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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume10/chapter1.tex",
    "text": "本书中所涉及的数都是整数,所用的字母除特别申明外也都表示整数.\n设 $a 、 b$ 是给定的数, $b \\neq 0$. 若存在整数 $c$, 使得 $a=b c$, 则称 $b$ 整除 $a$, 记作 $b \\mid a$, 并称 $b$ 是 $a$ 的一个约数 (或因子), 而称 $a$ 为 $b$ 的一个倍数.\n如果不存在上述的整数 $c$, 则称 $b$ 不能整除 $a$, 记作 $b \\nmid a$.\n由整除的定义,容易推出整除的几个简单性质(证明请读者自己完成):\n(1) 若 $b \\mid c$, 且 $c \\mid a$, 则 $b \\mid a$, 即整除性质具有传递性.\n(2) 若 $b \\mid a$, 且 $b \\mid c$, 则 $b \\mid(a \\pm c)$, 即为某一整数的倍数的整数之集关于加、减运算封闭.\n反复应用这一性质, 易知: 若 $b \\mid a$ 及 $b \\mid c$, 则对任意整数 $u 、 v$ 有 $b \\mid(a u+ c v)$. 更一般地,若 $a_1, a_2, \\cdots, a_n$ 都是 $b$ 的倍数,则 $b \\mid\\left(a_1+a_2+\\cdots+a_n\\right)$.\n(3) 若 $b \\mid a$, 则或者 $a=0$, 或者 $|a| \\geqslant|b|$. 因此, 若 $b \\mid a$ 且 $a \\mid b$, 则 $|a|=|b|$.\n对任意两个整数 $a 、 b(b>0), a$ 当然未必被 $b$ 整除,但我们有下面的结论一一带余除法, 这是初等数论中最为基本的一个结果.\n(4) (带余除法) 设 $a 、 b$ 为整数, $b>0$, 则存在整数 $q$ 和 $r$, 使得\n$$\na=b q+r, \\text { 其中 } 0 \\leqslant r<b,\n$$\n并且 $q$ 和 $r$ 由上述条件唯一确定.\n整数 $q$ 称为 $a$ 被 $b$ 除得的 (不完全) 商, 数 $r$ 称为 $a$ 被 $b$ 除得的余数.\n注意, $r$ 共有 $b$ 种可能的取值: $0,1, \\cdots, b-1$. 若 $r=0$, 即为前面说的 $a$ 被 $b$ 整除的情形.\n易知, 带余除法中的商 $q$ 实际上为 $\\left[\\frac{a}{b}\\right]$ (不超过 $\\frac{a}{b}$ 的最大整数), 而带余除法的核心是关于余数 $r$ 的不等式: $0 \\leqslant r<b$, 我们在后面将看到这一点.\n证明 $b \\mid a$ 的基本手法是将 $a$ 分解为 $b$ 与一个整数之积.\n在较初级的问题中, 这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生.\n下面两个分解式在这类论证中应用很多.\n(5) 若 $n$, 是正整数,则\n$$\nx^n-y^n=(x-y)\\left(x^{n-1}+x^{n-2} y+\\cdots+x y^{n-2}+y^{n-1}\\right) .\n$$\n(6)若 $n$ 是正奇数,则 (在上式中用 $-y$ 代换 $y$ )\n$$\nx^n+y^n=(x+y)\\left(x^{n-1}-x^{n-2} y+\\cdots-x y^{n-2}+y^{n-1}\\right) .\n$$",
    "figures": []
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