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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter3.tex",
    "problem_type": "proof",
    "problem": "例10. 设 $a_1, a_2, \\cdots, a_{20}$ 是 20 个两两不同的整数, 且集合 $ \\{a_i+a_j \\mid 1 \\leqslant  i \\leqslant j \\leqslant 20\\}$ 中有 201 个不同的元素.\n求集合 $\\left\\{\\left|a_i-a_j\\right| \\mid 1 \\leqslant i<j \\leqslant 20\\right\\}$ 中不同元数个数的最小可能值.",
    "solution": "分析:从 $a_1, a_2, \\cdots, a_{20}$ 中任取两个(可以相等) 相加, 至多有 $\\mathrm{C}_{20}^2+ 20=210$ 个不同的和, 由题设知, 所有 $a_i+a_j$ 中有些和数相等.\n另一方面, 应使所有的 $\\left|a_i-a_j\\right|$ 中出现尽可能多的相等的情况.\n由此, 可构造一组特殊的数: $a_1^{\\prime}, a_2^{\\prime}, \\cdots, a_{20}^{\\prime}$.\n解所给集合的元素个数的最小值为 100 .\n首先, 令 $a_i=10^{11}+10^i, a_{10+i}=10^{11}-10^i, i=1,2, \\cdots, 10$. 则 $\\{a_i+a_j \\mid 1 \\leqslant i \\leqslant j \\leqslant 20\\}$ 中共有 $(20+19+\\cdots+1)-10+1=201$ 个不同的元素, 而 $\\left\\{\\left|a_i-a_j\\right| \\mid 1 \\leqslant i<j \\leqslant 20\\right\\}=\\left\\{2 \\times 10^i \\mid i=1,2, \\cdots, 10\\right\\} \\bigcup\\{\\left|10^i \\pm 10^j\\right| \\mid 1 \\leqslant i<j \\leqslant 10\\}$ 共有 $10+2 \\mathrm{C}_{10}^2=100$ 个不同的元素.\n下面用反证法证明: 所给集合的不同元素的个数不小于 100 .\n若存在一个使所给集合的元素个数小于 100 的集合 $S=\\left\\{a_1, a_2, \\cdots, a_{20}\\right\\}$. 我们计算 $S$ 的 “好子集” $\\{x, y, z, w\\}$ 的个数, 这里 $x<y \\leqslant z<w$, 且 $x+w=y+z$.\n对 $S$ 中满足 $b>c$ 的数对 (b,c) (共 190对), 考虑它们的差 $b-c$, 由于至多有 99 个不同的差 (这里用到反证法假设), 故必有至少 91 个数对 $(b, c)$, 使得存在 $b^{\\prime}, c^{\\prime} \\in S$, 满足 $b^{\\prime}<b, c^{\\prime}<c$, 且 $b-c=b^{\\prime}-c^{\\prime}$. 对这样的 91 个数对 $(b$, $c)$, 它与其相应的 $b^{\\prime}, c^{\\prime}$ 形成 $S$ 的一个 4 元集 $\\left\\{b, c, b^{\\prime}, c^{\\prime}\\right\\}$, 可得到 $S$ 的一个 “好子集” $\\{x, y, z, w\\}$, 且至多两个数对 $(b, c)$ 形成相同的子集 $\\{x, y, z, w\\}$ (只能是 $(b, c)=(w, z)$ 和 $(w, y)$ ). 故 $S$ 的“好子集”至少有 46 个.\n另一方面, $S$ 的 “好子集” $\\{x, y, z, w\\}$ 的个数等于 $\\sum \\frac{1}{2} s_i\\left(s_i-1\\right)$, 这里 $s_i$ 为 $S$ 中满足 $b+c=i, b \\leqslant c$ 的数对 $(b, c)$ 的个数, 其中 $i$ 为正整数.\n注意到, 对每个 $i, S$ 中的每个元素 $s$ 至多出现在上面的一个数对 $(b, c)$ 中 （事实上, 当 $s \\leqslant i-s$ 时, $s$ 出现在数对 $(s, i-s)$ 中, 其余情况出现在 $(i-s, s)$ 中), 于是 $s_i \\leqslant 10$. 从而在 $s_i \\neq 0$ 时, $1 \\leqslant s_i \\leqslant 10$, 故 $\\frac{1}{2} s_i\\left(s_i-1\\right) \\leqslant 5 s_i-5$. 由于集合 $\\left\\{a_i+a_j \\mid 1 \\leqslant i \\leqslant j \\leqslant 20\\right\\}$ 中有 201 个不同的元素,故使得 $s_i \\geqslant 1$ 的正整数 $i$ 有 201 个, 设 $T$ 为这样的 $i$ 组成的集合.\n易知 $S$ 中有 $\\mathrm{C}_{20}^2$ 对 $(b, c)$ 满足 $b<c$, 有 20 对 $(b, c)$ 满足 $b=c$, 所以 $\\sum_{i \\in T} s_i=\\mathrm{C}_{20}^2+20=210$. 于是,\n$$\n\\sum_{i \\in T} \\frac{1}{2} s_i\\left(s_i-1\\right) \\leqslant \\sum_{i \\in T}\\left(5 s_i-5\\right)=5 \\times(210-201),\n$$\n这与 $S$ 的“好子集”至少有 46 个矛盾.\n所以,所给集合中,至少有 100 个不同的元素.",
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    "figures": []
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