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calculation/0001.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例1. 设集合 $M=\\left\\{x |{\\frac{a x-5}{x^{2}-a}}<0,\\,x\\in\\mathbb{R}\\right\\}$ \n(1)当 $a=4$ 时,化简集合 $M$ ;\n(2)若 $3\\in M,$ ,且 $5\\notin M,$ 求实数a的取值范围.",
+    "solution": "分析: 化简集合 $M$, 实际上就是解不等式 ${\\frac{a x-5}{x^{2}-a}}<0.$ \n解: (1) 当 $a=4$ 时,有\n$$\n{\\frac{4x-5}{x^{2}-4}}<0\\,, \n$$\n即\n$$\n\\left(x-\\frac{5}{4}\\right)(x+2)(x-2)<0. \n$$\n$x<-2$ 或 ${\\frac{5}{4}}<x<2.$ \n所以 $M=(-\\infty,-2)\\cup\\bigl({\\frac{5}{4}}, 2\\bigr).$ \n(2)由 $3\\in M,$ 得 ${\\frac{3a-5}{3^{2}-a}}<0$,即 $\\left(a-\\frac{5}{3}\\right)(a-9)\\geqslant0$ ,所以\n$$\na<{\\frac{5}{3}}或a>9. \n$$\n由 $5\\notin M$ 得, ${\\frac{5a-5}{5^{2}-a}}\\geqslant0$ 或 $5^{2}-a=0$ ,所以\n$$\n1\\leq a\\leq25. \n$$\n可得 $x\\in\\left[1,{\\frac{5}{3}}\\right)\\cup\\left(9,25\\right]$.\n说明: $5\\notin M$ 隐含了条件 $5^{2}-a=$ 0,这是容易被忽视的.\n由概括原则我们知道,判断一个对象 $x$ 是否为集合 $S$ 的元素,等价于判断 $x$ 是否具有性质 $P$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0002.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例4. 设关于 $x$ 的不等式 $\\left|x-{\\frac{(a+1)^{2}}{2}}\\right|\\leq{\\frac{(a-1)^{2}}{2}}$ 和 $x^{2}-3(a+1)x+2(3a+1)\\leq0\\ (a\\in\\mathbb{R})$ 的解集依次为 $A$、$B$,求使 $A\\,\\subseteq\\,B$ 的实数a 的取值范围.",
+    "solution": "分析: 要由 $A\\subseteq B$ 求出a的范围,必须先求出$A$和 $B$.\n解: 由 $\\left|x-{\\frac{(a+1)^{2}}{2}}\\right|\\leqslant{\\frac{(a-1)^{2}}{2}}$, 得\n$$\n-\\frac{(a-1)^{2}}{2}\\leq x-\\frac{(a+1)^{2}}{2}\\leq\\frac{(a-1)^{2}}{2}, \n$$\n解之,得 $2a\\leq x\\leq a^{2}+1.$ 所以 $,A=\\{x\\mid2a\\leq x\\leq a^{2}+1\\}$ \n由 $x^{2}-3(a+1)x+2(3a+1)\\leq0$,得\n$$\n(x-2)[x-(3a+1)]\\leq0. \n$$\n当 $a\\geq{\\frac{1}{3}}$ 时, $B = \\{ x \\mid 2 \\leq x \\leq 3a+1 \\}$ ;当 $a<{\\frac{1}{3}}$时,$B=\\{x \\mid 3a+1 \\leq x \\leq 2 \\}.$ \n因为 $A\\subseteq B$, 所以\n$$\n\\begin{align*}\n\\left\\{\n\\begin{aligned}\n    a \\geq \\frac{1}{3}, \\\\\n    2a \\geq 2,\\\\\n    a^2+1 \\leq 3a+1,\n\\end{aligned}\n\\right.\n\\end{align*}\n$$ \n或\n$$\n\\begin{align*}\n\\left\\{\n\\begin{aligned}\n    a < \\frac{1}{3}, \\\\\n    2a \\geq 3a+1,\\\\\n    a^2+1 \\leq 2.\n\\end{aligned}\n\\right.\n\\end{align*}\n$$ \n解之,得 $1\\leq a\\leq3$ 或 $a=-1.$ \n所以,a 的取值范围是[1, 3]U ${\\{-1}\\}.$ \n说明: 上述解答是通过对参数 $a$ 的分类讨论完成的,其实还有更直接的解法.\n方程的角度看 $A\\subseteq B$ 等价于方程 $x^{2}-3(a+1)x+2(3a+1)=0$ 在区间$(-\\infty,2a]$ 和 $[a^{2}+1,\\ +\\infty)$ 内各有一个实根.\n $f(x)\\,=\\,x^{2} - 3(a+1)x+2(3a+1)$ ,由 $A\\subseteq B$, 得\n$$\n\\begin{align*}\n\\left\\{\n\\begin{aligned}\n    f(2a) \\leq 0, \\\\\n    f(a^2+1) \\leq 0,\\\\\n\\end{aligned}\n\\right.\n\\end{align*}\n\\longrightarrow 1\\leq a \\leq 3 \\text{或} a=-1.$$",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0003.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例5. 设实数$a<b$, $D=[a\\,,\\,b]$ ,函数 $f(x)=k-\\sqrt{x+2}\\,,\\;x\\in D$ 的值域为 $E$. 若 $D=E$, 求实数 $k$ 的取值范围.",
+    "solution": "解: 易知, 当 $x \\geqslant-2$ 时 $f(x)=k-\\sqrt{x+2}$ 为减函数.\n所以 $D=E=[a, b]$ 等价于方程组\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nk-\\sqrt{a+2}=b, \\\\\nk-\\sqrt{b+2}=a\n\\end{array}\\right.\n$$\n有实数解, 且 $a<b$.\n(1)一(2)得\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\sqrt{b+2}-\\sqrt{a+2}=b-a, \\\\\n& \\frac{b-a}{\\sqrt{b+2}+\\sqrt{a+2}}=b-a .\n\\end{aligned}\n$$\n因为 $a<b$, 所以\n$$\n\\sqrt{b+2}+\\sqrt{a+2}=1,\n$$\n即\n$$\n\\sqrt{a+2}=1-\\sqrt{b+2} \\text {. }\n$$\n代入式(1)得\n$$\nk=b+1-\\sqrt{b+2} .\n$$\n令 $\\sqrt{b+2}=t$. 由式 (3) 知 $0 \\leqslant t \\leqslant 1$. 于是, 有\n$$\nk=t^2-t-1=\\left(t-\\frac{1}{2}\\right)^2-\\frac{5}{4} .\n$$\n故所求 $k$ 的范围是 $-\\frac{5}{4} \\leqslant k \\leqslant-1$.\n如果 $A 、 B$ 是两个相等的数集, 那么可以得到 $A=B$ 的两个非常有用的必要条件:\n(1) 两个集合的元素之和相等;\n(2) 两个集合的元素之积相等.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0004.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例1. 已知 $A=\\left\\{x \\mid x^2+x-6=0\\right\\}, B=\\{x \\mid m x+1=0\\}$, 且 $A \\cup B=A$, 求实数 $m$ 的取值范围.",
+    "solution": "分析: 关键是如何理解和运用 $A \\cup B=A$ 这个条件.\n注意到 $A \\cup B=A \\Leftrightarrow B \\subseteq A$, 用列举法表示 $A$, 即可写出 $B$ 的各种情形, 但不要忘了 $B=\\varnothing$ 的情形!\n解: $A=\\left\\{x \\mid x^2+x-6=0\\right\\}=\\{-3,2\\} . B=\\{x \\mid m x+1=0\\}$ 至多有一个元素.\n因为 $A \\cup B=A$, 所以 $B \\subseteq A$. 因此, $B=\\{-3\\}$, 或 $B=\\{2\\}$, 或 $B=\\varnothing$, 即\n$$\n-3 m+1=0 \\text {, 或 } 2 m+1=0 \\text {, 或 } m=0 \\text {, }\n$$\n解得 $m=\\frac{1}{3}$ 或 $-\\frac{1}{2}$ 或 0 .\n故实数 $m \\in\\left\\{\\frac{1}{3},-\\frac{1}{2}, 0\\right\\}$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0005.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例2. 已知集合 $A=\\left\\{x \\mid x^2-2 x-3 \\leqslant 0\\right\\}, B=\\left\\{x \\mid x^2+p x+q<0\\right\\}$, 若 $A \\cap B=\\{x \\mid-1 \\leqslant x \\leqslant 2\\}$. 求 $p 、 q$ 的取值范围.",
+    "solution": "解:\n$$\nA=\\left\\{x \\mid x^2-2 x-3 \\leqslant 0\\right\\}=[-1,3] .\n$$\n设 $x^2+p x+q=0$ 的两根为 $x_1 、 x_2, x_1<x_2$. 则\n$$\n\\begin{gathered}\nx^2+p x+q=\\left(x-x_1\\right)\\left(x-x_2\\right), \\\\\nB=\\left(x_1, x_2\\right) .\n\\end{gathered}\n$$\n由 $A \\cap B=[-1,3] \\cap\\left(x_1, x_2\\right)=[-1,2)$, 得\n$$\n\\left\\{\\begin{array}{l}\nx_1<-1, \\\\\nx_2=2 .\n\\end{array}\\right.\n$$\n由韦达定理, 得\n$$\n\\begin{gathered}\nx_1+x_2=x_1+2=-p, \\\\\nx_1 x_2=2 x_1=q .\n\\end{gathered}\n$$\n因为 $x_1<-1$, 所以\n$$\n\\begin{gathered}\n-p-2<-1, \\\\\n\\frac{q}{2}<-1 .\n\\end{gathered}\n$$\n故所求 $p 、 q$ 的范围分别是 $p>-1 、 q<-2$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0006.json

@@ -0,0 +1,10 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例3. 设 $A 、 B$ 都是不超过 9 的正整数组成的全集 $U$ 的子集, $A \\cap B= \\{2\\},\\left(\\complement_U A\\right) \\cap\\left(\\complement_U B\\right)=\\{1,9\\},\\left(\\complement_U A\\right) \\cap B=\\{4,6,8\\}$, 求 $A \\backslash B$.",
+    "solution": "分析:直接进行集合间的运算和推理似乎较难人手, 但我们可从维恩图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c2e3.png>)中得到解题思路的提示.\n解因为 $\\complement_U(A \\cup B)=\\left(\\complement_U A\\right) \\cap\\left(\\complement_U B\\right)= \\{1,9\\}$, 所以\n$$\nA \\cup B=\\{2,3,4,5,6,7,8\\} .\n$$\n又\n$$\n\\begin{gathered}\nA \\cap B=\\{2\\}, \\\\\n\\left(\\complement_U A\\right) \\cap B=\\{4,6,8\\}, \\\\\nB=U \\cap B=\\left(A \\cup \\complement_U A\\right) \\cap B \\\\\n=(A \\cap B) \\cup\\left(\\left(\\complement_U A\\right) \\cap B\\right) \\\\\n=\\{2,4,6,8\\} .\n\\end{gathered}\n$$\n所以\n$$\n\\begin{aligned}\nB & =U \\cap B=\\left(A \\cup \\complement_U A\\right) \\cap B \\\\\n& =(A \\cap B) \\cup\\left(\\left(\\complement_U A\\right) \\cap B\\right) \\\\\n& =\\{2,4,6,8\\} .\n\\end{aligned}\n$$\n所以, $A \\backslash B=(A \\cup B) \\backslash B=\\{3,5,7\\}$.",
+    "remark": "",
+    "figures": [
+        "./images/volume1/figures/fig-c2e3.png"
+    ]
+}

calculation/0007.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例4. 已知集合 $A=\\{(x, y) \\mid a x+y=1\\}, B=\\{(x, y) \\mid x+a y=1\\}$, $C=\\left\\{(x, y) \\mid x^2+y^2=1\\right\\}$. 问:\n(1) 当 $a$ 取何值时, $(A \\cup B) \\cap C$ 为含有两个元素的集合?\n(2) 当 $a$ 取何值时, $(A \\cup B) \\cap C$ 为含有三个元素的集合?",
+    "solution": "分析:因为 $(A \\cup B) \\cap C=(A \\cap C) \\cup(B \\cap C)$, 故可从解 $A \\cap C$ 及 $B \\cap C$ 对应的方程组人手.\n解: $(A \\cup B) \\cap C=(A \\cap C) \\cup(B \\cap C), A \\cap C$ 与 $B \\cap C$ 分别为方程组\n(i) $\\left\\{\\begin{array}{l}a x+y=1, \\\\ x^2+y^2=1,\\end{array}\\right.$\n(ii) $\\left\\{\\begin{array}{l}x+a y=1, \\\\ x^2+y^2=1\\end{array}\\right.$\n的解集.\n由 (i) 解得 $(x, y)=(0,1),\\left(\\frac{2 a}{1+a^2}, \\frac{1-a^2}{1+a^2}\\right)$;\n由(ii) 解得 $(x, y)=(1,0),\\left(\\frac{1-a^2}{1+a^2}, \\frac{2 a}{1+a^2}\\right)$.\n(1) 使 $(A \\cup B) \\cap C$ 恰有两个元素的情况只有两种可能:\n<1> $\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{2 a}{1+a^2}=0, \\\\ \\frac{1-a^2}{1+a^2}=1 ;\\end{array}\\right.$\n<2> $\\left\\{\\begin{array}{l}\\frac{2 a}{1+a^2}=1, \\\\ \\frac{1-a^2}{1+a^2}=0 .\\end{array}\\right.$\n由<1>得 $a=0$; 由<2>得 $a=1$.\n故当 $a=0$ 或 1 时, $(A \\cup B) \\cap C$ 恰有两个元素.\n(2) 使 $(A \\cup B) \\cap C$ 恰有三个元素的情况是\n$$\n\\frac{2 a}{1+a^2}=\\frac{1-a^2}{1+a^2}\n$$\n解得 $a=-1 \\pm \\sqrt{2}$.\n故当 $a=-1 \\pm \\sqrt{2}$ 时, $(A \\cup B) \\cap C$ 恰有三个元素.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0008.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例5. 已知集合 $A=\\left\\{(x, y) \\mid \\frac{y-3}{x-2}=a+1\\right\\}, B=\\{(x, y) \\mid(a^2- 1) x+(a-1) y=15\\}$, 且 $A \\cap B=\\varnothing$, 求 $a$ 的值.",
+    "solution": "分析:当 $a=1$ 时, $B=\\varnothing$, 这时 $A \\cap B=\\varnothing$; 当 $a \\neq 1$ 时, $A \\cap B=\\varnothing$, 即 $A 、 B$ 对应的直线无公共点.\n解由 $\\frac{y-3}{x-2}=a+1$, 得\n$$\n(a+1) x-y-2 a+1=0, \\text { 且 } x \\neq 2 .\n$$\n这表明集合 $A$ 表示一条缺一个点的直线.\n而\n$$\n\\left(a^2-1\\right) x+(a-1) y=15,\n$$\n当 $a \\neq 1$ 时,表示一条直线; 当 $a=1$ 时,满足等式的点 $(x, y)$ 不存在.\n因此,当且仅当以下三种情况之一发生时, $A \\cap B=\\varnothing$.\n(1)当 $a=1$ 时, $B=\\varnothing$, 显然有 $A \\cap B=\\varnothing$.\n(2)当 $a=-1$ 时, $A$ 表示直线 $y=3(x \\neq 2), B$ 表示直线 $y=-\\frac{15}{2}$, 它们互相平行.\n所以, $A \\cap B=\\varnothing$.\n(3)当 $a \\neq \\pm 1$ 时, 直线 (1) 与 (2) 相交.\n但直线 (1) 上缺一点 $(2,3)$, 令 $(2, 3) \\in B$, 得\n$$\n\\left(a^2-1\\right) \\cdot 2+(a-1) \\cdot 3=15,\n$$\n解得 $a=-4$ 或 $a=\\frac{5}{2}$.\n综上所述, $a \\in\\left\\{-4,-1,1, \\frac{5}{2}\\right\\}$.\n说明 $a \\neq 1$ 时, $A \\cap B=\\varnothing$, 并不表明直线 (1) 与 (2) 必须平行, 由于直线 (1) 上缺了一个点 $(2,3)$, 当直线 (2) 穿过点 $(2,3)$ 时, 同样有 $A \\cap B=\\varnothing$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0009.json

@@ -0,0 +1,10 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例7. 已知集合 $A 、 B 、 C$ (不必相异)的并集\n$$\nA \\cup B \\cup C=\\{1,2, \\cdots, 2005\\},\n$$\n求满足条件的有序三元组 $(A, B, C)$ 的个数.",
+    "solution": "解: 由图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c2e7.png>)可知,表示集合 $A 、 B 、 C$ 的 3 个圆交出了 7 个区域.\n这表明,在求 $A \\cup B \\cup C$ 时, 1 , $2, \\cdots, 2005$ 中每一个数都有 7 种选择.\n所以,所求的有序三元组的个数为 $7^{2005}$.",
+    "remark": "",
+    "figures": [
+        "./images/volume1/figures/fig-c2e7.png"
+    ]
+}

calculation/0010.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例1. 设集合 $A=\\left\\{(x, y, z) \\mid \\log _{\\frac{1}{4}}\\left(x^4+y^4+z^4+1\\right) \\geqslant \\log _4 \\frac{1}{x}+\\log _4 \\frac{1}{y}+\\log _4 \\frac{1}{z}-1\\right\\}$. 求 $|A|$.",
+    "solution": "分析:无疑应从考察 $(x, y, z)$ 满足的条件人手.\n解由 $\\log _{\\frac{1}{4}}\\left(x^4+y^4+z^4+1\\right) \\geqslant \\log _4 \\frac{1}{x}+\\log _4 \\frac{1}{y}+\\log _4 \\frac{1}{z}-1$ 得\n$$\nx^4+y^4+z^4+1 \\leqslant 4 x y z, x, y, z>0 .\n$$\n又由算术几何平均不等式, 得\n$$\nx^4+y^4+z^4+1 \\geqslant 4 x y z,\n$$\n其中等号当且仅当 $x=y=z=1$ 时成立.\n于是\n$$\n\\begin{gathered}\nx^4+y^4+z^4+1=4 x y z . \\\\\nx=y=z=1 .\n\\end{gathered}\n$$\n从而所以, $|A|=1$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0011.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例2. 设集合 $A=\\{a \\mid 1 \\leqslant a \\leqslant 2000, a=4 k+1, k \\in \\mathbf{Z}\\}$, 集合 $B= \\{b \\mid 1 \\leqslant b \\leqslant 3000, b=3 k-1, k \\in \\mathbf{Z}\\}$. 求 $|A \\cap B|$.",
+    "solution": "分析:令 $4 k+1=3 m-1$, 得 $m=\\frac{4 k+2}{3}=k+1+\\frac{k-1}{3}$. 因 $m \\in \\mathbf{Z}$, 所以 $3 \\mid k-1$. 令 $k-1=3 r, r \\in \\mathbf{Z}$, 得 $m=4 r+2$. 这时 $b=12 r+5$, 故 $A \\cap B$的元素是形如 $12 r+5$ 的整数.\n解形如 $4 k+1$ 的数可分为 3 类:\n$$\n12 l+1,12 l+5,12 l+9(l \\in \\mathbf{Z}),\n$$\n其中只有形如 $12 l+5$ 的数是形如 $3 k-1$ 的数.\n令\n$$\n1 \\leqslant 12 l+5 \\leqslant 2000(l \\in \\mathbf{Z}),\n$$\n得 $0 \\leqslant l \\leqslant 166$. 所以, $A \\cap B=\\{5,17, \\cdots, 1997\\}$.\n所以, $|A \\cap B|=167$.\n以上两例, 我们都是采用列举出集合的全部元素的办法来求其元素的数目.\n对于一些较为复杂的集合, 这种方法是很难奏效的, 这时必须另辟蹊径.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0012.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例3. 设 $\\left(a_1, a_2, \\cdots, a_n\\right)$ 是集合 $\\{1,2, \\cdots, n\\}$ 中 $n$ 个元素的一个排列, 记所有满足\n$$\nk \\mid 2\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_k\\right), k=1,2, \\cdots, n\n$$\n的排列 $\\left(a_1, a_2, \\cdots, a_n\\right)$ 的集合为 $A_n$. 求 $\\left|A_n\\right|$ 的值.",
+    "solution": "分析:显然 $1\\left|2 a_1, n\\right| 2\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_n\\right)$, 我们需要研究当 $2 \\leqslant k \\leqslant n-1$ 时, $k \\mid 2\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_k\\right)$ 应满足的条件.\n对于一般的 $k$, 我们没有更好的办法来表示 $a_1+a_2+\\cdots+a_k$, 但当 $k=n-1$ 时, 显然有 $a_1+a_2+\\cdots+ a_{n-1}=1+2+\\cdots+n-a_n {=} \\frac{n(n+1)}{2}-a_n$, 于是 $n-1 \\mid 2\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_{n-1}\\right)$ 等价于 $n-1 \\mid n(n+1)-2 a_n$, 问题转化为对 $a_n$ 的研究.\n解设 $F_n=\\left|A_n\\right|$. 容易算出 $F_1=1, F_2=2, F_3=6$.\n当 $n>3$ 时,对于任意 $\\left(a_1, a_2, \\cdots, a_n\\right) \\in A_n$, 有\n$$\n\\begin{aligned}\n& 2\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_{n-1}\\right) \\\\\n= & n(n+1)-2 a_n \\equiv 2-2 a_n(\\bmod (n-1)) .\n\\end{aligned}\n$$\n由 $A_n$ 的定义, 必有\n$$\nn-1 \\mid 2-2 a_n \\text {. }\n$$\n故 $a_n=1$,或 $a_n=n$, 或 $a_n=\\frac{n+1}{2}$.\n(1) 若 $a_n=\\frac{n+1}{2}$, 则\n$$\n\\begin{aligned}\n2\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_{n-2}\\right) & =n(n+1)-2 a_{n-1}-(n+1) \\\\\n& =n^2-1-2 a_{n-1} \\\\\n& \\equiv 3-2 a_{n-1}(\\bmod (n-2)) .\n\\end{aligned}\n$$\n从而有\n$$\nn-2 \\mid 3-2 a_{n-1} .\n$$\n解得 $a_{n-1}=\\frac{n+1}{2}$. 于是 $a_{n-1}=a_n$, 矛盾.\n(2) 若 $a_n=n$, 则 $\\left(a_1, a_2, \\cdots, a_{n-1}, n\\right)$ 与 $A_{n-1}$ 的元素 $\\left(a_1, a_2, \\cdots, a_{n-1}\\right)$ 形成一一对应关系.\n所以, 这样的排列共有 $F_{n-1}$ 种.\n(3) 若 $a_n=1$, 则 $\\left(a_1-1, a_2-1, \\cdots, a_{n-1}-1\\right)$ 是集合 $\\{1,2, \\cdots, n-1\\}$ 中 $n-1$ 个元素的一个排列.\n由\n$$\n\\begin{aligned}\n& 2\\left[\\left(a_1-1\\right)+\\left(a_2-1\\right)+\\cdots+\\left(a_k-1\\right)\\right] \\\\\n= & 2\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_k\\right)-2 k \\\\\n\\equiv & 0(\\bmod k) \\\\\n\\Leftrightarrow & \\left(a_1-1, a_2-1, \\cdots, a_{n-1}-1\\right) \\in A_{n-1}\n\\end{aligned}\n$$\n知 $\\left(a_1, a_2, \\cdots, a_{n-1}, 1\\right)$ 与 $A_{n-1}$ 的元素 $\\left(a_1-1, a_2-1, \\cdots, a_{n-1}-1\\right)$ 之间也形成一一对应关系.\n故这样的排列也有 $F_{n-1}$ 种.\n由(2)、(3), 可建立递推关系\n$$\nF_n=2 F_{n-1}, n>3 .\n$$\n由 $F_3=6$, 得 $F_n=3 \\cdot 2^{n-2}(n \\geqslant 3)$.\n综上, 当 $n=1$ 时, $F_1=1$; 当 $n=2$ 时, $F_2=2$; 当 $n \\geqslant 3$ 时, $F_n=3 \\cdot 2^{n-2}$.\n说明这里, 我们通过建立 $F_n$ 与 $F_{n-1}$ 之间的联系 (递推关系) 来达到求解的目的。",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0013.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例8. 设 $S$ 是一个由正整数组成的集合, 具有如下性质: 对任意 $x \\in S$, 在 $S$ 中去掉 $x$ 后, 剩下的数的算术平均值都是正整数, 并且 $1 \\in S, 2002$ 是 $S$ 中的最大元.\n求 $|S|$ 的最大值.",
+    "solution": "分析:显然 1 是 $S$ 中的最小元.\n设 $S$ 的元素为 $1=x_1<x_2<\\cdots<x_n=$ 2002 , 由 $\\frac{\\sum_{i=1}^n x_i-x_j}{n-1} \\in \\mathbf{N}^*$, 我们来估计 $|S|$ 的范围.\n解设 $S$ 中的元素为\n$$\n1=x_1<x_2<\\cdots<x_n=2002,\n$$\n则对于 $1 \\leqslant j \\leqslant n$, 均有\n$$\ny_j=\\frac{\\left(\\sum_{i=1}^n x_i\\right)-x_j}{n-1} \\in \\mathbf{N}^* .\n$$\n从而, 对任意 $1 \\leqslant i<j \\leqslant n$, 都有\n$$\ny_i-y_j=\\frac{x_j-x_i}{n-1} \\in \\mathbf{N}^* .\n$$\n特别地, 应有 $n-1 \\mid(2002-1)$, 即\n$$\nn-1 \\mid 2001 .\n$$\n另一方面, 对于 $1<j \\leqslant n$, 均有\n$$\n\\begin{gathered}\nx_j-1=\\left(y_1-y_j\\right)(n-1), \\\\\nn-1 \\mid\\left(x_j-1\\right) . \\\\\n\\left(x_j-1\\right)-\\left(x_{j-1}-1\\right), \\text { 所以 } \\\\\n(n-1) \\mid\\left(x_j-x_{j-1}\\right)(j=2, \\cdots, n),\n\\end{gathered}\n$$\n从而\n$$\n\\begin{aligned}\n\\text { 又 } x_j-x_{j-1}= & \\left(x_j-1\\right)-\\left(x_{j-1}-1\\right), \\text { 所以 } \\\\\n& (n-1) \\mid\\left(x_j-x_{j-1}\\right)(j=2, \\cdots, n),\n\\end{aligned}\n$$\n于是\n$$\n\\begin{aligned}\nx_n-1 & =\\left(x_n-x_{n-1}\\right)+\\left(x_{n-1}-x_{n-2}\\right)+\\cdots+\\left(x_2-1\\right) \\\\\n& \\geqslant(n-1)+(n-1)+\\cdots+(n-1)=(n-1)^2,\n\\end{aligned}\n$$\n即 $(n-1)^2 \\leqslant 2001, n \\leqslant 45$. 结合 $n-1 \\mid 2001$, 知 $n=2,4,24,30$, 故 $n \\leqslant 30$.\n另一方面, 令 $x_j=29 j-28,1 \\leqslant j \\leqslant 29, x_{30}=2002$, 则 $S=\\left\\{x_1, x_2, \\cdots\\right.$, $x_{30}$ 具有题述性质.\n所以, $|S|$ 的最大值为 30 .\n说明先估计 $|S|=n$ 的上界, 即 $n \\leqslant 30$, 再构造一个实例说明 $n=30$ 是可以达到的, 从而知 $n$ 的最大值为 30 . 这种“先估计, 再构造”的方法在解决离散型最值问题时经常被用到.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0014.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例9. 试求出同时满足下列条件的集合 $S$ 的元素个数的最大值：\n(1) $S$ 中的每个元素都是不超过 100 的正整数;\n(2) 对于 $S$ 中的任意两个不同的元素 $a 、 b$, 都存在 $S$ 中的另外一个元素 $c$, 使得 $a+b$ 与 $c$ 的最大公约数等于 1 ;\n(3) 对于 $S$ 中的任意两个不同的元素 $a 、 b$, 都存在 $S$ 中的另外一个元素 $c$, 使得 $a+b$ 与 $c$ 的最大公约数大于 1 .",
+    "solution": "分析:若 $a+b$ 为质数,则条件 (3) 无法满足.\n而 101 就是一个质数,这说明数组 $\\{1,100\\},\\{2,99\\}, \\cdots,\\{50,51\\}$ 中, 每组的两个数不同时在 $S$ 中.\n那么在每组数中各取一个数组成的集合是否满足所有条件呢?\n解构造 50 个数组:\n$$\n\\{1,100\\},\\{2,99\\}, \\cdots,\\{50,51\\},\n$$\n每个数组中的两个数之和是 101 .\n由于 101 是质数, 在 $S$ 中不存在元素 $c$, 使得 101 与 $c$ 的最大公约数大于 1. 因此, 在 $S$ 中不可能同时含有上述数组中的同一数组中的两个数.\n由抽屉原理可知,集合 $S$ 中元素的个数不大于 50 .\n另一方面, 我们构造集合 $A=\\{2,1,3,5,7, \\cdots, 95,97\\}$. 此集合含有 2 和小于 98 的 49 个奇数.\n下面说明集合 $A$ 满足题设条件.\n对于集合 $A$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$ :\n(i) 若 $a=2$, 则 $b$ 是奇数.\n若 $b=1$, 易见 $A$ 中存在元素 $c$ 满足题设条件;\n若 $3 \\leqslant b \\leqslant 95$, 则 $A$ 中元素 1 与 $a+b$ 的最大公约数等于 $1, A$ 中元素 $b+2$ 与 $a+b$ 的最大公约数是 $b+2$ 大于 1 ;\n若 $b=97$, 易见 $A$ 中存在元素 $c$ 满足题设条件.\n(ii) 若 $a 、 b$ 都不等于 2 , 则 $a 、 b$ 都是奇数, $a+b$ 是偶数.\n于是, $a+b$ 与 2 的最大公约数是 2 大于 1 , 且 $a+b$ 与 $1 、 89 、 91$ 中的某个数必互质.\n所以,集合 $A$ 满足题设条件.\n因此,集合 $S$ 的元素个数的最大值是 50 .",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0015.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例1. 试将集合 $\\{1,2, \\cdots, 1989\\}$ 分为 117 个互不相交的子集 $A_i ( i=1, 2, \\cdots, 117)$, 使得:\n(1) 每个 $A_i$ 都含有 17 个元素;\n(2) 所有 $A_i$ 中各元素之和都相同.",
+    "solution": "分析:因为 $1989=117 \\times 17$, 故可将 $\\{1,2, \\cdots, 1989\\}$ 顺次分成 17 段, 每段含 117 个数.\n显然, 只要把每段的 117 个数适当地分别放人 $A_1, A_2, \\cdots, A_{117}$ 中以使条件 (2)满足,问题就解决了.\n解将集合 $\\{1,2, \\cdots, 1989\\}$ 中的数从小到大顺次分成 17 段,每段含 117 个数.\n从第 4 段数开始, 将偶数段的数从小到大依次放人 $A_1, A_2, \\cdots, A_{117}$ 中, 并将奇数段的数从大到小依次放人这 117 个子集中.\n易见,所有集合中的 14个数之和都相等.\n于是问题归结为如何将前三段数 $\\{1,2, \\cdots, 351\\}$ 每 3 个一组分别放人每个集中, 且使每组 3 数之和都相等.\n把这些数中 3 的倍数抽出来从大到小排好: $\\{351,348,345, \\cdots, 6,3\\}$ , 共 117 个数,依次放人 $A_1, A_2, \\cdots, A_{117}$ 中.\n其余的 234 个数从小到大排列并分成两段, 每段 117 个数, 即 $\\{1,2,4,5,7, \\cdots, 173 ， 175\\}$ 和 $\\{176,178,179, \\cdots, 349,350\\}$. 将这两段数分别顺次放人 $A_1, A_2, \\cdots, A_{117}$ 之中便满足要求.\n事实上, 若将这两段数中的数顺次相加, 则其和为 $\\{177,180,183,186, \\cdots, 522,525\\}$. 由此可见, 放人每个 $A_i$ 的 3 数之和都是 528 .\n说明上述解法是通过具体地构造 $A_i(i=1,2, \\cdots, 117)$ 完成的.\n由此不难看出, 这种构造方式不是惟一的, 有兴趣者不妨一试.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0016.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例3. 对一个由非负整数组成的集合 $S$, 定义 $r_s(n)$ 为满足下述条件的有序对 $\\left(s_1, s_2\\right)$ 的对数:\n$$\ns_1 \\in S, s_2 \\in S, s_1 \\neq s_2, \\text { 且 } s_1+s_2=n .\n$$\n问: 是否能将非负整数集分划为两个集合 $A$ 和 $B$, 使得对任意 $n$, 均有 $r_A(n)=r_B(n)$ ?",
+    "solution": "分析:整数有多种表示形式, 其中二进制表示的每位数字只有 0 和 1 这两种选择.\n由于是将 $S$ 分划为两个集合 $A 、 B$, 对每个固定的 $n$, 满足 $s_1+s_2=n$ 的非负整数对 $\\left(s_1, s_2\\right)$ 是有限的, 用二进制数来讨论 $\\left(s_1, s_2\\right)$ 在 $A$ 和 $B$ 中的分配情况似乎较有利.\n解存在上述的分划.\n将所有二进制表示下数码 1 出现偶数个的非负整数归人集合 $A$, 其余的非负整数归人 $B$, 则 $A 、 B$ 是非负整数集 $N$ 的分划.\n注意到, 对 $A$ 中满足 $a_1+a_2=n, a_1 \\neq a_2, a_1, a_2 \\in A$ 的数对 $\\left(a_1, a_2\\right)$, 由于 $a_1 \\neq a_2$, 因此在二进制表示下 $a_1$ 与 $a_2$ 必有一位上的数码不同, 从右到左看, 第 1 个不同数码的数位上, 改变 $a_1 、 a_2$ 在该位上的数码, 分别得到 $b_1 、 b_2$, 则 $b_1 、 b_2 \\in B$, 且 $b_1 \\neq b_2, b_1+b_2=n$. 这个将 $\\left(a_1, a_2\\right)$ 对应到 $\\left(b_1, b_2\\right)$ 的映射是一一对应, 因此 $r_A(n)=r_B(n)$.\n说明这是一个存在性问题.\n我们是利用二进制数构造 $S$ 的 $2-$ 分划 $A$ 、 $B$, 然后通过建立 $A$ 中有序对集 $\\{\\left(a_1, a_2\\right) \\mid a_1, a_2 \\in A, a_1 \\neq a_2, a_1+a_2=n\\}$ 与 $B$ 中有序对集 $\\left\\{\\left(b_1, b_2\\right) \\mid b_1, b_2 \\in B, b_1 \\neq b_2, b_1+b_2=n\\right\\}$ 的一一对应来解决的.\n利用一一对应解决计数问题的方法就是所谓的配对原理.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0017.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例4. 设集合 $A=\\{1,2, \\cdots, m\\}$. 求最小的正整数 $m$, 使得对 $A$ 的任意一个 14 -分划 $A_1, A_2, \\cdots, A_{14}$, 一定存在某个集合 $A_i(1 \\leqslant i \\leqslant 14)$, 在 $A_i$ 中有两个元素 $a 、 b$, 满足 $b<a \\leqslant \\frac{4}{3} b$.",
+    "solution": "分析:由于要考虑的是一种极端情况, 我们来作一张元素、集合从属关系的表: 从 1 开始, 由小到大每 14 个数为一组, 依次填人表中的每一列中 (如表 4-1). 填满 4 列后, 观察发现: 去掉右下角的数 56 后, 子集 $A_1, A_2, \\cdots$, $A_{13}$ 中每一个都有 4 个元素, 而 $A_{14}$ 有 3 个元素, 这时 $A_1, A_2, \\cdots, A_{14}$ 任何一个中都不存在两个元素满足题中的不等式.\n故 $m \\geqslant 56$.\n表 4-1\n$\\begin{array}{llllll}A_1 & 1 & 15 & 29 & 43 & \\cdots\\end{array}$\n$\\begin{array}{llllll}A_2 & 2 & 16 & 30 & 44 & \\cdots\\end{array}$\n$\\begin{array}{llllll}A_3 & 3 & 17 & 31 & 45 & \\cdots\\end{array}$\n$\\begin{array}{cccccc}\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ A_{12} & 12 & 26 & 40 & 54 & \\cdots \\\\ A_{13} & 13 & 27 & 41 & 55 & \\cdots \\\\ A_{14} & 14 & 28 & 42 & 56 & \\cdots\\end{array}$\n表 4-2\n$\\begin{array}{lllll}A_1 & 1 & 15 & 29 & 43\\end{array}$\n$\\begin{array}{lllll}A_2 & 2 & 16 & 30 & 44\\end{array}$\n$\\begin{array}{lllll}A_3 & 3 & 17 & 31 & 45\\end{array}$\n$\\begin{array}{ccccc}\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ A_{12} & 12 & 26 & 40 & 54 \\\\ A_{13} & 13 & 27 & 41 & 55 \\\\ A_{14} & 14 & 28 & 42 & \\end{array}$\n解如表 4-2, 第 $i$ 行的数即为子集 $A_i$ 的元素.\n这时 $\\left|A_i\\right|=4(i=1,2, \\cdots, 13),\\left|A_{14}\\right|=3$. 显然, 14 个子集每一个都不存在两个元素满足题中不等式.\n所以, $m \\geqslant 56$.\n另一方面, 若 $m=56$, 则对 $A$ 的任意分划 $A_1, A_2, \\cdots, A_{14}$, 数 $42 , 43, \\cdots, 56$ 中, 必有两个数属于同一个 $A_i$, 取此二数为 $a 、 b$, 则\n$$\n42 \\leqslant a<b \\leqslant 56=\\frac{4}{3} \\cdot 42 \\leqslant \\frac{4}{3} a .\n$$\n综上所述, 所求 $m$ 的最小正整数值为 56 .\n另解若 $m<56$, 令 $A_i=\\{a \\mid a \\equiv i(\\bmod 14), a \\in A\\}$, 则对任意 $a, b \\in A_i(i=1,2, \\cdots, 14), b<a$, 均有 $56>a>b$, 且 $a-b \\geqslant 14$. 故 $b<a- 14<42$. 于是\n$$\n\\frac{a}{b}=1+\\frac{a-b}{b} \\geqslant 1+\\frac{14}{b}>1+\\frac{14}{42}=\\frac{4}{3} .\n$$\n所以, $m \\geqslant 56$.\n后同前解.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0018.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter4.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例10. 设 $A=\\{1,2, \\cdots, 2002\\}, M=\\{1001,2003,3005\\}$. 对 $A$ 的任一非空子集 $B$, 当 $B$ 中任意两数之和不属于 $M$ 时, 称 $B$ 为 $M$-自由集.\n如果 $A= A_1 \\cup A_2, A_1 \\cap A_2=\\varnothing$, 且 $A_1 、 A_2$ 均为 $M$-自由集, 那么称有序对 $\\left(A_1, A_2\\right)$ 为 $A$ 的一个 $M$-划分.\n试求 $A$ 的所有 $M$-划分的个数.",
+    "solution": "解:对 $m, n \\in A$, 若 $m+n=1001$ 或 2003 或 3005 , 则称 $m$ 与 $n$ “有关”.\n易知, 与 1 有关的数仅有 1000 和 2002 ,与 1000 和 2002 有关的都是 1 和 1003 , 与 1003 有关的为 1000 和 2002 .\n将 $1,1003,1000,2002$ 分为两组 $\\{1,1003\\},\\{1000,2002\\}$, 其中一组中的数仅与另一组中的数有关, 我们将这样的两组叫做一个 “组对”. 同样可划分其他各组对 $\\{2,1004\\},\\{999,2001\\} ;\\{3,1005\\},\\{998,2000\\} ; \\cdots ;\\{500,1502\\},\\{501,1503\\} ;\\{1001\\},\\{1002\\}$.\n这样 $A$ 中的 2002 个数被分划成 501 个组对,共 1002 组.\n由于任意数与且只与对应另一组有关, 所以, 若一组对中一组在 $A_1$ 中, 另一组必在 $A_2$ 中.\n反之亦然, 且 $A_1$ 与 $A_2$ 中不再有有关的数.\n故 $A$ 的 $M$ 一划分的个数为 $2^{501}$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0019.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例4. 已知集合 $A=\\{1,2, \\cdots, 10\\}$. 求集合 $A$ 的具有下列性质的子集个数: 每个子集至少含有 2 个元素, 且每个子集中任何两个元素的差的绝对值大于 1 .",
+    "solution": "分析:集合 $A$ 有 $2^{10}-1$ 个非空子集,逐一考察的工作只有交给计算机.\n像例 1 一样, 我们先来看看比 $A$ 的元素少一些的集合的情形.\n记集合 $A_i$ 符合条件的子集族为 $A_i^*,\\left|A_i^*\\right|=a_i$.\n$$\n\\begin{aligned}\nA_1 & =\\{1\\}, A_1^*=\\varnothing, a_1=0 ; \\\\\nA_2 & =\\{1,2\\}, A_2^*=\\varnothing, a_2=0 ; \\\\\nA_3 & =\\{1,2,3\\}, A_3^*=\\{\\{1,3\\}\\}, a_3=1 ; \\\\\nA_4 & =\\{1,2,3,4\\}, A_4^*=\\{\\{1,3\\},\\{1,4\\},\\{2,4\\}\\}, a_4=3 ; \\\\\nA_5 & =\\{1,2,3,4,5\\}, A_5^*=\\{\\{1,3\\},\\{1,4\\},\\{2,4\\},\\{1,3,5\\}, \\{1,5\\},\\{2,5\\},\\{3,5\\}\\}, a_5=7 . &\n\\end{aligned}\n$$\n我们来考察写出 $A_5^*$ 的过程, 这可以分作两步: 第一步写出 $A_4^*$ 的全部元素, 它们都不含元素 5 ; 第二步写出含 5 的子集, 它们是在 $A_3^*$ 的元素中添 5 所成, 或者是含 5 的二元子集, 即 $a_5=a_4+a_3+3$. 其实对 $A_4^* 、 A_3^*$ 有类似的结论: $a_4=a_3+a_2+2, a_3=a_2+a_1+1$. 我们可以将这个作法推广到一般。\n解设 $a_n$ 是集合 $\\{1,2, \\cdots, n\\}$ 的具有题设性质的子集个数.\n对于集合 $\\{1,2, \\cdots, n, n+1, n+2\\}$, 具有题设性质的子集可分为两类: 第一类子集不包含 $n+2$, 它们是集合 $\\{1,2, \\cdots, n, n+1\\}$ 的全部具有题设性质的子集, 共有 $a_{n-1}$ 个; 第二类子集包含 $n+2$, 它们是集合 $\\{1,2, \\cdots, n\\}$ 的每个具有题设性质的子集与 $\\{n+2\\}$ 的并集, 以及二元子集 $\\{1, n+2\\},\\{2$, $n+2\\}, \\cdots,\\{n, n+2\\}$, 共有 $a_n+n$ 个.\n于是, 我们有\n$$\na_{n+2}=a_{n+1}+a_n+n .\n$$\n易知, $a_1=a_2=0$, 因此 $a_3=1, a_4=3, a_5=7, a_6=14, a_7=26$, $a_8=46, a_9=79, a_{10}=133$.\n所以,所求子集的个数为 133 .\n说明上述解法的特点是将问题一般化,一般问题解决了, 特殊问题当然就解决了.\n这里用到了递推方法, 递推也是解决组合问题的常用方法之一.\n与上例相反,我们来看一个已知子集族求恰好包含这些子集的集合的阶的问题.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0020.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例8. 设 $A \\subseteq\\{0,1,2, \\cdots, 29\\}$ 满足：对任何整数 $k$ 及 $A$ 中任意数 $a 、 b$ ( $a 、 b$ 可以相同), $a+b+30 k$ 均不是两个相邻整数之积.\n试定出所含元素个数最多的 $A$.",
+    "solution": "分析:因为当 $b=a$ 时, $2 a+30 k$ 均不是两个相邻整数之积, 故我们只需考察 $2 a$ 被 30 除的余数.\n解所求 $A$ 为 $\\{3 l+2 \\mid 0 \\leqslant l \\leqslant 9\\}$.\n设 $A$ 满足题中条件且 $|A|$ 最大.\n因为两个相邻整数之积被 30 除, 余数为 $0,2,6,12,20,26$. 则对任一 $a \\in A$, 有 $2 a \\neq 0,2,6,12,20,26(\\bmod 30)$ ,\n即 $a \\neq 0,1,3,6,10,13,15,16,18,21,25,28$, 因此, $A \\subseteq\\{2,4,5,7,8,9,11,12,14,17,19,20,22,23,24,26,27,29\\}$, 后一集合可分拆成下列 10 个子集的并, 其中每一个子集至多有一个元素包含在 $A$ 中: $\\{2,4\\}, \\{5,7\\},\\{8,12\\},\\{9,11\\},\\{14,22\\},\\{17,19\\},\\{20\\},\\{23,27\\},\\{24,26\\},\\{29\\}$, 故 $|A| \\leqslant 10$.\n若 $|A|=10$, 则每个子集恰好有一个元素包含在 $A$ 中, 因此, $20 \\in A, 29 \\in A$.\n由 $20 \\in A$ 知 $12 \\notin A$, 从而 $8 \\in A$, 这样 $4 \\notin A, 22 \\notin A, 24 \\notin A$. 因此 $2 \\in A, 14 \\in A, 26 \\in A$.\n由 $29 \\in A$ 知 $7 \\notin A, 27 \\notin A$, 从而 $5 \\in A, 23 \\in A$, 这样 $9 \\notin A, 19 \\notin A$, 因此 $11 \\in A, 17 \\in A$.\n综上所述,有 $A=\\{2,5,8,11,14,17,20,23,26,29\\}$, 此集合 $A$ 确实满足要求.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0021.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例1. 已知 $y=\\frac{x^2}{10}-\\frac{x}{10}+\\frac{9}{5}$, 且 $y \\leqslant|x|$, 求 $x$ 的取值范围.",
+    "solution": "分析:为了去掉 $y \\leqslant|x|$ 中 $|x|$ 的绝对值符号, 自然要对 $x$ 进行分类: 当 $x \\geqslant 0$ 时, $y \\leqslant x$; 当 $x<0$ 时, $y \\leqslant-x$. 由此知, 本题应分两种情况讨论.\n解当 $x \\geqslant 0$ 时, 有 $y \\leqslant x$. 即亦即\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\frac{x^2}{10}-\\frac{x}{10}+\\frac{9}{5} \\leqslant x, \\\\\n& (x-2)(x-9) \\leqslant 0 .\n\\end{aligned}\n$$\n解得 $2 \\leqslant x \\leqslant 9$.\n当 $x<0$ 时, 有 $y \\leqslant-x$. 即\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\frac{x^2}{10}-\\frac{x}{10}+\\frac{9}{5} \\leqslant-x, \\\\\n& (x+3)(x+6) \\leqslant 0 .\n\\end{aligned}\n$$\n解得 $-6 \\leqslant x \\leqslant-3$.\n综上,所求 $x$ 的取值范围为 $[-6,-3] \\cup[2,9]$.\n说明以上解答是以绝对值的定义为标准进行分类的.\n注意不要漏掉了 $x=0$ 的情形,这里我们是将 $x=0$ 与 $x>0$ 并在一起考虑的,但并非任何时候都可以这么做!",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0022.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例2. 已知 $a>0, a \\neq 1$, 解关于 $x$ 的不等式:\n$$\n2 \\log _a(x-1)>\\log _a[1+a(x-2)] .\n$$",
+    "solution": "分析:解对数不等式必然要考虑对数函数的单调性.\n于是, 将底数 $a$ 分为 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种情形讨论.\n解 (1) 当 $0<a<1$ 时, 原不等式等价于\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left\\{\\begin{array}{l}\nx-1>0, \\\\\n1+a(x-2)>0, \\\\\n(x-1)^2<1+a x-2 a,\n\\end{array}\\right. \\\\\n& \\left\\{\\begin{array}{l}\nx>1, \\\\\nx>2-\\frac{1}{a}, \\\\\na<x<2 .\n\\end{array}\\right.\n\\end{aligned}\n$$\n即因为 $0<a<1$, 所以 $1>2-\\frac{1}{a}$. 所以此时原不等式的解为 $1<x<2$.\n(2) 当 $a>1$ 时,原不等式等价于\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left\\{\\begin{array}{l}\nx-1>0, \\\\\n1+a(x-2)>0, \\\\\n(x-1)^2>1+a x-2 a,\n\\end{array}\\right. \\\\\n& \\left\\{\\begin{array}{l}\nx>2-\\frac{1}{a}, \\\\\n(x-2)(x-a)>0 .\n\\end{array}\\right.\n\\end{aligned}\n$$\ni) 当 $1<a<2$ 时, 由(2)得 $x<a$ 或 $x>2$.\n因为 $a>1$, 所以 $a-\\left(2-\\frac{1}{a}\\right)=a+\\frac{1}{a}-2>2 \\sqrt{a \\cdot \\frac{1}{a}}-2=0$, 所以 $a>2-\\frac{1}{a}$.\n所以, 此时原不等式的解为 $2-\\frac{1}{a}<x<a$ 或 $x>2$.\nii) 当 $a \\geqslant 2$ 时,由 (2) 得 $x<2$ 或 $x>a$.\n因为 $a \\geqslant 2$, 所以 $2>2-\\frac{1}{a}$.\n所以, 此时原不等式的解为 $2-\\frac{1}{a}<x<2$ 或 $x>a$.\n综上, 当 $0<a<1$ 时, 原不等式的解集为 $(1,2)$; 当 $1<a<2$ 时, 原不等式的解集为 $\\left(2-\\frac{1}{a}, a\\right) \\cup(2,+\\infty)$; 当 $a \\geqslant 2$ 时, 原不等式的解集为 $\\left(2-\\frac{1}{a}, 2\\right) \\cup(a,+\\infty)$.\n说明上述解答中的分类讨论有如下特点:\n1. 讨论是围绕参数 $a$ 展开的.\n2. 采用了二级分类的方式: 第一级的分类是由对数函数的单调性引起的, 我们将参数 $a$ 分为两大类: (1) $0<a<1$, (2) $a>1$; 第二级的分类是为了比较不等式 (2) 对应的方程 $(x-2)(x-a)=0$ 的两根的大小, 我们将 $a>1$ 又分成两小类: i) $1<a<2$, ii) $a \\geqslant 2$. 每级分类都严格遵循分类原则, 这种分类方式可推”到更多级的情形.\n3. 最后的结论是依不同情况下解的状况重新按一级分类叙述的.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0023.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例3. 设 $n$ 是一个正整数.\n安先写出 $n$ 个不同的正整数, 然后艾夫删除了其中的某些数 (可以不删, 但不能全删), 同时在每个剩下的数的前面放上 “+”号或“-”号, 再对这些数求和.\n如果计算结果能被 2003 整除, 则艾夫获胜,否则安获胜.\n问谁有必胜策略?",
+    "solution": "分析:$n$ 个不同整数所成的集合 $M$ 有 $2^n-1$ 个不同的非空子集.\n当 $2^n- 1>2003$ 时, 必有两个不同的子集的元素和关于模 2003 同余.\n设这两个子集为 $A 、 B$, 且 $A \\cap B=C$. 则集合 $A \\backslash C$ 与 $B \\backslash C$ 的元素和关于模 2003 仍同余.\n这时, 艾夫只要在集合 $A \\backslash C$ 的元素前加“十” 号,在 $B \\backslash C$ 的元素前加“一”号, 而将其他元素全删除, 即可获胜.\n取 $n \\geqslant 11$, 便有 $2^n-1>2003$.\n那么, 当 $n \\leqslant 10$ 时有什么结果呢? 这时只要安写下整数 $1,2, \\cdots, 2^{n-1} (n \\leqslant 10)$ 中的若干个, 则已立于不败之地.\n因为艾夫无论怎么做, 所得的和都只能在一 1023 与 1023 之间,且不等于 0 .\n解当 $n \\leqslant 10$ 时, 安有必胜策略.\n为此, 他可写出整数 $1,2, \\cdots, 2^{n-1}$. 因为 $1+2+\\cdots+2^{n-1}=2^n-1 \\leqslant 2^{10}-1=1023$, 所以, 艾夫可能得到的和只能在一 1023 与 1023 之间.\n由二进制数的表示的惟一性及添加正、负号的办法知, 艾夫得到的和也不可能为 0 . 所以,艾夫必败无疑.\n当 $n \\geqslant 11$ 时, 艾夫有必胜的策略.\n设安写出的整数所成之集为 $M$. 因为 $2^n-1 \\geqslant 2^{11}-1>2003$, 所以 $M$ 的非空子集数大于 2003 . 因而, 一定存在 $M$ 的两个不同子集, 例如 $A$ 和 $B$, 使得 $A$ 中数的和与 $B$ 中数的和关于模 2003 同余.\n如果艾夫将“+”号放在集合 $A \\backslash B$ 中的数的前面, 将“-”号放在集合 $B \\backslash A$ 中的数的前面, 并删除 $M$ 中所有其余的数,则艾夫必胜.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0024.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例4。 彼得有 25 名同班同学(他自己未计人数目 25 之内). 已知这 25 名同学在班内的朋友数目各不相同, 试问彼得在该班有多少名朋友?",
+    "solution": "分析:因为彼得也可能是同班同学的朋友, 所以彼得的 25 名同学的朋友数分别只能是 $0,1,2, \\cdots, 24,25$ 之一, 且互不相同.\n如果在彼得的同学中存在孤独者 (无朋友者), 则另 24 个同学的朋友数分别为 $1,2, \\cdots, 24$; 否则, 彼得的 25 个同学的朋友数分别为 $1,2, \\cdots, 25$. 看来我们得分如上两种情形讨论.\n解分两种情形讨论.\n第一种情形假定某位同学在班上的朋友数为 0 . 则除了这位孤独者和彼得以外,其他同学每人在班上的朋友数不多于 24 . 因为这些同学总共 24 人, 每人在班上的朋友数不同, 所以他们的朋友数依次为 $1,2, \\cdots, 24$.\n约定将朋友数为 $1,2, \\cdots, 12$ 的同学编为 $A$ 组, 将朋友数为 $13,14, \\cdots$, 24 的同学编为 $B$ 组.\n将各组同学的朋友数求和, 分别得到\n$$\n\\begin{aligned}\n& S(A)=1+2+\\cdots+12=78, \\\\\n& S(B)=13+14+\\cdots+24=222 .\n\\end{aligned}\n$$\n设 $A$ 组中有 $k$ 名同学是彼得的朋友.\n则 $A$ 组同学在 $B$ 组中的朋友数总和不多于 $S(A)-k$, 另外 $B$ 组同学在本组中的朋友数总和不超过 $12 \\times 11$. 因此, 彼得在 $B$ 组中的朋友数不少于\n$$\nS(B)-12 \\times 11-(S(A)-k)=12+k,\n$$\n但 $B$ 组总共只有 12 人, 所以只能是 $k=0 . A$ 组中没有彼得的朋友 $(A$ 组同学也没有在本组中的朋友), $B$ 组的每位同学都是彼得的朋友.\n对此情形, 彼得在班上有 12 名朋友.\n第二种情形设班上没有孤独者, 每个人都有朋友.\n朋友数各不相同, 最多可达 25 人.\n约定将朋友数为 $1,2, \\cdots, 12$ 的同学编人 $A$ 组; 将朋友数为 $13,14, \\cdots, 25$ 的同学编人 $B$ 组.\n将各组同学的朋友数求和, 分别得到\n$$\n\\begin{aligned}\n& S(A)=1+2+\\cdots+12=78, \\\\\n& S(B)=13+14+\\cdots+25=247 .\n\\end{aligned}\n$$\n设 $A$ 组中有 $k$ 名同学是彼得的朋友.\n则 $A$ 组同学在 $B$ 组中的朋友数总和不多于 $S(A)-k$. 另外, $B$ 组同学在本组中的朋友数总共不超过 $13 \\times 12$. 于是, 彼得在 $B$ 组中的朋友数不少于\n$$\nS(B)-13 \\times 12-(S(A)-k)=13+k,\n$$\n但 $B$ 组总共只有 13 人, 所以 $k=0 . A$ 组中无彼得的朋友, $B$ 组中的每位同学都是彼得的朋友.\n对此情形, 彼得在班上有 13 名朋友.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0025.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例6. 对任意 $n, k \\in \\mathbf{N}^*$, 令 $S=1^n+2^n+3^n+\\cdots+k^n$. 求 $S$ 被 3 除所得的余数.",
+    "solution": "分析:因为 $(3 m)^n \\equiv 0(\\bmod 3),(3 m+1)^n \\equiv 1(\\bmod 3)$, $(3 m+2)^{2 r} \\equiv 1(\\bmod 3),(3 m+2)^{2 r+1} \\equiv 2(\\bmod 3)$, 所以对 $n$ 按奇偶性分类是自然的.\n解 (1) 当 $n$ 为奇数时, 不妨设 $n=2 l-1, l \\in \\mathbf{N}^*$. 对 $m \\in \\mathbf{N}^*$, 如果 $3 \\times m$, 则 $m^2 \\equiv 1(\\bmod 3) \\Rightarrow m^{2 l} \\equiv 1(\\bmod 3) \\Rightarrow m^{2 l-1} \\equiv m^{2(l-1)+1} \\equiv m(\\bmod 3)$; 如果 $3 \\mid m$, 则 $m^{2 l-1} \\equiv 0 \\equiv m(\\bmod 3)$. 于是, 当 $n$ 为奇数时, 对 $m \\in \\mathbf{N}$, 总有 $m^n \\equiv m(\\bmod 3)$. 从而\n$$\n\\begin{aligned}\nS & \\equiv 1+2+3+\\cdots+k \\\\\n& \\equiv(1+2+3)+(4+5+6)+\\cdots(\\bmod 3) .\n\\end{aligned}\n$$\n当 $k=3 t+3$ 或 $k=3 t+2$ 时, 就有\n$$\nS \\equiv 0(\\bmod 3)(t \\in \\mathbf{N})\n$$\n当 $k=3 t+1$ 时, 就有\n$$\n\\begin{aligned}\nS \\equiv & (1+2+3)+(4+5+6)+\\cdots \\\\\n& +[(k-3)+(k-2)+(k-1)]+k \\\\\n\\equiv & 1(\\bmod 3)(t \\in \\mathbf{N}) .\n\\end{aligned}\n$$\n(2) 当 $n$ 为偶数时, 对 $m \\in \\mathbf{N}$, 由 (1) 知, $3 \\times m \\Rightarrow m^n \\equiv 1(\\bmod 3), 3 \\mid m \\Rightarrow m^n \\equiv 0(\\bmod 3)$. 于是\n$$\nS \\equiv(1+1+0)+(1+1+0)+\\cdots(\\bmod 3) .\n$$\n当 $k=3 t+3(t \\in \\mathbf{N})$ 时, $(1+1+0)$ 共有 $t+1$ 组, 故 $S \\equiv(t+1)(1+1+0) \\equiv 2 t+2(\\bmod 3)$;\n当 $k=3 t+2(t \\in \\mathbf{N})$ 时, $(1+1+0)$ 共有 $t$ 组, 且 $(k-1)^n \\equiv k^n \\equiv 1(\\bmod 3)$, 故 $S \\equiv 2 t+1+1 \\equiv 2 t+2(\\bmod 3)$;\n当 $k=3 t+1(t \\in \\mathbf{N})$ 时, $(1+1+0)$ 共有 $t$ 组, 且 $k^n \\equiv 1(\\bmod 3)$, 故 $S \\equiv 2 t+1(\\bmod 3)$.\n综合 (1)、(2) 可知:\n当 $n$ 为奇正整数时,有当 $n$ 为偶正整数时,有\n$$\nS \\equiv\\left\\{\\begin{array}{l}\n0, k=9 t+4 \\text { 或 } 9 t+8 \\text { 或 } 9 t+9, \\\\\n1, k=9 t+1 \\text { 或 } 9 t+5 \\text { 或 } 9 t+6,(\\bmod 3)(t \\in \\mathbf{N}) . \\\\\n2, k=9 t+2 \\text { 或 } 9 t+3 \\text { 或 } 9 t+7\n\\end{array}\\right.\n$$\n说明这是一个两级分类的例子.\n首先是对 $n$ 按奇偶性(模 2 的剩余类) 分成两大类,然后又将每一大类对 $k$ 按模 3 的剩余类分成三个小类.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0026.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例7. 求集合 $B 、 C$, 使得 $B \\cup C=\\{1,2, \\cdots, 10\\}$, 并且 $C$ 的元素乘积等于 $B$ 的元素和.",
+    "solution": "分析:这实际上是求特殊条件下集合方程的解.\n注意到集合 $B$ 的元素和 $\\leqslant 1+2+\\cdots+10=55$, 而 $1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5=120$, 故知集合 $C$ 至多有 4 个元素.\n这样我们可以按 $|C|$ 的可能值分 4 类来讨论.\n解因为 $1+2+\\cdots+10=55<120=1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5$, 所以集合 $C$ 至多有 4 个元素.\n下面对 $|C|$ 分 4 种情况讨论.\n(1) $C$ 由一个元素构成.\n因为 $C$ 的元素乘积不超过 $10, B$ 的元素和至少为 $55-10=45$. 故此情况不成立.\n(2) $C$ 由两个元素 $x 、 y$ 构成.\n设 $x<y$, 则有 $x y=55-x-y$, 即\n$$\n(x+1)(y+1)=56 .\n$$\n因为 $x+1<y+1 \\leqslant 11$, 解得 $x=6, y=7$. 故 $C=\\{6,7\\}, B=\\{1,2,3,4,5,8,9,10\\}$.\n(3) $C$ 由三个元素 $x<y<z$ 构成.\n由题设得\n$$\nx y z=55-x-y-z .\n$$\n当 $x=1$ 时,解得 $y=4, z=10$. 因此, $C=\\{1,4,10\\}, B=\\{2,3,5$, $6,7,8,9\\}$.\n当 $x=2$ 时, 有 $2 y z+y+z=53$, 即 $(2 y+1)(2 z+1)=107$ 为质数.\n无解.\n若 $x \\geqslant 3$, 显然有 $x y z \\geqslant 3 \\times 4 \\times 5=60>55-x-y-z$. 无解.\n(4) $C$ 由四个元素 $x<y<z<t$ 构成.\n必有 $x=1$, 否则 $x y z t \\geqslant 2 \\times 3 \\times 4 \\times 5=120>55$. 这时\n$$\ny z t=54-y-z-t, 2 \\leqslant y<z<t .\n$$\n如 (3), $y \\geqslant 3$ 时无解.\n故 $y=2,2 z t+z+t=52$, 即 $(2 z+1)(2 t+1)= 105$. 解得 $z=3, t=7$. 从而, $C=\\{1,2,3,7\\}, B=\\{4,5,6,8,9,10\\}$.\n综上知, $B 、 C$ 有 3 组解.\n说明这里的分类并不是一眼看出来的, 但在经过了对两个集合的元素和与元素积的估计后, 这个分类就是自然的了, 而且后面的解答过程或多或少与这个估计有关.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0027.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例8. 对任意的 $a>0, b>0$, 求 $\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}$ 的值.",
+    "solution": "分析:为了求出 $\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}$, 我们来比较 $\\frac{1}{a} 、 \\frac{1}{b} 、 a^2+b^2$ 的大小.\n令 $\\frac{1}{a}=\\frac{1}{b}=a^2+b^2$, 得 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$. 如设 $a \\geqslant b>0$, 则 $a 、 b 、 \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 有三种顺序关系: $a \\geqslant b \\geqslant \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}, \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}} \\geqslant a \\geqslant b, a \\geqslant \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}} \\geqslant b$. 我们就以此分类.\n解不失一般性, 不妨设 $a \\geqslant b>0$, 则 $0<\\frac{1}{a} \\leqslant \\frac{1}{b}$. 令 $\\frac{1}{a}=\\frac{1}{b}=a^2+b^2$, 则 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$.\n(1) 若 $a \\geqslant b \\geqslant \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$, 则\n$$\n\\frac{1}{a} \\leqslant \\frac{1}{b} \\leqslant \\sqrt[3]{2}, a^2+b^2 \\geqslant 2 b^2 \\geqslant \\sqrt[3]{2} .\n$$\n所以 $\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}=a^2+b^2 \\geqslant \\sqrt[3]{2}$. 从而当且仅当 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 时,\n$$\n\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}=\\min \\left\\{a^2+b^2\\right\\}=\\sqrt[3]{2} ;\n$$\n(2) 若 $\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}} \\geqslant a \\geqslant b>0$, 则\n$$\n\\frac{1}{b} \\geqslant \\frac{1}{a} \\geqslant \\sqrt[3]{2}, a^2+b^2 \\leqslant 2 a^2 \\leqslant \\sqrt[3]{2}\n$$\n所以 $\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}=\\frac{1}{b} \\geqslant \\sqrt[3]{2}$. 从而当且仅当 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 时,\n$$\n\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}=\\min \\left\\{\\frac{1}{b}\\right\\}=\\sqrt[3]{2} .\n$$\n(3)若 $a \\geqslant \\sqrt[3]{\\frac{1}{2}} \\geqslant b>0$, 则 $\\frac{1}{b} \\geqslant \\sqrt[3]{2} \\geqslant \\frac{1}{a}>0$.\n此时若 $\\frac{1}{b} \\geqslant a^2+b^2$, 则\n$$\n\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}=\\frac{1}{b} \\geqslant \\sqrt[3]{2}\n$$\n若 $\\frac{1}{b} \\leqslant a^2+b^2$, 则\n$$\n\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}=a^2+b^2 \\geqslant \\frac{1}{b} \\geqslant \\sqrt[3]{2} ;\n$$\n所以当且仅当 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 时,\n$$\n\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}=\\sqrt[3]{2}\n$$\n综上所述: 当且仅当 $a=b=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}}$ 时,\n$$\n\\min \\left\\{\\max \\left\\{\\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, a^2+b^2\\right\\}\\right\\}=\\sqrt[3]{2} .\n$$",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0028.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例1. 设正整数 $a 、 b 、 c$ 为三角形三边长, $a+b=n, n \\in \\mathbf{N}^*, 1 \\leqslant c \\leqslant n-1$. 求这样的三角形的个数.",
+    "solution": "分析:设 $\\triangle A B C$ 的角 $A 、 B 、 C$ 的对应边分别为 $a 、 b 、 c$. 例 1 就是要计算有限集 $M=\\left\\{\\triangle A B C \\mid a+b=n, a, b \\in \\mathbf{N}^*, 1 \\leqslant c \\leqslant n-1\\right\\}$ 的阶.\n也就是要计算同时满足 $a+b>c, b+c>a, c+a>b$ 的三元正整数组 $\\{a, b, c\\}$ 的个数.\n解不妨设 $b \\geqslant a$, 则 $1 \\leqslant a \\leqslant\\left[\\frac{n}{2}\\right]$. 满足题设条件的三角形可分为两类:\n第一类: $c$ 为最大边.\n令 $a=i$, 则 $b=n-i, n-i \\leqslant c \\leqslant n-1$. 这样的三角形有 $(n-1)-(n-i)+1=i$ 个.\n第二类: $c$ 不为最大边.\n则 $b>c, c+a>b$, 故 $b-a=n-2 i, n-2 i< c<n-i$. 因此 $n-2 i+1 \\leqslant c \\leqslant n-i-1$. 这样的三角形有 $(n-i-1)- (n-2 i+1)+1=i-1$ 个.\n由加法原理, 满足题设条件的三角形的个数为\n$$\nf(n)=\\sum_{i=1}^{\\left[\\frac{n}{2}\\right]}(i+i-1)=\\sum_{i=1}^{\\left[\\frac{n}{2}\\right]}(2 i-1)=\\left(\\left[\\frac{n}{2}\\right]\\right)^2 .\n$$",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0029.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例2. 集合 $S=\\{1,2, \\cdots, 1990\\}$, 考察 $S$ 的 31 元子集.\n如果子集中 31 个元素之和可被 5 整除,则称为是好的.\n试求 $S$ 的好子集的个数.",
+    "solution": "分析:直接计算好子集的个数是困难的.\n考察 $S$ 的全部 31 元子集, 将其按子集元素和模 5 的剩余类分成 5 类, 直觉告诉我们, 每一类子集的个数似乎是相同的.\n果真是这样的吗?\n解我们来考察 $S$ 的全部 31 元子集, 这样的子集共有 $\\mathrm{C}_{1990}^{31}$ 个, 它们构成集合\n$$\nM=\\left\\{\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{31}\\right\\} \\mid\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{31}\\right\\} \\subset S\\right\\} .\n$$\n设 $\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{31}\\right\\} \\in M$, 其元素和被 5 除的余数为 $k$, 即\n$$\n\\sum_{i=1}^{31} a_i=k(\\bmod 5) .\n$$\n$k$ 只有 5 个可能值: $0,1,2,3,4$. 我们将所有 $k$ 值相同的 $M$ 的元素 ( $S$ 的 31 元子集) 归为一类, 得到 $M$ 的 5 个子集 $A_0, A_1, A_2, A_3$ 和 $A_4$. 显然 $A_0, A_1, \\cdots, A_4$ 是 $M$ 的一个分划,其中 $A_0$ 的元素就是 $S$ 的好子集.\n由于 $31 \\equiv 1(\\bmod 5)$, 所以当 $\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{31}\\right\\} \\in A_0$ 时, 即当 $\\sum_{i=1}^{31} a_i \\equiv 0(\\bmod 5)$ 时, 就有\n$$\n\\sum_{i=1}^{31}\\left(a_i+k\\right) \\equiv k(\\bmod 5) .\n$$\n故知 $\\left\\{a_1+k, a_2+k, \\cdots, a_{31}+k\\right\\} \\in A_k, k=1,2,3,4$, 这里当 $a_i+k>1990$ 时,将 $a_i+k$ 理解为 $a_i+k-1990$. 这种 $A_0$ 与 $A_k$ 间的对应是一一的.\n所以有\n$$\n\\left|A_0\\right|=\\left|A_1\\right|=\\left|A_2\\right|=\\left|A_3\\right|=\\left|A_4\\right|,\n$$\n于是\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|A_0\\right| & =\\frac{1}{5}\\left(\\left|A_0\\right|+\\left|A_1\\right|+\\left|A_2\\right|+\\left|A_3\\right|+\\left|A_4\\right|\\right) \\\\\n& =\\frac{1}{5}|M|=\\frac{1}{5} C_{1990}^{31} .\n\\end{aligned}\n$$\n说明在这里,我们的目的并不是求 $|M|$, 而是由于 $|M|$ 易于计算, 我们反过来利用这一点来达到计算 $\\left|A_0\\right|$ 的目的.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0030.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例3. 设集合 $S=\\{1,2, \\cdots, 1000\\}, A$ 是 $S$ 的子集,且 $A$ 的元素或是 3 的倍数, 或是 7 的倍数.\n试求 $A$ 的元素个数的最大值.",
+    "solution": "解:设 $A_1=\\{x \\mid x \\in S$, 且 $3 \\mid x\\}, A_2=\\{x \\mid x \\in S$, 且 $7 \\mid x\\}$, 则 $|A|_{\\text {max }}=\\left|A_1 \\cup A_2\\right|$. 显然有\n$$\n\\begin{gathered}\n\\left|A_1\\right|=\\left[\\frac{1000}{3}\\right]=333, \\\\\n\\left|A_2\\right|=\\left[\\frac{1000}{7}\\right]=142, \\\\\n\\left|A_1 \\cap A_2\\right|=\\left[\\frac{1000}{3 \\cdot 7}\\right]=47 .\n\\end{gathered}\n$$\n所以\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|A_1 \\cup A_2\\right| & =\\left|A_1\\right|+\\left|A_2\\right|-\\left|A_1 \\cap A_2\\right| \\\\\n& =333+142-47=428 .\n\\end{aligned}\n$$\n所以 $A$ 的元素个数的最大值为 428 .\n说明利用容斥原理的关键是构造所要计数的集合的一个合适的覆盖.\n上例解答中的覆盖是: $A_1, A_2$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0031.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例5. 设 $S$ 是有理数 $r$ 的集合, 其中 $0<r<1$, 且 $r$ 有循环小数的展开形式为 $\\overline{0 . a b c a b c a b c \\cdots}=\\overline{0 .\\dot{a} b \\dot{c}}, a 、 b 、 c$ 不一定相异.\n在 $S$ 的元素中, 能写成最简分数的不同的分子有多少个?",
+    "solution": "解:因为 $\\overline{0 . \\dot{a} b \\dot{c}}=\\frac{\\overline{a b c}}{999}$, 又 $999=3^3 \\cdot 37$, 故如果 $\\overline{a b c}$ 既不能被 3 整除也不能被 37 整除,则分数就是最简形式.\n设 $A_1=\\{$ 不超过 1000 的正整数中 3 的倍数 $\\}, A_2=$ \\{不超过 1000 的正整数中 37 的倍数 $\\}$. 易知\n$$\n\\begin{gathered}\n\\left|A_1\\right|=\\frac{999}{3}=333,\\left|A_2\\right|=\\frac{999}{37}=27, \\\\\n\\left|A_1 \\cap A_2\\right|=\\frac{999}{3 \\cdot 37}=9 .\n\\end{gathered}\n$$\n由定理 2 , 有\n$$\n\\begin{aligned}\n& 999-\\left(\\left|A_1\\right|+\\left|A_2\\right|\\right)+\\left|A_1 \\cap A_2\\right| \\\\\n= & 999-(333+27)+9=648 .\n\\end{aligned}\n$$\n即此类最简分数的不同分子有 648 个.\n此外, 还有形如 $\\frac{k}{37}$ 的数, 其中自然数 $k$ 是小于 37 的 3 的倍数, 这样的 $k$ 有 $3,6,9, \\cdots, 36$ 共 12 个.\n故满足条件的分子有 $648+12=660$ 个.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0032.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例6. 对于任何的集合 $S$, 设 $n(S)$ 为集合 $S$ 的子集个数.\n如果 $A 、 B 、 C$ 是三个集合,满足下列条件:\n(1) $n(A)+n(B)+n(C)=n(A \\cup B \\cup C)$,\n(2) $|A|=|B|=100$,\n求 $|A \\cap B \\cap C|$ 的最小值.",
+    "solution": "解:如果一个集合有 $k$ 个元素, 那么它有 $2^k$ 个子集.\n由题设有\n$$\n2^{100}+2^{100}+2^{|C|}=2^{|A \\cup B \\cup C|},\n$$\n即\n$$\n1+2^{|C|-101}=2^{|A \\cup B \\cup C|-101} .\n$$\n因为 $1+2^{|C|-101}$ 是大于 1 且等于一个 2 的整数幂, 所以 $|C|=101$. 从而有\n$$\n|A \\cup B \\cup C|=102 \\text {. }\n$$\n由容斥原理得\n$$\n\\begin{aligned}\n|A \\cap B \\cap C|= & |A \\cup B \\cup C|+|A|+|B|+|C| \\\\\n& -|A \\cup B|-|A \\cup C|-|B \\cup C| .\n\\end{aligned}\n$$\n从而有\n$$\n|A \\cap B \\cap C|=403-|A \\cup B|-|A \\cup C|-|B \\cup C| \\text {. }\n$$\n由 $A \\cup B 、 A \\cup C 、 B \\cup C \\subseteq A \\cup B \\cup C$ 得， $|A \\cup B| 、|A \\cup C|$ 、 $|B \\cup C| \\leqslant 102$, 所以\n$$\n|A \\cap B \\cap C| \\geqslant 403-102 \\times 3=97 .\n$$\n另一方面, 取 $A=\\{1,2,3, \\cdots, 100\\}, B=\\{3,4,5, \\cdots, 102\\}, C=\\{1,2,4,5,6, \\cdots, 100,101,102\\}$, 满足题设条件.\n这时\n$$\n|A \\cap B \\cap C|=|\\{4,5,6, \\cdots, 100\\}|=97 .\n$$\n所以, $|A \\cap B \\cap C|$ 的最小值为 97 .",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0033.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "例8. 将与 105 互质的所有正整数从小到大排成数列, 求这个数列的第 1000 项.",
+    "solution": "分析:先看在区间 $(0,105]$ 中有多少个整数与 105 互质.\n因为 $105=3 \\times 5 \\times 7$, 所以只要在数列 $1,2, \\cdots, 105$ 中去掉所有 3 或 5 或 7 的倍数即可.\n然后再逐段考察区间 $(105 \\cdot(k-1), 105 k]$ 中与 105 互质的整数.\n解设 $S=\\{1,2, \\cdots, 105\\}, A_3=\\{a \\mid a \\in S$, 且 $3 \\mid a\\}, A_5=\\{a \\mid a \\in S$, 且 $5 \\mid a\\}, A_7=\\{a \\mid a \\in S$, 且 $7 \\mid a\\}$, 则\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left|A_3\\right|=\\frac{105}{3}=35,\\left|A_5\\right|=\\frac{105}{5}=21,\\left|A_7\\right|=\\frac{105}{7}=15, \\\\\n& \\left|A_3 \\cap A_5\\right|=\\frac{105}{3 \\times 5}=7,\\left|A_5 \\cap A_7\\right|=\\frac{105}{5 \\times 7}=3, \\\\\n& \\left|A_7 \\cap A_3\\right|=\\frac{105}{7 \\times 3}=5, \\\\\n& \\left|A_3 \\cap A_5 \\cap A_7\\right|=\\frac{105}{3 \\times 5 \\times 7}=1,|S|=105 .\n\\end{aligned}\n$$\n在 1 到 105 中,与 105 互质的数有\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left|\\complement_S A_3 \\cap \\complement_S A_5 \\cap \\complement_S A_7\\right| \\\\\n= & |S|-\\left|A_3 \\cup A_5 \\cup A_7\\right| \\\\\n= & |S|-\\left(\\left|A_3\\right|+\\left|A_5\\right|+\\left|A_7\\right|\\right) \\\\\n& +\\left(\\left|A_3 \\cap A_5\\right|+\\left|A_5 \\cap A_7\\right|\\right. \\\\\n& \\left.+\\left|A_7 \\cap A_3\\right|\\right)-\\left|A_3 \\cap A_5 \\cap A_7\\right| \\\\\n= & 105-(35+21+15)+(7+3+5)-1 \\\\\n= & 48 .\n\\end{aligned}\n$$\n设与 105 互质的正整数按从小到大的顺序排列为 $a_1, a_2, \\cdots, a_n, \\cdots$, 则\n$$\n\\begin{gathered}\na_1=1, a_2=2, a_3=4, \\cdots, a_{48}=104, \\\\\na_{49}=105+1, a_{50}=105+2, \\\\\na_{51}=105+4, \\cdots, a_{96}=105+104, \\cdots\n\\end{gathered}\n$$\n因为 $1000=48 \\times 20+40$, 所以\n$$\na_{1000}=105 \\times 20+a_{40} .\n$$\n由于 $a_{48}=104, a_{47}=103, a_{46}=101, a_{45}=97, a_{44}=94, a_{43}=92$, $a_{42}=89, a_{41}=88, a_{40}=86$, 所以\n$$\na_{1000}=105 \\times 20+86=2186 .\n$$\n筛法公式在数论中的一个典型应用, 就是推导欧拉函数的解析式.\n我们把不超过正整数 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的数目记为 $\\varphi(n)$, 称为欧拉函数.\n例如, $\\varphi(2)=1, \\varphi(3)=2, \\varphi(6)=2, \\varphi(8)=4$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0034.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题1: 已知三元实数集 $A=\\{x, x y, x+y\\}, B=\\{0,|x|, y\\}$, 且 $A=B$, 则$x^{2005}+y^{2005}=$",
+    "solution": "解: 0 .",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0035.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题2: 设集合 $S=\\left\\{(x, y) \\mid x-\\frac{1}{2} y^2\\right.$ 为奇数, $\\left.x, y \\in \\mathbf{R}\\right\\}, T=\\{(x, y) \\left.\\sin (2 \\pi x)-\\sin \\left(\\pi y^2\\right)=\\cos (2 \\pi x)-\\cos \\left(\\pi y^2\\right), x, y \\in \\mathbf{R}\\right\\}$. 则 $S$ 与 $T$ 的关系是",
+    "solution": "解: $S \\varsubsetneqq T$. 当 $x=\\frac{1}{2} y^2+$ 奇数时, 显然 $\\sin (2 \\pi x)-\\sin \\left(\\pi y^2\\right)=\\cos (2 \\pi x)-\\cos \\left(\\pi y^2\\right)$ 成立, $S \\subseteq T$. 但满足 $x=\\frac{1}{2} y^2$ 的点 $(x, y) \\in T$, 而不属于 $S$, 故 $S \\varsubsetneqq T$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0036.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题3: 集合 $M=\\{u \\mid u=12 m+8 n+4 l, m, n, l \\in \\mathbf{Z}\\}$ 与 $N=\\{u \\mid u=20 p+ 16 q+12 r, p, q, r \\in \\mathbf{Z}\\}$ 的关系为",
+    "solution": "解: $M=N$. 因 $12 m+8 n+4 l=4(3 m+2 n+l), 20 p+16 q+12 r=4(5 p+4 q+3 r),(3,2,1)=1,(5,4,3)=1$, 由裴蜀定理可知 $3 m+2 n+ l$ 与 $5 p+4 q+3 r$ 均可表示所有整数.\n所以, $M=N=\\{k \\mid k=4 t, t \\in \\mathbf{Z}\\}$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0037.json

@@ -0,0 +1,10 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题4: 设 $A=\\{(x, y) \\mid 0 \\leqslant x \\leqslant 2,0 \\leqslant y \\leqslant 2\\}, B=\\{(x, y) \\mid x \\leqslant 10, y \\geqslant 2, y \\leqslant x-4\\}$ 是直角坐标平面 $x O y$ 上的点集.\n则 $C=\\left\\{frac{x_1+x_2}{2}\\frac{y_1+y_2}{2}\\right\\} \\mid\\left(x_1, y_1\\right) \\in A,\\left(x_2, y_2\\right) \\in B\\right\\}$ 所成图形的面积是",
+    "solution": "解: 7. 如图(<FilePath:./images/volume1/figures/fig-c1p4.png>),集合 $A$ 为正方形 $O A B C$, 集合 $B$ 为 Rt $\\triangle D E F . O D 、 A E 、 B F 、 C F$ 、 $C D$ 的中点依次为 $M(3,1) 、 N(6,1)$ 、 $P(6,4) 、 Q(5,4) 、 R(3,2)$. 所成图形面积 $S_{M N P Q R}=7$.",
+    "remark": "",
+    "figures": [
+        "./images/volume1/figures/fig-c1p4.png"
+    ]
+}

calculation/0038.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题5: 已知非空数集 $M \\subseteq\\{1,2,3,4,5\\}$, 则满足条件“若 $x \\in M$, 则 $6-x \\in M$ ” 的集合 $M$ 的个数是",
+    "solution": "解: 7. 因为 $1+5=2+4=3+3$, 故 $M$可以是 $\\{3\\},\\{1,5\\},\\{2,4\\},\\{1,3,5\\},\\{2,3,4\\},\\{1,2,4,5\\},\\{1,2,3$, $4,5\\}$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0039.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题6: 设 $a \\in \\mathbf{R}^{+}, A=\\left\\{(x, y) \\mid(x-1)^2+(y-2)^2 \\leqslant \\frac{4}{5}\\right\\}$ 与 $B=\\{(x, y) \\mid |x-1|+2|y-2| \\leqslant a\\}$ 是直角坐标平面 $x O y$ 内的点集.\n则 $A \\subseteq B$ 的充要条件是",
+    "solution": "解: $a \\geqslant 2$. 集合 $A$ 为以 $(1,2)$ 为圆心 $、 \\frac{2}{\\sqrt{5}}$ 为半径的圆面.\n集合 $B$ 为以 $(1,2)$ 为对角线交点的菱形, 且平行于 $x$ 轴的对角线长为 $2 a$, 平行于 $y$ 轴的对角线长为 $a$. 由 $A \\subseteq B$ 知, 当 $a \\cdot \\frac{a}{2}=\\frac{2}{\\sqrt{5}} \\cdot \\sqrt{a^2+\\left(\\frac{a}{2}\\right)^2}$ 时 $a$ 值最小, 所以 $a_{\\min }=2$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0040.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题7: 集合 $\\left\\{x \\mid-1 \\leqslant \\log _{\\frac{1}{x}} 10<-\\frac{1}{2}, x>1\\right.$ 且 $\\left.x \\in \\mathbf{N}\\right\\}$ 的真子集的个数是",
+    "solution": "解: $2^{90}-1$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0041.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题8: 已知 $A=\\left\\{x \\mid x^2-4 x+3<0, x \\in \\mathbf{R}\\right\\}, B=\\left\\{x \\mid 2^{1-x}+a \\leqslant 0, x^2-\\right. 2(a+7) x+5 \\leqslant 0, x \\in \\mathbf{R}\\}$. 若 $A \\subseteq B$, 则实数 $a$ 的取值范围是",
+    "solution": "解: $-4 \\leqslant a \\leqslant-1$. 易知 $A=(1,3)$. 记 $f(x)=2^{1-x}+a, g(x)=x^2-2(a+7) x+5 . A \\subseteq B$ 表明, 当 $1<x<3$ 时, 函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象都在$x$ 轴的下方.\n$A \\subseteq B$ 的充要条件是: $f(1) \\leqslant 0, g(1) \\leqslant 0$ 和 $f(3) \\leqslant 0, g(3) \\leqslant 0$ 同时成立.\n解之即得.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0042.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题9: 已知 $M=\\left\\{x \\mid x=a^2+1, a \\in \\mathbf{N}^*\\right\\}, N=\\left\\{x \\mid x=b^2-4 b+5, b \\in \\mathbf{N}^*\\right\\}$, 则 $M$ 与 $N$ 的关系是",
+    "solution": "解: $M \\varsubsetneqq N$. 由 $a^2+1=(a+2)^2-4 a+5$ 知 $M \\subseteq N$. 但 $1 \\in N, 1 \\notin M$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0043.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题10: 非空集合 $S$ 满足:\n(1) $S \\subseteq\\{1,2, \\cdots, 2 n+1\\}, n \\in \\mathbf{N}^*$;\n(2) 若 $a \\in S$, 则有 $2 n+2-a \\in S$.\n那么, 同时满足 (1)、(2) 的非空集合 $S$ 的个数是",
+    "solution": "解: $2^{n+1}-1$. 把自然数 $1,2, \\cdots, 2 n+1$ 搭配成 $n+1$ 个数组 $\\{1,2 n+1\\}, \\{2,2 n\\}, \\cdots,\\{n, n+2\\},\\{n+1\\} . S$ 的元素从以上 $n+1$ 组选取, 有 $\\mathrm{C}_{n+1}^1+ \\mathrm{C}_{n+1}^2+\\cdots+\\mathrm{C}_{n+1}^{n+1}=2^{n+1}-1$ 种取法.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0044.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题11: 设由模为 1 的 $n(2<n<6)$ 个复数组成的集合 $S$ 满足下面两条:\n(1) $1 \\in S$;\n(2) 若 $z_1 \\in S, z_2 \\in S$, 则 $z_1-2 z_2 \\cos \\theta \\in S$, 其中 $\\theta=\\arg \\frac{z_1}{z_2}$.\n则集合 $S=$",
+    "solution": "解: $\\{1,-1, \\mathrm{i},-\\mathrm{i}\\}$. 当 $z_1=z_2=z$ 时, 若 $z \\in S$, 则 $z_1-2 z_2 \\cos \\theta=-z \\in S$. 因 $|z|=1$, 所以 $|z|=|-z|=1$. 这说明 $S$ 中含有偶数个元素.\n又 $2<n<6$, 所以 $n=4$. 由 $1 \\in S$, 得 $-1 \\in S$. 设 $z_1=\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha(\\sin \\alpha \\neq 0$, $0 \\leqslant \\alpha<2 \\pi), z_2=1, \\theta=\\arg \\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)=\\alpha$. 若 $z_1 \\in S$, 则 $z_1-2 \\cos \\theta=-\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha \\in S$. 因为 $\\sin \\alpha \\neq 0$, 故 $\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha \\neq-(\\cos \\alpha+i \\sin \\alpha)$, 所以 $\\cos \\alpha+\\mathrm{i} \\sin \\alpha=-\\cos \\alpha+\\mathrm{i} \\sin \\alpha$, 即 $\\cos \\alpha=0, \\sin \\alpha= \\pm 1$. 所以 $i \\in S,-i \\in S$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0045.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题12: 集合 $A=\\left\\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\\right\\}$,计算 $A$ 中的二元子集两元素之和组成集合 $B=\\{3,4,5,6,7,8,9,10,11,13\\}$. 则 $A=$",
+    "solution": "解: $\\{1,2,3,5,8\\}$. 不妨设 $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$. 则 $x_1+x_2=3$, $x_4+x_5=13$. 又 $4\\left(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\\right)=3+4+5+6+7+8+9+10+11+13$, 即 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=19$, 从而得 $x_3=19-3-13=3$. 又 $x_1+ x_3=4$, 从而 $x_1=1$. 又 $x_3+x_5=11$, 从而 $x_5=8$, 所以 $x_2=2, x_4=5$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0046.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题14: 称有限集 $S$ 的所有元素的乘积为 $S$ 的 “积数”, 给定数集 $M= \\left\\{\\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\cdots, \\frac{1}{100}\\right\\}$. 求集 $M$ 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和.",
+    "solution": "解: 设集合 $M$ 的所有含偶数个元数的子集的积数之和为 $x$, 所有含奇数个元素的子集的积数之和为 $y$, 则 $x+y=\\left(1+\\frac{1}{2}\\right)\\left(1+\\frac{1}{3}\\right) \\cdots\\left(1+\\frac{1}{100}\\right)-1, x-y=\\left(1-\\frac{1}{2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{3}\\right) \\cdots\\left(1-\\frac{1}{100}\\right)-1$. 所以 $x+y=\\frac{99}{2}, x-y= -\\frac{99}{100}$. 解得 $x=\\frac{4851}{200}$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0047.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise1.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题17: 设集合 $M=\\{1,2,3, \\cdots, 1000\\}$, 现对 $M$ 的任一非空子集 $X$,令 $\\alpha_X$ 表示 $X$ 中最大数与最小数之和.\n求所有这样的 $\\alpha_X$ 的算术平均值.",
+    "solution": "解: 构造子集 $X^{\\prime}=\\{1001-x \\mid x \\in X\\}$, 则所有非空子集分成两类 $X^{\\prime}=X$ 和 $X^{\\prime} \\neq X$. 当 $X^{\\prime}=X$ 时,必有 $X^{\\prime}=X=M$, 于是, $\\alpha_X=1001$. 当 $X^{\\prime} \\neq X$ 时, 设 $x 、 y$ 分别是 $X$ 中的最大数与最小数, 则 $1001-x 、 1001-y$ 分别是 $X^{\\prime}$ 中的最小数与最大数.\n于是, $\\alpha_X=x+y, \\alpha_{X^{\\prime}}=2002-x-y$. 从而, $\\frac{\\alpha_X+\\alpha_{X^{\\prime}}}{2}=1001$. 因此,所有的 $\\alpha_X$ 的算术平均值为 1001 .",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0048.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题1 已知集合 $M=\\{2,|a|\\}$ 是全集 $U=\\left\\{2,3, a^2+2 a+2\\right\\}$ 的一个子集, 且 $\\complement_U M=\\{5\\}$, 则实数 $a$ 的值等于",
+    "solution": "-3 . $|a|=3$, 且 $a^2+2 a+2=5$. 解得 $a=-3$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0049.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题2 已知全集 $I=\\mathbf{Z}, M=\\{x \\mid x=2 n, n \\in \\mathbf{Z}\\}, S=\\{x \\mid x=3 n, n \\in \\mathbf{Z}\\}$, 则 $M \\cap \\complement_{\\mathrm{z}} S=$",
+    "solution": "$\\{x \\mid x=6 n \\pm 2, n \\in \\mathbf{Z}\\} . M=\\{x \\mid x=6 n, 6 n+2,6 n+4, n \\in \\mathbf{Z}\\}$, $S=\\{x \\mid x=6 n, 6 n+3, n \\in \\mathbf{Z}\\}$, 于是 $M \\cap \\complement_{\\mathbf{Z}} S=\\{x \\mid x=6 n \\pm 2, n \\in \\mathbf{Z}\\}$.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}

calculation/0050.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/exercise2.tex",
+    "problem_type": "calculation",
+    "problem": "问题3 已知 $M=\\left\\{(x, y) \\mid y=\\sqrt{16-x^2}, y \\neq 0\\right\\}, N=\\{(x, y) \\mid y=x-a\\}$, 如果 $M \\cap N \\neq \\varnothing$, 那么 $a$ 的范围是",
+    "solution": "$[-4 \\sqrt{2}, 4) . M \\cap N \\neq \\varnothing \\Leftrightarrow y=\\sqrt{16-x^2}=x-a \\neq 0$ 有解.\n从而有 $-4<x<4, a<4$, 且 $2 x^2-2 a x+a^2-16=0$ 有实数解.",
+    "remark": "",
+    "figures": []
+}