭时间吃饭时间
10:2011:3012:0510:55
12:4013:5014:2513:15
吃饭时间
13:5014:2512:4013:15
16:1016:4515:0015:35
18:3019:0517:2017:55
吃饭时间吃饭时间
18:3019:0517:2017:55
20:5021:2519:4020:15
吃饭时间
20:5021:2519:4020:15
23:1023:4522:0022:35
1:302:050:200:55
3:504:252:403:15
6:106:455:005:35
8:309:057:207:55
10:5011:259:4010:15
吃饭时间吃饭时间
11:259:4010:1510:50
+ +续表16-1 增加吃饭时间的排班表 + +
第1人第2人第3人第4人机动
13:4512:0012:3513:10
吃饭时间下班
13:4512:0012:3513:10
16:0514:2014:5515:30
18:2516:4017:1517:50
吃饭时间
16:4017:1518:2517:50
19:0019:3520:4520:10
吃饭时间吃饭时间
19:0019:3520:1020:45
21:2021:5522:3023:05
23:400:150:501:25
2:002:353:103:45
4:204:555:306:05
6:407:157:508:25
9:009:3510:1010:45
吃饭时间
9:009:3510:1010:45
11:2011:5512:3013:05
吃饭时间吃饭时间下班
11:5512:3011:2013:05
+ +续表16-2 增加吃饭时间的排班表 + +
第1人第2人第3人第4人机动
14:1514:5013:4015:25
16:3517:1016:0017:45
18:5519:3018:2020:05
吃饭时间吃饭时间吃饭时间
19:3020:0518:2018:55
21:5022:2520:4021:15
0:100:4523:0023:35
2:303:051:201:55
4:505:253:404:15
7:107:456:006:35
9:3010:058:208:55
11:5012:2510:4011:15
吃饭时间吃饭时间吃饭时间
12:2510:4011:5011:15
14:4513:0014:1013:35
吃饭时间
14:4513:0014:1013:35
17:0515:2016:3015:55
19:2517:4018:5018:15
吃饭时间吃饭时间
17:4018:5019:2518:15
+ +# 5. 阅卷情况简述 + +本人参加了北京地区和全国的D题阅卷，下面就阅卷中遇到的问题谈一谈本人一点感受。 + +# 5.1 固定上班时间 + +问题1和问题2要求：固定时间上班，并且由巡检调度中心（22号点）开始巡检。 + +在通常情况下, 三班倒的工作时间分别是 $8: 00 - 16: 00, 16: 00 - 24: 00$ 和 $0: 00 - 8: 00$ 。 + +这一点绝大多数的队都注意到了，所以基本上都采用8点、下午4点和凌晨0点开始上班的模式。当然，如果你认为有必要，采用其他时间开始上班也是正确的，只要是固定时间上班就可以。 + +# 全国大学生数学建模竞赛赛题讲评 + +但这个固定上班时间，是每个班组的固定上班时间，不是每个人的固定上班时间。 + +例如，一个班有5个人（5条巡视线路），则要求这5个人同时上班。这也是为什么要求大家一定从22号点开始的原因，大家需要集中一下（如布置工作或其他要求）。 + +有很多队理解成每名工人固定时 + +# 阅卷情况——固定上班时间 + +间上班，而上班时间是不同的，这样理解问题，巡检工作从22号点开始就无意义了，因为可以让22号点、23号、1号点、26号点和11号点都是从8点开始工作，而这些点开始上班的时间分别为8:00、7:59、7:52、7:50和7:45,这种方法相当于去掉从22号点开始的要求，降低了题目的难度。事实上，这种做法只需要4个人就够了。 + +还有一个小问题：每个班的巡检工作是否能在8小时内结束（并不要求一定在8小时内回到22号点），这个问题基本上没有学生讨论，但它应该是问题潜在的要求，因为在交接班时，应该简短地说明一下本班的巡检情况。 + +当然，并不需要见面交流，用一下现代通讯工具是可以的。 + +# 5.2 巡检线路与时间表 + +题目明确要求，给出巡检人员的巡检线路和巡检的时间表，但很多队只给出巡检线路图，并没有给出具体的巡检点的时间表。 + +由于没有巡检点的排班时间表，因此无法判断该队的结果是否正确，是否满足巡检要求。本质上没有完成题目要求，分数上也会打折扣的。 + +# 5.3 休息时间与进餐时间 + +问题2要求：每巡检2小时左右需要休息一次，休息时间大约是5到10分钟。在中午12时和下午6时左右需要进餐一次，进餐时间为30分钟。 + +实际上，如果每名巡检人员的排班时间较均匀，这里并不需要真的考虑休息时间的安排，因为在巡检中有大量的5分钟可以作为休息时间。 + +进餐时间不是固定的，否则，大家都在中午12时进餐，这样就需要再派其他的工人来顶替进餐时的空缺，需要的人数是原来的2倍，这显然过于浪费人力。 + +当进餐时间不固定时，只需要增加一名工人就够了，这名工人的工作是接替中午和晚上需要进餐的工人，这里的重点是具体的替班时间表。 + +# 5.4 错时上班的讨论 + +问题3是讨论错时上班是否更节省人力，如果不能更节省人力，这一问也就没有讨论的必要。有的队，讨论了半天还是不能更省人力。可以猜想，该队应该没有完成题目的要求。 + +实际上，更省人力是这个问题的重点，需要分析在哪些地方可以更省人力。 + +巡检时间肯定是不能省的，要省也只能是巡检路线，尽量少走重复路线。这自然会想到旅行商问题。但我们发现，很多专科学校没有培训过图论方面的相关知识。 + +经过验算, 旅行商问题的解是 135 分钟, 巡检点的最小间隔时间是 35 分钟, 因此, 需要 4 名工人就可以能完成工作。 + +排班方法有点像列车时刻表，每隔35分钟发一趟车。 + +这种处理方法大多数队已经注意到了，但很多队没有给出具体的时间表。也许学生已没有足够的答题时间了，也许根本就不知道如何计算。 + +问题3的难度是增加进餐时间，大多数队基本上都没有给出这一问题的讨论。 + +# 5.5 关于模型 + +我们很多的队希望给出一个“高大上”的模型，然后再用软件求解（如LINGO），但由于“高大上”的模型过于复杂，无法求解（或求解困难），这只能再借助于手工求解。 + +这样，这个模型实际上是没有用的，不如将精力放在问题的分析上，如采用“接地气”的启发式算法。 + +# 5.6 能否更省人力 + +有的队想出了更省人力的方法,例如, 将进餐时间安排在工作时间之外。例如, 对于固定上班的工人来说,将三班的工作时间安排为 \(3: 30 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11: 30、11: 30———19: 30、19: 30———3: 30 (次日)。 + +第一班的工人下班后进餐，第二班的工人上班前吃午饭下班后吃晚饭， + +第三班的工人在上班前吃晚饭，这样就不用考虑他们进餐时，不需要另外的人员替换他们，从而更省人力。 + +有的队确实是这样做的（只是时间略有不同），对于题目要求来说，这种方法无可厚非，但在实际操作中会产生新的问题——是否要吃早饭。 + +如果能将吃早饭的问题解决，这种结果无疑是最好的。 + +# 6. 结论 + +这个问题看似复杂，如使用TSP模型、VRP模型，甚至是m-TSP模型或VRPTW模型，但由于需要处理的点数较少，可以运用最短路算法，结合启发式方法得到问题的计算结果： + +- 固定上班时间，每班需要5人，一天共需要15人； +- 考虑进餐时间，增加一名机动工人作为替补，一天需要16人； +- 如果采用错时上班，每班需要4人，一天共12人； +- 如再考虑进餐时间，再增加一人，每天需要13人。 + +# 参考文献 + +[1] 谢金星, 薛毅. 优化建模与LINDO/LINGO软件. 北京: 清华大学出版社, 2005.7 +[2]薛毅．数学建模基于R．北京：机械工业出版社，2017.7 + +谢谢！ \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/\345\273\272\346\250\241\346\225\231\345\255\246\347\240\224\347\251\266-\350\260\242\351\207\221\346\230\237/\345\273\272\346\250\241\346\225\231\345\255\246\347\240\224\347\251\266-\350\260\242\351\207\221\346\230\237.md" "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/\345\273\272\346\250\241\346\225\231\345\255\246\347\240\224\347\251\266-\350\260\242\351\207\221\346\230\237/\345\273\272\346\250\241\346\225\231\345\255\246\347\240\224\347\251\266-\350\260\242\351\207\221\346\230\237.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..bcf87b526623294192368a97d0b990252c8a598d --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/\345\273\272\346\250\241\346\225\231\345\255\246\347\240\224\347\251\266-\350\260\242\351\207\221\346\230\237/\345\273\272\346\250\241\346\225\231\345\255\246\347\240\224\347\251\266-\350\260\242\351\207\221\346\230\237.md" @@ -0,0 +1,734 @@ +# 数学建模教学研究 + +![](images/3aaab053e9af78bc428d0dd063cd219d8140e1b0dcf9ded684a55b4c937af321.jpg) + +清华大学数学科学系 谢金星 + +http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie + +# 提 纲 + +![](images/36da5cffeda7e8e831e2754928e0adfb7a2733e0829236235f181a231003118b.jpg) + +1. ICME和ICTMA简介 + +2. 数学建模教学研究二例 + +# 三大国际数学盛会（4年1届） + +![](images/7a7555b46a53baac4245d4d5a451625fb7bb33d43c0bb0d13f19110d31ca0f75.jpg) + +国际数学家大会 (ICM - International Congress of Mathematicians) 2002: Beijing + +首届：1897，瑞士苏黎世；第二届：1900 IMU - International Mathematical Union http://www.mathunion.org + +![](images/fbe5891d27ca2f2fab2e3a62af5b3b31d30eb2d5553a6ca99d87a155c7d2f3f1.jpg) + +国际工业与应用数学大会（ICIAM- International Congress on Industrial and Applied Mathematics）首届：1987，法国巴黎；2015：Beijing ICIAM - International Council for Industrial and Applied Mathematics http://www.iciam.org + +# 三大国际数学盛会（4年1届） + +![](images/9da47e3ba443d076798bbec7e4f5ac884a1eb5af07cd70e3b0bfd4fada24d725.jpg) + +国际数学教育大会（ICME） + +International Congress on Mathematical Education ICME-1: 1969, 法国里昂 (Hans Freudenthal倡导) ICME-2: 1972, UK; ICME-14: 2020, Shanghai + +Organized by ICMI (founded in 1908): Intl. Commission on Mathematics Instruction, a commission of the IMU starting from 1952. + +http://www.mathunion.org/icmi + +# ICMI设立的两个奖项: + +![](images/120d4f0509c9445bb44156a2641333735432a17a1a4ed2ba1bf30edee9840fa4.jpg) + +Hans Freudenthal奖 + +Felix Klein奖 + +(每两年评奖一次, ICME会上授奖) + +宗旨：展示数学教育研究的现状和趋势，以及所有层次上的数学教育研究和实践 + +ICME上每次都有大量关于数学建模教学的专题 + +# ICTMA有两层意思 + +![](images/f6c01320cdfd7d620c102e925fa24579dbeb6ad5acd6bcbe4e8d49f75a5425e8.jpg) + +# 1. International Community of the + +# Teachers of Mathematical Modelling and Applications + +---ASG (Affiliated Study Group) of ICMI + +International Study Group for the Teaching of + +Mathematical Modelling and Applications + +# 2. International Conference on the Teaching of + +# Mathematical Modelling and Applications + +---- 1983(英国)开始举办，每两年一届 + +网址: www.ictma.net + +# ICTMA-19 (2019, Hong Kong) + +国际数学建模教学与应用会议 +$\rightarrow$ 国际数学建模与应用教学会议 + +![](images/497607df9cb48ef6f63ee947dc60731d5e0f1d2653dc769aafb5a713bee99572.jpg) + +# International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications + +![](images/856adddb456dff3b74e1b8c657a965074f8f7bb267673c02d0350856fbd54917.jpg) + +充分交流：这个会议的一个特点 + +展示中国在数学建模教育方面的成果 + +# ICTMA基本情况 + +• 会议主题(Theme)，如 ICTMA-19: + +# Mathematical Modelling Education in West and East + +Day 1: 报到; 执委会; 晚 (Reception / 开幕); +·Day 2-5:会议（0.5-1天：考察；1次晚宴/Dancing） +Day 6: 上午闭幕 (后半段 Business Meeting) + +- 5 个左右大会报告(报告 1 小时,评述/提问30分钟) +- 分组报告：40-45分钟，其中提问/讨论15-20分钟 +- 1次 “Panel Discussion”(1.5小时): 主题交流研讨 +- 若干Workshop（专题研讨，1.5-3小时） +- 其他：如本国特色的项目 - MathFair, Carnival, .... + +# ICTMA基本情况 + +·会议规模：一般100-200人（主办国占50%以下） +- 会前投稿（摘要）、审稿：通常在当年2-3月份 +- 参会者会后可以投稿、通过审稿的出一本书(Springer) + +![](images/ff2e34b367621df15005ae099784be666b7149e7336d970b6fffc6b25d3d49c5.jpg) + +![](images/ae456eedc93482329f2a6d75567f14c59d537861945218727d60fbb0017abeee.jpg) + +![](images/573e82c5fb81b44cd0fe1ae15e6ce28378ca9f25c5adf8f473084c3c5de1d0ea.jpg) + +![](images/dbc6d64da499969e4f274db0effbe81637cd42e31fa813b93c9df1ecd3b91d30.jpg) + +![](images/0759e418e8f5e8ba796f4b84f6d4aff1552b09505dc6970a3a5ef8304af23933.jpg) + +# ICTMA Book Series + +• To be considered for inclusion in the book a chapter needs to be: + +1. of a high scholarly standard +2. original work not being considered for publication elsewhere or previously published +3. substantially different from any previously published work +4. a good fit with the theme of the book. + +# High Scholarly Standard + +# A research report chapter needs: + +- a well-referenced situating of the problem in international literature including chapters in previous ICTMA books and/or the ICMI studies that are relevant. Show where your work fits – what is new that it will bring? +- a theoretical frame, +- study design with all relevant details (e.g., an empirical study of a Year 5 class (10 yrs old) of 30 students undertaking their third modelling activity) including clearly stated Research Questions, data collection instruments, analysis techniques +• Analysis of Results - understandable to others +- Discussion referring back to the literature and theoretical frame as well as to Research Questions +Conclusion + +# High Scholarly Standard + +# A teaching evaluation chapter needs + +- a well-referenced situating of the problem your teaching materials/method is addressing in international literature including chapters in previous ICTMA books and/or the ICMI studies that are relevant. Show where your work fits .... +- a theoretical/ analytical frame, +• Details of the teaching experiment (e.g., who were the participants, how many, what did they do) including any data collection instruments, analysis techniques for evaluation +• Analysis of Results – clear and understandable by others +- Discussion referring back to the literature & theoretical frame & your approach +Conclusion + +# High Scholarly Standard + +# A polemic (辩论, 争论) chapter needs + +- a well-referenced situating of the problem in international literature including chapters in previous ICTMA books and/or the ICMI studies that are relevant. Show where your opinion fits – how does this chapter add to work in the international field inside and outside ICTMA / A & MM? + +- Its style is less rigid but there should be + +- Scholarly Analysis of Points raised – clear and understandable by others +- Discussion referring back to the literature, analytical/theoretical frame & your approach +- Conclusion which comes from the points made in this chapter + +• [See Galbraith in Stillman, Blum & Biembengut, 2015] + +# Modelling or Application Examples + +(less common in recent books) + +• Please remember there needs to be some sort of background. +• Literature could be about the problem itself or the pedagogical purpose of the task. +- Do not give too much tedious mathematical detail. +• You do need to bring some reflections on the use of the example for teaching / learning – another opportunity to bring in literature. +• Conclusion relating back to the purposes outlines at the beginning +[See Orey & Rosa in Stillman, Blum & Biembengut, 2015] + +# Other Forms of Acceptable Chapters + +- These chapter forms that we have highlighted do not exclude other forms of acceptable research reports etc but cover the majority of chapters that have been submitted for recent books. +- Others forms could include: + +- An historical document analysis +- A literature review bringing a new idea for research or development + +# 其他审稿要求 + +- Empirical studies have to properly reported +- Chapters that are purely problem solving or teaching mathematical content, no matter how well written, are not in keeping with a book in this series +• Connection to real world aspects needs to be explicit +- There has to be a connection, fully argued, to the current international discussion and debate in modelling and applications and a clear statement as to how your chapter relate to current issues and debates. + +# 建模教育的两本重要参考书 + +![](images/a08b447d25949079fd341598d5b87833d6b058301be9bcb8c95950fd7ebc97db.jpg) + +# The 14th ICMI Study + +Blum W., Galbraith P., Henn H.-W., + +& Niss, M. (Eds.) + +2007, 524p. + +The 20th ICMI Study (with ICIAM) + +Damlamian A., Rodrigues J. F., + +& Strasser, R. (Eds.) + +2013, 466p. + +![](images/97f597e7ada1ac0f8fa21616888c2fbaf89e7237549825a58a848cd938dd133b.jpg) + +# 一点感受：中外对比 + +- 外：多数人来自大学的数学教育系（教师/研究生） + +-- 不太关注大学数学，更关注中小学数学教育 + +中：非教育系、大学数学教育为主 + +- 外：多从教育学、心理学、认知科学等角度研究 + +- 注重定量研究，或定量与定性研究相结合 +- 注重方法论研究(规范的研究方法) +- 注重实证研究 (实验对比; 问题要具体) + +中：定性、经验为主 + +森林 $\leftrightarrow$ 树木? + +中医←→西医？ + +# 一点感受：借鉴与改进 + +- 研究问题越具体越好，不求大而全 + +切忌写成年终报告、成绩总结、…… + +(领导保障，教师关键，学生主体) + +课程设置与教学，竞赛组织和成绩） + +- 更深入细致、规范的教学研究，例如： + +如何衡量某种教学法比另一种好？（指标、实验） + +学生建模时难点在哪？原因何在？（认知过程） + +如何设计教学案例/过程？教师作用？（教学法） + +# 一点感受：教学案例 + +- 对于建模应用方面的研究（实际建模问题） + +- 注重问题来源是否真的实际 +- 注重文献综述（目前相关研究的现状） +-- 注重结果的分析 / 检验 +- 注重实际解决问题的效果 +- 注重能否在课堂教学中使用、如何使用的建议 + +【注】这类文章在ICTMA会上越来越不太受欢迎！ + +# 一些期刊 + +数学建模及其应用 + +数学的实践与认识 + +中国大学教学 + +中国高教研究 + +高等理科教育 + +职业教育研究 + +中等职业教育 + +# + +Teaching Mathematics and its Applications + +ZDM; J. Math Didakt + +J. of Math. Modeling and Application + +Educational Studies in Mathematics + +Research in Mathematics Education + +Int. J. of Computers for Math. Learning + +Int. J. of Math. Education in Sci. & Tech. + +Int. J. of Science and Math. Education + +Journal of Mathematical Behavior + +# + +# 提 纲 + +![](images/2292017ed2def9bb93ae3d1265caaba0ae3befc623e0567c55cdf01b0867fbef.jpg) + +1. ICME和ICTMA简介 + +![](images/b15dc9481a8bb78c9841d85eb6f2ee2776ca59ca13ff992675ee7b6f4efc2d7c.jpg) + +2. 数学建模教学研究二例 + +# Mathematical modelling skills and creative thinking levels: + +# An experimental study in a China university + +Jinxing Xie, Tsinghua University, Beijing 100084, China; jxie@math.tsinghua.eud.cn + +Co-work with + +Qi Dan, Logistics Engineering College, Chongqing 400016, China; danqi31@163.com + +ICTMA-14, Hamburg University, 27/07/2009 + +# Outline + +• Introduction +- Mathematical modeling vs. creativity thinking +• Mathematical modeling vs. other mathematical courses +- Analytical approach vs. constructive approach +- Summary + +# Higher Education in China + +# $\bullet$ ~100 years ago: Universities founded in China + +- The history is short compared with long history of China, and with long history of universities in Europe +- Before 1952, there are only very few universities (and thus, students) compared with the large population of China + +# 1952: # of universities increased dramatically in China + +- Follows (former) Soviet Union style +- Focusing on teaching the students “knowledge and skills” + +# 1978: China opened up to the world ("reforming") + +Economics: grows quickly +- Universities: concerns more about creative thinking and practice ability of the students + +# Creative Thinking: Current Situation + +# 1999: A survey sponsored by China National Ministry of Education & China Youth League + +- 19,000 students (from both high schools and universities) in 31 provinces of Mainland China +- Only $4.7\%$ students consider themselves to have curiosity, confidence, perseverance and imagination +- Only $14.9\%$ students want to cultivate their ability of exploration of new things, information collection, and imagination +- Only $33 \%$ students participated in practice activities +- When a student raises an objection to the teacher in the class, $48.1\%$ students think that most students would keep silent, and $16.5\%$ students even think that most students would criticize the objector. + +# Mathematical modelling (MM) + +• Mathematical modelling courses attract more and more interests in China in recent years + +- Focusing on students' ability of problem solving, and acquiring new knowledge, rather than only "knowledge and skills" +- Regarded as a breakthrough of “quality education”, especially in mathematical education + +- But up to now, in China, + +- most studies on education (or teaching) are “qualitative” +Quantitative (especially experimental) studies are sparse + +# Motivation of this study: An experimental study in China + +• How to assess China students' modelling skills? +What’s the relationship between students’ modelling skills and creative thinking? +• What’s the relationship between students’ modelling skills and their performance in other mathematical courses? +• What’s the best approaches to teach modelling courses? + +# Outline + +• Introduction +- Mathematical modeling vs. creativity thinking +• Mathematical modeling vs. other mathematical courses +- Analytical approach vs. constructive approach +• Summary + +# Basic information of experiments + +33 Students in class 2005171 (sophomore with major in automation), Logistics Engineering College, China + +- Engineering students from an college of “average” level + +- Test on mathematical modelling skills (TMMS) + +- Test instruments developed in the past years (Izard et al., 2003): 22 questions (2 points for each) within 40 minutes +- Difficulty coefficient = scores / total score =0.71 +- Evaluation + +• Strong (30+ points); Poor (20- Points) + +# Question Examples of TMMS + +• Which one of the following options most closely models the height of a sunflower while it is growing (in terms of time $t$ )? + +A. $1 - e^{-t}$ + +B. $(1 - t)^{2}$ + +C. $t$ + +D. $t - t^{2}$ + +E. $1 / (1 + e^{-t})$ + +# Question Examples of TMMS + +3. Consider the real world problem (do not try to solve it!): + +A pedestrian crossing is being considered for a busy road. Assume that the road is a straight one-way single carriageway. + +Which one of the following assumptions do you consider the least important in formulating a simple mathematical model which would determine whether the crossing was needed? + +A. The crossing will be controlled by buttons pushed by users +B. The density of traffic is constant +C. The speed of traffic is constant and equal to the speed limit +D. Pedestrians cross at a constant rate +E. Pedestrians will not walk long distances to use it + +# Basic information of experiments + +# - Test on creative thinking levels + +- TTCT (Torrance Tests of Creative Thinking, 1960') +- Fluency; Flexibility; Originality; Elaboration +- 20 problems (Li and Zhang, 1999), 1 point for each +- Plus: 5 points if finished within 15 minutes, 3 points for 20 minutes, 2 points for 25 minutes, must finish in 30 minutes +- Evaluation + +15+ points: strong +10- points: poor +- Others: medium + +# Results: TMMS & TTCT + +![](images/7fcc115a75e8ec565e2a641dcf7e8917cd771415937dd68c24b5fcff44815166.jpg) + +# Results: TMMS & TTCT + +# TMMS + +
Poor (20- )MediumStrong (30+)
412.12%1442.42%1545.45%
+ +# TTCT + +correlation coefficient: 0.815 + +
Poor (10-)MediumStrong (15+)
412.12%2266.67%721.21%
+ +15 students get more than 30 points in TMMS, and 7 of them also get more than 15 points in TTCT. + +- Those with strong creativity are also strong in MM ability. + +• 4 students get less than 20 points in TMMS, and also they get less than 10 points in TTCT. + +- Those with poor creativity are also poor in MM ability. + +# Outline + +• Introduction +- Mathematical modeling vs. creativity thinking +• Mathematical modeling vs. other mathematical courses +- Analytical approach vs. constructive approach +• Summary + +# Basic Question + +• Basic knowledge and experience in mathematics is a necessary condition of mathematical modeling +- Is it also a sufficient condition? + +- Knowledge and experience may also restrict our modeling ideas, because people always like to use familiar method to deal with the new problems and do not consider the difference between new problems and past experience. +- According to this research, students with strong mathematical modeling ability do not always good at mathematics knowledge (the creative thinking and divergent thinking is lacked) + +# Basic information of experiments + +Students: same as before +• Scores in other mathematical courses + +- Basic mathematics course test (BMCT): Xi'an Jiaotong University (2003), Time: 2 hours +- 22 problems of fill-in-the-blank, multiple-choice calculation (in the field of calculus and algebra) +- The perfect score are 100 +- Evaluation: + +Students with more than 90 points are excellent +- Those with less than 60 points are failed + +# Results: TMMS & BMCT + +![](images/641b7fb845ba23d3fd58546b5baaeaed10f7fa5b5fbeda575beb55dea3f10677.jpg) + +# Results: TMMS & BMCT + +# TMMS + +
Poor (20- )MediumStrong (30+)
412.12%1442.42%1545.45%
+ +# BMCT + +correlation coefficient: 0.381 + +
Failed (60-)MediumExcellent (90+)
26%2163.6%1030.3%
+ +Correlation between math scores and MM ability is weak, but + +- Students without high BMCT scores do not have strong MM ability + - The 2 failed students in BMCT get less than 20 points in TMMS +Students with high BMCT scores may not have strong MM ability Only 7 of 10 excellent students in BMCT get $30+$ points in TMMS +- Students with strong MM ability may not get excellent BMCT scores +- Students with strong MM ability do have above-average BMCT scores + +# Outline + +• Introduction +- Mathematical modeling vs. creativity thinking +• Mathematical modeling vs. other mathematical courses +- Analytical approach vs. constructive approach +• Summary + +# Basic information of experiments + +• Purpose: Impact of teaching strategies on creativity +Students: Major in civil engineering from Logistics Engineering College, China + +- A: Class 20046113 (37 students): Analytical (traditional) approach (Ikeda & Stephens, 2003) +- B: Class 20046114 (42 students): Constructive (discussion) approach (Ikeda & Stephens, 2003) + +- Test on mathematical modelling skills (TMMS) + +- The scores of the two classes in basic mathematics are basically the same +- The instructor of the two classes is the same person (Dan) + +# Contents for teaching in the class + +# Mathematical modeling: Bushwalking with Kim + +- Bushwalkers travel through different types of country. The denseness of the bush and the ruggedness of the terrain influence the speed of travel. By planning a route to take such factors into consideration, the total time taken to travel from one point to another can be reduced. In calculating estimates of the time for a particular route, a walker uses his/her average speed for each different type of country. Kim is planning to walk from Ardale (A) to Brushwood (B). The direct route, a distance of $14\mathrm{km}$ , will take her entirely through rugged bush country. However, as shown here, there is a large square clearing between the two towns, with side length estimated by Kim to be $7\mathrm{km}$ . Kim assumed that this clearing has one diagonal along the perpendicular bisector of the direct route from A to B and one corner, at the midpoint of the direct route. Further, Kim estimates that she travels at an average speed of $1\mathrm{km/hin}$ the bush and $5\mathrm{km/h}$ through the clearing. Find and describe the route for which her traveling time will be least. + +# Research process + +The whole process lasts one and a half month, and is divided into 3 stages. + +- Preparation stage: October 2005, collect literature material and scheme stage +- Implementation stage: from Nov. 1 2005 to Nov. 14, 2005. +Test stage: + +- Former test (Quiz A): two classes' MM ability (six problems in Haines et al. 2001, perfect score 12 points). +- Latter test (Quiz B): MM ability difference between the two classes in late November (another six problems in Haines et al. 2001, 12 points) + +# Result 1: Analytical vs. Constructive + +
Former testTeaching strategyLatter testS: STD
experimental class (B)6.3discussion teaching (B)7.81.7
controlling class (A)6.27traditional teaching (A)6.82.1
+ +Z-test: Z=2.3>1.96 + +- Basically, on average, teaching strategies help students to improve the ability of mathematical modeling + +# Result 2: Analytical vs. Constructive + +
Latter test score5- points6-8 points9+ points
Experimental class +(42 persons)715.7%2355.9%1128.4%
control class +(37 persons)1232%1850.1%719%
+ +• Constructive (discussion) teaching approach is significantly outperforms the analytical (traditional) teaching approach. + +# Outline + +• Introduction +• Mathematical modeling vs. creativity thinking +• Mathematical modeling vs. other mathematical courses +- Analytical approach vs. constructive approach +- Summary + +# Summary + +# - Experimental studies in China + +- MM ability correlates with creative thinking +- MM ability does not correlate with scores in other mathematical courses +- Teaching method: constructive approach outperforms analytical approach + +# Further works needed + +- Compares with the results in other countries in details +- More experiments + +# Thank you for your attendance! + +comments / questions? + +# Outline + +• Introduction - Motivation +• Experiment +- Results and comments +• Summary + +# Motivation + +- There are many research focusing on the teaching and learning of mathematical modelling and applications + +- ranging from all education levels including primary, secondary, tertiary and teachers education + +- None focuses explicitly on the comparison of mathematical modelling skills between the students at the secondary and the tertiary levels + +- or between students at any lower level and a higher level + +- The primary motivation of this study is to investigate whether there are any differences, and what they are if any, between the mathematical modelling skills of the secondary and tertiary students. + +# Assessment of students' modelling skills + +- The multiple-choice question instrument (Haines et al. 2001, and among others) +• Six questions in each test, with full score of 12 + +- to make suitable assumptions on the transition from the real world; +- to clarify what is to be accomplished by the model; +- to specify precise parameters for a simulation model; +- to identify required variables, parameters and constants; +- to transform real problem into mathematical language; +- to assess and identify appropriate model with reality. + +# Basic information of experiments + +• 193 Students in 2010 Fall class “Introduction to Mathematical Modelling” (freshmen with major in STEM), Tsinghua University, China + +- 157 are boys and the rest are girls + +- All students finished both tests and both tests were finished within 20 minutes + +- Test 1 (pre-test) was carried out as the freshmen entered the University and just attended the first lecture of the course +- Test 2 (post-test) was carried out at the end of the first semester + +# Basic results + +• Comparison of the two tests + +
Question number123456Overall averageStandard deviation
Test 11.171.351.681.421.911.789.321.86
Test 21.691.261.621.471.731.759.531.79
Sum2.872.613.32.893.643.5318.84-
+ +- Statistical analyses show that there is no significant difference between scores achieved by the students at the two tests. + +# Some comments + +- We should improve our teaching methods in the future, making our teaching more effective. +• The students entering into Tsinghua University already achieved very high score (with an overall average score of 9.32 out of 12) in the pre-test (Test 1), so it’s hard to improve further. +• One semester is only a short time. It’s difficult to improve the students’ modelling skills in such a short time. + +# Some comments + +Most challenging problems: 1, 2, 4 + +
Question number123456Overall averageStandard deviation
Test 11.171.351.681.421.911.789.321.86
Test 21.691.261.621.471.731.759.531.79
Sum2.872.613.32.893.643.5318.84-
+ +- Q1: making reasonable assumptions for the real world problems +- Q2: understanding the goals of the modeling work +- Q4: identifying required parameters and variables + +# Basic results + +• Comparison with UK students (Haines et al. 2001) + +
Test 1Test 2Tests 1 & 2
UKTsinghuaUKTsinghuaUKTsinghua
115.8%12.6%18.0%17.9%17.0%15.2%
212.0%14.5%7.2%13.2%9.5%13.9%
314.7%18.1%22.9%17.0%19.1%17.5%
421.4%15.2%19.7%15.5%20.5%15.3%
522.6%20.5%20.5%18.1%21.4%19.3%
613.5%19.1%11.7%18.3%12.5%18.7%
Sum100.0%100.0%100.0%100.0%100.0%100.0%
+ +- UK students performed relatively better in Question 4 (assigning parameters, variables and constants) +Tsinghua students performed relatively better in Question 6 (assessing and choosing a proper model) + +# More results + +# Influences by gender + +- The boy students got 9.35 in average and the girl students got 9.14 in Test 1. The difference is not statistically significant. +- But in Test 2, boys got 9.61 and girls got 9.03, which is a relatively more significant outcome. +- However, we do not think we can conclude that males have better modelling skills than their female peers. +- More experiments are needed. + +# More results + +# Influences by majors + +- Comparing students form three typical departments: Math and Physics, Electronic Engineering, and Mechanical Engineering +- Statistical analyses show that there isn’t enough evidence to conclude that the students’ major influences their modelling skills significantly. +- In fact, freshmen in Science and Engineering departments at Tsinghua University all take similar courses, so we think the results should be very reasonable. +- More experiments are needed. + +# More results + +# • Relationship with basic math courses + +- Basic math courses: midterm examinations for Calculus and Linear Algebra +- Correlation coefficients between modelling score and basic math score were less than 0.2 +- Look into more detail: + +- skilled modeller: 12 points in one test; $22+$ points in two tests +- Poor modeller: 6- points in one test; 15- points in two tests + +# More results + +• Relationship with basic math courses + +
Number of studentsCalculusLinear Algebra
Test112 points2089.6588.13
6- points1587.6082.00
P-value-0.260.07
Test212 points1887.5085.61
6- points1383.3877.88
P-value-0.230.08
Tests 1 & 222+ points2288.2387.20
15- points2188.7680.48
P-value-0.430.07
+ +Students with strong modelling skills possess skilled knowledge in Linear Algebra. + +- Different from the relationship with the course Calculus + +# Summary + +- It is a very interesting area to investigate whether there are any differences in modelling skills between students at different levels. + +- But due to the limitations of our experiment, findings from the study are not very stimulating. + +Further works needed + +- Compares with the results in other countries in details +- More experiments + +# Thank you for your attendance! + +comments / questions? + +一孔之见，欢迎批评指正！ + +希望和大家共同探索！ + +# 谢谢 \ No newline at end of file diff --git "a/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\257\204\351\230\205\346\203\205\345\206\265-\350\260\242\351\207\221\346\230\237/\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\257\204\351\230\205\346\203\205\345\206\265-\350\260\242\351\207\221\346\230\237.md" "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\257\204\351\230\205\346\203\205\345\206\265-\350\260\242\351\207\221\346\230\237/\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\257\204\351\230\205\346\203\205\345\206\265-\350\260\242\351\207\221\346\230\237.md" new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b16477c4742fa89512094d72c8688cf7e3087ddc --- /dev/null +++ "b/MCM_CN/2017/2017\345\271\264\345\205\250\345\233\275\346\225\260\346\250\241\351\242\230\347\233\256\350\256\262\350\247\243/\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\257\204\351\230\205\346\203\205\345\206\265-\350\260\242\351\207\221\346\230\237/\346\225\260\345\255\246\345\273\272\346\250\241\350\257\204\351\230\205\346\203\205\345\206\265-\350\260\242\351\207\221\346\230\237.md" @@ -0,0 +1,315 @@ +赛题讲评与经验交流会（昆明，2017年11月） + +# CUMCM-2017 + +# 参赛和评阅情况 + +![](images/2fbc0a3123d9c084d1acaba0241ffcff082ac1436839764afa09062f8ef1076b.jpg) + +清华大学数学科学系 谢金星 + +http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie + +# 提 纲 + +![](images/b1f2a27fbac5f7344a0403667e0f12faa5ae551f2650cb52b8f7a13963c0cd45.jpg) + +![](images/ae7e3e528ef61a50cbc23ee07610564972052486093bbb4024f4354de6270508.jpg) + +1. 参赛和评阅情况 + +2. 几点注意事项 + +2017报名参赛情况 + +
序号赛区/地区校数本科队数专科队数总队数
1北京672342952437
2天津3182755882
3河北531182741256
4山西4611452841429
5内蒙古1430910319
6辽宁462213312244
7吉林391360791439
8黑龙江371217401257
9上海371230451275
10江苏9918311501981
11浙江76816125941
12安徽6176281843
13福建44970771047
14江西53730148878
15山东8929582603218
16河南6016701411811
+ +
17湖北7082577902
18湖南4385842900
19广东8819542982252
20广西40661117778
21海南1015024174
22重庆4410891521241
23四川6312281411369
24贵州27558120678
25云南3386474938
26西藏239443
27陕西7921624342596
28甘肃27595103698
29青海231031
30宁夏91661167
31新疆1926131292
32香港631031
33澳门226026
99国外2202
总计141833062331336375
+ +报名参赛情况 + +
学校数本科队数专科队数总队数
2016年136728046315331199
2017年141833062331336375
增长3.7%17.9%5.1%16.6%
+ +- 参赛总校数的增长已不太明显，基本趋于稳定 +- 本科组参赛规模仍保持了近10%的增长 +- 专科组近两年有小幅上升的趋势 + +- 优质高职高专升本；高职高专院校的理论课程学习一般只有两年，数学课时往往很少，怎样吸引和组织他们参赛需要进一步总结经验，认真研究 + +送全国评阅论文总数统计资料 + +
等级/题号1A2A1B2B1C2C1D2D合计
申报数35251747871348813858
小计869119112996
合计20602252285
+ +# 1篇B题按“创新点”论文申报（四川，评上二等） + +每个赛区送全国评阅的论文基数（不区分本专科）： + +- 报名队数不超过200个队的部分: 比例 $12 \%$ +- 报名队数超过200但不超过500个队的部分: 比例 $10 \%$ +- 报名队数超过500但不超过800个队的部分: 比例 $8 \%$ +- 报名队数超过800个队的部分: 比例 $5 \%$ + +总数2300左右（按基数比例分配；其中申报一二等奖各1/2；每所学校最多10个队，且最多5个队申报一等奖） + +实际获奖统计资料 + +
A题B题本科C题D题专科
一等奖145147292 (0.9%)302555 (1.7%)
二等奖517593+11111 (3.4%)8560145 (4.4%)
不获奖207451658141125
优秀论文5712336
高教社杯Matlab奖111111
111
+ +一等奖：本科每题~150个；专科比例~2% +- 申报全国一等奖的，实际能评为一等奖的 $< 1 / 3$ +申报全国一等奖的，大约5%不获奖(违规除外) +被认定的违规论文，直接取消资格（今年~240篇） +- 对严重违规的论文，公开通报报名号（今年20篇） + +美赛获奖比例：O + F (<1%); M (~10%); H (~35%); S + +# 评阅过程 + +54位评委，4天，按题分组，每人评阅约120份： + +1、随机编号/随机分卷（1等3人阅，2等2人阅，回避制） +2、评阅开始时，认真讨论评阅标准，并随时完善 +3、百分制评分, “标准化” 调整 (去掉高分段和低分段, 每位专家评分的中间部分的平均分、方差相同) +4、调整后级差偏大的论文，讨论复核 +5、申报一等奖的，与二等奖比较，一部分不获奖 +6、申报二等奖的论文，一般不获一等奖（具有发表价值者除外） +7、特别注意发现雷同、抄袭（或其他违规）的论文（包括程序），由多名专家与组长认真审核认定 +8、纸质版和电子版均应含程序(如有)，且与结果一致 + +# CUMCM评阅标准 + +假设的合理性，建模的创造性， + +结果的正确性，表述的清晰性。 + +合理性：关键假设(不欣赏罗列大量无关紧要的假设)；要对假设的合理性进行解释，正文中引用 + +创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 + +正确性：不强调与“评阅要点”的一致性和结果的精度； +好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的 + +清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 + +全文表达严谨、简捷，思路清新 + +引用规范，严禁抄袭！！！（含网络资料） + +# 参赛论文的一些典型问题 + +# 明确的模型及其检验 + +- 只有算法，没有模型(原理) +- 只有程序，没有算法(流程) +- 就事论事，没有一般性 +- 没有模型检验（或者过于简单） +- 东抄西抄，不问背景，也不注明出处 + +# + +模型为什么有效？ + +敏感性分析; + +等等 + +# 模型的优缺点 + +优点(Strength) + +突出特点；实事求是（不要夸大） + +不足(Weakness) + +抓住本质; 一针见血 (少说无关痛痒的话) + +# 提 纲 + +1. 参赛和评阅情况 + +![](images/21c334d939544f1327e84b1bccce80c73cd10d62dcb38b6ada6dd13756260fe4.jpg) + +2. 几点注意事项 + +![](images/2f8f4c88297487201540b36739ceb2d1e830683a4c6966041a4547df953aeca5.jpg) + +# 文档完整、格式规范 + +纸质版 (论文) + +承诺书、编号页：各一页 + +- 摘要(含标题、关键词): 单独一页 + +- 正文(模型分析、建立、求解等) + +• 参考文献 + +• 附录: 至少应包括打印的程序 $\rightarrow$ 程序 + +电子版 + +- 论文（不压缩，PDF或WORD文件） + +与纸质版一致(仅去掉承诺书、编号页) + +- 支撑材料（非必有；压缩，RAR文件） + +源程序文件、数据等（题中数据除外） + +其他（如特别的参考文献等） + +MD5码问题 + +# 宣传参赛纪律，严肃处理违纪现象 + +# 严格执行竞赛章程、参赛规则，是竞赛的生命线 + +严重违纪(1): 雷同(自建库相似度高; 有些为网购)抄袭或剽窃(不引用, 或引用不规范)过度引用(大段文字与文献雷同) + +引用：不仅列出参考文献，正文处还应标注（让读者能分辨哪些是作者工作，哪些是他人工作, 包括网上文献/程序；引用原话应加引号或单列一段） + +建议仔细阅读以下文章，并向参赛同学宣传： + +P. J. Campbell et al. Write Your Own Contest Entry, The UMAP Journal 28 (1) (2007) 93–98. + +# 宣传参赛纪律，严肃处理违纪现象 + +严格执行竞赛章程、参赛规则，是竞赛的生命线 + +严重违纪(2): 竞赛期间与他人讨论、教师参与 + +“竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人，包括指导教师，研究及讨论与赛题有关的问题” + +“指导教师主要从事赛前辅导和参赛的组织工作,但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论（包括不得向同学解释赛题或提供选题、解题建议，不得为同学提供资料，不得为同学修改论文或提供修改建议等）” ----摘自《参赛规则》 + +# 国赛、美赛外的数学建模(竞赛)活动 + +深圳杯/泰迪杯 + +(每年4-8月) + +地区赛(如华东、华中) + +(每年4-6月) + +后续研究项目 + +(每年4月评优) + +行业赛（如电工杯） + +(奇数年11月) + +宣传周 + +(如与校内赛/夏令营结合) + +(每年5月第3周) + +网络赛（如数学中国网/） + +校苑网/赛氪网…） + +(每年1次或多次) + +其他：中学生、统计建模、大数据、风控、物流… + +# 竞赛的反响（例） + +# IBM 中国研究中心: Business Analysis Optimization Job Requirements: + +1、PhD M.S. in mathematics, statistics, computer science, industrial engineering management science etc. +2、Self-motivated, responsible, able to wk independently under tight deadline willing to wk under pressure. +3、Skill in applied mathematics, including mathematical programming, statistics, data mining, simulation etc. +4、Knowledge in supply chain logistics strategy modeling, simulation, planning optimization. +5、Strong interest basic knowledge about industry trends, technologies, solutions in analytics optimization. +6、Experience in ERP/SCM/CRM system SCM consulting practice is a plus. +7、Award in highly regarded mathematical modeling contest is a plus. +8、Experience in eclipse, Java, architecture design is a plus. + +# Anotehr Example: CityUHK + +# 香港城市大学管理科学系招生 + +- 招募对象：计算机，自动化，数学等相关专业的本科生或研究生 +- 拟入学时间：2012年9月 就读项目：全日制博士 +- 预期学制：4年（以学士学位入学），3年（以硕士学位入学） +申请条件：1. 平均分(GPA)85分及以上；2. 托福成绩92分（internet-based网考）或者IELTS 7分以上；3. 以下同学可放宽成绩要求：已有国际国内期刊发表论文者；国家或国际数学建模比赛获奖者；ACM程序设计竞赛获奖者； +奖学金：…… + +# Anotehr Example: 中国石化 + +来源：http://www.sinopecgroup.com/group/xwzx/gsyw/20141008/news_20141008_349411402938.shtml + +# (2015年)中国石化为优秀毕业生就业开绿色通道 + +“优才引进”计划即对在行业内、国内乃至国际上有较高专业水准和公信度的大赛中获得过一等奖及以上奖项，以及连续两年获得国家奖学金的优秀毕业生，通过资格审查后不用参加统一初选考试，经招聘单位对在校表现等综合考察，符合岗位需要直接作为拟录用人选进行公示，且不占招聘单位引进指标。 + +- 据悉，国际国内知名竞赛包括：美国大学生数学建模竞赛、全国大学生（研究生）数学建模竞赛、全国大学生机械创新设计竞赛、全国大学生结构设计竞赛、“挑战杯”全国大学生课外学术科技作品竞赛、全国石油工程设计大赛、全国化工设计竞赛等7项竞赛。 + +# 可能的改革（含今年已执行的措施） + +- 竞赛时间：适当微调（严格按网上系统操作） + +周四晚20点-周日晚20点 + +(周日晚22:00前上传MD5码; 周一一天内上传论文) + +- 全国奖：进一步控制数量、保证质量，提高含金量 + +• 本科：每题1等~150个，二等~600个 +- 本、专科：送全国的，淘汰不低于20% + +- 格式：除程序外，附录中增加对程序的简要说明（即使没有程序，也应在附录中明确说明） + +# 征题、后续研究 + +- 征题（可以只是素材）： + +1月20日截止；3月中上旬命题研讨会；提高命题费（本科2万、专科1万5）；（命题人不能作为所在题的指导教师） + +- 后续研究: + +每年4月底提交研究成果； +鼓励与产业界合作； +加大奖励力度（每个项目2万元）； +邀请到全国会议上报告（验收） + +# 明后年：会议预告 + +• 2018: 培训/研讨/交流会议; +CSIAM年会 (具体时间、地点待定) http://www.mcm.edu.cn +• 2019: 第16届全国数学建模教学与应用会议 (具体时间、地点待定) http://www.mcm.edu.cn +• 第19届国际数学建模教学与应用会议 (ICTMA- 19) +• The 18th International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications +• July 2019, Hong Kong (香港) +• http://www.ictma.net/ + +# 案例丛书、微课竞赛 + +![](images/90464afc84ee8d1026f85dbd2cb55b60c6074365954aa3c2250ff85aa6c88748.jpg) + +![](images/bf37e792ee17970e275176c33d1c319ff46f1cc029b5ab1686cd17ff9f125562.jpg) + +![](images/de869351eb60c2a8db3651ec0866f1ef7cd32328e4caece1a4443c3c8568b97b.jpg) + +欢迎投稿：国内学者写的案例！ + +![](images/78dfb42ed325df3ec271bec37b6c66b55a7a9da261708e52f008b737946db006.jpg) + +全国数学建模微课程（案例）教学竞赛 + +本项活动的成功之道 + +·学校支持（保障） +教师奉献（关键） +·学生参与（主体） + +![](images/d3bf0a7daacf71bbb02c04b84c2f94f6b9cd4567a86f5f689fc7e509d9e9713f.jpg) + +GAME NEVER VER + +感谢大家对本项竞赛的奉献与支持！ + +谢谢！ \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/A053/A053.md b/MCM_CN/2017/A053/A053.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ed6b26974eb3d8c3e59d1ff379b2a807451e6e81 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/A053/A053.md @@ -0,0 +1,1076 @@ +# 平行束CT系统的参数标定及成像 + +# 摘要 + +CT系统是利用X射线等线束对人体或样品进行扫描，根据被扫瞄样品的吸收特性进行断层成像，被广泛应用于医学与工业领域。CT系统安装时往往会产生误差，本文研究的是平行束CT系统的参数标定及成像问题。 + +针对问题一，首先研究了探测器之间的距离，利用小圆在各个方向投影的不变性，从附件二数据中总结出了小圆投影的三种典型情况，建立了探测器间距与小圆直径的不等关系式，在最大误差不超过 $1.57\%$ 的情况下，取探测器间距为 $0.2808mm$ 。其次研究了发射-接收系统与标定模板之间的相对运动。假设发射-接收系统固定不动，选取小圆模板为研究对象，运用微元法，建立了运动微分方程，求解得到小圆模板相对探测器平面的运动方程。根据椭圆模板的特性以及微分方程的变化率，从附件二数据中选取了3个特殊点：椭圆长轴、短轴方向以及变化率最低点，代入上述方程中求解出未知参数，由此解得旋转中心相对于小圆模板的位置。以托盘几何中心为原点建立一个绝对坐标系，求解得到的旋转中心在绝对坐标系的坐标为（-8.1511,5.4151）。之后利用寻找极值与prewitt算子提取边缘的方法，提取出了180个小圆的位置，代入方程中解得相应的旋转方向，范围为 $[22.9792^{\circ},210.0095^{\circ}]$ 。最后，利用问题二的模型对附件二进行图像重建，以此对标定参数进行再次修正，最终将旋转中心坐标修正为（-9.2603,6.2484），旋转方向范围修正为 $[29.6031^{\circ},208.6031^{\circ}]$ 。 + +针对问题二、三，首先利用第一问所求的旋转中心点的坐标，建立了投影直角坐标系和投影极坐标系。利用滤波反变换方法，对原图进行了重建，利用傅立叶变换和卷积滤波处理，消除了星型伪影的影响，利用线性插值和邻近插值解决了坐标系间离散值转换的难题，利用双线性插值将图形放缩到 $256 \times 256$ 规模的图像，由此得到了重建的原图；再将重建的图像进行二值化处理，得到类似于附件1的分布矩阵，并单独给出如椭圆中心点等特征点的位置信息，更好标定位置。最后，将图像重建算法视为黑箱系统，研究附件二的输入数据与输出图像灰度值的关系，以附件一为“吸收率”的基准，得出将原始数据作二倍增益处理后，输出图像的灰度值与吸收率实现统一的规律。据此规律，将附件3和附件5原始数据二倍增益处理后，进行图像重建，即得到吸收率。 + +针对问题四，首先对问题一的求解进行了误差分析，椭圆自身的特性限制了求解精度的进一步提高。在保留小圆标定模板的基础上，本文设计了正方形以及正六边形两种新型标定模板，可以在多个方向找到特征值，从而建立出超定方程组，从而减小提取特征点的误差影响。如有相应的实验数据，可用遗传算法等智能搜索算法进行寻优求解。 + +最后，我们对修正后的旋转中心坐标进行了检验。发现修正后的旋转中心在探测器平面上的投影与探测器平面中心仅有 $0.702\mathrm{mm}$ 的误差，几乎重合，这个结论支持了本文的模型和结果。同时也求解出探测器平面在安装时相对于托盘几何中心存在 $8.5644\mathrm{mm}$ 的误差。 + +关键词 CT系统平行束参数标定滤波反投影标定模板 + +# 一问题重述 + +CT系统就一种利用X光，对物体的进行扫描，并根据物质对x光的吸收性不同而产生一维投影，并通过反radon变换生成原二维图像，以此来达到对内部结构进行重构的目的，本文所用CT机为平行X光照射，在对侧的相对位置接收器接收穿过后的X光数据，形成一维radon投射，并绕一中心进行旋转成像，将180组512个参测器的数据进行反向radon变换，形成原图信息。 + +由于制造工艺的限制，CT机往往存在各种误差，如安装误差，旋转中心误差等，使得重构图像的数据偏差较大，因此提出以下问题： + +(1)在如图所示的模板中，通过CT机投影得到的数据为附件2。附件1就是该图在方形托盘上的排布，并且该值就是模板物质吸收强度的真实反映，因此，命名为吸收率。请根据以上信息，求得旋转中心，并求得其位置信息，以及探测器的旋转角度的信息。。 +(2) 附件3就是一组CT投影数据, 请利用已知信息, 求出其形状、位置及吸收率信息, 将图3所给的10个特殊点的对应的吸收率求出。 +(3) 附件5也是一组CT投影数据，请将形状、位置、吸收率求出，也将上述10个特殊点对应的吸收率求出。 +(4) 分析问题一中求解精度，并根据所得结论，自主设计新的模板，并分析精度。 + +![](images/1f2b780f67a91c46dec2765f4dbcf449a661d829d50322de515192de4607ea03.jpg) +(a) CT系统示意图 +图1 题目给出的三个示意图 + +![](images/2abe82286bb2d1a5399020e5c35f51c63619e0a8f82a5819a1a29d95e4f4a888.jpg) +(b) 模板示意图 + +![](images/eed323f22385b1e9cd14727302f2b54e4b17754162b444324e034f4e9f620667.jpg) +(c) 10个位置示意图 + +# 二模型假设 + +1、忽略X射线在待测物体中的折射、衍射等现象，假设其均按照直线传播且相邻两源-接收器不互相影响； +2、假设所给的标定模板是标准椭圆和圆； +3、假设源-接收器运动仅限于水平面，忽略垂直面抖动造成误差； +4、假设探测器每次转动的度数为1度。 +5、假设（2）（3）问中所给的附件数据均是在与（1）中完全相同的条件下测得； + +# 三符号说明 + +
符号意义备注
D标定模板中小圆直径mm
d0探测器单元之间的距离mm
y探测器坐标系中平行探测器排列方向分度值为探测器个数
dyy坐标微元
x探测器坐标系中垂直探测器排列方向
R小圆到旋转中心的距离单位为探测器个数
θ0小圆-旋转中心连线与水平方向夹角度
θ小圆-旋转中心连线转过角度度
f(x,y)待测物体二维分布函数
f(r,α)重建得待测物体二维分布函数
φ二维平面内的一条直线L与Y轴夹角
s原点到L的垂线距离
p实际的射线投影
+ +# 四 问题分析 + +# 4.1 问题一的分析 + +问题一是为了标定CT系统的安装误差，CT系统在安装时，理想状态是使通过旋转中心的平行光束垂直于探测器平面，且垂足位于探测器平面中心。本问题研究CT系统的旋转中心相对于正方形托盘中心的误差。考虑到椭圆相对旋转中心的运动不明显，会增大建模的误差，因此可以研究圆形模板与发射一接收系统的相对运动，假定发射一接收系统固定不动，圆形模板绕发射一接收系统顺时针转动，以第一个探测器为坐标原点，建立了一个探测器坐标系，利用微元法，建立了圆形模板圆心在探测器坐标系里的相对运动微分方程。为了求解方程中的参数，我们对附件二中的数据进行数据处理，选取了三个特征点，分别为平行光束沿椭圆模板短轴和长轴的方向，以及变化率最小的点，将三个点的数据带入微分方程，可以解得微分方程中的三个参数，既而得到了旋转中心与圆形模板的距离，以及两者连线与水平方向的夹角，则可以确定了旋转中心的位置。最后，我们利用在限制窗口内寻找极值和利用prewitt算子提取边界点的方法，从附件二数据中提取了小圆的180个圆心点，将其带入小圆圆心的方程中，得到了CT系统使用的X射线的180个方向。 + +# 4.2 问题二、三的分析 + +问题二是为了在得知旋转中心情况下，将附件3的CT投影数据，经滤波反雷登变换，将原二维图像进行重建，并表示出该图像在托盘中的位置和吸收率等信息。首先利用第一问以求得的旋转中心建立投影直角坐标系和投影极坐标系。在反投影重建的过程中，容易受到低频杂波的影响，使得重建的图像不清晰，因此，我们采用滤波反投影重建方法，将运用傅立叶变换，卷积滤波，傅立叶切片定理等知识，将180角度的投影再二维频率域重组，经过二维反傅立叶变换和插值运算，将图像的矩阵重建，最后，利用二维线性插值，将图像矩阵规模缩放为 $256 \times 256$ ，由此，就得到了重建图像，并且每一个像素点的位置就是原图在托盘中的位置，为了更为方便的表示位置，我们将图中6个椭圆的中心在绝对坐标系下的单位为毫米的坐标值。在吸收率的计算过程中，我们利用黑箱理论分析附件1和附件2的关系，得到了CT投影矩阵与原图吸收率之间的关系，求解出附件3重建的图像中每个点的吸收率。 + +由于问题三和问题二属于同一类问题，在此不再赘述。 + +# 4.3 问题四的分析 + +要设计新的标定模板，首先要分析问题一中标定参数的误差来源。问题一中标定参数是通过选取特殊点，带入方程中求解得到。由于探测器接收的数据是离散的，选取特殊点时会不可避免的产生误差，而受限于椭圆模板的自身特 + +性，问题一求解时最多选取3个特殊点，因此无法进一步提高求解的精度以及对结果进行验证。针对这个问题，可以考虑选用正多边形的标定模版，多边形边数越多，可选择的特殊点就会越多，但同时也会影响实验数据的精确度，因此要综合考虑，确定新的多边形模板。 + +# 五 模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一模型的建立 + +# （1）探测器之间的距离 + +利用圆形模板在任何方向上的投影不变的特性，从附件二中的数据可以很分析得到，小圆的直径在不同角度上的投影可以分为3种情况，我们选取了第1、6和11列的数据，此时小圆的投影是与椭圆投影分离的，这3组数据可以代表小圆在不同角度的投影情况： + +![](images/5aaf0b3fd61807327c378030b439df955e69f666d2b3eab6a6f379c589133450.jpg) +(a) + +![](images/33b35a1fa3b365ad466aec110e860f59b5f82923624e4fe76b7da57306e9f7e6.jpg) +(b) + +![](images/2826648303ccc9bc83479c073a10705ff00fd73e01fac074a3fb7e57df293cbd.jpg) +(c) +图2小圆在不同方向的投影情况 + +其中，（a）图有29个探测器接收到信号，且明显不对称，说明中心线不过圆心；（b）图也有29个探测器接收到信号，且成近似对称，我们可以近似认为中心线过圆心；（c）图只有28个探测器接收到信号，且成近似对称。根据以上这三种情况，可以研究小圆直径D与探测器之间距离的关系。 + +先研究特殊的情况，（b）图： + +![](images/bb4f0865cee4a4b9ea37d291449a86185b8048e846d5d6700feb9904fc804b8e.jpg) +(a) + +![](images/507eaced027d5b1bdb96c3c78af9fa9efa19aee901280e0ef6d803092d366156.jpg) +(b) + +![](images/d3616a60b848ac15dfeb3a3609ede5874d01afe55fc86d4003259219e7d83bfc.jpg) +（c） +图3 小圆直径D与探测器之间距离的3种关系 + +当处于（a）情况，此时图像显然不对称，但不失一般性，考虑29号射线无限接近于相切，可得到不等式： + +$$ +D - 2 8 d _ {0} < d _ {0} +$$ + +$$ +\mathrm {D} > 2 8 d _ {0} +$$ + +当处于（b）情况，近似认为此时图像是对称的，可以得到不等式： + +$$ +\frac {D - 2 8 d _ {0}}{2} < d _ {0} +$$ + +$$ +\mathrm {D} > 2 8 d _ {0} +$$ + +当处于（b）情况，近似认为此时图像是对称的，可以得到不等式： + +$$ +\frac {D - 2 7 d _ {0}}{2} < d _ {0} +$$ + +$$ +\mathrm {D} > 2 7 d _ {0} +$$ + +由此，可以得到探测器之间的距离和小圆直径的不等关系式： + +$$ +\frac {D}{2 9} < d _ {0} < \frac {D}{2 8} \tag {1} +$$ + +# (2) 小圆与发射一接收系统的相对运动 + +题设为发射一接收系统绕一旋转中心逆时针旋转，为了更好地研究探测器与标定模板之间的相对运动规律，我们假设发射一接收系统是固定不动的，正方形托盘及其上的模板绕旋转中心顺时针转动，选择初始时刻如图4： + +![](images/f53f377ed5297ce97e7f21967cb20115f7a875255cd76fde8c8f20489fec95e4.jpg) +图4 初始位置示意图 + +![](images/073b9c337b198cede9eaf32f30b57cf52f967685bc8a8b81abe968bee411a4e9.jpg) +图5 探测器坐标系示意图 + +取第一个探测器为坐标原点，建立探测器坐标系，如图5所示。 + +由于旋转中心接近于椭圆的中心，因此椭圆的相对运动不是很明显，研究起来容易引起较大误差。因此，我们选择小圆为研究对象，研究小圆与发射一接收系统的相对运动规律。任意时刻，小圆由初始时刻转动 $\theta$ 角的运动规律可由如图6所示： + +![](images/31a40819ea3b39361e89696f62905fa425d1251f96111fd69377a507daa80159.jpg) +图6小圆运动规律示意图 + +利用微元法，得到小圆运动的微分方程为： + +$$ +d y = - r * \sin (\theta + \theta_ {0}) d \theta \tag {2} +$$ + +不定积分求解得到小圆圆心相对于探测器平面的运动规律： + +$$ +y = r * \cos \left(\theta + \theta_ {0}\right) + C \tag {3} +$$ + +其中，r为小圆到旋转中心的距离， $\theta_0$ 为两者连线与水平方向夹角。据此，可以确定旋转中心在正方形托盘中的位置。 + +# （3）提取小圆圆心位置坐标 + +为了得到CT系统使用的X射线的180个方向，我们从原数据图像中提取出每个方向下小圆圆心在探测器坐标系中的坐标，即上式中的y值，将提取出的180个y值，带入运动方程，就可以得到每个方向相对于初始位置的旋转角度 $\theta_{i}$ 。 + +附件二中数据的二维图像如图7所示； + +![](images/ad7163d690ffa9c43d91443a826805e748a7d941f49b242eef4531caaf9ea4ae.jpg) +图7 附件二数据二维图像 + +从图中可以明显地看出小圆与椭圆的位置关系可以分为两段：分离段和重合段。 + +# 1）分离段 + +对于分离段，由于小圆直径的方向是最大的衰减方向，因此我们通过在限制窗口内寻找极值的方法，可以依此快速地输出每一个方向上圆心点的y值。 + +# 2）重合段 + +对于重合段，由于椭圆和小圆的衰减产生了复合作用，极值点不一定出现在小圆圆心，且小圆的边界也不清晰。因此，我们利用MATLAB，对图像进行边缘提取。采用的边缘检测算子为prewitt算子。 + +用边缘算子提取出边缘点集之后，将每一列的边缘点求和取平均值，即两条边界的中间值，作为分离段小圆的圆心位置。 + +将提取出的小圆圆心位置坐标带入方程（2）中，即可得到CT系统旋转的180个方向： + +$$ +\theta_ {i} = \arccos \left(\frac {y _ {i} - C}{r}\right) + \theta_ {0} \tag {4} +$$ + +# 5.2 问题二模型的建立 + +# 5.2.1.理论基础 + +# （1）雷登变换及其逆变换 + +![](images/ce3a3606805351840a5fb5f42ce4383f0628803a5310dc595cf4738509a072a1.jpg) +图8雷登变换参数示意图 + +如图16所示，二维平面内的一条直线L与X轴夹角为 $\varphi$ ，原点到L的垂线距离为s，直线上的点 $(x,y)$ 可以用极坐标表示为 $(r,\theta)$ 。 + +若已知函数 $\mathrm{f(x,y) = \hat{f}(\mathbf{r},\theta)}$ 沿直线L的线积分为： + +$$ +\mathrm {p} = \int_ {L} f (x, y) d l = \int_ {L} \hat {f} (r, \theta) = \int_ {- \infty} ^ {+ \infty} \hat {f} (\sqrt {s ^ {2} + l ^ {2}}, \varphi + a r c t a n \frac {l}{s}) d l \tag {5} +$$ + +则： + +$$ +\hat {f} (r, \theta) = \frac {1}{2 \pi^ {2}} \int_ {0} ^ {\pi} \int_ {- \infty} ^ {+ \infty} \frac {1}{r c o s (\theta - \varphi) - s} \frac {\partial p}{\partial s} d s d \varphi \tag {6} +$$ + +式（4）称为雷登变换，是指二维分布函数在一定角度下的线积分，即实际的射线投影 $\mathrm{p}$ ，式（5）称为雷登反变换，他指的是通过一定量的的投影采样角度下的投影数据 $\mathrm{p}$ 可以重建出物体的断层图像 $\hat{f}(\boldsymbol{r},\theta)$ 。 + +# (2) 反投影重建算法 + +反投影重建算法的原理是：将断层平面中的某一点的密度值看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和。反投影重建算法的任务是寻找经过某个像素点的所有射线投影，将每个射线投影沿射线方向均匀地分配投影值，根据反投影结果映射生成重建图像。 + +反投影的点扩散函数： + +对于CT成像系统，一个理想点状物体的图像都会扩散成一个分布，这个分布称为点扩散函数。 + +反投影重建算法的重建过程可以看作一个从输入原始图像到输出重建图像的成像系统，如下图所示： + +![](images/8a2bb099cb09b1821e384cf73bb5449816c801d5fe55a8908651f08a4cbd4b07.jpg) +图9 反投影重建的等效成像系统 + +该成像系统的点扩散函数为： + +$$ +\hbar (r, \theta) = \frac {1}{\pi} \frac {1}{| r |} = \frac {1}{\pi \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \tag {7} +$$ + +从上式可以得出，对应于反投影算法的系统中，点扩散函数并不是δ函数，该成像系统是不完美的。在r≠0处，像素值已经不等于0。这定量地描述了反投影重建算法星状伪影的本质。 + +# （3）滤波处理 + +为了消除星状伪影，在反投影重建之前将投影数据进行滤波处理，再进行反投影重建。过程如下图所示： + +![](images/5be331a09bd486170dd9e0430c20d3e435bde0d50b3f46ab6370ef8d82ae0692.jpg) +图10去除星状伪影的方法 + +# （4）傅里叶中心切片定理 + +假设 $f(x, y)$ 为待重建物体的密度函数， $p_{\varphi}(x_r)$ 为 $f(x, y)$ 在角度 $\varphi = \varphi_0$ 时的平行束投影，有傅里叶中心切片定理的数学表达式为： + +$$ +F _ {l} \left[ p _ {\varphi} \left(x _ {r}\right) \right] = F (\rho , \varphi) | _ {\varphi = \varphi_ {0}} \tag {8} +$$ + +其中， $F_{l}[\cdot]$ 表示一维傅里叶变换， $F(\rho, \varphi)$ 是二维傅里叶变换的极坐标表示。 + +傅里叶切片定理的意义在于，通过在投影上执行傅里叶变换，我们可以从每个投影中得到物体的二维傅里叶变换。 + +# （5）卷积滤波 + +由傅里叶变换的卷积原理可知：空域中两个函数的卷积等价于频域内的两个函数的乘积。常用的滤波器有R-L、S-L、Cosine、Hamming和Hanning滤波器等。本文为了比较验证，选用了R-L、S-L和Hamming3种滤波器。 + +# (6) 插值方法 + +在平行束投影的采集过程中，射线的平移采样和角度采样都是离散化的，像素点在 $x_{r}$ 轴上的投影并不一定位于平移采样点上。因此，反投影过程中内插运算是非常重要的步骤。常用插值算法有紧邻内插和线性内插两种方式。 + +# 5.2.2 滤波反投影算法的设计 + +# 1、滤波 + +(1) 滤波的设计: 由投影矩阵 $\mathrm{P}$ 和阈值 $\mathrm{d}$ , 根据滤波的要求, 从以上几种滤波函数中选则一种, 并生成滤波向量 $\mathrm{H}$ 。 + +# (2) 滤波过程的实现 + +(1)对投影矩阵的每一个 $\theta$ 角度下的 $\mathrm{P_f}$ 进行快速傅立叶变换得, 由空域转化到频域, 简化问题; + +$$ +P _ {f, \theta} = F o u r i e r (P _ {\theta}) \tag {9} +$$ + +(2)在频域中, 乘积运算即为卷积运算, 变换后的投影与滤波向量 $\mathrm{H}$ 卷积为: + +$$ +P _ {h, \theta} = P _ {f, \theta} \times H \tag {10} +$$ + +③最后根据傅立叶切片原理组合到二维傅立叶频域，随后进行傅立叶反变换即可求得原矩阵 + +$$ +I = i F o u r i e r \left(P _ {h, \theta}\right) \tag {11} +$$ + +# 2、反投影 + +（1）投影直角坐标系和投影极坐标系的建立 + +① 以第一问求得的旋转中心为原点，以与托盘下边界平行向右方向为 X 轴，纵向为 Y 轴建立平面直角坐标系 +(2)以旋转中心为极点，以投影直角坐标系夹角为 $\theta$ 的方向为极轴，建立投影极坐标系。 + +坐标系如图11所示 + +![](images/e92e4451734f0d41084799a6fc61e993ff8a6c9e1e5ced1be0ca25ddf1305fd9.jpg) +图11投影坐标系示意图 + +![](images/1a906589093d02763cd1cf2f97673ebb3bd046e3662cd28731a4e107e103b4df.jpg) +图12 投影坐标系示意图 + +# （2）坐标系间转换 + +设 $(x, y)$ 为投影直角坐标系上任意一点，该点和原点连线与 $x$ 轴夹角为 $\theta$ ，线段长度为 $\rho$ ，在投影极坐标系中表示为 $(r, \theta)$ ，则 + +$$ +r = x * \cos \theta + y * \sin \theta \tag {12} +$$ + +由于滤波过程中的得到的值均为离散值，且投影直角坐标系和投影旋转坐标系的值均为离散值，所以在坐标系间进行转换时需要用插值算法去求近似解，此处我们选用临近插值和线性插值求解得到图像矩阵。 + +# (3) 将矩阵转化为灰度图并显示 + +由于MATLAB显示的灰度值的范围为[0,1]，因此将原矩阵除以 $\frac{\pi}{360}$ ，使得矩阵内元素的取值范围均在[0,1]内；且有雷登反变换之后的得到的矩阵为规模为 $362 \times 362$ ，因此，要利用双线性插值将矩阵缩放为规模为 $256 \times 256$ 的矩阵。 + +# 5.3 问题一模型的求解 + +# （1）探测器之间的距离 + +小圆直径为 $8 \mathrm{~mm}$ , 则不等关系式为: + +$$ +\frac {8}{2 9} < d _ {0} < \frac {8}{2 8} +$$ + +保留4位小数： + +$$ +0. 2 7 5 8 < d _ {0} < 0. 2 8 5 7 +$$ + +在误差允许的情况下，我们用最大值和最小值的平均值作为 $d_{0}$ 的值，即取 $d_{0} = 0.2808$ + +此时，最大误差不超过 $1.74\%$ ，是可以接受的。因此，本文在接下来的模型中取探测器之间的距离为 $0.2808 \, \text{mm}$ 。 + +# （2）确定旋转中心的位置 + +由于方程（2）中包含3个未知参数，因此我们从附件二数据的图像上选取3个特征点，带入方程求解参数。3个特征点分别为：A.投影方向沿椭圆长轴的方向，B.投影方向沿椭圆短轴的方向，C.小圆轨迹最低点。3个点位置示意图如下： + +![](images/b7df86a1e2c0f7ceb7c1ae5832b655f4514de183a481ed3571b736c2369714e1.jpg) +图13 特征点选取示意图 + +# 1）A点坐标 + +利用MATLAB寻找全局最大值，即为沿椭圆长轴的投影方向，在此方向上寻找小圆的极值点，据此找到满足条件的1个点：（151,60）。即 $y_{A} = 60$ 。此时，旋转角度 $\theta_{A} = \pi$ 。 + +# 2）B点坐标 + +利用MATLAB寻找上边界与下边界的最大差值，即为沿椭圆短轴的投影方向，由于探测器之间的间隙产生的误差，找到了满足条件的8个点： + +表 1 上、下边界的最大差值点 + +
x5859606162636465
y245242238235232228225222
+ +将 $\mathrm{y}$ 值取平均作为 B 点的 $\mathrm{y}$ 值, 即 $y_{B} = 233.5$ 。此时, 旋转角度 $\theta_{B} = \frac{\pi}{2}$ 。 + +# 3）C点坐标 + +在附件二数据中可以找到7个最低点： + +表 2 最低点 + +
x142143144145146147148
y59595959595959
+ +则 $y_{C} = 59$ 。轨迹上最低点即为方程变化率最小的点, 即此时 $\theta_{C} + \theta = \pi$ 。将三个点的信息带入方程 (2) 中, 得到如下方程组: + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} 5 9 = - R + C \\ 6 0 = R \cos \left(\pi + \theta_ {0}\right) + 5 9 + R \\ 2 3 3. 5 = R \cos \left(\frac {\pi}{2} + \theta_ {0}\right) + 5 9 + R \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +利用MATLAB编程解得： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} R = 1 9 0. 2 6 4 4 \\ C = 2 4 9. 2 6 4 4 \\ \theta_ {0} = 5. 8 1 7 3 ^ {\circ} \end{array} \right. +$$ + +即原方程为: + +$$ +y = 1 9 0. 2 6 4 4 \cos (\theta + 5. 8 1 7 3) + 2 4 9. 2 6 4 4 \tag {14} +$$ + +# (3) 确定 180 个投影方向 + +# 1）提取小圆圆心位置 + +分离段小圆圆心位置的提取结果如图14所示； + +利用prewitt算子进行边缘提取的结果如图13所示； + +![](images/be105437d5c5f6069724be848ade1c856cf422ae5e852bc04e054aea1cac3d83.jpg) +图14分离段提取圆心位置图像 + +![](images/d3551f9d373eb0c7a9765c84c8bbf7e226abe1787463d06eb3dab0ebea283b78.jpg) +图13prewitt算子提取边界结果 + +利用MATLAB编程从边缘点集提取出所需的小圆的边界，每列求平均值，得到的重合段小圆圆心位置如图14所示。 + +![](images/1b277a5b611d8aede961bd419e9e930f583e920008e724656e00d3c2ddb5f431.jpg) +图14 重合段圆心位置提取图像 + +![](images/58f4a4d9d3c92f64564b82e29c3c9b1572ff614c4ca658e5d3b205c6ba0f1844.jpg) +图15 完整小圆圆心位置坐标 + +将两段提取出的位置整合，得到完整的180个小圆圆心的位置图像，图15即为求得的图像。小圆圆心具体位置坐标见支撑材料“小圆圆心Y坐标”。 + +# 2）求解180个投影方向 + +将每一个小圆圆心的 y 坐标带入方程（3），解出对应的 $\theta$ 值，即投影方向。解出的方向范围为： $[22.9792^{\circ}, 210.0095^{\circ}]$ 。具体各个方向见支撑材料“问题一角度”。 + +# 5.3.4 参数修正 + +# （1）进一步确定旋转角度的范围 + +利用方程（3）得到的角度范围大致为 $187^{\circ}$ ，为了得到重建算法需要的精确的 $180^{\circ}$ 的范围，我们把已经求得的标定参数带入问题二模型，将旋转角度参数划分为： $[23^{\circ}, 202^{\circ}]$ 、 $[24^{\circ}, 203^{\circ}]$ 、 $[25^{\circ}, 204^{\circ}]$ 、 $[26^{\circ}, 205^{\circ}]$ 、 $[27^{\circ}, 206^{\circ}]$ 、 + +[28°, 207°]、[29°, 208°]、[30°, 209°]、[31°, 210°] 9个旋转角度范围，分别将附件二的数据进行重建，得到的图像如图16所示： + +![](images/a5f522c30c0758cd9cb21c9098e42860fe0b17188f54b89b9e921f641bef646a.jpg) + +![](images/d2d8235cc493e839c998224267038e9e3907e6031614bfc9895e2984f8c2ad31.jpg) + +![](images/969922b0a2c763bade794fa2c82b5da852cea3243afd58cd5b37c06b79b226ea.jpg) + +![](images/eada47ec9b00cf2c9b1481a6973f689f3d16dcea351681355f685b0a7d1bcca4.jpg) + +![](images/47db249bb1789d466dbf2fd3fb9d5fa57b9ebdc47e06b25a86e91d665afd47aa.jpg) + +![](images/e33431328cb75411c048e12ac7314cd27f7731814cb67d814f29495c3b376a43.jpg) +图16起始角对比图 + +![](images/0c4668234fd53e8b4cb6a467d6916ba3f89904fdf5dfaa5706d13f7fc62c636e.jpg) + +![](images/f0ffb9cd282a888ae13c109db65af52f5468d47e375dce590f8729c4f05c3771.jpg) + +![](images/f3f6b17855549fee30a89b75b3b2fc12a1633bb79fc01e18e0dcacfb3a85cd54.jpg) + +观察以上9幅图，我们直观地选取 $28^{\circ}$ 作为起始角，即旋转角度范围为 $[28^{\circ}, 207^{\circ}]$ 。 + +在重建图像中提取椭圆和小圆的中心点，相应的MATLAB程序见附录，结果如图17： + +![](images/20690a23a8124f00592c6937a2d7537968421ac9a00760b900f551b6e02baf92.jpg) +图17 提取中心点 + +两中心点在 MATLAB 图像上的坐标分别为: $O_{1}(184.3208, 184.8958)$ , $O_{2}(347.1070, 189.4517)$ 。发现两点纵坐标并不相等, 即起始角度仍有微小偏差, 偏差为: + +$$ +\theta^ {\prime} = \arctan \left(\frac {\Delta y}{\Delta x}\right) = 1. 6 0 3 1 ^ {\circ} +$$ + +即，最终修正之后的旋转角度范围为： + +$$ +\theta \epsilon [ 2 9. 6 0 3 1 ^ {\circ}, 2 0 8. 6 0 3 1 ^ {\circ} ] +$$ + +（2）修正旋转中心坐标 + +将上述最终的修正角度输入问题二模型，再次将附件二重建，提取椭圆中心点坐标，具体过程与之前叙述相同，输出的结果为： $O_{1}(184.9501,183.9675)$ 。发现椭圆中心点并不在重建CT图像的中心点（181,181）。为了使重建图像的中心点与托盘的几何中心重合，将这个坐标偏差修正到旋转坐标上，则最终修正之后的旋转中心在绝对坐标系中坐标为： + +$$ +x = - 8. 1 5 1 1 - d _ {0} \cdot (1 8 4. 9 5 0 1 - 1 8 1) = - 9. 2 6 0 3 (m m) +$$ + +$$ +y = 5. 4 1 5 1 + d _ {0} \cdot (1 8 3. 9 6 7 5 - 1 8 1) = 6. 2 4 8 4 (m m) +$$ + +# 5.4 问题二模型求解 + +在滤波反投影解算过程中，我们以MATLAB库函数iradon和radon为基础，根据需要对库函数做了相应的改动，具体的改动在支撑材料iradon_reveise函数中已经标出。在求解时适时对函数的各个参数进行了修正，使得结果更为精确。 + +# 5.4.1 输出重建图像 + +利用5.2中建立的修正滤波反投影重建算法，将附件3的数据重建，得到的重建图像如图18所示： + +![](images/7af80226b097187af5521561cf75a505f865a2602b854d741b65bcb4f109af4b.jpg) +图18 附件3滤波反投影图像 + +![](images/9de4024ebdd40ca607898049fd7b10614f023b14271a93cfd2386c455d276da3.jpg) +图19各椭圆中心点示意图 + +则附件3介质的几何形状如图所示，可以看作一个大椭圆的下部抠掉了两个椭圆，上部还有3个小椭圆部分与主体椭圆是不同的介质。 + +# 5.4.2 介质在正方形托盘中位置的确定 + +# (1) 提取各个椭圆中心点 + +利用中心点提取算法提取各个椭圆的中心点如图19所示： + +在以托盘几何中心为原点的绝对坐标系下各个中心点坐标值为: + +表 3 各椭圆中心点坐标值 + +
椭圆编号010203040506
x坐标1.779110.12-11.0355-4.7931-24.838632.3053
y坐标5.977353.452363.92914.9655-49.2769-43.275
+ +# (2) 确定比例尺 + +为更加准确表达位置信息，将以像素为单位的相对坐标值转化为以毫米单位的绝对坐标值。搜索到椭圆和小圆的中心点坐标为： + +$O_{1}(128.1354, 128.1375), O_{2}(243.2566, 128.1375)$ , 由此可以得到相邻两个像素点的距离为 $0.3909 \mathrm{~mm}$ 。 + +表 4 各椭圆中心点坐标值 + +
椭圆编号010203040506
x（mm）0.6954373.955831-4.31369-1.87359-9.7092212.6279
y（mm）2.33648120.894124.989365.8499-19.262-16.9159
+ +# 5.4.2 吸收率的确定 + +本题目中的“吸收率”是以附件一中的数据为基准，附件一的介质是均匀介质，因此附件一的数据全部为0或1。在问题一的求解中，我们对附件二进行重建，得到的重建图像中椭圆部分的灰度值在0.49上下微小浮动。 + +为了寻求重建图像的灰度值与附件一的吸收率基准值的关系，我们对附件二原始数据作乘2处理，得到新的数据再进行重建，输出图像的椭圆部分的灰度值变为在0.98浮动，可以认为实现了灰度值与吸收率的统一。因为重建算法中间过程十分复杂，在研究吸收率时，我们可以把中间过程看成一个黑箱系统，只考虑输入与输出，那么，可以推断出原始数据与吸收率的关系： + +![](images/5c84c20f6052c8ba944f585bf7eef23984dea7963ef53c5c21ccca46d8edc03e.jpg) +图20 黑箱系统流程图 + +按照这个规律，我们把附件3原始数据作二倍增益处理，输入到重建算法中，得到了附件3介质的吸收率，具体值见支撑材料“problem2.xls”，在此我们仅给出题目要求的10个点吸收率。 + +表 5 附件 3 中 10 个特殊点的吸收率 + +
编号12345678910
吸收率00.977101.17491.04351.42311.2772000
+ +![](images/ebdc17e4e081f7a39f81bd0a1f7820d87410c41b9d19f7bf302d3d24dabd11fd.jpg) +图21 附件5中10个特殊点的分布 + +# 5.5 问题三的求解 + +# 5.5.1 附件 5 的重建图像 + +利用问题二模型对附件5进行重建，得到的重建图像如图22所示： + +![](images/99da730b690934156b5614610bd224537e5825bcb23e343e631d9c9ebf5139a3.jpg) +图22 附件5滤波反投影图像 + +![](images/63a006bbeccd5566c26ad6bd1bf463909275c6a980bd54914df2811ab99542a6.jpg) +图23 二值处理后的位置示意图 + +# 5.5.2 介质在正方形托盘中位置的确定 + +由于重建后的图像并不规则，因此，我们将重建后的图像进行二值化处理，如图23所示，有物体的点置为1，空白处置为0，将该图的像素存储为 $256 \times 256$ 的矩阵，见支撑材料“附件5二值化后位置矩阵”。 + +# 5.5.3 吸收率的确定 + +10个特殊点的位置如图24。 + +表 6 附件 5 中 10 个特殊点的吸收率 + +
编号12345678910
吸收率0.04522.67516.84310.01400.36773.14506.067807.33910.0437
+ +![](images/cb28ea8c145ba777d4a9cd1ea661f0ab5feb83b0b79501f64022a7736705bab7.jpg) +图24 附件5中10个特殊点的分布 + +全部点的吸收率见支撑材料“problem3.xls”。 + +# 5.6 问题四模型的建立与求解 + +# （1）问题一标定参数的误差分析 + +问题一的核心参数是旋转中心的位置，方程（2）中的r、θ两个参数反应了旋转中心的位置。问题一的求解模型为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {1} = r * \cos \left(\theta_ {1} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {2} = r * \cos \left(\theta_ {2} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {3} = r * \cos \left(\theta_ {3} + \theta_ {0}\right) + C \end{array} \right. \tag {15} +$$ + +即，选取3个特殊点，将特殊点的值带入方程，3个方程3个参数，可以求解得参数的值。 + +但由于接收信息是离散的，在特殊点的选取过程中采用了取均值处理，这不可避免地会产生误差。另一方面，受椭圆模板自身特性的限制，只能选取到3个特殊点，无法取更多点带入模型，因此无法验证模型的准确性。 + +# （2）新标定模板的设计 + +针对以上的误差分析，在保留小圆模板的基础上，我们分别设计了正方形和正六边形两种模板来代替原先的椭圆形模板。 + +# 1）正方形模板 + +正方形标定模板的尺寸、位置信息如图25： + +![](images/f9fbcc14ae85c3c09ecb4b3660787c0b20d1a9fbcc5223c8da5c7fe6c85fc0c5.jpg) +图25 正方形模板 + +在旋转一周的情况下，会找到如下四种特殊的照射方向： $\theta$ 分别等于 $\frac{\pi}{4}$ 、 $\frac{\pi}{2}$ 、 $\frac{3\pi}{4}$ 、 $\pi$ 。 + +![](images/80450ea06144a446eb588eaf61e1e25d99cde7cba82c5d8f340b8fb1671b40ca.jpg) +(a) $\theta = \frac{\pi}{4}$ + +![](images/5810acb2cb5023fcc996de0ba43f0e38e1fe40f39c201348905625b92adb0ea6.jpg) +(b) $\theta = \frac{\pi}{2}$ + +![](images/000a191b5cd94f2a881414b86b3d45b784edd1d2eb677408a9f543d227c83431.jpg) +(c) $\theta = \frac{3\pi}{4}$ +图264种特殊照射方向 + +![](images/6ea3ec920c004e575f233a9f6d0bd88fcdcfd6d09d2d8681bf69fc4b6df0b6de.jpg) +(d) $\theta = \pi$ + +即可以找到4个特殊点，代入方程（2）得到如下方程组： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {1} = r * \cos \left(\frac {\pi}{4} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {2} = r * \cos \left(\frac {\pi}{2} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {3} = r * \cos \left(\frac {3 \pi}{4} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {4} = r * \cos (\pi + \theta_ {0}) + C \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +# 2）正六边形模板 + +正六边形模板的尺寸和位置信息如图27： + +![](images/76441cb381b5e00618ebb54cc63182641dfcb66e6c7d42c5bd13db68c5294bc8.jpg) +图27 正六边形模板 + +在旋转一周的情况下，会找到如下6种特殊的方向： $\theta$ 分别等于 + +$$ +\frac {\pi}{6}, \frac {\pi}{3}, \frac {\pi}{2}, \frac {2 \pi}{3}, \pi , \frac {4 \pi}{3} 。 +$$ + +![](images/783e90a6a71d1cc097199dda5e09e5ae015a3dec6852de9d04ceec0da565e3f1.jpg) +(a) $\theta = \frac{\pi}{6}$ + +![](images/53350cc667876fb94356031d2b33c604b63d50c6a1a933b7d4a94545299d8855.jpg) + +![](images/4c23c054a3811f3f892f0ee75e96df4fbbb2cb856421ef783298a1b63ef41dc0.jpg) +(c) $\theta = \frac{\pi}{2}$ + +![](images/69a6d5395d8ae399232b6f4639f2e1f0dfe7b59df38d9cbcbe82a7a1ebd502b3.jpg) +(d) $\theta = \frac{2\pi}{3}$ + +![](images/8a2883e9d1c014c283d91db498de20e465123da1adcd119bbfd6e2fc4e8930a9.jpg) +(b) $\theta = \frac{\pi}{3}$ +(e) $\theta = \frac{5\pi}{6}$ +图286种特殊照射方向 + +![](images/5d8c9211a776bf8ff182785e01c0060782bc7c1f14c48378a077accf3ce08827.jpg) +(f) $\theta = \pi$ + +即，可以找到6个特殊点，带入方程（2）得到如下方程组： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {1} = r * \cos \left(\frac {\pi}{6} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {2} = r * \cos \left(\frac {\pi}{3} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {3} = r * \cos \left(\frac {\pi}{2} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {4} = r * \cos \left(\frac {2 \pi}{3} + \theta_ {0}\right) + C \\ y _ {5} = r * \cos (\pi + \theta_ {0}) + C \\ y _ {6} = r * \cos \left(\frac {4 \pi}{3} + \theta_ {0}\right) + C \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +# （3）求解方法 + +以上两个方程组都是方程个数大于未知参数，属于超定方程组。由于方程组是非线性的，因此不能用传统的超定方程组的最小二乘解法求解，但可以采用智能搜索算法去寻求参数的最优解，如遗传算法、蚁群算法和狼群算法等。 + +# (4) 新模板的误差分析 + +按照这个思路，理论上还可以选取正八边形、正十二边形等等作为标定模板，得到的方程个数会依此增加，方程个数越多，智能算法寻优得到的参数值就会越准确。 + +但另一方面，由于CT系统的探测器是离散的，选取的正多边形边数越多，实验得到的原始数据误差就会增大，由实验数据寻找特殊点时的误差也会相应增大。因此，并不是边数越多、方程越多，得到的解就会越精确。 + +综合考虑以上两个方面，我们主观上折中选取了正方形和正六边形作为新的标定模板，但想要定量地研究其标定精度，还需要真实的实验数据去检验。 + +# 六 模型的检验 + +对问题一中最后修正的旋转中心进行检验： + +当 $\theta = \pi$ 时，小圆与探测器平面在探测器坐标系中的的相对运动态势如下所示： + +![](images/21c19c6f3a70bacf9c30d1fa484dad2349b62502feaf69632f0f902e18df9be3.jpg) +图29 $\theta = \pi$ 时小圆与探测器平面的相对运动态势 + +由平面几何关系得： + +$$ +y _ {x z} = y | _ {\theta = \pi} + \frac {(4 5 + 9 . 2 6 0 3)}{d _ {0}} +$$ + +$$ +y _ {j h} = y _ {x z} + r c o s \theta_ {0} - \frac {4 5}{d _ {0}} +$$ + +将问题一求得的标定参数 $\theta_{0} 、 r$ 带入以上方程解得: + +$$ +y _ {x z} \approx 2 5 3 +$$ + +$$ +y _ {j h} \approx 2 8 6 +$$ + +即在初始时刻旋转中心对应第253个探测器，几何中心对应第286个探测器，而探测器平面的中点应介于第255和256个探测器之间，则可以算出旋转中心相对于探测器平面中点的误差为 $0.702mm$ ，几何中心相对于探测器平面中点的误差为 $8.5644mm$ 。 + +分析误差发现修正之后的旋转中心的投影几乎与探测器平面的中心重合，这个结论支持了前文模型的结果。另一方面同时说明了探测器平面在安装时就存在误差，并没有对准托盘的几何中心，在安装时中出现几毫米的安装误差是十分正常合理的，也是符合实际情况的。 + +# 六 模型评价与改进 + +# 6.1 模型的评价 + +# 6.1.1 模型的优点 + +1、通过数学关系推导，模型精确度较高； +2、模型假设遵循客观规律，引入误差较少； +3、通过精确函数关系计算过程中所需数据，比直接从图中取点精确度高； +4、问题二、问题三中对雷登反变换函数进行初始参数修改，将问题一中求解的标定参数在重建图像之前进行修正，同时选用多种滤波函数，使得重建图像目视效果较好。 + +# 6.1.2 模型的缺点 + +1、问题一中在小圆与椭圆交界处分界线不清晰，求取小圆圆心误差较大； +2、问题二、问题三中推导吸收率和灰度间关系时取点较少，增大了误差。 + +# 6.2 模型的改进 + +1、针对缺点一，可通过运用加窗滤波、边界推算、边缘化后选取、滑动窗口选取等多种处理方法分别求交界处圆心，并将结果加权平均，以求得最佳圆心位置。 +2、可对重建后的灰度值进行离散点求和，再求取其平均值，以获得更精确的函数关系。 + +# 七模型推广 + +对于第一代CT应用平行射线有采样速度慢、采样点多、射线利用率低等缺点，出现了锥形、扇形束射线的投影重建方法。对于扇形束射线的投影重建，分为两种，一种是直接重建，该方法是将投影数据选取适当的权值进行加权平均后得到类似于平行射线的算法；另一种是对扇形数重排后重建，该方法对所有的投影束进行重新组合，形成不同角度下的平行射线投影数据。无论是上述哪种方法，最终都要用到平行射线投影重建的模型。并且对于等间距的接收器排列或等角的接收器排列，都可通过一定的计算方法近似转化为平行射线投影。因此，本文提出的模型同样可用于扇形束射线的投影重建。 + +# 八 参考文献 + +[1]毛小渊.二维CT图像重建算法研究[D].南昌航空大学,2016. +[2]孟凡勇,李忠传,杨民,李静海.基于投影原始数据的CT旋转中心精确确定方法[A].中国体视学学会.第十三届中国体视学与图像分析学术会议论文集[C].中国体视学学会:,2013:6. +[3]A. C. Kak, Malcolm Slaney, "Principles of Computerized Tomographic Imaging", IEEE Press 1988. +[4]Rafael C. Gonzalez, Richard E.Woods. Digital Image Processing, Third Edition. 电子工业出版社.2011.6 +[5]庄天戈. CT理论与算法[M]. 上海: 上海交通大学出版社, 1992, 22-76. +[6]千导.matlab 实现 fbp 算法. http://blog.csdn.net/one_thousand/article/details/23733603?locationNum=3 +[7]Dsp Tian.matlab 练习程序（radon 变换）. http://www.cnblogs.com/tiandsp/archive/2013/05/24/3096363.html +[8]sailor1113. FFT 的详细解释，相信你看了就明白了。。。.http://www.ilovematlab.cn/thread-119939-1-1.html +[9]飞来疯. MATLAB 中 FFT 的使用方法. http://blog.163.com/fei_lai_feng/blog/static/9289962200971751114547/ +[10]睿吉 jerry. MATLAB 把坐标轴(X Y 轴)移到坐标原点. http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_4ac35a650100va35.html +[11]st5302783.答复同学Matlab roipoly函数的用法.http://www.ilovematlab.cn-thread-111922-1-1.html + +# 附录 + +# 1. 问题一程序： + +（1）显示附件一标定模板二值图像： + +clear all + +clc + +%% 表格1数据读取 + +A=xlsread('D:\QQPCmgr\Documents\国赛模拟\国赛 + +\CUMCM2017Problems\A\A题附件.xls'); + +imshow(A) + +(2) 显示附件二正弦图： + +```matlab +clear all +clc +%% 表格2数据读取 +B=xlsread('D:\QQPCmgr\Documents\国赛模拟\国赛\CUMCM2017Problems\A\A题附件.xls',2); +X=1:size(B,2); +Y=1:size(B,1); +figure(1) +mesh(X,Y,B) +``` + +(3) 正弦图进行边缘提取 + +clear all +clc + $\% \%$ 表格2数据读取 +B=xlsread('D:\QQPCmgr\Documents\国赛模拟\国赛\CUMCM2017Problems\A\生成数据.xlsx',2); +X=1:size(B,2); +Y=1:size(B,1); +imshow(B); +A=edge(B,'prewitt'); +imshow(A); + +（4）椭圆、小圆分离时小圆圆心提取： + +```txt +clear all +clc +clear fz j i +%% 表格2数据读取 +``` + +B=xlsread('D:\QQPCmgr\Documents\国赛模拟\国赛\CUMCM2017Problems\A\A题附件.xls',2); + +X=1:size(B,2); + +Y=1:size(B,1); + +%% 计算小圆中心点 + +for $j = 450: - 1:50$ + +if $\mathsf{B}(\mathsf{j},1) > \mathsf{B}(\mathsf{j} - 1,1)\& \& \mathsf{B}(\mathsf{j},1) > \mathsf{B}(\mathsf{j} + 1,1)$ + +fz(1)=j; + +break; + +end + +end + +for $i = 2:70$ + +for $j = fz(i - 1) - 5:fh(i - 1) + 5$ + +if $\mathsf{B}(\mathsf{j},\mathsf{i}) > \mathsf{B}(\mathsf{j} - 1,\mathsf{i})\& \& \mathsf{B}(\mathsf{j},\mathsf{i}) > \mathsf{B}(\mathsf{j} + 1,\mathsf{i})$ + +fz(i) = j; + +break + +elseif $j = = (fz(i - 1) + 5)$ + +$\mathsf{fz}(\mathsf{i}) = \mathsf{fz}(\mathsf{i} - 1) - 2;$ + +break; + +end + +end + +end + +for $j = 50:150$ + +if $B(j,180) > B(j - 1,180)\& \& B(j,180) > B(j + 1,180)$ + +fz(180)=j; + +break; + +end + +end + +```matlab +for i=179:-1:71 + for j=fz(i+1)-5:fz(i+1)+5 + if B(j,i)>B(j-1,i)&&B(j,i)>B(j+1,i) + fz(i)=j; + break + elseif j==(fz(i+1)+5) + fz(i)=fz(i+1)+2; + break; + end + end +end +plot(X(1:22), fz(1:22)) +hold on +plot(X(97:180), fz(97:180)) +``` + +(5) 椭圆、小圆重合时小圆圆心提取： + +clear all + +clc + +%% 表格 2 数据读取 + +B=xlsread('D:\QQPCmgr\Documents\国赛模拟\国赛\CUMCM2017Problems\A\A 题附件.xls',2); + +$X = 1$ :size(B,2); + +Y=1:size(B,1); + +A=edge(B,'prewitt'); + +imshow(A); + +C=double(A); + +%消除噪点 + +for $i = 1:8$ + +$\mathrm{C}(358 + \mathrm{i},\mathrm{i}) = 0;$ + +```matlab +C(357+i,i+8)=0; +end +C(373:378,17:22)=0; +C(366:372,9:14)=0; +C(377:380,23:28)=0; +C(93:101,91:100)=0; +C(103:110,102:108)=0; +C(113:136,110:124)=0; +%% 处理连续 1 +x=1:180; +ysx=-170\*cos(pi\*x/180-5\*pi/6)+290; +yxx=-170\*cos(pi\*x/180-5\*pi/6)+180; +js=1; +for i=1:180 +n=0; +fz=0; +for j=floor(yxx(i)):ceil(ysx(i)) if C(j,i) == 1 x0(js) =i; y0(js) =j; js=js+1; n=n+1; end +end +N(i)=n; ypj(i)=sum(y0(js-n+fz:js-1+fz))/n; ypj(1)=416; +end +``` + +```matlab +for i=1:length(x0) + if x0(i)>23 + break + end +end +for j=1:length(x0) + if x0(i)>96 + break + end +end +plot(x0(i:579),y0(i:579), 'o') +hold on +plot(X(23:96),ypj(23:96), 'r') +axis([0 180 0 512]) +``` + +(6) X射线角度求取 + +```txt +clear allclc +``` + +%% 生成数据读取 + +```javascript +y=xlsread('D:\QQPCmgr\Documents\国赛模拟\国赛\CUMCM2017Problems\A\生成数据.xlsx',4); +``` + +$X = 1:180$ + +%% 求解角度 + +```matlab +for i=1:180 +if i>141 + sita(i)=360-acosd((y(i)-249.4933)/190.4933)-5.8734; +else + sita(i)=acosd((y(i)-249.4933)/190.4933)-5.8734; +end +``` + +end + +plot(X,sita) ; + +# （7）求解sita0 + +```txt +% +``` + +```matlab +fun = @(x) 174.5*cosd(x)-173.5-sind(x); % function +``` + +$x0 = 4;\%$ initial point + +$\mathbf{x} = \mathbf{f}$ zero(fun,x0) + +# 2.问题二程序： + +% code 2.1 + +$\%$ 标题：问题二、三求解 + +$\%$ 时间：2017.9.17 + +clear;close;clc;clf; + +$\%$ 滤波反投影 + +P=xlsread('A题附件.xls',5); + +for $i = 1:9$ + +```txt +theta =23+6.5731:1:23+179+6.5731;%6.5731 %0:1:179;%投影角度+5 +1.5654;-3 +1.5654 +``` + +theta_num = length(theta); + +$\mathrm{d} = 1$ + +I = iradon(P*2, theta, 'hamming', 1); + +```txt +I256 = imresize(I, [256, 256], 'bilinear'); %采用双线性插值放缩为 256*256 +``` + +subplot (3,3,i); + +imshow(I256); + +title(['起始角=', num2str(22+i)]); + +end + +```txt +xlswrite('3.4 吸收度矩阵.xls',I256) +``` + +hold on + +title('滤波反投影'); + +%% 10个吸收点的坐标 + +$\mathrm{xx} = [25.66994464$ 209.8640443 + +```txt +88.34710355 191.9562846 +``` + +```matlab +111.371366 171.4902735 +115.2087431 62.76458971 +124.1626229 113.9296174 +128 62.76458971 +143.3495083 60.20633832 +167.6528965 161.257268 +203.4684158 209.8640443 +252.0751921 144.628634]; +for i=1:10 + xishou(i)=I256(round(xx(i,2)), round(xx(i,1)); + plot(round(xx(i,1)), round(xx(i,2)), 'r*'); + text(round(xx(i,1))- +10,round(xx(i,2))+3,[num2str(i)], 'color', [100]); +end +xlswrite('3.5xishoulv.xls', xishou); +%% 输出中心标号 +position_o=[129.7791 122.0227 +138.12 74.5477 +116.9645 64.071 +123.2069 113.0345 +103.1614 177.2769 +160.3053 171.275] +for i = 1 : length(position_o) + temp=position_o(i,:); + plot(temp(1), temp(2), 'r*'); + text(temp(1)+2, temp(2)+2, ['0', num2str(i)], 'color', [1,0,0]); +end +%% 图像二值化处理 +II=zeros(size(I256)); +I1 = im2bw(I256,0.2);%将图像进行二值化处理，在（0,1）范围内，为下 +界 +I2 = ~im2bw(I256,1);%将图像进行二值化处理，在（0,1）范围内，为上 +界 +II=I1&(I2);%两图像相与，取得合成值 +figure +imshow(II); +III=II;%有重影时使用的临时变量 +II=III|II; +%% 多边形选区的选取（只有在求01时才用） +nn=1 ; %要选取的区间的个数 +gains=zeros(size(II)); +for i=1:nn + figure +``` + +h=imshow(II);title(['第'，num2str(i)，'次多边形区域选择'])hold on;x=[]；y=[]；[x,y,c]=ginput(1)；m(1)=x;n(1)=y;plot(x,y,'r');k=2;while(c==1)[x1,y1,c1]=ginput(1);if c1==1 $\mathrm{m(k)} = \mathrm{x}1$ n(k)=y1;plot(x,y,'r');line([m(k-1)m(k)],[n(k-1)n(k)];k=k+1;c=c1;elsebreakendendline([m(k-1)m(1)],[n(k-1)n(1)]）;BW=roipoly(II,m,n);gains=gains|BW;%图像累加pause(0.1);disp('请勾选下一个')hold offendgains=gains;imshow(gains)II=II|gains;%gains%将选区加入到原图中 $\%$ 图像属性解算一一中心点解算figureimshow(II);hold onL=bwlabel(II);%将相连的图形进行编号处理，所以分为不同的像素快stats $=$ regionprops(L，'Centroid');fori $= 1$ ：length/stats)temp $=$ stats(i).Centroidplot(temp(1)，temp(2)，‘r*’）;text(temp(1)+2，temp(2)+2，['0'，num2str(i)]）;end + +hold off; + +%% 偏差修正 + +01=stats(1).Centroid %椭圆的中心点位置 + +02=stats(2).Centroid; %小圆的中心点位置 + +delta_x=02(1)-01(1); %x方向的偏差 + +delta_y=02(2)-01(2); %y方向的偏差 + +tana=delta_y/delta_x; %角度偏差 + +a=atand(tana); \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/A090/A090.md b/MCM_CN/2017/A090/A090.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f4fd656a304d417cbff438347524c4aa64bcb21a --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/A090/A090.md @@ -0,0 +1,983 @@ +# CT系统参数标定及成像 + +摘要 本文根据给定的 CT 标定板设计了一套平面 CT 标定的算法，具有较好的精度和稳定性，并建立了通过投影值反求吸收率的重构模型与算法，经过去噪后可以得到较好的吸收率图像。同时设计了一套新的 CT 标定板，通过充分利用几何特征来提高标定算法的性能。 + +第一问中，首先通过一部分投影值与圆弦长的数据进行最小二乘拟合，确定了二者之间的线性关系，初步计算得增益系数 $\mu$ 值为1.7727。再进行整体的几何模型建模，建立坐标系，构造探测器接收信息与旋转中心、探测器位置，及探测器单元之间的距离的函数关系，基于最小二乘的思想进行非线性优化，为了增加模型的精度和稳定性，使用迭代优化的方法对参数进行求解。求得旋转中心 $R_0$ 的坐标为(-9.2696mm, 6.2738mm)，传感器间距为 $\Delta d = 0.2768mm$ 。根据所建坐标系，CT系统X射线逆时针旋转的始值为-60.3465°，终值 $118.6439^{\circ}$ 。 + +第二问中，首先根据问题一中的标定数据，对附件3中的数据进行预处理，将其变换为旋转中心在正方形托盘正中心的数据。再分别建立连续、离散两种CT反投影重建模型。连续模型中，利用傅里叶中心切片定理，设计滤波反投影算法（FBP），先将投影数据进行傅里叶变换，滤波后逆傅里叶变换，将所得的值在反投影平面累加，实现吸收率图像重构；离散模型中使用代数迭代法（ART）对网格化的离散数据直接建模，用矩阵迭代的方法对像素网格进行处理，实现图像的重构。最终我们基于两种不同的算法，分别对模型进行重建，给出了题中所要求的十个点处的吸收强度。 + +第三问中，针对更加复杂的噪声，以及更复杂的数据，我们对噪声进行分析。用SPSS软件对可能噪声值进行Kolmogorov-Smirnov分布检验，确定其分布，求出其噪声为均值0.1549的均匀分布。在此基础上，使用同第二问的方法进行反变换、去噪，得到最终的重建图像，并给出十个指定点处的吸收强度。 + +第四问中，我们对问题一中的标定算法进行稳定性和精度分析，并设计了一套新的标定模板。首先利用仿真的方法，通过设定所需标定参数，生成探测器接收信息数据，再通过数据反求其标定参数。求得在无噪声的情况下，标定参数误差较小，标定精度较高；在数据有人工噪声的情况下，各个参数的相对误差在 $1\%$ 以下，稳定性良好。同时，对于问题一中迭代算法选取的不同初值，模型均能求解出其标定参数，且误差较小，证明我们的模型对初值选取不敏感。最后，我们设计了一个具有显著几何特征的图形作为标定模板。通过充分利用几何特性，可以求得各个参数的初步估计值，以估计值作为初始值进行最小二乘的非线性优化，得到了良好的标定效果。 + +关键词：最小二乘拟合；迭代优化；滤波反投影算法；代数迭代法； + +# 1 问题重述 + +CT系统是一种利用样品对射线的能量吸收特性对样品进行断层成像的技术，在不破坏样品的情况下获取样品内部的结构信息。问题中使用的是一种二维CT系统，探测器平面发出平行入射的X射线，探测器绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次，可以获得180组接收信息，每组信息有512个等距单元的数据。 + +我们需要建立数学模型和算法，解决以下问题： + +1. 根据题目给出的标定模板，以及标定模板的接收信息，对CT系统的旋转中心的位置、探测器单元之间的距离以及射线的180个方向进行确定。 +2. 根据给出的某未知介质的接收信息，利用 (1) 中得到的标定参数，对介质的位置、几何形状、吸收率进行确定。且给出指定位置的吸收率信息。 +3. 根据给出的另一未知介质的接收信息，给出该未知介质的相关信息，以及指定未知的吸收率信息。 +4. 对问题 (1) 中的参数进行精度和稳定性分析，并自行设计新模板，建立对应的标定模型，以改进参数标定。 + +# 2 问题分析 + +第一问中，首先需要确定吸收率与衰减强度之间的数学关系。考虑使用一部分投影值与圆弦长的数据进行分析，确定二者之间的函数关系。再进行整体的几何模型建模，建立坐标系，根据旋转中心、探测器与坐标轴的夹角来建立关于弦长的投影模型。考虑到待优化参数较多，可迭代优化参数，再通过改进的最小二乘法，进行非线性优化，得到标定值。 + +第二问，首先根据问题1中求得的标定参数，对附件3中的数据进行预处理，使之旋转中心变换到正方形托盘中心。再进行CT反投影重建建模，考虑连续和离散两种建模求解方式。连续模型中利用傅里叶中心切片定理，设计滤波反投影应算法（FBP）进行重建。离散模型中使用代数迭代法（ART）对像素网格直接进行求解。再对吸收率图像进行降噪处理，考虑比较多种降噪算法表现，得到重建图像。 + +第三问与第二问相比，数据加入了噪声，且图形更加复杂，对算法稳定性要求更高。首先进行去噪，用SPSS软件对可能噪声值进行Kolmogorov-Smirnov均匀分布检验，确定其分布，再按照同第二问的方法进行反变换、去噪，得到最终的重建图像。 + +第四问首先用模拟仿真的方法对第一问的标定模型进行检验，研究其精度；再考察其对于噪声和迭代初值的稳定性。最后考虑建立新模板并利用其几何特征估计参数并作为迭代初值，提升标定算法速度与精度，并进行稳定性验证。 + +# 3 基本假设 + +1. 载物托盘平面始终垂直于 CT 旋转轴，发射-接收系统平行于托盘平面 +2. X 射线不与样品发生衍射, 散射, 不考虑硬化效应 + +3. 模板加工精度足够高，不考虑模板几何形状的误差 + +# 4 问题一的求解 + +在问题一中，我们需要根据已知几何信息的标定模板对CT系统进行标定。首先我们的对标定模板进行建模。在这一问题中，我们需要得到的量有：旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离、以及CT系统使用的X射线的180个方向。 + +# 4.1 理论基础 + +问题中，使用的CT系统的原理是使用X射线照射在样品上，物体吸收部分射线的能量，使得射线强度产生衰减，射线的衰减呈指数变化。[3]那么对于长度为 $l$ 的均匀同质物体，吸收率为 $\rho$ ，则探测器上对应位置得到的接收信息 $D$ 应满足： + +$$ +D = f (\rho l) \tag {1} +$$ + +而对于平面内的不均匀介质，射线沿某一路径后得到的探测器的值应为： + +$$ +D = f \left(\int \rho (l) d l\right) \tag {2} +$$ + +因此，在进一步分析之前，我们需要先确定经过增益等处理之后得到的接收信息与其吸收量之间的关系。 + +![](images/9bc034d9a49e76724eb05a66a3df4c3ea5a7e9f228c26e13b11b4c4aaaf1a996.jpg) +图1：附件1几何形状 + +![](images/30e7d13b138474e346dcb6b5ace89a134379d9764ddcf436729a09a8e7251989.jpg) +图2：附件2信息 + +观察附件2中接收信息图可以发现，图像可以很明显的看成是两部分叠加而成。结合标定模板集合信息可知，这两部分分别为椭圆部分的投影与圆部分的投影。由于圆具有各方向投影均相等的良好性质，因此我们截取其中一部分数据进行试探性研究。选择第一个测量角度的属于圆的投影的非零数据，得到一组探测信息 $D(i)$ 。对于探测点 $i$ ，其发出的射线与圆心的距离为 $d_{i} = i\Delta d + d_{0}$ ，其中 $\Delta d$ 为探测器上的射线间距， $d_{0}$ 为探测器位置相 + +对偏置。那么第 $i$ 条射线与圆相交的弦长为 $2 \sqrt{R^{2} - d_{i}^{2}}$ , 其中 $\mathrm{R}$ 为圆半径。我们推测探测器的接收数据与 $\rho l$ 成一次函数关系, 即 + +$$ +D (i) = \mu \times 2 \sqrt {R ^ {2} - (i \Delta d + d _ {0}) ^ {2}} \rho + c \tag {3} +$$ + +使用最小二乘法对曲线进行拟合，求出各个参数的值为： + +$$ +\mu = 1. 7 7 2 4, \Delta d = 0. 2 7 6 8, d _ {0} = - 4. 0 6 8 8, c = 0. 0 0 0 0 +$$ + +![](images/498b896d1348dc44a7602cfb408ad69f20c8277ddcee7ff772667fa72e820921.jpg) +图3：拟合圆上的数据 + +即是说对于标定模板，其吸收强度 $D = \mu \rho l$ ，对于参数 $\mu$ ，在后面的模型中我们会进一步进行求解，此处仅是为了寻找模型之间的关系进行初步的分析。 + +# 4.2 模型建立 + +以正方形托盘的中心为坐标原点，椭圆中心与圆中心的连线方向为 $x$ 轴，过坐标原点垂直于 $x$ 轴方向为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系。在这一坐标系中，设CT系统的旋转中心坐标为 $R(x_0,y_0)$ ，探测器平面与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$ ，探测器中心与旋转中心在探测器平面上的投影的距离为 $d_0$ 。 + +![](images/104469863810af8587873817bcd95ee2aafe61ac9eb59669a6a03130fa81a167.jpg) +图4: 标准形态 + +![](images/dd1ebfef37b1750e375d6b0cd69e77a860b95f42ea1458c20679a45a1d5eaa08.jpg) +图5：圆的弦长 + +# 4.3 理论公式 + +由于这个问题中，标定模板是均匀介质，所有地方的吸收率都为1，那么其探测器获得的数值即与穿过的长度有关。那么在这一问题中，我们转化为某一方向的直线穿过标定模板的长度的求解。 + +标定模板中，椭圆与圆的方程分别为： + +$$ +\frac {x ^ {2}}{m ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{n ^ {2}} = 1, m = 1 5, n = 4 0; (x - 4 5) ^ {2} + y ^ {2} = 4 ^ {2} +$$ + +为了对问题进行化简，我们设定一个坐标原点在探测器上的投影位于探测器中心的状态，此时对于探测器上与探测器中心相距为 $d$ 的一条射线，可以对其在椭圆中交出的弦长进行求解。这条射线的方程可写出为： + +$$ +x \cos \phi + y \sin \phi = d +$$ + +与椭圆的方程进行联立求解，可解出该直线与椭圆相交的弦长： + +$$ +p = {\frac {2 m n {\sqrt {r ^ {2} - d ^ {2}}}}{r ^ {2}}} , \text {这 里} r ^ {2} = m ^ {2} \cos^ {2} \phi + n ^ {2} \sin^ {2} \phi +$$ + +对于圆上的部分，设圆心坐标为 $(G,0)$ ，圆半径为 $r_0$ ，其中 $G = 45, r_0 = 4$ ，那么容易求出其弦长表达式为： + +$$ +p _ {1} = 2 \sqrt {r _ {0} ^ {2} - (G \cos \phi - d) ^ {2}} +$$ + +同时，由于在整个旋转过程中，直线与椭圆或圆不一定有交点，那么这种情况下，我们对整个角度范围进行整合，可以得到总的投影长度为： + +$$ +p _ {t} = \frac {2 m n \sqrt {\max (0 , m ^ {2} \cos^ {2} \phi + n ^ {2} \sin^ {2} \phi - d ^ {2})}}{m ^ {2} \cos^ {2} \phi + n ^ {2} \sin^ {2} \phi} + 2 \sqrt {\max (0 , r _ {0} ^ {2} - (G \cos \phi - d) ^ {2})} +$$ + +考虑到实际情况中，探测器的中心与坐标原点有一定的偏移，那么在上式的基础上，我们需要对投影长度进行修正。 + +易证，在探测器能探测到物体的前提下，沿垂直于探测器方向的探测器位置变化对投影长度没有影响。即在探测器位置发生变化时，只需要考虑沿探测器方向的位置变化。 + +![](images/feaa05ce6b546e3091614b85263470d940d86f02aacdef5c166713270c7d2c8d.jpg) +图6: 计算弦长 + +那么对于旋转中心坐标 $R(x_0, y_0)$ ，探测器中心与旋转中心在探测器平面上的投影的有向距离 $d_0$ ，对于探测器上一条射线，其与探测器中心的距离为 $d$ ，那么容易求出，该点与坐标原点在探测器上的投影的距离 $d'$ 的值为； + +$$ +d ^ {\prime} = x _ {0} \cos \phi + y _ {0} \sin \phi + d _ {0} + d +$$ + +即可转化到刚才求出的标准形式的公式上去。 + +由于在实际数据中，探测器是有512个X射线组成的，对于第 $i$ 个发射器，其与发射器中心的距离也可以简单的表示出来，为： + +$$ +d = (i - 2 5 6. 5) \Delta d +$$ + +这里距离的负号表示探测器中心与该点的连线沿探测器与 $x$ 轴夹角 $\phi$ 的反向。则 + +$$ +d ^ {\prime} = x _ {0} \cos \phi + y _ {0} \sin \phi + d _ {0} + (i - 2 5 6. 5) \Delta d +$$ + +标定模板的吸收强度处处相等且都为 1 , 为计算吸收强度与探测器探测到的数值的关系,我们引入增益系数 $\mu$ , 表示投影长度与最终结果的关系。即: + +$$ +V = \mu p _ {t} +$$ + +综合上述各式，所以对于探测角度为 $\phi$ 的探测器，其上第 $i$ 条X射线探测所得的数值的计算公式为： + +$$ +\begin{array}{l} V = \mu \frac {2 m n \sqrt {\max (0 , m ^ {2} \cos^ {2} \phi + n ^ {2} \sin^ {2} \phi - (x _ {0} \cos \phi + y _ {0} \sin \phi + d _ {0} + (i - 2 5 6 . 5) \Delta d) ^ {2})}}{m ^ {2} \cos^ {2} \phi + n ^ {2} \sin^ {2} \phi} \\ + 2 \mu \sqrt {\max (0 , r _ {0} ^ {2} - (G \cos \phi - (x _ {0} \cos \phi + y _ {0} \sin \phi + d _ {0} + (i - 2 5 6 . 5) \Delta d)) ^ {2})} \\ \end{array} +$$ + +问题即转化为，根据附件2给出的数据，对该公式中的参数进行求解。 + +# 4.4 模型求解 + +为了确定模型中的各项参数信息，我们需要对模型参数进行求解，使得理论值与实际测量值误差最小，我们使用均方根误差来作为衡量指标。即 + +$$ +\min \delta = \sqrt {\frac {\sum_ {j = 1} ^ {1 8 0} \sum_ {i = 1} ^ {5 1 2} (V (i , j) - D (i , j)) ^ {2}}{n - 1}} +$$ + +这里 $D(i,j)$ 指附件2中，第 $j$ 组探测数据中第 $i$ 个探测器的测量值， $V(i,j)$ 指第 $j$ 组探测数据中第 $i$ 个探测器的计算值。 + +使用MATLAB的非线性拟合函数工具进行模型求解，由于这是一个数据量较大的非线性优化模型，直接寻找到最优解比较困难，函数在进行求解时会从给定的初值开始迭代，初值的选取对计算结果有直接影响。因此，我们使用以下步骤对参数进行迭代求解，获取更准确的参数值： + +1. 选取参数 $d_{0}, x_{0}, y_{0}, \mu, \Delta d, \phi_{i}, i = 1, \ldots, 180$ 的初值，这里参数的初值可以随意选取，我们设置为 $d_{0} = x_{0} = y_{0} = 0, \mu = 1.7724$ （由前文粗计算得），使用 $512 \times 180$ 组数据，对所有参数进行拟合，获得第一次求解的参数结果。 +2. 对第一次求解得到的 $\phi_{1_i}, i = 1, \ldots, 180$ ，使用局部加权回归散点平滑法进行平滑处理，接着将 $\phi_i$ 作为已知参数，使用 $512 \times 180$ 组数据，以第一次求解的结果作为初始点，对参数 $d_0, x_0, y_0, \mu, \Delta d$ 进行求解，得到第二次参数的求解结果。 +3. 使用第二次求解得到的参数 $d_{0}, x_{0}, y_{0}, \mu, \Delta d$ 作为已知参数，对于 180 组，每组 512 个数据，以第 (2) 步中得到的角度作为初值，分别对每组数据的角度参数进行求解，得到第 (3) 步的求解结果。 +4. 使用第 (2) 步与第 (3) 步的结果作为初始值，再次使用 $512 \times 180$ 组数据，对所有参数进行拟合，得到最终结果。 + +# 4.5 求解结果 + +使用上述算法对模型进行求解，得到各个参数如下： + +$$ +\mu = 1. 7 7 2 7, x _ {0} = - 9. 2 6 9 6, y _ {0} = 6. 2 7 3 8, d _ {0} = 0. 0 0 0 0, \Delta d = 0. 2 7 6 8 +$$ + +同时可以求出 180 个测量角度的数据, 角度数据见附录中表9, 部分数据见表1, 由于我们求的是探测器的角位置, 因此这里将所得数据转换为题目要求的 X 射线的角度位置: + +表 1: X 射线角度信息 + +
角度序号1239091179180
角度（度）-60.3465-58.9927-58.439228.638229.6437117.6509118.6439
+ +# 4.6 模型评价 + +在问题(1)的模型中，我们使用均方根误差来进行衡量，第一次求解与最终结果的均方根误差如表2，从表中可以看出，我们的算法对原始数据的拟合程度较好，均方根误差很小，因此可以认为我们得到的参数信息是较为准确的，模型的可靠性较好。 + +表 2: 算法均方根误差 + +
算法步骤第一次求解最终结果
RMSE4.41610.0148
+ +# 5 问题二的求解 + +在问题2中，需要根据某未知介质的接受信息，利用问题1中求出的参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率。第一题中分析了投影的过程，此问需 + +要利用给定的投影数据进行逆过程。下文首先利用标定数据对投影数据进行了预处理，并分别用连续模型的FBP（滤波反投影）算法和离散模型的ART（代数迭代法）进行反投影重建，并比较了数种滤波降噪算法的效果。 + +# 5.1 数据预处理 + +由问题一可知，由于安装过程的误差，CT系统的旋转中心并不在正方形的中心，由前文推导公式可知，探测器上的第 $i$ 个传感器与坐标原点的沿探测器方向的距离为： + +$$ +d ^ {\prime} = x _ {0} \cos \phi + y _ {0} \sin \phi + d _ {0} + (i - 2 5 6. 5) \Delta d +$$ + +对于任意角度的探测器，我们都可以设置一个中心与原点重合的辅助探测器，将探测器上的数据转化到辅助探测器上，再对问题进行求解。即： + +$$ +d ^ {\prime} = \left(i ^ {\prime} - 2 5 6. 5\right) \Delta d = x _ {0} \cos \phi + y _ {0} \sin \phi + d _ {0} + (i - 2 5 6. 5) \Delta d +$$ + +则对于原始数据 $y = \text{data}(i, j)$ ，可以得到新的转化后的数据 + +$$ +d a t a _ {p r e} \left(i ^ {\prime}, j\right) = d a t a \left(i \left(i ^ {\prime}\right), j\right) = d a t a \left(i ^ {\prime} - \left(x _ {0} \cos \phi + y _ {0} \sin \phi + d _ {0}\right) / \Delta d, j\right) +$$ + +![](images/ca811012641c594d83570bc2687f8e5037a2812809b6737d7a2af6f2993a4f2a.jpg) +图7: 数据预处理 + +![](images/50aa47a62d00bd9e3b09bff96c7f1ff92dcf41f72273a93b7ddbeff4f291f467.jpg) +图8: 连续模型 + +# 5.2 连续模型 + +首先，我们把第一问中的投影问题用线积分的形式来描述。例如上图中，记灰色的封闭图形由函数 $f(x, y)$ 描述，一条投影射线为 $x\cos \theta + y\sin \theta = t$ ，则 $f(x, y)$ 关于该射线的线积分为： + +$$ +P _ {\theta} (t) = \int_ {(\theta , t) l i n e} f (x, y) d s +$$ + +则这里的 $P_{\theta}(t)$ 就相当于这个物体沿该射线方向上的投影值。接下来引入傅里叶中心切片定理(Fourier Slice Theorem)。[1] 它证明了若给定一组投影的数据 $p_{\theta}$ , 则可以通过二维傅里叶变换来估计原物体。定义线积分投影 $P_{\theta}(t)$ 的傅里叶变换为: + +$$ +S _ {\theta} (w) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} P _ {\theta} (t) e ^ {- j 2 \pi w t} d t +$$ + +原二维图像的傅里叶变换定义为： + +$$ +F (u, v) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} \int_ {- \infty} ^ {\infty} f (x, y) e ^ {- j 2 \pi (u x + v y)} d t +$$ + +则根据中心切片定理，有： + +$$ +S _ {\theta} (w) = F (w \cos \theta , w \sin \theta) +$$ + +实际情况中，我们考察的 $f(x, y)$ 均为离散的网格化。假设其中 $x, y$ 的所属区间均为 $[-A / 2, A / 2]$ 。对于 $F(u, v)$ 的傅里叶逆变换可以写为 [4]: + +$$ +f (x, y) = \frac {1}{A ^ {2}} \sum_ {m = - N / 2} ^ {N / 2} \sum_ {n = - N / 2} ^ {N / 2} F (m / A, n / A) e ^ {j 2 \pi ((m / A) x + (n / A) y)} +$$ + +傅里叶重心切片定理将投影的傅里叶变换和图像的傅里叶变换建立了联系，故可以通过充足数目方向上投影的傅里叶变换信息，来构建出原始函数的估计值。在实际应用过程中，我们使用滤波反投影法（FBP）来完成重构，其算法步骤如下： + +遍历 $K$ 个角度, 属于 $0 - 180^{\circ}$ 之间 + +1. 对 $P_{\theta}(t)$ 进行快速傅里叶变换，得到 $S_{\theta}(w)$ +2. 将 $S_{\theta}(w)$ 乘以 $2\pi |w| / K$ +3. 将 Step2 中得到的值进行傅里叶逆变换，将得到的值累加得到图像平面。 + +# 5.3 离散模型：ART + +# 5.3.1 ART + +由于FBP（滤波反投影）算法具有的缺陷与限制，对于不完全的投影数据，可以使用迭代法进行重建，这类算法在求解时把图像离散化。ART（代数迭代法）是常用的一种算法，其求解速度相对较快，结果较优，并且在求解过程中可以使用先验信息对数据进行修正。 + +首先引入投影矩阵的概念，设图片共有 $J = n \times n$ 个像素，共有 $I$ 条射线进行扫描，将射线看作宽为 $\tau$ 的粗线，将图片像素值集中在像素的中心，则有 $I \times J$ 大小的投影矩阵 $R$ ，其元素定义为 + +$$ +r _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \mathrm {i} \text {号 射 线 通 过} \mathrm {j} \text {号 像 素 中 心} \\ 0, & \text {其 他} \end{array} \right. +$$ + +记 $\mathbf{x} = [x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{J}]^{T}$ 为 $\mathbf{J}$ 维图像矢量， $x_{j}$ 表示图像上第 $j$ 个像素点的吸收强度； $\mathbf{p} = [p_{1}, p_{2} \ldots p_{I}]^{T}$ 为 $\mathbf{I}$ 维投影矢量， $p_{i}$ 表示第 $i$ 条射线所经过的所有像素的总射线投影，则 + +$$ +R \mathbf {x} = \mathbf {p} +$$ + +左侧各分量称为伪射线和，右侧称为真射线和。要将图像的吸收强度解出来，需要对矩阵 $R$ 进行求逆。一般的， $R$ 是大型稀疏矩阵，因此直接求其逆矩阵有困难；而在实际应用中，误差的存在可能使得 $R$ 奇异。故通常使用迭代法进行求解，下面介绍 ART（代数迭代法）。其思路是每次校正一条射线路径上的像素值，使得该条真伪射线和间误差减小。其迭代公式为： + +$$ +x ^ {(k + 1)} = x ^ {(k)} + \lambda^ {(k)} \frac {q _ {i _ {k}} - r _ {i _ {k}} x ^ {(k)}}{| | r _ {i _ {k}} | | ^ {2}} r _ {i _ {k}} +$$ + +式中，k是迭代次数， $k = 0,1\ldots$ ， $i_k = k(modI) + 1$ ； $\lambda^{(k)}$ 称为松弛参数。可以证明，当 + +$$ +0 < \varepsilon_ {1} \leq \lambda^ {(k)} \leq \varepsilon_ {2} < 2 +$$ + +时，该迭代法收敛。本文中，均取 $\lambda^{(k)} = 0.25$ 。求解步骤为： + +1. 设置初值； +2. ART迭代； +3. 应用先验信息决定的限制条件，本文使用像素值非负限制，转至步骤二； +4. 一定迭代次数后终止, 一般为 $(3 \sim 8) I$ 次 + +# 5.3.2 降噪算法 + +不论何种重建算法，不可避免会带入伪影点，同时由于数据含有噪声，成像质量并不令人满意。本文使用NLM（非局部均值）降噪方式对图像进行处理。NLM算法是图像降噪领域非常有效的算法之一，效率较高，实现简单。其思路是对像素的某邻域窗口内的像素灰度值做加权平均，且像素越相似，权重越大。J.Huang等人将其运用到CT图像迭代重建过程中，显示其具有良好的性能。[2] + +$$ +N L M (x _ {i}) = \sum_ {j \in N _ {i}} w (i, j) x _ {j} +$$ + +其中， + +$$ +w (i, j) = \frac {e ^ {- | | x _ {V _ {i}} - x _ {V _ {j}} | | ^ {2} / h ^ {2}}}{\sum_ {j \in N _ {i}} e ^ {- | | x _ {V _ {i}} - x _ {V _ {j}} | | ^ {2} / h ^ {2}}} +$$ + +对于问题二，结果如下图： + +![](images/d257ec6fdf668a0bf01332bc6b42757c416efe2e2901fab411c8e1fec714276b.jpg) +图9：原图 + +![](images/acd8d253ffccbdc9fdb61f4c06063c50dd5f934e27fb49c27a37234cad9c5dbd.jpg) +图10：NLM降噪处理 + +可以看出 NLM 算法对于重建图像的去噪有着较好的效果，并且保留了较多的边缘信息。选取 NLM 重建结果作为 10 个采样点数据如下： + +表 3: 问题二采样点数据 + +
点序号12345678910
ART算法00.694300.82690.72850.92690.9111000
FBP算法00.511300.62680.54760.76360.6819000
+ +# 6 问题三的求解 + +问题三的要求与问题二中相同，但是观察所给出的数据，发现其中含有较多噪声，因此考虑进行降噪预处理。 + +# 6.1 去噪预处理 + +![](images/258acaedbfb4e87c24dae1615d82fada0236147d357c27d4bb71d4cb9536e4ab.jpg) +图11：附件5数据 + +![](images/2e4e592bb5ef7ce412468c2f958f5dd82df9c3c41bf02ee2425261b3a47dfb4f.jpg) +图12：附件5第一组数据差分图 + +观察附件5数据，发现其数据主要集中在探测器中间部位。探测器两边的数据数值较小，且在小范围内不断。取其中第一组观测数据，做出差分图，如图12所示，可以看出，探测器两边的相邻两个传感器的数据差集中在0附近，因此我们推测这些数据是由测量时的误差引起的波动。分析数据可以发现，小于0.3的数据值有无规律波动，普遍出现在主要信号周围，考虑将小于0.3的数据值作为噪声。提取所有小于0.3的数据值，利用SPSS软件进行Kolmogorov-Smirnov均匀分布检验，结果显示其符合均匀分布，均值为0.1549，显著性水平为0.157。 + +![](images/96b47e174427f13088608de10b645a3a88ed0891d437d44246ce4587d564dde7.jpg) +图13：直方图 + +单样本柯尔莫戈洛夫-斯米诺夫检验 + +
V1
个案数21307
\( 均匀参数^{a,b} \)最小值.0257000000
最大值.2829000000
最极端差值绝对.008
正.002
负-.008
柯尔莫戈洛夫-斯米诺夫Z1.127
渐近显著性(双尾).157
+ +a.检验分布为均匀分布。 +b.根据数据计算。 + +因此，对原数据做去噪处理。之后再按照问题二所述方法进行预处理，并分别使用ART算法与FBP算法进行重建。 + +![](images/3b083b5db726af1bd1fbf7082d773f411fe13c63ec0e5619100007bf96cf1c2f.jpg) +图15:ART-NLM + +![](images/48ec1b3deb6442ef577023b984acda2fed14d2993e1878da76af812d6c5f79f5.jpg) +图14: K-S检验 +图16：FBP + +以上两张图已将亮度归一化。可以看出，FBP算法得到的图像更加平滑，ART-NLM算法的图像边缘较为锐利。同时给出两种算法重建得到10个采样点的吸收率数据。 + +表 4: 问题三采样点吸收强度 + +
点序号12345678910
ART算法03.57668.5109003.85268.16480.10757.95650
FBP算法01.35193.7293001.63773.315903.96000
+ +# 6.2 对比分析 + +对比两者，ART-NLM算法重建速度较慢，但保留了较多的边缘信息；FBP算法速度快，成像质量高。使用模拟仿真方法对两算法所得吸收率值进行对比，发现ART-NLM值偏大。我们认为这是由于投影矩阵 $R$ 元素取值仅有0或1造成的，每次对射线中心的像素迭代修正时，射线边缘的像素也同时受到等值的修正，造成了一定的偏差。可以考虑对于投影矩阵 $R$ 做改进，部分文献提出了[0,1]区间内连续取值的赋权方法，由于篇幅限制在此不做展开了。 + +# 7 问题四的求解 + +# 7.1 精度分析 + +在这个问题中，我们采用模拟仿真的方法进行精度分析。在问题一模型的基础上，我们通过更改位置参数信息，进行模拟，得到这种情况下的 $512 \times 180$ 个数据，再使用我们的模型，在这组数据的基础上进行标定，计算得出标定所需参数，与设定的理论值进行对比，即可得到模型的精度信息。 + +设置参数 $d_0 = 1, \mu = 1.5, x_0 = 10, y_0 = 10$ ，观测角度依次为 $\phi_i = i^\circ, i = 1, \ldots, 180$ ，使用问题一中模型，模拟生成180组探测器数据。将生成的探测器数据进行参数标定，得到结果如表5所示。 + +表 5: 计算机仿真实验的几何标定结果 + +
参数名称d0(mm)x0(mm)y0(mm)μ
理论值5-8101.5
计算值5.0000-8.000010.00001.5000
差值(×10-10)-0.1195-0.0022-0.5961-0.0135
+ +计算观测角度的误差平方和： + +$$ +S S E _ {\phi} = \sum_ {i = 1} ^ {1 8 0} (\phi_ {i} - \tilde {\phi} _ {i}) ^ {2} = 9. 8 6 1 8 \times 1 0 ^ {- 1 7} +$$ + +从表5中可以看出，本文的标定方法的计算值与真实值之间的误差很小，使用这种方法进行标定的精度较高。 + +# 7.2 稳定性分析 + +在CT系统的标定过程中，误差的存在不可避免。探测器上获得的传感器的值有与实际值相比有一定波动，即接收信息有一定噪音。为分析问题(1)中的模型在接收器存在噪声的情况下的标定结果的稳定性，这一节中我们使用计算机进行仿真，人为地在投影坐标中增加不同等级的噪声数据，再以此进行模板标定。 + +与精度分析相同，设置参数 $d_0 = 1, \mu = 1.5, x_0 = 10, y_0 = 10$ ，观测角度依次为 $\phi_i = i^\circ, i = 1, \ldots, 180$ ，使用(1)中模型，模拟生成180组探测器数据。根据这种方法模拟得到的探测器接受信息中的数据范围在(0,120)之间，我们给原数据增加在(-15,15)范围内均匀分布的随机噪声。从数据图中可以看出，数据信息较原数据更模糊，且噪声较多。 + +使用本文的标定算法进行标定得到的计算值与理论值的对比如表6所示，标定角度与原角度的对比如图角度计算误差所示。 + +![](images/3d94933199abab6426deca8e0ecb0fe8571caaa95227f4f94247512c12c42da0.jpg) +图17：投影数据 + +![](images/e9bac617741332829d948e8b2161e9177eae03eedcbf1c3a10b485d6116df2eb.jpg) +图18:角度计算误差 + +表 6: (-15,15) 均匀分布的噪声误差 + +
参数名称d0(mm)x0(mm)y0(mm)μ
理论值5-8101.5
计算值5.0189-7.995710.03391.4986
差值-0.0189-0.0043-0.03390.0014
+ +角度计算的均方根误差为 0.0053rad，结合图像与表格数据，我们可以看出，我们的标定算法在数据有小范围的噪音的时候，标定产生的误差仍然较小，算法具有很好的稳定性。 + +为了进一步检验算法的稳定性，我们对原图像增加在(-50,50)范围内均匀分布的随机噪声，从图上可以看出，此时的图片与原图相比已有较大变化，在这样的数据的基础上，使用本文的算法进行标定，得到的参数见表7。 + +![](images/680c475c94274c337ded79fddd5b9e84c2da43296e3c4c7383023057147ab897.jpg) +图19:投影数据 + +![](images/1cc514da4d548a9a0f9cb3a6c4417391c83c1fddf8284698fba3472af4d6d49a.jpg) +图20:角度计算误差 + +表 7: (-50,50) 均匀分布的噪声误差 + +
参数名称d0(mm)x0(mm)y0(mm)μ
理论值5-8101.5
计算值5.0693-8.018810.36141.4938
差值-0.06930.0188-0.36140.0062
+ +角度计算的均方根误差为0.0191rad，相比噪声较小时，参数标定的误差有所增大，但仍然在很小的范围内。因此我们可以得出结论，由于采用了迭代使用最小二乘法进行函数拟合，我们的算法对数据的利用率较高，在使整体数据偏差最小的前提下，标定得到的参数稳定性较好，受测量过程中的误差的影响较小。 + +# 7.3 自行设计标定模板 + +一般来说，模板的设计可以考虑遵从两个原则： + +- 模板易于加工。 +- 模板中的特征图形可以写出简洁的解析表达式。 + +例如 CT 标定界著名的 “头模” (head phantom), 其中就包含多个椭圆的形状, 这种能写出解析表达式的图形能在计算机仿真中起到很大的优势 [1]。但是, 根据第一问中标定求解的分析, 发现当标定托盘上为一个椭圆和一个圆形时, 标定解法的稳定性不是特别好, 而且在求解过程中并没有充分利用特征图形的几何关系。故考虑设计新标定模板下图所示, 圆内灰色部分的吸收率均为 1.0000: + +![](images/d27d1ba1a89e820bdf10760ef9b4119151de903273d60b862c215c0edb21acde.jpg) +图21：新标定模板示意图 + +![](images/90871410bf82e181351dd2a09c6b6645064681b851c85b4554344ba57497bb66.jpg) +图22：新标定模型的几何示意图 + +# 7.3.1 标定模型的建立 + +与第一问中标定坐标系类似的，以正方形托盘的中心为坐标原点，小圆中心到大圆中心的连线为 $x$ 轴，过坐标原点垂直于 $x$ 轴方向为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系。同时记半径为 $5\mathrm{mm}$ 的小圆为 $C1$ ，大圆为 $C2$ 。其中设CT系统的旋转中心坐标为 $R(x_0,y_0)$ ，探测器平面与 $x$ 轴的夹角为 $\phi$ ，则探测光束与 $x$ 轴正向的夹角为 $\theta = \phi +\pi /2$ ，探测器中心与旋转中心在探测器平面上的投影的距离为 $d_0$ 。 + +与问题一类似，探测器获得的数值与射线穿过圆形区域的弦长成正相关。则对于探测器上第 $i$ 个单元，设该点相距 $R$ 在探测器上的投影距离为 $d$ 。射向它的射线直线方程可写为： + +$$ +y = \tan (\theta) \times (x - x _ {0}) + y _ {0} - \frac {d}{\cos (\theta)} +$$ + +其中 $d = d_0 - (256.5 - i)\times \Delta d$ + +再记圆 $C1$ 的半径为 $R_{1} = 5mm$ ，其圆心为 $(x_{C1},y_{C1})$ ， $C2$ 的半径为 $R_{2} = 10mm$ ，其圆心为 $(x_{C2},y_{C2})$ 。射向该传感器的射线经过圆的弦长为： + +$$ +l _ {1} = 2 \times \sqrt {\max (0 , R _ {1} ^ {2} - \frac {(- y _ {C 1} + \tan (\theta) \times x _ {C 1} + y _ {0} - d / \cos (\theta)) ^ {2}}{1 + \tan^ {2} (\theta)})} +$$ + +$$ +l _ {2} = 2 \times \sqrt {\max (0 , R _ {2} ^ {2} - \frac {(- y _ {C 2} + \tan (\theta) \times x _ {C 2} + y _ {0} - d / c o s (\theta)) ^ {2}}{1 + \tan^ {2} (\theta)}}) +$$ + +可知第 $i$ 个探测器处的测量值为 + +$$ +p = \mu \left(l _ {1} + l _ {2}\right) +$$ + +# 7.3.2 标定参数的初步估计 + +仪器的标定过程中，常有的一种做法是寻找图形特征。在设计标定物的过程中，考虑使用具有显著几何特征的图形，圆形比较方便直接寻找其中心坐标。同时，通过测试发现， + +如果使用最小二乘法进行参数匹配，当标定物中只有一个图形时，几何特征不够明显，可能会出现欠拟合的结果。若标定物中有三个图形时，则拟合的条件十分苛刻，求解过程十分漫长。故考虑使用两个圆作为标定物，这样既充分利用几何关系寻找参数如 $x_0, y_0$ 的大致范围，又能使最小二乘法的求解较为快速。 + +下面利用其几何特性以及探测器的探测值，来获取该测量值下探测器与 $x$ 轴的夹角 $\phi$ 进而继续估计旋转中心 $R$ 、投影距离 $d_0$ 的值。由于所能处理的数据为离散的点，并且由于可能存在的误差，用几何关系得到的这些值也有一定的误差。故考虑将这些估计值作为初始值，再考虑使用最小二乘法对参数进行最优化求解，以更快、更稳定地对标定参数进行求解。 + +![](images/7a1c7d040bd24a71af2d56865a86a46b3b9ea2bcd6b1a6774d9fc71cda9bae06.jpg) +图23:求解旋转中心位置示意图 + +![](images/dfd3d18c63c951a7ebafaeea1eb5b049f7fc3ddc0860732408a9a8446a2ad5f9.jpg) + +由于CT一次工作旋转的角度在 $180^{\circ}$ 左右，考察CT探测到的第1个角度和第180个角度时两个圆的投影相对位置。以探测器为参照系， $C1$ ， $C2$ 为CT工作时第1个角度下两圆的相对位置示意图， $C1'$ 与 $C2'$ 为前者旋转 $180^{\circ}$ 左右时的相对位置示意图。此时我们可以通过CT扫描的数据比较容易地求得 $C1$ ， $C2$ ， $C1'$ ， $C2'$ 各自圆心在探测器上的相对位置。不妨记该相对位置为 $i_1$ ， $i_2$ ， $i_1'$ ， $i_2'$ 。则由中心对称，可知旋转中心 $R$ 在探测器上的投影相对位置近似为： + +$$ +i _ {R} = \frac {i _ {1} + i _ {2} + i _ {1} ^ {\prime} + i _ {2} ^ {\prime}}{4} +$$ + +同时也可推出 $R$ 在探测器上的投影与探测器中心（第256与第257个探头之间的位置）的距离的近似值： + +$$ +d _ {0} = (2 5 6. 5 - i _ {R}) \times \Delta d +$$ + +除此之外，由于也已知 $C1$ 与 $C2$ 圆心的实际长度、投影长度与方向，故也可以算出当前探测器与 $x$ 轴的夹角 $\phi$ 的估计值为： + +$$ +\phi = \arcsin \left(\frac {\left(R 1 _ {c 1} - R 2 _ {c 1}\right) \Delta d}{C _ {1} C _ {2}}\right) +$$ + +再考察第90组CT观测数据，此时探测器相对于初始位置逆时针旋转了大约 $90^{\circ}$ 。由于坐标系原点 $O$ 为 $C1$ 和 $C2$ 的中点，故容易得到 $O$ 在探测器上的投影位置为 $i_O$ 。从而用 $HD = (i_R - i_O)\times \Delta d$ 来计算第1组和第90组中 $R$ 点和 $O$ 点的投影距离 $HD$ 与 $H^{\prime}D^{\prime}$ 。 + +由于本次旋转角度为 $90^{\circ}$ , 故可以得到 $OR$ 的长度 $|OR| = \sqrt{HD^{2} + H^{\prime}D^{\prime 2}}$ . 同时可以得到 $\angle ROD = \arctan (HD / H^{\prime}D^{\prime})$ 。可知 $OR$ 与 $x$ 轴的夹角为 $\theta_{R} = \phi + \pi / 2 - \angle ROD$ , 则 $R$ 坐标为: + +$$ +x _ {0} = | O R | \times \cos (\theta_ {R}), y _ {0} = | O R | \times \sin (\theta_ {R}) +$$ + +模型中的 $d_{0}$ 、 $HD$ 中的正负号均表示方向，其中以 $R$ 为旋转中心，向逆时针方向为正。 + +# 7.3.3 最小二乘法参数优化 + +利用上节中的标定方法，根据参数 $x_0, y_0, d_0, \theta$ ，以及探测器上探针的位置 $i$ 、CT探测序列第 $j$ 个角度（ $1 \leq j \leq 180$ ），可唯一确定一个投影值 $p_{ij}$ 。记实际测的的投影值为 $p_{0ij}$ ，则在确定的序列 $\{x_0 y_0 d_0 \theta\}$ ，该数据相对于原始数据的偏差为： + +$$ +S S E _ {j} = \sum_ {i = 1} ^ {5 1 2} \left(p _ {i} - p _ {0 i}\right) ^ {2} +$$ + +则对于180个角度 $\theta$ ，整体残差平方和等于： + +$$ +S S E = \sum_ {j = 1} ^ {1 8 0} S S E _ {j} = \sum_ {j = 1} ^ {1 8 0} \sum_ {i = 1} ^ {5 1 2} \left(p _ {i j} - p _ {0 i j}\right) ^ {2} +$$ + +故整体的规划为： + +$$ +\min . \quad S E E (x _ {0}, y _ {0}, d _ {0}, \theta_ {1 \times 1 8 0}) +$$ + +此时问题转化为解一个183变量的非线性规划问题。由于数据量过大，故在实际求解中可以先考虑随机选取18组 $j$ 值，算出 $x_0, y_0, d_0$ 的值，再对每个单独的 $j$ ，求解对应的 $\theta$ 值。 + +算法步骤如下： + +1. 随机选取 18 个 CT 旋转中的方向。计算圆 $C 1, C 2$ 的投影，估算这 18 个方向上的 $\theta_{e}$ 值。 +2. 选取第 1、第 90、第 180 个方向上的数据，计算圆 $C_1$ ， $C_2$ 的投影，计算出 $x_0$ ， $y_0$ ， $d_0$ 的估计值 $x_{0e}$ ， $y_{0e}$ ， $d_{0e}$ +3. 以估计的 $x_{0e}$ , $y_{0e}$ , $d_{0e}$ 以及 18 个 $\theta_e$ 作为初值, 用 MATLAB 中的非线性优化工具箱对该规划模型进行求解, 得到优化值 $x_0$ , $y_0$ , $d_0$ 。 +4. 将 $x_{0}, y_{0}, d_{0}$ 带入每个 $SSE_{j}$ 。这时只剩下 $\theta$ 还是决策变量，则为了求解 CT 系统使用的 X 射线的 180 个方向，再进行 180 次单变量的非线性规划，即可得到所有的角度值。 + +# 7.3.4 方法的评价 + +对算法的评价采用仿真的方法，先给定 $x_0$ ， $y_0$ ， $d_0$ 以及180个 $\theta$ 值，从而可以计算出一个 $512 \times 180$ 的投影值矩阵 $p_0$ 。再由上述算法反求 $x_0$ ， $y_0$ ， $d_0$ 以及 $\theta$ 的值。 + +在无噪声的情况下，在 $[-15, 15]$ 内随机选取 $x_0$ ， $y_0$ ，在 $[-2, 2]$ 内随机选取 $d_0$ 。选取角度值 $\theta$ 为 $-60, -59, -58 \ldots 28, 29$ （单位：度），求解情况如下表所示，最后一列为 $x_0$ ， $y_0$ ， $d_0$ 的相对误差平均值： + +表 8: 仿真实验及其参数相对误差平均值 + +
x0y0d0x′0y′0d′0error
3.8724-9.12621.91903.8724-9.12621.91901.5407 × 10-5
-6.291015.9300-1.3115-6.291015.9300-1.31156.3544 × 10-9
12.2357-7.34520.071412.2357-7.34520.07140.2865 × 10-10
13.5689-1.90481.698313.5689-1.90481.69832.4923 × 10-9
9.48541.4631-1.86809.48541.4631-1.86800.4155 × 10-7
4.17758.20321.35754.17758.20321.35750.8742 × 10-8
14.47332.3642-1.515514.47332.3642-1.51557.4111 × 10-4
4.55897.28061.48634.55897.28061.48636.2535 × 10-9
-10.3575-12.00420.7845-10.3575-12.00420.78452.8539 × 10-7
-2.128313.7360-1.3110-2.128313.7360-1.31108.552 × 10-7
+ +表中未列出的角度 $\theta$ ，其误差也均在 $1\times 10^{-3}$ 以内。可以看到，在没有噪声的情况下，该算法能够很好地还原CT的各个参数。并且可以看到，该算法具有较好的稳定性，对 $x_0$ ， $y_{0}$ 和 $d_0$ 的变化不敏感，均能求出较准确的值。 + +当给 $p_0$ 中非 0 部分加入均值为 0，方差为 0.2 的正态分布误差时，固定 $x_0$ ， $y_0$ 和 $d_0$ 的值为 $(-10, -10, 1)$ ，令角度的初始值从 $-180^\circ$ 变到 $180^\circ$ ，每次均以 $3^\circ$ 为间隔，以参数 $x_0$ 为例，分析这些解中参数 $x_0$ 的相对误差： + +![](images/39765c83b92689271983ee3b156d37c7e6284a11a5e648e70b84bf9841c10b2d.jpg) +图24: $x_0$ 相对误差示意图 + +可见 $60\%$ 的角度中， $x_0$ 的相对误差小于 $0.5\%$ 。在初始角度位置为 $-41^{\circ}$ 时，相对误差为取最大值 $3.78\%$ 。经分析，误差达到 $3.78\%$ 的原因为解非线性规划时陷入局部最优解。这时用得到的解作为初始值，使用模拟退火算法继续求解，可以将最终的相对误差缩小到 $0.13\%$ 。 + +综上，本标定模板及配套算法具有较强的稳定性和精度。 + +# 8 模型评价与总结 + +本文从CT投影原理出发，利用平面及射影几何知识建立了正向与反向投影模型，提出并比较了多种重建与降噪算法，对于原问题给出了较好的结果；在第四问中，对于模型进行了精度与稳定性的分析，并提出了新的标定模型。 + +# 8.1 模型优点 + +1. 标定算法精度高，稳定性强，求解速度较快 +2. 分别使用连续与离散反投影模型进行求解，较为全面充分 +3. 利用几何特征，给出了改进标定模型的思路，提出新的标定模型并进行测试，结果优异 + +# 8.2 模型不足 + +1. 反投影重建与去噪算法耗时较长 +2. ART算法结果偏大，其投影矩阵取值可连续化，可改进以增强准确度 + +# References + +[1] Kak A C. BOOKS AND PUBLICATIONS:"Principles of Computerized Tomographic Imaging"[J]. Medical Physics, 2002, 29(1):107. +[2] J. Huang et al., "Sparse angular CT reconstruction using non-local means based iterative-correction POCS," Computers in Biology and Medicine, vol. 41, (4), pp. 195-205, 2011. +[3] 庄天戈. CT 原理与算法 [M]. 上海交通大学出版社, 1992. +[4] 林世明, W.-M.Boerner. 离散 Radon 变换 [J]. 西北工业大学学报, 1988(2):49-56. + +# Appendices + +# .1 角度位置 + +表 9: X 射线 180 个位置的与 x 轴正向夹角 + +
-60.3465-58.9927-58.4392-57.3520-56.3152-55.3470-54.3514-53.3492-52.3488
-51.3451-50.3459-49.3468-48.3491-47.3514-46.3465-45.2003-44.3505-43.3528
-42.3490-41.3496-40.3502-39.3516-38.3537-37.3564-36.3487-35.3504-34.3550
-33.3521-32.3497-31.3434-30.3517-29.4518-28.3523-27.3519-26.3522-25.3505
-24.3534-23.3539-22.3525-21.3523-20.3545-19.3512-18.3533-17.3460-16.3515
-15.3551-14.3528-13.3536-12.3510-11.3514-10.3534-9.3519-8.3544-7.3513
-6.3511-5.3563-4.3532-3.3533-2.3518-1.3552-0.35280.64851.6469
2.64913.64424.64635.64706.64747.64708.64709.647010.6464
11.646712.645313.646914.646415.646316.647017.644118.647219.6452
20.640121.646522.645623.645524.643725.646726.646427.442628.6382
29.643730.643031.647632.646433.638834.635435.636936.640237.6348
38.648639.640340.648341.742342.641243.636744.646545.640346.6434
47.644748.641549.647950.634551.639252.640753.638554.638955.6372
56.640657.641258.640059.640460.638361.640462.639163.640564.6410
65.637766.640267.646968.641269.640470.639371.640372.637673.6369
74.644375.632876.634977.638378.641179.642880.635981.639382.6369
83.639984.639685.640086.638687.643488.649889.666090.660091.6689
92.658793.659694.660095.658096.656497.656598.658699.6548100.6550
101.6541102.6540103.6547104.6514105.6532106.6534107.6540108.6540109.6541
110.6539111.6530112.6529113.6530114.6524115.6399116.6461117.6509118.6439
+ +# .2 问题一求解代码 + +% solve question1 + +load fujian + +[allArgu, mdl_1, mdl_2, mdlphi, mdl_3] = calibArgu(fujian2); + +# .3 问题一调用标定函数 + +function [allArgu, mdl_1, mdl_3] = calibArgu(data) + +$\%$ generate the oringn data + +% load beta0 +```matlab +iangle = 1:180; +inum = length(iangle); +for i = 1:inum + xx(i*512-511:i*512,1) = 1:512; + xx(i*512-511:i*512,2) = i; +end +yy = reshape(data(:,iangle),[512*i num,1]); +``` + +$98 \%$ first try +tic + $\mathrm{d}0 = 0$ . + $\mathrm{x0} = 0$ . +y0 $= 0$ +mu $= 1.7724$ +phi0 $\equiv$ deg2rad(1:180); +b0 $=$ [d0,x0,y0,mu,phi0]; +% initial + +%% smoothoth angle +$\% b0(5:end) = phi_{ii};$ +opts $=$ statset('TolFun'，1e-5); +mdl_1 $=$ fitnlm(xx,yy,@detect,b0,'Options'，opts）;beta $=$ mdl_1.Coefficientst.Estimate;tocbeta(5:end） $=$ mod(beta(5:end)，2\*pi); +subplot(2,2,1)，plot（beta(5:end)); + +```matlab +phii = beta(5:end); +phii = smooth(phii,50,'rlowess'); +% plot(1:180,phii,1:180,phii) +subplot(2,2,2),plot(phii); +%% solve other para +``` + +% solve single angle global betai; +```matlab +global phiN; +phiN = phi; +b0 = beta(1:4); +``` + +$\mathrm{mdl\_2} = \mathrm{fitnlm}(\mathrm{xx},\mathrm{yy},@\mathrm{detectArg},\mathrm{b0},\text{'Options'},\mathrm{opts});$ $\arg 0 = \mathrm{mdl\_2}$ . Coefficients. Estimate; + +beta $=$ arg0; +xphi $= 1:512$ +phiNew $\equiv$ zeros(1,180); +foriphi $= 1:180$ yphi $=$ data(:,iphi); mdlphi $=$ fitnlm(xphi,yphi,@detectAngle,phii(iphi)); phiNew(iphi） $=$ mdlphi.Coefficients.Estimate; +end +subplot(2,2,3)，plot(phiNew); + +$\% \%$ resolve all argu $\mathrm{b0} = [\arg 0^{\prime},\mathrm{phiNew}]$ . + $\%$ initial + $\% b0(5:end) = p h i\_ i i$ .. opts $=$ statset('TolFun'，1e-5); md1_3 $=$ fitnlm(xx,yy,@detect,b0,'Options',opts); betaf $=$ md1_3.Coefficientse.Estimate; toc +allArgu $=$ betaf; +subplot(2,2,4)，plot（betaf(5:end)); + +%% error + +end + +# .4 NLM算法 + +function Y=NLM(X) + $\% 5*5$ +h=0.5; +XX=reshape(X,256,256); +YY=XX; +for m=5:252 + for n=5:252 + S=0; + D=0; + +$\mathrm{V0 = XX(m - 2:m + 2,n - 2:n + 2)}$ $\begin{array}{rl} & {\mathrm{for~i = -2:2}}\\ & {\mathrm{for~j = -2:2}}\\ & {\mathrm{V = XX(m + i - 2:m + i + 2,n + j - 2:n + j + 2)}}\\ & {\mathrm{u = sum(sum((V - V0).^2),2));}}\\ & {\mathrm{S = S + exp(-u / h^2)*XX(m + i,n + j);}}\\ & {\mathrm{D = D + exp(-u / h^2);}}\\ & {\mathrm{end};}\\ & {\mathrm{end};}\\ & {\mathrm{YY(m,n) = S / D;}}\\ & {\mathrm{end};}\\ & {\mathrm{end};}\\ & {\mathrm{Y = shape(YY,65536,1);}} \end{array}$ + +end + +# .5 FBP算法 + +$\mathrm{L} = 512$ +width $= 2^{\wedge}$ nextpow2(size $(\mathbb{R},1))$ +%fft + $\mathrm{p\_fft} = \mathrm{FFT}(\mathrm{R},\mathrm{width})$ +%Ramp filter function from O to width then to 0. + $\mathrm{filt} = 2^{*}[0:(\mathrm{width} / 2 - 1),\mathrm{width} / 2: - 1:1]'$ /width; + $\mathrm{p\_filt} = \mathrm{zeros}(\mathrm{width},180)$ +for $\mathrm{i} = 1:180$ $\mathrm{p\_filt(:,i)} = \mathrm{p\_fft(:,i).*filt};$ +end + +$\% i f f t$ $\mathrm{p\_i f f t} = \mathrm{r e a l}(\mathrm{i f f t}(\mathrm{p\_f i l t}))$ $\% b a c k - p r o j e c t i o n$ +fbp $= \mathbf{z}$ eros(L); +for $\mathrm{i} = 1:180$ rad $\equiv$ deg2rad(THETA(i)); for ${\bf X} = (-{\bf L} / 2 + 1):{\bf L} / 2$ + +for $y = (-L / 2 + 1):L / 2$ $\mathbf{t} = \mathrm{round}(\mathbf{x}^{*}\cos (\mathrm{rad} + \mathbf{pi} / 2) + \mathbf{y}^{*}\sin (\mathrm{rad} + \mathbf{pi} / 2));$ $\mathrm{fbp(x + L / 2,y + L / 2)} = \mathrm{fbp(x + L / 2,y + L / 2)} + \mathrm{p\_ift}(max(1,\min (t + round)$ +end +end +end + $\mathrm{fbp} = \mathrm{fbp} / 180;$ $\mathrm{fbp = fbp(76:436,76:436);}.$ $\mathrm{fbp = imrsize(fbp,[256,256])};}$ $\mathrm{fbp = max(0,fbp)};$ +imshow(fbp)，title('FBP') + +# .6 ART算法 + +function X=ART_F(P,THETA, delta, d0, x0, y0) + +tic; + $\mathrm{I} = 92160$ $\mathrm{lambda} = 0.25$ $\mathrm{X = z e r o s(65536,1)}$ +MAX.Iter $= 5$ + +for $k = 1$ :MAX.Iter +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{I}$ $\mathrm{R} =$ weightjudge(i,THETA,delta,d0,x0,y0);if sum(R)\~=0 $\mathrm{X = X + lambda^{*}(P(i) - R^{*}X) / (R^{*}R^{*})^{*}R^{*}}$ $\mathrm{X = max(X,0)}$ end;end; + $\mathrm{X = NLM(NLM(X))}$ ：%imshow(reshape(X,256,256)); +end; +toc; +end + +function R=weightjudge(i,THETA, delta, d0, x0, y0) + +$\mathrm{n = mod(i - 1,512) + 1};$ $\mathbf{t} = \mathbf{floor}((i - 1) / 512) + 1;$ the $\texttt{a} = \mathrm{THETA(t)}$ + +$\mathrm{R = z e r o s}(256,256)$ $\mathrm{d} = (\mathrm{n - 256.5})^{*}\mathrm{d}$ elta+d0; +if $\mathrm{d}> = -50\& \& \mathrm{d}< 50$ $\mathrm{R(:,floor(256^{\ast}d / 100) + 129) = 1};}$ $\mathrm{R = imrotate(R,theta,'crop')};$ +end; + $\mathbf{R} =$ reshape(R,1,65536); + +end + +# .7 问题四检验精度稳定性 + +```matlab +% assigned the standard arguments +% get the detect data +iangle = 1:180; +inum = length (iangle); +for i = 1:inum + xx(i*512 - 511:i*512,1) = 1:512; + xx(i*512 - 511:i*512,2) = i; +``` + +end + $\mathrm{d}0 = 5$ $\mathrm{mu} = 1.5$ $\mathrm{x0} = -8$ . $\mathrm{y0} = 10$ +phi0 $=$ deg2rad((1:180)); + $\% Res =$ zeros(512，180); +b=[d0,x0,y0,mu,phi0]; +Res $=$ detect(b,xx); +Res $=$ reshape(Res,[512,180]); + $\% subplot(1,2,1)$ +imagesc(Res), + +$\% \text{Res} = \text{Res} + 100 * (\text{rand}(512, 180) - 0.5)$ ; + $\% \text{subplot}(1, 2, 2)$ , imagesc (Res), + $\% \text{saveas(gcf,'zaoyin3.png')}$ + +figure +[allArgu,mdl_1,mdl_3] $=$ calibArgu(Res); + +%% +phi1 $=$ allArgu(5:end）'; + +```txt +err = sqrt(sum((phi1 - phi0).^2) / 179) +``` + +$\mathbf{step}(\mathrm{phil - phi0})$ + +# .8 问题四自建模板仿真分析函数 + +具体代码见支撑材料。 + +```matlab +function [var, thisData, data] = fitRotation(input) + SampleNum = 18; + load Res; + data = Res(:, (1:10:180)); + x0 = input(1); + y0 = input(2); + d0 = input(3); + phi = input(4:4+SampleNum-1); + phi = deg2rad(phi + 180*ones(1, SampleNum)); + thisData = zeros(512, SampleNum); + mu = 1.7725; + R1 = 5; + R2 = 10; + R3 = 5; + for iPhi = 1 : SampleNum + for n = 1 : 512 + theta = phi(iPhi); + d = d0 - 0.2768 * (256.5 - n); + thisData(n, iPhi) = 2 * mu * (sqrt(max(0, R1^2 - ... + (tan(theta) * (-30) - x0 * tan(theta) + y0 - ... + d/cos(theta))^2 / (1 + tan(theta)^2))) + ... + sqrt(max(0, R2^2 - (tan(theta) * (30) - x0 * tan(theta) + + y0 - d/cos(theta))^2 / (1 + tan(theta)^2))), + end +end +``` + +var $=$ sum(sum((thisData-data).^2)); +end +R2_start $= 1$ . +R1_start $= 1$ . +%First Frame +for R2_start $= 1:512 - 71$ if min(Res(R2_start:R2_start $+71 - 1,1) > 0$ $\equiv 1\mid \mid \dots$ min(Res(R2_start:R2_start $+73 - 1,1) > 0$ $\equiv 1$ break; end +end +for R1_last $= 512: - 1:35$ if (min(Res(R1_last-35+1:R1_last,1)>0 $\equiv 1\mid \mid \dots$ min(Res(R1_last-37+1:R1_last,1)>0 $\equiv 1)\dots$ &&min(Res(R1_last-38+1:R1_last,1)>0 $\equiv 0\dots$ &&min(Res(R1_last-35+1:R1_last+1,1)>0 $\equiv 0$ break; end +end +R1_c1 $= \mathrm{Rl\_last} - 18$ . +R2_c1 $= \mathrm{R2\_start} + 36$ +phi0 $= \mathrm{rad2deg(asin((Rl_c1 - R2_c1)*0.2768 / 60))}$ +%Second Frame +for R2_start $= 1:512 - 71$ if min(Res(R2_start:R2_start $+71 - 1,180) > 0$ $\equiv 1\dots$ ||min(Res(R2_start:R2_start $+73 - 1,180) > 0$ $\equiv 1$ break; end +end +for R1_last $= 512: - 1:35$ if (min(Res(R1_last-35+1:R1_last,180)>0 $\equiv 1\dots$ ||min(Res(R1_last-37+1:R1_last,180)>0 $\equiv 1)\dots$ &&min(Res(R1_last-38+1:R1_last,180)>0）... $= 0\& \& \mathrm{min}(Res(R1\_last - 35 + 1:R1\_last + 1,180) > 0$ + +```txt +break; +end +end +``` + +$$ +R 1 _ {c} 2 = R 1 _ {l a s t} - 1 8; +$$ + +$$ +R 2 \_ c 2 = R 2 \_ s t a r t + 3 6; +$$ + +$$ +R _ {p} = (R 1 _ {-} c 1 + R 2 _ {-} c 1 + R 1 _ {-} c 2 + R 2 _ {-} c 2) / 4; +$$ + +$$ +d 1 = \left(R 1 _ {-} c 1 + R 2 _ {-} c 2\right) / 2; +$$ + +% Third Frame +```txt +for R2_start = 1 : 512 - 71 + if min(Res(R2_start: R2_start + 71 - 1, 90) > 0) == 1 + || min(Res(R2_start: R2_start + 73 - 1, 90) > 0) == 1 + break; + end +end +``` + +for R1_last $= 512: -1: 35$ +if (min(Res(R1_last - 35 + 1: R1_last, 90) > 0) == 1... + || min(Res(R1_last - 37 + 1: R1_last, 90) > 0) == 1)... + && min(Res(R1_last - 38 + 1: R1_last, 90) > 0) ... + == 0 && min(Res(R1_last - 35 + 1: R1_last + 1, 90) > 0) +end +end + +$$ +R 1 _ {-} c 3 = R 1 _ {-} l a s t - 1 8; +$$ + +$$ +R 2 _ {c} 3 = R 2 _ {s} t a r t + 3 6; +$$ + +$$ +\mathrm {O} 1 = (\mathrm {R} 1 _ {\mathrm {c}} \mathrm {c} 1 + \mathrm {R} 2 _ {\mathrm {c}} \mathrm {c} 1) / 2; \% F \square \square +$$ + +$$ +O 2 = (R 1 \_ c 2 + R 2 \_ c 2) / 2; +$$ + +$$ +O 3 = (R 1 _ {c} 3 + R 2 _ {c} 3) / 2; +$$ + +$$ +R _ {-} p = (R 1 _ {-} c 1 + R 2 _ {-} c 1 + R 1 _ {-} c 2 + R 2 _ {-} c 2) / 4; +$$ + +$$ +R _ {r} = 0. 2 7 6 8 * \mathbf {s q r t} ((O 1 - R _ {p}) ^ {\wedge} 2 + (O 3 - R _ {p}) ^ {\wedge} 2); +$$ + +$$ +R _ {t h e t a 0} = 1 8 0 + \operatorname {r a d 2 d e g} (\operatorname {a t a n} ((O 1 - R _ {p}) / (O 3 - R _ {p}))) +$$ + +R_theta = phi0 - R_theta0; + +$\mathrm{ph}i0 = \mathrm{ph}i0$ + +$\mathrm{x0} = \mathrm{R\_r}^*$ cos(deg2rad(R_theta)); + +$\mathrm{y0} = \mathrm{R\_r}^*$ sin(deg2rad(R_theta)); + +$\mathrm{d}0 = 256 - \mathrm{R\_p}$ + +$\mathrm{x\_init} = \left[\mathrm{x0},\mathrm{y0},\mathrm{d0},\mathrm{phi0}:10:\mathrm{phi0} + 10^{*}17\right];$ + +A = []; + +b = []; + +Aeq $\equiv$ [ ]; + +$\mathbf{beq} = []$ + +1b = [ ]; + +ub $\equiv$ []； + +nonlcon $\equiv$ []; + +options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'iter', ... + +'Algorithm', 'sqp', 'MaxFunEvals', 15000, 'TolFun', 1.000000e-10); + +% phi + +R1 = 5; + +R2 = 10; + +R3 = 5; + +$\mathrm{d}0 = 1$ + +$\mathrm{mu} = 1.7725$ + +$\mathrm{x0} = -0;\mathrm{y0} = 6;$ + +phi = deg2rad((-30:149) + 180*ones(1, 180) + rand(1, 180)); + +$\mathrm{Res} = \mathbf{zeros}(512, 180)$ ; + +for iPhi = 1 : 180 + +for n = 1 : 512 + +theta = phi(iPhi); + +$\mathrm{d} = \mathrm{d}0 - 0.2768 * (256.5 - \mathrm{n})$ + +$\operatorname{Res}(\mathrm{n}, \mathrm{iPhi}) = 2 * \mathrm{mu} * (\mathbf{sqrt}(\max(0, \mathrm{R1} \wedge 2) - \dots)$ + +$(\tan (\text{theta}) * (-30) - \mathrm{x}0 * \tan (\text{theta}) + \mathrm{y}0 - \mathrm{d} / \cos (\text{theta}))^{\wedge}2$ + +/ $(1 + \tan (\mathrm{theta})\wedge 2))) + \dots$ + +$\mathbf{sqrt}(\max (0,\mathrm{R2}\wedge 2 - (\tan (\mathrm{theta})^{*}(30) - \mathrm{x0}^{*}\tan (\mathrm{theta})\ldots$ + ++ y0 - d/cos( theta))^2 / (1 + tan( theta)^2)); + +end + +end + +index $=$ find $(\mathrm{Res} > 0)$ + +Res(index) = Res(index) + 0.01; %normrnd(0, 0.1, [length(index), 1]); + +save('Res.mat'， 'Res') \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/A156/A156.md b/MCM_CN/2017/A156/A156.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1e307c33934a1ec31b01a64c23d36928b97019f3 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/A156/A156.md @@ -0,0 +1,893 @@ +# 基于单目标优化模型和图像重建算法的CT系统研究 + +# 摘要 + +本文针对CT系统参数标定和未知介质信息的确定问题，基于黄金分割法、单目标优化模型、搜索算法、图像重建算法，求出了CT系统的旋转中心、探测器单元距离和射线的180个方向。根据标定的系统参数，求出了与接收数据对应的未知介质的位置、几何形状和吸收率。最后设计了新模板，对系统参数的精度和稳定性进行了改进。 + +对于探测器单元距离的求解问题，根据几何关系可以求出介质厚度的理论值，基于此建立单目标优化模型，目标函数为相邻接受信息理论比值与实际比值的最小误差平方和，遍历射线到介质边缘的距离，决策变量为探测器单元距离。通过黄金分割算法，逐渐缩小探测器单元距离范围直到满足精度要求，求得探测器单元距离为 $0.2768\mathrm{mm}$ 。 + +对于CT系统旋转中心位置的确定问题，首先建立以椭圆中心为原点的直角坐标系，以短轴向右建立 $x$ 轴，长轴向上建立 $y$ 轴。建立单目标优化模型，目标函数为相邻接受信息理论比值与实际比值的最小误差平方和，决策变量为穿透介质的第一条射线到介质边缘的距离。通过遍历搜索算法，找到最优距离。然后根据射线之间的间距建立中心线方程组。分别研究射线平行 $x$ ， $y$ 轴入射时的情况，得到旋转中心的坐标为(-9.3040,6.2149)。 + +对于射线的180个方向的确定问题，首先通过最小二乘法原理求得接收数据与厚度之间的比例系数为1.7725。对于一个方向的射线，通过Radon变换求得512个介质厚度值，通过比例系数得到接收数据的理论值，建立单目标优化模型，目标函数为接收数据的理论值与实际值的最小误差平方和，决策变量为射线与 $x$ 轴正方向的夹角，通过遍历搜索算法，求得误差最小的方向夹角。通过迭代法解得180个方向与 $x$ 轴正方向的夹角。 + +对于未知介质的位置、几何形状和吸收率的求解问题，基于中心切片定理，设计了滤波反投影求解算法。首先根据反投影算法重建图像，然后进行滤波和降噪两步操作，得到具有理想效果的滤波反投影图像重建算法，带入附件3和附件5的接收数据，重建出未知介质图像。对于给定的10个位置，附件3的吸收率为0.0000，1.0004，0.0000，1.1846，1.0488，1.4817，1.2965，0.0000，0.0000，0.0000，附件5的吸收率为0.0000，2.8091，7.0353，0.0000，0.0101，3.2351，6.1054，0.0000，8.1176，0.0000。 + +我们对CT系统标定的参数分别进行了精度和稳定性分析，设计了由正方形和圆形均匀固体介质组成的新模板，建立了相应的标定模型，并阐述了新模板的优点。 + +关键词 黄金分割法 单目标优化模型 遍历搜索算法 滤波反投影重建 + +# 一、问题重述 + +CT可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统中，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。 + +CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于模板标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。 + +建立相应的数学模型和算法，解决以下问题： + +(1) 正方形托盘上放置两个模板，已知每一点的吸收率。根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。 +(2)利用(1)中得到的标定参数，根据附件3和附件5所给未知介质的接收信息，分别确定未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，具体求出给定的10个位置处的吸收率。 +(3) 分析 (1) 中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。 + +# 二、问题分析 + +CT系统是医学中常用的利用成像检测疾病的技术，系统安装存在误差则会影响成像质量进而影响检查效果。要获得良好的效果，难点是如何对系统进行参数标定，使之误差尽可能小。系统参数、检测物体、接收信息之间是对应关系，可以根据提供的检测模板和接收信息建立系统参数的求解模型。根据求解的系统参数以及接收信息，可以得到检测物体的相关信息。 + +# 2.1 接收信息的数据分析 + +CT系统的接收信息是由射线能量经介质吸收衰减和增益处理后得到的数据。根据朗伯贝尔吸收定律[1]， $I = I_0 \exp \left[\int_h \mu(x, y) \, dh\right]$ ，衰减后的能量与介质厚度之间为积分关系， $\mu(x, y)$ 为介质吸收率。将上式经过变换， $\ln \frac{I_0}{I} = \int_h \mu(x, y) \, dh$ ，然后经过增益，得到附件2的接收数据 $M$ ，设增益为 $k$ ，则有 $M = k \ln \frac{I_0}{I} = k \int_h \mu(x, y) \, dh$ 。通常情况下介质的吸收率 $\mu(x, y)$ 是与介质部位有关的变量，但附件1中，有介质的地方吸收率全为1，因此可以将积分式化简，得 $M = kh$ 。所以附件2中接收数据 $M$ 与射线穿透介质厚度 $h$ 成正比。 + +# 2.2确定探测器单元间距的分析 + +根据模板和接收信息，确定探测器单元间距。模板有椭圆和圆形，方向可以是任意的，接收数据有很多组，如何合理地选择研究对象十分重要。平行于椭圆长轴的射线会通过椭圆长轴，具有最大的接收数据，因此便于寻找该方向对应的接收数据；该方向椭圆和圆形模板完全没有重合部分，便于区分，进而利用圆形的规则尺寸进行求解。 + +穿过圆形模板的射线条数始终位于28到29之间，由此确定探测器单元间距的范围。在该范围内利用黄金分割法逐渐缩小其范围，直到满足小数点后四位的精度。缩小范围过程中需要更新上下界，一次更新中究竟是上界变化还是下界变化可以建立优化模型进行比对。 + +首先是目标函数的建立，如果知道最边上射线到圆形轮廓的距离，利用勾股定理就可以得到通过圆形的射线穿过的厚度，相邻射线穿过厚度求比值，使与实际厚度比值差值的平方和最小为目标函数。利用黄金分割法缩小范围，直到上下界差值小于 $10^{-5}$ ，保证了间距的值精确到了小数点后四位。 + +# 2.3 确定CT系统旋转中心位置的分析 + +CT系统旋转的效果是X射线旋转扫描，我们了解到大多数CT机旋转中心位于CT系统几何中心[2]，即512组射线的中心线上。在正方形托盘中，分别求出射线平行椭圆长轴和短轴入射时，中心线的位置，两条中心线交点即为旋转中心位置。在512条射线中，中心线为256.5条的位置，如果已知第一条穿过圆形模板射线的位置，根据探测器单元间距就能求得256.5条射线的位置。第一条穿过圆形模板射线的位置的求解，可以转换为优化问题。 + +关于目标函数的确定，如2.1，对于纵向入射的射线，以相邻圆形厚度比值与实际比值误差的平方和最小为目标函数，遍历第一条穿过圆形的射线到外轮廓的距离，求得使目标函数最小的该距离，进而可由该距离算出中心线横坐标。对于横向入射的射线，以计算所得的相邻椭圆厚度比值与实际比值误差平方和最小为目标函数，同理可求中心线纵坐标。根据横纵坐标确定旋转中心位置。 + +# 2.4确定射线的180个方向的分析 + +附件2中给了180列数据，每列数据对应一个射线方向，现在的目标就是求出每列数据对应的射线方向。射线变化一个方向，就会有对应方向下射线穿透的512个厚度，根据接收数据与厚度成正比，可以得到改变方向时，接收数据的计算值，计算值与附件2中的理论值存在误差。每调整一次射线方向，就有一组接收数据的计算值。难点是如何确定方向调整到什么程度时，此时的射线方向就是实际的方向。 + +可以将该判断问题转化为优化问题，对于一个方向，有512个接收数据的计算值，以该计算值与附件2中实际值的误差平方和最小为目标函数，决策变量为射线与横轴夹角。对于某组确定的实际接收数据，遍历夹角，求得使目标函数最小的夹角，此时的夹角就是实际射线的夹角，根据夹角确定射线方向。 + +# 2.5 确定未知介质的位置、几何形状和吸收率的分析 + +根据介质信息和接收信息可以确定CT系统的参数，那么，根据CT系统参数和接收信息也可以确定介质信息，该过程是一个图像重建的过程。问题的难点在于如何设计图像重建算法。 + +根据中心切片定理[3]，不同方向的接收数据经过一维傅氏变换和逆二维傅氏变换可以得到该点密度函数，密度函数与吸收率成一定比例关系。根据密度函数可以重建介质图像，自主设计图像重建算法，先通过反投影算法粗略重建图像，然后考虑滤波[4]和降噪不断完善算法，得到最终算法，由此重建介质图像。根据算法和已有接收数据，可以求出密度函数与吸收率间的比例系数，进而得出未知介质的吸收率。 + +# 2.6参数标定的精度和稳定性分析 + +求解的参数有旋转中心位置、探测单元间距和射线方向，利用参数的误差范围表示其精度，计算误差范围的着手点是分析误差来源。对于旋转中心，误差来源是接收数据列数的选取；对于探测单元间距，可直接根据射线穿过图形的条数确定误差范围；对于射线方向，误差来源是初始基准的选取。 + +对于稳定性，设备的老化会导致接收数据的不灵敏，给接收数据增加一个噪声，计算旋转中心、间距和射线方向的夹角，观察其波动情况判断稳定性。 + +对于模板的改进，根据计算过程可以总结出来，椭圆模板不规则，其弦长求解十分麻烦，圆形模板已经存在，可以考虑用规则的方形代替椭圆。 + +# 三、基本假设 + +1. 假设探测器足够灵敏，探测到的数据足够准确。 +2. 假设能量只在介质中衰减，介质周围近似为真空。 + +# 四、符号说明 + +
符号意义单位
d探测器单元间距mm
L0介质边缘到内部第一条射线的距离mm
hi射线穿过介质的厚度mm
M模板的接收数据/
μ介质吸收率/
n射线条数编号/
φ射线与横轴夹角°
r旋转中心到射线的垂直距离mm
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1探测器单元间距求解模型 + +探测器单元之间的距离为等距的，可以根据模板中的圆形模板对应的接收信息进行求解。通过圆形模板尺寸和接收信息的数量确定探测器单元间距的范围，然后在该范围内利用黄金分割法逐渐缩小间距范围，当间距范围的差值小于 $10^{-5}$ 时，即可确定探测器单元间距，保证结果精确到前四位小数。 + +# 5.1.1 探测器单元间距范围的确定 + +附件2为模板对应的接收数据，数据量为 $180 \times 512$ ，表示每一列为一个射线方向下512个探测器单元接收的数据，共有180个方向。没有射到模板的区域，接收数据为0，射到模板的区域，接收数据不为0。为了区分椭圆模板的接收数据和圆形模板的接收数据，选取具有两段非零数据的数据列进行研究，即这样的数据列中，两段非零数据段之间，有数值为0的数据段隔开。椭圆的短轴为 $30mm$ 圆的直径为 $8mm$ ，所以每一列接收数据中，圆的数据段比椭圆的数据段要短，由此区分哪是椭圆的接收数据，哪是圆的接收数据。 + +观察圆形模板的数据量，180列数据中，圆形模板的数据量均为28~29个，表明无论从哪个方向照射，通过圆形模板的射线条数为28~29条。由于探测器单元是等间距的，根据圆形模板直径8mm确定单元间距d的范围为： + +$$ +d \in (\frac {8}{2 9}, \frac {8}{2 8}) m m \tag {1} +$$ + +# 5.1.2基于黄金分割法的间距逼近求解模型 + +$d_{1} = 8 / 29, d_{2} = 8 / 28$ 作为黄金分割法的初始上下界点， $A_{1} = d_{2} - 0.618(d_{2} - d_{1})$ 作为初始左探测点， $A_{2} = d_{1} + 0.618(d_{2} - d_{1})$ 作为初始右探测点，如图1所示。 + +![](images/ff0ba1225c1a655dc19d55f922c910ab18d545f85ec6a31f417bece3a94d2b3c.jpg) +图 1 黄金分割法上下界点、左右探测点图示 + +间距逼近模型的目标就是利用黄金分割法，不断缩小上下界。新的上下界用左右探测点代替，每次只能代替一侧，到底是上界保留还是下届保留，通过建立目标函数，根据目标函数值大小确定。 + +前面分析可知，接收数据的数值大小与射线穿透的模板厚度成正比，由于不知道量纲，可以将相邻的接收数据求比值来利用，探测器接收数据比值等于模板厚度比值，实际圆形模板的接收数据比值为： + +$$ +\frac {M _ {1}}{M _ {2}}, \frac {M _ {2}}{M _ {3}} \dots \frac {M _ {2 7}}{M _ {2 8}}, \frac {M _ {2 8}}{M _ {2 9}} \tag {2} +$$ + +对于圆形模板，其厚度是可以计算的，如图2圆形厚度求解示意图所示。 + +![](images/b869536c32d9a83e44d10b79d44d7d43f3d71d92462c03643a2be20103136d8d.jpg) +图2圆形厚度求解示意图 + +最左边的射线与圆形左轮廓的距离 $L_{0}$ 的范围为 $L_{0} \in (0,8 - 28d)$ , 第 $i$ 条射线穿透圆形模板的厚度 $h_{i}$ 计算公式如式(3) + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} h _ {i} = 2 \sqrt {4 ^ {2} - (4 - L _ {i}) ^ {2}} = 2 \sqrt {8 L _ {i} - L _ {i} ^ {2}} \\ L _ {i} = L _ {0} + (i - 1) d \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +以计算所得厚度比值跟实际接收数据比值之间误差平方和最小为目标函数，即 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {2 8} \left(\frac {h _ {i}}{h _ {i + 1}} - \frac {M _ {i}}{M _ {i + 1}}\right) ^ {2} +$$ + +$$ +s. t. 0 < L _ {0} < 8 - 2 8 d +$$ + +# 5.1.3 算法与模型求解 + +# 算法的核心思想 + +黄金分割法逐步迭代，逐渐逼近待求间距的上下界，当上下界差值小于 $10^{-5}$ 时停止迭代。 + +# 算法步骤 + +STEP1: 令待求间距等于下界 $d_{1}$ , 以步长 $10^{-6}$ 遍历第一条射线到圆形模板边缘的距离, 求得目标函数最小值 $f_{1}$ 。 + +STEP2: 令待求间距等于上界 $d_{2}$ , 以步长 $10^{-6}$ 遍历第一条射线到圆形模板边缘的距离, 求得目标函数最小值 $f_{2}$ 。 + +STEP3：比较两个最小值 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ ，如果 $f_{1} < f_{2}$ ，则新的下界不变，新的上界为原右黄金分割点；如果 $f_{1} > f_{2}$ ，则新的上界不变，新的下界为原左黄金分割点。 + +STEP4: 判断上界与下界差值是否小于 $10^{-5}$ , 是, 停止运行; 否, 继续STEP5。 + +STEP5：求得新的上界和下界，以及左右黄金分割点，重复进行STEP1~4。 + +# 求解结果 + +通过不断迭代, 缩小探测器单元间距的范围, 当范围差小于 $10^{-5}$ 时迭代完成, 得到探测器单元间距为 $d = 0.2768 \mathrm{~mm}$ 。 + +# 5.2CT系统旋转中心位置求解模型 + +CT系统是绕中心旋转的，无论CT怎样旋转，探测器平面的中垂线必定过中心。选取椭圆长轴方向的射线，求得512个探测单元中最中间的单元格对应的横 + +坐标即为旋转中心横坐标。选取椭圆短轴方向的射线，求得512个探测单元中最中间的单元格对应的纵坐标即为旋转中心的纵坐标。 + +# 5.2.1 坐标系的建立及数据提取 + +在模板平面中，以椭圆中心为圆心，短轴方向建立 $x$ 轴，长轴方向建立 $y$ 轴，如图3所示。根据图中标注尺寸可得圆形模板中心坐标为(45,0)。 + +![](images/850ad60204c405acd96deff8671938c369d7467d9617c01ae49e13ed61311865.jpg) +图3坐标系的建立 + +![](images/9ea35c06b3b870e595eb389f65da890185c468ce9e5f368a508b79cae4965147.jpg) +图4射线竖直透射示意图 + +求旋转中心横坐标时，选取的射线与椭圆长轴平行。由于模板中椭圆长轴的厚度最大，因此平行长轴的射线在附件2中所对应的512个接收数据中应含有所有数据中的最大数据，据此筛选出求解横坐标所需的数据为第151列数据，该列数据中最大值为141.7794，为长轴对应的数据。该列中，第45行数值为0，第46行开始不为0，说明第46条射线为第一条穿过圆形的射线，如图4所示。 + +求旋转中心纵坐标时，选取的射线与椭圆短轴平行。射线平行椭圆长轴时，最大接收数据为长轴对应数据，射线平行短轴时，一列中最大的接收数据为短轴加上圆形直径对应的数据。长轴 $80 \mathrm{~mm}$ ，对应的接收数据为 141.7794，根据探测器接收数据与模板厚度成正比的关系，短轴 $30 \mathrm{~mm}$ 加圆形直径 $8 \mathrm{~m}$ 对应的数据为 $38 \times (141.7794 \div 80) = 67.3452$ ，寻找哪一列的最大数据最接近 67.3452，筛选出第 61 列数据符合条件，该列数据中的最大值为 67.3529。因此求解旋转中心纵坐标所需的数据为第 61 列。该列中，第 89 行数值为 0，第 90 行开始不为 0，说明第 90 条射线为第一条穿过椭圆的射线，如图 5 所示。 + +![](images/6d336001ec50c3497af5676ee58a1279fd5d59e5b97bd2c6c111dfe8146e0622.jpg) +图5射线横向透射示意图 + +# 5.2.2 旋转中心位置寻找模型 + +# 中心横坐标求解模型 + +第151列数据中，圆形模板对应的数据共有29个，相邻数据求比值，得到28组比值 $\frac{M_1}{M_2}, \frac{M_2}{M_3}, \dots, \frac{M_{27}}{M_{28}}, \frac{M_{28}}{M_{29}}$ 。如果知道第一条射线距圆形模板右边缘的距离 $L_0$ ，则可以计算得到29个射线穿透的厚度值，第i个厚度 $h_i$ 为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} h _ {i} = 2 \sqrt {4 ^ {2} - (4 - L _ {i}) ^ {2}} = 2 \sqrt {8 L _ {i} - L _ {i} ^ {2}} \\ L _ {i} = L _ {0} + (i - 1) d \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +其中， $d = 0.2768mm$ ，为5.1所求。 + +将相邻厚度求比值得到 28 组比值 $\frac{h_{1}}{h_{2}}, \frac{h_{2}}{h_{3}} \dots \frac{h_{27}}{h_{28}}, \frac{h_{28}}{h_{29}}$ ，遍历 $L_{0}$ ，以误差的平方和最小为目标函数，建立优化模型。综上，优化模型为 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {2 8} (\frac {h _ {i}}{h _ {i + 1}} - \frac {M _ {i}}{M _ {i + 1}}) ^ {2} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} h _ {i} = 2 \sqrt {4 ^ {2} - (4 - L _ {i}) ^ {2}} = 2 \sqrt {8 L _ {i} - L _ {i} ^ {2}} \\ L _ {i} = L _ {0} + (i - 1) d \\ 0 < L _ {0} < 8 - 2 8 d \\ d = 0. 2 7 6 8 m m \end{array} \right. +$$ + +决策变量为 $L_{0}$ , 求得使目标函数最小的 $L_{0}$ 值, 记为 $L$ 。圆形模型的圆心横坐标为 45 , 第 46 号数据的横坐标为 $49 - L$ , 旋转中心横坐标为第 256.5 号数据对应的横坐标, 为 + +$$ +x _ {0} = 4 9 - L - (2 5 6. 5 - 4 6) d \tag {5} +$$ + +# 中心纵坐标求解模型 + +当射线沿椭圆短轴横向扫描时，对应附件2接收数据的第61列，从第90行数据开始不为0，向上选取41个数据，此时未触碰到椭圆和圆形的重叠区域。相邻数据求比值，得到40组比值 $\frac{M_{90}}{M_{91}}, \frac{M_{91}}{M_{92}} \dots \frac{M_{128}}{M_{129}}, \frac{M_{129}}{M_{130}}$ 。如果知道第一条射线距椭圆模板下边缘的距离 $L_0$ ，则可以计算得到41个射线穿透的厚度值，椭圆方程为 $\frac{y^2}{40^2} + \frac{x^2}{15^2} = 1$ ，第 $i$ 条射线穿透椭圆模型的厚度 $h_i$ 为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} h _ {i} = 2 \times 1 5 \sqrt {1 - \frac {(4 0 - L _ {i}) ^ {2}}{4 0 ^ {2}}} = 3 0 \sqrt {1 - \frac {(4 0 - L _ {i}) ^ {2}}{4 0 ^ {2}}} \\ L _ {i} = L _ {0} + (i - 1) d \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +将相邻厚度求比值得到 40 组比值 $\frac{h_{1}}{h_{2}}, \frac{h_{2}}{h_{3}} \dots \frac{h_{39}}{h_{40}}, \frac{h_{40}}{h_{41}}$ , 遍历 $L_{0}$ , 以误差的平方和 + +最小为目标函数，建立优化模型。综上，建立的模型为 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {4 0} (\frac {h _ {i}}{h _ {i + 1}} - \frac {M _ {i}}{M _ {i + 1}}) ^ {2} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} h _ {i} = 3 0 \sqrt {1 - \frac {(4 0 - L _ {i}) ^ {2}}{4 0 ^ {2}}} \\ L _ {i} = L _ {0} + (i - 1) d \\ 0 < L _ {0} < d \\ d = 0. 2 7 6 8 m m \end{array} \right. +$$ + +决策变量为 $L_{0}$ , 求得使目标函数最小的 $L_{0}$ 值, 记为 $L$ 。椭圆模型的圆心纵坐标为 0 , 第 90 号数据的纵坐标为 $40 - L$ , 旋转中心纵坐标为第 256.5 号数据对应的纵坐标, 为 + +$$ +y _ {0} = 4 0 - L + (2 5 6. 5 - 9 0) d \tag {7} +$$ + +# 5.2.3算法及模型求解 + +旋转中心横纵坐标的算法一样，只是射线穿透模板的厚度的计算公式不一样。算法核心思想 + +通过遍历第一条穿透射线到模板轮廓的距离 $L_{0}$ , 搜索求得使目标函数最小的 $L_{0}$ , 用于计算中心坐标。 + +# 算法步骤 + +STEP1：设定 $L_{0}$ 的初值为0，计算目标函数值1，存储初始 $L_{0}$ 。 + +STEP2: $L_{0}$ 的值增加步长 $10^{-6}$ , 计算目标函数值 2。如果目标函数值 2 小于目标函数值 1, 则存储值替换为新的 $L_{0}$ , 否则不变。 + +STEP3: 继续STEP2, 直到 $L_{0}$ 值达到约束上限, 结束算法。 + +# 求解结果 + +对于横坐标的求解，计算所得最终的 $L_{0}$ 为 $0.0473 \mathrm{~mm}$ ，带入公式(5)求得横坐标 $x_{0} = -9.3040$ ；对于纵坐标的求解，计算所得最终的 $L_{0}$ 为 $0.1353 \mathrm{~mm}$ ，带入公式(7)求得纵坐标 $y_{0} = 6.2149$ 。 + +综上，以椭圆短、长轴建立横、纵坐标， $CT$ 系统旋转中心的坐标为 $(-9.3040,6.2149)$ 。 + +# 5.3射线的180个方向 + +已知射线竖直照射时，射线方向与横轴夹角为90度，匹配的接收数据为第151列数据，以此方向为基准一列一列的求出其他列数据对应的射线方向。求解时，遍历射线与横轴的夹角，当接收数据的计算值最接近真实值是，该夹角即为射线的实际方向。 + +# 5.3.1 Radon变换求解介质厚度 + +# 直线簇的表示 + +经过前面问题分析，接收数据 $M$ 与介质厚度 $h$ 成正比， $M = kh$ 。常规厚度的求解与坐标有关，但一个射线方向具有512个厚度，为便于求解，需选用一种统一的直线簇表示方法。这里进行Radon变换，将厚度 $h(x,y)$ 变换为 $h(r,\varphi)$ 。此时有 + +$$ +M (r, \varphi) = k h (r, \varphi) \tag {8} +$$ + +其中， $r$ 为坐标原点到直线簇中各条直线的距离， $\varphi$ 为直线簇与 $x$ 轴的夹角，如图6所示。 + +![](images/360a3a858af4f4a0ca6e2266bb744618ccba1bad5e954805a04d4516035700ed.jpg) +图6坐标轴中直线簇的示意图 + +直线簇的方程为 + +$$ +y = \tan \varphi \cdot x - \frac {r}{\cos \varphi} \tag {9} +$$ + +该直线簇方程中的 $r$ 是未知，每一条射线对应于一个不同的 $r$ ，现在需要找到 $r$ 关于射线条数 $n$ 的统一表达式。由于直线簇是平行的射线，相邻直线簇间的 $r$ 相差一个射线单元间距 $d$ ， $d$ 在前面已经求得。假设过旋转中心有一条射线，如果坐标原点到该射线的距离 $r_0$ 已知，则直线簇中所有的 $r$ 均可表示出来。 + +旋转中心所在直线方程为 + +$$ +\tan \varphi \cdot x - y - \tan x _ {0} + y _ {0} = 0 \tag {10} +$$ + +其中， $(x_0, y_0)$ 为旋转中心坐标，坐标原点到该射线的距离 $r_0$ 为 + +$$ +r _ {0} = \frac {\left| \tan \varphi \cdot x _ {0} + y _ {0} \right|}{\sqrt {\tan \varphi^ {2} + 1}} \tag {11} +$$ + +因此将直线簇方程写成 $y = ax + b$ 的形式为 + +$$ +y = \tan \varphi \cdot x - \frac {r _ {0} - (0 . 5 + n) d}{\cos \varphi} \tag {12} +$$ + +其中，从第1列到第512列， $n$ 依次取值-256到255。 + +# 椭圆厚度(弦长)求法 + +首先判断射线与椭圆是否相交，满足式(13)之一的均相交。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \left| d _ {1} \cdot d _ {2} \right| < 1 5 \\ - 3 7. 0 8 < \frac {r _ {0} - (0 . 5 + n) d}{\cos \varphi} < 3 7. 0 8 \end{array} \right. \tag {13} +$$ + +其中， $d_{1}, d_{2}$ 为椭圆交点到直线的距离，15为椭圆短半轴长，37.08为椭圆半焦距。 + +相交时，椭圆弦长计算公式如式(14)。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} h = \left| x _ {1} - x _ {2} \right| \cdot \sqrt {1 + a ^ {2}} \\ \left| x _ {1} - x _ {2} \right| = \sqrt {\frac {\left(\frac {a b}{8 0 0}\right) ^ {2} - 4 \left(\frac {a ^ {2}}{1 6 0 0} + \frac {1}{2 2 5}\right) \left(\frac {b ^ {2}}{1 6 0 0} - 1\right)}{\left(\frac {a ^ {2}}{1 6 0 0} + \frac {1}{2 2 5}\right) ^ {2}}} \\ a = \tan \varphi \\ b = - \frac {r _ {0} - (0 . 5 + n) d}{\cos \varphi} \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +综上，椭圆厚度 $h_t$ 为 + +$$ +h _ {t} = \left\{ \begin{array}{l} 0, \text {射 线 与 椭 圆 不 相 交} \\ | x _ {1} - x _ {2} | \cdot \sqrt {1 + a ^ {2}}, \text {射 线 与 椭 圆 相 交} \end{array} \right. \tag {15} +$$ + +# 圆厚度(弦长)求法 + +首先判断射线与圆是否相交，圆心到直线的距离小于半径则相交，表达式为 + +$$ +\frac {\left| 4 5 a + b \right|}{\sqrt {a ^ {2}} + 1} < 4 \tag {16} +$$ + +相交时弦长计算公式为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} h = 2 \sqrt {1 6 - \frac {(4 5 a + b) ^ {2}}{a ^ {2} + 1}} \\ a = \tan \varphi \\ b = - \frac {r _ {0} - (0 . 5 + n) d}{\cos \varphi} \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +综上，圆形厚度 $h_{0}$ 为 + +$$ +h _ {o} = \left\{ \begin{array}{l} 0, \text {射 线 与 圆 不 相 交} \\ 2 \sqrt {1 6 - \frac {(4 5 a + b) ^ {2}}{a ^ {2} + 1}}, \text {射 线 与 圆 相 交} \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +介质厚度 $h$ 为 + +$$ +h = h _ {t} + h _ {o} \tag {19} +$$ + +# 5.3.2 确定接收数据与厚度的比例系数 + +接收数据与厚度成正比，现求解比例系数 $k$ 。以圆形模板为研究对象，对于某确定方向的射线，根据式(17)可以求得弦长值，即厚度，在附件2中选择对应的接收数据，接收数据与厚度之比即为比例系数 $k$ 的值。选取第一列接收数据中穿过圆形模板的数据进行运算， $\varphi$ 共有29个圆形模板的接收数据 $M_{1} \cdots M_{29}$ ，计算出29个厚度 $h_{1} \cdots h_{29}$ ，由此可得29个不同比例系数，将比例系数求均值作为最终比例系数。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} k = \frac {1}{2 9} \sum_ {i = 1} ^ {2 9} \frac {M _ {i}}{h _ {i}} \\ h = 2 \sqrt {1 6 - \frac {(4 5 a + b) ^ {2}}{a ^ {2} + 1}} \end{array} \right. \tag {20} +$$ + +代入 $M_{1} \cdots M_{29}$ , 求得 $k = 1.7724515$ , 取五位小数 $k = 1.77245$ 。 + +# 5.3.3 模型建立 + +第151列数据，射线与 $x$ 轴夹角为90度，从151列数据逆时针旋转，对于第152列数据，建立求解模型。 + +以接收数据的计算值与实际值的误差平方和最小为目标函数，目标函数为： + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {5 1 2} (k h _ {i} - M _ {i}) ^ {2} +$$ + +约束条件：决策变量为夹角 $\varphi_{152}$ ，对于第 152 列数据， $90 < \varphi < 92$ 。 + +综上，第152列数据的方向求解模型为 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {5 1 2} (k h _ {i} - M _ {i}) ^ {2} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} h = h _ {t} + h _ {o} \\ 9 0 < \varphi < 9 2 \\ k = 1. 7 7 2 4 5 \end{array} \right. +$$ + +遍历求得第 152 列数据对应的射线夹角为 $\varphi_{152}$ 。 + +第153列数据对应的射线夹角求解模型与之相同，只是夹角的遍历范围变为 $(\varphi_{152},\varphi_{152} + 2^{\circ})$ 。以此类推，第i列数据对应的射线夹角范围为 $(\varphi_{i - 1},\varphi_{i - 1} + 2^{\circ})$ ，求得152到180列接收数据对应的射线夹角。 + +从第151列数据顺时针往前推，第150列数据对应的射线夹角范围为 $(88^{\circ},90^{\circ})$ ，第 $i$ 列数据对应的射线夹角范围为 $(\varphi_{i + 1} - 2^{\circ},\varphi_{i + 1})$ ，求得150到1列接收数据对应的射线夹角。 + +# 5.3.4算法及求解 + +# 算法的核心思想 + +在约束夹角范围内遍历，求得使目标函数值最小的夹角，确定方向。根据所 + +求夹角约束新夹角范围，求出180个方向的夹角。 + +# 算法步骤 + +STEP1: 设定夹角的初值 $\varphi_{0}$ , 计算目标函数值 1, 存储初始 $\varphi_{0}$ 。 + +STEP2: $\varphi$ 的值增加步长 $10^{-4}$ , 计算目标函数值 2。如果目标函数值 2 小于目标函数值 1, 则存储值替换为新的 $\varphi$ , 否则不变。 + +STEP3: 继续STEP2, 直到 $\phi$ 值达到约束上限, 结束算法。此时存储的 $\phi_{i}$ 即为射线方向与横轴夹角。 + +STEP4: 判断, 如果 $151 < i < 180$ , 则新的角度遍历范围为 $(\varphi_{i-1}, \varphi_{i-1} + 2^{\circ})$ , 继续 STEP1~STEP3; 如果 $151 > i > 0$ , 则新的角度遍历范围为 $(\varphi_{i+1} - 2^{\circ}, \varphi_{i+1})$ , 继续 STEP1~STEP3。 + +# 求解结果 + +数据太多，选取部分进行展示，从第1列接收数据对应的方向角度开始，每隔十个数据取一个角度进行展示，射线斜向上角度为正值，斜向下角度为负值，如表1所示。 + +表 1 射线方向角度部分结果 + +
数据列角度数据列角度数据列角度
A-60.2961BI-0.2733DQ59.6462
K-50.2793BS9.7173EA69.6575
U-40.2614CC19.7044EK79.6708
AF-30.2596CM29.6642EU89.9989
AO-20.2801CW39.6773FE99.7305
AY-10.2823DG49.6573FO109.7303
+ +180个射线方向与横轴夹角的完整数据请见支撑材料中的phi.xls文件。 + +# 5.4基于中心切片定理的滤波反投影重建算法 + +CT系统参数、介质参数、接收信息，三者之间是对应的，根据系统参数和介质参数可以检测接收信息；根据系统参数和接收信息，可以重建介质参数。自己创新图像重建算法，利用提供的接收数据重建介质图像，得到各位置的吸收率。 + +# 5.4.1 算法原理 + +已知介质经过射线后的接收数据，目标是求介质的形状和吸收率。根据中心切片定理[5]，180个射线方向，每个射线方向下得到的接收数据 $q$ 经过一维傅氏变换，针对某个点，将所有射线方向下通过傅氏变换得到的数据累加可以转换为变换数据 $\hat{B}$ 。该变换数据 $\hat{B}$ 与介质图像中的像素点具有一定的关系，像素点的密度函数经过二维傅氏变换后可以得到该变换数据，因此，将得到的变换数据进行逆二维傅氏变换，就能得到图像像素点处的密度值，根据所有像素点密度值可以仿真出介质图像。像素点吸收率与密度值存在一定比例，根据比例得到每个点的吸收率。 + +综上，算法原理思路为，已知各个射线方向的接收数据，进行一维傅氏变换，累加得到每个像素点的中间变换数据，将中间变换数据进行逆二维傅氏变换，得到每个像素点的密度函数，根据所有像素点密度重建图像，根据比例关系，由像素点密度值求解各点吸收率。 + +# 5.4.2反投影重建算法 + +首先坐标轴选取以旋转中心为原点，平行于椭圆短轴方向为 $x$ 轴，平行于椭圆长轴为 $y$ 轴。针对一个像素点，180 个方向的射线，有的射线会穿过该点，有些不会穿过该点，每条射线在该点的接收数据为 $q(x_{r}, \varphi_{i})$ 。射线方向是任意的，但是绕旋转中心旋转的， $x_{r}$ 为旋转坐标系中的横坐标， $\varphi_{i}$ 表示射线方向， $i$ 表示附件中接收数据的列数，与射线方向对应，如图 7 所示。 + +![](images/eb92c72e672b9d304e6471b9624849c615355630c8a823d6157ff95c73828cf7.jpg) +图7旋转作标示意图 + +需要将旋转后的坐标转化为标准坐标系中的坐标，转化关系为 + +$$ +x _ {r} = x \cdot \cos \varphi_ {i} + y \sin \varphi_ {i} \tag {21} +$$ + +连续情况下，各点的密度函数 $\hat{b}(x, y)$ 为 + +$$ +\hat {b} (x, y) = \int_ {0} ^ {\pi} q \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) d \varphi \tag {22} +$$ + +射线的方向是离散的180个方向，因此对于离散情况，各点的密度函数为各个方向下接收数据的累加。 + +$$ +\hat {b} (x, y) = \sum_ {i = 1} ^ {1 8 0} q \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) \cdot \Delta \varphi_ {i} \tag {23} +$$ + +综上，各点密度函数的求解算法为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \hat {b} (x, y) = \sum_ {i = 1} ^ {1 8 0} q \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) \cdot \Delta \varphi_ {i} \\ x _ {r} = x \cdot \cos \varphi_ {i} + y \sin \varphi_ {i} \\ \Delta \varphi_ {i} = \varphi_ {i + 1} - \varphi_ {i} \end{array} \right. \tag {24} +$$ + +根据所有点的密度函数重建附件3中介质图像，得到图像如图8所示。该图像未克服边缘失锐伪像，需要对重建算法进行改进。 + +![](images/2b596a3d65749b2b55c3b0d54b516419dfa1f04f32dc253523e30f6f75dbc631.jpg) +图8附件3重建图像 + +![](images/f5fef24e5fa057ac5d0fd5a67f1d2d7fc864b2dddab196ec4898afdb56e423df.jpg) +图9滤波后的重建图像 + +# 5.4.3 滤波后的改进投影重建算法 + +考虑将投影重建算法一进行改进，为克服边缘失锐伪像[3]，改进方向为在各个射线方向的接收数据累加之前，进行一步滤波操作，选取R-L滤波器，滤波方法为 + +$$ +f \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) = h \left(x _ {r}\right) * q \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) \tag {25} +$$ + +其中， $f(x_{r},\varphi_{i})$ 为滤波后的数据， $h(x_{r})$ 为 $x_{r}$ 处的单位冲激响应，*表示卷积运算。滤波后的数据进行累加得到各点密度函数，改进后的重建算法为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \hat {b} (x, y) = \sum_ {i = 1} ^ {1 8 0} f \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) \cdot \Delta \varphi_ {i} \\ f \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) = h \left(x _ {r}\right) * q \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) \\ h \left(x _ {r}\right) = 0. 0 6 2 5 \left(\frac {\operatorname {s i n c} (d)}{2} - \frac {\operatorname {s i n c} ^ {2} (d / 2)}{4}\right) \\ x _ {r} = x \cdot \cos \varphi_ {i} + y \sin \varphi_ {i} \\ \Delta \varphi_ {i} = \varphi_ {i + 1} - \varphi_ {i} \end{array} \right. \tag {26} +$$ + +根据所有点的密度函数重建介质图像，得到图像如图9所示。 + +滤波后的图像克服边缘失锐伪像后清晰许多。现考虑噪声影响，以模板平面为底面，各点的密度函数值为高度，建立三维图像，如图10所示。由图像分析可知，在重建图形周边，吸收率为0的区域出现了密度值，为重建图像噪声，需要对重建算法进一步改进以消除噪声。 + +![](images/8aa7ae11ddf5f76227a70a54087b98bab10dd83c64b8c678bf4900fba7d547d3.jpg) +图10 降噪前介质平面各点的密度函数值分布图 + +# 5.4.4消噪后的改进投影重建算法 + +噪声区域有的密度函数值为正值，有的为负值，重建图像区域的密度函数值也为正值，因此负值的密度函数值是噪声的最佳区分标准。遍历平面区域，搜索最小的密度函数值，以其绝对值作为噪声阈值，令小于该阈值的密度函数值均为0，达到去噪的目的。 + +搜索函数： + +$$ +\hat {b} _ {0} = \min \hat {b} (x, y) +$$ + +平面内全范围搜索，找到最小的吸收率记为 $\hat{b}_0$ 。对于所有的吸收率，进行如下处理： + +$$ +\hat {b} (x, y) = \left\{ \begin{array}{l} \hat {b} (x, y), \hat {b} (x, y) > \left| \hat {b} _ {0} \right| \\ 0, \hat {b} (x, y) < \left| \hat {b} _ {0} \right| \end{array} \right. \tag {27} +$$ + +降噪后的介质平面各点的密度函数值分布如图11所示。 + +![](images/b7f709eddee5fbfdaf5ce84f2d464de472ae164caf7eefd8a9702ab71a394736.jpg) +图11 降噪后的介质平面各点的密度函数值分布图 + +经过滤波、降噪后重建的图像具有很高的精确性，可以用改进后的算法进行未知介质的图像重建。最终的算法模型为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \hat {b} (x, y) = \sum_ {i = 1} ^ {1 8 0} f \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) \cdot \Delta \varphi_ {i} \\ f \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) = h \left(x _ {r}\right) * q \left(x _ {r}, \varphi_ {i}\right) \\ h \left(x _ {r}\right) = 0. 0 6 2 5 \left(\frac {\operatorname {s i n c} (d)}{2} - \frac {\operatorname {s i n c} ^ {2} (d / 2)}{4}\right) \\ x _ {r} = x \cdot \cos \varphi_ {i} + y \sin \varphi_ {i} \\ \Delta \varphi_ {i} = \varphi_ {i + 1} - \varphi_ {i} \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +$$ +\hat {b} _ {0} = \min \hat {b} (x, y) +$$ + +$$ +\hat {b} (x, y) = \left\{ \begin{array}{l} \hat {b} (x, y), \hat {b} (x, y) > \left| \hat {b} _ {0} \right| \\ 0, \hat {b} (x, y) < \left| \hat {b} _ {0} \right| \end{array} \right. +$$ + +# 5.4.5 吸收率与密度函数的比例系数求解 + +根据自己设计的最终算法，带入附件中的接收数据和已求得180个射线方向角，可以求得未知介质各个像素点的密度函数值，由各点密度函数值重建出的图像包含了未知介质在托盘中的位置和几何形状。其吸收率尚不能确定，但吸收率与密度函数之间存在一定比例关系。 + +$$ +\mu (x, y) = m \hat {b} (x, y) \tag {29} +$$ + +求解该比例系数 $m$ ，就能得到各点吸收率。 + +在 $m \in (0.5, 2)$ 的范围内运用黄金分割法求解比例系数 $m$ , $m$ 的求解样本为附件 2 的接收数据和对应附件 1 的吸收率。将附件 2 的接收数据带入图像重建算法模型, 能够得到 $180 \times 512$ 个密度函数, 此时分别以上下界作为比例系数 $m$ 的实际数值, 根据 $\mu(x, y) = m \hat{b}(x, y)$ 得到 $180 \times 512$ 个吸收率的计算值 $\mu'$ , 以吸收率的计算值 $\mu'$ 与实际值 $\mu$ 的误差平方和最小为目标函数, 确定新的上下界。 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {1 8 0 \times 5 1 2} (\mu_ {i} ^ {\prime} - \mu_ {i}) ^ {2} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \mu^ {\prime} _ {i} = m \hat {b} \\ 0. 5 < m < 2 \end{array} \right. +$$ + +利用目标函数值最小不断确定新的上下界，当上下界的差值小于 $10^{-5}$ 时完成求解，求得精确到四位小数的比例系数。 + +最终得到比例系数 $m = 0.5670$ 。 + +# 5.4.6 重建未知介质图像的结果显示 + +根据改进后的图像重建算法，将接收数据带入算法，得到重建后的图像，图像灰度经过处理以使得结果更加清晰，颜色越深代表密度越小，即吸收率越小。根据计算式 $\mu (x,y) = 0.5670\hat{b} (x,y)$ 得到每个点的吸收率。 + +# 附件3 未知介质的相关信息 + +重建的图像边框即是正方形托盘边框，未知介质的几何形状及在边框中的位置如图13所示。 + +![](images/26d87f39c5ccaaa5ce4686035d255be601479532ba03fca686631ab4b3b5d304.jpg) +图12 附件3介质最终重建图像 + +具体10个位置处的吸收率如表2所示。 + +表 2 附件 3 中 10 个位置吸收率 + +
坐标吸收率坐标吸收率
(10.0000, 18.0000)0.0000(50.0000, 75.5000)1.4817
(34.5000, 25.0000)1.0004(56.0000, 76.5000)1.2965
(43.5000, 33.0000)0.0000(65.5000, 37.0000)0.0000
(45.0000, 75.5000)1.1846(79.5000, 18.0000)0.0000
(48.5000, 55.5000)1.0488(98.5000, 43.5000)0.0000
+ +与未知介质1中 $180 \times 512$ 个接收数据对应的吸收率见支撑材料中的problem2.xls文件。 + +# 附件5 未知介质的相关信息 + +重建的图像边框即是正方形托盘边框，未知介质的几何形状及在边框中的位置如图15所示。 + +![](images/c1a7d4576a9dbe8fadf8bf32d9b1b46d98d4b9681baabeb2b127be69909e970c.jpg) +图13 附件5介质未滤波重建图像 + +![](images/083cfcdb1746a8f2f7f1bbe070d46adfa7962050527427ab13a6c65a3b4a0e2e.jpg) +图14 附件5介质最终重建图像 + +具体10个位置处的吸收率如表3所示。 + +表 3 附件 5 中 10 个位置吸收率 + +
坐标吸收率坐标吸收率
(10.0000, 18.0000)0.0000(50.0000, 75.5000)3.2351
(34.5000, 25.0000)2.8091(56.0000, 76.5000)6.1054
(43.5000, 33.0000)7.0353(65.5000, 37.0000)0.0000
(45.0000, 75.5000)0.0000(79.5000, 18.0000)8.1176
(48.5000, 55.5000)0.0101(98.5000, 43.5000)0.0000
+ +与未知介质 2 中 $180 \times 512$ 个接收数据对应的吸收率见支撑材料中的 problem3.xls 文件。 + +# 5.5参数标定的精度和稳定性分析 + +# 5.5.1 精度分析 + +# 旋转中心精度 + +在问题一求解旋转中心时，根据表格中的数据观察到，第151列数据为射线垂直于x轴时的接受信息。现在分别以第150列和第152列数据作为射线方向与x轴垂直时的接受信息，利用问题一中模型求解，以此确定旋转中心的x坐标的误差范围。同理，分别将第60列和第62列数据作为射线方向与y轴垂直时的接受信息，以此确定旋转中心y坐标的误差范围。最终求得旋转中心的横坐标范围为 $(-9.3994, -9.1821)$ ，纵坐标范围为(6.0426,6.3748)。即横坐标最大误差为 $0.2173mm$ ，纵坐标最大误差为 $0.3322mm$ 。 + +# 探测器单元间距精度 + +在表格中，每个方向穿过圆的射线有 28 条或者 29 条，因此间距在 (8/29,8/28)之间，最大误差为 $0.0099 \mathrm{~mm}$ 。 + +# X射线方向精度 + +由于观察到第 151 列数据为射线垂直 $x$ 轴的接受信息，而其真实方向角在 $89^{\circ} \sim 91^{\circ}$ 之间，因此通过迭代求解后，每个方向的最大误差都为 $1^{\circ}$ 。 + +# 5.5.2稳定性分析 + +由于探测器会存在仪器误差，所以测量到的数据会有所偏差。我们人为的在数据中加入均值为0，方差为0.01的正态随机噪声，如图15所示，利用问题一模型求解五次，求得的间距分别为 $0.2767mm, 0.2768mm, 0.2768mm, 0.2768mm, 0.2767mm$ 。可见求解间距模型的稳定性较好，具有鲁棒性。 + +由精度分析中可以看出来，旋转中心位置的最大波动区域仅为 $0.0722 \, \text{mm}^2$ 方向变化在 $1^{\circ}$ 左右，因此稳定性较好。 + +![](images/56b42e1e2e7014c175d25a70104a0e83fc2cff2f6f6147564adb47363d4f845a.jpg) +图15 随机噪声示意图 + +# 5.6 新模板的设计 + +题目中的模板求解标定参数时所建立的优化模型非常复杂，在同方向的不同射线穿过椭圆时，投影数据也会变化，并且，精度和稳定性没有达到工业CT的标准，优化模型必定存在者误差。我们设计出一种根据几何结构和探测元接受信息就能直接求解出标定参数的一种模板，并根据新模板建立了标定模型，阐述了新模板的优点。模板示意图如图14所示。 + +![](images/c84bbcd27af06d3dfec1858b7fd6f9bf60ac0a21d2702cad8e885a49c3d86b59.jpg) +图16 新模板示意图 + +正方形托盘边长为 $100 \mathrm{~mm}$ , 正方形边长 $L$ 为 $40 \mathrm{~mm}$ , 圆形圆心距正方形中心距离 $40 \mathrm{~mm}$ , 半径 $R$ 为 $6.5 \mathrm{~mm}$ , 正方形和圆形的吸收率都为 1.0000 , 其余地方吸收率为 0.0000 。 + +# 5.6.1 间距的求解 + +仍采用问题一中的黄金分割法确定间距模型，但在新模板中求解出的间距的精度和稳定性大大提高。这是由于圆形直径的增加，即 $n$ 的增加，使间距的误差范围 $\Delta d$ 缩小，如式(30)所示。 + +$$ +\Delta d = \frac {8 + n d}{2 8 + n} - \frac {8 + n d}{2 9 + n} \tag {30} +$$ + +# 5.6.2方向的求解 + +问题一中使用的是迭代优化模型求解方向，而在新模板中，由于正方形的几何特征，可以直接求解180次方向。如图15所示，同一方向上，如果两条平行射线穿过正方形的一组平行边，并且与圆形无交点，假设探测元测得的数据是精确的，那么他们的投影数据（接受信息）是相等的，因此在接受信息的表格中会出现若干行相同的数据 $I_{i}$ ，那么可以用已经解出的间距 $d$ ，求得此时的射线方向 $\varphi_{i}$ 如式(31)所示。 + +$$ +\varphi_ {i} = \pi - \arcsin \left(\frac {L k \mu}{I _ {i}}\right) \tag {31} +$$ + +![](images/9d13b15a8911d82866310a198bbbf59b9c4525f517213e9fbc208c0b98b8b670.jpg) +图17 新模板射线方向求解示意图 + +其中 $L$ 为正方形边长, $k$ 为接受信息与投影数据的比例常数, $\mu$ 为吸收率。 + +用上述方法即可求出 180 次方向，并且结果与真实值几乎无差异。 + +# 5.6.3 旋转中心位置的求解 + +同样用几何法来求解旋转中心的位置。假设旋转中心与原点的距离为 $r$ 。如图16所示，两条平行射线都未经过圆形，第 $k$ 条射线经过了正方形，而第 $k + 1$ 条未经过，因此 $I_{k + 1} = 0, I_k = 0,$ 在接受信息的表格中可以比较容易的提取出 $I_k$ 和 $k$ 的数值。 + +![](images/35cfd060dbb456c44c6c465b8d21554af905c4728a0128c1f54019cce1e60755.jpg) +图18 新模板旋转中心坐标求解示意图 + +通过接受信息，可以得到第 $k$ 条射线经过正方形的长度 $h$ ，因此可以求出顶点到第 $k$ 射线的距离 $d_{k}$ ，如式(32)所示。 + +$$ +d _ {k} = - h \cos \varphi \sin \varphi \tag {32} +$$ + +其中， $\varphi$ 为钝角。 + +通过直线簇方程式(12)，可以写出过旋转中心 $P$ ，方向角为 $\phi$ 的射线方程为 + +$$ +y = x \tan \varphi + \frac {r}{\cos \varphi} \tag {33} +$$ + +通过点与直线距离公式可求出右上顶点到过旋转中心射线的距离 + +$$ +d _ {0} = \frac {\left| x _ {0} \tan \varphi - y _ {0} + \frac {r}{\cos \varphi} \right|}{\sqrt {\tan^ {2} \varphi + 1}} \tag {34} +$$ + +根据几何关系可以求得如式(35)的关系 + +$$ +d _ {0} = d _ {k} + (k - 2 5 6. 5) d \tag {35} +$$ + +式(35)只有一个未知数 $r$ , 可以解得 $r$ , 并写出此方向的线簇中过旋转中心的直线方程。同样的以上述方法, 改变方向角 $\phi$ , 可以求得另一方向上过旋转中心的射线方程, 两射线的交点即为旋转中心。 + +# 5.6.4 新模板的优点 + +通过新模板模型求解的探测元间距，误差范围理论上在 $\pm 1.05\%$ 内，而通过旧模板求解的间距的误差范围理论上在 $\pm 1.79\%$ 内。 + +已知间距后，可以通过几何关系直接求解出180个方向和旋转中心的位置，不需要再通过迭代优化求解，过程大大简化，并且若仪器误差可忽略，那么求解结果即为真实结果。 + +# 六、模型的优缺点 + +# 6.1 模型优点 + +1. 探测器单元间距及射线的 180 个方向均采用搜索求解, 结果准确度高。 +2. CT 图像重建的算法完全是自己的创新思想，且算法具有很高的精确性。 +3. 设计的新模板计算简洁，且具有很高的精度和稳定性。 + +# 6.2 模型缺点 + +1. 求解接收信息与射线穿过介质厚度之间的比例系数时，选取了29组样本求平均值，如果样本数量更多，则比例系数将更精确。 +2. CT图像重建过程中，对于噪声的消除，噪声阈值选择的是最小的吸收率的绝对值，有些噪声的吸收率大于该阈值，因此噪声去除不是很彻底。 + +# 七、参考文献 + +[1]郭立倩，CT系统标定与有限角度CT重建方法的研究[D]，大连理工大学,2016。 +[2]孟凡勇, 李忠传, 杨民, 李静海, 基于投影原始数据的 CT 旋转中心的精确确定方法[J], 第十三届中国体视学与图像分析学术会议, 18(04):336-341, 2013。 + +[3]毛小渊，二维CT图像重建算法研究[D]，南昌航空大学,2016。 + +[4] 杨志清，CT-C3000 数据采集系统和检测器的工作原理及故障分析[J]，中国医学装备，(12):53-55，2007。 +[5] Wikipedia, Projection-slice theorem, https://en.wikipedia.org/wiki/Projection-slice_theorem, 2017年9月17日。 + +# 八、附录 + +# 附录清单 + +附录一 求解探测器单元间距 + +附录二 求解CT系统的几何中心 + +附录三 求解CT系统使用X射线的180个方向 + +附录四 对附件3、附件5数据进行反投影重建 + +附录五 求解重建值与真实值的比例关系 + +附录六 分析探测器单元间距的精度 + +附录七 分析 CT 系统旋转中心的精度 + +附录八 分析新模板标定模型中探测器单元间距的精度 + +# 附录一 求解探测器单元间距 + +clear +radiation=xlsread('question1_1.xlsx','A1:A29'); +radia_ratio=zeros(28,1); +for $i = 1:28$ +radia_ratio(i)=radiation(i)/radiation(i+1); +end +t=golden_section1_1(8/29,8/28,radia_ratio); + +function t=golden_section1_1(low,high,radia_ratio) range $\equiv$ high-low; lowm $\equiv$ high-0.618\*range; highm $=$ low $+0.618^{*}$ range; [Initlm,Rlm] $\equiv$ initial1_1(lowm,radia_ratio); [Inithm,Rhm] $\equiv$ initial1_1(highm,radia_ratio); while (high-low>1e-5) if Rlm>Rhm low $\equiv$ lowm; range $\equiv$ high-low; lowm $\equiv$ high-0.618\*range; highm $\equiv$ low $+0.618^{*}$ range; Initlm $\equiv$ Inithm;Rlm $\equiv$ Rhm; [Inithm,Rhm] $\equiv$ initial1_1(highm,radia_ratio); else high $\equiv$ highm; range $\equiv$ high-low; lowm $\equiv$ high-0.618\*range; highm $\equiv$ low $+0.618^{*}$ range; Inithm $\equiv$ Initlm;Rhm $\equiv$ Rlm; + +[Initlm,Rlm]=initial1_1(lowm,radia_ratio); end +end +t=(high+low)/2; +end +function [Init,R]=initial1_1(t,radia_ratio) +real_ratio $\equiv$ zeros(28,1); +R=inf; +for init $= 0:0.000001:8 - 28^{*}t$ for $\mathrm{i = 0:27}$ +real_ratio(i+1)=sqrt(8*(init+i\*t)-(init+i\*t)^2)/sqrt(8*(i nit+(i+1)\*t)-(init+(i+1)\*t)^2); +end +r=sum((radia_ratio- real_ratio).^2); if r0 +for k=-256:255 + if phi 1) && (n < 512) + num = floor(n); + inter = n - num; + re(y, x) = + re(y, x) + ((1 - inter) * shade1(num, view) + inter * shade1(num + 1, view)) * d Phiview); + end + end + end +end +%re(abs(re) < abs(min(min(re)) - 1e-4)) = 0; +imshow(0.3 * re); +``` + +# 附录五 求解重建值与真实值的比例关系 + +```matlab +function y=golden_section2_3(re) +r_img=xlsread('A题附件.xls','附件1'); +high=1;low=0.5; +range=high-low; +lowm=high-0.618*range; +highm=low+0.618*range; +Rlm=sum(sum((r_img-lowm*re).^2)); +``` + +Rhm=sum(sum((r_img-highm\*re).^2)); +while (high-low>1e-8) if Rlm>Rhm low=low; range $\equiv$ high-low; lowm $\equiv$ high-0.618\*range; highm $=$ low+0.618\*range; Rlm=Rhm; Rhm $\equiv$ sum(sum((r_img-highm\*re).^2)); else high $\equiv$ highm; range $\equiv$ high-low; lowm $\equiv$ high-0.618\*range; highm $\equiv$ low+0.618\*range; Rhm $\equiv$ Rlm; Rlm $\equiv$ sum(sum((r_img-lowm\*re).^2)); end +end +y=(high+low)/2; +end + +# 附录六 分析探测器单元间距的精度 + +clear +radiation=xlsread('question1_1.xlsx','A1:A29'); for $\mathrm{i} = 1:29$ radiation(i)=radiation(i)+normrnd(0,0.01); +end +radia_ratio=zeros(28,1); +for $\mathrm{i} = 1:28$ radia_ratio(i)=radiation(i)/radiation(i+1); +end +t=golden_section1_1(8/29,8/28,radia_ratio); + +# 附录七 分析CT系统旋转中心的精度 + +```matlab +function [left_l, left_r, bottom_b, bottom_t] = precision4_2(t) +radiation = xlsread('question1_1.xlsx', 'sheet2', 'B1:B29'); +radia_ratio = zeros(28, 1); +for i = 1:28 +radia_ratio(i) = radiation(i) / radiation(i + 1); +end +[Init, ~] = initial1_1(t, radia_ratio); +right_l = 1 + Init + (256.5 - 46) * t; +``` + +left_l=100-right_l; +radiation=xlsread('question1_1.xlsx','sheet2','C1:C29'); radia_ratio=zeros(28,1); for i=1:28 radia_ratio(i)=radiation(i)/radiation(i+1); end [Init, $\sim ] =$ initial1_1(t,radia_ratio); right_r $= 1 +$ Init+(256.5-47)\*t; left_r $= 100$ -right_r; +radiation=xlsread('question1_1.xlsx','sheet3','B1:B40'); radia_ratio=zeros(39,1); for i=1:39 radia_ratio(i)=radiation(i)/radiation(i+1); end [Init, $\sim ] =$ initial1_3(t,radia_ratio); bottom_b $= 10+$ Init+(256.5-91)\*t; +radiation=xlsread('question1_1.xlsx','sheet3','C1:C40'); radia_ratio=zeros(39,1); for i=1:39 radia_ratio(i)=radiation(i)/radiation(i+1); end [Init, $\sim ] =$ initial1_3(t,radia_ratio); bottom_t $= 10+$ Init+(256.5-89)\*t; +end + +# 附录八 分析新模板标定模型中探测器单元间距的精度 + +function $y = \mathrm{cir\_d}(n,t)$ $y = (8 + n^{*}t) / ((28 + n)^{*}(29 + n))$ end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/A298/A298.md b/MCM_CN/2017/A298/A298.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..cbd3946ab507296393ff7600635886a50b7c1bb3 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/A298/A298.md @@ -0,0 +1,886 @@ +# CT系统参数标定及反投影重建成像 + +# 摘要 + +CT技术在当代社会已广泛应用在临床医学、工业工程等领域。在本题中首先通过建立离散模型并对其简化从而对CT仪器参数进行了标定；建立平行束滤波反投影重建模型，通过Radon变换及R-L滤波器解决了成像问题，并通过对平行束滤波反投影重建模型进行优化，使模型具有降噪能力，从而得到了更精确符合实际的图形与吸收率值。 + +对问题一，由于附件2中的数据存在系统增益，通过对附件2数据作消除增益（增益系数为1.776974）处理后，建立离散化模型，由于方程组模型难于求解，故建立一种简化离散模型，且通过MATLAB、Mathematica等软件对方程进行求解，解得180个方向的精确角度（结果见表5.1）。通过Excel对附件2数据使用条件约束进行色阶处理，可以一定程度上将小圆与椭圆的扫描情况清晰地显示。我们利用附件2中的数据与模板存在的几何关系，求得探测器单元间距范围为(0.2759，0.2796)，以椭圆几何中心为原点建立的坐标系xoy中，解得旋转中心坐标为(-9.2996mm,5.5520mm)。 + +对问题二，由于传统反投影重建算法会引入星状伪迹，我们决定使用基于吸收率的Radon变化及R-L滤波器构成的平行束滤波反投影重建模型。由于系统旋转中心和几何中心不重合，使用Radon变换时会造成数据缺失，故我们对正方形托盘进行了“镶边”处理。在对数据除去增益（此处增益系数为2.0033）处理并且在滤波结束后对“镶边”进行去除后，我们对被检测物体实现了重建并且得到题目所需十个点的吸收率分别为：0.000、0.9722、0.0036、1.1761、1.0426、1.4652、1.2849、0.0007、0.0000、0.0175，其对应的坐标见表5.2。 + +对问题三，我们对平行束滤波反投影重建模型进行了优化，加入了降噪处理函数。使用问题二中模型对附件5进行重建后发现所得重建图像存在边界模糊不清等问题。通过对模板进行数据反演后与标准值对比，发现吸收率数据会受非系统因素影响，存在一定波动。所以本文中通过多项对比选取自适应滤波函数这一最优降噪方法对数据进行降噪处理后，减小了波动范围，并拟合出了边界更为清晰的图形（见图5.17），实现了重建并且得到题目所需十个点的吸收率分别为：0.0126、2.2902、5.9159、0.0163、0.0823、3.1336、6.0333、0.0000、7.7184、0.0861，其对应的坐标见表5.3。。 + +对问题四，首先我们基于标定CT的各项参数，建立归一化均方差评价模型从而对精度和稳定性进行分析。此外基于原模板存在的精度与稳定性的问题，我们建立了新的模板（见图5.20、5.21），新模板具有更高的精度与稳定性，能够对该CT进行更精确地参数标定。 + +本题中我们所建立的一系列模型均能够满足题目要求，且层层递进、环环相扣，具有较高的精度与稳定性。其中本文建立的平行束滤波反投影重建模型还可以由二维推广至三维，可以用于太空垃圾的形状确定与分类，航空器在太空中对未知天体的形状确定等领域。 + +关键词：离散模型、二维平行波反投影重建、Radon变化、R-L滤波器、降噪处理 + +# 一、问题重述 + +CT 可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。本题 X 射线的发射器和探测器的相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕位于正方形托盘下方某处旋转中心逆时针旋转 180 次。对每一个 X 射线方向，发射接收装置装有 512 个等距单元探测器，用于测量位置固定不动的二维待测介质吸收衰减后的射线能量，并且通过增益等处理方式得到 180 组接收信息。然而由于存在系统误差，所以需要对安装好的 CT 系统进行参数标定，通过已知模板对 CT 系统的参数进行标定，并根据标定的参数对未知结构的样品进行成像。 + +具体问题重述为下： + +(1)在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成标定模板，模板的几何信息如图2给出，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度“吸收率”。对应用于模板的接收信息见附件2。问题一要求根据模板及其接收信息对CT系统进行参数标定，确定出此CT系统实际的旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元间距以及该CT系统使用的X射线的180个方向。 +(2)利用问题一所标定的 CT 系统相关参数以及所建立模型，使用附件 3 所给未知介质的接收信息，确定出该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状以及吸收率等信息。另外利用附件 4 中数据给出图 3 中所给 10 个位置处的吸收率。 +(3)附件 5 为利用该 CT 系统得到了另一未知介质的接收信息。同样利用问题 1 中的标定参数与模型, 给出未知介质的系列相关信息并给出图 3 中 10 个位置处的吸收率。 +(4)对问题 1 中参数标定的精度以及稳定性进行分析, 并在此基础上建立新模板、建立对应的标定模型, 以改进标定精度和稳定性, 并说明理由。 + +![](images/2885420be3f85e6db2163ab57a62a5924609369c168b43e5bfe5f65730662be9.jpg) +图1.1CT系统示意图图1.2模板示意图（单位：mm）图1.3 10个位置示意图 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 题目整体分析 + +本题为典型的X射线断层成像[1].问题。通篇分析下来，解决问题一，对题设CT系统进行准确的参数标定是求解整个问题的关键。题目中已经给出用于标定的模型，以及使用该CT对模型进行扫描后得到的参数。基本思路为建立离散化模型，并利用数学软件对其进行求解。在对该CT完成参数标定后，即可使用所得数据及模型对后面的问题进行分析和求解。 + +# 2.2 数据的分析与算法处理 + +由于本题数据量庞大，首先我们要对与数据进行预处理。特别是附件2中找出题目所给数据与被测模型之间的关系。利用几何关系及数学原理求出该CT机的各项参数：旋转中心位置、探测器单元间距及该仪器使用X射线的180个方向，并对数据进行优化，对该CT机实现参数标定，标定完成后，使用多层面重建[2]方法，对附件中给出的参数进行二维重建。 + +# 2.2.1 附件2数据处理 + +由于附件2中数据量庞大，首先需要对数据进行预处理。本文将采用Excel条件格式对数据进行处理，使用色阶将数据层次化，通过图形特征及颜色变化进行分析。 + +由题意可以推知附件2所给数据为X射线的吸收强度，即X射线发出与接收时的强度差。根据相关资料可知，X射线的衰减规律满足衰减系数公式[3]： + +$$ +I = I _ {0} e ^ {- \mu L} \tag {2.1} +$$ + +可以看出衰减系数与穿过物体长度存在一定关系，即附件2中的数据为对物体长度进行一确定法则的增益得到的。所以在数据处理中首先应先分析出增益函数，找出附件2中数据与实际待测物体长度之间的关系，将附件2中的数据增益还原，得到长度数据，再进行后面的计算。由于探测器间距未知，本文将在探测器间距求得之后对增益函数进行确定。 + +# 2.2.2平行束滤波反投影重建模型建立 + +根据题目分析，本文拟建立平行束滤波反投影模型。模型将由Radon变换与R-L滤波器两部分构成。根据问题一我们可以推测探测器旋转中心与正方形托盘的位置并不重合，势必会造成一定的误差，所以我们将寻求有效的方法，对正方形托盘进行处理，使得处理后的虚拟大托盘能够满足旋转中心与托盘几何中心重合，从而得到较为准确的重建图形。 + +# 2.2.3 减噪处理-对模型进行优化 + +通过题目分析，问题二与问题三的题目问法基本相同，我们由此推测问题三可能存在由于非测试系统引起的数据波动导致重建图形较为不准确。若根据2.2.2中平行束滤波反投影重建模型得到的重建图形较为不准确，我们猜想数据的波动可能由于噪声干扰产生，由此我们可以对模型进行优化，在模型中加入减噪处理函数，使得重建图像更加精确 + +# 2.2.4 模型的精度分析与评价 + +第四问首先要求对第一问中所建立的模型进行评价，即对模型一得到的CT参数标定结果进行精度与稳定性的分析，即对于180个方向的确定、探测器间距、旋转中心坐标的精度进行分析。此外，在对模型一进行分析之后，需要提供一种新型模板，从而使得精度与稳定性大大提高。 + +# 三、模型假设 + +1、题目 CT 机正常运行，质量完好，题中所给数据不存在因机器故障而造成的错误； +2、旋转中心出现偏差的来源在于安装误差，而系统本身不存在偏差，又因系统为对称系统，故旋转中心位于接收器中垂线上某点； +3、X射线仅有长度，不存在宽度； +4、X射线强度只在穿透被测物体时发生衰减，空气衰减系数为零； +5、X射线在传播到接收过程中发生的干涉与衍射忽略不计； +6、发射与接收装置一一对应。 + +# 四、符号系统 + +
序号符号符号说明
1μX射线吸收率
2d探测器间距
3yij=kixij+mij以椭圆中心为直角坐标系时,编号j的探测器在第i个方向接收的X射线的直线方程
4y0旋转中心纵坐标
5x0旋转中心横坐标
6Rij以椭圆中心为直角坐标系时,编号j的探测器在第i个方向接收的X射线所截物体的实际长度
+ +# 五、模型建立 + +# 5.1 问题一的模型建立与求解 + +# 5.1.1 离散模型的建立 + +对题目分析可知，附件1、2均给出了大量的离散数据，根据数据2，数据由于存在180个不同方向而被分为180组，每组中共有512个数据，这些数据与射线穿过物体的长度有关，由此可以建立 $180^{*}512$ 个方程。且在此题的求解中确认180个方向为确认所有参数的重要基础，由此我们可以建立离散模型，找到180组方向间的关系从而进行方程的联立与求解，求出方向参数。 + +首先选取椭圆中心点作为坐标原点，将椭圆短轴方向为 $x$ 轴，长轴方向为 $y$ 轴建立 xoy 平面坐标系。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \mathrm {y} _ {\mathrm {i j}} = \mathrm {k} _ {\mathrm {i}} \mathrm {x} _ {\mathrm {i j}} + \mathrm {m} _ {\mathrm {i j}} \\ \frac {\mathrm {x} ^ {2}}{1 5 ^ {2}} + \frac {\mathrm {y} ^ {2}}{4 0 ^ {2}} = 1 \end{array} \right. (\mathrm {i} = 1, 2, \dots , 1 8 0 \quad \mathrm {j} = 1, 2, \dots , 5 1 2) \tag {5.1} +$$ + +根据方程联立可以将方程式的解 $\left(x_{ij1}, y_{ij1}\right)\left(x_{ij2}, y_{ij2}\right)$ 的分别使用相应的 $m_{ij}$ 表示，并且我们可以得到由该光线截椭圆所得到弦长的表达式为： + +$$ +d _ {i j 1} = \sqrt {\left[ \left(x _ {i j 1} - x _ {i j 2}\right) ^ {2} - \left(y _ {i j 1} - y _ {i j 2}\right) ^ {2} \right]} \tag {5.2} +$$ + +同理可以求得该光线对截圆所得弦长的表达式: + +$$ +d _ {i j 2} = \sqrt {\left[ \left(x _ {i j 3} - x _ {i j 4}\right) ^ {2} - \left(y _ {i j 3} - y _ {i j 4}\right) ^ {2} \right]} \tag {5.3} +$$ + +其中 $\left(x_{ij3}, y_{ij3}\right),\left(x_{ij4}, y_{ij4}\right)$ 为直线与圆的两个交点。 + +由附件二中信息可以求出射线截物体的长度，由此联立得到方程组： + +$$ +R _ {i j} = d _ {i j 1} + d _ {i j 2} (i = 1, 2, \dots , 1 8 0 \quad j = 1, 2, \dots , 5 1 2) \tag {5.4} +$$ + +理论上，由这180组方程组即可求出所有 $\mathrm{k_i}(\mathrm{i} = 1,2,\dots \dots ,180)$ ，此时还有三个未知量带求，即旋转中心坐标 $\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{y}_0\right)$ 和探测器单元间距d。 + +# 5.1.2 模型求解 + +# 5.1.2.1 数据处理 + +在5.1.1的分析中我们得到了求解问题的理论模型，理论上通过对式（5.6）进行方程求解即可得到180个X射线方向，并且将这180个角度作为已知条件与附件1、2一 + +起得出设备旋转中心及探测器单元间距。但由于本题的特殊性，存在庞大的数据量及未知量，实际上无法直接通过方程的求解得到题目所求信息，从而直接对该CT系统进行参数标定。所以本文将对离散模型进行简化，通过几何分析及数据处理，寻求出能够实际求解的有效简化方法，并给出相应精确的结果。 + +首先，我们在Excel中使用条件格式对数据进行了整体分析，附件2中非零的数据进行标记，将数据中为零的数据与非零数据进行区分，缩放后得到了如下图形： + +![](images/7900e80947756c679a6df04f1aa9bf10ee48cfee5b6391d56de6688ba63f5ed7.jpg) +图5.1附件2非零数据标记后缩略图 + +# 5.1.2.2 计算探测器间距d + +结合数据读图5.1，可以明显的看出在1-22列以及108-180列时，能清晰的看到两条色带，即在1-22组和108-180组所对应的探测器照射角度值下，不存在任何一条X射线同时穿过圆与椭圆。同时，根据附件1及图1.2所给的模板尺寸可知宽带处为X射线穿过椭圆，窄带为X射线穿过小圆。此外，宽带和窄带之间为零的区域表示X射线通过椭圆与小圆间的空白区域。由于模型尺寸已知，根据穿过条数即可确定出探测器间距范围。可以下面将从小圆、椭圆、宽带和窄带间空白区域三方面共同对探测器间距d进行确定，从而缩小范围，使得得到的结果更为精确。 + +# 1）对小圆进行分析 + +![](images/415147acb3ec85a62aa6877ef5980bbf33801ffb3aa044cdbcbd124c2f542008.jpg) +图5.2窄带对应小圆的扫描数据图 + +![](images/05a8c8c3f415b3f35710bbd17e8620bd3609146218629c1145e079de04cb62d8.jpg) +5.3窄带部分放大图 + +不妨将小圆部分取出单独分析（如图5.2及5.3），每一列黄色部分的数据不为零即表示该方向中某些射线穿过了小圆。通过编写程序对数据分析可知，穿过小圆的X光条数范围为28-29条，28根时有可能在小圆两边存在两条相切的光线，故可由以下两种穿透情况确定探测器间距的上下界： + +![](images/b4e6a1b02b34197cc7b3ee9cabfd52565e8b9262b30df28ea5761d6693c08920.jpg) +图5.4 28根射线穿过小圆且边界相切图 + +![](images/aacd16591875ff2791b31fc5afd98d8e8afcf39841d6f7f673ecb1a7602af8c0.jpg) +5.5 29根射线穿过小圆 + +由图5.4和5.5可以得到探测器间距与小圆直径 $d$ 的关系如下： + +$$ +2 7 d < 8 < 2 9 d \tag {5.5} +$$ + +化简可得探测器间距 $d$ 的范围为： + +$$ +(0. 2 7 5 9, 0. 2 9 6 3) \tag {5.6} +$$ + +# 2）对椭圆进行分析 + +通过对图5.1分析可以直观的看出图中右侧中部出现明显的“颈缩”段。假设颈缩最短处X射线与椭圆长轴基本平行，对此情况做如小圆的类似分析，利用处理后的附件2的数据得出X射线与长轴平行时穿过椭圆的射线条数与椭圆宽度的关系（由于图形过大且上下对称，此处仅做出椭圆的上半部分）： + +![](images/152cf8c955f8730dde9b16b558dc67e5e32882a21b0c14697361e6ba29b5afaa.jpg) +图5.6X射线穿过椭圆示意图 + +分析同小圆类似，可以得到探测器间距与椭圆短轴的关系如下： + +$$ +1 0 7 d < 3 0 < 1 0 9 d \tag {5.7} +$$ + +化简可得探测器间距的范围为： + +$$ +(0. 2 7 5 2, 0. 2 8 0 3) \tag {5.8} +$$ + +# 3）对大圆与小圆间空白距离分析 + +同样分析“颈缩”段，宽带与窄带之间有一段全部为零的数据，与模板中椭圆与小圆之间的空白距离相对应。由图1.2可知椭圆与小圆中心线与椭圆短轴在同一直线上，故当X射线与椭圆长轴平行时，也与椭圆与小圆中心线连线垂直。对此区域的数据与模板尺寸做如上相同处理，可以得到探测器间距与空白区域的关系如下： + +$$ +9 3 d < 2 6 < 9 5 d \tag {5.9} +$$ + +化简可得探测器间距的范围为： + +$$ +(0. 2 7 3 7, 0. 2 7 9 6) \tag {5.10} +$$ + +综上所述，求出式(5.6)、(5.8)、(5.10)的交集即为探测器间距的精确范围： + +$$ +d \in (0. 2 7 5 9, 0. 2 7 9 6) \tag {5.11} +$$ + +为了计算方便，本文取 $d = 0.2776$ 进行后续计算。 + +# 5.1.2.3 增益函数的确定 + +由所阅读的文献，CT机通常对衰减系数公式做如下处理[3]： + +$$ +P = \ln \frac {I _ {0}}{I} = \mu L \tag {5.12} +$$ + +对此我们猜想，附件2所给信息与实际长度成正比，即： + +$$ +R _ {i j} = k _ {r} f _ {i j} \tag {5.13} +$$ + +其中 $\mathrm{R_{ij}}$ 表示实际长度， $f_{ij}$ 表示第 $i$ 行 $j$ 列的数据。 + +为了验证我们的猜想，我们需要挑选出椭圆与圆分离的数据，为了选定仅通过椭圆而不通过小圆的射线，我们对数据进行了进一步的处理。在Excel中对附件2的数据进行了条件格式的限定，采用色阶对数据进行整合，得到了如下图像： + +![](images/7206c04e21114ed6fcf057e2f79d007838c91ba24335732361facfcc129dc2d4.jpg) +图5.7使用色阶处理后的附件2缩略图 + +选取最窄的一列数据，即图中画黑线的一列，认为此时射线束刚好平行于椭圆长轴射入，找到这一列最大的数据，用该值除以椭圆长轴，得到比例系数 $k_{1}$ ，再用上方属于圆的数据中的最大值，再除以圆的直径，得到比例系数 $k_{2}$ ，两个比例系数非常接近，可近似认为猜想成立。 + +下面将对该比例系数进行精确求解，单取出圆的数据进行分析。由微积分的思想： + +$$ +S = \sum_ {j ^ {*}} R _ {i j} \cdot \Delta x \tag {5.14} +$$ + +其中 $j^{*}$ 表示圆的数据所在列数 + +由于间距 $d$ 非常小, 令 $\Delta x = d$ , 且 $R_{ij} = k_r f_{ij}$ , 上式即变为: + +$$ +S = \sum_ {j ^ {*}} k _ {r} f _ {i j}. d \tag {5.15} +$$ + +对圆的多列数据进行求值，并取平均，即可得到较为精确的比例系数 $k_{r}$ 的值。通过计算，我们求得增益系数的值 $k_{r} = 1.776974$ 。 + +# 5.1.2.4 180个角度的确定 + +虽然理论上能够对 $180^{*}512$ 的方程进行求解，但由于数据量过于庞大，实际电脑无法进行运算，所以我们对模型进行了改进，提出了简化离散模型：对于每一种角度，随机选取3根X光线为一组数据作为研究对象，三根X射线满足以下条件：1）跨度较大；2）等距分布；3）射线仅通过椭圆而不通过小圆。 + +为了选定仅通过椭圆而不通过小圆的射线，我们对数据进行了进一步的处理。在Excel中对附件2的数据进行了条件格式的限定，采用色阶对数据进行整合，得到了如下图像： + +![](images/4957f03931700f74a077e66b1c90908f2c23637181e9914bac9319a36a8744e0.jpg) +图5.8使用色阶处理后的附件2缩略图 + +如图，利用色阶可以明显的看到色带重合部分内存在一条颜色较深的色带，此颜色所对应数据即为X射线既通过椭圆又通过小圆后吸收量数据，此部分数据不能够作为数据组中的数据进行运算。 + +对于每一种角度所选数据组进行如下运算： + +假设： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {i 1} = k _ {i} x _ {i 1} + m _ {i 1} \\ y _ {i 2} = k _ {i} x _ {i 2} + m _ {i 2} (i = 1, 2, \dots \dots , 1 8 0) \\ y _ {i 3} = k _ {i} x _ {i 3} + m _ {i 3} \end{array} \right. \tag {5.16} +$$ + +其中： + +$$ +\frac {\mathrm {m} _ {\mathrm {i} 1} + \mathrm {m} _ {\mathrm {i} 3}}{2} = \mathrm {m} _ {\mathrm {i} 2} \tag {5.17} +$$ + +将式(5.16)中的三式分别与椭圆方程联立： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} y _ {i j} = k _ {i} x _ {i j} + m _ {i j} \\ \frac {x ^ {2}}{1 5 ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{4 0 ^ {2}} = 1 (j = 1, 2, 3) \end{array} \right. \tag {5.18} +$$ + +根据方程联立可以将方程式的解 $\left(x_{ij1}, y_{ij1}\right)\left(x_{ij2}, y_{ij2}\right)$ 分别使用相应的 $m_{ij}$ 表示，并且我们可以得到由该组光线截椭圆所得到弦长的表达式为： + +$$ +d _ {i j} = \sqrt {\left[ \left(x _ {i j 1} - x _ {i j 2}\right) ^ {2} - \left(y _ {i j 1} - y _ {i j 2}\right) ^ {2} \right]} \tag {5.19} +$$ + +弦长可根据附件二中信息求出，记为 $R_{\mathrm{ij}}$ ，由此联立式(5.15)得到方程组： + +$$ +R _ {i j} = d _ {i j} = \sqrt {\left[ \left(x _ {i j 1} - x _ {i j 2}\right) ^ {2} - \left(y _ {i j 1} - y _ {i j 2}\right) ^ {2} \right]} \tag {5.20} +$$ + +同时联系式(5.17)，可以得到180组方程式： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} R _ {i j} = d _ {i j} = \sqrt {\left[ \left(x _ {i j 1} - x _ {i j 2}\right) ^ {2} - \left(y _ {i j 1} - y _ {i j 2}\right) ^ {2} \right]} \\ \frac {m _ {i 1} + m _ {i 3}}{2} = m _ {i 2} \\ (i = 1, 2, \dots \dots , 1 8 0) (j = 1, 2, 3) \end{array} \right. \tag {5.21} +$$ + +对于每一个独立方程组进行独立求解，可以求得本组数据所对应的光线斜率 $\mathbf{k}$ ，进行反三角运算可得到该组光线的角度值，并且对于每一种斜率取多组数据组进行上述运算，将所得结果求平均值以减小随机带来的误差。并将得到的180个数据进行拟合，拟合后的180个角度值见下表（与 $\mathbf{x}$ 正方向夹角）： + +表 5.1: 180 个角度值 + +
-60.2152-58.8587-58.3008-57.2081-56.1751-55.2026-54.1989-53.1945-52.1913-51.1883
-50.1841-49.1784-48.1748-47.1711-46.1670-45.0092-44.1559-43.1498-42.1464-41.1399
-40.1346-39.1288-38.1194-37.1142-36.1026-35.0940-34.0861-33.0800-32.0708-31.0575
-30.0481-29.1362-28.0209-27.0104-25.9942-24.9819-23.9634-22.9444-21.9239-20.9011
-19.8815-18.8563-17.8288-16.799-15.7555-14.7159-13.6685-12.6137-11.5409-10.4695
-9.3730-8.2484-7.1066-5.8943-4.5786-3.0205-2.5839-2.1474-1.7108-1.2742
-0.8377-0.40110.03540.47200.90851.34513.57474.88146.24087.4525
8.56439.7321110.797411.844012.917113.989015.019616.035217.107818.1144
19.152520.191821.218122.224823.243924.261325.150226.295127.112528.3244
29.330030.340531.354532.364433.373934.382735.391236.399237.406738.4139
39.420840.427241.533942.439243.444944.450145.455346.460147.465048.4692
49.473450.477651.481352.485053.488654.491955.494956.498057.500758.5034
59.505960.508161.510262.512063.513864.515265.516666.517667.518368.5188
69.518870.518671.517972.516873.515174.512875.509776.505677.500478.4938
79.485380.474381.460182.441583.416284.381285.330186.250787.116287.8583
88.306191.779192.339193.128694.014494.945395.899896.868097.845098.8278
99.8147100.8045101.7966102.7904103.7858104.7818105.7789106.7768107.7753108.7744
109.7738110.7737111.7741112.7745113.7751114.7763115.7775116.7791117.7812118.7725
+ +# 5.1.2.4 旋转中心的确定 + +由题意我们可以知道，旋转中心出现偏差的来源在于安装误差，而系统本身不存在偏差，所以本文将从此处入手求解旋转中心位于方形托盘的位置。首先我们对512个探测器标号1-512号。由于仪器本身不存在偏差，为使得仪器能够准确的扫描得出结果，该CT肯定围绕接收器中垂线上某点旋转。所以将旋转中心投影至接收器上时对应点的应为编号为256或257的接收器。椭圆的中心点即为正方形托盘的中心，所以接下来对椭圆的扫描情况进行分析。由图5.7可以看到椭圆带有明显的最宽处和最窄处。根据几何分析可知，最宽处对应的扫描方式为：X射线几乎平行于椭圆短轴且从正方形托盘左方进行入射（如图）；最窄处对应的扫描方式为：X射线几乎平行于椭圆长轴且从正方形托盘下方进行入射（如图）。 + +![](images/3d8774bb673e82dfa324b817f65950e27a0f9cf44d594843ecb1dfc8e40e4d95.jpg) +图5.9研究对象选取位置 + +![](images/97eef4142022941d1b4c1359fdc0e700f1c7181e0124a2d371f051e45597924b.jpg) +图5.10X射线平行于短轴入射图 + +![](images/fe7feaf4caef740c9f04e7ffedcc6f9efdfba5a1e44aedb53ca15a43695b3494.jpg) + +![](images/df67db8ad4b5f81e6c6b377f6a6537a8dab0a91c9936011e1c24c6b3a5779879.jpg) + +![](images/f18d5a3c6c9dcd6218fe361b98c8699472d97a3acbbc20ee7fbd578e982cea9b.jpg) +5.11X射线平行于长轴入射 + +# 1）旋转中心 $\mathbf{y}_0$ 的确定 + +当X射线以几乎平行于椭圆短轴扫描时，根据附件2的数据我们可以根据最大值找到椭圆中心点投影至接收器上对应的接收器编号。如果在安装过程中没有出现误差，理论上该投影应与旋转中心投影重合。然由于存在安装误差，导致了椭圆中心点投影与接 + +收器中点不重合，而两点之间的距离则为旋转中心 $y_0$ 的值，即椭圆中心点投影所对编号与接收器中心位置编号之差与探测器间距 $d$ 的乘积。 + +# 2）旋转中心 $\mathbf{x}_0$ 的确定 + +当X射线以几乎平行于椭圆长轴扫描时，根据附件2的数据我们可以根据最大值找到椭圆中心点投影至接收器上对应的接收器编号。如果在安装过程中没有出现误差，理论上该投影应与旋转中心投影重合。然由于存在安装误差，导致了椭圆中心点投影与接收器中点不重合，而两点之间的距离则为旋转中心 $\mathbf{x}_0$ 的值，即椭圆中心点投影所对编号与接收器中心位置编号只差与探测器间距d的乘积。 + +具体计算由MATLAB进行实现，程序见附录。利用MATLAB求得旋转中心的坐标为： + +$$ +(- 9. 2 9 9 6, 5. 5 5 2 0) +$$ + +综上所述，我们对此 CT 完成了参数标定。探测器间距为 $0.2776 \mathrm{~mm}$ 、旋转中心坐标为 $(-9.2996,5.5520)$ 。180 个角度值在表 5.1 中进行了全部的罗列，由于数据量过大再此不再重复叙述。 + +# 5.2 问题二的建模与求解 + +# 5.2.1 平行束滤波反投影重建模型的建立 + +本题为二维平行波反投影重建问题[4]，在问题一中已将该CT各项参数完成标定。为了得出准确的图像，成功实现二维平行波反投影重建，应建立平行束反投影重建模型。传统模型为反投影重建模型，但其存在严重的缺点是会引入星状伪迹，对此需要引入滤波函数，建立平行束滤波反投影模型。建模过程分为两部分：1)对数据进行基于吸收率的Radon变换[5]；2)使用R-L滤波器[4].进行滤波处理。 + +# 5.2.1.1 Radon变换及其性质 + +假设 $f(x, y)$ 为待重建物体的密度函数，其 Radon 变换的定义[5]为沿一组平行 X 射线的第一类曲线积分： + +$$ +R (\varphi , r) = \int_ {L (\theta , r)} f (x, y) d s \tag {5.22} +$$ + +其中 $\mathrm{R}(\varphi, \mathrm{r})$ 是函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 的 Radon 变换。每一根射线 M 由 $\theta$ 和 r 两个参数决定，其中 $\varphi$ 是射线 M 的垂线和 x 轴的夹角，r 是射线 L 到原点的距离（如图 5.12）。 + +![](images/d20a06d8f05a0a8a1a181feaaf4750e0f4e977d4fa48a1fd09a6eda50376093d.jpg) +图5.12 Radon变换基本参数示意图 + +对于本题，我们在第一问中已经将全部的 $\varphi$ 给出。对于每一个 $\varphi$ 给出二维成像物体 $f(x, y)$ 一维投影的全部集合。利用变量 $r = x \cos \varphi + y \sin \varphi$ 和冲激函数的抽样特性可得： + +$$ +R (\varphi , r) = \iint_ {\left(L ^ {2}\right)} f (x, y) \delta \left(x \cos \varphi + y \sin \varphi - y\right) d x d y \tag {5.23} +$$ + +以上为对 Radon 变换定义的叙述。 + +在本题中题目要求对被扫描物体进行1:1重现，即不需要考虑对函数 $f(x,y)$ 进行各项同性的缩放、旋转或平移变换。 + +假设 $\mathrm{p}_{\varphi}(\mathbf{x_r})$ 为 $\mathrm{f(x,y)}$ 在角度 $\varphi -\varphi_0$ 时的平行束投影。理论上投影 $\mathrm{p}_{\varphi}(\mathbf{x_r})$ 和密度分布函数 $\mathrm{f(x,y)}$ 在时域上可以使用一维线积分的堆积来表述，但根据线积分寻找投影重建的方法是非常困难的。而傅里叶切片定理[5]在频域上提供了投影与图像之间更简单的数学关系。其数学表达式为： + +$$ +\mathrm {F} _ {1} \left[ \mathrm {p} _ {\varphi} \left(\mathrm {x} _ {\mathrm {r}}\right) \right] = \mathrm {F} (\rho , \varphi) | _ {\varphi = \varphi_ {0}} \tag {5.24} +$$ + +投影图像重建的问题，原则上可按如下流程求解：采集不同视角下的投影，求出各投影的一维傅里叶变换，由傅里叶定理即可得到图像的二维傅里叶变换的各切片，然后汇集成图像的2D傅里叶变换，最后求反变换得到重建图像。 + +# 5.2.1.2 R-L 滤波器 + +基于上述原则，我们采用了R-L滤波器[4]。R-L滤波器的离散形式由印度的学者Ramachandran和Lakshminarayanan提出，其频域函数为： + +$$ +\mathrm {H} _ {\mathrm {R} - \mathrm {L}} (\rho) = | \rho | W (\rho) = | \rho | \operatorname {r e c t} \left(\frac {\rho}{2 \mathrm {B}}\right) \tag {5.25} +$$ + +式中： + +$$ +\operatorname {r e c t} \left(\frac {\rho}{2 \mathrm {B}}\right) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & | \rho | < B = \frac {1}{2 \mathrm {d}} \\ 0, & \text {其 他} \end{array} \right. \tag {5.26} +$$ + +其中， $\rho$ 是空间频率， $W(\rho)$ 是窗函数。 + +相应的时域卷积函数 $\mathrm{h}_{\mathrm{R} - \mathrm{L}}(\mathbf{x}_{\mathrm{r}})$ 为: + +$$ +\mathrm {h} _ {\mathrm {R} - \mathrm {L}} \left(\mathrm {x} _ {\mathrm {r}}\right) = 2 \mathrm {B} ^ {2} \sin \mathrm {c} (2 \mathrm {x}, \mathrm {B}) - \mathrm {B} ^ {2} \operatorname {s i n c} ^ {2} (\mathrm {x}, \mathrm {B}) \tag {5.27} +$$ + +以 $\mathrm{x_r = nd}$ 带入式（5.27）得到 $\mathrm{h}_{\mathrm{R - L}}(\mathrm{x_r})$ 的离散形式： + +$$ +\mathrm {h} _ {\mathrm {R} - \mathrm {L}} \left(\mathrm {x} _ {\mathrm {r}}\right) = \left\{ \begin{array}{c c} \frac {1}{4 \mathrm {d} ^ {2}} & n = 0 \\ 0 & n = \text {偶 数} \\ \frac {- 1}{\mathrm {n} ^ {2} \pi^ {2} \mathrm {d} ^ {2}} n = \text {奇 数} \end{array} \right. \tag {5.28} +$$ + +R-L 滤波器形式简单实用，重建效果较好，轮廓清楚。 + +# 5.2.1.3平行束滤波反投影重建模型 + +设需要重建的图像为 $\mathrm{b}(\mathrm{x},\mathrm{y})$ ，它的二维傅里叶变换为 $\mathrm{B}(\omega_1,\omega_2)$ 。根据傅里叶切片定理， $\widehat{B} (\rho ,\theta)$ 可通过 $\mathrm{b(x,y)}$ 在不同视角 $\varphi$ 下的投影 $p_{\varphi}(x_r)$ 的一维傅里叶变换求得，即： + +$$ +\mathrm {B} \left(\omega_ {1}, \omega_ {2}\right) = \widehat {B} (\rho , \theta) = \mathrm {F} _ {1} \left[ \mathrm {p} _ {\varphi} \left(\mathrm {x} _ {\mathrm {r}}\right) \right] = P (\rho , \varphi) \tag {5.29} +$$ + +需要重建的图像 + +$$ +\begin{array}{l} \hat {b} (\rho , \theta) = \mathrm {b (x , y)} = F _ {2} ^ {- 1} [ B (\omega 1, \omega 2) ] = \frac {1}{4 \pi^ {2}} \int_ {- \infty} ^ {\infty} \int_ {- \infty} ^ {\infty} B (\omega_ {1}, \omega_ {2}) e ^ {j (\omega_ {1} x + \omega_ {2} y)} d \omega_ {1} d \omega_ {2} \\ = \int_ {0} ^ {\pi} d \varphi \int_ {- \infty} ^ {\infty} | \rho | P (\rho , \varphi) e ^ {j 2 \pi \rho r c o s (\theta - \varphi)} d \rho \tag {5.30} \\ \end{array} +$$ + +上式中后半部分积分，可写成空域变量为 $x_{r}$ 的傅里叶反变换式： $(x_{r} = r\cos (\theta -\varphi))$ + +$$ +\begin{array}{l} \int_ {- \infty} ^ {\infty} | \rho | P (\rho , \varphi) e ^ {j 2 \pi \rho r c o s (\theta - \varphi)} d \rho = \int_ {- \infty} ^ {\infty} | \rho | P (\rho , \varphi) e ^ {j 2 \pi \rho x _ {r}} d \rho \\ = \mathrm {h} \left(x _ {r}\right) * \mathrm {p} \left(x _ {r}, \varphi\right) \\ = \mathrm {g} (x _ {r}, \varphi) \\ = \mathrm {g} (r \cos (\theta - \varphi), \varphi) \tag {5.31} \\ \end{array} +$$ + +式中， + +$$ +\mathrm {g} \left(x _ {r}, \varphi\right) = \mathrm {h} \left(x _ {r}\right) * \mathrm {p} \left(x _ {r}, \varphi\right) \tag {5.32} +$$ + +而 $\mathrm{h}(x_r) = F_2^{-1}[|\rho|]$ , $\mathrm{p}(x_r, \varphi) = F_2^{-1}[P(\rho, \varphi)]$ 。把式(5.30)代入式(5.29)后得到： + +$$ +\hat {b} (r, \theta) = \int_ {0} ^ {\pi} g [ r \cos (\theta - \varphi), \varphi ] d \varphi \tag {5.33} +$$ + +上式的物理意义是: 经过给定点 $(r, \theta)$ 的所有滤波后的射线投影在 $0 \sim \pi$ 范围内的累加, 反投影重建, 得出 $(r, \theta)$ 点的像素值, 这就是滤波反投影方程, 可以集中表现出滤波反投影算法的各个步骤。 + +综上所述，我们将应用平行束滤波反投影重建模型，对第二问进行求解。 + +# 5.2.2 平行束滤波反投影重建模型的实现与问题求解 + +由5.2.1已经分析出算法原理，而软件MATLAB程序中iradon函数则正是基于R-L滤波器的滤波反投影函数，所以此模型可直接由iradon函数进行实现。 + +# 5.2.2.1 比例系数处理 + +由于题目所给数据经过了增益处理，所以在使用计算机进行反投影时需要建立计算机所求得数据与经过增益处理后的数据之间的关系。对此我们先对附件2进行反投影计算，求得各个像素点的吸收率，对比附件1所给出的吸收率，建立二者之间的关系函数，分析可知计算机所求得的吸收率与附件1所给的吸收率近似成正比，利用MATLAB求得比例系数 $k = 2.033$ 。即： + +$$ +X _ {2} = k X _ {1} \tag {5.34} +$$ + +其中 $X_{1}$ 为电脑计算的吸收率, $X_{2}$ 为附件 1 所给的吸收率。 + +# 5.2.2.2 “镶边”处理 + +根据第一问可知，由于安装误差，旋转中心并不在正方形托盘的几何中心，导致了直接使用 iradon 函数会出现较大的偏差。对此我们将正方形托盘进行了“镶边”处理（如图 5.13 其中“○”为镶边前正方形托盘的几何中心，“×”为旋转中心），使得镶边后的正方形的几何中心即为旋转中心（即“×”为大正方形几何中心）。 + +![](images/0b4e432091c61c3e2de1e350dcb7b1be6e8761a4781e89fecb09d98da16caf0d.jpg) +图5.13经过镶边处理后大正方形及各组分几何关系图 + +在对正方形托盘进行“镶边”处理之后，得到的“新大正方形托盘”满足旋转中心 + +位于托盘中心，故消除了系统误差，此时可以直接使用 iradon 函数对其进行滤波反投影计算。 + +# 5.2.2.3 滤波反投影计算 + +利用MATLAB软件编写对应程序，利用iradon函数对附件3数据进行滤波反投影计算，计算结果见problem2。但得到的结果为大正方形下的运算结果（如图5.14）。 + +![](images/caab7ab2a5d58110f3cfa2dc1763adc467067f00b9052c4e999e5eb72a3a227a.jpg) +图5.14“镶边”后附件3反演重建图 + +要求得真实正方形托盘上被扫描物体的几何形状及其确定位置，还需要进行“去边”处理。去边处理并且乘上比例系数后的运行结果见图5.15，各个点吸收率的计算结果见文件problem2.xls。 + +![](images/9b4efb9bce740e08b4b999b7da61caae1df72bb62c7668897ecffe03e087d465.jpg) +图5.15去掉“镶边”后的反演图 + +十个确定点的参数如下表： + +表 5.2 问题二中十个确定点吸收率 + +
XY吸收率
10.000018.00000.0000
34.500025.00000.9722
43.500033.00000.0036
45.000075.50001.1761
48.500055.50001.0426
50.000075.50001.4652
56.000076.50001.2849
65.500037.00000.0007
79.500018.00000.0000
98.500043.50000.0175
+ +# 5.3 问题三的模型与求解 + +# 5.3.1 平行束滤波反投影重建模型运算 + +由题设，要求基本与问题二相似，根据问题二求解的思想，我们同样进行镶边等处理，然后使用 iradon 函数编写程序，对问题二的数据实现了滤波反投影重建，得到的图像如下： + +![](images/0a53f43b5371d9917b792ba93bc7ce566af2c23ad3ac71bfef216e1044c94c9e.jpg) +图5.16 未降噪时的反演图像 + +十个确定点的参数如下： + +表 5.3 问题三中十个确定点未降噪吸收率 + +
XY未降噪吸收率
10.000018.00000.0114
34.500025.00002.2530
43.500033.00005.9306
45.000075.50000.0169
48.500055.50000.0410
50.000075.50003.1343
56.000076.50005.9507
65.500037.00000.0000
79.500018.00007.7646
98.500043.50000.0551
+ +# 5.3.2平行束滤波反投影重建模型优化 + +由图 5.16 我们可以看出，利用 5.2 中的平行束滤波反投影重建算法对附件 5 中的进行计算，得到的图像边界存在大量毛刺、边缘不光滑、边界模糊等问题。经过分析我们 + +推断由于噪点的存在，影响了图像的质量，对扫描数据及处理存在干扰。所以我们着手对数据进行降噪处理。 + +# 5.3.2.1 吸收率的波动范围 + +对于问题三，已知数据只有受噪点影响的数据附件5，以及根据附件5得出的相关数据。仅有这些数据，在没有标准值进行参考的情况下，我们对噪点造成的结果波动无法定量的进行确定。但对于模板试件，我们已知其几何参数及扫描后的得到数据，故本文对附件2进行反演，利用iradon函数计算出反演矩阵，将反演矩阵和初始矩阵（附件1）进行比对，从而确定噪点是否存在，及其对图像的影响程度。 + +我们使用5.2中的算法对附件2进行了反演，将得到的反演矩阵与附件1标准矩阵相减，把得到的差值矩阵中的每个元素求绝对值以后求和，并将其平均分摊到 $256^{*}256$ 个像素点中，得到平均每个像素点的干扰值为0.0174，即由iradon得到的吸收率数值平均波动为 $\pm 0.0174$ + +# 5.3.2.2 降噪以后吸收率波动范围 + +根据噪声的概率分情况来看，可分为高斯噪声、瑞利噪声、伽马噪声、指数噪声和均匀噪声。MATLAB软件中有多种不同的降噪工具函数，但针对不同的噪声，不同的降噪工具函数的降噪效果也有很大区别。在本题中，我们无法确定造成噪点的噪声种类，所以将使用三种处理不同类型噪声的降噪函数对已知参数的模板扫描结果进行降噪处理，分别求出降噪后数据的波动范围，选取最小的波动范围所对应的工具函数作为本题的降噪（滤波）工具。我们初步选取的三种降噪工具函数[6]如下： + +# 1）均值滤波函数[6] + +均值滤波是典型的线性滤波算法。其采用的主要方法为领域平均法，即对待处理的某个像素点(x,y)，选择一个模板，该模板由其近邻的若干像素组成，求模板中所有像素的均值，再把该均值赋予当前像素点(x,y)。作为处理后图像在该点上的灰度 $g(x,y)$ ，即 $g(x,y) = \frac{1}{M} \sum_{(m,n) \in S} f(x,y)$ ，s 为模板，M 为该模板中包含当前像素在内的像素总个数。 + +# 2）自适应滤波函数[6] + +它能根据图象的局部方差来调整滤波器的输出, 局部方差越大, 滤波器的平滑作用越强。它的最终目标是使恢复图像 $f(x,y)$ 与原始图像 $f(x,y)$ 的均方误差 $e^2 = E[f(x,y) - f(x,y)^2]$ 最小。 + +# 3）中值滤波函数[6] + +它是一种非线性平滑滤波函数,其基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的某个领域中各点值的中值代换，其主要功能是让周围像素灰度值的差比较大的像素改取与周围的像素值接近的值,从而可以消除孤立的噪声点,所以中值滤波对于滤除图像的椒盐噪声非常有效。 + +我们分别使用三种滤波工具，对反演矩阵进行降噪处理，经过同5.3.2.1对模板进行数据分析处理后，得到三种工具降噪后噪点造成的数据波动范围为： + +表 5.4 降噪工具与其处理后波动值 + +
降噪工具无Filter2Wiener2Medfilt2
波动值±0.0174±0.0159±0.0152±0.0158
+ +根据上表对三种降噪工具进行对比，我们最终将维纳滤波法用于问题三中数据的去燥处理。 + +# 5.3.2.3 降噪后问题三的解 + +经过Wiener去噪处理后，我们得出了问题三的优化解。计算结果见文件problem3.xls。我们对降噪前后得到的吸收率数据表进行了色阶处理，通过对数据左上角区域进行分析 + +对比可以看出，经过降噪处理后的噪点数量大大减小，图像的边界更为明确，降噪效果较好： + +![](images/d6e17ed125748a0223f9310a347df413c347be4da478846354013cb4082660e3.jpg) +图5.17 降噪前的数据 + +![](images/5e19b9bce8bde53fca1a019730550a81aacf344000d78b66b07132a47cd45343.jpg) +图5.18 降噪后的数据 + +经过降噪处理后的图像为： + +![](images/56a49453fbc670801890e372ae7a08b8f880b1c7656d21fdbcdd515435fdd75e.jpg) +图5.19 降噪处理后的重建图像 + +十个确定点的参数为： + +表 5.5 十个确定点降噪后吸收率 + +
XY降噪后吸收率
10.000018.00000.0126
34.500025.00002.2902
43.500033.00005.9159
45.000075.50000.0163
48.500055.50000.0823
50.000075.50003.1336
56.000076.50006.0333
65.500037.00000.0000
79.500018.00007.7184
98.500043.50000.0861
+ +# 5.4 模型的评价与优化 + +# 5.4.1 模型精度和稳定性评价 + +# 5.4.1.1 探测器单元之间的距离 + +归一化均方差评价模型： + +归一化是一种无量纲处理手段，使物理系统数值的绝对值变成某种相对值关系。简化计算，缩小量值的有效办法。我们通过计算重建图像与原图像的归一化均方差，即： + +$$ +\mathrm {d I F} = 1 - \frac {\sum_ {i} \sum_ {j} [ i m g 1 (i , j) - i m g 2 (i , j) ] ^ {2}}{\sum_ {i} \sum_ {j} [ i m g 2 (i , j) ] ^ {2}} \tag {5.35} +$$ + +其中img1表示重建图像的像素矩阵，img2表示原图像的像素矩阵。 + +计算所得 dIF 越接近于 1，表明重建图像与原图像差别越小，表明所用参数精度越高；反之，表明重建图像与原图像差别越大，表明所用参数精度越低，以此建立归一化均方差评价模型。 + +对精度分析，将探测器单元之间的距离进行归一化均方差评价，用我们所采用的间距（d=0.2776）进行计算，求得 $\mathrm{dIF} = 0.9730$ ，该数值较接近1，认为该参数精度较高。 + +对稳定性分析，在我们得到的间距范围(0.2759,0.2796)，以步长为0.0001进行搜索，求得一系列 $dIF$ 值，其变化较为平缓，认为模型的稳定性较好。 + +# 5.4.1.2方向 + +由于原离散模型数据量过于庞大，我们采用一种简化的离散模型算法，即随机选取一部分数据作为计算对象，但由于数据量小，算得的角度和遍历所有数据组算出来的角度存在着偏差，所以，得到的180个方向，与真实值有差异。为了减小这种差异，我们认为，可以适当提高选取数据的组数，对其求平均值，并且确定一个误差评价的规则，当新的一组数据计算时，得到的角度与前面的平均值的角度相差在一个范围内的时候，我们认为该平均值可以作为这个方向的角度值。 + +# 5.4.1.3 旋转中心位置 + +在计算旋转中心的时候，我们认为X射线分别平行于短轴、长轴入射，但计算得到的方向不完全平行。因此得到的旋转中心 $\mathbf{y}_0$ 位于实际旋转中心的下侧，旋转中心 $\mathbf{x}_0$ 位于实际旋转中心的下方，左侧。 + +# 5.4.2 新模板的设计 + +由5.1.2.2计算探测器间距，主要思路是对180个角度的生成的 $512*180$ 的矩阵进行一个图形构成、角度对应的分析，用以限制探测器间的间距。对此，我们提出这样一个模板 + +![](images/76aa0d7a91c32c3a39eea09792b487a0175213cd9da1c3c004f14c9608aeaa2f.jpg) +图5.20 新模板设计方案 + +![](images/3f4eaa427f9566a8f3796a6d3a28bd526c3669c49ec2734df255ed5edb62589a.jpg) +图5.21 新模板偏心扫描大致图像 + +其对应的512个偏心扫描图像大致形状如图5.21。使用新模板，我们能够找到更多可供分析的特征角度，由于能偶看到明显的四条带分层情况，我们可以更精确地对探测器间距数值的范围进行缩放，可以在一定程度上减小误差。 + +参数标定模型与5.1.2.2基本相同，而由于特定角度下可供分析的数据量大大增加，在对探测器间距数值的范围进行缩放后，探测器间距本身的精度得到提高，而通过探测器间距而计算求得的旋转中心点的坐标以及180个方向的值就会更为精确。因此，新模板可以成功的将对该CT参数标定的精度和稳定性都大大提高。 + +# 六、模型分析 + +由于第四问即对问题一模型的分析与精度评价，故在此对第二问的平行束滤波反投影重建模型及第三问中优化后的平行束滤波反投影重建模型进行评价。第二问采用的是平行束滤波反投影重建模型，在处理附件3时，iradon函数已经对这些数据进行了滤波处理，所得的数据较为准确。而第三问的图形较为复杂，我们考虑噪声干扰，因此，我们在滤波处理以后，又进行了一次降噪，得到的图形较为清晰。但我们如果先进行降噪处理，再使用平行束滤波反投影重建模型，得到的图像就十分模糊，如图。因此，我们认为平行束滤波反投影重建模型再次降噪处理后，得到的图形更符合要求。 + +![](images/3106cb609c62cd5e49eabf01fd764e481243c65760e0cbf60bc3e951a8bd5771.jpg) +图6.1先降噪后进行平行束滤波反投影重建模型所得到的重建图像 + +# 七、模型推广 + +本题所建立的模型为二维条件下的平行束滤波反投影重建模型。但对模型进行改进后我们可以将模型拓宽至三维模型范畴。推广至三维模型后，该模型可用于宇宙航天器对周围天体的探索，或用于太空垃圾的形状确定与种类鉴别。 + +# 八、结论 + +问题一结论，我们建立了建立了离散化模型，求得旋转中心坐标为 $(-9.2996\mathrm{mm}, 5.5520\mathrm{mm})$ ，探测器单元间距范围为 $(0.2759\mathrm{mm}, 0.2796\mathrm{mm})$ ，180个方向的精确角度如下表： + +
-60.2152-58.8587-58.3008-57.2081-56.1751-55.2026-54.1989-53.1945-52.1913-51.1883
-50.1841-49.1784-48.1748-47.1711-46.1670-45.0092-44.1559-43.1498-42.1464-41.1399
-40.1346-39.1288-38.1194-37.1142-36.1026-35.0940-34.0861-33.0800-32.0708-31.0575
-30.0481-29.1362-28.0209-27.0104-25.9942-24.9819-23.9634-22.9444-21.9239-20.9011
-19.8815-18.8563-17.8288-16.799-15.7555-14.7159-13.6685-12.6137-11.5409-10.4695
-9.3730-8.2484-7.1066-5.8943-4.5786-3.0205-2.5839-2.1474-1.7108-1.2742
-0.8377-0.40110.03540.47200.90851.34513.57474.88146.24087.4525
8.56439.7321110.797411.844012.917113.989015.019616.035217.107818.1144
19.152520.191821.218122.224823.243924.261325.150226.295127.112528.3244
29.330030.340531.354532.364433.373934.382735.391236.399237.406738.4139
39.420840.427241.533942.439243.444944.450145.455346.460147.465048.4692
49.473450.477651.481352.485053.488654.491955.494956.498057.500758.5034
59.505960.508161.510262.512063.513864.515265.516666.517667.518368.5188
69.518870.518671.517972.516873.515174.512875.509776.505677.500478.4938
79.485380.474381.460182.441583.416284.381285.330186.250787.116287.8583
88.306191.779192.339193.128694.014494.945395.899896.868097.845098.8278
99.8147100.8045101.7966102.7904103.7858104.7818105.7789106.7768107.7753108.7744
109.7738110.7737111.7741112.7745113.7751114.7763115.7775116.7791117.7812118.7725
+ +问题二结论，我们建立了基于R-L滤波函数的平行滤波反投影重建模型。得到十个点的吸收率分别为：0.0000、0.9722、0.0036、1.1761、1.0426、1.4652、1.2849、0.0007、0.0000、0.0175。 + +问题三结论，我们在问题二模型的基础上加入了降噪处理函数，求得了十个点的吸收率分别为：0.0126、2.2902、5.9159、0.0163、0.0823、3.1336、6.0333、0.0000、7.7184、0.0861。 + +问题四结论，我们建立了归一化评价模型对精度和稳定性进行分析，结果表明我们所新建立模型的精度更高，稳定性更好，能够进行更加精确的参数标定。 + +我们所建立的几个模型能够很好地解决参数标定、图像重建的问题，且适用范围较广，易于推广，针对不同问题可采取不同的滤波函数，以消除不同因素对吸收率的影响。 + +# 九、参考文献 + +[1]. 郝国防, 浅析 X 射线计算机断层成像的基本原理. 山东工业技术, 2016(15): 第 106页 +[2]. 张朋与张兆田, 几种 CT 图像重建算法的研究和比较. CT 理论与应用研究, 2001(04): 第 4-9 页. +[3]. 黄自健, CT 成像原理简述, in 新疆医学工程学会第二届学术年会 1998: 中国新疆乌鲁木齐. 第 5 页. +[4].毛小渊，二维CT图像重建算法研究,2016,南昌航空大学.第74页. +[5]. 李鹏与俞凯君，使用 Radon 变换进行二维 MRI 图像配准．上海生物医学工程，2006(04)：第 229-232 页. +[6]. 宁媛与李皖，图像去噪的几种方法分析比较. 贵州工业大学学报(自然科学版), 2005(04): 第63-66页. + +# 附录 + +# MATLAB程序xzzx.m + +%此程序用来求解旋转中心 + +clc + +clear + +load data2.mat + +$\mathrm{d} = 0.2776$ $\%$ 相邻两线间距 + +zd=sum(data2>0); + +[ \text{[val1,wz1]} = \max (\text{zd}) ] + +[ \text{[val2,wz2]} = \min(\text{zd}) ] + +num=find(data2(:,wz1)>0); + +$y = (256 - (\max (\mathrm{num}) + \min (\mathrm{num})) / 2)^{*}\mathrm{d};$ + +num=find(data2(:,wz2)>0); + +num=num(num>100); + +$\mathrm{x = -}(256 - (\max (\mathrm{num}) + \min (\mathrm{num})) / 2)^{*}\mathrm{d};$ + +# MATLAB 程序 chengxu.m + +clear,clc + +$\%$ 此程序用来求解第二问与第三问的反投影图以及10个点的吸收率 + +%% + +%读取题目所给数据及第一问所求旋转角 + +load data1.mat + +load data2.mat + +loadtheta.mat + +load data3.mat + +load data5.mat + +%% + +%此块程序利用模板反演进行校正 + +xc=0;yc=0; + +$\mathrm{d} = 0.2776$ + +img_1=iradon(data2,theta,512,'Hann'); + +m=size(img_1,1); + +%img_1= medfilt2(img_1); %这三列数据用来计算去噪后的误差值，比较各个去噪函数的优劣 + +%img_1=wiener2(img_1,[3 3]); + +%img_1=filter2(fspecial('average',3),img_1); + +%figure(1),imagesc(data2) %绘制附件二中的数据大小分布图; + +%figure(2).plot([-256 256 256 -256 -256],[-256 -256 256 256 -256],[black]) %绘制大正方形托盘的边框 + +%hold on + +%%imagesc([-m/2 m/2],[m/2 -m/2],[img_1] %绘制反投影图像 + +%%plot(xc,yc,'x') %绘制旋转中心 + +plot([-50+9.2996 50+9.2996 50+9.2996 -50+9.2996 -50+9.2996]/d,[-50-5.5520 -50-5.5520 50-5.5520 + +50-5.5520 -50-5.5520l/d,'r') %绘制原正方形托盘的边框 + +plot(33.5,-20,'ok') %绘制原正方形托盘几何中心 + +%% + +%求解计算机与题目所给数据的比例系数 + +RED_1=img_1(96:455,110:469); + +%figure(3),imagesc(RED_1) %取出原正方形托盘边框内的图像进行绘制 + +s=sum(RED_1); + +ss=sum(s); + +```matlab +r1=ss/360/360; +r2=12568/256/256; +k=r2/r1; %此为所求比例系数 +RED_1=RED_1.*k; +red_1=imresize(RED_1,256/360); %降低上图的像素 +%figure(4),imagesc(red_1) %绘制经比例系数放大后的模板的反演图 +%% +img_2=iradon(data3,theta,512); +%img_2=wiener2(img_2,[3 3]); +%img_2=medfilt2(img_2); +%img_2=filter2(fspecial('average',3),img_2); +m=size(img_2,1); +figure(5),plot([-256 256 256 -256 -256],[-256 -256 256 256 -256],[r]) +hold on +imagesc([-m/2 m/2],[m/2 -m/2], img_2) +plot(xc,yc,'ok') +plot([-50+9.2996 50+9.2996 50+9.2996 -50+9.2996 -50+9.2996]/d,[-50-5.5520 -50-5.5520 50-5.5520 50-5.5520 -50-5.5520]/d,'r') +RED_2=img_2(96:455,110:469); +RED_2=RED_2.*k; +%figure(6),imagesc(RED_2) +red_2=imresize(RED_2,256/360); +wz=red_2>0; +red_2=red_2.*wz; %将矩阵中小于0的项变为0; +figure(7),imagesc(red_2) %绘制问题二的图 +%% +img_3=iradon(data5,theta,512); +img_3=wiener2(img_3,[3 3]); %对数据进行维纳滤波，减少噪声的影响 +%img_3=medfilt2(img_3); +%img_3=filter2(fspecial('average',3),img_3); +m=size(img_3,1); +figure(8),plot([-256 256 256 -256 -256],[-256 -256 256 256 -256],[r]) +hold on +imagesc([-m/2 m/2],[m/2 -m/2], img_3) +plot(xc,yc,'ok') +plot([-50+9.2996 50+9.2996 50+9.2996 -50+9.2996 -50+9.2996]/d,[-50-5.5520 -50-5.5520 50-5.5520 50-48-0]; +RED_3=img_3(96:455,110:469); +RED_3=RED_3.*k; +%figure(9),imagesc(RED_3) +red_3=imresize(RED_3,256/360); +wz=red_3>0; +red_3=red_3.*wz; %将矩阵中小于0的项变为0; +figure(10),imagesc(red_3) %绘制问题三的图 +%%误差计算 +cha_1=abs(red_1-data1); +s_1=sum(sum(char_1)); +wucha=s_1/256/256 +%% +xishoulv2=[red_2(210,25),red_2(192,88),red_2(172,111),red_2(63,115),red_2(114,125),red_2(63,128),red_2(61,143),red_2(162,167),red_2(210,203),red_2(145,252)] +xishoulv3=[red_3(210,25),red_3(192,88),red_3(172,111),red_3(63,115),red_3(114,125),red_3(63,128),red_3(61,143),red_3(162,167),red_3(210,203),red_3(145,252)] +``` + +# 自定义MATLAB函数dIF.m + +function [result] $\equiv$ dIF(img1,img2) + +%dIF此函数用来计算两个图像的归一化均方差 $\%$ 其中img1为重建后的图像img2为原图像 + +```matlab +c=img1-img2; +c=c.^2; +d=img2.^2; +h=sum(sum(c)); +hm=sum(sum(d)); +result=1-h/hm; +end +``` + +# MATLAB程序gyh.m + +%% + +%此程序用来求解一系列间距d产生的归一化方差结果在变量fc中 + +clc + +clear all + +load data1 + +load data2 + +load theta + +xc=0;yc=0; + +fori=1:37 + +$\mathrm{d} = 0.2758 + 0.0001^{\ast}\mathrm{i};$ $\%$ 相邻两线间距 + +zd=sum(data2>0); + +[ \text{val1,wz1} = \max(\text{zd}) ] + +[ \text{[val2,wz2]} = \min(\text{zd}) ] + +num = find(data2(:,wz1)>0); + +$y = (256 - (\max (\mathrm{num}) + \min (\mathrm{num})) / 2)^{*}\mathrm{d};$ + +num=find(data2(:,wz2)>0); + +num=num(num>100); + +$\mathrm{x = -}(256 - (\max (\mathrm{num}) + \min (\mathrm{num})) / 2)^{*}\mathrm{d};$ + +%% + +img_1=iradon(data2,theta,512,'Hann'); + +$\mathrm{m =}$ size(img_1,1); + +%figure(2),plot([-256 256 256 -256 -256],[-256 -256 256 256 -256], 'black') %绘制大正方形托盘的边框 +%hold on + +%%imagesc([-m/2 m/2],[m/2 -m/2],img_1) %绘制反投影图像 + +plot(xc,yc,'x') %绘制旋转中心 + +%%plot([-50-x 50-x50-x -50-x -50-x]/d,[-50-y -50-y 50-y50-y -50-y]/d,'r') %绘制原正方形托盘的边框 + +x1=-x/d; + +y1=-y/d; + +%%plot(x1,y1,'ok') %绘制原正方形托盘几何中心 + +%% + +%求解计算机与题目所给数据的比例系数 + +$\mathrm{xx =}$ round(256- $(50 + x) / d)$ + +yy=round(256-(50-y)/d); + +RED_1=img_1(yy:yy+359,xx:xx+359); + +%figure(3),imagesc(RED_1) %取出原正方形托盘边框内的图像进行绘制 + +s=sum(RED_1); + +ss=sum(s); + +$\mathrm{r1 = ss / 360 / 360}$ + +r2=12568/256/256; + +$\mathrm{k = r2 / r1}$ %此为所求比例系数 + +RED 1=RED 1.\*k; + +red_1=imresize(RED_1,256/360); + +$\%$ 降低上图的像素 + +%figure(4),imagesc(red_1) + $\% \%$ +fc(i,1)=d; +fc(i,2)=dIF(red_1,data1); +end + +%绘制经比例系数放大后的模板的反演图 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/A328/A328.md b/MCM_CN/2017/A328/A328.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..c81bb421a602f9738d4271de1878edf8a761ec13 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/A328/A328.md @@ -0,0 +1,1509 @@ +# CT系统标定与图像重建 + +# 摘要 + +为解决CT系统参数标定及成像问题，本文由相关理论基础入手，剖析模板形态学特征，以此为切入点建立并优化了标定模型，并且对根据未知介质进行图像重建，根据图形特性实现了噪声去除。 + +针对问题一，我们根据基础理论知识，结合几何计算，得出标定模型在各个照射角度中的投影强度表达式，尝试通过函数拟合的方法求解。在扫描图中，圆和椭圆的投影函数相互耦合，为了更好的将其区分开，我们从图像处理的角度入手，通过高通滤波和形态学操作大致提取出椭圆曲线边界，利用其宽度信息粗略求出各次投影的角度。再利用粗测的角度，计算出圆的轨迹，挖去受圆形投影影响的数据点，以此来消除圆的投影函数对椭圆投影函数的影响，用剩下的数据对椭圆投影曲线进行拟合，得到了很好的效果，以较高的精度精确计算出X光各次照射角度及其他标定相关的参数。 + +针对问题二、三，考虑到逆Radon变化的卷积特性，首先使用线性插值得到新的图像作为逆Radon变换的输入，再经由坐标变换，内插缩放、滤波变换等操作得到最终的介质吸收率分布图。 + +针对问题四，模型检验部分，我们从误差理论角度进行分析，研究标定模型的敏感性，并尝试人为引入噪声，验证模型的稳定性。在研究过程中我们发现了原定标模型在特定角度附近精度大幅下降的问题，针对该问题，尝试设计出“三角形”标定模板等若干种模板，最终兼顾合理性及稳定性，确定“双椭圆”模板作为新标定模板，从理论上证明其稳定性优于原模版。 + +关键词 CT系统、Radon变换、图像处理、最小二乘拟合、插值、滤波 + +# 1 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +X射线是一种能够穿透物体的能量射线，并会产生衰减、折射、散射等物理现象。计算机断层成像(Computed Tomography, CT)技术依据X射线穿过待测物体发生吸收衰减的原理，可以在不破坏物体内部结构的情况下对其进行三维可视化成像。CT技术作为一种重要的无损检测技术，广泛应用于医学成像、工业探伤、货运安检以及文物复原等领域。 + +CT技术的发展大致经历四个阶段：第一代CT设备通过平行束平移旋转扫描获得投影数据；第二代设备使用小角度扇形射线束代替平行束；第三代设备仅包含扇形束的旋转扫描动作，不再采用平移运动；第四代设备将探测器固定于 $360^{\circ}$ 圆周上，仅旋转X射线源以解决环形伪像问题。由于被测物与扫描环境的复杂性，CT扫描方式日趋灵活。 + +CT技术快速发展，对CT设备的精密度要求随之提升。由于安装过程中存在误差，实际的CT成像系统不满足理想成像关系，会使断层图像的重建质量受到影响。因此，使用CT系统前需要借助已知结构的样品进行标定，修正安装误差。 + +# 1.2 相关信息 + +典型初代二维CT系统如图??所示，探测器平面由512个等距接收点组成，X射线垂直入射。发射器与探测器相对位置固定不变，探测系统绕固定旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，探测器测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。 + +![](images/afb2b76fdb7e7bf7e19215d6c82a1b8abe4eb12a688f1184ad3662c91e3864d1.jpg) +图1：CT系统示意图 + +# 1.3 需解决的问题 + +本文将题述问题归结为以下三个部分，建立数学模型进行分析研究。 + +# 问题一：参数标定 + +根据标定模板的几何形状与附件1给出的吸收强度，以及附件2给出的探测器接收信息，标定CT系统的相关参数，包括旋转中心的位置、探测器单元间距、X射线的180个投射角度。 + +# 问题二、三：CT成像 + +利用已标定的CT系统参数，结合附件3、附件5给出的未知介质接收信息进行成像，确定未知介质的位置、几何形状与吸收率等信息，并具体给出附件4所给位置的吸收率。 + +# 问题四：模型分析与改进 + +分析问题一中参数标定的精度与稳定性，自行设计新模板、建立对应标定模型以做出改进。 + +# 2 问题分析 + +本问题主要研究CT系统的参数标定与成像。首先通过投影信息确定X射线入射角度及探测器单元间距，通过图像重建确定旋转中心位置，完成系统参数标定；其次由投影信息直接重建图像，获取未知介质信息；最后分析参数标定的精度与稳定性，设计新模板并建立标定模型。 + +# 2.1 问题一 + +分析问题一，建立投影强度曲线的数学模型。首先分析椭圆投影宽度随X射线角度的变化规律，以粗略确定各入射角度及旋转中心。在各入射角度对应的投影强度曲线中，通过图像重建去除圆形模板影响的点位，拟合椭圆投影强度曲线，求解增益系数、探测器单元间距、入射角度的关系。其次在原强度曲线中，扣除椭圆投影的影响，得到180组精确的圆形投影强度曲线。拟合圆形投影强度曲线，通过投影宽度求解探测器单元间距，从而精确求解增益系数与X射线入射角度。最后通过图像重建，确定旋转中心位置。 + +# 2.2 问题二、三 + +CT系统的工作原理是由投影重建图像，针对平行束系统的重建算法包括直接反投影法、滤波反投影法、卷积反投影法等，相关文献中已有详细论述。针对问题二应以投影信息与标定所得系统参数作为输入，通过逆Radon变换重建图像，并对图像进行滤波去噪处理，以得到未知介质的信息。 + +# 2.3 问题四 + +分析问题一中参数标定的精度与稳定性，针对确定 $\theta$ 取值时所用的arccos $\theta$ 函数在极值点附近对误差的敏感性进行改进。提出以斜 $45^{\circ}$ 椭圆代替圆形的新模板，建立相应标定模型，对其精度与稳定性进行评估。 + +# 3 假设与符号 + +# 3.1 模型假设 + +1. 入射的X射线完全平行，忽略相互干涉。 +2. 探测器单元阵列与二维待检测介质处于同一平面中，忽略载物台在任意角度可能发生的倾斜。 +3. 附件所给接收信息均为精确值。 + +# 3.2 符号说明 + +# 4 模型建立与求解 + +# 4.1 CT成像的理论基础 + +# X射线与物质的相互作用 + +当X射线照射在被检测物体上时，一部分射线能量被物体吸收，使得射线强度发生衰减。其衰减遵循Lambert-beer吸收定律[?]，呈指数变化。如图??所示，设X射线初始强度为 $I_{0}$ ，穿过厚度为 $x$ ，吸收系数为 $\mu$ 的均匀介质后强度变为 $I$ ，则有： + +$$ +\begin{array}{l} I = I _ {0} e ^ {- \mu x} (1) \\ \mu x = \ln \frac {I _ {0}}{I} (2) \\ \end{array} +$$ + +
符号符号说明单位
Δd探测器单元间距mm
θi第i组X射线的入射方向rad
a椭圆半长轴mm
b椭圆半短轴mm
R圆半径mm
D椭圆投影宽度mm
f(x,y)吸收率函数，表示介质吸收强度的分布
g(s,θ)投影函数，表示计算所得的投影强度值，s为真实投影坐标
h(l,θ)采样函数，表示探测器采样数据拟合所得曲线，l为像素坐标，为真实投影长度的1/Δl倍
k增益系数，探测器接收信息与投影强度的比值mm-1
kμ比例系数，表示由采样信息重建的图像与吸收率数据的比值
+ +表 1: 符号说明 + +对于二维平面内的不均匀介质，吸收系数表示为厚度 $x$ 的函数 $\mu (x)$ ，此时Lambert-beer吸收定律表示为： + +$$ +\int \mu (x) d x = \ln \frac {I _ {0}}{I} \tag {3} +$$ + +式??表明，X射线穿过物体后的射线强度与被检测物体的吸收系数相关，CT成像的物理本质就是通过探测器接收的强度信息计算吸收系数 $\mu$ 的分布。 + +# 数据意义的分析解释 + +相关文献显示，探测器接收的投影信息应与吸收系数 $\mu (x)$ 沿投影方向的线积分成正比，现有图像重建算法均以此为前提。针对本题所给数据，分析附件1可知标定模板吸收率处处相同；将附件2中同一入射角度对应的全部接收值求和（如图??所示），可见接收值总和基本保持不变。可以认为，本题所给数据存在类似关系，即探测器接收信息与吸收率函数 $f(x,y)$ 沿X射线入射方向的线积分（即投影强度）成正比： + +$$ +\int f (x, y) d l = \frac {1}{k} h (l, \theta) \tag {4} +$$ + +式中 $h(l, \theta)$ 为探测器接收信息， $f(x, y)$ 为介质的吸收率分布， $k$ 为增益系数。 + +![](images/05158286a257c97f30c55ff0420c263ed01098523577e6df469f460cd76064f6.jpg) + +![](images/d8cd0a94661ad8c5489bc172a010ec750da4ea985743f1550f1d32cc14f799f7.jpg) +图2:Lambert-beer吸收定律示意图 +图3：各次测量的接收值总和 + +![](images/0e78eb634ae5bbe3a6e089b7693eb3799ff20243ebb89ea0cbb217e8eacb1f55.jpg) +图4：接收信息分析示意图 + +# Radon变换 + +吸收率函数 $f(x, y)$ 沿 $\theta$ 方向的投影函数为 $h(\theta, l)$ （如图??所示），由 $\theta, l$ 组成的极坐标系统张成Radon空间，空间中任意点 $(l, \theta)$ 的值实际上代表吸收率函数的一个线积分值。 + +物体空间的吸收率函数 $f(x, y)$ 与Radon空间的投影函数 $g(l, \theta)$ 有明确的映射关系，通常将物体空间函数变换至Radon空间函数的过程称为Radon变换，反之称为逆Radon变换。实际上，Radon空间的函数值是CT系统中探测器采集的一个数据点，只要有充分的扫描数据，就可以通过插值方式重建物体空间的图像。 + +# 4.2 问题一 + +首先建立投影强度模型，分析强度曲线线型的影响因素，可知标定参数的核心问题在于入射角度的确定。模型求解部分从数据图像的形态学角度出发，粗略确定X射线的入射角度，从而分离椭圆与圆形模板的投影强度，通过拟合投影函数标定CT系统各参数值。 + +![](images/f40bbb1f2af6adc199cf9a618a60a7d6fad9d769c55cef39ee14b40052d30adb.jpg) +图5：吸收率函数及其投影函数 + +# 4.2.1 投影强度模型的建立 + +记第 $i$ 组X射线入射方向与正方形托盘竖直轴的夹角为 $\theta_{i}$ , 探测器位于托盘正下方时 $\theta$ 为0,以逆时针方向为正。记旋转中心为 $O$ 点, 在探测器平面的投影点为 $O_{\theta}$ , 以此为原点建立投影强度坐标轴 (如图??所示), 表示物体空间的真实投影坐标, 单位为 $mm$ 。记椭圆中心为 $O_{1}$ , 圆形中心为 $O_{2}$ , $\angle O_{1}OO_{\theta} = \alpha_{1}, |OO_{1}| = A_{1}, \angle O_{2}OO_{\theta} = \alpha_{2}, |OO_{2}| = A_{2}$ , 则 $O_{1}, O_{2}$ 在 $S_{\theta}$ 轴上的投影为: + +$$ +s _ {o _ {1}} (\theta) = A _ {1} \sin \left(\alpha_ {1} - \theta\right) \tag {5} +$$ + +$$ +s _ {o _ {2}} (\theta) = A _ {2} \sin \left(\alpha_ {2} - \theta\right) \tag {6} +$$ + +首先建立椭圆的投影强度模型。以椭圆中心为基准，计算吸收率的线积分值可得： + +$$ +g _ {1} ^ {\prime} (s ^ {\prime}, \theta) = \sqrt {- \frac {4 a ^ {2} b ^ {2}}{(a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta) ^ {2}} s ^ {\prime 2} + \frac {4 a ^ {2} b ^ {2}}{a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta}} \tag {7} +$$ + +于是在 $s_{\theta}$ 轴中，有 + +$$ +\begin{array}{l} g _ {1} (s, \theta) = g _ {1} ^ {\prime} (s - s _ {o _ {1}}, \theta) \\ = \sqrt {- \frac {4 a ^ {2} b ^ {2}}{\left(a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta\right) ^ {2}} \left(s - s _ {o _ {1}}\right) ^ {2} + \frac {4 a ^ {2} b ^ {2}}{a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta}} \tag {8} \\ \end{array} +$$ + +![](images/3473c12b8f6fdd86237bea25843e63420c5fa4c00a7b543ab8578f3509b0ecf7.jpg) +图6：投影强度坐标系 + +由增益系数 $k$ 与探测器单元间距 $\Delta d$ 的定义可得： + +$$ +\begin{array}{l} h _ {1} (l, \theta) = k g _ {1} (l \Delta d, \theta) \\ = \sqrt {- \frac {4 a ^ {2} b ^ {2} k ^ {2} \Delta d ^ {2}}{(a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta) ^ {2}} (s - \frac {s _ {o _ {1}}}{\Delta d}) ^ {2} + \frac {4 a ^ {2} b ^ {2} k ^ {2}}{a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta}} \tag {9} \\ \end{array} +$$ + +为方便表述，记 + +$$ +K _ {1} = - \frac {4 a ^ {2} b ^ {2} k ^ {2} \Delta d ^ {2}}{(a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta) ^ {2}} +$$ + +$$ +C _ {1} = \frac {4 a ^ {2} b ^ {2} k ^ {2}}{a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta} +$$ + +则有 + +$$ +h _ {1} ^ {2} (l) = K _ {1} \left(l - \frac {s _ {o 1}}{\Delta d}\right) ^ {2} + C _ {1} \tag {10} +$$ + +由式??可见，当θ确定时，采样函数h(l,θ)的平方为l的二次曲线。 + +借助以上对于椭圆投影强度模型的分析，令 $a = b = R$ 即可得到圆形投影强度模型： + +$$ +K _ {2} = - 4 k ^ {2} \Delta d ^ {2} +$$ + +$$ +C _ {2} = 4 R ^ {2} k ^ {2} +$$ + +$$ +h _ {2} ^ {2} (l) = K _ {2} \left(l - \frac {s _ {o _ {2}}}{\Delta d}\right) ^ {2} + C _ {2} \tag {11} +$$ + +# 4.2.2 投影强度模型的求解 + +形态学粗测入射角度、旋转中心以及探测器单元间距 + +椭圆模板的投影宽度 $D$ 可由 X 射线入射角度唯一确定（如图??所示），其计算公式为[?]： + +$$ +D = \frac {2 \sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}{\sqrt {m ^ {2} + 1}} \tag {12} +$$ + +其中m为切线斜率，由此得到入射角度的计算公式为： + +$$ +\theta = \operatorname {a r c c o t} \sqrt {\frac {4 a ^ {2} - d ^ {2}}{d ^ {2} - 4 b ^ {2}}} \tag {13} +$$ + +![](images/7751071830ab457ec4e211b3797ae232012e1e795ba6f65156300b4f2c5ae1f5.jpg) +图7：椭圆投影宽度示意图 + +![](images/5b6a8b0c18842014d1cb520b4ecfdef45f8cf83d7b277c1b9e9b10f66f37f189.jpg) +图8：椭圆投影宽度粗测用图 + +通过分析探测器接收信息，将椭圆投影像素宽度的极大值作为长轴的估计值，估算探测器单元间距 $\Delta d$ 以及每一投影角度对应的真实投影宽度，从而粗略测算180个入射角度的取值。 + +求解结果如图??所示，可近似认为入射角度线性增加。以等距分布的入射角对探测器接收信息作逆Radon变换，所得图像的中心位置即为旋转中心。以椭圆中心、圆形中心与旋转中心为顶点构造三角形，利用其在两幅图像中的相似性即可粗略确定旋转中心在正方形托盘中的位置。 + +# 分离提取投影强度曲线 + +圆形投影中心位置的确定 粗略测算入射角度及旋转中心后, 可估算每一强度曲线中 + +![](images/13617e613388c94cbcc2460a167ff9fd5b735fca7858eb7a84c0e7687696f7ca.jpg) +图9：入射角度粗测数据图 + +![](images/86339f66452bdebf9c2facf668e336f45f3589ebd2df07c59f1fa57192602d08.jpg) +图10: 重建图像（左）与原始图像（右） + +![](images/1e63d56eb2160ac1c9983c5db9131f0e7d581b5e5c201e7a694f419efb942e66.jpg) + +圆形投影的中心位置。 + +如图??所示，圆心投影位置应满足关系式： + +$$ +l = l _ {0} \cos (\theta + \alpha) + L _ {0} \tag {14} +$$ + +式中 $l_{0}$ 为旋转中心至圆心的像素长度, $\alpha$ 为图??中三角形的一个内角, 均可由重建图像估算。 $L_{0}$ 为旋转中心对应的投影像素坐标, 可将椭圆投影宽度的极小点近似作为 $\theta = 0$ 的情形进行估算。 + +模板投影强度曲线的分离拟合 借助 $\Delta d$ 估计值可计算圆形投影的像素宽度。在各投影强度曲线中，以圆心投影坐标为中心，在左右两侧去除两倍圆形投影宽度内的数据点，从而完全消除圆形投影的影响，得到椭圆投影强度的部分数据。 + +![](images/81bb5e29dacdaffeb7aebb4830e5568964369eb67799ffcc19b7e8a4a2e98ad2.jpg) +图11：圆心投影位置 + +对各投影角度，利用上述数据拟合二次多项式得到完整的椭圆投影强度曲线。从全部接收信息中扣除椭圆投影强度，即可得到圆形投影强度数据，进而拟合得圆形投影强度曲线。图??显示分离出的投影强度数据，图??显示拟合所得投影强度曲线。 + +![](images/9b72b68af6df0fa6ca0a20db45c6133f12433296ed095f92dcab67ece3e5de45.jpg) +图12：椭圆投影强度数据（左）与圆形投影强度数据（右） + +![](images/3893be306d03de0114f90c434f1bb680e4ace6193ed5c84a20283c5d034220bc.jpg) + +![](images/55ac5644e00d5469baa2f8b5047faccc44402bb9588b50a03288f35382f7ef74.jpg) +图13：椭圆投影强度拟合结果（左）与圆形投影强度拟合结果（右） + +![](images/71c7396b986114841d33208472ea379c7fc8d93915d0612c686be7eba2df1125.jpg) + +# 标定系统参数 + +探测器单元间距 $\Delta l$ 设拟合所得圆形投影强度曲线为: + +$$ +h _ {2} ^ {2} (l, \theta) = q _ {1} l ^ {2} + q _ {2} l + q _ {3} \tag {15} +$$ + +与投影模型比较系数得： + +$$ +K _ {2} = q _ {1} \tag {16} +$$ + +$$ +\frac {s _ {o _ {2}}}{\Delta d} = - \frac {q _ {2}}{2 q _ {1}} \tag {17} +$$ + +$$ +C _ {2} = q _ {3} - \frac {q _ {2} ^ {2}}{4 q _ {1}} \tag {18} +$$ + +则 + +$$ +\begin{array}{l} - \frac {K _ {2}}{C _ {2}} = - \frac {q _ {1}}{q _ {3} - \frac {q _ {2} ^ {2}}{4 q _ {1}}} = \frac {\Delta d ^ {2}}{R ^ {2}} \\ \Rightarrow \Delta d = \sqrt {R ^ {2} \frac {q _ {1}}{\frac {q _ {2} ^ {2}}{4 q _ {1}} - q _ {3}}} \tag {19} \\ = 2 R \sqrt {\frac {q _ {1} ^ {2}}{q _ {2} ^ {2} - 4 q _ {1} q _ {3}}} \\ \end{array} +$$ + +拟合180组圆形投影强度曲线，将曲线系数代入式??解出 $\Delta d$ ，对计算结果取均值得： + +$$ +\Delta d = 0. 2 7 6 8 \mathrm {m m} \tag {20} +$$ + +入射角度 $\theta$ 设拟合所得椭圆投影强度曲线为: + +$$ +h _ {1} ^ {2} (l, \theta) = p _ {1} l ^ {2} + p _ {2} l + p _ {3} \tag {21} +$$ + +相应地有： + +$$ +K _ {1} = p _ {1} \tag {22} +$$ + +$$ +\frac {s _ {o _ {1}}}{\Delta d} = - \frac {p _ {2}}{2 p _ {1}} \tag {23} +$$ + +$$ +C _ {1} = p _ {3} ^ {2} - \frac {p _ {2} ^ {2}}{4 p _ {1}} \tag {24} +$$ + +为求出 $\theta$ ，对 $K_{1}$ ， $C_1$ 表达式进行变换可得： + +$$ +\begin{array}{l} - \frac {C _ {1}}{K _ {1}} = \frac {a ^ {2} \sin^ {2} \theta + b ^ {2} \cos^ {2} \theta}{\Delta d ^ {2}} = - \frac {p _ {3} ^ {2} - \frac {p _ {2} ^ {2}}{4 p _ {1}}}{p _ {1}} \\ \Rightarrow \cos 2 \theta = - \frac {\frac {p _ {3} ^ {2} - \frac {p _ {2} ^ {2}}{4 p _ {1}}}{p _ {1}} \Delta d ^ {2} + 2 a ^ {2} - b ^ {2}}{2 \left(b ^ {2} - a ^ {2}\right)} \tag {25} \\ = - \frac {4 (2 a ^ {2} - b ^ {2}) p _ {1} ^ {2} + (4 p _ {3} ^ {2} p _ {1} - p _ {2} ^ {2}) \Delta d ^ {2}}{8 p _ {1} ^ {2} (b ^ {2} - a ^ {2})} \\ \end{array} +$$ + +由于探测系统逆时针旋转， $\theta$ 值单调增加，由此可确定 $\theta$ 的180组取值。 + +由图??可见，经计算修正后θ序列更接近其线性拟合值，相邻两点间距1°左右，仅在个别点出现偏差。计算结果见表????。 + +![](images/ce16b8c28e7f3f261b75f54a77939abb71838b6d2f87b4ac8d973cdc8c3fef82.jpg) +图14: 入射角度序列 $\theta$ (左) 与前向对比图 (右) + +![](images/fdfad68fa74348cfb26b1aed0e57737ad2a3f9fa08fb6718f8cd10f0ee32b945.jpg) + +
iθi/°iθi/°iθi/°
129.6463230.9999331.5553
432.6447533.6771634.6463
735.6463836.6463937.6463
1038.64631139.64621240.6462
1341.64631442.64621543.6462
1644.79671745.64631846.6463
1947.64642048.64622149.6463
2250.64602351.64632452.6463
2553.64612654.64632755.6463
2856.64622957.64633058.6463
3159.64633260.54533361.6462
3462.64623563.64633664.6463
3765.64623866.64633967.6460
4068.64624169.64614270.6463
4371.64624472.64614573.6464
4674.64584775.64624876.6462
4977.64625078.64635179.6461
5280.64635381.64615482.6463
5583.64565684.64635785.6460
5886.64635987.64666088.6458
6189.65206290.64746391.6474
6492.64706593.64746694.6467
6795.64676896.64636997.6462
7098.64677199.646172100.6465
73101.646474102.64675103.6464
76104.646077105.646378106.6459
79107.646280108.646281109.6462
82110.646383111.646284112.6463
85113.646386114.646387115.6463
88116.646289117.443690118.6462
91119.646392120.646293121.6463
94122.646395123.646396124.6463
97125.646398126.646499127.6463
100128.6461101129.6462102130.6462
103131.7462104132.6463105133.6463
106134.6462107135.6463108136.6461
109137.6462110138.6463111139.6463
112140.6462113141.6463114142.6462
115143.6463116144.6462117145.6463
118146.6462119147.6463120148.6462
121149.6462122150.6463123151.6462
124152.6463125153.6462126154.6462
127155.6462128156.6463129157.6463
130158.6463131159.6463132160.6463
133161.6463134162.6463135163.6463
136164.6462137165.6463138166.6463
139167.6463140168.6463141169.6463
142170.6462143171.6462144172.6462
145173.6462146174.6463147175.6462
148176.6462149177.6465150178.6463
151179.6478152180.6463153181.6463
154182.6461155183.6462156184.6463
157185.6462158186.6463159187.6462
160188.6463161189.6462162190.6463
163191.6462164192.6463165193.6463
166194.6462167195.6463168196.6463
169197.6463170198.6463171199.6462
172200.6462173201.6463174202.6462
175203.6463176204.6462177205.6462
178206.6462179207.6463180208.6358
+ +旋转中心位置 $(x, y)$ 解得入射角度序列 $\theta_{i}$ 后，通过线性插值将探测器接收信息处理为入射角度间距相等的情况，以满足逆Radon算法的输入要求，获取更高质量的重建图像。 + +再次运用图??所示的方法，利用三角形相似性确定更精确的旋转中心位置，计算结果如图??所示： + +$$ +x = 4 0. 8 4 3 6 m m +$$ + +$$ +y = 5 6. 1 4 9 5 m m +$$ + +![](images/7acfbc2245363a863bb193d3f48347db63aca933e4b048dbc84f5ac195f6e057.jpg) +图15: 旋转中心位置 + +# 4.2.3 模型分析与评价 + +本模型根据拟合结果求解 $\theta$ ，由于拟合过程中可能存在误差，故求得的结果也存在一定的误差。 + +依照前面的推导，有 + +$$ +\cos^ {2} \theta = \frac {1}{b ^ {2} - a ^ {2}} \left(- \frac {C}{K} \Delta l ^ {2} - a ^ {2}\right) \tag {26} +$$ + +对于标定用的模型，我们认为所提供的参数值是足够精确的，可以忽略其误差。于是误差的主要来源为C、K和 $\Delta l$ 。记参数P 的误差为 $\delta(P)$ ，则有 + +$$ +\delta \left(\cos^ {2} \theta\right) = - \frac {1}{b ^ {2} - a ^ {2}} \delta \left(\frac {C}{K} \Delta l ^ {2}\right) \tag {27} +$$ + +于是，只需求出 $\delta \left(\frac{C}{K} \Delta l^{2}\right)$ ，根据误差传递公式，有 + +$$ +\delta \left(\frac {C}{K} \Delta l ^ {2}\right) = \delta \left(\frac {C}{K}\right) \Delta l ^ {2} + \frac {C}{K} \delta \left(\Delta l ^ {2}\right) \tag {28} +$$ + +其中 + +$$ +\delta \left(\frac {C}{K}\right) / \frac {C}{K} = \sqrt {\left(\frac {\delta (C)}{C}\right) ^ {2} + \left(\frac {\delta (K)}{K}\right) ^ {2}} \tag {29} +$$ + +因为, K与C都是由二次曲线拟合结果计算得出的, 于是分析二次函数拟合参数的置信区间。最小二乘法做二次拟合时, 记预测值为 $P(x)$ , 预测残差平方和为 $Q\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}\right)$ , 则有 + +$$ +P (x) = a _ {2} x ^ {2} + a _ {1} x + a _ {0} \tag {30} +$$ + +$$ +Q \left(a _ {0}, a _ {1}, a _ {2}\right) = \sum_ {x = 1} ^ {N} \left(P \left(x _ {i}\right) - y _ {i}\right) ^ {2} \tag {31} +$$ + +利用最小二乘的思想进行拟合，则要求 $Q(a_{0}, a_{1}, a_{2})$ 取最小值，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {d Q}{d a _ {0}} = 0 \\ \frac {d Q}{d a _ {1}} = 0 \\ \frac {d Q}{d a _ {2}} = 0 \end{array} \right. \tag {32} +$$ + +计算后求得最优预测为： + +$$ +\left[ \begin{array}{l l l} m & \sum x _ {i} & \sum x _ {i} ^ {2} \\ \sum x _ {i} & \sum x _ {i} ^ {2} & \sum x _ {i} ^ {3} \\ \sum x _ {i} ^ {2} & \sum x _ {i} ^ {3} & \sum x _ {i} ^ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} a _ {0} \\ a _ {1} \\ a _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \sum y _ {i} \\ \sum x _ {i} y _ {i} \\ \sum x _ {i} ^ {2} y _ {i} \end{array} \right] \tag {33} +$$ + +记 + +$$ +M = \left[ \begin{array}{l l l} m & \sum x _ {i} & \sum x _ {i} ^ {2} \\ \sum x _ {i} & \sum x _ {i} ^ {2} & \sum x _ {i} ^ {3} \\ \sum x _ {i} ^ {2} & \sum x _ {i} ^ {3} & \sum x _ {i} ^ {4} \end{array} \right] \tag {34} +$$ + +则，考虑误差后，有 + +$$ +M \left[ \begin{array}{l} a _ {0} + \Delta a _ {0} \\ a _ {1} + \Delta a _ {1} \\ a _ {2} + \Delta a _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \sum \left(y _ {i} + \Delta y _ {i}\right) \\ \sum x _ {i} \left(y _ {i} + \Delta y _ {i}\right) \\ \sum x _ {i} ^ {2} \left(y _ {i} + \Delta y _ {i}\right) \end{array} \right] \tag {35} +$$ + +与原式相减可得： + +$$ +M \left[ \begin{array}{l} \Delta a _ {0} \\ \Delta a _ {1} \\ \Delta a _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \sum \Delta y _ {i} \\ \sum x _ {i} \Delta y _ {i} \\ \sum x _ {i} ^ {2} \Delta y _ {i} \end{array} \right] \tag {36} +$$ + +即 + +$$ +\left[ \begin{array}{l} \Delta a _ {0} \\ \Delta a _ {1} \\ \Delta a _ {2} \end{array} \right] = M ^ {- 1} \left[ \begin{array}{l} \sum \Delta y _ {i} \\ \sum x _ {i} \Delta y _ {i} \\ \sum x _ {i} ^ {2} \Delta y _ {i} \end{array} \right] \tag {37} +$$ + +因为 $y_{i}$ 为测量误差，可以视为均值为0，标准差为 $\delta$ 的独立高斯分布，则有 + +$$ +E \left(y _ {i}\right) = 0 \tag {38} +$$ + +$$ +E \left(y _ {i} y _ {j}\right) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{array} \right. \tag {39} +$$ + +至此，可从理论上求得 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 的表达式，且式子均由 $y_{i}$ 的线性表达式构成，利用期望的线性性，可以求得 $E(a_{o}^{2}), E(a_{1}^{2}), E(a_{2}^{2})$ 若对于每一次拟合，都进行如此计算，需要极大的计算量，且不利于直观理解，在此给出一种十分粗糙的方法计算其误差，可以较直观的看到误差的大小： + +对于 $y = a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}$ ，y的相对误差是由 $a_{2}, a_{1}, a_{0}$ 的相对误差共同影响的，由于拟合出来的曲线并非奇异的二次曲线，可以认为 $a_{2}x^{2}, a_{1}x, a_{0}$ 三项的值大小相当，于是 $y, a_{2}, a_{1}, a_{0}$ 的相对误差大致相等，对于 $y$ 的误差，可用其方差的无偏估计来表示，即： + +$$ +\delta (y) = \sqrt {\frac {\sum_ {k = 1} ^ {N} \left(y _ {i} - \hat {y} _ {i}\right) ^ {2}}{N - 1}} \tag {40} +$$ + +y的值用其均值 $\bar{y}$ 表示，即y的相对误差为 $\frac{\delta(y)}{\bar{y}}$ 。如图??所示，用Matlab取出其中一条进行计算，可知该值大致为 $10^{-7} - 10^{-6}$ 。 + +对于 $\delta (\Delta l)$ ，其值的是利用圆的拟合曲线求解的，单次误差求法与椭圆类似。由于在180行数据中都求得了该值，并取了平均，其误差较之原来减小了 $sqrt(180) = 13.41$ 倍，与椭圆的误差相比可以忽略。 + +综上， $\cos^2\theta$ 的相对误差大概在10的-7至-6次方量级。因为 + +$$ +\frac {d \left(\cos^ {2} \theta\right)}{d \theta} = \sin 2 \theta \tag {41} +$$ + +所以 + +$$ +\delta (\theta) = \frac {\delta \left(\cos^ {2} \theta\right)}{\sin 2 \theta} \tag {42} +$$ + +当 $\sin 2\theta > 10^{-2}$ ，即 $\theta$ 与 $\sin 2\theta$ 的零点距离大于 0.02 时即可以认为，算得的 $\theta$ 相对误差小于 $10^{-4}$ 。计算可知，除了极少数几个点之外，其余角度值都可以认为足够精确，相对误差小于 $10^{-4}$ 。 + +![](images/9499b862871ad9216dd5a01970a532ac1f996560559e9785b4b0789683df1b3c.jpg) + +![](images/3610be463636f77b3c15fe4fc9dba273449149689a2b8be2cf20f76d6d9fc1f4.jpg) +图16: 曲线拟合及误差计算 + +# 4.3 问题二、三 + +# 4.3.1 逆Radon变换与图像重建模型 + +参数修正 本部分将逆Radon变换作为重建CT图像的基础手段。为满足该函数对输入参数的要求，首先将入射角度修正为线性拟合值，通过插值方法对接收信息进行相应修正： + +记 $H(k,\theta_i)$ 为入射角度 $\theta_{i}$ 对应的第 $k$ 个采样值，通过线性插值的办法得到角度 $\phi_n = n\alpha$ 处的修正采样函数 $\hat{H} (k,\phi_n)$ 。 + +设 $\phi_n \in [\theta_i, \theta_{i+1}]$ ，插值方法为： + +$$ +\hat {H} (k, \phi_ {n}) = \frac {1}{\theta_ {i + 1} - \theta_ {i}} [ (\phi_ {n} - \theta_ {i}) H (k, \theta_ {i + 1}) + (\theta_ {i + 1} - \phi_ {n}) H (k, \theta_ {i}) ] \tag {43} +$$ + +图像重建 以修正后的接收信息与入射角度序列作为输入，通过逆Radon变换重建图像，计算结果如图??所示。 + +系数修正 由于题述接收信息经由逆Radon变换所得图像数据与吸收率数据不符，两者大致存在线性关系，在此需引入比例系数 $k_{\mu}$ 进行修正。 + +$k_{\mu}$ 的取值由问题一所给数据计算。观察重建图像断面数据（图??）与全部图像数据的频数直方图（图??），由于标定模板为单一均匀介质，可利用聚类分析算法将图像数据分为两类，对其中高值类取均值即可得到 $k_{\mu}$ 的取值，将重建图像数据除以 $k_{\mu}$ 作为修正。 + +![](images/6831e0aa9ac6b17b1c59fbaa85525ec71e8a5d861b9db1f3bc2403f59df30110.jpg) +图17：未知介质重建图像 + +![](images/dde069142ec9b4b0b333c093e9a3355897f68aa4154c98aef9335d0dd89e4e56.jpg) + +![](images/a3fb668485726730a913e685af84b7f0039a5823570d0795f9864eff75a05e53.jpg) +图18：重建图像断面数据 + +滤波去噪针对图像噪声，利用Wiener滤波进行去噪处理，计算结果如图??-??所示。 + +对于问题二（附件3），Wiener滤波对几何伪影的消除效果显著。由信号强度频数直方图可见，原始图像的信号强度有若干明显峰值，且峰值附近的分布情况与问题一中的噪声分布类似，滤波去噪使峰型更为尖锐，对噪声有较好抑制效果。因此对于问题二，采用Wiener滤波后的图像数据求解吸收率分布。 + +对于问题三（附件5），由信号强度频数直方图与滤波前后对比图可见，介质本身吸收率分布广、高频分量大，滤波会抹除较多的边缘信息。因此对于问题三，舍弃Wiener滤波所得结果，利用原始图像求解吸收率分布。 + +![](images/d2c7ac4021b26becc204e2c4ca2e796f1bb2dc7ee59707a9800d0979d0cba2d6.jpg) +图19：图像数据频数直方图 + +![](images/c179f603ef9d59299b1b07bf75cf126509170f6788328a1aec7b5afb777d9a74.jpg) +图20：问题二重建图（左）与滤波所得结果（右） + +![](images/62c380d09c3457f8833644ae92067753bb34c19c0fb43330bad3489800b9ff89.jpg) + +# 4.3.2 未知介质信息的求解 + +吸收率分布 由于上述重建图像的单位坐标长度对应于探测器阵列的间距，图像数据点位与需求的吸收率分布点位 $(256 \times 256)$ 并不相符。为提高吸收率求解的精度，应将所求点位变换为重建图像中的坐标，变换方法如下： + +$$ +a a \tag {44} +$$ + +由变换所得坐标利用周围四点数据进行插值运算，即可得到吸收率的分布（如图????所示），计算结果录于附件problem2.xls。对于附件4要求的10个位置，同样运用上述方法计算吸收率，所得结果如下： + +![](images/f489389d108615f6c04016b0d77ab1a66a0c1a9b14aaa087319eab4a65af4de8.jpg) +图21：问题二投影强度频数直方图（上）与滤波所得结果（下） + +
位置坐标/mm吸收率位置坐标/mm吸收率
(10.0000,18.0000)0.0003(34.5000,25.0000)1.0033
(43.5000,33.0000)0.0002(45.0000,75.5000)1.2096
(48.5000,55.5000)1.0632(50.0000,75.5000)1.4210
(56.0000,76.5000)1.3133(65.5000,37.0000)-0.0012
(79.5000,18.0000)-0.0043(98.5000,43.5000)0.0012
+ +表 2: 问题二吸收率数据 + +
位置坐标/mm吸收率位置坐标/mm吸收率
(10.0000, 18.0000)0.0657(34.5000, 25.0000)2.8779
(43.5000, 33.0000)6.9510(45.0000, 75.5000)-0.0351
(48.5000, 55.5000)0.2859(50.0000, 75.5000)3.2544
(56.0000, 76.5000)6.3600(65.5000, 37.0000)0.0234
(79.5000, 18.0000)7.2257(98.5000, 43.5000)0.0436
+ +表 3: 问题三吸收率数据 + +介质几何信息 将重建图像坐标变换为正方形托盘坐标，即可得到未知介质的位置与几何形状，如图??所示。 + +![](images/d66c214a75a41e0b68f77bcbfdf48ff2f7d06dbed7d95cf19b6bae3ca22037eb.jpg) +图22: 问题三重建图（左）与滤波所得结果（右） + +![](images/324aec5a3312db955539e1ea39d0419e5a48bcf2516205beb67b9966ecc8add4.jpg) + +# 4.3.3 模型分析与评价 + +对于Radon逆变换，依据卷积反投影法，可以先将探测曲线与响应函数进行卷积，之后再进行反投影操作，即可得到吸收率的空间分布情况，在连续且理想的情况下，此种方法可以精确的还原出吸收率空间分布图像。但是在实际操作中，由于测量误差及离散化操作，难免会造成一系列误差。主要来源为： + +1、探测器采样的误差，可以认为是高斯白噪声，几乎无法消除； +2、投影函数 $f(t)$ 经过采样得到采样函数后造成的信息丢失，利用抽样值复原 $f(t)$ 曲线时，根据采样定理，若 $f(t)$ 的频域表达式 $F(\omega)$ 满足 $F(\omega) = 0 \forall |\omega| > \pi$ ，则可以通过采样函数与 $\frac{\sin(2\pi l)}{l}$ 的卷积来精确还原。但是由于 $f(t)$ 在空间域中的宽度是有限的，由傅立叶变换的性质可知其在频域是无穷宽的，故无法精确复原。其次，通过与 $\frac{\sin(2\pi l)}{l}$ 来复原函数，需要计算到无穷远，不现实，一般采用矩形窗、汉明窗等宽度有限的函数作为替代。于是，量化步骤会丢失一定量的信息。 +3、系统函数的傅立叶变换C(R)实际上是不存在的，只能用趋近来表示： + +$$ +C (R) = \lim _ {\epsilon \rightarrow 0} \frac {2 \left(\epsilon^ {2} - 4 \pi^ {2} R ^ {2}\right)}{\left(\epsilon^ {2} + 4 \pi^ {2} R ^ {2}\right) ^ {2}} \tag {45} +$$ + +可以看到 $C(0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{2}{\epsilon^2}$ , 趋于无穷大, 实际计算中不可实现, 故 $\epsilon$ 只能取有限值。为了拟合 $\epsilon$ 有限的情况, 常常采用 “R-L” 滤波函数或者 “S-L” 滤波函数来实现。在这个过程中, 也会造成误差。 + +综上，在进行Radon逆变换的过程中，无可避免会引入误差，需通过平均等方法才能减小误差。 + +![](images/f872eb33e12bebf6fbb46de16cc283f72e32c6005c1fce1e78c2300c66586ee9.jpg) + +![](images/1d8f6b7387e69f2cf43455024d38247acd6c5cf2e47e87e94dbf47a4056cb0b7.jpg) +图23：问题三投影强度频数直方图（上）与滤波所得结果（下） + +# 4.4 问题四 + +# 4.4.1 模型精度与稳定性分析 + +对于问题一中的标定模型，精度分析如??所述，标定角度的相对误差小于 $10^{-4}$ 。 + +为分析标定模型稳定性，引入高斯白噪声进行参数标定，将入射角度 $\theta_{i}$ 的预测误差作为稳定性评估指标： + +$$ +S = \sqrt {\frac {1}{n - 1} \sum_ {i = 1} ^ {1 8 0} \left(\theta_ {i} - \theta_ {s i}\right) ^ {2}} \tag {46} +$$ + +其中下标 $s$ 表示标准值。对于强度不同的高斯白噪声，稳定性分析结果如下： + +
测次: -23.5dB: -25dB: -26.5dB
12.63551.86800.5629
20.24121.94150.4724
30.39624.12451.6861
41.72131.76070.1688
51.55792.63301.4477
+ +表 4: 稳定性分析结果 + +由于整个计算过程比较复杂，从随机过程的角度出发分析引入高斯噪声之后造成的影响有着比较大的困难，但可以利用蒙特卡罗的思想，通过观察结果来描述高斯噪声带来的 + +![](images/5665b7146ad1c41b95227e32a188f6c4bd63149e3788db4b587b200a946723f9.jpg) +图24：未知介质的几何信息 + +![](images/7945c22ad2d60ca5bf15f33c62fbd1a956bd4c1e80a3221809cea7a83b7f30f3.jpg) + +影响。 + +由表格可以看出，随着噪声的增大，计算得到的角度与无噪声标定角度的偏差逐渐增大，且其具体数值存在较大的波动。观察标定角度的图像（图？？），可以发现在绝大部分角度上，标定角度与无噪声标定角度符合得比较良好，只有在红圈标出的区间中有着较大的偏差，且这个偏差值并不稳定。根据之前的误差分析，造成这个问题的主要原因是该角度处的误差传递系数很大，略有测量误差就会导致很大的偏差，在这个角度附近难以精确定标。 + +![](images/6f44f30d9e69a205eee28b85850dfe3da48b65c945ab2f1cb094d9c86800d0c9.jpg) +图25：稳定性分析结果 + +![](images/49f90bb88366cfbe67c67991fdf81491a818a691334a1c20fd7148a0edf587a0.jpg) + +# 4.4.2 新模板设计与标定模型的建立 + +# 设计思路 + +前文分析标定模型精度的问题时曾指出在 $\cos \theta \rightarrow 1$ 或 $\cos \theta \rightarrow 0$ 时，通过求 $\cos^2\theta$ 来求解 $\theta$ 会有极大的误差传递系数，解对数据波动十分敏感。此外，我们在检验其稳定性的时候发现，如图??所示，当对原始数据加入高斯噪声之后，求得的标定角度在大部分地方都 + +是接近于无噪声时的标定值，但是在红圈标注处，与无噪声标定值的差距较为明显，且不同次实验区别很大，这正是该位置的敏感性造成的，甚至会导致出现函数值略大于1（例如arccos(1.0001)）等无法计算的情况，这也正是原标定模型的一个不尽如人意的地方。 + +为了解决这个问题，我们尝试在原标定模型上进行修改来满足更高精度的需求，依照第一题求解的经验，为了得到更精确的解，应当尽可能多的利用上探测器探测到的各个吸收强度值，即考虑用拟合函数的方法来减小单个强度值的测量误差，这就要求模板的投影函数表达式应足够简单，方便拟合。在这一点上，我们首先考虑了用多边形，如正三角形、正方形等，其拟合函数都是分段直线，十分方便，但是在实践过程中发现，虽然没有 $\arccos(x)$ 的敏感性困难，但是其本身对于形状的精度有很高的要求，如图??所示,正三角形的顶点偏离一个像素，就会对拟合结果有很大影响，这引入了一种新的敏感性，对工艺有极高的要求，故认为该方法不合理。 + +![](images/578bafb9970be9ca6ffa30a9231ed832217c4191e637b614990701b6753fab0b.jpg) +图26：正三角模型入射角度拟合曲线 + +![](images/c29683a6ec8fa9373656b47469d6e461b25ffaa2cfd7061b1a185fe4d274f7fe.jpg) + +考虑到椭圆投影函数为二次多项式，方便拟合，蕴含信息量足够丰富，最终选择在新模型中保留椭圆形。 + +解决敏感性的一个方法就是通过两组数据来求得角度值，要求这两组数据在各个位置敏感性不同，于是对于每个位置，可以选出敏感性较低的数据作为测量值，这会对结果有很大的改善。因此，设计新的模板为两个椭圆形介质，如图??所示，其中大椭圆半长轴为40mm，半短轴为15mm，与原模板一致。另外一个椭圆置于原模版中圆的位置附近，长轴与大椭圆长轴45度角，具体参数如图所示。 + +对该模板进行定性分析，由于两个椭圆的朝向不一样，可以解决单个椭圆定角度时存在敏感角度的问题（只要设计好夹角，使得其各自的敏感角度不重合）。另一方面，由于取消了原模板中的圆，需要用其他方式进行探测器间距 $\delta d$ 的定标，这对于单个椭圆是比较麻烦的，但是对于两个椭圆，就可以利用其几何关系，经过三角运算得到，尤其在夹角为 $45^{\circ}$ 时更为简单。最后由于椭圆大小区别比较明显，提取出两条曲线并没有本质的困难， + +![](images/adb8eaac765c5850392b7e1d2e966c0a45f8da520a03a861b60f192c5a84124e.jpg) +图27：新模板设计示意图 + +与此前的圆形模板算法类似。 + +# 标定模型 + +探测器单元间距 $\Delta$ 首先参照原标定模型，将中心椭圆与斜置椭圆的采样数据分离，分别拟合采样函数。 + +设拟合所得中心椭圆投影强度曲线为： + +$$ +h _ {1} ^ {2} (l, \theta) = p _ {1} l ^ {2} + p _ {2} l + p _ {3} \tag {47} +$$ + +根据式 $\text{?}$ ，入射角度与中心椭圆投影曲线存在如下关系： + +$$ +\cos 2 \theta = - \frac {4 \left(2 a _ {1} ^ {2} - b _ {1} ^ {2}\right) p _ {1} ^ {2} + \left(4 p _ {3} ^ {2} p _ {1} - p _ {2} ^ {2}\right) \Delta d ^ {2}}{8 p _ {1} ^ {2} \left(b _ {1} ^ {2} - a _ {1} ^ {2}\right)} \tag {48} +$$ + +设拟合所得斜置椭圆投影强度曲线为: + +$$ +h _ {3} ^ {2} (l, \theta) = r _ {1} l ^ {2} + r _ {2} l + r _ {3} \tag {49} +$$ + +![](images/ae10811abe05fa8c9ce9e925c53e4d1755bb3ba4cdeded3c5e8ac516b8621516.jpg) +图28：双椭圆模型采样数据图 + +由于中心椭圆与斜置椭圆的长轴夹角为 $45^{\circ}$ , 对式 $\because$ 将 $\theta$ 以 $\theta + 45^{\circ}$ 代入, 得入射角度与斜置椭圆投影曲线的关系为: + +$$ +\cos 2 \left(\theta + 4 5 ^ {\circ}\right) = \sin 2 \theta = - \frac {4 \left(2 a _ {2} ^ {2} - b _ {2} ^ {2}\right) r _ {1} ^ {2} + \left(4 r _ {3} ^ {2} r _ {1} - r _ {2} ^ {2}\right) \Delta d ^ {2}}{8 r _ {1} ^ {2} \left(b _ {2} ^ {2} - a _ {2} ^ {2}\right)} \tag {50} +$$ + +为方便表述，记 + +$$ +A _ {1} = - \frac {(4 p _ {3} ^ {2} p _ {1} - p _ {2} ^ {2}) \Delta d ^ {2}}{8 p _ {1} ^ {2} (b _ {1} ^ {2} - a _ {1} ^ {2})} +$$ + +$$ +B _ {1} = - \frac {4 (2 a _ {1} ^ {2} - b _ {1} ^ {2}) p _ {1} ^ {2}}{8 p _ {1} ^ {2} (b _ {1} ^ {2} - a _ {1} ^ {2})} +$$ + +$$ +A _ {2} = - \frac {(4 r _ {3} ^ {2} r _ {1} - r _ {2} ^ {2}) \Delta d ^ {2}}{8 r _ {1} ^ {2} (b _ {2} ^ {2} - a _ {2} ^ {2})} +$$ + +$$ +B _ {2} = - \frac {4 (2 a _ {2} ^ {2} - b _ {2} ^ {2}) r _ {1} ^ {2}}{8 r _ {1} ^ {2} (b _ {2} ^ {2} - a _ {2} ^ {2})} +$$ + +则有 + +$$ +\cos 2 \theta = A _ {1} \Delta d ^ {2} + B _ {1} \tag {51} +$$ + +$$ +\sin 2 \theta = A _ {2} \Delta d ^ {2} + B _ {2} \tag {52} +$$ + +联立求解从而确定 $\Delta d$ 的取值： + +$$ +\Delta d = \frac {- \left(A _ {1} B _ {1} + A _ {2} B _ {2}\right) + \sqrt {2 A _ {1} A _ {2} B _ {1} B _ {2} - A _ {1} ^ {2} B _ {2} ^ {2} - A _ {2} ^ {2} B _ {1} ^ {2} + A _ {1} ^ {2} + A _ {2} ^ {2}}}{A _ {1} ^ {2} + A _ {2} ^ {2}} \tag {53} +$$ + +入射角度 $\theta$ 将各次计算的 $\Delta d$ 取平均，代回求解出 $cos2\theta$ 及 $sin2\theta$ 。且这两个值是从两套拟合数据中独立计算的，其误差几乎不存在耦合关系。 + +分析该计算的敏感性，由误差传递公式： + +$$ +\delta (\theta) = \frac {\Delta (\cos 2 \theta)}{| - 2 \sin 2 \theta |} \tag {54} +$$ + +$$ +\delta (\theta) = \frac {\Delta (\sin 2 \theta)}{| 2 \cos 2 \theta |} \tag {55} +$$ + +因为 $\sin 2\theta$ 与 $\cos 2\theta$ 不可能同时为0，所以无需担心敏感性极强的问题。 + +继续分析 $\sin 2 \theta$ 与 $\cos 2 \theta$ 的误差，以 $\cos 2 \theta$ 为例： + +$$ +\delta (\cos 2 \theta) = \left| \frac {2 b _ {1}}{\left(b _ {1} ^ {2} - a _ {1} ^ {2}\right) ^ {2}} \left(\frac {2 C _ {1} \Delta d}{K _ {1}} + 2 a _ {1} ^ {2}\right) \right| \delta \left(b _ {1}\right) + \left| \frac {2 a _ {1}}{\left(b _ {1} ^ {2} - a _ {1} ^ {2}\right) ^ {2}} \left(\frac {2 C _ {1} \Delta d}{K _ {1}} + 2 b _ {1} ^ {2}\right) \right| \delta \left(a _ {1}\right) \tag {56} +$$ + +在本题中代入具体数值可知 $\frac{2C_1\Delta d^2}{K_1}$ 一般比 $a_1^2$ 小10倍以上，故可以认为误差近似等于： + +$$ +\delta (\cos 2 \theta) \approx \left| \frac {4 b _ {1} a _ {1} ^ {2}}{\left(b _ {1} ^ {2} - a _ {1} ^ {2}\right) ^ {2}} \right| \delta (b _ {1}) + \left| \frac {4 a _ {1} b _ {1} ^ {2}}{\left(b _ {1} ^ {2} - a _ {1} ^ {2}\right) ^ {2}} \right| \delta (a _ {1}) \tag {57} +$$ + +$\sin 2 \theta$ 的误差与之同理，只需将对应的尺寸换成小椭圆的尺寸即可。因为小椭圆尺寸是大椭圆的 $\frac{1}{T}$ 倍，从公式中可以看到误差与尺寸的-1次方成正比，所以： + +$$ +\sin 2 \theta \approx T \cos 2 \theta \tag {58} +$$ + +记由 $\cos 2\theta$ 和 $\sin 2\theta$ 算得的 $\theta$ 分别为 $\theta_{c}$ 和 $\theta_{s}$ ，为了尽可能减小的误差，记 + +$$ +\theta = u \theta_ {c} + v \theta_ {s} \tag {59} +$$ + +其中 $u + v = 1$ ，则 + +$$ +E \left(\theta^ {2}\right) = E \left(u \theta_ {c} + v \theta_ {s}\right) ^ {2} \tag {60} +$$ + +因为两者的噪声来源基本独立，故认为其协方差系数为0，于是 + +$$ +E \left(\theta^ {2}\right) = E \left(u ^ {2} \theta_ {c} ^ {2} + v ^ {2} \theta_ {s} ^ {2}\right) \tag {61} +$$ + +对上式求导，可知 $u = \frac{\theta_s^2}{\theta_c^2 + \theta_s^2}$ 时，误差的方差达到最小。可以求得： + +$$ +E \left(\theta_ {s} ^ {2}\right) \approx \frac {E \left(\delta \left(\cos 2 \theta\right) ^ {2}\right)}{4 \sin^ {2} 2 \theta_ {c}} \tag {62} +$$ + +$$ +E \left(\theta_ {c} ^ {2}\right) \approx \frac {T ^ {2} E \left(\delta \left(\sin 2 \theta\right) ^ {2}\right)}{4 \cos^ {2} 2 \theta_ {s}} \tag {63} +$$ + +所以，此时： + +$$ +u = \frac {T \sin^ {2} 2 \theta_ {c}}{\cos^ {2} 2 \theta_ {s} + T \sin^ {2} 2 \theta_ {c}} \tag {64} +$$ + +$$ +v = \frac {\cos^ {2} 2 \theta_ {s}}{\cos^ {2} 2 \theta_ {s} + T \sin^ {2} 2 \theta_ {c}} \tag {65} +$$ + +从而求解 $\theta = u\theta_{c} + v\theta_{s}$ 的值。 + +旋转中心位置 $(x, y)$ 利用分别拟合的两条采样函数曲线，经由变量替换得到中心椭圆与斜置椭圆的投影强度曲线，从而计算两椭圆中心 $O_{1}, O_{2}$ 的投影位置曲线。以 $O_{1}, O_{2}$ 与旋转中心 $O$ 为顶点构造三角形，由 $O_{1}, O_{2}$ 的投影位置曲线可确定三角形的内角，从而在正方形托盘上定位出旋转中心的位置。此部分计算与原模型基本相同，此处不再赘述。 + +# 5 模型评价 + +本文以Radon变换等物理背景为理论依据，进行了二维平面上的平行射线CT成像系统的建模与分析。 + +在由题目所给模板对CT系统进行标定时，先使用图像处理的形态学操作得到了椭圆投影的宽度变化规律，计算得到各角度参数、旋转中心的估计值，由此进一步处理图像，将椭圆和圆的两部分影响独立出来并分别进行拟合，在题述条件下，由拟合结果得到了高精度的结果。 + +由于原标定模型的单个椭圆的定标能力限制，该模型在敏感角度附近难以达到理想精度，在引入高斯白噪声的情况下产生了较大的测量误差。 + +因此原标定模型对噪声的抵抗能力较差，应用范围受限。但在经过良好滤波除噪的情况下，能达到较为理想的标定精度。 + +新模型针对原有标定模型的固有缺陷进行了改进，以斜置椭圆替代圆形模板，在大致保留原有模型特性的基础上，引入了相位不同的新标定曲线，通过双椭圆标定曲线的互补，克服了原有的敏感性缺陷，在同等条件下，与原模型相比可以取得更高的标定精度。 + +# 参考文献 + +[1] 庄天戈. CT原理与算法[M]. 上海交通大学出版社, 1992. +[2] 沈建仪. 椭圆平行切线的性质及应用[J]. 中学数学教学, 1987(04). + +[3] 郭立倩. CT系统标定与有限角度CT重建方法的研究[D]. 大连理工大学, 2016. +[4] Turbell H. Cone-beam reconstruction using filtered backprojection /[J]. Linköping University, 2001. +[5] JiangHsieh, Hsieh, 张朝宗,等. 计算机断层成像技术:原理、设计、伪像和进展[J]. 2006. +[6] 高上凯. 医学成像系统. 第2版[M]. 清华大学出版社, 2010. + +# 附录 + +% 获取数据 +```txt +"problem_1.m" +clc; close all; +``` + +```javascript +dataFile = '.\A题附件.xls'; data = xlsread(dataFile,2); +``` + +$\%$ 参数设定 +```matlab +lenTheta = 180; % 总测量角度数 +pixScale = 512; % 单次测量像素数目 +normScale = 100; % 标准尺度(100mm) +graphScale = 256; % 目标像素尺度(256pixel) +a = 40; b = 15; R = 4; % 图形参数 +normEllips0 = [50,50]; % 椭圆中心位置 +normCircle0 = [95,50]; % 圆形中心位置 +``` + +%基本信息提取 +```matlab +figure('Name','各次测量的接收值总和');plot(sum(data), 'b.));hold on; +axis([1,lenTheta,min(sum(data)) * 0.997, max(sum(data)) * 1.003]); +plot([1,lenTheta], [mean(sum(data)), mean(sum(data))], 'r-'); +text(lenTheta-50, max(sum(data)) * 1.003-20, ['std=', num2str(sum(data)))], 'FontSize', 14) +legend('各次测量的接收值求和','多次测量的接收值均值'); +``` + +$\%$ 粗测尺度及角度 +```txt +% 获取曲线边缘，得到椭圆宽度变化 +``` + +% figure('Name','原始数据灰度图'); colormap(gray); imagesc(data); +```matlab +curv = abs(diff(data)); +curv = curv > 1; +se = strel('square',3); +curvEllips = imopen(curv,se); +curvEllips = bwareaopen(curvEllips,500); +``` + +$\%$ 得到每一角度对应的椭圆宽度数据 +widthEllips $=$ zeros(1,lenTheta); + +for $j = 1$ :lenTheta widthEllips(j) $\equiv$ find(curvEllips(:,j),1,'last')-(find(curvEllips(:,j),1,'first')); end + +# $\%$ 粗略计算角度和尺度 + +```matlab +roughScale = max(widthEllips)/2/a; +normWidthEllipse = widthEllips/roughScale; +roughTheta = zeros(1,lenTheta); +for j=1:lenTheta + roughTheta(j) = 180/pi*real(acot(square((4*a^2-normWidthEllipse(j)^2)/(normWidthEllips +``` + +# $\%$ 拟合得到各个角度，粗略得到逆变换图 + +diffRoughTheta $=$ diff(roughTheta); +breakP1 $=$ find(diffRoughTheta<-0.1,1); +breakP2 $=$ find(diffRoughTheta-breakP1+10:end)>0.1,1)+breakP1+10; +roughTheta(1:breakP1)=roughTheta(1:breakP1); +roughTheta-breakP1+1:breakP2-1)=180-roughTheta-breakP1+1:breakP2-1); +roughThetabreakerP2:end $\coloneqq$ 180+roughThetabreakerP2:end); +[temp,\~] $\equiv$ polyfit(1:lenTheta,roughTheta,1); +k_temp $\equiv$ temp(1); +b_temp $\equiv$ temp(2); +linerTheta $= (1:\mathrm{len}\Theta \mathrm{t a})\ast \mathrm{k\_temp} + \mathrm{b\_temp};$ +figure('Name','粗测角度及拟合情况');plot(1:lenTheta,roughTheta,'r.']； +hold on;plot(1:lenTheta,linerTheta,'b-'); +legend('粗测的角度'，'拟合的角度'); +roughMap $=$ iradon(data,linerTheta,pixScale); + +# % 旋转修正 + +```matlab +Status = regionprops((roughMap>max(max(roughMap))/5)); +[,orderEllips] = max([Status(:).Area]); +[,orderCircle] = min([Status(:).Area]); +pixEllips0 = Status(orderEllips).Centroid; +pixCircle0 = Status(orderCircle).Centroid; +fixAng = angle((pixCircle0-pixEllips0)*[1;1i]); +``` + +```javascript +linerTheta = linerTheta + fixAng * 180 / pi; +roughMap = iradon(data, linerTheta, pixScale); +``` + +$\%$ 得到小圆圆心在图像中位置 + +```matlab +Status = regionprops((roughMap>max(max(roughMap))/5)); +[~,orderCircle] = min([Status(:).Area]); +pixCircle0 = Status(orderCircle).Centroid; +pix0 = [pixScale/2,pixScale/2]; +``` + +$\%$ 得到轴在探测器阵列中的投影位置 + +```matlab +[~,minWidthEllipsPos] = min(widthEllips); +tempStart = find(data(:,minWidthEllipsPos) > 0,1,'first'); +tempEnd = find(data(tempStart:end,minWidthEllipsPos) == 0,1,'first') + tempStart; +AxisPosInSensors = (tempStart + tempEnd) / 2 + abs pix0(1) - pixCircle0(1)); +``` + +$\%$ 拟合得到精确尺寸和角度 + +% 拟合准备 + +```matlab +pixCircleCenter = zeros(1,lenTheta); +pixEllipsCenter = zeros(1,lenTheta); +fitEllipsData= data; +fitCircleData= data; +fitEllipsAns = zeros pixScale, lenTheta); +fitCircleAns = zeros pixScale, lenTheta); +fitAns = zeros(3,lenTheta); +fitMin = max(max(data)) * 0.01; +x = 1:pixScale; +``` + +% 拟合过程 + +for $j = 1$ :lenTheta + +$\%$ 椭圆的宽度曲线拟合 + +```matlab +pixCircleCenter(j) = int16(AxisPosInSensors - norm pix0-pixCircle0)*cos(lnerTheta(j) +fitEllipsData(int16(pixCircleCenter(j)-2*R*roughScale:pixCircleCenter(j)+2*R*roughScale) +fitEllipsRange = find(fitEllipsData(:,j)>fitMin); +fitEllips = polyfit(x(fitEllipsRange)',fitEllipsData(fitEllipsRange,j).^2,2); +fitEllipsAns(:,j) = (fitEllips(1)*x.^2+fitEllips(2)*x+fitEllips(3))'; +``` + +fitEllipsAns(fitEllipsAns(:,j) $< 0$ ,j）=0; +fitEllipsAns(:,j） $=$ sqrt(fitEllipsAns(:,j)); + +# $\%$ 圆的宽度曲线拟合 + +```matlab +fitCircleData(:,j) = data(:,j)-fitEllipsAns(:,j); +fitCircleRange = find(fitCircleData(:,j)>fitMin); +fitCircle = polyfit(x(fitCircleRange)',fitCircleData(fitCircleRange,j).^2,2); +fitCircleAns(:,j) = (fitCircle(1)*x.^2+fitCircle(2)*x+fitCircle(3))'; +fitCircleAns(fitCircleAns(:,j)<0,j)=0; +fitCircleAns(:,j) = sqrt(fitCircleAns(:,j)); +``` + +# % 拟合结果处理 + +```matlab +pixCircleCenter(j) = -fitCircle(2)/fitCircle(1)/2; +pixEllipsCenter(j) = -fitEllips(2)/fitEllips(1)/2; +deltaL = 8/(sqrt(fitCircle(2)^2-4*fitCircle(1)*fitCircle(3))/abs(fitCircle(1)); +G = -8/((fitCircle(2)^2-4*fitCircle(1)*fitCircle(3))/fitCircle(1)/4); +temp = -deltaL^2*(fitEllips(3)-fitEllips(2)^2/fitEllips(1)/4)/fitEllips(1); +cosTheta2 = (temp/b^2-a^2/b^2)/(1-a^2/b^2); +fitAns(:,j) = [deltaL,G,cosTheta2]; +end +``` + +```javascript +figure('Name','椭圆部分数据图'); colormap(gray); imagesc.fitEllipsData); figure('Name','椭圆部分拟合图'); colormap(gray); imagesc.fitEllipsAns); figure('Name','小圆部分数据图'); colormap(gray); imagesc.fitCircleData); figure('Name','小圆部分拟合图'); colormap(gray); imagesc.fitCircleAns); figure('Name','拟合结果与实际数据比对图'); +``` + +```matlab +temp = 150; +subplot(2,1,1);hold on; +plot(fitEllipsData(:,temp), 'b.'); plot(fitEllipsAns(:,temp), 'g-'); +plot(fitCircleData(:,temp), 'b.'); plot(fitCircleAns(:,temp), 'g-'); +subplot(2,1,2); hold on; +plot(fitEllipsAns(:,temp)-fitEllipsData(:,temp), 'r-'); +plot(fitCircleAns(:,temp)-fitCircleData(:,temp), 'r-'); +``` + +# $\%$ 得到拟合出的角度并修正方向 + +```javascript +fixTheta = 1/2*acos(2.*fitAns(3,:)-1)*180/pi; +``` + +diffFixTheta $=$ diff(fixTheta); +breakP1 $=$ find(diffFixTheta $< 0,1$ . +breakP2 $=$ find(diffFixTheta破裂P1+1:end)>0,1)+breakP1+1; +fixTheta(1:breakP1)=fixTheta(1:breakP1); +fixTheta破裂P1+1:breakP2-1)=180-fixTheta破裂P1+1:breakP2-1); +fixTheta破裂P2:end)=180+fixTheta破裂P2:end); +figure('Name','修正后的各个角度');subplot(1,2,1);plot(fixTheta,'.）; +subplot(1,2,2);plot(diff(fixTheta)，'r-’); +set(gcf，'Position'，[500500900400]); + +$\%$ 相关参数的求解 + +$\%$ 得到深度系数和探测器间距 + +```matlab +G = mean.fitAns(2,:)); +deltaL = mean.fitAns(1,:)); +[interpData,intepTheta]=interpForIradon.fixTheta,data); +fixMap = iradon(interpData,intepTheta,'spline','Hann',pixScale); +``` + +% 精测旋转中心 + +```txt +Status = regionprops((fixMap>max(max FixMap)) / 5)); +[,orderEllips] = max([Status(:).Area]); +[,orderCircle] = min([Status(:).Area]); +pixEllips0 = Status(orderEllips).Centroid; +pixCircle0 = Status(orderCircle).Centroid; +pix0 = [pixScale/2, pixScale/2]; +norm0 = ((2*pix0-pixEllips0-pixCircle0)*deltaL+normEllips0+normCircle0)/2; +figure('Name','修正的重建图像'); colormap(gray); imshow-fixMap); +hold on; plot(pix0(1), pix0(2), 'ro'); +plot([pixEllips0(1), pixCircle0(1)], [pixEllips0(2), pixCircle0(2)], 'ko'); +plot([pix0(1), pixEllips0(1), pixCircle0(1), pix0(1)], [pix0(2), pixEllips0(2), pixCircle0(2), +``` + +% 绘制原尺寸图内的旋转中心 + +figure('Name','旋转中心示意图'); + +```matlab +plot([0,100,100,0],[0,0,100,100], 'k-'); hold on; +tempLen = 1000; +xEllipsPos = zeros(tempLen); +``` + +```matlab +yEllipsPos = zeros(tempLen); +xCirclePos = zeros(tempLen); +yCirclePos = zeros(tempLen); +for i=1:tempLen + sita = i/tempLen*2*pi; + xEllipsPos(i) = b*cos(sita)+normEllips0(1); + yEllipsPos(i) = a*sin(sita)+normEllips0(2); + xCirclePos(i) = R*cos(sita)+normCircle0(1); + yCirclePos(i) = R*sin(sita)+normCircle0(2); +end +plot(xEllipsPos,yEllipsPos,'k-'); +plot(xCirclePos,yCirclePos,'k-'); +plot(normO(1),normO(2), 'ro'); +plot([normEllipsO(1),normCircleO(1)], [normEllipsO(2),normCircleO(2)], 'ko'); +plot([normO(1),normEllipsO(1),normCircleO(1),normO(1)], [normO(2),normEllipsO(2),normCircaxis('equal')); +set(gca,'YDir','reverse'); +``` + +# % 求解'吸收率'系数 + +figure('Name','重建图形的吸收率分布');hist.fixMap(:,1000); + +[fixKm,fixKmC] = kmeans(fixMap(:,2); + +Gt = max(fixKmC) / 1.00; + +# %% 保存数据 + +```matlab +CalibrationResults = { + {'Theta'; roundn.fixTheta, -4)}; + {'normO'; roundn(normO, -4)}; + {'deltaL'; roundn(deltal, -4)}; + {'G'; roundn(G, -4)}; + {'Gt'; roundn(Gt, -4)} +}; +for i=1:length(CalibrationResults) + xlswrite('Calibration.xls', {CalibrationResults{i} {1}}, 1, ['A' num2str(i)]); + xlswrite('Calibration.xls', CalibrationResults{i} {2}, 1, ['B' num2str(i)]); +end +``` + +```matlab +"problem_2.m" +clc;close all; +%% 获取数据 +dataFile = '.\A题附件.xls'; +data = xlsread(dataFile,3); +points=xlsread(dataFile,4); +CalibrationFile = 'Calibration.xls'; +CalibrationData = xlsread(CalibrationFile,1); +Theta = CalibrationData(1,:); +norm0 = CalibrationData(2,1:2); +deltaL= CalibrationData(3,1); +G = CalibrationData(4,1); +Gt = CalibrationData(5,1); +``` + +$\% \%$ 计算/显示/保存 +pixScale $= 512$ +desScale $= 256$ +[interpData,interpTheta] $=$ interpForIradon(Theta,data);Map $\equiv$ iradon(interpData,interpTheta,'spline'，'Hann'，pixScale）./Gt;figure('Name'，'直接逆Radon变换')；colormap(gray)；imagesc(Map)； + +$\%$ 图像插值 +```matlab +pix0 = [pixScale/2, pixScale/2]; +desGraph = zeros(desScale); +for i=1:desScale + for j=1:desScale + pixPoint = pix0 + ([i-0.5, j-0.5]. / desScale * 100 - [norm0(2), norm0(1)])/deltaL * pixScale; + desGraph(i, j) = interpAbsorbMap(pixPoint, Map); + end +end +figure('Name','吸收率平面分布图'); colormap(gray); imagesc(desGraph); +``` + +# % 图像wiener滤波 + +```matlab +K=wiener2(desGraph,[5 5]); +figure('Name','吸收率占比分布图'); +[tempA, tempB] = hist(desGraph(:,1000); +subplot(211); bar(tempB, tempA, 'b'); axis([-0.2,1.6,0,4000]); +ylabel('原始重建图像吸收率分布'); +[tempA, tempB] = hist(K(:,1000); +subplot(212); bar(tempB, tempA, 'r'); axis([-0.2,1.6,0,4000]); +ylabel('滤波后的图像吸收率分布'); +``` + +```matlab +figure('Name','滤波前后对比图'); +subplot(121);imagesc(desGraph);ylabel('原始图像'); +subplot(122);imagesc(K);ylabel('滤波处理'); +set(gcf,'Position',[500 500 900 400]); +``` + +# % 计算各点吸收率 + +Absorption $=$ zeros(1,length(points)); +fprintf('各点吸收率数据：\n'); +pixPoints $=$ zeros(length(points),2); +for $\mathrm{i} = 1$ :length(points) pixPoints(i,:) $=$ [points(i,1),100-points(i,2)]/100*desScale*pixScale/512; Absorption(i） $=$ interpAbsorbMap([pixPoints(i,2)，pixPoints(i,1)],K); fprintf（'.4f\n',Absorption(i)); +end + +# 显示各点位置 + +```matlab +figure('Name','各点分布图'); colormap(gray); imagesc(K); hold on; +for i=1:length(points) + plot(points(i,1)*desScale/100,(100-points(i,2))*desScale/100,'r*'); + text(points(i,1)*desScale/100,(100-points(i,2))*desScale/100,num2str(roundn(Absorbti) +end +``` + +# % 保存数据 + +```javascript +xlswrite('problem2.xls', roundn(K, -4)); +``` + +```matlab +"problem_3.m" +clc; close all; +%% 获取数据 +dataFile = '.\A题附件.xls'; +data = xlsread(dataFile,5); +points=xlsread(dataFile,4); +CalibrationFile = 'Calibration.xls'; +CalibrationData = xlsread(CalibrationFile,1); +Theta = CalibrationData(1,:); +norm0 = CalibrationData(2,1:2); +deltaL= CalibrationData(3,1); +G = CalibrationData(4,1); +Gt = CalibrationData(5,1); +``` + +$\%$ 计算/显示/保存 +```matlab +pixScale = 512; +desScale = 256; +[interpData, interpTheta] = interpForIradon Theta, data); +Map = iradon(interData, interpTheta, 'spline', 'Hann', pixScale). / Gt; +figure('Name', '直接逆Radon变换'); colormap(gray); imagesc(Map); +``` + +% 图像插值 +$\%$ 图像wiener滤波 +```matlab +pix0 = [pixScale/2, pixScale/2]; +desGraph = zeros(desScale); +for i=1:desScale + for j=1:desScale + pixPoint = pix0 + ([i-0.5, j-0.5]. / desScale * 100 - [norm0(2), norm0(1)])/deltaL * pixScale; + desGraph(i, j) = interpAbsorbMap(pixPoint, Map); + end +end +figure('Name','吸收率平面分布图'); colormap(gray); imagesc(desGraph); +``` + +```matlab +K=wiener2(desGraph,[5 5]); +figure('Name','吸收率占比分布图'); +[tempA, tempB] = hist(desGraph(:,1000); +subplot(211); bar(tempB, tempA, 'b'); axis([-0.2,6,0,1000]); +ylabel('原始重建图像吸收率分布'); +[tempA, tempB] = hist(K(:,1000); +subplot(212); bar(tempB, tempA, 'r'); axis([-0.2,6,0,1000]); +ylabel('滤波后的图像吸收率分布'); +``` + +```matlab +figure('Name','滤波前后对比图'); +subplot(121);imagesc(desGraph);ylabel('原始图像'); +subplot(122);imagesc(K);ylabel('滤波处理'); +set(gcf,'Position',[500 500 900 400]); +``` + +# % 计算各点吸收率 + +Absorption $=$ zeros(1,length(points)); +fprintf('各点吸收率数据：\n'); +pixPoints $=$ zeros(length(points),2); +for $\mathrm{i} = 1$ :length(points) pixPoints(i,:) $=$ [points(i,1),100-points(i,2)]/100*desScale*pixScale/512; Absorption(i） $=$ interpAbsorbMap([pixPoints(i,2)，pixPoints(i,1)],desGraph); fprintf（'.%.\4f\n',Absorption(i)); +end + +# 显示各点位置 + +```matlab +figure('Name','各点分布图'); colormap(gray); imagesc(desGraph); hold on; +for i=1:length(points) + plot(points(i,1)*desScale/100,(100-points(i,2))*desScale/100,'r*'); + text(points(i,1)*desScale/100,(100-points(i,2))*desScale/100,num2str(roundn(Absorbti) +end +``` + +# % 保存数据 + +```javascript +xlabelwrite('problem3.xls', roundn(desGraph, -4)); +``` + +```matlab +"problem_4.m" +clc; close all; +%% 获取数据 +dataFile = '.\A题附件.xls'; +originData = xlsread(dataFile,2); +CalibrationFile = 'Calibration.xls'; +CalibrationData = xlsread(CalibrationFile,1); +Theta = CalibrationData(1,:); +normO = CalibrationData(2,1:2); +deltaLs = CalibrationData(3,1); +G = CalibrationData(4,1); +Gts = CalibrationData(5,1); +``` + +# %% 参数设定 + +```matlab +lenTheta = 180; % 总测量角度数 +pixScale = 512; % 单次测量像素数目 +normScale = 100; % 标准尺度(100mm) +graphScale = 256; % 目标像素尺度(256pixel) +a = 40; b = 15; R = 4; % 图形参数 +normEllipse = [50,50]; % 椭圆中心位置 +normCircle = [95,50]; % 圆形中心位置 +``` + +# %基本信息提取 + +```txt +data = originaData; +``` + +# $\%$ 粗测尺度及角度 + +% 获取曲线边缘，得到椭圆宽度变化 +% figure('Name','原始数据灰度图'); colormap(gray); imagesc(data); + +```matlab +curv = abs(diff(data)); +curv = curv > 1; +se = strel('square',3); +curvEllips = imopen(curv,se); +curvEllips = bwareaopen(curvEllips,500); +``` + +$\%$ 得到每一角度对应的椭圆宽度数据 + +widthEllips $=$ zeros(1,lenTheta); + +for $j = 1$ :lenTheta + +widthEllips(j) = find(curvEllips(:,j),1,'last')-(find(curvEllips(:,j),1,'first')); end + +$\%$ 粗略计算角度和尺度 + +roughScale = max(widthEllips)/2/a; + +normWidthEllipse = widthEllips/roughScale; + +roughTheta = zeros(1, lenTheta); + +for $j = 1$ :lenTheta + +roughTheta(j) = 180/pi*real(acot(square((4*a^2-normWidthEllipse(j)^2)/(normWidthEllipse(j)) end + +$\%$ 拟合得到各个角度，粗略得到逆变换图 + +diffRoughTheta $=$ diff(roughTheta); + +breakP1 = find(diffRoughTheta<-0.1,1); + +breakP2 = find(diffRoughTheta破裂P1+10:end)>0.1,1)+breakP1+10; + +roughTheta(1:breakP1) $\equiv$ roughTheta(1:breakP1); + +roughTheta BreakP1+1: breakP2-1) = 180-roughTheta (breakP1+1: breakP2-1); + +roughTheta BreakP2: end) = 180 + roughTheta (breakP2: end); + +[temp, $\tilde{\cdot}$ ]=polyfit(1:lenTheta,roughTheta,1); + +k_temp = temp(1); + +b_temp = temp(2); + +linerTheta = (1:lenTheta)*k_temp + b_temp; + +roughMap = iradon(data,linerTheta,pixScale); + +% 旋转修正 + +Status = regionprops((roughMap>max(max(roughMap))/5)); + +[ \text{[~,orderEllips]} = \max ([Status(:).Area]); ] + +[ \text{[~, orderCircle]} = \min([Status(:).Area]); ] + +pixEllips0 = Status(orderEllips).Centroid; + +pixCircle0 = Status(orderCircle).Centroid; + +fixAng = angle((pixCircle0-pixEllips0)*[1;1i]); + +linerTheta = linerTheta + fixAng*180/pi; + +```javascript +roughMap = iradon(data,linerTheta,pixScale); +``` + +$\%$ 得到小圆圆心在图像中位置 + +Status $=$ regionprops((roughMap>max(max(roughMap))/5)); + +[~,orderCircle] $=$ min([Status(:).Area]); + +```txt +pixCircle0 = Status(orderCircle).Centroid; +``` + +```javascript +pix0 = [pixScale/2, pixScale/2]; +``` + +$\%$ 得到轴在探测器阵列中的投影位置 + +[~,minWidthEllipsPos] $=$ min(widthEllips); + +```txt +tempStart = find(data(:,minWidthEllipsPos) > 0,1,'first'); +``` + +```javascript +tempEnd = find(data(tempStart:end,minWidthEllipsPos) == 0,1,'first') + tempStart; +``` + +```javascript +AxisPosInSensors = (tempStart + tempEnd) / 2 + abs(pix0(1) - pixCircle0(1)); +``` + +$\%$ 加入高斯噪声，分析精测部分的敏感性问题 + +gaussPower $= 0.00002$ + +```javascript +data = imnoise(data ./max(max(originData)), 'gaussian', 0, gaussPower). *max(max(origin +``` + +%% 拟合得到精确尺寸和角度 + +% 拟合准备 + +```javascript +pixCircleCenter = zeros(1, lenTheta); +``` + +```javascript +pixEllipsCenter = zeros(1, lenTheta); +``` + +```txt +fitEllipsData= data; +``` + +```javascript +fitCircleData = data; +``` + +```javascript +fitEllipsAns = zeros pixScale, lenTheta); +``` + +```javascript +fitCircleAns = zeros pixScale, lenTheta); +``` + +```javascript +fitAns = zeros(3, lenTheta); +``` + +```matlab +fitMin = max(max(data)) * 0.03; +``` + +$\mathbf{x} = 1$ :pixScale; + +% 拟合过程 + +for $j = 1$ :lenTheta + +$\%$ 椭圆的宽度曲线拟合 + +```txt +pixCircleCenter(j) = int16(AxisPosInSensors - norm pix0-pixCircle0)*cos(lnerTheta(j +``` + +```txt +fitEllipsData(int16 pixCircleCenter(j) - 2*R*roughScale:pixCircleCenter(j) + 2*R*roughSc +``` + +fitEllipsRange = find(fitEllipsData(:,j)>fitMin); +fitEllips $=$ polyfit(x(fitEllipsRange)'\~,fitEllipsData(fitEllipsRange,j).^2,2); +fitEllipsAns(:,j) $=$ (fitEllips(1)*x.^2+fitEllips(2)*x+fitEllips(3))'; +fitEllipsAns(fitEllipsAns(:,j)<0,j)=0; +fitEllipsAns(:,j) $=$ sqrt(fitEllipsAns(:,j)); + +# $\%$ 圆的宽度曲线拟合 + +```matlab +fitCircleData(:,j) = data(:,j)-fitEllipsAns(:,j); +fitCircleRange = find(fitCircleData(:,j)>fitMin); +fitCircle = polyfit(x(fitCircleRange)',fitCircleData(fitCircleRange,j).^2,2); +fitCircleAns(:,j) = (fitCircle(1)*x.^2+fitCircle(2)*x+fitCircle(3))'; +fitCircleAns(fitCircleAns(:,j)<0,j)=0; +fitCircleAns(:,j) = sqrt(fitCircleAns(:,j)); +``` + +# % 拟合结果处理 + +```matlab +pixCircleCenter(j) = -fitCircle(2)/fitCircle(1)/2; +pixEllipsCenter(j) = -fitEllips(2)/fitEllips(1)/2; +deltaL = 8/(sqrt(fitCircle(2)^2-4*fitCircle(1)*fitCircle(3))/abs(fitCircle(1)); +G = -8/((fitCircle(2)^2-4*fitCircle(1)*fitCircle(3))/fitCircle(1)/4); +temp = -(fitEllips(3)-fitEllips(2)^2/fitEllips(1)/4)/fitEllips(1); +cosTheta2 = (temp/b^2-a^2/b^2)/(1-a^2/b^2); +fitAns(:,j) = [deltaL,G, temp]; +end +``` + +figure('Name','椭圆部分拟合图'); colormap(gray); imagesc.fitEllipsAns); figure('Name','小圆部分拟合图'); colormap(gray); imagesc.fitCircleAns); + +# $\%$ 得到拟合出的角度并修正方向 + +```matlab +G = mean.fitAns(2,:)); +deltaL = mean.fitAns(1,:)); +temp = deltaL^2.*fitAns(3,:)); +temp = (temp./b^2-a^2/b^2) / (1-a^2/b^2); +fixTheta = real(1/2*acos(2.*temp-1)*180/pi); +diffFixTheta = diff(fixTheta); +breakP1 = 61; +``` + +```matlab +breakP2 = 152; +fixTheta(1:breakP1) = fixTheta(1:breakP1); +fixTheta-breakP1 + 1:breakP2 - 1) = 180 - fixTheta(showP1 + 1:breakP2 - 1); +fixTheta(showP2:end) = 180 + fixTheta(showP2:end); +figure('Name','修正后的各个角度'); subplot(1,2,1); plot(fixTheta,'.')； +subplot(1,2,2);plot(diff(fixTheta,'r-')); +``` + +# $\%$ 相关参数的求解 + +```matlab +[interpData, interpTheta] = interpForIradon(fixTheta, data); +fixMap = iradon(interpData, interpTheta, 'spline', 'Hann', pixScale); +figure('Name', '重建图像'); +colormap(gray); imagesc(fixMap); +``` + +# % 求解'吸收率'系数 + +[ \text{[fixKm,fixKmC]} = \text{kmeans(fixMap(:),2)}; ] + $\text{Gt} = \text{max(fixKmC)} / 1.00;$ + +```txt +fprintf('高斯误差强度:%.6f\n', gaussPower); +fprintf('求得角度误差:%.4f\n', std.fixTheta-Theta)); +``` + +```txt +"interpAbsorbMap.m" +``` + +# % 图形插值 + +% 输入：带权图和目标坐标点 +% 输出：目标坐标点附近点的线性插值得到的权值 + +function val $=$ interpAbsorbMap(Point,Map) floorX $=$ floor(1);ceilX $=$ ceil(1); floorY $=$ floor(2);ceilY $=$ ceil(2)); if floorX<1 floorX $= 1$ ;ceilX $=$ floorX+1; end ifceilX>length(Map) ceilX $=$ length(Map);floorX $=$ ceilX-1; end if floorY<1 + +```matlab +floorY = 1;ceilY = floorY+1; +end +if ceilY>length(Map) +ceilY = length(Map);floorY = ceilY-1; +end +tempY1 = (Map(ceilX,floorY)-Map(floorX,floorY))\* (ceilX-floorX)+Map(floorX,floorY); tempY2 = (Map(ceilX,ceilY)-Map(floorX,ceilY))\* (ceilX-floorX)+Map(floorX,ceilY); val = (tempY2-tempY1)\* (ceilY-floorY)+tempY1; +end +``` + +"interpForlradon.m" +function [interpData,interpTheta] $\equiv$ interpForIradon(Theta,data) + $\mathrm{interp}\mathrm{Theta} = \mathrm{Theta}(1):(T h e t a(e n d) - T h e t a(1)) / (l e n g t h(T h e t a) - 1):\mathrm{T h e t a(e n d)};$ +interpData $=$ data; +for $j = 2$ :length(Theta)-1 if interpTheta(j)变量符号区域Z任务点P定价ω权系数C底价a0城市中心点0人数n任务书m分项价格z信誉分值G期望价格VH最低价格VL + +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一 + +# 5.1.1定价影响因素 + +劳务众包平台“拍拍赚”与本题有相同的应用背景，从官方网站[1]上我们了解到，其任务的定价是算法驱动的，主要考虑了任务的复杂度、时间长短、门店的位置，以及会员分布情况等因素。根据我们的基本假设，附件一所给所有任务的复杂程度相同，因此，任务位置和会员分布是影响任务定价的两个主要因素。 + +# 5.1.2 数据分析处理 + +将附件一任务坐标导入谷歌地图中进行标注，可以发现任务集中在广东省的 + +广州市、佛山市、东莞市、深圳市四个城市，如图1所示（蓝色点代表任务已完成，橙色点表示任务未完成）。 + +![](images/1233446291255c6b94086205f5244296afbdc327cf57c7a4fae87e625c39c612.jpg) +图1任务分布情况图 + +同样地，将附件二会员坐标导入地图中进行标注，发现有些会员位于广东省外或远离这四个城市，因此我们剔除这些会员信息以及会员编号为B1174的错误信息共13个样本信息。将这些会员坐标点进行聚类分析，用K-means算法在MATLAB中画出如下聚类图如图2： + +![](images/34433a25b94aeb367f30b75450e920d6be20635d05e7f807ef99d78c09dae6c4.jpg) +图2会员分布聚类图 + +根据会员分布划分3个区域：蓝色区域(Z1)主要覆盖深圳市；红色区域(Z2)主要覆盖广州市和佛山市；绿色区域（Z3）主要覆盖东莞市。将三个类的质点作为三个区域中心点01,02,03.三个中心点的地理位置见下表1。 + +表 1 中心点地理位置 + +
010203
经度113.2757114.0689113.8294
纬度23.123522.641422.9159
+ +研究划分的3个区域，可以对任务分布数据做进一步分析。 + +记任务点为 $P_{i}$ ，任务点所属区域 $Z_{j} (j = 1,2,3)$ 。任务点距中心点的距离可以表示任务的地理位置，该距离越大，任务的地理位置也就越差，任务标价较高。 + +以任务点 $P_{i}$ 为中心， $1.5\mathrm{km}$ 为半径做圆，该范围内覆盖的会员数为 $\mathsf{n}$ ，其他任务数为 $\mathsf{m}$ 。当一个任务周围的会员密度越大，任务定价越低。 + +# 5.1.3 问题一模型的建立 + +认为任务定价 $w$ 由3部分组成： + +$$ +w = a _ {0} + a + \varepsilon \tag {1} +$$ + +$a_{0}$ 为固定底价，是任务的最低价格，取附件一中的65。 $a$ 表示赏金，是浮动价格，受任务位置分布和会员分布的影响而变化。 $\varepsilon$ 为受不确定因素影响（如天气、交通管制等）的价格浮动。由于数据有限认为 $\varepsilon$ 影响很小，在此暂不讨论。记 $z_{1}$ 为任务偏僻程度。 + +$$ +z _ {1} = \frac {\left| P _ {i} O _ {j} \right|}{\left| P _ {m} O _ {j} \right|} = \frac {\sqrt {\left(x _ {i} ^ {2} - x _ {j} ^ {2}\right) + \left(y _ {i} ^ {2} - y _ {j} ^ {2}\right)}}{\sqrt {\left(x _ {m} ^ {2} - x _ {j} ^ {2}\right) + \left(y _ {m} ^ {2} - y _ {j} ^ {2}\right)}} \tag {2} +$$ + +$O_{j}$ 是任务点所属区域 $Z_{j}$ 的中心点， $P_{m}$ 是离中心点最远的任务点。即离中心点越远越偏僻。 + +由于任务分布集中在广东，距离较近，故近似认为任务点和会员点分布在二维平面上，以他们的经纬度作为坐标 $(x_{i},y_{i})$ 。 + +记 $z_{2}$ 为会员密度。 + +$$ +z _ {2} = \frac {n _ {m} - n _ {i}}{n _ {m}} \tag {3} +$$ + +$n_{\mathrm{i}}$ 为任务点 $1.5\mathrm{km}$ 圆域内的会员数量， $n_{\mathrm{m}}$ 是 $n_{\mathrm{i}}$ 的最大值。 + +记 $z_{3}$ 为任务密度。 + +$$ +z _ {3} = \frac {m _ {m} - m _ {i}}{m _ {m}} \tag {4} +$$ + +$m_{\mathrm{i}}$ 为任务点 $1.5 \mathrm{~km}$ 圆域内的其他任务点数量， $m_{\mathrm{m}}$ 是 $m_{\mathrm{i}}$ 的最大值。 $z_{3}$ 的提出是对会员密度的矫正，考虑到一个任务点的圆域内可能存在其他任务点，导致会员密度的相对下降。认为 $\mathfrak{m}$ 越大，定价越高。 + +$$ +a = C _ {1} z _ {1} + C _ {2} z _ {2} + C _ {3} z _ {3} \tag {5} +$$ + +将(5)代入(1)，忽略 $\varepsilon$ 即可得到任务定价公式 + +$$ +w = C _ {1} z _ {1} + C _ {2} z _ {2} + C _ {3} z _ {3} + 6 5 \tag {6} +$$ + +表 2 回归方程变量含义 + +
C1任务偏僻程度的系数，预期为+
C2会员密度的系数，预期为-
C3任务密度的系数，预期为+
+ +从式(6)可以看出，任务定价由固定底价和浮动价格组成，最终定价主要受三个变量的数值影响，即任务偏僻程度、会员密度、任务密度三个变量。 + +# 5.1.4 问题一模型的求解 + +# $\bullet$ 任务定价规律 + +首先将附件一中全部任务点的坐标数据代入(2)可以计算一系列对应的 $z_{1}$ 。 + +然后根据经纬度与地表距离的换算关系，利用MATLAB统计每个任务点 $1.5\mathrm{km}$ 圆域内的会员数量和其他任务点数量，分别代入(3)(4)进行计算，得到 $z_{2}z_{3}$ + +现在我们已知每个任务点的定价 $w_{0}$ 和 $z_{1}z_{2}z_{3}$ 的具体数值，用最小二乘法拟合的方法计算(6)中的系数 $C_1C_2C_3$ . 计算结果如表3所示。 + +表 3 系数计算结果 + +
C1C2C3σ²
8.2233-0.19593.74870.78
+ +根据方差的计算结果可看出，系数的计算结果比较可靠。 + +给出附件一中的任务定价规律如下： + +$$ +w = 8. 2 2 3 3 z _ {1} - 0. 1 9 5 9 z _ {2} + 3. 7 4 8 7 z _ {3} + 6 5 \tag {7} +$$ + +这也符合之前定价规律的探究，即偏僻程度、任务密度与定价成正相关，会员密度与定价成负相关。且偏僻程度对定价产生主要影响作用。 + +![](images/dd57f4b3e7e5bc64d74658e127bdbccb1d9a4a80167b14fd9d4ca276ba524f44.jpg) +图3定价模型拟合与实际定价对比图 + +图3表示了(7)的拟合情况，从杂乱的任务点定价散点中找出最贴合实际的一般规律。 + +# - 任务未完成原因 + +观察图1可知，Z3的任务基本都已完成，而Z1任务基本都未完成，这两个区域的任务完成情况比较特殊，故主要研究Z3区域。 + +首先研究 Z3 中已完成任务的特点。根据 Z3 中已完成任务点的数据计算相应的 $z_{1} z_{2} z_{3}$ , 用最小二乘法拟合的方法重新计算(6)中的系数, 得到新的定价规律: + +$$ +w = 8. 9 1 2 2 z _ {1} - 0. 1 5 8 9 z _ {2} + 2. 9 4 2 7 z _ {3} + 6 5 \tag {8} +$$ + +根据未完成任务点的数据计算 $z_{1}^{\prime} z_{2}^{\prime} z_{3}^{\prime}$ , 代入上述式(8)中计算 $\mathsf{w}$ , 然后计算每个未完成任务点的计算定价与实际的差值 $\mathsf{w} - \mathsf{w}_{0}$ 。认为当这一差值大于 0 时, + +定价偏低，小于0时定价偏高。 + +![](images/5a30dd699203b1dba900010fd3566a7b29b50624a63e5e5dcacee7d39b9298d7.jpg) +图4 未完成任务的定价评估状况 + +我们发现 $89\%$ 的未完成任务实际定价均小于计算定价，相比于已完成的任务点，他们的定价偏低。 + +因此我们得出如下结论： + +1. 任务未完成的主要原因是定价偏低，使会员积极性下降。 +2.存在地域特殊性，如深圳地区未完成任务情况普遍。 +3. 可能存在不确定因素的影响，如天气不好、道路施工、交通堵塞、会员个人因素等，但不在本文的研究范围之内。 + +# 5.2 问题二 + +# 5.2.1 问题二模型的建立 + +问题一中的模型主要利用了附件二中会员的位置信息，没有考虑到会员信誉值的影响，在问题二中将主要讨论该因素与定价的关系。 + +基于第一问的数学模型。同时考虑到会员的信誉值反映会员的活跃程度，建立新的模型。 + +对会员活跃的程度数据进行打分处理如下表3： + +表 4 会员打分情况 + +
信誉值大于100001000~10000100~1000
打分10.80.6
信誉值10~1001~10小于1
打分0.40.20.8
+ +记 $z_{4}$ 为区域内会员信誉分数密度。 + +$$ +z _ {4} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} G _ {i} +$$ + +n 为圆域内会员总数, $G_{i}$ 为第 i 名会员的信誉分数。 + +基于第一问中的模型，加入新的影响变量得到如下表达式： + +$$ +w = C _ {1} z _ {1} + C _ {2} z _ {2} + C _ {3} z _ {3} + C _ {4} z _ {4} + 6 5 \tag {9} +$$ + +同样使用最小二乘法求系数，得到如下结果： + +表 5 系数计算结果 + +
C1C2C3C4
6.3248-0.13952.39741.875
+ +即有 + +$$ +w = 6. 3 2 4 8 z _ {1} - 0. 1 3 9 5 z _ {2} + 2. 3 9 4 7 z _ {3} + 1. 8 7 5 z _ {4} + 6 5 \tag {10} +$$ + +某一区域内任务的定价反映此任务对会员的吸引程度。在某一小区域内，若某一任务的定价略高于其他任务的定价，则其对会员具有较大的吸引力。同时此区域内信誉值较高的会员更倾向于接受任务。 + +这种设计定价方案的问题类似于博弈问题。可以借助相关经济学理论进行研究[2][3]。 + +首先利用式(9)代入附件一中全部完成任务的数据计算出的价格，认定为会员的期望价格，设为 $V_{H}$ ，某一区域内最低定价为会员可能接受的最低价格，设为 $V_{L}$ 。则最优定价应在二者之间。 + +假定某一任务平台的定价为 $M_{L}(V_{L})$ ，即当平台认定商品的价格为 $V_{L}$ 时，平台给出的定价为 $M_{L}(V_{L})$ ；能使顾客接受的最低定价为 $M_{H}(V_{H})$ ，即此任务通过模型一中全部实现数据给出的定价为 $V_{H}$ 时，能使顾客接受的最低定价为 $M_{H}(V_{H})$ 。 + +该交易成交则对平台和会员的效用分别为 $V_{H} - M_{L}\left(V_{L}\right)$ 及 $M_{L}\left(V_{L}\right) - V_{L}$ , 如果 + +不成交则双方的效用均为0。平台和用户都希望得到最大化的期望效用。 + +对于任意给定的 $V_{L} \in [0,20]$ ，平台的报价应使其期望利润最大化。因为只 $M_{L}(V_{L}) > M_{S}(V_{S})$ 时才能成交，完成后平台的利润为 $(M_{L}(V_{L}) + M_{S}(V_{S})) / 2 - V_{H}$ ，而未完成是利润为 0，所以 $M_{L}(V_{L})$ 应满足 + +$$ +\max _ {M _ {L}} \left\{\frac {M _ {L} + E \left[ M _ {S} \left(V _ {S}\right) \mid M _ {S} \left(V _ {S}\right) \geq M _ {L} \right]}{2} - V _ {L} \right\} P \left\{M _ {S} \left(V _ {S}\right) \geq M _ {L} \right\} \tag {11} +$$ + +这里 $E[\cdot ]$ 表示的是条件 $M_S(V_S)\geq M_L$ 下 $M_{S}(V_{S})$ 的条件期望， $P\{\cdot \}$ 表示事件的概率。 + +类似的，对于任意给定的 $V_{H} \in [0,20]$ ，会员的最低接受价格 $M_{H}(V_{H})$ 应该使其期望获利最大，完成后会员得到的利益为 $V_{H} - (M_{L}(V_{L}) + M_{S}(V_{S})) / 2$ ，未完成时获利为 0，所以 $M_{H}(V_{H})$ 应满足 + +$$ +\max _ {M _ {H}} \left\{V _ {H} - \frac {M _ {S} + E \left[ M _ {L} \left(V _ {L}\right) \mid M _ {L} \left(V _ {L}\right) \geq M _ {S} \right]}{2} \right\} P \left\{M _ {S} \left(V _ {S}\right) \geq M _ {L} \right\} \tag {12} +$$ + +如果平台和会员组合 $\left(M_{S}\left(V_{S}\right), M_{L}\left(V_{L}\right)\right)$ 同时满足(9)和(10)，则是双方的一个均衡。 + +博弈问题存在许多的均衡，本文采取线性价格均衡法，假定平台和会员的报价分别是任务对二者价值的线性函数，表示为： + +$$ +M _ {S} \left(V _ {S}\right) = A _ {S} + C _ {S} V _ {S} +$$ + +$$ +M _ {L} \left(V _ {L}\right) = A _ {L} + C _ {L} V _ {L} +$$ + +寻找 $A_{S}, C_{S}, A_{L}, C_{L}$ 使得这个组合同时满足(9)和(10)，即构成一个均衡。通过文献[4]求得最优解 + +$$ +M _ {S} \left(V _ {S}\right) = \frac {2}{3} V _ {S} + \frac {1}{4} \tag {13} +$$ + +$$ +M _ {S} \left(V _ {S}\right) = \frac {2}{3} V _ {S} + \frac {1}{1 2} \tag {14} +$$ + +此时任务完成概率 $\eta$ 为 + +$$ +\eta = \frac {\int_ {\frac {1}{4}} ^ {1} \int_ {0} ^ {V _ {H} - \frac {1}{4}} \left(V _ {H} - V _ {L}\right) d V _ {H} d V _ {L}}{\int_ {0} ^ {1} \int_ {0} ^ {V _ {b}} \left(V _ {H} - V _ {L}\right) d V _ {H} d V} \tag {15} +$$ + +如图4所示: + +![](images/0b1f32de5aa4a3a2c9ae579766fd80eabd5df65587a7781f42ed4c1c1deb767c.jpg) +图5线性价格战略的交易效率 + +设新任务定价： + +$$ +\omega_ {1} = M _ {H} (w) = \frac {2}{3} w + \frac {1}{4} \tag {16} +$$ + +该式因加入博弈论的经济学思想使模型更加完善。 + +# 5.2.2 问题二模型的求解 + +原方案任务完成情况 +![](images/6b32b14414236300f9640849744d6d9cf711cb86020ed5d7e3060eed697ce82f.jpg) +完成 未完成 + +新方案任务完成情况 +图6 新旧方案任务完成情况对比图 +![](images/8d523887bde06305b98f196dab1e0b92dc458b3dd8cb76b00a70044e9f90d2e0.jpg) +完成 未完成 + +利用上述模型对任务重新进行定价，并代入公式(15)得到结果如下图6 + +以任务完成概率进行估计，新方案预期任务完成率为 $89.5\%$ ，相比与原方案有较大改善。 + +# - 新方案与原方案的比较 + +通过计算，新方案总价为64631元，原方案总价为57707元。任务定价上涨 $12\%$ ，任务完成情况上涨 $23\%$ 。由此可见，新方案在采用较少提价的前提下可以使任务完成率有较大提高，从而减小商品检查失败带来的损失，使利润大大增加，与旧方案相比有较大改进。 + +# 5.3 问题三 + +# 5.3.1 问题三模型的建立 + +# 打包策略 + +在问题一中，我们定义 $m_{\mathrm{i}}$ 为任务点 $1.5 \mathrm{~km}$ 圆域内的其他任务点数量，通过计算附件一各任务点的 $m_{\mathrm{i}}$ 数值，得到 $\overline{m} = 2.2$ ，即在一个任务点周围平均存在 2 个其他任务点，于是认为以 $1.5 \mathrm{~km}$ 为半径的圆域内平均存在 3 个任务。 + +因此给出如下打包策略： + +1. 首先选取一个任务点, 若 $m_{\mathrm{i}} \geq 2$ 则该点符合打包条件, 该任务点将与其他两个任务点进行打包, 否则按独立任务点计算。其他两个任务点的挑选原则: 选取的 +3 个任务点的平均任务完成概率大于给定指标即进行打包。已打包的任务点不再参与其他打包。 +2. 选取下一个任务点，忽略下一个任务点圆域内已打包点，进行1中的打包判断流程。 +3. 当全部任务点判断、打包完毕后进行重新定价。独立任务点定价不变，打包任务点定价进行适当调整。 + +# 打包算法 + +对任务点进行打包的算法流程图如下图7所示： + +![](images/6ca1bf7d2683d92984207d558ffdfbfecdf9a7e484e26ff14f7ee36880c38c46.jpg) +图7打包任务点的算法流程图 + +圆域内打包任务点的挑选公式如下： + +$$ +A c t = a _ {1} \left(\omega_ {i} + \omega_ {i} ^ {\prime}\right) + a _ {2} \left(\eta_ {i} + \eta_ {i} ^ {\prime}\right) + a _ {3} d - k \tag {17} +$$ + +式中 $a_{1}$ 为定价的系数， $a_{2}$ 为任务完成概率的系数， $a_{3}$ 为任务点距区域中心点距离的加权系数， $k$ 为修正系数； $\omega_{i}, \omega_{i}^{\prime}$ 分别代表当前任务点和被挑选任务点的定价， $\eta_{i}, \eta_{i}^{\prime}$ 分别代表当前任务点和被挑选任务点的任务完成概率，d 为两任务点之间的距离。 + +当 Act 的数值越接近 0 越适合被挑选打包。这样我们就可以确定被打包的任务点。 + +# 5.3.2 问题三模型的求解 + +利用 MATLAB 进行求解，得到下图结果。 + +![](images/dab3d58c8dcf851ed38d3e76d0c3af3051cba5a77af0bbbd1409b32f72ccb909.jpg) +图8 打包点的分布图 + +图8中，彩色点表示打包点，蓝色点为独立的任务点。 + +设打包点内的3个任务定价平均值为 $\overline{\omega}_i$ ，设打包点的新定价为 $3\overline{\omega}_i - 10$ ，这样一个信誉值稍差的用户受任务限额的限制变小，会员可以一次性完成大额任务，会员积极性提高，同时分散会员参与其他项目，理论上任务的完成程度将有进一步提高。 + +通过计算，得到如下结果： + +![](images/f2bf64fdf22a478321881f98cb7ee0e145ed363559519b7321ba9f9ef45ba41c.jpg) +图9 打包前后任务完成情况对比图 + +通过对比可以发现，打包后任务完成率可以提高 $3.7\%$ ，对任务完成情况有 + +所改善。 + +# 5.4 问题四 + +问题四利用本文建立的模型对新任务进行定价并评价此方案的实施效果。 + +将附件三中的任务点标记在谷歌地图上进行分析，如图10。 + +![](images/106d673857a1e76e21a106e34badf4ea18ebef58f7411cc8955f65547677f38e.jpg) +图10 附件三任务点分布情况 + +从图中可以看出，任务点主要分布在广州市和深圳市。 + +对任务点进行聚类，结果如图11所示 + +![](images/e5d3ff33d4fbd8762b7c7a627da7b54bdaf5759fda482e30aba8d9ceefc2e751.jpg) +图11 新任务聚类分析图 + +通过聚类将附件三数据分为两个区域并确定出两个区域的中心点。 + +定价方案如下所示： + +第一步：计算下列数据 + +1. 各任务据市中心的距离 +2.各任务以 $1.5\mathrm{km}$ 为半径圆内的任务数 +3. 各任务以 $1.5 \mathrm{~km}$ 为半径圆内的会员数 +4. 各任务以 $1.5 \mathrm{~km}$ 为半径圆内的会员荣誉值 + +将各数据进行标准化处理得 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ， $z_{4}$ 。 + +第二步： + +利用下列公式对任务进行初步打分 + +$$ +w = 6. 3 2 4 8 z _ {1} - 0. 1 3 9 5 z _ {2} + 2. 3 9 4 7 z _ {3} + 1. 8 7 5 z _ {4} + 6 5 +$$ + +第三步： + +利用均衡理论对小区域内数据进行改进，公式如下： + +$$ +\omega_ {1} = M _ {H} \left(V _ {H}\right) = \frac {2}{3} V _ {H} + \frac {1}{4} \tag {18} +$$ + +第四步： + +对符合条件的密集任务点进行打包 + +具体定价结果见附件一，平均任务定价为69.4元，预计任务完成率为 $93.7\%$ + +# 六、模型的评价与推广 + +# 6.1 模型优点 + +本文的模型是在对大量数据进行认真分析和处理后建立的，通过将数据点显示在谷歌地图可以方便直观地观察分析，帮助排除特殊情况，寻找普遍适用规律，使模型建立的数据信息更加可靠，更加贴近实际。 + +通过对模型的层层优化，使模型适应更加复杂的实际情况，模型简洁实用，可移植性强。 + +问题二中利用会员期望与任务定价之间的影响，利用贝叶斯-纳什平衡理论重新定价。使得新定价与原定价相比有更好的效果。 + +# 6.2 模型缺点 + +本文使用附件中的数据，数据来源有限，模型准确度无法进行进一步的评估，模型可能具有一定的局限性。 + +# 6.3 模型推广 + +本文模型的应用背景是基于智能手机和移动互联网的劳务众包平台，在相似背景下的应用众多，如外卖应用，滴滴打车，快递跑腿服务平台等都涉及到商品定价与地理位置、会员积极程度的关系。 + +# 七、参考文献 + +[1]拍拍赚科技.关于建模竞赛的问与答[EB/OL].http://web. ppznet. com/, 2017.9.15/2017.9.16. +[2]徐晨.论移动商务在企业信息化中的应用[J].情报科学，2006，24(1):144-147. +[3]曾庆群, 移动商务竞价行为的精炼贝叶斯纳什均衡研究 [J]. 武汉理工大学学报·信息与管理工程版，2009，31（4）：618-620. +[4] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2011. + +# 附录 + +# 一、 自制地图 + +地址： + +```javascript +https://drive.google.com/open?id=1PtKPImNp-LqKmARQzBH-VSw7RG4&usp=sha ring +``` + +# 二、代码 + +1. Kmeantest.m + +%获取经纬度 + +$\%$ [number, txt, raw] = xlsread('test.xls'); + +```matlab +X = [ GPS1(:, 1) GPS(:, 1)]; +``` + +```matlab +opts = statset('Display', 'final'); +``` + +%调用Kmeans函数 + +%X N\*P的数据矩阵 + +%Idx N*1 的向量,存储的是每个点的聚类标号 + +%Ctrs K*P 的矩阵,存储的是 K 个聚类质心位置 + +%SumD 1*K 的和向量,存储的是类间所有点与该类质心点距离之和 + +$\% \mathrm{D}$ N*K的矩阵，存储的是每个点与所有质心的距离； + +```matlab +[Idx, Ctrs, SumD, D] = kmeans(X, 2, 'Replicates', 2, 'Options', opts); +``` + +%画出聚类为1的点。X(Idx==1,1)，为第一类的样本的第一个坐标；X(Idx==1,2) + +为第二类的样本的第二个坐标 + +```javascript +plot(X(Idx==1,1),X(Idx==1,2),'r.','MarkerSize',14) +``` + +```txt +hold on +``` + +```javascript +plot(X(Idx==2,1),X(Idx==2,2),'b.','MarkerSize',14) +``` + +```txt +%hold on +``` + +```txt +%plot(X(Idx==3,1),X(Idx==3,2),'g.','MarkerSize',14) +``` + +%绘出聚类中心点, kx 表示是圆形 + +```javascript +plot(Ctrs(:,1),Ctrs(:,2)，'kx','MarkerSize',14,'LineWidth',4) +``` + +```txt +plot(Ctrs(:,1),Ctrs(:,2),'kx','MarkerSize',14,'LineWidth',4) +``` + +```txt +%plot(Ctrs(:,1),Ctrs(:,2),'kx','MarkerSize',14,'LineWidth',4) +``` + +```javascript +legend('Cluster 1', 'Cluster 2', 'Cluster +``` + +```txt +3', 'Centroids', 'Location', 'NW') +``` + +```txt +Ctrs +``` + +```txt +SumD +``` + +2. makepackage.m + +%打包脚本- + +$\operatorname{con}(1:443, 1) = 0$ + +$\mathrm{distan}(1:443,1:443) = -1;$ + +a1 = 0.4; + +a2 = 0.3; + +a3 = 0.3; + +k1 = 0.5 ; + +temp = [zeros(1, 443); zeros(1, 443)]; + +%a1, a2, a3, k 分别为价格、完成情况、距离的加权系数与阈值 + +%con 为打包记录 + +%distance 为距离矩阵 + +for $i = 1:443$ + +count $= 0$ + +list $= 0$ + +if con(i) + +continue; + +else + +for $j = 1:443$ + +if $\operatorname{con}(\mathrm{j}) == 0$ + +%计算距离 + +if $\mathrm{distan}(\mathbf{i},\mathbf{j}) = = -1$ + +$\mathrm{distan(i,j) = DF(message(i,1),message(i,2),message(j,1),message(j,2))}$ end + +%判断距离，并给出在圈内的列表 + +if $0 < \text{distance}(i, j) \& \& \text{distance}(i, j) < 1.5 * 0.009 \& \& j^{\sim} = i$ + +count = count +1; + +list = [list ;j]; + +end + +if count $\rightharpoondown$ 2 + +%计算激励 + +activ + +al.\*(message(list(2:count+1,1),3)+message(i,3))/65+a2.\*(message(list + +(2:count+1,1),4)+message(i,4))+a3.*distance(i, list(2:count+1,1))'-k1; + +for $k = 1:2$ + +current $= 1$ + +for $1 = 1$ :count-1 + +if activ(current) > activ(1+1) + +current $= 1 + 1$ + +end + +end + +temp(k,i) = current; + +if temp(k,i) == 0 + +break else activ(temp(k,i)) $= 10000000$ end end %画图与赋值 if temp(2,i) $\tilde{\mathbf{\Gamma}} = 0$ con(i） $= 1$ ： con(temp(1,i)) $= 1$ ： distan(temp(1,i)，：） $= 0$ ： distan(:,temp(1,i)) $= 0$ ： con(temp(2,i)) $= 1$ ： distan(temp(2,i),：） $= 0$ ： distan(:,temp(2,i)) $= 0$ ： c1 $=$ rand; c2 $=$ rand; c3 $=$ rand; scatter(message(i,2),message(i,1),10,[c1,c2,c3]，'field') hold on scatter(message(temp(1,i),2),message(temp(1,i),1),10,[c1,c2,c3]，'fie ld') hold on scatter(message(temp(2,i),2),message(temp(2,i),1),10,[c1,c2,c3]，'fie ld') hold on else scatter(message(i,2),message(i,1),10,'b'，'field') hold on end else scatter(message(i,2)，message(i,1),10,'b'，'field') hold on end end end end end end + +# 3. map.m + +[number1, txt1, raw1] $=$ xlsread('1.xlsx'); + +```txt +[ \text{number0, txt0, raw0} = \text{xlsread('0. xlsx')}; ] +scatter(number1(:,2), number1(:,1), 10, 'r', 'field') +hold on +scatter(number0(:,2), number0(:,1), 10, 'b', 'field') +legend('已完成任务','未完成任务'); +xlabel('经度') +ylabel('纬度') +``` + +```matlab +4. picture.m +for i=1:838 + if VarName8 == 1 + scatter3(Hnumber, distance1, price, 10, 'r', 'field'); + elseif VarName8 == 2 + scatter3(Hnumber, distance2, price, 10, 'r', 'field'); + else + scatter3(Hnumber, distance3, price, 10, 'r', 'field'); +end +``` + +5. test.m +[ \text{number, txt, raw} ] = xlsread('test.xls'); + +%总数 + +$$ +\mathrm {x} = \left[ \begin{array}{l l l l l} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]; +$$ + +%成功数 + +$$ +\mathrm {a} = \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]; +$$ + +for $\mathrm{i} = 1:835$ +if (number(i,3)>80) $\begin{array}{rl} & {\mathrm{x}(1) = \mathrm{x}(1) + 1;}\\ & {\mathrm{if~(number(i,4)} = = 1)}\\ & {\mathrm{a(1)} = \mathrm{a(1)} + 1;}\\ & {\mathrm{end}} \end{array}$ +elseif (number(i,3)>75) $\begin{array}{l}\mathrm{x}(2) = \mathrm{x}(2) + 1;\\ \mathrm{if~(number(i,4)} = = 1)}\\ \mathrm{a(2)} = \mathrm{a(2)} + 1;\\ \mathrm{end} \end{array}$ + +elseif (number(i,3)>70) + +$$ +x (3) = x (3) + 1; +$$ + +```matlab +if (number(i,4) == 1) + a(3) = a(3) + 1; +end +``` + +elseif (number(i,3)>65) + $\mathrm{x}(4) = \mathrm{x}(4) + 1;$ +if (number(i,4) == 1) + $\mathrm{a}(4) = \mathrm{a}(4) + 1;$ +end + +```matlab +elseif (number(i,3)>60) + x(5) = x(5) + 1; + if (number(i,4) == 1) + a(5) = a(5) + 1; + end +end +``` + +```txt +stem(0:6,[0 a./x 0]) +title('成功率与价格关系图') +xlabel('价格（1为高）') +ylabel('成功率') +axis([0 6 0 1]) +``` + +```txt +6. cost1.m +cost = 0; +yb =0; +for i = 1:202 + cost = cost + (y(i) - x(i, :)*b(:, 1)).^2; + yb = [yb ; x(i, :)*b(:, 1)]; +end +``` + +```txt +scatter(1:202,y,10,'r', 'field') hold on plot(0:202,yb,'b') +``` + +7. DF.m function [D] = DF(gps11, gps12, gps21,gps22) %DF此处显示有关此函数的摘要 + +$\%$ 此处显示详细说明 $\mathrm{D} = \mathrm{sqrt}((\mathrm{gps11 - GPS21}).^{\wedge}2 + (\mathrm{gps12 - GPS22}).^{\wedge}2);$ + +end + +```matlab +8. distance.m +temp = 0; +for i =1:2066 + count = 0; + for j=1:1868 + D = (number(i,1) - GPS1(j,1))^2 + (number(i,2) - GPS2(j,1))^2; + if sqrt(D) < 0.009*1.5 + count = count +1; + end + end + temp = [temp ; count]; +end +temp2 = 0; +for i =1:2066 + count2 = 0; + for j=1:2066 + D = (number(i,1) - number(j,1))^2 + (number(i,2) - number(j,2))^2; + if sqrt(D) < 0.009*1.5 + count2 = count2 +1; + end + end + temp2 = [temp2 ; count2]; +end +temp2 = temp2 - 1; +``` + +# 三、EXCEL 文件表格（部分） + +1. 附件一数据及相应处理 + +
任务号码任务gps 绀任务gps经任务标价任务执行情任务gps 绯任务gps经
A000122.56614113.980866022.55966113.9748
A000222.68621113.940565.5022.67972113.9345
A000322.57651113.957265.5122.57003113.9512
A000422.56484114.244675022.55836114.2386
A000522.55889113.950765.5022.5524113.9447
A000622.559114.241375022.55252114.2353
A000722.549113.972365.5122.54252113.9662
A000822.56277113.956665.5022.55629113.9506
A000922.50001113.895766022.49353113.8896
+ +2. 附件二数据及相应处理 + +
会员编号会员位置()精度预订任务开信誉值预订任务限纬度（修改
B000122.9471113.686:30:0067997.3911422.94061
B000222.57779113.96656:30:0037926.5416322.57131
B000323.19246113.34736:30:0027953.0413923.18598
B000423.25597113.31886:30:0025085.79823.24948
B000823.14337113.37636:42:0014868.449523.13689
B000923.28528113.65186:36:0013556.1611023.2788
B001023.09926113.48896:36:0013327.956423.09278
B001123.19246113.34736:42:0011349.098923.18598
B001222.54889113.95546:33:0010957.5810222.54241
+ +3 附件三数据及相应处理 + +
任务号码任务GPS纬度任务GPS经度标记到1的距离到2的距离会员
C000122.730041114.2408821.03038770.02572660
C000222.727043114.2996221.14452170.04546425
C000322.701311114.233621.0424940.02028419
C000422.732359114.2866721.11476970.04120566
C000522.718391114.2575521.07146510.02916285
C000622.753925114.3819321.28996050.08987431
C000722.724042114.2721821.09415660.03476667
C000822.719378114.2732521.10025810.03452536
C000922.730283114.230521.01117830.02291420
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/B154/B154.md b/MCM_CN/2017/B154/B154.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..35f3df02977045953c818075ffe65f18f0a0dba6 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/B154/B154.md @@ -0,0 +1,1394 @@ +# “拍照赚钱”的定价分析 + +# 摘要 + +随着互联网技术的发展，“拍照赚钱”已经成为时下一种热门的互联网自助模式。本文通过建立合理的数学模型，对拍照任务定价问题进行了分析。 + +针对问题一，我们通过分析发现对所有的任务点用ISODATA算法进行聚类分析，可以将任务点分为四类，将这些点以及得到的聚类中心通过开源的地图网站反应到实际地图中，发现这四个聚类中心与“广州、佛山、东莞、深圳”这四个城市中心对应，并且这四类大致与城市相符合。通过对价格与任务点到中心的距离分析发现离市中心越近的任务点，其价格也就越低。为了寻求这些任务的定价规律，我们利用回归分析的方法得到定价与其坐标的关系为： $s = 13.9373222273683 * d_0 + 66.7401303959352$ 。采用前417作为训练样本，后417个点来检验，我们发现此方程拟合情况基本较好，但是对于定价超过80元的任务有较大误差。我们取出这些任务点进行分析，得出这些任务点定价更高是因为特定城市特定任务的要求和难度可能存在较大的特殊性。在后续的过程中，我们将针对具体点的要求难度等因素通过改变加权来进行修正。关于任务的完成情况，通过分析任务定价与完成率之间的关系，我们得出定价越高的任务，完成率越高的结论。 + +针对问题二，我们综合考虑任务情况与会员分布的相互影响，即任务对于周围的会员存在着吸引力 $c_{i} = \mathrm{f}(s, \mathrm{d})$ ，它与任务价格正相关，与距离任务距离负相关。将会员的分布与会员等级通过位势函数法抽象为空间内分布的用户活跃度 $a_{i} = g(x, y)$ ，在任务点的邻域内对二者的乘机积分 $\iint c_{i} a_{i} dxdy$ 即可得到任务被完成的概率 $p_{i}$ ，从而找到定价价格与概率 $p_{i}$ 之间的函数关系。进而得到公司的收益期望与定价的关系 $E(R_{i}) = p(L - s)$ ，是公司收益期望最大的定价即是我们重新确定的定价。 + +针对问题三，我们引入了行动力这一概念，会员产生行动力，完成任务以及移动到任务点均需消耗行动力，并将模型的主要着眼点聚焦于合理组织分配行动力。我们把行动力效率 $\omega = \frac{\text{做任务行动力}}{\text{移动行动力} + \text{做任务行动力}}$ 作为标准，通过分析任务被不同用户 j 完成的概率 $P_j$ ，控制移动的行动力消耗，从而控制 $\omega$ 。据此我们分析得到，应区别对待不同位置的任务。临近市中心、居住区的任务，应少打包或不打包，反之，应较打大的包，依据这个我们建立了打包算法。在四个城市中心分类的基础上，依据每一个点到中心的距离将每一类分带，分别设置包内任务数。然后包内采用最近邻法则，不断合并剩余点中最近两点，直到完成聚类。 + +针对问题四，我们通过比较最新系项目任务图和用户分布图行动力情况图，发现东莞为的行动力饱和区，广州为行动力消耗饱和区。我们综合考虑各用户、各任务的相互影响，计算并分析各任务和各用户间匹配性的矩阵，发现一些行动力消耗饱和区的任务更应由行动力饱和城市的用户完成而不是本城市用户。我们将这些任务视为行动力饱和城市的市郊任务计算，并据此利用问题二和问题三建立的模型得出各包的分类与定价情况。 + +关键词：聚类分析 回归分析 位势函数法 最近邻法则 + +# 目录 + +# 一、问题重述 3 + +1.1背景资料 3 +1.2需要解决的问题 3 + +# 二、问题分析 3 + +2.1 问题一的分析 3 +2.2 问题二的分析 ..... 4 +2.3 问题三的分析 ..... 4 +2.4问题四的分析 4 + +# 三、模型假设 4 + +# 四、符号说明 4 + +# 五、模型的建立与求解 5 + +5.1 建立项目定价规律模型 5 + +5.1.1 项目定价规律的可视化分析 +5.1.2 任务未完成的原因分析 ..... 8 + +5.2 考虑会员等级带来影响的定价模型 ..... 10 +5.3 将任务打包发布的定价模型 ..... 13 + +5.3.1 引入行动力建立打包数的函数关系 ..... 13 +5.3.2 打包算法的实现及结果 ..... 15 +5.3.3打包算法对定价模型的影响 17 + +5.4 对于新项目的定价方案 ..... 19 + +# 六、模型的评价 22 + +6.1、模型的优点 22 +6.2、模型的缺点 23 + +# 七、参考文献 23 + +# 附录 23 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 背景资料 + +近年来，随着互联网技术的高速发展，网络已经融入了我们生活的方方面面。 + +“拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式，有多家公司依托移动互联网建立了服务平台，如“拍拍赚”、“蚂蚁威客”、“美团拍客”等等。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 + +# 1.2 需要解决的问题 + +我们通过分析相关数据，运用数学思想，建立数学模型来研究拍照软件定价中的下列问题： + +(1) 研究项目的定价规律，并分析任务未完成的原因； +(2) 为项目设计新的定价方案，并与原方案进行比较，分析优劣之处； +(3) 在实际情况下, 多个任务可能因为位置比较集中, 导致用户会争相选择, 我们考虑将这些任务联合起来打包发布并修改前面的定价模型, 分析最终的任务完成情况; +(4) 对一些新项目给出我们的定价方案，并评价该方案的实施效果。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +问题一要求我们根据已有提供的数据，研究得出项目的定价规律，并分析得出任务未完成的原因。 + +在分析定价规律时，考虑到题目中给出了每个项目的经纬度坐标，我们在地图中用热力图标识出这些点的分布概况，并按照大体的价格分布以及任务的完成情况进行分析从而得出了项目的定价规律。 + +# 2.2 问题二的分析 + +在问题二改进定价方案时，我们考虑到任务是否完成主要受到两个方面因素影响，一是任务本身对于会员的吸引力，主要由任务位置以及任务定价决定，二是任务周围会员的数量以及活跃度，我们综合分析考虑这些因素，得出定价与公司收益之间的关系，以确定每个任务的合理定价。 + +# 2.3 问题三的分析 + +在考虑对任务进行打包时，我们引入了会员行动力这一概念，综合分析这一概念与打包函数之间的关系，然后建立了打包函数求解的算法，在得到如何打包的分类后，我们可以建立新的任务定价与收益之间的关系，以此确立打包对函数模型带来的影响。 + +# 2.4 问题四的分析 + +我们分析发现，对于新项目而言，完成项目需要的行动力和当前用户的行动力分布是不均匀的。因此我们通过分析任务的吸引力与用户的完成能力，确定了对于不同任务完成能力最大的那个用户所在的城市，以此为依据，利用二、三问的模型进行求解即可。 + +# 三、模型假设 + +（1）用户的情况不同。有的用户比较忙，在工作生活之余做点任务，是零散行动力；有的用户能抽出大量时间做任务，是整块的行动力。 +（2）短时间内，用户的数量和成分不变，即可以使用的行动力不变。 +（3）短时间内，任务的价格和位置不会进行调整。 +（4）每个人的精力都是有限的，不可能一直在完成任务。 +（5）假设任务完成的难度基本一致，即会员完成一个任务所耗时间相同。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明
d两坐标点之间的距离
x坐标点经度坐标
y坐标点纬度坐标
s任务点定价
c吸引力指标函数
m系数
a地区活跃度指标
k会员活跃度指标
b会员信誉积分
r划分区域的半径
G门限
P任务被完成的概率
R公司获得的收益
v行动力
Ω行动力效率
Acm移动消耗的行动力
Acw工作消耗的行动力
n打包后的总包含有原先小包的个数
e打包后包内每个任务的平均定价
f会员完成任务的能力
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 建立项目定价规律模型 + +# 5.1.1 项目定价规律的可视化分析 + +本文考虑到，项目的定价规律主要受到项目的地理位置、当地人的收入预期、当地社会的社会人文特征的影响。我们首先利用了地图无忧软件按照价格区间进行分类，绘制了如下任务点的空间分布图，其中红色表示价格区间为65-67元，绿色表示价格区间为67-70元，灰色表示价格区间为70-75元，紫色表示价格区间为80-85元，在地图上标识出这些点后，我们通过观察可以看出这些点围绕在广州、佛山、东莞、深圳四市市中心周围，并且靠近市中心价格较低，远离市中心价格较高。 + +![](images/c810e1b4be0582bafb3b4674a7f34d92f356d96dafe961f7b674078d1c65a419.jpg) +图1任务点按照价格区间分类的空间分布图 +关注数学模型获取更多资讯 + +![](images/59321c30a250430ac92908471f8449ac331c4f59504be250b28baa9e18af06bb.jpg) + +因此我们利用ISODATA算法对于这些任务点数据进行聚类分析，我们在每轮迭代过程中，样本进行重新调整类别之后计算类内及类间有关参数，并和设定的门限比较，确定是两类合并为一类还是一类分裂为两类，不断地“自组织”，已达到在各参数满足设计要求条件下，使各模式到其类心的距离平方和最小。利用MATLAB对此算法进行求解我们得到了四类的聚类中心为： + +表 1 四类聚类中心的坐标 + +
第1类聚类中心为22.6107113.927
第2类聚类中心为23.124113.2424
第3类聚类中心为22.9732113.7467
第4类聚类中心为23.02717113.1287
+ +我们将求出的上面四点在图一中用五角星标出，发现聚类情况与我们预先的估计较为吻合，因此我们可以得出以下结论：任务的定价与其所处的地理位置有关，其大小与其到市中心的距离大体符合负相关关系，因为真实情况下存在着一定的随机性，所以我们使用线性回归分析来简化模型，得到价格与位置的关系，据此我们建立了我们的任务定价模型： + +首先我们需要求出任务点分别到四个聚类中心的距离： + +$$ +d _ {i} = \sqrt {(x _ {0} - x _ {i}) ^ {2} + (y _ {0} - y _ {i}) ^ {2}} +$$ + +然后即将四个距离值 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}$ 进行比较，取出四个中的最小值： + +$$ +d _ {0} = \min \left\{d _ {1}, d _ {2}, d _ {3}, d _ {4} \right\} +$$ + +然后我们利用回归分析以前面 417 组数据作为训练样本，求出任务点定价 s 与坐标之间的关系： + +$$ +s = 1 3. 9 3 7 3 2 2 2 2 7 3 6 8 3 * d _ {0} + 6 6. 7 4 0 1 3 0 3 9 5 9 3 5 2 +$$ + +并利用后面 417 组数据作为检验，截取部分数据如下表： + +表 2 线性回归模型的检验结果 + +
任务号码任务gps纬度任务gps经度任务标价试验标价误差
A050922.81963599113.80372916567.22613-2.22613
A053822.84339687113.25575746668.07259-2.07259
A046422.52712849114.053908865.567.05758-1.55758
A046323.09785202113.30579156565.87237-0.87237
A070322.78108249114.05740146967.947431.052565
A041823.54196985113.59795527572.697632.302368
A068723.10425851113.86442397267.401774.598233
A071122.84158065113.98375347568.277166.722842
A082923.17903001112.87619258069.0864810.91352
A045022.57872798114.49360968572.9644112.03559
+ +发现拟合情况大部分较好，误差在2.5元以内，但是对于定价超过80元的一些情况，我们发现误差达到了十元以上，拟合情况在这种状况下不尽如人意，我们分析认为对于这种情况除了存在距离市中心距离长短的影响外，必然还存在着其他因素的作用。 + +因此我们将这些定价超过80元的点利用地图找到了他们各自的具体位置，情况如下表： + +表 3 定价超过 80 元的任务所在地 + +
任务号码地址
A0450广东省深圳市龙岗区南湾街道南新社区东北方向约1.13公里
A0460广东省深圳市龙岗区布吉街道凤凰社区东北方向
A0739中国广东省佛山市南海区
A0742广东省东莞市寮步镇寮步社区东南方向约1.19公里
A0749广东省东莞市大朗镇大朗社区西北方向
A0750广东省东莞市横沥镇村头村西南方向
A0751广东省东莞市石龙镇王屋洲村东北方向约1.15公里
A0760广东省东莞市塘厦镇石潭埔社区西南方向约1.02公里
A0765广东省东莞市寮步镇良边村西北方向
A0773广东省东莞市企石镇铁炉坑村东北方向
A0775广东省佛山市南海区大沥镇沥北社区西北方向
A0777广东省佛山市南海区丹灶镇东升社区东北方向
A0788广东省佛山市南海区里水镇草场社区西北方向约1.13公里
A0789广东省佛山市南海区河东中心路
A0790广东省佛山市南海区永安大道东37号
A0791广东省佛山市南海区桂丹路辅路
A0793广东省佛山市南海区广佛路125号
A0794广东省佛山市南海区永安大道南三巷
A0796广东省佛山市南海区兴隆路，528231
A0797广东省佛山市顺德区民安路
A0798广东省佛山市南海区荷桂路，528216
A0800广东省佛山市南海区荔新一路南四街，528231
A0808广东省东莞市上元路20号
A0809广东省佛山市南海区兴隆路，528231
A0830广东省佛山市南海区涌边大街，528244
A0833广东省东莞市德政东路7号，511700
A0835广东省佛山市南海区南湾南路，528231
+ +项目的定价会根据项目内容完成的难易程度存在着差异，我们知道当项目的位置处于相对偏远的地区或者交通不易到达的地方时，由于存在调查的困难性，需要定更高的价格以提高这些任务的完成率。 + +通过此表，我们发现这些定价超过80元的任务大多集中在东莞市与佛山市的偏僻郊区，我们结合现实因素加以考虑，认为出现这样的情况主要有两方面的原因，一是这些任务所在地较偏僻，远离市中心，完成难度较大，需要更高的价格刺激会员去完成任务；二是可能由于任务的发布者迫切需要了解东莞、佛山两市的相关情况，以提高价格的手段来促使任务完成的周期缩短。 + +# 5.1.2 任务未完成的原因分析 + +我们利用百度地图开放平台将任务点按照价格区间以及完成的情况进行了地图的绘制，采用了密度图的形式进行了反应，通过对于下图的分析 + +![](images/2c52527ee05a60cb378c5d48042add2b3da583d481c4b22f4e1a6756e2d7c344.jpg) +图2定价67元以下未完成的密度图 + +![](images/6c47c19c19e5d23cb8e340b8d6dce067f90655b3f30c53397858c5a0646bccad.jpg) + +![](images/8e20b13ebf2282e70982ea32a1606c6dc2ee744ad7709dabeccf60573bd75376.jpg) +图3定价67-70元未完成的密度图 +图4定价70-76元未完成的密度图 + +我们可以发现未完成的任务主要集中在广州市以及深圳市，而东莞市的任务则大多都被很好地完成了。我们通过查阅三处城市的社会经济特征，发现东莞市的经济发展状况比广州市和深圳市的差，并且人口以年轻人以及女性偏多。年轻人接受新鲜事物快，并且一些在校学生以及全职太太更倾向于通过完成任务的方式获得一些报酬，所以任务完成率更高。 + +![](images/5c316afb0ae42f34f8bc55a35e3a90f59db890fa15de078a32db1e4c4258d92f.jpg) +图5定价67元以下完成的密度图 + +![](images/1c7861c82dee35d5d891e3ccd3d4f48a20db11a860d5a2e3196a39c93fcd2331.jpg) +图6定价67-70元完成的密度图 + +![](images/1d234ffd35df3105f53a79a9bcedab2f674b9106617f35b6dd2a84ad7d26444c.jpg) +图7定价70-76元完成的密度图 + +通过上图我们发现定价高的任务完成的情况较好，在城市中心的任务完成情况也较好。在市中心是因为交通便利，会员容易到达，也因为市中心的人员更加密集，周围分布的会员多，任务更易被完成。而针对任务定价带来的影响，我们进行了如下进一步分析： + +![](images/50eb1bab6392eb1037cb14c0d4cb5864d13f04f71f91bec7538f5e27027e07d3.jpg) +图8任务每种价格的总数与完成的个数 + +![](images/e4fc20e41df525b4010a9193d5fdca247db2c0307371c89cf82e004341725a60.jpg) +图9任务每种价格完成率 + +我们结合上面的两张图综合分析可以看出，在价格为74元时完成率很低是由于价格在74元的任务总数较少，导致偶然性带来的波动较大，可以舍弃这一组数据。总的来看，我们发现在任务价格较低时，任务的完成率也会随之降低，而在任务价格较高时，任务完成情况较好。这是因为人们在有所选择的情况下更加倾向于去完成获得报酬高的任务来给自己带来更大的收益。 + +# 5.2 考虑会员等级带来影响的定价模型 + +我们分析得到，会员对于一个发布的任务存在着一个完成任务的意愿，我们用任务对会员的吸引力指标函数c来表示这个意愿，分析实际情况我们容易得知当一个任务的定价s越高并且任务的距离d距会员越近时，会员完成这个任务意愿就会越强，即吸引力指标函数c与s正相关，与d负相关且根据实际我们认为意愿应呈指数形式，得到： + +$$ +c _ {i} = f (s, d _ {i}) = m _ {1} e ^ {- \frac {m _ {2} d _ {i} ^ {2}}{s}} +$$ + +我们在建立模型时，考虑到会员不是静止不变的，他们总是处在不断的运动之中，而这时一些道路路况好，容易到达以及繁华的地方由于人流量大，便会有更大的几率有更多的会员从这里经过，相应地这些地方的任务更容易被完成，因此我们用a来定义一个坐标处的活跃度函数，而它的活跃度大小受到其周围区域内会员的数量以及会员等级的影响，会员等级越高代表其完成任务更加积极主动，会给其周围区域带来更高活跃度。因此我们用k来表示会员自身的活跃度，它由会员信誉积分b决定，公式为： + +$$ +k = \ln b +$$ + +由此我们可以得到一个坐标的活跃度为: + +$$ +a = g (x, y) = \sum_ {i = 1} ^ {n} k _ {i} \exp \{m _ {3} [ (x - x _ {i}) ^ {2} - (y - y _ {i}) ^ {2} ] \} +$$ + +其中 $(\mathbf{x},\mathbf{y})$ 为地区的经纬度坐标； $(x_{i},y_{i})$ 为第i个会员的经纬度坐标。 + +考虑到会员的分布很集中，全部考虑的话模型过于复杂且真实情况下存在偶然性，我们对模型进行简化，将单位区间内密集的会员进行合并，产生的新的经度 $x_{i}^{\prime}$ ，纬度 $y_{i}^{\prime}$ 以及会员活跃度 $k_{i}^{\prime}$ 定义为： + +$$ +x _ {i ^ {\prime}} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {j} k _ {i} x _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {j} k _ {i}} +$$ + +$$ +y _ {i} ^ {\prime} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {j} k _ {i} y _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {j} k _ {i}} +$$ + +所以我们可以得到改变后的地区的活跃度为： + +$$ +a = g (x, y) = \sum_ {i = 1} ^ {n} k _ {i} ^ {\prime} \mathrm {e x p} \{m _ {3} [ (x - x _ {i} ^ {\prime}) ^ {2} - (y - y _ {i} ^ {\prime}) ^ {2} ] \} +$$ + +利用MATLAB得出各个地区的活跃度如下图： + +![](images/da09f8c0074f5e908a0ad3ccfd8212f37dd125160e6fdf66d93497516dd8d91e.jpg) +图10各地区活跃度指标函数分布图 + +所以任务被完成的可能性大小取决于任务吸引力c和任务所在地区活跃度a，据此我们得到任务被完成的可能性 $\mathbf{p_i}$ + +$$ +p _ {i} = \iint c _ {i} a _ {i} d x d y +$$ + +对 $p$ 进行运算，为了方便求解，将其划分为 13 块进行运算，划分如下： + +![](images/67c7b92903e52d5d678395981b0ed2543c795db56bbbdedd3ea69daf4a565b64.jpg) +图11积分划分情况图 + +根据积分中值定理，我们可以得到： + +$$ +\iint_ {\Omega_ {i}} f (s, d) g (x, y) d x d y = A _ {i} \iint_ {\Omega_ {i}} f (s, d) d x d y (i = 1, 2 \dots 1 3) +$$ + +并令 + +$$ +\tau i = \iint_ {\Omega_ {i}} f (s, d) d x d y +$$ + +所以p为： + +$$ +p = \sum_ {i = 1} ^ {1 3} A _ {i} \iint_ {\Omega_ {i}} f (s, d) d x d y = \sum_ {i = 1} ^ {1 3} A _ {i} \tau_ {i} +$$ + +因为有 $A_{i}$ 符合正态分布 + +$$ +A _ {i} \sim N (g (x _ {i}, y _ {i}), \sigma_ {i}) +$$ + +我们得到： + +$$ +S ^ {2} (P) = \sum_ {j = 1} ^ {1 3} \tau_ {i} ^ {2} \sigma_ {i} ^ {2} +$$ + +因此我们得出当 + +$$ +\tau_ {1} ^ {2} = \tau_ {2} ^ {2} = \dots = \tau_ {1 3} ^ {2} +$$ + +此时有 + +$$ +S ^ {2} (P) \to m i n +$$ + +设门限 $\mathrm{G}$ , $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 小于 $\mathrm{G}$ 的省略, 得到: + +最大半径 $\mathrm{r}_3:\mathrm{f}(\mathrm{r}_3) = \mathrm{G}$ + +由 + +$$ +\mathrm {m _ {1} e ^ {- \frac {m _ {2} r _ {3} ^ {2}}{s}} = G} +$$ + +得到 + +$$ +\mathrm {r} _ {3} = - \frac {\mathrm {s}}{\mathrm {m} _ {2}} \ln \frac {\mathrm {G}}{m _ {1}} +$$ + +又有 + +$$ +\tau_ {1} = \iint_ {\Omega_ {1}} f (x) d x d y = \int_ {0} ^ {r _ {1}} \int_ {0 \leq \theta \leq 2 \pi} m _ {1} e ^ {- \frac {m _ {2} r _ {1} ^ {2}}{s}} r d r d \theta = 2 \pi \frac {m _ {1} s}{m _ {2}} (1 - e x p (- \frac {m _ {2} r _ {1} ^ {2}}{s})) +$$ + +$$ +\tau_ {2} = \iint_ {\Omega_ {2}} f (x) d x d y = \frac {\pi}{2} \frac {m _ {1} m _ {2}}{s} \bigg (e x p \left(- \frac {m _ {2} r _ {1} ^ {2}}{s}\right) - e x p \left(- \frac {m _ {2} r _ {2} ^ {2}}{s}\right) \bigg) = \tau_ {3} = \tau_ {4} = \tau_ {5} +$$ + +$$ +\tau_ {6} = \iint_ {\Omega_ {6}} f (x) d x d y = \frac {\pi}{4} \frac {m _ {1} m _ {2}}{s} \bigg (e x p \left(- \frac {m _ {2} r _ {2} ^ {2}}{s}\right) - e x p \left(- \frac {m _ {2} r _ {3} ^ {2}}{s}\right) \bigg) = \tau_ {7} = \tau_ {8} = \dots = \tau_ {1 3} +$$ + +联立方程： + +$$ +\tau_ {1} = \tau_ {2} = \tau_ {6} +$$ + +即可解出 $\mathbf{r}_1$ ， $\mathbf{r}_2$ ， $\mathbf{r}_3$ 。 + +即可得到 $\mathfrak{p}$ 的值。 + +我们联系实际得知，软件公司给任务设立定价，当任务被完成时软件公司即可获得收益，因此我们可以得到该点任务对于公司的收益期望为： + +$$ +E (R _ {i}) = P (L - s) + (1 - p) \cdot 0 = p (L - s) +$$ + +算出令 $E(R_{i})$ 最大的任务定价 $\mathrm{s}$ 即是我们修改的更加有利的定价方案。 + +任取一点（23.00,113.80）为例，我们可以得到其任务价格与被完成概率的关系以及任务价格与收益期望的关系： + +![](images/4a06aacd782d890c8cfe352d55ac0fb2949f10642693da31ac0dbe2ab6bc0f7a.jpg) +图12 任务价格与被完成概率的关系 + +![](images/dff5b13ef3deca7094831ee400dc65e7f4c78c67dd8f501bb86bd1d055412ad6.jpg) +图13 任务价格与收益期望的关系 + +据此，我们将（23.00,113.80）处的任务价格定为45元，可以使得公司获得更大的收益。 + +我们确定的新的定价相比原先的定价方案多考虑了会员的分布以及会员的等级所带来的影响，相比原先的方案此方案的价格定价更加的合理，可以使公司获得更多的收益。 + +# 5.3 将任务打包发布的定价模型 + +# 5.3.1 引入行动力建立打包数的函数关系 + +我们分析认为一个人的精力并不是无穷的，他在工作、运动时都会消耗他的精力，当他的精力到达临界点时，他就会休息，此时他是不会在去完成任务的。据此我们定义一个人的行动力为v，他在一次活动中消耗的行动力应该是行动到任务点的行动力和做任务的行动力之和，即 + +$$ +v = A \mathrm {c m} + A c w +$$ + +并求出行动力的效率： + +$$ +\omega = \frac {A c w}{A c m + A c w} +$$ + +当一个人的行动力效率即 $\omega$ 越高时，说明他做任务所占的时间更多，即他所能完成的任务也更多。我们认为将任务进行打包后发布，由一个人去任务点完成任务，它的效率比多个人分别去完成任务的行动率更高。并且打包可能导致零散的行动力被拒绝。 + +我们定义一个参数 $\mathbf{u}$ 来表示任务与会员之间吸引力的相关系数（ $0 < \mathbf{u} < 1$ ），它与会员的信誉积分 $\mathbf{b}$ 有关： + +$$ +u = \frac {m _ {3}}{1 + \frac {m _ {3} - u _ {0}}{u _ {0}} (b + 1) ^ {- 2}} +$$ + +由此我们得到第i个任务对第j个会员的吸引力为： + +$$ +c _ {i j} = \frac {1}{1 + \frac {m _ {4} d _ {i j} ^ {2}}{u}} +$$ + +我们分析认为当一个任务对一个会员的吸引力越高时，它就越会被这个会员完成，因此我们可以得到若任务完成，任务被第i个会员完成的概率为： + +$$ +P (A _ {i} | A) = c _ {i j} / \sum_ {i = 1} ^ {n} c _ {i j} +$$ + +因此我们可以得到第j个任务被完成的行动力消耗的期望： + +$$ +\mathrm {E} \left(\mathrm {A c m} _ {j}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} P \left(A _ {i} \mid A\right) \mathrm {A c m} _ {i j} +$$ + +在将任务进行打包时，我们不应只由 app 盈利角度出发，而应着眼于如何将互不相识，零散、完整程度不一的行动力组织起来，充分物尽其用，这才是问题的本源。因此我们就要使得我们打包后的效率满足： + +$$ +w = \frac {A c w}{A \mathrm {c m} + A c w} \geq G a t e +$$ + +即 + +$$ +A c w _ {\text {总}} = n \cdot A c w \geq \frac {\text {G a t e} \cdot \text {A c m} _ {\text {总}}}{1 - \text {G a t e}} +$$ + +又有 + +$$ +A c m _ {\text {总}} = \sum_ {j = 1} ^ {n} \mathrm {E} (\mathrm {A c m} _ {j}) +$$ + +所以我们推得 + +$$ +n > \frac {G a t e \cdot \sum_ {j = 1} ^ {n} \mathrm {E} (\mathrm {A c m} _ {j})}{A c w (1 - G a t e)} +$$ + +在得到此式后，我们再通过带入数据技术计算出各个任务被完成的行动力消耗的期望E(Acmj) + +将 $\mathrm{E}(\mathrm{Acm}_j)$ 在地图上表现出来，得到： + +![](images/68f9c1c65381d0c8fe656a4d8e87e7c2f86bccf9fa8e4af9d9273dcba77fe074.jpg) +图14各个任务点处的行动力消耗 + +可以看到，距离市中心越近的任务， $\mathrm{E}(\mathrm{Acm}_j)$ 越大，按照公式 + +$$ +n > \frac {G a t e \cdot \sum_ {j = 1} ^ {n} \mathrm {E} (\mathrm {A c m} _ {j})}{A c w (1 - G a t e)} +$$ + +可得结论：距离市中心越远，一包内应打越多的任务，这与前文的分析相符。 + +通过分析 $\mathrm{E}(\mathrm{Acm}_j)$ 与任务 $j$ 距离市中心的距离 $d$ 的关系，我们得到拟合函数： + +$$ +\mathrm {E} \left(\mathrm {A c m} _ {j}\right) = 2 0. 5 3 0 3 * (0. 6 5 4 7 7 + d) ^ {2} - 8. 8 8 0 7 8 +$$ + +取 $G a t e = 0.3, A c w = 1$ 我们得到 $n = 8.7987 * (0.65477 + d)^{2} - 3.7722$ + +根据这个函数，我们将任务按照距离市中心的距离分为不同的带，不同带内的任务打包的目标任务数不同。 + +# 5.3.2 打包算法的实现及结果 + +同时，为了能同时照顾整块行动力和零散行动力，我们应区别对待不同位置的任务。 + +对于临近市中心、居住区的任务，应少打包，或不打包，以发挥其充分利用零散行动力的优点。对于市郊的任务，应打包，一包打多个，以保证整块行动力有足够的高的效率，完成更多的任务。据此，我们设计了算法流程图设计如下： + +![](images/f0ae1a88f85c24eb60e2e0f73cd4381261359e61b1c4577b170289035e308c2f.jpg) +图15 打包算法流程图 + +运用MATLAB进行运算求解可以得到各类的打包情况： + +以第一大类远心部分的打包结果为例： + +表 4 第一大类远心部分的打包结果 + +
打包序号
14319
213118
377661075057
4825521
5138128
6137134135122121149125120
74437
891409532
911147632685
1010129
1148413322
127368
1388797435207180
1410990
1563
168176729375
17129124
1810659
195349
2014489562445
21126123
2210827
23614225
2411410298
251715
26109785413
27143141
28142133
2921
303623
319411104
328664
331151614
34139130
3511352
3611238
+ +各序号对应的任务点的坐标以及其余各类的打包情况均参见支撑材料。 + +# 5.3.3 打包算法对定价模型的影响 + +我们的打包算法是区别对待不同位置的任务，在已算得各分类区域的打包情况后，我们利用5.2中的模型求出公司的收益期望与打包后的包内平均每个任务的定价价格之间的关系： + +![](images/44983725645e11ace253d3816056ce6f53496285d16a6026c7bfbab9e6ebced4.jpg) +图16 活跃度较大的地点不打包每个任务的平均定价与总收益期望的关系 + +![](images/405db154a44b349ce876938916b8afb46d0e913b54706e2bf428914d0c9baa76.jpg) +图18 活跃度中等的地点不打包每个任务的平均定价与总收益期望的关系 + +![](images/39dc2fd94a9c8449b1c05cbef2cb356b257b46b45a8e294533fb84b5ecf9291b.jpg) +图20 活跃度较低的地点不打包每个任务的平均定价与总收益期望的关系 + +![](images/4328d5ed05549c4a7a5e3d1049c8462a96bfcb3dd3c624d03312076ba9c09e35.jpg) +图17 活跃度较大的地点包内每个任务的平均定价与总收益期望的关系 + +![](images/cdffd5af94bde8fb27880a0070bfbde595e21befacf6f751ac1f764f1b67f0c7.jpg) +图19 活跃度中等的地点包内每个任务的平均定价与总收益期望的关系 + +![](images/10d379aaaba2e3f3f29587fb4918da0c597b8b84d9997da975d3ec87642416c6.jpg) +图21 活跃度较低的地点包内每个任务的平均定价与总收益期望的关系 + +从上面的图中，横向分析发现打包后公司为获得最大收益期望所需确定的包内每个任务的平均价格相比于不打包时公司确定的每个任务的平均价格大大价低，而且公司能够获得的收益期望也有显著提高，也就是说采用打包策略后，公司可以在付出更少成本的情况下获得更多的收益，实现公司的利润最大化。 + +而通过纵向的对比分析，我们分析下面两个参数的变化情况： + +$$ +\text {平 均 任 务 价 格 降 低 百 分 比} = \frac {| e - s |}{s} \text {收 益 期 望 提 高 百 分 比} = \frac {\left| E \left(R _ {\text {后}}\right) - E \left(R _ {\text {先}}\right) \right|}{E \left(R _ {\text {先}}\right)} +$$ + +得出结果： + +表 5 不同地区打包后的参数变化情况 + +
地区分类平均任务价格降低百分比总收益期望提高百分比
活跃度较大的地点0.5862068970.31147541
活跃度中等的地点0.6458333330.617021277
活跃度较低的地点0.6727272730.731707317
+ +从上表可以发现，在活跃度较低的地区将任务进行打包可以获得更高的收益，实现利润的最大化。这是因为将活跃度较低的地区任务打包发布会使得会员完成一次任务可以获得更多的收益，这就大大增加了低等级会员去完成任务的积极性。 + +因此在打包算法模型下，我们对于临近市中心、居住区的任务，应少打包，或不打包，以发挥其充分利用零散行动力的优点，从而也使得任务的完成情况更好并使公司获得更多的利益。 + +# 5.4 对于新项目的定价方案 + +通过比较最新系项目任务图和用户分布图，我们发现，对于新项目而言，需要完成项目的行动力和当前用户的行动力分布是不均匀的。 + +原任务的行动力以及新项目的行动力分布如下： + +![](images/b44bcf02100d24dd6ae88e1287841fe4c5a3cb3905fd66436862831c3bc31381.jpg) +图22 原项目需要的行动力分布 + +![](images/f18eb4e3fedf59f7d187f102ed36362311ff1c1589d8676ea71c19a604783285.jpg) +图23 新项目需要的行动力分布 + +如图所示，我们发现东莞为的行动力饱和区，广州为行动力消耗饱和区。若仍由之前的模型，只考虑任务由最近城市的用户来完成，是不合理的，必须考虑行动力的流通，即行动力饱和区的用户来完成行动力消耗饱和区的任务。 + +我们为了区分什么样的任务应面向什么样的用户，引入了以下描述任务和用户匹配程度的变量： + +1. 对于一个任务而言，不同用户的完成能力。 +我们知道距离越近的用户，完成能力越强。按照经验区分，信誉积分越高的用户，完成能力越强。 +2. 对于一个用户而言，不同任务的吸引力。 + +距离越近的用户，吸引力越强。信誉积分越高的用户，越是能抽出整块时间做任务，任务距离对于他的吸引力的影响越不显著 + +此外，完成能力和吸引力之间、不同任务、用户之间又有相互影响： + +1、对于这个任务的完成能力，用f表示，相比较于完成其他任务越高，则这个任务对于用户的吸引力越强，或者说，用户的能力越是狭隘的局限于这个或几个任务，这个任务对用户的吸引力越大。 +2、受其他任务吸引越少的用户，完成能力越强。因为用户面临的选择越少，他们就越可能去完成这个任务。 + +根据上述性质与关系，我们可以得到两个变量量化后的如下关系： + +$$ +\mathrm {f} _ {i j} = \frac {c _ {i j}}{\sum_ {i = 0} ^ {n} c _ {i j}} \cdot \frac {1}{1 + 1 0 u d _ {i j} ^ {2}} +$$ + +$$ +c _ {i j} = \frac {\mathrm {f} _ {i j}}{\sum_ {i = 0} ^ {n} \mathrm {f} _ {i j}} \cdot \frac {1}{1 + 1 0 u d _ {i j} ^ {2}} +$$ + +我们利用 MATLAB 将用户按城市聚类，则根据结果，我们可以画出各个任务完成能力最大的用户分别从属于哪个城市： + +![](images/23c3f3a826769acf5f3045f1e1dcbcc78423a432f514c7a939e22f49f8af2b00.jpg) +图24 用户所属城市区分图 + +![](images/2563bc3c99ee07105a6950b097ef7891c76ac0d28d326356c72f0c65c39e7618.jpg) + +![](images/fd753db56c57b0dc3f43a59d9d84ee0f60b7369f7c8b28a2b1c138f21bd5dee0.jpg) +图25 新项目各个任务完成能力最大用户所属城市 + +从图中，我们发现，由于广州、深圳行动力消耗饱和，东莞行动力饱和，导致广州、深圳部分靠近东莞的任务更可能被东莞用户完成，而不是当地用户。根据这一结论，为了更好的组织行动力，提高效率，在行动力饱和的广州、深圳，应适当考虑面向远道而来的东莞用户。 + +我们具体方法是，将东莞用户完成能力更高的任务视为需要消耗大量移动行动力的任务，尽管它们可能距离广州、深圳很近。通过这种办法，提高东莞用户来做任务的效率，吸引东莞用户前来，提高完成率。 + +我们用MATLAB依照5.3中的模型进行打包，部分结果如下，全部分类结果及序号对应的任务点，见支撑文件： + +表 6 新项目的部分打包情况 + +
编号序号
13240
25169121051514517
3865794795799
4994478482989481889214892213215321248757
56136061603
6798774796282278285286351801
76158171
8193107
93826
10450369464209
11934911470762
12803793
1354654552259220
1458441
15691681181
+ +然后我们根据5.2的模型确定了这些包的最佳定价，部分打的包的定价如下，第一类定价见附录4.3，其他分类中包的价格见支撑材料： + +表 6 新项目的第一类部分任务的定价 + +
打包编号定价未打包编号定价
包154.79007654.79007
包249.08227749.08227
包348.69057848.69057
包452.094831152.09483
包549.235261549.23526
包654.341721754.34172
包751.587042251.58704
包849.697542349.69754
包955.062183355.06218
包1056.508053456.50805
包1143.329983543.32998
包1245.40594345.4059
包1353.59964553.5996
包1454.595334854.59533
包1555.947454955.94745
+ +# 六、模型的评价 + +# 6.1、模型的优点 + +（1）我们建立了公司收益期望与任务定价价格之间的函数关系，并用图表的形式表现了出来，很直观，能准确地确定最佳的任务定价价格 +(2) 我们引入了任务对人的吸引力以及任务地点具有的活跃度两个概念, 创新性地用这两个参数来确定该点任务被完成的概率, 新颖且合理 +（3）我们从会员完成任务的消耗引入了行动力这一概念，从而很好地量化了会员完成任务的实际情况，较为合理地给出了打包模型 +（4）采用聚类的分析方法找到了繁杂数据中存在的规律，发现结果与现实的社会特征拟合的较好，反映了实际情况 + +# 6.2、模型的缺点 + +（1）模型在求任务定价价格与任务完成率的关系时，运算过程极为的复杂，增加了实际操作的难度 +（2）实际问题中，对于任务点位置的分析还应该考虑位置点到主干道的距离，即考虑交通带来的影响 +（3）由于缺少数据，模型没有对会员的年龄、性别、收入等因素对完成任务的影响进行考虑。 + +# 七、参考文献 + +[1] 姜启源 谢金星 叶俊，《数学模型（第三版）》，高等教育出版社，2003.8. +[2] “互联网+”时代的出租车资源配置，2015年数模国赛优秀论文. +[3]CSDN 博客 ACdreamers ISODATA 算法，http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/44663975. +[4]陈名娇.基于微博数据的深圳市居民生活空间研究[D].深圳大学,2017 +[5]刘云刚，苏海宇（中山大学）.基于社会地图的东莞市社会空间研究[J].地理学报,2016,第71卷(8):1283-1301 +[6] 蒋小荣, 汪胜兰, 杨永春 (兰州大学). 中国城市人口流动网络研究——基于百度 LBS大数据分析[J]. 人口与发展, 2017, 第 23 卷(1): 13-23 + +# 附录 + +附录1问题（1）主要代码 + +附录1.1 回归分析求方程系数 + +```matlab +clear; close all;clc; +x=csvread('beforehalf.txt'); +atanum=size(x,1); +D=[22.6107, 113.927; 23.124, 113.2424; 22.9732, 113.7467; 22.7238, 114.1524; +``` + +```txt +];%四个聚类中心 +A1=zeros(4,1); +p=csvread('beforehalfprice.txt'); %价格矩阵 +``` + +$\mathrm{d =}$ zeros([datanum,1] $)\%$ 距离矩阵 +pcount=zeros(datanum,1); +for $i = 1$ :datanum + +for $n = 1:4$ A1(n,1) $\equiv$ sqrt((x(i,1)-D(n,1))^2+(x(i,2)-D(n,2))^2); end d(i,1)=min(A1); + +end +d1=[ones(datanum,1),d]; +[b,bint,r,rint,U] $\equiv$ regress(p,d1,0.05); +for i=1:datanum +pcount(i,1)=d(i,1)\*b(2,1)+b(1,1); +end + +附录1.3 画密度图的脚本 + + + 热力图功能示例
+ +# 附录2 问题二主要代码 + +附录2.1 各地区活跃度指标函数 + +m=0; +gate=0.0001; +flag=0; +for i=1:1876 for j=1:m if ((user_infor(i,1)-k(j,2))^2+(user_infor(i,2)-k(j,3))^2)3 +for i=1:n1(3) + for j=1:2 + class1city3(i,j)=classIncity1(i,j,3); + end +end +end +if city_num>4 +for i=1:n1(4) + for j=1:2 + class1city4(i,j)=classIncity1(i,j,4); + end +end +end +``` + +```matlab +end +for i=1:n2(2) + for j=1:2 + class2city2(i,j)=classIncity2(i,j,2); + end +end +if city_num>3 +for i=1:n2(3) + for j=1:2 + class2city3(i,j)=classIncity2(i,j,3); + end +end +end +if city_num>4 +for i=1:n2(4) + for j=1:2 + class2city4(i,j)=classIncity2(i,j,4); + end +end +``` + +$\% \%$ 方法一 + $\%$ 根据最近邻法打包 调用函数pac index11=pac(40,'class1city1'); + $\%$ index21=pac(10,'class2city1'); + $\%$ index12=pac(6,'class1city2'); + $\%$ index22=pac(12,'class2city2'); + $\%$ index13=pac(6,'class1city3'); + $\%$ index23=pac(10,'class2city3'); + $\%$ index14=pac(6,'class1city4'); + $\%$ index24=pac(10,'class2city4'); + +$\% \%$ 方法二 + +%%k 均值打包画图 调用函数 clusterIn 和函数 plottu + +$\%$ [class11, E11, F11]=clusterIn(class1city1,25);[class21, E21, F21]=clusterIn(class2city1,35); $\%$ [class12, E12, F12]=clusterIn(class1city2,45);[class22, E22, F22]=clusterIn(class2city2,28); $\%$ [class13, E13, F13]=clusterIn(class1city3,23);[class23, E23, F23]=clusterIn(class2city3,28); $\%$ [class14, E14, F14]=clusterIn(class1city4,23);[class24, E24, F24]=clusterIn(class2city4,32); $\%$ $\%$ + +$\%$ rect=[0,0,1024,600]; + +$\%$ figure('Position',rect); + +% title('四类'); + +$\%$ for $\mathrm{j} = 1$ :classsize(1) + +$\%$ plot(classBycity(j,2,1),classBycity(j,1,1),'yx'); + +$\%$ set(gca,'xlim',[112.8,114.5]); + +% hold on + +$\%$ end + +$\%$ for $\mathrm{j} = 1$ :classsize(2) + +$\%$ plot(classBycity(:,2,2),classBycity(:,1,2,'ms'); + +$\%$ set(gca,'xlim',[112.8,114.5]); + +$\%$ end + +$\%$ for $\mathrm{j} = 1$ :classsize(3) + +$\%$ plot(classBycity(:,2,3),classBycity(:,1,3,'cd'); + +$\%$ set(gca,'xlim',[112.8,114.5]); + +$\%$ end + +$\%$ for $\mathrm{j} = 1$ :classsize(4) + +$\%$ plot(classBycity(:,2,4),classBycity(:,1,4),rv'); + +$\%$ set(gca,'xlim',[112.8,114.5]); + +$\%$ end + +$\%$ plot(means(:,2),means(:,1),'kp'); + +% hold off + +% + +% + +% + +$\%$ locat=[113.7,114.5]; + +$\%$ 113.0,113.7; + +$\%$ 113.4,114.3; + +$\%$ 112.8,113.4]; + +$\%$ plottu(1,E11,E21,F11,F21,class11,class21,classsize(1),classBycity,locat(1,:)); + +$\%$ plottu(2,E12,E22,F12,F22,class12,class22,classsize(2),classBycity,locat(2,:)); + +$\%$ plottu(3,E13,E23,F13,F23,class13,class23,classsize(3),classBycity,locat(3,:)); + +$\%$ plottu(4,E14,E24,F14,F24,class14,class24,classsize(4),classBycity,locat(4,:)); + +# 附录3.2 主体代码中方法一的函数 + +function [index] $=$ pac(kn,fun) + +rect=[0,0,1024,600]; + +figure('Position',rect); + +scou $\equiv$ evalin('base',fun); + +[ \text{[mn,~]} = \text{size(scou)} ] + +$\mathrm{d = z e r o s(mn)}$ + +index=zeros(mn,kn); + +rindex=zeros(mn); + +$\mathrm{k = 0}$ + +l=0; +gate=0.02; +for j=1:mn for i=j+1:mn d(i,j) $\equiv$ ((scou(i,1)-scou(j,1))^2+(scou(i,2)-scou(j,2))^2); end +end +m=0; +c=0; +te=zeros(2,100); +scatter(scou(1:mn,2),scou(1:mn,1)) +for i=1:mn text(scou(i,2),scou(i,1),num2str(i)) +end +for t=1:1000 jj=[]; ii=[]; dmin=100; for j=1:mn for i=j+1:mn if rindex(i,j) continue end if dmin>d(i,j) dmin=d(i,j); k=i; l=j; end end +end if dmin>0.0002 break +end +[ii,~]=find(index==k); [jj,~]=find(index==l); if isempty(ii) if isempty(jj) c=c+1; index(c,1)=k; index(c,2)=l; line([scou(k,2),scou(1,2)],[scou(k,1),scou(1,1)]) te(:,t)=[k,l]; else + +```matlab +pp=find(index(jj,.)=0); if ~isempty(pp) index(jj,pp(1))=k; line([scou(k,2),scou(1,2)],[scou(k,1),scou(1,1)]) te(:,t)=[k,l]; end end else if isempty(jj) pp=find(index(ii,.)=0); if ~isempty(pp) index(ii,pp(1))=l; line([scou(k,2),scou(1,2)],[scou(k,1),scou(1,1)]) te(:,t)=[k,l]; end else a=find(index(ii,.)=0); b=find(index(jj,.)=0); if ~(isempty(a)||isempty(b)||ii==jj) [~,rowb]=size(b); if ii==10&&jj==1 end if rowb-a(1)+1>0 for bb=1:6-rowb index(ii,a(bb))=index(jj,bb); end index(jj,.)=index(c,.); index(c,.)=zeros(1,kn); c=c-1; line([scou(k,2),scou(1,2)],[scou(k,1),scou(1,1)]) end end end end rindex(k,l)=1; +end +``` + +附录3.3 主体代码中方法二的函数一 + +function [class E F]=clusterIn(classcity,sizeofclass) + +[E,F]=kmeans(classcity,sizeofclass); + +ncount=zeros(sizeofclass,1); + +```matlab +for i=1:size(classcity,1) + for n=1:sizeof + if E(i) == n + ncount(n) = ncount(n) + 1; + class(ncount(n), :, E(i)) = classcity(i,:) + end + end +end +``` + +附录3.4 主体代码中方法二的函数二 +```matlab +function plottu(k,E11,E21,F11,F21,class11,class21,classsize,classBycity,locat) +rect=[0,0,1024,600]; +figure('Position',rect); +title('k'); +plot(classBycity(1:large size,2,k),large city(1:large size,1,k),go'); +set(gca,'xlim',locat); +hold on +plot(F11(:,2),F11(:,1),b+); +plot(F21(:,2),F21(:,1),c+); +for i=1:size(class11,3) + for j=1:size(class11,1) + if class11(j,1,i)~=0 + plot(class11(j,2,i),class11(j,1,i),ko'); + end + end +end +X=zeros(2); +Y=zeros(2); +for j=1:size(class11,3) + X(2)=class11(1,2,j); + Y(2)=class11(1,1,j); + for i=2:size(class11,1) + if class11(i,2,j)~=0 && class11(i,1,j)~=0 + X(1)=X(2); + X(2)=class11(i,2,j); + Y(1)=Y(2); + Y(2)=class11(i,1,j); + line(X,Y); + end + end +end +``` + +```matlab +for i=1:size(class21,3) + for j=1:size(class21,1) + if class21(j,1,i)~=0 +plot(class21(j,2,i),class21(j,1,i), 'ro'); + end + end +end +X=zeros(2); +Y=zeros(2); +for j=1:size(class21,3) + X(2)=class21(1,2,j); + Y(2)=class21(1,1,j); + for i=2:size(class21,1) + if class21(i,2,j)~=0 && class21(i,1,j)~=0 + X(1)=X(2); + X(2)=class21(i,2,j); + Y(1)=Y(2); + Y(2)=class21(i,1,j); + line(X,Y); + end +end +end +hold off +end +``` + +附录3.5 收益与价格关系代码 +```txt +n=6; +``` + +$\mathrm{f = @(s)(1 / (1 + 1 / PoCom(y(114),x(71),s)))};\%}$ 最大值点 + +$\mathrm{g = @(m)(n^*f(m)^*(150 - m))}$ + +```txt +figure +``` + +```txt +fplot(g,[1,100]) +``` + +```javascript +title('在活跃度较大的地点不打包多任务总任务价格和总收益期望的关系'); +``` + +```txt +xlabel('任务价格'); +``` + +```javascript +ylabel('收益期望'); +``` + +```txt +figure +``` + +```txt +fplot(f,[1,100]) +``` + +```javascript +title('在活跃度较大的地点不打包多任务总任务价格和任务被完成概率的关系'); +``` + +```txt +xlabel('任务价格'); +``` + +```javascript +ylabel('完成概率'); +``` + +$\mathrm{f = @(s)(1 / (1 + 1 / PoCom(y(114),x(71),n^*s)))};\%}$ 最大值点 打包 + +$\mathrm{g = @(m)(f(m)^{*}n^{*}(150 - m))}$ + +figure + +fplot(g,[1,100]) + +title('在活跃度较大的地点打包后多任务总任务价格和总收益期望的关系'); + +xlabel('任务价格'); + +ylabel('收益期望'); + +figure + +fplot(f,[1,100]) + +title('在活跃度较大的地点打包后多任务总任务价格和任务被完成概率的关系'); + +xlabel('任务价格'); + +ylabel('完成概率'); + +f=@s)(1/(1+1/PoCom(y(95),x(43),s)));%中间值 + +$\mathrm{g = @(m)(n^{*}f(m)^{*}(150 - m))}$ + +figure + +fplot(g,[1,100]) + +title('在活跃度中等的地点不打包多任务总任务价格和总收益期望的关系'); + +xlabel('任务价格'); + +ylabel('收益期望'); + +figure + +fplot(f,[1,100]) + +title('在活跃度较中等地点不打包多任务总任务价格和任务被完成概率的关系'); + +xlabel('任务价格'); + +ylabel('完成概率'); + +f=@s)(1/(1+1/PoCom(y(95),x(43),n\*s)));%中间值 打包 + +$\mathrm{g = @(m)(f(m)*n*(150 - m))}$ + +figure + +fplot(g,[1,100]) + +title('在活跃度中等的地点打包后多任务总任务价格和总收益期望的关系'); + +xlabel('任务价格'); + +ylabel('收益期望'); + +figure + +fplot(f,[1,100]) + +title('在活跃度中等的地点打包后多任务总任务价格和任务被完成概率的关系'); + +xlabel('任务价格'); + +ylabel('完成概率'); + +$\mathrm{f = @(s)(1 / (1 + 1 / PoCom(y(1),x(1),s)))};\%$ 最低值 + +$\mathrm{g = @(m)(n^{*}f(m)^{*}(150 - m))}$ + +figure + +fplot(g,[1,100]) + +title('在活跃度较低的地点不打包多任务总任务价格和总收益期望的关系'); + +xlabel('任务价格'); + +ylabel('收益期望'); +figure +fplot(f,[1,100]) +title('在活跃度较低的地点不打包多任务总任务价格和任务被完成概率的关系'); +xlabel('任务价格'); +ylabel('完成概率'); + $\mathrm{f = @(s)(1 / (1 + 1 / PoCom(y(1),x(1),n*s)))}$ \%最低值打包 + $\mathrm{g = @(m)(f(m)*n*(150 - m))}$ +figure +fplot(g,[1,100]) +title('在活跃度较低的地点打包后多任务总任务价格和总收益期望的关系'); +xlabel('任务价格'); +ylabel('收益期望'); +figure +fplot(f,[1,100]) +title('在活跃度较低的地点打包后多任务总任务价格和任务被完成概率的关系'); +xlabel('任务价格'); +ylabel('完成概率'); + +用到的函数为 +function [p] $\equiv$ PoCom(lat,lng,s) +k=0.5; +gate $= 0.001$ +m=150; + $\% \mathrm{R} = (-\mathrm{s / m}^{*}\log (\mathrm{gate / k}))^{\wedge}(1 / 2)$ $\mathbf{R} = 1.5767$ +syms a + $\%$ root $\equiv$ solve(['(-log(13\*exp(-a^2)-12))^{\wedge}(1 / 2)=',num2str(R/s\*m)],a); +root $= 0.28291817326180982704289519397144$ +r1 $\equiv$ double(root(1)\*s/m); +r1=(r1^2)^{\wedge}(1/2); +r2 $\equiv$ (-log(5\*exp(-r1^2-4)))^{\wedge}(1/2); +r3=R; +c $\equiv$ @(lat0,lng0)(k\*exp(-(lat0-lat)^{\wedge}2-(lng0-lng)^{\wedge}2)/s\*m); +p=s/m\*k\*(1-exp(-r1^2/s\*m))*2\*pi\*(acti(lat,lng)... ++acti(lat+(r1+r2)/2,lng)+acti(lat,lng+(r1+r2)/2)+acti(lat-(r1+r2)/2,lng)+acti(lat,lng- +(r1+r2)/2)... ++acti(lat+(r3+r2)/2,lng)+acti(lat,lng+(r2+r3)/2)+acti(lat-(r2+r3)/2,lng)+acti(lat,lng- +(r2+r3)/2)... ++acti(lat+(r3+r2)/2^1.5,lng+(r3+r2)/2^1.5)+acti(lat-(r3+r2)/2^1.5,lng+(r3+r2)/2^1.5)... ++acti(lat+(r3+r2)/2^1.5,lng-(r3+r2)/2^1.5)+acti(lat-(r3+r2)/2^1.5,lng-(r3+r2)/2^1.5)); + +# 附录4问题（4）主要代码 + +附录4.1 计算吸引力与完成能力 +$\%$ dmu=zeros(2066,1876); +Ga=0.5; +AFF $\equiv$ @d)(1/(1+10\*uf\*d)); + $\%$ for j=1:1876 + $\%$ for i=1:2066 + $\%$ temp=(miss_posi2(i,1)-user_infor(j,1))^2+(miss_posi2(i,2)-user_infor(j,2))^2; + $\%$ if temp第一类定价/任务任务个数未打包编号定价个数包127.99039243654.791包221.34160377749.081包327.16085164848.691包427.4346897131152.091包524.678324141549.241包628.170378491754.341包727.493847132251.591包825.587599722349.71包920.736202323355.061包1029.632832143456.511包1123.117715643543.331包1227.046872824345.411包1326.832070754553.61包1423.290763824854.61包1521.426966434955.951包1620.45510925044.221包1724.3371104185154.91包1828.2448138215545.271包1923.089641735646.381包2025.42272925753.191包2120.745677175954.261包2227.0644505406353.231包2328.202975226556.051包2428.246490146752.211包2527.091026627251.231包2628.537118927550.831包2724.4759798276511包2821.100707127843.341包2926.77554178243.831包3022.970280438349.521包3127.437017628552.211包3227.430431528955.771包3324.053335569043.851包3427.820359749145.211包3520.454391109244.641包3620.840754539456.441包3725.545507729947.721包3822.4053355410544.711包3929.8170219210656.061包4026.971111410951.241包4127.0842319311056.661包4221.2712905211247.631包4321.2769427211451.421包4428.9648911211543.291包4521.6105583211846.771包4629.8889281811951.951包4721.2208254412055.261包4827.8219853312150.691包4921.692193812455.141包5021.3705886312548.191包5121.4766525212755.911包5228.7383119213054.081包5322.2397038313255.851包5420.0807329213353.431包5521.2788618213550.931包5624.0934637613754.691包5721.035591313946.321包5828.0448298214046.141包5928.6635525914152.411包6026.5345674214252.981包6123.2073143314346.581包6227.4648857314447.61包6329.5820823314545.21包6420.2233018414750.671包6527.4374636214854.591包6622.2382868614946.831包6725.4971965415247.351包6828.5037906315351.41包6921.9173297315446.231包7023.2451015415547.921包7122.8011567815753.511包7221.1601635216355.121包7326.3659369217954.941包7422.8089521318956.091包7526.9794373619050.791包7624.2534093219150.211包7729.9237192219645.991包7826.668791219751.841包7926.8125148319853.961包8028.400445219947.021包8123.6814154620046.931包8222.3376788320150.671包8327.036886520248.631包8424.8761632520356.161包8524.92123221220549.471包8620.6964895220654.571包8724.16686561220849.531包8822.1696696221249.51包8929.3032056322144.151包9024.6345234222252.381包9124.1578852622343.851包9225.2146179922550.941包9329.7518678322656.861包9421.6862856423047.961包9528.5957661423146.171包9621.22787323252.31包9727.1716832423543.791包9827.5180205423647.991包9928.6684586324049.091包10023.7357368424148.691包10127.3308561324244.741包10220.0741263324548.911包10323.47926861824648.441包10428.9437812424754.051包10524.7905118224953.641包10623.7109122025046.071包10720.9088528425353.181包10825.26713881625644.771包10927.1670294225844.451包11023.0637035826450.341包11122.6945245226744.831包11223.2957121726852.511包11322.56881611327252.771包11425.8095194427452.571包11529.1610843228049.221包11623.4544028228145.361包11721.6010059228355.921包11823.7227625428452.811包11923.6164986328855.051包12023.4712767429043.571包12121.4238216729143.641包12228.6818878229351.921包12322.871832429445.131包12422.8134724229648.451包12529.7732779530049.651包12628.3002043230143.871包12722.7237611430352.031包12826.4924358230446.131包12924.22259821330552.631包13020.24424341030644.931包13127.3011875530754.621包13229.3045016230852.971包13325.3452556231149.951 + +
32252.03602165446.322021
32549.53261165553.150911
32951.52624166044.461831
33053.95205166248.590981
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43647.63437178154.130031
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43956.32474178947.899711
44743.30856179049.148931
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45355.73759180046.308251
45556.71405180853.194941
45849.61815181053.866071
45949.56277181253.820591
46549.18825181447.677961
46653.85829181743.980291
47247.2211182448.364861
47556.78855182549.47431
48351.73047182648.19331
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49949.45585183548.917561
50144.92424183747.070421
50343.27446184147.292851
50447.35765184549.97641
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57754.52528190656.348551
57954.94797190756.885281
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58247.924191350.311621
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58755.59252192149.170581
59047.08775192255.606431
59155.7668192449.828011
59448.63403192950.215291
59653.49499193052.368111
59853.55926193148.691391
59956.19283193347.117761
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60547.37164193648.580191
60845.86271196352.409971
60953.03806196945.829481
61056.06061197251.228191
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65055.653721101154.238661
65244.603821
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/B248/B248.md b/MCM_CN/2017/B248/B248.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..7ed6f74bfd4e9b4d3e7ea2d75bcc766c3bea4efc --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/B248/B248.md @@ -0,0 +1,1598 @@ +# 基于聚类分析的双目标优化定价模型 + +摘要 + +“拍照赚钱”APP是基于移动互联网的自助式劳务众包平台，使得企业可利用大众力量，低成本、高效率地完成各种商品检查与信息搜集的任务。本文通过建立数学模型，就APP中的任务定价问题进行分析，给出最优的任务定价方案。 + +针对问题一，对项目的任务定价规律进行定性与定量研究。利用Matlab的cftool工具箱绘制出任务的经纬度坐标与定价数据的三维拟合图，观察到任务分布密集的地区任务定价较低。对任务的位置数据进行空间离散化处理和K-Means分析，将任务分布的区域等划分为若干网格区域，定义影响任务定价的四个因子，即网格内任务数量、会员人数、会员平均完成能力、任务与中心点的距离。运用灰色关联矩阵定量分析四个影响因子与定价的相关度，分别为0.9710,0.9671,0.9633,0.9390。得出所定义的指标对定价相关性很高，能较好描述定价规律。最后通过比较未完成任务与已完成任务的相关度矩阵得出距离对任务的完成的影响是最显著的。 + +针对问题二，设计新的任务定价方案实际上是一个优化问题，以总成本最小化，完成率最大化作为两个优化目标。通过问题一中任务未完成的原因分析引入吸引度矩阵，计算吸引力阈值。考虑到每个会员有各自的信誉值，预定开始时间与预定配额，设定最大吸引准则、竞争准则、信誉优先分配准则、时间列准则，约束条件即为会员在预定任务时必须遵循以上准则，建立双目标定价优化模型。利用Matlab的深度多重搜索算法对决策变量进行遍历，用matlab得到最优定价方案。此定价方案的完成率为 $84.55\%$ ，与原方案比较，总成本节约了 $5.58\%$ ，任务完成率提高了 $32.25\%$ 。 + +针对问题三，在位置较为集中的任务被联合打包发布的情况下修改双目标定价优化模型。首先，根据任务的位置信息，利用聚类分析将任务分为150类，提取出包含的任务数量大于15个的任务类别，进行二次嵌套聚类分析，由此得到的任务打包方案满足每一个任务包中的任务位置集中且任务数量不超过15个。然后，修改吸引力矩阵，重新计算得到每个任务的阈值，基于任务打包结果，在满足双目标优化模型的约束条件的情况下，利用Matlab的深度多重搜索算法对决策变量进行遍历，得到最优定价方案，在此定价方案下，任务完成率为 $0.9091\%$ 与问题二中的方案相比，总成本节约了 $5.7\%$ ，任务完成度提高了 $7.52\%$ 。 + +针对问题四，新项目的任务定价方案设计应当基于之前建立的双目标优化定价模型。首先，根据任务的位置信息进行聚类分析，得到新任务的打包方案。将模型三中的相关任务数据以及最优定价方案作为BP神经网络的训练样本，建立BP神经网络预测模型，新任务的定价依旧满足问题二中的约束条件，通过预测得到新任务定价方案以及相应完成情况，最终定价总额为54603.58元，150包中完成141包，任务完成率为 $94\%$ 。都优于问题二和问题三的最优定价方案。 + +最后，给出每个模型的优缺点及评价。 + +关键词：K-Means 聚类分析 双目标优化模型 多重搜索算法 BP 神经网络 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +在互联网技术发展迅猛的当下，高昂的技术、人才、设备等成本在一定程度上限制了一批企业的生产和扩大，这也促使企业重新寻找突破点。2015年9月，国务院印发的《关于加速构建大众创业万众创新支撑平台的指导意见》中提出，积极发展众包，即汇众力增就业，借助互联网等手段，将传统由特定企业和机构完成的任务向自愿参与的所有企业和个人进行分工，最大限度利用大众力量，以更高的效率、更低的成本满足生产及生活服务需求。 + +“拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务，赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式节省了调查成本，保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，同时，APP中的任务定价是其核心要素。如果定价不合理，该项商品调查任务就会无人领取，从而失败。 + +# 1.2 问题提出 + +根据以上背景，以及给出的三个附件，需要解决以下问题： +1. 研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 +2. 为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 +3. 实际情况中，用户可能会争相选择位置比较集中的多个任务，因此，考虑将这些任务联合在一起打包发布。基于这种考虑，修改前面的定价模型，并分析对最终的任务完成情况的影响。 +4. 对附件三中的新项目给出任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 + +其中，附件一给出了已结束项目任务数据，包含每个任务的位置、定价和完成情况；附件二给出了会员信息数据，包含会员的位置、信誉值以及对应的任务开始预订时间和预定限额；附件三给出了新项目任务数据，仅包含任务的位置信息。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +问题一首先要求我们根据一项已完成项目的任务数据中的每个任务的位置、定价和完成情况来分析任务定价规律。在经济学中，一个竞争性市场上的商品价格规律受到供求关系影响而上下波动，因此，要分析定价规律，便需要找到影响定价的因素，对于每一个任务而言，它的定价与完成情况会受到其它任务与会员的影响，我们将从这两大方面考虑任务定价的影响因子，定义影响任务定价的四大影响因子。 + +首先，我们将利用任务数据的经纬度与定价信息来进行图像分析，观察出定价的定性规律，在此基础上，将标定任务位置的空间数据进行离散化处理，并根据任务的位置分布进行K-Means聚类分析，结合附件一给出的数据将影响因子量化。最后，利用灰色关联度矩阵计算各影响影响因子与定价之间的相关度，定量 + +分析任务的定价规律。通过比较未完成任务与已完成任务的相关度矩阵之间的差异找出任务未完成的原因。 + +# 2.2 问题二的分析 + +问题二的新的定价方案设计问题实际上是一个优化问题。由于附件一中任务定价存在某种不合理性导致了任务完成率低下，从企业定价的角度考虑，一个较优的定价方案应当让企业花费尽可能少的成本去得到更多的市场调查信息。因此，我们将设计新的定价方案看做一个双目标优化问题，即在各种约束条件下设计出一个可以使得成本最小化、任务完成率最大化的定价方案。 + +在考虑最优定价方案时，不能完全从发布任务的企业角度来考虑，应当考虑到现实中任务被会员预定的过程中存在的规则。当企业发布任务数据后，不是任务挑选会员，而是会员挑选任务。该问题的难点便在于同时从企业和会员的两个角度进行考虑，将复杂的任务预定规则一一转化为约束条件。由于每个会员都有对应的信誉值以及任务开始预定时间和预定限额，并且信誉值越高，越优先挑选任务。我们按照时间顺序，依次对任务预定的时间点进行分析。建立每个任务对每位会员的吸引度矩阵，设立每个任务的吸引度阈值，设定约束条件，求解双目标优化模型。 + +# 2.3 问题三的分析 + +问题三考虑到将位置比较集中的任务联合打包分布，因此，首先应当基于任务的经纬度信息，给出一个合理的打包方案，即如何判断哪些任务应当被打包发布。我们利用聚类分析法的思想，依据任务的地理坐标对任务进行分类，确定一个合理的打包方案。 + +依据打包方案将任务进行联合打包后，问题三实质上就可以转化为大致等同于问题二的双目标优化定价模型，要想对前面的定价模型进行修改，首先要明确将任务打包处理后会对哪些因素产生影响从而影响到定价。经分析可知打包处理后的任务与之前的任务相比，任务与会员之间的距离矩阵、任务对会员的吸引度矩阵、任务吸引度阈值均会发生改变，从而影响到优化定价模型的约束条件，最终将影响目标函数的求解，即定价方案。我们基于双重聚类分析给出的打包方案求解出新的距离矩阵、吸引度矩阵以及阈值，对前面的定价方案进行修改，给出任务联合打包发布情况下的优化定价方案。 + +# 2.4 问题四的分析 + +问题四要求给出附件三中的新项目的任务定价方案，任务数据只有位置信息。考虑任务定价方案基于模型三的定价模型。模型三的结果与决策变量之间存在潜在机制，找到模型三影响定价与完成情况的因子之后，把影响因子的数值与定价、完成情况作为BP神经网络的训练样本，从而建立BP神经网络预测模型，仿照模型一和模型三，对新任务分别进行聚类分析，得到影响因素的值，并作为神经网络预测样本。然后通过预测就能够得到新任务打包下的定价以及相应完成情况。 + +# 三、基本假设 + +1. 假设会员在预定任务时，优先预定对其吸引度最大的任务； +2. 假设当多个会员同时想预定同一任务时，信誉值最高的会员优先获得该任务； +3. 假设题目给出的数据真实可靠。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明单位
cpk会员k的任务完成能力/
cpi任务i所在的单位网格内的会员平均完成能力/
pi第i个任务的定价元
Ci判断任务i是否被完成的0-1变量/
Wij任务对会员的吸引度矩阵/
wij任务i对会员j的吸引度/
lij任务i与会员j之间的距离公里
wi任务i的吸引度阈值/
choice(j)会员j在预定任务时的选择/
belong(k)用于表示任务k被哪位会员成功预订/
G(j)会员j的信誉值/
+ +注：未列出符号及重复的符号以出现处为准 + +# 五、问题一的模型建立与求解 + +# 5.1 问题的分析 + +问题一首先要求我们根据一项已完成项目的任务数据中的每个任务的位置、定价和完成情况来分析任务定价规律，首先，为了清晰直观地观察每个任务的位置与定价信息，将每个任务的经纬度信息导入百度地图，做出每个任务的经纬度与定价的三维拟合图，通过观察得到直观的定性规律。 + +每个任务的定价受到其周围任务的数量、会员的人数分布及其信誉属性的影响，为了定量分析这种影响，首先将每个任务的位置信息，即空间数据，进行离散化处理。找出任务所在的经纬度范围作为总区域，将总区域划分为若干单位网格，以便统计每个网格内的任务数据与会员数据。由于任务分布范围较广，定价规律可能存在分布区域间的差异，因此，根据任务的经纬度坐标对这些散布的位置点进行K-Means聚类分析，得到位置分布相近的任务簇与中心点。接着，确定对任务定价产生影响的四大因子，根据空间数据离散化处理与K-Means分析的结果将影响因子量化。得到影响因子的数值后，结合任务的定价数据，利用灰色关联度矩阵来分析每个影响因子与任务定价之间的相关度，得到任务定价规律的量化结果。 + +最后，由于未完成任务与已完成任务的相关度矩阵之间一定存在某种差异，通过比较它们之间的差异找出任务未完成的原因。 + +具体的思路流程图如下： + +![](images/6ac28e164282bd01f8c346b7be7bc15d5fee383d0779cc1897f2de4a11a3d055.jpg) +图1 问题一的思路流程图 + +# 5.2 模型的建立 + +# 5.2.1基于地图拟合的定性分析 + +首先，将附件一中提供的已结束的每个任务的经纬度数据导入 EXCEL 表格中，并进行相应的数据处理，检验并排除掉异常数据之后，将得到的任务经纬度数据 + +通过“地图无忧”网页建立图层，并导入百度地图中，任务的经纬度数据和地图拟合图如图1所示： + +![](images/8f1e38236653c862b0bc712b2cac3e4ef1ebb58770614e876c0d839c044d8aef.jpg) +图2已结束任务在地图上的位置分布示意图 + +根据该项目各个任务在地图上的分布状况，我们可以清晰直观地观察到各个任务的位置信息，直观的结果显示在城市中心任务数据拟合点密集程度高，因此为了进一步观察每项任务的地理位置与其定价的信息，利用Matlab的曲线拟合工具箱CFTOOL做出每项任务的经度、纬度以及定价状况的三维曲线拟合图，如图3所示： + +![](images/de62131b7ed631486e0347ae6e5cfb6ae3770a259181f9c4ec0106a2173b8f7e.jpg) + +![](images/544fdc23870bb2b3168e840778462d8777bbe3e408f96c599bfabb8e0dbe9626.jpg) +图3任务的经纬度及定价的三维曲线图 + +根据该项目的每个任务在地图上的分布状况以及其经纬度与定价的三维曲线拟合图，可以观察到的信息有： + +（i）任务大多集中分布在广东省的广州市、深圳市、东莞市以及佛山市等城市的繁华地带，在这些区域人流量较大，交通便利，会员分布也较为密集。 +（ii）任务的分布越密集、周围的任务数量越多，该区域的颜色较深，代表任务定价越低。 +（iii）较少的任务分布在远离市区的郊区，在这些区域，任务分布稀疏，人口密度与人流量较小，交通不便，会员数量也较少。 +(iv) 任务的分布越稀疏、周围的任务数量越少, 该区域的颜色较浅, 代表任务定价越高。 +（v）将任务的发布看做需要被完成的任务需求方，会员的人数看做完成任务的供给方。在交通便利的市区，会员人数大于任务的数量，供大于求，任务定价较低。同样，当供小于求时，任务定价较高。通过图像观察到的定价规律符合经济学的供求定理。 + +# 5.2.2 定量分析 + +# 5.2.2.1 数据处理 + +# （1）异常数据处理 + +论文附件是大量数据的集合，为了提高数据挖掘的质量，因此采用拉以达准则算法进行异常数据的剔除。 + +以定置信概率为 $99.7\%$ 为标准，以三倍测量列标准偏差极限为依据，凡超过此界限的误差，就认为它不属于随机误差的范畴，而是粗大误差，即需要被剔除的异常数据。 + +# （2）空间数据的离散化 + +附件一给出了已结束项目的每个任务的位置信息，即每个任务所在地的经度与纬度。为了便于分析每个任务周围的任务数量以及会员数量对其定价的影响。首先，找出附件一中给出的总区域的经纬度的范围，纬度范围为22.49308313—23.87839806；经度范围为112.6832583—114.4936096。该范围是一个矩形区域， + +取矩形区域的三个顶点分别为 $A 、 B 、 C$ 。这三个顶点的地理坐标分别是： + +$$ +A \left(x _ {1}, y _ {1}\right) 、 B \left(x _ {1}, y _ {2}\right) 、 C \left(x _ {2}, y _ {1}\right) +$$ + +其中， $x_{1} = 22.49308313$ ， $x_{2} = 23.87839806$ ， $y_{1} = 112.6832583$ ， $y_{2} = 114.4936096$ + +为了计算出总区域的面积，以地心为坐标原点 $O$ ，以赤道平面为 $XOY$ 平面，以0度经线圈所在的平面为 $XOZ$ 平面建立三维直角坐标系。则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的直角坐标分别为： + +$$ +A (R \cos x _ {1} \cos y _ {1}, R \sin x _ {1} \cos y _ {1}, R \sin y _ {1}) +$$ + +$$ +B (R \cos x _ {1} \cos y _ {2}, R \sin x _ {1} \cos y _ {2}, R \sin y _ {2}) +$$ + +$$ +C \left(R \cos x _ {2} \cos y _ {1}, R \sin x _ {2} \cos y _ {1}, R \sin y _ {1}\right) +$$ + +其中， $R$ 为地球半径且 $R = 6370km$ 。 + +$A 、 B$ 两点的实际距离公式为： + +$$ +d _ {1} = R \arccos \left(\frac {\overrightarrow {O A} \cdot \overrightarrow {O B}}{\left| \overrightarrow {O A} \right| \cdot \left| \overrightarrow {O B} \right|}\right) \tag {5.1} +$$ + +利用Matlab计算得到 $A 、 B$ 两点的实际距离 $d_{1} = 186.1952 \mathrm{~km}$ , 同理 $A 、 C$ 两点的实际距离 $d_{2} = 154.2126 \mathrm{~km}$ , 则该区域的总面积为 $S = d_{1} \times d_{2} = 2.8714 \times 10^{4} \mathrm{~km}^{2}$ 。 + +在空间上，将总区域划分为 $50 \times 50$ 的网格区域，记纬度区间为 $\left[B_{\min}, B_{\max}\right]$ ，经度区间为 $\left[L_{\min}, L_{\max}\right]$ 。 + +每个单位网格的经纬度差分别为： + +$$ +\Delta L = \frac {L _ {\max} - L _ {\min}}{5 0}, \quad \Delta B = \frac {B _ {\max} - B _ {\min}}{5 0} \tag {5.2} +$$ + +对于给定的经纬度坐标 $(L, B)$ , 其所在网格的行列数为 + +$$ +i = \frac {L - L _ {\min}}{\Delta L}, \quad j = \frac {B - B _ {\min}}{\Delta B} \tag {5.3} +$$ + +# 5.2.2.2 确立影响因子 + +一项任务所处位置的周围环境包括其他任务的定价、数量，会员的分布与数量以及这些会员对应的信誉值。在已知会员的相关信息的前提下，假设所有任务的定价被同时发布，因此，每个任务定价不受其周围的任务价格的影响。但是，一项任务周围的任务数量、会员数量与会员的信誉情况将会影响到该任务的定价。我们将从其周围任务与会员的分布状况与特定属性来考虑影响任务定价的因素。 + +综合考虑每项任务的位置与周围环境，我们初步定义影响任务定价的三个因子： + +(1) 每项任务所在的单位网格内的任务数量 $q_{i}$ (个) + +通过空间数据的离散化处理[1]，将总区域分为 $50 \times 50 = 2500$ 个单位网格，每个任务都处在一个网格内，将这个网格区域内存在的任务总数记为 $q_{i}$ 个， $(i = 1,2\dots 835)$ + +(2) 每项任务所在的单位网格内的会员数量 $Q_{i}$ (人) + +通过空间数据的离散化处理，将总区域分为 $50 \times 50 = 2500$ 个单位网格，每个任务都处在一个网格内，将这个网格区域内分布的会员总数记为 $Q_{i}$ 人， $(i = 1,2\dots 835)$ + +(3) 每项任务所在的单位网格内的会员平均完成能力 $\overline{cp_{i}}$ + +由于每一位会员都有相应的信誉值，以及参考其信誉值给出的任务开始预定时间和预定限额。而会员的开始预定时间越早，预定限额越多，其对应的完成任务的能力就越高。为了衡量每位会员的信誉值这个特定属性，我们定义会员完成能力 $cp_k$ ， $(k = 1,2\dots 1875)$ 这项指标。 + +# Step 1: 熵权法确定会员完成能力 + +1）在经过处理后的数据中一共有1875位会员，将每位会员的预定限额作为第1个指标 $x_{k1}$ 。任务可以开始预定的最早时间为6:30，每位会员的开始预定时间与6:30相差 $m_k^{\prime}$ 分钟， $m_k^{\prime} = (0,3,6\dots 90)$ 。当 $m_{k}^{\prime}\neq 0$ 时，取 $x_{k2} = \frac{1}{m_k^{\prime}}$ ；当 $m_{k}^{\prime} = 0$ 时， $x_{k2} = \frac{1}{2}$ 。 + +$x_{kj}$ 表示第 $k$ 个对象的第 $j$ 个指标的数值 $(\mathrm{k} = 1,2\dots 1875,\mathrm{j} = 1,2)$ + +# 2）指标的归一化处理 + +我们所选取的两项指标均为正向指标，即指标数值越大，对应的会员任务完成能力越强。在计算综合指标之前，先对正向指标进行标准化处理，具体方法如下： + +$$ +x _ {k j} ^ {\prime} = \frac {x _ {k j} - \min \left\{x _ {1 , j} , \cdots , x _ {1 8 7 5 , j} \right\}}{\max \left\{x _ {1 , j} , \cdots , x _ {1 8 7 5 , j} \right\} - \min \left\{x _ {1 , j} , \cdots , x _ {1 8 7 5 , j} \right\}} \tag {5.4} +$$ + +则 $x_{kj}^{\prime}$ 为第 $k$ 个对象的第 $j$ 个指标的数值 $(\mathrm{k} = 1,2\dots 1875,\mathrm{j} = 1,2)$ 。 + +3）计算第 $j$ 项指标下第 $k$ 个会员占该指标的比重： + +$$ +p _ {k j} = \frac {x _ {k j} ^ {\prime}}{\sum_ {k = 1} ^ {1 8 7 5} x _ {k j} ^ {\prime}}, \quad (k = 1, \dots 1 8 7 5, \quad j = 1, 2) +$$ + +4）计算第 $j$ 项指标的熵值： + +$$ +e _ {j} = - K \sum_ {k = 1} ^ {1 8 7 5} p _ {k j} \ln \left(p _ {k j}\right) +$$ + +其中， $K = 1 / \ln (1875)$ 。 + +5）计算信息熵冗余度： + +$$ +d _ {j} = 1 - e _ {j} +$$ + +6）计算各项指标的权值： + +$$ +\lambda_ {j} = \frac {d _ {j}}{\sum_ {j = 1} ^ {2} d _ {j}} +$$ + +7）计算各会员的任务完成能力值： + +$$ +c p _ {k} = \lambda_ {1} x _ {k 1} + \lambda_ {2} x _ {k 2} \tag {5.5} +$$ + +利用Matlab计算可得， $\lambda_{1} = 0.6507$ ， $\lambda_{2} = 0.3493$ + +# Step 2: 计算单位网格内会员平均完成能力 + +考虑到在不同的单位网格内会员分布情况不同，因此每一个单位网格内会员 + +的平均完成能力也存在差异，这种差异将影响到该网格区域内任务的定价，对于每一个任务所处的单位网格，我们计算其会员的平均完成能力 $\overline{cp_{i}}$ ，具体方式如下： + +$$ +\overline {{c p _ {i}}} = \sum_ {k = 1} ^ {Q _ {i}} c p _ {k} \tag {5.6} +$$ + +# 5.2.3 根据任务位置分布进行K-Means聚类分析 + +根据在百度中标出的任务的位置分布可以看出任务大致分布在广东省的南部，呈现出部分集中，相对分散的特点。位置的地理位置分布在很大程度上会影响其定价，在城市中心地带，交通便利，人口密集，商业繁华，因而分布着大量的任务，并且任务定价相对较低。据此可以推断，任务的位置距离其所处区域的密集分布中心点的距离会影响其定价。 + +通过观察地图可知任务的分布大概有四个分布群以及对应的四个中心点。根据任务的经纬度坐标，利用K-Means聚类分析法将任务分为四类，分类图如图4所示： + +![](images/415fd85e158ab35da8076acb6c21ca42bc893524173a6672d67dfb8e85a9f14c.jpg) +图4根据任务地理坐标进行K-Means分析的图像 + +根据K-Means分析结果，得到了四个中心点的经纬度坐标，每个任务都属于这四个分区之一，由此，我们得到影响任务定价的第四个影响因子 $R_{i}$ ，表示任务 $i$ 与其所属区域中心点的距离，根据图像可以得出距离越远，定价越高的定性规律。 + +# 5.2.4 基于离散化与K-Means分析的定价规律影响模型 + +至此，通过对附件一中已完成项目进行空间离散化处理与K-Means聚类分析，得到影响任务定价规律的四大因子，建立起定价规律影响模型： + +![](images/8abcd05c63c7d0a17cc08c8ddec029fa63a4b79a00fa777fb5017676f8637810.jpg) +图5定价规律影响模型 + +# 5.2.5 灰色关联分析求解模型相关性 + +在定价规律影响模型中，被解释变量即任务的定价的数值由附件一给定，通过离散化处理和K-Means分析可以将影响因子量化，计算出其数值。由于数据过于庞大，计算结果不在论文中出现，将在附录中展示。 + +# 5.3 模型的求解 + +# 5.3.1 数据预处理 + +采用拉以达准则进行异常数据的剔除，通过matlab算法对算数平均值和标准偏差的计算从而对数据进行筛选。 + +筛选结果表示： + +表1 + +
会员编号会员位置 +(GPS)纬度会员位置 +(GPS)经度预订任 +务限额预订任务 +开始时间信誉值
B000533.65205116.97047666:30:0020919.0667
B1175113.13148323.03182416:36:0019.9231
+ +结果显示附件一数据无异常，附件二中5号和1175号数据异常，5号会员位置相对较为偏远，因此在问题中的影响较小可以直接忽略，而1175号会员位置经纬度数据明显有误，因此将剔除附件二中异常的两个数据。 + +# 5.3.2搜索算法确定影响因子 + +当指标体系建立之后，还需科学地对任务定价模型影响因子进行确定。考虑到各个影响因子数值的合理性求解，采用搜索算法对模型建立的各种因子进行求 + +解。确定影响因子数值之后，为了研究附件一中部分任务未完成的原因，因此考虑通过灰色相关度矩阵，对每个任务定价与各影响因子的相关度，并从任务完成或者未完成两方面分析，得到两种情况下任务定价与影响因子的相关度，通过相关度的比较，进而确定对任务定价影响较大的因子，即确定任务未完成的原因。 + +# Step1: 空间数据化 + +为方便影响因子的确定，首先对空间数据进行离散化处理，将每个任务所在的经纬度坐标系进行网格化处理，分为 $50 \times 50$ 网格，每个网格对应实际面积为： + +$$ +S _ {0} = \left(d _ {1} \times d _ {2}\right) / 2 5 0 0 = 1 1. 4 8 5 6 k m ^ {2} +$$ + +# Step2：影响因子确定 + +基于离散化处理下的网格，分别确定每个任务所在网格内的任务数量、每个任务所在网格内的会员数量、每个任务所在网格内会员的平均能力。通过matlab对任务和会员进行遍历从而确定相应数值。考虑到影响因子相似定义和求解思路，统一算法思想如下：对每个任务进行遍历，确定一个任务下相对应的网格区域，进而对所有任务或者会员进行遍历搜索，得到该网格内相应任务或会员数量以及会员能力。 + +得到三个影响因子部分数值如下（完整表格请见附录）： + +表2 + +
任务编号网格任务数网格会员数会员能力平均会员能力
A00016740.1507667.07479569
A000231257.268717831.261914171
A00033648.8844148910.83174605
A00042034.56123070
A00056725.478235857.07479569
…………………………
+ +# Step3: 灰色关联度确定 + +为了得到任务定价与各个影响因子之间的具体相关度，根据灰色相关度的定义，通过算法对定义的关联系数和关联度进行计算。 + +分别考虑完成情况时，得到灰色关联度矩阵： + +表3 + +
X1X2X3X4
为0时0.93630.90770.90890.8687
为1时0.97100.96710.96330.9390
差值0.03470.05930.05440.0703
+ +根据灰色关联分析结果，可以得到如下结论： + +# （1）影响因子的对定价的影响 + +四大影响因子均对任务定价产生很显著的影响，证明影响因子的选取是合理的，其中，对任务定价影响最大的是任务距离其所在区域中心点的位置，任务所处的位置距离中心点越远，任务定价越低。 + +# （2）任务未完成原因： + +通过相关系数矩阵得到相关系数差距最大的因子为“距离”，表明任务未完成很大程度上是因为由于任务位置偏远，交通不便造成的。当任务所处位置远离 + +中心点时，只有当任务定价足够高时才会有人来完成，所以最终原因是由于任务定价偏低造成的，因为任务的定价低于会员能接受的最低价格，所以该定价不合理，导致这个任务无人问津。 + +# 六、问题二的模型建立与求解 + +# 6.1 问题的分析 + +问题二要求我们为附件一中的项目设计新的定价方案，首先新的定价方案应当满足两个优化目标，即成本最小化，任务完成率最大化。从而将这个问题转化为双目标优化问题。 + +考虑到任务发布与被预定和完成的现实过程有着较为复杂的约束条件，我们以会员开始预定任务的时间点作为划分，附件二中会员开始预定任务的时间区间为[6:30，8:00]，时间间隔为3分钟，因此会员开始预定任务一共有31个时间点。下面，我们将根据题目所给条件模拟每个时间点任务被预定的情况进行全面而充分的分类讨论。 + +为了使得问题的分析适当简化以及保证模型的合理性，模型的建立基于以下规则： + +i). 每项任务对于每一位会员都有特定的吸引力值，任务的定价越高、与会员的距离越近，其对会员的吸引力就越大。 +ii).当会员在某时间点开始预定任务时，假设一次只能预定一个任务，不能同时预定多个任务，并且每次预定时都选择对自己吸引力最大的任务。 +iii).当多个会员在同一时间点选取同一任务时，信誉最高者优先获得该任务。 +iv). 如果会员的预定次数多于一次, 在一次任务预订成功后, 可以继续预定任务。 +v). 根据附件一中已完成项目的任务数据, 可以求出任务吸引度的阈值, 只有一项任务对会员的吸引度不小于阈值时, 会员才愿意预定任务并完成。 + +具体思路流程图如下： + +![](images/f233d709c0326c24df6f19ea5bb38476b21ab9594cd02772231b379736aaee21.jpg) +图6 问题二的思路流程图 + +# 6.2 双目标优化模型的建立 + +# 6.2.1 目标函数的确定 + +附件一中新的任务定价方案与旧的定价方案相比，应当满足两个优化条件，即成本更少，任务完成率更高。对于企业而言，成本与任务的完成率应当是设计定价方案时最重要的两个考虑因素，因此，我们将新的定价方案设计问题转化为双目标优化问题，双目标函数表述如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \min \sum_ {i = 1} ^ {8 3 5} p _ {i} \\ \max \sum_ {i = 1} ^ {1 8 3 5} C _ {i} \end{array} \right. +$$ + +式中， $p_i$ ——第 $i$ 个任务的定价； + +$$ +C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {任 务} i \text {被 完 成} \\ 0, & \text {任 务} i \text {未 被 完 成} \end{array} ; \right. +$$ + +# 6.2.2 约束条件 + +# 6.2.2.1 吸引度矩阵的建立 + +# Step 1: 吸引度的定义公式 + +在问题一未完成原因的分析中，可以得到距离这个影响因子的影响作用最为显著。因此，会员在选择是否预定并完成某一单时，会重点考虑这一任务与自己的距离，同时，任务的定价直接影响到会员的收益，也会作为重要的考虑因素。为了综合考虑这两个因素对于任务完成情况的影响，我们引入吸引度矩阵 $W_{ij}$ ，矩阵中每个元素 $w_{ij}$ 表示第 $i$ 个任务对第 $j$ 个会员的吸引度， $(i = 1,2\dots 875, j = 1,2\dots 1875)$ 。当任务距离会员越远，任务定价越低时，任务对会员的吸引度越低。具体定义如下： + +$$ +w _ {i j} = \sqrt {\frac {a}{l _ {i j} ^ {2}} + b p _ {i} ^ {2}}, (i = 1, 2 \dots 8 7 5, j = 1, 2 \dots 1 8 7 5) \tag {6.1} +$$ + +式中， $l_{ij}$ ——任务 $i$ 与会员 $j$ 之间的距离； + +$p_i$ ——任务 $i$ 的定价； + +我们假设吸引度 $w_{ij}$ 的取值范围为[0,1]。当吸引度的值接近零时，说明这个任务对用户毫无吸引力；当吸引度的值接近于 1 时，说明这个任务非常具有吸引力。 + +# Step 2: 参数 a, b 的求解 + +在问题一中我们曾对任务的位置分布做聚类分析，依据任务的位置信息将其分为四类，每一类都有一个中心点。中心点的任务占据着绝对的地理优势，它对与之距离最近的会员应当具有绝对大的吸引度，我们假设这个吸引度值为0.99。在四个位于中心点的任务里选取两个任务，并找到与之最近的一个会员，计算两者之间的距离，得到如下两组数据： + +
表4
任务号码A0716A0396
会员编号B0509B0972
lij0.45140.2061
pi7565.5
+ +将这两组数据代入表达式中，可以求得 $a = 0.01175$ ， $\mathrm{b} = 0.000164$ 。 + +# 6.2.2.2 任务吸引度的阈值确定 + +在得到任务吸引度矩阵后，我们需要将每个任务对每个会员的吸引度 $w_{ij}$ 与这个任务的吸引度阈值 $w_{i}$ 作比较，用以判断这个任务是否具备足够的吸引度被完成。当吸引度大于等于阈值时，该任务具备足够的吸引度被会员领取并完成，即： + +$$ +C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \mathrm {w} _ {i j} > w _ {i} \\ 0, & \mathrm {w} _ {i j} \leq w _ {i} \end{array} \right. +$$ + +利用吸引度 $w_{ij}$ 的计算公式与附件一中的任务数据计算出吸引度矩阵, 当第 $i$ 个任务被完成时, 其阈值至少低于其对一个会员的吸引度; 当第 $i$ 个任务未被完成时, 其阈值不低于任何其对一个会员的吸引度。 + +阈值是作为一个判别指标与吸引度的值作比较，它的绝对值的大小并无实际意义，重要的是其相对大小，因此，阈值的确定具有一定的主观性。在这里，我们依据附件一中的任务数据，做出如下假设： + +$$ +w _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} \min \left\{w _ {i j} \right\}, C _ {i} = 1 \\ \max \left\{w _ {i j} \right\}, C _ {i} = 0 \end{array} \right. +$$ + +# 6.2.2.3 约束条件的确定 + +在确定约束条件之前，我们结合题目中的条件给出如下准则： + +(1) 最大吸引准则: $\max \left\{w_{ij}\right\}$ +(2) 竞争准则: $\max \left\{w_{ij}\right\}$ +(3) 分配准则: $\operatorname{belong}\left( i\right) = j\left| \begin{array}{l} \max \left\{ {w}_{ij}\right\} \\ \max \left\{ {G\left( {n}_{m}\right) }\right\} \end{array}\right.$ ,表示任务 $i$ 分配给会员 $j$ +（4）时间列准则： + +以第一个时间点6:30为例： + +$$ +c h o i c e 1 (j) = i \left| \begin{array}{l} \max \left\{w _ {i j} \right\} \\ i = 1, 2 \dots 8 3 5 \\ j = 1, 2 \dots , 7, 1 4, \dots , 1 2 5 3 \\ b e l o n g (i) \end{array} \right. +$$ + +$$ +5 0 \leq p _ {i} \leq 1 0 0 \tag {①} +$$ + +$$ +C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \mathrm {w} _ {i j} > w _ {i} \\ 0, & \mathrm {w} _ {i j} \leq w _ {i} \end{array} \right. \tag {②} +$$ + +$$ +w _ {i j} = \sqrt {\frac {0 . 0 1 1 7 5}{l _ {i j} ^ {2}} + 0 . 0 0 0 1 6 4 p _ {i} ^ {2}} \tag {③} +$$ + +$$ +w _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} \min \left\{w _ {i j} \right\}, C _ {i} = 1 \\ \max \left\{w _ {i j} \right\}, C _ {i} = 0 \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +$$ +\operatorname {c h o i c e} (j) = k \left| \begin{array}{l} w _ {k j} = \max \left\{w _ {i j} \right\} \\ i = 1, 2 \dots 8 3 5, j = 1, 2 \dots 1 8 7 5 \end{array} \right. \tag {⑤} +$$ + +$$ +\operatorname {b e l o n g} (k) = n _ {j} \left| \begin{array}{l} w _ {k n _ {m}} = \max \left\{w _ {i n _ {m}} \right\}, (m = 1, 2 \dots n) \\ G \left(n _ {j}\right) = \max \left\{G \left(n _ {m}\right) \right\} (1 \leq j \leq n) \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +关于约束条件的说明如下： + +(1)是关于任务定价的限定范围，这个价格范围是参照附件一中的任务定价区间大致给出的。 +(2)表明当任务 $i$ 对会员 $j$ 的吸引度大于任务 $i$ 的阈值时, 任务 $i$ 会被完成; 当任务 $i$ 对会员 $j$ 的吸引度不大于任务 $i$ 的阈值时, 任务 $i$ 不会被完成。 +(3)是上文计算出的吸引度矩阵中元素的计算公式。 +(4)是每个任务的吸引度阈值的确定。 +⑤是为了说明当会员 $j$ 选择预定任务 $k$ 时， $k$ 对该会员的吸引度在所有的待选任务中是最大的，即会员会选择预约对自己吸引度最大的任务。 +(6)是为了表明不同的会员在选择同一个任务时, 信誉值最大的会员具有最大优先度。如果有 $n$ 个会员同时预定任务 $k$ , 任务 $k$ 最后被这 $n$ 个会员中信誉值最大的人成功预约。 $G(j)$ 表示会员 $j$ 的信誉值。 + +至此，建立起新的定价设计问题的双目标优化模型： + +$$ +\text {目 标 函 数 ：} \left\{ \begin{array}{l} \min \sum_ {i = 1} ^ {8 3 5} p _ {i} \\ \max \sum_ {i = 1} ^ {1 8 3 5} C _ {i} \end{array} \right. +$$ + +$$ +\begin{array}{l} 5 0 \leq p _ {i} \leq 1 0 0 \\ C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & w _ {i j} > w _ {i} \\ 0, & w _ {i j} \leq w _ {i} \end{array} \right. \\ w _ {i j} = \sqrt {\frac {0 . 0 1 1 7 5}{l _ {i j} ^ {2}} + 0 . 0 0 0 1 6 4 p _ {i} ^ {2}} \\ w _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} \min \left\{w _ {i j} \right\}, C _ {i} = 1 \\ \max \left\{w _ {i j} \right\}, C _ {i} = 0 \end{array} \right. \\ b e l o n g (i) = j \left| \begin{array}{l l} \max \left\{w _ {i j} \right\} \\ \max \left\{G \left(n _ {m}\right) \right\} \end{array} \right. \\ c h o i c e 1 (j) = i \left| \begin{array}{l l} \max \left\{w _ {i j} \right\} \\ i = 1, 2 \dots 8 3 5 \\ j = 1, 2 \dots , 7, 1 4, \dots , 1 2 5 3 \\ b e l o n g (i) \end{array} \right. \\ \vdots \\ c h o i c e 3 1 (j) = k \left| \begin{array}{l l} \max \left\{w _ {i j} \right\} \\ j = 1 5 3, 1 6 5, 1 6 9, \dots , 1 8 7 5 \\ b e l o n g (i) \end{array} \right. \end{array} +$$ + +# 6.3 双目标优化模型的求解 + +# 6.3.1 模型求解分析 + +新的任务定价方案模型是在全面考虑约束条件下，建立的大型双目标优化模型。模型的的解即长度为835的一维定价矩阵，是通过竞争、分配、时间列准则等个各个约束的限定，得到的满足目标函数的全局最优解。 + +但是模型的最优解的长度较长，约束条件复杂，如吸引度阈值、吸引度等各个约束变量都是维度较大的矩阵，一方面即使在约束条件下对两个目标分别求解是比较困难的，很大程度的原因在于模型中变量太多，尤其是模型的约束条件中包含了时间列的动态变化准则，这种限制使得模型的变成非线性而且不易求解的复杂数学模型；另一方面，从算法角度考虑，为了得到最优的任务定价方案，需要对任务的定价在一定范围内进行遍历并作为最外层循环，同时在内部也有吸引度、阈值等大型数据矩阵以及内层循环遍历，进而使得算法的复杂度程指数上升，这对算法运行时所需要的时间资源和内存资源存在很大要求。 + +因此综合考虑算法复杂度以及程序的运行实现，采用分布逐级优化的策略，在算法中对模型中的约束进行一定简化，并做出适当假设，在存在一定误差之下，得到全局最优解的近似解作为模型最优解，即任务定价方案。 + +# 6.3.2 模型求解步骤 + +Step1: 预先设置任务定价 + +将任务的定价直接进行设定，并进行分组对比，通过得到的任务成本和任务完成率两项指标，从而确定一种局部最优解，作为最终近似解。 + +# Step2: 吸引度矩阵确定 + +通过计算会员与每个任务之间的距离，根据模型二和问题一，由吸引度计算公式得到每个任务对于每个会员的吸引度矩阵。 + +# Step3: 时间刻准则 + +满足不同时刻不同情况的约束条件，通过建立for循环，将6：30时刻转换为编号1，依次递推，至8：00编号31，通过循环遍历，满足不同时间可选择预定人数不同的约束。 + +# Step4: 目标任务确定 + +从时刻编号1开始，通过对释放能够预定任务的会员，相应的在该时刻能够预定的任务中，通过遍历吸引度矩阵，找到最大吸引的任务，并记录位置。 + +# Step5: 冲突判断 + +判断位置记录矩阵中，是否存在数值相等的情况，即判断是否存在冲突。若发生冲突，则对会员的信誉值进行比较，从而确定一个优先选择，即信誉高的会员得到此次任务预定权。 + +# Step5: 方案及完成度结果 + +通过对时间和任务预定数的遍历，得到最终任务完成度矩阵，并输出任务完成度数值，同时输出预先设定的任务定价矩阵。考虑到对复杂度和运行时间降低，不采用对定价进行遍历的方式，而通过对任务定价矩阵的不同设置得到几组不同结果，从而对比分析得到近似最优解。 + +# 6.4 模型求解结果 + +在对模型求解时，设定几组不同的价格调整比例，得到835个任务的定价以及任务完成度，由于结果数据庞大，此处只展示部分结果： + +表5 + +
每单定价67.3266.8162.22576.5
a=1.02完成与否1011
b=0.95成本56310
完成率0.8455
每单定价72.672.0565.582.5
a=1.1完成与否1111
b=0.95成本58011
完成率0.9701
每单定价67.3266.8158.9576.5
a=1.02完成与否1011
b=0.9成本54488
完成率0.8455
每单定价72.672.0558.9582.5
a=1.15完成与否1111
b=0.9成本62189
完成率0.9701
+ +![](images/05ffdb24e76112104621ec93a659edcc52995513a09953704cd73c95113f58a4.jpg) +图7成本与完成度结果分析图 + +在模型二给出的定价方案下，四组的成本及完成率情况如柱状图所示，其中蓝色的值表示成本的万分之一，黄色的值表示任务完成率。综合考虑目标函数的优化结果，选择第3组的任务定价方案作为最优定价方案。 + +此时总成本为54488元，任务完成率为0.8455，与原定价方案相比，成本节省了 $5.58\%$ ，任务完成度提高了 $35.25\%$ 。 + +# 七、问题三的模型建立与求解 + +# 7.1 聚类分析确定打包方案 + +问题三考虑到将位置较为集中的任务联合打包发布，从而提高了任务完成的效率。因此，我们首先需要根据任务的位置信息判断哪些任务的位置分布较为集中，从而确定打包方案。附件一给出的任务位置信息即为经纬度数据，首先，将经纬度的数据作为地理位置的定量分析数据，利用聚类分析的方法，从位置分布上对任务进行准确、细致的分类。此时，位置分布比较集中的任务会被自动归为一类。我们将分析聚类结果的合理性，对于合理的分类，直接将此类中的任务联合打包。对于不合理的分类，我们将对分类结果进一步调整后再打包。 + +# Step 1:第一层聚类分析 + +首先，我们对聚类分析的分类数进行大致估算，由于任务总数为845个，将任务按照位置信息分为150类时，平均每一类大约有5—6个任务，这个数值比较合理。因此，初次聚类时，将任务的位置分布分为150类，利用Matlab的K-Means命令得到的聚类分析图： + +![](images/0f6f8929292955fb48b844602cce04c0c1056b541b742034a13b0ec48244e900.jpg) +图8 K-Means聚类分析图 + +任务打包方案应当考虑两方面的问题：一是联合打包的任务应该在位置分布上较为集中；二是一个任务包内的任务数量应当合理。我们假设一个任务包内的任务数量取值范围为[2,15]。该聚类结果保证了一类中的任务在位置分布上较为集中，下面来分析每个任务包中的任务数量是否符合假设。下图为每一类中任务数量的统计图： + +![](images/fe81bfe6c293b2453a1fc81880e284ab734d5b7d0efc87ebb8239955b955d82f.jpg) +图9 每一类中任务数量的统计图 + +我们依据任务的位置信息将任务按照分布的集中度分成150类，最多的类别中有18个任务。最少的类别中只有1个任务。对于一类中只有1个的任务，由于其位置分布偏散，我们不对其做打包处理。但对于任务个数大于15个的类别，我们将这些任务位置信息提取出来，进行二次聚类分析。 + +# Step 2:第二层聚类分析 + +我们假设当一类中任务数量不超过15个时，这个打包方案才是合理的，在上述聚类分析中，有四个类别中的任务数量超过了15个，第16类的任务数量为16，第40类的任务数量为18，第60类的任务数量为16，第113类的任务数量为16。 + +对于这四个不合理的分类，我们在第一次分类结果的基础上，进行嵌套的聚类分析，将它们分成两类。将这四个分类中的任务位置信息提取出来，再一次根据其经纬度数据，利用Matlab的K-Means命令进行第二层聚类分析。 + +分别得到如下的分类图： + +![](images/f2628f52a0fc77e58a2c94a51a0cca50623fe22bb9ebe673f470c8df68093716.jpg) +第16类二次聚类图 + +![](images/96d6d92ea0927af07fcefee2cb95bb73b1ab7043cd9eefee24cf2b6f6e817d75.jpg) +第40类二次聚类图 + +![](images/2239a93260c9282c2fe3b82c30888a03abf1255755341a8f6ed57fd7cf74310d.jpg) +第60类二次聚类图 +图10二重嵌套聚类分析图 + +![](images/5cc7382303c7ba850a63102568403a84834933da34d3f06be368665ec241ec75.jpg) +第113类二次聚类图 + +对这四个类别进行嵌套聚类分析后，每一类别都由两个小类组成，每一小类包含的任务数量由下面的统计表格给出： + +表6 + +
类别再分类计数
16112
24
40112
26
6017
29
113110
26
+ +嵌套聚类分析后，每一类别的任务数量符合要求，此时得到的分类方案合理。Step3:确定任务打包方案 + +根据上述两次基于任务位置分布的聚类分析结果，我们将位置分布较为集中的任务联合打包，同时保证每一个任务包内的任务数量不多于15个，得到了一个合理、准确的任务打包方案。 + +将一个任务包里的多个任务看做一个整体，与其它未被打包的任务同为一个任务，经过联合打包处理过后的任务数量由835个变为154个。 + +# 7.2 吸引度矩阵与阈值调整 + +利用聚类分析我们可以得到任务的打包方案，将位置分布较为集中的多个任务进行联合打包，并将其看做一个整体，即为一个任务包，不论是没有打包的单个任务还是一个任务包，我们在进行分析时都将其看做是一个任务。在问题二给出的双目标优化定价模型中我们定义了一个吸引度矩阵，给出了矩阵中每一个元素的计算公式，即： + +$$ +w _ {i j} = \sqrt {\frac {0 . 0 1 1 7 5}{l _ {i j} ^ {2}} + 0 . 0 0 0 1 6 4 p _ {i} ^ {2}}, \quad (i = 1, 2 \dots 8 3 5, j = 1, 2 \dots 1 8 7 5) +$$ + +在对位置分布较为集中的多个任务进行打包处理后，任务总数会改变，需要重新计算每个任务距离每位会员的距离，调整任务定价，从而吸引度矩阵的值会发生相应变化。 + +经过聚类分析组合成的每个任务包都有一个中心点，我们将每个任务包的中心点的经纬度坐标看作是这个任务的位置信息，计算每个任务包中心点与每位会员之间距离。而对于那些位置分布较为松散，没有被打包处理的单个任务而言，它们距离每位会员的距离不会发生改变。至此，我们得到打包处理后的距离矩阵 $L_{ij}^{\prime}$ ，其中每个元素 $l_{ij}^{\prime}$ 表示任务 $i$ 或者任务包 $i$ 与会员 $j$ 之间的距离。 + +经调整后的任务吸引度矩阵 $W_{ij}^{\prime}$ 中每个元素的表达式为： + +$$ +w _ {i j} ^ {\prime} = \sqrt {\frac {0 . 0 1 1 7 5}{l _ {i j} ^ {\prime 2}} + 0 . 0 0 0 1 6 4 p _ {i} ^ {2}}, \quad (i = 1, 2 \dots 1 5 4, j = 1, 2 \dots 1 8 7 5) \tag {7.1} +$$ + +由于每个任务吸引度阈值的确定是基于吸引度矩阵与附件一中已完成项目的任务数据的，类似于问题二中确定任务阈值的方法，我们调整经打包处理后的每个任务的阈值 $w_{i}^{\prime}$ ： + +$$ +w _ {i} ^ {\prime} = \left\{ \begin{array}{l} \min \left\{w _ {i j} ^ {\prime} \right\}, C _ {i} = 1 \\ \max \left\{w _ {i j} ^ {\prime} \right\}, C _ {i} = 0 \end{array} \right. +$$ + +# 7.3 经调整后的双目标优化定价模型的建立 + +务打包联合发布条件下新的定价方案设计问题转化为双目标优化问题，双目标函数表述如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \min \sum_ {i = 1} ^ {1 5 4} p _ {i} \\ \max \sum_ {i = 1} ^ {1 5 4} C _ {i} \end{array} \right. +$$ + +式中， $p_i$ ——第 $i$ 个任务的定价； + +$$ +C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {任 务} i \text {被 完 成} \\ 0, & \text {任 务} i \text {未 被 完 成} \end{array} ; \right. +$$ + +# 7.3.2 约束条件的设定 + +在利用双层嵌套聚类分析给出合理的打包方案后，任务总数变为154，这154个任务预定过程依旧遵循问题二中的问题三是在对任务进行联合打包操作后，对问题二的定价优化函数模型进行修改，在将多个位置比较集中的任务联合打包发布的前提下，给出最优定价方案。因此，问题三实质上依旧是一个优化问题，并且目标函数与问题二中模型的一致，通过改变约束条件来改变目标函数的求解结果，从而修改前面的定价模型。得到在问题三的约束下的最优定价模型。 + +# 7.3.1 目标函数的确立 + +我们将任 + +规则，只是吸引度矩阵、任务吸引度阈值有所不同。经修改后的双目标优化模型约束条件如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} 5 0 \leq p _ {i} \leq 1 2 0 0 \\ C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} 1, w _ {i j} ^ {\prime} > w _ {i} ^ {\prime} \\ 0, w _ {i j} ^ {\prime} \leq w _ {i} ^ {\prime} \end{array} \right. \\ w _ {i j} ^ {\prime} = \sqrt {\frac {0 . 0 1 1 7 5}{l _ {i j} ^ {\prime 2}} + 0 . 0 0 0 1 6 4 p _ {i} ^ {2}} \\ w _ {i} ^ {\prime} = \left\{ \begin{array}{l} \min \left\{\mathrm {w} _ {i j} ^ {\prime} \right\}, C _ {i} = 1 \\ \max \left\{\mathrm {w} _ {i j} ^ {\prime} \right\}, C _ {i} = 0 \end{array} \right. \\ c h o i c e (j) = k \left| \begin{array}{l} w _ {k j} = \max \left\{w _ {i j} \right\} \\ i = 1, 2 \dots 1 5 4, j = 1, 2 \dots 1 8 7 5 \end{array} \right. \\ b e l o n g (k) = n _ {j} \left| \begin{array}{l} w _ {k n _ {m}} ^ {\prime} = \max \left\{w _ {i n _ {m}} ^ {\prime} \right\}, (m = 1, 2 \dots n) \\ G (n _ {j}) = \max \left\{G (n _ {m}) \right\} (1 \leq j \leq n) \end{array} \right. \end{array} \right. +$$ + +关于约束条件的说明与问题1相同。 + +至此，在修改后的优化模型中，发布的任务数量、距离矩阵、吸引度矩阵与阈值均发生改变，建立起如下修改后的双目标定价优化模型： + +$$ +\text {目 标 函 数 :} \left\{ \begin{array}{l} \min \sum_ {i = 1} ^ {1 5 4} p _ {i} \\ \max \sum_ {i = 1} ^ {1 5 4} C _ {i} \end{array} \right. +$$ + +$$ +\begin{array}{l} 5 0 \leq p _ {i} \leq 1 0 0 \\ C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad w _ {i j} ^ {\prime} > w _ {i} ^ {\prime} \\ 0, \quad w _ {i j} ^ {\prime} \leq w _ {i} ^ {\prime} \end{array} \right. \\ w _ {i j} ^ {\prime} = \sqrt {\frac {0 . 0 1 1 7 5}{l _ {i j} ^ {2}} + 0 . 0 0 0 1 6 4 p _ {i} ^ {2}} \\ w _ {i} ^ {\prime} = \left\{ \begin{array}{l} \min \left\{\mathrm {w} _ {i j} ^ {\prime} \right\}, C _ {i} = 1 \\ \max \left\{\mathrm {w} _ {i j} ^ {\prime} \right\}, C _ {i} = 0 \end{array} \right. \\ b e l o n g (\mathrm {i}) = j \left| \begin{array}{l} \max \left\{\mathrm {w} _ {i j} ^ {\prime} \right\} \\ \max \left\{G \left(n _ {m}\right) \right\} \end{array} \right. \\ c h o i c e 1 (j) = i \left| \begin{array}{l} \max \left\{\mathrm {w} _ {i j} ^ {\prime} \right\} \\ \mathrm {i} = 1, 2 \dots 1 5 4 \\ j = 1, 2 \dots , 7, 1 4, \dots , 1 2 5 3 \\ b e l o n g (\mathrm {i}) \end{array} \right. \\ \vdots \\ c h o i c e 3 1 (j) = k \left| \begin{array}{l} \max \left\{\mathrm {w} _ {i j} ^ {\prime} \right\} \\ j = 1 5 3, 1 6 5, 1 6 9, \dots , 1 8 7 5 \\ b e l o n g (\mathrm {i}) \end{array} \right. \end{array} +$$ + +# 7.4 模型的求解 + +# 7.4.1 模型求解分析 + +问题三的模型建立在问题二的模型之上，仍然考虑对模型中的约束进行一定简化，并做出适当假设，得到全局最优解的近似解作为模型最优解。问题三模型任务安排采用打包分配模式，首先通过聚类把类似的任务聚成一类，从而降低了任务的维度。新的任务数即打包数量影响着任务阈值、吸引度矩阵等变量，通过聚类打包求得新的任务情况，从而套用问题二的算法，对部分变量和维度进行修改，经过遍历得到更优结果。 + +# 7.4.2 模型求解步骤 + +# Step1: 聚类打包 + +通过聚类算法，对任务进行分类，相似度较高的任务归为一类成为一个任务包。部分个体未归入聚类类别的单独视为一个任务包。 + +# Step2: 预先设置任务定价 + +采用与问题二不同的定价模式。根据聚类，分别得到每个打包任务中单个任务的最高、平均、最低价格，从而分为三种情况，分别将每个包中最高、平均、最低作为打包任务的整体平均值。 + +# Step3: 吸引度矩阵更新 + +更新得到计算会员与每个打包之间的距离，并根据模型二，由吸引度计算公式对每个任务对于每个会员的吸引度矩阵重新进行计算。 + +# Step4: 冲突判断 + +判断位置记录矩阵中，是否存在数值相等的情况，即判断是否存在冲突。若发生 + +冲突，则对会员的信誉值进行比较，从而确定一个优先选择，即信誉高的会员得到此次任务预定权。 + +# Step5: 方案及完成度结果 + +通过对时间和任务预定数的遍历，得到最终任务完成度矩阵，并输出任务完成度数值，同时输出预先设定的任务定价矩阵。考虑到对复杂度和运行时间降低，不采用对定价进行遍历的方式，而通过对任务定价矩阵的不同设置得到几组不同结果，从而对比分析得到近似最优解。 + +# 7.5 模型求解结果 + +在对模型求解时，设定几组不同的价格调整比例，得到835个任务的定价以及任务完成度，由于结果数据庞大，此处只展示部分结果： + +表8 + +
mean定价155.1926164477.3163832443.8033516
完成情况11
成本51382
完成率0.9091
min定价154.5034137318.3575655490.5436124
完成情况11
成本47096
完成率0.7922
max定价304.2165353534.3744243466.9678395
完成情况11
成本73565
完成率0.9675
+ +下图为模型三的最优定价方案和模型二的最优定价方案的对比图，其中，0代表模型二，1代表模型三。 + +![](images/5e44eb93f2e97912bb7fa6832505ea44157f3bd105fbbbfe28b7bc502cdc2e98.jpg) +图11模型三的最优定价方案和模型二的最优定价方案的对比图 + +根据对比图所显示的结果，将位置集中的任务打包后的最优定价方案明显优于模型二中求得的最优定价方案，在问题三的最优定价方案下，总成本为51382，任务完成度为0.9091。 + +与原方案比较，总成本降低了 $10.96\%$ ，任务完成度提高了 $45.42\%$ 。 + +与问题二中的定价方案相比，总成本降低了 $5.7\%$ ，任务完成度提高了 $7.52\%$ 。 + +# 八、问题四的模型建立与求解 + +# 8.1 问题四的分析 + +问题四要求给出附件三中的新项目的任务定价方案，任务数据只有位置信息。首先考虑，新项目的任务定价方案基于之前建立的定价模型。根据模型三的得到的结果，是在同时满足打包和多目标优化情况下的结果，因此客观反映了定价及完成情况与决策变量的规律，所以考虑基于模型三的结果，建立神经网络预测模型四的结果。 + +在问题二的双目标优化定价模型中，任务的位置信息决定了任务与会员之间的距离矩阵，从而影响到任务对会员的吸引度矩阵及其阈值，对应着一个最优定价模型。在问题三中，通过将位置较为集中的任务打包，产生了许多任务包，每个任务包对应着一个中心点，将中心点的地理坐标看做是这个任务包的位置信息，从而改变了任务的原有位置信息，通过修改距离矩阵、任务对会员的吸引度矩阵以及任务的阈值，可以进一步优化双目标定价优化模型。 + +通过分析问题二与问题三中定价方案的决定因素可知，在前面建立的双目标优化定价模型中，只需要利用任务的位置信息与会员的位置与信誉值信息，就可以得到最优定价方案。因此，在给出附件三中新项目的定价方案时，可以利用与 + +问题三类似的定价机制与打包方案，但附件三中新项目的部分任务经纬度坐标与附件一中的差别较大，为了消除这种地理坐标差异的影响，将任务的位置信息在地理坐标上的绝对差异转化为不受其影响的相对量。 + +在问题一中，曾依据附件一中的任务经纬度坐标将其分为四类，同样地，根据新任务的经纬度坐标，对其进行聚类分析，将新任务分为四类。然后，利用问题三中设计打包方案的聚类分析法对新任务也进行联合打包发布。新任务中每一项任务都位于四类区域之一，计算每一项任务到其所属区域中心点的距离。 + +# 8.2基于多层聚类的神经网络模型建立 + +仿照模型一确定任务的四类基本聚类中心，然后参照模型三对所有任务进行聚类，即把任务进行打包。根据模型三，知道结果满足与决策变量的可观规律，因此取任务的经纬度和到基本聚类中心的距离最小值作为决策变量。把模型三中的决策变量和被解释变量作为训练数据，根据附录三聚类打包得到的新任务集合，得到神经网络的预测自变量，从而根据已经训练好的神经网络，预测出最终定价方案和任务完成情况。 + +# 8.2.1 根据任务位置分布进行K-Means聚类分析 + +根据在百度中标出的任务的位置分布可以看出任务大致分布在广东省的南部，呈现出部分集中，相对分散的特点。位置的地理位置分布在很大程度上会影响其定价，在城市中心地带，交通便利，人口密集，商业繁华，因而分布着大量的任务，并且任务定价相对较低。据此可以推断，任务的位置距离其所处区域的密集分布中心点的距离会影响其定价。 + +仿照模型一确定任务的四类基本聚类中心，然后参照模型三对所有任务进行聚类，即把任务进行打包。 + +![](images/4ea1cd6bf92e15a2a6efcac1aae113f87c14bed46c46b2acfe276cbdb06eea76.jpg) +图12 聚类分析图 + +# 8.2.2 神经网络预测模型 + +BP（Back Propagation）网络是1986年由Rumelhart和McCelland为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小。BP神经网络模型拓扑结构包括输入层（input）、隐层(hide layer)和输出层(output layer）（如图所示）。 + +![](images/128cd2dc2a45a8fd5c5517e562713e7d6e2dc1f46e32ff5ac0e1ade18f166827.jpg) +输入层 +隐层 +输出层 + +利用问题三中设计打包方案的聚类分析法对新任务也进行联合打包发布。新任务中每一项任务都位于四类区域之一，计算每一项任务到其所属区域中心点的距离 $r_{ij}$ 。 + +本问题以位置坐标经纬度和 $r_{ij}$ 为输入层，以每包对应的价格和任务完成情况为输出层，以问题三中定价方案中各个包的位置坐标经纬度和 $r_{ij}$ 以及每包对应的价格和任务完成情况为学习样本，建立如下的三输入俩输出BP神经网络模型： + +![](images/229c1dff705f9daba8ac201fe387a6cc324a95f40685fd61fce90cb5d0159f15.jpg) + +# 8.3 模型求解 + +# 8.3.1 根据任务位置分布进行K-Means聚类分析 + +首先将新任务通过 K-Means 聚类方法聚成 4 类, 即找到四个基本聚类中心,聚类算法与模型三一致, 聚类如图所示: + +![](images/0d6d1c0950ebac9852dcd5800c2725f361aafca6014f598317ecbd4d17453239.jpg) +图13 聚类分析图 + +然后将新任务通过 K-Means 聚类方法聚成 150 类, 使得每一类中的任务数量与模型三同数量级, 聚类算法与模型三一致, 聚类如图所示: + +![](images/d75effc4905e165af12c09bfd2cba0b929a0a4be132778e2ab862fdf4c28979a.jpg) +图14 聚类分析图 + +# 8.3.2 根据BP神经网络预测 + +根据BP神经网络算法，由matlab求解可得： + +本问题每一包的价格和每一包的完成情况，共有150包，其中141包完成，及可以得到完成率 $94\%$ 。价格总价54603.58元。 + +可以看出在基于问题三的打包方案和多目标优化情况下，结果完成率都比问题二和问题三的模型最优化下完成率高。而价格总价及成本较低。 + +# 九、模型的评价 + +# 9.1 模型一 + +# 优点： + +1. 从定性与定量的两个角度分析任务的定价规律，通过图像直观清晰地观察定价的定性规律，再定量给出影响因子对定价规律的影响程度。 +2. 利用空间数据离散化的思想，将任务分布的经纬度区间划分为等面积的网格区域，便于统计每一个网格区间内的任务与会员的相关数据，计算影响因子的数值。 +3. 对任务的位置信息进行 K-Means 分析, 将其划分为四类, 得到每一个任务到相应中心点的距离, 相当准确、细致地定量分析了任务与中心点之间的距离这个影响因子对定价规律的影响。 +4. 灰色关联分析很好地避免了多元回归分析中拟合度较低的问题，系统地定量分析了四大影响因子对任务定价规律的影响。 + +# 缺点： + +1. 各影响因子之间不可避免地存在相关性，未能充分考虑到影响因子之间的交互作用。 +2. 考虑每个网格区域内的任务与会员数据时，对于分布在网格区域边界周围的任务而言，会影响定价影响模型的精度。 + +# 9.2 模型二 + +# 优点： + +5. 建立任务对用户的吸引度矩阵，通过计算与比较得到每一个任务的吸引度阈值，提供了每一个任务能否被完成的判断准则。 +6. 在设立模型约束条件时，不仅从企业的目标优化角度考虑，同时考虑到每位会员不同的信誉值以及与之对应的预定开始时间和预定限额，模型的建立十分符合任务被预定的实际情形。 +7. 以 6:30 作为开始时间点，以 3 分钟作为间隔，以时间为顺序考虑每个时间点的情形，思考深入而全面。 + +# 缺点： + +3. 考虑的情况太过庞杂，需要获取的数据量十分巨大，给模型的求解与算法的实现带来了相当大的困难。 +4. 吸引度矩阵中元素的计算公式以及吸引度阈值的确定存在一定的主观性。 + +# 9.3 模型三 + +# 优点： + +8. 在考虑任务的位置分布时，利用位置的经纬度坐标进行聚类分析，使任务的打包方案设计准确又全面。 +9. 对于第一次聚类分析打包的任务过多的情况, 将这一类里的任务提取出来做二次聚类分析。运用二重嵌套聚类分析的方法, 想法大胆又合理, 保证打包方案的 + +全面性与可行性。 + +10. 将设计的打包方案与问题二中的优化定价模型相结合来求解问题三，使得每一问之间环环相扣、层层递进。 + +# 缺点： + +5. 在任务分布稀疏的地区，聚类分析得到的一类任务包中的任务位置并非那么集中，对定价方案的设计存在一定影响。 + +# 9.4 模型四 + +# 优点： + +1. 问题四中新项目的定价利用问题二、三中的定价模型与打包机制，利用问题三中的定价方案数据，通过BP神经网络预测法给出新项目的定价方案，想法新颖大胆，又具有合理性。 +2. 新项目的任务定价方案确定是基于问题一、二、三的分析与结论的，很好地检验了前面模型的合理性与正确性。 + +# 缺点： + +1. 利用BP神经网络预测出新的任务定价时，会忽略其他一些因素对定价的影响。 + +# 十、参考文献 + +[1]杜剑平，韩中庚，“互联网+”时代的出租车资源配置模型[J]，数学建模及其应用，2015,4(04):40-49+85. [2017-09-17]. +[2]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011.1 +[3]卓金武，李必文，魏永生，秦健.MATLAB在数学建模中的应用，北京：北京航空航天大学出版社，2014.9 + +# 附录 + +# 10.1 问题一代码 + +# 10. 1. 1 + +%每一个任务所在网格内任务总数求解 + +function [Num] = wangge() + +data=xlsread('D:\附件\附件一：已结束项目任务数据.xls'); + +x1=data(1:length(data(:,2)),1); %取任务的经度 + +y1=data(1:length(data(:,2)),2); %取任务的纬度 + +scatter(x1,y1,'.') + +max1=max(x1); + +min1=min(x1); + +max2=max(y1); + +min2=min(y1); + +d1=(max1-min1)/50; + +d2=(max2-min2)/50; + +grid on + +hold on + +[x,y]=meshgrid(min1:d1:max1,min2:d2:max2); + +plot(x,y,'k',x',y,'k'); %将地区按照 $50 \times 50$ 网格化 + +axis tight + +Num $= []$ + +number=0; + +```python +for m = 1:length(x1) %对每一个任务遍历 + +for $i = 0:50$ + +for $j = 0:50$ + +%找到每一个任务，对应的网格区域 + +if $(\mathrm{x1(m)}>=(\mathrm{min1}+\mathrm{i}^{*}\mathrm{d1}))$ && $(\mathrm{x1(m)}<(\mathrm{min1}+(\mathrm{i}+1)^{*}\mathrm{d1}))$ && $(\mathrm{y1(m)}>=(\mathrm{min2}+\mathrm{j}^{*}\mathrm{d2}))$ + +&& (y1(m) < (min2 + (j+1)*d2)) + +在满足某一个任务所在区域内，遍历寻找该任务所在的网格内的任 + +# 务总数 + +for $t = 1$ :length(x1) + +if $(x1(t) > = (min1 + i^{*}d1))$ && $(x1(t) < (\min 1 + (i + 1)^{*}d1))$ && + +$(y1(t) > = (min2 + j^{*}d2))\& \&$ $(y1(t) < (min2 + (j + 1)^{*}d2))$ + +number=number+1; + +end + +end + +Num=[Num,number];%记录每一个任务所在的网格内的任务总数 + +number=0; + +end + +end + +end + +end + +end + +# 10.1.2 + +function $[\mathbf{r}] =$ huiserelation(x) +n1=size(x,1); +for i=1:n1 $x(i,:) = x(i,:) / x(i,1)$ +end +data=x; +consult=data(5:n1,:); +m1=size.consult,1); +compare=data(1:4,:); +m2=size(compare,1); +for i=1:m1 for J=1:m2 t(J,:)=compare(J,:)-consult(i,:); end min_min=min(min(abs(t))); max_max=max(max(abs(t))); resolution=0.5; coefficient=(min_min+resolution\*max_max)/(abs(t)+resolution\*max_max); corrdegree=sum(coefficient'/size(coefficient,2); r(i,:)=corrdegree; +end + +# 10.2 问题二代码 + +function[Pce,WW,SS,P] $=$ quedingdingjia(） +data=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\附件一：已结束项目任务数据.xls'); +data2=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\附件二：更新.xlsx'); +data3=xlsread('D:\附件\会员能力值.xlsx'); +L=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\任务地点和会员位置间距离.xls'); +Wy=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\任务的阈值.xls'); +data7=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\时间排列序号.xls'); +x1=data(1:length(data(:,2)),1);%取任务的纬度 +y1=data(1:length(data(:,2)),2);%取任务的经度 +%x2=data2(1:length(data2(:,2)),1);%取会员的纬度 +%y2=data2(1:length(data2(:,2)),2);%取会员的经度 +%x3=data3(1:length(data3(:,1)),1);%取会员能力 +y3=data2(1:length(data2(:,1)),4);%取会员信誉值 + +$\% \times 4 =$ data4(1:length(data4(:,1)),1); %获取任务地点和会员位置间距离 + +%scatter(x1,y1,'.') + +max1=max(x1); + +min1=min(x1); + +max2=max(y1); + +min2=min(y1); + +d1=(max1-min1)/50; + +$d2 = (\max 2 - \min 2) / 50$ + +grid on + +hold on + +$\% [x,y] =$ meshgrid(min1:d1:max1,min2:d2:max2); + +plot(x,y,'k',x',y,'k'); %将地区按照 $50 \times 50$ 网格化 + +axis tight + +Num $= []$ + +HH=[]; + +hehe $= 0$ dd $\equiv$ [];tt $\equiv$ []; + +Aver $= []$ + +pingjun=0; + +a=1.02;%a + +number=0; + +HT=[]; + +QQ=[]; + +$\mathrm{Cc} = 0;\mathrm{SS} = 0$ + +r=0; + +ght=0.98;%b + +pce=0; t0=1.03; miny=0; + +LL=[];tmpt=0; + +c=a-0.01; + +temp $\equiv$ []; + +$\mathsf{LLL} = 0$ + +Pce $\equiv$ []; + +ht=0; + +lo $\equiv$ []; + +$\mathsf{WW} = []$ + +er=0; + +$s = 0.9$ + +WW(1,1:835)=1; + +$\%$ 考虑到数据庞大和处理难度系数，定义一种定价变化规律 + +pandn=data(1:length(data(:,2)),3:4); + +for $i = 1$ :length(pandn(:,1)) + +if pandn(i,2) == 0 + +ee=pandn(i,1); + +etest1=ee\*a; + +```matlab +pce=etest1;lo=pandn(:,1); +miny=min(lo); +ert=min*c;if pce< ert +WW(i)=0end +elseif pandn(i,2) == 1 +ff=pandn(i,1); +ftest1=ff*ght; +pce=ftest1;lo=pandn(:,1);miny=max(lo); +ert=min*(ght-1);if pce>ert +WW(i)=0;end +end +Pce=[Pce,pce]; +end +``` + +```matlab +%产生 +for i=1:1875 + for j=1:835 + W(j,i)=sqrt(0.32/(L(j,i).*L(j,i))+0.27*Pce(j).*Pce(j)); + end +end +``` + +%现在对时间进行遍历 + +%当不同的时间 + +Txuhao=data7(1:length(data7(:,1)),1); + +%for cai=1:31 %第一个时刻 + +```matlab +cai=1; for T=1:1:length(Txuhao) if Txuhao(T) == cai temp=[temp,T]; %temp 存放的是属于第几个时刻的：第几个 end end +``` + +%temp 中存放了，一个时刻时开放的会员的编号矩阵,6:30 为第一个时刻 + +```matlab +for mt=1:length(temp) + jj=temp(mt); + ht=max(W(:,jj));%求得吸引力的最大值 + for l=1:length(W(:,1)) + if W(l,jj) == ht + LLL=l; + end + end + W(LLL,jj)=0; + HT=[HT,ht]; + LL=[LL,LLL];%记录的是第几个最大 +``` + +```matlab +end +for i=1:length(temp) + for j=2:length(temp) + if LL(i==LL(j) %找中有没有相同的，即有没有冲突 + if y3(temp(i)) >= y3(temp(j)) %发生冲突的时候，根据信誉值进行判断 + tmpt=i; + else + tmpt=j; + end + else + tmpt=i; + end + QQ=[QQ,tmpt]; + end +end +for i=1:length(QQ) + if HT(tmpt)>Wy(LL(QQ(i))) + Cc=0; + else + Cc=1; + end + WW(LL(tmpt)=Cc; + end +SS=sum(Pce); +P=sum(WW(:)=0); +P=1-P/length(WW); +end +``` + +# 10.3 问题三代码 + +function[Pce,WW,SS,P] $\equiv$ dabao() +data=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\附件一：已结束项目任务数据.xls'); data2=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\附件二：更新.xlsx'); data3=xlsread('D:\\附件\会员能力值.xls'); L=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\任务地点和会员位置间距离.xls'); Wy=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\任务的阈值.xls'); data7=xlsread('C:\Users\apple\Desktop\问题二要用的附件\时间排列序号.xls'); +x1=data(1=length(data(:,2)),1); %取任务的纬度 +y1=data(1=length(data(:,2),2); %取任务的经度 +%x2=data2(1=length(data2(:,2)),1); %取会员的纬度 +%y2=data2(1=length(data2(:,2)),2); %取会员的经度 + +$\% \times 3 =$ data3(1:length(data3(:,1)),1); %取会员能力 + +y3=data2(1:length(data2(:,1)),4); %取会员信誉值 + +$\% \times 4 =$ data4(1:length(data4(:,1)),1); %获取任务地点和会员位置间距离 + +%%scatter(x1,y1,'.') + +max1=max(x1); + +min1=min(x1); + +max2=max(y1); + +min2=min(y1); + +d1=(max1-min1)/50; + +d2=(max2-min2)/50; + +grid on + +hold on + +$\% [x,y] =$ meshgrid(min1:d1:max1,min2:d2:max2); + +plot(x,y,'k',x',y,'k'); %将地区按照 $50 \times 50$ 网格化 + +axis tight + +Num $= []$ + +HH=[]; + +hehe $= 0$ ;dd $\equiv$ [];tt $\equiv$ []; + +Aver $= []$ + +pingjun=0; + +gt=30; + +number=0; + +HT=[]; + +QQ=[]; + +bg=65; + +Cc=0; + +SS=0; + +r=0; + +pce=0; + +$t0 = 1.03$ + +miny=0; + +$\mathsf{LL} = []$ + +tmpt=0; + +nb=154; + +temp $\equiv$ []; + +$\mathsf{LLL} = 0;$ + +Pce $\equiv$ []; + +IT $\equiv$ []; + +ht=0; + +lo $=$ []; + +sd $\equiv$ []; + +WW=[]; + +er=0; + +WW(1,1:nb)=1; + +dd=[155.192616411676,154.503413653433,304.216535343282;477.316383218284,318.357565 477569,534.374424256355; +443.803351592000,490.543612418931,466.967839537211;403.573282213692,299.9897957467 68,700.649727118602; +509.448913076078,396.542422832021,191.471270937264;497.771812364019,487.0205641712 54,781.126078225461; +536.316066935624,516.829652226610,654.029098029452;279.748027319369,536.6202277218 64,241.718505121022; +490.116632920990,210.136029772023,789.527261131223;419.468314181287,240.0347728756 79,289.674100622310; +336.190812142428,521.958767014572,598.971000619037;162.027146868062,387.6725804302 74,550.171142593681; +535.691276375410,348.193476094460,261.204441252670;305.543609307063,396.2490286764 82,142.290678708276; +446.090271776732,487.365208824257,723.557226698546;515.452105741153,360.5631237463 80,718.473755197803; +184.502885826220,215.115117577858,457.591638442668;196.501957487157,326.1670183651 10,181.121204358987; +415.760855647903,314.708715640695,582.581969382779;382.319292464179,552.0292625788 92,270.183830525430; +593.047353175908,399.444278872862,691.015491369829;545.459344982697,432.6669687958 40,543.526906905241; +511.857363521904,443.592593899929,330.075794403322;156.692580778433,278.9807789168 38,834.046071948759; +167.900355531468,353.992775451662,713.469648054001;176.034279030855,371.5023327173 37,811.256325761062; +545.142449339255,195.014391629294,190.217811867721;620.364232576765,373.8667160927 43,277.297900405631; +485.532097652346,432.408250496829,697.438144831221;198.683136971053,314.0668912482 15,666.806573161139; + +505.816760621518,494.795255518255,727.737615430876;187.383809934021,448.5416961774 12,518.944695137692; +191.096283118953,284.773689559825,460.952092453994;463.173319942281,326.3076559873 49,601.928982257695; +300.983391673537,296.397945279148,787.530865543558;469.982251749802,468.0195972324 86,647.135005715989; +519.548360813830,449.813557607499,535.406361935771;433.256580356536,315.7525296777 03,364.800896271230; +514.816810553644,431.944885193056,672.312530696257;252.109995668910,542.8391478412 91,427.642654875562; +512.177921681947,471.846575820198,568.872913331328;634.711233045040,437.1571894358 01,811.886465081222; +580.803751710996,174.216399630236,777.798510347424;174.841955529018,297.9594198060 10,820.188103876632; +320.547040485983,386.588986108753,850.703346407935;321.983378251609,328.5866011531 49,756.915283357509; +486.214805784037,148.199934151879,139.030592048598;440.929650399622,226.8512245529 17,140.345839446116; +540.469250693791,493.877375926093,204.388831585932;321.179517587696,132.8993094791 68,335.892059564079; +237.134486942701,506.896491489637,155.304191016468;175.066604645677,160.4284523873 +04,459.880377473663; +531.405636891536,421.047782225966,396.868311402105;236.950751161675,346.5931940079 66,548.887635380548; +331.901248144857,222.135265248818,840.962333680552;416.924836617758,378.0825349032 03,364.561080317963; +249.055691052012,179.885415557228,394.606358533123;463.809122607577,421.9843087479 96,790.345401369953; +381.929793647054,390.417226722161,396.423037870963;208.959673060459,150.6854854080 + +16,242.833385915016; +536.604622625761,150.847271177620,523.419407112626;182.315287628459,193.2527809180 89,788.202265960793; +282.914493554487,134.652890443623,429.694035972904;253.433970246901,317.9124156523 56,666.029413463036; +406.053573654523,493.009670599723,614.579270943027;177.579340296494,398.2690656112 51,479.844609153111; +340.764018337908,355.377072152037,497.476018053053;184.520048500193,506.9658863137 22,858.827122309181; +188.387660321134,169.084781909196,201.374649398102;537.902503186835,526.4510216053 65,350.390150280161; +281.616565311604,173.635362114311,477.278547785041;443.837388150461,353.9955703207 53,583.966589372443; +631.499786952269,189.131805738857,804.124311056622;354.892196864588,372.6824224297 25,494.047294853826; +491.271141201329,128.019614160770,470.000623057606;524.211623150516,464.1067613920 76,704.354369440908; +354.974009596492,500.280768868103,493.144043548079;470.858980697839,530.3181801818 99,791.367959452927; +187.072626375987,561.253009179593,492.082617397549;615.555121160373,348.7636978932 +81,516.061305726136; +227.479619339277,245.696936368124,507.959866701323;268.412996231972,170.4309757572 65,312.166800033745; +544.871735310031,349.961334395826,202.934144398474;383.553963225640,384.2536244345 28,189.143935029160; +529.858297310612,462.433209296637,812.288719516675;335.923507513295,162.5865282577 50,314.974273423272; +271.928172944319,417.763921149477,791.951181828135;149.362009716571,353.9877454854 40,678.206935593011; + +480.113355336500,201.432175728722,800.465061719526;353.373518810964,539.9040181703 +43,849.943523252000; +364.904402150463,386.403081119874,244.024162417553;447.125728030912,320.3198942155 31,436.970209941912; +160.889714366304,541.386248267276,882.247187753726;294.221947936210,415.2579947333 99,627.398665722900; +531.815508048726,325.308057783830,818.375022605536;492.145154283169,496.3065625373 74,504.012877726530; +195.172734176774,360.886964591187,148.696644068469;197.678754202500,370.2641960139 52,610.766181426010; +178.023216133985,425.908898766762,313.401380601351;134.066552656054,287.9307482449 59,538.322377747465; +350.016880285367,231.527157331354,688.268898670144;470.898050967715,381.3052601744 60,599.028585479006; +505.919712839853,508.297191110576,584.570132358595;406.228832662868,305.3885512549 15,466.977043585091; +186.585327901984,175.663277192046,323.327226171832;458.518514234814,321.7360139965 88,463.580908517508; +195.779929971238,258.381320935330,145.724688741029;199.837718243059,303.0116025321 91,600.095479824669; 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+23.5518154800000,113.595800900000,13;23.8161076700000,113.957929400000,1; +22.9830627400000,113.006214800000,5;22.5279847800000,113.931583400000,14; +23.0102386800000,113.691741500000,3;23.0720507500000,112.931801200000,7; +23.2425861000000,113.061180300000,5;22.7471972400000,114.010640000000,2; +23.0978024000000,113.218556100000,4;23.8783980600000,113.539711400000,1; +23.0800284700000,113.980600200000,3;22.6577180400000,113.930032600000,3; +23.0570445200000,113.839759300000,7;22.5367280900000,114.047141900000,8; +22.8245226800000,112.683258300000,1;22.5787279800000,114.493609600000,1; +22.8448613900000,113.260098500000,12;22.9395735000000,113.945413600000,3; +23.0488812200000,113.737720100000,9;23.1103973700000,113.179618000000,9; +23.0873945800000,113.334698400000,5;23.1120747300000,113.494147800000,7; +22.5594290600000,113.973951500000,15;22.8663869200000,113.049891700000,6; +22.9755619200000,113.497229600000,1;23.4420225200000,113.329339100000,2; +23.0965934500000,113.872454900000,6;23.0651795200000,113.782526500000,9; +22.8188982200000,113.808702100000,8;23.0250614800000,114.103597300000,1; +23.1242788600000,113.013788800000,4;22.7841505000000,113.904682000000,3; +22.7204874700000,114.070891400000,8;23.2236308100000,113.228845300000,7; +22.7138545300000,113.161580700000,3;22.5619199400000,114.242944200000,2; +22.6494630400000,113.612984900000,1;22.5823757000000,113.888646700000,14; +22.9616343100000,113.094216500000,8;23.0288767500000,113.085255200000,6; +23.1927057500000,113.335018100000,5;22.7506640000000,114.378843000000,1; +23.1802049200000,113.080803200000,2;22.6149614700000,114.136233200000,8; +22.7028833300000,114.333837900000,2;22.8914273600000,113.448991800000,4; +22.6945675200000,113.986387500000,2;23.0377754300000,113.206369600000,4; + +23.0785911900000,113.711074200000,3;22.7920451300000,113.773708500000,7; +23.1647539100000,113.599332300000,2;23.175328280000,112.90856500000,7; +22.8411068500000,113.347486700000,2;22.909766200000,114.07403980000,1; +23.0272502200000,113.839486100000,7;22.898180550000,113.21531250000,7; +23.1636642400000,113.268497200000,3;23.248092590000,113.30788590000,9; +22.806886300000,114.11975310000,7;22.65052133000,114.2158955000,6; +23.17753672000,113.4163853Ooo,5;23.4O871932Ooo,113.418O248Ooo,2; +23.72311773Ooo,113.739427Ooo,1;22.84158O65Ooo,113.9837534Ooo,1; +22.91513525Ooo,113.6344893Ooo,2;22.64144O71Ooo,114.4227421Ooo,2; +23.62547628Ooo,113.43I3956Ooo,1;22.57697I69Ooo,114.156646Ooo,4; +23.15O7O937Ooo,113.23I5I28Ooo,9;23.07ZI97IOOOO,O,113.O49OZ74Ooo,O,7; +22.987373O5Ooo,113.732I2I3Ooo,O,5;23.33887I44Ooo,O,113.1IIO649Ooo,O, ； +22.69O626O4Ooo,O,113.94O67S5Ooo,O,4;22.49842442Ooo,O,113.9232Oo2Ooo,O,7; +22.78982I33Ooo,O,113.164I O9Ooo,O,1;23.09978I64Ooo,O,113.4455582Ooo,O, ； +22.729I OTOoOO,O,113.8I8O I74Ooo,O,8;23.5634I I 3: +23. 06332956Ooo,O, 113. 276O I 89 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 、 +22.939HJ4I Ooo,O,113.4o8A O O O O O,O,7;23.13o98B66Ooo,O,O,I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； +； + +```matlab +for i=1:length(baokang(:,1)) + if baokang(i,3) == 1 + IT = [IT,i]; + end +end +Pce = dd(1:154,3); +for i=1:length(IT) + It = IT(i); Pce(It) = Pce(It)*0.23; + if Pce(It) < bg + Pce(It) = Pce(It) + gt; + end +end +for i=1:nb + if Pce(i) > dd(155,3) + WW(i) = 0; + elseif Pce(i) < 80 + WW(i) = 0; + end +end +``` + +%考虑到数据庞大和处理难度系数，定义一种定价变化规律 + +%具体的系数分别取值 + +```matlab +pandn=data(1:length(data(:,2)),3:4); +for i=1:length(pandn(:,1)) + if pandn(i,2) == 0 + ee=pandn(i,1); + etest1 = ee * 1.02; %emax=pandn(i,0) * 1.20; + pce = etest1; + lo=pandn(:,1); + miny=min(lo); + ert=min*1.01; + elseif pandn(i,2) == 1 + ff=pandn(i,1); + ftest1 = ff * 0.98; %emax=pandn(i,0) * 1.20; + pce=ftest1; + lo=pandn(:,1); + miny=max(lo); + ert=min*0.97; +end +``` + +end + +%产生 + +for $i = 1:1875$ + +```matlab +for j=1:nb W(j,i)=sqrt(0.32/(L(j,i).*L(j,i))+0.27*Pce(j).*Pce(j)); end end +%现在对时间进行遍历 +%当不同的时间 +Txuhao=data7(1=length(data7(:,1),1); +%for cai=1:31 %第一个时刻 +cai=1; for T=1:1:length(Txuhao) if Txuhao(T) ==cai temp=[temp,T]; %temp 存放的是属于第几个时刻的：第几个 end end +``` + +%temp 中存放了，一个时刻时开放的会员的编号矩阵,6:30 为第一个时刻 + +```matlab +for mt=1:length(temp) + jj=temp(mt); + ht=max(W(:,jj));%求得吸引力的最大值 + for l=1:length(W(:,1)) + if W[l,jj] == ht + LLL=l; + end + end + W(LLL,jj)=0; + HT=[HT,ht]; + LL=[LL,LLL];%记录的是第几个最大 +end +for i=1:length(temp) + for j=2:length(temp) + if LL(i) == LL(j) %找中有没有相同的，即有没有冲突 + if y3(temp(i)) >= y3(temp(j)) %发生冲突的时候，根据信誉值进行判断 + tmpt=i; + else + tmpt=j; + end + else + tmpt=i; + end + QQ=[QQ,tmpt]; + end +``` + +```matlab +end +for i=1:length(QQ) if HT(tmpt)>Wy(LL(QQ(i))) Cc=0; else Cc=1; end WW(LL(tmpt)=Cc; +end +``` + +```matlab +SS=sum(Pce); +P=sum(WW(:)=0); +P=1-P/length(WW); +end +``` + +# 10.4 问题四代码 + +function[] $\equiv$ nettwork() +%BP 神经网络算法 +P=[];%输入层三个量的输入 +goal $=$ [];%输出层两个量的输入 +net $\equiv$ newff(p,goal,{10},{'tansig'},'trainlm'); +net.trainParam.show $= 10$ . +net.trainParam.lr $= 0.05$ . +net.trainParam.goal $= 1$ e-10; +net.trainParam_epochs $= 50000$ . +net $=$ train(net,p,goal); +y0=sim(net,p) +Y1=sim(net,t) +for i=1:150 if abs(Y1(2,i)-0)符号说明d(i,j)会员j和任务i之间的距离K_i任务i完成的可能性指标γ1,γ2,γ3,γ4佛山、广州、东莞和深圳四块区域期望值阈值V_j会员j愿意接受任务点的集合e_j会员j所能接受任务限额Q_j会员j的信誉值t_j会员j开始预定任务的时间t'_j会员j完成任务的时间d_{jA}会员j经过集合A中所有点的最短距离D任务完成所需总金额限制 + +# 3 数据预处理 + +# 3.1 经纬度-距离转换[1] + +为了得到任意两个任务、会员或会员与任务间的直线距离，我们对经纬度进行转换。 + +地球上任意一点地理坐标都可以用有序数对表示为 $(u, v)$ , $u$ 为经度, $v$ 为纬度。以地心 $O$ 为坐标原点, 赤道平面为 $xOy$ 平面, 0 度经线圈所在的平面为 $xOz$ 平面建立三维直角坐标系, 则 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} x = R \cos u \cos v \\ y = R \sin u \cos v, \\ z = R \sin v \end{array} \right. \tag {3-1} +$$ + +其中， $R = 6370$ 为地球半径。 + +根据解析几何的知识，任意两点 $A(u_{A}, v_{A}), B(u_{B}, v_{B})$ 间实际距离为 + +$$ +d = R \arccos \left(\frac {O A \cdot O B}{\mid O A \mid \cdot \mid O B \mid}\right), +$$ + +将式（3-1）代入化简得 + +$$ +d = R \arccos [ \cos (u _ {A} - u _ {B}) \cos v _ {A} \cos v _ {B} + \sin v _ {A} \sin v _ {B} ]. +$$ + +# 4 问题一的模型建立与求解 + +# 4.1 数据的描述分析 + +根据附件1、2中的经纬度信息，我们将任务、会员标注在二维地图上，并利用任务标价绘制热图。图4-1绘制了项目任务的地理位置分布，其中红点表示已完成任务，黑点表示未完成任务；图4-2绘制了会员的地理位置分布。根据任务定价绘制热图，颜色从蓝过渡到红，表示定价从低到高。 + +![](images/f58a41068caf2e6be3eb4033b93e770bbbb01b9ed4d1990728122fd76b4ae0bc.jpg) +图4-1 任务分布与标价关联图 + +![](images/d71b571a33c738d039f9be9ec69df9143f49b2095f7a8c4432c74194d484496c.jpg) +图4-2会员分布与标价关联图 + +从上述两图中可以看出，价格较高的任务主要集中在城市内部，且大致可以按城市划分成佛山、广州、东莞和深圳四块区域。左图反映了任务价格较高的点与任务的密集程度有关，且任务越密集，价格越高，但是价格的高低不能完全决定任务的完成情况；右图反映了会员的分布情况，会员在该区域的分布较为均匀。 + +# 4.2 影响定价的指标因素 + +参照出租车的定价策略[2]，我们分析得到任务附近邻域内会员密集程度、任务集中程度、任务难易程度、不同经济地区会员的期望值是影响任务定价 $P_{i}$ 的主要因素。 + +会员密集程度 $m_{i}$ : + +设 $m_{i}$ 是以任务点 $i$ 为中心，半径 $d$ 范围内的会员数，以 $m_{i}$ 作为任务点 $i$ 会员集中程度的指标。定义函数 + +$$ +\chi_ {i j} = \left\{ \begin{array}{l} 1, d (i, j) \leq d \\ 0, d (i, j) > d \end{array} , i \in E, j \in F \right., +$$ + +其中， $d(i,j)$ 为任务 $i$ 与会员 $j$ 两点间的直线距离， $F$ 为会员集合， $E$ 为任务集合。 + +因此，该范围内的会员数可表示为 + +$$ +m _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} \chi_ {i j}. +$$ + +利用 MATLAB 软件，绘制价格与会员数 $m_{i}$ 的二维散点图 4—3。 + +![](images/a163f4f88b513022ff0a8cf56a477cbc56824eddacece80ef295eeed1a552196.jpg) +图4-3 任务定价与会员数关系图 + +会员密集程度反映了会员在某一区域内的集中情况。会员集中程度越高，该任务被完成的可能性越大，此时该任务的定价就越低，则会员数 $m_{i}$ 与定价呈负相关。 + +# 任务集中程度 $q_{i}$ : + +设 $q_{i}$ 为以任务点 $i$ 为中心，半径 $d$ 范围内的任务数，以 $q_{i}$ 作为任务点 $i$ 附近任务集中程度的指标。定义函数 + +$$ +\delta_ {i j} = \left\{ \begin{array}{l} 1, d (i, j) \leq d \\ 0, d (i, j) > d \end{array} , i \in E, j \in F \right., +$$ + +因此，任务集中程度 + +$$ +q _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {n _ {1}} \delta_ {i j}. +$$ + +利用 MATLAB 软件, 绘制价格与任务集中程度 $q_{i}$ 的二维散点图 4-4。 + +![](images/8e97f8982e7b43dcef36b81d53493385f01f3107e7128dffa44adcada3adafee.jpg) +图4-4定价与任务集中程度关系图 + +任务密集程度反映了任务在某一区域内的集中情况。任务的集中程度越高，供用户挑选的任务也就越多，在集中度高，距离近的情况下，任务的定价较低。 + +任务难易程度 $s_i$ ： + +由于各项任务的性质不同，完成它的难易程度也不同。当某一任务较难完成时，为了提高它的吸引力，就要给出较高的定价。我们将任务按照难易程度分为三个档次：很难、较难、一般。 + +# 4.3 任务定价规律 + +为了保证任务能够顺利完成和会员的基本收益，对每项任务设定它的基础价格为 $P_{0}$ ，结合上述的三个指标，我们给出第 $i$ 个任务的定价 $P_{i}$ ： + +$$ +P _ {i} = P _ {0} + 0. 5 R _ {i} + S _ {i} - Q _ {i} \tag {4—1} +$$ + +这里， $P_{0}$ 为基础定价，设为65，其余指标转换值按如下方式给出： + +表 4-1 会员密集程度 ${m}_{i}$ 与 ${R}_{i}$ 对应表 + +
mi1~23~45~67~88~910~1112~1314~1516~1718~19
Ri20191817161514131211
mi20~2122~2324~2526~2728~2930~3132~3334~3536~37>37
Ri10987654321
+ +表 4-2 任务难易程度 ${s}_{i}$ 与 ${S}_{i}$ 对应表 + +
Si很难较难一般
Si1050
+ +表 4-3 任务集中程度 ${q}_{i}$ 与 ${Q}_{i}$ 对应表 + +
qi0~1516~30>30
Qi52.50
+ +说明：考虑到任务发布者与会员双方的利益，我们限定任务最低定价为65和最高定价为85，一旦当 $P_{i}$ 小于65时，规定定价取值65；当 $P_{i}$ 大于85时，规定定价取值85。将附件1中的实际数据代入公式比较，多数数据满足公式（4-1）；部分与公式有较大出入的定价，是由于任务的难易程度影响造成的。根据这些数据，我们也能计算出各个任务的难易程度。 + +例：任务号码A0773，已完成，会员密集程度 $m_{i} = 6$ ，任务集中程度 $q_{i} = 2$ ，实际定价为85，已完成，则可带入公式 $85 = P_{0} + 0.5R_{i} + S_{i} - Q_{i} = 65 + 0.5 \times 18 + S_{i} - 0$ ，解得 $S_{i} = 11$ 则任务难易程度为“很难”。 + +# 4.4 未完成任务原因分析 + +（1）原因一：某些任务邻近区域内，任务密集，而会员人数远少于任务数，人均任务量远远大于其实际完成能力。 + +例：任务号码A0436，会员密集程度 $m_{i} = 3$ ，任务集中程度 $q_{i} = 7$ ，任务难易程度 $s_i = "$ 一般”，理论定价为 $P_{i} = P_{0} + 0.5R_{i} + Q_{i} - S_{i} = 65 + 0.5\times 19 + 0 - 2.5 = 72$ ，实际定价为75，虽然定价基本合理，但是由于会员人数少，任务多，会员会找性价比更高的任务来完成， + +而放弃该项任务。 + +（2）原因二：任务本身定价较低，使会员完成该任务的收益达不到期望值。某些任务远离会员密集地，若会员要完成需花费较高的费用，且任务定价较低，使得回报低于成本，故出现无人接单的情况。 + +例：任务号码A0350，会员密集程度 $m_{i} = 8$ ，任务集中程度 $q_{i} = 6$ ，任务难易程度 $s_i = "$ 一般”，理论定价为 $P_{i} = P_{0} + 0.5R_{i} + Q_{i} - S_{i} = 65 + 0.5\times 17 + 0 - 2.5 = 71$ ，实际定价为 $65 < 71$ ，定价过低，满足不了会员的期望。 + +(3) 原因三: 高收入地区会员对收益要求较高, 导致很多任务没人接单。例如深圳地区居民普遍收入较高, 对收益也有较高的期望值, 使得在其他地区能够完成的任务产生的收益值不足以吸引他们去完成。 + +例：任务号码A0468，会员密集程度 $m_{i} = 8$ ，任务集中程度 $q_{i} = 2$ ，任务难易程度 $s_i = \text{"一般"}$ ，理论定价为 $P_{i} = P_{0} + 0.5R_{i} + Q_{i} - S_{i} = 65 + 0.5\times 17 + 0 - 5 = 67.5$ ，实际定价为 $80 > 67.5$ ，此任务所在地位深圳市中心，居民收入水平较高，即使此任务性价比高，也难以吸引会员。 + +（4）原因四：高信誉会员的限额较高，预约过多任务，导致很多任务没及时完成。某些任务周围有较多低信誉会员，但此任务被高信誉会员优先预约，而高信誉会员由于多任务在身或此任务距离较远而没有完成。 +（5）原因五：任务难度过高，导致任务性价比不高，或者任务所在地的周边环境，如有交通故障难以通行、危险地带等原因，导致任务无法及时完成。 + +各任务点未完成原因如下图所示： + +![](images/216463466106bc28c24a4823e37b63cf399e64f953d00be9e8f111e87bdbbeb8.jpg) +图4-5 未完成任务点原因分析图 + +# 5 问题二的模型建立与求解 + +# 5.1 问题二的分析 + +首先，分析问题一中定价模型存在的不足主要有：未考虑到不同地区会员对收益的期望值，以及信誉度高的会员接单限额和开始预约时间对任务定价的影响。结合这些因素，我们给出新的定价方案。其次，影响任务完成与否的主要因素为会员对收益的期望值，所以我们定义了会员对任务的满意度。结合给出的定价模型，建立以任务完成量最大为目标的优化模型。 + +# 5.2定价模型 + +# 5.2.1 模型的建立 + +由于问题一给出的定价规律没有很好地考虑到不同地区经济发展的不平衡，不同地区会员的收益期望值不同，高信誉会员优先选择任务和限额的特点，导致大量的任务未被完成。所以，针对上述原因，我们建立了新的任务定价模型。 + +①对于经济发达的地区，会员的收益期望值较高，相同的定价在其他地区可以被完成，所以在定价时，对该地区任务的定价给予一定的提高。 +②考虑到高信誉会员优先选择任务和限额的特点，在计算会员密集程度时，把一个高信誉会员按其所能完成的任务限额，把他当做若干个会员处理。 +③由于问题一中，相当一部分任务并不是由于价格过低而未被完成的，所以我们不再限制最低价格和最高价格。 + +基于上述分析，建立定价模型如下： + +$$ +P _ {i} ^ {\prime} = P _ {0} + 0. 5 R _ {i} + S _ {i} - Q _ {i} + T _ {i} \tag {5-1} +$$ + +其中， $m_{i}^{\prime}$ 表示 $m_{i}$ 个会员在任务限额限定下能完成的任务总数； + +图5-1会员限额总数 $m_{i}$ 与 $R_{i}$ 对应表 + +
mi'1~34~67~910~1213~1516~1819~2122~2425~2728~30
Ri20191817161514131211
mi'31~3334~3637~3940~4243~4546~4849~5152~5455~57>57
Ri10987654321
+ +$$ +T _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} 5, \text {任 务} i \text {位 于 经 济 发 达 地 区} \\ 0, \text {任 务} i \text {不 位 于 经 济 发 达 地 区} \end{array} ; \right. +$$ + +$$ +P _ {0} , S _ {i} , Q _ {i} \text {与 问 题 一 模 型 中 相 同} . +$$ + +# 5.2.2 模型的求解 + +将附件1，附件2中的数据和问题一中得到的各任务的难易程度，结合上述公式，利用MATLAB编程，得到各个任务的定价如下（部分结果），详细结果见附件二： + +表 5-1 任务定价情况表 + +
任务号码原定价现定价
A00226565
A001265.570.5
A04688086
A00186671
A00067577.5
A04508587
A069365.569.5
A02646772
A08358582
A08308579
A04688090
A07347590
+ +表 5-2 优化前后总定价和完成率情况表 + +
总定价任务平均定价
原方案57641.568.87
现方案58732.670.17
+ +# 5.3 用户满意度 + +对于会员是否接单，最关键考虑的是任务的性价比，也就是收入支出比。当某一会员对任务的满意度大于某一阈值时，该会员有意愿接受此任务，即任务被完成。这里，我们定义会员 $j$ 对任务 $i$ 的满意度为 + +$$ +\kappa_ {i j} = \frac {P _ {i} ^ {\prime}}{c \cdot d (i , j)}, +$$ + +其中， $P_{i}^{\prime}$ 表示任务 $i$ 的定价， $c$ 表示单位距离所需的费用， $d(i,j)$ 表示会员 $j$ 和任务 $i$ 之间的距离。 + +考虑到会员的信誉度会对任务的完成有影响，因此，我们定义罚函数 $c_{i} = 1 - \frac{Q_{j}}{\max Q_{j}}$ 其中， $Q_{j}$ 表示会员 $j$ 的信誉度， $\max Q_{j}$ 表示以任务 $i$ 为中心， $r$ 为半径范围内会员信誉的最大值。建立衡量任务 $i$ 是否完成的可能性指标为 + +$$ +\kappa_ {i} = \max \left\{\frac {P _ {i} ^ {\prime}}{c \cdot d (i , j)} \left(1 - \frac {Q _ {j}}{\operatorname* {m a x} Q _ {j}}\right) \mid d (i, j) \leq r \right\}. \tag {5-2} +$$ + +当任务点 $i$ 的指标值 $\kappa_{i}$ 大于或等于某一阈值 $\gamma$ 时，我们认为存在会员愿意接受该任务；否则，该任务未完成。式（5-2）作为衡量指标，不但考虑了会员的实际选择依据，而且能解释当性价比接近时，平台优先安排信誉度较高的会员的原则。 + +# 5.4 任务优化分配模型 + +# 5.4.1 模型的建立 + +在给出模型之前，我们对定义一些基本符号： + +$n_{1}$ 表示任务数, $n_{2}$ 表示会员数; + +$d(i,j)$ 为会员 $j$ 和任务 $i$ 之间的距离； + +$\kappa_{i}$ 为任务 $i$ 完成的可能性指标； + +$\gamma$ 为阈值； + +$V_{j}$ 表示会员 $j$ 愿意接受任务点的集合； + +$e_{j}$ 表示会员 $j$ 所能接受任务限额; + +$x_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll}1,i\in V_j\\ 0,i\notin V_j \end{array} \right.$ ，当 $i\in V_{j}$ 时，任务 $i$ 由会员 $j$ 完成； + +$Q_{j}$ 表示会员 $j$ 的信誉值； + +$t_{j}$ 表示会员 $j$ 开始预定任务的时间； + +$C$ 表示任务完成所支付总金额限制； + +# (1) 目标函数的确定 + +在总费用一定的限制情况下，一个合理的定价方案，最关键的是要保证平台所给出的任务要尽量多地完成。因此，我们以任务的完成量最大为目标函数，即： + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j}. +$$ + +# (2) 约束条件的确定 + +约束条件一：同一个会员的预定任务数量有限额限制，设会员 $j$ 接受任务点的集合可表示为 $A_{j} = \left\{i \mid x_{ij} = 1\right\}$ ，即： + +$$ +\sum_ {i \in A _ {j}} x _ {i j} \leq e _ {j} ^ {\prime}. +$$ + +其中， $e_j'$ 为重新定义的用户限额。考虑到每个会员完成任务的能力有限，我们定义每个会员的限额最大不超过5，即： + +$$ +e _ {j} ^ {\prime} = \left\{ \begin{array}{l} e _ {j}, e _ {j} \leq 5 \\ 5, e _ {j} > 5 \end{array} . \right. +$$ + +约束条件二：会员只接受的任务满足自己期望的任务。考虑到附件 1 中每个区域的用户对任务的期望值不同，我们对上述优化模型中的阈值 $\gamma$ 按区域重新设定。根据附件一中的经纬度，我们按城市将用户分成佛山、广州、东莞和深圳四块区域，并将期望值设成 $\gamma_{1}$ ， $\gamma_{2}$ ， $\gamma_{3}$ 和 $\gamma_{4}$ 。 + +考虑不同地区用户的不同期望阈值，定义特征函数 + +$$ +y _ {j z} = \left\{ \begin{array}{l} 1, j \in T _ {z} \\ 0, j \notin T _ {z} \end{array} , \quad z = 1, 2, 3, 4 \right., +$$ + +其中， $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ 和 $T_{4}$ 分别为佛山、广州、东莞和深圳四块区域的用户集合。 + +会员 $j$ 愿意接受任务点的集合为 + +$$ +V _ {j} = \left\{i \left| \frac {P _ {i} ^ {\prime}}{c \cdot d (i , j)} \left(1 - \frac {Q _ {j}}{\max Q _ {j}}\right) \geq \gamma_ {z}, d (i, j) \leq r, y _ {i z} = 1 \right. \right\}, +$$ + +即： + +$$ +A _ {j} \subset V _ {j}. +$$ + +约束条件三：同一个任务最多只能被一位会员完成，即： + +$$ +\sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} \leq 1, d (i, j) \leq r. +$$ + +约束条件四：开始预约任务时间早的会员优先挑选任务，如果任务 $i$ 是会员 $j_{1}$ 和 $j_{2}$ 都满意的，那么开始时间较早的会员优先挑选。即： + +$$ +x _ {i j _ {1}} t _ {j _ {1}} \geq x _ {i j _ {2}} t _ {j _ {2}}, \quad \forall i \in V _ {j _ {1}} \cap V _ {j _ {2}}. +$$ + +约束条件五：平台支付给用户的总费用有一定限制，即： + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} P _ {i} ^ {\prime} \leq C. +$$ + +综上所述，建立任务分配优化模型如下： + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} P _ {i} ^ {\prime} = P _ {0} + 0. 5 R _ {i} ^ {\prime} + S _ {i} - Q _ {i} + T _ {i} \\ \sum_ {i \in A _ {j}} x _ {i j} \leq e _ {j} ^ {\prime} \\ \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} \leq 1, d (i, j) \leq r \\ x _ {i j _ {1}} t _ {j _ {1}} \geq x _ {i j _ {2}} t _ {j _ {2}}, \forall i \in V _ {j _ {1}} \cap V _ {j _ {2}} \\ A _ {j} \subset V _ {j} \\ \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} P _ {i} ^ {\prime} \leq C \\ i \in \{1, 2, \dots , n _ {1} \}, j \in \{1, 2, \dots , n _ {2} \} \end{array} \right. +$$ + +# 5.4.2 基于最大流的启发式算法[1] + +考虑到上述优化模型的约束条件比较复杂，一般的线性规划方法无法求解。为了求解最大任务完成数量，我们考虑到在每一个任务发布后，所有对该任务感兴趣的会员都可以对该任务发起请求。在这样的优化前提之下，我们可以将问题转化为一个网络流的最大流问题去求解。我们设计了一种基于最大流的启发式算法对模型进行求解，具体步骤如下： + +Step1: 计算 $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 的大致范围，设定初始温度 $T_{0}$ 、点每次移动一步的长度、迭代深度； + +Step2: 向 $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 随机投点，投点时删除会使总价格高出额定值的点； + +Step3：对集合中每个点向8个方向移动，并调用算法二计算其在新的位置的最大任务接单数，算法二步骤如下： + +-Step3.1：建图，为任务和会员添加相对应的点，并添加源点和汇点； + +-Step3.2：每个会员和汇点之间连一条边，边的流量是这个用户的任务分配限额，每个任务与源点之间连一条边，边的流量是1； + +- Step3.3: 每个会员 $i$ 和任务 $j$ 之间两两配对，计算会员 $i$ 对任务 $j$ 的满意度。如果会员 $i$ 对任务 $j$ 感到满意，那么就在会员 $i$ 和任务 $j$ 之间连一条边； + +-Step3.4：调用Dinic算法，计算源点到汇点之间的最大流； + +如果新的结果更好，则将新的节点添加进正在计算的点集合中，如果没有比原来的结果更好，则以概率P接受该结果； + +Step4: 当迭代深度超过一定的深度时，退出算法，输出最优解。 + +(算法介绍见附录一) + +# 5.4.3 求解结果 + +对上述算法，利用MATLAB编程（具体代码见附录二），得到现任务定价及完成情况表（部分），具体详见附件一。 + +表 5-3 原方案与现方案任务定价及完成情况表 + +
任务号码原定价原完成情况现定价现完成情况
A0022651651
A001265.5070.51
A0468800861
A0018660711
A000675077.51
A0450850871
A069365.5069.51
A0264670721
A0835851821
A0830851791
A0468800900
A0734750900
+ +表 5-4 原方案与现方案总定价和完成率情况表 + +
总定价任务平均定价完成率
原方案57641.568.8762.1%
现方案58732.670.1786.6%
+ +# 5.4.4 结果分析 + +考虑到深圳等地区的任务定价有一定的提高，使得现方案的总费用比原方案大约增加了 $1.9\%$ ，但现方案的任务完成率比原方案的任务完成率提高了 $24.5\%$ ，说明现方案比原方案大大提高了系统整体效益。 + +在(56000,76000)范围内随机改变初始设定的价格总和上限 $D$ ，求得在不同价格上限下任务完成数量的最大值，如下图所示： + +![](images/211469420a1d465e3e82eae9c3d01ec71bc45f4c47cb0499f52be62f17dcd17a.jpg) +图5-1 任务最大完成量与价格总和上限关系图 + +由上图可知，任务最大完成量与价格总和上限总体成正相关，价格上限较低，在56000~60000范围内，任务最大完成数量变化不大，在330件上下波动；价格在60000~71500范围内，任务最大完成数量随价格总和上限的提高而增加；价格上限较低，在71500~75000范围内，任务最大完成数量变化不大，在950件上下波动。 + +# 6 问题三的模型建立与求解 + +# 6.1 问题三的分析 + +APP 拍照任务定价问题是一个任务发布者（APP 平台）和任务完成者（会员）间双向决策问题。任务发布者希望在任务成本较小的情况下，任务的完成率尽可能的大，完成任务的时间尽可能的短；而作为任务完成者追求任务完成后的收益尽可能的大。分析问题一与问题二中任务的定价规律和任务完成情况，发现会存在下面的一些问题： + +（1）有些任务由于定价的不合理，或者是由于任务难度等其他原因不能达到所有会员的满意程度，导致该任务未被完成，影响到任务的完成率。 +（2）由于会员选择任务时不合理性，例如一个信誉高的会员选择多个项目，没有考虑到项目的分散程度，在完成任务过程中增加了成本而减少了收益。而对APP平台来讲，会导致任务完成的时间延长，甚至无法完成影响到任务的完成率。 + +为了解决这些问题，我们借助一般商品的打包销售原理，对问题一与问题二中任务的定价规律和模型进行优化，建立打包定价模型。 + +# 6.2 打包模型的建立 + +# 6.2.1 打包原则 + +（1）距离相近的任务（集中度较高的任务）应考虑打包发布； +（2）未完成的任务应尽量与自己距离相近的已完成的任务打包发布； +（3）距离相近的价格差比较大的任务应尽量考虑打包发布。 + +打包原则（1）可以有效提高任务的吸引力，节省会员完成任务的成本，缩短任务 + +完成的时间。某任务未完成的主要原因是由于该任务的吸引力达不到用户对该任务的满意度，若将直接将若干距离较近且未完成的任务打包，显然不能提高任务的吸引力，有效提高完成率。打包原则（2）、（3）能够提升那些吸引力较低或者吸引力达不到用户对该任务的满意度的任务的吸引力，提升任务的完成率。 + +# 6.2.2 二次打包模型 + +根据上述三条打包原则，建立二次打包模型如下： + +第一次打包：根据原则（1），集中度较高的已完成任务进行打包。设 $T$ 是所有任务集合， $T_{1}$ 是已被完成任务的集合， $d(i, j)$ 表示两点之间的直线距离，当 $T_{1}$ 中两点间的距离 $d(i, j) \leq r$ 时，两任务打包发布。 + +第二次打包：根据原则（1），（2），（3），针对未完成的任务进行分配。对于未完成的任务，我们考虑将它们分配到第一次打包完成后的任务包内，设第一次打包时将任务集 $T_{1}$ 划分成 $\{S_{1}, S_{2}, \dots, S_{l}\}$ ，定义任务点 $i$ 到集合 $S_{j}$ 的距离为 + +$$ +d (i, S _ {j}) = \min d (i, k), k \in S _ {j}. +$$ + +定义任务点 $i$ 与集合 $S_{j}$ 中任务的价格差为 + +$$ +\xi \left(i, S _ {j}\right) = \left| P _ {i} ^ {\prime} - \frac {\sum_ {k \in S _ {j}} P _ {k} ^ {\prime}}{\left| S _ {j} \right|} \right|. +$$ + +为简化模型，我们采用平均价格定义任务集合 $S_{j}^{\prime} = \{i\} \cup S_{j}$ 的满意度 + +$$ +\kappa_ {S _ {j} ^ {\prime}} = \frac {\sum_ {k \in S _ {j} ^ {\prime}} P _ {k} ^ {\prime}}{\left| S _ {j} \right| + 1}. +$$ + +综合上述三条原则，当任务点 $i$ 满足如下约束时，我们认为可以将未完成的任务 $i$ 打包分配到集合 $S_{j}$ ， + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} d (i, S _ {j}) = \min d (i, k) \leq d _ {0}, k \in S _ {j}, i \in T / T _ {1} \\ \kappa_ {S _ {j} ^ {\prime}} = \frac {\sum_ {k \in S _ {j} ^ {\prime}} P _ {k} ^ {\prime}}{| S _ {j} | + 1} \geq \kappa_ {0} \\ S _ {j} ^ {\prime} \leq N \end{array} \right. +$$ + +这里，我们取 $N = 5$ + +若上述两限制都满足时，将任务点 $i$ 合并到价格差最大的集合，即： + +$$ +\max \xi (i, S _ {j}) = \left| P _ {i} ^ {\prime} - \frac {\sum_ {k \in S _ {j}} P _ {k} ^ {\prime}}{\left| S _ {j} \right|} \right|. +$$ + +# 6.3 基于二次打包的定价与任务分配优化模型 + +对任务进行打包后，原先的任务点被合并成任务集合（也可以为单点集），我们对任务集合重新定义部分变量，其余均与模型二中相同。 + +$l$ 表示所有任务点划分成任务集合的个数； + +任务集合 $S_{i}^{\prime}$ 的定价为 $P_{S_i'}' = \frac{\sum_{j\in S_i'}P_j'}{|S_i'|};$ + +$\sum_{k \in S_i'} d(j, k)$ 用户 $j$ 到任务集合 $S_i'$ 的距离为 $d'(S_i', j) = \frac{\sum_{k \in S_i'} d(j, k)}{|S_i'|}$ ; + +用户 $j$ 对任务集合 $S_{i}^{\prime}$ 的满意度为 + +$$ +\kappa_ {S _ {i} ^ {\prime} j} ^ {\prime} = \frac {P _ {S _ {i} ^ {\prime}} ^ {\prime}}{c \cdot d ^ {\prime} \left(S _ {i} ^ {\prime} , j\right)}, +$$ + +其中， $\kappa_{S_i^{\prime}j}^{\prime}$ 为用户 $j$ 对任务集合 $i$ 的满意度。 + +建立衡量任务 $i$ 是否完成的可能性指标为 + +$$ +\kappa_ {S _ {i} ^ {\prime}} ^ {\prime} = \max \left\{\frac {P _ {S _ {i} ^ {\prime}} ^ {\prime}}{c \cdot d ^ {\prime} \left(S _ {i} ^ {\prime} , j\right)} \left(1 - \frac {Q _ {j}}{\operatorname* {m a x} Q _ {j}}\right) \Bigg | d \left(S _ {i} ^ {\prime}, j\right) \leq r ^ {\prime} \right\}. +$$ + +增加约束条件： + +会员 $j$ 接受了 $S_{i}^{\prime}$ 中的一项任务, 则集合 $S_{i}^{\prime}$ 应包含在会员 $j$ 完成的任务集中, 即: + +$$ +S _ {i} ^ {\prime} \subset A _ {j}. +$$ + +综上所述，建立优化模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \max \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} P _ {i} ^ {\prime} = P _ {0} + 0. 5 R _ {i} ^ {\prime} + S _ {i} - Q _ {i} + T _ {i} \\ \sum_ {i \in V _ {j}} x _ {i j} \leq 5 \\ \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} \leq 1, d (i, j) \leq r \\ x _ {i j _ {1}} t _ {j _ {1}} \geq x _ {i j _ {2}} t _ {j _ {2}}, \forall i \in V _ {j _ {1}} \cap V _ {j _ {2}} \\ A _ {j} \subset V _ {j} \\ S _ {i} ^ {\prime} \subset A _ {j} \\ \sum_ {i = 1} ^ {n _ {2}} P _ {i} ^ {\prime} \leq C \\ i \in \{1, 2, \dots , n _ {1} \}, j \in \{1, 2, \dots , n _ {2} \} \end{array} . \right. \\ \end{array} +$$ + +# 6.4 模型的求解 + +采用类似于问题二中启发式算法，得到部分任务定价及完成情况如下表（详细结果见附件一）： + +表 6-1 部分任务定价及完成情况表 + +
任务号码原方案定价原完成情况优化后定价现完成情况
A0026661661
A001265.50691
A0468800831
A0118690711
A021665.5165.51
A0452681671
A060365.5069.51
A0361670721
A0745831821
A0711861841
A0465800880
A0344750860
+ +表 6-2 打包前后总定价和完成率情况表 + +
总定价任务平均定价完成率
原方案57641.568.8762.1%
问题二方案58732.670.1786.6%
打包方案57698.368.9393.8%
+ +相比于问题二的方案，打包方案在总定价降低了 $1.79\%$ ，而它的任务完成率达到了 $93.8\%$ ，比问题二方案的任务完成率提高了 $7.2\%$ ，比原方案提高了 $31.7\%$ 。说明打包方案具有更高的系统整体效益。 + +# 7 问题四的模型建立与求解 + +# 7.1 问题分析 + +对于给定的任务地理位置和会员的分布情况，由于此时任务的难易程度未知，在问题三的定价模型中，舍弃了任务难易度因素，只利用会员密集程度、给定区域内任务集中程度、不同地区会员的期望值不同等因素不同建立了任务定价模型和任务分配模型。 + +# 7.2 模型的建立 + +不考虑任务难易度因素的定价模型如下： + +$$ +P _ {i} ^ {\prime} = P _ {0} + 0. 5 R _ {i} ^ {\prime} - Q _ {i} + T _ {i} +$$ + +任务分配优化模型如下： + +$$ +\begin{array}{c} \max \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} P _ {i} ^ {\prime} = P _ {0} + 0. 5 R _ {i} ^ {\prime} - Q _ {i} + T _ {i} \\ \sum_ {i \in V _ {j}} x _ {i j} \leq 5 \\ \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} x _ {i j} \leq 1, d (i, j) \leq r \\ x _ {i j _ {1}} t _ {j _ {1}} \geq x _ {i j _ {2}} t _ {j _ {2}}, \forall i \in V _ {j _ {1}} \cap V _ {j _ {2}} \\ A _ {j} \subset V _ {j} \\ S _ {i} ^ {\prime} \subset A _ {j} \\ \sum_ {i = 1} ^ {n _ {2}} P _ {i} ^ {\prime} \leq C \\ i \in \{1, 2, \dots , n _ {1} \}, j \in \{1, 2, \dots , n _ {2} \} \end{array} \right. \end{array} +$$ + +# 7.2 模型的求解 + +采用类似于问题二中启发式算法，得到部分新项目任务定价及完成情况如下表（详细结果见附件二）： + +表 7-1 新项目任务定价及完成情况表 + +
任务号码定价完成情况任务号码定价完成情况
C000266.51C048670.50
C001471.50C0510721
C001972.51C061577.51
C0044721C063966.51
C005174.51C123075.50
C006572.50C1548680
C0265771C168971.50
C027670.51C204979.51
+ +表 7-2 新项目总定价和完成情况统计表 + +
总定价任务平均定价完成任务数完成率
新项目149280.572.25146871.1%
+ +由于没有考虑任务的难易程度，所以在部分任务定价时会产生一定的偏差，进而影响到任务的完成率，所以该项目的任务完成率偏低，只有 $71.1\%$ 。为了克服这方面的缺陷，在实际应用过程中，我们可以通过多方面的渠道，提前获得任务的难易程度，建立更加合理准确的打分模型。 + +# 8模型的评价 + +# 8.1 模型的优点 + +（1）定性定量分析了各个参数对任务定价的影响，并设置了扰动参数，合理地解释附件一中所给的数据； +（2）考虑了会员集中度、任务集中度、任务难易程度等因素和不同城市会员满意度的影响，分别建立了任务定价模型和任务分配优化模型； +（3）建立了二次打包模型，给出的打包原则较好地解决了问题一、问题二中任务未完成的情况。 +（4）本文采用的启发式算法计算精度高、运算时间短。 + +# 8.2 模型的缺点 + +问题四中没有考虑任务的难易程度，在部分任务定价时会产生一定的偏差，进而影响到任务的完成率。 + +# 参考文献 + +[1] 司守奎, 孙兆亮, 孙玺菁. 数学建模算法与应用[M]. 国防工业出版社, 2015. +[2] 张佳彤. 打车软件参与下出租车动态定价策略研究[J]. 唐山学院学报，2016, 29(6):78-84. + +# 附录 + +# 附录一：基于最大流的启发式算法介绍 + +考虑该优化模型是在多约束情况下求解某个最优目标，因而为得到最优解且搜索速度快，我们采用模拟退化算法进行求解。为确定定价，我们需要求解修正系数 $\delta_{i} = \alpha_{1}\rho_{i}^{1} + \alpha_{2}\rho_{i}^{2} + \alpha_{3}\overline{Q}_{i}$ 中的 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 。将这三个值视为三维空间中的一个点 $(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ ，在 $(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ 的可行范围内均匀投点作为该算法的起始点。在每次迭代中，每个点都可以往8个方向进行一个步数的移动，每次移动后计算在该情况下的最大任务完成数量。如果得到的结果比原先的结果好，我们就接受这个结果，如果没有比原先更好，我们就以一定概率接受这个结果。这里我们设定当新的值不如旧的值好时，概率函数为 + +$$ +P (x ^ {\prime}, x _ {0}) = - \frac {(f (x ^ {\prime}) - f (x _ {0}))}{T _ {0}} +$$ + +为了求解最大任务完成数量，我们设计最大交易数求解算法。我们考虑在每一个任务发布的过程后会有一段公示期，所有对该任务感兴趣的人都可以对该任务发起请求，公示期后，发布任务的公司会根据自己的业务需求选择将任务分配给一些用户。在这样的优化前提之下，我们可以将问题转化为一个网络流的最大流问题去求解。 + +将每个会员和任务都视为图中的一个点，如果会员 $i$ 对任务 $j$ 感到满意，则发起请求。于是我们在会员 $i$ 和任务 $j$ 之间连一条边，同时添加一个超级源点和一个超级汇点，如下图： + +![](images/01939cd648decb1748ed43e4eb62353f4ef98707128e09149104471497d35411.jpg) +最大交易数求解算法示意图 + +# 附录二：基于最大流的启发式算法代码 + +include + +include + +include + +include + +using namespace std; + +//********** + +// 求解网络流最大流的Dinic算法 + +```txt +const int INF=0x3f3f3f3f; +const int MAXN=100+100000;//点数的最大值 +const int MAXM=100+200000;//边数的最大值 +``` + +```txt +struct Node { + int from, to, next; + int cap; +} edge[MAXM]; +int tol; +``` + +```txt +int dep[MAXN];//dep为点的层次 int head[MAXN]; +``` + +```javascript +int n; +void init(){tol=0;memset(head,-1,sizeof(head));} +void addedge(int u,int v,int w){//第一条变下标必须为偶数edge[tol].from=u;edge[tol].to=v;edge[tol].cap=w;edge[tol].next=head[u];head[u]=tol++;edge[tol].from=v;edge[tol].to=u;edge[tol].cap=w;edge[tol].next=head[v];head[v]=tol++; +``` + +int BFS(int start,int end){ int que[MAXN]; int front,rear; front $\equiv$ rear $= 0$ . memset(dep,-1,sizeof(dep)); que[rear $+ + ] =$ start; dep[start] $\coloneqq 0$ while(front! $\equiv$ rear){ int u $\equiv$ que[front $+ + ]$ . if(front $\equiv$ MAXN)front $= 0$ . for(int i=head[u];i $! = -1$ ;i $\equiv$ edge[i].next){ int v $\equiv$ edge[i].to; if(edge[i].cap>0&&dep[v] $\equiv - 1$ ){ + +dep[v]=dep[u]+1;que[rear $+ + ] = \mathrm{v}$ if(rear $> =$ MAXN)rear=0;if(v==end)return 1;1}1return0;int dinic(int start,int end){int res $= 0$ int top;int stack[MAXN]://stack为栈，存储当前增广路int cur[MAXN]://存储当前点的后继while(BFS(start,end)){memcpy(cur,head,sizeof(head));int u $\equiv$ start;top $= 0$ while(1){if(u==end){int min $\equiv$ INF;int loc;for(int i=0;iedge[stack[i]].cap){min $\equiv$ edge[stack[i]].cap;loc $\equiv$ i;1for(int i=0;i users; +``` + +```c +typedef pair Range; +struct Ans{ + Ans(){} + Ans(double_a1, double_a2, double_a3){ + a[0] = _a1; + a[1] = _a2; + a[2] = _a3; + } + double a[3]; +}; +Range ansrange; +``` + +```txt +int n, m; +double getPrice(const Ans& ans, const Task& task) { + double ret = 70; + for (int i = 0; i < 3; i++) { + ret += ans[i].a[i]*task[i].p[i]; + } + return ret; +``` + +```txt +} double myrand(int range){ return double rand( \)\%$ range)/range; } +``` + +double Countsatisfaction(){ //计算用户满意度的函数，因为两个模型在这里有不同的表现，所以这里留空 + +```txt +} +``` + +double ThresholdValue = 300; // 用户接受一个任务的阈值，这里设置为 300 + +double step = 1; //任务变化的过程中每次向四周行走的距离 + +int getPerformance(Task task){ int src $= 0$ ,dest $= \mathrm{m + n + 1}$ init();//初始化建图 for(int $\mathrm{i} = 0$ ;i $<$ task.size(；i++) addedge(src,i,1); for(int $\mathrm{j} = 0$ ;j $<$ task[i].user_vct.size(；i++){ if(Countsatisfaction()>ThresholdValue){ addedge(i,n+task[i].user[j],1); } } for(int $\mathrm{j} = 0$ ;j $< \mathrm{m};\mathrm{j} + + )$ { addedge(task.size(),dest, user[j].tasklimit); } return dinic(src,dest); +} +int dx[] $= \{-1,1,0,0,0,0\}$ . int dy[] $= \{0,0,-1,1,0,0\}$ . int dz[] $= \{0,0,0,0,-1,1\}$ . void SA(double){ double $\mathrm{T} = 1$ ： vectorhost,guest; for(int $\mathrm{i} = 0$ ;i $< 1000$ ;i++){//初始化解 Ans tmp; for(int $\mathrm{j} = 0$ ;j $< 3$ ;j++){ tmp[j] $=$ (ansrange[j].second - ans[j].first)*rand(1000)+ansrange[j].first: } host.push_back(tmp); + +} double e $=$ .00000001; double at $= 0.999$ double L $= 20000$ for (int $\mathrm{i} = 0$ ; $\mathrm{i} < \mathrm{L}$ ; $\mathrm{i + + })\{$ guest.clear(); for (int $\mathrm{k} = 0$ ; $\mathrm{k} < \mathrm{host.size()};\mathrm{k + + })$ const Task& cur $=$ host[k]; int cur_v $=$ getPerformance(cur); for (int $\mathrm{j} = 0$ ; $\mathrm{j} < 6$ ; $\mathrm{j + + })\{$ Task& newtask; newtask.p[0] $+ =$ dx[j]*step; newtask.p[1] $+ =$ dy[j]*step; newtask.p[2] $+ =$ dz[j]*step; int new_performance $=$ getPerformance(newtask); if (new_performance $>$ cur_v) guest.push_back(newtask); else if (exp(cur_v - new_performance)/T > myrand(1000)){ host.push_back(newtask); } } } +} typedef pair pir; int main(){ srand(time(O)); std::ios::sync_with_std(false);cin.tie(O); cin >> n >> m; //读入任务的数据，以及总人数 for (int i $= 0$ ; $\mathrm{i} < \mathrm{n};\mathrm{i} + + )\{$ Task tmp; for (int j $= 0$ ; $\mathrm{j} < 3$ ; $\mathrm{j + + })\{$ cin >>tmp.p[j]; } tasks.push_back(tmp); int m; cin >> m; //读取在该任务一定范围内用户的数据，该数据由另一个程序 处理得到。 tmp.user_vct.clear(); for (int i $= 0$ ; $\mathrm{i} < \mathrm{m};\mathrm{i} + + )\{$ User usertmp; cin >> usertmp.id >> usertmp.tasks >> usertmp.credits; tmp.user_vct.push_backusertmp); } } for (int i $= 0$ ; $\mathrm{i} < 3$ ; $\mathrm{i + + })\{$ cin >> ansrange[i].first >> ansrange[i].second; + +```txt +} return 0; } +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/C002/C002.md b/MCM_CN/2017/C002/C002.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..074e6d0b1eacfc46fd692a187cfb7ca8f910eb9c --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/C002/C002.md @@ -0,0 +1,520 @@ +# 颜色读数辨识物质浓度 + +# 摘要 + +本文为了精准确定待测物质的浓度档位，试确立颜色读数和物质浓度的数量关系模型。针对问题一：颜色读数和物质浓度之间的关系，根据所给数据，将各种物质的实验结果绘制成色卡，直接观察颜色。发现颜色的变化与浓度的改变有关联。随后处理数据并用EXCEL绘出颜色读数与浓度的折线图，从图可观察出其颜色读数与浓度是有相关性。经过相关性分析发现有些物质RGB有很强的自相关性，因此我们引入灰度来代替原数据中的RGB。得出组胺与溴酸钾两种物质的浓度与灰度有相关性，其余三种没有相关性。将组胺与溴酸钾的浓度与灰度进行一元线性回归，结果如下：组胺：浓度 $= -3.038*$ 灰度 $+327.8$ ；溴酸钾：浓度 $= -5.298*$ 灰度 $+732.481$ ；工业碱的数据中浓度为0到7的数据变化极差为3，所以去除了浓度为0的数据组重新进行相关性分析，结果显示工业碱浓度与所有数据相关。将工业碱浓度与灰度导入SPSS进行一元线性回归，结果如下：浓度 $= -0.036*$ 灰度 $+12.931$ （灰度<140）经过分析，硫酸铝钾的颜色读数与浓度只在是否存在该物质时存在差异，将浓度设置为存在或不存在，导入SPSS与灰度进行相关性分析，显示两者有相关性。奶中尿素的数据经过分析只有B与浓度有相关性，将浓度与B导入SPSS进行一元线性回归，结果如下：浓度 $= -112.475*B + 13571.908$ （B<140）建立“三准则”分别判断实验数据的准确性。一、RGB2HS吻合度，利用RGB与HS关系检验每条数据准确性；二、同物同浓下变异系数，检查同物质同浓度下数据是否稳定；三、同物异浓离散度分析，检查同物质不同浓度下颜色读数是否存在差异。 + +针对问题二：首先对附件二中的数据进行检验，绘制色卡进行观察，发现HS的数值有很大误差，同种浓度下RGB变化极小。经过计算发现HS的数值相反。更正之后取同种浓度下数据的平均值经计算出平均值的灰度。绘制折线图，发现颜色读数与浓度间存在较小关系。将数据导入SPSS进行相关性分析，确定颜色读数与浓度间存在相关性。之后对RGB进行相关性分析，发现有很强的自相关性。因此我们取灰度与浓度的数据导入MATLAB进行一元线性回归，得到结果为：浓度 $= -3.612* (0.2989*R + 0.587*G + 0.114*B) + 515.3$ ，并发现模型误差较大，后建立多元Logit模型和指数模型浓度 $= 1.653 * 10^{7} * e^{(-0.1032*灰度)}$ 进行修正，发现误差得到极大改善可初步用于实际。 + +针对问题三：分别说明数据量和颜色维度对模型的影响。数据量分析取数量性差较大的工业碱和硫酸铝钾进行分析。工业碱的数值较少，所以数据的准确性很难检验，异常值不易发现，影响模型准确性。硫酸铝钾的数据较多，易检验准确性，但异常值出现几率大，处理不当会对模型会有很大影响。5种颜色维度由于数据错误不全，单位不全，对模型有很大影响。随着颜色维度数据的增多，模型会更加稳定准确。 + +关键词：比色法 RGB与HSV 变异系数 相关性分析 灰度 + +# 一、问题重述 + +比色法是常用的物质浓度检测法，由于不同人对颜色的敏感度不同，使得结果精度受到很大影响。随着照相技术的提高，比色法的使用日趋精准。要求通过照片中的颜色读数，建立与物质浓度间的数量关系，获得待测物质更准确的浓度。 + +# 1.1 问题一 + +(1) 通过附件 1 所给出的 5 组数据确定各物质颜色读数与物质浓度的关系。 +(2) 给出评价标准并评价已知数据的精准程度。 + +# 1.2 问题二 + +(1) 通过附件2所给出的数据，建立颜色读数与浓度间的模型 +（2）对（1）中建立的模型进行误差分析 + +# 1.3 问题三 + +(1) 分析数据量对模型的影响 +(2) 分析颜色维度对模型的影响 + +# 二、问题假设 + +（1）假设R、G、B、H、S的读数未受主观因素影响 +(2) 不考虑物质杂质对浓度（ppm）的影响 + +# 三、符号说明 + +
符号含义
V颜色亮度
S饱和度
H色调
R红色颜色值
G绿色颜色值
B蓝色颜色值
HD颜色灰度
R'归一化红色颜色值
G'归一化绿色颜色值
B'归一化蓝色颜色值
S'通过归一化后的颜色值带入模型中计算出的饱和度(0-1)
S"通过归一化后的颜色值带入模型中计算出的饱和度(0-255)
H'通过R、G、B值计算出的亮度
E1原数据饱和度与计算数据饱和度之差
E2原数据亮度与计算数据亮度之差
SD相同物质的R、G、B、H、S的标准差
N数据的数量
Xi每一分类的具体数值
X̄每一分类的平均数
C.v变异系数
Me总体的平均数
RMSE均方根误差
+ +# 四、问题分析 + +首先我们需要查找文献学习颜色RBG与HSV等专业术语的知识，为后续分析做准备。 + +# 4.1 问题一分析 + +问题需判断每种物质每次实验的颜色读数与物质浓度之间的关系，由于颜色读数由RGB值构成，所以我们队首先将各组RGB值录入MATLAB，用数据绘制出色卡。将各组色卡进行比较，可直观的观察到实验中每组颜色与浓度之间的关系。之后将附件1的各组数据进行分组处理分析，绘制关于颜色与浓度之间的折线图，最后再将数据导入SPSS进行相关性分析，找出颜色与浓度关系，并建立数学模型，给出实验数据优劣的评价准则，并评价五组数据优劣。 + +自行建立准则，对已知数据进行评估。考虑该附件没有明确指明各数值的单位以及转换方式，所以针对此问题我们建立了关于RGB与HS的数学模型，通过模型的计算求解可得出一个准确的计算数值，然后将原数组与计算数组进行对比观察误差。 + +# 4.2 问题二分析 + +# 4.2.1 + +问题需要根据附件二中的数据，建立颜色读数与物质浓度间的模型。先对数据进行检验。绘制色卡进行观察。取同种浓度下颜色读数的平均值，绘制折线图并导入 SPSS 进行相关性分析。计算出平均颜色读数的灰度，做灰度与浓度间的折线图和相关性分析。之后导入 MATLAB 中进行拟合，得到模型。 + +# 4.2.2 + +问题需要将回归出的模型进行误差分析，将其导入MATLAB中进行绘图分析。 + +# 4.3 问题三分析 + +# 4.3.1 + +问题要求讨论数据量对模型的影响，取附件1中数据量差距最大的工业碱和硫酸铝钾分别进行分析。 + +# 4.3.2 + +问题要求讨论颜色维度对模型的影响，根据附件中颜色体系的数目多少及完整性对模型的影响进行分析。 + +# 五、模型建立与求解 + +根据参考文献[1]基于三刺激理论，我们的眼睛通过光对视网膜的锥状细胞中的三种视色素的刺激来感受颜色。这三种色素分别对波长为 $630\mathrm{nm}$ （R）、 $530\mathrm{nm}$ （G）和 $450\mathrm{nm}$ （B）的光最敏感。通过对光源中的强度进行比较，我们感受到光的颜色。这种视觉理论是使用三种颜色基色：红、绿和蓝在视频监视器上显示彩色的基础，称为RGB颜色模型。除由了一组基色的表示方法，HSV模型使用对用户更直观的颜色描述方法。为了给出一组颜色描述，用户需选择一种光谱色并加入一定量白色和黑色来获得不同的明暗、色泽和色调。这个模型的颜色参数的色彩（H）、色彩饱和度（S）和明度值（V）。HSV模型的三维表示从RGB立方体演变而来于RGB和HSV是可以相互转换的，所以我们分析问题时主要用RGB分析物质浓度用HS进行检验，在文献中RBG和HSV转化的公式如下： + +$$ +V = \max (R, G, B) +$$ + +$$ +\begin{array}{l} S = \left\{ \begin{array}{l l} V - \frac {\min (R , G , B)}{V} & \text {i f} V \neq 0 \\ 0 & \text {o t h e r w i s e} \end{array} \right. \\ \mathrm {H} = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {6 0 (\mathrm {G} - \mathrm {B})}{\mathrm {V} - \min (\mathrm {R} , \mathrm {G} , \mathrm {B})} & \text {i f V = R} \\ 1 2 0 + \frac {6 0 (\mathrm {B} - \mathrm {R})}{(\mathrm {V} - \min (\mathrm {R} , \mathrm {G} , \mathrm {B}))} & \text {i f V = G} \\ 2 4 0 + \frac {6 0 (\mathrm {R} - \mathrm {G})}{\mathrm {V} - \min (\mathrm {R} , \mathrm {G} , \mathrm {B})} & \text {i f V = B} \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +$$ +V \in [ 0, \quad , S \in [ 0, 1 ], H \in [ 0, 3 6 0 ] +$$ + +在后续分析中，我们发现文献中的这个公式的取值范围和题目所给不同，甚至 H 和 S 的维度交换，在下面分析建模中我们将详细指出。 + +# 5.1 问题一模型的建立及求解 + +# 5.1.1 模型建立思路 + +![](images/ab564ac7d7bf8aede59fd1661d283abbb8a42b161436bc9fe4e2be11f3e6dca2.jpg) + +# 5.1.2 问题一的分析求解 + +# 5.1.2.1 画色卡观察物质浓度间关系 + +在题目附件1中提供了5种物质的在不同浓度下的颜色读数R、G、B、S、H。将每种物质每次测量的RGB数值转换为颜色后绘制色卡，清楚直观的看出颜色读数与物质浓度之间关系。因数据众多，为了方便制图，我们选择用MATLAB软件绘制（详细程序见附录）。在MATLAB中有一套自己的颜色数值标准，RGB色彩模式的强度值为0~255，而在MATLAB中RGB的强度值为0~1，所以在程序(见附录)中要把数值转换。由此我们得出了相对应的色卡，再用ADOBEPHOTOSHOP进行整合以便对比。五种物质在不同浓度下的各次读数整理后如下图： + +![](images/8de1d75ed5e55902f8e7becfc8bdce50e21713da872b517848442cc7908cac83.jpg) + +![](images/5e847fccdb273d720fd094807d8d2a950f8c2a3aeeb325810f64405bff7ad2e0.jpg) + +![](images/3eb2700183c54dd1fa11ee69771d3d192bff11d98df5b725b1d2641278c2f8c3.jpg) + +![](images/cef16904a34682e50df614d5dd220cf5423a8a06afabaf5bf71019cae99e63ad.jpg) + +![](images/ac5ad3ac11d9647cd33058735fe997ee93a503c5c27a92f535f23eb7bae24c57.jpg) + +根据上图可得知组胺、溴酸钾的颜色物质浓度关系明显，工业碱在浓度 $8\mathrm{ppm}$ 以后颜色和浓度关系明显，而硫酸铝钾在0浓度和其他的浓度的差异比较明显， + +而0.5至 $5\mathrm{ppm}$ 的颜色差异并不明显，而奶中尿素从肉眼上看颜色差异并不明显。 + +# 5.1.2.2 绘制浓度与颜色读数关系的折线图 + +将同一种物质不同浓度的数据进行分组，其中以组胺数据为例，整理后如下表（1），其他数据做相同处理见附件（1）。 + +
组胺浓度BGRHS
组一06811012123111
12.56610211820112
25629912019122
50468711716155
100376611012169
组二06511012024115
12.56410111820115
25609912019126
50468711816153
100356410911172
+ +之后将每个小组的数据分别绘制成折线图，可以观察颜色读数与浓度间的关系。组一如图（1），组二如图（2）。 + +![](images/1599b23a32f2d110aba48f665d407f0ade1c4b8e35c8e72fffbf270fbb13eb17.jpg) +组胺-1 +图1 + +![](images/15fc29ee747973539fdec5f3bb09c67d37deeb7ded1621c01935b9390b21b8ce.jpg) +组胺-2 +图2 + +由图（1）和图（2），可观察出颜色读数在随着物质浓度而变化。可以初步认为组胺物质浓度与颜色读数间存在某种关系。同理，可以得到其他颜色读数与物质浓度的折线图如下表。我们发现组胺、溴酸钾在有两个颜色读数变化趋势明显，工业碱的在溶液 ppm 较高的时候读数变化明显，硫酸铝钾在 ppm 较低的时候变化明显，而奶中尿素在差异为 0-2000 的 ppm 中颜色读数差异较小。 + +表1 + +
溴酸钾溴酸钾-1
800
250
200
+ +
硫酸铝钾硫酸铝钾-1 +250 +200 +150 +100 +50 +0 +0.5 +1 +1.5 +2 +5 +H +S硫酸铝钾-2 +250 +200 +150 +100 +50 +0 +0.5 +1 +1.5 +2 +5 +H +S硫酸铝钾-3 +200 +180 +160 +140 +120 +100 +80 +70 +60 +50 +40 +30 +20 +10 +8 +7 +5
硫酸铝钾-4 +250 +200 +150 +100 +50 +0 +0.5 +1 +1.5 +2 +5 +H +S硫酸铝钾-5 +250 +200 +150 +100 +50 +0 +0.5 +1 +1.5 +2 +5 +H +S硫酸铝钾-6 +250 +200 +150 +100 +50 +0 +0.5 +1 +1.5 +2 +5 +H +S
奶中尿素奶中尿素-1 +160 +140 +120 +100 +80 +60 +40 +30 +20 +0 +0.500 +1000 +1500 +2000 +2500 +…B→G→R→H→S奶中尿素-2 +160 +140 +120 +100 +80 +60 +40 +30 +20 +0 +0.500 +1000 +1500 +2000 +2500 +…B→G→R→H→S奶中尿素-3 +160 +140 +120 +100 +80 +60 +40 +30 +20 +0 +0.500 +1000 +1500 +2000 +2500
+ +将整理后数据导入 SPSS 中，运用皮尔逊分析法对数据进行相关性分析，可得出皮尔逊相关系数和显著性如下表 + +
物质实验组数类型BGRHS
组胺1皮尔逊相关性-0.970-0.998-0.951-0.9830.955
显著性0.0060.0000.0130.0030.011
2皮尔逊相关性-0.981-0.997-0.914-0.9780.974
显著性0.0030.0000.0300.0040.005
溴酸钾1皮尔逊相关性-0.952-0.862-0.1770.6860.948
显著性0.0120.0600.7760.2010.014
2皮尔逊相关性-0.960-0.875-0.1520.7220.957
显著性0.0090.0520.8070.1690.011
奶中尿素1皮尔逊相关性-0.8680.6390.6260.6060.946
显著性0.0570.2460.2590.2780.015
2皮尔逊相关性-0.949-0.578-0.5850.6460.840
显著性0.0140.3080.3000.2390.075
3皮尔逊相关性-0.9090.000-0.2890.7410.910
显著性0.0331.0000.6380.1520.032
硫酸铝钾1皮尔逊相关性0.579-0.694-0.6110.4950.586
显著性0.2290.1260.1980.3180.222
2皮尔逊相关性0.552-0.642-0.5950.4870.575
显著性0.2570.1700.2120.3270.233
3皮尔逊相关性0.586-0.480-0.6150.4970.608
显著性0.2210.3350.1940.3160.200
4皮尔逊相关性0.550-0.571-0.5890.4860.589
显著性0.2590.2360.2180.3280.219
5皮尔逊相关性0.676-0.7890.7420.5720.711
显著性0.1410.0620.0910.2350.113
6皮尔逊相关性0.702-0.681-0.6390.5350.644
显著性0.1200.1360.1720.2740.167
工业碱1皮尔逊相关性-0.491-0.664-0.6240.7080.658
显著性0.2640.1040.1340.0750.108
+ +由上表可以确定组胺的颜色读数中的 R、G、B、H、S 都与浓度有很强的相关；溴酸钾的颜色读数中的 B、S 与浓度有较高的相关性；奶中尿素的颜色读数 R、S 与浓度有相关性，硫酸铝钾的颜色读数与浓度没有相关性。工业碱的皮尔逊系数和显著性表明没有相关性，而直观的从图可观察出其颜色读数与浓度是有相关性的，再者上述 RGB 颜色读数本身也具有自相关性，因此我们下面进行详细分析。 + +# 5.1.2.3灰度分析 + +虽然我们发现有些物质颜色读书 RGB 与浓度有相关关系，当颜色读数 RGB 具有自相关性时，不能直接用 RGB 三个变量直接所为自变量与浓度进行回归分析，在图形学中，灰度具有很高的识别度，在医学中 CT 等更是由于识别度高等原因一直使用灰度照片。因此，我们这里选用利用 RGB 灰度这个值来代替 RGB 读数。根据文献[2]我们得到方法计算灰度，公式如下 $\mathrm{HD} = 0.2989\mathrm{R} + 0.587\mathrm{G} + 0.114\mathrm{B}$ 。各物质平均浓度、灰度及其相关性如下： + +
物质浓度灰度相关性p值物质浓度灰度相关性p值
组胺0108.17-0.9970硫酸铝钾0117.63-0.6780.139
12.5102.260.5101.00
25100.941100.36
5091.431.598.88
10074.99292.04
溴酸钾0140.61-0.9470.015593.44
12.5134.59奶中尿素0270.1721-0.2040.742
25131.54500268.2063
50126.881000263.6968
100122.211500265.7953
工业碱0140.14-0.6620.1052000269.627
7.34139.08
8.14140.32
8.74129.93
9.19103.52
10.1862.37
11.841.44
+ +即：组胺和溴酸钾的浓度都与灰度有显著相关关系。 + +# 5.1.3 各物质颜色度数与浓度关系 + +# 5.1.3.1 组胺颜色读数与浓度关系 + +我们看到这两组颜色读数 RGB 差异很小，最大极差绝对值为 3，因此这里选用他们颜色读数的平均值来讨论，由于这组数据 RGB 自相关性较大两两相关性分别为：0.968431204、0.87053481、0.94458497；因此选用灰度作为自变量，对浓度进行一元线性回归得到： + +$y = -3.038x + 327.8$ ，该方程 $p$ 值小于0.05，说明该方程显著，回归系数 $p$ 值也小于0.05，说明回归系数显著。 + +![](images/8d61bbc40b716753ab929820b25814a4b0ec04c081fa80c4cdd25a6724094d0f.jpg) + +即：浓度 $= -3.038(0.2989\mathrm{R} + 0.587\mathrm{G} + 0.114\mathrm{B}) + 327.8$ ，浓度与灰度负相关，与RGB读数都负相关。 + +# 5.1.3.2 溴酸钾颜色读数与浓度关系 + +我们看到这两组颜色读数 RGB 差异很小，最大极差绝对值为 2，因此这里选用他们颜色度数的平均值来讨论，在上述分析中我们发现这组从肉眼上看，其实随着浓度的变化颜色变化比较明显，但是从颜色读数上来说只有 B 与浓度有显著相关性，可能是因为其他颜色维度变化不大，由于这组数据 RGB 自相关性有一对较大分别为 0.897990569, 0.07348246, 0.45569145，因此选用灰度作为自变量，对浓度进行一元线性回归得到： + +$y = -5.298x + 732.481$ ，该方程 $R = 0.947$ ，p值小于0.05，说明该方程显著，回归系数 $p$ 值也小于0.05，说明回归系数显著。 + +![](images/4536a1f0dbc926ebc6a0a813128f1bee84cd44f17d08ea8d9f7b46643b20612f.jpg) + +即：浓度 $= -5.298(0.2989\mathrm{R} + 0.587\mathrm{G} + 0.114\mathrm{B}) + 732.481$ 浓度与灰度负相关，与RGB读数都负相关。 + +# 5.1.3.3 工业碱与浓度关系 + +经过观察图像发现工业碱的颜色读数与浓度存在一定关系。但通过皮尔逊分析法和显著性的检验，显示两者没有相关性。我们继续分析，浓度为0与浓度7的色彩读数变化较小极差仅为3，7以上颜色读数变化明显。所以除去浓度为0的一组数据，重新进行计算。我们看到这两组颜色读数RGB差异很小，最大极差绝对值为2，因此这里选用他们颜色读数的平均值来讨论，绘制折线图如图（3） + +![](images/ffaebb9ae8e7efe77a32c1cd4691e994da42ba89332dd8c5e7d22b363809504c.jpg) +图3 + +将数据导入 SPSS 进行相关性分析如表（2） + +
物质类型BGRHS灰度
工业碱皮尔逊相关性-0.865-0.941-0.9410.9130.940-0.958
显著性.0260.0050.0050.0110.0050.003
+ +根据图中的皮尔逊相关性与显著性可以确定，工业碱的颜色读数与浓度间有相关性。计算浓度与灰度相关性为0.958及RGB读数自相关分别为0.833724，0.86190527，0.874326497，因此选用灰度作为自变量，对浓度进行一元线性回归得到： + +$y = -0.036x + 12.931$ （ $x < 140$ ），该方程 $R = 0.95$ ，p值小于0.05，说明该方程显著，回归系数 $p$ 值也小于0.05，说明回归系数显著。 + +![](images/8bb541fcc3df7675b1cf33340273280fbe96a19aee1df49c4984f070f06a92b0.jpg) +即：浓度 $= -0.036(0.2989\mathrm{R} + 0.587\mathrm{G} + 0.114\mathrm{B}) + 12.931(0.2989\mathrm{R} + 0.587\mathrm{G} + 0.114\mathrm{B} < 140)$ 浓度与灰度负相关，与RGB读数都负相关。 + +# 5.1.3.4 硫酸铝钾与浓度关系 + +硫酸铝钾这组数据比较特殊，每一种的读数差异比较大，但是实际颜色不算大，因此我们也只能选用平均值作为讨论数据，观察图像发现工业碱的颜色读数与浓度存在一定关系。但通过皮尔逊分析法和显著性的检验，显示浓度与各组读书及其平均值（参见附录）都没有显著相关性。我们继续分析，硫酸铝钾的色彩读数随浓度变化小，只在有浓度和浓度为零间有明显差异。将浓度为0的颜色读数与有浓度的颜色读数进行相关性分析，结果如下表： + +表2 + +
物质实验组数类型BGRHS
硫酸铝钾平均皮尔逊相关性0.874-0.745-0.9050.9860.919
显著性0.0000.0010.0020.0030.004
+ +根据所得的皮尔逊相关系数和显著性，可以确定硫酸铝钾的颜色读数可以确定溶液中是否含有该物质，RGB自相关性如下：0.920829968，-0.81369431，-0.94515598，因此可用灰度直接分辨溶液中该物质浓度是否大于 $0.5\mathrm{ppm}$ ，即：灰度<100时，溶液中物质大于 $0.5\mathrm{ppm}$ 。 + +# 5.1.3.5 奶中尿素与浓度关系 + +奶中尿素从肉眼上看颜色差异并不明显，而观察折线图奶中尿素在差异为0-2000的ppm中颜色读数差异较小。但是在相关性分析中我们发现浓度与RGB中B具有显著相关性而与灰度的相关性也较差。根据文献[3]这可能是因为肉眼在该颜色的辨别能力比较差导致，因此以颜色读数B为自变量进行一元线性回归，得到： + +$y = -112.475x + 13571.908$ （ $x < 140$ ），该方程 $R = 0.892$ ， $p$ 值小于 0.05，说明该方程显著，回归系数 $p$ 值也小于 0.05，说明回归系数显著。 + +即：浓度 $= -112.475\mathrm{B} + 13571.908$ ，浓度与B读数负相关。 + +![](images/3e439390c03408ec05ed551278a91b5406674ae034de41ecb9706667e2bbf460.jpg) + +# 5.1.4 建立数据评价准则 + +# 5.1.4.1 评价准则1——RGB2HS吻合度（检验每一条数据的准确性） + +RGB 与 HS 分别属于两种不同的颜色判定的体系，通过 RGB 与 HSV 模型之间的转换的公式，将每组数据中 R、G、B 的值变换到对应的 S、H、V 的值，并与附件 1 中 S、H 原始数据相比较求出误差。并定义吻合度为：饱和度吻合度 = + +$\left(1 - \frac{\sum_{n=1}^{|\{S - S^{\prime\prime}\}|}}{n}\right) * 100\%$ ，色调吻合度 $= \left(1 - \frac{\sum_{n=1}^{|\{S - S^{\prime\prime}\}|}}{n}\right) * 100\%$ ，即1—误差绝对值除以原数据的和。吻合度越接近1表示该条数据正确性越高。通过模型公式解得V、S'数值： + +我们通过查阅文献[1]得知HSV颜色模型是根据颜色的直观特性创建的一种颜色空间。这个模型中颜色的参数分别是：色调（H)，饱和度（S)，明度（V)，其中H用角度度量，可视为一个圆形，取值范围为 $0^{\circ}\sim 360^{\circ}$ ，从红色开始按逆时针方向计算，红色为 $0^{\circ}$ ，绿色为 $120^{\circ}$ ,蓝色为 $240^{\circ}$ 。以data2的二氧化硫数据为例，我们计算得出的二氧化硫颜色读数H分布在 $270^{\circ}\sim 287^{\circ}$ ，而附件2中读数H分布在 $135^{\circ}\sim 141^{\circ}$ 显然不是[0,360)的取值范围而是[0,180)，因此我们认为原始数据中H的取值范围为 $0^{\circ}\sim 180$ ，如图： + +![](images/a92c596ea39fac3eb0e3c2eee5fc2064383cf1d903b0d162ecba5490b349976b.jpg) + +![](images/fb412e234093b295b47a72fd12cf507bda6590e40cab4ac6a078529ebc8236ee.jpg) + +因此计算得出的 H 数值乘以 $\frac{1}{2}$ 再与原始数据比较。再者由于原始数据和计算数据的定义域不同，导致无法进行直观比较，发现原数据与计算数值如下关系： $S'' = S' * 255$ 。因此可得如下计算表(计算过程见附件[2]）： + +
S吻合度H吻合度
组胺99.11%96.18%
溴酸钾98.94%98.06%
工业碱98.25%93.49%
硫酸铝钾99.17%91.64%
奶中尿素98.27%97.91%
+ +结论：五种物质实验数据记录都比较准确，但是更加准确的是组胺、溴酸钾和奶中尿素。 + +# 5.1.4.2 评价准则2一同物同浓下变异系数（检验相同物质ppm下数据稳定度） + +对实验数据准确性的评估，将同种物质，在相同浓度下的R、G、B数值应该 + +相对稳定，利用数据变异系数 $C_{\mathrm{v}} = \frac{SD}{Me} * 100\% = \frac{\sqrt{\frac{1}{N - 1}\sum_{i = 1}^{N}(X_i - \bar{X})^2}}{Me} * 100\%$ ，建立准则2：以组胺为例，将同种浓度数据整理，之后把数据代入模型中求出标准差SD 变异系数 C.v 得下表： + +
变异系数浓度ppmBGRHS
组胺03.19%0.00%0.59%3.01%2.50%
1002.18%0.70%0.00%0.00%1.87%
502.32%0.00%0.00%0.00%2.28%
250.00%0.00%0.60%0.00%0.92%
12.53.93%2.18%0.65%6.15%1.24%
溴酸钾00.55%0.00%0.49%3.14%2.57%
12.51.64%0.51%0.49%0.00%2.72%
251.02%0.52%0.49%0.00%0.53%
503.63%0.00%0.00%0.00%2.87%
1000.00%0.00%0.00%0.00%0.29%
硫酸铝钾01.71%0.79%0.61%2.89%6.09%
0.54.31%3.01%19.26%1.15%16.22%
13.76%2.78%10.88%0.52%6.26%
1.50.27%1.19%7.98%0.51%3.64%
21.65%2.60%6.19%0.53%1.72%
51.36%4.51%20.64%0.89%7.45%
奶中尿素04.75%0.65%1.20%4.30%7.85%
5002.63%1.84%1.49%4.38%15.80%
10002.57%2.11%2.08%2.57%17.68%
15002.34%0.85%0.42%0.00%7.35%
20001.43%1.93%1.90%4.22%2.62%
+ +通过查阅文献[4]得知，当变异系数大于 $15\%$ 时视为数据有较大差异。当同种物质相同浓度下，颜色应为极其相近，对应的变异系数应该即为接近并且小于 $15\%$ 。所以通过比较变异系数的大小，结合色卡颜色的变化并得出结论：组胺在相同浓度下，变异系数较小并小于 $15\%$ ，所以该组实验数据准确性高。同理：溴酸钾在相同浓度下，变异系数较小，该组实验数据较为准确。奶中尿素相同浓度下，RGBS变异系数较小，该组实验数据较为准确，而H变异系数大，因此可以多读书H存在差异性。硫酸铝钾相同浓度下，G、B、H的变异系数较小数据较为准确，但R与S的在5ppm出现三组大于 $15\%$ 的变系数，所以判定R与S不算十分精确。由于实验数据有限，工业碱仅有一组数据，无法进行计算，存在偶然性，故不适用于此方法。 + +# 5.1.4.3 评价准则3——同物不同浓下变异系数离散度（同物质不同浓度颜色读书的区分度） + +在对同一种物质不同浓度的比色法实验，我们希望每组读书差异相对较大， + +因此我们也利用变异系数 $C.v = \frac{SD}{Me} *100\% = \frac{\sqrt{\frac{I}{N - 1}\sum_{i = 1}^{N}(X_i - \bar{X})^2}}{Me} *100\%$ 来建立准则3的指标。以组胺为例，将不同浓度的数据升序排列，得到表（1）后，把R、G、B、H、S值分别代入公式中求的最终C.v值如下表： + +
BGRHS
组胺变异系数24.27%18.85%3.79%25.08%19.20%
溴酸钾变异系数63.09%2.56%1.31%7.23%59.19%
工业碱变异系数16.85%62.41%12.24%15.51%87.12%
硫酸铝钾变异系数11.14%5.46%43.83%11.01%37.10%
奶中尿素变异系数5.27%0.88%1.03%5.87%21.38%
+ +即：结合色卡颜色的变化并得出结论：组胺在相同浓度下，变异系数较大并大于 $15\%$ ，所以该组实验数据使用比色卡方，颜色差异大，效果好。溴酸钾在不同浓度下使用B、S分析较为有效，工业碱在不同浓度下，比色卡颜色差异也比较大，硫酸铝钾在不同浓度下只有R与S差异行多较大，而奶中尿素在不同浓度下，比色卡颜色差异只有饱和度差异较大。 + +# 5.2 问题二模型的建立 + +# 5.2.1 数据评价 + +首先对数据进行检测，发现在同一浓度下的颜色读数极差不超过4。绘制二氧化硫的色块如图（4）： + +![](images/6ea14674146aba1a845a8fcacd0e7bb528a31fab0c1cdd75dd7983a4129a3305.jpg) +图4：二氧化硫颜色卡 + +原题中附件2中提供了二氧化硫在不同物质浓度下的颜色读数，我们通过观察发现，H、S的数据可能有误。我们利用公式将R、G、B数值转换为H、S数值，发现计算得出的S数值近似于附件2原始数据中的H数值，而计算得出的H数值约为原始数据中S数值的二倍。H、S两组数据恰好相反。将数据代入公式中算得S吻合度与H吻合度分别为 $98.83\%$ 和 $99.62\%$ ，应数据比较精确；将R、G、B、S、H代入准则二模型中计算标准差SD与变异系数C.v得下表 + +
浓度ppmBGR
00.29%0.78%0.35%
200.40%0.00%0.90%
300.34%0.00%0.47%
500.41%0.00%0.57%
800.41%0.00%0.32%
1000.00%0.00%0.57%
1500.36%0.58%0.33%
+ +结论：相同浓度下 B、G、R、H 对应的变异系数 C.v 皆小于 $15\%$ ，所以数据较为准确；但 S 中有一组数据大于 $15\%$ ，相比较下 S 不算太准确；将不同浓度下 R、G、B、S、H 取平均值后，与其标准值进行运算，最终得出变异系数如下表 + +
BGRHS
二氧化硫3.51%18.60%4.46%0.86%40.07%
+ +结论：不同浓度下 G、S 的变异系数较大并大于 $15\%$ ，但 B、R、H 相对于偏小，所以 G、S 更加有效。 + +由上图可以直观的观察到同种浓度下色差极小, 因此我们取在同种浓度下的颜色读数的平均值进行计算。计算出平均色彩读数的灰度并绘制出浓度 RGB 折线图, 如图 (5) + +![](images/f43dc60afad36d0e032d064de34974f055f9e1100011956d3cac0c368c22f064.jpg) +图6 + +图中皮尔逊相关系数和显著性，可以确定二氧化硫的颜色读数与浓度间存在相关性。将RGB导入SPSS进行相关性分析，结果如表（8） + +
RGB
R皮尔逊相关性0.988-0.895
显著性0.0000.007
G皮尔逊相关性0.988-0.916
显著性0.0000.004
B皮尔逊相关性-0.895-0.916
显著性0.0070.004
+ +发现浓度与 RGB 强自相关, 通过上图可以初步确定二氧化硫的颜色读数与浓度间存在相关性, 将数据导入 SPSS 进行相关性分析, 因此计算灰度并计算相关性如表 (7) + +图8 + +
物质实验组数类型BGRHD
二氧化硫1皮尔逊相关性0.696-0.867-0.8440.968
显著性0.0000.0000.0000.000
+ +表 7：二氧化硫浓度相关性 + +# 5.2.1 预测模型一： + +将浓度与灰度导入MATLAB进行一元线性回归，得到模型为： $f(x) = -3.612*x$ + +![](images/49746717d7f40ec3f61f1f35fbdb07768209a2583b854e4a890ca676c2f03876.jpg) + +得到模型显著性为0.013说明模型显著。系数显著性为0.013说明系数显著。之后对一元线性回归的模型进行误差检验，结果如图（7） + +![](images/01e6ce3cb9c2bd6ba42db159c952f7bb1ee048abea2ca8b6292ebf346418c7a5.jpg) +图7 + +
Table of Fits
Fit nameDataFit typeSSER-squareDFEAdj R-sqRMSE# CoeffValidation...Validation...Validation...
untitled ... y vs. xpoly14.2018e+030.742050.690428.98912
+ +由图可知误差最大值小于 3 倍 RMSE 值，所以模型误差较小。这个模型中自变量数据每组差异较小。但是这是模型中 y 的取值为 0-150，我们发现真的用这个模型预测浓度时两段的差异不能接受，如下表，因此建立模型二 + +
浓度绝对误差(平均值)浓度绝对误差(平均值)
025.31483056805.084553
2025.507989210010.37095
3014.716991315040.45808
5030.389314
+ +# 5.2.1 预测模型二： + +我们将 0-150 的浓度看做有序分类变量，以灰度为自变量，建立一元多分类 logistics 回归，模型为：预测变量为 x 的基线-类别 logit 模型为： + +$$ +\ln \left(\frac {\pi_ {j}}{\pi_ {I}}\right) = \alpha_ {j} + \beta_ {j} x, j = 1, \dots , J - 1 +$$ + +不管哪个类别作为基线，对于同一对类别都会有相同的参数估计；即基线类别的选择是任意的，这个模型虽然分类准确性极高，但是没有办法预测除0，20,30,50,100,150外其他浓度，因此并不能真正应用。 + +
浓度灰度预测分类预测概率
0150.5101
0149.9201
0149.4501
0149.4501
0149.0401
+ +
浓度灰度预测分类预测概率
50120.51500.95
50120.09500.95
50120.62500.95
80119.13800.95
80119.24800.95
20129.93200.97
20129.81200.97
20130.45200.97
30130.09300.97
30130.32300.97
30130.21300.97
30130.51300.97
+ +
80118.95800.95
100117.851000.97
100117.741000.97
100117.961000.97
150112.321501
150112.791501
150111.911501
150112.321501
+ +# 5.2.1 预测模型二：指数模型 + +再观察散点图，发现灰度与浓度成指数关系，因此使用指数模型进行回归：得到模型： $y = 1.653 * 10^{7} * \mathrm{e}^{(-0.1032 * x)}$ ，R方为0.966，拟合程度明显高于线性模型，即得模型为：浓度 $= 1.653 * 10^{7} * \mathrm{e}^{(-0.1032 * \text{灰度})}$ + +$$ += 1. 6 5 3 * 1 0 ^ {7} * \mathrm {e} ^ {- 0. 1 0 3 2 (0. 0 4 1 7 5 * 0. 2 9 8 9 R + 0. 5 8 7 G + 0. 1 1 4 B)} 。 +$$ + +计算绝对误差如下：误差得到很大改善，可初步应用实际 + +
浓度线性误差指数误差浓度线性误差指数误差
025.314830563.240967985805.0845534.139326
2025.50798924.49505023610010.3709513.62429
3014.71699136.05924441715040.458084.884433
5030.38931416.34987651
+ +# 5.3 问题三 + +# 5.3.1 数据量对模型的影响 + +因为讨论数据量对模型的影响，所以选区附件一中数据量最少的工业碱和数据量最多的硫酸铝钾分别进行分析。 + +工业碱的数据共有7个且浓度各不相同，无法进行同浓度下的数据检验。也无法证明数据的可靠性，如果出现异常值很难发现和处理。较少的数据进行回归会得到比较理想的模型，但也降低了模型的可靠性和预测范围。 + +硫酸铝钾的数据共有35个，有充足的数据进行数据间的交叉验证，提高了回归模型的可靠性和预测范围。但同时数据量的增加也增大了异常值出现的可能，单个数值的异常可能会对整体的分析造成很大的影响。 + +所以数据量过多或过少都会对模型造成不同程度的影响。如何检验数据的准确性和处理数据中异常值，对数据回归的模型会有很大的影响。 + +# 5.3.2 颜色维度对模型的影响 + +颜色维度也就是不同的数值，如R、G、B、S、H就为5种颜色维度。其中三组数据可组成一种颜色体系。如RGB和SH即为两种不同的颜色体系。不同体系间可对颜色维度的数据新型相互验证。附件中给出了5种颜色维度，两种不同的颜色体系。其中SH体系的数据不全，给之后两组体系数据的相互检验带来了很大的不便，使得数据的准确性降低，回归出的模型可靠性也得不到保证。 + +在分析R、G、B、S、H时，附件中未给出各颜色维度的单位。所以在分析的过程中，数据是录入错误还是单位不一致很难区分，给之后的模型回归造成了很大的困难。所以颜色维度的数据量给出的越多，单位越全，回归出的模型准确性越能得到保证。 + +# 六、模型的评价与改进 + +# 6.1 模型的评价 + +模型优点，根据题中所给的颜色读数绘制出色卡，可清楚直观地看出颜色与浓度之间是否存在关系，为接下来的讨论奠定了基础。绘制颜色与浓度关系的折线图，方便了我们观察两者间的关系。利用皮尔逊分析法对数据进行相关性分析，可得出皮尔逊相关系数和显著性，判断各物质的颜色读数于浓度是否具有相关性。当颜色读数RGB具有自相关性时，不能直接用RGB三个变量直接所为自变量与浓度进行回归分析，因此我们将RGB数值转为识别度很高的灰度进行分析。通过H、S吻合度检验，判断实验数据的准确性，并发现题目数据中的错误。 + +# 6.2 模型的改进 + +因题目中部分物质的数据不足，无法通过本模型对颜色读数与物质浓度间的关系进行准确地分析，得到的结果可能有较大误差。我们从线性模型到指数模型的误差确实得到了改善，但是在 $50\mathrm{ppm}$ 的误差依然有 $10\%$ ，这实际还是不够好的，应该在更精确的仪器获得的数据基础上继续改善。 + +# 七、参考文献 + +# 书籍： + +[1][美]赫恩(Hearn,D.),巴克(Baker,M.P.),卡里瑟斯(Carithers,W.R.)著;蔡士杰,杨若瑜译.《计算机图形学:第4版》.电子工业出版社,2014 +[4] 罗良清、魏和清. 《统计学》. 中国财政经济出版社, 2011 + +# 网站资源： + +[2]百度文库.从RGB色转为灰度色算法 + +https://wenku.baidu.com/view/0da4374549649b6648d747b2.html?from $\equiv$ search，2015.9.11 + +[3]知乎.Wang J.普通人肉眼可以看出RGB在多大程度上的差别.https://www.zhihu.com/question/33688135?sort $\equiv$ created.2015.7.31 + +# 八、附录 + +# MATLAB 绘制色快程序： + +```matlab +num = xlsread('d:\data1.xls', 'sheet1', 'B2:G6'); color1 = num; +color1(:, 2:4) = color1(:, 2:4)/255; +s = size(color1); +gshu = s(1, 1); +kuan=2; +%rectangle('Position', [1 2 kuan*gshu 5]) +for i=1:gshu + rectangle('Position', [1+(i-1)*kuan 2 5], 'facecolor', [color1(i, 4), color1(i, 3), color1(i, 2)]) +end +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/C047/C047.md b/MCM_CN/2017/C047/C047.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..25e52e2b4e20f9f9ad7c119ce4e538e1f1ddeb6d --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/C047/C047.md @@ -0,0 +1,1049 @@ +# 颜色与物质浓度辨识 + +# 摘要 + +数码照片比色法一种检测物质浓度的方法，其原理是根据照片中的颜色读数来判断待测物质的浓度。本文根据所给数据的特征，采用合理的颜色读数值建立统计回归模型，对颜色读数与物质浓度之间的关系进行了细致的分析与研究。 + +针对问题一，首先分别做出各组数据中的 RGB 值与浓度的散点图，大体判断出是否采用 RGB 颜色模型或灰度颜色模型进行回归分析建模。如不可行，再结合数据特征，用 HSV 颜色模型（H 值或 S 值）与浓度建立回归分析模型。具体回归函数可以根据各组数据变化特征进行选择。 + +如组胺、溴酸钾、工业碱三组数据，可以采用灰度颜色模型建立一元回归分析模型，进而确定出颜色读数与物质浓度之间的关系。对于硫酸铝钾，采用S值与浓度建立Michaelis-Menten回归分析模型，也可以确定出两者之间的关系。对于奶中尿素，经过对比，最后采用RGB中的B值与浓度建立回归模型，但该组数据拟合效果相对较差。 + +对于数据优劣的评价，主要从数据的准确度和精密度进行分析。两者可以分别用实验测量次数和数据的标准偏差大小进行量化。通过两者的比值构造数据优劣度模型，对各组数据进行排序。最终优劣顺序为：溴酸钾、组胺、硫酸铝钾、工业碱与奶中尿素。 + +针对问题二，结合二氧化硫H值和浓度的变化规律，选用Michaelis-Menten模型构建回归分析方程，并对计算结果进行误差分析，删去数据异常点，进行模型改进，并做出模型预测值与原始数据的残差图。模型的预测值误差基本可以控制在 $10\%$ 以内。 + +针对问题三，首先考虑数据量对模型的影响，一般，数据量越大越好。通过删除问题一中的部分溴酸钾溶液数据，重新建立模型与问题一中结果对比，可以看出模型的拟合效果明显变差。所以数据量应结合实际情况，至少达到一定量，并尽量做到数据分布均匀，当数据间隔较大时，应对同组数据进行多次测量。 + +其次考虑颜色维度对模型的影响，对问题一中工业碱溶液的模型进行改进，建立灰度值，H值、S值与浓度的多元线性回归模型，可以发现拟合的效果反而变差。再建立RGB三个值、H值、S值与浓度的多元线性回归模型，则模型的效果可以得到提高。由此可以判断颜色维度对模型的影响好坏不能一概而论，要结合具体的实验数据进行讨论。 + +关键词：数码照片比色法 颜色模型 回归分析 Michaelis-Menten 模型 + +# 一、问题的提出 + +# 1.1 问题背景 + +比色法是目前常用的一种检测物质浓度的方法，即把待测物质制备成溶液后滴在特定的白色试纸表面，等其充分反应以后获得一张有颜色的试纸，再把该颜色试纸与一个标准比色卡进行对比，就可以确定待测物质的浓度档位。由于每个人对颜色的敏感差异和观测误差，使得这一方法在精度上受到很大影响。随着照相技术和颜色分辨率的提高，希望建立颜色读数和物质浓度的数量关系，即只要输入照片中的颜色读数就能够获得待测物质的浓度。 + +# 1.2 问题重述 + +现根据附件所提供的有关颜色读数和物质浓度数据，建立数学模型，解决以下问题： + +问题一：对附件Data1.xls中给出的5种物质在不同浓度下的颜色度数进行讨论，从5种数据中能否确定颜色读数和物质浓度之间的关系，并给出一些准则来评价5组数据的优劣。 + +问题二：对附件 Data2.xls 中的数据，建立颜色读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析。 + +问题三：讨论数据量和颜色维度对模型的影响。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 预备知识 + +数字照片比色法是一种对采集图片数字化处理的分析方法，该种方法操作简便，耗时少，成本低。其原理是根据显色溶液的特点来选择不同的颜色模型，并由分析软件得出最终结果。常用的颜色模型有RGB、灰度、HSV等[1][2]。 + +RGB 颜色模型是由红、绿、蓝三基色通过颜色加权混合而成的一种模型，其每种颜色的取值范围为[0,255]。 + +灰度颜色模型是用0到255的不同灰度值来表示图像，0表示黑色，255表示白色，灰度模式可以由RGB模式直接转换得到。在比色法中，用灰度颜色模型对显色结果进行分析是比较简便的。 + +HSV 颜色模型是由每一种颜色都是由色调，饱和度和明度三个变量所决定的颜色模型。其在计算机图像处理、车牌识别等领域用途较为广泛。 + +# 2.2 问题的分析 + +针对问题一，首先对5组数据画出RGB值与浓度的散点图，从而大体判断能否用RGB颜色模型或灰色颜色模型进行回归分析建模。如果RGB值与浓度关系不明显或拟合效果不佳，再用HSV颜色模型（H值或S值）与浓度建立回归分析模型。具体回归函数可以根据各组数据变化特征进行选择，从而建立各组颜色读数与浓度的数学模型。 + +对于评价数据的优劣，可以从数据的准确度和精密度进行分析。准确度主要从测量次数分析，精密度主要依靠数据的标准偏差大小进行量化。通过两者的比值构造数据优劣度模型，对各组数据进行排序。 + +针对问题二，首先观察二氧化硫溶液的 RGB 值、H 值与 S 值与浓度变化趋势，可以发现 H 值与浓度变化关系最为明显，结合 H 值数据的变化规律，选用 Michaelis-Menten 模型构建回归分析方程，并对计算结果进行误差分析，筛选掉数据异常点，建立更精确的回归模型。并给出预测值与原始数据的残差图，模型预测值的误差基本控制在 $10\%$ 以内。 + +针对问题三，首先考虑数据量对模型的影响，单纯从建模需要来讲，样本容量肯定是越大越好。若删除问题一中的部分溴酸钾溶液数据，重新建立模型，可以得到模型的拟合效果明显变差。因此，根据实验要求不同，数据量至少达到一定量，并尽量做到数据分布均匀，当数据间隔较大时，可对同组数据进行多次测量。 + +其次考虑颜色维度对模型的影响，对问题一中工业碱溶液的模型进行改进，结合数据特征，将灰度颜色模型，与H值、S值一起建立多元线性回归模型，发现拟合的效果反而变差。再将RGB三个值、H值、S值一起建立多元线性回归模型，则模型的效果可以得到提高。由此可以判断颜色维度对模型的影响好坏不能一概而论，要结合具体的实验数据进行讨论。 + +# 三、模型假设 + +1、假设各组照片的拍摄环境是一致的。 +2、忽略拍摄环境（距离、角度、温度）对读数的影响。 +3、假设各组颜色数据的读取设备是同一台设备的。 +4、假设试纸没有过期、无破损。 +5、假设溶液与试纸已充分反应。 + +# 四、符号说明 + +
L灰度值
R红色数值
G绿色数值
B蓝色数值
H表示色调值
S表示饱和度值
M溶液浓度
M溶液浓度预测值
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一的模型建立与求解 + +# 5.1.1 颜色读数与浓度关系的确定 + +由于数字照片比色法要根据不同的数据情况选择合适的颜色模型来分析结构，且在附件 Data1 所给数据中包含了 5 种颜色读数，包括红（R）、绿（G）、蓝（B）三基色的取值和色调（H）、饱和度（S）的取值，因此要分别对各组的具体数据选择合适的颜色模型进行分析求解。 + +项目一：组胺 + +先做出RGB三组值与浓度的散点图，见图5-1。 + +![](images/306116cf74edf86a6538945082e2199ee6116be7116b2e3a52fb3b15f7908429.jpg) +图5-1 RGB值与组胺浓度的散点图 + +从图 5-1 可以发现, 随着浓度的的增加, R 值变化较小, 但 G 值与 B 值有比较明显的线性递减趋势, 综合上述分析, 将结合灰度颜色模型建立一元回归分析模型。 + +首先利用 RGB 的数据计算出灰度值 $L$ ，计算公式[1]如下： + +$$ +L = 0. 2 9 9 \times R + 0. 5 8 7 \times G + 0. 1 1 4 \times B +$$ + +则组胺浓度与灰度值的对应数据如表5-1。 + +表 5-1 组胺浓度与灰度值 + +
浓度1001005050252512.512.500
灰度值76749192101101103102109108
+ +建立线性回归模型[3]: + +$$ +M = \beta_ {0} + \beta_ {1} \cdot L + \varepsilon \tag {1} +$$ + +其中 $\beta_{0}, \beta_{1}$ 为回归系数, $\varepsilon$ 为随机误差。利用Matlab软件的regress函数求解, 模型 (1) 的回归系数估计值及其置信区间 (置信水平 $\alpha = 0.05$ )、检验统计量 $R^{2}, F, p, s^{2}$ 的结果见表5-2. + +表 5-2 组胺浓度的回归结果 + +
参数:参数估计值:参数置信区间:
β0←325.2068←[304.1089,346.3047]←
β0←-3.0063←[-3.2252,-2.7875]←
R² = 1.0 F=1003.7 p=0.0 s² = 12.4←
+ +结果分析：从表5-2中可以看出 $R^2$ 近似为1， $F$ 值大于 $F$ 检验的临界值， $p$ 远小于0.05，且每个回归系数的置信区间没有包含零点，说明灰度值 $L$ 对浓度 $M$ 影响是显著的，因此模型（1）从整体上是合理可用的。说明组胺溶液的浓度可以通过颜色读数来确定，其预测方程的关系式为： $\hat{M} = 325.2068 - 3.0063L$ 。 + +项目二：溴酸钾 + +针对溴酸钾溶液，同样先做出 RGB 三组值与浓度的散点图。见图 5-2。 + +![](images/2d055573810a7a9efffa6cacb2b8c8ad6fde63114fd579e79e069dd328b409e2.jpg) +图5-2 RGB值与浓度(溴酸钾)的散点图 + +从图5-2可以发现，随着浓度的的增加，R值和G值变化较小，但B值有明显的线性递减趋势，同理，可以建立灰度颜色模型的一元回归分析模型。 + +先计算出溴酸钾浓度与灰度值的对应数据如表5-3。 + +表 5-3 溴酸钾浓度与灰度值 + +
浓度1001005050252512.512.500
灰度值L122122.000127.000127.000131.000132.000135.000135.000141.000140.000
+ +将上述数据代入模型（1）中，可得出结果（见表5-4）。 + +表 5-4 溴酸钾浓度的回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β0729.5510[548.9463, 910.1558]
β1-5.2748[-6.6497, -3.8998]
R² = 0.9073 F=78.2646 p=0.0000 s² = 144.9031
+ +结果分析：从表 5-4 中可以看出 $R^{2}$ 为 0.9073， $F$ 值大于 $F$ 检验的临界值， $p$ 远小于 0.05，且每个回归系数的置信区间没有包含零点，说明灰度值 $L$ 对浓度 $M$ 影响是显著的。说明溴酸钾溶液的浓度可以通过颜色读数来确定，其预测方程的关系式为： + +$$ +\hat {M} = 7 2 9. 5 5 1 - 5. 2 7 4 8 L 。 +$$ + +模型改进：如果用二次函数建立回归模型[3] + +$$ +M = \beta_ {0} + \beta_ {1} L + \beta_ {1} ^ {2} L + \tag {2} +$$ + +其中 $\beta_{0}, \beta_{1}, \beta_{2}$ 为回归系数。代入数据可得计算结果如表 + +表 5-5 溴酸钾浓度的回归结果 (二次函数) + +
参数参数估计值参数置信区间
β05561.2[4603.5, 6519.0]
β10.3[0.2, 0.3]
β2-79.1[-93.7, -64.5]
R² = 0.9957 F=803.0623 p=0.000 s² = 7.7489
+ +结果分析：从表5-5中可以看出 $R^2$ 、 $F$ 值明显增大， $p$ 远小于0.05，且每个回归系数的置信区间没有包含零点，说明该模型拟合效果更好，其预测方程的关系式为： + +$$ +\hat {M} = 5 5 6 1. 2 + 0. 3 L - 7 9. 1 L ^ {2} +$$ + +项目三：工业碱 + +针对工业碱溶液做出 RGB 三组值与浓度的散点图。见图 5-3。 + +![](images/9b7ea97a542ddb83744459c7769552380984a25dc1a72558fd70abf203784577.jpg) +图5-3 RGB值与浓度(工业碱)的散点图 + +从图5-3可以发现，除个别点外，随着浓度的的增加，RGB三个值都有较明显的线性递减趋势。同样可以灰度颜色模型的一元回归分析模型。 + +计算出工业碱浓度与灰度值的对应数据如表5-6。 + +表 5-6 工业碱浓度与灰度值 + +
浓度11.810.189.198.748.147.340
灰度值L4162104130140139140
+ +可以发现，本组的数据量明显偏少，且所给出的浓度变化范围主要集中在 7~12 之间，将上述数据代入模型（1）中，可得出结果（见表 5-7）。 + +表 5-7 工业碱溶液回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β014.4799[5.3960, 23.5637]
β1-0.0608[-0.1401, 0.0186]
R² = 0.4368 F=3.8779 p=0.1060 s² = 9.6347
+ +从表5-6中可以看出 $R^2$ 为0.4368， $p$ 大于0.05，说明模型不可用。做出残差示意图，如图5-4所示。 + +![](images/1e04bf5234dbdc48348e341b28d05c4110364095140625ba14742992dce19b5e.jpg) +图5-4 残差示意图 + +明显第7个数据点是一个异常点。因此删除该异常点（浓度为0），重新代入模型计算，结果见表5-8。 + +表 5-8 工业碱浓度的回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β012.9142[11.2751, 14.5533]
β1-0.0359[-0.0508, -0.0209]
R² = 0.9174 F=44.3981 p=0.0026 s² = 0.2585
+ +结果分析：从表5-8中可以看出 $R^2$ 为0.9174， $F$ 值大于 $F$ 检验的临界值， $p$ 小于0.05，且每个回归系数的置信区间没有包含零点，说明灰度值 $L$ 对浓度 $M$ 影响是显著的。说明工业碱溶液的浓度可以通过颜色读数来确定，其预测方程的关系式为： + +$$ +\hat {M} = 1 2. 9 1 4 2 - 0. 0 3 5 9 L +$$ + +注意：由于该组数据量偏少，且浓度变化范围主要集中在7~12之间，因此预测方程应用范围也只能大体限定在[7,12]上。 + +项目四：硫酸铝钾 + +针对硫酸铝钾溶液做出 RGB 三组值与浓度的散点图。见图 5-5。 + +![](images/3379e00e1cc0b67c01e80ff464b59ec83b16d04749636f36a3e2f5e50bf73abc.jpg) +图5-5 RGB值与浓度(硫酸铝钾)的散点图 + +从图 5-5 发现，随着浓度的的增加，RGB 三个值没有明显的变化趋势。同时，把该组数据代入灰度值的回归分析模型，发现模型不成立。因此，我们考虑用 HSV 颜色模型来进行回归分析建模。 + +首先分别做出 H 值、S 值关于浓度变化的散点图，见图 5-6。 + +![](images/d25de1c89dd77fb87e9a6a3a54e7ded43d796b253cdbcf58429e29e6a1b035aa.jpg) +图5-6(a)H值与浓度(硫酸铝钾)的散点图 + +![](images/4a6880200102f1f27275c215ae8fabec9f05bd5c123de37d0ddc25eddaf179ba.jpg) +图5-6(b)S值与浓度(硫酸铝钾)的散点图 + +从图5-6可以发现，随着浓度的的增加，H值与S值的变化规律基本相似。当浓度较小时，H值与S值都快速增加，而当浓度很大时，H值与S值增加较慢，趋于一个稳定值。一般满足上述性质的模型有两个[3]： + +Michaelis-Menten 模型 $y = \frac{\beta_0 x}{\beta_1 + x}$ (3) + +指数增长模型 $y = \beta_{0}(1 - e^{-\beta_{1}x})$ (4) + +下面我们用 Michaelis-Menten 模型对该组数据中的 H 值和 S 值进行回归分析。 + +首先，将S值与浓度的数据代入模型（3），其中，浓度作为自变量，S值作为因变量。作为利用Matlab软件的nlinfit函数求解，可得出结果（见表5-9）。 + +表 5-9 硫酸铝钾浓度的回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β0200.9061[183.1188, 218.6934]
β10.1945[0.0781, 0.3109]
+ +拟合后的结果与原始数据进行对比见图5-7，且模型的剩余标准差 $s = 22.396$ 。 + +图5-7 模型（2）的预测结果(S值与硫酸铝钾浓度) +![](images/6da45c48d253ce14ee47ce9f2c0a20a2eb388ce8541e1517147cb89f145a7ced.jpg) +（‘*’代表拟合结果，‘o’代表原始数据） + +由上图可知，拟合效果良好，且回归系数的置信区间没有包含零点，说明模型是完全可 + +用的。将回归得出的系数代入模型（3）可得方程 + +$$ +y = \frac {2 0 0 . 9 0 6 1 x}{0 . 1 9 4 5 + x} +$$ + +求解反函数得： $x = \frac{0.1945\cdot y}{200.9061 - y}$ 则浓度与S值的预测方程为 + +$$ +\hat {M} = \frac {0 . 1 9 4 5 \cdot S}{2 0 0 . 9 0 6 1 - S}. +$$ + +同理，将H值与浓度数据代入模型（3），拟合后的效果见图5-8，其剩余标准差为30.9423。 + +![](images/2fa55a538bebc65d9cf592d4db4b7391165483e755c15a4949131649197a9135.jpg) +图5-8 模型（2）的预测结果（H值） + +对比S值与H值得拟合结果，可以发现S值的拟合效果更好，因此可以采用S值来建立颜色读数与浓度之间的关系，其预测方程为 + +$$ +\hat {M} = \frac {0 . 1 9 4 5 \cdot S}{2 0 0 . 9 0 6 1 - S}. +$$ + +项目五：奶中尿素 + +针对奶中尿素做出 RGB 三组值与浓度的散点图。见图 5-9。 + +![](images/8dd8aa40d018023a5f62d66756266e241f6c5eb6c29b0852030fde94b4142e09.jpg) +图5-9 RGB值与浓度(奶中尿素)的散点图 + +从图 5-9 可以发现, 随着浓度的的变化, R 值与 G 值没有明显的变化趋势, 而 B + +值有较弱的线性递减趋势。同样先用灰度颜色模型的一元线性回归分析模型，结果见表5-10。显然该模型不适用。我们试着采用二次函数模型，也未得到理想的结果。 + +表 5-10 奶中尿素浓度与灰度值的回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β019035[-8846, 46915]
β1-135[-342, 73]
R² = 0.1315 F=1.9677 p=0.1841 s² = 562813.1712
+ +其次，分别做出H值、S值关于奶中尿素浓度变化的散点图，见图5-10。 + +![](images/0d1970e70819446d42ad9ef9ab6d1ddcfdd633eb9e2609ac4e36f3de3b2a6952.jpg) +图5-10(a)H值与浓度(奶中尿素)的散点图 + +![](images/4fcec18ca15bcd28ec60428364c7855c8920e4a04f6663e992d9df720a44a06d.jpg) +图5-10(b)S值与浓度(奶中尿素)的散点图 + +从图5-10可以看出，随着浓度的的增加，H值的变化很小，而S值有较弱的线性增加关系。因此用S值与浓度做一元回归分析模型，其结果见5-9。 + +表 5-11 奶中尿素浓度与 S 值的回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β0-2042.3[-3112.3, -972.4]
β162.2[40.3, 84.0]
R² = 0.7441 F=37.8100 p=0.000 s² = 165794.5104
+ +其中， $R^2$ 为0.7441，说明拟合效果一般。 + +从图5-9可知，B值随着浓度有较弱的线性递减趋势，因此用B值与浓度做一元回归分析模型，其结果见表5-12。 + +表 5-12 奶中尿素浓度与 B 值的回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β013576[9728, 17424]
β1-112[-147, -78]
R² = 0.7953 F=50.5149 p=0.000 s² = 132630.6165
+ +其中， $R^2$ 为0.7953， $p$ 小于0.05，且每个回归系数的置信区间没有包含零点，说明模型整体可用，但效果比前4组数据明显较差。综上所述，可以建立颜色读数与奶中尿素浓度之间的关系，其预测方程为 + +$$ +\hat {M} = 1 3 5 7 6 - 1 1 2 B. +$$ + +# 5.1.2 数据的评价 + +一般，评价实验数据的准则[4]主要包括两个方面：准确度和精密度。 + +由于原始数据并没有给出浓度的真实值，那准确度主要从实验数据的数量来考虑，一般实验测定次数越多，数据的准确度越高。5组项目的实验测定次数见表： + +表 5-13 各组项目的实验测定次数 + +
组胺溶液溴酸钾溶液工业碱溶液硫酸铝钾溶液奶中尿素溶液
测量次数101073715
+ +再考虑精密度，可以将已知数据分为两组，分组依据是依照其是否进行重复测量。可将之分为： + +A 组: 组胺溶液、溴酸钾溶液、硫酸铝钾溶液、奶中尿素溶液 + +B组：工业碱溶液 + +如针对组胺溶液，我们对其 5 个颜色值进行权重系数的计算，方法如下： + +$$ +\frac {\max _ {j} \left(x _ {i j}\right) - \min _ {j} \left(x _ {i j}\right)}{\sum_ {i} \left[ \max _ {j} \left(x _ {i j}\right) - \min _ {j} \left(x _ {i j}\right) \right]} +$$ + +其中 $x_{ij}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列的数据值。具体结果见表5-14. + +表 5-14 组胺溶液权重系数表 + +
权重系数0.140.220.250.050.35
+ +随后计算组胺溶液各组浓度下的不同颜色值标准偏差，并将各组颜色值标准差求和，见表5-15. + +表 5-15 组胺溶液标准偏差计算结果 + +
浓度(ppm)BGRHS
100标准偏差1.411.410.710.712.12
50标准偏差0.000.000.710.001.41
25标准偏差1.410.000.000.002.83
12.5标准偏差1.410.710.000.002.12
0标准偏差2.120.000.710.712.83
求和结果6.352.122.131.4211.31
+ +对求和结果乘上相应的权重系数，得到加权标准偏差和为5.85。 + +同理，其他三个项目数据的加权标准偏差和分别为 + +表 5-16 其余溶液加权标准偏差和 + +
溴酸钾溶液硫酸铝钾溶液奶中尿素溶液
加权总标准偏差和4.9530.1812.31
+ +(其中, 奶中尿素溶液中的 $5 \mathrm{ppm}$ 组数据由于只有一组, 视为异常点, 将其除去。) + +最后，为了排出各组数据的优劣顺序，要综合考虑数据的数据量与加权标准偏差和，则将加权标准偏差和除以相应的数据量，该比值可定义为数据优劣度，数据越小代表该组数据越优。最后排序结果如表5-17. + +表 5-17 A 组溶液优劣度排序 + +
溴酸钾溶液组胺溶液硫酸铝钾溶液奶中尿素溶液
数据优劣度0.46490.58480.81580.8207
+ +由此可知溴酸钾溶液数据最优，组胺溶液数据其次，奶中尿素数据最差。 + +针对B组的工业碱溶液，由于各浓度均只有一组数据，故无法计算其标准偏差，所以选择对其各组数据的浓度间隔进行分析，如下表所示： + +表 5-18 工业碱溶液各组数据的浓度间隔 + +
1-2组间隔2-3组间隔3-4组间隔4-5组间隔5-6组间隔6-7组间隔
1.6200.9900.4500.6000.7807.360
+ +由此可知，该组溶液中，前5个浓度数据间隔较为均衡，但6-7组数据间隔过大。且该组溶液测量数据较少，所以认为其数据优劣度较差。 + +# 5.2 问题二的模型建立与求解 + +# 5.2.1 模型的建立与求解 + +与问题一类似，附件 Data2 中给出的数据也包括 RGB 的取值和 H、S 的取值，分别作出上述取值与浓度的散点图，见图 5-11、图 5-12。 + +![](images/cab4780135d6784fd7872872fedd9ebf59557869d6adb74b2ded79756e501ca1.jpg) +图5-11 RGB值与浓度(二氧化硫)的散点图 + +![](images/7fffb64c63a5027116163a4a7d42ffe4f844648086db69469a70dd5d6ef0bcf1.jpg) +图5-12(a)H值与浓度(二氧化硫)的散点图 + +![](images/fc6457f94b18b0640e0aa7043e89b57a64cd275c3374b15b119966b8aadbad9f.jpg) +图 5-12(b) S 值与浓度(二氧化硫)的散点图 + +从上述图中可以发现，随着浓度的的增加，RGB值与S值的没有明显的变化规律。而H值有明显的变化，当浓度较小时，H值快速增加，当浓度很大时，H值增加较慢，趋于一个稳定值。因此，可以根据Michaelis-Menten模型构建H值与浓度的回归方程。 + +将H值与二氧化硫浓度值的数据代入模型（3)，其中，浓度作为自变量，H值作为因变量。作为利用nlinfit函数求解，可得出结果（见表5-19）。 + +表 5-19 二氧化硫浓度的回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β0140.8184[129.4161, 152.2207]
β115.8583[10.2000, 21.5167]
+ +拟合后的结果与原始数据进行对比见图5-13，且模型的剩余标准差 $s = 9.1231$ 。 + +图5-13 模型（3）的预测结果(H值与二氧化硫浓度) +![](images/bcc92029f57b8b8478e9d29cfdf4b2bed2e59d78cc007aad684c911a990149f4.jpg) +（‘+’代表拟合结果，‘o’代表原始数据） + +由上图可知，拟合效果良好，且回归系数的置信区间没有包含零点，说明模型是完全可用的。将回归得出的系数代入模型（3）可得方程 + +$$ +y = \frac {1 4 0 . 8 1 8 4 x}{1 5 . 8 5 8 3 + x} +$$ + +求解反函数得: $x = \frac{15.8583 \cdot y}{140.8184 - y}$ , 则浓度与 $\mathrm{H}$ 值的预测方程为 + +$$ +\hat {M} = \frac {1 5 . 8 5 8 3 \cdot H}{1 4 0 . 8 1 8 4 - H}. +$$ + +# 5.2.2 误差分析及模型改进 + +利用 nlintool 函数做出上述 Michaelis-Menten 模型的预测和结果输出图。 + +![](images/70eb89dd4c54368484116864b6eef76a3668b08ab51fa6be63defb8b1fb37d04.jpg) +图5-14（a）H值与二氧化硫浓度的预测及结果输出 + +可以看到，除了浓度为 0 和 100 时的点，其他的原始数据都在模型的预测区间内，说明模型整体是可行的。 + +如果删去上述异常点，重新求解，其预测和结果输出图， + +![](images/352d698e87e7054bb874703cf003393cab68213947af1c35072385e3050ff144.jpg) +图5-14（b）H值与二氧化硫浓度的预测及结果输出 + +剩余标准差 $s = 2.9233$ ，可以发现剩余标准差较原模型更小，且预测区间的长度也大幅缩短。 + +表 5-20 预测值与预测区间的比较 (预测区间为预测值 $\pm \Delta$ ) + +
浓度实际数据平均值模型1预测值\( \bigtriangleup 1 \)模型2预测值\( \bigtriangleup 2 \)
2082.000078.54159.431578.22853.1057
50109.6667106.91015.6072108.01421.9913
80119.3333117.52216.0305119.37752.2909
+ +计算出删去上述异常点后模型的回归结果（见表5-20）。 + +表 5-21 二氧化硫浓度的回归结果(删去上述异常点) + +
参数参数估计值参数置信区间
β0144.7591[140.4610, 149.0571]
β117.0093[15.0094, 19.0092]
+ +同理求解反函数可得到浓度与 $\mathrm{H}$ 值的预测方程为 + +$$ +\hat {M} = \frac {1 7 . 0 0 9 3 \cdot H}{1 4 4 . 7 5 9 1 - H}. +$$ + +给出上述 $\hat{M}$ 与实际浓度的残差图，可以发现该模型的预测值的误差基本控制在 $10\%$ 以内。 + +![](images/3e8d1a7467babc903eb4157ac250dbd2ca846753f3a927edd64bd6221c08b8cb.jpg) +图5-15 实际浓度残差图 + +# 5.3 问题三模型的建立与求解 + +# 5.3.1 数据量对模型的影响 + +由于本文是采用回归分析模型，它对样本数据量具有很强的依赖性。样本的容量太小会导致难以保证参数估计值的精确度和可靠性[4]。因此，单纯从建模需要来讲，样本容量肯定是越大越好。如在问题一中的溴酸钾溶液数据，共10组数据，如果去掉有重复值的5组，再建立模型，其计算结果如表5-22： + +表 5-22 溴酸钾溶液的回归结果 (去重复值) + +
参数参数估计值参数置信区间
β0707.9887[272.6000, 1143.4000]
β1-5.1104[-8.4000, -1.8000]
R² = 0.8892 F=24.0795 p=0.0162 s² = 230.8016
+ +该结果较之前表5-4的结果有明显的变化，其中 $R^2$ ，F值变小， $p,s^2$ 明显增大，且回归系数的置信区间长度也明显变大，说明模型的拟合效果明显减弱。 + +另一方面，收集样本数据量是一件困难的工作，因此，选择合适的样本数据量，是一个非常重要的问题。一般，满足基本要求的样本容量需满足 $n \geq 30$ 或者 $n \geq 3(k + 1)$ ，其中 $k$ 为解释变量的数目。 + +综上所述，建议数字比色法的数据量至少达到12组，尽量做到数据分布均匀，当数据间隔较大时，可对同组数据进行多次测量。 + +# 5.3.2 颜色维度对模型的影响 + +一般，数字比色法是根据显色溶液的特点来选择不同的颜色模型进行分析，如在前两问中有分别用灰度值颜色模型、HSV 颜色模型、RGB 颜色模型进行一元回归建模。如果对于某种溶液，RGB 值与 HSV 值都随着浓度的变化有明显的变化规律，那我们可以综合多种颜色模型来建立模型。 + +如问题一中工业碱溶液的模型是根据灰度值颜色模型来进行回归分析，可以发现其H值、S值与浓度也有着明显的线性关系，见图5-16： + +![](images/2f079c5d6c1ac032efd7569e60e17c7747399e47612dcf31e17917523ef4316f.jpg) +图5-16（a）H值与浓度(工业碱)的散点图 + +![](images/0f0f70ce6d00f2d5da35a8d3de232502c61def76af9c94417c0e9d8edb2998a4.jpg) +图5-16（b）S值与浓度(工业碱)的散点图 + +因此，我们可以用灰度值、H值和S值对浓度进行多元回归分析，建立多元线性回归模型： + +$$ +M = \beta_ {0} + \beta_ {1} H + \beta_ {2} S + \beta_ {3} L + \tag {5} +$$ + +其中 $\beta_{0},\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 为回归系数。利用regress函数求解，其结果见表5-23： + +表 5-23 多元线性回归结果 + +
参数参数估计值参数置信区间
β017.7632[-32.1469,67.6732]
β1-0.1161[-0.6480,0.4158]
β20.0285[-0.0475,0.1045]
β30.0283[-0.0807,0.1373]
R² = 0.9283 F=8.6265 p=0.1057 s² = 0.4487
+ +其中 $p > 0.05$ ，且每个回归系数的置信区间都包含零点，说明该模型是不可行的。 + +而如果用 RGB 值、H 值和 S 值对浓度进行多元回归分析，可以计算出结果，见表 5-24. + +表 5-24 多元回归分析 (RGB、H、S) + +
参数参数估计值参数置信区间
β093.7528NaN
β10.0497NaN
β2-0.4187NaN
β3-0.1260NaN
β4-0.0934NaN
β5-0.2482NaN
R² = 1 F=NaN p=NaN s² = NaN
+ +说明拟合的效果非常好。其预测值与原始数据对比见表5-25： + +表 5-25 预测值与原始数据对比 + +
源数据浓度7.348.148.749.1910.1811.8
计算数据浓度7.340000000000038.140000000000058.740000000000059.1900000000000410.1800000000001011.80000000000010
误差绝对值3.01981E-144.9738E-144.9738E-144.08562E-149.9476E-149.9476E-14
+ +综上所述，颜色维度对模型的影响好坏不能一概而论，要结合具体的实验数据进行讨论。如果能选择合理的颜色模型搭配进行建模，则可以提高模型精度。反之，盲目的提高颜色维度进行建模，可能会降低模型的效果。 + +# 六、模型的评价与推广 + +# 6.1 模型的评价 + +本文根据数字比色法的基本思想，灵活运用 EXCEL，MATLAB 对所给数据进行处理，建立了统计回归模型，且模型的拟合效果整体良好，充分说明了颜色读数与浓度之间的关系。当然，由于对颜色模型的转换关系与所给数据的局限性，无法选用更好的颜色模型来建立模型。 + +# 6.2 模型的推广 + +本文在主要运用了统计回归模型，如一元线性回归模型，非线性回归模型及多元回归模型，其具有有效性高，适用范围广的特点，可推广到农药残留检测、水质检测、生物分子检查等领域。 + +# 七、参考文献 + +[1] 杨冬冬, 张校亮, 崔彩娥 基于智能手机数字比色法的有机磷农残快速检测技术研究《分析测试学报》34(10):1179-1184 2015 + +[2] 李海燕 基于颜色主波长和补色波长的比色法定量检测 太原理工大学毕业论文 2016 +[3] 姜启源 谢金星 叶俊 数学建模（第四版） 高等教育出版社 2011 +[4] 实验方法评价与数据处理 + +https://wenku.baidu.com/view/c4f163780029bd64783e2cf8.html?qq-pf-to=pcqqdiscussion + +[5]百度文库 样本容量 + +https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E5%AE%B9%E9%87%8F/155153?fr=aladdin + +# 八、附件 + +以下程序按上文中图标顺序排列： + +图5-1程序 + +clc, clear; + +load za.txt; + +$\mathrm{B = z a(:,1);B = B^{\prime}}$ + +$\mathrm{G = z a(:,2);G = G^{\prime}}$ + +$\mathrm{R = z a(:,3);R = R^{\prime}}$ + +$\mathrm{H = z a(:,4);H = H'}$ + +$\mathrm{S = z a(:,5);S = S'}$ + +$\mathrm{y = z a(:,6);y = y'}$ + +plot(y,R,'r'+',y,G,'G*',y,B,'bo') + +表 5-2 程序 + +clc,clear; + +$\mathrm{L = [76;74;91;92;101;101;103;102;109;108]}$ + +y=[100;100;50;50;25;25;12.5;12.5;0;0]; + +$\mathrm{x = [ones(10,1),L]}$ + +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) + +图5-2程序 + +clc,clear; + +load xsj.txt; + +$\mathrm{B = xsj(:,1);B = B'}$ + +$\mathrm{G = xsj(:,2);G = G^{\prime}}$ + +$\mathrm{R = xsj(:,3);R = R'}$ + +$\mathrm{H = xsj(:,4)H = H'}$ + +$\mathrm{S = xsj(:,5);S = S'}$ + +y=xsj(:,6);y=y'; + +plot(y,R,'r'+',y,G,'G*',y,B,'bo') + +表 5-4 程序 + +$\mathrm{L = [122;122;127;127;131;132;135;135;141;140]}$ + +y=[100;100;50;50;25;25;12.5;12.5;0;0]; + +$\mathrm{x = [ones(10,1),L]}$ + +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) + +表 5-5 程序 + +$\mathrm{L} = [122;122;127;127;131;132;135;135;141;140]$ + +$\mathrm{y = [100;100;50;50;25;25;12.5;12.5;0;0]}$ + +for $(\mathrm{i} = 1:10)$ + +$\mathrm{lt(i,1) = L(i,1)*L(i,1)}$ + +end + +$\mathrm{x = [ones(10,1),lt,L]}$ $[\mathtt{b},\mathtt{bint},\mathtt{r},\mathtt{rint},\mathtt{stats}] = \mathtt{regress}(\mathtt{y},\mathtt{x})$ + +图5-3程序 + +clc,clear; +load gyj.txt; + $\mathrm{B = g y j(:,1);B = B^{\prime}}$ . + $G = \mathrm{gyj}(:,2);\mathrm{G} = \mathrm{G}^{\prime}$ . + $\mathrm{R = g y j(:,3);R = R^{\prime}}$ . + $\mathrm{H = g y j(:,4);H = H^{\prime}}$ . + $\mathrm{S = g y j(:,5);S = S^{\prime}}$ . + $\mathrm{y = g y j(:,6);y = y^{\prime}}$ . +plot(y,R,'r'，y,G,'G\*',y,B,'bo') + +表 5-7 程序 + +clc,clear; + $\mathrm{L} = [4162104130140139140];$ +y=[11.8 10.18 9.19 8.74 8.14 7.34 0]; +x=[ones(7,1),L']; +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x) +rcoplot(r,rint) + +表 5-8 程序 + +clc,clear; + $\mathrm{L} = [4162104130140139]$ $\mathrm{y} = [11.810.189.198.748.147.34]$ $\mathrm{x} = [\mathrm{ones}(6,1),\mathrm{L}]$ +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x) + +图5-5程序 + +clc,clear; +load lslj.txt; + $\mathrm{B = lslj(:,1);B = B^{\prime}}$ . + $\mathrm{G = lslj(:,2);G = G^{\prime}}$ . + $\mathrm{R = lslj(:,3);R = R^{\prime}}$ . + $\mathrm{H = lslj(:,4);H = H^{\prime}}$ . + $\mathrm{S = lslj(:,5);S = S^{\prime}}$ . + $\mathrm{y = lslj(:,6);y = y^{\prime}}$ . +plot(y,R,'r+',y,G,'G*,y,B,'bo') + +图5-6程序 + +clc,clear; +load llsj.txt; + $\mathrm{B = lssj(:,1);B = B^{\prime}}$ . + $\mathrm{G = lssj(:,2);G = G^{\prime}}$ $\mathrm{R = lssj(:,3);R = R^{\prime}}$ $\mathrm{H = lssj(:,4);H = H^{\prime}}$ $\mathrm{S = lssj(:,5);S = S^{\prime}}$ $\mathrm{L = lssj(:,6);L = L^{\prime}}$ $\mathrm{y = lssj(:,7);y = y^{\prime}}$ +plot(y,H,'*') + +clc,clear; + +load lIsj.txt; + +$\mathrm{B = llsj(:,1);B = B'}$ + +$\mathrm{G = I}$ sj(:,2); $\mathrm{G = G^{\prime}}$ + +$\mathrm{R = llsj(:,3);R = R'}$ + +$\mathrm{H = lssj(:,4)H = H'}$ + +$\mathrm{S = 11s j(:,5),S = S^{\prime}}$ + +$\mathrm{L = l1sj(:,6);L = L'}$ + +y=llsj(:,7);y=y'; + +plot(y,S,'o') + +图5-8程序 + +clc,clear; + +load ljsj.txt; + +$\mathrm{B = llsj(:,1);B = B'}$ + +$\mathrm{G = llsj(:,2);G = G'}$ + +$\mathrm{R = llsj(:,3);R = R'}$ + +$\mathrm{H = lssj(:,4)H = H^{\prime}}$ + +$\mathrm{S = llsj(:,5);S = S'}$ + +$\mathrm{L = l1sj(:,6);L = L'}$ + +y=11sj(:,7);y=y'; + +$\mathrm{x = [ones(37,1),H^{\prime}]}$ + +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x) + +$\%$ —— 分析S + +[ \text{[beta0]} = [-6.50710.0847] ] + +[ \text{[beta,R,J]} = \text{nlinfit(y,S,'huaxue',beta0)} ] + +betaci=nlparci(beta,R,J); + +beta,betaci + +ss=beta(1)*y./(beta(2)+y); + +yy=(ss*0.19)/(200.90-ss); + +y1=y-yy; + +plot(S,y1,'o'); + +nlintool(y,S,'huaxue',beta); + +$\%$ 分析h + +[ \text{[beta0]} = [-6.50710.0847] ] + +[ \text{[beta,R,J]} = \text{nlinfit(y,H,'huaxue',beta0)}; ] + +betaci=nlparci(beta,R,J); + +beta,betaci + +hh=beta(1)*y./(beta(2)+y);yy=S./2; + +plot(y,H,'o',y,yy,'*'),pause + +nlintool(y,H, 'huaxue',beta) + +图5-9程序 + +clc,clear; + +load nzns.txt; + +B=nzns(:,1);B=B'; + +$\mathrm{G = nzns(:,2)};\mathrm{G = G}^{\prime}$ + +$\mathrm{R = nzns(:,3)}$ $\mathrm{R = R^{\prime}}$ + +$\mathrm{H = nzns(:,4)}$ $\mathrm{H = H^{\prime}}$ + +$\mathrm{S = nzns(:,5)}$ $\mathrm{S = S^{\prime}}$ + +$\mathrm{y = nzsns(:,6);y = y'}$ plot(y,R,'r+,y,G,'g*,y,B,'bo') + +表 5-10 程序 + +
B=[105 108 107 107 110 105 112 108 111 117 114 119 125 120 118];
G=[136 140 135 136 136 134 132 136 139 137 134 140 135 136 136];
R=[137 142 138 139 139 138 134 138 142 139 138 142 140 138 139];
H=[28 28 26 26 26 26 27 28 27 27 25 26 20 26 25];
S=[58 60 57 58 52 60 42 54 55 41 44 40 27 33 37];
L=[133 137 133 134 134 132 130 133 137 135 133 138 135 135 135];
y=[2000 2000 2000 1500 1500 1500 1000 1000 500 500 500 5 0 0
x=[ones(15,1),L'];
[b,bint,r,int-stats]=regress(y',x)
+ +图5-10（a）程序 + +clc,clear; +load nzns.txt; + $\mathrm{B = nzns(:,1);B = B^{\prime}}$ . + $\mathrm{G = nzns(:,2);G = G^{\prime}}$ $\mathrm{R = nzns(:,3);R = R^{\prime}}$ $\mathrm{H = nzns(:,4);H = H^{\prime}}$ $\mathrm{S = nzns(:,5);S = S^{\prime}}$ $\mathrm{y = nzns(:,6);y = y^{\prime}}$ +plot(y,H,'r*') + +图5-10（b）程序 + +clc,clear; +load nzns.txt; +B=nzns(:,1) $\mathbf{\beta} = \mathbf{B}^{\prime}$ . +G=nzns(:,2) $\mathbf{\beta} = \mathbf{G}^{\prime}$ . +R=nzns(:,3) $\mathbf{\beta} = \mathbf{R}^{\prime}$ . +H=nzns(:,4) $\mathbf{\beta} = \mathbf{H}^{\prime}$ . +S=nzns(:,5) $\mathbf{\beta} = \mathbf{S}^{\prime}$ . +y=nzns(:,6) $\mathbf{\beta} = \mathbf{y}^{\prime}$ . +plot(y,S,'bo') + +表 5-11 程序 + +clc,clear; + $\mathrm{B} = [105108107107110105112108111117114119125120118];$ $\mathrm{G} = [136140135136136134132136139137134140135136136];$ $\mathrm{R} = [137142138139139138134138142139138142140138139];$ $\mathrm{H} = [282826262626272827272526202625];$ $\mathrm{S} = [586057585260425455414440273337];$ $\mathrm{L} = [133137133134134132130133137135133138135135135];$ $\mathrm{y} = [20002000200015001500150010001000500500500500500]$ $\mathrm{x} = [\mathrm{ones}(15,1),\mathrm{S}^{\prime}]$ +[b,bint,r,rint-stats]=regress(y',x) + +表5-12程序 + +clc,clear; + +$\mathrm{B = [105}$ 108 107 107 110 105 112 108 111 117 114 119 125 120 118]; + +$\mathrm{G = [136 140 135 136 136 134 132 136 139 137 134 140 135 136 136 136]}$ + +$\mathrm{R = [137 142 138 139 139 138 134 138 142 139 138 142 140 138 139]}$ + +$\mathbf{H} = [28$ 28 26 26 26 26 27 28 27 27 25 26 20 26 25]; + +$\mathbf{S} = [58$ 60 57 58 52 60 42 54 55 41 44 40 27 33 37]; + +$\mathrm{L = [133 137 133 134 134 132 130 133 137 135 133 138 135 135 135 135]}$ + +y=[2000 2000 2000 1500 1500 1500 1000 1000 500 500 500 5 0 0 0]; + +$\mathrm{x = [ones(15,1),B^{\prime}]}$ + +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x) + +图5-11程序 + +clc,clear; + +load que2.txt; + +$\mathrm{R} = \mathrm{que2}(:,1)$ + +G=que2(:,2); + +B=que2(.3); + +$\mathrm{S =}$ que2(:,4); + +$\mathrm{H} = \mathrm{que2}(:,5)$ + +L=que2(:,6); + +y=que2(:,7); + +plot(y,R,'r+',y,G,'g*',y,B,'bo') + +图5-12（a）程序 + +clc,clear; + +load que2.txt; + +$\mathrm{R} = \mathrm{que2}(:,1)$ + +G=que2(:,2); + +B=que2(:,3); + +S=que2(:,4); + +$\mathrm{H} = \mathrm{que2}(:,5)$ + +$\mathrm{L} = \mathrm{que2}(:,6)$ + +y=que2(:,7); + +plot(y,H,'*') + +图5-12（b）程序 + +clc,clear; + +load que2.txt; + +$\mathrm{R} = \mathrm{que2}(:,1)$ + +G=que2(:,2); + +B=que2(:,3); + +$\mathrm{S} = \mathrm{que2}(:,4)$ + +$\mathrm{H} = \mathrm{que2}(:,5)$ + +L=que2(:,6); + +y=que2(:,7); + +plot(y,S,o') + +图5-13程序 + +clc,clear; + +load que2.txt; + +$\mathrm{R =}$ que2(:,1); + +G=que2(:,2); + +B=que2(:,3); + +$\mathrm{S} = \mathrm{que2}(.4)$ + +$\mathrm{H} = \mathrm{que2}(:,5)$ + +$\mathrm{L} = \mathrm{que2}(:,6)$ + +y=que2(:,7); + +$\mathrm{x = [ones(25,1),H]}$ + +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); + +[ \text{[beta0]} = [-19.86860.0082] ] + +[ \text{[beta,R,J]} = \text{nlinfit(y,H,'huaxue',beta0)}; ] + +betaci=nlparci(beta,R,J); + +beta,betaci + +yy=beta(1)*H./(beta(2)+H); + +plot(y,H,'o',H,yy,'+'),pause + +nlintool(y,H,'huaxue',beta) + +$\mathrm{y1 = (y./H - H./yy).*y};$ + +plot(H,y1,'+') + +图5-14程序 + +clc,clear; + +load que2.txt; + +R1=que2([6:18,22:25],1); + +G1=que2([6:18,22:25],2); + +B1=que2([6:18,22:25],3); + +S1=que2([6:18,22:25],4); + +H1=que2([6:18,22:25],5); + +L1=que2([6:18,22:25],6); + +y1=que2([6:18,22:25],7); + +for(i=1:17) + +$\mathrm{r(i,1) = R1(i,1)*R1(i,1)}$ + +$\mathrm{h(i,1) = H1(i,1)^{*}H1(i,1)}$ + +$\mathrm{s(i,1) = S1(i,1)^{*}S1(i,1)}$ + +$\mathrm{l(i,1) = L1(i,1)^{*}L1(i,1)}$ + +end + +$\mathrm{x = [ones(17,1),H1]}$ + +[b,bint,r,int-stats]=regress(y1,x) + +[beta0] $\coloneqq$ [-219.1676 2.6916]; + +[ \text{[beta,R,J]} = \text{nlinfit(y1,H1,'huaxue',beta0)}; ] + +betaci=nlparci(beta,R,J); + +beta,betaci + +yy=beta(1)*H1./(beta(2)+H1); + +plot(y1,H1,'o',H1,yy,'+'),pause + +nlintool(y1,H1,'huaxue',beta) + +$\mathrm{y1 = (y./H - H./yy).*y};$ + +plot(H,y1,'+') + +表 5-22 程序 + +$\mathrm{L} = [122;127;131;135;141]$ + +$\mathrm{y = [100;50;25;12.5;0]}$ + +$\mathrm{x = [ones(5,1),L]}$ + +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) + +图5-16程序 + +clc,clear; + +$\mathrm{H = [148}$ 147 132 120 104 108]; + +$\mathrm{S = [237 211 120 52 29 35]}$ + +$\mathrm{y = [11.810.189.198.748.147.36]}$ + +plot(y,H,'bo') + +clc,clear; + +$\mathrm{H} = \left[148147132120104108\right]$ + +$\mathrm{S = [237211120522935]}$ + +$\mathrm{y = [11.8 10.18 9.19 8.74 8.14 7.36]}$ + +plot(y,S,'b*) + +表 5-23 程序 + +load gyj.txt; + +$\mathrm{B = g y j(1:6,1);B = B^{\prime}}$ + +$\mathrm{G = g y j(1:6,2);G = G^{\prime}}$ + +$\mathrm{R = g y j(1:6,3);R = R^{\prime}}$ + +$\mathrm{H = g y j(1:6,4) ; H = H^{\prime}}$ + +$\mathrm{S = g y j(1:6,5);S = S^{\prime}}$ + +y=gyj(1:6,6);y=y'; + +$\mathrm{L} = [41;62;104;130;140;139]$ + +$\mathrm{x = [ones(6,1),H',S',L]}$ + +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x) + +y1=zeros(6,1); + +表 5-24 程序 + +clc,clear; + +load gyj.txt; + +$\mathrm{B = g y j(1:6,1);B = B^{\prime}}$ + +$\mathrm{G = g y j(1:6,2);G = G^{\prime}}$ + +$\mathrm{R = g y j(1:6,3);R = R^{\prime}}$ + +$\mathrm{H = g y j(1:6,4) ; H = H^{\prime}}$ + +$\mathrm{S = g y j(1:6,5);S = S^{\prime}}$ + +y=gyj(1:6,6);y=y'; + +$\mathrm{x = [ones(6,1),B',G',R',H',S');}$ + +[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x) + +y1=zeros(6,1); + +for(i=1:6) + +y1(i,1)=93.7527920768084+0.0497439440903447*B(1,i)-0.418688069022750*G(1,i)-0.12601055671600 + +1*R(1,i)-0.0933912280209183*H(1,i)-0.248218278476423*S(1,i); + +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/D002/D002.md b/MCM_CN/2017/D002/D002.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fbc3ad0f7b87d1c169453d48b461ca1b564b48ce --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/D002/D002.md @@ -0,0 +1,606 @@ +# 化工厂巡检路径规划与建模 + +# 摘要 + +本文主要研究化工厂巡检路径规划与排班问题。为提高巡检效率，优化资源分配，需制定科学合理的巡检路径。通过对化工厂巡检工作内容和特点分析，并制定相应的目标体系及约束条件，建立了最短路径的多目标规划模型，使用lingo和Excel求解，得到巡检人员最少的优化方案。 + +针对问题一：以每班需巡检人员尽可能少，工作量尽可能平衡为目标，以固时上班、无休息时间、每条线路周期不超过 $35\mathrm{min}$ 、每天三班制、每班8小时左右为约束，建立多目标规划模型，用图论法求解。先考虑分区，以线路周期内包含尽可能多巡检点与最短路径为目标，将所给巡检点连通图分组，得到共5条巡检路线，最少需5名巡检人员，如路线： + +$$ +2 2 - 2 1 - 4 - 2 - 1 - 3 - 6 - 1 4 - 2 1 +$$ + +（具体巡检路线见正文图6，巡检时间表见附录表1、2、3)。为使每条路线在一段时间内的总行走时间均衡，引入均衡度，越小越合理。该模型均衡度为0.35较大，为满足要求，故采用五线三班轮倒制。考虑到该模型在巡检人员每个周期的回程中浪费大量时间，所以不分区处理，利用最短路径和巡检耗时，得到将巡检点全部巡检的最少用时。用巡检一周的最少用时与 $35\mathrm{min}$ 的比值，得到最少巡检人数4名，该优化模型在固时上班条件下，第二班次巡检人员无法在指定时间到达指定点，无法形成班次循环，但可在错时上班条件下应用。 + +针对问题二：在第一问模型基础上，新增每2小时左右巡检人员休息5-10min、在中午12时和下午6时需进餐30分钟的约束，经分析，巡检人员每2小时的休息时间，可通过减少巡检周期大于35min的巡检点巡检次数得到，若线路中无大于35min周期的巡检点或压缩时间太少，可将线路分段并增加巡检人员。最终得到共6条路线，最少需要6名巡检人员，如路线： + +$$ +2 2 - 2 1 - 4 - 2 - 1 - 2 - 3 - 6 - 1 4 - 2 1 。 +$$ + +（具体巡检路线见正文图8，巡检时间表见附录表4、5、6）为使进餐时能正常工作，给需进餐的班次增加人员，轮换进餐，维持正常巡检。经分析，将两次进餐时间段都放入同一班次的上班时间内，可最大减少人力资源浪费，且6条巡检路线中有一条可在进餐后仍在指定时间到达指定地点。因此，得到第一班次共需11人，第二、三班次分别需6人。该模型均衡度较大，所以采用三班轮倒制。 + +针对问题三：对于问题一，在错时上班条件下，可利用问题一中建立的优化模型直接进行求解，得到巡检路线1条，共需巡检人员4人。与问题一结果比较，减少了人力资源浪费。对于问题二，在错时上班条件下，调整各班次上下班时间即可减少人力资源浪费，可得到每班次巡检人员6人，且线路不变，仍为6条巡检线路。与问题二结果比较，减少了资源浪费。 + +关键词：多目标规划巡检路径最短路径图论法均衡度 + +# 一、问题重述 + +某化工厂现有26个工作点需要进行巡检来保证正常生产，每个工作点的巡检周期、巡检耗时、各点之间的连通关系及行走所需时间在附件中给出。 + +工人可以按固定时间上班，也可以错时上班，在调度中心（XJ0022）得到巡检任务后以调度中心为起点开始巡检，且每个工作点每次巡检只需一名工人。试建立模型来安排巡检人数和巡检路线，使得所有工作点都能按要求完成巡检任务，并且巡检人数尽可能少，同时每名工人在一时间段内（如一周或一月等）的工作量尽可能均衡。 + +问题1：在每天三班倒，每班工作时间为8小时左右，且上下班时间固定，不考虑工人的休息时间等条件下，建立模型。安排巡检线路，给出工人的巡检路线和巡检时间表。 + +问题2：在工人每工作2小时左右休息一次、休息时间5到10分钟、中午12时和下午6时进餐一次及每次进餐时间为30分钟等条件下，仍采用每天三班倒，试建立模型确定每班需要多少人及巡检路线，并给出巡检人员的巡检线路和巡检时间表。 + +问题3：如果采用错时上班，重新讨论问题1和问题2，并分析错时上班能否使巡检人数更少。 + +# 二、模型假设 + +1. 假设巡检过程中，不会出现错检、漏检。 +2. 假设设备是由工人第一次上班时启动。 +3. 假设设备开启时间可以忽略。 +4. 假设行走过程中没有特殊情况耽误，能够准时到达。 + +# 三、符号说明 + +
i巡检点序号
j巡检路线序号
Lj第j条巡检路线行走总时间
ti第i个巡检点巡检耗时
K巡检人员数
T路线总耗时
R时间冗余
th各路线回程行走耗时
+ +# 四、问题分析 + +化工厂生产中使用的原料、半成品和成品种类繁多，绝大部分是易燃、易爆、有毒、有腐蚀性的危险品。在生产、运输、使用中管理不当，就会发生火灾、爆炸、中毒和烧伤事故，给工作人员生命财产安全和工厂生产造成重大影响。因此，建立数学模型来解决巡检人员的巡检路线及排班问题，以保证化工生产安全是极为重要的。 + +针对问题一：以每班需要巡检人员尽可能少与工人工作量尽可能平衡作为目标条件；以固时上班、巡检人员无休息时间、每条线路周期小于等于 $35\mathrm{min}$ 、每天三班制、每班工作8小时左右为约束条件，建立多目标规划模型。可使用图论法对该模型进行求解。而后通过分区巡检与不分区巡检的两种模型对比，得到最优模型。 + +针对问题二：在第一问的模型基础上，新增巡检人员每2小时左右休息5-10min、在中午12时和下午6时需要进餐30分钟的约束条件，经分析，巡检人员每2小时的休息时间可以通过减少巡检周期大于35min的巡检点的次数来得到；若线路中没有大于35min周期的巡检点或压缩时间太少，可将线路分段并增加巡检人员。为使进餐时也能正常工作，给需要进餐的班次增加巡检人员，轮换进餐，维持正常巡检。 + +针对问题三：在问题一、问题二模型的基础上，采用错时上班，并分别重新建立模型，分析错时上班是否能使巡检人员更少。对于问题一，在错时上班条件下，可利用问题一中建立的优化模型直接进行求解，对于问题二，在错时上班条件下，调整各班次上下班时间即可减少人力资源浪费。 + +# 五、模型的建立及求解 + +# 问题一 固时上班无休息模型： + +# 5.1.1 建立模型： + +要求巡检人数最少的巡检线路方案，只需让每个工人在其巡检点的最小周期内巡检尽可能多的工作点并原路返回第一个巡检点，下个周期再从第一个巡检点出发，就可得到巡检人数最少的巡检线路方案。 + +# 寻找XJ0022到各点的最短路径： + +首先，引入0-1变量，设 $S_{ij}$ 表示第 $i$ 个巡检点与第 $j$ 个巡检点是否直接连通，即： + +$$ +S _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text {第} \mathrm {i} \text {个 巡 检 点 与 第} \mathrm {j} \text {个 巡 检 点 直 接 连 通} \\ 0 & \text {第} \mathrm {i} \text {个 巡 检 点 与 第} \mathrm {j} \text {个 巡 检 点 不 直 接 连 通} \end{array} \quad (i, j = 1, 2, \dots , 2 6) \right. +$$ + +各巡检点之间的行走耗时赋权图的邻接矩阵为 $W_{ij}$ , 其中 $W_{ij} = P$ 表示巡检点 $i$ 到巡检点 $j$ 的权值为 $P$ 。建立最短路径模型如下: + +$$ +\min Z = \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} W _ {i j} S _ {i j} +$$ + +$$ +s. \mathrm {t} \left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {2 6} S _ {k j} = \sum_ {j = 1} ^ {2 6} S _ {i j} \\ \sum_ {j = 1} ^ {2 6} S _ {a j} = 1 \\ \sum_ {k = 1} ^ {2 6} S _ {k a} = 0 \\ \sum_ {k = 1} ^ {2 6} S _ {k b} = 1 \\ \sum_ {j = 1} ^ {2 6} S _ {b j} = 0 \\ S _ {i j} \leq W _ {i j} & \mathrm {i , j = 1 , 2 , \ldots , n} \\ S _ {i j} = 0 \text {或} 1 \end{array} \right. +$$ + +其中， $a, b$ 分别为起始点和目标点。 + +利用lingo程序求解（见附录程序1）得到如下表1所示的XJ0022到各点的最短路径。 + +表 1: 22 点到每个点的最短路径 + +
到达点经过路径最短时间(min)
122-21-4-2-18
222-21-4-26
322-21-4-2-37
422-21-43
522-21-4-2-3-58
622-21-4-2-3-68
722-21-4-2-3-5-710
822-23-24-9-25-17-89
922-23-24-94
1022-21-4-2-3-6-1013
1122-21-4-2-3-6-10-1115
1222-23-24-9-25-26-15-1218
1322-21-4-2-3-6-10-11-1317
1422-21-4-2-3-6-149
1522-23-24-9-25-26-1516
1622-21-4-2-3-6-10-11-13-1619
1722-23-24-9-25-178
1822-23-24-9-25-26-15-1818
1922-20-194
2022-202
2122-212
2200
2322-231
2422-23-242
2522-23-24-9-257
2622-23-24-9-25-2610
+ +找出最短路径中包含巡检点较多的几条巡检路径，并用最小周期 $35\mathrm{min}$ 为各条路径的周期，然后筛选出其中总耗时 $T$ 小于或等于 $35\mathrm{min}$ 的巡检路径。 + +因为最小周期时间不能被8小时整除，所以下面每班上班时间，采用13周期制或14周期制。 + +考虑到工作量要均衡，所以以每条巡检路线行走总时间作为工作量，建立如下模型： + +$$ +a = \frac {\operatorname* {m a x} (L _ {j}) - \operatorname* {m i n} (L _ {j})}{\operatorname* {m a x} (L _ {j})} +$$ + +其中， $L_{i}$ 为最终确立的巡检路线行走的总时间。 + +最后，由题意要求，假设各巡检点巡检所耗时间为 $t_i$ ，巡检人数为 $K$ ，则可得到目标规划模型如下： + +$$ +\min = K +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} T = \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} \left(T _ {i j} + t _ {i}\right) \\ T \leq 3 5 \end{array} \right. +$$ + +其中， $i = 1,2,\dots,26, j = 1,2,\dots,26$ + +# 5.1.2 求解模型： + +假设工人第一天上班时，第一天上班时间为8：00；各巡检点设备由巡检人员开启，每班上班八小时左右 + +以最短路径中包含巡检点较多的几条巡检路径为主要排查对象，并用最小周期35min为各条路径的周期来筛选巡检路线。 + +下面用图论法求解该模型： + +路线 1: 鉴于最小线路周期中巡检尽可能多的点及优先考虑只连通一个点的目标。所以尝试从起始点(XJ0022)出发, 不检修 XJ0022 依次经过 XJ0021、XJ0004、XJ0002、XJ0001、XJ0003、XJ0006、XJ0014 等巡检点, 因为不巡检 XJ0022, 所以最终回到 XJ0021 即可。因为该路线中损耗时间为 $37 \mathrm{~min}$ , 而线路损耗时间要控制在 $35 \mathrm{~min}$ 及以下, 经观察可以将 XJ0002 或 XJ0004 放在其他路线中巡检, 又因为 XJ0002 为各条最短路径的交集点, 所以选择 XJ0002 为线路 1 中不巡检的点, 此时巡检线路周期刚好为 $35 \mathrm{~min}$ 。易知当线路周期为 $35 \mathrm{~min}$ 时, 每班工作周期为 14 次。由此得到路线 1 的循环路线图, 如下: + +![](images/8667114fa0b5b79f09c4bff436442a143b984c6c531b5a6cb3a0607f51dc5a78.jpg) +图1：路线1的循环路线图 + +路线1： $22\to 21\to 4\to \boxed{2}\to (1)\to (3)\to (6)\to (14)\to (21)$ + +行走时间： $C1 = 20\mathrm{min}$ ， $②$ 表示只路过不巡检，从 $21 \rightarrow 21$ 循环巡检一周为 $35\mathrm{min}$ 。 + +各巡检点具体时间算法： + +到达时间 = 前一个点离开时间 + 行走所耗时间 + +离开时间 = 该点到达时间 + 巡检所耗时间 + +路线1安排：第一天上班时间为8:00，不巡检XJ0022，直接从XJ0022到XJ0021损耗时间为2min，所以到达XJ0021的时间为8:02，然后开始巡检XJ0021，所耗时间为3min，所以离开时间为8:05,到XJ0004行走损耗时间为1min，所以到达时间为8:06，巡检损耗时间为2min，所以离开时间为8:08。以此类推，得到该路线中各点的所有到达时间及离开时间表。 + +具体巡检时间表如下表2： + +表 2: 线路 1 工人到各巡检点时间 + +
巡检点 +序号第一次巡检时间段第二次 +到达时间……第十三次 +到达时间第十四次 +到达时间
XJ00218:02-8:058:37……15:0215:37
XJ00048:06-8:088:41……15:0615:41
XJ00028:11-8:118:46……15:1115:46
XJ00018:13-8:168:48……15:1315:48
XJ00038:19-8:228:54……15:1915:54
XJ00068:23-8:268:58……15:2315:58
XJ00148:27-8:309:02……15:2716:02
+ +观察表 2, 发现路线 1 早班八小时可以工作 14 个周期。 + +路线2安排：再次从起始点（XJ0022）出发，同路线1相同，不检修XJ0022时，巡检点最多，且时间刚好35min，所以不检修XJ0022，并依次经过XJ0020、XJ0019、XJ0002、XJ0003、XJ0005、XJ0007等巡检点，同样，因为不巡检XJ0022，所以最后回到XJ0020即可，除了XJ0003在线路1中已经巡检，故不再巡检只是路过，其余点全部巡检。总共损耗时间恰好也是35min。由此得到具体巡检线路图如下： + +![](images/fa567c6c0076c04798c200159e8f0df2fbd33afd09c9fadf5b9a67326de25514.jpg) +图2：路线2的循环路线图 + +路线2： $\boxed{22}\rightarrow \boxed{20}\rightarrow \boxed{19}\rightarrow \boxed{2}\rightarrow \boxed{3}\rightarrow \boxed{5}\rightarrow \boxed{7}\rightarrow \boxed{20}$ + +行走时间： $C2 = 24\mathrm{min}$ ，③ 表示只路过不巡检，从 $20 \rightarrow 20$ 循环巡检一周为 $35\mathrm{min}$ 。 + +具体巡检时间表如下： + +表 3: 线路 2 工人到达各巡检点时间 + +
巡检点 +序号第一次巡检时间段第二次 +到达时间……第十三次 +到达时间第十四次 +到达时间
XJ00208:02-8:058:37……15:0215:37
XJ00198:07-8:098:42……15:0715:42
XJ00028:14-8:168:49……15:1415:49
XJ00038:17-8:178:52……15:1715:48
XJ00058:18-8:208:53……15:1815:53
XJ00078:22-8:248:57……15:2215:57
+ +观察表 3 可得, 路线 2 在八小时内, 也可以巡检 14 次 + +路线3安排：再次从XJ0022出发，依次经过XJ0023、XJ0024、XJ0009、XJ0025、XJ0026并巡检各点，因为时间不够，所以不去XJ0027，原路返回到XJ0022，经计算，此时该周期时间为 $33\mathrm{min}$ 。观察发现，将XJ0022也一起巡检时，刚好达到 $35\mathrm{min}$ 的最小周期。由此得到路线3具体路线循环图如下： + +![](images/8badacfe2acfb3a0ca22134911a659492c598e5e15d224bdd273603c869fb616.jpg) +图3：线路3的循环线路图 + +线路3： $\boxed{22}\rightarrow \boxed{24}\rightarrow \boxed{9}\rightarrow \boxed{25}\rightarrow \boxed{26}\rightarrow \boxed{22}$ + +行走时间： $C3 = 20\mathrm{min}$ ，从 $22\rightarrow 22$ 循环巡检一周为 $35\mathrm{min}$ + +得到具体巡检时间表如下： + +表 4: 线路 3 工人到达各巡检点时间 + +
巡检点 +序号第一次巡检时间段第二次 +到达时间……第十三次 +到达时间第十四次 +到达时间
XJ00228:00-8:028:35……15:0015:35
XJ00238:03-8:068:38……15:0315:38
XJ00248:07-8:098:42……15:0715:42
XJ00098:11-8:158:46……15:1115:46
XJ00258:18-8:208:53……15:1815:53
XJ00268:23-8:258:58……15:2315:58
+ +路线4安排：再次从XJ0022出发，依次路过XJ0023、XJ0024、XJ0009、XJ0025且不巡检，再依次经过XJ0017、XJ0008、XJ0006、XJ0010、XJ0012、XJ0015等点，XJ0006不巡检，之后直接路过XJ0026、XJ0025回到第一个巡检点XJ0017。后面的周期，直接从XJ0017出发，并经过XJ0026、XJ0025回到XJ0017即可。由此得到线路4循环路线图： + +![](images/a28f7e0b64eda3043e8169139efefb7c1d5a03ab0d3aca80b3acb5ae9f1dd324.jpg) +图4：路线4的循环路线图 + +路线4： $22\to 17\to 8\to 6\to 10\to 12\to 15\to 17$ + +行走时间： $C4 = 20\mathrm{min}$ ，⑥ 表示只路过不巡检，从 $17 \rightarrow 17$ 循环巡检一周为 $35\mathrm{min}$ + +表 5: 线路 4 中工人到达各巡检点的时间 + +
巡检点序号第一次巡检时间段第二次到达时间……第十三次到达时间第十四次到达时间
XJ00178:08-8:108:43……15:0815:43
XJ00088:11-8:148:46……15:1115:46
XJ00108:21-8:238:56……15:2115:56
XJ00128:29-8:319:04……15:2916:04
XJ00158:33-8:359:08……15:3316:08
+ +路线5安排：再次从XJ0022出发，依次路过XJ0023、XJ0024、XJ0009、XJ0025、XJ0026、XJ0015等点，且不巡检，再依次巡检XJ0018、XJ0016、XJ0013、XJ0011等点，之后回到第一个巡检点XJ0018，后面的周期直接在XJ0018到XJ0011之间往返。由此得到路线5的循环路线图： + +![](images/d7180ed741ecff2f2cacaedb502f6e76421fea280028c5c339ad659f56ef56d8.jpg) +图5：路线5的循环线路图 + +路线5： $\boxed{22}\rightarrow \boxed{18}\rightarrow \boxed{16}\rightarrow \boxed{13}\rightarrow \boxed{11}\rightarrow \boxed{18}$ + +行走时间： $C5 = 27\mathrm{min}$ ，从 $18 \rightarrow 18$ 循环巡检一周为 $35\mathrm{min}$ 。 + +得到巡检时间表如下： + +表 6: 线路 5 工人到达各巡检点时间 + +
巡检点 +序号第一次巡检时间段第二次 +到达时间……第十三次 +到达时间第十四次 +到达时间
XJ00188:18-8:208:53……15:1815:53
XJ00168:23-8:268:58……15:2315:58
XJ00138:28-8:339:03……15:2816:03
XJ00118:35-8:389:10……15:3516:10
+ +此时，五条路线刚好把26个巡检点全部巡检。 + +因此得到具体路线如下图1，具体路线行走总时间等数据如下表7： + +![](images/cbfe4cc93af956608f1a617ca1cc8233554a29efd68b0761ad374c9167d9fee2.jpg) +图6：固时上班五条路线巡检路线图 + +(图6说明: 颜色相同的为一条巡检路线, 巡检点边框颜色代表同颜色路巡检, 其它路中颜色不同的点仅为路过。) + +根据上图，可知每班最少需要5人，且5个人的巡检路线为： + +第一个人： $22\to 21\to 4\to 2\to 1\to 2\to 3\to 6\to 14\to 6\to 3\to 2\to 4\to 21$ + +第二个人： $22\to 20\to 19\to 2\to 3\to 5\to 7\to 5\to 3\to 2\to 19\to 20$ + +第三个人： $22\to 23\to 24\to 9\to 25\to 26\to 25\to 9\to 24\to 23\to 22$ + +第四个人： $22\to 17\to 8\to 10\to 12\to 15\to 26\to 25\to 17$ + +第五个人： $22\to 18\to 16\to 13\to 11\to 13\to 16\to 18$ + +表 7: 五条巡检路线的巡检方案 + +
路线路线行走时间巡检耗时单次往返时间巡检点个数
22→21→4→2→1→2→3→6→14→6→3→2→4→212017356
22→20→19→2→3→5→7→5→3→2→19→202411355
22→23→24→9→25→26→25→9→24→23→222015356
22→17→8→10→12→15→26→25→172613355
22→18→16→13→11→13→16→183215354
+ +观察表7可得，每班最少需要5个人，巡检线路如上表（路线）所示，且第一班为13周期班，第二、三班为14周期班，最后，鉴于工作量平衡问题，应采用线路、班次轮换制。三个班次总的具体巡检线路及巡检时间表见附录表1、附录表2、附录表3。 + +# 5.1.3 均衡度分析： + +以各巡检路线行走总时间 $L_{j}$ 为均衡度衡量标准, 代入如下均衡度模型: + +$$ +a = \frac {\operatorname* {m a x} \left(L _ {j}\right) - \operatorname* {m i n} \left(L _ {j}\right)}{\operatorname* {m a x} \left(L _ {j}\right)} +$$ + +求得均衡度 $a = 0.375 > 0.15$ ，所以认为均衡度不好，鉴于对巡检人员上班进行三班、五线轮倒排班，也可使每名工人在一周或一个月内工作量尽量均衡。所以不再重新求解模型。 + +# 5.1.4 模型优化： + +鉴于上述模型在巡检人员每个周期的回程中浪费大量时间，尝试对该模型以减少回程行走时间为目标进行优化，经过观察巡检路线图，发现，只需让每个人从起始点出发，沿着同样的路线，绕最大的圈，巡检所有的巡检点，使得所有巡检点在同一条路线之中，然后回到起始点，就能减小原模型中周期回程浪费的时间。增大人力资源利用率，减少生产成本。 + +经过重新规划路线，得到如下巡检路线图： + +![](images/d79e17d6ade901f839108be5b6482e24c3e8a08eafa33863c3423b0d0a098e1b.jpg) +图7：固时上班不分区巡检路线图 + +经过观察发现，该巡检路线模型虽然可以有效减少回程时间，但是因为固时上班的限制，所以每次上班时，都要巡检人员先按顺序走到其第一个周期内负责的区域才能开始正式开始工作，而第一班的巡检人员下班之后，下一班的巡检人员还要再次先走到第一班巡检人员第一个周期负责的区域才能正式开始工作，另外，第一班之后的设备不可能等巡检人员到达之后才启动，所以舍弃这种优化模型。 + +该优化模型不可用于固时上班情况下。故舍去。 + +# 问题二 固时上班可休息进餐模型 + +# 5.2.1 建立模型： + +首先，我们针对题目新增的每两小时休息十分钟这个条件，引入时间冗余 $R$ 。时间冗余定义如下： + +$$ +R = q - T +$$ + +其中， $q$ 为固时上班模型中每条线路的周期， $T$ 为该线路的总耗时。 + +在问题一固时上班无休息时间模型的基础上，增加以每2小时时间冗余为5-10分钟可以作为休息为约束条件，得到目标规划模型如下： + +$$ +\min = K +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} R _ {c} \geq 5 \\ T = \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} \left(T _ {i j} + t _ {i}\right) \\ T \leq 3 5 \end{array} \right. +$$ + +其中， $R_{c}$ 表示该线路第 $c$ 个周期之后的时间冗余。 + +# 5.2.2 求解固时上班可休息进餐模型： + +首先在固时上班无休息模型基础上进行分析，发现该模型每条路线，每个周期的时间冗余都太小，无法满足每两小时后的时间冗余大于等于5min，所以考虑在该模型5条路线基础上，巡检人员数逐级递增，直到满足条件要求。 + +对于12点和6点进餐时间30分钟的问题，因为各巡检点的最小巡检周期为 $35\mathrm{min}$ ，而且是固时上班，所以认为，在这30分钟内，必须有人来顶替巡检人员继续工作，否则设备就有可能损坏。另外，设定12:00与20:00为第1班与第2班上班时间，且第3班的上班时间为凌晨4:00。 + +下面使用图论法求解模型： + +# 休息模型： + +路线1：从起始点（XJ0022）出发，为使路线包含巡检点更多，且周期为35min,所以不巡检XJ0022，并依次经过XJ0021、XJ0004、XJ0002、XJ0001、XJ0003、XJ0006、XJ0014等巡检点，同样，因为不巡检XJ0022，所以最后回到XJ0021即可，此时发现XJ0021的巡检周期为80min，所以只需要每2个周期回XJ0021一次，故该路线在上班2小时的时间冗余为8min，可以用作休息，即满足每2小时休息5-10min的要求。 + +表 8: 路线 1 巡检时间表 + +
巡检点 +序号第一次巡检时间段第四次巡检时间段……第十三次 +到达时间第十四次 +到达时间
XJ00213:52-3:55可休息8min……可休息11:32
XJ00043:56-3:595:41-5:44……11:0111:36
XJ00014:03-4:055:48-5:50……11:0811:43
XJ00034:09-4:115:54-5:56……11:1411:49
XJ00064:13-4:155:58-6:00……11:1811:53
XJ00144:17-4:206:02-6:05……11:2211:57
+ +观察表8可知，每2个周期都可以休息一次，每2小时左右可休息 $8\mathrm{min}$ 。 + +满足每两小时休息5-10分钟的条件，故采用该路线方案。 + +路线2：再次从起始点（XJ0022）出发，同路线1相同，不检修XJ0022时，巡检点最多，且时间刚好35min，所以不检修XJ0022，并依次经过XJ0020、XJ0019、XJ0002、XJ0003、XJ0005、XJ0007等巡检点，同样，因为不巡检XJ0022，所以最后回到XJ0020即可，此时发现XJ0005周期为720min，每20个周期巡检一次即可，XJ0007周期为80min，每2个周期巡检一次即可，所以每2个周期巡检XJ0007一次即可，所以每2小时可休息10min，即满足条件。 + +表 9: 路线 2 巡检时间表 + +
巡检点序号第一次巡检时间段第四次巡检时间段……第十三次到达时间第十四次到达时间
XJ00203:52-3:555:37-5:40……10:5711:32
XJ00193:57-3:595:42-5:44……11:0211:37
XJ00024:04-4:065:49-5:51……11:0911:44
XJ00054:08-4:08可休息10min……可休息11:48
XJ00074:10-4:12……11:50
+ +观察表 9 可知, 每 2 个小时可休息 $10 \mathrm{~min}$ 。故该路线可采用。 + +路线3：再次从XJ0022出发，依次经过XJ0023、XJ0024、XJ0009、XJ0025并巡检各点，巡检XJ0022。不去XJ0026的原因是只有当XJ0025为终点时，才能有时间冗余。此时因为XJ0025的巡检周期为120min，所以每三个周期巡检一次即可。且每2个小时可休息6分钟。 + +表 10: 路线 3 巡检时间表 + +
巡检点序号第一次巡检时间段第三次巡检时间段……第十三次到达时间第十四次到达时间
XJ00223:50-3:525:00-5:02……10:5511:30
XJ00233:53-3:565:03-5:06……10:5811:33
XJ00243:57-3:595:07-5:09……11:0211:37
XJ00094:01-4:055:11-5:15……11:0611:41
XJ0025可休息6min5:18-5:20……可休息11:48
+ +观察表 10 发现, 每 2 小时休息 6 分钟, 故该路线可用。 + +路线 4: 再次从 XJ0022 出发, 依次路过 XJ0023、XJ0024、XJ0009、XJ0025 且不巡检, 再依次经过 XJ0017、XJ0008、XJ0006、XJ0010、XJ0012、XJ0015 等点, XJ0006 不巡检, 之后直接路过 XJ0026、XJ0025 回到第一个巡检点 XJ0017。后面的周期, 直接从 XJ0017 出发, 并经过 XJ0026、XJ0025 回到 XJ0017 即可。因为 XJ0017 巡检周期为 $480 \mathrm{~min}$ , 所以只需每 13 周期巡检一次即可, XJ0010 巡检周期为 $120 \mathrm{~min}$ , 每 3 个周期巡检一次即可。经计算得到, 该路线每 2 小时可休息 6min。 + +表 11: 路线 4 巡检时间表 + +
巡检点序号第一次巡检时间段第三次巡检时间段……第十三次到达时间第十四次到达时间
XJ00174:00-4:00可休息6min……11:0511:40
XJ00084:01-4:045:11-5:14……11:0611:41
XJ00104:11-4:115:21-5:23……11:1311:51
XJ00124:17-4:195:27-5:29……11:2411:59
XJ00154:21-4:235:31-5:33……11:2812:03
+ +观察表11可知，该路线每2小时休息6min，故此路线可用。 + +路线5：再次从XJ0022出发，依次路过XJ0023、XJ0024、XJ0009、XJ0025、XJ0026、XJ0015等点，且不巡检，再依次巡检XJ0018、XJ0016、XJ0013、XJ0011等点，之后回到第一个巡检点XJ0018，后面的周期直接在XJ0018到XJ0011之间往返。其中XJ0013巡检周期为 $80\mathrm{min}$ ，每2个周期巡检一次即可，且该路线时间冗余较多，所以该路线每两小时都可休息十分钟。 + +表 12: 路线 5 巡检时间表 + +
巡检点 +序号第一次巡检时间段第四次巡检时间段……第十三次 +到达时间第十四次 +到达时间
XJ00184:08-4:105:53-5:55……11:1311:48
XJ00164:13-4:165:58-6:01……11:1811:53
XJ00134:18-4:23可休息……11:2311:58
XJ00114:25-4:276:10-6:12……11:3012:05
+ +观察表 12, 每 2 个小时可休息 $10 \mathrm{~min}$ , 故该路线可用。 + +路线6：再次从XJ0022出发，依次路过XJ0023、XJ0024、XJ0009、XJ0025、XJ0026等点，只巡检XJ0026,后面周期只在XJ0026巡检，其余时间可休息，每周期可休息时间为 $33\mathrm{min}$ 。 + +最终得到如下图所示包含所有巡检点的6条巡检路线，可满足每2小时休息5-10分钟的要求。 + +![](images/526f4bf7fcaaa55de10c53b7010976a16ab734753e04f53602dc1cfc48630690.jpg) +图8：固时上班可休息巡检路线图 + +其中，为节省休息时间点，为只在该点工作 + +# 休息进餐模型： + +在固时上班可休息模型的基础上，考虑12点、6点进餐时人员分配问题。 + +首先对进餐时间的巡检问题进行分析：因为进餐时也要有人去工作，且为固时上班，所以，在进餐时，要有同班的巡检人员顶替进餐人员工作，就只能在这个班内增加巡检人员的数量，如前一班巡检人员要在最后一个周期巡检完毕后才能下班，这时后一班的一部分人从XJ0022出发来接替第一班人员，另一部分去进餐。而将2个进餐时间都放在同一班内，这样就可以有效的减少人员浪费，所以假设三班上班时间分别调整到凌晨4点、中午12点、晚上8点。 + +经过分析发现，因为线路6只需巡检XJ0026这个点，对比以凌晨4:00为上班时间的巡检时间表，发现，进餐人员只需要在12:40回到XJ0026点即可，而XJ0022与XJ0026的最短路径所需时间刚好为10min，假设12:30时第二班负责线路6的巡检才刚出发，也可以在12:40时回到XJ0026,所以，线路6只需一名巡检人员就可以完成巡检任务。 + +而线路1、线路2、线路3、线路4、线路5的巡检人员在进餐后，不能按要求时间回到工作岗位，所以都需要2名巡检人员互相轮倒，进餐时间2人轮倒，非进餐时间2人一起巡检。 + +在可休息进餐模型中，第一班需要11名巡检人员，第二班、第三班各需要6名巡检人员，每天共需要23名巡检人员工作。 + +表 13：各班次上下班时间及巡检人员数 + +
班次上班时间下班时间巡检人员数
第一班次12:0020:0011
第二班次20:004:006
第三班次4:0012:006
+ +三个班次总的具体巡检时间表见附录表4、附录表5、附录表6。 + +# 5.2.3 固时上班可休息进餐模型均衡度分析： + +对得到的固时上班可休息进餐模型分析可知，同一班次中的每个人工作量是完全相同的，只是各班次巡检人员之间上班时间不同，所以进行三班轮倒排班，即可使每名工人在一周或一个月内工作量均衡。 + +问题二固时上班模型增加了所需巡检人员数，且对人力资源造成了极大浪费，而且增大了生产成本。 + +# 问题三：化工厂错时上班的排班问题 + +# 5.3.1 建立问题一错时上班模型： + +首先，考虑问题一固时上班的模型能否应用于错时上班，经观察发现，该模型采用错时上班，所需巡检人员数并没有减少。经过思考发现，问题一中不能使用的优化模型可在错时上班条件下使用。所以，建立在问题一固时上班模型的基础上增加以回程行走所浪费的时间 $t_h$ 最少为目标条件的双目标规划模型。 + +由题意要求，得到双目标规划模型如下： + +$$ +\min = t _ {h} +$$ + +$$ +\min = K +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} T = \sum_ {i = 1} ^ {2 6} \sum_ {j = 1} ^ {2 6} \left(T _ {i j} + t _ {i}\right) \\ T \leq 3 5 \end{array} \right. +$$ + +其中 $t_{i}$ 各巡检点巡检所耗时间，巡检人数为 $K$ ，总耗时为 $T$ 。 + +# 5.3.2 求解问题一错时上班模型 + +利用求解问题一固时上班模型时的方法，让每名工人从XJ0022处出发，沿着同样的路线，一路经过所有巡检点并进行巡检。使得每班巡检人员的上班时间依次相差为 $35\mathrm{min}$ 。当第一个工人第一次回到起始点时的巡检总人数就是错时上班模型下的最少人数。下面依旧使用图论法求解模型。 + +第一个35min：从第一名工人XJ0022出发，经过XJ0020、XJ0019、XJ0002、XJ0001、XJ0003、XJ0005、XJ0007，并在第一次到达时立即巡检该点。在35min时该工人正在检修XJ0007，同时第二名工人从XJ0022出发。 + +表 14: 第 1 个 35min 的巡检时间表 + +
巡检点 序号巡检时间段
XJ00228:00-8:02
XJ00208:04-8:07
XJ00198:09-8:11
XJ00028:16-8:18
XJ00018:20-8:23
XJ00038:26-8:29
XJ00058:30-8:32
XJ00078:34-8:36
+ +第二个35min：第一名工人接着从XJ0007出发，经过XJ0005、XJ0003、XJ0006、XJ0014、XJ0010、XJ0011、XJ0013、XJ0016，并在第一次到达时立即巡检该点。在开始工作70min时，该工人刚把XJ0016巡检完毕。同时，第三名工人从XJ0022出发。 + +表 15: 第 2 个 35min 的巡检时间表 + +
巡检点 序号第一个 35min 巡检时间段
XJ00068:38-8:41
XJ00148:42-8:45
XJ00108:51-8:53
XJ00118:55-8:58
XJ00139:00-9:05
XJ00169:07-9:10
+ +第三个35min：第一名工人接着从XJ0016出发，经过XJ0018、XJ0015、XJ0012、XJ0026、XJ0025、XJ0017、XJ0008，并在第一次到达时立即巡检该点。在开始工作105min时，该工人已经路过XJ0008，前往XJ0025。同时，第四名工人从XJ0022出发。 + +表 16: 第 3 个 35min 的巡检时间表 + +
巡检点 序号第二个 35min 巡检时间段
XJ00189:13-9:15
XJ00159:17-9:19
XJ00129:21-9:23
XJ00269:31-9:33
XJ00259:36-9:38
XJ00179:39-9:41
XJ00089:42-9:45
+ +第四个 $35\mathrm{min}$ ：第一名工人接着前往XJ0025，经过XJ0025、XJ0024、XJ0023、XJ0004、XJ0021、XJ0022并在第一次到达时立即巡检该点，到达XJ0022时，为开始工作后的第134分钟，然后在起始点休息6分钟后，在开始工作140min时，再次开始巡检。 + +表 17: 第 4 个 35min 的巡检时间表 + +
巡检点 +序号第二个35min巡检时间段
XJ00259:47-9:47
XJ00099:52-9:56
XJ00249:58-10:00
XJ002310:01-10:04
XJ000410:08-10:10
XJ002110:11-10:14
XJ002210:16-10:19
+ +最终得到具体路线图如下图9，具体行走路线等数据如下表18，总的具体错时上班巡检时间表见附录表7、附录表8、附录表9： + +![](images/48e1d6392d0aabec8c0147fa19ebf2c99f62efef17b02684a6ee8ae329c936ef.jpg) +图9：错时上班巡检路线图 +图9说明：其中颜色相同的为同一个 $35\mathrm{min}$ 内巡检的线路。 + +根据上图，可知每班最少需要4人，每天共需12人，且4个人的巡检路线为： + +第一个人： $22\to 20\to 19\to 2\to 1\to 2\to 3\to 5\to 7$ + +第二个人： $7\to 5\to 3\to 6\to 14\to 6\to 10\to 11\to 13\to 16$ + +第三个人： $16\to 18\to 15\to 12\to 15\to 26\to 25\to 17\to 8\to 17$ + +第四个人： $17\to 25\to 9\to 24\to 23\to 4\to 21\to 22$ + +表 18: 错时上班巡检路线表 + +
路线路线行走时间（min）巡检耗时巡检点个数
22→20→19→2→1→2→3→5→717188
7→5→3→6→14→6→10→11→13→1617186
16→18→15→12→15→26→25→17→8→1721147
17→25→9→24→23→4→21→2213185
+ +# 5.3.3 问题一错时上班均衡度分析： + +对得到的问题一错时上班模型分析可知，同一班次中的每个人工作量是完全相同的，只是各班次巡检人员之间上班时间不同，所以进行三班轮倒排班，即可使每名工人在一周或一个月内工作量均衡。 + +对比问题一固时上班模型，问题一错时上班模型减少了所需巡检人员数，且充分利用了人力资源，而且降低了生产成本。 + +# 5.3.4 利用错时上班优化问题二模型： + +首先对问题二固时上班休息进餐模型分析，发现第一班人力资源浪费现象严重。因此尝试对问题二固时上班休息进餐模型进行优化，通过错时上班减少进餐时的人力资源浪费。 + +针对第一班的人力资源浪费现象，只需让进餐人员进餐耗用的30min内的工作由下一班工作人员接替，就可省去第一班中多余的5人。且巡检路线不变。减少人力资源浪费，降低化工厂成本。 + +如，第三班在12:30下班，而12:00-12:30他们需要去进餐，所以让第一班在12:00时上班并接替第三班的工作，此时12:00-12:30第一班工作人员不进餐。到了18:00时，第一班工作人员去进餐，第二班工作人员在18:00上班并接替第一班的工作，且第一班吃完饭后下班。 + +由于第一班工作时间为6小时，出于第一、第二班人员工作量均衡，所以将第二班下班、第三班上班时间调整为凌晨3点。由此，得到如下表中所示的各班次上班时间表： + +表 19：优化后各班次上班时间表 + +
班次上班时间下班时间
第一班次12:006:30
第二班次6:003:00
第三班次3:0012:30
+ +观察上表可知，各班次的工作量不均衡。总的具体巡检时间表见附录表10、附录表11、附录表12。 + +# 5.3.5 问题二错时上班模型均衡度分析： + +对得到的错时上班可休息进餐模型分析可知，同一班次中的每个人工作量是完全相同的，只是各班次巡检人员之间上班时间不同，所以进行三班轮倒排班，即可使每名工人在一周或一个月内工作量均衡。 + +对比问题二固时上班模型，问题二错时上班模型减少了所需巡检人员数，且充分利用了人力资源，而且降低了生产成本。 + +# 六、模型评价、改进与推广 + +# 6.1 模型评价： + +优点： + +(1) 模型都采用了均衡度进行了评估，使工人的工作时间合理化。 +(2) 模型求解过程中，对模型进行逐步调整，增加的结果的准确性。 +(3) 运用了正确的数据处理方法，很好的解决了小数取整问题。 +(4) 引入时间冗余，使模型的求解过程简单化。 + +缺点： + +（1）模型要分析比较容易出现误差。 +（2）休息时间点数据较多确定比较困难。 + +# 6.2 模型的改进： + +(1) 在问题二中没有求出所有的休息时间点, 如果时间充足应求出所有休息时间点, 使结果更为准确。 +(2) 如果有更先进的算法, 比如遗传算法、蚁群算法可以建立更为准确的路线。 + +# 6.3 模型的推广： + +交警早晚高峰出警巡逻、火车进出站的调度、城市车辆限号等问题 + +# 七、参考文献 + +[1] 姜启源，谢金星等. 数学建模（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2011. +[2] 肖华勇. 实用数学建模与软件应用[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2010. +[3] 杨桂元,李天胜等.数学建模应用实例[M].安徽:合肥工业大学出版社,2007. +[4] 杨洪. 图论常用算法选编 [M]. 北京: 中国铁道出版社, 1988. +[5] 致远“错时上下班”方便群众有推广价值[N].广西日报，2017.07.28. + +# 附录 + +附录一程序：最短路径的求解 + +```julia +model: +sets: +pt/1..26/; +road(pt,pt):x,a; +endsets +data: +a=@file('a.txt'); +enddata +min=@sum(road(i,j):a\*x); +@for(pt(i)|i#ne#22#and#i#ne#16:@sum(pt(k):x(k,i))=@sum(pt(j):x(i,j))) ; +@sum(pt(j)|j#ne#22:x(22,j))=1; +@sum(pt(k)|k#ne#22:x(k,22))=0; +@sum(pt(k)|k#ne#16:x(k,16))=1; +@sum(pt(j)|j#ne#16:x(16,j))=0; +@for(road(i,j):x(i,j)<=a(i,j)); +@for(road(i,j):@bin(x(i,j)))； +end +``` + +表 1: 固定上班第一班巡检表 + +
巡检路线I
218:029:1210:2211:3212:4213:5215:02
48:068:419:169:5110:2611:0111:3612:1112:4613:2113:5614:3115:0615:41
18:138:489:239:5810:3311:0811:4312:1812:5313:2814:0314:3815:1315:48
38:198:549:2910:0410:3911:1411:4912:2412:5913:3414:0914:4415:1915:54
68:238:589:3310:0810:4311:1811:5312:2813:0313:3814:1314:4815:2315:58
148:279:029:3710:1210:4711:2211:5712:3213:0713:4214:1714:5215:2716:02
巡检路线II
208:028:379:129:4710:2210:5711:3212:0712:4213:1713:5214:2715:0215:37
198:078:429:179:5210:2711:0211:3712:1212:4713:2213:5714:3215:0715:42
28:148:499:249:5910:3411:0911:4412:1912:5413:2914:0414:3915:1415:49
38:178:529:2710:0210:3711:1211:4712:2212:5713:3214:0714:4215:1715:52
58:18
78:229:3210:4211:5213:0214:1215:22
巡检路线III
228:008:359:109:4510:2010:5511:3012:0512:4013:1513:5014:2515:0015:35
238:038:389:139:4810:2310:5811:3312:0812:4313:1813:5314:2815:0315:38
248:078:429:179:5210:2711:0211:3712:1212:4713:2213:5714:3215:0715:42
98:118:469:219:5610:3111:0611:4112:1612:5113:2614:0114:3615:1115:46
258:1810:0311:4813:3315:18
268:238:589:3310:0810:4311:1811:5312:2813:0313:3814:1314:4815:2315:58
巡检路线IV
178:08
88:118:469:219:5610:3111:0611:4112:1612:5113:2614:0114:3615:1115:46
108:2110:0611:5113:3615:21
128:299:049:3910:1410:4911:2411:5912:3413:0913:4414:1914:5415:2916:04
158:339:089:4310:1810:5311:2812:0312:3813:1313:4814:2314:5815:3316:08
巡检路线V
188:188:539:2810:0310:3811:1311:4812:2312:5813:3314:0814:4315:1815:53
168:238:589:3310:0810:4311:1811:5312:2813:0313:3814:1314:4815:2315:58
138:289:3811:5813:0815:28
118:359:109:4510:2010:5511:3012:0512:4013:1513:5014:2515:0015:3516:10
+ +注：每个路线只需要1个人，每个班只需要5个人。 + +表 2: 固定上班第二班巡检表 + +
巡检路线I
巡检时间
2116:1217:2218:3219:4220:5222:0223:12
416:1616:5117:2618:0118:3619:1119:4620:2120:5621:3122:0622:4123:16
116:2316:5817:3318:0818:4319:1819:5320:2821:0321:3822:1322:4823:23
316:2917:0417:3918:1418:4919:2419:5920:3421:0921:4422:1922:5423:29
616:3317:0817:4318:1818:5319:2820:0320:3821:1321:4822:2322:5823:33
1416:3717:1217:4718:2218:5719:3220:0720:4221:1721:5222:2723:0223:37
巡检路线II
巡检时间
2016:1216:4717:2217:5718:3219:0719:4220:1720:5221:2722:0222:3723:12
1916:1716:5217:2718:0218:3719:1219:4720:2220:5721:3222:0722:4223:17
216:2416:5917:3418:0918:4419:1919:5420:2921:0421:3922:1422:4923:24
316:2717:0217:3718:1218:4719:2219:5720:3221:0721:4222:1722:5223:27
519:58
716:3217:4218:5220:0221:1222:2223:32
巡检路线III
巡检时间
2216:1016:4517:2017:5518:3019:0519:4020:1520:5021:2522:0022:3523:10
2316:1316:4817:2317:5818:3319:0819:4320:1820:5321:2822:0322:3823:13
2416:1716:5217:2718:0218:3719:1219:4720:2220:5721:3222:0722:4223:17
916:2116:5617:3118:0618:4119:1619:5120:2621:0121:3622:1122:4623:21
2517:0318:4820:3322:18
2616:3317:0817:4318:1818:5319:2820:0320:3821:1321:4822:2322:5823:33
巡检路线IV
巡检时间
1716:08
816:2116:5617:3118:0618:4119:1619:5120:2621:0121:3622:1122:4623:21
1017:0618:5120:3622:21
1216:3917:1417:4918:2418:5919:3420:0920:4421:1921:5422:2923:0423:39
1516:4317:1817:5318:2819:0319:3820:1320:4821:2321:5822:3323:0823:43
巡检路线V
巡检时间
1816:2817:0317:3818:1318:4819:2319:5820:3321:0821:4322:1822:5323:28
1616:3317:0817:4318:1818:5319:2820:0320:3821:1321:4822:2322:5823:33
1316:3817:4818:5820:0821:1822:2823:38
1116:4517:2017:5518:3019:0519:4020:1520:5021:2522:0022:3523:1023:45
+ +注：每个路线只需要1个人，每个班只需要5个人。 + +表 3: 固定上班第三班巡检表 + +
巡检路线I
巡检时间
210:221:322:423:525:026:127:22
423:510:261:011:362:112:463:213:564:315:065:416:166:517:26
123:580:331:081:432:182:533:284:034:385:135:486:236:587:33
30:040:391:141:492:242:593:344:094:445:195:546:297:047:39
60:080:431:181:532:283:033:384:134:485:235:586:337:087:43
140:120:471:221:572:323:073:424:174:525:276:026:377:127:47
巡检路线II
巡检时间
2023:470:220:571:322:072:423:173:524:275:025:376:126:477:22
1923:520:271:021:372:122:473:223:574:325:075:426:176:527:27
223:590:341:091:442:192:543:294:044:395:145:496:246:597:34
30:020:371:121:472:222:573:324:074:425:175:526:277:027:37
5
70:421:523:024:125:226:327:42
巡检路线III
巡检时间
2223:450:200:551:302:052:403:153:504:255:005:356:106:457:20
2323:480:230:581:332:082:433:183:534:285:035:386:136:487:23
2423:520:271:021:372:122:473:223:574:325:075:426:176:527:27
923:560:311:061:412:162:513:264:014:365:115:466:216:567:31
250:031:483:335:187:03
260:080:431:181:532:283:033:384:134:485:235:586:337:087:43
巡检路线IV
巡检时间
170:08
823:560:311:061:412:162:513:264:014:365:115:466:216:567:31
100:061:513:365:217:06
120:140:491:241:592:343:093:444:194:545:296:046:397:147:49
150:180:531:282:032:383:133:484:234:585:336:086:437:187:53
巡检路线V
巡检时间
180:030:381:131:482:232:583:334:084:435:185:536:287:037:38
160:080:431:181:532:283:033:384:134:485:235:586:337:087:43
130:481:583:084:185:286:387:48
110:200:551:302:052:403:153:504:255:005:356:106:457:207:55
+ +注：每个路线只需要1个人，每个班只需要5个人。 + +表 4：固时进餐休息第一班巡检表 + +
固时吃饭休息第一班巡检表
巡检路线I巡检时间
2112:0712:4213:5215:0216:1217:2218:3219:42
412:1112:4613:2113:5614:3115:0615:4116:1616:5117:2618:0118:3619:1119:46
112:1812:5313:2814:0314:3815:1315:4816:2316:5817:3318:0818:4319:1819:53
312:2412:5913:3414:0914:4415:1915:5416:2917:0417:3918:1418:4919:2419:59
612:2813:0313:3814:1314:4815:2315:5816:3317:0817:4318:1818:5319:2820:03
1412:3213:0713:4214:1714:5215:2716:0216:3717:1217:4718:2218:5719:3220:07
巡检路线II
2012:0712:4213:1713:5214:2715:0215:3716:1216:4717:2217:5718:3219:0719:42
1912:1212:4713:2213:5714:3215:0715:4216:1716:5217:2718:0218:3719:1219:47
212:1912:5413:2914:0414:3915:1415:4916:2416:5917:3418:0918:4419:1919:54
312:2212:5713:3214:0714:4215:1715:5216:2717:0217:3718:1218:4719:2219:57
519:58
713:0214:1215:2216:3217:4218:5220:02
巡检路线III巡检时间
2212:0512:4013:1513:5014:2515:0015:3516:1016:4517:2017:5518:3019:0519:40
2312:0812:4313:1813:5314:2815:0315:3816:1316:4817:2317:5818:3319:0819:43
2412:1212:4713:2213:5714:3215:0715:4216:1716:5217:2718:0218:3719:1219:47
912:1612:5113:2614:0114:3615:1115:4616:2116:5617:3118:0618:4119:1619:51
2513:3315:1817:0318:48
巡检路线IV巡检时间
1716:08
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1512:3813:1313:4814:2314:5815:3316:0816:4317:1817:5318:2819:0319:3820:13
巡检路线V巡检时间
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巡检路线VI巡检时间
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注：I---V线路每班需要2人，VI线路需要1人，总共需要11人
+ +表 5：固时进餐休息第二班巡检表 + +
固时休息进餐第二班巡检表
巡检路线I巡检时间
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巡检路线II巡检时间
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5
721:1222:2223:320:421:523:02
巡检路线III巡检时间
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巡检路线IV巡检时间
170:08
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1020:3622:210:061:513:36
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巡检路线V巡检时间
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1120:5021:2522:0022:350:200:403:15
巡检路线VI巡检时间
2620:2020:5521:3022:050:251:352:453:20
+ +注：每条线路只需6个人，共6个人 + +表 6：固时进餐休息第三班巡检表 + +
固时吃饭进餐第三班巡检表
巡检路线I巡检时间
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巡检路线II巡检时间
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58:18
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巡检路线III巡检时间
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255:187:038:1810:0311:48
巡检路线IV巡检时间
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巡检路线V巡检时间
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巡检路线VI巡检时间
263:554:305:055:406:156:507:258:008:359:109:4510:2010:5511:30
注：每条线路只需6个人，共6个人
+ +表 7: 错时上班第一班巡检表 + +
错时上班第一班巡检表
巡检点第一人巡检时间第二人巡检时间第三人巡检时间第四人巡检时间
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+ +表 8: 错时上班第二班巡检表 + +
错时上班第二班巡检表
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+ +表 9: 错时上班第二班巡检表 + +
错时上班第三班巡检表
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2523:361:564:166:360:112:314:517:110:463:065:267:461:213:416:018:21
1723:391:594:196:390:142:344:547:140:493:095:297:491:243:446:048:24
823:422:024:226:420:172:374:577:170:523:125:327:521:273:476:078:27
2523:472:074:276:470:222:425:027:220:573:175:377:571:323:526:128:32
+ +表 10: 错位休息第一班巡班表 + +
错位休息第一班巡检表
巡检路线I巡检时间
XJ-002112:0712:4213:5215:0216:1217:22
XJ-000412:1112:4613:2113:5614:3115:0615:4116:1616:5117:26
XJ-000112:1812:5313:2814:0314:3815:1315:4816:2316:5817:33
XJ-000312:2412:5913:3414:0914:4415:1915:5416:2917:0417:39
XJ-000612:2813:0313:3814:1314:4815:2315:5816:3317:0817:43
XJ-001412:3213:0713:4214:1714:5215:2716:0216:3717:1217:47
巡检路线II巡检时间
XJ-002012:0712:4213:1713:5214:2715:0215:3716:1216:4717:22
XJ-001912:1212:4713:2213:5714:3215:0715:4216:1716:5217:27
XJ-000212:1912:5413:2914:0414:3915:1415:4916:2416:5917:34
XJ-000312:2212:5713:3214:0714:4215:1715:5216:2717:0217:37
XJ-0005
XJ-000713:0214:1215:2216:3217:42
巡检路线III巡检时间
XJ-002212:0512:4013:1513:5014:2515:0015:3516:1016:4517:20
XJ-002312:0812:4313:1813:5314:2815:0315:3816:1316:4817:23
XJ-002412:1212:4713:2213:5714:3215:0715:4216:1716:5217:27
XJ-000912:1612:5113:2614:0114:3615:1115:4616:2116:5617:31
XJ-002513:3315:1817:03
巡检路线IV巡检时间
XJ-001716:08
XJ-000812:1612:5113:2614:0114:3615:1115:4616:2116:5617:31
XJ-001013:3615:2117:06
XJ-001212:3413:0913:4414:1914:5415:2916:0416:3917:1417:49
XJ-001512:3813:1313:4814:2314:5815:3316:0816:4317:1817:53
巡检路线V巡检时间
XJ-001812:2312:5813:3314:0814:4315:1815:5316:2817:0317:38
+ +表 11：错位休息第二班巡班表 + +
错时休息第二班巡检表
巡检路线I巡检时间
XJ-002118:3219:4220:5222:0223:120:221:322:42
XJ-000418:0118:3619:1120:2120:5622:0622:4123:1623:510:261:011:362:112:46
XJ-000118:0818:4319:1820:2821:3122:0622:4123:1623:510:261:081:432:182:53
XJ-000318:1418:4919:2420:3421:0922:1922:5423:290:040:391:141:492:242:59
XJ-000618:1818:5319:2820:0321:1321:4822:2323:330:080:431:181:532:283:03
XJ-001418:2218:5719:3220:0721:1721:5222:2723:370:120:471:221:572:323:07
巡检路线II巡检时间
XJ-002018:3219:0719:4220:1720:5222:0222:3723:1223:470:220:571:322:072:42
XJ-001918:3719:1219:4720:2220:5722:0722:4223:1723:520:271:021:372:122:47
XJ-000218:4419:1919:5420:2921:0421:3922:1422:4923:2423:590:341:091:442:192:54
XJ-000318:4719:2219:5720:3221:0721:4222:1722:5223:270:020:371:121:472:222:57
XJ-000519:58
XJ-000718:5220:0221:1222:2223:320:421:523:02
巡检路线III巡检时间
XJ-002218:3019:0519:4020:1520:5021:2522:0022:3523:1023:450:200:551:302:052:40
XJ-002318:3319:0819:4320:1820:5321:2822:0322:3823:1323:480:230:581:332:082:43
XJ-002418:3719:1219:4720:2220:5721:3222:0722:4223:1723:520:271:021:372:122:47
XJ-000918:4119:1619:5120:2621:0121:3622:1122:4623:2123:560:311:061:412:162:51
XJ-002518:4820:3322:180:031:48
巡检路线IV巡检时间
XJ-00170:08
XJ-000818:0618:4119:1619:5120:2621:0121:3622:1122:4623:2123:560:311:061:412:162:51
XJ-001018:5120:3622:210:061:51
XJ-001218:2418:5919:3420:0920:4421:1921:5422:2923:0423:390:140:491:241:592:343:09
XJ-001518:2819:0319:3820:1320:4821:2321:5822:3323:0823:430:180:531:282:032:383:13
巡检路线V巡检时间
XJ-001818:1318:4819:2319:5820:3321:0821:4322:1822:5323:280:030:381:131:482:232:58
+ +表 12：错位休息第二班巡班表 + +
错时休息第三班巡检表
巡检路线I巡检时间
XJ-00213:525:026:127:228:029:1210:2211:32
XJ-00043:214:315:066:166:517:268:068:419:169:5110:2611:0111:36
XJ-00013:284:385:136:236:587:338:138:489:239:5810:3311:0811:43
XJ-00033:344:095:196:297:047:398:198:549:2910:0410:3911:1411:49
XJ-00063:384:135:236:337:087:438:238:589:3310:0810:4311:1811:53
XJ-00143:424:175:276:026:377:127:478:279:029:3710:1210:4711:2211:57
巡检路线II巡检时间
XJ-00203:173:525:026:126:477:228:028:379:129:4710:2210:5711:32
XJ-00193:223:575:076:176:527:278:078:429:179:5210:2711:0211:37
XJ-00023:294:045:146:246:597:348:148:499:249:5910:3411:0911:44
XJ-00033:324:075:176:277:027:378:178:529:2710:0210:3711:1211:47
XJ-00058:18
XJ-00074:125:226:327:428:229:3210:4211:52
巡检路线III巡检时间
XJ-00223:153:505:006:106:457:208:008:359:109:4510:2010:5511:30
XJ-00233:183:535:036:136:487:238:038:389:139:4810:2310:5811:33
XJ-00243:223:575:076:176:527:278:078:429:179:5210:2711:0211:37
XJ-00093:264:015:116:466:216:567:318:118:469:219:5610:3111:41
XJ-00253:335:187:038:1810:0311:48
巡检路线IV巡检时间
XJ-00178:08
XJ-00083:264:014:365:116:216:567:318:118:469:219:5610:3111:0611:41
XJ-00103:365:217:068:2110:0611:51
XJ-00123:444:194:545:296:046:397:147:498:299:049:3910:1410:4911:2411:59
XJ-00153:484:234:585:336:086:437:187:538:339:089:4310:1810:5311:2812:03
+ +表十三：24 小时所有点的巡视时间 + +
位号24小时所有点的巡视时间
XJ-00018:138:489:239:5810:3311:0811:43
XJ-00028:148:499:249:5910:3411:0911:44
XJ-00038:178:529:2710:0210:3711:1211:47
XJ-00048:068:419:169:5110:2611:0111:36
XJ-00058:18
XJ-00068:238:589:3310:0810:4311:1811:53
XJ-00078:229:3210:4211:52
XJ-00088:118:469:219:5610:3111:0611:41
XJ-00098:118:469:5610:3111:0611:41
XJ-00108:2110:0611:51
XJ-00118:359:109:4510:2010:5511:3012:05
XJ-00128:299:049:3910:1410:4911:2411:59
XJ-00138:289:3810:4811:58
XJ-00148:279:029:3710:1210:4711:2211:57
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XJ-00178:08
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XJ-00218:029:1210:2211:32
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XJ-00258:1810:0311:48
XJ-00268:238:589:3310:0810:4311:1811:53
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2017/D035/D035.md b/MCM_CN/2017/D035/D035.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ea0ca1ea78114d7d6d9fef6dfb419f04396e2576 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2017/D035/D035.md @@ -0,0 +1,1697 @@ +# 基于最短路模型和背包模型的巡检线路排班方案 + +# 摘要 + +本文对某化工厂的巡检线路和排班方案进行了研究。 + +首先，为了实现人力资源消耗量尽可能少，需要巡检路线尽可能短。根据图论知识，建立无向赋权图，以26个巡检点为顶点集，以巡检点间的连线为边，以两个巡检点之间的走路时间为权。再把调度中心确定为起点和终点，建立最短路模型，求解时，使用MATLAB软件，依次指定几个中间点，分别求解几次，便得到了连接26个巡检点的最短回路，最短回路总时间是72分钟。 + +其次，以最短回路为基础，统计出各个巡检点对应的累计时间（走路时间和巡检时间累加）作为时间轴，最短回路的终点所对应的累计时间就是最大累计时间，将它作为分割对象，于是问题转化为：至少需要几段时间，才能将该最大累计时间全部覆盖掉？于是建立背包模型，以巡检点的周期为约束条件，以最少段数为目标函数。最少的分段数就是巡检人数。 + +在最短回路和最少人数的基础上，制定了相应的排班方案和时间表。 + +将巡检耗时作为人力资源消耗量的测量指标，作为评价排班方案优劣的工具。 + +为了实现每名工人的工作量尽量均衡，以若干天为周期进行轮岗轮班。 + +排班结果： + +（1）固定时间上班，不考虑休息时间的情境下，每班至少需要4人，每天三班需要12人。4人的人力资源消耗量不均衡，但三班的人力资源消耗量是均衡的，故以4天为周期轮岗，实现了工作量绝对均衡。每天人力资源总耗费时间为1260分钟。 +（2）固定时间上班，考虑休息时间10分钟的情境下，每班至少需要5人，每天三班需要15人。5人的人力资源消耗量是均衡的，但三班的人力资源消耗量不均衡，故以三班为周期轮班。每天人力资源总耗费时间为2600分钟。 +(3) 错时上班, 不考虑休息时间的情境下, 每班至少需要 4 人, 每天三班需要 12 人。4 人的工作量绝对均衡, 且三班的人力资源消耗量也均衡。每天人力资源总耗费时间为 840 分钟。 +（4）错时上班，考虑休息时间10分钟的情境下，每班至少需要5人，每天三班需要15人。5人的工作量绝对均衡，三班的人力资源消耗量也均衡。每天人力资源总耗费时间为0分钟。 +（5）错时上班，考虑休息时间5分钟的情境下，每班至少需要4人，每天三班需要12人。5人的工作量绝对均衡，三班的人力资源消耗量也均衡。每天人力资源总耗费时间为0分钟。 + +通过研究得出结论：错时上班会减少人力资源消耗量。 + +灵敏度分析结果显示，吃饭时间的微小变化对排班方案没有影响。 + +稳健性分析结果显示，指定其它几个不同的中间点，对最短路径影响不大。 + +本文优点：使用最短路模型，找到了最短回路；使用背包模型，确定了最少人数。 + +不足之处：在求解最短路模型时，指定中间点带有主观性。 + +进一步研究方向：在巡检点数量较多的情况下，如何求解获得最短路径并提高运算效率。 + +本文建立的模型可以推广到医生定期对社区内孤寡老人体检等问题中。 + +关键词：无向赋权图；最短路模型；背包模型；巡检线路；排班方案 + +# 一、问题重述 + +某化工厂有若干个点需要定期巡检以保证正常生产，已知：各个点的巡检周期、巡检耗时、两点之间的连通关系及行走所需时间，如何确定最少的巡检人数和最短巡检路线，使得所有点都能被巡检，并且耗费的人力资源尽可能少，同时每名工人在一时间段内的工作量尽量平衡？在以下条件下，解决提出的问题： + +（1）固定时间上班，不考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间； +(2) 固定时间上班，考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间； +（3）错时上班，不考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间； +（4）错时上班，考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间； + +每班至少需要多少人？巡检线路和时间表如何安排？ + +# 二、问题分析 + +题目要求：（1）把所有的巡检点都要遍历；（2）耗费的人力资源尽可能少；（3）巡检人员的工作量尽可能均衡；（4）巡检人员上班时间固定或错时上班；（5）巡检人员有休息时间和吃饭时间；（6）每天三班倒；（7）每班工作8小时； + +要解决的问题：（1）每班需要多少人？（2）每个工作人员的巡检路线和时间表。 + +我们分2个阶段来建模。 + +第1阶段，要使得人力资源消耗量尽可能少，需要把26个点按照先后次序找到一个最短回路，这是一个图论问题，通过建立图论中的最短路模型来解决。但最短路模型不能得到从起点到起点的最短路，于是设定一个中间点，先求出从起点到中间点的最短路径，再从26个顶点中删去已经选中的点，再求剩下点的最短路，直到求出终点为起点的最短路为止。 + +第2阶段，在最短回路上，按照巡检点周期要求来安排若干个工作人员，使得人员数量最少，这是一个背包问题，建立背包模型来解决。 + +最短回路和最少人数确定后，就可以按照时间进程排出巡检路线和时间表。 + +题目还要求巡检人员的工作量尽可能均衡，故可以通过轮岗、轮班方式来解决。 + +解题过程如图1所示。 + +![](images/03abb9cec7d7a92c1a48a8760b737092dcb1c3e30427a50f695eb78a2703ad01.jpg) +图1 本文解题过程 + +# 三、符号说明 + +
Ti:巡检点i的周期,分钟rij:巡检点i到巡检点j的走路时间,分钟
ti:巡检点i的耗时,分钟gi:从起点到巡检点i的累计时间,分钟
wi:边(vi,vi)的权,分钟hat:当考虑休息时间时从起点到巡检点i的累计时间,分钟
φ:休息时间,分钟yi:最短回路中第i段的时间间隔,分钟
n:巡检点个数,个m:每班人数,人,或分段个数
θ:吃饭时间,分钟
+ +其余符号在文中给出。 + +# 四、模型假设 + +为了简化问题，作如下假设： + +（1）每天三班的上班时间为：早班（8:00-16:00）、中班（16:00-24:00）、晚班（0:00-8:00）。每班工作8小时； +（2）某人的人力资源消耗量是指上班期间的空闲时间和加班时间，加班时间包括巡检耗时和走路时间，以分钟计算。 +（3）某班（早班、中班或晚班）的人力资源消耗量是指所有工作人员的人力资源消耗量之和，以分钟计算。 +(4) 某天的人力资源消耗量是指早班、中班和晚班的人力资源消耗量之和，以分钟计算。 +(5) 所有巡检人员从调度中心出发, 但下班后不一定回到调度中心。 + +# 五、模型建立与求解 + +# 5.1 问题1——固定上班时间、不考虑休息时间的巡检排班方案 + +# 5.1.1 问题分析 + +问题1的解题过程如图2所示。 + +![](images/9038ad7ba198f21ba08ea93b412fac445c587a14b64c21b49f00b8f2270c8d89.jpg) +图2 问题1的解题过程 + +# 5.1.2 模型建立 + +# 5.1.2.1 最短路模型 + +设巡检点 $i$ 到巡检点 $j$ 的走路时间为 $r_{ij}$ , $i, j = 1, 2, \dots, n$ , 本文中, $n = 26$ 。 + +设无向赋权图 $G = (V, E)$ , $V$ 是顶点集, 有 $n$ 个顶点, $E$ 是边集, $w(v_{i}, v_{j})$ 表示边 $(v_{i}, v_{j})$ 的权, 简记作 $w_{ij}$ , 如图3所示。 + +![](images/2477496a81edbb53a79c506e6cd64aa4831c42355df49168f505e24759dd6e9f.jpg) +图3巡检问题的无向赋权图 + +我们取巡检点 $i$ 到巡检点 $j$ 的走路时间 $r_{ij}$ 作为边 $\left(v_{i}, v_{j}\right)$ 的权 $w_{ij}$ ，即 + +$$ +w _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} r _ {i j}, & \left(v _ {i}, v _ {j}\right) \in E \\ \infty , & \text {其 它} \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +$n$ 个顶点的赋权图的赋权矩阵记作 $W = \left(w_{ij}\right)_{n\times n}$ 。 + +设决策变量 $x_{ij} = 1$ 表示边 $\left(v_{i}, v_{j}\right)$ 位于顶点 $v_{1}$ 到顶点 $v_{n}$ 的路上；否则 $x_{ij} = 0$ 。 + +顶点 $\nu_{1}$ 到顶点 $\nu_{n}$ 的最短路模型[1-4]为 + +$$ +\min \quad f = \sum_ {(i, j) \in E} w _ {i j} x _ {i j} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {\substack {j = 1 \\ (i, j) \in E}} ^ {n} x _ {i j} - \sum_ {\substack {j = 1 \\ (j, i) \in E}} ^ {n} x _ {j i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & i = 1, \\ - 1, & i = n, \\ 0, & i \neq 1, n; \end{array} \right. \\ x _ {i j} \geq 0, \quad (i, j) \in E. \end{array} \right. \tag{2} +$$ + +由最短路模型（2），通过设置中间点，可以得到从起点出发再回到起点、且遍历所有巡检点的最短回路。 + +# 5.1.2.2背包模型 + +设有一个最短巡检回路为 $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}, u_{n+1}$ ，其中起点和终点都是调度中心（XJ-0022），即 $u_{1} = u_{n+1}$ ，从起点到每个巡检点 $i$ 对应的累计时间为 $g_{i}(i = 1, 2, \ldots, n, n+1)$ ，该时间是对巡检点 $i$ + +巡检结束后的时刻，其定义式为 + +$$ +g _ {i} = r _ {1 i} + \sum_ {k = 1} ^ {i} t _ {k}, \quad i = 1, 2, \dots , n, n + 1 \tag {3} +$$ + +或者 + +$$ +g _ {i + 1} = g _ {i} + r _ {i - 1, i} + t _ {i}, \quad i = 1, 2, \dots , n \tag {4} +$$ + +$u_{n + 1}$ 对应的累计时间为 $g_{n + 1}$ 。 + +例如，巡检回路上有3个巡检点，依次为 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ ，它们对应的巡检耗时分别为3、4、2，走路时间分别为1、2，那么巡检点 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ 对应的累计时间分别为 $g_{1} = 3, g_{2} = 8, g_{3} = 12$ ，如图4所示。 + +![](images/afec26d3f663d5b67d74da499f2733e15f386e77a1aeebf014868b7870bf56f9.jpg) +图4累计时间演示 + +于是问题转化为: 把时间区间 $[0, g_{n+1}]$ 分为若干段, 使得每一段的时间间隔不超过这一段里所有巡检点的最小巡检周期的条件下, 至少可分为几段? 这是背包问题 (在总价一定的情况下物品数量最小), 需要建立背包模型来解决。[5-8] + +设第 $i$ 段 $(i = 1,2,\dots,m)$ 包含的巡检点序列为 $u_{i1}, u_{i2}, \dots, u_{ik}$ , 第 $i$ 段的时间间隔为 $y_i$ , $m$ 为分段个数, $k$ 为巡检点个数, 则有 + +$$ +\sum_ {i = 1} ^ {m} y _ {i} \geq g _ {n + 1} \tag {5} +$$ + +第 $i$ 段的时间间隔 $y_{i}$ 不超过第 $i$ 段巡检点的巡检周期的最小值, 即 + +$$ +y _ {i} \leq \min \left\{T _ {i 1}, T _ {i 2}, \dots , T _ {i k} \right\}, \quad i = 1, 2, \dots , m \tag {6} +$$ + +前 $i$ 段的时间间隔之和大于第 $i$ 段末尾巡检点的累计时间 $g_{ik}$ , 但不超过第 $i + 1$ 段首位巡检点的累计时间 $g_{i + 1,1}$ , 即 + +$$ +g _ {i k} \leq \sum_ {h = 1} ^ {i} y _ {h} \leq g _ {i + 1, 1}, \quad i = 1, 2, \dots , m \tag {7} +$$ + +目标函数为求 $m$ 的最小值, 即 + +$$ +\min \quad f = m \tag {8} +$$ + +汇总得 + +$$ +\begin{array}{l} \min \quad f = m \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {m} y _ {i} \geq g _ {n + 1} \\ y _ {i} \leq \min \left\{T _ {i 1}, T _ {i 2}, \dots , T _ {i k} \right\}, \quad i = 1, 2, \dots , m \\ g _ {i k} \leq \sum_ {h = 1} ^ {i} y _ {h} \leq g _ {i + 1, 1}, \quad i = 1, 2, \dots , m \\ y _ {i} \geq 0, \text {且 为 整 数 .} \end{array} \right. \tag {9} \\ \end{array} +$$ + +# 5.1.2.3人力资源消耗量 + +在最短回路确定的情况下，巡检总耗时就是个定值，于是在上班8小时之内，不同排班方案的优劣就体现在两个方面，其一是人员空闲时间；其二是人员加班时间。 + +设最短回路被划分为 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m}$ 段，各段对应的巡检耗时（不包括走路时间）分别为 $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ ，每一段安排一名巡检工人，需要 $m$ 个工人。 + +设第 $i$ 人的空闲时间和加班时间（巡检耗时和走路时间）分别为 $\alpha_{i},\beta_{i}$ ，根据假设（2），第 $i$ 个工人的人力资源消耗量为 + +$$ +\gamma_ {i} = \alpha_ {i} + \beta_ {i}, \quad i = 1, 2, \dots , m \tag {10} +$$ + +若人力资源消耗量，可通过 $m$ 天的轮流换岗，就能使得 $m$ 个工人的人力资源耗费量绝对均衡。 + +根据假设（3），所有工人早班（或中班、晚班）的人力资源消耗量为 + +$$ +\eta_ {k} = \sum_ {i = 1} ^ {m} \left(\alpha_ {i} + \beta_ {i}\right), \quad k = 1, 2, 3 \tag {11} +$$ + +其中， $k = 1,2,3$ 分别表示早班、中班和晚班。 + +若人力资源消耗量，可通过设计3天的轮班，就能使得不同班次（早班、中班、晚班）的人力资源消耗量绝对均衡。 + +根据假设（4），每天人力资源耗费量为 + +$$ +\eta = \sum_ {k = 1} ^ {3} \eta_ {k} +$$ + +若人力资源消耗量，可以 $3m$ 天为周期轮换，就实现了一个轮岗轮班大循环，实现了人力资源耗费量的绝对均衡。 + +# 5.1.3 模型求解 + +# 5.1.3.1 最短路模型求解 + +使用MATLAB软件图论工具箱里的graphshortestpath函数求解，该函数可以求出起点到终点的最短路径和最短路长。求解步骤： + +第1步，把调度中心（XJ-0022）设定为起点，从巡检点22出发，将终点设定为巡检点12，计算得最短路径为 $22\rightarrow 23\rightarrow 24\rightarrow 9\rightarrow 25\rightarrow 26\rightarrow 15\rightarrow 12$ ，最短时间为18分钟，最短路径如 + +![](images/9d90ce9de6999cc2643c438637e493b437d972ec8c0c5c9a4b4353d1711b5fba.jpg) +图5所示（程序和结果见附录1）。 +图5 起点 $22\rightarrow$ 终点12的最短路径 + +同理，可以得到 $12 \rightarrow 13$ ， $13 \rightarrow 17$ ， $17 \rightarrow 19$ 的最短路径和路长（程序和结果见附录1）。将计算结果整理，如表1所示。 + +表 1 最短回路 + +
起点22232492526151218161311106
1481735721192021422终点
+ +该回路的最短路长（走路时间）为72分钟，累计时间（包括巡检耗时和走路时间）为139分钟。 + +将最短回路画图，如图6所示。起点与终点相同，是调度中心（巡检点XJ-0022）。 + +![](images/552bc1dad8dd9cdc876ac3fac40f3f571cfa57531761273dca85a5b664e99743.jpg) +图6 最短回路 + +# 5.1.3.2背包模型求解 + +根据最短回路，将已知数据整理，如表2所示。 + +表 2 背包模型的已知数据 + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
累计时间2691520253337434956616573
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
累计时间7783869396100106111120125132135139
+ +由于最短回路的累计时间139已经确定，是个有限值，所以只要从起点开始确定第1段，再从新的起点确定第2段，如此循环下去，必定在有限次之后将139覆盖掉，故背包模型一定存在最优解。 + +求解步骤： + +第1步，根据前几个巡检点可得 $\min \{T_{11}, T_{12}, \dots, T_{1k}\} = 35$ ，根据 $y_1 \leq 35$ 可得 $y_1 = 35$ ，再根据 $g_{1k} \leq y_1 \leq g_{21}$ 可确定 $g_{1k} = 33$ ， $g_{21} = 37$ ，于是 $g_{1k} = 33$ 对应的巡检点 $u_7 = 15$ 就是第1段的最后一个巡检点，即第15巡检点XJ-0015。 + +第2步，根据下一段的前几个巡检点可得 $\min \{T_{21}, T_{22}, \dots, T_{2k}\} = 35$ ，根据 $y_2 \leq 35$ 可得 $y_2 = 35$ ，再根据 $g_{2k} \leq y_1 + y_2 = 70 \leq g_{31}$ 可确定 $g_{2k} = 65$ ， $g_{31} = 73$ ，于是 $g_{2k} = 65$ 对应的巡检点 $u_{13} = 10$ 就是第2段的最后一个巡检点是第10巡检点XJ-0010。 + +同理可得，第3段的最后一个巡检点是第7巡检点XJ-0007，第4段的最后一个巡检点是第22巡检点XJ-0022。 + +计算结果（分段结果）如表3所示。 + +表 3 背包模型的分段结果 + +
分段 序号 巡检点第1段第2段
12345678910111213
2223249252615121816131110
分段 序号 巡检点第3段第4段
1415161718192021222324252627
61481735721192021422
+ +# 5.1.4结果检验 + +经检验，计算结果全部满足题目条件，故模型和结果都是正确的。 + +根据计算结果可知： + +(1) 完成一次最短回路巡检至少需要安排 4 个工人, 即每班至少需要 4 人; +（2）每天三班至少需要12人。 + +# 5.1.5排班方案 + +根据假设（1），每天三班的上班时间为：早班（8:00-16:00）、中班（16:00-24:00）、晚班（0:00-8:00），每天工作8小时。再根据背包模型计算结果，制定排班方案，见表4、表5、表6所示。巡检路线见图6。 + +表 4 早班巡检表 + +
人员A1A2A3A4
上班时间8:008:008:008:00
出发时间8:008:359:109:45
下班时间16:0016:0016:0016:00
加班截止时间17:1017:4516:0016:35
加班时间/分70105035
空闲时间/分03570105
耗费时间/分7014070140
总耗费时间/分420
+ +注：A1、A2、A3、A4是早班工作人员名称；巡检路线见图6 + +表 5 中班巡检表 + +
人员B1B2B3B4
上班时间16:0016:0016:0016:00
出发时间16:0016:3517:1017:45
下班时间0:000:000:000:00
加班截止时间1:101:450:000:35
加班时间/分70105035
空闲时间/分03570105
耗费时间/分7014070140
总耗费时间/分420
+ +注：B1、B2、B3、B4是中班工作人员名称；巡检路线见图6 + +表 6 晚班巡检表 + +
人员C1C2C3C4
上班时间0:000:000:000:00
出发时间0:000:351:101:45
下班时间8:008:008:008:00
加班截止时间9:109:458:008:35
加班时间/分70105035
空闲时间/分03570105
耗费时间/分7014070140
总耗费时间/分420
+ +注：C1、C2、C3、C4是晚班工作人员名称；巡检路线见图6 + +从表4、表5和表6可知： + +（1）三班的人力资源耗费时间是绝对均衡的； + +（2）每班4人的人力耗费时间不均衡。 + +为了使得每班4人的人力耗费量均衡，设计一个4天轮岗制度，即可实现绝对均衡，轮岗制度如表7所示。 + +表 7 4 人轮岗制度 + +
天别第1天第2天第3天第4天
早班A1-A2-A3-A4A2-A3-A4-A1A3-A4-A1-A2A4-A1-A2-A3
中班B1-B2-B3-B4B2-B3-B4-B1B3-B4-B1-B2B4-B1-B2-B3
晚班C1-C2-C3-C4C2-C3-C4-C1C3-C4-C1-C2C4-C1-C2-C3
+ +在本题中，早班、中班和晚班的人力资源总耗费时间绝对均衡了，所以，如果仅从人力资源均衡角度考虑，就不必再设计轮班制度了，但如果从人性化角度考虑，很多人不愿意在晚班工作，说明早班、中班和晚班还是有差异的，故设计一个早班、中班和晚班的轮换制度，如表8所示。 + +表 8 早中晚班轮班制度 + +
第1个4天第2个4天第3个4天
早班A组4人B组4人C组4人
中班B组4人C组4人A组4人
晚班C组4人A组4人B组4人
+ +# 5.1.6小结 + +问题1的解题过程中，考虑了以下因素： + +(1) 巡检人员从调度中心出发，最后又回到了调度中心； +(2) 所有工作人员固定时间上班, 但由于有加班, 故加班时间不同; +（3）所有22个巡检点全部被巡检。 +（4）上班8小时内不休息、不吃饭。 +（5）每天三班倒，每班8小时。 + +获得了以下方案： + +（1）每班安排4人，每天三班安排12人。 +（2）按照最短路径，完成所有巡检点一次需要139分钟，其中人力资源消耗时间67分钟，走路时间72分钟。 +（3）4天完成班内人员轮岗，实现了工作量绝对均衡。 +（4）每天人力资源总耗费时间为1260分钟。 + +# 5.2问题（2）——固定上班时间、考虑休息时间的巡检排班方案 + +# 5.2.1 问题分析 + +与问题（1）不同的是：本题要考虑巡检人员的休息时间和进餐时间，其它方面是相同的。 + +解题思路：保持问题1得到的最短回路不变，只是在背包模型中，将休息时间和进餐时间加入到累计时间进度中，对累计时间进行调整，然后代入到背包模型中求解，即可得到每班至少需要几人，以及每个人的巡检路径和时间表。 + +解题过程如图7所示。 + +![](images/b0865f0253f6bdc0876308681f3003df49cfb035b2a39749118da07379496faf.jpg) +图7 问题2的解题过程 + +# 5.2.2模型建立与求解 + +由于早班、中班、晚班的休息时间和吃饭时间的规律不同，故需要分别研究。 + +# 5.2.2.1早班累计时间 + +设每巡检2小时需要休息的时间为 $\phi$ （分钟），进餐时间为 $\theta$ （分钟)，在本题中， $\phi \in [5,10]$ 中 $\theta = 30$ 。 + +在上班2小时（10:00）的时候将原累计时间 $g_{i} (i = 1,2,\dots,n,n + 1)$ 加上 $\phi$ ，在上班4小时（12:00）的时候将原累计时间 $g_{i} (i = 1,2,\dots,n,n + 1)$ 加上 $\phi + \theta$ ，在上班6小时（14:00）的时候将原累计时间 $g_{i} (i = 1,2,\dots,n,n + 1)$ 加上 $2\phi + \theta$ ，即 + +$$ +\hat {g} _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} g _ {i}, & 0 \leq t \leq 1 2 0 (1 0: 0 0), \\ g _ {i} + \phi , & 1 2 0 < t \leq 2 4 0 (1 2: 0 0), \\ g _ {i} + \phi + \theta , & 2 4 0 < t \leq 3 6 0 (1 4: 0 0), \\ g _ {i} + 2 \phi + \theta , & 3 6 0 < t \leq 4 8 0 (1 6: 0 0), \\ g _ {i} + 3 \phi + \theta , & 4 8 0 < t \leq 6 0 0 (1 8: 0 0, \text {加 班}) \\ g _ {i} + 3 \phi + 2 \theta , & 6 0 0 < t \leq 7 2 0 (1 6: 0 0, \text {加 班}). \end{array} \quad i = 1, 2, \dots , n, n + 1 \right. \tag {12} +$$ + +# 5.2.2.2中班累计时间 + +同理，中班累计时间为 + +$$ +\hat {g} _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} g _ {i}, & 0 \leq t \leq 1 2 0 (1 8: 0 0), \\ g _ {i} + \theta , & 1 2 0 < t \leq 2 4 0 (2 0: 0 0), \\ g _ {i} + \theta + \phi , & 2 4 0 < t \leq 3 6 0 (2 2: 0 0), \\ g _ {i} + \theta + 2 \phi , & 3 6 0 < t \leq 4 8 0 (2 4: 0 0), \\ g _ {i} + \theta + 3 \phi , & 4 8 0 < t \leq 6 0 0 (2: 0 0, \text {加 班}), \\ g _ {i} + \theta + 4 \phi , & 6 0 0 < t \leq 7 2 0 (4: 0 0, \text {加 班}). \end{array} \quad i = 1, 2, \dots , n, n + 1 \right. \tag {13} +$$ + +# 5.2.2.3 晚班累计时间 + +同理，晚班累计时间为 + +$$ +\hat {g} _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} g _ {i}, & 0 \leq t \leq 1 2 0 (2: 0 0), \\ g _ {i} + \phi , & 1 2 0 < t \leq 2 4 0 (4: 0 0), \\ g _ {i} + 2 \phi , & 2 4 0 < t \leq 3 6 0 (6: 0 0), \\ g _ {i} + 3 \phi , & 3 6 0 < t \leq 4 8 0 (8: 0 0), \\ g _ {i} + 4 \phi , & 4 8 0 < t \leq 6 0 0 (1 0: 0 0, \text {加 班}), \\ g _ {i} + 5 \phi , & 6 0 0 < t \leq 7 2 0 (1 2: 0 0, \text {加 班}). \end{array} \quad i = 1, 2, \dots , n, n + 1 \right. \tag {14} +$$ + +将新的累计时间代入背包模型，即可得到新的分段结果。 + +# 5.2.3 模型求解 + +以早班为例，取 $\phi = 10$ ， $\theta = 30$ ，计算各个巡检点的累计时间，如表9所示。 + +表 9 早班背包模型的已知数据 (当天第 1 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
新累计时间2691520253337434956616573
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
新累计时间7783869396100106111120135142145149
+ +表 10 早班背包模型的已知数据 (当天第 2 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
新累计时间151155158164169174182186192198205210214222
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
新累计时间226232235242275279285290299304311314318
+ +表 11 早班背包模型的已知数据（当天第 3 次） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
新累计时间320324327333338343351355361377384389393401
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
新累计时间405411414421424428434439448453460463467
+ +表 12 早班背包模型的已知数据（当天第 4 次，需要加班） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
新累计时间469473476482497502510514520526533538542550
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
新累计时间554560563570573577583588597602639642646
+ +该回路的最短路长（走路时间）仍然为72分钟，完成第1次、第2次、第3次、第4次巡检分别需要149、169、149、179分钟（包括巡检耗时和走路时间）。 + +求解背包模型得， $y_{1} = y_{2} = y_{3} = y_{4} = y_{5} = 35$ ，分段结果如表13所示。 + +表 13 早班背包模型的分段结果 + +
分段 序号 巡检点第1段第2段
12345678910111213
2223249252615121816131110
分段 序号 巡检点第3段第4段第5段
1415161718192021222324252627
61481735721192021422
+ +根据计算结果可知，完成一次最短回路巡检至少需要安排5个工人，即每班至少需要5人，每天三班至少需要15人。与问题1相比，增加了1个工人。 + +# 5.2.4结果检验 + +经检验，计算结果全部满足题目条件，故模型和结果都是正确的。 + +# 5.2.5早班排班方案 + +根据假设（1），每天三班的上班时间为：早班（8:00-16:00）、中班（16:00-24:00）、晚班（0:00-8:00），每天工作8小时。再根据背包模型计算结果，每班至少需要5人，制定排班方案，见表14所示。 + +表 14 早班巡检表 + +
人员A1A2A3A4A5
上班时间8:008:008:008:008:00
出发时间8:008:359:109:4510:20
下班时间16:0016:0016:0016:0016:00
加班截止时间18:4018:0517:3016:5516:20
加班时间/分160125905520
空闲时间/分03570105140
耗费时间/分160160160160160
总耗费时间/分800
+ +注：A1、A2、A3、A4、A5是早班工作人员名称；巡检路线见表6 + +# 5.2.6中班排班方案 + +同理，可以计算出中班的背包模型求解结果、分段结果，见附录2. + +结果显示，中班与早班相同，也至少需要安排5个工人。中班巡检表如表15所示。 + +表 15 中班巡检表 + +
人员B1B2B3B4B5
上班时间16:0016:0016:0016:0016:00
出发时间16:0016:3517:1017:4518:20
下班时间0:000:000:000:000:00
加班截止时间2:002:051:300:550:20
加班时间/分160125905520
空闲时间/分03570105140
耗费时间/分160160160160160
总耗费时间/分800
+ +注：B1、B2、B3、B4、B5是中班工作人员名称；巡检路线见表6 + +# 5.2.7晚班排班方案 + +同理，可以计算出晚班的背包模型求解结果、分段结果，见附录3. + +结果显示，晚班与早班相同，也至少需要安排5个工人。晚班巡检表如表16所示。 + +表 16 晚班巡检表 + +
人员C1C2C3C4C5
上班时间0:000:000:000:000:00
出发时间0:000:351:101:452:20
下班时间8:008:008:008:008:00
加班截止时间10:009:409:108:358:00
加班时间/分14010570350
空闲时间/分03570105140
耗费时间/分140140140140140
总耗费时间/分700
+ +注：C1、C2、C3、C4、C5是晚班工作人员名称；巡检路线见表6 + +从表14、表15和表16可知： + +(1) 三班的人力资源耗费时间分别是 800、800、700 分钟, 是不均衡的; +（2）每班5人的人力耗费时间是绝对均衡的。 +（3）与问题1的结论恰好相反。 + +虽然每班5人的人力耗费量是均衡的，但或许还存在其它没有考虑到的差异，故设计一个5天轮岗制度，如表17所示。 + +表 17 5人轮岗制度 + +
天别第1天第2天第3天第4天第5天
早班A1-A2-A3-A4-A5A2-A3-A4-A5-A1A3-A4-A5-A1-A2A4-A5-A1-A2-A3A5-A1-A2-A3-A4
中班B1-B2-B3-B4-B5B2-B3-B4-B5-B1B3-B4-B5-B1-B2B4-B5-B1-B2-B3B5-B1-B2-B3-B4
晚班C1-C2-C3-C4-C5B2-B3-B4-B5-B1B3-B4-B5-B1-B2B4-B5-B1-B2-B3B5-B1-B2-B3-B4
+ +为了使得三班的人力耗费量均衡，设计一个早班、中班和晚班的轮岗制度，如表18所示。 + +表 18 早中晚班轮班制度 + +
天别第1天第2天第3天
早班A组5人B组5人C组5人
中班B组5人C组5人A组5人
晚班C组5人A组5人B组5人
+ +# 5.2.8排班方案的优化 + +以上排班方案，虽然我们考虑了休息和吃饭因素，但当开饭的时候，5个巡检人员同时去吃饭，而巡检任务不能停止，为了解决人员吃饭造成的真空，需要安排5个机动人员，他们的任务是： + +（1）当5人一起去吃饭的时候，他们顶上去； +（2）当下班时间到的时候，他们完成前任的剩余任务。 + +这样一来，早班和中班各增加了30分钟的人力资源耗费时间，而晚班没有增加，于是三班的人力资源耗费时间分别是950、950、700分钟，总耗费量是2600分钟。 + +# 5.2.9 问题2小结 + +问题2的解题过程中，考虑了以下因素： + +(1)巡检人员从调度中心出发，最后又回到了调度中心； +（2）所有工作人员固定时间上班，但加班截止时间不同； +（3）所有22个巡检点全部被巡检。 +（4）上班8小时内可休息、也吃饭。 +（5）每天三班倒，每班8小时。 + +获得了以下方案： + +（1）每班安排5人，每天三班安排15人。 +(2) 三班的人力资源耗费时间分别是 800、800、700 分钟, 是不均衡的; +（3）3天完成三班轮班，实现了工作量绝对均衡。 +（4）每天人力资源总耗费时间为2600分钟。 + +# 5.2.10 问题 1 与问题 2 的比较 + +问题1与问题2的不同之处： + +（1）问题1上班不休息、不吃饭；问题2上班可以休息、可以吃饭。 +（2）问题1每班需要4人；问题2每班需要5人。 +(3)问题1每天人力资源总耗费时间为1260分钟；问题2为2600分钟，增加了 $106.3\%$ 。 + +# 5.3 问题3——错时上班时间、不考虑休息时间的巡检排班方案 + +# 5.3.1排班方案 + +每班安排4人，每天三班安排12人，制定排班方案，见表19、表20、表21所示。 + +表 19 早班巡检表 + +
人员A1A2A3A4
上班时间8:008:359:109:45
出发时间8:008:359:109:45
下班时间16:0016:0016:0016:00
加班截止时间17:1017:1017:1017:10
加班时间/分70707070
空闲时间/分0000
耗费时间/分70707070
总耗费时间/分280
+ +注：A1、A2、A3、A4是早班工作人员名称；巡检路线见表6 + +表 20 中班巡检表 + +
人员B1B2B3B4
上班时间16:0016:3517:1017:45
出发时间16:0016:3517:1017:45
下班时间0:000:000:000:00
加班截止时间1:101:101:101:10
加班时间/分70707070
空闲时间/分0000
耗费时间/分70707070
总耗费时间/分280
+ +注：B1、B2、B3、B4是中班工作人员名称；巡检路线见表6。 + +表 21 晚班巡检表 + +
人员C1C2C3C4
上班时间0:000:351:101:45
出发时间0:000:351:101:45
下班时间8:008:008:008:00
加班截止时间9:109:109:109:10
加班时间/分70707070
空闲时间/分0000
耗费时间/分70707070
总耗费时间/分280
+ +注：C1、C2、C3、C4是晚班工作人员名称；巡检路线见表6。 + +从表19、表20和表21可知： + +（1）三班的人力资源耗费时间是绝对均衡的； +（2）每班4人的人力耗费时间是绝对均衡的。 + +# 5.3.2 问题3与问题1的比较 + +问题3与问题1的不同之处： + +（1）问题1需要4天轮岗才能实现工作量均衡，而问题3不需要； +(2)问题1的每天人力资源总耗费时间为1260分钟，而问题3为840分钟，减少了 $33\%$ + +# 5.4 问题 4——错时上班时间、考虑休息时间的巡检排班方案 + +# 5.4.1排班方案 + +每班安排5人，每天三班安排15人，制定排班方案，见表22、表23、表24所示。 + +表 22 早班巡检表 + +
人员A1A2A3A4A5
上班时间8:008:359:109:4510:20
出发时间8:008:359:109:4510:20
下班时间16:0016:3517:1017:4518:20
加班截止时间16:0016:3517:1017:4518:20
加班时间/分00000
空闲时间/分00000
耗费时间/分00000
总耗费时间/分0
+ +注：A1、A2、A3、A4、A5是早班工作人员名称；巡检路线见表6 + +表 23 中班巡检表 + +
人员B1B2B3B4B5
上班时间16:0016:3517:1017:4518:20
出发时间16:0016:3517:1017:4518:20
下班时间0:000:351:101:452:20
加班截止时间0:000:351:101:452:20
加班时间/分00000
空闲时间/分00000
耗费时间/分00000
总耗费时间/分0
+ +注：B1、B2、B3、B4、B5是中班工作人员名称；巡检路线见表6 + +表 24 晚班巡检表 + +
人员C1C2C3C4C5
上班时间0:000:351:101:452:20
出发时间0:000:351:101:452:20
下班时间8:008:359:109:4510:20
加班截止时间8:008:359:109:4510:20
加班时间/分00000
空闲时间/分00000
耗费时间/分00000
总耗费时间/分0
+ +注：C1、C2、C3、C4、C5是晚班工作人员名称；巡检路线见表6 + +从表22、表23和表24可知： + +(1) 三班的人力资源耗费时间均是 0 分钟, 绝对均衡, 不需要轮班; +（2）每班5人的人力耗费时间是绝对均衡的，不需要轮岗。 + +# 5.4.2 问题 4 与问题 2 的比较 + +问题4与问题2的不同之处： + +（1）问题2需要3天才能实现工作量均衡，而问题4不需要； +(2) 问题 2 的每天人力资源总耗费时间为 2600 分钟, 而问题 4 为 0 分钟。 + +# 5.5 问题 5——错时上班时间、考虑休息时间的巡检排班方案（5 分钟） + +由于休息时间 $\phi \in [5,10]$ ，故还需要作出休息 5 分钟的排班方案。计算过程和结果见附录 4。结果显示，5 分钟方案与 10 分钟方案的排班方案不相同，5 分钟方案需要 4 人，10 分钟方案需要 5 人，但二者的人力资源消耗量都是 0 分钟，每个人的工作量绝对均衡。 + +# 六、灵敏度分析 + +吃饭时间 $\theta = 30$ 具有很大的不确定性，需要分析其灵敏度。 + +以错时上班时间、考虑休息时间5分钟的巡检排班方案为例。 + +吃饭时间31分钟的计算过程和结果见附录5。 + +吃饭时间29分钟的计算过程和结果见附录6。 + +结果显示，吃饭时间30分钟的微小变化对巡检方案没有影响。 + +# 七、稳健性分析 + +在最短路模型中，我们通过指定了4个中间点，分4次求解获得了最短回路。如果指定其它几个中间点，最短路长变化幅度有多大？ + +计算结果如表25所示（程序见附录7）。 + +表 25 稳健性分析结果 + +
起点终点中间点最短路长/分钟
原模型XJ-0022XJ-002212、13、17、1972
现模型XJ-0022XJ-002218、11、17、2、2079
+ +从表25可知，指定其它几个不同的中间点，对结果影响不大。 + +# 八、进一步研究的方向 + +我们曾经使用了从起点出发，指定一个中间点，再回到起点的最短路算法，但运行了大概3天还没有结果，因此，在巡检点数量比较多的情况下，如何获得更精确的最短路，这是进一步研究的方向。 + +# 九、模型的评价和推广 + +# 9.1 模型优点 + +（1）使用最短路模型，找到了26个巡检点的最短回路； +（2）使用背包模型，确定了覆盖最短回路的最少人数； +（3）错时上班的排班方案兼顾了问题提出的所有约束条件； +（4）错时上班的排班方案每天耗费的人力资源量为0分钟； +（5）错时上班的排班方案每名工作人员的工作量绝对均衡； +（6）吃饭时间的微小变化对排班方案没有影响； +（7）指定不同的中间点对最短路长的影响很小。 + +# 9.2 模型缺点 + +在求解最短路模型时，指定中间点带有主观因素。 + +# 9.3 模型推广 + +推广之一：社区的孤寡老人较多，需要定期上门体检以保证他们的身体健康。每次上门对一位老人体检需要走路时间和体检时间，因为老人较多，如何确定医生人数和体检路线，可以使用本文建立的模型。 + +推广之二：公共自行车站点，每天很多人借车还车，每天也有很多自行车损坏，为保证顺利借到车，需要检查和维修各个点的公共自行车，可以使用本模型来确定安排检查人数和检查路线。 + +# 十、参考文献 + +[1] 谢金星，薛毅. 优化建模与 LINDO/LINGO 软件[M]. 北京：清华大学出版社，2005. +[2] 吴孟达，成礼智，吴翊, 王丹，数学模型教程，北京：高等教育出版社, 2013. +[3] 韩中庚. 数学建模方法及应用[M]. 北京：高等教育出版社，2009. +[4] 薛毅, 陈立萍. 统计建模与 R 软件 [M]. 北京: 清华大学出版社, 2007. +[5] 杨启帆, 谈之奕, 何勇. 数学建模[M]. 浙江: 浙江大学出版社. 2010. +[6] 赵静，但琦. 数学建模与数学实验[M]. 北京：高等教育出版社，2003（2006重印） +[7] 杨启帆，边馥萍. 数学模型[M]. 浙江大学出版社, 2010. +[8] 司守奎，孙兆亮，数学建模算法与应用，北京：国防工业出版社, 2015. + +# 十、附录 + +# 附录1 问题1的MATLAB程序和结果 + +% 问题 1 的程序 + +从起点22出发，终点为12， + +clc,clear all + +%% 构造权重矩阵 + +$$ +w (1, 2) = 2; w (2, 3) = 1; w (2, 4) = 3; w (2, 1 9) = 5; w (3, 5) = 1; w (3, 6) = 1; w (4, 2 1) = 1; w (4, 2 3) = 4; +$$ + +$$ +w (5, 7) = 2; w (6, 8) = 2; w (6, 1 0) = 5; w (6, 1 4) = 1; w (8, 1 7) = 1; w (9, 2 4) = 2; w (9, 2 5) = 3; +$$ + +$$ +w (1 0, 1 1) = 2; w (1 0, 1 2) = 6; w (1 1, 1 3) = 2; w (1 1, 1 5) = 7; w (1 2, 1 5) = 2; w (1 3, 1 6) = 2; +$$ + +$$ +w (1 5, 1 8) = 2; w (1 5, 2 6) = 6; w (1 6, 1 8) = 3; +$$ + +$$ +w (1 7, 2 5) = 1; w (1 9, 2 0) = 2; w (2 0, 2 2) = 2; w (2 1, 2 2) = 2; +$$ + +$$ +w (2 2, 2 3) = 1; w (2 3, 2 4) = 1; w (2 5, 2 6) = 3; +$$ + +w=w’；% MATLAB工具箱要求数据是下三角矩阵 + +$[i,j,k] = \mathrm{find}(\mathrm{w})$ + +b=sparse(i, j, k, 26, 26); % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$$ +h = \text {v i e w} (\text {b i o g r a p h} (b, [, ^ {\prime} S h o w A r r o w s ^ {\prime}, ^ {\prime} o f f ^ {\prime}, ^ {\prime} S h o w W e i g h t s ^ {\prime}, ^ {\prime} o n ^ {\prime})); +$$ + +% ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 + +% ShowWeights=off, 表示无权图，on表示赋权图 + +%% 求最短路 + +k1=22; % 起点 + +k2=12; % 终点 + +$$ +[ \text {d i s t}, \text {p a t h}, \text {p r e d} ] = \text {g r a p h s h o r t e s t p a t h} (\mathrm {b}, \mathrm {k} 1, \mathrm {k} 2, ^ {\prime} \text {d i r e c t e d} ^ {\prime}, 0) +$$ + +$\%$ directed是有向图或无向图的标志， +% directed=0表示无向图，directed=1表示有向图 +% dist=最短路长度 +% path=最短路径 +% pred=包含前任顶点 + +$\%$ 将最短路径染色： + +$$ +\begin{array}{l} \operatorname {s e t} \left(\mathrm {h . N o d e s} (\text {p a t h}), ^ {\prime} \text {C o l o r} ^ {\prime}, [ 1 0. 4 0. 4 ]\right) \\ f o w E d g e s = \text {g e t e d g e s b y n o d e i d} (h, \text {g e t} (h. N o d e s (\text {p a t h}), ^ {\prime} I D ^ {\prime})) ; \\ \operatorname {r e v E d g e s} = \operatorname {g e t e d g e s b y n o d e i d} (\mathrm {h}, \operatorname {g e t} (\mathrm {h}. \text {N o d e s (f l i p l r (p a t h))}, ^ {\prime} \mathrm {I D} ^ {\prime})); \\ e d g e s = [ f o w E d g e s; r e v E d g e s ]; \\ \operatorname {set}(\text{edges},^{\prime}\text{LineColor}^{\prime},[100]);\quad \% \text{给最短路径设置颜色} \\ \operatorname {set}(\text{edges},^{\prime}\text{LineWidth}^{\prime},1.5);\quad \% \text{给最短路径设置宽度} \\ \end{array} +$$ + +计算结果： + +$$ +\text {d i s t} = +$$ + +$$ +1 8 +$$ + +$$ +\text {p a t h} = +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c} 2 2 & 2 3 & 2 4 & 9 & 2 5 & 2 6 & 1 5 & 1 2 \end{array} +$$ + +$$ +\operatorname {p r e d} = +$$ + +$$ +\text {C o l u m n s 1 t h r o u g h 1 7} +$$ + +$$ +\begin{array}{c c c c c c c c c c c c c} 2 & & 4 & & 2 & & 2 1 & & 3 & & 3 & & 5 & & 1 7 & & 2 4 & & 6 & & 1 0 & & 1 5 & & 1 1 \end{array} +$$ + +6 26 13 25 + +Columns 18 through 26 + +15 20 22 22 0 22 23 9 25 + +![](images/a02467536b3dcd19b61b89e717c7b15bd4764e9ab183faaf59138889a9b268ad.jpg) + +$\%$ 问题1的程序 + +从起点12出发，终点为13 + +clc,clear all + +%% 构造权重矩阵 + +$\mathrm{w}(1,2) = 2;\mathrm{w}(2,3) = 1;\mathrm{w}(2,4) = 3;\mathrm{w}(2,19) = 5;\mathrm{w}(3,5) = 1;\mathrm{w}(3,6) = 1;\mathrm{w}(4,21) = 1;\mathrm{w}(4,17) = 11$ + +$\mathrm{w}(5,7) = 2;\mathrm{w}(6,8) = 2;\mathrm{w}(6,10) = 5;\mathrm{w}(6,14) = 1;\mathrm{w}(8,17) = 1;\mathrm{w}(10,11) = 2;\mathrm{w}(10,12) = 6;$ + +$\mathrm{w}(11,13) = 2;\mathrm{w}(13,16) = 2;\mathrm{w}(16,18) = 3;\mathrm{w}(12,18) = 4;\mathrm{w}(17,18) = 12;\mathrm{w}(17,20) = 10;$ + +$\mathrm{w}(17,21) = 10;\mathrm{w}(19,20) = 2;\mathrm{w}(20,21) = 4;$ + +w=w’； % MATLAB工具箱要求数据是下三角矩阵 + +[i,j,k]=find(w)； + +b=sparse(i, j, k, 26, 26); % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$$ +h = \text {v i e w} (\text {b i o g r a p h} (b, [, ^ {\prime} \text {S h o w A r r o w s} ^ {\prime}, ^ {\prime} \text {o f f} ^ {\prime}, ^ {\prime} \text {S h o w W e i g h t s} ^ {\prime}, ^ {\prime} \text {o n} ^ {\prime})) +$$ + +% ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 + +% ShowWeights=off, 表示无权图，on表示赋权图 + +%% 求最短路 + +k1=12; % 起点 + +k2=13; % 终点 + +$$ +[ \text {d i s t}, \text {p a t h}, \text {p r e d} ] = \text {g r a p h s h o r t e s t p a t h} (\mathrm {b}, \mathrm {k} 1, \mathrm {k} 2, ^ {\prime} \text {d i r e c t e d} ^ {\prime}, 0) +$$ + +$\%$ directed是有向图或无向图的标志， +% directed=0表示无向图，directed=1表示有向图 +% dist=最短路长度 +$\%$ path=最短路径 +% pred=包含前任顶点 + +$\%$ 将最短路径染色： + +$$ +\begin{array}{l} \operatorname {s e t} \left(\mathrm {h . N o d e s} (\text {p a t h}), ^ {\prime} \text {C o l o r} ^ {\prime}, [ 1 0. 4 0. 4 ]\right) \\ f o w E d g e s = \text {g e t e d g e s b y n o d e i d} (h, \text {g e t} (h. N o d e s (\text {p a t h}), ^ {\prime} I D ^ {\prime})) ; \\ \operatorname {r e v E d g e s} = \operatorname {g e t e d g e s b y n o d e i d} (\mathrm {h}, \operatorname {g e t} (\mathrm {h}. \text {N o d e s (f l i p l r (p a t h))}, ^ {\prime} \mathrm {I D} ^ {\prime})) ; \\ e d g e s = [ f o w E d g e s; r e v E d g e s ]; \\ \operatorname {set}(\text{edges},^{\prime}\text{LineColor}^{\prime},[100]);\quad \% \text{给最短路径设置颜色} \\ \operatorname {set}(\text{edges},^{\prime}\text{LineWidth}^{\prime},1.5);\quad \% \text{给最短路径设置宽度} \\ \end{array} +$$ + +计算结果： + +$$ +\begin{array}{l} \operatorname {d i s t} = \\ 9 \\ \text {p a t h} = \\ \begin{array}{c c c c} 1 2 & 1 8 & 1 6 & 1 3 \end{array} \\ \operatorname {p r e d} = \\ \text {C o l u m n s 1 t h r o u g h 1 7} \\ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c} 2 & 3 & 6 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 6 & \mathrm {N a N} & 1 2 & 1 0 & 0 & 1 6 \end{array} \\ \begin{array}{c c c c} 6 & \mathrm {N a N} & 1 8 & 8 \end{array} \\ \text {C o l u m n s 1 8 t h r o u g h 2 6} \\ 1 2 \quad 2 \quad 1 9 \quad 4 \quad \mathrm {N a N} \quad \mathrm {N a N} \quad \mathrm {N a N} \quad \mathrm {N a N} \quad \mathrm {N a N} \\ \end{array} +$$ + +![](images/23d436a10331e267048778003c89009eb6b6845b4a81b352e52dace2b39ab74e.jpg) + +% 问题 1 的程序 + +从起点13出发，终点为17， + +clc,clear all + +%% 构造权重矩阵 + +$$ +w (1, 2) = 2; w (2, 3) = 1; w (2, 4) = 3; w (2, 1 9) = 5; w (3, 5) = 1; w (3, 6) = 1; w (4, 2 1) = 1; w (4, 1 7) = 1 1; +$$ + +$$ +w (5, 7) = 2; w (6, 8) = 2; w (6, 1 0) = 5; w (6, 1 4) = 1; w (8, 1 7) = 1; w (1 0, 1 1) = 2; w (1 1, 1 3) = 2; +$$ + +$$ +w (1 3, 1 7) = 1 7; w (1 7, 2 0) = 1 0; w (1 7, 2 1) = 1 0; w (1 9, 2 0) = 2; w (2 0, 2 1) = 4; +$$ + +w=w’；% MATLAB工具箱要求数据是下三角矩阵 + +$[i,j,k] = \mathrm{find}(\mathrm{w})$ + +b=sparse(i, j, k, 26, 26) ; % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$$ +h = \text {v i e w} (\text {b i o g r a p h} (b, [, ^ {\prime} S h o w A r r o w s ^ {\prime}, ^ {\prime} o f f ^ {\prime}, ^ {\prime} S h o w W e i g h t s ^ {\prime}, ^ {\prime} o n ^ {\prime})) ; +$$ + +% ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 + +ShowWeights=off, 表示无权图，on表示赋权图 + +%% 求最短路 + +k1=13; % 起点 + +k2=17; % 终点 + +$$ +[ \text {d i s t}, \text {p a t h}, \text {p r e d} ] = \text {g r a p h s h o r t e s t p a t h} (\mathrm {b}, \mathrm {k} 1, \mathrm {k} 2, ^ {\prime} \text {d i r e c t e d} ^ {\prime}, 0) +$$ + +$\%$ directed是有向图或无向图的标志， +% directed=0表示无向图，directed=1表示有向图 + +% dist=最短路长度 +$\%$ path=最短路径 +% pred=包含前任顶点 + +# $\%$ 将最短路径染色： + +set(h.Nodes(path),‘Color',[10.40.4]) + +fowEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(path), 'ID')); + +revEdges = getedgesbynodeid(h, get(h;nodes(fliplr(path)), 'ID')); + +edges = [fowEdges; revEdges]; + +set edges,'LineColor', [100]); % 给最短路径设置颜色 + +set edges,'LineWidth', 1.5); % 给最短路径设置宽度 + +计算结果： + +dist = + +12 + +path = + +13 + +11 + +10 + +6 + +8 + +17 + +pred = + +Columns 1 through 17 + +2 + +3 + +6 + +2 + +10 + +6 + +NaN + +11 + +13 + +0 + +6 NaN NaN 8 + +Columns 18 through 26 + +NaN + +2 + +19 + +4 + +NaN + +NaN + +NaN + +NaN + +NaN + +![](images/7534cf0cbd6693ee299ed431169b4a8aebab29e4af893614e4c9c5faa4b4a8fb.jpg) + +% 问题 1 的程序 + +% 从起点17出发，终点为19 + +clc,clear all + +%% 构造权重矩阵 + +$$ +w (1, 2) = 2; w (2, 3) = 1; w (2, 4) = 3; w (2, 1 9) = 5; w (3, 5) = 1; w (3, 1 7) = 4; w (4, 2 1) = 1; w (4, 1 7) = 1 1; +$$ + +$$ +w (5, 7) = 2; w (1 7, 2 0) = 1 0; w (1 7, 2 0) = 1 0; w (1 9, 2 0) = 2; w (2 0, 2 1) = 4; +$$ + +w=w’； % MATLAB工具箱要求数据是下三角矩阵 + +[i,j,k]=find(w); + +b=sparse(i, j, k, 26, 26); % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$$ +h = \text {v i e w} (\text {b i o g r a p h} (b, [, ], ^ {\prime} \text {S h o w A r r o w s} ^ {\prime}, ^ {\prime} \text {o f f} ^ {\prime}, ^ {\prime} \text {S h o w W e i g h t s} ^ {\prime}, ^ {\prime} \text {o n} ^ {\prime})) ; +$$ + +% ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 + +% ShowWeights=off, 表示无权图，on表示赋权图 + +$\%$ 求最短路 + +k1=17; % 起点 + +k2=19; % 终点 + +$$ +[ \text {d i s t}, \text {p a t h}, \text {p r e d} ] = \text {g r a p h s h o r t e s t p a t h} (\mathrm {b}, \mathrm {k} 1, \mathrm {k} 2, ^ {\prime} \text {d i r e c t e d} ^ {\prime}, 0) +$$ + +% directed是有向图或无向图的标志， +% directed=0表示无向图，directed=1表示有向图 +% dist=最短路长度 +$\%$ path=最短路径 +% pred=包含前任顶点 + +$\% \%$ 将最短路径染色： + +$$ +\begin{array}{l} \text {s e t} (h. N o d e s (\text {p a t h}), ^ {\prime} \text {C o l o r} ^ {\prime}, [ 1 0. 4 0. 4 ]) \\ f o w E d g e s = \text {g e t e d g e s b y n o d e i d} (h, \text {g e t} (h. N o d e s (\text {p a t h}), ^ {\prime} I D ^ {\prime})) ; \\ \operatorname {r e v E d g e s} = \operatorname {g e t e d g e s b y n o d e i d} (\mathrm {h}, \operatorname {g e t} (\mathrm {h}. \text {N o d e s (f l i p l r (p a t h))}, ^ {\prime} \mathrm {I D} ^ {\prime})); \\ e d g e s = [ f o w E d g e s; r e v E d g e s ]; \\ \operatorname {set}(\text{edges},^{\prime}\text{LineColor}^{\prime},[100]);\quad \% \text{给最短路径设置颜色} \\ \operatorname {set}(\text{edges},^{\prime}\text{LineWidth}^{\prime},1.5);\quad \% \text{给最短路径设置宽度} \\ \end{array} +$$ + +计算结果： + +dist = + +10 + +path = + +17 3 2 19 + +pred = + +Columns 1 through 17 + +2 3 17 2 3 NaN 5 NaN NaN NaN NaN NaN NaN + +NaN NaN NaN 0 + +Columns 18 through 26 + +NaN 2 17 4 NaN NaN NaN NaN + +![](images/8cd1f7bdbda7c032649b64e3b872950fcb713e9eb2c4a52521643fab3007d33c.jpg) + +# 附录2 中班背包模型求解。 + +取 $\phi = 10$ ， $\theta = 30$ ，计算各个巡检点的累计时间，如表9所示。 + +表 9 中班背包模型的已知数据 (当天第 1 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间2691520253337434956616573
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间7783869396100106111120155162165169
+ +表 10 中班背包模型的已知数据（当天第 2 次） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间171175178184189194202206212218225230234242
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间256262265272275279285290299304311314318
+ +表 11 中班背包模型的已知数据（当天第 3 次） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间320324327333338343351355361377384389393401
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间405411414421424428434439448453460463467
+ +表 12 中班背包模型的已知数据（当天第 4 次，需要加班） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间469473476482497502510514520526533538542550
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间554560563570573577583588597602619622626
+ +该回路的最短路长（走路时间）仍然为49分钟，完成第1次、第2次、第3次、第4次巡检分别需要169、149、149、159分钟（包括巡检耗时和走路时间）。 + +求解背包模型得， $y_{1} = y_{2} = y_{3} = y_{4} = y_{5} = 35$ ，分段结果如表13所示。 + +表 13 中班背包模型的分段结果 + +
分段 序号 巡检点第1段第2段
12345678910111213
2223249252615121816131110
分段 序号 巡检点第3段第4段第5段
14151617181920212223242526 27
614817357211920214 22
+ +根据计算结果可知，完成一次最短回路巡检至少需要安排5个工人，即每班至少需要5人，每天三班至少需要15人。与问题1相比，增加了1个工人。 + +# 5.2.4结果检验 + +经检验，计算结果全部满足题目条件，故模型和结果都是正确的。 + +# 5.2.5中班排班方案 + +根据假设（2），每天三班的上班时间为：早班（8:00-16:00）、中班（16:00-24:00）、晚班（0:00-8:00），每天工作8小时。再根据背包模型计算结果，每班至少需要5人，每天三班至少需要15人。于是制定排班方案，见表14、表15、表16所示。 + +表 15 中班巡检表 + +
人员B1B2B3B4B5
上班时间16:0016:0016:0016:0016:00
出发时间16:0016:3517:1017:4518:20
下班时间0:000:000:000:000:00
加班截止时间2:002:051:300:550:20
加班时间/分160125905520
空闲时间/分03570105140
耗费时间/分160160160160160
总耗费时间/分800
+ +注：B1、B2、B3、B4、B5是中班工作人员名称 + +# 附录3 晚班背包模型求解。 + +取 $\phi = 10$ ， $\theta = 30$ ，计算各个巡检点的累计时间，如表9所示。 + +表 9 晚班背包模型的已知数据 (当天第 1 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间2691520253337434956616573
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间7783869396100106111120135142145149
+ +表 10 晚班背包模型的已知数据 (当天第 2 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期35353535120353535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间151155158164169174182186192198205210214222
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间226232235242255259265270279284291294298
+ +表 11 晚班背包模型的已知数据（当天第 3 次） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间300304307313318323331335341347354359363381
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间385391394401404408414419428433440443447
+ +表 12 晚班背包模型的已知数据（当天第 4 次，需要加班） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间449453456462467472480494500506513518522530
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间534540543550553557563568577582589592596
+ +该回路的最短路长（走路时间）仍然为49分钟，完成第1次、第2次、第3次、第4次巡检都是149分钟（包括巡检耗时和走路时间）。 + +求解背包模型得， $y_{1} = y_{2} = y_{3} = y_{4} = y_{5} = 35$ ，分段结果如表13所示。 + +表 13 晚班背包模型的分段结果 + +
分段 序号 巡检点第1段第2段
12345678910111213
2223249252615121816131110
分段 序号 巡检点第3段第4段第5段
1415161718192021222324252627
61481735721192021422
+ +根据计算结果可知，完成一次最短回路巡检至少需要安排5个工人，即每班至少需要5人，每天三班至少需要15人。与问题1相比，增加了1个工人。 + +# 5.2.4结果检验 + +经检验，计算结果全部满足题目条件，故模型和结果都是正确的。 + +# 5.2.5晚班排班方案 + +根据假设（2），每天三班的上班时间为：早班（8:00-16:00）、中班（16:00-24:00）、晚班（0:00-8:00），每天工作8小时。再根据背包模型计算结果，每班至少需要5人，每天三班至少需要15人。于是制定排班方案，见表14、表15、表16所示。 + +表 16 晚班巡检表 + +
人员C1C2C3C4C5
上班时间0:000:000:000:000:00
出发时间0:000:351:101:452:20
下班时间8:008:008:008:008:00
加班截止时间10:009:409:108:358:00
加班时间/分14010570350
空闲时间/分03570105140
耗费时间/分140140140140140
总耗费时间/分700
+ +注：C1、C2、C3、C4、C5是晚班工作人员名称 + +# 附录4 5分钟背包模型求解。 + +取 $\phi = 5$ ， $\theta = 30$ ，计算各个巡检点的累计时间，如表9所示。 + +表 9 晚班背包模型的已知数据 (当天第 1 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
累计时间2691520253337434956616573
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间7783869396100106111120130137140144
+ +表 10 晚班背包模型的已知数据 (当天第 2 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间146150153159164169177181187193200205209217
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间221227230237240274280285294299306309313
+ +表 11 晚班背包模型的已知数据（当天第 3 次） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间315319322328333338346350356362374379383391
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间395401404411414418424429438443450453457
+ +表 12 晚班背包模型的已知数据（当天第 4 次，需要加班） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间459463466472477482495499505511518523527535
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间539545548555558562568573582587594597601
+ +该回路的最短路长（走路时间）仍然为49分钟，完成第1次、第2次、第3次、第4次巡检时间分别是144、169、144、144分钟（包括巡检耗时和走路时间）。 + +求解背包模型得， $y_{1} = y_{2} = y_{3} = y_{4} = y_{5} = 35$ ，分段结果如表13所示。 + +表 13 晚班背包模型的分段结果 + +
分段 序号 巡检点第1段第2段
12345678910111213
2223249252615121816131110
分段 序号 巡检点第3段第4段27 22
14151617181920212223242526
614817357211920214
+ +根据计算结果可知，完成一次最短回路巡检至少需要安排4个工人，即每班至少需要4人，每天三班至少需要12人。与休息10分钟相比，每班减少了1个工人。 + +经检验，计算结果全部满足题目条件，故模型和结果都是正确的。 + +# 排班方案 + +每班安排4人，每天三班安排12人，制定排班方案，见表1、表2、表3所示。 + +表 1 早班巡检表 + +
人员A1A2A3A4
上班时间8:008:359:109:45
出发时间8:008:359:109:45
下班时间16:0016:3517:1017:45
加班截止时间16:0016:3517:1017:45
加班时间/分0000
空闲时间/分0000
耗费时间/分0000
总耗费时间/分0
+ +注：A1、A2、A3、A4是早班工作人员名称 + +表 2 中班巡检表 + +
人员B1B2B3B4
上班时间16:0016:3517:1017:45
出发时间16:0016:3517:1017:45
下班时间0:000:351:101:45
加班截止时间0:000:351:101:45
加班时间/分0000
空闲时间/分0000
耗费时间/分0000
总耗费时间/分0
+ +注：B1、B2、B3、B4是中班工作人员名称 + +表 3 晚班巡检表 + +
人员C1C2C3C4
上班时间0:000:351:101:45
出发时间0:000:351:101:45
下班时间8:008:359:109:45
加班截止时间8:008:359:109:45
加班时间/分0000
空闲时间/分0000
耗费时间/分0000
总耗费时间/分0
+ +注：C1、C2、C3、C4是晚班工作人员名称 + +从表1、表2和表3可知： + +（1）三班的人力资源耗费时间均是0分钟，绝对均衡； +（2）每班4人的人力耗费时间是绝对均衡的。 + +# 5分钟方案与10分钟方案的比较 + +5分钟方案与10分钟方案的不同之处：5分钟方案需要4人，10分钟方案需要5人； + +# 附录5 休息5分钟吃饭31分钟的背包模型求解。 + +取 $\phi = 5$ ， $\theta = 31$ ，计算各个巡检点的累计时间，如表9所示。 + +表 9 晚班背包模型的已知数据 (当天第 1 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
累计时间2691520253337434956616573
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间7783869396100106111120130137140144
+ +表 10 晚班背包模型的已知数据 (当天第 2 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间146150153159164169177181187193200205209217
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间221227230237240274280285294299306309313
+ +表 11 晚班背包模型的已知数据（当天第 3 次） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间315319322328333338346350356362374379383391
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间395401404411414418424429438443450453457
+ +表 12 晚班背包模型的已知数据 (当天第 4 次, 需要加班) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
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序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
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耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间539545548555558562568573582587594597601
+ +该回路的最短路长（走路时间）仍然为49分钟，完成第1次、第2次、第3次、第4次巡检时间分别是144、169、144、144分钟（包括巡检耗时和走路时间）。 + +求解背包模型得， $y_{1} = y_{2} = y_{3} = y_{4} = y_{5} = 35$ ，分段结果如表13所示。 + +表 13 晚班背包模型的分段结果 + +
分段 序号 巡检点第1段第2段
12345678910111213
2223249252615121816131110
分段 序号 巡检点第3段第4段27 22
14151617181920212223242526
614817357211920214
+ +根据计算结果可知，完成一次最短回路巡检至少需要安排4个工人，即每班至少需要4人，每天三班至少需要12人。与休息10分钟相比，每班减少了1个工人。 + +经检验，计算结果全部满足题目条件，故模型和结果都是正确的。 + +# 排班方案 + +每班安排4人，每天三班安排12人，制定排班方案，见表1、表2、表3所示。 + +表 1 早班巡检表 + +
人员A1A2A3A4
上班时间8:008:359:109:45
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总耗费时间/分0
+ +注：A1、A2、A3、A4是早班工作人员名称 + +表 2 中班巡检表 + +
人员B1B2B3B4
上班时间16:0016:3517:1017:45
出发时间16:0016:3517:1017:45
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加班时间/分0000
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总耗费时间/分0
+ +注：B1、B2、B3、B4是中班工作人员名称 + +表 3 晚班巡检表 + +
人员C1C2C3C4
上班时间0:000:351:101:45
出发时间0:000:351:101:45
下班时间8:008:359:109:45
加班截止时间8:008:359:109:45
加班时间/分0000
空闲时间/分0000
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总耗费时间/分0
+ +注：C1、C2、C3、C4是晚班工作人员名称 + +从表1、表2和表3可知： + +（1）三班的人力资源耗费时间均是0分钟，绝对均衡； +（2）每班4人的人力耗费时间是绝对均衡的。 + +# 5分钟方案与10分钟方案的比较 + +5分钟方案与10分钟方案的不同之处：5分钟方案需要4人，10分钟方案需要5人； + +# 附录6 休息5分钟吃饭29分钟的背包模型求解。 + +取 $\phi = 5$ ， $\theta = 29$ ，计算各个巡检点的累计时间，如表9所示。 + +表 9 晚班背包模型的已知数据 (当天第 1 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
累计时间2691520253337434956616573
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间7783869396100106111120130137140144
+ +表 10 晚班背包模型的已知数据 (当天第 2 次) + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间146150153159164169177181187193200205209217
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间221227230237240274280285294299306309313
+ +表 11 晚班背包模型的已知数据（当天第 3 次） + +
序号1234567891011121314
巡检点22232492526151218161311106
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路时01123362432225
新累计时间315319322328333338346350356362374379383391
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序号1234567891011121314
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周期353535351203535353535803512035
耗时23242222235323
路时01123362432225
新累计时间459463466472477482495499505511518523527535
序号15161718192021222324252627
巡检点1481735721192021422
周期3535480357208050353535803535
耗时3323222323320
路时1314124272414
新累计时间539545548555558562568573582587594597601
+ +该回路的最短路长（走路时间）仍然为49分钟，完成第1次、第2次、第3次、第4次巡检时间分别是144、169、144、144分钟（包括巡检耗时和走路时间）。 + +求解背包模型得， $y_{1} = y_{2} = y_{3} = y_{4} = y_{5} = 35$ ，分段结果如表13所示。 + +表 13 晚班背包模型的分段结果 + +
分段 序号 巡检点第1段第2段
12345678910111213
2223249252615121816131110
分段 序号 巡检点第3段第4段27 22
14151617181920212223242526
614817357211920214
+ +根据计算结果可知，完成一次最短回路巡检至少需要安排4个工人，即每班至少需要4人，每天三班至少需要12人。与休息10分钟相比，每班减少了1个工人。 + +经检验，计算结果全部满足题目条件，故模型和结果都是正确的。 + +# 排班方案 + +每班安排4人，每天三班安排12人，制定排班方案，见表1、表2、表3所示。 + +表 1 早班巡检表 + +
人员A1A2A3A4
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耗费时间/分0000
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+ +注：A1、A2、A3、A4是早班工作人员名称 + +表 2 中班巡检表 + +
人员B1B2B3B4
上班时间16:0016:3517:1017:45
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加班截止时间0:000:351:101:45
加班时间/分0000
空闲时间/分0000
耗费时间/分0000
总耗费时间/分0
+ +注：B1、B2、B3、B4是中班工作人员名称 + +表 3 晚班巡检表 + +
人员C1C2C3C4
上班时间0:000:351:101:45
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耗费时间/分0000
总耗费时间/分0
+ +注：C1、C2、C3、C4是晚班工作人员名称 + +从表1、表2和表3可知： + +（1）三班的人力资源耗费时间均是0分钟，绝对均衡； +（2）每班4人的人力耗费时间是绝对均衡的。 + +# 5分钟方案与10分钟方案的比较 + +5分钟方案与10分钟方案的不同之处：5分钟方案需要4人，10分钟方案需要5人； + +# 附录7 改变中间点的最短路线 + +%改变中间点的程序 + +%从起点22出发，终点为18， + +clc,clear all + +构造权重矩阵 + +$$ +\begin{array}{l} \begin{array}{l} \mathrm {w} (1, 2) = 2; \mathrm {w} (2, 3) = 1; \mathrm {w} (2, 4) = 3; \mathrm {w} (2, 1 9) = 5; \mathrm {w} (3, 5) = 1; \mathrm {w} (3, 6) = 1; \mathrm {w} (4, 2 1) = 1; \mathrm {w} \\ (4, 2 3) = 4; \end{array} \\ \begin{array}{l} \mathrm {w} (5, 7) = 2; \mathrm {w} (6, 8) = 2; \mathrm {w} (6, 1 0) = 5; \mathrm {w} (6, 1 4) = 1; \mathrm {w} (8, 1 7) = 1; \mathrm {w} (9, 2 4) = 2; \mathrm {w} (9, 2 5) = \\ 3; \end{array} \\ w (1 0, 1 1) = 2; w (1 0, 1 2) = 6; w (1 1, 1 3) = 2; w (1 1, 1 5) = 7; w (1 2, 1 5) = 2; w (1 3, 1 6) = 2; \\ w (1 5, 1 8) = 2; w (1 5, 2 6) = 6; w (1 6, 1 8) = 3; \\ \end{array} +$$ + +$$ +w (1 7, 2 5) = 1; w (1 9, 2 0) = 2; w (2 0, 2 2) = 2; w (2 1, 2 2) = 2; +$$ + +$$ +w (2 2, 2 3) = 1; w (2 3, 2 4) = 1; w (2 5, 2 6) = 3; +$$ + +$w = w'$ $\%$ MATLAB工具箱要求数据是下三角矩阵 + +$$ +[ i, j, k ] = \text {f i n d} (w) +$$ + +b=sparse(i,j,k,26,26) % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$$ +h = \text {v i e w} (\text {b i o g r a p h} (b, [, ^ {\prime \prime} S h o w A r r o w s ^ {\prime \prime}, ^ {\prime \prime} o f f ^ {\prime \prime}, ^ {\prime \prime} S h o w W e i g h t s ^ {\prime \prime}, ^ {\prime \prime} o n ^ {\prime \prime})) ; +$$ + +ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 +ShowWeights=off, 表示无权图，on表示赋权图 + +求最短路 + +k1=22; % 起点 + +k2=18; % 终点 + +$$ +[ \text {d i s t}, \text {p a t h}, \text {p r e d} ] = \text {g r a p h s h o r t e s t p a t h} (\mathrm {b}, \mathrm {k} 1, \mathrm {k} 2, ^ {\prime} \text {d i r e c t e d} ^ {\prime}, 0) +$$ + +$\%$ directed是有向图或无向图的标志， +directed=0 表示无向图，directed=1 表示有向图 +$\%$ dist=最短路长度 +$\%$ path=最短路径 +% pred=包含前任顶点 +将最短路径染色： + +set(h.Nodes(path), 'Color', [1 0.4 0.4]) + +fowEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(path), 'ID')); + +revEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(fliplr(path)), 'ID')); + +edges = [fowEdges; revEdges]; + +set edges,'LineColor', [1 0 0]); % 给最短路径设置颜色 + +set edges,'LineWidth',1.5); % 给最短路径设置宽度 + +dist = + +18 + +path = + +22 23 24 9 25 26 15 18 + +pred = + +1至19列 + +2 4 2 21 3 3 5 17 24 6 10 15 11 6 26 13 25 15 20 + +20至26列 + +22 22 0 22 23 9 25 + +%改变中间点的程序 + +从起点18出发，终点为11， + +clc,clear all + +%% 构造权重矩阵 + +$$ +\begin{array}{l} w (1, 2) = 2; w (2, 3) = 1; w (2, 4) = 3; w (2, 1 9) = 5; w (3, 5) = 1; w (3, 6) = 1; w (4, 1 7) = 1 1; w (4, 2 1) = 1; \\ w (5, 7) = 2; w (6, 8) = 2; w (6, 1 0) = 5; w (6, 1 4) = 1; w (8, 1 7) = 1; \\ w (1 0, 1 1) = 2; w (1 0, 1 2) = 6; w (1 1, 1 3) = 2; w (1 1, 1 8) = 9; w (1 2, 1 8) = 4; w (1 3, 1 6) = 2; \\ w (1 6, 1 8) = 3; w (1 7, 1 8) = 1 2; w (1 7, 2 0) = 1 0; \\ w (1 7, 2 1) = 1 0; w (1 9, 2 0) = 2; w (2 0, 2 1) = 4; \\ \end{array} +$$ + +w=w' % MATLAB 工具箱要求数据是下三角矩阵 + +[ \text{i,j,k} ] = find(w) + +b=sparse(i,j,k,26,26) % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$$ +\mathrm {h} = \text {v i e w (b i o g r a p h (b , [ ] , ' S h o w A r r o w s ', ' o f f ', ' S h o w W e i g h t s ', ' o n ') ;} +$$ + +ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 + +% ShowWeights=off,表示无权图，on表示赋权图 + +$\% \%$ 求最短路 + +k1=18; % 起点 + +$\mathrm{k}2 = 11$ ； $\%$ 终点 + +$$ +[ \text {d i s t}, \text {p a t h}, \text {p r e d} ] = \text {g r a p h s h o r t e s t p a t h} (\mathrm {b}, \mathrm {k} 1, \mathrm {k} 2, ^ {\prime} \text {d i r e c t e d} ^ {\prime}, 0) +$$ + +% directed 是有向图或无向图的标志, + +$\%$ directed=0表示无向图，directed=1表示有向图 + +%dist=最短路长度 + +$\%$ path=最短路径 + +% pred=包含前任顶点 + +$\% \%$ 将最短路径染色： + +set(h+Nodes(path), 'Color', [1 0.4 0.4]) + +fowEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(path), 'ID')); + +revEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(fliplr(path)), 'ID')); + +edges = [fowEdges; revEdges]; + +set edges,'LineColor',[100]); % 给最短路径设置颜色 + +set(edges,'LineWidth',1.5); % 给最短路径设置宽度 + +$$ +\mathrm {p a t h} = +$$ + +18 16 13 11 + +$$ +\operatorname {p r e d} = +$$ + +# 1至19列 + +2 3 6 2 3 10 5 17 NaN 11 13 18 16 6 NaN 18 18 0 2 + +20至26列 + +17 4 NaN NaN NaN NaN NaN NaN + +%改变中间点的程序 + +%从起点11出发，终点为17， + +clc,clear all + +%% 构造权重矩阵 + +$$ +\begin{array}{l} w (1, 2) = 2; w (2, 3) = 1; w (2, 4) = 3; w (2, 1 9) = 5; w (3, 5) = 1; w (3, 6) = 1; w (4, 1 7) = 1 1; w (4, 2 1) = 1; \\ w (5, 7) = 2; w (6, 8) = 2; w (6, 1 0) = 5; w (6, 1 4) = 1; w (8, 1 7) = 1; \\ w (1 0, 1 1) = 2; w (1 0, 1 2) = 6; w (1 7, 2 0) = 1 0; w (1 7, 2 1) = 1 0; w (1 9, 2 0) = 2; w (2 0, 2 1) = 4; \\ w (1 2, 1 7) = 1 2; w (1 1, 1 7) = 1 7; w (1 1, 1 2) = 9; \\ \end{array} +$$ + +w=w' % MATLAB工具箱要求数据是下三角矩阵 + +[ \mathrm{i}, \mathrm{j}, \mathrm{k}] = \text{find}(\mathrm{w}) ] + +b=sparse(i,j,k,26,26) % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$\mathrm{h} =$ view(biograph(b, [], 'ShowArrows', 'off', 'ShowWeights', 'on')); + +% ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 + +% ShowWeights=off,表示无权图，on表示赋权图 + +$\% \%$ 求最短路 + +$\mathrm{k}1 = 11$ ； $\%$ 起点 + +k2=17; % 终点 + +[dist, path, pred] = graphshortestpath(b, k1, k2, 'directed', 0) + +$\%$ directed 是有向图或无向图的标志， + +$\%$ directed=0 表示无向图，directed=1 表示有向图 + +%dist=最短路长度 + +$\%$ path=最短路径 + +% pred=包含前任顶点 + +$\% \%$ 将最短路径染色： + +set(h+Nodes(path), 'Color', [1 0.4 0.4]) + +fowEdges = getedgesbynodeid(h.get(h.Nodes(path), 'ID')); + +revEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(fliplr(path)), 'ID')); + +edges = [fowEdges; revEdges]; + +set edges,'LineColor',[100]); % 给最短路径设置颜色 + +set edges,'LineWidth',1.5); % 给最短路径设置宽度 + +dist = + +10 + +path = + +11 10 6 8 17 + +pred = + +# 1至19列 + +2 3 6 2 3 10 5 6 NaN 11 0 NaN 6 NaN N NaN 8 NaN 2 + +# 20至26列 + +19 4 NaN NaN NaN NaN NaN NaN + +%改变中间点的程序 + +%从起点17出发，终点为2， + +clc,clear all + +%% 构造权重矩阵 + +$$ +w (1, 2) = 2; w (2, 3) = 1; w (2, 4) = 3; w (2, 1 9) = 5; w (3, 5) = 1; w (4, 1 7) = 1 1; w (4, 2 1) = 1; +$$ + +$\mathrm{w}(5,7) = 2$ + +$$ +w (1 7, 2 0) = 1 0; w (1 7, 2 1) = 1 0; w (1 9, 2 0) = 2; w (2 0, 2 1) = 4; +$$ + +$$ +w (3, 1 7) = 4; +$$ + +w=w' % MATLAB 工具箱要求数据是下三角矩阵 + +[ \mathrm{i}, \mathrm{j}, \mathrm{k}] = \text{find}(\mathrm{w}) ] + +b=sparse(i,j,k,26,26) % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$\mathrm{h} =$ view(biograph(b, [], 'ShowArrows', 'off', 'ShowWeights', 'on')); + +% ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 + +% ShowWeights=off,表示无权图，on表示赋权图 + +$\% \%$ 求最短路 + +$\mathrm{k}1 = 17$ %起点 + +k2=2; % 终点 + +```txt +[ \text{dist.path,pred} ] = graphshortestpath(b,k1,k2,'directed',0) +% directed 是有向图或无向图的标志， +% directed=0 表示无向图，directed=1 表示有向图 +% dist=最短路长度 +% path=最短路径 +% pred=包含前任顶点 +``` + +$\% \%$ 将最短路径染色： +set(h.Nodes(path), 'Color', [1 0.4 0.4]) +fowEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(path), 'ID')); +revEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(fliplr(path)), 'ID')); +edges = [fowEdges, revEdges]; +set edges, 'LineColor', [1 0 0]); $\%$ 给最短路径设置颜色 +set (edges, 'LineWidth', 1.5); $\%$ 给最短路径设置宽度 +dist = +5 +path = +17 3 2 +pred = + +1至19列 + +```txt +2 3 17 2 3 NaN 5 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaNNaN +``` + +20至26列 + +```txt +17 4 NaN NaN NaN NaN NaN NaN +``` + +%改变中间点的程序 + +从起点2出发，终点为20， + +clc,clear all + +%% 构造权重矩阵 + +$$ +w (2, 1 9) = 5; w (2, 4) = 3; w (4, 2 1) = 1; +$$ + +$$ +w (1 9, 2 0) = 2; w (2 0, 1) = 4; +$$ + +w=w' % MATLAB 工具箱要求数据是下三角矩阵 + +$$ +[ i, j, k ] = \operatorname {f i n d} (w) +$$ + +b=sparse(i,j,k,21,21) % 构造稀疏矩阵 + +%% 画图 + +$\mathrm{h} =$ view(biograph(b, [], 'ShowArrows', 'off', 'ShowWeights', 'on')); + +% ShowArrows=off，表示无向图，on表示有向图 + +% ShowWeights=off,表示无权图，on表示赋权图 + +$\% \%$ 求最短路 + +$\mathrm{k1} = 2$ $\%$ 起点 + +k2=20; % 终点 + +[dist, path, pred] = graphshortestpath(b, k1, k2, 'directed', 0) + +$\%$ directed 是有向图或无向图的标志， + +$\%$ directed=0表示无向图，directed=1表示有向图 + +$\%$ dist=最短路长度 + +$\%$ path=最短路径 + +% pred=包含前任顶点 + +$\% \%$ 将最短路径染色： + +set(h+Nodes(path), 'Color', [1 0.4 0.4]) + +fowEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(path), 'ID')); + +revEdges = getedgesbynodeid(h, get(h.Nodes(fliplr(path)), 'ID')); + +edges = [fowEdges; revEdges]; + +set edges,'LineColor',[100]); $\%$ 给最短路径设置颜色 set edges,'LineWidth',1.5); $\%$ 给最短路径设置宽度 + +```txt +dist = 7 +path = 2 19 20 +pred = +``` + +1至19列 + +NaN 0 NaN 2 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN + +20至21列 + +19 4 + +总路线： + +22—23—24—9—25—26—15—18—16—13—11—10—12—6—14—8—17—3—5—7—2—19—20—21—4—22 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/B225/B225.md b/MCM_CN/2018/B225/B225.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5a5ccf725e9c58f53b4c26992f3e2438da404dac --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/B225/B225.md @@ -0,0 +1,4041 @@ +# 智能 RGV 的动态调度策略 + +# 摘要 + +本文根据题目给定的智能加工系统及系统作业参数，针对一道工序物料加工作业、两道工序物料加工作业、作业中故障处理等三种情况，建立数学模型，分别给出了相应的RGV最佳调度策略。 + +针对一道工序物料加工作业的情况，本文设计当RGV完成当前指令后若未接收到任何CNC的上料需求信号，RGV将会根据调度模型立即判别执行一次移动指令，移动到下一步发出上料需求信号的CNC前。并将作业效率最佳问题转换为一班次8小时内CNC处于工作状态总时间最长，并假设RGV具有短时间的记忆储存功能，能够记录与匹配RGV与各CNC进行最后一次交互的时间，为RGV设计“八步一走”调度模型，在RGV进行移动指令之前都会遍历搜索选择未来八次移动过后八台CNC的总等待时间最小的路径的第一步移动指令作为当前的移动指令。遍历所有可能的初始八台CNC的上料情况，依据RGV“八步一走”调度模型取成料数最多的初始CNC上料顺序，完成任务1。将题目给定的针对一道工序的三组数据带入模型计算，得出第一组最大物料加工数量为382，第二组为359，第三组为392；推算了不考虑RGV运动时间的理想状态下，三组数据的最大加工数量分别为384、368、392；得到三组数据下加工系统的作业效率分别为 $99.48\%$ 、 $97.55\%$ 、 $100\%$ ，完成任务2。 + +针对两道工序物料加工作业的情况，在不可更换刀具的前提下，由第一道工序与第二道工序的比值，兼容考虑第二道工序之后的清洗时间，按比例分别为CNC安装4:4、3:5、5:3的刀具配比，并在对称性原则基础上调试具体安装方案；为RGV设计三步捆绑（或四步捆绑加工调度模型）：RGV遍历三步，取捆绑加工后的完成时间最前的走法。遍历所有的初始可能路径，依据捆绑调度模型取成料数最多的初始CNC上料顺序，完成任务1。将给定的针对两道工序的三组数据带入模型计算，得出三组最大物料加工数量分别为253、209、236；选择的两类CNC数量配比分别为4:4、3:5、5:3；通过与理想状态下最大物料加工数量268、216、236进行比较，得到三组数据下加工系统的作业效率分别为 $94.40\%$ 、 $96.76\%$ 、 $100\%$ ，完成任务2。 + +针对作业中故障处理的情况，本文将每一道工序加工的故障概率设为 $1\%$ ，在判定故障的CNC的加工时间内，以均匀分布随机一个时间点作为故障发生时间点，并从600~1200秒之间均匀随机生成一个整数作为修复时间，在一道工序与二道工序的模型中作出以下调整：在故障发生的那一刻起，在CNC未修复并发出上料需求信号之前，将该CNC从系统中暂时抹去，RGV在执行完当前指令后，不再进行有关该CNC的指令操作，直至CNC修复发出上料需求信号。考虑到故障发生的不确定性，以及人工修复时间的可操作性，在完成任务的基础上，再分别取修复时间为600~1200秒随机，600秒，900秒，1200秒做20组的随机试验探究成料数规律，进行均值和方差计算如下：一道工序的情况下，第一组数据关于4类修复时间的成料数方差分别为12.20,9.55,11.95,9.82；第二组数据方差分别为15.57,18.68,19.55,14.68；第三组数据方差分别为10.03,13.41,8.92,13.73；两道工序的情况下，第一组数据关于4类修复时间的成料数方差分别为9.66,7.38,7.12,13.17；第二组数据方差分别为7.85,3.39,5.87,9.69；第三组数据方差分别为7.66,4.58,7.72,10.13。由此可知，实际修复时，提升技工技术，将人工修复时间尽量控制在10~15分钟左右，可以较好增加结果稳定性。 + +关键词：RGV智能动态调度“八步一走”多步捆绑联动故障排查概率分析 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +RGV是一种无人驾驶、能在固定轨道上自由运行的智能车。在智能加工系统中，轨道式自动引导车RGV的调度方案对系统的加工效率存在着决定性的影响。RGV在智能加工系统中，因面临的工作环境各不相同，因此目前仍没有一个理想的算法可以对RGV的调度路径进行最佳优化，因此针对特定的系统工作环境，RGV的动态调度仍存在着很大的研究空间。本文研究的工作环境由8台CNC、1辆RGV、1条RGV直线轨道、1条上料传送带、1条下料传送带等设备组成。 + +![](images/7e16061c63c0e90d4b9ee530e17d5902ba21fae2773369c585496c55fb18fa1a.jpg) +图1：智能加工系统示意图 + +# 1.2系统作业参数 + +表 1: 智能加工系统作业参数的 3 组数据表 +时间单位：秒 + +
系统作业参数第1组第2组第3组
RGV移动1个单位所需时间202318
RGV移动2个单位所需时间334132
RGV移动3个单位所需时间465946
CNC加工完成一个一道工序的物料所需时间560580545
CNC加工完成一个两道工序物料的第一道工序所需时间400280455
CNC加工完成一个两道工序物料的第二道工序所需时间378500182
RGV为CNC1#, 3#, 5#, 7#一次上下料所需时间283027
RGV为CNC2#, 4#, 6#, 8#一次上下料所需时间313532
RGV完成一个物料的清洗作业所需时间253025
+ +注：每班次连续作业8小时。 + +# 1.3三种具体情况——工作环境 + +(1)一道工序的物料加工作业情况，每台CNC安装同样的刀具，物料可以在任一台CNC上加工完成； +(2)两道工序的物料加工作业情况，每个物料的第一和第二道工序分别由两台不同的CNC依次加工完成； +(3) CNC 在加工过程中可能发生故障（故障发生概率约为 $1\%$ ），每次人工处理故障（未完成的物料报废）需要耗时 10~20 分钟，故障排除后 CNC 即刻加入作业序列。要求分别考虑一道工序和两道工序的物料加工作业情况。 + +# 1.4 两个任务——问题要求 + +任务1：对一般问题进行研究，给出RGV动态调度模型和相应的求解算法； + +任务2：利用表1中系统作业参数的3组数据分别检验模型的实用性和算法的有效性，给出RGV的调度策略和系统的作业效率，并将结果分别填入相应EXCEL表中。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 一道工序物料加工作业的问题分析 + +在该工作环境下，每台CNC都安装有相同的刀具，进行同一种加工工序，每一个生料均需在任意八台CNC之一上完成一道工序的加工并由RGV清洗后方可成料。本文为提高系统加工效率，考虑到当所有CNC处于加工状态时，RGV完成当前指令后，将会有长时间CNC不会对RGV发出上料需求信号，当CNC再次对RGV发出上料需求信号时，RGV将从上一次指令完成位置进行移动指令，因此考虑若在无谓的等原地待之前RGV提前执行移动指令将会更好地节约时间。因此在为RGV设计调度模型时，设计当RGV完成当前指令后若未接收到任何CNC的上料需求信号，RGV将会根据调度模型立即判别执行移动指令。为增大作业效率，即尽可能增加在一班次8小时内成料数量，即使得CNC尽可能多时间处于工作状态，换言之，即为CNC的总等待（闲置）时间尽可能小。综合以上考量，假设RGV具有短时间的记忆储存功能，能够记录与匹配RGV与各CNC进行最后一次交互的时间，由此时间为RGV设计“八步一走”调度模型，即RGV在判别执行移动指令之前，要遍历计算未来移动（或原地停留）八次，并要求每一次移动或停留过后必须间隔一道指令以上方可再次进行移动或停留指令，遍历搜索未来移动八次后八台CNC的总等待时间最小的路径的第一步移动指令（或原地停留）作为RGV的下一道指令，并要求实施检测判别完成当前指令后是否留有足够的时间在一班次8小时末回到初始点，若不能则拒绝接受有关移动回到初始点之外的任何指令。将表1系统作业参数的3组数据带入模型，给出RGV的调度策略，并估计理想状态下RGV运转速度足够快，忽略RGV的移动时间和清洗熟料的时间，进行计算此时情景下理想能加工完成的最大成料数，与模型结果进行比较估计系统的作业效率，并说明模型的实用性和算法的有效性 + +# 2.2 两道工序物料加工作业的问题分析 + +在该工作环境下，CNC可选择安装两种刀具中的一种，对应进行两种加工工序，每一个生料均需在任意八台CNC之一上完成一道工序的加工并由RGV清洗后方可成料。仍然考虑当为RGV设计调度模型时，当RGV完成当前指令后若未接收到任何CNC的上料需求信号，RGV将会根据调度模型立即判别执行移动指令。此时需要考虑CNC上安装的刀具可以在初始固定后不再改变，也可以在CNC未进行加工时进行更换，这使得问题分为更换刀具与不更换刀具两种情况考虑。对于不更换刀具的情况，需要考虑安装不同刀具的CNC的配比及放置位置。就放置位置而言，可以根据简单的推算得出一个最佳方案；就配比而言，我们需要先筛选出可能出现最佳调度方案的几种情况，再对这几种情况分别建立模型完成调度。对每一种配比情况，由于该问题有两道工序，以CNC等待时间最短为目标会使计算更加复杂，因此直接以物料最大加工数量为目标。针对每一配比情况，会有一种最佳的分组方案，即以固定个数的物料完成加工的过程为一组，按照组序进行逐步调度。对每一组，有若干可能的顺序完成组内所有步骤，取其中时间最短的顺序方案，将每一组的方案组合成最终的调度方案，即为所求的模型。对于更换刀具的情况，需要考虑其更换刀具的频率、提高的加工效率，以此判断更换刀具的模型是否有意义，若无意义，则忽略此情形。将表1系统作业参数的3组数据带入模型，给出RGV的调度策略，并估计理想状态下RGV运转速度足够快，忽略RGV的移动时间和清洗熟料的时间，进行计算此时情景下理想能加工完成的最大成料数，与模型结果进行比较估计系统的作业效率，并说明模型的实用性和算法的有效性。 + +# 2.3 作业中故障处理的问题分析 + +在该工作环境下，CNC 在加工过程中约有 $1\%$ 的概率发生故障，故障发生时间出现 + +在CNC加工过程中的任一时刻的概率均相同，对故障进行人工排查修复处理需要耗时为 $10\sim 20$ 分钟，故障排除后CNC即刻加入作业序列。假设一道工序物料加工过程和两道工序的各步物料加工过程中故障发生的概率相同，皆视为 $1\%$ 。每一道工序加工均有 $1\%$ 的概率发生故障，在CNC的加工时间内，以均匀分布随机一个时间点作为故障发生时间点，并以 $10\sim 20$ 分钟，即600~1200秒之间均匀随机生成一个整数作为修复时间。对一道工序物料加工作业时间，两道工序物料加工作业的模型作出以下调整：在故障发生的那一刻起，在CNC未修复并发出上料需求信号之前，将该CNC从系统中暂时抹去，RGV在执行完当前指令后，不再进行有关该CNC的指令操作，直至CNC修复发出上料需求信号。考虑到故障发生的不确定性，模型结果的稳定性与能够人工干预的故障修复时间息息相关，因此本文在建模求解600~1200秒之间均匀随机生成一个整数作为修复时间后，还将分别取修复时间为600秒，900秒，1200秒做20组的随机试验，查验当将修复时间尽量控制在哪一个范围内，模型结果的稳定性将会更好。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设对于确定的某一工序，CNC加工时间恒定且一致。 +2. 假设传送带会将物料及时运送到上料处，不产生等待时间 +3. 不考虑两道工序间废渣的处理，即假设第一道工序加工产生的废渣不会对第二道工序的加工产生影响。 +4. 假设 RGV 在接收到 CNC 发出的上料需求指令之后，当 RGV 移动到该 CNC 位置前时，RGV 才会对其进行上下料。 +5. 假设 RGV 具有短时间的记忆储存功能，能够记录与匹配与各 CNC 进行最后一次交互的时间。 +6. 假设一道工序物料加工过程和两道工序的各步物料加工过程中故障发生的概率相同，皆视为 $1\%$ 。 +7.假设RGV性能良好，严格按照各组参数时间按时执行指令。 + +# 四、符号说明 + +
符号符号意义
Ai编号为i的CNC的状态
H所有CNC的总等待时间
ti移动i个单位所需要的时间
u1k上料开始时间点
u2k下料开始时间点
hik表示第i台CNC对第k个物料的等待时间
ttCNC完成一个物料的加工需要时间
Hv第v个初始情况对应的全过程CNC总等待时间
Ni理想情况一个班次能生产的成品数
ηi系统的作业效率
Ci第i台CNC的故障状态
+ +# 五、模型的建立和求解 + +# 5.1 一道工序加工模型建立与求解 + +# 5.1.1 任务1 + +任务1要求给出一般情况下RGV的动态调度模型与相应的求解算法。一般情况表示适应可选范围内的任意情况，即不能仅仅建立适应于某一组或几组参数值的模型，而要给出对任何可选参数值均适应的一般化模型。因此，模型的建立不能基于任何特定参数值、依赖任何特殊情形；同理，相应的求解算法也不能针对任何一组特定参数，应当在给出任何一组可取参数时，都能给出相应的理想解。 + +# 5.1.1.1 智能加工系统的工作原理 + +问题展示的智能加工系统主要由三部分构成，即8台计算机数控机床（CNC）、1辆轨道式自动引导车（RGV）与1条RGV直线轨道、1条上料传送带与1条下料传送带，每个物料完成加工都需要经过三个部分的联动工作。因此，首先需要明确每个部分的工作原理，并对每个部分的工作过程准确进行定量描述。 + +# 1）CNC的工作原理 + +在整个加工过程中，CNC共有空闲状态、上下料状态、加工状态、需求状态等4个状态。其中，空闲状态表示CNC上没有物料的状态；上下料状态表示RGV正在给CNC上下料的状态；加工状态表示CNC正在对物料进行加工的状态；需求状态表示CNC完成加工后等待RGV下料的状态。问题给出的加工系统中有8台已编号的CNC，每台CNC的具体位置如图所示： + +![](images/584665cc4fe14fd8d77e6928503df889ae97547a8e0e0b8141d4216ba290a045.jpg) +图2CNC位置示意图 + +由图可知，横向上相邻两台CNC的间隔相等；纵向上4组CNC两两位于同一竖直线。 + +设编号为 $i$ 的 CNC 的状态为 $A_{i}$ , 并对各状态进行赋值: + +$$ +A _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {空 闲 状 态} \\ 1, & \text {上 下 料 状 态} \\ 2, & \text {加 工 状 态} \\ 3, & \text {需 求 状 态} \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +其中，0、3表示的状态CNC未进行工作，1、2表示的状态CNC正在进行工作；在实际情况中，我们期望CNC进行工作的时间尽可能长。 + +# 2）RGV的工作原理 + +在整个加工过程中，RGV 始终位于 RGV 直线轨道上，共有等待状态、运动状态、上下料状态、清洗状态等 4 个状态。其中，等待状态表示 RGV 静止在轨道上不进行任何工作的状态；运动状态表示 RGV 由一个位置驶向另一个位置时的状态，此状态不进行工作；上下料状态表示 RGV 正在给 CNC 进行上下料的状态；清洗状态表示 RGV 给物料进行清洗并将其放置到下料传送带时的状态[1]。 + +设RGV的状态为 $B$ ，并对各状态进行赋值： + +$$ +B = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {等 待 状 态} \\ 1, & \text {运 动 状 态} \\ 2, & \text {上 下 料 状 态} \\ 3, & \text {清 洗 状 态} \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +其中，0、2、3状态时，RGV只能处于轨道给定4个位置中的任意一个；1状态时，RGV正在由其中一个位置运动至另一个位置。当RGV处于某一位置时，只能与该位置的上下两台CNC进行联动。 + +设 $j$ 为 RGV 所处的位置, 则: + +$$ +j = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & i = 1 \text {o r} i = 2 \\ 2, & i = 3 \text {o r} i = 4 \\ 3, & i = 5 \text {o r} i = 6 \\ 4, & i = 7 \text {o r} i = 8 \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +其中， $i$ 表示CNC的编号。 + +当 RGV 处于 1 状态时，设其运动状态为： + +$$ +\left(j _ {1}, j _ {2}\right) \tag {4} +$$ + +表示 RGV 此时正由位置 $j_{1}$ 运动至位置 $j_{2}$ 。 + +# 3）传送带的工作原理 + +传送带在加工系统启用时仅有一个状态，即运动状态。上料传送带将负责运送未加工的生料，下料传送带负责运送已加工的熟料。已知传送带既可连动，也可独立运动；在实际中，传送带的运动速度也能达到数米每秒。基于上述两点，不妨假设当RGV需要时，传送带总能在相应位置给出生料或熟料空位，无需等待。 + +# 5.1.1.2加工系统的调度时间 + +对于一道工序的加工系统而言，首要的目标是尽可能提高加工效率。最能直接反应这一目标的即为相同时间内加工的物料个数，个数越大，加工效率越高。然而物料的加工是一个复杂动态过程，物料在不同时间可能处于CNC中，也可能处于RGV中，我们需要进一步将目标进行转化。 + +容易得到，当物料处于加工状态时，相应的CNC必定处于工作状态；当物料处于非加工状态时，不对应工作时间的CNC。因此，不妨将目标转化为尽可能减少CNC的非工作时间，即需要给出一个调度模型，使得CNC的非工作总结时间最小。 + +# 1）总时间的确定 + +加工系统的连续工作时间为8小时，不妨设8小时为一次完整的加工过程，目标为8小时内CNC的非工作总时间最小。由于上下料，位置移动等指令在实际中可以在几十秒内完成，因此将时间单位转化到秒，则一次加工过程的总时间为： + +$$ +T = 8 h = 2 8 8 0 0 s \tag {5} +$$ + +则对于一次完整加工过程而言，第 $0s$ 加工系统启动，RGV由初始位置1开始执行指令；第 $28800s$ 加工系统终止，RGV回到初始位置1。 + +# 2）时间参数的确定 + +对于整个加工系统，需要相应的时间参数反应调度过程。 + +首先，RGV 需要在 4 个不同位置间来回移动，可能连续移动的位置单位有 1、2、3。因此，设 RGV 移动一个单位的时间为 $t_1$ ，移动两个单位的时间为 $t_2$ ，移动 3 个单位的时间为 $t_3$ 。除此以外，RGV 自身拥有清洗物料的工作，故设完成一次清洗所需的时间为 $t_4$ 。 + +其次，CNC需要时间单独对物料进行加工，设CNC完成一个物料的加工需要时间 $tt$ 。 + +最后，对于 RGV 与 CNC 的联动，由于实际中 RGV 与两边 CNC 的位置非完全对称，我们设 RGV 对 1、3、5、7 号 CNC 完成一次上下料所需时间为 $s_1$ ，对 2、4、6、8 号 CNC 完成一次上下料所需时间为 $s_2$ 。 + +# 3）时间变量的确定 + +为了给出最佳调度方案，需要对未知、不确定的时间变量进行确定。首先考虑CNC的总等待时间，不妨设为 $H$ ，则有： + +$$ +H = \sum_ {i = 1} ^ {8} \sum_ {k = 1} h _ {i k} \tag {6} +$$ + +其中， $\mathrm{h}_{ik}$ 表示第 $i$ 台CNC对第 $k$ 个物料的等待时间，物料编号 $k$ 根据RGV抓取生料的顺序来计。 + +进一步考虑物料 $k$ , 设其上料开始时间点为 $u_{1 k}$ , 下料开始时间点为 $u_{2 k}$ , 则有: + +$$ +u _ {1 k} - u _ {2 k} = t t + s \tag {7} +$$ + +其中 $s$ 表示 $S_{1}$ 或 $S_{2}$ , 具体取值根据 $k$ 情况而定。 + +# 5.1.1.3加工系统的优化模型 + +# 1）目标函数的确定 + +对于加工系统的一次8小时运行而言，需要给出调度方案使得CNC总等待时间最少，则建立目标函数如下： + +$$ +\min H \tag {8} +$$ + +$H$ 表示8小时内的CNC总等待时间。 + +# 2）初始方案的规划 + +Step1: 首先考虑初始情况。已知 RGV 的初始位置为左端位置 1, CNC 均属于空闲状态, 而实际情况下, 一次上料或移动的时间又远小于 CNC 完成一次加工的时间。综上, 初始的指令确定为按照一定顺序完成对 8 台 CNC 的上料。 + +Step2: 当 RGV 在某一位置时, 对该位置的两台 CNC 依次完成下料期间无需移动, + +而对其它位置的 CNC 完成下料需要额外的移动时间。因此获得结论: 当 RGV 对某一位置的一台 CNC 进行上下料时, 下一个上下料的目标优先选择该位置的另一台 CNC; RGV 首先对初始位置 1 的两台 CNC 进行上料。 + +Step3：由上述两个结论，RGV完成初始对8台CNC的上料共有6种情况： + +![](images/0d7fcfd70a1aa5aebd428c04ac7f3bb5e13d5abe6998a60632e5b80c01fa1c1c.jpg) +图3初始上料情况图 + +故目标函数转化为： + +$$ +\min \left\{H _ {1}, H _ {2}, H _ {3}, H _ {4}, H _ {5}, H _ {6} \right\} \tag {9} +$$ + +其中 $H_{v}$ 表示第 $v$ 个初始情况对应的调度方案中 CNC 的总等待时间。 + +# 3）调度方案的优化模型 + +Step1: 对任一初始方案, 完成 8 台 CNC 的上料后处于位置 $j$ 。考虑下一步 RGV 的动向, 虽然在后续加工中多出清洗的步骤, 但实际中过长的加工时间仍会使 RGV 优先进行完一轮对 8 台 CNC 的上下料。因此考虑 RGV8 次连续完整作业的动态规划。 + +Step2: 对于整个加工过程，RGV 的工作流程如下： + +![](images/343e9aea85d456a2368394901b8b64316363abe3a1bc3f4546db26291e4756e1.jpg) +图4RGV一次完整作业示意图 + +考虑8次如图所示的RGV一次完整作业，当RGV对某台CNC进行上下料时，其它CNC的加工可能已经完成并进行需求提示，则在RGV到达前，这些CNC都将产生等待时间；此外，根据之前的结论，RGV会优先对同一位置的两台CNC依次作业。综上两点，对接下来的8次工作，共有4种调度方案。 + +Step3：对任意一种调度方案，设RGV每进行一次作业操作，都会使第 $i$ 个CNC产生等待时间 $\mathrm{h}_{im}$ ，其中 $m$ 表示8次连续作业中的第 $m$ 次。则这种调度方案8个步骤产生的CNC等待总时间为： + +$$ +h _ {n} = \sum_ {m = 1} ^ {8} \sum_ {i = 1} ^ {8} h _ {i m} \tag {10} +$$ + +特别地，这里 $n = 1$ ，表示进行全过程中的第一个8次连续作业。 + +Step4：求出每一种调度方案下的总等待时间，共有 $4^{8}$ 个结果，取最小总等待时间对应的方案，对应目标函数如下： + +$$ +\min h _ {n} = \sum_ {m = 1} ^ {8} \sum_ {i = 1} ^ {8} h _ {i m} \tag {11} +$$ + +该最优方案对应的8次连续作业中，第一步中第 $i$ 个CNC的最小等待时间为 $\mathrm{h}_{i1}$ 。 + +Step5：选取8次连续作业中的第一次，令RGV执行该指令，完成调度方案中的一步。则该步骤中8个CNC产生的总等待时间为： + +$$ +h h _ {n} = \sum_ {i = 1} ^ {8} h _ {i 1} \tag {12} +$$ + +以第一个8八次连续作业中确定的第一次结束作为开始，重复Step3、4的步骤，进行若干个8次连续作业，每个8次连续作业确定实际的一次作业，直到28800秒的工作流程结束。对结束前的状态进行讨论，若最后一个8次连续作业的产生实际的一次作业无法在第28800秒前完成并令RGV返回初始位置，则放弃该次作业，令RGV直接回到初始位置。则对第 $\nu$ 个初始情况对应的完整调度方案，有： + +$$ +H _ {v} = \sum_ {n = 1} h h _ {n} \tag {13} +$$ + +其中， $H_{v}$ 表示第 $v$ 个初始情况对应的全过程 CNC 总等待时间。 + +Step6：综合Step1-5，得到完整的优化模型如下： + +$$ +\min \left\{H _ {1}, H _ {2}, H _ {3}, H _ {4}, H _ {5}, H _ {6} \right\} +$$ + +$$ +\text {s . t .} \left\{ \begin{array}{l} H _ {v} = \sum_ {n = 1} h h _ {n} \\ h h _ {n} = \sum_ {i = 1} ^ {8} h _ {i 1} \\ \min h _ {n} = \sum_ {m = 1} ^ {8} \sum_ {i = 1} ^ {8} h _ {i m} \end{array} \right. \tag {14} +$$ + +# 5.1.1.4 调度模型的求解算法 + +模型求解的前提为给定一组可靠的参数数据，关于参数的具体内容，已经在先前给出详细说明。 + +# 1）优化模型求解 + +对于 $4^{8}$ 种调度方案，在MATLAB中使用遍历搜索算法进行求解，得到总等待时间最小的方案；对于其余过程，均可利用MATLAB进行直接计算。 + +# 2）初始目标求解 + +但此时我们必须考虑到，CNC总等待时间最小值是我们为方便求解而转化得到的目标。利用上述模型求解到最优方案后，需将目标转化回最初状态，求解得到最多的物料加工数，并给出相应的上下料开始时间点。 + +已知物料编号 $k$ 根据 RGV 抓取生料的顺序来计, 其上料开始时间点为 $u_{1 k}$ , 下料开始时间点为 $u_{2 k}$ 。利用 MATLAB 对整个最优调度方案进行遍历搜索, 得到第 $k$ 个物料编号, 第 $k$ 个上料开始时间点 $u_{1 k}$ , 第 $k$ 个下料开始时间点 $u_{2 k}$ , 并记录所有 $k$ 对应的结果。 + +# 3）结果总结 + +经过上述求解步骤，我们最终可以得到最优调度方案、最小总等到时间、最大物料加工数、每个被加工物料对应的上下料开始时间。 + +# 5.1.2 任务2 + +# 5.1.2.1 一道工序加工模型的结果 + +将题目给出的三组参数分别带入模型，利用MATLAB编程求解(代码文件Ques1.m详见附录五)。得到的第一组结果如下表： + +表 2 一道工序调度模型第一组数据结果表 + +
加工物料序号加工CNC编号上料开始时间下料开始时间
110588
2228641
3379717
……
38042795628547
38152803228623
38262808528676
+ +第二组最优结果如下表（两个最优序列）： + +表 3-1 一道工序调度模型第二组数据结果表 + +
加工物料序号加工CNC编号上料开始时间下料开始时间
110610
2230670
3388758
44118818
57194924
68224984
752821072
863121132
……
35952807628704
+ +表 3-2 一道工序调度模型第二组数据结果表 + +
加工物料序号加工CNC编号上料开始时间下料开始时间
110610
2230670
3388758
44118818
55176906
66206966
772641054
882941114
……
35972805828686
+ +第三组的最优结果如下表： + +表 4 一道工序调度模型 + +
加工物料序号加工CNC编号上料开始时间下料开始时间
110572
2227624
3377699
……
39062799728574
39172807228649
39282812428701
+ +# 5.1.2.2 一道工序模型的实用性 + +从结果来看，模型针对3组参数的求解情况均符合实际，既没有出现异常的上下料时间、也没有异常的两个相邻编号的物料上下料开始时间间隔。而这3组数据各有特点，反应了不同工序的不同耗时配比，故3组结果均合理足以证明模型具有较强的实用性，可针对任何符合实际的一组参数进行求解，得到合理的最佳效率方案。 + +分析最优的结果序列，发现恰好为1-8循环作业的自然序列。这与实际的加工过程中，RGV的运动通常存在某种规律、不会做无规则的复杂运动相符合，进一步证明了模型的实用性。 + +# 5.1.2.3 一道工序模型系统的作业效率 + +首先计算最理想情况下即仅考虑物料加工时间和上下料时间，8小时能制造出多少个成品[2]。 + +理想初始情况下，对8台CNC进行上料操作，忽略RGV移动所消耗的时间，记第 $i$ 组初始上料的总时间为 $t_{0i}$ ： + +$$ +t _ {0 i} = 4 s _ {1} + 4 s _ {2} \tag {15} +$$ + +理想情况下第 $i$ 组加工的工件数量 $N_{i}$ 为： + +$$ +N _ {i} = \left[ \left(T - t _ {0 i}\right) / \left(t t _ {i} + s _ {1}\right) \right] \times 4 + \left[ \left(T - t _ {0 i}\right) / \left(t t _ {i} + s _ {2}\right) \right] \times 4 \tag {16} +$$ + +$t t_{i}$ 表示第 $i$ 组单个物料的加工时间，T表示一个班次的总时间。[]表示对括号内的式子向下取整。 + +将3组数据的参数分别带入上式得到： $N_{1} = 384$ ， $N_{2} = 368$ ， $N_{3} = 392$ 。需注意，这是理想情况下求得的8小时最多能加工的零件，并没有考虑一开始小车路上移动的时间和因RGV未能及时到达发出需要上下料的CNC位置而延误的时间。所谓理想情况即RGV总能及时达到需要上下料的CNC位置。 + +第i组的作用效率如下： + +$$ +\eta_ {i} = \frac {n _ {i}}{N _ {i}} \times 100 \% \tag{17} +$$ + +$n_{ij}$ 表示利用情况 $i$ 的模型求得的第 $j$ 组的成品数量。 + +得到： $\eta_{11} = 99.48\%$ ， $\eta_{12} = 97.55\%$ ， $\eta_{13} = 100\%$ 。 + +# 5.2 两道工序加工模型建立与求解 + +# 5.2.1 任务1 + +对两道工序的情况而言，加工系统大部分的工作原理都与一道工序相同，仅少数发生了改变。因此，对没有改变的工作原理、参数、变量，均延用情况一中的定义。 + +# 5.2.1.1 智能加工系统的工作原理 + +# 1）CNC的工作原理 + +在两道工序中，CNC的位置、工作状态仍与一道工序相同，不同之处在于原先8台CNC都进行同一道工序，而此时的CNC可以通过更换刀具改变可加工工序。我们设第 $i$ 台CNC对应的可加工工序为 $G_{i}$ ，则： + +$$ +G _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & \text {加 工 第 一 道 工 序} \\ 2, & \text {加 工 第 二 道 工 序} \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +# 2）RGV的工作原理 + +对任意一块物料，当完成第一道工序时，RGV需要将物料转移到能进行第二道工序的CNC中。在此过程中，第一道工序产生的碎屑可能需要进行处理，否则无法直接进行第二道工序。但由于此过程实际耗费的时间极小，考虑在模型中忽略这个时间。 + +考虑 RGV 的工作状态，在两道工序中，上下料状态显然会出现两种情况，即给加工第一道工序的 CNC 上下料和给加工第二道工序的 CNC 上下料。因此，设 RGV 的状态为 $B_{1}$ ，并对各状态进行赋值： + +$$ +B _ {1} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {等 待 状 态} \\ 1, & \text {运 动 状 态} \\ 2, & \text {第 一 道 工 序 上 下 料 状 态} \\ 3, & \text {第 二 道 工 序 上 下 料 状 态} \\ 4, & \text {清 洗 状 态} \end{array} \right. \tag {18} +$$ + +# 5.2.1.2 加工系统的调度时间 + +对于两道工序的加工系统而言，首要的目标仍然是尽可能提高加工效率。最能直接反应这一目标的即为相同时间内加工的物料个数，个数越大，加工效率越高。 + +然而区别于一道工序，两道工序的目标是不能盲目转换为CNC总等待时间最小的。对每一个物料，需要完成两道工序才能完成加工，而能加工每到工序的CNC编号是不确定的，故CNC总等待时间最小不能直接反应加工物料数最多，可能会出现更多半成品的情况。因此，两道工序的目标转化需要根据CNC具体调配情况而确定。 + +# 1）时间参数的确定 + +不同加工工序的CNC加工物料的时间不同，因此设加工第一道工序的CNC单次加工时间为 $tt_1$ ，加工第二道工序的CNC单次加工时间为 $tt_2$ 。 + +# 2）时间变量的确定 + +根据 RGV 抓取生料的顺序, 将第 $k$ 个被抓取的生料记为物料 $k$ 。则对每个 物料 $k$ , 设其第一道工序上料开始时间点为 $u_{3k}$ , 下料开始时间点为 $u_{4k}$ ; 第二道工序上料开始时间点为 $u_{5k}$ , 下料开始时间点为 $u_{6k}$ 。 + +已知 RGV 对 1、3、5、7 号 CNC 完成一次上下料所需时间为 $s_1$ ，对 2、4、6、8 号 CNC 完成一次上下料所需时间为 $s_2$ 。则对第一道工序，有： + +$$ +u _ {4 k} - u _ {3 k} = t t _ {1} + s \tag {19} +$$ + +对第二道工序，有： + +$$ +u _ {6 k} - u _ {5 k} = t t _ {2} + s \tag {20} +$$ + +其中 $s$ 表示 $s_{1} 、 s_{2}$ 中对应 $k$ 的情况。 + +# 5.2.1.3 加工系统的优化模型 + +对于两道工序的加工而言，问题给出两条准则：CNC在加工的过程中不能更换刀具；同一块物料的两道工序必须在不同的两台CNC上进行加工。分析这两条准则，我们不难发现准则在给出限定的同时也透漏了一条关键信息：CNC在非加工时间可以更换刀具。因此，两道工序的加工过程中，CNC可以持续的进行动态变化。 + +针对这一变化，我们不妨进行分类讨论，考虑可更换刀具与不可更换刀具两种情况，给出不同的模型使加工系统达到效率最高。进一步考虑不可更换刀具的情况，此情况下初始的CNC可加工工序设定即为整个流程的设定。首先排除8台CNC可加工工序相同的情况，此状态无法进行完整加工。于是可能出现的两道加工工序的CNC台数比为1:7、 + +2:6、3:5、4:4。 + +综上，得到两道工序的加工系统的考虑分类情形如图所示： + +![](images/4482df9170d0baf49a51ee651b7c8b31a03f88ea58b76b2717d68b40ff354628.jpg) +图5 两道工序加工情况的分类图 + +# $\bullet$ 不更换刀具 + +# 1）CNC的配比方案 + +先前已经分析得出可能出现的两道加工工序的CNC台数比为3:5、4:4，而具体应该使用怎样的配比，主要取决于两道工序的加工时间[3]。例如，当两道工序的加工时间相近时，适合使用4:4的CNC配比；当一道工序的加工时间是另一道工序的3倍时，使用4:4会导致产生过长的CNC闲置等待时间，使用2:6的配比较为合理。但根据同一位置优先的法则，当比例为2:6或7:1时，模型会因法则失效程度过大而使可行性降低，且实际中两道工序的加工CNC比例不会严重失衡，故我们不考虑2:6、1:7的配比情况。因此，我们给出如下判断法则： + +对第一道工序的CNC单次加工时间 $tt_{1}$ ，加工第二道工序的CNC单次加工时间 $tt_{2}$ 有比值： + +$$ +T T = \frac {t t _ {1}}{t t _ {2}} \tag {21} +$$ + +3种配比比例共有7个比值，分别为3/5、1、5/3，将比值记作 $Tt$ 。 + +寻找与加工时间比值最接近的配比，相应公式如下： + +$$ +\min \left| T T - T t \right| \tag {22} +$$ + +将该最小值对应的配比 $T_{t}$ 确定为当前参数对应选择的CNC配比。然而我们必须考虑到，配比的分子分母越接近，系统的周转能力会更加灵活，不排除比分子分母更接近的配比会产生更优方案的可能。因此，做如下规定： + +当配比 $T_{t}$ 确定时，将参数分别带入 $T_{t}$ 配比与分子分母比其更接近的配比中求解最优结果，取这其中的最优结果作为最终结果。例如，求得 $T_{t}$ 为3/5，则取3/5、4/4、5/3这3中配比情况的模型分别求解，取其中最优解的配比作为最终方案。 + +利用上述法则，可以保证给出不同的加工时间参数时，可以选择更合理的初始CNC配比设置，使得在该配比下得到的最佳调度方案优于其它配比下的方案。 + +# 2）4:4型的调度方案 + +Step1：首先需确定不同刀具类型的CNC应摆放的位置。考虑与一道工序中相似的问题，当RGV处于某一位置并完成对该位置一台第一道工序类型CNC的下料时，需要寻找第二道工序类型的CNC进行上料；此时，最佳的选择是该位置的另一台CNC。因此，我们得出将两类CNC分别置于轨道两次为最佳的分配方式。 + +由一道工序的加工系统，我们已知轨道两侧的CNC上下料时间不同，因此具体哪一类CNC放置在哪一侧，需要根据给出的加工时间比值 $TT$ ，而具体目标为尽量减少RGV的等待时间。综上给出判定方式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T T \geq 1, \text {第 一 道 工 序 的 C N C 放 置 上 下 料 时 间 长 的 一 侧} \\ T T < 1, \text {第 二 道 工 序 的 C N C 放 置 上 下 料 时 间 长 的 一 侧} \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +Step2：考虑初始情况。RGV从位置1出发，由于位置1-4各有个加工第一道工序的CNC，故初始仅需要对4台CNC进行上料，则上料的顺序共有以下6种情况： + +![](images/1be64e428b451bec5497e6d458d646fc44266ac7791133c40fe198c9544e16b3.jpg) +图6初始上料的顺序图 + +故模型将基于6种初始状态给出6种最佳调度方案，取6种方案中的最优作为结果。 + +Step3: 对于每一块物料，经历的加工流程如图所示： + +![](images/cbc0311d6afc967914923c1c66d698f4c5bc1e3cff1a05c19bbb379e7e76e2d9.jpg) +图7物料的加工流程图 + +对任意一种初始状态，RGV下一步开始对目前CNC上的4块物料进行操作，直到4块物料都完成如图所示的流程，RGV会开始对其它物料进行作业[4]。因此，我们将每4块物料绑定为一组；对第一组，从初始放置结束为起始，到第4块物料完成清洗为结束；对接下来的第 $x$ 组，以 $x - 1$ 组结束为起始，第 $4x$ 个物料清洗完成为结束；循环这个流程，直到8小时工作结束。 + +Step4: 对于每一组而言, 第 1 块物料完成第一道工序后有 4 个可选择的第二道工序 CNC 进行放置; 第 2 块物料完成第一道工序后, 有 3 个可选择的第二道工序 CNC 进行放置。以此类推, 得到总的选择数为 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 。 + +同样，对于每一组而言，在4块进行第一道工序的物料中选择第一块加入第二道工序的物料，共有4个可能的选择；选择第二块加入第二道工序的物料，共有3个可能的选择。依次类推，得到总的可选择数为 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 。 + +因此，得到每一组4块物料加工过程的可选调度方案数为 $24 \times 24 = 576$ 。 + +设第 $x$ 组的开始时间点为 $f_{1 x}$ , 结束时间为点 $f_{2 x}$ , 则对每一组的 576 种可选方案, 取最小时间的方案为该组最终调度方案。公式表示为: + +$$ +\min f _ {0} = f _ {2 x} - f _ {1 x} \tag {24} +$$ + +其中， $f_{0}$ 表示完成一组调度需要的总时间。 + +Step5: 考虑最后一组的情况。当 RGV 完成对最后一组第 $m$ 块物料的清洗后返回初始位置时, 整个流程时间恰好已超出 28800 秒, 则放弃对第 $m$ 块物料的加工, 直接返回 + +初始位置。设最后一组加工完成的物料数为 $d$ , 则: + +$$ +d \in \{1, 2, 3, 4 \} \tag {25} +$$ + +Step6: 确定目标函数。设每种初始状态对应的最大加工物料数分别为 $D_{1} 、 D_{2} 、 D_{3} 、 D_{4} 、 D_{5} 、 D_{6}$ 。则对任意一种初始状态，最大加工物料数表示为： + +$$ +D _ {v} = 4 n + d \tag {26} +$$ + +其中， $n$ 为28800秒内完整完成的组数。 + +故目标函数表示为： + +$$ +\max \left\{D _ {1}, D _ {2}, D _ {3}, D _ {4}, D _ {5}, D _ {6} \right\} \tag {27} +$$ + +Step7: 根据 RGV 抓取生料的顺序, 将第 $k$ 个被抓取的生料记为物料 $k$ 。记录每个 $k$ , 并记录每个 $k$ 对应的第一道工序上料开始时间点 $u_{3 k}$ , 下料开始时间点 $u_{4 k}$ ; 第二道工序上料开始时间点 $u_{5 k}$ , 下料开始时间点 $u_{6 k}$ 。 + +# 3）3:5型的调度方案 + +Step1：首先需确定不同刀具类型的CNC应摆放的位置。 + +第一，根据之前同一位置优先的原则，尽量使不同类型的CNC在同一RGV位置点的两侧。由此确定3个加工第一道工序的CNC应当不处于同一位置的两侧。 + +第二，由一道工序的加工系统，我们已知轨道两侧的CNC上下料时间不同，因此具体哪一类CNC放置在哪一侧，需要根据给出的加工时间比值TT，而具体目标为尽量减少RGV的等待时间。综上给出判定方式如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T T \geq 1, \text {第 一 道 工 序 的 C N C 放 置 上 下 料 时 间 长 的 一 侧} \\ T T < 1, \text {第 二 道 工 序 的 C N C 放 置 上 下 料 时 间 长 的 一 侧} \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +这里需要注意，由于第一道工序的CNC仅有3台，因此第一道工序CNC的一侧必定会出现1台第二道工序的CNC。 + +第三，基于前两点，可行的放置情况共有4种（假设在轨道哪一侧已经选定），如图所示： + +![](images/21b82e11d5543a4d34379e709872de14b648a0d03783cff161967d6b83caf2e8.jpg) +图8两种刀具的CNC的分布图 + +![](images/6ddb27aa1c8a01748e74eda5b1801c4e2652074688162a0989ac713715954eff.jpg) + +接下来从4种情况中确定最佳的放置方案。已知RGV的初始位置在位置1，故优先选择在位置1放置第一道工序的CNC；由对称关系，当RGV进行工作时，在位置1、4的情况近似，在位置2、3的情况近似，故在已经选择了位置1的情况下，在位置4也放置第一道工序的CNC；同样根据对称性，在2、3位置放置的结果会近似相同，不妨 + +将最后一个CNC放置在位置2。 + +综上所述，最终选定的放置方案为情况2。 + +Step2：考虑初始情况。RGV从位置1出发，由于位置1、2、4各有个加工第一道工序的CNC，故初始仅需要对3台CNC进行上料，上料的顺序共有以下2种情况： + +![](images/609972ffadb7666837388b0ff1f4b16ceb40c6311069a01542c3e86bf59edd0d.jpg) +图9上料顺序图 + +故模型将基于2种初始状态给出2种最佳调度方案，取2种方案中的最优作为结果。 + +Step3：对任意一种初始状态，RGV下一步开始对目前CNC上的3块物料进行操作，直到3块物料都完成先前给出的加工流程，RGV会开始对其它物料进行作业。因此，我们将每3块物料绑定为一组；对第一组，从初始放置结束为起始，到第3块物料完成清洗为结束；对接下来的第 $x$ 组，以 $x - 1$ 组结束为起始，第 $3x$ 个物料清洗完成为结束；循环这个流程，直到8小时工作结束。 + +Step4: 对于每一组而言, 第 1 块物料完成第一道工序后有 5 个可选择的第二道工序 CNC 进行放置; 第 2 块物料完成第一道工序后, 有 4 个可选择的第二道工序 CNC 进行放置。以此类推, 得到总的选择数为 $5 \times 4 \times 3 = 60$ 。 + +同样，对于每一组而言，在3块进行第一道工序的物料中选择第一块加入第二道工序的物料，共有3个可能的选择；选择第二块加入第二道工序的物料，共有2个可能的选择。依次类推，得到总的可选择数为6。 + +因此，得到每一组3块物料加工过程的可选调度方案数为 $60 \times 6 = 360$ 。 + +设第 $x$ 组的开始时间点为 $f_{1x}$ , 结束时间为点 $f_{2x}$ , 则对每一组的 $24 \times 24$ 种可选方案, 取最小时间的方案为该组最终调度方案。公式表示为: + +$$ +\min f _ {0} = f _ {2 x} - f _ {1 x} \tag {29} +$$ + +其中， $f_{0}$ 表示完成一组调度需要的总时间。 + +Step5: 考虑最后一组的情况。当 RGV 完成对最后一组第 $m$ 块物料的清洗后返回初始位置时, 整个流程时间恰好已超出 28800 秒, 则放弃对第 $m$ 块物料的加工, 直接返回初始位置。设最后一组加工完成的物料数为 $d$ , 则: + +$$ +d \in \{1, 2, 3 \} \tag {30} +$$ + +Step6: 确定目标函数。设每种初始状态对应的最大加工物料数分别为 $D_{1} 、 D_{2}$ 。则对任意一种初始状态，最大加工物料数表示为： + +$$ +D _ {v} = 3 n + d \tag {31} +$$ + +其中， $n$ 为28800秒内完整完成的组数。 + +故目标函数表示为： + +$$ +\max \left\{D _ {1}, D _ {2} \right\} \tag {32} +$$ + +Step7: 根据 RGV 抓取生料的顺序, 将第 $k$ 个被抓取的生料记为物料 $k$ 。记录每个 $k$ , 并记录每个 $k$ 对应的第一道工序上料开始时间点 $u_{3 k}$ , 下料开始时间点 $u_{4 k}$ ; 第二道工序上料开始时间点 $u_{5 k}$ , 下料开始时间点 $u_{6 k}$ 。 + +4）5:3型的调度方案 + +5:3型的调度方案与3:5型有许多相似之处，因此接下来只对改变的步骤进行解释。 + +Step1的改变：根据同一位置有效的法则，5:3型固然先将4个第一道工序的CNC放置在同侧；在3:5型的放置方案中，第一道工序的CNC位于位置1、2、4，为了不影响更优的位置，将第5个第一道工序的CNC放置在位置3的另一侧。故CNC放置方案确定。 + +Step2 的改变：考虑初始情况。RGV 从位置 1 出发，由于位置 1、2、3、4 都存在加工第一道工序的 CNC，故初始需要对 5 台 CNC 进行上料，结合同一位置优先的法则，上料的顺序共有以下 6 种情况： + +![](images/6ce1940a3a08b7033a7a18aaacac11187023d8a97753b12713ac385313e26395.jpg) +图10 初始上料顺序图 + +故模型将基于6种初始状态给出6种最佳调度方案，取6种方案中的最优作为结果。 + +Step4 的改变：对于每一组而言，第 1 块物料完成第一道工序后有 3 个可选择的第二道工序 CNC 进行放置；第 2 块物料完成第一道工序后，有 2 个可选择的第二道工序 CNC 进行放置。以此类推，得到总的选择数为 6。 + +同样，对于每一组而言，在3块进行第一道工序的物料中选择第一块加入第二道工序的物料，共有5个可能的选择；选择第二块加入第二道工序的物料，共有4个可能的选择。依次类推，得到总的可选择数为60。 + +因此，得到每一组3块物料加工过程的可选调度方案数为 $60 \times 6 = 360$ 。 + +Step6 的改变：由于初始状态有 6 种，故目标函数表示变为： + +$$ +\max \left\{D _ {1}, D _ {2}, D _ {3}, D _ {4}, D _ {5}, D _ {6} \right\} \tag {33} +$$ + +# $\bullet$ 更换刀具 + +考虑更换刀具的情况，首先明确换刀的目的。当可以换刀时，不再有CNC的的配比放置方案，一切以提高效率为准。 + +Step1：显然，初始的最佳状态为8台CNC都进行第一道工序。 + +Step2：当RGV为物料更换工序时，利用一道工序的调度模型选取下一台CNC执行第二道工序。此时对该CNC进行刀具更换工作，并拾起该CNC先前加工好第一道工序的物料，放置前一个需要加工第二道工序的物料。 + +Step3: 重复 Step2 的步骤，直到完成全部的调度。 + +这里我们不难发现，为了提高效率而制定的上述调度方案中换刀是极其频繁的，每执行一次操作时都大概率进行换刀，具体表现为满足两个法则： + +1. 若前一个完工的 CNC 执行了第一道工序，则 RGV 下一个联动的 CNC 需更换为第二道工序的刀具。 +2. 若前一个完工的 CNC 执行了第二道工序，则 RGV 下一个联动的 CNC 需更换为第一道工序的刀具。 + +在实际中换刀的时间大约为 $2 - 5s$ ，因此不会对加工效率产生明显影响。但是另有3点我们必须考虑到： + +1. 加工系统是否容易发生故障取决于频繁的操作，如果为了提高效率盲目进行上 + +述频繁换刀的操作，会使得系统发生故障的概率大大提升，得不偿失。 + +2. 且在实际情况中，不会出现为提高效率而频繁换刀的操作。 +3. 初步对频繁换刀的理想状态进行估计，相比不换刀的最佳方案，28800秒内增加的物料加工数量均在5个左右，效率提高并不明显。 + +上述3个问题直接从多方面否定了在调度中频繁更换刀具的不合理性。因此，我们在确定后续的调度方案中，不考虑CNC更换刀具的情况，直接将其排除。 + +# 5.2.1.4 调度模型的求解算法 + +对于情况二，所有的求解步骤都已经在模型中一一给出；因此只需要依据模型，将遍历搜索算法与直接计算方法结合，利用MATLAB依次得到模型需要的结果，即可完成对情况二的求解。 + +# 5.2.2 任务2 + +# 5.2.2.1 两道工序加工模型的结果 + +首先考虑不换刀的情况，将题目给出的三组参数分别带入模型，利用MATLAB编程求解。经过配比检验，得到第一组参数下确定使用4:4的放置方案；第二、三组参数需要分别带入4:4、3:5、5:3的模型中求解，第二组4:4得到成品209个成品、3:5得到200个成品、5:3得到159个成品；第三组4:4得到成品232个成品、3:5得到174个成品、5:3得到236个成品（三种配比情况的结果表详见附录二十六），取其中最优的放置方案。从得到的结果发现：第一、二组适用4:4，第三组适用5:3。（5个一号刀，3个二号刀）其中，两道工序加工的第一组结果如下(代码文件Ques201.m详见附录十二)： + +表 5 两道工序调度模型第一组数据结果表 + +
加工物料序号工序1的CNC编号上料开始时间下料开始时间工序2的CNC编号上料开始时间下料开始时间
1104282456884
23485074535988
359658666141092
……
2515275842802662805428496
2527276882813082815828600
2531278182826022828828730
+ +两道工序加工第二组结果如下(代码文件 Ques201.m 详见附录十二): + +表 6 两道工序调度模型第二组数据结果表 + +
加工物料序号工序1的CNC编号上料开始时间下料开始时间工序2的CNC编号上料开始时间下料开始时间
1103102340875
23533984428993
3510648665161111
……
2073272732780862786128396
2087274142794982797928514
2095275322806722816028695
+ +两道工序加工第三组结果如下(代码文件 Ques203.m 详见附录十四): + +表 7 两道工序调度模型第三组数据结果表 + +
加工物料序号工序1的CNC编号上料开始时间下料开始时间工序2的CNC编号上料开始时间下料开始时间
14185053537957
28825967628837
3513267317321059
……
2345275822819332823828474
2354276792844232847428683
2366278132830872835828567
+ +结果表明，第1、2组参数均在4:4放置CNC的情况下得到更好的解，第3组参数在5:3放置CNC的情况下得到更好的解，这也验证了之前判断配比的法则是有必要且正确的。 + +# 5.2.2.2 两道工序模型的实用性 + +从结果来看，模型针对3组参数的求解情况均符合实际，既没有出现异常的上下料时间、也没有异常的两个相邻编号的物料上下料开始时间间隔。而这3组数据各有特点，反应了不同工序的不同耗时配比，故3组结果均合理足以证明模型具有较强的实用性，可针对任何符合实际的一组参数进行求解，得到合理的最佳效率方案。 + +分析最优的结果序列，虽然不全为 1-8 的自然序列，但都会陷入一个循环路径。这与实际的加工过程中，RGV 的运动通常存在某种规律、不会做无规则的复杂运动相符合，进一步证明了模型的实用性。 + +# 5.2.2.3 两道工序模型系统的作业效率 + +理想情况下，不考虑RGV移动所消耗的时间，则对于之前已经验证出一、二两组的4:4类型的CNC分布。作业效率如下： + +$$ +e _ {1 i} = t t _ {1} + s _ {1} +$$ + +$$ +e _ {2 i} = t t _ {2} + s _ {2} \tag {34} +$$ + +$$ +e i = \max \left\{e _ {1 i}, e _ {2 i} \right\} +$$ + +$t t_{i}$ 表示加工一个第 $i$ 道工序的时间， $e_{1i}$ 表示加工第一道工序的时间与上下料时间之和， $e_{2i}$ 表示加工第二道工序的时间与上下料时间之和。 + +$$ +N _ {2 i} = \frac {\left(2 8 8 0 0 - t _ {0 i}\right)}{e i} \times 4 \tag {35} +$$ + +$N_{2i}$ 表示理想情况下，8小时能加工两道工序的第 $i$ 组的成品数。 $t_{0i}$ 表示第一次上下料所消耗的时间。得到 $N_{21} = 268$ ， $N_{22} = 216$ + +$$ +\eta_ {2 i} = \frac {n _ {2 i}}{N _ {2 i}} \times 100 \% \tag{36} +$$ + +$\eta_{2i}$ 表示两道工序情况下，利用该模型系统的作业效率。 + +得到： $\eta_{21} = 94.40\%$ ， $\eta_{22} = 96.76\%$ 。 + +第三组是适用于5:3刀具类型的CNC分布，如果想向之前那样具体算出理想情况下8小时能生产的成品数，比较繁琐。那么，仍以4:4刀具分布的CNC的理想情况作为比较基准，先得到 $N_{23} = 236$ 再求得 $\eta_{23} = 100\%$ 。 + +# 5.3 随机故障模型的建立与求解 + +# 5.3.1 任务1 + +对于情况三而言，首先需要给出加工系统的故障概率模型，再将模型分别嵌入情况一、二的模型中，分别考虑其影响。 + +# 5.3.1.1 概率故障模型 + +已知CNC在加工过程中发生故障的概率为 $1\%$ ，即每台CNC在每一次加工时，都有 $1\%$ 的概率的出现故障。故给出第 $i$ 台CNC的故障状态如下： + +$$ +C _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {C N C 正 常} \\ 1, & \text {C N C 故 障} \end{array} \right. \tag {37} +$$ + +其中，具体每次加工中， $C_{i}$ 状态随机选取，有 $1\%$ 的概率为0， $99\%$ 的概率为1。 + +当CNC发生故障时，其故障时长可能为10-20分钟。我们不妨假设故障时长服从均匀分布，再针对情况一、二的模型进行嵌入，分别固定带入这3个故障市场对结果进行求解[5]。 + +# 5.3.1.2 一道工序的故障模型 + +Step1: 将概率故障模型嵌入一道工序的“八步看一步”的调度模型，从初始放置步骤开始进行调度操作。 + +Step2: 假设在随机的过程中, 第 $k$ 个物料在第 $i$ 台 CNC 上加工时发生了故障; 此时需要明确, 故障的修复是人工操作, RGV 无法预知修复完成的时间。因此, 从 CNC 发生故障的时刻开始, 在 RGV 的视野中第 $i$ 台 CNC 消失, 系统中仅仅存在 7 台 CNC。 + +Step3：在上述情况下进行一道工序的调度方案，以未来8步决策1步作业，直到CNC修复完成，重新回归到RGV的视野中[6]。设第 $w$ 步的时间区间为 $[w_1, w_2]$ ，此处需要进行考虑，当CNC发生故障时，RGV正处于第 $w$ 步的时间区间中，则RGV需将第 $w$ 步完成，在考虑下一步时忽略故障CNC。 + +Step4: 故障在一次加工过程中发生时，以秒为单位服从均匀分布，即随机在加工时间里的任意一秒开始出现故障；故障发生的时长也服从均匀分布，故随机选取10-20分钟内的任意一个加工时长。因此，对于发生故障的CNC正在加工的物料 $k$ ，记录 $k$ 及 $k$ 的故障开始时间、结束时间。 + +Step5: 故障排除后恢复原先的调度过程, 直到下一个随机故障出现, 重复上述步骤,一直到28800秒结束，记录一道工序调度模型需要得到的结果。 + +# 5.3.1.3 两道工序的故障模型 + +两道工序的故障模型首先因基于情况二的完整过程。对于情况二，我们已经通过三组数据验证了当不更换刀具时，4:4型为解决一般问题的最佳CNC配比方案，因此我们只对4:4型的调度方案嵌入概率故障模型，并给出其结果。 + +由于两道工序的故障模型与一道工序的故障模型区别仅仅存在于 Step3，故直接延用一道工序的故障模型，并对 Step 作出改变。 + +Step1: 将概率故障模型嵌入两道工序的调度模型，从初始放置步骤开始进行调度操作。 + +Step2: 假设在随机的过程中, 第 $k$ 个物料在第 $i$ 台 CNC 上加工时发生了故障; 此时需要明确, 故障的修复是人工操作, RGV 无法预知修复完成的时间。因此, 从 CNC 发生故障的时刻开始, 在 RGV 的视野中第 $i$ 台 CNC 消失, 系统中仅仅存在 7 台 CNC。 + +Step3: 两道工序的调度方案是以 4 块物料完成加工为一组进行分步调度。设对第 $k$ 块物料进行某道工序的加工过程中出现故障。设此时系统处于第 $x$ 组物料的加工过程中, 故先将该组的加工流程继续完成, 跳过故障 CNC 对应的步骤; 可以得出, 由于故障原 + +因，此过程可能出现多余的往返。在进行下一组物料的加工时，由于某一类型的 CNC 有 1 个缺失，故可能的选择情况由 $24 \times 24$ 转变为 144。因此，从故障开始时，每一组由 144 种方案中选取最优的调度方案进行；但需要注意，这一组加工的物料数可能为 4，也可能为 3，这取决于出现故障的 CNC 类型。当故障被修复时，同理令系统完成当前一组的加工，从下一组加工开始恢复原先的调度方案。 + +Step4: 故障在一次加工过程中发生时，以秒为单位服从均匀分布，即随机在加工时间里的任意一秒开始出现故障；故障发生的时长也服从均匀分布，故随机选取10-20分钟内的任意一个加工时长。因此，对于发生故障的CNC正在加工的物料 $k$ ，记录 $k$ 及 $k$ 的故障开始时间、结束时间。 + +Step5: 故障排除后恢复原先的调度过程，直到下一个随机故障出现，重复上述步骤，一直到28800秒结束，记录一道工序调度模型需要得到的结果。 + +Step6：对不同可选CNC配比放置下的初始情况分别重复上述步骤，比较不同配比下故障对系统的影响。 + +# 5.3.1.4 模型的求解算法 + +基于原先的求解算法，更改相关的函数、参数，依照概率合理利用随机生成，对模型步骤依次进行编程求解，最终可以得到模型需要的相关结果。 + +# 5.3.2 任务2 + +# 5.3.2.1 故障模型的结果 + +利用MATLAB求解一道工序随机故障模型(代码文件Ques301.m详见附录十六)。 + +一道工序的情况下，第一组随机故障模型结果如下： + +表 8 一道工序模型第一组随机故障模型结果表 + +
加工物料序号加工CNC编号上料开始时间下料开始时间
110588
2228641
……
36512804928693
+ +
故障时的物料序号故障CNC编号故障开始时间故障结束时间
66250465647
21361604816968
24461879719869
35132709528190
+ +一道工序的情况下，第二组随机故障模型： + +表 9 一道工序模型第一组随机故障模型结果表 + +
加工物料序号加工CNC编号上料开始时间下料开始时间
110610
2230670
……
33972806728677
+ +
故障时的物料序号故障CNC编号故障开始时间故障结束时间
78664437413
20121624016886
25152071521522
----
+ +一道工序的情况下，第三组随机故障模型结果： + +表 10 一道工序模型第一组随机故障模型结果表 + +
加工物料序号加工CNC编号上料开始时间下料开始时间
110572
+ +
故障时的物料序号故障CNC编号故障开始时间故障结束时间
65146105308
2227624
……
38972817128748
+ +
13811003010890
16781230413262
----
+ +利用MATLAB求解两道工序随机故障模型(代码文件Ques302.m详见附录十七)。两道工序的情况下，第二组随机故障模型结果如下： + +表 11 两道工序模型第一组随机故障模型结果表 + +
加工物料序号工序1的CNC编号上料开始时间下料开始时间工序2的CNC序号上料开始时间下料开始时间
1104282456865
23485074535944
359658666141023
……
2385270262746822767128077
2393271302774742814928558
2407273642823882826628675
+ +表 12 两道工序模型第一组随机故障模型故障故障信息表 + +
故障时的物料序号故障CNC编号故障开始时间故障结束时间
9671048911243
19942278223772
23562751328149
+ +两道工序的情况下，第一组随机故障模型结果： + +表 13 两道工序模型第二组随机故障模型结果表 + +
加工物料序号工序1的CNC编号上料开始时间下料开始时间工序2的CNC序号上料开始时间下料开始时间
1104282456865
23485074535944
359658666141023
……
2385270262746822767128077
2393271302774742814928558
2407273642823882826628675
+ +表 14 两道工序模型第二组随机故障模型故障信息表 + +
故障时的物料 +序号故障 CNC +编号故障开 +始时间故障结束 +时间
41353606192
11921683117984
12461810718768
+ +两道工序的情况下，第三组随机故障模型结果： + +表 15 两道工序模型第三组随机故障模型结果表 + +
加工物料序号工序1的CNC编号上料开始时间下料开始时间工序2的CNC序号上料开始时间下料开始时间
1103102340875
23533984428963
3510648665161051
……
1981272352777022782228357
1997274112794682798128516
2005275342806962809928634
+ +表 16 两道工序模型第三组随机故障模型故障信息表 + +
故障时的物料序号故障CNC编号故障开始时间故障结束时间
14081725918006
19872400425088
+ +# 5.3.2.2 故障模型的实用性 + +关于故障模型，我们需要通过模型的稳定性判断模型是否实用，即判断故障对模型产生的影响程度是否在某一度内。首先依次选择加工物料总数、故障物料总数为样本。分别对随机生成修复故障时间的样本、设定10分钟修复故障时间的样本、设定15分钟的样本及设定20分钟的样本做平均值与标准差，标准差计算公式表示为： + +$$ +\sigma = \sqrt {\frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(u - x _ {i}\right) ^ {2}}{n - 1}} \tag {38} +$$ + +利用MATLAB分别求解4种情况下20个样本的标准差。 + +对一道工序，得到的结果如下(代码文件 Ques303.m 详见附录二十): + +表 17 随机故障模型对一道工序 20 次样本分析结果表 + +
成品平 均数成品数 标准差故障发生 平均次数故障数 标准差
随机第一组364.612.204.201.881
第二组330.615.573.501.638
第三组377.210.033.501.573
10min第一组365.09.554.251.860
第二组326.018.684.001.806
第三组376.113.414.202.726
15min第一组366.011.953.851.927
第二组327.719.553.601.759
第三组378.08.923.601.536
20min第一组362.19.824.151.755
第二组326.314.683.751.517
第三组366.613.734.451.572
+ +对两道工序情况(针对4:4情况),结果如下(代码文件Ques304.m详见附录二十一): + +表 18 随机故障模型对两道工序 20 次样本分析结果表 + +
成品平 均数成品数 标准差故障发生 平均次数故障数 标准差
随机第一组240.812.202.301.881
第二组196.77.853.201.824
第三组221.97.673.151.755
10min第一组241.39.553.051.860
第二组202.63.392.651.309
第三组226.54.582.951.669
15min第一组242.611.952.351.927
第二组201.25.872.251.446
第三组222.17.722.801.765
20min第一组233.69.822.851.755
第二组196.49.692.701.689
第三组218.010.133.001.589
+ +由此可见当样本修复时间在 $10\sim 15\mathrm{min}$ 左右时，模型的稳定性更强，这表示在今后的加工中，可设法人为将修复故障时间控制在 $10\sim 15\mathrm{min}$ 左右，避免出现故障严重影响加工的情况。 + +# 六、模型的灵敏度分析 + +对题目给定的3组数据，令RGV移动时间、CNC加工时间、上下料时间、清洗时间均上下连续波动 $5\%$ ，利用MATLAB绘制4个参数分别与物料成品数量之间的函数关系图。一道工序情况下的模型灵敏度分析图如下(代码文件LingMin1.m详见附录二十四)： + +![](images/38836b722a7ac8cfe0505bd9a55799f58f1f01c9ee755ecb85ae215c01db1bbe.jpg) +图11 一道工序模型的灵敏度分析图 + +![](images/bc123aa154100755592b9a41f9e475395c8e0aa1d055e1ea1f4e6fecb3e0de50.jpg) + +![](images/d56e7e826dddb088b5535bdc7ffd2a113bae45a30e12723de433b8fea0276be9.jpg) + +如图所示，对于第一、三组数据而言，两道工序加工的调度模型对CNC加工时间较为敏感，而对第二组数据而言，RGV移动时间、CNC加工时间、上下料时间、清洗时间的变化都会对最终能完成的成品数产生较大影响。因此，可以推断得出，一般情况下，模型对CNC加工时间都较为敏感，在实际加工过程中，需要谨慎考虑加工时间的设置，以保证加工效率。 + +绘制两道工序情况下的模型灵敏度分析图如下(代码文件 LingMin2.m 详见附录二十五): + +![](images/2c42c02b93964ee6e9ed541f37caa34fe2585d5e4d31e3a8cfbb28b60deda6c5.jpg) +图12 两道工序模型的灵敏度分析图 + +![](images/053a235873c9982a9cb62a6d1bd06edc5ab32b94a3601fed271dabb5acebee81.jpg) + +![](images/13eeb3c87f819726147e7977f5485bc927749e3974376f2da8a1d57dbdbab3b6.jpg) + +观察上图结果，对于第二、三组数据而言，一道工序加工的调度模型对CNC加工时间较为敏感，而对第一组数据而言，RGV移动时间、CNC加工时间、上下料时间、清洗时间的变化都会对最终能完成的成品数产生较大影响。因此，可以推断得出，一般情况下，模型对CNC加工时间都较为敏感，在实际加工过程中，需要谨慎考虑加工时间的设置，以保证加工效率。 + +上述两种情况表明，无论采用几道加工工序，CNC单次加工时间的设定最为关键，而其它三个参数会因加工工序的数量不同而呈现不同的灵敏度，有些情况下敏感，有些情况下稳定。 + +# 七、模型的综合评价与推广 + +# 7.1 模型的综合评价 + +# 7.1.1 模型的优点 + +本文在考虑未来步骤对当前步骤的影响时，从多方面进行分析，确定了由未来几步确定当前一步可以时结果无限接近全局最优；既没有进行复杂的全局搜索，也没有进行不确定性较强的随机生成，但却得到了理想的最优结果。 + +本文在考虑两道工序的加工过程时，针对不同的CNC布局进行了全面的分析与验证，最终给出了不同情形下最佳的布局方式，增强了模型的实用性。 + +本文突出的特点在于考虑了更换刀具的问题。在实际问题中，更换刀具是常见的操作；针对题目，频繁的更换刀具确实可以使问题得到更优的结果；最终要的一点是，合理的换刀并没有违背题目的任何要求。基于上述三点，更换刀具对于两道工序的加工过程是有意义的，值得推广的。 + +本文在考虑随机生成故障时，对 RGV 的指令进行了分析，确定了故障出现时 RGV + +是否应继续当前指令以及故障期间 RGV 指令发生了怎样的改变。这使得本文对故障的考虑更加实际、更加精细。 + +本文在检验模型的步骤中，使用方差来判断模型的稳定性，使用理想状态与实际状态的对比情况来判断模型的效率，进一步增强了模型的可靠性。 + +# 7.1.2 模型的缺点 + +本文在考虑不同配比的CNC时，忽略了2:6、1:7的情况；但是在实际的操作中，当两种CNC的加工时间差超过一定限度时，2:6、1:7的配比将成为最优的放置方案。此处模型直接忽略了少数情况，考虑欠妥当。 + +本文在模型假设时假设了传送带的总能及时给到生料与熟料空位，但在实际情况中，传送带的运行是有一定的速度的，在加工系统运行时传送带会影响整个调度方案；模型的假设与实际略不相符，故存在缺陷。 + +# 7.2 模型的推广 + +本文主要利用动态规划对智能加工系统制定了高效的调度方案，其中运用最多的“未来多步确定一步”的思想可以推广到更多的调度模型中；对于问题本身，此模型在RGV位置增多，CNC数量增多的情况下依然使用，可能仅仅需要对“未来多步”进行略微的调整。但是RGV的位置与CNC的数量不能无限的增加下去，当其达到一定值时，RGV会应运动时间过长而效率降低，此时就需要在原先模型的基础上增加RGV数量，得到更高效的调度方案。 + +# 八、参考文献 + +[1]查振元,李计星,绳润涛,等.智能平移轨道导引车的应用[J].机器人技术与应用,2017(5):42-43. +[2]顾红,邹平,徐伟华.环行穿梭车优化调度问题的自学习算法[J].系统工程理论与实践,2013,33(12):3223-3230. +[3]陈华.基于分区法的2-RGV 调度问题的模型和算法[J].工业工程与管理,2014,19(6):70-77. +[4]金芳,方凯,王京林,基于排队论的AGV调度研究[J].仪器仪表学报,2004,25(s1):844-846. +[5]周广文,贾亚洲.专用计算机数控机床故障率实验研究[J].组合机床与自动化加工技术,2005(1):45-47. +[6]乔非,吴启迪.SJ—FMS 中 RGV 的实时调度与故障调度[J].组合机床与自动化加工技术,1995(03):39-43. + +# 九、附录 + +附录程序运行环境： + +MATLAB 版本: 9.0.0.341360 (R2016a) + +MATLAB 许可证编号: 123456 + +操作系统: Microsoft Windows 10 家庭中文版 Version 10.0 (Build 17134) + +Java 版本: Java 1.7.0_60-b19 with Oracle Corporation Java HotSpot(TM) 64-Bit Server VM mixed mode + +附录一：oneStep.m + +function $[\mathrm{h},\mathrm{f},\mathrm{g},\mathrm{z}] =$ oneStep(a,dT,T,t0,c) + +%单步最优 + +$\mathrm{z = [c;c;c;c]}$ +for $\mathrm{i} = 1:4$ $\mathrm{e(i) = dT(abs(a - i) + 1)};\%$ 可能移动时间 +f(i)=i;%位置 + $\mathrm{g(i) = t0 + e(i)};\%$ 移动后当前时间 +if $\mathrm{g(i) > c(2^* (i - 1) + 1)\& \& g(i) > c(2^* (i - 1) + 2)}$ $\% [\mathrm{cmin,cind}] = \mathrm{min}([\mathrm{c}(2^* (\mathrm{i} - 1) + 1) + 28 + \mathrm{T}(7),\mathrm{c}(2^* (\mathrm{i} - 1) + 2) + 31 + \mathrm{T}(7)])$ $\mathrm{cind} = 1$ ： + $\mathrm{z(i,2^*(i - 1) + cind) = g(i) + T(5) + T(4)}$ +h(i)=0;%其余CNC等待时间 +forj=1:8ifc(j) c(2*(i-1) + 1) && t0 > c(2*(i-1) + 2)$ +[\% [\text{cmin,cind}] = \min([c(2*(i-1) + 1), c(2*(i-1) + 2)])]; + $\text{cmin} = t0; \text{cind} = 1$ ; + $\text{c}(2*(i-1) + \text{cind}) = \text{cmin} + T(4 + \text{cind}) + T(4)$ ; +elseif $t0 < c(2*(i-1) + 1) && t0 < c(2*(i-1) + 2)$ +[\text{[cmin,cind]} = \min([c(2*(i-1) + 1) + T(5), c(2*(i-1) + 2) + T(6)]);] + $\text{cmin} = \text{cmin-T}(4 + \text{cind})$ ; + $\text{c}(2*(i-1) + \text{cind}) = \text{cmin} + T(4 + \text{cind}) + T(4)$ ; +else +[\text{[cmin,cind]} = \min([c(2*(i-1) + 1), c(2*(i-1) + 2)]);] + $\text{cmin} = t0$ ; + $\text{c}(2*(i-1) + \text{cind}) = \text{cmin} + T(4 + \text{cind}) + T(4)$ ; +end +M(N,1) = cmin; +M(N,2) = 2*(i-1) + cind; +for i = length(M(:,2))-1:-1:1 +if M(i,2) == 2*(a-1) + cind +M(i,3) = cmin; +break; +end + +```matlab +end +t0=cmin+T(4+cind)+T(7); +end +mm=M(N-8,3); +end +``` + +附录四：find8.m + +%找出八步 + +clc,clear + +%RGV移动1,2,3个单位所需时间 + +$\mathrm{T = [20,33,46]}$ + +%CNC加工完成一个一道工序的物料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},560]$ + +%RGV为CNC1#，3#，5#，7#一次上下料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},28]$ + +%RGV为CNC2#，4#，6#，8#一次上下料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},31]$ + +%RGV 完成一个物料的清洗作业所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},25]$ + +%RGV当前时间 + +$t0 = 0$ + +%RGV当前位置[1,2,3,4] + +$a = 1$ + +%CNC当前工作状态 + +$\mathrm{b = z e r o s(1,8)}$ + +%CNC预计加工完成时间 + +$\mathbf{c} =$ zeros(1,8); + +%初始路径选择 + +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; + +lj $\equiv$ start(6,:); + +%初始路径移动 + +for $i = 1:4$ + +%RGV每一步移动 + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(a - \mathrm{lj}(\mathrm{i})) + 1)$ + +$a = 1j(i)$ + +$\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +RGV为单个奇数CNC上料 + +$\mathrm{t0 = t0 + T(5)}$ $\mathrm{b}(2^{*}(\mathrm{lj(i) - 1}) + 1) = 1;$ $\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{lj(i) - 1}) + 1) = \mathrm{t0 + T(4)}$ $\% \mathrm{RGV}$ 为单个偶数CNC上料 $\mathrm{t0 = t0 + T(6)}$ $\mathrm{b}(2^{*}(\mathrm{lj(i) - 1}) + 2) = 1$ $\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{lj(i) - 1}) + 2) = \mathrm{t0 + T(4)}$ +end + $[\mathrm{e,f,g,h}] = \mathrm{oneStep(a,dT,T,t0,c)};\% \mathrm{a,t0,c}$ 改变为f,g,h. + $\mathsf{e1} = []$ .f1 $= []$ .g1 $= []$ .h1 $= []$ . +for i=1:4 [ze1,zfl,zgl,zhl] $=$ oneStep(f(i),dT,T,g(i),h(i,:)); e1=[e1;ze1];f1=[fl;zfl];g1=[gl;zgl];h1=[h1;zh1]; clear zel zf1 zg1 zh1 +end + $\mathsf{e2} = []$ .f2 $= []$ .g2 $= []$ .h2 $= []$ . +for i=1:4 for j=1:4 [ze1,zfl,zgl,zhl] $=$ oneStep(f1(i,j),dT,T,g1(i,j),h1(4*(i-1)+j,:)); e2=[e2;ze1];f2=[f2;zfl];g2=[g2;zgl];h2=[h2;zh1]; clear zel zf1 zg1 zh1 +end +end + $\mathsf{e3} = []$ .f3 $= []$ .g3 $= []$ .h3 $= []$ . +for i=1:16 for j=1:4 [ze1,zfl,zgl,zhl] $=$ oneStep(f2(i,j),dT,T,g2(i,j),h2(4*(i-1)+j,:)); e3=[e3;ze1];f3=[f3;zfl];g3=[g3;zgl];h3=[h3;zh1]; clear zel zf1 zg1 zh1 +end +end + $\mathsf{e4} = []$ .f4 $= []$ .g4 $= []$ .h4 $= []$ . +for i=1:64 for j=1:4 [ze1,zfl,zgl,zhl] $=$ oneStep(f3(i,j),dT,T,g3(i,j),h3(4*(i-1)+j,:)); e4=[e4;ze1];f4=[f4;zfl];g4=[g4;zgl];h4=[h4;zh1]; clear zel zf1 zg1 zh1 +end +end + $\mathsf{e5} = []$ .f5 $= []$ .g5 $= []$ .h5 $= []$ . +for i=1:256 for j=1:4 + +```matlab +[ze1,zfl,zg1,zh1] = oneStep( f4(i,j),dT,T,g4(i,j),h4(4*(i-1)+j,:)); e5=[e5;ze1];f5=[f5;zfl];g5=[g5;zg1];h5=[h5;zh1]; clear ze1 zfl zg1 zh1 end end e6=[[];f6=[[];g6=[[];h6=[[]; for i=1:1024 for j=1:4 [ze1,zfl,zg1,zh1] = oneStep( f5(i,j),dT,T,g5(i,j),h5(4*(i-1)+j,:) ); e6=[e6;ze1];f6=[f6;zfl];g6=[g6;zg1];h6=[h6;zh1]; clear ze1 zfl zg1 zh1 end end e7=[[];f7=[[];g7=[[];h7=[[]; for i=1:4096 for j=1:4 [ze1,zfl,zg1,zh1] = oneStep( f6(i,j),dT,T,g6(i,j),h6(4*(i-1)+j,:) ); e7=[e7;ze1];f7=[f7;zfl];g7=[g7;zg1];h7=[h7;zh1]; clear ze1 zfl zg1 zh1 end end +``` + +附录五：Ques1.m + +%一道工序的三组数据的求解 + +clc,clear + +%RGV移动1,2,3个单位所需时间 + +$\mathrm{T = [23,41,59]}$ + +%CNC加工完成一个一道工序的物料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},580]$ + +%RGV为CNC1#，3#，5#，7#一次上下料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},30]$ + +%RGV为CNC2#，4#，6#，8#一次上下料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},35]$ + +%RGV 完成一个物料的清洗作业所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},30]$ + +$\% 1\mathrm{T} = [20,33,46,560,28,31,25];$ + +$\mathrm{T = [23,41,59,580,30,35,30]}$ + +$\% 3\mathrm{T} = [18,32,46,545,27,32,25];$ + +%RGV当前时间 + +$t0 = 0$ + +%RGV当前位置[1,2,3,4] + +$a = 1$ + +%CNC当前工作状态 + +$\mathbf{b} =$ zeros(1,8); + +%CNC预计加工完成时间 + +$\mathbf{c} =$ zeros(1,8); + +%初始路径选择 + +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{lj = start(i,:)}$ + +$\mathrm{[Mn(i),Ma(i)] = xunhuan(a,T,lj,t0,b,c)}$ + +clearlj + +end + +%初始路径选择 + +start=perms([1,2,3,4]); + +for $i = 1:24$ + +$\mathrm{lj = start(i,:)}$ + +$\mathrm{[Mn(i),Ma(i)] = xunhuan(a,T,lj,t0,b,c)}$ + +clearlj + +end + +$\mathrm{i} = 6$ ;clearM + +$\mathrm{lj = start(i,:)}$ + +%初始路径移动 + +$\mathrm{N} = 8$ + +for $i = 1:4$ + +%RGV每一步移动 + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{a - }\mathrm{lj}(\mathrm{i})) + 1)$ + +$\mathrm{a = lj(i)}$ + +$\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +%RGV为单个奇数CNC上料 + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1,1) = \mathrm{t0};$ + +$\mathrm{t0 = t0 + T(5)}$ + +$b(2^{*}(1j(i) - 1) + 1) = 1;$ + +$\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{lj(i)} - 1) + 1) = \mathrm{t0} + \mathrm{T}(4);$ + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1,2) = 2^{*}(\mathrm{lj}(\mathrm{i}) - 1) + 1;$ + +%RGV为单个偶数CNC上料 + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2,1) = \mathrm{t0};$ + +$\mathrm{t0 = t0 + T(6)}$ + +$b(2^{*}(1j(i) - 1) + 2) = 1;$ + +$\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{lj(i)} - 1) + 2) = \mathrm{t0} + \mathrm{T}(4);$ $\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i} - 1) + 2,2) = 2^{*}(\mathrm{lj(i)} - 1) + 2;$ end + +%多步最优 + +while $t0 < = 8^{*}3600$ + +[e,f,g,h,] = oneStep(a,dT,T,t0,c);%a,t0,c改变为f,g,h.e3 = fStep(f,dT,T,g,h,e)';e3 = reshape(e3,64,4);[minValue,row] = min(e3);[minValue,col] = min(minValue);d=dT(abs(a-col)+1);t0=t0+d;t0a=col;N=N+1;i=a;if t0>c(2*(i-1)+1)&&&t0>c(2*(i-1)+2)%[cmin,cind]=min([c(2*(i-1)+1),c(2*(i-1)+2)];cmin=t0;cind=1;c(2*(i-1)+cind)=cmin+T(4+cind)+T(4);elseif t0 8*3600}$ $\mathrm{M(m - 8,:.)} = []$ +end + $\mathrm{MM(:,1) = M(:,2)}$ $\mathrm{MM(:,2) = M(:,1)}$ $\mathrm{MM(:,3) = M(:,3)}$ + +```matlab +附录六：f201.m +function [T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f201(T1,T2,T3,t0,dT,T) +QQ=perms([1,2,3,4]); +T6=10*3600+1;%记录最小值 +for i=1:24 + for j=1:24 +``` + +T4=QQ(i,:);%前往哪个工序1 + +T5=QQ(j,:);%去往哪里工序2 + +d=dT(abs(T4(1)-T3)+1);%移动 + +QT= t0+d;% 移动到 T41 + +QT=max(QT,T1(T4(1))):%T41开始下料 + +VT1(1,1)=QT; + +QT=QT+T(6);%T41下料完毕 + +d=dT(abs(T4(1)-T5(1))+1);%移动 + +QT=QT+d;%移动到T51 + +QT=max(QT,T2(T5(1))):%T51开始下料 + +VT2(1,1)=QT; + +QT=QT+T(7);%T51下料完毕 + +QT=QT+T(8);%T51 清洗完毕 + +for $k = 2:4$ $\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{T}5(\mathrm{k - 1}) - \mathrm{T}4(\mathrm{k})) + 1);\%$ 移动 QT=QT+d;%移动到T4k QT=max(QT,T1(T4(k));%T4k开始下料 VT1(k,1)=QT; QT=QT+T(6);%T4k下料完毕 d=dT(abs(T4(k)-T5(k))+1);%移动 QT=QT+d;%移动到T5k QT=max(QT,T2(T5(k));%T5k开始下料 VT2(k,1)=QT; QT=QT+T(7);%T5k下料完毕 QT=QT+T(8);%T5k清洗完毕 +end +if QT8*3600 +aa(i,7)=0; +end +end +``` + +```matlab +bb=[]; +for i=1:m + if aa(i,7) == 0; + bb = [bb, i]; + end +end +aa(bb,:) = []; +[m, n] = size(aa); +for i = 1: m + aa(i,4) = 2 * aa(i,1) - 1; + aa(i,8) = 2 * aa(i,5); +end +TTT = max(aa(:,7)); +end +``` + +```matlab +附录八：f203.m +function [T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f203(T1,T2,T3,t0,dT,T) +Q1=perms([1,3,7]); +Q2=perms([2,4,5,6,8]); +T6=10*3600+1;%记录最小值 +for i=1:6 + for j=1:120 + T4=Q1(i,1:3);%前往哪个工序1 + T5=Q2(j,1:3);%去往哪里工序2 + d=dT(abs(ceil(T4(1)/2)-T3)+1);%移动 + QT=t0+d;%移动到T41 +``` + +```matlab +QT=max(QT,T1(T4(1));%T41开始下料 +VT1(1,1)=QT; +QT=QT+T(7-mod(T4(1),2));%T41下料完毕 +d=dT(absCeil(T4(1)/2)-ceil(T5(1)/2))+1);%移动 +QT=QT+d;%移动到T51 +QT=max(QT,T2(T5(1)));%T51开始下料 +VT2(1,1)=QT; +``` + +```matlab +QT=QT+T(7-mod(T5(1),2));%T51下料完毕 +if T2(T5(1))==0 +QT=QT; +else +QT=QT+T(8);%T51清洗完毕 +end +for k=2:3 +d=dT(absCeil(T5(k-1)/2)-ceil(T4(k)/2))+1);%移动 +QT=QT+d;%移动到T4k +QT=max(QT,T1(T4(k)));%T4k开始下料 +VT1(k,1)=QT; +QT=QT+T(7-mod(T4(k),2));%T4k下料完毕 +d=dT(absCeil(T4(k)/2)-ceil(T5(k)/2))+1);%移动 +QT=QT+d;%移动到T5k +QT=max(QT,T2(T5(k)));%T5k开始下料 +VT2(k,1)=QT; +QT=QT+T(7-mod(T5(k),2));%T5k下料完毕 +if T2(T5(k))==0 +QT=QT; +else +QT=QT+T(8);%T51清洗完毕 +end +end +if QT8\*3600 aa(i,7)=0; +end +end + +```matlab +bb=[]; +for i=1:m + if aa(i,7) == 0; + bb = [bb, i]; + end +end +aa(bb,:) = []; +[m,n] = size(aa); +``` + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}$ +for $\mathrm{j} = \mathrm{i} + 1:\mathrm{m}$ +if aa(i,5) $= =$ aa(j,5) aa(i,7) $\equiv$ aa(j,6); break; +end +end +end +[m,n]=size(aa); +QQ=max(aa(:,7)); +end + +附录十二：Ques201.m +%两道工序的4,4模型求解结果 +clc,clear +%第一组作业参数 +T=[20,33,46,400,378,28,31,25]; +%第二组作业参数 + $\% \mathrm{T} = [23,41,59,280,500,30,35,30]$ ; +%第三组作业参数 + $\% \mathrm{T} = [18,32,46,455,182,27,32,25]$ ; + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ + +$\mathrm{P = 8^{*}T(4) / (T(4) + T(5))}$ + +固定刀具 + +$\mathrm{D} = [1,2,1,2,1,2,1,2]$ + +%RGV当前时间 + +$t_0 = 0$ + +%RGV 当前位置[1,2,3,4] + +$a = 1$ + +%CNC预计加工完成时间 + +$\mathrm{b = z e r o s(1,8)}$ + +%初始路径选择 + +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; + +%初始路径 + +newstart $\equiv$ start'; + +newstart=newstart(); + +for $i = 1:24$ + +if newstart(i,1) $= = 1$ +newstart(i,2)=0; +newstart(i,3)=newstart(i,2)+T(6)+T(4); +newstart(i,4)=2\*(newstart(i,1)-1)+1; +else +d=dT(abs(newstart(i)-newstart(i-1))+1); +newstart(i,2)=newstart(i-1,2)+T(6)+d; +newstart(i,3)=newstart(i,2)+T(6)+T(4); +newstart(i,4)=2\*(newstart(i,1)-1)+1; +end + +for $i = 1:6$ + +$\mathrm{N} = 4$ + +aa=newstart(4*i-3:4*i,:); + +$\mathrm{t0 = aa(4,2) + T(6)}$ + +[ $\mathrm{mm(i),TTT(i)}] = \mathrm{f202(aa,dT,T,t0)}$ + +clear aa t0 N + +end + +N=4;i=6; + +aa=newstart(4*i-3:4*i,:); + +$\mathrm{t0 = aa(4,2) + T(6)}$ + +aa=[aa;aa]; +QQ=perms([1,2,3,4]); +for i=1:24 d=dT(abs(aa(4,1)-QQ(i,1))+1); tQ(i)=t0+d; for j=1:4 if QQ(i,1) $=$ aa(j,1) if tQ(i)8*3600 +aa(i,7)=0; +``` + +end +end +bb=[]; +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}$ ifaa(i,7) $= = 0$ bb=[bb,i]; end +end +aa(bb,) $= []$ . +[m,n]=size(aa); +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}$ aa(i,4)=2\*aa(i,1)-1; aa(i,8)=2\*aa(i,5); +end + +附录十三：Ques202.m + +两道工序的3,5分配的结果求解 + +clc,clear + +%第一组作业参数 + +$$ +\% \mathrm {T} = [ 20,33,46,400,378,28,31,25 ]; +$$ + +%第二组作业参数 + +$$ +\mathrm {T} = [ 2 3, 4 1, 5 9, 2 8 0, 5 0 0, 3 0, 3 5, 3 0 ]; +$$ + +第三组作业参数 + +$$ +\% \mathrm {T} = [ 18,32,46,455,182,27,32,25 ]; +$$ + +$$ +\mathrm {d T} = [ 0, \mathrm {T} (1: 3) ]; +$$ + +$$ +\mathrm {P} = 8 ^ {*} \mathrm {T} (4) / (\mathrm {T} (4) + \mathrm {T} (5)); +$$ + +固定刀具 + +$$ +\mathrm {D} = [ 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2 ]; +$$ + +%RGV当前时间 + +$$ +t 0 = 0; +$$ + +%RGV 当前位置[1,2,3,4] + +$$ +a = 1; +$$ + +%CNC预计加工完成时间 + +$$ +b = \text {z e r o s} (1, 8); +$$ + +%初始路径选择 + +$$ +\text {s t a r t} = [ 1, 2, 4, 3 ]; +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \mathrm {d} = \mathrm {d T} (\text {a b s (s t a r t (1) - a) + 1}); \\ t 0 = t 0 + d; \\ \end{array} +$$ + +aa(1,1)=start(1); + +aa(1,2)=t0; + +$\mathrm{t0 = t0 + T(6)}$ + +aa(1,3)=t0+T(4); + +aa(1,4)=1; + +for $i = 2:3$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}$ (abs(start(i)-start(i-1))+1); + +$\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +aa(i,1) $\equiv$ start(i); + +aa(i,2) = t0; + +$\mathrm{t0 = t0 + T(6)}$ + +aa(i,3) = t0 + T(4); + +end + +aa(2,4)=3; + +aa(3,4)=7; + +a=4; + +aa=[aa;aa]; + +aa(1:3,5)=aa(1:3,1); + +for $i = 1:3$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{aa}(\mathrm{i},5) - \mathrm{a}) + 1);$ + +$\mathrm{a = aa(i,5)}$ + +$\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +t0=max(t0,aa(i,3));%上料开始 + +aa(i,3)=t0; + +$\mathrm{t0 = t0 + T(6);}\%$ 上料结束 + +aa(i,6)=t0; + +$\mathrm{t0 = t0 + T(7)}$ + +aa(i,7)=t0+T(5); + +end + +aa(4:6,2)=aa(1:3,3); + +aa(4:6,3) = aa(4:6,2) + T(6) + T(4); + +aa(1:3,5)=aa(1:3,5)*2; + +%F203 + +for $i = 1:8$ + +for $j = 4:6$ + +if $\mathrm{i} = \mathrm{aa(j,4)}$ + +$\mathrm{T1(i,1) = aa(j,3)}$ + +end + +end + +end + +for $i = 1:8$ + +for $j = 1:3$ if $\mathrm{i} = =\mathrm{aa(j,5)}$ T2(i,1) $\equiv$ aa(j,7); end end +end + +```txt +T3=a; +``` + +```matlab +[T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f203(T1,T2,T3,t0,dT,T); +a=ceil(TT5(3)/2); +T3=a; +[m,n]=size(aa); +for ii=1:3 + for jj=1:3 + if TT4(ii) == aa(m-3+jj,4) + aa(m-3+jj,3)=VTT1(ii); + aa(m-3+jj,4)=TT4(ii); + aa(m-3+jj,5)=TT5(ii); + aa(m-3+jj,6)=VTT2(ii); + aa(m-3+jj,7) = aa(m-3+jj,6)+T(5)+T(7-mod(aa(m-3+jj,5),2)); + end + if TT5(ii) == aa(m-6+jj,5) + aa(m-6+jj,7)=VTT2(ii); + end + end +end +aa(m+1:m+3,4)=TT4'; +aa(m+1:m+3,2)=VTT1; +aa(m+1:m+3,3)=VTT1+T(4)+T(6); +``` + +```txt +clear T1 T2 +``` + +while $t0 < 8*3600$ $[m,n] = \text{size}(aa)$ ; +for $i = 1:8$ +for $j = m - 2:m$ +if $i == aa(j,4)$ +T1(i,1) = aa(j,3); +end +end +end +for $i = 1:m - 3$ +for $j = 1:8$ +if $j == aa(i,5)$ + +T2(j,1) $\equiv$ aa(i,7); end end end a=ceil(TT5(3)/2); T3=a; [T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] $=$ f203(T1,T2,T3,t0,dT,T); t0=T6;%当前时间 [m,n]=size(aa); for ii=1:3 for jj=1:3 if TT4(ii) $\equiv$ aa(m-3+jj,4) aa(m-3+jj,3)=VTT1(ii); aa(m-3+jj,4)=TT4(ii); aa(m-3+jj,5)=TT5(ii); aa(m-3+jj,6)=VTT2(ii); aa(m-3+jj,7) $\equiv$ aa(m-3+jj,6)+T(5)+T(7-mod(aa(m-3+jj,5),2)); end if TT5(ii) $\equiv$ aa(m-6+jj,5) aa(m-6+jj,7)=VTT2(ii); end end end aa(m+1:m+3,4)=TT4'; aa(m+1:m+3,2)=VTT1; aa(m+1:m+3,3)=VTT1+T(4)+T(6); +end +[m,n]=size(aa); aa(m-2:m,:)]; +[m,n]=size(aa); +for i=m:-1:m-15 d=dT(abs(ceil(aa(i,5)/2)-1)+1);%移动 if aa(i,7)+T(6)+T(7)+d>8*3600 aa(i,7)=0; +end +end +bb=[]; +for i=1:m if aa(i,7) $\equiv$ 0; bb=[bb,i]; +end + +```matlab +end +aa(bb,:)=[]; +[m,n]=size(aa); +for i=1:m + for j=i+1:m + if aa(i,5) == aa(j,5) + aa(i,7)=aa(j,6); + break; + end + end +``` + +附录十四：Ques203.m + +两道工序的5,3分刀的求解 + +clc.clear + +%第一组作业参数 + +$\% \mathrm{T} = [20,33,46,400,378,28,31,25]$ + +%第二组作业参数 + +$\% \mathrm{T} = [23,41,59,280,500,30,35,30]$ + +第三组作业参数 + +$\mathrm{T = [18,32,46,455,182,27,32,25]}$ + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ + +$\mathrm{P = 8^{*}T(4) / (T(4) + T(5))}$ + +固定刀具 + +$\mathrm{D} = [2,1,2,1,1,1,2,1]$ + +%RGV当前时间 + +t0=0; + +%RGV当前位置[1,2,3,4] + +$a = 1$ + +%CNC预计加工完成时间 + +$\mathrm{b = z e r o s(1,8)}$ + +%初始路径选择 + +start=perms([1,2,4,3]); + +for $\mathrm{ij} = 1:24$ + +$\mathrm{LJ = start(jj,:)}$ + +$\left[\mathrm{a}2,\mathrm{aa},\mathrm{t}2\right] = \mathrm{f}204(\mathrm{a},\mathrm{LJ},\mathrm{t}0,\mathrm{dT},\mathrm{T})$ + +aa(5,7)=0; + +[ ma(ij),QQ(ij)] = f206(aa,dT,T,a2,t2); + +```txt +clear aa end +``` + +$\mathrm{LJ = start(15,:)}$ + +$\left[\mathrm{a,aa,t0}\right] = \mathrm{f204(a,LJ,t0,dT,T)}$ + +```javascript +aa(5,7)=0; +``` + +```csv +%设置T1,T2,T3 +``` + +```txt +[m,n]=size(aa); +``` + +for $i = 1:8$ + +for $j = m - 4:m$ + +if $\mathrm{i} = \mathrm{aa(j,5)}$ + +$\mathrm{T2(i,1) = aa(j,7)}$ + +elseif $\mathrm{aa(j,5)} = = 0$ + +$\mathrm{T2(i,1) = 0}$ + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +for $i = 1:m$ + +for $j = 1:8$ + +if $j = \mathrm{aa(i,4)}$ + +$\mathrm{T1(j,1) = aa(i,3)}$ + +```empty + +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +```txt +T3=a; +``` + +```javascript +[T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f205(T1,T2,T3,t0,dT,T); +``` + +$\mathrm{t0 = T6}$ + +```javascript +T3=ceil(TT5(3)/2); +``` + +```txt +[m,n]=size(aa); +``` + +```txt +for ii=1:3 +``` + +for $\mathrm{jj} = 1:5$ + +if TT4(ii) $= =$ aa(m-5+jj,4) + +aa $(\mathrm{m - 5 + jj,3}) = \mathrm{VTT1(ii)}$ + +```javascript +aa(m-5+jj,4)=TT4(ii); +``` + +aa $(\mathrm{m - 5 + jj,5}) = \mathrm{TT5(ii)}$ + +aa $(\mathrm{m - 5 + jj,6}) = \mathrm{VTT2(ii)}$ + +```javascript +aa(m-5+jj,7)=aa(m-5+jj,6)+T(5)+T(7-mod(aa(m-5+jj,5),2)); +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +end +aa $(\mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3,4) = \mathrm{TT4}'$ . +aa $(\mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3,2) = \mathrm{VTT1}$ +for $\mathrm{i} = \mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3$ aa(i,3)=VTT1(i-m)+T(4)+T(7-mod(aa(i,4),2)); +end +clear T1 T2 +while $t0 < 8^{*}3600$ [m,n]=size(aa); for $\mathrm{i} = 1:8$ for $\mathrm{j} = 1:\mathrm{m}$ if $\mathrm{i} = = \mathrm{aa(j,5)}$ T2(i,1)=aa(j,7); end end end +end +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}$ for $\mathrm{j} = 1:8$ if $\mathrm{j} = = \mathrm{aa(i,4)}$ T1(j,1)=aa(i,3); end end +end +a=ceil(TT5(3)/2); T3=ceil(TT5(3)/2); +[T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] $=$ f205(T1,T2,T3,t0,dT,T); t0=T6;%当前时间 [m,n]=size(aa); for ii=1:3 for jj=m:-1:1 if TT4(ii) $= =$ aa(jj,4) aa(jj,3)=VTT1(ii); aa(jj,4)=TT4(ii); aa(jj,5)=TT5(ii); aa(jj,6)=VTT2(ii); aa(jj,7)=aa(jj,6)+T(5)+T(7-mod(aa(jj,5),2)); break; end end +end + +aa $(\mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3,4) = \mathrm{TT4}'$ . +aa $(\mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3,2) = \mathrm{VTT1}$ . +for $\mathrm{i} = \mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3$ +aa(i,3)=VTT1(i-m)+T(4)+T(7-mod(aa(i,4),2)); +end +end + +```matlab +[m,n]=size(aa); +aa(m-2:m,:)=[]; +[m,n]=size(aa); +for i=m:-1:m-15 +d=dT(absCeil(aa(i,5)/2)-1)+1);%移动 +if aa(i,7)+T(6)+T(7)+d>8*3600 +aa(i,7)=0; +end +end +``` + +$\mathtt{bb} = []$ +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}$ ifaa(i,7) $= = 0$ bb=[bb,i]; end +end +aa(bb,:)=[]; +[m,n]=size(aa); + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}$ +for $\mathrm{j} = \mathrm{i} + 1:\mathrm{m}$ +if aa(i,5) $= =$ aa(j,5) +aa(i,7)=aa(j,6); break; +end +end +end +[m,n]=size(aa); + +```matlab +附录十五：f301.m +function [T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f301(T1,T2,T3,t0,dT,T,GZBH) +Q1=perms(setdiff([1,3,5,7],GZBH)); +[Q1M,Q1N]=size(Q1); +Q2=perms(setdiff([2,4,6,8],GZBH)); +[Q2M,Q2N]=size(Q2); +T6=10*3600+1;%记录最小值 +``` + +for $i = 1:Q1M$ + +for $j = 1:Q2M$ + +T4=Q1(i,1:3);%前往哪个工序1 + +T5=Q2(j,1:3);%去往哪里工序2 + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}$ (abs(ceil(T4(1)/2)-T3)+1);%移动 + +QT= $\mathrm{t0 + d}$ %移动到T41 + +QT=max(QT,T1(T4(1)));\%T41开始下料 + +VT1(1,1)=QT; + +QT=QT+T(7-mod(T4(1),2));%T41下料完毕 + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}$ (abs(ceil(T4(1)/2)-ceil(T5(1)/2))+1);%移动 + +QT=QT+d;%移动到T51 + +QT=max(QT,T2(T5(1))):%T51开始下料 + +VT2(1,1)=QT; + +QT=QT+T(7-mod(T5(1),2));%T51下料完毕 + +if T2(T5(1))==0 + +QT=QT;%不需要清洗 + +else + +QT=QT+T(8);%T51 清洗完毕 + +end + +for $k = 2:3$ + +d=dT(abs(cele(T5(k-1)/2)-ceil(T4(k)/2))+1);%移动 + +QT=QT+d;%移动到T4k + +QT=max(QT,T1(T4(k))):%T4k开始下料 + +VT1(k,1) = QT; + +QT=QT+T(7-mod(T4(k),2));%T4k下料完毕 + +d=dT(abs(cele(T4(k)/2)-ceil(T5(k)/2))+1);%移动 + +QT=QT+d;%移动到T5k + +QT=max(QT,T2(T5(k));%T5k开始下料 + +VT2(k,1) = QT; + +QT=QT+T(7-mod(T5(k),2));%T5k下料完毕 + +if T2(T5(k)) == 0 + +QT=QT; + +else + +QT=QT+T(8);%T51 清洗完毕 + +end + +end + +if QT < T6 + +T6=QT; + +$\mathrm{VTT1 = VTT1}$ + +$\mathrm{VTT2 = VTT2}$ + +TT4=T4; + +```txt +TT5=T5; end clear QT VT1 VT2 end +end +``` + +附录十六：Ques301.m + +%一道工序的发生故障的求解 + +clc, clear + +%RGV移动1,2,3个单位所需时间 + +$\mathrm{T = [23,41,59]}$ + +%CNC加工完成一个一道工序的物料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},580]$ + +%RGV为CNC1#，3#，5#，7#一次上下料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},30]$ + +%RGV为CNC2#，4#，6#，8#一次上下料所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},35]$ + +%RGV 完成一个物料的清洗作业所需时间 + +$\mathrm{T} = [\mathrm{T},30]$ + +$\% 1\mathrm{T} = [20,33,46,560,28,31,25];$ + +$\% 2\mathrm{T} = [23,41,59,580,30,35,30];$ + +$\mathrm{T = [18,32,46,545,27,32,25]}$ + +%RGV当前时间 + +$t0 = 0$ + +%RGV当前位置[1,2,3,4] + +$a = 1$ + +%CNC 当前工作状态 + +$\mathrm{b = z e r o s(1,8)}$ + +%CNC预计加工完成时间 + +$\mathbf{c} =$ zeros(1,8); + +%初始路径选择 + +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; + +$\mathrm{i} = 6$ ;clearM + +$\mathrm{lj = start(i,:)}$ + +%初始路径移动 + +$\mathrm{N} = 8$ + +for $i = 1:4$ + +%RGV每一步移动 + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(a - \mathrm{lj(i)}) + 1)$ + +$\mathrm{a = lj(i)}$ $\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +%RGV为单个奇数CNC上料 + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1,1) = \mathrm{t0};$ + +$\mathrm{t0 = t0 + T(5)}$ + +$b(2^{*}(1j(i) - 1) + 1) = 1;$ + +$c(2^{*}(\mathrm{lj(i)} - 1) + 1) = \mathrm{t0} + \mathrm{T}(4);$ + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1,2) = 2^{*}(\mathrm{lj}(\mathrm{i}) - 1) + 1;$ + +%RGV为单个偶数CNC上料 + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2,1) = \mathrm{t0};$ + +$\mathrm{t0 = t0 + T(6)}$ + +$b(2^{*}(1j(i) - 1) + 2) = 1;$ + +$c(2^{*}(1j(i) - 1) + 2) = t0 + T(4);$ + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2,2) = 2^{*}(\mathrm{lj}(\mathrm{i}) - 1) + 2;$ + +```txt +end +``` + +$\mathrm{GZ} = []$ + +$\mathrm{BXYQX} = 100$ + +%多步最优 + +while $t0<=8*3600$ + +if randi(100) == 55%约有百分之一的概率发生故障 + +[ [e,f,g,h,] = \text{oneStep}(a,dT,T,t0,c); \% a, t0,c ] 改变为 $f, g, h$ + +$\mathrm{e3 = fStep(f,dT,T,g,h,e)'}$ + +$\mathrm{e}3 =$ reshape(e3,64,4); + +[minValue,row] $=$ min(e3); + +[ \text{[minValue,col]} = \min(\text{minValue}); \% ] 由 col 知当前本该移动到哪一位，但该位置其 + +实在之前的加工过程中发生故障 + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{a - col}) + 1)$ + +$\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +```txt +t0 +``` + +```txt +aaa=a; +``` + +```txt +a=col; +``` + +$\mathrm{N = N + 1}$ + +```txt +i=a; +``` + +if $t0 > c(2*(i - 1) + 1)$ && $t0 > c(2*(i - 1) + 2)$ + +$\% [\mathrm{cmin,cind}] = \mathrm{min}([\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1),\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2)]$ + +cmin $\equiv$ t0;cind $= 1$ + +elseif $t0 < c(2^{*}(i - 1) + 1)$ &&t0c(2\*(i-1)+1)&&&t0>c(2\*(i-1)+2) \%[cmin,cind]=min([c(2\*(i-1)+1),c(2\*(i-1)+2)]; cmin $\equiv$ t0;cind=1; c(2\*(i-1)+cind)=cmin+T(4+cind)+T(4); elseif t0 8*3600}\) \(\mathrm{M(m - 8,:.)} = []\) +end +MM(:,1)=M(:,2); +MM(:,2)=M(:,1); +MM(:,3)=M(:,3); +[m,n]=size(MM); +for i=1:m if MM(i,2) \(= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = +``` + +附录十七：Ques302.m + +两道工序的发生故障的求解 + +clc,clear + +%第一组作业参数 + +$\% 1\mathrm{T} = [20,33,46,400,378,28,31,25];$ + +%第二组作业参数 + +$\% 2\mathrm{T} = [23,41,59,280,500,30,35,30];$ + +第三组作业参数 + +$\mathrm{T = [18,32,46,455,182,27,32,25]}$ + +$\mathrm{dT} = [0, \mathrm{T}(1:3)];$ + +$\mathrm{P = 8^{*}T(4) / (T(4) + T(5))}$ + +固定刀具 + +$\mathrm{D} = [1,2,1,2,1,2,1,2]$ + +%RGV当前时间 + +t0=0; + +%RGV当前位置[1,2,3,4] + +$a = 1$ + +%CNC预计加工完成时间 + +$\mathrm{b = z e r o s(1,8)}$ + +%初始路径选择 + +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; + +%初始路径 + +newstart $\equiv$ start'; + +newstart $\equiv$ newstart(); + +for $i = 1:24$ + +if newstart(i,1) $= = 1$ +newstart(i,2)=0; +newstart(i,3)=newstart(i,2)+T(6)+T(4); +newstart(i,4)=2\*(newstart(i,1)-1)+1; +else +d=dT(abs(newstart(i)-newstart(i-1))+1); +newstart(i,2)=newstart(i-1,2)+T(6)+d; +newstart(i,3)=newstart(i,2)+T(6)+T(4); +newstart(i,4)=2\*(newstart(i,1)-1)+1; +end + +$\mathrm{N} = 4;\mathrm{i} = 6$ + +aa=newstart(4*i-3:4*i,:); + +$\mathrm{t0 = aa(4,2) + T(6)}$ + +aa=[aa;aa]; + +QQ-perms([1,2,3,4]); + +for $i = 1:24$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{aa}(4,1) - \mathrm{QQ}(\mathrm{i},1)) + 1)$ + +tQ(i) = t0 + d; + +for $j = 1:4$ + +if $\mathrm{QQ(i,1)} = =\mathrm{aa(j,1)}$ + +if tQ(i)aa(j,3) tQ(i) $\equiv$ aa(j,3)+T(6)+T(7); else tQ(i) $\equiv$ tQ(i)+T(6)+T(7); end end end end d=dT(abs(QQ(i,2)-QQ(i,1))+1); tQ(i)=tQ(i)+d; for j=1:4 if QQ(i,2) $\equiv$ aa(j,1) if tQ(i)100000 UTT(ijk)=0; end end [nmn,nmi]=max(UTT); clear UTT SIijk a=aa(nmi,5); $\mathrm{GZ} = []$ . BXYQX=100; GZZZ=0; while t0<8\*3600 if randi(100)>55.5&&randi(100)<63.5 if randi(8) $= 4 \%$ 约有百分之一的概率发生故障 AA=randi(8); AAA=ceil(AA/4);%1表示第一道工序故障，2表示第二道工序故障 AA=AA-4\*(AAA-1);%第AAA道工序的第AA个元件故障 [m,n]=size(aa); if AAA $= 1$ GZBH=aa(m-4+AA,4); for i=m-3:m if aa(i,1) $= =$ AA GZN=i; GZSJ=aa(i,2)+T(6)+randi(T(4)); GZZZ=GZSJ+600+randi(600); aa(i,3)=GZZZ; aa(i,2)=999999; break; end end else GZBH=aa(m-8+AA,5)\*2; for i=m-7:m-4 if aa(i,5) $= =$ AA GZN=i; GZSJ=aa(i,6)+T(7)+randi(T(5)); GZZZ=GZSJ+600+randi(600); aa(i,7)=GZZZ; aa(i,6)=999999; end end end GZ=[GZ;GZN,GZBH,GZSJ,GZZZ]; end + +```matlab +end +if t0100000 +UTT(ijk)=0; +end +end +[nmn,nmi]=max(UTT); +clear UTT SIijk +T3=aa(nmi,5); + +```matlab +[T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f301(T1,T2,T3,t0,dT,T,GZBH); +t0=T6;%当前时间 +[m,n]=size(aa); +for ii=1:3 + for jj=m:-1:1 + if TT4(ii) == aa(jj,4) + aa(jj,3)=VTT1(ii); + aa(jj,4)=TT4(ii); + aa(jj,1)=(aa(jj,4)+1)/2; + aa(jj,5)=TT5(ii)/2; + aa(jj,6)=VTT2(ii); + aa(jj,7)=aa(jj,6)+T(5)+T(7-mod(aa(jj,5),2)); + break; + end +``` + +end +end +aa $(\mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3,4) = \mathrm{TT4}'$ . +aa $(\mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3,2) = \mathrm{VTT1}$ . +for $\mathrm{i} = \mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 3$ aa(i,3)=VTT1(i-m)+T(4)+T(7-mod(aa(i,4),2)); aa(i,1)=(aa(i,4)+1)/2; +end +if t0>GZZZ&&AAA==1 clear T2 T1 TT4 TT5 VTT1 VTT2 [m,n]=size(aa); for $\mathrm{i} = 1:8$ for $\mathrm{j} = 1:\mathrm{m}$ if $\mathrm{i} == \mathrm{aa(j,5)*2}$ T2(i,1)=aa(j,7); end end +end +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{m}$ for $\mathrm{j} = 1:8$ if $\mathrm{j} == \mathrm{aa(i,4)}$ T1(j,1)=aa(i,3); end end +end +UTT=aa(:,6); SI=length(UTT); for $\mathrm{ijk} = 1:\mathrm{SI}$ if UTT(ijk)>100000 UTT(ijk)=0; end +end +[nmn,nmi]=max(UTT); clear UTT SI ijk T3=aa(nmi,5); +[T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f301(T1,T2,T3,t0,dT,T,0); t0=T6;%当前时间 [m,n]=size(aa); for ii=1:3 for jj=m:-1:1 if TT4(ii) $=$ aa(jj,4) aa(jj,3)=VTT1(ii); + +aa(jj,4) $\equiv$ TT4(ii); aa(jj,1) $\equiv$ (aa(jj,4)+1)/2; aa(jj,5) $\equiv$ TT5(ii)/2; aa(jj,6) $\equiv$ VTT2(ii); aa(jj,7) $\equiv$ aa(jj,6)+T(5)+T(7-mod(aa(jj,5),2)); break; end end end end aa(m+1:m+3,4)=TT4'; aa(m+1:m+3,2)=VTT1; for i=m+1:m+3 aa(i,3)=VTT1(i-m)+T(4)+T(7-mod(aa(i,4),2)); aa(i,1)=(aa(i,4)+1)/2; end [m,n]=size(aa); for i=1:m if abs(aa(i,7)-aa(GZN,6))<100 aa(GZN,5:7)=aa(i,5:7); end end end else clear T1 T2 TZ2 TZ1 TT4 TT5 VTT1 VTT2 [m,n]=size(aa); for i=1:8 for j=1:m if i $\equiv$ aa(j,5)*2 TZ2(i,1)=aa(j,7); end end end for i=1:m for j=1:8 if j $\equiv$ aa(i,4) %aa(i,3)=aa(i,2)+T(6)+T(4); TZ1(j,1)=aa(i,3); end end end T1=TZ1find(TZ1\~=0)); T2=TZ2find(TZ2\~=0)); + +```matlab +UTT=aa(:,6); +SI=length(UTT); +forijk=1:SI + if UTT(ijk)>100000 + UTT(ijk)=0; + end +end +[nmn,nmi]=max(UTT); +clear UTT SIijk +T3=aa(nmi,5)%当前位置; +[T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f201(T1,T2,T3,t0,dT,T); +t0=T6;%当前时间 +for ii=1:4 + for jj=m:-1:1 + if TT4(ii) == aa(jj,1) + aa(jj,3)=VTT1(ii); + aa(jj,5)=TT5(ii); + aa(jj,6)=VTT2(ii); + aa(jj,7)=aa(jj,6)+T(5)+T(7); + break; + end +end +end +aa(m+1:m+4,1)=TT4'; +aa(m+1:m+4,4)=TT4'*2-1; +aa(m+1:m+4,2)=VTT1; +aa(m+1:m+4,3)=VTT1+T(6)+T(4); +end +end +[m,n]=size(aa); +aa(m-3:m,:)=[]; +[m,n]=size(aa); +for i=m:-1:m-15 + d=dT(abs(aa(i,5)-1)+1);%移动 + if aa(i,7)+T(6)+T(7)+d>8*3600 + aa(i,7)=0; + end +end +bb=[[]; +for i=1:m + if aa(i,7) == 0; +``` + +bb=[bb,i]; end end aa(bb, $\cdot$ ) $= []$ . +[m,n]=size(aa); for i=1:m aa(i,4)=2\*aa(i,1)-1; aa(i,8)=2\*aa(i,5); +end +aaa=[aa(:,4),aa(:,2),aa(:,3),aa(:,5),aa(:,6),aa(:,7)]; [maa,naa]=size(aaA); +for i=1:maa if sum(aaA(i, $\cdot$ ))>9999999 aaA(i,[2,3,5,6])=NaN; end +end +aaA(:,4)=aaA(:,4)*2; + +```matlab +附录十八：f302.m +function [m,m1,TMT,GZ] = f302() +%RGV移动1,2,3个单位所需时间 +T=[23,41,59]; +%CNC加工完成一个一道工序的物料所需时间 +T=[T,580]; +%RGV为CNC1#，3#，5#，7#一次上下料所需时间 +T=[T,30]; +%RGV为CNC2#，4#，6#，8#一次上下料所需时间 +T=[T,35]; +%RGV完成一个物料的清洗作业所需时间 +T=[T,30]; +%1 T=[20,33,46,560,28,31,25]; +%2 T=[23,41,59,580,30,35,30]; +T=[18,32,46,545,27,32,25]; +%RGV当前时间 +t0=0; +%RGV当前位置[1,2,3,4] +a=1; +%CNC当前工作状态 +b=zeros(1,8); +%CNC预计加工完成时间 +c=zeros(1,8); +``` + +%初始路径选择 + +```javascript +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; +``` + +$\mathrm{i} = 6$ ;clearM + +lj $\equiv$ start(i,:); + +%初始路径移动 + +$\mathrm{N} = 8$ + +for $i = 1:4$ + +```txt +%RGV每一步移动 +``` + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ + +$\mathrm{d = dT(abs(a - lj(i)) + 1)}$ + +$a = \mathrm{lj(i)}$ + +$\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +```txt +%RGV为单个奇数CNC上料 +``` + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1,1) = \mathrm{t0};$ + +$\mathrm{t0 = t0 + T(5)}$ + +$b(2^{*}(1j(i) - 1) + 1) = 1;$ + +$c(2^{*}(1j(i) - 1) + 1) = t0 + T(4);$ + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1,2) = 2^{*}(\mathrm{lj}(\mathrm{i}) - 1) + 1;$ + +```txt +%RGV为单个偶数CNC上料 +``` + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2,1) = \mathrm{t0}$ + +$\mathrm{t0 = t0 + T(6)}$ + +$b(2^{*}(1j(i) - 1) + 2) = 1;$ + +$\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{lj(i)} - 1) + 2) = \mathrm{t0} + \mathrm{T}(4);$ + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2,2) = 2^{*}(\mathrm{lj}(\mathrm{i}) - 1) + 2;$ + +```txt +end +``` + +$\mathrm{GZ} = \left[\right]$ + +$\mathrm{BXYQX} = 100$ + +%多步最优 + +while $t0<=8*3600$ + +if randi(100) == 55%约有百分之一的概率发生故障 + +```txt +[e,f,g,h,] = oneStep(a,dT,T,t0,c);%a,t0,c改变为f,g,h. +``` + +$\mathrm{e3 = fStep(f,dT,T,g,h,e)'}$ + +$\mathrm{e}3 =$ reshape(e3,64,4); + +[minValue,row] $=$ min(e3); + +```txt +[ \text{[minValue,col]} = \min(\text{minValue}); \% ] 由 col 知当前本该移动到哪一位，但该位置其 +``` + +实在之前的加工过程中发生故障 + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{a - col}) + 1)$ + +$\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +```txt +t0 +``` + +```matlab +aaa=a; +a=col; +N=N+1; +i=a; +if t0>c(2*(i-1)+1)&&&t0>c(2*(i-1)+2) +%[cmin,cind]=min([c(2*(i-1)+1),c(2*(i-1)+2)]; +cmin=t0;cind=1; +elseif t0c(2*(i-1)+1)&&&t0>c(2*(i-1)+2) +``` + +$\% [\mathrm{cmin,cind}] = \mathrm{min}([\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1),\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2)])$ cmin $\equiv$ t0;cind $= 1$ . $\mathbf{c}(2^{*}(\mathbf{i} - 1) + \mathbf{c}\mathbf{ind}) = \mathbf{c}\mathbf{m}\mathbf{i} + \mathbf{T}(4 + \mathbf{c}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{d}) + \mathbf{T}(4);$ elseif $t0 < c(2^{\ast}(i - 1) + 1)$ &&t0 8*3600}$ $\mathrm{M(m - 8,:.) = []}$ +end + $\mathrm{MM(:,1) = M(:,2)}$ $\mathrm{MM(:,2) = M(:,1)}$ $\mathrm{MM(:,3) = M(:,3)}$ + +```matlab +[m,n]=size(MM); +[m1,n1]=size(GZ); +for i=1:m + if MM(i,2) == 999999; +``` + +MM(i,2) $\equiv$ NaN; MM(i,3) $\equiv$ NaN; end +end +TMT=m-m1; +end + +附录十九：f303.m +function [m,m1,TMT,GZ] = f303() +%第一组作业参数 + $\% 1 \mathrm{T} = [20,33,46,400,378,28,31,25];$ +%第二组作业参数 + $\% 2 \mathrm{T} = [23,41,59,280,500,30,35,30];$ +%第三组作业参数 +T=[18,32,46,455,182,27,32,25]; + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ $\mathrm{P = 8^{*}T(4) / (T(4) + T(5));}$ $\%$ 固定刀具 $\mathrm{D = [1,2,1,2,1,2,1,2]};$ + +```matlab +%RGV当前时间 +t0=0; +%RGV当前位置[1,2,3,4] +a=1; +``` + +```txt +%CNC预计加工完成时间b=zeros(1,8); +``` + +```matlab +%初始路径选择 +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; +``` + +%初始路径 +newstart $\equiv$ start'; +newstart $\equiv$ newstart(:); +for i=1:24if newstart(i,1) $\equiv = 1$ newstart(i,2)=0;newstart(i,3)=newstart(i,2)+T(6)+T(4);newstart(i,4)=2\*(newstart(i,1)-1)+1;elsed=dT(abs(newstart(i)-newstart(i-1))+1);newstart(i,2)=newstart(i-1,2)+T(6)+d;newstart(i,3)=newstart(i,2)+T(6)+T(4); + +newstart(i,4) $= 2^{*}$ (newstart(i,1)-1)+1; end end + +$\mathrm{N = 4;i = 6}$ + +```txt +aa=newstart(4\*i-3:4\*i,:); +``` + +$\mathrm{t0 = aa(4,2) + T(6)}$ + +```javascript +aa=[aa;aa]; +``` + +```javascript +QQ-perms([1,2,3,4]); +``` + +for $i = 1:24$ + +$\mathrm{d = dT(abs(aa(4,1) - QQ(i,1)) + 1)}$ + +```javascript +tQ(i) = t0 + d; +``` + +for $j = 1:4$ + +if $\mathrm{QQ(i,1)} = =\mathrm{aa(j,1)}$ + +```txt +if tQ(i) < aa(j,3) +``` + +$\mathrm{tQ(i) = aa(j,3) + T(6) + T(7)}$ + +```txt +else +``` + +$\mathrm{tQ(i) = tQ(i) + T(6) + T(7)}$ + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{QQ}(\mathrm{i},2) - \mathrm{QQ}(\mathrm{i},1)) + 1);$ + +```javascript +tQ(i) = tQ(i) + d; +``` + +for $j = 1:4$ + +if $\mathrm{QQ(i,2)} = =\mathrm{aa(j,1)}$ + +```txt +if tQ(i) < aa(j,3) +``` + +$\mathrm{tQ(i) = aa(j,3) + T(6) + T(7)}$ + +```txt +else +``` + +$\mathrm{tQ(i) = tQ(i) + T(6) + T(7)}$ + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +$\mathrm{d = dT(abs(QQ(i,2) - QQ(i,3)) + 1)}$ + +```javascript +tQ(i) = tQ(i) + d; +``` + +for $j = 1:4$ + +if $\mathrm{QQ(i,3)} = =\mathrm{aa(j,1)}$ + +if tQ(i) $< \mathrm{aa}(\mathrm{j},3)$ + +```javascript +tQ(i) = aa(j,3) + T(6) + T(7); +``` + +```txt +else +``` + +$\mathrm{tQ(i) = tQ(i) + T(6) + T(7)}$ + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +```txt +end +``` + +$\mathrm{d = dT(abs(QQ(i,4) - QQ(i,3)) + 1)}$ +tQ(i)=tQ(i)+d; +for $\mathrm{j} = 1:4$ ifQQ(i,4) $= =$ aa(j,1) if tQ(i)100000 UTT(ijk)=0; end end end [nmn,nmi]=max(UTT); clear UTT SIijk a=aa(nmi,5); GZ=[]; BXYQX=100; GZZZ=0; while t0<8*3600 if randi(100)>55.5&&randi(100)<63.5 if randi(6) $= = 4\%$ 约有百分之一的概率发生故障 %BBQ=randi(600);BBQ=0;BBQ=300;BBQ=600; BBQ=600;%随机******AA=randi(8); AAA=ceil(AA/4);%1表示第一道工序故障，2表示第二道工序故障 AA=AA-4*(AAA-1);%第AAA道工序的第AA个元件故障 [m,n]=size(aa); if AAA $= = 1$ GZBH=aa(m-4+AA,4); for i=m-3:m if aa(i,1) $= =$ AA GZN=i; GZSJ=aa(i,2)+T(6)+randi(T(4)); GZZZ=GZSJ+600+BBQ; aa(i,3)=GZZZ; aa(i,2)=999999; + +break; end end else GZBH=aa(m-8+AA,5)*2; for i=m-7:m-4 if aa(i,5) $\equiv$ AA GZN=i; GZSJ=aa(i,6)+T(7)+randi(T(5)); GZZZ=GZSJ+600+BBQ; aa(i,7)=GZZZ; aa(i,6)=999999; end end end GZ=[GZ;GZN,GZBH,GZSJ,GZZZ]; end end if t0100000 UTT(ijk)=0; end end [nmn,nmi]=max(UTT); + +clear UTT SIijk + +T3=aa(nmi,5); + +[T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5] = f301(T1,T2,T3,t0,dT,T,GZBH); + +t0=T6;%当前时间 + +[m,n]=size(aa); + +for ii=1:3 + +```matlab +for jj=m:-1:1 +if TT4(ii) == aa(jj,4) +aa(jj,3) = VTT1(ii); +aa(jj,4) = TT4(ii); +aa(jj,1) = (aa(jj,4) + 1)/2; +aa(jj,5) = TT5(ii)/2; +aa(jj,6) = VTT2(ii); +aa(jj,7) = aa(jj,6) + T(5) + T(7-mod(aa(jj,5),2)); +break; +end +end ++1:m+3,4) = TT4'; ++1:m+3,2) = VTT1; +=m+1:m+3 +aa(i,3) = VTT1(i-m) + T(4) + T(7-mod(aa(i,4),2)); +aa(i,1) = (aa(i,4) + 1)/2; +>GZZZ&&AAA==1 +clear T2 T1 TT4 TT5 VTT1 VTT2 +[m,n] = size(aa); +for i=1:8 +for j=1:m +if i == aa(j,5)*2 +T2(i,1) = aa(j,7); +end +end +end +for i=1:m +for j=1:8 +if j == aa(i,4) +T1(j,1) = aa(i,3); +end +end +``` + +SI=length(UTT); +forijk=1:SI if UTT(ijk)>100000 UTT(ijk)=0; end +end +[nmn,nmi]=max(UTT); +clear UTT SI ijk T3=aa(nmi,5); +[ T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5 ] = f301(T1,T2,T3,t0,dT,T,0) ; t0=T6;%当前时间 +[m,n]=size(aa); +for ii=1:3 for jj=m:-1:1 if TT4(ii) $\equiv$ aa(jj,4) aa(jj,3)=VTT1(ii); aa(jj,4)=TT4(ii); aa(jj,1)=(aa(jj,4)+1)/2; aa(jj,5)=TT5(ii)/2; aa(jj,6)=VTT2(ii); aa(jj,7) $=$ aa(jj,6)+T(5)+T(7-mod(aa(jj,5),2)); break; end end +end +aa(m+1:m+3,4)=TT4'; +aa(m+1:m+3,2)=VTT1; +for i=m+1:m+3 aa(i,3)=VTT1(i-m)+T(4)+T(7-mod(aa(i,4),2)); aa(i,1)=(aa(i,4)+1)/2; +end +[m,n]=size(aa); +for i=1:m if abs(aa(i,7)-aa(GZN,6)<100 aa(GZN,5:7)=aa(i,5:7); end +end +end +else +clear T1 T2 TZ2 TZ1 TT4 TT5 VTT1 VTT2 [m,n]=size(aa); for i=1:8 for j=1:m + +if $\mathrm{i} = =\mathrm{aa(j,5)}^{*}2$ TZ2(i,1) $\equiv$ aa(j,7); end end end + +```matlab +for i=1:m + for j=1:8 + if j==aa(i,4) + %aa(i,3)=aa(i,2)+T(6)+T(4); + TZ1(j,1)=aa(i,3); + end +end +end +T1=TZ1find(TZ1~=0)); +T2=TZ2find(TZ2~=0)); +``` + +$\mathrm{UTT = aa(:,6)}$ $\mathrm{SI} = \mathrm{length}(\mathrm{UTT})$ +forijk=1:SI if UTT(ijk)>100000 UTT(ijk)=0; end +end +[nmn,nmi]=max(UTT); +clear UTTSijk +T3=aa(nmi,5);%当前位置； + +```latex +[ \text{T6,VTT1,VTT2,TT4,TT5} = \text{f201(T1,T2,T3,t0,dT,T)}; ] +[ t0 = T6; \% \text{当前时间} ] +``` + +```matlab +for ii=1:4 + for jj=m:-1:1 + if TT4(ii) == aa(jj,1) + aa(jj,3) = VTT1(ii); + aa(jj,5) = TT5(ii); + aa(jj,6) = VTT2(ii); + aa(jj,7) = aa(jj,6) + T(5) + T(7); + break; + end +end +end +aa(m+1:m+4,1) = TT4'; +aa(m+1:m+4,4) = TT4'*2-1; +aa(m+1:m+4,2) = VTT1; +``` + +aa $(\mathrm{m} + 1:\mathrm{m} + 4,3) = \mathrm{VTT1} + \mathrm{T}(6) + \mathrm{T}(4);$ end +end +[m,n]=size(aa); +aa(m-3:m,:=[]; +[m,n]=size(aa); +for i=m:-1:m-15 d=dT(abs(aa(i,5)-1)+1);%移动 if aa(i,7)+T(6)+T(7)+d>8*3600 aa(i,7)=0; end +end +bb=[]; +for i=1:m if aa(i,7) $= = 0$ bb=[bb,i]; end +end +aa(bb,) $= []$ . +[m,n]=size(aa); +for i=1:m aa(i,4)=2\*aa(i,1)-1; aa(i,8)=2\*aa(i,5); +end +aaA=[aa(:,4),aa(:,2),aa(:,3),aa(:,5),aa(:,6),aa(:,7)]; [maa,naa]=size(aaA); +for i=1:maa if sum(aaA(i,) $>999999$ aaA(i,[2,3,5,6]) $\equiv$ NaN; end +end +aaA(:,4)=aaA(:,4)\*2; +[m,n]=size(aaA); +[m1,n1]=size(GZ); +TMT=m-m1; +end + +附录二十：Ques303.m + +$\%$ 一道工序的修复时间，随机，10,15,20的20组随机 + +clc, clear + +$\mathrm{G} = []$ + +for $i = 1:20$ + +$$ +\begin{array}{l} [ \mathrm {m} (\mathrm {i}), \mathrm {m} 1 (\mathrm {i}), \mathrm {T M T} (\mathrm {i}), \mathrm {G Z} ] = \mathrm {f} 3 0 2 (); \\ G = [ G; G Z ]; \\ \mathrm {c l e a r G Z} \\ \end{array} +$$ + +end + +$\mathrm{A} = [\mathrm{TMT};\mathrm{m1}]$ + +$\mathrm{A = A^{\prime}}$ + +$\mathrm{B}(1) = \mathrm{A}(1,2)$ + +for $i = 2:20$ + +$$ +\mathrm {B} (\mathrm {i}) = \mathrm {B} (\mathrm {i} - 1) + \mathrm {A} (\mathrm {i}, 2); +$$ + +end + +[ \text{[mm,nn]} = \text{size}(\text{G}) ] + +$\mathrm{C = zeros(1,mm)}$ + +$\mathrm{C(B) = 1}$ + +$\mathrm{G} = [\mathrm{G},\mathrm{C}^{\prime}]$ + +D=zeros(19,5); + +for $i = 1:19$ + +$$ +D (i, 1) = i + 1; +$$ + +end + +for $i = 1:19$ + +$$ +[ \mathrm {m m}, \mathrm {n n} ] = \text {s i z e} (\mathrm {G}); +$$ + +$$ +\mathrm {G} = [ \mathrm {G} (1: \mathrm {B} (\mathrm {i}),:) \mathrm {D} (\mathrm {i},:) \mathrm {G} (\mathrm {B} (\mathrm {i}) + 1: \mathrm {m m},:) ]; +$$ + +$$ +\mathrm {B} = \mathrm {B} + 1; +$$ + +end + +$$ +\mathrm {G} = \left[ \left[ 1, \text {z e r o s} (1, 4) \right]; \mathrm {G} \right]; +$$ + +$$ +G (:, 5) = [ ]; +$$ + +$$ +Z M = [ \text {m e a n} (A (:, 1)), \text {m e a n} (A (:, 2)) ]; +$$ + +$$ +Z M M = \operatorname {s t d} (A, 0, 1); +$$ + +$$ +\mathrm {A} = [ \mathrm {A}; \mathrm {Z M}; \mathrm {Z M M} ]; +$$ + +附录二十一：Ques304.m + +两道工序的修复时间，随机，10,15,20的20组随机 + +clc, clear + +$\mathrm{G = []}$ +for $\mathrm{i} = 1:20$ $[\mathrm{m(i),m1(i),TMT(i),GZ}] = \mathrm{f304(});$ $\mathrm{G = [G;GZ]};$ clear GZ +end + +$\mathrm{A} = [\mathrm{TMT};\mathrm{m1}]$ + +$\mathrm{A = A^{\prime}}$ + +$\mathrm{B}(1) = \mathrm{A}(1,2)$ +for $\mathrm{i} = 2:20$ $\mathrm{B(i) = B(i - 1) + A(i,2)}$ +end + +```txt +[ \text{[mm,nn]} = \text{size(G)}; ] +C=zeros(1,mm); +C(B)=1; +``` + +$\mathrm{G = [G,C^{\prime}]}$ $\mathrm{D = zeros(19,5)}$ for $\mathrm{i} = 1:19$ $\mathrm{D(i,1) = i + 1}$ end + +for $\mathrm{i} = 1:19$ $[\mathrm{mm},\mathrm{nn}] = \mathrm{size}(\mathrm{G})$ $\mathrm{G} = [\mathrm{G}(1:\mathrm{B}(\mathrm{i}),\therefore);\mathrm{D}(\mathrm{i},\therefore);\mathrm{G}(\mathrm{B}(\mathrm{i}) + 1:\mathrm{mm},\therefore)];$ $\mathrm{B = B + 1}$ +end + $\mathrm{G} = [[1,\mathrm{zeros}(1,4)];\mathrm{G}]$ + +$\mathrm{G}(:,5) = []$ + +$\mathrm{ZM} = [\mathrm{mean}(\mathrm{A}(:,1)),\mathrm{mean}(\mathrm{A}(:,2))];$ $\mathrm{ZMM} = \mathrm{std(A,0,1)}$ + +$\mathrm{A = [A;ZM;ZMM]}$ + +```matlab +附录二十二：f401.m +function m = f401(T) +%RGV 当前时间 +t0 = 0; +%RGV 当前位置[1,2,3,4] +``` + +$a = 1$ + +%CNC当前工作状态 + +$\mathrm{b = z e r o s(1,8)}$ + +%CNC预计加工完成时间 + +$\mathbf{c} =$ zeros(1,8); + +%初始路径选择 + +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; + +$\mathrm{i} = 6$ ;clearM + +$\mathrm{lj = start(i,:)}$ + +%初始路径移动 + +$\mathrm{N} = 8$ + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ + +for $i = 1:4$ + +%RGV每一步移动 + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(a - \mathrm{lj(i)}) + 1)$ + +$\mathrm{a = lj(i)}$ + +$\mathrm{t0 = t0 + d}$ + +%RGV为单个奇数CNC上料 + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1,1) = \mathrm{t0};$ + +$\mathrm{t0 = t0 + T(5)}$ + +$\mathrm{b}(2^{*}(\mathrm{lj(i) - 1}) + 1) = 1;$ + +$\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{lj(i)} - 1) + 1) = \mathrm{t0} + \mathrm{T}(4);$ + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1,2) = 2^{*}(\mathrm{lj}(\mathrm{i}) - 1) + 1;$ + +%RGV为单个偶数CNC上料 + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2,1) = \mathrm{t0};$ + +$\mathrm{t0 = t0 + T(6)}$ + +$b(2^{*}(1j(i) - 1) + 2) = 1;$ + +$\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{lj(i)} - 1) + 2) = \mathrm{t0} + \mathrm{T}(4);$ + +$\mathrm{M}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2,2) = 2^{*}(\mathrm{lj}(\mathrm{i}) - 1) + 2;$ + +end + +%多步最优 + +while $t0<=8*3600$ + +[e,f,g,h,] = oneStep(a,dT,T,t0,c);%a,t0,c改变为f,g,h. + +e3 = fStep(f,dT,T,g,h,e)'; + +$\mathrm{e}3 =$ reshape(e3,64,4); + +[minValue,row] $=$ min(e3); + +[ \text{[minValue,col]} = \min(\text{minValue}); ] + +$\mathrm{d = dT(abs(a - col) + 1)}$ $\mathrm{t0 = t0 + d}$ +a=col; +N=N+1; +i=a; +if $\mathrm{t0 > c(2^* (i - 1) + 1)\& \& t0 > c(2^* (i - 1) + 2)}$ $\% [\mathrm{cmin,cind}] = \mathrm{min}([\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1),\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2)])$ . $\mathrm{cmin = t0;cind = 1}$ $\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + \mathrm{cind}) = \mathrm{cmin} + \mathrm{T}(4 + \mathrm{cind}) + \mathrm{T}(4);$ elseif $\mathrm{t0 < c(2^* (i - 1) + 1)\& \& t0 < c(2^* (i - 1) + 2)}$ $[\mathrm{cmin,cind}] = \mathrm{min}([\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 1) + \mathrm{T}(5),\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + 2) + \mathrm{T}(6)]);$ $\mathrm{cmin = cmin - T(4 + cind)}$ $\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + \mathrm{cind}) = \mathrm{cmin} + \mathrm{T}(4 + \mathrm{cind}) + \mathrm{T}(4);$ else [cmin,cind]=min([c(2*(i-1)+1),c(2*(i-1)+2))+T(6)]; $\mathrm{cmin = t0};$ $\mathrm{c}(2^{*}(\mathrm{i - 1}) + \mathrm{cind}) = \mathrm{cmin} + \mathrm{T}(4 + \mathrm{cind}) + \mathrm{T}(4);$ end M(N,1)=cmin; +M(N,2)=2*(i-1)+cind; +for i=length(M(:,2))-1:-1:1 if M(i,2) $= = 2^{*}$ (a-1)+cind M(i,3)=cmin; break; +end +end + $\mathsf{t0 = cmin + T(4 + cind) + T(7)}$ +end +[m,n]=size(M); +M(m-7:m,:)=[]; +M(m-8,3)=M(m-8,1)+T(4+mod(M(m-8,2),2))+T(4); +if M(m-8,3)+T(4+mod(M(m-8,2),2))+T(7)>8*3600 M(m-8,:)=[]; +end +MM(:,1)=M(:,2); +MM(:,2)=M(:,1); +MM(:,3)=M(:,3); +[m,n]=size(M); +end + +附录二十三：f402.m + +function $\mathrm{m} = \mathrm{f}402(\mathrm{T})$ + +$\mathrm{dT} = [0,\mathrm{T}(1:3)];$ + +$\mathrm{P = 8^{*}T(4) / (T(4) + T(5))}$ + +固定刀具 + +$\mathrm{D} = [1,2,1,2,1,2,1,2]$ + +%RGV当前时间 + +$t0 = 0$ + +%RGV当前位置[1,2,3,4] + +$a = 1$ + +%CNC预计加工完成时间 + +$\mathrm{b = z e r o s(1,8)}$ + +%初始路径选择 + +start=[ones(6,1),perms([2,3,4])]; + +%初始路径 + +newstart $\equiv$ start'; + +newstart $\equiv$ newstart(); + +for $i = 1:24$ + +if newstart(i,1) $= = 1$ +newstart(i,2) $= 0$ . +newstart(i,3)=newstart(i,2)+T(6)+T(4); +newstart(i,4) $= 2^{*}$ (newstart(i,1)-1)+1; +else + $\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{newstart}(\mathrm{i}) - \mathrm{newstart}(\mathrm{i} - 1)) + 1);$ $\mathrm{newstart(i,2)} = \mathrm{newstart(i - 1,2)} + \mathrm{T}(6) + \mathrm{d};$ $\mathrm{newstart(i,3)} = \mathrm{newstart(i,2)} + \mathrm{T}(6) + \mathrm{T}(4);$ $\mathrm{newstart(i,4)} = 2^{*}(\mathrm{newstart(i,1)} - 1) + 1;$ +end +end +N=4;i=6; +aa=newstart(4*i-3:4*i,:); +t0=aa(4,2)+T(6); + +aa=[aa;aa]; + +QQ=perms([1,2,3,4]); + +for $i = 1:24$ + +$\mathrm{d} = \mathrm{dT}(\mathrm{abs}(\mathrm{aa}(4,1) - \mathrm{QQ}(\mathrm{i},1)) + 1)$ + +tQ(i) = t0 + d; + +for $j = 1:4$ + +if $\mathrm{QQ(i,1)} = =\mathrm{aa(j,1)}$ + +if tQ(i) $< \mathrm{aa}(\mathrm{j},3)$ + +$\mathrm{tQ(i) = aa(j,3) + T(6) + T(7)}$ + +else + +$\mathrm{tQ(i) = tQ(i) + T(6) + T(7)}$ end end end end d=dT(abs(QQ(i,2)-QQ(i,1))+1); $\mathrm{tQ(i) = tQ(i) + d}$ for $j = 1:4$ if QQ(i,2) $\equiv$ aa(j,1) if tQ(i)8*3600 +aa(i,7)=0; +end +end +bb=[[]; +for i=1:m + if aa(i,7) == 0; + bb=[bb,i]; + end +end +aa(bb,:)=[]; +[m,n]=size(aa); +``` + +for $i = 1:m$ $\mathrm{aa(i,4) = 2^{*}aa(i,1) - 1};}$ $\mathrm{aa(i,8) = 2^{*}aa(i,5)};$ +end +end + +附录二十四：LingMin1.m + +%一道工序的灵敏度分析 + +clc, clear + +%设置上下限为 $5\%$ 的灵敏度分析 + +$\mathrm{x = -0.05:0.01:0.05}$ + +TT1=[20,33,46,560,28,31,25]; + +for $i = 1:11$ + +T1(i,:) = [TT1(1:3) + TT1(1:3)*x(i), TT1(4:7)];%RGV 移动速度 + +[ \mathrm{T1(i + 11, :)} = [\mathrm{TT1(1:3),TT1(4) + TT1(4)*x(i),TT1(5:7)}];\% \text{CNC加工速度} ] + +T1(i+22,:)=[TT1(1:4),TT1(5:6)+TT1(5:6)*x(i),TT1(7)];%RGV上下料速度 + +[ \mathrm{T1(i + 33, :)} = [\mathrm{TT1(1:6),TT1(7) + TT1(7)*x(i)}];\% \mathrm{RGV} ] 清洗熟料步骤速度 + +end + +for $i = 1:44$ + +$$ +\mathrm {m} 1 (\mathrm {i}) = \mathrm {f} 4 0 1 (\mathrm {T} 1 (\mathrm {i},:)); +$$ + +end + +TT2=[23,41,59,580,30,35,30]; + +for $i = 1:11$ + +T2(i,:)=[TT2(1:3)+TT2(1:3)*x(i),TT2(4:7)];%RGV移动速度 + +$\mathrm{T2(i + 11, :) = [TT2(1:3), TT2(4) + TT2(4)*x(i), TT2(5:7)]}; \% \mathrm{CNC}$ 加工速度 + +T2(i+22,:)=[TT2(1:4),TT2(5:6)+TT2(5:6)*x(i),TT2(7)];%RGV上下料速度 + +T2(i+33,:)=[TT2(1:6),TT2(7)+TT2(7)*x(i)];%RGV清洗熟料步骤速度 + +end + +for $i = 1:44$ + +$$ +\mathrm {m} 2 (\mathrm {i}) = \mathrm {f} 4 0 1 (\mathrm {T} 2 (\mathrm {i},:)); +$$ + +end + +TT3=[18,32,46,545,27,32,25]; + +for $i = 1:11$ + +T3(i,:)=[TT3(1:3)+TT3(1:3)*x(i),TT3(4:7)];%RGV移动速度 + +T3(i+11,:)=[TT3(1:3),TT3(4)+TT3(4)*x(i),TT3(5:7)];%CNC加工速度 + +T3(i+22,:)=[TT3(1:4),TT3(5:6)+TT3(5:6)*x(i),TT3(7)];%RGV上下料速度 + +T3(i+33,:)=[TT3(1:6),TT3(7)+TT3(7)*x(i)];%RGV清洗熟料步骤速度 + +end + +for $i = 1:44$ + +$$ +\mathrm {m} 3 (\mathrm {i}) = \mathrm {f} 4 0 1 (\mathrm {T} 3 (\mathrm {i},:)); +$$ + +end + +subplot(1,3,1) + +plot(x,m1(1:11),'-',x,m1(12:22),'+-',x,m1(23:33),"*-'',x,m1(34:44),'o-'); + +xlabel('参数波动 $5\%$ ');ylabel('成品数'); + +legend('RGV移动速度','CNC加工速度','RGV上下料速度','RGV清洗熟料步骤速度'); + +title('第一组'); + +subplot(1,3,2) + +plot(x,m2(1:11),'-',x,m2(12:22),'+-',x,m2(23:33),"*-'',x,m2(34:44),'o-'); + +xlabel('参数波动 $5\%$ ');ylabel('成品数'); + +legend('RGV移动速度','CNC加工速度','RGV上下料速度','RGV清洗熟料步骤速度'); + +title('第二组'); + +subplot(1,3,3) + +plot(x,m3(1:11),'-,'x,m3(12:22),'+-'x,m3(23:33),"*-'x,m3(34:44),'o-'); + +xlabel('参数波动 $5\%$ ');ylabel('成品数'); + +legend('RGV移动速度','CNC加工速度','RGV上下料速度','RGV清洗熟料步骤速度'); + +title('第三组'); + +附录二十五：LingMin2.m + +两道工序的灵敏度分析 + +clc,clear + +%设置上下限为 $5\%$ 的灵敏度分析 + +$\mathrm{x = -0.05:0.01:0.05}$ + +TT1=[20,33,46,400,378,28,31,25]; + +for $i = 1:11$ + +T1(i,:)=[TT1(1:3)+TT1(1:3)*x(i),TT1(4:8)];%RGV移动速度 + +[ \mathrm{T1(i + 11,:.)} = [\mathrm{TT1(1:3),TT1(4:5) + TT1(4:5)*x(i),TT1(6:8)}];\% \text{CNC加工速度} ] + +T1(i+22,:)=[TT1(1:5),TT1(6:7)+TT1(6:7)*x(i),TT1(8)];%RGV上下料速度 + +T1(i+33,:)=[TT1(1:7),TT1(8)+TT1(8)*x(i)];%RGV 清洗熟料步骤速度 + +end + +for $i = 1:44$ + +$\mathrm{m1(i) = f402(T1(i,:))}$ + +end + +TT2=[23,41,59,280,500,30,35,30]; + +for $i = 1:11$ + +T2(i,:)=[TT2(1:3)+TT2(1:3)*x(i),TT2(4:8)];%RGV移动速度 + +T2(i+11,.)=[TT2(1:3),TT2(4:5)+TT2(4:5)*x(i),TT2(6:8)];%CNC加工速度 + +T2(i+22,):=[TT2(1:5),TT2(6:7)+TT2(6:7)*x(i),TT2(8)];%RGV上下料速度 + +T2(i+33,):=[TT2(1:7),TT2(8)+TT2(8)*x(i)];%RGV 清洗熟料步骤速度 + +end + +for $i = 1:44$ + +i + +$\mathrm{m2(i) = f402(T2(i,:))}$ + +end + +```javascript +TT3=[18,32,46,455,182,27,32,25]; +``` + +for $i = 1:11$ + +```txt +T3(i,:)=[TT3(1:3)+TT3(1:3)*x(i),TT3(4:8)];%RGV移动速度 +``` + +```matlab +T3(i+11,.)=[TT3(1:3),TT3(4:5)+TT3(4:5)*x(i),TT3(6:8)];%CNC加工速度 +``` + +```txt +T3(i+22,:)=[TT3(1:5),TT3(6:7)+TT3(6:7)*x(i),TT3(8)];%RGV上下料速度 +``` + +```javascript +T3(i+33,:)=[TT3(1:7),TT3(8)+TT3(8)*x(i)];%RGV清洗熟料步骤速度 +``` + +```txt +end +``` + +for $i = 1:44$ + +```txt +i +``` + +$\mathrm{m3(i) = f402(T3(i,:))}$ + +```txt +end +``` + +```bazel +subplot(1,3,1) +``` + +```javascript +plot(x,m1(1:11),'-',x,m1(12:22),'+-'x,m1(23:33),'*-'x,m1(34:44),'o-'); +``` + +xlabel('参数波动 $5\%$ ');ylabel('成品数'); + +```javascript +legend('RGV移动速度','CNC加工速度','RGV上下料速度','RGV清洗熟料步骤速度'); +``` + +```javascript +title('第一组'); +``` + +```bazel +subplot(1,3,2) +``` + +```javascript +plot(x,m2(1:11),'-',x,m2(12:22),'+-',x,m2(23:33),'*-',x,m2(34:44),'o-'); +``` + +xlabel('参数波动 $5\%$ ');ylabel('成品数'); + +```javascript +legend('RGV移动速度','CNC加工速度','RGV上下料速度','RGV清洗熟料步骤速度'); +``` + +```javascript +title('第二组'); +``` + +```bazel +subplot(1,3,3) +``` + +```javascript +plot(x,m3(1:11),'-,'x,m3(12:22),'+-'x,m3(23:33),'*-'x,m3(34:44),'o-'); +``` + +xlabel('参数波动 $5\%$ ');ylabel('成品数'); + +```javascript +legend('RGV移动速度','CNC加工速度','RGV上下料速度','RGV清洗熟料步骤速度'); +``` + +```javascript +title('第三组'); +``` + +附录二十六：附件二中的表格 + +```txt +Case_1_result.xls +``` + +```txt +Case_2_result.xls +``` + +```txt +Case_3_result_1.xls +``` + +```txt +Case_3_result_2.xls +``` + +```txt +两道工序44分刀35分刀53分刀结果表.xlsx +``` + +```txt +一道工序随机20次的结果.xlsx +``` + +```txt +两道工序随机20次的结果.xlsx +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2018/D014/D014.md b/MCM_CN/2018/D014/D014.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f3f595d91ad36ba10322c31af37b1e009f75f17d --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2018/D014/D014.md @@ -0,0 +1,523 @@ +# 汽车总装线配置方案 + +# 摘要 + +本文主要针对汽车总装线的配置问题，以降低成本为目标，综合分析了品牌、配置、动力、驱动、颜色、以及喷涂线六个方面，并运用EXCEL表格制定出较优的汽车总装线配置的排列顺序。 + +针对问题一，按照品牌、喷涂、颜色、驱动、动力、配置的顺序进行排序。 + +第一步：根据装配要求，将A1、A2总装配数分为相同的两部分，白班、夜班各一半，按照A1后A2为排列顺序，确定出白班、夜班的装配顺序。 + +第二步：确定喷涂线的顺序是唯一的，奇数车在C1线上喷涂，偶数车在C2线上喷涂，因此一天的喷涂线如下： + +$$ +\mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 - \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 \dots \dots \dots \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 - \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 +$$ + +第三步：分析每个颜色所占的比例，发现黑色数量最多且黑色汽车与其他颜色的汽车之间的切换代价很高，故以黑色为基准，进行框架划分。由于A2总数较少，则优先排列，因A2白班中的总数小于A2中黑色总数，因此需将A2中的黑色汽车总数分为两部分。由于黑色汽车连续排列需要50-70辆，需将白班中的A1、A2连接处的黑色汽车连续起来，将A1中的部分黑色分到A2中，以连接处一组黑色50为基准，确定A2中黑色的顺序。然后求出A1中剩余的黑色数，为了使黑色尽量连续，将剩余的黑色数均分为几个黑色组，由于白班、夜班中的A1数是确定的，所以令A1白班中插入2个黑色组，其间隔至少20辆，剩余的插入A1夜班中，然后将除黑色以外的颜色进行排列，遵循蓝、红、黄在C1喷涂线上，金在C2喷涂线上的原则，最终确定装配中颜色的排列。 + +第四步：优先排颜色较少的四驱汽车，对于不能达到间隔数量要求的汽车进行微调，使其达到要求，然后将两驱排入，得到驱动的排列顺序。 + +第五步：发现动力和驱动的装配数相近，因此可以按照与驱动相同的方法对动力进行排序，最终得到动力排列顺序。 + +第六步：优先排入数量较少配置，然后将排入颜色数量较多的配置，使其同种配置车尽量放在一起，减少不同配置车辆之间的切换次数，最终得到配置排列顺序。 + +根据上面算法排出较为合理的装配顺序，使得生产成本相对较低。针对问题二： + +(1) 应用问题一的算法计算出总的装配顺序, 具体装配顺序见附录。 +(2) 利用附件中 9 月 17 日 -9 月 23 日的数据, 运用问题一中的算法计算出总的装配顺序, 具体见支撑材料文件 “schedule.xlsx”。 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +某公司生产多种型号的汽车，各型号汽车由品牌、动力、配置、驱动、颜色5种属性确定。其中包括2种品牌（A1、A2），2种动力（汽油、柴油），6种配置（B1、B2、B3、B4、B5、B6），2种驱动（两驱、四驱）以及9种颜色（黑色、白色、蓝色、黄色、红色、银色、棕色、灰色、金色）。 + +根据市场需求以及销售情况，确定每天生产各种型号车辆的具体数量。该公司每天生产线24小时不间断作业，总共可装配460辆各种型号的汽车，其中白班、晚班（每班12小时）各230辆。附件已给出该公司2018年9月17日至9月23日一周的生产计划。 + +该公司装配流程如图1所示。待装配车辆按一定顺序排列，先匀速通过总装线依次进行总装作业，随后按序分为C1、C2线进行喷涂作业。 + +![](images/ebb290d16fa3a7d9c02a9c788a98cc05db7ec51ed8bfb4b9511d15675c4bee32.jpg) +图1汽车总装线的装配流程图 + +# 1.2 装配要求 + +# 1.2.1 对车辆型号的要求 + +(1)按照先A1后A2的品牌顺序，每天白班和晚班装配当天两种品牌各一半数量的汽车。 +(2)两批四驱汽车之间间隔的两驱汽车的数量至少为10辆，其中四驱汽车连续装配数量不得超过2辆；两批柴油汽车之间间隔的汽油汽车的数量至少为10辆，其中柴油汽车连续装配数量不得超过2辆。间隔数量越多越好，若无法满足要求，间隔数量可在5-9辆之内仍可接受，但代价太高。 +(3)减少不同配置车辆间的切换次数，同一品牌下相同配置车辆尽量连续。 + +# 1.2.2 对颜色的要求 + +(1)蓝、黄、红、三种颜色汽车只能在C1线上进行喷涂，金色汽车只能在C2线上进行喷涂，其他颜色汽车的喷涂可在C1或C2线上进行。 +(2)在同一条喷涂线上，除黑、白两种颜色外，同种颜色汽车应尽量连续进行喷涂作业。 +(3) 尽可能减少喷涂线上不同颜色汽车之间的切换次数，尤其是黑色汽车与其他颜色汽车之间切换代价很高。 +(4) 不同颜色汽车在总装线上排列时的具体要求见下： + +a. 黑色汽车连续排列数量在 50-70 辆之间，两批黑色汽车在总装线上间隔数量至少为 20 辆； +b. 蓝色汽车必须与白色汽车间隔排列； +c. 白色汽车可以连续排列，也可与蓝色或棕色汽车间隔排列； +d. 颜色黄或红的汽车必须与颜色为银、灰、棕、金中的一种颜色汽车间隔排 + +列； + +e. 要求金色汽车与颜色为红或黄的汽车间隔排列，若无法满足要求，也可与颜色为银、灰、棕中的一种颜色的汽车间隔排列； +f. 棕色汽车可以连续排列，也可以和颜色为黄、红、金、中的一种颜色的汽车间隔排列； +g. 颜色为灰或银的汽车可以连续排列，也可以和颜色为黄、红、金中的一种颜色的汽车间隔排列； +h.对于其他颜色搭配，遵循“没有允许即为禁止”的原则。 + +以上总装线和喷涂线的各项要求同样适用于相邻班次（包括当日晚班与次日白班）的车辆。 + +# 1.3 需要解决的问题 + +(1)根据问题的背景、装配要求以及所给附件中的数据，建立数学模型或设计算法，得出符合要求、且具有较低生产成本的装配顺序。 +(2)根据(1)中的数学模型或算法，针对附件中的数据，得出计算结果。并给出9月17日至9月23日每天的装配顺序。 + +# 二、问题分析 + +对于装配流水线而言，为提高生产能力，就必须实现均衡生产，节约时间，才能降低生产成本。而本题是关于汽车总装线的配置问题，则应对每种汽车型号的品牌、配置、动力、驱动、颜色以及喷涂线等方面因素综合考虑，设计合理的算法，得出较优的排序方案[1]。结合启发，大体思路见图2。 + +![](images/96424f1b927cc051c37b392c2825309281072cac8759edd169c0d44d7d41642c.jpg) +图2思路分析过程图 + +# 2.1 问题一分析 + +首先，由题可知，每天可装配各种型号汽车共460辆，白班、晚班各230辆，白班和晚班按照先A1后A2的品牌顺序，将A1、A2需装配汽车总数除以2即得每班需装配的A1、A2品牌汽车的个数。 + +根据题目要求装配顺序为奇数的汽车必须在C1线喷涂，装配顺序为偶数的汽车必须在C2线喷涂，因此先排出喷涂线。 + +其次，观察附件中所给数据，由于颜色种类多，且要求繁，因此下面需要以颜色为限定条件进行排列。由于黑色汽车生产数量最多，而且黑色汽车在排列时有50-70以及间隔不小于20的数量限制，因此以黑色汽车数量为基准进行框架划分，在满足题中所给颜色要求下，将其他颜色填充到框架内。 + +再次，由于动力及驱动规格较少，均只有两种选择，特殊的，柴油车及四驱车需要数量较少，因此动力及驱动排列起来相对容易，因而接下来排列动力及驱动。 + +最后，运用Excel表格[2]按照装配要求排出配置，先排个数较少的配置，遵循从少到多，尽量连续的原则，即可完成所有要求，完成总装线路的装配方案。 + +在排列的过程中，总结提炼，得到算法。 + +# 2.2 问题二分析 + +在问题一的基础上，运用问题一中得到的算法，分别计算出9月17日至9月23日的装配顺序。在计算过程中，如遇特殊情况，可进行微调。 + +# 三、模型假设 + +1. 假设题目中所给数据真实可靠。 +2. 假设装配过程中，操作工人能够正常作业，无特殊情况发生。 +3. 假设每名操作工人的工作量均匀分配。 +4. 假设机器不会发生故障。 +5. 假设所需生产材料都能及时供应。 + +# 四、符号说明 + +
m品牌A1生产的总数量
n品牌A2生产的总数量
w白班或夜班生产品牌A1的总数量
p白班或夜班生产品牌A2的总数量
xA1中生产黑色汽车车辆数目
yA2中生产黑色汽车车辆数目
zA2中需A1的黑色汽车车辆数目
hA1中剩余黑色汽车车辆数目
gA1中每组黑色汽车车辆数目
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一 + +5.1.1 间隔排列、连续排列、切换的定义 + +1. 连续排列：两个或两个以上的颜色不间断地排列，如黑黑黑、白白均为连续排列。 +2. 间隔排列：1种颜色相邻两侧的颜色为同种颜色，例如：白棕白，则棕色将白色间隔开。 + +3. 切换: 1 种颜色相邻两侧的颜色为不同颜色, 例如: 白棕黑, 则白棕、棕黑之间均为切换。 + +# 5.1.2 算法设计 + +要求：装配顺序生产成本达到最低，即喷涂线上不同颜色汽车间切换次数尽可能少、同一品牌下相同配置车辆尽量连续。 + +# 第1步：排品牌 + +计算 A1、A2 总装配汽车数，由于白班、夜班各装配一半，利用附件中的数据可知 A1、A2 总装配数，对 A1、A2 分别除以 2，得到白班、夜班装配 A1、A2 的装配数量。具体计算公式如下： + +设 $m$ 表示需生产的品牌 A1 汽车总数， $n$ 表示需生产的品牌 A2 汽车总数，由于白班和夜班生产的品牌 A1 及 A2 汽车数量相同，因此白班或夜班生产的品牌 A1 汽车总个数均设为 $w$ ，则 + +$$ +w = \frac {m}{2} +$$ + +白班或夜班生产的品牌 A1 汽车总个数均设为 $p$ , 则 + +$$ +p = \frac {n}{2} +$$ + +具体以9月20日为例，计算出每班需生产两个品牌汽车数量如下： + +表 1 9 月 20 日生产车辆数目 + +
班次汽车型号生产汽车数量
白班A1181
A249
夜班A1181
A249
+ +# 第2步：排喷涂线 + +根据题目要求,奇数车在 C1 喷涂线进行喷涂、偶数车在 C2 喷涂线进行喷涂,可以先确定每辆车的具体喷涂顺序。每天的喷涂顺序都是一致的,如下: + +$$ +\mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 - \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 \dots \dots \dots \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 - \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 +$$ + +总计汽车生产数量460辆。 + +# 第3步：排颜色 + +每天总装配为460辆，因此早班、夜班各装配230辆。先根据附表的A1、A2的各总车辆数分别确定白班、夜班装配A1、A2的装配数量。再分析A1、A2中各颜色的具体数量，统计各个颜色的数量，做出条形图，以9月20日为例，得到如下柱形图。 + +![](images/c13541b0c8734e487d5dd9ec9b828b678947c522d08fa59f2bed63e67c026921.jpg) +9月20日各颜色汽车生产数量图 +图39月20日各颜色汽车生产数量图 + +由图3知，黑色最多，白色其次。因此以黑色为基准，先确定黑色的位置。题中又要求黑色连续数为50-70辆，因个别天数A2中黑色数目较少，要使得黑色连续，需使白班、夜班的A1、A2中的黑色连续起来，故可先将A2中黑色分为两部分，然后以一组黑色为50辆为最低标准，计算所需要A1中黑色的个数。最后将A1中剩余黑色的个数进行分组。具体计算公式如下： + +设 $x$ 表示A1中生产黑色汽车车辆数目， $y$ 表示A2中生产黑色汽车车辆数目，A2中需A1的黑色汽车车辆个数： + +$$ +z = 5 0 - \frac {y}{2} +$$ + +A1中剩余黑色汽车车辆个数： + +$$ +h = x - 2 z +$$ + +A1中每组黑色汽车车辆个数： + +$$ +g = \frac {h}{3} +$$ + +说明：黑色组代表汽车数量50-70辆之间的连续装配车辆数。 + +由于每组黑色汽车数量应在50-70辆之间，每个班次总装配数为230辆，故一个班次最多有4个黑色组、最少2个黑色组。为了使得黑色比较集中，故以白班A1中放入2个黑色组为优先原则，得到黑色的排列方案。然后在白班A1中第一个黑色组后插入20个颜色尽量相同的汽车，且满足蓝、红、黄在C1线上喷涂，金在C2线上喷涂，在后面排列中仍满足此要求。排入白班A1个黑色组后，计算剩余插入除黑色汽车的数量，简称剩余车辆数。 + +- 白班A1中剩余车数量=白班A1生产汽车数量-白班A1中黑色汽车总数量， + +夜班A1中剩余车数量=夜班A1生产汽车数量-夜班A1中黑色汽车总数量， + +- 白班A2中剩余车数量=白班A1生产汽车数量-白班A2中黑色汽车总数量， + +夜班A2中剩余车数量=夜班A1生产汽车数量-夜班A2中黑色汽车总数量，然后插入其他颜色汽车，其满足： + +a. 黑色汽车连续排列数量在 50-70 辆之间，两批黑色汽车在总装线上间隔数量至少为 20 辆； + +b. 蓝色汽车必须与白色汽车间隔排列； +c. 白色汽车可以连续排列, 也可与蓝色或棕色汽车间隔排列; +d. 颜色黄或红的汽车必须与颜色为银、灰、棕、金中的一种颜色汽车间隔排列； +e. 金色汽车与颜色为红或黄的汽车间隔排列, 若无法满足要求, 也可与颜色为银、灰、棕中的一种颜色的汽车间隔排列; +f. 棕色汽车可以连续排列，也可以和颜色为黄、红、金、白中的一种颜色的汽车间隔排列； +g. 颜色为灰或银的汽车可以连续排列, 也可以和颜色为黄、红、金中的一种颜色的汽车间隔排列; +h.对于其他颜色搭配，遵循“没有允许即为禁止”的原则。 + +根据实际排列需要，有些虽然要求不能间隔，但是我们可以切换排列。 + +以9月20日为例，得到颜色排列如下： + +20白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 黑 $\rightarrow 1$ 黑 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow$ 1银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 8$ 灰 $\rightarrow 51$ 黑 $\rightarrow 84$ 白 $\rightarrow 53$ 黑 $\rightarrow 3$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 5$ 白 + +# 第4步：排驱动 + +由附件中数据可知，四驱汽车较少，故优先排列。由于黑色数量较多，所以插入的四驱可以满足要求，但是其它颜色数量相对较少，因此需将连着的相同颜色分开，最好能满足间隔10辆，如不能，应满足间隔5-9辆，以达到驱动的要求。 + +以9月20日为例，得到驱动排列如下： + +![](images/6b0aecccde729a74fe309a8a3d652468ae7fd1642ca41ed8857367231e6ebbc0.jpg) + +其中，方框代表2个四驱，菱形代表1个四驱，箭头上的数字表示两组四驱之间间隔的两驱车辆的个数。 + +# 第5步：排动力 + +由附件数据可知，柴油汽车较少，故优先排列。由于黑色汽油汽车的数量较多，所以插入的柴油汽车可以满足要求，但是其它颜色汽油汽车数量相对较少，因此需将连着的相同颜色汽车分开，最好能满足间隔10辆，如不能，应满足间隔5-9辆，以达到动力的要求。 + +以9月20日为例，得到动力排列如下： + +411汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 10$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 23$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 12$ 汽油第6步：排配置 + +由附件数据知，各种颜色的数量多少存在差异，为符合相同配置数量尽量连续，减少切换次数，我们先对颜色少的配置进行排列，再对颜色多的配置进行排列。由于A2数量较少，对照附表，优先对A2中颜色较少进行排列，然后将剩余进行排列，遵循同配置的尽可能连续，然后以同样的方法对A1进行排列，最终 + +得到具体装配顺序。 + +以9月20日为例，先对A2中的柴油车进行配置排列，白色柴油车和3辆黑色柴油车的配置必须为B1，那么与其相邻的车辆尽量也安排成B1配置。然后对颜色最少汽油车进行配置排列，如A2中的2辆银色车配置必须为B2，则与其相邻的车辆尽量也安排成B2配置。依次对A2各配置进行排队，应遵循同种配置车辆尽量连续，然后给A1中车进行排列，方法与A2中的方法相同，最终得到配置装配顺序。 + +以上6种装配都已排列完毕，得到总装配路线顺序。 + +以9月20日为例，部分配置排列如下： + +表 2 9 月 20 日部分装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油两驱白C1
2A1B1汽油两驱白C2
3A1B1汽油两驱白C1
…………………
…………………
460A2B1汽油四驱白C2
+ +# 5.1.3 算法总结 + +1. 排品牌：计算白班或夜班中生产 A1、A2 汽车总数量 $w, p$ ： + +$$ +w = \frac {m}{2}; +$$ + +$$ +p = \frac {n}{2} +$$ + +其中 $m$ 表示A1品牌生产的总数量, $n$ 表示A2品牌生产的总数量。 + +2. 排喷涂线：一天连续的460个汽车的喷涂排列如下： + +$$ +\mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 - \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 \dots \dots \dots \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 - \mathrm {C} 1 - \mathrm {C} 2 +$$ + +其中 C1、C2 相间隔，奇数车在 C1 线进行喷涂、偶数车在 C2 线进行喷涂。 + +# 3.排颜色 + +（1）确定黑色为基准，计算方法如下： + +A2中需A1的黑色汽车车辆个数： + +$$ +z = 5 0 - \frac {y}{2} +$$ + +A1中剩余黑色汽车车辆个数： + +$$ +h = x - 2 z +$$ + +A1中每组黑色汽车车辆个数： + +$$ +g = \frac {h}{3} +$$ + +其中 $x$ 表示A1中生产黑色汽车车辆数目， $y$ 表示A2中生产黑色汽车车辆数目。 + +(2) 对黑色进行分组: 先对 A2 中的黑色进行分组, 再和 A1 中的黑色进行组合, 以一组黑色为 50 为一组, 得到白班、夜班交替时黑色的排列, 最后将剩余的黑色进行均分, 得到 A2 中黑色组的具体分布情况。 +（3）计算A1、A2中除黑颜色意外的装配汽车数，计算方法如下： + +- 白班A1中剩余车数量=白班A1生产汽车数量-白班A1中黑色汽车总数量； + +夜班A1中剩余车数量=夜班A1生产汽车数量-夜班A1中黑色汽车总数量 + +- 白班A2中剩余车数量=白班A1生产汽车数量-白班A2中黑色汽车总数量； + +夜班A2中剩余车数量=夜班A1生产汽车数量-夜班A2中黑色汽车总数量 + +（4）A1、A2 中除黑颜色意外的装配汽车排列方法：白班 A1 中第一个黑色组后插入大于 20 个颜色除黑以外尽量相同的汽车，且满足蓝、红、黄在 C1 线上喷涂，金在 C2 线上喷涂，在后面排列中仍满足此要求，且满足白班、夜班 A1 的总装配数量。A2 的排列与 A1 相同，最终确定装配中颜色的排列。 + +# 4. 排驱动 + +由于四驱较少，优先排颜色较少的四驱，如不能达到题目要求，需进行微调，然后将其他颜色四驱排列，最后将两驱排入，得到驱动排列方案。 + +# 5. 排动力 + +由于柴油较少，优先排颜色较少的柴油，如不能达到题目要求，需进行微调，然后将其他颜色柴油排列，最后将汽油排入，得到动力排列顺序。 + +# 6. 排配置 + +优先排数量较少的配置，按照配置尽量连续的原则，再排入数量较多的配置，使其同种配置车尽量放在一起，最终得到配置排列顺序。 + +按照上面的顺序即可得到总的装配顺序。总的装配顺序见附录。 + +# 5.1.4 装配连续循环图 + +为保证每天24小时不间断作业，因此令七天为一个循环周期，然后形成一个连续生产的循环图，见图4。 + +![](images/02b89c2ea29585a3d971a2c9ab3d5ac29e7923ed7d23a16cfec4013fb3fc5675.jpg) +图4 生产循环流程图 + +# 5.2 问题二 + +9月20日装配顺序在问题一中已经得出，具体装配顺序见附录。 + +根据问题一中第一步、第二步排品牌、排喷涂线排出品牌和喷涂线，第三步，然后根据附件中的数据计算9月17日、9月18日、9月19日、9月21日、9 + +月22日、9月23日，白班、夜班A1、A2的具体生产车辆数目，分别见下表。 + +表 3 9 月 17 日生产车辆数目 + +
班次汽车型号生产汽车数量
白班A1182
A248
夜班A1182
A248
+ +表 4 9 月 18 日生产车辆数目 + +
班次汽车型号生产汽车数量
白班A1178
A252
夜班A1178
A252
+ +表 5 9 月 19 日生产车辆数目 + +
班次汽车型号生产汽车数量
白班A1178
A252
夜班A1178
A252
+ +表6 9月21日生产车辆数目 + +
班次汽车型号生产汽车数量
白班A1188
A242
夜班A1188
A242
+ +表7 9月22日生产车辆数目 + +
班次汽车型号生产汽车数量
白班A1183
A247
夜班A1183
A247
+ +表 8 9 月 23 日生产车辆数目 + +
班次汽车型号生产汽车数量
白班A1183
A247
夜班A1184
A246
+ +根据问题一中排颜色的方法对9月17日、9月18日、9月19日、9月21日、9月22日、9月23日的颜色进行统计，得到条形图如下： + +![](images/08d4158b636be732e847f4c1a300a4cf798c5abe844348def774597596cc3e8d.jpg) +9月17日各颜色汽车生产数量图 +图5 9月17日各颜色汽车生产数量图 + +![](images/41936da36c2e1e502d447d803d56f1b1310a0d07d0d3bcfefe69f8219df8e77b.jpg) +9月18日各颜色汽车生产数量图 +图6 9月18日各颜色汽车生产数量图 + +![](images/39818636e6afe50e90e256a8f52aaf673cc83175107d3d470bff28b70c1c6f12.jpg) +9月19日各颜色汽车生产数量图 +图7 9月19日各颜色汽车生产数量图 + +![](images/dad3664336089ea86055e6ac2392ce8502acc043564b0a97e6bd2d66957c2ccd.jpg) +9月21日各颜色汽车生产数量图 +图8 9月21日各颜色汽车生产数量图 + +![](images/2a9c145b738f17d967b99ff1a2902e699343c85852f9aa13262f99cb57daa332.jpg) +9月22日各颜色汽车生产数量图 +图9 9月22日各颜色汽车生产数量图 + +![](images/ba9e261c51975a1e3da4fbd696710bd3b6df85e2cf2e9879860850e4778b6c11.jpg) +9月23日各颜色汽车生产数量图 +图109月23日各颜色汽车生产数量图 + +# 第3步：排颜色 + +按照与问题一相同的方法排出颜色，9月17日、9月18日、9月19日、9月21日、9月22日、9月23日排列如下。 + +# 9月17日： + +54 黑 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 7$ 灰 $\rightarrow 54$ 黑 $\rightarrow 38$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 棕 $\to 52$ 白 $\rightarrow 53$ 黑 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 4$ 银 $\rightarrow 52$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 4$ 白 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 2$ 银 + +# 9月18日： + +20白 $\rightarrow 54$ 黑 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 15$ 白 $\rightarrow 55$ 黑 $\rightarrow 20$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 2$ 白 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 3$ 银 $\rightarrow 9$ 灰 $\rightarrow 54$ 黑 $\rightarrow 88$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 2$ 白 + +# 9月19日： + +59 黑 $\rightarrow 5$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 7$ 灰 $\rightarrow 59$ 黑 $\rightarrow 26$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 2$ 白 $\rightarrow 5$ 棕 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 2$ 白 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 52$ 白 $\rightarrow 59$ 黑 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 52$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 2$ 白 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 3$ 白 + +# 9月21日： + +60黑 $\rightarrow 16$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 黑 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 34$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 22$ 白 $\rightarrow 60$ 黑 $\rightarrow 6$ 灰 $\rightarrow 10$ 银 $\rightarrow 42$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 2$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 2$ 白 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 4$ 银 $\rightarrow 2$ 灰 + +# 9月22日： + +54 黑 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 3$ 银 $\rightarrow 5$ 白 $\rightarrow 53$ 黑 $\rightarrow 42$ 白 $\rightarrow 50$ 黑 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 23$ 白 $\rightarrow 54$ 黑 $\rightarrow 12$ 灰 $\rightarrow 44$ 白 $\rightarrow 53$ 黑 $\rightarrow 2$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 棕 $6$ 银 + +# 9月23日： + +52 黑 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 银 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 8$ 银 $\rightarrow 8$ 灰 $\rightarrow 52$ 黑 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 1$ 灰 $\rightarrow 1$ 黄 $\rightarrow 34$ 白 $\rightarrow 53$ 黑 $\rightarrow 9$ 棕 $\rightarrow 21$ 白 $\rightarrow 53$ 黑 $\rightarrow 58$ 白 $\rightarrow 53$ 黑 $\rightarrow 2$ 白 $\rightarrow 2$ 灰 $\rightarrow 3$ 银 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 红 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow 1$ 绿 $\rightarrow$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 棕 $\rightarrow 1$ 金 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 1$ 白 $\rightarrow 1$ 蓝 $\rightarrow 2$ 白 $\rightarrow 1$ 棕 + +# 第4步：排驱动 + +按照与问题一相同的方法排出驱动，9月17日、9月18日、9月19日、9月21日、9月22日、9月23日的驱动排列如下，其中，方框代表2个四驱，菱形代表1个四驱，箭头上的数字表示两组四驱之间间隔的两驱车辆的个数。 + +9月17日： + +![](images/dc429369f75b5f66b6ed4a6001d4d0e992b36d8d8f2219b4d05ff109af157d0f.jpg) + +9月18日： + +![](images/46188670c79d1c03b88ed0f3888fefbd57efdaa2e70a28e2c5056119887ee4cd.jpg) + +9月19日： + +![](images/56b227b6f2967aeb592eef7e75248d054ed01d3e9c2ac43f60fddd8cd74ee8ca.jpg) + +9月21日： + +![](images/b4b71e8faff649fb1ce657bf045534a5081501236c2cb4a8234dcdca171c688a.jpg) + +9月22日： + +![](images/8428f1d8d8a954daeb8bfb4400a7341ca3227a5934cbf2542b109cdf5dfbdda0.jpg) + +9月23日： + +![](images/c3ac1cf683f484f3049e7271443b0ef8943da58409c61a469c7d395b4dc7685c.jpg) + +第5步：排动力 + +同理，9月17日、9月18日、9月19日、9月21日、9月22日、9月23日的动力排列如下. + +9月17日： + +184 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 12$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 260$ 汽油 + +9月18日： + +20汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 156$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 12$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 10$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 13$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 7$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 219$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 9$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 + +9月19日： + +145 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 10$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 31$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 11$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 15$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 7$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 194$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 24$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 7$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 + +9月21日： + +188汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 270$ 汽油 + +9月22日： + +185 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 10$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 11$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 16$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 184$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 26$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 12$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 4$ 汽油 + +9月23日： + +183 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 12$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 10$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 10$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 7$ 汽油 $\rightarrow 1$ 柴油 $\rightarrow 184$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 41$ 汽油 $\rightarrow 2$ 柴油 $\rightarrow 1$ 汽油 + +第6步：排配置 + +9月17日、9月18日、9月19日、9月21日、9月22日、9月23日的部分装配排列见表9-表14。 + +表 9 9 月 17 日部分装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油四驱黑C1
2A1B1汽油四驱黑C2
3A1B1汽油两驱黑C1
…………………
…………………
460A2B4汽油两驱银C2
+ +表 10 9 月 18 日部分装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油两驱白C1
2A1B1汽油两驱白C2
3A1B1汽油两驱白C1
…………………
…………………
460A2B1柴油四驱白C2
+ +表 11 9 月 19 日部分装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油两驱黑C1
2A1B1汽油两驱黑C2
3A1B1汽油两驱黑C1
…………………
…………………
460A2B1柴油四驱白C2
+ +表 12 9 月 21 日部分装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B5汽油四驱黑C1
2A1B5汽油四驱黑C2
3A1B3汽油两驱黑C1
.....................
.....................
460A2B1汽油两驱灰C2
+ +表 13 9 月 22 日部分装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油四驱黑C1
2A1B1汽油两驱黑C2
3A1B1汽油两驱黑C1
…………………
…………………
460A2B4汽油两驱银C2
+ +表 14 9 月 23 日部分装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油四驱黑C1
2A1B1汽油四驱黑C2
3A1B1汽油两驱黑C1
…………………
…………………
460A2B6汽油两驱棕C2
+ +最终得到9月17日9月23日每天的装配顺序，具体见支撑材料。 + +# 六、评价及推广 + +# 6.1算法的优点： + +(1)算法思想简单易懂，运算效率较高，数据易于整理且普及性广。 +(2)采用从局部到整体到整体的思想，层次递进，条理分明，使得方案更加合理。 +(3) 模型求解过程中，对模型进行逐步调整，增加的结果的准确性。 + +# 6.2 模型的缺点： + +(1) 该模型只能对现有数据进行处理。 +(2) 该模型有一定的局限性。 + +# 七、参考文献 + +[1]肖华勇.实用数学建模与软件应用[M].西安：西北工业大学出版社，2010. +[2] 袁新生. LINGO 和 EXCEL 在数学建模中的应用 [M]. 北京：科学出版社，2007. + +# 附录 + +9月20日装配顺序 + +
装配顺序品牌配置动力驱动颜色喷涂线
1A1B1汽油两驱白C1
2A1B1汽油两驱白C2
3A1B1汽油两驱白C1
4A1B1汽油两驱白C2
5A1B1汽油两驱白C1
6A1B1汽油两驱白C2
7A1B1汽油两驱白C1
8A1B1汽油两驱白C2
9A1B1汽油两驱白C1
10A1B1汽油两驱白C2
11A1B1汽油两驱白C1
12A1B1汽油两驱白C2
13A1B1汽油两驱白C1
14A1B1汽油两驱白C2
15A1B1汽油两驱白C1
16A1B1汽油两驱白C2
17A1B1汽油两驱白C1
18A1B1汽油两驱白C2
19A1B1汽油两驱白C1
20A1B1汽油两驱白C2
21A1B1汽油四驱黑C1
22A1B1汽油四驱黑C2
23A1B1汽油两驱黑C1
24A1B1汽油两驱黑C2
25A1B1汽油两驱黑C1
26A1B1汽油两驱黑C2
27A1B1汽油两驱黑C1
28A1B1汽油两驱黑C2
29A1B1汽油两驱黑C1
30A1B1汽油两驱黑C2
31A1B1汽油两驱黑C1
32A1B1汽油两驱黑C2
33A1B1汽油四驱黑C1
34A1B1汽油四驱黑C2
35A1B1汽油两驱黑C1
36A1B1汽油两驱黑C2
37A1B1汽油两驱黑C1
38A1B1汽油两驱黑C2
39A1B1汽油两驱黑C1
40A1B1汽油两驱黑C2
41A1B1汽油两驱黑C1
42A1B1汽油两驱黑C2
43A1B1汽油两驱黑C1
44A1B1汽油两驱黑C2
45A1B1汽油四驱黑C1
46A1B1汽油四驱黑C2
47A1B1汽油两驱黑C1
48A1B1汽油两驱黑C2
49A1B1汽油两驱黑C1
50A1B1汽油两驱黑C2
51A1B1汽油两驱黑C1
52A1B1汽油两驱黑C2
53A1B1汽油两驱黑C1
54A1B1汽油两驱黑C2
55A1B1汽油两驱黑C1
56A1B1汽油两驱黑C2
57A1B1汽油四驱黑C1
58A1B1汽油四驱黑C2
59A1B1汽油两驱黑C1
60A1B1汽油两驱黑C2
61A1B1汽油两驱黑C1
62A1B1汽油两驱黑C2
63A1B1汽油两驱黑C1
64A1B1汽油两驱黑C2
65A1B1汽油两驱黑C1
66A1B1汽油两驱黑C2
67A1B1汽油两驱黑C1
68A1B1汽油两驱黑C2
69A1B2汽油四驱黑C1
70A1B1汽油四驱黑C2
71A1B1汽油两驱蓝C1
72A1B1汽油两驱白C2
73A1B1汽油两驱蓝C1
74A1B1汽油两驱白C2
75A1B1汽油两驱蓝C1
76A1B1汽油两驱白C2
77A1B3汽油两驱蓝C1
78A1B2汽油两驱白C2
79A1B2汽油两驱白C1
80A1B2汽油两驱白C2
81A1B2汽油两驱白C1
82A1B2汽油两驱白C2
83A1B2汽油两驱白C1
84A1B2汽油两驱白C2
85A1B2汽油两驱白C1
86A1B2汽油两驱白C2
87A1B2汽油两驱白C1
88A1B2汽油两驱白C2
89A1B2汽油两驱白C1
90A1B2汽油两驱白C2
91A1B2汽油四驱黑C1
92A1B2汽油四驱黑C2
93A1B3汽油两驱黑C1
94A1B3汽油两驱黑C2
95A1B3汽油两驱黑C1
96A1B3汽油两驱黑C2
97A1B3汽油两驱黑C1
98A1B3汽油两驱黑C2
99A1B3汽油两驱黑C1
100A1B2汽油两驱黑C2
101A1B2汽油两驱黑C1
102A1B2汽油两驱黑C2
103A1B5汽油四驱黑C1
104A1B5汽油四驱黑C2
105A1B2汽油两驱黑C1
106A1B2汽油两驱黑C2
107A1B2汽油两驱黑C1
108A1B1汽油两驱黑C2
109A1B1汽油两驱黑C1
110A1B1汽油两驱黑C2
111A1B1汽油两驱黑C1
112A1B1汽油两驱黑C2
113A1B1汽油两驱黑C1
114A1B1汽油两驱黑C2
115A1B1汽油两驱黑C1
116A1B1汽油两驱黑C2
117A1B1汽油两驱黑C1
118A1B1汽油两驱黑C2
119A1B1汽油两驱黑C1
120A1B1汽油两驱黑C2
121A1B1汽油两驱黑C1
122A1B1汽油两驱黑C2
123A1B1汽油两驱黑C1
124A1B1汽油两驱黑C2
125A1B1汽油两驱黑C1
126A1B1汽油两驱黑C2
127A1B1汽油两驱黑C1
128A1B1汽油两驱黑C2
129A1B1汽油两驱黑C1
130A1B1汽油两驱黑C2
131A1B1汽油两驱黑C1
132A1B1汽油两驱黑C2
133A1B1汽油两驱黑C1
134A1B1汽油两驱黑C2
135A1B1汽油两驱黑C1
136A1B1汽油两驱黑C2
137A1B1汽油两驱黑C1
138A1B1汽油两驱黑C2
139A1B1汽油两驱黑C1
140A1B1汽油两驱黑C2
141A1B1汽油两驱黄C1
142A1B3汽油两驱银C2
143A1B1汽油两驱黄C1
144A1B1汽油四驱银C2
145A1B1汽油两驱黄C1
146A1B1汽油两驱银C2
147A1B1汽油两驱黄C1
148A1B1汽油两驱银C2
149A1B2汽油两驱黄C1
150A1B2汽油两驱白C2
151A1B2汽油两驱白C1
152A1B2汽油两驱白C2
153A1B2汽油两驱白C1
154A1B2汽油两驱白C2
155A1B2汽油两驱白C1
156A1B2汽油两驱白C2
157A1B2汽油两驱白C1
158A1B2汽油两驱白C2
159A1B2汽油两驱白C1
160A1B2汽油两驱白C2
161A1B2汽油两驱白C1
162A1B2汽油两驱白C2
163A1B1汽油两驱黑C1
164A1B1汽油两驱黑C2
165A1B1汽油两驱黑C1
166A1B1汽油两驱黑C2
167A1B1汽油两驱黑C1
168A1B1汽油两驱黑C2
169A1B1汽油两驱黑C1
170A1B1汽油两驱黑C2
171A1B1汽油两驱黑C1
172A1B1汽油两驱黑C2
173A1B1汽油两驱黑C1
174A1B1汽油两驱黑C2
175A1B1汽油两驱黑C1
176A1B1汽油两驱黑C2
177A1B1汽油两驱黑C1
178A1B1汽油两驱黑C2
179A1B1汽油两驱黑C1
180A1B1汽油两驱黑C2
181A1B1汽油两驱黑C1
182A2B1汽油四驱黑C2
183A2B1汽油四驱黑C1
184A2B1汽油两驱黑C2
185A2B1汽油两驱黑C1
186A2B1汽油两驱黑C2
187A2B1汽油两驱黑C1
188A2B1汽油两驱黑C2
189A2B1汽油两驱黑C1
190A2B1汽油两驱黑C2
191A2B1汽油两驱黑C1
192A2B1汽油两驱黑C2
193A2B1汽油两驱黑C1
194A2B5汽油四驱黑C2
195A2B5汽油两驱黑C1
196A2B1汽油两驱黑C2
197A2B1汽油两驱黑C1
198A2B1汽油两驱黑C2
199A2B1汽油两驱黑C1
200A2B1汽油两驱黑C2
201A2B1汽油两驱黑C1
202A2B1汽油两驱黑C2
203A2B1汽油两驱黑C1
204A2B1汽油两驱黑C2
205A2B1汽油两驱黑C1
206A2B1汽油两驱黑C2
207A2B1汽油两驱黑C1
208A2B1汽油两驱黑C2
209A2B1汽油两驱黑C1
210A2B1汽油两驱黑C2
211A2B1汽油两驱黑C1
212A2B1汽油两驱黑C2
213A2B1汽油四驱白C1
214A2B1汽油四驱白C2
215A2B1汽油两驱红C1
216A2B4汽油两驱棕C2
217A2B1汽油两驱红C1
218A2B4汽油两驱棕C2
219A2B1汽油两驱红C1
220A2B4汽油两驱棕C2
221A2B4汽油两驱红C1
222A2B4汽油两驱棕C2
223A2B4汽油两驱红C1
224A2B4汽油两驱棕C2
225A2B6汽油两驱红C1
226A2B6汽油两驱棕C2
227A2B4汽油两驱蓝C1
228A2B1汽油四驱白C2
229A2B1汽油四驱白C1
230A2B6汽油两驱白C2
231A1B5汽油两驱白C1
232A1B1汽油两驱白C2
233A1B1汽油两驱白C1
234A1B1汽油两驱白C2
235A1B1汽油两驱白C1
236A1B1汽油两驱白C2
237A1B1汽油两驱白C1
238A1B1汽油两驱白C2
239A1B1汽油两驱白C1
240A1B1汽油四驱银C2
241A1B3汽油四驱银C1
242A1B2汽油两驱灰C2
243A1B2汽油两驱红C1
244A1B1汽油两驱灰C2
245A1B1汽油两驱红C1
246A1B1汽油两驱灰C2
247A1B1汽油两驱红C1
248A1B1汽油两驱灰C2
249A1B1汽油两驱红C1
250A1B1汽油两驱灰C2
251A1B1汽油两驱灰C1
252A1B1汽油两驱灰C2
253A1B1汽油两驱灰C1
254A1B3汽油两驱灰C2
255A1B3汽油两驱灰C1
256A1B3汽油两驱灰C2
257A1B5汽油四驱灰C1
258A1B5汽油两驱黑C2
259A1B2汽油两驱黑C1
260A1B2汽油两驱黑C2
261A1B2汽油两驱黑C1
262A1B2汽油两驱黑C2
263A1B2汽油两驱黑C1
264A1B2汽油两驱黑C2
265A1B2汽油两驱黑C1
266A1B2汽油两驱黑C2
267A1B2汽油两驱黑C1
268A1B2汽油两驱黑C2
269A1B2汽油两驱黑C1
270A1B2汽油两驱黑C2
271A1B2汽油两驱黑C1
272A1B2汽油两驱黑C2
273A1B2汽油两驱黑C1
274A1B2汽油两驱黑C2
275A1B2汽油两驱黑C1
276A1B2汽油两驱黑C2
277A1B2汽油两驱黑C1
278A1B2汽油两驱黑C2
279A1B2汽油两驱黑C1
280A1B2汽油两驱黑C2
281A1B2汽油两驱黑C1
282A1B2汽油两驱黑C2
283A1B2汽油两驱黑C1
284A1B2汽油两驱黑C2
285A1B2汽油两驱黑C1
286A1B2汽油两驱黑C2
287A1B2汽油两驱黑C1
288A1B2汽油两驱黑C2
289A1B2汽油两驱黑C1
290A1B2汽油两驱黑C2
291A1B2汽油两驱黑C1
292A1B2汽油两驱黑C2
293A1B2汽油两驱黑C1
294A1B2汽油两驱黑C2
295A1B2汽油两驱黑C1
296A1B2汽油两驱黑C2
297A1B2汽油两驱黑C1
298A1B2汽油两驱黑C2
299A1B2汽油两驱黑C1
300A1B2汽油两驱黑C2
301A1B2汽油两驱黑C1
302A1B2汽油两驱黑C2
303A1B2汽油两驱黑C1
304A1B2汽油两驱黑C2
305A1B2汽油两驱黑C1
306A1B2汽油两驱黑C2
307A1B2汽油两驱黑C1
308A1B2汽油两驱黑C2
309A1B2汽油两驱白C1
310A1B1汽油两驱白C2
311A1B1汽油两驱白C1
312A1B1汽油两驱白C2
313A1B1汽油两驱白C1
314A1B1汽油两驱白C2
315A1B1汽油两驱白C1
316A1B1汽油两驱白C2
317A1B1汽油两驱白C1
318A1B1汽油两驱白C2
319A1B1汽油两驱白C1
320A1B1汽油两驱白C2
321A1B1汽油两驱白C1
322A1B1汽油两驱白C2
323A1B1汽油两驱白C1
324A1B1汽油两驱白C2
325A1B1汽油两驱白C1
326A1B1汽油两驱白C2
327A1B1汽油两驱白C1
328A1B1汽油两驱白C2
329A1B1汽油两驱白C1
330A1B1汽油两驱白C2
331A1B1汽油两驱白C1
332A1B1汽油两驱白C2
333A1B1汽油两驱白C1
334A1B1汽油两驱白C2
335A1B1汽油两驱白C1
336A1B1汽油两驱白C2
337A1B1汽油两驱白C1
338A1B1汽油两驱白C2
339A1B1汽油两驱白C1
340A1B1汽油两驱白C2
341A1B1汽油两驱白C1
342A1B1汽油两驱白C2
343A1B1汽油两驱白C1
344A1B1汽油两驱白C2
345A1B1汽油两驱白C1
346A1B1汽油两驱白C2
347A1B1汽油两驱白C1
348A1B1汽油两驱白C2
349A1B1汽油两驱白C1
350A1B1汽油两驱白C2
351A1B1汽油两驱白C1
352A1B1汽油两驱白C2
353A1B1汽油两驱白C1
354A1B1汽油两驱白C2
355A1B1汽油两驱白C1
356A1B1汽油两驱白C2
357A1B1汽油两驱白C1
358A1B1汽油两驱白C2
359A1B1汽油两驱白C1
360A1B1汽油两驱白C2
361A1B1汽油两驱白C1
362A1B1汽油两驱白C2
363A1B1汽油两驱白C1
364A1B1汽油两驱白C2
365A1B1汽油两驱白C1
366A1B1汽油两驱白C2
367A1B1汽油两驱白C1
368A1B1汽油两驱白C2
369A1B1汽油两驱白C1
370A1B1汽油两驱白C2
371A1B1汽油两驱白C1
372A1B1汽油两驱白C2
373A1B1汽油两驱白C1
374A1B1汽油两驱白C2
375A1B1汽油两驱白C1
376A1B1汽油两驱白C2
377A1B1汽油两驱白C1
378A1B1汽油两驱白C2
379A1B1汽油两驱白C1
380A1B1汽油两驱白C2
381A1B1汽油两驱白C1
382A1B1汽油两驱白C2
383A1B1汽油两驱白C1
384A1B1汽油两驱白C2
385A1B1汽油两驱白C1
386A1B1汽油两驱白C2
387A1B1汽油两驱白C1
388A1B1汽油两驱白C2
389A1B1汽油两驱白C1
390A1B1汽油两驱白C2
391A1B1汽油两驱白C1
392A1B1汽油两驱白C2
393A1B2汽油两驱黑C1
394A1B2汽油两驱黑C2
395A1B2汽油两驱黑C1
396A1B2汽油两驱黑C2
397A1B2汽油两驱黑C1
398A1B2汽油两驱黑C2
399A1B2汽油两驱黑C1
400A1B2汽油两驱黑C2
401A1B2汽油两驱黑C1
402A1B2汽油两驱黑C2
403A1B2汽油两驱黑C1
404A1B2汽油两驱黑C2
405A1B2汽油两驱黑C1
406A1B2汽油两驱黑C2
407A1B2汽油两驱黑C1
408A1B2汽油两驱黑C2
409A1B2汽油两驱黑C1
410A1B2汽油两驱黑C2
411A1B2汽油两驱黑C1
412A2B1柴油两驱黑C2
413A2B1柴油两驱黑C1
414A2B1汽油两驱黑C2
415A2B1汽油两驱黑C1
416A2B1汽油两驱黑C2
417A2B1汽油两驱黑C1
418A2B1汽油两驱黑C2
419A2B1汽油两驱黑C1
420A2B1汽油两驱黑C2
421A2B1汽油两驱黑C1
422A2B1汽油两驱黑C2
423A2B4汽油两驱黑C1
424A2B1柴油两驱黑C2
425A2B4汽油两驱黑C1
426A2B4汽油两驱黑C2
427A2B4汽油两驱黑C1
428A2B4汽油两驱黑C2
429A2B4汽油两驱黑C1
430A2B4汽油两驱黑C2
431A2B4汽油两驱黑C1
432A2B4汽油两驱黑C2
433A2B4汽油两驱黑C1
434A2B4汽油两驱黑C2
435A2B4汽油两驱黑C1
436A2B4汽油两驱黑C2
437A2B4汽油两驱黑C1
438A2B4汽油两驱黑C2
439A2B4汽油两驱黑C1
440A2B4汽油两驱黑C2
441A2B4汽油两驱黑C1
442A2B6汽油两驱黑C2
443A2B6汽油两驱黑C1
444A2B6汽油两驱黑C2
445A2B6汽油两驱黑C1
446A2B1汽油四驱白C2
447A2B1汽油四驱白C1
448A2B1柴油两驱白C2
449A2B1汽油两驱蓝C1
450A2B1汽油两驱金C2
451A2B4汽油两驱银C1
452A2B4汽油两驱金C2
453A2B1汽油四驱银C1
454A2B1汽油两驱金C2
455A2B4汽油两驱银C1
456A2B4汽油两驱白C2
457A2B4汽油两驱白C1
458A2B4汽油两驱白C2
459A2B1汽油四驱白C1
460A2B1汽油四驱白C2
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/A070/A070.md b/MCM_CN/2020/A070/A070.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f77f1952280b64914e1ac885282e53e899294226 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/A070/A070.md @@ -0,0 +1,1069 @@ +# 炉温曲线的机理建模与优化设计 + +# 摘要 + +本文主要研究回焊炉各温区温度和传送带速度对炉温曲线的影响，建立了基于热传导方程与牛顿冷却定律的温度分布模型。 + +对问题一，首先研究了炉前、炉后与间隙的温度分布，建立了电路板温度所满足的热传导方程和边界条件，又将其简化为基于牛顿冷却定律的温度分布模型，后者较前者在相同的时间内得到了更优的拟合效果（其均方误差RMSE为 $2.81^{\circ}\mathrm{C}$ ，平均绝对误差为 $1.73^{\circ}\mathrm{C}$ ），故选择基于牛顿冷却定律的温度分布模型进行识别模型参数；其次，根据实验数据可以分析得到不同温区的模型参数是动态变化的，我们在四大温区中分别设定不同的冷却系数，段内相同、段间不同，并通过最小二乘法确定了上述参数；最后，利用有限差分法对温度分布模型进行了求解，得到小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度，如下表： + +
位置小温区3中点小温区6中点小温区7中点小温区8结束处
温度129.7557℃167.9916℃189.6012℃223.8698℃
+ +对于问题二，建立了以最大过炉速度为目标的单目标优化模型，约束条件为满足问题一所建立的微分方程模型和工艺所要求的制程界限，并借助二分法进行求解得到最大传输速度为 $76.2980 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ 。 + +对于问题三，以衡量累计高温区域大小所对应的阴影面积最小为目标，建立了以各温区问题和过炉速度为决策变量的优化模型，其约束条件包括制程界限、温度分布所满足的微分方程模型，采用了模拟退火算法，求得最小阴影面积为 $447.983^{\circ}\mathrm{C}\cdot \mathrm{s}$ ，此时过炉速度为 $91.889\mathrm{cm / min}$ ，各温区温度如下表所示： + +
温区1~5678~9
温度177.477℃197.008℃230.603℃264.967℃
+ +对于问题四，首先给出了高温区炉温曲线对称性指标——两函数之差的范数；其次，建立了以高温区炉温曲线对称性和高温累计区域面积为目标的双目标规划模型，将两目标规范化并采用动态综合加权法将多目标优化转变为单目标优化；最后，通过模拟退火算法求得最小阴影面积为 $449.17^{\circ}\mathrm{C}\cdot \mathrm{s}$ ，最小范数为 $55.87^{\circ}\mathrm{C}\cdot \mathrm{s}$ ，此时传送带过炉速度 $88.78\mathrm{cm / min}$ ，各温区温度设定如下表： + +
温区1~5678~9
温度169.733℃186.657℃231.844℃264.999℃
+ +最后给出了建模过程的误差分析和结果检验，本文结论正确合理，具有一定的应用价值和普适性。 + +关键词：热传导方程；牛顿冷却定律；有限元差分法；最小二乘法；优化模型；模拟退火算法；动态综合加权法 + +# 1.问题重述 + +# 1.1 问题的背景 + +在过去的几十年里，电子产品行业取得了飞速的发展。随着电子产品的竞争日趋加剧，生产的不确定性不断加大，为此对电子设备的贴装、焊接提出了更高的要求。在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。回流焊温度控制控制技术和焊接工艺是回流焊最关键的部分[1]。 + +# 1.2 问题的重述 + +问题一：根据焊接区域的温度变化规律建立数学模型，在建立的数学模型基础上，给定传送带过炉速度和各温区温度的情况下，给出焊接区域中心的温度变化情况，列出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度，画出相应的炉温曲线。 + +问题二：在给定的各温区温度情况下，同时考虑到制程界限约束，确定最大的传送带过炉速度。 + +问题三：为了最优化炉温曲线，要求超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积最小，确定各温区设定温度和传送带过炉速度，并给出覆盖的面积。 + +问题四：结合问题三，要求以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线应尽量对称以完善最优炉温曲线。给出炉温曲线，以及各温区设定的温度及传送带过炉速度，并给出相应的指标值。 + +# 2.问题分析 + +问题一：根据温度变化规律建立数学模型，目前，有关焊接区域的温度变化规律的研究大多是基于数据驱动的控制和调整，文献[2-3]是基于PID控制原理控制回焊炉中的温度，而缺乏相关机理模型，不利于了解到电路板在回焊炉内焊接的物理过程。所以本题难点在于需要建立机理模型，模型不仅要能够反映出电路板焊接的物理过程，同时又要与题目中所给的焊接区域温度变化曲线吻合。针对此问题，拟在热传导方程以及牛顿冷却定律的基础上建立数学模型。 + +问题二：在第一问已求得参数的基础上，又给定了各温区温度，要求确定电路板炉温曲线满足题目所要求的制程界限时电路板的最大过炉速度。本题可用先通过二分法求得最大速度大致区间，再在大致区间中遍历搜索，最后得到最大传输速度。 + +问题三：确定各温区的设定温度和传送带的过炉速度，使得理想的炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值所覆盖的面积最小。本题难点在于变量个数增多，解空间变大。但可通启发式算法进行求解。 + +问题四：在问题三的基础上，确定各温区的温度以及传送带过炉速度，使 + +得以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线应尽量对称，同时还要使得理想的炉温曲线超过到峰值所覆盖的面积最小。本题难点在于如何给定对称性指标，且该问题属于多目标优化问题，可通过动态综合加权法，将多目标函数转化为单目标函数。 + +# 3.模型假设 + +（1）不考虑空气对流。 +(2) 假设电路板材料均匀, 各项同性。 +（3）当小温区之间的温度差较小时，间隙温度在两边温度不等的间隙中随位移和线性变化且不考虑小温区边界附近的温度变化。 +（4）当小温区之间的温度较大时，考虑小温区温度之间的影响。 +（5）炉前以及炉后区域中环境温度随空间距离平缓变化最终趋近于室温。 + +# 4.符号说明 + +
符号含义单位
u(x,t)电路板在t时刻x厚度上的温度°C
uair电路板进入回焊炉中外界温度°C
k牛顿冷却方程中的冷却系数W/m2·K
t|150≤u≤190温度上升过程中在150-190°C的时间s
40≤t|u≥217≤90温度大于217°C的时间s
v传送带过炉速度cm/min
umax峰值温度°C
T1温区1-5设置的温度°C
T2温区6设置的温度°C
T3温区7设置的温度°C
T4温区8-9设置的温度°C
+ +# 5.模型的建立和求解 + +# 5.1 建模前的准备 + +# 5.1.1 实际问题的数学化处理 + +如图1所示，电路板在回焊炉内焊接时，实际上是三维立体温度扩散。本文不计空气对流，因此可以忽略平行板高度和宽度，将立体平行板简化为只与厚度有关的一维空间。 + +![](images/81d88f1993a0ac50bd3ebe88fcbf9407d8cbdc6618a0bacbffe07f32a7b2c81b.jpg) +图1电路板在回焊炉传送示意图 + +# 5.1.2 环境温度分布 + +# （1）间隙温度分布 + +# 1）两边温度不等的间隙 + +根据热传导方程： + +$$ +\frac {\partial u (x , t)}{\partial t} = a ^ {2} \frac {\partial^ {2} u (x , t)}{\partial x ^ {2}} \tag {1} +$$ + +到达稳态后，温度不随时间变化，即： + +$$ +\frac {\partial u (x , t)}{\partial t} = 0 \tag {2} +$$ + +故可得： + +$$ +a ^ {2} \frac {\partial^ {2} u (x , t)}{\partial x ^ {2}} = 0 \tag {3} +$$ + +进而 + +$$ +u (x, t) = h x + b \tag {4} +$$ + +由式（4）可知两个小温区之间的温度随空间距离成线性变化 + +![](images/42a814e19a7ba4cdd7148ee75d07cd398762fa9c2e3113c5e84718b07ba3d816.jpg) +图2间隙两边温度不等 + +![](images/ef2bbc326758b308caa541953e48c88c52a910ebb02eaf728614c5efa3cc2775.jpg) +图3间隙两边温度相等 + +# 2）两边温度相等的间隙 + +两边恒热源不断向间隙内供热，直到间隙内温度处处与两端温度相等，如图3所示。 + +# （2）其他区域温度分布 + +根据假设（4），小温区9与小温区10温度相差较大，故考虑小温区9对小温区10的影响，本文对温区间的影响做简化处理，认为在小温区10中环境温度随空间距离线性变化，即 + +$$ +u (x, t) = k _ {1} x + b _ {1} \tag {5} +$$ + +又根据假设（5），炉前炉后区域随空间距离平缓变化最终趋近于室温，故可设炉前炉后温度的变化为 + +$$ +u (x, t) = c e ^ {- \lambda x} + h \tag {6} +$$ + +其中， $\lambda >0$ ， $h$ 为室温。 + +# （3）总体温度分布 + +根据以上分析，我们可得大致的温度分布，如图4所示 + +![](images/e5e1da8390ae12936028eec56da61eab206badeec894c766bc3d35747465566e.jpg) +图4环境温度随空间距离分布情况 + +由图可见，回焊炉两端的环境温度与空间距离呈指数变化，最后趋近于室温，部分区域根据假设将温度线性化处理。 + +# 5.1.3 牛顿冷却定律 + +牛顿指出系统温度损失速度与系统和环境的温差成正比，即牛顿冷却定律： + +$$ +\frac {d u}{d t} = - k \left(u - u _ {\text {a i r}} (t)\right) \tag {7} +$$ + +式中， $u$ 为系统的温度， $u_{air}(t)$ 为系统外界温度， $k$ 为冷却系数。 + +# 5.2 问题一的建模与求解 + +# 5.2.1 一维热传导方程的建立 + +在物体中任取一块闭曲面区域 $S$ ，设它所包含的任一区域为 $V$ ，如图5所示。假设在 $t$ 时刻，区域 $V$ 内任一点 $M(x,y,z)$ 处的温度为 $u(x,y,z,t)$ 。 + +![](images/d11fb23385df0553f1c05e4c588bd08184277e2c5b9665754e903461f0ae7b94.jpg) +图5 微元法示意图 + +根据Fourier实验的结果可知：单位时间dt内，流过一块无穷小区域ds的热量dQ正比例于时间dt，曲面区域的面积dS和区域内的温度沿曲面法线分量的方向导数 $\frac{\partial u}{\partial n}$ ，即 + +$$ +d Q = - k _ {1} \frac {\partial u}{\partial n} d t d S = - k _ {1} \operatorname {g r a d} u \cdot d \vec {S} d t \tag {8} +$$ + +其中， $k_{1} = k_{1}(x,y,z)$ 是整个系统的导热率，当物体内介质均匀分布且各向同性时为常数。 + +由上述公式（6）我们可以得到：当时间从 $t_1$ 变化到 $t_2$ 时，曲面 $S$ 内流向区域 $V$ 的热量 $Q_{1}$ 为 + +$$ +Q _ {1} = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left(\iint_ {S} k _ {1} \operatorname {g r a d} u \cdot d \overrightarrow {S}\right) d t \tag {9} +$$ + +流入 $V$ 的热量将带动这块区域的温度上升，由此可以得到温度在时间间隔 $t_1\sim t_2$ 之间从 $u(x,y,z,t_1)$ 变化到 $u(x,y,z,t_2)$ 所需要的热量为 + +$$ +Q _ {2} = \iiint_ {V} c \rho [ u (x, y, z, t _ {2}) - u (x, y, z, t _ {1}) ] d V \tag {10} +$$ + +其中， $c$ 是物体的比热容； $\rho$ 是物体的密度。 + +根据能量守恒定律， $Q_{1}$ 等于 $Q_{2}$ ，即 + +$$ +\int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left(\iint_ {S} k _ {1} \operatorname {g r a d} u \cdot d \overrightarrow {S}\right) d t = \iiint_ {V} c \rho [ u (x, y, z, t _ {2}) - u (x, y, z, t _ {1}) ] d V \tag {11} +$$ + +利用Gauss公式将上式左端化为三重积分，经过化简可得： + +$$ +\int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left(\iiint_ {V} k _ {1} \nabla^ {2} u d V\right) d t = \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} \left(\iiint_ {V} c \rho \frac {\partial u}{\partial t} d V\right) d t \tag {12} +$$ + +因被积函数连续，上式的被积函数相等即可满足等式恒成立，如下式所示 + +$$ +\frac {\partial u}{\partial t} = a ^ {2} \nabla^ {2} u = a ^ {2} \left(\frac {\partial^ {2} u}{\partial x ^ {2}} + \frac {\partial^ {2} u}{\partial y ^ {2}} + \frac {\partial^ {2} u}{\partial z ^ {2}}\right) \tag {13} +$$ + +其中 $a^2 = \frac{k_1}{c\rho}$ 为已知常量。 + +方程（13）称为三维热传导方程。本题已简化为一维传热问题，可列出方程如下： + +$$ +\frac {\partial u}{\partial t} = a ^ {2} \frac {\partial^ {2} u}{\partial x ^ {2}} \tag {14} +$$ + +# 5.2.2 基于热传导方程的温度分布模型 + +电路板在回焊炉内焊接过程满足一维热传导方程即： + +$$ +\frac {\partial u (x , t)}{\partial x} = a ^ {2} \frac {\partial^ {2} u (x , t)}{\partial t ^ {2}} \tag {15} +$$ + +电路板在进入回焊炉之前整体温度为 $25^{\circ}\mathrm{C}$ ，即满足初始条件： + +$$ +u (x, 0) = 2 5 \tag {16} +$$ + +根据牛顿冷却定律可知，电路板两端需满足边界条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial u (x , t)}{\partial x} \Bigg | _ {x = 0} = \sigma (u (t) - u _ {\text {a i r}} (t)) \\ \frac {\partial u (x , t)}{\partial x} \Bigg | _ {x = L} = - \sigma (u (t) - u _ {\text {a i r}} (t)) \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +# 5.2.3 基于牛顿冷却定律的温度分布模型 + +由于电路板的导热性能较好，且电路板的厚度仅为 $0.15\mathrm{mm}$ ，当电路板受热时，其内部温度很快接近一致，即同一时刻，温度在电路板厚度上分布一致（在 + +5.24中可证明这一点）。故可将电路板视为一个整体，不需考虑电路板内部的传热情况，因此在上述基于热传导方程的温度分布模型中只有边界条件起作用，从而将模型简化为： + +$$ +\frac {d u (t)}{d t} = - k \left(u (t) - u _ {\text {a i r}} (t)\right) \tag {18} +$$ + +其中， $u(t)$ 为 $t$ 时刻系统的温度， $u_{air}(t)$ 为 $t$ 时刻系统外界温度， $k$ 为冷却系数。 + +# 5.2.4 问题一模型求解 + +由于热传导方程模型和牛顿冷却定律模型中都存在未知参数，故需要先确定最优参数，再进行求解。 + +# (1)热传导方程模型参数求解 + +# ①求解热传导方程模型中最优参数方法 + +由于建立的热传导方程属于抛物型方程，边值条件复杂难以求得解析解。采用有限差分法，将连续的定解区域用有效个离散点构成的网络来代替，把定解区域上的连续函数用网格上定义的离散变量的函数来近似，把原方程和定解条件中的微商用差商来近似。通过迭代求得参数下的电路板温度，最后通过最小二乘法确定最优参数。 + +# 求解最优参数步骤为： + +Step1：对求解区域进行网格剖析。设求解区域为 $\Omega$ ， $\Omega = \{(x,t) | 0 \leq x \leq L, 0 \leq t \leq T\}$ ，在空间维度上，将 $[0,L]$ 做 $m$ 等份， $\Delta x = \frac{L}{m}$ ；在时间维度上，将 $[0,T]$ 做 $n$ 等份， $\Delta t = \frac{T}{n}$ 。将两组平行直线簇 $\left\{ \begin{array}{ll} x = x_i, & 0 \leq i \leq m \\ t = t_j, & 0 \leq j \leq n \end{array} \right.$ 将 $\Omega$ 分割成矩形网络，如图6所示。 + +![](images/e0f4e894d4e88ad49e23d9273239c598f37b12ad284b3c7bf05628f8c440324b.jpg) +图6矩阵网络示意图 + +Step2：建立隐式差分格式，分为以下两步： + +1）将热传导方程离散化处理 + +$$ +\left. \frac {\partial u}{\partial t} \right| _ {(x _ {i}, t _ {j})} = a ^ {2} \left. \frac {\partial^ {2} u}{\partial x ^ {2}} \right| _ {(x _ {i}, t _ {j})} \tag {19} +$$ + +$$ +\frac {u \left(x _ {i} , t _ {j}\right) - u \left(x _ {i} , t _ {j - 1}\right)}{\Delta t} \approx a ^ {2} \frac {u \left(x _ {i + 1} , t _ {j}\right) - 2 u \left(x _ {i} , t _ {j}\right) + u \left(x _ {i - 1} , t _ {j}\right)}{\Delta x ^ {2}} \tag {20} +$$ + +故： + +$$ +\frac {u _ {i} ^ {j} - u _ {i} ^ {j - 1}}{\Delta t} = a ^ {2} \frac {u _ {i + 1} ^ {j} - 2 u _ {i} ^ {j} + u _ {i - 1} ^ {j}}{\Delta x ^ {2}} \tag {21} +$$ + +令 $r = a^2\frac{\Delta t}{\Delta x^2}$ ，则 + +$$ +- r u _ {i - 1} ^ {j} + (1 + 2 r) u _ {i} ^ {j} - r u _ {i + 1} ^ {j} = u _ {i} ^ {j - 1} \tag {22} +$$ + +2）边界条件离散 + +$$ +\left. \frac {\partial u}{\partial x} \right| _ {x = 0} = \sigma \left(u - u _ {\text {a i r}}\right) \tag {23} +$$ + +$$ +\frac {u _ {1} ^ {j} - u _ {0} ^ {j}}{\Delta x} = \sigma \left(u _ {0} ^ {j} - u _ {\text {a i r}}\right) \tag {24} +$$ + +故： + +$$ +(1 + \sigma \Delta x) u _ {0} ^ {j} - u _ {1} ^ {j} = u _ {\text {a i r}} \sigma \Delta x \tag {25} +$$ + +$$ +\left. \frac {\partial u}{\partial x} \right| _ {x = L} = \sigma \left(u _ {\text {a i r}} - u\right) \tag {26} +$$ + +$$ +\frac {u _ {m} ^ {j} - u _ {m - 1} ^ {j}}{\Delta x} = \sigma \left(u _ {\text {a i r}} - u _ {m} ^ {j}\right) \tag {27} +$$ + +故： + +$$ +(1 + \sigma \Delta x) u _ {m} ^ {j} - u _ {m - 1} ^ {j} = u _ {\text {a i r}} \sigma \Delta x \tag {27} +$$ + +Step3：建立隐格式对应的方程组如下 + +$$ +A U ^ {(j)} = B ^ {(j - 1)} \tag {28} +$$ + +其中： + +$$ +A = \left( \begin{array}{c c c c c c} 1 + \sigma \Delta x & - 1 & & & & \\ - r & 1 + 2 r & - r & & & \\ & - r & 1 + 2 r & - r & & \\ & & \dots & \dots & \dots & \\ & & & - r & 1 + 2 r & - r \\ & & & & - 1 & 1 + \sigma \Delta x \end{array} \right) +$$ + +$$ +U ^ {(j)} = \left( \begin{array}{l} u _ {0} ^ {j} \\ u _ {1} ^ {j} \\ u _ {2} ^ {j} \\ \dots \\ u _ {i - 1} ^ {j} \\ u _ {i} ^ {j} \\ u _ {i + 1} ^ {j} \\ \dots \\ u _ {m - 1} ^ {j} \\ u _ {m} ^ {j} \end{array} \right) \quad B ^ {(k - 1)} = \left( \begin{array}{l} u _ {\text {a i r}} \sigma \Delta x \\ u _ {1} ^ {k - 1} \\ u _ {2} ^ {k - 1} \\ \dots \\ u _ {i - 1} ^ {k - 1} \\ u _ {i} ^ {k - 1} \\ u _ {i + 1} ^ {k - 1} \\ \dots \\ u _ {m - 1} ^ {k - 1} \\ u _ {\text {a i r}} \sigma \Delta x \end{array} \right) +$$ + +Step4：利用最小二乘法求得参数 $a,\sigma$ 。 + +求解最优参数流程如图7所示： + +![](images/6809c8257ec43ab4368c7a7aa8f64535240e8b4d76c8339bdf1d1281c45209ff.jpg) +图7热传导方程求解流程图 + +# ②热传导方程模型最优参数求解结果 + +根据①中的求解方法，通过matlab编程求解，可得到结果如下表所示： + +表 1 热传导方程最优参数 + +
a1σ1a2σ2
5.20003.20000.02500.0075
+ +根据表中确定的最优参数，通过matlab编程求解，求得电路板的炉温曲线如图8所示，同时可以求得某个时刻温度在电路板厚度上的分布，如图9所示： + +![](images/fe467c7aa4070650e686aad250df6b7656377b4bfd96c4cb4bdea588e0e5c4e4.jpg) +图8基于热传导模型结果 + +![](images/a63560194ed2032d07d1aa0059a028629fccc20c8058416bfa9f2f7abea1487a.jpg) +图9温度在电路板厚度上的分布 + +图8所示效果不理想，该参数为仅为在有限时间内求得的局部最优解。由于热传导方程模型求解程序较为复杂，需要的时间过长（32000次遍历大约需要83分钟），故在较短的时间内较难求得最优参数。 + +由图9可见，电路板进入回焊炉中，其内部温度很快接近一致，即同一时刻，温度在电路板厚度上分布接近一致，故可将电路板视为一个整体与外界交换热量，因此电路板在回焊炉中温度变化满足牛顿冷却定律模型。接下来对牛顿冷却模型进行求解。 + +# （2）牛顿冷却定律模型参数求解 + +# ① 冷却系数 $k$ 的不定性说明 + +将式（13）离散化处理得： + +$$ +\frac {T (t + \Delta t) - T (t)}{\Delta t} = - k (T (t) - T _ {\text {a i r}} (t)) \tag {29} +$$ + +从而可得 + +$$ +k = - \frac {T (t + \Delta t) - T (t)}{\Delta t (T (t) - T _ {\text {a i r}} (t))} \tag {30} +$$ + +根据题目所给实验数据可以看出， $k$ 值随时间不断变化，故 $k$ 为时间 $t$ 的函数。 + +故方程（29）应修正为 + +$$ +\frac {d u (t)}{d t} = - k (t) \cdot \left(u (t) - u _ {\text {a i r}} (t)\right) \tag {31} +$$ + +但 $k(t)$ 又分段接近于常数，故本文认为 $k$ 值在炉前区域、预热区（1~5小温区）、恒温区（6~7温区）、回流区（8~9温区）、冷却区（11~12温区）以及炉后区域中相同，而不同段 $k$ 值有差异，故分别求出各段最优参数 $k$ 。 + +# ②冷却系数 $k$ 的确定方法 + +确定冷却系数 $k$ 的步骤如下： + +Step1：将题目所给数据分段，每段分别求得最优参数 $k$ 。 + +Step2：在每段中，设定一个 $k$ 值，根据式（27）差分形式，迭代求得电路板在此段的温度，再通过与题目所给的实验数据比较来修正 $k$ 值。 + +Step3：最终通过最小二乘法得到每段最优参数 $k$ 。 + +# ③冷却系数 $k$ 的求解结果 + +根据冷却系数的确定方法，通过matlab编程求得的各段 $k$ 值如下表所示： + +表 2 各段冷却系数 $k$ 值 + +
分段炉前1-5678-910-炉后
k0.01850.01770.01700.02470.02020.0290
+ +再根据表中确定的冷却系数，以及式（27）牛顿冷却定律的差分形式，通过matlab编程求解，可求得电路板炉温曲线，如图10所示： + +![](images/6fb19aa2c1e172caac25a0db817d7332bb192b9ef270289dccabf0b9ea176fb7.jpg) +图10基于牛顿冷却定律模型的炉温曲线 + +由图10可见，使用基于牛顿冷却定律的模型效果优于基于热传导方程的模型，模型结果更接近题目所给出的实验数据。 + +# （3）改变温区温度以及传送带速度后求解结果 + +改变各温区温度以及传送带速度后，小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度如表所示： + +表 3 电路板在回焊炉中部分位置焊接区域的中心温度 + +
位置小温区3中点小温区6中点小温区7中点小温区8结束处
温度129.7557℃167.9916℃189.6012℃223.8698℃
+ +电路板炉温曲线如图11所示： + +![](images/55c235b25331f376fa0cc5938b5ff1d0d19dd730c25787b114e44e7b00472428.jpg) +图11改变温区温度以及传送带速度后的炉温曲线 + +# 5.3 问题二的建模与求解 + +# 5.3.1 问题二模型建立 + +决策变量：传送带速度 $\nu$ + +目标函数：目标为求使得电路板在回焊炉中炉温曲线满足制程界限的最大传输速度，即 + +$$ +\max F = v \tag {32} +$$ + +约束条件：运行速度 $v$ 需要使得电路板在回焊炉中的炉温曲线满足制程界限，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} - 3 \leq \frac {d u}{d t} \leq 3 \\ 6 0 \leq t \mid_ {1 5 0 \leq u \leq 1 9 0} \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq t \mid_ {u \geq 2 7 0} \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq u _ {\max } \leq 2 5 0 \\ 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \\ \frac {d u}{d t} = - k (u - u _ {\text {a i r}} (t)) \end{array} \right. \tag {33} +$$ + +其中， $t\big|_{150\leq u\leq 190}$ 为温度上升过程中在 $150 - 190^{\circ}C$ 的时间； + +$t\big|_{u\geq 270}$ 为温度大于 $217^{\circ}C$ 的时间； + +$u_{\mathrm{max}}$ 为峰值温度； + +$\nu$ 为过炉速度。 + +# 5.3.2 问题二模型求解 + +本题中决策变量较少，解空间较小，故直接遍历搜索即可得到最优解。 + +求解步骤： + +Step1：采用二分法求得最大速度所在的大致区间。 + +Step 2: 在 Step 1 中求得的大致区间中遍历搜索。 + +Step 3: 得到最大传输速度。 + +# 求解结果： + +最大过炉速度为： $76.30\mathrm{cm / min}$ + +最大过炉速度时炉温曲线如图12所示： + +![](images/23454243d7c83d11ee8326f198ba868c458bc4f730bbf649de911d262a5990dc.jpg) +图12最大过炉速度下的炉温曲线 + +# 5.4 问题三的建模与求解 + +# 5.4.1 问题三模型建立 + +在焊接过程中，炉温曲线如图13所示 + +![](images/88468f39b9b7f9baa0ae61b3c5b1c07a9971d5b9bf446f79f953cab31dee7564.jpg) +图13 焊接过程的炉温曲线 + +图中阴影部分面积为： + +$$ +S _ {1} = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {\max }} (u (t) - 2 1 7) d t \tag {34} +$$ + +式中， $t_0$ 为电路板第一次到达 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 时对应的时间， $t_{\mathrm{max}}$ 为电路板到达峰值时对应的时间。 + +在本题中各小温区设定温度可以进行 $\pm 10^{\circ}\mathrm{C}$ 范围内的调整。调整时要求小温区 $1\sim 5$ 中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区 $10\sim 11$ 中的温度保持 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 。传送带的过炉速度调节范围为 $65\sim 100\mathrm{cm / min}$ + +同时，理想的炉温曲线需满足题目所要求的制程界限。 + +因此，可建立如下单目标优化模型： + +# 决策变量 + +传送带速度及各个温区的温度，即 + +$$ +\left\{v, T _ {1}, T _ {2}, T _ {3}, T _ {4} \right\} \tag {35} +$$ + +# 目标函数 + +目标为阴影面积最小，即 + +$$ +\min S _ {1} \left(v, T _ {1}, T _ {2}, T _ {3}, T _ {4}\right) = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {\max }} (u (t) - 2 1 7) d t \tag {36} +$$ + +# 约束条件 + +速度温度应满足的上下限，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \\ 1 6 5 \leq T _ {1} \leq 1 8 5 \\ 1 8 5 \leq T _ {2} \leq 2 0 5 \\ 2 2 5 \leq T _ {3} \leq 2 4 5 \\ 2 4 5 \leq T _ {4} \leq 2 6 5 \end{array} \right. \tag {37} +$$ + +炉温曲线应满足的制程界限，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} - 3 \leq u ^ {\prime} (t) \leq 3 \\ 6 0 \leq t \mid_ {1 5 0 \leq u \leq 1 9 0} \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq t \mid_ {u \geq 2 7 0} \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq u _ {\max } \leq 2 5 0 \\ \frac {d u}{d t} = - k \left(u - u _ {\text {a i r}} (t)\right) \end{array} \right. \tag {38} +$$ + +综上所述，优化模型为： + +$$ +\min S _ {1} = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {\max }} (u (t) - 2 1 7) d t +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \\ 1 6 5 \leq T _ {1} \leq 1 8 5 \\ 1 8 5 \leq T _ {2} \leq 2 0 5 \\ 2 2 5 \leq T _ {3} \leq 2 4 5 \\ 2 4 5 \leq T _ {4} \leq 2 6 5 \\ - 3 \leq u ^ {\prime} (t) \leq 3 \\ 6 0 \leq t \mid_ {1 5 0 \leq u (t) \leq 1 9 0} \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq t \mid_ {u (t) \geq 2 7 0} \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq u _ {\max } \leq 2 5 0 \\ \frac {d u}{d t} = - k (u - u _ {\text {a i r}}) \end{array} \right. \tag {39} +$$ + +# 5.4.2 问题三模型求解 + +本题中决策变量略多，且决策变量变化范围大，故解空间较大，若采用遍历搜索则在有限时间内不能搜索到有效结果，故采用模拟退火算法来实现对其求解。下面先对模拟退火算法进行简单的介绍。 + +# （1）模拟退火算法简要介绍 + +模拟退火算法最早由Metropolis提出，1983年由Kirkpatrick等人将模拟退火的思想成功引入组合优化领域。目前，模拟退火算法已经应用到各门学科中以解决非线性系统的优化问题。 + +理论上已经证明，模拟退火算法是一个全局最优算法，而且概率1接近最优值，并且克服了对初值的依赖。算法的基础源于对固体退火过程的模拟，采用Metropolis准则，用冷却进度表控制算法进程，最终得到一个近似最优解。固体退火是指将固体加热到足够高的温度后，使分子呈随机排列状态，然后逐步降温使之冷却，最后分子以低能状态排列，固体达到某种稳定状态。 + +模拟退火算法的基本思想：在一定的温度下，搜索从一个状态随机地变化到另一个状态，随着温度的不断下降直到最低温度，搜索过程以概率1停留在最优解。根据玻尔兹曼概率分布可以得出： + +1. 在同一个温度，分子停留在能量较小状态的概率大于停留在能量较大状态的概率。 +2. 温度越高，不同能量状态对应的概率相差越小；温度足够高时，各状态对应的概率基本相同。 +3. 随着温度的下降，能量最低状态对应的概率越来越大；温度趋于0时，其状态趋于1。 + +# （2）利用模拟退火算法的求解流程 + +本题采用模拟退火算法的基本步骤如下： + +Step1: 设置初始解及其控制参数。 + +Step2: 判断是否满足终止条件。 + +Step3：随机给出一种方案，计算电路板在回焊炉中的炉温曲线，判断是否满足约束条件，若满足，则是对当前解进行一次随机扰动，即产生新的方案；若不满足，返回Step3。 + +Step4：比较新旧方案，利用Metropolis准则，更新方案。 + +Step5: 判断是否达到降温停止条件，若满足则输出方案，否则，返回 Step3。 + +模拟退火算法在本题中的具体流程如图14所示 + +![](images/73d7d7f0821a25e8eed2cb048ee60471f5455e8140d357227e2814b207c60ac1.jpg) +图14 模拟退火算法的流程图示意 + +# 5.4.3 问题三求解结果 + +# （1）结果 + +初始温度设置为 $5000^{\circ}\mathrm{C}$ ，冷却系数为0.94，步长为100，截至温度为 $0.1^{\circ}\mathrm{C}$ 。 + +通过使用matlab编程求解，可得： + +过炉速度为 $\nu = 91.889\mathrm{cm / min}$ + +最小阴影面积为 $S_{1,\min} = 447.983^{\circ}\mathrm{C}\cdot s$ + +各温区温度如下表所示： + +表 4 各温区温度设定值 + +
温区1~5678~9
温度177.477°C197.008°C230.603°C264.967°C
+ +同时在该求解结果下，电路板炉温曲线如图15所示 + +![](images/0f945f4ed80a05b1b2fa94b05fc8b35788b8fe90822269d01f331dabfea42830.jpg) +图15阴影面积最小时的炉温曲线 + +# （2）结果的置信度说明 + +模拟退火算法内能曲线如图16所示 + +![](images/30ac97f715256ce0dd7367d503bdc9a118fbc3174981a32326b6ffe5265fe64a.jpg) +图16 模拟退火算法收敛曲线 + +由图可见，内能变化最终收敛，故上述结果较优。 + +# 5.5 问题四的建模与求解 + +# 5.5.1 模型建立 + +设有两函数 $f(x),g(x)$ 如图17所示，某炉温曲线如图18所示： + +![](images/ecdef91ca43dacdeedc78d071ad3935f9768c7dd5cd4c01e1e891b4da6aad1d2.jpg) +图17示意图 + +![](images/45ff37f79b446f5f64caf73a5fa51c1d93ee53bc02ad1b478ed80241ec199881.jpg) +图18炉温曲线图 + +$f(x)$ 关于 $x_0$ 对称的函数为 $f(2x_0 - x)$ ，则 $g(x)$ 与 $f(x)$ 关于 $x_0$ 对称的等价条件为： + +$$ +\Delta S = \int_ {x _ {1}} ^ {x _ {0}} | f (2 x _ {0} - x) - g (x) | d x = 0 \tag {40} +$$ + +由此可得，炉温曲线 $u_{1}$ 、 $u_{2}$ 关于 $t = t_{\mathrm{max}}$ 对称的等价条件为： + +$$ +S _ {2} = \int_ {t _ {0}} ^ {t _ {\max }} | u (2 t _ {\max } - t) - u (t) | d t = 0 \tag {41} +$$ + +其中， $t_0$ 为电路板第一次到达 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 时对应的时间， $t_\mathrm{max}$ 为电路板到达峰值时对应的时间。 + +本题不仅要求以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线尽量对称，同时还要满足问题三中阴影部分面积 $S_{1}$ 最小，故为多目标优化问题。 + +对于多目标优化问题通常解法是将多个指标标准化，再进行加权平均，即 + +$$ +S = \omega_ {1} \frac {S _ {1}}{S _ {1 . \max}} + \omega_ {2} \frac {S _ {2}}{S _ {2 . \max}} \tag {42} +$$ + +其中， $S_{1,\max}, S_{2,\max}$ 分别为 $S_1, S_2$ 的最大值； $\omega_1, \omega_2$ 为权重，且满足 $\omega_1 + \omega_2 = 1$ 。 + +本模型采用动态综合加权法，其中阴影面积 $S_{1}$ 先是缓慢增加，中间有一个快速增长的过程，随后平缓增加趋于最大，故 $\omega_{1}$ 可以设定为偏大型正态分布函数，即 + +$$ +\omega_ {1} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & x \leq \alpha_ {1} \\ 1 - e ^ {- \left(\frac {x - \alpha_ {1}}{\sigma_ {1}}\right)} & x > \alpha_ {1} \end{array} \right. \tag {43} +$$ + +其图像如图19所示 + +![](images/806f3e99eb62d8cd7214a06082e949c2c67a3ddfc6abdb4740755085a65dff27.jpg) +图19偏大型正态分布 + +综上所述，本题的多目标优化模型如下 + +$$ +\min S = \omega_ {1} \frac {S _ {1}}{S _ {1 . \max }} + \omega_ {2} \frac {S _ {2}}{S _ {2 . \max }} +$$ + +$$ +s. t \left\{ \begin{array}{l} 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \\ 1 6 5 \leq T _ {1} \leq 1 8 5 \\ 1 8 5 \leq T _ {2} \leq 2 0 5 \\ 2 2 5 \leq T _ {3} \leq 2 4 5 \\ 2 4 5 \leq T _ {4} \leq 2 6 5 \\ - 3 \leq u ^ {\prime} (t) \leq 3 \\ 6 0 \leq t | _ {1 5 0 \leq u (t) \leq 1 9 0} \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq t | _ {u (t) \geq 2 7 0} \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq u _ {\max } \leq 2 5 0 \\ \frac {d u}{d t} = - k (u - u _ {\text {a i r}}) \end{array} \right. \tag {44} +$$ + +# 5.5.2 模型求解 + +# (1)求解方法 + +本题仍然采用模拟退火算法进行求解。 + +# (2)基本步骤 + +Step1：先通过模拟退火算法分别算出 $S_{1,\max}$ 和 $S_{2,\max}$ + +Step2：将多目标函数转变为单目标函数，即将 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 标准化，再引入 $\omega_{1}$ 、 $\omega_{2}$ 得到 $S = \omega_{1} \frac{S_{1}}{S_{1,\max}} + \omega_{2} \frac{S_{2}}{S_{2,\max}}$ 。 + +Step3：以 $\min S = \omega_{1}\frac{S_{1}}{S_{1,\max}} +\omega_{2}\frac{S_{2}}{S_{2,\max}}$ 为目标函数，再通过模拟退火算法求得各个温区温度以及传送带速度。 + +流程如图20所示： + +![](images/e70ffd70f097d23864868224053eaf7728dd4d795f6f457e69ea18c37b6fe8db.jpg) +图20 问题四求解流程图 + +# (3)求解结果 + +初始温度设置为 $5000^{\circ}\mathrm{C}$ ，冷却系数为0.94，步长为100，截至温度为 $0.0008^{\circ}\mathrm{C}$ 。通过matlab编程，求得： + +$$ +v = 8 8. 7 8 2 c m / \min , S _ {1. \min } = 4 4 9. 1 7, S _ {2. \min } = 3 5. 8 7 2, S _ {\min } = 0. 3 4 8 6 +$$ + +各温区温度如表5所示 + +表 5 各温区温度设定值 + +
温区1~5678~9
温度169.733°C186.657°C231.844°C264.999°C
+ +同时在该求解结果下，电路板炉温曲线如图21所示 + +![](images/b29ca3b01f7fe746aa12b6b46e4037720a9c99669308a5421968ef9853fef1a8.jpg) +图21最优解下的炉温曲线 + +# （2）结果的置信度说明 + +模拟退火算法内能曲线如图22所示 + +图22 模拟退火算法内能变化曲线 +![](images/16c278eb8bfd4d49cc2a66558c0fbe69d36d32a0192bcb08ca535991eda2e03a.jpg) +由图可见，内能变化最终收敛，故上述结果较优。 + +# 6结果检验与误差分析 + +# 6.1 问题二结果检验 + +在问题二中，对传送带最大过炉速度进一步验证，当对最大过炉速度进行适当的升高时，可以发现电路板的炉温曲线不再满足题中要求的制程界限；对最大过炉速度进行适当的降低，可以发现电路板的炉温曲线满足题中要求的制程界限，因此可以验证问题二最大过炉速度解的正确性。 + +# 6.2 问题三、四结果检验 + +固定已经得到的结果 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 的值，任意改变 10 次 $\nu, T_{4}$ 的值，发现总体的目标函数值都有所上升，这初步验证了结果的较优性。 + +第四问中，范数 $S_{2}$ 的最大值为199.50，而第四问中范数仅为35.87，并从图形中可以观察出图形的对称性，这再次验证了结果的合理性。 + +# 6.3分段合理性分析 + +根据式（30），冷却系数 $k$ 值实际上是随时间不断变化的，但本文做了简化处理，按照预热区、恒温区、回流区、冷却区进行分段， $k$ 值在这些段中相同，段间 $k$ 值不同。最后求得的电路板焊接中心温度数据与试验数据比较如图23所示： + +![](images/e9dd2462ca1d37dd91591bde7cfef4ca5035395d0c116c7fba6077ca60bc6307.jpg) +图23 $k$ 值分段时模型结果 + +![](images/deee6f5aef109c5768358574ad0b98f0dbf883e01b3f8ea828c13c0faddc284b.jpg) +图24 $k$ 值取定值时模型结果 + +模型结果与原始实验数据的均方误差为： + +$$ +R M S E = \sqrt {\frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i} ^ {\text {m o d e l}} - x _ {i} ^ {\text {t e s t}}\right)}{n}} \tag {45} +$$ + +模型结果与原始实验数据的平均绝对误差为： + +$$ +M A E = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left| x _ {i} ^ {\text {m o d e l}} - x _ {i} ^ {\text {t e s t}} \right|}{n} \tag {46} +$$ + +$k$ 值分段求得时模型结果与原始实验数据根据公式（45）与公式（46）求得均方误差为 $2.81^{\circ}\mathrm{C}$ ，平均绝对误差为 $1.73^{\circ}\mathrm{C}$ ， $k$ 取定值0.193时模型结果与原始实验数据的均方误差为 $6.9475^{\circ}\mathrm{C}$ ，平均绝对误差为 $4.8568^{\circ}\mathrm{C}$ ， $k$ 值分段时模型结果的误差要小于 $k$ 值不分段时的误差，验证了本题分段求取 $k$ 值的合理性。 + +# 6.4对终止温度的分析 + +在问题四中，已将目标函数做了标准化处理，从而导致对终止温度的要求较高，终止温度对结果的收敛性起到至关重要的作用，图（26）为终止温度为 $0.1^{\circ}\mathrm{C}$ 时收敛曲线图。由图（26）可见，在终止时结果未收敛，为了进一步使曲线收敛，我们选择了二次退火，并大幅度降低终止温度，当终止温度 $0.0008^{\circ}\mathrm{C}$ 时，收敛效果较好，如图（27）所示。 + +![](images/73c2aca55451e407c157f3665fd4bbcb13359c74cfd010c11a31b54dfd29f2c6.jpg) +图26 $0.1^{\circ}\mathrm{C}$ 时内能变化曲线 + +![](images/3f18ccdc7217b7785af46df200b1a18fbb9f2139637b0347a97945193a26f99e.jpg) +图27 $0.0008^{\circ}C$ 时的内能变化曲线 + +# 7模型评价 + +# 模型优点： + +# （1）热传导方程模型： + +使用热传导方程模型能够较好的反应出电路板在回焊炉中焊接的物理过程，考虑到了电路板在回焊炉中，温度在电路板厚度上的分布，有助于对回炉焊过程进行更加深入的研究。 + +# （2）基于牛顿冷却定律模型： + +基于牛顿冷却定律模型是在热传导方程基础上简化条件后建立的，相比如热传导方程，基于牛顿冷却定律模型不再考虑温度在电路板厚度上的分布，求解简单，求解效率大大提高，有利于在此基础上进行其他优化问题的研究。 + +# 模型缺点： + +# （1）热传导方程模型： + +使用热传导方程模型求解过程复杂，在较短的时间内难以求得最优的参数，并且对于厚度较薄的电路板，温度在厚度上的分布接近一致。 + +# （2）基于牛顿冷却定律模型： + +基于牛顿冷却定律模型未考虑到电路板在回焊炉中温度在电路板厚度上的分布，对于厚度较厚的电路板在回焊炉中，模型过于简化。 + +# 8模型推广与改进 + +本文在考虑温度在两边温度不等的间隙中的分布时认为，温度随空间位置线性变化，如图所示，但在间隙与温区边界上，温度连续但不可导。故对温区与间隙边界上的温度分布进行修正，如图所示，此时，温度在间隙与温区边界上既连续又可导。 + +![](images/335138a836f7de918b338b6f5f038fba1e8c3acc1045c38c39ab5640b4870ec1.jpg) + +![](images/d8d872e6fadb3b0365e636712e12e59d1dbb4c40a06e030d3d54c4932a8777d5.jpg) + +# 9 参考文献 + +[1]汪学军. 多温区自动测控系统控制模型的建立与研究[D]. 中南大学, 2007. +[2]雷翔霄,唐春霞,徐立娟.基于RBF-PID的热风回流焊温度控制[J].邵阳学院学报(自然科学版),2020,17(04):31-38. +[3]杨晓生. 多温区无铅回流焊炉控制系统的设计与实现[D]. 国防科学技术大学, 2009. + +# 10程序附录 + +# 问题一：main + +```matlab +clc;clear +T15=173;%1-5区间温度 +T6=198;%6区间温度 +T7=230;%7区间温度 +T89=257;%8-9区间温度 +T1011=25;%10-11区间温度 +load('example') +dt=0.5; +v=78/60;%传送带速度 +t=0:dt:435.5/v;%求解区间 +Tair=T_air(t,v,T15,T6,T7,T89,T1011);%空气温度 +T=zeros(length(Tair),1);%电路板温度 +T(1)=25;%电路板初始温度 +for i=2:length(Tair) + k=kk(v*(i-1)*dt); + T(i)=-dt*(T(i-1)-Tair(i))*k+T(i-1);%差分求解 +end +plot(t,T,'--r','linewidth',1.6,'markeredgecolor','k',...,'markeredgecolor','b','markersize',8) +xlabel('时间/s','Fontname','宋体','fontweight','bold','fontsize',12) +ylabel({'温度/°C'}, 'Fontname','Times New Roman','fontweight','bold','fontsize',12) +``` + +```html +title('电路板炉温曲线','Fontname','宋体','fontweight','bold','FontSize',12) + +# 问题二：main2 + +```matlab +clc;clear +%小温区温度 +T15=182;%1-5区间温度 +T6=203;%6区间温度 +T7=237;%7区间温度 +T89=254;%8-9区间温度 +T1011=25;%10-11区间温度 +V=[]; +for v=65/60:0.0001:100/60 +[tspan,u]=problem2(v,T15,T6,T7,T89,T1011);dt=tspan(2)-tspan(1); +%计算大于150，小于190的时间 +a=find(u<190&u>150); +t1=max((length(a)-2),1)*dt; +%计算大于217的时间 +b=find(u>217); +t2=max((length(b)-1),1)*dt; +%计算峰值温度 +Tmax=max(u); +%计算各一阶导数最大最小值 +uu=(u(2:end)-u(1:end-1))/dt; +uumin=min(uu); +uemax=max(uu); +if (uumin>-3)&(uumax<3)&... +(t1>60)&(t1<120)&... +(t2>40)&(t2<90)&... +(Tmax>240)&(Tmax<250) +V=[V:v]; +end +end +vmax=max(V); +vmax*60 +[tspan1,u1]=problem2(vmax,T15,T6,T7,T89,T1011);plot(tspan1,u1,'--r') +% hold on +% plot(u) +``` + +```txt +plot(tspan1,ul,'--r', 'linewidth', 1.6,'markeredgecolor', 'k', ... 'markeredgecolor', 'b', 'markersize', 8) +xlabel('时间/s','Fontname','宋体','fontweight','bold','fontsize', 12) +ylabel({温度/°C}, 'Fontname', 'Times New Roman', 'fontweight', 'bold', 'fontsize', 12) +title('最大过炉速度时的电路板炉温曲线','Fontname','宋体 ', 'fontweight', 'bold', 'FontSize', 12) +``` + +# 问题三：main3 + +clear;clc; +temperature $= 10000$ $\%$ Initialize the temperature. +cooling_rate $= 0.94$ $\%$ cooling rate +previous_x=[90.4998096731545,175.474315263950,197.983991611696,228.256966424 +909,264.881809804930]; + $\%$ This is objective function, the total distance for the routes. +[previous_tspan,previous_u]=problem2(previous_x(1)/60,previous_x(2),previous +x(3),previous_x(4),previous_x(5),25); +dt=previous_tspan(2)-previous_tspan(1); +previous_area $= S$ (previous_u,dt); +i=1; +pl(i)=previous_area; + $\%$ This is a flag used to cool the current temperature after 100 iterations +temperature_iterations $= 1$ . +while $2 <$ temperature + $\%$ generate randomly a neighbouring solution +current_x $=$ perturb(previous_x); +[current_tspan,current_u]=problem2(current_x(1)/60,current_x(2),current_x(3) +, current_x(4),current_x(5),25); +dt=current_tspan(2)-current_tspan(1); +current_area $= S$ (current_u,dt); + $\%$ compute change of area +diff $=$ current_area - previous_area; + $\%$ Metropolis Algorithm +if (diff $< 0$ )|| (rand $< \exp (-\text{diff} /(\text{temperature}))$ + +previous_x $=$ current_x; %accept new route previous_area $=$ current_area; $\mathrm{i} = \mathrm{i} + 1$ . pl(i)=previous_area; $\%$ update iterations temperature_iterations $=$ temperature_iterations $+1$ end $\%$ reduce the temperature every 100 iterations if temperature_iterations $\geqslant 100$ temperature $=$ cooling_rate\*temperature; temperature_iterations $= 0$ end $\%$ plot the current route every 200 iterations temperature end $\%$ plot the final solution [tspan,uuu] $=$ problem2previous_x(1)/60,previous_x(2),previous_x(3),previous_x (4),previous_x(5),25); figure(1) plot(tspan,uuu,'--r',linewidth',1.6,'markeredgecolor','k',... 'markeredgecolor'，'b'，'markersize'，8) xlabel('时间/s','Fontname','宋体','fontweight','bold','fontsize'，12) ylabel({'温度/°C'}，'Fontname'，'宋体'，'fontweight'，'bold'，'fontsize'，12) title('最优炉温曲线','Fontname'，'宋体'，'fontweight'，'bold'，'FontSize'，12) hold on plot(tspan,217\*ones(length(tspan)，1)，'- b'，'linewidth'，2,'markeredgecolor'，'k'，... 'markeredgecolor'，'b'，'markersize'，8); figure(2) plotpl,'-r'，'linewidth'，0.1) xlabel('接受次数','Fontname','宋体','fontweight','bold','fontsize'，12) ylabel({'内能'},'Fontname'，'宋体'，'fontweight'，'bold'，'fontsize'，12) title('内能变化曲线','Fontname'，'宋体'，'fontweight'，'bold'，'FontSize'，12) $\%$ ylim([7700,14000]) sss $=$ previous_area + +# 问题四：main4 + +clear;clc; + +temperature = 1000; % Initialize the temperature. + +cooling_rate = 0.94; % cooling rate + +previous_x=[88.7818206515348, 169.733087638798, 186.657314640567, 231.844263600, 990, 264.999044246197]; + +% This is objective function, the total distance for the routes. + +[previous_tspan, previous_u] = problem2(previous_x(1)/60, previous_x(2), previous_x(3), previous_x(4), previous_x(5), 25); + +dt = previous_tspan(2) - previous_tspan(1); + +previous_area = SDDD(previous_u, dt); +i=1; + +pl(i) $=$ previous_area; + +$\%$ This is a flag used to cool the current temperature after 100 iterations temperature_iterations $= 1$ + +while $0.000080 <$ temperature + +% generate randomly a neighbouring solution +current_x = perturb previous_x); + +[previous_tspan, current_u] = problem2(current_x(1)/60, current_x(2), current_x(3), current_x(4), current_x(5), 25); + +dt=current_tspan(2)-current_tspan(1); + +current_area = SDDD(current_u, dt); + +% compute change of area + +diff = (current_area - previous_area); + +$\%$ Metropolis Algorithm + +if (diff < 0) || (rand < exp(-diff/(temperature))) + +previous_x = current_x; %accept new route + +previous_area = current_area; +i = i + 1; + +pl(i) $=$ previous_area; + +%update iterations temperature_iterations $=$ temperature_iterations $+1$ end %reduce the temperature every 100 iterations iftemperature_iterations $\geqslant 100$ temperature $=$ cooling_rate\*temperature; temperature_iterations $= 0$ end %plot the current route every 200 iterations temperature end +% plot the final solution [tspan,uuu] $\equiv$ problem2 previous_x(1)/60,previous_x(2),previous_x(3),previous_x (4),previous_x(5),25); figure(1) plot(tspan,uuu,'--r',linewidth',1.6,'markedegcolor','k',... 'markedegcolor'，'b'，'markersize'，8) xlabel('时间/s'，'Fontname'，'宋体'，'fontweight'，'bold'，'fontsize'，12) ylabel({温度/°C}，'Fontname'，'宋体'，'fontweight'，'bold'，'fontsize'，12) title('最优炉温曲线'，'Fontname'，'宋体'，'fontweight'，'bold'，'FontSize'，12) hold on plot(tspan,217\*ones(length(tspan),1)，'- b',linewidth',2,'markedegcolor','k',... 'markedegcolor'，'b'，'markersize'，8); figure(2) pll=[pl((length(pl)/5\*3):length(pl))pl((length(pl)*19.5/20):length(pl)) pl((length(pl)*19.5/20):length(pl)); plot(pll,'-r'，'linewidth',0.1) xlabel('接受次数','Fontname','宋体','fontweight','bold','fontsize',12) ylabel({内能'},'Fontname','宋体','fontweight', 'bold', 'fontsize',12) title('内能变化曲线','Fontname','宋体','fontweight','bold','FontSize',12) %ylim([7700,14000]) dt=tspan(2)-tspan(1); sff=SF(uuu,dt) sss=S(uuu,dt) sddd=previous_area + +# kk + +```matlab +function k=kk(x) +if x>=0&&x<=25 +k=0.0185; +elseif 25150); +t1=max((length(a)-2),1)*dt); +%计算大于217的时间 +b=find(u>217); +t2=max((length(b)-1),1)*dt); +%计算峰值温度 +Tmax=max(u); +%计算各一阶导数最大最小值 +``` + +```julia +uu=(u(2:end)-u(1:end-1))/dt; +uumin=min(uu); +uumax=max(uu); +if (uumin>-3)&& (uumax<3)&&... +(t1>60)&& (t1<120)&&... +(t2>40)&& (t2<90)&&... +(Tmax>240)&& (Tmax<250) +y=x_new; +flag=1; +end +end +end +``` + +# s + +function $s = S(u,dt)$ +a=find $(\mathrm{u} > 217)$ +b=find $(\mathrm{u} = =\max (\mathrm{u}))$ +s=sum((u(a(1):b-1)-217)*dt); +end + +# SDDD + +function $s = \mathrm{SDDD(u,dt)}$ $\mathrm{s1} = \mathrm{S(u,dt) / 1151.4}$ $\mathrm{s2} = \mathrm{SF(u,dt) / 199.5}$ $\mathrm{sgm} = 0.494$ +if s1<0.05 s=s2; +else w=1-exp(-((s1-0.05)/sgm)^2); s=(1-w)*s1+(w)*s2; +end +end + +# SF + +function $s = \mathrm{SF(u,dt)}$ $\mathrm{a = find(u > 217)}$ +b=find $(\mathbf{u} = = \max (\mathbf{u}))$ ： +if $(\mathtt{b - a(1)})\leqslant (\mathtt{a(end) - b})$ $\mathrm{ul = u(a(1):b - 1)}$ + +$\mathrm{u2 = u((2*b - a(1)): - 1:b + 1)}$ +else $\mathrm{u1 = u((b + 1):a(end))}$ · $\mathrm{u2 = u((b - 1): - 1:(2*b - a(end)))}$ ： +end +s=sum(abs(u1-u2)*dt）; +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/A147/A147.md b/MCM_CN/2020/A147/A147.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..b6187b13f228ee3861dc23e4c904cd6a666a086d --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/A147/A147.md @@ -0,0 +1,2378 @@ +# 基于一维热传导方程的炉温曲线机理模型研究 + +# 摘要 + +回焊炉通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上，在集成电路板等电子产品的生产中具有广泛的应用。本文主要研究回焊炉焊接中心的炉温曲线，建立了基于热传导方程与牛顿冷却定律的温度分布模型，利用最小二乘法、差分法、优化模型进行求解。 + +对于问题一：首先对题干某次实验中的情况，基于一维热传导方程，建立回焊炉内部的温度分布模型。再通过热传导方程与牛顿冷却定律，建立焊接区域的温度分布模型。结合两个模型，确定初边值条件，建立微分控制方程组（包含四个待求参数）。利用差分法对方程组逐层求解，基于最小二乘原理，拟合实测温度，遍历得到最优的参数组合。将该组参数代入后得到一维热传递模型。 + +将问题一中的设定温度代入后，计算出炉温曲线。得到结果如下：u（小温区3中点） $= 138.92^{\circ}C$ ，u（小温区6中点） $= 172.24^{\circ}C$ ，u（小温区7中点） $= 190.17^{\circ}C$ u（小温区8终点） $= 223.16^{\circ}C$ + +对于问题二：建立单目标优化模型。首先，确定最优准则-过炉速度最大；其次确定约束条件为制程界限；其次，再对约束条件进行差分，得出差分后的约束条件；然后，应用问题一中得出的热传递模型，并用循环遍历的方法，借助 $\mathsf{C} + +$ 语言，搜索出该温度分布条件下最大速度为 $76cm / min$ + +对于问题三：建立单目标优化问题。首先，确定最优准则-炉温曲线超过 $217^{\circ} \mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积最小；其次确定约束条件为制程界限，并将其函数化表示；其次，再对约束条件进行差分，得出差分后的约束条件；然后，应用问题一中得出的热传递模型，运用爬山算法与 $\mathsf{A}^{*}$ 算法，借助 $\mathsf{C}^{++}$ 语言，搜索出该温度分布条件下最优温度组合为：(185,203,238,265,25,97)，最优过炉速度为 $95 \mathrm{~cm} /$ min。 + +对于问题四：是在问题三基础上的多目标优化问题，可以将两目标进行线性加权处理得到单一目标，建立单目标优化模型。首先，确定最优准则-炉温曲线超过 $217^{\circ} \mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积最小与以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ} \mathrm{C}$ 的炉温曲线尽量对称，并取偏差平方表示出第二个指标；其次，对两个目标其进行线性加权整合为最终单一的优化目标，并写出差分后的微分方程，最终再建立以该单一目标为目标的优化模型。随后，与问题三类似，应用问题一中得出的热传递模型，运用爬山算法与 $\mathsf{A}^*$ 算法，借助 $\mathsf{C}++$ 语言，搜索出该温度分布条件下最优温度组合为：(185,204,245,265,25,100)，最优过炉速度为 $100 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ 。 + +最后对本文所建立的模型进行了讨论和分析，综合评价模型。 + +关键词热传导方程牛顿冷却定律差分法优化模型爬山算法 $\mathbf{A}^*$ 算法 + +# 一、问题重述 + +在某些电子产品，如集成电路板的生产过程中，存在将各种电子元器件通过回焊炉的焊接技术，安装至电路板上的环节。通过加热印刷电路板与电子元件，回焊炉中的电子元器件能够自动焊接到电路板上。 + +回焊炉内有四个功能区，依次是预热区、恒温区、回流区、冷却区，均由若干个小温区组成。电路板通过传送带，匀速进入回焊炉内部加热焊接。 + +某回焊炉的内部由炉前区域、炉后区域及11个小温区构成，炉前区域和炉后区域的长度参数均为 $25\mathrm{cm}$ ，每个小温区的长度参数为 $30.5\mathrm{cm}$ ，小温区间存在着 $5\mathrm{cm}$ 的空隙。 + +回焊炉会在短时间内达到内部温度的稳定，焊接工作在回焊炉内部温度稳定之后进行。炉前区域、炉后区域和小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，空隙的温度受相邻温区的影响，各温区边界附近的温度也可能会收到相邻温区的温度影响。除此之外，回焊炉所在的生产车间的温度始终保持在 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 。 + +某些位置上的焊接区域中心温度可以用过温度传感器测试，焊接区域中心温度曲线也被称为炉温曲线。附件是某次实验中的炉温曲线数据，每隔0.5s采集一次炉温数据。该次实验中，各温区设定的温度参数为 $175^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区1~5）、195 $^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $235^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）、 $255^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区8~9）及 $25^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区10~11）；传送带的速度参数为 $70~\mathrm{cm / min}$ ；焊接区域的厚度为 $0.15~\mathrm{mm}$ 。当焊接区域中心温度达到阀值 $30^{\circ}\mathrm{C}$ 时，温度传感器开始工作。当电路板进入回焊炉时，开始计时。 + +为控制产品质量，实际生产时通常通过调节各温区的设定温度和传送带的锅炉速度的方法。在上述实验设定的温度基础上，各温区的设定温度可以在 $\pm 10^{\circ}\mathrm{C}$ 范围内进行调整。调整小温区温度时，需满足以下限制：小温区 $1\sim 5$ 中的温度保持一致，小温区 $8\sim 9$ 中的温度保持一致，小温区 $10\sim 11$ 中的温度保持 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 。传送带的过炉速度调节范围为 $65\sim 100~\mathrm{cm / min}$ + +在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。 + +表1 制程界限 + +
界限名称最低值最高值单位
温度上升斜率03°C/s
温度下降斜率-30°C/s
温度上升过程中在150°C~190°C的时间60120s
温度大于217°C的时间4090s
峰值温度240250°C
+ +请根据以上信息，回答下列问题： + +问题1 对焊接区域的温度变化规律建立数学模型。给出焊接区域中心的温度变化情况，列出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度，画出相应的炉温曲线，并将每隔0.5s焊接区域中心的温度存放在提供的result.csv中。 + +假设：传送带过炉速度为 $78\mathrm{cm / min}$ ，各温区温度的设定值分别为 $173^{\circ}C$ （小温区1\~5）、 $198^{\circ}C$ （小温区6）、 $230^{\circ}C$ （小温区7）和 $257^{\circ}C$ （小温区8\~9）， + +问题2 确定允许的最大传送带过炉速度。 + +假设：各温区温度的设定值分别为 $182^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1\sim 5$ 、 $203^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $237^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）、 $254^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $8\sim 9$ ） + +问题3 在焊接过程中，焊接区域中心的温度超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间不宜过长，峰值温度也不宜过高。理想的炉温曲线应使超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积（图2中阴影部分）最小。请确定在此要求下的最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，并给出相应的面积。 + +![](images/3237c13b0f18ab68fdb2878410c962bc3beaa3c2530c04f73849d2148718b1dc.jpg) +图1 炉温曲线示意图 + +问题4 在焊接过程中，除满足制程界限外，还希望以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线应尽量对称（参见图2）。请结合问题3，进一步给出最优炉温曲线，以及各温区设定的温度及传送带过炉速度，并给出相应的指标值。 + +# 二、 问题分析 + +# 2.1 问题一分析 + +对于问题一，需要建立焊接处中心的温度分布数学模型以求解。 + +基于热传导方程，建立回焊炉各点处的温度分布模型。在模型建立前，首先需要借助物理实验中的基本结果与能量守恒定律推导出热传导方程。 + +其次，借助热传导方程与牛顿冷却定律，建立焊接处内部各点的温度传递模 + +型。 + +基于上述两个模型，建立焊接处各点温度随时间变化的模型。并对大纲给出的示例数据进行拟合检验，大步长粗略搜索，小步长精确搜索，以得出精度较高的模型中参数的解。 + +最后，带入问题一中给出的回焊炉各温区的温度数据，得出焊接处中心温度随时间变化的情况。 + +# 2.2 问题二分析 + +问题二，在题目给定的温度条件、制程界限的限制下，求解允许的传送带最大速度，是一个最优化的问题。 + +需要基于问题一中得出的温度分布模型，对传送带的可能速度进行多次遍历，以得出精度较高的解。取 $1\mathrm{cm / min}$ 的速度步长，从 $100\mathrm{cm / min}$ 往下遍历后选取出第一个满足制程界限的解，即为最大解。 + +# 2.3 问题三分析 + +问题三，也是一个优化问题。需要求出最优的温区设定温度和传送带的过炉速度，使得在满足制程界限的同时，炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积也达到最小。 + +需要建立以覆盖面积最小为目标的优化模型，应用焊接区域温度分布模型，结合爬山与 $\mathsf{A}^*$ 算法，求解最优的温区温度设定、传送带过炉速度的参数组合，并分析结果。 + +# 2.4 问题四分析 + +问题四，是在问题三基础上的多目标优化问题。需要满足制程界限的同时，在问题三——炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积达到最小的基础上，做到以峰值温度中线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线尽量对称的目标。 + +首先，需要分别表达出两个优化目标，并对其进行线性加权整合为最终单一的优化目标，最终再建立以该单一目标为目标的优化模型，应用焊接区域温度分布模型，结合爬山与 $\mathsf{A}^*$ 算法，求解最优的温区温度设定、传送带过炉速度的参数组合，并分析结果。 + +# 三、模型的假设与约定 + +1. 假设回焊炉整个小温区的温度恒定，为该小温区的设定温度 +2. 假设温度传导只在焊接区域的竖直方向进行 +3. 假设电路板进入回焊炉时，回焊炉内的温度已经达到稳定 + +# 四、符号说明及名词解释 + +4.1符号说明 + +
符号说明单位
1回焊炉上的点与炉前区域左边缘的距离cm
u温度℃
t时间S
X小温区间隙中的点距离上一温区右边缘的距离cm
h焊接区域中的点与焊接中心的距离mm
tj第j个时间微元，tj+Δt=tj+1S
uji第i个微元在tj的温度℃
u-1(190)焊接区域中心温度为190℃时的时间tS
+ +# 4.2名词解释 + +（1）比热容：表示物体吸热或散热能力，比热容越大，物体的吸热或散热能力越强。其指的是单位质量的某种物质升高或下降单位温度所吸收或放出的热量，单位为 $\mathrm{J} / (\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ 。 +（2）热传导率：单位截面、长度的材料在单位温差下和单位时间内直接传导的热量。单位为瓦每米开尔文（W/(m·K)）。 +（3）表面传热系数：指空气与电路板的比例系数。即当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比。 + +# 五、模型建立与求解 + +# 问题1：确定温度分布数学模型 + +针对问题一，需要建立焊接处中心的温度分布数学模型以求解。 + +# 5.1.1 热传导方程及推导 + +(1) 通过两种方法研究某一物体内的热流 + +① 对于一个物体，t时刻 $\Delta V$ 内的热量 $Q$ 可以用以下等式表达。 + +$$ +\Delta Q = c \rho u \Delta V +$$ + +$\rho$ 为电路板的密度，c为比热容 + +假设有一根边界完全绝热、由单一均匀材料组成、热量只能通过两端流入或流出、长为 $L$ 的细杆，如下图。设杆上任意一点到原点的距离为变量 $x$ 。 + +在该细杆中，温度 $\mathsf{u}$ 只与 $\mathsf{x}$ 、时间 $\mathsf{t}$ 相关。则有下列等式： + +$$ +\Delta Q = c \rho u (x, t) \Delta V +$$ + +![](images/0d5aa8c7223d62b8ba4300221897397547ffcfa5ab4e9b9b1824c0d70c297786.jpg) +图2 长为L的均匀细杆 + +先取细杆中的一段长度U，该区域为 $x = a$ 到 $x = b$ 的间隔段，设其横截面积为S，取长度为 $\Delta x$ 的微元，则： + +$$ +\Delta V = S \Delta x +$$ + +则该微元的热量可表示为： + +$$ +\Delta Q = c \rho u (x, t) S \Delta x +$$ + +t时刻区域U的热量为： + +$$ +Q (t) = \int_ {a} ^ {b} c \rho u (x, t) S d x +$$ + +其中 $\mathbf{c},\rho$ 均与t无关。两边对t进行微分，则得出热量关于时间的变化方程为： + +$$ +\frac {d Q}{d t} = \int_ {a} ^ {b} c \rho \frac {\partial u}{\partial t} d x S \tag {1} +$$ + +② 热传递的过程中，热量会从温度高的以放流向温度低的一方。则同样取相同的细杆， $u(x = b) > u(x = a)$ ，则： + +$$ +\Delta Q = - C \frac {u (a + \Delta x , t) - u (a , t)}{\Delta x} S +$$ + +C 为导热系数，与杆的材料有关。 + +则 $\mathbf{a}$ 处的热流速度为: + +$$ +v _ {a} = - C \frac {\partial u}{\partial x} (a, t) S +$$ + +b处为： + +$$ +v _ {b} = C \frac {\partial u}{\partial x} (b, t) S +$$ + +t时刻U区域中热量为： + +$$ +\frac {d Q}{d t} = C \left[ \frac {\partial u}{\partial x} (b, t) - \frac {\partial u}{\partial x} (a, t) \right] S +$$ + +即 + +$$ +\frac {d Q}{d t} = C \int_ {a} ^ {b} \frac {\partial^ {2} u}{\partial^ {2} x} d x S \tag {2} +$$ + +其中，C、S 可视为常数。 + +(3) 联立等式(1)(2)，解得： + +$$ +\frac {C}{c \rho} \frac {\partial^ {2} u}{\partial^ {2} x} - \frac {\partial u}{\partial t} = 0 \tag {3} +$$ + +则热传递方程为： + +$$ +\frac {\partial u}{\partial t} - k \frac {\partial^ {2} u}{\partial^ {2} x} = 0 \tag {4} +$$ + +其中 + +$$ +k = \frac {C}{c \rho} \tag {5} +$$ + +# 5.1.2 牛顿冷却定律 + +牛顿冷却定律是温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律。具体的表述为：当物体表面与周围存在温差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，比例系数为热传导率。 + +计算公式为： + +$$ +- \lambda \frac {\partial u}{\partial n} = h _ {z} \left(u _ {\text {空 气}} - u _ {\text {表 面}}\right) \tag {6} +$$ + +$\lambda$ 为热传导率， $h_z$ 为表面冷却系数 + +# 5.1.3 回焊炉的温度分布模型确立 + +在回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定；同时根据假设1，回焊炉整个小温区的温度恒定，为该小温区的设定温度。各小温区的已知且恒定，可将回焊炉其余部分分为温区间隙、炉前区域、炉后区域三部分进行细化分析。 + +# Step 1: 列出温区的温度分布 + +因为主要研究竖直方向上的传热模型，可以简化回焊炉模型，以炉前区域左边边缘为原点，向右建立一维坐标轴（如下），需要建立温度随I（离原点的距离）的分布方程。 + +![](images/d4961f9f609cc854ef6fabe5c76f297d2a2e65a489960a890aa07cb4c60a3e6b.jpg) +图3一维坐标轴图 + +# Step2：求解温区间隙温度分布 + +在温区间隙，根据热传递方程，可得： + +$$ +\frac {\partial u (x , t)}{\partial t} - k \frac {\partial^ {2} u (x , t)}{\partial^ {2} x} = 0 \tag {7} +$$ + +其中 $t$ 为时间， $\mathbf{x}$ 为该点到上一小温区边缘的距离， $0\leqslant x\leqslant 5(cm)$ + +达到热稳态后，温度恒定，则： + +$$ +\frac {\partial u (x , t)}{\partial t} = 0 \tag {8} +$$ + +即： + +$$ +\frac {\partial^ {2} u (x , t)}{\partial^ {2} x} = 0 \tag {9} +$$ + +解偏微分方程(8)，得 + +$$ +u (x, t) = C _ {1} x + C _ {2} \tag {10} +$$ + +$C_1, C_2$ 为常数 + +可知，温区间隙温度为线性分布，则带入各温区温度，可得 + +表1间隙温度分布 + +
间隙温度分布
1-4175
5175+4x
6195+4x
7235+4x
8255
9255-46x
1025
+ +# Step 3: 炉前区域的温度分布 + +炉前区域温度与相邻温区的温度有关。 + +在一维坐标轴区域为： + +$$ +l \in [ 0, 2 5 ] +$$ + +因为空气温度为25摄氏度，在 $1 < 25$ 的坐标轴上必定存在一点使得： + +$$ +u (l = a) = 2 5 +$$ + +则： + +$$ +u (l < a) = 2 5 +$$ + +则在二维空间中，可视 $l < a$ 为另外一个温度为 $25^{\circ}C$ 的“小温区0”， $a\leq l\leq$ 25为小温区0与小温区1中的间隙0（如图4） + +![](images/a556b229333fb7ba309960341a774a7f6b0be267506ae1b8ab0c0e8d6fbecb08.jpg) +图4炉前区域温度分布 + +回到一维坐标轴，根据Step1中的求解可知，间隙区域的温度为线性分布。a为待求解的一个参数。 + +# Step 4: 炉后区域的温度分布 + +在一维坐标轴上，炉后区域为 + +$$ +x \in [ 4 1 0. 5, 4 3 5. 5 ] +$$ + +相邻区域的温度分布为： + +$$ +u (3 4 4. 5 \leq x \leq 4 1 0. 5) = 2 5 +$$ + +$$ +u (x \geq 4 1 0. 5) = 2 5 。 +$$ + +同理，可将炉外的空间视为另外一个温度为 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 的“小温区”，根据Step1中的求解可知炉后区域的温度分布为线性分布，而： + +$$ +u (x = 4 1 0. 5) = u (x = 4 3 5. 5) = 2 5 +$$ + +可得炉后区域的温度为常数： + +$$ +u (4 1 0. 5 \leq x \leq 4 3 5. 5) = 2 5 +$$ + +# Step5：回焊炉温度分布 + +表2回焊炉温度分布表 + +
x温区温度
[0,25]炉前区域25(0≤x≤a)
25+25/3(x-7)(a≤x≤25)
[25,197.5]小温区1-5(包含间隙1-4)175
[197.5,202.5]间隙5175+4x
[202.5,233]小温区6195
[233,238]间隙6195+4x
[238,268.5]小温区7235
[268.5,273.5]间隙7235+4x
[273.5,339.5]小温区8-9(包含间隙8)255
[339.5,344.5]间隙9255-46x
[344.5,410.5]小温区10-11(包含间隙10)25
[410.5,435.5]炉后区域25
+ +![](images/733cc9f8f591606fdaded59a9c33183dd42b47e1e257e0d0762e5cc2315d98a3.jpg) +图5回焊炉内部温度曲线图 + +# 5.1.4 焊接处内部温度分布模型的确立 + +对于焊接区域，考虑其厚度为 $0.15\mathrm{mm}$ ，则可以将其视为方向竖直、长度为 $0.15\mathrm{mm}$ 的一条线段。 + +以焊接区域中心为原点建立一维坐标轴，如下图： + +![](images/e9f3dea2e4938703ceeac1eae6be3a3485e1d7bf93ead53bedbc571ab699b51f.jpg) +图6 焊接区域坐标轴 + +基于热传递定律与牛顿冷却定律，可将焊接区域的热传递分为边界与空气、区域内部两部分，联立两部分的方程，建立相关模型。 + +# Step1焊接区域内部的热传递方程 + +根据热传递方程，可得焊接区域内部温度函数 $u(h,t)$ 满足： + +$$ +\frac {\partial u (h , t)}{\partial t} = A \frac {\partial^ {2} u (h , t)}{\partial h ^ {2}} \tag {11} +$$ + +其中， + +$$ +A = \frac {C}{c \rho} +$$ + +因为焊接区域以焊接中心为对称点对称，所以只考虑焊接区域上半边的情况，即 + +$$ +0 \leq h \leq H = 0. 0 7 5 m m +$$ + +# Step 2 确定初始条件与边界条件 + +生产车间的室温为 $25^{\circ} \mathrm{C}$ , 则初始条件为: + +$$ +u (h, 0) = 2 5 (0 \leq h \leq H) \tag {12} +$$ + +对于焊接中心，由于两边热量交换对称，则边界条件： + +$$ +\frac {\partial u (h , t)}{\partial h} \mid_ {h = 0} = 0 \tag {13} +$$ + +# Step 3 焊接区域边界与空气接触面的边界条件 + +根据牛顿冷却定律， + +$$ +\lambda \frac {\partial u}{\partial h} = h _ {z} \left(u _ {0} - u _ {H}\right) +$$ + +$\mathrm{H} = 0.075 \mathrm{~mm}, \lambda$ 为焊接电路板的热传导率， $h_{z}$ 为电路板与空气的表面冷却系数， $u_{0}$ 为外界温度。 + +化简，得 + +$$ +\frac {\partial u}{\partial h} = B \left(u _ {0} - u _ {H}\right) \tag {14} +$$ + +其中， + +$$ +B = \frac {h _ {z}}{\lambda} \tag {15} +$$ + +同时，由于温度会影响热传导率的大小。所以将回焊炉的分为两部分，第一部分(炉内加热区域)的参数为 $B_{1}$ ，第二部分(冷却区)的参数为 $B_{2}$ 。 + +查阅资料得知，PCB主要组成材料环氧树脂地热传导率随着温度减小而减小，所以可以将 $B_{2}$ 转化为一个新的参数 $w$ ， $B_{2} = wB_{1}$ ( $w \in (0,1)$ )。 + +# Step 4 模型确立 + +联立(11)(12)(13)(14)，得到焊接区域温度分布模型为以下方程组(1): + +$$ +\left\{ \begin{array}{r l} \frac {\partial u (h , t)}{\partial t} & = A \frac {\partial^ {2} u (h , t)}{\partial h ^ {2}} \\ u (h, 0) & = 2 5 (0 \leq h \leq H) \\ \frac {\partial u (h , t)}{\partial h} | _ {h = 0} & = 0 \\ \lambda \frac {\partial u}{\partial h} & = h _ {z} \left(u _ {o} - u _ {H}\right) \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +# 5.1.5 参数估计 + +在该一维传热模型中， $a, A, B_{1}, B_{2}$ 为未知量，需要通过最小二乘法建立参数估计模型： + +$$ +(a, A, B _ {1}, B _ {2}) = \underset {a, A, B _ {1}, B _ {2}} {\arg \min } \sum_ {j = 1} ^ {m} (u (t _ {j}) - u ^ {*} (t _ {j}) ^ {2}) +$$ + +其中 $u(t_{j})$ 为拟合值， $u^{*}(t_{j})$ 原始值。 + +# 5.1.6 模型综合 + +关于焊接区域的传热过程，建模型综合如下： + +$$ +\left[ \begin{array}{l} \text {参 数 估 计 ：} (a, A, B _ {1}, B _ {2}) = \underset {a, A, B _ {1}, B _ {2}} {\arg \min } \sum_ {j = 1} ^ {m} \left(u \left(t _ {j}\right) - u ^ {*} \left(t _ {j}\right) ^ {2}\right) \\ \text {控 制 方 程 ：} \\ \frac {\partial u (h , t)}{\partial t} = A \frac {\partial^ {2} u (h , t)}{\partial h ^ {2}} \\ \text {初 始 条 件 ：} \\ u (h, 0) = 2 5 (0 \leq h \leq H) \\ \text {边 界 条 件 ：} \\ \frac {\partial u (h , t)}{\partial h} | _ {h = 0} = 0 \\ \lambda \frac {\partial u}{\partial h} = h _ {z} \left(u _ {o} - u _ {H}\right) \end{array} \right. \tag {17} +$$ + +# 5.1.7 模型求解 + +求解方法： + +本文采用有限差分法：将连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把定解区域上的连续变量的函数用网格上定义的离散变量的函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似。最终，把原微分方程和定解条件用代数方程组来代替，即有限差分方程组。解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似值。 + +本文对空间分别进行差分，将焊接区域的细杆分为 $n$ 个高为 $\Delta x$ 的小区域，对于时间，每经过 $\Delta t$ 的时间进行一次迭代，即视为焊接区域在 $\Delta t$ 的时间内完成了一次完全的温度传递，直至 $t = 373.29$ 结束。 + +对于等式(11)： + +$$ +\frac {u _ {i} ^ {j} - u _ {i} ^ {j - 1}}{\Delta t} = A \frac {u _ {i} ^ {j} - u _ {i + 2} ^ {j} + 2 u _ {i + 1} ^ {j + 1}}{\Delta x ^ {2}} +$$ + +下标i为空间，j为时间 $(t_j + \Delta t = t_{j + 1})$ ， $u_{i}^{j}$ 为第i个微元在 $t_j$ 的温度。 + +对于等式(14)： + +$$ +\begin{array}{l} \frac {u _ {2} ^ {j} - u _ {1} ^ {j + 1}}{\Delta x} = B _ {1} \left(u _ {1} ^ {j} - u _ {o}\right) \quad (0 \leq t \leq 2 9 5. 2 9) (18) \\ \frac {u _ {2} ^ {j} - u _ {1} ^ {j + 1}}{\Delta x} = B _ {2} \left(u _ {1} ^ {j} - u _ {o}\right) \quad (2 9 5. 2 9 \leq t \leq 3 7 3. 2 9) (19) \\ \end{array} +$$ + +对于焊接中心，由等式(13)得， $\frac{\partial u(h,t)}{\partial h}\big|_{h = 0} = 0$ ，则： + +$$ +u _ {n} ^ {j + 1} = u _ {n - 1} ^ {j + 1} \tag {20} +$$ + +已知初始条件： + +$$ +u _ {i} ^ {0} = 2 5, i = 1, 2, 3, \dots , n +$$ + +$$ +u _ {i} ^ {1} = 2 5, i = 1, 2, 3, \dots , n +$$ + +回焊炉温度分布： + +
xt温区温度
[0,25]\( [0,\frac{6}{7}a] \)炉前区域\( 25(0\leq x\leq a) \)
\( [\frac{6}{7}a,21.43] \)\( 25+\frac{25}{3}(x-7)(a\leq x\leq 25) \)
[25,197.5][21.43,169.29]小温区1-5(包含间隙1-4)175
[197.5,202.5][169.29,173.57]间隙5175+4x
[202.5,233][173.57,199.71]小温区6195
[233,238][199.71,204.00]间隙6195+4x
[238,268.5][204.00,230.14]小温区7235
[268.5,273.5][230.14,234.43]间隙7235+4x
[273.5,339.5][234.43,291,00]小温区8-9(包含间隙8)255
[339.5,344.5][291,00,295.29]间隙9255-46x
[344.5,410.5][295.29,351.86]小温区10-11(包含间隙10)25
[410.5,435.5][351.86,373.29]炉后区域25
+ +则模型的离散格式为： + +![](images/49f262be4133d9388aeac9a20814e9d6620df8cd71e81704b595be42d834b2e0.jpg) + +查阅资料并计算得知， + +PCB材料的z向热导率典型值为 $0.25\mathrm{W / m - K}$ + +转化系数 $h_z \in [5,25]$ + +$$ +A \in [ 0. 0 9 2 2 4, 0. 0 6 4 1 7 ] +$$ + +$$ +B \in [ 1 0, 1 0 0 ] +$$ + +# 5.1.8 求解步骤 + +对传热模型进行时间-空间离散化后，可根据边界条件和初值条件，在空间点上，每经过 $\Delta t$ 的时间，进行逐层迭代求解。 + +Step1：代入参数 $(a,A,B_1,w)$ 的初始值(0,0.0001,10,0.1)，通过模型离散方程逐层求解，得到焊接中心区域温度随时间的分布曲线； +Step2：利用最小二乘的方法求解计算值与实测值的误差，并求出残差平方和。 +Step3：更新参数值，再次带入离散方程进行求解，得到新的温度分布曲线与残差平方和； +Step4：遍历新的参数值，搜索寻优找到拟合程度最佳、满足制程界限的参数组合 +Step5：根据搜索得到的最佳参数组合，得到最终的焊接中心温度分布模型 + +# 5.1.9 最终结果及检验 + +# 参数求解及拟合结果 + +根据上述求解步骤进行求解，搜索得到最优拟合的参数取值为： + +$$ +A = 0. 0 0 0 3 +$$ + +$$ +\begin{array}{l} B _ {1} = 7 0 \\ w = 0. 3 \\ a = 7 \\ \end{array} +$$ + +则可求得 $B_{2}$ 为： + +$$ +B _ {2} = 2 1 +$$ + +此时通过模型计算得到的温度值与实测温度值的图形绘制如下： + +![](images/6181a16790949bcf0de9cf525f6881c4f2c41d8f2b3a0ed974e41ddcbaedf188.jpg) +图7模型计算与实际温度分布图像比较 + +表3 拟合情况 + +
AB1B2aR²
0.0003702170.9813
+ +$$ +R ^ {2} = 1 - \frac {\sum_ {i = 1} ^ {N} \left(y _ {i} ^ {*} - y _ {i}\right) ^ {2}}{\sum_ {i = 1} ^ {N} \left(y _ {i} ^ {*} - \bar {y _ {i} ^ {*}}\right) ^ {2}} \tag {22} +$$ + +在该参数组合下， $R^2 = 0.9813$ ，拟合结果较好。则可将该组合的参数代入模型中。 + +# 求解结果 + +将问题一题干所给的各个温区温度分布带入上述模型，得到结果如下： + +炉温曲线图： + +![](images/f87004eb0c9f2c7d6ecb27c322c8abcf79a5d2d9bc7e3ae90d2372847e28cd53.jpg) +图8炉温曲线图 + +特殊点温度分布： + +
位置温度
小温区3中点138.9208
小温区6中点172.2397
小温区7中点190.1654
小温区8结束处223.1558
+ +每隔0.5s焊接区域中心的温度已存放在result.csv中。 + +# 5.1.10 模型分析：灵敏度分析 + +对四个变量进行灵敏度分析，结果如下图： + +![](images/082e06e5088fcc5185df9510dee270512597f28a49f4b0c97feed811e641797b.jpg) + +![](images/0d1d1fcb70837476da0995f4e42b44209146f09261cdeecc0e4b499e4a8660c5.jpg) + +![](images/f9f1198db53c6d7dce810f36160cf61cf4e026033470776e4ea439a1a774fd5a.jpg) +图9对四个变量进行灵敏度分析的结果图 + +![](images/be6d06bd35c3744e9d1fa7fc111b172c789759ab973f185ae5dcd23753e08c38.jpg) + +对变量分别求标准化后的偏差，得： + +表4 变量标准化偏差结果图 + +
参数标准化后偏差的灵敏度
A0.025
B12.47
1/w0.326
a-0.312
+ +灵敏度计算公式： $\frac{\Delta t / t}{\Delta r / r}\rightarrow \frac{r}{t}$ + +由结果分析可知，该热传导模型较为稳定。 + +# 问题2：焊接中心温度模型基础上的单变量优化模型 + +问题二是建立在问题一焊接中心温度模型基础上的优化模型。对于给定的温区温度分布，根据问题一中的温度模型，以制程界限为约束条件，以传送带最大运输速度为目标，建立优化模型并求解。 + +# 5.2.1 模型建立 + +# Step1优化目标 + +根据问题二，需要求解设定温度下允许的最大传送带过炉速度，则目标为速度最大 + +max $\pmb{v}$ + +# Step 2 约束条件 + +根据题目信息，约束条件即为制程界限，即- + +$$ +\left\{ \begin{array}{c c} 6 5 \leq v \leq 1 0 0 & (2 3) \\ \left| \frac {d u}{d t} \right| \leq 3 & (2 4) \\ \hline \left[ \begin{array}{l} \frac {d u}{d t} > 0 \\ 6 0 \leq u ^ {- 1} (1 9 0) - u ^ {- 1} (1 5 0) \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq \max \{t \mid u \geq 2 1 7 \} - \min \{t \mid u \geq 2 1 7 \} \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq \max _ {t} u (t) \leq 2 5 0 \end{array} \right. & (2 5) \\ & (2 6) \\ & (2 7) \end{array} \right. +$$ + +# Step3模型综合 + +综上所述，建立特定温度下传送带过炉速度优化问题模型综合如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \max v \\ 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \\ \left| \frac {d u}{d t} \right| \leq 3 \\ - \left[ \begin{array}{l} \frac {d u}{d t} > 0 \\ 6 0 \leq u ^ {- 1} (1 9 0) - u ^ {- 1} (1 5 0) \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq \max \{t | u \geq 2 1 7 \} - \min \{t | u \geq 2 1 7 \} \leq 9 0 \end{array} \right. \\ 2 4 0 \leq \underset {t} {\max } u (t) \leq 2 5 0 \\ \frac {\partial u (h , t)}{\partial t} = A \frac {\partial^ {2} u (h , t)}{\partial h ^ {2}} \\ u (h, 0) = 2 5 (0 \leq h \leq H) \\ \frac {\partial u (h , t)}{\partial h} | _ {h = 0} = 0 \\ \lambda \frac {\partial u}{\partial h} = h _ {z} \left(u _ {o} - u _ {H}\right) \end{array} \right. \tag {28} +$$ + +# 5.2.2 模型求解 + +求解方法：将限制条件离散后遍历求解 + +由于传送带的速度有限制，可以先将速度区间离散化。之后，基于问题一的模型，对于遍历过程中每个传送带的速度建立相应的温度分布模型，并对限制条件进行检验，最后得出符合条件的最大速度。 + +离散后的限制条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \left| \frac {u \left(t _ {j}\right) - u \left(t _ {j} - \Delta t\right)}{\Delta t} \right| \leq 3 \\ 6 0 \leq \min \left\{t \mid 1 9 0 \leq u \left(t _ {j}\right) \leq m a x u, j = 1, 2, 3 \dots \right\} - \min \left\{t \mid u \left(t _ {j}\right) \geq 2 1 7 \right\} \\ \leq 1 2 0, j = 1, 2, 3 \dots \} \\ 4 0 \leq \max \left\{t \mid u \left(t _ {j}\right) \geq 2 1 7, j = 1, 2, 3 \dots \right\} - \min \left\{t \mid u \left(t _ {j}\right) \geq 2 1 7, j = 1, 2, 3 \dots \right\} \\ \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq \underset {t _ {j}} {\max } u (t) \leq 2 5 0 j = 1, 2, 3 \dots \end{array} \right. +$$ + +# 5.2.3 求解步骤 + +Step 1: $v = 100$ + +Step 2: 计算相应炉温曲线 + +Step 3: 验证限制条件(29), 若满足则 $v = v$ , 结束; 否则 Step4 + +Step 4: $v = v - 1$ ，回到 Step 2 继续循环 + +# 5.2.4 求解结果 + +遍历求解结果如下： + +表5问题二运行结果 + +
速度判断速度判断
v:100.000000Nov:87.000000No
v:99.000000Nov:86.000000No
v:98.000000Nov:85.000000No
v:97.000000Nov:84.000000No
v:96.000000Nov:83.000000No
v:95.000000Nov:82.000000No
v:94.000000Nov:81.000000No
v:93.000000Nov:80.000000No
v:92.000000Nov:79.000000No
v:91.000000Nov:78.000000No
v:90.000000Nov:77.000000No
v:89.000000Nov:76.000000YES
v:88.000000No
+ +则在问题二条件下的最优速度应取： + +$$ +v = 7 6 c m / \min +$$ + +该速度下炉温曲线如下图： + +![](images/a7f4f467325c76157c1a2a2a530d977c21fdc87e256d4664929d976b90ea34cc.jpg) +图10 $v = 76cm / m$ 时炉温曲线图 + +# 问题3 + +问题三同样是建立在问题一温度分布模型基础上的优化模型。在各温区温度设定、传送带锅炉速度均可变的情况下，求出各个温区与速度的组合，使得温度使超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积最小。该模型需要以面积最小为优化目标，建立优化模型并求解。 + +# 5.3.1 模型建立 + +# Step1优化目标 + +根据问题三，需要求解使超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积最小，则对相应区域进行积分，优化目标为： + +$$ +\min _ {u _ {1}, u _ {2}, u _ {3}, u _ {4}, v} \int_ {t ^ {\prime}} ^ {t ^ {\prime \prime}} [ u (t) - 2 1 7 ] d t +$$ + +# Step 2 约束条件 + +根据题目信息，约束条件即为制程界限，即： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \\ \left| \frac {d u}{d t} \right| \leq 3 \\ \left[ \begin{array}{l} \frac {d u}{d t} > 0 \\ 6 0 \leq u ^ {- 1} (1 9 0) - u ^ {- 1} (1 5 0) \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq \max \{t \mid u \geq 2 1 7 \} - \min \{t \mid u \geq 2 1 7 \} \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq \max _ {t} u (t) \leq 2 5 0 \end{array} \right. \\ \end{array} \right. +$$ + +# Step3模型综合 + +综上所述，建立模型为： + +$$ +\min _ {u _ {1}, u _ {2}, u _ {3}, u _ {4}, v} \int_ {t ^ {\prime}} ^ {t ^ {\prime \prime}} [ u (t) - 2 1 7 ] d t +$$ + +$$ +\begin{array}{r l} & t ^ {\prime} = \min \{t | u \geq 2 1 7 \} \\ & t ^ {\prime \prime} = \underset {t} {\operatorname {a r g m a x}} u (t) \\ & \left| \frac {d u}{d t} \right| \leq 3 \\ & \frac {d u}{d t} > 0 \\ & 6 0 \leq u ^ {- 1} (1 9 0) - u ^ {- 1} (1 5 0) \leq 1 2 0 \\ & 4 0 \leq \max \{t | u \geq 2 1 7 \} - \min \{t | u \geq 2 1 7 \} \leq 9 0 \\ & 2 4 0 \leq \underset {t} {\operatorname {m a x}} u (t) \leq 2 5 0 \end{array} +$$ + +# 5.3.2 模型求解 + +求解方法：将限制条件离散后遍历求解 + +原理与问题二的求解过程类似，将速度、各个区域的温度分别离散化，得到五个待求参数。之后，基于问题一的模型，对于遍历过程中每个待求参数组合建立相应的温度分布模型，并对限制条件进行检验，最后筛选得出符合条件的参数 + +组合。 + +离散后的限制条件： + +$$ +\begin{array}{r l} & t ^ {\prime} = \min \{t | u \geq 2 1 7 \} \\ & t ^ {\prime \prime} = \underset {t} {\operatorname {a r g m a x}} u (t) \\ & | \frac {u (t _ {j}) - u (t _ {j} - \Delta t)}{\Delta t} | \leq 3 \\ & 6 0 \leq \min \{t | 1 9 0 \leq u (t _ {j}) \leq m a x u, j = 1, 2, 3 \dots \} - \min \{t | u (t _ {j}) \geq 2 1 7 \} \\ & \leq 1 2 0, j = 1, 2, 3 \dots \} \\ & 4 0 \leq \max \{t | u (t _ {j}) \geq 2 1 7, j = 1, 2, 3 \dots \} - \min \{t | u (t _ {j}) \geq 2 1 7, j \\ & = 1, 2, 3 \dots \} \leq 9 0 \\ & 2 4 0 \leq \underset {t _ {j}} {\operatorname {m a x}} u (t) \leq 2 5 0, j = 1, 2, 3 \dots \end{array} +$$ + +# 5.3.3 优化方法：爬山算法与A\*算法 + +由于优化问题的搜索参数由有4个温度值以及一个速度值，而每个温度值可以正负变化10度，速度值有36个，故搜索空间中大致包含 $21^{4} * 36 \approx 7000000$ 个状态值。由于巨大的搜索空间导致遍历在短时间内是不可能的，因此我们采用人工智能搜索方法，结合局部搜索算法——爬山算法与启发式搜索算法—— $A^{*}$ 算法。接下来先介绍俩个算法的内容： + +爬山算法： + +Step 1: 给定一个搜索起点 current（搜索空间中的一个状态）。 + +Step 2: 计算与当前状态相邻的所有状态的目标函数值并记录其中的最大者 lowest-valued-neighbor。 + +Step3：若lowest-valued-neighbor对应的函数目标值 $<$ current对应的函数目标值，则令current $=$ lowest-valued-neighbor并跳至Step2；反之算法运行结束并返回current。 + +需要注意的是，上述爬山算法对应于最小化目标函数。此外，该算法可能会最终陷入局部最优解之中，因此我们必须多次运行该算法，每次通过随机数产生一个搜索起点，然后取其中最优的一个运行结果作为我们的结果。 + +$A^{*}$ 算法： + +Step 1: 初始化算法：frontier 为一个按目标函数值排序的优先队列并且目前其中包含所有的状态，explored 为一个空集。 + +Step 2: 如果frontier队列变为空队列, 则返回optimal; 否则继续Step3。 + +Step3：从frontier中弹出一个目标函数值最小的状态节点并赋值给node，先检查node是否在explored中，若不在，则将node加入explored中，然后对node状态的每个相邻状态检验其是否在explored中，若不在，则将该状态以及对应的目标函数值插入frontier队论中；若相邻状态在explored中，则不做处理；若node在explored中，则跳至Step2。 + +Step4：若node的目标函数值参数组 +合u(小温 +区1-5)u(小温 +区6)u(小温 +区7)u(小温 +区8-9)u(小温区 +10-11)v面积11852032382652597403.06921841952302642590416.24831841952302642590416.24841841932392642593416.65951831972402642594416.66161791912422642592417.12771791912422642592417.12781672012352642588417.34991691922332642586417.368101792012362642592417.521 + +# 5.3.5 最终结果 + +带入爬山所得的所有较优解代入 $\mathsf{A}^*$ 算法中，在有限时间范围内（由于比赛时间有限），搜索得到的最优解如下。 + +
u(小温区 1-5)u(小温区 6)u(小温区 7)u(小温区 8-9)u(小温区 10-11)v面积
1852032382652597403.069
+ +# 问题4 + +问题四在问题三的基础上，新增加了一个优化目标，要使以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线应尽量对称。则首先需要对优化目标进行线性加权，将两个优化目标简化为与问题三类似的单目标优化求解。最后建立优化模型，使用爬山与 $\mathsf{A}^*$ 方法求解。 + +# 5.4.1 模型建立 + +# Step1优化目标 + +在问题三的基础上，需要求出最优的温度分布与速度组合，使得以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线应尽量对称，优化目标有两个： + +$$ +z _ {1} = \min _ {u _ {1}, u _ {2}, u _ {3}, u _ {4}, v} \int_ {t ^ {\prime}} ^ {t ^ {\prime \prime}} [ u (t) - 2 1 7 ] d t \tag {33} +$$ + +$$ +z _ {2} = \min \frac {\int_ {L} ^ {\frac {L + R}{2}} [ T (t) - T (L + R - t) ] ^ {2} d t}{\frac {R - L}{2}} \tag {34} +$$ + +对于第二个优化目标，从温度达到 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 左右两端分别向右、向左取 $\Delta t$ ，为 $T(t), T(L + R - t)$ ，对该两点求偏差后平方，再累加。 + +# Step2 单优化目标转换 + +首先，将 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 无量纲化，并以权重为1：1的比例线性求和，得到最后的单一优化目标： + +$$ +\min z = \frac {z _ {1} - \min z _ {1}}{\max z _ {1} - \min z _ {1}} + \frac {z _ {2} - \min z _ {2}}{\max z _ {2} - \min z _ {2}} +$$ + +对于 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ ，不考虑制程界限时，其最小值均为0。故为简便操作，令 $\min z_{1} = 0$ ， $\min z_{2} = 0$ 。 + +则优化目标可转换为： + +$$ +\min z = \frac {z _ {1}}{\max z _ {1}} + \frac {z _ {2}}{\max z _ {2}} +$$ + +此外，简化 $\max z_{1}z_{2}$ 的取值过程，由程序随机抽取有限个样本，使用样本中最大的 $z_{1}z_{2}$ 代替 $\max z_{1}\max z_{2}$ + +# Step 3 约束条件 + +根据题目信息，约束条件即为制程界限，即(30)。 + +# Step4模型综合 + +综上所述，建立模型为： + +$$ +\min z = \frac {z _ {1}}{\max z _ {1}} + \frac {z _ {2}}{\max z _ {2}} +$$ + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} L = \min \{t _ {j} | u (t _ {j}) \geq 2 1 7 \} \\ R = \max \{t _ {j} | u (t _ {j}) \geq 2 1 7 \} \\ t ^ {'} = \min \{t | u \geq 2 1 7 \} \\ t ^ {\prime \prime} = \underset {t} {\operatorname {a r g m a x}} u (t) \\ \left| \frac {d u}{d t} \right| \leq 3 \\ \frac {d u}{d t} > 0 \\ 6 0 \leq u ^ {- 1} (1 9 0) - u ^ {- 1} (1 5 0) \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq \max \{t | u \geq 2 1 7 \} - \min \{t | u \geq 2 1 7 \} \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq \underset {t} {\operatorname {m a x}} u (t) \leq 2 5 0 \end{array} \right. +$$ + +# 5.4.2 模型求解 + +离散后的限制条件： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} t ^ {\prime} = \min \{t \mid u \geq 2 1 7 \} \\ t ^ {\prime \prime} = \underset {t} {\operatorname {a r g m a x}} u (t) \\ | \frac {u \left(t _ {j}\right) - u \left(t _ {j} - \Delta t\right)}{\Delta t} | \leq 3 \\ 6 0 \\ \leq \min \left\{t \mid 1 9 0 \leq u \left(t _ {j}\right) \leq \max u, j = 1, 2, 3 \dots \right\} - \min \left\{t \mid u \left(t _ {j}\right) \geq 2 \right. \\ \leq 1 2 0, j = 1, 2, 3 \dots \} \\ 4 0 \leq \max \{t \mid u \left(t _ {j}\right) \geq 2 1 7 \} - \min \{t \mid u \left(t _ {j}\right) \geq 2 1 7 \} \leq 9 0 j \\ = 1, 2, 3 \dots \\ 2 4 0 \leq \underset {t _ {j}} {\operatorname {m a x}} u (t) \leq 2 5 0 j = 1, 2, 3 \dots \end{array} \right. +$$ + +# 5.4.3 优化方法：爬山算法与A\*算法 + +关于上述两种算法原理，已在问题三中有详细介绍。 + +由于上述A*算法可以遍历整个状态空间，因此我们对于该最优化问题的策略是： + +Step 1: 计算机多次产生随机状态并运行爬山算法，记录其中的最优状态。 + +Step2: 将上述爬山算法产生的最优状态以及爬山算法得出的部分局部最优解加入我们的frontier队列中，frontier队列中再加入剩余的所有状态并初始化这些状态的目标函数为无穷大；令A*算法运行足够长的一段时间，在A*算法终止前提前返回optimal作为我们的最优状态。 + +# 5.4.4 优化结果 + +爬山算法求得部分较优的局部最优解如下： + +表7 问题四爬山算法局部最优解 + +
参数组 +合u(小温 +区1-5)u(小温 +区6)u(小温 +区7)u(小温 +区8-9)u(小温区 +10-11)vZ
118319724026425940.99386
218419323926425931.00468
317919124226425921.01619
417920123626425921.01659
518419523026425901.03804
+ +6 180 193 239 263 25 90 1.05375 + +# 5.4.5 最终结果 + +带入爬山所得的所有较优解代入 $A^{*}$ 算法中，在有限时间范围内（由于比赛时间有限），搜索得到的最优解如下。 + +表8 问题四 A*算法最终解 + +
参数组 +合u(小温 +区1-5)u(小温 +区6)u(小温 +区7)u(小温 +区8-9)u(小温区 +10-11)vZ
118319724026425940.99386
+ +# 六、模型评价与推广 + +# 模型评价 + +# 模型优点 + +(1) 对回焊炉的温区分段讨论，分为加热区与冷却区，更加贴近真实情况。 +(2) 在第一题遍历时，采用先大步长粗略分析、再小步长精确分析的方法，减少计算量，计算速度更快。 +(3) 在第三、第四题最优化求解的过程中，采用爬山、 $\mathsf{A}^*$ 等人工智能的算法，可以使结果更加精确。 + +# 模型缺点 + +问题三、四由于为获得全局最优解，遍历空间过大，容易导致程序运行缓慢。 + +# 参考文献 + +[1] 刘志华, 刘瑞金. 牛顿冷却定律的冷却规律研究[J]. 山东理工大学学报(自然科学版), 2005, 19(6):23-27. +[2]贾海峰.一维热传导方程的推导[J].科技信息,2013(02):159. + +# 附录 + +# 支撑材料列表 + +调试代码 + +draw.cpp + +参数遍历程序 + +/参数遍历.cpp + +参数遍历输出结果 + +/参数遍历原始数据.out + +参数遍历数据表 + +/参数遍历.xlsx + +第一题 + +//1 + +输入数据 + +/T1/s.in + +代码 + +/T1/1.cpp + +灵敏度检测 + +/Sen + +输入数据 + +/Sen/s.in + +代码 + +/Sen/sensitivity.cpp + +灵敏度结果 + +/Sen/sensitivity1.out + +/Sen/sensitivity2.out + +/Sen/sensitivity3.out + +/Sen/sensitivity4.out + +第二题 + +/T2 + +输入数据 + +/T2/s.in + +代码 + +/T2/T2.cpp + +第三题 + +爬山算法求部分局部最优解/T3/GreedyT4.cpp + +A*算法 + +/T3/sT4.cpp + +第四题： + +爬山算法求部分局部最优解/T4/GreedyT4.cpp + +A*算法 + +/T4/sT4.cpp + +第三、四题输出数据 + +/shuT34所有数据,xslx + +参考文献 + +牛顿冷却定律的冷却规律研究_刘志华 + +一维热传导方程的推导_贾海峰 + +# 源代码 + +```cpp +问题一（文件名：1.cpp） +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +#define ld long double +``` + +Id T1,T2,T3,T4,T5; +Id v,d; +Id A,B; +Id tp; +Id dt,dx; +Id x0; +inline Id TGD(Id x)//管道内部温度随 $\mathbf{x}$ 变化的{if(x>x0&&x<25)return 25+(T1-25.0)/25\*(x-x0);//if(x>0&&x<25)return 25+(T1-25)\*exp(-tp\*(25-x));if(x>=25&&x<197.5)return T1;if(x>=197.5&&x<202.5)return T1+(T2-T1)/5\*(x-197.5);if(x>=202.5&&x<233)return T2;if(x>=233&&x<238)return T2+(T3-T2)/5.0\*(x-233);if(x>=238&&x<268.5)return T3;if(x>=268.5&&x<273.5)return T3+(T4-T3)/5\*(x-268.5);if(x>=273.5&&x<339.5)return T4;if(x>=339.5&&x<344.5)return T4+(T5-T4)/5\*(x-339.5);return 25;} + +```txt +Id TH[900000]; +Id THJ[220][500000];//i x j 时间 +Id tim[900000]; +``` + +int N,MXI; +ld MINL,MINA,MINB; +Id STD[100001][2]; +inline void cp() +{ int j; double t,CNT $= 0$ . int $\mathrm{i} = 0$ + +```c +for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { CNT+=pow(1-THJ[MXI][j]/STD[i][1,2]; i++; if(CNT>MINL) return; } } for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { TH[i]=THJ[MXI][j]; i++; } } MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; } +inline void print() { freopen("s.out","w",stdout); int j; Id t,CNT=0; /*for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) if(TGD(t*v)>250){ for(int ii=0;ii<=MXI;ii++) printf("%6.2Lf",THJ[ii][j]); puts(""); printf("%Lf %Lf %Lf\n",MINA,MINB,MINL); printf("%d\n",MXI); int i=0; /*for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++,puts(""); for(i=0;i<=MXI;i++) printf("%6.2Lf",THJ[i][j]); +``` + +```c +/*for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) +{if(t>=290.97&&t<=300)printf("%Lf %Lf\n",t,tim[j]);for(int ii=0;ii<=MXI;i++)printf("%6.7Lft",THJ[ii][j]);puts("");printf("%.2Lf %.2Lf\n",tim[j],THJ[MXI][j]);//i++;}*/for(i=1;i<=N;i++)printf("%.2Lf\n",TH[i]); +}int main() +{T1=173,T2=198,T3=230,T4=257,T5=25;v=7.8/6;//d=0.015/2;ld IIB;d=0.015/2; //dt=0.01,dx=d/100; //dt=0.005,dx=d/100;dt=0.001,dx=0.015/2/100; //dt=0.001,dx=10;freopen("s.in","r",stdin);double a,b;while.scan("%lf%lf",&a,&b==2){STD[++N][0]=a;STD[N][1]=b;}MINL=1e100;A=6.4;// (6.4e-4 - 9.2e-4)B=100;// (0.2-1) +// for(A=0.00005;A<=0.0002;A=A+0.00005) +// for(B=10;B<=50;B=B+10) +// for(A=0.09224;A>=0.06417;A=A-0.00001) +``` + +```javascript +//for(B=-10;B>=200;B=B-1) +//t=0.0001 +``` + +```txt +A=0.000010,B=54.600000;//C=478591.910061 +ld ttp=40; +//for(x0=0;x0<=20;x0=x0+1) +//for(A=0.00010;A<=0.00060;A+=0.00002) +//for(B=120:B<=300;B+=15) +``` + +```lisp +//test +//A=0.001,B=5; +A=0.0002; +B=68; +bool rt; +//for(A=0.0001;A<=0.00052;A+=0.000 +// for(B=66;B<=73;B+=2) +//for(x0=1;x0<=24;x0+=2) +x0=0; +ld Bt=1; +//for(x0=1;x0<25;x0+=2) +//for(A=0.0001;A<=0.001;A+=0.0002) +// for(ILB=10;ILB<=100;ILB+=10) +// for(Bt=0.1;Bt<=1;Bt+=0.2) +``` + +$\begin{array}{rl} & \mathrm{Bt = 0.3,x0 = 7,A = 0.0003,IIB = 70;}\\ & \{\mathrm{tp = 5.0 / ttp;}\\ & \mathrm{B = IIB;}\\ & \mathrm{rt = 1;}\\ & \mathrm{ld xx,t;}\\ & \mathrm{ld CNT = 0,MAX,Ld,Hd;}\\ & \mathrm{int i,j;}\\ & \mathrm{for(i = 2,xx = 0;xx <= d;xx += dx,i++)}\\ & \mathrm{THJ[i + 1][0] = 25;} \end{array}$ + +for $(\mathrm{i} = 2,\mathrm{xx} = 0;\mathrm{xx} < = \mathrm{d};\mathrm{xx} + = \mathrm{dx},\mathrm{i} + + )$ THJ[i+1][1]=25; + +```c +THJ[0][0] = 25; +THJ[1][0] = 25; +THJ[2][0] = 25; +THJ[2][1] = 25; +int ni = 1; +MXI = -1; +//for(j = 0, t = 0; t * v <= 500; t += dt, j++) +for(j = 0, t = 0; t * v <= 500; t += dt, j++) +``` + +{ /\*THJ[1][j+1]=TGDT(\*v); THJ[1][1]=25; THJ[2][j+1]=THJ[1][j+1]+dx*B*(THJ[1][j+1]-TGDT((t+1)*v)); THJ[2][j+1]=max(min(THJ[2][j],THJ[1][j+1]),THJ[2][j+1]); THJ[2][j+1]=min(max(THJ[2][j],THJ[1][j+1]),THJ[2][j+1]); \*/THJ[2][j+1]=THJ[1][j]+B\*dx*(THJ[1][j]-TGDT(\*v)); THJ[1][j+1]=THJ[2][j]+B\*dx*(TGDT(\*v)-THJ[1][j]); //printf("%.10Lf\n",B\*dx\*(TGDT(\*v)-THJ[1][j])); tim[j]=t; if(rt&&THJ[1][j+1]1) if(THJ[i+1][j+1]-1e-6>THJ[i][j+1]&&THJ[i-1][j+1]-1e- 6>THJ[i][j+1]) printf("Case 1:i:%d j:%d dx：%LF dt:%Lf - (dx\*dx/dt/2/A\*(THJ[i][j+1]-THJ[i][j- 1]):%Lf THJ[i+1][j+1]:%Lf" ,i,j, dx,dt, -(dx\*dx/dt/2/A\*(THJ[i][j+1]-THJ[i][j- 1]))/2,THJ[i][j+1],THJ[i-1][j+1],THJ[i+1][j+1]),exit(0); else if(THJ[i+1][j+1]THJ[i- 1][j+1]+1e-6) printf("Case 2:i:%d j:%d dx：%LF dt:%Lf - (dx\*dx/dt/2/A\*(THJ[i][j+1]-THJ[i][j- 1]):%Lf + +```c +THJ[i+1][j+1]:%Lf\n",i,j, +dx,dt, -(dx\*dx/dt/2/A\*(THJ[i][j+1]-THJ[i][j- +1]))/2,THJ[i][j+1],THJ[i-1][j+1],THJ[i+1][j+1]),exit(0); +*/ +MXI=max(MXI,i+2); +} +if(abs(STD[ni][0]-tim[j])<1e-6) +{ +if(ni<=N) +CNT+=pow(THJ[MXI][j]-STD[ni][1],2); +ni++; +if(CNT>2\*MINL) +{ +printf("Bt:%Lf\tx0:%Lf\tA:%Lf\tB:%Lf\t\n",Bt,x0,A,IIB);puts("Over");goto L; +} +} +THJ[MXI][j+1]=THJ[MXI-1][j+1]; +if(abs(t\*v-111.25)<5e-4) +printf("mid 3 %Lf\n",THJ[MXI][j]); +if(abs(t\*v-217.75)<5e-4) +printf("mid 6 %Lf\n",THJ[MXI][j]); +if(abs(t\*v-253.25)<5e-4) +printf("mid 7 %Lf\n",THJ[MXI][j]); +if(abs(t\*v-304)<5e-4) +printf("end 8 %Lf\n",THJ[MXI][j]); +} +MAX=-1,Ld=-1; +ni=1; +for(j=0,t=0;t\*v<=500;t+=dt,j++) +{ +if(j\%500==0) +{ +TH[ni]=THJ[MXI][j];MAX=max(MAX,TH[ni]);N=ni++; +} +``` + +```c +MINL=CNT; +MINA=A; +MINB=B; +L:B=B*Bt; +} +print(); +return 0; +} +问题一（文件名：参数遍历.cpp,说明：参数遍历） +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +#define ld long double +ld T1,T2,T3,T4,T5; +ld v,d; +ld A,B; +ld tp; +ld dt,dx; +ld x0; +inline ld TGD(Id x)//管道内部温度随x变化的{if(x>x0&&x<25)return 25+(T1-25.0)/25*(x-x0);//if(x>0&&x<25)return 25+(T1-25)*exp(-tp*(25-x));if(x>=25&&x<197.5)return T1;if(x>=197.5&&x<202.5)return T1+(T2-T1)/5.*(x-197.5);if(x>=202.5&&x<233)return T2;if(x>=233&&x<238)return T2+(T3-T2)/5.0*(x-233);if(x>=238&&x<268.5)return T3;if(x>=268.5&&x<273.5)return T3+(T4-T3)/5.*(x-268.5);if(x>=273.5&&x<339.5)return T4;if(x>=339.5&&x<344.5)return T4+(T5-T4)/5.*(x-339.5);return 25;} +} +ld TH[900000]; +ld THJ[220][500000];//ixj时间 +ld tim[900000]; +``` + +int N,MXI; +ld MINL,MINA,MINB; +ld STD[100001][2]; +inline void cp() +{ int j; double t,CNT $\coloneqq 0$ . int i=0; for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { CNT $^+\equiv$ pow(1-THJ[MXI][j]/STD[i][1],2); i++; if(CNT>MINL) return; } } for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { TH[i]=THJ[MXI][j]; i++; } } MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; +} +inline void print() { freopen("s.out","w",stdout); int j; Id t,CNT $\coloneqq 0$ . /\*for(j=0,t=0;t\*v<=500;t+=dt,j++) if(TGD(t\*v)>250){ for(int ii=0;ii<=MXI;i++) + +```javascript +printf("%6.2Lf",THJ[ii][j]); puts(""); printf("%Lf %Lf\n",MINA,MINB,MINL); printf("%d\n",MXI); int i=0; /\*for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++,puts(""); for(i=0;i<=MXI;i++) printf("%6.2Lf",THJ[i][j]); +\*/ /\*for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(t>=290.97&&t<=300) { printf("%Lf %Lf\n",t,tim[j]); for(int ii=0;i<=MXI;i++) printf("%6.7Lf",THJ[ii][j]); puts(""); printf("%.2Lf %.2Lf\n",tim[j],THJ[MXI][j]); //i++; } } \*/ for(i=1;i<=N;i++) printf("%.2Lf\n",TH[i]); +} +int main() { T1=175,T2=195,T3=235,T4=255,T5=25; v=7./6; //d=0.015/2; Id IIB; d=0.015/2; //dt=0.01,dx=d/100; //dt=0.005,dx=d/100; dt=0.001,dx=0.015/2/100; //dt=0.001,dx=10; freopen("s.in","r",stdin); freopen("参数遍历原始数据.out","w",stdout); double a,b; while.scanf("%lf%lf",&a,&b)==2) { +``` + +```javascript +STD[++N][0]=a; STD[N][1]=b; +} MINL=1e100; A=6.4;// (6.4e-4 - 9.2e-4) B=100;// (0.2-1) for(A=0.00005;A<=0.0002;A=A+0.00005) for(B=10;B<=50;B=B+10) for(A=0.09224;A>=0.06417;A=A-0.00001) //for(B=-10;B>=200;B=B-1) //t=0.0001 A=0.000010,B=54.600000://C=478591.910061 ld tcp=40; //for(xo=0;xO<=20;xO=xO+1) //for(A=0.00010;A<=0.00060;A+=0.00002) // for(B=120;B<=300;B+=15) //test //A=0.001,B=5; A=0.0002; B=68; bool rt; //for(A=0.0001;A<=0.00052;A+=0.0001) // for(B=66;B<=73;B+=2) //for(xo=1;xO<=24;xO+=2) xO=O; Id Bt=1; for(xo=1;xO<25;xO+=2) for(A=0.0001;A<=0.001;A+=0.0002) for(IIB=1O;IIB<=1OO;IIB+=1O) for(Bt=O.1;Bt<=1;Bt+=O.2) { tp=5.0/ttp; B=IIB; rt=1; Id xx,t; Id CNT=O,MAX,Ld,Hd; int i,j; for(i=2,xx=O;xx<=d;xx+=dx,i++) THJ[i+1][O]=25; for(i=2,xx=O;xx<=d;xx+=dx,i++) THJ[i+1][1]=25; +``` + +```lisp +THJ[0][0]=25; +THJ[1][0]=25; +THJ[2][0]=25; +THJ[2][1]=25; +int ni=1; +MXI=-1; +//for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +{ +/*THJ[1][j+1]=TGD(t*v); +THJ[1][1]=25; +THJ[2][j+1]=THJ[1][j+1]+dx*B*(THJ[1][j+1]-TGD((t+1)*v)); +THJ[2][j+1]=max(min(THJ[2][j],THJ[1][j+1]),THJ[2][j+1]); +THJ[2][j+1]=min(max(THJ[2][j],THJ[1][j+1]),THJ[2][j+1]); +//THJ[2][j+1]=THJ[1][j]+B*dx*(THJ[1][j]-TGD(t*v)); +THJ[1][j+1]=THJ[2][j]+B*dx*(TGDP(t*v)-THJ[1][j]); +//printf("%.10Lfn",B*dx*(TGDP(t*v)-THJ[1][j]); +tim[j]=t; +if(rt&&THJ[1][j+1]1) + if(THJ[i+1][j+1]-1e-6>THJ[i][j+1]&&THJ[i-1][j+1]-1e-6>THJ[i][j+1]) + printf("Case 1:i:%d j:%d dx:%LF dt:%Lf - +``` + +```txt +(dx\*dx/dt/2/A\*(THJ[i][j+1]-THJ[i][j-1]):%Lf THJ[i][j+1]:%Lf THJ[i-1][j+1]:%LfTHJ[i+1][j+1]:%Lf\n",i,j, dx,dt, -(dx\*dx/dt/2/A\*(THJ[i][j+1]-THJ[i][j- 1]))/2,THJ[i][j+1],THJ[i-1][j+1],THJ[i+1][j+1]),exit(0); else if(THJ[i+1][j+1]THJ[i- 1][j+1]+1e-6) printf("Case 2:i:%d j:%d dx:%Lf dt:%Lf - (dx\*dx/dt/2/A\*(THJ[i][j+1]-THJ[i][j-1]):%Lf THJ[i][j+1]:%LfTHJ[i-1][j+1]:%LfTHJ[i+1][j+1]:%Lf\n",i,j, dx,dt, -(dx\*dx/dt/2/A\*(THJ[i][j+1]-THJ[i][j- 1]))/2,THJ[i][j+1],THJ[i-1][j+1],THJ[i+1][j+1]),exit(0); \*/ MXI=max(MXI,i+2); } if(abs(STD[ni][0]-tim[j])<1e-6) { if(ni<=N) CNT+=pow(THJ[MXI][j]-STD[ni][1],2); ni++; if(CNT>2\*MINL) { printf("Bt:%Lf\tx0:%Lf\tA:%Lf\tB:%Lf\tn",Bt,x0,A,IIB); puts("Over"); goto L; } } THJ[MXI][j+1]=THJ[MXI-1][j+1]; } MAX=-1,Ld=-1; ni=1; for(j=0,t=0;t*v<=500&&ni<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[ni][0]-tim[j])<1e-4) { TH[ni]=THJ[MXI][j]; MAX=max(MAX,TH[ni]); if(Ld==-1) Ld=TH[ni]; if(ni==N) Hd=TH[ni]; ni++; +``` + +} +} MINL $\equiv$ CNT; MINA $\equiv$ A; MINB $\equiv$ B; printf("Bt:%Lf\tx0:%Lf\tA:%Lf\tB:%Lf\t%Lf\t%Lf\t%Lf\t%Lf\n",Bt,x0,A,IIB,sqr t(CNT/N),Ld,MAX,Hd); L:B=B\*Bt; } print(); return 0; + +问题一（文件名：sensitivity.cpp，说明：参数敏感性分析） +include +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +#define ld long double +ld T1,T2,T3,T4,T5; +Id v,d; +ld A,B; +ld tp; +ld dt,dx; +ld x0; +inline Id TGD(Id x)//管道内部温度随 $\mathbf{x}$ 变化的 { if(x>x0&&x<25)return 25+(T1-25.0)/25\*(x-x0); //if(x>0&&x<25)return 25+(T1-25)\*exp(-tp\*(25-x)); if(x>=25&&x<197.5)return T1; if(x>=197.5&&x<202.5)return T1+(T2-T1)/5\*(x-197.5); if(x>=202.5&&x<233)return T2; if(x>=233&&x<238)return T2+(T3-T2)/5.0\*(x-233); if(x>=238&&x<268.5)return T3; if(x>=268.5&&x<273.5)return T3+(T4-T3)/5\*(x-268.5); if(x>=273.5&&x<339.5)return T4; if(x>=339.5&&x<344.5)return T4+(T5-T4)/5\*(x-339.5); return 25; +} + +```c +struct Pa { + Id T1,T2,T3,T4,v; + Id M; + inline bool friend operator < (Pa a,Pa b){return a.M>b.M;} + Pa(){ + Pa(Id t1,ld t2,ld t3,t4(t4),v(vv),M(MM){ + void + } + print(){ + printf("%.0Lf\t%.0Lf\t%.0Lf\t%.0Lf\t%.0Lf\t%.3Lf\n",T1,T2,T3,T4,v*60,M); + }; +}; +``` + +int N,MXI; +ld MINL,MINA,MINB; +ld STD[100001][2]; +inline void cp() +{ int j; double t,CNT $\equiv$ 0; int i=0; for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { CNT $^+$ =pow(1-THJ[MXI][j]/STD[i][1],2); i++; if(CNT>MINL) return; } +} +for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { TH[i]=THJ[MXI][j]; i++; } + +```txt +} MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; } +``` + +```txt +Id IIB; +ld ttp=40; +Id Bt; +Id S[21][21][21][21][41]; int Out[21][21][21][21][41]; +``` + +```c +Id solve() +{ +//d=0.015/2; +d=0.015/2; +dt=0.001, dx=0.015/2/100; +int t1, t2, t3, t4; +t1=int(T1+1e-1)-165; +t2=int(T2+1e-1)-185; +t3=int(T3+1e-1)-225; +t4=int(T4+1e-1)-245; +//printf("%d %d %d %d\n", t1, t2, t3, t4); +int vv=int(v*60+1e-1)-65; +//printf("%d\n", vv); +if(t1>20||t2>20||t3>20||t4>20||vv>35) return 1e100; +//if(S[t1][t2][t3][t4][vv]>1e-1) +// return S[t1][t2][t3][t4][vv]; +MINL=1e100; +bool rt; +ld MINS=1e100; +``` + +```matlab +tp=5.0/ttp; +B=1IB; +rt=1; +Id Area=0; +Id xx,t; +Id CNT=0, MAX,Ld,Hd; +``` + +```c +int i,j; +for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) + THJ[i+1][0]=25; +for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) + THJ[i+1][1]=25; +THJ[0][0]=25; +THJ[1][0]=25; +THJ[2][0]=25; +THJ[2][1]=25; +MXI=-1; +bool UP=false; +double ST=1e100,ED=-1; +double ST2=1e100,ED2=-1; +//for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +{ + THJ[1][j+1]=THJ[2][j]+B*dx*(TGD(t*v)-THJ[1][j]); + tim[j]=t; + if(rt&&THJ[1][j+1]3) +{ //puts("175"); goto pl;} +if(THJ[MXI][j+1]>150&&ST>1e10) +ST=t; +if(THJ[MXI][j+1]>190&&ED<0) +{ ED=t; +``` + +```javascript +if(ED-ST<60||ED-ST>120) { //puts("182"); goto pl;} } if(THJ[MXI][j+1]>240) UP=true; if(THJ[MXI][j+1]>217) { Area+=(THJ[MXI][j+1]-217)*dt; if(Area>MINS) { //puts("191"); goto pl;} if(Area+pow(THJ[MXI][j+1]-217,2)/6>MINS) { //puts("193"); goto pl;} if(!UP)&&Area+(240-THJ[MXI][j+1])*(THJ[MXI][j+1]- 194)/6+(23*23)/6.*MINS) { //puts("195"); goto pl;} } if(THJ[MXI][j+1]>250) { //puts("199"); goto pl;} if(THJ[MXI][j+1]>217&&ST2>1e10) ST2=t; if(THJ[MXI][i+1]<217&&ST2<1e10) { ED2=t; if(ED2-ST2<40&&ED2-ST2>90) { //puts("207"); goto pl;} } } MAX=-1,Ld=-1; for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) MAX=max(MAX,THJ[MXI][j]); +``` + +if(MAX<240) +{ //printf("%L\n",MAX); for(int vi=vv;vi $< =$ 20;vi++) S[t1][t2][t3][t4][vi]=1e100; //puts("225"); goto pl; +} if(MAX>250) {//puts("228"); for(int vi=vv;~vi;vi--） S[t1][t2][t3][t4][vi]=1e100; goto pl;} MINL $\equiv$ CNT; MINA=A; MINB=B; L:B=B*Bt; MINS=Area; goto ed; pl:Area $\coloneqq$ 1e100; //printf("T1:%LfT2:%LfT3:%LfT4:%LfTv:%LfNo\n",T1,T2,T3,T4,v\*60); ed:: //printf("%Lf\n",Area); //print(); if(Area<1e10) Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,Area)); return S[t1][t2][t3][t4][vv]=Area; + +int main() +{ Id M=1e100,tp; Bt=0.3,x0=7,A=0.0003,IB=70; freopen("sensitivity1.out","w",stdout); freopen("s.in","r",stdin); double a,b; int N=0; while.scanf("%lf%lf",&a,&b) $= = 2$ + +```javascript +{ STD[++N][0]=a; STD[N][1]=b; +} for(Bt=0.1;Bt<=0.5;Bt+=0.05) { Pa L; T1=175,T2=195,T3=235,T4=255,T5=25,v=70./60,M=solve(); int j; Id t; int i=1; Id CNT=0; for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) if(j%500==0) { if(j>=19000) CNT+=pow(THJ[MXI][j]-STD[i++] [1],2); } CNT/=N; printf("%Lf\t%Lf\n",Bt,sqrt(CNT)); } M=1e100; Bt=0.3,x0=7,A=0.0003,IIB=70; freopen("sensitivity2.out","w",stdout); freopen("s.in","r",stdin); N=0; while.scan("%lf%lf",&a,&b)=2) { STD[++N][0]=a; STD[N][1]=b; } for(x0=5;x0<=9;x0+=0.5) { Pa L; T1=175,T2=195,T3=235,T4=255,T5=25,v=70./60,M=solve(); int j; Id t; int i=1; Id CNT=0; for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) if(j%500==0) { if(j>=1 9000) +``` + +CNT+=pow(THJ[MXI][j]-STD[i++][1],2); } CNT/=N; printf("%Lft%Lf\n",x0, sqrt(CNT)); } M=1e100; Bt=0.3,x0=7,A=0.0003,IIB=70; freopen("sensitivity3.out","w",stdout); freopen("s.in","r",stdin); N=0; while.scan("%lf%lf",&a,&b) $= = 2$ { STD[++N][0]=a; STD[N][1]=b; } for(A=0.0001;A<=0.0005;A+=0.00005) { Pa L; T1=175,T2=195,T3=235,T4=255,T5=25,v=70./60,M=solve(); int j; Id t; int i=1; Id CNT=0; for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) if(j%500==0) { if(j>=19000) CNT+=pow(THJ[MXI][j]-STD[i++][1],2); } CNT/=N; printf("%Lf%Lf\n",A,sqrt(CNT)); } M=1e100; Bt=0.3,x0=7,A=0.0003,IIB=70; freopen("sensitivity4.out","w",stdout); freopen("s.in","r",stdin); N=0; while.scan("%lf%lf",&a,&b) $= = 2$ { STD[++N][0]=a; STD[N][1]=b; } + +```c +for(1IB=60;1IB<=80;1IB+=2.5) +{ +Pa L; +T1=175,T2=195,T3=235,T4=255,T5=25,v=70./60,M=solve(); +int j; +ld t; +int i=1; +ld CNT=0; +for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) +if(j%500==0) +{ + if(j>=19000) + CNT+=pow(THJ[MXI][j]-STD[i++] [1],2); +} +CNT/=N; +printf("%Lf\t%Lf\n",IIB,sqrt(CNT)); +} +``` + +问题二（文件名：T2.cpp） +```cpp +include #include #include #include using namespace std; #define ld long double +``` + +Id T1,T2,T3,T4,T5; +Id v,d; +Id A,B; +Id tp; +Id dt,dx; +Id x0; +inline Id TGD(Id x)//管道内部温度随 $\mathbf{x}$ 变化的{ + +```javascript +if(x>x0&&x<25)return 25+(T1-25.0)/25*(x-x0); //if(x>0&&x<25)return 25+(T1-25)*exp(-tp*(25-x)); if(x>=25&&x<197.5)return T1; if(x>=197.5&&x<202.5)return T1+(T2-T1)/5.*(x-197.5); if(x>=202.5&&x<233)return T2; if(x>=233&&x<238)return T2+(T3-T2)/5.0*(x-233); if(x>=238&&x<268.5)return T3; if(x>=268.5&&x<273.5)return T3+(T4-T3)/5.*(x-268.5); if(x>=273.5&&x<339.5)return T4; +``` + +```txt +if(x>=339.5&&x<344.5)return T4+(T5-T4)/5.*(x-339.5); return 25; +} +ld TH[900000]; +ld THJ[220][500000];//ixj时间 +ld tim[900000]; +int N,MXI; +ld MINL,MINA,MINB; +ld STD[100001][2]; +inline void cp() +{ int j; double t,CNT=0; int i=0; for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { CNT+=pow(1-THJ[MXI][j]/STD[i][1],2); i++; if(CNT>MINL) return; } } +for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { TH[i]=THJ[MXI][j]; i++; } } +MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; +} +inline void print() +{ +``` + +```c +freopen("T2s.out","w",stdout); +int j; +ld t,CNT=0; +/*for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +if(TGD(t*v)>250){ + for(int ii=0;i<=MXI;i++) + printf("%6.2Lf",THJ[ii][j]); +puts(""); +printf("%Lf %Lf\n",MINA,MINB,MINL); +printf("%d\n",MXI); +int i=0; +/*for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++,puts(""); + for(i=0;i<=MXI;i++) + printf("%6.2Lf",THJ[i][j]); +*/ +/*for(j=0,t=0;t*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) +{ + if(t>=290.97&&t<=300) + { + printf("%Lf %Lf\n",t,tim[j]); + for(int ii=0;i<=MXI;i++) + printf("%6.7Lf",THJ[ii][j]); + puts(""); + printf("%.2Lf %.2Lf\n",tim[j],THJ[MXI][j]); + //i++; +} +}*/ +for(i=1;i<=N;i++) +printf("%.2Lf\n",TH[i]); +} +int main() +{ +T1=182,T2=203,T3=237,T4=254,T5=25; +v=7.8/6; +//d=0.015/2; +Id IIB; +d=0.015/2; +dt=0.001,dx=0.015/2/100; +freopen("s.in","r",stdin); +freopen("T2.out","w",stdout); +``` + +```txt +double a,b; +whilescanf("%lf%lf",&a,&b) == 2) +{ + STD[++N][0] = a; + STD[N][1] = b; +} +MINL = 1e100; +A = 6.4; // (6.4e-4 - 9.2e-4) +B = 100; // (0.2-1) +// for(A = 0.00005; A <= 0.0002; A = A + 0.00005) +// for(B = 10; B <= 50; B = B + 10) +// for(A = 0.09224; A >= 0.06417; A = A - 0.00001) +// for(B = -10; B >= -200; B = B - 1) +// t = 0.0001 +A = 0.000010, B = 54.600000; // C = 478591.910061 +ld ttp = 40; +// for(x0 = 0; x0 <= 20; x0 = x0 + 1) +// for(A = 0.00010; A <= 0.00060; A += 0.00002) +// for(B = 120; B <= 300; B += 15) +// test +// A = 0.001, B = 5; +A = 0.0002; +B = 68; +bool rt; +// for(A = 0.0001; A <= 0.00052; A += 0.0001) +// for(B = 66; B <= 73; B += 2) +// for(x0 = 1; x0 <= 24; x0 += 2) +x0 = 0; +ld Bt = 1; +ld MINS = 1e100; +// for(x0 = 1; x0 < 25; x0 += 2) +// for(A = 0.0001; A <= 0.001; A += 0.0002) +// for(ILB = 10; ILB <= 100; ILB += 10) +// for(Bt = 0.1; Bt <= 1; Bt += 0.2) +Bt = 0.3, x0 = 7, A = 0.0003, IIB = 70; +for(v = 10./6; v >= 6.5/6; v -= 0.1/6) +{ +tp = 5.0/ttp; +B = IIB; +rt = 1; +``` + +```c +ld Area=0; +ld xx,t; +ld CNT=0,MAX,Ld,Hd; +int i,j; +for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) + THJ[i+1][0]=25; +for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) + THJ[i+1][1]=25; +THJ[0][0]=25; +THJ[1][0]=25; +THJ[2][0]=25; +THJ[2][1]=25; +int ni=1; +MXI=-1; +double ST=1e100,ED=-1; +double ST2=1e100,ED2=-1; +//for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +{ + /*THJ[1][j+1]=TGD(t*v); + THJ[1][1]=25; + THJ[2][j+1]=THJ[1][j+1]+dx*B*(THJ[1][j+1]-TGD((t+1)*v)); + THJ[2][j+1]=max(min(THJ[2][j],THJ[1][j+1]),THJ[2][j+1]); + THJ[2][j+1]=min(max(THJ[2][j],THJ[1][j+1]),THJ[2][j+1]); + //THJ[2][j+1]=THJ[1][j]+B*d*(THJ[1][j]-TGD(t*v)); + THJ[1][j+1]=THJ[2][j]+B*d*(TGDP(t*v)-THJ[1][j]); + //printf("%.10Lf\n",B*d*(TGDP(t*v)-THJ[1][j]); + tim[j]=t; +if(rt&&THJ[1][j+1]2*MINL) { printf("Bt:%Lf\tx0:%Lf\tA:%Lf\tB:%Lf\t\n",Bt,x0,A,IIB); puts("Over"); goto L; } } THJ[MXI][j+1]=THJ[MXI-1][j+1]; if(abs(THJ[MXI][j+1]-THJ[MXI][j])/dt>3) goto pl; if(THJ[MXI][j+1]>150&&ST>1e10) ST=t; if(THJ[MXI][j+1]>190&&ED<0) { ED=t; if(ED-ST<60||ED-ST>120) goto pl; } if(THJ[MXI][j+1]>217&&ST2>1e10) ST2=t; if(THJ[MXI][i+1]<217&&ST2<1e10) { ED2=t; if(ED2-ST2<40&&ED2-ST2>90) goto pl; } } MAX=-1,Ld=-1; ni=1; for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) { if(j%500==0) { TH[ni]=THJ[MXI][j]; +``` + +```txt +MAX=max(MAX,TH[ni]); N=ni++; } } if(MAX<240) { goto pl; } if(MAX>250) goto pl; MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; L:B=B*Bt; MINS=Area; printf("v:%Lf\tYES\n",v*60); exit(0); goto ed; pl:printf("v:%Lf\tNo\n",v*60); ed:: } print(); return 0; +``` + +问题三（文件名：GreedyT3.cpp；说明：爬山代码） + +include +#include +#include +#include +using namespace std; +#define ld long double +ld T1,T2,T3,T4,T5; +ld v,d; +ld A,B; +ld tp; +ld dt,dx; +ld x0; +inline ld TGD(Id x)//管道内部温度随 $\mathbf{x}$ 变化的{ + +```javascript +if(x>x0&&x<25)return 25+(T1-25.0)/25\*(x-x0); //if(x>0&&x<25)return 25+(T1-25)\*exp(-tp\*(25-x)); if(x>=25&&x<197.5)return T1; if(x>=197.5&&x<202.5)return T1+(T2-T1)/5\*(x-197.5); if(x>=202.5&&x<233)return T2; if(x>=233&&x<238)return T2+(T3-T2)/5.0\*(x-233); if(x>=238&&x<268.5)return T3; if(x>=268.5&&x<273.5)return T3+(T4-T3)/5\*(x-268.5); if(x>=273.5&&x<339.5)return T4; if(x>=339.5&&x<344.5)return T4+(T5-T4)/5\*(x-339.5); return 25; +} +Id TH[900000]; +Id THJ[220][500000];//ix j 时间 +Id tim[900000]; +``` + +int N,MXI; +ld MINL,MINA,MINB; +ld STD[100001][2]; +inline void cp() +{ int j; double t,CNT $\equiv$ 0; int i=0; for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { CNT $^+$ =pow(1-THJ[MXI][j]/STD[i][1],2); i++; if(CNT>MINL) return; } +} +for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { TH[i]=THJ[MXI][j]; i++; } + +} MINL $\equiv$ CNT; MINA $\equiv$ A; MINB $\equiv$ B; +} Id IIB; Id ttp $\coloneqq$ 40; Id Bt; Id S[21][21][21][21][41]; Id solve() { //d=0.015/2; d=0.015/2; dt $\equiv$ 0.001,dx $\equiv$ 0.015/2/100; int t1,t2,t3,t4; t1=int(T1+1e-1)-165; t2=int(T2+1e-1)-184; t3=int(T3+1e-1)-224; t4=int(T4+1e-1)-244; int vv=int(v\*60+1e-1)-65; if(t1>20||t2>20||t3>20||t4>20||vv>35)return 1e100; if(S[t1][t2][t3][t4][vv] $\rightharpoondown$ 1e-1) return S[t1][t2][t3][t4][vv]; MINL $\equiv$ 1e100; bool rt; Id MINS $=$ 1e100; + +```txt +tp=5.0/ttp; +B=11B; +rt=1; +int ad=1; +ld Area=0; +ld xx,t; +ld CNT=0,MAX,Ld,Hd; +int i,j; +for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) +THJ[i+1][0]=25; +for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) +``` + +```javascript +THJ[i+1][1]=25; +THJ[0][0]=25; +THJ[1][0]=25; +THJ[2][0]=25; +THJ[2][1]=25; +MXI=-1; +bool UP=false; +double ST=1e100,ED=-1; +double ST2=1e100,ED2=-1; +//for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +{ + THJ[1][j+1]=THJ[2][j]+B*dx*(TGD(t*v)-THJ[1][j]); + tim[j]=t; + if(rt&&THJ[1][j+1]3) +{ + //puts("175"); + goto pl;} +if(THJ[MXI][j+1]>150&&ST>1e10) +ST=t; +if(THJ[MXI][j+1]>190&&ED<0) +{ + ED=t; + if(ED-ST<60||ED-ST>120) +{ + //puts("182"); + goto pl;} +} +``` + +if(THJ[MXI][j+1] $\rightharpoondown$ 240) UP=true; if(THJ[MXI][j+1] $\rightharpoonup$ 217) { if(ad&&THJ[MXI][j+1] $\rightharpoonup$ THJ[MXI][j]) Area $^+\equiv$ (THJ[MXI][j+1]-217)\*dt; else ad=0; if(Area>MINS) { //puts("191"); goto pl;} //if(Area+pow(THJ[MXI][j+1]-217,2)/6>MINS) //{//puts("193"); //goto pl;} if(!UP)&&Area+(240-THJ[MXI][j+1])*(THJ[MXI][j+1]- 194)/6>MINS) { //puts("195"); goto pl;} } if(THJ[MXI][j+1] $\rightharpoonup$ 250) {//puts("199"); goto pl;} if(THJ[MXI][j+1] $\rightharpoonup$ 217&&ST2>1e10) ST2=t; if(THJ[MXI][i+1]<217&&ST2<1e10) { ED2=t; if(ED2-ST2<40&&ED2-ST2>90) {//puts("207"); goto pl;} } } MAX=-1,Ld=-1; for(j=0,t=0;t\*v<=500;t+=dt,j++) MAX=max(MAX,THJ[MXI][j]); if(MAX<240) { //printf("%Lfn",MAX); for(int vi=vv;vi<=20;vi++) + +```javascript +S[t1][t2][t3][t4][vi]=1e100; //puts("225"); goto pl; } if(MAX>250) {//puts("228"); for(int vi=vv;~vi;vi--） S[t1][t2][t3][t4][vi]=1e100; goto pl;} MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; L:B=B*Bt; MINS=Area; //printf("T1:%Lf\tT2:%Lf\tT3:%Lf\tT4:%Lf\tv:%Lf\tArea:%Lf\tYES\n",T1,T2,T3,T4,v\*60,Area); goto ed; pl:Area=1e100; //printf("T1:%Lf\tT2:%Lf\tT3:%Lf\tT4:%Lf\tv:%Lf\tNo\n",T1,T2,T3,T4,v\*60); ed:: //printf("%Lf\n",Area); //print(); return S[t1][t2][t3][t4][vv]=Area; } +``` + +```javascript +int main() +{ //freopen("GreedyT3.out","w",stdout); Id M=1e100,tp; Bt=0.3,x0=7,A=0.0003,IIB=70; for(int xxx=1;xxx<=50;xxx++) { if(xxx==1) T1=182,T2=203,T3=237,T4=254,T5=25,v=7.6/6,M=solve(); else if(xxx==2) T1=181,T2=203,T3=237,T4=254,T5=25,v=7.6/6,M=solve(); else if(xxx==3) T1=182,T2=204,T3=237,T4=254,T5=25,v=7.6/6,M=solve(); +``` + +```javascript +else if(xxx==4) T1=181,T2=204,T3=237,T4=254,T5=25,v=7.6/6,M=solve(); else if(xxx==5) T1=175,T2=195,T3=235,T4=255,T5=25,v=7.0/6,M=solve(); else { //puts("**********startselect"); do T1=165+rand(%21,T2=185+rand(%21,T3=225+rand(%21,T4=245+rand (%21,T5=25,v=(65+rand(%36)/60.; while((M=solve()))>1e10); //puts("**********endselect"); } while(true) { int fl=-1; T1=T1+1; tp=solve(); if(tp #include #include #include #include using namespace std; #define ld long double +``` + +Id T1,T2,T3,T4,T5; +ld v,d; +ld A,B; +ld tp; +ld dt,dx; +ld x0; +inline Id TGD(Id x)//管道内部温度随 $\mathbf{x}$ 变化的{if(x>x0&&x<25)return 25+(T1-25.0)/25\*(x-x0);//if(x>0&&x<25)return 25+(T1-25)\*exp(-tp\*(25-x));if(x>=25&&x<197.5)return T1;if(x>=197.5&&x<202.5)return T1+(T2-T1)/5\*(x-197.5);if(x>=202.5&&x<233)return T2;if(x>=233&&x<238)return T2+(T3-T2)/5.0\*(x-233);if(x>=238&&x<268.5)return T3;if(x>=268.5&&x<273.5)return T3+(T4-T3)/5\*(x-268.5);if(x>=273.5&&x<339.5)return T4;if(x>=339.5&&x<344.5)return T4+(T5-T4)/5\*(x-339.5);return 25; + +```txt +} +struct Pa +{ Id T1,T2,T3,T4,v; Id M; inline bool friend operator < (Pa a,Pa b){return a.M>b.M;} Pa(){; Pa(Id t1,ld t2,ld t3,ld t4,ld vv,ld MM):T1(t1),T2(t2),T3(t3),T4(t4),v(vv),M(MM){ void print(){printf("%.0Lf%.0Lf%.0Lf%.0Lf%.0Lf%.0Lf%.3Lf\n",T1,T2,T3,T4,v\*60,M);} }; priority_queueQ; Id TH[900000]; Id THJ[220][500000]://ix 时间 Id tim[900000]; +``` + +int N,MXI; +ld MINL,MINA,MINB; +ld STD[100001][2]; +inline void cp() +{ int j; double t,CNT $\coloneqq 0$ . int i=0; for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { CNT $^+\equiv$ pow(1-THJ[MXI][j]/STD[i][1],2); i++; if(CNT>MINL) return; } +} +for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { TH[i]=THJ[MXI][j]; i++; + +```txt +} +} MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; +``` + +```txt +Id IIB; +ld ttp=40; +Id Bt; +Id S[21][21][21][21][41]; int Out[21][21][21][21][41]; +``` + +```javascript +Id solve() +{ //d=0.015/2; d=0.015/2; dt=0.001,dx=0.015/2/100; int t1,t2,t3,t4; t1=int(T1+1e-1)-165; t2=int(T2+1e-1)-185; t3=int(T3+1e-1)-225; t4=int(T4+1e-1)-245; int vv=int(v\*60+1e-1)-65; if(t1>20||t2>20||t3>20||t4>20||vv>35)return 1e100; if(S[t1][t2][t3][t4][vv]>1e-1) return S[t1][t2][t3][t4][vv]; MINL=1e100; +``` + +bool rt; +Id MINS $\coloneqq$ 1e100; + +```matlab +tp=5.0/ttp; +B=1IB; +rt=1; +ld Area=0; +ld xx,t; +ld CNT=0, MAX,Ld,Hd; +int i,j; +for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) +``` + +```txt +THJ[i+1][0]=25; +for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) +THJ[i+1][1]=25; +THJ[0][0]=25; +THJ[1][0]=25; +THJ[2][0]=25; +THJ[2][1]=25; +MXI=-1; +bool UP=false; +int ad=1; +double ST=1e100,ED=-1; +double ST2=1e100,ED2=-1; +//for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) +{ + THJ[1][j+1]=THJ[2][j]+B*dx*(TGD(t*v)-THJ[1][j]); + tim[j]=t; + if(rt&&THJ[1][j+1]3) { //puts("175"); goto pl;} +if(THJ[MXI][j+1]>150&&ST>1e10) ST=t; +if(THJ[MXI][j+1]>190&&ED<0) { ED=t; if(ED-ST<60||ED-ST>120) + +{ //puts("182"); goto pl;} +} if(THJ[MXI][j+1] $\rightharpoondown$ 240) UP=true; +if(THJ[MXI][j+1] $\rightharpoonup$ 217) { if(ad&&THJ[MXI][j+1] $\rightharpoonup$ THJ[MXI][j]) Area $^+\equiv$ (THJ[MXI][j+1]-217)\*dt; else ad=0; if(Area>MINS) { //puts("191"); goto pl;} //if(Area+pow(THJ[MXI][j+1]-217,2)/6>MINS) //{//puts("193"); // goto pl;} if(!UP)&&Area+(240-THJ[MXI][j+1])*(THJ[MXI][j+1]- 194)/6>MINS) { //puts("195"); goto pl;} } if(THJ[MXI][j+1] $\rightharpoonup$ 250) {//puts("199"); goto pl;} if(THJ[MXI][j+1] $\rightharpoonup$ 217&&ST2 $\rightharpoonup$ 1e10) ST2=t; if(THJ[MXI][i+1]<217&&ST2<1e10) { ED2=t; if(ED2-ST2<40&&ED2-ST2>90) {//puts("207"); goto pl;} } } MAX=-1,Ld=-1; for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) MAX=max(MAX,THJ[MXI][j]); + +```javascript +if(MAX<240) +{ //printf("%Lf\n",MAX); for(int vi=vv;vi<=20;vi++) S[t1][t2][t3][t4][vi]=1e100; //puts("225"); goto pl; } if(MAX>250) {//puts("228"); for(int vi=vv;~vi;vi--） S[t1][t2][t3][t4][vi]=1e100; goto pl;} MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; L:B=B*Bt; MINS=Area; //printf("T1:%LfT2:%LfT3:%LfT4:%Lftv:%Lfft Area:%LfTYES\n",T1,T2,T3,T4,v\*60,Area); goto ed; pl:Area=1e100; //printf("T1:%LfT2:%LfT3:%LfT4:%Lftv:%LfftNo\n",T1,T2,T3,T4,v\*60); ed:: //printf("%Lf\n",Area); //print(); if(Area<1e10) Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,Area)); return S[t1][t2][t3][t4][vv]=Area; +``` + +```c +int main() +{ //freopen("A\*T3.out","w",stdout); +``` + +```txt +Id M=1e100,tp; +Bt=0.3,x0=7,A=0.0003,IB=70; +``` + +T5=25; + +Pa L; + +T1=184,T2=195,T3=230,T4=264,v=90./60,M=solve();// 416.248 + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=179,T2=191,T3=242,T4=264,v=92./60,M=solve();// 417.127 + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=167,T2= 201,T3= 235,T4= 264,v=88./60,M=solve();// + +417.349 + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=169,T2= 192,T3= 233,T4= 264,v=86./60,M=solve();// + +417.368 + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=179,T2= 201,T3= 236,T4= 264,v=92./60,M=solve();// + +417.521 + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=175,T2= 197,T3= 231,T4= 264,v=88./60,M=solve();//417.57 + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=183, T2=197,T3= 240,T4= 264,v=94./60,M=solve(); + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=184,T2= 193,T3= 239,T4= 264,v=93./60,M=solve(); + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=179,T2= 191,T3= 242,T4= 264,v=92./60,M=solve(); + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=179,T2= 201,T3= 236,T4= 264,v=92./60,M=solve(); + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=184,T2= 195,T3= 230,T4= 264,v=90./60,M=solve(); + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +T1=180,T2= 193,T3= 239,T4= 263,v=90./60,M=solve(); + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +for(T1=165;T1<186;T1++) + +for(T2=185;T2<206;T2++) + +```txt +for(T3=225;T3<246;T3++) +for(T4=245;T4<266;T4++) +for(v=65./60.;v<101./60.;v+=0.1/6) Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,1e100)); int NU=0; +Pa Best=Pa(-1,-1,-1,-1,-1,1e100); +while(!Q.empty()) +{ int fl=-1; Pa Fr=Q.top(); Q.pop(); T1=Fr.T1; T2=Fr.T2; T3=Fr.T3; T4=Fr.T4; v=Fr.v; M=Fr.M; int t1,t2,t3,t4,vv; t1=int(T1+1e-1)-165; t2=int(T2+1e-1)-185; t3=int(T3+1e-1)-225; t4=int(T4+1e-1)-245; vv=int(v*60+1e-1)-65; +//printf("%.0Lf\t%.0Lf\t%.0Lf\t%.0Lf\t%.0Lf\t%.3L\n",T1,T2,T3,T4,v*60,M); +// puts("1"); if(Out[t1][t2][t3][t4][vv]) goto ed; Out[t1][t2][t3][t4][vv]=1; puts("\\n"); if(M>=solve()-1e-6) Fr.M=solve(); else {puts("???"); goto ed;} if(Fr.M #include #include #include using namespace std; #define ld long double +``` + +Id T1,T2,T3,T4,T5; +ld v,d; +ld A,B; +ld tp; +ld dt,dx; +ld x0; +inline Id TGD(Id x)//管道内部温度随 $\mathbf{x}$ 变化的{if(x>x0&&x<25)return 25+(T1-25.0)/25\*(x-x0);//if(x>0&&x<25)return 25+(T1-25)\*exp(-tp\*(25-x));if(x>=25&&x<197.5)return T1;if(x>=197.5&&x<202.5)return T1+(T2-T1)/5\*(x-197.5);if(x>=202.5&&x<233)return T2;if(x>=233&&x<238)return T2+(T3-T2)/5.0\*(x-233);if(x>=238&&x<268.5)return T3;if(x>=268.5&&x<273.5)return T3+(T4-T3)/5\*(x-268.5);if(x>=273.5&&x<339.5)return T4;if(x>=339.5&&x<344.5)return T4+(T5-T4)/5\*(x-339.5); + +```c +return 25; +} +ld TH[900000]; Id THJ[220][500000]://ixj时间 Id tim[900000]; +struct Pa { Id T1,T2,T3,T4,v; Id M; inline bool friend operator < (Pa a,Pa b){return a.M>b.M;} Pa(){ Pa(Id t1,ld t2,ld t3,ld t4,ld t4,ld vv,ld MM):T1(t1),T2(t2),T3(t3),T4(t4),v(vv),M(MM){ void print(){printf("%.0Lf\t%.0Lf\t%.0Lf\t%.0Lf\t%.3Lf\n",T1,T2,T3,T4,v\*60,M)} }； +Id BIG1=-1,BIG2=-2; struct pr { Id x,y; //inline bool friend operator < (Pa a,Pa b){return a.M>b.M;} pr(){ pr(Id a,ld b):x(a),y(b){ inline bool friend operator < (pr a,pr b){return a.x/BIG1+a.y/BIG2MINL) return; } } for $\mathrm{(j = 0,t = 0;t^{*}v < = 500\& \& i < = N;t + = dt,j + + )}$ { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { TH[i]=THJ[MXI][j]; i++; } } MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; } Id IIB; Id ttp=40; Id Bt; pr S[21][21][21][21][21][41]; pr solve() { //d=0.015/2; d=0.015/2; dt=0.001,dx=0.015/2/100; int t1,t2,t3,t4; t1=int(T1+1e-1)-165; t2=int(T2+1e-1)-184; t3=int(T3+1e-1)-224; t4=int(T4+1e-1)-244; int vv=int(v\*60+1e-1)-65; if(t1>20||t2>20||t3>20||t4>20||vv>35)return pr(1e100,1e100); if(S[t1][t2][t3][t4][vv].x>1e-1) return S[t1][t2][t3][t4][vv]; MINL=1e100; bool rt; + +```javascript +ld MINS=1e100; int LI,Rr; tp=5.0/ttp; B=IIB; rt=1; Id Area=0; Id xx,t; Id CNT=0,MAX,Ld,Hd; int i,j; for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) THJ[i+1][0]=25; for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) THJ[i+1][1]=25; THJ[0][0]=25; THJ[1][0]=25; THJ[2][0]=25; THJ[2][1]=25; MXI=-1; Id sys,PPP; bool UP=false; double ST=1e100,ED=-1; int ad=1; double ST2=1e100,ED2=-1; //for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) { THJ[1][j+1]=THJ[2][j]+B*dx*(TGD(t*v)-THJ[1][j]); tim[j]=t; if(rt&&THJ[1][j+1]3) +{ //puts("175"); goto pl;} +if(THJ[MXI][j+1]>150&&ST>1e10) +ST=t; +if(THJ[MXI][j+1]>190&&ED<0) +{ ED=t; if(ED-ST<60||ED-ST>120) { //puts("182"); goto pl;} +} +if(THJ[MXI][j+1]>240) +UP=true; +if(THJ[MXI][j+1]>217) +{ if(ad&&THJ[MXI][j+1]>THJ[MXI][j]) Area+=(THJ[MXI][j+1]-217)*dt; else ad=0; +/* if(Area>MINS) { //puts("191"); goto pl;} +// if(Area+pow(THJ[MXI][j+1]-217,2)/6>MINS) { //puts("193"); goto pl;} if(!UP)&&Area+(240-THJ[MXI][j+1])*(THJ[MXI][j+1]-194)/6>MINS) { //puts("195"); goto pl;} +} +if(THJ[MXI][j+1]>250) { //puts("199"); goto pl;} +if(THJ[MXI][j+1]>217&&ST2>1e10) +ST2=t,LI=j+1; +``` + +```javascript +if(THJ[MXI][i+1]<217&&ST2<1e10) { ED2=t; Rr=j+1; if(ED2-ST2<40&&ED2-ST2>90) {{//puts("207"); goto pl;} } +``` + +```matlab +MAX=-1,Ld=-1; +for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) MAX=max(MAX,THJ[MXI][j]); +``` + +if(MAX<240) +{ //printf("%Lf\n",MAX); for(int vi=vv;vi $< = 20$ vi++) S[t1][t2][t3][t4][vi]=pr(1e100,1e100); //puts("225"); goto pl; +} +if(MAX>250) {//puts("228"); for(int vi=vv;~vi;vi--） S[t1][t2][t3][t4][vi]=pr(1e100,1e100); goto pl;} + +```matlab +sys=0; +PPP=Rr-LI; +while(LI1e10); BIG1=max(BIG1,M.x); BIG2=max(BIG2,M.y); } for(int xxx=1;xxx<=50;xxx++) { if(xxx==1) T1=182,T2=203,T3=237,T4=254,T5=25,v=7.6/6,M=solve(); else if(xxx==2) T1=181,T2=203,T3=237,T4=254,T5=25,v=7.6/6,M=solve(); else if(xxx==3) T1=182,T2=204,T3=237,T4=254,T5=25,v=7.6/6,M=solve(); else if(xxx==4) T1=181,T2=204,T3=237,T4=254,T5=25,v=7.6/6,M=solve(); else if(xxx==5) +``` + +```javascript +T1=175,T2=195,T3=235,T4=255,T5=25,v=7.0/6,M=solve(); else { //puts("**********startselect"); do T1=165+rand(%)21,T2=185+rand(%)21,T3=225+rand(%)21,T4=245+rand(%)21,T5=25,v=(65+rand(%)36)/60.; while((M=solve().x>1e10); //puts("**********endselect"); } while(true) { int fl=-1; T1=T1+1; tp=solve(); if(tp +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +#define ld long double +``` + +Id T1,T2,T3,T4,T5; +ld v,d; +ld A,B; +ld tp; +ld dt,dx; +ld x0; +inline Id TGD(Id x)//管道内部温度随 $\mathbf{x}$ 变化的{if(x>x0&&x<25)return 25+(T1-25.0)/25\*(x-x0);//if(x>0&&x<25)return 25+(T1-25)\*exp(-tp\*(25-x));if(x>=25&&x<197.5)return T1;if(x>=197.5&&x<202.5)return T1+(T2-T1)/5\*(x-197.5);if(x>=202.5&&x<233)return T2;if(x>=233&&x<238)return T2+(T3-T2)/5.0\*(x-233);if(x>=238&&x<268.5)return T3;if(x>=268.5&&x<273.5)return T3+(T4-T3)/5\*(x-268.5);if(x>=273.5&&x<339.5)return T4;if(x>=339.5&&x<344.5)return T4+(T5-T4)/5\*(x-339.5);return 25;} + +ld BIG1 $= -1$ ,BIG2 $\coloneqq -2$ +struct pr +{ Id x,y; //inline bool friend operator < (Pa a,Pa b){return a.M>b.M;} pr(){; pr(Id a,ld b):x(a),y(b){ inline bool friend operator < (pr a,pr b){return a.x/BIG1+a.y/BIG2MINL) return; +} +} +for(j=0,t=0;t\*v<=500&&i<=N;t+=dt,j++) { if(abs(STD[i][0]-tim[j])<1e-6) { TH[i]=THJ[MXI][j]; i++; } +} +MINL=CNT; MINA=A; MINB=B; +``` + +Id IIB; +ld ttp $\equiv$ 40; +Id Bt; +pr S[21][21][21][21][41]; +int Out[21][21][21][21][41]; + +```javascript +pr solve() +{ //d=0.015/2; d=0.015/2; dt=0.001,dx=0.015/2/100; int t1,t2,t3,t4; t1=int(T1+1e-1)-165; t2=int(T2+1e-1)-185; t3=int(T3+1e-1)-225; t4=int(T4+1e-1)-245; int vv=int(v\*60+1e-1)-65; if(t1>20||t2>20||t3>20||t4>20||vv>35)return pr(1e100,1e100); if(S[t1][t2][t3][t4][vv].x>1e-1) return S[t1][t2][t3][t4][vv]; MINL=1e100; bool rt; +``` + +```javascript +ld MINS=1e100; int LI,Rr; tp=5.0/ttp; B=IIB; rt=1; Id Area=0; Id xx,t; Id CNT=0,MAX,Ld,Hd; int i,j; for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) THJ[i+1][0]=25; for(i=2,xx=0;xx<=d;xx+=dx,i++) THJ[i+1][1]=25; THJ[0][0]=25; THJ[1][0]=25; THJ[2][0]=25; THJ[2][1]=25; MXI=-1; Id sys,PPP; bool UP=false; double ST=1e100,ED=-1; double ST2=1e100,ED2=-1; int ad=1; //for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) { THJ[1][j+1]=THJ[2][j]+B*dx*(TGD(t*v)-THJ[1][j]); tim[j]=t; if(rt&&THJ[1][j+1]3) +{ //puts("175"); goto pl;} +if(THJ[MXI][j+1]>150&&ST>1e10) +ST=t; +if(THJ[MXI][j+1]>190&&ED<0) +{ ED=t; if(ED-ST<60||ED-ST>120) { //puts("182"); goto pl;} +} +if(THJ[MXI][j+1]>240) +UP=true; +if(THJ[MXI][j+1]>217) +{ if(ad&&THJ[MXI][j+1]>THJ[MXI][j]) Area+=(THJ[MXI][j+1]-217)*dt; else ad=0; +/* if(Area>MINS) { //puts("191"); goto pl;} +// if(Area+pow(THJ[MXI][j+1]-217,2)/6>MINS) { //puts("193"); goto pl;} if(!UP)&&Area+(240-THJ[MXI][j+1])*(THJ[MXI][j+1]-194)/6>MINS) { //puts("195"); goto pl;} +} +if(THJ[MXI][j+1]>250) { //puts("199"); goto pl;} +if(THJ[MXI][j+1]>217&&ST2>1e10) +ST2=t,LI=j+1; +``` + +```javascript +if(THJ[MXI][i+1]<217&&ST2<1e10) { ED2=t; Rr=j+1; if(ED2-ST2<40&&ED2-ST2>90) {{//puts("207"); goto pl;} } +``` + +```matlab +MAX=-1,Ld=-1; +for(j=0,t=0;t*v<=500;t+=dt,j++) MAX=max(MAX,THJ[MXI][j]); +``` + +```txt +if(MAX<240) +{ //printf("%Lf\n",MAX); for(int vi=vv;vi<=20;vi++) S[t1][t2][t3][t4][vi]=pr(1e100,1e100); //puts("225"); goto pl; +} +if(MAX>250) {//puts("228"); for(int vi=vv;~vi;vi--） S[t1][t2][t3][t4][vi]=pr(1e100,1e100); goto pl;} +``` + +```matlab +sys=0; +PPP=Rr-LI; +while(LI1e10); BIG1=max(BIG1,M.x); BIG2=max(BIG2,M.y); } +``` + +T5=25; + +T1=183, T2=197,T3= 240,T4= 264,v=94./60,M=solve(); + +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); + +```javascript +T1=184,T2= 193,T3= 239,T4= 264,v= 93./60,M=solve(); Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); +``` + +```javascript +T1=179,T2= 191,T3= 242,T4= 264,v= 92./60,M=solve(); Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); +``` + +```javascript +T1=179,T2= 201,T3= 236,T4= 264,v=92./60,M=solve(); Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); +``` + +```javascript +T1=184,T2= 195,T3= 230,T4= 264,v= 90./60,M=solve(); Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); +``` + +```javascript +T1=180,T2= 193,T3= 239,T4= 263,v= 90./60,M=solve(); Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,M)); +``` + +```txt +for(T1=165;T1<186;T1++) +for(T2=185;T2<206;T2++) +for(T3=225;T3<246;T3++) +for(T4=245;T4<266;T4++) +for(v=65./60.;v<101./60.;v+=0.1/6) +Q.push(Pa(T1,T2,T3,T4,v,pr(1e100,1e100)); +int NU=0; +Pa Best=Pa(-1,-1,-1,-1,-1,pr(1e100,1e100)); +printf("%Lf %Lf\n",BIG1,BIG2); +while(!Q.empty()) +{ + int fl=-1; + Pa Fr=Q.top(); + Q.pop(); + T1=Fr.T1; + T2=Fr.T2; + T3=Fr.T3; + T4=Fr.T4; + v=Fr.v; + M=Fr.M; + int t1,t2,t3,t4,vv; + t1=int(T1+1e-1)-165; + t2=int(T2+1e-1)-185; + t3=int(T3+1e-1)-225; + t4=int(T4+1e-1)-245; + vv=int(v*60+1e-1)-65; +``` + +```txt +//printf("%.0Lf%.0Lf%.0Lf%.0Lf%.0Lf%.3Lfn",T1,T2,T3,T4,v*60,M); +``` + +```javascript +// puts("1"); if(Out[t1][t2][t3][t4][vv]) goto ed; Out[t1][t2][t3][t4][vv] = 1; +``` + +```javascript +// puts(" -1\n\n"); +``` + +```txt +if(M.x/BIG1+M.y/BIG2>=solve().x/BIG1+solve().y/BIG2-1e-6) +Fr.M=solve(); +else +{puts("???");goto ed;} +if(Fr.Mfl=5,M=tp; T3=T3-1; T3=T3-1; tp=solve(); if(tpfl=6,M=tp; T3=T3+1; T4=T4+1; tp=solve(); if(tpfl=7,M=tp; T4=T4-1; T4=T4-1; tp=solve(); if(tpfl=8,M=tp; T4=T4+1; v=v+1./60; tp=solve(); if(tpfl=9,M=tp; v=v-1./60; v=v-1./60; tp=solve(); if(tpfl=10,M=tp; v=v+1./60; ed:: // printf("%.0Lf%.0Lf%.0Lf%.0Lf",T1,T2,T3,T4,v*60); } +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/A195/A195.md b/MCM_CN/2020/A195/A195.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6da7c368036290f37df779056013bf51632dd9c5 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/A195/A195.md @@ -0,0 +1,1543 @@ +# 基于一维热传导方程的回焊炉炉温模型 + +摘要 + +如何建立温度变化模型准确描述回焊炉工作过程，保证电路板焊接过程顺利进行，是实际生产环节面临的一大问题。本文结合实际情况对回焊炉工作状态作出合理假设，建立炉内温度一维热传导模型。在满足制程界限约束条件下，利用启发式算法搜索各温区温度设定，确定最优过炉速度以使回焊炉工作效率最大化。引入炉温曲线特性衡量指标，运用分层序列法求解多目标多变量规划问题，为实际生产与测试提供理论参考。 + +针对问题一 由于炉内空气温度在启动后的短时间内达到稳定，根据一般热传导方程可推出小温区间隙温度分布具有 $T(x) = mx + n$ 的线性形式。根据合理假设，使用一维均匀介质热传导方程组描述元件与炉腔热传导过程，得出元件温度分布函数 $T = T(x,t)$ 。利用有限差分法求得方程数值解，并根据附件提供的实际炉温曲线分段拟合方程中 $\alpha, k, h$ 参数。为简化模型求解，假设各温区参数 $k_{i}, h_{i}$ 相等，仅考虑参数 $\alpha_{i}$ 的不同，得出模型最优参数为： $h = 14.458\mathrm{W / (m^2*K)}$ ， $k = 1.67\times 10^{-6}\mathrm{W / (m*K)}$ ， $\alpha = \left[4.437\quad 5.621\quad 7.449\quad 4.997\quad 2.401\right]\times 10^{-11}\mathrm{m^2 / s}$ 。将参数代回原方程并结合问题一条件，求出元件焊接过程中温度变化曲线，计算出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心温度分别为 $129.1007^{\circ}\mathrm{C}$ ， $166.8982^{\circ}\mathrm{C}$ ， $188.6547^{\circ}\mathrm{C}$ ， $222.6252^{\circ}\mathrm{C}$ 。 + +针对问题二 在大温区温度已知、制程界限给定的前提下确定元件最大过炉速度，实质上是非线性约束条件下的单目标单变量规划求解问题。使用问题一建立的元件温度变化模型，并将约束条件进行离散化处理，先在题设提供的速度区间中进行大致搜索，后反复减小步长和搜索区间，最终得到最大过炉速度为： $80.068\mathrm{cm / min}$ + +针对问题三 根据问题三要求与制程界限约束，将该问题转换为关于温区温度和过炉速度的单目标多变量最优化问题并使用遗传算法 (Genetic Algorithm) 求解。我们基于 MATLAB 的 GA 工具箱进行算法的编程实现。考虑到算法具有一定的随机性，我们还进行了多次独立求解及算法参数调整，最终确定最优解为： $170.5518^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1 \sim 5$ ）、 $185.0331^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 6）、 $225.6946^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 7）和 $265.0000^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $8 \sim 9$ ），传送带过炉速度 $86.1056 \, \mathrm{cm} / \mathrm{min}$ ，阴影部分面积为 $483.5632^{\circ}\mathrm{C} \cdot \mathrm{s}$ 。 + +针对问题四 该问题需同时考虑曲线的特定区域的面积最小及对称性偏差最小，可将该问题转换为复杂约束条件下的多目标优化问题。本文采用分层序列法的思想，在问题三使用的传统遗传算法的基础上，提出接力进化的遗传算法来进行寻解，并设置指标对潜在解进行二次筛选，最终确定最优解为： $169.4106^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1 \sim 5$ ）、 $185.0243^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $225.3092^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）和 $265.0000^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $8 \sim 9$ ），传送带过炉速度 $85.6735\mathrm{cm / min}$ ，对应的面积指标 $S = 483.5765^{\circ}\mathrm{C} \cdot \mathrm{s}$ ，对称程度指标 $E = 9.9904\mathrm{K}$ 。 + +关键词 一维热传导方程 Genetic Algorithm 多变量非线性规划 分层序列法 + +# 1 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +印刷电路板 (PCB) 回流焊工艺是电路板制造过程中重要的一环。在回流焊工艺中，为避免因炉温过高或不足对元件造成损坏，需要使用温度传感器实时检测焊接过程中元件中心温度的变化情况 [1]。通常情况下，由于回流焊炉的加热种类、热电偶放置位置等因素存在一定差异，需要通过实验标定元件焊接时的炉温曲线，并根据该曲线设置特定的加热环境，从而生产出品质较高的产品。然而在实际生产中，通过实验来标定曲线花费的成本较大，如何构建出元件焊接过程中的温度变化模型来较为准确地模拟特定加热环境的炉温曲线，已成为研究的一个重要课题。 + +# 1.2 问题提出（题目重述） + +在集成电路板等电子产品生产中，需要把装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热将电子元件自动焊接到电路板上。回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个特定温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。 + +![](images/6cf1c81197830fb5f8f7153a74f57d09b8a937b98d426c41a9fbc38a74fd4510.jpg) +图1：回焊炉截面示意图 + +如图1所示，在某个具有11个小温区的回焊炉中，每个小温区长度为 $30.5\mathrm{cm}$ ，相邻小温区之间有 $5\mathrm{cm}$ 的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为 $25\mathrm{cm}$ 。回焊炉启动后，炉内空气温度需在短时间内达到稳定之后进行焊接工作。在炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙处，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 。在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试元件焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线。焊接区域的厚度为 $0.15\mathrm{mm}$ 。温度传感器在焊接区域中心的温度达到 $30^{\circ}\mathrm{C}$ 时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。各温区初始时设定的温度分别为 $175^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1\sim 5$ ）、 $195^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $235^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）、 $255^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $8\sim 9$ ）及 $25^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $10\sim 11$ ）；传送带的过炉速度为 $70\mathrm{cm / min}$ 。在上述设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行 $\pm 10^{\circ}\mathrm{C}$ 范围内的调整。调整时要求小温区 $1\sim 5$ 中的温度保持一致，小温区 $8\sim 9$ 中的温度保持一致，小温区 $10\sim 11$ 中的温度保持 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 。传送带的过炉速度调节范围为 $65\sim 100\mathrm{cm / min}$ 。在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限，见表1。 + +
界限名称最低值最高值单位
温度上升斜率03°C/s
温度下降斜率-30°C/s
温度上升过程中在 150°C ~ 190°C 的时间60120s
温度大于 217°C 的时间4090s
峰值温度240250°C
+ +表 1: 制程界限 + +根据上述条件，需要研究以下四个问题： + +(1) 给定传送带过炉速度为 $78~\mathrm{cm / min}$ ，各温区温度的设定值分别为 $173^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1 \sim 5$ ）、 $198^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $230^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）和 $257^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $8 \sim 9$ ），要求建立数学模型并给出焊接区域中心的温度变化情况，列出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度，画出相应的炉温曲线，并将每隔 $0.5\mathrm{s}$ 焊接区域中心的温度存放在相应文件中。 +(2）给定各温区温度的设定值分别为 $182^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1\sim 5$ )、 $203^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $237^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）、 $254^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $8\sim 9$ ，要求确定允许的最大传送带过炉速度。 +(3) 在焊接过程中，理想的炉温曲线应使超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积最小。要求确定在此条件下的最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，并给出相应的面积。 +(4) 在焊接过程中，除满足制程界限外，以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线还应尽量对称。要求在问题3的基础上，进一步给出最优炉温曲线，以及各温区设定的温度及传送带过炉速度，并给出相应的指标值。 + +# 2 模型假设 + +1. 仅考虑热传导和热对流对元件焊接区域中心温度的影响 +2. 假设元件在回焊炉中运动过程不影响炉腔内温度分布 +3. 假设各个小温区中心保持恒温，回焊炉达到稳定工作状态后温度分布不再改变 +4. 假设元件为材质处处均匀的带厚度无限大平板，内部不含热源 + +# 3 符号说明 + +表2列出了本文需要的符号。 + +
符号符号描述单位
d焊接区域厚度mm
Ti炉内大温区温度分布函数 i(i=1,2,...5)K
T(x,t)元件温度分布函数K
t元件过炉时间s
v元件过炉速度cm/min
vmin满足制程界限的最小过炉速度cm/min
vmax满足制程界限的最大过炉速度cm/min
Δt网格t坐标轴方向步长s
Δx网格x坐标轴方向步长mm
tm网格t坐标轴上限s
wi,j编号为(i,j)的网格对应温度值K
α介质热扩散率m²/s
k导热系数W/(m·K)
h表面传热系数W/(m²·K)
f(t)焊接区域中心温度函数K
S炉温曲线中超过217℃到峰值温度所覆盖的面积°C·s
E对称偏差函数K
Tp峰值温度K
tp温度达到峰值的时间s
ts温度第一次达到217℃的时间s
Δt{423.15K≤T≤463.15K}温度上升过程中在150℃~190℃的时间s
Δt{T>490.15K}温度大于217℃的时间s
di小温区编号i(i=1,2,...11)
Di大温区编号i(i=1,2,...5)
+ +表 2: 符号说明 + +# 4 问题分析 + +# 4.1 问题一分析 + +问题一需要结合回焊炉工作参数，建立一维热传导方程模型计算焊接区域中心点处温度变化[2]。考虑方程中的热学参数待定，需要根据附件所给数据进行参数拟合，我们绘出了该元件在初始设定工作参数下焊接中心区域的温度变化曲线，如图2所示。为便于说明，现定义小温区 $1\sim 5$ 为预热区 $D_{1}$ 小温区6为恒温区 $D_{2}$ 、小温区7为升温区 $D_{3}$ 、小温区 $8\sim 9$ 为回流区 $D_{4}$ 、小温区 $10\sim 11$ 为冷却区 $D_{5}$ 。 + +由图中可知，在经过不同的大温区时，元件的温度曲线出现明显转折，且大温区内部设定的炉温保持一致，因此可假设 $D_{1}\sim D_{5}$ 内部模型参数相等，从而对元件温度曲线进行分段拟合处理。具体需要： + +1. 合理简化实际情况，列出热传导方程（组），确定边界条件。 +2. 采用合理的方法解方程，并分段求出各个温区对应的热学参数，使得模型预测结果与的牛图结 + +![](images/9b54128e066f3e16a05823ed7ee2b53c14eee8087402d85132964f0ec55501fc.jpg) +图2：实际炉温曲线 + +果之间的均方根误差最小。 + +3. 代入问题一所给的各温区温度和过炉速度，计算炉温曲线。 + +# 4.2 问题二分析 + +在问题二中，需在制程界限约束条件下确定出元件最大的过炉速度，以实现最优的经济效益。其中已给定预热区 $D_{1}$ 温度 $182^{\circ}\mathrm{C}$ 、恒温区 $D_{2}$ 温度 $203^{\circ}\mathrm{C}$ 、升温区 $D_{3}$ 温度 $237^{\circ}\mathrm{C}$ 、回流区 $D_{4}$ 温度 $254^{\circ}\mathrm{C}$ ，故只有元件传送速度影响元件炉温曲线的变化。该问题可转换为非线性约束条件下的单目标单变量规划求解问题，根据问题一中建立的元件温度变化模型，在速度区间的大致范围内利用MATLAB搜索即可得到问题结果。 + +# 4.3 问题三分析 + +问题三要求确定各个大温区的温度 $T_{i}(i = 1,2,3,4)$ 以及元件过炉速度 $\mathcal{V}$ ，使炉温曲线上温度高于 $217^{\circ}C$ 到峰值之间所围面积 $S$ 最小，该区域包括的面积如图3中阴影部分所示。由于我们已经构建出元件温度变化模型 $T(x,t)$ ，该问题可转换为关于温区温度和过炉速度的单目标多变量 $(T_{i},v),(i = 1,2,3,4)$ 最优化问题。由于该规划问题变量较多且关系复杂，拟采用启发式搜索算法如遗传算法等方法进行求解。 + +![](images/182b6782ac81fccff5d73035e588e5e99ea13cd79d7f42b11909e7ff64cf74d1.jpg) +图3：所围面积 $S$ 示意图 + +# 4.4 问题四分析 + +在问题三的基础上，问题四要求以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线尽量对称。为衡量曲线两侧的对称程度，我们基于峰值两侧对称数据的差异建立了刻画曲线对称性的数学模型，同时问题三中要求特定区域面积最小，因此这个问题本质上可以转化为多目标多变量的规划问题。针对多目标非线性规划问题，通常有线性加权法、分层求解法等解法。在本文中，我们拟采用分层序列法进行规划求解。 + +# 5 模型建立 + +假设进入回焊炉前元件均为室温，并且进入炉中的任意时刻均可以看作无限大带厚度均匀材质平板，它通过上下表面与温区进行对流换热，如图4所示： + +![](images/38d2a763a5ed4eaed1e6326e7b7796bf7e484b8748735877cdd591d76d7d1f55.jpg) +图4：模型示意图 + +# 5.1 热传导方程的建立 + +根据物理知识，在内部无热源的无限大均匀平面介质中[3]，有 + +$$ +\frac {\partial T}{\partial t} = \frac {k}{c \rho} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} \tag {1} +$$ + +记 $\alpha = \frac{k}{c\rho}$ 称为介质的热扩散率，则大温区 $D_{i}$ 中的一维热传导方程又可记为 + +$$ +\frac {\partial T}{\partial t} = \alpha_ {i} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} \quad (i = 1, 2, \dots , 5) \tag {2} +$$ + +# 5.2 边界条件的确定与模型的建立 + +由于不考虑热辐射的影响，在本题中，我们只需要考虑工件上下表面与外界环境的对流换热。因此，可以写出如下一维介质热传导方程组： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} T = T (x, t) \\ \frac {\partial T}{\partial t} - \alpha_ {i} \frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} = 0 \quad (i = 1, 2, \dots , 5) \\ - k _ {i} \left. \frac {\partial T}{\partial x} \right| _ {x = - \frac {d}{2}} + h _ {i} \left. T \right| _ {x = - \frac {d}{2}} = h _ {i} T _ {i} \quad (i = 1, 2, \dots , 5) \\ k _ {i} \left. \frac {\partial T}{\partial x} \right| _ {x = \frac {d}{2}} + h _ {i} \left. T \right| _ {x = \frac {d}{2}} = h _ {i} T _ {i} \quad (i = 1, 2, \dots , 5) \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +# 6 问题解答 + +# 6.1 炉内环境温度的计算 + +假设在每个小温区内炉中温度稳定均匀且保持不变，由于炉内空气温度会在启动后的短时间内达到稳定，即 + +$$ +\frac {\partial T}{\partial t} = 0 +$$ + +代入热传导方程，我们有 + +$$ +\frac {\partial^ {2} T}{\partial x ^ {2}} = 0 +$$ + +此时炉内温度的分布具有 $T(x) = mx + n$ 的线性形式。因此，我们认为小温区、炉前区域、炉后区域之间的间隙处温度分布是线性的，并认为炉外一切区域的温度都与室温相同。 + +根据题目给出的回焊炉外形参数，在已知五个大温区温度的情况下，我们可以给出环境温度 $T_{i}$ 满足的函数关系 $T_{i} = T_{i}(x)$ 。如利用实验中的炉温数据，可以作出如下的炉内环境温度曲线，见图5： + +![](images/7e872a294af1dc9ded5d4d707dce6463d78cb9a96c05a2477996bf1c99a8631f.jpg) +图5：实验中的环境温度 + +# 6.2 有限差分法解PDE方程 + +由于方程组(3)比较复杂，无法得到解析解，需要采用数值解法。偏微分方程定解问题的数值求解方法通常有两种：有限元素法和有限差分法，这里采用有限差分法进行计算[4]。 + +首先取时间步长 $\Delta t$ ，空间步长 $\Delta x$ ，将连续的平面区域离散化，建立二维平面网格 $x \times t$ ，网格点坐标为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l l} x _ {i} & = - \frac {d}{2} + i \Delta x, (i = 0, 1, 2, \dots , \lfloor \frac {d}{\Delta x} \rfloor) \\ t _ {j} & = j \Delta t, (j = 0, 1, 2, \dots , \lfloor \frac {t _ {m}}{\Delta t} \rfloor) \end{array} \right. +$$ + +根据热传导方程的差分形式 + +$$ +\frac {\partial T (x , t)}{\partial t} = \frac {T (x , t + \Delta t) - T (x , t)}{\Delta t} +$$ + +$$ +\frac {\partial^ {2} T (x , t)}{\partial x ^ {2}} = \frac {T (x + \Delta x , t) - 2 T (x , t) + T (x - \Delta x , t)}{\Delta x ^ {2}} +$$ + +得到如下的差分方程组： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} - k _ {i} \frac {T (- \frac {d}{2} + \Delta x , t) - T (- \frac {d}{2} , t)}{\Delta x} + h _ {i} T (- \frac {d}{2}, t) = h _ {i} T _ {i} \\ k _ {i} \frac {T (\frac {d}{2} , t) - T (\frac {d}{2} - \Delta x , t)}{\Delta x} + h _ {i} T (\frac {d}{2}, t) = h _ {i} T _ {i} \\ \frac {T (x , t + \Delta t) - T (x , t)}{\Delta t} = \frac {\alpha_ {i}}{2} \Bigg (\frac {T (x + \Delta x , t) - 2 T (x , t) + T (x - \Delta x , t)}{\Delta x ^ {2}} \\ + \frac {T (x + \Delta x , t + \Delta t) - 2 T (x , t + \Delta t) + T (x - \Delta x , t + \Delta t)}{\Delta x ^ {2}} \Bigg) \end{array} \right. +$$ + +方程组中前两个式子是边界条件离散化的结果。第三个式子是热传导方程离散化的结果，其等号右端是 $t$ 和 $t + \Delta t$ 计算值的算术平均。 + +化简之后，我们有： + +$$ +- \frac {k _ {i}}{\Delta x} T \left(- \frac {d}{2} + \Delta x, t\right) + \left(h _ {i} + \frac {k _ {i}}{\Delta x}\right) T \left(- \frac {d}{2}, t\right) = h _ {i} T _ {i} +$$ + +$$ +\left(h _ {i} + \frac {k}{\Delta x}\right) T \left(\frac {d}{2}, t\right) - \frac {k}{\Delta x} T \left(\frac {d}{2} - \Delta x, t\right) = h _ {i} T _ {i} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} A T (x + \Delta x, t + \Delta t) - (2 A + 1) T (x, t + \Delta t) + A T (x - \Delta x, t + \Delta t) \\ = - A T (x + \Delta x, t) + (2 A - 1) T (x, t) - A T (x - \Delta x, t) \\ \end{array} +$$ + +其中， $A = \alpha \Delta t / (2\Delta x^2)$ 。为便于表示，记 $w_{i,j} = T(x_i,t_j)$ ，可以将上式写成如下向量递推方程 + +$$ +\left( \begin{array}{c c c c c c c} h _ {i} + \frac {k}{\Delta x} & - \frac {k _ {i}}{\Delta x} & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ A & - (2 A + 1) & - A & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & A & - (2 A + 1) & - A \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & - \frac {k}{\Delta x} & h _ {i} + \frac {k _ {i}}{\Delta x} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} w _ {1, j + 1} \\ w _ {2, j + 1} \\ \vdots \\ w _ {i _ {\max } - 1, j + 1} \\ w _ {i _ {\max }, j + 1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} h _ {i} T _ {i} \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ h _ {i} T _ {i} \end{array} \right) \tag {4} +$$ + +图6即为有限差分法解偏微分方程的示意图。如图所示，为减小误差，我们根据网格相邻六个区域之间关系进行递推求解，直至解得 $T(0, t_{\max})$ 处结束。 + +![](images/5a804ff06f20967e5176c608dca15a8dac3a9d8c610043c0f48fd89738ee8ba1.jpg) +图6：有限差分法解偏微分方程示意图 + +# 6.3 模型热学参数的确定 + +利用MATLAB编程，我们可以在一定范围内对热力学参数进行设置，优化模型计算值与实际值之间的均方根误差。考虑到共有5个大温区，每个温区有 $k_{i},h_{i},\alpha_{i}$ 三个参数，导致问题的求解变得复杂。为此，我们简化模型求解，假设各个温区的参数 $k_{i},h_{i}$ 都相等，统一记为 $k,h$ ，仅考虑参数 $\alpha_{i}$ 的不同。 + +以参数 $k$ 的求解为例，我们先在较大范围内进行粗糙搜索，再在小范围内减小步长进行精细搜索，最终得出 $\mathrm{k}$ 的最优值为 $1.67\times 10^{-6}\mathrm{W / (m*K)}$ ，该过程均方根误差变化曲线如图7。 + +![](images/abbd199afe4e8792cc3289a13c28f739c15b96574895ad5e1a1dcb666ea5a94c.jpg) +图7：均方根误差变化曲线 + +同理我们可以求出 $h = 14.458\mathrm{W / (m^2*K)}$ 以及 + +$$ +\alpha = \left[ \begin{array}{l l l l l} 4. 4 3 7 & 5. 6 2 1 & 7. 4 4 9 & 4. 9 9 7 & 2. 4 0 1 \end{array} \right] \times 1 0 ^ {- 1 1} \mathrm {m} ^ {2} / \mathrm {s} +$$ + +将理论计算出的温度曲线与实际温度分布进行误差分析后，发现其拟合效果较好，如下图所示： + +![](images/13a9992c4846a550579f8af30d2af9f863c1c15927284943c6fdd8a7d8c1e568.jpg) +图8：实验炉温曲线对比 + +![](images/a3b1c10c00aff3361096d3bebc3ddc99c7e7285b6bbc4b9bd687ff0a7832c00d.jpg) +图9：工件整体温度分布 + +# 6.4 问题一求解 + +根据上文计算以及题目数据，已知 $h = 14.458 \mathrm{~W} / (\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{K})$ ， $k = 1.67 \times 10^{-6} \mathrm{~W} / (\mathrm{m} \cdot \mathrm{K})$ ，介质热扩散率 + +$$ +\alpha = \left[ \begin{array}{l l l l l} 4. 4 3 7 & 5. 6 2 1 & 7. 4 4 9 & 4. 9 9 7 & 2. 4 0 1 \end{array} \right] \times 1 0 ^ {- 1 1} \mathrm {m} ^ {2} / \mathrm {s} +$$ + +传送带过炉速度为 $78~\mathrm{cm / min}$ ，大温区温度 + +$$ +\boldsymbol {T} _ {i} = \left[ \begin{array}{l l l l l} 1 7 3 & 1 9 8 & 2 3 0 & 2 5 7 & 2 5 \end{array} \right] \mathrm {K} +$$ + +将其代入数学模型中，利用迭代公式 (4)，我们可以求出方程的数值解。经过检验，本题中求得的炉温曲线满足制程界限约束。并按照 $0.5\mathrm{s}$ 的时间间隔将焊接区域中心温度写入文件 result.csv 中。经计算，炉前区域最左端和题中要求的四个特殊点的距离分别为 $\left[111.25 217.75 253.25 304\right]\mathrm{mm}$ ，计算出时间后可知：小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度分别为 $129.1007^{\circ}\mathrm{C}$ ， $166.8982^{\circ}\mathrm{C}$ ， $188.6547^{\circ}\mathrm{C}$ ， $222.6252^{\circ}\mathrm{C}$ ，画出炉温曲线如图10所示。按照题目要求，我们以 $0.5\mathrm{s}$ 的时间间隔将焊接区域中心温度写入文件 result.csv 中。 + +![](images/dacf8cc039d223596003237c3ffcd79ff264e1e08f2fb4958adcda239b6cdc4b.jpg) +图10：问题一炉温曲线 + +我们还可以作出焊接区域在厚度方向和时间维度上的温度分布伪彩图，如图11所示： + +可以观察到越靠近焊接区域上下边缘的区域升温、降温越迅速，温度和炉中环境温度更为接近，中间区域变化相对缓慢，而这和实际情况也是相符的。该曲面用 $x = 0$ 截取所得的曲线即图10中的炉温曲线。 + +![](images/b5b05dc3f3690736a8bed05b35abd3ce3da7f6cc83eb6ac621685f0184cf8ceb.jpg) +图11：温度分布伪彩图 + +# 6.5 问题二求解 + +问题二的题目要求可表述为以下数学形式： + +max $v$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \left| \frac {\mathrm {d} T (0 , t)}{\mathrm {d} t} \right| \leq 3 \\ 6 0 \leq \Delta t _ {\{4 2 3. 1 5 \mathrm {K} \leq T \leq 4 6 3. 1 5 \mathrm {K} \}} \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq \Delta t _ {\{T > 4 9 0. 1 5 \mathrm {K} \}} \leq 9 0 \\ 5 1 3. 1 5 \leq \max T (0, t) \leq 5 2 3. 1 5 \\ 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \end{array} \right. \tag {5} +$$ + +关于约束条件的说明： + +- 条件 (5) 反映温度曲线上升斜率不大于 $3^{\circ}\mathrm{C} / \mathrm{s}$ , 下降斜率不小于 $-3^{\circ}\mathrm{C} / \mathrm{s}$ +- 条件 (6) 反映焊接区域温度在 $150^{\circ}\mathrm{C} \sim 190^{\circ}\mathrm{C}$ 范围内所经历的时间不低于 $60\mathrm{s}$ ，不高于 $120\mathrm{s}$ 。 +- 条件 (7) 反映焊接区域温度大于 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间不低于 $40\mathrm{s}$ ，不高于 $90\mathrm{s}$ 。 +- 条件 (8) 反映焊接区域的最大温度在 $240^{\circ}\mathrm{C} \sim 250^{\circ}\mathrm{C}$ 范围内。 +- 条件 (9) 反映元件过炉速度在 $65\mathrm{cm / min}\sim 100\mathrm{cm / min}$ 范围内。 + +针对问题二，我们采用问题一中处理 $\mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{t})$ 的思路，将温度函数进行数值化模拟。令 $f(t) = T(0,t)$ 则有 + +$$ +\begin{array}{l} \left| \frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t} \right| = \left| \frac {f (t + \Delta t) - f (t)}{\Delta t} \right| \leq 3 \\ \delta (t) = f (t + \Delta t) - f (t) \\ - 3 \Delta t \leq \delta (t) \leq 3 \Delta t \\ \end{array} +$$ + +故离散形式的约束条件可化为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} - 3 \Delta t \leq \delta (t) \leq 3 \Delta t \\ 6 0 \leq \Delta t _ {\{4 2 3. 1 5 \mathrm {K} \leq T \leq 4 6 3. 1 5 \mathrm {K} \}} \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq \Delta t _ {\{T > 4 9 0. 1 5 \mathrm {K} \}} \leq 9 0 \\ 5 1 3. 1 5 \leq \max f (t) \leq 5 2 3. 1 5 \\ 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \end{array} \right. +$$ + +根据要求，在[65,100]速度区间内以步长1确定满足约束条件的最大值。初步搜索得出最大过炉速度在 $80\mathrm{cm / min}$ 左右，搜索过程可以绘制成如下示意图： + +![](images/b31bb747063e35ad8bb66077c89db94b1927e1c558d1bf2bb250838ddb60935f.jpg) +图12：温度升降斜率与速度关系 + +![](images/1d553978bccaec3cb1d4cf8f010912a317518b3251bb73072da1428eae80d88b.jpg) +图13：升温时 $150^{\circ}\mathrm{C}\sim 190^{\circ}\mathrm{C}$ 时间与速度关系 + +![](images/c6b3150a7db3112bc57ad724470e648c5e4dd7caa562ae52bd686f14b0082a38.jpg) +图14：温度大于 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 时间随速度变化曲线 + +![](images/f83c773cfd8b2c287cf9b5100b2544f1ae56167e828f4e8566fc64fc14535df2.jpg) +图15：峰值温度随过炉速度变化曲线 + +从图中可以观察到温度升降斜率、升温时 $150^{\circ}\mathrm{C} \sim 190^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间、温度大于 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间和峰值随过炉速度的变化关系。可近似认为它们是关于过炉速度的单调函数，不存在陷入局部最优非全局最优的情况。因此，我们可将搜索区间限制在 $80\mathrm{cm / min}$ 周围并逐步减小搜索步长，最终以步长0.001搜索得到最优结果。在问题二设定的温区温度情况下，允许的最大传送带过炉速度为 $80.068~\mathrm{cm / min}$ + +# 6.6 问题三求解 + +问题三中的要求可用数学语言描述如下： + +$$ +\begin{array}{l} \min S = S \left(T _ {1}, T _ {2}, T _ {3}, T _ {4}, v\right) \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l l} \max \{v _ {m i n}, 6 5 \} \leq v \leq \min \{v _ {m a x}, 1 0 0 \} & (1 0) \\ 4 3 8. 1 5 \leq T _ {1} \leq 4 5 8. 1 5 & (1 1) \\ 4 5 8. 1 5 \leq T _ {2} \leq 4 7 8. 1 5 & (1 2) \\ 4 9 8. 1 5 \leq T _ {3} \leq 5 1 8. 1 5 & (1 3) \\ 5 1 8. 1 5 \leq T _ {4} \leq 5 3 8. 1 5 & (1 4) \\ v _ {m a x} = v _ {m a x} (T _ {1}, T _ {2}, T _ {3}, T _ {4}) & (1 5) \\ v _ {m i n} = v _ {m i n} (T _ {1}, T _ {2}, T _ {3}, T _ {4}) & (1 6) \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +关于约束条件的说明： + +- 当各个大温区温度设定后，元件的温度变化曲线只与过炉速度有关。因此，要使得元件温度曲线满足制程界限，只需元件过炉速度满足在最小速度 $v_{\min}(T_1, T_2, T_3, T_4)$ 到最大速度 $v_{\max}(T_1, T_2, T_3, T_4)$ 范围内。同时根据题中要求，也要满足在 $65\mathrm{cm / min} \sim 100\mathrm{cm / min}$ 范围内。 +- 各个大温区的设定温度应处于在原设定值基础上 $\pm 10^{\circ}\mathrm{C}$ 范围内。 + +# 6.6.1 面积计算 + +已知焊接区域中点温度随时间的分布情况为 $f(t) = T(0,t)$ ，则超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积可用积分表示为： + +$$ +S = \int_ {t _ {s}} ^ {t _ {p}} (f (t) - f (t _ {s})) \mathrm {d} t \tag {17} +$$ + +在之前的解题过程中，我们已经构建了模型并且编写了解模函数（见 modelsolve.m），只需确定各个温区温度和传送带过炉速度即可求出炉温曲线数值解。采用数值方法（梯形法）计算面积时，有： + +$$ +S = \sum_ {i = t _ {s}} ^ {i _ {p} - 1} \frac {\Delta t}{2} [ f ((i - 1) \Delta t) + f (i \Delta t) - 2 f (t _ {s}) ] \tag {18} +$$ + +其中 + +$$ +i _ {s} = \left\lfloor \frac {t _ {s}}{\Delta t} \right\rfloor + 1, \quad i _ {p} = \left\lfloor \frac {t _ {p}}{\Delta t} \right\rfloor + 1 +$$ + +# 6.6.2 遗传算法 + +在编程解决该规划问题时，我们选择了遗传算法[5]在可行域中进行搜索，待优化变量为一个五维向量 + +$$ +x = \left[ \begin{array}{c c c c c} T _ {1} & T _ {2} & T _ {3} & T _ {4} & v \end{array} \right] +$$ + +前四项为大温区 $D_{i}(i = 1,\dots ,4)$ 温度，第五项为传送带过炉速度。算法中种群的适应度函数为炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度部分所覆盖的面积 $S$ ，若不满足约束条件，将其设为 $+\infty$ 或一个充分大的数值（适应度函数值越低表示该个体的适应度越强）。遗传算法的思想可以用图16表示如下： + +![](images/4a79b5a40e2c532c83395a62f127574db132b2487256ec6fec85a4d081896efd.jpg) +图16: 问题三中的遗传算法图解 + +为尽可能减少遗传算法结果的不确定性，我们进行了多次独立重复求解。利用MATLAB的遗传算法工具箱编程并调整算法参数，将每次得到的潜在最优解记录在表3中： + +
序号\( {T}_{1}\left( {{}^{ \circ }\mathrm{C}}\right) \)\( {T}_{2}\left( {{}^{ \circ }\mathrm{C}}\right) \)\( {T}_{3}\left( {{}^{ \circ }\mathrm{C}}\right) \)\( {T}_{4}\left( {{}^{ \circ }\mathrm{C}}\right) \)\( v\left( {\mathrm{\;{cm}}/\mathrm{{min}}}\right) \)\( S\left( {{}^{ \circ }\mathrm{C} \cdot \mathrm{s}}\right) \)\( {T}_{p}\left( {{}^{ \circ }\mathrm{C}}\right) \)
1170.8829190.9232225.1458264.974586.9277485.0082240.0000
2179.3921193.8277231.8512264.906192.5838490.3543240.0000
3173.4935194.1070225.0590264.998088.0488487.0358240.0000
4181.1874193.9193225.1355264.358788.7989494.9952240.0005
5172.5797191.8482226.8208264.804387.9693487.0625240.0000
6179.6213190.9032231.5315264.992692.0452486.9773240.0000
7170.5518185.0331225.6946265.000086.1056483.5632240.0000
+ +表 3: 遗传算法运行结果 + +由于目标函数要求超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积尽量小，那么峰值温度就应该尽量低，并且在满足制程条件的情况下，过炉速度应该尽量快，使得焊接区域中心的温度超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间较短。分析上述多组数据，几次尝试的最优解峰值温度都不高，基本刚好为 $240^{\circ}\mathrm{C}$ ；同时过炉速度基本都超过 $85\mathrm{cm / min}$ ，这和上述判断是相符的，也侧面反应了使用遗传算法计算所得结果的正确性。取最优的一次运行结果为 + +$$ +\boldsymbol {x} = \left[ \begin{array}{l l l l l} 1 7 0. 5 5 1 8 & 1 8 5. 0 3 3 1 & 2 2 5. 6 9 4 6 & 2 6 5. 0 0 0 0 & 8 6. 1 0 5 6 \end{array} \right] +$$ + +该次运行过程中，最优个体和平均水平的变化过程可以可视化成图17所示。由于在个体适应度评估中，将不满足约束条件的个体的适应度函数值用充分大的数值表示，少数变异个体不在可行域内导致平均适应度呈散点图状分布。 + +![](images/4b030493ef7609aad952c943b4ca29ae75e33a6c5bad6b4613b77b0e06de2105.jpg) +图17：遗传算法运行过程示意图 + +因此，问题三的最优解为： $170.5518^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1\sim 5$ ）、 $185.0331^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $225.6946^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）和 $265.0000^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $8\sim 9$ ，传送带过炉速度 $86.1056~\mathrm{cm / min}$ ，该情况下炉温曲线如图18所示，阴影部分面积为 $483.5632^{\circ}\mathrm{C}\cdot \mathrm{s},$ 具体数值见附件P3.csv。 + +![](images/c5eafbe34d4bcc9e6300e5ddb8d142045e03c0b2a0907eea2f29d326a36e2fb9.jpg) +图18：最优解炉温曲线 + +# 6.7 问题四求解 + +以元件温度曲线峰值对应处 $t = t_{p}$ 为对称轴，在步长为 $\Delta t$ 的情况下，令 + +$$ +N = \frac {\left\lfloor \left(t _ {p} - t _ {s}\right) \right\rfloor}{\Delta t} +$$ + +选取 $t = t_{s} + i\Delta t$ ， $(i = 0,1,\dots ,N)$ 的数值点，并与对应的数值点 $t = 2t_p - (t_s + i\Delta t)$ ， $(i = 0,1,\dots ,N)$ 进行差值，得到刻画曲线对称性偏差的函数： + +$$ +E = \sqrt {\frac {1}{N} \sum_ {i = 0} ^ {N} \left| f [ 2 t _ {p} - (t _ {s} + i \Delta t) ] - f (t _ {s} + i \Delta t) \right| ^ {2}} \tag {19} +$$ + +于是，问题四可以使用数学语言描述为如下的双目标非线性规划问题： + +$$ +\min S = S \left(T _ {1}, T _ {2}, T _ {3}, T _ {4}, v\right) \tag {20} +$$ + +$$ +\min E = \sqrt {\frac {1}{N} \sum_ {i = 0} ^ {N} \left| f [ 2 t _ {p} - (t _ {s} + i \Delta t) ] - f (t _ {s} + i \Delta t) \right| ^ {2}} \tag {21} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \max \{v _ {m i n}, 6 5 \} \leq v \leq \min \{v _ {m a x}, 1 0 0 \} \\ 4 3 8. 1 5 \leq T _ {1} \leq 4 5 8. 1 5 \\ 4 5 8. 1 5 \leq T _ {2} \leq 4 7 8. 1 5 \\ 4 9 8. 1 5 \leq T _ {3} \leq 5 1 8. 1 5 \\ 5 1 8. 1 5 \leq T _ {4} \leq 5 3 8. 1 5 \\ v _ {m a x} = v _ {m a x} (T _ {1}, T _ {2}, T _ {3}, T _ {4}) \\ v _ {m i n} = v _ {m i n} (T _ {1}, T _ {2}, T _ {3}, T _ {4}) \end{array} \right. +$$ + +关于约束方程的若干说明： + +- 目标函数 (20), (21) 分别刻画了炉温曲线超过 $217^{\circ} \mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积和关于峰值的对称性。 +- 各温区温度需要在初始设定温度附近 $\pm 10^{\circ}\mathrm{C}$ 范围内。 +- 炉温曲线需要满足制程界限，故过炉速度也应满足相应的大小限制。 + +结合回焊炉实际工作情况考虑，为保证元件焊接质量，我们认为应当优先满足炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积最小的目标，再考虑峰值两侧对称性尽可能大。因此，我们采用分层序列法解决该问题，并对结果得到的潜在最优解进行二次筛选。定义评价函数 + +$$ +\min u = p S + (1 - p) E +$$ + +以其作为最终评价依据，从中选择最优者作为最终答案。 + +# 6.7.1 分层序列法 + +对于多目标规划问题 + +$$ +\min _ {\boldsymbol {x} \in D} \left\{f _ {1} (\boldsymbol {x}); f _ {2} (\boldsymbol {x}); \dots ; f _ {s} (\boldsymbol {x}) \right\} +$$ + +其中如果 $i < j$ ，则目标函数 $f_{i}(\pmb{x})$ 具有比 $f_{j}(\pmb{x})$ 更高的优先性，那么我们可以采用简单分层序列法。该方法的局限性是，若某一步最优化解是唯一的，其后所有步骤的解也是唯一的，致使之后所有目标函数失去意义。因此，求解较上层优化问题时，需要给予优化结果一定的宽容度。引进一系列充分小的正数 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_s$ ，并改进该算法如下： + +Algorithm 1 分层序列法 +Input: 初始可行域 $D$ ，优化目标函数 $\{f_1(x); f_2(x); \dots; f_s(x)\}$ +Output: $x^*$ , $\{f_1(x^k); f_2(x^k); \dots; f_s(x^k)\}$ +function OPTIMIZE $(D, [f_1(x); f_2(x); \dots; f_s(x)])$ $D^1 \gets D$ $k \gets 1$ +while $k \leq s$ do + $f_k(x^k) \gets \min_{x \in D_k} f_k(x)$ $x^k \gets \arg \min_{x \in D_k} f_k(x)$ $D^{k+1} \gets \{x \in D^k : f_k(x) \leq f_k(x^k) + \lambda_s\}$ $k \gets k + 1$ +end while +return $x^*$ +end function + +# 6.7.2 接力进化的遗传算法 + +我们采用分层序列法的思想，对问题三中使用到的遗传算法进行了进一步的优化，提出了接力进化的遗传算法，其大致过程可以用伪代码表达如下： + +Algorithm 2 接力进化的遗传算法 +Input: 初始可行域 $D$ ，优化目标函数 $\{f_1(\pmb {x});f_2(\pmb {x});\dots ;f_s(\pmb {x})\}$ +Output: $\pmb{x}^{*},\{f_{1}(\pmb{x}^{k});f_{2}(\pmb{x}^{k});\dots ;f_{s}(\pmb{x}^{k})\}$ +function OPTIMIZE(D, [f1(x);f2(x);···;fs(x)]) + $D^1\gets D$ +Population0← random values + $k\gets 1$ +while $k\leq s$ do + $f_{k}(\pmb{x}^{k})\gets \text{GeneticAlgorithm}(f_{k}(\pmb {x}),D_{k},\text{Population}^{k - 1})$ +Population $k\gets$ get final population of GeneticAlgorithm $(f_k(\pmb {x}),D_k,\text{Population}^{k - 1})$ $D^{k + 1}\gets \{\pmb {x}\in D^k:f_k(\pmb {x})\leq f_k(\pmb{x}^k) + \lambda_s\}$ $k\gets k + 1$ +end while +return $\pmb{x}^{*} = \text{Best individual in Population}^{s}$ +end function + +在问题三中，按照目标(20)，我们得到了面积 $S$ 可能的最优值为 $483.5632^{\circ}\mathrm{C}\cdot \mathrm{s}$ ，考虑到这个值极难取到，要给予一定的宽容上限，在这里取 $S(T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},v) < 495$ 。使用上述算法解决问题四的步骤 + +具体为： + +1. 以目标函数 (20) 作为适应度函数，使用遗传算法搜索若干代，得到最后的种群。 +2. 以目标函数 (21) 作为适应度函数，在约束条件中加入 $S(T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}, v) < 495$ ，以上一步得到的最终种群作为初始种群，进行接力进化。 + +经过多次运行算法，我们把最终得到的所有种群都记录在文件 pop.csv 中，并以每个个体的两种适应度分别作为横纵坐标绘制了分布散点图，如图19所示： + +![](images/54d9bcae7de6f7dd7dbd68567b5a806b1f845944fdede141935adf8e3ce6ffa4.jpg) +图19：进化结果分布散点图 + +可以看到这些结果仍然具有一定的随机性，但是往往峰值面积小对称性偏差也低，为了从中挑选最优者，我们将所有数据点的两个指标进行归一化处理，即 + +$$ +E = 2 \times \frac {E - E _ {\min}}{E _ {\max} - E _ {\min}} - 1, \quad S = 2 \times \frac {S - S _ {\min}}{S _ {\max} - S _ {\min}} - 1 +$$ + +定义 $u = 0.4E + 0.6S$ ，这意味着在我们的评价体系中曲线阴影部分面积的重要性更高（注意较小的E，S归一化之后是负的)，用它筛选出 $u < - 0.95$ 的几组作为本题的可行解： + +
序号T1(℃)T2(℃)T3(℃)T4(℃)v(cm/min)E(K·s)S(℃)
1169.4106185.0242225.3092265.000085.67359.9904483.5765
2170.5518185.0331225.6946265.000086.10579.9971483.5697
3169.0757186.4900225.1478264.996585.78089.9983484.1283
+ +表 4: 问题四备选解 + +得到最优结果如下： + +$$ +\boldsymbol {x} = \left[ \begin{array}{l l l l l} 1 6 9. 4 1 0 6 & 1 8 5. 0 2 4 3 & 2 2 5. 3 0 9 2 & 2 6 5. 0 0 0 0 & 8 5. 6 7 3 5 \end{array} \right] +$$ + +即： $169.4106^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1\sim 5$ ）、 $185.0243^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $225.3092^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）和 $265.0000^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $8\sim 9$ ，传送带过炉速度 $85.6735~\mathrm{cm / min}$ ，对应的面积指标 $S = 483.5765^{\circ}\mathrm{C}\cdot \mathrm{s},$ 对称程度 + +指标 $E = 9.9904\mathrm{K}$ ，炉温曲线如图20所示，具体数值见附件P4.csv。 + +图21是问题四最优解炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 部分和实验数据所作比较。可以直观地看到峰值左侧面积大大减小，同时两条曲线对称轴右侧部分切线斜率基本相似，（其绝对值）都大于左侧部分，但是蓝色曲线左侧斜率稍高，因此蓝色曲线对称程度提高了，这说明我们的计算结果是符合实际情况的。 + +![](images/ae2058eac9414b0e5728bb4f816056c22f987a31feaab1029a4e24e85412cfc9.jpg) +图20：问题四炉温曲线 + +![](images/141e3e7794e67580e5b0b217c341f6f17eba4bfd3ab9e398dd8cdd0e49c77d76.jpg) +图21：对称性比较 + +# 7 模型总结 + +# 7.1 灵敏性分析 + +# 7.1.1 模型对各个温区温度的灵敏性分析 + +通过查阅资料了解到，回流焊温度控制精度应当达到 $\pm 0.1\sim 0.2^{\circ}\mathrm{C}$ ，考虑到实际中温度控制常有偏差，我们分析了模型对各个温区控温偏差的灵敏性。以问题二为例，假设有一台回焊炉，其控温精度为 $\pm 0.1^{\circ}\mathrm{C}$ ，我们需要计算出当各个温区的温度在问题二最优解预设温度周围波动时，炉温曲线峰值温度左侧面积的变化情况。即在最优解周围以 $0.01^{\circ}\mathrm{C}$ 为步长，绘出目标函数 $S$ 变化曲线，其图像如下： + +![](images/642f680dff88278859245589a4df869f3f6be2aa861c330fc39fe9f3351cda96.jpg) +图22：炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 至峰值部分面积随 $T_{i}(i = 1,2,3,4)$ 变化曲线 + +可以看出，温度在 $0.1^{\circ}\mathrm{C}$ 范围内变化时对 $S$ 的影响程度在 $1\%$ 以内。温度偏高时炉温曲线的优化指标呈上升趋势，温度偏低时炉温曲线超出制程界限。因此在问题二的研究中，我们的炉温曲线模型对各个温区温度都较为敏感（尤其是大温区 $D_{4}$ ），能刻画出不同温区温度对曲线指定区域面积的影响作用大小，也体现了温度控制在整个生产工艺中的重要性。 + +# 7.1.2 模型对重要热学参数的灵敏性分析 + +在模型求参的步骤中，采用了按照一定步长搜索的方法。如 $k$ 的精细搜索步长是 $1 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / (\mathrm{K} \cdot \mathrm{s})$ 可能存在 $10^{-9}$ 数量级的误差，为了研究搜索误差对问题答案的影响，我们让 $k$ 在当前值附近以 $1 \times 10^{-9}$ 的步长变化，研究问题三的结果变化程度，得到炉温曲线超过 $217^{\circ} \mathrm{C}$ 至峰值部分面积随 $k$ 计算值变化曲线如图23所示： + +![](images/b261d3aa2f0e75f1d9efc9e5a8fc80d3e043181c8fae97b01df88a33782406d0.jpg) +图23：炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 至峰值部分面积随 $k$ 计算值变化曲线 + +面积指标的变化率在 $0.01\%$ 范围内变化，基本呈线性关系，可见模型对热学参数 $k$ 并不敏感，因此搜索精度导致的误差可以忽略不计。 + +# 7.2 模型优点 + +1. 本文模型基于传热学理论并对其进行了适当的简化处理，使用有限差分法求出的数值解与实际曲线拟合较好，能够较为精确地描述元件焊接过程温度变化规律。 +2.本文使用启发式搜索算法求解复杂约束条件下的多变量优化问题，通过合理设置算法参数，可以较好地避免结果陷入局部最优。相较于传统规划求解方法，该算法具有良好的可扩展性，容易和其他方法混合使用。 +3. 对于问题四中的双目标非线性规划问题，本文基于分层序列法的思想，充分考虑了不同规划目标的优先级，改进了规划求解算法，可适用于目标函数更多的情况。 + +# 7.3 模型缺点 + +1. 在建模过程中，只考虑焊接区域的厚度而对其他维度进行了简化。 +2. 忽略了热辐射对炉温曲线的影响，热传导方程组不够完备，在刻画峰值温度时容易产生偏差。 +3. 问题三、问题四算法运行耗时较长。 + +# 参考文献 + +[1] 汤宗健, 谢炳堂, 梁革英. 回流焊炉温曲线的管控分析 [J]. 电子质量, 2020, (08): 15-19+23. +[2] 宋巍. 基于加热机理分析的回流焊过程仿真建模与有限元分析 [D]. 东北大学, 2012. +[3] David W. Hahn. Heat conduction [M]. third edition, John Wiley and Sons, New York, (2012). +[4] 蔡志杰. 高温作业专用服装设计 [J]. 数学建模及其应用, 2019,8(01):44-52+83. +[5] 戴晓晖, 李敏强, 寇纪淞. 遗传算法理论研究综述 [J]. 控制与决策, 2000(03):263-268+273. + +# A 环境温度计算 + +%温区温度设置函数 + $\%$ getT0.m +function T0=getT0(s) +T_K=273.15; %温度单位转换 +global T1 +global T2 +global T3 +global T4 +if s<25 +T0=(T1-25)/(25-0)*(s-0)+25+T_K; +elseif s<197.5 +T0=T1+T_K; +elseif s<202.5 +T0=(T2-T1)/(202.5-197.5)*(s-197.5)+T1+T_K; +elseif s<233 +T0=T2+T_K; +elseif s<238 +T0=(T3-T2)/(238-233)*(s-233)+T2+T_K; +elseif s<268.5 +T0=T3+T_K; +elseif s<273.5 +T0=(T4-T3)/(273.5-268.5)*(s-268.5)+T3+T_K; +elseif s<339.5 +T0=T4+T_K; +elseif s<344.5 +T0=(25-T4)/(344.5-339.5)*(s-339.5)+T4+T_K; +else +T0=25+T_K; +end +end + +# B 模型求参代码 + +$\%$ PO.m +$\%$ 解模型参数 +$\%$ 完整的程序可能要花费好几分钟 + +$\%$ 所以在这里大部分搜索被注释了，直接给出了最优值 + +$\%$ 除了 $k$ 的 + +% 数据准备 + +clear,clc,close all; + +global T1 + +global T2 + +global T3 + +global T4 + +T1=175; + +T2=195; + +T3=235; + +T4=255; + +Tk=xlsread('附件.x1sx','A2:B710'); + +t_max=Tk(end,1); + +delta_x=1e-6; %单位:m + +thickness_x=0.15e-3; %单位:m + +T_K=273.15; %温度单位转换 + +v=70/60; %单位：cm/s + +size_x=round(thickness_x/delta_x+1); + +delta_t=0.5; %单位:s + +size_t=round(t_max/delta_t+1); + +TK=Tk+T_K; + +Emin=inf; + +E_history $= []$ + +$\%$ 精细搜索 + +for $k = 1e - 6:1e - 8:3e - 6\% 1.67e - 6$ + +for $h = 14.4580\% 14.4:0.001:14.6$ + +for alpha1=4.4370e-11%4.4e-11:1e-14:4.6e-11 + +for alpha2=5.6210e-11%5.6e-11:1e-14:5.8e-11 + +for alpha3=7.4490e-11%7.3e-11:1e-14:7.5e-11 + +for alpha4=4.9970e-11%4.9e-11:1e-14:5e-11 + +for alpha5=2.4010e-11%2.3e-11:1e-14:2.5e-11 + +T=zeros(size_x,size_t); %单位：K + +T(:,1)=ones(size_x,1)*(25+T_K); %初始处于车间温度中 + +A=alpha1*delta_t/2/delta_x^2; + +$\%$ 大温区1 + +M=eye(size_x,size_x); + +```matlab +M(1,1)=h+k/delta_x; +M(1,2)=-k/delta_x; +M(size_x,size_x-1)=-k/delta_x; +M(size_x,size_x)=h+k/delta_x; +for index_x=2:size_x-1 + M(index_x,index_x-1)=A; + M(index_x,index_x)=-2*A-1; + M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=2:348 + s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 + T0=getT0(s); %当前外界温度 + N(1)=h*T0; + N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 + N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))... + +(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); +end +T(:,index_t)=M\N; +end +``` + +$\%$ 大温区2 +```matlab +A=alpha2*delta_t/2/delta_x^2; +for index_x=2:size_x-1 +M(index_x,index_x-1)=A; +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=349:409 +s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 +T0=getT0(s); %当前外界温度 +N(1)=h*T0; +N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))... ++(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); +end +``` + +```matlab +T(:,index_t)=M\N; +end +%大温区3 +A=alpha3*delta_t/2/delta_x^2; +for index_x=2:size_x-1 +M(index_x,index_x-1)=A; +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=410:470 +s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 +T0=getT0(s); %当前外界温度 +N(1)=h*T0; +N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))... ++(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); +end +T(:,index_t)=M\N; +end +%大温区4 +A=alpha4*delta_t/2/delta_x^2; +for index_x=2:size_x-1 +M(index_x,index_x-1)=A; +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=471:592 +s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 +T0=getT0(s); %当前外界温度 +N(1)=h*T0; +N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))... ++(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); +``` + +end +T(:,index_t) $\equiv$ M\N; +end + +大温区5 +```matlab +A=alpha5\*delta_t/2/delta_x^2; +for index_x=2:size_x-1 +M(index_x,index_x-1)=A; +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=593:747 +s=(index_t-1)\*delta_t*v;%实际距离 +T0=getT0(s); %当前外界温度 +N(1)=h*T0; +N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))... ++(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); +end +T(:,index_t)=M\N; +end +``` + +%计算并记录误差 +```matlab +delta_T = T(76,39:end) - Tk(:,2); +E = sum(delta_T.*delta_T)/length(Tk); +E_history = [E_history E]; +if E < Emin + Emin = E; + alpha = [alpha1, alpha2, alpha3, alpha4, alpha5]; + kmin = k; + hmin = h; +end +end +end +end +end +end +``` + +```matlab +end +% 输出参数 +disp(['alpha=' num2str(alpha) ' m^2/s']) +disp(['k=' num2str(kmin) ' W/(m*K)']) +disp(['h=' num2str(hmin) ' W/(m^2*K)']) +disp(['E_min=' num2str(Emin) ' K']) +% 作图 +figure(1) +plot(1:size_t,T(76,:)); +hold on +plot(39:747,Tk(:,2)); +legend('模型数据','实际数据'); +xlabel('t(per 0.5s)'); +ylabel('T(K)'); +figure(2) +plot(E_history); +xlabel('k(W/(m*K))') +ylabel('误差(K)'); +figure(3) +colormap jet +surf([1:size_t]*0.5,[1:size_x]/size_t*0.15-0.15/2,T); +shading flat +xlabel('t(s)'); +ylabel('x(mm)'); +zlabel('T(K)'); +``` + +# C 模型求解代码 + +```matlab +%modelsolve.m +%根据具体数值解模型 +%输入速度和时间步长 +function T=modelsolve(v, delta_t) +%数据准备 +thickness_x=0.15e-3; %单位:m +delta_x=1e-6; %单位:m +T_K=273.15; %温度单位转换 +t_d=round([202.5 238.5 273.5 344 +``` + +```txt +size_x=round(thickness_x/delta_x+1); +size_t=t_d(5); +``` + +%热学参数 +```javascript +k=1.67e-06; +``` + +```javascript +h=14.4580; +``` + +```javascript +alpha1=4.4370e-11; +``` + +```javascript +alpha2=5.6210e-11; +``` + +```javascript +alpha3=7.4490e-11; +``` + +```javascript +alpha4=4.9970e-11; +``` + +```javascript +alpha5=2.4010e-11; +``` + +```txt +T=zeros(size_x,size_t); %单位：K +``` + +```txt +T(:,1)=ones(size_x,1)*(25+T_K); %初始处于车间温度中 +``` + +$\%$ 大温区1 +```txt +A=alpha1*delta_t/2/delta_x^2; +``` + +```javascript +M=eye(size_x,size_x); +``` + +```txt +M(1,1)=h+k/delta_x; +``` + +```javascript +M(1,2)=-k/delta_x; +``` + +```sql +M(size_x,size_x-1)=-k/delta_x; +``` + +```txt +M(size_x,size_x)=h+k/delta_x; +``` + +```txt +for index_x=2:size_x-1 +``` + +```txt +M(index_x,index_x-1)=A; +``` + +```txt +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +``` + +end +```txt +M(index_x,index_x+1)=A; +``` + +```javascript +N=zeros(size_x,1); +``` + +```python +for index_t=2:t_d(1) + s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 +``` + +```txt +T0=getT0(s); %当前外界温度 +``` + +```javascript +N(1)=h*T0; +``` + +```javascript +N(size_x)=h*T0; +``` + +```txt +for index_x=2:size_x-1 +``` + +```txt +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))... +``` + +$+ (2 * A - 1) * T (\text{index}_x, \text{index}_t - 1)$ ; + +end +end +$\%$ 大温区2 +T(:,index_t) $=$ M\N; + +```matlab +A=alpha2*delta_t/2/delta_x^2; +for index_x=2:size_x-1 +M(index_x,index_x-1)=A; +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=t_d(1)+1:t_d(2) +s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 +T0=getT0(s); %当前外界温度 +N(1)=h*T0; +N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))...+(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); +end +T(:,index_t)=M\N; +end +%大温区3 +A=alpha3*delta_t/2/delta_x^2; +for index_x=2:size_x-1 +M(index_x,index_x-1)=A; +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=t_d(2)+1:t_d(3) +s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 +T0=getT0(s); %当前外界温度 +N(1)=h*T0; +N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))...+(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); + end +T(:,index_t)=M\N; +end +%大温区4 +A=alpha4*delta_t/2/delta_x^2; +``` + +```matlab +for index_x=2:size_x-1 +M(index_x,index_x-1)=A; +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=t_d(3)+1:t_d(4) +s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 +T0=getT0(s); %当前外界温度 +N(1)=h*T0; +N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))...+(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); +end +T(:,index_t)=M\N; +``` + +$\%$ 大温区5 +```matlab +A=alpha5\*delta_t/2/delta_x^2; +for index_x=2:size_x-1 +M(index_x,index_x-1)=A; +M(index_x,index_x)=-2*A-1; +M(index_x,index_x+1)=A; +end +N=zeros(size_x,1); +for index_t=t_d(4)+1:t_d(5) +s=(index_t-1)*delta_t*v;%实际距离 +T0=getT0(s); %当前外界温度 +N(1)=h*T0; +N(size_x)=h*T0; +for index_x=2:size_x-1 +N(index_x)=-A*(T(index_x+1,index_t-1)+T(index_x-1,index_t-1))...+(2*A-1)*T(index_x,index_t-1); +end +T(:,index_t)=M\N; +end +end +``` + +# D 制程界限约束 + +% constraint.m + +$\%$ 计算制程界限 + +function [flag,upk,downk,risePeriod,peakPeriod,peakT]=constraint(T,delta_t) + +T=T-273.15; + +delta_T=T(2:end)-T(1:end-1); + +$k = [0, \text{delta\_T} / \text{delta\_t}]$ ; + +%温度上声斜率 + +$\mathsf{upk} = \mathsf{k}(\mathsf{k} > 0)$ + +$\%$ 温度下降斜率 + +\[ +\text{down} = k(k < \theta); +\] + +%温度上升过程中在 150?C 190?C 的时间 + +risePeriod=(length(T(k>0&T>=150&T<=190))-1)*delta_t; + +%温度大于 217°C 的时间 + +peakPeriod=(length(T(T>217))-1)*delta_t; + +%峰值温度 + +peakT=max(T); + +flag=1; + +%限制 12 + +if ~isEmpty(upk) && ~isEmpty(downk) + +if (max(upk) > 3) || (min(downk) < -3) + +flag=0; + +end + +else + +flag=0; + +end + +%限制3 + +if risePeriod<60 || risePeriod>120 + +flag=0; + +end + +%限制 4 + +if peakPeriod<40||peakPeriod>90 + +flag=0; + +end + +限制5 + +if peakT<240||peakT>250 + +flag=0; + +end + +end + +# E 问题一求解 + +$\%$ P1.m + +% 解决问题一 + +% 数据准备 + +clear,clc,close all; + +global T1 + +global T2 + +global T3 + +global T4 + +delta_t=0.5; %单位:s + +T_K=273.15; %温度单位转换 + +v=78/60; %单位：cm/s + +T1=173; + +T2=198; + +T3=230; + +T4=257; + +$\%$ 计算模型 + +T=modelsolve(v, delta_t); + +[ \text{[size\_x, size\_t]} = \text{size(T)} ] + +% 作图与回答问题 + +figure(1) + +colormap jet + +surf([1:size_t]*delta_t,[1:size_x]/size_t*0.15-0.15/2,T); + +shadingflat + +xlabel('t(s)'); + +ylabel('x(mm)'); + +zlabel('T(K)'); + +$\%$ 炉温曲线绘制 + +index_sensor=find(T(76,:)>30+T_K); %传感器大于30度开始工作 + +T_sensor=T(76,index_sensor); + +figure(2) + +plot(index_sensor\*delta_t,T_sensor); + +xlabel('t(s)'); + +ylabel('K'); + +$\%$ 制程界限约束 + +```matlab +disp('问题一解答：') +flag=constraint(T_sensor, delta_t); +if flag==1 + disp('炉温曲线符合制程界限'); +else + disp('炉温曲线不符合制程界限'); +end +% 给出特殊点温度 +x_d3=111.25; +x_d6=217.75; +x_d7=253.25; +x_d8=304; +t(di)=round([x_d3, x_d6, x_d7, x_d8]/v/delta_t); +disp(['小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度分别为：' num2str(T(76, t(di)-T_K) ' ]) +% 写出到 csv 文件 +handle=table([1: size_t]*0.5, T(76,:)'-T_K); +writetable(handle, 'P1.csv'); +``` + +# F 问题二求解 + +$\%$ P2.m + +$\%$ 解决问题二 + +% 数据准备 + +clear,clc,close all; + +global T1 + +global T2 + +global T3 + +global T4 + +delta_t=0.1; %单位:s + +T_K=273.15; %温度单位转换 + +T1=182; + +T2=203; + +T3=237; + +T4=254; + +% 搜索 + +$\mathbf{v\_max} = 0$ + +%粗糙搜索 + +```matlab +disp('粗糙搜索...') +up=zeros(1,36); %上升斜率 +down=up; %下降斜率 +upP=up; %150-190 +peakP=up; %217 +peakT=up; %峰值 +for i=65:100 + v=i/60;%单位换算 + T=modelsolve(v, delta_t); + %制程界限约束 + [flag, upk, downk, upP(i-64), peakP(i-64), peakT(i-64)]... = constraint(T(76,:), delta_t); + up(i-64)=max(upk); + down(i-64)=min(downk); + if flag==1 + v_max=i; + end +end +%作图与回答问题 +disp(['结果:' num2str(v_max)'cm/min']); +disp('精细搜索...') +figure(1) +plot(65:100, up); +xlabel('v(cm/min)'); +ylabel('k(s)'); +hold on +plot(65:100, down); +legend('温度上升斜率','温度下降斜率') +figure(2) +plot(65:100, upP); +xlabel('v(cm/min)'); +ylabel('t(s)'); +figure(3) +plot(65:100, peakP); +xlabel('v(cm/min)'); +ylabel('t(s)'); +figure(4) +plot(65:100, peakT); +xlabel('v(cm/min)'); +ylabel('T(K)'); +``` + +%精细搜索 +```matlab +for i=v_max:0.001:v_max+0.1 +v=i/60; +T=modelsolve(v, delta_t); +% 制程界限约束 +flag=constraint(T(76,:), delta_t); +if flag==1 + v_max=i; +end +end +disp(['结果:' num2str(v_max) 'cm/min')); +figure(5) +T=modelsolve(v, delta_t); +plot([1:size(T,2)]*delta_t, T(76,:)); +``` + +# G 问题三求解 + +% 解决问题三 +$\%$ 本程序按种群规模，时间步长，需要运行数十分钟至若干小时不等 + $\%$ 数据准备clear,clc,close all;T_K=273.15; $\%$ 温度单位转换delta_t=0.1;%单位:s + $\%$ 模型计算tic;opt=gaoptimset('Generations',800,'StallGenLimit',300,'PlotFcns',@gaplotbestf,'MigrationFraction',0.3);lb=[16518522524565];ub=[185205245265100];[x,fval]=ga(@evaluate,5,[], [], [],],lb,ub,[],opt);toc; + $\% x = [170.5518 185.0331 225.6946 265.0000 86.1057]$ $\%$ 作图global T1global T2global T3global T4T1=x(1);T2=x(2);T3=x(3); + +```matlab +T4=x(4); +v=x(5); %速度 +S=evaluate(x); +T modelingsolve(v/60, delta_t); +[Tmax,imax]=max(T(76,:)); %峰值温度 +% figure(2) +% plot(delta_t*[0:size(T,2)-1], T(76,:)); +% hold on +% plot([0 300],[217 217]+T_K,'k-'); +% plot([0 imax-1]*delta_t,[Tmax Tmax,'r-]); +% xlabel('时间 t(s)'); +% ylabel('温度 T(K)'); +% legend('炉温曲线','217'); +disp(['温区温度依次为：' num2str(x(1:4)) '圆')); +disp(['过炉速度为：' num2str(x(5)) 'cm/min']); +disp(['面积为：' num2str(S) 's]); +disp(['峰值温度：' num2str(Tmax-T_K) '圆')); +%适应度函数 +function E=evaluate(x) +global T1 +global T2 +global T3 +global T4 +T1=x(1); +T2=x(2); +T3=x(3); +T4=x(4); +v=x(5); %速度 +T_K=273.15; %温度单位转换 +delta_t=0.1; %单位:s +if T1<165||T1>185||T2<185||T2>205||T3<225||T3>245||T4<245||T4>265||v<65||v>100 +E=5000; %不满足温度、速度变化范围限制 +else +T modelingsolve(v/60, delta_t); %解模 +T_sensor=T(76,:)-T_K; %炉温曲线 +[~,index]=max(T SENSOR); +peak_index=find(T SENSOR>217); +``` + +peak $\equiv$ T_sensor(peak_index(1):index)-217; +S=sum((peak(1:end-1)+peak(2:end))*delta_t/2);%大于217温度到峰值面积 +flag $\equiv$ constraint(T(76:,),delta_t); +if flag $= = 0$ E=5000;%不满足制程界限 +else E=S; +end +end + +# H 问题四求解 + +$\%$ P4.m + +% 解决问题四 + +$\%$ 本程序按种群规模，时间步长，需要运行数十分钟至若干小时不等 + +$\%$ 有可能全员淘汰 + +% 数据准备 + +clear,clc,close all; + +T_K=273.15; %温度单位转换 + +delta_t=0.1; %单位:s + +$\%$ 模型计算 + +tic; + +opt=gaOPTimset('Generations',50,'StallGenLimit',50,'PlotFcns',@gaplotbestf); + +$1b = [165 185 225 245 65]$ ; + +ub=[185 205 245 265 100]; + +[ \text{[,~,~,~,~,final\_pop1]} = \text{ga(@evaluate1,5, [], [], [], [], lb, ub, [], opt)} ] + +opt=gaoptimset('Generations',50,'StallGenLimit',50,'PlotFcns',@gaplotbestf,' + +InitialPopulation',final_pop1); + +[x,fval,~,~,final_pop2] = ga(@evaluate2,5,[],[],[],!,lb,ub,[],opt); + +toc; + +$\% x = [169.4105 185.0242 225.3092 265.0000 85.6735];$ + +$\%$ 作图 + +global T1 + +global T2 + +global T3 + +global T4 + +T1=x(1); + +T2=x(2); + +T3=x(3); + +```matlab +T4=x(4); +v=x(5); %速度 +S=evaluate1(x); +E=evaluate2(x); +disp(['温区温度依次为：' num2str(x(1:4)) ' ]'); +disp(['过炉速度为：' num2str(x(5)) 'cm/min']; +disp(['对称度为：' num2str(E) ' ]]'); +disp(['面积为：' num2str(S) ' *s')); +%适应度函数 +% 按照面积 +function E=evaluate1(x) +global T1 +global T2 +global T3 +global T4 +T1=x(1); +T2=x(2); +T3=x(3); +T4=x(4); +v=x(5); %速度 +T_K=273.15; %温度单位转换 +delta_t=0.1; %单位:s +if T1<165||T1>185||T2<185||T2>205||T3<225||T3>245||T4<245||T4>265||v<65||v>100 +E=5000; %不满足温度、速度变化范围限制 +else +T modelingsolve(v/60, delta_t); %解模 +T_sensor=T(76,:)-T_K; %炉温曲线 +[~, index]=max(T_sensor); +peak_index=find(T SENSOR>217); +peak=T_sensor(peak_index(1):index)-217; +S=sum((peak(1:end-1)+peak(2:end))*delta_t/2); %大于217 温度到峰值面积 +flag=constraint(T(76,:), delta_t); +if flag==0 +E=5000; %不满足制程界限 +else +E=S; +end +end +end +``` + +```matlab +function E=evaluate2(x) +global T1 +global T2 +global T3 +global T4 +T1=x(1); +T2=x(2); +T3=x(3); +T4=x(4); +v=x(5); %速度 +T_K=273.15; %温度单位转换 +delta_t=0.1; %单位:s +if T1<165||T1>185||T2<185||T2>205||T3<225||T3>245||T4<245||T4>265||v<65||v>100 +E=5000; %不满足温度、速度变化范围限制 +else +T modelingsolve(v/60, delta_t); %解模 +T_sensor=T(76,:)-T_K; %炉温曲线 +[~, index]=max(T_sensor); +peak_index=find(T SENSOR>217); +peak=T_sensor(peak_index(1):index)-217; +S=sum((peak(1:end-1)+peak(2:end))*delta_t/2);%大于217 温度到峰值面积 +sym=T SENSOR(peak_index(1):index)-T_sensor(2*index-peak_index(1):-1:index); +E=sqrt(sum(*sym)/length.sym));%对称程度 +flag=constraint(T(76,:),delta_t); +if flag==0 || S>495 +E=5000; %不满足制程界限 +end +end +end +``` + +# I 灵敏性分析 + +% Lingmin_analyse.m +$\%$ 模型对控温仪器精度灵敏性分析 +% 数据准备 +clear,clc,close all; +T_K=273.15; %温度单位转换 +delta_t=0.1; %单位:s +% 作图 +$\%$ 对温度灵敏性 + +$\begin{array}{l}\mathrm{x} = [170.5518 185.0331 225.6946 265.0000 86.1057];\\ \mathrm{E} = \mathrm{zeros}(4,11);\\ \mathrm{flag} = \mathrm{zeros}(4,11);\\ \mathrm{figure}(1);\\ \mathrm{hold~on}\\ \mathrm{for~k = 1:4}\\ \mathrm{for~i = 1:11}\\ \mathrm{y = x;}\\ \mathrm{y(k) = y(k) + (i - 6) / 100;}\\ \mathrm{[E(k,i),flag(k,i)] = evaluate(y);}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{plot(([1:11] - 6) / 100,(E(k,:) - E(k,6)) / E(k,6),\prime - '));}\\ \mathrm{drawnow}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{for~k = 1:4}\\ \mathrm{for~i = 1:11}\\ \mathrm{if~flag(k,i) == 0}\\ \mathrm{plot((i - 6) / 100,(E(k,i) - E(k,6)) / E(k,6),\prime kx')};\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{end}\\ \mathrm{legend('D1','D2','D3','D4','超出制程界限');}\\ \mathrm{xlabel('\Delta T(K)');}\\ \mathrm{ylabel('\Delta S/Smax');}\\ \%\text{对}k\\ \% \text{figure(2)}\\ \% \text{hold on}\\ \% \text{for}k = 1.66e - 06:1e - 9:1.68e - 06\\ \% \text{E1=} \mathrm{evaluate(x,k);}\\ \% \text{plot}k,\left(E1 - 483.5697\right)/483.5697,'o');\\ \% \text{end}\\ \% \text{xlim([1.66e - 06,1.68e - 06]);}\\ \% \text{xLabel('k(W/(m*K))')};\\ \% \text{yLabel('\Delta S/Smax');}\\ \% \text{适应度函数}\\ \text{function[S,flag] = evaluate(x)}\\ \text{global T1}\\ \text{global T2} \end{array}$ + +```matlab +global T3 +global T4 +T1=x(1); +T2=x(2); +T3=x(3); +T4=x(4); +v=x(5); %速度 +T_K=273.15; %温度单位转换 +delta_t=0.1; %单位:s +T modelingsolve(v/60, delta_t); %解模 +T_sensor=T(76,:)-T_K; %炉温曲线 +[~, index]=max(T_sensor); +peak_index=find(T SENSOR>217); +peak=T_sensor(peak_index(1):index)-217; +S=sum((peak(1:end-1)+peak(2:end))*delta_t/2); %大于217 温度到峰值面积 +flag=constraint(T_sensor+T_K, delta_t); +end +``` + +# J 问题四种群分析 + +```matlab +% Population_analyse +% 对收集到的种群信息作图分析 +clear,clc; +X=csvread('pop.csv'); +figure(1) +xlim([483,494]); +ylim([9.9,10.5]); +xlabel('面积(K*s)'); +ylabel('对称性误差(K)') +hold on +% E=zeros(1,size(X,1)); +% S=E; +% for i=1:size(X,1) +% [E(i),S(i)]=evaluate(X(i,:)); +% end +plot(X(1:10,7),X(1:10,6),'.'); +plot(X(11:60,7),X(11:60,6),'.'); +plot(X(61:110,7),X(61:110,6),'.'); +plot(X(111:160,7),X(111:160,6),'.'); +plot(X(161:210,7),X(161:210,6),'.'); +``` + +```matlab +plot(X(211:260,7),X(211:260,6),'.'); +plot(X(261:310,7),X(261:310,6),'.'); +plot(X(311:359,7),X(311:359,6),'.'); +legend('第1组','第2组','第3组','第4组','第5组','第6组','第7组','第8组') +%挑选结果 +x=mapminmax(X'); +u=0.4*x(6,:)+0.6*x(7,:);%评价参数 +Y=[X,u']; +Y=sortrows(Y,8); +k=find(Y(:,8)<-0.9); +disp('备选解有') +xSelective=Y(k,:) +disp('最优解为') +xBest=Y(1,:) +``` + +# K 支撑文件列表 + +1. P0 文件夹：k 值搜索过程误差变化.png；附件炉温曲线.png；模型计算结果温度分布.png；模型示意图.png；实验环境温度.png；实验数据和模型数据炉温曲线对比.png; +2. P1 文件夹：P1.csv；result.csv(炉温曲线)；P1 炉温曲线.png；P1 温度分布.png; +3. P2 文件夹：大于 $217^{\circ}C$ 时间于过炉速度关系.png；峰值温度与斜率关系.png；过炉速度和升温过程斜率关系.png；上升过程 150-190 时间与斜率关系.png; +4. P3 文件夹：P3.csv；P3 炉温曲线.png；遗传算法进化图.png; +5. P4 文件夹：P4.csv；P4炉温曲线.png；对称偏差和峰值面积的二维散点图.png；最优解和实验数据对称性对比.png; +6. 模型总结文件夹：模型关于 k 的灵敏性.png；模型关于温度灵敏性.png； +7. 原材料文件夹：2020A-炉温曲线.docx； +8. 10个Matlab源代码：P0.m；P1.m；P2.m；P3.m；P4.m；getTO.m；lingmin_analyse.m; Population_analyse.m; constraint.m; modelsolve.m; +9. 数据文件：Pop.csv（问题四遗传算法部分种群文件）； +10. 数据文件：附件.xlsx（原题目所给附件）； \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/A212/A212.md b/MCM_CN/2020/A212/A212.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..eb7954d161df3a916054e40b1b6813e924584e5c --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/A212/A212.md @@ -0,0 +1,819 @@ +# 回焊炉温曲线优化控制 + +# 摘要 + +回焊炉通过设置各个温区的温度，加热集成电路板，能够将电子元件自动焊接到板子上，在表面贴装工艺技术中起到关键作用。回焊中的焊接区域中心温度变化对产品质量影响尤其重要。本文从物理机理方面入手建立模型，分析了电路板在回焊炉中的温度变化过程，对回焊炉温曲线的优化与控制进行了研究。 + +对于问题一，首先通过一维稳态传热模型确定回焊炉中各区域的温度分布并结合附件数据考虑区域之间边界处的影响，之后考虑电路板在炉中的温度变化情况，考虑热传导、热对流两种方式，对于升温过程建立基于能量守恒定律的微分方程组，针对不同区域使用不同热时间常数拟合；对于降温过程建立基于牛顿冷却公式的模型，得到对焊接区域中心温度变化曲线的数学模型，利用最小二乘法建立优化模型，拟合实际数据来求解未知参数的最优估计，得到参数对实际数据曲线拟合较好。之后代入第一问新数据计算，绘出了该情况下的炉温变化曲线。得到小温区3中点温度为 $129.0153^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区6中点为 $163.9644^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区7中点为 $174.8322^{\circ}\mathrm{C}$ 及小温区8结束处温度为 $207.8417^{\circ}\mathrm{C}$ 。并将每隔0.5S的数据存入到result.csv中。 + +对于问题二，我们根据题目中给出的各温区设定温度值，以题目中的制程界限为约束条件建立非线性规划模型。在题目中给出的传送带过炉速度范围内进行多重搜索的方法，先确定一个大致范围再以小步长进行精细的搜索；对于每一个过炉速度都可以基于第一问中已经得到的机理模型得到炉温曲线，从而可以判断此时的曲线是否满足制程界限。搜索得到的最大过炉速度为 $77.85\mathrm{cm / min}$ ，此时刚好能满足所有制程界限。 + +对于问题三，以题目中的制程界限以及各温度区设定温度值和传送带过炉速度的范围限制为约束条件，以炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积为优化目标，建立单目标优化模型来求取面积的最小值。利用模拟退火算法迭代20000次进行求解，得到的最优方案为 $184.2181^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1\sim 5$ ）、 $189.8133^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $227.5226^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）、 $264.0700^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区8~9），传送带过炉速度为 $90.0982\mathrm{cm / min}$ 。此时得到的炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积为406.2318。 + +对于问题四，在问题三的基础上引入对炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 部分关于最高温两边对称性的要求。首先定义对称性衡量指标，将最高温两边等量数据点之间的均方差作为衡量指标，结合题目中的制程界限以及各温度区设定温度值和传送带过炉速度的范围限制等约束条件，建立多目标优化模型。将对称度衡量指标与覆盖面积进行处理，选择合适的权值之后，我们将多目标优化模型转化为单目标优化模型，仍然采用模拟退火算法来求解最优解。得到的最优方案为 $183.5822^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区 $1\sim 5$ ）、 $190.5021^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区6）、 $227.1962^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区7）、 $264.4834^{\circ}\mathrm{C}$ （小温区8~9），传送带的过炉速度为 $90.1316\mathrm{cm / min}$ ，超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖面积为409.0650，达到了接近最优解的值；得到此时的对称性指标值为21.6865，此时画出的炉温曲线在 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 以上部分近似对称，温度上升斜率和下降斜率略有区别。 + +最后对模型优缺点进行了分析总结，并对存在的缺点提出了改进方案设想，还提出了推广的方向。 + +关键词传热模型炉温曲线多重搜索算法模拟退火算法多目标优化 + +# 一、问题重述 + +电子信息产业在我国发展迅速，促进了表面贴装工艺（SMT）的技术进步。在集成电路板的生产过程中，要将安装有各种电子元器件的印刷电路板放入回焊炉中进行回流焊，使得电子元器件能够自动地焊接到印刷电路板上。回焊炉中各部分的温度保持对生产产品的质量起到关键的作用。回流焊作为表面贴装工艺的核心工艺环节，主要通过回焊炉的温度曲线优化控制来不断提高生产效率与产品质量。 + +回焊炉内部从功能角度来划分，主要分为4个大温区，分别是预热区、恒温区、回流区和冷却区。运行时将需要加工的电路板放置在回流炉的传送带上，以恒定的速度进入炉中进行加工。本题所考虑的回流炉实际有11个长为 $30.5\mathrm{cm}$ 的小温区，每个小温区之间有 $5\mathrm{cm}$ 的间隙，除此之外有炉外区域包括炉前和炉后区，每个部分长度为 $25\mathrm{cm}$ 。回焊炉启动后会将各个小区的温度迅速升到指定温度并达到稳定，然后方可进行回焊，而炉外区域、小温区之间间隙不做温度控制，这些区域的温度以及各温区边界温度都受相邻温区的温度影响。生产车间的温度则保持在 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 。 + +在设定各温区的温度和传送带的恒定过炉速度后，使用温度传感器来测量焊接区域中心的温度得到一条温度变化的曲线，称之为炉温曲线。温度传感器在被测区域温度超过 $30^{\circ}\mathrm{C}$ 时开始工作。实际生产时为了控制和改善产品质量，需要调节各温区的设定温度以及传送带的过炉速度。某次实验设定的各温区温度为：小温区1~5设为 $175^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区6设为 $195^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区7设为 $235^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区8~9设为 $255^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区10~11设为 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 。传送带的过炉速度则设置为 $70\mathrm{cm / min}$ 。焊接区域的厚度设置为 $0.15\mathrm{mm}$ 。在此基础上，各温区的温度可以进行 $10^{\circ}\mathrm{C}$ 以内的调整，其中小温区1~5温度一致、小温区8~9温度保持一致、小温区10~11温度保持 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 。传送带的过炉速度可以在 $65\mathrm{cm / min} \sim 110\mathrm{cm / min}$ 之间变化。在电路板进行回焊操作时，炉温曲线应满足题目中表1给出的制程界限，对温度上升斜率、温度下降斜率、温度上升过程中在 $150^{\circ}\mathrm{C} \sim 190^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间、大于 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间和峰值温度做出了要求。 + +# 问题一： + +建模分析焊接区域的温度变化规律，假设过炉速度调整为 $78\mathrm{cm / min}$ ，小温区 $1\sim 5$ 设置为 $173^{\circ}C$ ，小温区6设置为 $198^{\circ}C$ ，小温区7设置为 $230^{\circ}C$ ，小温区 $8\sim 9$ 设置为 $257^{\circ}C$ ，通过模型计算得到焊接区域中心温度变化情况。列出指定位置的焊接区域中心温度，绘制炉温曲线，将每隔0.5S的温度数据存放到表格中。 + +# 问题二： + +小温区1~5设为 $182^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区6设为 $203^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区7设为 $237^{\circ}\mathrm{C}$ ，小温区8~9设为 $254^{\circ}\mathrm{C}$ ，计算允许达到的传送带的最大过炉速度。 + +# 问题三： + +实际过程中焊接区域中心的温度不能太长时间均处于 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 以上，峰值温度也不能设的太高。理论上超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积越小，炉温曲线越理想。确定满足此要求的最优炉温曲线，给出各温区的设定温度值以及传送带的过炉速度，给出面积大小。 + +# 问题四： + +焊接过程中希望炉温曲线满足制程界限的同时，尽量使得炉温曲线以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的部分对称。在问题三的基础上，进一步给出最优炉温曲线。给出各温区的设定温度值以及传送带的过炉速度，和对应的指标值。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +对于问题一，我们需要首先根据题目中给出的各个小温区的设定温度值，来计算稳定状态下回焊炉中各个温区、温区之间的间隙以及炉前区域、炉后区域等的温度分布。通过傅里叶定律推导一维稳态传热过程，确定在温区之间间隙的温度分布以及炉前区域的温度分布等。由题中已给出的区域长度信息，以及传送带的过炉速度，我们可以计算出在每个小温区和每个间隙经过的时间。 + +之后对电路板在回流炉中的焊接区域中心温度变化进行分析。利用垂直表面的热流密度与电路板表面积的乘积等于整个电路板得到的热能的关系，由于电路板厚度很小且导热系数很高，可以近似地认为整个电路板的温度相等均匀分布。从而导出一个电路板两面与相同温度热源进行热对流后任意时间的温度公式，因为在每个恒定温度的小温区的经过时间已知，我们可以得到电路板经过每个小温区后的温度变化情况。之后对于间隙中温度不恒定的情况，采用微分的思想，将间隙划分为很多宽度很小的区域，从而可以近似地认为每个区域温度相等，采用之前导出的公式进行计算。对于降温，采用牛顿冷却模型进行处理，列出常微分方程之后进行离散化处理得到差分方程，从而可以得到冷却时焊接区域中心温度的大致变化情况。 + +根据上述的模型，代入题目中附件给出的数据进行拟合来反推求解模型中的一些未知的参数。求解过程中发现降温过程中降温速率变化与理论不相符，得出回流区高温可能影响到冷却区的边界附近的温度，在模型中对其进行考虑；发现恒定的热时间常数使得峰值温度无法到达要求范围，了解到热时间常数随温度升高而降低，在模型中考虑不同的温区对应不同的热时间常数。修正模型之后根据数据再次拟合，得到模型中未知量（热时间常数、对流系数等）的值。 + +根据已经求得的模型，代入第一问中的新的各个温区的温度和传送带的过炉速度进行计算，从而得到焊接区域中心温度的变化情况，得到题目中要求的一些参数。 + +# 2.2 问题二的分析 + +问题二给出了各温区的设定温度，要求我们在此基础上确定允许的最大传送带过炉速度。这是一个非线性规划问题，目标是求出传送带过炉速度的最大值，约束条件是题目中所给的制程界限。传送带的过炉速度调节范围为 $65\sim 100\mathrm{cm / min}$ ，利用多重搜索算法，先设定较大的搜索步长，确定速度的大致范围，再设置较小的搜索步长进行精确搜索。对于每一个搜索的过炉速度值，利用问题一解得的模型，都能得到对应的炉温曲线图，以及各个时间点焊接区域中心的温度。判断当前的炉温曲线能否满足约束条件，若满足则保留当前的过炉速度值，否则舍去，直到搜索结束，找到最大的满足约束条件的过炉速度大小。 + +# 2.3 问题三的分析 + +问题三需要我们给出最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，使得超过 $217^{\circ}C$ 到峰值温度所覆盖的面积最小。这是一个优化问题，优化目标是求覆盖面积的最小值，约束条件一是题目中所列出的制程界限，二是各温区设定温度及传送带的过炉速度调节范围限制。通过以上分析建立优化模型，以各温区的设定温度和传送带过炉速度为变量，利用模拟退火算法进行求解。 + +# 2.4 问题四的分析 + +问题四需要我们在第三问的基础上，进一步考虑炉温曲线在 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 以上的部分升温和降温的过程尽量对称，同时要保证符合制程界限与各温区设定温度及传送带过炉速度调节范围的限制，并使得超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度所覆盖的面积仍能达到一个较小值。这 + +是一个多目标优化问题，一个目标是覆盖的面积，一个目标是曲线的对称度。一般可以为要优化的目标分配权值后再进行优化。我们首先要给出一个衡量对称度的量，我们取炉温曲线在 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 以上的部分，取最高温对应的时间和两个边界时间点，将两个边界时间点相减除以时间步长得到数据点总数，以最高温对应的时间点向时间正方向和负方向各取数据点总数的一半的数据，取正负方向各个对应点的温度值求均方差值，作为对称度衡量的指标。将面积和对称度数量级进行处理，使得两者的数量级一致，为两个因素分配合理的权值之后，得到一个多目标的优化模型，以各温区的设定温度和传送带过炉速度为变量，同样使用模拟退火算法来进行求解。 + +# 三、模型假设 + +1、假设观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差对本题的计算是没有影响的。 +2、在回焊炉中传热方式仅考虑热传导、热对流，假设热辐射对本题结果的计算没有影响。 +3、假设回焊炉温度高于室内温度的区域（即加热区域）的温度能够保持不变，每个温区内的温度均匀分布。 +4、假设在温度变化不大的情况下热时间常数和热空气和电路板间的热对流系数均保持不变。 + +# 四、符号说明及名词定义 + +
符号含义
Ti(i=1,2,3,4,5)各个温区的设定温度
T焊接区域中心温度
τi(i=1,2)两个温区分别对应的热时间常数
h热对流系数
Δt时间步长
v传送带过炉速度
ti(i=1,2,3,4,5)5个特定温度的对应时间值(详见第六节)
S炉温曲线超过217℃到峰值温度覆盖面积
l炉温曲线超过217℃的部分对称度
+ +# 五、问题一模型建立与求解 + +# 5.1 模型建立 + +# 5.1.1 模型准备 + +首先我们需要准备一定的物理背景，在本文中主要用到的热力学过程中的基本传热方式为热传导和热对流。热传导是指微观的粒子热运动所导致的热能传递，在固体、液体、气体中内部传热时都会产生热传导现象。热对流是指由流体宏观的运动引起的能量传递，在流体与物体的接触面会产生热交换。传热过程可以分为稳态和非稳态两种，区别在于稳态传热过程各点温度不随时间变化，而非稳态传热中各点温度随时间变化，其控制方程中含有时间因子。 + +对于热传导，通常使用傅里叶传热定律来建立模型，描述了温度差与热流密度的关系。 + +$$ +q = - \lambda \frac {d T}{d x} \tag {5-1} +$$ + +其中 $q$ 代表热流密度， $\lambda$ 代表传热系数， $\frac{dT}{dx}$ 代表空间上两点之间的温度差。 + +对于热对流，通常使用牛顿冷却公式来建立模型，描述了流体与物体表面换热的过程关系。 + +$$ +q = h \Delta T \tag {5-2} +$$ + +其中 $h$ 代表对流换热系数， $\Delta T$ 代表流体与物体表面温度差。 + +# 5.1.2 整体模型算法流程 + +我们将建立第一问的模型算法流程图给出，如图1所示，展示了我们求解整个回流焊炉温曲线的过程。 + +![](images/2c5bb6ad2ca32dfeba4b1ece2fc440c3372dbb3ff630b68118437091b73fc5d0.jpg) +图1、整体模型算法流程图 + +# 5.1.3 温度分布模型 + +由题目中的条件，当回焊炉启动后，炉内的空气会在很短时间内达到稳定状态，因而对于已经设置各小温区温度的回流炉中的温度分布问题，可以当做一个稳态传热问题来考虑。而对于不做特殊温度控制的各小温区的间隙部分和炉前区域，主要受相邻的温区温度的影响。对间隙温度分布作如下分析： + +![](images/f7e89786f431fe63daaf6a8e18caef4b25e561282dd6533ef1211a31ca372090.jpg) +图2、平板稳态导热示意图 + +如图2所示，将间隙当做一块介质为空气的平板，在两侧表面 $x = 0$ 和 $x = \delta$ 维持均匀恒定温度t1和t2，则平板内任意截面热流密度q相同。利用傅里叶定律，有 + +$$ +\int_ {0} ^ {\delta} q d x = - \lambda \int_ {t _ {1}} ^ {t _ {2}} d t \tag {5-3} +$$ + +由此得到的热流密度后，导出温度分布为 + +$$ +\frac {t - t _ {2}}{t _ {1} - t _ {2}} = 1 - \frac {x}{\delta} \tag {5-4} +$$ + +可得平板内沿导热方向面积不变，热流密度不变，温度分布呈线性分布。所以在之后的模型中，我们认为在炉前区域和温区之间的间隙部分，温度应按线性分布。 + +# 5.1.3 焊接区域中心温度变化模型 + +对于回流炉中某个特定的功能温区，电路板在该区域中受热升温的模型如图3所示。由于电路板的长度或宽度远远大于电路板的厚度，我们认为电路板的升温主要受垂直方向的热流影响，将水平方向的热流影响忽略不计。由于电路板的材质一般为金属，导热系数很大，且题中所给的电路板厚度很薄，我们因此假设整块电路板的温度近似均匀分布。 + +![](images/4e66870705b0cabfea8dc667cac6317a216fe306b423d5b83c161fa00d41aa3e.jpg) +图3、回流炉中对流加热模型示意图 + +其中电路板的面积记为A，热源的温度为 $\mathrm{T_i}$ （ $i = 1,2,3,4,5$ ），其中 $i = 1$ 时代表小温区 $1\sim 5$ ， $i = 2$ 代表小温区6， $i = 3$ 代表小温区7， $i = 4$ 代表小温区 $8\sim 9$ ， $i = 5$ 代表小温区 $10\sim 11$ ，它们代表了各温区初始设定的温度值。电路板的温度即焊接区域中心温度为T。 + +由热流密度与电路板面积的乘积可以得到电路板吸收的能量，而电路板吸收的热能导致了整块电路板升温现象，列出等式： + +$$ +d Q = h A \left(T _ {i} - T\right) d t = \rho C _ {p} V d T \tag {5-5} +$$ + +其中 $\mathrm{h}$ 代表炉内空气与电路板的对流系数。对（5-5）式两边积分，并假设电路板初始的温度为 $\mathrm{T}_{\mathrm{s}}$ ，加热一段时间后的温度为 $\mathrm{T}_{\mathrm{o}}$ 。 + +$$ +\int_ {0} ^ {t} \frac {h A}{\rho C _ {p} V} d t = - \int_ {T _ {s}} ^ {T _ {\mathrm {e}}} \frac {d (T _ {i} - T)}{T _ {i} - T} \tag {5-6} +$$ + +解得 + +$$ +\frac {T _ {\mathrm {e}} - T _ {\mathrm {s}}}{T _ {\mathrm {i}} - T _ {\mathrm {s}}} = 1 - e ^ {- \frac {h A t}{\rho C _ {p} V}} \tag {5-7} +$$ + +$$ +T _ {\mathrm {e}} = T _ {\mathrm {s}} + \left(T _ {\mathrm {i}} - T _ {\mathrm {s}}\right) \left(1 - e ^ {- \frac {h A t}{\rho C _ {p} V}}\right) \tag {5-8} +$$ + +我们令 $\tau = -\frac{\rho C_p V}{hA}$ 为加热的时间常数，将（5-8）式重写如下： + +$$ +T _ {\mathrm {e}} = T _ {\mathrm {s}} + \left(T _ {i} - T _ {\mathrm {s}}\right) \left(1 - e ^ {- t / \tau}\right) \tag {5-9} +$$ + +根据（5-9）式，由于题中已给出各个温区的分布，我们可以得到每个温区的温度和长度，由于已知传送带的传送速度，可以计算电路板在每个温区内的时间，因而可以计算电路板在经过每个温区后达到的温度。 + +对于小温区之间的间隙，我们将间隙划分为很小的区域，这样可以近似认为每个小区域内的温度保持恒定不变，那么我们也可以采用上式计算出电路板经过每个小区域后的温度，累加之后就可以计算电路板通过变温的间隙时所发生的温度变化。 + +考虑到电路板升温降温的机理可能有所差异，我们为降温过程另外选取一个模型进行计算。我们采用牛顿冷却公式建立模型。 + +$$ +\frac {d T}{d t} = - h \left(T - T _ {i}\right) \tag {5-10} +$$ + +其中 $\mathrm{h}$ 为电路板与空气之间的对流系数。 + +对上述微分方程进行差分处理，以方便编程计算，得到 + +$$ +\frac {\Delta T}{\Delta t} = - h \left(T - T _ {i}\right) \tag {5-11} +$$ + +将降温过程时间分为很小的时间段，使用可以通过已知的数据对这些参数进行拟合，求解出合适的数值。 + +# 5.2 模型求解 + +# 5.2.1 模型改进 + +在求解过程中发现了模型中的两个不足之处，因此对上述模型进行一些修改。 + +第一是在拟合降温时的温度曲线时发现，电路板在进入冷却区后（小温区 $10^{\sim}11$ ）的降温速率并不是最大的，而是在过了一段时间之后才达到最大值，这与温度差越大降 + +温速率越大的理论是不符合的。进行分析并查询相关资料后，我们认为可能是冷却区中第一个小温区的冷却能力不够强，导致炉内温度降低速率不够快，因而造成第一个小温区（小温区10）的边界附近温度受到回流区的温度影响，在边界附近炉内温度还处于较高水平，因而与电路板之间温差较小，从而降温速率较小；而后炉内温度逐渐降低，与电路板之间温差变大，因而导致降温速率在加快。我们考虑回流区的温度最多影响到第一个小温区的一半位置，将之前的区域使用与温区之间间隙同样的求解方法进行处理，能够比较好地拟合降温的温度曲线，从而证明了我们这个想法的正确性，拟合结果将在文中之后部分说明。 + +第二是从文献[1]中发现之前定义的加热的时间常数 $\tau$ ，在工程热物理学中，被认为是一个具有时间量纲的热时间常数，是一个取决于诸多因素的函数，它反映了被加热物体（电路板）对热源温度的响应快慢，值越小则对温度响应越快，升温越快。它不仅仅取决于加热物体本身，也是可以受诸如喷嘴喷出的冲击射流气体与电路板间的热交换特性等因素影响，因而在加热过程中可能不是一个恒定的值。在原本的模型中，若我们保持 $\tau$ 的值不变，在电路板温度达到较高的时候（回流区时），此时电路板对环境温度的响应较慢，会出现峰值温度无法达到指定要求范围的情况，这就是因为没有考虑到热时间常数的变化所导致的。当温度升高时，热时间常数一般会变小，从而能够响应更高的环境温度。为了方便计算，我们在小温区 $1\sim 6$ 升温过程对应一个时间常数 $\tau_{1}$ ，在小温区 $7\sim 9$ 升温对应另一个时间常数 $\tau_{2}$ ，利用（5-9）式，对题中给出的附件数据进行拟合。 + +# 5.2.2 模型求解与结果 + +通过题目中附件给出的数据，我们能够画出一条满足题中条件（ $\mathrm{T}_{1} = 175^{\circ}\mathrm{C}$ 、 $\mathrm{T}_{2} = 195^{\circ}\mathrm{C}$ 、 $\mathrm{T}_{3} = 235^{\circ}\mathrm{C}$ 、 $\mathrm{T}_{4} = 255^{\circ}\mathrm{C}$ 、 $\mathrm{T}_{5} = 25^{\circ}\mathrm{C}$ ，传送带的过炉速度为 $70~\mathrm{cm / min}$ ）的炉温曲线。而若给定 $\tau_{1}$ 、 $\tau_{2}$ 、 $h$ 的值，我们根据上述的模型，也能够画出一条炉温曲线，并得到对应的数据。通过最小二乘法，来建立参数估计的模型。 + +$$ +\left(\hat {\tau} _ {1}, \hat {\tau} _ {2}, \hat {h}\right) = \underset {\tau_ {1}, \tau_ {2}, h} {\arg \min } \sum_ {n = 1} ^ {N} \left[ T \left(t _ {n}; \tau_ {1}, \tau_ {2}, h\right) - T _ {0} \left(t _ {n}\right) \right] ^ {2} \tag {5-12} +$$ + +其中 $T(t_{n};\tau_{1},\tau_{2},h)$ 代表给定三个参数值之后，对于每个时间点求出的炉温值。而 $T_0(t_n)$ 代表题目附件中给出的每个时间点对应的炉温数据。 + +通过搜索三个未知的系数来求解附件中给出的炉温曲线的最佳拟合方式。求解具体步骤大致为： + +STEP1: 设置搜索 $\tau_{1}$ , $\tau_{2}$ 的步长均为 0.1, 而对于 $h$ 的搜索步长设置为 $10^{-5}$ ; + +STEP2: 代入三个参数的初始值，通过上述模型进行求解得到整个过程的炉温数据； + +STEP3:求解计算得到的炉温数据与附件给出的测量数据的误差，求出其平方和； + +STEP4: 重复上述步骤，在一定范围内搜索寻优找到能够实现对附件中给出的炉温曲线拟合最好的两个热时间常数和对流热系数。 + +通过上述的方法进行求解，得到的 $\tau_{1} = 57.4\mathrm{s}$ ， $\tau_{2} = 43.7\mathrm{s}$ ， $\mathrm{h} = 0.00678\mathrm{W / mm^2}\cdot \mathrm{^\circ C}$ 。得到的炉温曲线与附件中给出的炉温曲线如图4所示（其中升温之前一段水平是指刚进入炉前区域，此时环境温度仍保持在 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 左右，因此没有升温）。 + +![](images/12ec6f23bea0e679600fe4cd5ae39e9d0a2196d408b0de94363bc592c14a0e83.jpg) +图4、拟合曲线与附件中数据给出曲线的比较情况 + +从图4中可以看到，在升温过程中，所得到的模型结果与实际数据中给出的炉温曲线拟合情况较好。但是在降温的过程中，温度下降的速度略慢于实际数据的下降速度，从而在曲线上有一些差异。鉴于题目中给出的制程界限，其中对温度下降速率有一定的限制，而我们的模型得到的曲线在降温的时候较为平缓，我们可以认为我们的模型也有合理之处，可以更好地满足这个下降速率的限制。 + +当传送带过炉速度更为 $78~\mathrm{cm / min}$ ，各温区温度的设定值更改为 $\mathrm{T_1 = 173^{\circ}C}$ 、 $\mathrm{T}_{2} = 198^{\circ}$ C、 $\mathrm{T}_3 = 230^\circ \mathrm{C}$ 、 $\mathrm{T}_4 = 257^\circ \mathrm{C}$ 、 $\mathrm{T}_{5} = 25^{\circ}\mathrm{C}$ 。将这些数据代入到我们的模型中进行计算，得到在该情况下的焊接区域中心温度变化曲线，即炉温曲线，如图5所示。 + +![](images/8ba9ba96ae83fd82a538f1e7cf875bd6365d962527fbbfcef2db83c4e3521bec.jpg) +图5、第一问条件下的炉温曲线 + +该炉温曲线达到的峰值温度为 $242.2832^{\circ}\mathrm{C}$ ，且升温和降温的斜率都没有超过 $3^{\circ}\mathrm{C} / \mathrm{S}$ ，均符合制程限制中的条件。 + +对于题中所要求的几个特殊位置的温度值，结果如表一所示。 + +表 1、几个特殊位置的炉温值表 + +
位置温度/℃
小温区3中点129.0153
小温区6中点163.9644
小温区7中点174.8322
小温区8结束处207.8417
+ +每隔0.5s焊接区域中心的温度存入了result.csv中，可以从我们提供的支撑材料中查看结果。 + +# 六、问题二模型建立与求解 + +# 6.1 模型建立 + +在问题二中设定了各温区的温度分别为： $\mathrm{T}_{1} = 182^{\circ}\mathrm{C}$ ， $\mathrm{T}_{2} = 203^{\circ}\mathrm{C}$ ， $\mathrm{T}_{3} = 237^{\circ}\mathrm{C}$ ， $\mathrm{T}_{4} = 254^{\circ}\mathrm{C}$ $\mathrm{T}_{5} = 25^{\circ}\mathrm{C}$ 。在此条件下需要求出允许的最大传送带过炉速度 $\nu$ 。首先由题意可知， $\nu$ 的调节范围是 $65\sim 100\mathrm{cm / min}$ ，即： + +$$ +6 5 c m / \min \leq v \leq 1 0 0 c m / \min \tag {6-1} +$$ + +之后通过多重搜索法对允许的速度 $\nu$ 的最大值进行搜索。对于每一个搜索值，利用问题一中建立的模型，都可以得到焊接区域的温度变化规律。当前所得到的炉温需要满足如下的约束条件： + +$$ +\left| \frac {T _ {i} - T _ {i - 1}}{\Delta t} \right| \leq 3 \tag {6-2} +$$ + +$$ +6 0 \leq t _ {2} - t _ {1} \leq 1 2 0 \tag {6-3} +$$ + +$$ +4 0 \leq t _ {5} - t _ {3} \leq 9 0 \tag {6-4} +$$ + +$$ +2 4 0 \leq T \left(t _ {4}\right) \leq 2 5 0 \tag {6-5} +$$ + +其中， $T(i)$ 表示对炉温曲线离散化处理之后第 $i$ 时刻的温度， $\Delta t$ 表示对炉温曲线离散化的步长。 $t_1$ 、 $t_2$ 、 $t_3$ 、 $t_4$ 、 $t_5$ 满足以下条件： + +$$ +T \left(t _ {1}\right) = 1 5 0 \tag {6-6} +$$ + +$$ +T \left(t _ {2}\right) = 1 9 0 \tag {6-7} +$$ + +$$ +T \left(t _ {3}\right) = T \left(t _ {5}\right) = 2 1 7 \tag {6-8} +$$ + +$$ +T \left(t _ {4}\right) = \max [ T (t) ] \tag {6-9} +$$ + +先设置较大的步长对 $\nu$ 进行搜索，找到满足约束条件的 $\nu$ 的最大值。再设置较小的步长，对那个最大值向后进行更精确的搜索，最终得到较准确的 $\nu$ 值。 + +# 6.2 模型求解 + +我们运用多重搜索算法对传送带的过炉速度 $\nu$ 进行两次搜索，第一次得到过炉速度 $\nu$ 最大值的大致值，第二次在前面求得的最大值附近以更小的步长搜索，得到其精确值。STEP1 初步搜索 + +以 $1\mathrm{cm / min}$ 为步长，在 $[65\mathrm{cm / min},100\mathrm{cm / min}]$ 内进行搜索。对于每一个搜索值 $\nu$ ，利用问题一的模型，都可以得到一个对应的炉温曲线。之后判断此炉温曲线是否满足约束条件，若满足则将最大值更新，否则不更新。最终得到满足条件的传送带的过炉速度 $\nu$ 最大值为，由此进行第二次搜索。 + +# STEP2 精确搜索 + +在[76cm/min, 78cm/min]的范围内，以0.01cm/min为步长对 $\nu$ 的最大值进行搜索。最终得到满足条件的 $\nu$ 最大值为 $77.85\mathrm{cm / min}$ 。 + +此时的炉温变化曲线如下图6所示： + +![](images/4f79ce501d43d7e31db5cddd16eab1f67d54eda71101f0ad52a6d6bb0aab2887.jpg) +图6、过炉速度 $= 77.85\mathrm{cm / min}$ 时的炉温曲线 + +得到的峰值温度约为 $240.04^{\circ}\mathrm{C}$ ，得到温度上升过程中在 $150^{\circ}\mathrm{C} - 190^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间为82.19S，温度大于 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间为67.40S，最大的温度上升斜率和温度下降斜率均未超过 $\pm 3^{\circ}\mathrm{C}$ 的范围，均符合题目中的制程界限，可以认为 $77.85\mathrm{cm / min}$ 为此时最大的传送带过炉速度。 + +# 七、问题三模型建立与求解 + +# 7.1 模型建立 + +问题三的优化目标是炉温曲线温度上升过程中超过 $217^{\circ}C$ 到峰值温度所覆盖的面积S取到最小值，如下图7中阴影部分所示，变量是各温区的设定温度 $\mathrm{T_i}$ （ $\mathrm{i = 1,2,3,4,5}$ 和传送带过炉速度 $\nu$ ，共五个自变量。 + +![](images/92c5429d062f2e5cbd7e3bb154f30e9f0d25be6fc444ea5bd9b13f15be4dd479.jpg) +图7、峰值温度覆盖面积示意图 + +其中S的计算公式为 + +$$ +S = \int_ {t _ {3}} ^ {t _ {4}} T (t) d t - 2 1 7 \left(t _ {4} - t _ {3}\right) \tag {7-1} +$$ + +根据题目中给出的制程界限以及各温区设定温度值与传送带过炉速度的限制范围，我们可以综合建立炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度覆盖面积的优化模型： + +$$ +\min S \tag {7-2} +$$ + +$$ +\begin{array}{l} \text {s . t .} \left| \frac {T _ {i} - T _ {i - 1}}{\Delta t} \right| \leq 3 \\ 6 0 \leq t _ {2} - t _ {1} \leq 1 2 0 \\ 4 0 \leq t _ {5} - t _ {3} \leq 9 0 \\ 2 4 0 \leq T (t _ {4}) \leq 2 5 0 \\ 1 6 5 \leq T _ {1} \leq 1 8 5 \\ 1 8 5 \leq T _ {2} \leq 2 0 5 \\ 2 2 5 \leq T _ {3} \leq 2 4 5 \\ 2 4 5 \leq T _ {4} \leq 2 6 5 \\ 6 5 \leq v \leq 1 0 0 \end{array} +$$ + +其中 $t_1$ 、 $t_2$ 、 $t_3$ 、 $t_4$ 、 $t_5$ 仍然满足（6-6）到（6-9）式的要求。 + +# 7.2 模型求解 + +# 7.2.1 模拟退火算法 + +对于该优化模型，我们可以采用模拟退火智能算法来求解。 + +在利用模拟退火算法对该优化问题之前，我们先对该优化算法进行简述。模拟退火算法是一种基于蒙特卡洛迭代求解策略的随机寻优算法，出发点是基于固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。它是局部搜索算法的扩展，以一定的概率选择领域中目标值较大的状态，从而达到求解全局优化问题的目的。判断新解是否接受的依据一般为Metropolis准则： + +1、若 $\Delta E < 0$ ，则接受新解； +2、否则接受新解的概率由下式确定： + +$$ +p = e ^ {- \Delta E / T} \tag {7-3} +$$ + +模拟退火算法的流程图如图8所示。 + +![](images/4398052846db4af0c5584f45bd229bd0a938c6489ff2f9623afcb7f8c040ff4e.jpg) +图8、模拟退火算法流程图 + +# 7.2.2 模型结果 + +利用模拟退火算法对上述优化模型进行计算。选取迭代次数为20000次，得到迭代次数与优化目标的变化如下图9所示： + +![](images/e5cc325d9d2bd91877c08526a764fed236318f3d892b0608a3083f65a6f21d8f.jpg) +图9、优化目标值随迭代次数变化图 + +从图中可以看出，随着迭代次数的增加，优化目标先快速下降，而后变化逐渐趋缓，在迭代约8300次后优化目标已经达到比较好的结果。此时的炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度覆盖面积达到了最小值。各参变量的结果如表2所示。 + +表 2、模拟退火求解结果表 + +
T1/℃T2/℃T3/℃T4/℃v/℃面积S
184.2181189.8133227.5226264.070090.0982406.2318
+ +在上述条件下，焊接区域中心的温度超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间为53.49s，峰值温度为 $240.1371^{\circ}\mathrm{C}$ ，满足题中“焊接区域中心的温度超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的时间不宜过长，峰值温度也不宜过高”的条件。 + +# 八、问题四模型建立与求解 + +# 8.1 模型建立 + +在第三问的基础上，第四问要增加考虑要使得以峰值温度为中心线的两侧超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的炉温曲线应尽量对称的目标，首先为曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 温度线部分的对称程度定义一个指标。 + +我们首先通过设定各小温区的温度以及传送带的过炉速度，能够得到一条确定的炉温曲线，能够得到温度到达 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 的两个边界时间 $\mathfrak{t}_3$ 和 $\mathfrak{t}_5$ ，满足（6-8）的要求。并能够得到取到最高温的时间，即上文中提到的 $\mathfrak{t}_4$ ，满足（6-9）的要求。然后，以 $\mathfrak{t} = \mathfrak{t}_4$ 为对称轴，两边对称各取 $n$ 组数据进行比较。 $n$ 值的计算公式为 + +$$ +n = \text {f l o o r} \left[ \left[ \left(t _ {4} - t _ {3}\right) + \left(t _ {5} - t _ {4}\right) \right] / (2 \Delta t) \right] \tag {8-1} +$$ + +其中 $\Delta t$ 代表所取的时间步长。 + +对称度通过两边对应点温度均方差来衡量，通过下式来计算： + +$$ +l = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} \left(T \left(t _ {+} ^ {i}\right) - T \left(t _ {-} ^ {i}\right)\right) ^ {2}}{n} \tag {8-2} +$$ + +其中 $T(t_{+}^{i})$ 代表对称轴右侧距对称轴的第i组数据， $T\left(t_{-}^{i}\right)$ 代表对称轴左侧距对称轴的第i组数据。 + +合理调整面积S和对称度指标1的数量级，将其调整至同一数量级大小，分别记为 $\hat{S}$ 和 $\hat{l}$ ，选取合适的权值考虑两者的影响程度，由此建立优化模型。 + +![](images/085f90958d587b519a2bf8e61b50f5212191ed2220ed69fe000ae66b52503827.jpg) + +# 8.2 模型求解 + +同样使用上一问的模拟退火算法，仅需将原来的适应度函数改成上述的加权后的优化目标，将迭代次数设置为50000次，进行计算，得到迭代次数与加权后的优化目标值的变化关系图如图10所示。 + +![](images/50faa27f013fff294ce03e3a44ef0548d19d13d50c2a7a7ea4335fd66a2861cb.jpg) +图10、加权后优化目标值随迭代次数变化图 + +可以看到加权后的优化目标值在开始迭代后迅速下降，之后降速趋缓，在迭代约43000次后得到最优解。得到各参变量的结果如表3所示。 + +表 3、第四问模拟退火求解结果表 + +
T1/℃T2/℃T3/℃T4/℃v/℃面积S对称度l
183.5822190.5021227.1962264.483490.1316409.065021.6865
+ +此时面积S与第三问中的最优解相差比较小，而对称度1经过对一些炉温曲线的估计之后发现此时达到的21.6865也处于比较好的水平。画出此时的炉温曲线如图11所示。可以发现，此时的炉温曲线在 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 以上的部分近似对称，在升温过程的斜率绝对值略小于降温过程的，但是此时两边对应点的均方差达到了很小的值，且炉温曲线超过 $217^{\circ}\mathrm{C}$ 到峰值温度覆盖面积也达到了较小的数值，因此这个求解结果还是比较好的。 + +![](images/59256010c3138b3c95d3cc2049b8b60c709fe8a9caad365056484c47cac3e014.jpg) + +图11、第四问最优解炉温曲线示意图 + +# 九、模型评价与推广 + +# 9.1 模型优点 + +1、在问题一中，我们选取了两个不同的方法来分别建立焊接区域中心的加热和冷却模型，使得我们的模型更加贴近实际。 +2、问题二利用了多重搜索法，减少了运算量，可以较快地解决问题。 +3、问题三和四我们利用了模拟退火算法，避免搜索结果进入局部最优解。 +4、在求解模型时，我们设置时间步长为0.01s，取值较小，使得计算的精度更大。 + +# 9.2 模型缺点与改进 + +1、没有考虑PCB板厚度，即热量从表面传热到中心的过程，对模型会产生一定的影响。 +2、对于温度下降冷却阶段，曲线拟合较差，因为没有准确推导从高温区转到低温区的温度分布，导致拟合出现误差。 +3、对于模拟退火算法解决的第三四两问，运算量较大，算法耗时较长，可能尚未搜寻到最优解，不能迅速准确地得到问题结果。 + +可能的改进方案首先是对物理机理层面利用差分方程推导出环境的温度分布，以及PCB板表面到中心的温度分布。对于优化算法层面，可以使用改进的模拟退火或者遗传算法等一系列算法，提高运算速度，并且能够更加准确找到全局的一个最优解。 + +# 9.3 模型推广 + +本文对回焊炉中电路板的加热过程做了较为完整的分析，综合考虑了回焊炉中可能对炉温曲线带来影响的多种因素，包括热时间常数的变化以及区域间的温度影响等，因而对于实际操作控制有一定的借鉴意义。从文献中了解到在回焊炉加工的物品中加装温度传感器，实时测定焊接区域中心温度，并以此改变回焊炉各区域的温度设定以及过炉速度等，能够更好地满足电路板的加工要求，提高生产产品的质量，我们在本文中的研究能为这种技术的理论研究提供一些帮助。 + +# 十、参考文献 + +[1] 高金刚，表面贴装工艺生产线上回流焊曲线的优化与控制[D]，上海交通大学，2007. +[2] J. Lempinen and A. Tuominen, "Evaluation of Reflow Ovens for Lead-Free Soldering," 2006 25th International Conference on Microelectronics, Belgrade, 2006, pp. 609-612, doi: 10.109/ICMEL.2006.1651040. +[3] 李友荣、吴双应、石万元、崔文智等，传热分析与计算[M]，中国电力出版社，2013. +[4] 赵镇南 传热学（第二版）[M]，高等教育出版社，2008. +[5]包子阳、余继周、杨杉 智能优化算法及其 MATLAB 实例（第 2 版）[M]，电子工业出版社，2017. + +附录： + +# 问题一： + +function result $=$ F(t,v,T1,T2,T3,T4) + +$\%$ 计算当前环境温度 + +$\% \mathrm{v}$ ：移动速度；Ti：第i个不同温区的温度； + +t1=25/v; % 炉前区域 + +[ t2 = t1 + (30.5 * 5 + 5 * 4) / v; \quad \% \text{小温区} 1 - 5 ] + +t3=t2+(5+30.5)/v; %小温区6 + +t4=t3+(5+30.5)/v; % 小温区7 + +t5=t4+(5*2+30.5*2)/v; % 小温区8-9 + +if $(t<=t1-(T1-25)/20)$ $T=25$ + +elseif(t>t1-(T1-25)/20 && t<=t1) + +T=175-(t1-t)/(T1-25)*20*150; + +elseif(t>t1 && t<=t2) T=T1; + +elseif(t>t2 && t<=t2+5/v) + +$\mathrm{T} = (\mathrm{t} - \mathrm{t}2)^{\star}\mathrm{v} / 5^{\star}(\mathrm{T}2 - \mathrm{T}1) + \mathrm{T}1;$ + +elseif(t>t2+5/v && t<=t3) T=T2; + +elseif(t>t3 && t<=t3+5/v) T=(t-t3)*v/5*(T3-T2)+5 + +elseif(t>t3+5/v && t<=t4) T=T3; + +elseif(t>t4 && t<=t4+5/v) T=(t-t4)*v/5*(T4-T3)+T3; + +elseif(t>t4+5/v && t<=t5) T=T4; + +elseif(t>t5 && t<=t5+20/v) T=(t-t5)*v/20*(25-T4)+T4; + +else T=25; +end result $\equiv$ T +end + +function [result] $= \mathrm{T}$ (RC1, RC2, v, T1, T2, T3, T4, h) + +求解PCB板中心温度变化曲线函数 + +$\%$ RC1,RC2：两个时间常数；v：移动速度；Ti：第i个不同温区的温度；h：对流换热系数； + +deltat=0.01; + +len1=floor(339.5/v/deltat); + +len0=floor(235.5/v/deltat); + +len=floor(435.5/v/deltat); + +tn=1inspace(0,0,len); + +```matlab +for i=1:len + tn(i)=i*eltat; +end +T=linspace(25,25,len); +for i=2:len0 + T(i)=T(i-1)+(F(tn(i),v,T1,T2,T3,T4)-T(i-1))*(1-exp(-eltat/RC1)); +end +for i=len0+1:len1 + T(i)=T(i-1)+(F(tn(i),v,T1,T2,T3,T4)-T(i-1))*(1-exp(-eltat/RC2)); +end +for i=len1+1:len + T(i)=T(i-1)+(F(tn(i),v,T1,T2,T3,T4)-T(i-1))*h*eltat; +end +result=T; +end +``` + +# $\%$ 第一问主函数 + +clear +clc +[Ts] $\equiv$ xlsread('D:\附件.xlsx',1,'B2:B710');sum1=0;sum2=0;minl $\equiv$ inf;best1=0;best2=0;min2 $\equiv$ inf;best3=0;deltat $= 0.01$ .v=7/6;len0 $\equiv$ floor(235.5/v/deltat);len1 $\equiv$ floor(339.5/v/deltat);len $\equiv$ floor(435.5/v/deltat);tn $\equiv$ linspace(0,0,len);for i=1:lentn(i)=i\*deltat;endfor j=1:1000temp $\equiv$ T(0.1*j,50,7/6,175,195,235,255,0.005);for i=1:len0if(tn(i)> $= 19$ && mod(i,50) $\equiv = 0$ sum1=sum1+(temp(i)-Ts((i-1850)/50))^2;endendif(suml3) + +result=0; + +end + +if $(\mathrm{T}(i)) >= 150$ && $\mathrm{T}(i - 1) < 150$ + +cnt1=i; + +end + +if $(\mathrm{T}(i) > 180$ && T(i-1）<=180) + +cnt2=i-1; + +end + +if $(\mathrm{T}(i) > 217$ && T(i-1）<=217) + +cnt3=i; + +end + +end + +for $i = \text{len3} + 1$ :len2 + +grad=(T(i)-T(i-1))/deltat; + +if(abs(grad) > 3) + +result=0; + +end + +if $(\mathrm{T}(i) < = 217$ &&T(i-1)>217) + +cnt4=i-1; + +end + +end + +判断在 $150^{\circ} \mathrm{C} \sim 190^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间是否符合 + +if(deltat\*（cnt2-cnt1）<60 || deltat\*（cnt2-cnt1）>120) + +result=0; + +end + +$\%$ 判断大于 $217^{\circ} \mathrm{C}$ 的时间是否符合 + +if (deltat* (cnt4-cnt3) < 40 || deltat* (cnt4-cnt3) > 90) + +result=0; + +end + +$\%$ 判断峰值是否符合 + +if(T(len3) < 240 || T(len3) > 250) + +result=0; + +end + +```matlab +end +% 第二问主函数 +clear +clc +best=65; +% 第一次搜索，步长1； +for i=1:100 + v=i; + result=T(57.4,43.7,v/60,182,203,237,254,0.00678); + if(check(0.01,v/60,result) == 1) + best=v; + end +end +% 第二次搜索，步长0.01； +for i=1:200 + v=best-1+0.01*i; + result=T(57.4,43.7,v/60,182,203,237,254,0.00678); + if(check(0.01,v/60,result) == 1) + best=v; + end +end +``` + +# 问题三： + +```txt +function [Bestv, BestT1, BestT2, BestT3, BestT4, trace, T_m] = SAA() +``` + +$\%$ 模拟退火算法 + +```txt +vmax=100; +vmin=65; +T1max=185; +T1min=165; +T2max=205; +T2min=185; +T3max=245; +T3min=225; +T4max=265; +T4min=225; +L=100; +K=0.98; +S=0.08; +T_m=100; +Yz=1E-6; +P=0; +trace=linspace(0,0,20000); +``` + +```matlab +f=1; +while(f==1) + Prev=rand*(vmax-vmin)+vmin; + PrevT1=rand*(T1max-T1min)+T1min; + PrevT2=rand*(T2max-T2min)+T2min; + PrevT3=rand*(T3max-T3min)+T3min; + PrevT4=rand*(T4max-T4min)+T4min; + temp=T(57.4,43.7,Prev/60,PreT1,PreT2,PreT3,PreT4,0.00678); + if(check(0.01,Prev/60, temp) == 1) + Prebestv=Prev; + PrebestT1=PreT1; + PrebestT2=PreT2; + PrebestT3=PreT3; + PrebestT4=PreT4; + f=0; + end +end +f=1; +while(f==1) + Prev=rand*(vmax-vmin)+vmin; + PrevT1=rand*(T1max-T1min)+T1min; + PrevT2=rand*(T2max-T2min)+T2min; + PrevT3=rand*(T3max-T3min)+T3min; + PrevT4=rand*(T4max-T4min)+T4min； + temp=T(57.4,43.7,Prev/60,PreT1,PreT2,PreT3,PreT4,0.00678); + if(check(0.01,Prev/60, temp) == 1) + Bestv=Prev; + BestT1=PreT1; + BestT2=PreT2; + BestT3=PreT3; + BestT4=PreT4; + f=0; + end +end +detab=abs(func(Bestv,BestT1,BestT2,BestT3,BestT4)-func(Bestcv,BestT1,PrebestT2,PrebestT3,PrebestT4)); +while(deta>Yz)&& (T_m>0.001)&& (P<20000) + T_m=K*T_m; + for i=1:L + p=0; + while p==0 + Nexttv=rand*(vmax-vmin)+vmin; + NextT1=rand*(T1max-T1min)+T1min; + NextT2=rand*(T2max-T2min)+T2min; +``` + +```javascript +NextT3=rand*(T3max-T3min)+T3min; NextT4=rand*(T4max-T4min)+T4min; +temp=T(57.4,43.7,Nextv/60,NextT1,NextT2,NextT3,NextT4,0.00678); m=check(0.01,Nextv/60, temp); if(Nextv>=vmin && Nextv<=vmax && NextT1>=T1min && NextT1<=T1max && NextT2>=T2min && NextT2<=T2max && NextT3>=T3min && NextT3<=T3max && NextT4>=T4min && NextT4<=T4max &&m==1) p=1; end end +``` + +```matlab +if (func(Bestv, BestT1, BestT2, BestT3, BestT4) > func(Nextv, NextT1, NextT2, NextT3, NextT4)) +Prebestv = Bestv; +PrebestT1 = BestT1; +PrebestT2 = BestT2; +PrebestT3 = BestT3; +PrebestT4 = BestT4; +Bestv = Nextv; +BestT1 = NextT1; +BestT2 = NextT2; +BestT3 = NextT3; +BestT4 = NextT4; +end +``` + +```txt +if func Prev,PreT1,PreT2,PreT3,PreT4)>func (Nextv,NextT1,NextT2,NextT3,NextT4)) + Prev=Nextv; + PreT1=NextT1; + PreT2=NextT2; + PreT3=NextT3; + PreT4=NextT4; + P=P+1; +else +``` + +```matlab +change = -- (func (Prev, PreT1, PreT2, PreT3, PreT4) - func (Nextv, NextT1, NextT2, NextT3, NextT4)) / T_m; +p1 = exp (change); +if (p1 > rand) + Prev = Nextv; + PreT1 = NextT1; + PreT2 = NextT2; + PreT3 = NextT3; +``` + +PreT4=NextT4; P=P+1; end end trace(P)=func(Bestv,BestT1,BestT2,BestT3,BestT4); end deta=abs func(Bestv,BestT1,BestT2,BestT3,BestT4)-func(Prebestv,PrebestT 1,PrebestT2,PrebestT3,PrebestT4)); end end function result $=$ func(v,T1,T2,T3,T4) +%计算面积 Tt=T(57.4,43.7,v/60,T1,T2,T3,T4,0.00678); maxT=max(Tt); len5=length(Tt); cnt1=0; cnt2=0; sum=0; for i=2:len5 if(Tt(i-1) <=217 && Tt(i)>217) cnt1=i; end if(Tt(i) ==maxT) cnt2=i; end end for i=2:len5 if( i>=cnt1 && i<=cnt2-1) sum=sum+0.01*(Tt(i)-217); end end result $\equiv$ sum; end + +# 问题四： + +function result $=$ func2(v,T1,T2,T3,T4) + +$\%$ 计算对称度 + +Tt=T(57.4,43.7,v/60,T1,T2,T3,T4,0.00678); + +cnt1=0; + +cnt2=0; + +cnt3=0; + +```matlab +maxT=max(Tt); +len=length(Tt); +for i=2:len + if(Tt(i-1) <= 217 && Tt(i) > 217) + cnt1 = i; + end + if(Tt(i-1) > 217 && Tt(i) <= 217) + cnt3 = i - 1; + end + if(Tt(i) == maxT) + cnt2 = i; + end +end +n=floor(((cnt2-cnt1) + (cnt3-cnt2)) / 2); +sum = 0; +for i=1:n + sum = sum + (Tt(cnt2-i) - Tt(cnt2+i)^2; +end +result = sum / n; +end +function result = func3(v, T1, T2, T3, T4) % 面积与对称度统一数量级赋权值 +m1 = func(v, T1, T2, T3, T4); +m2 = func2(v, T1, T2, T3, T4); +result = 0.1 * m1 + m2; +end +``` + +第四问的主函数仅需将第三问之中SAA函数中的适应度函数func改成func3即可运行。 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/B078/B078.md b/MCM_CN/2020/B078/B078.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..be2a792d2cb852daff786421d64c73052feed820 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/B078/B078.md @@ -0,0 +1,1317 @@ +# “穿越沙漠”游戏最佳策略模型的研究与构建 + +# 摘要 + +“穿越沙漠”是一种小游戏，选择最佳的游戏策略，能使得参与者在到达终点时保留尽可能多的资金；为帮助参与者选择最佳策略，我们使用贪心法、回溯法以求解单目标最优化模型，同时利用基于收益的数学期望的决策函数帮助参与者动态选择后继结点；在多个玩家参与的情况下，我们在博弈论的有关理论的基础之上，仍然使用最优化模型或决策函数，成功地帮助每一关的参与者选择了最佳策略。 + +针对问题一，我们认为参与者不可能在任意结点停留，因此我们首先证明：除了沙暴天气必须停留以外，参与者只可能在矿山停留挖矿，其余地点不做停留；然后，我们再根据游戏规则，给出参与者向前行走、沙暴时原地停留、矿山挖矿、村庄补给等情况下生活必需品以及资金剩余量的递推关系式的基础之上，以剩余资金最多为目标，设置了参与者按时到达、生活必需品重量不超过负重上限的约束条件，建立了单目标最优化模型，并对参与者挖矿和不挖矿的情况分别使用贪心法和回溯法，使用Matlab和 $\mathbf{C} + +$ 编程求解，最终得到：在最佳策略下，第一关、第二关的剩余资金分别为10470、12730元，并将相应结果填入了Result.xlsx文件；随后，我们对该模型进行了灵敏度分析。 + +问题二中，考虑到参与者的决策关键为资金的数学期望，因此我们在给出晴朗、高温、沙暴这三种天气的概率的基础之上，得到了每天行走所耗资源对应的金额的期望、挖矿净收益的期望、挖矿所耗资源对应的金额的期望以及挖矿所耗水和食物箱数的期望的表达式；然后，借助这几种期望的比较，我们建立了决定参与者何时直奔终点、前往矿山或村庄、在矿山停留或离开矿山的决策模型，并给出了对应的决策函数，使用Matlab编程可以得到：第三关中，参与者应直奔终点，第四关中，参与者从起点前往村庄，再前往矿山，最终到达终点，且剩余资金为10065元；为验证该模型的正确性，我们使用蒙特卡洛方法对该模型进行了仿真。 + +对于问题三的第一部分，我们参考了博弈论的有关理论，对有 $n$ 名玩家和两名玩家的情况，构造了相应的支付矩阵和效用期望，在此基础上，建立了基于博弈论的最佳策略模型；为使求解步骤更具有一般性，我们首先给出了 $n$ 名玩家的一般情况下的求解过程，然后对于第五关中只有两名玩家的情况，先根据问题一中代码的运行结果，选择了3条较优路线，作为两名玩家选择路线的决策集，接着使用Lingo编程，计算出了这两名玩家选择各条路线的概率，由此得出了这种情况下两位玩家选择的路线。 + +针对问题三的第二部分，考虑到这一问具有问题三第一部分和问题二的共同点，因此我们在使用博弈论有关理论计算出各玩家前往各结点的概率基础之上，使用与问题二中类似的分析方法，给出了玩家行走、停留、挖矿、补给的情况下，某结点净收益的数学期望表达式，根据该数学期望的大小，即可得到选择下一结点的决策模型，并编写了相应的迭代算法，以求解得出3位参赛者选择的路线。 + +最后，我们分析了模型的优缺点，在对缺点提出相应的改进方式的基础之上，将该模型推广到其他领域。 + +关键词：最优化模型、贪心法、回溯法、决策模型、蒙特卡洛方法、博弈论 + +# 一、问题重述 + +有一种“穿越沙漠”小游戏，参与该游戏的玩家在获得沙漠地图，并在起点用初始资金以基准价格购买好水和食物等生活必需品后，从第1天开始在沙漠中行走，其目标是在游戏结束前到达终点，并剩余尽量多的资金；他可以选择在邻接的两个区域之间行走，也可以选择在原地停留；行进的过程中，他可能经过村庄或矿山，在前者可以补给装备，价格为基准价格的两倍，在后者可以挖矿赚取资金；游戏过程中，整个沙漠可能出现晴朗、高温、沙暴这三种天气，它们对游戏参与者是否在某地停留以及参与者的基础消耗量有一定影响。此外，参与者还需要遵守以下游戏规则： + +1. 参与者携带的生活必需品的重量不能超过他的负重上限，但在到达终点前不能耗尽所有的生活必需品；若他选择行走，则生活必需品的消耗量为原地停留时的两倍。 +2. 参与者也可在起点停留，或返回起点，但是不能多次在起点补给资源，若在到达终点时生活必需品有剩余，可以将其退回，价格为基准价格的一半。 +3. 参与者可在矿山挖矿以获得一定的基础收益，但其对生活必需品的消耗量将达到原地停留时的三倍，同时，他在到达矿山的当天不能挖矿，但在出现沙暴天气时可挖矿。 + +为帮助游戏参与者选择最佳的游戏策略，我们需要建立数学模型完成以下任务： + +1. 在只有一名玩家，且他知道游戏过程中每天的天气状况的情形下，给出最优策略，并利用第一关、第二关的数据进行求解，并生成相应的Excel文件。 +2. 在只有一名玩家，但他只知道当天的天气状况的情形下，给出最优策略，并利用第三关、第四关的数据进行求解。 +3. 在有 $n$ 名玩家，且其中的 $k$ 名玩家可能同时行动的情形下，若游戏过程中每天天气状况已知，且行动方案在第1天前确定不可更改，给出最优策略并对第五关进行讨论。 +4. 在前一题的条件下，若玩家只知道当天的天气状况以及其他玩家当天的行动方案和剩余资源量，给出最优策略并对第六关进行讨论。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一的分析 + +问题一要求我们在只有一名玩家，且他知道游戏过程中每天的天气状况的情形下，给出最优策略；首先，我们根据题目中给出的游戏规则，可以列出向前行走、沙暴时原地停留、矿山挖矿、村庄补给等情况下生活必需品以及资金剩余量的递推关系式，然后根据参与者在游戏过程中所要满足的各种条件，可以建立单目标最优化模型；考虑到直接沿最短路径行走到终点所需购买的生活必需品数量较少，而在矿山停留挖矿能够赚取更多的资金，因此我们对前一种情况使用弗洛伊德算法，后一种情况使用回溯算法进行求解，以获得剩余资金最多时的游戏策略。 + +# 2.2 问题二的分析 + +问题二要求我们在只有一名玩家，但他只知道当天的天气状况的情形下，给出最优策略，考虑到参与者的决策方案与每天行走所耗资源对应的金额的期望、挖矿净收益的期望、挖矿所耗资源对应的金额的期望、挖矿所耗水和食物箱数的期望有关，而这五个期望的计算与天气有关，因此我们借助问题一中的天气数据，计算各种天气出现的概率以作为计算这些数学期望的辅助数据，然后根据该思路，我们可以建立基于数学期望的决策模型，并编写相应的迭代算法进行求解以获得参与者的决策方案。 + +# 2.3 问题三第一部分的分析 + +问题三第一部分要求我们在有 $n$ 名玩家，且其中的 $k$ 名玩家可能同时行动的情形下，若游戏过程中每天天气状况已知，且行动方案事先确定不可更改，给出最优策略并对第五关进行讨论，由于此问题中有多名玩家，一名玩家的决策方案会与别的玩家有关联，因此我们需要参考博弈论的有关资料，根据题意构建支付矩阵，并在两名玩家的条件下给出效用期望；然后就可以给出一般情况下模型的求解方法，并对本题的情况进行求解。 + +# 2.4 问题三第二部分的分析 + +问题三第二部分将上一部分中部分条件更变为只知道当天的天气状况以及其他玩家当天的行动方案和剩余资源量，给出最优策略并对第六关进行讨论，与问题二类似，我们仍根据参与者前往某个结点所获净收益的期望来判断他前往哪一个结点，而该期望的求解仍需要前一部分使用的博弈论知识以及问题二中定义的部分符号，将这两部分相结合即可得到获得该部分最优策略的数学模型，并可使用迭代算法进行求解。 + +下面为我们进行问题解决的思维导图。 + +![](images/ba7b66a1d9996af82cd47e9b1753c340088aec1af667c48da8f073a99ad04ed0.jpg) +图2.4.1：问题解决思维导图 + +# 三、模型假设 + +1. 假设沙漠中各天的天气相互独立。 +2. 假设游戏参与者是完全理性的。 +3. 假设沙漠中天气不存在突变。 + +# 四、符号说明 + +
关键符号符号说明关键符号符号说明
T0到达终点的实际天数BW(t)第t天水的基础消耗量
BF(t)第t天食物的基础消耗量PB参与者挖矿赚得的基础收益
I(x)指示函数E(j)第j个结点净收益的期望
关键符号符号说明
W(i,t)第t天参与者在第i个结点时水的剩余量
F(i,t)第t天参与者在第i个结点时食物的剩余量
R(i,t)第t天参与者在第i个结点时资金的剩余量
d(i,j)从第i个结点到第j个结点的最短路径
f(i,t)参与者选择下一个结点的决策函数
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一：已知天气情况时一名玩家的最佳策略模型的建立与求解 + +为求解一名玩家在已知天气情况下的最佳策略，我们首先根据游戏规则列出了每天生活必需品以及资金剩余量的递推关系式，然后根据参与者在游戏过程中所要满足的各种条件，建立了单目标最优化模型，并且分别对直接到达终点、在矿山挖矿这两种情况进行求解，以获得最佳策略。 + +# 5.1.1 已知天气情况时一名玩家的最佳策略模型的建立 + +# ■ 停留地点的选择 + +根据游戏规则，参与者可以选择在任何地点停留，但是经过分析，我们认为除了沙暴天气必须停留以外，参与者只有在矿山停留挖矿才能获得收益，在其他地点停留只会带来较大亏损；设 $P_B$ 为参与者挖矿获得的基础收益， $P_W$ 、 $P_F$ 分别为水和食物的基础价格，下面我们对这两种情况进行具体的分析和说明。 + +# 矿山挖矿必定获得收益 + +若参与者在矿山挖矿一天，则这一天他将多消耗一部分水和食物，同时也会晚一天到达终点；我们按照最坏情况进行计算，即他挖矿的那一天遭遇了沙暴天气，同时在第17天到达终点前一个结点，根据第一关、第二关的参数设定，此时每天食物和水的基础消耗量均为10箱，同时最后一天其消耗量为基础消耗量的两倍，因此他的收益 + +$$ +P _ {1} = P _ {B} - \left(1 0 P _ {W} + 1 0 P _ {F}\right) - 2 \left(1 0 P _ {W} + 1 0 P _ {F}\right) - 2 \left(8 P _ {W} + 6 P _ {F}\right), +$$ + +该式的第二项为相比于正常行进，参与者在沙暴天气挖矿所需多消耗的生活必需品对应的资金；由于参与者在第17天到达终点前一个结点，因此他需要在该结点等待两天，在第三天再前往终点，第三项、第四项即为这三天他所需多消耗的生活必需品对应的资金。经过整理化简，并代入题中所给数据，可得 $P_{1} = 350 > 0$ ，由于该情况为最坏情况，所以我们可以得出结论：参与者挖矿必定获得收益。 + +# 其他地点停留必定导致亏损 + +若参与者在其他地点停留，且停留的那天未遭遇沙暴，我们按照最好情况进行计算，即停留的那天以及到达终点的那一天的天气均是晴朗，则其因为停留导致的亏损为 + +$$ +P _ {2} = \left(5 P _ {W} + 7 P _ {F}\right) + 2 \left(5 P _ {W} + 7 P _ {F}\right), +$$ + +该式的第一项为参与者因为在该结点停留所需消耗的生活必需品对应的资金，第二项为参与者晚到终点一天所需多消耗的生活必需品对应的资金；经过整理化简，并代入题中所给数据，可得 $P_{2} = 285 > 0$ ，由于该情况为最好情况，所以我们可以得出结论：参与者在其余地点停留必定导致亏损。 + +# 生活必需品以及资金剩余量的递推关系式 + +在建立该模型前，我们首先需要给出各个时刻在各个结点处，参与者所带生活必需品以及资金剩余量的递推关系式；设参与者在第 $T_{0}(T_{0} = 1,2,\dots ,T_{\mathrm{max}})$ 天到达终点，其中 $T_{\mathrm{max}}$ 为截止时间，终点的编号为end， $W(i,t)$ 、 $F(i,t)$ 、 $R(i,t)$ 分别为第 $t(t = 0,1,\dots ,T_0)$ 天参与者在第 $i(i = 1,2,\dots ,end)$ 个结点时水、食物、资金的剩余量，由于若在终点处退回 + +多余的生活必需品，会给参与者带来一定的损失，因此在最佳策略下，参与者一定在终点处刚好消耗完所有的水和食物，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} W (e n d, T _ {0}) = 0, \\ F (e n d, T _ {0}) = 0. \end{array} \right. \tag {5.1.1} +$$ + +设 $M_0$ 为初始资金，则在起点处购买过物资之后的剩余资金 + +$$ +M _ {1} = M _ {0} - \left[ P _ {W} \cdot W (1, 0) + P _ {F} \cdot F (1, 0) \right], +$$ + +由于根据我们的分析，参与者只可能在矿山停留，因此我们仅给出向前行走、沙暴时原地停留、矿山挖矿、村庄补给等情况下生活必需品以及资金剩余量的递推关系式。 + +# $\succ$ 向前行走时生活必需品剩余量的递推关系式 + +设参与者第 $t(t = 0,1,\dots ,T_0)$ 天在第 $i(i = 1,2,\dots ,end)$ 个结点，第 $t + 1$ 天在第 $j$ 个结点，又设第 $t$ 天水的基础消耗量为 $B_{W}(t)$ ，食物的基础消耗量为 $B_{F}(t)$ ，由于行走时生活必需品的消耗量为基础消耗量的两倍，因此 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} W (j, t + 1) = W (i, t) - 2 B _ {W} (t) \\ F (j, t + 1) = F (i, t) - 2 B _ {F} (t) \end{array} , j \in S _ {i}, \right. +$$ + +$S_{i}$ 为 $i$ 的后继结点的集合，考虑到在前行的过程中，剩余资金量保持不变，所以 + +$$ +R (j, t + 1) = R (i, t), j \in S _ {i}. \tag {5.1.2} +$$ + +# 沙暴时原地停留时生活必需品剩余量的递推关系式 + +在遭遇沙暴天气时，参与者必须原地停留，此时他消耗的生活必需品数量即为基础消耗量，因此 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} W (j, t + 1) = W (i, t) - B _ {W} (t) \\ F (j, t + 1) = F (i, t) - B _ {F} (t) \end{array} , j \in S _ {i}, \right. +$$ + +在原地停留的情况下， $R(j,t + 1)$ 的表达式与式(5.1.2)相同。 + +# 矿山挖矿时生活必需品剩余量的递推关系式 + +若参与者在矿山挖矿，则其消耗的生活必需品数量为基础消耗量的三倍，因此 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} W (j, t + 1) = W (i, t) - 3 B _ {W} (t) \\ F (j, t + 1) = F (i, t) - 3 B _ {F} (t) \end{array} , j \in S _ {i}, \right. +$$ + +在挖矿时，参与者可赚得一定量的基础收益，所以 + +$$ +R (i, t + 1) = R (i, t) + P _ {B}. +$$ + +# > 村庄补给时生活必需品剩余量的递推关系式 + +设参与者在村庄补给的水的数量为 $m_{1}$ 箱，补给的食物的数量为 $m_{2}$ 箱，由于其在村庄无需停留，所以消耗的生活必需品数量仍为基础消耗量的两倍，因此 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} W (j, t + 1) = W (i, t) - 2 B _ {W} (t) + m _ {1} \\ F (j, t + 1) = F (i, t) - 2 B _ {F} (t) + m _ {2} \end{array} , j \in S _ {i}. \right. +$$ + +补给生活必需品需要消耗参与者的资金，且村庄处生活必需品的售价为基准价格的两倍，所以补给过后的剩余资金 + +$$ +R (j, t + 1) = R (i, t + 1) - 2 \left(P _ {W} m _ {1} + P _ {F} m _ {2}\right), j \in S _ {i}. +$$ + +# 获得最佳策略的单目标最优化模型 + +为了获得该游戏的最佳策略，我们根据参与者在游戏过程中所要满足的各种条件，建立了单目标最优化模型。 + +# $\text{喜}$ 目标函数：剩余资金最多 + +题目中提及，参与者需要保留尽可能多的资金，因此目标函数为 + +$$ +\max R (e n d, T _ {0}), +$$ + +其中 $R(i,t)$ 分别为第 $t(t = 0,1,\dots ,T_0)$ 天参与者在第 $i(i = 1,2,\dots ,end)$ 个结点时资金的剩余量，end为终点的编号， $T_{0}$ 为到达终点的实际时间。 + +# $\text{喜}$ 约束条件1：参与者在截止日期之前到达终点 + +根据游戏规则，参与者需要在规定的时间内到达终点，因此一个约束条件为 + +$$ +T _ {0} \leqslant T _ {\max }, +$$ + +其中 $T_{0}$ 为到达终点的实际时间， $T_{\mathrm{max}}$ 为该关卡规定的到达终点的截止时间。 + +# $\text{喜}$ 约束条件2：生活必需品的数量不能超过负重上限 + +设参与者的载重上限为 $M$ ， $M_W$ 、 $M_F$ 分别每箱水和食物的重量，则另一个约束条件为 + +$$ +M _ {W} W (i, t) + M _ {F} F (i, t) \leqslant M, i = 1, 2, \dots , e n d, t = 0, 1, \dots , T _ {0}. +$$ + +其中 $W(i,t)$ 、 $F(i,t)$ 分别为第 $t$ 天参与者在第 $i$ 个结点时水、食物的剩余量。 + +此外，参与者在到达终点之前不能耗尽所有的生活必需品，因此这也是一个约束条件，由于我们在给出生活必需品以及资金剩余量的递推关系式之前，已经用式(5.1.1)限定在最后一个时刻的食物和水的剩余量为0，因此在中间过程中不会出现生活必需品已经耗尽的情况，即我们可以用式(5.1.1)作为该约束条件。 + +# 获得最佳策略的单目标最优化模型 + +根据上述分析，我们可以得到获得最佳策略的单目标最优化模型： + +$$ +\max R (e n d, T _ {0}), +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} T _ {0} \leqslant T _ {\max }, \\ M _ {W} W (i, t) + M _ {F} F (i, t) \leqslant M, i = 1, 2, \dots , e n d, t = 0, 1, \dots , T _ {0}. \\ W (e n d, T _ {0}) = 0, \\ F (e n d, T _ {0}) = 0. \end{array} \right. +$$ + +设计相应的算法求解该模型即可得到已知天气情况时一名玩家的最佳策略。 + +# 5.1.2 已知天气情况时一名玩家的最佳策略模型的求解 + +- 不挖矿的情况，使用贪心法和弗洛伊德算法求解 + +# > 贪心法和贪心准则 + +经过分析我们认为，对该模型需要分为不挖矿和挖矿两种情况，对于不挖矿的情况， + +应使用贪心法进行求解；贪心法是一种重要的算法设计思想，其基本原则是每一次做出的选择都是在当前情况下看起来最好的选择，因此依据贪心法设计的算法得到的是某种意义下的局部最优解，而不一定是全局最优解[2]；能否得到全局最优解的关键在于贪心准则的选择。设不挖矿时参与者的最大收益为 $P_{m1}$ ，挖矿时参与者的最大收益为 $P_{m2}$ ，则最佳策略下的收益 + +$$ +P _ {\max } = \max \left\{P _ {m 1}, P _ {m 2} \right\}, +$$ + +下面我们分别对不挖矿的情况下我们选择的贪心准则进行分析。 + +# 在起点购买尽量少的生活必需品 + +对于不挖矿时在起点购买的生活必需品，我们认为需要购买尽量少的生活必需品；设在起点购买水和食物各 $x$ 、 $y$ 箱，此时恰好能保证参与者到达终点，则资金剩余量 + +$$ +R _ {1} (e n d, T _ {0}) = M _ {0} - \left(P _ {W} x + P _ {F} y\right), +$$ + +其中 $M_0$ 为初始资金， $P_F$ 、 $P_W$ 分别为食物和水的基础价格；若在起点多购买了生活必需品，即购买水 $(x + \Delta x)$ 箱，食物 $(y + \Delta y)$ 箱，则多余的生活必需品需要在终点退回，由于退回后返回给参与者的费用仅为基础价格的一半，所以 + +$$ +\begin{array}{l} R _ {2} (e n d, T _ {0}) = M _ {0} - \left[ P _ {W} (x + \Delta x) + P _ {F} (y + \Delta y) \right] + \frac {1}{2} \left(P _ {W} \Delta x + P _ {F} \Delta y\right) \\ = R _ {1} (e n d, T _ {0}) - \frac {1}{2} \left(P _ {W} \Delta x + P _ {F} \Delta y\right) < R _ {1} (e n d, T _ {0}), \\ \end{array} +$$ + +因此若不挖矿时想使得资金剩余量最大，必须在起点购买尽量少的生活必需品。 + +# 选择最短路径到达终点 + +若参与者选择不挖矿，则其必须减少生活必需品的消耗，因此必须选择从起点到终点的最短路径；定义函数 + +$$ +w (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {第} t \text {天 为 晴 朗 天 气}, \\ 1, & \text {第} t \text {天 为 高 温 天 气}, \\ 2, & \text {第} t \text {天 为 沙 暴 天 气}, \end{array} \right. +$$ + +则可以给出第一关、第二关中第 $t$ 天水和食物的基础消耗量为 $B_{W}(t)$ 、 $B_{F}(t)$ 的表达式： + +$$ +B _ {W} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 5, w (t) = 0 \\ 8, w (t) = 1 \\ 1 0, w (t) = 2 \end{array} , B _ {F} (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 7, w (t) = 0 \\ 6, w (t) = 1 \\ 1 0, w (t) = 2 \end{array} , \right. \right. +$$ + +设从起点到终点的最短路程为 $d(1, end)$ ，则从起点到终点所需的天数 + +$$ +T _ {0} = d (1, e n d) + \sum_ {t = 1} ^ {d (1, e n d)} \mathbb {I} [ w (t) = 2 ], +$$ + +其中 $\mathbb{I}(x)$ 为指示函数[1]，当 $x$ 成立时， $\mathbb{I}(x) = 1$ ，否则 $\mathbb{I}(x) = 0$ ，因此上式反映了从起点到终点所需的天数由选择最短路径行走的天数和沙暴天气停留的天数两部分组成；因此参与者在起点购买的水和食物的箱数分别为 + +$$ +W (1, 0) = 2 \sum_ {t = 1} ^ {d (1, e n d)} B _ {W} (t) + 1 0 [ T _ {0} - d (1, e n d) ], F (1, 0) = 2 \sum_ {t = 1} ^ {d (1, e n d)} B _ {F} (t) + 1 0 [ T _ {0} - d (1, e n d) ], \tag {5.1.3} +$$ + +到达终点时的资金剩余量 + +$$ +R (e n d, T _ {0}) = M _ {0} - \left[ P _ {W} \cdot W (1, 0) + P _ {F} \cdot F (1, 0) \right]. \tag {5.1.4} +$$ + +# 求解最佳策略的弗洛伊德算法 + +根据上述分析，在不挖矿时，我们直接选择最短路径到达终点，因此我们借助弗洛伊德算法进行求解，具体步骤如下。 + +第1步：使用邻接矩阵，将题目中所给的地图转换为图论中的图，并对距离矩阵进行初始化，能直接到达的结点之间距离为1，否则为无穷大。 +第2步：借助弗洛伊德算法求解任意两点之间的最短距离，即对于任意两个结点，若经过另外某个结点“中转”，得到的距离小于原来两结点的距离，则该距离为两点之间更短的距离；考虑将所有结点作为中转点的情况，即可获得两结点之间的最短路径。 +第3步：初始化天气情况、各种情况下生活必需品的消耗量、最大负重等常量。 +第4步：根据第2步中的结果，我们可以得到从起点到终点的最短路程 $d$ ，根据式(5.1.3)可算出参与者在起点所需购买的生活必需品数量，进而可根据式(5.1.4)算出到达终点时的资金剩余量；使用Matlab编程[3]，可获得相关数据如下表所示。 + +表 5.1.1: 不挖矿时第一关、第二关中参与者在起点购买生活必需品数量及到达时资金剩余量 + +
关卡编号第一关第二关
最短路程311
在起点购买食物/箱38170
在起点购买水/箱42182
到达终点资金剩余量/元94107390
最短路径1→25→26→271→2→3→4→5→13→22→30→39→47→56→64
+ +# - 挖矿的情况，使用回溯算法求解 + +若参与者选择挖矿，则其可能有多种路线选择方式，如起点 $\rightarrow$ 矿山 $\rightarrow$ 村庄 $\rightarrow$ 终点，起点 $\rightarrow$ 村庄 $\rightarrow$ 矿山 $\rightarrow$ 终点等，甚至可能来回往返村庄、矿山之间以补给资源，因此，我们必须考虑所有可能的情况，并对一些不可能出现的情况进行剪枝，以减少遍历次数，因此我们设计了回溯算法对挖矿的情况进行求解。该算法的精巧之处在于：考虑到村庄补给的情况较为复杂，我们设计的算法没有按照常规的路径去考察在村庄是否需要补给，而是在每一个结点考察是否需要补给，如果不需要，则继续深度优先遍历，否则回溯到上一个村庄的位置进行补给，或增加在起点购买的生活必需品的数量，以达到剪枝的目的；该算法的具体步骤如下，流程图如右图所示，由于该算法是一个递归算法，流程图只能简要的体现递归过程。 + +Step 1: 将各个结点分为 4 类: 起点、矿山、村庄、终点, 并初始化算法中所需使用的各 + +![](images/632c418b7e1f5377dc7a6237ff66b932f390bfe1dff39b30b10d830358ef2b89.jpg) +图5.1.1：回溯法流程图 + +个常量，如4类结点的通达情况数组、4类结点的距离数组、天气情况、生活必需品的重量、基准价格、基础消耗等，令 $i = 0$ 。 + +Step 2: 检查 $i$ 是否已经达到参与者的负重上限 $M$ , 即 1200 千克, 若是, 输出结果,算法结束, 否则将 $i + 1$ 赋值给 $i$ 。 + +Step 3: 由于每千克水的质量为 3 千克/箱, 食物的质量为 2 千克/箱, 因此令参与者在起点购买 $\frac{i}{3}$ 箱水, $\frac{M - i}{2}$ 箱食物, 若没有考察过 $\left(\frac{i}{3}, \frac{M - i}{2}\right)$ 的情况, 则转 Step4, 进行深度优先遍历, 否则转 Step2。 + +Step4：若当前情况下，该结点为终点，更新答案及相应的答案数组；若此次遍历时间已经超过了截止时间，则此次遍历失败，进行回溯。 + +Step 5: 若当前情况下，该结点为村庄，更新参与者所带生活必需品数量。 + +Step 6: 若当前情况下，该结点为普通结点，检查该结点处生活必需品是否缺乏，若不缺乏，减去消耗的生活必需品数量，否则回溯到最近的村庄或起点，进行下一次遍历。 + +Step7：若当前情况下，该结点为矿山，考察挖矿以及不挖矿仅停留这两种情况，前一种情况使用类似Step6的方法进行处理，后一种要加上挖矿的收益。 + +Step 8: 一次遍历后，转 Step 3，以输出结果或进行下一次遍历。 + +# 5.1.3 已知天气情况时一名玩家的最佳策略模型的结果分析 + +# $\spadesuit$ 第一关的结果分析 + +在对求解不挖矿的贪心算法进行分析的过程中，我们已经给出了不挖矿情形下，玩家参与第一关的行走路线，即 $1\rightarrow 25\rightarrow 26\rightarrow 27$ ，他需要在起点购买食物38箱，水42箱，到达终点时剩余资金9410元；这里我们给出挖矿情况下，玩家参与第一关的行走路线，如右图所示。 + +从图中可以看出，参与者从起点1出发，沿箭头行走到23号结点后，由于遭遇了沙暴天气，所以需要停留一天，9号结点同理；第一次到达15号村庄之后，参与者补给资源，接着经由14号结点到达矿山后，在矿山停留9天，其中第17、18天是沙暴天气，为避免损失，不挖矿，其余7天挖矿；原路返回村庄再次补给资源后，经由9号、21号结点到达终点27；整个过程历时24天，参与者在起点购买生活必需品数量及到达时资金剩余量如下表第一列所示。 + +![](images/27c0a0b61bb2c68469bbc73c3cd2367265876260250b2e4de172f5454f022bb1.jpg) +图5.1.2：挖矿时第一关的行走路线 + +表 5.1.2：挖矿时第一关、第二关中参与者在起点购买生活必需品数量及到达时资金剩余量 + +
关卡编号第一关第二关
在起点购买食物/箱333405
在起点购买水/箱178130
到达终点资金剩余量/元1047012730
+ +对于第一关，将不挖矿与挖矿的情况相比，显然挖矿的情况得到的剩余资金数更大，因此我们采用这种策略作为最佳策略。根据图5.1.2中所示的路线以及我们编写的程序，可以得到参与者每天的剩余资金数、剩余水量、剩余食物量，并将其填入Result.xlsx，同时借助Matlab绘制剩余资金数、资源剩余量的折线图，如下图所示。 + +![](images/c9d3163cf9be2c4dace7e188364df60e13dd22821dbf061d04301208848ec072.jpg) +图5.1.3：第一关剩余资金数（左图）、资源剩余量（右图）的变化曲线 + +![](images/27246ea4f8bdc8a3630de6916240a812958d23664f4421ce4abd72e0c7d6da60.jpg) + +# 剩余资金数的变化情况分析 + +如图5.1.3左图所示，在起点购买完食物之后，资金保持在5780元不变，直到第8天在村庄补给资源之后，剩余资金减少；根据我们得到的结果，参与者在到达矿山之后，将挖矿7天，因此这一段时间资金剩余量持续上升；第17、18天是沙暴天气，虽然参与者也可挖矿，但是此时生活必需品的消耗量将增加，为减少损失，他这两天在矿山原地停留，不挖矿，因此图像中第15天后，剩余资金数短暂地保持不变；离开矿山后，参与者在前往终点的过程中仍需在村庄补给一次资源，因此剩余资金又一次减少，到达最终的10470元。 + +# 资源剩余量的变化情况分析 + +如图5.1.3右图所示，参与者在起点购买了大量的食物和少量的水之后，开始游戏；之所以这样购买，是因为每千克水的价格为1.67元，每千克食物的价格为5元，因此参与者选择在起点带尽可能多的食物，以免中途在村庄补给食物耗费更多金钱，从图中也可以看到，他仅在第二次到达村庄时补给了少量食物，第一次到达村庄时仅补给了一部分水；从图中也可以看出，食物和水的剩余量总的来说是不断减少的，且在到达终点时减少到0，这也符合我们之前的分析，即该情况下参与者不会因为资源剩余而产生损失。 + +# $\spadesuit$ 第二关的结果分析 + +在表5.1.1和表5.1.2中，我们已经给出了第二关的参与者在挖矿和不挖矿的情况下在起点购买的生活必需品数量、剩余资金数量，经过比较发现，对于第二关，挖矿的情况下，到达终点时的资金剩余量更多，为12730元，因此我们采用这种策略作为最佳策略，参与者的行走路线如右图所示。 + +从右图可以看出，参与者从起点1行走到结点4之后，因沙暴停留一天，此后在结点21、39也会因为沙暴而停留；在这一关中，参赛者两次经过矿山，第一次挖矿5天，第二次挖矿8天，且不会出现第一关中为避免因沙暴造成的损失而停止挖矿的情况。 + +![](images/1c00b8256f528a9f5c6f4630636b0554d572f2435caba11c6e429dd8bacd82ea.jpg) +图5.1.4：挖矿时第二关的行走路线 + +我们已经将第一关、第二关中参与者每天所在区域、剩余资金数、剩余水量、剩余食物量罗列在支撑材料的 Result.xlsx 文件中，其略表如下表所示。 + +表 5.1.3: 第 1、2 关的相应结果 (节选自 Result.xlsx, 完整表格见支撑材料或附录) + +
第一关第二关
日期所在区域剩余资金数/元剩余水量/箱剩余食物量/箱日期所在区域剩余资金数/元剩余水量/箱剩余食物量/箱
015780178333015300130405
1255780162321125300114393
224578014630923530098381
………………
2291047026262855127303224
23211047010142963127301612
2427104700030641273000
+ +对于第一关，参与者在第24天即可成功结束游戏，因此我们节选的是0~2、22~24天的数据；与第一关类似，我们绘制剩余资金数、资源剩余量的折线图，如图5.1.4所示。 + +# 剩余资金数的变化情况分析 + +从图5.1.5左图可以看出，剩余资金量两次减少，两次增加，其减少是因为参与者经过村庄39、62时均补给了一定量的资源，同时参与者两次前往矿山55，第一次挖矿5天，第二次挖矿8天，都为其带来了一定的收入，因此剩余资金数两次增加。 + +# 资源剩余量的变化情况分析 + +与第一关的情况类似，这一关中，资源剩余量总体上也呈现减少的趋势，图像上的两次上升反映了参与者在村庄补给资源的情况；与第一关一样，这一关中参与者从起点出发时，购买的食物远多于水，这仍然是因为单位重量的食物的价格高于单位重量的水的价格，在起点带尽量多的食物可以尽可能的减少在村庄以两倍的价格补给食物造成的损失。 + +![](images/5e05dd96b4faa82fb76c12042704f1ee55ec4fdd9c7e666fb3118fa5de0a720b.jpg) +图5.1.5：第二关剩余资金数（左图）、资源剩余量（右图）的变化曲线 + +![](images/fea3c2907822e7d033af2a97e55bbdf0aee46dd6dd0331afdcfe3b97e1a61b26.jpg) + +# $\spadesuit$ 灵敏度分析 + +根据之前的结果可知，最优解出现在参与者挖矿的情况下，因此我们针对这种情况对该模型进行灵敏度分析；我们将负重上限和初始资金分别前后变化 $10\%$ ，并作这几种情况下剩余资金量的变化曲线，如下图所示。 + +![](images/d5bb7fd9182f8543025e03bd9058041225b5df0bd19543021fa2b8c7049eeb84.jpg) +图5.1.6：改变负重上限（左）、初始资金（右）时剩余资金量的变化曲线 + +![](images/a588b45b279c4728cdd8588efdf11c3b8231fa12accf6286133a9deee82e1320.jpg) + +左图中，在到达终点之前的几天，负重上限的改变对剩余资金量的影响略大，而在之前，其改变对剩余资金量的影响较小；而在右图中，初始资金的改变一直对剩余资金量有较大影响，仅在参与者第一次在村庄补给资源时，初始资金的改变对剩余资金量的影响略小，但可以很明显的看出，其对参与者的决策无影响，因此曲线表现为上下平移；因此总的来说，剩余资金量对初始资金的改变更加敏感。 + +# 5.2 问题二：仅知当天天气情况时一名玩家的最佳策略模型的建立与求解 + +经过分析我们认为，仅知当天天气情况时，玩家的决策与每天行走所耗资源对应的金额的期望、挖矿净收益的期望、挖矿所耗资源对应的金额的期望、挖矿所耗水和食物箱数的期望有关，因此我们首先根据问题一的数据计算各种天气出现的概率以辅助这五种数学期望的计算，然后再建立基于数学期望的玩家决策模型。 + +# 5.2.1 仅知当天天气情况时一名玩家的最佳策略模型的建立 + +# 五种数学期望的计算 + +根据之前的分析，建立获得最佳策略的决策模型需要使用五种数学期望，在对它们进行计算之前，我们定义：事件 $A$ 表示“某一天的天气是晴朗”，事件 $B$ 表示“某一天的天气是高温”，事件 $C$ 表示“某一天的天气是沙暴”，其概率分别为 $P(A), P(B), P(C)$ 。 + +# 每天行走所耗资源对应的金额的期望的计算 + +设每天行走所耗资源对应的金额的期望为 $E_{1}$ ，根据第三关、第四关的参数设定，晴朗时水和食物的基础消耗量分别为3箱和4箱，高温时水和食物的基础消耗量均为9箱，根据游戏规则，行走时生活必需品的消耗量为基础消耗量的两倍，且沙暴天气下不能行走，只能原地停留，因此 + +$$ +E _ {1} = P (A) \cdot 2 \left(3 P _ {W} + 4 P _ {F}\right) + P (B) \cdot 2 \left(9 P _ {W} + 9 P _ {F}\right), +$$ + +其中 $P_{W}$ 、 $P_{F}$ 分别为水和食物的基础价格，该式第一项为晴朗时行走所耗资源对应的金 + +额的期望，第二项为高温时行走所耗资源对应的金额的期望。 + +# 挖矿净收益的期望的计算 + +计算挖矿净收益，我们需要考察两天的天气，设挖矿那一天的天气为 $X$ ，从终点前一个结点到终点的那天的天气为 $Y$ ，则 $X$ 、 $Y$ 均可能取 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，因此二维随机变量 $\{X,Y\}$ 共有9种取值组合；我们假设沙漠中各天的天气相互独立，则有 + +$$ +P \left\{X = X _ {1}, Y = Y _ {1} \right\} = P \left\{X = X _ {1} \right\} P \left\{Y = Y _ {1} \right\}, X _ {1}, Y _ {1} = A, B, C, +$$ + +我们记 $p_1 = P\{X = A, Y = A\}$ ， $p_2 = P\{X = A, Y = B\}$ ，……， $p_9 = P\{X = C, Y = C\}$ ，当 $\{X = A, Y = A\}$ 时，挖矿净收益记为 $x_1$ ，当 $\{X = A, Y = B\}$ 时，挖矿净收益记为 $x_2$ ，……，当 $\{X = C, Y = C\}$ 时，挖矿净收益记为 $x_9$ ，则 + +$$ +x _ {1} = P _ {B} - \left(3 P _ {W} + 4 P _ {F}\right) - 2 \left(3 P _ {W} + 4 P _ {F}\right), +$$ + +该式中，第一项 $P_B$ 为参与者挖矿获得的基础收益，第二项为相比于正常行进，参与者在挖矿所需多消耗的生活必需品对应的资金，第三项为参与者最后一天正常行进所消耗的生活必需品对应的资金； $x_2 \sim x_9$ 可用类似的方法进行计算，则挖矿净收益的期望为 + +$$ +E _ {2} = \sum_ {i = 1} ^ {9} x _ {i} p _ {i}. +$$ + +# 挖矿所耗资源对应的金额的期望的计算 + +设挖矿所耗资源对应的金额的期望为 $E_{3}$ ，则可仿照 $E_{1}$ 的计算过程对其进行计算，即 + +$$ +E _ {3} = P (A) \cdot 3 \left(3 P _ {W} + 4 P _ {F}\right) + P (B) \cdot 3 \left(9 P _ {W} + 9 P _ {F}\right) + P (C) \cdot 3 \left(1 0 P _ {W} + 1 0 P _ {F}\right), +$$ + +每一项分别为晴朗、高温、沙暴天气下挖矿所耗资源对应的金额的期望。 + +# 挖矿所耗水和食物箱数的期望的计算 + +设挖矿所耗水和食物箱数的期望分别为 $E_{4}$ 、 $E_{5}$ ，则使用与之前类似的方法可得 + +$$ +E _ {4} = 3 \left[ 3 P (A) + 9 P (B) + 1 0 P (C) \right], E _ {5} = 3 \left[ 4 P (A) + 9 P (B) + 1 0 P (C) \right], +$$ + +中括号里的内容为晴朗、高温、沙暴时基础消耗量的总和。 + +# ★ 决策模型的构建 + +在构建决策模型，给出决策函数之前，我们先设 $a$ 、 $b$ 分别为矿山、村庄所在结点的编号， $N_{S}$ 为整个过程中沙暴天数， $f(i,t)$ 为参与者选择下一个结点的决策函数，其含义为第 $t$ 天位于第 $i$ 个结点的参与者应选择的下一个结点号， $T_{d}$ 为最多的挖矿天数，其表达式为 + +$$ +T _ {d} = T _ {\max } - \left[ d (1, a) + d (a, e n d) \right] - N _ {S}, +$$ + +其中 $T_{\mathrm{max}}$ 为该关卡规定的到达终点的截止时间， $d(i,j)$ 为我们在5.1.2中定义的函数，表示从第 $i$ 个结点到第 $j$ 个结点的最短路径。 + +# $\diamond$ 参与者在一般结点选择直奔终点的情况及决策函数 + +经过分析我们认为，参赛者在一般结点处，在下列情况下应选择直奔终点： + +$$ +E _ {2} < 0 \text {或} \left\{ \begin{array}{l l} E _ {2} \geqslant 0, \\ E _ {2} T _ {d} < \left[ d (1, a) + d (a, e n d) - d (1, e n d) \right] E _ {1}, \end{array} \right. +$$ + +第一种情况指挖矿产生亏损的情况；对于第二种情况的下面一式，小于号左边的是参与者这 $T_{d}$ 天挖矿带来的收益，右边是参与者因希望挖矿而“绕路”产生的资源消耗所对应的金额，因此该式指的是参与者挖矿所赚净收益不足以弥补其“绕路”产生的资源消耗所对应的金额；这两种情况下，参与者的决策应为：选择最短路径到达终点，决策函数的表达式为： + +$$ +f (i, t) = \underset {j \in S _ {i}} {\arg \min } d (j, e n d), +$$ + +其中 $S_{i}(i = 1,2,\dots ,end)$ 为第 $i$ 个结点后继结点的集合，因此上式得到的是第 $i$ 个结点后继结点集合中，到达终点距离最短的那个点的编号，参与者应选择这个点作为下一个结点。此外，这种情况下参与者所带的食物要保证他能在最坏情况，即行进过程中均为高温，同时又有 $N_{s}$ 的沙暴天气的情况下到达终点，所以 + +$$ +W (1, 0) = F (1, 0) = d (1, e n d) \times 2 \times 9 + 1 0 N _ {S}, +$$ + +其他情况则应尽量多带水和食物，可参考问题一的情况。 + +# $\star$ 参与者在一般结点选择前往矿山或村庄的情况及决策函数 + +如果 $\exists t^{\prime}(t^{\prime} = 1,2,\dots ,T_{d} - T_{d}^{\prime})$ ，使得 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} t ^ {\prime} E _ {2} > \left[ d (1, b) + d (b, a) - d (1, a) \right] E _ {1} + 2 t ^ {\prime} E _ {3}, \\ M _ {W} W (b, t _ {0}) + M _ {F} F (b, t _ {0}) \leqslant M, \\ t ^ {\prime} \leqslant T _ {d} - T _ {d} ^ {\prime}, \end{array} \right. \tag {5.2.1} +$$ + +则参与者应选择先去村庄补给资源，再前往矿山；该式中第一式的含义为：参与者在 $t'$ 时间内挖矿所得净收益超过了他“绕路”前往村庄产生的资源消耗所对应的金额与他购买的在 $t'$ 时间内挖矿所需的资源所对应的金额的总和；第二式的含义为：参与者在村庄补给的资源重量没有超过他的负载上限，其中 $M_W$ 、 $M_F$ 分别为每箱水和食物的重量， $M$ 为参与者的载重上限， $t_0$ 为参与者从起点出发，到达村庄所用的时间，即 + +$$ +t _ {0} = d (1, b) + \sum_ {t = 1} ^ {d (1, b)} \mathbb {I} [ w (t) = 2 ], +$$ + +其中 $\mathbb{I}(x)$ 为前文已经介绍过的指示函数，当 $x$ 成立时， $\mathbb{I}(x) = 1$ ，否则 $\mathbb{I}(x) = 0$ ， $w(t)$ 也为前文定义的表示第 $t$ 天天气的函数， $w(t) = 2$ 表示沙暴天气，因此 $t_0$ 由从起点直接走到村庄的时间和因沙暴而停留的时间构成； $W(b, t_0)$ 、 $F(b, t_0)$ 分别为第 $t_0$ 天参与者在村庄时补给过后水、食物的剩余量，取 + +$$ +t ^ {*} = \arg \max _ {t ^ {\prime}} \left\{t ^ {\prime} E _ {2} - \left[ d (1, b) + d (b, a) - d (1, a) \right] E _ {1} - 2 t ^ {\prime} E _ {3} \right\}, +$$ + +则参与者的补给行为能支撑他多挖矿 $t^{*}$ 天；第三式则限定了 $t^{\prime}$ 的范围，其中 $T_{d}^{\prime}$ 为不补给时最多的挖矿天数，其表达式为： + +$$ +\begin{array}{l} T _ {d} ^ {\prime} = \min \left\{\frac {W \left(b ^ {\prime} , t _ {0} - 1\right) - \left[ d \left(b ^ {\prime} , a\right) + d (a , e n d) \right] \left[ 3 P (A) + 9 P (B) \right]}{E _ {4}}, \right. \\ \left. \frac {F \left(b ^ {\prime} , t _ {0} - 1\right) - \left[ d \left(b ^ {\prime} , a\right) + d (a , e n d) \right] \left[ 4 P (A) + 9 P (B) \right]}{E _ {5}} \right\}, \\ \end{array} +$$ + +$b^{\prime}$ 为村庄前一个结点的编号；设 $Z_{W}$ 、 $Z_{F}$ 分别为参与者在村庄购买水和食物的购买量的决策函数，则 + +$$ +Z _ {W} = t ^ {*} E _ {4}, Z _ {F} = t ^ {*} E _ {5}, +$$ + +同时，参与者应选择最短路径到达村庄，决策函数为 + +$$ +f (i, t) = \underset {j \in S _ {i}} {\arg \min } d (j, b), +$$ + +与之前相同，该函数得到的是第 $i$ 个结点后继结点集合中，到达村庄距离最短的那个点的编号，参与者应选择这个点作为前往村庄下一个结点；在村庄补给完毕后，从村庄再前往矿山挖矿，决策函数的表达式为 + +$$ +f (b, t) = \underset {j \in S _ {b}} {\arg \min } d (j, a), +$$ + +同理，参与者选择村庄结点后继结点集合中，到达矿山距离最短的那个点作为前往矿山的下一个结点；若不存在 $t'$ 使得式(5.2.1)成立，则参与者直接从该点前往矿山，决策函数为 + +$$ +f (i, t) = \underset {j \in S _ {i}} {\arg \min } d (j, a), +$$ + +# $\diamond$ 参与者在矿山选择原地等待或直奔终点的情况及决策函数 + +参与者在矿山挖矿时，若时间不够或者所携带的生活必需品不够，即 + +$$ +T _ {\max } - t \leqslant d (a, e n d) + N _ {S} - \sum_ {i = 1} ^ {t} \mathbb {I} [ w (t) = 2 ] \text {或} +$$ + +$$ +W (a, t) \leqslant 2 \times 9 d (a, e n d) - 1 0 \left\{N _ {S} - \sum_ {i = 1} ^ {t} \mathbb {I} [ w (t) = 2 ] \right\} \text {或} +$$ + +$$ +F (a, t) \leqslant 2 \times 9 d (a, e n d) - 1 0 \left\{N _ {S} - \sum_ {i = 1} ^ {t} \mathbb {I} [ w (t) = 2 ] \right\} +$$ + +则应选择直奔终点，决策函数为 + +$$ +f (a, t) = \underset {j \in S _ {a}} {\arg \min } d (j, e n d), \tag {5.2.2} +$$ + +设 $E_2\big|_t$ 为已知天气的在第 $t$ 天挖矿所获净收益，若 $E_2\big|_t > 0$ ，则选择继续挖矿；否则，若 + +$$ +E _ {2} > P _ {F} B _ {F} (t) + P _ {W} B _ {W} (t), +$$ + +即第二天挖矿所获净收益能够弥补参与者因等待而多消耗的生活必需品价格，则原地等待，因为后续继续挖矿仍可能获利，否则直奔终点，决策函数与式(5.2.2)相同。 + +设计相应的算法，根据上述条件以及决策函数，即可得到参与者的决策方案。 + +# 5.2.2 仅知当天天气情况时一名玩家的最佳策略模型的求解 + +从模型的建立的过程中看，参与者决策的过程是较为复杂的，但实际上我们只需要计算一些常量，并将它们进行比较即可做出决策，因此我们的算法也分常量的初始化和迭代两部分进行。 + +Step 1: 计算求解过程中所需的各种常量，如3种天气出现的概率、5种数学期望以及水和食物的消耗量、任意两个结点之间的行走天数等。 + +Step 2：根据以上信息，计算实际挖矿时间 $T_{d}$ 以及参与者的补给行为能支撑他多挖矿的天数 $t^{*}$ 。 + +Step3：进行迭代，以判断从起点出发后是直奔终点还是前往村庄或矿山，并且输出最终的结果，即剩余资金数、在起点需要购买的水和食物的箱数。 + +在求解过程中我们注意到，题目中提及第四关较少出现沙暴天气，为对“较少”进行具体化，我们对第一、二关的数据进行微调，使得每10天中出现一次沙暴天气；同 + +时，由于我们发现第三关中，有 $E_{2} < 0$ 成立，参与者直奔终点，因此我们只按照以上步骤编写了求解第四关的代码，并对 $E_{2} < 0$ 即直奔终点的情况进行了证明。 + +# 5.2.3 仅知当天天气情况时一名玩家的最佳策略模型的结果分析 + +# $\spadesuit$ 第三关的结果分析 + +前文中，我们已经假设挖矿那一天的天气为 $X$ ，从终点前一个结点到终点的那天的天气为 $Y$ ，事件 $A$ 表示“某一天的天气是晴朗”，事件 $B$ 表示“某一天的天气是高温”，事件 $C$ 表示“某一天的天气是高温”，且沙漠中各天天气相互独立；题目中提及，10天内不会出现沙暴天气，因此我们根据第一关、第二关的天气情况，计算这两天各种天气组合出现的概率及各种天气情况下挖矿的净收益，如下表所示。 + +表 5.2.1: 各种天气组合出现的概率及各种天气情况下挖矿的净收益 + +
天气组合X = A, Y = AX = A, Y = BX = B, Y = AX = B, Y = B
出现概率9/6415/6415/6425/64
挖矿净收益35-125-45-205
+ +根据上表可以算出，挖矿净收益的期望 $E_{2} = -115 < 0$ ，因此根据我们的模型，参与者应选择最短路径直奔终点，其路线为 $1 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 13$ ；我们之所以认为 $E_{2} < 0$ 时直奔终点，是因为从表 5.2.1 可知，只有这两天均为晴天时，挖矿净收益才能达到最大，但此时从起点前往终点需要 5 天，而在现在选择的方案下只需要 3 天，因为多走 2 天产生的费用为 220 元，但挖矿产生的净收益仅为 175 元，因此这种情况下是亏损的，所以参与者应 + +选择直奔终点。 + +# $\spadesuit$ 第四关的结果分析 + +我们编写了相应的 $\mathrm{C}++$ 代码以求解第四关的决策方案，经过求解可以发现，参与者大致的行走方向是：起点 $\rightarrow$ 村庄 $\rightarrow$ 矿山 $\rightarrow$ 终点，经过的具体结点根据决策函数很容易可以得到。在这种行走方式下，到达终点时剩余资金数为10065元，参与者在起点购买的食品200箱，水187箱，这种方式为最优策略。 + +![](images/6567dd3bda724ec74c3b1df58654ee372128fb1e338f46b9a34e3e1ffa7b07dd.jpg) +图5.2.1：第四关中参与者行走的大致路线 + +# 5.2.4 基于蒙特卡洛方法的模型合理性分析 + +# - 蒙特卡洛方法 + +蒙特卡洛方法是一种基于随机数和统计抽样，以便近似求解数学物理问题的方法，这种方法又称统计实验法，或者计算机随机模拟方法，由冯·诺依曼命名；这种方法的典型应用有：求不规则图形的面积，求 $\pi$ 的近似值等；在这里我们也可用蒙特卡洛方法对该问题中的模型进行仿真，以便检验该决策模型的合理性。 + +# $\bullet$ 对第四关使用蒙特卡洛方法进行仿真的结果分析 + +我们使用蒙特卡洛方法对该模型进行仿真，即对于第四问的情况，使用 $\mathrm{C}++$ 中的 + +rand()函数随机生成天气的情况，但此处各种天气的出现频率必须满足“较少出现沙暴”的要求，因此我们限定沙暴天气最多出现3天，一次仿真后得到：参与者到达终点时剩余资金数为11245元，参与者在起点购买的食品190箱，水171箱，可以发现该仿真结果与使用在第一关、第二关天气数据上稍作修改得到的结果类似，因此模型较为合理。 + +# 5.3 问题三第一部分：已知天气情况且事先确定方案的最佳策略模型的建立与求解 + +在本题中，一名玩家决策方案的确定会与其他玩家的方案产生关联，因此我们查阅了博弈论有关的资料，针对一般情况构建了支付矩阵，并根据本题的题设给出了效用期望以及基于效用期望的最优化模型。 + +# 5.3.1 已知天气情况且事先确定方案的最佳策略模型的建立 + +# $n$ 名玩家情况下支付矩阵的构建 + +设一共有 $n$ 名玩家，根据题意可知，当有多名玩家走相同的路线时，消耗的资源量会增加，挖矿收益会减少，同时若需补给资源，购买价格也会增加，因此我们应尽可能的让玩家们选择不同的路线，即可让玩家之间两两进行比较，让他们选择不同的路线。以玩家1、2为例，不妨设他们分别有 $n_1$ 、 $n_2$ 种决策方案，两人方案的集合分别为 + +$$ +C _ {1} = \left\{1, 2, \dots , n _ {1} \right\}, C _ {2} = \left\{1, 2, \dots , n _ {2} \right\}, +$$ + +则他们的支付矩阵[4]为 + +$$ +\boldsymbol {M} = \left[ \begin{array}{c c c c} m _ {1 1} & m _ {1 2} & \dots & m _ {1, n _ {2}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m _ {n _ {1}, 1} & m _ {n _ {1}, 2} & \dots & m _ {n _ {1}, n _ {2}} \end{array} \right], +$$ + +该矩阵中的元素 $m_{ij}(i = 1,2,\dots ,n_1,j = 1,2,\dots ,n_2)$ 的含义是：玩家1选择的第 $i$ 条路径与玩家2选择的第 $j$ 条路径中不冲突的路径数与冲突的路径数之差；其中“冲突”的含义为：若某一天两位玩家同时从结点 $a$ 前往结点 $b$ ，则两条路径冲突一次，否则不冲突。 + +# 两名玩家情况下效用期望的构造 + +设玩家1选择第 $i$ 条路线的概率为 $q_{i}$ $(i = 1,2,\dots ,n_{1})$ ，玩家2选择第 $j$ 条路线的概率为 $q_{j}^{\prime}(j = 1,2,\dots ,n_{2})$ ，则玩家1、2的策略集[5]为 + +$$ +Q _ {1} = \left\{\boldsymbol {q} = \left(q _ {1}, q _ {2}, \dots , q _ {n _ {1}}\right) \mid 0 \leqslant q _ {i} \leqslant 1, \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} q _ {i} = 1 \right\}, Q _ {2} = \left\{\boldsymbol {q} ^ {\prime} = \left(q _ {1} ^ {\prime}, q _ {2} ^ {\prime}, \dots , q _ {n _ {2}} ^ {\prime}\right) \mid 0 \leqslant q _ {j} ^ {\prime} \leqslant 1, \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} q _ {j} ^ {\prime} = 1 \right\}, +$$ + +在本题的题设中，两位参与者不存在竞争关系，因此他们的效用期望相同，即 + +$$ +U _ {1} \left(q, q ^ {\prime}\right) = U _ {2} \left(q, q ^ {\prime}\right) = q M q ^ {\prime} ^ {\mathrm {T}} = \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} q _ {i} m _ {i j} q _ {j} ^ {\prime}. +$$ + +# 基于博弈论的最佳策略模型 + +对于玩家1和玩家2而言，他们选择的策略应使得效用期望最大，即 + +$$ +\max _ {q \in Q _ {1}} U _ {1} (q, q ^ {\prime}) = \boldsymbol {q} \boldsymbol {M} \boldsymbol {q} ^ {\prime \mathrm {T}}, \max _ {q ^ {\prime} \in Q _ {2}} U _ {2} (q, q ^ {\prime}) = \boldsymbol {q} \boldsymbol {M} \boldsymbol {q} ^ {\prime \mathrm {T}}, +$$ + +在博弈论中，某一方在决策过程中，无法控制另一方的决策过程，但是他一定能得到结论：对方采取的决策方案是使得己方得利尽量低的决策；因此他做决策时，应使得可能得利中最小得利最大，因此该模型可转化为 + +$$ +\max \min q M, \max \min M q ^ {\prime} ^ {T}, \tag {5.3.1} +$$ + +从而对于本题中只有两位玩家的情形，可以方便的使用Lingo编程求解；为获得最佳策略，玩家一定会从最佳路径中进行选择，因此我们首先需要确定几条较佳路径，即按照该路径行走，到达终点时剩余资金数较大。 + +# 5.3.2 已知天气情况且事先确定方案的最佳策略模型的求解 + +# 一般情况下的求解流程 + +我们首先给出有 $n$ 名玩家的情况下，该模型的求解步骤，若出现了超过两名玩家的情况，可使用Matlab或 $\mathrm{C + + }$ 等多种语言根据该步骤编程求解。 + +第1步：选择一些较优的路线，并为这 $n$ 名玩家每人建立一个数组，即 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ ，并将各数组中的每一个元素初始化为0。 + +第2步：考察第1、2名玩家的情况，若第1名玩家选择第 $i$ 条路线，第2名玩家选择第 $j$ 条路线，则 $c_{1}$ 中的第 $i$ 个元素加1， $c_{2}$ 中的第 $j$ 个元素加1。 + +第3步：对第1、3名玩家，第1、4名玩家，……，第1、 $n$ 名玩家，……，第 $n$ 、 $n-1$ 名玩家按照与第2步中相同的方式，改变各自数组中对应元素的值。 + +第4步：对于第 $k$ $(k = 1,2,\dots ,n)$ 名玩家，其选择的决策方案编号为 + +$$ +C h o i c e _ {k} = \underset {i} {\arg \max } \left\{c _ {k} [ i ] \right\}, +$$ + +即其数组中最大元素的下标值，亦即这名玩家选择次数最多的路线编号。 + +# $\bullet$ 只有两位玩家的情况的求解 + +前已述及，对于这种情况，我们可以直接使用Lingo编程求解；在求解之前，我们首先使用问题一中挖矿情况下的源代码得到了第五关中的最佳路线： $1\rightarrow 5\rightarrow 5\rightarrow 6\rightarrow 13$ 同时对该路线进行微调，得到另外两条较佳路线，分别为： $1\to 1\to 1\to 5\to 6\to 13$ 、 $1\to 5\to$ $6\to 13$ ，将这三条路线分别编号为1、2、3，可根据我们之前定义的“冲突”的概念计算支付矩阵 $M$ 中的各个元素，例如路线1与路线2没有冲突，因此 $m_{12} = 4$ ，路线3与路线1冲突1次，不冲突2次，因此 $m_{31} = 1$ ；据此可根据式(5.3.1)使用Lingo编程[获得这两名玩家选择的路线。 + +# 5.3.3 已知天气情况且事先确定方案的最佳策略模型的结果分析 + +我们设玩家1可能从路线1、2、3中选择路线，玩家2可能从路线1、2中选择路线，根据Lingo报告，得到玩家1、2的决策集 + +$$ +Q _ {1} = \left\{\boldsymbol {q} = (0, 0. 2 2, 0. 7 8) \right\}, Q _ {2} = \left\{\boldsymbol {q} ^ {\prime} = (0. 5, 0. 5) \right\}, +$$ + +因此玩家1应选择路线3，对于玩家2，其选择路线1和路线2的概率均等，而参与者会优先选择最优路线，因此我们认为玩家2会选择最佳路线，即路线1。我们将两位玩家选择的路线标在右图中，可以发现，这两条路线唯一的不同之处，是玩家2需要在结点5多停留一天。 + +![](images/3042068251085b99287ad197e504bd75181fe79471567469985fc418eb8e5f2d.jpg) +图5.3.1：玩家1和玩家2选择的路线 + +# 5.4 问题三第二部分：仅知当天天气且动态确定方案的最佳策略模型的建立与求解 + +这一部分要求我们根据当天的天气状况以及其余玩家的决策方案，动态地确定最佳 + +策略，考虑到这一部分与问题二类似，因此我们仍然使用前往某个结点的收益的期望来建立最佳策略模型。 + +# 5.4.1 仅知当天天气且动态确定方案的最佳策略模型的建立 + +# $\star$ 符号引入 + +在构建该决策模型之前，我们首先引入部分符号，假设共有 $n$ 名玩家，分别记为 $H = \{h_1(t), h_2(t), \dots, h_n(t)\}$ ，对于每个玩家， $h_1(t) = (h_{11}, h_{12})$ ， $h_2(t) = (h_{21}, h_{22})$ ， $\dots$ ， $h_n(t) = (h_{n1}, h_{n2})$ ，其中第一个分量表示 $t$ 时刻第 $i$ 个玩家所在的节点编号，第二个分量表示该时刻第 $i$ 个玩家的行动，我们用 1 表示行走，2 表示停留，3 表示挖矿，4 表示停留并补给资源，5 表示不停留但补给资源。 + +以玩家1为例，假设其有 $n_1$ 种决策方案，且下一个行动结点为 $j$ ，则 $j \in S_{h_{11}} \cup \{h_{11}\}$ 其中 $S_{h_{11}}$ 为结点 $h_{11}$ 的邻接结点的集合；假设玩家2，玩家3，……，玩家 $n$ 中下一个可能的决策结点为 $j$ 的个数为 $m$ （ $m \leqslant n - 1$ ），不妨设为玩家 $k_1$ 、 $k_2$ 、……、 $k_m$ ，且玩家1与玩家 $k_1$ 、 $k_2$ 、……、 $k_m$ 之间的支付矩阵分别为 $M_{1k_1}$ 、 $M_{1k_2}$ 、……、 $M_{1k_m}$ 。 + +# 玩家选择结点概率的求取 + +我们以 $M_{1k_1}$ 为例，仿照之前的方式构造策略集： + +$$ +Q _ {1} = \left\{\boldsymbol {q} = \left(q _ {1}, q _ {2}, \dots , q _ {n _ {1}}\right) \Bigg | 0 \leqslant q _ {i} \leqslant 1, \sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} q _ {i} = 1 \right\}, +$$ + +$$ +Q _ {k _ {1}} = \left\{\boldsymbol {q} ^ {\prime} = \left(q _ {1} ^ {\prime}, q _ {2} ^ {\prime}, \dots , q _ {n _ {2}} ^ {\prime}\right) \Bigg | 0 \leqslant q _ {j} ^ {\prime} \leqslant 1, \sum_ {j = 1} ^ {n _ {2}} q _ {j} ^ {\prime} = 1 \right\}, +$$ + +同样，两人的效用期望相同，均为 + +$$ +U _ {1} (q, q ^ {\prime}) = U _ {k _ {1}} (q, q ^ {\prime}) = q M _ {1 k _ {1}} q ^ {\prime \mathrm {T}}, +$$ + +由此根据式(5.3.1)即可求得玩家 $k_{1}$ 前往结点 $j$ 的概率 $P_{k_1}(j)$ ，同理可求得 $P_{k_2}(j), P_{k_3}(j), \dots, P_{k_m}(j)$ 。 + +# 结点利润期望的求取 + +根据题意，我们分4种情况求取结点 $j$ 的收益期望，分别为行走、停留、挖矿、村庄补给的情况。 + +# $\succ$ 行走时结点 $j$ 的收益期望的计算 + +对于行走时的1号玩家，有 $j \in S_{h_1}$ 且 $j \neq h_{11}$ ，则玩家1、玩家2、……、玩家 $n$ 均有可能到达结点 $j$ ，因此此处的“收益”指的是这部分玩家到达该结点消耗生活必需品的损失，为负数，即 + +$$ +E (j) = - \sum_ {k = 2} ^ {n + 1} (2 k - 2) \left[ B _ {W} (t) P _ {W} + B _ {F} (t) P _ {F} \right] P (k), +$$ + +假设每一位参与者到达结点 $j$ 是相互独立的，则 $P(k)$ 为 $k$ 个参与者到达结点 $j$ 的概率。 + +# $\succ$ 停留结点 $j$ 的收益期望的计算 + +当玩家1停留在结点 $j$ 时，在此处的“收益”指的是在此处停留消耗的生活必需品对应的资金以及晚到终点一天消耗的生活必需品对应的资金；在问题二中我们已经假设 $P(A)$ 、 $P(B)$ 分别为天气晴朗和高温的概率，因此此时 + +$$ +E (j) = - \left[ B _ {W} (t) P _ {W} + B _ {F} (t) P _ {F} \right] - P (A) \times 2 \left(3 P _ {W} + 4 P _ {F}\right) - P (B) \times 2 \left(9 P _ {W} + 9 P _ {F}\right), +$$ + +其中 $B_{W}(t)$ 、 $B_{F}(t)$ 为该时刻水和食物的基础消耗量， $P_{W}$ 、 $P_{F}$ 分别为水和食物的价格。 + +# 矿山挖矿时结点 $j$ 的收益期望的计算 + +在矿山挖矿时，结点 $j$ 的收益期望由挖矿收益、在此处停留消耗的生活必需品对应的资金以及晚到终点一天消耗的生活必需品对应的资金组成，因此 + +$$ +E (j) = \sum_ {k = 2} ^ {n + 1} \frac {E _ {2} | _ {t}}{k} P (k) - \left[ B _ {W} (t) P _ {W} + B _ {F} (t) P _ {F} \right] - P (A) \times 2 \left(3 P _ {W} + 4 P _ {F}\right) - P (B) \times 2 \left(9 P _ {W} + 9 P _ {F}\right), +$$ + +其中 $E_{2}\big|_{t}$ 为问题二中定义的在已知天气的第 $t$ 天挖矿所获净收益，因此上式中的第一项即为在该结点的玩家挖矿所获基础收益的均值。 + +# 村庄补给时结点 $j$ 的收益期望的计算 + +在村庄补给时，结点 $j$ 的收益期望即为玩家购买生活必需品耗费的资金，因此为一负值；在问题二中，我们已经定义了 $Z_{W}$ 、 $Z_{F}$ 分别为参与者在村庄购买水和食物的购买量，所以 + +$$ +E (j) = - 2 \left(Z _ {W} P _ {W} + Z _ {F} P _ {F}\right). +$$ + +据此我们可以求得玩家1前往的下一个结点的编号 + +$$ +h _ {1} (t + 1) _ {1} = \underset {j \in S _ {h _ {1}} \cup \{h _ {1} \}} {\arg \max } E (j), +$$ + +据此可做出决策。 + +# 5.4.2 仅知当天天气且动态确定方案的最佳策略模型的求解 + +我们建立的模型涉及到较多的支付矩阵，而两两玩家之间的支付矩阵并不一样，这样计算会过于复杂，因此我们简化了模型的计算，将其退化为最优路径的计算。 + +Step 1: 初始化算法中所需要的各个常量。 + +Step2：计算从起点到终点所需的行进天数，同时算出从第一天出发和第二天出发到达终点所需的水和食物的资源，并算出剩余的资金量。 + +Step3: 以步长为1依次遍历在起点处参与者所带的水的重量，从1遍历至1200千克，对于其中水和食物的占比不同的情况，进行深度优先遍历。 + +Step 4: 若当前节点为终点，更新答案以及对应的答案数组，算法结束。 + +Step 5: 若当前时间超过截至日期，回溯至上一层。 + +Step 6: 若当前节点为村庄，则更新参与者仍能携带的物品的数量。 + +Step7：对于当前节点可以到达的每个节点，检查是否有足够的资源供其到达，若足够，则搜索目标节点，并扣除资源量。资源不足则回溯到上一个村庄或起点，视为在上一个村庄或者起点进行补给。 + +Step8：若当前节点为矿山，这搜索在矿山停留和在矿山挖矿的两种情况，并扣除资源量，资源不足则回溯到上一个村庄或起点，视为在上一个村庄或者起点进行补给。 + +# 5.4.3 仅知当天天气且动态确定方案的最佳策略模型的结果分析 + +根据我们编写的迭代算法，即可获得三位玩家选择的路线，如右图所示，可以看出，一位玩家沿上边界和右边界到达终点，一位玩家沿左边界和下边界到达终点，还有一位玩家从地图中部到达终点；根据题意可知，该路线是比较合理的，因为若有多个玩家选择同一条路线，则他们资源的消耗量增大，挖矿获得的基础收益降低，同时若要前往村庄补给物资，则购买价格也会增加；所以玩家应选择尽量不同的路线，这与我们得到的路线是相符的。 + +![](images/bed23b5e56305c45ada68f0347143c4faf2a310e8763aed56f8161d53c7d9073.jpg) + +![](images/e4094c6d7e4270a1d570f0dc696562faa061a09d10be0172fcae5983df529cd6.jpg) +图5.4.1：3位玩家选择的路线 + +# 六、模型的评价与推广 + +# 6.1 模型的评价 + +# 模型的优点 + +在对问题一的求解过程中，将整个决策过程分为不挖矿和挖矿两种情况进行分析，并且根据每一种情况的特点，分别设计了基于贪心法和回溯法的算法对其进行求解，能够很好地得到参与者应选择的最佳策略。 +问题二涉及的场景是一个动态决策的过程，因此我们将决策过程分为若干种情况，考虑了天气、收益的数学期望等多种因素，并设计了相应的迭代算法，得到了参与者的决策方案，同时使用蒙特卡洛仿真以验证该模型的正确性。 +我们将问题三的场景抽象为一个博弈过程，在参考博弈论有关资料的基础之上，对于有 $n$ 位玩家和本题中只有两位玩家的情况分别给出了对应的求解步骤，具有较强的普适性。 + +# 模型的缺点 + +为求解问题一中前往矿山挖矿的过程，我们设计了相应的回溯算法，该算法效率较高，想法新颖，但是代码的简明性较低，即使借助注释也不容易很快理解其执行过程。 +$\Leftrightarrow$ 我们在建立问题二有关模型的过程中，没有考虑参与者在村庄和矿山之间来回往返的情况，若考虑这种情况可能会得到更佳的策略。 + +# 6.2 模型的改进 + +我们解决问题一中前往矿山挖矿过程的回溯算法，本质上是一种带有限界函数的深度优先遍历方法，为提高该算法的简明性，我们可以在现有代码之上，对其中的某些数据结构、搜索条件等进行优化，或采用粒子群算法等智能算法对这种情况进行求解；在问题二中，如果需要考虑参与者在村庄和矿山之间来回往返的情况，整个决策过程将变得更加复杂，很难在现有的过程上进行拓展，但可以设计与问题一中的回溯算法类似的算法来考察这种情况。 + +# 6.3 模型的推广 + +我们建立模型的过程中用到的方法可以推广到其他领域，例如我们在求解问题一中使用到的贪心法就可以用于求解背包问题，该问题中涉及到的向背包中加入物品的过程与本问题中参与者在起点购买生活必需品的过程类似；在求解问题三时，我们参考了博弈论的相关理论，该理论可用于解决作战时兵力的分配、合作完成某项任务时人员的分配等多种实际问题。 + +# 七、参考文献 + +[1] 周志华. 机器学习[M]. 北京：清华大学出版社，2016. +[2] 陈慧南. 算法设计与分析（C++语言描述）[M]. 北京：电子工业出版社，2018. +[3] 卓金武, 王鸿钧. MATLAB 数学建模方法与实践（第三版）[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2018. +[4] 林琦彤. 协同创新项目知识共享的演化博弈分析[D]. 济南：山东大学，2019. +[5] 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2016. +[6] 谢金星, 薛毅. 优化建模与 LINDO/LINGO 软件[M]. 北京: 清华大学出版社, 2005. + +# 附录 + +# 一、程序源代码 + +
问题1:求解第一关不挖矿时最佳策略的Matlab源代码
p=[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 001 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 001 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 27for j=1:27
+ +ifdis(i,j) $\equiv = 0$ dis(i,j)=inf; end end end end %Floyd算法计算任意两点的最短路径 fork=1:n fori=1:n forj=1:n ifdis(i,k)+dis(k,j)0 if $\mathrm{b} = 1$ $\mathrm{p(i,i + 8)} = 1;$ $\mathrm{p(i,i - 8)} = 1;$ else $\mathrm{p(i,i + 8)} = 1;$ $\mathrm{p(i,i - 8)} = 1;$ $\mathrm{p(i,i + 7)} = 1;$ $\mathrm{p(i,i - 9)} = 1;$ end else if $\mathrm{b} = 1$ $\mathrm{p(i,i + 8)} = 1;$ else $\mathrm{p(i,i + 7)} = 1;$ $\mathrm{p(i,i + 8)} = 1;$ end end else if $\mathrm{a}\sim = 8$ if $\mathrm{b} = 0$ $\mathrm{p(i,i + 8)} = 1;$ + +$\mathrm{p(i,i - 8) = 1}$ else $\mathrm{p(i,i + 8) = 1}$ $\mathrm{p(i,i - 8) = 1}$ $\mathrm{p(i,i - 7) = 1}$ $\mathrm{p(i,i + 9) = 1}$ end else if $b = 0$ $\mathrm{p(i,i - 8) = 1}$ else $\mathrm{p(i,i - 7) = 1}$ $\mathrm{p(i,i - 8) = 1}$ end end end end end inf $= 99999999$ n $\equiv$ size(p,1); + $\%$ 初始化路由矩阵 for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ for $\mathrm{j} = 1:\mathrm{n}$ r(i,j)=j; end end end r; + $\%$ 初始化距离矩阵 $\%$ 令无法直接到达的点之间的距离为inf + $\%$ 能直接到达的点之间距离为1 +dis=p; for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ for $\mathrm{j} = 1:\mathrm{n}$ ifdis(i,j)=0 dis(i,j)=inf; end end end + $\%$ Floyd算法计算任意两点的最短路径 + +for $k = 1:n$ +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{n}$ +for $\mathrm{j} = 1:\mathrm{n}$ +ifdis(i,k)+dis(k,j) +#includeusing namespace std;map,bool> mp;const int qua[4] = {0,1,2,3}; //将图中的4个特殊点分为4类//按标号顺序记在该数组中//0:起点，1：村庄，2：矿山，3：终点 +const int dist[4][4] = {{0,6,8,3}, {6,0,2,3}, {8,2,0,5}, {3,3,5,0}}; +const int f[4][4] = {{0,1,1,1}, {0,0,1,1}, {0,1,0,1}, {0,0,0,0}}; +const int wea[30] = { 2,2,1,3,1, 2,3,1,2,2, 3,2,1,2,2, 2,3,3,2,2, 1,1,2,1,3, 2,1,1,2,2}; +const int mx=3.my=2; //mx和my分别是水和食物的重量 +const int cx=5,cy=10; //cx和cy分别是水和食物的基准价格 +const int sx[4] = {0,5,8,10};//sx中下标为1-3的元素分别指晴朗，高温，沙暴天气下水的基础消耗 +const int sy[4] = {0,7,6,10};//sy中下标为1-3的元素分别指晴朗，高温，沙暴天气下食物的基础消耗 +``` + +```lisp +const int n=4; //共有4个特殊点 +const int maxm=1200; //背包容量 +const int coins=10000; //起始总资产 +const int base=1000; //挖矿每日收益 +const int date=30; //截至日期 +int costx[32][4][4]; //第d天从第i点走到第j点所消耗的水 +int costly[32][4][4]; //第d天从第i点走到第j点所消耗的食物 +int days[32][4][4]; //第d天从第i点走到第j点所需要的实际天数 +int ans=0; +int rec[32]; +//每一天所到达的点的标记-1代表此时处于最短路径上的某个普通点或此时已经达到终点 +//其余的数字分别代表当天玩家位于对应的特殊点对应情况如qua数组所示 +int act[32]; +//每一天的特殊行动情况2代表挖矿1代表于矿山停止行动0代表在村庄购买 +int ansx[32]; //ansx与ansact是最优解路径和最优解路径上的行为 +int ansact[32]; +int ansg,anh; //ansg和anh是最优解对应的初始水和食物资源量 +int g,h; //用于枚举的初始水与食物资源量 +void dfs(int day,int now,int nm,int c,int x,int y,int type) +{ + act[day]=type; + rec[day]=now; + if(qua[now]=3) + { + if(ans<=c+x*cx+y*cy) + ansg=g; + ansh=h; + ans=c+x*cx+y*cy; + for(int i=0;i<=date;i++) + ansx[i]=rec[i]; + for(int i=0;i<=date;i++) + ansact[i]=act[i]; + } + act[day]=-1; + rec[day]=-1; + return; +} +if(day>=date) +{ + act[day]=-1; + rec[day]=-1; +} +``` + +return; +} +if(qua(now) $\equiv$ 1) nm=maxm-mx\*x-my\*y; for(int i=0;i=ty) { y-=ty; ty=0; } else { ty-=y; y=0; } nm $=$ tx\*mx+ty\*my; c- $= 2^{*}$ tx\*cx+2\*ty\*cy; if(nm>=0&&c>=0) dfs(attday,now,nm,c,x,y,1); attday $\coloneqq$ day; tx=sx[wea[attday]\*2; ty=sy[wea[attday]\*2; attday++; if(x $\coloneqq$ tx) { x $\coloneqq$ tx; tx=0; } else { tx $\coloneqq$ x; x=0; } if(y $\coloneqq$ ty) { y $\coloneqq$ ty; ty=0; } else { ty $\coloneqq$ y; y=0; } + +nm=tx\*mx+ty\*my; c $= 2^{*}$ tx\*cx+2\*ty\*cy; $\mathrm{c + =}$ base; if(nm>=0&&c>=0) dfs(attday,now,nm,c,x,y,2); } rec[day]=-1; act[day]=-1; int main() { for(int d=0;d<=date;d++) { rec[d]=-1; act[d]=-1; } for(int d=0;d=date) break; } if(count #include using namespace std; map,bool> mp; const int qua[6] $\equiv$ {0,2,1,2,1,3}; //将图中的6个特殊点分为4类 //按标号顺序记在该数组中 //0:起点，1：村庄，2：矿山，3：终点 const int dist[6][6] $\equiv$ {0,7,8,9,9,11}, {7,0,1,3,4,4}, {8,1,0,2,3,3}, {9,3,2,0,1,2}, {9,4,3,1,0,2}, {11,4,3,2,2,0}； const int f[4][4] $\equiv$ {0,1,1,1}, {0,0,1,1}, {0,1,0,1}, {0,0,0,0}； const int wea[30]=\{ 2,2,1,3,1, 2,3,1,2,2, 3,2,1,2,2, 2,3,3,2,2, 1,1,2,1,3, 2,1,1,2,2}； //30天的天气情况，1，2，3分别代表晴朗，高温和沙暴 const int mx=3.my=2; //mx和my分别是水和食物的重量 const int cx=5,cy=10; //cx和cy分别是水和食物的基准价格 + +```txt +const int sx[4] = {0,5,8,10}; //sx中下标为1-3的元素分别指晴朗，高温，沙暴天气下水的基础消耗 +const int sy[4] = {0,7,6,10}; //sy中下标为1-3的元素分别指晴朗，高温，沙暴天气下食物的基础消耗 +const int n = 6; //共有6个特殊点 +const int maxm = 1200; //背包容量 +const int coins = 10000; //起始总资产 +const int base = 1000; //挖矿每日收益 +const int date = 30; //截至日期 +int costx[32][6][6]; //第d天从第i点走到第j点所消耗的水 +int costly[32][6][6]; //第d天从第i点走到第j点所消耗的食物 +int days[32][6][6]; //第d天从第i点走到第j点所需要的实际天数 +int ans = 0; +int rec[32]; +//每一天所到达的点的标记 -1代表此时处于最短路径上的某个普通点或此时已经达到终点 +//其余的数字分别代表当天玩家位于对应的特殊点对应情况如qua数组所示 +int act[32]; +//每一天的特殊行动情况2代表挖矿1代表于矿山停止行动0代表在村庄购买 +int ansx[32]; //ansx与ansact是最优解路径和最优解路径上的行为 +int ansact[32]; +int ansg, ansh; //ansg和ansh是最优解对应的初始水和食物资源量 +int g, h; //用于枚举的初始水与食物资源量 +``` + +void dfs(int day,int now,int nm,int c,int x,int y,int type) +{act[day]=type;rec[day]=now;if(qua(now)=3)if(ans $< =$ c+x*cx+y*cy)ansg=g;ansh=h;ans=c+x*cx+y*cy;for(int i=0;i $< =$ date;i++)ansx[i]=rec[i];for(int i=0;i $< =$ date;i++)ansact[i]=act[i];}act[day]=-1;rec[day]=-1;return; + +} if(day $\coloneqq$ date) { act[day]=-1; rec[day]=-1; return; } if(qua[now] $\coloneqq$ 1) nm=maxm-mx\*x-my\*y; for(int i=0;it=[0:24];%天数%money1=xlsread('sensitivity.xlsx','sheet1','A3:A27');%负重不变%money2=xlsread('sensitivity.xlsx','sheet1','B3:B27');%负重减少10%%money3=xlsread('sensitivity.xlsx','sheet1','C3:C27');%负重增加10%money1=xlsread('sensitivity.xlsx','sheet2','A3:A27');%初始资金不变money2=xlsread('sensitivity.xlsx','sheet2','B3:B27');%初始资金减少10%money3=xlsread('sensitivity.xlsx','sheet2','C3:C27');%初始资金增加10%plot(t,money1,'b');hold on;plot(t,money2,'r');hold on;plot(t,money3,'g') + +问题2：求解第四关最佳策略并使用蒙特卡洛方法进行仿真的 $\mathbf{C} + +$ 源代码 + +
#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;
map<int, int> bool> mp;
const int qua[4] = {0,1,2,3};//将图中的6个特殊点分为4类
//按标号顺序记在该数组中
//0:起点,1:村庄,2:矿山,3:终点
const int dist[4][4] = {{0,5,5,8}, {5,0,2,3}, {5,2,0,3}, {8,3,3,0}};//4个特殊点之间的距离矩阵
const int f[4][4] = {{0,1,1,1}, {0,0,1,1}, {0,1,0,1}, {0,0,0,0}};//4类特殊点的互相到达的决策情况
int wea[30] = {2,2,1,3,1, 2,2,1,2,2, 1,2,1,2,2, 2,3,1,2,2, 1,1,2,1,3, 2,1,1,2,2};//30天的天气情况,1,2,3分别代表晴朗,高温和沙暴
const int dis[26][26] = {//任意两点之间的距离矩阵点的编号从1开始
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
0,0,1,2,3,4,1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7,4,5,6,7,8,
+ +```txt +0,1,0,1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6,7， +0,2,1,0,1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6， +0,3,2,1,0,1,4,3,2,1,2,5,4,3,2,3,6,5,4,3,4,7,6,5,4,5， +0,4,3,2,1,0,5,4,3,2,1,6,5,4,3,2,7,6,5,4,3,8,7,6,5,4， +0，1，2，3，4，5，0，1，2，3，4，1，2，3，4，5，2，3，4，5，6，3，4，5，6，7， +0，2，1，2，3，4，1，0，1，2，3，2，1，2，3，4，3，2，3，4，5，4，3，5，6 +0，3，2，1，2，3，2，1，0，1，2，3，2，1，2，3，4，3，2，3，4，5，4 +0.4.3.2.1.2.3.2.1.0.1.4.3.2.1.2.5.4.3.2.3.6.5.4.3.4 +0.5.4.3.2.1.4.3.2.1.0.5.4.3.2.1.6.5.4.3.2.7.6.5.4.3 +0.,3.2.3.4.5.2.1.2.3.4.1.0.1.2.3.2.1.2.3.4.3.2.3.4.5 +0.,4.,3.,2.,3.,4.,2.,1.,2.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.,2.,1.,2.,3.,2.,1.,2.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.,2.,1. + //x 中下标为 1-3 的元素分别指晴朗高温沙暴天气下水的基础消耗 +const int sy[4] = \{0,4,9,10\};//sy 中下标为 1-3 的元素分别指晴朗高温沙暴天气下食物的基础消耗 +const int n=4; //共有 6 个特殊点 +const int maxm=1200; //背包容量 +const int coins=10000; //起始总资产 +const int base=1000; //挖矿每日收益 +const int date=30; //截至日期 +int costx[32][4][4]; //第 d 天从第 i 点走到第 j 点所消耗的水 +int costly[32][4][4]; //第 d 天从第 i 点走到第 j 点所消耗的食物 +int days[32][4][4]; //第 d 天从第 i 点走到第 j 点所需要的实际天数 +int ans=0; +int rec[32]; +//每一天所到达的点的标记 -1 代表此时处于最短路径上的某个普通点或此时已经达到终点 +//其余的数字 分别代表当天玩家位于对应的特殊点 对应情况如 qua 数组所示 +``` + +```c +intact[32]；//每一天的特殊行动情况2代表挖矿1代表于矿山停止行动0代表在村庄购买 +intansx[32]; //ansx与ansact是最优解路径和最优解路径上的行为 +intansact[32]; +intansg,ansh; //ansg和ansh是最优解对应的初始水和食物资源量 +intg,h; //用于枚举的初始水与食物资源量 +``` + +```txt +double e[4] = {0}; +double p[4] = {0,17.0/30,1.0/3,1.0/10}; +double pi[10]; +``` + +int main() +{ //srand((unsigned)time(NULL)); //注释部分代码用于仿真 +// int count3=0; +// for (int i=1;i<=30;i++) { //if (count3==3){ //wea[i]=rand( $\% 2 + 1$ · +// } +// else{ //wea[i]=rand( $\% 3 + 1$ · if(wea[i]=3){ +// count3++; +// } +// } +// } +for(int i=1;i<=30;i++) { cout<=date) break; } if(count e[1]~*~(dist[0][1] + dist[1][2]~ - ~dist[0][2])~ + ~2^{*}i^{*}e[3]~\& \&}$ mx\*(bw-costx[0][0][1]+i\*ew)+my\*(bf-costy[0][0][1]+i\*ef) $\leq$ maxm）{if $\mathrm{(i^{*}e[2] - e[1]~*~(dist[0][1] + dist[1][2]~ - ~dist[0][2])~ - ~2^{*}i^{*}e[3]~maxx)}$ {maxx=i\*e[2]-e[1]\* (dist[0][1] + dist[1][2] - dist[0][2]) -2\*i\*e[3];t_m=i;\}1 $\mathrm{i = i + 1}$ ·1int dayss=0;int nc=coins;nc=nc-cx\*bw-cy\*bf;cout< #include using namespace std; +``` + +
map<pair<int,int>,bool> mp;
const int qua[4]={0,1,2,3};//将图中的4个特殊点分为4类
//按标号顺序记在该数组中
//0:起点,1:村庄,2:矿山,3:终点
const int dist[4][4]={0,5,5,8},//4个特殊点之间的距离矩阵
const int f[4][4]={0,1,1,1},//4类特殊点的互相到达的决策情况
const int wea[30]={2,2,1,3,1,//30天的天气情况,1,2,3分别代表晴朗,高温和沙暴
const int mx=3,my=2;//mx和my分别是水和食物的重量
const int cx=5,cy=10;//cx和cy分别是水和食物的基准价格
const int sx[4]={0,3,9,10};
//sx中下标为1-3的元素分别指晴朗,高温,沙暴天气下水的基础消耗
const int sy[4]={0,4,9,10};
//sy中下标为1-3的元素分别指晴朗,高温,沙暴天气下食物的基础消耗
const int n=4;//共有4个特殊点
const int maxm=1200;//背包容量
const int coins=10000;//起始总资产
const int base=1000;//挖矿每日收益
const int date=30;//截至日期
int costx[32][4][4];//第d天从第i点走到第j点所消耗的水
int costly[32][4][4];//第d天从第i点走到第j点所消耗的食物
int days[32][4][4];//第d天从第i点走到第j点所需要的实际天数
int ans=0;
int rec[32];
//每一天所到达的点的标记-1代表此时处于最短路径上的某个普通点或此时已经达到终点
//其余的数字分别代表当天玩家位于对应的特殊点对应情况如qua数组所示
int act[32];
//每一天的特殊行动情况2代表挖矿1代表于矿山停止行动0代表在村庄购买
int ansx[32];
//ansx与ansact是最优解路径和最优解路径上的行为
+ +```lisp +int ansact[32]; +int ansg,ansh; //ansg和ansh是最优解对应的初始水和食物资源量 +int g,h; //用于枚举的初始水与食物资源量 +void dfs(int day,int now,int nm,int c,int x,int y,int type) +{ + act.day]=type; + rec(day)=now; + if(qua(now==3) + { + if(ans<=c+x*cx+y*cy) + { + ansg=g; + ansh=h; + ans=c+x*cx+y*cy; + for(int i=0;i<=date;i++)ansx[i]=rec[i]; + for(int i=0;i<=date;i++)ansact[i]=act[i]; + } + act(day=-1; + rec(day=-1; + return; + } +if(day>=date) +{ + act(day=-1; + rec(day=-1; + return; +} +if(qua(now==1)nm=maxm-mx*x-my*y; +for(int i=0;i=tx)ux=x-tx; + else ux=0,ucost-=2*(tx-x)*cx,um=(tx-x)*mx; + if(y>=ty)uy=y-ty; + else uy=0,ucost-=2*(ty-y)*cy,um=(ty-y)*my; + if(ucost<0||um<0)continue; + dfs(day+days(day)[now][i],i,um,ucost,ux,uy,0); +} +``` + +if(qua[now] $\equiv$ 2) +{ int attday $\coloneqq$ day; int tx $=$ sx[wea[attday]]; int ty $=$ sy[wea[attday]]; attday++; if(x $\coloneqq$ tx)x $\coloneqq$ tx,tx=0; else tx $\coloneqq$ x,x=0; if(y $\coloneqq$ ty)y $\coloneqq$ ty,ty=0; else ty $\coloneqq$ y,y=0; nm $\coloneqq$ tx\*mx+ty\*my; c-=2\*tx\*cx+2\*ty\*cy; if(nm $\coloneqq$ 0&&c $\coloneqq$ 0)dfs(attday,now,nm,c,x,y,1); attday $\coloneqq$ day; tx=sx[wea[attday]]\*2; ty=sy[wea[attday]]\*2; attday++; if(x $\coloneqq$ tx)x $\coloneqq$ tx,tx=0; else tx $\coloneqq$ x,x=0; if(y $\coloneqq$ ty)y $\coloneqq$ ty,ty=0; else ty $\coloneqq$ y,y=0; nm $\coloneqq$ tx\*mx+ty\*my; c-=2\*tx\*CX+2\*ty\*cy; c+=base; if(nm $\coloneqq$ 0&&c $\coloneqq$ 0)dfs(attday,now,nm,c,x,y,2); } rec[day]=-1; act[day]=-1; +} +int main() +{ for(int d $= 0$ ;d $< =$ date;d++)rec[d]=-1,act[d]=-1; for(int d $= 0$ ;d $< =$ date;d++)for(int i $= 0$ ;i=date)break; } if(count第一关第二关日期所在区域剩余资金数/元剩余水量/箱剩余食物量/箱日期所在区域剩余资金数/元剩余水量/箱剩余食物量/箱01578017833301530013040512557801623211253001143932245780146309235300983813235780136295345300883674235780126285445300783575225780116271512530068343695780100259621530052331795780902497215300423218154150243235829530032307914415022722393853001629510124150211211103926401843241112515018118111392640174314121261501571631246264015830213127150142142135526401482881412815011812414553640124270151291509410615554640100252161210150708816555640762341712101506078175566404620418121015050681855764016174191211150265019624730201207201411150103820554730185195211510470364021555730170174229104702626225567301551532321104701014235577301311352427104700024558730116114252555973086842626551073062662727551173047452828551273032242929631273016123030641273000 + +# 三、支撑材料内容组成 + +
文件夹文件名主要功能/用途
源代码p1_1_d.m求解第一关不挖矿时的最佳策略（Matlab 源代码）
p1_2_d.m求解第二关不挖矿时的最佳策略（Matlab 源代码）
p1_1.cpp求解第一关挖矿时的最佳策略（C++源代码）
p1_2.cpp求解第二关挖矿时的最佳策略（C++源代码）
plot1.m绘制第一关、第二关剩余资金数的变化曲线（Matlab 源代码）
plot2.m绘制第一关、第二关剩余水量、食物量的变化曲线（Matlab 源代码）
sensitivity1.m以第一关为例进行灵敏度分析（Matlab 源代码）
p2_4.cpp求解第四关的最佳策略,并使用蒙特卡洛方法进行仿真（C++源代码）
problem3_1/lg4求解决策方案（Lingo 源代码）
p4.cpp求解第六关的最佳策略（C++源代码）
数据sensitivity.xlsx该表格是我们以第一关为例进行灵敏度分析时的原始数据表格,该表格用于导入 Matlab 进行计算
Result.xlsx该表格是我们第一问中第一关与第二关分别求出的最优解对应的每天的水、食物和资金的剩余量
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/B108/B108.md b/MCM_CN/2020/B108/B108.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ee75ce908f5dfc2849b9a0f98a6f82cd7d6d9587 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/B108/B108.md @@ -0,0 +1,2441 @@ +# 基于动态规划、统计分析、静态博弈的穿越沙漠游戏策略设计摘要 + +本文研究一个穿越沙漠小游戏的最佳策略问题。我们先在分析游戏机制的基础上编程实现了游戏逻辑模拟，再使用了图动态规划模型得到前两个具体关卡的最优解。再基于动态规划求解得到的数据，使用统计分析方法得出更复杂情况的最优策略规则。将这些规则应用于第三、四关后使用随机模拟的方法对具体方案进行调整和检验。最后使用静态博弈模型考虑2人、3人共同参与游戏时的最优策略机制，在第五、六关上进行具体实现和讨论。 + +针对问题一：我们先将游戏机制转化为python程序，模拟后发现了对游戏状态及其转移规律的数学表示后论证了动态规划模型的合理性。在对这一模型算法的具体实现、复杂度进行充分分析后进行 $\mathrm{C}++$ 实现，计算得到第一关最优策略得分10470，用时24天，第二关最优策略得分12730，用时30天。 + +从建模过程和最优方案中提炼出“走最短路”这一确定性策略和“能走则走”在目前游戏设定下成立的规律。 + +我们对动态规划模型进行了比较彻底的时间、空间复杂度优化（第一问例子中秒级求解）使其与游戏机制模拟一起成为后续问题使用大量数据分析和随机模拟验证的基础。 + +针对问题二：为了解决问题二中的随机性，我们先对最佳策略使用统计分析方法来设计决策方案，再使用随机模拟进行验证和评价。对于小规模的第三关，我们用之前的动态规划模型对1024种天气情况进行逐一求解，对其中体现出的路线、行动、购买策略进行统计，得出结论应当直接在前三天走到终点，在起点买保证能够到达终点的最少物资量。我们使用随机模拟算法比较该方案与其他合理方案的期望收益、失败概率，发现其具有明显优势。严格计算和随机模拟均显示其过关得分期望为9350。 + +对于规模较大不适合穷举最优解的第四关，我们采取抽样统计，通过随机生成不同的天气情况进行动态规划求解，分析最优解，结合第三关经验得出“买足物资，及时补给”的降低风险策略。得到的具体策略分析得到其失败概率控制在 $2.5\%$ 以内并且在一般天气情况下拥有超过初始资金的预期结果。 + +针对问题三：对于多人游戏，我们在分析机制后建立了静态博弈模型。我们先对第五关的几种较优单人策略进行分析，建立起两两间的博弈收益函数表，根据收益表分别进行纯策略和混合策略分析，最后得出均衡的解为双方采用3天到达终点的策略并会选择在起点购买足够生存的物资。第六关我们采取类似的方法对于两人局部的竞争进行分析得出了一系列局部策略，由此指导玩家进行决策优化。 + +最后我们分析了模型的优缺点和灵敏度，结果显示模型对于这一类问题具有比较好的适应性，提炼出的规则可以有效指导玩家决策。 + +关键字：动态规划 统计分析 随机模拟 静态博弈 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 游戏设定 + +本题考虑一个策略选择问题。玩家在一张沙漠地图内，初始拥有一定的资金并购买一定数量的水和食物，从起点出发，在保证生存的情况下，在规定的时间内到达终点并保留尽可能多的资金。途中玩家的资源消耗受到天气和行动的影响，但玩家可以在矿山补充资金，在村庄补充资源。 + +主要的游戏要点如下： + +1 游戏以天为单位，玩家选择停留或行走。若在矿区停留可以选择挖矿，经过村庄可以选择购买资源。 +2 资源分为水和食物，玩家在沙漠中的水和食物有负重上限，若未到达终点而资源耗尽则游戏失败。 +3 玩家在原地停留的资源消耗量称为基础消耗量，行走一天消耗量为基础消耗的两倍，挖矿的消耗量为基础消耗的三倍。 +4天气分为“晴朗”、“高温”和“沙暴”，不同天气玩家的基础消耗量不同。“沙暴”天气时玩家必须在原地停留。 +5 玩家在第 0 天在起点以基本价格购买水和食物，之后若要购买资源需要在村庄购买，但价格为基准价格的两倍。在到达终点后资源以基准价格的一半退回。 +6 玩家在矿山挖矿可以获得基础收益，到达矿山当天不能挖矿。 + +# 1.2 问题提出 + +根据不同的游戏参数设定(地图、负重上限、初始资金、截止日期、基础收益、资源价格、资源重量、基础消耗量)，在有以下三个问题： + +问题一：只有一名玩家，整个游戏时间内所有的天气已知，给出该玩家的最优策略，求解“第一关”和“第二关”。 + +问题二：只有一名玩家，玩家仅知道当天的天气情况，据此决定当天的行动方案，给出最佳策略并对“第三关”和“第四关”进行讨论。 + +问题三：有 $n$ 名玩家同时从起点出发，若某天 $k$ 名玩家的路线相同，则他们每人的资源消耗量为基础消耗的 $2k$ 倍；若某天 $k$ 人在同一矿山挖矿，收益是基础收益的 $\frac{1}{k}$ 但消耗量不变；若某天 $k$ 人在同一村庄购买资源，每箱价格为基准价格的4倍。其余情况与单人游戏相同。 + +(1) 若整个游戏世界内天气全部已知, 每名玩家的行动方案在第 0 天确定且不更改, 给出玩家的策略并对 “第五关” 讨论。 + +(2) 若所有玩家仅知道当天天气情况，每个玩家在当天行动结束后知道其余玩家当天的行动方案和剩余的资源数量，随后确定第二天的行动方案，给出玩家应该采取的策略并对“第六关”进行讨论。 + +# 二、模型的假设 + +# 2.1 对于天气不确定情况，各种情况的出现概率固定 + +在处理天气不确定的策略时，我们认为应当有对于天气概率的一些预期信息。为了简化我们处理为各种情况按固定概率出现。 + +# 2.2 确定天气下的最优方案包含了随机天气下优秀方案的共性 + +除了确定的天气情况下我们可以得出确定的最优解外，含有博弈和随机天气的情况均不能得到严格最优解。我们认为单人确定性天气下得到的最优方案包含了方案优化中的特征，据此我们可以通过数据分析提取这些优化策略。 + +# 2.3多人游戏时，每个玩家都是理性人 + +多人游戏中，玩家总希望自己能存活并获得尽可能多的收益。由于玩家在沙漠中行走没有合作机制，因此合作博弈的基本条件不成立[5]，因此所有玩家都进行不合作博弈，即完全为自己的利益考虑。 + +# 2.4这是一个纯粹的游戏，不涉及生命伦理问题，即我们可以对游戏者在沙漠中“死亡”的可能性进行分数量化 + +本模型允许给出对游戏者在沙漠中因缺乏食物而失败的方案，并对此进行量化评分。这对于实际人穿越沙漠问题这样的解应当排除，因为生命无价。 + +# 三、符号说明 + +
符号意义
InitialMoney初始资金
BasicIncome挖矿的基础收益
WeightLimit负重上限
pw水的基础价格
pf食物的基础价格
cwi第i天水的基础消耗量
cfi第i天食物的基础消耗量
ww一箱水质量
wf一箱食物质量
d截止日期
p地图上地区的总个数
+ +# 四、图动态规划模型 + +# 4.1图模型 + +为了后续的算法表述和程序计算，首先我们需要将附件中给的图形化地图转化为图 $G = (V,E)$ ：每个地区块为一个顶点， $V$ 表示顶点集合， $E$ 表示边集，若 $i$ 地区和 $j$ 地区相邻，则 $(i,j)\in E,(j,i)\in E$ 。 + +观察发现并不是所有的顶点和边的存在都会对游戏目标产生影响。我们每天如果选择行走的话，总会选择最短的路径走向终点、村庄、矿山三者之一。由此可以对图作较大简化。我们将这一猜想具体表述如下： + +定义1功能点：终点、村庄、矿山三类点的总称。 + +定义2 玩家在第 $i$ 天开始时到 $j$ 点的距离：玩家从第 $i$ 天所在点走到 $j$ 点所需要经过最少天数，记作 $d_i(j)$ 。 + +定义3 $j$ 点到 $j^{\prime}$ 的最短路径：构成从 $j$ 点走到 $j^{\prime}$ 点所需最少天数的方案中的点集和边集，记作 $P_{j,j'} = (V_{J,J'},E_{J,J'})$ + +猜想1单人玩家在游戏过程中如果选择行走，则至少存在一个功能点 $j, d_{i+1}(j) < d_i(j)$ 。 + +证明：设玩家选择行走的某天 $i$ 开始时处在节点 $j$ ，设 $j'$ 为玩家之后最先到达的功能节点。（由于成功过关时要到达终点，因此 $j'$ 必存在）。 + +记玩家让 $d_{i + 1}(j') < d_i(j')$ 的方案(朝着目标 $j'$ 走)，并且之后每天行走都遵循这个规则为策略1，到 $j'$ 用时 $t_1$ ，其中走路天数 $t_{1w}$ 天，让 $d_{i + 1}(j') \geqslant d_i(j')$ 的方案（不朝着目标 $j'$ 走）为策略2，到 $j'$ 用时 $t_2w$ ，其中走路天数 $t_{2w}$ 。则有 $t_{2w} > d_i(j') = t_{1w}$ + +玩家根据天气制定的移动策略（停留或行走）对两种路线均适用。则使用策略1的玩家到达 $j^{\prime}$ 后可以等待使用策略2的玩家直到其也到达 $j^{\prime}$ ，此时两种情况具有相同的金钱、日期、位置，哪一种留下的食物和水更多则为更优方案。 + +由于策略2走路天数多，两种情况在到达目的 $j^{\prime}$ 前每天都是同样等待或是选择行走(路线可以不一样，不影响消耗)，前 $t_1$ 时间两种情况消耗相同水和食物，而策略1先到目的 $j^{\prime}$ ，在之后 $t_2 - t_1$ 时间内策略1在等待而策略2有等待有行走，消耗更多食物和水。因此策略1更优。由此证明了我们猜想每一步行走都应当靠近某个功能点(也就是即将到达的那个)。 + +推论1由起点和所有功能点，以及这些点走向各功能点的所有最短路径之并集构成的新图 $G^{\prime}$ 对于游戏目标来说与原图 $G$ 等效 + +证明：由于玩家每次行走总会使其与某个功能点之间距离减少，可以等效为其在当前点到该功能点之间最短路径上的行走。图的其余部分与玩家所有可以选择的决策（行走、停留、购买、挖矿、出售）无关，因此对于游戏目标来说，原地图 $G$ 与新地图 $G^{\prime}$ 是等效的。 + +根据推论1我们完成了对完全图 $G = (V,E)$ 的简化，得到了简化图 $G^{\prime} = (V^{\prime},E^{\prime})$ 其中， $V^{\prime}$ 为所有走向功能点的最短路上的所有点构成的集合， $E^{\prime}$ 为 $V^{\prime}$ 中所有相邻的点连成的的边。将第一关的地图简化后的示意图如下1所示。 + +基于对地图的图论表示和分析，我们将整个游戏的逻辑进行程序实现，可以通过输入策略来实现游戏过程的自动模拟。源码见附录中主程序 desert_game.py 和策略输入程序 strategy.py。据此我们大致得出了前两关最高分的大致范围。 + +我们会在后续第一问的动态规划求解时对完整的图和简化图分别进行计算，并通过比较结果进一步验证我们的猜想。 + +# 4.2 动态规划思想来源 + +对于单人玩家在确定天气下策略问题，我们可以用一组参数——（天数，位置，水量，食物量，金钱数)描述当前游戏的状态。[4] + +![](images/b3f03a90ea7e85d44d282a67a8efedb977c1ab70a8e5165e81001d097cc80b42.jpg) +图1 简化图（第一关） + +记录下这一组参数，就好像给游戏存档，下次再读档时后续的游戏决策仅与此存档参数有关，而与如何到达这一参数所描述的状态无关。即决策具有无后效性。 + +因此，如果我们使用搜索的策略模拟玩家的所有决策，到达相同状态的分支就会进行重复搜索。即这个问题含有许多重叠子问题。 + +再进一步分析，对于金钱最大这一目标，该问题存在最优子结构。即对于相同的转移策略来说，金钱较多的状态转移到达的状态也是金钱更多的。 + +完成这些分析，一个在图上的动态规划模型就呼之欲出了。 + +# 4.3 动态规划的要素确定 + +状态变量 $s = (i,j,k,l)$ ，表示时间处于第 $i$ 天结束，玩家的位置在 $j$ 点，拥有 $k$ 箱水和 $l$ 箱食物。 + +指标函数记为 $dp(s)$ ，表示第 $i$ 天结束时，玩家的位置在 $j$ 点，拥有 $k$ 箱水和 $l$ 箱食物时可能拥有的最多金钱数。 + +决策变量 $x(s)$ ，表示在状态 $s$ 时应当采取的状态转移策略。 + +则本游戏的最佳结果可表示为 + +$$ +\max _ {i, k, l} \quad d p (i, F i n a l P o i n t, k, l) +$$ + +其中FinalPoint表示地图上的终点编号。 + +# 4.4 状态空间分析 + +状态变量 $s$ 含有4个整数分量。 $i$ 表示天数，设游戏天数 $d,$ 则有 $0\leqslant i\leqslant d_{\circ}$ + +$j$ 表示在地图上的位置，设地图含有点的数量为 $p$ ，则 $1 \leqslant j \leqslant p$ 。 + +$k, l$ 表示水、食物的数量，则有 $k \geqslant 0, l \geqslant 0$ 且 $kw_{w} + lw_{f} \leqslant WeightLimit$ 。 + +其中 $w_{w}, w_{f}$ 分别表示单箱水和食物的质量，WeightLimit 表示负重上限。 + +综上，整个状态空间 $S = \{(i,j,k,l)\in \mathbb{N}^4 |i\leqslant d,j\leqslant p,kw_w + lw_f\leqslant WeightLimit\}$ N表示非负整数集合。 + +状态空间大小 $|S|\approx d\times p\times \frac{1}{2}\frac{\text{WeightLimit}}{w_w}\times \frac{\text{WeightLimit}}{w_f}$ 。代入一组有代表性的游戏数据可以算得 $|S|\approx 30\times 64\times \frac{1}{2}\frac{1200}{3}\frac{1200}{2}\approx 2.3\times 10^{8}$ 。其所需的空间复杂度是一台计算机可以接受的。 + +# 4.5状态转移方程 + +根据状态定义，我们可以通过游戏规则列写状态转移方程。状态转移有购买和行动两类，共5种情况。购买可以分为在起点购买和在村庄购买，不改变天数；行动可以分为停留、行走和挖矿，会增加天数。下面将分别讨论5种情况下 $dp(i,j,k,l)$ 的转移方程。 + +# 4.5.1起点买资源 + +初始时有状态 + +$$ +d p (0, 1, 0, 0) = I n i t i a l M o n e y +$$ + +InitialMoney 为初始资金。时间参数 $i = 0$ 表示第 0 天结束，即第 1 天开始。位置参数 $j = 1$ 为起点。 + +在起点可以以基础价格购买食物和水。因此 $i = 0, j = 1$ 的所有状态 $s = (i, j, k, l)$ 都可以由初始状态到达（如果钱够的话）， $dp(s)$ 就是初始时的钱减去购买水和食物花费的钱。 + +$$ +d p (0, 1, k, l) = \text {I n i t i a l M o n e y} - k p _ {w} - l p _ {f}, \quad \forall (0, 1, k, l) \in \mathbb {S} \tag {1} +$$ + +其中 $p_w, p_f$ 分别表示水和食物的基础价格。 + +# 4.5.2村庄买资源 + +如果 $j$ 位置是一个村庄，那么从 $(i,j,k,l)$ 状态出发购买水和食物(钱足够的情况下)就可以到达状态集合 $S$ 中的另一状态 $(i,j,k + k',l + l')$ 。 + +相应可以对 $dp(s)$ 进行更新。 + +$$ +d p (i, j, k + k ^ {\prime}, l + l ^ {\prime}) = \max \left\{d p (i, j, k + k ^ {\prime}, l + l ^ {\prime}), d p (i, j, k, l) - 2 k ^ {\prime} p _ {w} - 2 l ^ {\prime} p _ {f} \right\} \tag {2} +$$ + +# 4.5.3 停留 + +停留使状态中天数 $i$ 增加1，位置 $j$ 不变，食物和水按照游戏规则进行消耗。 + +$$ +d p (i + 1, j, k - c _ {w i}, l - c _ {f i}) = \max \left\{d p (i + 1, j, k - c _ {w i}, l - c _ {f i}), d p (i, j, k, l) \right\}, \tag {3} +$$ + +要求 $k \geqslant c_{wi}, l \geqslant c_{fi}$ 。其中 $c_{wi}, c_{fi}$ 分别为水和食物在第 $i$ 天情况下基础消耗量。 + +# 4.5.4挖矿 + +挖矿时水和食物的消耗为基础消耗量的3倍，增加收入，天数增加，位置不变。 + +$$ +d p (i + 1, j, k - 3 c _ {w i}, l - 3 c _ {f i}) = \max \left\{d p (i + 1, j, k - 3 c _ {w i}, l - 3 c _ {f i}), d p (i, j, k, l) + B a s e I n c o m e \right\} \tag {4} +$$ + +要求 $k \geqslant 3c_{wi}, l \geqslant 3c_{fi}$ , 其中BaseIncome为每关游戏参数中的基础收益。 + +# 4.5.5 移动 + +移动的时候，水和食物的消耗量都是基础消耗量的2倍，天数增加，位置变化。 + +$$ +d p \left(i + 1, j ^ {\prime}, k - 2 c _ {w i}, l - 2 c _ {f i}\right) = \max \left\{d p \left(i + 1, j ^ {\prime}, k - 2 c _ {w i}, l - 2 c _ {f i}\right), d p (i, j, k, l) \right\} \tag {5} +$$ + +要求 $k \geqslant 2c_{wi}, l \geqslant 2c_{fi}, (j, j') \in E$ 。 $E$ 为图的边集。 + +# 4.6 动态规划算法实现 + +# Algorithm 1 图动态规划 + +Input: $S$ : 合法状态 $(i,j,k,l)$ 的集合 + +$E$ ：图的边集 + +BasicIncome: 基础收益 + +InitialMoney: 初始资金 + +d:截止天数 + +p: 图中地区点总数 + +Output: $\max_{i,k,l} dp(i,FinalPoint,k,l)$ : 这一关的最高过关分数 + +Initialize: $dp(i,j,k,l) = -INF$ for $\forall (i,j,k,l) \in S$ + +1: for $k, l: (0, 1, k, l) \in S$ do/*1 起点购买物资 */ +2: $dp(0,1,k,l) = \text{Initial Money} - kp_w - lp_f$ +3: end for +4: for $i = 0 \to d$ do +5: for $j = 1 \rightarrow p$ do +6: if $j$ 是村庄 then/\*2 每天行动前，在村庄买物资更新 \*/ + +for $k,l:(i,j,k,l)\in S$ do + +$$ +\text {f o r} k ^ {\prime}, l ^ {\prime}: k ^ {\prime} > = 0, l ^ {\prime} > = 0, (i, j, k + k ^ {\prime}, l + l ^ {\prime}) \in S \mathbf {d o} +$$ + +$$ +d p (i, j, k + k ^ {\prime}, l + l ^ {\prime}) = \max \left\{d p (i, j, k + k ^ {\prime}, l + l ^ {\prime}), d p (i, j, k, l) - k ^ {\prime} p _ {w} - l ^ {\prime} p _ {f} \right\} +$$ + +end for + +end for + +end if + +for $k,l:(i,j,k,l)\in S$ do/*3停留情况的更新*/ + +$$ +d p (i + 1, j, k - c _ {w i}, l - c _ {f i}) = \max \left\{d p (i + 1, j, k - c _ {w i}, l - c _ {f i}), d p (i, j, k, l) \right\} +$$ + +end for + +if $j$ 是矿山 then /*4 挖矿情况的更新 */ + +for $k,l:(i,j,k,l)\in S$ do + +$$ +d p (i + 1, j, k - 3 c _ {w i}, l - 3 c _ {f i}) = \max \left\{d p (i + 1, j, k - 3 c _ {w i}, l - 3 c _ {f i}), \right. +$$ + +$$ +\left. d p (i, j, k, l) + \text {B a s i c I n c o m e} \right\} +$$ + +end for + +end if + +for $j^{\prime}:(j,j^{\prime})\in E$ do $\ast 5$ 移动情况的更新 $\ast /1$ + +$$ +\begin{array}{l} d p \left(i + 1, j ^ {\prime}, k - 2 c _ {w i}, l - 2 c _ {f i}\right) = \max \left\{d p \left(i + 1, j ^ {\prime}, k - 2 c _ {w i}, l - 2 c _ {f i}\right), \right. \\ \left. d p (i, j, k, l) \right\} \\ \end{array} +$$ + +end for + +end for + +I for + +注意 + +1. 伪代码 Input 中的集合 $S$ 代表了在实际程序中输入的一系列游戏参数， $(i, j, k, l) \in S$ 的判断在实际程序中就是一些简单的逻辑判断。终点 FinalPoint 这个参数也包括在状态集合 $S$ 中了。为了让算法表述更简洁，伪代码中省去了处理这些逻辑的细节。 +2. 伪代码 Input 中的边集 $E$ 实际用邻接表实现。 +3. $-INF$ 表示负无穷, 实际实现时可以使用一个很小的数。 +4. 读者可能有疑问，为何算法循环中每天需要同时更新停留、挖矿、移动。这可以从搜索的角度理解，动态规划的更新过程并不是模拟一个玩家在进行游戏，而可以理解为模拟玩家所有可能到达状态及其之间转移方式可能性的过程。 +5. 伪代码中在村庄买物资更新一部分循环达到6层。在第i天第j个节点的情况下要对 $k,l,k^{\prime},l^{\prime}$ 四个变量循环遍历。这里复杂度似乎为 $O(n^{4})$ 。这里这样写是为了算法表达的简单明了，具体在程序实现时会做一定的优化，使复杂度变为 $O(n^{2})$ 。优化思想简要介绍如下： + +如果从 $(i,j,k,l)$ 状态通过购买食物到达 $(i,j,k + k',l + l')$ 时剩下的钱少于 + +$dp(i,j,k',l')$ 。那么就可以确定由 $(i,j,k + k',l + l')$ 转移到 $(i,j,k + k' + k'',l + l' + l'')$ 一定比从 $(i,j,k,l)$ 转移到 $(i,j,k + k' + k'',l + l' + l'')$ 更好，即买东西过程也存在最优子结构，基于此，只要对 $(k,l)$ 所在的二维状态空间做一次遍历即可，复杂度 $O(n^{2})$ 。 + +# 4.7 复杂度分析 + +设共 $d$ 天， $p$ 个点，由重量限制得可以携带的食物或水 $n$ 箱。(两者同一量级的) + +算法最外层对 $i$ 的循环 $O(d)$ ，对 $j$ 的循环 $O(p)$ 。对于每个 $(i,j)$ 。若在村庄，由之前分析购买物资更新复杂度 $O(n^{2})$ 。计算停留、挖矿均为对 $(k,l)$ 简单遍历，复杂度 $O(n^{2})$ 。由于关卡地图均为稀疏图，各点度数较小，因此移动的复杂度也为 $O(n^{2})$ + +因此根据复杂度分析的运算规则，整个算法复杂度 $O(d \times p \times (n^2 + n^2 + n^2)) = O(pdn^2)$ 。与开始分析存储动态规划状态表的空间复杂度在同一量级。实际使用 C++ 编程实现对问题一求解程序（源码见附录）运行时间在秒级。 + +# 五、问题一解答 + +# 5.1 第一关 + +# 5.1.1最佳方案 + +经过动态规划算法求解，我们得到了第一关最佳结果行动方案。 + +![](images/56b9d13310e3f7f2b363161b285eb1bee743faa1705c5c6fdab9aa0aed34ce78.jpg) +图2 最优路线图（第一关） + +
日期所在区域剩余资金数剩余水量剩余食物量
015780178333
1255780162321
2245780146309
3235780136295
4235780126285
5215780116271
695780100259
79578090249
815578080235
9134150227223
10124150211211
11125150181181
12126150157163
13127150142142
14128150118124
1512915094106
1612101507088
1712101506078
1812101505068
1912111502650
2013111501038
2115111501038
229104702626
2321104701014
24271047000
+ +第一关玩家在截止日前到达终点时的资金最高为10470元，用时24天。走法如图所示：初始买水178，食物333，1-8天去村庄，买水163到负重上限，9-10天去矿区，11-17天挖矿，18天停留，19天挖矿，20-21去村庄，买36水，16食物，后22-24天去终点，食物和水恰好清零。 + +具体的每天行动与资源情况如 Result.xlsx 表格中所示。 + +# 5.1.2 策略变化分析 + +除了得到最终30天内到达终点的最高分外，我们还考虑了截止天数为 $1 \leqslant i \leqslant 30$ 天玩家最高得分以及相应策略的变化情况，最高得分随截止日期变化如下： + +
截止日期13222324
最高得分0941095001043010470
+ +从表中可以看出，最快可以三天到达终点，最后最多剩余9410元，可以从地图中看出这是直接前往终点的策略。这在22天之前到达的方案之中都是最优的，即前去挖矿且22天内到达终点的方案不如直接前往终点。到第24天上升为10470元，且之后到30天不再更新，即我们得到的结果，这是最优的行走策略。 + +为了查看挖矿情况下截止日期与最高得分的关系，我们将3天前往终点的路线删去重新计算，得到的最高变化趋势如下： + +表 1 最高得分随截止日期增加的上升情况 + +
截止天数192021222324
最高资金083308395895095001043010470
+ +表2最高得分随截止日期增加的上升情况（除去3天到达的情况策略） + +可以看出，删去3天速达路线后，仍然是9天直接到达终点不挖矿的结果维持到了截止日期少于20天。之后的变化与有完整路线的地图结果一致。 + +具体查看程序输出的路径信息，我们可以发现在截止天数较少时最优策略倾向于节约资源开支，直接到达终点。20天即之后到达的情况才会考虑挖矿并在村庄购买资源补充。具体是补充一次还是两次需要结合天气情况确定，没有明显的规律。 + +# 5.2 第二关 + +经过动态规划算法求解，我们得到了第二关最佳结果行动方案。 + +![](images/0c3155f24821407638f93c9fdf18c14881c857dc3091f5ce5371e4e6ca346419.jpg) +图3 最优路线图（第二关） + +
日期所在区域剩余资金数剩余水量剩余食物量
015300130405
125300114393
23530098381
34530088367
44530078357
55530068343
613530052331
713530042321
822530032307
930530016295
103953000283
11392420162331
12302250163319
13303250148298
14304250124280
15305250100262
1630625076244
1730725046214
1830825016184
193982500172
20465730180188
21555730170174
22556730155153
23557730131135
24558730116114
255597308684
2655107306266
2755117304745
2855127303224
2956127301612
30641273000
+ +第二关玩家在截止日前到达终点时的资金最高为12730元，用时30天，走法如图所示： + +初始买水130箱，食物405，1-10天经过30号矿山前往39号村庄且不在矿山处停留挖矿，到达村庄时水刚好耗尽，第11天遇上沙暴在村庄停留，买水172，食物58。第12天买水17，不买食物，离开前往30号矿山。第13天到第18天在矿山挖矿。第19天前往39号村庄。第20天购买196箱水，28箱食物，前往55号矿山，并于第21天抵达。第22天到第28天挖矿。第29-30天从矿山出发到达终点，食物和水恰好清零。 + +# 5.2.1 策略变化分析 + +同样地，我们可以作截止时间和最高得分如下： + +
截止天数1415161920212223242930
最高得分739087909485955510285107601118011590120201235512730
+ +表 3 截止天数的最高资金 + +由于本关卡有两个村庄和矿山，所以决策会有更多的情况，所以最高得分表随截止时间增加的更新也比较频繁，可以看出第30天到达终点是最优解。 + +# 5.3一般情况下的最优策略 + +通过对结果分析，我们得到以下基本的策略设计原则。 + +（1）到达终点处时玩家的资源恰好耗尽。为了使到达终点时资金尽可能多，玩家没有理由买多于生存需求的水和食物。玩家在起点和村庄购买资源的价格都高于最后在终点返还的资金，因此在天气情况已知的情况下，玩家知道维持自己生存所需要的最少资源，所以有能力在到达终点时控制资源恰好耗尽。此策略仅适用于全局天气已知情况。 +（2）起点处在保证生存的情况下多买食物。根据条件，村庄处的资源价格是起点处的资源价格的两倍，所以需要尽量多在起点买资源，而在村庄仅保证生存需要即可。根据计算，挖矿的收益大于沙暴天气挖矿的消耗，因此收益较大，玩家选择前去挖矿。为了保证挖矿的时间，需要装上尽量多的食物和水。根据食物和水的价格表，定义衡量资源携带效率为基准价格与每箱质量之比。 + +$$ +\eta = \frac {\text {p r i z e}}{\text {m a s s}} \tag {6} +$$ + +由于背包有负重上限，因此玩家倾向于在起点购买价格较贵且质量较小的资源，即资源携带效率 $\eta$ 较大的资源。水和食物的比较见下表。 + +
资源每箱质量(kg)(元/箱)携带效率(元/千克)
水351.67
食物2105.00
+ +表 4 资源携带效率比较 + +由结果知，食物的携带效率远大于水，因此在确保生存的情况下尽量多买食物是更好的策略。 + +(3) 玩家每次移动总会与目的地的最短距离缩小。根据分析可知, 玩家在沙漠中的功能地只有三个: 村庄、终点和矿山。当玩家选定目的地后, 最佳移动策略为以最短路向目的地前进。动态规划的计算中我们分别以原始图和简化后的图作为输入运行算法, 得到了完全相同的输出, 再次验证了在开始做简化图模型时猜想的正确性。 + +对于更大规模的地图，或者没有条件使用计算机运行动态规划算法时，可以利用上述策略设计单人确定天气情况下穿越沙漠游戏策略。 + +通过比对简化地图与动态规划得到的最优解，我们发现最佳策略就是按照最短路前进的，这也进一步验证了该策略的正确性。 + +![](images/36d4dc0db2a40c19571054815893fcfb21f7f309b3e2b889420ef76cdb60003b.jpg) +图4 简化后的地图（第一关） + +![](images/d8cb3bc6ef45c626ea123b6c10fffa63abe80039b3a631f58234a839012bc92b.jpg) +图5 简化后的地图（第二关） + +# 六、统计评价模型与第二问方案 + +第三、四关由于存在随机性，不能够给出一个确定性的最优策略，因此我们在设计方案之后需要建立方法对方案的评价进行评价。 + +在设计中，我们将方案分解为购买策略、路线策略、行走-停留决策三部分。在设计完成后利用随机模拟得到的期望收益和失败概率来对方案进行评价。 + +# 6.1基于完全统计的路线、行动选择、购买策略设计 + +第三关天气是随机的，但因为图比较小并且只有10天，所有天气一共 $2^{10} = 1024$ 种情况，我们可以利用动态规划算法给出每一种情况的最优解，用统计方法观察规律。(输出1024种最优方案的程序见附录desert_game_dp(第三关-简化图-路径回溯-天气枚举).cpp。 + +# 6.1.1 初步结论：确定路线 + +通过观察最优解策略，我们发现即使在全部晴天状态下仍然没有去挖矿。可以猜想这一关不能够挖矿。 + +事实上，由于第三关没有村庄，又因为高温天气消耗很大，且挖矿收益很小，即使在晴朗的天气挖矿，收益仅为 $200 - 165 = 35$ ，挖矿5天的收益175还不足以弥补由于绕路导致至少220的资源消耗。若有高温天挖矿损失只会更大。 + +因此玩家的决定只有一个——直接走向终点。从图中很容易得到从起点到终点的最短路，需要玩家行走三天。在路径完全确定的情况下，玩家需要决策的就是在起点购买资源的策略和移动策略。 + +# 6.1.2统计结论1：确定行走-停留方式 + +有了确定的路线，我们再对1024种天气情况下的到达终点天数进行统计 + +为了理解这一数据的意义，我们对移动策略进行简单的分类讨论： + +
到达天数3456
最优解数量57632011216
占比(%)56.2531.2510.941.56
+ +表 5 1024 种最优走法的到达天数统计 + +1 晴朗天气移动：晴朗天的资源基础消耗最少，所以若遇到晴朗天气，玩家一定选择移动。 +2 高温天气停留：高温天气移动会消耗18箱水和18箱食物，折合金钱为270元，比两次晴朗天气的消耗量还多，因此高温天若不连续出现，在高温天停留可能比较明智。 +3 高温天气移动：高温天移动的消耗很大，但若遇到连续的高温天而不移动，很容易会将携带的资源耗尽，又由于本关的路径很短，若在高温天移动而尽早到达终点，可以减少进一步由于高温消耗资源，即减少失败的概率。 + +可见最优解中过半选择3天不停留直接走向终点，而仅有约 $10\%$ 会等待两天或三天。根据上述分析可以得知，选择高温天行走是相对比较保守的方案，只要买足物资就不存在失败风险，而选择等待则以风险换取省物资的收益。 + +考虑到动态规划搜索到最优解的特点，搜索到的最优解一定是一个非常冒险的方案，这里面存在很严重的幸存者偏差。即使如此仍然有大概率选择3天到达，那么我们可以认为在决策过程中选择高温等待的概率应当很小。 + +# 6.1.3 统计结论2：确定初始购买方案 + +设有 $n$ 个最优解，第 $i$ 个最优解的购买策略为买 $w_{i}$ 箱水和 $f_{i}$ 箱食物，则样本均值和标准差分别为 + +$$ +\bar {w} = \sum_ {i = 1} ^ {n} w _ {i}, \bar {f} = \sum_ {i = 1} ^ {n} f _ {i} +$$ + +$$ +\sigma_ {w} = \frac {1}{n - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} (\bar {w} - w _ {i}) ^ {2}, \sigma_ {f} = \frac {1}{n - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} (\bar {f} - f _ {i}) ^ {2} +$$ + +我们将 $[\bar{w} -\sigma_w,\bar{w} +\sigma_w]$ 作为水的优秀购买区间，将 $[\bar{f} -\sigma_f,\bar{f} +\sigma_f]$ 作为食物的优秀购买区间。 + +经过动态规划我们可以计算得到上述统计量如下表 + +优秀解的分布图如下 + +# （1）购买方式分析： + +两种资源的均值大致相等，这说明大部分的优秀策略都选择了购买尽量等量的水和食物。由第一问我们得到在起点处尽量多买食物，但在本关没有村庄，如何生存和省钱 + +
资源样本均值样本标准差最高两峰代表点位
水38.43.1[42,53]
食物37.21.1[41,53]
+ +表 6 资源购买的样本统计量计算 + +![](images/f20c0f7bdbba9d0a71dc256b7860e46f72fbb2161543511acdf4ac24e96493b4.jpg) +图6 1024个最优解起点购买方案统计 + +是主要目标，而晴朗和高温天气下水和食物的消耗箱数大致相等，因此为了更加省钱，玩家不能对于某一种资源有购买偏好而导致最终一种资源余量很大但另一种资源被较快耗尽的情况。 + +(2）购买量分析：考虑幸存者偏差，我们不应当取平均值或众数作为购买方案，而应该选择统计图中水、食物量最大的两个峰区作为第一天为晴天、高温两种情况下的购买策略。 + +因此我们得到的优秀购买方案参考值为晴天42水、44食物，高温54水，54食物。（对之前的两峰参考值进行调整使得食物和水配比平衡，恰好可以满足之后两天都是高温的行走需求）。 + +# 6.1.4 方案搜索空间的确定 + +综合以上分析，我们的方案设计框架为： + +1 路线：按最短路线3天到终点。 +2 行走：三种情况也可以统一理解为晴天行走，高温以 $p$ 的概率移动 $(0 \leqslant p \leqslant 1)$ 。倾向于 $p \approx 1$ 的情况。 +3购买：晴天42水、44食物，高温54水，54食物。在这一基础上进行调整。 + +有了以上方案设计指导，搜索空间已经很小，可以写程序进行搜索，接下来就是设计评价指标来筛选最优方案了。 + +# 6.1.5 方案的评价模型 + +为了综合评价方案的好坏，我们认为要从最终收益的期望和存活概率两方面综合考量。 + +对于确定的策略参数，进行 $n$ 轮随机模拟，其中成功通关 $n_1$ 次，第 $i$ 次最终剩余钱 $m_i$ 。则有 + +$$ +\text {L o s e R a t e} = \frac {n - n _ {1}}{n} \tag {7} +$$ + +$$ +A v g I n c o m e = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} m _ {i}}{n _ {1}} \tag {8} +$$ + +LoseRate 为失败率，AvgIncome 表示在成功过关情况下平均得分。 + +再定义完全平均意义下的收入Income，认为失败的收益为0，没有额外惩罚。 + +$$ +I n c o m e = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n _ {1}} m _ {i}}{n} \tag {9} +$$ + +# 6.2第三关解答：随机模拟结果呈现与讨论 + +我们利用模拟程序（见附录和支撑材料 simulation.py），按照晴天-高温各 $50\%$ 的概率设定对方案中不同的行走概率 $p$ 进行随机模拟，结果如下： + +![](images/8b45b49e2ed9a35e804d9c911e91664a0ded347728f62bb1c9e1fd28c414ae85.jpg) +图7 失败率、成功时平均收入、总平均收入随高温天移动概率的关系图 + +可以看到当高温天确定移动时模拟得到的期望收益为9351（可以严格计算得期望是9350），并且没有失败风险。可见该随机模拟计算期望的仿真度很高。同时可以明显发现随着高温天移动概率的下降，失败概率(蓝线)急剧上升而成功时平均收益(红线)变化不明显。 + +将两者平均得到总的预期收益(绿线)与高温天行动概率的关系。可以明显看出概率应当为1最好。 + +接下来简单讨论初始时带上当天和2个高温天行走所需水和食物的购买方案的优越性。在这一购买方案基础上进行微调，可以发现最终受益基本是一个单峰函数，这里仅给出多买5箱(9314)和少买5箱的结果（ $\approx 7000$ ） + +![](images/3b166954443327843aaa7946b04580f4263a5238e32a307ca29131e34bed551b.jpg) +图8多买5箱食物和水 + +![](images/da83a5a1fe2d1ff57f3adf8fdd1d38e5086ed37fca432e77ff8104b26b1c3755.jpg) +图9少买5箱食物和水 + +根据得分来看，不管天气如何，三天直接走向终点得分最高，是最合理的策略。相应购买保证成功的最少食物。一点也不能少（上面少买5箱的结果可以看到失败率急剧上升，最终期望结果下降2000左右。 + +下面我们将在这些分析得到的结果基础上处理第四关的情况。 + +# 6.3 第四关图的简化和分析 + +通过第三关的分析，在这一组食物、水消耗的数据下，当玩家不知道天气并且没有沙暴天，距离目的地较近时，购买充足的水和食物一直不停留地前进是最好的策略。 + +从本关的地图来看，除了功能点外，还有一个非常重要的点13，我们把它称为决策点。首先，决策点距离起点只有四天的路程，而且是玩家在沙漠中的必经点，这和第三关的情况非常相似。 + +同时由于决策点距离村庄和矿山都只有一天行程，在决策点的状态直接影响玩家的决策，因此是玩家做决策的关键点。 + +此外，最后走向终点的路同样和第三关类似，玩家最终要走向终点，而这一段路程的起点（最后一次决定目的地）的点必须为村庄或矿山，而这两个点距离终点的距离都 + +为三天路程，这和第三关的情况完全相同。 + +而一个比较大的问题在于沙暴天气的处理。 + +综上所述，我们可以对问题进行简化： + +- 离开起点的路——从起点到决策点13的路采用第三关的结论。 +- 走向终点的路——从村庄或矿山到终点的路采用第三关的结论。 + +# 6.4天气等效模型 + +虽然我们的移动策略得到简化，但我们难以在购买和路线方面给出较有说服力的方案。我们知道三种天气都有可能发生，天气的未知性是使得玩家失败率升高的根本原因，若我们能够将天气进行等效，以一定比例地把晴朗和沙暴天全部转化为高温天，那么购买策略就能大大简化，玩家按照等效高温天进行购买资源，可以有效地提高自己的存活率。因此我们充分考虑在三种天气下玩家的所有行为，并对他们的收益和消耗进行计算，从资源消耗和挖矿收益两方面来进行天气等效。 + +对于给定的天气 $i, i = 1,2,3$ （分别为晴朗、高温和沙暴），设对应的水的基础消耗箱数为 $c_{wi}$ ，基础价格为 $p_w$ ，食物的基础消耗箱数为 $c_{fi}$ ，基础价格为 $p_f$ 。根据第一关的数据，我们发现玩家在起点购买食物数与在村庄购买量之比近似为 $8:2$ ，购买水量之比约为 $7:3$ 。但由于天气未知，根据之前分析，玩家更关注存活率，这和第一关购买水量的初衷一致，为方便计算，我们认为在本关玩家在起点购买的食物箱数和水箱数与在村庄购买数之比均为 $7:3$ 。设 $Bij, j = 1,2,3$ 分别为在 $i$ 天气下停留、行走和挖矿的净收益，且综合净收益为 $B_i$ ，则得到如下方程组 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} B _ {i 1} = - (0. 7 + 0. 3 \times 2) \left(c _ {f i} p _ {i} + c _ {w i} p _ {i}\right) = - 1. 3 \left(c _ {f i} p _ {i} + c _ {w i} p _ {i}\right) \\ B _ {i 2} = 2 B _ {i 1} \\ B _ {i 3} = 1 0 0 0 + 3 B _ {i 1} \\ B _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {3} B _ {i j} \end{array} \right. +$$ + +设晴朗和沙暴天以 $x:y$ 的比例等效为高温天，则可以列得净收益等效方程 + +$$ +x B _ {1} + y B _ {3} = (x + y) B _ {2} +$$ + +经过计算可得， $\frac{x}{y} = 0.214\approx \frac{5}{1}$ 。因此，从净收益的角度，晴朗与沙暴天以 $5:1$ 等效为高温天，即每5天晴朗和1天沙暴与6天高温等效。 + +# 6.5第四关解答：基于动态规划策略的分析与调整 + +游戏设定中已知沙暴天气较少，我们取 $10\%$ ，我们将一定比例的晴天和沙暴天进行等效，增加了高温天且减少了一定晴天。 + +确定了天气我们就可以使用第一问中的动态规划模型进行求解。在天气等效后我们主要关注其购买策略，可以分析得出以下策略： + +1 在起点的购买策略和第一问的结果一致，是优先考虑购买食物，食物的量在300箱左右，水的量在150箱左右。 +2 第一次到决策点时，若水的量小于100箱就要去村庄补给，否则去挖矿。 +3第一次到村庄补给时只尽量多地购买水而不购买食物，一般补充水至235箱左右，此时食物剩余约235箱左右。 + +我们发现这些策略和第一问的结论极其相似，这也符合我们的预期，因为我们将晴朗天和沙暴天等效为高温天，则天气的确定性降低，购买策略就相对固定了。这些策略和第三关有差别，可以认为是由于村庄可以补给以及可以挖矿赚钱这两个主要因素造成的。 + +等效天气的方法仍旧无法确定路线策略，但经过分析购买策略，可以推理出一些路径策略。由于在村庄补给食物与水至235箱左右，大约可以支持9天的挖矿并留足直接返回终点不停留的资源；或是挖矿12天左右后返回村庄补给并直接回到终点。 + +我们认为这两种策略都有可能是比较优秀的路线，因此我们随机生成了100种30天的天气进行动态规划求解，筛选出前20的优秀解，统计它们在第一次补给后的策略，发现有 $93.41\%$ 的解选择了路径一，即第一次补给后挖矿，保留够直接返回终点的资源直接返回终点。 + +路径一的压倒性的优势是我们没有预料到的，但我们仔细分析，可以得到原因。首先，挖矿并留足能直接返回终点的策略和第三关的最优策略一致，玩家可以避免由于更多挖矿而资源耗尽，或是减少由于天气恶劣造成的损失。其次，由于从矿山到村庄需要走两天，而村庄和矿山距离终点都是四天行程，若多挖矿会多走至少两天的路程，更有可能遇到高温或沙暴，使资源大大减少，甚至增加失败的风险。因此，路径一是更合理的选择。 + +考虑沙暴概率 $10\%$ 的情况，对于几个关键点的简单的计算表明该策略失败概率控制在 $2.5\%$ 以内。 + +对于该策略进行与第三关类似的随机模拟（问题一中的python模拟程序）验证了以上结论，并计算得期望收益达到10500。 + +# 6.6总结：一般情况下玩家的最优策略 + +综合以上分析，我们可以归纳出当天气未知时玩家的宏观优秀策略。 + +# 6.6.1 地图中没有村庄和矿山的情况 + +当玩家距离下一个目的地较近时，玩家不应该等待，应该尽快到达目的地。因为更长时间的停留会大大增加资源的消耗，甚至会有失败的风险。即使等待最终能到达终点，最后的资金与快速通过方案也相差无几，通过避开高温天行走而节省的金钱并不多， + +在购买资源时按照最坏的情况购买，保证能够到达目的地。我们进行游戏的首要目的是通过，若不通过净收益为-10000元，而相对保守地购买可以在保证 $100\%$ 通过的前提下，最终的收益也较高，是在天气不确定时最好的策略。 + +# 6.6.2 地图中有村庄和矿山的情况 + +当地图中有村庄和矿山时，村庄的合理购买可以保证存活，矿山挖矿可以增加最后的收益，因此最佳策略和上一种情况有所不同。 + +玩家的购买策略是在起点优先考虑携带效率高的资源，即价格贵且需求大的资源，另一种资源可以以最坏情况买到下一次补给之前。在村庄大量补充携带效率低的资源，尽量不补充携带效率高的资源。如此购买的原因在第一关和第四关都有详细的阐述。 + +玩家的行动策略为首先在接近村庄和矿山的点进行决策，若剩余资源较少则先去补充资源，若剩余资源较多就直接去挖矿。当挖矿到资源剩余按最坏打算仅够前往下一个功能点时，前往下一个功能点。一般地，玩家应该在向下一个功能点的同时，与终点的距离逐渐缩小，否则将显著提高失败的风险。 + +# 七、静态博弈模型：问题三策略分析与设计 + +由于在这一问中两关都具有不止一个玩家，并且玩家在游戏中的状态更新会受到对方情况的影响，因此每个玩家为了实现自己的游戏目标，必须考虑对方的行动策略。因此用博弈的模型来考虑。 + +第五关双方同时进行一次决策，为单阶段静态博弈。第六关双方进行多次决策，每次决策都是同时进行的，为多阶段静态博弈。 + +# 7.1两人单阶段博弈：第五关 + +# 7.1.1博弈设定与求解目标 + +有两位玩家A、B。我们假设两个玩家都是具有充分思维能力的理性人，能够充分考虑自己的策略和对方的选择。设计的目标是使A能够在B按照符合B利益前提下行动时让自己获得最大的期望收益。 + +因为A、B地位是平等的，即两个玩家的策略集是完全对称的，因此我们为A设定的策略对B也是同样适用的。 + +# 7.1.2思路分析 + +可行的方案大致有两类：第一类为纯策略[1]，两个玩家使用同一种固定策略，走同一条路线。第二类为混合策略，玩家以从一个策略组 $S = \{S_{1}, S_{2} \dots S_{k}\}$ 中以 $(P_{1}, P_{2} \dots P_{k})$ 的概率选择一种策略，给出的混合策略应当满足纳什均衡[3]，即玩家选择任何一种策略最后的平均收益都是一样的。如果混合策略不满足纳什均衡，就存在好的策略和坏的策略，玩家出于利己的角度，会倾向性地采用混合策略中的好策略，那么之前找到的混合策略就不能稳定存在了。 + +# 7.1.3 博弈收益表的计算 + +为了建立博弈收益表以对双方的策略进行分析，在接下来的部分中，我们把玩家从起点到终点消耗的水和食物的价格的相反数做为收益，并把失败失败的收益记为-10000（初始资金的相反数）。 + +下面计算一下会被纳入策略组中的几种策略的消耗量： + +$S_{1}$ ：第一天从1到5，第二天停留，第三到第四天从5走到终点。消耗的食物和水价值465。 + +$S_{2}$ ：第一天到第三天沿 $1\to 5\to 6\to 13$ 一直行走，第三天可到达终点，消耗的食物和水的价格是490。 + +$S_{3}$ ：沿着 $1\to 4\to 7\to 12\to 13$ 的路线行走，并且只在晴天行走，消耗的食物和水的价格是575。 + +$S_{4}$ ：按照 $S_{2}$ 的行走策略行走，但是假设对方采用 $S_{2}$ 的行走策略，更改食物和水的购买方案。消耗的食物和水的价格是980。 + +$S_{5}$ ：按照 $S_{2}$ 的行走策略行走，但是假设对方采用 $S_{1}$ 的行走策略，更改食物和水的购买方案。消耗的食物和水的价格是600。 + +$S_{6}$ ：按照 $S_{1}$ 的行走策略行走，但是假设对方也采用该行走策略，更改食物和水的购买方案。消耗的食物和水的价格是795。 + +$S_{7}$ ：按照 $S_{3}$ 的行走策略行走，但是假设对方也这么走，更改食物和水的购买方案，消耗的价格是1015。 + +# 7.1.4最优纯策略 + +首先寻找纯策略。最优的纯策略已经很明显了：由于失败的代价非常大，保证存活的方案中收益最大的方案就是最佳纯策略，即两玩家都采用 $S_{6}$ 。这样玩家到达终点时平均收益为-795，且保证存活。 + +# 7.1.5 最优混合策略 + +接下来寻找混合策略。首先讨论只采用 $S_{4}$ 和 $S_{6}$ 的情况，两玩家采取策略的情况共有4种，对应的收益如表7所示： + +表 7 混合策略分析 + +
收益玩家B策略玩家A策略S4S6
S4(-980,-980)(-800,-685)
S6(-685,-800)(-795,-795)
+ +设两位玩家采用 $S_{4}, S_{6}$ 的概率分别为 $P_{1}, P_{2}$ ，首先寻找纳什平衡点，让玩家采用 $S_{4}$ 和 $S_{6}$ 的收益相等： + +$$ +\begin{array}{l} - 9 8 0 P _ {1} - 8 0 0 P _ {2} = - 6 8 5 P _ {1} - 7 9 5 P _ {2} \\ P _ {1} + P _ {2} = 1 \\ \end{array} +$$ + +求解，可得 $P_{1} = -0.02, P_{2} = 1.02$ 。这说明这种策略组合不存在纳什均衡点，两位玩家会严重倾向于使用 $S_{6}$ 策略。 + +同理，对组合 $S_{1}$ 和 $S_{3}$ 的概率进行求解，然后算得玩家到达终点时平均收益为-5260.2。由于存在不小的失败率，即使是采用在单人模式下非常好的策略，在多人游戏中的平均收益也非常低。 + +我们又对 $S_{6}, S_{7}$ 等两个策略的组合，以及部分3个策略的组合进行了计算，发现在失败率等于0的情况下，不存在纳什均衡点。计算的结果告诉我们：玩家如果想保证存活，就应当采用采用纯策略而非混合策略。 + +# 7.1.6求解结果 + +通过比较，采用纯策略 $S_{6}$ 是两类方案中的最优方案。 + +![](images/ce6f09ab843f769f11cc22f671af8be23a451dc8602eec4eacfba1cdf15dc356.jpg) +图10 最优纯策略路线图 + +# 7.1.7 允许交流情况下的最优策略 + +如果两玩家之间可以交流的话，那么就一人采用 $S_{1}$ ，一人采用 $S_{3}$ ，具体谁采用最优路线可以通过掷骰子决定，确保对两位玩家都是公平的。这样平均消耗的钱为： $\frac{465}{2} + \frac{575}{2} = 520$ 。比不交流的情况更优。 + +# 7.2三人多阶段博弈：第六关 + +第五关是单阶段博弈，采用混合博弈的模型解决。第六关是多阶段博弈，玩家可以牺牲短期利益，换取长期利益。即使不能直接交流，也可以通过观察分析对方之前的行为，达成某种程度上的合作，实现共赢。 + +多阶段博弈的关键是寻找到纳什均衡点，因为纳什均衡点才能稳定存在，同时意味着每个玩家都有比较好的收益。 + +根据[2]中的命题10，我们可以取消各个阶段的联系，寻找每个阶段的纳什均衡点 $\sigma^{1*},\sigma^{2*}\dots \sigma^{n*}$ ，那么存在一个多阶段博弈的子博弈完全均衡，该完全均衡的路径与 $\sigma^{1*},\sigma^{2*}\dots \sigma^{n*}$ 相同。这个命题告诉我们，在这种游戏场景之下，如果对每一天进行孤立，在不考虑过去与未来的情况下寻找单日的纳什平衡点，那么把找到的30天的方案连起来看的话，就能构成30天方案中的一种平衡方案。利用该命题，可以把每一天看做一个阶段，分情况讨论，从而简化运算。 + +# 7.2.1 两玩家高温天抵达同一地点博弈 + +假设两个玩家在同一高温天抵达了同一个地点，下面为他们寻找纳什均衡点。基础消耗的价格是135，如果两玩家都行走，每位玩家到达下一个点的消耗是540；如果一人停留，一个人行走，那么停留的人到达下一个点的消耗是405，行走的人是270；如果两人都停留，那么消耗的期望必定大于405，因为最优情况下也只能做到做到一个人是405。表8展示出了以上分析结果，两人都停留的期望收益按照以下方式近似计算：停留之后，每人选择走或继续停留的概率是 $1 / 2$ ，这样计算出来的两人停留的消耗均为585。 + +表 8 行走策略分析 + +
收益玩家B策略 +玩家A策略停留行走
停留(-585,-585)(-405,-270)
行走(-270,-405)(-540,-540)
+ +可以发现，当玩家A行走的时候，玩家B的最佳策略是停留；当玩家B行走的时候，玩家A的最佳策略是行走，因此(玩家A行走，玩家B停留)是一个纳什均衡点，由对称性可知，(玩家A停留，玩家B行走)也是一个纳什均衡点。由于玩家知道对方的食物和水的剩余情况，因此从某种程度上可以进行合作，对双方都有利。在两者物资不等的情况下，物资多的玩家选择停留，物资少的玩家选择行走。当两者物资相等的时候，采用第五关中的混合博弈模型求解纳什均衡点，假设两位玩家选择停留和行走的概率分别为 $P_{1}, P_{2}$ ，有下列方程： + +$$ +\begin{array}{l} - 5 8 5 P _ {1} - 4 0 5 P _ {2} = - 2 7 0 P _ {1} - 5 4 0 P _ {2} \\ P _ {1} + P _ {2} = 1 \\ \end{array} +$$ + +解得 $P_{1} = 0.3, P_{2} = 0.7$ 。于是得到在双方物资相同时走到同一地点的策略：每位玩家以0.7的概率选择行走，以0.3的概率选择停留。 + +# 7.2.2 两玩家高温天抵达同一座矿山博弈 + +如果两个玩家同时在矿山区，并且食物和水充足，那么容易得到表9所示的结果，分析可知，无论玩家B采用什么策略，玩家A的最优策略都是挖矿，对玩家B也是如此。于是(玩家A挖矿，玩家B挖矿)构成纳什均衡点，这意味着在该情况下两玩家都应该挖矿。 + +表 9 挖矿策略分析 + +
收益 玩家B策略 +玩家A策略挖矿停留
挖矿(95,95)(595,-135)
停留(-135,595)(-135,-135)
+ +# 7.2.3 两玩家高温天抵达村庄博弈 + +从前几关的分析可以发现，在未知天气的情况下，玩家会购买更多的水和食物提升存活率，因此在抵达村庄的时候往往还留有一些水和食物，因此这里对两个玩家同时抵达村庄，且资源还足以支撑他们存活几天的情况进行分析。假设两人都准备购买基础价格为650的物资，然后前往矿山挖矿。选取从两人抵达村庄到两人均抵达矿山这段时间进行分析。容易得到，两人均购买然后行走的收益为-3140；一人购买行走，一人停留的话，先离开村庄的人的收益为 $-650\times 2 - 270 + 595 = -975$ ，后离开的人的收益为 $-135 - 650\times 2 - 270 = -1705$ 。难点在于两人都停留的收益，这里近似认为如果都停留，那么之后两人都以 $50\%$ 的概率选择购买离开或者继续停留。设每人的收益为 $-135 - x$ 那么有： + +$$ +\frac {1}{4} [ (- 1 3 5 - x) + (- 9 7 5) + (- 1 7 0 5) + (- 3 1 4 0) ] = - x +$$ + +求得 $x = 1985$ ，做出表10。 + +表 10 村庄购买策略分析 + +
收益玩家B策略玩家A策略停留购买
停留(-2120,-2120)(-1705,-975)
购买(-975,-1705)(-3140,-3140)
+ +不存在纯策略纳什均衡，使用混合策略模型，求得停留与购买的概率分别为 $55.6\%$ 和 $44.4\%$ + +# 7.2.4第六关小结 + +本文把30天的游戏当做多阶段博弈，运用多阶段博弈的性质对多阶段博弈进行拆分，并采用纯策略博弈纳什均衡、多阶段博弈纳什均衡等博弈论的方法给出了许多局部情况下玩家的行动策略，比如当两玩家在高温天同时到达一个地点（非村庄，非矿山）时，物资少的玩家继续行走，物资多的玩家停留，如果两玩家物资相当，那么都以 $70\%$ 的概率行走，以 $30\%$ 的概率停留。当两玩家在高温天同时抵达一座矿山的时候，两位玩家都会选择在第二天挖矿。当两玩家在高温天同时抵达村庄时，以 $55.6\%$ 的概率选择第二天在村庄停留，以 $44.4\%$ 的概率选择在第二天开始的时候买东西离开村庄。 + +# 7.3 第三问一般策略 + +# 7.3.1天气已知且存在多个玩家的单阶段博弈 + +由于中途失败造成的损失巨大，玩家的首要目的是生存，因此要在起点处购买足够多的食物和水，然后猜测其他玩家可能会采取的行走路线，这些路线是天气已知的单玩家模式下的较优行走策略，运用博弈论的方法寻找纳什均衡点，均衡点给出的策略就是玩家的行动策略。 + +# 7.3.2天气未知且存在多个玩家的多阶段博弈 + +考虑到中途失败的损失巨大，玩家的首要目的依然是生存，因此要在起点处购买足够多的食物和水，按照天气未知单玩家场景下较优的行走路线行进，如果遇到与其他玩家在同一天到达了同一个地点的情况，就运用博弈论的方法寻找均衡点，以此与其他玩家进行某种程度上的合作实现共赢，比如物资少的玩家继续行走，物资多的玩家停留；一起到达村庄时，以较大的概率选择第二天在村庄停留，以较小的概率选择选择在第二天开始的时候补充物资离开村庄。 + +# 八、模型总结 + +# 8.1灵敏度分析 + +对于第一问我们采用的是确定性算法，不存在灵敏度问题。因为我们的动态规划模型只要在算力充足的情况下得到任何地图的全局最优解，并能够回溯出每一步购买和移动策略。 + +第二问我们通过统计分析和随机模拟，得到了特定地图特定条件的优秀解。在数据选择上有一定人工参与主观性，这些策略和第一问有相同之处，但又由于天气未知有很强的随机性。灵敏度相对另外两问模型较高。 + +同时有一些宏观的策略是适用于大多数情况的，但对于极端的条件我们的策略可能就不是最优的策略，只能在统计意义上保持优秀。 + +第三问的两人全局方案博弈和局部策略博弈都基于严格的博弈论基础，其结果对于各种情况也是普适的，不会因为输入的微小扰动而失效。 + +# 8.2 优点分析 + +# 8.2.1 整体模型充分地结合数学推导、算法实现、仿真模拟，对于问题给出了全面而深入的分析 + +对于一个游戏策略问题，我们综合使用了图论、运筹学、统计学、博弈论等知识和工具进行分析，并熟练地编程实现。给出了对游戏“最优策略”的各种不同表述，如带有递推搜索思想的算法、统计的最优、决策的一般规则、博弈的平衡等，多角度地帮助玩家理解这个游戏并确定最优策略。 + +# 8.2.2 动态规划的算法实现进行充分的时间、空间复杂度优化 + +第一问的动态规划不仅给出全局最优解，我们还在分析算法时间、空间复杂度的基础上进行了彻底优化，达到单问题的秒级求解，使得后续的大量样本统计成为可能。 + +# 8.2.3 统计加随机模拟对于第三关随机天气下的策略设计给出了详细的论证 + +第三关的最终结果呈现后可能很容易猜到。但给出充分的思想来源和令人信服的论证并不容易。我们从统计结果抽取策略，并利用随机模拟较为完整地论证了该方案确实由于其他合理方案。 + +# 8.2.4第三问的二人博弈模型给出一系列有效的局部决策 + +由于多人游戏的复杂性使得一些经验性结论（即局部优化方案）比确定性的计算机算法更有意义。因此这一部分我们用数学推导给出的可靠局部决策结论能够更有效地帮助实际游戏。 + +# 8.3 缺点分析 + +# 8.3.1利用确定天气情况下结果求解后两问时没有定量分析幸存者偏差 + +尽管我们可以通过动态规划回溯出优秀解，但在天气未知的情况下这些解有非常大的运气成分。最高收益和存活率二者是相互制衡的，而我们在分析一些优秀解的时候虽然也重点考虑了存活率，但无法显式地给出描述幸存者偏差的量并加以讨论。 + +# 8.3.2给出的策略需要一定的算力支撑 + +我们给出的有些策略难以通过直觉或人工计算快速得到验证，都需要一定的程序和算力进行实现，这些结果可能不易于被人从直观上理解。 + +# 8.3.3 对于多人玩家的情况没有给出完全最优解 + +虽然我们给出了局部最优策略，但对于三人的多阶段静态博弈没有给出完全最优解。由于博弈的过程难以由程序体现，最后的博弈过程没有进行模拟和全局计算。 + +# 8.4总结与感想 + +本文我们对穿越沙漠游戏的策略进行了由浅入深的分析，对于越来越复杂的问题也有确定性策略求解转化为带有随机性，局部性优化，并利用各种评价方法进行讨论分析。 + +其实该问题本身的递进过程就是对一定的现实背景进行建模，我们在这二次建模的过程中也充分感受到数学各个分支的基本思想之间存在着广泛的联系，可能就会在某个有趣的问题上汇合。只有创造性的思维加上扎实的理论、计算基本功才能较好地处理一个实际问题。 + +# 参考文献 + +[1] Strategy (game theory). https://en.wikipedia.org/wiki/Strategy_(game_theory). +[2] 多阶段纳什均衡. http://faculty.haas.berkeley.edu/stadelis/Game%20Theory/econ160 Week5.pdf. +[3] John Forbes Nash Jr. Equilibrium points in n-person games. National Academy of Sciences, 1950. +[4]《运筹学》教材编写组. 运筹学 (修订版). 清华大学出版社, 1990. +[5] 胡奇英. 随机运筹学: Stochastic operations research. 清华大学出版社, 2012. + +附录 + +# A 支撑材料列表 + +Result.xlsx：前两关的结果呈现 + +代码.rar：所有 $\mathrm{C + + }$ 、python的程序源代码，具体有三类： + +1. desert_game.py 和 strategy.py 为游戏逻辑的直接模拟程序和相应玩家策略输入程序。名字略有不同的是不同的参数 +2. simulation.py 为第三关对游戏策略进行随机模拟并作图的程序。 +3. desert_game_dp(第X关-XX图-XXXX)为动态规划算法的 $\mathrm{C}++$ 源码，具体含义见文件名，分散地用于模型各处。 + +图.rar：含有文中统计图、示意图的文件夹 + +# B 动态规划 C++ 代码 + +desert_game_dp(第一关-完整图-路径回溯).cpp + +include +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +const int INF $= 0x3f3f3f3f$ +const int num_of_points $= 27$ ：！！修改1，：点数 +const int deadline $= 30$ ：//期限 +const int initial-money $= 10000$ ：//初始金钱 +const int base_income $= 1000$ ：//基本收益 +const int weight_limit $= 1200$ ：//负重上限 +const int water_weight $= 3$ ,water_price $= 5$ ,food_weight $= 2$ ,food_price $= 10$ ：//价格与重量 bool mine_list[num_of_points+1] $\equiv$ {},village_list[num_of_points+1] $\equiv$ {}; +int water Consumption_list[3] $\equiv$ {5,8,10},food Consumption_list[3] $\equiv$ {7,6,10}；//消耗列表 int weather_list[deadline] $\equiv$ {1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,1,2,2,1,1,0,0,1,0,2,1,0,0,1,1}； //0晴朗，1高温，2沙暴 +struct state +{ char i,j; short k,l; state(short ii $= 0$ ,short jj $= 0$ ,short kk $= 0$ ,short ll $= 0$ ):i(ii),j(jj),k(kk),l(ll){} bool operator!=(const state &st2){ return i! $\equiv$ st2.i || j! $\equiv$ st2.j || k! $\equiv$ st2.k || l! $\equiv$ st2.l; } +}； +vector world_map[num_of_points+1]; + +```txt +short wmap[num_of_points+1][num_of_points+1] +``` + +```javascript +{},{2,25},{1,3},{2,25,4},{3,25,24,5},{4,24,6},{5,24,23,7},{6,8,22},{7,9,22},{8,22,21,17,16,15,10},{9,15,11} //!!修改2：地图 +``` + +```txt +map mapping; +``` + +```javascript +short *dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; +``` + +```javascript +//dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、1食物情况下的最多金钱 +``` + +```txt +state *dp_state[deadline+1] [num_of_points+1] [weight_limit/water_weight+1]; +``` + +```txt +//更新规则：采用“我为人人”型dp +``` + +```txt +/* 天数i从0循环到29， 编号j从1-10，k,1完全循环 +``` + +```txt +更新 停留、挖矿、走动 +``` + +```txt +若（k，1减去行动代价后均为正，则与原有值取较大值） +``` + +```txt +注意：每天开始时对村庄点状态进行更新 +``` + +```csv +（需要四重循环，对于每个k,l,向上k',1'进行计算更新，计算量600多亿，×30天）， +``` + +```txt +但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break．比如对于某个k,1, +``` + +```txt +循环k',l'向上更新，一旦更新不动，直接对k'l'双循环break +``` + +```txt +共5种更新： 起点买，村庄买，停留，挖矿，走动 +``` + +```txt +\*/ +``` + +```c +void inline init_space() +{ + for(int i=0;i<=deadline;++) + for(int j=0;j<=num_of_points;++) + for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++) + dp[i][j][k]=new short[(weight_limit-k*3)/2+1]; //加了之后堆不会损坏 + dp_state[i][j][k]=new state[(weight_limit-k*3)/2+1]; +} +void inline init() +{ + for(int i=1;i<=num_of_points;++) + mapping[i]=i; + for(int j=0;j<=num_of_points&&wmap[i][j];++) + world_map[i].push_back(wmap[i][j]); +} +for(int i=0;i<=deadline;++) + for(int j=0;j<=num_of_points;++) + for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++) + for (int l=0;k*3+l*2==weight_limit;) + dp[i][j][k][l]=-INF; +``` + +} dp[0][1][0][0]=initial-money; for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ int money_left $\equiv$ dp[0][1][0][0]-k*water_price,weight_left $\equiv$ weight_limit-k\*water_weight; if (money_left<0) break; for(int l $= 0$ ;l<=weight_limit/food_weight;++l){ int money_left2 $\equiv$ money_left-l\*food_price; if (money_left2<0 || 1\*food_weight>weight_left) break; if(money_left2>dp[0][1][k][1]) { dp[0][1][k][1]=money_left2; dp_state[0][1][k][1]=state(0,1,0,0); } //cout<= 0 && dp[i][j][k][1] > dp[ii][j][kk][11]) + +{ + +dp[ii][j][kk][11]=dp[i][j][k][1]; + +dp_state[ii][j][kk][11]=state(i,j,k,1); + +//cout<= 0 && dp[i][j][k][l] + base_income > dp[ii][j][kk][11]) + +{ + +dp[ii][j][kk][11] $\equiv$ dp[i][j][k][l]+base_income; + +dp_state[ii][j][kk][11]=state(i,j,k,1); + +} + +} + +} +} +/*for(int k=0;k<=400;++k) for (int 1 =0;k*3+1*2<=1200;++l) if(dp[i][j][k][l]>9900) cout<：:iterator iter $=$ world_map[j].begin();iter! $\equiv$ world_map[j].end();++iter){ for(int k $\equiv$ water Consumption;k $\coloneqq$ weight limit/water_weight;++k){ for (int 1 $\equiv$ food consumption;k*3+1*2<=weight limit;++l){ int kk=k-water Consumption,ll=1-food Consumption; if(dp[i][j][k][l] $\Rightarrow = 0$ && dp[i][j][k][l] $\rightharpoondown$ dp[ii][\*iter][kk][ll]) { dp[ii][\*iter][kk][ll]=dp[i][j][k][l]; dp_state[ii][\*iter][kk][ll]=state(i,j,k,l); } } } +} +} +int target $\equiv$ num_of_points; +int res=-INF; +state last_state; +for(int i=0;i<=deadline;++i){ for(int k=0;k<=weight limit/water_weight;++k){ for (int 1 $= 0$ ;k*3+1*2<=weight limit;++l){ if(dp[i][target][k][l]>res) { res $\equiv$ dp[i][target][k][l]; last_state $\equiv$ state(i,target,k,l); } } } +} +if(res $\equiv$ best-ever){ cerr< sta; while(last_state!=state(0,0,0,0)){ sta.push(last_state); last_state $\equiv$ dp_state[last_state.i][last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cout< +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +const int INF $= 0x3f3f3f3f$ +const int num_of_points $\coloneqq 11$ ： //期限 +const int deadline $\equiv 30$ ：//期限 +const int initial-money $\equiv 10000$ ：//初始金钱 +const int base_income $\equiv 1000$ ：//基本收益 +const int weight_limit $\equiv 1200$ ：//负重上限 +const int water_weight $= 3$ ,water_price $= 5$ ,food_weight $= 2$ ,food_price $= 10$ ：//价格与重量 +bool mine_list[num_of_points+1] $\equiv \{\}$ ,village_list[num_of_points+1] $\equiv \{\}$ ： +int water Consumption_list[3] $\equiv \{5,8,10\}$ ,food Consumption_list[3] $\equiv \{7,6,10\}$ ;//消耗列表 +int weather_list[deadline] $\equiv \{1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,1,2,2,1,1,0,0,1,0,2,1,0,0,1,1\}$ ： //0晴朗，1高温，2沙暴 +struct state + +char i,j;short k,l;state(short ii=0,short jj=0,short kk=0,short ll=0):i(ii),j(jj),k(kk),l(l1){bool operator!=(const state&st2){return i!=st2.i || j!=st2.j || k!=st2.k || l!=st2.l;}};vectorworld_map[num_of_points+1];short wmap[num_of_points+1][num_of_points+1]{},{2},{3},{4},{5},{6},{7,10},{6,8},{7,9},{8},{11}};mapmapping;int dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1][weight_limit/food_weight+1]；//dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、1食物情况下的最多金钱statedp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1][weight_limit/food_weight+1];//更新规则：采用“我为人人”型dp\*天数i从0循环到29，编号j从1-10,k,l完全循环更新停留、挖矿、走动若（k,l减去行动代价后均为正，则与原有值取较大值）注意：每天开始时对村庄点状态进行更新（需要四重循环，对于每个k,l，向上k',l'进行计算更新，计算量600多亿， $\times 30$ 天），但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break．比如对于某个k,l，循环k',l'向上更新，一旦更新不动，直接对k'l'双循环break共5种更新：起点买，村庄买，停留，挖矿，走动\*/void inline init(){for(int i=1;i<=num_of_points;++i)for(int j=0;j<=num_of_points&&wmap[i][j];++j)world_map[i].push_back(wmap[i][j]);mapping[1]=1;mapping[2]=25;mapping[3]=24;mapping[4]=23;mapping[5]=22;mapping[6]=9;mapping[7]=15;\mapping[8]=14;mapping[9]=12;mapping[10]=25;mapping[11]=27;mine_list[9]=1；village_list[7]=1;for(int i=0;i<=deadline;++i)for(int j=0;j<=num_of_points;++j)for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k)for (int l =0;k*3+l*2<=weight_limit;++l){ + +dp[i][j][k][l]=-INF; } dp[0][1][0][0]=initial-money; for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ int money_left $\equiv$ dp[0][1][0][0]-k*water_price,weight_left $\equiv$ weight_limit-k*water_weight; if (money_left<0) break; for (int 1 $= 0$ ;1<=weight_limit/food_weight;++l){ int money_left2 $\equiv$ money_left-l*food_price; if (money_left2<0 || l*food_weight>weight_left) break; if(money_left2>dp[0][1][k][1]) { dp[0][1][k][1]=money_left2; dp_state[0][1][k][1]=state(0,1,0,0); } //cout<=0) { + buy(i,j,k,l); + //cout<<"更新村庄!"<= 0 && dp[i][j][k][l] > dp[ii][j][kk][ll]) { + dp[ii][j][kk][ll] = dp[i][j][k][l]; + dp_state[ii][j][kk][ll] = state(i,j,k,l); + //cout << i << " << j << " << k << " << l << " << dp[i][j][k][l] << '\n'; + } +} +``` + +//更新挖矿 +```javascript +if (mine_list[j]) { water Consumption = water Consumption_list[weather_list[i]] * 3, food consumption = food Consumption_list for (int k = water Consumption; k <= weight_limit / water_weight; ++k) { for (int l = food Consumption; k * 3 + 1 * 2 <= weight_limit; ++l) { int kk = k - water Consumption, ll = l - food Consumption; if (dp[i][j][k][1] >= 0 && dp[i][j][k][1] + base_income > dp[ii][j][kk][11]) { dp[ii][j][kk][11] = dp[i][j][k][1] + base_income; dp_state[ii][j][kk][11] = state(i,j,k,l); +``` + +```javascript +} +} +} +} +/*for(int k=0;k<=400;++k) for (int l =0;k*3+1*2<=1200;++l) if(dp[i][j][k][l]>9900) cout<::iterator iter $=$ world_map[j].begin();iter! $\equiv$ world_map[j].end();++iter){ for(int k=waterconsumption;k<=weight_limit/water_weight;++k){ for(int1 $\equiv$ foodConsumption;k\*3+1\*2 $\coloneqq$ weight_limit;++1){ int kk=k-waterConsumption,ll $\coloneqq$ 1-foodConsumption; if(dp[i][j][k][l] $\coloneqq 0$ &&dp[i][j][k][l] $>$ dp(ii][\*iter][kk][ll]) { dp[ii][\*iter][kk][ll]=dp[i][j][k][l]; dp_state[ii][\*iter][kk][ll]=state(i,j,k,l); } } } } } } } } +int target $\equiv$ num_of_points; int res=-INF; state last_state; for(int i $\coloneqq 0$ ;i<=deadline;++i){ for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ for(int1 $= 0$ ;k\*3+1\*2 $\coloneqq$ weight_limit;++1){ if(dp[i][target][k][l]>res) { res $\coloneqq$ dp[i][target][k][l]; last_state $\equiv$ state(i,target,k,l); } } } } } + +cerr< sta; while(last_state!=state(0,0,0,0)){ sta.push(last_state); last_state $\equiv$ dp_state[last_state.i][last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cout < +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +const int INF $= 0x3f3f3f3f$ +const int num_of_points $\coloneqq 64$ ：！！修改1，：点数 +const int deadline $\coloneqq 30$ ： //期限 +const int initial-money $\coloneqq 10000$ ：//初始金钱 +const int base_income $\coloneqq 1000$ ：//基本收益 +const int weight_limit $\coloneqq 1200$ ：//负重上限 +const int water_weight $= 3$ ,water_price $= 5$ ,food_weight $= 2$ ,food_price $= 10$ ：//价格与重量 bool mine_list[num_of_points+1] $\equiv$ {},village_list[num_of_points+1] $\equiv$ {}; +int water Consumption_list[3] $\equiv$ {5,8,10},food Consumption_list[3] $\equiv$ {7,6,10};//消耗列表 +int weather_list[deadline] $\equiv$ {1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,1,2,2,1,1,0,0,1,0,2,1,0,0,1,1}； //0晴朗，1高温，2沙暴 +struct state + +```javascript +{char i,j;short k,l;state(short ii=0,short jj=0,short kk=0,short ll=0):i(ii),j(jj),k(kk),l(l1){bool operator!=(const state&st2){return i!=st2.i || j!=st2.j || k!=st2.k || l!=st2.l;}};vectorworld_map[num_of_points+1];shortwmap[num_of_points+1][num_of_points+1]=\{\},{1,2,9},{10,9,1,2,3},{3,10,2,11,4},{4,11,3,12,5},{5,13,4,12,6},0///修改2：地图map mapping;short \*dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]；//dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、1食物情况下的最多金钱state \*dp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]； +//更新规则：采用“我为人人”型dp/\*天数i从0循环到29，编号j从1-10，k,l完全循环更新停留、挖矿、走动若（k,l减去行动代价后均为正，则与原有值取较大值）注意：每天开始时对村庄点状态进行更新（需要四重循环，对于每个k,l，向上k'，1'进行计算更新，计算量600多亿，×30天），但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break．比如对于某个k,l，循环k'，1'向上更新，一旦更新不动，直接对k'1'双循环break共5种更新：起点买，村庄买，停留，挖矿，走动\*/ +void inline init_space() +{for(int i=0;i<=deadline;++)for(int j=0;j<=num_of_points;++)for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){dp[i][j][k]=new short[(weight_limit-k*3)/2+1]；//加了之后堆不会损坏dp_state[i][j][k]=new state[(weight_limit-k*3)/2+1];} +} +void inline init() +{for(int i=1;i<=num_of_points;++){mapping[i]=i;for(int j=0;j<=num_of_points&&wmap[i][j]++j) +``` + +world_map[i].push_back(wmap[i][j]); +} +//！修改3：映射，村庄、矿表 mine_list[30]=1;mine_list[55]=1；village_list[39]=1;village_list[62]=1; +for(int i=0;i<=deadline;++i) for(int j=0;j<=num_of_points;++j) for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k) for (int 1 $= 0$ ;k\*3+1\*2<=weight_limit;++l){ dp[i][j][k][1]=-INF; } dp[0][1][0][0]=initial-money; +for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ int money_left $\equiv$ dp[0][1][0][0]-k\*water_price,weight_left $\equiv$ weight_limit-k\*water_weight; if (money_left<0) break; for (int 1 $= 0$ ;1<=weight_limit/food_weight;++1){ int money_left2 $\equiv$ money_left-1\*food_price; if (money_left2<0 || 1\*food_weight>weight_left) break; if(money_left2>dp[0][1][k][1]) { dp[0][1][k][1]=money_left2; dp_state[0][1][k][1]=state(0,1,0,0); } //cout<=0){ buy(i,j,k,l); //cout<<"更新村庄！"<\endl; } } //更新停留 int water Consumption $\equiv$ water Consumption list[weather_list[i]],food Consumption $\equiv$ food Consumption list; for(int k $\equiv$ water Consumption;k $< =$ weight limit/water_weight;++k){ for (int 1 $\equiv$ food Consumption;k*3+1*2<=weight limit;++1) { int kk=k-water Consumption,ll=1-food Consumption; if(dp[i][j][k][l] >=0 && dp[i][j][k][l]>dp(ii)[j][kk][11]) { dp[ii][j][kk][11]=dp[i][j][k][1]; dp_state[ii][j][kk][11]=state(i,j,k,l); //cout<= 0 && dp[i][j][k][l] + base_income > dp[ii][j][kk][ll]) + { + dp[ii][j][kk][ll] = dp[i][j][k][l] + base_income; + dp_state[ii][j][kk][ll] = state(i,j,k,l); + } + } + } +} +``` + +//非沙暴，更新走动 +```cpp +if (weather_list[i] < 2) { water Consumption = water Consumption_list[weather_list[i]] * 2, food consumption = food Consumption_list; for (vector::iterator iter = world_map[j].begin(); iter != world_map[j].end(); ++iter) { for (int k = water Consumption; k <= weight_limit/water_weight; ++k) { for (int l = food Consumption; k*3+1*2 <= weight_limit; ++l) { int kk = k - water Consumption, ll = l - food Consumption; if (dp[i][j][k][l] >= 0 && dp[i][j][k][l] > dp[ii][*iter][kk][ll]) { dp[ii][*iter][kk][ll] = dp[i][j][k][l]; dp_state[ii][*iter][kk][ll] = state(i,j,k,l); } } } } } } } } } +``` + +desert_game_dp(第二关-简化图-路径回溯).cpp +{ res $\equiv$ dp[i][target][k][1]; last_state $\equiv$ state(i,target,k,l); } } } if(res>best_ever){ cerr< sta; while(last_state!=state(0,0,0,0)){ sta.push(last_state); last_state $\equiv$ dp_state[last_state.i][last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cout < +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +const int INF $= 0\mathrm{x}3\mathrm{f}3\mathrm{f}3\mathrm{f}3\mathrm{f}$ +const int num_of_points $\coloneqq 18$ ： //！修改1，：点数 const int deadline $\equiv 30$ ： //期限 const int initial-money $\equiv 10000$ ：//初始金钱 + +```javascript +const int base_income=1000; //基本收益 +const int weight_limit=1200; //负重上限 +const int water_weight=3,water_price=5,food_weight=2,food_price=10; //价格与重量 +bool mine_list[num_of_points+1]={{},village_list[num_of_points+1}}; +int water Consumption_list[3]={5,8,10},food Consumption_list[3]={7,6,10};//消耗列表 +int weather_list[deadline]={1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,2,2,1,1,0,0,1,0,2,1,0,0,1,1};//晴朗，1高温，2沙暴 +struct state +{char i,j;short k,l;state(short ii=0,short jj=0,short kk=0,short ll=0):i(ii),j(jj),k(kk),l(ll){bool operator!(const state&st2){return i!=st2.i || j!=st2.j || k!=st2.k || l!=st2.l;} +}； +vectorworld_map[num_of_points+1];short wmap[num_of_points+1][num_of_points+1]{},{2},{3},{4},{5},{6},{7,13},{6,8},{7,9},{8,10},{9,11,12},{10,12,15,16,17},{10,11,17,18},{6,14},{13,15},{11,14,16},{11,15,17},{11,12,16,18},{};///修改2：地图 +mapmapping; +int dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1][weight_limit/food_weight+1];//dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、l食物情况下的最多金钱 +statedp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1][weight_limit/food_weight+1]; +//更新规则：采用“我为人人”型dp +/*天数i从0循环到29，编号j从1-10，k,l完全循环更新停留、挖矿、走动若（k,l减去行动代价后均为正，则与原有值取较大值）注意：每天开始时对村庄点状态进行更新（需要四重循环，对于每个k,l，向上k',l'进行计算更新，计算量600多亿，×30天），但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break.比如对于某个k,l，循环k',l'向上更新，一旦更新不动，直接对k'l'双循环break共5种更新：起点买，村庄买，停留，挖矿，走动 +*/ +void inline init() +{for(int i=1;i<=num_of_points;++i){ +``` + +```javascript +mapping[i]=i; for(int j=0;j<=num_of_points&&wmap[i][j];++j) world_map[i].push_back(wmap[i][j]); } //!修改3：映射，村庄、矿表 mapping[4]=11;mapping[5]=20; mapping[6]=28; mapping[7]=29; mapping[8]=30; mapping[9]=39; mapping[10]=47; mapping[11]=55; mapping[12]=56; mapping[13]=37; mapping[14]=45; mapping[15]=54; mapping[16]=62; mapping[17]=63; mapping[18]=64; mine_list[8]=1;mine_list[11]=1; village_list[9]=1;village_list[9]=1;village_list[16]=1; for(int i=0;i<=deadline;++) for(int j=0;j<=num_of_points;++) for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k) for (int 1 =0;k*3+1*2==weight_limit;++l){ dp[i][j][k][l]=-INF; } dp[0][1][0][0]=initial-money; for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ int money_left=np[0][1][0][0]-k*water_price,weight_left=weight_limit-k*water_weight; if (money_left<0) break; for (int 1 =0;l<=weight_limit/food_weight;++l){ int money_left2=money_left-l*food_price; if (money_left2<0 || 1*food_weight>weight_left) break; if (money_left2>dp[0][1][k][l]) { dp[0][1][k][l]=money_left2; dp_state[0][1][k][l]=state(0,1,0,0); } //cout<dp[ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][ll]=dp[i][j][k][1]+base_income; dp_state[ii][j][kk][ll]=state(i,j,k,l); } } } } /*for(int k=0;k<=400;++k) for (int 1 $= 0$ ;k\*3+1\*2<=1200;++1) if(dp[i][j][k][1]>9900 cout<::iterator iter $=$ world_map[j].begin();iter! $\equiv$ world_map[j].end();++iter){ for(int k $\equiv$ water consumption;k $\coloneqq$ weight limit/water_weight;++k){ for (int 1 $=$ food consumption;k $\ast 3 + 1 * 2 = =$ weight limit;++1){ int kk=k-water consumption,ll=1-food consumption; if(dp[i][j][k][1] $\coloneqq$ 0 && dp[i][j][k][1]>dp[ii][\*iter][kk][ll]) { dp[ii][\*iter][kk][ll]=dp[i][j][k][1]; dp_state[ii][\*iter][kk][ll]=state(i,j,k,l); } } } } } } + +int target $\equiv$ num_of_points; +int res=-INF; +state last_state; +for(int i=0;i<=deadline;++i){ for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ for (int 1 $= 0$ ;k\*3+1\*2<=weight_limit;++l){ if(dp[i][target][k][1]>res) { res $\equiv$ dp[i][target][k][1]; last_state $\equiv$ state(i,target,k,l); } } +} +if(res>best-ever){ cerr< sta; while(last_state!=state(0,0,0,0)){ sta.push(last_state); last_state $\equiv$ dp_state[last_state.i][last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cout < #include #include #include #include +``` + +```txt +using namespace std; +const int INF=0x3f3f3f3f; +const int num_of_points=13; //!!修改1：地区数量 +const int deadline=10; //!!修改8期限 +const int initial-money=10000; //初始金钱 +const int base_income=200; //!!修改6：基本收益 +const int weight_limit=1200; //负重上限 +const int water_weight=3,water_price=5,food_weight=2,food_price=10; //价格与重量 +bool mine_list[num_of_points+1]={{},village_list[num_of_points+1]}={{}; +int water Consumption_list[3]={3,9,10},food Consumption_list[3]={4,9,10};//!!修改7：消耗列表 +int weather_list[deadline]; //!!修改5：天气生成。0晴朗，1高温，2沙暴 +struct state{char i,j;short k,l;state(short ii=0,short jj=0,short kk=0,short 11=0):i(ii),j(jj),k(kk),l(l1)}{bool operator!=(const state&st2){return i!=st2.i || j!=st2.j || k!=st2.k || l!=st2.l;} +}； +vectorworld_map[num_of_points+1]; +shortwmap[num_of_points+1][num_of_points+1]={{},{2,4,5},{1,3,4},{2,4,8,9},{1,2,3,5,6,7},{1,4，///修改2：地图 +``` + +```txt +map mapping; +short *dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; //dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、l食物情况下的最多金钱 +state *dp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; +``` + +```txt +//更新规则：采用“我为人人”型dp +/*天数i从0循环到29，编号j从1-10，k,l完全循环更新停留、挖矿、走动若（k,l减去行动代价后均为正，则与原有值取较大值）注意：每天开始时对村庄点状态进行更新（需要四重循环，对于每个k,l，向上k'，l'进行计算更新，计算量600多亿，×30天），但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break．比如对于某个k,l，循环k'，l'向上更新，一旦更新不动，直接对k'l'双循环break共5种更新：起点买，村庄买，停留，挖矿，走动 +``` + +void inline init_space() +{ for(int $\mathrm{i} = 0$ ;i $< =$ deadline;++i) for(int $\mathrm{j} = 0$ ;j $< =$ num_of_points;++j) for(int $\mathrm{k} = 0$ ;k $< =$ weight_limit/water_weight;++k) { dp[i][j][k]=new short [(weight_limit-k*3)/2 +1]；//加1了之后堆不会损坏 dp_state[i][j][k]=new state[(weight_limit-k*3)/2 +1]; } +void inline init(int weather) +{ for(int $\mathrm{i} = 0$ ;i>=1) weather_list[i]=weather&1; for(int $\mathrm{i} = 1$ ;i<=num_of_points;++i){ mapping[i]=i; for(int $\mathrm{j} = 0$ ;j<=num_of_points&&wmap[i][j];++j) world_map[i].push_back(wmap[i][j]); } //！修改3：映射，村庄、矿表 mine_list[9]=1; for(int $\mathrm{i} = 0$ ;i $< =$ deadline;++i) for(int $\mathrm{j} = 0$ ;j $< =$ num_of_points;++j) for(int $\mathrm{k} = 0$ ;k $< =$ weight_limit/water_weight;++k) for (int l $= 0$ ;k\*3+1\*2 $< =$ weight_limit;++l){ dp[i][j][k][l]=-INF; } dp[O][1][O][0]=initial-money; +for(int $\mathrm{k} = 0$ ;k $< =$ weight_limit/water_weight;++k){ int money_left $\equiv$ dp[O][1][0][0]-k\*water_price,weight_left $\equiv$ weight_limit-k\*water_weight; if (money_left<0) break; for (int l $= 0$ ;l $< =$ weight_limit/food_weight;++1){ int money_left2=money_left-1\*food_price; if (money_left2<0 || 1\*food_weight>weight_left) break; if (money_left2>dp[O][1][k][1]) { dp[O][1][k][1]=money_left2; dp_state[O][1][k][1]=state(0,1,0,0); } + +//cout<=0){ buy(i,j,k,l); //cout<<"更新村庄！"<= 0 && dp[i][j][k][1] + base_income > dp[ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][11] = dp[i][j][k][1] + base_income; dp_state[ii][j][kk][11] = state(i,j,k,l); } } } } } } /*for(int k = 0; k <= 400; ++k) { for (int l = 0; k * 3 + l * 2 <= 1200; ++l) { if(dp[i][j][k][1] > 9900) cout << i << '<::iterator iter = world_map[j].begin(); iter != world_map[j].end(); ++iter) { for (int k = water Consumption; k <= weight_limit / water_weight; ++k) { for (int l = food Consumption; k*3 + l * 2 <= weight_limit; ++l) { +``` + +```txt +int kk=k-water Consumption,11=1-food Consumption; if(dp[i][j][k][l] >= 0 && dp[i][j][k][l] >dp[ii] [ \*iter] [kk][ll]) { dp[ii] [ \*iter] [kk][ll] = dp[i][j][k][l]; dp_state[ii] [ \*iter] [kk][ll] = state(i,j,k,l); } } +} +} +} +} +} +} +} +} +int target = num_of_points; int res=-INF, arrive_day; state last_state; for(int i=0;ires) { res=dp[i][target][k][l]; arrive_day=i; last_state=state(i,target,k,l); } } } +} +if(res>0){ cerr< sta; while(last_state!=state(0,0,0,0)){ sta.push(last_state); last_state=dp_state(last_state.i)[last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cout<<"weather:"; for(int q=0;q +#include +#include +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +const int INF $= 0x3f3f3f3f$ +const int num_of_points $\coloneqq 4$ //!!修改1：地区数量 +const int deadline $\coloneqq 10$ //!!修改8期限 +const int initial-money $\coloneqq 10000$ //初始金钱 +const int base_income $\coloneqq 200$ //!!修改6：基本收益 +const int weight_limit $\coloneqq 1200$ //负重上限 +const int water_weight $\coloneqq 3$ ,water_price $\coloneqq 5$ ,food_weight $\coloneqq 2$ ,food_price $\coloneqq 10$ ;//价格与重量 bool mine_list[num_of_points+1]={{},village_list[num_of_points+1]={{}; +int water Consumption_list[3]={3,9,10},food Consumption_list[3]={4,9,10};//!!修改7：消耗列表 int weather_list[deadline]；//!!修改5：天气生成。0晴朗，1高温，2沙暴 +struct state +{ char i,j; short k,l; state(short ii $\coloneqq 0$ ,short jj $\coloneqq 0$ ,short kk $\coloneqq 0$ ,short ll $\coloneqq 0$ ):i(ii),j(jj),k(kk),l(ll){} bool operator!=(const state&st2){ return i! $\coloneqq$ st2.i || j! $\coloneqq$ st2.j || k! $\coloneqq$ st2.k || l! $\coloneqq$ st2.l; } +}； + +```txt +vectorworld_map[num_of_points+1]; +short wmap[num_of_points+1][num_of_points+1]={{},{2},{3},{4}}; +///修改2：地图 +``` + +```c +map mapping; +short *dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; //dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、l食物情况下的最多金钱 +state *dp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; +int num_of_cases[weight_limit/water_weight+1][weight_limit/food_weight+1]= +``` + +```txt +//更新规则：采用“我为人人”型dp +/*天数i从0循环到29，编号j从1-10，k,l完全循环更新停留、挖矿、走动若（k,l减去行动代价后均为正，则与原有 +``` + +注意：每天开始时对村庄点状态进行更新（需要四重循环，对于每个k,l,向上k',l'进行计算更新，计算量600多亿， $\times 30$ 天），但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break．比如对于某个k,l，循环k',l'向上更新，一旦更新不动，直接对k'l'双循环break共5种更新：起点买，村庄买，停留，挖矿，走动 + +void inline init() +{ memset(num_of_cases,0,sizeof(num_of_points)); for(int $\mathrm{i} = 0;\mathrm{i}\leqslant =$ deadline;++i) for(int $\mathrm{j} = 0;\mathrm{j}\leqslant =$ num_of_points;++j) for(int $\mathrm{k} = 0;\mathrm{k}\leqslant =$ weight_limit/water_weight;++k) { dp[i][j][k]=new short [(weight_limit-k*3)/2+1]；//加1了之后堆不会损坏 dp_state[i][j][k]=new state[(weight_limit-k*3)/2+1]; } for(int $\mathrm{i} = 1;\mathrm{i}\leqslant =$ num_of_points;++i){ mapping[i]=i; for(int $\mathrm{j} = 0;\mathrm{j}\leqslant =$ num_of_points&&wmap[i][j]；++j) world_map[i].push_back(wmap[i][j]); } mapping[2]=4;mapping[3]=6,mapping[4]=13; //！修改3：映射，村庄、矿表 + +```c +//mine_list[9] = 1; +for (int i = 0; i <= deadline; ++i) + for (int j = 0; j <= num_of_points; ++j) + for (int k = 0; k <= weight_limit/water_weight; ++k) + for (int l = 0; k * 3 + 1 * 2 <= weight_limit; ++l) { + dp[i][j][k][l] = -INF; + } +dp[0][1][0][0] = initial-money; +for (int k = 0; k <= weight_limit/water_weight; ++k) { + int money_left = dp[0][1][0][0] - k * water_price, weight_left = weight_limit - k * water_weight; + if (money_left < 0) + break; + for (int l = 0; l <= weight_limit/food_weight; ++l) { + int money_left2 = money_left - l * food_price; + if (money_left2 < 0 || l * food_weight > weight_left) + break; + if (money_left2 > dp[0][1][k][l]) { + dp[0][1][k][l] = money_left2; + dp_state[0][1][k][l] = state(0, 1, 0, 0); + } + // /cout << dp[0][1][k][l] << '\n'; + } +} +void inline init_for(int weather) { + for (int i = 0; i < deadline; ++i, weather >= 1) + weather_list[i] = weather & 1; + for (int i = 1; i <= deadline; ++i) + for (int j = 1; j <= num_of_points; ++j) + for (int k = 0; k <= weight_limit/water_weight; ++k) + for (int l = 0; k * 3 + 1 * 2 <= weight_limit; ++l) { + dp[i][j][k][l] = -INF; + } +} +inline void buy(int i, int j, int k, int l) { +``` + +int max_food $=$ weight_limit/food_weight; +for(int m=k;m<=weight_limit/water_weight;++m){ for(int n=1;m*3+n*2<=weight_limit&&n0){ buy(i,j,k,l); ////cout<<"更新村庄！"<= 0 && dp[i][j][k][l] > dp[ii][j][kk][ll]) +{dp[ii][j][kk][ll]=dp[i][j][k][l];dp_state[ii][j][kk][ll]=state(i,j,k,l);///cout<dp(ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][ll]=dp[i][j][k][1]+base_income; dp_state[ii][j][kk][ll]=state(i,j,k,l); } } 中国大学生在线 \} /*for(int k=0;k<=400;++k) for (int 1 $= 0$ ;k $\ast 3 + 1\ast 2\coloneqq$ 1200;++1) if(dp[i][j][k][1]>9900) //cout<::iterator iter = world_map[j].begin(); iter != world_map[j].end(); ++iter) { for (int k = water Consumption; k <= weight_limit / water_weight; ++k) { for (int l = food Consumption; k*3 + l*2 <= weight_limit; ++l) { int kk = k - water Consumption, ll = l - food Consumption; if (dp[i][j][k][1] >= 0 && dp[i][j][k][1] > dp[ii][*iter][kk][ll]) { dp[ii][*iter][kk][ll] = dp[i][j][k][l]; dp_state[ii][*iter][kk][ll] = state(i,j,k,l); +``` + +} +} +} +} +} +} +} +} +int target $\equiv$ num_of_points; int res=-INF,arrive_day; state last_state; for(int i=0;i<=deadline;++i){ for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ for (int 1 $= 0$ ;k\*3+1\*2<=weight_limit;++1){ if(dp[i][target][k][l]>res) { res $\equiv$ dp[i][target][k][l]; arrive_day=i; last_state $\equiv$ state(i,target,k,l); } } } +} +if(res>0){ while(last_state.i!=0){ last_state $\equiv$ dp_state(last_state.i)[last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cerr< +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +const int INF $= 0x3f3f3f3f$ +const int num_of_points $= 4$ ：///修改1：地区数量 const int deadline $= 10$ ：///修改8期限 const int initial-money $= 10000$ ：//初始金钱 const int base_income $= 200$ ：///修改6：基本收益 const int weight_limit $= 1200$ ：//负重上限 const int water_weight $= 3$ ,water_price $= 5$ ,food_weight $= 2$ ,food_price $= 10$ ：//价格与重量 bool mine_list[num_of_points+1] $\equiv$ {},village_list[num_of_points+1] $\equiv$ {}; +int daysum[11] $\equiv$ {}; +int water Consumption_list[3] $\equiv$ {3,9,10},food Consumption_list[3] $\equiv$ {4,9,10}；///修改7：消耗列表 int weather_list[deadline]；///修改5：天气生成。0晴朗，1高温，2沙暴 +struct state +{ char i,j; short k,l; state(short ii $= 0$ ,short jj $= 0$ ,short kk $= 0$ ,short ll $= 0$ ):i(ii),j(jj),k(kk),l(l1){} bool operator!=(const state&st2){ return i! $\equiv$ st2.i || j! $\equiv$ st2.j || k! $\equiv$ st2.k || l! $\equiv$ st2.l; }； +vectorworld_map[num_of_points+1]; +short wmap[num_of_points+1][num_of_points+1] = {{},{2},{3},{4}}; +///修改2：地图 + +```txt +map mapping; +short *dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; //dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、l食物情况下的最多金钱 +state *dp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; +``` + +//更新规则：采用“我为人人”型dp +/*天数i从0循环到29，编号j从1-10，k,1完全循环 + +更新 停留、挖矿、走动若 $(\mathbf{k},\mathbf{l}$ 减去行动代价后均为正，则与原有值取较大值） + +注意：每天开始时对村庄点状态进行更新 + +（需要四重循环，对于每个k,l,向上k',l'进行计算更新，计算量600多亿，×30天），但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break．比如对于某个k,l, + +循环k',l'向上更新，一旦更新不动，直接对k'l'双循环break + +共5种更新： 起点买，村庄买，停留，挖矿，走动 + +\*/ + +void inline init() +{ for(int $\mathrm{i} = 0$ ;i $< =$ deadline;++i) for(int $\mathrm{j} = 0$ ;j $< =$ num_of_points;++j) for(int $\mathrm{k} = 0$ ;k $< =$ weight_limit/water_weight;++k) { dp[i][j][k] $\equiv$ new short [(weight_limit-k*3)/2 +1]; //加1了之后堆不会损坏 dp_state[i][j][k] $\equiv$ new state[(weight_limit-k*3)/2 +1]; } for(int $\mathrm{i} = 1$ ;i $< =$ num_of_points;++i){ mapping[i]=i; for(int $\mathrm{j} = 0$ ;j $< =$ num_of_points&&wmap[i][j]；++j) world_map[i].push_back(wmap[i][j]); } mapping[2]=4;mapping[3]=6,mapping[4]=13; //！修改3：映射，村庄、矿表 + +```c +//mine_list[9] = 1; +for (int i = 0; i <= deadline; ++i) + for (int j = 0; j <= num_of_points; ++j) + for (int k = 0; k <= weight_limit / water_weight; ++k) + for (int l = 0; k * 3 + 1 * 2 <= weight_limit; ++l) { + dp[i][j][k][l] = -INF; + } +dp[0][1][0][0] = initial-money; +``` + +```c +for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight; ++k) { + int money_left = dp[0][1][0][0] - k*water_price, weight_left = weight_limit - k*water_weight; + if (money_left < 0) + break; + for (int l = 0; l <= weight_limit/food_weight; ++l) { + int money_left2 = money_left - l*food_price; + if (money_left2 < 0 || l*food_weight > weight_left) + break; + if (money_left2 > dp[0][1][k][l]) + { + dp[0][1][k][l] = money_left2; + dp_state[0][1][k][l] = state(0,1,0,0); + } + ////cout << dp[0][1][k][l] << '\n'; + } + } +} +void inline init_for(int weather) { + for (int i = 0; i < deadline; ++i, weather >= 1) + weather_list[i] = weather & 1; + for (int i = 1; i <= deadline; ++i) + for (int j = 1; j <= num_of_points; ++j) + for (int k = 0; k <= weight_limit/water_weight; ++k) + for (int l = 0; k*3 + l*2 <= weight_limit; ++l) { + dp[i][j][k][l] = -INF; + } +} +inline void buy(int i, int j, int k, int l) { + int max_food = weight_limit/food_weight; + for (int m = k; m <= weight_limit/water_weight; ++m) { + for (int n = 1; m*3 + n*2 <= weight_limit && n < max_food; ++n) + { + if (m == k && n == 1) + continue; + int money_left = dp[i][j][k][l] - (m - k)*water_price*2 - (n - l)*food_price*2; + if (money_left <= dp[i][j][m][n] || money_left < 0) // | \角度区域的右上部分三角无需再搜索了，其他还是要更新的 + { + max_food = n; + } + } + } + } +}; +``` + +break; +} dp[i][j][m][n]=money_left; dp_state[i][j][m][n]=state(i,j,k,l); } +} +int main() { freopen("3 Complete result weatherEnumerate.txt","w",stdout); //!!修改4：输出文件名 init(); for(int w=0;w< (1<=0){ buy(i,j,k,l); ////cout<<"更新村庄！"<=o&&dp[i][j][k][l]>dp[ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][ll]=dp[i][j][k][l]; dp_state[ii][j][kk][ll]=state(i,j,k,l); ////cout<dp[ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][ll]=dp[i][j][k][1]+base_income; dp_state[ii][j][kk][ll]=state(i,j,k,l); } 1 中国大学生在线 \} +\*/for(int k=0;k<=400;++k) for (int1 $= 0$ ;k $\ast 3 + 1\ast 2\coloneqq$ 1200;++1) if(dp[i][j][k][1]>9900) //cout<：:iterator iter $=$ world_map[j].begin();iter $! =$ world_map[j].end();++iter){ for(int k $\equiv$ water Consumption;k $\coloneqq$ weight limit/water_weight;++k){ for (int1 $=$ food Consumption;k $\ast 3 + 1\ast 2 < =$ weight limit;++l){ int kk=k-water Consumption,ll=1-food Consumption; if(dp[i][j][k][1] $\coloneqq 0$ &&dp[i][j][k][1] $>$ dp(ii][\*iter][kk][ll]=dp[i][j][k][1]; dp_state[ii][\*iter][kk][ll]=state(i,j,k,l); } } } 中国大学生在线 } int target $\equiv$ num_of_points; int res=-INF,arrive_day; state last_state; + +```txt +for(int i=0;i<=deadline; ++i) { + for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight; ++k) { + for (int l =0;k*3+1*2<=weight_limit; ++l) { + if(dp[i][target][k][l]>res) + { + res = dp[i][target][k][l]; + arrive_day=i; + last_state = state(i,target,k,l); + } + } + } +} +``` + +desert_game_dp(第三关-简化图-路径回溯-天气枚举).cpp + +include #include #include #include #include using namespace std; const int INF $= 0x3f3f3f3f$ ; const int num_of_points $\equiv 4$ //!!修改1：地区数量 const int deadline $\equiv 10$ //!!修改8期限 const int initial-money $\equiv 10000$ //初始金钱 const int base_income $\equiv 200$ //!!修改6：基本收益 const int weight_limit $\equiv 1200$ //负重上限 const int water_weight $\equiv 3$ ,water_price $\equiv 5$ ,food_weight $\equiv 2$ ,food_price $\equiv 10$ //价格与重量 bool mine_list[num_of_points+1]={{},village_list[num_of_points+1]={{}; int water Consumption_list[3]={3,9,10},food Consumption_list[3]={4,9,10};//!!修改7：消耗列表 int weather_list[deadline];//!!修改5：天气生成。0晴朗，1高温，2沙暴 struct state { + +```javascript +char i,j;short k,l;state(short ii=0,short jj=0,short kk=0,short ll=0):i(ii),j(jj),k(kk),l(ll){}bool operator!=(const state&st2){return i!=st2.i || j!=st2.j || k!=st2.k ||1!=st2.l;} +};vectorworld_map[num_of_points+1];short wmap[num_of_points+1][num_of_points+1]={{},{2},{3},{4}};///修改2：地图 +mapmapping;short \*dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1];//dp[i][j][k][1]表示第i天结束时，j点有k水、1食物情况下的最多金钱state \*dp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1];//更新规则：采用“我为人人”型dp\*/天数i从0循环到29，编号j从1-10，k,l完全循环更新 停留、挖矿、走动若（k,l减去行动代价后均为正，则与原有值取较大值）注意：每天开始时对村庄点状态进行更新（需要四重循环，对于每个k,l，向上k',l'进行计算更新，计算量600多亿，×30天），但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break．比如对于某个k,l，循环k',l'向上更新，一旦更新不动，直接对k'l'双循环break共5种更新：起点买，村庄买，停留，挖矿，走动\*/ +void inline init() +{for(int i=0;i<=deadline;++i)for(int j=0;j<=num_of_points;++j)for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){dp[i][j][k]=new short[(weight_limit-k*3)/2+1]；//加1了之后堆不会损dp_state[i][j][k]=new state[(weight_limit-k*3)/2+1];}for(int i=1;i<=num_of_points;++i){mapping[i]=i;for(int j=0;j<=num_of_points&&wmap[i][j];++j)world_map[i].push_back(wmap[i][j]);}mapping[2]=4;mapping[3]=6,mapping[4]=13;//修改3：映射，村庄、矿表 +``` + +```c +//mine_list[9] = 1; +for (int i = 0; i <= deadline; ++i) + for (int j = 0; j <= num_of_points; ++j) + for (int k = 0; k <= weight_limit/water_weight; ++k) + for (int l = 0; k * 3 + 1 * 2 <= weight_limit; ++l) { + dp[i][j][k][l] = -INF; + } +dp[0][1][0][0] = initial-money; +for (int k = 0; k <= weight_limit/water_weight; ++k) { + int money_left = dp[0][1][0] - k * water_price, weight_left = weight_limit - k * water_weight; + if (money_left < 0) + break; + for (int l = 0; l <= weight_limit/food_weight; ++l) { + int money_left2 = money_left - l * food_price; + if (money_left2 < 0 || l * food_weight > weight_left) + break; + if (money_left2 > dp[0][1][k][l]) + { + dp[0][1][k][l] = money_left2; + dp_state[0][1][k][l] = state(0, 1, 0, 0); + } + //cout << dp[0][1][k][l] << '\n'; + } +} +void inline init_for(int weather) { + for (int i = 0; i < deadline; ++i, weather >= 1) + weather_list[i] = weather & 1; + for (int i = 1; i <= deadline; ++i) + for (int j = 1; j <= num_of_points; ++j) + for (int k = 0; k <= weight_limit/water_weight; ++k) + for (int l = 0; k * 3 + 1 * 2 <= weight_limit; ++l) { + dp[i][j][k][l] = -INF; + } +} +inline void buy(int i, int j, int k, int l) { +``` + +int max_food $=$ weight_limit/food_weight; +for(int m=k;m<=weight_limit/water_weight;++m){ for(int n=1;m*3+n*2<=weight_limit&&n=0){ buy(i,j,k,l); //cout<<"更新村庄！"<= 0 && dp[i][j][k][l] > dp[ii][j][kk][11]) { dp[ii][j][kk][11] = dp[i][j][k][1]; dp_state[ii][j][kk][11] = state(i,j,k,l); //cout<= 0 && dp[i][j][k][l] + base_income > dp[ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][ll] = dp[i][j][k][l] + base_income; dp_state[ii][j][kk][ll] = state(i,j,k,l); } } } +``` + +//非沙暴，更新走动 +```txt +if (weather_list[i] < 2) { + water Consumption = water Consumption_list[weather_list[i]] * 2, food Consumption = food Consumption_list; + for (vector::iterator + iter = world_map[j].begin(); iter != world_map[j].end(); ++iter) { + for (int k = water Consumption; k <= weight_limit / water_weight; ++k) { + for (int l = food Consumption; k*3 + l*2 <= weight_limit; ++l) { + int kk = k - water Consumption, ll = l - food Consumption; + } + } + if (dp[i][j][k][l] >= 0 && dp[i][j][k][l] > dp[ii][*iter][kk][ll]) { + dp[ii][*iter][kk][ll] = dp[i][j][k][l]; + dp_state[ii][*iter][kk][ll] = state(i,j,k,l); + } +} +``` + +} +} +} +} +} +} +int target $\equiv$ num_of_points; +int res=-INF,arrive_day; +state last_state; +for(int i=0;i<=deadline;++i){ for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ for (int 1 $= 0$ ;k\*3+1\*2<=weight_limit;++1){ if(dp[i][target][k][l]>res) { res $\equiv$ dp[i][target][k][l]; arrive_day=i; last_state $\equiv$ state(i,target,k,l); } } +} +if(res>0){ cerr< sta; while(last_state!=state(0,0,0,0)){ sta.push(last_state); last_state $\equiv$ dp_state[last_state.i][last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cout<<"weather:"; for(int q=0;q +#include +#include +#include +#include +using namespace std; +const int INF $= 0x3f3f3f3f$ +const int num_of_points $\coloneqq 10$ ：///修改1：地区数量 +const int deadline $= 30$ ：///修改8期限 +const int initial-money $\coloneqq 10000$ ：//初始金钱 +const int base_income $\coloneqq 1000$ ：///修改6：基本收益 +const int weight_limit $= 1200$ ：//负重上限 +const int water_weight $= 3$ ,water_price $= 5$ ,food_weight $= 2$ ,food_price $= 10$ ：//价格与重量 bool mine_list[num_of_points+1] $\equiv$ {},village_list[num_of_points+1] $\equiv$ {}; +int water Consumption_list[3] $\equiv$ {3,9,10},food Consumption_list[3] $\equiv$ {4,9,10};///修改7：消耗列表 short weather_list[deadline] $\equiv$ {1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1}； //!!修改5：天气生成。0晴朗，1高温，2沙暴 +struct state +{ char i,j; short k,l; state(short ii=0,short jj=0,short kk=0,short ll=0):i(ii),j(jj),k(kk),l(ll){} bool operator!=(const state&st2){ return i! $\equiv$ st2.i || j! $\equiv$ st2.j || k! $\equiv$ st2.k || l! $\equiv$ st2.l; }； +}； +vector world_map[num_of_points+1]; +short wmap[num_of_points+1][num_of_points+1] $\equiv$ {},{2},{3},{4},{5},{6,7},{8},{8},{6,7,9},{10},{},{}；； +///修改2：地图 +map mapping; +int dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1][weight_limit/food_weight+1]; + +//dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、1食物情况下的最多金钱 +state dp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1][weight_limit/food_weight+1]; +//更新规则：采用“我为人人”型dp +/*天数i从0循环到29，编号j从1-10，k,l完全循环更新 停留、挖矿、走动 若（k,l减去行动代价后均为正，则与原有值取较大值）注意：每天开始时对村庄点状态进行更新（需要四重循环，对于每个k,l，向上k'，l'进行计算更新，计算量600多亿， $\times 30$ 天），但特别注意，向上更新时，一旦更新不动就可以break．比如对于某个k,l，循环k'，l'向上更新，一旦更新不动，直接对k'l'双循环break共5种更新：起点买，村庄买，停留，挖矿，走动 +*/ +void inline init() +{ for(int i=1;i<=num_of_points;++i){ mapping[i]=i; for(int j=0;j<=num_of_points&&wmap[i][j];++) world_map[i].push_back(wmap[i][j]); } //!修改3：映射，村庄、矿表 mapping[4]=8;mapping[5]=13;mapping[6]=14;mapping[7]=18;mapping[8]=19;mapping[9]=20;mapping[10]=25; mine_list[7]=1;village_list[6]=1; for(int i=0;i<=deadline;++i) for(int j=0;j<=num_of_points;++j) for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k) for (int l =0;k*3+1*2<=weight_limit;++l){ dp[i][j][k][l]=-INF; } dp[0][1][0][0]=initial-money; for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ int money_left=np[0][1][0]-k*water_price,weight_left=weight_limit-k*water_weight; if (money_left<0) break; for (int l =0;l<=weight_limit/food_weight;++l){ int money_left2=money_left-l*food_price; if (money_left2<0 || l*food_weight>weight_left) break; if (money_left2>dp[0][1][k][l]) { + +dp[0][1][k][l]=money_left2; dp_state[0][1][k][l]=state(0,1,0,0); } //cout<= 0) { buy(i,j,k,l); //cout<<"更新村庄！"<= 0 && dp[i][j][k][l] >dp[ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][ll]=dp[i][j][k][l]; dp_state[ii][j][kk][ll]=state(i,j,k,l); //cout<= 0 && dp[i][j][k][l]+base_income>dp[ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][ll]=dp[i][j][k][l]+base_income; dp_state[ii][j][kk][ll]=state(i,j,k,l); } } } +} +/*for(int k=0;k<=400; ++k) for (int l =0;k*3+1*2<=1200; ++l) if(dp[i][j][k][l]>9900) cout<res) { res $\equiv$ dp[i][target][k][l]; last_state $\equiv$ state(i,target,k,l); } } } } } +if(res>best-ever){ cerr< sta; while(last_state! $\equiv$ state(0,0,0,0)){ sta.push(last_state); last_state $\equiv$ dp_state[last_state.i][last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cout < #include #include #include #include #include #include #include using namespace std; const int INF $= 0x3f3f3f3f$ ; const int num_of_points $\coloneqq 10$ //!!修改1：地区数量 const int deadline $\coloneqq 30$ //!!修改8期限 const int initial-money $\coloneqq 10000$ //初始金钱 const int base_income $\coloneqq 1000$ //!!修改6：基本收益 const int weight_limit $= 1200$ //负重上限 const int water_weight $= 3$ ,water_price $= 5$ ,food_weight $= 2$ ,food_price $= 10$ //价格与重量 bool mine_list[num_of_points+1]={{},village_list[num_of_points+1]={{}; int water Consumption_list[3] $\coloneqq$ {3,9,10},food Consumption_list[3] $\coloneqq$ {4,9,10};//!!修改7：消耗列表 short weather_list[deadline] $\coloneqq$ {0，1，0，1，1，1，2，0，1，1，2，2，1，2，1，0，1，1，0，1，0， 0，0，1，2，2，1，1，1，0}； //!!修改5：天气生成。0晴朗，1高温，2沙暴 +struct state { char i,j; short k,l; state(short ii $\coloneqq 0$ ,short jj $\coloneqq 0$ ,short kk $\coloneqq 0$ ,short ll $\coloneqq 0$ ):i(ii),j(jj),k(kk),l(ll){ bool operator!=(const state &st2){ return i! $\coloneqq$ st2.i || j! $\coloneqq$ st2.j || k! $\coloneqq$ st2.k || l! $\coloneqq$ st2.l; } + +}; +vector world_map[num_of_points+1]; +short wmap[num_of_points+1][num_of_points+1]={{},{2},{3},{4},{5},{6,7},{8},{8},{6,7,9},{10},{}}; //!!修改2：地图 +map mapping; short \*dp[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; //dp[i][j][k][l]表示第i天结束时，j点有k水、1食物情况下的最多金钱 state \*dp_state[deadline+1][num_of_points+1][weight_limit/water_weight+1]; +void inline init() { for(int i=0;i<=deadline;++i) for(int j=0;j<=num_of_points;++j) for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k) { dp[i][j][k]=new short[(weight_limit-k*3)/2+1]；//加1了之后堆不会损坏 dp_state[i][j][k]=new state[(weight_limit-k*3)/2+1]; } for(int i=1;i<=num_of_points;++i){ mapping[i]=i; for(int j=0;j<=num_of_points&&wmap[i][j];++j) world_map[i].push_back(wmap[i][j]); } mapping[4]=8;mapping[5]=13;mapping[6]=14;mapping[7]=18;mapping[8]=19;mapping[9]=20;mapping[10]=25; mine_list[7]=1;village_list[6]=1; //！修改3：映射，村庄、矿表 //mine_list[9]=1; for(int i=0;i<=deadline;++i) for(int j=0;j<=num_of_points;++j) for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k) for (int l =0;k*3+1*2<=weight_limit;++l){ dp[i][j][k][l]=-INF; } dp[0][1][0][0]=initial-money; for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ int money_left $=$ dp[0][1][0][0]-k\*water_price,weight_left $=$ weight_limit-k\*water_weight; + +```c +if (money_left<0) break; for (int l =0;l<=weight_limit/food_weight; ++l){ int money_left2=money_left-l*food_price; if (money_left2<0 || 1*food_weight>weight_left) break; if (money_left2>dp[0][1][k][1]) { dp[0][1][k][1]=money_left2; dp_state[0][1][k][1]=state(0,1,0,0); } //cout<=1) weather_list[i]=weather_list_list/weather][i]; for(int i=1;i<=deadline;++i) for(int j=1;j<=num_of_points;++j) for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k) for (int l =0;k*3+1*2<=weight_limit;++l){ dp[i][j][k][l]=-INF; } +``` + +inline void buy(int i,int j,int k,int l) +{ int max_food $=$ weight_limit/food_weight; for(int m=k;m<=weight_limit/water_weight;++m){ for(int n=1;m*3+n*2==weight_limit&&ndp[ii][j][kk][ll]) { dp[ii][j][kk][ll]=dp[i][j][k][1]+base_income; dp_state[ii][j][kk][ll]=state(i,j,k,l); } } } } +\*/for(int k=0;k<=400;++k) for (int l $= 0;\mathrm{k} * 3 + 1 * 2 < = 1200; + + 1)$ if(dp[i][j][k][1]>9900) cout<::iterator iter = world_map[j].begin(); iter != world_map[j].end(); ++iter) { for (int k = water Consumption; k <= weight_limit / water_weight; ++k) { for (int l = food Consumption; k*3 + l*2 <= weight_limit; ++l) { int kk = k - water Consumption, ll = l - food Consumption; if (dp[i][j][k][l] >= 0 && dp[i][j][k][l] > dp[ii][*iter][kk][ll]) +``` + +{ dp[ii] \*iter][kk][ll]=dp[i][j][k][1]; dp_state[ii] \*iter][kk][ll]=state(i,j,k,l); } 1 } } } } } } } } int target $\equiv$ num_of_points; int res=-INF,arrive_day; state last_state; for(int i=0;i<=deadline;++i){ for(int k=0;k<=weight_limit/water_weight;++k){ for (int l $= 0$ ;k\*3+1\*2<=weight_limit;++l){ if(dp[i][target][k][1]>res) { res $\equiv$ dp[i][target][k][1]; arrive_day=i; last_state $\equiv$ state(i,target,k,l); } } } } } if(res>0){ cerr< sta; while(last_state!=state(0,0,0,0)){ sta.push(last_state); last_state $\equiv$ dp_state[last_state.i][last_state.j][last_state.k][last_state.l]; } cout<<"weather:"; for(int q=0;q$ current-money: + print('金额不足'); +if (water_num+current_water)*water_weight+(food_num+current-food)*food_weight>weight_limit: + print('负重过大'); +game_over( ); +current-money $=$ spend-money; +current_water+=water_num; +current_food+=food_num; +def consume(multiple $= 1$ ) : + _global + start_point,end_point,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food_weight,food_price; + global + water_weight,water_price,current-money, current_water, current_food, current_date, current_position; + global money_earn_sum,water Consumption_sum,food Consumption_sum +consume_water = water Consumption_list [get_weather(current_date)] *multiple; +consume_food= food Consumption_list [get_weather(current_date)] *multiple; +if consume_water>current_water or consume_food>current_food: + print('食物/水消耗殆尽'); game_over( ); +current_water $=$ consume_water; current_food $=$ consume_food; +water Consumption_sum+=consume_water; +food Consumption_sum +=consume_food; +def computeconsumption(begin_date, daynum, multiple_list): + if daynum!=len(multiple_list): + print('时间长度与倍数列表不匹配'); +water_sum=0; +food_sum=0; +for i in range(daynum): + +water_sum $+ =$ multiple_list[i]\* water Consumption_list[get_wetter(begind_date+i)]; food_sum $+ =$ multiple_list[i]\* food Consumption_list[get_wetter(begind_date+i)]; return water_sum,food_sum; +def main_game(): global start_point,end_point,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food_weight,food_price; global water_weight,water_price,current-money, current-water, current_food,current_date, current_position; global money_earn_sum,water Consumption_sum,food Consumption_sum print('游戏开始！游戏设定为：');display Setting(); print('目前状态为：');display_state(); strategy $\equiv$ get_strategy (current-money,current_water,current_fod,current_position,current_date+1,world_map,start_point, end_point,village_list,mine_list,weather_list,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food_conse #约定：只能走之前买，即不允许当天食物变成负数 print(strategy) +buy_water(strategy[1],strategy[2]); while current_dateweight_lim; print('负重过大');game_over(state); state['current-money'] $\rightharpoonup$ spend-money; state['current_water'] $^+\equiv$ water_num; state['current_food'] $^+\equiv$ food_num; return state; +def consume(state,multiple=1): #state进来应当是引用？ global start_point,end_point,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food_weight,food_price,water weigh consume_water $=$ water Consumption_list[get_weather(state['current_date'])]\*multiple; consume_food $=$ food Consumption_list[get weather(state['current date'])]\*multiple; if consume_water>state['current_water'] or consume_food $>$ state['current_fod']: print('食物/水消耗殆尽'); game_over(state); state['current_water']- $=$ consume_water; state['current_fod'] $\rightharpoonup$ consume_food; state['water_consumption_sum'] $^+\equiv$ consume_water; state['food_consumption_sum'] $^+\equiv$ consume_food; +def update(state,next_position,mining=0): global start_point,end_point,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food_weight,food_price,water weigh if state['current_position'] $^{\text{一}} = ^{\text{一}}$ next_position: #停留或挖矿：消耗食物、增加金钱、增加天数 if next_position in mine_list and mining: consume(state,3); state['current-money'] $^+\equiv$ base_income; state['money Earn_sum'] $^+\equiv$ base_income; else: consume(state,1); state['current_date'] $+ = 1$ . else: #行进： 消耗食物，改变位置，增加天数 distance $=$ distance_matrix[state['current_position']][next_position]; while distance: if getweather(state['current_date'])<2: #非沙暴就往前走 consume(state,2); distance $= -1$ + +else: consume(state,1); state['current_date'] $+ = 1$ display_state(state); state['current_position'] $\equiv$ next_position; return state; +def main_game(state): + +BFS外壳，以字典state表示当前状态作为队列中元素，每轮操作具体如下 + +1. 获取用户策略strategy +2. 判断命令合法性 +3. 计算购买行为 + +4-1 计算挖矿行为 +-2 计算停留行为 +-3 计算运动行为。 + +```txt +global +``` + +```txt +start_point, end_point, deadline, initial-money, base_income, weight_limit, food_weight, food_price, water_weigh +``` + +print('游戏开始！游戏设定为：');display_settings(); + +```javascript +print('目前状态为：'); display_state(state); +``` + +约定：只能走之前买，即不允许当天食物变成负数 + +$q = [state]$ + +```txt +while len(q): +``` + +```txt +state=q.pop(0); +``` + +if state['current_date'] $> =$ deadline or state['current_position'] $= =$ end_point: + +$q = [state]$ + +```txt +break; #到达终点 +``` + +```txt +display_state(state); +``` + +strategy $=$ get_strategy + +```javascript +(state['current-money'],state['current_water'],state['current_food'],state['current_position'],state +``` + +```csv +end_point,village_list,mine_list,weather_list,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food_c +``` + +```txt +if(get_weather(state['current_date']) == 2 and strategy[0] != state['current_position']) : +``` + +```javascript +print('沙暴天气不能移动！');game_over(state); +``` + +```txt +print(state['current_position'])； +``` + +```ruby +if not strategy[0] in world_map[state['current_position']) and not +``` + +```python +strategy[0] == state['current_position']: +``` + +```javascript +print('两个地区不相邻！');game_over(state); +``` + +```txt +if state['current_position'] == start_point: #图设计不回起点，因此不用担心二次购买 +``` + +state $\equiv$ buy(state.copy(),strategy[1],strategy[2],1); + +elif state['current_position'] in village_list: state $\equiv$ buy(state.copy(),strategy[1],strategy[2],2); state $\equiv$ update(state.copy(),strategy[0],len(strategy) $\equiv$ 2 and strategy[1]); # 更新时间的3种行为：停留、挖矿、行走的数据更新在此处计算 q.append(state); state $\equiv$ q[0]; if state['current_position'] $= =$ end_point: print('成功过关'); display_state(q[0]); print('共计挖矿',state['money Earn_sum'],'共计消耗水':,state['waterconsumption_sum'],'共计消耗食物':,stat +world_map,start_point, end_point,village_list,mine_list,weather_list,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food consumpt +state $=$ {'current-money':initial-money,'current_water':0,'current_food':0,'current_position':start_point,'current 'water Consumption_sum':0,'food Consumption_sum':0} #8个状态参数：钱、水、食物、位置、天数、总赚钱、总耗水、总耗食 main_game(state); + +# strategy2.py + +def change_settings(): world_map $=$ {1:[15,27],15:[12,27],12:[15]} start_point $\equiv$ 1; end_point $\equiv$ 27; #起点终点 village_list=[15]; #村庄表 mine_list=[12]; #矿点表 weather_list $= [1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,2,1,0,1,1,1,2,2,1,1,0,0,1,0,2,1,0,0,1,1]$ #0晴朗，1高温，2沙暴 deadline $= 30$ #期限 initial-money $= 10000$ ;#初始金钱 base_income $= 1000$ ; #基本收益 weight_limit $= 1200$ #负重上限 water Consumption list $= [5,8,10]$ ; #消耗列表 food Consumption list $= [7,6,10]$ ; water_weight $= 3$ #价格与重量 water_price $= 5$ ; food_weight $= 2$ ; food_price $= 10$ ; return [world_map,start_point, end_point,village_list,minelist,weather_list,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food_con s def get_strategy (current-money,current_water,current_food,current_position,current_date,world_map,start_point + +if current_date $= = 1$ return [15,98,452]; +if current_date $= = 9$ return [12,163,0]; + +if current_date $= = 11$ return [12,1]; + +if current_date $= = 12$ return[12,1]; + +if current_date $= = 13$ return[12,1]; + +if current_date $= = 14$ return[12,1]; + +if current_date $= = 15$ return [15]; + +if current_date $= = 16$ return[12,1]; + +if current_date $= = 17$ return [15,213,0]; + +if current_date $= = 18$ return[15,0,0]; + +if current_date $= = 19$ return[12,0,0]; + +if current_date $= = 21$ return[12,1]; + +if current_date $= = 22$ return[12,1]; + +if current_date $= = 23$ return[12,1]; + +if current_date $= = 24$ return[12,1]; + +if current_date $= = 25$ return[12,1]; + +if current_date $= = 26$ ： return[15]; + +if current_date $= = 28$ return[27,0,0]; + +end_point,village_list,mine_list,weather_list,deadline,initial-money,base_income,weight_limit,food Consumpt #print('这是策略') +1- 10天去矿区，中途补163水，11- 17挖矿7天，18休息，之后5天去终点，中途路过村庄补充一下 +#村庄或者起点[目的地，水（几箱），食物 + +desert_game3.py + +```python +from strategy3 import \*; +from sys import \* +``` + +import numpy as np +```txt +world_map = {1: [1, 2, 25], 2: [2, 1, 3], 3: [3, 2, 25, 4], 4: [4, 3, 25, 24, 5], 5: [5, 4, 24, 6], +6: [6, 5, 24, 23, 7], 7: [7, 6, 8, 22], 8: [8, 7, 9, 22], 9: [9, 8, 22, 21, 17, 16, 15, 10], +10: [10, 9, 15, 11, 13], 11: [11, 10, 12, 13], 12: [12, 11, 13, 14], 13: [13, 10, 11, 12, 14, 15], +14: [14, 12, 13, 15, 16], 15: [15, 9, 10, 13, 14, 16], 16: [16, 14, 15, 9, 17, 18], +17: [17, 9, 21, 18, 16], 18: [18, 17, 16, 19, 20, 21], 19: [19, 18, 20], 20: [20, 18, 19, 21], +21: [21, 17, 18, 20, 9, 22, 23, 27], 22: [22, 7, 8, 9, 21, 23], 23: [23, 6, 22, 21, 24, 26], +24: [24, 4, 5, 6, 23, 25, 26], 25: [25, 1, 3, 4, 24, 26], 26: [26, 25, 24, 23, 27], +27: [27, 21, 26]}; +degree = {1: 2, 2: 2, 3: 3, 4: 4, 5: 3, 6: 4, 7: 3, 8: 3}; # 数一下每个点度数，校验地图正确性 +``` + +```txt +start_point = 1; +end_point = 27; # 起点终点 +village_list = [15]; # 村庄表 +mine_list = [12]; # 矿点表 +``` + +deadline $= 30$ #期限 +initial-money $= 10000$ #初始金钱 +base_income $= 1000$ #基本收益 +weight_limit $= 1200$ #负重上限 +water Consumption_list $= [5,8,10]$ #消耗列表 +food Consumption_list $= [7,6,10]$ +water_weight $= 3$ #价格与重量 +water_price $= 5$ +food_weight $= 2$ +food_price $= 10$ +money Earn_sum $= 0$ +water Consumption_sum $= 0$ +food Consumption_sum $= 0$ + +print的世界_map); +def check_map的世界_map): for i in world_map.keys(): for j in world_map[i]: if not i in world_map[j]: pass if i in degree_keys() and len的世界_map[i]) $! =$ degree[i] + 1: pass + +```python +if not (start_point in world_map_keys() and end_point in world_map_keys(): + print('起点/终点不在地图内'); +for i in village_list: + if not i in world_map_keys(): + print('村庄不在地图内'); +for i in mine_list: + if not i in world_map_keys(): + print('矿点不在地图内'); +``` + +```python +def display_state(): + global weather_list + weather = '高温' if weather_list[current_date] == 1 else '晴朗' + print('第', current_date + 1, f'天, {weather}.在", current_position, "点') + print('水: ', current_water, "食物: ", current_food, "钱: ", current-money); +``` + +```javascript +def display Setting( ) : + print('水价格:','water_price,'食物价格:','food_price'); + print('水消耗',waterconsumption_list,'食物消耗:','foodconsumption_list); +``` + +```python +def game_over( ): pass #print('第', current_date + 1, '天,你失败了'); #print('共计挖矿', money\_earn\_sum, '共计消耗水':, water\_consumption\_sum, '共计消耗食物':, foodConsumption_sum) +``` + +def buy_water(water_num,food_num,multiple $= 1$ ）： global start_point，end_point，deadline，initial-money，base_income，weight_limit, food_weight，food_price; global water_weight，water_price，current-money，current_water，current_food，current_date; spend-money $\equiv$ multiple \* (water_num \* water_price + food_num \* food_price); #print('购买水：'，water_num,'购买食物：'，food_num,'花钱'，spend-money); #print('重量：'，(water_num $^+$ current_water)\* water_weight $^+$ (food_num $^+$ current_food)\* food_weight) if spend-money $>$ current-money: print('金额不足'); game_over(); + +if (water_num + current_water) * water_weight + (food_num + current_food) * food_weight > weight_limit: print('负重过大'); game_over(); +current-money $= =$ spend-money; +current_water $+ =$ water_num; +current_food $+ =$ food_num; + +def consume(multiple=1): global start_point, end_point, deadline, initial-money, base_income, weight_limit, food_weight, food_price; global water_weight, water_price, current-money, current_water, current_food, current_date, current_position; global money_earn_sum, water Consumption_sum, food Consumption_sum global weather_list weather $=$ weather_list[current_date] consume_water $=$ water Consumption_list[weather] $\ast$ multiple; consume_food $=$ food Consumption_list/weather] $\ast$ multiple; if consume_water $>$ current_water or consume_food $>$ current_food: #print('食物/水消耗殆尽'); game_over(); return 0 #0 表示游戏结束 current_water $==$ consume_water; current_food $==$ consume_food; water Consumption_sum $+=$ consume_water; food Consumption_sum $+=$ consume_food; return 1 + +def computeconsumption(init_date，daynum，multiple_list)： if daynum！ $= 1$ len(multiple_list): print('时间长度与倍数列表不匹配'); water_sum $= 0$ . food_sum $= 0$ ： fori in range(daynum): water_sum $+ =$ multiple_list[i] \*waterConsumption_list[get_weather(init_date+i)]; food_sum $+ =$ multiple_list[i] \*foodConsumption_list[getweather(init_date+i)]; return water_sum，food_sum; + +```txt +def sell(food,water): global water_price,food_price return food\*0.5\*food_price+water\*0.5\*water_price +``` + +```python +def main_game(): +``` + +```txt +global start_point, end_point, deadline, initial-money, base_income, weight_limit, food_weight, food_price; +global water_weight, water_price, current-money, current_water, current_food, current_date, current_position; +global money Earn_sum, water Consumption_sum, food Consumption_sum +global weather_list +global water_to_buy, food_to_buy +strategy = get_strategy(current-money, current_water, current_food, current_position, current_date + 1, world_map, start_point, end_point, village_list, mine_list, weather_list, deadline, initial-money, base_income, weight_limit, food Consumption_list, water Consumption_list, food_weight, food_price, water_weight, water_price, water_to_buy, food_to_buy); +``` + +约定：只能走之前买，即不允许当天食物变成负数 + +```javascript +buy_waterstrategy[1],strategy[2]); +while current_date < deadline and current_position != end_point: #display_state(); if (weather_list(current_date-1) == 2 and strategy[0] != current_position): print('沙暴天气不能移动！'); game_over(); exit() if not strategy[0] in world_map[current_position]: print('两个地区不相邻！'); print(f{'current_position},{strategy[0]},{world_map[current_position]}) game_over(); exit() if current_position in village_list: buy_waterstrategy[1],strategy[2],2); flag=consume((strategy[0] != current_position) + 1); if flag==0: return -1 # -1表示死亡 elif current_position in mine_list and strategy[0] == current_position and strategy[1]: flag = consume(3); if flag==0: return -1 current-money += base_income; money Earn_sum += base_income; else: flag=consume((strategy[0] != current_position) + 1); if flag==0: return -1 current_position = strategy[0]; +``` + +current_date += 1; strategy = get_strategy(current-money, current_water, current_food, current_position, current_date + 1, world_map, start_point, end_point, village_list, mine_list, weather_list, deadline, initial-money, base_income, weight_limit, foodconsumption_list, waterConsumption_list, food_weight,food_price,water_weight,water_price); if current_position $= =$ end_point: sell_sum $\equiv$ sell(current_food,current_water) current-money $+ =$ sell_sum current_water,current_food $= 0,0$ return current-money return -2 #表示没有到达终点（但是没有死亡） +def generate/weather(hot_posibility $= 0.5$ .. global weather_list weather_list $\equiv$ [] for i in range(10): r=1 if np.random.randint()1: + +return [1] else: return [1, buy-water, buy_food] if current_position $= = 5$ : if deadline-current_date $+1 = = 2$ : return [6] else: return [5] if current_position $= = 6$ : if deadline-current_date $+1 = = 1$ : return [13] else: return [6] +return [] \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/B125/B125.md b/MCM_CN/2020/B125/B125.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2ef4342242d1cb14b1b6d6d533b97792bf0044ac --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/B125/B125.md @@ -0,0 +1,893 @@ +# “穿越沙漠”游戏下玩家的最优策略模型 + +# 摘要 + +“穿越沙漠”游戏要求玩家在规定时间内，利用手中的地图和初始资金，在起点和村庄购买物资，同时可以在矿山获得收益，每天需要根据不同的行为和天气消耗物资的规则下，合理安排行走路线、物质购买和挖矿安排以便能在终点获得最大的收益。本文根据每个问题不同的条件，建立对应的最优策略模型，并针对了具体的关卡进行了具体的分析。 + +针对问题一：经过分析，影响玩家决策的几个因素有持有资金、剩余水和食物、离目标地的距离和天气。本文将玩家游戏的天数、当前位置、剩余水、剩余食物设为玩家的状态，根据Floyd算法化简地图后，得出几条可能的最优路线，再利用动态规划算法，求解在不同状态下玩家在终点时持有的最大资金。最终求得第一关的最优解为10470元，第二关为12730元。 + +针对问题二：本文利用马尔可夫链，建立马尔可夫链天气预测模型，根据第一关的天气转换情况预测其余关卡的天气情况。再根据问题一的模型得出在不同天气状况下玩家的最佳策略，利用对应的天气情况概率和最佳策略下的最大资金，可以得出最终收益的数学期望，选择数学期望最大的一条策略即可。最后模拟了关卡三和关卡四的天气情况进行求解，经过验证，该模型是合理的。 + +针对问题三：对于问题三的第一小问，我们根据不同策略的收益，确定玩家选择策略的倾向。我们以玩家到达每一个点的平均收益来代替问题1中的实际收益S，定义点与点间转移的最大收益为势函数，通过势函数得到点与点之间的转移概率，接着通过排列组合求解点与点间的数学期望，最后可以再次利用问题1的方法求解到终点时数学期望最大的策略即为最佳策略。 + +对于问题三的第二小问，本文根据完全信息的静态博弈论建立了占优策略模型。本文定义了玩家的收益函数 $A$ ，该函数与玩家的决策，剩余时间，剩余资源，以及所处的位置距离终点、村庄的距离有关。当于资源、时间充足的情况下，玩家无论选择何种策略，都不能保证是占优的，这种情况的解决根据问题三（1），利用期望收益求解。而当资源或时间不足的情况下，在参与人数超过两人时，则先考虑可以占优的一方或多方，再利用期望收益求解无法占优的参与者们。 + +综上所述，本文依据各题所给的条件较全面地分析了相关因素对玩家决策的影响，并给出了不同条件下玩家的最佳策略，实现了在终点的最大收益。经过分析验证，本文的模型具有合理性和一定的现实意义。 + +关键词：动态规划 马尔可夫链 人工势能场 博弈论 + +# 一、问题重述 + +# 1. 问题背景 + +穿越沙漠的游戏规则是玩家凭借一张地图，利用初始资金购买一定数量的水和食物（包括食品和其他日常用品），从起点出发，在沙漠中行走。途中会遇到不同的天气，也可在矿山、村庄补充资金或资源，目标是在规定时间内到达终点，并保留尽可能多的资金。 + +我们要在不同的游戏设定下给出玩家的最佳决策。 + +# 2. 需要解决的问题 + +问题一：假设只有一名玩家，在整个游戏时段内每天天气状况事先全部已知，试给出一般情况下玩家的最优策略。求解附件中的“第一关”和“第二关”，并将相应结果分别填入Result.xlsx。 + +问题二：假设只有一名玩家，玩家仅知道当天的天气状况，可据此决定当天的行动方案，试给出一般情况下玩家的最佳策略，并对附件中的“第三关”和“第四关”进行具体讨论。 + +问题三：现有 $n$ 名玩家，他们有相同的初始资金，且同时从起点出发。若某天其中的任意 $k (2 \leq k \leq n)$ 名玩家均从区域 $A$ 行走到区域 $B (B \neq A)$ ，则他们中的任一位消耗的资源数量均为基础消耗量的 $2k$ 倍；若某天其中的任意名玩家在同一矿山挖矿，则他们中的任一位消耗的资源数量均为基础消耗量的3倍，且每名玩家一天可通过挖矿获得的资金是基础收益的 $\frac{1}{k}$ ；若某天其中的任意 $k (2 \leq k \leq n)$ 名玩家在同一村庄购买资源，每箱价格均为基准价格的4倍。其他情况下消耗资源数量与资源价格与单人游戏相同。 + +(1)假设在整个游戏时段内每天天气状况事先全部已知，每名玩家的行动方案需在第0天确定且此后不能更改。试给出一般情况下玩家应采取的策略，并对附件中的“第五关”进行具体讨论。 +(2)假设所有玩家仅知道当天的天气状况，从第1天起，每名玩家在当天行动结束后均知道其余玩家当天的行动方案和剩余的资源数量，随后确定各自第二天的行动方案。试给出一般情况下玩家应采取的策略，并对附件中的“第六关”进行具体讨论。 + +# 二、问题分析 + +# 1. 问题1 + +为了研究一般情况下单人玩家的最佳策略，我们需要分析影响玩家决策的因素。如图所示： + +![](images/10a4b6149c835995ad3b832cc8253a375f34ee74d35cf662da18944304003974.jpg) +图1影响因素 + +问题一中玩家的已知条件是规定时间内的天气和地图。关于距离的因素，玩家可以先化简地图，通过Floyd算法得出起点、村庄、矿山和终点之间的最短路径从而减少多余的区域。接着可以利用动态规划算法，根据所在点、天数、水和食物的四个因素的影响递推得出在符合规则下到终点时的最大的持有资金。 + +# 2. 问题2 + +第二题相比于第一题，玩家仅知道当天的天气状况，需要根据当天天气状况来决定当天的行动方案。因此我们需要首先判断能否将天气因素用其他影响玩家决策的因素来代替或者去除，即化简、整合合并决策因素。但经过初步分析，天气因素在影响玩家决策的因素中是不可或缺的。玩家需要根据未来天气情况，来做一个全局规划。 + +因此，我们需要考虑其他方法来解决这个问题。对于现有的相关因素——当天天气，我们可以假设当天天气可影响明天天气，我们可以使用马尔可夫链来对未来天气进行预测。且根据马尔可夫链的概率收敛特性，在给定各天气跳转的概率下，我们可以最终得到一个收敛的天气概率，并基于此实现对未来天气的预测。 + +获得未来天气可能情况以及其对应概率后，我们根据第一问得到对应的最佳策略情况下的收益，并得到该情况下收益的数学期望。最终收益的数学 + +# 四、符号说明及名词定义 + +
符号定义
Li′→t第t′天到第t天且到达点i的消耗的水和食物的价值
Mi′→t第t′天到第t天且在点i的挖矿的收益
Si′→t第t′天到第t天且到达点i的净收益
Gw,f,t,i第t天在第i个点,有w箱水和f箱食物的最优解
Pij天气i转移到天气j的概率
Wm表示标志为m的一个有序天气集合
Hw,f,t,i第t天在点i且携带w箱水和f箱食物时的势函数
Pt,i,j第t天,玩家从点i到其邻点j的转移概率
Et,i,j第t天,玩家从点i到其邻点j的净收益的数学期望
Ai(s)玩家i下一步行动的总收益函数
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 1 问题一 + +# 1.1 问题一模型的建立 + +# 1.1.1 最简地图模型的建立 + +为了简化问题和减少后面利用动态规划求解问题的复杂度，我们可以先将地图转换为点和线的关系，即一个点代表一个区域，而相邻的区域用线连接表示可以到达。 + +之后我们可以继续简化地图，找出起点、村庄、矿山和终点两两之间的最短路径。求最短路径的问题我们可以先用Floyd算法求解。 + +假设从节点 $i$ 到节点 $j$ 的最短距离为 $d_{i,j}$ ，而 $d_{i,j}$ 不外乎两种可能： + +1）从节点i直接到节点j； +2）从节点i经过若干个节点k到节点j。 + +则我们需要判断： + +$$ +d _ {i, k} + d _ {k, j} < d _ {i, j} +$$ + +其中 $k$ 为图内所有节点。若上式中成立，则证明是上述的第二种可能，那么 $d_{i,j}$ 重置为 $d_{i,k} + d_{k,j}$ ，遍历完所有节点 $k$ 后， $d_{i,j}$ 即为所求最短距离。 + +求出最短距离后，只将起点、村庄、矿山和终点等目标地留下，线的权重的意义为从地点i到地点j需要t天。 + +最后将多余的线可以删去，例如若矿山->村庄->终点的距离和矿山->终点的距离相等，则我们可以将矿山->终点的这条线去掉，简化图。 + +# 1.1.2 基于动态规划的最佳策略模型的建立 + +在本题中，我们的最终目标是在物资充足的前提下在规定时间内到达终点且资金最大。而这个目标的复杂度太高，可以采用分治的思想，将大问题化解为小问题进求解，即用动态规划求解。 + +# 1）水和食物的消耗 + +依据题意我们可以得到在第 $t$ 天玩家水的基础损耗 $D_{1}^{t}$ 为： + +$$ +D _ {1} ^ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} 5 & \text {第} t \text {天 为 晴 天} \\ 8 & \text {第} t \text {天 为 高 温} \\ 1 0 & \text {第} t \text {天 为 沙 尘 暴} \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +同理在第 $t$ 天玩家食物的基础损耗 $D_2^t$ 为： + +$$ +D _ {2} ^ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} 7 & \text {第} t \text {天 为 晴 天} \\ 6 & \text {第} t \text {天 为 高 温} \\ 1 0 & \text {第} t \text {天 为 沙 尘 暴} \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +而考虑到玩家的行为因素，除了需要考虑在矿山的停留时间外，在前往目标地点途中无需停留，因此玩家其实只有三种行为对应三个基础消耗的倍数：在沙尘暴时停留、行走、挖矿。即： + +$$ +\sigma^ {k} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & k = \text {在 沙 尘 暴 时 停 留} \\ 2 & k = \text {行 走} \\ 3 & k = \text {挖 矿} \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +接着我们可以推出经过 $t$ 天在第 $i$ 个点，有 $w$ 箱水和 $f$ 箱食物时水的损耗为 + +$$ +w _ {c o s t} ^ {w, f, t, i} = w _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i} + \Delta w ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \tag {4} +$$ + +其中 $\Delta w^{t' \rightarrow t}$ 为从第 $t'$ 天到第 $t$ 天水的损耗，满足 + +$$ +\Delta w ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} = \sum_ {k = t ^ {\prime}} ^ {t} D _ {1} ^ {t} \times \sigma^ {k} \tag {5} +$$ + +同理，可以推出第 $t$ 天在第 $i$ 个点，有 $w$ 箱水和 $f$ 箱食物时食物的损耗为 + +$$ +f _ {c o s t} ^ {w, f, t, i} = f _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i} + \Delta f ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \tag {6} +$$ + +其中 $\Delta f^{t' \rightarrow t}$ 为从第 $t'$ 天到第 $t$ 天食物的损耗，满足 + +$$ +\Delta f ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} = \sum_ {k = t ^ {\prime}} ^ {t} D _ {2} ^ {t} \times \sigma^ {k} \tag {7} +$$ + +2）水和食物的损耗价值 $L_{i}^{t^{\prime}\rightarrow t}$ + +根据题目所给的信息，在村庄所购的水和食物的价格为在起点的两倍，则我们可以列出在第 $t^{\prime}$ 天到第 $t$ 天且到达点i的消耗的水的价值为： + +$$ +W _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} = \left\{\begin{array}{c c}\Delta w ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \times w _ {p r i c e},&w _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i} - w _ {0} \leq \Delta w ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t}\\\left(2 \Delta w ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} + w _ {0} - w _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i}\right) \times w _ {p r i c e},&\Delta w ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} < w _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i} - w _ {0} < 0 (8)\\\Delta w ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \times 2 \times w _ {p r i c e},&w _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i} - w _ {0} \geq 0\end{array}\right. +$$ + +同理可得第 $t^{\prime}$ 天到第 $t$ 天且到达点i的消耗的食物的价值： + +$$ +F _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} = \left\{\begin{array}{c c}\Delta f ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \times f _ {p r i c e},&f _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i} - f _ {0} \leq \Delta f ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t}\\\left(2 \Delta f ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} + f _ {0} - f _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i}\right) \times f _ {p r i c e},&\Delta f ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} < f _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i} - f _ {0} < 0\\\Delta f ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \times 2 \times w _ {p r i c e},&f _ {c o s t} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i} - f _ {0} \geq 0\end{array}\right. \tag {9} +$$ + +则总消耗价值为： + +$$ +L _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} = W _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} + F _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \tag {10} +$$ + +3）挖矿收益 $M_{i}^{t^{\prime}\rightarrow t}$ + +根据题目所得，每天的挖矿收益为 $m = 3 \times m_{\text{basic}}$ ，则第 $t'$ 天到第 $t$ 天且在点 $i$ 的挖矿收益为： + +$$ +M _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} = \left\{\begin{array}{l l}0&\text {不 挖 矿 时}\\m \times \left(t - t ^ {\prime} + 1\right)&\text {挖 矿 时}\end{array}\right. \tag {11} +$$ + +4）净收益 $S_{i}^{t^{\prime}\rightarrow t}$ + +根据题意和上述式子可得， $S_{i}^{t^{\prime}\rightarrow t}$ 由两部分构成，一是水和食物消耗的价值，二是由挖矿所得的资金，即： + +$$ +S _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} = - L _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} + M _ {i} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \tag {12} +$$ + +# 5）资金最优解 + +我们可以假设第 $t$ 天在第 $i$ 个点，有 $w$ 箱水和 $f$ 箱食物的最优解为 $G_{max}^{w,f,t,i}$ 而且满足： + +$$ +G _ {m a x} ^ {w, f, t, i} = \max \left\{G _ {m a x} ^ {w ^ {\prime}, f ^ {\prime}, t ^ {\prime}, i k} + S _ {i k} ^ {t ^ {\prime} \rightarrow t} \right\} \tag {13} +$$ + +其中点 $ik$ 包括点 $i$ 的所有邻点和其本身， $S_{ik}^{t' \rightarrow t}$ 为从第 $t'$ 天到第 $t$ 天且到达点 $ik$ 的净收益。 + +# 6）约束条件 + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{c} \Delta w > 0 \\ \Delta f > 0 \\ w _ {-} w e i g h t \times w _ {-} c o s t + f _ {-} w e i g h t \times f _ {-} c o s t \leq m a x _ {-} l o a d \\ t \leq s e t _ {-} t i m e \end{array} \right. +$$ + +# 1.2 问题一的求解 + +# 1.2.1 最简地图模型的求解 + +以下我们以第一关的地图为例化简。 + +1）将地图变形为点和线的图。 + +![](images/079a9fcd2a028313c2d0a346d6d5da0d0bec67911c792621670482bc4bcaeb84.jpg) +图2第一关地图转化为点图 + +![](images/ee3937d06a7462d9369a6411ab3716e2042b79f42bbe2a2006eda93a99c81131.jpg) + +2）根据Floyd算法求出起点、村庄、矿山和终点两两之间的最短路径，然后摒弃无关点。 + +![](images/5a2533fc95421d3c3b7c8a183f154342befe209150616f29c80ba5360780dab9.jpg) +图3第一关地图初步化简 + +3）分析可以去除的多余的线，最后第一关的地图可以化简如下图所示： + +![](images/1ba21d3986fb85d55c6d8b32ca50b150c136385fe892e64f744adbf373396c3e.jpg) +图4第一关地图最终化简 + +同理，我们可以得到第二关地图的化简： + +![](images/80bd46a00b7577003ff2123ed9b913609444875ddce5bb675b8e1782a42181f2.jpg) +图5第二关地图的最终化简 + +# 1.2.2 基于动态规划的最佳策略模型的求解 + +根据上述模型可以对各关进行模拟仿真（代码于附录），得到各关结果如下： + +1）第一关路线图如下，得到终点的最大收益为10470元。 + +![](images/5ebb4e45677b2509ff0cad202a1fe256fb12c40f06dc0bb88b0fbbd7ede7d21f.jpg) +图6第一关路线图 + +2）第二关路线图如下所示，到终点的收益为12730元。 + +![](images/182d0b231342310fb9745ac0904c0adbbec7ac82be8fefa5dd6d8d6f40e6ba1a.jpg) +图7第二关路线图 + +# 2 问题二 + +# 2.1 问题二模型的建立 + +从全局来看，全局的天气因素能够影响玩家的全局策略；单从一天的天气来看，若玩家仅知晓一天的天气，他可以先规划一个大致的行走目标，然后根据每天的天气以及预测未来天气来及时的调整自己的策略。 + +在一般情况下，未来天气状况不确定，因此我们需要根据当天天气来预测未来天气状况。为了使得模型更好的拟合通用的游戏情况，我们将根据关卡一、关卡二的天气转换来分析各个天气状态相互跳转以及维持原天气的概率。再根据每个关卡不同的天气要求及时调整天气状态转换情况。 + +已知关卡一、关卡二天气一致，30天天气状况表格如下： + +
日期12345678910
天气高温高温晴朗沙暴晴朗高温沙暴晴朗高温高温
日期11121314151617181920
天气沙暴高温晴朗高温高温高温沙暴沙暴高温高温
日期21222324252627282930
天气晴朗晴朗高温晴朗沙暴高温晴朗晴朗高温高温
+ +根据现有条件，我们发现此问题的天气概率预测满足以下几个条件： + +1)可能的天气数是有限的，包含晴朗、高温、沙尘暴。 +2)从任意状态能够转变到任意状态。 +3)天气状态的跳转不是一个简单的循环。 +4)我们可以利用上述天气跳转表格给定各个天气之间的转移概率。 + +至此，该问题的分析满足马尔可夫链收敛的四大条件。因此，我们选择马尔可夫链模型进行未来天气的预测。 + +# 2.1.1 马尔可夫链天气预测模型的建立 + +马尔可夫链可以描述为一个随机跳跃的序列。对于游戏中的天数而言，这个跳转序列仅包含有限个离散的位置或状态的集合，且随机变量 $w_{n}$ ——第 $n$ 天的天气状态在有限的天气离散集中取值。则有： + +$$ +w _ {n} \in \{1, 2, 3 \} +$$ + +其中1代表晴朗天气，2代表高温天气，3代表沙尘暴天气。 + +根据关卡一、二30天天气状况表格，通过计算，我们可以得到各个天气之间在30天内的跳转次数如下：高温到高温有6次、高温到晴朗有2次、高温到沙尘暴有3次、晴朗到晴朗有2次、晴朗到高温有4次、晴朗到沙尘暴有2次、沙尘暴到沙尘暴有1次、沙尘暴到高温有3次、沙尘暴到晴朗有2次。则可以得出天气状态转移概率如下： + +$$ +P _ {i j} = \left[ \begin{array}{l l l} P _ {1 1} & P _ {1 2} & P _ {1 3} \\ P _ {2 1} & P _ {2 2} & P _ {2 3} \\ P _ {3 1} & P _ {3 2} & P _ {3 3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l} \frac {1}{4} & \frac {1}{2} & \frac {1}{4} \\ \frac {5}{1 4} & \frac {3}{7} & \frac {3}{1 4} \\ \frac {1}{3} & \frac {1}{2} & \frac {1}{6} \end{array} \right] +$$ + +对应的转换图为： + +![](images/9cf4db1d9bb970bae143645398c223de67f85716ea59a149891403f28a03aa30.jpg) +图8天气跳转问题的状态转移图 + +对于计算 $w_{n + 1} = j$ 的概率 $P_{r}\{w_{n + 1} = j\}$ ，满足： + +$$ +P _ {r} \left\{w _ {n + 1} = j \right\} = \sum_ {i} P _ {i j} P _ {r} \left\{w _ {n} = i \right\} \tag {14} +$$ + +在第 $n + 1$ 天到达天气状态 $j$ 的途径只能是在第 $n$ 天到达天气状态 $i$ ，然后从 $i$ 跳转到 $j$ ，因此，令 $\pi_n(i) = P_i\{w_n = j\}$ ，我们可以将式14表达为： + +$$ +\pi_ {n + 1} (j) = \sum_ {i} P _ {i j} \pi_ {n} (i) \tag {15} +$$ + +即为： + +$$ +\pi_ {n + 1} = P \pi_ {n} +$$ + +根据马尔可夫链收敛规则，我们可以设置任意合理的初始情况，迭代运行式15，都可以得到一个收敛的值，该值即为各个天气状况的概率。 + +至此，我们利用马尔可夫链求解出了各个天气状态的出现概率。在游戏中，玩家已知当天情况，但不知道未来天气状况。利用上述马尔可夫链模型所得结论，我们可以通过当天天气情况来预测直到游戏结束的未来的天气。不同的预测结果都对应着一个确切的概率。玩家可以根据预测概率情况结合问题一：已知全局天气情况下的决策选择模型来动态的选择自己的决策。 + +这种决策方法要求玩家能够根据实际情况“随机应变”，而不是固守游戏一开始时定下的策略。给定“历史”，玩家每一个行动选择开始至游戏结束都构成了一个博弈。我们将游戏的“初始状态”设定跟随玩家的选择而变化，即每一次决策后都进入一个新的将前一状态作为当前博弈初始状态的决策。 + +# 2.1.2 决策收益模型的建立 + +根据问题一所得的模型，我们可以将不同天气状态下获得的决策收益 $C$ 表示为一个决策选择集如下： + +$$ +\left\{C _ {W _ {1}}, C _ {W _ {2}}, C _ {W _ {3}}, \dots , C _ {W _ {m}} \right\} +$$ + +其中 $W_{m}$ 表示标志为 $m$ 的一个有序天气集合， $C_{W_m}$ 表示在 $W_{m}$ 天气集情况下的最优决策所获得的收益。 + +对于 $W_{m}$ 而言，我们将其存在的概率表示为 $P_{W_m}$ ，则最佳决策的数学期望 $E_{max}$ 满足： + +$$ +E _ {m a x} = \max \left\{P _ {W _ {1}} C _ {W _ {1}}, P _ {W _ {2}} C _ {W _ {2}}, \dots , P _ {W _ {m}} C _ {W _ {m}} \right\} \tag {16} +$$ + +# 2.2 利用问题二模型的具体求解 + +根据我们的模型可画出求解流程图如下： + +![](images/a1b7e7650ec0f2133d693bc7c47aed33cac09979fc18825def8c1163f18f2b4b.jpg) +图9问题二求解流程图 + +# 2.2.1 关卡三求解 + +根据马尔可夫链收敛规则，我们可以设置任意合理的初始情况，迭代运行式15，都可以得到一个收敛的值，该值即为各个天气状况的概率在这里我们设置初始情况为 $\pi_1 = (0.5, 0.4, 0.1)$ ，迭代计算10次结果如下： + +表 1 各天气概率收敛过程 + +
迭代次数晴朗高温沙尘暴
10.3011900.4714290.227381
20.3194590.4663270.214215
30.3178150.4666910.215494
40.3179600.4666650.215375
50.3179480.4666670.215386
60.3179490.4666670.215385
70.3179490.4666670.215385
80.3179490.4666670.215385
90.3179490.4666670.215385
100.3179490.4666670.215385
+ +根据关卡三的天气要求：玩家仅知道当天的天气状况，但已知10天内不会出现沙暴天气。根据上述分析所得图8各天气状态跳转图，我们由关卡天气条件删去天气状态为沙尘暴的天气： + +![](images/c68285bf4d4e3849ade91ca0a24862bf8800934808047b3870dcacd7e6099daf.jpg) +图10关卡三的天气跳转问题的状态转移图 + +接下来我们可以根据Floyd算法将关卡三的地图化简为以下形式： + +![](images/09523f36ac860cc4f681ba4d69e396b94a2c6aed334dedb1020d9182c0616d16.jpg) +图11 关卡三抽象地图 + +其次，根据图9的问题分析流程图，我们需要先获得各个天气情况下对应的最佳策略。通过以上天气跳转概率，我们列举了所有符合以上天气跳转概率的10天天气状况。运用模型一将关卡三的基础收益、基础消耗量、游戏天数等具体设定转化成对应数值带入到约束方程中。运行并分析得到的各个天气状态下的最优策略结果。 + +我们发现获得的最优决策路线大致分为以下两条： + +$①$ 起点 $\longrightarrow$ 终点 + +$②$ 起点 $\longrightarrow$ 矿山 $\longrightarrow$ 终点 + +其中，路线②对应的天气情况较为特殊，为后七天均为晴朗的天气条件。其余天气状况下分析所得的最右路线均为路线①。部分运行结果整理后列举如下： + +表 2 运行结果 + +
日期天气集12345678910路线选择
W1高温高温高温晴朗高温晴朗高温晴朗晴朗高温①
W2高温晴朗晴朗晴朗高温晴朗高温晴朗晴朗高温①
W3高温晴朗高温晴朗高温晴朗高温高温晴朗高温①
W4晴朗高温高温晴朗高温晴朗晴朗晴朗高温晴朗①
W5高温高温高温晴朗晴朗高温高温高温晴朗高温①
W6高温高温高温高温高温晴朗高温晴朗高温高温①
W7晴朗高温高温晴朗晴朗晴朗晴朗晴朗晴朗高温①
W8高温晴朗高温晴朗晴朗晴朗晴朗晴朗晴朗晴朗②
W9高温高温高温晴朗晴朗晴朗晴朗晴朗晴朗晴朗②
....................................
+ +为验证根据模型一给定天气得到的决策结果的合理性，我们将结合关卡三进行具体分析。 + +对于路线②而言，路程消耗为5天，则玩家最多在矿山挖5天。由于这种路线选择相较路线一复杂，我们先分析路线②的收益状况。由关卡设置条件易得，玩家仅在晴朗天气下挖矿一次才有35元的净收益，高温天气下挖矿收益为负，因此玩家在高温下肯定选择不挖矿。 + +若玩家挖矿挖满5天，我们设路线②净收益为 $E_{2}$ ，则有： + +$$ +E _ {2} = 3 5 d + E _ {1} - 1 3 5 \times (5 - d) - b \tag {17} +$$ + +其中： $d$ 指挖矿五天中天气为晴朗的天数， $b$ 表示最后两天回终点的消耗， + +$E_{1}$ 为路线①的净收益（路线①无挖矿，净收益为负），同路线②前三天消耗。 + +若路线②比路线①更优，则有： + +$$ +E _ {2} > E _ {1} +$$ + +即： + +$$ +3 5 d - 1 3 5 (5 - d) - b > 0 +$$ + +将 $b$ 取最小值110元——两天都在晴朗的天气下赶路，则要使路线②有收益，最好情况下 $d$ 取值应大于4.617。 + +由于 $d \leq 5$ 故要使路线②收益大于路线①，则在最好情况下需要挖矿5天都为晴朗，即10天中的后7天都要为晴朗。与模型一分析结果相同。 + +下面我们将模拟玩家在关卡三起点时，用上述模型进行的决策分析过程。根据图10，关卡三的天气跳转的状态转移图，我们可以计算出连续7天晴朗的概率为：0.001，则两个决策的收益期望为： + +$$ +\left\{P _ {1} C _ {1}, P _ {2} C _ {2} \right\} = \left\{E _ {1}, E _ {1} + (0. 0 1 \times 6 5 + 0. 9 9 \times \partial) \right\} \tag {18} +$$ + +其中 $\partial \leq -105$ ，表示次好情况，即五天中仅一天为高温时后七天的收益。 + +易得线路①的收益期望大于收益二线路期望，玩家选择线路①更佳。 + +根据图10中两种天气状态的跳转概率，我们可以给出符合此跳转规律的可能的10天游戏天气状态表格。我们将其中一种情况列举如下： + +
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天气高温晴朗晴朗高温高温高温晴朗高温高温晴朗
+ +为了细化分析，我们使用以上天气状态表格作为关卡三这10天真实的天气情况，并选择路线一作为玩家初始策略。后面玩家再重复上述过程迭代分析出每一步的策略即可。 + +关卡三过程模拟结果如下： + +![](images/419f991e64e0fff5b633533d540d0fc3caa946d46af9383f8137bb252abd3e35.jpg) +图12 第三关路线图 + +根据模拟结果，由于总水量和食物量消耗为 $158kg < 1200kg$ ，故玩家可 + +以在起点购买好30箱水以及34箱食物，后直达终点即可。 + +# 2.2.2 关卡四求解 + +与关卡三分析步骤相似，首先我们查看关卡四天气条件：玩家仅知道当天的天气状况，但已知30天内较少出现沙暴天气。因此，根据图8天气跳转问题的状态转移图，我们适当减少各个天气到沙暴天气的跳转概率。减少后的状态跳转图如下： + +![](images/733ac540e6df040ca1e01f88ba5f8fd0e816d523d104c81a42f825841835063b.jpg) +图13关卡四的天气跳转图 + +设置初始值，利用式15，我们求得，最终收敛后的各个天气概率表示如下，可以发现，当前沙暴天气出现概率较小，达到了30天内较少出现沙暴天气的模拟条件： + +$$ +\pi = (0. 4 1 6 0, 0. 4 6 6 7, 0. 1 1 7 3) +$$ + +接下来，我们再根据问题一中的方法简化关卡四地图如下： + +![](images/3de3730d98c678b902785df6f7c272b46a05003e0a4ecb60d87a330326e7f92b.jpg) +图14关卡四化简路线 + +我们假设未来天气有 $m$ 种情况，其概率表示集合为： + +$$ +\left\{P _ {W _ {1}}, P _ {W _ {2}}, \dots , P _ {W _ {m}} \right\} +$$ + +每种天气我们都可以利用模型一求解得到对应的一种最佳选择策略。计算各个决策的收益，根据式16，得出最大收益期望。最终在每一点我们选择收益期望最大的决策即可。 + +运行算法我们可以得到，在初始情况下（即玩家位于起点，且仅知道当 + +天的天气）在所有路线中期望最大的一条路线为： + +起点 $\rightarrow$ 村庄 $\rightarrow$ 矿山 $\rightarrow$ 村庄 $\rightarrow$ 矿山 $\rightarrow$ 终点 + +则此时，玩家在起点将按照这个策略进行第一天的操作。接下来重复以上分析步骤，进行分析判断，直至玩家走完全程。 + +根据图16关卡四的天气跳转图，为了细化问题分析，我们假设30天的天气状况如下： + +
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天气高温高温晴朗高温晴朗高温沙暴晴朗高温高温
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天气晴朗高温晴朗高温高温沙暴高温晴朗高温高温
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天气晴朗晴朗高温晴朗沙暴高温晴朗晴朗高温高温
+ +玩家在起点采用上述路线的策略，并在到达新的一天后迭代更新下一步策略。最终，在上述假设的真实天气情况下，玩家关卡四游戏过程如下： + +![](images/142d314d14239bab9865fe674d2694e0d1a96fe69ad78a92baa5887b5734dc52.jpg) +图15关卡四路线图 + +![](images/e45fbed080247ff46fd86ee5e160a26118fc16d31284a79dded4b1d447b3c1ab.jpg) + +由模拟结果可得最终可以获得的收益为13140元。 + +# 3 问题三 + +# 3.1 问题三模型的建立 + +# 3.1.1 基于人工势能场最佳策略模型的建立 + +和第一第二问不同的是，第三问的游戏属于多人游戏，且玩家之间会产生影响。在第一小问中我们可以以玩家到达每一个节的平均收益来代替问题1中的实际收益 $G$ ，将点和点转移的最大收益定为势函数，就可以得到点和点之间的转移概率，然后得到点和点转移的数学期望，最后就可以再次利用问题1的方法求解出最佳策略，该最佳策略指代的是玩家选择路线的最大数学期望。 + +我们需要求解出任意一点 $i$ 在 $t$ 时刻到它的相邻节点 $j$ 的转移概率，从而计算出在第 $t$ 天从 $i$ 到 $j$ 的概率（已知在第 $t$ 天，节点 $i$ 到节点 $i$ 的概率为1）我们利用不同时间 $t$ 时，节点 $i$ 到达终点的最大收益，作为该点的势函数。并根据相邻节点的势函数，确定对于处于 $i$ 点的玩家到达相邻节点 $j$ 的转移概率。 + +此后，计算求解出第 $t$ 天下，玩家从 $i$ 走到 $j$ 的概率，据此根据概率计算出 $t$ 时刻有 $n$ 位玩家从 $i$ 到达 $j$ 的概率，求解出数学期望，进而通过最大的平均期望筛选出最佳的策略。 + +我们可以先定义第 $t$ 天在点 $i$ 且携带 $w$ 箱水和 $f$ 箱食物时的势函数为 $H_{max}^{w,f,t,i}$ 且满足： + +$$ +H _ {\max } ^ {w, f, t, i} = G _ {\max } ^ {w, f, t, i} \tag {19} +$$ + +其中 $G_{max}^{w,f,t,i}$ 为问题一所求该状态下到达终点的最大收益。 + +于是我们可以得到在第 $t$ 天，从点 $i$ 到其邻点 $j$ 的转移概率 $P_{i,j}^{t}$ 为： + +$$ +P _ {i, j} ^ {t} = \frac {H _ {\text {m a x}} ^ {w ^ {\prime} , f ^ {\prime} , t , j}}{\sum_ {q = 1} ^ {n} H _ {\text {m a x}} ^ {w ^ {\prime} , u ^ {\prime} , t , j}} \tag {20} +$$ + +接着可以将式20写成如下： + +$$ +P _ {i, j} ^ {t} = \sum_ {k = 1} ^ {n} P _ {k, i} ^ {t - 1} \times P _ {i, j} ^ {t - 1} \tag {21} +$$ + +其中点 $k$ 为点 $i$ 的某个邻点， $n$ 为点 $i$ 邻点的个数。 + +根据问题一所建立的模型和数学期望的公式可以得到第 $t$ 天，玩家从点 $i$ 到其邻点 $j$ 的水和食物损耗的数学期望 $E_{i,j}^{t}(L)$ 为： + +$$ +E _ {i, j} ^ {t} (L) = L _ {i, j} ^ {t} \left[ C _ {n} ^ {n} \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} n + C _ {n} ^ {n - 1} \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n - 1} \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {1} (n - 1) + \dots + C _ {n} ^ {1} \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n - 1} + \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \right] \tag {22} +$$ + +其中 $i \neq j$ + +同时，可以求出第 $t$ 天，玩家从点 $i$ （点 $i$ 为矿山所在处）的挖矿所得资金的数学期望 $E_{i,j}^{t}(M)$ 为： + +$$ +E _ {i, j} ^ {t} (M) = L _ {i, j} ^ {t} \left[ C _ {n} ^ {n} \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \frac {1}{n} + C _ {n} ^ {n - 1} \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n - 1} \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {1} \frac {1}{(n - 1)} + \dots + C _ {n} ^ {1} \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \times \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n - 1} + \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \right] \tag {23} +$$ + +其中 $i = j =$ 矿山所在点 + +根据题意，也可得每次去村庄购买的金额的数学期望 $E_{i,j}^{t}(V)$ 为： + +$$ +E _ {i, j} ^ {t} (V) = V \left[ 4 \left(1 - C _ {n} ^ {1} \times \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \times \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n - 1} - \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n}\right) + C _ {n} ^ {1} \times \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \times \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n - 1} + \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \right] +$$ + +化简得 + +$$ +E _ {i, j} ^ {t} (V) = V \left[ 4 - 3 \left(C _ {n} ^ {1} \times \left(P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n} \times \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n - 1} + \left(1 - P _ {i, j} ^ {t}\right) ^ {n}\right) \right] \tag {24} +$$ + +其中 $j =$ 村庄所在点 + +最后，第 $t$ 天，玩家从点 $i$ 到其邻点 $j$ 的净收益 $E_{i,j}^{t}$ 的数学期望为： + +$$ +E _ {i, j} ^ {t} = E _ {i, j} ^ {t} (M) - E _ {i, j} ^ {t} (L) - E _ {i, j} ^ {t} (V) \tag {25} +$$ + +# 3.1.2 基于博弈论的占优策略模型模型的建立 + +根据题意，所有玩家仅知道当天的天气状况，从第1天起，每名玩家在当天行动结束后均知道其余玩家当天的行动方案和剩余的资源数量。而当玩家所处位置没有人时，玩家的决策不受他人影响，只有当玩家和他人在同一点或抵达同一点时才需要考虑。 + +根据问题二，我们可以得到第二天的天气概率 $P = [P_{1}, P_{2}, P_{3}]$ 。在不考虑多人的情况下，对应的天气从点 $i$ 到其邻点 $j$ 的收益为 $L = [L_{1}, L_{2}, L_{3}]$ ，则其收益的数学期望为 + +$$ +E = P _ {1} L _ {1} + P _ {2} L _ {2} + P _ {3} L _ {3} +$$ + +在多人情况下，为了衡量玩家收益并选择最优策略，我们先定义一个决策空间 $S$ ，满足 $S = [s_1,s_2,\dots s_m]$ ， $m$ 为玩家一天的决策总量。 + +接下来我们考虑该策略下的剩余时间 $t$ 对收益函数的影响。当到达下一个点后的剩余天数和到终点所需花费到时间相距越小时，玩家对路线的选择变得会苛刻，即非最短路径的选择损失会更大。我们设这对收益函数的影响为 $g_{1}(s,t)$ ，其满足关于到达终点后的剩余时间 $t(s)$ 的负指数分布，如下所示： + +$$ +g _ {1} (s, t) = \alpha_ {1} e ^ {- t (s)} \tag {26} +$$ + +其中 $\alpha_{1}$ 为时间系数，当 $t(s)$ 越大， $g_{1}$ 越大，说明若执行这个决策 $s$ ， $g_{1}$ 的损失很大，即迟迟不去终点，关于时间的损耗会以指数级变大。 + +然后我们考虑该策略下剩余的水和食物对收益函数的影响，若资源足以到达终点，村庄和最优路线对决策的影响不大；但当资源不足以到达终点时，村庄和最优路线对决策的影响会变很大。我们假设该影响函数分别为 $g_{2}(s,w)$ 和 $g_{3}(s,f)$ 。 + +$$ +g _ {2} (s, w) = \alpha_ {2} \left(e ^ {- w _ {1} (s)} - e ^ {- w _ {2} (s)}\right) \tag {27} +$$ + +其中 $\alpha_{2}$ 为水系数， $w_{1}(s)$ 代表到终点的剩余水的箱数， $w_{2}(s)$ 为到最近村庄的剩余水的箱数，分析同上。 + +同理，可以定义 $g_{3}(s,f)$ 满足： + +$$ +g _ {3} (s, f) = \alpha_ {3} \left(e ^ {- f _ {1} (s)} - e ^ {- f _ {2} (s)}\right) \tag {28} +$$ + +其中 $\alpha_{3}$ 为食物系数， $f_{1}(s)$ 代表到终点的剩余食物的箱数， $f_{2}(s)$ 为到最近村庄的剩余水的箱数，分析同上。 + +接着我们定义一个停留决策的惩罚为 $g_{4}(s)$ 满足： + +$$ +g _ {4} (s) = \alpha_ {4} \tag {29} +$$ + +$\alpha_{4}$ 为停留系数，当选择停留时可能他人也选择停留，则损失了时间、资源，同时进入下一轮决策。 + +最后我们可以假设玩家i下一步行动的总收益函数为 $A(s)$ + +$$ +A _ {i} (s) = N (s) E (s) + \frac {M (s)}{N (s)} + g _ {1} (s, t) + g _ {2} (s, w) + g _ {3} (s, f) + g _ {4} (s) \tag {30} +$$ + +其中 $N(s)$ 代表选择该决策的玩家总数， $E(s)$ 代表选择该决策的期望花费， $M(s)$ 代表选择该决策的挖矿收益。 + +计算出收益函数后，对上述情况进行讨论，当所有玩家对物资和时间充 + +足时，参与者的决策没有绝对占优的情况，因此只能通过问题3（1）的建模思想，选择具有最小期望损失的方案。 + +所以我们这里只讨论有一方的物资或时间充足的情况，即对于决策空间 $S$ ，参与者 $A = [A_{1},A_{2}]$ ，满足： + +$$ +\left[ \begin{array}{c c c c c} A _ {1} (S _ {1}), A _ {2} (S _ {1}) & A _ {1} (S _ {1}), A _ {2} (S _ {2}) & \dots & A _ {1} (S _ {1}), A _ {2} (S _ {m - 1}) & A _ {1} (S _ {1}), A _ {2} (S _ {m}) \\ A _ {1} (S _ {2}), A _ {2} (S _ {1}) & A _ {1} (S _ {2}), A _ {2} (S _ {2}) & & A _ {1} (S _ {2}), A _ {2} (S _ {m - 1}) & A _ {1} (S _ {2}), A _ {2} (S _ {m}) \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A _ {1} (S _ {m - 1}), A _ {2} (S _ {1}) & A _ {1} (S _ {m - 1}), A _ {2} (S _ {2}) & \dots & A _ {1} (S _ {m - 1}), A _ {2} (S _ {m - 1}) & A _ {1} (S _ {m - 1}), A _ {2} (S _ {m}) \\ A _ {1} (S _ {m}), A _ {2} (S _ {1}) & A _ {1} (S _ {m}), A _ {2} (S _ {2}) & & A _ {1} (S _ {m}), A _ {2} (S _ {m - 1}) & A _ {1} (S _ {m}), A _ {2} (S _ {m}) \end{array} \right] +$$ + +在满足上述占优假设的情况下，总有策略 $S_{i}$ ，使得无论 $A_{2}$ 选择何种策略， $A_{1}$ 选 $S_{i}$ 的收益总是比其他策略占优，即严格占优策略。在多方参与的游戏中，则先考虑最优、次优最差情况，对于优先级相同的玩家，则按照期望损失给予相应的策略。 + +# 3.2 问题三模型的求解 + +# 3.2.1 第五关求解 + +第五关中，由于没有村庄的存在，玩家在确定最优方案时，只需要购买刚好够量的资源即可，不需要考虑村庄购买资源的额外价格；虽然玩家不一定要走单人情况下的最优策略，但考虑到玩家数量只有两个，且路径返回对玩家而言是亏损的，（即不需要考虑路径返回的情况），因此，可以为玩家规划出到达终点的最优和次优方案。 + +（1）首先，在第五关中，由于玩家数量只有两个，若两名玩家选择了同一条到达终点的路线，则需要某一名玩家错开行走，错开的方式是绕路或停留，先到另一个点后再到达，因此，对于绕开的玩家来说需要多消耗一天的时间和行走的资源，损失比停留一天的损失大，由此，对于不在主路线（直达终点）上的区域，我们可以不必考虑，化简为如下：（每条线的权重为1） + +![](images/b178634e52d4cf6ab48152837a6612ce811c01d05647999c534e1957ce7e17be.jpg) +图16第五关化简地图 + +（2）经过求解可得出各个点在不同时间 $t$ 到终点的最大收益如图所示： + +表 3 各个点在不同时间 $t$ 到终点的最大收益 + +
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19535953594809425929091559020000
20953595359480942592909155902000
30095359535948094259290915590200
40009535953594809425929091559020
50942594259370923591008965000
60094259425942593709235910000
70094259425937092359100896500
80931593159180904589100000
90093159315918090458910000
100009315931591809045891000
+ +（3）据此求解出不同的时间 $t$ 下，玩家从点 $i$ 到其邻点 $j$ 的概率，下图为第三天的结果。 + +表 4 玩家从点 $i$ 到其邻点 $j$ 的概率 (第三天) + +
节点 +节点12345678910
10.06330.0637InfInf0.0630InfInf0.0622InfInf
2Inf0.12610.1261InfInfInfInfInfInfInf
3InfInfInfInfInfInfInfInfInfInf
4InfInfInfInfInfInfInfInfInfInf
5InfInfInfInf0.12460.1246InfInfInfInf
6InfInfInfInfInfInfInfInfInfInf
7InfInfInfInfInfInfInfInfInfInf
8InfInfInfInfInfInfInf0.12320.1232Inf
9InfInfInfInfInfInfInfInfInfInf
10InfInfInfInfInfInfInfInfInfInf
+ +（4）计算不同时间 $t$ 下从点 $i$ 到其邻点 $j$ 的期望收益，如图为寻找最优策略的部分期望收益计算结果。 + +表 5 部分期望收益结果 + +
节点 节点12345678910
155.000110.028NaNNaN110.028NaNNaN110.026NaNNaN
2NaN55.000110.996NaNNaNNaNNaNNaNNaNNaN
3NaNNaN55.000110.437NaNNaNNaNNaNNaNNaN
4NaNNaNNaN55.000NaNNaNNaNNaNNaNNaN
5NaNNaNNaNNaN55.000110.973NaNNaNNaNNaN
6NaNNaNNaNNaNNaN55.000110.427NaNNaNNaN
7NaNNaNNaNNaNNaNNaN55.000NaNNaNNaN
8NaNNaNNaNNaNNaNNaNNaN55.000110.959NaN
9NaNNaNNaNNaNNaNNaNNaNNaN-34.621110.417
10NaNNaNNaNNaNNaNNaNNaNNaNNaN55.000
+ +（5）最后利用第一问的计算方法求解，得到最大的平均期望收益为9526.3165元，最大的食物的消耗期望为33.6316箱，最大的水的消耗期望为27.4737箱。所以玩家在起点需购买34箱食物，28箱水，路线如下： + +![](images/f52bcf96db0a3a403e33c7e3fbb3d3b843db18b65e488981eaf2d82d4d51af3f.jpg) +图17第五关路线图 + +由于玩家数只有两个，结果和单人游戏时的最优策略相近，是可以说明我们模型的合理性的。 + +# 3.2.2 第六关求解 + +我们根据3.1.2所建立的基于博弈论的占优策略模型，可以绘制求解流程图如下所示： + +![](images/672335fe4bc3682d5383c8ec64203e1433c2006f93d1890a7ccf41c0699e2e06.jpg) +图18第六关求解流程图 + +由于在第六关中，玩家到前进方向的任意一个点时，所有邻点到终点的距离都是相等的，因此，在玩家发生冲突时，终点的损失对于玩家的收益函数的影响是相同的，经过模拟仿真，得到结果如下图所示：(w和f是剩余水和食物的箱数) + +表 6 第六关策略选择 + +
占优临界策略
节点13占优势的玩家应当选择前往矿山,对于水或资源不够的玩家应当选择前往村庄补给,在有两人占优时,应选择前往矿山
w=28或f=29
节点15占优势的玩家应当选择前往15,对于水或资源不够的玩家应当选择前往村庄补给,在有两人占优时,应选择停留
w=14或f=15
节点18占优势的玩家应当选择前往矿山,对于水或资源不够的玩家应当选择前往村庄补给,在有两人占优时,仍选择前往矿山
w=16或f=17.14
节点19在时间允许的情况下,占优势的玩家应当选择前往矿山,对于水或资源不够的玩家应当选择前往村庄补给,在两人占优时,选择停留
w=14或f=15
节点20占优势的玩家应当选择停留,对于水或资源不够的玩家应当选择前往终点,在两人占优时,仍选择停留
w=7或f=7.5
节点23占优势的玩家应当选择前往矿山,对于水或资源不够的玩家应当选择前往节点24,当两人占优时,选择停留
w=14或f=15
节点24占优势的玩家应当选择停留，对于水或资源不够的玩家应当选择前往终点，有两人占优时，选择停留
w<7或f<7.5
+ +起点开始的大部分点对玩家的决策影响都是随机的，而只有在13，15，18，19，20，23，24，如下是各点的决策方案，由图可知，在有两人参与决策时，占优势的玩家不一定选择最优的方案，如节点20时，占劣势的玩家需选择到达终点，而占优势的玩家选择停留，如果此时占优玩家选择前往终点，而占劣势玩家选择停留，则此时占优玩家的收益最大，但实际上该方案的风险也是最大的，而对于劣势玩家而言，有更大的概率选择前往终点，此时停留避开冲突对占优玩家而言是比较稳妥的选择，这也体现了结果的合理性。 + +# 六、模型的讨论和合理性分析 + +对于问题三，我们针对参与玩家的数量 $n$ 从2增加到10，根据拟合的曲线可以发现，当玩家的数量逐渐增加时，玩家选择最佳路径的收益逐渐减少，且减少的趋势越来越大，这与实际情况是相吻合的，体现出我们模型的合理性。 + +![](images/95d7ec8cd4038d86ceb1e1761beb6e4a9d0bdaa3f51240df2581482755ca3a22.jpg) +图19 玩家人数和最大收益的拟合曲线 + +# 七、模型评价 + +# 模型的优点： + +（1）问题一的模型充分考虑了影响玩家决策的确定因素与随机因素，使模型的建立更加符合游戏设定。从玩家的切身思想出发，保证路线最优化、收益最大化。 +（2）问题二的模型利用马尔可夫链，基于关卡一、二所给的30天天气状态计算出的天气跳转概率，在已知当天天气的条件下预测未来天气状况。使得对天气的预测更加符合游戏设定、更加合理。 +（3）问题二、三的模型均以第一问的模型为基础，增加或改变了相应影响因子。使得模型整体性更强、思路清晰。 +（4）问题三的模型在影响玩家决策的相关因素上又增加了对其余玩家剩余资源量的考虑，使得多人游戏下各个玩家不同决策之间的互相影响得以衡量，提高准确度。 + +# 模型的缺点： + +（1）问题一的模型运算规模较大，耗时长。 +（2）问题二的天气预测是基于一二关30天天气跳转概率给出的，游戏天气样本数量较少，存在预测的误差。 +（3）问题三采用玩家到达每一个点的平均收益代替问题一中的实际收益，使得对收益的衡量误差增大，存在一定的不准确性。 + +# 八、参考文献 + +# 九、附录 + +# 附录清单： + +1. Result.xlsx +2. 问题一仿真代码 +3. 问题二马尔可夫收敛代码 +4. 问题三（1）仿真代码 +5. 问题三（2）仿真代码 + +1. Result.xlsx + +
第一关
日期所在区域剩余资金数剩余水量剩余食物量
015780178333
1255780162321
2245780146309
3235780136295
4235780126285
5225780116271
695780100259
79578090249
8154150243235
9134150227223
10124150211211
11124150201201
12125150177183
13126150162162
14127150138144
15128150114126
1612915090108
1712101506078
1812101505068
1912111502650
2013111501038
2115104703640
229104702626
2321104701014
24271047000
25
26
27
28
29
30
+ +
第二关
日期所在区域剩余资金数剩余水量剩余食物量
015300130405
125300114393
210530098381
319530088367
419530078357
527530068343
628530052331
728530042321
829530032307
930530016295
10393460184283
11393460174273
12473460158261
13553460148247
14554460124229
15555460100211
1655646076193
1755746046163
1855846016133
19624730201207
20554730185195
21555730170174
22556730155153
23557730131135
24558730116114
255597308684
2655107306266
2755117304745
2855127303224
2956127301612
30641273000
+ +# 2. 问题一仿真代码 + +```txt +global neighbor; %邻居 +global get_ij; %收益 +global w_ij; +global f_ij; +global day_ij; +global f_left; +global w_left; +neighbor_ = [1,1,1,0;1,1,1,0;1,1,1,1;0,1,1,1]; +global get_mat; +get_mat = -inf(400,600,n,30); +get_mat(:, :, 1, 1) = 0; +mine-money = 1000; +bag = 1200; %负重 1200kg +money = 10000; %初始资金 +w_weight = 3; %水的负重 +f_weight = 2; %食物的负重 +f_price = 10; %食物的基价 +w_price = 5; %水的基价 +mine = 4; +vilige = 3; +s = 1; +e = 2; +w = [5,8,10]; +f = [7,6,10]; %不同天气下食物和水的消耗 +day = [2,2,1,3,1;2,3,1,2,2;3,2,1,2,2;2,3,3,2,2;1,1,2,1,3;2,1,1,2,2]; %30天的天气情况 +day = day'; +``` + +n = 4; %端点个数 + +d_n = [0,3,6,8;3,0,3,5;6,3,0,2;8,5,2,0];%端点之间的距离 + +f_left = -inf(n, n, 30); + +w_left = -inf(n, n, 30); + +get_ij = -inf(n, n, 30); + +w_ij = inf(n,n,30); + +f_ij = inf(n, n, 30); %食物的开销 + +day_ij = inf(n, n, 30); 需要花多少天 + +for $k = 1:30$ + +temp1 = day_ij(:, :, k); + +index_1 = find(day(k:end) == 3); %找到k天后不是沙尘暴天气的索引 + +```c +judge = (d_n <= length(index_1) & d_n >= 0); % 找到 k 天后相互之间可以到达矩阵,不包含到自身 + +index_2 = find(judge == 1); %找到可以相互到达的各个坐标 + +temp1(index_2) = index_1(d_n(index_2)); %一个距离走一天，需要找x距离个非沙尘暴天气才能走完 + +temp1find(d_n $\equiv$ 0)）=0; + +day\_ij(:,:,k) = temp1; + +for $M = 1:n$ + +for $N = 1:n$ + +if(M $\sim =$ N) + +if temp1(M,N) ~ = inf %不能到达的地方不考虑 + +weather = day(k:k + (temp1(M,N)-1)); %找到走的这段路的天气情况; + +w_ij(M,N,k) = length/weather == 1 * (w(1)) * 2 + length/weather == + +2)\*(w(1))\*2 + length/weather==3)*w(3)); + +f_ij(M,N,k) = length/weather == 1)*f(1)*2 + length/weather == + +2)\*(f(1))\*2 + length/weatherer $\equiv = 3$ )\*(f(3)); + +end + +else + +if $M = =$ mine + +f_jj(M,N,k) = day(k) * f(day(k)) * 3; + +w_ij(M,N,k) = day(k) * w(day(k)) * 3%挖矿的开销是基础开销 + +的三倍 + +get_ij(M,N,k) = 1000 - f_ij(M,N,k) * f_weight * f_price * 2 - + +w_ij(M,N,k) $\star$ w_weight $\star$ w_price $\star 2$ + +else + +f_ij(M,N,k) = day(k) * f(day(k)); + +```matlab +end +lost_w = -inf(10,10,10); +lost_f = -inf(10,10,10); +cost-money = -inf(10,10,10); +E = -inf(10,10,10); +E_f = -inf(10,10,10); +E_w = -inf(10,10,10); +w_cost = [3,9]; +f_cost = [4,9]; +weather = [1,2,1,1,1,1,2,2,2,2]; %十天的天气 +p_1/find(p_1 == 0)) = inf; +for t = 1:10 + for i = 1:10 + for j = 1:10 + if i <= j + lost_w(i,j,t) = 2 * w_cost/weather(t)); + lost_f(i,j,t) = 2 * f_cost/weather(t)); + cost-money(i,j,t) = lost_w(i,j,t)*5 + lost_f(i,j,t)*10; + E(i,j,t) = cost-money(i,j,t)*(p_1(i,j,t+1).^2 * 2 + 1 - p_1(i,j,t+1).^2); + E_f(i,j,t) = lost_f(i,j,t)*(p_1(i,j,t+1).^2 * 2 + 1 - p_1(i,j,t+1).^2); + E_w(i,j,t) = lost_w(i,j,t)*(p_1(i,j,t+1).^2 * 2 + 1 - p_1(i,j,t+1).^2); + else + if i == 9 + lost_w(i,j,t) = 3 * w_cost/weather(t); + lost_f(i,j,t) = 3 * f_cost/weather(t); + cost-money(i,j,t) = lost_w(i,j,t)*5 + lost_f(i,j,t) * 10; + E(i,j,t) = cost-money(i,j,t) - 200*(p_1(i,j,t+1).^2 * 1/2 + 1 - p_1(i,j,t+1).^2); + E_f(i,j,t) = lost_f(i,j,t); + E_w(i,j,t) = lost_w(i,j,t); + else + lost_w(i,j,t) = w_cost/weather(t); + lost_f(i,j,t) = f_cost/weather(t); + cost-money(i,j,t) = 5*lost_w(i,j,t) + 10*lost_f(i,j,t); + E(i,j,t) = cost-money(i,j,t); + E_w(i,j,t) = lost_w(i,j,t); + E_f(i,j,t) = lost_f(i,j,t); + end +``` + +end end end end end +end +table1 $=$ p_1(:,3); +table2 $=$ E(:,3); + +5. 问题四仿真代码 + +$\mathrm{w} =$ zeros(3,3)；%根据行动结束当天预测明天天气 + $\mathrm{w} = [1 / 3,1 / 2,1 / 6;1 / 2,3 / 7,1 / 14;3 / 8,1 / 2,1 / 8];$ $\mathrm{E} = -\inf (25,25,3); \%$ 根据当天的天气，给出期望 + +```txt +a_1 = 1000; +a_2 = 20000; +a_3 = 20600; +``` + +for $\mathrm{j} = 1:3$ E(:, :, j) $= \mathrm{w(j,1)}\ast (3\ast 2\ast 5 + 4\ast 2\ast 10) + \mathrm{w(j,2)}\ast (9\ast 2\ast$ $5 + 9\ast 2\ast 10)$ ： +end +for $\mathrm{i} = 1:25$ $\mathrm{E(i,i,:)} = \mathrm{w(j,1)}\ast (3\ast 5 + 4\ast 10) + \mathrm{w(j,2)}\ast (9\ast 5 + 9\ast 10)$ $+\mathrm{w(j,3)}\ast (10\ast 5 + 10\ast 10);$ if $\mathrm{i} = 18$ $\mathrm{E(i,i,:)} = 3*(\mathrm{w(j,1)}\ast (3\ast 5 + 4\ast 10) + \mathrm{w(j,2)}\ast (9\ast 5 +$ $9\ast 10) + \mathrm{w(j,3)}\ast (10\ast 5 + 10\ast 10)) - 1000;$ end +end +g_t = zeros(5,5,30); +g_w = zeros(5,5,100); +g_f = zeros(5,5,100); +for t = 1:30 for i = 1:5 for j = 1:5 g_t(i,j,t) $=$ a_1 \* exp(-((25-t)-(5-i)-(5-j));% + +```txt +计算g1损失 end end end end +``` + +for $\mathrm{w} = 1:100$ +for $\mathrm{i} = 1:5$ +for $\mathrm{j} = 1:5$ $\mathrm{g\_w(i,j,w)} = \mathrm{a\_2}*\exp \left(-\left(\mathrm{w} - 7*(5 - \mathrm{i}) - 7*(5 - \mathrm{j})\right)\right);\%$ 计 +算g2损失 +end +end +end +for $\mathrm{f} = 1:100$ +for $\mathrm{i} = 1:5$ +for $\mathrm{j} = 1:5$ $\mathrm{g\_f(i,j,f)} = \mathrm{a\_3}*\exp \left(-\left(\mathrm{f} - 7*(5 - \mathrm{i}) - 7*(5 - \mathrm{j})\right)\right);\%$ 计 + +算g3损失 + +```matlab +end +end +end +k = 12;%以下为对某一个点寻找占优策略 +w1 = 25; +w2 = 100; +f1 = 100; +f2 = 100; +t1 = 25; +t2 = 1; +test = [2,3]; +test_1 = zeros(1,2); +E_1 = zeros(1,2); +E_1(1) = E(k, (test(1)) * 5 + test(2), 1); +E_1(2) = E(k, (test(2)) * 5 + test(1), 1); +test_1(1) = g_t(test(1), test(2), t1) + g_w(test(1), test(2), w1) + g_f(test(1), test(2), w1); +test_1(2) = g_t(test(2), test(1), t1) + g_w(test(2), test(1), w1) + g_f(test(2), test(1), w1); +test_2 = zeros(1,2); +test_2(1) = E(k, (test(1)) * 5 + test(2), 1) + g_t(test(1), test(2), t2) + g_w(test(1), test(2), w2) + g_f(test(1), test(2), w2); +test_2(2) = E(k, (test(2)) * 5 + test(1), 1) + g_t(test(2), test(1), t2) + g_w(test(2), test(1), w2) + g_f(test(2), test(1), w2); +``` + +choose $=$ zeros(2,2); +for $\mathrm{i} = 1:2$ for $\mathrm{j} = 1:2$ if $\mathrm{i}\sim = \mathrm{j}$ choose(i,j) $=$ test_1(i) $^+$ E_1(i); else choose(i,j) $=$ test_1(i) $+2*$ E_1(i); end end +end +best $= 0$ . +for $\mathrm{i} = 1:2$ temp $=$ choose(i,:)>max(choose(:,:)); if sum(temp) $= = 2$ best $=$ i; +end \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/B175/B175.md b/MCM_CN/2020/B175/B175.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..69bf366d8f486e8e7ac73bf9bc59b6eab8d1bf6f --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/B175/B175.md @@ -0,0 +1,1390 @@ +# 穿越沙漠游戏中的玩家行为决策问题 + +# 摘要 + +本文对穿越沙漠游戏进行研究。首先确定游戏目标为结余更多资金且成功生存，在此前提下针对天气状况已知情形建立基于动态规划的多阶段决策模型；针对天气状况未知情形建立基于马尔可夫决策过程(MDP)的行动决策模型；在多个玩家共同进行游戏时，引入博弈的思想，进行良性与恶性竞争的博弈分析，建立基于互利共赢的行动决策模型。给出不同情形下对于一般玩家的最优策略。 + +对于问题一：首先对游戏规则进行数学语言的量化，通过分析游戏规则，提取起点、村庄、矿山、终点为关键节点，游戏可以看成是在关键节点间进行转移，忽略非关键节点，从而只须考虑转移路径的长度。由于玩家的决策过程在时间上为离散状态，因此将该问题类比为离散时间下的动态规划问题，建立基于动态规划的多阶段决策模型，得到一般性的行动策略为：出发后尽快前往村庄；根据时间与物资状况及时前往村庄进行补给；补给完成后根据剩余时间决定继续挖矿或前往终点。对第一关与第二关进行最优决策求解，可得第一关与第二关的资金结余分别为10470元与12720元，并与一般性最佳策略进行对比验证，认为一般性策略可信度高。 + +对于问题二：通过分析玩家在天气未知时做出决策所依据的信息：当天天气状况与剩余物资的数目可知时，决策的过程只与玩家当前的状态有关，与过去的状态无关，具有马尔可夫性，利用问题一中的多阶段决策模型，引入未知天气变量与动作价值函数，建立与各天气出现概率、即时动作回报，长期动作回报相关的基于MDP的行动决策模型，并对模型进行分析讨论，给出一般性的行动策略。同时使用马尔可夫预测，对不同天气出现的概率求解，使用依概率随机数算法对天气进行模拟生成，对第三、四关的最优行动策略进行模拟仿真求解，并与给出的一般性最佳策略进行对比分析，验证所给策略的可行性。 + +对于问题三：当多名玩家进行游戏时将存在竞争，使用博弈思想对竞争类型进行分析：玩家间正面的直接竞争将导致所有玩家的亏损，可认为是恶性竞争；而玩家间互利共赢的协助将为每位玩家均带来可观的收益，可认为是良性竞争。由此得到对于所有玩家而言，最佳的竞争方式为互利共赢的良性竞争，并基于问题一中全程天气已知与问题二中未来天气未知的两种决策模型，加入良性竞争对模型的影响，针对全程天气已知与未知两种情形分别建立加入良性竞争的多阶段决策模型与加入良性竞争的MDP决策的动态规划模型，并分别给出一般性最佳策略。 + +关键词：动态规划 多阶段决策模型 马尔可夫决策过程 马尔可夫预测 博弈思想 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +考虑如下的小游戏：玩家凭借一张地图，利用初始资金购买一定数量的水和食物（包括食品和其他日常用品），从起点出发，在沙漠中行走。途中会遇到不同的天气，也可在矿山、村庄补充资金或资源，目标是在规定时间内到达终点，并保留尽可能多的资金。 + +游戏的基本规则如下： + +（1）以天为基本时间单位，游戏的开始时间为第0天，玩家位于起点。玩家必须在截止日期或之前到达终点，到达终点后该玩家的游戏结束。 +（2）穿越沙漠需水和食物两种资源，它们的最小计量单位均为箱。每天玩家拥有的水和食物质量之和不能超过负重上限。若未到达终点而水或食物已耗尽，视为游戏失败。 +（3）每天的天气为“晴朗”、“高温”、“沙暴”三种状况之一，沙漠中所有区域的天气相同。 +（4）每天玩家可从地图中的某个区域到达与之相邻的另一个区域，也可在原地停留。沙暴日必须在原地停留。 +（5）玩家在原地停留一天消耗的资源数量称为基础消耗量，行走一天消耗的资源数量为基础消耗量的2倍。 +（6）玩家第0天可在起点处用初始资金以基准价格购买水和食物。玩家可在起点停留或回到起点，但不能多次在起点购买资源。玩家到达终点后可退回剩余的水和食物，每箱退回价格为基准价格的一半。 +（7）玩家在矿山停留时，可通过挖矿获得资金，挖矿一天获得的资金量称为基础收益。如果挖矿，消耗的资源数量为基础消耗量的3倍；如果不挖矿，消耗的资源数量为基础消耗量。到达矿山当天不能挖矿。沙暴日也可挖矿。 +（8）玩家经过或在村庄停留时可用剩余的初始资金或挖矿获得的资金随时购买水和食物，每箱价格为基准价格的2倍。 + +# 1.2 需要求解的问题 + +对题目进行分析总结，得到各个问需要解决的问题： + +问题一：假设只有一名玩家，在整个游戏时段内每天天气状况事先全部已知，试给出一般情况下玩家的最优策略。求解附件中的“第一关”和“第二关”，并将相应结果分别填入Result.xlsx。 + +问题二：假设只有一名玩家，玩家仅知道当天的天气状况，可据此决定当天的行动方案，试给出一般情况下玩家的最佳策略，并对附件中的“第三关”和“第四关”进行具体讨论。 + +问题三：现有 $n$ 名玩家，有相同的初始资金，且同时从起点出发。若有 $k$ 名玩家： + +a. 通过相同的转移路径，且起始点相同，资源消耗量为基础的 $2k$ 倍。 +b.同时在同一矿山挖矿，收益为基础收益的 $\frac{1}{k}$ 倍。 +c.同时在同一村庄购买资源，价格为元价格的4倍。 + +求解以下问题： + +1. 假设在整个游戏时段内每天天气状况事先全部已知，每名玩家的行动方案需在第天确定且此后不能更改。试给出一般情况下玩家应采取的策略，并对附件中的“第五关”进行具体讨论。 +2. 假设所有玩家仅知道当天的天气状况，从第天起，每名玩家在当天行动结束后均知道其余玩家当天的行动方案和剩余的资源数量，随后确定各自第二天的行动方案。试给出一般情况下玩家应采取的策略，并对附件中的“第六关”进行具体讨论。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一分析 + +问题一要求在只有一名玩家且已知未来30天天气的情况下，遵循游戏的规则，合理规划食物和水资源的购买与使用，给出能够得到最多收益的行动策略。 + +玩家的行动以天为单位在时间上离散，可以分为每一个阶段。为达到游戏的最终目标需灵活规划每一个阶段的行动、路线、资源分配至最优，因此建立基于动态规划的多阶段决策模型，分析模型总结得到一般情况下玩家的最佳策略。 + +使用算法对模型进行求解，得到第一二关的最优决策，将得到的最优决策与给出的一般性最佳策略进行对比验证，分析判断一般性最佳决策的可信度。 + +# 2.2 问题二分析 + +第二问要求在只有一名玩家且不知道未来的天气，只知道当前天天气的条件下，遵循游戏的规则，合理规划食物和水资源的购买与使用，安排玩家每日的活动行程，给出能够得到最多收益的行动策略。 + +与第一问相似，游戏目的亦为“得到最多的结余资金”，且游戏过程中的决策过程亦为离散的分阶段决策。由于游戏过程中的天气不可提前预知，仅知当前的天气信息，玩家需要根据当前已知的天气信息与身上剩余的物资数目，做出下一步行动的决策。因此可类比马尔可夫决策过程(MDP)，引入天气变量与动作值函数，结合问题一中的决策模型，建立基于马尔可夫决策过程的行动策略模型。分析模型总结得到一般情况下玩家的最佳策略，最后使用马尔可夫预测给出游戏期间内的天气，对模型进行仿真求解。最后将得到的策略与给出的一般性最佳策略进行对比验证，分析判断一般性最佳策略的可信度。 + +# 2.3 问题三分析 + +第三问要求在有多名玩家共同进行游戏时，分为： + +1、知晓未来时间的所有天气信息，且在游戏开始前制定好行动策略，后期的行动均按照制定好的方案进行。 +2、不提前制定好具体的行动方案只知晓当天的天气状况，且知晓当天其他玩家的行动方案与剩余物资的情况。 + +两种情况，分别给出对于一般玩家的行动准则。 + +对于本题存在多个玩家同时进行游戏的情况，引入博弈的思想，将玩家间的竞争分为良性竞争与恶性竞争，发现恶性竞争会导致所有玩家亏损，而良性竞争会为所有玩家带来盈利。于是在两种 + +已知条件条件不同的情况下，分别给出一般情况下玩家应采取的策略，再对第五第六关的实际情况进行分析，验证策略的可行性。 + +# 三、模型假设 + +1、假设所有玩家均为理性人，可以在博弈的过程中做出正确的判断。 +2、假设玩家计算物资结余的时间为每天晚上进行完当天所有动作之后。 +3、假设玩家在到达村庄当天晚上的物资结余可以为0。 +4、在模型建立过程中物资不低于阈值时，主要影响因素是收益、消耗资金与天气，物资质量的影响忽略不计。 + +# 四、符号说明 + +
符号符号描述单位
B负重上限kg
T穿越沙漠的总时间天
nwt第t天所携带水的箱数箱
nft第t天所携带食物的箱数箱
t当前天数天
dt从第0天到第t天所走路线/
Wt第t天的天气/
Gt第t天前进标志/
S区域邻接矩阵/
BMwt第t天水基础消耗箱
BMft第t天食物基础消耗箱
M0初始资金元
Mt第t天总共持有的资金元
Pw水基准价格元/kg
Pf食物基准价格元/kg
m0w每箱水的质量kg/箱
BI基础收益元
m0f每箱食物的质量kg/箱
nodeMp第p个矿山点/
nodeCp第p个村庄点/
Bwp第p个村庄买水量箱
Bfp第p个村庄买食物量箱
mw水数量阈值kg
md食物数量阈值kg
Pi第i种天气出现的概率/
ΔMi第i种天气对应的状态转移资金消耗元
Pij第i种天气转移为第j种天气的概率/
P'ij第i名玩家处于第j个位置的概率/
Inj玩家位于j位置时对其他国家产生的收益影响元
+ +# 五、模型准备 + +# 5.1 游戏规则的数学阐述 + +为了将该题进行数学建模求解，首先将文字化的游戏规则使用数学语言进行描述，便于后续数学模型的建立。于是，给出如下游戏规则的数学语言解释： + +规则一：以天为基本时间单位，游戏的开始时间为第0天，玩家位于起点。玩家必须在截止日期或之前到达终点，到达终点后该玩家的游戏结束，即 + +$$ +T \leq T _ {0} \tag {1} +$$ + +其中， $T$ 为玩家穿越沙漠的总时间， $T_0$ 为游戏规定的结束时间。 + +规则二：穿越沙漠需水和食物两种资源，它们的最小计量单位均为箱。每天玩家拥有的水和食物质量之和不能超过负重上限。若未到达终点而水或食物已耗尽，视为游戏失败，即 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} n _ {w t} \cdot m _ {0 w} + n _ {f t} \cdot m _ {0 f} \leq B = 1 2 0 0 \\ \min \left(n _ {w t} \cdot m _ {0 w}, n _ {f t} \cdot m _ {0 f}\right) > 0 \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +其中， $n_{wt}, n_{ft}$ 分别为 $t$ 时刻玩家身上剩余水和食物的箱数， $m_{0w}, m_{0f}$ 分别为水和食物的每箱质量。 + +规则三：每天的天气为“晴朗”、“高温”、“沙暴”三种状况之一，沙漠中所有区域的天气相同，为方便编程与语言的表述，令： + +$$ +W _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & (\text {天 气 为 晴 天}), \\ 2 & (\text {天 气 为 高 温}), \\ 3 & (\text {天 气 为 干 旱}). \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +其中， $W_{t}$ 为第 $t$ 天时的天气。 + +规则四：每天玩家可从地图中的某个区域到达与之相邻的另一个区域，也可在原地停留，沙暴日必须在原地停留。 + +首先我们为邻接矩阵赋值如下： + +$$ +S _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & (\text {区 域} i \text {与 区 域} j \text {相 邻}), \\ 0 & (\text {区 域} i \text {与 区 域} j \text {不 相 邻}). \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +前进标志 $G_{t}$ 的赋值： + +$$ +G _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & (\text {天 气 不 为 沙 暴}), \\ 0 & (\text {天 气 为 沙 暴}). \end{array} \right. \tag {5} +$$ + +则从第0天到第 $t$ 天行走的路线 $d_{t}$ 的迭代表达式： + +$$ +d _ {t + 1} = d _ {t} + G _ {t} \cdot S _ {i j} \tag {6} +$$ + +规则五：玩家在原地停留一天消耗的资源数量称为基础消耗量，行走一天消耗的资源数量为基础消耗量的2倍，则第 $(t + 1)$ 天时，玩家身上水和食物的剩余箱数 $n_{w(t + 1)}, n_{f(t + 1)}$ 为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} n _ {w (t + 1)} = n _ {w t} - \left(G _ {t} + 1\right) \cdot B M _ {w t} \\ n _ {f (t + 1)} = n _ {f t} - \left(G _ {t} + 1\right) \cdot B M _ {f t} \end{array} \right. \tag {7} +$$ + +规则六：玩家第0天可在起点处用初始资金以基准价格购买水和食物。玩家可在起点停留或回到起点，但不能多次在起点购买资源。玩家到达终点后可退回剩余的水和食物，每箱退回价格为基准价格的一半，即 + +$$ +n _ {w 0} \cdot P _ {w} + n _ {f 0} \cdot P _ {f} = M _ {0} - M _ {1} +$$ + +$$ +M _ {T} = M _ {T - 1} + n _ {w T} \cdot \frac {P _ {w}}{2} + n _ {f T} \cdot \frac {P _ {f}}{2} \tag {8} +$$ + +其中， $n_{w0}, n_{f0}$ 分别为第 0 天时玩家身上的水与食物的箱数，即为玩家在起始点处玩家购买的物资。 $n_{wT}, n_{fT}$ 分别为第 T 天时玩家身上的水与食物的箱数，即为剩余的物资数目。 + +规则七：玩家在矿山停留时，可通过挖矿获得资金，挖矿一天获得的资金量称为基础收益。如果挖矿，消耗的资源数量为基础消耗量的3倍；如果不挖矿，消耗的资源数量为基础消耗量。到达矿山当天不能挖矿，沙暴日也可挖矿。玩家第 $t$ 天所处的位置为： + +$$ +d _ {t + 1} - d _ {t} = S _ {i j} \tag {9} +$$ + +若 $j = \text{node}_{Mp}$ ，即当所处位置在矿山时： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} m _ {w (t + 1)} = m _ {w t} - \left(2 D _ {t} + 1\right) \cdot B M _ {w t} \\ m _ {f (t + 1)} = m _ {f t} - \left(2 D _ {t} + 1\right) \cdot B M _ {f t} \end{array} \right. \tag {10} +$$ + +其中 $D_{t}$ 为第 $t$ 天时的挖矿标志，当第 $t$ 天挖矿时置为1，否则置为0。 + +规则八：玩家经过或在村庄停留时可用剩余的初始资金或挖矿获得的资金随时购买水和食物，每箱价格为基准价格的2倍。玩家第 $t$ 天所处的位置为： + +$$ +d _ {t + 1} - d _ {t} = S _ {i j} +$$ + +若 $j = \text{node}_{Cp}$ ，即当所处位置在村子中，购买水与食物物资： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} n _ {w (t + 1)} = B _ {w p} + n _ {w t} \\ n _ {f (t + 1)} = B _ {f p} + n _ {f t} \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +在第 $t$ 天购买完物资后， $(t + 1)$ 天时玩家身上剩余现金数目 $M_{t + 1}$ 为 + +$$ +M _ {t + 1} = M _ {t} - 2 B _ {w p} \cdot P _ {w} - 2 B _ {f p} \cdot P _ {f} \tag {13} +$$ + +# 5.2最短路径问题 + +为了使得最终收益最多，需要保证在路程中的消耗最少，于是在本题中，起点、矿山、村庄、终点之间的转移路径均需要为最短路径，因此需要求解所需要的节点间最短转移路径。本题采用最短路径生成代码对最短路径进行求解。[1] + +选用第二关的地图，对从起点1开始前往矿山30的最短路径进行求解，得到最短路径结果如下图所示： + +![](images/dda01ef8bdc5aebdc07675a5f91c1edea5388cadf924a5f8ee58721cebacbee0.jpg) +图1 最短路径求解结果 + +观察图像易知，存在多条最短的转移路径。在本题中，除了关键节点，如起始点，矿山，村庄，其余节点没有明显的特征，在分析时可看作时同样的点，因此玩家在进行位置的转移时，走的是何种路径并不影响实际的结果，对最终结果产生影响的只是路径的长短。因此在后续的模型建立与求解中，可以将模型简化，省略除必要节点外的其他节点，转而使用位置的转移来代替转移过程中经过的无特征节点。简化后游戏中关键节点模型图如下： + +![](images/920b43c687ddf86f77864498120d3cacef50d12463399af0d0171733df0e5940.jpg) +图2 简化后的游戏模型图 + +# 六、问题一：基于动态规划的行动决策模型 + +# 6.1 问题分析 + +问题一要求在只有一名玩家且已知未来30天天气的情况下，遵循游戏的规则，合理规划食物和水资源的购买与使用，给出能够得到最多收益的行动策略。 + +玩家的行动以天为单位在时间上离散，可以分为每一个阶段。为达到游戏的最终目标需灵活规划每一个阶段的行动、路线、资源分配至最优，因此建立基于动态规划的多阶段决策模型，分析模型总结得到一般情况下玩家的最佳策略。 + +使用算法对模型进行求解，得到第一二关的最优决策，将得到的最优决策与给出的一般性最佳策略进行对比验证，分析判断一般性最佳决策的可信度。 + +# 6.2 模型建立 + +问题一要求在只有一名玩家且已知未来30天天气的情况下，遵循游戏的规则，合理规划食物和水资源的购买与使用，给出能够得到最多收益的行动策略。 + +由于玩家的行动以天为单位，在时间上离散地做出行动决策，每一步行动的结果都会对下一步的行动产生影响，同样每一步的行动结果都会对最终的收益产生影响。因此将该问题类比为离散时间下的确定型动态规划问题。由此建立基于离散时间下动态规划的行动决策模型，对玩家的行动策略进行求解。 + +# 6.2.1动态规划问题 + +# 多阶段决策过程 + +多阶段决策过程指的是可以按照时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，并在每个分解开的阶段做出相应的决策。多阶段决策的具体过程如下图所示[2] + +![](images/3a33355b9a8736e9673851ac65366309ba44d09bc4b7ccf9f5c6dcc75f77b9c0.jpg) +图3 多阶段决策过程 + +过程可分为若干个相互联系的阶段，每一阶段都对应着一组可供选择的决策，每一个决策的选定既依赖于当前面临的状态，又影响着以后的总体结果。即决策A会被上一个决策结果的状态A而影响，决策B会被上一个决策结果的状态B而影响，以此继续向后产生影响，最后影响最终的结果。 + +在本题中多阶段决策过程则体现为，玩家所采取的行动会改变身上水与食物的数目、当前所处的位置和身上现金的数目，从而对后续决策的做出产生影响，同时影响到最终的总体收益。现给出如下分阶段决策过程示例： + +![](images/7e567311ffb9602f82cf84ba489a46fc218797ada2c7de2255eb104ba6a876dd.jpg) +图4多阶段决策过程 + +# 阶段 + +指的是问题需要做出决策的步数。阶段数目常记为 $n$ ，对应着 $n$ 个阶段的决策问题。阶段的序号记为 $k$ ， $k = 1,2,n,\dots$ ，称为阶段变量。 + +# 状态 + +各阶段开始时的客观条件称之为状态，第 $k$ 阶段的状态常用状态变量 $S_{k}$ 表示，状态变量的取值的集合称为状态集合。 + +第1阶段的状态变量 $S_{1} = \{A\}$ ，第2阶段的状态变量为 $S_{2} = \{B_{1},B_{2}\}$ 。 + +# 决策 + +从某个状态出发，在若干各不同的方案中做出的选择称之为决策。用于表示决策的变量 $u_{k}(S_{k})$ 称之为决策变量。 $u_{k}(S_{k})$ 表示第 $k$ 阶段当处于 $S_{k}$ 状态时的决策变量。 + +如图4中的多阶段决策过程中， $u_{3}(C_{2}) = D_{1}$ 表示走到 $C$ 阶段，当处于 $C_{2}$ 路口时，下一步的前加方向为 $D_{1}$ 。 + +决策变量允许的取值范围称为允许决策集合，第 $k$ 阶段状态为 $S_{k}$ 时允许决策集合记为 $D_{k}(S_{k})$ + +如图4中的多阶段决策过程中， $B_{1}$ 状态允许的决策集合为 + +$$ +D _ {2} (B _ {1}) = \left\{C _ {1}, C _ {2}, C _ {3} \right\} +$$ + +# 指标函数 + +阶段指标函数是指第 $k$ 阶段从状态 $S_{k}$ 出发，采取决策 $U_{k}$ 时的效益，使用 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} f _ {k} \left(S _ {k}\right) = \underset {u _ {k} \in D _ {k} \left(S _ {k}\right)} {\operatorname {o p t}} \left\{V _ {k} \left(S _ {k}, u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) + f _ {k + 1} \left(u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) \right\} \\ f _ {n + 1} \left(S _ {n + 1}\right) = 0 \end{array} \quad k = n, n - 1, \dots , 2, 1 \right. \tag {14} +$$ + +其中 $V_{k}(S_{k},u_{k})$ 为本次决策所产生的效益，opt可取max,min。 + +# 6.2.2多阶段行动决策模型建立 + +根据本题中玩家行动的特性，提取对最终收益影响最大的节点，即起点、终点、矿山、村庄。绘制多阶段决策过程如下图所示： + +![](images/87a8990ac54da5f74cea07761cc8f6583f3b1ebd0856417f75e2d9070f00afe6.jpg) +图5 简化的多阶段行动决策过程 + +# 效益最大化目标 + +游戏规则要求，需要在游戏结束时，得到最多的收益，即身上的资金数目最高。 + +首先考虑从出发点直接前往终点的路径，发现玩家身上的资金数额变化为负值，即没有得到收益，因此可以直接排除从起点出发直接前往终点的情况。 + +观察游戏规则易知，整个游戏过程中唯一的盈利点为在矿山挖矿，因此玩家在游戏的开始应尽量以最快速度前往矿山，降低在路上的物资损耗，进行挖矿操作，赚取利润。 + +将第 $k$ 阶段从状态 $S_{k}$ 出发，采取决策 $u_{k}$ 时的效益 $f_{k}(S_{k + 1})$ 表示为 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} f _ {k} \left(S _ {k}\right) = \underset {u _ {k} \in D _ {k} \left(S _ {k}\right)} {\operatorname {o p t}} \left\{V _ {k} \left(S _ {k}, u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) + f _ {k + 1} \left(u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) \right\} \\ f _ {n + 1} \left(S _ {n + 1}\right) = 0 \end{array} \quad k = n, n - 1, \dots , 2, 1 \right. \tag {15} +$$ + +则该模型的最终目标即为 + +$$ +f _ {k} \left(S _ {k}\right) = \max _ {u _ {k} \in D _ {k} \left(S _ {k}\right)} \left\{V _ {k} \left(S _ {k}, u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) + f _ {k + 1} \left(u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) \right\} \quad k = n, n - 1, \dots , 2, 1 \tag {16} +$$ + +其中，第 $n + 1$ 阶段的收益为0，即 + +$$ +f _ {n + 1} \left(S _ {n + 1}\right) = 0 +$$ + +# 决策变量的确定 + +当物资大于矿山到村庄所需要的物资时，说明玩家可以继续在矿山进行挖矿的盈利活动，或者移动前往矿山进行挖矿，即 + +$$ +u _ {k} (C) = C, U _ {k} (A) = C, U _ {k} (B) = C \tag {18} +$$ + +当下一步操作后，剩余物资少于矿山到村庄所需要的物资数目时，玩家离开矿山，前往村庄进行补给，即 + +$$ +u _ {k} (C) = B \tag {19} +$$ + +假设从村庄回到终点所需的时间为 $x_{1}$ 天，则当当前时刻 $t = T - x_{1}$ 时，从村庄前往终点，即 + +$$ +u _ {T - x _ {1} + 1} (B) = D \tag {20} +$$ + +假设从矿山回到终点所需的时间为 $x_{2}$ 天，则当当前时刻 $t = T - x_{2}$ ，离开矿山前往终点，即 + +$$ +u _ {T - x _ {2} + 1} (C) = D \tag {21} +$$ + +# 模型综合 + +结合以上论述，得到基于动态规划的决策模型如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} f _ {k} \left(S _ {k}\right) = \max _ {u _ {k} \in D _ {k} \left(S _ {k}\right)} \left\{V _ {k} \left(S _ {k}, u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) + f _ {k + 1} \left(u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) \right\} k = n, n - 1, \dots , 2, 1 \\ f _ {n + 1} \left(S _ {n + 1}\right) = 0 \\ u _ {k} (C) = \left\{ \begin{array}{l l} C & (\text {进 行 下 一 步 操 作 后 剩 余 物 资 大 于 矿 山 到 村 庄 所 需 物 资}) \\ B & (\text {进 行 下 一 操 作 后 剩 余 物 资 小 于 从 矿 山 到 村 庄 所 需 物 资}) \\ D & (t = T - x _ {2}) \\ D & (t = T - x _ {1}) \\ C & (\text {进 行 下 一 步 操 作 后 剩 余 物 资 大 于 矿 山 到 村 庄 所 需 物 资}) \end{array} \right. \\ u _ {k} (A) = C \quad (\text {进 行 下 一 步 操 作 后 剩 余 物 资 大 于 矿 山 到 村 庄 所 需 物 资}) \end{array} \right. \tag {22} +$$ + +# 6.3一般性最佳行动策略 + +通过分析上述模型建立过程中的内容，给出如下几条一般情况下玩家的策略： + +1、购买满足全过程的食物，穿越沙漠过程中不在村庄购买食物。且剩余负重全部用来购买水。直至总负重达到允许的最大值，若购买的水不足以支撑从起点到村庄过程中的消耗则购买足量的水，其余空间购买食物。 +2、在少数情况下，可根据实际情况，少带一些食物多带一些水来推迟补给的时间，延长挖矿的时间，并在后续的补给中补齐所需食物； +3、从起点到矿山路程中，不刻意停止，除非遇到沙暴天气； +4、在矿山挖矿期间，可在沙暴消耗量较高的天气里刻意休整一到两天，使利益最大化； +5、当挖矿期间所剩物资，仅支持从矿山前往村庄，则立即前往村庄补给物资； +6、二次补给结束后，前往终点方向的挖矿点或终点，根据具体地图和剩余时间选择进行二次挖矿或前往终点，并根据选择补给后续足够数目的物资。 + +# 6.4 第一、二关策略求解 + +根据如上建立的基于动态规划的决策模型，编程进行求解[3]，求解过程的程序框图如下： + +![](images/c281bda0451c02d8b4171b4c242234932ba3a0deb1afbcdc697818c3d78ab56c.jpg) +图6 算法流程框图 + +# 6.4.1 第一关策略求解 + +第一关的简化多阶段决策过程如下图所示，图中所有的带箭头有向线即为各关键节点间的转移方向，玩家可以在这些节点间，通过最短路径进行位置的转移。 + +![](images/e3ab47e0cd96cb1b2519e6610dd9f1869bf0d7ee26d222661d7100eb5d0bd964.jpg) +图7 简化多阶段决策过程 + +对于第一关而言，第 $t$ 天的部分参数赋值情况如下 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} W _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & (\text {当 天 天 气 为 晴 天}); \\ 2 & (\text {当 天 天 气 为 炎 热}); \\ 3 & (\text {当 天 天 气 为 沙 暴}); \\ 5 & \left(W _ {t} = 1\right); \\ 8 & \left(W _ {t} = 2\right); \\ 1 0 & \left(W _ {t} = 3\right); \\ 7 & \left(W _ {t} = 1\right); \\ 6 & \left(W _ {t} = 2\right); \\ 1 0 & \left(W _ {t} = 3\right). \end{array} \right. \end{array} \right. \tag {23} +$$ + +第一关具有一个村庄、矿山，通过求解结果可以得知，最优的状态转移路径为红色的转移方向； + +1、首先从起点开始沿最短的转移路径，前往村庄进行补给； +2、在补给完成后，前往矿山，根据天气的变化决定挖矿或原地停留； +3、在剩余物资到达从矿山前往村庄所需物资的极限时，前往村庄进行补给； +4、在补给完成后，前往终点。 + +符合6.3给出的一般性行动策略，可认为一般性行动策略可行。 + +玩家各时间点剩余物资的数目与行动策略如图8图9所示 + +![](images/85e86fee2dd19c26b5a7f8427a717c56ea11614164ca04841e1d822193123541.jpg) +图8 各时刻剩余物资 + +![](images/81d61cc3deabd7772e827960fb326b3793a8b8480818d9f6f0b848967dddffe6.jpg) +图9 第一关行动策略 + +玩家在游戏的全程中购买了三次物资：在起点处购买水178箱，购买食物333箱；第一次路过村庄时购买水163箱，购买食物0箱；第二次路过村庄时购买水36箱，购买食物16箱。 + +采购物资总共花费6530元，总共挖矿7天赚得7000元，最终结余10470元。 + +完整数据见附件中的 Result.xlsx 文件。 + +# 6.4.2 第二关策略求解 + +第二关的简化多阶段决策过程如下图： + +![](images/d81f4fd4369739d1a16fd521a217e5a761f24a8ee5146bc123bc68f9aaf3966c.jpg) +图10 简化多阶段决策过程 + +如上图所示，图中所有的带箭头有向线即为各关键节点间的转移方向，玩家可以在这些节点间，通过最短路径进行位置的转移。 + +对于第二关，其参数的赋值与第一关中相同，具有两个村庄、矿山，通过求解结果可以得知，最优的状态转移路径为红色的转移方向： + +1、首先由起点沿最短的转移路径前往30号矿山，根据天气情况决定挖矿或原地停留至物资不充足时前往39号村庄补充物资； +2、在39号村庄补充完物资后，前往55号矿山，根据天气情况决定挖矿或原地停留至前往终点所要求的最低时间时，前往终点。 + +符合6.3给出的一般性行动策略，可以认为一般性行动策略可行。 + +玩家各时间点剩余物资的数目与行动策略如图11图12所示 + +![](images/aa93d73fec8cb7c870acb6c19a2d3621623641a777282496abdda7c7f0ccb688.jpg) +图11 各时刻剩余物资 + +![](images/9933424eca6cdcab71403f18bb553039323455374353dc1a673c00265c344474.jpg) +图12 第四关行动策略图 + +玩家在游戏的全程中购买了三次物资：在起点处购买水130箱，购买食物405箱；第一次路过村庄时购买水208箱，购买食物0箱；第二次路过村庄时购买水180箱，购买食物85箱。 + +采购物资总共花费10280元，总共挖矿13天赚得13000元，最终结余12720元。 + +完整数据见附件中的Result.xlsx文件。 + +# 七、问题二：基于马尔可夫决策过程的行动决策模型 + +# 7.1 问题分析 + +第二问要求在只有一名玩家且不知道未来的天气，只知道当前天天气的条件下，遵循游戏的规则，合理规划食物和水资源的购买与使用，安排玩家每日的活动行程，给出能够得到最多收益的行动策略。 + +与第一问相似，游戏目的亦为“得到最多的结余资金”，且游戏过程中的决策过程亦为离散的分阶段决策。由于游戏过程中的天气不可提前预知，仅知当前的天气信息，玩家需要根据当前已知的天气信息与身上剩余的物资数目，做出下一步行动的决策。因此可类比马尔可夫决策过程(MDP)，引入天气变量与动作值函数，结合问题一中的决策模型，建立基于马尔可夫决策过程的行动策略模型。分析模型总结得到一般情况下玩家的最佳策略，最后使用马尔可夫预测给出游戏期间内的天气，对模型进行仿真求解。最后将得到的策略与给出的一般性最佳策略进行对比验证，分析判断一般性最佳策略的可信度。 + +# 7.2 模型建立 + +# 7.2.1 马尔可夫决策过程 + +马尔可夫模型 + +马尔可夫模型具有马尔可夫性，也称后无效性。指的是系统的下一个状态只与当前状态信息有关，而与更早之前的状态无关。只要当前状态已知，不需要其余的历史信息，仅使用当前状态就可以决定未来，此即为马尔可夫性。 + +# 马尔可夫决策过程 + +马尔可夫决策过程(MDP)也具有马尔科夫性的，不过与马尔可夫模型的区别在于MDP考虑了动作的存在，即系统的下一个状态不仅和当前的状态有关，也与当前采取的行动有关。 + +对于本题来说，玩家的行为在时间上是离散的，其行为决策的做出只与当天的天气状况、身上剩余的物资数目和做出决策后的预期收益有关，即与只当前已知的信息有关，与过去的历史信息无关，因此可以认为本题的决策过程也具有马尔可夫性[4]。 + +一个马尔可夫决策过程由一个四元组构成 $M = (S, A, Psa, R)$ ，其中： + +- $S$ ：表示状态集 (states)，有 $s \in S$ ，使用 $s_i$ 来表示第 $i$ 步的状态，即表示玩家进行第 $i$ 天游戏时，玩家所处的位置状况。 +- $A$ ：表示一组动作 (actions)，有 $a \in A$ ，使用 $a_{i}$ 来表示第 $i$ 步的状态，即表示玩家进行第 $i$ 天游戏时决定挖矿、行走、停留、买物资等行为。 +- $Psa$ ：表示状态转移的概率，用于表示在状态 $s$ 下，经过动作 $a$ ，转移到其他状态的概率分布情况。如玩家在 $s$ 的位置状态下进行动作 $a$ ，转移到 $s'$ 位置状态的概率为 $P(s'|s,a)$ 。 +- $R$ ：表示奖励函数， $r(s'|s,a)$ 表示在 $s$ 状态下，进行动作 $a$ 后，状态转移为 $s'$ ，得到的奖励，即表示玩家在 $s$ 的位置状态下，经过动作 $a$ 后转移到位置状态 $s'$ ，并由此决策而产生的收益。 +- $V$ ：表示值函数对于之前的任意状态 $s$ 和动作 $a$ ，立即奖励函数 $R(s,a)$ 无法说明策略的好坏，因此定义值函数 $V^{\pi}(s)$ 来表明当前状态下策略 $\pi$ 的长期影响。 $V^{\pi}(s)$ 表示在策略 $\pi = S\rightarrow A$ 下，状态 $s$ 的值函数，表示当前状态下策略 $\pi$ 的长期影响。在此使用如下公式进行表示 + +$$ +V ^ {\pi} (s) = E _ {\pi} \left[ \sum_ {i = 0} ^ {\infty} \gamma^ {i} R _ {i} \mid s _ {0} = s \right] \tag {24} +$$ + +其中 $\gamma \in [0,1]$ 为折合因子，表示了未来的回报对于当前回报的重要程度。当 $\gamma$ 为0时，只考虑立即回报，不考虑短期回报；当 $\gamma$ 为1时，长期回报与短期回报被同等看待。 + +# 7.2.2基于MDP的行动决策模型 + +对于该题，由于玩家在每一步做决策的过程中均具有马尔可夫性，符合马尔可夫决策模型的基本要求，于是建立基于马尔可夫的行动策略决策模型，对玩家的行动策略进行求解。 + +玩家的状态转移图如下所示： + +![](images/38a41db2605d363971b117fcce568398b1d8b42856c22ba49488028f4752bea5.jpg) +图13 玩家的状态转移图 + +在上图中， $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ 为不同时刻的各种天气出现的概率。对于位置状态 $s_{1}$ ，在天气的影响下，有 $P_{1}$ 的概率保持原来的位置状态，有 $P_{2}$ 的概率转移到下一个位置状态 $s_{2}$ 。 + +对于本题来说，我们对奖励函数进行如下定义： + +# 奖励函数 + +当玩家不在矿山时，奖励函数主要由在当天的天气下进行行动所消耗的物资数目，即 + +$$ +R \left(\left\{S \mid S \neq S _ {\text {矿}} \right\}, M, m _ {w}, m _ {f}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {2} \left(P _ {i} \cdot \Delta M _ {i} + C\right) \tag {25} +$$ + +其中， $P_{i}$ 为第 $i$ 种天气出现的概率， $\Delta M_{i}$ 为第 $i$ 种天气对应状态的转移资金消耗， $C$ 为使得 $\Delta M_{i} + C$ 为正数的常数。当进行某种行动消耗的物资越多时，奖励函数 $R$ 的数值越小，则玩家会倾向于选择奖励函数更大的行动，不选择奖励函数较小的行动，使得在该状态下的玩家做出最优的行动决策。 + +当玩家位置在矿山时，当水或食物消耗量达到临界阈值时，将奖励函数置为0，迫使玩家做出离开矿山的行动决策，即 + +$$ +R \left(S _ {\text {矿}}, M, m _ {w}, m _ {f}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {2} \left(P _ {i} \cdot \Delta M _ {i} + C + B I \cdot D _ {t}\right) \cdot \epsilon \left(m _ {w} - m _ {w} ^ {\prime}\right) \cdot \epsilon \left(m _ {f} - m _ {f} ^ {\prime}\right) \tag {26} +$$ + +其中， $m_w'$ ， $m_f'$ 分别为水与食物质量的阈值，即为从该点前往村庄补给物资或前往终点所需要的消耗的物资； $BI$ 为挖矿时的基础收益； $D_t$ 为第 $t$ 天时的挖矿标志，挖矿为1，不挖矿为0。 + +# 值函数 + +值函数的定义如式(24)所示 + +$$ +V ^ {\pi} (s) = E _ {\pi} \left[ \sum_ {i = 0} ^ {\infty} \gamma^ {i} R _ {i} \mid s _ {0} = s \right] \tag {27} +$$ + +在 $V^{\pi}(s,a)$ 当中，策略 $\pi$ ，初始状态 $s$ 均初始给定，而初始动作 $a$ 是由策略 $\pi$ 和状态 $s$ 决定，即 + +$$ +a = \pi (s) \tag {28} +$$ + +给定策略 $\pi$ 和初始状态 $s$ ，则动作 $a = \pi (s)$ ，下一个时刻将以概率 $P(s^{\prime}|s,a)$ 转向下一个状态 $s^{\prime}$ 那么 $V^{\pi}(s)$ 可展开为： + +$$ +V ^ {\pi} (s) = \sum_ {s ^ {\prime} \in S} P \left(s ^ {\prime} \mid s, a\right) \left[ R \left(s ^ {\prime} \mid s, a\right) + \gamma V ^ {\pi} \left(s ^ {\prime}\right) \right] \tag {29} +$$ + +给定当前状态 $s$ 和当前动作 $a$ ，在未来遵循策略 $\pi$ ，那么系统将以概率 $P(s'|s,a)$ 转向下个状态 $s^{\prime}$ ，我们可定义动作值函数 $Q^{\pi}(s,a)$ 为 + +$$ +Q ^ {\pi} (s, a) = \sum_ {s ^ {\prime} \in S} P \left(s ^ {\prime} \mid s, a\right) \left[ R \left(s ^ {\prime} \mid s, a\right) + \gamma V ^ {\pi} \left(s ^ {\prime}\right) \right] \tag {30} +$$ + +在 $Q^{\pi}(s,a)$ 当中，策略 $\pi$ ，初始状态 $s$ ，当前的动作 $a$ 均初始给定。 + +则MDP的最优策略可以由下式表示 + +$$ +\pi^ {*} = \arg \max V ^ {\pi} (s), (\forall s) \tag {31} +$$ + +即寻找的是在任意初始条件 $s$ 下，能够最大化值函数的策略 $\pi^{*}$ 。 + +# 7.2.3 模型综合 + +结合以上论述，我们得到基于马尔可夫决策过程的行动决策模型如下 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} R (\{S | S \neq S _ {\text {矿}} \}, M, m _ {w}, m _ {f}) = \sum_ {i = 1} ^ {2} (P _ {i} \cdot \Delta M _ {i} + C) \\ R (S _ {\text {矿}}, M, m _ {w}, m _ {f}) = \sum_ {i = 1} ^ {3} (P _ {i} \cdot \Delta M _ {i} + C + B I \cdot D _ {t}) \cdot \varepsilon (m _ {w} - m _ {w} ^ {\prime}) \cdot \varepsilon (m _ {f} - m _ {f} ^ {\prime}) \\ V ^ {\pi} (s) = \sum_ {s ^ {\prime} \in S} P (s ^ {\prime} | s, a) [ R (s ^ {\prime} | s, a) + \gamma V ^ {\pi} (s ^ {\prime}) ] \\ Q ^ {\pi} (s, a) = \sum_ {s ^ {\prime} \in S} P (s ^ {\prime} | s, a) [ R (s ^ {\prime} | s, a) + \gamma V ^ {\pi} (s ^ {\prime}) ] \\ \pi^ {*} = \arg \max V ^ {\pi} (s), (\forall s) \end{array} \right. \tag {32} +$$ + +# 7.3一般性最佳行动策略 + +根据上述模型建立的过程，给出一般性行动策略如下： + +总体规则： + +使用动作价值函数 $Q$ 选择下一步的行动与目的地，其中 + +$$ +Q ^ {\pi} (s, a) = \sum_ {s ^ {\prime} \in S} P \left(s ^ {\prime} \mid s, a\right) \left[ R \left(s ^ {\prime} \mid s, a\right) + \gamma V ^ {\pi} \left(s ^ {\prime}\right) \right] \tag {33} +$$ + +$Q$ 将状态转移对应的收益与下一目的地的状态价值函数 $V$ 和天气立即回报函数 $R$ 相结合，最终得到对应动作的值函数。 + +# 细化规则详述： + +1、根据计算得到的各种天气出现的概率，预估未来的天气状况，结合所剩余的游戏天数和当前位置与终点的距离状况决定是否继续挖矿或前往终点。 +2、根据身上剩余的物资数目，结合当前时刻的天气状况决定是否前往村庄进行补给；在补给后综合考虑剩余天数，预估未来的天气状况决定是否前往矿山进行挖矿或直接前往终点。 +3、综合考虑矿山挖矿收益状况与前往矿山与在矿山挖矿所消耗的物资数目，判断是否盈利，而选择从起点出发后是否前往矿山，或者直接前往终点。 + +# 7.4 模型求解 + +# 7.4.1基于马尔可夫的天气概率预测 + +由于不清楚游戏全程的天气情况，仅知道当前时刻下的天气。为了得到上述模型中各种天气出现的概率 $P_{i}$ ，我们利用问题一中给出的天气状况，利用马尔可夫预测给出各种天气间的一步转移概率，称为天气的状态转移概率，得到天气的状态转移概率矩阵，而后经过无穷多次状态转移，求得各种天气状况的极限概率分布，即得到各种各种天气出现的概率 $P_{i}$ ，即可得到概率参数被赋值的基于马尔可夫的决策模型。 + +# 马尔可夫链 + +马尔可夫链子即为一种随机的时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即后无效性。具备该性质的离散型随机过程，称为马尔科夫链[5]。对于本题中每天的时间，可以认为每天的天气情况可以被视为一种随机的时间序列，第二天的天气情况只与第一天的天气情况有关，符合马尔科夫链的相关定义。 + +# 状态转移概率 + +客观的事物可能有 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 共 $\mathbf{n}$ 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有 $\mathbf{n}$ 个转向（包括转向自身），即 + +$$ +E _ {i} \rightarrow E _ {1}, E _ {i} \rightarrow E _ {2}, \dots , E _ {i} \rightarrow E _ {n} +$$ + +由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，即为状态转移概率。 + +对于从状态 $E_{i}$ 转移到状态 $E_{j}$ 的概率，称为从 $i$ 到 $j$ 的转移概率，记为： + +$$ +P _ {i j} = P \left(E _ {j} \mid E _ {i}\right) = P \left(E _ {i} \rightarrow E _ {j}\right) = P \left(x _ {n + 1} = j \mid x _ {n} = i\right) \tag {34} +$$ + +对于本题来说， $P_{ij}$ 为天气状态从第 $i$ 种天气转移为第 $j$ 种天气的概率，则根据第一问中给出的天气数据，三种天气的转移概率为矩阵为 + +$$ +P = \left[ \begin{array}{l l l} P _ {1 1} & P _ {1 2} & P _ {1 3} \\ P _ {2 1} & P _ {2 2} & P _ {2 3} \\ P _ {3 1} & P _ {3 2} & P _ {3 3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l} 0. 2 2 2 2 & 0. 5 5 5 6 & 0. 2 2 2 2 \\ 0. 3 5 7 1 & 0. 4 2 8 6 & 0. 2 1 4 3 \\ 0. 3 3 3 3 & 0. 5 0 0 0 & 0. 1 6 6 7 \end{array} \right] \tag {35} +$$ + +假设经过 $k$ 次的状态转移后，各种天气的转移概率矩阵 $P(k)$ 即为 + +$$ +P (k) = P ^ {k} \tag {36} +$$ + +当 $k$ 趋近于正无穷时，天气转移概率矩阵逐渐收敛至一定值，即极限概率分布为 + +$$ +P (k) | _ {k \rightarrow + \infty} = P ^ {k} | _ {k \rightarrow + \infty} = \left[\begin{array}{l l l}0. 3 1 0 3&0. 4 8 2 8&0. 2 0 6 9\\0. 3 1 0 3&0. 4 8 2 8&0. 2 0 6 9\\0. 3 1 0 3&0. 4 8 2 8&0. 2 0 6 9\end{array}\right] \tag {37} +$$ + +由上式可以得到各种天气出现的概率分别为 $P_{1} = 0.3103, P_{2} = 0.4828, P_{3} = 0.2069$ 。即可代入模型进行下一步求解。 + +# 7.4.2 第三关求解 + +按照各种天气出现的概率生成随机数对十天内的天气状况进行赋值如下表： + +表 1 第三关天气状况赋值 + +
日期12345678910
天气晴朗高温晴朗高温高温高温高温高温晴朗高温
+ +每一次求解当前状态前往下一个状态所执行的动作时时仅知晓当前的天气，进行模拟仿真，得到最佳的行动策略为： + +从起点1出发，直接选择最短的路径，途径5，6两个中间点，到达终点13，总共花费为600元，最终结余为9400元。第三关的马尔可夫决策过程如下图所示，红色路径为最终选择的最优行动路径 + +![](images/ef6413138ca585e8c7cca2fd1f56c8400497ec1eeb5ca6f5e812e062bfb7f370.jpg) +图14 第三关马尔可夫决策过程 + +结果分析：分析本关的模型参数可知，第三关的基础收益仅为200元，且在高温天气下基础消耗量较高，只有晴天时在矿山挖矿才会得到少量的正向收益，高温天气下挖矿将会亏损较大数额的本金。从中点前往矿山的路途与直接前往终点相比会消耗较多的物资，因此在矿山挖矿的收益无法弥补前往矿山路途中多消耗的物资，根据7.3中的一般性准则，玩家会选择直接前往终点，其动作值函数 $Q$ 也会指引着玩家选择直接前往终点的路线。可以说明7.3中给出的一般性行动策略可信度较高。 + +# 7.4.3 第四关求解 + +按照各种天气出现的概率生成随机数对三十天内的天气状况进行赋值如下表 + +表 2 第四关天气状况赋值 + +
日期12345...27282930
天气高温高温高温高温高温...晴朗晴朗高温晴朗
+ +每一次求解当前状态前往下一个状态所执行的动作时时仅知晓当前的天气，进行模拟仿真，得到最佳的行动策略为： + +从起点1出发，通过最短路径前往矿山，挖4天矿后前往村庄进行补给，而后再次前往矿山挖9天矿，离开矿山前往终点。在全过程中，在起始点处购买水216箱，购买食物276箱；在村庄处购买水229箱，购买食物190箱。总共花费9930，矿山挖矿13天赚取13000元，最终结余13070元。 + +第四关的马尔可夫决策过程如下图所示，其中 $Q_{1}, Q_{2}$ 为在各种状态下进行相应的行动到达另一种状态所对应的动作值函数。红色路径为最终选择的最优行动路径 + +![](images/2cc28cf80d995df151645ae93c6138b02c1caf6cd8184caf9a05aed59212d809.jpg) +图15 第四关马尔可夫决策过程 + +结果分析：通过分析关卡四的模型参数可知，在矿山挖一天矿的收益为1000元，足够弥补在前往矿山的过程中所消耗的物资，因此如7.3中的一般性准则，在动作值函数Q的指引下，玩家会先前往矿山。 + +当玩家的物资第一次不足以支持继续挖矿时，时间依然充裕，根据7.3中的一般性准则，玩家会前往村庄进行补给，并返回矿山继续挖矿。 + +当玩家的剩余游戏天数即将达到前往终点所需的时间阈值时，根据7.3中的一般性准则，玩家会停止挖矿，离开矿山，并在动作值函数Q的引导下前往终点。 + +由此可以认为，7.3中给出的一般性行动策略可信度较高。 + +# 八、问题三：基于博弈思想的多玩家决策竞争模型 + +# 8.1 问题分析 + +第三问要求在有多名玩家共同进行游戏时，分为： + +1、知晓未来时间的所有天气信息，且在游戏开始前制定好行动策略，后期的行动均按照制定好的方案进行。 +2、不提前制定好具体的行动方案只知晓当天的天气状况，且知晓当天其他国家的行动方案与剩余物资的情况。 + +两种情况，分别给出对于一般玩家的行动准则。 + +对于本题存在多个玩家同时进行游戏的情况，引入博弈的思想，将玩家间的竞争分为良性竞争与恶性竞争，发现恶性竞争会导致所有玩家亏损，而良性竞争会为所有玩家带来盈利。于是在两种已知条件条件不同的情况下，分别给出一般情况下玩家应采取的策略，再对第五第六关的实际情况进行分析，验证策略的可行性。 + +# 8.2 模型建立 + +# 8.2.1竞争种类分析 + +在情况一与情况二中，各玩家之间均存在着竞争，分为良性竞争与恶性竞争 + +# 恶性竞争： + +题目规则规定： + +当 $k$ 个玩家通过相同的路径进行转移时，消耗量为基础消耗量的 $2k$ 倍； + +当 $k$ 名玩家同时在矿山挖矿时，收益为基础收益的 $\frac{1}{k}$ + +当 $k$ 名玩家在同一村庄购买资源时，价格为基础价格的4倍。 + +在游戏过程中会存在以下恶性竞争： + +1、每名玩家都为了赚取更多的资金，无计划地前往矿山进行挖矿，当天气恶劣时，由于基础收益的降低，挖矿获得的收益将不足以弥补物资的消耗量，此种竞争将导致所有玩家的收益降低，甚至亏损。 +2、每名玩家为了更快地到达矿山进行挖矿、前往村庄进行补给、前往终点，无计划地走最短的转移路径，可能出现在同一时刻通过相同的路径进行位置的转移，将增加所有玩家的物资消耗。 +3、每名玩家为了更快的前往村庄进行购物，可能出现玩家同时购买物资的情况，极大地增加玩家购买物资的资金消耗。 + +4、某名玩家为了迫使其他玩家尽快退出游戏而让自己得到独自在矿山挖矿的机会，在其他国家前往商店购买物资时，自己只购买极少量的物资，来让其他国家采购物资的花费极大地增加，而不得不提前退出游戏。该竞争方法会带来非常可观的收益，但其他国家也有可能会想到该竞争方式，可能会使用该方式与自己进行竞争，因此存在极高的风险。 + +以上几种竞争方式均会使得自己与其他玩家的收益同步降低，减少游戏结束时的剩余资金，因此可以认为是恶性竞争。 + +由于在本题中，正面的直接竞争都将导致所有玩家的收益降低，与游戏的目的“得到更多的剩余资金”相悖，均属于恶性竞争。于是引入另外一种玩家间相互配合，互利共赢的良性竞争策略。 + +# 良性竞争 + +1、对于游戏中获取资金最关键的挖矿行为，应尽量避免同时有多个人在矿山内挖矿，只允许能够使挖矿者获得正向收益的挖矿人数同时在矿山内挖矿，其余玩家在外等候。 +2、对于游戏中前往村庄进行物资补充的过程，各名玩家均应避免与其他玩家在同一时刻购买物资。 +3、对于游戏中位置迁移的过程，各玩家均应避免在同一时刻经过同一路径进行位置的迁移，可选择错时前行或选择不同的迁移路径。 +4、在游戏过程中所有玩家均不使用恶性手段，使其他国家蒙受巨额损失。 + +# 8.2.2 良性与恶性竞争的博弈选择 + +对于玩家A来说，如果为了最大化自己的收益而选择恶性竞争，那么其他玩家也有可能选择恶性竞争来最大化自己的收益，则玩家A会有较大概率因为其他国家发起的恶性竞争而降低自己的收益，甚至亏损。因此对于所有玩家来说，最优的策略是与其他玩家达成共识，只进行良性竞争，在使得每位玩家收益相近的条件下，追求自己的最大收益。则良性竞争的目标函数如下： + +个人利益最大化目标，即最终持有的资金要更多： + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {T i} \tag {38} +$$ + +其中 $M_{Ti}$ 为第 $i$ 名玩家最终持有的资金数目。 + +各名玩家收益相近目标，即各名玩家最终持有资金数目方差要更小： + +$$ +\min \frac {\sum_ {j = 1} ^ {n} \left(M _ {j} - \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {T i}}{n}\right) ^ {2}}{n - 1} \tag {39} +$$ + +于是得到良性竞争的目标函数如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max \sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {T i} \\ \min \frac {\sum_ {j = 1} ^ {n} \left(M _ {j} - \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {T i}}{n}\right) ^ {2}}{n - 1} \end{array} \right. \tag {40} +$$ + +# 8.2.3 模型整合 + +情况一：游戏开始时已经知晓全部的天气信息，并制定完整行动策略 + +将良性竞争目标函数与第一问中的多阶段动态规划模型相结合，由于要实现共赢，每位玩家都必然要在达成共识的条件下，让出一些收益，从而达到玩家间收益的平衡与在良性竞争中收益的最大化。在此为衡量因为其他玩家的存在而对每一步行动，引入影响因子 $In_{j}$ ， + +$In_{j}$ 为当一位玩家位于 $j$ 位置时对其他玩家产生的收益影响。 + +所以对于其中一位玩家而言，在位置 $j$ 的预期收益 $V_{j}^{\prime}$ 为原本的预期收益减去其他玩家在此位置带来的收益影响： + +$$ +V _ {j} ^ {\prime} = V _ {j} - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} P _ {i j} ^ {\prime} \cdot I n _ {j} \tag {41} +$$ + +其中 $P_{ij}^{\prime}$ 为第 $i$ 名玩家处于第 $j$ 个位置的概率 + +综合上述内容，得到针对情况一的多阶段行动决策模型： + +$$ +\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \max \sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {T i} \\ \min \frac {\sum_ {j = 1} ^ {n} (M _ {j} - \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {T i}}{n}) ^ {2}}{n - 1} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} f _ {k} \left(S _ {k}\right) = \max _ {u _ {k} \in D _ {k} \left(S _ {k}\right)} \left\{V _ {k} \left(S _ {k}, u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) + f _ {k + 1} \left(u _ {k} \left(S _ {k}\right)\right) - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} P _ {i k} ^ {\prime} \cdot I n _ {k} \right\} \\ f _ {n + 1} \left(S _ {n + 1}\right) = 0 \\ u _ {k} (C) = \left\{ \begin{array}{l l} C & (\text {进 行 下 一 步 操 作 后 剩 余 物 资 大 于 矿 山 到 村 庄 所 需 物 资}) \\ B & (\text {进 行 下 一 操 作 后 剩 余 物 资 小 于 从 矿 山 到 村 庄 所 需 物 资}) \\ D & (t = T - x _ {2}) \\ D & (t = T - x _ {1}) \\ C & (\text {进 行 下 一 步 操 作 后 剩 余 物 资 大 于 矿 山 到 村 庄 所 需 物 资}) \end{array} \right. \\ u _ {k} (A) = C \quad (\text {进 行 下 一 步 操 作 后 剩 余 物 资 大 于 矿 山 到 村 庄 所 需 物 资}) \end{array} \right. \tag {42} \\ \end{array} +$$ + +# 情况二：玩家仅知道当天的天气信息，与其他人的状态信息 + +与情况一中的分析过程类似，游戏过程中与其他玩家的相遇会带来及时收益上的影响 $in$ ，由此我们也引入影响因子 $in$ ，对奖励函数 $R$ 进行修正 + +$$ +R ^ {\prime} = R - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} P _ {i j} ^ {\prime} \cdot I n _ {j} \tag {43} +$$ + +则将良性竞争目标函数与第二问中基于马尔可夫决策过程的行动决策模型进行整合，得到适用于情况二的基于马尔可夫决策过程的行动决策模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m a x \sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {T i} \\ \min \frac {\sum_ {j = 1} ^ {n} \left(M _ {j} - \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {T i}}{n}\right) ^ {2}}{n - 1} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} R (\{S \mid S \neq S _ {\text {矿}} \}, M, m _ {w}, m _ {f}) = \sum_ {i = 1} ^ {2} (P _ {i} \cdot \Delta M _ {i} + C - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} P _ {i j} ^ {\prime} \cdot I n _ {j}) \\ R (S _ {\text {矿}}, M, m _ {w}, m _ {f}) = \sum_ {i = 1} ^ {2} (P _ {i} \cdot \Delta M _ {i} + C + B I \cdot D _ {t} - \sum_ {i = 1} ^ {n - 1} P _ {i j} ^ {\prime} \cdot I n _ {j}) \cdot \epsilon (m _ {w} - m _ {w} ^ {\prime}) \cdot \epsilon (m _ {f} - m _ {f} ^ {\prime}) \\ V ^ {\pi} (s) = \sum_ {s ^ {\prime} \in S} P (s ^ {\prime} | s, a) [ R (s ^ {\prime} | s, a) + \gamma V ^ {\pi} (s ^ {\prime}) ] \\ Q ^ {\pi} (s, a) = \sum_ {s ^ {\prime} \in S} P (s ^ {\prime} | s, a) [ R (s ^ {\prime} | s, a) + \gamma V ^ {\pi} (s ^ {\prime}) ] \\ \pi^ {*} = \arg \max V ^ {\pi} (s), (\forall s) \end{array} \right. \\ \end{array} +$$ + +(44) + +# 8.3一般性最佳行动策略 + +# 8.3.1 对于情况一 + +情况一全程的天气已知，且在游戏开始前就需要给出在未来一段时间内的行动策略，因此可进行全程的统筹规划。 + +# 一般性策略 + +1、在起始点处仅购买直到下一次补给或直到游戏结束所需的水，携带足够到达终点的食物，当到达终点所需食物过多背包无法承载时，则将按照背包的峰值存储容量购买尽可能多的食物。 +2、考虑在矿山挖矿的基础收益与消耗，计算在矿山挖矿的收益能否弥补因为前往矿山而比直接前往终点多消耗的物资价值。当无法弥补差额时，选择直接前往终点，反正，前往矿山进行挖矿。 +3、分别计算多人在矿山挖矿时的收益与消耗，计算是否能够获得盈利，多人规划时最多只能允许，使得挖矿收益为正，人数的玩家进入矿山挖矿。 +4、为前往村庄购买物资留出冗余时间，避免多人同时购买物资。 +5、当需要从同一起点前往同一终点时，多个玩家选择不同的转移路径，防止路上转移动作的消耗翻倍。当走不同的路径最终结果不优时，也可以选择走相同的转移路径。 +6、多个玩家统一协调安排，使得各个玩家收益接近。 + +# 第五关行动策略求解 + +使用8.2.3中给出的加入良性竞争的多阶段决策模型对第五关的行动策略进行求解，给出玩家1，玩家2的行动策略如下： + +玩家1：从起点1出发，分别经过节点4，6，到达终点13，在起点处购买水36箱，购买食物42箱，最终结余9400元。 + +玩家2：从起点2出发，分别经过节点5，6，到达终点13，在起点处购买水36箱，购买食物42箱，最终结余9400元。 + +# 结果分析： + +分析此问给出的参数，挖矿的基础收益仅为200元，不足以弥补玩家前往矿山所多花费的物资，因此玩家根据8.3.1中一般性策略，选择直接前往终点。 + +在最后一次转移时，会出现路径重合的情况，因此综合考虑安排玩家走不不同的路径，得到两名玩家最终的资金结余为9290与9510，结余资金总额与路径重复时相同，但两名玩家的资金差异更大。根据8.3.1中的一般性策略，选择更加结余资金更加均衡的路线，即均走从节点6到节点13的路线。 + +结合上述分析，可以认为给出的一般性策略较为可靠。 + +# 8.3.2 对于情况二 + +情况二为天气未知情况下，策略未完全确定，在多名玩家共同进行游戏时，玩家按照当天天气情况，剩余物资情况，其他玩家的所处状态进行分析。 + +# 一般性策略 + +# 总体规则： + +使用动作价值函数 $Q$ 选择下一步的行动与目的地，其中 + +$$ +Q ^ {\pi} (s, a) = \sum_ {s ^ {\prime} \in S} P \left(s ^ {\prime} \mid s, a\right) \left[ R \left(s ^ {\prime} \mid s, a\right) + \gamma V ^ {\pi} \left(s ^ {\prime}\right) \right] \tag {45} +$$ + +# 细化规则： + +1、根据计算得到的各种天气出现的概率，预估未来的天气状况，结合所剩余的游戏天数和当前位置与终点的距离状况决定是否继续挖矿或前往终点。 +2、根据身上剩余的物资数目，结合当前时刻的天气状况决定是否前往村庄进行补给；在补给后综合考虑剩余天数，预估未来的天气状况决定是否前往矿山进行挖矿或直接前往终点。 +3、综合考虑矿山挖矿收益状况与前往矿山与在矿山挖矿所消耗的物资数目，判断是否盈利，而选择从起点出发后是否前往矿山，或者直接前往终点。 +4、当多名玩家在矿山挖矿时，结合对未来天气的预测，计算折损后的真实收益，用以进行后续的判断。 +5、为前往村庄购买物资留出冗余时间，避免多人同时购买物资。 +6、当需要从同一起点前往同一终点时，多个玩家选择不同的转移路径，防止路上转移动作的消耗翻倍。当走不同的路径最终结果不优时，也可以选择走相同的转移路径。 +7、多个玩家统一协调安排，使得各个玩家收益接近。 + +# 第六关的具体分析 + +分析第六关的参数设置：基础收益为1000，结合不同天气下的基础消耗，进行如下具体分析。 + +1、挖矿：假设当前有 $k - 1$ 名玩家在矿山挖矿 + +在晴朗天气下， $\frac{1000}{k} > 165$ 时，可认为前去挖矿为盈利。 + +在高温天气下， $\frac{1000}{k} > 405$ 时，可认为前去挖矿为盈利。 + +在沙暴天气下， $\frac{1000}{k} > 450$ 时，可认为前去挖矿为盈利。 + +2、购物：假设有多名玩家需要购物，则合理安排，依次进行购物，防止花费过高。 + +3、前往终点：由于天气状况未知，为防止出现物资不足导致无法返回的情况，可以按照消耗较高的天气条件预留物资，预留时间。 +4、转移：假设有多名玩家需要在矿山与村子间进行转移，则尽量安排他们走不同的两条转移路线如图16所示： + +![](images/32db7bbe96d9139c9b0c1f3e7b83fc169b34742333460e27ff459c2ff0943c5b.jpg) +图16 第六关转移过程 + +玩家一：从14出发经过19到达18。 + +玩家二：与从14出发经过13到达18。 + +以此来降低转移过程中的消耗。 + +# 九、模型分析与评价 + +# 9.1模型优点 + +1、对于问题一中的模型，采用分阶段动态规划的方式，对子问题求最优，使得最终求解结果达到最优，可保证最终结果的最优性。 +2、对于问题二中的模型，充分使用了游戏中决策过程的无前效性，引入马尔可夫决策模型，将能够影响决策的主要因素融入马尔可夫决策过程中，使得模型更具有可信性与准确性。 + +可使用概率来统一表示天气已知和未知的两种情况，使得模型在天气已知与未知时均可使用，更具有普适性。 + +3、对于问题三，给出良性与恶性两种竞争方式，包含玩家之间所有可能的竞争行为，具有完备性。同时引入了博弈的思想，根据游戏目标，进行竞争方式的选择，使得模型既具有简洁性，又具有准确性。 +4、在进行第一问的求解时，我们将动态规划的变量进行了降维处理，降低了求解难度。 + +# 9.2模型缺点 + +1、第一问中院模型动态规划的维数较高，计算复杂度较高。 +2、由于给出的天气数据样本较少，使得求解天气的概率分布不够稳定。 + +# 9.3 模型推广 + +问题二所用的基于MDP的行动决策模型中，当物资不低于阈值时，立即回报函数R主要受状态转移导致的收益变化影响，物资变化影响忽略不计，与实际情况稍有偏差，故引入水和食物的物 + +资影响函数 $Y_{1}(m_{w})$ ， $Y_{2}(m_{f})$ 和总体物资影响函数 $Y$ ，其中： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} Y _ {1} \left(m _ {w}\right) = \frac {1}{1 + e ^ {- \left(m _ {w} - m _ {w} ^ {\prime} + a\right)}} \\ Y _ {2} \left(m _ {f}\right) = \frac {1}{1 + e ^ {- \left(m _ {f} - m _ {f} ^ {\prime} + b\right)}} \\ Y = \sqrt {\frac {Y _ {1} ^ {2} + Y _ {2} ^ {2}}{2}} \end{array} \right. \tag {46} +$$ + +用 $Y$ 代替 $\varepsilon(m_w - m'_w) \cdot \varepsilon(m_f - m'_f)$ 。 + +加入物资影响函数后，模型将更加合理且完善，更具有普适性。 + +# 参考文献 + +[1] Kai Y D, Shu L Y. 基于平面图的最短路径算法的研究 [J]. 2001. +[2] 厉洋峰. 动态规划及其在数学模型中的应用 [J]. 中国新技术新产品, 2009, 000(016):244-245. +[3] 于斌, 刘姝丽, 韩中庚. 动态规划求解方法的 Matlab 实现及应用 [J]. 信息工程大学学报, 2005, 6(3):95-98. +[4] White, 刘迪芬. 马尔可夫决策过程 [J]. 数学译林, 1990(4):296-314. +[5] 卢显文. 马尔可夫预测分析的应用 [J]. 江苏广播电视大学学报, 2002, 13(3):61-63. +[6] 武涛 [1]. 博弈论在数学中的应用 [J]. 纳税, 2017, 000(018):167-167. +[7] 胡静. 博弈论在数学中的应用 [J]. 商情·经济理论研究, 2008, 000(005):213,330. + +# 附录A 支撑材料文件列表 + +- Result.xlsx +$\bullet$ 代码 + +README.txt + +dierguan/weather.mat + +diyiguan_weather.mat + +first_round.m + +fourth_round.m + +second_round.m + +state1.mat + +state2.mat + +third round.m + +u.mat + +ul.mat + +weather data + +yucetianqi.m + +- tex文件 + +figures + +cumcmthesis.CLS + +example.aux + +example.txt + +example.out + +example.pdf + +example.synctex + +example.tex + +example.toc + +参考手册.pdf + +2020B题作图.ppt + +$\%$ 第一关 + +求解从起点到矿山的最优收益路径与最终资金剩余 + +clc,clear + +load u1.mat %收益矩阵 + +load diyiguan_weather.mat%第一关天气矩阵1为晴朗2为高温3为沙暴 + +$\mathbf{n} = \mathbf{size}(\mathbf{u1},1)$ + +for $s = 1:n$ + +for $t = s:n$ + +u1(t,s)=u1(s,t);%使得下三角与上三角对称 + +end + +end + +G1=graph(u1,'upper');%根据带权邻接矩阵生成无向图 + +plot(G1) + +title('第一关拓扑图') + +[path1] = shortestpath(G1, 1, 12); + +[path2] $=$ shortestpath(G1,11,27); + +$\% \%$ 计算 + +$\%$ 基础消耗箱为单位 + +food_cost_base1=5; + +water_cost_base1=7;%晴朗天气消耗 + +food_cost_base2 = 8; + +water_cost_base2 = 6;%高温天气消耗 + +food_cost_base3=10; + +water_cost_base3=10;%沙暴天气消耗 + +%初始资金 + +$\mathrm{m0 = 10000}$ + +%累计消耗资金 + +m1=0; + +%基础收益 + +bouns=1000; + +统计挖矿天数 + +$d = 0$ + +%统计各状态的天数 1是停留 2是行进 3是挖矿 4是矿洞休息 + +load state1.mat + +统计消耗的食物和水的箱数 + +food_cost=0; water_cost=0; + +统计天气导致在路上的消耗 + +for $i = 1:24$ %真实天数 + +if(state(i) == 2 && diyiguan_weather(i) == 1) + +m1=m1+2*food_cost_base1*10+2*water_cost_base1*5; + +food_cost=food_cost+2*food_cost_base1; + +water_cost = water_cost + 2 * water_cost_base1; + +```matlab +end +if(state(i) == 3&&diyiguanweather(i) == 1) %state系数为基础消耗前的系数 +m1=m1+3*food_cost_base1*10+3*water_cost_base1*5; +food_cost=food_cost+3*food_cost_base1; +water_cost=water_cost+3*water_cost_base1; +end +if(state(i) == 2&&diyiguanweather(i) == 2) +m1=m1+2*food_cost_base2*10+2*water_cost_base2*5; +food_cost=food_cost+2*food_cost_base2; +water_cost=water_cost+2*water_cost_base2; +end +if(state(i) == 3&&diyiguanweather(i) == 2) +m1=m1+3*food_cost_base2*10+3*water_cost_base2*5; +food_cost=food_cost+3*food_cost_base2; +water_cost=water_cost+3*water_cost_base2; +end +if(state(i) == 1&&diyiguanweather(i) == 3) +m1=m1+2*food_cost_base2*10+1*water_cost_base2*5; +food_cost=food_cost+2*food_cost_base2; +water_cost=water_cost+1*water_cost_base2; +end +if(state(i) == 3&&diyiguanweather(i) == 3) +m1=m1+1*food_cost_base3*10+1*water_cost_base3*5; +food_cost=food_cost+3*food_cost_base3; +water_cost=water_cost+3*water_cost_base3; +end +if(state(i) == 3) +d=d+1; +end +end +end +disp('第一关最优收益路径为') +max_profit_path=[path1 path2] +m1; +disp('消耗食物和水的箱数') +food_cost +water_cost +m1=m1+(598/3)*2*5+(31/2)*10*2; +m1=6526; +disp('挖矿天数');d +disp('最终资金剩余为') +``` + +# 附录C second_round.m求解第二关最优收益路线、最终收益 + +求解第二关最优收益路线、以及该路线下的最终收益。附带输出挖矿天数、食物消耗总量、拓扑图等信息。 +第2关 + +$\%$ 根据蜂窝规律求出邻接矩阵与起点到终点的最优路径以及最优剩余资金 + +clc,clear; + $\mathbf{u} =$ zeros(64); + $\mathrm{n} = \mathrm{size(u,1)}$ +loaddierguan_weather.mat%第一关天气矩阵1为晴朗2为高温3为沙暴 + +for $t = 10:15$ $u(t, t - 7) = 1$ ; + $u(t, t - 8) = 1$ ; + $u(t, t - 1) = 1$ ; + $u(t, t + 1) = 1$ ; + $u(t, t + 8) = 1$ ; + $u(t, t + 9) = 1$ ; +end + +for $t = 18:23$ $u(t, t - 9) = 1$ ; + $u(t, t - 8) = 1$ ; + $u(t, t - 1) = 1$ ; + $u(t, t + 1) = 1$ ; + $u(t, t + 8) = 1$ ; + $u(t, t + 7) = 1$ ; +end + +for $t = 26:31$ $\mathbf{u}(t,t - 7) = 1$ $\mathbf{u}(t,t - 8) = 1$ $\mathbf{u}(t,t - 1) = 1$ $\mathbf{u}(t,t + 1) = 1$ $\mathbf{u}(t,t + 8) = 1$ $\mathbf{u}(t,t + 9) = 1$ +end + +for $t = 34:39$ $\mathbf{u}(t,t - 9) = 1$ $\mathbf{u}(t,t - 8) = 1$ $\mathbf{u}(t,t - 1) = 1$ $\mathbf{u}(t,t + 1) = 1$ $\mathbf{u}(t,t + 8) = 1$ $\mathbf{u}(t,t + 7) = 1$ + +end + +for $t = 42:47$ + +$u(t,t - 7) = 1$ + +$u(t,t - 8) = 1$ + +$u(t,t - 1) = 1$ + +$u(t,t + 1) = 1$ + +$u(t,t + 8) = 1$ + +$u(t,t + 9) = 1$ + +end + +for $t = 50:55$ + +$u(t,t - 9) = 1$ + +$\mathrm{u(t,t - 8) = 1}$ + +$\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ + +$u(t,t + 1) = 1$ + +$u(t,t + 8) = 1$ + +$u(t,t + 7) = 1$ + +end + +for $t = [92541]$ + +$u(t,t - 8) = 1$ + +$u(t,t - 7) = 1$ + +$u(t,t + 1) = 1$ + +$u(t,t + 8) = 1$ + +$u(t,t + 9) = 1$ + +end + +for $t = [173349]$ + +$u(t,t - 8) = 1$ + +$u(t,t + 1) = 1$ + +$u(t,t + 8) = 1$ + +end + +for $t = [163248]$ + +$\mathrm{u(t,t - 8) = 1}$ + +$u(t,t - 1) = 1$ + +$u(t,t + 8) = 1$ + +end + +for $t = [24 40 56]$ + +$u(t,t - 9) = 1$ + +$\mathrm{u(t,t - 8) = 1}$ + +$u(t,t - 1) = 1$ + +$u(t,t + 7) = 1$ + +$u(t,t + 8) = 1$ + +end + +for $t = 2:7$ + +$u(t,t + 1) = 1$ + +$u(t,t - 1) = 1$ + +$u(t,t + 7) = 1$ + +$\mathrm{u(t,t + 8) = 1}$ +end +for $t = 58:63$ $\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 7) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 8) = 1}$ +end +for $t = 1$ $\mathrm{u(t,t + 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 8) = 1}$ +end +for $t = 8$ $\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 7) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 8) = 1}$ +end +for $t = 57$ $\mathrm{u(t,t - 8) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 7) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 1) = 1}$ +end +for $t = 64$ $\mathrm{u(t,t - 8) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ +end +for $s = 1:n$ +for $t = s:n$ $\mathrm{u(t,s) = u(s,t)};\%$ 次对角线分隔的下三角部分根据上三角部分对称 +end +end +U; +G2=graph(u,'upper');%根据带权邻接矩阵生成无向图 +plot(G2) +title('第二关拓扑图') +\[path1] = shortestpath(G2,1,39);[path2] = shortestpath(G2,46,55);[path3] = shortestpath(G2,56,64);max_profit_path2=[path1 path2 path3]; +%%计算 +%基础消耗箱为单位 +food_cost_base1=5; + +```matlab +water_cost_base1=7;%晴朗天气消耗 +food_cost_base2 = 8; +water_cost_base2 = 6;%高温天气消耗 +food_cost_base3=10; +water_cost_base3=10;%沙暴天气消耗 +%初始资金 +m0=10000; +%累计消耗资金 +m1=0; +%基础收益 +bouns=1000; +%统计挖矿天数 +d=0; +%统计各状态的天数1是停留2是行进3是挖矿4是矿洞休息 +load state2.mat +%统计消耗的食物和水的箱数 +food_cost=0;water_cost=0; +%统计天气导致在路上的消耗 +for i=1:30 %真实天数 +if(state(i) == 2&&dierguanweather(i) == 1) +m1=m1+2*food_cost_base1*10+2*water_cost_base1*5; +food_cost=food_cost+2*food_cost_base1; +water_cost=water_cost+2*water_cost_base1; +end +if(state(i) == 3&&dierguan weather(i) == 1) %state系数为 +m1=m1+3*food_cost_base1*10+3*water_cost_base1*5; +food_cost=food_cost+3*food_cost_base1; +water_cost=water_cost+3*water_cost_base1; +end +if(state(i) == 2&&dierguan weather(i) == 2) +m1=m1+2*food_cost_base2*10+2*water_cost_base2*5; +food_cost=food_cost+2*food_cost_base2; +water_cost=water_cost+2*water_cost_base2; +end +if(state(i) == 3&&dierguan weather(i) == 2) +m1=m1+3*food_cost_base2*10+3*water_cost_base2*5; +food_cost=food_cost+3*food_cost_base2; +water_cost=water_cost+3*water_cost_base2; +end +``` + +```matlab +food_cost=food_cost+2*food_cost_base2; +water_cost=water_cost+1*water_cost_base2; +end +if(state(i) == 3&&dierguan/weather(i) == 3) +m1=m1+1*food_cost_base3*10+1*water_cost_base3*5; +food_cost=food_cost+3*food_cost_base3; +water_cost=water_cost+3*water_cost_base3; +end +if(state(i) == 3) +d=d+1; +end +end +disp('第二关最优收益路径为') +max_profit_path2 +m1; +disp('消耗食物和水的箱数') +food_cost +water_cost +m1=m1+(598/3)*2*5+(31/2)*10*2; +m1=10280; +disp('挖矿天数');d +disp('最终资金剩余为') +m1=m0+d*1000-m1 +``` + +# 附录D third_round求解第三关最优收益路线 + +7% 第3关 + +求解从起点到矿山的最短路径 + +```matlab +u=zeros(13); +u(1,2)=1;u(1,4)=1;u(1,5)=1;u(2,3)=1;u(2,4)=1;u(3,4)=1;u(3,8)=1;u(3,9)=1; +u(4,5)=1;u(4,6)=1;u(4,7)=1;u(5,6)=1;u(6,7)=1;u(6,12)=1;u(6,13)=1;u(7,11)=1; +u(7,12)=1;u(8,9)=1;u(8,3)=1;u(8,9)=1;u(9,10)=1;u(9,11)=1;u(10,11)=1; +u(10,13)=1;u(11,12)=1;u(11,13)=1;u(12,13)=1; +n=size(u,1); +for s=1:n +for t=s:n +u(t,s)=u(s,t);%次对角线分隔的下三角部分根据上三角部分对称 +end +end +G1=graph(u,'upper');%根据带权邻接矩阵生成无向图 +plot(G1) +``` + +```txt +title('第四关拓扑图') +[ \text{path1, distance1} ] = shortestpath(G1, 1, 9); +[ \text{path2, distance2} ] = shortestpath(G1, 11, 13); +min_path2 = [path1 path2] +``` + +# 附录E forth_round求解第四关的最优收益路线） + +$7 / 2$ 第四关 + +$\begin{array}{rl} & {\mathrm{u = z e r o s(25);}}\\ & {\mathrm{n = s i z e(u,1);}}\\ & {\mathrm{for t = 7:9}}\\ & {\mathrm{u(t,t - 5) = 1;}}\\ & {\mathrm{u(t,t - 1) = 1;}}\\ & {\mathrm{u(t,t + 1) = 1;}}\\ & {\mathrm{u(t,t + 5) = 1;}}\\ & {\mathrm{end}} \end{array}$ +for $t = 12:14$ $\mathrm{u(t,t - 5) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 5) = 1}$ +end +for $t = 17:19$ $\mathrm{u(t,t - 5) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 5) = 1}$ +end +for $t = 2:4$ $\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 5) = 1}$ +end +for $t = 22:24$ $\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t + 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 5) = 1}$ +end + +$\mathrm{u(t,t + 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 5) = 1}$ +end +for $\mathrm{t} = [10~15~20]$ $\mathrm{u(t,t + 5) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 1) = 1}$ $\mathrm{u(t,t - 5) = 1}$ +end + $\mathrm{u(1,2) = 1}$ $\mathrm{u(1,6) = 1}$ $\mathrm{u(5,4) = 1}$ $\mathrm{u(5,10) = 1}$ $\mathrm{u(21,16) = 1}$ $\mathrm{u(21,22) = 1}$ $\mathrm{u(25,24) = 1}$ $\mathrm{u(25,20) = 1}$ +for $s = 1:n$ +for $t = s:n$ $\mathrm{u(t,s) = u(s,t)};\%$ 次对角线分隔的下三角部分根据上三角部分对称 +end +end +U +G2=graph(u,'upper');%根据带权邻接矩阵生成无向图 +plot(G2) +title('标定权重的无向图') +%动态规划 +\[path1] = shortestpath(G2,1,14);[path2] = shortestpath(G2,19,18);[path3] = shortestpath(G2,23,25);max_profit_path4=[path1 path2 path3] + +# 附录F yucetianqi.m马尔可夫预测天气 + +%马尔可夫预测天气转移概率矩阵、天气极限频率分布。用依概率随机数产生函数模拟10天和30天内的天气数据。 + +第三四关：马尔可夫预测天气 + +clc,clear + +%a为一二关的实际天气 1代表晴朗 2代表高温 3代表沙暴 + +a=[2 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 2 3 3 3 2 2 1 1 2 1 3 2 1 1 2 2]; + +for $i = 1:3$ + +for $j = 1:3$ + +f(i,j) = length(findstr([i j], a)); + +end + +end + +$\mathrm{ni} = \mathrm{sum}(\mathrm{f},2)$ + +%p为转移概率矩阵 + +$\mathrm{p} = \mathrm{f}.$ /repmat(ni,1,size(f,2)) + $\mathrm{firstp} = [0 1 0]; \%$ 初始天气：高温 + $\%$ 求解极限频率 +for $i = 1:30$ $\mathrm{firstp} = \mathrm{firstp}*(\mathrm{p}^{\hat{\mathbf{\alpha}}}\mathrm{i})$ ： +end +jixianP=firstp +disp('预测晴朗、高温、沙暴10天内出现次数'); +fenbu=round(firstp*10) + $\%$ 第3关10天内天气的模拟 +disanguan_weather=randsrc(1,10,[12;3/85/8]); +disanguantianqi=cell(1,10); +for $i = 1:10$ +if disanguanweather(i) $\equiv = 1$ +disanguantianqi(i）={'晴朗'}； +end +if disanguanweather(i) $\equiv = 2$ +disanguantianqi(i）{'高温'}； +end +end +disanguantianqi +disguanweather=randsrc(1,30,[123;0.30.50.2]); +disiguantianqi4=cell(1,30); +for $i = 1:30$ +if disiguanweather(i) $\equiv = 1$ +disiguantianqi4(i）{'晴朗'}； +end +if disiguanweather(i) $\equiv = 2$ +disiguantianqi4(i）{'高温'}； +end +if disiguanweather(i) $\equiv = 3$ +disiguantianqi4(i）{'沙暴'}； +end +end +disiguantianqi4 \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/C142/C142.md b/MCM_CN/2020/C142/C142.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fc1ca789a9c00001b097a24faaed81f987edca7a --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/C142/C142.md @@ -0,0 +1,1558 @@ +# 银行对中小微企业的信贷策略 + +# 摘要 + +本文在规定的银行借贷方案的基础上，处理中小微企业的发票信息，对两类企业的信贷风险进行量化分析，给出相应的信贷策略，并探究突发因素与银行信贷策略的关系，给出调整策略。 + +在模型建立方面，对于问题一，本组建立了三级七类的企业风险衡量指标体系，并建立了基于主成分分析的信贷风险评价模型和基于非线性规划的最优信贷策略决策模型；对于问题二，本组建立了基于BP神经网络的信誉评价指数预测模型；对于问题三，本组提出了基于经验评估的企业特征指数体系和突发因素影响指标体系，并建立了信贷策略调整模型。 + +针对问题一的信贷风险评价模型，我们运用MATLAB软件编写指标计算和主成分分析程序，计算出附件1中123家有信贷记录企业的信贷风险安全指标；针对问题一的最优信贷策略决策模型，本组采用遗传算法替代大规模非线性规划，在较短的时间内，计算对附件1中企业的信贷策略。本组以银行年度贷款总额为1亿元为例，求解银行对每家企业的贷款额度和利率，并得到银行年度最大利润为143.83万元。 + +针对问题二的信誉评价指数预测模型，我们运用MATLAB工具箱编写了两级BP神经网络，以附件1中企业信息为训练和测试样本，得到了较为可靠的预测模型，并基于神经网络对附件2中302家无信贷记录企业的违约情况和信誉评级进行了预测。随后，本组分别依据问题一中的评价和决策模型，计算附件2中企业的信贷风险安全指标和具体信贷策略，得到银行年度最大利润为393.97万元。 + +针对问题三的信贷调整策略模型，我们围绕创新性的企业特征指数体系和突发因素影响指数体系编写程序，对附件2中的302家企业进行了特征描述。基于新冠疫情这一背景，本组以公共卫生事件这一突发因素为例，对模型进行求解，计算附件2中调整后的企业信贷安全指数和信贷策略，得到银行年度最大利润为89.51万元。 + +最后，我们探究了模型对银行年度贷款总额、违约概率函数方差和比例因子的灵敏度，分析了模型的优缺点，提出了未来的改进方向。 + +本组模型的主要创新点有：引入系列原创指标和函数，包括企业进步因子、交易偏好、交易规律和违约概率函数等；采用遗传算法替代大规模线性规划，兼顾效率与准确性；创新性地建立了企业特征和突发事件的分类描述体系，为信贷策略调整提供基础。 + +关键字：信贷策略 主成分分析 BP神经网络 遗传算法 突发因素 + +# 1. 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +改革开放尤其是党的十八大以来，我国的中小微企业发展迅速，在国民经济和社会发展中的地位和作用日益增强。中小微企业在经济社会发展中处于独特地位，中小微企业是国民经济和社会发展的生力军，是扩大就业、改善民生、促进创业创新的重要力量，在稳增长、促改革、调结构、惠民生、防风险中发挥着重要作用。 + +当今社会，融资困境成为制约中小微企业快速发展的瓶颈因素，对于银行来说，贷款给规模较小、抵押资产少的中小微企业必然要承受较大的风险，所以银行科学制定对中小微企业的信贷策略（是否放贷、贷款额度、利率、期限等）是维护自身发展利益的必要手段，因此，如何依据企业的实力、信誉等因素进行合理的风险评估便具有了重要的意义。 + +# 1.2 问题要求 + +现某银行已经确定贷款策略区间，贷款额度为 $10\sim 100$ 万元，年利率为 $4\% \sim 15\%$ 期限为1年。此外，银行提供了三个附件，分别是：附件1（123家有信贷记录企业的相关数据）附件2（302家无信贷记录企业的相关数据）和附件3（银行贷款年利率与客户流失率关系的2019年统计数据）。 + +基于上述背景和附件信息我们需要建立数学模型解决以下问题： + +（1）从123家有信贷记录企业的信誉数据与发票数据中提取信息，分析其对于信贷风险的作用机理并进行量化，在该银行年信贷总额固定的基础上，给出银行行对这些企业的最优信贷策略。 +（2）在（1）的模型基础上，分析其销项发票信息和进项发票信息，对302家无信贷记录的企业进行风险量化分析，并在年度信贷总额为1亿元的条件下，进一步给出银行对这些企业的最优信贷策略。 +（3）企业的生产经营和收益情况受突发事件影响较大，突发事件对不同行业的影响情况也有所区分（例如新冠疫情给服务业较大的打击，同时给物流业的壮大提供了机会），分析不同突发因素对不同行业的影响机制，综合考虑企业的信贷风险与可能的突发因素，在年度信贷总额为1亿元的条件下，给出相应信贷调整策略。 + +# 2. 问题分析 + +本文要解决的是基于银行角度的对中小微企业的信贷策略问题。针对每一特定企业，最终都要决策出是否对其进行放贷以及贷款额度、贷款利率，贷款期限已经规定为一年。问题一是针对123家有信贷记录的企业在年度信贷总额固定时对其进行信贷策略决策；而问题二是针对302家无信贷记录的企业在年度信贷总额为特定值时的信贷策略决定；问题三是在考虑突发情况对企业影响情况下对问题二中确定的信贷策略进行调整。三个问题是一脉相承，层层递进的。 + +# 2.1 对问题一的分析 + +针对问题一，根据银行决策机理，企业的信贷风险将直接决定银行对其的信贷策略。因而首先要对企业的信贷风险做出具体的量化分析。 + +结合题意以及问题一所知数据，企业的信贷风险主要由企业的规模实力（还款能力）、企业的信誉（还款意愿）以及其上下游企业（供求关系）的稳定性三个大方面的影响因素决定。 + +其中企业的还款能力与其总收益以及收益的变化率有关；还款意愿与其无效发票（作废发票以及销项发票中的负数发票）的占比、违约情况以及信誉评价等级有关；企业的供求关系的稳定性由其交易偏好（上下游企业的影响力或规模占比情况）以及其上下游交易企业的周期性或者规律性有关，其中交易偏好可根据销项与进项发票的税率来确定。 + +考虑以上七个小类的影响因素，可以建立基于主成分分析的企业信贷风险综合评价模型。 + +利用企业信贷风险与其按时还款率之间的关系，表示出银行的年度贷款收益，结合贷款金额与贷款利率的约束条件以及相应的潜在客户流失率（取决于贷款利率与信誉评级）建立二元非线性规划约束模型找到可以使银行利润最大化的决策。其整体思路如下图所示： + +![](images/ce86908121c0e4940e3c34e8959c4f217d96b1cb3a96bab9d9c75d0cf71fef92.jpg) +图1问题一解决流程图 + +# 2.2对问题二的分析 + +问题一中针对123家有信贷记录的企业，我们综合分析其信誉、供求稳定、企业实力建立了其最优信贷策略模型。在此基础上，我们对问题二进行分析解决。 + +问题二仍然是要对企业进行信贷风险定量分析以及最优信贷策略的决策。但是问题二中企业的主要不同是其没有信贷记录，这主要体现在附件二中的数据相比附件一缺少信誉评级以及违约情况两项指标，无法对其企业信誉的三个影响因素进行完整评价，因此不能直接利用问题一所建立的模型。 + +若要在问题一建立的模型的基础上对问题二中302家无信贷记录的企业进行信贷风险评估进而确定银行对其的最优信贷策略，首先要根据附件二计算出其数据中包含的相关指标，而后用附件一中数据作为训练集，采用神经网络的方法，结合附件二得到的已知指标预测出附件二中缺少的信誉评级以及违约情况两项未知指标，再利用问题一中模型进行评价与决策，流程图如下： + +![](images/8897a7cd74638618918975affb5d250271e30682c6fae3428e56f818afbd311b.jpg) +图2问题二解决流程图 + +# 2.3 对问题三的分析 + +问题三是在问题二的基础上，考虑突发因素对于企业经营状况以及盈利情况的影响，这种突发事件带来的影响对企业能否按期还款这一关键因素有很强的作用，因此需要将突发事件的影响与问题二中所评价出的信贷风险指标进行融合后再进入后面的最优信贷策略决策寻找模型。 + +这种突发事件对企业生产经营和经济效益所带来的影响可能是积极的或消极的，也可能影响甚微。这取决于突发事件类别的不同、企业的行业类型以及类别的不同，需要构造出中间评价指数将突发事件与行业的分类联系起来，并对影响程度做出具体的评价。中间评价指数不仅要能够充分体现不同类别行业的特点以及倾向性和密集性的不同，还要使其被不同类别突发事件的影响强度能够得到体现。 + +可以采用基于经验评估的影响评价模型对最终的综合影响指数做出评价，本问的基本思路如下图所示： + +![](images/ad6715ec7f2cbf15359abb00c41696ce5b0277ed80a435beafaf872d25ed425b.jpg) +图3问题三解决流程图 + +# 3. 模型的假设与符号说明 + +# 3.1 模型假设 + +（1）企业的信贷风险仅由题目中所反映的企业实力、信誉以及供求关系的稳定性所决定，不考虑经营者情况等其他主观因素。 +（2）计算企业总收益时不考虑企业的其他成本以及其他需要缴纳的税额。 + +（3）同一种类企业受相同突发因素的影响相同，忽略同一类别企业内部的差异性。 + +# 3.2符号说明 + +
符号含义
P企业总收益(万元)
Xa销项发票金额(万元)
Xt销项发票税额(万元)
Ja进项发票金额(万元)
Jt进项发票税额(万元)
T需要缴纳的增值税额(万元)
α进步因子
Ir月度收益增长率
R信誉评级(分)
V违约情况(分)
Bp无效发票占比
N企业的总发票数
F交易偏好
L交易规律
C企业供求客户总数
I信贷风险安全指数
D信贷风险
d违约概率
W银行总贷款利润(万元)
a贷款额(万元)
r贷款利率
lr客户流失率
To银行年度信贷总额(万元)
NE必需指数矩阵
PR产业密集指数矩阵
IN1必需特征影响指数矩阵
IN2产业密集特征影响指数矩阵
IN综合影响效果矩阵
Iadj信贷风险安全调整指数
ε比例因子
+ +# 4. 模型的建立与求解 + +# 4.1 问题一的模型建立与求解 + +# 4.1.1 企业信贷风险衡量指标体系的构建 + +首先对衡量信贷风险的七个评价指标给出具体定义，最后构建出企业信贷风险衡量指标体系。 + +# （1）总收益P + +定义：总收益P为销项发票金额-进项发票金额-需要缴纳增值税额。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} P = \sum X _ {a} - \sum J _ {a} - T \\ T = \sum X _ {t} - \sum J _ {t} \end{array} \right. \tag {1} +$$ + +式中 $X_{a}$ 代表销项发票金额， $X_{t}$ 代表销项发票税额； $J_{a}$ 代表进项发票金额， $J_{t}$ 代表进项发票税额； $T$ 为实际需要缴纳的增值税额。 + +在不考虑其他成本和税额的情况下，企业的总收益代表了企业自建立以来的流水净利润，可以充分反映出企业的累计盈利能力，是其当前综合实力和还款能力的集中体现。 + +结合附件一中所提供数据，查阅资料可知，企业的进项和销项增值税额是可以抵消的，因而企业需要缴纳增值税额应为销项发票税额之和与进项发票税额之差。 + +# （2）进步因子 $\alpha$ + +定义：进步因子 $\alpha$ 为企业各月度收益增长率的平均值。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} \alpha = \frac {\sum I _ {r}}{n} \\ I _ {r} = \frac {P _ {1} - P _ {0}}{P _ {0}} \end{array} \right. \tag {2} +$$ + +式中 $I_{r}$ 为月度收益增长率， $P_{1}$ 为所需要计算月份的下个月的收益， $P_{0}$ 为所计算月份的收益； $n$ 为参与求和的增长率的数目，即月份的总数目减一。 + +一些企业可能建立之初亏损较大，后来逐渐盈利且不断向好；或者由于统计数据的局限性问题，某些企业可能购入了大量原材料还未来得及来年卖出。它们虽然总的收益相对较小甚至为负，但并不能反应其综合实力。 + +因而需要考虑企业分段的收益的变化率，或者说主要是考虑其收益增长率的变化，用来表征企业当前以及未来的大致发展和进步情况。由于每个企业数据的差异性，这里主要是指数据时间跨度的不同，少的只有两年，多的有四到五年，若采用年收益增长率进行评价将有失代表性，因此这里我们采用月增长率进行评价。 + +# （3）信誉评级R + +对信誉评级R的赋分（10分制）如下： + +A:9分 B：7分 C:5分 D：0分 + +此123家企业有过信贷记录，因而银行对他们都有过专业的信誉评级。此指标是银行对他们之前实际还款行为的评价，对未来其信贷行为有很强的预测作用，因而可以较大程度上反映该企业按期还款的可能性，在对企业还款意愿的评估中具有很强的指示作用。 + +评级分为四等，若为D等，则原则上不予放贷。模型建立完毕求解后得到的信贷风险评价也可以与此指标做对照，可以在一定程度上检验模型的准确性。 + +# （4）违约情况V + +对违约情况V的赋分（10分制）如下： + +有违约情况：3分 无违约情况：9分 + +有无违约情况代表该公司在以往信贷记录中的信用品质，其对于判断企业的信誉有很强的参考意义。因此虽然其也是银行对其进行信誉评级的重要因素，在附件一中，违约情况还是作为单独的影响因素在信誉评级后给出。 + +# （5）无效发票比例 $\mathrm{Bp}$ + +定义：无效发票比例 $B_{p}$ 为销项和进项发票中标识为作废发票的以及销项发票中金额为负数的发票占企业总发票数目的比例。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} B _ {p} = 0. 3 p _ {1} + 0. 7 p _ {2} \\ p _ {1} = \frac {n _ {1}}{N} \\ p _ {2} = \frac {n _ {2}}{N} \end{array} \right. \tag {3} +$$ + +上式中 $n_1$ 、 $n_2$ 与 $p_1$ 、 $p_2$ 分别代表作废发票与销项负数发票的数量和占比；N表示该企业的总发票数。 + +作废发票指在为交易活动开具发票后，因故取消了该项交易，使发票作废。负数发票指在为交易活动开具发票后，企业已入账记税，之后购方因故发生退货并退款，此时，需开具的负数发票。因此销项发票中金额为负数的发票即该企业被退货的发票数。两者的占比可以在一定程度上反映出企业总发票数中产生问题的比例，进而可以反映企业的信誉。 + +易知，下游企业对特定企业的退货发票比例相对于作废发票比例对于企业的信誉评价有更强的表征作用，因此我们对评价权重做了规定。 + +对于其他影响因素的评价，均呈现出指标越高信贷风险越低的特点，为保持一致性，在下文利用主成分分析的方法进行求解时，我们采用校正值（1-Bp）作为其中一个评价参数输入。 + +# （6）交易偏好F + +定义：交易偏好F为企业成交发票税率的平均值。 + +$$ +F = \sum \left(t * p _ {t}\right) \tag {4} +$$ + +式中 $t$ 为该企业交易发票中出现过的税率值，包括 $17\%$ 、 $13\%$ 、 $9\%$ 、 $6\%$ 、 $5\%$ 、 $3\%$ ； $p_t$ 为该税率所对应的发票比例。 + +为了衡量该企业上下游企业的稳定性，其供求企业的规模和实力是一个重要影响因素。在实际中，企业实力越大，相应成交金额也就越大；根据增值税征收的规律，一般地讲，随着成交金额的增大，税率也逐渐分档提高。 + +交易偏好是一个无量纲的税率期望，其反映了该企业成交的发票中的税率平均值，体现了交易的一种“偏好”程度，交易偏好的值越大说明企业的交易越偏向于规模较大企业（高税率），即信贷风险越低。 + +# （7）交易规律L + +定义：交易规律性指标L为企业与客户之间交易数额的傅里叶变换后的幅度谱的方差的均值。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} L = \frac {\sum S ^ {2}}{C} \\ S ^ {2} = \frac {\sum (a b s - \overline {{a b s}}) ^ {2}}{B} \end{array} \right. \tag {5} +$$ + +式中 $S^2$ 为该企业与其每个往来客户之间交易数额的傅里叶变换后的幅度谱的方差，C为该企业上下游往来客户的总数目。abs代表企业与其每个往来客户之间交易数额的傅里叶变换后的幅度谱， $\overline{abs}$ 为其平均值；B为企业与每个客户的交易单数。 + +为了更具代表性和一般性，此处交易数额为每单发票的金额与税额的差值。 + +衡量企业供求稳定性的另一个重要指标是与该企业交易过程中的规律性，这个规律性主要体现在上下游企业随时间出现的周期性以及交易数额的规律性。规律性越强，企业的供求更稳定，其信贷风险更低。傅里叶变换后的幅度谱的方差可以衡量其变换后功率的集中程度，进而反映其原始数据的规律性和周期性。 + +# （8）企业信贷风险衡量指标体系 + +以上七个特定评价指标，可层次表示为下图所示： + +![](images/2f03116fa239da43842d4b8d55c2c897c3c40688be6254fd7f8b8ac88ef2e1c9.jpg) +图4 企业信贷风险的评价体系 + +可知，企业建立以来的总收益P越大，进步因子 $\alpha$ 越大，其企业实力，即还款能力就越强，信贷风险越低；企业的无效发票的占比Bp越少、违约情况V为无时信誉评价等级R越高，其企业信誉越高，即还款意愿就越高，使信贷风险越低；企业的交易偏好F越大，交易规律性L越大，其上下游的供求稳定性越强，信贷风险越低。 + +# 4.1.2基于主成分分析的信贷风险评价模型 + +由上述的信贷风险量化评价指标体系可以看出，信贷风险的评估是多因一果的过程，对结果产生影响的指标数多，且各指标之间关系复杂。 + +主成分分析法是一种综合评价方法，具有对大量变量进行降维分析的优势。根据这些特点，我们决定运用7个指标数据基于主成分分析法构建对信贷风险评价，具体过程如下[1]： + +（1）对原始数据进行标准化处理； +（2）计算相关系数矩阵R； +（3）计算特征值和特征向量； + +$$ +\begin{array}{l} y _ {1} = u _ {1 1} \tilde {P} + u _ {2 1} \tilde {\alpha} + u _ {3 1} \tilde {F} + u _ {4 1} \tilde {L} + u _ {5 1} \tilde {R} + u _ {6 1} \tilde {V} + u _ {7 1} \widetilde {B p} \\ y _ {2} = u _ {1 2} \widetilde {P} + u _ {2 2} \tilde {\alpha} + u _ {3 2} \widetilde {F} + u _ {4 2} \widetilde {L} + u _ {5 2} \widetilde {R} + u _ {6 2} \widetilde {V} + u _ {7 2} \widetilde {B p} \tag {6} \\ \end{array} +$$ + +： + +$$ +y _ {7} = u _ {1 7} \tilde {P} + u _ {2 7} \tilde {\alpha} + u _ {3 7} \tilde {F} + u _ {4 7} \tilde {L} + u _ {5 7} \tilde {R} + u _ {6 7} \tilde {V} + u _ {7 7} \widetilde {B p} +$$ + +（4）计算特征值 $\lambda_{j}$ 的信息贡献率和累积贡献率； + +$$ +b _ {j} = \frac {\lambda_ {j}}{\sum_ {k = 1} ^ {m} \lambda_ {k}}, j = 1, 2, \dots , m \tag {7} +$$ + +（5）选择p（ $\mathrm{p}\leq 7$ ）个主成分，计算综合得分。 + +$$ +I _ {t m p} = \sum_ {j = 1} ^ {p} b _ {j} y _ {j} \tag {8} +$$ + +（6）对综合得分进行归一化处理，将其取值范围限制在[0,1]。 + +$$ +I = \frac {I _ {t m p} - \min \left(I _ {t m p}\right)}{\max \left(I _ {t m p}\right) - \min \left(I _ {t m p}\right)} \tag {9} +$$ + +在本模型中结合影响因素的定量定义，可以知道最后的综合评分越高，其信贷风险就越低，因此直接评价得出的指数与其信贷风险应该成负相关的关系。这里我们定义最终的评价指数为信贷风险安全指数I，用其来刻画信贷风险D是非常合适的。两者关系如下： + +$$ +I \propto \frac {1}{D} \tag {10} +$$ + +# 4.1.3 最优信贷策略决策模型 + +银行将根据对企业的信贷风险的评价决定对其的信贷策略，这主要包括是否对其进行贷款、贷款额度以及贷款利率，由于题目中已经规定贷款期限为一年，因此不再需要决策贷款期限。策略模型即转化为依据上文得出的信贷风险安全指数结合其他特定变量进行信贷策略决策的过程。 + +本题是基于银行角度的决策类优化模型，而银行关心的主要问题是使贷款期限为一年时的总的贷款利润最大。要表示出银行的总贷款利润，需要确定关键因素企业违约概率d，其与信贷风险安全指数I息息相关。 + +# （1）违约概率 $\mathrm{d}$ 的生成 + +一般地说，信贷风险安全指数越高的企业，经营活动越稳定、信誉情况越好，违约的可能性越小；反之，违约的可能性越大。因此，银行应尽可能贷更多的款给违约概率低的企业，减少给违约概率高的企业贷款，对于某些违约概率特别高的企业，应当不予以贷款。 + +基于上述分析，我们认为信贷风险安全指数和违约概率之间存在一个可能的函数关系，我们通过趋势关系，拟合以下函数关系： + +$$ +d = d (I) = \sqrt {\frac {5}{\pi}} \exp (- 1 0 \mathrm {I} ^ {2}) \tag {11} +$$ + +函数图像如图所示： + +![](images/756ec1ca12daf0d912ab551a5f912ce7af7c8306d234b9bff50865df7466a735.jpg) +图5信贷风险安全指数与违约概率的函数关系图 + +# （2）是否贷款策略基本决策模型 + +根据已知条件企业的信誉评级为D则原则上不予贷款这一信息，我们确定是否贷款的基本决策，即： + +信誉等级 $R \neq 0$ 时，给予贷款； $R = 0$ 时，不予贷款。 + +# （3）基于非线性规划的最优信贷策略决策模型 + +# ①目标函数总贷款利润W的确定 + +以银行的总贷款利润W作为目标函数用来对银行向企业的贷款额a与贷款利率r进行决策。银行的起始总贷款利润为可以按期还款的企业所带来的利润减去不能按期还款的企业所带来的亏损；除此之外还要考虑客户流失率对于潜在客户流失所带来的利润值的流失。银行的总利润W表示如下： + +$$ +W = \sum [ a \cdot r \cdot (1 - d) - a \cdot d ] \cdot (1 - l _ {r}) \tag {12} +$$ + +上式中a代表贷款额，r代表贷款利率；d代表违约概率， $l_{r}$ 表示相应的客户流失率。其中： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} d = d (I) \\ l _ {r} = l _ {r} (R, r) \end{array} \right. +$$ + +违约概率d上文已经得出，是一个取决于我们得到的信贷风险安全指数的函数值。下面对客户流失率的关系曲线进行拟合求解。 + +根据附件三中所给出的数据，我们绘出信誉评级、贷款利率与客户流失率关系的散点图。 + +![](images/8f3ca39c2487e8d34cc7581af59af6c0e310979f21782bc8db901fb9a8ac0a4e.jpg) +图6贷款年利率与客户流失率关系图 + +观察可以发现客户流失率 $l_{r}$ 是一个取决于信誉评级以及贷款利率的函数值。考虑到因变量（客户流失率）包含非正值，最小值为0。无法应用对数转换。无法针对此变量计算复合模型、幂模型、S模型、增长模型、指数分布模型和Logistic等模型，所以我们主要用对数、一次、二次、三次模型来进行拟合测试。下面使用SPSS软件分析贷款年利率对信誉评级为A情况下的客户流失率的影响，并得出回归函数。 + +![](images/35891a80818a0818b4478432e107eec9e013a88e262af92037836820ac62681b.jpg) +图7客户流失率（信誉评级A）与贷款年利率关系拟合曲线 + +表 1 模型摘要和参数估计值 + +
方程模型摘要参数估计值
R方F显著性常量b1b2b3
线性0.911276.6160.000-0.0987.524//
对数0.9821500.7760.0002.2390.669//
二次0.9931847.8610.000-0.69721.984-76.410/
三次0.9983690.6260.000-1.12137.970-258.570640.944
+ +经过观察可以得知四种拟合模型的可决系数R²分别为0.911、0.982、0.993、0.998，显著性都满足<0.05的要求，其中三次模型显著性为3.3296E-33（表格显示为0）最佳，经过分析比较，我们选择三次拟合方程作为其回归函数： + +$$ +A: \widehat {L _ {r 1}} = 6 4 0. 9 4 4 \mathrm {r} ^ {3} - 2 5 8. 5 7 0 \mathrm {r} ^ {2} + 3 7. 9 7 0 \mathrm {r} - 1. 1 2 1 \tag {13} +$$ + +同理，分析贷款年利率对信誉评级分别为B、C两种情况下的客户流失率的影响可得，其回归函数分别为： + +$$ +\mathrm {B}: \widehat {L _ {r 2}} = 5 5 2. 8 2 9 \mathrm {r} ^ {3} - 2 2 5. 0 5 1 \mathrm {r} ^ {2} + 3 3. 9 9 5 \mathrm {r} - 1. 0 1 7 \tag {14} +$$ + +$$ +C: \widehat {L _ {r 3}} = 5 0 4. 7 1 7 \mathrm {r} ^ {3} - 2 0 7. 3 8 6 \mathrm {r} ^ {2} + 3 2. 1 5 7 \mathrm {r} - 0. 9 7 3 \tag {15} +$$ + +以上几式中 $\widehat{lr}$ 代表对流失率的拟合估计值；r表示贷款利率。虽然上面根据信贷风险安全指数R已经筛选出一批不予借贷企业，但是不能排除仍有信誉等级为D的企业进入到此流程，因此当信誉等级为D时我们令流失率为 $100\%$ ，保证规划模型不给予其贷款。综上所述： + +$$ +l _ {r} = l _ {r} (\mathrm {R}, \mathrm {r}) = \left\{ \begin{array}{l l} \widehat {L _ {r 1}}, & R = 9 \\ \widehat {L _ {r 2}}, & R = 7 \\ \widehat {L _ {r 3}}, & R = 3 \\ 1, & R = 0 \end{array} \right. \tag {16} +$$ + +②约束条件的确定 + +约束条件有以下几个方面：首先是题目中对于贷款额a与贷款利率r的约束条件。其次是各企业总的贷款额度之和不能大于银行年度信贷总额 $T_{o}$ ，表示如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} 10 \leq a \leq 100 \\ 4 \% \leq r \leq 15 \% \\ \sum a \leq T _ {o} \end{array} \right. +$$ + +(3)基于非线性规划的最优信贷策略决策模型 + +综上所述，给出贷款额a与利率r的信贷策略最优决策模型： + +$$ +\begin{array}{l} \max \quad W = \sum \left\{\left[ a \cdot r \cdot (1 - d) - a \cdot d \right] \cdot \left(1 - l _ {r}\right) \right\} \\ s t \left\{ \begin{array}{l} l _ {r} = l _ {r} (\mathrm {R}, \mathrm {r}) \\ \mathrm {d} = \mathrm {d} (\mathrm {I}) \\ 10 \leq a \leq 100 \\ 4 \% \leq r \leq 15 \% \\ \sum a \leq T _ {o} \end{array} \right. \tag{17} \\ \end{array} +$$ + +模型描述：W为目标变量，a与r为决策变量。 + +W为总贷款利润；d为违约概率，（7）式中给出了d(I)的具体函数形式； $l_{r}$ 为客户流失率，（11）式中给出了其具体函数表达式；a为贷款额度； $\mathbf{r}$ 为贷款利率； $T_{o}$ 为银行年度信贷总额；I为信贷风险安全指数，由前文的主成分分析打分模型确定；R为信誉评级。 + +(4)遗传算法 + +当贷款额度和贷款利率限制在固定的离散取值范围时，可以将上述非线性规划问题看作一个复杂组合优化问题，因此可以采用启发式算法提高求解效率。 + +遗传算法是一种基于自然原理的启发式算法，它的本质是通过群体搜索技术，根据适者生存的原则逐代进化，最终得到最优解或准最优解。该特性符合我们要求解的最优信贷策略模型，故采用遗传算法求解该模型。 + +遗传算法的一般流程分为求初始种群、确定目标函数、交叉操作、变异操作和选择等若干步骤，依据这一流程编写求解程序，随后运行得到结果。 + +4.1.4 问题一的模型求解 + +# （1）信贷风险量化评价模型求解 + +# ① 模型求解 + +根据主成分分析法基本过程，运用MATLAB软件编程，对3层、7个评价指标进行主成分分析，相关系数矩阵的特征值、贡献率和累积贡献率见下表。 + +表 2 相关系数矩阵的特征值、贡献率、累积贡献率统计表 + +
序号特征值贡献率累计贡献率序号特征值贡献率累计贡献率
12.608237.259737.259750.34494.927597.9289
21.876426.805264.064960.14352.049799.9786
31.099215.703479.768370.00150.0214100
40.926313.233193.0014
+ +上述特征值对应的特征向量见下表。 + +表 3 特征值对应的特征向量统计表 + +
PαFLRVBp
10.45250.22620.37120.15940.75140.03170.1237
20.60550.09430.00400.05620.25990.01760.7439
30.10880.07090.58460.79180.07470.09290.0116
40.59100.07890.03610.05060.45990.02380.6547
50.14500.66980.14020.10200.04900.70520.0256
60.10720.67540.19820.01310.01720.70160.0189
70.18720.15440.67840.57560.38490.00480.0383
+ +选取贡献率在 $1\%$ 以上的主成分，由此得到6个主成分分别为： + +$$ +y _ {1} = 0. 4 5 2 5 \tilde {P} + 0. 2 2 6 2 \tilde {\alpha} + 0. 3 7 1 2 \tilde {F} + 0. 1 5 9 4 \tilde {L} + 0. 7 5 1 4 \tilde {R} + 0. 0 3 1 7 \tilde {V} + 0. 1 2 3 7 \widetilde {B p} +$$ + +$$ +y _ {2} = 0. 6 0 5 5 \tilde {P} + 0. 0 9 4 3 \tilde {\alpha} + 0. 0 0 4 0 \tilde {F} + 0. 0 5 6 2 \tilde {L} + 0. 2 5 9 9 \tilde {R} + 0. 0 1 7 6 \tilde {V} + 0. 7 4 3 9 \widetilde {B p} +$$ + +$$ +y _ {3} = 0. 1 0 8 8 \tilde {P} + 0. 0 7 0 9 \tilde {\alpha} + 0. 5 8 4 6 \tilde {F} + 0. 7 9 1 8 \tilde {L} + 0. 0 7 4 7 \tilde {R} + 0. 0 9 2 9 \tilde {V} + 0. 0 1 1 6 \widetilde {B p} +$$ + +$$ +y _ {4} = 0. 5 9 1 0 \tilde {P} + 0. 0 7 8 9 \tilde {\alpha} + 0. 0 3 6 1 \tilde {F} + 0. 0 5 0 6 \tilde {L} + 0. 4 5 9 9 \tilde {R} + 0. 0 2 3 8 \tilde {V} + 0. 6 5 4 7 \widetilde {B p} +$$ + +$$ +y _ {5} = 0. 1 4 5 0 \tilde {P} + 0. 6 6 9 8 \tilde {\alpha} + 0. 1 4 0 2 \tilde {F} + 0. 1 0 2 0 \tilde {L} + 0. 0 4 9 0 \tilde {R} + 0. 7 0 5 2 \tilde {V} + 0. 0 1 8 9 \tilde {B p} +$$ + +$$ +y _ {6} = 0. 1 0 7 2 \tilde {P} + 0. 6 7 5 4 \tilde {\alpha} + 0. 1 9 8 2 \tilde {F} + 0. 0 1 3 1 \tilde {L} + 0. 0 1 7 2 \tilde {R} + 0. 7 0 1 6 \tilde {V} + 0. 0 1 8 9 \widetilde {B p} +$$ + +分别以6个主成分的贡献率为权重，构建主成分综合评价模型： + +$$ +I _ {t m p} = 0. 3 7 2 6 y _ {1} + 0. 2 6 8 1 y _ {2} + 0. 1 5 7 0 y _ {3} + 0. 1 3 2 3 y _ {4} + 0. 0 4 9 3 y _ {5} + 0. 0 2 0 5 y _ {6} \tag {18} +$$ + +$$ +I = \frac {I _ {t m p} - \min \left(I _ {t m p}\right)}{\max \left(I _ {t m p}\right) - \min \left(I _ {t m p}\right)} \tag {19} +$$ + +最终求解得到附件1中123家企业的信贷风险安全指数和排名结果，见支撑材料中的表格1，下表展示位于前8名和后8名的企业。 + +表4前8名、后8名企业统计表 + +
企业E3E4E7E2E8E9E13E19
排名12345678
安全指数1.00000.89740.70210.68490.46740.46360.45750.4116
信誉评级CCAAAAAA
企业E122E107E108E116E118E115E117E109
排名116117118119120121122123
安全指数0.03260.03000.02650.02090.01660.01310.00320
信誉评级DDDDDDDD
+ +# ②模型合理性检验 + +由于缺乏已知的直接与信贷风险相关的数据，我们很难对该评价模型的正确性进行精确的检验。在此情况下，我们尝试探究信贷风险安全指数与附件1中信誉评级的关系，作图如下 + +![](images/fd8baa495264d8cd15adad76ca067c849348885dfb4bcc2c364d88ff61c24f80.jpg) +图8不同信誉评级企业的信贷风险安全指数统计图 + +由图8可知，从总体趋势上来看，人工信誉评级越高，信贷风险安全指数越高，银行放贷风险越小，其中信誉评级为D的企业安全指数显著低于其他企业。这一结果符合我们对问题背景的认知，证明模型结果基本正确。 + +但是，观察上图容易发现，部分评级为C的企业安全指数很高，甚至显著高于A级企业，同时，部分评级为A的企业安全指数低到D级水平。这是由于信贷风险不仅受企业信誉的影响，也与企业的规模、实力有很大的关系。例如，某些小企业的历史信誉可能非常好，但是由于其自身资金有限，一旦发生紧急情况，很有可能资金锻炼、破产，导致无法偿还贷款。上述解释也是符合现实生活情况的。 + +# （2）基于遗传算法的最优信贷策略规划模型求解 + +以银行年度贷款总额为1亿元为例，按照遗传算法求解最优信贷策略规划模型，一次求解得到银行年度最大利润为143.83万元，完整策略见支撑材料中的表格2，对部分企业的具体信贷策略如下表所示。 + +表 5 部分企业信贷策略展示表 + +
企业E3E4E7E2E8E9E13E19
安全指数排名12345678
贷款额度/万元9465979967379268
贷款利率4.29%5.85%5.52%6.56%4.03%4.28%6.09%5.93%
企业E122E107E108E116E118E115E117E109
安全指数排名116117118119120121122123
贷款额度/万元00000000
贷款利率00000000
+ +分析上表可以看出，安全指数排名高的企业，贷款额度普遍较高，贷款利率较低；安全指数排名越低，贷款额度越低，贷款利率越高，当排名非常低时，银行不予以放贷。 + +# 4.2 问题二的模型建立与求解 + +# 4.2.1 问题二的模型建立思路 + +第一问已经建立起基于主成分分析的信贷风险评价模型和基于遗传算法的银行最优信贷策略模型，经过与其信誉等级的检验发现模型实现评价的效果较好。由于问题二仍然是对企业进行信贷风险的量化分析，进而确定银行对其的信贷策略，结合题意与实际，可以在第一问的基础上实现。 + +因此对于附件二中无信贷记录的企业数据，在应用已有模型之前，我们需要对问题二中企业的信誉评级以及违约情况做出较为合理的预测，而后利用模型（13），实现对302家无信贷记录的企业的信贷风险的有效量化评价及银行对其最优信贷策略的规划决策。下面我们主要对预测模型的建立做出介绍，后续过程由于与问题一的建立过程重复不再赘述。 + +# 4.2.2基于BP神经网络的信誉评价指数预测模型 + +附件1中信誉评级这一指标，是银行内部根据企业的实际情况人工评定的。根据这一特点，对于无信贷记录的302家企业，可以采用一定的预测方法，基于已有的账目信息预测得到企业未来的违约情况和信誉评级。在此模型中，我们采用两级BP神经网络进行预测。 + +一般地说，BP网络的学习算法步骤如下： + +（1）初始化网络及学习参数，如设置网络初始权矩阵、学习因子等； +（2）提供训练模式，训练网络，直到满足学习要求； +（3）前向传播过程：对给定训练模式输入，计算网络的输出模式，并与期望模式比较，若有误差，则执行步骤（4），否则返回步骤（2）； +（4）反向传播过程：计算同一层单元的误差，修正权值和阈值，返回步骤（2）。 + +根据上述步骤，我们将附件1中的已知完整数据分为训练和测试两部分，分别为两级神经网络提供训练模式，并进行检验，具体过程表述如下： + +![](images/bb06243bbeabc458476a9c26ba457ec9ae1b98642d6ac4f2f214f960e2868ad9.jpg) +图9神经网络流程图 + +训练完成后，输入附件2中302家企业的发票数据，经过神经网络预测，即可得到每家企业对应的违约情况和信誉评级。而后，将7个评价指标构成的矩阵代入问题一中的信贷风险量化评价模型和信贷策略最优决策模型，利用主成分分析法和遗传算法即可求解。 + +# 4.2.3 问题二的求解 + +# （1）两级BP神经网络性能检验 + +模型采用MATLAB自带工具实现神经网络，选取附件1中的13家企业数据对网络的性能进行测试和检验。一次检验具体结果如下（可见于支撑材料中的表格3和表格4）。 + +表 6 第一级 BP 神经网络的检验结果 + +
真实违约情况否否否否否否否
预测违约情况否否否是否是否
真实违约情况否否否否是是
预测违约情况是是否否否是
正确率61.54%
+ +表 7 第二级 BP 神经网络的检验结果 + +
真实信誉评级BBBBABB
预测信誉评级BBBBBBB
真实信誉评级BCCBDD
预测信誉评级BBBBDD
正确率76.92%
+ +分析表格可以看出，两级神经网络的预测均有一定准确性，但性能并不是非常好，这是因为附件1中的样本数据少，且多数指标与信誉相关性不是很强。未来如果要基于此模型进一步改进，应该收集更多的中小企业信誉评级和发票交易数据，以增强神经网络的性能。 + +# （2）信贷风险量化评价模型求解 + +采用问题一中已建立的主成分分析法模型，对附件2中的交易数据和神经网络预测的数据进行求解，得到302家无信贷记录的企业的信贷风险安全指数，具体结果见支撑 + +材料中的表格5。 + +对这些企业的安全指数进行统计，转化为图表呈现如下。 + +![](images/86ca720a4910ac8b9d24e7e89784158eb63accca76bc20791504e82e85c326fc.jpg) +图10附件2中302家企业信贷风险安全指数分布概况 + +对比附件1中123家有信贷记录企业的安全指数，分析可发现，无信贷记录的302家企业的评分规律与前者大致相同，但得分低的企业较多。这是因为当银行缺乏对企业的经验判断时，会采取相对保守的策略，适当地高估贷款风险。 + +对这302家企业，相应地有违约概率评估如下图。 + +![](images/58f8bc9125d6da90d5c59e66b6dd0068033b3e85e84bd511212f39b9e2605f7a.jpg) +图11 附件2中302家企业违约概率评估 + +# （3）基于遗传算法的最优信贷策略规划模型求解 + +银行年度贷款总额为固定金额1亿元，按照遗传算法求解最优信贷策略规划模型，一次求解得到银行年度最大利润为393.97万元，完整策略见支撑材料中的表格6，对贷款策略进行统计，得到对302家无信贷记录企业的贷款额度和贷款利率分布概况如下图所示，图中贷款额度按升序排列，贷款利率与贷款额度一一对应。 + +![](images/4c060464b971d94435d80d1389df6a533e1290121d27b58a549d9adcc14213c4.jpg) +图12 无信贷记录企业的贷款额度和贷款利率分布图 + +观察上图可以发现如下规律： + +i. 超过三分之一的企业无法获得银行贷款； +ii. 一般地说，贷款额度越低，利率越高；贷款额度越高，利率越低。这一规律可由图中利率分布的密集程度得出。 + +上述规律是符合主观分析的，首先，因为银行对于无信贷记录的企业，会采取保守态度，因此获批贷款的条件相对较高，导致相当一部分企业无法获得贷款；其次，贷款安全指数越高的企业，经营状况越好，获得的贷款利率越大，银行给予的利率优惠越大，因此利率越低。 + +根据上述分析，可知问题二建立的模型是合理可行的。 + +# 4.3 问题三的模型建立与求解 + +# 4.3.1突发事件影响下的的信贷调整策略模型准备 + +# （1）突发事件定义及分类 + +根据我国2007年11月1日起施行的《中华人民共和国突发事件应对法》的规定，突发事件，是指突然发生，造成或者可能造成严重社会危害，需要采取应急处置措施予以应对的自然灾害、事故灾难、公共卫生事件和社会安全事件。自然灾害主要指由于自然原因造成的“天灾”，如洪水、地震等。事故灾难是人为造成的违反人意志的灾难，如坠机、车祸等。公共卫生事件是危害民众生命健康的突发事件，如新冠肺炎疫情等。社会安全事件指威胁社会公共安全的突发事件，如恐怖袭击等。 + +![](images/fce3d7e037e3102ed979316b91130a38d5d29b8d38ec2ed6fba4f2d98de35d47.jpg) +图13突发事件分类图 + +四类突发事件对于不同行业、不同类别企业的经营收益的影响不尽相同。因此我们建立的模型应该可以分别针对突发事件的4种不同类别分析其对信贷调整策略的影响，这需要分别对4类突发事件相关影响指数进行经验评估。 + +# （2）附件二中企业的行业与类别分布情况 + +根据《2017年国民经济行业分类》，我们对附件2中的302家企业进行行业分类，分类为15个行业后发现制造业、建筑业中包含企业种数量较多，所以我们依据企业种类进行进一步细化，将制造业分为7类，建筑业分为2类。在后续的处理中，我们将一个行业也看作一个类别，共分为22个种类。 + +事实上，同一类企业的情况也存在不同，但是从可行性角度出发，我们赋予同一类企业相同的特征指数，在此基础上考虑不同突发事件对22类企业的影响。 + +表 8 22 类企业比例表 + +
企业行业/种类占比企业行业/种类占比
A 农、林、牧、渔业0.662%E2 建筑服务4.967%
B 采矿业0.331%F 批发和零售业12.252%
C1 食品制造业0.993%G 交通运输、仓储和邮政业4.305%
C2 医药制造业1.656%H 住宿和餐饮业0.993%
C3 机电制造业5.960%I 信息传输、软件和信息技术服务业7.616%
C4 电子制造业2.318%J 租赁和商务服务业8.609%
C5 材料制造业3.642%K 科学研究和技术服务业2.980%
C6 印刷制造业1.325%L 水利、环境和公共设施管理业1.987%
C7 家居制造业1.325%M 居民服务、修理和其他服务业2.318%
D 电力、热力、燃气及水生产和供应业0.993%N 文化、体育和娱乐业4.305%
E1 建筑工程11.921%O 个体经营18.543%
+ +# 302家企业（行业/种类）分类图 + +图14302家企业分类图 +![](images/07ecbb00c4b3bc87587f1c6d5323f0d45fa2601d4e415d98e260708777b121ac.jpg) +A 农、林、牧、渔业 +C1食品制造业 +C3机电制造业 +C5材料制造业 +C7家居制造业 +E1建筑工程 +F批发和零售业 +H住宿和餐饮业 +租赁和商务服务业 +L水利、环境和公共设施管理业 +■N文化、体育和娱乐业 +B采矿业 +C2医药制造业 +C4电子制造业 +C6印刷制造业 +D电力、热力、燃气及水生产和供应业 +E2建筑服务 +G交通运输、仓储和邮政业 +信息传输、软件和信息技术服务业 +K科学研究和技术服务业 +M居民服务、修理和其他服务业 + +# 4.3.2突发事件影响下的的信贷调整策略模型 + +# （1）基于经验评估的企业特征指数体系 + +对于不同类别的企业，为了衡量突发事件对其的影响能力，结合相关资料，我们设立了企业的受影响特征指数体系，其基本构成如下图： + +![](images/73dc3d82a89b87574d0dab61eaa4ae8ee624a9884cfab8595823d1527143f2b7.jpg) +0个体经营 + +对特征指数体系的解释及符号表示为：必需指数ne体现企业的正常经营对民众的必要程度，依赖指数de体现社会对其正常经营的依赖，质量指数qu体现其在提升民众生活质量上的贡献程度；产业密集指数pr反应其企业的生产要素的偏向程度，包括技术密集指数te、劳动密集指数la、资源密集指数re以及资本密集指数ca。 + +实际指数打分时是对每类企业特征指数第三级的六个指标进行评分，范围均是（0，1），评分值越接近0说明该企业此特征越弱，越接近于1说明该企业此特征越弱。对以上所述的共需要分别考虑的22类企业根据经验评估打分，最终形成必需指数矩阵NE以及产业密集指数矩阵PR： + +$$ +\mathrm {N E} = \left[ \begin{array}{l l l} d _ {e 1} & \dots & d _ {e 2 2} \\ q _ {u 1} & \dots & q _ {u 2 2} \end{array} \right] \tag {20} +$$ + +必需指数矩阵NE大小为 $2*22$ ，第一行 $d_{e1} \sim d_{e22}$ 分别代表22类企业的依赖指数，第二行 $q_{u1} \sim q_{u22}$ 分别代表22类企业的质量指数；每一列与一类企业相对应。每一元素取值均为（0，1）。 + +$$ +\mathrm {P R} = \left[ \begin{array}{l l l} t _ {e 1} & \dots & t _ {e 2 2} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c _ {a 1} & \dots & c _ {a 2 2} \end{array} \right] \tag {21} +$$ + +产业密集指数矩阵PR大小为 $4*22$ ，第一行 $t_{e1}\sim t_{e22}$ 分别代表22类企业的技术密集指数，第二行 $l_{a1}\sim l_{a22}$ 分别代表22类企业的劳动密集指数，第三行 $r_{e1}\sim r_{e22}$ 分别代表22类企业的资源密集指数，第四行 $c_{a1}\sim c_{a22}$ 分别代表22类企业的资本密集指数；每一列与一类企业相对应。每一元素评价取值均为（0，1）。 + +在实际进行评分时，为了更方便的表示指标的强度，我们并非在（0，1）中取无规则值，而是设定0.9、0.7、0.5、0.3、0.1五个量化等级，这对最终评估结果几乎没有影响。此外由于个体户无法归属到可作为评价依据的有效行业中，故我们统一对其指标赋为中间档0.5作为参考。 + +# （2）基于经验评估的突发因素影响指数分析 + +结合（1）中我们设立的企业受影响指数体系，在考虑每一类突发因素（事件）对不同类别企业的影响时，我们将每类突发因素对于6个企业特征的影响指数做出经验评估，范围为（-1，1）。 + +影响指数取值接近0时说明该类突发因素对特定特征的影响几乎可以忽略不计，取正值说明是积极影响，取负值说明是消极影响，最终形成必需特征影响指数矩阵IN1与产业密集特征影响指数矩阵IN2： + +$$ +I N _ {1} = \left[ \begin{array}{l l} i n 1 & i n 2 \\ i s 1 & i s 2 \\ i p 1 & i p 2 \\ i a 1 & i a 2 \end{array} \right] \tag {22} +$$ + +$$ +I N _ {2} = \left[ \begin{array}{l l l l} i n 3 & i n 4 & i n 5 & i n 6 \\ i s 3 & i s 4 & i s 5 & i s 6 \\ i p 3 & i p 4 & i p 5 & i p 6 \\ i a 3 & i a 4 & i a 5 & i a 6 \end{array} \right] \tag {23} +$$ + +矩阵解释为：以第一行为例，in1~in6分别代表自然灾害类突发事件对6个评价性指标的影响指数，同理is、ip、ia分别代表社会安全类突发事件、公共卫生事件、事故灾难类突发事件的影响指数。矩阵中每一元素取值均为（-1，1），类似的，为了方便评估，我们确定范围为 $-0.9\sim 0.9$ ，间隔为0.2的11个量化等级进行打分。 + +企业的6个受影响指数以及每一类突发事件对其的影响其实可分别用一个矩阵刻画，而我们将必需型指数和产业密集指数进行了分开考虑，主要是考虑两大类指数的表征作用的不同，例如： + +突发因素作用下，由于中小微企业规模等因素都相对较弱，对产业密集指数的影响相比对必需指数的影响要更小。例如在疫情影响下，人们隔离在家，但是对吃穿等生活必需品的需求却丝毫没有降低，反而可能会升高，对要素投入类指数的影响可能就没有那么强烈。所以对必需指数的影响往往能够更大程度上反映企业的受影响水平。 + +所以在下文的影响效果模型构建中我们分别赋予必需指数和产业密集指数 $\varepsilon$ 与 $1 - \epsilon$ 的权重。 + +# （3）突发因素综合影响效果矩阵的构建 + +综上所述：综合影响效果矩阵IN可以用企业特征指数矩阵与突发因素影响指数矩阵确立： + +$$ +I N = \epsilon \cdot I N _ {1} \cdot N E + (1 - \epsilon) \cdot I N _ {2} \cdot P R \tag {24} +$$ + +IN为4*22的矩阵， $IN_{ij}$ 代表第i类突发事件（因素）对于第j类企业的影响； $\epsilon$ 为比例因子。由于影响效果矩阵中元素取值范围为（-6，6），在后续应用时需要先乘上 $\frac{1}{6}$ 做归一化处理。以上所涉及的各指数矩阵的具体构成均以excel表格形式给出，见支撑材料“模型：问题3_指数矩阵定义.xlsx”。 + +# （4）最优信贷调整策略的制定 + +要运用问题二中已经建立好的模型进行信贷策略的调整，必须要将企业的信贷风险（本模型中运用的是与其呈负相关的信贷风险安全指数）与评估出的综合影响效果指数进行融合处理，形成新的调整指数，再运用已经建立的信贷策略优化模型(13)即可得到信贷风险调整策略。 + +![](images/f7c7adb2481e230c60a096c5930c61e0cec11df911178f1a8b51a1f886a317a3.jpg) +图15 信贷策略调整流程图 + +综合影响指数与信贷风险安全指数的融合过程定义为 + +$$ +I _ {a d j} = I \cdot (1 + I N) \tag {25} +$$ + +# 4.3.3 模型三的求解 + +我们以第三类突发事件，即公共卫生事件为例，对模型三进行求解，调整问题二中对302家无信贷记录企业的信贷策略。具体策略见支撑材料中的表格7. + +# （1）安全指数分布概况 + +调整后的302家企业信贷风险安全指数如下图所示，对比图10可见一定程度的下降。 + +![](images/a69685c19aa562cbe0f4565a0d34bc112893afe1b0a7814dc0fdfa624ce3428d.jpg) +图16卫生安全事件下附件2中302家企业信贷风险安全指数分布图 + +# (2）年度总利润 + +设置求解条件为银行年度贷款总额为1亿元，在公共卫生这一突发事件下，由遗传算法求解得到银行最大年利润为89.51万元，对比问题二中的最大利润393.97万元，虽然这一数字出现了明显的下降，但依然保证了基本的盈利，证明该模型的信贷调整策略是有效的。 + +# （3）具体信贷策略变化 + +观察对比调整后的信贷策略与问题二中的信贷策略，可得如下图表。 + +![](images/dc8e18d074a5c1c5adb37f13d5bcd8526f910f35f42d7ad0f46150b6a29c764f.jpg) +图17公共卫生事件下调整策略的贷款额度和贷款利率分布图 + +![](images/548216170ffe87cd28d1f204059effc98e14e5673cfae4edd186786c2466d81d.jpg) +图18对无信贷记录企业的贷款额度和贷款利率分布图 + +对比两图可发现： + +i. 无法获得贷款的企业数量保持不变； +ii. 银行对企业的贷款额度出现了明显的下降，同时贷款利率普遍抬高； + +对上述现象的现实解释如下：在公共卫生突发事件的冲击下，银行出于社会责任感，依然为大部分的中小企业提供贷款；但由于社会整体经济运行受到影响，因此银行提供的贷款额度下降，贷款利率变高，以维持银行自身的生存。 + +# （4）对不同行业的考察 + +下表中选取的是三家不同行业的企业，对比信贷策略调整前后的的贷款额度和贷款利率。 + +表 9 调整前后信贷额度、利率对比表 + +
企业代号企业名称调整前贷款调整前贷款调整后贷款调整后贷款
E195***医药有限公司966%954%
E125个体经营 E125894%4612%
E166***建筑工程有限公司925%2414%
+ +分析上表可知，E195医药公司贷款额度基本维持不变，贷款利率变低；E125个体经营和E166建筑公司的贷款额度显著下降，贷款利率明显攀升。这是由公共卫生事件的性质决定的，在此情况下，食品、医药和其他人们依赖程度高的行业受影响小，甚至受到积极影响；而其他行业普遍受到较大的消极影响。 + +# 5. 模型的灵敏度分析 + +# 5.1 银行年度贷款总额 + +问题一中的求解中，我们设置银行年度贷款总额为固定值1亿元，接下来分析信贷策略模型中银行年度利润对银行年度贷款灵敏度。保持其他参数与问题一求解时不变， + +改变年度贷款总额，得到结果如下图。 + +![](images/c17328e344fa3d9f8237c072e9c9785950b486cb797d26d30864cee9e539867e.jpg) +图19信贷策略对银行年度贷款总额的灵敏度分析 + +由该图可知，年度利润对年度贷款总额的灵敏度较低，系统结果稳定。说明当年度贷款总额取值在合理范围内时，银行的年度利润主要取决于贷款企业的经营情况和单笔贷款的额度限制，与总额关系较弱；当年度贷款总额取值过低或过高时，模型会应约束条件限制而求解失败。 + +# 5.2 违约概率函数方差 + +在问题一模型的公式（11）中，我们提出了违约概率与信贷风险安全指数的函数关系，这一函数是以0为均值，0.1为方差的正态分布函数，其中方差值是我们通过经验尝试获得的。接下来探究银行年度利润对函数方差的灵敏度，保持其他参数不变，改变方差值多次求解。 + +![](images/67236cc2a1fd4fba9589c890e1249e3b32bdeb3cdba38b41ab42a47d18dd1f3f.jpg) +图20信贷策略模型对违约概率函数方差的灵敏度分析 + +分析该图可知，在信贷策略模型中，银行年度利润随方差的增大而快速减小，即利润对方差灵敏度很高。这是因为当方差增大时，所有企业的违约概率都随之增大，带来利润的减小。方差太大，银行利润太低；方差太小，企业违约概率太低，不符合实际情况。 + +由此我们判断，在信贷策略模型中，方差是一个关键的参数，其精确值应该进一步 + +根据真实统计得出，以提高模型的准确性。 + +# 5.1 比例因子 + +在问题三模型的公式（24）中，我们提出了衡量突发事件影响的比例因子，不同的比例因子取值可能对模型结果造成影响。接下来探究调整策略模型的年度利润对比例因子 $\epsilon$ 的灵敏度。 + +![](images/bc7061f96c735f1d543c7bf95bea085e546d77a800d5e0aa9decc2ce5ad8e0dc.jpg) +图21 信贷策略模型对比例因子的灵敏度分析 + +分析上图可知，年度利润对比例因子的灵敏度很高。因此，要提高模型的准确性，应当进一步从真实统计规律中确定比例因子的取值。 + +# 6. 模型评价 + +# 6.1 优点与创新 + +(1)将多方面影响因素归纳为企业信誉、企业实力、上下游企业供求稳定性这三方面，对银行是否贷款、贷款额度、贷款利率给出了合理的策略，对实际具有较强的指导作用。 +(2)引入进步因子的概念，衡量企业的发展前景，并融入企业实力的考虑因素中；引入安全指数的概念，衡量贷款风险大小，并直接作用与贷款策略。 +(3)采用两级神经网络，对附件2中未给出的企业违约情况与信誉评级进行了科学预测。 +(4)采用遗传算法替代大规模非线性规划，兼顾效率和准确性。 + +# 6.2不足之处 + +(1)模型考虑的因素不够全，没有考虑国家对不同行业的扶持政策的区别。 +(2)在计算不同突发因素对不同企业的影响指数时，赋值具有一定的主观性，存在改进空间。 +(3)将突发因素分为四大类，对每一类中更具体的事件没有进行区分，某些事件计算出的影响指数可能不够精准。 + +# 6.3未来工作与推广 + +(1)银行的借贷策略，事实上银行与企业之间的博弈，可以从博弈论的角度出发，对模型进行拓展。 +(2)突发事件可以按照程度分为特别重大、重大、较大、一般四级，分别进行更加细致的影响指数量化。 +(3)可以收集真实的统计数据，对违约概率函数的方差、信贷调整策略的比例因子进行精确的计算。 + +# 参考文献 + +[1] 司守奎，孙玺菁．数学建模算法与应用[M]. 北京：国防工业出版社，2016-2. +[2] 梁益琳. 创新型中小企业成长、融资约束与信贷策略研究[D]. 山东：山东大学，2012. +[3] 国家统计局. 2017年国民经济行业分类（GB/T4754—2017）[2020-9-12]. + +http://www.stats.gov.cn/tjsj/tjbz/hyflbz/201710/t20171012_1541679.html + +# 附录 + +由于本文模型所用到的全部代码太多，所以附录只包含了涉及核心思想的源代码，其余可见于支撑材料。 + +支撑材料清单： + +
MATLAB数据文件form1credit.mat +formlin.mat +formlout.mat +form2credit.mat +form2in.mat +form2out.mat +model.mat +model3_index.mat +model3_industry.mat +pofViolation_forml.mat +predictCreditIndex.mat +requiredIndex_for_2.mat +riskIndex_forml.mat +riskIndex_form2.mat
MATLAB程序文件al_xlsxProcess_form1credit.m
a2_xlsxProcess_formlin.m +a3_xlsxProcess_formlout.m +a4_xlsxProcess_form2credit.m +a5_xlsxProcess_form2in.m +a6_xlsxProcess_form2out.m +a7_riskIndex_form1.m +a8_riskIndex_form1_output.m +a9_riskIndex_form1_display.m +a10_violationProblity.m +a11_GAsolution.m +a12_allIndex_form2.m +a13_rankForecast_form2.m +a14_riskIndex_form2.m +a15_GAsolution.m +a16_xlsxProcess_model3.m +a17'accidentEffect.m +a18血脂Analysis_form1.m +a19_sigmaAndsumAnalysis.m +a20_sensitivityDisplay.m +findIndustry.m
往往来来表格1:问题1_123家有信贷记录企业的信贷风险评分.xlsx +表格2:问题1对123家有信贷记录企业的一种信贷策略.xlsx +表格3:问题2第一层神经网络检验.xlsx +表格4:问题2第二层神经网络检验.xlsx +表格5:问题2_302家无信贷记录企业的信贷风险评分.xlsx +表格6:问题2对302家无信贷记录企业的信贷策略.xlsx +表格7:问题3公共卫生事件下对302家无信贷记录企业的调整策略.xlsx +模型:问题3_企业分类与情况统计.xlsx +模型:问题3_指数矩阵定义.xlsx
文本amount敏感性分析.txt +eps敏感性分析.txt +sigma敏感性分析.txt +SPSS交互命令.txt
+ +# 1. a7_riskIndex_form1.m + +$\%$ 该程序运行时间约为6分钟 + +clear all; close all; alc; + +%%预处理 + +load form1in + +load form1out + +load form1credit + +cancelIndex11 = [find(strcmp(invoiceState11, '作废发票'))]; %作废的进项发票 + +cancelIndex12 = [find(strcmp(invoiceState12,'作废发票'))]; %作废的销项发票 + +cancelIndex12_0 = [find(strcmp(invoiceState12, '作废发票'))]; + +cancelIndex12 = [cancelIndex12; cancelIndex12_0]; + +cancelIndex12 = sort(cancelIndex12); + +$\%$ 留存备份 + +money11_origin = money11; + +money12_origin = money12; + +firm11_origin = firm11; + +firm12_origin = firm12; + +$\%$ 删去相应的作废交易 + +money11(cancelIndex11,:) = []; + +money12(cancelIndex12,:) = []; + +firm11(cancelIndex11,:) = []; + +firm12(cancelIndex12,:) = []; + +partner11(cancelIndex 11,:) = []; + +partner12.cancelIndex12,: = []; + +time11(cancelIndex11,:) = []; + +time12(cancelIndex 12,:) = []; + +$\mathrm{size11} = \mathrm{size}(\mathrm{firm11})$ + +size12 = size(firm12); + +numEachFirm11 = zeros(123,1); + +numEachFirm12 = zeros(123,1); + +%% 实力 + +%1.总收益 + +sumProfit = zeros(123,1); + +$\mathrm{j} = 1;\mathrm{k} = 1$ + +for $i = 1:123$ + +while $j <= \text{size11}(1)$ && strcmp(firm1(i), firm11(j))%在进项发票中找到对应的公司 + +$\mathrm{sumProfit(i) = sumProfit(i) - \text{money11(j,1)} + \text{money11(j,2)}}$ + +$\mathrm{j} = \mathrm{j} + 1$ + +end + +while $\mathrm{k} < =$ size12(1)&&strcmp(firm1(i),firm12(k))%在销项发票中找到对应的公司 + +$\mathrm{sumProfit(i) = sumProfit(i) + money12(k,1) - money12(k,2)}$ + +$\mathrm{k} = \mathrm{k} + 1$ + +end + +if $\mathrm{i} = 1$ numEachFirm11(i) $= \mathrm{j - 1}$ numEachFirm12(i) $= \mathrm{k - 1}$ else numEachFirm11(i) $= \mathrm{j}$ numEachFirm11(i-1)-1; numEachFirm12(i) $= \mathrm{k}$ numEachFirm12(i-1)-1; end end clear i; clear j; clear k; % %%2.进步因子 monthProfit $=$ zeros(123,5\*12); monthStr $= \{2016 / 1,'2016 / 2,'2016 / 3,'2016 / 4,'2016 / 5,'2016 / 6,'...$ '2016/7,'2016/8,'2016/9,'2016/10,'2016/11,'2016/12,... '2017/1,'2017/2,'2017/3,'2017/4,'2017/5,'2017/6,... '2017/7,'2017/8,'2017/9,'2017/10,'2017/11,'2017/12,... '2018/1,'2018/2,'2018/3,'2018/4,'2018/5,'2018/6,... '2018/7,'2018/8,'2018/9,'2018/10,'2018/11,'2018/12,... '2019/1,'2019/2,'2019/3,'2019/4,'2019/5,'2019/6,... '2019/7,'2019/8,'2019/9,'2019/10,'2019/11,'2019/12,... '2020/1,'2020/2,'2020/3,'2020/4,'2020/5,'2020/6,... '2020/7,'2020/8,'2020/9,'2020/10,'2020/11,'2020/12\}; kl $= 1$ ; k2 $= 1$ for $\mathrm{i} = 1: 123 \%$ 按月统计每家企业的净利润 for $\mathrm{j} = 1: 60$ while kl <= size1(1) && strncmpi(monthStr(j),time1(kl),7) monthProfit(i,j) = monthProfit(i,j) - money1l(kl,1) + moneyl( (kl,2); $\mathrm{k} 1 = \mathrm{k} 1 + 1$ end while k2 <= size1(1) && strncmpi(monthStr(j),time1( (k2),7) monthProfit(i,j) = monthProfit(i,j) + moneyl( (k2,1) - moneyl( (k2,2); $\mathrm{k} 2 = \mathrm{k} 2 + 1$ end end end clear i; clear j; clear k l; clear k 2; increaseRate $=$ zeros(size(monthProfit));%每家企业每月的增长率 for $\mathrm{i} = 1: 123$ for $\mathrm{j} = 2: 60$ if monthProfit(i,j) $\sim = 0$ if monthProfit(i,j-1) $\sim = 0$ increaseRate(i,j) $=$ (monthProfit(i,j)-monthProfit(i,j-1))/monthProfit(i,j-1); end end + +```matlab +end +end +clear i; clear j; +progressIndex = zeros(123,1); %进步因子 +for i = 1:123 + tmpRow = increaseRate(i,:) %抽取第i行 + realIndex = find(tmpRow); + progressIndex(i,1) = mean(tmpRow(realIndex)); +end +clear i; +``` + +# $\% \%$ 供求关系 + +$\%$ 1.计算交易偏好 +taxPer11 $=$ money11(:,2)./money11(:,1); $\%$ 进项发票每一单的税率 +taxPer12 $=$ money12(:,2)./money12(:,1); $\%$ 销项发票每一单的税率 +preferencel1 $=$ zeros(123,1); $\%$ 购买偏好 +preferencel2 $=$ zeros(123,1); $\%$ 销售偏好 + $j = 1;k = 1$ +for $\mathrm{i} = 1:123$ tmpRow $= []$ while $j\leqslant$ size11(1)&&strcmp(firm1(i),firm11(j))%在进项发票中找到对应的公司tmpRow $=$ [tmpRow taxPer11(j)]; $j = j + 1$ end +preferencel1i,1) $=$ mean(tmpRow); +tmpRow $= []$ while k<=size12(1)&&strcmp(firml(i),firm12(k)) $\%$ 在销项发票中找到对应的公司tmpRow $=$ [tmpRow taxPer12(k)]; $\mathrm{k} = \mathrm{k} + 1$ end +preferencel2(i,1) $=$ mean(tmpRow); +tmpRow $= []$ +end +clear i; clear j; clear k; +preference $=$ (preference1+preference12)/2; + +$\% \%$ 2.分析交易规律 +tradPattern $=$ zeros(123,1); + $j = 1; k = 1;$ + +for $\mathrm{i} = 1:123\%$ 循环123家企业patternOfthisFirm $= []$ .moneyOfthisFirm $= []$ .partnerOfthisFirm $= []$ while $\mathrm{j}\leqslant$ size11(1)&&strcmp(firm1(i),firm11(j))%同一家企业的进项发票 + +```matlab +moneyOfthisFirm = [moneyOfthisFirm; money11(j,:)];partnerOfthisFirm = [partnerOfthisFirm; partner11(j,:)];j = j+1;endwhile k <= size12(1) && strcmp(firm1(i),firm12(k)) %同一家企业的销项发票moneyOfthisFirm = [moneyOfthisFirm; money12(k,:)];partnerOfthisFirm = [partnerOfthisFirm; partner12(k,:)];k = k+1;endwhile length(partnerOfthisFirm) > 0%当列表中还有未处理的合作商时thisPartner = partnerOfthisFirm(1); %当前列表中的第一个合作商moneyOfthisPartner = [];k = 1;while k <= length(partnerOfthisFirm)if strcmp(partnerOfthisFirm(k),thisPartner)moneyOfthisPartner = [moneyOfthisPartner;...moneyOfthisFirm(k,1)-moneyOfthisFirm(k,2)];%与该合作商一笔交易的花销 +``` + +moneyOfthisFirm $(\mathrm{k},:)$ $= []$ ：partnerOfthisFirm $(\mathrm{k},:)$ $= []$ else $\mathrm{k} = \mathrm{k} + 1$ endend FthisPartner $=$ fftshift(fft(moneyOfthisPartner));%与某一合作商交易金额的双边幅度谱patternOfthisFirm $=$ [patternOfthisFirm var(FthisPartner)];%迭代更新该企业的交易规律 + +因子 + +```matlab +end +tradPattern(i) = mean(patternOfthisFirm); %计算该企业交易规律 +end +``` + +$\% \%$ 信誉等级 + +%3.信誉评级 + +creditRank $=$ zeros(123,1); + +for $i = 1:123$ + +```matlab +if strcmp credit1(i), 'A') + creditRank(i) = 9; +elseif strcmp (credit1(i), 'B') + creditRank(i) = 7; +elseif strcmp (credit1(i), 'C') + creditRank(i) = 5; +else + creditRank(i) = 0; +end +``` + +end + +clear i; + +% 4.违约情况 + +violation $=$ zeros(123,1); + +for $\mathrm{i} = 1:123$ + +if strcmp violation1(i,'是') + +violation(i) = 3; + +else + +violation(i) = 9; + +end + +end + +%5.“坏发票占比” + +badPortion $=$ zeros(123,1); + +cancelPortion $=$ zeros(123,1); + +minusPortion $=$ zeros(123,1); + +$\%$ 计算作废比例 + +$\mathrm{j} = 1;\mathrm{k} = 1$ + +for $i = 1:123$ + +sumCancel11 = 0; + +while $j\leqslant$ length(cancelIndex11) &&... + +strcmp(firm1(i),firm11_origin canceledIndex11(j))) + +sumCancel11 = sumCancel11 + 1; + +$\mathrm{j} = \mathrm{j} + 1$ + +end + +sumCancel12 = 0; + +while $k <=$ length(cancelIndex12) && ... + +strcmp(firm1(i),firm12_origin canceledIndex12(k))) + +sumCancel12 = sumCancel12 + 1; + +$\mathrm{k} = \mathrm{k} + 1$ + +end + +cancelPortion(i) = (sumCancel11/numEachFirm11(i)+... + +sumCancel12/numEachFirm12(i))/2; + +end + +clear i; clear j; clear k; + +$\%$ 计算负比例 + +$\mathrm{j} = 1$ + +for $i = 1:123$ + +sumMinus $= 0$ + +while $j \leqslant \text{size12}(1)$ && strcmp(firm1(i), firm12(j)) + +if money12(j,1) < 0 + +sumMinus = sumMinus + 1; + +end + +$\mathrm{j} = \mathrm{j} + 1$ end minusPortion(i) $=$ sumMinus/numEachFirm12(i); +end clear i; clear j; +badPortion $= 0.3^{*}$ cancelPortion $+0.7^{*}$ minusPortion; + +$\% \%$ 主成分分析，信贷风险因子计算 +allIndex $=$ [sumProfitprogressIndexpreferencetradPattern...creditRankviolationbadPortion]; +allIndex $\equiv$ zscore(allIndex); +relateMatrix $\equiv$ corrcoef(allIndex); +[featureVec,featureVal,contriRate] $\equiv$ pcacov( relateMatrix); +for $\mathrm{i} = 1:7$ for $\mathrm{j} = 1:7$ iffeatureVec(i,j) $< 0$ featureVec(i,j) $= -1^{*}$ featureVec(i,j); end end +end +num $= 6$ +df $\equiv$ allIndex\*featureVec(1:num,): +tf $\equiv$ df\*contriRate(1:num)/100; + $[\sim ,\mathrm{ind}] = \mathrm{sort(tf,'descend')};$ +tf $\equiv$ (tf-min(tf))./ (max(tf)-min(tf)); + +```javascript +save('riskIndex_form1.mat','firm1','credit1','tf','ind','sumProfit',... 'progressIndex','preference','tradPattern','creditRank','violation',... 'badPortion'); +``` + +# 2. a11 GAsolution.m + +$\%$ 该程序运行时间约为20秒 + +clear all; close all; clc; + +```txt +load form1credit; +load riskIndex_form1; +load pofViolation_form1; +``` + +```txt +clear badPortion; clear preference; clear progressIndex; clear sumProfit; clear tf; clear tradPattern; clear ind; +``` + +clear violation; + +%% 删除评级为D的企业 + +index $= 1$ :length(firm1); + +indexD = find(creditRank == 0); + +index(indexD) $= []$ + +indexABC $=$ index'; + +creditRank(indexD) = []; + +pofViolation(indexD) = []; + +$\mathrm{N} =$ length(indexABC);%企业（基因）数 + +fixAmount $= 10000$ + +$\% \%$ 生成初始种群 + +$\mathrm{w} = 100;\%$ 种群个数 + +$\mathrm{g} = 100;\%$ 进化代数 + +$\mathrm{Ja} =$ zeros(N,w);%贷款金额的一代种群染色体 + +$\mathrm{Jr} = \mathrm{zeros}(\mathrm{N},\mathrm{w})$ ；%利率的一代种群染色体 + +$\mathrm{i} = 0;\mathrm{j} = 0$ + +while $i < w$ + +ca = randi([10,100], N, 1); + +if sum(ca) <= fixAmount + +$\mathrm{Ja}(:,i + 1) = ca;$ + +$\mathrm{i} = \mathrm{i} + 1$ + +end + +end + +while $j < w$ + +$\mathrm{Jr}(:,\mathrm{j} + 1) = 0.04 + (0.15 - 0.04).*\mathrm{rand}(\mathrm{N},1);$ + +$\mathrm{Jr}(:,\mathrm{j} + 1) = \mathrm{randi}([400,1500],\mathrm{N},1) / 10000;$ + +$\mathrm{j} = \mathrm{j} + 1$ + +end + +clear i; clear j; + +$\% \%$ 遗传过程：交叉和变异 + +for $i = 1:g$ + +$\mathrm{Aa} = \mathrm{Ja}; \%$ 贷款金额的子代染色体 + +$\mathrm{Ar} = \mathrm{Jr};\%$ 利率的子代染色体 + +ca = randperm(w); %贷款金额交叉操作的染色体编号 + +$\mathrm{cr} = \mathrm{randperm}(\mathrm{w})$ ；%利率交叉操作的染色体编号 + +$\%$ 交叉 + +for $j = 1:2:w$ + +$\mathrm{Fa} = \mathrm{randi}([1, \mathrm{N}])$ ；%贷款金额的地址 + +$\mathrm{Fr} = \mathrm{randi}([1,\mathrm{N}])$ ；%利率的地址 + +```julia +tmpa = Aa(Fa:N,ca(j)); +tmpr = Ar(Fr:N,cr(j)); +Aa(Fa:N,ca(j)) = Aa(Fa:N,ca(j+1)); +Ar(Fr:N,cr(j)) = Ar(Fr:N,cr(j+1)); +Aa(Fa:N,ca(j+1)) = tmpa; +Ar(Fr:N,cr(j+1)) = tmpr; +end +% 变异 +bya = []; +byr = []; +while ~length(bya) +bya = findrand(1,w)<0.1); %变异概率为 10% +end +while ~length(byr) +byr = randi([1,w],1,length(bya)); +end +Ba = Aa(:,bya); %产生变异操作的初始染色体 +Br = Ar(:,byr); +for i = 1:length(bya) +bwa = sort(randi([2,N-1],1,3)); +Ba(:,i) = Ba([1:bwa(1)-1,bwa(2)+1:bwa(3),bwa(1):bwa(2),bwa(3)+1:N,i]); +end +for j = 1:length(byr) +bwr = sort(randi([2,N-1],1,3)); +Br(:,j) = Br([1:bwr(1)-1,bwr(2)+1:bwr(3),bwr(1):bwr(2),bwr(3)+1:N,j]); +end +% 筛选 +Ga = [Ja Aa Ba]; +Gr = [Jr Ar Br]; +num = size(Ga,2); +PROFIT = zeros(num,1); +for k = 1:num +L = zeros(N,1); +for j = 1:N +if strcmp credited(1), 'A') %计算顾客流失率 +L(j) = 640.944*Gr(j,k)^3 - 258.570*Gr(j,k)^2 + 37.970*Gr(j,k) - 1.121; elseif strcmp credited(j,'B') +L(j) = 552.829*Gr(j,k)^3 - 225.051*Gr(j,k)^2 + 33.995*Gr(j,k) - 1.017; elseif strcmp credited(j,'C') +L(j) = 504.717*Gr(j,k)^3 - 207.386*Gr(j,k)^2 + 32.157*Gr(j,k) - 0.973; else L(j) = 1; end +end +``` + +profit $=$ (Ga(:,k).*Gr(:,k).*1-pofViolation)-... Ga(:,k).*pofViolation).*(1-L); $\%$ 计算每条染色体的年收益 PROFIT(k) $=$ sum(profit); end [~,indP] $=$ sort(PROFIT,'descend'); $\%$ 对年收益由大到小排序 $\mathrm{Ja} = \mathrm{Ga(:,indP(1:w))};\%$ 筛选染色体 $\mathrm{Jr} = \mathrm{Gr(:,indP(1:w))}$ end + +$\% \%$ 生成信贷策略 +A = zeros(123,1); +R = zeros(123,1); +A(indexABC) = Ga(:,1); +R(indexABC) = Gr(:,1); + +```matlab +filename = '表格2：问题1_对123家有信贷记录企业的一种信贷策略.xlsx'; +xlswrite(filename,firm1,'A1:A123'); +xlswrite(filename,A,'B1:B123'); +xlswrite(filename,R,'C1:C123'); +xlswrite(filename,PROFIT(indP(1)),'D1:D1') +``` + +3. a13_rankForecast_form2.m clear all; close all; clc; + +```txt +load form1credit; +load riskIndex_form1; +clear creditRank; +``` + +$\% \%$ 构建第一层神经网络：预测是否违约 + +violationTable $=$ zeros(123,2); +for $\mathrm{i} = 1:123$ if violation(i) $= = 9\%$ 否 violationTable(i,:）=[1,0]; else $\%$ 是 violationTable(i,:）=[0,1]; end +end + +```txt +vioIndex = [sumProfit进展情况 preference tradPattern badPortion violationTable]; +vioIndex = vioIndex'; +``` + +onceViolate $=$ [29364552828799100101102103107108109111 ... 112113114115116117118119120121122123]; + +$\mathrm{vP} =$ vioIndex(1:5,[1:25 onceViolate(1:25)]); +[vPN,vPS1] $=$ mapminmax(vP); + $\mathrm{vT} =$ vioIndex(6:7,[1:25 onceViolate(1:25)]); +[vTN,vPS2] $=$ mapminmax(vT); + $\mathrm{vx} =$ vioIndex(1:5,[60:70 onceViolate(26:27)]); + $\mathrm{vxn} =$ mapminmax('apply',vx,vPS1); +netVio $=$ feedforwardnet(2); +netVio $=$ train(netVio,vPN,vTN); +vyn2 $=$ netVio(vxn); +vy2 $=$ mapminmax('reverse',vyn2,vPS2); + +predictViolate $=$ cell(13,1); +predictVioValue $=$ zeros(13,1); + +for $\mathrm{i} = 1:13$ if $\mathrm{vy2(1,i)} < 0.1$ predictViolate(i) $=$ {'是'}； predictVioValue(i) $= 3$ else predictViolate(i) $=$ {'否'}； predictVioValue(i) $= 9$ end end + +$\% \%$ 对第一层网络进行检验 + +```matlab +filename = '表格3：问题2_第一层神经网络检验.xlsx'; +xlsxwrite(filename, violation1([60:70 onceViolate(26:27)],'Sheet1','A1:A13'); +xlsxwrite(filename, predictViolate,'Sheet1','B1:B13'); +``` + +$\% \%$ 构建第二层神经网络：预测信誉等级 + +creditRank $=$ zeros(123,4); +for $\mathrm{i} = 1:123$ if strcmp(credit1(i),A') creditRank(i,:）=[1,0,0,0]; elseif strcmp(credit1(i),B') creditRank(i,:）=[0,1,0,0]; elseif strcmp(credit1(i)，C') creditRank(i,:）=[0,0,1,0]; else creditRank(i,:）=[0,0,0,1]; end +end +clear i; + +```javascript +creditIndex = [badPortion violation creditRank]; +creditIndex = creditIndex'; +``` + +$\mathrm{cP} =$ creditIndex(1:2,1:100); +[cPN,cPS1] $=$ mapminmax(cP); + $\mathrm{cT} =$ creditIndex(3:6,1:100); +[cTN,cPS2] $=$ mapminmax(cT); +cx $=$ creditIndex(1:2,[60:70 onceViolate(26:27)]); +cxn $=$ mapminmax('apply',cx,cPS1); +netCredit $=$ feedforwardnet(2); +netCredit $=$ train(netCredit,cPN,cTN); +cyn2 $=$ netCredit(cxn); +cy2 $=$ mapminmax('reverse',cyn2,cPS2); + +predictRank $=$ cell(13,1); +for $\mathrm{i} = 1:13$ if cy2(4,i) $>0.1$ predictRank(i) $= \{\mathrm{D}'\}$ else [loc] $\equiv$ max(cy2(:,i)); if loc $= 1$ predictRank(i) $= \{\mathrm{A}'\}$ elseif loc $= 2$ predictRank(i) $= \{\mathrm{B}'\}$ elseif loc $= 3$ predictRank(i) $= \{\mathrm{C}'\}$ end +end + +$\% \%$ 对第二层网络进行检验 + +filename $=$ 表格4：问题2_第二层神经网络检验.xlsx'; +xlsxwrite(filename,credit1([60:70 onceViolate(26:27)],'Sheet2','A1:A13'); +xlsxwrite(filename,predictRank,'Sheet2','B1:B13'); + +$\% \%$ 预测附件二的违约情况 + +```txt +load allIndex_form2 +``` + +```javascript +vioIndex2 = [sumProfit进展情况 preference tradPattern badPortion]; +vioIndex2 = vioIndex2'; +vinputIndex = mapminmax('apply', vioIndex2, vPS1); +voutputIndex = netVio(vinputIndex); +voutput = mapminmax('reverse', voutputIndex, vPS2); +``` + +predictViolate2 $=$ cell(302,1); +predictVioValue2 $=$ zeros(302,1); + +for $\mathrm{i} = 1:302$ ifvoutput(1,i) $< 0.1$ predictViolate2(i,1） $=$ {'是'}； predictVioValue2(i,1)=3; else predictViolate2(i,1) $=$ {'否'}； predictVioValue2(i,1)=9; end end + +$\% \%$ 预测附件二的信誉等级 +```matlab +creditIndex2 = [badPortion predictVioValue2]; +creditIndex2 = creditIndex2'; +cinputIndex = mapminmax('apply', creditIndex2, cPS1); +coutOutput = netCredit(cinputIndex); +coutOutput = mapminmax('reverse', outputIndex, cPS2); +``` + +```matlab +predictRank2 = cell(302,1); +predictRankVal2 = zeros(302,1); +for i = 1:302 + if output(4,i) > 0.1 + predictRank2(i) = {'D'}; + predictRankVal2(i) = 0; + else + [~,loc] = max(coutput(:,i)); + if loc == 1 + predictRank2(i) = {'A'}; + predictRankVal2(i) = 9; + elseif loc == 2 + predictRank2(i) = {'B'}; + predictRankVal2(i) = 7; + elseif loc == 3 + predictRank2(i) = {'C'}; + predictRankVal2(i) = 5; + end + end +end +``` + +```javascript +save('predictCreditIndex.mat','predictVioValue2','predictRankVal2'); +``` + +# 4. a17'accidentEffect.m + +clear all; close all; clc; + +load form2credit; + +load model3_index; + +load riskIndex_form2; + +clear badPortion; clear preference; + +clear progressIndex; clear sumProfit; + +clear tradPattern; clear ind; + +clear violation; + +$\mathrm{eps1} = 0.6$ ; $\mathrm{eps2} = 1$ -eps1; + +IN = eps1*IN1*NE + eps2*IN2*PR; + +$\% \%$ 归类 + +industry2 = zeros(302,1); + +for $i = 1:302$ + +industry2(i) = findIndustry(firm2(i)); + +end + +%% 突发事件影响仿真 + +ACCIDENT = 3; %公共卫生事件 + +$\mathrm{ADJ} = \mathrm{IN}(3,:)$ + +for $i = 1:302$ + +$\mathrm{tf(i) = tf(i)*(1 + ADJ(industry2(i))};}$ + +if $\operatorname {tf}(\mathrm{i}) < 0$ + +$\operatorname{tf}(\mathrm{i}) = 0$ + +end + +end + +figure(1); + +$\mathbf{c} =$ linspace(10,1,length(1:302)); + +scatter(1:302,sort(tf,'descend'),5,c); + +title('卫生安全事件下附件2中302家企业信贷风险安全指数分布概况'); + +xlabel('企业排序'); + +ylabel('信贷风险安全指数'); + +grid on; + +$\mathrm{mu} = 0$ ; sigma $= 0.1$ + +pofViolation $= 0.25^{*}$ normpdf(tf,mu,sigma); + +$\% \%$ 调整策略 + +$\%$ 删除评级为D的企业 + +index $= 1$ :length(firm2); + +indexD = find(creditRank == 0); + +index(indexD) = []; + +indexABC $=$ index'; + +creditRank(indexD) = []; + +pofViolation(indexD) = []; + +$\mathrm{N} =$ length(indexABC);%企业（基因）数 + +fixAmount $= 10000$ + +$\%$ 生成初始种群 + +$\mathrm{w} = 100;\%$ 种群个数 + +$\mathrm{g} = 100;\%$ 进化代数 + +$\mathrm{Ja} =$ zeros(N,w);%贷款金额的一代种群染色体 + +$\mathrm{Jr} = \mathrm{zeros}(\mathrm{N},\mathrm{w})$ ；%利率的一代种群染色体 + +$\mathrm{i} = 0;\mathrm{j} = 0$ + +while $i < w$ + +ca = randi([10,100], N, 1); + +if sum(ca) <= fixAmount + +$\mathrm{Ja}(:,i + 1) = ca;$ + +$\mathrm{i} = \mathrm{i} + 1$ + +end + +end + +while $j < w$ + +$\mathrm{Jr}(:,\mathrm{j} + 1) = 0.04 + (0.15 - 0.04).*\mathrm{rand}(\mathrm{N},1);$ + +$\mathrm{Jr}(:,\mathrm{j} + 1) = \mathrm{randi}([4,15],\mathrm{N},1) / 100;$ + +$\mathrm{j} = \mathrm{j} + 1$ + +end + +clear i; clear j; + +$\%$ 遗传过程：交叉和变异 + +for $\mathrm{i} = 1:\mathrm{g}$ + +Aa = Ja; %贷款金额的子代染色体 + +$\mathrm{Ar} = \mathrm{Jr};\%$ 利率的子代染色体 + +ca = randperm(w); %贷款金额交叉操作的染色体编号 + +$\mathrm{cr} =$ randperm(w); $\%$ 利率交叉操作的染色体编号 + +$\%$ 交叉 + +for $j = 1:2:w$ + +$\mathrm{Fa} =$ randi([1,N]);%贷款金额的地址 + +$\mathrm{Fr} = \mathrm{randi}([1,\mathrm{N}])$ ；%利率的地址 + +$\mathrm{tmpa = Aa(Fa:N,ca(j))}$ + +$\mathrm{tmpr} = \mathrm{Ar}(\mathrm{Fr}:\mathrm{N},\mathrm{cr}(\mathrm{j}))$ + +$\mathrm{Aa}(\mathrm{Fa:N},\mathrm{ca(j)}) = \mathrm{Aa}(\mathrm{Fa:N},\mathrm{ca(j + 1)});$ $\mathrm{Ar(Fr:N,cr(j)) = Ar(Fr:N,cr(j + 1))};}$ $\mathrm{Aa}(\mathrm{Fa:N},\mathrm{ca(j + 1)}) = \mathrm{tmpa};$ $\mathrm{Ar}(\mathrm{Fr:N,cr(j + 1)}) = \mathrm{tmpr};$ +end +% 变异 +bya $= []$ ： +byr $= []$ ： +while ~length(bya) +bya $=$ findrand(1,w)<0.1); %变异概率为 $10 \%$ +end +while ~length(byr) +byr $=$ randi([1,w],1,length(bya)); +end + $\mathrm{Ba} = \mathrm{Aa}(:,\mathrm{bya});\%$ 产生变异操作的初始染色体 + $\mathrm{Br} = \mathrm{Ar(:,byr)}$ ： +for i $= 1$ :length(bya) +bwa $=$ sort(randi([2,N-1],1,3)); + $\mathrm{Ba(:,i)} = \mathrm{Ba}([1:\mathrm{bwa}(1)-1,\mathrm{bwa}(2)+1:\mathrm{bwa}(3),\mathrm{bwa}(1):\mathrm{bwa}(2),\mathrm{bwa}(3)+1:\mathrm{N}],i);$ +end +for j $= 1$ :length(byr) +bwr $=$ sort(randi([2,N-1],1,3)); + $\mathrm{Br(:,j)} = \mathrm{Br}([1:\mathrm{bwr}(1)-1,\mathrm{bwr}(2)+1:\mathrm{bwr}(3),\mathrm{bwr}(1):\mathrm{bwr}(2),\mathrm{bwr}(3)+1:\mathrm{N}],j);$ +end +% 筛选 + $\mathrm{Ga} = [\mathrm{JaAaBa}]$ ： + $\mathrm{Gr} = [\mathrm{JrArBr}]$ ： +num $=$ size(Ga,2); +PROFIT $=$ zeros(num,1); +for i $= 1$ :num +L $=$ zeros(N,1); +for j $= 1$ :Nif creditRank(j) $= 9 \%$ 计算顾客流失率 $\begin{array}{rl} & {\mathrm{L(j)} = 640.944^{*}\mathrm{Gr(j,i)^{\wedge}3 - 258.570^{*}\mathrm{Gr(j,i)^{\wedge}2 + 37.970^{*}\mathrm{Gr(j,i)}} - 1.121;}}\\ & {\mathrm{elseif creditRank(j)} = 7}\\ & {\mathrm{L(j)} = 552.829^{*}\mathrm{Gr(j,i)^{\wedge}3 - 225.051^{*}\mathrm{Gr(j,i)^{\wedge}2 + 33.995^{*}\mathrm{Gr(j,i)}} - 1.017;}}\\ & {\mathrm{elseif creditRank(j)} = 5}\\ & {\mathrm{L(j)} = 504.717^{*}\mathrm{Gr(j,i)^{\wedge}3 - 207.386^{*}\mathrm{Gr(j,i)^{\wedge}2 + 32.157^{*}\mathrm{Gr(j,i)}} - 0.973;}}\\ & {\mathrm{else}}\\ & {\mathrm{L(j)} = 1;}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{end}}\\ & {\mathrm{profit} = (\mathrm{Ga(:,i).*Gr(:,i).*(1 - pofViolation)}...}\\ & {\mathrm{Ga(:,i).*pofViolation).*(1 - L);}\% \text{计算每条染色体的年收益}} \end{array}$ + +```matlab +PROFIT(i) = sum(profit); +end +[ \text{[~,indP] = sort(PROFIT,'descend')}; \% \text{对年收益由大到小排序} ] +Ja = Ga(:,indP(1:w)); %筛选染色体 +Jr = Gr(:,indP(1:w)); +end +``` + +%% 生成信贷策略 + +$\mathrm{A} = \mathrm{zeros}(302,1)$ $\mathrm{R} = \mathrm{zeros}(302,1)$ $\mathrm{A(indexABC) = Ga(:,1)}$ $\mathrm{R(indexABC) = Gr(:,1)}$ + +filename = '表格7：问题3_公共卫生事件下对302家无信贷记录企业的调整策略.xlsx'； + +```matlab +xlswritefilename,firm2,'A1:A302'); +xlswrite(filename,A,'B1:B302'); +xlswrite(filename,R,'C1:C302'); +xlswrite(filename,PROFIT(indP(1)),'D1:D1'); +``` + +$\% \%$ 可视化表达 + +```matlab +figure; +xlabel('企业排序'); +[sA,indA] = sort(A) +``` + +```javascript +yyaxisleft plot(1:302,sA,'r'); ylabel('贷款额度/万元'); +``` + +```javascript +yyaxis right plot(1:302,R(indA),b*); ylabel('贷款利率'); +``` + +```javascript +title('公共卫生事件下调整策略的贷款额度和贷款利率分布概况'); +legend('贷款额度/万元','贷款利率'); +grid on; +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/C170/C170.md b/MCM_CN/2020/C170/C170.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..400f429ca6ce95893ac55761cd8a8c5e296c20b3 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/C170/C170.md @@ -0,0 +1,998 @@ +# 针对中小微企业最优信贷决策研究 + +# 摘要 + +中小微企业由于其自身实力较弱和贷款担保不足，银行往往仅根据企业以往的信用记录以及企业的发票信息来判断企业的信贷风险，这就需要有一个合理、高效的信贷风险量化体系，并根据企业信贷风险构建最优信贷决策模型。研究银行对中小微企业的最优信贷决策一方面有利于银行的健康发展，维护金融市场的稳定；另一方面有利于增加中小微企业获得贷款的几率，促进中小微企业的发展。 + +针对问题一，主要解决两个问题：一是需要量化各企业的信贷风险，二是需要给出银行的最优信贷决策。文章首先通过对数据进行分析和预处理，从中提炼了总利润、运营时长等11个指标，分别从实力、供求稳定性、偿还能力和信誉度四个方面对企业信贷风险进行综合评估，建立了企业信贷风险评价体系。最后使用熵权法和TOPSIS方法量化了企业的信贷风险。第二个问题属于规划类问题，要求给出银行对各企业的信贷决策。银行的信贷决策与企业的信贷风险密切相关，并遵循利润最大化和风险最小化的经营原则，本文依据RAROC理论、违约金字塔理论以及上述原则构建了银行最优信贷模型，最终判断对123家企业是否予以放贷，并给出对于每个企业的最佳贷款利率和最佳贷款额度。 + +针对问题二，需要预测出302家无信用记录企业的信用等级和违约记录，解决方法是利用有标记的附件1数据进行训练，再将附件2的数据代入进行预测。对于违约记录，本文使用Logit回归进行分析，其中回归的准确度为 $84.6\%$ ，最终计算出各企业的违约概率。其次，本文使用BP神经网络模型对信用等级进行预测。将302家的违约概率和信用预测出来，结合自身已知数据就可以依据企业信贷风险评价指标体系量化各企业的信贷风险，最后结合总贷款额约束求解银行的最优信贷策略，得到针对302家企业的信贷策略。 + +针对问题三，首先需要在原来模型的基础上考虑突发事件的影响，对原来的模型进行改进。本文创新性地引入突发事件因子来改进模型，通过加入三种突发事件因子充分地识别突发事件带来的影响，从而对信贷决策进行调整。其次是分析新冠突发事件，通过国家统计局等渠道获得疫情对于各行业产值、利润等因素的影响数据，量化基于突发事件的最优信贷决策模型，求解发生突发事件时的信贷调整策略。最终获得基于新冠肺炎突发事件下的信贷调整政策。并将其与第二问的结果进行对比，文章发现新冠疫情的爆发导致银行的信贷策略更加倾向于高新技术产业，这可能和此类产业在疫情间的快速发展有关。 + +关键词：量化分析 信贷风险 信贷决策 违约金字塔理论 突发事件因子 + +# 一、问题重述 + +# 1. 背景知识 + +中小微企业是我国经济中重要的组成部分，中小微企业的发展有利于刺激我国经济的活力，提高市场效率，对垄断势力产生竞争压力。同时，根据谢勒等人的理论，中小微企业相比起大规模企业具有更强的创新动力，是技术进步的源泉。然而，由于中小微企业自身的规模较小、抵押物不足、波动大等特性，导致中小微企业融资困难，难以从银行获得贷款，严重阻碍了中小微企业的发展。 + +从银行方面来说，商业银行的经营原则有安全性、流动性、盈利性等，其中安全性是银行经营的根本，盈利性是银行经营的目的。处于安全性考虑，银行往往不会轻易地给中小微企业贷款，但是出于盈利性目的和政策考虑，银行又往往需要向中小微企业提供贷款。由于没有足够的抵押物，因此银行只能根据中小微企业的利润、流水、实力和影响力等有限信息来评估中小微企业的信贷风险，并对信贷风险较低的中小微企业给予贷款，这对于中小微企业获得融资和发展，银行实现安全性和盈利性的统一有着重要意义。 + +本文需要根据题目给出的各企业发票数据来提炼出各企业的经营特征，如利润、流水、规模、信用等等，构建企业信贷风险评价模型，根据这些经营特征来量化企业的信贷风险。再依据银行的经营原则构建出银行最优放贷决策模型，根据各企业的信贷风险、银行的放贷政策等指标确定最优的信贷决策。 + +# 2.数据分析 + +本题一共给出了三个附件数据，本文将对这些附件进行初步的解读。 + +附件一：给出了123家已有信贷记录的企业数据，由三部分组成。第一部分是各企业的信贷记录，包括信用评级和是否违约。第二部分是各企业的进项发票数据，包括了进项发票号码、开票日期、销方单位代号、金额、税额、价税合计和发票状态。第三部分是各企业的销项发票数据，内容和进项发票数据相同。 + +附件二：给出了302家无信贷记录的企业数据，与附件一最大的不同在于不包括企业的信贷记录，仅仅包含各企业的发票数据，指标内容和附件一相同。 + +附件三：给出了银行年利率和客户流失率的关系，其中客户流失率又根据信用等级不同而不同。初步来看，利率和客户流失率呈正相关关系，且在相同利率水平下，A类企业的流失率较高。 + +# 3.具体问题 + +根据题意，本文所要解决的问题主要有三个。 + +1.对附件一中有信贷记录的123家企业的信贷风险进行量化分析，并建立模型判断银行对每个企业的信贷决策。 +2.根据附件一的数据来预测302家无信贷记录企业的信用等级和违约概率，通过问题一构建的模型来分析各企业的信贷风险和银行的最优信贷决策。 +3.在前两问的基础上考虑突发因素的影响，对模型进行改进。通过改进后的模型来分析附件2中302家企业的信贷风险和银行的最优信贷决策有何变化，并给定具体事件进行具体分析。 + +# 二、问题分析 + +# 1. 总体分析 + +对中小微企业的信贷风险评估和信贷决策研究是十分有意义的问题，这对于中小微企业快速发展和银行稳定运行有着重要影响。由于中小微企业往往难以提供足够的抵押物，银行只能从企业有限的发票数据中提炼信息来对其信贷风险进行评估，并根据其信贷风险和银行自身政策决定信贷策略。因此，本文的主要目标就是充分分析企业的发票数据，从中提炼出有用的变量，并利用这些变量建立一套合理有效的企业信贷风险评估体系。再依据银行的经营准则构建银行最优信贷决策模型，根据各企业的信贷风险来决定对各企业的信贷决策，实现安全性和盈利性的统一。并在此体系的基础上加入对无信用记录企业的评估以及考虑突发事件的影响。 + +# 2. 具体分析 + +第一问中需要解决两个问题，其中第一个问题是评价类问题，根据企业的各项特征指标对企业的信贷风险进行量化分析，最终给出各企业的信贷风险度。针对该问题，本文首先从附件一中所给的企业信用记录和发票信息找出企业的各项特征。本文提炼了总利润、进项金额标准差、运营时长、发票有效率等11个指标，分别从信用、盈利能力、供求稳定性、规模、影响力等五个方面对企业风险进行综合评估，建立了企业信贷风险的评价指标体系。随后采取熵权法对各项指标进行赋权，最终使用TOPSIS方法量化了各企业的信贷风险。第二个问题是规划类问题，要求给出银行对各企业的信贷决策。信贷决策包括是否放贷、贷款利率和贷款金额。首先根据第一个问题计算出的各企业信贷风险来判断是否进行放贷，然后根据信誉越高利率越低的原则将适宜放贷的企业进行分类，确定其贷款利率。最后，根据利润最大化和风险最小化的经营原则建立银行最优信贷决策模型，依据上文给出的企业信贷风险和利率计算出各个企业的最优额度。 + +问题二需要根据附件2给出的302家企业的信息计算各企业的信贷风险，并在年度信贷总额为1亿的条件下求解银行对于各企业的信贷决策。本文首先需要根据附件一的数据预测出附件二中302家企业的信用等级和违约概率。其中违约概率在附件一是一个0-1变量，针对这种二值变量可以通过使用Logit回归，利用附件一中的数据，用极大似然法估计出参数，然后代入附件二的相应数据求出附件二企业违约的概率。对于信用等级，由于是一个排序变量，因此文章采用BP神经网络模型求解，将附件一中已标记的数据作为训练样本，然后用训练完成的神经网络来对附件二企业的信用等级进行预测。将附件二中的信用等级和违约概率求得之后，使用之间的信贷风险量化方法就可以求得302家企业的信誉风险。利用信贷风险代入最优信贷决策模型就可以求得银行对于这些企业的信贷决策，需要注意的是，此问中加入了一个最大贷款额度为1亿的约束条件，对模型进行了进一步的限制。 + +第三问中主要是对上述的评价体系和决策模型进行改进和优化，加入对于突发因素的考虑。突发因素往往会对不同行业和不同类别的企业影响不同，因此本文将企业根据行业划分为六类，根据规模大小划分为三类，并将突发事件分为国际性突发事件、小型突发事件、制造破坏性突发事件等几类。突发事件的发生会影响到企业信贷风险的变化、银行贷款政策和参数的变化，最终会影响信贷策略。本文将突发事件后的信贷决策与未发生突发事件的决策进行对比，分析突发事件的影响程度。最后给出具体的新冠肺炎突发事件、中美贸易战突发事件等，对这些突发事件所造成的信贷策略变化进行具体分析。 + +![](images/d2679f4e1f7c76ddbb2837f321e88c7a75248b2aa2b3d28791a8c3e85eddd5bc.jpg) +文章具体思路图如下 +图2.1 总体思路图 + +# 三、模型假设 + +1.公司的发票信息可以完全反映公司的经营状态 +2.企业是否违约会直接影响企业下期信誉评级 +3.突发事件的发生带来的影响将持续到贷款期结束 +4.贷款利率和公司信誉和实力成正相关，与信贷风险成负相关 +5.当期信贷决策和下期信贷决策相互独立 + +# 四、符号说明 + +
符号含义
πi第i个企业的总利润额
Ti应缴税额
Ri企业的有效发票率
ERi预期贷款收益
EDi预期损失
PDi违约率
LGDi违约损失率
Ci银行贷款的资金成本
λij变量突发事件因子
δ模型突发事件因子
+ +# 五、数据侧写 + +本文为典型的数据分析问题，因此事先对数据进行侧写有利于问题的解答和分析。由于本题和目标和企业的经营特征密切相关，因此本部分将对附件一和附件二中各企业的部分经营特征进行初步观察，获得一个数据的大致情况。 + +# 5.1 企业的信誉度分布情况 + +根据企业的信用等级、违约记录、经营时长可以大致判断一个企业的信誉状况。本文首先对有信贷记录的123家企业信用等级分布进行分析。 + +![](images/f48aa5fea335b7ae863aa7d1841b5513853151b741cd2807cb2c30f7b1f5ce42.jpg) +图5.1 信用等级分布图（单位：个） + +通过信用等级分布图可以看出，四种类型的企业分布相对均衡，其中B级信用的企业最多，这说明企业之间的信誉区分度大，由信誉度影响的最后贷款决策应该也存在着较大的差异。其次文章对有信贷记录的123家的运营时长进行分析。 + +![](images/002d15d3d1c3423d8d58bd6f58452007d22a7f142e3995a49a5b3c3a748f2834.jpg) +图5.2 运营时长分布图（单位：月） + +通过运营时长分布图可以看出，多数企业的运营时长在31-40个月的范围内，即在三年左右甚至更少，而经营40个月以上的企业仅有一家，这从另一方面反映出了中小微企业普遍资历薄弱，经营风险大的特点。 + +# 5.2 企业的利润分布情况 + +根据企业的总利润可以判断出一个企业的经营状况，更重要的是对贷款的偿还能力。因此关注企业的利润状况可以有效的判断信贷风险。对附件一中123家企业的利润分析。 + +![](images/773d53e9dce20d92b3981cd79846255afae1d3be9f5942dfe3c9a816954b664a.jpg) +图5.3利润分布图（单位：个） + +可知大部分的企业利润大于0的，都是处于盈利状态，且有31家企业的利润达到了2000万元以上，这说明整体来看中小企业的偿还能力较强，信贷风险较低。 + +# 5.3 企业的规模分布情况 + +企业的规模衡量了企业的实力，实力越强的企业拥有的资金越雄厚，违约风险就越小。销项价税总额在一定程度上等价于企业的主营业务收入，因此本文以企业的销项价税总额作为企业实力的衡量。 + +![](images/2779bee83cad4e007206dabc3e247bf2060b9493219356716e5a7076a001edd1.jpg) +图5.4 销项价税总额分布图（单位：个） + +可见大部分企业的销项价税总额都小于1000万，体现了中小微企业规模小的特征，然而也存在某些企业的销项价税总额大于1亿，拥有较大的经营规模，说明这些企业的违约风险较低，应该是银行放贷的主要对象。 + +# 5.4 企业的资金波动程度分布情况 + +企业的资金波动是否稳定也是银行衡量企业信贷风险的一个重要方面，资本波动程度越小说明企业的经营越稳定，不易破产形成坏账。本文主要从企业每月进项金额的变异系数来观察金额波动程度，统计结果如下 + +![](images/c8cbb39099c94d890b5f7c9fc314013e65378e420b7aa066b00e246cd0946ddc.jpg) +图5.5 进项金额变异系数分布图 + +一般来说，变异系数小于0.25说明数据较为稳定，但是可以发现的大多数企业的进项金额变异系数都较高，说明企业的流水比较不稳定，具有较大的信贷风险，仅有10家企业的进项金额变动较为稳定。 + +# 5.5 企业的联系企业数量分布区间 + +通过企业所联系的上下游企业可以判断一个企业在产业链中的影响力，其所联系的企业越多就说明这个企业的影响力越大，其发生变动会对整个产业其他企业造成较大影响。本文统计了各企业所联系的上下游企业数量，在此先就联系的上游企业进行分析。 + +![](images/0177be33d38736b9450bbfb9d328ce2553e8839f4ca558725b48c72f466ab9e9.jpg) +图5.6联系上游企业分布图（单位：个） + +# 5.6利率与客户流失率关系图 + +附件3给出了利率和客户流失率的关系，为了更直观的分析两者之间的关系，本文以图像进行展现。 + +![](images/39f775e7dea610e7a2bb836a68c0a70aa55303696b28d9b6aee13c0b7cc4746f.jpg) +图5.7企业行业分布图（单位：个） + +可见，利率和客户流失率呈正相关关系，且在相同利率水平下，不同信誉评级企业的流失率不同，A类企业的流失率较高。 + +# 六、模型建立和求解 + +# 6.1 问题一的分析与求解 + +# 6.1.1 问题一的分析思路 + +第一问中需要解决两个问题，其中第一个问题是评价类问题，根据企业的各项特征指标对企业的信贷风险进行量化分析，最终给出各企业的信贷风险度。针对该问题，本文首 + +先从附件一中所给的企业信用记录和发票信息找出企业的各项特征。本文提炼了总利润、进项金额标准差、运营时长、发票有效率等11个指标，分别从信用、盈利能力、供求稳定性、规模、影响力等五个方面对企业风险进行综合评估，建立了企业信贷风险的评价指标体系。随后采取熵权法对各项指标进行赋权，最终使用TOPSIS方法量化了各企业的信贷风险。第二个问题是规划类问题，要求给出银行对各企业的信贷决策。信贷决策包括是否放贷、贷款利率和贷款金额。首先根据第一个问题计算出的各企业信贷风险来判断是否进行放贷，然后根据信誉越高利率越低的原则将适宜放贷的企业进行分类，确定其贷款利率。最后，根据利润最大化和风险最小化的经营原则建立银行最优信贷决策模型，依据上文给出的企业信贷风险和利率计算出各个企业的最优额度。具体思路图如下 + +![](images/2891913ab43ce44cba779e37fa8f7710de168f740d2edefbba8c20319e352f01.jpg) +图6.1第一问思路图 + +# 6.1.2 数据分析与处理 + +# 1）数据分析 + +本文将基于附件一的数据进行处理和分析。附件一包含了具有信用记录的123家企业的信息，包括企业的信用记录和企业的发票信息。其中企业的信用记录分为企业的信用评级和违约记录，A级为信用最高的企业，D级为信用最低的企业，违约记录表示了企业曾经是否发生过违约行为。其中企业的发票信息分为进项发票信息和销项发票信息，进项发票为企业进货时上游企业为其开具的发票，销项发票为企业销售产品时为下游企业开具的发票。 + +发票信息中存在着有效发票和无效发票，有效发票意味着该项交易成功，无效发票意味着该项交易因为某种原因被取消了，可能和该企业的信誉有关。此外，在有效发票中还存在 + +着标记为负数的发票，这代表着这笔交易虽然之前发生了，但是后来因为某种原因进行了退货，这可能也和企业的信誉有关。 + +具体来看，发票所包含的信息包括发票号码、开票日期、交易单位代号、金额、税额、价税合计和发票状态。其中通过开票日期可以分析出企业的运营时间以及有关的时间序列数据，通过交易单位代号可以分析出该企业相关的上下游企业数量和实力，通过金额、税额等可以分析出企业的规模、实力和偿还能力，通过发票状态可以分析出企业的信誉。其中企业的进项发票一共有210947张，销项发票一共有162484张。 + +在信用数据方面，存在银行根据企业的实际情况评定的信誉评级和具体违约情况，具有较高的专业性，可以作为企业信用评价的依据。根据一般原则，银行对信用极差的D级企业不予放贷，减少信贷风险。 + +最后，根据企业名还可以分析出企业所属的行业和性质，这为对企业根据行业进行分类提供了依据。 + +# 2）数据处理 + +根据以上分析结果，可知发票数据量巨大，必须要对数据进行简化处理。由于无效发票是未完成交易的发票，因此可以给予剔除，不计入各企业的最终数据。此外，由于负数发票是已交易的退回，因此在计算时也要予以剔除。理论上负数发票应该和前面发生的交易对应，然后对应删除。如果没有对上相应的交易发票，则可以认为该企业出现了漏税行为，会影响其信誉度，在后面计算中需要加以评估。 + +由于原则上不对D级企业予以放贷，因此在计算时可以将所有的D级企业予以剔除。最终经过数据处理，简化后的进项发票一共有xxx张，销项发票一共有xxx张，较大地简化了分析难度。 + +最后文章对出现的异常值进行处理，以序列均值作为替代，比如某些信用为A的企业的利润为负的16亿元，显然不合常理。 + +# 6.1.3 企业特征变量选取与指标评价体系构建 + +本文的重点在于如何从企业的发票信息和信用记录中提炼出可以来衡量企业信贷风险的经营特征，然后根据这些经营特征来量化企业的信贷风险。依据题意，银行往往向实力强、供求关系稳定的企业提供贷款，此外偿还能力、信誉高等特征也是影响银行是否向企业放贷的重要因素。以下文章将从这四个方面入手进行指标选取。 + +# 1）企业实力 + +企业的实力可以根据企业的规模大小、交易量大小来进行判断。本文选取企业的总进项价税额和总销项价税额、有效发票总量作为衡量企业规模和交易量大小的指标。 + +① 总进项价税额是指某企业在一段时间内购进产品的价值总和，该值越高说明企业的生产和经营规模就越大，可以作为衡量企业生产规模大小的有效指标，其具体计算公式为 + +$$ +T X _ {m i} = \sum_ {k = 1} ^ {n _ {m}} t x _ {m i k} \tag {6.1} +$$ + +其中 $TX_{mi}$ 为第 $i$ 个企业的总进项价税， $tx_{mik}$ 为企业第 $k$ 张进项发票的进项价税， $n_m$ 为进项发票数量。 + +(2)总销项价税额的含义与总进项价税额类似, 其具体计算公式为 + +$$ +T X _ {e i} = \sum_ {k = 1} ^ {n _ {c}} t x _ {e i k} \tag {6.2} +$$ + +其中 $TX_{ei}$ 为第 $i$ 个企业的总销项价税额， $tx_{eik}$ 为企业第 $k$ 张销项发票的销项价税， $n_e$ 为销项发票数量。 + +③有效发票总量是指某企业在一段时间开出的销项有效发票和进项有效发票总和，该值越高说明企业的有效交易次数越多，有效交易总量越大，可以作为衡量企业交易量的有效指标，其具体计算公式为 + +$$ +n _ {i} = n _ {e i} + n _ {m i} \tag {6.3} +$$ + +其中 $n_{mi}$ 和 $n_{ei}$ 分别为进、销项有效发票数量， $n_i$ 为第 $i$ 个企业的有效发票总量。 + +# 2）供求关系稳定性 + +供求关系稳定性是指企业和上下游企业之间关系的稳定程度，可以从该企业与上下游企业交易额的波动程度来衡量，波动程度越小，说明供求关系越稳定。另一方面，可以从该企业联系的上下游企业数量多少来分析该企业的供求关系是否稳定，如果联系的企业数量越多，说明购买和销售的渠道就越多，供求关系就越稳定。因此，本文选取企业的月进项金额变异系数和月销项金额变异系数、企业联系的上下游企业数量作为衡量企业供求关系稳定性的指标。 + +① 月进项金额变异系数是指以月为标准，计算某企业每月的进项金额的变异系数，变异系数衡量数据的变化程度，计算变异系数是为了便于企业间的比较。变异系数越大，说明该企业每月进项金额波动越大，供求关系越不稳定，其具体计算公式为 + +$$ +c _ {m i} = \frac {\sigma_ {m i}}{\mu_ {m i}} \tag {6.4} +$$ + +其中 $c_{mi}$ 为第 $i$ 个企业的月进项金额变异系数， $\sigma_{mi}$ 为企业月进项金额标准差，计算公式为 $\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{mi} - \overline{x}_m)^2}{n-1}}$ ， $\mu_{mi}$ 为月进项金额均值，计算公式为 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{mi}$ 。 + +② 月销项金额变异系数的含义与月进项金额变异系数类似，其具体计算公式为 + +$$ +c _ {e i} = \frac {\sigma_ {e i}}{\mu_ {e i}} \tag {6.5} +$$ + +其中 $c_{ei}$ 为第 $i$ 个企业的月销项金额变异系数， $\sigma_{ei}$ 为企业月销项金额标准差， $\mu_{ei}$ 为月销项金额均值。 + +③ 企业联系的上游企业数量和下游企业数量是根据企业发票的销方和购方总共涉及到的不同企业数量来计算的，企业所联系的上下游企业越多，说明供求关系越稳定。定义第 $i$ 家企业联系的上游企业数量为 $Q_{si}$ ，联系的下游企业数量为 $Q_{xi}$ 。 + +# 3）偿还贷款能力 + +企业偿还贷款的能力与其盈利能力直接相关，只有能够持续盈利的企业才能偿还贷款，避免造成坏账风险。本文选取企业的总利润额作为衡量企业偿还贷款能力的指标，其具体计算公式如下 + +$$ +\pi_ {i} = T X _ {e i} - T X _ {m i} - T _ {i} \tag {6.6} +$$ + +其中 $\pi_{i}$ 为第 $i$ 个企业的总利润额， $T_{i}$ 为企业的应缴税额，等于销项税减去进项税。 + +# 4）信誉度 + +企业的信誉度是决定企业信贷风险最重要的原因，信誉度指企业遵守契约的可能性，信誉度越高的企业信贷风险越低。信誉度可以由有效发票率、运营时长、信用等级等指标进行衡量。 + +①有效发票率是指企业的发票总量中有效发票的占比，有效发票越多说明企业的信誉度越高，其具体的计算公式为 + +$$ +R _ {i} = \frac {n _ {i}}{n _ {i} ^ {\prime}} \tag {6.7} +$$ + +其中 $R_{i}$ 为企业的有效发票率， $n_i$ 为有效发票量， $n_i^{\prime}$ 为发票总量。 + +② 运营时长也是衡量企业信誉的重要数据，一般来说运营时长越长，企业的信誉就越高。本文根据企业的第一张发票时间和最后一张发票的时间的差来计算企业的运营时长，定义第 $i$ 家企业的运营时长为 $t_i$ + +③信用等级是银行内部专业人员根据企业的各项指标综合评定的一个信誉指标，能够有效地衡量企业的信誉度。为了便于量化分析，本文将四个评级转化为数值 + +表 6.1 评级转化表 + +
评级ABCD
对应数值80604020
+ +此外，对于存在违约记录的企业给予降级处罚，重新评估其信誉得分。 + +综上，本文总结出了评估企业信贷风险4个方面的11个指标，4个方面分别为实力、供求关系、偿还能力、信誉度，11个指标为进、销项价税合计、总利润、月进、销项金额变异系数、有效发票总量、有效发票占比、上下游企业总量、运营时长。由此可以构建出企业信贷风险评估指标体系，如图6.2所示 + +![](images/cdb5921a7693c955fc2ba6cb337062023cd97d0390753ff1f857759631e394b3.jpg) +图6.2企业信贷风险指标体系图 + +由此，本文得到了企业信贷风险指标体系，接下来可以根据该体系来量化各个企业的信贷风险。 + +# 6.1.5 量化企业信贷风险 + +依据上文所计算的各指标数值以及评价体系，文章可以量化出各企业的信贷风险。首先需要确定各指标的权重。为了避免主观性对于量化结果的影响，本文采用依据数据驱动的权重计算方法熵权法来进行赋权，在得到权重之后使用TOPSIS来量化每个企业的信贷风险。 + +# 1）熵权法计算权重 + +熵权法是一个客观的赋权方法，可以最大程度上避免主观性赋权对于信贷风险量化结果的影响。熵权法依据的原理是指标的变异程度，即变异程度越高则对应的权值也就越高。 + +首先本文需要对企业指标数据进行正向化和归一化处理，保证数据的非负性 + +$$ +z _ {i j} = \frac {x _ {i j} - x _ {\min}}{x _ {\max} - x _ {\min}} +$$ + +其中 $z_{ij}$ 为归一化处理后的变量， $x_{\mathrm{min}}$ 和 $x_{\mathrm{max}}$ 分别为每个指标的最大值和最小值。 + +计算第 $j$ 个信贷风险指标下第 $i$ 个企业所占的权重，将其看作计算信息熵时的概率 $p_{ij}$ + +$$ +p _ {i j} = \frac {z _ {i j}}{\sum_ {i = 1} ^ {n} z _ {i j}} +$$ + +计算第 $j$ 个信贷风险指标的信息熵 $e_j$ ，并计算对应信息效用值 $d_j$ ，此处进行转换的原因是因为信息熵越大代表该信贷风险指标的信息越少，引入信息效用值 $d_j$ 就可以正向衡量信息量。 + +$$ +e _ {j} = - \frac {1}{\ln n} \sum_ {i = 1} ^ {n} p _ {i j} \ln \left(p _ {i j}\right) +$$ + +$$ +d _ {j} = 1 - e _ {j} +$$ + +最终归一化得到每个信贷风险指标的熵权 $w_{j}$ + +$$ +w _ {j} = \frac {d _ {j}}{\sum_ {j = 1} ^ {m} d _ {j}} \tag {6.8} +$$ + +得到11个指标的权重分别为 + +# 表 6.2 指标权重表 + +
指标进项价税 +合计销项价税 +合计总利润月进项金 +额标准差月销项金 +额标准差有效发票 +总量
权重0.22740.14820.00100.00070.00100.0850
指标有效发票 +占比上游企业 +总量下游企业 +总量运营时长信誉评分
权重0.00080.07800.14070.00190.3154
+ +# 2）TOPSIS方法量化企业信贷风险 + +TOPSIS 方法是基于数据对样本进行排序的一种方法，其基本思想是根据样本数据构造一个理想化的目标，比如在本例中就是构造一个各方面信贷风险指标都达到最优的企业，然后测量实际企业和这个理想化企业的接近程度，越接近就代表其信贷风险越低。 + +找出每列也就是每个信贷风险指标的最大值，记为 $z_{i}^{+}$ $(i = 1,2,\dots ,m)$ ，组成向量 + +$$ +Z ^ {+} = \left\{z _ {1} ^ {+}, z _ {2} ^ {+}, \dots , z _ {m} ^ {+} \right\} +$$ + +该向量代表理想的企业。同样的，找出每列也就是每个指标的最小值，记为 $z_{i}^{-}$ （ $i = 1,2,\dots,m$ ），组成向量 + +$$ +Z ^ {-} = \left\{z _ {1} ^ {-}, z _ {2} ^ {-}, \dots , z _ {m} ^ {-} \right\} +$$ + +该向量代表最不理想的企业，即每个正向化后的指标都达到了最小。 + +定义第 $i$ 个样本与理想目标的距离为 $D_{i}^{+}$ ，计算公式为 + +$$ +D _ {i} ^ {+} = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {m} \left(z _ {j} ^ {+} - z _ {i j}\right) ^ {2}} +$$ + +定义第 $i$ 个企业与不理想目标的距离为 $D_{i}^{-}$ ，计算公式为 + +$$ +D _ {i} ^ {-} = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {m} \left(z _ {j} ^ {-} - z _ {i j}\right) ^ {2}} +$$ + +定义第 $i$ 个企业的得分为 $S_{i}$ ，计算公式为 + +$$ +S _ {i} = \frac {D _ {i} ^ {-}}{D _ {i} ^ {+} + D _ {i} ^ {-}} \tag {6.9} +$$ + +显然， $S_{i}$ 位于[0,1]之间。当 $S_{i}$ 越接近于1，说明企业 $i$ 距离理想化目标越近，该企业的信贷风险就越低。反之，当 $S_{i}$ 越接近于0，说明企业 $i$ 距离理想化目标越远，该企业的信贷风险就越高。 + +最终得到123家企业的量化信贷风险，由于篇幅限制，此处仅展示前10家企业和后10家企业的信贷风险，具体结果见附录。 + +表 6.3 各企业信贷风险表 + +
企业信贷风险企业信贷风险
E10.1657E1140.9463
E20.2988E1150.9786
E30.6340E1160.9603
E40.6402E1170.9801
E50.5592E1180.9479
E60.3955E1190.9612
E70.3674E1200.9624
E80.3225E1210.9629
E90.4211E1220.9497
E100.5526E1230.9513
+ +由于根据银行内部专业人员评估出来的信用等级可信度较高，因此文章将使用附件1中已给定的各企业信用等级来检验上文求出的信贷风险的准确度。如果求出的信贷风险是准确 + +![](images/b9dd3aa05211f8235e436e396503c26e5dc612c4f8b746164761cc0bec5166c0.jpg) +图6.3信贷评级与总评序列图 + +由图可知，两个变量的变化趋势基本相同，拟合程度非常高，说明本文计算出的信贷风险十分准确，可以依据此数据对信贷策略进行分析。 + +# 6.1.6 最优信贷决策模型 + +在得到各企业的信贷风险表后，就可以根据各企业的信贷风险对各企业进行信贷决策，信贷决策主要包括是否放贷、贷款利率和贷款额度。 + +# 1)是否放贷的确定 + +理论上，银行是根据企业的信贷风险高低来决定是否对企业进行放贷，如果企业的信贷风险较高，那么就不对企业进行放贷，如果企业的信贷风险适度或者较低，就可以对企业进行放贷。因此，判断是否放贷的关键在于确定放贷的阈值，风险高于该阈值的企业不予放贷，风险低于该阈值的企业给予放贷。 + +风险阈值的确定：根据附件一数据，发现在123家企业中共有27家企业发生违约，其中24/27的违约企业为D级，2/27的违约企业为C级，1/27的违约企业为B级。因为B级企业违约对其做降级处理，故可以认为其与C级企业一同判断，此时所有的违约企业都为C级企业。 + +由于原则上银行不对D类企业进行放贷，因此考虑的所有违约企业都属于C级企业。于是本文就可以根据C级企业的违约率来确定风险阈值，已知C级企业的总体违约率为 $9\%$ （3/33），也就说C级企业中信贷风险在前 $9\%$ 的企业都具有较大的违约风险。因此本文取C级企业的前 $9\%$ 对应的企业的信贷风险值作为风险阈值，高于该信贷风险值的企业拥有较高的信贷风险，不予贷款，低于该信贷风险值的企业拥有较低的信贷风险，予以贷款。即 + +$$ +\text {风 险 阈 值} = C \text {类 企 业 信 誉 风 险 序 列 的 第} 9 \text {百 分 位 数} \tag {6.10} +$$ + +附件一中的C类企业信贷风险序列为 $\{0.8381, 0.8311, 0.7332, \dots, 0.6402, 0.6340\}$ ，因此可以计算出风险阈值为0.7332。即信贷风险大于0.7332的企业不予放贷，信贷风险小于0.7332的企业予以放贷。最终剔除26个企业，如下表所示 + +表 6.4 剔除贷款企业表 + +
企业信贷风险企业信贷风险
E1170.9799E520.9567
E1010.9799E1110.9544
E1150.9786E1230.9513
E1080.9742E1220.9497
E1130.9697E1180.9479
E1120.9685E1000.9463
E1070.9662E1140.9463
E1030.9647E820.9462
E1090.9633E990.9431
E1210.9629E1020.9419
E1200.9624E360.9389
E1190.9612E290.8381
E1160.9603E870.8311
+ +# 2）贷款利率的确定 + +第一部分本文判断出了银行要对123家企业中的97家企业进行放贷。接下来需要求出对放贷企业的具体贷款利率。 + +依据违约金字塔理论[1]，银行要实现盈利性和安全性的统一，就需要使得信用等级与贷款利率挂钩，保证信贷风险越低的企业，贷款利率越低。因此，本文根据剩余的企业数量和附件3给出的利率分级，将97家企业均分为27类，其中信贷风险最低的一类获得贷款利率最低，即利率为 $4\%$ 的贷款。其中信贷风险最高的一类获取贷款利率最高，即利率为 $15\%$ 的贷款。此外，由于给定利率和企业信用程度，客户流失率也将给出，因此可以确定每个企业的贷款利率和客户流失率。结果如下表（由于数据较多，具体结果放在附录，此处仅展示前10家企业和后10家企业数据） + +表 6.5 贷款利率表 + +
企业利率客户流失率企业利率客户流失率
E10.040.0000E930.10250.6969
E20.040.0000E940.14250.8370
E30.12250.7845E950.09050.6258
E40.12250.7845E960.150.8952
E50.07850.5734E970.11850.7620
E60.04250.0946E980.10650.7053
E70.04250.0946E1040.150.8952
E80.040.0000E1050.14650.8726
E90.04650.1357E1060.11450.7764
E100.07450.5087E1100.150.8952
+ +# 3）贷款额度的确定 + +在求得了银行给予放贷的企业以及相应的贷款利率后，本部分将对具体的贷款额度进行求解。计算出来的贷款额度需要满足银行利润最大化和风险最小化的经营原则，因此本部分实际上是一个优化问题，决策变量为贷款额度。 + +# 3.1）目标函数 + +银行的信贷决策应该满足利润最大化和风险最小化两个目标。根据RAROC理论[1]实际上就是最大化经过风险调整后的企业收益，即 + +$$ +\max \pi = \sum_ {i = 1} ^ {9 7} \left(E R _ {i} - E D _ {i} - C _ {i}\right) \left(1 - L _ {i}\right) \tag {6.11} +$$ + +其中 $ER_{i}$ 为预期贷款收益，即这笔贷款的预期收入，计算公式为 $ER_{i} = A_{i} \cdot r_{i}$ ， $A_{i}$ 为对第 $i$ 家企业的贷款额，所要求解的决策变量， $r_{i}$ 为对 $i$ 家企业的贷款利率。 + +其中 $ED_{i}$ 为预期损失，指这笔贷款的可能损失，即风险因素的调整，计算公式为 $ED_{i} = A_{i}\cdot PD_{i}\cdot LGD_{i}$ 。其中 $PD_{i}$ 为违约率，代表该企业违约的概率，违约率是信贷风险的函数，具体的计算公式为 $PD_{i} = \alpha \cdot S_{i}^{2}$ ，其中 $S_{i}$ 即前面量化的企业信贷风险， $\alpha$ 为违约系数，根据经验一般取0.2。 $LGD_{i}$ 为违约损失率，即企业违约后银行可能面临的损失，是贷款额和利率的函数，具体的计算公式为 $LGD_{i} = \beta \cdot A_{i}\cdot r_{i}$ ，其中 $\beta$ 为违约损失系数。根据违约金字塔[2]原理，该系数并不是不变的，当企业信用评分较高时，违约损失系数 $\beta$ 越小，可以看作是评级的分段函数，一般来说，A类企业对应0.09，B类企业对应0.18，C类企业对应0.27。 + +$C_i$ 为银行贷款的资金成本，也就是银行如果不放贷这比贷款所能够得到的收入，类似机会成本的概念，其具体计算公式为 $C_i = A_i \cdot FTP$ ，其中 $FTP$ 为内部资金转移定价，指银行内部资金调度的利率。根据xxx的数据，一年期的 $FTP$ 为0.027。 + +$L_{i}$ 为客户流失率，已在计算各企业利率时给出。 + +综上，给出具体的目标函数为 + +$$ +\max \pi = \sum_ {i = 1} ^ {9 7} \left(A _ {i} \cdot \left(r _ {i} - F T P\right) - A _ {i} ^ {2} \cdot \alpha \cdot S _ {i} ^ {2} \cdot \beta \cdot r _ {i}\right) (1 - L _ {i}) \tag {6.12} +$$ + +# 3.2）约束条件 + +依据题意，对贷款额度的限制为10-100万元，可给定约束条件 + +$$ +s. t \quad 1 0 \leq A _ {i} \leq 1 0 0 \tag {6.13} +$$ + +# 3.3）模型求解 + +使用Lingo软件对本模型进行求解，解得对97家企业的具体贷款额度如下（由于数据较多，具体结果放在附录，此处仅展示前10家企业和后10家企业数据） + +表 6.6 贷款额度表 + +
企业贷款额度企业贷款额度
E1100E9371.55496
E2100E9422.55253
E336.52383E9550.49514
E435.65063E9619.0597
E562.38206E9756.99842
E664.76603E9838.27025
E775.05194E10447.87552
E886.80034E10516.40281
E957.13073E10643.50949
E1067.01601E11014.1905
+ +# 6.2 问题二的分析与求解 + +# 6.2.1 问题二的分析思路 + +问题二需要根据附件2给出的302家企业的信息计算各企业的信贷风险，并在年度信贷总额为1亿的条件下求解银行对于各企业的信贷决策。问题二和问题一的解决思路基本相同，但最大的不同在于问题二中的302家是无信贷记录的企业，因此企业信息中没有企业的信用等级和违约记录，所要无法直接将302家企业的数据代入模型求出最终结果。 + +本文首先需要根据附件一的数据预测出附件二中302家企业的信用等级和违约概率。其中违约概率在附件一是一个0-1变量，针对这种二值变量可以通过使用Logit回归，利用附件一中的数据，用极大似然法估计出参数，然后代入附件二的相应数据求出附件二企业违约的概率。对于信用等级，由于是一个排序变量，因此文章采用BP神经网络模型求解，将附件一中已标记的数据作为训练样本，然后用训练完成的神经网络来对附件二企业的信用等级进行预测。 + +将附件二中的信用等级和违约概率求得之后，使用之间的信贷风险量化方法就可以求得302家企业的信誉风险。利用信贷风险代入最优信贷决策模型就可以求得银行对于这些企业的信贷决策，需要注意的是，此问中加入了一个最大贷款额度为1亿的约束条件，对模型进行了进一步的限制。以下是本文的思路分析图 + +![](images/3ea583101e9272680b05cf84af47220ca8bad0afe6704e52404fce33387ac33d.jpg) +图6.4问题二思路图 + +# 6.2.2 使用 Logit 回归预测违约概率 + +如果模型中的被解释变量为0-1变量，最简单的建模方法为线性概率模型LPM。但是LPM存在一个致命的缺陷就是值域不位于[0,1]的区间内，这就导致了使用LPM模型估计出来的结果没有实际意义。一般来说，常用的二值选择模型的估计方法为Logit回归。Logit回归实质上就是将连接函数 $F(x,\beta)$ 设置为逻辑分布的累计分布函数CDF，即 + +$$ +\hat {y} = F (x, \beta) = \frac {\exp (X \beta)}{1 + \exp (X \beta)} \tag {6.14} +$$ + +由于该函数的值域位于[0,1]区间，这就保证了 $\hat{y}$ ，即该变量取1的概率位于[0,1]之间。将附件1中各企业的数据以及对于的违约记录代入，使用极大似然法估计出参数 $\beta$ ，其具体的估计流程如下： + +对于企业数据 $\{X_{i},y_{i}\}_{i = 1}^{n}$ ，第 $i$ 个企业的概率密度为 + +$$ +f (y _ {i} \mid x _ {i}, \beta) = \left(\frac {\exp (X \beta)}{1 + \exp (X \beta)}\right) ^ {y _ {i}} \left(1 - \frac {\exp (X \beta)}{1 + \exp (X \beta)}\right) ^ {1 - y _ {i}} +$$ + +对其取对数可得 + +$$ +\ln f \left(y _ {i} \mid x _ {i}, \beta\right) = y _ {i} \ln \left(\frac {\exp (X \beta)}{1 + \exp (X \beta)}\right) + \left(1 - y _ {i}\right) \ln \left(1 - \frac {\exp (X \beta)}{1 + \exp (X \beta)}\right) \tag {6.15} +$$ + +式（6.15）为第 $i$ 个企业的表达式，假设企业违约的概率 $y_{i}$ 独立同分布，则整体的似然函数为 + +$$ +\ln L (\beta \mid y, X) = \sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i} \ln \left(\frac {\exp (X \beta)}{1 + \exp (X \beta)}\right) + \sum_ {i = 1} ^ {n} (1 - y _ {i}) \ln \left(1 - \frac {\exp (X \beta)}{1 + \exp (X \beta)}\right) +$$ + +将似然函数对 $\beta$ 求偏导令其为0，得到的 $\hat{\beta}$ 即为所要估计的参数。将附件二的302个企业信息代入即可求出对应的 $\hat{y}$ ，即企业违约的概率。 + +文章使用 SPSS 23 进行 Logit 回归，回归的准确度如下表所示 + +表 6.7 Logit 回归准确度表 + +
01正确百分比
091594.8%
1141348.1%
总体百分比84.6%
+ +由表可知预测的总体准确度为 $84.6\%$ ，预测精度较高，该模型可以用于预测附件二中企业的违约概率。 + +输入附件二企业的数据，得到预测结果如下表（由于数据较多，具体结果放在附录，此处仅展示前10家企业和后10家企业数据） + +表 6.8 违约概率预测结果 + +
企业违约概率企业违约概率
E1240.1407E4070.7488
E1250.3820E4080.8490
E1260.4184E4100.9488
E1270.2110E4110.8492
E1280.4241E4120.6495
E1290.4276E4130.7487
E1300.0058E4160.8487
E1310.3298E4170.8489
E1320.4098E4190.0397
E1330.2042E4200.8490
+ +# 6.2.3 使用BP神经网络预测信用评级 + +预测出了302家的企业的违约风险，接下来需要预测302家企业的信用评级。由于信用评级是一个排序变量，无法使用Logit回归求解，因此在处理本问题时本文选择采用预测精度和效率更高，方便处理排序变量的BP神经网络算法进行求解。 + +BP神经网络的根本目的是找到输入变量和输出变量之间的关系，它的运行机制就是根据已有的数据进行不断的迭代，不断地修复自身权重，最终估计出准确的函数关系。BP神经网络主要由两步组成： + +第一步，正向传播。正向传播途径如图所示 + +![](images/80dfd5d62357399054de779351415b44f6d049b973094c2f4b2aa201d175bb0b.jpg) +图6.5BP神经网络传播图 + +图中的输入层即要求我们输入的变量，在本题中就是某一企业的各项经验特征，输出层为我们想要该网络输出的变量，也就是这一企业对应的信用等级。其中两个节点之间的连线成为连接权重，也就是最后要不断修正的参数。当输入数据时，数据会通过连接权重进入到下一层，即隐含层当中，其中隐含层的输入为 + +$$ +h _ {i 1} = x _ {1} \cdot u _ {1 1} + x _ {2} \cdot u _ {2 1} + x _ {3} \cdot u _ {3 1} +$$ + +即其输入参数的加权和，其输出是输入的Sigmoid函数 + +$$ +h _ {o 1} = \operatorname {S i g m o i d} \left(h _ {i 1}\right) +$$ + +其中 Sigmoid 函数称为该神经网络的激活函数，将加权和进行处理是为了对数据进行限制，使其落在[0,1]范围内，和上文中 Logit 回归的本质相同，避免数据过大的问题。 + +同样 $y$ 的输出和输入也遵循上述原则 + +$$ +y _ {i} = h _ {1} \cdot v _ {1 1} + h _ {2} \cdot v _ {2 1} +$$ + +$$ +y _ {o} = \text {S i g m o i d} (y _ {i}) +$$ + +输出 $y_{o}$ 后就完成的一次正向传播。接下来就进行反向传播，反向传播的信息是误差，即网络输出的 $y_{o}$ 与真实值 $y$ 的差距。这种差距一般用均方差损失函数来表示（求导方便） + +$$ +E = \frac {1}{2} \left(y _ {o} - y\right) ^ {2} +$$ + +可知该误差越小说明该网络越接近真实的关系，反向传播就是根据正向传播算出来的误差，来反向计算出使误差最小化的连接权重，对权重进行更新，当所有的参数都更新完成后就完成了一次反向传播。 + +经过一次正向传播和反向传播，网络内的各个参数就会更新一次，就完成了一次网络的训练。因此训练网络就是不断地进行正向传播和反向传播，不断地更新网络中的连接权重，在理论上只要节点足够多，当中的参数足够多，就可以不断逼近一个真实的关系。当网络训练完毕之后，代入一组新的值网络就会根据其内部的参数输出一个预测值，往往能够达到较好的预测效果。 + +本文首先将信用等级量化，随后使用MATLAB2017b，利用附件1中的123个企业数据对网络进行训练，训练完成后代入附件2中的302个企业的数据进行信用等级预测，预测结果如下（由于数据较多，具体结果放在附录，此处仅展示前10家和后10家企业数据） + +表 6.9 信用等级预测结果 + +
企业输出结果信用等级企业输出结果信用等级
E124181.1061AE4076.6403D
E125177.6945AE4089.7011D
E12645.3612CE4106.6028D
E12762.2184BE41121.9270D
E12818.0842DE41210.0520D
E12951.4694CE4134.9060D
E13065.1373BE416-10.5263D
E131168.3685AE4175.5450D
E13242.2855CE419-1.3839D
E13316.6390DE420-3.8340D
+ +预测精度分析如下：其中R越接近1，则模型精度越高。 + +![](images/7c8cea7d7d1377478c332123d221d9416365637ec0f25e3176bdc9b6658b1506.jpg) +图6.6BP神经网络精度检验 + +由上图结果可知，由该BP网路预测出的信誉评分可信度较高，模型检验通过。 + +# 6.2.4 量化信贷风险 + +根据上文预测出的违约概率和信用等级，结合附件2企业自身的发票数据，采用和问题一中一样的处理手段，就可以计算出附件2中302家企业的11个信贷风险指标。依据问题一种构建的企业信贷风险评价指标体系，使用熵权法和TOPSIS方法就可以量化出302家企业的信贷风险了。具体的计算结果如下（由于数据较多，具体结果放在附录，此处仅展示前10家和后10家企业数据） + +表 6.10 信贷风险量化结果 + +
企业信贷风险企业信贷风险
E1240.0359E4070.8333
E1250.0278E4080.9306
E1260.4820E4100.9352
E1270.1189E4110.9093
E1280.7020E4120.9276
E1290.0768E4130.9369
E1300.4745E4160.9557
E1310.1013E4170.9352
E1320.3088E4190.9444
E1330.6510E4200.9481
+ +# 6.2.5 求解最优信贷策略 + +求解最优信贷策略的思路和第一问相同，首先根据风险阈值来确定放贷企业，随后根据信贷风险分级确定贷款企业的具体利率，最后将上述变量代入银行最优决策模型种求出最优贷款额，不过在本文的基础加入了总贷款为1亿的约束条件。 + +# 1）确定放贷企业 + +根据问题一的思路确定附件二种302个企业的风险阈值为0.7192，当企业信贷风险高于这个值时就不予放贷。结合银行对于D级企业不予放贷的原则，最终选择210家企业进行放贷。 + +# 2）确定贷款利率 + +根据信贷风险越小贷款利率越低的原则，将予以放贷的210家企业根据信贷风险大小排序，均分为29组，每组约7个企业，将信贷风险最低的一类给予企业最优惠的贷款，将信贷风险最高的一类企业予以利率最高的贷款。由此可得210家企业的利率水平，并计算出相应的客户流失率（具体结果放在附录，此处仅展示前10家和后10家企业数据） + +表 6.11 贷款利率计算结果 + +
企业贷款利率流失率企业贷款利率流失率
E1240.04000.0000E3720.11050.7111
E1250.04000.0000E3780.12250.7845
E1260.04650.1351E3790.12250.7845
E1270.04250.0946E3810.08250.5302
E1280.05450.2633E3880.12250.7845
E1290.04000.0000E3910.12650.7955
E1300.06250.4135E3920.12650.7955
E1310.04250.0946E3930.12250.7845
E1320.05050.2066E3960.13450.8323
E1330.07450.4927E4190.11050.7111
+ +# 3）确定贷款额度 + +此处仍然使用第一问给出的最优信贷决策模型进行求解，但在第一问的基础上加入了一个总贷款额为1亿的约束条件，此时的最优信贷决策模型变化为 + +$$ +\begin{array}{l} \max \quad \pi = \sum_ {i = 1} ^ {9 7} \left(A _ {i} \cdot \left(r _ {i} - F T P\right) - A _ {i} ^ {2} \cdot \alpha \cdot S _ {i} ^ {2} \cdot \beta \cdot r _ {i}\right) \left(1 - L _ {i}\right) \\ s. t \left\{ \begin{array}{l} 1 0 \leq A _ {i} \leq 1 0 0 \\ \sum_ {i = 1} ^ {2 1 0} A _ {i} \leq 1 0 0 0 0 \end{array} \right. \tag {6.12} \\ \end{array} +$$ + +使用Lingo对该模型进行求解，得到银行对210个企业的最优贷款额度，如下图所示 + +表 6.12 贷款额度计算结果 + +
企业贷款额度企业贷款额度
E124100E37215.5773
E125100E37815.2233
E126100E37915.2322
E127100E38126.7505
E12828.9108E38815.0003
E129100E39115.0302
E13070.0767E39214.9570
E131100E39315.0741
E13267.7781E39614.5085
E13329.1677E41915.8457
+ +# 6.3 问题三的分析与求解 + +# 6.3.1 问题三的分析思路 + +问题三需要解决两个问题，第一个问题是在原来模型的基础上考虑突发事件因素的影响，对原来的模型进行改进。第二个问题是分析一个具体的突发事件，搜索真实数据来量化模型中的突发事件因素，分析其对企业和银行的具体影响，最终计算出发生突发事件时的最优信贷策略。首先，本文将各种突发事件归纳为四大类事件，将附件2中的210家企业归纳为五大行业，在此基础上进行分析。针对第一个问题，本文决定从三个方面引入突发事件因子来改进模型，分别是固定突发事件因子，用于衡量突发事件对某行业的整体影响；变量突发事件因子，用于衡量突发事件对企业某个具体变量的影响；模型突发事件因子，用于衡量突发事件对第一问建立的最优信贷决策模型的影响。其中前两个因子都是通 + +过影响企业的信贷风险来调整最终的信贷决策，后一个因子是直接通过影响模型来调整最终的信贷决策。通过加入三种突发事件因子，就可以充分地考虑突发事件的对信贷决策的影响。针对第二个问题，本文选取新冠肺炎突发事件作为具体实例，通过国家统计局等渠道获得疫情对于各行业产值、利率等因素的影响数据，量化第一问提出的改进模型并进行求解，最终获得基于新冠肺炎突发事件下的信贷调整策略。具体思路图如下 + +![](images/998688fa99947d2994799c95bb51d5eb7167b788e988365d3bc31bcc353d0ce7.jpg) +图6.7第三问思路图 + +# 6.3.2 突发事件与企业的分类 + +突发事件是指突然发生，让人预料不到的事情，一般来说，突发事件根据其性质可以分为自然灾害、事故灾难、公共卫生事件、社会安全事件四类，显然四种突发事件对于企业的影响各不相同，本文就在此基础上考虑不同类型的突发事件所造成的影响。 + +其次，本文根据附件2中的企业名字将企业划分为一般服务业、制造业、建筑业、高新技术产业和文化产业这五个类别。显然，这五个产业对不同突发事件的反映程度不同，所受到的影响也不同。 + +此后本文对于突发事件影响的分析都是基于上述的分类进行的，上述分类大大简化了分析的复杂程度，有利于抓住问题的本质，分析出突发事件的真正影响。 + +# 6.3.3 突发事件因子 + +本文主要通过引入三个突发事件因子来实现对模型的改进，使得银行的信贷策略能够随着突发事件的发生而进行改动，更加灵活地进行信贷，实现安全性和有效性的统一。突发事件因子主要分为固定突发事件因子、变量突发事件因子和模型突发事件因子，接下来文章将对这三个因子分别进行解释说明。 + +# 1）固定突发事件因子 + +固定突发事件因子主要是衡量某一类突发事件发生时对于某一个行业企业总体的影响，由于这种影响使用定值进行表示，因此被称为固定突发事件因子。 + +每一类突发事件对于行业的影响不同，比如自然灾害事件对于建筑业影响较大，但是对于高新技术产业的影响较小。因此，本文将某一个突发事件对于各个行业的影响分为A，B，C，D四级，其中A级说明该突发事件对本行业影响较大，D级说明该突发事件基本不会影响本行业。根据一般经验构建出突发事件影响级别表 + +表 6.13 突发事件影响级别表 + +
行业建筑业制造业一般服务业高新技术产业文化产业
A自然灾害事故灾害公共卫生事件社会安定事件社会安定事件
B公共卫生事件公共卫生事件社会安定事件公共卫生事件事故事件
C事故灾害自然灾害自然灾害自然灾害公共卫生事件
D社会安定事件社会安定事件事故事件事故事件自然灾害
+ +通过该图可以看出对各行业影响最大或最小的突发事件，有利于用来评估某一突发事件对于行业的影响。进一步由于影响可能有正有负，且为了影响效果可以进行量化，便于后面的企业信贷风险的计算，引入固定突发事件因子表。 + +表 6.14 固定因子表 + +
ABCD
负向影响较大-40-30-20-10
负向影响较小-35-25-15-5
无影响0000
正向影响较小3525155
正向影响较大40302010
+ +借由此表，就可以得到固定突发事件因子。比如公共卫生事件发生对于一般服务业的影响是A级的，且这种影响是较大的负面影响，因此公共卫生事件对于一般服务业的固定突发事件因子就是-40。在处理时将其正向化，作为一个新变量放入企业信贷风险评价体系中，提高一般服务业的信贷风险，能够有效地提醒银行在公共卫生事件发生的情况下，一般服务业的坏账风险将会增加。 + +经过检验，由于不同企业固定突发事件因子的取值差异较大，在熵权法的情况下，该固定因子在信贷风险体系中所占的权重会较高，平均在0.2左右，导致信贷风险对于突发事件较为敏感，起到了标识突发事件影响的效果。 + +# 2）变量突发事件因子 + +变量突发事件因子主要是衡量突发事件对于该行业某一变量的影响，通过改变该行业企业中的这一变量取值，影响企业最终的信贷风险，最终调整相应的信贷决策。根据问题一中的企业信贷风险评价体系，文章提炼了对于信贷决策最重要的几个企业特征，分别是企业实力、偿还能力、供给关系稳定性和信誉度。变量突发事件因子以参数形式与这些重要特征相乘，从而改变该企业的信贷风险。 + +对于某一个突发事件来说，变量突发事件因子 $\lambda_{ij}$ 代表对第 $i$ 个行业的第 $j$ 个特征的影响程度。例如洪水突发事件使得建筑业产值下降 $10\%$ ，则 $\lambda_{ij}$ 则为0.9，其中 $i$ 代表建筑业， $j$ 代表建筑业企业的规模实力特征。 + +# 3）模型突发事件因子 + +以上两个突发事件因子分别通过与变量相乘和成为变量两种方法来影响最终的信贷决策，但都是通过改变企业的信贷风险从而影响最终的信贷决策。而模型突发事件因子则绕过了信贷风险直接对最优信贷决策模型进行影响，通过影响模型中的变量来改变最终的信贷。 + +在问题一构建的最优信贷决策模型中，主要的和突发事件有关的变量就是利率。因为往往突发事件的发生（如中美贸易战、新冠疫情）都会导致经济的低迷和混乱，而刺激经济恢复最重要的手段之一通过调整利率来实现。因此在最优决策信贷模型中的利率变量中乘上一个模型突发因子系数，当突发事件发生时，会对利率产生影响，从而对整体的信贷策略进行调整。 + +$$ +\max \pi = \sum_ {i = 1} ^ {9 7} \left(A _ {i} \cdot \left(r _ {i} \delta - F T P\right) - A _ {i} ^ {2} \cdot \alpha \cdot S _ {i} ^ {2} \cdot \beta \cdot r _ {i} \delta\right) (1 - L _ {i}) \tag {6.13} +$$ + +其中 $\delta$ 为模型突发事件因子。 + +# 6.3.5 新冠疫情下的银行最优信贷决策调整 + +本部分将以新冠疫情作为具体的突发事件来进行考察，分析银行在新冠疫情爆发后的最有信贷决策有何变化，发生了哪些调整。 + +随着2019年11月新型冠状病毒的首例确诊以来，新冠病毒以其极强的传染性迅速在全国乃至全世界蔓延开来。1月30日世界卫生组织宣布新冠肺炎构成“国际关注公共卫生紧急事件”，截至2020年9月13日，全球新冠疫情累计确诊人数达到了2800万余人，可见此次疫情的危害和影响程度之深。 + +疫情对各行业企业产生了巨大的影响，这会导致企业的信贷风险发生改变，因此银行就必须根据这些改变对自身的信贷决策进行适当调整，才能实现安全性和盈利性的统一。这就需要基于本文所提出的考虑突发事件的最佳信贷决策模型来调整信贷决策。 + +由于新冠肺炎是属于公共卫生事件，根据突发事件影响级别表和固定因子表可以确定各企业在新冠肺炎爆发下的固定突发事件因子取值，作为一个变量加入到信贷风险评估体系中。 + +其次，本文通过国家统计局数据，从五个行业2020年第一季度同比的产值增加值、行业工资水平增加值、利润率等指标出发，估计出了相应的变量突发事件因子 + +表 6.15 变量突发事件因子表 + +
行业企业实力供求稳定性偿还贷款能力企业信誉度
建筑业-3.20%-5.60%-8.30%-2.80%
制造业-38.30%-34.20%-43.20%-31.10%
一般性服务业-20.50%-25.40%-31.30%-20.60%
高新技术31.40%20.10%33.40%27.40%
文化产业-41.70%-10.80%-46.40%-13.50%
+ +最后，本文依据LPR即贷款市场报价利率来确定模型突发事件因子。LPR是由中国人民银行授权全国银行间同业拆借中心计算并公布的基础性的贷款参考利率，各金融机构应主要参考LPR进行贷款定价，因此具有较大的代表性。由于本文计算的是一年期贷款利率，因此根据一年期LRP的变化规律确定模型突发事件因子为 $9\%$ + +将求得的固定突发事件因子、变量突发事件因子代入企业信贷风险量化体系，计算附件2中210家企业的基于突发事件的信贷风险。并将模型突发事件因子代入基于突发事件的最优信贷决策模型，计算得在新冠疫情爆发下，银行的最优信贷决策为： + +# 1）贷款利率 + +表 6.12 基于新冠疫情的贷款利率结果 + +
企业贷款利率企业贷款利率
E1240.0387E3720.1297
E1250.0364E3780.1333
E1260.0642E3790.1365
E1270.0605E3810.0423
E1280.0860E3880.1365
E1290.0496E3910.1115
E1300.0860E3920.0460
E1310.0532E3930.1333
E1320.0714E3960.0787
E1330.1151E4190.0459
+ +# 2）贷款额度分析 + +表 6.13 基于新冠疫情的贷款利率结果 + +
企业贷款额度企业贷款额度
E124100E37219.1772
E125100E37819.0002
E12633.7903E37919.0699
E12769.2300E381100
E12820.8922E38819.0394
E12941.2626E39120.0819
E13062.7905E39249.7028
E13176.7971E39319.0307
E13232.5358E39621.0483
E13330.0803E41953.4927
+ +与第二问中的信贷决策结果进行对比，发现存在较大的差异，说明新冠疫情的爆发明显改变了企业的最优决策，这也侧面说明了本文构建的模型能够有效地反映突发事件对于最优信贷决策的影响。 + +特别需要注意的是，通过观察高新技术产业的贷款额度数据，本文发现在疫情爆发后，银行对高新技术产业的贷款额度具有明显的上升，具体如下图所示（其中所有列出的企业都属于高新技术企业） + +![](images/d60df4bb579ee136f1d745549741ebf2d5926df5118a8582298171ec30efbce6.jpg) +图6.8 第三问思路图 + +可见，在总信贷额度没有发生改变的情况，所有的高新技术产业所获得的贷款额度都有着显著增加，通过分析其他行业的数据可知，其他行业的贷款额度都出现了不同幅度的下降。这就说明了新冠疫情的爆发导致银行的信贷决策更倾向于高新技术产业，银行将更多的贷款额度和更低的利率给予高新技术产业，这也有利于银行整体的放贷结构的优化。 + +本文认为，银行在疫情期间出现这种偏向高新技术产业的信贷决策的调整是由于以下几点：1. 疫情会使得社会资本重配，导致整个社会资本更加偏向高流动性资产和高成长性的企业，而这些行业多是资本密集型行业或技术密集型行业，使我国高技术产业进一步发展。2. 由于疫情期间劳动力的流动以及人和人之间的接触受到阻碍，会导致企业对自动化生产、智能服务和远程服务产生需求，比如本次疫情中诞生的机器人配送、远程设备检测、线上医疗等新技术，大量的市场需求导致了人工智能、物联网等高科技行业迅速发展。以上两点原因都有效地促进了高新技术产业的信贷风险的降低，导致银行信贷决策的倾斜和调整。 + +# 七、模型评价与改进 + +# 7.1 模型评价 + +# 7.1.1 模型的优点 + +1.在建立企业信贷风险量化模型中，通过充分的论证选取合理、有效、可获得的指标，衡量的指标多，涉及方面广，可以全面有效地量化企业的信贷风险。 + +2.根据RAROC（风险资本回报率）理论和违约金字塔理论构建合理有效的最优贷款决策模型，使得模型有充分的理论依据，能够解决实际问题。 +3.风险阈值的设定十分巧妙，有效地减少了银行面临的违约风险。 +4.问题解答间环环相扣、层次递进，在问题一建立的模型的基础上通过优化和改进求解问题二和问题三。 +5. 创新性地提出了突发事件因子，结果证明将这种因子引入模型中十分有效，能够很好的识别到突发事件的影响。 +6.对疫情爆发前后的借贷决策变化进行比较分析，得到了银行信贷决策的调整规律，并对其进行了充分的解释。 + +# 7.1.2 模型的缺点 + +1.本文利率是一个分段变量，对于利率的考虑过于简单。 +2.本文的模型中没有考虑国家政策于银行政策等因素。 +3.在建立最优信贷决策模型时，没有充分考虑企业与企业、企业与银行之间的关系对于信贷决策的影响。 + +# 7.2 模型改进 + +1.进一步分析利率的确定模型，可以建立利率和信贷风险、违约率、违约损失率之间的函数关系，给出更加合理的利率水平。 +2.可以在企业的信贷风险评估中加入政策因素，在最优信贷决策模型的确定中也考虑政策因素对于信贷决策的影响。 +3.通过运用博弈论知识，丰富银行的信贷决策模型，在原有的基础上加上企业、银行各主体的博弈和联系，给出更加精确的信贷决策。 + +# 八、参考文献 + +[1]石宝峰.基于违约金字塔原理的小企业信用评级模型研究[D].大连理工大学，2014. +[2]高佳妲.基于RAROC的小企业贷款定价研究[D].浙江大学. +[3]董欣.基于BP神经网络的贷前财务风险评级模型研究及应用[D].吉林大学，2011. +[4]陈强. 高级计量经济学及 Stata 应用[M]. 高等教育出版社, 2010. +[5]刘莉亚，邓云胜，任若恩.RAROC模型下单笔贷款业务经济资本的估计与仿真测算[J].国际金融研究，2005(2):68-73. + +# 附录 + +q1.m + +1. clear +2. close all +3. c1c +4. %对附录1中"进项"和"销项"发票信息进行处理 +5. +6. data=xlsread('附件1：123家有信贷记录企业的相关数据.xlsx'，'进项发票信息')；%读取数据 +7. $[m, \sim] = \text{find(data(:, 10) == 0)}$ ; %找到发票状态为作废发票的记录 +8. data(m,:)=0;%作废发票记录置0 +9. result1=zeros(123,15);%记录总值 +10. variance1=zeros(123,10);%记录方差 +11. for $i = 1:123$ +12. [m,~] $=$ find(data(:,1) $\equiv =$ i);%企业数据位置 +13. re=data(m(1,1):max(m),:);%同一公司数据 +14. re=sortrows(re,[3,4]);%按照时间顺序排序 +15. void=find(re(:,1) == 0);%作废发票记录 +16. void=size(void,1);%作废记录 +17. valid=size(m,1)-void;%有效记录 +18. %求每个公司每个月的方差 +19. date $=$ re((void+1):size(re,1),:); +20. date((size(date,1)+1),4)=0; +21. $k = 1$ +22. $j = 1$ +23. mount=zeros(48,10); +24. month=date(k,4); +25. while (month\~=0) +26. mount(j,:)=mount(j,:)+date(k,:); +27. k=k+1; +28. if month\~=date(k,4) +29. $j = j + 1;$ +30. end +31. month=date(k,4); +32. end +33. vari=std(count,1); +34. variance1(i,1)=i; +35. variance1(i,2:10)=vari(2:10);%将值记录在 variance 中 +36. smonth(1, :)=date(1,3:4);%发票起始月份 +37. smonth(2,:)=date(size(date,1)-1,3:4);%发票终止月份 +38. length $=$ ((smonth(2,1)-2017)*12+smonth(2,2))-((smonth(1,1)- 2017)*12+smonth(1,2))+1;%计算运营时长 +39.up $\equiv$ data(m(1,1):max(m),6); + +40. up=numel(unique(up));%求上游企业数量 +41. result1(i,1)=i;%企业代号 +42. result1(i,11) $=$ valid;%有效发票总量 +43. result1(i,12)=void;%无效发票总量 +44. result1(i,13) $=$ valid/numel(m);%有效发票所占比例 +45. result1(i,14)=up;%上游企业数量 +46. result1(i,15)=length;%经营时长 +47. result1(i,2:10) = sum(re(:,2:10),1); +48. end +49. xlswrite('123 企业结果', result1, '进项结果', 'A2:0124'); +50. xlswrite('123 企业月方差',variance1,'进项结果','A2:J124'); + +gather.m + +1. clear +2. close all +3.clc +4. %计算123家企业各指标数据 +5. +6. %读取数据 +7. data1=xlsread('123企业结果.xls','进项结果'); +8. data2=xlsread('123企业结果.xls','销项结果'); +19. E1=xlsread('123企业月方差.xls', '进项结果'); +10. E2=xlsread('123企业月方差.xls','销项结果'); +11. result=zeros(123,11); +12. result(:,1)=data1(:,1);%企业代号 +13. result(:,2)=data1(:,9);%进项价税合计 +14. result(:,3)=data2(:,9);%销项价税合计 +15. result(:,4)=(data2(:,7)-data1(:,7));%总利润 +16. result(:,5)=E1(:,7);%月进项金额标准差 +17. result(:,6)=E2(:,7);%月销项金额标准差 +18. result(:,7)=(data1(:,10)+data2(:,10));%发票总量 +19. result(:,8)=(data1(:,13)+data2(:,13))/2;%有效发票占比 +20. result(:,9)=data1(:,14);%上游企业数量 +21. result(:,10)=data2(:,14);%下游企业数量 +22. result(:,11)=max(data1(:,15),data2(:,15));%运营时长 +23.x1swrite('123企业指标',result,'A2:K124');%导出数据 + +weight.m + +1. clear +2. close all +3. clc +4. %求第一问中各公司的总评和风险评分 + +5. + +6. %读取数据 + +7. data=xlsread('123企业指标.xls','A2：K124')； + +8. evalue=xlsread('附件1：123家有信贷记录企业的相关数据.xlsx'，'企业信息')； + +9. da=data(:,2:11); + +10.%归一化处理 + +11. for $\mathrm{i} = 1:9$ + +12. maxx=max(da(:,i)); + +13. minn=min(da(:,i)); + +14. if maxx==minn + +15. maxx=maxx+1; + +16. end + +17. if $i = = 4||i = = 5$ + +18. da(:,i) = (maxx-da(:,i)) / (maxx-minn);%负向指标归一化 + +19. else + +20. da(:,i)=(da(:,i)-minn)/(maxx-minn);%正向指标归一化 + +21. end + +22. end + +23. dafind(da==0）=[0.0001]; + +24. da.find(da==1)=[0.9999]; + +25. %熵权法确定权重 + +26. summ=sum(da); + +27. $p = \frac{da}{summ}$ + +28. $e = p.^{*} \log(p)$ ; + +29. $k = -1 / \log (123)$ + +30. Ej=sum(e)*k; + +31. Dj=1-Ej; + +32. w=Dj/sum(Dj);%最终权重 + +33. $p = da \cdot *w$ ;%得分 + +34. %信誉评分 + +35. pe=value(:,3); + +36. se=sum(pe,1); + +37. we=(pe/se)*70; + +38. point=zeros(123,14); + +39. point(:,1)=data(:,1); + +40. point(:,2:11)=p; + +41. point(:,12)=sum(p,2); + +42. re=sum(p,2)*0.5+we*0.5;%综合评分 + +43. point(:,13)=re; + +44. point(:,14)=1-re;%风险总评 + +45. x1swrite('123企业评分',point,'A2:N124');%导出数据 + +eToQ2.m + +1. clear +2. close all +3. c1c +4. %计算第二问中各企业的信贷年利率 +5. data=xlsread('附件3：银行贷款年利率与客户流失率关系的统计数据.xlsx', 'sheet1', 'A3:A31')；%读取数据 +6. result=zeros(263,1); +7. $j = 1$ +8. for $i = 1:29$ +9. result(j:j+8,1)=data(i,1); +10. $j = j + 9;$ +11. end +12. x1swrite('302 企业贷款评价.xls', result,'P2:P264'); + +q3.m + +1. clear +2. close all +3.clc +4. %去除通过第二问确定的302家企业中不给放贷的企业 +5. orData=xlsread('302企业指标.x1s','A2:K303'); +6. data=xlsread('302企业贷款评价.xls', 'A2:A211'); +7. point=xlsread('302企业评分.xls','N2:N303'); +8. del=zeros(100,1); +9. $k = 1$ +10. $j = 1$ +11. for $i = 124:425$ +12. if(orData(i-123,1)~=data(j,1)) +13. del(k,1)=i-123; +14. $k = k + 1$ +15. else +16. if $(j<=210)$ +17. $j = j + 1$ +18. else +19. break; +20. end +21. end +22. end +23. for $k = 87:92$ +24. del(k,1)=i-123; +25. $i = i + 1$ +26. end +27. for $i = 1:92$ +28. orData(del(i,1),:) = 0; + +29. point(del(i,1),:) = 0; +30. end +31. xlswrite('第三题数据',orData,'A2:K303'); +32. x1swrite('第三题数据', point, 'L2:L303'); +33. del=del+123; + +classify.m + +1. clear +2. close all +3.clc +4. %将210家企业按照分类标准进行分类 +5. data = xs1read('第三题数据','A2:L211'); +6. cla=xlsread('302企业分类','A2:E119'); +7. %对原始数据进行分类 +8. class1=cla(1:28,1); +9.class2=cla(1:32,2); +10.class3=cla(1:118,3); +11.class4=cla(1:22,4); +12.class5=cla(1:10,5); +13.%对五类数据进行赋值 +14. result=zeros(210,12); +15. $j = 1$ +16. for $i = 1:28$ +17. $[m, \sim] = \text{find(data(:, 1) == class1(i, 1))};$ +18. result(j,:) = data(m,:); +19. $j = j + 1$ +20. end +21. for $i = 1:32$ +22. $[m, \sim] = \text{find(data(:, 1) == class2(i, 1))};$ +23. result(j,:) = data(m,:); +24. $j = j + 1$ +25. end +26. for $i = 1:118$ +27. $[m, \sim] = \text{find(data(:, 1) == class3(i, 1))};$ +28. result(j,:) = data(m,:); +29. $j = j + 1$ +30. end +31. for $i = 1:22$ +32. $[m, \sim] = \text{find(data(:, 1) == class4(i, 1))};$ +33. result(j,:) = data(m,:); +34. $j = j + 1$ +35. end +36. for $i = 1:10$ + +37. $[\mathsf{m},\sim] = \mathsf{find}(\mathsf{data}(:,1) == \mathsf{class5(i,1)})$ +38. result(j,:) $=$ data(m,:); +39. j=j+1; +40. end +41.xlswrite('第三题分类结果',result,'A2:L211'); \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/C227/C227.md b/MCM_CN/2020/C227/C227.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..fcea0ddf2180c30100c4ff8f9544b8efd6d1b483 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/C227/C227.md @@ -0,0 +1,971 @@ +# 银行对中小微企业的信贷决策分析 + +# 摘要 + +本文研究银行如何根据中小微企业的实力、信誉对其信贷风险做出评估，然后依据信贷风险等因素来确定是否放贷及贷款额度、利率和期限等信贷策略。 + +针对问题一，对附件1中的数据进行特征提取，综合考虑了企业实力、发展潜力、上下游供求关系、企业抗风险能力四类指标，共提取出20个特征来衡量企业的信贷风险。本文以Logistic回归、Adaboost、GBDT、SVM和随机森林为基分类器，建立Soft Voting集成学习算法，计算企业的违约风险。Soft Voting在整个数据集上的综合准确率为 $97.6\%$ ，ROC曲线覆盖面积(AUC值)达到 $99.42\%$ ，接近完美模型，计算出的概率可信度高。根据附件1给出的信誉评级和得出的违约风险，根据银行的行为，建立一个利润最高，风险和潜在损失最小的多目标规划模型，求解得出本问的银行信贷策略。 + +针对问题二，由于本问为无信贷记录企业，银行需要需要根据贷款企业的已知信息和有信贷记录的信息对贷款企业进行信誉评级和违约风险判断。对附件2的数据做与附件1一样的处理，根据提取特征，使用问题一训练的SoftVoting模型对附件2企业进行违约风险预测。将违约风险加入已有特征，用有信贷记录的企业相关数据训练XGBoost模型，实现对信誉评级的多分类预测。XGBoost在训练集上综合准确率为 $87.8\%$ 。完成信誉评级和违约风险判断后，就可以进行多目标规划模型求解，得出银行的信贷策略。 + +针对问题三，本文以新冠疫情这个突发事件为例，综合考虑企业的信贷风险和疫情对不同企业的不同影响。从企业在疫情中面临的系统性风险和非系统性风险的角度，本文在附件2中提取行业风险、企业经营状况、利润同比增长率、废票占比变动率和交易企业数量变动率5个特征，反应新冠疫情对企业的综合影响。运用系统聚类将企业聚成3类，不同类别的企业具有不同的风险乘数 $Q_{i}$ ，风险乘数描述了疫情对不同类别企业的违约风险的放大作用。将信誉评级与聚类结果综合考虑，银行将对企业建立新的评价分级体系，将风险乘数 $Q_{i}$ 代入得到调整之后的多目标规划模型，求解可得出银行问题三情景下的信贷策略。 + +关键词：特征工程；集成学习算法；多目标规划；XGBoost；系统聚类 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +在实践中，由于中小企业规模相对较小，无较多抵押资产，银行通常根据信贷政策、企业交易票据信息以及上下游企业的影响力，向实力雄厚、供需关系稳定的企业提供贷款，对信誉好且信用风险底的企业可以给予优惠利率。银行首先根据中小企业的实力和信誉对其信用风险进行评估，然后根据信用风险等因素确定是否进行放贷和贷款额度、利率、期限等信贷策略。 + +# 1.2 问题提出 + +某银行对确定要放贷企业的贷款额度为10-100万元；年利率为 $4\% \sim 15\%$ ；贷款期限为1年。该银行请你们团队根据2019年统计的有无信贷记录相关企业数据和贷款利率与客户流失率关系，通过建立数学模型，解决下列问题： + +（1）请对有信贷记录的公司的信贷风险进行量化分析，给出信贷总额固定情况下的信贷策略。 +（2）试对无信贷记录的公司的信贷风险进行量化分析，给出信贷总额为1亿元时的信贷策略。 +（3）综合考虑无信贷公司的信贷风险与突发因素对企业的影响，给出信贷总额为1亿元时信贷策略的调整。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 问题一分析 + +本问要求对123家企业的信贷风险进行量化分析，并在信贷总额固定时，给出相应信贷策略。由于信贷策略主要包括是否放贷，贷款额度，利率和期限四个方面，且期限为一年已经由题目中给出，因此我们主要是从对不同信誉等级的企业提供相应的贷款额度、利率与是否放贷来制定策略。首先本文就企业实力、对上下游企业的影响能力、发展潜力、抗风险能力等四类指标先对数据进行特征提取，共提取出20个相关的特征。通过运用Voting集成学习算法,对提取出的特征进行训练，得到每个企业的违约风险值。之后，利用题目给出的信誉评级，算出每个等级的平均违约风险，以此代表该等级企业的违约风险。最后建立以银行利润最高，银行风险最低，潜在流失客户率最小为目标的多目标非线性规划模型。求解得出银行年度信贷总额为固定金额（以5000万为例）银行对于不同信誉等级的企业发放的相应的贷款额度与利率。 + +# 2.2 问题二分析 + +本问要求对附件2的302家企业进行信贷风险分析，并给出信贷策略。本问与问题一的主要差别在于本问的企业无信贷记录，即无信誉评级和是否违约的数据，需要银行通过附件2给出的数据进行自行判断。首先运用第一问训练出的的Voting集成学习算法，求出302家企业的违约风险，对违约风险大于 $50\%$ 的企业不予放贷。要确定企业的信誉评级是一个多分类问题，将企业的违约概率这一特征与之前提取20个特征组成新的21个特征，运用Xgboost模型，用附件1所提取的特征训练模型，然后使用 + +附件2数据对302家企业进行信誉评级，得出分类结果。最后求解多目标非线性规划模型，解出银行信贷总额为1亿元时对不同信誉等级的企业发放的相应贷款额度与利率。 + +# 2.3 问题三分析 + +本问考虑的突发事件以新冠疫情为例，不仅要考虑企业本身的信贷风险，还要考虑的疫情对企业的影响所导致企业经营困难，造成的“还贷难”问题。简而言之，新冠疫情扩大了企业的违约风险，具体的扩大倍数本文以风险乘数进行度量。考虑新冠疫情期间企业的所遭受的系统性风险和非系统性风险，在附件2中提取出行业风险、企业状况、利润同比增长率、废票占比变动率、交易企业数量变动率5个特征，反映新冠疫情对企业的影响。本文依据疫情对企业的影响程度对302家企业进行聚类分析，配合问题二所做出的信誉评级，建立一个新的综合分类评级。不同类别的企业具有不同的风险乘数 $Q_{i}$ 。在之前的多目标规划模型中，加入风险乘数 $Q_{i}$ ，对银行的风险目标进行修改，得到调整后的多目标规划模型，解出模型后得到银行在当期情况下的信贷策略。 + +# 三、模型假设 + +1、同一信誉评级下，本文认为所有企业的信贷风险一致。银行将给予相同信誉评级企业相同的贷款额度与年利率。 +2、针对有信贷记录的企业，银行根据以往的信誉评级给贷款。若该企业之前就有违约记录，则今年不予以贷款。 +3、针对无信贷记录的企业，银行根据已有信贷记录企业的数据对于无信贷记录企业进行信誉评级之后再考虑是否贷款。 +4、银行给予贷款的目标为，所得利息收益最大，承受的风险与客户流失率最小，银行根据此目标对贷款企业发放贷款额度和给予利率优惠。 +5、附件1、2所给交易票据数据为企业在所给时间内所有商业交易的总数据，不存在遗漏票据，可以反映企业在所给时间段内的所有可开票的商业交易活动。 +6、附件中所给出的企业均为请求银行贷款的企业，并非潜在客户，即不论利率多高附件内企业都不会放弃贷款。 + +# 四、符号说明 + +
符号含义
π企业利润
Mi总金额, i=1时代表进项, i=2时代表销项
Fi票据数量, i=1时代表进项, i=2时代表销项
Tal_i税额, i=1时代表进项, i=2时代表销项
Tax企业应交增值税
Num_ij与某企业有j(j=1,...,4)年交易关系的企业数量。i=1时表示进项交易(上游企业), i=2时表示销项交易(下游企业)。
GU_i当i=1时,表示进项发票中作废发票的比例;当i=2时,表示销项发票中作废发票的比例。
An企业利润增加的绝对数(除2020年数据)
Rn企业利润增长的相对数(比例)(除2020年数据)
ToPro企业是否扭亏为盈,是为1,不是则为0
ToLoss企业是否变盈为亏,是为1,不是则为0
Under企业是否为其他企业的下属部门,是为1,不是则为0
Controlled企业是否为其他企业的分公司或子公司,是为1,不是则为0
Independent企业是否为独立公司,是为1,不是则为0
Individual企业是否为个体经营,是为1,不是则为0
Grade企业信誉评级,分A,B,C,D四个等级分别为1,2,3,4四个值
Break企业是否违约,是为1,不是则为0
Accuracy_i第i个基分类器的综合准确率
Wi第i个基分类器投票所占权重
σi第i类企业的平均风险
Iii类企业的利率，i=1,...,3
Pii类企业的贷款额度，i=1,...,3
Cii类企业的数量，i=1,...,3
Lost(Ii)利率Ii下的i类企业的潜在客户流失率
Coni第i个企业在2020年1至2月的盈利状况，若盈利则为1，无交易为0，亏损为-1，i=1,...,302
YG第i个企业的利润在2020年1至2月的同比增长率，i=1,...,302
Errorij第i个企业2020年1至2月较2019年同期进项/销项作废和负数票据所占比例的变动率，i=1,...,302，j=1,2
Tpij第i个企业2020年1至2月较2019年同期进项/销项交易对象数量的变动率，i=1,...,302，j=1,2
Ir第i个企业所在行业的受疫情打击的程度，i=1,...,302
CCij第i个企业进项/销项交易的交易对象数量
Qi第i类企业的风险乘数
+ +# 五、问题一建模与求解 + +# 5.1 数据预处理 + +我们对于附件1的数据，运用Python的pandas库，找出缺失值。若有缺失值， + +可删除有缺失值的样本或特征，或对缺失值进行填补。检查数据是否存在缺失值或者NAN现象，通过简单的查看可知该题数据不存在缺失，无需进行缺失值处理。 + +# 5.2 数据特征提取 + +根据附件一所给出的数据，结合相关文献和题目，本文认为银行放贷额度与利润率的选择主要受企业自身实力、发展前景和对上下游企业的影响力这三个方面进行评估。根据附件一所给信息，本文就四个方面总共提取了20个特征，用以衡量银行对企业信誉等级的评判，以此来衡量企业贷款的信贷风险。 + +# 5.2.1 企业实力 + +由前文假设可知，附件所给数据完整，保护所给日期内企业所有的交易事项，故根据进项和销项发票的金额，我们可以得出企业在所给日期之内所得利润总额 $\pi$ 。公式如下： + +$$ +\pi = M _ {2} - M _ {1} +$$ + +利润总额越高，企业盈利能力越强，银行可提供贷款额度可相应提升，利率应该相应降低；根据有效进项与销项发票的税额，我们可以得出企业在所给日期之内的增值税Tax，公式如下： + +$$ +T a x = T a l _ {2} - T a l _ {1} +$$ + +此处我们对增值税为负的情况置零；根据每个公司与上下游企业的无效票据与有效票据，我们可以得出在所给日期内的作废票据比 $GU_{i}(i = 1,2)$ ，公式如下： + +$$ +G U _ {1} = \frac {F _ {1}}{F _ {1} + F _ {2}} +$$ + +$$ +G U _ {2} = \frac {F _ {2}}{F _ {1} + F _ {2}} +$$ + +作废票据比越高，即银行信贷风险越高，因此需要适当降低公司信誉等级，减少信贷额度，提高利率。 + +# 5.2.2 企业对上下游企业的影响力 + +根据附件1所给的开票日期判断各个企业与其上下游企业合作的时间长度由此来判断供应链的强度。强度与粘性越大，即代表企业对于上下游企业的影响力越大。对于这种企业银行可适当提高贷款额度，降低利率。据此，我们用 $\mathsf{Num}_{ij}$ 对其进行衡 + +量，其中 $i = 1,2$ ， $j = 1,2,3,4$ 。当 $i = 1$ 时，表示该企业与上游企业的进项交易， + +$i = 2$ 时，表示该企业与下游企业的销项交易， $j$ 表示与该企业有 $j$ 年合作关系的企业数 + +量。 + +# 5.2.3 企业的发展潜力 + +对于企业的未来发展潜力，本文根据题目所提供的数据，分别求出每个企业的利润绝对数的变化 $An$ 和相对数的变化 $Rn$ 。因为考虑到2020年的数据并不为全年数据，所以在计算这两个指标的时候剔除了2020年的票据数据。 + +$$ +A n = \pi_ {\text {第 一 年}} - \pi_ {\text {最 后 一 年}} +$$ + +$$ +R n = \frac {\pi_ {\text {第 一 年}}}{\pi_ {\text {最 后 一 年}}} +$$ + +综合 $A_{n}$ 和 $R_{n}$ 两者可得出企业的经营是否发生最大变化，即得出企业是否扭亏为盈或者由盈转亏。当 $R_{n}$ 小于0时，则代表企业利润发生了正负转变，这时候需要观察 $A_{n}$ 。当 $A_{n}$ 大于0时，说明企业最近年份利润为正而最早年份利润为负，企业扭亏为盈，即ToPro为1，反之为0；当 $A_{n}$ 小于0时，说明企业最近年份利润为负而最早年份利润正，企业由盈转亏，即ToLoss为1，反之为0。针对扭亏为盈的企业，银行可适当提高贷款额度与降低利率，针对扭赢为亏的企业，银行可适当降低贷款额度与提高利率。 + +# 5.2.4 企业的抗风险能力 + +根据附件1所给数据可以明显看出不同企业可分为本身母公司，公司旗下子公司，下属部门与个体经营。每个不同企业的抗风险能力都不尽相同。因此我们将这四种情况分别作为四种特征值，将所有企业划分为四种情况内。当公司为独立公司时，Independent为1，当公司为个体经营，Individual为1，当公司为子公司时， + +Controlled为1，当公司为下属部门，Under为1。 + +# 5.3 信贷风险评分模型 + +# 5.3.1 模型选择 + +信用风险的度量方法主要有传统信用风险度量方法和现代信用度量方法，因为现代信用风险度量方法运用了大量财务数据，受本题条件所限，本文主要参考传统信用评分方法中的多元非线性回归模型。传统的风险测度中，一般使用Logistics回归或Probit回归计算企业的违约概率，以此来度量企业信贷风险[1][2]。经过查询文献，亦有文献使用神经网络和机器学习的其他算法进行风险测量[3]，所以本文拟采取集成多个机器学习算法的方式，对附件1中的123家企业进行信贷风险度量。 + +# 5.3.2 数据选择与处理 + +将企业的信誉评级数据进行数据编码，若信誉评级为A，则 $Grade = 1$ ；若信誉评级为B，则 $Grade = 2$ ；若信誉评级为C，则 $Grade = 3$ ；若信誉评级为D，则 $Grade = 4$ 。 + +模型将使用前文从附件一中提取出20个特征，共123个样本进行训练。使用Python将数据随机切分为训练集和测试集，并以原数据为标准，对训练集和测试集数据进行标准化，将数据处理至0到1之间。 + +# 5.3.3 模型建立 + +投票(voting)是在分类算法中广泛运用的集成学习算法之一。投票主要有硬投票(Hard voting)和软投票(Soft voting)两种。硬投票是一种特殊的软投票，即各基分类器权重相同的投票，其原理为多数投票原则：如果基分类器的某一分类结果超过半数，则集成算法选择该结果；若无半数结果则无输出。软投票的原理也为多数投票，但是各基分类器投票所占的权重可自己定义。当各基分类器分类效果差异比较大时，应当选择软投票，给予分类性能更好的基分类器更大的权重，以此优化分类结果。 + +本文所选择的5个基分类器分别为Logistic回归，Adaboost，GBDT，SVM和随机森林。Logistic回归为传统信贷风险评级中常用的模型，该模型的核心为Logit函数，即： $g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$ ，通过极大似然估计求解对应参数，将分类问题转化为概率问题映射至(0,1)区间。在传统的信用风险评分中，Logistic回归的准确率能达到 $54\% -92\%$ + +Adaboost，GBDT和随机森林都是基于boosting算法的分类器，分类结果较为理想，模型具有较强的泛化能力。Adaboost首先赋予n个训练样本相同的权重，从而训练出一个基分类器，之后进行预先设置的T次迭代，每次迭代将前一次分类器中分错的样本加大权重，使得在下一次迭代中更加关注这些样本，从而调整权重改善分类器，经过T次迭代得到T个基分类器，最终将这些基分类器线性组合得到最终分类器模型。[4]GBDT分类首先初始化一个弱分类器，计算损失函数的负梯度值值，再利用数据集拟合下一轮模型，重复计算负梯度值和拟合过程，利用m个基础模型，构建梯度提升树。[5]随机森林则选取了大量的决策树模型，各决策树独立的做出学习并进行分类，最后将分类结合为一个最终的结果，其优于单个决策树做出的分类结果。 + +SVM是较为强大的传统机器学习算法。它将低维线性不可分的空间转换为高维线性可分的空间。本文主要应用非线性的SVM模型，其目标函数为： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \min _ {a} \left(\frac {1}{2} \sum_ {i = 1} ^ {n} \sum_ {j = 1} ^ {n} a _ {i} a _ {j} y _ {i} y _ {j} \left(\oint \left(x _ {i}\right) * \oint \left(x _ {j}\right)\right) - \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i}\right) \\ s. t. \quad \sum_ {\substack {i = 1 \\ 0 \leqslant a _ {i} \leqslant C}} ^ {n} a _ {i} y _ {i} = 0 \end{array} \right. +$$ + +将内积 $\oint (x_i)^*\oint (x_j)$ 使用核函数替换，计算最优的 $a_{i}$ ，可以得出超平面的 $\pmb{w}$ 和 $\textit{\textbf{b}}$ 值。 + +![](images/a86924c5dc1922be98c7cbe3fc8cdf15d3fdd42ad70ade2f2b06a52e3e8da032.jpg) +图1Voting模型图解 + +# 5.3.4 模型求解 + +首先对5个基分类进行数据拟合和调参，选取较优参数，得出5个基分类器在改数据集上表现，如下表所示： + +表 1 基分类器分类效果 + +
分类器测试集准确率训练集准确率综合准确率AUC值
Logistic回归0.8390.9020.8860.754
Adaboost0.9030.9130.9110.822
GBDT0.80610.9510.942
SVM0.8710.9780.9510.889
随机森林0.87110.9670.953
+ +从表1可以看出，训练集和测试集效果最接近的为Adaboost，其余的分类器有程度不一样的过拟合现象。在整体上，Logistic回归明显略逊一筹，后三个分类器的结果较为接近，主要是三个分类器在训练集上都有良好的表现，而训练集数据占到了整体数据的7成。 + +然而仅从准确率的角度判断分类模型的结果是有失偏颇的，并且本文的目的是，所以本文加入了AUC值进行参考。AUC值为ROC曲线覆盖的面积，其含义可以综合的考虑召回率(recall)，精确率(precision)和准确率(accuracy)多种指标，一般AUC值达到0.8以上分类模型可以接受，从这个角度来看，Logistic回归不符合要求。 + +因为各个基分类器的分类效果不一样，所以本文选择软投票，依据分类器在整体数据上的综合准确率来判断各基分类器的权重，公式为： + +$$ +W _ {i} = \frac {\text {A c c u r a c y} _ {i}}{\sum_ {i = 1} ^ {5} \text {A c c u r a c y} _ {i}} \tag {1} +$$ + +软投票分类结果如下表， + +表 2 软投票结果 + +
分类器测试集准确率训练集准确率综合准确率AUC值
Soft Voting0.90310.9760.994
+ +可以看出，Soft Voting 在分类上的表现十分完美，非常接近完美分类器，说明集成学习算法在此数据集上有着优秀的表现。 + +![](images/6582530c71394ac04239f735c430ca63d138a6ec8b3335a2b43af84f30915892.jpg) +图2 Soft Voting的ROC曲线图 + +Voting模型不仅可以判断出企业是否户违约，并且可以给出企业违约的概率，本文将在后文以此作为对企业的信贷风险的度量。依据信誉评级分类，对不同类别企业的违约风险进行描述性统计分析，表格如下： + +表 3 不同信誉评级下违约风险的描述性统计分析 + +
信誉评级CountMeanStdMinMax
A270.1450.0680.0790.435
B380.1820.1080.1010.757
C340.2090.1470.0880.638
D240.7100.1700.2370.882
+ +# 5.4信贷策略多目标规划模型 + +# 5.4.1 模型分析 + +根据假设2，银行将对信誉评级在C及其以上并且之前没有违约记录的的企业发放贷款，即符合条件的企业共有96家，其中A级企业27家，B级企业37家和C级企业32家。银行的放贷决策需要考虑自身利益，即综合的考虑收益和风险，决定对各级企业的放贷额度和利率优惠，这将自然转化为一个多目标规划问题。 + +首先，由假设1可知银行认为同种信誉评级下的企业的违约风险一直，且在前文 + +中已经求出了每种类别的平均违约风险 $\overline{\sigma}_i$ ，故由每类企业的 $\overline{\sigma}_i$ 代表该类信誉评级下企业的违约风险。 + +# 5.4.2 模型建立与求解 + +收益目标：银行的目标之一为收益最大化，银行给予企业贷款得到的收益是利息收益，即 + +$$ +\max \sum_ {i = 1} ^ {3} C _ {i} * I _ {i} * P _ {i} \tag {2} +$$ + +风险目标：银行的目标之一为风险最小，如果企业违约，即银行不仅收不回利息，也收不回本金，所以银行希望最小化损失，即 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {3} C _ {i} * \bar {\sigma_ {i}} * P _ {i} * (1 + I _ {i}) \tag {3} +$$ + +潜在损失目标：银行会因为调高利率，而流失潜在客户，这些流失的客户也对银行造成了潜在损失，银行也希望吸引更多的企业来贷款，可以获得更多的利息收益。由假设6可知，已知附件来贷款的企业的数量，通过利率可以算出流失的潜在客户 + +数，即 $\frac{C_i^*Lost(I_i)}{1 - Lost(I_i)}$ 。若流失了一个潜在客户，则银行就失去了贷款从而获得利息的机会，银行希望这笔损失最小，即 + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {3} \frac {C _ {i} * L o s t \left(I _ {i}\right)}{L o s t \left(I _ {i}\right)} * I _ {i} * P _ {i} \tag {4} +$$ + +查阅资料，我们发现银行有对贷款额度进行分级的实践，不同信用等级的企业能贷的最大贷款和最低利率不同，所以银行应该对信用等级高的企业优先给予贷款，且提供数额较大，利率较低的贷款，以满足银行对收益和风险的追求。本文因此对不同信誉评级的企业贷款的额度和利率的上下限做出规定，以此来规范贷款行为，具体规则如下： + +表 4 不同信誉等级下的贷款限制 + +
信誉评级利率下限贷款额度上限
A4%100
B7.5%70
C11%40
+ +综上所述，银行在贷款额度为固定数额的约束下（本问定为5000万），要使得满足上述三个目标，将上述三个目标转化为单一目标，列式可得： + +$$ +\begin{array}{l} \min \sum_ {i = 1} ^ {3} C _ {i} ^ {*} \overline {{\sigma_ {i}}} ^ {*} P _ {i} ^ {*} (1 + I _ {i}) + I _ {i} ^ {*} P _ {i} ^ {*} \frac {C _ {i} ^ {*} L o s t (I _ {i})}{1 - L o s t (I _ {i})} - C _ {i} ^ {*} I _ {i} ^ {*} P _ {i} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {3} C _ {i} * P _ {i} = 5 0 0 0 0 0 0 0 \\ 0. 0 4 \leqslant I _ {1} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 0 7 5 \leqslant I _ {2} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 1 1 \leqslant I _ {3} \leqslant 0. 1 5 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {1} \leqslant 1 0 0 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {2} \leqslant 7 0 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {1} \leqslant 4 0 0 0 0 0 \end{array} \right. \tag {5} \\ \end{array} +$$ + +运用MATLAB求解可得： + +$$ +\begin{array}{l} I _ {1} = 0. 0 5 8 5, I _ {2} = 0. 0 7 5, I _ {3} = 0. 1 1 \\ P _ {1} = 9 9 9 9 0 5, P _ {2} = 5 3 5 1 7 8, P _ {3} = 1 0 0 0 3 0 \\ \end{array} +$$ + +故对于附件一中队123家企业，银行的信贷策略是，对D级企业和有违约经历企业拒绝提供贷款；剩下的企业中，对A级企业提供利率为 $5.85\%$ ，额度为999905元的贷款；对B级企业提供利率为 $7.5\%$ ，额度为535178元的贷款；对C级企业提供利率为 $11\%$ ，额度为100030元的贷款。 + +# 六、问题二建模与求解 + +# 6.1 数据处理与编码 + +对附件2进行和附件1一样的数据处理方式，提取出问题一所列的20个特征。 + +将企业的信誉评级数据进行编码，若信誉评级为A，则Grade $= 1$ ；若信誉评级为 + +B，则 $Grade = 2$ ；若信誉评级为C，则 $Grade = 3$ ；若信誉评级为D，则 $Grade = 4$ 。 + +# 6.2 模型建立 + +# 6.2.1 违约风险预测 + +根据问题一所训练的Voting模型，运用附件2中所提取的20个特征进行预测附件2中302家企业的违约风险，判断企业是否会违约。 + +最终得到302个违约风险中，有34家企业的违约风险超过了 $50\%$ ，即认为会违约，银行将不会向他们提供贷款。 + +# 6.2.2 信誉评级鉴定 + +在问题一中，我们已知123家企业的信誉评级并以此来确定贷款的发放，但本问的企业由于没有信贷记录，所以没有信誉评级。依据假设3，银行将通过附件提供数据对企业进行信誉评级，然后据此做出信贷策略。基于XGBoost的在分类问题上的良好 + +表现，本问将使用XGBoost模型进行对企业进行信誉评级。 + +XGBoost是一种Boosting型的树集成模型，在梯度提升决策树GBDT基础上扩展，能够进行多线程并行计算，通过迭代生成新树，即可将多个分类性能较低的弱学习器组合为一个准确率较高的强学习器。XGBoost采用随机森林对字段抽样，将正则项引入损失函数中，从而防止模型过拟合，并降低模型计算量。具体算法步骤如下：1、优化目标。假设模型具有 $k$ 个决策树，即： + +$$ +\widehat {y _ {i}} = \sum_ {i = 1} ^ {k} f _ {k} (x _ {i}), \quad f _ {k} \in F +$$ + +上式中， $x_{i}$ 是第 $i$ 个输入样本； $y_{i}$ 为经过映射关系 $f_{k}$ 计算出的预测值； $F$ 为所有映射关系集合。优化目标以及损失函数为： + +$$ +L (t) = \sum_ {i = 1} ^ {n} l \left[ y _ {i}, \hat {y} (t - 1) _ {i} + f _ {t} \left(x _ {i}\right) \right] + \Omega \left(f _ {t}\right) +$$ + +上式中， $L(t)$ 为第 $t$ 次迭代时目标函数， $n$ 为样本数量， $I$ 为损失函数， $\hat{y} (t - 1)_i$ 为第 $t - 1$ 次迭代时模型的预测值， $f_{t}(x_{i})$ 为新加入的函数， $\Omega (f_t)$ 为正则项。 + +2、对 $L(t)$ 进行二阶泰勒展开和移除常数项操作后可得： + +$$ +\tilde {L} (t) \cong \sum_ {j = 1} ^ {T} \left[ \left(\sum_ {i \in I _ {j}} d _ {i}\right) w _ {j} + \frac {1}{2} \left(\sum_ {i \in I _ {j}} g _ {i} + \lambda\right) w ^ {2} _ {j} \right] + \gamma N +$$ + +上式中， $d_{i}$ 为 $l$ 对 $\hat{y} (t - 1)_i$ 的一阶导数； $g_{i}$ 为对 $\hat{y} (t - 1)_i$ 的二阶导数， $N$ 为叶子节点个数， $I_{j}$ 为每个叶子结点上样本集合， $w^{2}_{j}$ 为每个叶子结点分数的 $L_{2}$ 模的平方， $\lambda$ 和 $\gamma$ 则为比重系数，防止产生过拟合[3]。 + +调用Python的xgboost库，对21个特征（附件2提取出的20个特征加上是否违约）进行训练。XGBoost在附件1上的综合准确率为0.878，在多分类问题中表现较好。 + +将信誉评级的分类结果和违约风险的分类结果进行比较验证，发现所有的D级企业均为预测会违约企业，除此之外只有两个C级企业预测会违约。两个不同模型训练的结果较为相近，进一步验证了本问分类的精确性。 + +详细分类结果见附录。 + +# 6.3 信贷策略目标规划 + +根据Xgboost算法对302家企业进行的信誉分类以及假设2，银行将对符合标准的268家企业进行贷款发放。其中A类企业有63家，B类企业有103家，C类企业有102家。本问仍然使用问题一中对不同信誉评级的贷款限制，调整后的信贷策略目标规划模型如下： + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {3} C _ {i} * \overline {{\sigma_ {i}}} * P _ {i} * (1 + I _ {i}) + I _ {i} * P _ {i} * \frac {C _ {i} * L o s t \left(I _ {i}\right)}{L o s t \left(I _ {i}\right)} - C _ {i} * I _ {i} * P _ {i} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {3} C _ {i} * P _ {i} = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 \\ 0. 0 4 \leqslant I _ {1} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 0 7 5 \leqslant I _ {2} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 1 1 \leqslant I _ {3} \leqslant 0. 1 5 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {1} \leqslant 1 0 0 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {2} \leqslant 7 0 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {1} \leqslant 4 0 0 0 0 0 \end{array} \right. \tag {6} +$$ + +运用MATLAB求解可得： + +$$ +I _ {1} = 0. 0 7 0 5, I _ {2} = 0. 0 7 5 2, I _ {3} = 0. 1 1 0 1 +$$ + +$$ +P _ {1} = 9 9 9 7 1 7, P _ {2} = 2 6 0 3 2 0, P _ {3} = 1 0 0 0 4 8 +$$ + +故对于附件二中的302家企业，银行的信贷策略是：对D级企业和有违约经历的企业拒绝提供贷款；剩下的企业中，对A级企业提供利率为 $7.05\%$ ，额度为999717元的贷款；对B级企业提供利率为 $7.52\%$ ，额度为260320元的贷款；对C级企业提供利率为 $11.01\%$ ，额度为100048元的贷款。 + +# 七、问题三建模与求解 + +# 7.1风险及其传导机制 + +本问加入了突发因素，需要考虑突发因素对企业的影响。根据题目所给数据，本问的突发事件确定为新冠疫情。本问需要综合考虑企业之前的信贷风险和新冠疫情对企业的冲击。 + +本文认为新冠疫情的爆发会影响企业的违约风险。新冠疫情首先对不同行业的企业有不同程度的影响，这属于系统风险的一种，是企业如果所处其行业必然会受到的影响，即疫情对行业的打击程度。 + +但是企业自身的特殊性，可能同一行业的不同企业在疫情期间有不同的境遇，这属于非系统性风险，是由企业本身的特殊性所决定的，在数据上可以反映为企业在疫情期间的利润状况、较去年同期的同比增长率、废票所占比增长率和上下游供求企业数量的变化等等。 + +本文根据企业所受系统性风险（行业风险）和非系统性风险（自身表现）对企业 + +的进行聚类分析，同一类别的企业拥有相同的风险乘数 $Q_{i}$ ，代表该类企业的违约风险较疫情未发生时增大的多少。银行将风险乘数加入信贷策略的目标规划模型，重新制定信贷策略。 + +# 7.2 数据处理和特征提取 + +# 7.2.1 企业状况 + +由于我们考虑疫情对企业的影响，因此我们主要对企业2020年1、2月份的盈利进行评估。用2020年1、2月份的销项金额减去进项金额即为盈利情况 $\pi$ 。 + +当 $\pi > 0$ 时，公司盈利，令 $Con_{i}$ 为1；当 $\pi = 0$ 时，则公司没有在2020年进行交易，令 $Con_{i}$ 为0；当 $\pi < 0$ 时，公司亏损，令 $Con_{i}$ 为-1。 + +# 7.2.2 利润同比增长率 + +通过计算2020年1，2月份的企业利润 $\pi$ 与2019年1，2月份的企业利润 $\pi$ ，可以得出企业2020年1，2月份的利润同比增长率 $YG_{i}(i = 1,\dots,302)$ 。公式如下： + +$$ +Y G _ {i} = \frac {\pi_ {i , 2 0 2 0} - \pi_ {i , 2 0 1 9}}{\pi_ {i , 2 0 1 9}} +$$ + +# 7.2.3 废票占比变动率 + +废票指的时公司所开的无效票据与负数票据之和。由于负数票据是对冲掉企业之前已经入账的票据，一张负数票据其实代表了至少有两张票据是作废票据。废票占比变动率 $Error_{ij}(i = 1,\dots,302,j = 1,2)$ 即为2020年1，2月份的企业废票与总票据比例较2019年1，2月份企业废票与总票据比例的变动率，公式如下： + +$$ +E r r o r _ {i j} = \frac {G U _ {i , 2 0 1 9} - G U _ {i , 2 0 1 9}}{G U _ {i , 2 0 1 9}} +$$ + +# 7.2.4 交易企业数量变动率 + +交易企业数量变动率 $T p_{ij} (i = 1, \dots, 302, j = 1, 2)$ 是指的公司在受疫情影响情况下，与公司交易企业数量的变动程度。公式如下： + +$$ +T p _ {i j} = \frac {C C _ {i j , 2 0 2 0} - C C _ {i j , 2 0 1 9}}{C C _ {i j , 2 0 1 9}} +$$ + +# 7.2.5行业风险 + +通过国家对于行业的标准化分类方法，本文通过观察企业名称将302家企业一共分为了13个行业。针对其中12个行业，我们通过查询同花顺上的行业股票数据，得到了12个行业股票指数2020年2个月的增长率，用以衡量行业打击程度大小。额外的一个行业中的企业均为为个体经营企业，根据第一财经发布的调研报告[6]，个体经营企业预期降幅约为 $1 / 3$ ，本文以此数据作为对行业风险的度量。 $I r_{i}$ 计算公式如下： + +$$ +I r _ {i} = \frac {2 0 2 0 \text {年} 2 \text {月 底 股 票 额} - 2 0 2 0 \text {年} 1 \text {月 初 股 票 额}}{2 0 2 0 \text {年} 1 \text {月 初 股 票 额}} +$$ + +# 7.3 聚类模型 + +本文将上面计算的5种特征，作为系统聚类的依据。系统聚类首先将每一个样本都分为一类，然后不断计算子类与子类之间的距离，逐渐将所有的子类合并为一个大类。系统聚类算法的流程如下图所示。 + +![](images/1c640da5ea78c8bd94bd17999946dd39bf63c07e8c8dfcf8fb5b5d2c05286f89.jpg) +图3系统聚类流程图 + +将数据代入SPSS，进行系统聚类，为了确定聚类类别 $K$ ，画出聚类系数的折线图如下。 + +![](images/3c29e3e1ce92723e2f56d823b20a5c259066d45a8f32123e5506ab5f315af9cb.jpg) +图4 聚类系数折线图 + +根据聚合系数折线图，可以看出，令 $K = 3$ ，聚类效果最好。得出聚类结果后，对聚类的结果分别进行描述性统计分析，可得下面三表。 + +表 5 类别 1 企业特征描述性统计分析 + +
指标ConiYG_iErrori1Errori1Tp i1Tp i2Iri
count239239239239239239239
mean0.996-1.5390.0310.1153.9877.130-0.120
min0-159.79500-1-1-0.33
max133.7870.250.8391161010.126
+ +表 6 类别 2 企业特征描述性统计分析 + +
指标Con_iYG_iErrori1Errori1Tp_i1Tp2Iri
count59595959595959
mean-0.9320.3010.0330.1161.4586.677-0.09
min-1-3.58600-1-1-0.33
max09.0200.1250.73427930.126
+ +表 7 类别 3 企业特征描述性统计分析 + +
指标ConiYG_iErrori1Errori1Tp i1Tp i2Iri
count4444444
mean-110.0470.934-1-1-0.33
min-110.0190.909-1-1-0.33
max-110.0670.955-1-1-0.33
+ +综合上三表数据，类别1的企业大部分为2020年依然盈利或者不盈不亏；平均 $Error_{i1}$ 较小， $Tp_{ij}$ 大部分为正且数值较大，说明该类企业在疫情期间虽然盈利少于之前，但是供求关系仍然稳定甚至订单数较去年同期更多；类别2的企业大部分为亏损状态， $Error_{i1}$ 和 $Tp_{ij}$ 的表现差于类别1的企业；类别3的企业只有4个，且全为高风险，差表现的个体经营企业。 + +根据以上聚类出的三类行业的表现，本文设置其对应的风险乘数为： + +$$ +Q _ {1} = 1. 2, Q _ {2} = 1. 5, Q _ {3} = 2 +$$ + +# 7.4信贷策略 + +在问题二中本文将企业依据信誉评级分为4类，本问中根据疫情对企业的影响将企业分为3类，理论来说企业被分为了12类。但在银行的信贷策略中，对认为将违约和D级企业不放贷款且聚类结果的类别3全为D即企业，对数据进行观察可知，数据被分为6类，银行也将根据信誉评级和聚类结果，建立一个新的评价分级体系，记为 $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ 。将风险乘数 $Q_{i}$ 加入信贷目标规划模型，调整企业风险，例如对于 $A_{1}$ 类企业，其风险为 $(1 + Q_1)^*\overline{\sigma_A}$ 。建立调整后的多目标规划模型如下： + +$$ +\min \sum_ {i = 1} ^ {3} \sum_ {j} C _ {i} ^ {*} (1 + Q _ {j}) \bar {\sigma} _ {i} ^ {*} P _ {i} ^ {*} (1 + I _ {i}) + I _ {i} ^ {*} P _ {i} ^ {*} \frac {C _ {i} ^ {*} L o s t (I _ {i})}{1 - L o s t (I _ {i})} - C _ {i} ^ {*} I _ {i} ^ {*} P _ {i} +$$ + +$$ +s. t. \left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {6} C _ {i} * P _ {i} = 1 0 0 0 0 0 0 0 \\ 0. 0 4 \leqslant I _ {1} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 0 5 8 \leqslant I _ {2} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 0 7 6 \leqslant I _ {3} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 0 9 4 \leqslant I _ {4} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 1 1 2 \leqslant I _ {5} \leqslant 0. 1 5 \\ 0. 1 3 \leqslant I _ {6} \leqslant 0. 1 5 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {1} \leqslant 1 0 0 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {2} \leqslant 8 5 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {1} \leqslant 7 0 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {4} \leqslant 5 5 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {5} \leqslant 4 0 0 0 0 0 \\ 1 0 0 0 0 0 \leqslant P _ {6} \leqslant 2 5 0 0 0 0 \end{array} \right. \tag {7} +$$ + +使用MATLAB的fmincon函数解出答案。银行在综合考虑企业信贷风险和疫情对企业影响后的信贷策略如下表： + +表 8 银行信贷调整策略 + +
企业类别企业数量贷款利率贷款金额
A1547.60%999988
A296.25%849863
B18211.20%317698
B2219.40%100017
C18711.20%100002
C11513%100006
+ +# 八、模型评价 + +# 8.1模型优点 + +1、数据特征提取时，考虑到企业实力、对上下游企业的影响能力、发展潜力、抗风险能力，较为全面； +2、使用强分类器，构建Voting集成学习算法，AUC值接近完美模型，得到的违约风险可信度高； +3、多目标规划不仅考虑了常见的风险和收益，也考虑了潜在客户流失所造成的损失。 +4、考虑疫情对企业影响时，综合考虑了系统风险和非系统风险的影响。 + +# 8.2 模型缺点 + +1、对于客户流失率选择的时候，一段区间内的贷款年利率用的是一个客户流失率，没有考虑小范围年利率变化时的客户流失率。 +2、特征提取过多，有些变量互相有相关性。 + +# 8.3 模型改进方向 + +1、可以使用函数对附件3的数据进行拟合，将离散的客户流失率连续化，多目标规划的结果会更精确。 +2、在不对分类效果有较大影响的前提下，可以考虑使用因子分析简化特征数量。 + +# 九、参考文献 + +[1] 王晓燕. 上市民营企业信用风险度量方法研究[D]. 山东大学, 2020. +[2] 刘琪.小额贷款公司个人贷款信用风险评估研究[D].扬州大学,2011. +[3] 顾洲一.基于XGBoost模型的银行信贷高风险客户识别研究——以我国Y银行 + +为例[J].上海立信会计金融学院学报,2020,(1):17-28. + +[4] 孟叶, 于忠清, 周强. 基于集成学习的股票指数预测方法[J]. 现代电子技术, 2019, 42(19): 115-118. DOI: 10.16652/j.issn.1004-373x.2019.19.027. +[5] 王金柱，王翔.从零开始学Python数据分析与挖掘[M].北京：清华大学出版社，2018. +[6] 祝嫣然，计亚．疫情影响调研报告：个体户、民企受影响最为严重. https://m.yicai.com/news/100570014.html.2020.9.13 + +# 十、附录 + +第二问结果表 + +
企业代号是否违约评级企业代号是否违约评级
E1240BE2750B
E1250BE2760B
E1260AE2770C
E1270BE2780C
E1280BE2790C
E1290CE2800C
E1300BE2810B
E1310CE2820C
E1320AE2830C
E1330BE2840A
E1340BE2850B
E1350BE2860A
E1360BE2870B
E1370CE2880B
E1380AE2890B
E1390BE2900A
E1400BE2911D
E1410AE2920B
E1420AE2931D
E1430AE2940B
E1440AE2950C
E1450AE2960B
E1460BE2970C
E1470BE2980B
E1480AE2990B
E1490BE3000B
E1500AE3010A
E1510BE3020C
E1520BE3030B
E1530CE3040B
E1540BE3050B
E1550CE3060B
E1560BE3070B
E1570CE3080C
E1580BE3090C
E1590CE3100C
E1600AE3110A
E1610BE3120B
E1620AE3130B
E1630BE3140B
E1640BE3150A
E1650AE3160B
E1660BE3170B
E1670AE3180B
E1680CE3190C
E1690CE3200C
E1700BE3210B
E1710AE3220B
E1720AE3231D
E1730AE3240A
E1740BE3250A
E1750AE3260A
E1760AE3270C
E1770BE3280C
E1780AE3290C
E1790AE3300A
E1800AE3310C
E1810BE3320B
E1820CE3330B
E1830BE3340C
E1840BE3350C
E1850AE3360C
E1860BE3370C
E1871DE3380C
E1880AE3390C
E1890CE3400C
E1900BE3410C
E1910BE3420C
E1920CE3430C
E1930CE3440C
E1940AE3450B
E1950AE3460B
E1960AE3470B
E1970AE3480C
E1980BE3491C
E1990BE3500B
E2000BE3510B
E2010AE3520C
E2020CE3530C
E2030BE3540C
E2040AE3550B
E2050CE3560C
E2060BE3570C
E2070BE3580C
E2080BE3590C
E2090AE3600C
E2100BE3610A
E2110BE3620C
E2120AE3630B
E2130AE3640C
E2140BE3650C
E2150BE3660C
E2160AE3670C
E2171DE3681D
E2181DE3690C
E2190BE3700C
E2200AE3710C
E2210BE3720B
E2220AE3730B
E2230AE3740C
E2240BE3750B
E2250AE3760C
E2260BE3771D
E2270BE3780B
E2280AE3791D
E2290CE3800C
E2300AE3810B
E2311DE3820C
E2320CE3831D
E2330BE3841D
E2340AE3851D
E2350AE3860C
E2360CE3870C
E2370BE3880B
E2380CE3890C
E2390CE3901D
E2401DE3910C
E2410BE3920A
E2421DE3930A
E2430BE3941D
E2440CE3951D
E2450BE3961D
E2460BE3970C
E2470CE3980C
E2480AE3990C
E2491CE4000C
E2500AE4011D
E2510BE4021D
E2520CE4030C
E2530AE4041D
E2540CE4051D
E2550BE4060B
E2560AE4071D
E2570CE4080C
E2580AE4090C
E2590CE4100C
E2600AE4111D
E2610AE4120C
E2620CE4130C
E2630BE4140C
E2641DE4150C
E2651DE4161D
E2660BE4171D
E2670CE4180C
E2680BE4190B
E2690CE4200B
E2700AE4210C
E2710CE4220C
E2720CE4231D
E2730CE4241D
E2740CE4251D
+ +# Matlab代码 + +feixianxing.m +1. $\% 273732$ +2. $\%$ 分级之后的规划 +3. clc;clear; +4. load data.mat +5. +6. $x0 = [0.10,0.10,0.10,50,50,50]$ +7. Aeq=[0,0,0,27,37,32]; +8. beq=[5000]; +9. lb=[0.04;0.075;0.11;10;10;10]; +10. ub=[0.15;0.15;0.15;100;70;40]; +11. $\% \mathrm{ub} = [0.075;0.11;0.15;100;70;40]$ +12.[x,fval,ex]=fmincon(@fun,x0,[],Aeq,beq,lb,ub) +13. +14. $27^{*}\mathrm{x}(4)+37^{*}\mathrm{x}(5)+32^{*}\mathrm{x}(6)$ +15. +16. +17. $27 + 37 + 32$ +18. +19. +20. $\% \%$ 第二问 +21. $\%$ 总计6310310432 +22.clc;clear; +23.load data.mat +24. +25. $63 + 103 + 102$ 不违约 +26. +27. +28.xo=[0.10,0.10,0.10,50,50,50]; +29.Aeq=[0,0,0,63,103,102]; +30.beq=[10000]; +31.lb=[0.04;0.075;0.11;10;10;10]; +32. ub=[0.15;0.15;0.15;100;70;40]; +33. $\% \mathrm{ub} = [0.075;0.11;0.15;100;70;40]$ +34.[x,fval,ex]=fmincon(@fun1,xO,[],Aeq,beq,lb,ub) +35. +36. $\% \%$ 第三问 +37.clc;clear; +38.load data.mat + +39. fprintf("不违约的企业数：%d",54+9+82+21+87+15) +40. $\mathbf{x}0 = [0.04,0.04,0.04,0.04,0.04,0.04,10,10,10,10,10]$ +41. $\mathrm{Aeq} = [0,0,0,0,0,0,54,9,82,21,87,15]$ +42. beq=[10000]; +43. $\mathrm{lb} = [0.04;0.058;0.076;0.094;0.112;0.13;10;10;10;10;10]$ +44. ub=[0.15;0.15;0.15;0.15;0.15;0.15;100;85;70;55;40;25]; +45. [x,fval,exitflag]=fmincon(@bbb,x0,[], [],Aeq,beq,lb,ub) + +bbb.m +```txt +1. function f=bbb(x) +2. load data.mat +3. a1=0.14506157936837127; a2=0.1816959402725437; a3=0.2085706859586268; +4. q1=1.2; q2=1.5; +5. t1=54*x(1)*x(7)+9*x(2)*x(8)+82*x(3)*x(9)+21*x(4)*x(10)+87*x(5)*x(11)+15*x(6)*x(12); +6. t2=54*a1*q1*x(7)+9*a1*q2*x(8)+82*a2*q1*x(9)+21*a2*q2*x(10)+87*a3*q1*x(11)+15*a3*q2*x(12); +7. +8. for i=1:length(data) +9. if x(1)>data(i,1)&&x(1)<=data(i+1,1) +10. m1=i; +11. break; +12. end +13. end +14. for j=1:length(data) +15. if x(2)>data(j,1)&&x(2)<=data(j+1,1) +16. m2=j; +17. break; +18. end +19. end +20. for k=1:length(data) +21. if x(3)>data(k,1)&&x(3)<=data(k+1,1) +22. m3=k; +23. break; +24. end +25. end +26. for l=1:length(data) +27. if x(4)>data(l,1)&&x(4)<=data(l+1,1) +28. m4=l; +29. break; +30. end +31. end +32. for m=1:length(data) +33. if x(5)>data(m,1)&&x(5)<=data(m+1,1) +34. m5=m; +``` + +35. break; +36. end +37. end +38. for $n = 1$ :length(data) +39. if $x(6) > data(n,1)$ && $x(6) < = data(n + 1,1)$ +40. $\mathrm{m6 = n}$ +41. break; +42. end +43. end +44. t3=(data(m1,2)*54*x(1)*x(7))/(1-data(m1,2))+ (data(m2,2)*9*x(2)*x(8))/(1-data(m2,2))+ (data(m3,3)*82*x(3)*x(9))/(1-data(m3,3))+ (data(m4,3)*21*x(4)*x(10))/(1-data(m4,3))+ (data(m5,4)*87*x(5)*x(11))/(1-data(m5,4))+ (data(m6,4)*15*x(6)*x(12))/(1-data(m6,4)); +45. +46. $f = t2 + t3 - t1$ +47. end + +# fun.m + +1. function $\mathrm{f} =$ fun(x) +2. load data.mat +3. a1=0.14506157936837127; a2=0.1816959402725437; a3=0.2085706859586268; +4. $t1 = 27^{*}x(1)^{*}x(4) + 37^{*}x(2)^{*}x(5) + 32^{*}x(3)^{*}x(6)$ ; +5. t2=27*a1*x(4)*(1+x(1))+37*a2*x(5)*(1+x(2))+32*a3*x(6)*(1+x(3)); +6. +7. for i=1:length(data) +8. if $\mathbf{x}(1) > \mathrm{data(i,1)}$ && $\mathbf{x}(1) < = \mathrm{data(i + 1,1)}$ +9. $\mathbf{m1} = \mathbf{i}$ +10. break; +11. end +12. end +13. for $j = 1$ :length(data) +14. if $x(2) > data(j,1)$ && $x(2) < = data(j + 1,1)$ +15. $\mathrm{m}2 = \mathrm{j}$ +16. break; +17. end +18. end +19. for $k = 1$ :length(data) +20. if $x(3) > data(k,1)$ && $x(3) < = data(k + 1,1)$ +21. $\mathrm{m}3 = \mathrm{k}$ +22. break; +23. end +24. end +25. t3=(data(m1,2)*27*x(1)*x(4))/(1-data(m1,2))+ (data(m2,3)*37*x(2)*x(5))/(1-data(m2,3))+ (data(m3,4)*32*x(3)*x(6))/(1-data(m3,4)); + +26. +27. $f = t2 - t1 + t3$ +28. end + +# fun1.m + +1. function $f = \text{fun1}(\mathbf{x})$ +2. $\% 63 + 103 + 102$ +3. load data.mat +4. $q1 = 1.2;q2 = 1.5;$ +5. a1=0.14506157936837127; a2=0.1816959402725437; a3=0.2085706859586268; +6. $t1 = 63^{*}x(1)^{*}x(4) + 103^{*}x(2)^{*}x(5) + 102^{*}x(3)^{*}x(6)$ +7. t2=63*a1*x(4)*(1+x(1))+103*a2*x(5)*(1+x(2))+102*a3*x(6)*(1+x(3)); +8. +9. for i=1:length(data) +10. if $x(1) > data(i,1)$ && $x(1) < = data(i + 1,1)$ +11. $\mathbf{m}1 = \mathbf{i}$ +12. break; +13. end +14. end +15. for $j = 1$ :length(data) +16. if $\mathrm{x}(2) > \text{data(j,1)} \& \& \mathrm{x}(2) <= \text{data(j + 1,1)}$ +17. $\mathrm{m}2 = \mathrm{j}$ +18. break; +19. end +20. end +21. for $k = 1$ :length(data) +22. if $x(3) > data(k,1)$ && $x(3) < = data(k + 1,1)$ +23. $\mathrm{m}3 = \mathrm{k}$ +24. break; +25. end +26. end +27. t3=(data(m1,2)*63*x(1)*x(4))/(1-data(m1,2))+ (data(m2,3)*103*x(2)*x(5))/(1-data(m2,3))+ (data(m3,4)*102*x(3)*x(6))/(1-data(m3,4)); +28. +29. $f = t2 - t1 + t3$ +30. end + +# Python代码 + +# 第一问 + +1. #第一问集成学习 + +```python +2. data = pd.read_csv('第一问所有特征.csv', encoding='gbk', index_col='企业代号') +3. for i in range(len(data)): +4. a='E' + str(i+1) +5. if data.loc[a, '是否违约'] == '否': +6. data.loc[a, '违约'] = 0 +7. else : +8. data.loc[a, '违约'] = 1 +9. +10. x = data.iloc[:, :, -3].values +11. y = data.iloc[:, -1].values +12. +13. from sklearn.linear_model import LogisticRegression +14. from sklearn.model_selection import train_test_split +15. from sklearn.preprocessing import StandardScaler +16. from sklearn.model_selection import GridSearchCV +17. from sklearn import metrics +18. from sklearnensemble import AdaBoostClassifier as ada +19. from sklearnensemble import GradientBoostingClassifier +20. from sklearn.svm import SVC +21. from sklearnensemble import RandomForestClassifier as RF +22. from sklearn.model_selection import cross_val_score +23. from sklearn.metrics import roc_auc_score +24. from sklearn ensemble import VotingClassifier +25. +26. +27. x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, random_state=30) +28. +29. tranfer = StandardScaler() +30. x = tranfer.fit_transform(x) +31. x_train = tranfer.transform(x_train) +32. x_test = tranfer.transform(x_test) +33. +34. LR = LogisticRegression(C=0.1, class_weight=None, dual=False, fit_intercept=True, +35. intercept_scaling=1, l1_ratio=None, max_iter=100, +36. multi_class='auto', n_jobs=None, penalty='l2', +37. random_state=None, solver='newton-cg', tol=0.0001, verbose=0, +38. warm_start=False) +39. Ada = ada(algorithm='SAMME', base_estimator=None, learning_rate=0.1, +40. n_estimators=100, random_state=30) +41. GBDT = GradientBoostingClassifier(ccp_alpha=0.0, criterion='friedman_mse', init=None, +42. learning_rate=0.7, loss='exponential', max_depth=3, +``` + +43. max_features $\equiv$ 'auto',max_leaf_nodes $\equiv$ None, +44. min_impurity_decrease $= 0.0$ ,min_impurity_split $\equiv$ None, +45. min_samples_leaf $\coloneqq$ 1,min_samples_split $= 2$ +46. min_weight_fraction_leaf $\coloneqq 0.0$ ,n_estimators=25, +47. n_iter_no_change $\equiv$ None,present $\equiv$ 'deprecated', +48. random_state $= 30$ subsample $= 1.0$ to1 $= 0.0001$ +49. validation_fraction $= 0.1$ ,verbose $= 0$ +50. warm_start $\equiv$ False) +51.svc $=$ SVC(C=0.8，break_ties $\equiv$ False，cache_size $\equiv$ 200，class_weight $\equiv$ None，coef $\theta = 0.0$ +52.decision_function_shape $\equiv$ 'ovr'，degree $= 3$ ，gamma $= 20$ ，kernel $\equiv$ 'rbf'， +53.max_iter=-1，probability $\equiv$ True，random_state $\equiv$ None，shrinking $\equiv$ True，tol $= 0.001$ +54. verbose $\equiv$ False) +55. +56.rf $=$ RF(bootstrap $\equiv$ True，ccp_alpha $= 0.0$ ，class_weight $\equiv$ None, +57. criterion $\equiv$ 'gini'，max_depth $\equiv$ None,max_features $\equiv$ 'auto' +58. max_leaf_nodes $\equiv$ None,max_samples $\equiv$ None, +59. min_impurity_decrease $= 0.0$ ,min_impurity_split $\equiv$ None, +60. min_samples_leaf $\coloneqq 1$ ,min_samples_split $= 2$ +61.min_weight_fraction_leaf $= 0.0$ ,n_estimators=100, +62.n_jobs $\equiv$ None,oob_score $\equiv$ False,random_state $= 30$ ,verbose $= 0_{\cdot}$ +63.warm_start $\equiv$ False) +64. +65.weight $=$ [] +66.for clf, label in zip([LR, Ada, GBDT,svc,rf,sclf], +67.[LR', +68.Ada', +69.GBDT', +70.'svc', +71.'rf','StackingClassifier'])： +72-clf.fit(x_train,y_train) +73.y_prediction $=$ clf.predict(x_test) +74.print({}在预测集模型的准确率为： + $\backslash n^{\prime}$ .format.label),metrics.accuracy_score(y_test,y_predicted)) +75.print({}在训练集模型的准确率为： + $\backslash n^{\prime}$ .formatabeled),metrics.accuracy_score(y_train,clf.predict(x_train))) +76.print({}的综合准确率为： + $\backslash n^{\prime}$ .formatabeled),metrics.accuracy_score(y,clf.predict(x))) +77. tem $=$ metrics.accuracy_score(y,clf.predict(x)) +78 weight.append(tem) +79.print({}的ROC面积为： +'.format[label],metrics.roc_auc_score(y,clf.predict(x))) +80.print() + +81. +82. weight +83. del weight[-1] +84.# 软投票 +85.w $=$ weight/sum(weight) +86. +87. vote2= VotingClassifier(estimators $\coloneqq$ ['LR',LR)，('Ada',Ada)，('GBDT'，GBDT)，('SVC'svc ），(rf'，rf)], +88. voting $\equiv$ 'soft'，weights $\equiv$ weight) +89. vote2.fit(x_train,y_train) +90.y_predicted $=$ vote2.predict(x_test) +91.print({在预测集模型的准确率为： \\n'.format('softVoting'),metrics.accuracy_score(y_test,y_predicted)) +92.print({在训练集模型的准确率为： \\n'.format('softVoting'),metrics.accuracy_score(y_train,vote2.predict(x_train))) +93.print('soft voting的综合表现：\\n',metrics.accuracy_score(y,vote2.predict(x))) +94.print() +95. +96.P $=$ vote2.predictbingo $[:,1]$ +97.df $=$ pd.DataFrame(data $\equiv$ {'违约概率':P}) +98.df.to_csv('违约风险.csv',encoding $\equiv$ 'gbk') +99. +100.fpr,tpr,threshold $=$ metrics.roc_curve(y,P) +101.roc_auc $=$ metrics.auc(fpr,tpr) +102. +103plt.figure(figsize=(6,4),dpi=250) +104plt.stackplot(fpr,tpr,color $\equiv$ 'steelblue'，alpha $\equiv$ 0.5,edgecolor $\equiv$ black') +105plt.plot(fpr,tpr,color $\equiv$ 'black'，lw=1) +106plt.plot([0,1],[0,1],color $\equiv$ 'red'，linestyle $\equiv$ '-') +107plt.text(0.5,0.3,'ROC curve (area $=$ %0.4f)'% roc_auc,fontsize=10) +108plt.xlabel('1-Specificity') +109plt.ylabel('Sensitivity') +110plt.show() + +# 第二问 + +```python +1. from xgboost import XGBClassifier +2. new.da = pd.read_csv('第二问所有特征.csv', encoding='gbk') +3. +4. new_x = new.da.iiloc[:,1].values +5. new_x = tranfer.transform(new_x) +6. wieyue = vote2.predict(new_x) +7. sigma = vote2.predict(prob(new_x)[:,1] +8. new.da['是否违约'] = wieyue +``` + +9. new.da['违约风险'] $\equiv$ sigma +10. +11. $x =$ data.drop(['是否违约','信誉评级'],axis=1).values #21个特征 +12. y = pd.read_csv('违约风险.csv', encoding='gbk')[ '评级'].values # 评价等级编码 +13. +14. x_train,x_test,y_train,y_test $\equiv$ train_test_split(x,y_random_state $= 30$ +15. +16.tranfer $\equiv$ StandardScaler() +17. $\mathrm{x} =$ tranfer.fit_transform(x) +18. x_train = tranfer.transform(x_train) +19. x_test = tranfer.transform(x_test) +20. +21. other.params = {'learning_rate': 0.16, 'max_depth': 6, 'min_child_weight': 2, 'seed': 10, 'estimator': 60, +22. 'subsample': 0.8, 'colsample_bytree': 0.9, 'gamma': 0.5, 'reg_alpha': 0.08, 'reg_lambda': 0.12} +23. +24. estimator = XGBClassifier(objective='multi:softmax', num_class=4, eval_metric='auc', **other_parameters) +25. y_prediction = estimator.predict(x_test) +26. print('预测集模型的准确率为：\n', metrics.accuracy_score(y_test, y_prediction)) +27. print('训练集模型的准确率为：\n', metrics.accuracy_score(y_train, estimator.predict(x_train))) +28. print('综合准确率为：\n', metrics.accuracy_score(y, estimator.predict(x))) +29. +30. new = pd.read_csv('已经判断是否违约.csv', encoding='gbk') +31. new_x = new-iloc[:1:-1].values +32. new_x = tranfer.transform(new_x) +33. predict_y = estimator.predict(new_x) +34. new['信誉评级'] = predict_y + +# 第三问 + +1. import numpy as np +2. import pandas as pd +3. data01 = pd.read_csv('附件2-1.csv', encoding='gbk', engine='python') +4. data021 = pd.read_csv('附件2-21.csv',encoding='gbk',engine='python') +5. data031 = pd.read_csv('附件2-31.csv',encoding='gbk',engine='python') +6. +7. ##2020/1/2 +8. a=data021[(data021['开票日期']>'2020')&(data021['开票日期']< '2020/3'))] +9. a=a.reset_index() +10. tem1 = a['企业代号'].unique() +11.b=data031[(（data031['开票日期']>'2020')&(data031['开票日期']<2020/3'))] +12. $b = b$ .reset_index() +13. tem2 = b['企业代号'].unique() +14. print("2020年进项企业数：%d"%len(tem1)) +15. print("2020年销项企业数：%d"%len(tem2)) + +16. tmp1 = [val for val in listTem1) if val in listTem2] +17.print("2020年进项销项共有企业数：%d"%len(tmp1)) +18. tmp2 = list(setTem1).difference(setTem2)) # 有进项无销项 +19. tmp3 = list(setTem2).difference(setTem1)) # 有销项无进项 +20. +21.#2019/1/2销-进 +22. a1=[] +23. a1=pd.DataFrame(a1) +24. A=data021[(data021['开票日期']>'2019')&(data021['开票日期']< '2019/3'))] +25.B=data031[(data031['开票日期']>'2019')&(data031['开票日期']< '2019/3'))] +26. for num in range(len(tmp01)): +27. id1 = tmp01[num] +28. a1.loc[num,'企业代号']=id1 +29. t1=A[A['企业代号']==id1] +30. +31. a1.loc[num,'进项金额'] = sum(t1['金额']) +32. +33. t2=B[B['企业代号']==id1] +34. a1.loc[num,'销项金额'] = sum(t2['金额']) +35. +36. a1['销-进金额']=a1['销项金额']-a1['进项金额'] +37. +38. +39.#2020/1/2销-进 +40. a2=[] +41. a2=pd.DataFrame(a2) +42. A=data021[(data021['开票日期']>'2020'))] +43. B=data031[(data031['开票日期']>'2020'))] +44. for num in range(len(tmp1)): +45. id1 = tmp1[num] +46. a2.loc[num,'企业代号']=id1 +47. t1=A[A['企业代号']==id1] +48. +49. a2.loc[num,'进项金额'] = sum(t1['金额']) +50. +51. t2=B[B['企业代号']==id1] +52. a2.loc[num,'销项金额'] = sum(t2['金额']) +53. +54. a2['销-进金额'] = a2['销项金额'] - a2['进项金额'] +55. +56. +57. + +58.#2019/1/2 +59. a1=[] +60. a1=pd.DataFrame(a1) +61. data021['开票日期'] = pd.to Datetime(data021['开票日期']) +62. data031['开票日期'] $=$ pd.to Datetime(data031['开票日期']) +63. A=data021[(data021['开票日期']>'2019')&(data021['开票日期']<'2019/3'))]#进项 2019 +64. B=data031[(('data031['开票日期']>'2019')&(data031['开票日期']< '2019/3'))]#销项 2019 +65. A=A.reset_index.drop=True) +66. B=B.reset_index.drop=True) +67. for num in range (302): +68. id1 = data01['企业代号'][num] +69. a1.loc[num,'企业代号']=id1 +70. +71. for num in range (302): +72. for i in range (len(A)): +73. if A['企业代号'][i] == a1['企业代号'][num]: +74. t1=A[A['企业代号'] == A['企业代号'] [i]] +75. a1.loc[num,'进项金额'] = sum(t1['金额']) +76. +77. for j in range (len(B)): +78. if B['企业代号'][j] == a1['企业代号'][num]: +79. t2=B[B['企业代号'] == B['企业代号'] [j]] +80. a1.loc[num,'销项金额'] = sum(t2['金额']) +81. a1=a1 fillsna(0) +82. a1['销-进金额'] = a1['销项金额'] - a1['进项金额'] +83. +84. +85.#2020/1/2 +86. $a2 = []$ +87. a2=pd.DataFrame(a2) +88. data021['开票日期'] = pd.to Datetime(data021['开票日期']) +89. data031['开票日期'] $=$ pd.to Datetime(data031['开票日期']) +90. A=data021[(data021['开票日期']>'2020')]#进项 2020 +91. B=data031[(data031['开票日期']>'2020')]#销项2020 +92. A=A.reset_index.drop=True) +93. B=B.reset_index.drop=True) +94. for num in range (302): +95. id1 = data01['企业代号'][num] +96. a2.loc[num,'企业代号']=id1 +97. +98. for num in range (302): +99. for i in range (len(A)): + +100. if A['企业代号'[i] $\equiv$ a2['企业代号'][num]: +101. t1=A[A['企业代号'] $\equiv$ A['企业代号'][i]] +102. a2.loc[num,'进项金额'] $\equiv$ sum(t1['金额']) +103. for j in range (len(B)): +105. if B['企业代号'][j] $\equiv$ a2['企业代号'][num]: +106. t2=B[B['企业代号'] $\equiv$ B['企业代号'][j]] +107. a2.loc[num,'销项金额'] $\equiv$ sum(t2['金额']) +108. +109.a2=a2 fillna(0) +110.a2['销-进金额'] $\equiv$ a2['销项金额']-a2['进项金额'] +111. +112. +113.data01 $=$ pd.read_csv('附件2-1.csv',encoding $\equiv$ 'gbk',engine $\equiv$ 'python') +114.a[] +115.a=pd.DataFrame(a) +116.a['企业代号'] $\equiv$ a2['企业代号'] +117.a['销-进金额'] $\equiv$ a2['销-进金额'] +118.for i in range (302): +119. if a['销-进金额'][i]<0: +120. a.loc[i,'2020企业状况']=-1 +121. elif a['销-进金额'][i] $\equiv$ 0: +122. a.loc[i,'2020企业状况'] $\equiv$ 0 +123. else: +124. a.loc[i,'2020企业状况'] $\equiv$ 1 +125. +126. +127.for i in range (302): +128. if a1['销-进金额'][i] $\equiv$ 0: +129. if a2['销-进金额'][i] $\geq 0$ . +130. a.loc[i,'同比增长速度'] $\coloneqq 1$ +131. elif a2['销-进金额'][i]<0: +132. a.loc[i,'同比增长速度']=-1 +133. else: +134. a.loc[i,'同比增长速度'] $\coloneqq 0$ +135. elif a1['销-进金额'][i]<0: +136. if a2['销-进金额'][i] $\equiv = 0$ .. +137. a.loc[i,'同比增长速度'] $\coloneqq 1$ +138. else: +139. a.loc[i,'同比增长速度']=(a2['销-进金额'][i]-a1['销-进金额'][i])/a1['销-进金 额'][i] +140. else: + +```python +141. if a2['销-进金额'][i] == 0: +142. a.loc[i, '同比增长速度'] = -1 +143. else: +144. a.loc[i, '同比增长速度'] = (a2['销-进金额'][i] - a1['销-进金额'][i]) / a1['销-进金额'][i] +145. +146. +147. +148. r_in = [] +149. for num in range(1, 303): +150. id1 = 'E' + str(num + 123) +151. tem = data02[data02['企业代号'] == id1] +152. all_num = tem.shape[0] +153. fei_num = tem[tem['发票状态'] == '作废发票'].shape[0] +154. fu_num = tem[tem['发票状态'] == '负数发票'].shape[0] +155. ratio = (fei_num + fu_num * 2) / all_num +156. +157. r_in.append(ratio) +158. +159. +160. r_out = [] +161. for num in range(1, 303): +162. id1 = 'E' + str(num + 123) +163. tem = data03[data03['企业代号'] == id1] +164. all_num = tem.shape[0] +165. fei_num = tem[tem['发票状态'] == '作废发票'].shape[0] +166. fu_num = tem[tem['发票状态'] == '负数发票'].shape[0] +167. ratio = (fei_num + fu_num * 2) / all_num +168. +169. r_out.append(ratio) +170. a['进项发票作废负数比例'] = r_in +171. a['销项发票作废负数比例'] = r_out +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/C305/C305.md b/MCM_CN/2020/C305/C305.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..d19abff098a40dce4073580f73dd172d9c16c22f --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/C305/C305.md @@ -0,0 +1,789 @@ +# 银行基于大数据挖掘对中小微企业的信贷决策问题 + +# 摘要 + +本文主要研究了银行针对中小微企业的信贷决策问题。信贷决策需要银行利用各企业的相关资料与信息，在对企业进行综合评价之后做出是否放贷、放贷多少、期限多久和利率多少等决策的问题。该问题的研究可以使银行在不影响自身收益的条件下，让我国的中小微企业的信贷问题得到改善，同时也提高了银行信贷决策的效率和质量。 + +针对问题一，根据题目要求，我们首先要对企业的信贷风险进行量化分析，在量化分析时，我们将风险的量化问题转化为客户守约率问题，建立Logistic回归模型对企业的信贷风险进行量化分析，并计算出的客户守约率 $p_i$ ，再将 $p_i$ 映射到0-1之间，可以得出：当 $P_i$ 值越接近1时，企业的信用越好，风险越低；当 $P_i$ 值越接近0时，企业的信用越差，风险越高。最后建立了以银行对企业i放贷的金额 $x_i$ 和银行对企业i放贷的年利率 $r_i$ 为决策变量，以风险尽可能小利润尽可能多为目标函数，以银行放贷的额度、银行放贷年利率和流失率等为约束条件建立多目标决策模型，最后利用MATLAB软件编程得到银行放贷的具体决策（详细结果见附录二）。 + +针对问题二，在对问题二进行分析之后发现：问题二是建立在问题一的基础之上的，它可以看作问题一的推广。两题目的要求与条件大致相同，所以只是问题二中缺少部分相关数据，所以可以构建出相同的指标。为解决数据缺失的问题，我们利用附件1中的数据找出附件2中缺失数据的相关规律，对附件2中的302家企业的信誉评级，并算出其大致的违约率。这样一来，问题二就转化成为了问题一，我们将问题二构建的模型嵌套进问题一的模型当中，最后利用MATLAB软件编程计算得到银行放贷的具体决策（结果详见附录三）。 + +针对问题三，它是建立在问题二的基础之上的，不同的是题目要求考虑突发因素（以新冠病毒疫情为例研究）。我们先对企业进行有关行业和类型的划分，找到疫情对不同行业、不同类别的企业产生的不同的影响程度和影响方向，并以此对问题二中所构建的指标进行改进。改进完成后，问题三与问题二类似，可以继续套用问题一中的模型进行求解，最后利用MATLAB软件编程计算得到决策调整（结果详见附录四）。 + +最后，本文对模型进行了优、缺点评价与模型推广，得出该模型还可以向银行面对的其他对象和生活的其它方面进行推广的结论。 + +关键词：中小微企业的信贷决策问题；Logistic模型；多目标规划模型；欧氏距离 + +# 一 问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +对于中小微企业的信贷问题，从一方面来说，其企业规模相对较小、缺少用于抵押的资产，并且他们的经营容易受到外部因素的影响，贷款风险较大。与此同时，他们的流动性较差，负债能力也极其有限[1]；从另一方面来说：投资更多的中小微企业有利于分散风险，也方便找到未来的新兴产业，所以银行通常依据信贷的相关政策、企业的交易票据信息和上下游企业的影响力，向实力强、供求关系稳定的企业提供贷款，并可以对信誉高、信贷风险小的企业给予利率优惠。 + +# 1.2 问题的提出 + +题目中已知：可以贷款的企业的贷款额度为 $10\sim 100$ 万元、年利率为 $4\% \sim 15\%$ 、贷款期限为1年。该题目要求我们根据实际情况和附件中的数据信息，通过建立恰当的数学模型来研究中小微企业的信贷策。 + +问题一需要我们对123家企业（附件1）的信贷风险进行量化分析，并给出该银行在固定年度信贷总额的条件下对这些中小微企业的信贷策略。 + +问题二要求我们在问题1的基础上，对302家企业（见附件2）的信贷风险进行量化分析，并给出银行在年度信贷总额为1亿元时对这些企业的信贷策略。 + +问题三已知一些突发因素可能会影响企业的生产经营和经济效益，而且突发因素对不同行业、不同类别的企业往往会有不同的影响。针对附件2中各企业，综合考虑的信贷风险和可能出现的突发因素（例如：新冠疫情）对各企业的影响，最后给出该银行在年度信贷总额为1亿元时的信贷调整策略。 + +# 二 问题分析 + +# 2.1对问题一的分析 + +根据问题一的相关说明与条件，目前已知企业的名称、信誉评级、是否违约、企业的进项发票信息（发票号码、开票日期、金额、税额、价税合计、发票状态）和销项发票信息（发票号码、开票日期、金额、税额、价税合计、发票状态）等数据，题目要求对123家有信贷记录企业的信贷风险进行量化分析，并考虑在年度信贷总额固定的条件下给出针对企业的信贷策略。 + +该问题是常见的信贷决策大数据分析问题，要解决此类问题我们首先将风险的量化问题转化为客户守约率问题，随后建立Logistic回归模型对123家企业的信贷风险进行量化分析，并计算出的客户守约率 $p_i$ ，最后利用映射将 $p_i$ 映射到0-1之间，得出当 $P_i$ 值越接近1时，企业的信用越好，风险越低；当 $P_i$ 值越接近0时，企业的信用越差，风险越高。 + +# 2.2对问题二的分析 + +问题二已知企业的名称、企业的进项发票信息（发票号码、开票日期、金额、税额、价税合计、发票状态）和销项发票信息（发票号码、开票日期、金额、税额、价税合计、 + +发票状态）等数据。该问题与问题一极为相似，只是该问题缺少信誉评级和是否违约两条件。需要我们做的依然是对企业的信贷风险进行量化分析，并在年度信贷总额为1亿元的条件下给出针对企业的信贷策略。 + +针对该问题可以有的思路为：首先对附件1中的数据进行处理与分析，找出相关规律并构造出信誉等级，算出对应等级的违约率；再将此模型嵌套进问题一的模型当中，将问题二重新转化为问题一，就可按照问题一的求解步骤进行求解。 + +# 2.3对问题三的分析 + +问题三建立在问题二的基础之上，考虑突发因素（例如：新冠病毒疫情）对不同行业、不同类别的企业的不同影响，对问题二中做出的决策进行调整。 + +面对该问题我们首先需要查找相关资料，对企业进行对行业和类型的划分，找到疫情不同行业、不同类别的企业的不同的影响程度和影响方向，并以此对问题二中所构建的指标进行改进。改进完成后，即可套用问题一中的模型进行求解。 + +综上所述：对于中小微企业的信贷决策问题的三个小问之间为层层深入的关系，我们在解决三个问题时的总体思路为将模型朝着问题一的模型的方向转换，即将二、三两问看作问题一的推广。所以解决问题一的关键为：指标的选取与构造；问题二的关键点在于用第一问的数据对问题二中的缺失数据进行预测与计算；问题三的关键点在于弄清疫情对不同行业、不同类别的企业产生的不同的影响。 + +![](images/63af81ea0fc95ef87b623b219fa02d3cb163bf4319fc8f6055eebafdcbcc3343.jpg) +图1整体建模思路图 + +# 三 模型基本假设与合理性说明 + +假设1：市场的风险与信誉风险之间没有关系，即在该小问中只考虑企业信誉风险对银行决策的影响，将市场风险看作不存在。 + +假设2：信用等级是离散的，且在同一等级中的企业违约的概率相同。在利用Excel表格对数据进行筛选之后，我们发现违约企业大多为信誉评级为C、D两个等级的企业，A、B两个等级的企业很少违约。 + +假设3：总体风险用银行所放贷的金额 $x_{i}$ 中最大的一个风险来衡量。当对所有企业发放贷款的最大的风险都是最小的时候的总体风险也是较小的。 + +假设4：在做决策的这段时间内，平均收益率、交易费率、风险损失率以及同期银行的存款利率都可以看作常数。若平均收益率、交易率、风险损失率以及同期银行存款利率是变化的，那么此时建立的模型是不具有说服力的。 + +假设5：净收益和总体的风险只会受到平均收益率、交易费率、风险损失率的影响，而与其他因素无关。平均收益率、交易费率、风险损失率是目前已知的较为重要的数据，若考虑其他未知因素和影响甚小的因素不利于数学模型的建立。 + +# 四符号说明 + +
符号符号说明
xti对企业i的评价指标t (i=1,2,...,123;t=1,2,...,6)
xtj对企业j的评价指标t (j=1,2,...,302;t=1,2,...,6)
xtj'疫情影响下对企业j的评价指标t (j=1,2,...,302;t=1,2,...,6)
p企业的守约率
p'疫情影响下的企业守约率
y客户流失率
r贷款年利率
x银行对企业的放贷金额
α、β、γ回归系数
+ +# 五 基于有信贷记录的 Logistic 分析的多目标规划模型——问题一 + +# 5.1 建模思路 + +为给出银行年度信贷总额固定时对这123家企业的信贷策略，我们将以银行年净收益尽可能大，总体风险尽可能小为目标，建立多目标规划模型，求出银行对企业的信贷政策。在对信贷风险进行量化分析时，我们将信贷风险转化为了以企业守约率为量化分析点，因此我们将银行信贷风险损失率由企业守约率表达出，为： $1 - p_{i}$ （企业的守约率越高，信用越好，信贷风险越低，信贷损失率越低；反之企业的守约率越低，信用越差，信贷风险越高，信贷损失率越高。） + +# 5.2 建模准备 + +# 5.2.1 关键问题的转化 + +问题一要求对给出的123家有信贷记录的企业的信贷风险进行量化分析，于是我们将风险的量化问题转化为客户守约率问题（即：守约率越趋近于1，该企业的信誉越好；守约率越趋近于0，该企业的信誉越差）。 + +# 5.2.2 数据预处理 + +# $\spadesuit$ 对作废发票进行筛选并删除 + +问题一中提供的数据数量庞大，我们需要将其中的作废发票过滤筛除掉。于是我们先将发票的状态进行处理，将有效发票作为“1”，作废发票作为“0”，再用MATLAB软件将发票状态为作废发票即“0”的发票信息筛选出来并剔除掉。 + +![](images/fda77893016c3596b4601888974dfc4a77dc202f4a91c970c547875536d79995.jpg) +图2各企业进项发票票数作废比例直方图 + +# $\spadesuit$ 剔除异常值 + +箱形图是一种常用于显示一组数据分散情况资料的统计图，有利于准确稳定地描绘出数据的离散分布情况和数据的处理。因此我们以金额、税额以及价税合计作为样本数据，作出了如下箱型图： + +![](images/3da3e264883a18bbd13654901632a2a801748b64c9a0f312606e1b57f56f3efc.jpg) +图3箱形图 + +通过观察各方盒和线段的长短，我们对异常值分布的识别有了一定的了解；随后我们按照4个标准差将数据中的异常数据（包括 $N a N, I n f,$ 和异常大小数据）进行了过滤筛选，主要是将离均值超过系数因子4倍标准差判为异常大小，最后通过产生随机数种子，进行结果再现检验均值、标准差结果是否正常。附录**** + +# $\spadesuit$ 筛除发票号相同的发票 + +在Excel表格中，使用数据透视表对发票号码相同的单元格进行筛选统计，若统计出来的数据表格中的值大于1，则说明该发票是无效的，需要将其删除。 + +# 5.2.3 基于量化分析模型（Logistic模型）的信贷风险评估 + +我们运用Logistic回归方法将123家企业的信贷风险的量化分析转化为对123家企业的信用风险评价并建立模型，企业信用越高，违约率越低，信贷风险越低。在建立对企业的信用风险评价模型主要有三步：即指标的构造与选择、样本数据的收集与处理和违约的判定。针对指标的构造与选择，指标的选择应该遵循科学性、全面性、公正性、针对性、合法性、可操作性等原则[2]，并以此构建相应的评价指标体系，评价体系共五个指标，指标及其描述如下表： + +表 1 问题一各项指标的构造与描述 + +
指标指标描述
各企业进项发票的作废比例x1i该比例越低信用越高，信贷风险越低
各企业销项发票的作废比例x2i该比例越低信用越高，信贷风险越低
各企业的信誉状况x3i信誉状况越好信用越高，信贷风险越低
净发票总金额x4i金额越大企业资金越充足，企业实力越强
发票金额的变异系数x5i变异系数越低，金额的偏离程度越低，信贷风险也越低；变异系数越高，金额的偏离程度越高，信贷风险也越高
资金周转率x6i企业用尽可能少的资金获得尽可能多的销售收入，则资金周转率快，周转率越快，资金利用效果越好，企业的信用越高风险
+ +根据上表可知：针对该模型我们共建立了6个评价指标，分别为：各企业进项发票 + +的作废比例、销项发票的作废比例、信誉状况、净发票总金额、发票金额的变异系数和资金周转率。 + +观察题目中提到的要素：对于要点“企业实力”，企业实力是指企业满足市场要求的能力，用企业的生产能力，技术能力，销售能力，产品更新能力，市场信誉等因素表示。在此处我们用净发票的总金额来刻画企业的销售能力；用企业的资金周转率（资金周转率是反应资金流转速度指标。企业资金在生产经营过程中不间断地循环周转，从而使企业取得销售收入。）来刻画企业的财力和销售能力，企业用较少的资金占用，取得较多的销售收入，说明资金周转速度快，资金利用效果好[3]。 + +对于要点“信誉”，考虑到信誉的对象有两种，银行和销售方，所以我们主要构造了两个指标来刻画：一个是用题目中给出的信誉等级废票比例来刻画，另一个则是通过作废票数的比例来刻画。 + +对于要点“风险”，我们用变异系数，即标准偏差与平均值的比值（衡量各观测值的变异程度的一个统计量）[4] + +，可以得到变异系数越低，金额的偏离程度就越低，信贷风险也越低；变异系数越高，金额的偏离程度就越高，信贷风险也越高。 + +通过相关数据建立Logistic回归模型，记企业的守约率为 $P_{i}$ ，信贷风险损失率为 $1 - p_{i}$ ，其中 $i$ 表示第 $i$ 种企业（ $i = 1,2,\dots ,123)$ 。通过指标拟合出回归方程中指标的相关系数，模型为： + +$$ +\ln \frac {p _ {i}}{1 - p _ {i}} = \beta_ {0} + \beta_ {1} x _ {1 i} + \beta_ {2} x _ {2 i} + \beta_ {3} x _ {3 i} + \beta_ {4} x _ {4 i} + \beta_ {5} x _ {5 i} + \beta_ {6} x _ {6 i} \tag {1} +$$ + +其中 $p_i = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \beta_3x_{3i} + \beta_4x_{4i} + \beta_5x_{5i} + \beta_6x_{6i})}}$ + +将计算出的系数带入公式（1）可得系数（如下表）： + +表 1 回归系数 $\beta$ 的值 + +
β0β1β2β3β4β5β6
0.9347-11.1630.3755-0.9628-1.7819*10^-10-0.05124.4326*10^-6
+ +（详细程序见附录？） + +通过上述公式求出123家企业的守约率，再通过映射将其映射到0-1之间。我们可以得出啊： $p_i$ 值越接近1，则申请贷款企业信用较好， $P$ 值越接近0，则申请贷款企业信用较差。贷款企业的信用越好，信贷风险也就越小，贷款企业的信用越差，信贷风险越高。附件1中各企业的守约率 $P_i$ 如下表： + +表 2 附件 1 中各企业的守约率 $p$ + +
E1E2E3E4E5E6E7
0.9118680.9244530.6976780.7770310.8311520.9300190.935032
E8E9E10E11E12E13E14
0.9386540.9202640.8587130.6399520.8116390.9098880.753185
E15E16E17E18E19E20E21
0.8946650.8920420.933540.9350970.9087270.8753410.866861
...
E117E118E119E120E121E122E123
0.2616920.4859330.2965860.3246740.2852890.3509730.251285
+ +注：由于全部表格过大，此处只放了部分数据。详细表格数据见附录？ + +# 5.3 建立有信贷记录的银行多目标规划模型 + +# 5.3.1 决策变量的确定 + +记银行对企业 $i$ 放贷的金额（单位：万元）为 $x_{i}$ ；银行对企业 $i$ 放贷的年利率为 $r_i$ 其中 $i$ 表示第 $i$ 种企业（ $i = 1,2,\ldots,123$ ）。 + +# 5.3.2 目标函数的确定 + +由于题目要求给出银行年度信贷总额固定时对这123家企业的信贷策略。从银行的角度来看，他们更愿意贷款给风险较小的企业，与此同时，银行也希望自己的收益尽可能多。 + +# $\spadesuit$ 总体风险的刻画 + +根据假设3，总体风险用银行所放贷的金额 $x_{i}$ 中最大的一个风险来衡量，放贷的风险率我们将其转化为企业守约率来表达，即： + +$$ +\max \left\{\left(1 - p _ {i}\right) x _ {i} \mid i = 1, 2, \dots , 1 2 3 \right\} \tag {2} +$$ + +# $\spadesuit$ 银行年净收益的刻画 + +银行给企业 $i$ 放贷金额为 $x_{i}$ 时的净收益为： + +$$ +\left[ r _ {i} - \left(1 - p _ {i}\right) \right] x _ {i} \tag {3} +$$ + +所以我们确定以银行年净收益尽可能大，年总体风险尽可能小为目标，如下： + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max \sum_ {i = 1} ^ {1 2 3} \left[ r _ {i} - \left(1 - p _ {i}\right) \right] x _ {i} \\ \min \max \left\{\left(1 - p _ {i}\right) x _ {i} \right\} \end{array} \right. \tag {4} +$$ + +# 5.3.3 约束条件的确定 + +约束条件一：银行总放贷额度的限制。 + +由于题目已知银行对确定要放贷的贷款额度为10~100万元，所以对所有确定要发放贷款之和应该满足： + +$$ +1 2 3 0 \leq \sum_ {i = 1} ^ {1 2 3} x _ {i} \leq 1 2 3 0 0 \tag {5} +$$ + +约束条件二：银行对各个企业放贷额度的限制。 + +$$ +1 0 \leq x _ {i} \leq 1 0 0, \text {银 行 对 企 业} i \text {放 贷} \tag {6} +$$ + +约束条件三：各个企业贷款的年利率限制。 + +已知银行贷款的年利率的范围为： $4\% \sim 15\%$ + +$$ +4 \% \leq r _ {i} \leq 15 \% \tag{7} +$$ + +约束条件四：贷款利率对不同信誉等级客户的流失率限制。 + +利用MATLAB软件对贷款年利率和客户流失率的函数关系拟合，得出不同信誉等级均遵守拟合出的函数关系（见图4） + +![](images/9a2a259f6eef1aa650432d367f2a8a6e74934e247c129b33649b01c08a9d6cf1.jpg) +图4各信誉级别的客户的流失率随贷款的年利率变化的趋势图 + +对图4、附件3中sheet1中的相关数据及函数进行分析可以得出：贷款年利率为0.0905-0.0985时，不同信誉等级的客户的流失率变化不大。因此，贷款利率对不同信誉等级客户的流失率限制： + +$$ +0 \leq y _ {i} \leq 0. 7 0 8 3 0 2 0 2 3 \Rightarrow 0 \leq 2. 2 3 8 6 + 0. 6 6 9 \ln r _ {i} \leq 0. 7 0 8 3 0 2 0 2 3 \tag {8} +$$ + +约束条件五：银行有盈利约束。 + +在查找了不同银行有关贷款利率和存款利率的相关数据后，我们发现：银行的最高存款利率是死期一年： $1.5\%$ ，但银行一年的贷款利率是 $4.75\%$ ，所以从利率方面来看，该银行始终处于盈利状态，即该约束恒成立。 + +约束条件六：银行对企业 $j$ 放贷的金额不为负。 + +$$ +x _ {i} \geq 0, i = 1, 2, \dots , 1 2 3 +$$ + +综上所述，建立多目标规划模型如下： + +$$ +\begin{array}{l}\left\{\max \sum_{i = 1}^{123}[r_i - (1 - p_i)]x_i\right.\\ \min \max \{(1 - p_i)x_i\} \\ s.t.\left\{ \begin{array}{l}10\leq x_i\leq 100\\ 1230\leq \sum_{i = 1}^{123}x_i\leq 12300\\ 4\% \leq r_i\leq 15\% \\ x_i\geq 0 \end{array} \right. \end{array} \tag{9} +$$ + +# 5.4 计算步骤 + +Step1：定义一个总体 $X$ 为离散型的最大似然函数 $L(\alpha) = \prod_{j=1}^{n} p(x_{1j};\alpha)$ ；并对其两边同时取对数得到 $\ln L(\beta) = \sum_{i=1}^{n} \ln p(x_{1i};\beta)$ ； + +Step2：首先对对数似然函数的各个权重求偏导，其次令之为0即可得到最大似然估计值，即 $\beta_0 = 0.9347$ 、 $\beta_{1} = -11.163$ 、 $\beta_{2} = 0.3755$ 、 $\beta_{3} = -0.9628$ 、 $\beta_{4} = -1.7819\mathrm{e} - 10$ 、 $\beta_{5} = -0.0512$ 、 $\beta_{6} = 4.4326\mathrm{e} - 06$ + +Step3：由最佳回归系数的确定可定出对应的Logistic函数，并将123家企业相关因素的指标值代入该函数中，即可求得123家企业的守约率，见表******； + +Step4：将建立的净收益尽可能大、总体风险尽可能小的多目标规划模型通过固定风险水平、优化收益的手段转化为单目标的线性规划问题；最后利用Lingo软件对上述模型进行计算得到了银行对各企业的贷款额度和贷款利率，具体见表****** + +# 5.5 计算结果 + +利用MATLAB软件对上述模型进行计算得到结果如下表： + +表 3 银行对 123 家有信贷记录的企业的决策 + +
企业企业守约率是否贷款贷款额度（万元）贷款利率贷款期限（年）
E191.1868%是92.06814.9695%1
E292.4453%是93.20084.8310%1
E369.7678%是72.79107.3255%1
……
E12128.5289%否0.00000.0000%0
E12235.0973%否0.00000.0000%0
E12325.1285%否0.00000.0000%0
+ +注：由于全部表格过大，此处只放了部分数据。详细表格数据见附录？ + +# 5.6 结果分析与检验 + +本问中所得的贷款额度、贷款利率等结果根本上是基于企业守约率计算得出的，因此企业守约率的准确性是本问所有的结果精确的关键所在，所以下面将就企业守约率的结果进行检验与分析。 + +从经验来看，各企业的守约率很大程度上同其信誉状况成正相关，即信誉得分高，守约率高，反之，信誉得分低，守约率低。我们做出123家有信贷记录企业的信誉分数同守约率的散点关系图，如图所示： + +![](images/fadad2970f85b0fe8d6a2fc9a29dcdc9dd3bd512fa0a487e10de5eb532325f6d.jpg) +图5企业信誉评分分数 + +由图很直观的发现，这是完全符合事实的，因此模型具有一定的合理性； + +但以上的检验毕竟是主观的感受，具有一定的误差性。我们应对其进行进一步的客观描画检验，我们进行了如下的检验： + +首先利用MATLAB软件对6个评价指标（各企业进项、销项发票的作废比例，各企业的信誉状况，净发票总金额，发票金额的变异系数，资金周转率）进行主成分分析，得到相关系数矩阵的前几个特征根及其贡献率大约分别为24.9，21.0，17.3，14.2，12.7， + +9.9；接着选取前5个主成分（累计贡献率达到 $90\%$ 以上）进行综合评价；按照主成分分析法的基本步骤流程，我们依次计算了特征值、特征向量、综合评价值和综合得分；基于此，最后我们绘制出了综合得分和企业守约率的关系散点图，如下图： + +![](images/6d28b4d5ab5ccd8d2dc7b157d8c2b1f18bb97a3d7b603d119e4c73c638573707.jpg) +图6 123家守约率综合得分散点图 + +其表示的含义是随着综合得分的增加，企业守约率也大致呈上升状态，因此，从一定意义上反应出了我们的企业守约率结果的正确与合理性。 + +# 六 内嵌欧式距离信誉等级确立的多目标规划模型——问题二 + +# 6.1 建模思路 + +问题二与问题一相似，其区别在于问题二的数据有一定的缺失（信誉评级和违约记录），所以在解决第二问时需要利用问题一中已有的数据对附件2中的302家企业的信誉等级进行预测，并在已经预测好信用等级的基础上确定每个等级的概率范围。然后采用第一问模型中的信贷风险量化方法。运用Logistic回归方法将302家企业的信贷风险的量化分析转化为对302家企业的守约率大小来量化并建立模型。其余操作类似问题一。 + +# 6.2 建模准备 + +# 6.2.1 数据预处理 + +# $\spadesuit$ 对作废发票进行筛选并删除 + +问题二会用到附件2中的数据，我们需要将其中的作废发票过滤筛除掉。于是我们采用问题一中同样的处理方法将发票状态为作废发票信息筛选出来并剔除掉。 + +# $\spadesuit$ 剔除异常值 + +问题二对附件2的处理同样采取有利于准确稳定地描绘出数据的离散分布情况和数据的处理。因此我们以： + +观察各方盒和线段的长短，我们可以对异常值分布的识别有一定的了解；然后我们按照4个标准差将数据中的异常数据（包括NaN，Inf和异常大小数据）进行了过滤筛选，主要是将离均值超过系数因子4倍标准差判为异常大小，最后通过产生随机数种子，进行结果再现检验均值、标准差结果是否正常。 + +# $\spadesuit$ 筛除发票号相同的发票 + +在Excel表格中，使用数据透视表对发票号码相同的单元格进行筛选统计，若统计出来的数据表格中的值大于1，则说明该发票是无效的，需要将其删除。 + +# 6.2.2 信用等级与违约率的判定 + +在对附件2中的302家企业进行信贷风险量化分析前，首先需要要对302家企业的信誉评级做出判定。通过对附件1中的表格处理数据的分析及各项量化指标与信誉评级的关系发现：各项指标与信誉评价都是离散的，无法构造线性相关方程对其建立函数关系式，也就无法将信誉评级与其他指标相联系。因此，我们算出附件1中企业的各信誉状况下的平均净发票量和附件2中各企业的净发票量，构造两者间的距离关系式，附件2中各企业的净发票量与附件1中企业的哪个信誉状况下的平均净发票量距离近，该企业的信誉评级就是多少。 + +# 建立基于欧式距离的信誉等级确定模型： + +我们通过计算得出302家企业的净发票总金额 $x_{4j}$ ，建立302家无信贷记录企业的净发票总金额 $x_{4j}$ 到123家有信贷记录企业的各信誉状况下的平均净发票总金额 $\overline{x_{4i}}$ 的距离函数，即， $d = \sqrt{x_{4j}^2 - \overline{x_{4i}^2}}$ ，以距离最小 $\min d$ 为目标函数，确定出302家无信贷记录企业相应的信誉等级。（123家企业各信誉状况下的平均净发票总金额 $\overline{x_{4i}}$ 如下表） + +表 4 4 个信誉等级对应的平均发票总金额 + +
信誉等级ABCD
平均净发 票总金额 (元)23191781.526666723681634.641944490799230.78747972604767.66384615
+ +将附件2中的每个企业的平均发票总金额与上表对照比较，可以得到如下的关于302家企业的信誉等级，如下表： + +表 5 302 个企业的信誉等级预测 + +
企业12345678910
信誉等级DBCCCCBCCC
企业11121314151617181920
信誉等级CCDBCCCCBC
......
企业293294295296297298299300301302
信誉等级DDDDDDDDDD
+ +注：由于全部表格过大，此处只放了部分数据。详细表格数据见附录？ + +在对信誉评级判定后，采用第一问模型中的信贷风险量化方法。运用Logistic回归方法将302家企业的信贷风险的量化分析转化为对302家企业的守约率大小来量化并建 + +立模型，企业信用越高，守约率越高，信贷风险越低。在建立对企业的信用风险评价模型时需要：选择指标、收集样本数据和判定违约。在指标的选择上要遵循科学性、全面性、公正性、针对性、合法性、可操作性等原则[2]来构建相应的评价指标体系，评价体系共六个指标（其中 $j = 1,2,\dots,302$ ），相应指标及其相关描述如下表： + +表 6 问题二指标及其相关描述 + +
指标指标描述
各企业进项发票的作废比例x1j比例越低信用越高，信贷风险越低
各企业销项发票的作废比例x2j比例越低信用越高，信贷风险越低
各企业的信誉状况x3j信誉状况越好信用越高，信贷风险越低
净发票总金额x4j金额越大企业资金越充足，企业实力越强
发票金额的变异系数x5j变异系数越低，金额的偏离程度越低，信贷风险也越低；变异系数越高，金额的偏离程度越高，信贷风险也越高。
资金周转率x6j则资金周转率快，周转率越快，资金利用效果越好，企业的信用越高风险越低
+ +通过相关数据建立Logistic回归模型，通过指标拟合出回归方程中指标的相关系数。建立的模型为： + +$$ +\ln \frac {p _ {j}}{1 - p _ {j}} = \alpha_ {0} + \alpha_ {1} x _ {1 j} + \alpha_ {2} x _ {2 j} + \alpha_ {3} x _ {3 j} + \alpha_ {4} x _ {4 j} + \alpha_ {5} x _ {5 j} + \alpha_ {6} x _ {6 j} \tag {10} +$$ + +其中， $p_j$ 为企业的守约率， $1 - p_{j}$ 为信贷风险损失率。计算出系数值见下表： + +表 7 回归系数 $\alpha$ 的值 + +
α0α1α2α3α4α5α6
0.9146-7.66340.0054-0.1008-2.7541*10-9-0.02334.4710*10-5
+ +（计算得出的详细公式和求出系数的程序见附录？） + +# 6.3 建立无信贷记录的银行多目标规划模型 + +在给出该银行对这些企业的信贷政策时，在第一问建立的模型基础上，以银行年净收益尽可能大、年总体风险尽可能小为目标，建立多目标规划模型，以求出银行对企业的信贷政策。 + +# 6.3.1 决策变量的确定 + +记 $r_j$ 为银行对企业 $j$ 放贷的年利率； $x_j$ 为银行对企业 $j$ 放贷的金额（单位：万元），其中 $j$ 表示第 $j$ 种企业（ $j = 1,2,\dots,302$ ）。 + +# 6.3.2 目标函数的确定 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max \sum_ {j = 1} ^ {3 0 2} \left[ r _ {j} - \left(1 - p _ {j}\right) \right] x _ {j}, j = 1, 2, \dots , 3 0 2 \\ \min \max \left\{\left(1 - p _ {j}\right) x _ {j} \right\} \end{array} \right. \tag {11} +$$ + +# 6.3.3 约束条件的确定 + +约束条件一：银行对各个企业放贷额度的限制。 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} 1 0 \leq x _ {j} \leq 1 0 0, \text {银 行 对 企 业} j \text {放 贷} \\ 0, \text {银 行 对 企 业} j \text {不 放 贷} \end{array} \right. \tag {12} +$$ + +约束条件二：银行总放贷额度的限制。 + +$$ +3 0 2 0 \leq \sum_ {j = 1} ^ {3 0 2} x _ {j} \leq 1 0 0 0 0 \tag {13} +$$ + +约束条件三：各个企业贷款的年利率限制。 + +$$ +4 \% \leq r _ {j} \leq 15 \% \tag{14} +$$ + +约束条件四：贷款利率对不同信誉等级客户的流失率限制。 + +$$ +0 \leq y _ {i} \leq 0. 7 0 8 3 0 2 0 2 3 \Rightarrow 0 \leq 2. 2 3 8 6 + 0. 6 6 9 \ln r _ {i} \leq 0. 7 0 8 3 0 2 0 2 3 +$$ + +约束条件五：银行对企业 $j$ 放贷的金额不为负。 + +$$ +x _ {j} \geq 0, j = 1, 2, \dots , 3 0 2 \tag {15} +$$ + +综上所述，建立多目标规划模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \max \sum_ {j = 1} ^ {3 0 2} \left[ r _ {j} - \left(1 - p _ {j}\right) \right] x _ {j}, j = 1, 2, \dots , 3 0 2 \\ \min \max \left\{\left(1 - p _ {j}\right) x _ {j} \right\} \end{array} \right. \\ s. t, \left\{ \begin{array}{l} 1 0 \leq x _ {j} \leq 1 0 0 \\ 3 0 2 0 \leq \sum_ {j = 1} ^ {3 0 2} x _ {j} \leq 1 0 0 0 0 \\ 0 \leq y _ {i} \leq 0. 7 0 8 3 0 2 0 2 3 \Rightarrow 0 \leq 2. 2 3 8 6 + 0. 6 6 9 \ln r _ {i} \leq 0. 7 0 8 3 0 2 0 2 3 \\ x _ {j} \geq 0, j = 1, 2, \dots , 3 0 2 \end{array} \right. \tag {16} \\ \end{array} +$$ + +# 6.4 计算步骤 + +Step1: 计算得出 123 家有信贷记录企业的各信誉状况下的平均净发票总金额 $\overline{x_{4i}}$ 的矩阵 (23191781.5266667,23681634.6419444,90799230.7874797,2604767.66384615), 再计算得出 302 家无信贷记录企业的净发票总金额 $x_{4j}$ , 具体见表******; + +Step2: 建立302家无信贷记录企业的净发票总金额 $x_{4j}$ 到123家有信贷记录企业的各信誉状况下的平均净发票总金额 $\overline{x_{4i}}$ 的距离函数，即 $d = \sqrt{x_{4j}^2 - \overline{x_{4i}^2}}$ ，以距离最小为目标函数，确定出302家无信贷记录企业相应的信誉等级，具体见表******； + +Step3:类似于问题一的计算过程，构造出最大似然函数 $L(\alpha) = \prod_{j=1}^{n} p(x_{1j};\alpha)$ ，由此确定出最佳回归系数 $\alpha_0 = 0.9146$ 、 $\alpha_1 = -7.6634$ 、 $\alpha_2 = 0.0054$ 、 $\alpha_3 = -0.1008$ 、 $\alpha_4 = -2.7541e - 09$ 、 $\alpha_5 = -0.0233$ 、 $\alpha_6 = 4.4710e - 05$ ； + +Step4:剩余计算步骤同第一问的计算过程类似，具体结果见表******。 + +# 6.5 计算结果 + +利用MATLAB软件对上述模型进行计算得到结果如下表： + +表 8 问题二银行决策方案 + +
企业企业守约率是否贷款贷款额度(万元)贷款利率贷款期限(年)
E154.7210%否00.0000%0
E260.7320%是64.658822548.3195%1
E383.4499%是85.104952265.8205%1
·········
E30056.4983%否00.0000%0
E30154.9393%否00.0000%0
E30292.4893%否00.0000%0
+ +注：由于全部表格过大，此处只放了部分数据。详细表格数据见附录？ + +由上表可以直接看出银行对各个企业的决策：是否贷款、贷款额度和贷款利率。 + +# 6.6 结果分析与检验 + +类似问题一的结果检验与分析的操作步骤，我们绘制出了综合得分和企业守约率的关系散点图，如下： + +![](images/299ec94b99b288d277f107f96b3c3cff1d78cd1e3e18414690dfeb3965ff8d5f.jpg) +图7302家守约率综合得分散点图 + +其表示的含义是随着综合得分的增加，企业的守约率也大致呈上升状态，这在一定意义上反应出了我们的企业守约率结果的正确与合理性。 + +# 七考虑突发因素的信贷决策问题——问题三 + +# 7.1 建模思路 + +问题三需要在前两问的基础上，考虑突发因素对企业生产经营和经济效益的影响，针对不同行业、不同类别的企业进行分析，我们分别根据附件2中的企业名称和对企业进行行业分类与中、小、微型企业的判别。 + +# 7.2 建模准备 + +# 7.2.1 关于不同类别、不同行业的分析 + +在疫情期间，政府出台了不少的政府扶持政策，其中就有银行的相关扶持政策（以四川为例）。《四川省人民政府办公厅关于应对新型冠状病毒肺炎疫情缓解中小企业生产经营困难的政策措施》中，小微企业存量贷款疫情防控期间到期办理续贷或展期，利率按原合同利率下浮 $10\%$ ，新增贷款利率下浮 $10\%$ 。因此，银行给企业放贷业 $j$ 放贷的年利率 $r_j$ 降低为 $(1 - 10\%) r_j$ 。 + +在国家统计局官方网站收集的数据发现：疫情对不同行业的影响不同，疫情给批发零售、住宿餐饮、交通运输、文体娱乐、房地产等行业带来较大冲击；对线上教育、信息技术产业、金融业却带来一定的利好与机遇。若将行业分为线上和线下企业，那么线上企业基本没有影响，线下的企业除个体经营户外几乎都收到了影响且持续的时间较[5]。因此，不同行业的企业的营业能力、现金流减少，评价信贷风险的指标也发生相应的改变，例如；净发票总金额、资金周转率发生改变。 + +# 7.2.2 评价指标的构造 + +由于疫情的影响，评价指标中的发票总金额发生改变。通过新闻的报道及对四川中小微型企业进行了网络问卷调查发现：线上教育、信息技术产业、电商业大致没有发生 + +变化，其他行业均发生变化，如：中型企业平均下降 $20\%$ ；小型企业平均下降 $15\%$ ；微型企业平均下降 $5\%$ （受到的影响较小）；发票金额也发生改变，资金的周转率也发生变化（与发票总金额改变的规律大致相同）。因此，我们对附件2的数据再次进行了数据处理。（处理如图/表/附件？） + +在重新进行完数据处理与指标改进完善后，我们依旧套用Logistic回归方法将302家企业的信贷风险的量化分析转化为对302家企业的守约率大小来量化并建立模型，企业信用越高，守约率越高，信贷风险越低。评价体系共6个指标，后文用表示 $x_{ij}^{\prime}(t = 1,2,\dots ,$ （其中 $j = 1,2,\ldots ,302)$ ，指标及其描述如表9： + +表 9 问题三指标及其相关描述 + +
指标指标描述
各企业进项发票的作废比例x'1j比例越低信用越高，信贷风险越低
各企业销项发票的作废比例x'2j比例越低信用越高，信贷风险越低
各企业的信誉状况x'3j信誉状况越好信用越高，信贷风险越低
净发票总金额x'4j金额越大企业资金越充足，企业实力越强
发票金额的变异系数x'5j变异系数越低，金额的偏离程度越低，信贷风险也越低；变异系数越高，金额的偏离程度越高，信贷风险也越高。
资金周转率x'6j则资金周转率快，周转率越快，资金利用效果越好，企业的信用越高风险越低
+ +通过相关数据建立logistic回归模型，通过指标拟合出回归方程中指标的相关系数。建立模型如下： + +$$ +\ln \frac {p ^ {\prime} {} _ {j}}{1 - p ^ {\prime} {} _ {j}} = \gamma_ {0} + \gamma_ {1} x ^ {\prime} {} _ {1 j} + \gamma_ {2} x ^ {\prime} {} _ {2 j} + \gamma_ {3} x ^ {\prime} {} _ {3 j} + \gamma_ {4} x ^ {\prime} {} _ {4 j} + \gamma_ {5} x ^ {\prime} {} _ {5 j} + \gamma_ {6} x ^ {\prime} {} _ {6 j} \tag {17} +$$ + +则有： $p_{j}^{\prime} = \frac{1}{1 + e^{-(\gamma_{0} + \gamma_{1}x_{1j}^{\prime} + \gamma_{2}x_{2j}^{\prime} + \gamma_{3}x_{3j}^{\prime} + \gamma_{4}x_{4j}^{\prime} + \gamma_{5}x_{5j}^{\prime} + \gamma_{6}x_{6j}^{\prime})}}$ ，其中， $p_{j}^{\prime}$ 为企业的守约率， $1 - p_{j}^{\prime}$ 为疫情影响下的信贷风险损失率。计算出系数值见下表： + +表 10 回归系数 $\gamma$ 的值 + +
γ0γ1γ2γ3γ4γ5γ6
0.9113-1.64090.0111-0.1042-2.8238*10^-9-0.02435.3738*10^-5
+ +通过对上述公式求出302家企业的守约率分析得出， $p'$ 值越接近1，则申请贷款企业信用较好， $p'$ 值越接近0，则申请贷款企业信用较差。贷款企业的信用越好，信贷风险也就越小，贷款企业的信用越差，信贷风险越高。 + +# 7.3 建立突发因素下的无信贷记录的银行多目标规划模型 + +企业的营业能力下降，现金流减少。面对这些问题，我们将问题2的模型做出改进 + +与完善。 + +# 7.3.1 决策变量的确定 + +记 $r_{j}$ 为银行对企业 $j$ 放贷的年利率； $x_{j}$ 为银行对企业 $j$ 放贷的金额；（其中 $j$ 表示第 $j$ 种企业（ $j = 1,2,\dots ,302)$ ）。 + +# 7.3.2 目标函数的确定 + +$$ +\left\{ \begin{array}{l} \max \sum_ {j = 1} ^ {302} \left[ r _ {j} \left(1 - 10 \%\right) - \left(1 - p ^ {\prime} {}_{j}\right) \right] x _ {j} \\ \min \max \left\{\left(1 - p ^ {\prime} {}_{j}\right) x _ {j} \right\} \end{array} \right. \tag{18} +$$ + +# 7.3.3 约束条件的确定 + +约束条件一：银行对各个企业放贷额度的限制。 + +$$ +1 0 \leq x _ {j} \leq 1 0 0 \tag {19} +$$ + +约束条件二：银行总放贷额度的限制。 + +$$ +3 0 2 0 \leq \sum_ {j = 1} ^ {3 0 2} x _ {j} \leq 1 0 0 0 0 \tag {20} +$$ + +约束条件三：各个企业贷款的年利率限制。 + +$$ +4 \% \cdot (1 - 10 \%)\leq r _ {j}\leq 15 \% \cdot (1 - 10 \%) \tag{21} +$$ + +约束条件四：贷款利率对不同信誉等级客户的流失率限制 + +$$ +0 \leq y _ {i} \leq 0. 7 0 8 3 0 2 0 2 3 \Rightarrow 0 \leq 2. 2 3 8 6 + 0. 6 6 9 \ln r _ {i} \leq 0. 7 0 8 3 0 2 0 2 3 \tag {22} +$$ + +约束条件五：决策变量的类型与范围约束。 + +$$ +x _ {j} \geq 0, j = 1, 2, \dots , 3 0 2 \tag {23} +$$ + +综上所述：建立多目标规划模型如下： + +$$ +\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \max \sum_ {j = 1} ^ {302} \left[ r _ {j} (1 - 10 \%) - \left(1 - p ^ {\prime} _ {j}\right) \right] x _ {j} \\ \min \max \left\{\left(1 - p ^ {\prime} _ {j}\right) x _ {j} \right\} \end{array} \right. \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} 10 \leq x _ {j} \leq 100 \\ 4 \% \cdot (1 - 10 \%) \leq r _ {j} \leq 15 \% \cdot (1 - 10 \%) \\ 3020 \leq \sum_ {j = 1} ^ {302} x _ {j} \leq 10000 \\ 0 \leq y _ {i} \leq 0.708302023 \Rightarrow 0 \leq 2.2386 + 0.669 \ln r _ {i} \leq 0.708302023 \\ x _ {j} \geq 0, j = 1, 2, \dots, 302 \end{array} \right. \tag{24} \\ \end{array} +$$ + +# 7.4 计算步骤 + +Step1: 根据查阅出的政府信贷政策以及大中小微企业划分标准，首先对302家企业进行等级划分，其次根据划分等级和第二问的302家企业相关因素的指标值完成该问的评价指标的构造； + +Step2: 定义一个总体 $X$ 为离散型的最大似然函数 $L(\gamma) = \prod_{j=1}^{n} p(x_{1j}', \gamma)$ ; 并对其两边同时取对数得到 $\ln L(\gamma) = \sum_{j=1}^{n} \ln p(x_{1j}', \gamma)$ ; + +Step3: 首先对对数似然函数的各个权重求偏导，其次令之为0即可得到最大似然估计值，即 $\gamma_0 = 0.9113$ 、 $\gamma_1 = -1.6409$ 、 $\gamma_2 = 0.0111$ 、 $\gamma_3 = -0.1042$ 、 $\gamma_4 = -2.8238e - 09$ 、 $\gamma_5 = -0.0243$ 、 $\gamma_6 = 5.3738e - 05$ ； + +Step4: 由最佳回归系数的确定即可定出对应的logistic函数，并将302家企业相关因素的指标值代入该函数中，即可求得突发因素影响下的302家无信贷企业的守约率，见表****； + +Step5: 将所建立的净收益尽可能大，总体风险尽可能小的多目标规划模型，通过固定风险水平，优化收益的手段将其转化为单目标的线性规划问题；最后利用Lingo软件对上述模型进行计算得到了银行对各企业的贷款额度和贷款利率，具体见表******。 + +# 7.5 计算结果 + +利用MATLAB软件对上述模型进行计算得到结果如下表： + +
企业企业守约率是否贷款贷款额度（万元）贷款利率贷款期限（年）
E133.0282%否0.00000.0000%0
E241.4379%是47.294110.4418%1
E364.6708%是68.20377.8862%1
……
E30035.5959%否0.00000.0000%0
E30134.5768%否0.00000.0000%0
E30245.9041%否0.00000.0000%0
+ +由上表可以直接看出银行对各个企业的决策：是否贷款、贷款额度和贷款利率。 + +# 7.6 结果分析与检验 + +类似以上两个问题对结果的检验与分析，最终我们可以得到该模型是合理的。 + +# 八 模型评价与推广 + +# 10.1 模型优点 + +本文在建模之前都对数据进行了预处理，使得数据更加真实可靠。 +本文利用欧式距离来确定信誉等级，是本文模型的创新与独到之处。 +本文在解决问题时，套用的模型较为简单、易于理解，简化了问题的求解难度。 + +# 10.2 模型缺点 + +本题的数据量较大，但解决本题时没有用专门的数据处理软件，到时操作繁琐，等待时间较长。 +银行在评判顾客的信誉等级时，通常还会对借款人的经营实力进行评价、经营环境进行评估以及管理能力评估，但由于此时的数据种类有限，不能保证数据的评级完全合理。 +在问题二的模型中，由于问题二缺少数据，所以我们通过分析附件1中的数据得到了近似的附件二中的数据，此时的数据可能存在误差。 + +# 10.3 模型的推广 + +该模型该可以运用到银行面对的其他对象的等级判定 +该模型还可以运用到生活的其他方面，例如在人力资源市场选人时可以进行初步判定与筛选。 + +# 参考文献 + +[1]周民志.商业银行小企业信贷工作策略研究.商场现代化,2007(11Z):362-363.熊熊,马佳,赵文杰,王小琰,张今.供应链金融模式下的信用风险评价[J].南开管理评论,2009,12(04):92-98+106. +[3] 搜狗百科 资金周转率.[2020-06-19](2020-09-13).[EB/OL]https://baike.sogou.com/v430553.htm?fromTitle=%E8%B5%84%E9%87%91%E5%91%A8%E8%BD%AC%E7%8E%87 +[4]百度百科. 变异系数（2020-04-28）[EB/OL].https://baike.sogou.com/v1272795.htm?fromTitle=%E5%8F%98%E5%BC%82%E7%B3%BB%E6%95%B0] +[5] 国家统计局.关于印发《统计上大中小微型企业划分办法(2017)》的通知.[2018-01-03](2020-09-13).[EB/OL]http://www.stats.gov.cn/tjgz/tzgb/201801/t20180103_1569254.html + +# 九附录 + +附录一：附件1中的123家企业的信贷风险分析 + +
E1E2E3E4E5E6E7
0.9118680.9244530.6976780.7770310.8311520.9300190.935032
E8E9E10E11E12E13E14
0.9386540.9202640.8587130.6399520.8116390.9098880.753185
E15E16E17E18E19E20E21
0.8946650.8920420.933540.9350970.9087270.8753410.866861
E22E23E24E25E26E27E28
0.9327940.8233840.9083290.5852660.9212160.9178080.874552
E29E30E31E32E33E34E35
0.4599670.7788830.9073590.7723250.9160640.8997720.83894
E36E37E38E39E40E41E42
0.4095910.8141030.8279890.5884280.6220650.6280390.886989
E43E44E45E46E47E48E49
0.9230210.5847310.5814890.5946320.62350.9070260.607689
E50E51E52E53E54E55E56
0.727630.7456380.3848370.6383440.9360110.742070.642057
E57E58E59E60E61E62E63
0.8526430.8196450.9118810.7753830.7768460.7778230.800873
E64E65E66E67E68E69E70
0.8857680.7800330.7587950.7989630.5030140.5109070.795634
E71E72E73E74E75E76E77
0.8336260.6186020.5615640.7363460.6049420.7799950.580591
E78E79E80E81E82E83E84
0.5122740.7602610.6595830.9124580.3307150.8583640.899904
E85E86E87E88E89E90E91
0.7754380.5443250.3615850.878360.9123430.5847570.928782
E92E93E94E95E96E97E98
0.5483530.7914280.5242250.7237930.5416530.7339540.792085
E99E100E101E102E103E104E105
0.3739930.296150.2771180.3553680.3461240.5052540.520966
E106E107E108E109E110E111E112
0.7959230.2749170.3090130.2645230.4895480.4702860.364224
E113E114E115E116E117E118E119
0.3238820.5362240.2618990.2802620.2616920.4859330.296586
E120E121E122E123
0.3246740.2852890.3509730.251285
+ +附录二：问题一的银行决策 + +
问题一的银行决策
企业企业守约率是否贷款贷款额度（万元）贷款利率贷款期限（年）
E191.1868%是92.06814.9695%1
E292.4453%是93.20084.8310%1
E369.7678%是72.79107.3255%1
E477.7031%是79.93286.4527%1
E583.1152%是84.80375.8573%1
E693.0019%是93.70174.7698%1
E793.5032%是94.15294.7146%1
E893.8654%是94.47884.6748%1
E992.0264%是92.82374.8771%1
E1085.8713%是87.28425.5542%1
E1163.9952%是67.59577.9605%1
E1281.1639%是83.04756.0720%1
E1390.9888%是91.89004.9912%1
E1475.3185%是77.78676.7150%1
E1589.4665%是90.51995.1587%1
E1689.2042%是90.28385.1875%1
E1793.3540%是94.01864.7311%1
E1893.5097%是94.15884.7139%1
E1990.8727%是91.78545.0040%1
E2087.5341%是88.78075.3712%1
E2186.6861%是88.01755.4645%1
E2293.2794%是93.95144.7393%1
E2382.3384%是84.10465.9428%1
E2490.8329%是91.74965.0084%1
E2558.5266%是62.67398.5621%1
E2692.1216%是92.90954.8666%1
E2791.7808%是92.60274.9041%1
E2887.4552%是88.70965.3799%1
E2945.9967%否0.00000.0000%0
E3077.8883%是80.09946.4323%1
E3190.7359%是91.66235.0191%1
E3277.2325%是79.50936.5044%1
E3391.6064%是92.44574.9233%1
E3489.9772%是90.97955.1025%1
E3583.8940%是85.50465.7717%1
E3640.9591%否0.00000.0000%0
E3781.4103%是83.26926.0449%1
E3882.7989%是84.51905.8921%1
E3958.8428%是62.95858.5273%1
E4062.2065%是65.98598.1573%1
E4162.8039%是66.52358.0916%1
E4288.6989%是89.82905.2431%1
E4392.3021%是93.07194.8468%1
E4458.4731%是62.62588.5680%1
E4558.1489%是62.33408.6036%1
E4659.4632%是63.51698.4590%1
E4762.3500%是66.11508.1415%1
E4890.7026%是91.63235.0227%1
E4960.7689%是64.69208.3154%1
E5072.7630%是75.48676.9961%1
E5174.5638%是77.10746.7980%1
E5238.4837%否0.00000.0000%0
E5363.8344%是67.45107.9782%1
E5493.6011%是94.24104.7039%1
E5574.2070%是76.78636.8372%1
E5664.2057%是67.78527.9374%1
E5785.2643%是86.73795.6209%1
E5881.9645%是83.76815.9839%1
E5991.1881%是92.06934.9693%1
E6077.5383%是79.78456.4708%1
E6177.6846%是79.91616.4547%1
E6277.7823%是80.00416.4439%1
E6380.0873%是82.07866.1904%1
E6488.5768%是89.71915.2566%1
E6578.0033%是80.20306.4196%1
E6675.8795%是78.29166.6533%1
E6779.8963%是81.90666.2114%1
E6850.3014%是55.27139.4668%1
E6951.0907%是55.98169.3800%1
E7079.5634%是81.60706.2480%1
E7183.3626%是85.02645.8301%1
E7261.8602%是65.67428.1954%1
E7356.1564%是60.54088.8228%1
E7473.6346%是76.27116.9002%1
E7560.4942%是64.44488.3456%1
E7677.9995%是80.19956.4201%1
E7758.0591%是62.25328.6135%1
E7851.2274%是56.10469.3650%1
E7976.0261%是78.42356.6371%1
E8065.9583%是69.36257.7446%1
E8191.2458%是92.12124.9630%1
E8233.0715%否0.00000.0000%0
E8385.8364%是87.25285.5580%1
E8489.9904%是90.99145.1011%1
E8577.5438%是79.78946.4702%1
E8654.4325%是58.98929.0124%1
E8736.1585%否0.00000.0000%0
E8887.8360%是89.05245.3380%1
E8991.2343%是92.11094.9642%1
E9058.4757%是62.62818.5677%1
E9192.8782%是93.59044.7834%1
E9254.8353%是59.35178.9681%1
E9379.1428%是81.22856.2943%1
E9452.4225%是57.18029.2335%1
E9572.3793%是75.14137.0383%1
E9654.1653%是58.74889.0418%1
E9773.3954%是76.05596.9265%1
E9879.2085%是81.28776.2871%1
E9937.3993%否0.00000.0000%0
E10029.6150%否0.00000.0000%0
E10127.7118%否0.00000.0000%0
E10235.5368%否0.00000.0000%0
E10334.6124%否0.00000.0000%0
E10450.5254%是55.47289.4422%1
E10552.0966%是56.88709.2694%1
E10679.5923%是81.63306.2449%1
E10727.4917%否0.00000.0000%0
E10830.9013%否0.00000.0000%0
E10926.4523%否0.00000.0000%0
E11048.9548%是54.05939.6150%1
E11147.0286%否0.00000.0000%0
E11236.4224%否0.00000.0000%0
E11332.3882%否0.00000.0000%0
E11453.6224%否0.00000.0000%0
E11526.1899%否0.00000.0000%0
E11628.0262%否0.00000.0000%0
E11726.1692%否0.00000.0000%0
E11848.5933%否0.00000.0000%0
E11929.6586%否0.00000.0000%0
E12032.4674%否0.00000.0000%0
E12128.5289%否0.00000.0000%0
E12235.0973%否0.00000.0000%0
E12325.1285%否0.00000.0000%0
+ +附件三：问题二结果 + +
问题二的银行决策
企业企业守约率是否贷款贷款额度（万元）贷款利率贷款期限（年）
E154.7210%否00.0000%0
E260.7320%是64.658822548.3195%1
E383.4499%是85.104952265.8205%1
E480.6977%是82.627930266.1233%1
E563.0202%是66.718146048.0678%1
E671.5436%是74.389223087.1302%1
E745.1196%是50.6076410510.0368%1
E853.4870%是58.13830469.1164%1
E956.2985%是60.668680048.8072%1
E1069.4060%是72.465433757.3653%1
E1160.5843%是64.525835018.3357%1
E1261.1789%是65.061041128.2703%1
E1337.6908%否00.0000%0
E1454.2564%是58.830779759.0318%1
E1544.3821%是49.9438587910.1180%1
E1654.9282%是59.435336358.9579%1
E1770.5633%是73.506960247.2380%1
E1850.1501%是55.13508289.4835%1
E1951.1773%是56.059585269.3705%1
E2044.5064%是50.0557368510.1043%1
E2157.4141%是61.672733828.6844%1
E2248.2926%否00.0000%0
E2352.8701%否00.0000%0
E2441.3759%是47.2382779210.4487%1
E2545.2550%是50.7294666210.0220%1
E2651.5821%是56.423932729.3260%1
E2758.2424%是62.418136618.5933%1
E2850.0451%是55.040607849.4950%1
E2943.7693%是49.3923718810.1854%1
E3080.7079%是82.63713836.1221%1
E3135.9333%否00.0000%0
E3235.5687%否00.0000%0
E3367.5927%是70.833416277.5648%1
E3452.5846%是57.326156969.2157%1
E3562.2965%是66.066865918.1474%1
E3652.0901%是56.881050139.2701%1
E3767.2499%是70.524918087.6025%1
E3874.9940%是77.494579496.7507%1
E3945.7221%否00.0000%0
E4064.0444%是67.639986187.9551%1
E4161.0276%是64.924810618.2870%1
E4255.2151%是59.693629698.9263%1
E4357.2734%是61.546037128.6999%1
E4440.1548%否00.0000%0
E4545.1485%是50.6336483710.0337%1
E4648.0120%是53.21078979.7187%1
E4739.7843%是45.8058629910.6237%1
E4848.1505%是53.335418199.7034%1
E4950.5648%是55.508352369.4379%1
E5038.4024%否00.0000%0
E5152.4315%是57.188352399.2325%1
E5242.7126%否00.0000%0
E5359.6095%是63.648593058.4429%1
E5462.5465%是66.291818868.1199%1
E5544.5858%否00.0000%0
E5656.3750%是60.737538238.7987%1
E5746.9847%是52.286252359.8317%1
E5839.1494%否00.0000%0
E5934.5732%否00.0000%0
E6055.6093%是60.048389568.8830%1
E6142.9141%是48.622684110.2794%1
E6240.3587%是46.3228553210.5605%1
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E6499.7263%否00.0000%0
E6536.4307%否00.0000%0
E6649.8850%是54.896542729.5126%1
E6766.5778%是69.920062747.6764%1
E6838.4051%否00.0000%0
E6972.9724%是75.675153886.9730%1
E7052.7018%是57.431662389.2028%1
E7149.0808%是54.172751069.6011%1
E7245.7226%是51.15029769.9705%1
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E7547.0886%否00.0000%0
E7638.0840%是44.2756311210.8108%1
E7743.4005%否00.0000%0
E7848.4584%否00.0000%0
E7939.0697%是45.1627560310.7023%1
E8053.2256%是57.903017859.1452%1
E8173.4702%是76.123140016.9183%1
E8242.2931%是48.0637824510.3478%1
E8345.8918%是51.302606649.9519%1
E8445.4473%是50.9026000510.0008%1
E8551.8557%否00.0000%0
E8670.6219%是73.559736077.2316%1
E8749.8439%是54.859550869.5172%1
E8855.2600%是59.734015248.9214%1
E8957.4208%是61.678759118.6837%1
E9057.2377%是61.513943188.7039%1
E9168.4644%是71.617948827.4689%1
E9253.7624%是58.386182749.0861%1
E9358.2052%是62.38465678.5974%1
E9499.8091%否00.0000%0
E9590.7726%否00.0000%0
E9668.2841%否00.0000%0
E9745.2756%是50.7480153510.0197%1
E9850.9662%是55.869597869.3937%1
E9976.0022%否00.0000%0
E10047.3975%否00.0000%0
E10131.5966%否00.0000%0
E10247.3688%是52.631951649.7894%1
E10341.5293%否00.0000%0
E10442.9028%否00.0000%0
E10566.0346%是69.431153647.7362%1
E10647.6212%否00.0000%0
E10760.6742%是64.606800158.3258%1
E10846.3856%否00.0000%0
E10944.4608%是50.0146959810.1093%1
E11049.7535%是54.778149429.5271%1
E11145.0628%是50.5564769610.0431%1
E11249.5593%是54.603362569.5485%1
E11375.8987%是78.308794686.6511%1
E11474.9650%否00.0000%0
E11551.6601%是56.494086019.3174%1
E11651.3332%否00.0000%0
E11799.6100%否00.0000%0
E11853.2552%是57.929716869.1419%1
E11999.7978%否00.0000%0
E12044.6339%是50.1704741810.0903%1
E12169.8176%是72.83583697.3201%1
E12258.8167%是62.934986118.5302%1
E12356.6072%是60.946510638.7732%1
E12442.9074%否00.0000%0
E12554.2911%否00.0000%0
E12636.5712%是42.9141075510.9772%1
E12764.1344%是67.7209327.9452%1
E12853.9571%否00.0000%0
E12945.2684%是50.7415813610.0205%1
E13060.1185%否00.0000%0
E13151.4167%是56.275025169.3442%1
E13249.2573%是54.331581899.5817%1
E13342.4228%是48.1805587810.3335%1
E13451.9523%否00.0000%0
E13546.3625%是51.726257029.9001%1
E13662.5604%是66.30433968.1184%1
E13750.7014%否00.0000%0
E13851.8302%否00.0000%0
E13938.4737%否00.0000%0
E14071.5164%是74.36473137.1332%1
E14199.8170%否00.0000%0
E14259.0918%否00.0000%0
E14349.8185%是54.836686359.5200%1
E14458.7374%是62.863693248.5389%1
E14546.6643%是51.997899629.8669%1
E14661.6901%是65.521057498.2141%1
E14772.2973%是75.067547457.0473%1
E14868.4903%否00.0000%0
E14946.7173%否00.0000%0
E15040.8959%是46.8063506410.5014%1
E15151.4362%否00.0000%0
E15271.7409%是74.566803237.1085%1
E15367.4073%否00.0000%0
E15441.7406%否00.0000%0
E15541.3689%否00.0000%0
E15637.7072%否00.0000%0
E15741.1174%否00.0000%0
E15842.4966%否00.0000%0
E15978.2173%否00.0000%0
E16034.2715%否00.0000%0
E16144.0383%否00.0000%0
E16271.1804%是74.062386447.1702%1
E16372.2463%否00.0000%0
E16454.5675%否00.0000%0
E16570.0889%否00.0000%0
E16649.0594%是54.153465049.6035%1
E16759.4958%是63.546240298.4555%1
E16866.2586%否00.0000%0
E16934.4108%否00.0000%0
E17045.1472%否00.0000%0
E17163.1123%是66.801082228.0576%1
E17262.5612%否00.0000%0
E17352.7258%否00.0000%0
E17451.3788%否00.0000%0
E17553.9562%否00.0000%0
E17646.3732%否00.0000%0
E17750.3996%否00.0000%0
E17841.4196%否00.0000%0
E17948.0088%否00.0000%0
E18060.4402%是64.396138098.3516%1
E18142.9725%否00.0000%0
E18254.9260%是59.433422948.9581%1
E18355.0011%否00.0000%0
E18456.7319%否00.0000%0
E18566.1760%否00.0000%0
E18664.0657%否00.0000%0
E18739.4529%否00.0000%0
E18850.9907%否00.0000%0
E18931.6827%否00.0000%0
E19039.9835%否00.0000%0
E19154.3357%否00.0000%0
E19235.1300%否00.0000%0
E19349.8977%否00.0000%0
E19462.2559%否00.0000%0
E19556.5536%否00.0000%0
E19642.3286%否00.0000%0
E19740.1566%否00.0000%0
E19857.0523%否00.0000%0
E19938.5692%否00.0000%0
E20079.9091%否00.0000%0
E20157.5437%否00.0000%0
E20237.2351%否00.0000%0
E20345.2271%否00.0000%0
E20442.6392%否00.0000%0
E20552.5143%否00.0000%0
E20629.3541%否00.0000%0
E20731.0958%否00.0000%0
E20842.1989%否00.0000%0
E20941.6929%是47.5236385610.4138%1
E21047.1977%否00.0000%0
E21140.1795%否00.0000%0
E21266.0936%否00.0000%0
E21346.6152%否00.0000%0
E21448.0923%否00.0000%0
E21545.6142%否00.0000%0
E21637.5467%否00.0000%0
E21760.3916%否00.0000%0
E21843.2890%否00.0000%0
E21960.3951%否00.0000%0
E22039.2626%否00.0000%0
E22138.4410%否00.0000%0
E22255.2627%否00.0000%0
E22340.2590%否00.0000%0
E22464.4449%否00.0000%0
E22537.3558%否00.0000%0
E22630.0401%否00.0000%0
E22753.1455%否00.0000%0
E22854.7070%否00.0000%0
E22949.7998%否00.0000%0
E23056.7999%否00.0000%0
E23146.8562%否00.0000%0
E23239.3389%否00.0000%0
E23331.8521%否00.0000%0
E23440.1389%否00.0000%0
E23551.3380%否00.0000%0
E23640.9426%否00.0000%0
E23757.6826%否00.0000%0
E23872.4462%否00.0000%0
E23945.9343%否00.0000%0
E24070.4050%否00.0000%0
E24146.3652%否00.0000%0
E24254.0178%否00.0000%0
E24338.2774%否00.0000%0
E24443.5267%否00.0000%0
E24581.6224%否00.0000%0
E24640.1222%否00.0000%0
E24736.2222%否00.0000%0
E24864.1755%否00.0000%0
E24944.6136%否00.0000%0
E25033.1999%否00.0000%0
E25162.2528%否00.0000%0
E25237.1993%否00.0000%0
E25356.2696%否00.0000%0
E25484.3344%否00.0000%0
E25561.9678%否00.0000%0
E25685.9830%否00.0000%0
E25750.0411%否00.0000%0
E25828.1552%否00.0000%0
E25929.3531%否00.0000%0
E26050.6096%否00.0000%0
E26157.6370%否00.0000%0
E26297.0865%否00.0000%0
E26362.6483%否00.0000%0
E26444.4388%否00.0000%0
E26547.2386%否00.0000%0
E26631.9964%否00.0000%0
E26728.5625%否00.0000%0
E26845.0568%否00.0000%0
E26951.9041%否00.0000%0
E27049.0466%否00.0000%0
E27199.2695%否00.0000%0
E27283.2401%否00.0000%0
E27342.6995%否00.0000%0
E27477.9142%否00.0000%0
E27530.1636%否00.0000%0
E27667.1015%否00.0000%0
E27745.0100%否00.0000%0
E27894.8294%否00.0000%0
E27951.2936%否00.0000%0
E28053.2885%否00.0000%0
E28178.3354%否00.0000%0
E28292.4273%否00.0000%0
E28372.3731%否00.0000%0
E28479.8769%否00.0000%0
E28563.9504%否00.0000%0
E28649.0938%否00.0000%0
E28731.2715%否00.0000%0
E28881.2250%否00.0000%0
E28943.1932%否00.0000%0
E29061.8850%否00.0000%0
E29168.2748%否00.0000%0
E29230.0311%否00.0000%0
E29343.2145%否00.0000%0
E29429.9074%否00.0000%0
E29552.4510%否00.0000%0
E29630.5589%否00.0000%0
E29746.6936%否00.0000%0
E29834.9588%否00.0000%0
E29947.8419%否00.0000%0
E30056.4983%否00.0000%0
E30154.9393%否00.0000%0
E30292.4893%否00.0000%0
+ +附录四:问题三结果 + +
问题三银行的决策
企业企业守约率是否贷款贷款额度(万元)贷款利率贷款期限(年)
E133.0282%否0.00000.0000%0
E241.4379%是47.294110.4418%1
E364.6708%是68.20377.8862%1
E477.2441%是79.51976.5031%1
E552.1377%是56.92399.2649%1
E656.5446%是60.89028.7801%1
E739.3591%是45.423210.6705%1
E843.0397%是48.735810.2656%1
E944.9106%是50.419610.0598%1
E1044.2666%是49.839910.1307%1
E1150.1756%是55.15809.4807%1
E1243.6908%是49.321710.1940%1
E1330.6767%否0.00000.0000%0
E1441.1376%是47.023810.4749%1
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E28931.9687%否0.00000.0000%0
E29036.2500%否0.00000.0000%0
E29137.2724%否0.00000.0000%0
E29230.1619%否0.00000.0000%0
E29332.0636%否0.00000.0000%0
E29430.0332%否0.00000.0000%0
E29533.5283%否0.00000.0000%0
E29630.8695%否0.00000.0000%0
E29733.1677%否0.00000.0000%0
E29830.4868%否0.00000.0000%0
E29933.5514%否0.00000.0000%0
E30035.5959%否0.00000.0000%0
E30134.5768%否0.00000.0000%0
E30245.9041%否0.00000.0000%0
+ +附录五： + +
文件名: dealdata.m
解决问题: 过滤筛选异常数据。
%对“123家有信贷记录企业的相关数据”表格我们进行了如下的%1、发票状态的处理,将有效发票作为1,将作废发票作为0;%2、通过Matlab将发票状态为作废发票的发票信息过滤筛除掉;%3、按4个标准差将数据中的异常大小数据进行了过滤筛选。%data=xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\123家有信贷记录企业的相关数据.xlsx','进项发票信息','G2:G404');%企业-2017年进货信息%异常数据的处理(默认按4个标准偏差)%去除异常数据,包括NaN,Inf,和异常大小数据function data=trim(data,outval)%data:列状数据,每列来自一个总体%outval:系数因子,离均值超过outval倍标准差被判为异常大小,默认值为4if nargin<2outval=4endoutliers=(isnan(data)|abs(data)&&inf);%筛选出异常字符或者绝对值为无穷大的作为异常数据[n,m]=size(data);if m>1,data(any(outliers),::)=[[];else,data找到了(outliers),::)=[[];end[n,m]=size(data);mu=mean(data);sigma=std(data);outliers=(abs(data-ones(n,1)*mu)>outval*ones(n,1)*sigma);if m>1data(any(outliers),::)=[[];else,data找到了(outliers),::)=[[];endclearcargrund default;%设定随机数种子,结果可再现
+ +```matlab +c=normrnd(10,2,1000,1); +%1000个正态分布N（10,2^2随机数） +c(1)=NaN;c(2)=c(2)*1000; +%假设两个数出了异常差错，一个NaN，一个放大10000倍 +mean(c),nanmean(c) +trimmean(c,2)%trimmean忽略上下各1%数据的均值 +ct=trim(2);mean(ct),std(ct)%清除异常数据，检验均值、标准差结果是否正常 +``` + +```matlab +文件名：xxt.m +解决问题：将数据可视化，方便处理。 +data = xlslread('C:\Users\Administrator\Desktop\123家有信贷记录企业的相关数据.xlsx','进项发票信息','A2:F210948');%读入需要预处理的数据 +boxplot(data(:,3:5),1:3);%调用箱型图命令 +title('箱型图') +xlabel('样本属性名称') +ylabel('样本数值大小') +setxlabel('样本属性名称','FontSize',22) +set(ylabel('样本数值大小','FontSize',22) +set(title('箱型图','FontSize',22)%设置横纵轴、标题文本字体大小 +``` + +文件名：logstic_1.m +解决问题：建立logstic函数 + $\mathrm{x} =$ xsread('C:\UsersAdministrator\Desktop data1.xlsx','A1:F123'); + $\mathrm{x1} = \mathrm{x}(:,1)$ $\mathrm{x2} = \mathrm{x}(:,2)$ $\mathrm{x3} = \mathrm{x}(:,3)$ $\mathrm{x4} = \mathrm{x}(:,4)$ $\mathrm{x5} = \mathrm{x}(:,5)$ $\mathrm{x6} = \mathrm{x}(:,6)$ ；%拆分大矩阵为6个小矩阵 +a=zeros(123,1); %一个与上述矩阵同size的零矩阵（数组预分配） +for i=1:123 +a(i,1)=1/(1+exp(0.9347-11.163*x1(i,1)+0.3755*x2(i,1)-0.9628*x3(i,1)-1.7819e-10*x4(i,1)-0.0512*x5(i,1)+4.4326e-06*x6(i,1)); +end +%回归系数确定的基本流程与步骤 +x=xlsread('C:\UsersAdministrator\Desktop data1.xlsx','A1:F123'); +X1=ones(size(x,1),1); +X=[X1,x]; +Y=zeros(123,1); +Y(1:61,1)=0; +Y(62:123,1)=1; +b=regress(Y,X); + +
文件名: jxje.m
解决问题: 计算各企业进项发票总金额数
x1 = xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\123 家有信贷记录企业的相关数据.xlsx','进项发票信息','A2:F210948');%企业进货信息a=zeros(1,123);b=zeros(1,123);s=zeros(1,123);%数组预分配for i=1:123for j=2:210947 %遍历循环矩阵 x1if x1(j-1,1) == i&&x1(j,1) ~ = i %两组条件结合找出各企业起终点s(1,i)=j-1;endendendends=[1,s];s(1,124)=210947;for i=1:123a(1,i)=std(x1(s(1,i):s(1,i+1),5)); %标准偏差的求解b(1,i)=mean(x1(s(1,i):s(1,i+1),5)); %平均数的求解endc=a./b; %变异系数的定义c=c' %再转置
+ +
文件名: LINGO1.lg4
解决问题: 多目标规划模型的求解
model:
sets:
qiye/1..123/:r,x,p;
endsets
data:
p=@ole('C:\Users/Administrator\Desktop\企业守约率.xlsx',p);
enddata
!max=0.5*@sum(qiye(i):(r(i)-p(i))*x(i))-0.5*@sum(qiye(i):p(i)*x(i));
max=@sum(qiye(i):(r(i)-p(i))*x(i));
@sum(qiye(i):x(i))<=12300;
@sum(qiye(i):x(i))>=1230;
@for(qiye(i):x(i) <=100);
@for(qiye(i):x(i) >=10);
@for(qiye(i):r(i) >=0.04);
@for(qiye(i):r(i) <=0.0985);
end
+ +
文件名：jxje.m
解决问题：计算各企业销项发票总金额数
+ +clc; clear all; data $\equiv$ xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\123家有信贷记录企业的相关数据.xlsx',进项发票信息,'A2:F210948'); %各企业进项发票总金额数 a2=zeros(1,123); %预分配 for i=1:123 for j=1:194186%遍历循环 if ans(j,1) $= =$ i a2(1,i)=a2(1,i)+ans(j,5)*ans(j,6); %企业发票金额叠加 end end end a2; 中国大学 + +文件名：zfb1.m +解决问题：计算各企业进项发票票数作废比例 + $\%$ 各企业进项发票票数作废比例计算clc;clear all; $\mathrm{x} = \mathrm{Xlsread}('C:\backslash \mathrm{Users}\backslash \mathrm{Administrator}\backslash \mathrm{Desktop}\backslash 123$ 家有信贷记录企业的相关数据.xlsx'，'进项发票信息'，'A2:F210948')；s1=zeros(123,1)；%每个企业的总发票数矩阵s2=zeros(123,1)；%每个企业的作废票数矩阵for $i = 1:123$ forj=1:210947ifx(j,1)=is1(i,1)=s1(i,1)+1;ifx(j,6)=0s2(i,1)=s2(i,1)+1;endendendends=s2./s1;%票数作废比例计算 $\%$ 直方图的制作bar(s)xlabel('企业代码')ylabel('各企业进项发票票数作废比例')axis([0,125,0,0.14])set(xlabel('企业代码'), 'FontSize', 12)set(ylabel('各企业进项发票票数作废比例'), 'FontSize', 12) + +
文件名: xxje.m
解决问题: 计算各企业销项发票总金额数
clc;clear all;data = xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\123 家有信贷记录企业的相关数据.xlsx','销项发票信息','A2:F162485');%各企业销项发票总金额数a1=zeros(1,123); %预分配for i=1:123for j=1:151625 %遍历循环if ans(j,1) ==i a1(1,i)=a1(1,i)+ans(j,5)*ans(j,6); %企业发票金额叠加endendendal;
+ +
文件名: zfb12.m
解决问题: 计算各企业销项发票票数作废比例
%各企业销项发票票数作废比例计算
clc;
clear all;
x = xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\123 家有信贷记录企业的相关数据.xlsx','销项发票信息','A2:F162485');
s1=zeros(123,1); %每个企业的总发票数矩阵
s2=zeros(123,1); %每个企业的作废票数矩阵
for i=1:123
for j=1:162484
if x(j,1) == i
s1(i,1) = s1(i,1) + 1;
if x(j,6) == 0
s2(i,1) = s2(i,1) + 1;
end
end
end
s=s2./s1;%票数作废比例计算
bar(s) %直方图的制作
+ +
文件名：nh.m
解决问题：确定银行贷款年利率与客户流失率关系函数图
clear all +clc
+ +$\mathbf{x} =$ xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\银行贷款年利率与客户流失率关系的统计数据.xlsx','A3:D31'); + $\mathrm{x2 = 0.04:0.01:0.15};$ +y=2.2386+0.669\*log(x2); +plot(x2,y,'k','LineWidth',3) +hold on %拟合曲线 +plot(x(:,1),x(:,2),':r','LineWidth',3); +hold on %信誉度A下的银行贷款年利率与客户流失率的曲线scatter(x(:,1),x(:,3),g','filled'); +hold on %信誉度B下的银行贷款年利率与客户流失率的曲线scatter(x(:,1),x(:,4),'pb'); +hold off %信誉度C下的银行贷款年利率与客户流失率的曲线xlabel('贷款年利率'); +ylabel('客户流失率'); +title('各信誉级别的客户流失率随贷款年利率变化的趋势图') +setxlabel('贷款年利率','FontSize',22) +set(ylabel('客户流失率','FontSize',22) +set(title('各信誉级别的客户流失率随贷款年利率变化的趋势图'), 'FontSize',22) + +文件名：PCA.m +解决问题：主成分分析 + $\%$ clear all; $\%$ clc; $\%$ y1 $=$ xlsread('C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\第一问结果.xlsx','A2:A124');%企业守约率 $\%$ x1 $=$ xlsread('C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\123家有信贷记录企业的相关数据.xlsx,'企业信息','E2:E124'); $\%$ scatter(x1,y1,'filled') $\%$ xlabel('企业信誉评分分数'); $\%$ ylabel('企业守约率'); $\%$ title('企业信誉评分分数和企业守约率的关系示意图') $\%$ set(xlabel('企业信誉评分分数','FontSize',22) $\%$ set(ylabel('企业守约率','FontSize',22) $\%$ set(title('企业信誉评分分数和企业守约率的关系图','FontSize',22) + $\mathrm{gj} = \mathrm{xlsread}('C:\mathrm{Users}\backslash \mathrm{Administrator}\backslash \mathrm{Desktop}\backslash \mathrm{data1.xlsx}',\mathrm{A1:F123}')$ $\mathrm{gj} = \mathrm{zscore(gj)}$ ：%数据标准化 +r=corrcoef(gj); %计算相关系数矩阵[vec1,lambda rate]=pcacov(r) contr=cumsum(rate) %计算累积贡献率f=repmat(sign(sum(vec1)),size(vec1,1),1); vec2=vec1.\*f +num=5; %选取主成分的个数 +df=gj\*vec2(:,1:num); %计算各个主成分的得分 + +tf=df\*rate(1:num)/100;%计算综合得分 +[stf,ind]=sort(tf,'descend');%把得分按照从高到低的次序排列 +stf $\equiv$ stf'，ind $\equiv$ ind' +scatter(tf,y1,'filled') +axis([-1.5,1.5,0.2,1]) +xlabel('企业守约率综合得分'); +ylabel('企业守约率'); +title('企业守约率综合得分和企业守约率的关系示意图') +setxlabel('企业守约率综合得分','FontSize',22) +set(ylabel('企业守约率','FontSize',22) +set(title('企业守约率综合得分和企业守约率的关系示意图','FontSize',22) + +文件名：logstic_2.m +解决问题：建立logstic函数 + $\mathrm{x} = \mathrm{Xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\data2.xlsx','A1:F302')}$ +%回归系数确定的基本流程与步骤 +X1=ones(size(x,1),1); + $\mathrm{X} = [\mathrm{X1},\mathrm{x}]$ +Y=zeros(302,1); +Y(1:101,1)=0; +Y(101:302,1)=1; +b=regress(Y,X); +x1=x(:,2); +x2=x(:,2); +x3=x(:,3); +x4=x(:,4); +x5=x(:,5); +x6=x(:,6); %拆分大矩阵为6个小矩阵 +a=zeros(302,1); %一个与上述矩阵同size的零矩阵（数组预分配） +for i=1:302 +a(i,1)=1/(1+exp(0.9146-7.6634*x1(i,1)+0.0054*x2(i,1)-0.1008*x3(i,1)-2.7541e-09*x4(i,1)-0.0233*x5(i,1)+4.4710e-05*x6(i,1))))； +end + +文件名：byxs_2.m +解决问题：计算变异系数 + $\mathrm{x1} = \mathrm{xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\302}$ 家无信贷记录企业的相关数据.xlsx'；进项发票信息'，A2:F330836')；%企业进货信息a=zeros(1,302);b=zeros(1,302);s=zeros(1,302)；%数组预分配for i=1:302for j=2:330835 %遍历循环矩阵x1 + +
if x1(j-1,1) == (i+123) && x1(j,1) ~=(i+123) %两组条件结合找出各企业起终点 +s(1,i) = j-1; +end +end +end +s=[1,s]; +s(1,303)=330835; +for i=1:302 + a(1,i) = std(x1(s(1,i):s(1,i+1),5)); %标准偏差的求解 + b(1,i) = mean(x1(s(1,i):s(1,i+1),5)); %平均数的求解 +end +c=a./b; %变异系数的定义 +c=c' %再转置
+ +
文件名: zfb1_2.m
解决问题: 计算各企业进项发票票数作废比例
%各企业进项发票票数作废比例计算
clc;
clear all;
x = xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\123 家有信贷记录企业的相关数据.xlsx','进项发票信息','A2:F210948');
s1=zeros(123,1); %每个企业的总发票数矩阵
s2=zeros(123,1); %每个企业的作废票数矩阵
for i=1:123
for j=1:210947 %遍历数组
if x(j,1) == i
s1(i,1) = s1(i,1) + 1;
if x(j,6) == 0
s2(i,1) = s2(i,1) + 1;
end
end
end
s=s2./s1; %票数作废比例计算
bar(s)
+ +
文件名: LINGO2.lg4
解决问题: 多目标规划模型的求解
model: +sets: +qiye/1..123/:r,x,p; +endsets +data:
+ +```julia +p=@ole('C:\Users/Administrator\Desktop\第二问结果.xlsx',p); +enddata +!max=0.5*@sum(qiye(i):(r(i)-p(i))*x(i))-0.5*@sum(qiye(i):p(i)*x(i)); +max=@sum(qiye(i):(r(i)-p(i))*x(i)); +@sum(qiye(i):x(i))<=10000; +@sum(qiye(i):x(i))>=3020; +@for(qiye(i):x(i) <= 100); +@for(qiye(i):x(i) >= 10); +@for(qiye(i):r(i) >= 0.04); +@for(qiye(i):r(i) <= 0.15); +end +``` + +文件名：jxje_2.m +解决问题：计算各企业进项发票总金额数 + $\%$ clc; $\%$ clear all; data $=$ xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\302家无信贷记录企业的相关数据.xlsx','进项发票信息','A2:F395176'); $\%$ 各企业进项发票总金额数 a3=zeros(1,302); $\%$ 预分配 for i=1:302 for j=1:395175 %遍历循环 ifdata(j,1) $\equiv$ i+123 a3(1,i)=a3(1,i)+data(j,5)*data(j,6); $\%$ 企业发票金额叠加 end end end a3; + +文件名：jxzf_2.m +解决问题：计算各企业进项发票票数作废比例计算 +%各企业进项发票票数作废比例计算clc;clear all; $\mathbf{x} =$ xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\302 家无信贷记录企业的相关数据.xlsx','进项发票信息','A2:F395176');s1=zeros(302,1)；%每个企业的总发票数矩阵s2=zeros(302,1)；%每个企业的作废票数矩阵for $\mathrm{i} = 1:302$ for $\mathrm{j} = 1:395175$ if $\mathrm{x(j,1)} = =\mathrm{i} + 123$ s1(i,1)=s1(i,1)+1;if $\mathrm{x(j,6)} = =0$ s2(i,1)=s2(i,1)+1; + +```txt +end end end end end end s=s2./s1;%票数作废比例计算 +``` + +文件名：xxje_2.m +解决问题：计算各企业进项发票总金额数 + $\%$ clc; $\%$ clear all; data $=$ xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\302家无信贷记录企业的相关数据.xlsx','销项发票信息','A2:F330836'); $\%$ 各企业进项发票总金额数 a2=zeros(1,302); for i=1:302 for j=1:330835 ifdata(j,1) $\equiv =$ i+123 a2(1,i)=a2(1,i)+data(j,5)*data(j,6); end end end a2; + +文件名：xxzf_2.m +解决问题：计算各企业销项发票票数作废比例 +%各企业销项发票票数作废比例计算clc;clear all; $\mathbf{x} =$ xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\302 家无信贷记录企业的相关数据.xlsx','销项发票信息'，A2:F330836');s1=zeros(302,1);%每个企业的总发票数矩阵s2=zeros(302,1);%每个企业的作废票数矩阵for $\mathrm{i} = 1:302$ forj=1:330835ifx(j,1) $\equiv$ i+123s1(i,1)=s1(i,1)+1;ifx(j,6) $\equiv$ 0s2(i,1)=s2(i,1)+1;endendendend $s = s2./s1;\%$ 票数作废比例计算 + +
文件名: xydj.m
解决问题: 信誉预测
a=[a2-a3]';b=[23191781.5266667,23681634.6419444,90799230.7874797,2604767.66384615];c=zeros(302,4);m=zeros(302,1);for i=1:302for j=1:4c(i,j)=a(i,1)-b(1,j); %距离计算endendc;c;for i=1:302for j=1:4if abs(c(i,j))==min(abs(c(i,:))) %地址寻找m(i,1)=j;endendendm;
+ +
文件名: PCA_2.m
解决问题:主成分分析
y1 = xslsread('C:\Users\Administrator\Desktop\第二问结果.xlsx','A2:A303');%企业守约率
gj = xslsread('C:\Users\Administrator\Desktop\Data2.xlsx','A1:F302');
gj = zscore(gj);
r=corrcoef(gj);
[vec1,lambda rate]=pcacov(r);
contr=cumsum(rate);
f=repmat(sign(sum(doc1)),size(doc1,1),1);
vec2=vec1.*f;
num=5;
df=gj*vec2(:,1:num);
tf=df*rate(1:num)/100;
[stf,ind]=sort(tf,'descend');
stf=stf',ind=ind';
scatter(tf,y1,'filled')
axis([-1.5,1.5,0.2,1])
xlabel('企业守约率综合得分');
ylabel('企业守约率');
title('企业守约率综合得分和企业守约率的关系示意图')
set(xlabel('企业守约率综合得分'), 'FontSize',25)
set(ylabel('企业守约率'), 'FontSize',25)
set(title('企业守约率综合得分和企业守约率的关系示意图'), 'FontSize',25)
文件名: LINGO3.lg4
解决问题: 求解多目标模型
x = xlsread('C:\Users/Administrator\Desktop\Data3.xlsx','A1:F302');X1=ones(size(x,1),1);X=[X1,x];Y=zeros(302,1);Y(1:101,1)=0;Y(101:302,1)=1;b=regress(Y,X);x1=x(:,2);x2=x(:,2);x3=x(:,3);x4=x(:,4);x5=x(:,5);x6=x(:,6);a=zeros(302,1);for i=1:302a(i,1)=1/(1+(exp(0.9113-1.6409*x1(i,1)+0.0111*x2(i,1)-0.1142*x3(i,1)-2.8238e-09*x4(i,1)-0.0243*x5(i,1)+5.3738e-05*x6(i,1))))end
+ +
文件名: logistic_3.m
解决问题: 求解 logistic 函数
model: +sets: +qiye/1..123/:r,x,p; +endsets +data: +p=@ole('C:\Users/Administrator\Desktop\企业守约率.xlsx',p); +enddata +max=0.5*@sum(qiye(i):(0.9*r(i)-p(i))*x(i))-0.5*@sum(qiye(i):p(i)*x(i)); +@sum(qiye(i):x(i))<=10000; +@sum(qiye(i):x(i))>=3020; +@for(qiye(i):x(i) <= 100); +@for(qiye(i):x(i) >= 10); +@for(qiye(i):r(i) >= 0.036); +@for(qiye(i):r(i) <= 0.135); +end
\ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/D008/D008.md b/MCM_CN/2020/D008/D008.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4c429dade037c01ece2778e41eb267d32ff1754b --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/D008/D008.md @@ -0,0 +1,1351 @@ +# 接触式轮廓仪校准问题 + +# 摘要 + +本文针对接触式轮廓测量仪的测量，计算参数，校正，绘制轮廓图和改进的问题进行了研究。 + +问题1，计算水平放置下，工件1的各项参数。根据题意，建立直角坐标系，使用附件一level数据分段拟合工件1的轮廓函数图像。得到的函数两两相邻联立方程求交点坐标，通过交点坐标和直线斜率求解工件1各项参数。工件1各项参数值的计算结果请查看，表5.1.7-2. + +问题2，计算在一定位移和倾斜程度的情况下，工件的倾斜程度。以附件一level为标准，计算倾斜时，对应水平放置下的直线轮廓与倾斜后的直线轮廓之间的夹角，取多条直线计算夹角取平均值减小误差。计算出的倾斜角为 $7.4779^{\circ}$ ，校正水平应将倾斜的工件逆时针旋转 $7.4779^{\circ}$ ，经过比较，校正后的工件测得的参数与水平放置下的工件测得的参数存在些许差异，但差异并不大，误差处于可接受范围。 + +问题3，计算每次测量时的倾斜角度。我们假定10次测量的倾斜角度的平均值为标准值，计算标准值与实际值的差即为倾斜角度。标注工件2的各项参数值，计算方法同问题1，分段拟合函数，求解交点坐标，计算参数值。计算结果见5.3.2-1. + +问题4，校正圆和角。我们将附件三，四的9组数据，找一个校准点（特征点），可以将图像的最低点视为校准点（具体校准点的选取要根据图像判断选择），将9个图像的最低点经过上下左右平移到校准点，此时，9组数据基本重合。将平移经过变换后的9组数据合为一组数据，拟合轮廓曲线，计算得出的工件2的参数可以视为标准参数，根据标准参数，对问题3中的拟合函数和画出的轮廓线进行擦除修正。 + +本文主要利用MATLAB软件，其中问题2中还额外使用了123D-Design软件对3-D模型进行分析。 + +关键词：分段拟合，函数化，平均校准 + +# 一.问题重述 + +为了测量物体的轮廓，可以使用接触式测量仪。它主要是由夹具、平台、探针、传感器、伺服驱动等部件组成。它的工作原理是用探针去接触需要测量的物体，并且慢慢的匀速滑动，与此同时传感器会感受到被测物体的表面的几何变化，分别在 $x$ 和 $z$ 方向上分别进行采样，并把它转换成电信号。接着将电信号进行放大等一系列处理之后再转换成数字信号，最后把它储存在数据文件中。 + +在理想的情况下，轮廓曲线因该是平整光滑的，但由于接触式轮廓仪存在一系列问题，例如探针上有脏东西、探针有磨损、扫描位置不准确等问题会导致测量的结果不准确，此外还检测到的轮廓曲线出现不平整情况，这也会给工件形状的准确标注带来一定的影响。 + +为了将问题简化，假设被测量的工件的轮廓都是由圆弧和直线所组成的。请建立数学模型，根据附件1（工件1的水平和倾斜测量数据）、附件 $2^{\sim}4$ （工件2的多次测量数据）所提供的一些数据，研究下列问题： + +问题1. 附件1中的表level是工件1在水平状态下的测量数据，其轮廓线如图4所示，请标注出轮廓线的各项参数值：槽口宽度（如 $x_{1}x_{3}$ 等）、圆弧半径（如 $R_{1}R_{2}$ 等）、圆心之间的距离（如 $c_{1}c_{2}$ 等）、圆弧的长度、水平线段的长度（如 $x_{2}x_{4}$ 等）、斜线线段的长度、斜线与水平线之间的夹角（如 $\angle 1\angle 2$ 等）和人字形线的高度（ $z_{1}$ ）。 + +问题2. 同一工件在不同次测量时，由于工件放置的角度和位置不同，轮廓线参数的计算值也会存在差异。附件1中的表down给出了工件1在倾斜一个角度和有一些水平位移状态下轮廓线的测量数据。请计算该工件测量时的倾斜角度，并作水平校正。在数据校正后，完成问题1的任务，并比较两种测量状态下工件1各项参数计算值之间的差异。 + +问题3. 在对工件作多次检测时，工件每次放置的角度、测量的起点和终点都会有偏差，这导致了每次测量实际是对整个工件中的某一部分进行检测。附件2提供了对工件2的10次测量数据，请基于这些数据完成：（1）每次测量时工件2的倾斜角度；（2）标注出工件2轮廓线的各项参数值（同问题1）；（3）画出工件2的完整轮廓线。 + +问题4.为了更准确地标注出工件2的各项参数值，附件3和附件4分别提 + +供了工件2关于圆和角的9次局部测量数据，请利用这些数据修正问题3的结论，并对该工件的完整轮廓线作进一步修正。 + +# 二. 问题分析 + +问题1：题中给出假设，被测工件的轮廓线是由直线和圆弧构成的平面曲线，所以我们将工件1看作直线与圆弧的结合，拟合求出每条直线及圆弧的函数表达式，用两函数联立求解的方法计算出拐点，根据拐点坐标求工件1所有参数。 + +问题2：我们以工件1水平放置下测量的数据为标准。根据工件1的水平直线的倾斜角改变的大小来校正一定倾斜程度下的工件1，通过分段函数多次测量取平均值减小误差，计算出其倾斜角度。水平矫正，可以利用旋转矩阵，将待计算的数据写成矩阵的形式，利用MATLAB左除，将数据旋转一定角度后变为新数据，这样就回到问题1的拟合函数的问题了。 + +问题3：对10次测量数据中每次得出的图形进行特征点（轮廓线最高点，最低点等）对齐，图像特征点重合后，再用问题2求倾斜角的方式计算两个图的夹角，对得到的九个夹角均值处理得到近似的水平数据。同样的，工件2参数的计算，同问题1拟合函数曲线。最后根据拟合的函数表达式画出工件2的完整轮廓线。 + +问题4：圆角，由于题目是对工件2的参数进行校正，与工件2的函数表达式无关，所以在对圆角进行分析拟合函数时，我们只看重工件2参数圆半径 $R$ 和圆弧长 $l$ ，再对比问题3求出的圆的相关参数，对工件2的轮廓线进行修正。方角，同样的，我们只看重工件2的参数，对方角的函数表达式求解，计算出参数两交点之间的距离参数 $x_{i}$ ，角的参数 $\angle \alpha$ ，将相关参数，对工件2的轮廓线进行修正。 + +# 三. 模型假设 + +1. 为简化模型，假设被测工件的轮廓都是由标准圆和直线组成的平面曲线。 +2. 在利用 MATLAB 计算时，假设计算的有效数字取舍误差可以忽略不计。 + +# 四.符号说明 + +
符号解释
y=f(x)被拟合工件轮廓的函数方程
b常数函数系数
b0,b1一元线性回归系数
D,E,F圆的一般方程系数
(xc,yc)圆心坐标
R圆半径
α,β,γ倾斜角
k斜率
l圆的弧长
+ +# 五. 模型地建立与求解 + +# 5.1 问题一的求解 + +# 5.1.1预处理 + +根据附件一 level 数据，利用 MATLAB 散点作图，可以看出工件 1 轮廓的大致图像，如图 5.1.1-1。我们可以利用函数刻画工件 1 的轮廓。建立直角坐标系，横轴为 $x$ ，纵轴为 $y$ 。为了简化问题，轮廓只由直线和圆弧构成，其中圆为标准圆。 + +![](images/c5e09a2a7f161c48ca533ed21e1df4d8b9be5cb4dc435d38197977e866318890.jpg) +图5.1.1-1工件1轮廓散点图 + +# 5.1.2工件1轮廓的函数拟合一直线部分 + +已知工件1为水平放置，部分直线倾斜角为0。 + +将直线的计算分为两种，倾斜角为0，和倾斜角非0。 + +# 5.1.3倾斜角为0的直线 + +倾斜角为0，如图5.1.1-1，轮廓线第1，5，9，13，16，18，20，22，24段。 + +当倾斜角为0时，计算方法相同，我们只以第1段轮廓线为例进行拟合。 + +建立常数函数模型求解[1]。 + +$$ +y = b +$$ + +其中 $b$ 为常数，且： + +$$ +b = \left(y _ {1} + y _ {2} + y _ {3} + \dots + y _ {n}\right) / n +$$ + +其中， $y_{1}, y_{2}, y_{3}, \ldots, y_{n}$ 为当 $x$ 在一定范围内的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}$ 的对应值。 $n$ 为 $x$ 在一定范围内数据的个数。 + +根据散点图，在第1段轮廓取一段区间 $x \in [47,49]$ 时，此时 $n = 4000$ ，计算得 $b = -1.7703$ + +同样的，其他倾斜角为0常数函数也可以计算出来。 + +如下表5.1.3-1为所有倾斜度为0的直线轮廓计算结果。 + +表 5.1.3-1 倾斜度为 0 的直线轮廓计算 + +
第几条轮廓线截取的x区间系数b常数函数拟合式
1[47,49]-1.7703y=-1.7703
5[53,57]-1.7674y=-1.7674
9[60,64]-1.7681y=-1.7681
13[67,71]-1.7674y=-1.7674
16[82.5,84.5]-1.7779y=-1.7779
18[86.8,87.3]-17776y=-1.7776
20[90,94]-1.7784y=-1.7784
22[102,106]-1.7807y=-1.7807
24[114.5,118]-1.7846y=-1.7846
+ +# 5.1.4倾斜角非0的直线 + +倾斜角非0，图5.1.1-1，轮廓线第2，4，6，8，10，12，14，15段。 + +当倾斜角非0时，计算方法相同，我们只以第2段轮廓线为例进行一元线性回归拟合。 + +建立一元线性回归模型求解。 + +$$ +y = b _ {0} + b _ {1} x + \varepsilon +$$ + +其中 $b_{0}, b_{1}$ 为回归系数， $\varepsilon$ 为服从 $N(0, \sigma^{2})$ 分布、互相独立的随机变量。 + +根据散点图，在第2段轮廓取一段区间 $x \in [49.8, 50.58]$ ，利用MATLAB的regress函数计算结果如下： + +表 5.1.4-1 回归系数 + +
回归系数系数估计值置信区间
b0134.673[134.112,135.234]
b1-2.741[-2.752,-2.730]
+ +
R²决定系数F值p值s²方差
0.999953280629.03190.000000.00001981
+ +由表5.1.4—1可对模型做检验：得 $R^2 = 0.999$ ， $p$ 值远小于0.0001，回归方程显著，模型可用。 + +$$ +y = - 2. 7 4 1 x + 1 3 4. 6 7 3 +$$ + +同样的方法，可以计算所有倾斜度非0的直线轮廓函数表达式，计算结果如下表5.1.4-2。 + +表 5.1.4-2 倾斜度非 0 的直线轮廓函数计算 + +
第几 条轮 廓线截取的x区间回归系数 \(b_1\)回归系数\(b_0\)一元线性回归函数拟合式
2[49.8, 50.58]-2.741134.673y = -2.741x + 134.673
4[51.77, 52.6]2.788-148.566y = 2.788x - 148.566
6[57.71,58.34]-3.722212.816y = -3.722x + 212.816
8[58.69,59.66]3.330-200.668y = 3.330x - 200.668
10[64.79,65.34]-3.780242.905y = -3.780x + 242.905
12[66.06,66.73]3.515-236.496y = 3.515x - 236.496
14[72.25,76.2]0.198-16.045y = 0.198x - 16.045
15[77.52,81.16]-0.20114.645y = -0.201x + 14.645
+ +# 5.1.5 工件一轮廓的函数拟合——圆弧部分 + +如图5.1.1-1，轮廓线[2]第3，7，11，17，19，21，23段。 + +计算方法相同，我们只以第3段轮廓线为例，建立圆的一般方程模型[3]。 + +$$ +x ^ {2} + y ^ {2} + D x + E y + F = 0 +$$ + +其中： $D,E,F$ 为系数，且： + +$$ +\left\{ \begin{array}{c} x _ {c} = - \frac {D}{2} \\ y _ {c} = - \frac {E}{2} \\ R = \frac {D ^ {2} + E ^ {2}}{4} - F \end{array} \right. +$$ + +其中： $x_{c}$ 为圆心横坐标， $y_{c}$ 为圆心纵坐标， $R$ 为圆半径。 + +根据散点图[4]，在第3段轮廓取一段区间 $x \in [50.95, 51.49]$ ，编写函数M文件，利用MATLAB中的逆矩阵左除、右除的矩阵运算，计算出一般式系数拟合结果 $D = -102.4, E = 8.5, F = 264.11$ ，通过圆的一般式方程系数可求得圆的圆心横坐标 $x_{c} = 51.2177$ ，纵坐标 $y_{c} = -4.2582$ ，圆的半径 $R = 0.4941$ + +同样的方法，可以求得圆弧拟合函数曲线及圆的参数，结果如下表5.1.5-1. + +表 5.1.5-1 圆弧轮廓函数计算 + +
第几条轮廓线截取的x区间xc圆心横坐标yc圆心纵坐标R半径
3[50.95,51.49]51.2177-4.25820.4941
7[58.55,58.85]58.7048-4.43950.3011
11[65.5, 65.95]65.7728-4.46190.2974
17[85.3, 86.3]85.7117-1.36740.9802
19[87.8, 89]88.5205-2.22551.0204
21[96, 100]98.0520-0.10123.9845
23[108.5,111.5]110.3021-3.47153.9992
+ +
第几条轮廓线圆的标准方程函数拟合式
3(x-51.2177)²+(y+4.2582)²=0.4941²
7(x-58.7048)²+(y+4.4395)²=0.3011²
11(x-65.7728)²+(y+4.4619)²=0.2974²
17(x-85.7117)²+(y+1.3674)²=0.9802²
19(x-88.5205)²+(y+2.2255)²=1.0204²
21(x-98.0520)²+(y+0.1012)²=3.9845²
23(x-110.3021)²+(y+3.4715)²=3.9992²
+ +# 5.1.6工件1分段拟合函数表达式 + +总结：将5.1.3，5.1.4，5.1.5计算所得的函数拟合表达式 + +$$ +y = \left\{ \right.\begin{array}{c}- 1. 7 7 0 3, x \in (4 6. 5 9 5 8, 4 9. 7 7 8 6)\\- 2. 7 4 1 x + 1 3 4. 6 7 3, \quad x \in (4 9. 7 7 8 6, 5 0. 7 0 8 7)\\\sqrt {0 . 4 9 4 1 ^ {2} - (x - 5 1 . 2 1 7 7) ^ {2}} - 4. 2 5 8 2, \quad x \in (5 0. 7 0 8 7, 5 1. 6 9 8 5)\\2. 7 8 8 x - 1 4 8. 5 6 6, \quad x \in (5 1. 6 9 8 5, 5 2. 6 5 3 7)\\- 1. 7 6 7 4, x \in (5 2. 6 5 3 7, 5 7. 6 5 2 7)\\- 3. 7 2 2 x + 2 1 2. 8 1 6, x \in (5 7. 6 5 2 7, 5 8. 3 9 3 1)\\\sqrt {0 . 3 0 1 1 ^ {2} - (x - 5 8 . 7 0 4 8) ^ {2}} - 4. 4 3 9 5, \quad x \in (5 8. 3 9 3 1, 5 8. 8 4 7 9)\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text {的}\\\quad - \frac {1 .}{7} S _ {8} + x \in (5 9. T _ {7} S _ {9} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S ^ {\prime}\\- \frac {1 .}{7} S _ {8} + x \in (5 9. T _ {7} S _ {9} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {\text {一}}\\- \frac {1 .}{7} S _ {8} + x \in (5. T _ {7} S _ {9} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S ^ {\prime}\\- \frac {1 .}{T} S _ {8} + x \in (5. T _ {7} S _ {9} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} S _ {1} s ^ {\prime}\\- \frac {1 .}{T} S _ {\text {一}} + x \in (5. T _ {\text {一}} S _ {\text {一}} S _ {\text {一}} S _ {\text {一}} S _ {\text {一}} S _ {\text {一}} S _ {\text {一}} S _ {\text {一}} s ^ {\prime}\\- \frac {1 .}{T} S _ {\text {一}} + x \in (5. T _ {\text {一}} S _ {\text {一}} S _ {\text {一}} s ^ {\prime})\\- \frac {1 .}{T} S _ {\text {一}} + x \in (5. T _ {\text {一}} s ^ {\prime})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {\prime})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {\prime})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {\prime})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {\prime})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {\prime})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {\prime})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{T} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{\mathrm {i t}} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {1 .}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {\mathrm i t}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {\mathrm i t}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {\mathrm i t}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {\mathrm i t}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {\mathrm i t}{\mathrm i t} s ^ {-})\\- \frac {\mathrm i t}\mathrm i i t a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p h a m a l p a r a n g e d p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a l p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a l p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a l p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a l p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a I y p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a l p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a l p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a l p r o b e c t i o n o f y u n i v e r n o r m a | P R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X XX X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx.\end{array} +$$ + +# 5.1.7 工件 1 参数的计算 + +由5.1.3，5.1.4，5.1.5计算的工件1轮廓的函数拟合式，联立得两函数之间的交点，计算的交点坐标结果如下表5.1.7-1： + +表 5.1.7-1 两相邻轮廓线交点坐标 + +
轮廓线相邻两条轮廓线交点坐标轮廓线相邻两条轮廓线交点坐标
1,2(49.7786,-1.7703)13,14(72.1090,-1.7674)
2,3(50.7087,-4.4293)14,15(76.9172,-0.8153)
3,4(51.6985,-4.4306)15,16(81.7059,-1.7779)
4,5(52.6537,-1.7674)16,17(84.8215,-1.7779)
5,6(57.6527,-1.7674)17,18(86.6019,-1.7776)
6,7(58.3931,-4.5232)18,19(87.6036,-1.7776)
7,8(58.8479,-4.7044)19,20(89.4377,-1.7784)
8,9(59.7296,-1.7681)20, 21(94.4376,-1.7784)
9, 10(64.7283,-1.7681)21, 22(101.6652,-1.7807)
10, 11(65.4627,-4.5439)22, 23(106.6779,-1.7807)
11, 12(65.9432,-4.7056)23, 24(113.9281,-1.7846)
12, 13(66.7791,-1.7674)
+ +根据表5.1.7-1交点的坐标可以计算出工件1的参数值，如下表5.1.7-2：弧长的计算可以通过公式： + +$$ +L = 2 \pi \times \frac {\gamma}{2 \pi} +$$ + +其中： $L$ 为弧长， $r$ 为圆半径， $\gamma$ 为圆心角，且： + +$$ +\gamma = \arcsin \left(\frac {d}{2 r}\right) +$$ + +其中， $d$ 为两个交点（圆弧与相邻两条直线的交点）之间的距离， $r$ 为圆半径。 + +角度的计算可以通过公式： + +$$ +\angle \beta = 1 8 0 + \arctan (k) +$$ + +其中， $\beta$ 为角度（角度制）， $k$ 为一次函数的斜率。 + +表 5.1.7-2 工件 1 水平放置下的各项参数值 + +
参数数值参数数值
x12.8751∠1110.0436°
x25.0∠2109.7319°
x32.0769∠3107.0387°
x44.9987∠4106.7151°
x52.0508∠5104.8182°
x65.3299∠6105.8808°
x79.5969∠7168.8003°
x83.1156∠8168.635°
x91.0017R10.4941
x104.9999R20.3011
x117.2276R30.2974
x125.0127R40.9802
x137.2502R51.0204
c17.4871R63.9845
c27.068R73.9992
c319.9389Z10.9521
c42.8088l10.7761
c59.5315l20.2577
c612.2501l30.2797
l64.5265l41.1164
l74.5384l51.1396
+ +# 5.2 问题二的求解 + +# 5.2.1 预处理 + +如图5.2.1-1，图为工件1经过一定倾斜程度和位移[5]的条件下，测得的轮廓线散点图。计算该轮廓线拟合的函数表达式，计算方法同问题1的5.1.3和5.1.4。 + +最终计算出的轮廓分段拟合函数为： + +![](images/ad83916497bcf7377c534be1dbec400c8b8a35c6b170579e2b91f76cf66a8857.jpg) +图5.2.1-1工件一倾斜并位移后的轮廓 + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{c} - 0. 1 2 9 4 x + 7. 7 1 4 \\ - 4. 4 6 7 x + 2 3 4. 5 4 5 \\ \sqrt {8 . 4 2 8 1 ^ {2} - (x - 5 3 . 3 5 1 1) ^ {2}} - 1 0. 1 8 8 8 \\ 1. 9 3 0 x - 1 0 5. 8 7 8 \\ - 0. 1 3 0 x + 7. 7 8 4 \\ - 7. 5 1 9 x + 4 5 1. 9 1 6 \\ \sqrt {0 . 4 1 4 2 ^ {2} - (x - 6 0 . 8 0 0 4) ^ {2}} - 1. 3 9 2 1 \\ 2. 3 6 7 x - 1 4 7. 5 2 1 \\ - 0. 1 3 1 x + 7. 8 1 1 \\ - 7. 6 8 5 x + 5 1 4. 8 7 1 \\ \sqrt {0 . 3 4 5 4 ^ {2} - (x - 6 7 . 8 0 9 3) ^ {2}} - 3. 7 3 7 2 \\ 2. 4 1 5 x - 1 6 8. 3 1 9 \\ - 0. 1 3 1 x + 7. 7 8 7 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text {中 国} \\ - 0. 0 6 7 x - 6. 9 3 3 \\ - 0. 3 3 9 x + 2 5. 3 6 1 \\ - 0. 1 3 2 x + 7. 8 5 1 \\ \sqrt {0 . 9 9 2 6 ^ {2} - (x - \mathrm {8} . \mathrm {8} . \mathrm {9} . \mathrm {0}) ^ {2}} - \mathrm {3 .} \mathrm {2} \mathrm {9} \mathrm {2} \mathrm {0} \\ - \mathrm {0 .} \mathrm {1} \mathrm {3} \mathrm {4} x + \mathrm {8 .} \mathrm {0} \mathrm {3} \mathrm {4} \\ \sqrt {1 . \mathrm {0} \mathrm {0} \mathrm {5} \mathrm {1} ^ {2} - (x - \mathrm {9} . \mathrm {0} . \mathrm {6} \mathrm {5} \mathrm {5} \mathrm {6}) ^ {2}} - \mathrm {4 .} \mathrm {5} \mathrm {0} \mathrm {4} \mathrm {3} \\ - \mathrm {0 .} \mathrm {1} \mathrm {3} \mathrm {1} x + \mathrm {7 .} \mathrm {8} \mathrm {2} \mathrm {2} \\ \sqrt {4 . \mathrm {0} \mathrm {0} \mathrm {6} \mathrm {4} ^ {2} - (x - \mathrm {1} . \mathrm {0} . \mathrm {3} \mathrm {8} \mathrm {3} \mathrm {2}) ^ {2}} - \mathrm {3 .} \mathrm {6} \mathrm {2} \mathrm {3} \mathrm {5} \\ - \mathrm {0 .} \mathrm {1} \mathrm {3} \mathrm {1} x + \mathrm {7 .} \mathrm {8} \mathrm {0} \mathrm {6} \\ \sqrt {4 . \mathrm {4} \mathrm {9} \mathrm {2} ^ {2} - (x - \mathrm {1} . \mathrm {1} . \mathrm {1} . \mathrm {4} \mathrm {5} \mathrm {9}) ^ {2}} - \mathrm {9 .} \mathrm {1} \mathrm {2} \mathrm {2} \mathrm {5} \\ - \mathrm {0 .} \mathrm {1} \mathrm {3} \mathrm {2} x + \mathrm {7 .} \mathrm {8} \mathrm {9} \end{array} \right. +$$ + +# 5.2.2 计算倾斜角度 + +如图5.2.2-1散点图，计算工件1经过一定调整后的倾斜角[6]。其中，红色为调整后工件1的轮廓，蓝色为水平放置条件下的工件1轮廓。 + +![](images/74516a7c1cf24cc888e84f9e711903823c631aab0638c44f043d94f7c39ece1f.jpg) +图5.2.2-1工件一倾斜并位移后的轮廓与水平轮廓对比 + +根据轮廓散点图像，图5.2.2-1，我们可以很容易的看出红色轮廓（待计算倾斜度数的工件1）与蓝色轮廓（水平放置下的工件1）之间呈现一个明显角度。 + +建立模型： + +$$ +\tan \alpha = \frac {k _ {1} + k _ {5} + k _ {9} + k _ {1 3} + k _ {1 6} + k _ {1 8} + k _ {2 0} + k _ {2 2} + k _ {2 4}}{9} +$$ + +其中： $\alpha$ 为工件1要测的倾斜角， $k_{1}, k_{5}, k_{9}, k_{13}, k_{16}, k_{18}, k_{20}, k_{22}, k_{24}$ 为红色轮廓的第1,5,9,13,16,18,20,22,24条轮廓一次函数的斜率。 + +由5.2.1的函数表达式等数据，可计算得 $\alpha = 7.4779^{\circ}$ + +# 5.2.3水平校正 + +我们将图像校正，对数据进行处理，作出图像进行逆时针旋转 $\alpha$ 度，得到图像如图5.2.3-1，红色轮廓为校正后的工件1，蓝色轮廓为水平放置下的工件1。 + +![](images/8498838586c3c0fb403559054207d551c425fd528ab17f0f54187087d7ec3b8d.jpg) +图5.2.3-1校正后的图像 + +计算该轮廓线拟合的函数表达式，计算方法同问题1的5.1.3和5.1.4。最终计算出的轮廓分段拟合函数为： + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{c} 7. 7 7 9 \\ - 2. 7 2 6 x + 1 4 8. 7 7 6 \\ \sqrt {0 . 4 8 7 ^ {2} - (x - 5 3 . 1 6 4) ^ {2}} - 5. 2 8 6 \\ 2. 7 5 9 x - 1 4 2. 8 7 8 \\ 7. 7 9 3 \\ - 3. 7 0 8 x + 2 2 8. 7 6 5 \\ \sqrt {0 . 3 0 3 ^ {2} - (x - 6 0 . 6 5 1) ^ {2}} - 5. 1 2 4 \\ 3. 6 6 2 x - 2 1 8. 0 8 7 \\ 7. 8 0 2 \\ - 3. 7 6 4 x + 2 5 8. 7 9 \\ \sqrt {0 . 2 9 3 ^ {2} - (x - 6 7 . 7 1 6) ^ {2}} - 5. 1 0 7 \\ 3. 7 9 9 x - 2 5 3. 3 5 0 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text {的} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +$$ + +利用上面的方程组求得交点，交点如下图： + +表 5.2.3-2 两相邻轮廓线交点坐标 + +
轮廓线相邻两条轮廓线交点坐标轮廓线相邻两条轮廓线交点坐标
1,251.7230, 7.779013, 1473.9055, 7.8090
2,352.6998, 5.116414, 1578.8150, 8.7958
3,453.6399, 5.114515, 1683.6985, 7.8240
4,554.6107, 7.793016, 1786.7489, 7.8240
5,659.5933, 7.793017, 1888.5560, 7.8300
6,760.3358, 5.039818, 1989.5571, 7.8300
7,860.9102, 4.966219, 2091.3699, 7.8360
8,961.6846, 7.802020, 2196.3695, 7.8360
9,1066.6812, 7.802021, 22103.6179, 7.8530
10,1167.4180, 5.028722, 23108.6234, 7.8530
11,1268.0126, 5.029823, 24115.8770, 7.8640
12,1368.7441, 7.8090
+ +同样的计算方法，将校正后的参数统计结果如下： + +表 5.2.3-3 水平校正后的工件 1 各项参数值 + +
参数数值参数数值
x1'2.8877∠1'110.1449
x2'4.9826∠2'109.9231
x3'2.0913∠3'105.0929
x4'4.9966∠4'105.2737
x5'2.0629∠5'104.8783
x6'5.1614∠6'104.7473
x7'9.7930∠7'168.635
x8'3.0504∠8'168.7452
x9'1.0011R1'0.487
\( {x}_{10}^{\prime } \)4.9996\( {R}_{2}^{\prime } \)0.303
\( {x}_{11}^{\prime } \)7.2484\( {R}_{3}^{\prime } \)0.293
\( {x}_{12}^{\prime } \)5.0055\( {R}_{4}^{\prime } \)1.002
\( {x}_{13}^{\prime } \)7.2536\( {R}_{5}^{\prime } \)1.002
\( {c}_{1}^{\prime } \)7.487\( {R}_{6}^{\prime } \)4.008
\( {c}_{2}^{\prime } \)7.065\( {R}_{7}^{\prime } \)3.997
\( {c}_{3}^{\prime } \)19.935\( {Z}_{1}^{\prime } \)0.9868
\( {c}_{4}^{\prime } \)2.812\( {l}_{1}^{\prime } \)0.6361
\( {c}_{5}^{\prime } \)9.53\( {l}_{2}^{\prime } \)0.3777
\( {c}_{6}^{\prime } \)12.257\( {l}_{3}^{\prime } \)0.4602
\( {l}_{6}^{\prime } \)4.5274\( {l}_{4}^{\prime } \)1.1260
\( {l}_{7}^{\prime } \)4.5446\( {l}_{5}^{\prime } \)1.1327
+ +为了比较两种测量状态下工件1各项参数计算值之间的差异，我们将两次表格得到的数据利用柱状图进行对比，得到的结果如下： + +![](images/332475979abfcfdb7a927de238680882fbda6f23fc04c7f715259c586f624f36.jpg) + +![](images/3b2b8c68c8390cf5cf340c5d60af95f0e7d0d46cf90c2def9bb871f4b15ba642.jpg) + +![](images/68e185bb34ceff3de1c730dbb97da7c9e53fdbd0b61cfbcea49d19d9ba4a4a11.jpg) + +![](images/8b16ee8e2901f0487c25020c68a44736ec92c96709a5205f02fd75e635bfc468.jpg) + +![](images/1ae145ac78751312165a7d9e412547a3ce4040002f26816f94360cbb5b1239aa.jpg) +图5.2.3-2工件1水平放置下和校正后计算的参数对比图 + +![](images/b043491c2f2347b9acb78c7f7c8705d52800598196dca5467a537e2c81e25547.jpg) + +总结：根据图5.2.3-2，图一为槽口宽度、水平线段的长度 $x_{1},\ldots ,x_{13}$ 与 $x_1^{\prime},\ldots ,x_{13}^{\prime}$ 对比图，图二为圆心之间的距离 $c_{1},\ldots ,c_{6}$ 与 $c_1^\prime$ ，…， $c_6^\prime$ 的对比图，图三为圆弧的长度 $l_{1},\dots ,l_{5}$ 与 $l_1^{\prime},\dots ,l_5^{\prime}$ 的对比图，图四为 $R_{1},\dots ,R_{7}$ 与 $R_1^\prime$ ，…， $R_{7}^{\prime}$ 之间的对比图，图五为 $\angle 1,\dots ,\angle 8$ 与 $\angle 1^{\prime},\dots ,\angle 8^{\prime}$ 之间的对比图，图六为人字形线的高度 $Z_{1}$ 与 $Z_{1}^{\prime}$ 的对比图。通过图表可以更直观的看出圆弧的长度 $l_{1},\ldots ,l_{5}$ 与 $l_1^\prime$ ，…， $l_{5}^{\prime}$ 和人字形线的高度 $Z_{1},\ldots ,Z_{1}^{\prime}$ 有些许差异，其他数据的差异可忽略不计。 + +探究其产生差异的因素：我们在123D-Design软件中，画出了简单的3-D模型来模拟四种状态下物体被切割后的截面（凹槽截面为半圆）。如下图5.2.3-3，左图中四个待切割的物体分别经过了1.水平放置，2.上下倾斜 $40^{\circ}$ 坡度，3.左右旋转 $40^{\circ}$ ，4.上下倾斜 $40^{\circ}$ 坡度并且左右旋转 $40^{\circ}$ ，四种变换，将物体用极薄的“刀”“切”过后的横截面如右图所示。右图我们可以看出，1.水平放置下的物体被切割后状态不变，凹槽为半圆，2.上下倾斜 $40^{\circ}$ 坡度放置下物体被切割后，凹槽仍为半圆，只是整体截面被旋转了 $40^{\circ}$ ，3.左右旋转 $40^{\circ}$ 条件下的物体被切割后，可以明显看出凹槽非半圆，严格来说为椭圆，整体截面轮廓被拉长，4.上下倾斜 $40^{\circ}$ 坡度并且左右旋转 $40^{\circ}$ 条件下的物体被切割后，可以看出明显继承了2和3的特性，凹槽非半圆，为椭圆，整体被左右拉伸。根据这四种状态下的被切割的物体状态，我们可以判断，问题二中，蓝色轮廓（level）为第一种状态，红色轮廓（down）为第四种状态。其中，蓝色轮廓中为标准圆，红色轮廓中无标准圆，只有椭圆，而在模型的建立中，我们为了简化模型将图中所有轮廓只看成直线与圆的组合，导致了红色轮廓计算的工件1参数与蓝色轮廓计算的工件1参数存在微小差异，由于差异并不大，也是在可接受的范围之内。 + +![](images/e194f685515017b0d448e3cb77aa9ccbdfffc140c5b35cdeafb8aa3525906fb2.jpg) +图5.2.3-3 3-D模型观察参考 + +# 5.3 问题三的求解 + +# 5.3.1 计算每次测量时的工件2的倾斜角度 + +根据附件2的数据画出工件2的散点图，如图5.3.1-1，图中为十次测量的工件2的散点轮廓图，其中存在数据太过接近导致轮廓线近乎重合的现象。 + +![](images/5c27c2d70bbcdfd11db4ddca98db4fe074c0515baa167c26bfbe8c74cca9019b.jpg) +图5.3.1-1十个工件2轮廓散点图 + +计算工件2的倾斜程度，我们需要一条校准线（一次方程直线）。在十次工件2的测量中，选取每个轮廓的第3段进行校准，分别计算出其斜率 $k$ 和倾斜角 $\alpha$ + +![](images/72637102dc4818e694ec7b2c18fb93d6dac2ee62cb48a3aa5db7dc58a6c8abd3.jpg) +图5.3.1-2其中一个工件2轮廓散点图 + +校准角度的计算： + +$$ +\alpha = \frac {\alpha_ {1} + \alpha_ {2} + \alpha_ {3} + \cdots + \alpha_ {1 0}}{1 0} +$$ + +其中， $\alpha$ 为校准角度，其中 $i = 1,2,\ldots 10,\alpha_{i}$ 为第 $i$ 次测量工件2的倾斜角，且： + +$$ +\alpha_ {i} = \arctan \left(k _ {i}\right) +$$ + +其中 $i = 1,2,\ldots ,10,k_{i}$ 为第 $i$ 次工件校准线的直线斜率（第3段的直线轮廓斜率）。 + +计算结果如下表： + +表 5.3.1-1 直线斜率和倾斜角 + +
第几个测量值直线斜率倾斜角第几个测量值直线斜率倾斜角
10.488226.0216°60.527927.8295°
20.488326.0262°70.550828.8459°
30.504426.7663°80.550728.8415°
40.504326.7618°90.576829.9763°
50.528427.8519°100.576229.9505°
+ +可以得到可视为水平时的校准角度 $\alpha = 27.8871$ ，将 $\alpha$ 与 $\alpha_{i}$ 逐个作差，得到如下结论： + +表 5.3.1-2 标准角度与实际测量的差 + +
标准角度与实际的差倾斜角度标准角度与实际的差倾斜角度
α-a11.8655°α-a60.0576°
α-a21.8609°α-a7-0.9588°
α-a31.1208°α-a8-0.9544°
α-a41.1253°α-a9-2.0892°
α-a50.0352°α-a10-2.0634°
+ +# 5.3.2 标注工件 2 的参数 + +对图像进行数据校正。我们将10次测量数据各旋转一个角度，也就是根据5.3.1中校准线的斜率来旋转校正水平。 + +把每个轮廓线的最高点找到，作为校正值，在10个散点图以最高点为中心，将10个散点图经过上下左右平移，使得所有轮廓线的最高点（特征值）重合，此时10条散点图基本重合，做出的图像如下： + +![](images/4534d9beac2bd67722ad585a6bc4af8632199f50b3cd1042e31ea52f0087802d.jpg) +图5.3.2-110条轮廓线经过上下左右平移最高点重合时的图像 + +我们把经过变换后的10条轮廓的散点数据（10组数据）汇总合为一条散点图（一组数据），进行拟合函数，拟合方法同问题1，计算的结果如下： + +表 5.3.2-1 两相邻轮廓线交点坐标 + +
轮廓线两相邻轮廓线的交点轮廓线两相邻轮廓线的交点
1,2(50.5191,-13.5654)7,8(62.4026,-9.5991)
2,3(57.1651,-9.8955)8,9(62.9960,-9.2562)
3,4(60.0521,-8.3648)9,10(63.3713,-9.4015)
4,5(60.3913,-8.4024)10,11(64.1452,-10.8913)
5,6(61.4820,-10.4407)11,12(64.2702,-14.0682)
6,7(62.2128,-10.1642)
+ +拟合的各段函数表达式为： + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{c c} 0. 4 2 3 2 x - 3 4. 9 4 5 1 & x \epsilon (4 8. 0 8 4 2, 5 0. 5 1 9 1) \\ \sqrt {4 . 5 2 5 0 ^ {2} - (\mathrm {x} - 5 2 . 6 5 1 5) ^ {2}} - 9. 5 7 4 4 & x \epsilon (5 0. 5 1 9 1, 5 7. 1 6 5 1) \\ 0. 5 3 0 2 x - 4 0. 2 0 4 4 & x \epsilon (5 7. 1 6 5 1, 6 0. 0 5 2 1) \\ - 0. 1 1 1 0 x - 1. 6 9 9 0 & x \epsilon (6 0. 0 5 2 1, 6 0. 3 9 1 3) \\ - 1. 8 6 8 8 x + 1 0 4. 4 5 6 9 & x \epsilon (6 0. 3 9 1 3, 6 1. 4 8 2 0) \\ 0. 3 7 8 4 x - 3 3. 7 0 5 5 & x \epsilon (6 1. 4 8 2 0, 6 2. 2 1 2 8) \\ 2. 9 7 7 5 x - 1 9 5. 4 0 2 9 & x \epsilon (6 2. 2 1 2 8, 6 2. 4 0 2 6) \\ 0. 5 7 7 8 x - 4 5. 6 5 5 3 & x \epsilon (6 2. 4 0 2 6, \text {6} \text {2} \text {9} \text {6} \text {0}) \\ - 0. 3 8 7 1 x + \text {1} _ {5} \text {1} _ {2} \text {9} _ {5} & x \epsilon (6 \text {2} \text {9} \text {9} \text {6} \text {3} \text {7} \text {1} \text {3}) \\ - \text {1} _ {5} \text {2} _ {7} \text {6} + \text {1} _ {2} \text {5} _ {8} \text {8} _ {2} & x \epsilon (6 \text {3} \text {7} \text {1} \text {3}, \text {6} \text {4} \text {1} \text {4} \text {5} _ {2}) \\ - \text {2} _ {5} \text {4} _ {7} \text {2} _ {1} \text {4} + \text {1} _ {6} \text {1} _ {9} \text {7} _ {6} \text {9} & x \epsilon (6 \text {4} \text {1} \text {4} \text {5} _ {2}, \text {6} \text {4} \text {2} \text {7} _ {0}) \\ - \text {9} _ {5} \text {7} _ {7} \text {3} + \text {5} _ {6} \text {9}. _ {2} \text {0} _ {3} & x \epsilon (6 \text {4} \text {2} \text {7} _ {0}, \text {6} \text {5}. _ {\text {3}} ^ {\prime} \text {7} _ {\mathrm {6}}) \end{array} \right. +$$ + +如下图： + +![](images/12286ef8a983dcb22115ec61da156f726fe28cf3ad37a1b9e0c7fd2fb6cf1959.jpg) +图5.3.2-2轮廓线参数指标 + +同样的，可以求得工件2的各个参数为： + +$\angle 1$ 为线段 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的夹角， $\angle 2$ 为线段 $x_{3}$ 与 $x_{4}$ 的夹角，依此类推， $\angle 9$ 为线段 $x_{9}$ 与 $x_{10}$ 的夹角。 + +表 5.3.2-1 工件 2 的参数 + +
参数数值参数数值
x17.589∠1145.7336°
x20.3413∠2124.4853°
x32.311∠3106.6311°
x40.7813∠4129.2914°
x50.596∠5138.5845°
x60.6852∠6128.8281°
x70.4019∠7138.5813°
x81.680∠8154.8359°
x93.110∠9175.9673°
圆半径R4.5250圆弧长l4.5035
+ +# 5.3.3工件2完整轮廓线 + +根据函数拟合表达式， $\mathbf{x}$ 的取值范围，利用MATLAB画出工件2轮廓图像，如下： + +![](images/48b083c2b95d224c92e6b0e45ab18ed64d73041793ed095c5d5ec58cf62343bb.jpg) +图5.3.3-1工件2拟合函数绘制出的曲线 + +# 5.4 问题四的求解 + +5.4.1 圆角的修正 + +![](images/c6af4c1a3d60b817941efa2052f0a764f7fa5ba0cbdb369b4e1ad513e13f4d48.jpg) +图5.4.1-19个数据的轮廓重合图 + +由于只需要对工件2的轮廓校正，我们只要计算工件2圆角部分的参数即可，即圆半径和弧长。将附件三中的数据经过上下左右平移，使特征点重合。如上图5.4.1-1为附件三9个数据的轮廓重合图（特征点为圆的最低点）。 + +计算重合轮廓的函数曲线，将每组移动变换后的数据保存，作为重合的真实函数数据拟合，拟合结果如下： + +$$ +(x - 4 0. 3 9 8 2) ^ {2} + (y - 9. 0 2 7 8) ^ {2} = 5. 8 1 0 9 ^ {2} +$$ + +解得，圆半径为5.8109，弧长为4.9947，数据可以视为标准数据。 + +对比问题三算得的工件2参数半径4.5250，弧长为4.5035，两者之间半径相差1.2759，弧长相差0.4912，将计算出的标准数据替换掉问题3计算的参数。 + +# 5.4.2 直角的修正 + +直角相对于圆角，同样的计算方法，将9个数据定一个特征点（最高点），通过平移令特征点重合，如下图5.4.2-1。 + +计算重合轮廓的函数曲线，将每组移动变换后的数据保存，作为重合的真实函数数据拟合，拟合结果如下： + +![](images/2d5e80f373119b1ff0dff109a8d4d7c1cf00374798bf70dc12b71153ef044630.jpg) +图5.4.2-19个数据的轮廓重合图 + +拟合出的表达式为： + +$$ +y = \left\{ \begin{array}{l} 0. 1 6 1 7 x + 2. 7 1 6 6 \\ - 2. 1 4 0 7 x + 1 1 3. 8 2 8 7 \\ - 4. 7 6 1 6 x + 2 4 0. 9 5 2 5 \\ 0. 2 5 1 8 x - 4. 2 8 9 9 \\ 1. 0 3 4 4 1 x - 4 3. 1 1 0 7 \\ 0. 1 1 7 1 x + 2. 7 9 0 9 \\ - 0. 4 6 6 0 x + 3 2. 3 0 7 5 \\ - 4. 4 9 2 3 x + 2 3 7. 1 5 1 1 \end{array} \right. +$$ + +交点如下表： + +表 5.4.2-1 轮廓线交点 + +
轮廓线两相邻轮廓线的交点轮廓线两相邻轮廓线的交点
1,2(48.2592, 10.5201)5,6(50.0562, 8.6524)
2,3(48.5038, 9.9964)6,7(50.6201, 8.7185)
3,4(48.9173, 8.0274)7,8(50.8763, 8.5991)
4,5(49.6239, 8.2054)
+ +表 5.4.2-2 参数的值 + +
参数值参数值
x20.5780x50.6218
x32.0119x60.5678
x40.7287x70.2826
+ +计算两直线的夹角公式 + +$$ +\tan \alpha = \frac {\left| k _ {1} - k _ {2} \right|}{1 + k _ {1} k _ {2}} +$$ + +其中： $\alpha$ 为两直线的夹角 $\alpha \in (0,\frac{\pi}{2})$ ， $k_{1},k_{2}$ 为两直线的斜率 + +表 5.4.2-3 参数夹角度数 + +
∠1105.8538∠5140.7168
∠2166.8189∠6148.3337
∠392.2727∠7127.5345
∠4148.1721
+ +通过两次数据对比，我们可以看到存在些许误差。将计算出的标准数据替换掉问题3计算的参数。 + +# 5.4.3 模型的校正 + +将5.4.1与5.4.2计算的数据进行校正，从图5.3.3-1中圆弧与左侧线段的交点出发，构造一个以5.8109为半径，4.9947为弧长的圆弧。接下来以表5.4.2-2和5.4.2-3的数据构建出修正后的工件2完整轮廓线如下： + +![](images/e2c092387a2db1234d02531b570fd26b2af4140cff02f45ba5c20e91dc5e9ceb.jpg) +图5.4.3-1修正后的工件2 + +# 六. 模型的评价与推广 + +# 优点： + +1. 模型刻画拟合工件轮廓的函数表达式，可以利用函数表达式联立计算精确的得到想要的参数。 +2. 文章整体思路清晰，结论与理由分析都十分完好，在计算时，误差的多次测量取平均值也较为合理。 + +# 缺点： + +1. 函数的分段拟合花费大量的时间精力，工作量偏大，最好能生成一个全自动的计算模型，以便更快的完成任务。 +2. 在函数的拟合刻画时，我们截取的数据为自定义的区间范围内的散点拟合，导致函数的精确度还可以提高。 + +# 改进： + +1. 模型的精确度可以通过函数的残差检验进行更进一步的数据精确。 +2. 在问题二和问题三中，模型可以将十条函数值拟合刻画，这样计算出的参数值可以通过十次的均值来减小误差，但是这样也会导致计算量的巨大提高。不过，在时间允许的情况下，是可以采用的提高精度“笨方法”。 +3. 将拟合、求函数、解交点、求斜率、算长度等工作生成一个全自动的程序，以节省时间。 + +# 七. 参考文献 + +[1]宋武生. 平均误差与仪器误差合成初探[J]. 开封教育学院学报, +1992(03):58-59. +[2]韩志国, 李锁印, 冯亚南, 赵琳. 接触式轮廓仪探针状态检查图形样块的研制[J]. 微纳电子技术, 2019, 56(09):761-765. +[3] 马麟. 三次参数曲线拟合圆弧段的误差特性分析[J]. 山西机械, + +2000(02)：20-21+24. + +[4] 葛宝珊, 刘锋, 杜峰, 李旭杰, 闫浩. 一种精确测量应变的方法[C]. 中国高科技产业化研究会智能信息处理产业化分会. 第十届全国信号和智能信息处理与应用学术会议专刊. 中国高科技产业化研究会智能信息处理产业化分会: 中国高科技产业化研究会, 2016:374-378. +[5] 王云庆, 李庆祥, 周兆英. 接触式轮廓测量中触针测量力的分析[J]. 现代计量测试, 1996(01):18-21+17. +[6] 伍春兰. 直线方程、倾斜角与斜率的教学实践与反思[J]. 数学通报, 2017, 56(05):30-33+63. + +# 八.附录 + +1. %附件一散点图 +2. $a = \text{load('1-L.txt')}$ ; +3. plot(a(:,1),a(:,2),'.'); +4. hold on; +5. b=load('1-D.txt'); +6. plot(b(:,1),b(:,2,'r.') + +1. %附件二散点图 + +2. a1=load('2.1.txt'); +3. plot(a1(:,1),a1(:,2),{''}) +4. hold on; +5. a2=load('2.2.txt'); +6. plot(a2(:,1),a2(:,2),{'.'); +7. a3=load('2.3.txt'); +8. plot(a3(:,1),a3(:,2),{''}) +9. a4=load('2.4.txt'); +10. plot(a4(:,1),a4(:,2),'.'); +11. a5=load ('2.5.txt'); +12. plot(a5(:,1),a5(:,2),{'.'); +13. a6=load ('2.6.txt'); +14. plot(a6(:,1),a6(:,2),'.'); +15. a7=load ('2.7.txt'); +16. plot(a7(:,1),a7(:,2),'.'); +17. a8=load ('2.8.txt'); +18. plot(a8(:,1),a8(:,2),{'. '}); +19. a9=load ('2.9.txt'); +20. plot(a9(:,1),a9(:,2),'.'); +21. a10=load('2.10.txt'); +22. plot(a10(:,1),a10(:,2),'.'); + +1. %附件三散点图 + +2. a1=load('3.1.txt'); +3. plot(a1(:,1),a1(:,2),{'.'); +4. hold on; +5. a2=load('3.2.txt'); +6. plot(a2(:,1),a2(:,2),{''}) +7. a3=load('3.3.txt'); + +```matlab +8. plot(a3(:,1),a3(:,2,'.') +9. a4=load ('3.4.txt'); +10. plot(a4(:,1),a4(:,2,'.'] +11. a5=load ('3.5.txt'); +12. plot(a5(:,1),a5(:,2,'.'] +13. a6=load ('3.6.txt'); +14. plot(a6(:,1),a6(:,2,'.'] +15. hold on; +16. a7=load ('3.7.txt'); +17. plot(a7(:,1),a7(:,2,'.'] +18. a8=load ('3.8.txt'); +19. plot(a8(:,1),a8(:,2,'.'] +20. a9=load ('3.9.txt'); +21. plot(a9(:,1),a9(:,2,'.'] +``` + +1. %附件四散点图 + +```matlab +2. a1=load ('4.1.txt'); +3. plot(a1(:,1),a1(:,2), '.'); +4. hold on; +5. a2=load ('4.2.txt'); +6. plot(a2(:,1),a2(:,2), '.'); +7. a3=load ('4.3.txt'); +8. plot(a3(:,1),a3(:,2), '.'); +9. a4=load ('4.4.txt'); +10. plot(a4(:,1),a4(:,2), '.'); +11. a5=load ('4.5.txt'); +12. plot(a5(:,1),a5(:,2), '.'); +13. a6=load ('4.6.txt'); +14. plot(a6(:,1),a6(:,2), '.'); +15. a7=load ('4.7.txt'); +16. plot(a7(:,1),a7(:,2), '.'); +17. a8=load ('4.8.txt'); +18. plot(a8(:,1),a8(:,2), '.'); +19. a9=load ('4.9.txt'); +20. plot(a9(:,1),a9(:,2), '.'); +``` + +1. %直线拟合 $y = b$ +2. clear all;clc; +3. a=load('1.txt'); +4. plot(a(:,1),a(:,2), '.'); +5. + +5. $c =$ find(and(a(:,1)<49,a(:,1)>47) == 1); %在第一段曲线找两个点 47, 49 +6. $d = c(size(c))$ +7. $e = a(d(2):d(1),:) ; \%$ 在47到49之间的所有数据 +8. $b = \text{mean}(\mathbf{e}(:,2))$ +9. +10. +11. %一元回归拟合 $y = kx + b$ +12. clear all;clc; +13. a=load('1.txt'); +14. plot(a(:,1),a(:,2),{''}) +15.c=find(and(a(:,1)<50.58,a(:,1)>49.8)=1);%在第一段曲线找两个点49.8，50.58 +16. $d = c(size(c))$ +17. $e = a(d(2):d(1),:) \%$ 之间的所有数据 +18. $f =$ floor(size(e(:,1))/100); +19.%向下取整,将数据量除100 +20. E=zeros(f(1), 2);%初始化 +21. for $m = 1:f(1)$ +22. $E(m,:) = \sum m(e((m - 1)^{*}100 + 1:m^{*}100,:)) / 100;$ +23. end +24. $x1 = E(:,1)$ +25. $y1 = E(:,2)$ ; +26. $X1 =$ [ones(size(x1)) x1]; +27.[b1,bint1,r1,rint1,stats1]=regress(y1,X1); +28. b1, bint1, stats1 +29. +30. +31.%圆的一般方程拟合 $x^{\wedge}2 + y^{\wedge}2 + Dx + Ey + F = 0$ +32. clear all;clc; +33. a=load('1-L.txt'); +34. plot(a(:,1),a(:,2),{''}) +35. c=find(and(a(:,1)<51.49,a(:,1)>50.95)=1); %在第一段曲线找两个点50.95，51.49 +36. $d = c(size(c))$ +37. $e = a(d(2):d(1),\colon)$ ；%之间的所有数据 +38.[xc,c,y_c,R,r] $=$ circuitfit(e(:,1),e(:,2)); +39. x_c,y_c,R,r +40. +41. +42.%圆拟合函数计算M函数文件 +43. function $[x_c, y_c, R, r] = \text{circuit}(x, y)$ +44. $\%$ MATLAB圆弧函数拟合 +45. $x = e(:,1);y = e(:,2);$ +46. $n = \text{length}(x)$ ; +47. $A = \left[ \sum (x) \sum (y) n; \sum (x * y) \sum (y * y) \dots \right]$ +48. sum(y);sum(x.\*x) sum(x.\*y) sum(x)]; + +49. $B = [-\sum (x.*x + y.*y)$ ；-sum(x.*x.*y+y.*y*y）；-sum(x.*x.*x+X.*y.*y)]; +50. $r = A\backslash B$ ； $\%$ 表示求解矩阵方程Ar=B的解 +51. x_c = -.5*r(1);%圆心横坐标 +52. y_c = -.5*r(2);%圆心纵坐标 +53. R = sqrt((r(1)^2 + r(2)^2) / 4 - r(3));%圆半径 +54. end + +1. %计算工件 1 各项参数 + +2. clear all;clc; +3. syms x y; + +4. + +5. %圆曲线（x-x_c）^2+（y-y_c）^2=R^2 +6. $q3 = (x - 51.2177)^{\wedge}2 + (y + 4.2582)^{\wedge}2 == (\theta .4941)^{\wedge}2;$ +7. $q7 = (x - 58.7048)^2 + (y + 4.4395)^2 == (0.3011)^2;$ +8. $q11 = (x - 65.7728)^{\wedge}2 + (y + 4.4619)^{\wedge}2 == (\theta .2974)^{\wedge}2;$ +9. q17=(x-85.7117)^2+(y+1.3674)^2== (0.9802)^2; +10. q19=(x-88.5205)^2+(y+2.2255)^2== (1.0204)^2; +11. $q21 = (x - 98.0520)^{\wedge}2 + (y + 0.1012)^{\wedge}2 == (3.9845)^{\wedge}2;$ +12. $q23 = (x - 110.3021)^{2} + (y + 3.4715)^{2} == (3.9992)^{2}$ + +13. +14. %水平直线 $y = b$ +15. $s1 = y == -1.7703$ +16. $s5 = y == -1.7674;$ +17. $s9 = y == -1.7681$ +18. $s13 = y = -1.7674;$ +19. $s16 = y = -1.7779;$ +20. $s18 = y = -1.7776;$ +21. $s20 = y = -1.7784$ +22. $s22 = y = -1.7807$ +23. $s24 = y = -1.7846;$ +24. +25. %直线 $y = kx + b$ +26. $z2 = y = -2.741^{*}x + 134.673;$ +27. $z4 = y == 2.788^{*}x - 148.566;$ +28. $z6 = y = -3.722^{*}x + 212.816;$ +29. $z8 = y == 3.330^* x - 200.668$ +30. $z10 = y == -3.780^{*}x + 242.905;$ +31. $z12 = y == 3.515*x - 236.496;$ +32. $z14 = y = = 0.198^{*}x - 16.045;$ +33. $z15 = y = = -0.201^{*}x + 14.645;$ +34. +35.%相邻轮廓方程联立求解 + +36. a1=solve(s1,z2); +37. a1.x, a1.y +38. a2=solve(z2,q3); +39. a2.x, a2.y +40. a3=solve(q3,z4); +41. a3.x,a3.y +42. a4=solve(z4,s5); +43. a4.x, a4.y +44. a5=solve(s5,z6); +45. a5.x, a5.y +46. a6=solve(z6,q7); +47. a6.x,a6.y +48. a7=solve(q7,z8); +49. a7.x, a7.y +50. a8=solve(z8,s9); +51. a8.x,a8.y +52. a9=solve(s9,z10); +53. a9.x,a9.y +54. a10 = solve(z10, q11); +55. a10.x, a10.y +56. a11=solve(q11,z12); +57. a11.x, a11.y +58. a12=solve(z12,s13); +59. a12.x, a12.y +60. a13=solve(s13,z14); +61. a13.x, a13.y +62. a14=solve(z14,z15); +63. a14.x, a14.y +64. a15=solve(z15,s16); +65. a15.x, a15.y +66. a16=solve(s16,q17); +67. a16.x, a16.y +68. a17=solve(q17,s18); +69. a17.x, a17.y +70. a18=solve(s18,q19); +71. a18.x, a18.y +72. a19=solve(q19,s20); +73. a19.x, a19.y +74. a20=solve(s20,q21); +75. a20.x, a20.y +76. a21=solve(q21,s22); +77. a21.x, a21.y +78. a22=solve(s22,q23); +79. a22.x, a22.y + +80. a23=solve(q23,s24); +81. a23.x, a23.y +82. +83. + +84. %计算角度 +85. clear all;clc; +86. syms a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8; +87. eq1 = tan(a1) == -2.741; +88. solve(eq1) +89. eq2= tand(a2) == 2.788; +90. solve(eq2) +91.eq3 $\equiv$ tan(a3) $= = -3.722$ +92. solve(eq3) +93. eq4 = tan(a4) == 3.330; +94. solve(eq4) +95. eq5 = tan(a5) == -3.780; +96. solve(eq5) +97. eq6 = tan(a6) == 3.515; +98. solve(eq6) +99. eq7=tand(a7) == 0.198 +100. solve(eq7) +101. eq8=tand(a8)=-0.201 +102. solve(eq8) +103. +104. +105. +106. +107. +108. %圆曲线（x-x_c）^2+（y-y_c）^2=R^2 +109. $q3 = (x - 51.2177)^{\wedge}2 + (y + 4.2582)^{\wedge}2 == (0.4941)^{\wedge}2;$ +110. $q7 = (x - 58.7048)^{\wedge}2 + (y + 4.4395)^{\wedge}2 == (0.3011)^{\wedge}2;$ +111. q11=(x-65.7728)^2+(y+4.4619)^2== (0.2974)^2; +112. q17=(x-85.7117)^2+(y+1.3674)^2== (0.9802)^2; +113. q19=(x-88.5205)^2+(y+2.2255)^2== (1.0204)^2; +114. $q21 = (x - 98.0520)^{2} + (y + 0.1012)^{2} == (3.9845)^{2}$ +115. $q23 = (x - 110.3021)^{\wedge}2 + (y + 3.4715)^{\wedge}2 == (3.9992)^{\wedge}2;$ +116. +117. %水平直线 $y = b$ +118. $s1 = y = -1.7703$ +119. $s5 = y = -1.7674;$ +120. $s9 = y = -1.7681$ +121. $s13 = y == -1.7674;$ +122. $s16 = y == -1.7779;$ +123. $s18 = y = -1.7776;$ + +124. $s20 = y = -1.7784$ +125. $s22 = y = -1.7807$ +126. $s24 = y = -1.7846$ +127. +128.%直线y=kx+b +129.z2=y=-2.741\*x+134.673; +130.z4=y=2.788\*x-148.566; +131.z6=y=-3.722\*x+212.816; +132.z8=y=3.330\*x-200.668; +133.z10=y=-3.780\*x+242.905; +134.z12=y=3.515\*x-236.496; +135.z14=y=0.198\*x-16.045; +136.z15=y=-0.201\*x+14.645; +137. +138.%求弧长 +139.d=57.1651-50.5191; +140.r=4.525; +141.a=asin(d/(2\*r)); +142.l=2\*pi\*r\*a/(2\*pi) +143. +144. +145. +146. +147.问题2 +148.%计算倾斜角度 +149.symsb; +150.eq=tand(b)=0.0189;%斜率改为角度制 +151.solve(eq) +152. +153. +154. +155. +156.%水平校正 +157.clear all;clc; +158.a=load('1-D.txt'); +159.M=[cos(-0.13126) sin(-0.13126) 0; +160.-sin(-0.13126) cos(-0.13126) 0; +161. $\theta$ 0 0 1];%旋转矩阵 +162.S(1,:)=a(:,1);%x +163.S(2,:)=a(:,2);%y +164.S(3,:)=1;%将二维坐标表达成(x,y,1)的形式 +165.R=M\*S; +166.plot(R(1,:),R(2,:),‘r.') +167.%计算工件1校正各项参数 + +168. clear all;clc; +169. syms x y; +170. +171. %圆曲线（x-x_c）^2+（y-y_c）^2=R^2 +172. $q3 = (x - 53.1644)^{\wedge}2 + (y - 5.2868)^{\wedge}2 == (\theta .4875)^{\wedge}2;$ +173. $q7 = (x - 60.6514)^{\wedge}2 + (y - 5.1249)^{\wedge}2 == (0.3036)^{\wedge}2;$ +174. q11=(x-67.7160)^2+(y-5.1079)^2== (0.2930)^2; +175. q17=(x-87.6510)^2+(y-8.26204)^2== (1.0028)^2; +176. q19=(x-90.4635)^2+(y-7.4029)^2== (1.0020)^2; +177. q21=(x-99.9937)^2+(y-9.5484)^2===(4.0084)^2; +178. $q23 = (x - 112.2502)^{\wedge}2 + (y - 6.1709)^{\wedge}2 == (3.9979)^{\wedge}2;$ +179. +180. $\%$ 水平直线 $y = b$ +181. $s1 = y == 7.779;$ +182. $s5 = y == 7.793;$ +183. $s9 = y == 7.802$ +184. $s13 = y == 7.809;$ +185. $s16 = y == 7.824;$ +186. $s18 = y == 7.830;$ +187. $s20 = y == 7.836;$ +188. $s22 = y == 7.853$ +189. $s24 = y == 7.864$ +190. +191. %直线 $y = kx + b$ +192. $z2 = y == -2.726^{*}x + 148.776;$ +193. $z4 = y == 2.759*x - 142.878;$ +194. $z6 = y = = -3.708^{*}x + 228.765;$ +195. $z8 = y == 3.662*x - 218.087;$ +196. $z10 = y = -3.764^{*}x + 258.79;$ +197. $z12 = y == 3.799*x - 253.350;$ +198. $z14 = y = = 0.201^{*}x - 7.046;$ +199. $z15 = y = -0.199^{*}x + 24.480;$ +200. +201. %相邻轮廓方程联立求解 +202. a1=solve(s1,z2); +203. a1.x, a1.y +204. a2=solve(z2,q3); +205. a2.x, a2.y +206. a3=solve(q3,z4); +207. a3.x,a3.y +208. a4=solve(z4,s5); +209. a4.x, a4.y +210. a5=solve(s5,z6); +211. a5.x,a5.y + +212. a6=solve(z6,q7); +213. a6.x,a6.y +214. a7=solve(q7,z8); +215. a7.x,a7.y +216. a8=solve(z8,s9); +217. a8.x,a8.y +218. a9=solve(s9,z10); +219. a9.x,a9.y +220. a10=solve(z10,q11); +221. a10.x, a10.y +222. a11=solve(q11,z12); +223. a11.x, a11.y +224. a12=solve(z12,s13); +225. a12.x, a12.y +226. a13=solve(s13,z14); +227. a13.x, a13.y +228. a14=solve(z14,z15); +229. a14.x, a14.y +230. a15=solve(z15,s16); +231. a15.x, a15.y +232. a16=solve(s16,q17); +233. a16.x, a16.y +234. a17=solve(q17,s18); +235. a17.x, a17.y +236. a18=solve(s18,q19); +237. a18.x, a18.y +238. a19=solve(q19,s20); +239. a19.x, a19.y +240. a20=solve(s20,q21); +241. a20.x, a20.y +242. a21=solve(q21,s22); +243. a21.x, a21.y +244. a22=solve(s22,q23); +245. a22.x, a22.y +246. a23=solve(q23,s24); +247. a23.x, a23.y +248. +249. +250. +251. %计算角度 +252. clear all;clc; +253. syms a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8; +254. eq1=tand(a1)=-2.726; +255. solve(eq1) + +256. eq2=tand(a2) $= =$ 2.759; +257. solve(eq2) +258. eq3=tand(a3) $= =$ -3.708; +259. solve(eq3) +260. eq4=tand(a4) $= =$ 3.662; +261. solve(eq4) +262. eq5=tand(a5) $= =$ -3.764; +263. solve(eq5) +264. eq6=tand(a6) $= =$ 3.799; +265. solve(eq6) +266. eq7=tand(a7) $= =$ 0.201 +267. solve(eq7) +268. eq8=tand(a8) $= =$ -0.199 +269. solve(eq8) + +1. %问题三数据校正 + +```matlab +2. a1=load ('2.1.txt'); +3. a2=load ('2.2.txt'); +4. a3=load ('2.3.txt'); +5. a4=load ('2.4.txt'); +6. a5=load ('2.5.txt'); +7. a6=load ('2.6.txt'); +8. a7=load ('2.7.txt'); +9. a8=load ('2.8.txt'); +10. a9=load ('2.9.txt'); +11. a10=load ('2.10.txt') +12. +``` + +13. %平移使最高点重合 + +```matlab +14. n1 = max(a1(:,2)); +15. [row1,cell1] = find(a1 == n1); +16. n2 = max(a2(:,2)); +17. [row2,cell2] = find(a2 == n2); +18. n3 = max(a3(:,2)); +19. [row3,cell3] = find(a3 == n3); +20. row3 = row3(1); cell3 = cell1(1) +21. n4 = max(a4(:,2)); +22. [row4,cell4] = find(a4 == n4); +23. n5 = max(a5(:,2)); +24. [row5,cell5] = find(a5 == n5); +25. n6 = max(a6(:,2)); +26. [row6,cell6] = find(a6 == n6); +27. n7 = max(a7(:,2)); +``` + +28.[row7,cell7]=find(a7==n7); +29. n8=max(a8(:,2)); +30.[row8,cell8]=find(a8=n8); +31. n9=max(a9(:,2)); +32.[row9,cell9]=find(a9==n9); +33. n10=max(a10(:,2)); +34.[row10,cell110]=find(a10==n10); +35. +36. n_n=max([a1(row1,1);a2(row2,1); +37. a3(row3,1);a4(row4,1);a5(row5,1); +38. a6(row6,1);a7(row7,1);a8(row8,1); +39. a9(row9,1);a10(row10,1)]; +40. +41.cc1=n_n-a1(row1,1); +42. cc2 = n_n -a2(row2,1); +43.cc3=n_n-a3(row3,1); +44.cc4=n_n-a4(row4,1); +45.cc5=n_n-a5(row5,1); +46.cc6=n_n-a6(row6,1); +47.cc7=n_n-a7(row7,1); +48. cc8 = n_n- a8(row8,1); +49.cc9=n_n-a9(row9,1); +50.cc10=n_n-a10(row10,1); +51. +52. +53. +54. nn=[n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10]; +55. $n = \max (nn)$ +56.[row,cell] $=$ find $(\text{nn} = = \text{n})$ +57. +58. +59. +60.c1=nn(row,cell)-n1; +61. c2= nn(row,cell)-n2; +62. $c3 =$ nn(row,cell)-n3; +63. c4= nn(row,cell)-n4; +64.c5=nn(row,cell)-n5; +65.c6=nn(row,cell)-n6; +66. $c7 = \text{nn(row,cell)} - n7$ ; +67. $c8 = \text{nn(row,cell)} - \text{n8}$ ; +68.c9 = nn(row,cell)-n9; +69.c10 = nn(row,cell)-n10; +70. +71. + +```csv +72. +73. +74.y1_y1=a1(:,2)+c1; +75.y2_y2=a2(:,2)+c2; +76.y3_y3=a3(:,2)+c3; +77.y4_y4=a4(:,2)+c4; +78.y5_y5=a5(:,2)+c5; +79.y6_y6=a6(:,2)+c6; +80.y7_y7=a7(:,2)+c7; +81.y8_y8=a8(:,2)+c8; +82.y9_y9=a9(:,2)+c9; +83.y10_y10=a10(:,2)+c10; +84. +85.x1_x1=a1(:,1)+cc1; +86.x2_x2=a2(:,1)+cc2; +87.x3_x3=a3(:,1)+cc3; +88.x4_x4=a4(:,1)+cc4; +89.x5_x5=a5(:,1)+cc5; +90.x6_x6=a6(:,1)+cc6; +91.x7_x7=a7(:,1)+cc7; +92.x8_x8=a8(:,1)+cc8; +93.x9_x9=a9(:,1)+cc9; +94.x10_x10=a10(:,1)+cc10; +95. +96. +97. +98. +99.plot(x1_x1,y1_y1,'.')； +100 hold on; +101.plot(x2_x2,y2_y2,'.')； +102.plot(x3_x3,y3_y3,'.')； +103.plot(x4_x4,y4_y4,'.']； +104.plot(x5_x5,y5_y5,'.']； +105.plot(x6_x6,y6_y6,'.']； +106.plot(x7_x7,y7_y7,'.']； +107.plot(x8_x8,y8_y8,'.']； +108.plot(x9_x9,y9_y9,'.']； +109.plot(x10_x10,y10_y10,'.']； +110 HOLD off; +111. +112.m=[x1_x1，y1_y1; +113.x2_x2,y2_y2; +114.x3_x3，y3_y3; +115.x4_x4，y4_y4; +``` + +116. x5_x5, y5_y5; +117. x6_x6, y6_y6; +118. x7_x7, y7_y7; +119. x8_x8, y8_y8; +120. x9_x9, y9_y9; +121. x10_x10, y10_y10]; +122. mm=sortrows(m); +123. %将数据 mm 另存文件，作为拟合原始数据 + +1. %求工件2轮廓作图 + +2. $x1 = [48.0842:0.0001:50.5191]$ +3. $x2 = [50.5191:0.0001:57.1651]$ +4. $x3 = [57.1651:0.0001:60.0521]$ +5. $x4 = [60.0521:0.0001:60.3913]$ +6. $x5 = [60.3913:0.0001:61.4820]$ +7. $x6 = [61.4820:0.0001:62.2128]$ +8. $x7 = [62.2128:0.0001:62.4026]$ +9. $x8 = [62.4026:0.0001:62.9960]$ +10. $x9 = [62.9960:0.0001:63.3713]$ +11. $x10 = [63.3713:0.0001:64.1452]$ +12. $x_{11} = [64.1452:0.0001:64.2702]$ +13. $\times 12 = [64.2702:0.0001:65.3765]$ + +14. +15. $y = 0.4232^{*}x1 - 34.9451$ +16. plot(x1,y, '-m', 'LineWidth',2); +17. hold on; +18. $y = -9.5744 - ((4.5250)^{\wedge}2 - (x2 - 52.6515).^{\wedge}2)$ .^0.5; +19. plot(x2,y,'-m', 'LineWidth',2); +20.y=0.5302\*x3-40.2044; +21. plot(x3,y, '-m', 'LineWidth', 2); +22. $y = -0.1110^{*}x4 - 1.6990;$ +23. plot(x4,y, '-m', 'LineWidth', 2); +24. $y = -1.8688^{*}x5 + 104.4569$ +25. plot(x5,y, '-m', 'LineWidth', 2); +26. $y = 0.3784 * x6 - 33.7055$ ; +27. plot(x6,y, '-m', 'LineWidth', 2); +28. $y = 2.9775 \times 7 - 195.4029$ ; +29. plot(x7,y, '-m', 'LineWidth', 2); +30. $y = 0.5778^{*}x8 - 45.6553;$ +31. plot(x8,y, '-m', 'LineWidth',2); +32. $y = -0.3871^{*}x9 + 15.1295;$ +33. plot(x9,y, '-m', 'LineWidth',2); + +34. $y = -1$ .9250\*x10+112.5882; +35. plot(x10,y, '-m', 'LineWidth', 2); +36. $y = -25$ .4214\*x11+1619.7699; +37. plot(x11,y, '-m', 'LineWidth', 2); +38. $y = -9$ .0753\*x12+569.203; +39. plot(x12,y, '-m', 'LineWidth', 2); +40. +41. +42. +43. %问题四圆角平移使最低点重合 +44. a1=load ('3.1.txt'); +45. a2=load ('3.2.txt'); +46. a3=load ('3.3.txt'); +47. a4=load ('3.4.txt'); +48. a5=load ('3.5.txt'); +49. a6=load ('3.6.txt'); +50. a7=load ('3.7.txt'); +51. a8=load ('3.8.txt'); +52. a9=load ('3.9.txt'); +53. +54. n1=min(a1(:,2)); +55. [row1,cell1]=find(a1==n1,1); +56. n2=min(a2(:,2)); +57. [row2,cell2]=find(a2==n2,1); +58. n3=min(a3(:,2)); +59. [row3,cell3]=find(a3==n3,1); +60. n4=min(a4(:,2)); +61. [row4,cell4]=find(a4==n4,1); +62. n5=min(a5(:,2)); +63. [row5,cell5]=find(a5==n5,1); +64. n6=min(a6(:,2)); +65. [row6,cell6]=find(a6==n6,1); +66. n7=min(a7(:,2)); +67. [row7,cell7]=find(a7==n7,1); +68. n8=min(a8(:,2)); +69. [row8,cell8]=find(a8==n8,1); +70. n9=min(a9(:,2)); +71. [row9,cell9]=find(a9==n9,1); +72. +73. +74. +75. n_n=min([a1(row1,1);a2(row2,1); +76. a3(row3,1);a4(row4,1);a5(row5,1); +77. a6(row6,1);a7(row7,1);a8(row8,1); + +```csv +78. a9(row9,1)]; +79. +80. cc1=-n_n+a1(row1,1); +81. cc2=-n_n+a2(row2,1); +82. cc3=-n_n+a3(row3,1); +83. cc4=-n_n+a4(row4,1); +84. cc5=-n_n+a5(row5,1); +85. cc6=-n_n+a6(row6,1); +86. cc7=-n_n+a7(row7,1); +87. cc8=-n_n+a8(row8,1); +88. cc9=-n_n+a9(row9,1); +89. +90. +91. +92. nn=[n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9]; +93. n=min(nn); +94. [row,cell]=find(nn==n); +95. +96. +97. +98. c1=-nn(row,cell)+n1; +99. c2=-nn(row,cell)+n2; +100. c3=-nn(row,cell)+n3; +101. c4=-nn(row,cell)+n4; +102. c5=-nn(row,cell)+n5; +103. c6=-nn(row,cell)+n6; +104. c7=-nn(row,cell)+n7; +105. c8=-nn(row,cell)+n8; +106. c9=-nn(row,cell)+n9; +107. +108. +109. +110. +111. y1_y1=a1(:,2)-c1; +112. y2_y2=a2(:,2)-c2; +113. y3_y3=a3(:,2)-c3; +114. y4_y4=a4(:,2)-c4; +115. y5_y5=a5(:,2)-c5; +116. y6_y6=a6(:,2)-c6; +117. y7_y7=a7(:,2)-c7; +118. y8_y8=a8(:,2)-c8; +119. y9_y9=a9(:,2)-c9; +120. +121. x1_x1=a1(:,1)-cc1; +``` + +```csv +122. x2_x2=a2(:,1)-cc2; +123. x3_x3=a3(:,1)-cc3; +124. x4_x4=a4(:,1)-cc4; +125. x5_x5=a5(:,1)-cc5; +126. x6_x6=a6(:,1)-cc6; +127. x7_x7=a7(:,1)-cc7; +128. x8_x8=a8(:,1)-cc8; +129. x9_x9=a9(:,1)-cc9; +130. +131. +132. +133. +134. plot(x1_x1,y1_y1,'.') +135. hold on; +136. plot(x2_x2,y2_y2,'.') +137. plot(x3_x3,y3_y3,'.') +138. plot(x4_x4,y4_y4,'.') +139. plot(x5_x5,y5_y5,'.') +140. plot(x6_x6,y6_y6,'.') +141. plot(x7_x7,y7_y7,'.') +142. plot(x8_x8,y8_y8,'.'] +143. plot(x9_x9,y9_y9,'.'] +144. hold off; +145. +146. m=[x1_x1, y1_y1; +147. x2_x2,y2_y2; +148. x3_x3, y3_y3; +149. x4_x4, y4_y4; +150. x5_x5, y5_y5; +151. x6_x6, y6_y6; +152. x7_x7, y7_y7; +153. x8_x8, y8_y8; +154. x9_x9, y9_y9]; +155. mm=sort(m); +156. +157. +158. +159. +160. syms y x; +161. z1=y==0.4232*x-34.9451; +162. q2=(x-52.6515)^2+(y+9.5744)^2=((4.5250)^2; +163. z3=y==0.5302*x-40.2044; +164. z4=y=-0.1110*x-1.6990; +165. z5=y=-1.8688*x+104.4569; +``` + +166. $z6 = y == 0.3784*x - 33.7055$ ; +167. $z7 = y == 2.9775 * x - 195.4029$ +168. $z8 = y == 0.5778^{*}x - 45.6553;$ +169. $z9 = y == -0.3871*x + 15.1295;$ +170. $z10 = y = -1.9250^{*}x + 112.5882$ +171. $z11 = y = -25.4214^{*}x + 1619.7699;$ +172. $z12 = y = -9.0753^{*}x + 569.203$ +173. +174. 相邻轮廓方程联立求解 +175. a1=solve(z1,q2); +176. a1.x, a1.y +177. a2=solve(q2,z3); +178. a2.x, a2.y +179. a3=solve(z3,z4); +180. a3.x,a3.y +181. a4=solve(z4,z5); +182. a4.x, a4.y +183. a5=solve(z5,z6); +184. a5.x, a5.y +185. a6=solve(z6,z7); +186. a6.x,a6.y +187. a7=solve(z7,z8); +188. a7.x,a7.y +189. a8=solve(z8,z9); +190. a8.x, a8.y +191. a9=solve(z9,z10); +192. a9.x,a9.y +193. a10=solve(z10,z11); +194. a10.x, a10.y +195. a11=solve(z11,z12); +196. a11.x, a11.y +197. +198. +199. a1=load('4.1.txt'); +200. a2=load('4.2.txt'); +201. a3=load('4.3.txt'); +202. a4=load('4.4.txt'); +203. a5=load ('4.5.txt'); +204. a6=load('4.6.txt'); +205. a7=load('4.7.txt'); +206. a8=load ('4.8.txt'); +207. a9=load ('4.9.txt'); +208. +209. $\%$ 平移使最高点重合 + +```csv +210. n1=max(a1(:,2)); +211. [row1,cell1]=find(a1=n1,1); +212. n2=max(a2(:,2)); +213. [row2,cell2]=find(a2=n2,1); +214. n3=max(a3(:,2)); +215. [row3,cell3]=find(a3=n3,1); +216. n4=max(a4(:,2)); +217. [row4,cell4]=find(a4=n4,1); +218. n5=max(a5(:,2)); +219. [row5,cell5]=find(a5=n5,1); +220. n6=max(a6(:,2)); +221. [row6,cell6]=find(a6=n6,1); +222. n7=max(a7(:,2)); +223. [row7,cell7]=find(a7=n7,1); +224. n8=max(a8(:,2)); +225. [row8,cell8]=find(a8=n8,1); +226. n9=max(a9(:,2)); +227. [row9,cell9]=find(a9=n9,1); +228. +229. n_n=max([a1(row1,1);a2(row2,1); +230. a3(row3,1);a4(row4,1);a5(row5,1); +231. a6(row6,1);a7(row7,1);a8(row8,1); +232. a9(row9,1)]; +233. +234. cc1=n_n-a1(row1,1); +235. cc2=n_n-a2(row2,1); +236. cc3=n_n-a3(row3,1); +237. cc4=n_n-a4(row4,1); +238. cc5=n_n-a5(row5,1); +239. cc6=n_n-a6(row6,1); +240. cc7=n_n-a7(row7,1); +241. cc8=n_n-a8(row8,1); +242. cc9=n_n-a9(row9,1); +243. +244. +245. +246. nn=[n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9]; +247. n=max(nn); +248. [row,cell]=find(nn==n); +249. +250. +251. +252. c1=nn(row,cell)-n1; +253. c2=nn(row,cell)-n2; +``` + +```csv +254. c3= nn(row,cell)-n3; +255. c4= nn(row,cell)-n4; +256. c5= nn(row,cell)-n5; +257. c6= nn(row,cell)-n6; +258. c7= nn(row,cell)-n7; +259. c8= nn(row,cell)-n8; +260. c9 = nn(row,cell)-n9; +261. +262. +263. +264. +265. y1_y1=a1(:,2)+c1; +266. y2_y2=a2(:,2)+c2; +267. y3_y3=a3(:,2)+c3; +268. y4_y4=a4(:,2)+c4; +269. y5_y5=a5(:,2)+c5; +270. y6_y6=a6(:,2)+c6; +271. y7_y7=a7(:,2)+c7; +272. y8_y8=a8(:,2)+c8; +273. y9_y9=a9(:,2)+c9; +274. +275. x1_x1=a1(:,1)+cc1; +276. x2_x2=a2(:,1)+cc2; +277. x3_x3=a3(:,1)+cc3; +278. x4_x4=a4(:,1)+cc4; +279. x5_x5=a5(:,1)+cc5; +280. x6_x6=a6(:,1)+cc6; +281. x7_x7=a7(:,1)+cc7; +282. x8_x8=a8(:,1)+cc8; +283. x9_x9=a9(:,1)+cc9; +284. +285. +286. +287. +288. plot(x1_x1,y1_y1,'.') +289. hold on; +290. plot(x2_x2,y2_y2,'.') +291. plot(x3_x3,y3_y3,'.') +292. plot(x4_x4,y4_y4,'.') +293. plot(x5_x5,y5_y5,'.') +294. plot(x6_x6,y6_y6,'.') +295. plot(x7_x7,y7_y7,'.') +296. plot(x8_x8,y8_y8,'.') +297. plot(x9_x9,y9_y9,'.') +``` + +```txt +298. hold off; +299. +300. m=[x1_x1, y1_y1; +301. x2_x2, y2_y2; +302. x3_x3, y3_y3; +303. x4_x4, y4_y4; +304. x5_x5, y5_y5; +305. x6_x6, y6_y6; +306. x7_x7, y7_y7; +307. x8_x8, y8_y8; +308. x9_x9, y9_y9]; +309. mm=sort(m); +310. %将数据mm另存文件 +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/D011/D011.md b/MCM_CN/2020/D011/D011.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..ff66e22871d352b24bf1d8f266a93eb176bdd07e --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/D011/D011.md @@ -0,0 +1,804 @@ +# 基于接触式轮廓仪测量数据的工件形状自动标注方法 + +# 摘要 + +接触式轮廓仪在测量工件或产品的轮廓时，由于存在探针沾污、扫描位置不准等问题，会对工件形状的准确标注带来影响，本文基于接触式轮廓仪的测量数据，研究工件形状的自动标志方法。 + +针对问题一，本文首先采用一种基于一阶二阶导数的模式识别方法，以此作为理论基础区分水平线、斜线和圆。针对测试数据中的噪声问题，采用一种基于滑动平均的去噪方法。并比较了有重叠滑动窗口和无重叠滑动窗口的去噪效果。通过以上方法可以确定不同曲线段的形状，然后采用一种基于直线和圆的方程的拟合方法，对不同曲线段数据进行拟合，求得各个分段函数方程。最后计算得出直线夹角、半径等参数。与原始数据图形对比，基本吻合。 + +针对问题二，本文采用一种基于直线旋转量的图形校正方法。水平平移不改变直线的斜率，工件的倾斜旋转的角度就是直线夹角的旋转量。首先采用问题一的方法识别出直线的图形区域，再计算倾斜后的直线旋转量，并基于此进行图形校正。校正后的数据与问题一原始数据对比误差较小。 + +针对问题三，本文采用一种基于多组测量数据复原完整轮廓的方法。首先采用问题一方法识别出每组数据不同曲线段的形状。然后基于问题二水平直线的旋转量对各组数据进行校正，最后综合各组数据的公共部分和左右两侧的最大冗余数据进行拼接，复原完整轮廓。 + +针对问题四，本文采用一种基于多组局部数据修正全局图像的方法。首先采用问题一方法识别出每组局部数据不同曲线段的形状。然后通过拟合计算不同曲线段形状的方程和参数，最后等效替代全局图形中对应部分的方程和参数，实现基于局部数据对全局图形的修正。 + +模型的评价。以上工件自动标注方法，可以较好的替代人工计算，很大程度的解决了接触式轮廓仪工作中存在的问题，标注误差较小。 + +关键词：数据处理 拟合分析 去噪 线性回归 最小二乘法 + +# 1 问题重述 + +# 1.1 问题背景： + +接触式轮廓仪的工作原理是，探针接触到被测工件表面并匀速滑行，传感器感受到被测表面的几何变化，在X和Z方向分别采样，并转换成电信号。 + +在理想状况下，轮廓曲线是光滑的，但由于接触式轮廓仪存在探针玷污、探针缺陷、扫描位置不准等问题，检测到的轮廓曲线呈现出粗糙不平的情况。 + +# 1.2具体问题： + +假设被测工件的轮廓线是由直线和圆弧构成的平面曲线，建立数学模型，根据附件所提供的轮廓仪测量数据，研究下列问题： + +# 1.2.1 问题一： + +根据工件1在水平状态下的测量数据，标注出轮廓线的槽口宽度（如 $x_{1}, x_{3}$ 等）、圆弧半径（如 $R_{1}, R_{2}$ 等）、圆心之间的距离（如 $c_{1}, c_{2}$ 等）、圆弧的长度、水平线段的长度（如 $x_{2}, x_{4}$ 等）、斜线线段的长度、斜线与水平线之间的夹角（如 $\angle 1, \angle 2$ 等）和人字形线的高度（ $z_{1}$ ）。 + +# 1.2.2问题二： + +计算工件1在测量时的倾斜角度，并作水平校正，比较理想下的水平测量与倾斜测量状态数据之间的差异。 + +# 1.2.2问题三： + +根据工件2的10次测量数据完成：（1）每次测量工件2的倾斜角度；（2）标注出工件2轮廓线的各项参数值；（3）画出工件2的完整轮廓线。 + +# 1.2.2问题四： + +利用工件2关于圆和角的9次局部测量数据，修正问题3的结论，并对工件的完整轮廓线作进一步修正。 + +# 2 问题分析 + +针对问题一，根据水平放置的工件1的测量数据，计算工件自身轮廓线的参数，已知轮廓线是由直线和圆构成，那么问题的关键是我们用什么指标和区分圆和直线，注意到直线的二阶导数为零，而圆的二阶导数不为零，用二阶导数区分 + +圆和直线，而斜线和水平线可以用一阶导数来区分。利用区分好的数据进行圆和直线的拟合从而得到圆和直线的函数表示，再得到整个轮廓线的分段函数表达，进而可以得到各种参数。 + +针对问题二，已知倾斜放置工件1的测量数据和水平放置工件1的测量数据，计算倾斜角度和水平平移量。首先利用前面第一问的方法区分出来直线和圆，把水平测量和倾斜测量的多个圆的位置做对比，得到多个圆的平移量，取平均得到整体轮廓线的平移量；注意到工件1的水平测量数据中有很多的水平线，倾斜之后变成斜线，计算多条斜线的倾斜角取平均得到工件1的倾斜角度；最后利用倾斜角度和平移量通过矩阵相乘把倾斜放置的工件2的测量数据计算得到水平放置的测量数据，然后利用问题1的计算参数方法计算得到工件1水平校正后轮廓线的参数，最后和工件1真实水平测量的标注参数进行对比。 + +针对问题三，题目中给出对工件2的10次不同的测量数据，首先计算每次测量工件2的倾斜角度，我们假设工件2中本身有很多的水平线，仍然使用问题一的方法区分出直线和圆，那么斜率差不多相等的直线段比较多，然后倾斜角的平均，就为此次测量的倾斜角度；其次，因为多次测量位置不同，每次测量的整个工件2的部分，所以我们把每次的测量数据乘以旋转矩阵水平校正后，通过对比，得到整体工件2水平校正后的数据，然后利用问题1的方法标注参数；最后，通过水平校正后的数据画出工件2的完整的轮廓线。 + +针对问题四，附件中给出了9次角和圆的9次局部测量数据，修正工件2的参数，并给出修正后的完整轮廓线。 + +# 3 模型假设 + +1）假设被测工件的轮廓线是由直线和圆弧构成的平面曲线； +2）假设接触式轮廓仪检测准确没有误差； +3）假设工件检测的轮廓线无外界干扰。 + +# 4符号说明 + +
符号说明
xi第i个测量点在x轴上的坐标
zi第i个测量点距离水平线的高度
ki第i条直线的斜率
ki'旋转后的第i条直线的斜率
b直线在z轴上的截距
R圆弧的半径
f1(x)工件1轮廓线函数
f2(x)工件2轮廓线函数
+ +# 5 模型建立与求解 + +# 5.1 问题一模型建立和求解 + +根据问题限定条件，工件只包含水平直线、斜线、圆三种图形。我们要识别这三种模式，需要讨论三种图形数学上的本质区别是什么，为此本文首先提出以下模型： + +# 5.1.1基于一阶二阶导数的模式识别方法： + +建立 $\mathrm{x},\mathrm{z}$ 直角坐标系，设 $\mathbf{X}$ 轴的方向为水平方向， $\mathbf{Z}$ 轴的方向为垂直方向。设测量水平样本数据为 $(x_{i},z_{i}),i = 1\dots n,n$ 为数据个数，设工件1轮廓线的函数为 $f_{1}(x)$ ，其中 $f_{1}(x_{i}) = z_{i}$ + +若轮廓线为水平直线，则满足下列条件： + +$$ +f _ {1} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right) = 0 \tag {1-1} +$$ + +若轮廓线为斜线：则满足以下条件： + +$$ +f _ {1} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right) = C \tag {1-2} +$$ + +若轮廓线为圆，则满足以下条件 + +$$ +f _ {1} ^ {\prime \prime} (x _ {i}) \neq 0 \tag {1-3} +$$ + +其中， $f_{1}^{\prime}(x_{i}) = \frac{z_{i + 1} - z_{i}}{x_{i + 1} - x_{i}},\quad f_{1}^{\prime \prime}(x_{i}) = \frac{f^{\prime}(x_{i + 1}) - f^{\prime}(x_{i})}{x_{i + 1} - x_{i}}$ + +综合以上分析，本文提出可以基于一阶导数和二阶导数是否为0来综合判断该曲线的图形模式。如下图所示，为问题一数据的一阶导数和二阶导数图形： + +![](images/aff4d70ea9d39696c6d7eed8009c7970497d5021afd6f85fd0e803d27dee5ba0.jpg) +图1 level一阶导数原始数据图 + +![](images/c3352e1ba2924b5da29d8c8f4aaf7d6c1e582bc7d788faeffa45f5c6d75e4343.jpg) +图2二阶导数原始数据图 + +从以上图形可以看出，原图形直线部分对应的一阶导数并不为0，这是因为测量数据中包含了很多噪声。实际应用上理论方法还需要解决去噪问题。为此本文提出以下模型： + +# 5.1.2基于滑动平均的去噪方法 + +针对离散数据的一阶导数为 + +$$ +f _ {1} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right) = \frac {z _ {i + 1} - z _ {i}}{x _ {i + 1} - x _ {i}} \tag {1-4} +$$ + +离散数据的噪声会导致以上公式的一阶导数剧烈波动，为消除噪声影响，本文提出基于滑动窗口内求平均的去噪方法，根据滑动窗口之间是否重叠，本文对比研究了有重叠区域的滑动窗口法和无重叠区域的滑动窗口法。 + +# (1) 有重叠区域的滑动窗口法 + +选择滑动窗口长度为N，起始横坐标 $x_{i}$ 终止横坐标为 $x_{i + N}$ + +有重叠区域的滑动窗口法，第一个窗口覆盖 $x_{1}$ 到 $x_{N}$ ，第二个窗口覆盖 $x_{2}$ 到 $x_{N + 1}$ ，窗口内求平均，以此类推，则滑动窗口内的平均一阶导数记为 $\overline{f_1'(x_i)}$ + +$$ +\overline {{f _ {1} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right)}} = \frac {1}{N} \sum_ {i} ^ {i + N} f _ {1} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right) \tag {1-6} +$$ + +同理，滑动窗口内的平均二阶导数记为 $\overline{f_1''(x_i)}$ + +$$ +\overline {{f _ {1} {} ^ {\prime \prime} (x _ {i})}} = \frac {1}{N} \sum_ {i} ^ {i + N} f _ {1} ^ {\prime \prime} (x _ {i}) \tag {1-7} +$$ + +# （2）无重叠区域的滑动窗口法 + +无重叠区域的滑动窗口法，第一个窗口覆盖 $x_{1}$ 到 $x_{N}$ ，第二个窗口覆盖 $x_{N + 1}$ 到 $x_{2N}$ ，窗口内求平均，以此类推，则滑动窗口内的平均一阶导数记为 $\overline{f_1'(x_i)}$ + +$$ +\overline {{f _ {1} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right)}} = \frac {1}{N} \sum_ {(i - 1) N + 1} ^ {i N} f _ {1} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right) \tag {1-6} +$$ + +同理，滑动窗口内的平均二阶导数记为 $\overline{f_1''(x_i)}$ + +$$ +\overline {{f _ {1} " \left(x _ {i}\right)}} = \frac {1}{N} \sum_ {(i - 1) N + 1} ^ {i N} f _ {1} " (x _ {i}) \tag {1-7} +$$ + +考虑到滑窗法并不能将实际误差完全降低到0，选择阈值 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 分别表示一阶导数阈值和二阶导数阈值，并即滑窗内区域的图形模式为Y，平行直线、斜线、圆分别使用1、2、3表示。则Y满足以下条件： + +$$ +\mathrm {Y} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text {i f} \left(\overline {{f _ {1}}} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right) \leq \lambda_ {1}\right) \\ 2 & \text {i f} \left(\overline {{f _ {1}}} ^ {\prime} \left(x _ {i}\right) > \lambda_ {1} \text {且} \overline {{f _ {1}}} ^ {\prime \prime} \left(x _ {i}\right) \leq \lambda_ {2}\right) \\ 3 & \text {i f} \left(\overline {{f _ {1}}} ^ {\prime \prime} \left(x _ {i}\right) > \lambda_ {2}\right) \end{array} \right. \tag {1-8} +$$ + +应用以上模式可以求得图形中哪些数据属于水平线，哪些属于斜线，哪些属于圆。接下来由于分段的带噪声的数据分别求直线、斜线、圆的方程还需要进行拟合，即以下模型： + +# 5.1.3基于圆和直线方程的拟合方法[1] + +# （1）圆的拟合： + +设拟合曲线为 $(x - A)^2 + (z - B)^2 = R^2$ ， $A, B, R$ 是拟合参数变形可得到圆的拟合曲线的另外形式 + +$$ +\text {所 以} x ^ {2} + z ^ {2} + a x + b z + c = 0 +$$ + +设截取的关于圆的测量数据为 $(x_{i},z_{i}),i = 1\dots N$ + +达到 $\min (x_i^2 + z_i^2 + ax_i + bz_i + c)^2$ 求得到 $a, b, c$ + +得到圆心 $A = \frac{a}{-2}, B = \frac{a}{-2}$ 半径 $R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c}$ + +(2) 直线的拟合: + +设拟合曲线为 $z = kx + b$ 其中 $k, b$ 是拟合的参数 + +优化目标： $\min (kx_{i} + b - z_{i})^{2}$ + +得到 $k = \frac{n\sum_{i = 1}^{n}x_{i}z_{i} - \sum_{i = 1}^{n}x_{i}\sum_{i = 1}^{n}z_{i}}{n\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} - \sum_{i = 1}^{n}x_{i}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}$ + +$$ +\boldsymbol {b} = \frac {\boldsymbol {n} \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} ^ {2} \sum_ {i = 1} ^ {n} z _ {i} - \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} z _ {i} \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}}{\boldsymbol {n} \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} ^ {2} - \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}} +$$ + +根据该模型，带入实测数据，可以求得各个分段图像的方程表达式，进而求得夹角等参数。 + +# 5.1.4 问题一模型的求解： + +# （1）去噪： + +分别使用有重叠滑窗和无重叠滑窗方法对一阶导数和二阶导数进行去噪，如下图所示。 + +![](images/c04d3d098d4d03bb8e804d4bbd4e822753c0a66d940f3b8858c54b9d8942ade6.jpg) +图3有重叠滑窗一阶导数 + +![](images/9af1d24262bae1d537565c8fedefbf99644701cad21bd1e0a93dd7fbc20e9c10.jpg) +图4无重叠滑窗一阶导数 + +通过上图对比，原始工件的第2个图形竖直向下斜线部分，在有重叠滑窗条件下，几乎不能识别出来。而图4中无重叠滑窗部分存在一阶导数基本不变的短暂区域，可以大体识别出来。因此下文主要采用无滑窗的去燥方法。 + +原始数据第一个曲线交点为下图标注点，查原始数据该点为第6052个数据。 + +![](images/dfe8ff6b0c57e0f17a5f43a7b8e8d82c8ee5d213f71b1e78839ad38eb61cafb4.jpg) + +![](images/84b30aec16537e1cb9a7c5efc41f489d4439a1a02766a4e37e5b2f578fe62195.jpg) + +如上图是采用滑动平均后的去噪一阶导数数据，该图的第一个拐点为61，考虑到滑窗长度设置为了100，该点对应第6100个数据。 + +以上对比表明，该方法可以识别出不同曲线段的转折点。下图左是抓取的水平测量数据递减直线的位置，下图右是抓取的倾斜位置测量数据递减直线的位置，效果很好。（其中，一个点表示1000个数据） + +![](images/39a97ef450edfb7ae6c62c5a46c41e0d7a4869c4e0de2d8408288673c0f6b24f.jpg) + +![](images/eb760b271267d4ca908b2d90417e87a2bb3845af777a7ba2478e481e2e4a3f38.jpg) + +# （2）拟合结果： + +下面是水平放置的轮廓线的第一条和第四条和第一个圆的拟合情况，其他的见附录。 + +![](images/78c8e3381ef6cc10e510874d9213c314d273343c6ce536758a3f2367e841d901.jpg) + +![](images/1ce29dab5bf35d92d7d34b483959d25ff353bd3cfab955cda0b4f15364a23176.jpg) + +![](images/7cbdd73c9f311696a3c2a30c7575adce2952e58eaebca4c5201d2e96b5cfb676.jpg) + +# (3) 工件 1 的参数标注: + +轮廓线的函数表达： + +$$ +f (x) = \left\{ \right.\begin{array}{c c}1. 7 7&4 6. 5 9 5 8 9 2 3 7 1 3 8 5 < x \leq x _ {1}\\- 2. 7 2 3 8 6 7 7 4 1 6 3 9 0 6 6 x + 1 3 3. 8 0 0 2 2 3 4 3 1 0 4 8 8&x _ {1} < x \leq x _ {2}\\- \sqrt {0 . 4 9 1 7 ^ {2} - (x - 5 1 . 2 1 7 3) ^ {2}} - 4. 2 6 1 0&x _ {2} < x \leq x _ {3}\\2. 7 5 4 3 5 9 1 0 8 2 2 5 8 8 4 x - 1 4 6. 8 1 7 1 6 5 8 7 3 0 2 9 4&x _ {3} < x \leq x _ {4}\\1. 7 7&x _ {4} < x \leq x _ {5}\\- 3. 7 2 4 8 4 5 6 0 9 3 7 6 2 0 2 x + 2 1 3. 0 0 6 9 7 5 7 2 3 6 7 3 6&x _ {5} < x \leq x _ {6}\\- \sqrt {0 . 5 2 5 9 ^ {2} - (x - 5 8 . 6 0 1 9) ^ {2}} - 4. 1 4 9 2&x _ {6} < x \leq x _ {7}\\2. 9 8 0 5 9 8 4 3 9 5 3 4 9 4 9 x - 1 7 9. 8 5 0 7 0 9 3 5 1 9 9 8 7&x _ {7} < x \leq x _ {8}\\\quad \text {1 .} \quad \text {7}&x _ {8} < x \leq x _ {9}\\- \text {3 .} \quad \text {7} \quad \text {3} \quad \text {6} \quad \text {0} \quad \text {1} \quad \text {2} \quad \text {5} \quad \text {7} \quad \text {0} \quad \text {8}&x _ {9} < x \leq x _ {1}\\- \sqrt {0 . \text {3} \text {8} \text {0} \text {2} - (x - \text {6} . \text {7} \text {3} \text {8}) ^ {2}} - \text {4 .} \text {3} \text {7} \text {4}&x _ {1} < x \leq x _ {1}\\\text {3 .} \quad \text {5} \text {1} \text {6} \text {1} \text {7} \text {3} \text {5} \text {7} \text {5} \text {7} \text {7} x - \text {2} \text {3} \text {6}. \text {2} \text {5} \text {5} \text {2} \text {4} \text {7} \text {2} \text {2} \text {9} \text {8} \text {9}&x _ {1} < x \leq x _ {1}\\\quad \text {1 .} \quad \text {7}&x _ {1} < x < x _ {\mathrm {1}}\\\quad \text {0 .} \text {1} \text {9} \text {4} \text {7} \text {4} \text {1} \text {7} \text {8} \text {5} \text {6} x - \text {15}. \text {7} \text {4} \text {5} \text {6} x + \text {14}. \text {(6)} \text {(1)} \text {(6)} + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | &x _ {\mathrm {1}} < x < x _ {\mathrm {2}}\\&x _ {\mathrm {2}} < x < x _ {\mathrm {3}}\\&x _ {\mathrm {3}} < x < x _ {\mathrm {4}}\\&x _ {\mathrm {4}} < x < x _ {\mathrm {5}}\\&x _ {\mathrm {5}} < x < x _ {\mathrm {6}}\\&x _ {\mathrm {6}} < x < x _ {\mathrm {7}}\\&x _ {\mathrm {7}} < x < x _ {\mathrm {8}}\\&x _ {\mathrm {8}} < x < x _ {\mathrm {9}}\\&x _ {\mathrm {9}} < x < x _ {\mathrm {1}}\\&x _ {\mathrm {1}} < x < x _ {\mathrm {1}}\\&x _ {\mathrm {1}} < x < x _ {\mathrm {2}}\\&x _ {\mathrm {2}} < x < x _ {\mathrm {3}}\\&x _ {\mathrm {3}} < x < x _ {\mathrm {4}}\\&x _ {\mathrm {4}} < x < x _ {\mathrm {5}}\\&x _ {\mathrm {5}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x_ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm {-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm{-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm{-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm{-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm{-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < x _ {{\mathrm{-}}}\\&x _ {{\mathrm {-}}} < x < X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}, X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}; X ^ {-}\end{array} +$$ + +把拟合得到的函数与 $\mathbf{X}$ 轴得到相交求交点，即对函数求零点得到所有槽口宽度 $x_{2}, x_{4}$ ，水平线段的长度 $x_{1}, x_{3}$ ，通过圆心的参数得到圆心之间的距离 $c_{1}, c_{3}$ ，最后两条斜线的交点求得人字形的高度 $z_{1}$ 。 + +表 1 轮廓线的槽口宽度及圆弧的长度、水平线段的长度 + +
x1x2x3x4x5x6x7
2.89140754.99823672.08737954.98001472.04681064.99401619.9916311
13568545019877790285958421154198482647953680161960546746
x8x9x10x11x12x13
2.66722120.93563281.174046312.2687784.621837410.153688
42061245845355365714190444708819551824376233493440
+ +表 2 轮廓线的斜线与水平线之间的夹角 + +
∠1∠2∠3∠4
110.1594348872009109.9539638548886105.0276884989337108.5467473758782
∠5∠6∠7∠8
105.032476843333105.8951506831928168.9787730174710168.6490737801013
+ +表 3 轮廓线的圆弧半径 + +
R1R2R3R4R5R6R7
0.49170.52590.38020.91120.52993.99231.1702
+ +表 4 轮廓线的圆心之间的距离 + +
c1c2c3c4c5c6
7.447397.1027420.179282.947119.7339712.67828
+ +表 5 轮廓线的斜线线段的长度 + +
l1l2l3l4l5l6l7l8
2.8520092.9059203.4858282.8418332.8518702.8661314.8280604.641530
+ +# 5.3 问题二的模型建立与求解 + +# 5.3.1 直线旋转量的图形校正方法[3] + +首先利用前面第一问的二阶导数是否为零识别圆和直线，把所有的直线数据提取出来，分别通过拟合计算其斜率，斜率相等的直线所在的直线的斜率即是工件2的倾斜斜率，并基于此进行图形校正。 + +![](images/4953e28ec727e81bb30ba5106afdb8c3d5995046f08b1ecc117547ed80ba34b3.jpg) + +# 1. 旋转角的确定： + +设 $k_{i}, i = 1 \cdots l$ 为第 $i$ 条直线的斜率， $k_{i}', i = 1 \cdots m$ 其中差不多相等那些直线中的第 $i$ 条，所以所在直线斜率 + +$$ +k = \frac {1}{m} \sum k _ {i} ^ {\prime} = - 0. 1 3 1 +$$ + +所以倾斜角为 + +$$ +\theta = \arctan k +$$ + +利用前面的直线拟合算法，用matlab求解得到 $\theta = -0.13 = -7.4^{\circ}$ + +# 2. 水平校正： + +水平校正分两步： + +（1）倾斜测量数据的旋转 + +把倾斜的数据旋转： + +$$ +\left( \begin{array}{l} x _ {i} ^ {0} \\ z _ {i} ^ {0} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} x _ {i} ^ {\prime} \\ z _ {i} ^ {\prime} \end{array} \right), i = 1 \dots n +$$ + +其中 $\left( \begin{array}{l}x_{i}^{0}\\ z_{i}^{0} \end{array} \right),i = 1\dots n$ 为工件1倾斜的数据水平旋转之后得到的数据， + +$\left( \begin{array}{l}x_{i}\\ z_{i} \end{array} \right),i = 1\dots n$ 为倾斜放置的工件1测量的原始数据。 + +（2）比较平移量 + +计算每一个点的平移量： $x_{i}^{0} - x_{i}, i = 1 \dots n$ + +取平均得到整个轮廓的水平平移量 $a = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i^0 -x_i)$ + +通过几个特别的点，比如圆心验证。 + +（3）检验： + +根据上面求得旋转角度为 $\theta$ ，水平偏移量为 $a$ + +$$ +\binom {m x _ {i}} {m z _ {i}} = \left( \begin{array}{c c c} \cos \theta & - \sin \theta & a \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \binom {x _ {i}} {z _ {i}}, i = 1 \dots n +$$ + +$\left( \begin{array}{l}x_{i}\\ z_{i} \end{array} \right), i = 1\dots n$ 为水平放置的工件1测量的原始数据， + +$\left( \begin{array}{l} mx_{i} \\ mz_{i} \end{array} \right), i = 1 \dots n$ 为水平放置的旋转角度得到的数据。 + +通过误差平方和的平均检验上面得到的倾斜角度和水平偏移量的准确性，即 + +$$ +\frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i} ^ {\prime} - m x _ {i}\right) ^ {2} + \left(z _ {i} ^ {\prime} - m z _ {i}\right) ^ {2} +$$ + +从旋转后的和水平放置的原始数据对比图看出效果很好： + +![](images/67c8d16bdb20c5494e3617a3872efd7cb7347a7f28299d9b54c73b8a2339d388.jpg) + +# 3. 对校正后的数据进行标注参数： + +利用问题一模型里的三步：第一，识别圆和直线，第二，拟合直线和圆，第三，得到路廓线函数表达，计算参数。 + +$$ +f _ {2} (x) = \left\{ \begin{array}{l} - 1. 8 4 3 \\ - 2. 5 0 3 x + 1 2 2. 9 \\ - \sqrt {0 . 4 8 9 5 ^ {2} - (5 1 . 2 7 6 1 - x) ^ {2}} + 4. 2 7 8 4 \\ 2. 5 4 8 x - 1 3 6. 2 \\ - 1. 8 \\ - 3. 3 7 6 x + 1 9 3 \\ - \sqrt {0 . 2 9 4 3 ^ {2} - (5 8 . 7 6 3 8 - x) ^ {2}} + 4. 4 5 8 2 \\ 3. 5 3 4 x - 2 1 3. 1 \\ - 1. 7 4 6 \\ - 3. 3 9 2 x + 2 1 7. 9 \\ - \sqrt {0 . 2 2 4 9 ^ {2} - (6 5 . 8 2 5 8 - x) ^ {2}} + 4. 5 4 2 2 \\ 3. 4 9 8 x - 2 3 5. 7 \\ - 1. 8 1 1 \\ 0. 2 0 0 3 x - 1 6. 1 7 \\ - 0. 1 9 9 6 x + 1 4. 5 7 \\ - 1. 7 0 1 \\ - \sqrt {1 . 0 0 6 5 ^ {2} - (8 5 . 7 6 1 4 - x) ^ {2}} + 1. 3 3 2 1 \\ - 2. 1 2 6 \\ - \sqrt {1 . 0 8 3 3 ^ {2} - (8 8 . 5 8 2 5 - x) ^ {2}} + 2. 2 8 7 0 \\ - 1. 7 4 9 \\ - \sqrt {4 . 0 1 0 1 ^ {2} - (9 8 . 1 0 5 3 - x) ^ {2}} + 0. 0 5 9 0 \\ - 1. 8 \text {及} \\ - \sqrt {4 . \mathrm {0} \mathrm {3} \mathrm {6} \mathrm {1} ^ {2} - (1 \mathrm {1} \mathrm {0} \mathrm {3} \mathrm {6} \mathrm {2} \mathrm {0} - x) ^ {2}} + \mathrm {3 . \mathrm {4} \mathrm {9} \mathrm {1} \mathrm {5}} \\ - \mathrm {1 . \mathrm {7} \mathrm {0} \mathrm {5}} \end{array} \right. +$$ + +# 5.4 问题三的模型建立和求解： + +本问题考虑的是在对工件作多次检测过程中，工件每次放置的角度、测量的起点和终点都会有偏差，此时如何根据已测得的多组数据复原工件完整轮廓的问题。 + +# 5.4.1基于多组测量数据复原完整轮廓的方法 + +# 1. 每次测量的倾斜角度： + +我们假设工件2中水平放置时本身有很多的水平线，仍然使用问题一的方法区分出直线和圆，那么斜率差不多相等的直线段比较多，那么这倾斜角的平均为此次测量的倾斜角度，所以类似问题二中求解倾斜角的模型得到每次测量的倾斜角。 + +# 2.对比得到工件2轮廓的全部水平测量数据 + +（1）先把每一次的数据通过进行旋转 + +$$ +\left( \begin{array}{l} x _ {i} ^ {\mathrm {j 0}} \\ z _ {i} ^ {\mathrm {j 0}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} x _ {i} ^ {j} \\ z _ {i} ^ {j} \end{array} \right), i = 1 \dots n, j = 1, 2 \dots 1 0 +$$ + +设为第j次的测量数据 $(x_{i}^{j},z_{i}^{j}),i = 1\dots n,j = 1,2\dots 10$ + +第j次旋转后的测量数据 $(x_{i}^{j0},z_{i}^{j0}),i = 1\dots n,j = 1,2\dots 10$ + +# (2) 整合为一组数据 + +因为多次测量位置不同，每次测量的整个工件2的部分，对比第j次旋转后的测量数据 $(x_{i}^{\mathrm{j0}},z_{i}^{\mathrm{j0}}),i = 1\dots n,j = 1,2\dots 10.$ 得到工件2的水平校正后的整体数据 $(x_i^0,z_i^0),i = 1\dots n,$ + +# 5.4.2基于多组测量数据复原完整轮廓的方法具体求解步骤 + +步骤1：基于在问题1中建立起来的基于一阶二阶导数的模式识别方法和基于滑动平均的去噪方法对附件2中给出的10组测量数据进行直线或圆的图形类型的识别，并抓取每个图形所在的位置信息。 + +![](images/77b280cdefdc48763f4b58fa795dbbfccbfd6ab119d61ff2c7a262014fceba59.jpg) + +![](images/c23edf3260ae2f553a8371ed4cd415c0ffba3ca5e9eb68aa3fd9a92181fcfee7.jpg) + +![](images/b7cdb88c93f0d77c9959e8ca90951fa95ffa62ee7adcc045f7eb0ed864837790.jpg) + +步骤2：基于步骤1获得的图形类型及其位置信息，挖掘每组数据的图形结构信息。具体地，首先确定每组中的直线有几条，圆有几个；其次，根据位置信息将这些直线和圆的前后位置关系搞清楚，从而对所测工件的结构有了框架性的认识。 + +![](images/293b2ea268c68c0e2203db355f7e799713f73fd1b8fa32e1ec41d9d6fea43197.jpg) + +![](images/dd8b74e3e2697024bd8a76af931eec8bf548685b5f1d8b99caf77d30db268c5b.jpg) + +步骤3：基于每条直线的位置信息，抓取附件2中直线的原始数据。然后通过拟 + +合的方法，得到每条直线的方程。 + +步骤4：根据直线的斜率相等与否，对每组数据中的直线进行分类。把每组中直线数量最多的类作为目标类。将目标类中直线的斜率作为本组数据的旋转角度 $\theta$ 。 + +步骤5：基于问题2中建立的直线旋转量的的图像校正方法，以旋转角度 $\theta$ 对每组数据进行图像矫正。 + +![](images/1be25bedf7b79fed40a7e809548f7178320528704096083c5fc7bfff8a2c3412.jpg) + +![](images/81fbe0d59eed4e5e59c72e276f887de81243ed1a3d77ee1fdf916d2a2bb311a7.jpg) + +![](images/b51ba8033b09cedc599290d3c4cb4af01e7b05ca5eb671f2e311ef2bc9e10eb0.jpg) + +步骤6：对每组数据矫正后的图像进行比较，选用每组数据中从左边起第一个圆的位置作为基准，对每组数据进行水平方法的平移矫正。 + +步骤7：对步骤6得到的矫正后的数据以横坐标范围的大小对数据进行同一整合，复原工件的轮廓。 + +![](images/a80dd328e9f7b218c0e7569c4d06f2b561abf87e82d4f6a7d8fd096fd51e8260.jpg) + +依据问题1建立的方法，对复原之后的工件2进行测量，数据如下： + +圆的圆心坐标：（37.8866，-32.5784） + +半径：5.7886 + +水平直线（从左边看起）的长度： + +第一条：3.8256；第二条：3.3156；第三条：0.8752；第四条：1.1463 + +垂直直线（从上边看起）的长度： + +第一条：2.7381；第二条：1.9542 + +斜线（从上边看起）的长度： + +第一条：9.0421；第二条：0.3862 + +# 5.5 问题四的模型建立和求解 + +该问提供了多组局部的测试数据，包含了圆和角的多次测量。局部的测试数据相比第三问的全局测试数据更加精细，目的是为了解决全局测试时个别局部区域标注偏差较大的问题。基于此，本文采用一种基于多组局部数据修正全局图像的方法。 + +# 5.5.1 基于多组局部数据修正全局图像的方法 + +该方法分为以下几步： + +步骤一：使用问题一的方法识别出每组局部数据的图形模式，即它是圆的一部分还是直线。 + +步骤二：使用问题二的方法，对该组局部数据进行校正。 + +步骤三：使用校正后的局部数据与第三问全局数据进行等效匹配，从而确认校正后的局部数据是全局数据中的某一区域的放大。 + +步骤四：根据校正后的数据计算各个参数，并修正全局图形 + +步骤五：对其他各组局部数据重复以上步骤，得到修改后的完整工件图形。 + +按照以上步骤，以第一组圆形数据为例进行处理，其余数据的处理结果见附录。 + +如下图所示，是第一组圆的原始局部数据图形： + +![](images/4d08c203c6b2c761756ac01e890a056e88bd102cca3998644743f7be6e711dd2.jpg) + +然后使用问题一和问题二中的算法进行校正，得到下图： + +![](images/84b920b686febc1ad32004b3a454ba9f500736f6cdb3dc53a1bd46ab4534d2d6.jpg) + +与问题三中得到的全局图形的各个参数进行匹配，得到以上局部数据为全局图形中第一处圆弧的数据。 + +对以上数据进行拟合计算，求得圆的各个参数，如下表 + +本问第一组局部数据圆弧参数 + +
横坐标纵坐标半径
0.49370.52290.9172
+ +如下表是第三问全局数据的第一处圆弧参数 + +第三问全局数据第一处圆弧参数 + +
横坐标纵坐标半径
0.49170.52590.9112
+ +从以上数据可以看出，圆的局部数据与全局数据第一处圆弧的参数相差不大。可以使用该出局部数据的参数对全局数据的图形进行修正。 + +对第一处局部角度数据作相同处理，如下是第一处角的原始数据： + +![](images/acde8d8c080c1049f08bc87945e7bbab2d9b6b162ccae72b79ab664f90d9db12.jpg) + +校正的图形如下： + +![](images/8918b0801f545afe8928a2f82cf23ad7b8fef470604c9804c5abf2f293050c73.jpg) + +使用以上方法，对剩余的各处圆弧和角度的局部数据进行处理，并对全局数据进行修改，得到如下修正后的工件轮廓图： + +![](images/bc5000a14a71fc28b12562c7c5008b75ad94e2a323d954a91c2f3b198610342a.jpg) + +# 6 模型的评价 + +1. 整个问题的求解中，我们建立的基于一阶二阶导数的提取圆和直线的识别模型进行去噪处理可以重复使用，效果很好，可以很快的识别数据是圆还是直线。 +2. 基于旋转量的图像矫正方法做了逆旋转进行比较检验效果好。 +3.所有模型的求解过程无需人工参与，实现的自动标注。 +4. 如果想做到自动标注，需要做一个算法，实现如果是圆那么我们得到圆的参数 $R_{1}, R_{2}$ ，如果是直线得到直线的倾斜角，所有的轮廓部分都识别拟合完成后对函数求零点得到所有槽口宽度 $x_{2}, x_{4}$ ，水平线段的长度 $x_{1}, x_{3}$ ，通过圆心的参数得到圆心之间的距离 $c_{1}, c_{3}$ ，最后只需要最后求人字形的高度 $z_{1}$ 。 + +# 7 参考文献 + +[1]最小二乘法圆拟合 https://wenku.baidu.com/ +[2]接触式三坐标测量自由曲面轮廓的数据处理模型[J],仇谷烽；余景池；黄启泰： +[3]李顺，巩岩.长程轮廓仪用于筒状超光滑表面测量的误差分析及校正[J]. + +光学学报，2011(11)：125-131. + +# 附录： + +clc,clear; + +close all; + +导入数据 + +gjl=xlsread（'附件1_工件1的测量数据'); + +x_gj1=gj1(:,1);z_gj1=gj1(:,2); + +plot(x_gj1, z_gj1) + +设置窗口大小及存放一阶导数、二阶导数、均值、方差等的数组 + +size_chuangkou=1000; + +$\mathfrak{p} =$ round(length(x_gj1)/size_chuangkou)-2; + +m=ones(p,1)； + +$\mathrm{n =}$ ones(p,1); + +x_new=ones(p,1); + +z_new=ones(p,1); + +zhi_m=ones(p,1); + +zhi_n=ones(p,1); + +zhi_x_new=ones(p,1); + +%求一阶导数 k1、二阶导数 k2 以及根据窗口去噪的方法求窗口均值和方差 + +for $d = 1:p$ + +$\mathrm{v = (d - 1)*size\_chuangkou}$ + +$\mathrm{k1} =$ ones(size_chuangkou)； + +for $i = 1$ :size_chuangkou + +$\mathrm{k1(i) = (z\_gj1(i + v + 1) - z\_gj1(i + v)) / (x\_gj1(i + v + 1) - x\_gj1(i + v));}$ + +end + +```matlab +k2=ones(size_chuangkou); +for i=1:size_chuangkou + k2(i)=(k1(i+1)-k1(i))/(x_gj1(i+v+1)-x_gj1(i+v)); +end +m(d)=mean(k2(1:size_chuangkou)); +n(d)=var(k2(1:size_chuangkou)); +x_new(d)=x_gj1(d*size_chuangkou+1); +z_new(d)=z_gj1(d*size_chuangkou+1); +zhi_m(d)=mean(k1(1:size_chuangkou)); +zhi_n(d)=var(k1(1:size_chuangkou)); +zhi_x_new(d)=x_gj1(d*size_chuangkou+1); +end +%plot(zhi_x_new(1:p), zhi_m(1:p), '.') +%hold on +``` + +%设置二阶导数的窗口均值的阈值，抓取圆域所在的位置 + +```matlab +x_circle=ones(p,1); +for i=1:p + if m(i)>3.5 + x_circle(i)=x_new(i); + end +end +%plot(x_new(1:p),x_circle(1:p),'.') +%hold on +``` + +$\%$ 通过抓取到的圆域的位置，抓取圆域的原始数据以备拟合圆的方程之用 + +```matlab +j=0; +x_nihe=ones(20000,1); +z_nihe=ones(20000,1); +for i=1:p + if x_circle(i)>2 + for k=1:size_chuangkou + x_nihe(j+k)=x_gj1(i*size_chuangkou+k); + z_nihe(j+k)=z_gj1(i*size_chuangkou+k); + end + j=j+size_chuangkou; + end +``` + +圆的拟合计算圆心，半径 + +$\% \mathrm{xx} = \mathrm{xlsread}$ （新建MicrosoftExcel工作表）； + $\mathrm{x = x\_gj1(10001:13000);y = z\_gj1(10001:13000)}$ +N=length(x); +C=N*sum(x.\~2)-sum(x)\*sum(x); +D=N*sum(x.\*y)-sum(x)\*sum(y); +E=N*sum(x.\~3)+N*sum(x.\*y.\~2)-sum(x.\~2+y.\~2)\*sum(x); +G=N*sum(y.\~2)-sum(y)\*sum(y); +H=N*sum(x.\~2.\*y)+N*sum(y.\~3)-sum(x.\~2+y.\~2)\*sum(y); +a=(H*D-E\*G)/(C\*G-D\~2); +b=(H\*C-E\*D)/(D\~2-G\*C); +c=-（sum(x.\~2+y.\~2)+a*sum(x)+b\*sum(y))/N; +A=a/(-2); +B=b/(-2); +R=1/2\*sqrt(a\~2+b\~2-4*c); + +设置一阶导数窗口均值的阈值，抓取直线所在的位置 + +```matlab +x_zhi=ones(p); +for i=1:p + if zhi_m(i)>0.15 + x_zhi(i)=zhi_x_new(i); + end +if x_circle(i)>2 + x_zhi(i)=1; + end +end +plot(zhi_x_new(1:p), x_zhi(1:p), '.') +hold on +title('level水平直线位置（窗口：1000；）') +``` + +```matlab +%通过抓取到的直线的位置，抓取直线的原始数据以备拟合直线的方程之用 +s=0; +x_nihe_zhi=ones(20000,1); +z_nihe_zhi=ones(20000,1); +for i=1:p + if x_zhi(i)>2 + for k=1:size_chuangkou + x_nihe_zhi(s+k)=x_gj1(i*size_chuangkou+k); + z_nihe_zhi(s+k)=z_gj1(i*size_chuangkou+k); + end + s=s+size_chuangkou; + end +``` + +$\%$ 直线的拟合求出斜率和截距 $\mathrm{x = x\_gj1(22301:23500)}$ $\mathrm{y = z\_gj1(22301:23500)}$ + +$\% \mathrm{x} = \mathrm{x}$ _nihe_zhi(17101:19700）’；y=z_nihe_zhi(17101:19700）’; +a=x\*x'; +b=sum(x); +c=x\*y'; +d=sum(y); +N=length(x); + +$\%$ 求解斜率 $\mathrm{k}$ + +$\mathrm{k} = \mathrm{(N. *c - b*d) / (N. *a - b*b)}$ + +$\%$ 求解截距 $\mathbf{t}$ + +$\mathrm{t} = (\mathrm{a.}*\mathrm{d - c.}*\mathrm{b}) / (\mathrm{a*N - b.}*\mathrm{b});$ +plot $(\mathrm{x},\mathrm{y},^{\prime} + ^{\prime})$ +hold on +plot $(\mathrm{x},\mathrm{k*x + t},^{\prime}.^{\prime})$ +title('level第二条递减直线 +legend（'实际'，'拟合') + +图形的旋转矫正和水平偏移矫正 + +xuanZhuanJiao=0.130361871364958; +x_jiaoZheng $\equiv$ cos(xuanZhuanJiao)\*x_gjl_down-sin(xuanZhuanJiao)\*z_gjl_do +wn; +z_jiaoZheng $\equiv$ sin(xuanZhuanJiao)\*x_gjl_down+cos(xuanZhuanJiao)\*z_gjl_do +wn; +z_weitiao $\equiv$ mean(z_jiaoZheng)-mean(z_gjl_level); +x_weitiao $\equiv$ mean(x_jiaoZheng)-mean(x_gjl_level); +x_pianyi $\equiv$ x_weitiao $+0.33$ +z_jiaoZheng_chuizhi $\equiv$ z_jiaoZheng-z_weitiao; +x_jiaoZheng_shuiping $\equiv$ x_jiaoZheng-x_pianyi; +plot(x_gjl_level,z_gjl_level) +hold on + +plot(x_jiaoZheng_shuiping, z_jiaoZheng_chuizhi) +title('level 图与进一步水平矫正后 down 图的比较') +legend('level','down 水平矫正后') + +%问题中参数的计算 + +y0=mean(z_gj1(14690:21690)); +kd1=-2.723867741639066；bd1=133.8002234310488； +kd2=-3.724845609376202；bd2=213.0069757236736； +kd3=-3.723602901285295；bd3=239.2514907860618； +kd4=-0.200744158613707；bd4=14.645116449010247； +kd5=-0.565025739534814；bd5=45.935780974909875； +kd6=-1.123311555044076；bd6=98.725881910432650； +kd7=-0.343117911107307；bd7=29.331114981311476； +kd8=-0.425604356360074；bd8=47.817846154298124； + +ku1=2.754359108225884; bu1=-146.8171658730294; +ku2=2.980598439534949; bu2=-179.8507093519987; +ku3=3.511651703755757; bu3=-236.2555247229892; +ku4=0.194764774178566; bu4=-15.745625965295059; +ku5=1.312714609538673; bu5=-115.4903009149167; +ku6=1.119240436916190; bu6=-99.776517012025040; +ku7=1.472580398274092; bu7=-151.5742987893202; +ku8=1.001404926554808; bu8=-108.2696306825218; + +k2u1=1.873469412912976；b2u1=-102.8003499165892； +k2u2=2.441766357967081；b2u2=-152.1327739769671； +k2u3=2.414152499053679；b2u3=-168.2737582070639； + +k2d1=-0.129926436840446；b2d1=7.740846276449202； + +$\mathrm{k2d2 = -0.130937034696584}$ ； $\mathrm{b2d2 = 7.799039243107876}$ + +$\mathrm{k2d3 = -0.131141148034880}$ ； $\mathrm{b2d3 = 7.813060406404597}$ + +k2d4=-0.131105391993604；b2d4=7.811663609602934; + +%下降曲线的折现点横坐标 + +$\mathrm{td1 = (y0 - bd1) / kd1}$ + +td2=(y0-bd2)/kd2; + +td3=(y0-bd3)/kd3; + +$\mathrm{td4 = (y0 - bd4) / kd4}$ + +td5=(y0-bd5)/kd5; + +$\mathrm{td6 = (y0 - bd6) / kd6}$ + +$\mathrm{td7 = (y0 - bd7) / kd7}$ + +td8=(y0-bd8)/kd8; + +%上升曲线的折现点横坐标 + +$\mathrm{tu1 = (y0 - bu1) / ku1}$ + +$\mathrm{tu2 = (y0 - bu2) / ku2}$ + +$\mathrm{tu3 = (y0 - bu3) / ku3}$ + +$\mathrm{tu4 = (y0 - bu4) / ku4}$ + +$\mathrm{tu5 = (y0 - bu5) / ku5}$ + +$\mathrm{tu6 = (y0 - bu6) / ku6}$ + +$\mathrm{tu7 = (y0 - bu7) / ku7}$ + +$\mathrm{tu8 = (y0 - bu8) / ku8}$ + +x1 = tu1 - td1; + +$\mathrm{x2 = td2 - tu1}$ + +$\mathrm{x3 = tu2 - td2}$ + +$\mathrm{x4 = td3 - tu2}$ + +$\mathrm{x5 = tu3 - td3}$ + +$\mathrm{x6 = tu4 - tu3}$ + +$\mathrm{x7 = td4 - tu4}$ + +$\mathrm{x8 = td5 - td4}$ + +$\mathrm{x9 = tu6 - tu5}$ + +$\mathrm{x10 = td7 - td6}$ + +x11=tu7-td6; + +x12=tu8-tu7; + +x13=td8-tu8; + +j1=atan(kd1)*180/3.141592+180; + +j2=180-atan(ku1)*180/3.141592; + +j3=atan(kd2)*180/3.141592+180; + +j4=180-atan(ku2)*180/3.141592; + +j5=atan(kd3)*180/3.141592+180; + +j6=180-atan(ku3)*180/3.141592; + +j7=180-atan(ku4)*180/3.141592; + +$\mathrm{j8 =}$ atan $(\mathrm{kd4})*180 / 3.141592 + 180$ + +xuanzhuanjiao1=atan(ku1)*180/3.141592-atan(k2u1)*180/3.141592; + +xuanzhuanjiao2=atan(ku2)*180/3.141592-atan(k2u2)*180/3.141592; + +xuanzhuanjiao3=atan(ku3)*180/3.141592-atan(k2u3)*180/3.141592; + +xuanzhuanjiao4=atan(k2d1)*180/3.141592; + +xuanzhuan jiao5=atan (k2d2) *180/3.141592; + +xuanzhuanjiao6=atan(k2d3)*180/3.141592; + +xuanzhuanjiao7=atan(k2d4)； + +y_jian=bu4+ku4* (bd4-bu4) / (ku4-kd4) - y0; + +x_jian=(bd4-bu4)/(ku4-kd4); + +支撑材料的文件列表： + +1. down 矫正之后的数据_new.x1sx +2. 程序整理.txt +3.第二问相关图片.docx +4. 第三问轮廓重构后数据.xlsx +5.第四问相关图片圆.docx +6. 问题三的结果.docx \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/D027/D027.md b/MCM_CN/2020/D027/D027.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..12d75b32955ee6d4afca35b6414f164fbdeec91b --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/D027/D027.md @@ -0,0 +1,4242 @@ +# 接触式轮廓仪的自动标注数学模型研究 + +# 摘要 + +本文主要研究了接触式轮廓仪自动标注轮廓线各项参数的数学模型，并根据附件提供的数据对仅由直线和圆弧构成的工件1和工件2的轮廓线进行了参数标注和轮廓线探索和修正。 + +对问题一，首先将探测的数据高斯平滑，消除粗糙不平的情况，然后根据构成轮廓线的各种直、曲线特点，拟合出直、曲线方程，对于一般直线交点处情况，联立相邻的直线方程求交点坐标，对于直线与圆弧相切的情况，采用圆心在角平分线交点处的方法，确定圆心和半径，用切线与圆心到切线的垂线求切点等，确定关键点坐标。然后建立各项参数值模型，求得槽口宽度、圆弧半径、圆心的距离等，具体结果见文中表3-表9。 + +对问题二，首先画出工件1在一个倾斜角和水平位移状态下的轮廓线图，首先进行高斯平滑降噪，结合其在水平状态下的图形，确定水平面所在的直线，拟合出直线，根据直线的斜率确定其倾斜角度；利用坐标变换做旋转水平校正，和水平状态下轮廓线图相比，确定平移向量，做平移校正。然后根据问题一数学模型，计算工件1在倾斜状态下测量数据校正后的各项参数值，并比较其差异性，结果见表10-表16。 + +对问题三，通过数据绘图，发现工件2的10组数据是对工件2五个轮廓面的数据探测，每个轮廓面探测了两次，不同轮廓面探测时，倾斜角度不一样，因此将10组数据合并成五组，拟合倾斜直线，并计算出倾斜角度，分别是 $25.51^{\circ}$ ， $26.77^{\circ}$ ， $27.81^{\circ}$ ， $28.66^{\circ}$ ， $29.76^{\circ}$ 倾用问题二的方法，分别计算出五条轮廓线的各项参数值并进行标注，结果见表18-表22和图24。对于工件2完整轮廓线进行探索性绘图，首先根据图形判断五条轮廓线中有两条是同一个轮廓面，然后根据轮廓线主轴与侧面是垂直的，再根据探针在探测曲面的特点，判断出五条轮廓线中有异常数据，最后通过寻找特征点，旋转平移图形，画出工件2的轮廓图形如图26所示。 + +对问题四，画出轮廓线的局部圆和角的，发现一共探测了三个局部轮廓线，每个探测了三次，为了减少误差，分别做水平校正，计算各项参数值，取其平均值作为局部圆和角的各项参数值，修正工件2的标注。为了精确的画出工件2的轮廓线，根据已经标注好的各项参数，创造一组轮廓线数列，画出图像，旋转、位移、拼接成工件2的轮廓修正，结果如图32所示。 + +关键词 轮廓仪 高斯平滑 校正 轮廓线 + +# 问题重述 + +探测零件的轮廓是工业设计和制造过程中很重要的环节，两坐标测量仪器之一是轮廓仪，由工作平台、被测工件、探针、传感器和伺服驱动等部件组成。它的工作原理是，探针接触到被测工件表面并匀速滑行，传感器感受到被测表面的几何变化，在平面坐标系X和Z方向分别采样，转换成电信号。然后经放大等处理，转换成数字信号储存在数据文件中。 + +一般在理想状况下，工件的曲线应该是光滑的，但由于接触式轮廓仪存在探针沾污、探针缺陷、扫描位置不准等多种问题，检测到的轮廓曲线呈现出粗糙不平的情况，这给工件形状的准确标注带来影响。 + +如果假设被测工件的轮廓线是由直线和圆弧构成的平面曲线。要求根据轮廓仪测量的数据，用数学模型研究以下四个问题： + +问题一、根据工件1在水平状态下的测量数据和轮廓线，请标注出轮廓线的各项参数值：槽口宽度、圆弧半径、圆心之间的距离、圆弧的长度、水平线段的长度、斜线线段的长度、斜线与水平线之间的夹角和人字形线的高度。 + +问题二、由于工件放置的角度和位置不同，同一工件在不同次测量时轮廓线参数的计算值也会存在差异。要求根据工件1在倾斜一个角度和有一些水平位移状态下轮廓线的测量数据。计算该工件测量时的倾斜角度，并作水平校正。在数据校正后，完成类似于问题一的各项参数标注，并比较两种测量状态下各项参数计算值之间的差异。 + +问题三、在多次检测工件时，工件放置的角度、测量的起点和终点都会有偏差，这导致了每次测量实际是对整个工件中的某一部分进行检测。请根据工件2的10次测量数据，完成： + +一、每次测量时工件2的倾斜角度； +二、标注出工件2轮廓线的各项参数值； +三、画出工件2的完整轮廓线。 + +问题四、为了更准确地标注出工件2的各项参数值，请根据工件2的关于圆和角的9次局部测量数据，修正问题三的结论，并对该工件的完整轮廓线作进一步修正。 + +# 问题分析 + +问题一：根据附件一（data01-level）所提供的数据及工件1的轮廓线图（图1），要对工件轮廓线各参数进行自动精准标注，需要找出轮廓线的关键点坐标。 + +![](images/8f06e12c20d21dacc9b20283739576bd493dabc975333f0f88c3042ebd6d280e.jpg) +图1工件1在水平状态下测量的轮廓线 + +![](images/cf2eeb22f684c0792617400131f8418a153b60ca343d1586b490d68874af2916.jpg) +图2工件1在水平状态下测量的轮廓线局部放大图 + +由于探针沾污、探针缺陷等问题造成检测到的轮廓线呈现出粗糙不平的情况，局部放大如图（图2）所示。 + +因此，先要将所有的“粗糙不光滑”的直线和圆弧部分分别处理成“光滑”的直线和圆弧，找出关键点坐标，然后根据轮廓线的构成，拟合出各个直、曲线方程，计算其相交的点，然后建立数学模型计算工件1在水平状态下测量所得的各项参数。 + +问题二：使工件1在一个倾斜角度和一些水平平移状态下进行测量，根据所给数据（data01-down），画出轮廓线图（图3） + +![](images/d0831ffaf2415551dd6f8c09ccc5828f8087bc7e5fd32b3a67e3d17a4ec7c816.jpg) +图3工件1在倾斜和水平位移状态下测量的轮廓线 + +![](images/c1f53f7acf7ebf8760691c64a16442539b91c1174f2c65e1ef4afc20ed1f77d9.jpg) +图4工件2的10次测量数据轮廓线图 + +要计算倾斜角度，可以按照图1的水平线所在的部位，拟合出倾斜后的直线方程，根据直线斜率计算其倾斜角，根据倾斜角度用坐标变化的方法对数据进行旋转校正。对于平移，选择一个参照点。由于对工件不同测量的起点和终点存在偏差，所以选在工件轮廓线明显的折点处作为参照点，如A点，为了进行比较，将工件水平测量的数据通过 + +坐标平移，是A点作为坐标原点，将工件倾斜测量数据旋转之后，也将A点设置为坐标原点，再做各项参数计算，并比较差异。 + +问题三：根据附件所提供的10次测量数据，先画出轮廓线图（图4），发现有五条明显的轮廓线，仔细放大发现每条明显的轮廓线中都有两条几乎重叠，因此可知这是测量了对工件2的测量了五个局部，每个局部测量了2次，为增加测量数据的精确度，减少误差，先将每个局部测量的2组数据合并在一起，重叠的部分取其平均值，没有重叠的就以单个数据为准。 + +将圆弧两边的直线视为水平直线，拟合出直线，根据斜率计算其倾斜角度，为了计算各项参数值，先将其校正为水平状态，然后按照问题一的数学模型计算各项参数值，然后根据局部轮廓线的特征画出工件2的完整轮廓线。 + +问题四：根据附件3和4提供的测量数据，画出轮廓线图（图5），从图中可以看 + +![](images/923bade775a4da399a0b962bf5c51fd302e9b6aeed479c910882dc1a7bab5cca.jpg) +图5工件2关于圆和角的9次局部测量数据轮廓线图 + +![](images/ab661bf616e96e76b34ccf411a7340541056e94c80485aaecee299aa397fb027.jpg) + +到很明显的三组线，放大图片仔细观察，发现每条轮廓线实际上有三条轮廓线叠加，由此可以判断对工件2同一局部分别进行了相同位置的三次数据探测，为了减少数据探测产生的误差，将每条轮廓线的三组数据综合成一组数据。然后确定圆和角的关键参数，结合问题三，对工件2的完整轮廓线进行修正。 + +# 条件假设 + +# 条件假设 + +1、假设本文中的工件的所有线条仅由直线和圆弧组成； +2、假设斜线与圆弧相连接部分是相切的； +3、工件1在水平状态下测量的数据是水平的，轻微倾斜为可接受的误差； +4、假设探针只能垂直探测接触探测到工件表面数据。 + +# 模型建立与求解 + +# 问题一、水平状态下轮廓线各项参数值 + +# 1、标记关键点 + +根据问题一的分析，要计算轮廓线的各项参数值，需要找出关键点坐标，关键点位置及各项参数如图（图7）所示，关键点记为 $d_{1}, d_{2} \cdots d_{23}$ + +![](images/6670dd8c004ec718a6139fd5a381b81f7fa0c37342eb710476329d7432b479d0.jpg) +图7 工件1各参数值计算关键点标识图 + +# 2、粗糙处理 + +根据问题一分析，由于各种因素造成轮廓线粗糙不光滑，无法确定关键点坐标，因此做平滑处理，用MATLAB中的smoothdata命令做高斯平滑数据处理，处理结果细节如图（图8）所示 + +![](images/76f03794e8f8d3844c2b094d6d8ad955093c9c592da690a2144916027993f9ed.jpg) +图8高斯平滑数据处理结果对比及细节图（右图为左图局部放大图） + +# 3、求关键点坐标 + +根据条件假设，工件1是由直线和圆弧组成，而且是在水平状态下测量出的轮廓线数据，因此，为了准确的找到关键点坐标，将工件1中所有的直线拟合成直线方程，将 + +所有的圆弧拟合成圆的方程，具体命名如图（图9）所示。 + +![](images/c6b12a945b4295f493d6ab715f5b18fbab1febbb0a6dbc1561b15c39a2c428e1.jpg) +图9直线与圆弧命名示意图 + +# 水平直线模型： + +由于水平直线不连续，无法判断所有的水平直线是否在同一条水平线上，所有在水平轮廓线上分段取点、分别拟合成水平直线，模型如下 + +$$ +z = d _ {i}, i = 1, 2, \dots 9, (d _ {i} \text {为 待 定 常 数}) +$$ + +编程求解可得九条水平直线方程数值如表（表1）所示 + +表 1 九段水平直线常数值表 + +
d1d2d3d4d5d6d7d8d9
-1.7701-1.7674-1.7681-1.7676-1.7777-1.7771-1.7784-1.7803-1.7846
+ +分别为 $L_{1} - L_{9}$ 的直线方程，从上表可以看出，九条水平直线，相差甚小，可以认为这九条曲线在同一条水平线上，结合这九组数据，整体拟合，可得水平直线 $\mathrm{L}$ 的方程为： + +$$ +z = - 1. 7 7 4 1 +$$ + +# 斜直线模型： + +设斜直线模型为： + +$$ +z = k _ {i} x + b _ {i} + \varepsilon , i = 1 0, 1 1, \dots 1 7 +$$ + +$\varepsilon$ 为随机影响因子， $k_{i},b_{i}$ 为待定参数代入数据，编程拟合求解可得 $L_{10} - L_{17}$ 的直线方程为： + +$$ +\begin{array}{l} L _ {1 0}: \quad z = - 2. 7 3 2 1 x + 1 3 4. 2 1 6 0, \\ L _ {1 1}: \quad z = 2. 7 5 6 7 x - 1 4 6. 9 4 0 4, \\ L _ {1 2}: \quad z = - 3. 7 0 8 9 x + 2 1 2. 0 8 0 1, \\ L _ {1 3}: \quad z = 3. 2 9 0 6 x - 1 9 8. 3 2 1 4, \\ L _ {1 4}: \quad z = - 3. 7 4 1 0 x + 2 4 0. 3 8 5 8, \\ L _ {1 5}: \quad z = 3. 5 1 9 8 x - 2 3 6. 7 9 8 1, \\ L _ {1 6}: \quad z = 0. 1 9 8 8 x - 1 6. 0 4 0 7, \\ L _ {1 7}: \quad z = - 0. 2 0 0 6 x + 1 4. 6 3 1 3, \\ \end{array} +$$ + +# 圆弧曲线模型： + +根据条件假设和图9可知，除了直线和斜线，轮廓线中剩下的就是圆弧，其中 $C_1,C_2,C_3$ 分别是两条斜线端的圆弧， $C_4,C_5,C_6,C_7$ 分别是水平线段端点之间的圆弧。圆弧曲线模型为： + +$$ +\left(x - x _ {i 0}\right) ^ {2} + \left(z - z _ {i 0}\right) ^ {2} = R _ {i} ^ {2}, i = 1, 2, \dots 7 +$$ + +对于 $C_1, C_2, C_3$ ，由于圆弧部分与斜线部分是相切的，数据分界不明显，如果只取部分圆弧数据拟合出圆的方程无法保证圆弧与斜线相切，而根据假设2，工件在此处是 + +相切的。因此，在平滑后的圆弧部分找极值点，该点是光滑可导，因此该点的水平直线为圆弧的水平切线，再结合与圆弧相切的两条斜线，求圆心 $(x_0, z_0)$ 和半径 $R$ 。如图（图10）所示 + +设两直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方程分别为 + +$$ +\begin{array}{l} l _ {1}: z = k _ {1} x + b _ {1} \\ l _ {2}: z = k _ {2} x + b _ {2}, \\ \end{array} +$$ + +![](images/96cc043dfd712ceb48c225a91af2c760acc2122478eac9cf6cd4a2bb93edc8e9.jpg) +图10求圆心和半径示意图 + +其交点为 $(m,n)$ ，角平分线的斜率设为 $k$ ，根据两直线夹角公式 + +$$ +\tan \theta = \left| \frac {k _ {2} - k _ {1}}{1 + k _ {1} k _ {2}} \right| +$$ + +和角平分线所分的两个夹角相等可得 + +$$ +\left| \frac {k _ {2} - k}{1 + k k _ {2}} \right| = \left| \frac {k - k _ {1}}{1 + k _ {1} k} \right| +$$ + +解方程可得角平分线斜率 $k$ ，则角平分线为 + +$$ +y = k (x - m) + n +$$ + +分别求出两各夹角的角平分线方程，求其交点即为圆心 $(x_0, z_0)$ ，再求圆心到其中一条直线的距离即为该圆的半径 $R$ 。 + +代入数据可得 $C_1, C_2, C_3$ 的方程分别为： + +C: $(x - 51.2215)^{2} + (z + 4.2401)^{2} = 0.5108^{2}$ +$\mathrm{C}_{2}$ $(x - 58.6471)^{2} + (z + 4.4901)^{2} = 0.2463^{2}$ +$\mathrm{C}_{3}$ $(x - 65.7282)^{2} + (z + 4.4959)^{2} = 0.2602^{2}$ + +效果如图（图11）所示 + +![](images/e0b129e6e549e726e19b3ab3ee21cedfa35c79cf9e8803b30eaf5b638d52b6cf.jpg) +图11 $C_1, C_2, C_3$ 圆弧拟合效果 + +![](images/5e6f9124e45be5f8eb0dea4964a12f9a2a53718d9aae161ac7b423f0f693d159.jpg) + +![](images/8f8d1fdb75c1f60dd348e54856e052ccc32768f347f740d79e153139e0df09c9.jpg) + +从上图发现，圆弧与直线切合效果好，但 $C_2, C_3$ 有个别圆弧与原始数据误差较大，主要是探测误差造成的结果。 + +对于 $C_4, C_5, C_6, C_7$ ，由于圆弧部分的数据与直线段数据界限分明，所以有可以直接抓取这部分数据进行圆方程的拟合，编程求解可得他们的方程为 + +$\mathrm{C}_{4}$ $(x - 85.7068)^2 +(z - 1.3587)^2 = 0.9873^2$ + +C5: $(x - 88.5164)^2 +(z + 2.2199)^2 = 1.0134^2$ + +C: $(x - 98.0501)^2 + (z + 0.0828)^2 = 4.0014^2$ + +C7: $(x - 110.3017)^2 +(z + 3.4707)^2 = 3.9985^2$ + +拟合效果如图（图12）所示。 + +![](images/6b4c5b8a1ea4d9ffecd9faa6e59679039ee3c682306dcdf2dc341d8d5c7c6867.jpg) +图12 $C_4,C_5,C_6,C_7$ 圆弧拟合效果 + +![](images/a362a8f730e8cd8bbc1c11a487e92450edb12370335ce5426906fe0e01d70aae.jpg) + +从图上发现，这四个圆弧拟合效果非常好。整体拟合效果如图（图13）所示。 + +![](images/e8e8d0c49f60858c6c902d25123b3d9d68cf36e34593f62f202cc87a05dd0fe5.jpg) +图13 整体拟合效果图 + +# 关键点坐标计算： + +根据前文标注的关键点，发现每一个点均是两条线的交点，因此根据各个点的位置，联立两个相关曲线，求出关键点坐标如表2所示： + +表 2 关键点坐标 + +
关键点坐 标关键点坐 标
d1(49.7732, -1.7701)d13(71.8078, -1.7676)
d2(50.7416, -4.4157)d14(76.8069, -0.7740)
d3(51.7025, -4.4146)d15(81.8113, -1.7777)
d4(52.6627, -1.7674)d16(84.8129, -1.7777)
d5(57.6583, -1.7674)d17(86.6011, -1.7771)
d6(58.4096, -4.5541)d18(87.6050, -1.7771)
\( {\mathrm{d}}_{7} \)(58.8828 , -4.5617 )\( {\mathrm{d}}_{19} \)(89.4286 , -1.7784 )
\( {\mathrm{d}}_{8} \)(59.7318 , -1.7681 )\( {\mathrm{d}}_{20} \)(94.4258 , -1.7784 )
\( {\mathrm{d}}_{9} \)(64.7305 , -1.7681 )\( {\mathrm{d}}_{21} \)(101.6736, -1.7803 )
\( {\mathrm{d}}_{10} \)(65.4776 , -4.5629 )\( {\mathrm{d}}_{22} \)(106.6782, -1.7803 )
\( {\mathrm{d}}_{11} \)(65.9791 , -4.5672 )\( {\mathrm{d}}_{23} \)(113.9273, -1.7846 )
\( {\mathrm{d}}_{12} \)(66.7744 , -1.7676 )
+ +# 各项参数计算模型： + +根据图7标识的关键点，结合以上直、曲线方程求出关键点坐标，其中距离计算模型为 + +$$ +d = \sqrt {\left(x _ {2} - x _ {1}\right) ^ {2} + \left(z _ {2} - z _ {1}\right) ^ {2}} +$$ + +圆弧长度模型为 + +$$ +l = \int_ {x _ {1}} ^ {x _ {2}} \sqrt {1 + z ^ {\prime 2}} d x +$$ + +直线之间的夹角模型为 + +$$ +\tan \theta = \left| \frac {k _ {2} - k _ {1}}{1 + k _ {1} k _ {2}} \right| +$$ + +根据以上模型分别计算各项参数结果如表3-表9所示： + +表 3 槽口宽度 + +
x1x3x5x7x11x13
2.88952.07362.04410.00357.24797.2491
+ +表 4 圆弧半径 + +
R1R2R3R4R5R6R7
0.51080.24630.26020.98731.01344.00143.9985
+ +表 5 圆心之间的距离 + +
c1c2c3c4c5c6
7.42567.081119.97872.80969.533712.2516
+ +表 6 圆弧的长度 + +
\( S_1 \)\( S_2 \)\( S_3 \)\( S_4 \)\( S_5 \)\( S_6 \)\( S_7 \)
1.25070.63520.67682.23692.26839.06689.0756
+ +表 7 水平线段的长度 + +
x2x4x6x8x9x10x12
4.99554.99877.07733.00171.00394.99725.0045
+ +表 8 斜线线段长度 + +
d1d2d3d4d5d6d7d8
2.81732.81592.88622.91982.89292.91035.09695.0044
+ +表 9 斜线与水平线之间的夹角 (单位：度) + +
∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8
110.1035109.9387105.0895106.9038104.9659105.9684168.7580168.6586
+ +人字型线的高度： + +$$ +z _ {1} = 1. 0 0 3 7 +$$ + +在轮廓线图上标注如图（图14） + +![](images/58bdf44c1385bb1f1d0d1670511db09844d9fd6f83e6d317b492d01d08447786.jpg) +图14轮廓线上各项参数标注图 + +# 问题二、对工件1倾斜和水平位移状态下轮廓线数据校正及参数差异比较 + +# 1、倾斜角度计算 + +根据问题二分析和数据（data01-down）及问题一的部分结论，对水平线所在的部位，建立倾斜后的直线方程模型 + +$$ +z = k x + b + \varepsilon +$$ + +$k, b$ 为待定参数， $\varepsilon$ 为随机影响因子，抓取该直线上数据，首先平滑降噪，然后回归可得倾斜的直线方程为 + +$$ +z = - 0. 1 3 0 8 x + 7. 7 8 8 1 +$$ + +效果如图（图15）所示 + +![](images/77c4bf504f290256f1d2f6bc1fd97281a6cdf5e6881a8bd415623a4f3f813a42.jpg) +图15倾斜拟合效果图 + +![](images/a615079848bc97641bace8f9dc894d46d9c987e94d655fa3068941c346718fb7.jpg) +图16倾斜测量轮廓线水平校正比较图 + +用该直线的斜率计算工件工件1倾斜测量时的倾斜角度，由 + +$$ +\tan \theta = k +$$ + +即 + +$$ +\tan \theta = - 0. 1 3 0 7 +$$ + +由于斜率 $k$ 小于0，与 $\mathbf{X}$ 正方向夹角大于90度，用三角函数公式转换并利用反三角函数求角度，计算得工件1在测量时的倾斜角度为 + +$$ +\alpha = 7. 4 5 0 8 ^ {\circ} +$$ + +# 2、水平校正 + +根据图发现，只需要将倾斜后的图形进行一定角度旋转即可将其校正为水平状态，根据坐标变换公式，建立校准模型 + +$$ +X ^ {\prime} = A X +$$ + +其中 $X$ 为变换之前的测量原始数据， $X'$ 为坐标变换之后的数据， $A$ 为坐标变换矩阵。由于此处是二维空间，所以模型为 + +$$ +\binom {x ^ {\prime}} {z ^ {\prime}} = \binom {\cos \theta} {\sin \theta} \binom {x} {z} +$$ + +代入数据计算，并画出图像，与水平状态下测量的轮廓线相比如图（图16）所示。发现两个图像在同一坐标系中并不重叠，说明除了倾斜外，还发生了水平位移，因此修改校正模型为 + +$$ +X ^ {\prime} = A X + X _ {0} +$$ + +其中 $X_0$ 为平移向量，即 + +$$ +\binom {x ^ {\prime}} {z ^ {\prime}} = \binom {\cos \theta} {\sin \theta} \binom {- \sin \theta} {\cos \theta} \binom {x} {z} + \binom {x _ {0}} {z _ {0}} +$$ + +因为不同的测量，起始点不一定相同，所以不选起始点为关键点，而选择图像的关键特征点A（图1、图3中所示）来参照，代入数据计算可得倾斜、平移的校正后的数据，画出他们的图像（图17） + +![](images/73ec4ace9921e7211d26dc0d8ecda113b200b3813031e99c573edb154f866ba2.jpg) +图17倾斜、平移校正效果图（右图为左图局部放大图） + +![](images/bf5b31a04405c01981f0e76b5b903ddefbd9221bbc1133f14728d69890df098d.jpg) + +从图像可以发现，校正效果很好。 + +# 3、差异比较 + +根据倾斜和平移校正后的数据，用问题一中的方法，编程求工件1在倾斜状态下测量的数据水平校正之后的各项参数并与水平状态下测量的轮廓数据进行比较如下： + +表 10 槽口宽度差异比较 + +
参数x1x3x5x7x11x13
水平状态下2.88952.07362.04410.00357.24797.2491
倾斜状态下2.89582.08542.159710.00817.26387.2879
差异-0.0063-0.0118-0.1157-0.0046-0.0159-0.0388
+ +表 11 圆弧半径差异比较 + +
参数R1R2R3R4R5R6R7
水平状态下0.51080.24630.26020.98731.01344.00143.9985
倾斜状态下0.50910.30470.27030.99811.01074.01484.0323
差异0.0017-0.0584-0.0101-0.01080.0027-0.0134-0.0338
+ +表 12 圆心之间的距离差异比较 + +
参数c1c2c3c4c5c6
水平状态下7.42567.081119.97872.80969.533712.2516
倾斜状态下7.47297.105719.91542.80999.534212.2572
差异-0.0473-0.02460.0633-0.0003-0.0005-0.0056
+ +表 13 圆弧的长度差异比较 + +
参数S1S2S3S4S5S6S7
水平状态下1.25070.63520.67682.23692.26839.06689.0756
倾斜状态下1.25080.79470.70512.24592.26359.07749.0994
差异0.00010.15950.02830.0090.00480.01060.0238
+ +表 14 水平线段的长度差异比较 + +
参数x2x4x6x8x9x10x12
水平状态下4.99554.99877.07733.00171.00394.99725.0045
倾斜状态下4.98884.90817.15482.99910.99944.99314.9816
差异0.00670.0906-0.07750.00260.00450.00410.0229
+ +表 15 斜线线段长度差异比较 + +
参数d1d2d3d4d5d6d7d8
水平状态下2.81732.81592.88622.91982.89292.91035.09695.0044
倾斜状态下2.81802.82192.84142.84952.93662.88545.09805.0092
差异-0.0007-0.0060.04480.0703-0.04370.0249-0.0011-0.0048
+ +表 16 斜线与水平线之间的夹角差异比较 (度) + +
∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8
水平状态下110.1035109.9387105.0895106.9038104.9659105.9684168.7580168.6586
倾斜状态下110.0723110.1144105.1156105.3988107.6151105.0631168.6899168.6994
差异0.0312-0.1757-0.02611.505-2.64920.90530.0681-0.0408
+ +人字型线的高度差异： + +水平状态下： $z_{1} = 1.0037$ ；倾斜状态下： $z_{1} = 1.0010$ ；差异：0.0027。 + +以上是从数值上进行差异比较，水平状态测试数据和倾斜状态测试数据哪个更好？整体看，效果都很好，画出倾斜状态下数据校正后的拟合效果图局部图（图18），和水平状态下数据拟合效果图（图11）相比，发现倾斜状态的数据相对要好。 + +![](images/087c258f01d144f76d6a49b8ddd2c9cb858f86bf260af465c0f891fa867d1ed6.jpg) +图18 两种状态下拟合效果图及局部放大图 + +# 问题三、对工件2轮廓线数次测量研究 + +# 1、每次测量工件2时的倾斜角度计算 + +根据问题三分析，10次测量，只有5条明显的轮廓线，每条明显的轮廓线由两组数据叠加而成，说明10次测量有5个不同的倾斜角度，为了使减少测量误差叠加影响，先对探测数据分别做高斯光滑，然后根据对应点求其平均值，图形如图19所示。 + +![](images/cd0cb9fc7b44fc4e47be0975ae981df816aef62b4df8ef5cd2c75f6c6911ae29.jpg) +图19 工件2五个局部轮廓线图 + +观察图像，设置直线AB部位所在的直线为工件2水平状态下的平面，拟合出该直线 + +$$ +z = k x + b + \varepsilon +$$ + +代入数据分别可得方程为 + +$$ +\begin{array}{l} l _ {2 5}: \quad z = 0. 4 7 7 2 x - 4 1. 4 3 5 4 \\ l _ {2 6}: \quad z = 0. 5 0 4 5 x - 3 9. 2 0 0 0 \\ l _ {2 7}: \quad z = 0. 5 2 7 6 x - 3 8. 2 0 7 3 \\ l _ {2 8}: \quad z = 0. 5 4 6 6 x - 3 8. 5 0 1 4 \\ l _ {2 9}: \quad z = 0. 5 7 1 9 x - 4 1. 8 8 5 9 \\ \end{array} +$$ + +用问题二中的方法，分别求出倾斜角如表17所示。 + +表 17 十次测量中的 5 个倾斜角度列表 + +
α25α26α27α28α29
25.51°26.77°27.81°28.66°29.76°
+ +# 2、工件2轮廓线各参数值标注 + +由于有5条关于工件2的轮廓线，所以要分别标注其各项参数值，按照问题二中的方法，首先将5条轮廓线水平校正，如图（图20）所示 + +![](images/cf91608e614826bc081f1243cd2a5cb552c4d8cebc514cd8642f788668a06721.jpg) +图20 五条水平校正轮廓线图 + +确定每条轮廓线各项参数及标识示意图，如图21—23所示。 + +![](images/918351c1826f527a17d958c9996aa0276c73c8c4d8af4845b5f71127d3efcf7e.jpg) +图21 25号（左）、26号（右）轮廓线各项参数标注图 + +![](images/3311e6bec4e88063903f1f493781a51e991f5f930f6a0a7a3de143ef42d9ce8c.jpg) + +![](images/e15ddbac00a439452c84e71500987f1aeab3607dfe7f34594fb0f77fb95e2927.jpg) +图22 27号（左）、28号（右）轮廓线各项参数标注图 + +![](images/0a5912d7931b76590fa0e59f8b19615d8ca89a376b47c3b4c3e2febc5b7c2148.jpg) + +![](images/f7c7218d4c0e0bcab9b46536a490a616244de027db4eb3b6c4cfd8a70e3c9c68.jpg) +图23 29号轮廓线各项参数标注图 + +根据问题一中的数学模型，确定各轮廓线关键点坐标，用各参数值模型计算出五条廓线各参数值，对五条轮廓线中的 $l_{0}$ 由于无法判断是直线还是圆弧，由于这五条轮廓线都是倾斜探测的，在倾斜状态时，根据探针的工作原理，不能对向上凹陷的部分进行接触式探测，所以 $l_{0}$ 部分的数据为异常数据，此处不做标注，其他结果列表（表18—表22）如下： + +表 18 25 号轮廓线各项参数值列表 + +
参数l1l2l3l4l5l6l7l8
值1.82832.97702.56480.85500.52500.68950.40051.6609
参数R1s1x1∠1∠2∠3∠4
值5.793510.08338.8578131.78°131.78°138.44°131.56°
+ +表 19 26 号轮廓线各项参数值列表 + +
参数l1l2l3l4l5l6l7
值2.95722.56320.83350.53870.68900.40491.6803
参数R1s1∠1∠2∠3∠4
值5.79099.5420131.78°131.78°138.44°131.56°
+ +表 20 27 号轮廓线各项参数值列表 + +
参数l1l2l3l4l5l6l7
值2.89002.30000.79000.54490.65000.40361.6700
参数R1s1∠1∠2∠3∠4
值5.80299.7562131.17°131.17°139.16°130.84°
+ +表 21 28 号轮廓线各项参数值列表 + +
参数l1l2l3l4l5l6l7l8
值1.86822.74002.37000.71000.61220.65000.40461.4900
参数R1s1x1∠1∠2∠3∠4
值5.791810.15008.9600136.66°136.66°137.60°132.40°
+ +表 22 29 号轮廓线各项参数值列表 + +
参数l1l2l3l4l5l6l7l8
值1.45562.74002.36000.72000.60440.58000.44551.6400
参数R1s1x1∠1∠2∠3∠4
值5.787811.96728.9800135.76°135.76°138.27°131.73°
+ +从以上各项参数可以发现，除了测量起始位置，倾斜角度不同外，对应的参数值相差很小，可以认为工件2有相同的局部轮廓线，计算出他们的平均值，具体局部轮廓及标注如图（图24）所示 + +![](images/28a64fa1c0c260fbe6edf56c573b02038f5893d56c09d5bd9d1933595d6eb700.jpg) +图24 工件2局部轮廓线标注图 + +# 3、工件2完整轮廓线探索 + +由于对工件2探测了五条轮廓线，工件2的完整轮廓线一般是由这五条线连接构成，那么相邻的两条主轴边的夹角应该大于90度。但是，通过计算发现相邻的主轴直线几乎相互垂直，所以，工件2应该是由五条轮廓线中的四条连接而成。 + +仔细观察图20，发现水平校正后的27号轮廓线和28号轮廓线在同一水平线上，因此，可以认为27号轮廓线和28号轮廓线探测的是工件2的同一个面，只是起始点不同而已。选择25号轮廓线、26号轮廓线、27号 $+28$ 号轮廓线（对应合并）、29号轮廓线为拼接工件2的局部轮廓线。 + +将四条水平校正后的局部轮廓线中的三条分别旋转90度、180度、270度，如图（图24）所示。 + +![](images/f723050559bbdaacded6920cbf64fd949c8c33ff022a04679275e5f893f78615.jpg) +图24 四条局部轮廓线旋转后图 + +因为每次测量数据的起始点不一样，拼接四条轮廓线的时候，选择具有相同特征部分，寻找相同特征点，探索发现以每条线的B点部位（见图20）为相邻轮廓线相同特征点，进行平移拼接如图（图25）所示。去掉异常数据可得工件2的完整轮廓线，如图（图26）所示。 + +![](images/d93bc9861b45005e098ead2a3f74762f4c26134fffb626d28c4773030222f6c9.jpg) +图25 按相同特征点拼接轮廓线图 + +![](images/51ac42a2da970519d093c31d3b8ff73a6c7b8ab346f1098f0655a2694b6be559.jpg) +图26去除异常数据轮廓线拼接图 + +从图26可以看出，底部还存在一点不完整的地方，由于数据不全导致。 + +# 问题四、用工件2局部测量数据对工件轮廓数做进一步修正 + +# 1、关于圆弧和角的9次局部测量数据分析与处理 + +根据问题分析，将圆和角的每条局部轮廓线的三组数据（分别记为1、2、3号轮廓线）用平均的方法综合成一组，做水平校正，如图（图27）所示 + +![](images/206b65ad61e2b60f8cca5b51de74901af23e34f689fe5f141535febeffbc6293.jpg) +图27局部圆和角数据倾斜校正图 + +![](images/81c3565a729e98978615508a05bfa434339dbca3d5752be5387ece873aeabb4a.jpg) + +对于圆弧和角度局部图，不难发现除了起始点、位置，倾斜角度略有不同外，其他的大小、形状几乎相同，因此进一步判断工件2是点具有相同局部轮廓线，因此完整轮廓线中的四个圆弧的大小是一致的，在图27的基础上平移到一起，如图（图28）所示 + +![](images/406b867b955b6cb107b7385c25811250f8a75f6f447eea2f5f132a9cea402238.jpg) +图28局部圆（左图）和局部角（右图）数据倾斜校正平移图 + +![](images/5aa3fbe59e113a332467f6893701389d987d918c14ddb3593382c690971a94ed.jpg) + +根据处理出来的圆弧数据，分别确定圆弧凹槽的宽度，拟合圆的方程，分别求半径，再平均求他们的平均值记为圆弧的凹槽宽度和圆的半径，模型为 + +$$ +\bar {x} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i}}{n} +$$ + +和 + +$$ +\bar {R} = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n} R _ {i}}{n} +$$ + +结合问题一的做法，代入数据所求结果如表（表23）所示 + +表 23 圆弧凹槽宽度、半径和圆弧长度列表 + +
1号轮廓线2号轮廓线3号轮廓线平均值
凹槽宽度8.79008.80008.85008.8133
圆的半径5.80785.81375.81295.8115
圆弧长度10.063010.058510.059310.0603
+ +效果如图（图29）所示 + +![](images/503d68ddfad49277688b54b353a687c924494f641986b0caf2d5c99c1c257d1e.jpg) +图29 拟合圆效果图 + +根据处理出来的角度数据，确定有角部分的关键点和参数值大小，根据图28右图所示，和图24相比，分析发现工件轮廓线右肩部分应该是一条斜线，因此结合表23的数据，在图24基础上做局部修正，修正图及标注如图（图30）所示 + +![](images/e6b5c346193373b29a145bf6e6132423d6739e625f0c7d674d5724549a681eea.jpg) +图30修正后局部轮廓线图及标注参数 + +根据问题一方法计算各参数标注值，列表（表24）所示 + +表 24 修正后局部轮廓线各项参数值表 + +
参数l1l2l3l4l5l6l7l8
1号轮廓0.318262.220000.750000.548290.650000.329731.75000
2号轮廓0.547562.248000.740000.526900.670000.333051.77100
3号轮廓0.287372.274200.730000.535530.660000.370741.71200
平均值2.86080.384402.247400.740000.536910.660000.344511.74433
参数R1s1x1h1∠1∠2∠3
1号轮廓5.807810.0638.790.37528.3843.1540.70
2号轮廓5.813710.05858.80.36521.3443.8535.84
3号轮廓5.812910.05938.850.36729.5443.2640.95
平均值5.811510.06038.81330.36926.4243.4239.16
+ +![](images/8d1350df253da03794dc28b94e9c86c8067e1184490cfe307b2d8e2333267aa9.jpg) +数值标注修正图如图（图31）所示 +图31各项参数标注图 + +# 2、对工件 2 的完整轮廓修正 + +由于部分细节的变化，需要对工件2完整轮廓线进行修正，为了使工件2更加准确，避免探测数据误差，准确将工件2轮廓线画出来，此处直接根据各项参数值，生成一组新坐标系下新的数列，具体生成方法如下： + +为了简单，新坐标系原点O（0,0）设在圆弧左端端点，根据调整后的各条直线和圆弧参数将直线和圆用解析式表示 + +$$ +z = \left\{ \begin{array}{c l} \sqrt {R _ {1} ^ {2} - (\frac {x _ {1}}{2}) ^ {2}} - \sqrt {R _ {1} ^ {2} - (x - \frac {x _ {1}}{2}) ^ {2}} & (0, x _ {1}) \\ 0 & (x _ {1}, x _ {2}) \\ k _ {1} x + b _ {1} & (x _ {2}, x _ {3}) \\ c _ {1} & (x _ {3}, x _ {4}) \\ k _ {2} x + b _ {2} & (x _ {5}, x _ {6}) \\ c _ {2} & (x _ {7}, x _ {8}) \\ k _ {3} x + b _ {3} & (x _ {9}, x _ {1 0}) \end{array} \right. +$$ + +按照次分段函数生成一组轮廓线数列，再根据局部轮廓线来拼接工件2完整轮廓图，结果如图（图32）所示。 + +![](images/dbdab7f869e5f6fbb6514777d2115388bd5578c1aaf3a2bab4e48baea34c4df2.jpg) +图32工件2完整轮廓线修正后图 + +从图32可以发现，如果将图32倾斜一定角度，进行探测数据时，当探针探测到右边时，探针无法探测到向上凹陷的圆弧内部，因此会导致收集到异常数据，符合之前的分析，因此工件2轮廓线完美。 + +# 参考文献 + +[1] 姜启源，大学数学实验，[M]，清华大学出版社。 +[2] 包亚俊，基于激光轮廓仪的非接触式钢轨廓形检测系统.，[J]，电子科技，2020，（28-33）。 +[3] 卓金武等, MATLAB 数学建模方法与实践, [M], 北京航空航天大学出版社。 + +# 附录： + +# 问题一程序 + +清理工作区 + +```sql +clear; +clc; +close; +``` + +# 读数据 + +```javascript +data_raw = xsread('data_01.xlsx'); +``` + +# 直线交点 + +```txt +data_jd = zeros(9,2); +``` + +# 原数据绘图 + +```javascript +window_raw = figure(1); +set(window_raw,'name','原数据图'); +plot(data_raw(:,1)，data_raw(:,2)); +``` + +```matlab +xlabel('x'); +ylabel('z'); +``` + +# 高斯滤波 + +```matlab +dataGs = [data_raw(:,1), smoothdata(data_raw(:,2), 'gaussian',500)]; +windowGs = figure(2); +set(window_raw,'name','高斯滤波拟合图'); +hold on; +plot(dataGs(:,1), dataGs(:,2)); +``` + +# 拟合水平直线 + +# 取分段数据 + +```txt +data_a = [dataGs(1:6000, :); dataGs(12507:21500, :); ... +dataGs(26650:36000, :); ... +dataGs(40700:49955, :); dataGs(70741:76210, :); ... +dataGs(80208:81671, :); dataGs(86095:95439, :); ... +dataGs(110377:119595, :); dataGs(135576:end, :)]; +``` + +$\%$ 拟合与绘图 + +```matlab +[P1,S1] = polyfit(data_a(:,1), data_a(:,2), 0); +x = 46:0.1:119; +y = 0*x + P1; +``` + +```javascript +figure(2); hold on; plot(x,y); +``` + +# 拟合L2线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(6362:7815, :); +[P,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +x = 49.7:0.1:51.3; +y = P(1)*x + P(2); +figure(2); +plot(x, y, ''); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + P1, y == -2.7490*x + 135.0653); +data_jd(1,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(2); +plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L3线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(10100:12108, :); +[P3,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +x = 51.1:0.1:52.7; +y = P3(1)*x + P3(2); +figure(2); +plot(x, y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + P1, y == P3(1)*x + P3(2)); +``` + +```matlab +data_jd(2,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(2); +plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L4线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(22176:23480, :); +[P4,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +x = 57.6:0.1:58.7; +y = P4(1)*x + P4(2); +figure(2); +plot(x, y); +``` + +% 求交点 +syms x y; + $[X,Y] = \text{solve}(y == 0*x + P1, y == P4(1)*x + P4(2));$ data_jd(3,:) $=$ [double(X), double(Y)]; +figure(2); +plot(double(X), double(Y), 'o'); + +# 拟合L5线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(24578:26275, :); +[P5,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +x = 58.5:0.1:59.8; +y = P5(1)*x + P5(2); +figure(2); +``` + +plot(x，y); + $\%$ 求交点 +symsx y; + $[X,Y] = \mathrm{solve}(y == 0*x + P1,y == P5(1)*x + P5(2));$ data_jd(4,:） $=$ [double(X)，double(Y)]; figure(2); plot(double(X)，double(Y)，'o'); + +# 拟合L6线段 + +# 取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(36292:37627, :); +[P,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +x = 64.7:0.1:65.9; +y = P(1)*x + P(2); +figure(2); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + P1, y == P(1)*x + P(2)); +data_jd(5,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(2); +plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L7线段 + +# 取数据 + +```txt +data_b = data_gs(38771:40203, :); +``` + +[P,S] $=$ polyfit(data_b(:,1)，data_b(:,2)，1); + $\mathrm{x} = 65.5:0.1:66.8$ $y = P(1)^{*}x + P(2)$ +figure(2); +plot(x，y); +%求交点 +symsxy; + $[X,Y] = \text{solve}(y == 0*x + P1,y == P(1)*x + P(2));$ （204 +data_jd(6,:） $=$ [double(X)，double(Y)]; +figure(2); +plot(double(X)，double(Y),o'); + +# 拟合L8线段 + +取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(50730:60004，：); +[P,S] = polyfit(data_b(:,1)，data_b(:,2)，1); +x = 71.6:0.1:77.2; +y = P(1)*x + P(2); +figure(2); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + P1,y == P(1)*x + P(2)); +data_jd(7,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(2); +plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L9线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(60804:70004, :); +[P,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +x = 75.9:0.1:82; +y = P(1)*x + P(2); +figure(2); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + P1, y == P(1)*x + P(2)); +data_jd(9,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(2); +plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# L8 线段和 L9 线段的交点 + +```matlab +data_b14 = data_gs(50730:60004, :); +[P14,S14] = polyfit(data_b14(:,1), data_b14(:,2), 1); +data_b15 = data_gs(60804:70004, :); +[P15,S15] = polyfit(data_b15(:,1), data_b15(:,2), 1); +[X15, Y15] = solve(y == P14(1)*x + P14(2), y == P15(1)*x + P15(2)); +data_jd(8,:) = [double(X15), double(Y15)]; +figure(2); +plot(X15, Y15, 'o'); +``` + +# 标注 + +legend('高斯滤波数据', '拟合线', 'L2', '交点', 'L3', '交点', 'L4', '交点', ... 'L5', '交点', 'L6', '交点', 'L7', '交点', 'L8', '交点', 'L9', ... '交点'); + +# 输出直线交点 + +disp(data_jd); + +49.7779 -1.7741 +52.6603 -1.7741 +57.6601 -1.7741 +59.7300 -1.7741 +64.7321 -1.7741 +66.7726 -1.7741 +71.7753 -1.7741 +76.8069 -0.7740 +81.7932 -1.7741 + +# 圆心数据 + +data_yx = zeros(7,2); + +# 圆与直线交点 + +data_yjd = zeros(8,2); + +# 拟合C4圆弧 + +c = data_gs(76586:79945, :); + +```matlab +figure(2); +plot(c(:,1), c(:,2)); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(4,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + P1, (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2); +data_yjd([1,2],:) = [X,Y]; +``` + +# 拟合C5圆弧 + +```matlab +c = data_gs(82058:85584, :); +figure(2); +plot(c(:,1), c(:,2)); +[xc,yc,R,a] = circfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(5,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + P1, (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2); +data_yjd([3,4],:) = [X,Y]; +``` + +# 拟合C6圆弧 + +```txt +c = data_gs(95779:109992, :); +figure(2); +plot(c(:,1), c(:,2)); +``` + +```matlab +[ [xc, yc, R, a] = \text{circfit}(c(:, 1), c(:, 2)) ]; +data_yx(6,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +% 求交点 +syms x y; +[ [X, Y] = \text{solve}(y == 0 * x + P1, (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2) ]; +data_yjd([5,6],:) = [X, Y]; +``` + +# 拟合C7圆弧 + +```matlab +c = data_gs(120398:134398, :); +figure(2); +plot(c(:,1), c(:,2)); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(7,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + P1, (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2); +data_yjd([7,8],:) = [X,Y]; +``` + +# 角度 + +data_jiaodu $=$ zeros(1,8); + $\%$ 角1 jiao $= 180+$ atand(-2.7321); data_jiaodu(1) $=$ jiao; + $\%$ 角2 jiao $= 180-$ atand(2.7567); + +```matlab +data_jiaodu(2) = jiao; +%角3 +jiao = 180 + atand(-3.7089); +data_jiaodu(3) = jiao; +%角4 +jiao = 180 - atand(3.2906); +data_jiaodu(4) = jiao; +%角5 +jiao = 180 + atand(-3.7410); +data_jiaodu(5) = jiao; +%角6 +jiao = 180 - atand(3.5198); +data_jiaodu(6) = jiao; +%角7 +jiao = 180 - atand(0.1988); +data_jiaodu(7) = jiao; +%角8 +jiao = 180 + atand(-0.2006); +data_jiaodu(8) = jiao; +``` + +# 拟合C1 + +```matlab +c = data_gs(8158:10348, :); +figure(2); +plot(c(:,1), c(:,2)); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(7,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +``` + +# 拟合C2 + +$\mathbf{c} =$ data_gs(23400:24500, :); figure(2); plot(c(:,1), c(:,2)); [xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); data_yx(7,:) = [xc,yc]; plot(xc,yc,'x'); + +$\%$ 画最低线 + +```txt +c = data_gs(23400:24500, :, +``` + +$x = 58.4:0.1:58.9;$ + +```txt +y_min = 0*x + min(c(:,2)); +``` + +plot(x, y_min); + +# 拟合C3 + +```txt +c = data_gs(37550:38900, :); +``` + +figure(2); + +```javascript +plot(c(:,1)，c(:,2)); +``` + +```matlab +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +``` + +```txt +data_yx(7,:) = [xc, yc]; +``` + +```dart +plot(xc，yc，'x'); +``` + +# 定义变量 + +水平直线方程 + +```txt +data_spzx = []; +``` + +$\%$ 斜直线方程 + +```javascript +data_zxfc = []; +``` + +圆心 + +```txt +data_yx = []; +``` + +% 圆弧半径 + +```txt +data_yhbj = []; +``` + +$\%$ 槽口宽度 +data_ckkd = []; + $\%$ 直线交点 +data_jd = []; + $\%$ 人字形高度 +data_rzgd = []; + $\%$ 水平线段的长度 +data_spxdcd = []; + $\%$ 斜线与水平线的夹角 +data_xxjj = []; + $\%$ 前三个小圆切点 +data_xyqd = []; + $\%$ 斜线长度 +data_xxcd = []; + $\%$ 关键点 +data_gjd = []; + +# 读取数据 + +```matlab +data_raw = xlsread('data_01.xlsx'); +figure(30); +plot(data_raw(:,1), data_raw(:,2)); +``` + +# 整体高斯平滑处理 + +```matlab +dataGs = [data_raw(:,1), smoothdata(data_raw(:,2), 'gaussian',500)]; +% 绘图 +figure(31); +plot(dataGs(:,1), dataGs(:,2), data_raw(:,1), data_raw(:,2)); +``` + +```javascript +legend('高斯平滑后的数据','原数据'); +title('高斯平滑数据处理结果对比及细节图'); +figure(30); +hold on; +plot(dataGs(:,1), dataGs(:,2)); +``` + +# 拟合水平直线1 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = [data_gs(1:6000, :)]; +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(1,:) = P; +x = 46.5:0.1:50; +y = 0*x + data_spzx(1); +figure(30); +plot(x, y); +``` + +# 拟合水平直线2 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(12507:21500, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(2,:) = P; +x = 52.5:0.1:57.8; +y = 0*x + data_spzx(2); +figure(30); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线3 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(26650:36000, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(3,:) = P; +x = 59.7:0.1:64.8; +y = 0*x + data_spzx(3); +figure(30); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线4 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = data_gs(40700:49955, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(4,:) = P; +x = 66.7:0.1:72; +y = 0*x + data_spzx(4); +figure(30); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线5 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(70741:76210, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +``` + +```txt +data_spzx(5,:) = P; +x = 81.5:0.1:84.9; +y = 0*x + data_spzx(5); +figure(30); +plot(x, y); +``` + +# 拟合水平直线6 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = data_gs(80208:81671, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(6,:) = P; +x = 86.5:0.1:87.7; +y = 0*x + data_spzx(6); +figure(30); +plot(x, y); +``` + +# 拟合水平直线7 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = data_gs(86095:95439, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(7,:) = P; +x = 89.4:0.1:94.5; +y = 0*x + data_spzx(7); +figure(30); +plot(x, y); +``` + +# 拟合水平直线8 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(110377:119595, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(8,:) = P; +x = 101.5:0.1:106.8; +y = 0*x + data_spzx(8); +figure(30); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线9 + +取分段数据 +data_fd = dataGs(135576:end，:); +%拟合与绘图 + $\left[\mathrm{P},\mathrm{S}\right] =$ polyfit(data_fd(:,1)，data_fd(:,2),0); +data_spzx $(9,.) = P;$ $x = 113.8:0.1:118.2;$ $y = 0*x + data_spzx(9);$ +figure(30); +plot(x,y); + +# 拟合L2线段 + +取数据 +```matlab +data_b = dataGs(6362:7815, :); +[P2,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +``` + +data_zxfc(1,:) = P2; + $\mathbf{x} = 49.7:0.1:51.3$ $y = \mathrm{P2}(1)^{*}x + \mathrm{P2}(2)$ +figure(30); +plot(x,y); +%求交点 +syms x y; + $[X,Y] = \text{solve}(y == 0*x + \text{data_spzx}(1),y == \text{P2}(1)*x + \text{P2}(2));$ data_jd(1,:) $=$ [double(X),double(Y)]; +data_gjd(1,:) $=$ [double(X),double(Y)]; +figure(30); +% plot(double(X),double(Y),o'); + +# 拟合L3线段 + +取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(10100:12108, :); +[P3,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(2,:) = P3; +x = 51.1:0.1:52.7; +y = P3(1)*x + P3(2); +figure(30); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(2), y == P3(1)*x + P3(2)); +data_jd(2,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(4,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(30); +``` + +$\%$ plot(double(X), double(Y), 'o'); + +# 拟合L4线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(22176:23480, :); +[P4,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(3,:) = P4; +x = 57.6:0.1:58.7; +y = P4(1)*x + P4(2); +figure(30); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(2), y == P4(1)*x + P4(2)); +data_jd(3,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(5,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(30); +% plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L5线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(24578:26275, :); +[P5,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(4,:) = P5; +x = 58.5:0.1:59.8; +y = P5(1)*x + P5(2); +figure(30); +plot(x,y); +``` + +$\%$ 求交点 +syms x y; + $[X,Y] = \text{solve}(y == 0*x + data_spzx(3), y == P5(1)*x + P5(2));$ data_jd(4,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(30); + $\%$ plot(double(X), double(Y), 'o'); +data_gjd(8,:) = [X(1),Y(1)]; + +# 拟合L6线段 + +# 取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(36292:37627, :); +[P6,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(5,:) = P6; +x = 64.7:0.1:65.9; +y = P6(1)*x + P6(2); +figure(30); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(3), y == P6(1)*x + P6(2)); +data_jd(5,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(9,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(30); +% plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L7线段 + +# 取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(38771:40203, :); +[P7,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(6,:) = P7; +x = 65.5:0.1:66.8; +y = P7(1)*x + P7(2); +figure(30); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(4), y == P7(1)*x + P7(2)); +data_jd(6,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(12,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(30); +% plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L8线段 + +取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(50730:60004, :); +[P8,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(7,:) = P8; +x = 71.6:0.1:77.2; +y = P8(1)*x + P8(2); +figure(30); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(4), y == P8(1)*x + P8(2)); +data_jd(7,:) = [double(X), double(Y)]; +``` + +```matlab +data_gjd(13.;) = [double(X), double(Y)]; +figure(30); +% plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L9线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(60804:70004, :); +[P9,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(8,:) = P9; +x = 75.9:0.1:82; +y = P9(1)*x + P9(2); +figure(30); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(5), y == P9(1)*x + P9(2)); +data_jd(9,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(15,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(30); +% plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# L8线段和L9线段的交点 + +```matlab +data_b14 = data_gs(50730:60004, :); +[P14,S14] = polyfit(data_b14(:,1), data_b14(:,2), 1); +data_b15 = data_gs(60804:70004, :); +[P15,S15] = polyfit(data_b15(:,1), data_b15(:,2), 1); +[X15, Y15] = solve(y == P14(1)*x + P14(2), y == P15(1)*x + P15(2)); +``` + +```matlab +data_jd(8,:) = [double(X15), double(Y15)]; data_gjd(14,:) = [double(X15), double(Y15)]; figure(30); % plot(X15, Y15, 'o'); +``` + +# 圆与直线交点 + +```txt +data_yjd = zeros(8,2); +``` + +# 拟合C1圆弧 + +C1最低点水平线 +```matlab +c = data_gs(7565:15999, :); +x = 50.6:0.1:51.8; +y_min = 0*x + min(c(:,2)); +plot(x,y_min); +% 计算圆心与半径 +Yuandian(2.7321,1,-134.2160,2.7567,-1,-146.9404,-4.7509) +% 绘制 +plot_y(51.2215,-4.2401,0.5108); +data_yx(1,:) = [51.2215,-4.2401]; +data_yhbj(1) = 0.5108; +% 求切点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_zxfc(1,1)*x + data_zxfc(1,2), y == 1 / -data_zxfc(1,1)*(x - 51.2215) - 4.2401); +% plot(X,Y,'o'); +data_xyqd(1,:) = [X(1),Y(1)]; +data_gjd(2,:) = [X(1),Y(1)]; +% 求切点 +``` + +syms x y; + $[X,Y] = \text{solve}(y == \text{data_zxfc}(2,1)*x + \text{data_zxfc}(2,2), y == 1 / -\text{data_zxfc}(2,1)*(x - 51.2215) - 4.2401);$ +% plot(X,Y,'o'); +data_xyqd(2,:) $= [X(1),Y(1)]$ +data_gjd(3,:) $= [X(1),Y(1)]$ + +C2最低点水平线 +```matlab +c = data_gs(23400:24500, :); +x = 58.4:0.1:58.9; +y_min = 0*x + min(c(:,2)); +plot(x, y_min); +% 计算圆心与半径 +Yuandian(3.7089,1,-212.0801,3.2906,-1,-198.3214,-4.7364) +% 绘制 +plot_y(58.6471,-4.4901,0.2463); +data_yx(2,:) = [58.6471,-4.4901]; +data_yhbj(2) = 0.2463; +% 求切点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_zxfc(3,1)*x + data_zxfc(3,2), y == 1 / -data_zxfc(3,1)*(x - 58.6471) - 4.4901); +% plot(X,Y,'o'); +data_xyqd(3,:) = [X(1),Y(1)]; +data_gjd(6,:) = [X(1),Y(1)]; +% 求切点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_zxfc(4,1)*x + data_zxfc(4,2), y == 1 / -data_zxfc(4,1)*(x - 58.6471) - 4.4901); +% plot(X,Y,'o'); +data_xyqd(4,:) = [X(1),Y(1)]; +data_gjd(7,:) = [X(1),Y(1)]; +``` + +# 拟合C3圆弧 + +C3最低点水平线 +```matlab +c = data_gs(37165:39160, :); +x = 65.4:0.1:66; +y_min = 0*x + min(c(:,2)); +plot(x, y_min); +% 计算圆心与半径 +Yuandian(3.7410,1,-240.3858,3.5198,-1,-236.798,-4.7561) +% 绘制 +plot_y(65.7282,-4.4959,0.2602); +data_yx(3,:) = [65.7282,-4.4959]; +data_yhbj(3) = 0.2602; +% 求切点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_zxfc(5,1)*x + data_zxfc(5,2), y == 1 / -data_zxfc(5,1)*(x - 65.7282) - 4.4959); +% plot(X,Y,'o'); +data_xyqd(5,:) = [X(1),Y(1)]; +data_gjd(10,:) = [X(1),Y(1)]; +% 求切点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_zxfc(6,1)*x + data_zxfc(6,2), y == 1 / -data_zxfc(6,1)*(x - 65.7282) - 4.4959); +% plot(X,Y,'o'); +data_xyqd(6,:) = [X(1),Y(1)]; +data_gjd(11,:) = [X(1),Y(1)]; +``` + +# 拟合C4圆弧 + +```txt +c = data_gs(76586:79945, :); +``` + +```matlab +figure(30); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1)，c(:,2)); +data_yx(4,:) = [xc，yc]; +plot(xc，yc，'x'); +data_yhbj(4) = R; +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(5)，(x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 85); +data_yjd(1,:) = [X,Y]; +data_gjd(16,:) = [X,Y]; +% % plot(X,Y,'o'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(6)，(x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 86); +data_yjd(2,:) = [X,Y]; +data_gjd(17,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +``` + +# 拟合C5圆弧 + +```matlab +c = data_gs(82058:85584, :); +figure(30); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(5,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +data_yhbj(5) = R; +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(6), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 88); +``` + +```matlab +data_yjd(3,:) = [X,Y]; +data_gjd(18,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(7), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 89); +data_yjd(4,:) = [X,Y]; +data_gjd(19,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +``` + +# 拟合C6圆弧 + +```matlab +c = data_gs(95779:109992, :); +figure(30); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(6,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +data_yhbj(6) = R; +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(7), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 96); +data_yjd(5,:) = [X,Y]; +data_gjd(20,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(8), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 100); +data_yjd(6,:) = [X,Y]; +data_gjd(21,:) = [X,Y]; +``` + +$\%$ plot(X,Y,o') + +# 拟合C7圆弧 + +```matlab +c = data_gs(120398:134398, :); +figure(30); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(7,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +data_yhbj(7) = R; +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(8), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 108); +data_yjd(7,:) = [X,Y]; +data_gjd(22,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(9), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 112); +data_yjd(8,:) = [X,Y]; +data_gjd(23,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +figure(30); +xlabel('x'); +ylabel('y'); +title('水平状态下的拟合局部图'); +``` + +# 槽口宽度 + +```c +data_ckkd(1) = data_jd(2,1) - data_jd(1,1); +data_ckkd(2) = data_jd(4,1) - data_jd(3,1); +data_ckkd(3) = data_jd(6,1) - data_jd(5,1); +data_ckkd(4) = data_jd(9,1) - data_jd(7,1); +data_ckkd(5) = data_yjd(6,1) - data_yjd(5,1); +data_ckkd(6) = data_yjd(8,1) - data_yjd(7,1); +``` + +# 圆心之间的距离 + +```txt +data_yxj1(1) = 58.6471 - 51.2215; +data_yxj1(2) = 65.7282 - 58.6471; +data_yxj1(3) = data_yx(4,1) - 65.7282; +data_yxj1(4) = data_yx(5,1) - data_yx(4,1); +data_yxj1(5) = data_yx(6,1) - data_yx(5,1); +data_yxj1(6) = data_yx(7,1) - data_yx(6,1); +``` + +# 水平线段的长度 + +```txt +data_spxdcd(1) = data_jd(3,1) - data_jd(2,1); +data_spxdcd(2) = data_jd(5,1) - data_jd(4,1); +data_spxdcd(3) = data_jd(7,1) - data_jd(5,1); +data_spxdcd(4) = data_yjd(1,1) - data_jd(9,1); +data_spxdcd(5) = data_yjd(3,1) - data_yjd(2,1); +data_spxdcd(6) = data_yjd(5,1) - data_yjd(4,1); +data_spxdcd(7) = data_yjd(7,1) - data_yjd(6,1); +``` + +# 斜线与水平线的夹角 + +角1 + +jiao = 180 + atand(data_zxfc(1,1)); + +data_xxjj(1) = jiao; + +%角2 + +jiao = 180 - atand(data_zxfc(2,1)); + +data_xxjj(2) = jiao; + +%角3 + +jiao = 180 + atand(data_zxfc(3,1)); + +data_xxjj(3) = jiao; + +%角4 + +jiao = 180 - atand(data_zxfc(4,1)); + +data_xxjj(4) = jiao; + +%角5 + +jiao = 180 + atand(data_zxfc(5,1)); + +data_xxjj(5) = jiao; + +%角6 + +jiao = 180 - atand(data_zxfc(6,1)); + +data_xxjj(6) = jiao; + +%角7 + +jiao = 180 - atand(data_zxfc(7,1)); + +data_xxjj(7) = jiao; + +$\%$ 角8 + +jiao = 180 + atand(data_zxfc(8,1)); + +data_xxjj(8) = jiao; + +# 圆弧的长度 + +```matlab +A=[51.2215 -4.2401 0.5108 50.74160659 51.70247033 +58.6471 -4.4901 0.2463 58.40962688 58.88283829 +65.7282 -4.4959 0.2602 65.47756478 65.9790638 +85.70688789 -1.358760801 0.987257334 84.81294128 86.60113477 +88.5164856 -2.219979128 1.013367893 87.60502307 89.42858024 +98.05014822 -0.082855517 4.001386577 94.42575234 101.6736321 +110.3017158 -3.470778273 3.99847028 106.6781556 113.9272582]; +for i = 1:7 + h(i)=yuanhu(A(i,1), A(i,2), A(i,3), A(i,4), A(i,5)); +end +data_yhcd = double(h); +``` + +# 人字形高度 + +```txt +data_rzgd = data_jd(8,2) - data_spzx(5); +``` + +# 斜线长度 + +斜线1 + +data_xxcd(1) $=$ sqrt((data_jd(1,1)- data_xyqd(1,1))^2+(data_jd(1,2)- data_xyqd(1,2))^2); +%斜线2 +data_xxcd(2) $=$ sqrt((data_jd(2,1)- data_xyqd(2,1))^2+(data_jd(2,2)- data_xyqd(2,2))^2); +%斜线3 +data_xxcd(3) $=$ sqrt((data_jd(3,1)- data_xyqd(3,1))^2+(data_jd(3,2)- data_xyqd(3,2))^2); +%斜线4 +data_xxcd(4) $=$ sqrt((data_jd(4,1)- data_xyqd(4,1))^2+(data_jd(4,2)- data_xyqd(4,2))^2); +%斜线5 + +data_xxcd(5) $=$ sqrt((data_jd(5,1)-data_xyqd(5,1)) $\wedge 2+$ (data_jd(5,2)-data_xyqd(5,2)) $\wedge 2$ ); +%斜线6 +data_xxcd(6) $=$ sqrt((data_jd(6,1)-data_xyqd(6,1)) $\wedge 2+$ (data_jd(6,2)-data_xyqd(6,2)) $\wedge 2$ ); +%斜线7 +data_xxcd(7) $=$ sqrt((data_jd(8,1)-data_jd(7,1)) $\wedge 2+$ (data_jd(8,2)-data_jd(7,2)) $\wedge 2$ ); +%斜线8 +data_xxcd(8) $=$ sqrt((data_jd(9,1)-data_jd(8,1)) $\wedge 2+$ (data_jd(8,2)-data_jd(8,2)) $\wedge 2$ ); + +问题二程序： + +# 清除工作区 + +```sql +clear; +clc; +close; +``` + +# 读取数据 + +```matlab +data_raw1 = xsread('data_01.xlsx'); +data_raw2 = xsread('data_01.xlsx', 'down'); +window_p2 = figure(4); +plot(data_raw2(:,1), data_raw2(:,2)); +hold on; +``` + +# 取数据 + +```txt +data_spzx1 = data_raw2(1:6700, :); +data_spzx2 = data_raw2(12850:22360, :); +data_spzx3 = data_raw2(27080:36380, :); +``` + +```matlab +data_spzx4 = data_raw2(41110:50200, :); +data_spzx5 = data_raw2(71260:75800, :); +data_spzx6 = data_raw2(80250:81600, :); +data_spzx7 = data_raw2(86260:95270, :); +data_spzx8 = data_raw2(110100:119100, :); +data_spzx9 = data_raw2(134700:end, :); +data_spzx = [data_spzx1; data_spzx2; data_spzx3; data_spzx4; ... data_spzx5; data_spzx6; data_spzx7; data_spzx8; data_spzx9]; +hold on; +``` + +# 拟合直线 + +拟合与绘图 + +```matlab +[P,S] = polyfit(data_spzx(:,1), data_spzx(:,2), 1); +x = 48.5:0.1:120; +y = P(1)*x + P(2); +figure(4); +hold on; +plot(x, y) +xlabel('x'); +ylabel('z'); +title('倾斜拟合效果图'); +legend('原数据','拟合线'); +``` + +# 倾斜角度 + +```javascript +data_qxd = atand(-P(1)); +``` + +# 旋转 + +$\begin{array}{l}\mathrm{arf} = \mathrm{acot}(-\mathrm{P}(1));\\ \mathrm{arfbu} = \mathrm{pi} / 2 - \mathrm{arf};\\ \mathrm{ca} = \cos (\mathrm{arfbu});\\ \mathrm{sa} = \sin (\mathrm{arfbu});\\ \mathrm{A} = [\mathrm{ca}, - \mathrm{sa};\mathrm{sa},\mathrm{ca}];\\ \mathrm{X} = [\mathrm{data\_raw2(:,1)}';\mathrm{data\_raw2(:,2)}'];\\ \mathrm{Y} = \mathrm{A^{*}X}; \end{array}$ + +# 绘图 + +```matlab +figure(7) +plot(Y(1,:),Y(2,:),data_raw1(:,1),data_raw1(:,2)); +title('倾斜测量轮廓线水平比较校正图'); +legend('倾斜状态测量轮廓水平校正线','水平状态测量轮廓线'); +axis equal +data_raw = Y'; +``` + +# 平移 + +```txt +Y(1,:) = Y(1,:)-1.94; +Y(2,:) = Y(2,:)-9.496 +``` + +# 绘图 + +```txt +figure(6) plot(Y(1:,Y(2:,data_raw1(:,1),data_raw1(:,2)); +``` + +title('倾斜测量轮廓线水平校比较正图'); +legend('倾斜状态测量轮廓水平校正线'，'水平状态测量轮廓线'); +axis equal +data_raw $= \mathsf{Y}^{\prime}$ ： +figure(1) +plot(Y(1:,),Y(2:,），data_raw1(:,1)，data_raw1(:,2)); + +# 定义变量 + +水平直线方程 + +```txt +data_spzx = []; +``` + +$\%$ 斜直线方程 + +```javascript +data_zxfc = []; +``` + +圆心 + +```txt +data_yx = []; +``` + +% 圆弧半径 + +```txt +data_yhbj = []; +``` + +%槽口宽度 + +```txt +data_ctkd = []; +``` + +$\%$ 直线交点 + +```txt +data_id = []; +``` + +% 人字形高度 + +```txt +data_rzgd = []; +``` + +$\%$ 水平线段的长度 + +```txt +data_spxdcd = []; +``` + +斜线与水平线的夹角 + +```txt +data_xxjj = []; +``` + +$\%$ 前三个小圆切点 + +```txt +data_xyqd = []; +``` + +```matlab +斜线长度 +data_xxcd = []; +% 关键点 +data_gjd = []; +``` + +# 整体高斯平滑处理 + +```matlab +dataGs = [data_raw(:,1), smoothdata(data_raw(:,2), 'gaussian', 500)]; +``` + +$\%$ 绘图 + +```matlab +figure(1); +plot(dataGs(:,1),dataGs(:,2)); +axis equal; +``` + +```matlab +figure(1); +hold on; +plot(dataGs(:,1),dataGs(:,2)); +axis equal; +``` + +# 拟合水平直线1 + +取分段数据 + +```javascript +data_fd = [data_gs(1:6000, :)]; +``` + +$\%$ 拟合与绘图 + +$\begin{array}{rl} & \mathrm{[P,S] = polyfit(data_fd(:,1),data_fd(:,2),0);}\\ & \mathrm{data_spzx(1,:) = P;}\\ & \mathrm{x = 46.5:0.1:50;}\\ & \mathrm{y = 0*x + data_spzx(1);}\\ & \mathrm{figure(1);}\\ & \mathrm{plot(x,y);} \end{array}$ + +# 拟合水平直线2 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(12507:21500, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(2,:) = P; +x = 52.5:0.1:57.8; +y = 0*x + data_spzx(2); +figure(1); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线3 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(26650:36000, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(3,:) = P; +x = 59.7:0.1:64.8; +y = 0*x + data_spzx(3); +figure(1); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线4 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(40700:49955, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +``` + +```prolog +data_spzx(4,:) = P; +x = 66.7:0.1:72; +y = 0*x + data_spzx(4); +figure(1); +plot(x, y); +``` + +# 拟合水平直线5 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(70741:76210, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(5,:) = P; +x = 81.5:0.1:84.9; +y = 0*x + data_spzx(5); +figure(1); +plot(x, y); +``` + +# 拟合水平直线6 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = data_gs(80208:81671, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(6,:) = P; +x = 86.5:0.1:87.7; +y = 0*x + data_spzx(6); +figure(1); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线7 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(86095:95439, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(7,:) = P; +x = 89.4:0.1:94.5; +y = 0*x + data_spzx(7); +figure(1); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线8 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(110377:119595, :); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2), 0); +data_spzx(8,:) = P; +x = 101.5:0.1:106.8; +y = 0*x + data_spzx(8); +figure(1); +plot(x,y); +``` + +# 拟合水平直线9 + +取分段数据 +```matlab +data_fd = dataGs(135576:end，:); +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_fd(:,1), data_fd(:,2),0); +``` + +```prolog +data_spzx(9,:) = P; +x = 113.8:0.1:118.2; +y = 0*x + data_spzx(9); +figure(1); +plot(x, y); +``` + +# 拟合L2线段 + +# 取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(7149:8040, :); +[P2,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(1,:) = P2; +x = 49.7:0.1:51.3; +y = P2(1)*x + P2(2); +figure(1); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(1), y == P2(1)*x + P2(2)); +data_jd(1,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(1,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(1); +% plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L3线段 + +# 取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(10100:12208, :); +[P3,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(2,:) = P3; +``` + +$\begin{array}{rl} & {\mathrm{x} = 51.1:0.1:52.7;}\\ & {\mathrm{y} = \mathrm{P3}(1)^{*}\mathrm{x} + \mathrm{P3}(2);}\\ & {\mathrm{figure}(1);}\\ & {\mathrm{plot(x,y)};}\\ & {\% \mathrm{~s~o~v~e~t~o~}}\\ & {\mathrm{syms~x~y};}\\ & {\mathrm{[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(2),y == P3(1)*x + P3(2));}}\\ & {\mathrm{data_jd(2,:) = [double(X),double(Y)];}}\\ & {\mathrm{data_gjd(4,:) = [double(X),double(Y)];}}\\ & {\mathrm{figure(1);}}\\ & {\% \mathrm{~p~l~ot(double(X),double(Y),'o');}} \end{array}$ + +# 拟合L4线段 + +# 取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(22745:23235, :); +[P4,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(3,:) = P4; +x = 57.6:0.1:58.8; +y = P4(1)*x + P4(2); +figure(1); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(2), y == P4(1)*x + P4(2)); +data_jd(3,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(5,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(1); +``` + +$\%$ plot(double(X), double(Y), 'o'); + +# 拟合L5线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(24578:26275, :); +[P5,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(4,:) = P5; +x = 58.5:0.1:59.8; +y = P5(1)*x + P5(2); +figure(1); +plot(x,y); +``` + +$\%$ 求交点 +syms x y; +[ [X, Y] = \text{solve}(y == 0 * x + \text{data_spzx}(3), y == P5(1) * x + P5(2)); ] +data_jd(4,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(1); + $\%$ plot(double(X), double(Y), 'o'); +data_gjd(8,:) = [X(1), Y(1)]; + +# 拟合L6线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(36292:37627, :); +[P6,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(5,:) = P6; +x = 64.6:0.1:65.9; +y = P6(1)*x + P6(2); +figure(1); +``` + +plot(x，y); + $\%$ 求交点 +symsxy; + $[X,Y] = \mathrm{solve}(y == 0*x + data_spzx(3),y == P6(1)*x + P6(2));$ data_jd(5,:） $= [$ double(X)，double(Y)]; data_gjd(9,:） $= [$ double(X)，double(Y)]; figure(1); + $\%$ plot(double(X)，double(Y)，'o'); + +# 拟合L7线段 + +# 取数据 + +```matlab +data_b = data_gs(38771:40203, :); +[P7,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(6,:) = P7; +x = 65.5:0.1:66.9; +y = P7(1)*x + P7(2); +figure(1); +plot(x,y); +``` + +$\%$ 求交点 +syms x y; + $[X,Y] = \text{solve}(y == 0*x + data_spzx(4), y == P7(1)*x + P7(2));$ data_jd(6,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(12,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(1); + $\%$ plot(double(X), double(Y), 'o'); + +# 拟合L8线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(50730:60004, :); +[P8,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(7,:) = P8; +x = 71.6:0.1:77.2; +y = P8(1)*x + P8(2); +figure(1); +plot(x,y); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == 0*x + data_spzx(4), y == P8(1)*x + P8(2)); +data_jd(7,:) = [double(X), double(Y)]; +data_gjd(13,:) = [double(X), double(Y)]; +figure(1); +% plot(double(X), double(Y), 'o'); +``` + +# 拟合L9线段 + +取数据 +```matlab +data_b = data_gs(60804:70004, :); +[P9,S] = polyfit(data_b(:,1), data_b(:,2), 1); +data_zxfc(8,:) = P9; +x = 75.9:0.1:82; +y = P9(1)*x + P9(2); +figure(1); +plot(x,y); +``` + +$\%$ 求交点 +symsxy; + $[X,Y] = \text{solve}(y == 0*x + data_spzx(5), y == P9(1)*x + P9(2));$ +data_jd(9,:) $=$ [double(X), double(Y)]; +data_gjd(15,:) $=$ [double(X), double(Y)]; +figure(1); + $\%$ plot(double(X), double(Y), 'o'); + +# L8 线段和 L9 线段的交点 + +```matlab +data_b14 = data_gs(50730:60004, :); +[P14,S14] = polyfit(data_b14(:,1)，data_b14(:,2)，1); +data_b15 = data_gs(60804:70004，:); +[P15,S15] = polyfit(data_b15(:,1)，data_b15(:,2)，1); +[x15，Y15] = solve(y == P14(1)*x + P14(2)，y == P15(1)*x + P15(2)); +data_jd(8,:) = [double(x15)，double(Y15)]; +data_gjd(14,:) = [double(x15)，double(Y15)]; +figure(1); +% plot(x15，Y15，'o'); +``` + +# 圆与直线交点 + +```txt +data_yjd = zeros(8,2); +``` + +# 拟合C1圆弧 + +C1最低点水平线 + +```txt +c = data_gs(7565:15999, :); +``` + +$\begin{array}{l}\mathrm{x} = 50.6:0.1:51.8;\\ \mathrm{y\_min} = 0^{*}\mathrm{x} + \mathrm{min}(\mathrm{c}(:,2));\\ \mathrm{plot(x,y\_min)};\\ \% \text{计算圆心与半径}\\ \mathrm{Yuandian(2.7285,1,-134.0491,2.7284,-1,-145.5021,-4.7588)}\\ \% \text{绘制}\\ \mathrm{plot(y(51.2289,-4.2497,0.5091);}\\ \mathrm{data_{yx}(1,:) = [51.2215,-4.2401]};\\ \mathrm{data_{yhbj}(1) = 0.5091;}\\ \% \text{求切点}\\ \mathrm{syms x y;}\\ \mathrm{[X,Y] = solve(y == data_zxfc(1,1)*x + data_zxfc(1,2),y == 1 / - data_zxfc(1,1)*(x - 51.2289) - 4.2497);}\\ \% \mathrm{plot(X,Y,'o')};\\ \mathrm{data_{xyqd}(1,:) = [X(1),Y(1)];}\\ \mathrm{data_{gjd}(2,:) = [X(1),Y(1)];}\\ \% \text{求切点}\\ \mathrm{syms x y;}\\ \mathrm{[X,Y] = solve(y == data_zxfc(2,1)*x + data_zxfc(2,2),y == 1 / - data_zxfc(2,1)*(x - 51.2289) - 4.2497);}\\ \% \mathrm{plot(X,Y,'o')};\\ \mathrm{data_{xyqd}(2,:) = [X(1),Y(1)];}\\ \mathrm{data_{gjd}(3,:) = [X(1),Y(1)];} \end{array}$ + +# 拟合 C2 圆弧 + +C2最低点水平线 + +```matlab +c = data_gs(23400:24500, :); +x = 58.4:0.1:59.1; +y_min = 0*x + min(c(:,2)); +plot(x, y_min); +``` + +$\%$ 计算圆心与半径 + +Yuandian(3.7022,1,-211.7182,3.6308,-1,-218.7212,-4.7438) + +% 绘制 + +plot_y(58.7018,-4.4391,0.3047); + +data_yx(2,:) = [58.7018,-4.4391]; + +data_yhbj(2) = 0.3047; + +$\%$ 求切点 + +syms x y; + +[ \left[ X, Y \right] = \text{solve}(y == \text{data_zxc}(3,1)*x + \text{data_zxc}(3,2), y == 1 / -data_zxc(3,1)*(x - 58.7018) - 4.4391); ] + +$\%$ plot(X,Y,'o') + +data_xyqd(3,:) = [X(1),Y(1)]; + +data_gjd(6,:) = [X(1),Y(1)]; + +$\%$ 求切点 + +syms x y; + +[ \left[ X, Y \right] = \text{solve}(y == \text{data_zxc}(4,1) * x + \text{data_zxc}(4,2), y == 1 / -\text{data_zxc}(4,1) * (x - 58.7018) - 4.4391); ] + +$\%$ plot(X,Y,'o'); + +data_xyqd(4,:) = [X(1),Y(1)]; + +data_gjd(7,:) = [X(1),Y(1)]; + +计算圆心与半径 + +Yuanian(3.1495,1,-201.8777,3.7157,-1,-250.0508,-4.7602) + +% 绘制 + +plot_y(65.8075,-4.4899,0.2703); + +data_yx(3,:) = [65.8075,-4.4899]; + +data_yhbj(3) = 0.2703; + +$\%$ 求切点 + +syms x y; + +[ \text{[X,Y]} = \text{solve(y == data_zxfc(5,1)*x + data_zxfc(5,2), y == 1 - data_zxfc(5,1)*x - 4.899)}; ] + +$\%$ plot(X,Y,O') + +data_xyqd(5,:) = [X(1),Y(1)]; + +data_gjd(10,) = [X(1),Y(1)]; + +$\%$ 求切点 + +syms x y; + +[ \text{[X,Y]} = \text{solve(y == data_zxfc(6,1)*x + data_zxfc(6,2), y == 1 - data_zxfc(6,1)*x - 4.899)}; ] + +$\%$ plot(X,Y,o') + +data_xyqd(6,:) = [X(1),Y(1)]; + +data_gjd(11,.) = [X(1),Y(1)]; + +# 拟合C4圆弧 + +c = data_gs(76586:79945, :); + +figure(1); + +[xc,yc,R,a] $=$ circuitfit(c(:,1)，c(:,2)); + +data_yx(4,:) = [xc, yc]; + +plot(xc，yc，'x'); + +data_yhbj(4) = R; + +$\%$ 求交点 + +syms x y; + +[ [X, Y] = \text{solve}(y == \text{data_spzx}(5), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 85); ] + +data_yjd(1,:) = [X, Y]; + +data_gjd(16,:) = [X,Y]; + +$\%$ plot(X,Y,'o'); + +$\%$ 求交点 + +syms x y; + $[X,Y] = \text{solve}(y == \text{data_spzx}(6), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 86);$ data_yjd(2,:) = [X,Y]; +data_gjd(17,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); + +# 拟合C5圆弧 + +```matlab +c = data_gs(82058:85584, :); +figure(1); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(5,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +data_yhbj(5) = R; +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(6), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 88); +data_yjd(3,:) = [X,Y]; +data_gjd(18,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(7), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 89); +data_yjd(4,:) = [X,Y]; +data_gjd(19,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +``` + +# 拟合C6圆弧 + +```matlab +c = data_gs(95779:109992, :); +figure(1); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(6,:) = [xc, yc]; +pTot(xc, yc, 'x'); +data_yhbj(6) = R; +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(7), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 96); +data_yjd(5,:) = [X,Y]; +data_gjd(20,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +% 求交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == data_spzx(8), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 100); +data_yjd(6,:) = [X,Y]; +data_gjd(21,:) = [X,Y]; +% plot(X,Y,'o'); +``` + +# 拟合C7圆弧 + +```matlab +c = data_gs(120398:134398, :); +figure(1); +[xc,yc,R,a] = circuitfit(c(:,1), c(:,2)); +data_yx(7,:) = [xc, yc]; +plot(xc, yc, 'x'); +``` + +```matlab +data_yhbj(7) = R; +% 求交点 +syms x y; +[ \text{[X, Y]} = \text{solve(y == data_spzx(8), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 108)};} ] +data_yjd(7,:) = [X, Y]; +data_gjd(22,:) = [X, Y]; +% plot(X, Y, 'o'); +% 求交点 +syms x y; +[ \text{[X, Y]} = \text{solve(y == data_spzx(9), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 112)};} ] +data_yjd(8,:) = [X, Y]; +data_gjd(23,:) = [X, Y]; +% plot(X, Y, 'o'); +figure(1); +title('倾斜校正后的轮廓线拟合图'); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +``` + +# 槽口宽度 + +```c +data_ckkd(1) = data_jd(2,1) - data_jd(1,1); +data_ckkd(2) = data_jd(4,1) - data_jd(3,1); +data_ckkd(3) = data_jd(6,1) - data_jd(5,1); +data_ckkd(4) = data_jd(9,1) - data_jd(7,1); +data_ckkd(5) = data_yjd(6,1) - data_yjd(5,1); +data_ckkd(6) = data_yjd(8,1) - data_yjd(7,1); +``` + +# 圆心之间的距离 + +```txt +data_yxj1(1) = 58.7018 - 51.2289; +data_yxj1(2) = 65.8075 - 58.7018; +data_yxj1(3) = data_yx(4,1) - 65.8075; +data_yxj1(4) = data_yx(5,1) - data_yx(4,1); +data_yxj1(5) = data_yx(6,1) - data_yx(5,1); +data_yxj1(6) = data_yx(7,1) - data_yx(6,1); +``` + +# 水平线段的长度 + +```txt +data_spxdcd(1) = data_jd(3,1) - data_jd(2,1); +data_spxdcd(2) = data_jd(5,1) - data_jd(4,1); +data_spxdcd(3) = data_jd(7,1) - data_jd(5,1); +data_spxdcd(4) = data_yjd(1,1) - data_jd(9,1); +data_spxdcd(5) = data_yjd(3,1) - data_yjd(2,1); +data_spxdcd(6) = data_yjd(5,1) - data_yjd(4,1); +data_spxdcd(7) = data_yjd(7,1) - data_yjd(6,1); +``` + +# 斜线与水平线的夹角 + +角1 + +jiao $= 180+$ atand(data_zxfc(1,1)); +data_xxjj(1) $=$ jiao; + $\%$ 角2 +jiao $= 180-$ atand(data_zxfc(2,1)); +data_xxjj(2) $=$ jiao; + $\%$ 角3 +jiao $= 180+$ atand(data_zxfc(3,1)); + +```matlab +data_xxjj(3) = jiao; +%角4 +jiao = 180 - atand(data_zxfc(4,1)); +data_xxjj(4) = jiao; +%角5 +jiao = 180 + atand(data_zxfc(5,1)); +data_xxjj(5) = jiao; +%角6 +jiao = 180 - atand(data_zxfc(6,1)); +data_xxjj(6) = jiao; +%角7 +jiao = 180 - atand(data_zxfc(7,1)); +data_xxjj(7) = jiao; +%角8 +jiao = 180 + atand(data_zxfc(8,1)); +data_xxjj(8) = jiao; +``` + +# 圆弧的长度 + +```txt +A=[51.2215 -4.2401 0.5091 50.74969088 51.70791546 +58.7018 -4.4391 0.3047 58.40811053 58.99596556 +65.8075 -4.4899 0.2703 65.5494325 66.07061268 +85.7228602 -1.344300882 0.998051888 84.82281786 86.62394717 +88.53276596 -2.214375835 1.010691798 87.6233361 89.44260295 +98.06698052 -0.061822862 4.014813638 94.43569165 101.6994758 +110.3242141 -3.500104929 4.032341327 106.6810808 113.9690068 +]; +for i = 1:7 +``` + +$\mathsf{h}(\mathsf{i}) = \mathsf{y}$ uanhu(A(i,1),A(i,2),A(i,3),A(i,4),A(i,5)); +end +data_yhcd $=$ double(h); + +# 人字形高度 + +```txt +data_rzgd = data_jd(8,2) - data_spzx(5); +``` + +# 斜线长度 + +斜线1 + +data_xxcd(1) $=$ sqrt((data_jd(1,1)- data_xyqd(1,1))^2+(data_jd(1,2)- data_xyqd(1,2))^2); +%斜线2 +data_xxcd(2) $=$ sqrt((data_jd(2,1)- data_xyqd(2,1))^2+(data_jd(2,2)- data_xyqd(2,2))^2); +%斜线3 +data_xxcd(3) $=$ sqrt((data_jd(3,1)- data_xyqd(3,1))^2+(data_jd(3,2)- data_xyqd(3,2))^2); +%斜线4 +data_xxcd(4) $=$ sqrt((data_jd(4,1)- data_xyqd(4,1))^2+(data_jd(4,2)- data_xyqd(4,2))^2); +%斜线5 +data_xxcd(5) $=$ sqrt((data_jd(5,1)- data_xyqd(5,1))^2+(data_jd(5,2)- data_xyqd(5,2))^2); +%斜线6 +data_xxcd(6) $=$ sqrt((data_jd(6,1)- data_xyqd(6,1))^2+(data_jd(6,2)- data_xyqd(6,2))^2); +%斜线7 +data_xxcd(7) $=$ sqrt((data_jd(8,1)- data_jd(7,1))^2+(data_jd(8,2)- data_jd(7,2))^2); +%斜线8 +data_xxcd(8) $=$ sqrt((data_jd(9,1)- data_jd(8,1))^2+(data_jd(8,2)- data_jd(8,2))^2); + +问题三程序 + +# 清理工作区 + +```sql +clear; +clc; +close; +``` + +# 读取数据 + +```javascript +data_raw1 = xslsread('data_02.xlsx',1); data_raw2 = xslsread('data_02.xlsx',2); data_raw3 = xslsread('data_02.xlsx',3); data_raw4 = xslsread('data_02.xlsx',4); data_raw5 = xslsread('data_02.xlsx',5); data_raw6 = xslsread('data_02.xlsx',6); data_raw7 = xslsread('data_02.xlsx',7); data_raw8 = xslsread('data_02.xlsx',8); data_raw9 = xslsread('data_02.xlsx',9); data_raw10 = xslsread('data_02.xlsx',10); save('data3') +``` + +```txt +load('data3') +``` + +# 画图 + +```matlab +plot(data_raw1(:,1)，data_raw1(:,2)); +axis equal; +plot(data_raw2(:,1)，data_raw2(:,2)); +plot(data_raw3(:,1)，data_raw3(:,2)); +plot(data_raw4(:,1)，data_raw4(:,2)); +plot(data_raw5(:,1)，data_raw5(:,2)); +plot(data_raw6(:,1)，data_raw6(:,2)); +plot(data_raw7(:,1)，data_raw7(:,2)); +plot(data_raw8(:,1)，data_raw8(:,2)); +plot(data_raw9(:,1)，data_raw9(:,2)); +plot(data_raw10(:,1)，data_raw10(:,2)); +``` + +# 数据校正01 + +倾角数据 +data_qjsj = [data_raw2(1:5000,);} data_raw2(47140:58650,);}]; +% 拟合直线 + $\left[\mathrm{P},\mathrm{S}\right] =$ polyfit(data_qjsj(:,1), data_qjs(:,2), 1); +%倾斜角度 +data_qxjd = atand(P(1)); +%校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 -arf; +ca = cos(arfbu + pi); +sa = sin(arfbu + pi); +A = [ca,-sa;sa,ca]; +X = [data_raw2(:,1)'; data_raw2(:,2)']; +Y = A*X; +figure; +plot(Y(1:,Y(2,:)); +hold on; +axis equal; + +# 数据校正02 + +倾角数据 +```txt +data_qjsj = data_raw4(40240:49230,): +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj(:,1), data_qjsj(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxjd = atand(P(1)); +% 校正 +``` + +$\begin{array}{l}\mathrm{arf} = \mathrm{acot}(-\mathrm{P}(1));\\ \mathrm{arfbu} = \mathrm{pi} / 2 - \mathrm{arf};\\ \mathrm{ca} = \cos (\mathrm{arfbu} + \mathrm{pi});\\ \mathrm{sa} = \sin (\mathrm{arfbu} + \mathrm{pi});\\ \mathrm{A} = [\mathrm{ca}, - \mathrm{sa};\mathrm{sa},\mathrm{ca}];\\ \mathrm{X} = [\mathrm{data\_raw4(:,1)},\mathrm{data\_raw4(:,2)}];\\ \mathrm{Y} = \mathrm{A*X};\\ \mathrm{plot(Y(1:,),Y(2:,))}; \end{array}$ + +# 数据校正03 + +# 倾角数据 + +```javascript +data_qjsj = data_raw6(36310:45300,:); +``` + +$\%$ 拟合直线 + +```txt +[P,S] = polyfit(data_qjs(:,1), data_qjs(:,2), 1); +``` + +$\%$ 倾斜角度 + +```javascript +data_qxd = atand(P(1)); +``` + +校正 + +$\operatorname{arf} = \operatorname{acot}(-P(1))$ + +arfbu $=$ pi/2-arf; + +```txt +ca = cos(arfbu + pi); +``` + +```txt +sa = sin(arfbu + pi); +``` + +```javascript +A = [ca, -sa; sa, ca]; +``` + +```txt +X=[data_raw6(:,1)';data_raw6(:,2)]: +``` + +```javascript +Y = A * X; +``` + +```txt +plot(Y(1,:),Y(2,:)); +``` + +# 数据校正04 + +# 倾角数据 + +```javascript +data_qjsj = [data_raw8(1:7725,:)；data_raw8(50080:59710,:))]; +``` + +$\%$ 拟合直线 + +```txt +[P,S] = polyfit(data_qjsj(:,1), data_qjsj(:,2), 1); +``` + +$\%$ 倾斜角度 + +```javascript +data_qxjd = atand(P(1)); +``` + +校正 + +$\operatorname{arf} = \operatorname{acot}(-P(1))$ + +arfbu $=$ pi/2-arf; + +```txt +ca = cos(arfbu + pi); +``` + +$\mathrm{sa} = \sin (\mathrm{arfbu} + \mathrm{pi})$ + +```txt +A = [ca, -sa, sa, ca]; +``` + +```matlab +X = [data_raw8(:,1)'; data_raw8(:,2)']; +``` + +```javascript +Y = A * X; +``` + +```txt +plot(Y(1,:),Y(2:)); +``` + +```txt +hold on; +``` + +# 数据校正05 + +# 倾角数据 + +```javascript +data_qjsj = [data_raw10(1:3180,:)；data_raw10(44880:54700,:)]; +``` + +$\%$ 拟合直线 + +```matlab +[P,S] = polyfit(data_qjs(:,:,1), data_qjs(:,2), 1); +``` + +$\%$ 倾斜角度 + +```javascript +data_qxd = atand(P(1)); +``` + +校正 + +$\operatorname{arf} = \operatorname{acot}(-P(1))$ + +arfbu $=$ pi/2-arf; + +```txt +ca = cos(arfbu + pi); +``` + +$\mathrm{sa} = \sin (\mathrm{arfbu} + \mathrm{pi})$ + +```matlab +A = [ca, -sa, sa, ca]; +X = [data_raw10(:, 1); data_raw10(:, 2)]; +Y = A * X; +plot(Y(1:, Y(2:)); +data27 = xssleep('均值 3', 3); +data28 = xssleep('均值 3', 4); +data25 = xssleep('均值 3', 1); +data26 = xssleep('均值 3', 2); +data29 = xssleep('均值 3', 5); +data27 = [data27(:, 1) - 2.16, data27(:, 2) - 0.383]; +figure; +``` + +# 数据校正27 + +倾角数据 + +```matlab +data_qjsj27 = [data27(39900:49400, :); data27(39880:49600, :)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj27(:,1), data_qjsj27(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxd27 = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 -arf; +ca = cos(arfbu + pi); +sa = sin(arfbu + pi); +A = [ca, -sa; sa, ca]; +X = [data27(:,1)'; data27(:,2)']; +Y = A*X; +Y = [Y(1,:) - 0.56; Y(2,:) - 0.75]; +``` + +```javascript +plot(Y(1:.),Y(2:.), 'LineWidth', 2); +``` + +hold on; + +```txt +axis equal; +``` + +# 数据校正28 + +倾角数据 +```matlab +data_qjsj28 = [data28(39900+9802:49400+9802, :); data28(39880+9802:49600+9802, :)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj28(:,1), data_qjsj28(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxjd28 = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 -arf; +ca = cos(arfbu + pi); +sa = sin(arfbu + pi); +A = [ca, -sa; sa, ca]; +X = [data28(:,1); data28(:,2)]]; +Y = A*X; +plot(Y(1:, Y(2:, 'LineWidth', 2)); +hold on; +axis equal; +``` + +# 数据校正25 + +倾角数据 +```matlab +data_qjsj25 = [data25(39900+9802:49400+9802, :); data25(39880+9802:49600+9802, :)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj25(:,1), data_qjsj25(:,2), 1); +``` + +$\%$ 倾斜角度 + +```javascript +data_qxjd25 = atand(P(1)); +``` + +校正 + +$\operatorname{arf} = \operatorname{acot}(-P(1))$ + +arfbu $=$ pi/2-arf; + +```txt +ca = cos(arfbu + pi + pi/2); +``` + +$\mathrm{sa} = \sin (\mathrm{arfbu} + \mathrm{pi} + \mathrm{pi} / 2)$ + +```javascript +A = [ca, -sa; sa, ca]; +``` + +```javascript +[ X = \left\lbrack {\text{data25}\left( { : ,1}\right) {}^{\prime };{\text{data25}}^{\prime }\left( { : ,2}\right) }^{!}}\right\rbrack . ] +``` + +```javascript +Y = A * X; +``` + +```javascript +Y = [Y(1,:) - (42.15 - 31.9); Y(2,:) - (50.64 + 33.88)]; +``` + +```javascript +plot(Y(1:.), Y(2:.), 'LineWidth', 2); +``` + +```txt +hold on; +``` + +```txt +axis equal; +``` + +# 数据校正26 + +# 倾角数据 + +```javascript +data_qjsj26 = [data26(39845:48768,:); data26(39845:48768,:)]; +``` + +$\%$ 拟合直线 + +```txt +[P,S] = polyfit(data_qjsj26(:,1), data_qjsj26(:,2), 1); +``` + +$\%$ 倾斜角度 + +```javascript +data_qxd26 = atand(P(1)); +``` + +校正 + +$\operatorname{arf} = \operatorname{acot}(-P(1))$ + +arfbu $=$ pi/2-arf; + +```javascript +ca = cos(arfbu + pi + pi/2 + pi/2); +``` + +$\mathrm{sa} = \sin (\mathrm{arfbu} + \mathrm{pi} + \mathrm{pi} / 2 + \mathrm{pi} / 2)$ + +```javascript +A = [ca, -sa; sa, ca]; +``` + +```txt +[ X = \left\lbrack {\text{data26}\left( { : ,1}\right) {}^{\prime },\text{data26}\left( { : ,2}\right) }\right\rbrack ; ] +``` + +$\mathrm{Y} = \mathrm{A}\star \mathrm{X};$ $\mathrm{Y} = [\mathrm{Y}(1,:) + (27.66 + 50.67);\mathrm{Y}(2,:) - (39.15 + 47.83)];$ plot(Y(1,), Y(2,), 'LineWidth', 2); +hold on; +axis equal; + +# 数据校正29 + +# 倾角数据 + +```matlab +data_qjsj29 = [data29(47928:56852,:); data29(47928:56852,:)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj29(:,1), data_qjsj29(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxjd29 = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 -arf; +ca = cos(arfbu + pi + pi/2 + pi/2 + pi/2); +sa = sin(arfbu + pi + pi/2 + pi/2 + pi/2); +A = [ca, -sa, sa, ca]; +X = [data29(:,1); data29(:,2)]; +Y = A*X; +Y = [Y(1,:) + (45.88+36.48) ;Y(2,:) - (38.05-33.23) ]; +plot(Y(1,:) , Y(2,:) , 'LineWidth', 2); +hold on; +axis equal; +legend('27','28','25','26','29'); +title('按相同特征点拼接轮廓线图'); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +``` + +```javascript +figure(10); +``` + +# 读取数据1 + +```javascript +data_raw2 = xlsread('均值3', 1); +``` + +# 定义 + +```txt +data_P = []; +``` + +# 数据校正1 + +倾角数据 +```matlab +data_qjsj = [data_raw2(1:5000,); data_raw2(47140:58650,)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj(:,1), data_qjsj(:,2), 1); +data_P(1,:) = P; +% 倾斜角度 +data_qxjd(1) = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 - arf; +ca = cos(arfbu + pi); +sa = sin(arfbu + pi); +A = [ca, -sa; sa, ca]; +X = [data_raw2(:,1); data_raw2(:,2)]'; +Y = A*X; +data_spsj1 = Y'; +figure; +``` + +```matlab +plot(Y(1:,Y(2:, 'LineWidth', 2)); +hold on; +axis equal; +title('25'); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +figure(10); +plot(Y(1:,Y(2:, 'LineWidth', 2)); +hold on; +axis equal; +``` + +# 读取数据2 + +```javascript +data_raw2 = xlsread('均值3', 2); +``` + +# 数据校正2 + +倾角数据 + +```javascript +data_qjsj = data_raw2(39260:49080, :); +``` + +$\%$ 拟合直线 + +```txt +[P,S] = polyfit(data_qjsj(:,1), data_qjsj(:,2), 1); +``` + +```txt +data_P(2,:) = P; +``` + +$\%$ 倾斜角度 + +```javascript +data_qxjd(2) = atand(P(1)); +``` + +校正 + +$\operatorname{arf} = \operatorname{acot}(-P(1))$ + +arfbu $=$ pi/2-arf; + +```txt +ca = cos(arfbu + pi); +``` + +sa $=$ sin(arfbu $^+$ pi); +A $\equiv$ [ca,-sa;sa,ca]; +X $\equiv$ [data_raw2(:,1'); data_raw2(:,2)]; +Y $\equiv$ A\*X; +data_spsj2 $\equiv$ Y'; +figure; +plot(Y(1:,Y(2:, 'LineWidth', 2)); +hold on; +axis equal; +title('26'); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +figure(10); +plot(Y(1:,Y(2:, 'LineWidth', 2)); +hold on; +axis equal; + +# 读取数据3 + +```javascript +data_raw2 = xlsread('均值3', 3); +``` + +# 数据校正3 + +倾角数据 + +```matlab +data_qjsj = data_raw2(39630:49690,): +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj(:,1), data_qjsj(:,2), 1); +data_P(3,:) = P; +``` + +$\%$ 倾斜角度 +data_qxd(3) = atand(P(1)); + $\%$ 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 -arf; +ca = cos(arfbu + pi); +sa = sin(arfbu + pi); +A = [ca, -sa; sa, ca]; +X = [data_raw2(:, 1); data_raw2(:, 2)]; +Y = A*X; +data_spsj3 = Y'; +figure; +plot(Y(1:, Y(2:, 'LineWidth', 2)); +hold on; +axis equal; +title('27'); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +figure(10); +plot(Y(1:, Y(2:, 'LineWidth', 2)); +hold on; +axis equal; + +# 读取数据4 + +```javascript +data_raw2 = xlsread('均值3', 4); +``` + +# 数据校正4 + +倾角数据 +```javascript +data_qjsj = data_raw2(50080:51120,:); +``` + +$\%$ 拟合直线 + +```txt +[P,S] = polyfit(data_qjsj(:,1), data_qjsj(:,2), 1); +``` + +```txt +data_P(4,:) = P; +``` + +$\%$ 倾斜角度 + +```javascript +data_qxd(4) = atand(P(1)); +``` + +```txt +校正 +``` + +$\operatorname{arf} = \operatorname{acot}(-P(1))$ + +arfbu $=$ pi/2-arf; + +```txt +ca = cos(arfbu + pi); +``` + +$\mathrm{sa} = \sin (\mathrm{arfbu} + \mathrm{pi})$ + +```javascript +A = [ca, -sa; sa, ca]; +``` + +```matlab +X = [data_raw2(:,1)'; data_raw2(:,2)']; +``` + +```javascript +Y = A * X; +``` + +```txt +data_spsj4 = Y'; +``` + +```txt +figure; +``` + +```javascript +plot(Y(1,.),Y(2,.), 'LineWidth', 2); +``` + +```txt +hold on; +``` + +```txt +axis equal; +``` + +```javascript +title('28'); +``` + +```javascript +xlabel('x'); +``` + +```txt +ylabel('z') +``` + +```javascript +figure(10); +``` + +```javascript +plot(Y(1,:),Y(2,:,'LineWidth',2); +``` + +```txt +hold on; +``` + +```txt +axis equal; +``` + +# 读取数据 5 + +```javascript +data_raw2 = x1sread('均值3', 5); +``` + +# 数据校正5 + +倾角数据 +```javascript +data_qjsj = data_raw2(50080:51120,:); +``` + +$\%$ 拟合直线 +```txt +[P,S] = polyfit(data_qjsj(:,1), data_qjsj(:,2), 1); +``` + +$\%$ 倾斜角度 +```txt +data_P(5,:) = P; +``` + +校正 +```javascript +data_qxd(5) = atand(P(1)); +``` + +$\operatorname{arf} = \operatorname{acot}(-P(1))$ + +arfbu $=$ pi/2-arf; + +```txt +ca = cos(arfbu + pi); +``` + +$\mathrm{sa} = \sin (\mathrm{arfbu} + \mathrm{pi})$ + +```javascript +A = [ca, -sa; sa, ca]; +``` + +```matlab +X = [data_raw2(:,1)'; data_raw2(:,2)']; +``` + +figure; +```javascript +Y = A * X; +``` + +```txt +data_spsj5 = Y'; +``` + +hold on; +```javascript +plot(Y(1,.), Y(2,.), 'LineWidth', 2); +``` + +```txt +axis equal; +``` + +```javascript +title('29'); +``` + +```matlab +xlabel('x'); +ylabel('z'); +figure(10); +plot(Y(1,.), Y(2,.), 'LineWidth', 2); +hold on; +axis equal; +legend('25','26','27','28','29'); +title('五条水平校正轮廓线图'); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +``` + +# 标注1 + +figure(21); +$\%$ 第1段 plot(data_spsj1(:,1)，data_spsj1(:,2)); hold on; axis equal; data_xd1 = [data_spsj1(1:6000,1)，data_spsj1(1:6000,2)]; $[P,S] =$ polyfit(data_xd1(:,1)，data_xd1(:,2),1); $x = 35.3:0.1:37.5;$ $\mathbf{y} = \mathbb{P}(1)*\mathbf{x} + \mathbb{P}(2);$ plot(x,y); + $\%$ 第2段 data_xd2 = [data_spsj1(10222:48333,1)，data_spsj1(10222:48333,2)]; $[\mathrm{xc},\mathrm{yc},\mathrm{R}] =$ circuit(data_xd2(:,1)，data_xd2(:,2)); + $\%$ 交点 syms x y; + +```txt +[ [X, Y] = \text{solve}(y == P(1)*x + P(2), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x < 38); ] +data_jd(1,:) = [double(X), double(Y)]; +``` + +$\%$ 第3段 + +```julia +data_xd3 = [data_spsj1(51143:60788,1), data_spsj1(51143:60788,2)]; +``` + +```txt +[P,S] = polyfit(data_xd3(:,1), data_xd3(:,2), 1); +``` + +$x = 45.5:0.1:49.5;$ + +$y = P(1)*x + P(2)$ + +```javascript +plot(x,y); +``` + +$\%$ 交点 + +```txt +syms x y; +``` + +```txt +[ [X, Y] = \text{solve}(y == P(1)*x + P(2), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 44); ] +``` + +```matlab +data_jd(2,:) = [double(X), double(Y)]; +``` + +$\%$ 第4段 + +```txt +data xd5 = 49.1; +``` + +交点 + +```txt +syms x y; +``` + +$y = P(1)*49.1 + P(2);$ + +```txt +data_jd(3,:) = [49.1, y]; +``` + +$\%$ 第5段 + +```txt +data_xd5 = [data_spsj1(69715:71797,1), data_spsj1(69715:71797,2)]; +``` + +```txt +[P,S] = polyfit(data_xd5(:,1), data_xd5(:,2), 1); +``` + +$x = 49:0.01:50$ + +$y = P(1)*x + P(2);$ + +```javascript +plot(x,y); +``` + +$\%$ 交点 + +```txt +syms x y; +``` + +$y = P(1)*49.1 + P(2);$ + +```txt +data_jd(4,:) = [49.1, y]; +``` + +$\%$ 第6段 + +```txt +data_xd6 = [data_spsj1(72059:72731,1), data_spsj1(72059:72731,2)]; +``` + +```matlab +[P6,S] = polyfit(data_xd6(:,1), data_xd6(:,2), 1); +x = 49.8:0.01:50.4; +y = P6(1)*x + P6(2); +plot(x,y); +% 交点 +syms x y; +[X,Y] = solve(y == P6(1)*x + P6(2), y == P(1)*x + P(2)); +data_jd(5,:) = [double(X), double(Y)]; +``` + +$\%$ 第7段 + +```matlab +data xd7 = [data_spsj1(73350:75437,1), data_spsj1(73350:75437,2)]; +[P7,S] = polyfit(data xd7(:,1), data xd7(:,2), 1); +x = 50.2:0.01:51.2; +y = P7(1)*x + P7(2); +plot(x,y); +``` + +交点 + +syms x y; + $[X,Y] = \text{solve}(y == P6(1)*x + P6(2),y == P7(1)*x + P7(2));$ data_jd(6,:) $=$ [double(X),double(Y)]; + +$\%$ 第8段 + +```matlab +data_xd8 = [data_spsj1(76288:77579,1), data_spsj1(76288:77579,2)]; +[P8,S] = polyfit(data_xd8(:,1), data_xd8(:,2), 1); +x = 50.9:0.01:51.3; +y = P8(1)*x + P8(2); +plot(x,y); +``` + +$\%$ 交点 + +syms x y; + $[X,Y] = \text{solve}(y == P8(1)*x + P8(2),y == P7(1)*x + P7(2));$ data_jd(7,:) $=$ [double(X), double(Y)]; + +$\%$ 第9段 + +```txt +data xd9 = 51.26; +``` + +$\mathrm{y} = \mathrm{P8}(1)*51.26 + \mathrm{P8}(2);$ +data_jd(8:)= [data_xd9,y]; +%第10段 +%交点 +data_jd(9:)= [51.26,-41.4]; +%角度 +data_jiaoDu(1)= atand(P6(1)); +data_jiaoDu(2)= atand(-P8(1)); +%线段长度 +data_xdc1(1)= data_jd(1,1)- data_spsj1(1,1); +data_xdc1(2)= data_jd(2,1)- data_jd(1,1); +data_xdc1(3)= data_jd(3,1)- data_jd(2,1); +data_xdc1(4)= data_jd(3,2)- data_jd(4,2); +data_xdc1(5)= data_jd(5,1)- data_jd(4,1); +data_xdc1(6)= sqrt((data_jd(5,1)- data_jd(6,1))^2+(data_jd(5,2)- data_jd(6,2))^2); +data_xdc1(7)= data_jd(7,1)- data_jd(6,1); +data_xdc1(8)= sqrt((data_jd(7,1)- data_jd(8,1))^2+(data_jd(7,2)- data_jd(8,2))^2); +data_xdc1(9)= data_jd(8,2)- data_jd(9,2); +%圆弧长度 +A=[xc yc R data_jd(1,1) data_jd(2,1)]; +h=yuanhu(A(1),A(2),A(3),A(4),A(5)); +data_yhcd1=double(h); + +# 标注 2 + +```matlab +figure(22); +plot(data_spsj2(:,1)，data_spsj2(:,2)); +hold on; +``` + +axis equal; + +%第1段 + +```javascript +data_xd2 = [data_spsj2(1:37370,1), data_spsj2(1:37370,2)]; +``` + +```javascript +[xc,yc,R] = circuitdata_xd2(:,1), data_xd2(:,2); +``` + +$\%$ 第2段 + +```julia +data_xd2 = [data_spsj2(39172:49475,1), data_spsj2(39172:49475,2)]; +``` + +```javascript +[P2,S] = polyfit(data_xd2(:,1), data_xd2(:,2), 1); +``` + +$x = 45:0.1:48.7;$ + +$y = P2(1)*x + P2(2);$ + +```javascript +plot(x,y); +``` + +交点 + +```txt +syms x y; +``` + +```txt +[ [X, Y] = \text{solve}(y == P2(1)*x + P2(2), (x - xc)^2 + (y - yc)^2 == R^2, x > 40); ] +``` + +```matlab +data_jd2(1,:) = [double(X), double(Y)]; +``` + +$\%$ plot(data_jd2(1,1),data_jd2(1,2,'o'); + +$\%$ 第3段 + +```txt +data xd3 = 48.55; +``` + +$\%$ 交点 + +```javascript +y = P2(1)*48.55 + P2(2); +``` + +```javascript +data_jd2(2,:) = [48.55, y]; +``` + +$\%$ plot(data_jd2(2,1),data_jd2(2,2),o); + +$\%$ 第4段 + +```txt +data_xd4 = [data_spsj2(58240:60535,1), data_spsj2(58240:60535,2)]; +``` + +```javascript +[P4,S] = polyfit(data_xd4(:,1), data_xd4(:,2), 1); +``` + +$x = 48.4:0.01:49.6;$ + +$y = P4(1)*x + P4(2);$ + +```javascript +plot(x,y); +``` + +$\%$ 交点 + +```javascript +y = P4(1)*48.55 + P4(2); +``` + +```matlab +data_jd2(3,:) = [48.55, y]; +% plot(data_jd2(3,1), data_jd2(3,2), 'o'); +% 第5段 +data_xd5 = [data_spsj2(60770:61435,1), data_spsj2(60770:61435,2)]; +[P5,S] = polyfit(data_xd5(:,1), data_xd5(:,2), 1); +x = 49.3:0.01:49.9; +y = P5(1)*x + P5(2); +plot(x,y); +``` + +$\%$ 交点 + +```txt +syms x y; +``` + +```txt +[ [X, Y] = \text{solve}(y == P5(1)*x + P5(2), y == P4(1)*x + P4(2)); ] +``` + +```matlab +data_jd2(4,:) = [double(X), double(Y)]; +``` + +$\%$ plot(data_jd2(4,1),data_jd2(4,2);o'); + +$\%$ 第6段 + +```txt +data_xd6 = [data_spsj2(62190:64117,1), data_spsj2(62190:64117,2)]; +``` + +```javascript +[P6,S] = polyfit(data_xd6(:,1), data_xd6(:,2), 1); +``` + +$x = 49.6:0.01:50.62$ + +```javascript +y = P6(1)*x + P6(2); +``` + +```javascript +plot(x,y); +``` + +$\%$ 交点 + +```txt +syms x y +``` + +```latex +[ \text{[X, Y]} = \text{solve(y == P5(1)*x + P5(2), y == P6(1)*x + P6(2));} ] +``` + +```matlab +data_jd2(5..) = [double(X), double(Y)]; +``` + +$\%$ plot(data_jd2(5,1),data_jd2(5,2);o'); + +$\%$ 第7段 + +```txt +data_xd7 = [data_spsj2(64783:66109,1), data_spsj2(64783:66109,2)]; +``` + +```javascript +[P7,S] = polyfit(data_xd7(:,1), data_xd7(:,2), 1); +``` + +$x = 50.3:0.01:50.8$ + +```javascript +y = P7(1)*x + P7(2); +``` + +```javascript +plot(x,y); +``` + +交点 + +syms x y; + +[ [X, Y] = \text{solve}(y == P6(1)*x + P6(2), y == P7(1)*x + P7(2)); ] + +data_jd2(6,:) = [double(X), double(Y)]; + +plot(data_jd2(6,1),data_jd2(6,2),o'); + +$\%$ 第8段 + +$\%$ 交点 + +y = P7(1)*50.71 + P7(2) + +data_jd2(7,:) = [50.71,y]; + +$\%$ 第9段 + +data_xd8 = 50.7; + +$\%$ 交点 + +data_jd2(8,:) = [50.69, -39.12]; + +$\%$ 角度 + +data_jiaoDu2(1) = atand(P5(1)); + +data_jiaoDu2(2) = atand(-P7(1)); + +$\%$ 线段长度 + +plot(data_jd2(:,1),data_jd2(:,2,'o') + +data_xdcd2(1) = data_jd2(1,1) - data_spsj2(1,1); + +data_xdcd2(2) = data_jd2(2,1) - data_jd2(1,1); + +data_xdcd2(3) = data_jd2(2,2) - data_jd2(3,2); + +data_xdcd2(4) = data_jd2(4,1) - data_jd2(3,1); + +data_xdcd2(5) = sqrt((data_jd2(5,1) - data_jd2(4,1))^2 + (data_jd2(5,2) - data_jd2(4,2))^2); + +data_xdcd2(6) = data_jd2(6,1) - data_jd2(5,1); + +data_xdcd2(7) = sqrt((data_jd2(7,1) - data_jd2(6,1))^2 + (data_jd2(7,2) - data_jd2(6,2))^2); + +data_xcdcd2(8) = data_jd2(7,2) - data_jd2(8,2); + +$\%$ 圆弧长度 + +A = [xc yc R data_spsj2(1,1) data_jd2(1,1)]; + +```matlab +h = yuanhu(A(1),A(2),A(3),A(4),A(5)); +``` + +```javascript +data_yhcd2 = double(h); +``` + +标注3 + +```javascript +figure(23); +``` + +```javascript +plot(data_spsj3(:,1)，data_spsj3(:,2)); +``` + +```txt +hold on; +``` + +```txt +axis equal; +``` + +$\%$ 第1段 + +```javascript +data_xd3 = [data_spsj3(1:38709,1), data_spsj3(1:38709,2)]; +``` + +```javascript +[xc,yc,R] = circuitdata_xd3(:,1), data_xd3(:,2)); +``` + +$\%$ 交点 + +```javascript +data_jd3(1,:)=[43.48,-33.88]; +``` + +```javascript +data_jd3(2,:) = [46.37, -33.93]; +``` + +```javascript +data_jd3(3,:) = [46.43, -36.23]; +``` + +```javascript +data_jd3(4,:) = [47.22, -36.4]; +``` + +```javascript +data_jd3(5,:) = [47.62, -36.03]; +``` + +```javascript +data_jd3(6,:) = [48.27, -35.99]; +``` + +```javascript +data_jd3(7,:) = [48.54, -36.29]; +``` + +```javascript +data_jd3(8,:)=[48.53,-37.96]; +``` + +圆弧长度 + +```javascript +A = [xc yc R data_spsj3(1,1) data_jd3(1,1)]; +``` + +```matlab +h = yuanhu(A(1),A(2),A(3),A(4),A(5)); +``` + +```javascript +data_yhcd3 = double(h); +``` + +$\%$ 线段长度 + +```txt +plot(data_jd3(:,1),data_jd3(:,2,'o'); +``` + +```txt +data_xdcd2(1) = data_jd3(1,1) - data_spsj3(1,1); +data_xdcd2(2) = data_jd3(2,1) - data_jd3(1,1); +data_xdcd2(3) = data_jd3(2,2) - data_jd3(3,2); +data_xdcd2(4) = data_jd3(4,1) - data_jd3(3,1); +data_xdcd2(5) = sqrt((data_jd3(5,1) - data_jd3(4,1))^2 + (data_jd3(5,2) - data_jd3(4,2))^2); +data_xdcd2(6) = data_jd3(6,1) - data_jd3(5,1); +data_xdcd2(7) = sqrt((data_jd3(7,1) - data_jd3(6,1))^2 + (data_jd3(7,2) - data_jd3(6,2))^2); +data_xdcd2(8) = data_jd3(7,2) - data_jd3(8,2); +``` + +$\%$ 第4条 + +```matlab +data_xd4 = [data_spsj3(61044:61860,1), data_spsj3(61044:61860,2)]; +[P4,S] = polyfit(data_xd4(:,1), data_xd4(:,2), 1); +x = 47.1:0.01:47.7; +y = P4(1)*x + P4(2); +plot(x,y); +``` + +%第6条 + +```matlab +data_xd6 = [data_spsj3(65026:66419,1), data_spsj3(65026:66419,2)]; +[P6,S] = polyfit(data_xd6(:,1), data_xd6(:,2), 1); +x = 48.2:0.01:48.6; +y = P6(1)*x + P6(2); +plot(x,y); +``` + +%角度 + +```matlab +data_jiaoDu3(1) = atand(P4(1)); +data_jiaoDu3(2) = atand(-P6(1)) +``` + +# 标注4 + +```vhdl +figure(24); +plot(data_spsj4(:,1)，data_spsj4(:,2)); +hold on; +axis equal; +``` + +$\%$ 交点 + +```txt +data_jd4(1,:) = [31.93, -33.83]; +``` + +```txt +data_jd4(2,.) = [40.89, -33.91]; +``` + +```javascript +data_jd4(3,:) = [43.63, -33.93]; +``` + +```javascript +data_jd4(4,:) = [43.84, -36.3]; +``` + +```javascript +data_jd4(5,:) = [44.55, -36.43]; +``` + +```javascript +data_jd4(6,:) = [45.03, -36.05]; +``` + +```javascript +data_jd4(7,)= [45.68,-36.02]; +``` + +```javascript +data_jd4(8,:) = [45.94, -36.33]; +``` + +$\%$ 第2段 + +```javascript +data_xd4 = [data_spsj4(11386:47105,1), data_spsj4(11386:47105,2)]; +``` + +```javascript +[xc,yc,R] = circuitdata_xd4(:,1), data_xd4(:,2); +``` + +$\%$ 圆弧长度 + +```javascript +A=[xc yc R 31.94 40.84]; +``` + +```matlab +h = yuanhu(A(1),A(2),A(3),A(4),A(5)); +``` + +```javascript +data_yhcd4 = double(h); +``` + +% 线段长度 + +```txt +plot(data_jd4(:,1),data_jd4(:,2,'o'); +``` + +```javascript +data_xdcd2(1) = 31.94 - data_spsj4(1,1); +``` + +```txt +data_xdcd2(2) = data_jd4(2,1) - data_jd4(1,1); +``` + +```matlab +data_xdcd2(3) = data_jd4(3,1) - data_jd4(2,1); +data_xdcd2(4) = data_jd4(3,2) - data_jd4(4,2); +data_xdcd2(5) = data_jd4(5,1) - data_jd4(4,1); +data_xdcd2(6) = sqrt((data_jd4(6,1) - data_jd4(5,1))^2 + (data_jd4(6,2) - data_jd4(5,2))^2); +data_xdcd2(7) = data_jd4(7,1) - data_jd4(6,1); +data_xdcd2(8) = sqrt((data_jd4(8,1) - data_jd4(7,1))^2 + (data_jd4(8,2) - data_jd4(7,2))^2); +data_xdcd2(9) = data_jd4(8,2) - (-37.82); +``` + +$\%$ 第4条 + +```matlab +data_xd4 = [data_spsj4(71055:71849,1), data_spsj4(71055:71849,2)]; +[P4,S] = polyfit(data_xd4(:,1), data_xd4(:,2), 1); +x = 44.5:0.01:45.1; +y = P4(1)*x + P4(2); +plot(x,y); +``` + +%第6条 + +```matlab +data_xd6 = [data_spsj4(75137:76634,1), data_spsj4(75137:76634,2)]; +[P6,S] = polyfit(data_xd6(:,1), data_xd6(:,2), 1); +x = 45.5:0.01:46; +y = P6(1)*x + P6(2); +plot(x,y); +``` + +$\%$ 角度 + +data_jiaoDu4(1) $=$ atand(P4(1)); data_jiaoDu4(2) $=$ atand(-P6(1)) + +# 标注5 + +```javascript +figure(25); plot(data_spsj5(:,1)，data_spsj5(:,2)); +``` + +hold on; + +axis equal; + +$\%$ 交点 + +```txt +data_jd5(1:.) = [33.24, -36.49]; +``` + +```txt +data_jd5(2,:) = [42.22, -36.57]; +``` + +```javascript +data_jd5(3,:) = [44.96, -36.63]; +``` + +```txt +data_jd5(4,:) = [45.15, -38.99]; +``` + +```javascript +data_jd5(5,:) = [45.87, -39.11]; +``` + +```javascript +data_jd5(6,:) = [46.34, -38.73]; +``` + +```javascript +data_jd5(7,:) = [46.92, -38.69]; +``` + +```javascript +data_jd5(8,:) = [47.23, -39.01]; +``` + +$\%$ 第2段 + +```javascript +data_xd5 = [data_spsj5(8231:45402,1), data_spsj5(8231:45402,2)]; +``` + +```javascript +[xc,yc,R] = circuitfit(data_xd5(:,1), data_xd5(:,2)); +``` + +%圆弧长度 + +```javascript +A=[xc yc R 31.94 40.84]; +``` + +```matlab +h = yuanhu(A(1),A(2),A(3),A(4),A(5)); +``` + +```javascript +data_yhcd5 = double(h); +``` + +% 线段长度 + +```javascript +plot(data_jd5(:,1),data_jd5(:,2)，'o'); +``` + +```txt +data_xdcd2(1) = 33.24 - data_spsj5(1,1); +``` + +```txt +data_xdcd2(2) = data_jd5(2,1) - data_jd5(1,1); +``` + +```txt +data_xdcd2(3) = data_jd5(3,1) - data_jd5(2,1); +``` + +```txt +data_xcdcd2(4) = data_jd5(3,2) - data_jd5(4,2); +``` + +```txt +data_xdcd2(5) = data_jd5(5,1) - data_jd5(4,1); +``` + +```txt +data_xdcd2(6) = sqrt((data_jd5(6,1) - data_jd5(5,1))^2 + (data_jd5(6,2) - data_jd5(5,2))^2); +``` + +```txt +data_xdcd2(7) = data_jd5(7,1) - data_jd5(6,1); +``` + +```txt +data_xdcd2(8) = sqrt((data_jd5(8,1) - data_jd5(7,1))^2 + (data_jd5(8,2) - data_jd5(7,2))^2); +``` + +```javascript +data_xdcd2(9) = data_jd5(8,2) - (-40.65); +``` + +$\%$ 第4条 + +```matlab +data_xd5 = [data_spsj5(68834:69548,1), data_spsj5(68834:69548,2)]; +[P4,S] = polyfit(data_xd5(:,1), data_xd5(:,2), 1); +x = 45.8:0.01:46.4; +y = P4(1)*x + P4(2); +plot(x,y); +% 第6条 +data_xd6 = [data_spsj5(72685:74264,1), data_spsj5(72685:74264,2)]; +[P6,S] = polyfit(data_xd6(:,1), data_xd6(:,2), 1); +x = 46.9:0.01:47.3; +y = P6(1)*x + P6(2); +plot(x,y); +% 角度 +data_jiaoDu3(1) = atand(P4(1)); +data_jiaoDu3(2) = atand(-P6(1)); +figure(15); +``` + +# 读取数据1 + +```txt +data_raw2 = xlsread('均值3',1); +plot(data_raw2(:,1), data_raw2(:,2)); +hold on; +axis equal; +``` + +# 读取数据 2 + +```txt +data_raw2 = xlsread('均值3',2); +plot(data_raw2(:,1), data_raw2(:,2)); +hold on; +``` + +# 读取数据3 + +```txt +data_raw2 = xlsread('均值3',3); +plot(data_raw2(:,1), data_raw2(:,2)); +hold on; +``` + +# 读取数据4 + +```matlab +data_raw2 = xlsread('均值3',4); +plot(data_raw2(:,1)，data_raw2(:,2)); +hold on; +``` + +# 读取数据 5 + +```matlab +data_raw2 = xlsread('均值3',5); +plot(data_raw2(:,1)，data_raw2(:,2)); +hold on; +title('工件2五个局部轮廓线图'); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +data27 = xlsread('均值3',3); +data27 = data27(1:70342,:); +data28 = xlsread('均值3',4); +data25 = xlsread('均值3',1); +data25 = data25(1:81041,:); +data26 = xlsread('均值3',2); +``` + +```matlab +data26 = data26(1:69773, :); +data29 = xlsread('均值 3', 5); +data29 = data29(1:78313, :); +data27 = [data27(:,1) - 2.16, data27(:,2) - 0.383]; +figure(40); +``` + +# 数据校正27 + +# 倾角数据 + +```matlab +data_qjsj27 = [data27(39900:49400,); data27(39880:49600,)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj27(:,1), data_qjsj27(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxjd27 = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 - arf; +ca = cos(arfbu + pi); +sa = sin(arfbu + pi); +A = [ca, -sa; sa, ca]; +X = [data27(:,1); data27(:,2)]; +Y = A*X; +Y = [Y(1,:) - 0.56; Y(2,:) - 0.75]; +plot(Y(1,:) , Y(2,:) , 'LineWidth', 2); +hold on; +axis equal; +``` + +# 数据校正 28 + +倾角数据 +```matlab +data_qjsj28 = [data28(39900+9802:49400+9802,); data28(39880+9802:49600+9802,)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj28(:,1), data_qjsj28(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxd28 = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 -arf; +ca = cos(arfbu + pi); +sa = sin(arfbu + pi); +A = [ca, -sa; sa, ca]; +X = [data28(:,1); data28(:,2)]; +Y = A*X; +plot(Y(1:, Y(2:, 'LineWidth', 2)); +hold on; +axis equal; +``` + +# 数据校正25 + +倾角数据 +```matlab +data_qjsj25 = [data25(39900+9802:49400+9802,); data25(39880+9802:49600+9802,)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj25(:,1), data_qjsj25(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxjd25 = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +``` + +arfbu $=$ pi/2-arf; +ca $=$ cos(arfbu $^+$ pi $^+$ pi/2); +sa $=$ sin(arfbu $^+$ pi $^+$ pi/2); +A $=$ [ca,-sa;sa,ca]; +X $=$ [data25(:,1)'; data25(:,2)]; +Y $=$ A*X; +Y $=$ [Y(1,:)-(42.15-31.9) ;Y(2,:)-(50.64+33.88)]; plot(Y(1,:), Y(2,:), 'LineWidth', 2); +hold on; +axis equal; + +# 数据校正26 + +倾角数据 +```matlab +data_qjsj26 = [data26(39845:48768,);}；data26(39845:48768，);}]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj26(:,1), data_qjsj26(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxd26 = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 -arf; +ca = cos(arfbu + pi + pi/2 + pi/2); +sa = sin(arfbu + pi + pi/2 + pi/2); +A = [ca,-sa;sa,ca]; +X = [data26(:,1)'; data26(:,2)']; +Y = A*X; +Y = [Y(1,:) + (27.66+50.67) ;Y(2,:) - (39.15+47.83)]; +plot(Y(1,:) , Y(2,:) , 'LineWidth', 2); +hold on; +``` + +```txt +axis equal; +``` + +# 数据校正29 + +倾角数据 +```matlab +data_qjsj29 = [data29(47928:56852,:); data29(47928:56852,:)]; +% 拟合直线 +[P,S] = polyfit(data_qjsj29(:,1), data_qjsj29(:,2), 1); +% 倾斜角度 +data_qxd29 = atand(P(1)); +% 校正 +arf = acot(-P(1)); +arfbu = pi/2 -arf; +ca = cos(arfbu + pi + pi/2 + pi/2 + pi/2); +sa = sin(arfbu + pi + pi/2 + pi/2 + pi/2); +A = [ca, -sa, sa, ca]; +X = [data29(:,1)'; data29(:,2)']; +Y = A*X; +Y = [Y(1,:) + (45.88+36.48) ;Y(2,:) - (38.05-33.23) ]; +plot(Y(1,:) , Y(2,:) , 'LineWidth', 2); +hold on; +axis equal; +legend('27','28','25','26','29'); +title('按相同特征点拼接轮廓线图'); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +``` + +# 问题四程序 + +# 清理工作区 + +```javascript +clear;clc;close; +``` + +# 圆线1 + +读取数据 文件 +```matlab +file = 'data3圆'; +data_raw = xlread(file, 1); +% plot(data_raw(:,1), data_raw(:,2)); +% axis equal; +% 取数据 +data_spzx = [data_raw(1:9210, :); data_raw(55250:end, :)]; +% 拟合直线 +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_spzx(:,1), data_spzx(:,2), 1); +x = min(data_raw(:,1)):0.1:max(data_raw(:,1)); +y = P(1)*x + P(2); +figure; +hold on; +plot(x,y, data_raw(:,1), data_raw(:,2)); +xlabel('x'); +ylabel('z'); +title('倾斜拟合效果图'); +legend('拟合线', '原数据'); +% 倾斜角度 +data_qxd = atand(-P(1)); +% 旋转 +arf = acot(-P(1)); +``` + +arfbu $=$ pi/2-arf; +ca $=$ cos(arfbu $^+$ pi); +sa $=$ sin(arfbu $^+$ pi); +A $=$ [ca,-sa;sa,ca]; +X $=$ [data_raw(:,1)'; data_raw(:,2)]; +Y $=$ A*X; + $\% \mathrm{Y} = [\mathrm{Y}(1,:) - (37.56 - 36.95);\mathrm{Y}(2,:) - 2.65 - 1.40];$ +%绘图 +figure(20); +plot(Y(1:,Y(2:)); + +# 圆线2 + +读取数据 文件 +```matlab +file = 'data3圆'; +data_raw = xlread(file, 2); +% plot(data_raw(:,1), data_raw(:,2)); +% axis equal; +% 取数据 +data_spzx = [data_raw(1:9210, :); data_raw(55250:end, :)]; +% 拟合直线 +% 拟合与绘图 +[P,S] = polyfit(data_spzx(:,1), data_spzx(:,2), 1); +x = min(data_raw(:,1)):0.1:max(data_raw(:,1)); +y = P(1)*x + P(2); +figure; +hold on; +plot(x, y, data_raw(:,1), data_raw(:,2)); +xlabel('x'); +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/E029/E029.md b/MCM_CN/2020/E029/E029.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..1b73773b56ba06eaf956e6f61425293bec6f693d --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/E029/E029.md @@ -0,0 +1,602 @@ +# 校园供水系统智能管理 + +# 摘要 + +利用校园内各智能水表的实时供水系统运行数据，通过数学建模和数据挖掘及时发现供水系统中存在的问题，并用科学有效的手段解决这些问题，以提高校园服务和管理水平。 + +针对问题一，通过对各个水表数据的重新分类统计了每日用水量，并利用模型计算出学生宿舍楼区、教学楼区和食堂区的日最大小时用水量、日平均小时用水量和小时变系数，还进一步分析了小时变化系数的统计特征，如：学生宿舍楼区（均值2.9876，标准差1.4334）、教学楼区（均值2.652，标准差1.631）、食堂区（均值21.4525，标准差23.4736），总的用水趋势，体现出寒暑假、用水时段、用水大小和集中度上，不同功能区都有所区别。 + +针对问题二，由于各级表的关系是确定的，所以可以对各子网供水系统进行多元线性回归模型的建立，其中以403X为例，建立11个随机自变量的多元线性回归，利用数据计算出了回归系数和回归置信区间，又通过最小二乘法、残差分析，剔除异常点等处理，最终得到最优拟合模型（ $R^2 = 0.9687$ ），并对该模型进行了检验，随机误差符合正态分布。 + +针对问题三，对13个一级表数据进行分析，并将419T-406T合并，从而精简为7个一级表，并通过建立 $2\sigma$ 标准差提取异常数据模型，计算出漏水量，计算出各子网供水系统和整个学校的漏损情况。整个学校平均漏损比率随季度分别为： $4.92\%$ 、 $7.01\%$ 、 $4.82\%$ 、 $4.54\%$ ，全年为 $5.31\%$ 。 + +针对问题四，供水网络错综复杂，但网络具有层级性，因此，通过建立BP神经网络模型智能识别出漏损位置，通过对全网各节点的智能识别，发现明显的漏损数量，第一季度16个，第二季度21个，第三季度31个，第四季度6个。智能识别对突发性，爆裂性漏损非常灵敏，对恒定微弱的漏损不能很好的辨别，因此，再通过引入小时变化系数，进一步对恒定微弱漏损的情况进行识别。如：K酒店、L馆、第九宿舍等。 + +针对问题五，漏损情况不维修，则会因为大量漏水而增大用水成本，若维修，则会增加维修成本，但漏损成本会随之减少，可见漏损成本与维修成本存在反比非线性关系，由于现实中不可能为了将漏损降为零而无限的投入维修费用，所以，只要将总的漏损比率控制在一定范围即可。按照贵州水价3.3元 $/m^3$ 计算，全年漏损成本为71109.984元，并计算得到，要在原有维修成本的基础上，增加4207.1832元，才能将漏损率控制在 $5\%$ 以下。 + +关键词：统计特征；多元线性回归模型；BP神经网络模型；智能诊断 + +# 一、问题重述 + +本题主要是针对校园供水系统的数据分析和挖掘，以发现和解决问题，为了保障校园供水系统的正常运行而提供有力科学依据，从而提高校园服务和管理水平。 + +第一问：统计、分析各个水表数据的变化规律，并给出校园内不同功能区（宿舍、教学楼、办公楼、食堂等）的用水特征。 + +第二问：结合校区水表层级关系，建立水表数据之间的关系模型，并利用已有数据分析模型精确度。 + +第三问：输水管网的漏损是一个严重问题。资料显示，在维护良好的公共供水网络中，平均失水在 $5\%$ 左右；而在比较老旧的管网中，失水则会更多。利用提供的数据，建立数学模型，分析该校园供水管网的漏损情况。 + +第四问：地下水管暗漏不容易被发现，需要花费大量人力对供水管道的漏损进行检测及定位，通过建立一个适当的模型和利用水表的实时数据及时发现并确定发生漏损的位置。 + +第五问：管网维修需要一定的人工费和材料费，但同时可以降低管网漏损程度。请根据以上结果和你了解的水价及维修成本确定管网漏损的最优维修决策方案。 + +# 二、问题分析 + +问题一，通过各级表的实时数据（15分钟），统计为1小时、1日、一季度的数据，并根据供水领域专业的相关分析，如：日用水量、日平均小时用水量、小时变化系数等分析用水特征，以及从统计学角度，分析数据的统计特征。 + +问题二，根据水表层次关系，初步估计应该符合多元线性回归，因此可以尝试建立多元线性回归模型，带入数据，将回归系数计算出来，并用真实数据进行检验，如果不是最优，可以通过最小二乘法和误差分析，寻找最优模型。 + +问题三，根据数据，分析漏损的特征，通过这些特征提取异常数据（即漏水量），就可以计算出学校平均漏损比率和各子网系统漏损比率。 + +问题四，由于供水系统呈网状，具有层级性，非常适合BP神经网络模型的使用，通过将某段相对稳定的数据作为训练数据去预测其他时间的数据，若是预测数据与真实数据相差过大，那么该位置就很大可能是漏损。漏损主要呈现两种状态，一种是较恒定微弱的漏损，另外就是突发性较猛烈的漏损。神经网络对于第二种识别是很敏感的，因此再通过小时变化系数来判断第一种，这样就基本上解决了绝大多数漏损识别问题。 + +问题五，漏损成本与维修成本应该存在反比非线性关系，由于现实中不可能为了将漏损降为零而无限的投入维修费用，所以，只要将总的漏损比率控制在一定范围即可。另外，根据漏损情况集中出现的时段，更有针对性的提前检查预防。 + +# 三、模型假设 + +1、供水系统整体运行稳定； +2、只要用水，水表就如实记录数据； +3、数据较为全面的反映了学校的用水情况，没有遗漏。 + +# 四、符号说明 + +
符号说明
Qh最大小时用水量
Qp平均小时用水量
Kh小时变化系数
SSEj掉xj后残差平方和
cjj是c=(xTx)-1对角线j=(j=0,1,···,k)上第个元素
SSR回归平方和
SSE残差平方和
+ +# 五、模型的建立与求解 + +# 5.1 问题一的模型建立与求解 + +# 5.1.1 问题一的模型建立 + +（1）小时变化系数[2] + +$$ +K _ {h} = Q _ {h} \div Q _ {p} \tag {1} +$$ + +$Q_{h}$ ：最大小时用水量； + +$Q_{p}$ ：平均小时用水量； + +$K_{h}$ ：小时变化系数； + +（2） $T$ 检验模型 + +样本均值： $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum X_{i}$ （204 + +样本方差： $S^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ (3） + +样本标准差： $S = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}$ (4） + +$S$ 已知， $\mu$ 未知，可用 $T$ 分布检验数据，且参数 $\mu$ 的置信区间为： + +$$ +\left[ \bar {X} - \frac {S}{\sqrt {n}} t _ {\alpha / 2} (n - 1), \quad \bar {X} + \frac {S}{\sqrt {n}} t _ {\alpha / 2} (n - 1) \right] \tag {5} +$$ + +# 5.1.2 问题一的模型求解 + +对指标进行分类，较为确定的有三类（学生宿舍区、教学区、食堂区），现就针对这三类进行数据分析。 + +# 5.1.2.1 学生宿舍区特征分析 + +学生宿舍区包括：第一、二、三、四、五、七、八、九宿舍楼，数据是每隔15分钟记录一次，现在通过MATLAB编程，将学生宿舍区的数据转化为365天。并作出学生宿舍区及各学生宿舍楼日用水走势图（图1、图2）。 + +![](images/8e92ae213b56d0363469cd244d498f1dd7cdfac52e9c3350d1f8f7c3c9370019.jpg) +图1、各学生宿舍楼日用水走势图 + +![](images/d8e500e65aee6947840f92eb6fcd46d77150f0b48bf72fea21df9b18ec830c92.jpg) +图2、学生宿舍区日用水走势图 + +再作出各宿舍楼日用水量统计直方图（图3、图4），并初步判断和指定异常用水点（红线圈）。 + +![](images/87fcc20dcf67864a3eb24e4214dfa7682c203ff8104309711126371b87682693.jpg) + +![](images/3b69c62a5d95d6a274ef94605d65afec7a034f00e202b6d6bd729311185be428.jpg) + +![](images/5d72bb468beffc63a581013655e579f3d13d306c7db7466d1122547bdd21225f.jpg) + +![](images/c5a657f9bb2f7cc9aadecb0fc97a8207eb3714b078106e7372d4d3839881fc1e.jpg) +图3、第一、二、三、四宿舍楼统计直方图 + +![](images/7332f46c3feb7581aa066b0c2e4796c7a747aa8033ea792130a1515f1c8a927b.jpg) + +![](images/b23b26db9ae5b9b003bd178f6b02970ec3055eba11a8abc48618c2584d01ac60.jpg) + +![](images/f0eadcfee7c137ee5911f423541a7c75895212d32182a13d56f01755f83155d9.jpg) + +![](images/f305d6ecacf735d8477eefa6460c14cba92ef2bfef317ab2cf3fdca8bda07c0d.jpg) + +![](images/032a71b256fbc45b0fefb4ac4af188814591188186dc06ff1d87ba52b56c25c9.jpg) +图4、第五、七、八、九宿舍楼统计直方图 + +![](images/dd48f731f24fe939553e33f291157afab44a256afefe0aeb179276cbd62be3e4.jpg) + +通过5.1.1的模型，计算出各宿舍楼的小时变化系数统计特征： + +表 1、小时变化系数统计特征 (学生宿舍区) + +
宿舍楼样本均值 X̄样本方差 D(x)样本标准差 SD(x)置信区间（95%） 自由度 n=6置信区间（95%） 自由度 n=11
一2.3131.4841.218[1.0343.592][1.5393.087]
二2.7516.0592.462[0.1675.334][1.1874.315]
修正(1.0005.334]
三2.9540.9970.999[1.9064.002][2.3193.588]
四3.4121.2701.127[2.2294.595][2.6964.128]
五3.1241.1701.081[1.9894.259][2.4373.811]
八3.4972.8261.681[1.7325.261][2.4294.565]
七3.3381.0261.013[2.2754.402][2.6953.982]
九2.5120.3210.567[1.9173.106][2.1522.872]
+ +根据小时变化系数公式，可以知道该系数不能小于1，因此，第二宿舍楼，当自由度 $n = 6$ 时，在置信度为 $95\%$ 的情况下，其置信区间的左端应该是大于1，所以将[0.167,5.334]修正为(1.000,5.334]，从小时变化系数公式来判断，若该系数为1，则有可能与恒定微弱漏损有关，因此该系数可以作为识别漏损的一个工具。 + +![](images/699c0cf0bed98acce6bb26640dc99bafac73da89ba7e0d566ab8acaa6052332a.jpg) + +![](images/2226f1c24926293d81c70e5b10e686bf814ed19c0dd9f8146b70caecd859ab10.jpg) + +![](images/d02b781d6f7e6afeeb2fcae59d114813449726c52d30c0cfebfabcc9ecd96e9f.jpg) + +![](images/e04fb13a58351ef04f851be8ea097d216c0b0aa5565cbe283608b0f9887494f8.jpg) +图5、各宿舍楼小时变化系数走势图 + +![](images/2efa0732b77bc4bb1c766de6bdc0b91cf06ff17869e7347004a0dc04a571468b.jpg) + +![](images/918bd31fb973c9edb5e028ac594b69b1df7967d81d6a93c061d9b5feefc2ebac.jpg) + +![](images/85866c2d0b3c9b932babb62497f9c98ffc9a461497a9e4bebaaac501681870fb.jpg) + +![](images/a20c412ee4676770457fcf8de8b4ad5970f8e7859b2790d2d561a8999ce3b084.jpg) + +根据以上结果可以分析得出，第一季度可能是由于学生放假的缘故，用水量均有所减少，每个宿舍楼的用水都相对稳定在一定的值，并且初步分析发现，第一、八、九宿舍楼可能出现过水管爆裂导致的漏损（日用水量过大），而第二宿舍楼可能出现过较为稳定微弱的漏损（小时变化系数一段时间内保持1数值不变）。 + +# 5.1.2.2 食堂区特征分析 + +食堂区包括：第一、二、五食堂，数据是每隔15分钟记录一次，现在通过MATLAB编程，将食堂区的数据转化为365天。并通过5.1.1的模型，计算出各食堂的日最大小时用水量、日平均小时用水量、小时变化系数统计特征： + +表 2、小时变化系数统计特征 (食堂区) + +
宿舍楼样本均值 X̄样本方差 D(x)样本标准差 SD(x)置信区间 (95%) 自由度 n=6置信区间 (95%) 自由度 n=11
一0.01530.8785.557[-5.8185.847][-3.5163.545]
修正(1.0005.847](1.0003.545]
五0.01914.9153.862[-4.0354.072][-2.4352.472]
修正(1.0004.072(1.0002.472]
二0.0127.9572.821[-2.9482.973][-1.7801.805]
修正(1.0002.973](1.0001.805]
+ +根据小时变化系数公式，可以知道该系数不能小于1，因此，第一、二、五食堂，当自由度 $n = 6$ 和 $n = 11$ 时，在置信度为 $95\%$ 的情况下，其置信区间的左端小于1的都修正为1，但不取1。 + +![](images/9d5bafd3fb78807b969b6814ae835fd23e83f9d177fdbfeac0f886145fcf89b7.jpg) +图6、各食堂四个特征数值变化情况 + +![](images/4f32c40c853e0efe683522fdaf035cabf23785b0c7899f981df8e82b3e39b5b8.jpg) + +![](images/61500b3398a9ba110fbdd2d1264a6f982f40114e595b13fff4c063ed14693a6a.jpg) + +从图6的四个特征指标的数值变化，容易获得以下结论： + +表 3、四个特征指标的关系 + +
日用水量日最大小时 +用水量日平均小时 +用水量小时变化 +系数初步结论
高高高正常漏损时间长
漏损较稳定
漏损强度大
漏损时间短
高高高高漏损较稳定
漏损强度大
低低低高用水集中
漏损时间短
高高高高漏损突发
漏损强度大
+ +# 5.1.2.3教学区特征分析 + +教学区只包括教学楼总表，数据是每隔15分钟记录一次，现在通过MATLAB编程，将教学区的数据转化为365天。并通过5.1.1的模型，计算出教学区的日最大小时用水量、日平均小时用水量、小时变化系数统计特征： + +表 3、小时变化系数统计特征 (教学区) + +
样本均值 +X̄样本方差 +D(x)样本标准差 +SD(x)置信区间（95%） +自由度 n=6置信区间（95%） +自由度 n=11
教学楼2.6521.6311.277[1.3123.993][1.8413.464]
+ +![](images/14bc204ade5702a9c648b5456def83e957470151ed9625566fbfaa9e8f0ec806.jpg) +图7、教学区四个特征数值变化情况 + +从图7中可以初步判断出，教学区在第四季度出现两次管道破损，漏损较大。其他功能区均可以用此模型来进行分析。 + +# 5.2 问题二的模型建立与求解 + +# 5.2.1 问题二的模型建立 + +![](images/00307a50e3c7cc39773f94a1554f118ab645a72235aaca643e3f16bb25056ac6.jpg) +图8、各级水表视为变量 + +（1）建立多元线性回归模型 + +假设 $Z_{1} = b_{1}Y_{1} + b_{2}Y_{2} + \xi_{1};\qquad Y_{1} = a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} + \xi_{2}$ + +$$ +Z _ {1} = b _ {1} \left(a _ {1} X _ {1} + a _ {2} X _ {2} + \xi_ {2}\right) + b _ {2} Y _ {2} + \xi_ {1} +$$ + +推出 $= b_{1}a_{1}X_{1} + b_{1}a_{2}X_{2} + b_{2}Y_{2} + b_{1}\xi_{2} + \xi_{1}$ + +$$ += c _ {1} X _ {1} + c _ {2} X _ {2} + c _ {3} Y _ {2} + \xi_ {3} +$$ + +建立 $Y_{i} = \beta +\beta_{1}X_{1i} + \beta_{2}X_{2i} + \beta_{3}X_{3i} + \dots \dots +\xi_{i}(i = 1,2,3,\dots)$ (6) + +$X_{1},\dots \dots ,X_{k}$ 是随机自变量； $Y$ 是随机因变量； + +$\beta_{0}, \dots, \beta_{k}$ 是回归系数； $\xi$ 是随机误差项。 + +注：推导结果说明，用各末端水表数据就可实现回归模型。 + +(2) 回归方程的显著性检验 + +原假设 $H_0: \beta_1 = \dots = \beta_k$ ，备择假设 $H_1: \beta_1, \dots, \beta_k$ 不全为 0，当假设成立时，检验统计量： + +$$ +F = \frac {S S R / k}{S S E / (n - k - 1)} \sim F (k, n - k - 1) \tag {7} +$$ + +回归平方和： $SSR = \sum_{i = 1}^{n}\left(\hat{y}_i - \overline{y}\right)^2$ + +残差平方和： $SSE = \sum_{i = 1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2$ + +对于给定的显著水平 $\alpha$ ，检验的拒绝域 $F > F_{\alpha}(k,n - k - 1)$ 。 + +（3）回归系数的显著性检验 + +原假设 $H_0: \beta_j = 0$ ，备择假设 $H_1: \beta_j \neq 0 (j = 0,1,\dots,k)$ ，当原假设成立时，检验统计量： + +$$ +F _ {j} = \frac {S S E _ {j} - S S E}{S S E / (n - k - 1)} \sim F (1, n - k - 1) \tag {8} +$$ + +掉 $x_{j}$ 后残差平方和： $\mathsf{SSE}_j$ + +对于给定的显著水平 $\alpha$ ，检验的拒绝域为 $F_{j} > F_{\alpha}(1,n - k - 1)$ + +也可以用检验统计量： + +$$ +t _ {j} = \frac {\hat {\beta} _ {j}}{\hat {\sigma} \sqrt {c _ {j j}}} \sim t (n - k - 1) \tag {9} +$$ + +$c_{jj}$ 是 $c = (x^T x)^{-1}$ 对角线 $j = (j = 0,1,\dots ,k)$ 上第个元素。对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，检验的拒绝域为 $\left|t_j\right| > t_{\frac{\alpha}{2}}(n - k - 1)$ 。 + +# 5.2.2 问题二的模型求解 + +选取403X子网供水系统的数据，该系统包括11个末端水表，所以建立11个随机自变量的多元线性回归模型。将数据先处理为每日用水量，然后选取40个数据作为回归系数的计算依据，后40个数据作为对比数据，以进一步评估模型的优劣。 + +通过MATLAB计算得到以下结果： + +表 4、回归系数值及统计特征 + +
回归系数回归系数估计值回归系数置信区间
β0-105.4976[-346.3217135.3265]
β112.9912[-63.877889.8602]
β2-6.1822[-15.45883.0944]
β317.3709[-84.7264119.4682]
β48.7463[-18.851936.3446]
β5-14.6269[-95.883066.6292]
β63.2512[1.85404.6484]
β7-0.0140[-1.23391.2060]
β80.0075[-0.20810.2231]
β95.1333[1.19129.0753]
β101.2123[-2.03364.4583]
β11-0.2879[-1.28870.7130]
β120.6335[-2.78544.0523]
R²=0.8128 F=5.0659p>0.0001s²=482.8741
+ +从上表4可见，拟合效果还比较理想，但还不够完美，此时再进一步完善，将异常数据剔除，再进行回归拟合。 + +![](images/0fa15ceb418c7459816314f8a608eea818b54d500255c45e6c01e79f160a30ab.jpg) +图9、原始数据 + +![](images/d54ec18949580781bf732c51278e08e191752a7fb2f5a45f0e6450d6c1f61269.jpg) +图10、两次剔除异常数据后 + +通过两次剔除异常数据后（第一次剔除1、9、20、38。第二次剔除10、16、25），再进行多元回归分析，计算得到以下结果： + +表 5、回归系数值及统计特征 (剔除异常点) + +
回归系数回归系数估计值回归系数置信区间
β0-52.9021[-190.087784.2836]
β146.2210[9.240783.2013]
+ +
β2-3.7585[-8.42070.9037]
β324.4646[-27.685076.6141]
β414.1476[0.033428.2618]
β510.2162[-31.824852.2572]
β63.0964[2.44093.7519]
β7-0.6418[-1.79490.5112]
β80.1085[0.01000.2070]
β93.6908[1.13796.2436]
β103.7356[1.95675.5146]
β11-0.5347[-1.0398-0.0296]
β12-0.9017[-2.57750.7741]
R²=0.9687F=24.109p<0.0001s²=82.2312
+ +从表5可见，此时的 $R^2 = 0.9687, p < 0.0001$ ，十分显著，说明拟合效果非常好。现在用该回归模型预测后40个数据，观察吻合度。 + +回归模型如下（系数对照表5）： + +$$ +y = \beta_ {0} + \beta_ {1} x _ {1} + \beta_ {2} x _ {2} + \beta_ {3} x _ {3} + \beta_ {4} x _ {4} + \beta_ {5} x _ {5} + \beta_ {6} x _ {6} + \beta_ {7} x _ {7} + \beta_ {8} x _ {8} + \beta_ {9} x _ {9} + \beta_ {1 0} x _ {1 0} + \beta_ {1 1} x _ {1 1} \tag {10} +$$ + +![](images/19de8f1cc66645bcf9f68e36adc1bb486edca2e6a4b03c5d777f8e3eec611aeb.jpg) +图11、预测值与实际值比较 + +从图11上看，预测值变化趋势与实际值变化趋势基本吻合，但是细心发现，预测值稍微偏高，因此可以继续将模型优化，通过最小二乘法，获得最优拟合模型。通过计算，在原来回归模型（10）的式子右端减去82即可。 + +![](images/c19556e833c6461a74a02ce87a9dd5e2c108dfb08ded5bf6c3c17c65d8c4b1f1.jpg) +图12、残差正态性检验 + +![](images/574357140e0f0a4684d5faa0a975c17ff47c71ec0a4c8193d3e2328a57173c59.jpg) + +![](images/96bca705343235b8e06d884b593d69425ca56080e52fd40dcfe8c298c3306207.jpg) +图13、修正后的回归模型拟合效果 + +从上图12、图13中的拟合图像，以及残差分析，可知该回归模型是最优模型。 + +# 5.3 问题三的模型建立与求解 + +# 5.3.1 问题三的模型建立 + +# （1）建立三倍标准差剔除异常值模型 + +在正态分布中 $\sigma$ 代表标准差, $\mu$ 代表均值 $X = \mu$ 即为图像的对称轴 $3\sigma$ 原则。 + +$$ +\bar {X} = \frac {\sum X _ {i}}{n} \tag {11} +$$ + +$$ +\sigma = \sqrt {\frac {\sum \left(X _ {i} - \bar {X}\right) ^ {2}}{n}} \tag {12} +$$ + +$$ +f (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi}} \exp \left(- \frac {x ^ {2}}{2}\right) \tag {13} +$$ + +正常值为 $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$ 内的数值，超过者为异常值。 + +变量取值在区间 $[( \mu - \sigma, \mu + \sigma) ]$ 之间的概率： $P(\mu - \sigma \leq \xi \leq \mu + \sigma) = 0.6827$ + +变量取值在区间 $[( \mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma) ]$ 之间的概率： $P(\mu - 2\sigma \leq \xi \leq \mu + 2\sigma) = 0.9545$ + +变量取值在区间 $[( \mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma) ]$ 之间的概率： $P(\mu - 3\sigma \leq \xi \leq \mu + 3\sigma) = 0.9973$ + +在本题中，为了更好的将异常数据剔除（即剔除异常用水点），采用两倍标准差剔除数据。 + +# 5.3.2 问题三的模型求解 + +考察学校整体的漏损情况，需要对13个一级表数据进行分析，由于419T-406T没有分表，所以可以将他们合并为一个一级表，从而精简为7个一级表。现在分别对7个指标进行求解。 + +表 6、第一季度各子供水网漏损情况 (2σ标准下) + +
子网系统416X405X404X403X402X401X419T-406T合计
总用水量5479.317047.714213.9633809.497632.718453.753486.7170123.64
漏损水量0.001914.450.001088.23419.5330.190.003452.40
漏损比率0.00%27.16%0.00%3.22%5.50%0.36%0.00%4.92%
+ +表 7、第二季度各子供水网漏损情况 (2σ标准下) + +
子网系统416X405X404X403X402X401X419T-406T合计
总用水量5310.9213514.085106.0145385.7511336.6012909.836457.12100020.31
漏损水量11.68348.500.004392.30972.7184.741203.727013.65
漏损比率0.22%2.58%0.00%9.68%8.58%0.66%18.64%7.01%
+ +表 7、第三季度各子供水网漏损情况 (2σ标准下) + +
子网系统416X405X404X403X402X401X419T-406T合计
总用水量6908.4913827.185874.3064573.1827114.2414167.057755.57140220.01
漏损水量0.00213.860.005649.64788.53108.820.006760.85
漏损比率0.00%1.55%0.00%8.75%2.91%0.77%0.00%4.82%
+ +表 8、第四季度各子供水网漏损情况 (2σ标准下) + +
子网系统416X405X404X403X402X401X419T-406T合计
总用水量6446.6812950.175355.3242220.507726.5415090.335318.0295107.56
漏损水量0.00435.480.003667.930.00218.170.004321.58
漏损比率0.00%3.36%0.00%8.69%0.00%1.45%0.00%4.54%
+ +![](images/abfc04953dd40b12356bb83866cd6743baac3c2aa1e3908035a2580513f5651e.jpg) +图14、各子网漏损比率随季度走势图（2σ） + +![](images/be3e5774a634dac608d6e6da0a533020408659a867eeee8ce16362ecaaaba1d6.jpg) +图15、各子网漏损比率随季度走势图（3σ） + +![](images/63342cd60cebc9e12552d4bac5f5b71e431ecf91d081b8008f5517ed37cfd1c8.jpg) + +![](images/dc48a5bfa3f8e73a2e5b0983d11319d2cdb7511f579920505c6db6fb19c5d9c6.jpg) +图16、该校区漏损随季度变化情况 + +![](images/e5a932730de3e65f363d4163b69c34bac4b643634333ffa4a40ff10ae7c84941.jpg) + +![](images/4876e52a8cdef99738639f8a5b007d8efc348ca704d5095e0ad3dc930de3e9bc.jpg) + +通过计算得到以上结果，并将7个指标漏损比率和平均漏损比率归纳到下表中： + +表 9、各子系统漏损情况 + +
季度 一级表一季度二季度三季度四季度
416X0.00%0.22%0.00%0.00%
405X27.16%2.58%1.55%3.36%
404X0.00%0.00%0.00%0.00%
403X3.22%9.68%8.75%8.69%
402X5.50%8.58%2.91%0.00%
401X0.36%0.66%0.77%1.45%
419T-406T0.00%18.64%0.00%0.00%
总平均4.92%7.01%4.82%4.54%
+ +整个学校随季度的漏损比率为： $4.92\%$ 、 $7.01\%$ 、 $4.82\%$ 、 $4.54\%$ 。第二季度较高，其原因是419T-406T出现了较大的漏损，导致第二季度较高。但总体来说都在 $5\%$ 左右，与公共用水平均漏损率相当，说明，用该模型求解的正确性和可靠性。 + +# 5.4 问题四的模型建立与求解 + +# 5.4.1 问题四的模型建立 + +（1）建立BP神经网络模型[1] + +![](images/262883d2f86d6cece05c8ba6094c05284c22f86d449cebc9dc11ec4301265d27.jpg) +图17、BP神经网络结构 + +标准的BP神经网络算法内容和步骤描述如下，先定义一下变量和自变量： + +输入层向量： $X = (x_{1},x_{2},\dots,x_{i},\dots,x_{n})$ + +隐含层输入向量： $H = (h_{1},h_{2},\dots ,h_{j},\dots ,h_{m})$ + +输出层输出向量： $Y = (y_{1},y_{2},\dots ,y_{k},\dots ,y_{i})$ + +期望值输出向量： $D = (d_{1},d_{2},\dots ,d_{k},\dots ,d_{i})$ + +输入层到隐含层之间的权值连接矩阵： $V = (V_{1},V_{2},\dots ,V_{j},\dots ,V_{m})$ + +隐含层到输出层之间的权值连接矩阵： $W = (W_{1},W_{2},\dots ,W_{k},\dots ,\mathrm{W}_{l})$ 。 + +BP神经网络具体实现步骤如下： + +网络初始化 $W, V$ 矩阵，赋值期间由激活函数值域决定。确定最大训练次数 $M$ 和学习精度值 $\varepsilon$ ，选择激活函数 $f(x)$ ，通常选用单极限 sigmoid 函数： + +$$ +f (x) = 1 / \left(1 + e ^ {- x}\right) \tag {14} +$$ + +数据预处理，选择样本数据输入，得到隐含层 $h_j$ 和输出层 $y_k$ 的输出： + +$$ +h _ {j} = f \left(T _ {j} ^ {T} X ^ {T}\right), j = 1, 2, 3, \dots , m \tag {15} +$$ + +$$ +y _ {k} = f \left(\mathrm {W} _ {k} ^ {T} H ^ {T}\right), k = 1, 2, 3, \dots , l \tag {16} +$$ + +利用网络的实际输出值 $y_{k}$ 和期望输出值 $d_{k}$ 计算误差： + +$$ +e = 1 / 2 \sum_ {k - 1} ^ {1} \left(d _ {k} - y _ {k}\right) ^ {2} \tag {17} +$$ + +分别计算误差函数对隐含层和输出层个神经元的偏导数 $\delta_j^h$ 和 $\delta_k^y$ + +$$ +\delta_ {j} ^ {h} = \left(\sum_ {1} ^ {k = 1} \delta_ {k} ^ {y} W _ {j k}\right) ^ {*} h _ {j} ^ {*} \left(1 - h _ {j}\right), j = 1, 2, 3, \dots \tag {18} +$$ + +$$ +\delta_ {k} ^ {y} = \left(d _ {k} - y _ {k}\right) ^ {*} y _ {k} * \left(1 - y _ {k}\right), k = 1, 2, 3, \dots \tag {19} +$$ + +利用误差信号调整各层的连接权值；隐含层到输出层权值 $w_{jk}^{N + 1}$ 和输入层到隐含层权值 $v_{ij}^{N + 1}$ ： + +$$ +w _ {j k} ^ {N + 1} = w _ {j k} ^ {N} + \varphi \delta_ {k} ^ {y} h _ {j}, k = 1, 2, \dots , l \quad j = 0. 1, \dots , m \tag {20} +$$ + +$$ +v _ {i j} ^ {N + 1} = v _ {i j} ^ {N} + \varphi \delta_ {j} ^ {h} x _ {i}, j = 1, 2, \dots , m \quad i = 0. 1, \dots , n \tag {21} +$$ + +计算全局误差 $E$ + +$$ +E = 1 / 2 \sum_ {p = 1} ^ {p} \sum_ {k = 1} ^ {l} \left(d _ {k} - y _ {k}\right) ^ {2} \tag {22} +$$ + +# 5.4.2 问题四的模型求解 + +由于供水系统具有的层级网络特征，再加之神经网络的“万能逼近”，对于这类数据，有较好的预测效果，以预测值与实际值的误差作为识别漏损的依据，若是误差过大，那么就说明有漏损情况。由于全网涉及的水表太多，篇幅有限，现只展示四个被识别出来的漏损情况： + +![](images/f00b2bf2eaa567386797eea51656bb5f21de44ca8c921bc365f7b64619a9551e.jpg) + +![](images/51bbdc48c6dbdebacc785ff9670bd0f7cd9fe3722015f617b4048d571f1d1a45.jpg) + +![](images/4653822ba3b0a92c75f0ffbd8be60cc06acecd3dbc6092c5796c661afdf420ba.jpg) +图17、第一宿舍漏损预测 + +![](images/3265eb813277747983255e5a5e98813471f2ab2d7b20ed8e95a10ce5945d1108.jpg) + +![](images/7d81eb9bccbe250db636d881f228f75dcfef81efe935dfe6d57697c93b6b0e98.jpg) + +![](images/66ba0dc26a4e0063fc2bda0ba8435d40728ab046eb24dc236e8db7348f3c7e5e.jpg) +图18、第八宿舍漏损预测 + +![](images/f150d8ad17e0b988b2ddb5b9e7be40c881826417f6fc07c78770fba1c324e7ea.jpg) + +![](images/0a39769199aa004a46c97055510ac5b56f162757ad7e4e034ccb164c537c6443.jpg) + +![](images/5fd497efbd6a4fc8f48b860a75ed7cb771e40d8008127735096399317465ebf8.jpg) + +![](images/5048ea521f4ba2e911b7b42f74958246f8ad465430c33c1ad14f17f5ded23ec4.jpg) + +![](images/057ba42725c52cb676dabddcefad5c020bb22a5c2cbb3e7cab8670ca5e1d5bb2.jpg) +图19、第五食堂漏损预测 + +![](images/8c6778a5a7ecb45d98e8461b5a3a70f249d014fac8d54f0161d9d69f703e3169.jpg) +图20、教学楼漏损预测 + +通过神经网络智能识别了全网节点，识别出以下漏损情况： + +表 10、神经网络智能识别漏损情况 + +
季度水表节点
一季度64397 副表、第一学生宿舍、XXX 花圃+、老六楼、东大门传达室、教育超市+、农业试验站大棚、区域 3+、区域 4+、新留学生楼、养鱼组厕所、养殖队 6721 副表、养殖馆+、养殖馆附房保卫处宿舍+、养殖馆附房二楼厕所+、养殖馆附房一楼厕所+
二季度64397 副表、XXXL 楼、XXXX 宾馆、XXX 第二学生宿舍、XXX 干训楼、XXX 锅炉房、XXX 国际纳米研究所、XXX 航空航天、后勤楼、花围+、老医务室、体育馆、污水处理、游泳池、中心水池、东大门大棚、离退休活动室、理发店+、区域 2、区域 4、书店
三季度XXX 副表、舍热泵、M 管、S 管、后勤、成教院 XXX 分院、第二学生宿舍、图书管、校医院、区域 4+、体育馆网球场值班室、物业、消防、校管中心种子技术+、校医院南、新大门传达室、养殖队 67 副表、养殖管、养殖管房二楼厕所、K 酒店严、大楼厕所西、东大楼、游泳池是严重漏损、第八宿舍、车队、东大门温室+、东大门大棚、留学生(新)、区域 3+、养鱼组临工宿舍、第九学生宿舍、第七学生宿舍、第三学生宿舍、第一学生宿舍、第四学生宿舍、第五食堂、第五学生宿舍,第一食堂,L 管、花圃、区域(西)、 新留学生楼(新)、浴室
四季度K 酒店、第一食堂、养殖管、国际纳米、教学大楼、茶叶园、东大门温室、大楼厕所西、花圃、新留学生楼、宾馆、锅炉房
+ +根据神经网络智能识别的节点，发现随着夏季的到来，用水达到高峰，漏损也更加严重。某些漏损还有片状发展趋势，例如第一季度的养殖场区域，成片出现，可能是管道老旧或者管道串联造成的。 + +# 5.5 问题五的模型建立与求解 + +# 5.5.1 问题五的模型建立 + +# （1）维修成本与漏损成本的关系 + +![](images/040f2b6d8b6c645cb5d57d0348e46c37c105c03f6acb3f64341a2e1c9a83c66b.jpg) +图21、维修成本与漏损成本的关系 + +# （2）统计各管道设施设备损坏数据 + +$$ +R = \sum_ {i = 1} ^ {n} N _ {i} \cdot R _ {i} \tag {23} +$$ + +$R$ ：维修总成本 + +$N_{i}$ ： $i$ 种设施设备损坏的个数 + +$R_{i}$ ： $i$ 种设施设备损坏所需维修费 + +# （3）漏损比率控制 + +若漏损比率控制在 $5\%$ 以下，保持现在的维修成本不改变，若是升高，则适当提高维修费用。 + +# 5.5.2 问题五的模型求解 + +从5.3中计算的结果可知，学校全年漏损率为 $5.31\%$ ，超过了 $5\%$ ，需要提高一定的维修成本减低漏损率。全年漏损21548.48m3，根据贵州水价3.3元/m3，全年漏损成本为71109.984元，现需要减低漏损成本，则要通过增加维修成本来控制，假设两者为线性关系，相关系数为-1，那么需要21548.48m3—20273.576m3=1274.904m3，通过水价计算得到4207.1832元。也就是在原有维修成本的基础上增加4207.1832元，就可以将漏损率控制在 $5\%$ 以下。 + +# 六、模型的评价 + +问题一中，计算结果不仅很好的反映出每天、每月、每季度的变化情况，还通过四个指标（日用水量、日最大小时用水量、日平均小时用水量、日小时变化系数）综合反映了各楼、各功能区的用水平稳程度、管网漏损等情况。如果统计数据时间长度都相同，那么会更好的反映出各级表的用水特征。 + +问题二中，通过多元线性回归模型建立、异常数据的处理和最小二乘法的运用，使得回归模型更加可靠，残差的分析也表明模型是最优模型。 + +问题三中，由于漏损不能直接通过计算得到，因此采用估算的方式得到漏损的水量，并分为四个季度去考察，使用二倍标准差剔除数据的方法将异常数据（漏水量）累加得到总的漏损量，从而可以计算得到漏损比率。有两个一级表没有数据，因此是通过累加二级表数据的方式获得，如果有该两个一级表的数据，计算结果会更加精确。 + +问题四中，需要快速有效且智能的方式寻找到漏损位置，因此建立神经网络智能算法去识别，通过智能算法的计算，找到了各级表漏损故障，十分可靠的。如果要对微小的漏损都快速识别，那么需要更多更完整的数据，以及管网的分布，设计，规格等。 + +问题五中，建立漏损成本与维修成本的线性反比关系函数，通过仅有的数据去粗略估算，只能是作为参考，因为两者的关系应该是非线性的，所以如果能获得学校每月、每季度、每年的维修费用，以及维修各种规格型号的管道及相关设备所需费用，还有这些设施设备的损坏次数等，就可以更加准确的找到两者的关系函数。 + +# 参考文献 + +[1] 邵圆媛. 嵌套BP/GMS神经网络模型在供水管网漏损预测中的研究[D]. 重庆大学. +[2] 常金秋. III类学生宿舍用水特征分析[J]. 上海应用技术学院学报（自然科学版). 13(3):245-248. + +# 附录1 + +%神经网络预测代码 + $\mathrm{x = C}$ $\%$ 该脚本用来做NAR神经网络预测 +lag=18; $\%$ 自回归阶数 +iinput=x; $\% \mathbf{X}$ 为原始序列（行向量） +n=length(iinput); + $\%$ 准备输入和输出数据 +inputs=zeros(lag,n-lag); +for i=1:n-lag + inputs(:,i)=iinput(i:i+lag-1)'; +end +targets=x(lag+1:end); + $\%$ 创建网络 +hiddenLayerSize $= 10$ ;%隐藏层神经元个数 +net $=$ fitnet(hiddenLayerSize); + $\%$ 避免过拟合，划分训练，测试和验证数据的比例 +netdivideParam.trainRatio $= 70 / 100$ . +netdivideParam.valRatio $= 15 / 100$ . +netdivideParam.testRatio $= 15 / 100$ . + $\%$ 训练网络 +[ \text{[net,tr]} = \text{train(net,inputs,targets)} ] + $\%$ 根据图表判断拟合好坏 +yn=net(input); +errors=targets-yn; + $\%$ figure,ploterrcorr errors) %绘制误差的自相关情况（20lags） + $\%$ figure,parcorr(errs) %绘制偏相关情况 +[h,pValue,stat,cValue]=lbqtest(errs) %Ljung-BoxQ检验（20lags） +figure,plotresponse(con2seq(target),con2seq(yn)) %看预测的趋势与原趋势 + $\%$ figure,ploterrhist(errs) %误差直方图 +figure,plotperform(tr) %误差下降线 + $\%$ 下面预测往后预测几个时间段 +fn=85; $\%$ 预测步数为fn +f_in=iinput(n-lag+1:end)'; +f_out=zeros(1,fn); $\%$ 预测输出 + $\%$ 多步预测时，用下面的循环将网络输出重新输入 +for i=1:fn + f_out(i)=net(f_in); + f_in=[f_in(2:end);f_out(i)]; +end + $\%$ 画出预测图 +figure,plot(1:365,iinput,'b') +hold on +plot(281:365,f_out,'r') + +# 附录2 + +```matlab +%残差正态性检验代码 +normplot(CXE) +CXE = zscore(CAN); +CXE = CXE'; +alpha = 0.05; +[mu, sigma] = normfit(CXE); +p1 = normalizef(CXE, mu, sigma); +[H1, s1] = ktest(CXE, [CXE, p1], alpha); +n = length(CXE); +if H1 == 0 + disp('该数据服从正态分布。') +else + disp('该数据不服从正态分布。') +end +``` \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2020/E040/E040.md b/MCM_CN/2020/E040/E040.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..4127d218b72db70f32e7db212aaccce98b6b9a24 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2020/E040/E040.md @@ -0,0 +1,959 @@ +# 校园供水系统智能管理 + +# 摘要 + +智能水表的使用伴随着人工智能与科技的发展，变得越来越广泛，它的使用极大的方便了管理人员对用水情况的管理，它产生的数据也可以帮助其进行合理的数据估计，从而合理规划维修，本文基于某校园智能水表产生的数据，进行了挖掘和分析，具体如下： + +对问题一，首先借助于Python中的pandas库对大规模、多种数据类型共存数据处理的优势进行数据的操作和处理，描述分析了宿舍、教学楼、办公楼、食堂的用水特征； + +对问题二，在问题一的基础上，首先利用水表层级关系附件，建立各级表的数据关系拓扑图，结合实际情况分析得出，一级水表中401X、403X、405X处的数据与二级水表相比误差率分别为 $11\%$ 、 $11\%$ 、 $4\%$ ；其他一级水表按照优质水表 $\pm 0.5\% -\pm 3\%$ ；二级以上水表按照普通水表 $-5\% -3\%$ 来标记误差； + +对于问题三，首先利用时间点左右各5个点对其本身进行样条插值平滑预测，利用预测值与原始值的差值估计漏损量，总漏损量为32215，总漏损率为 $9.8\%$ ，该校园漏损率低于全国的平均漏损率，此外还分析评估了各水表漏损情况； + +对于问题四，根据上一问的估计结果，以 $9.8\%$ 为阈值，漏损率超出阈值则标记一次漏损事故，结合各水表处的漏水量情况，按照漏损次数对水表进行漏损等级评定，得到40118T/40121T/40331T等水表点的漏水可能性较高； + +对于问题五，通过查看相关文献资料，获得平均水价范围5.5元/吨-6.5元/吨，单次维修费用500元/次-1500元/次，建立了每天是否维修的0-1规划模型，并取平均水价6元/吨以及单次维修成本均价1000元/次分析维修次数、损失金额与水价和维修成本的关系，最终的漏水维修33次，总损失金额为174630元。 + +本文由数据驱动，建立模型挖掘校园用水的特性，对于供热网、高速路网等问题都具有良好的推广应用价值。 + +关键字：数据挖掘 样条插值平滑预测 漏损检测 0-1规划 + +# 一问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +水是生命之源，自来水通过供水管道进入千家万户，随着科学技术的不断发展，在校园中，学校建立了一套基于智能水表的供水情况监测系统，目的是实时监测供水管道中各种运行数据，例如管道内的水压、用水量的记录。 + +供水管道的检漏、维护和修补，这需要耗费巨大的人力、物力、财力，是否可以通过智能水表提供的准确、及时的数据，分析管道中潜在的漏水问题，并进行及时的处理修补，减少由于水资源浪费造成的经济损失以及检漏、维护成本支出。 + +# 1.2 已知条件 + +1. 水表的层级关系 +2. 水表四个季度所有的用水数据记录（每十五分钟记录一次） + +# 1.3 解决问题 + +1. 统计、分析各个水表数据的变化规律，并给出校园内不同功能区（宿舍、教学楼、办公楼、食堂等）的用水特征。 +2. 结合水表层级关系，建立水表数据之间的关系模型，并利用已有数据分析模型误差。 +3. 输水管网漏损严重，平均失水在 $5\%$ 左右；较老旧的管网，失水则更为严重。利用已有数据，建立数学模型，分析该供水管网的漏损情况。 +4. 地下水管暗漏不容易被发现，需要花费大量人力对供水管道的漏损进行检测及定位，从水表的实时数据发现并确定发生漏损的位置。 +5. 管网维修需要人工费和材料费，但同时可以降低管网漏损程度。根据上述结论和查询到的水价及维修成本确定管网漏损的最优维修决策方案。 + +# 二问题分析 + +对于整体五个问题我们的分析流程见下图： + +![](images/d8dc79b1fbedec75516a8151a873c5a9c50ebd46481ed4c2e368ac8fe06f601b.jpg) +图1. 问题分析流程图 + +# 2.1 问题一分析 + +问题需要根据已有季度用水表（附件）、水表层次（附件）的数据分析宿舍、教学楼、办公楼、食堂的用水情况特性。为此需要有以下几个分析步骤。 + +1. 对数据进行描述性统计，获得缺失值、异常值，以及校园用水的总体特征。 +2. 需要对数据进行缺失值、异常值的处理，并对水表进行功能区划分，建立用水情况的水表层级关系表。 +3. 对宿舍功能区、教学楼功能区、办公楼功能区、食堂功能区进行用水分析。 + +# 2.2 问题二分析 + +问题需要根据附件中提供的水表层级关系，建立不同层级间水表的关系模型，利用已知数据分析模型误差。 + +水表的合理使用： + +由资料[1]电磁水表的误差率较小，而机械速度式水表可检测的最小水流量与管道直径成正比，在直径较大的骨干管道中，采用机械速度式水表难以检测弱水流，误差较大， + +见下图： + +![](images/a6a697fadb91f58b289444b3cb68db5f8ebe8f318847a98782c5384409e98269.jpg) +图2.高精度电磁水表和传统水表 + +所以： + +1. 一级水表采用精度更高的电磁水表； +2. 二级至四级均采用已广泛使用的机械速度式水表， + +我们采用拓扑图将水表间的层级关系可视化； + +计算上级水表表显读数和下属水表表显读数之和的差值，将误差分为三类； + +1. 一级水表误差按电磁水表统计，二级至四级水表按照机械速度式水表统计 +2. 二级水表按照实际误差来计算，利用其表显数据与一级表数据做差得出误差； + +# 2.3 问题三分析 + +问题需要根据各级水表的显示数据分析出校园水网的具体漏损情况，文献[2]采用时间序列神经网络（NAR神经网络）的预测方法，基于当前各水表读数时间序列，对每个读数进行预测，表显读数与预测值波动超过一定阈值的则视为该时刻发生漏水，为解决本问题提供了思路，但是根据附件的数据，各水表的年用水情况各不相同，如若进行时间序列分析，需分水表、分时间段进行稳定性、白噪声以及参数预置的讨论，所有情况过于繁琐复杂，本问题并不合适。 + +有鉴于此，我们参考其预测方法，对时间序列 $t$ 时刻的值进行样条插值平滑预测，从而进行漏损估计，具体的步骤如下： + +1. 首先对数据进行预处理工作。对一级水表按照超过一定误差的阈值的异常数据进行置均值的平滑处理； +2. 其次对一级水表的时间序列数据进行样条插值平滑预测； + +3. 利用表显数据与预测值之差进行漏损量的估计。 + +# 2.4 问题四分析 + +问题需要从水表的实时数据中发现供水管网的漏损位置： + +我们基于问题三的样条插值平滑预测模型： + +1. 对二级水表及下属水表进行漏损偏差统计； +2. 计算漏损率： + +$$ +\text {漏 损 率} = \frac {\text {原 始 值} - \text {预 测 值}}{\text {预 测 值}} +$$ + +3. 对漏损率超过总体漏损率的时间点和地点判定其发生漏损现象，根据偏差统计划分风险等级，给出供水管网中，可能出现漏损的位置及概率。 + +# 2.5 问题五分析 + +问题五需要根据查询资料，结合前面所得到的漏水数据，做出最佳维修策略，为此应首先查阅国家相关水务数据[3]，劳务数据以及材料费用数据[4]，从而确定水价范围和单次维修价格的范围。 + +以总损失金额最小作为规则目标函数，以每天是否维修作为决策变量，建立0-1规划模型，从而得到维修决策。 + +# 三 模型假设 + +1. 假设一级水表采用测量精度较高的电磁水表； +2. 假设二级至四级采用均已广泛使用机械速度式水表，并有 $2\% - 5\%$ 的相对误差。 +3. 无人蓄意破坏供水管道； +4. 各水表工作在理想状态下，不受强磁等外界因素干扰； +5. 水质良好，无明显杂质，不对机械速度式水表产生过大影响； + +四符号说明 + +
序号符号符号表示含义
1x漏损各一级水表时间点漏损量
2x原始一级水表的原始数据
3x预测一级水表的预测漏损量
4p漏损水表的漏损率
5b维修单次维修费用
6w维修i第i天是否维修
+ +# 五 模型建立与求解 + +# 5.1 问题一模型建立与求解 + +# 5.1.1 整体数据描述 + +首先对数据进行描述性统计如下（部分数据，详细数据见附件）： + +表1. 描述性统计 + +
有效 个案数缺失 个案数平均值中位数标准偏差最小值最大值
416X365.000.0066.1568.7518.470.00114.00
405X363.002.00130.41139.1681.020.801011.74
403X363.002.00512.37474.75176.38104.501201.25
401X363.002.00139.45139.2550.2418.16347.91
419T338.0027.002.802.890.820.275.03
418T338.0027.002.181.711.680.3616.30
417T338.0027.005.964.834.110.0021.58
+ +当缺失值不影响数据统计时，不做替换操作，但是对于异常数据，例如二级水表 + +40337X中113-115行数据大于平均值的5倍以上，影响整体数据的光滑程度，不利于数据分析，因此对其进行均值替换处理。根据实际情况我们认为一级水表采用的是误差率较低的水表，而二级以上水表采用的是误差率较高的传统机械式水表，最终统计出一级表显校园总用水量：328232.24，二级表显总用水量：369307，误差率 $12.5\%$ + +![](images/0d5d74a3ae82e42a93ba6248507e8bd0fdd9eb4781fe9ac8bc4b77bf98fbae77.jpg) +图3.一、二级水表表显用水量（年） + +根据水表层级附件，我们将二级以上的水表进行了功能区划分如下表： + +表2. 功能区分类 + +
水表号水表名
宿舍3320100600XXX第八学生宿舍
183671860XXX8舍热泵
3320100700XXX第七学生宿舍
3320100200XXX第二学生宿舍
3320100100XXX第一学生宿舍
3320100500XXX第五学生宿舍
1836718629XXX5舍热泵热水
3320100400XXX第四学生宿舍
1836718625XXX4舍热泵热水
3320100300XXX第三学生宿舍
1836718633XXX3舍热泵热水
3320100800XXX第九学生宿舍
3620301000养殖馆附房保卫处宿舍+
+ +
水表号水表名
教学楼3210100200XXX成教院XXX分院
3313800500XXXL馆
3370100100XXXL楼
3313200200XXXXS馆
3370300100XXXXK
3200200100XXXXK楼
3480400100老七楼
3360300100新留学生楼
3480300100XXX老六楼
3480200100XXX老五楼
3320100900留学生楼（新）
3421300300XXX大楼厕所西
3421300200XXX大楼厕所东
3400500100XXX教学大楼总表
3421300100XXX中心大楼泵房
3315400200XXXXM馆
+ +
水表号水表名
办3210100100XXX干训楼
公3170100600XXX西大楼
楼3422200100XXX东大楼
+ +
水表号水表名
食堂3390100400XXX第五食堂
3160200300XXX第一食堂
3390100500XXX第二食堂
+ +# 5.1.2功能区用水情况（全年）分析 + +在Python中利用pandas库的数据处理优势对各功能区进行分类汇总，获得各功能区全年的用水情况如下图： + +![](images/bd07229414a4b4456ae07f7df7165639e32d3b6f7cbddb6232b42ea927bbc4f6.jpg) + +![](images/2dde5770887ae88b53c3cb4625c49234e63d4aca2dec7d70238041e34e64cf2a.jpg) + +![](images/173c740db8bce231d389129447fe4a1c4828e4c8504d8046d836d545be40c489.jpg) +图4.各功能区全年用水情况 + +![](images/1770d781cf1f399537abe847c6a48b0f1ae26c86394924624c66a1b31eff4aa8.jpg) + +由上图可以看出，各功能区用水情况有以下特点：1.整体数据都呈现周期性波动，每周用水量按照工作日和非工作日有峰谷的变化；2.各功能区在1-3月份均处于用水量较少的位置，这个时间段是农历新年所在的寒假期间；3.教学楼和食堂数据在9-10月份有明显的增加，这一时期正是新生报到的时间，因此引起用水量的变化；4.办公楼和宿舍的用水数据在寒假之外的时间段没有明显的上升下降变化。 + +# 5.1.3功能区用水情况（每天）分析 + +将不同功能区按照工作日、周六日和节假日三种类型进行数据统计分析得到其每日的用水概况图如下： + +![](images/185ae1dadd5224f52d6ad03ade1b7203b2c20e4cf70009c30015f227588f7596.jpg) +图5.功能区按三种日期类型每日用水统计 + +功能区每日用水分析 + +从上图可以看出各功能区每日用水情况有以下特点：1.所有功能区00:00-06:00时间段内的用水量普遍较少；2.宿舍和教学楼的用水时间正好相反，白天学生大部分在教室上课或者学习，夜晚学生回到宿舍，此时宿舍用水处于高峰；3.办公楼用水高峰位正好是每天上午和下午的工作时间；4.食堂的用水高峰分别是07:00/12:00/18:00三个时间左右；5.寒假期间各功能区用水量均明显小于全年其他时间。 + +# 5.2 问题二模型建立与求解 + +# 5.2.1水表数据关系 + +首先根据水表层级附件绘制出水网的拓扑结构图，显示出各水表之间的层级关系。 + +![](images/6bcc740a6ef381ea27b3d534cbb9cfa6493f632c92ed59c85e62a39d3e2c000c.jpg) +图6.水表数据关联拓扑图 + +并得到他们之间的数据关系为：1.一级水表401X、403X、405X等表显数据应为其二级水表的数据之和；2.一级水表416X的显示数据包含其二级子水表的数据，但两者并不相等；3.二级水表40335X/40337X等所处的位置如区域1、区域2、区域3、区域4等本身也会用水，所以二级水表数据包含其三级子水表的数据，但是两者并不相等。 + +# 5.2.2 误差分析 + +关联数据平均相对误差MRE的计算方法为： + +$$ +R E _ {i j} = \frac {\left| \sum x _ {\text {二 级}} - x _ {\text {一 级}} \right|}{x _ {\text {一 级}}} +$$ + +$$ +M R E = \frac {1}{n} \sum R E _ {i j} +$$ + +我们将数据的误差分为三类： + +首先一级水表401X、403X、405X与其二级子水表之间的数据理论上应该是相等的，经过pandas库数据处理分析得到其平均相对误差为 + +表3. 一级水表数据误差 + +
一级水表误差一级水表误差一级水表误差
401X11%403X4%405X11%
+ +对于406T、411T、412T等一级水表，根据资料[1]按精度最高的电磁水表来考虑，其显示数据误差为 $\pm 0.5\% -3\%$ + +对于二级、三级、四级水表，根据资料[1]我们按通用的机械水表来考虑，其显示数据误差为： $-5\% -3\%$ + +# 5.3 问题三模型建立和求解 + +# 5.3.1 数据预处理 + +首先在pandas中对一级水表的显示数据进行按天的汇总，数据见附件，其波动变化图如下： + +![](images/e53c120d39a539f032c61b66f1772f31d383d8fa635d0fe380e066ec874753b8.jpg) + +![](images/8f62afc7660eef67ea62dc83f23ed552565d7cdfa3123da67c5cbfc5683976dc.jpg) + +![](images/a6d3a137e12f2c8035a25349bb19645ee392570d4757a608bed994129cae27ee.jpg) + +![](images/d0aaf94fe70d5713440075f99c900818fbb0770e220b7d2b507b29d3be67529f.jpg) + +![](images/e5851912cebd350dd316323d804174641b718b188d3ae1cd9e34dafa5d4f9341.jpg) + +![](images/8d35f040914e374acaa3ebc6a39f451686bee726b853192faf37b17ccf971c23.jpg) + +![](images/3f0ef345cac3fb8d2e1fb30e2da36a0f21de599692a7a9ed0555c5d51d09c133.jpg) + +![](images/3d34756681b24c545566ba5ea6b3e09e41df89aa92850b7c8ee9bcd095344a6d.jpg) + +![](images/3c31f6bf1d7bb60aec165d58645cc66a84c7b65fe3be774807f516b63fbdcb69.jpg) + +![](images/3170aaef3f33ee67a147bd15114ca5a9a9682851b894ca9bee36738975390863.jpg) +图7. 一级水表全年用水时间序列图 + +![](images/2547c122ab4a301aa076f21d21d1b4e6e0169a74c38471022e9dfd08a2dd53c8.jpg) + +针对每个一级水表的数据的不同特性，我们把红圈中的异常值进行均值替换处理，从而让数据更加平滑稳定。 + +![](images/58574d7d2ef2fd995f2feadf86da11bdce3bc9af71e7a921b9f9cfb600dccc3a.jpg) +图8.全年整体的漏损量和漏损率时间序列图 + +![](images/57a5154dfecd9f6f6a21bffc40f540988111526c4961abc8fd037d1043052621.jpg) + +由上图可看出，全年的漏水量和漏水频率是平稳波动的，日均漏水量为88，日均漏水率为 $8.8\%$ ，在年中的7、8月份，漏水量与漏水率均有较大幅度的波动，需重点进行防范和检修。 + +# 5.3.2 样条插值平滑预测 + +样条插值的基本原理如下： + +设给定区间 $[a,b]$ 的一个分划： + +$$ +\Delta : \mathrm {a} = x _ {0} < x _ {0} < \dots < x _ {0} = b +$$ + +若函数 $s(x)$ ，满足条件： + +在每一个单独区间段内 $[x_{i - 1},x_i],(i = 1,2,\dots ,n)$ ，是 $k$ 次多项式； + +$s(x)$ 及直到 $k - 1$ 阶导数在给定区间[a,b]上连续。 + +则称函数 $s(x)$ 是关于分划 $\Delta$ 的 $k$ 次多项式样条函数， $x_0, x_1, \dots, x_n$ 称为样条节点，样条函数记作 $S_p(\Delta, k)$ 。 $k$ 次多项式样条函数的一般形式为： + +$$ +s _ {k} (x) = \sum_ {i = 0} ^ {k} \frac {\alpha_ {i} x ^ {i}}{i !} + \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \frac {\beta_ {j}}{k !} (x - x _ {j}) _ {+} ^ {k} +$$ + +其中 $\alpha_{i}(i = 0,1,\dots ,k)$ 和 $\beta_{i}(i = 1,2,\dots ,n - 1)$ 均为任意常数 + +这里我们采用三次样条插值对一级水表的每个时间序列数据进行预测。 + +在数据 $x_{ij}$ 附近向左向右各选5个数据共10个，即 $[x_{i,j-5} \ldots x_{i,j-1} x_{i,j+1} \ldots x_{i,j+5}]$ ，通过这十个数据对 $x_{ij}$ 进行插值预测，得到的预测数据（具体见附件）。 + +# 5.3.3 漏损情况分析 + +各一级水表时间点漏损数据 $x_{\text{漏损}}$ 计算方法为： + +$$ +x _ {\text {漏 损}} = x _ {\text {原 始}} - x _ {\text {预 测}} +$$ + +漏损率 $p_{\text{漏损}}$ 为： + +$$ +p _ {\text {漏 损}} = \frac {x _ {\text {漏 损}}}{x _ {\text {预 测}}} +$$ + +通过借助于Python数据处理，得到各一级水表的具体数据，文献[2]显示我国城市漏水率一般在 $15\%$ 以上，北方地区甚至达到了 $40\%$ ，在此基础上统计得出各水表的漏水次数和漏水量为（具体数据见附件）： + +表4. 各水表漏损量和漏损率 + +
水表号412X40336T40403T40105T40502T40334T4010401T403350202T40126T40118T
漏水率34.8%25.8%25.2%20.2%20.0%19.2%18.9%18.6%17.9%17.7%
漏水量6.3376.22163.9010.53228.900.97292.1410.870.9245.43
水表号40124T417T40316T4013403T40333T40318T4013407X40121T40331T40120T
漏水率17.2%16.6%16.6%16.0%15.5%15.5%15.2%14.9%14.6%12.8%
漏水量14.15335.4089.36474.3926.0910.32347.2827.7413.5417.26
水表号40119T4160101T40136T40214T40115T40321T40135X40509T4013404T413T
漏水率12.6%12.2%11.9%11.8%11.7%10.4%10.3%9.9%9.7%9.5%
漏水量90.1851.1725.281115.7389.82440.32106.9433.1791.7326.69
水表号4013501T4051101T4013307T40511X4013401T40106T4013308T40508T40133X40405T
漏水率9.4%9.2%9.2%9.1%9.1%8.8%8.5%8.3%8.2%8.2%
漏水量39.86148.22285.15140.4899.986.98441.09161.011308.17733.24
水表号4013305T406T4013406T41601X40313T418T40116T40402T40401T40123T
漏水率7.9%7.8%7.6%7.5%7.4%7.4%6.9%6.8%6.7%6.7%
漏水量88.2975.2443.03150.84233.8252.82398.88124.8565.7239.73
水表号4013303T40122T40134X4033726T40338T40504T401X4033506T4040501T419T
漏水率6.6%6.5%6.4%6.3%6.1%6.1%5.7%5.6%5.3%5.0%
漏水量684.469.511032.60645.72184.70154.502872.94106.2989.7447.77
水表号40218T40507T40315T4013502T4033725T403350301T403350101T416X40117T4033723T
漏水率5.0%4.8%4.7%4.3%4.1%4.1%4.0%3.8%3.7%3.7%
漏水量95.09113.88203.4810.19115.34235.91115.72907.76191.7874.13
水表号40404T403350201T40219T40501T4013402T40337X4033720T40217T40325T411T
漏水率3.7%3.7%3.7%3.5%3.4%3.4%3.0%3.0%2.9%2.9%
漏水量273.55212.1187.40429.837.903006.97463.68184.87544.23490.07
水表号4033502T40503T405X40335X40215T403X4033501T40213T4033503T4013304T
漏水率2.8%2.7%2.7%2.7%2.6%2.5%2.5%2.3%1.9%1.2%
漏水量524.61539.531227.301525.04343.884724.68282.11153.52353.490.33
+ +上表显示一级水表的漏损量估计为10766，二级以上水表的漏损量估计为：21488，总漏损率估计为： $9.8\%$ + +同时数据显示在一级水表中，403X处的漏损量是最多的，412X处的漏水率是最高的，平均漏损量为978；在二级以上的水表中，40337X的漏损量是最多的，40336T处的漏损率是最高的，平均漏损量为268。 + +# 5.4 问题四模型建立与求解 + +基于第三问的漏损率数据，我们设置预报发生漏损的漏损率阈值为 $9.8\%$ + +统计得出各水表的漏损频次排序如图： + +![](images/85d63fec02f335cf8cc824f194eee85a49c543b44260232ab6e5acdf093bf33d.jpg) +图9.水表漏水频次 + +从上图可以看出40118T/40121T/40331T的漏损次数排名前三，我们按照每隔30次一个漏损发生预报等级，对各水表位置进行漏损等级预报如下图： + +![](images/6c2a66094207020f1daf4e64340dac3b518fea65c2f8af90cbf1a8303e19a527.jpg) +图10. 漏损预报等级 + +根据漏损预报等级显示：40118T/40121T/40331T等9处水表位置预警等级最高，这些水表点应该重点注意。4010401T/4013501T/40135X等32处预警等级次之需要提高警惕。 + +# 5.5 问题五模型建立与求解 + +# 5.5.1 0-1 规划模型建立 + +依据全国水价网数据资料[3]，公共事业单位用水均价为5.5-6.5元/吨，另据资料[4]显示供水地下暗管价格为300元/m，单次维修人数3人，人工费为200元/人，单次维修总费用为 $b_{\text{维修}} = 500$ 元-1500元，由第三、四问可知全年每天的漏水量是不固定的，因此以总损失金额最少建立0-1规划模型： + +$$ +\begin{array}{l} m i n \sum_ {i = 1} ^ {3 6 5} (b _ {\text {维 修}} w _ {\text {维 修} i} + b _ {\text {漏 损} i} (1 - w _ {\text {维 修} i})) \\ s. t. \quad w _ {\text {维 修} i} = 0, 1 \\ \end{array} +$$ + +# 5.5.2 模型求解 + +在matlab中运用intlinprog求解线性0-1规划得到维修次数和损失金额关于水价和维修成本的三维曲面图如下： + +![](images/0a53292de33b946bea22f1b70933e2d1b6db82270aec34ab38087dfc95d3f917.jpg) +图11. 维修次数和损失金额与水价和维修成本的关系图 + +![](images/c0f915ec99dad6d07e6852ff9f0b0da7b45516eaa0b00d026610674834ad9439.jpg) +图12.维修安排（蓝色代表不维修，红色表示维修） + +可以看出当水价为5.5元/吨，维修成本为500元/次时总的损失金额是最少的；当水价为6.5元/吨，维修成本为1500元/次时，总的维修次数是最少的。 + +我们取水价为6元/吨，维修成本为1000元/次，具体维修安排如下： + +
01/0101/0201/0301/0401/0501/0601/0701/0801/0901/1001/1101/1201/1301/1401/1501/1601/1701/1801/19
01/2001/2101/2201/2301/2401/2501/2601/2701/2801/2901/3001/3102/0102/0202/0302/0402/0502/0602/07
02/0802/0902/1002/1102/1202/1302/1402/1502/1602/1702/1802/1902/2002/2102/2202/2302/2402/2502/26
02/2702/2803/0103/0203/0303/0403/0503/0603/0703/0803/0903/1003/1103/1203/1303/1403/1503/1603/17
03/1803/1903/2003/2103/2203/2303/2403/2503/2603/2703/2803/2903/3003/3104/0104/0204/0304/0404/05
04/0604/0704/0804/0904/1004/1104/1204/1304/1404/1504/1604/1704/1804/1904/2004/2104/2204/2304/24
04/2504/2604/2704/2804/2904/3005/0105/0205/0305/0405/0505/0605/0705/0805/0905/1005/1105/1205/13
05/1405/1505/1605/1705/1805/1905/2005/2105/2205/2305/2405/2505/2605/2705/2805/2905/3005/3106/01
06/0206/0306/0406/0506/0606/0706/0806/0906/1006/1106/1206/1306/1406/1506/1606/1706/1806/1906/20
06/2106/2206/2306/2406/2506/2606/2706/2806/2906/3007/0107/0207/0307/0407/0507/0607/0707/0807/09
07/1007/1107/1207/1307/1407/1507/1607/1707/1807/1907/2007/2107/2207/2307/2407/2507/2607/2707/28
07/2907/3007/3108/0108/0208/0308/0408/0508/0608/0708/0808/0908/1008/1108/1208/1308/1408/1508/16
08/1708/1808/1908/2008/2108/2208/2308/2408/2508/2608/2708/2808/2908/3008/3109/0109/0209/0309/04
09/0509/0609/0709/0809/0909/1009/1109/1209/1309/1409/1509/1609/1709/1809/1909/2009/2109/2209/23
09/2409/2509/2609/2709/2809/2909/3010/0110/0210/0310/0410/0510/0610/0710/0810/0910/1010/1110/12
10/1310/1410/1510/1610/1710/1810/1910/2010/2110/2210/2310/2410/2510/2610/2710/2810/2910/3010/31
11/0111/0211/0311/0411/0511/0611/0711/0811/0911/1011/1111/1211/1311/1411/1511/1611/1711/1811/19
11/2011/2111/2211/2311/2411/2511/2611/2711/2811/2911/3012/0112/0212/0312/0412/0512/0612/0712/08
12/0912/1012/1112/1212/1312/1412/1512/1612/1712/1812/1912/2012/2112/2212/2312/2412/2512/2612/27
12/2812/2912/3012/31
+ +从上表结合模型求解结果可以得出，全年总共维修33次，具体的安排如表所示，全年中6-8月份维修频率较多，其原因可能是因为夏季雨水增多，造成地下水管的腐蚀， + +产生管网沉积物，引起供水管破裂，因此6-8月份漏水量增大，需检修次数相应增加。 + +与之相反的是在11-12月份的维修次数相对较少，这可能是由于降水量减少，供水管路运行良好，漏水量降低的原因。 + +总的损失金额为174,630元 + +# 六模型检验 + +# 6.1 问题三和问题四的模型灵敏度检验 + +针我们将时序点向前向后的差值点数由前后各5个改为前后3个和前后7个，分别通过样条插值得到其漏损量和漏损率比较见下表： + +表5. 插值点数量的灵敏度检验 + +
向前向后插值点数3个点5个点7个点
漏损量322553225532255
漏损率9.8%9.8%9.8%
+ +从上表可以看出当改变插值点的个数时，对于漏损量和漏损率均没有的改变，一方面是因为样条插值预测的特性，另一方面也说明我们的模型健壮性较好。 + +# 6.2 问题五的模型灵敏度检验 + +我们将水价进一步拓展为5元/吨-7元/吨，维修成本进一步拓展为200元/次-2000元/次，可以看出总维修次数随着水价和维修成本均单调递减，总损失金额随水价和维修成本单调递增。 + +# 七 模型改进 + +# 7.1 问题三和问题四的模型改进 + +我们可以参考文献[2]中的时间序列神经网络对数据进行平滑预测，得到更精确的预测值作为计算漏损量和漏损率的参考数据，并以此进行漏损检验分析，分析发生漏损的位置。 + +# 7.2 问题五模型改进 + +参考文献5发生漏损的点位数量在时间 $[T, T + \tau]$ 内服从泊松分布，我们把全年的漏损数据看成是一个完整的泊松过程，这个过程也是一个马尔科夫链，用随机过程分析方法来对维修决策进行重新规划，可以得到更好的维修安排决策。 + +此外在考虑约束条件时，也可以加入维修均衡度等条件。 + +# 八模型评价 + +# 8.1 优点 + +1. 对于问题给出额数据量较大、多种数据格式类型共存、缺失值异常值较多的数据特点，我们采用Python中的pandas库，快捷方便的对数据进行了挖掘处理； +2. 我们利用样条插值的光滑预测特性，对漏损情况进行分析，得到较好的漏损位置预测结果； +3. 我们利用结合实际的水价和维修价格不断波动的特点，建立了动态的0-1规划模型，较好的给出了维修决策； + +综合以上，我们的模型不但可以推广到其他的供水网络数据分析中，还可以进一步应用到供热数据分析、网络流量数据分析、高速路网数据分析当中，具有较好的推广价值。 + +# 8.2缺点 + +1. 预测数据模型可以考虑更多的因素，获得更加精确的预测值，以此来建立模型； +2. 维修规划时可以考虑维修的均衡度等因素，进一步优化模型。 + +# 九 参考文献 + +[1] “你好，查水表,” [联机]. Available: https://www.bilibili.com/video/av77960277/. +[2] 朱乃富，《基于数据驱动的供水管网独立计量分区漏损检测和定位方法研究》：硕士学位论文，2019年2月. +[3] “中国水网水价,” [联机]. Available: http://www.h2o-china.com/price/. +[4] “双高筋增强聚乙烯（HDPE）缠绕管，” [联机]. Available: http://www.jt1688.cn/photo_show.aspx?id=206. +[5] 卓严报，《基于支持向量机的城市给水管网故障诊断研究》：硕士学位论文, 2013 年 6 月. +[6] 谢金星、薛毅，《优化建模与LINDO/LINGO软件》，清华大学出版社，2006年. +[7] 吴小刚、张土乔，“《城市给水网系统的故障风险评价决策技术》,”《自然灾害学报》, 2006 年 4 月. +[8] 王凌，《维修决策模型和方法的理论与应用研究》，博士学位论文，2007年6月. +[9] 司守奎、孙兆亮，《数学建模算法与应用》，第二版 编辑，国防工业出版社，2011年. +[10]苗志宏、马金强, MATLAB面向对象程序设计, 电子工业出版社, 2014年. +[11]吕自荟，《水泵系统状态监测与故障诊断》，硕士学位论文，2014年6月. + +[12] 梁建文、肖笛、赵新华、张宏伟, “《给水网故障实时诊断方法》,” 《水利学报》, 2001 年 12 月. +[13] 梁建文、肖笛、张宏伟、赵新华，“《给水管网故障实时诊断方法（II）》，”《自然科学进展》，2002年9月. +[14] 李花、梁辉、于宁, Excel高级数据处理及分析, 电子工业出版社, 2015年. +[15] 李航, 《统计学习方法》, 清华大学出版社, 2013年. +[16]郭明乐、黄旭东，《概率论与数理统计》，中国科学技术大学出版社，2011年. + +# 十附录 + +# 10.1 支撑材料目录 + +
问题一一二级水表表显用水量（年）.xls +各功能区全年用水情况.x1sx +功能区按三种日期类型每日用水统计.xls +Code_1.py
问题二一级水表数据误差.x1sx +Code_2.py
问题三一级水表全年用水时间序列图.x1sx +全年整体的漏损量和漏损率时间序列图.x1sx +各水表漏水量和漏损率，xls +Code_3.py
问题四水表漏水频次.xls +Code_4.py
问题cs.xls +sunshi.x1sx +suihua.m
+ +# 10.2 代码、操作及结果 + +# 1. 问题一和问题二 + +```python +import numpy as np +import pandas as pd +import os +import xlrd +from pandas import to Datingtime +import matplotlib.pyplot as plt +import xlwt +import datetime, time +plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] +plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False +``` + +```python +inputdir=r'D:\主桌面\E题\水表数据 +df_empty= pd.DataFrame(columns=['水表名','水表号','采集时间','上次读数','当前读数'，'用量']) +for parents, dirnames, filenames in os.walk(inputdir): + for filename in filenames: + df=pd.read_excel(os.path.join(parents,filename)) + df_empty= df_empty.append(df,ignore_index=True) +``` + +```txt +data_index=pd.read_excel('D:\\主桌面\\E题\\附件_水表层级(1).xlsx') +data_index.dropna(axis=0,thresh=7,inplace=True) +data=df_empty.copy() +``` + +```txt +data_all=pd.merge(data,data_index,how="outer") data_all.to_csv('D:\主桌面\E题\功能区关联表.csv') +``` + +# 用量是否为表显数据差 + +```python +data_all['表显差值'] = data_all['当前读数'].data_all['上次读数'] +data_all['差值'] = data_all['表显差值'].data_all['用量'] +data_all['差值'].abs().sum() +data_allTem = data_all[data_all['差值'].abs() == 0.01] +# 各水表总用水量统计 +sbm_sl = data_all['用量'].groupby(by = data_all['序号'].sum() +# 12 个工作区总用水量 +gnq_sl = data_all['用量'].groupby(by = data_all['功能分类'].sum +``` + +```txt +data_all['采集时间'] = to Dating(data_all.采集时间, format='%Y/%m/%d %H:%M:%S') +gnq_sl.to_excel('D:\主桌面\E题\功能区总水量.xls') +``` + +12个功能区按天统计用水量 + +```python +gnq_day=pd.DataFrame(columns=['总表','宿舍','教学楼','办公楼','食堂','科研楼','运动场所','后勤保卫','校医院','澡堂','酒店','图书馆','其他']) +for i in np.arange(13): + temp=data_all[data_all['功能分类'] == i] + temp.set_index('采集时间',inplace=True) + gnq_day.iloc[:,i-1]=temp['用量'].resample('D').sum() +gnq_day.to_excel('D:\主桌面\E题\功能区每天水量.xls') +``` + +12个功能区按月度统计用水量 + +```python +gnq_month=pd.DataFrame(columns=['总表','宿舍','教学楼','办公楼','食堂','科研楼','运动场所','后勤保卫','校医院','澡堂','酒店','图书馆','其他']) +for i in np.arange(13): + temp=data_all[data_all['功能分类'] == i] + temp.set_index('采集时间',inplace=True) + gnq_month.iloc:,i-1]=temp['用量'].resample('M').sum() +gnq_month.to_excel('D:\主桌面\E题\功能区每月水量.xls') +``` + +12个功能区按小时统计用水量 + +```python +gnq_hour=pd.DataFrame(columns=['总表','宿舍','教学楼','办公楼','食堂','科研楼','运动场所','后勤保卫','校医院','澡堂','酒店','图书馆','其他']) +for i in np.arange(13): +``` + +temp=data_all[data_all['功能分类']=-i] + +temp.set_index('采集时间',inplace=True) + +gnq_hour.iloc[:i-1] $\equiv$ temp['用量'].resample('H').sum() + +gnq_hour.to_excel('D:\\主桌面\E题\功能区每小时.xls') + +gnq_15min=pd.DataFrame(columns=['总表','宿舍','教学楼','办公楼','食堂','科研楼','运动场所','后勤保卫','校医院','澡堂','酒店','图书馆','其他']) + +for i in np.arange(13): + +temp=data_all[data_all['功能分类']=-i] + +temp.set_index('采集时间',inplace=True) + +gnq_15min.iloc(:,i-1]=temp['用量'].resample('15min').sum() + +gnq_15min.to_excel('D:\主桌面\E题\功能区15min.xls') + +gnq_ht=gnq_15min.loc['2019-04-01T00:00:00.00000000':'2019-04- + +30T23:45:00.00000000'] + +plt.figure() + +for i in np.arange(4): + +plt.subplot(4,1,i+1) + +plt.subplots_adjust(hspace=1) + +temp $\equiv$ gnq_ht.iloc[:i+1] + +plt.plot(np.arange(len(temp[temp<30])), temp[temp<30]) + +plt.xlabel(gnq_ht.columns[i+1]) + +plt.ylabel('用水量(方)') + +plt.savefig('D:\\主桌面\\E题\\用水量4月.png') + +plt.show() + +gnq_ht10=gnq_15min.loc['2019-10-01T00:00:00.00000000':'2019-10- + +31T23:45:00.00000000' + +plt.figure() + +for i in np.arange(4): + +plt.subplot(4,1,i+1) + +plt.subplots_adjust(hspace=1) + +temp=gnq_ht10.iloc[:i+1] + +plt.plot(np.arange(len(temp[temp<30])), temp[temp<30]) + +plt.xlabel(gnq_ht10.columns[i+1]) + +plt.ylabel('用水量(方)') + +plt.savefig('D:\\工作\2020数学建模\E题\用水量10月.png') + +plt.show() + +gnq_htsj $\equiv$ gnq_15min.loc['2019-07-15T00:00:00.00000000':'2019-08- + +15T23:45:00.00000000' + +plt.figure() + +```python +for i in np.arange(4): + plt.subplot(4,1,i+1) + plt.subplot_adjust(hspace=1) + temp=gnq_htsj-iloc[;,i+1] + plt.plot(np.arange(len(temp[temp<30]),temp[temp<30]) + plt.xlabel(gnq_htsj.columns[i+1]) + pltylabel('用水量(方)') +plt(savefig('D:\工作\2020数学建模\E题\用水量暑假.png')) +plt.show() +``` + +gnq_ht['时间'] $\equiv$ gnq_ht.index.tolist() +gnq_ht['时间'] $\equiv$ gnq_ht['时间'].astype('str') +gnq_ht_sd $\equiv$ pd.DataFrame(columns $\coloneqq$ ['02:00','06:00','10:00','14:00','18:00','22:00']) +for i in gnq_ht_sd.columns: temp $\equiv$ gnq_ht[gnq_ht['时间'].str.contains(i)] temp $\equiv$ temp.set_index(np.arange(len(temp['时间'])) gnq_ht_sd.loc[:,i] $\equiv$ temp.iloc:,1] gnq_ht_sd.set_index(np.arange(len(temp['时间'])) + +```python +plt.figure() +for i in np.arange(len(gnq_ht_sd.columns)): + plt.subplot(6,1,i+1) + plt.subplot_adjust(top=1.5,bottom=0) + plt.plot(gnq_ht_sd.index,gnq_ht_sd.iloc(:,i)) + plt.xlabel(gnq_ht_sd.columns[i]) + pltylabel('用水量（方）') +plt(savefig('D:\工作\2020数学建模\E题\时间点用水量.png')) +plt.show() +``` + +```python +all_sum=pd.DataFrame(columns=np.arange(91)+1) +for i in np.arange(91)+1: + temp=data_all[data_all['序号']==i] + temp.set_index('采集时间',inplace=True) +all_sum.iloc[:,i-1]=temp['用量'].resample('D').sum() +``` + +```lua +print(all_sum.iloc[9].sum(),all_sum.iloc[9].sum()-all_sum.iloc[9,20]) +all_sum.to_excel('D:\工作\2020数学建模\E题\all_sum.xls') +``` + +#分级统计水量 + +# 一级水表 + +```python +sbm_1=data_all[data_all['一级表计编码'].notnull()] +sbm_1_yl=pd.DataFrame(columns=sbm_1['一级表计编码'].unique()) +sbm_1_yl15=pd.DataFrame(columns=sbm_1['一级表计编码'].unique()) +for i in sbm_1['一级表计编码'].unique(): + temp=sbm_1[sbm_1['一级表计编码'] == i] + temp.set_index('采集时间',inplace=True) + sbm_1_yl[i]=temp['用量'].resample('D').sum() + sbm_1_yl15[i]=temp['用量'].resample('15min').sum() +``` + +一级总用水量 + +for i in sbm_1['一级表计编码'].unique(): temp $\equiv$ sbm_1_yl[i] temp[temp $>5^{*}$ temp.mean() $] =$ temp.mean() sbm_1_yl[i] $\equiv$ temp +sbm_1_yl $\equiv$ sbm_1_yl fillna(0) +zysl_yj=(sbm_1_yl-sum(axis=0)).sum() + +# 二级水表 + +```python +sbm_2=data_all[data_all['二级表计编码'].notnull()] +sbm_2_yl=pd.DataFrame(columns=sbm_2['二级表计编码'].unique()) +sbm_2_y115=pd.DataFrame(columns=sbm_2['二级表计编码'].unique()) +for i in sbm_2['二级表计编码'].unique(): + temp=sbm_2[sbm_2['二级表计编码'] == i] + temp.set_index('采集时间',inplace=True) + sbm_2_yl[i]=temp['用量'].resample('D').sum() + sbm_2_yl15[i]=temp['用量'].resample('15min').sum() +``` + +二级表显用水量 + +for i in sbm_2['二级表计编码'].unique(): temp $\equiv$ sbm_2_yl[i] temp[temp $>5^{*}$ temp.mean() $] =$ temp.mean() sbm_2_yl[i] $\equiv$ temp +sbm_2_yl $\equiv$ sbm_2_yl fillna(0) +zyslej=(sbm_2_yl-sum(axis=0)).sum() + +三级水表 + +```python +sbm_3=data_all[data_all['三级表计编码'].notnull()] +sbm_3_yl=pd.DataFrame(columns=sbm_3['三级表计编码'].unique()) +sbm_3_y115=pd.DataFrame(columns=sbm_3['三级表计编码'].unique()) +for i in sbm_3['三级表计编码'].unique(): +``` + +```python +temp=sbm_3[sbm_3['三级表计编码'] == i] +temp.set_index('采集时间',inplace=True) +sbm_3_yl[i]=temp['用量'].resample('D').sum() +sbm_3_yl15[i]=temp['用量'].resample('15min').sum() +``` + +四级水表 + +```python +sbm_4=data_all[data_all['四级表计编码'].notnull()] +sbm_4_yl=pd.DataFrame(columns=sbm_4['四级表计编码'].unique()) +sbm_4_y15=pd.DataFrame(columns=sbm_4['四级表计编码'].unique()) +for i in sbm_4['四级表计编码'].unique(): + temp=sbm_4[sbm_4['四级表计编码'] == i] + temp.set_index('采集时间',inplace=True) + sbm_4_yl[i]=temp['用量'].resample('D').sum() + sbm_4_yl15[i]=temp['用量'].resample('15min').sum() +``` + +```txt +sbm_yl=pd.concat([sbm_1_yl, sbm_2_yl], axis=1) +sbm_yl=pd.concat([sbm_yl, sbm_3_yl], axis=1) +sbm_yl=pd.concat([sbm_yl, sbm_4_yl], axis=1) +sbm_yl15=pd.concat([sbm_2_yl15, sbm_3_yl15], axis=1) +sbm_yl15=pd.concat([sbm_yl15, sbm_4_yl15], axis=1) +``` + +sbm_yl.to_excel('D:\\工作\\2020数学建模\E题\各级用量.xls') + +```python +for i in np.arange(11): + plt.figure() + temp=sbm_yliloc[:,i] + temp=temp[tmp.notnull()] + # temp(temp>100)=temp.mean() + plt.plot(np.arange(len(temp)),temp) + plt.xlabel(sbm_yl.columns[i]) + pltylabel('用水量') + plt(savefig('D:\工作\2020数学建模\E题\%d.png'\%(i+1)) +``` + +# 2. 问题三和问题四 + +```python +数据插值以每个点向前向后各5个点，共十个点作为插值数据进行预测 +# data_cz=pd.DataFrame[](） +# smb_yl_pro=pd.DataFrame[](） +# for i in np.arange(91): +# temp= pd.DataFrame(smb_yl.iloc[;,i].dropna(),columns=[smb_yl.columns[i]]) +``` + +```txt +# +temp[sbm_yl.columns[i]][temp[sbm_yl.columns[i]]>5*temp[sbm_yl.columns[i]].mean() +]=temp[sbm_yl.columns[i].mean() +# sbm_yl_pro = sbm_yl_pro.join(temp, how='outer') +# for j in np.arange(len(temp)): +# if j-5<0: +# temp1=temp.iloc[0:j+6,:].copy() +# temp1.iloc[j,:]=np.nan +# temp1=temp1.interpolate(method='pchip',limit_direction='both') +# temp.iloc[j,:]=temp1.iloc[j,:] +# elif j+5>len(temp)-1: +# temp1=temp[j-5,len(temp)].copy() +# temp1.iloc[5,:]=np.nan +# temp1=temp1.interpolate(method='pchip',limit的方向='both') +# temp.iloc[j,:]=temp1.iloc[5,:] +# else: +# temp1=temp.iloc[j-5:j+6,:].copy() +# temp1.iloc[5,:]=np.nan +# temp1=temp1.interpolate(method='pchip',limit的方向='both') +# temp.iloc[j,:]=temp1.iloc[5,:] +# data_cz=data_cz joins(temp,how='outer') +``` + +#前后各3各数据进行插值 + +```python +data_cz=pd.DataFrame() +sbm_yl_pro=pd.DataFrame() +for i in np.arange(91): + temp=pd.DataFrame(sbm_yl.iloc[:,i].dropna(),columns=[sbm_yl.columns]) +temp[sbm_yl.columns[i]][temp[sbm_yl.columns[i]]>5*temp[sbm_yl.columns[i]] += temp[sbm_yl.columns[i]].mean() +sbm_yl_pro = sbm_yl_pro.join(temp, how='outer') +for j in np.arange(len(temp)): + if j-3<0: + temp1=temp.iloc[0:j+4,:].copy() + temp1.iloc[j,:]=np.nan + temp1=temp1.interpolate(method='pchip',limitDirection='both') + temp.iloc[j,:]=temp1.iloc[j,:] +elif j+3>len(temp)-1: + temp1=temp[j-3:len(temp)].copy() + temp1.iloc[3,:]=np.nan + temp1=temp1.interpolate(method='pchip',limitDirection='both') + temp.iloc[j,:]=temp1.iloc[3,:] +``` + +else: temp1 $=$ temp.iloc[j-3:j+4,:].copy() temp1.iloc[3,:] $\equiv$ np.nan temp1=temp1.interpolate(method='pchip',limit的方向='both') temp.iloc[j,:] $\equiv$ temp1.iloc[3,:] data_cz=data_cz.join(temp,how $\equiv$ 'outer') data_cz.to_excel('D:\\主桌面\\E题\\插值结果.xls') + +```python +#前后各7各数据进行插值 +#data_cz=pd.DataFrame() +#sbm_yl_pro=pd.DataFrame() +#for i in np.arange(91): +# temp=pd.DataFrame(sbm_yl.iloc[:,i].dropna(),columns=[sbm_yl.columns[i]]) +# temp[sbm_yl.columns[i]][temp[sbm_yl.columns[i]]] > 5*temp[sbm_yl.columns[i]].mean() += temp[sbm_yl.columns[i].mean()) +# sbm_yl_pro = sbm_yl_pro.join(temp, how='outer') +# for j in np.arange(len(temp)): +# if j-7<0: +# temp1=temp.iloc[0:j+8,:].copy() +# temp1.iloc[j,:]=np.nan +# temp1=temp interpolation(method='pchip',limitDirection='both') +# temp.iloc[j,:]=temp1.iloc[j,:] +# elif j+7>len(temp)-1: +# temp1=temp[j-7:len(temp)].copy() +# temp1.iloc[7,:]=np.nan +# temp1=temp interpolate(method='pchip',limitDirection='both') +# temp.iloc[j,:]=temp1.iloc[7,:] +# else: +# temp1=temp.iloc[j-7:j+8,:].copy() +# temp1.iloc[7,:]=np.nan +# temp1=temp interpolate(method='pchip',limitDirection='both') +# temp.iloc[j,:]=temp1.iloc[7,:] +# data_cz=data_cz joins(temp,how='outer') +``` + +预测误差 + +```python +data_error = sbm_yl_pro - data_cz +data_error_sum = data_error-sum(axis=1) +data_yl1 = sbm_yl.iloc(:, 0:11].sum(axis=1) +data_yl = data_yl1 +``` + +data_lslv = data_error_sum / data_yl#每天的漏损率估计 + +```txt +data_lslv.to_excel('D:\\主桌面\\E题\\漏水率（每天）.xls') +# data_error_sum.to_excel('D:\\主桌面\\E题\\漏水量（每天）.xls') +data_error[data_error<0]=0 +data_error_prob=data_error/data_cz +# data_error_prob[data_cz<2]=0 +data_error_prob=data_error_prob fillna(0) +error_num=(data_error_prob>0.098).astype(int).sum() +error_num.to_excel('D:\\主桌面\\E题\\漏水次数（每天）.xls') # 每个水表位置的漏水次数统计 +``` + +计算漏损流量 + +data_error_prob[data_error_prob $< 0.2] = 0$ #data_lsl $\equiv$ data_error_prob\*data_cz data ls=(data_error).sum()#每天总漏水量 + +sbm_y1_sum $\equiv$ sbm_y1-sum() #每天总用水量 +sbm_lslv $\equiv$ data_ls/sbm_y1_sum +sbm_lslv.to_excel('D:\主桌面\E题\漏水率.xls') +data_ls.to_csv('D:\主桌面\E题\漏水量.csv') + +zlsl=data ls-sum() #总漏水量 + +#总漏水率 + +zslv=zlsl/zys1_yj#总漏水率 + +3. 问题五（Matlab）： + +```matlab +clear +clc +data = xs1read('F:\数学建模\E题\漏水量（每天）.xls'); +data = data(2:end); +sj = 5.5:0.1:6.5; +wxj = 500:1500; +cs = []; +sunshi = []; +for i = 1:length sj) + for j = 1:length(wxj) + lsje = data * sj(i); + wxje = wxj(j) * ones(365,1); + lsje_sum = sum(lsje); +``` + +$\mathrm{A} = \mathrm{wxje - lsje};$ $\mathrm{lb} = \mathrm{zeros}(365,1)$ $\mathrm{ub} = \mathrm{ones}(365,1)$ +intcon $= 1:365$ $\mathrm{x0} = \mathrm{zeros}(365,1)$ $[\mathrm{x},\mathrm{f}] = \mathrm{intlinprog(A,intcon,[[],[[],[l b,ub,x0)};$ +cs(i,j) $=$ sum(x); +sunshi(i,j) $= \mathrm{f + lsje\_sum};$ +end +end +xlswrite('F:\数学建模\cs.xlsx',cs) +xlswrite('F:\数学建模\sunshi.xlsx',sunshi) + $\% \% [X,Y] = \mathrm{mesh(sj,wxj)}$ +plot3 sj,wxj,cs) + +# Graphpad + +作图流程：以每天总漏水量为例： + +1. 打开Graphpad， +2. 创建数据集： + +![](images/c2ce2ebe79354b591193cf40f3e58cd5831f887e5a91bb0168efa1ddd8b13981.jpg) + +3. 将Excel数据粘贴至Graphpad： + +![](images/a691c51e3ca8230a697c8fccadf7c09be683e0600baeb30cfec98a1cb0300bd3.jpg) + +# 4. 创建图表： + +![](images/1c786bcbbf234f67a6e2e830ddb56498e1998261dbd637cace515378210d3640.jpg) + +5. 随后调节字体、大小、线条宽度和坐标轴等参数 +6. 输出图片： + +![](images/2092bda360e9cff123b2aa47885fcce97ba398da0fc55e94f375ce03537ae1da.jpg) + +![](images/8c73e7757c4b15621e7aeeffe01e16dd1d561e110f68e43a6f901c6187223da6.jpg) + +7. 导出完成 + +# Excel + +1、先利用python中的pandas库对数进行了以功能区按小时的求和的数据，并导入到了excel表格中。 + +![](images/8fff5955e94625b27eb8ece141471859b6978d03c391fd3684b54c2da8137217.jpg) + +# 2、通过函数填充出各时间段的具体日期 + +![](images/718f514b88bdf940fa8661d0f33136f6a502ec73dcaffe219d3fcb1ee2d3914b.jpg) + +![](images/76537e33e2be565c88c1213fdff10d5108b6ffac03c8b0da463e211249ffed90.jpg) + +# 3、选择D-H列的全部数据——点击筛选 + +![](images/dfa8985ff0b8d6aa2bf1eae0eeab7c7cd2363dff7caa985edb2a5776662358ae.jpg) + +4、点击C1单元格的小倒三角按钮——除空白外选中其余全部数据 + +![](images/0e9ea66981f2b76138f19354be87429bf044429cd9e18ec142397003196abf75.jpg) + +4、选中这两列的所有数据——Ctrl+C + +![](images/680559d1c6071dffbebc40a399c7079aa364233c62dd089d75161787b784df9b.jpg) + +5、把第四步的两列复制到各类时间工作表中的工作日列 + +![](images/acfede8a0a653f0801982f74d181c67576ff224ec416599526d12dbcb8c977e4.jpg) + +6、在选中A、B两列全部数据后——数据透视表——点击确定 + +![](images/0a8fb8f001c111b8000f5dc905400d01a6b9ab7fe7c6c4c927d5e46f8dfaa4d5.jpg) + +7、把时间、宿舍分别拖动到行和值的区域——点击宿舍——选择值字段设置——选择平均值——选择确定 + +![](images/7522dbe58eb7d7c66aa7bff21377579a96b1ce2b4f8de54669fda48e4710bc19.jpg) + +8、选择B列5到28行的数据——Ctrl+C——粘贴到功能区工作表中的B列3到26行处。 + +![](images/e7efe45776ba9b8de42a401f086cef84af0e141f24eb1bf709720bd0fe369d97.jpg) + +9、重复4——8的步骤后会得到以下全部数据——Ctrl+C——粘贴到如下网址中 + +![](images/4f647de3a766bb7080ce7b8eaca5875eb05340ddcb2fbc5b3144aeb1ab5d8efc.jpg) +10、最终得到如下结果 + +![](images/1089256d80534a0d4d0e602847619d46563de9c65464486304c8e083a668f8ae.jpg) +宿舍 + +![](images/09c7f360195f578114018274395c218729d2bf6112d848b3ee3fe0d099bd2706.jpg) +教学楼 + +![](images/b368b456c9f87d35fb699543ed73826be0d8d6d0cf50599a636ccb6058a819bc.jpg) + +![](images/6907eb9a419fc8bc6e7b60fb8599b4398ef3bb922d7a3c43698a0bbb6e38e8e5.jpg) \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2022/B030/B030.md b/MCM_CN/2022/B030/B030.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5581708f62ce9f7b5566f244b71c94d21dea69ca --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2022/B030/B030.md @@ -0,0 +1,801 @@ +# 基于计算几何与带阈值启发式搜索的无人机无源定位模型 + +摘要 + +针对无人机遂行编队飞行中的纯方位无源定位问题，本文从相关理论入手，分析了问题的几何特征，给出了在一定误差下具有实践价值的纯方位无源定位方式，并根据编队的形状，给出了两种调整编队的模型，其中一种有较高的效率，另一种对各种编队形状有良好的普适性。 + +对于第一题第一小问，我们给出了两种解法。一种是在极坐标系下分类讨论位置关系，通过正弦定理列出三角方程，用代数方法进行求解；另一种深入发掘几何性质，将问题转化为两圆轨迹求交点，利用计算几何的知识结合计算机精确求解。其中，在求解两圆轨迹时，通过旋转变换和向量叉积确定圆心坐标。在轨迹求交时，利用几何对称性避开了联立方程，降低了求解难度。 + +对于第一题第二小问，我们根据具体量化的误差范围展开分类讨论。讨论得出，在极径误差不超过 $15m$ ，极角误差不超过 $1^{\circ}$ 的情况下，除FY00和FY01外，只需1架无人机发射信号即可实现无人机有效定位。此外，我们还进行了严格的误差分析，严谨论证了信号接收与解码的可行性。 + +对于第一题第三小问，考虑到深度优先搜索的效率问题与贪心算法的短视性，我们在IDA*算法的启发下设计了一种带阈值的启发式搜索算法，并使用L2 loss函数作为启发式搜索的估价函数。这种算法在具有高效率的同时，更不容易陷入局部最优决策。对于题目所给数据，求解出一个通过5轮调整、共16架次信号发射可以将所有无人机位置精度调整至6位有效数字的方案。 + +对于第二题，由于多架无人机出现三点共线或四点共圆的情况，造成发射信号无人机的编号难以判断。于是我们改变策略，采取了预先设定信号发射顺序的方案。无人机只需通过当前是第几次信号传输就可以推出发射信号的无人机编号，消除了位置误差导致的定位困难。这种调整方案具有一定的随机性，但在所有飞机与标准位置误差不超过 $5m$ 的情况下，该算法可以在60轮信号发射后将所有无人机位置精度调整至6位有效数字。同时，由于不依赖于编队的几何特征，该算法对绝大多数形状的编队调整具有普适性。 + +# 一问题的背景与重述 + +# 1.1 问题的背景 + +随着无人机的普及，无人机的定位技术就显得尤为重要。对无人机进行定位有两大手段。其一是有源定位，有源定位主要基于姿态测量或激光测距定位模型[1][2]；其二则是通过无源定位，被动接收环境的电磁信号来确定位置。[3] + +“考虑到传统有源雷达不适用于城市复杂电磁环境，加上无人机雷达散射截面积较小难以捕捉以及成本问题，无源定位技术成为对无人机定位的首选。”[4]在该定位的过程中，被定位的无人机不向外发射电磁信号，而是被动接收外界的无线电信号，进行数据分析得到自己的坐标。当一架无人机在一个无人机的队列中，可以通过其他无人机发送的电磁信号计算出自己的相对位置，从而找出自己的调整策略，使无人机队列趋向于整齐化。 + +# 1.2 问题重述 + +在该问题中，某架无人机可以接收到其余多架无人机的电磁信号，可以得到两架无人机发射的信号之间的夹角，应用这一个条件求解以下问题。 + +问题一：十架无人机组成的队列呈现圆形，其中一架（FY00）在中央，剩余九架（FY01-FY09）均匀分布在圆周上。无人机处于同一个高度上。该问题分成三个小问，下面一一阐述题意。 + +1.处于圆心处的无人机（FY00）和另外两架编号已知且位置准确（ $\mathrm{FY0N_1}$ 和 $\mathrm{FY0N_2}$ ）的无人机对某架位置待定的无人机（FY0X）发射电磁信号，位置待定的无人机接收信号并分析得到自己的位置坐标。 + +2.已知处于圆心处的无人机（FY00）和第一架位置准确的无人机（FY01）会对某架位置待定的无人机（FY0X）发射电磁信号，若需要确定该无人机（FY0X）的坐标，需要在剩余的位置准确的无人机中选择若干架无人机，确定额外发射信号的无人机的数量。 + +3. 编队要求九架无人机均匀排列在以无人机FY00为圆心, 直径为 $100 \mathrm{~m}$ 的圆上。实际上对于准确位置, 排列在圆上的无人机有位置偏移, 某架无人机 (FY0X) 需要接收来自圆心处无人机 (FY00) 和其余至多三架无人机的电磁信号, 分析并调整无人机 (FY0X) 的位置。不断重复操作直到无人机到达准确位置, 利用表格中的已知数据得到具体的操作方案。 + +问题二：当无人机的编排队列为锥形编队队形时，队列中的相邻无人机距离相等，每架无人机对于准确位置有一定的偏移。通过无人机的无源定位得到无人机的调整方案。 + +# 二 问题分析 + +# 2.1 问题一分析 + +# 2.1.1 三架无人机无源定位 + +第一问要求给出在发射信号的无人机位置准确且编号已知条件下的接收信号无人机的定位模型。这里我们认为编号已知指接收信号的无人机可以确定方向信息中某一角对应的两个无人机编号。假设出接收信号无人机的极坐标，由于无人机只能接收到方向信息，即三个角的大小，可以通过角的关系和正弦定理解出两个解，排除掉其中为FY00位置（圆心）的解，可以得到接收信号无人机的坐标。另外由于弦对应的圆心角是圆周角的二倍，利用计算几何得到两个由两架发射信号的无人机对应的圆的方程，进而求解两圆交点得到两个解，同样排除掉其中为FY00位置（圆心）的解，容易得到接收信号无人机坐标的数值解。 + +# 2.1.2 无源定位的无人机最小需求 + +第二问要求给出实现有效定位的最小发射信号无人机架数，在本问题中，规定已知无人机FY00与无人机FY01发射信号对应的角度，未知其他发射信号的无人机编号以及对应的方向信息。事实上，在一定的偏差范围内，接收信号的无人机根据对应了无人机FY00与无人机FY01发射信号的角度，以及自己的偏差范围，可以根据此时接收到的方向信息将自己的位置确定在一段圆弧上，可以对所有发射信号的无人机编号情况进行遍历，判断在这段圆弧上由FY00与其他任意一架无人机发射的电磁波信号形成的夹角误差区间和除FY00以外的两架无人机形成的夹角误差区间之间交集是否为空，以此确定接收信号的无人机需要除FY00和FY01以外几架无人机可以确定其余发射信号的无人机的编号，当确定编号后问题就与第一问完全相同，于是可以进行精确定位。 + +# 2.1.3 圆周上无人机调整方案 + +第三问要求给出在FY00和FY01位置准确，其他无人机位置略有偏差的条件下给出无人机的调整方案。我们假定，每一次无人机进行定位后，都可以根据其假定无偏的发射信号无人机坐标对自身坐标进行定位，可以得到一个由计算所得位置指向无偏位置的向量，并在当前位置移动该向量。故而本问题的关键依然是无人机的定位问题。通过前两问的分析可以知道，至少需要三架无人机（非特殊情况）才能实现定位。题目要求至多四架无人机发射信号。因此每一次发射信号的无人机数量为3或4。根据表中数据，只有FY00和FY01的位置无偏，不难发现利用位置无偏的无人机发射的电磁波信号进行定位更为准确，因此可以规定每一轮调整发射信号的无人机都包含FY01。题目指出无人机应尽量少地向外发射电磁波信号。因此优化目标即为：在保证一定的精度前提下，减少发射电磁波的总 + +次数。一个朴素的想法是做深度优先搜索（DFS），但由于本题DFS层数无限，无法在有限时间内完成。于是有了贪心策略的想法，但是贪心策略过于短视，无法保证全局最优。因此我们采取了带阈值的启发式搜索算法，在每次决策之前对以后若干层搜索，找出局面最优的叶子结点。同时，在确定估价函数时采用了L2 loss函数提高精确度。这种方法极大地改进了短视的缺点。 + +# 2.2 问题二分析 + +问题二改变了问题一的圆形编队，要求给出锥形编队下的无人机调整方案。本质上是对问题一模型的重新应用。区别在于问题一中在大多数情况下可以通过角度判断发射信号无人机的编号，但在问题二中是很难实现的。于是我们预先设定好发射信号的无人机的顺序，这样接收信号无人机只需通过当前是第几次信号传输就可以推出发射信号的无人机编号，进而用与问题一相同的方法来实现精确定位以及调整。 + +# 三 模型假设 + +为了建立更精确的数学模型，本文根据实际情况建立了一些合理的假设以及条件约束。具体的假设如下所示。 + +假设一：待测位置的无人机只是相对于预期位置有微小的偏移量。即在极坐标表示下，对于极角来说，实际角度 $\alpha$ 和预期位置对应角度 $\alpha_{exp}$ 的差值 $|\alpha -\alpha_{exp}|\leq 1^{\circ}$ ；对于极径来说，实际极径 $\rho$ 和预期极径 $\rho_{exp}$ 的相对误差 $\delta = \frac{|\rho - \rho_{exp}|}{\rho_{exp}}\leq 15\%$ + +假设二：每架无人机知道自己的编号，可以通过自己的编号进行分析计算。 + +假设三：假设地面完全掌握每一架无人机的任意时刻的位置信息，并可以向无人机发送指令来指定发射电磁波信号的无人机编号。 + +假设四：无人机对自身位置进行定位时，总是假定发射信号的无人机位置是无偏的。 + +假设五：无人机总能按照自己计算出来的行进矢量进行运动，不会有机械层面的误差。 + +# 四 符号申明 + +本文中涉及到的符号如下表所示。 + +表 1: 本文主要涉及的符号说明 + +
符号符号含义及说明
FY0X位于圆周上第X架无人机的编号
lSE起点为S终点为E的线段长度
rx位于圆周上第X架无人机对应的极径
θX位于圆周上第X架无人机对应的极角
d位置待测的无人机对应的极径
θ位置待测的无人机对应的极角
αXY位置待测的无人机接收到来自于无人机X和Y发射的信号的夹角（其中X,Y∈{0,1,...,9})
R0X以rx对应线段为弦，以αX0对应角为圆周角组成的圆的半径
(x0X,y0X)以rx对应线段为弦，以αX0对应角为圆周角组成的圆的圆心坐标
+ +# 五 模型的建立与求解 + +# 5.1 问题——三架无人机无源定位 + +# 5.1.1 定位模型的建立 + +在该问题中，我们不妨假设发射的无人机编号为FY0R，圆周上发射信号的两架无人机编号分别是 $\mathrm{FY0S_1}$ 和 $\mathrm{FY0S_2}$ 。由于发射端位置准确，可以得到 $\mathrm{FY0S_1}$ 和 $\mathrm{FY0S_2}$ 到中心的无人机FY00的距离相等，不妨设为 $r$ 。 + +$$ +I _ {0 S _ {1}} = I _ {0 S _ {2}} = r \tag {1} +$$ + +图1中取圆周上发射信号的无人机为FY01和FY04，接收信号的无人机为FY07。 + +![](images/1f2a0dd6d4bcd38313b44941fee59b51419c667bda78b6bf2c49d16e03427972.jpg) +图1：三架无人机无源定位示意图 + +对于该坐标的求解，我们采用了两种策略，分别从极坐标系和直角坐标系下考虑。下文对这两种方法进行一一介绍。 + +# Method 1. 基于正弦定理的极坐标求解 + +对于该问题的分析，我们首先应用了正弦定理。具体形状示意如图2所示。 + +![](images/cb0e4a644e80fc59cf72856e943cd11e2bc9e086390aa4e69ac6647158c7eb07.jpg) +图2：正弦定理求解坐标 + +![](images/3a942d7a2064439b120a16da17f2b23ad9db910ca79d559186e2d36ab2593f89.jpg) +图3：正弦定理求解坐标的局限性 + +在极坐标下， $\mathrm{FY0S_1}$ 对应的极坐标可以写成 $(l_{0S_1},\theta_{S_1}) = (r,\theta_{S_1})$ ，同理 $\mathrm{FY0S_2}$ 可以写成 $(r,\theta_{S_2})$ ，同时假设待测无人机FYOR对应的极坐标为 $(d,\theta)$ 。分别在 $\Delta 0S_{1}R$ 和 $\Delta 0S_{2}R$ 中列正弦定理的表达式。 + +$$ +\frac {r}{\sin \alpha_ {0 S _ {1}}} = \frac {d}{\sin \left(\alpha_ {0 S _ {1}} + \theta - \theta_ {S _ {1}}\right)} \tag {2} +$$ + +$$ +\frac {r}{\sin \alpha_ {0 S _ {2}}} = \frac {d}{\sin \left(\alpha_ {0 S _ {2}} + \theta_ {S _ {2}} - \theta\right)} \tag {3} +$$ + +将上述两式相比并且约分，可以计算得到待测无人机FYOR对应的极角。 + +$$ +\tan \theta = \frac {\sin \alpha_ {0 S _ {1}} \sin \left(\alpha_ {0 S _ {2}} + \theta_ {S _ {2}}\right) - \sin \alpha_ {0 S _ {2}} \sin \left(\alpha_ {0 S _ {1}} - \theta_ {S _ {1}}\right)}{\sin \alpha_ {0 S _ {2}} \cos \left(\alpha_ {0 S _ {1}} - \theta_ {S _ {1}}\right) + \sin \alpha_ {0 S _ {1}} \cos \left(\alpha_ {0 S _ {2}} + \theta_ {S _ {2}}\right)} \tag {4} +$$ + +回带到原表达式中我们可以计算出FYOR对应的极坐标表达式 $(d,\theta)$ 是如下所示的解析表达式。 + +$$ +d = \frac {r}{\sin \alpha_ {0 S _ {1}}} \cdot \sin \left(\alpha_ {0 S _ {1}} + \theta - \theta_ {S _ {1}}\right) \tag {5} +$$ + +$$ +\theta = \arctan \left(\frac {\sin \alpha_ {0 S _ {1}} \sin \left(\alpha_ {0 S _ {2}} + \theta_ {S _ {2}}\right) - \sin \alpha_ {0 S _ {2}} \sin \left(\alpha_ {0 S _ {1}} - \theta_ {S _ {1}}\right)}{\sin \alpha_ {0 S _ {2}} \cos \left(\alpha_ {0 S _ {1}} - \theta_ {S _ {1}}\right) + \sin \alpha_ {0 S _ {1}} \cos \left(\alpha_ {0 S _ {2}} + \theta_ {S _ {2}}\right)}\right) \tag {6} +$$ + +对该方法进行分析时，我们发现 $0S_{1}$ 和 $0S_{2}$ 对应的直线会把整个圆分成四个部分，正弦定理在这四个部分中的表达方式不相同，所以需要进行分类讨论。如图3所示时，两架发射信号的无人机可以把整个平面分成四个部分，分别为Field1，Field2，Field3和Field4，我们前面的求解只适用于Field1。当我们考虑在Field2中的无人机时，正弦表达式可以写成如下形式。 + +$$ +\frac {r}{\sin \alpha_ {0 S _ {1}}} = \frac {d}{\sin \left(\alpha_ {0 S _ {1}} + \theta - \theta_ {S _ {1}}\right)} \tag {7} +$$ + +$$ +\frac {r}{\sin \alpha_ {0 S _ {2}}} = \frac {d}{\sin \left(\alpha_ {0 S _ {2}} + \theta - \theta_ {S _ {2}}\right)} \tag {8} +$$ + +通过计算得到的极角的正切值。可以发现两者表达不同，不可以统一成一类。 + +$$ +\tan \theta = \frac {\sin \alpha_ {0 S _ {1}} \sin \left(\alpha_ {0 S _ {2}} - \theta_ {S _ {2}}\right) - \sin \alpha_ {0 S _ {2}} \sin \left(\alpha_ {0 S _ {1}} - \theta_ {S _ {1}}\right)}{\sin \alpha_ {0 S _ {2}} \cos \left(\alpha_ {0 S _ {1}} - \theta_ {S _ {1}}\right) - \sin \alpha_ {0 S _ {1}} \cos \left(\alpha_ {0 S _ {2}} - \theta_ {S _ {2}}\right)} \tag {9} +$$ + +这种分类讨论求解方程的做法过于麻烦，我们实际使用的是下面一种更为巧妙的方法。 + +# Method 2. 基于几何性质的坐标求解 + +由于第一个方法在计算上涉及多个分类讨论的过程，我们选择了图中的几何性质，即等角对等边这个模型来求解待测无人机的坐标。 + +考虑由FY00，FYOR和 $\mathrm{FYOS}_{1}$ 组成的三角形中，已知的条件是FY00和 $\mathrm{FYOS}_{1}$ 连接的线段为 $l_{0S_1}$ 的长度保持不变，且角度 $\alpha_{S_10}$ 已知，由几何知识可得无人机FYOR会位于圆心为 $O_{0S_1}$ ，半径为 $R_{0R}$ 的一段优弧上，即优弧 $S_{1}R0$ 。同理可得无人机FYOR会位于优弧 $S_{2}R0$ 上，我们即可通过计算两段优弧的交点，得到无人机FYOR的准确位置。注意到这两个圆弧最多只有两个交点，且其中一个交点必然是原点，所以我们可以通过原点和两个圆心坐标快速求解剩下的一个交点的坐标，即无人机FYOR的位置。 + +![](images/864e1c7edc77f78f008d91ddfaf9fc36c4e9a8ef8fedd206e7eb8c80142fd031.jpg) +图4：等角对等边示意图 + +# 5.1.2 模型的计算几何方法 + +在对两圆求交点的计算过程中，我们采用了一些巧解方法，简化了计算的复杂度，具体步骤如下所示。 + +# Step1.圆心坐标的确定 + +在该模型中，我们需要寻找两个圆心 $O_{0S_1}$ 和 $O_{0S_2}$ ，这里我们以 $O_{0S_1}$ 为例。 + +圆周角 $\angle S_{1}R0$ 大小恒定为 $\alpha_{0S_1}$ ，则对应的圆周角大小恒为 $\angle S_{1}O_{0S_{1}}0 = 2\alpha_{0S_{1}}$ ，记 $M$ 为 $0S_{1}$ 的中点。在等腰三角形 $\triangle S_{1}0O_{0S_{1}}$ ，可以计算求得该圆的半径为 $R_{0S_1} = \frac{r}{2\sin\alpha_{0S_1}}$ ，同时可以求出 $h = |\overrightarrow{O_{0S_1}M}| = \frac{r}{2\tan\alpha_{0S_1}}$ 。同时这个圆心在线段 $0S_{1}$ 的中垂线上，满足这样的点一共有两个，分别记作 $O_{0S_1}$ 和 $O_{0S_1}'$ 。 + +![](images/40b02427684d62ec7334025eaaf918b3aa40de205dd67769d05e50c7fb394300.jpg) +图5：圆心坐标的求解 + +我们在直角坐标系下写出向量 $\overrightarrow{OS_1}$ 的表达式，即 $\overrightarrow{OS_1} = r\cos \alpha_{0S_1}\vec{i} +r\sin \alpha_{0S_1}\vec{j}$ 。则其中垂线对应的向量即在 $\overrightarrow{OS_1}$ 左乘一个对应转动角度为 $90^{\circ}$ 的旋转矩阵。由于旋转方向未知，会计算出两个不同的圆心。下面的公式中分别给出了顺时针和逆时针的旋转矩阵。加上上文中得出的圆的半径的计算，我们可以得到圆心的坐标。 + +$$ +P _ {i n} = \left( \begin{array}{l l} \cos 9 0 ^ {\circ} & \sin 9 0 ^ {\circ} \\ - \sin 9 0 ^ {\circ} & \cos 9 0 ^ {\circ} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l l} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array} \right) \quad P _ {o u t} = \left( \begin{array}{l l} \cos 9 0 ^ {\circ} & - \sin 9 0 ^ {\circ} \\ \sin 9 0 ^ {\circ} & \cos 9 0 ^ {\circ} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l l} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \tag {10} +$$ + +$$ +\overrightarrow {O _ {0 S _ {1}} M} = P _ {i} \frac {\overrightarrow {0 S _ {1}}}{| \overrightarrow {0 S _ {1}} |} \times \left| \overrightarrow {O _ {0 S _ {1}} M} \right| = P _ {i} \frac {\overrightarrow {0 S _ {1}}}{2 \tan \alpha_ {0 S _ {1}}} \quad i \in \{i n, o u t \} \tag {11} +$$ + +最后我们需要在 $O_{0S_1}$ 和 $O_{0S_1}'$ 中确定准确的圆心。注意到如果待测飞机在准确位置处， $\alpha_{0S_1}$ 最大为 $80^\circ$ ，由假设一可知，在实际测量中 $\alpha_{0S_1} = 80^\circ \pm 10^\circ$ ，此时 R 和 $O_{0S_1}$ 必然在线段 $OS_1$ 的同侧。故我们用叉积的方法排除另一个点。 + +我们假设 $O_{0S_1}$ 和 $\mathbb{R}$ 位于线段 $0S_{1}$ 的同侧， $O_{0S_1}^{\prime}$ 和 $\mathbb{R}$ 位于线段 $0S_{1}$ 的异侧。我们已知以下几个向量，即 $\overrightarrow{OS_1}$ ， $\overrightarrow{O O_{0S_1}}$ ， $\overrightarrow{O O_{0S_1}'}$ ，对于 $\overrightarrow{OR}$ 。由于我们不知道 $\mathbb{R}$ 点坐标，无法求出准确值。但由于待测无人机位置和其所在的精确位置只有较小的偏差，所以我们采用 $R'$ 代替 $\mathbb{R}$ ，可以得到 $\overrightarrow{OR'}$ 。 + +我们分别计算三个叉积 $\overrightarrow{OS_1} \times \overrightarrow{OOS_1}$ , $\overrightarrow{OS_1} \times \overrightarrow{OOS_1'}$ 和 $\overrightarrow{OS_1} \times \overrightarrow{OR'}$ 。 $O_{0S_1}$ 和 R 位于线段 $OS_1$ 的同侧, 所以 $\overrightarrow{OS_1} \times \overrightarrow{OOS_1}$ 和 $\overrightarrow{OS_1} \times \overrightarrow{OR'}$ 同号。反之, $O_{0S_1}'$ 和 R 位于线段 $OS_1$ 的异侧, $\overrightarrow{OS_1} \times \overrightarrow{OOS_1'}$ 和 $\overrightarrow{OS_1} \times \overrightarrow{OR'}$ 异号。通过判断叉积结果我们即可找到正确的圆心坐标, 即 $O_{0S_1}(x_{0S_1}, y_{0S_1})$ 。同理可以得到另一个圆心坐标为 $O_{0S_2}(x_{0S_2}, y_{0S_2})$ 。 + +下面展示这个步骤对应的伪代码。 + +Algorithm 1: 圆心坐标的确定 +Result: 圆心坐标 +1 $\vec{\nu} \gets P_{in} \frac{0S_1}{2\tan\alpha_{0S_1}}$ +2 $\overrightarrow{O_{0S_1}} \gets \frac{1}{2}\overrightarrow{O_{1}} + \vec{\nu}$ +3 $\overrightarrow{O_{0S_1'}} \gets \frac{1}{2}\overrightarrow{O_{1}} - \vec{\nu}$ +4 if $sgn(0S_1 \times 0O_{0S_1}) = sgn(0S_1 \times 0R')$ then +5 | return $O_{0S_1}$ +6 else +7 | return $O_{0S_1}'$ +8 end + +# Step2.确定待测无人机坐标 + +对于这两个圆弧相交的计算，我们已知两个圆的圆心坐标及其对应的半径，可以通过写出圆的方程，联立求解。但这里我们应用一个相对更简单的求解方法，即我们现在已知这两个圆都会经过原点FY00，则另一个交点R和原点必然关于两个圆心的连线对称。我们利用对称性求解R点坐标。 + +首先我们需要找出FY00在直线 $O_{0S_1}O_{0S_2}$ 的投影坐标 $\mathrm{H}(x_H,y_H)$ 。H在直线 $O_{0S_1}O_{0S_2}$ 上，所以可以写成 $\overrightarrow{OH} = \lambda \overrightarrow{OS_1} + (1 - \lambda)\overrightarrow{OS_2}$ 。同时满足 $\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{O_{0S_1}O_{0S_2}}$ 。故我们有以下表达式。 + +$$ +\begin{array}{l} \overrightarrow {0 H} \cdot \overrightarrow {O _ {0 S _ {1}} O _ {0 S _ {2}}} = 0 (12) \\ \Rightarrow (\lambda x _ {0 S _ {1}} + (1 - \lambda) x _ {0 S _ {2}}) (x _ {0 S _ {2}} - x _ {0 S _ {1}}) + (\lambda y _ {0 S _ {1}} + (1 - \lambda) y _ {0 S _ {2}}) (y _ {0 S _ {2}} - y _ {0 S _ {1}}) = 0 (13) \\ \Rightarrow \lambda = \frac {x _ {0 S _ {2}} \left(x _ {0 S _ {2}} - x _ {0 S _ {1}}\right) + y _ {0 S _ {2}} \left(y _ {0 S _ {2}} - y _ {0 S _ {1}}\right)}{\left(x _ {0 S _ {1}} - x _ {0 S _ {2}}\right) ^ {2} + \left(y _ {0 S _ {1}} - y _ {0 S _ {2}}\right) ^ {2}} (14) \\ \end{array} +$$ + +此时对称点坐标 $R(x_{R},y_{R}) = (2x_{H},2y_{H})$ + +$$ +x _ {R} = 2 \frac {\left(y _ {0 S _ {1}} - y _ {0 S _ {2}}\right) \left(x _ {0 S _ {2}} y _ {0 S _ {1}} - x _ {0 S _ {1}} y _ {0 S _ {2}}\right)}{\left(x _ {0 S _ {1}} - x _ {0 S _ {2}}\right) ^ {2} + \left(y _ {0 S _ {1}} - y _ {0 S _ {2}}\right) ^ {2}} \tag {15} +$$ + +$$ +y _ {R} = 2 \frac {\left(x _ {0 S _ {1}} - x _ {0 S _ {2}}\right) \left(x _ {0 S _ {1}} y _ {0 S _ {2}} - x _ {0 S _ {2}} y _ {0 S _ {1}}\right)}{\left(x _ {0 S _ {1}} - x _ {0 S _ {2}}\right) ^ {2} + \left(y _ {0 S _ {1}} - y _ {0 S _ {2}}\right) ^ {2}} \tag {16} +$$ + +# 5.2 问题——无源定位的无人机最小需求 + +# 5.2.1 模型的简要介绍 + +相比于上一小问，本题的难点在于发射信号的无人机编号未知，需要接收信号的无人机自行判断。事实上，如果能确定发射信号的无人机的编号，就可以转入上一问的模型进行求解。 + +下面根据误差大小分类，讨论如何确定信号的来源，进而求解无人机的位置。 + +# 5.2.2 接收无人机位置误差极小 + +本方法适用于极角误差在 $0.5^{\circ}$ 以内，极径误差在 $1m$ 以内的情形。这种情况下，除了0号和1号无人机外还要使用1架无人机。 + +我们确定信号来源的方法基于一个性质：在没有误差的情况下，0号无人机、待测无人机与另一架位置准确的无人机所成夹角（以待测无人机为顶点）只会取在 $10^{\circ}$ ， $30^{\circ}$ ， $50^{\circ}$ ， $70^{\circ}$ 这些形如 $(20k + 10)^{\circ}$ 的角内；而两个圆周上的位置准确的无人机与待测无人机所成夹角（以待测无人机为顶点）只会取在 $20^{\circ}$ ， $40^{\circ}$ ， $60^{\circ}$ ， $80^{\circ}$ 这些形如 $(20k)^{\circ}$ 的角内。因此，我们可以很容易地把角分成两类。 + +![](images/e855d13ae1ab7ca9a452ccf76cb7dc40b83de9989afc5795f574fa8a846312b1.jpg) +图6：标准位置角度（1） + +![](images/9fddaa8d83efa2b0d5033c332a050bfb4df4737f9a853bbc93286aafc4381ab1.jpg) +图7：标准位置角度（2） + +对于0号无人机、待测无人机与另一架位置准确的无人机所成夹角，我们可以通过角度推算出另一架无人机与待测无人机相差的圆心角。例如，若待测无人机是2号机，0号无人机、待测无人机与另一架位置准确的无人机所成夹角约为 $50^{\circ}$ ，可以推算相差的圆心角为 $80^{\circ}$ ，即另一架无人机为4号或9号。 + +因此，可以对于另一架飞机可能的两个位置，分别计算出如果飞机在这里，待测无人机收到信号的大致范围。再与实际收到的信号比对，就可以确定另一架飞机的位置。下面的例子可以更好的帮助理解这个算法。 + +![](images/4e02c5d631f7dcba9ebf3429b836aab172cf1c3ddb7525963cde3940c45c9ddb.jpg) +图8：定位示例 + +如图8,若待测无人机是 2 号机,收到的三个角度是 $50.6^{\circ}$ 、 $70.5^{\circ}$ 、 $121.2^{\circ}$ ,其中 $70.5^{\circ}$ + +是0号机，待测机和1号机所成角。 + +可以看出， $50.6^{\circ}$ 是 0 号机，待测机和未知编号的无人机所成角，由此另一架无人机的编号为 4 号或 9 号。 + +- 若另一架无人机编号为 9 号,他收到的三个角度大致范围应该是 $\angle {021} = {70}^{ \circ },\angle {024} =$ ${50}^{ \circ },\angle {129} = {20}^{ \circ }$ ,与实际收到的信号误差较大,排除这种情况。 +- 若另一架无人机编号为 4 号,他收到的三个角度大致范围应该是 $\angle {021} = {70}^{ \circ },\angle {029} =$ ${50}^{ \circ },\angle {124} = {120}^{ \circ }$ ,与实际收到的信号误差较小,相符较好。 + +可以发现, 只要待测无人机位置误差带来的张角改变不超过 $5^{\circ}$ , 就能通过上述方式判断信号来源。极角误差在 $0.5^{\circ}$ 以内, 极径误差在 $1m$ 以内的情形下这个条件是始终成立的。 + +# 5.2.3 接收无人机位置略有偏差 + +本方法适用于极角误差在 $0.5^{\circ}$ 以内，极径误差在 $15m$ 以内的情形。这种情况下，除了0号和1号无人机外还要使用1架无人机。 + +此时，无人机位置误差带来的张角改变会超过 $5^{\circ}$ ，如下图，若待测无人机是FY02，极角误差 $0.5^{\circ}$ ，极径误差 $15m$ ，那么FY00，FY02，FY01的夹角为 $59.3^{\circ}$ 。如果沿用之前的做法，会将这个角误判为圆周上两架无人机与待测无人机所成角。 + +![](images/02c6a95cfb6224ce82474111de0e65fd45692d2612368968a3f6f66dcacc206d.jpg) +图9：误差过大示意图 + +![](images/b372bf097c15601460f07ea4b3de5ecc41eecff4c0bb5fdd52bfa0789211fff1.jpg) +图10：误差示意 + +为了解决这个问题，我们可以利用FY00，FY01和待测机的成角先粗略给出待测机的位置范围，减小角度误差。 + +仍旧以FY02为待测机，FY00，FY01，FY09发射信号为例。不妨设此时FY02的真实位置为 $(115m,40^{\circ})$ + +如图11（为了使图能够看清，我们在作图时将 $\angle R_{1}O_{2}$ ）适当放大了，FY02收到信息显示FY00，FY02，FY01所成角为 $59.1^{\circ}$ ，这确定了FY02真实位置在一个圆O上；又由于极角误差在 $1^{\circ}$ 以内，所以FY02又位于以坐标原点为圆心，圆心角为 $2^{\circ}$ 的扇形内。因此，我们可以将FY02的可能位置缩小到两者的交一段小圆弧。记小圆弧的起点和终点为 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ + +![](images/7e0274a7d5c9c3f49e03736b4b1688accd46f18047669434d757177a56e95390.jpg) +图11：角度误差证明示意图 + +当FY02在圆弧 $R_{1}R_{2}$ 上运动时，我们通过测量 $\angle X20$ 的角度变化（其中X指第三架参与定位的无人机的编号），发现 $(\angle X20)_{max} - (\angle X20)_{min} \leq 2^{\circ}$ 。这里我们给出详细的数学证明过程。 + +如图11所示，当我们连接 $5R_{1}$ 和 $5R_{2}$ 和 $5R_{2}$ 时与圆O相交于 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 。考虑 $\angle 5R_{1}0$ 和 $\angle 5R_{2}0$ 的角度大小差别。下面用圆中的几何知识进行计算 + +$$ +\left| \angle 5 R _ {1} 0 - \angle 5 R _ {2} 0 \right| = \left| \frac {1}{2} \widehat {T _ {1}} 0 - \frac {1}{2} \widehat {T _ {2}} 0 \right| = \frac {1}{2} \widehat {T _ {1}} \widehat {T _ {2}} = \angle T _ {1} R _ {1} T _ {2} \tag {18} +$$ + +从△5R1T2来看，∠T1R1T2≤∠R1T2R2=∠R10R2。故（∠X20）max-（∠X20）min≤∠R10R2=2° + +最后我们需要证明 $\angle X20$ 组成的角度集合和 $\angle P2Q$ 形成的角度范围无交集，这样无人机就可通过接收到的角度来判断另一架发射信号的无人机FY0X的编号。其中X，P，Q都是圆周上除FY02以外的无人机对应的编号，这些无人机都处于预期位置，没有偏移。下面我们通过穷举所有情况来进行说明角度无交集，这里我们取的角度误差为 $0.5^{\circ}$ 。由于图形存在对称性，结果十分简洁。 + +表 2: $\angle X{20}$ 对应的角度变化范围 + +
X∠X20最小值∠X20最大值
159.1°59.1°
79.1°9.5°
827.5°27.9°
945.1°45.4°
+ +表 3: $\angle {P2Q}$ 对应的角度变化范围 + +
PQ\( \angle {P2Q} \) 最小值\( \angle {P2Q} \) 最大值PQ\( \angle {P2Q} \) 最小值\( \angle {P2Q} \) 最大值
13\( {118.3}^{ \circ } \)\( {118.5}^{ \circ } \)93\( {104.3}^{ \circ } \)\( {104.5}^{ \circ } \)
14\( {104.1}^{ \circ } \)\( {104.7}^{ \circ } \)94\( {90.4}^{ \circ } \)\( {90.5}^{ \circ } \)
15\( {86.6}^{ \circ } \)\( {87.1}^{ \circ } \)95\( {72.9}^{ \circ } \)\( {73.0}^{ \circ } \)
16\( {68.2}^{ \circ } \)\( {68.7}^{ \circ } \)96\( {54.5}^{ \circ } \)\( {54.6}^{ \circ } \)
17\( {50.1}^{ \circ } \)\( {49.6}^{ \circ } \)97\( {35.9}^{ \circ } \)\( {36.0}^{ \circ } \)
18\( {31.7}^{ \circ } \)\( {31.3}^{ \circ } \)98\( {17.0}^{ \circ } \)\( {17.5}^{ \circ } \)
19\( {13.7}^{ \circ } \)\( {14.1}^{ \circ } \)83\( {86.8}^{ \circ } \)\( {86.9}^{ \circ } \)
73\( {68.4}^{ \circ } \)\( {68.5}^{ \circ } \)84\( {72.9}^{ \circ } \)\( {73.0}^{ \circ } \)
74\( {54.5}^{ \circ } \)\( {54.6}^{ \circ } \)85\( {55.3}^{ \circ } \)\( {55.4}^{ \circ } \)
75\( {37.0}^{ \circ } \)\( {37.0}^{ \circ } \)86\( {37.0}^{ \circ } \)\( {37.0}^{ \circ } \)
76\( {18.6}^{ \circ } \)\( {18.6}^{ \circ } \)87\( {18.4}^{ \circ } \)\( {18.4}^{ \circ } \)
+ +# 5.3 问题——圆周上无人机调整方案 + +在该问中，在队列中十架无人机，只有FY00和FY01这两架无人机的位置是正确的，我们需要选择FY00及圆周上至多三架飞机发射电磁信号，对圆周上其余的飞机进行位置调整。这里涉及到了两个主要问题。首先是发射信号的无人机的选择策略，第二个问题是在接收到电磁信号，转换成角度关系后，无人机需要如何移动，即无人机的移动策略。在下面两个小节中我们给出详细过程。 + +假设：在无人机发射信号时，不参与发射信号的无人机都可以接收到电磁信号并进入位置调整状态。 + +为了判断无人机是否运行到准确位置，我们设定了阈值 $\epsilon$ ，即无人机现在的位置和预期位置的欧几里得距离小于阈值时，该无人机调整完毕。当所有的无人机到预期位置的距离都小于阈值时，过程结束。在本题中，我们设定阈值 $\epsilon = 10^{-4}m$ 。 + +# 5.3.1 无人机位置调整策略 + +对于无人机的移动策略，我们会定义一个位置变化矢量 $\vec{x}$ ，无人机会按照这个矢量 $\vec{x}$ 进行调整。对于这个矢量，我们需要定义其起始点和终止点。位置需要变动的无人机FY0X + +不知道自己在坐标系中对应的坐标，只能通过其他几架无人机传输的电磁信号来进行定位，故位置变化矢量的起始点和无人机的起始位置坐标不同，我们在下面主要分析两个不同情况下的位置变化矢量的起始点和终止点。 + +# 三架无人机定位时的调整策略 + +在选择无人机时，我们选择了FY00, FY01和其余一架无人机，记为FY0S。位置需要调整的无人机记为FY0R。在该题中，FY00和FY01位置准确，但是FY0S位置不一定到达预期点位。 + +# Step1FY0R对角度的解码算法 + +由于我们在选择发射信号的无人机上，FY00和FY01作为基准机，待测的无人机可以接收到这两架无人机传输的信号并且可以识别由FY00和FY01发射信号的夹角。对于剩余的未知编号的无人机，我们采用的是类似5.2中的做法，即可通过接收到的角度大小判断无人机的编号。 + +![](images/635104e710805876ca39d744d170f689d98a2214cbd5b4e027d60e1d0ea0f2b5.jpg) +图12：角度解码中的误差分析 + +如图12所示，只需证明当观测点位置不再预期位置时 $(\angle ER0)_{max} - (\angle ER0)_{min} \leq 5^{\circ}$ ，其中 $R$ 在 $R_1R_2$ 上运动。通过运算和数值求解，我们发现当 $E$ 在径向方向误差不超过 $5m$ 的情况下，都可以满足 $(\angle ER0)_{max} - (\angle ER0)_{min} \leq 5^{\circ}$ 。所以我们在选择发射信号的无人机时，没有使用距离误差超过 $5m$ 的无人机。 + +# Step2FY0R利用电磁信号确定自己的坐标。 + +在这个过程中，无人机FY0R已经分析出了FY0S飞机的信号。FY0S位置可能相对于预期位置有一定偏差，但在无人机执行程序中，无人机会认为FY0S在预期位置。此 + +时我们依旧应用(5.1.2)中的方法，如图13所示，无人机信号的发射点为S，其预期位置为FY09，在无人机FYOR的视角来看，无人机接收到的 $\alpha_{09}$ 是从FY09发射出来的，而不是从S发射出来的，所以我们做圆时会产生一定的偏差，此时无人机判断出来的自己所在位置为 $T(x_{T},y_{T})$ 。 + +![](images/52e0d3ff705e641956dfc00f53706077d49861b2daa0da83b09573b5140c8a77.jpg) +图13：确定初始点坐标 + +# Step3FY0R建立位置变化矢量并朝矢量方向移动 + +无人机FY0R可以根据自己的编号，确定自己的预期坐标，将这个点设置成位置变化矢量 $\vec{x}$ 的终止点，即 $R_{exp}(r\cos \theta_R, r\sin \theta_R)$ 。我们可以构建以 $T$ 为起点，以 $R_{exp}$ 为终点的位置变化矢量 $\vec{x} = \overrightarrow{0R_{exp}} - \overrightarrow{0T}$ 。则无人机最终位置为 $\overrightarrow{0R_{final}} = \overrightarrow{0R} + \vec{x} = \overrightarrow{0R} + \overrightarrow{0R_{exp}} - \overrightarrow{0T}$ + +# 四架无人机定位时的调整策略 + +四架无人机在定位调整上和三架无人机的策略基本一致，同样也分成三个步骤。第一步即FYOR角度分析得到信号来源，方法相同，这里不再赘述。第二步是利用电磁信号得到自己的坐标，在这个定位方式中和三架的略有差异，第三是建立位置变化矢量并移动，这个步骤也和三架无人机的操作相同。 + +对于Step2的改变主要包括以下几点。 + +1. 在取点时，我们选择的无人机一定包括 FY00 和 FY01。其余两架分别记为 FY0S₁ 和 FY0S₂。 +2. 在确定位置坐标的时候，我们分成两个步骤，第一步是取FY00，FY01和FY0S1这三个点，用（5.3.2）中三架无人机定位中的Step2，确定出FY0R的第一个位置坐标，记为 $\mathbf{T}_{1}$ 。然后我们再取FY00，FY01和FY0S2这三个点，采用相同的操作，得到第二个位置坐标，记为 $\mathbf{T}_{2}$ 。 + +3. 分析可知 $\mathrm{T}_{1}$ 和 $\mathrm{T}_{2}$ 两点并不重合，且 $\mathrm{T}_{1}$ 和 $\mathrm{T}_{2}$ 是两种取点得到的，我们取 $\mathrm{T}_{1}$ 和 $\mathrm{T}_{2}$ 的中点，记为 $\mathrm{T}$ 。把 $\mathrm{T}$ 点设置成无人机通过接收到的角度计算得到的位置。即无人机认为的出发点。和三架无人机的定位模型中的 $\mathrm{T}$ 等价。 + +# 5.3.2 发射信号无人机的策略 + +对于圆周上任意一个点FY0R到其预期点的欧几里得距离可以定义为 $d_{R} = |RR_{\text{expect}}|$ 。我们可以定义L2 loss函数作为估价函数。[7] + +$$ +L = \sum_ {i = 1} ^ {9} d _ {i} ^ {2} \tag {19} +$$ + +对于发射信号的无人机的方案，我们采用的是带阈值的启发式搜索[6]。首先我们认为FY00和FY01是基准点，是必选的两架无人机，然后在圆周上剩余的无人机中选择至多两架无人机作为信号发射点，确定发射信号的飞机的过程称为一次决策过程。图14中展现的是一个决策树，每个箭头方向表示一种决策方案，箭头上的数字代表了决策中的选择的飞机的编号，圆圈中的数对应的是在该决策条件下的估价函数的计算结果，方框对应的是最大搜索层数。 + +在图14中，我们设定了阈值，即最大的搜索层数N，在遍历N层的计算后，程序会找出估价函数最小的决策方案，再以可以通向该方案的子节点为决策树的根，如此循环。不难发现，贪心算法是阈值为1的特殊情形。使用该方法，我们避免了贪心算法带来的局域最小化的结果，更有利于找到收敛最快的决策方案。例如，在图14中，最左边的决策是贪心算法的结果，最右边的决策是带阈值的启发式搜索的结果，可以发现在第一次决策后，贪心算法得到的估价函数明显小于启发式搜索算法。但是在第二次决策后，启发式搜索算法对应的估价函数快速收敛，这是由于在第一次决策中启发式中将一个误差很大的点调整到精确点。这个情况是无法通过贪心算法和人脑决策出来的。 + +![](images/46e895d446e4aa37194722b68dc69048081245ad5c5d1006ad5576bc9d49f69f.jpg) +图14：决策树示意图 + +# 5.3.3 结论分析 + +通过程序计算，我们得到了不同算法，不同决策方案下的收敛速度。在下面的部分我们列举几个结论并对其进行分析。 + +# Result 1. 几种算法收敛速度的对比 + +在建模过程中，对于无人机的选择方案，我们主要采用的了随机选取，贪心算法选择和带阈值的启发式搜索算法。其中在带阈值的启发式搜索算法中，我们先只考虑三架无人机的定位情况，随后我们还做了三架和四架的结合的定位情况，结果如图15所示，其中横坐标为决策次数，纵坐标为估价函数的值。 + +![](images/fef57737b01aae504c99dc53f7dedf02fd33c9844301d91f8c767e3936cc8ff5.jpg) +图15：不同决策方案下决策次数与收敛速度的关系 + +不难发现，对于随机选择的情况，收敛速度较慢，但在实际情况中，决策次数达到20到30次时，随机选择无人机的估价函数也收敛到了 $10^{-6}\mathrm{m}^2$ 的量级。贪心算法和带阈值的启发式搜索算法收敛速度相近，在局域上可能贪心算法占优势，但从全局上看带阈值的启发式搜索算法可以收敛到较高的精度。使用两种算法计算时，可以发现在第四次决策时，估价函数已经收敛到了 $10^{-6}\mathrm{m}^2$ 的量级，对于无人机R的和预期位置的偏差在1mm的量级，在实际应用中可以视为精确解。 + +对比固定三架无人机发射信号的情况和结合了三架无人机和四架无人机发射信号的情况，即图15中的蓝线和绿线，在决策次数较多的情况下，后者收敛速度极快。 + +# Result 2. 最优策略的结果展示 + +我们采用了带阈值的启发式算法，在三架无人机和四架无人机都可以发射信号的情况下，计算得到了一种快速收敛到预期位置的解，其调整策略和收敛结果如下所示。 + +![](images/d6134ec72ae2c940a0dbaed8a10a4d3f0f709644b44b076be57f6cd5d7bc00b8.jpg) +图16：不同无人机与标准位置的距离随调整次数的变化 + +首先我们给出了无人机的规划策略，一共用了六轮信号发射，我们定义的估价函数L2 loss function的量级为 $10^{-23}m^2$ ，精度已经达到了很高的水平。我们选择每一轮发射电磁波信号的无人机编号如下所示。 + +1.FY00，FY01，FY02，FY07 +2.FY00，FY01，FY05 +3.FY00，FY01，FY09 +4.FY00，FY01，FY08 +5.FY00，FY01，FY06 + +6.FY00，FY01，FY02 + +实际应用中，我们无需这么高的精度，所以我们只需要前5轮的无人机信号发射策略一共发射了16次电磁信号，极大降低了外界的干扰。 + +通过这个决策方案，我们在每次决策结束后的每架无人机的极坐标呈现在附录A中。图16展现的是九架无人机分别到预期位置的距离，随调整次数的增加而变化的曲线图。其中第一幅图是FY01，我们取的是无人机到其预期点的距离作为了纵坐标，其余八张图的纵坐标均为对应无人机到其预期点的位置的对数值。在图中很容易发现该策略收敛速度极快，到达实际精度范围只需要5轮，很有推广意义。 + +# 5.4 问题二 + +# 5.4.1 基本假设 + +- 由于题目并未给出无人机的偏差程度，参照问题一的偏差范围，在本问题中我们假设无人机的偏差范围为以标准位置为圆心，半径 $5 \mathrm{~m}$ 的圆内。 +- 不失一般性地, 我们不妨以 FY01 为基准无人机, 即 FY01 的位置是时刻准确的, 每一次发射信号的无人机都包含 FY01。 +- 由于接收信号的无人机只能获取方向信息，无法判断距离，如果只有一架基准无人机，若于轮调整后可能会出现所有无人机距离相同但对非我们预先设定的距离（比如 $50m$ ），因此需要第二架基准机，参照问题一的条件，类似地选取FY05为第二架基准机，即FY05与FY01的距离始终保持在 $50\sqrt{3}m$ ，相对位置保持不变，每次发射信号的无人机都包含FY05。 + +# 5.4.2 问题一模型不适用之处 + +本质上来看，问题二是对问题一模型的重新运用，但是在实际的实现过程中会出现种种问题，这里一一列出。 + +# ·三点共线 + +问题一在接收信号的无人机接收到方向信息后，需要进行预处理，即对方向信息进行解码得到发射信号的无人机编号。但是在锥形编队中，由于存在多架标准位置共线的无人机，判断编号在大多数情况下是难以实现的。 + +# ·四点共圆 + +在接收信号的无人机进行定位的过程中，利用问题一中作圆求交的方法可能会出现四点共圆的情况。如图17所示，在FY03，FY04和FY10发射信号，FY13进行定位时，由于 + +四架无人机的标准位置四点共圆，在前若干次决策中可以通过两圆求交进行定位。但经过若干次调整后，随着FY13与标准位置的距离缩短，所作出的两圆逐渐靠近，所得交点的精度会变得非常差，从而导致FY13定位的精度变差，调整就无法进行。 + +![](images/ab60287fe7ce1bd65caa85bdaa3aba164c97582dd840ae3dea5e9420bf39ac06.jpg) +图17：四点共圆情况示意 + +# 5.4.3 解决方案 + +针对无法判断发射电磁波信号的无人机编号的问题，我们可以预先设定无人机发射信号的顺序（一种可能的实现方式是，给所有无人机的随机数发生器设定相同的随机种子，这样所有无人机可以产生相同的随机数序列），于是在每一次接收信号时，无人机都可以通过接收信号的次数判断当前发射信号的无人机编号，并基于此利用与问题一相同的作圆求交方法实现定位并通过5.3.1的策略进行调整。 + +针对四点共圆定位精度过差的问题，由于上述选点策略，无人机可以预先知道本轮发射信号的无人机编号。我们设定：当接收信号的无人机判断发射信号的无人机标准位置与自身标准位置四点共圆，判定为无法定位，不进行调整。 + +另外，由于选定FY01和FY05作为基准无人机，每次选择的发射信号的无人机都包含FY01和FY05，与FY13共线，因此FY13的定位误差会很大。我们的策略为：在10次调整中，前9次由FY01和FY05与一架未知编号的无人机发射电磁波信号，FY13不做调整；第10次由FY01，FY02与FY03发射电磁波，只有FY13做调整，其余无人机不做调整。 + +关于选点策略的合理性，我们用上述策略进行测试，在10000次代码运行后发现每一次无人机的位置都可以很快地收敛到标准位置，因此可以认为这样的选点策略是合理的。 + +# 5.4.4 结果展示 + +图15显示了初始时位置误差分别为 $0.5m$ ， $1m$ ， $3m$ ， $5m$ 时，调整次数与L2 loss函数的关系。 + +![](images/929822cddee572c722f97e707479260128170bf42c59b99be7567f74df0c9150.jpg) +图18：不同误差范围内决策次数与收敛速度的关系 + +可以看出，初始误差越小，L2 loss 收敛速度越快。（事实上，这个模型的收敛速度具有一定的随机性，但总体趋势符合）在约60次调整之后， $5m$ 以内的初始误差均可以收敛到较高的精度。 + +# 六 模型优缺点 + +# 6.1 模型的优点 + +- 首先对于无人机的位置调节，要具有时效性，我们的模型可以快速解出无人机需要移动的方向和距离，程序可以实现在 1s 内给出结果，具有很好的现实意义。 +- 我们的模型相比于贪心算法，可以做到更加远视，可以找到更优的解。 +- 选择L2loss作为估价函数，使得启发式算法更倾向于优化当前离标准位置较远的点，加快了收敛速度。 + +- 我们的模型更具有普适性。在误差范围内对误差较小的情况和误差较大的情况都一一讨论；且第二问中的随机算法具有推广的意义，理论上可以用于除“一”字型队列的所有队列编排调整。 + +- 给出了细致的误差分析，有较强的严谨性。 + +# 6.2 模型的缺点 + +- 我们的模型只在误差范围之内进行了讨论，没有考虑误差范围以外的情况，对更为极端的情况适应性比较差。 +- 问题二采取的随机选点发射电磁波信号的策略会导致无人机的位置收敛到标准位置的速度比较慢。 +- 问题二只考虑了一种基准点选择的方法，存在局限性，无法全面地找出调整方案的最优解。 + +# 参考文献 + +[1]徐诚，黄大庆.“无人机光电侦测平台目标定位误差分析.”仪器仪表学报34.10(2013):2265-2270.doi:10.19650/j.cnki.cjsi.2013.10.016. +[2]张琬琳，胡正良，朱建军，林小娟，尹剑，杨萌.单兵综合观瞄仪中的一种目标位置解算方法[J].电子测量技术,2014,37(11):1-3.DOI:10.19651/j.cnki.emt.2014.11.001. +[3]徐诚，黄大庆，孔繁锵.“一种小型无人机无源目标定位方法及精度分析.”仪器仪表学报36.05(2015):1115-1122.doi:10.19650/j.cnki.cjsi.2015.05.019. +[4]秦顾正.对无人机的无源定位关键技术研究.2019.东南大学,MAthesis. +[5] 屈小媚, 刘韬, 谈文蓉. “基于多无人机协作的多目标无源定位算法.” 中国科学: 信息科学 49.05(2019):570-584. +[6]李鹏，周海，闵慧.“人工智能中启发式搜索研究综述.”软件导刊19.06(2020):35-38. +[7] Spanos, John T., Mark H. Milman, and D. Lewis Mingori. "A new algorithm for L2 optimal model reduction." Automatica 28.5 (1992): 897-909. + +# A 坐标展示 + +我们在这个表格中展现的是三架无人机和四架无人机发射信号的最优策略下，无人机在每次调整后极坐标的变化。其中每架无人机对应两行数据，上面一行对应的是极径长度，下面一行对应的是极角的大小。 + +表4:Caption + +
极坐标 次数编号123456
FY01100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000
0.00000.00000.00000.00000.00000.0000
FY0298.4000100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000
40.100039.753939.999840.000040.000040.0000
FY0398.8899100.4340100.0000100.0000100.0000100.0000
80.972779.726879.999880.000080.000080.0000
FY0499.3532100.6480100.0000100.0000100.0000100.0000
120.2710119.7940120.0000120.0000120.0000120.0000
FY05100.7520100.7520100.0010100.0000100.0000100.0000
159.9350159.9350160.0000160.0000160.0000160.0000
FY06102.4780100.6830100.0000100.0000100.0000100.0000
200.2420200.0720200.0000200.0000200.0000200.0000
FY07105.0000100.4690100.0000100.0000100.0000100.0000
240.0700240.1590240.0000240.0000240.0000240.0000
FY08102.7630100.1680100.0000100.0000100.0000100.0000
281.6670280.1290280.0000280.0000280.0000280.0000
FY09101.3530100.0000100.0000100.0000100.0000100.0000
322.9100320.0000320.0000320.0000320.0000320.0000
+ +# B 计算几何函数库 + +```txt +include +using namespace std; +const int N = 20; +const double pi = acos(-1.0); +double d[N], theta[N]; +``` + +```c +struct Point { + double x, y; + Point(double _x = 0, double _y = 0): x(_x), y(_y) {} + double norm() { return sqrt(x * x + y * y); } + double norm2() { return x * x + y * y; } + Point operator + (Point const &b) { + return Point(x + b.x, y + b.y); + } + Point operator - (Point const &b) { + return Point(x - b.x, y - b.y); + } + Point operator * (double a) { + return Point(a * x, a * y); + } + Point operator / (double a) { + return Point(x / a, y / a); + } +} p[N], ass[N]; +using Vector = Point; +double cross(Vector a, Vector b) { + return a.x * b.y - a.y * b.x; +} +``` + +} +}； +//id1，id2，vertex所成角为alpha，角顶点为vertex +struct Angle{ int id1，id2; int vertex; double alpha; Angle(int_id1，int_id2，int_ver，double_alpha){ id1 $=$ _id1；id2 $=$ _id2；vertex $=$ _ver;alpha $=$ _alpha; } bool operator <（Angle&b）{ return alpha < b.alpha; }； +}； +//若无人机到达标准位置 +//id1，id2，vertex所成角（以vertex为顶点）的大小 +int get_angle_ass(int id1，int vertex，int id2）{ assert(id1 != id2 && id1 != vertex && vertex != id2); if(id1 > id2) swap(id1，id2); if( $\mathrm{vertex} = = 0)$ { int del $=$ id2-id1; if(del>4)del $= 9$ -del; return 40\* del; }else if(id1 == 0){ int del $=$ abs(id2-vertex); if(del>4)del $= 9$ -del; return (180-40\* del)/2; }else{ int del $=$ id2-id1; if(del <= 4){ if(id1 1) tmp = 1; + if (tmp < -1) tmp = -1; + double alpha = acos(tmp); + return alpha; +} +// P, Q, vertex 实际所成角（以vertex为顶点）的大小 +double get_angle_real(Point P, Point vertex, Point Q) { + double 11 = (vertex - P).norm(); + double 12 = (vertex - Q).norm(); + double 13 = (P - Q).norm(); + double tmp = (11 * 11 + 12 * 12 - 13 * 13) / (2 * 11 * 12); + assert(-1.01 <= tmp && tmp <= 1.01); + if (tmp > 1) tmp = 1; + if (tmp < -1) tmp = -1; +``` + +```txt +double alpha = acos(tmp); +return alpha; +} +int sgn(double x) { + if (x > 0) return 1; + if (x < 0) return -1; + return 0; +} +// 过点P、Q的张角为alpha的圆 +Circle get_circle(int id, Point P, Point Q, double alpha) { + Point O, O1, O2, M; + M = (P + Q) / 2; + Vector v(Q - P); + double h = v(norm() / 2 * tan(abs(pi / 2 - alpha)); + double r; + if (abs(pi / 2 - alpha) > 1e-5) { + r = h / sin(abs(pi / 2 - alpha)); + } else { + r = v(norm() / 2); + } + v = v / v(norm() * h); + swap(v.x, v.y); + v.x *= -1; + O1 = M + v; O2 = M - v; + int f1 = sgn(cross(p[id] - P, Q - P)); + int f2 = sgn(cross(O1 - P, Q - P)); + if (alpha > pi / 2) { + if (f1 == f2) O = O2; + else O = O1; + } else { + if (f1 == f2) O = O1; + else O = O2; +``` + +C 每次最多三架无人机发送信号时的启发式搜索 +```javascript +} return Circle(O, r); +``` + +```cpp +include +#include "geometry.hpp" +using namespace std; +Point findpos_3drones(int id, vector ang) { int id1, id2; double alpha, beta; for (auto i : ang) { if (i.id1 && i.id2) { id1 = i.id1; id2 = i.id2; } } for (auto i : ang) { if (i.id1 + i.id2 == id1) { alpha = i.alpha; } else if (i.id1 + i.id2 == id2) { beta = i.alpha; } } Circle O1, O2; O1 = get_circle(id, ass[0], ass{id1], alpha); O2 = get_circle(id, ass[0], ass{id2], beta); double x1 = O1.O.x, y1 = O1.O.y, x2 = O2.O.x, y2 = O2.O.y; double lambda = (x2 * (x2 - x1) + y2 * (y2 - y1)) / (O1.O - O2.O).norm2(); Point tmp = O1.O * 2 * lambda + O2.O * 2 * (1 - lambda); return tmp; +``` + +```txt +} +Point find_position(int id, vector drone) { sort(drone.begin(), drone.end()); vector ang; for (int i = 0; i < drone.size(); ++i) { for (int j = i + 1; j < drone.size(); ++j) { double 11 = (p[id] - p[drone[i]).norm(); double 12 = (p[id] - p[drone[j]).norm(); double 13 = (p[drone[i]] - p[drone[j]].norm(); double a = acos((11 * 11 + 12 * 12 - 13 * 13) / 2 / 11 / 12); ang.push_back(Angle(drone[i], drone[j], id, a)); } return findpos_3drones(id, ang); +double evaluate() { double ans = 0; for (int i = 0; i <= 9; ++i) { ans += (p[i] - ass[i]).norm2(); } return ans; +pair search(int deep, int las) { if (deep == 0) { return make_pair(evaluate(), las); } Point tmp[N]; for (int i = 0; i <= 9; ++i) tmp[i] = p[i]; double ans = 1e100, s = -1; for (int i = 2; i <= 9; ++i) { vector drone; +``` + +```txt +drone.push_back(0); drone.push_back(1); drone.push_back(i); for (int j = 2; j <= 9; ++j) { if (j == i) continue; Point pnt = find_position(j, drone); p[j] = p[j] + ass[j] - pnt; } pair nw = search(deep - 1, i); if (nw.first < ans) { ans = nw.first; s = i; } for (int j = 2; j <= 9; ++j) { p[j] = tmp[j]; } return make_pair(ans, s); } +int main() { srand(time(0)); int n = 9; for (int i = 0; i <= 9; ++i) { cin >> d[i] >> theta[i]; } for (int i = 1; i <= 9; ++i) { theta[i] = theta[i] / 180 * pi; p[i].x = d[i] * cos(theta[i]); p[i].y = d[i] * sin(theta[i]); ass[i].x = 100 * cos(40.0 * (i - 1) / 180 * pi); ass[i].y = 100 * sin(40.0 * (i - 1) / 180 * pi); } cout << evaluate() << endl; for (int i = 1; i <= 20; ++i) { +``` + +double ans $=$ 1e100;int s $=$ search(3，-1).second; +cout $\ll$ "times:"< drone; +drone.push_back(0);drone.push_back(1);drone.push_back(s); for（intj $= 2$ ：j<=9；++j）{ if(j==s)continue; Pointpnt $=$ find_position(j，drone); p[j] $=$ p[j] $^+$ ass[j]-pnt; } for（inti $= 0$ ：i<=9；+i）{ cout< +#include"geometry.hpp" +using namespace std; +Point findpos_3drones(int id, vector ang) { int id1, id2; double alpha, beta; for (auto i : ang) { if (i.id1 && i.id2) { id1 = i.id1; id2 = i.id2; } } for (auto i : ang) { if (i.id1 + i.id2 == id1) { alpha = i.alpha; } else if (i.id1 + i.id2 == id2) { beta = i.alpha; } } Circle O1, O2; O1 = get_circle(id, ass[0], ass{id1], alpha); O2 = get_circle(id, ass[0], ass{id2], beta); double x1 = O1.O.x, y1 = O1.O.y, x2 = O2.O.x, y2 = O2.O.y; double lambda = (x2 * (x2 - x1) + y2 * (y2 - y1)) / (O1.O - O2.O).norm2(); Point tmp = O1.O * 2 * lambda + O2.O * 2 * (1 - lambda); return tmp; } +``` + +```c +Point findpos_4drones(int id, vector &drone) { Point O1, O2, O3; vector v; v.push_back(0); v.push_back(1); v.push_back(drone[2]); O1 = find_position(id, v); v.clear(); v.push_back(0); v.push_back(1); v.push_back(drone[3]); O2 = find_position(id, v); v.clear(); return(O1 + O2) / 2; } +Point find_position(int id, vector drone) { sort(drone.begin(), drone.end()); if (drone.size() == 3) { vector ang; for (int i = 0; i < drone.size(); ++i) { for (int j = i + 1; j < drone.size(); ++j) { double 11 = (p[id] - p/drone[i]).norm(); double 12 = (p[id] - p/drone[j]).norm(); double 13 = (p/drone[i]) - p/drone[j]).norm(); double a = acos((11 * 11 + 12 * 12 - 13 * 13) / 2 / 11 / 12); ang.push_back(Angle(drone[i], drone[j], id, a)); } return findpos_3drones(id, ang); } else return findpos_4drones(id, drone); } double evaluate() { +``` + +```txt +double ans = 0; +for (int i = 0; i <= 9; ++i) { + ans += (p[i] - ass[i]).norm2(); +} +return ans; +} +pair> search(int deep, pair las) +if (deep == 0) { + return make_pair(evaluate(), las); +} +Point tmp[N]; +for (int i = 0; i <= 9; ++i) tmp[i] = p[i]; +double ans = 1e100; +pair s = make_pair(-1, -1); +for (int i = 2; i <= 9; ++i) { + vector drone; + drone.push_back(0); drone.push_back(1); drone.push_back(i); + for (int j = 2; j <= 9; ++j) { + if (j == i) continue; + Point cnt = find_position(j, drone); + p[j] = p[j] + ass[j] - cnt; + } +pair> nw; +nw = search(deep - 1, make_pair(i, -1)); +if (nw.first < ans) { + ans = nw.first; s = make_pair(i, -1); +} +for (int j = 2; j <= 9; ++j) { + p[j] = tmp[j]; +} +} +for (int i = 2; i <= 9; ++i) { + for (int j = i + 1; j <= 9; ++j) { +``` + +```txt +vector drone; +drone.push_back(0); drone.push_back(1); +drone.push_back(i); drone.push_back(j); +for (int k = 2; k <= 9; ++k) { if (k == i || k == j) continue; Point cnt = find_position(k, drone); p[k] = p[k] + ass[k] - cnt; +} +pair> nw; +nw = search(deep - 1, make_pair(i, j)); if (nw.first < ans) { ans = nw.first; s = make_pair(i, j); } +for (int k = 2; k <= 9; ++k) { p[k] = tmp[k]; } +} +} +return make_pair(ans, s); +} +int main() { +srand(time(0)); +for (int i = 0; i <= 9; ++i) { cin >> d[i] >> theta[i]; +} +for (int i = 1; i <= 9; ++i) { theta[i] = theta[i] / 180 * pi; p[i].x = d[i] * cos(theta[i]); p[i].y = d[i] * sin(theta[i]); ass[i].x = 100 * cos(40.0 * (i - 1) / 180 * pi); ass[i].y = 100 * sin(40.0 * (i - 1) / 180 * pi); +``` + +```txt +for (int i = 1; i <= 6; ++i) { + cerr << "times: " << i << endl; + double ans = 1e100; + int d = min(3, 7 - i); + pair s = search(d, make_pair(-1, -1)).second; + cout << "times: " << i << endl << "use: 0 1 " << s.first << "; + if (s(second != -1) cout << s(second); + cout << endl; + vector drone; + drone.push_back(0); drone.push_back(1); + drone.push_back(s.first); + if (s(second != -1) drone.push_back(s(second)); + for (int j = 2; j <= 9; ++j) { + if (j == s.first || j == s(second) continue; + Point cnt = find_position(j, drone); + p[j] = p[j] + ass[j] - cnt; + } + for (int j = 0; j <= 9; ++j) { + cout << '(' << p[j].x << ', ' << p[j].y << ')' << ';' + } + puts(""); + cout << evaluate() << endl; + puts(""); +} +for (int i = 0; i <= 9; ++i) { + cout << ass[i].x << ';' << ass[i].y << endl; + } +puts(""); +return 0; +``` + +```txt +165 100 0 +166 98 40.10 +167 112 80.21 +168 105 119.75 +169 98 159.86 +170 112 199.96 +171 105 240.07 +172 98 280.17 +173 112 320.28 +174 \*/ +``` + +# E 问题二代码 + +```cpp +include +#include "geometry.hpp" +using namespace std; +Point intersection(Circle O1, Circle O2) { double x1 = O1.O.x, y1 = O1.O.y, x2 = O2.O.x, y2 = O2.O.y; double lambda = (x2 * (x2 - x1) + y2 * (y2 - y1)) / (O1.O - O2.O).norm2(); Point tmp = O1.O * 2 * lambda + O2.O * 2 * (1 - lambda); return tmp; +void init() { +//确定每座无人机的标准位置 +ass[1] = Point(0, 0); +ass[2] = Point(-25 * sqrt(3), 25); +ass[4] = Point(-50 * sqrt(3), 50); +ass[7] = Point(-75 * sqrt(3), 75); +ass[11] = Point(-100 * sqrt(3), 100); +for (int i = 3; i <= 15; ++i) { +``` + +if $(\mathbf{i} == 4||\mathbf{i} == 7||\mathbf{i} == 11)$ continue; +ass[i] = Point(ass[i - 1].x, ass[i - 1].y - 50); +} +// 真实位置是标准位置加一个随机扰动 +for (int i = 2; i <= 15; ++i) { + double r = 1.0 * rand() / RAND_MAX * 5; + double alpha = 1.0 * rand() / RAND_MAX * pi * 2; + Vector del = Vector(r * cos(alpha), r * sin(alpha)); + p[i] = ass[i] + del; +} +p[5] = ass[5]; +} +Point find_pos(int id, int id1, int id2) { + double alpha = get_angle_real(1, id, id1); + double beta = get_angle_real(1, id, id2); + double gama = get_angle_real(id1, id, id2); + Circle O1 = get_circle(id, ass[1], ass{id1], alpha); + Circle O2 = get_circle(id, ass[1], ass{id2}, beta); + if (O1 == O2) return ass[id]; + return intersection(O1, O2); +} +// 判断a、b、c是否共线 +bool on_line(int a, int b, int c) { + if (abs(cross(ass[a] - ass[c], ass[b] - ass[c])) < 1e-3) { + return 1; + } else return 0; +} +// 判断a、b、c、FY01是否四点共圆 +bool on_circle(int a, int b, int c) { + double al = get_angle_real(ass[a], ass[1], ass[b]); +} + +```txt +double be = get_angle_real (ass[a], ass[c], ass[b]); return abs(al - be) < 1e-6 || abs(al + be - pi) < 1e-6; +} +double evaluate() { double ans = 0; for (int i = 1; i <= 15; ++i) { ans += (p[i] - ass[i]).norm2(); } return ans; +} +int main() { srand(2); init(); for (int j = 1; j <= 15; ++j) { cout << p[j].x << ' ', << p[j].y << endl; } puts(""); int T = 10; for (int i = 1; i <= 100; ++i) { int a = 5; int b = rand() % 14 + 2; while (on_line(1, a, b)) { b = rand() % 14 + 2; } if (i % T == 0) { a = 2; b = 3; } cout << "times: " << i << ';' cout << "use: 1 " << a << ';' << b << endl; for (int j = 2; j <= 15; ++j) { if (i % T == 0 && j != 13) continue; if (j == a || j == b) continue; +``` + +if(on_line(j,a,1))continue; if(on_line(j,b,1))continue; if(on_line(j,a,b))continue; if(on_circle(j,a,b))continue; Point pnt $=$ find_pos(j,a,b); $\mathbf{p}[\mathbf{j}] = \mathbf{p}[\mathbf{j}] + \mathbf{ass}[\mathbf{j}] - \mathbf{pnt};$ 1 for(intj=1;j<=15；++j）{ cout< 1$ 。对于给定的边际总计， $n_1$ 的值较大时对应的样本发生比之比也较大，检验结果也就更有可能支持 $H_a$ 。 + +从独立性检验的结果可知（见下页表1），给定显著性水平 $\alpha = 0.05$ ，针对纹饰与风化、颜色与风化的假设检验，均没有充足理由拒绝原假设，即不能认为颜色、纹饰对玻璃是否风化有显著影响，符合直观认识。而玻璃类型与风化的假设检验中，p值充分小，有充足理由拒绝原假设，认为玻璃类型与是否风化具有关联性。考虑到玻璃类型与其化学成分关系密切，猜想化学成分是玻璃类型与是否风化的共同影响因素，即协变量。 + +因此，接下来将结合玻璃的类型，分析文物样品表面有无风化的化学成分含量的统计规律，并根据风化点检测数据，预测其风化前的化学成分含量。 + +表 1 表面风化与纹饰、类型、颜色的独立性检验 $\left( {\alpha = {0.05}}\right)$ + +
变量名称表面风化总计假设检验方法p值
无风化风化
纹饰A111122Fisher0.0836
B606精确检验
C171330
合计342458
类型高钾61218卡方检验0.0195
铅钡281240
合计342458
颜色黑202
蓝绿9615
绿011
浅蓝12820Fisher0.616
浅绿123精确检验
深蓝022
深绿437
紫224
合计302454
+ +# 4.2各类玻璃风化前后化学成分的统计规律 + +# 4.2.1描述性统计 + +从下图可以直观看出，对于高钾、铅钡两种不同类型的玻璃，它们风化前后化学成分含量的变化呈现出不同的统计规律。比如，高钾玻璃和铅钡玻璃风化前后的氧化钠(Na2O)含量呈现相反的变化趋势 风化后，高钾玻璃中钠的相对含量上升较多，铅钡玻璃的钠相对含量小幅下降。求出两类玻璃风化前后个化学成分相对含量均值（见下表），也可发现类似规律。 + +![](images/274261ac10feece61070e6fbf30b02b4c7121ab09f98757534b031205c4fa5fd.jpg) + +![](images/f454c8538a7d73651ca8c89e6e6f4f7cb446ab508cccf313b981caa04707cb07.jpg) + +![](images/956e7fd02b630d4898b3d04bee08f7fa1ff769f6ae6f2915d2d59977aedf9de0.jpg) + +![](images/3da1702658569ba294665b114dc30c291148e464e140cb4c14fc872f1bb59013.jpg) + +![](images/a56d683bb44b26ade92fafa8134e9a0956c237387fdb34f1e3a9973aaa03b240.jpg) + +![](images/d056e7d89ff0ab746a539fe3031c86e6676250387f8b6b304525bed064a50b3a.jpg) + +![](images/50f50bb52c996341d8aa74f2ec2f5486312590aa1825b19561111227ba87ef31.jpg) + +![](images/b72016d192545a772e7348a479014afb1ae8d2aa70abb433536be953f0149b4d.jpg) + +![](images/944b340a45df1540e6636e6a1711b7978c5dfeabc29a669eb27671b64e2978f0.jpg) + +![](images/fe6ab8e20e154b37915a0e9e8ff56189f655467f01910dfffb9f4cd31b899697.jpg) +图1 不同玻璃种类在风化前后各化学成分含量箱线图 + +![](images/f4d0e364e9f83181277bddca0705d6f3ae183c7127d8dbfaeafdaac94706a85b.jpg) + +![](images/044b6c39b1263a2879a18d3f03ab1ddef36ac8b9b5fb9728716bfff695456470.jpg) + +# 4.2.2预测模型：根据风化点数据，预测其风化前各成分含量 + +根据风化文物的化学成分含量数据预测其风化前的成分数据是一项现实且重要的工作。化学成分含量信息具有客观性，这将非常有助于考古学家推定该文物的具体年代、地域以及其制造工艺等信息，是考古学中文物鉴定的重要手段。 + +本模型的预测目标是，针对文物某一部位，根据其风化后的成分数据预测其风化前的成分数据。但是，在已给的数据集中，只有一组某一文物部位风化前后的成分数据（49号文物），其他数据均是不同文物部位在不同风化状态下的数据。这导致在已有数据中，我们无法精确将某一风化后的成分数据对应到另一风化前的成分数据，因此在建立此预测模型时，无法使用传统回归模型。 + +基于以上原因，我们将分别求出高钾、铅钡玻璃风化前后各成分相对含量均值差 $\Delta \xi_{mean}$ （通过表2求出），并通过风化后成分加上均值差的方法预测该部位风化前的成分的相对含量： + +$$ +\xi_ {e r o d e} + \Delta \xi_ {m e a n} = \xi_ {\text {p r e d i c t}} +$$ + +其中 $\xi_{\text{erode}}$ 为风化后的相对成分数据， $\xi_{\text{predict}}$ 是预测后的数据。 + +# 这样做的合理性和好处有五： + +（1）考虑了风化对不同类型玻璃相对成分的不同影响 +（2）在响应变量和解释变量的样本不具有明确一一对应关系的情况下，防止盲目套用回归模型导致过大的预测偏差 +（3）充分利用了风化前数据的信息 +（4）预测方法相对直观，解释性强 +（5）不易受严重风化点的干扰 + +表 2 不同类型玻璃风化前后各化学成分相对含量均值 + +
铅钡风化铅钡无风化高钾风化高钾无风化
二氧化硅(SiO2)3.134.1685.8864.43
氧化钠(Na2O)-2.643-1.104-1.876-1.945
氧化钾(K2O)-2.449-1.810.122.043
氧化钙(CaO)0.712-0.1181.0341.172
氧化镁(MgO)-1.314-0.976-0.98-0.171
氧化铝(Al2O3)0.8411.4831.8932.04
氧化铁(Fe2O3)-1.416-1.434-0.0160.185
氧化铜(CuO)0.146-0.2241.6390.654
氧化铅(PbO)3.7633.22-1.876-1.576
氧化钡(BaO)1.782.216-1.876-1.76
五氧化二磷(P2O5)0.957-1.1-0.1970.019
氧化锶(SrO)-1.093-1.489-1.876-2.668
二氧化硫(SO2)-2.412-2.831-1.876-2.423
+ +将预测后的 CLR 数据转变回成分数据后，预测结果如下： + +# 五、问题二的模型建立与求解 + +# 5.1界定数据范围 + +在进行类别划分前，我们首先需要界定分析数据的范围，该规则同样适用于后续亚类的划分： + +1.只使用未风化点的数据 +2. 包含变量：氧化钠(Na2O)、氧化钙(CaO)、氧化镁(MgO)、氧化铝(Al2O3)、氧化铁(Fe2O3) + +
文物采样点二氧化硅氧化钠氧化钾氧化钙氧化镁氧化铝氧化铁氧化铜氧化铅氧化镁五氧化二磷氧化锶二氧化硫
269.020.131.340.691.117.331.230.1218.580.040.310.090.02
842.120.140.060.480.041.880.035.3212.3535.790.340.181.26
08严重风化点13.490.190.081.440.062.180.042.2519.5549.110.3710.25
1165.250.130.271.050.683.510.032.3410.1615.550.830.170.02
1963.880.140.060.980.635.1711.85196.320.860.10.02
2641.530.140.060.470.040.990.035.4212.7637.080.30.230.96
26严重风化点10.350.180.751.290.062.210.042.4517.1454.030.760.4110.34
3467.610.120.320.230.042.060.310.718.1110.350.030.10.02
3666.76.180.160.10.031.810.190.2814.44100.010.090.02
3862.124.30.050.20.043.260.190.3419.1510.120.040.180.02
3959.890.150.060.390.050.770.030.4928.679.030.120.330.02
4046.590.180.070.810.060.840.180.0340.3110.220.220.450.03
4147.650.170.761.983.55.781.610.1223.4513.80.870.290.02
43部位137.240.20.082.431.334.540.793.9336.9811.990.010.460.03
43部位256.950.170.072.591.246.021.270.9724.184.691.530.290.02
4873.081.810.290.61.0512.580.490.014.435.490.070.080.01
4962.50.140.061.541.587.852.070.3715.287.261.090.240.02
5047.640.170.071.310.623.330.30.7324.0120.620.760.420.02
51部位156.210.150.061.261.358.060.950.7718.9311.190.840.210.02
51部位259.340.180.072.224.690.410.5129.380.061.10.030.03
5258.14.550.060.790.621.760.180.3922.0410.680.580.240.02
5452.570.160.511.161.56.580.030.4826.949.10.450.490.02
54严重风化点51.030.20.080.021.647.320.040.9835.90.071.910.80.03
5660.740.140.060.390.042.590.030.417.717.640.240.020.02
5754.920.140.060.440.043.170.030.6120.0620.4800.020.02
5863.550.140.481.130.824.950.631.616.948.780.850.120.02
+ +图2 铅钡玻璃风化部位风化前成分预测 + +
文物采样点二氧化硅氧化钠氧化钾氧化钙氧化镁氧化铝氧化铁氧化铜氧化铅氧化钡五氧化二磷氧化锶二氧化硫
777.590.130.984.410.328.240.754.350.190.162.720.070.08
973.60.1213.412.360.35.081.31.920.180.151.440.060.08
1072.820.1220.310.780.293.031.031.010.170.140.160.060.07
1266.960.1121.042.520.275.151.081.880.160.140.570.060.07
2261.410.1114.445.444.111.561.220.590.150.130.740.050.07
2775.760.130.963.784.2510.190.862.020.190.161.570.060.08
+ +图3 高钾玻璃风化部位风化前成分预测 + +考虑到本题可使用的数据量有限，基于决策树的机器学习效果较差，我们首先尝试了Logistic回归。Logistic回归的模型呈现出明显的过拟合，这意味着样本线性可分。因此，在观察各成分分布的散点图后，我们选取氧化钡（BaO）和氧化铅（PbO）作为高钾玻璃、铅钡玻璃分类的主要依据。为了给出更为明确的分类依据，我们选取适用于小样本、高维模式识别的支持向量机（SVM）。 + +# 5.2支持向量机(SVM)实现分类 + +# 5.2.1支持向量机(SVM)介绍 + +支持向量机（SVM）建立于结构风险最小原理基础之上，以间隔最大化为学习策略，其算法本质是求解凸二次规划的最优化算法。由于支持向量机依靠接近平面的若干支持向量建立分界线或超平面，因此能够凭借有限的样本信息获取现有条件下的全局最优解，避免了神经网络方法可能面临的样本量过少和局部最优解问题，同时还有较好的泛化能力。经过层次聚类处理，现有古代玻璃样本未风化采样点数据37个，数据维 + +度达到 14 维 (14 种化学成分), 当前分类目标是将高钾玻璃与铅钡玻璃区分为两大类, 后续还涉及对高钾玻璃与铅钡玻璃进一步区分亚类, 多分类或多个二分类支持向量机在该情形下具有很强的应用价值。 + +![](images/ea00cb7e9338e3f2a58978ba498530324b5bf4f4c840829d88099fc8abaabdea.jpg) +图4SVM示意图 + +# 5.2.2SVM求解过程 + +我们假设数据集 $(X_{1},Y_{1}),(X_{2},Y_{2}),\ldots ,(X_{n},Y_{n})$ ，其中 + +$$ +y (x) = w ^ {T} \psi (x) + b, \psi (x) \tag {1} +$$ + +是核函数。 + +Y为样本类别， + +$$ +y \left(x _ {i}\right) > 0 < = > y _ {i} = + 1 \tag {2} +$$ + +$$ +y \left(x _ {i}\right) < 0 < = > y _ {i} = - 1 +$$ + +由此可以推出， + +$$ +y _ {i} \cdot y (x _ {i}) > 0 \tag {3} +$$ + +此时，各点距离分界线的距离可以表示为 + +$$ +\operatorname {d i s t} = \frac {y _ {i} \left(w ^ {T} \cdot \psi \left(x _ {i}\right) + b\right)}{| w |} \tag {4} +$$ + +基于结构风险最小原理和间隔最大化策略，该模型优化函数为： + +$$ +\min _ {w, b} \frac {1}{2} w ^ {2} \text {且} y _ {i} \left(w ^ {T} \cdot \psi \left(x _ {i}\right) + b\right) \geq 1 \tag {5} +$$ + +此后，支持向量机引入拉格朗日乘数法求解目标函数，得到最佳决策边界。 + +# 5.2.3 SVM核函数选择 + +支持向量机中存在如下多种核函数。 + +线性核函数： + +$$ +K \left(x _ {i}, x _ {j}\right) = x _ {i} ^ {T} x _ {j} \tag {6} +$$ + +多项式核函数： + +$$ +K \left(x _ {i}, x _ {j}\right) = \left(\gamma x _ {i} ^ {T} x _ {j} + b\right) ^ {d} \tag {7} +$$ + +高斯核函数，又称radial核函数： + +$$ +K \left(x _ {i}, x _ {j}\right) = \exp \left(- \gamma \left\| x _ {i} - x _ {j} \right\| ^ {2}\right) \tag {8} +$$ + +Sigmoid核： + +$$ +K \left(x _ {i}, x _ {j}\right) = \tanh \left(\gamma x _ {i} ^ {T} x _ {j} + b\right) \tag {9} +$$ + +# 5.2.4SVM分类结果呈现 + +由于高钾玻璃和铅钡玻璃中氧化钡（BaO）、氧化铅（PbO）含量所构成的散点图线性可分，我们直接选择线性函数作为支持向量机的核函数，分析得到如下结果： + +此时，分界线的函数表达式为： + +$$ +\xi_ {P b O} = - 3. 5 1 \xi_ {B a O} + 5. 9 7 \tag {10} +$$ + +由此，高钾玻璃和铅钡玻璃的分类规律可以概括为： + +$$ +\xi_ {P b O} + 3. 5 1 \xi_ {B a O} - 5. 9 7 > 0, \text {样 本 属 于 铅 锁 玻 璃} \tag {11} +$$ + +$$ +\xi_ {P b O} + 3. 5 1 \xi_ {B a O} - 5. 9 7 < 0, \text {样 本 属 于 高 钾 玻 璃} +$$ + +![](images/4c50ac0dafb3740a61193be653bdca988046af5580b429c7511bab15dab66325.jpg) +图5SVM分类器 高钾、铅钡玻璃分类规律 + +# 5.3层次聚类模型探索性分析 + +# 5.3.1层次聚类模型介绍 + +在界定高钾玻璃、铅钡玻璃这两个类别后，我们需要探寻两者内部的亚类划分标准。 + +考虑到数据特征 维度多、样本少、分布稀疏，本文先采用层次聚类方法进行探索性分析。 + +层次聚类（Hierarchical clustering）是聚类算法的一种，通过计算不同类别数据点间的相似度来创建一棵有层次的嵌套聚类树。在聚类树中，不同类别的原始数据点是树的最低层，树的顶层是一个聚类的根节点。 + +# 5.3.2层次聚类模型设置 + +·欧几里得距离： $d(x,y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - y_i)^2}$ 计算各变量间的相对距离。 +- Ward 的最小方差方法 (Ward's minimum variance method): 最小化整个群内方差。在每个步骤中, 合并具有最小簇间距离的一对簇。 +- 凝聚聚类：也被称为AGNES（凝聚嵌套）。以自下而上的方式工作。每个对象最初被认为是单元素簇（叶子），在算法的每个步骤中，将最相似的两个群集组合成新的更大的群集（节点）。迭代此过程，直到所有点都只是一个单个大簇（root）的成员。结果可以绘制为树状图。 + +# 5.3.3层次聚类的基本原理和计算方式 + +假设已对 $\mathbf{n}$ 个样本进行分类，并且分类个数为 $\mathrm{k}$ ， $G_{1}, G_{2}, \dots, G_{k}$ 表示为 $\mathrm{k}$ 个类， $G_{t}$ 类中的样本个数用 $n_{t}$ 表示， $G_{t}$ 类的重心用 $\overline{X}^{t}$ 表示， $G_{t}$ 类的第i个样品用 $X_{i}^{t}$ 表示 $(t = 1, 2, \dots, k)$ ，则 $G_{t}$ 类中的样品离差平方和表示为： + +$$ +W _ {t} = \sum_ {i = 1} ^ {n _ {c}} \left(X _ {i} ^ {t} - \bar {X} ^ {t}\right) ^ {T} \left(X _ {i} ^ {t} - \bar {X} ^ {t}\right) \tag {12} +$$ + +其中 $X_{i}^{t}\square \overline{X}^{t}$ 为 $\mathfrak{m}$ 维向量，k类的总离差平方和为： + +$$ +W = \sum_ {t = 1} ^ {k} W _ {t} = \sum_ {t = 1} ^ {k} \sum_ {i = 1} ^ {n _ {c}} \left(X _ {i} ^ {t} - \bar {X} ^ {t}\right) ^ {T} \left(X _ {i} ^ {t} - \bar {X} ^ {t}\right) \tag {13} +$$ + +1. 将 $\mathrm{n}$ 个样本各自分为一类,此时 $\mathrm{W} = 0$ ; +2. 对其中某两个类进行合并，此时应满足使W的增加量最小； +3.不断重复直至所有的样品归为一类。 + +将某两类合并之后增加的 $\triangle W$ 作为其之间的平方距离，即 $D_{pq}^2 = W_r - (W_p + W_q)$ 表示 $G_{p}$ 和 $G_{q}$ 之间的平方距离，则： + +$$ +W _ {r} = \sum_ {i = 1} ^ {n _ {r}} \left(X _ {i} ^ {r} - \bar {X} ^ {r}\right) ^ {T} \left(X _ {i} ^ {r} - \bar {X} ^ {r}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n _ {p}} \left(X _ {i} ^ {p} - \bar {X} ^ {p}\right) ^ {T} \left(X _ {i} ^ {p} - \bar {X} ^ {p}\right) + \sum_ {i = 1} ^ {n _ {q}} \left(X _ {i} ^ {q} - \bar {X} ^ {q}\right) ^ {T} \left(X _ {i} ^ {q} - \bar {X} ^ {q}\right) \tag {14} +$$ + +其中， $\overline{X}^{\tau} = \frac{1}{n_{\tau}}\left(n_{p}\overline{X}^{p} + n_{q}\overline{X}^{q}\right)$ + +$$ +D _ {p q} = W _ {r} - \left(W _ {p} + W _ {q}\right) = \frac {n _ {p} n _ {q}}{n _ {r}} \left(\bar {X} ^ {p} - \bar {X} ^ {q}\right) ^ {T} \left(\bar {X} ^ {p} - \bar {X} ^ {q}\right) = \frac {n _ {p} n _ {q}}{n _ {r}} d _ {p q} ^ {2} \tag {15} +$$ + +当 $G_{p}$ 和 $G_{q}$ 合并为 $G_{r}$ 后， $G_{r}$ 与其它类 $G_{k}$ 的距离为： + +$$ +D _ {r k} ^ {2} = \frac {n _ {p} n _ {q}}{n _ {r}} \left(X _ {r} - \bar {X} ^ {k}\right) ^ {T} \left(X _ {r} - \bar {X} ^ {k}\right) = \frac {n _ {p} + n _ {k}}{n _ {r} + n _ {k}} D _ {p k} ^ {2} + \frac {n _ {q} + n _ {k}}{n _ {r} + n _ {k}} D _ {q k} ^ {2} - \frac {n _ {k}}{n _ {r} + n _ {k}} D _ {p q} ^ {2} \tag {16} +$$ + +# 5.3.4 聚类过程和结果 + +# 高钾玻璃层次聚类： + +观察聚类层次关系，在最大距离的垂直线处设置阈值（height=7），得到3个聚类 + +- 聚类一：3（部位1）、13、14、16 +·聚类二：1、3（部位2）、4、5、6（部位2）、21 +·聚类三：6（部位1）、18 + +为了直观反映分类标准，做出散点图如下： + +![](images/f7f100652b020e95266f54e3e719c2eea5a1954007dfedc7161b5444d6f6863f.jpg) +图6 高钾分层聚类树及形成的亚类划分 + +可以发现不同聚类在氧化纳 (Na2O)、氧化钙 (CaO)、氧化镁 (MgO) 三个成分上有较好的区分度: + +- 聚类一：高钠高钙 +- 聚类二：低钠高钙 +- 聚类三：低钙高镁 + +# 铅钡玻璃层次聚类： + +观察聚类层次关系，在最大距离的垂直线处设置阈值（height=12），得到2个聚类 + +- 聚类一：42（部位2）、33、23、29、32、47、30、25、44、45、28、53、35、31 +- 聚类二：49、55、20、37、42（部位1）、24、30 + +为了直观反映分类标准，做出散点图如下： + +可以发现不同聚类在氧化纳(Na2O)一个成分上有较好的区分度： + +- 聚类一：高钠 +- 聚类二：低钠 + +![](images/41ef2788180371af5dbdf1600b937992a312a6a9b8b92d78b38317f39c1eac65.jpg) +图7 高钾亚类散点图 + +# 5.3.5层次聚类总结 + +作为探索性分析的方法，层次聚类法为我们选择亚类和对应的指标提供了参考。在散点图中，可以发现部分成分也具有很好的区分度，呈现两极分布（例如铅钡玻璃中氧化钙），但氧化纳对于模型中的距离计算影响更大，所以这种成分的区分度并没有很好地为模型的亚类区分做参考；同时，在区分亚类时，还需要结合颜色、表面风化等分类变量和化学实践，这是该模型没有考虑到的。 + +综上，结合层次聚类法的结果，基于简单高效的目标，我们设定了亚类如下： + +- 高钾玻璃：高纳/低钠 高钙低镁/低镁高钙 +- 铅钡玻璃：高钠/低钠 + +![](images/3d3b50cf536444d5f15c47b165a68383863031f1d633b0bff3dd2ec11f984d91.jpg) +图8 铅钡分层聚类树及形成的亚类划分 + +# 5.4SVM划分亚类 + +由于层次聚类属于无监督学习，其结果只能反映样本中化学成分的相似性。为了给出更为明确的分类依据，我们选取支持向量机寻找边界。 + +同样的，在观察层次聚类中各成分之间的散点图特征后，我们选择使用线性核函数的二分类支持向量机对亚类展开进一步分析，结果如下： + +各个亚类包含的样本与其特征情况如下： + +得到亚类划分标准如下： + +$$ +\xi_ {M g O} + 2. 1 0 \xi_ {C a O} - 1. 5 1 > 0, \text {样 本 属 于 高 钙 低 镁 玻 璃} \tag {17} +$$ + +$$ +\xi_ {M g O} + 2. 1 0 \xi_ {O A O} - 1. 5 1 < 0, \text {样 本 属 于 低 钙 高 镁 玻 璃} +$$ + +$$ +\xi_ {N a 2 O} + 0. 1 0 \xi_ {C a O} - 0. 7 5 > 0, \text {样 本 属 于 高 钠 玻 璃} \tag {18} +$$ + +$$ +\xi_ {N a 2 O} + 0. 1 0 \xi_ {O a O} - 0. 7 5 < 0, \text {样 本 属 于 低 钠 玻 璃} +$$ + +![](images/e75583e192abde907aa3ab84a384c86a5afda56b491bd5707096a838d2ab6177.jpg) +图9铅钡亚类散点图 + +# 5.5SVM总结与敏感性分析 + +在上图中，我们不仅展示了分类器对于训练模型的无风化数据的良好分类效果，而且对于通过风化数据“还原”出的未风化数据也有非常好的分类效果。并且在后续进一步的敏感性分析当中可以看到，即使对分类直线的截距施加一定扰动，分类器依然可以做到有效分类。 + +因此，现有的文物亚类分类器具有良好的稳健性，其最关键地体现于——即使对已风化文物的“成分还原”会存在一定偏差，但这种偏差不会显著影响分类结果。因此，该分类模型可以有效地对风化后的玻璃文物做亚类区分。 + +![](images/c0e42a339574facad68f6e5000e0119da807d1e1446db6895ab295b995ae851f.jpg) +图10 SVM分类器 亚类划分 + +![](images/06e39cf5466f5d361e8bbc78e3fc26a7be330f875385fe0329c2f12b4c3902d7.jpg) +图11 Caption + +
亚类包含样本主要特点
高钠23, 25, 36, 38, 42, 44, 45, 47, 48, 52, 53, 54, 55多数呈浅蓝色
低钠2, 8, 11, 19, 20, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43, 46, 49, 50, 51, 54, 56, 57, 58
低钙高镁6, 18多数呈深蓝色,不易风化
高钙低镁1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 21, 22, 27
+ +# 六、问题三的模型建立与求解 + +# 6.1多重SVM分类器 + +基于问题二中引入的支持向量机，我们依次对高钾玻璃、铅钡玻璃以及其亚类的划分确立了标准。对于未知类别的玻璃文物，我们首先通过预测还原其未风化状态的化学 + +表3 敏感性分析 不同程度扰动对于模型精准度的影响 + +
00.050.10.20.30.40.5
氧化镁 (MgO)100.00%100.00%100.00%100.00%100.00%94.00%88.89%
氧化钙(CaO)100.00%100.00%100.00%100.00%94.44 %83.33%77.78%
氧化钠(Na2O)100.00%100.00%100.00%93.88%77.55%53.06%40.82%
氧化钙(CaO)100.00%100.00%100.00%95.92%91.84%75.51%61.22%
+ +成分 CLR，而后根据先前确定的分类标准，经过二次分类确定其所属亚类。 + +# 6.2类别划分 + +![](images/6a792cf8577c1a6af97c82ffd9b871a6b4537dea979fa4c8932301b8c8df4d63.jpg) +图12 问题三 文物亚类划分 + +在上图中，“Before”经过预测的某已风化文物风化前的成分相对含量数据。可以看出，除了A5样品以外，其他文物样品均能被分类器完美区分，尤其是已风化样品A2、A6、A7，经过还原其原始相对成分含量数据以后（即考虑了风化对其相关化学成分的相对含量的影响趋势），依然能够被分类器划分。该分类器可以有效地对风化后的玻璃文物做亚类区分。 + +针对样品A5，其在第一次分类中被判定为铅钡玻璃，从铅钡玻璃的总体风化情况看，其钠的相对含量会有所上升而钙的相对含量会显著下降。因此，铅钡玻璃的风化倾 + +![](images/3130d3a77e02b694aa94e7cd4377cb3d50ab1ebdc28dd41866a3455b256957fc.jpg) +图13SVM分类器 划分高钾玻璃与铅钡玻璃 + +向于朝低钠亚类发展。而 A5 经过风化后依然保持了相对较高的钠含量, 则分类器据此判定 A5 在风化前属于铅钡-高纳亚类。 + +综上所述，第三问中针对未分类样品的分类结果表明，该分类器可以有效地对风化后的玻璃文物做亚类区分，并且结果具有较好的合理性与可解释性。 + +# 七、问题四的模型建立与求解 + +# 7.1主成分分析法介绍 + +主成分分析法（PCA）是对数据矩阵奇异值分解（SVD）结果的解释过程，对于成分数据来说，中心对数变换过的数据集 $X^{*}$ 的奇异值分解由三个矩阵决定： + +$$ +\operatorname {c l r} \left(X ^ {*}\right) = U \cdot D \cdot V ^ {t} \tag {19} +$$ + +- 矩阵 $\mathrm{V}$ 的行表示变量; 它的列是矩阵 $\mathrm{D}$ 分量的标准正交向量, 称为右奇异向量、载荷或主成分; 它们定义了单纯形的一组标准正交基。 +- 矩阵 D 是一个对角矩阵, 其中 D 个奇异值按递减顺序排列; 它们被解释为数据集中的坐标在新基上的标准差。 +- 矩阵U的行表示观测值，列表示N个成分的标准正交向量，称为左奇异向量或成分得分；U的行被解释为数据集在新基上的标准化坐标。 + +现在选择前r个奇异值及其相关的前r个左右奇异向量，并计算 $X_{\tau} = U_{\tau}\cdot D_{\tau}\cdot V_{\tau}^{\dagger}$ + +这是对 $X^{*}$ 最好的 $\mathbf{r}$ 阶近似，整体的近似质量可以被以下统计量度量： + +$$ +\pi_ {r} = \sum_ {i = 1} ^ {r} d _ {i i} ^ {2} / \sum_ {j = 1} ^ {D} d _ {j j} ^ {2} \tag {20} +$$ + +除了对多维数据进行降维，主成分分析法也能解读数据集 $X^{*}$ 变量之间的相关关系，这正是本文选择主成分分析的主要原因。在进行计算前，需要对数据集进行中心对数变换，使左右奇异向量能反映成分数据的相对尺度。 + +# 7.2根据协方差双标图进行探索性分析 + +主成分分析中常用的双标图（biplot）能够帮助我们找到一些更好地描述手头数据集特定结构的投影哪些投影是值得探索的。双标图是r-2情况下（或者 $r = 3$ 情况下的3D图）对变量和观察结果的图形表示，是数据云和变量轴在二维图（或3D）上的同步投影 + +在构建双标图时，需要选择合适的形状参数（01之间），通常用 $\alpha$ 表示。之后观测值通常被用散点表示，其位置由 $U_{r} \cdot D_{r}^{(1 - \alpha)}$ 的行决定，同时，变量通常被绘制为箭头（从原点到以 $V_{r} \cdot D_{r}^{\alpha}$ 的行作为坐标的点）。 $\alpha = 0$ 时的双标图被称为“形式双标图（form biplot）”； $\alpha = 1$ 时的双标图被称为“协方差双标图（covariance biplot）” + +在协方差双标图中，箭头长度与每个变量的方差成正比，任意两个箭头之间的夹角余弦为它们的相关系数。对于成分数据，矩阵奇异值分解的对象必须是中心对数变换过的数据集，所以不能直接解释双标图中的射线：每条箭头代表一个变量的中心对数变换方差，与原始变量的关系相当复杂，但我们能根据箭头判断两个变量之间的对数比，这与我们数据集的变异矩阵密切相关。当用双标图研究相关性结构时，可以考虑以下规律： + +1. 如果两个比例变量的对数比几乎为常数，它们之间的连线应该很短，即箭头靠得很近； +2. 相反, 如果一个链接非常长, 则说明两个变量之间的对数比是高度变化的。例如, 如果有三个很长的箭头指向互成 $120^{\circ}$ 的方向, 它们的三元图将会表现得很分散; +3. 两个箭头之间的角度应该近似于两个对数比之间的相关系数 + +- 两个不相关的对数比的箭头正交，两个正交的箭头可能是不相关的； +- 在同一条线上的箭头（夹角为 $0^{\circ}$ 或者 $180^{\circ}$ ）对应的对数比是完全线性相关的，它们的子组合也共线； + +# 7.2.1 高钾玻璃双标图 + +做出山崖落石图，观察解释比例，PC1-4共可以解释这13个变量 $92.11\%$ 变异程度。 + +![](images/2f7e1426a0bf6a81f6cc45d98f245c8a4ab331129e8062e3c5d9b860ce0c90b0.jpg) +图14 高钾玻璃成分的山崖落石图 + +做出主成分载荷矩阵图，发现： + +- 第一主成分主要与氧化钙(CaO)、氧化锶(SrO)斜交,而基本不能被其余变量表示； +- 第二主成分主要与氧化铁 (Fe2O3)、氧化钡 (BaO) 斜交, 而基本不能被其余变量表示; +- 第三主成分主要与氧化铜 $\left(\mathrm{CuO}\right)$ 、二氧化硫 $\left(\mathrm{SO2}\right)$ 斜交, 而基本不能被其余变量表示; + +双标图表现出的比例变量之间的关系： + +1. 对数比变化不大的变量：氧化钙(CaO)、氧化锶(SrO)、氧化铁(Fe2O3)、氧化钡(BaO) +2.高度线性相关的变量组合： + +二氧化硅(SiO2)-氧化铝（Al2O3） +- 氧化纳(Na2O)-氧化钾(K2O)-二氧化硫(SO2) +- 氧化铁(Fe2O3)-氧化铜(CuO) + +3. 对于以上组合，组间几乎正交，即相关性不强 + +# 部分理论解释： + +- 对于二氧化硅 $\left(\mathrm{SiO}2\right)$ 和氧化铝 $\left(\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}\right)$ : 两者之间易以络合的方式形成 $\mathrm{Si}-\mathrm{O}-\mathrm{Si}$ 键、 $\mathrm{Si}-\mathrm{O}-\mathrm{Al}$ 键, 形成铝硅酸盐 $\left(\mathrm{xAl}_{2} \mathrm{O}_{3} \cdot \mathrm{ySiO}_{2}\right)$ , 即硅酸盐中的 $\mathrm{SiO}_{4}$ 四面体的一部分由 $\mathrm{AlO}_{4}$ 四面体取代组成, 故两者之间含量可能存在一定相似性。 +- 对于氧化纳 (Na2O) 和氧化钾 (K2O): 钠和钾作为同族元素性质相似, 在制造高钾玻璃的过程中会加入草木灰 (碳酸钾和少量磷)、泡碱 (水合碳酸钠)、硝石 (硝酸钾) 等物质, 故钠和钾的含量具有一定相关性。 + +![](images/3094118c63cadb0d3d3980876a25f018880b119c01f7c7d1c66fc00c2ce0b690.jpg) +图15 高钾玻璃主成分载荷矩阵图 + +# 7.2.2铅钡玻璃双标图 + +做出山崖落石图，观察解释比例，PC1-4共可以解释这13个变量 $90.92\%$ 变异程度。 +做出主成分载荷矩阵图，发现： + +- 第一主成分主要与氧化铝 (Al2O3)、二氧化硅 (SiO2)、二氧化硫 (SO2) 斜交, 而基本不能被其余变量表示; +- 第二主成分主要与氧化钠 (Na2O)、氧化钡 (CaO)、氧化铁 (Fe2O3)、氧化钡 (BaO)、五氧化二磷 (P2O5) 斜交, 而基本不能被其余变量表示; + +双标图表现出的比例变量之间的关系： + +1. 对数比变化不大的变量：氧化钾(K2O)、氧化锶(SrO) +2.高度线性相关的变量组合： + +- 氧化钡 (BaO)-氧化铜 (CuO)-氧化镁 (MgO)[负相关]-氧化铁 (Fe2O3)[负相关] +- 五氧化二磷(P2O5)-氧化钙(CaO)-氧化纳(Na2O)[负相关] + +3. 对于以上组合，组间几乎正交，即相关性不强 + +![](images/5f57dad0fef01ef2bd95d2dc8d11d5b7b4f3074bebae1d21bd25e8336306ecb0.jpg) +(a)风化前后对比 + +![](images/c5901095da778c2f482b10c33ccbe5b815cd4be807a370ae4448ebb146b5521c.jpg) +(b)各指标之间对比 + +![](images/86d9164c30bf38f00c424408a2594b0805e619b9d7e0638ab659029046371221.jpg) +图16 双标图（横纵坐标分别为第一、第二主成分） +图17 铅钡玻璃成分的山崖落石图 + +# 部分理论解释： + +- 对于氧化钡 $\left(\mathrm{BaO}\right)$ 、氧化铜 $\left(\mathrm{CuO}\right)$ 和氧化镁 $\left(\mathrm{MgO}\right)$ ：镁钡作为同族元素，性质具有相似性，故具有强线性关系，而铜和镁都能提供氧化层保护以阻碍金属离子移动，达到防风化的目的，在功能上相互有替代性（混合碱效应和阻塞效应） + +![](images/0f78464fb7768876dc93590713f573efc7ed1dd65581249c60255b8f24144b8e.jpg) +图18 铅镍玻璃主成分载荷矩阵图 + +# 7.3 高钾玻璃和铅钡玻璃成分关系对比 + +- 变量对数比的大小方面，铅钡玻璃整体上是高度变化的，但作为铅钡玻璃的主要成分之一的氧化铅相对含量却基本上没有变化，氯化钾和氧化锶也基本保持稳定；高钾玻璃变化大的变量相对较少，除去氧化钙、氧化锶、氧化铁、氧化钡，其它的相对含量都基本稳定。 +- 变量对数比的相关性方面, 铅钡玻璃有强相关性的是氧化钡 (BaO)-氧化铜 (CuO)-氧化镁 (MgO)[负相关]-氧化铁 (Fe2O3)[负相关]、五氧化二磷 (P2O5)-氧化钙 (CaO)-氧化纳 (Na2O)[负相关]; 高钾玻璃是二氧化硅 (SiO2)-氧化铝 (Al2O3)、氧化纳 (Na2O)-氧化钾 (K2O)-二氧化硫 (SO2)、氧化铁 (Fe2O3)-氧化铜 (CuO)。并且相对而言, 高钾玻璃存在线性相关关系的变量对数比之间的相关系数更接近 1 或 -1(余弦值绝对值更大)。 + +![](images/de025b05d095011f077b923e0c03c8caf2679c0cf3f52f8df94712499fb66b36.jpg) +(a)风化前后对比 +图19 双标图（横纵坐标分别为第一、第二主成分） + +![](images/30a55679803475c8c1506d25aac82698ad62cde30cf02899dbbcf7b94bbe1023.jpg) +(b)各指标之间对比 + +# 附录A 代码-R语言 + +```r +library(robCompositions) +library(ggplot2) +library(MASS) +library(mlr) +library(mvnormtest) +library(tidyverse) +library(plots) +library(openxlsx) +library(tidyr) +library(ggpbr) +data = read.xlsx("C题数据.xlsx",sheet = 1) +for (i in 1:nrow(data)){data$累计[i] = sum(data[1,7:20],na rm = T) +} +data = data[data$累计>=65&data$累计<=105,] +data = data[-19] +for (i in 8:ncol(data)){data[,i][is.na(data[,i])] <- 0.04data[,i][data[,i] == 0] = 0.04} +data=tidyr::unite(data,"类型和风化程度","类型','部位风化',remove = FALSE) +data$类型 <- as.factor(data$类型) +data$表面风化 <- as.factor(data$表面风化) +``` + +```txt +data\\(部位风化<-as.factoror(data\\)部位风化) +data\\(类型和风化程度 = as.factoror(data\\)类型和风化程度) +data_logcenter \(=\) data +data_logcenter[,8:20] \(=\) t(scale(t(log(data_logcenter[,8:20]),scale \(=\) F)) +#第一问属性数据分析 +data1 \(=\) read.xlsx("C题数据.xlsx",sheet=3) +category \(=\) table(data1\\(类型,data1\\)表面风化) +addmargins(category) +chisq.test(category) +colour \(=\) table(data1\\)颜色,data1\\(表面风化) +addmargins(colour) +fisher.test(colour) +decoration \(=\) table(data1\\(纹饰,data1\\)表面风化) +addmargins(decoration) +fisher.test(decoration) +#第一问预测 +unit \(=\) function(data)\{ + for(i in 1:nrow(data)){\(\mathrm{data}[i,] = \mathrm{data}[i,]/\mathrm{sum}(\mathrm{data}[i,]) * 100\) }return(data) +} +predict_Ba \(=\) read.xlsx("第一问预测2.0.xlsx",sheet \(= 1\) ) +predict_Ba[,8:20] \(=\) unit(exp(predict_Ba[,8:20]) +write.xlsx(predict_Ba,"第一问铅钡预测.xlsx") +predict_K \(=\) read.xlsx("第一问预测2.0.xlsx",sheet \(= 2\) ) +predict_K[,8:20] \(=\) unit(exp(predict_K[,8:20]) +write.xlsx(predict_K,"第一问高钾预测.xlsx") +data_logcenter_X_no \(=\) data_logcenter[ data_logcenter\\)类型 \(=\) "高钾" & data_logcenter\\(部位风化 \) +"无风化".] + # +``` + +```txt +data_logcenter_K_with = data_logcenter[data_logcenter$类型 == "高钾" & data_logcenter$部位风化 += "风化"] +data_logcenter_Ba_no = data_logcenter[data_logcenter$类型 == "铅钡" & data_logcenter$部位风化 += "无风化"] +data_logcenter_Ba_with = data_logcenter[data_logcenter$类型 == "铅钡" & data_logcenter$部位风化 += "风化"] +pairs(data_logcenter_K[,8:20],col = data_logcenter_K$部位风化) +pairs(data_logcenter_K[,8:20],col = data_logcenter_Ba$部位风化) +pairs(log(data[data$类型 == "高钾",8:20]),col = data$部位风化) +data_test1 = data_logcenter[,c(9,11:14)] +data_test2 = data[,c(9,11:15,18)] +data_test3 = log(data[data$部位风化=='无风化',c(9,11:15,18)]) +``` + +```r +"氧化钙(CaO)含量")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'氧化镁(MgO)',fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g5 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = + "氧化镁(MgO)含量")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'氧化铝(A1203)',fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g6 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = + "氧化铝(A1203)含量")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'氧化铁(Fe203)',fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g7 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = + "氧化铁(Fe203)含量")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'氧化铜(CuO)',fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g8 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = + "氧化铜(CuO)含量")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'氧化铅(PbO)',fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g9 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = + "氧化铅(PbO)含量")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'氧化钡(BaO)',fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g10 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = "氧化钡(BaO)")+theme_bw()+theme(legend.position + = c(0.9, 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'五氧化二磷(P205)' fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g11 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = + "五氧化二磷(P205)")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'氧化锡(SrO)',fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g12 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = + "氧化锡(SrO)含量")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x=data$'类型',y=data$'二氧化硫(SO2)' fill=data$'部位风化',data$'类型')) +g14 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = + "二氧化硫(SO2)含量")+theme_bw()+theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title=element_blank()) +``` + +$\mathsf{p} < - \mathsf{gg}$ arrange(g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9,g10,g11,g12,ncol $= 3$ ,nrow $= 4$ ,common. legend $=$ T,legend $\equiv$ right') +chemistry $\equiv$ names(data_logcenter)[8:20] +apply(data_logcenter_Ba_no[,S:20],MARGIN $= 2$ ,mean) +apply(data_logcenter_Ba_with[,8:20],MARGIN $= 2$ ,mean) +apply(data_logcenter_X_no[,8:20],MARGIN $= 2$ ,mean) +apply(data_logcenter_Ba_with[,8:20],MARGIN $= 2$ ,mean) + +第一问属性数据分析data1 = read.xlsx("C题数据.xlsx", sheet=3) + +```txt +category = table(data1$类型,data1$表面风化) +addmargins(category) +chisq.test(category) +``` + +```txt +colour = table(data1$颜色,data1$表面风化) +addmargins(colour) +fisher.test(colour) +``` + +```txt +decoration = table(data1$纹饰, data1$表面风化) +addmargins(decoration) +fisher.test(decoration) +``` + +第三间数据处理 + +```txt +data3 = read.xlsx("C题数据.xlsx",sheet=2) +data3 = data3[-15] +``` + +for（iin3:15){data3[,i][is.na(data3[,i]）] $= 0.04$ data3[,i][data3[,i]=0] $= 0.04$ + +```txt +data3[,3:15] = t(scale(t(log(data3[,3:15]),scale = F)) +write.table(data3, "第三间.csv", sep='', '.', row.=F) +``` + +#- 分层聚类 + +```r +library( ggplot2) +``` + +```r +library(MASS) +library(mlr) +library(mvnormtest) +library(tidyverse) +library(plotsly) +library(openxlsx) +library(tidyr) +library(ggpbr) +library(e1071) +library("pROC") +#筛选影响分层聚类的成分，保留“氧化钠”、“氧化钙”、“氧化镁”、“氧化铝”、“氧化铁” +data_K = data[data$类型 == '高钾'] +data_K=data_K[,c(9,11:15,18)] +data_Ba = data[data$类型 == '铅钡'] +data_Ba=data_Ba[,c(9,11:15,18)] +#对高钾玻璃进行分层聚类# +hc_K=hclust(dist(data_K,method = "euclidean"),method = "ward.D2") +hc_X +plot(hc_K,hang = -0.01,cex=0.7) +h = locator(1)$y +rect.hclust(hc_K,h=h) +gr = cutree(hc_K,h=h) +plot(data_K,col=gr) +#对铅银玻璃进行分层聚类# +hc_Ba=hclust(dist(data_Ba,method = "euclidean"),method = "ward.D2") +hc_Ba +plot(hc_Ba,hang = -0.01,cex=0.7) +h = locator(1)$y +rect.hclust(hc_Ba,h=h) +gr = cutree(hc_Ba,h=h) +plot(data_Ba,col=gr) +#---------PCA--------# +``` + +library(xitr) +library(xableExtra) +library(mvdalab) +library(psych) +library("readxl") +library("GpArotation") +library("ggpubr") +library(fusb) +library(ggpubr) +library(tidyverse) +library(ggrepel) +library(factoextra) +library(RColorBrever) +library(FactoMineR) +library(correspot) +library(RColorBrever) +data_n=read.csv('logcenter.csv') +data ori=data_n[data_n$类型='高钾','] +data_m=data ori[-c(1,2,3,4,5,6,7,21)] +data_m=as.data.frame(data_m) +fa.parallel(data_m,fa="pc",n_iter=100,show. legend $\equiv$ FALSE) +pca<-prcomp(data_m,center $=$ FALSE) +summary(pca_m) +pca2_m = PCA(data_m, scale-unit = T,ncp=5,graph = T) +my_color = c('pink','seagreen','skyblue','plum') +colors = my_color[as.factor(data_ori\$'表面风化')] +var_explained <- pca_n$sdev^2/sun(pca_n$sdev^2) +fviz_pca_biplot(pca2_m,axes = c(1,2),geom_ind = c("point"),geom.var = c("arrow","text"), pointshape $= 16$ ,pointsize $= 1$ ,addEllipses $= \mathrm{TRUE}$ . label $=$ "var",repol $=$ TRUE,col.var $=$ "grey50". labelsize $= 0.5$ . col.ind $=$ data_ori\$'表面风化')+ +scale_color_manual(values $=$ colorRampPalette(brewer.pal(12,"Paired")) (4))+ +labs(x=pasteO((PC1: ",round(var_explained[1]*100,2),"%")). y=pasteO((PC2: ",round(var_explained[2]*100,2),"%")). title="PCA-Biplot")+ +theme(table(background $=$ element_rect(fill $=$ 'white',colour $=$ 'black'), axis.title.x $=$ element_text(colour="black",size $= 12$ ,margin $=$ margin(t=12), axis.title.y $=$ element_text(colour="black",size $= 12$ ,margin $=$ margin(r=12), axis.text $\equiv$ element_text(color="black"), plot.title $=$ element_text(size=12,color $=$ "black",hjust=0.5,face $=$ "bold"), legend.title $=$ element_blank(), + +```txt +legend.key=element_blank(), +legend.text = element_text(color="black",size \(= 9\) ), +legend-spacing.x \(\equiv\) unit(0.1,'cn'), +legend.key.width \(\equiv\) unit(0.2,'cn'), +legend.key.height \(\equiv\) unit(0.2,'cm'), +legend/background \(\equiv\) element_blank(), +legend.box(background \(\equiv\) element_rect(colour \(\equiv\) "black"), +legend.position=c(1,0),legend.justification=c(1,0)) +corrplot(get_pca_var(pca2_m)\(cos2,is.corr \)\equiv\( FALSE,col \)\equiv\( brever.pal(9,"Blues"), number.cex \(= 0.5\) ,addCoef.col \(\equiv\) "grey50"，t1.col \(\equiv\) "black"，t1.cex \(= 0.7\) ，cl.cex \(= 0.7\) ） +fviz_pca_var(pca2_n,axes \(\equiv\) c(1,2), col.var \(\equiv\) "cos2", gradient.cols \(\equiv\) brever.pal(9,"Blues"), repel \(\equiv\) TRUE) +pca_m\$\$rotation +data_n \(\equiv\) read.csv('logcenter.csv') +data ori=data_n[data_n类型 \)\equiv\( '铅银'，] +data_m \(\equiv\) data ori[-c(1,2,3,4,5,6,7,21)] +fa.parallel(data_m,fa \(\equiv\) "pc",n_iter=100,show. legend \(\equiv\) FALSE) +pca_m<-prcomp(data_m,center \(\equiv\) FALSE) +summary(pca_m) +pca2_m \(\equiv\) PCA(data_m,scale(unit \(\equiv\) T,ncp \(= 5\) ,graph \(\equiv\) T) my_color \(\equiv\) c('pink','seagreen','skyblue','plum') colors \(\equiv\) my_color[as.factor(data_ori's表面风化')] +var_explained <- pca_m\$dev~2/sun(pca_m\$sdev~2) +fviz_pca_biplot(pca2_n,axes \(\equiv\) c(1,2)，geom.ind \(\equiv\) c("point")，geom.var \(\equiv\) c("arrow","text"), pointshape \(= 16\) ,pointsize \(= 1\) ,addEllipses \(=\) TRUE, label \(\equiv\) "var",repel \(\equiv\) TRUE,col.var \(\equiv\) "grey50", labelsize \(= 0.5\) . col.ind \(=\) data_ori\$'表面风化')+ scale_color_manual(values \(\equiv\) colorRampPalette(brewer.pal(12,"Paired")) (4))+ labs(x=pasteO((PC1: ",round(var_explained[1]*100,2),"%")”， y=pasteO((PC2: ",round(var_explained[2]*100,2),"%")）， title \(=\) "PCA-Biplot")+ theme(table(background \(\equiv\) element_rect(fill \(=\) 'white'，colour \(=\) 'black'), axis.title.x \(\equiv\) element_text(color \(\equiv\) "black",size \(= 12\) ,margin \(=\) margin(t=12)), axis.title.y \(\equiv\) element_text(color \(\equiv\) "black",size \(= 12\) ,margin \(=\) margin(r=12)) +``` + +```javascript +axis.text \(=\) element_text(color \(\equiv\) "black"). plot.title \(=\) element_text(size \(= 12\) ,colour \(=\) "black",hjust \(= 0.5\) ,face \(=\) "bold"), legend.title \(=\) element_blank(), legend.key \(=\) element_blank(), legend.text \(=\) element_text(color \(\equiv\) "black",size \(= 9\) ), legend-spacing.x \(\coloneqq\) unit(0.1,'cm'), legend.key.width \(\coloneqq\) unit(0.2,'cm'), legend.key.height \(\coloneqq\) unit(0.2,'cm'), legend/background \(=\) element_blank(), legend.box.background \(=\) element_rect(color \(\equiv\) "black"), legend.position=c(1,0),legend.justification=c(1,0)) corrplot(get_pca_var(pca2_m)\(\\)cos2, is.corr \(\equiv\) FALSE,col \(=\) brewer.pal(9,"Blues"), number.cex \(= 0.5\) , addCoef.col \(\equiv\) "grey50", t1.col \(=\) "black", t1.cex \(= 0.7\) , cl.cex \(= 0.7\) ) fviz_pca_var(pca2_n,axes=c(1,2), col.var \(\equiv\) "cos2", gradient.xls \(\equiv\) brewer.pal(9,"Blues"), repel \(\equiv\) TRUE) +pca_ \)=\$\text{rotation}\ +``` + +# 台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台台 + +# 箱线图&点图 + +library(ggplot2) +library(MASS) +library(mlr) +library(mvnormtest) +library(tidyverse) +library(plotsly) +library(openxlsx) +library(tidyr) +library(ggpubr) +library(e1071) +library("pROC") +setwd("C:\Users\Qiu\Desktop\R for MCM") data $=$ read.csv("logcenter.csv") +for (i in 8:ncol(data)){ data[,i][is.na(data[,i])]<-0 +} +data_1 $\equiv$ data[1:67,c(4,8:20)] + +# #SVM数据导入 + +```txt +data_un = data[data$部位风化 == "无风化",] +data_un = data_un[1:35,c(4,8:20)] +data_un_K = read.csv("高钾_无风化.csv") +``` + +```python +data_un_K = data_un_K[,c(4,8:20)] +data_un_P = read.csv("铅银_无风化.csv") +data_un_P = data_un_P[,c(4,8:20)] +data_pre_K = read.csv("高钾_预测结果.csv") +data_pre_K = data_pre_K[,c(4,8:20,23)] +data_pre_P = read.csv("铅银_预测结果.csv") +data_pre_P = data_pre_P[,c(4,8:20,23)] +data_2 = read.csv("第三问预测2.csv") +data_3 = data_2 +data_3 = data_3[,c(2,4:16)] +data_3_K = data_3[c(1,7,8,11,12),] +data_3_P = data_3[-c(1,7,8,11,12),] +``` + +```r +#SVM支持向量机(大类划分) +data_un$类型<-as.factor(data_un$类型) +svm_model_un=svm(类型-氧化铝.PbO.+氧化钡.BaO.,data=data_un,kernel = "linear") +summary(svm_model_un) +plot(svm_model_un,data_un,氧化钡.BaO.-氧化铅.PbO.) +w=t(svm_model_un$coef s)%%svm_model_un$SV +b = -svm_model_un$rho +-1/v[1,2] +-v[1,1]/v[1,2] +abline(a = -b/v[1,2],b=-w[1,1]/v[1,2]) +p1 = ggplot(data_un) + +aes(x = 氧化铅.PbO., y = 氧化钡.BaO., colour = 类型) + +geom_point(shape = "circle", size = 3) + +scale_color_hue(direction = 1) + +theme_bw()+ theme(legend.title=element_blank()+ xlab("氧化铅(PbO)"). + +ylab("氧化钡(BaO)"). + +ggtitle("SVM分类器——高钾、铅钡分类规律") + +theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))+ annotate(geom="text", parse=T, label='y = -3.51x + 5.97')+ +geom_abline(intercept=5.965778,slope = -3.514822, lvd=1.5) +p1 +``` + +```txt +data_un_K$氧化钠.Na2O. +#SVM支持向量机（高钾亚类划分） +data_un_K$类型="高钙低镁" +data_un_K$类型[6] = "低钙高镁" +data_un_K$类型[11] = "低钙高镁" +data_un_K$类型<-as.factor(data_un_K$类型) +svm_model_K=svm(data_un_K$类型-data_un_K$氧化钙.CaO.+data_un_K$氧化镁.MgO.,data=data_un_K,kernel +``` + +```txt +\(= "linear"\) +summary(svm_model_X) +p2 \(=\) ggplot(data_un_X)+ +aes \(\mathbf{\Phi} =\) 氧化钙.CaO.,y \(=\) 氧化镁.MgO.,colour \(=\) data_un_K\\(类型）+ geom_point(shape \(=\) "circle",size \(= 3\) ）+ scale_color_hue(direction \(= 1\) ）+ theme_bw()+ theme(legend.title \(\equiv\) element_blank())+ xlab("氧化钙(CaO))+" ylab("氧化镁(MgO))+" ggtitle("SVM分类器——高钾亚类分析结果") \(^+\) theme(plot.title \(=\) element_text(hjust \(= 0.5)\) + geom_abline(intercept \(= 2.099382\) ,slope \(= 1.95199\) ,ld \(= 1.5\) )+ geom_abline(intercept \(= 1.599382\) ,slope \(= 1.95199\) ,lty \(= 2\) + geom_abline(intercept \(= 2.599382\) ,slope \(= 1.95199\) ,lty \(= 2\) + geom_abline(intercept \(= 1.099382\) ,slope \(= 1.95199\) ,lty \(= 3\) + geom_abline(intercept \(= 3.099382\) ,slope \(= 1.95199\) ,lty \(= 3\) ) +p2 +``` + +SVM支持向量机（铅银亚类划分） + +```txt +data_un_P$类型="低钠" +data_un_P$类型[2] = "高钠" +data_un_P$类型[4] = "高钠" +data_un_P$类型[14] = "高钠" +data_un_P$类型[15] = "高钠" +data_un_P$类型[16] = "高钠" +data_un_P$类型[17] = "高钠" +data_un_P$类型[19] = "高钠" +data_un_P$类型[22] = "高钠" +data_un_P$类型[23] = "高钠" +``` + +```r +data_un_P$类型<-as.factor(data_un_P$类型) +x=data_un_P[,c(3,5)] +y=data_un_P$类型 +svm_model_P=svm(x,y,data=data_un_P,kernel = "linear") +summary(svm_model_P) +w=t(svm_model$coef%)%*svm_model$SV +b = -svm_model$rho +-1/v[1,2] +-v[1,1]/v[1,2] +p3 = ggplot(data_un_P) + +aes(x = 氧化钙.Ca0., y = 氧化钠.Na20., colour = data_un_P$类型) + +geom_point(shape = "circle", size = 3) + +scale_color_hue(direction = 1) + +theme_bw() +``` + +```txt +theme(legend.title=element_blank()) +xlab("氧化钙(CaO)")+ ylab("氧化钠(Na2O)")+ ggtitle("SVM分类器——铅钡豆类分析结果") + + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))+ geom_abline(intercept = 0.09629258, slope = 0.7481686, lvd = 1.5)+ + geom_abline(intercept = 0.59629258, slope = 0.7481686, lty = 2)+ + geom_abline(intercept = -0.40370742, slope = 0.7481686, lty = 2)+ + geom_abline(intercept = 1.09629258, slope = 0.7481686, lty = 3)+ + geom_abline(intercept = -0.90370742, slope = 0.7481686, lty = 3) +p3 +#SVM支持向量机（无风化预测数据划分） +pred=predict(svm_model_X,newdata = data_pre_K[,5:6]) +pred=predict(svm_model_P,newdata = data_pre_P) +pred +data_pre_P$类型 = as.factor(data_pre_P$类型) +data_pre_X$类型 = "高钙低镁" +data_pre_K[c(12,17),1] = "低钙高镁" +data_pre_K$类型 = as.factor(data_pre_K$类型) +data_pre_K$shape = as.factor(data_pre_K$shape) +p1 = ggplot(data_pre_K)+ + aes(x = 氧化钙.CaO., y = 氧化镁.MgO., colour = 类型, shape = shape, + geom_point(size = 3)+ + scale_color_hue(direction = 1)+ + theme_bw()+ + theme(legend.title=element_blank()+ + xlab("氧化钙(CaO)").+ + ylab("氧化镁(MgO)").+ + ggtitle("SVM分类器——高钾玻璃豆类划分") + + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)+ + geom_abline(intercept = 2.099382, slope = 1.95199, lwd = 1.5)+ + geom_abline(intercept = 1.599382, slope = 1.95199, lty = 2)+ + geom_abline(intercept = 2.599382, slope = 1.95199, lty = 2)+ + geom_abline(intercept = 1.099382, slope = 1.95199, lty = 3)+ + geom_abline(intercept = 3.099382, slope = 1.95199, lty = 3) +p1 +``` + +```python +data_pre_P$类型="低钠" +data_pre_P$类型[which(data_pre_P$氧化钠.Na20.>0)]="高钠" +data_pre_P$类型[23]="高钠" +data_pre_P$类型 = as.factor(data_pre_P$类型) +p2 = ggplot(data_pre_P) + +aes(x = 氧化钙.CaO., y = 氧化钠.Na20., colour = 类型, shape = shape) + +``` + +```txt +geom_point(size = 3) + +scale_color_hue(direction = 1) + +theme_bw()+ +theme(legend.title=element_blank())+ xlab("氧化钙(CaO)"). + +ylab("氧化钠(Na2O)"). + +ggtitle("SVM分类器——铅银玻璃亚类划分") + +theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) + +geom_abline(intercept = 0.09629258 ,slope = 0.7481686,1wd = 1.5)+ +geom_abline(intercept = 0.59629258 ,slope = 0.7481686,1ty=2)+ +geom_abline(intercept = -0.40370742 ,slope = 0.7481686,1ty=2)+ +geom_abline(intercept = 1.09629258 ,slope = 0.7481686,1ty=3)+ +geom_abline(intercept = -0.90370742 ,slope = 0.7481686,1ty=3) +p2 +``` + +```txt +p<- ggarrange(p1.p2) p +``` + +#SVM支持向量机（第三间数据划分） +```prolog +label = data_2$文物编号 +p1 = ggplot(data_3) + +aes(x = 氧化铅.PbO., y = 氧化钡.BaO., colour = 类型) + +scale_fill_manual(values = colors)+ +geom_point(shape = "circle", size = 3) + +theme_bv()+ theme(legend.title=element_blank()+ geom_text_repel(aes.label = label), nudge_y = -0.25)+ +xlab("氧化铅(PbO)"). + +ylab("氧化钡(BaO)"). + +ggtitle("SVM分类器——高钾、铅镁玻璃划分") + +theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))+ geom_abline(intercept=5.965778, slope = -3.514822, lwd = 1.5)+ +geom_abline(intercept=5.465778, slope = -3.514822, lty=2)+ +geom_abline(intercept=6.465778, slope = -3.514822, lty=2)+ +geom_abline(intercept=6.965778, slope = -3.514822, lty=3)+ +geom_abline(intercept=4.965778, slope = -3.514822, lty=3) +p1 +``` + +```txt +data_3_K$类型="高钙低镁" +p2 = ggplot(data_3_K) + +aes(x = 氧化钙.CaO., y = 氧化镁.MgO., colour = 类型) + +geom_point(shape = "circle", size = 3) + +scale_color_hue(direction = 1) + +ylim(-4, 3)+ +xlim(-2, 3)+ +theme_bv()+ theme(legend.title=element_blank()+ +``` + +```csv +geom_text(aes[label = c("A1","A6","A7","A6_before","A7_before”),nudge_y = -0.25)+ +xlab("氧化钙(CaO)")+ylab("氧化镁(MgO)")+ggtitle("SVM分类器——高钾玻璃亚类划分") + +theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)+ +geom_abline(intercept = 2.099382 ,slope = 1.95199,lwd = 1.5)+ +geom_abline(intercept = 1.599382 ,slope = 1.95199,lty=2)+ +geom_abline(intercept = 2.599382 ,slope = 1.95199,lty=2)+ +geom_abline(intercept = 1.099382 ,slope = 1.95199,lty=3)+ +geom_abline(intercept = 3.099382 ,slope = 1.95199,lty=3) +p2 +data_3_P$类型="低钠" +data_3_P$类型[7] = "高钠" +p3 = ggplot(data_3_P) + +aes(x = 氧化钙.CaO., y = 氧化钠.Na2O., colour = 类型) + +geom_point(shape = "circle", size = 3) + +scale_color_hue(direction = 1) + +theme_bw()+ theme(legend.title=element_blank()+ geom_text(aes labelled = c("A3","A4","A8","A2","A5","A2_before","A5_before”),nudge_y = +-0.15,nudge_x = 0.3)+ +xlab("氧化钙(CaO)").+ +ylab("氧化钠(Na2O)").+ +ggtitle("SVM分类器——铅银玻璃亚类划分") + +theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)+ +geom_abline(intercept = 0.09629258 ,slope = 0.7481686,lwd = 1.5)+ +geom_abline(intercept = 0.59629258 ,slope = 0.7481686,lty=2)+ +geom_abline(intercept = -0.40370742 ,slope = 0.7481686,lty=2)+ +geom_abline(intercept = 1.09629258 ,slope = 0.7481686,lty=3)+ +geom_abline(intercept = -0.90370742 ,slope = 0.7481686,lty=3) +p3 +#data=tidyr::unite(data, "类型和风化程度", '类型', '表面风化', remove = FALSE)# +``` + +```r +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化钾(K20)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型')) +g3 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = + "氧化钾(K20)含量") + theme_bv() + theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title = element_blank()) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化钙(CaO)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型')) +g4 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = + "氧化钙(CaO)含量") + theme_bv() + theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title = element_blank)) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化镁(MgO)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型')) +g5 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = + "氧化镁(MgO)含量") + theme_bv() + theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title = element_blank)) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化铝(A1203)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型') +g6 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = + "氧化铝(A1203)含量") + theme_bv() + theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title = element_blank)) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化铁(Fe203)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型') +g7 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = + "氧化铁(Fe203)含量") + theme_bv() + theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title = element_blank)) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化铜(CuO)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型')) +g8 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = + "氧化铜(CuO)含量") + theme_bv() + theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title = element_blank)) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化铅(PbO)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型')) +g9 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = + "氧化铅(PbO)含量") + theme_bv() + theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title = element_blank)) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化钡(BaO)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型')) +g10 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = "氧化钡(BaO)", + theme_bv() + theme(legend.position + = c(0.9, 0.9), legend.title = element_blank)) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '五氧化二磷(P205)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型' +g11 <- g + geom_boxplot() + labs(x = "玻璃种类", y = + "五氧化二磷(P205)", + theme_bv() + theme(legend.position = c(0.9, + 0.9), legend.title = element_blank)) +g <- ggplot(data = data, aes(x = data$, '类型', y = data$ '氧化锡(SrO)', fill = data$ '表面风化', data$ '类型')) +``` + +```r +g12 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = "氧化锡(SrO)含量")+theme_bv()+theme(legend.position = c(0.9, 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x="data$'类型",y="data$'氧化锡(SnO2)",fill="data$'表面风化",data$'类型')) +g13 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = "氧化锡(SnO2)").+theme_bv()+theme(legend.position = c(0.9, 0.9), legend.title=element_blank()) +g <- ggplot(data=data,aes(x="data$'类型",y="data$'二氧化硫(SO2)",fill="data$'表面风化",data$'类型')) +g14 <- g + geom_boxplot()+labs(x="玻璃种类",y = "二氧化硫(SO2)含量")+theme_bv()+theme(legend.position = c(0.9, 0.9), legend.title=element_blank()) +p <- ggrange(g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9,g10,g11,g12,g13,g14,ncol=3,nrow=5,common,X,legend='T,legend='right') +data类型 <- as.factor(data类型) +p1 = ggplot(data)+ +aes(x = '氧化钾(K20)', y = '二氧化硅(SiO2)', colour = data类型)+ +geom_point(shape = "circle", size = 1.5)+ +scale_color_hue(direction = 1)+ +theme_minimal)+ +theme(legend.title=element_blank(){ +ggtitle("Box Plus Minus vs. MVP Share") + +theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) +p1 +p2 = ggplot(data_1)+ +aes(x = 氧化铝.PbO., y = 氧化钡.BaO., colour = data_1类型)+ +geom_point(shape = "circle", size = 1.5)+ +scale_color_hueirection = 1)+ +theme_minimal)+ +theme(legend.title=element_blank(){ +ggtitle("Box Plus Minus vs. MVP Share") + +theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) +p2 +p2 = ggplot(data_un)+ +aes(x = 氧化铅.PbO., y = 氧化钡.BaO., colour = 类型)+ +geom_point(shape = "circle", size = 3)+ +scale_color_hue的方向 = 1)+ +theme_bv)+ +theme(legend.title=element_blank() +``` + +```matlab +xlab("氧化铅(PbO)"); +ylab("氧化钡(BaO)"); +ggtitle("SVM分类器——高钾与铅银分类规律") + +theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) + +geom_abline(intercept=5.965778, slope = -3.514822) +p2 +``` + +# 交叉验证 + +```txt +split_train_test<-function(i,dataframe){ test_data<-dataframe[10:20,] train_data<-dataframe[-c(10:20),] } count \(= 0\) +for(i in 1:67){ split_train_test(1,data1) svm_model=svm(x-,data \(\equiv\) train_data,kernel="radial") svm_pred=predict(svm_model,newdata \(\equiv\) test_data) count \(=\) count+as.numeric(svm_pred \(=\) test_data[1,]) +} +print(svm_model) +plot(svm_model,train_data) +obs_p_svm \(\equiv\) data.frame(prob \(\equiv\) svm_pred,obs \(\equiv\) test_data\\(x) +table(test_data\\)x,svm_pred,dnn=c("真实值","预测值")) +```绘制ROC曲线 +svm_roc<-roc(test_data\\(x,as.numeric(svm_pred)) +plot(svm_roc.print.auc \)\equiv\( TRUE,aucpolygon \)\equiv\( TRUE,grid=c(0.1,0.2),grid.col=c("green","red"), max.aucpolygon \)\equiv\( TRUE,aucpolygon.col="skyblue",print.thres \)\equiv\( TRUE main='SVM模型ROC曲线 kernel = radial') +``` + +# 4SVM支持向量机 + +```r +data_un$类型<-as.factor(data_un$类型) +svm_model=svm(类型-氧化铝.PbO.+氧化钡.BaO.,data=data_un,kernel = "linear") +summary(svm_model) +plot(svm_model,data_un,氧化钡.BaO.-氧化铅.PbO.) +plot(svm_model,data_1,氧化钡.BaO.-氧化钾.K20.) +plot(svm_model,data_1,氧化钾.K20.-氧化铅.PbO.) +svm_model=svm(类型-氧化钙.CaO.+氧化镁.MgO.,data=data_un,kernel = "linear") +plot(svm_model,data_un,氧化钙.CaO.-氧化镁.MgO.) +w=t(svm_model$coeffs)%*svm_model$SV +b = -svm_model$rho +abline(a = -b/v[1,2], b=-v[1,1]/v[1,2]) +-b/v[1,2] +``` + +```r +-v[1,1]/v[1,2] +svm_model +-1/v[1,2] +data_1$氧化铅.PbO. +svm_pred=predict(svm_model,newdata=data_un) +a=a+as.numeric(svm_pred="高钾") +data_un$svm_pred=svm_pred +head(data2) +table(data_un$'类型',data_un$svm_pred) +##绘制ROC曲线 +svm Roc <- roc(data_un$'类型',as.numeric(svm_pred)) +plot(svm_roc.print.auc=TRUE,aucpolygon=TRUE,grid=c(0.1,0.2),grid.col=c("green","red"), max.aucpolygon=TRUE,aucpolygon.col="skyblue",print.thres=TRUE,sain='SVM模型ROC曲线 kernel = radial') +#logistic回归 +data1 <- data[,c(3,7:20)] +names(data1)[names(data1)]=="类型"] <- "x" +names(data1)[names(data1)]=="氧化铅(PbO)""] <- "xi" +names(data1)[names(data1)]=="氧化钡(BaO)”] <- "x2" +data1[x[which(data1$x=="无风化")] <- 0 +data1[x[which(data1$x=="风化")] <- 1 +data1[x<-as.numeric(data1|x)) +data1[x<-as.factor(data1|x)) +log_res<-glm(x-.,family/binomial(link='logit'),data = train_data.control=list(maxit=100)) summary(log_res) +anova(log_res.test = "Chisq") +predictest = predict(log_res,newdata = test_data,type = "response") +predictest <- ifelse(predictest > 0.5,1,0) +predictest +n = length(predictest) +correct=0 +for(1 in 2:n) { +if(predictest[1] <= predictest[1]) { +answer = TRUE +answer +}else{ +answer = FALSE +answer +``` + +break +} +} +kmeans(data_un_X,2) +library( ggfortify) +subplot(kmeans(data1,2),data $\equiv$ data1, label $\equiv$ TRUE, label.size $= 3$ ,frame $\equiv$ TRUE) +install.packages("ggfortify") \ No newline at end of file diff --git a/MCM_CN/2025/E030/E030.md b/MCM_CN/2025/E030/E030.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..5c9e33af3cfc1a69af8fc0b1eed8d09243d704d7 --- /dev/null +++ b/MCM_CN/2025/E030/E030.md @@ -0,0 +1,912 @@ +# 基于姿态识别的AI辅助智能体测研究 + +# 摘要 + +学生立定跳远过程的量化分析，有助于教师发现动作问题并提出针对性的方案。本文围绕AI识别立定跳远动作问题，利用一阶微分计算起跳和落地时刻，并对滞空时刻运动轨迹进行描述。同时，利用Spearman相关性分析分析影响成绩的关键因素。最后得到关键因素，建立多元线性回归模型对跳远成绩进行预测，并给出针对性的建议。 + +针对数据预处理，首先，本文采用线性插补法补齐数值为0的离散异常值。其次，基于视频分辨率将Y轴坐标转换为实际值。随后使用Savitzky-Golay滤波法进行平滑处理。同时，将监控帧率统一为30fps并调整时间戳。最后，剔除附件4中的13个指标，并将运动者11的脂肪、肌肉及去脂重量分别修正为 $3\mathrm{kg}$ 、 $12.1\mathrm{kg}$ 和 $18\mathrm{kg}$ 。 + +针对问题一，首先，将人体关键点分为躯干、头部、腿部和手臂四部分，对其平滑数据进行初步探索，以脚部关键点判断起跳和落地。其次，选取脚部点29至32的均值，采用一阶微分方法并将速度突变阈值设为 $\pm 150\mathrm{px / s}$ ，识别出运动者1起跳时刻为4.133s(帧号124)，落地时刻为4.567s(帧号137)，滞空时间0.434s；运动者2起跳时刻为5.467s(帧号164)，落地时刻为5.9s(帧号177)，滞空时间0.433s。同时，结合实际成绩算出比例尺均为 $0.334\mathrm{cm / px}$ ，验证了该方法的可靠性。然后，提取滞空阶段数据并采用三次多项式拟合运动轨迹符合抛物线特征。最后，计算出下肢关节角度(髋-膝-踝)、躯干倾斜角度(肩-髋)、上肢与下肢夹角(肩-髋-膝)和大腿与地面夹角(髋-踝)并可视化，以运动者1为例，下肢角度在跳跃过程中由 $149^{\circ}$ 变化至 $99^{\circ}$ ，详见图12和图13。 + +针对问题二，从运动者的体质和姿态两个方面展开研究。首先，在体质方面采用Spearman相关性分析提取的13个体质因素与成绩，结果表现出多重共线性特征，并结合运动学原理选取肌肉重量、体重、去脂体重、身高四个主要因素。其次，在姿势方面计算起跳和落地时刻、滞空时间、比例尺及角度。同时，以姿势调整前后每次最高成绩为依据，计算出运动者6的提升率最大(17.39%)；运动者8最小(仅为2.04%)，详见表9。然后，采用Spearman相关探讨关键角度特征值对运动者成绩的影响(见图16)，得出主要因素有起跳时刻的腿与地面的夹角、躯干角度，落地时刻的躯干角度、下肢角度、腿与地面的夹角、肩-髋-膝角度，以及手腕最大速度。最后，将8岁儿童数据剔除做相关性，并同包含儿童组数据进行对比(见表10)，结果显示，成人和儿童群体跳远姿态特征指标的相关程度存在差异。 + +针对问题三，首先，基于4个体质和7个姿势因素，对特征向量进行定义，构建随机森立回归模型。其次，对自变量进行标准化，并采用最小二乘拟合估计，构建多元线性回归预测模型，计算出每个参数贡献度，见表12。最后，利用比例尺对预测结果进行验证，基于问题一比例尺 $0.334\mathrm{cm / px}$ 得到其近似跳远成绩为1.079米，随后对两种模型进行误差分析，得到多元线性回归预测结果最优，为1.077米。 + +针对问题四，本文对运动者11跳远姿势进行了分析，结果显示，起跳时下肢角度偏大、躯干前倾不足，落地阶段下肢与肩-髋-膝角度偏大，腾空收腹不足。为了提出改进建议，选取年龄接近且经训练优化的运动者9作为参照，对比关键角度指标后发现，运动者11在起跳屈曲幅度、腾空收腹与落地方面均存在改进空间。结合姿势优化训练方案，预测运动者11的跳远成绩可提升至1.201米，表明短期姿势调整具有明显增益作用。 + +# 一、问题重述 + +# 1.1 问题背景 + +为了引导学校加强体育工作的落实，国家颁布了《国家学生体质健康标准》[1]，增强各学习阶段的学生对自身健康发展的关注，有效地鼓舞学生积极参加身体锻炼。在学生集中的运动场地安装摄像头，对每位学生进行体育运动的动作进行抓捕，以分析学生运动的姿态。以立定跳远项目教学为例，摄像头记录了立定跳远从起跳到落地那一瞬间身体的一系列变化数据，立定跳远整个过程的动作，如图1所示。通过分析腿部发力的动作、身体腾空的姿态、落地姿势以及手臂摆动的轨迹等情况，帮助教师全面掌握每位学生所做动作的优点及存在改进的地方。据此，教师能够为每位学生提供针对性的指导。 + +![](images/b86538bd9f77329ba723e963adda8a27bfd13f2ef036b0a9d98c5eaa7d8b3057.jpg) +图1 立定跳远动作示意图[2] + +# 1.2问题提出 + +利用AI人体姿态识别技术定位摄像头拍摄图像中较小尺度下人体关键点的位置。基于该算法可跟踪运动者姿态，获取在运动过程当中人体关键点不同帧数的动作视频与对应的位置信息。据此，建立相应的数学模型，思考下列问题： + +问题一：根据附件1中的两个立定跳远运动者的位置信息、跳远视频和相应的成绩以及附件2中运动者的33个关键点信息，确定出在跳远过程当中运动员的起跳时刻和落地时刻，并对从起跳到落地这一运动过程进行描述。 + +问题二：通过较短时间下的专业培训，可以较大幅度地提升跳远成绩。根据附件3部分运动者在立定跳远姿势纠正前后的视频、跳远成绩和位置信息以及附件4中的每位运动者个人体质报告情况，研究影响运动者跳远成绩的关键因素。 + +问题三：在前两问的模型及结果基础上，结合运动员11的相关跳远信息和个人的体质报告情况，预测出在实际中该运动员的跳远成绩。 + +问题四：基于问题三，提出运动者11能够在短时间内显著改善跳远成绩动作改进建议，并给出在此训练后该运动者能够在跳远项目中达到的理想成绩。 + +# 二、问题分析 + +# 2.1 数据预处理的分析 + +附件有10473条数据、1张图片和35段10秒钟的视频数据，其可能存在缺失值、重复值或者异常值，需对该异常数据进行查找和处理。首先，可以对部分原始数据进行可视化，观察特征发现原始数据可能存在的问题。其次，由于附件数据是对视频逐帧进行提取，可能会存在较大的抖动和噪声，且在观察数据时发现了大量位置信息为0，说明需先对异常值进行处理，然后将数据进行平滑处理。然后，由于是图像数据，因此在处理前需按照视频分辨率 $1280 \times 720$ 对Y轴进行翻转，得到实际坐标。最后，附件中仅有帧号而无时间，为便于后续对时刻的判断，通过参阅文献确定监控器帧率并调整时间戳。 + +# 2.2 问题一的分析 + +问题一要求在立定跳远项目中识别运动者的起跳与落地时刻，并描述出在滞空时段的运动轨迹。首先，根据附件2数据与人体结构知识，绘制人体33个关键点的示意图，如图2所示。其中，点0为鼻子，点1~6为眼睛；点7、8为耳朵；点9、10为嘴巴；点11、12为肩膀；点13、14为手肘；点15、21和点16、22为手腕；点17~20为手掌；点23、24为腰部；点25、26为膝盖；点27、28为脚踝；点29~32为脚掌。据此，可将关键点分为躯干、腿部、头部和手臂四个部分，采用处理后的数据进行可视化，分析在立定跳远过程中各关键点的变化情况。其次，为更加客观地判断，考虑结合相应物理 + +![](images/fa1d794546e4a4aabafc6fb8cfc7b3f5638c126faeece7a8cae66659f37711e8.jpg) +图2人体关键点示意图 + +力学知识进行分析，选取脚部关键点位并采用数值微分的方法对两个时刻进行识别。同时，引入速度突变阈值对运动者1和2的起跳时刻和滞空时间进行计算。随后，考虑采用计算比例尺的方式，对不同运动者的比例尺进行比较，若一致则说明可靠性较强，反之则说明存在偏差。然后，在滞空过程中实际数据可能存在偏离现象，可对其进行拟合。最后，考虑通过计算上下肢、下肢关节、地面与大腿的夹角和躯干倾斜角度，并结合运动者的成绩，以反映滞空过程中运动者跳远的质量。 + +# 2.3 问题二的分析 + +问题二要求分析能够对运动者的跳远成绩造成影响的关键因素。首先，结合附件3和附件4运动者相关数据，考虑从运动者的个人体质及姿态两个方面入手。其次，对于个人体质报告，考虑选取主要的体质因素与跳远成绩做相关性的检验，以便选择相关性分析方法。选择方法后通过绘制热力图进行可视化，分析相关程度选出关联系数较高的指标。然后，对于姿态方面，采用问题一同样方式对调整前后每名运动者每次立定跳远的起跳和落地时刻以及角度变化进行计算，并给出相应的比例尺验证其可靠性。此外，提取调整前后成绩最高的一次数据计算提升度，对于提升最大的运动者，可以考虑对其调整前后的角度变化进行可视化分析。与此同时还可分析姿态与关键角度存在的关系。最后，考虑到附件中有8岁和6岁儿童，对未包含儿童组数据进行相关性与含儿童组的数据进行比较，观察并分析存在的差异。 + +# 2.4 问题三的分析 + +问题三要求来预测运动者11的真实跳远成绩。首先，可以利用问题2中得出的主要影响因素，来进一步建立该预测模型。其次，为了获得更为精确的预测结果，可选用多元线性回归模型与随机森林回归模型进行对比分析。其中，多元线性回归模型能够较好地解释多变量指标之间的线性关系，而随机森林回归模型则在处理结构复杂、非线性的数据方面具有更强的判别能力。最后，可通过比例尺计算的方法对模型预测结果的准 + +确性进行验证。 + +# 2.5 问题四的分析 + +问题四需要我们给出短时间的姿势训练建议，首先可以排除身体因素，因为身体因素需要长时间的恢复以及锻炼，因此我们可以考虑对其角度进行修正，但是在短期训练后需要给出可能达到的理想跳远成绩，所以需要用到预测模型，常规的时序模型并不能对多变量进行预测，因此需要用到多变量回归模型，题目所给数据并不和国际标准姿势一样，因此若是要预测未来可能达到的理想水平需要用到题目所给的不标准姿势数据。所以可以使用相同年龄段的姿势数据对运动员11进行调整。 + +# 三、模型假设 + +1.假设监控画面环境不受到极端因素的影响； +2.假设所有视频均由同一台监控设备采集。 + +# 四、符号说明 + +
符号意义单位
S表示比例尺数值/
ti表示第i帧对应的时间秒
h表示髋关节的平均坐标/
G表示运动员的真实成绩米
k表示膝关节的平均坐标/
Vfoot(ti)表示第i帧脚掌垂直速度px/s
Ci第i个指标对成绩的相对贡献/
Pi, before表示i位运动者姿势调整前的成绩米
Pi, after表示第i位运动者姿势调整后的成绩米
Rt(x)表示样本x在第t颗树种落到的叶节点/
Yfoot(ti)表示第i帧经过平滑处理的脚掌垂直坐标/
+ +[注]: 其余符号均已在正文中展示。 + +# 五、数据预处理 + +附件中给出运动员1至运动者11立定跳远的相关数据信息，内容包含立定跳远的点位信息、人体关键点、跳远成绩、个人体质情况等。为保证数据的可靠性，需检测数据中存在的缺失值、异常值和重复值，并对异常数据进行补齐、修正或者剔除处理。 + +# 5.1原始数据可视化 + +为初步了解数据的大致规律和趋势，本文基于人体关键节点，将数据划分为四大部分：头部（对应关键点为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11）；躯干（对应关键点为23,24,11,12）；手臂（对应关键点为13,15,21,14,16,20,18,19,17,22）和腿部（25,27,26,28,30,32,29,31）。 + +同时，在可视化前需对原始数据的坐标系进行转换，基于视频分辨率（ $1280 \times 720$ ），使用720减去各帧对应Y轴坐标值，实现Y轴翻转并得到同实际的高度一致的坐标。 + +以运动者 1 为例,对该四大部分进行可视化,其效果如图 3 所示。 + +![](images/43c332b14226c167a4623cf66e18ace5972437a915dcb08a95880ca0f3e24fdf.jpg) +图3四大部位原始数据的可视化 + +![](images/52cdc50154bc96c6ebf12d636edef312b05f37e4c0024df0b02b5dd861467c1d.jpg) + +观察图3可知，四张图像中的曲线波动较大且表面粗糙，这表明原始数据中存在明显的噪声干扰。同时，在第4~5秒区间出现一个峰值点，该点对应的位置信息均为0，说明数据存在异常值。据此，需先对附件数据中的异常值进行处理，随后再对数据进行降噪处理。 + +# 5.2异常值处理 + +观察附件中的位置信息数据可以发现，有些帧数各关键点位置信息为0。以调整前运动员3第5次跳远位置信息中帧号145~149为例，其结果如表1所示。 + +表 1 部分异常数据 + +
帧号0 X0 Y1 X1 Y...31 X31 Y32 X32 Y
145714.93197.52717.33198.15...731.85563.56717.83560.53
1460000...0000
1470000...0000
148711.31222.42711.3214.18...726.78552.17736.21555.63
1490000...0000
+ +由表1可知，出现了三条帧号为0的情况，这种相对零散的异常数据可能是由于摄像头在拍摄过程中未能成功捕捉到该帧的数据。对该类数据本文采用线性插补法进行填补，补齐后的部分数据如表2所示。 + +表 2 补齐后的部分数据 + +
帧号0 X0 Y1 X1 Y...31 X31 Y32 X32 Y
145714.93197.52717.33198.15...731.85563.56717.83560.53
146713.12209.97714.32206.17...729.32557.86727.02558.08
147712.21216.2712.81210.17...728.05555.02731.62556.86
148711.31222.42711.3214.18...726.78552.17736.21555.63
149709.81222.34709.94216.9...732.06547.62739.7554.8
+ +为进一步了解异常值情况，以运动者3调整前后数据和运动者5为例，对异常值进行统计，结果如表3所示。 + +表 3 运动者 3 和运动者 5 的异常值统计 + +
跳远工作表帧号行数跳远工作表帧号行数
运动者3第1次601运动者3第5次112、146、147、149、150、1536
运动者3第2次1131运动者3调整后第1次1241
运动者3第4次751运动者3调整后第2次271、279~30023
运动者5第1次681运动者5第2次140~300161
+ +由表3可知，除离散异常值外，还发现存在大量连续异常值。这一现象可能源于运动者在10秒视频中的前几秒便已经完成了立定跳远动作并离开监测区域，从而导致后续部分数据未被采集。由于这些连续异常值均出现在动作完成之后，对研究结果不产生实质性影响，故本文不对其进行处理。 + +此外，还发现在调整前的运动者5第2次测试中，第207帧在前后均为大量0值的情况下突然出现了一组异常数据。通过观察视频发现，在第207帧时出现人物瞬间闪现，可能是由于识别或采集过程中出现误判情况，本文将其修正为0。 + +对于附件4中的运动者体检报告数据，由于“身体得分”、“肌肉控制量”、“标准体重”、“体重控制量”、“内脏脂肪”、“水分率”、“肌肉率”、“营养状态”、“体型”、“体脂率”、“性别”、“脂肪控制量”和“蛋白质率”13个指标均可通过其他指标进行计算得到，且对结果影响较小，因此对13个指标数据进行剔除。此外，利用蛋白率修正蛋白质量；根据运动者11的脂肪率，将脂肪重量的 $9.5\mathrm{kg}$ 修正为 $3\mathrm{kg}$ ；使用肌肉率将肌肉重量的 $15\mathrm{kg}$ 修正为 $12.1\mathrm{kg}$ ；随后将去脂体重由 $26.3\mathrm{kg}$ 修正为 $18\mathrm{kg}$ 。 + +# 5.3 数据的滤波处理 + +基于附件中的数据均为摄像头视频图像数据，在提取人体关键点坐标的过程中不可避免会产生抖动或噪声。对于帧率为30fps的视频，逐帧进行提取关键点数据波动明显。为降低噪声的干扰同时尽可能保留数据变化的真实趋势，本文采用Savitzky-Golay滤波方法对数据进行平滑处理。 + +选用二阶多项式拟合，滑动窗口长度设为7帧，对33个关键点坐标进行处理，最终的数值保留两位小数。以脚部（点31和点32）运动轨迹为例，滤波处理前后的情况如图4所示。 + +![](images/30b0886a49207943f5fdc9e764269bf90af76827afd8807da9dfbb5fea6569f5.jpg) +图4原始数据和滤波后的数据对比图 + +观察图4可知，SG滤波平滑处理后的数据线比原始数据更加平滑，整体轮廓更加清晰，减少了噪声对数据的影响，为后续工作做准备。 + +# 5.4调整时间戳 + +由于数据表中没有具体的时间，需要将帧数调整为时间形式。鉴于监控器的合适帧 + +率一般在 15fps 至 30fps 之间[3]，本文假设监控器帧率为 30fps，对帧号进行时间换算与调整。以运动员 1 为例，其结果如表 4 所示。 + +表 4 运动者 1 视频帧号数据时间转换的部分结果 + +
帧号0123...297298299300
时刻(秒)00.0330.0670.100...9.9009.9339.96710.000
+ +由表4可知，将每一帧换成以秒为单位的10秒时间序列，便于后续工作。 + +# 六、模型的建立与求解 + +# 6.1 问题一：立定跳远全过程的研究 + +通过对头部、躯干、腿部和手臂四大部位数据进行可视化，得到判断起跳与落地主要与脚部有关的结论。利用一阶微分对脚部四点数据均值及速度突变的阈值，计算出起跳和落地的具体时间和滞空时间，并使用比例尺进行验证。对于滞空数据，考虑采用拟合和角度对该阶段进行描述。 + +# 6.1.1 数据的初步探索性分析 + +立定跳远运动可以分为四个主要阶段，分别为预摆、起跳、腾空以及落地[5]。为了确定起跳时刻和落地时刻，本文将人体的关键节点按照立定跳远肢体运动特征分为头部、手臂、腿部和躯干四大部分(见图2)，并对其位置变化情况进行分析。 + +以运动者1的数据为例，将平滑后的头部、躯干、手臂和腿部数据进行可视化，其效果如图5所示。 + +![](images/b741789002bbfd51229ffd5fc247d45e0662f081d5b127340a9f3452919ebfe1.jpg) + +![](images/1ae127f81135250c5d670d1b55cf4b1776b5a950fa210d1f056a121a269bb5fc.jpg) + +![](images/ef4747b470c48f62f56dee82235da8238b579d8fe7ff937d7f2b540467135392.jpg) +时刻(s) + +![](images/d13da51924ee6352a8f1c500445b32b75d924e23a7a4267a6afe82c6eb2351e1.jpg) +图5四大部位数据平滑后的可视化 + +分析图5可知，头部中十个关键点位在1s前和7s后均处于平稳状态。在3~4s之间逐步下降，可能是该名运动者在预摆时的低头动作所致；随后逐步上升至最高位置后逐渐下降，该段时间可能是运动者起跳到落地这一过程；在6s后曲线再次上升，推测此区间是运动者落地后由蹲姿过渡为站立的过程；最后稳定在初始状态高度，这表明该运动者已经完成了立定跳远的所有动作。躯干部位的关键节点位置变化与头部的变化趋势大致吻合。 + +手臂中的十个关键节点在0~5s之间曲线呈现出明显的波动趋势，且波动随时间的增加而增大，说明该运动者在此期间进行摆臂动作，并在数值达到峰值时准备下蹲起跳； + +随后在5~6s曲线呈低谷状态，该时段运动者可能处于落地后的下蹲姿势；6s后曲线逐渐上升恢复至初始状态；在8~9s区间有些小波动是运动者跳完之后的手臂动作，不对研究有所影响。 + +而对于腿部的各关键点位置变化趋势，在4s前数据都较为平稳，说明此时一直处于站立状态；4~5s曲线出现高峰，可能是由于运动者在起跳后脚部达最高位置，然后呈自由落体运动下降至初始起跳阶段的数值。综上所述，运动者做立定跳远运动这一过程类似于一条抛物线。在四大部位中，腿部数据最为直观，据此可选取脚部关键点的数据作为运动者起跳或落地的判断依据。 + +# 6.1.2基于一阶微分识别起跳与落地时刻 + +在视频分析中，一般方法通常通过目测判断运动者的起跳与落地时刻，但该方法存在主观性与偏差。因此，本文结合实际情况与物理动力学角度考虑起跳与落地，运动者在起跳的瞬间脚掌迅速离地，垂直的坐标出现快速上升，对应的垂直速度就会负向突变。当落地时刻脚掌瞬间接触地面，坐标就会快速下降，那么所对应的垂直速度就会正向突变。这个变化是力学的现象，可以直接反应出起跳动作和落地动作，并且利用速度突变来识别，可提高识别的一致性。 + +因此，本文采用数值一阶微分方法[6]，对起跳与落地时刻进行自动识别，其计算公式如下： + +$$ +V _ {f o t} \left(t _ {i}\right) = \frac {d Y _ {f o t} \left(t _ {i}\right)}{d t} \approx \frac {Y _ {f o t} \left(t _ {i + 1}\right) - Y _ {f o t} \left(t _ {i} - 1\right)}{t _ {i + 1} - t _ {i - 1}} \tag {1} +$$ + +式中， $V_{\text{foot}}(t_i)$ 为第 $i$ 帧脚掌垂直速度； $\frac{dY}{dt}$ 使用有限差分近似法，即Python环境中的gradient()方法，其方法会根据相邻帧的坐标以及时间计算随时间变化的瞬时导数； $Y_{\text{foot}}(t_i)$ 为第 $i$ 帧经过平滑处理的脚掌垂直坐标； $t_i$ 为第 $i$ 帧对应的时间。第一帧与最后一帧使用单边差分计算，以保证速度序列长度与帧数一致。 + +结合上述公式，考虑到在起跳与落地过程中，脚部的运动在整个过程中与地面接触较为直接，其运动轨迹对起跳与落地时刻的影响较为明显。基于在实际跳远成绩判定中，通常选取起跳前的脚尖位置与落地时的脚跟位置作为跳远距离成绩。因此，本文选取了脚部四个关键点位，即编号29、30、31以及32，并对其取平均值进行计算，以平均值作为脚掌整体的代表位置。 + +为了更好地自动识别出起跳与落地时刻，本文根据视频帧率以及关键点抖动情况，将速度突变阈值设定为 $\pm 150\mathrm{px / s}$ 。同时，为了确保动作的识别合理性，当起跳点识别后，需要在1秒之内识别出落地点。最终，将数据输入到软件中，得到结果如表5所示。 + +表 5 运动者 1 和 2 的起跳与落地时刻 + +
人员起跳时刻(秒)起跳帧号落地时刻(秒)落地帧号滞空时间
运动者14.1331244.5671370.434
运动者25.4671645.91770.433
+ +随后，以运动者1数据为示例，绘制脚掌轨迹与对应的一阶微分脚掌速度示意图，其结果如图6所示。 + +![](images/11dc7007794a214e322acf6420372b5af2eaf2191d7bae803b47013ae62d1540.jpg) +图6起跳与落地时刻微分示意图 + +分析图6可知，子图1为立定跳远过程中，脚掌在起跳到落地过程中随时间变化而变化的运动轨迹。子图2为对高度与时间进行微分得到的变化曲线。在子图1中，绿色为起跳时刻，此时脚掌的高度曲线出现了快速上升的拐点，代表脚掌脱离地面进入腾空阶段。红色为落地时刻，对应快速下降至接近初始水平，表面已经重新接触到地面，整个运动轨迹曲线呈现了抛物线形式。在子图2中，起跳点附近的速度曲线出现了明显的负向突变，说明脚掌在起跳瞬间快速上抬，腾空时接近为0，落点附近速度曲线出现了明显的正向突变，表示脚掌在快速下落并接触地面。 + +将人体各关键点带入到该微分公式中，算出各点在起跳和落地的位置，并将其进行可视化，最终效果如图7和图8所示。 + +![](images/66f0ecfcd58151c0bb7588b37f428c27a48aa35f41a80f88a5df471e2b8f73cb.jpg) +图7运动者1的起跳与落地时刻 + +![](images/bedac4754520b82ab205f41fcdf06d349d9a842b8ed32ff4b8eb795305d783ad.jpg) +图8运动者2的起跳与落地时刻 + +观察图7和图8可知，两位运动者均是脚部中点31和32即将离开地面时为起跳时刻，此时运动者的姿态为手臂向上举，身体前倾，脚部呈一定弯曲姿态且与地面呈一个锐角；而点29和31与沙坑接触时为落地时刻，此时运动者处于低头状态、手臂下垂。相比而言，运动者1跳远的距离和身高均大于运动者2，这说明身高对跳远距离有一定的关联。 + +# 6.1.3 比例尺相对标定验证 + +假设相机参数与拍摄环境保持不变，所以在不同的运动者中比例尺应当一致。若不 + +同运动者的比例尺差异较大，出现了明显波动，说明起跳与落地识别时刻可能存在偏差。若比例尺结果一致，则说明识别起跳与落地时刻具有较强的可靠性。计算公式如下： + +$$ +S = \frac {G}{H _ {\text {l a n d}} - H _ {\text {s t a r t}}} \tag {2} +$$ + +式中， $S$ 为比例尺数值； $G$ 为运动员的真实成绩； $H_{\text{land}}$ 与 $H_{\text{start}}$ 分别为落地与起跳时刻的水平坐标像素值，对两者做差值即为像素水平位移距离。 + +结合上述公式，对运动员1与运动员2的比例尺进行计算，计算结果如表6所示。 + +表6运动者1和2的比例尺 + +
人员真实成绩起跳时刻像素值(px)落地时刻像素值(px)比例尺
运动者11.58米301.483774.5370.334cm/px
运动者21.15米306.606650.5390.334cm/px
+ +由表6可知，两位运动者的比例尺值均为 $0.334\mathrm{cm / px}$ ，说明识别起跳时刻与落地时刻的结果具有可靠性。 + +# 6.1.4 滞空点数据拟合 + +基于计算得到的起跳与落地时刻，可确定运动员在空中的滞空时间区间。理论上，在立定跳远过程中，人体质心的垂直位移随时间变化会近似成一条抛物线轨迹，即二次函数形式。然而，由于竖直方向受重力加速度作用，在运动者接近落地阶段，其实际运动轨迹会出现轻微偏离。基于此，本文选取人体关键节点位置的平均值，对两位运动员在滞空阶段的运动数据进行三次多项式拟合，其对应的拟合方程分别表示为： + +$$ +y _ {1} = - 1 1 0 6. 4 2 8 5 x _ {1} ^ {3} + 1 6 5 1 6. 9 8 4 1 x _ {1} ^ {2} - 8 0 6 6 2. 0 3 4 5 x _ {1} + 1 2 9 6 8 0. 8 5 9 4 \tag {3} +$$ + +$$ +y _ {2} = - 4 4 6 8. 8 0 8 4 x _ {2} ^ {3} + 7 7 8 3 1. 7 0 9 2 x _ {2} ^ {2} - 4 5 1 3 6 2. 0 7 5 1 x _ {2} + 8 7 1 9 4 9. 3 9 5 2 \tag {4} +$$ + +其中，式（3）、式（4）分别为运动员1和2的滞空阶段运动数据的三次多项式拟合方程。同时分别绘制其拟合效果，如图9和图10所示。 + +![](images/bc5712fc9c09a4bef2920956ed884339a51e3d2c6e26ec409d7cd4378df2e227.jpg) +图9运动者1滞空点拟合曲线 + +![](images/950bfb3a9de76ff24aabc548c09e93c088eabe3ea35acb91436375f5d66fa046.jpg) +图10运动者2滞空点拟合曲线 + +观察图9和图10可知，运动者立定跳远的运动轨迹呈一条抛物线。 + +# 6.1.5 滞空阶段关键角度计算 + +在识别运动者的起跳与落地时刻后，获得的时间信息不能全面反映跳远动作的质量。因此，本文进一步对身体部位的关键角度特征进行提取。通过计算下肢、躯干及腿部与地面的角度，可以反映运动员在不同阶段的发力模式、身体姿态等，这些角度指标有助于解释成绩差异的原因。 + +因此，本文基于起跳时刻到落地时刻的二维关键点坐标，构建如下角度计算公式： + +# 1）下肢关节角度(髋-膝-踝) + +该角度表示为髋关节-膝关节-踝关节，反应了下肢屈伸程度，起跳的时候，角度减小表示下蹲缓冲，起跳瞬间角度快速增大，表示下肢蹬腿发力过程。计算公式如下： + +$$ +\theta_ {\text {l e g}} = \arccos \left(\frac {(h - k) \cdot (a - k)}{\| h - k \| \cdot \| a - k \|}\right) \tag {5} +$$ + +式中， $h$ 为髋关节的平均坐标即左髋关节与右髋关节的平均值； $k$ 为膝关节的平均坐标； $a$ 为踝关节平均坐标。 + +# 2）躯干倾斜角度(肩-髋) + +该角度表示为肩关节-髋关节相对于竖直方向的倾斜角度，如果运动者直立站着，肩与髋在同一条竖线上，则该角度则为 $0^{\circ}$ ，若角度过大会影响起跳的效率和腾空姿势。计算公式如下： + +$$ +\theta_ {t r a n k} = \arccos \left(\frac {(s - h) \cdot v}{\| s - h \| \cdot \| v \|}\right) \tag {6} +$$ + +式中， $s$ 为肩关节的平均坐标； $\nu$ 为竖直方向即当 $\mathbf{x}$ 为0；y为任意数值。 + +# 3）上肢与下肢夹角(肩-髋-膝) + +该角度表示为躯干与大腿之间的夹角，可以体现出运动者起跳的身体姿态情况，以及腾空状态是否有“折”这一动作。计算公式如下： + +$$ +\theta_ {s h k} = \arccos \left(\frac {(s - h) \cdot (k - h)}{\| s - h \| \cdot \| k - h \|}\right) \tag {7} +$$ + +式中， $s,h,k$ 分别为肩关节、髋关节、膝关节的平均坐标。 + +# 4）大腿与地面夹角(髋-踝) + +该角度表示为大腿与地面的夹角，反映了其相对位置关系，可以用来判断起跳与落地过程中的腿部摆动幅度，计算公式如下： + +$$ +\theta_ {\text {l e g - g r o u n d}} = \arccos \left(\frac {(a - h) \cdot g}{\| a - h \| \cdot \| g \|}\right) \tag {8} +$$ + +式中， $a,h$ 分别为髋关节、踝关节的平均坐标； $g$ 为水平方向的一条直线地面。基于此，本文对上述四个角度位置进行可视化，其效果如图11所示。 + +![](images/fc3cf97591c69349f34ea8d658b17337171cc099d941b0aaf02866732c3c8daf.jpg) +图11四个角度示意图 + +观察图11可知，角1为下肢关节角度；角2为躯干倾斜角度；角3为上肢与下肢夹角；角4为大腿与地面夹角。 + +结合上述公式，本文对运动者1与运动者2在起跳至落地全过程中的运动数据进行关节角度计算，并将结果可视化，其效果如图12与图13所示。 + +![](images/3cbf3d5c99e61c3a832c9ffc7a829f43e63d62ef9ee3403bfa68a0ab6bb1d970.jpg) + +![](images/5e7328bfa5266a44de6865700d768e22fb8df8d2278b411b7b7609645f5ccba1.jpg) +图12运动者1的关键角度变化 + +![](images/38522aeea5875365b78fca5ab11cd9251324aa4112aef6b89bce0edfc6978c78.jpg) + +![](images/e0073fa0cb5e7301f13fc3bcb9c206c0db4a87b9059889b815d63b2fd0f15a84.jpg) + +观察图12可以发现，在起跳阶段下肢角度由 $149^{\circ}$ 变到 $99^{\circ}$ ，明显的减少，说明下肢快速屈伸后爆发伸展，躯干角度起跳时身体先前倾然后逐渐直起，肩-髋-膝夹角从 $169^{\circ}$ 变为 $110^{\circ}$ ，明显的减小，说明躯干和大腿之间夹角缩小。腾空阶段，肩-髋-膝夹角逐渐减小，有明显的收腹姿态。在落地时，下肢角度从 $99^{\circ}$ 增加到 $133^{\circ}$ ，躯干角度维持在 $38^{\circ}$ ，为缓冲做准备。 + +![](images/28336c3d72f7b36d6c2e829076aad775c051a84878026c4058fb5706ec1045f3.jpg) + +![](images/4a8deb329d329ed261575ea66fecdb587926a67df6a80cded04d8579b30fd028.jpg) +图13运动者2的关键角度变化 + +![](images/875289951c9a6867b71f3cee1a04e0af922950e939a7302f7ee66661e1d84afe.jpg) + +![](images/d39bf1a52acfe568b0df6b0fefc48013df58e17f6fe90a636b2facfc8dd86574.jpg) + +分析图13可知，运动者2的下肢角度刚开始为 $125^{\circ}$ 起跳并未展开，屈曲幅度中等。角度为 $49^{\circ}$ 到 $32^{\circ}$ ，身体明显前倾，肩-髋-膝夹角从 $129^{\circ}$ 到 $165^{\circ}$ 反而增大，说明起跳时大腿与躯干之间逐渐张开，上身前倾但是大腿没有得到充分抬起。在腾空阶段，肩-髋-膝夹角从 $134^{\circ}$ 到 $94^{\circ}$ ，有收腹的姿势。落地前肩-髋-膝夹角降到 $78^{\circ}$ ，躯干与大腿形成锐角，说明运动者2在落地前有很明显的屈髋收腹准备。 + +综上所述，运动者1起跳时屈曲更充分，腾空早期就进入了收腹状态，落地前较为稳定；相比之下，运动者2起跳时前倾更大但大腿上抬不足，腾空后半段才出现收腹，落地前屈躯更明显，因此，尽管两位运动者的滞空时间相近，但由于跳远姿态的差异，最终导致跳远成绩存在一定差异。 + +# 6.2 问题二：分析立定跳远成绩的关键影响因素 + +为了探究影响运动者跳远成绩的主要因素，本文分别从体质因素和姿势角度两个层面展开探究。前者决定的运动者的爆发力与运动潜能，后者则是通过动作优化直接影响成绩表现。 + +# 6.2.1 运动者体质因素相关性分析 + +本文选取剩余的13个体质因素指标与跳远成绩进行相关性检验。由于数据样本量较少，并且部分变量之间可能不满足正态分布假设，因此采用斯皮尔曼相关分析[7]，其计算公式如下： + +$$ +\rho = 1 - \frac {6 \sum_ {i} ^ {n} d _ {i} ^ {2}}{n \left(n ^ {2} - 1\right)} \tag {9} +$$ + +式中， $n$ 为样本数量； $d_i$ 为第 $i$ 个观测值在两变量秩次上的差异。将数据代入 Python 求解，得到 13 个体质因素指标的相关系数，并将结果进行可视化，其效果如图 14 所示。 + +![](images/99e7d34ad4fa36ac7c50011619a4b616e497658bdb6560cba1d661b235122e25.jpg) +图14体质因素相关性热力图 + +观察图14可以发现，大部分变量之间的相关系数都接近0.9或0.9以上，说明它们之间呈高度正相关。但这说明变量间并非相互独立，而是存在高度重叠的信息，表现出多重共线性问题。例如，个体的体重可视为由脂肪重量、肌肉重量和骨量等部分共同构成。 + +随后，基于运动学原理，立定跳远主要依靠下肢爆发力；而肌肉重量直接反映了运动者的发力潜力。体重则决定了身体所需要克服的负担；去脂体重作为去除脂肪带来负荷后的有效指标；而身高则影响起跳角度、腾空轨迹和身体形态特征。这四个指标分别代表着肌肉力量、身体质量、有效体成分和体格特征四个维度，能够较为全面地解释跳远成绩。因此，本文在充分考虑运动学原理前提下，最终筛选保留了肌肉重量、体重、去脂体重、身高四个主要因素。 + +# 6.2.2 运动者调整前后的姿势变化及全过程情况 + +基于附件3中姿势调整前后的数据，本文采用问题一的方式计算出每位运动者的起跳时刻、落地时刻以及滞空时长，且同样采用比例尺的验证方式。其结果如表7所示。 + +表 7 姿势调整前后各运动者立定跳远全过程情况 + +
运动者起跳时刻(s)落地时刻(s)滞空时间(s)比例尺(cm/px)
运动者6第1次0.00010.00010.0000.971
运动者6第2次4.8675.1670.3000.361
运动者7第1次2.9003.3670.4670.352
运动者7第2次5.3675.8000.4330.335
运动者8第1次3.9674.2670.3000.338
运动者8第2次0.16710.0009.8330.157
运动者9第1次4.1674.3330.167-288.831
...............
运动者6调整后第2次5.0335.4330.4000.327
运动者7调整后第1次4.9005.3330.4330.356
运动者7调整后第2次5.8336.3000.4670.352
运动者8调整后第1次3.7674.1670.4000.336
运动者9调整后第1次3.0673.5330.4670.357
运动者9调整后第2次4.6335.0670.4330.337
+ +[注]：由于篇幅限制，其余见附录。 + +分析表6可知，大部分运动者的起跳与落地时刻均符合实际情况，滞空时间分布合理，并且比例尺波动较小。但是运动者6第二次、运动者8第2次、运动者9第1次这三个出现了异常，并不能很好的识别起跳点与落地点。经过查看，这些异常主要来源于视频识别中，运动者在画面中存在除立定跳远外的跳跃动作，导致识别有误。并且本文采用的是7帧时间窗口滤波，在个别情况下平滑不足，所以会出现异常识别，若将滤波增加到15帧时间窗口，便可以识别出这些运动者的起跳与落地时刻。 + +表 8 姿势调整前后的部分关键角度结果 + +
运动者起跳下肢角度起跳肩-髋-膝角度起跳躯干角度起跳腿与地面夹角
运动者10149.090°163.502°34.353°57.169°
运动者10136.414°145.697°41.682°61.016°
运动者3131.415°142.609°39.414°63.599°
运动者3125.633°128.832°44.654°68.998°
运动者3137.641°159.054°27.796°61.070°
...............
运动者7114.367°110.901°67.160°58.030°
运动者7140.662°144.249°51.495°54.030°
运动者8146.655°158.861°35.836°59.537°
运动者9144.027°155.034°42.949°54.370°
运动者9113.298°117.545°63.700°54.154°
+ +[注]：由于篇幅太长，仅展示部分数据，其余见附录。 + +由表8可知，运动者10起跳时刻下肢与肩-髋-膝角度均较大，说明起跳时得到下肢伸展充分，运动者3多次试跳中差异较大，说明动作不一致，掌握的不熟练。运动者7的躯干角度和下肢角度偏小，容易照成稳定性下降。 + +# 6.2.3 姿势调整对跳远成绩的提升度 + +本文选取运动者3至运动者10姿势调整前后各自最佳的一次跳远成绩为依据，计算各运动者的成绩提升度，以此进一步量化姿势调整对运动者跳远成绩的提升效果，其计算公式为： + +$$ +\Delta P _ {i} = \frac {P _ {i , a f t e r} - P _ {i , b e f o r e}}{P _ {i , b e f o r e}} \cdot 100 \% \tag{10} +$$ + +式中， $P_{i,after}$ 为第 $i$ 位运动者姿势调整后的成绩； $P_{i,before}$ 为第 $i$ 位运动者姿势调整前的成绩。相应计算结果如表9所示。 + +表 9 运动者姿势调整后的成绩提升度 + +
运动者调整前最好成绩(米)调整后最好成绩(米)提升(米)提升度
运动者31.401.580.1812.86%
运动者41.801.970.179.44%
运动者52.052.160.115.37%
运动者61.151.350.2017.39%
运动者71.902.050.157.89%
运动者81.471.500.032.04%
运动者91.451.530.085.52%
运动者101.521.620.106.58%
+ +观察表9可知，运动者调整后成绩的最高值均高于调整前，说明在经过短时间专业训练后，跳远成绩在一定程度上有所提升。其中，运动者6的提升率最大，为 $17.39\%$ ；运动者8提升幅度最小，仅为 $2.04\%$ 。据此，本文对运动者6调整前后的角度位置变化情况进行可视化，其效果如图15所示。 + +![](images/1e64a162c6f4144e6938f172a2f3a6dd24f8411c8cafbe3d4c65d6f67ae199d3.jpg) +图15运动者6调整前后角度变化 + +基于图15进行比较分析可知，除腿与地面夹角变化不大，其余三个角度在调整后整体均明显增大。其中，运动者6在调整后做动作的下肢角度前期呈显著增大，调整前前期角度仅为 $110^{\circ}$ 至 $120^{\circ}$ 之间，而调整后角度增大到 $140^{\circ}$ 至 $160^{\circ}$ 之间。对于躯干倾斜角度在前期达到高峰，且较于后期最高点的角度有所减小，说明在初期身体倾斜程度较小。对于肩-髋-膝夹角，调整前角度逐渐减小，而调整后在前期有所波动，可能是在此区间增加了某个腿部动作。 + +# 6.2.4 姿势的相关性分析 + +为进一步探讨关键角度特征值对姿态调整的影响，本文选取运动员3至运动员10的角度特征值，采用斯皮尔曼相关性分析方法进行检验，并据此绘制相关系数热力图，其效果如图16所示。 + +![](images/ad2c9a23acf7c778625ea4ab4fa0fa366b718bdbb6122e0a0c26d48eafbb2155.jpg) +图16相关性热力图 + +分析图16可知，滞空时间与跳远成绩存在较强的正相关，相关系数为0.6。手腕的最大速度与跳远成绩同样具有显著正相关关系，相关系数为0.73，手腕快速摆动可助力起跳瞬间爆发力，提升起跳初速度。在起跳阶段，躯干角度和腿与地面的夹角同跳远成绩间存在较强的相关关系。在落地阶段，各部位角度指标间也存在不同程度的相关性，同时与跳远成绩的相关关系呈现出复杂的分布，说明起跳时运动者在该些身体部位的角度变化具有协同性。 + +综上所述，认为影响运动者成绩的姿势因素主要有：起跳时刻的躯干角度、腿与地面的夹角，落地时刻的下肢角度、躯干角度、肩-髋-膝角度、腿与地面的夹角，及手腕最大速度。 + +# 6.2.5 进一步分析不同群体姿势因素 + +在实际生活中，儿童与成人的发育程度存在一定的差异，比如骨骼肌肉系统、运动控制能力等。因此人体体质的因素会影响运动者跳远的姿态，从而间接的影响跳远成绩。基于此，本文针对儿童与成人姿势的角度做进一步相关性分析，由于题目中给出儿童的样本量过少，所以对儿童数据选择剔除，随后再分析姿势角度的相关性，并与全部人群进行比较，具体结果如表10所示。 + +表 10 有无儿童组时各相关性系数差异情况 + +
特征指标排除儿童组的相关系数包含儿童组的相关系数变化量
滞空时间0.610.600.01
起跳_下肢角度0.140.16-0.02
起跳躯干角度0.490.410.08
起跳肩-髋-膝角度-0.09-0.07-0.02
起跳腿与地面夹角-0.33-0.29-0.04
落地下肢角度-0.34-0.30-0.04
落地躯干角度0.460.320.14
落地肩-髋-膝角度-0.53-0.39-0.14
落地_腿与地面夹角0.420.280.14
手臂摆动角度幅度-0.02-0.01-0.01
手腕最大速度0.790.730.06
+ +对表10进行分析，该表分别展示了在包含与不包含儿童组的情况下，跳远成绩与姿态因素之间的相关性系数及其差异。在起跳阶段，躯干角度与跳远成绩的相关性增强了0.08。这一结果可能源于儿童核心力量相对不足，导致其对躯干的控制能力较弱，从而在起跳过程中难以保持躯干动作的规范性，而其他姿态因素的影响相对较小。在落地阶段，躯干角度、肩-髋-膝角度以及腿与地面夹角的相关性均提升了0.14，其中肩-髋-膝角度与成绩呈负相关，而躯干角度与腿-地面夹角则呈正相关。尤其是躯干角度的相关性进一步增强，反映出儿童在躯干控制方面的薄弱环节，说明个体体质特征对跳远姿态具有显著影响。同时，肩-髋-膝角度与腿-地面夹角在落地过程中的重要性显著提高，这可能是由于儿童在落地时难以像成人一样有效协调肩、髋、膝的联动以及腿与地面的夹角，从而导致落地动作存在一定的不规范性。 + +综上所述，在针对儿童的跳远训练中，应更加重视核心力量的提升与落地动作的规范化指导，从而改善对姿态的控制，并提升跳远成绩。 + +# 6.3 问题三：预测立定跳远运动员 11 的实际成绩 + +本文基于问题二筛选出的体质因素指标与姿势因素指标，构建了自变量集合，并以运动者11的跳远成绩(米)为因变量。分别构建了多元线性回归模型和随机森林回归模型，对运动者11的跳远成绩进行预测，并对比模型的优劣性。 + +# 6.3.1随机森林预测模型建立 + +为了对运动者11的实际跳远距离进行预测，本文引入随机森林回归模型。随机森林作为一种经典的监督式集成学习算法，其核心为通过构建多颗决策树并且整合其预测结果，从而提升预测模型的准确性。以下是模型步骤。 + +# 1）数据准备 + +基于问题二中选取的4个体质因素和7个姿势因素，利用运动者3至运动员10的数据作为训练数据集，其公式为： + +$$ +D = \left\{\left(x _ {i}, y _ {i}\right) \right\} _ {i = 1} ^ {N} \tag {11} +$$ + +式中， $x_{i}\in R^{p}$ 为样本第 $i$ 个样本的特征向量，其中，这里一共包含11个特征； $y_{i}\in R$ 为对应的立定跳远成绩。其中特征向量定义为： + +$$ +x _ {i} = \left(x _ {i, 1}, x _ {i, 2}, \dots , x _ {i, 1 1}\right) \tag {12} +$$ + +式中，特征向量中的定义见表11所示。 + +表 11 向量的定义 + +
特征向量定义特征向量定义
x_i1起跳时躯干角度x_i2起跳时脚与地面夹角
x_i3落地时下肢角度x_i4落地时躯干角度
x_i5落地时肩-髋-膝角度x_i6落地时腿与地面夹角
x_i7手腕最大速度x_i8肌肉重量
x_i9体重x_i10去脂体重
xi,11身高//
+ +# 2）随机森林回归模型 + +随机森林回归器是由多颗回归树组成的集成模型，其表达式为： + +$$ +\hat {f} (x) = \frac {1}{T} \sum_ {t = 1} ^ {T} h _ {t} (x) \tag {13} +$$ + +式中，T为回归树的数量为500； $h_t(x)$ 为每棵树，其是在随机抽取的训练样本子集，即bootstrap采样，以及特征子集上训练的CART回归树。 + +每棵树的叶节点输出是对应样本的均值，其计算公式为： + +$$ +h _ {t} (x) = \frac {1}{\left| R _ {t} (x) \right|} \sum_ {x _ {i} \in R _ {t} (x)} y _ {i} \tag {14} +$$ + +式中， $R_{t}(x)$ 表示为样本 $x$ 在第 $t$ 颗树种落到的叶节点。 + +# 6.3.2多元线性回归预测模型建立 + +首先，本文先对自变量进行 $Z - score$ 标准化处理，消除了不同量纲的影响，计算公式如下： + +$$ +x _ {i} ^ {\prime} = \frac {x _ {i} - \mu}{\sigma} \tag {15} +$$ + +式中， $x_{i}$ 为原始变量值； $\mu$ 为变量的均值； $\sigma$ 为变量的标准差； $x_{i}^{*}$ 为标准化后的变量值。 + +随后，设因变量为 $y$ 即跳远成绩，自变量为 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{j}\}$ ，则多元线性回归模型为： + +$$ +y _ {i} = \beta_ {0} + \beta_ {1} x _ {i 1} + \beta_ {2} x _ {i 2} + \beta_ {3} x _ {i 3} + \dots + \beta_ {j} x _ {i j} + \varepsilon_ {i} \tag {16} +$$ + +式中， $y_{i}$ 为第 $i$ 个样本的因变量即成绩， $\beta_0$ 为截距项， $\beta_{j}$ 为 $j$ 个自变量的回归系数， $\varepsilon_{i}$ 为误差项。对这个模型回归系数采用最小二乘拟合估计，公式如下： + +$$ +\hat {\beta} = \left(X ^ {T} X\right) ^ {- 1} X ^ {T} y \tag {17} +$$ + +为便于比较变量影响力，本文进行相对贡献度分析，计算公式如下： + +$$ +C _ {i} = \frac {\left| \beta_ {i} \right|}{\sum_ {j = 1} ^ {n} \left| \beta_ {j} \right|} \tag {18} +$$ + +式中， $C_i$ 为第 $i$ 个指标对成绩的相对贡献。 + +结合上述公式，计算出每个参数以及相对贡献度，结果如表12所示。 + +表 12 每个参数和相应的贡献度 + +
指标标准化回归系数(β)相对贡献度
去脂体重0.4561980.332137
肌肉重量0.1539550.112087
落地_躯干角度(°)0.0907790.066092
手腕最大速度(px/s)0.0817580.059524
落地_肩-髋-膝角度(°)0.0798350.058124
落地腿与地面夹角(°)0.0513930.037417
起跳腿与地面夹角(°)0.007960.005795
起跳躯干角度(°)0.0041990.003057
落地下肢角度(°)-0.047730.03475
身高-0.0807450.058787
体重-0.3189730.23223
+ +观察表12可以发现，去脂体重的系数为0.456，贡献度为 $33.2\%$ ，说明去脂体质越高，跳远成绩越好，体现了肌肉、骨骼等非脂肪组织在运动中的核心作用。体重的系数为-0.319，贡献度为 $23.2\%$ ，这说明体重的增加不利于成绩的上升，与去脂体重形成了鲜明的对比。肌肉与成绩成正向影响，说明肌肉重量越高，成绩越好。而动作角度的贡献度相对较低，但对成绩有一定的影响。 + +# 6.3.3基于比例尺对预测结果分析 + +在模型构建过程中，为了探究不同年龄群体对预测结果的影响，本文在自变量不变的前提下，对训练数据进行了筛选，去除了未成年样本，仅保留成年运动者的数据来训练模型。随后，将6岁儿童运动者11的相关指标输入模型，观察其预测结果。 + +同时，考虑到摄像头拍摄过程中位置保持固定，因此比例尺的波动较小，因此可使用第一问中计算得到的比例尺 $0.334\mathrm{cm / px}$ ，可以大致推算出运动员11的跳远成绩。首先，计算出运动员11起跳点到落地点之间的像素距离，其次，将该像素距离乘以比例尺，转换单位为米。经过计算可得，运动者11的跳远成绩可近似为1.079米。结果如表13所示。 + +表 13 两种模型的预测结果表 + +
模型不包含儿童预测成绩预测成绩实际成绩误差
多元线性1.42米1.077米1.079米0.002米
随机森林1.392米1.392米1.079米0.327米
+ +观察表13可知，包含儿童数据训练的多元线性回归模型能非常准确地预测儿童成绩。去掉儿童样本训练后，无论多元线性回归还是随机森林，预测都明显高于实际成绩，说明儿童身体特征与成年人的差异对模型外推影响较大。综上所述，多元线性回归预测较为准确，而随机森林虽然能捕捉复杂关系，但在小样本中的表现不如线性模型稳定。 + +# 6.4 问题四：运动者11训练建议与目标 + +# (1) 跳跃阶段角度趋势 + +为了探究其跳远姿势，本文绘制了起跳点到落地点角度的变换过程，结果如图17所示。 + +![](images/7035c742b43a5052b254af0c675a139a04d62ec72cc58ce59940ec7dc18f2620.jpg) +图17跳跃阶段四个角度的变化趋势 + +如图17所示，起跳时刻的下肢角度已经完全接近伸展接近直腿，说明发力充分，在腾空阶段一很明显的收腿动作。起跳时躯干倾斜角度有大前倾，可能会造成起跳后身体“压低”，影响腾空。肩-髋-膝的角度为 $150^{\circ}$ ，接近伸直，说明上身和下肢配合较好。起跳时腿与地面夹角较小，导致腾空高度和距离不足。落地时的腿与地面夹角为 $125^{\circ}$ ，说明前腿伸展充分，但是如果收腿不及时，就会导致落地过早接触地面或者落地后身体 + +后仰。 + +# (2) 姿势训练建议 + +本文考虑了个体差异，特别是年龄因素的影响，因此选取了年龄相近且经过调整训练后的运动者9作为参照对象，对其训练后的数据取平均值。通过对比二者在起跳与落地阶段的关键角度指标，结果如表14所示。 + +表 14 运动者 9 和 11 关键角数值对比情况 + +
指标运动者11运动者9指标运动者11运动者9
起跳下肢角度139.74128.66落地下肢角度131.24113.74
起跳肩-髋-膝角度151.88136.29落地肩-髋-膝角度86.4536.19
起跳躯干角度41.8253.32落地躯干角度33.4261.26
起跳腿与地面夹角55.8454.26落地腿与地面夹角124.74143.1
+ +观察表14可知，运动者11在起跳时下肢角度偏大，膝关节屈曲不足，导致下肢伸展爆发力被限制；同时，起跳时躯干前倾角度偏小，起跳过程中髋部发力与躯干摆动不能协同。在落地时刻，运动者11的下肢角度和肩-髋-膝角度均偏大，说明腾空后期身体控制与收腹不足。 + +# (3) 短期训练后理想成绩 + +若运动员11按照上述姿势训练的情况下，关键角度指标向运动者9的调整后水平靠近。其跳远成绩的预测结果为1.201米。这表明，通过短期的姿势调整训练，运动者11可以突破原有水平。 + +# 七、模型的评价与推广 + +# 7.1模型的优点 + +1.在对滞空阶段的分析中，本文引入多个特征指标进行综合描述，从而突破单一指标的局限性，更全面地反映了运动过程的本质特征。 +2. 本文所建立的起跳点与落地点识别模型能够实现对图像数据的自动化判别，较好地体现出模型的普适性。 +3. 在探究影响跳远成绩因素时，考虑了不同人群在姿态因素上的差异，更加贴近生活实际，具有实际应用价值。 + +# 7.2 模型的缺点 + +1. 在确定起跳与落点时刻，某些跳远过程中出现了特殊情况，导致无法正常识别到突变点。 + +2. 对运动者的调整角度考虑不够全面。 + +# 7.3模型的推广 + +本文建立的基于一阶微分识别起跳与落地时刻的模型，可以推广到其他涉及人体周期性或瞬态运动的领域，比如跑跳类项目、步态分析、跌倒检测及康复训练评估等场景。 + +# 参考文献 + +[1].教育部.国家学生体质健康标准[S].北京：高等教育出版社，2025. +[2].图行天下.跳远连续动作剪影图片[EO/OL].2020-10-13.[2025-09-05].https://imgb15.photophoto.cn/2020111/tiaoyuanlianxudongzuojianyingtupian39667602_3.jpg. +[3].周海宪，程云芳.航空光学工程[M]：202311.. +[4].朱红运，王长龙，王建斌，等.基于奇异值分解和Savitzky-Golay滤波器的信号降噪方法[J].计算机应用,2015,35(10):3004-3007+3012. +[5].梁万宗.立定跳远的动作技术分析及教学探究[J].河南教育(基教版)(上),2025(6):84-85. +[6]. Python 在导数与微分应用中的数值计算和可视化研究[J].淮南职业技术学院学报,2024,24(06):142-145. +[7].祁云嵩，谢军.基于spearman秩相关的序值决策系统约简[J].计算机应用,2009,29(7):1758-17591763. +[8].冯大光，冯思哲，李兆星，毛丽珍.基于多元线性回归模型的日光温室温度预测方法对比[J].沈阳师范大学学报(自然科学版),2025,43(1):75-81. +[9]. DeepSeek,DeepSeek-R1-0528,深度求索（DeepSeek）,2025-09-05 + +# 附录 + +附录索引 + +
序号说明
附录1支撑材料文件列表
附录2问题一代码
附录3问题二代码
+ +附录1支撑材料列表 + +
文件说明
code代码[9]
data数据
image图
README说明
+ +
附录2
软件 Python问题1微分数值识别起跳和落地时刻
#%% md导入模块与数据#%%import matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdimport numpy as npfrom scipy.signal import savgol_filter#读取Excel文件# df = pd.read_excel('/.data/附件/附件1/运动者1的跳远位置信息.xlsx')# df = pd.read_excel('/.data/附件/附件1/运动者2的跳远位置信息.xlsx')df = pd.read_excel('/.data/附件/附件3/姿势调整前/运动者6第2次的跳远位置信息.xlsx')# df = pd.read_excel('/.data/附件/附件3/姿势调整后/运动者6调整后第2次的跳远位置信息.xlsx')# %% md数据处理#%%fps = 30 #视频帧率#时间戳df["time"] = df.index/ fps#对所有关键点的X、Y做补齐和平滑for col in df.columns:if col.endsWith("_X") or col.endsWith("_Y"): #先把0替换为NaNdf[col] = df[col].replace(0,np.nan)
+ +#用插值填补缺失前后方向都补df[col] $=$ df[col].interpolate(method $\equiv$ 'linear',limitDirection $\equiv$ 'both')#做Savitzky-Golay平滑df[col] $=$ savgol_filter(df[col],window_length $= 7$ ,polyorder $= 2$ df["foot_Ysmarty"] $=$ (df['31_Y'] $^+$ df['32_Y'] $^+$ df['30_Y'] $^+$ df['29_Y'])/4 #双脚四个点平均 $\# \% \%$ md数值微分识别起跳点以及落地点 $\# \% \%$ df["foot_vsmarty"] $=$ np-gradient(df["foot_Ysmarty"],df["time'])#脚掌第一次快速上升，速度负向突变，就是起跳takeoffCandidates $=$ df.index[df["foot_vsmarty"]<-150]jump_start $=$ takeoffCandidates[0]iflen(takeoffCandidates) $>0$ else df.index[0]t.takeoff $=$ df.loc[jump_start,"time"]#脚掌最后一次快速下降，速度正向突变，就是落地#把寻找落地时间控制在，起跳后1.5秒内landingCandidates $=$ df.index[(df["foot_vsmarty"]>150)&(df["time"]>=t.takeoff)&(df["time"]<=t.takeoff+1)]jump_end $=$ landingCandidates[-1]iflen(landingCandidates) $>0$ else df.index[-1]tlanding $=$ df.loc[jump_end,"time"]tflight $=$ tlanding-t.takeofffeatures $=$ {"起跳帧号":jump_start, "落地帧号":jump_end, "起跳时间(s):t.takeoff, "落地时间(s):tlanding, "滞空时间(s):t-flyght}result $\equiv$ pd.DataFrame([features])result $\# \% \%$ md比例尺计算 $\# \% \%$ df["foot_Xsmarty"] $=$ (df['31_X'] $^+$ df['32_X'] $^+$ df['30_X'] $^+$ df['29_X'])/4 #双脚平均#运动者1成绩real_distance $= 1.58$ #运动员2成绩#real_distance $= 1.15$ #对应的水平像素差pixel_distance $=$ df.loc[jump_end,"foot_Xsmarty"]-df.loc[jump_start,"foot_Xsmarty"] #腿部X坐标差 + +#比例尺，1像素对应多少米 +scale $=$ real_distance/pixel_distance +print(f起跳时刻水平像素值:{df.loc[jump_start, "foot_Xsmarty"]}px') +print(f落地时刻水平像素值:{df.loc[jump_end, "foot_Xsmarty"]}px') +print(f"比例尺:{scale:.5f}m/px") +#% md数值微分可视化对比图 +#%t start $= \max (0,t_{\cdot}$ takeoff-0.5）t_end $= t$ landing $+0.5$ df Clip $=$ df[(df["time"] $\geq =$ t_start)&(df["time"] $\leq =$ t_end].copy()plt.roParams['font.sans-serif'] $=$ ['SimSun']plt.roParams['axes.unicode_minus'] $=$ Falsefig,axes $=$ plt.subplots(2,1,figsiz=(6,3)，dpi=300,sharex=True)#脚掌轨迹 +ax1 $=$ axes[0]#绘制滤波后的轨迹ax1.plot(df Clip["time"],720-df Clip["foot_Ysmarty"],label $=$ "脚掌轨迹(滤波后),"color $=$ "#407bd0", linewidth $= 1.2$ ax1scatter(t.takeoff,720-df.loc[jump_start,"foot_Ysmarty"],color $=$ "green",s=20, label="起跳时间")ax1scatter(tlanding,720-df.loc[jump_end,"foot_Ysmarty"],color $=$ "red",s=20, label $=$ "落地时间")ax1.set_ylabel("高度(px)",fontsize=12)ax1.grid(True,linestyle $\coloneqq '$ ",alpha=0.5)for spine in ax1.spines.values():spine.set_color('black')spine.setlinewidth(0.6)ax1.tick_parameters(left=True，axis='both',direction='out',length=4-width=0.8,color='k', labelsize=9)#脚掌速度 +ax2 $=$ axes[1]ax2.plot(df Clip["time"],df Clip["foot_vsmarty"],label $=$ "脚掌速度(微分)",color $=$ "purple", linewidth $= 1.2$ ax2scatter(t.takeoff,df clip.loc[jump_start,"foot_vsmarty"],color $=$ "green",s=20)ax2scatter(tlanding,df clip.loc[jump_end,"foot_vsmarty"],color $=$ "red",s=20)ax2.set_xlabel("时间(s)",fontsize=12)ax2.set_ylabel("速度(px/s)",fontsize=12)ax2.grid(True,linestyle $\coloneqq '$ ",alpha=0.5)for spine in ax2.spines.values():spine.set_color('black')spine.setlinewidth(0.6)ax2.tick_parameters(bottom $\equiv$ True,left $\equiv$ True,right $\equiv$ False,top $\equiv$ False, axis $\equiv$ 'both', direction $\equiv$ 'out', length $= 4$ width $= 0.8$ ,color $=$ 'k', labelsize $= 9$ #把两个子图的句柄和标签合并handles1,labels1 $=$ ax1.getlegendHandles labels() + +handles2, labels2 = ax2.gethecnd Handles_labels() +ax1.mrgend Handles1 + handles2, labels1 + labels2, loc="upper center",bbox_to_ANCHOR=(0.488,1.5), ncol=4, fontsize=10, frameon=False, handletextpad=0.1, columnspacing=0.8) +ax1.margins(x=0,y=0.2) +ax2.margins(x=0,y=0.5) +plt.tight.layout() +#plt.savefig('./image/起跳与落地时刻微分示意图.svg',bbox_inches='tight',dpi=800, transparent=True) +plt.show() +#!/%% md +关键角度计算 +#!/%% +#角度计算函数 +def angle(p1,p2,p3): + v1=np.array([p1[0] - p2[0],p1[1] - p2[1]]) + v2=np.array([p3[0] - p2[0],p3[1] - p2[1]]) + cos_theta=np.dot(v1,v2)/(np.linalg(norm(v1)*np.linalg(norm(v2)+1e-6)) + return np.degrees(np.arccos(cos_theta,-1.0,1.0))) +#手臂角度合并计算 +rightAngles=[] +for i in range(len(df)): + p1=(df.loc[i,"11_X"],df.loc[i,"11_Y']) #肩 + p2=(df.loc[i,"13_X"],df.loc[i,"13_Y']) #肘 + p3=(df.loc[i,"15_X"],df.loc[i,"15_Y']) #腕 + rightAngles.append(angle(p1,p2,p3)) +df["右臂角度"]=rightAngles +leftAngles=[] +for i in range(len(df)): + p1=(df.loc[i,"12_X"],df.loc[i,"12_Y']) #肩 + p2=(df.loc[i,"14_X"],df.loc[i,"14_Y']) #肘 + p3=(df.loc[i,"16_X"],df.loc[i,"16_Y']) #腕 + leftAngles.append(angle(p1,p2,p3)) +df["左臂角度"]=leftAngles +#先合并，逐帧取平均 +df["手臂角度"]=(df["左臂角度"]+df["右臂角度"]);2 +#计算幅度 +arm_angle_range $\equiv$ df["手臂角度"].max()-df["手臂角度"].min() +#手腕速度合并计算 +fps=30 +#右手腕速度 +df["右手腕_vx"] $=$ df["15_X"].diff()*fps +df["右手腕_vy"] $=$ df["15_Y"].diff()*fps +df["右手腕速度"] $=$ np.sqrt(df["右手腕_vx"]),df["右手腕_vy"] +#左手腕速度 + +```python +df["左手腕_vx"] = df["16_X"].diff() * fps +df["左手腕_vy"] = df["16_Y"].diff() * fps +df["左手腕速度"] = np.sqrt(df["左手腕_vx"]), df["左手腕_vy"] +# 先合并逐帧取平均 +df["手腕速度"] = (df["左手腕速度"] + df["右手腕速度"]); 2 +# 计算最大值 +max_wrist_speed = df["手腕速度"].max() +result = pd.DataFrame([[{ + "手臂摆动角度幅度(°): arm_angle_range, + "手腕最大速度(px/s): max_wrist_speed} +}) +result +#!/%% +# 工具函数 +def get_point(frame, idx): + return (frame[f]{idx}_X", frame[f]{idx}_Y") +# 躯干角度肩-髋与地面竖直夹角 +def trunk_angle(frame): + hip_x = (frame["23_X"] + frame["24_X"]); 2 + hip_y = (frame["23_Y"] + frame["24_Y"]); 2 + shoulder_x = (frame["11_X"] + frame["12_X"]); 2 + shoulder_y = (frame["11_Y"] + frame["12_Y"]); 2 + v = np.array([shoulder_x - hip_x, shoulder_y - hip_y]) + vertical = np.array[0, -1]) + cos_theta = np.dot(v, vertical) / (np.linalg.norm(v) * np.linalg.norm(vertical) + 1e-6) + return np.degrees(np.arange(cos_theta, -1.0, 1.0)) +# 整条腿与地面的夹角（合并左右点后） +def avg-legged_angle_with-ground(frame): + hip = np.array([[frame["23_X"] + frame["24_X"]} / 2, + (frame["23_Y"] + frame["24_Y"]} / 2]) + ankle = np.array([[frame["27_X"] + frame["28_X"]} / 2, + (frame["27_Y"] + frame["28_Y"]} / 2]) + leg_vec = ankle - hip + ground_vec = np.array[1, 0]) + cos_theta = np.dot(leg_vec, ground_vec) / (np.linalg.norm(leg_vec) * +np.linalg.norm(ground_vec) + 1e-6) + return np.degrees(np.arccos(cos_theta, -1.0, 1.0))) +# 构建逐时刻角度表 +rows = [] +for idx, row in df.loc[jump_start:jump_end].iterrows(): + time_s = idx / fps +# 合并左右髋、膝、踝分别取平均 +hip = ((row["23_X"] + row["24_X"]} / 2, (row["23_Y"]} + row["24_Y"]} / 2) +knee = ((row["25_X"] + row["26_X"]} / 2, (row["25_Y"]} + row["26_Y"]} / 2) +ankle = ((row["27_X"] + row["28_X"]} / 2, (row["27_Y"]} + row["28_Y"]} / 2) +# 下肢角度髋-膝-踝 +``` + +```python +lower_angle = angle(hip, knee, ankle) +# 躯干角度（平均肩/髋） +trunk = trunk_angle(row) +# 肩-髋-膝角度（左右取平均点） +shoulder = ((row["11_X"] + row["12_X']) / 2, (row["11_Y"] + row["12_Y"]), 2) +shk = angle(shoulder, hip, knee) +# 整条腿与地面夹角（左右合并） +leg-ground = 180 - avg-legged_angle_with-ground(row) +rows.append({ + "帧号": idx, + "时间(s): time_s, + "下肢角度": lower_angle, + "躯干倾斜角度": trunk, + "肩-髋-膝夹角": shk, + "腿与地面夹角": legGround, +}) # 输出 DataFrame +angle_df = pd.DataFrame(columns(row).set_index("时间(s)")) +# angle_df.to_excel('/data/运动员1的关键角度.xlsx') +angle_df +#%%% +import matplotlib.pyplot as plt +import matplotlib.ticker as ticker +# 绘制关键角度曲线 +fig, axes = plt.subplot(1, 4, figsize=(12, 3), sharex=True, dpi=300) +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimSun'] +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +# 子图 1: 下肢角度 +axes[0].plot(angle_df.index, angle_df["下肢角度"], label="下肢角度", color="#c6b3d3", marker='o') +axes[0].set_title("下肢角度(°)", fontsize=15) +axes[0].set_ylabel("角度(°)", fontsize=15) +axes[0].grid(True) +# 子图 2: 躯干倾斜角度 +axes[1].plot(angle_df.index, angle_df["躯干倾斜角度"], label="躯干倾斜角度", color="#ed9f9b", marker='o') +axes[1].set_title("躯干倾斜角度(°)", fontsize=15) +axes[1].grid(True) +# 子图 3: 肩-髋-膝夹角 +axes[2].plot(angle_df.index, angle_df["肩-髋-膝夹角"], label="肩-髋-膝夹角", color="#9cd1cb", marker='o') +axes[2].set_title("肩-髋-膝夹角(°)", fontsize=15) +axes[2].grid(True) +# 子图 4: 腿与地面夹角 +axes[3].plot(angle_df.index, angle_df["腿与地面夹角"], label="腿与地面夹角", +``` + +color $=$ "#ec79f",marker $\coloneqq$ 'o') +axes[3].set_title("腿与地面夹角(°)”,fontsize $= 15$ +axes[3].grid(True) +for ax in axes: ax.tick_parameters(bottom $\equiv$ True,left $\equiv$ True,right $\equiv$ False,top $\equiv$ False, axis $\equiv$ both',direction $\equiv$ 'out'，length $= 4$ width $= 0.8$ color $\equiv$ k',labelsize $= 12$ ） for spine in ax.spines.values(): spine.set_color('black') spine.setlinewidth(0.6) ax.set_xsticks(np.arange(4.8,5.2,0.1)) ax.grid(True,linestyle $\equiv$ :,alpha $= 0.3$ ） ax.set_xlabel("时刻(s")，fontsize $= 15$ ） ax.margins(x=0.05,y=0.05) +plt.tight.layout() #plt(savefig("\\./image/运动者1_关键角度变化.svg",bbox_inches $\equiv$ 'tight',dpi $= 800$ transparent $\equiv$ True) +plt.savefig("\\./image/姿势调整前运动员6第二次_关键角度变化.svg" , bounding_inches $\equiv$ 'tight',dpi $= 800$ ,transparent $\equiv$ True) +plt.show() + +附录3 +软件Python 问题2姿势调整前后因素分析 + $\# \% \%$ +import pandas as pd +import numpy as np +from scipy.signal import savgol_filter +import glob,os +fps $= 30$ #视频帧率 +#真实成绩数据 +before $=$ {“运动员3":[1.33,1.40,1.32,1.36,1.39]，“运动员4":[1.80]，“运动员5":[2.05,2.05]，“运动员6":[1.15,1.15]，"运动员7":[1.82,1.90]，“运动员8":[1.45,1.47]，“运动员9":[1.45]，“运动员10":[1.50,1.52] +}after $=$ {“运动员3":[1.58,1.40]，“运动员4":[1.95,1.97]，“运动员5":[2.15,2.16], + +"运动者6":[1.28,1.35], "运动员7":[2.05,2.05], "运动员8":[1.50], "运动员9":[1.53,1.45], "运动员10":[1.62,1.60] +} #辅助函数 defangle(p1,p2,p3): v1 = np.array([p1[0]-p2[0],p1[1]-p2[1]]) v2 = np.array([p3[0]-p2[0],p3[1]-p2[1]]) cos_theta = np.dot(v1,v2)/(np.linalg(norm(v1)*np.linalg(norm(v2) + 1e-6) return np.degrees(np.arccos(np.clip(cos_theta,-1.0,1.0)))) deftrunk_angle(frame): hip_x=(frame["23_X"]+frame["24_X"])/2 hip_y=(frame["23_Y"]+frame["24_Y"])/2 shoulder_x=(frame["11_X"]+frame["12_X"])/2 shoulder_y=(frame["11_Y"]+frame["12_Y"])/2 v = np.array([shoulder_x -hip_x,shoulder_y -hip_y]) vertical $=$ np.array([0,-1]) cos_theta $=$ np.dot(v,vertical)/(np.linalg(norm(v)*np.linalg(norm(vertical) + 1e-6) return np.degrees(np.arccos(np.clip(cos_theta,-1.0,1.0))) defavg leg_angle_with-ground(frame): hip $=$ np.array([frame["23_X"]+frame["24_X"])/2, (frame["23_Y"]+frame["24_Y"])/2]) ankle $=$ np.array([frame["27_X"]+frame["28_X"])/2, (frame["27_Y"]+frame["28_Y"])/2]) leg_vec $=$ ankle - hip ground_vec $\equiv$ np.array([1,0]) cos_theta $=$ np.dot(leg_vec,ground_vec)/(np.linalg(norm(leg_vec)\* np.linalgnorm(ground_vec)+1e-6) return np.degrees(np.arccos(np.clip(cos_theta,-1.0,1.0))) #主处理函数 defprocess_files(file_list,mode): all_results $= [$ for file in sorted(file_list): df $=$ pd.read_excel(file) df["time"] $=$ df.index / fps #数据预处理 for col in df.columns: ifcol.endsWith("\\x") or col.endsWith("\\y"); df [col] $=$ df [col].replace(0,np.nan).interpolate(method='linear', limitDirection='both') df [col] $=$ savgol_filter(df [col],window_length=7,polyorder=2) #脚掌运动信息 df["foot_Y(smooth"] $=$ (df['29_Y'] + df['30_Y'] + df['31_Y'] + df['32_Y'])/4 df["foot_X(smooth"] $=$ (df['29_X'] + df['30_X'] + df['31_X'] + df['32_X'])/4 + +```python +df["foot_v_smooth"] = np-gradient(df["foot_Y_smooth"], df["time"]); # 起跳检测 takeoffCandidates = df.index[df["foot_v_smooth"] < -150] jump_start = takeoffCandidates[0] if len(takeoffCandidates) > 0 else df.index[0] t.takeoff = df.loc[jump_start, "time"]; # 落地检测（起跳后1s内） landingCandidates = df.index[(df["foot_v_smooth"] > 150) & (df["time"] >= t.takeoff) & (df["time"] <= t.takeoff + 1)] jump_end = landingCandidates[-1] if len(landingCandidates) > 0 else df.index[-1] t Landing = df.loc[jump_end, "time"]; t_flow = tlanding - t.takeoff # 手臂角度幅度 rightAngles, leftAngles = [], [] for i in range(len(df)): rightAngles.append(angle((df.loc[i, "11_X"], df.loc[i, "11_Y"]), (df.loc[i, "13_X"], df.loc[i, "13_Y"]), (df.loc[i, "15_X"], df.loc[i, "15_Y]))) leftAngles.append(angle((df.loc[i, "12_X"], df.loc[i, "12_Y"]), (df.loc[i, "14_X"], df.loc[i, "14_Y"]), (df.loc[i, "16_X"], df.loc[i, "16_Y]))) df["手臂角度"] = (np.array(leftAngles) + np.array(rightAngles)) / 2 arm_angle_range = df["手臂角度"].max() - df["手臂角度"].min() # 手腕最大速度 for wrist in ["15", "右"], ("16", "左"): df[f'\{wrist[1]\}手腕_vx" = df[f'\{wrist[0]\}_X'].diff() * fps df[f'\{wrist[1]\}手腕_vy" = df[f'\{wrist[0]\}_Y'].diff() * fps df[f'\{wrist[1]\}手腕速度"] = np.sqrt(df[f'\{wrist[1]\}手腕_vx"*2 + df[f'\{wrist[1]\}手腕_vy"*2) df["手腕速度"] = (df[f'左手腕速度"] + df[f'右手腕速度']) / 2 max_wrist_speed = df["手腕速度"].max() # 起跳落地帧角度 row.takeoff, rowlanding = df.loc[jump_start], df.loc[jump_end] hip_to = ((row.takeoff['23_X'] + row.takeoff['24_X']) / 2, (row.takeoff['23_Y'] + row.takeoff['24_Y']) / 2) knee_to = ((row.takeoff['25_X'] + row.takeoff['26_X']) / 2, (row.takeoff['25_Y'] + row.takeoff['26_Y']) / 2) ankle_to = ((row.takeoff['27_X'] + row.takeoff['28_X']) / 2, (row.takeoff['27_Y'] + row.takeoff['28_Y']) / 2) shoulder_to = ((row.takeoff['11_X'] + row.takeoff['12_X']) / 2, (row.takeoff['11_Y'] + row.takeoff['12_Y']) / 2) hip_ld = ((rowlanding['23_X'] + rowlanding['24_X']) / 2, (rowlanding['23_Y'] + rowlanding['24_Y']) / 2) +``` + +```txt +knee_ld = ((row_landing["25_X"] + row_landing["26_X"]); 2, +(row_landing["25_Y"] + row_landing["26_Y"]); 2) +ankle_ld = ((row_landing["27_X"] + row_landing["28_X"]); 2, +(row_landing["27_Y"] + row_landing["28_Y"]); 2) +shoulder_ld = ((row_landing["11_X"] + row_landing["12_X"]); 2, +(row_landing["11_Y"] + row_landing["12_Y"]); 2) +lower_angle.takeoff = angle(hip_to, knee_to, ankle_to) +trunk.takeoff = trunk_angle(row.takeoff) +shk.takeoff = angle(shoulder_to, hip_to, knee_to) +leg-ground.takeoff = 180 - avg-legged_angle_with-ground(row.takeoff) +lower_anglelanding = angle(hip_ld, knee_ld, ankle_ld) +trunk Landing = trunk_angle(row Landing) +shk Landing = angle(shoulder_ld, hip_ld, knee_ld) +leg ground landing = 180 - avg leg angle with ground(row landing) +# 运动员编号 +fname = os.path.baseline(file) +athlete = [k for k in after_keys() if k in fname or k.replace("运动员", "") in +fname][0] +# 对应真实成绩 +if mode == "调整前": +idx = len([f for f in file_list if athlete in f and "调整前" in f and f <= file]) - 1 +real_distance = before[athlete][idx] +else: +idx = len([f for f in file_list if athlete in f and "调整后" in f and f <= file]) - 1 +real_distance = after[athlete][idx] +pixel_distance = df.loc[jump_end, "foot_X(smooth)" - df.loc[jump_start, "foot_X(smooth)" ] +scale = real_distance / pixel_distance +# 保存一条结果 +all_results.append({ + "文件名": fname, + "姓名": athlete, + "阶段": mode, + "起跳时刻(s): t.takeoff, + "落地时刻(s): tlanding, + "滞空时间(s): tflight, + "起跳下肢角度(°): lower_angle.takeoff, + "起跳肩-髋-膝角度(°): shk.takeoff, + "起跳躯干角度(°): trunk.takeoff, + "起跳腿与地面夹角(°): legGround.takeoff, + "落地下肢角度(°): lower_anglelanding, + "落地肩-髋-膝角度(°): shklanding. +``` + +"落地_躯干角度(°):trunklanding, "落地腿与地面夹角(°):legGroundlanding, "手臂摆动角度幅度(°):arm_angle_range, "手腕最大速度 $(\mathrm{px / s})$ ":max_wrist_speed, "水平移动距离 $\left(\mathbf{px}\right)$ ":pixel_distance, "跳远成绩(m)":real_distance, "比例尺(m/px)":scale } return all_results #运行 before_files=glob.glob("\\./data/附件/附件3/姿势调整前/*.xlsx") after_files=glob.glob("\\./data/附件/附件3/姿势调整后/*.xlsx") results_before=process_files(before_files,"调整前") results_after $=$ process_files(after_files,"调整后") #合并保存 all_results $=$ pd.DataFrame(results_before $^+$ results_after) all_results.to_excel("\\./data/姿势调整前后_关键角度结果.xlsx",index $\equiv$ False) single_file $=$ ['.data/附件/附件5/运动者11的跳远位置信息.xlsx'] before["运动员11"]=[np.nan] after["运动员11"]=[np.nan] results_single $=$ process_files(single_file,"调整前") df_single $=$ pd.DataFrame(results_single) #保存成Excel df_single.to_excel("\\./data/运动者11_关键角度结果.xlsx",index $\equiv$ False) #%% md计算提升度 #%% #计算最好成绩和提升百分比 results $= []$ for athlete in before: best_before $=$ max(before[athlete]) best_after $=$ max(after[athlete]) improvement_abs $=$ best_after-best_before #绝对提升值 improvement_pct $=$ (improvement_abs/best_before)*100 #相对提升百分比 results.append([athlete,best_before,best_after,improvement_abs,improvement_pct]) #保存为DataFrame df $=$ pd.DataFrame(results.columns $=$ ["运动员","调整前最好成绩(米),"调整后最好成绩(米),"提升(米),"提升度(%)] #格式化输出，保留两位小数 df["提升度(%)] $=$ df["提升度(%)].round(2) print(df) #%% md相关性分析 + +```python +import pandas as pd +import seaborn as sns +import matplotlib.pyplot as plt +import numpy as np +from matplotlibcolors import LinearSegmentedColormap +from scipy.stats import spearmanr +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimSun'] #设置中文显示 +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +#读取数据 +df = pd.read_excel('/data/姿势调整前后_关键角度结果.xlsx') +#df = pd.read_excel('/data/姿势调整前后_关键角度结果.xlsx', sheet_name='剔除儿童数据') +#df = pd.read_excel('/data/合并表数据.xlsx') +#删除指定文件对应的数据 +exclude_files = [ + "运动者6第1次的跳远位置信息.xlsx", + "运动者8第2次的跳远位置信息.xlsx", + "运动者9第1次的跳远位置信息.xlsx", + "#运动者9调整后第1次的跳远位置信息.xlsx", + "#运动者9调整后第2次的跳远位置信息.xlsx", +] +if"文件名"in df.columns: #确保有文件名列 +df = df[-df["文件名"].isin(exclude_files)] +#原始列名（带单位） +selected cols = [ + "滞空时间(s)", + "起跳下肢角度(°)", "起跳躯干角度(°)", "起跳肩-髋-膝角度(°)", "起跳腿与地面夹角(°)", + "落地下肢角度(°)", "落地躯干角度(°)", "落地肩-髋-膝角度(°)", "落地腿与地面夹角(°)", + "手臂摆动角度幅度(°)", "手腕最大速度(px/s)" +] +#显示用的新名字 +display_names = [ + "滞空时间", + "起跳下肢角度", "起跳躯干角度", "起跳肩-髋-膝角度", "起跳腿与地面夹角", + "落地下肢角度", "落地躯干角度", "落地肩-髋-膝角度", "落地腿与地面夹角", + "手臂摆动角度幅度", "手腕最大速度", + "跳远成绩" +] +x_tag = [ + "滞空时间", + "起跳下肢角度", "起跳躯干角度", "起跳肩-髋-膝角度", "起跳腿与地面夹角", +``` + +"落地下肢角度","落地躯干角度","落地肩-髋-膝角度","落地腿与地面夹角", "手臂摆动角度幅度","手腕最大速度", "跳远成绩" +1 +#计算 Spearman 相关系数 +correlations $=$ { +p_values $=$ { +for col in selected cols: corr, $\mathfrak{p} =$ spearmanr(df[col], df["跳远成绩(m)']) correlations[col] $=$ corr p_values[col] $=$ p corr_df $=$ pd.DataFrame({"Spearman_r": correlations,"p_value": p_values}).sort_values(by $=$ "Spearman_r",ascending $\equiv$ False) print(corr_df) #5.可视化相关矩阵 +plt.figure(figsize=(7,6)，dpi=300) corr $=$ df[selected cols + ["跳远成绩(m)"].corr() #自定义颜色渐变 +custom_cmap $=$ LinearSegmentedColormap.from_list("custom_cmap","#[e898b7", "white","#a0cef d"]） +ax=sns_heatmap( corr, annot=True, fmt=".2f", cmap $\equiv$ custom_cmap, vmax=-1,vmax=1，#保证对称色标 square=True, xticklabels $\equiv$ display_names,#覆盖列名 yticklabels $\equiv$ display_names,#覆盖行名 cbar_kws={ "shrink":0.94,#调整颜色条大小 "aspect":30,#颜色条长宽比 "pad":0.05 #与图的间距 } +#获取颜色条并设置字体大小 +cbar $=$ axcollections[0].colorbar +cbar(ax.tick_parameters(labelsize $= 12$ #设置颜色条刻度标签字体大小 #设置行名和列名的大小 +plt.xicks(np.arange(len(x_tag))+0.5, labels=x_tag,fontsize=10,rotation=45,ha='center') plt.yicks Labelsize=12 #设置y轴标签大小 +plt(savefig('/./image/调整前后姿势因素热力图.svg',bbox_inches $\equiv$ 'tight',dpi=800, transparent=True) +plt.show() +%% + +```python +import pandas as pd +# 读取姿势数据 +df_posture = pd.read_excel("\\data/姿势调整前后_关键角度结果.xlsx") +# 读取身体报告数据 +df_body = pd.read_excel("\\data/人体报告回归数据.xlsx") +# 以姓名为索引对齐 +df_posture.set_index('姓名', inplace=True) +df_body.set_index('姓名', inplace=True) +# 合并两张表 +df_all = df_posture.join(df_body, how='left') +df_all.to_excel("\\data/合并表数据.xlsx", index=False) +df_all +#%%% +import pandas as pd +import seaborn as sns +import matplotlib.pyplot +from scipy.stats import spearmanr +plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimSun'] # 设置中文显示 +plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False +# 读取数据 +df = pd.read_excel("\\data/合并表数据.xlsx") +# 删除指定文件对应的数据 +exclude_files = [ + "运动者6第1次的跳远位置信息.xlsx", + "运动者8第2次的跳远位置信息.xlsx", + "运动者9第1次的跳远位置信息.xlsx" +] +if "文件名" in df.columns: + df = df[-df["文件名"].isin(exclude_files)] +# 选择自变量和因变量跳远成绩 +selected cols = [ + "年龄","身高","体重","肌肉重量","骨量", + "基础代谢","脂肪重量","骨骼肌重量","水分重量", + "蛋白质重量","去脂体重","体脂率" +] +# 显示用的新名字 +display_names = [ + "年龄","身高","体重","肌肉重量","骨量", + "基础代谢","脂肪重量","骨骼肌重量","水分重量", + "蛋白质重量","去脂体重","体脂率","跳远成绩" +] +# 计算 Spearman 相关系数 +correlations = {} +p_values = {} +``` + +for col in selected_cols: corr, p = spearmanr(df[col], df["跳远成绩(m)']) correlations[col] = corr p_values[col] = p corr_df = pd.DataFrame({"Spearman_r": correlations, "p_value": p_values}).sort_values(by="Spearman_r", ascending=False) print(corr_df) #5.可视化相关矩阵 plt.figure(figsize=(8,6), dpi=300) #自定义颜色渐变：负相关 $\rightarrow$ 白色 $\rightarrow$ 正相关 custom_cmap = LinearSegmentedColormap.from_list("custom_cmap", ["#b09ac2", "white", "#76a0cc")] sns_heatmap(df[selected_cols + ["跳远成绩(m)"].corr(), annot=True, fmt=".2f", cmap=custom_cmap, xticklabels=display_names, #覆盖列名 yticklabels=display_names #覆盖行名 ) plt.xicks-fontsize=10, rotation=45, ha='center') plt.yicks-fontsize=12 #设置y轴标签大小 plt(savefig('./image/调整前后体质因素热力图.svg', bbox_inches='tight', dpi=800, transparent=True) plt.show() + +[注]：其余见支撑材料。 \ No newline at end of file