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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
    "problem_type": "calculation",
    "problem": "例7. 求集合 $B 、 C$, 使得 $B \\cup C=\\{1,2, \\cdots, 10\\}$, 并且 $C$ 的元素乘积等于 $B$ 的元素和.",
    "solution": "分析:这实际上是求特殊条件下集合方程的解.\n注意到集合 $B$ 的元素和 $\\leqslant 1+2+\\cdots+10=55$, 而 $1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5=120$, 故知集合 $C$ 至多有 4 个元素.\n这样我们可以按 $|C|$ 的可能值分 4 类来讨论.\n解因为 $1+2+\\cdots+10=55<120=1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot 5$, 所以集合 $C$ 至多有 4 个元素.\n下面对 $|C|$ 分 4 种情况讨论.\n(1) $C$ 由一个元素构成.\n因为 $C$ 的元素乘积不超过 $10, B$ 的元素和至少为 $55-10=45$. 故此情况不成立.\n(2) $C$ 由两个元素 $x 、 y$ 构成.\n设 $x<y$, 则有 $x y=55-x-y$, 即\n$$\n(x+1)(y+1)=56 .\n$$\n因为 $x+1<y+1 \\leqslant 11$, 解得 $x=6, y=7$. 故 $C=\\{6,7\\}, B=\\{1,2,3,4,5,8,9,10\\}$.\n(3) $C$ 由三个元素 $x<y<z$ 构成.\n由题设得\n$$\nx y z=55-x-y-z .\n$$\n当 $x=1$ 时,解得 $y=4, z=10$. 因此, $C=\\{1,4,10\\}, B=\\{2,3,5$, $6,7,8,9\\}$.\n当 $x=2$ 时, 有 $2 y z+y+z=53$, 即 $(2 y+1)(2 z+1)=107$ 为质数.\n无解.\n若 $x \\geqslant 3$, 显然有 $x y z \\geqslant 3 \\times 4 \\times 5=60>55-x-y-z$. 无解.\n(4) $C$ 由四个元素 $x<y<z<t$ 构成.\n必有 $x=1$, 否则 $x y z t \\geqslant 2 \\times 3 \\times 4 \\times 5=120>55$. 这时\n$$\ny z t=54-y-z-t, 2 \\leqslant y<z<t .\n$$\n如 (3), $y \\geqslant 3$ 时无解.\n故 $y=2,2 z t+z+t=52$, 即 $(2 z+1)(2 t+1)= 105$. 解得 $z=3, t=7$. 从而, $C=\\{1,2,3,7\\}, B=\\{4,5,6,8,9,10\\}$.\n综上知, $B 、 C$ 有 3 组解.\n说明这里的分类并不是一眼看出来的, 但在经过了对两个集合的元素和与元素积的估计后, 这个分类就是自然的了, 而且后面的解答过程或多或少与这个估计有关.",
    "remark": "",
    "figures": []
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