{
    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter7.tex",
    "problem_type": "proof",
    "problem": "例10. 设 $n 、 m 、 k$ 都是自然数, 且 $m \\geqslant n$. 证明: 如果\n$$\n1+2+\\cdots+n=m k,\n$$\n则可将数 $1,2, \\cdots, n$ 分成 $k$ 组, 使每一组数的和都等于 $m$.",
    "solution": "证明:对 $n$ 进行归纳.\n当 $n=1$ 时,结论显然成立.\n假设对一切小于 $n$ 的自然数结论成立, 我们来考察集合 $S_n=\\{1$, $2, \\cdots, n\\}$ 的情形.\n如果 $m=n$, 那么 $\\frac{1}{2}(n+1)=k$ 为整数, 于是可按如下方式分组:\n$$\n\\{n\\},\\{1, n-1\\},\\{2, n-2\\}, \\cdots,\\left\\{-\\frac{1}{2}(n-1), \\frac{1}{2}(n+1)\\right\\} .\n$$\n如果 $m=n+1$, 那么 $n=2 k$ 为偶数, 则分组方式具有形式:\n$$\n\\{1, n\\},\\{2, n-1\\}, \\cdots,\\left\\{\\frac{n}{2}, \\frac{n}{2}+1\\right\\} .\n$$\n对其余情形再分三种情况讨论:\n情况 1: $n+1<m<2 n, m$ 为奇数.\n我们先从 $S_n$ 中分出 $S_{m-n-1}=\\{1$, $2, \\cdots, m-n-1\\}$; 再将其余 $2 n-m+1$ 个数两两配对, 使各对之和皆为 $m$ : $\\{m-n, n\\},\\{m-n+1, n-1\\}, \\cdots,\\left\\{\\frac{1}{2}(m-1), \\frac{1}{2}(m+1)\\right\\}$. 由于 $S_{m-n-1}$ 中的数字之和为\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\frac{1}{2}(m-n-1)(m-n) \\\\\n= & -\\frac{1}{2}\\left[m^2-m(2 n+1)\\right]+\\frac{1}{2} n(n+1) \\\\\n= & m\\left[\\frac{1}{2}(m-2 n-1)+k\\right],\n\\end{aligned}\n$$\n知该和数可被 $m$ 整除, 且因 $m \\geqslant m-n-1$, 于是由归纳假设知, 可将 $S_{m-n-1}$ 中的数字分组,使得各组数字之和皆为 $m$.\n情况 $2: n+1<m<2 n, m$ 为偶数.\n这时, 我们仍然先从 $S_n$ 中分出 $S_{m-n-1}$\n来; 并先将其余数字两两配对, 使各对数字之和为 $m:\\{m-n, n\\}$, $\\{m-n+1, n-1\\}, \\cdots,\\left\\{\\frac{m}{2}-1, \\frac{m}{2}+1\\right\\}$, 这时还剩下一个数字 $\\frac{m}{2} . S_{m \\rightarrow n-1}$ 中的数字之和可以表示成 $\\frac{m}{2}(m-2 n-1+2 k)$ 的形式, 它可被 $\\frac{m}{2}$ 整除.\n又由 $m<2 n$ 得 $m \\leqslant 2 n-2, \\frac{m}{2} \\geqslant m-n-1$. 于是由归纳假设知, 可将 $S_{m-n-1}$ 中的数字分为 $m-2 n-1+2 k$ 组, 使每组之和皆为 $\\frac{m}{2}$. 由于 $m-2 n-1+2 k$ 是一个奇数, 所以当将刚才剩下的单独一个数 $\\frac{m}{2}$ 作为一组补人其中后, 即可将这些和为 $\\frac{m}{2}$ 的组两两合并, 使得各组之和都成为 $m$.\n情况 $3: m \\geqslant 2 n$. 此时 $k=\\frac{n(n+1)}{2 m} \\leqslant \\frac{1}{4}(n+1)$, 所以 $n-2 k \\geqslant 2 k- 1>0$. 我们从 $S_n$ 中分出 $S_{n-2 k}$, 后者中的数字之和为\n$$\n\\frac{1}{2}(n-2 k)(n-2 k+1)=\\frac{1}{2} n(n+1)-k(2 n+1)+2 k^2,\n$$\n它可被 $k$ 整除,且所得之商不小于 $n-2 k$. 这是因为\n$$\n\\frac{(n-2 k)(n-2 k+1)}{2(n-2 k)}=\\frac{1}{2}(n-2 k+1) \\geqslant k .\n$$\n于是由归纳假设知可将 $S_{n-2 k}$ 中的数字分为 $k$ 组, 使各组之和相等.\n再将剩下的 $2 k$ 个数字两两配对, 使各对数字之和相等: $\\{n-2 k+1, n\\},\\{n- 2 k+2, n-1\\}, \\cdots$ 然后再将这 $k$ 对数字分别并人前面所分出的 $k$ 组数字, 即可得到合乎需要的 $k$ 组数字.\n综上, 对 $S_n$ 结论成立.\n说明上述解答是在用数学归纳法证明的过程中采用分类法: 在归纳证明的第二步中, 我们对 $m$ 的取值范围分了 5 类来讨论.",
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    "figures": []
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