# BCS、BES、ISS 与 KTS 评测规范

## 0. 目的

本规范用于在固定事实知识数据集上评测大语言模型的：

1. **外部行为一致性**；
2. **内部事实状态稳定性**；
3. **整体知识拓扑稳定性**。

最终报告四个核心指标：

\[
\boxed{
\mathrm{BCS},\quad
\mathrm{BES},\quad
\mathrm{ISS},\quad
\mathrm{KTS}
}
\]

其中：

| 指标 | 全称 | 分析层级 | 核心问题 |
|---|---|---|---|
| BCS | Behavioral Consistency Score | 单事实、外部行为 | 不同检索条件下是否主要表达同一个答案？ |
| BES | Behavioral Entropy Stability | 单事实、外部行为 | 回答分布是否集中，还是分散到多个答案？ |
| ISS | Internal State Stability | 单事实、内部表示 | 同一事实跨条件是否形成一致且可区分的内部状态？ |
| KTS | Knowledge Topology Stability | 数据集、内部空间 | 不同条件下事实身份与整体知识几何是否保持？ |

本规范默认使用固定主事实集：

\[
\mathcal D=\{f_1,\ldots,f_N\},\qquad N=2,592.
\]

所有被测模型使用完全相同的事实和 query bank。模型在 anchor 条件下是否回答正确，只作为标签，不改变评测分母。

---

# 1. 评测条件

## 1.1 主前向检索条件

以下条件保持检索目标为：

\[
(s,r)\rightarrow o.
\]

记主条件集合为：

\[
\mathcal T=
\{
\text{anchor},
\text{paraphrase},
\text{format},
\text{context},
\text{multilingual}
\}.
\]

这些条件进入 BCS、BES、ISS 和 KTS 的主要计算。

## 1.2 独立诊断条件

以下条件不混入主指标：

- `recognition`：正确答案已经出现在候选中，属于辅助识别；
- `reverse`：检索目标从 object 改为 subject，单独报告 structural retrieval；
- `reverse_illposed`：反向映射不唯一，只用于数据诊断。

## 1.3 覆盖不完整时的处理

当前数据中：

- anchor：覆盖 2,592 条事实；
- paraphrase：覆盖 2,592 条事实；
- format：覆盖 2,592 条事实；
- context：覆盖 2,591 条事实；
- multilingual：覆盖 2,402 条事实。

推荐优先补齐缺失条件。

在未补齐前，应同时报告：

### Complete-family 主结果

仅使用具备全部五个主条件的事实集合：

\[
\mathcal D_{\cap}
=
\bigcap_{t\in\mathcal T}\mathcal D_t.
\]

这是最严格、最可比的主结果。

### Full-set 补充结果

对每条事实使用其实际存在的条件集合：

\[
\mathcal T_f
=
\{t\in\mathcal T:f\in\mathcal D_t\}.
\]

所有平均都按可用 condition family 等权计算，并报告每个指标的有效样本数。

不能为缺失条件伪造零分，也不能把不同模型的有效事实集设为不同集合。

---

# 2. 必要输入

## 2.1 Fact 文件

每条事实至少包含：

```json
{
  "fact_id": "fact_000001",
  "subject": "France",
  "relation": "capital",
  "object": "Paris",
  "gold_aliases": ["Paris", "City of Paris"],
  "answer_type": "city",
  "answer_granularity": "entity"
}
```

## 2.2 Query 文件

每条 query 至少包含：

```json
{
  "query_id": "query_00000001",
  "fact_id": "fact_000001",
  "condition_family": "paraphrase",
  "variant_id": "para_02",
  "language": "en",
  "query": "Which city serves as the capital of France?",
  "target_slot": "object",
  "use_for_main_forward": true
}
```

## 2.3 模型输出文件

```json
{
  "model": "model_name",
  "query_id": "query_00000001",
  "fact_id": "fact_000001",
  "condition_family": "paraphrase",
  "raw_response": "The answer is Paris.",
  "generation_config": {
    "do_sample": false,
    "temperature": 0,
    "max_new_tokens": 24
  }
}
```

## 2.4 内部表示文件

ISS 和 KTS 需要在模型尚未生成第一个答案 token 时，提取问题末位位置的 residual state：

```json
{
  "model": "model_name",
  "query_id": "query_00000001",
  "fact_id": "fact_000001",
  "condition_family": "paraphrase",
  "layer": 16,
  "position": "query_end",
  "hidden_state_path": "..."
}
```

必须保证所有 query 使用同一种位置定义：

> 输入 prompt 的最后一个有效 token，即模型读完问题但尚未开始生成答案的位置。

---

# 3. AI Judge 输出协议

BCS 和 BES 不直接比较原始字符串，而基于 AI Judge 得到的语义答案 cluster。

整个过程分为两步。

## 3.1 Reference-blind 答案抽取与聚类

Judge 不看 gold answer，只完成：

1. 提取回答最终主张的核心答案；
2. 忽略句式、语言、标点和解释性文字；
3. 将语义等价答案归为同一 cluster；
4. 标记拒答、多答案和无法解析输出。

例如：

```text
Paris
The answer is Paris.
Paris, France.
巴黎
```

应归入同一个语义 cluster。

建议特殊 cluster：

- `ABSTAIN`：拒答或明确表示不知道；
- `MULTIPLE`：给出多个冲突答案且未选择；
- `UNPARSEABLE`：无法提取明确答案；
- 具体实体或命题 cluster，如 `ENTITY_Q90` 或 `SEMANTIC_PARIS`。

Judge 输出：

```json
{
  "query_id": "query_00000001",
  "fact_id": "fact_000001",
  "cluster_id": "ENTITY_Q90",
  "canonical_meaning": "Paris",
  "status": "ANSWER",
  "confidence": 0.98
}
```

同一事实的所有主条件输出应一次性或全局一致地聚类，避免两两判断产生非传递关系。

## 3.2 Reference-aware 正确性判断

第二步再向 Judge 提供：

- gold answer；
- accepted aliases；
- answer type；
- answer granularity。

对每个语义 cluster 标记：

- `CORRECT`；
- `INCORRECT`；
- `ABSTAIN`；
- `AMBIGUOUS`；
- `REVIEW_REQUIRED`。

该步骤用于区分 Stable Correct 和 Stable Wrong，但不参与答案 cluster 的形成。

---

# 4. BCS：Behavioral Consistency Score

## 4.1 为什么需要 family-balanced 计算

不同 condition family 的 query 数量差异很大。例如：

- paraphrase 可能有 3–5 个版本；
- multilingual 可能有多个语言版本；
- anchor 通常只有 1 条。

如果直接按全部 query 计数，query 更多的 family 会支配结果。

因此必须先在每个 family 内计算答案分布，再对 family 等权聚合。

## 4.2 Family 内答案分布

设事实 \(f\) 在 family \(t\) 下的 query 集为：

\[
Q_{f,t}.
\]

AI Judge 给 query \(q\) 分配语义 cluster：

\[
\kappa_{m,f,q}.
\]

对于答案 cluster \(a\)，定义：

\[
p_{m,f,t}(a)
=
\frac{1}{|Q_{f,t}|}
\sum_{q\in Q_{f,t}}
\mathbb I[
\kappa_{m,f,q}=a
].
\]

每个 family 的总概率满足：

\[
\sum_a p_{m,f,t}(a)=1.
\]

## 4.3 跨 family 等权聚合

对事实 \(f\) 的有效主条件集合 \(\mathcal T_f\)，定义：

\[
p_{m,f}(a)
=
\frac{1}{|\mathcal T_f|}
\sum_{t\in\mathcal T_f}
p_{m,f,t}(a).
\]

这样每个 condition family 权重相同，不受该 family 中 query 数量影响。

## 4.4 BCS 定义

\[
\boxed{
\mathrm{BCS}_{m,f}
=
\max_a p_{m,f}(a)
}
\]

取最大概率的 cluster：

\[
a^*_{m,f}
=
\arg\max_a p_{m,f}(a).
\]

解释：

- \(\mathrm{BCS}=1\)：所有有效条件都只支持同一个语义答案；
- \(\mathrm{BCS}=0.8\)：主要答案获得 80% 的 family-balanced 概率；
- BCS 较低：输出分散到多个答案。

BCS 不判断主答案是否正确。

例如，gold 是 `Canberra`，但所有条件都回答 `Sydney`：

\[
\mathrm{BCS}=1.
\]

这是高度稳定但错误的行为。

## 4.5 模型级 BCS

\[
\boxed{
\mathrm{BCS}_m
=
\frac{1}{|\mathcal D_{\mathrm{eval}}|}
\sum_{f\in\mathcal D_{\mathrm{eval}}}
\mathrm{BCS}_{m,f}
}
\]

其中：

- 主结果使用 \(\mathcal D_{\cap}\)；
- 补充结果可使用完整可用集合。

---

# 5. BES：Behavioral Entropy Stability

BCS 只关注最大答案 cluster，可能忽略剩余概率如何分布。

例如以下两种情况的 BCS 都是 0.6：

```text
A: 0.6, B: 0.4
```

和：

```text
A: 0.6, B: 0.1, C: 0.1, D: 0.1, E: 0.1
```

第二种回答明显更加分散，因此需要 BES。

## 5.1 答案熵

基于 family-balanced 分布 \(p_{m,f}(a)\)，定义：

\[
H_{m,f}
=
-\sum_{a:p_{m,f}(a)>0}
p_{m,f}(a)\log p_{m,f}(a).
\]

设实际观察到的非零答案 cluster 数为：

\[
A_{m,f}
=
\left|
\{a:p_{m,f}(a)>0\}
\right|.
\]

## 5.2 BES 定义

当 \(A_{m,f}=1\) 时：

\[
\mathrm{BES}_{m,f}=1.
\]

当 \(A_{m,f}>1\) 时：

\[
\boxed{
\mathrm{BES}_{m,f}
=
1-
\frac{H_{m,f}}{\log A_{m,f}}
}
\]

解释：

- \(\mathrm{BES}=1\)：回答完全集中于一个 cluster；
- \(\mathrm{BES}=0\)：回答在所有已观察 cluster 上均匀分布；
- 值越高，回答分布越集中。

BCS 和 BES 的区别：

- BCS 衡量最大 cluster 的占比；
- BES 衡量完整答案分布的集中程度。

建议将 BCS 作为主外部稳定性指标，BES 作为补充指标。

## 5.3 模型级 BES

\[
\boxed{
\mathrm{BES}_m
=
\frac{1}{|\mathcal D_{\mathrm{eval}}|}
\sum_{f\in\mathcal D_{\mathrm{eval}}}
\mathrm{BES}_{m,f}
}
\]

---

# 6. 外部行为类型

设置预注册的行为稳定阈值：

\[
\tau_B=0.8.
\]

根据主答案 cluster \(a^*_{m,f}\) 的正确性，将事实划分为：

## 6.1 Stable Correct

\[
\mathrm{BCS}_{m,f}\ge \tau_B
\]

且：

\[
a^*_{m,f}\text{ 被 Judge 标记为 CORRECT}.
\]

## 6.2 Stable Wrong

\[
\mathrm{BCS}_{m,f}\ge \tau_B
\]

且主 cluster 是明确的错误答案。

## 6.3 Stable Abstention

\[
\mathrm{BCS}_{m,f}\ge \tau_B
\]

且：

\[
a^*_{m,f}=\mathrm{ABSTAIN}.
\]

## 6.4 Unstable

\[
\mathrm{BCS}_{m,f}<\tau_B.
\]

建议额外做阈值敏感性分析：

\[
\tau_B\in\{0.7,0.8,0.9\}.
\]

模型级比例：

\[
\mathrm{SCR}_m
=
\frac{\#\text{Stable Correct}}{|\mathcal D_{\mathrm{eval}}|},
\]

\[
\mathrm{SWR}_m
=
\frac{\#\text{Stable Wrong}}{|\mathcal D_{\mathrm{eval}}|},
\]

\[
\mathrm{SAR}_m
=
\frac{\#\text{Stable Abstention}}{|\mathcal D_{\mathrm{eval}}|},
\]

\[
\mathrm{UR}_m
=
\frac{\#\text{Unstable}}{|\mathcal D_{\mathrm{eval}}|}.
\]

四者应满足：

\[
\mathrm{SCR}_m+
\mathrm{SWR}_m+
\mathrm{SAR}_m+
\mathrm{UR}_m
=1.
\]

---

# 7. ISS：Internal State Stability

## 7.1 测量目标

ISS 衡量：

> 同一事实在不同主检索条件下，是否形成一致且具有事实区分性的内部状态。

ISS 不依赖模型最终答案是否正确，也不依赖 gold answer 是单 token 还是多 token。

## 7.2 Query-end hidden state

对于模型 \(m\)、事实 \(f\)、query \(q\) 和层 \(\ell\)，提取：

\[
h^\ell_{m,f,q}\in\mathbb R^{d_m}.
\]

位置固定为 query 最后一个有效输入 token。

## 7.3 J-Lens Jacobian transport

对每一层估计平均 Jacobian transport：

\[
J^\ell_m
=
\mathbb E_x
\left[
\frac{\partial h^L_m}{\partial h^\ell_m}
\right].
\]

将第 \(\ell\) 层状态运输到 final-layer residual basis：

\[
\boxed{
z^\ell_{m,f,q}
=
J^\ell_m h^\ell_{m,f,q}
}
\]

这里只使用运输后的 hidden representation，不乘 unembedding matrix，因此不进入 vocabulary space。

如果暂时无法实现 Jacobian transport，可以用 raw hidden state 计算一个 `Raw-ISS` 作为消融，但主指标应使用 transported state。

## 7.4 去除 relation 和 condition family 主效应

对每个模型和层计算：

\[
\mu^\ell_m
=
\mathbb E_{f,q}[z^\ell_{m,f,q}],
\]

\[
\mu^\ell_{m,r}
=
\mathbb E_{f,q:r_f=r}[z^\ell_{m,f,q}],
\]

\[
\mu^\ell_{m,t}
=
\mathbb E_{f,q:t(q)=t}[z^\ell_{m,f,q}].
\]

双重残差化：

\[
\bar z^\ell_{m,f,q}
=
z^\ell_{m,f,q}
-
\mu^\ell_{m,r_f}
-
\mu^\ell_{m,t(q)}
+
\mu^\ell_m.
\]

该步骤用于减少：

- relation 类型共有方向；
- query 格式共有方向；
- 语言 family 共有方向；
- residual stream 公共均值。

## 7.5 正则化白化

估计协方差：

\[
\Sigma^\ell_m
=
\operatorname{Cov}
\left(
\bar z^\ell_{m,f,q}
\right).
\]

定义：

\[
\tilde z^\ell_{m,f,q}
=
\left(
\Sigma^\ell_m+\lambda I
\right)^{-1/2}
\bar z^\ell_{m,f,q}.
\]

实践建议：

- 使用 shrinkage covariance；
- 或使用 PCA whitening；
- PCA 维度固定为 \(\min(512,d_m)\)；
- 所有 query 使用同一个模型、同一层的变换；
- 不允许为不同 condition family 单独拟合白化矩阵。

随后进行 L2 归一化：

\[
\hat z^\ell_{m,f,q}
=
\frac{\tilde z^\ell_{m,f,q}}
{\|\tilde z^\ell_{m,f,q}\|_2+\epsilon}.
\]

## 7.6 Family centroid

一个 family 内可能有多个 query。为了避免 query 数量多的 family 获得更高权重，先计算 family centroid：

\[
v^\ell_{m,f,t}
=
\operatorname{Normalize}
\left(
\frac{1}{|Q_{f,t}|}
\sum_{q\in Q_{f,t}}
\hat z^\ell_{m,f,q}
\right).
\]

每条事实在每个 condition family 下只保留一个表示。

## 7.7 同事实跨 family 相似度

设事实 \(f\) 的有效 family pair 集为：

\[
\mathcal P_f
=
\{(t,t'):t,t'\in\mathcal T_f,\ t<t'\}.
\]

定义正样本相似度：

\[
S^+_{m,f,\ell}
=
\frac{1}{|\mathcal P_f|}
\sum_{(t,t')\in\mathcal P_f}
\cos
\left(
v^\ell_{m,f,t},
v^\ell_{m,f,t'}
\right).
\]

## 7.8 同 relation 背景相似度

为每个事实选择同 relation、不同事实的负样本集合：

\[
\mathcal N_f
=
\{g:g\neq f,\ r_g=r_f\}.
\]

对于每个 family pair，使用对称背景：

\[
B_{m,f,\ell}(t,t')
=
\frac{1}{2|\mathcal N_f|}
\sum_{g\in\mathcal N_f}
\left[
\cos(v^\ell_{m,f,t},v^\ell_{m,g,t'})
+
\cos(v^\ell_{m,f,t'},v^\ell_{m,g,t})
\right].
\]

再定义：

\[
S^-_{m,f,\ell}
=
\frac{1}{|\mathcal P_f|}
\sum_{(t,t')\in\mathcal P_f}
B_{m,f,\ell}(t,t').
\]

如果同 relation 事实过多，可以固定随机采样最多 100 个负事实，并对所有模型使用同一采样列表。

## 7.9 ISS 定义

\[
\boxed{
\mathrm{ISS}_{m,f,\ell}
=
\frac{
S^+_{m,f,\ell}
-
S^-_{m,f,\ell}
}{
1-S^-_{m,f,\ell}+\epsilon
}
}
\]

解释：

- 接近 1：同一事实跨条件高度一致；
- 接近 0：同一事实的相似性不高于同 relation 背景；
- 小于 0：跨条件表示比其他事实背景还不一致。

该值理论上可能小于 \(-1\)。统计分析应保留原始值；如果用于图表展示，可额外报告裁剪版本：

\[
\mathrm{ISS}^{\mathrm{clip}}
=
\operatorname{clip}(\mathrm{ISS},-1,1).
\]

不要用裁剪值替代原始统计值。

## 7.10 跨层 ISS

将相对层深定义为：

\[
d_\ell
=
\frac{\ell}{L_m-1}.
\]

预注册主分析窗口：

\[
\mathcal W_m
=
\{\ell:0.4\le d_\ell\le1.0\}.
\]

单事实 ISS：

\[
\boxed{
\mathrm{ISS}_{m,f}
=
\frac{1}{|\mathcal W_m|}
\sum_{\ell\in\mathcal W_m}
\mathrm{ISS}_{m,f,\ell}
}
\]

模型级 ISS：

\[
\boxed{
\mathrm{ISS}_m
=
\frac{1}{|\mathcal D_{\mathrm{eval}}|}
\sum_{f\in\mathcal D_{\mathrm{eval}}}
\mathrm{ISS}_{m,f}
}
\]

同时建议报告：

### Peak ISS

\[
\mathrm{ISS}^{\mathrm{peak}}_{m,f}
=
\max_{\ell\in\mathcal W_m}
\mathrm{ISS}_{m,f,\ell}.
\]

表示模型是否曾形成过一致事实状态。

### Late ISS

\[
\mathrm{ISS}^{\mathrm{late}}_{m,f}
=
\frac{1}{|\mathcal W^{\mathrm{late}}_m|}
\sum_{\ell:d_\ell\ge0.8}
\mathrm{ISS}_{m,f,\ell}.
\]

表示一致状态是否保持到靠近输出的阶段。

---

# 8. KTS：Knowledge Topology Stability

## 8.1 测量目标

KTS 衡量：

> 不同 condition family 下，整个事实表示空间的相对几何和事实身份是否保持。

KTS 不要求不同问法触发相同的计算路径。

它允许：

- 整体空间旋转；
- 平移；
- 各向同性缩放；
- 不同语言使用不同内部实现。

只要事实间相对结构和事实身份仍可保持，KTS 就可以较高。

## 8.2 Condition-specific knowledge space

对 condition family \(t\)、层 \(\ell\)，将所有有效事实的 family centroid 组成：

\[
V^\ell_{m,t}
=
\begin{bmatrix}
v^\ell_{m,1,t}\\
v^\ell_{m,2,t}\\
\vdots\\
v^\ell_{m,N_t,t}
\end{bmatrix}.
\]

对 family pair \((t,t')\)，只使用共同覆盖事实：

\[
\mathcal D_{t,t'}
=
\mathcal D_t\cap\mathcal D_{t'}.
\]

不同模型必须使用完全相同的 \(\mathcal D_{t,t'}\)。

---

# 9. KTS-Geo：全局几何稳定性

## 9.1 Relation 内距离矩阵

为减少 relation 不平衡和 relation 间宏观差异的支配作用，KTS-Geo 按 relation 计算后再宏平均。

对于 relation \(r\)，定义：

\[
\mathcal D_{r,t,t'}
=
\{f\in\mathcal D_{t,t'}:r_f=r\}.
\]

仅保留至少包含 5 条事实的 relation。

在 family \(t\) 下构造 relation 内距离：

\[
D^\ell_{m,t,r}(f,g)
=
1-
\cos
\left(
v^\ell_{m,f,t},
v^\ell_{m,g,t}
\right).
\]

在 family \(t'\) 下类似构造：

\[
D^\ell_{m,t',r}(f,g).
\]

## 9.2 Relation 内几何相关性

\[
\rho^\ell_{m,r}(t,t')
=
\operatorname{Spearman}
\left(
\operatorname{vec}_{f<g}D^\ell_{m,t,r},
\operatorname{vec}_{f<g}D^\ell_{m,t',r}
\right).
\]

## 9.3 Relation-macro KTS-Geo

\[
\boxed{
\mathrm{KTS}^{\mathrm{geo}}_{m,\ell}(t,t')
=
\frac{1}{|\mathcal R_{t,t'}|}
\sum_{r\in\mathcal R_{t,t'}}
\rho^\ell_{m,r}(t,t')
}
\]

该值范围为：

\[
[-1,1].
\]

解释：

- 1：事实距离排序完全保持；
- 0：两个条件下的事实几何无显著对应；
- 负值：事实距离结构发生反向重排。

为了与 KTS-ID 合成，需要映射到 \([0,1]\)：

\[
\widetilde{\mathrm{KTS}}^{\mathrm{geo}}
=
\frac{
\mathrm{KTS}^{\mathrm{geo}}+1
}{2}.
\]

---

# 10. KTS-ID：事实身份稳定性

全局距离结构可能看起来类似，但局部事实身份仍可能交换，因此需要 cross-condition fact identification。

## 10.1 跨条件最近邻检索

对于事实 \(f\) 在 family \(t\) 下的表示，在 family \(t'\) 的同 relation 事实中检索最近邻：

\[
\hat f_{t\rightarrow t'}
=
\arg\max_{
g\in\mathcal D_{r_f,t,t'}
}
\cos
\left(
v^\ell_{m,f,t},
v^\ell_{m,g,t'}
\right).
\]

反向同样计算：

\[
\hat f_{t'\rightarrow t}.
\]

## 10.2 Relation 内 Top-1 身份准确率

\[
\mathrm{ID}_{m,\ell,r}(t\rightarrow t')
=
\frac{1}{|\mathcal D_{r,t,t'}|}
\sum_{f\in\mathcal D_{r,t,t'}}
\mathbb I[
\hat f_{t\rightarrow t'}=f
].
\]

进行双向平均：

\[
\mathrm{ID}^{\mathrm{sym}}_{m,\ell,r}(t,t')
=
\frac{
\mathrm{ID}_{m,\ell,r}(t\rightarrow t')
+
\mathrm{ID}_{m,\ell,r}(t'\rightarrow t)
}{2}.
\]

## 10.3 Chance correction

若 relation \(r\) 有 \(n_r\) 条事实，随机 Top-1 命中的概率为：

\[
b_r=\frac{1}{n_r}.
\]

定义 chance-corrected identity：

\[
\mathrm{ID}^{\mathrm{adj}}_{m,\ell,r}
=
\frac{
\mathrm{ID}^{\mathrm{sym}}_{m,\ell,r}-b_r
}{
1-b_r+\epsilon
}.
\]

用于合成时裁剪到：

\[
[0,1].
\]

## 10.4 Relation-macro KTS-ID

\[
\boxed{
\mathrm{KTS}^{\mathrm{id}}_{m,\ell}(t,t')
=
\frac{1}{|\mathcal R_{t,t'}|}
\sum_{r\in\mathcal R_{t,t'}}
\operatorname{clip}
\left(
\mathrm{ID}^{\mathrm{adj}}_{m,\ell,r},
0,1
\right)
}
\]

建议同时报告原始：

- Top-1 accuracy；
- Top-5 accuracy；
- mean reciprocal rank；
- chance-corrected Top-1。

主 KTS 使用 chance-corrected Top-1。

---

# 11. KTS 合成

对于 family pair \((t,t')\) 和层 \(\ell\)，定义：

\[
g
=
\widetilde{\mathrm{KTS}}^{\mathrm{geo}}_{m,\ell}(t,t'),
\]

\[
i
=
\mathrm{KTS}^{\mathrm{id}}_{m,\ell}(t,t').
\]

使用调和平均：

\[
\boxed{
\mathrm{KTS}_{m,\ell}(t,t')
=
\frac{
2gi
}{
g+i+\epsilon
}
}
\]

使用调和平均的原因是：

- 只有几何稳定但事实身份无法匹配，不应获得高 KTS；
- 只有身份匹配但整体邻域结构严重扭曲，也不应获得高 KTS。

## 11.1 跨 family pair 平均

主 family pair 集：

\[
\mathcal P_{\mathcal T}
=
\{(t,t'):t,t'\in\mathcal T,\ t<t'\}.
\]

每个 pair 等权：

\[
\mathrm{KTS}_{m,\ell}
=
\frac{1}{|\mathcal P_{\mathcal T}|}
\sum_{(t,t')\in\mathcal P_{\mathcal T}}
\mathrm{KTS}_{m,\ell}(t,t').
\]

不能按 pair 中 query 数或事实数加权，否则覆盖更大的 family 会支配结果。

## 11.2 跨层 KTS

\[
\boxed{
\mathrm{KTS}_m
=
\frac{1}{|\mathcal W_m|}
\sum_{\ell\in\mathcal W_m}
\mathrm{KTS}_{m,\ell}
}
\]

建议主表同时展示：

- KTS-Geo；
- KTS-ID；
- KTS composite。

不要只报告 composite 而隐藏两个组成部分。

---

# 12. 四个指标的联合解释

| BCS/BES | ISS | KTS | 解释 |
|---|---:|---:|---|
| 高 | 高 | 高 | 输出、单事实状态和整体知识结构均稳定 |
| 高 | 低 | 低 | 表面答案一致，但内部状态和知识组织不稳定 |
| 高 | 高 | 低 | 单事实局部状态一致，但整体空间可能坍缩或重排 |
| 低 | 高 | 高 | 内部知识较稳定，失败更可能发生在后期选择或表达 |
| 低 | 低 | 高 | 不同条件引起统一坐标变化，但知识拓扑仍保持 |
| 低 | 低 | 低 | 外部行为、单事实状态和知识空间均不稳定 |

对于 Stable Wrong：

- BCS/BES 高；
- 主 cluster 被判为错误；
- ISS 和 KTS 高；

表示模型可能稳定形成并组织了一个错误事实关联。

这不应称为“正确知识稳定”，而应称为：

> stable internal misalignment 或 stable wrong association。

---

# 13. 推荐主结果表

## 13.1 模型总体结果

| Model | Anchor Acc. | BCS | BES | Stable Correct | Stable Wrong | Stable Abstention | ISS | KTS-Geo | KTS-ID | KTS |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| Model A |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Model B |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

## 13.2 按行为类型分析内部稳定性

| Behavior group | Facts | ISS | KTS-Geo | KTS-ID | KTS |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| Stable Correct |  |  |  |  |  |
| Stable Wrong |  |  |  |  |  |
| Stable Abstention |  |  |  |  |  |
| Unstable |  |  |  |  |  |

## 13.3 按 condition pair 报告 KTS

| Pair | Shared facts | KTS-Geo | KTS-ID | KTS |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Anchor–Paraphrase |  |  |  |  |
| Anchor–Format |  |  |  |  |
| Anchor–Context |  |  |  |  |
| Anchor–Multilingual |  |  |  |  |
| Paraphrase–Format |  |  |  |  |
| ... |  |  |  |  |

---

# 14. 推荐统计协议

## 14.1 Relation-clustered bootstrap

由于 21 个 relation 的事实数量不均衡，不能只对所有事实进行普通独立 bootstrap。

推荐：

1. 有放回采样 relation；
2. 在每个采样 relation 内有放回采样事实；
3. 重复 1,000 次；
4. 报告 95% percentile confidence interval。

对 KTS-Geo 和 KTS-ID，应在每次 bootstrap 内重新计算关系宏平均。

## 14.2 模型间比较

比较模型 A 和 B 时使用 paired bootstrap：

- 每次使用相同的 relation 和 fact 重采样；
- 计算指标差：
  \[
  \Delta=\mathrm{Metric}_A-\mathrm{Metric}_B;
  \]
- 报告 \(\Delta\) 的 95% CI。

## 14.3 随机性控制

必须固定：

- 模型 revision；
- tokenizer revision；
- generation 参数；
- Judge 模型和 revision；
- Judge temperature；
- negative fact sampling；
- PCA 或 randomized SVD seed；
- bootstrap seed。

---

# 15. 评测流程

```text
固定 2,592 条事实和 query bank
          |
          v
对每个模型运行全部 query 的贪婪生成
          |
          v
Reference-blind AI Judge 抽取与语义聚类
          |
          +--> Reference-aware Judge 标记正确性
          |
          +--> 计算 BCS、BES 和行为类别
          |
          v
提取主前向 query 的 query-end hidden states
          |
          v
计算 J-Lens Jacobian transport
          |
          v
relation/condition 残差化 + whitening
          |
          v
构造每个 fact-family 的 centroid
          |
          +--> 计算 ISS
          |
          +--> 构建 condition-specific knowledge spaces
                    |
                    +--> KTS-Geo
                    +--> KTS-ID
                    +--> KTS composite
```

---

# 16. Python 风格伪代码

## 16.1 BCS 和 BES

```python
from collections import defaultdict
import math


def compute_bcs_bes(records, main_families):
    family_cluster_counts = defaultdict(lambda: defaultdict(int))
    family_totals = defaultdict(int)

    for item in records:
        family = item["condition_family"]
        if family not in main_families:
            continue
        cluster = item["cluster_id"]
        family_cluster_counts[family][cluster] += 1
        family_totals[family] += 1

    valid_families = sorted(family_totals)
    if not valid_families:
        raise ValueError("No valid main-family queries.")

    clusters = {
        cluster
        for family in valid_families
        for cluster in family_cluster_counts[family]
    }

    p = {}
    for cluster in clusters:
        p[cluster] = sum(
            family_cluster_counts[family].get(cluster, 0)
            / family_totals[family]
            for family in valid_families
        ) / len(valid_families)

    modal_cluster = max(p, key=p.get)
    bcs = p[modal_cluster]

    positive_probs = [value for value in p.values() if value > 0]
    if len(positive_probs) == 1:
        bes = 1.0
    else:
        entropy = -sum(value * math.log(value) for value in positive_probs)
        bes = 1.0 - entropy / math.log(len(positive_probs))

    return {
        "bcs": bcs,
        "bes": bes,
        "modal_cluster": modal_cluster,
        "cluster_distribution": p,
        "valid_families": valid_families,
    }
```

## 16.2 Family centroid

```python
import numpy as np


def l2_normalize(x, eps=1e-12):
    return x / max(np.linalg.norm(x), eps)


def family_centroid(query_vectors):
    normalized = [l2_normalize(x) for x in query_vectors]
    return l2_normalize(np.mean(normalized, axis=0))
```

## 16.3 单层 ISS

```python
def compute_iss_for_fact(
    family_vectors,
    same_relation_fact_vectors,
    eps=1e-12,
):
    families = sorted(family_vectors)
    positive = []
    negative = []

    for i, family_a in enumerate(families):
        for family_b in families[i + 1:]:
            va = family_vectors[family_a]
            vb = family_vectors[family_b]
            positive.append(float(np.dot(va, vb)))

            pair_negatives = []
            for other in same_relation_fact_vectors:
                if family_a not in other or family_b not in other:
                    continue
                pair_negatives.append(
                    0.5 * (
                        float(np.dot(va, other[family_b]))
                        + float(np.dot(vb, other[family_a]))
                    )
                )
            if pair_negatives:
                negative.append(float(np.mean(pair_negatives)))

    s_pos = float(np.mean(positive))
    s_neg = float(np.mean(negative))
    iss = (s_pos - s_neg) / (1.0 - s_neg + eps)

    return {
        "s_positive": s_pos,
        "s_background": s_neg,
        "iss": iss,
    }
```

## 16.4 KTS-ID

```python
def cross_condition_top1(vectors_a, vectors_b, fact_ids):
    vectors_a = np.asarray([l2_normalize(x) for x in vectors_a])
    vectors_b = np.asarray([l2_normalize(x) for x in vectors_b])

    sim_ab = vectors_a @ vectors_b.T
    sim_ba = vectors_b @ vectors_a.T

    pred_ab = np.argmax(sim_ab, axis=1)
    pred_ba = np.argmax(sim_ba, axis=1)
    gold = np.arange(len(fact_ids))

    acc_ab = np.mean(pred_ab == gold)
    acc_ba = np.mean(pred_ba == gold)
    acc_sym = 0.5 * (acc_ab + acc_ba)

    chance = 1.0 / len(fact_ids)
    adjusted = (acc_sym - chance) / max(1.0 - chance, 1e-12)

    return {
        "top1_symmetric": acc_sym,
        "chance": chance,
        "chance_corrected": float(np.clip(adjusted, 0.0, 1.0)),
    }
```

---

# 17. 输出文件建议

```text
metrics/
├── behavioral_per_query.jsonl
├── behavioral_per_fact.jsonl
├── behavioral_model_summary.json
├── hidden_family_centroids/
├── iss_per_fact_layer.jsonl
├── iss_per_fact.jsonl
├── iss_model_summary.json
├── kts_per_pair_layer.jsonl
├── kts_model_summary.json
├── bootstrap_intervals.json
└── evaluation_manifest.json
```

## 17.1 behavioral_per_fact.jsonl

```json
{
  "model": "model_name",
  "fact_id": "fact_000001",
  "bcs": 0.95,
  "bes": 0.82,
  "modal_cluster": "ENTITY_Q90",
  "modal_correctness": "CORRECT",
  "behavior_group": "Stable Correct",
  "valid_families": [
    "anchor",
    "paraphrase",
    "format",
    "context",
    "multilingual"
  ]
}
```

## 17.2 iss_per_fact.jsonl

```json
{
  "model": "model_name",
  "fact_id": "fact_000001",
  "relation": "capital",
  "iss": 0.61,
  "iss_peak": 0.79,
  "iss_late": 0.65,
  "layers_used": [12, 13, 14, 15, 16]
}
```

## 17.3 kts_model_summary.json

```json
{
  "model": "model_name",
  "kts_geo": 0.54,
  "kts_id": 0.68,
  "kts": 0.60,
  "family_pairs": {
    "anchor__paraphrase": {
      "shared_facts": 2592,
      "kts_geo": 0.62,
      "kts_id": 0.76,
      "kts": 0.68
    }
  }
}
```

---

# 18. 必做 sanity checks

## 18.1 Query shuffle test

随机打乱 fact_id 与 hidden representation 的对应关系后：

- ISS 应明显下降；
- KTS-ID 应接近 chance；
- KTS-Geo 应接近 0。

## 18.2 Duplicate-query test

同一个 query 与自身比较时：

- hidden cosine 应接近 1；
- ISS 正样本部分应达到上界附近。

## 18.3 Condition-label shuffle

随机打乱 condition family 标签后，family residualization 和 family centroid 不应产生虚假的高稳定性。

## 18.4 Relation-matched negative test

使用同 relation negatives 得到的 ISS 应比随机跨 relation negatives 更严格。主结果必须使用同 relation negatives。

## 18.5 Raw versus transported ablation

报告：

- Raw-ISS；
- J-transported ISS。

如果两者完全相同，需要检查 Jacobian transport 是否实际生效。

## 18.6 Judge consistency

对至少 300–500 条回答进行人工校验，报告：

- answer extraction accuracy；
- cluster equivalence accuracy；
- correctness accuracy；
- Cohen's \(\kappa\) 或 Krippendorff's \(\alpha\)。

---

# 19. 推荐论文定义

可以在论文中将四个指标概括为：

> **Behavioral Consistency Score (BCS)** measures the family-balanced mass assigned to a model's modal semantic answer across retrieval conditions. **Behavioral Entropy Stability (BES)** measures the concentration of the complete semantic answer distribution. **Internal State Stability (ISS)** measures whether the same fact forms a consistent and fact-discriminative Jacobian-transported representation across retrieval conditions. **Knowledge Topology Stability (KTS)** measures whether fact identity and the relative geometry of the overall knowledge representation space are preserved across conditions.

中文：

> BCS 衡量不同检索条件下主语义答案所占的等条件权重；BES 衡量完整答案分布的集中程度；ISS 衡量同一事实是否跨条件形成一致且具有事实区分性的 Jacobian 运输表示；KTS 衡量不同条件下事实身份及整体知识空间相对几何是否保持。

---

# 20. 最终最小报告集合

每个模型至少报告：

```text
Anchor Accuracy
BCS
BES
Stable Correct Rate
Stable Wrong Rate
Stable Abstention Rate
Unstable Rate
ISS
KTS-Geo
KTS-ID
KTS
```

同时提供：

- 按 relation 的 macro 结果；
- 按 behavior group 的 ISS/KTS；
- 按 condition pair 的 KTS；
- 95% relation-clustered bootstrap confidence intervals；
- complete-family 和 full-set 两种覆盖口径。