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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter5.tex",
    "problem_type": "proof",
    "problem": "例10. 集合 $A=\\{1,2, \\cdots, 1997\\}$, 对 $A$ 的任意一个 999 元子集 $X$, 若存在 $x, y \\in X$, 使得 $x<y$ 且 $x \\mid y$, 则称 $X$ 集为好集.\n求最大自然数 $a(a \\in A)$, 使任一含有 $a$ 的 999 元子集都为好集.",
    "solution": "分析:抓住 $A$ 的 999 元子集 $X_0=\\{999,1000, \\cdots, 1997\\}$ 是关键.\n因为 $999 \\times 2=1998>1997$, 所以 $a<999$. 考虑集合 $A$ 的这样的元素 $b: 2 b \\in X_0$, $3 b \\notin X_0$. 易知 $b=666+i, i=0,1, \\cdots, 332$. 由 $B_i=\\{666+i\\} \\cup X_0 \\backslash \\{2(666+i)\\}, i=0,1, \\cdots, 332,\\left|B_i\\right|=999$, 知 $a \\leqslant 665$.\n解我们证明 $\\max a=665$.\n先证 $a \\leqslant 665$. 显然 $A$ 的 999 元子集 $X_0=\\{999,1000,1001, \\cdots, 1997\\}$ 中不存在 $x, y \\in X_0$, 使得 $x<y$ 且 $x \\mid y$. 事实上, $X_0$ 的最小元素为 999 , 它的最小倍数除本身外为 $2 \\times 999=1998>1997$, 即比 $X_0$ 的最大元素还大.\n这样, $a$ 就不能为 $999,1000,1001, \\cdots, 1997$ 中的任一个数.\n构造集合\n$$\nB_i=\\{666+i\\} \\bigcup X_0 \\backslash\\{2(666+i)\\}, i=0,1, \\cdots, 332 .\n$$\n对 $B_i$ 来说, $(666+i) \\times 3 \\geqslant 1998$, 而 $(666+i) \\times 2 \\notin B_i$, 故 $666+i$ 除本身外其他倍数都不在 $B_i$ 中.\n上面已证 $X_0$ 的任一非本身的倍数都不在 $X_0$ 中; 而 $666+i<999(i=0,1,2, \\cdots, 332)$, 故 $X_0$ 中任 $\\cdots$ 元素的倍数不可能为 $666+i(i=0,1, \\cdots, 332)$. 这样 $B_i$ 中仍不存在两元素满足 $x<y$ 且 $x \\mid y$. 而 $B_i$ 中 $(i=0,1, \\cdots, 332)$ 包含了 $666,667, \\cdots, 998$, 故 $a \\neq 666,667, \\cdots, 998$. 所以 $a \\leqslant 665$.\n下证 665 是可取的.\n反设存在一个含 665 的 999 元子集 $X$,不存在这样的 $x, y \\in X, x<y$ 使 $x \\mid y$, 则 $665 \\times 2 、 665 \\times 3 \\notin X$.\n构造如下 997 个抽庶, 它包含了 $A$ 中除 $665 、 665 \\times 2 、 665 \\times 3$ 外的所有元素,且每个元素只出现一次\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\left\\{1,1 \\times 2,1 \\times 2^2, \\cdots, 1 \\times 2^{10}\\right\\}, \\\\\n& \\left\\{3,3 \\times 2,3 \\times 2^2, \\cdots, 3 \\times 2^9\\right\\}, \\\\\n& \\left\\{5,5 \\times 2,5 \\times 2^2, \\cdots, 5 \\times 2^8\\right\\}, \\\\\n& \\cdots \\ldots \\\\\n& \\{663,663 \\times 2,663 \\times 3\\}, \\\\\n& \\{667,667 \\times 2\\}, \\\\\n& \\{669,669 \\times 2\\}, \\\\\n& \\cdots \\ldots . \\\\\n& \\{1991\\},\\{1993\\},\\{1997\\} .\n\\end{aligned}\n$$\n$X$ 中除 665 外的其他 998 个元素归人这 997 个抽屉里, 定有两个在同一抽屉, 而同一抽屉里的数互为倍数关系, 矛盾.\n证毕.",
    "remark": "",
    "figures": []
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