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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter9.tex",
    "text": "三、容有原理的一般形式定理 3\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|\\bigcup_{i=1}^n A_i\\right|= & \\sum_{i=1}^n\\left|A_i\\right|-\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n}\\left|A_i \\cap A_j\\right| \\\\\n& +\\sum_{1 \\leqslant i<j<k \\leqslant n}\\left|A_i \\cap A_j \\cap A_k\\right|+\\cdots+(-1)^{n-1}\\left|\\bigcap_{i=1}^n A_i\\right| .\n\\end{aligned}\n$$\n证明由定理 1 知, $n=2$ 时结论成立.\n若 $n=k$ 时结论成立, 则\n$$\n\\left|\\bigcup_{i=1}^{k+1} A_i\\right|=\\left|\\bigcup_{i=1}^k A_i\\right|+\\left|A_{k+1}\\right|-\\left|\\left(\\bigcup_{i=1}^k A_i\\right) \\cap A_{k+1}\\right|\n$$\n$$\n\\begin{aligned}\n= & \\left|\\bigcup_{i=1}^k A_i\\right|+\\left|A_{k+1}\\right|-\\left|\\bigcup_{i=1}^k\\left(A_i \\cap A_{k+1}\\right)\\right| \\\\\n= & \\sum_{i=1}^k\\left|A_i\\right|-\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant k}\\left|A_i \\cap A_j\\right|+\\cdots \\\\\n& +(-1)^{k-1}\\left|\\bigcap_{i=1}^k A_i\\right|+\\left|A_{k+1}\\right|-\\sum_{i=1}^k\\left|A_i \\cap A_{k+1}\\right| \\\\\n& +\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant k}\\left|\\left(A_i \\cap A_{k+1}\\right) \\bigcap\\left(A_j \\cap A_{k+1}\\right)\\right| \\\\\n& -\\cdots+(-1)^k\\left|\\bigcap_{i=1}^k\\left(A_i \\bigcap A_{k+1}\\right)\\right| \\\\\n= & \\sum_{i=1}^{k+1}\\left|A_i\\right|-\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant k+1}\\left|A_i \\bigcap A_j\\right|+\\cdots+(-1)^k\\left|\\bigcap_{i=1}^{k+1} A_i\\right|,\n\\end{aligned}\n$$\n即 $n=k+1$ 时结论成立.\n由归纳原理知, 对任意正整数 $n$, 结论成立.\n由于公式 (III) 在计算左端集合的元素个数时, (右端) 采用了将“应该有的”包含进来, “不该有的 (或重复的)”排斥出去的思想方法, 故称其为容斥原理.\n容瓜原理是加法原理的推广, 一般用来计算至少具有某几个性质之一的元素的个数.\n利用摩根定律\n$$\n\\complement_I\\left(\\bigcup_{i=1}^n A_i\\right)=\\bigcap_{i=1}^n\\left(\\complement_i A_i\\right),\n$$\n及公式 $\\complement_{\\mathrm{I}} A=I-A$ ( $I$ 为全集) 改写定理 3 , 便得到下面的逐步淘汰原理.\n定理 4 设 $I$ 为全集,则\n$$\n\\begin{aligned}\n\\left|\\bigcap_{i=1}^n \\complement_I A_i\\right|= & \\left|\\complement_I\\left(\\bigcup_{i=1}^n A_i\\right)\\right|=|I|-\\left|\\bigcup_{i=1}^n A_i\\right| \\\\\n= & |I|-\\sum_{i=1}^n\\left|A_i\\right|+\\sum_{1 \\leqslant i<j \\leqslant n}\\left|A_i \\cap A_j\\right| \\\\\n& -\\sum_{1 \\leqslant i<j<k \\leqslant n}\\left|A_i \\cap A_j \\cap A_k\\right|+\\cdots+(-1)^n\\left|\\bigcap_{i=1}^n A_i\\right| .\n\\end{aligned}\n$$\n公式 (IV) 又叫筛法公式,一般用来计算不具有某几个性质中的任何一个性质的元素的个数.",
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