{ "source_file": "./raw_volume-zh/volume10/chapter6.tex", "text": "同余, 是数论中的一个重要概念, 应用极为广泛.\n设 $n$ 是给定的正整数, 若整数 $a 、 b$ 满足 $n \\mid(a-b)$, 则称 $a$ 和 $b$ 模 $n$ 同余, 记作\n$$\na \\equiv b(\\bmod n) .\n$$\n若 $n \\nmid(a-b)$, 则称 $a$ 和 $b$ 模 $n$ 不同余, 记作\n$$\na \\not \\equiv b(\\bmod n) .\n$$\n由带余除法易知, $a$ 和 $b$ 模 $n$ 同余的充分必要条件是 $a$ 与 $b$ 被 $n$ 除得的余数相同.\n对于固定的模 $n$, 模 $n$ 的同余式与通常的等式有许多类似的性质:\n(1)(反身性) $a \\equiv a(\\bmod n)$.\n(2)(对称性) 若 $a \\equiv b(\\bmod n)$, 则 $b \\equiv a(\\bmod n)$.\n(3)(传递性) 若 $a \\equiv b(\\bmod n), b \\equiv c(\\bmod n)$, 则 $a \\equiv c(\\bmod n)$.\n(4)(同余式相加) 若 $a \\equiv b(\\bmod n), c \\equiv d(\\bmod n)$, 则 $a \\pm c \\equiv b \\pm d(\\bmod n)$.\n(5)(同余式相乘) 若 $a \\equiv b(\\bmod n), c \\equiv d(\\bmod n)$, 则 $a c \\equiv b d(\\bmod n)$.\n不难看到, 反复用(4)或 (5), 可以对多于两个的(模相同的)同余式建立加、减和乘法的运算公式.\n特别地, 由 (5) 易推出: 若 $a \\equiv b(\\bmod n), k, c$ 为整数且 $k>0$, 则\n$$\na^k c \\equiv b^k c(\\bmod n) .\n$$\n请注意, 同余式的消去律一般并不成立, 即从 $a c \\equiv b c(\\bmod n)$ 未必能推出 $a \\equiv b(\\bmod n)$. 然而,我们有下面的结果:\n(6) 若 $a c \\equiv b c(\\bmod n)$, 则 $a \\equiv b\\left(\\bmod \\frac{n}{(n, c)}\\right)$. 由此推出, 若 $(c, n)=1$, 则有 $a \\equiv b(\\bmod n)$, 即在 $c$ 与 $n$ 互素时, 可以在原同余式两边约去 $c$ 而不改变模(这再一次表现了互素的重要性).\n现在提及几个涉及模的简单但有用的性质.\n(7) 若 $a \\equiv b(\\bmod n)$, 而 $d \\mid n$, 则 $a \\equiv b(\\bmod d)$.\n(8) 若 $a \\equiv b(\\bmod n), d \\neq 0$, 则 $d a \\equiv d b(\\bmod d n)$.\n(9) 若 $a \\equiv b\\left(\\bmod n_i\\right)(i=1,2, \\cdots, k)$, 则 $a \\equiv b\\left(\\bmod \\left[n_1, n_2, \\cdots, n_k\\right]\\right)$. 特别地, 若 $n_1, n_2, \\cdots, n_k$ 两两互素, 则有 $a \\equiv b\\left(\\bmod n_1 n_2 \\cdots n_k\\right)$.\n由上述的性质 (1)、(2)、(3) 可知, 整数集合可以按模 $n$ 来分类, 确切地说, 若 $a$ 和 $b$ 模 $n$ 同余, 则 $a$ 与 $b$ 属同一个类, 否则不属于同一个类, 每一个这样的类称为模 $n$ 的一个同余类.\n由带余除法,任一整数必恰与: $0,1, \\cdots, n-1$ 中的一个模 $n$ 同余, 而 0 , $1, \\cdots, n-1$ 这 $n$ 个数彼此模 $n$ 不同余, 因此模 $n$ 共有 $n$ 个不同的同余类, 即为\n$$\nM_i=\\{x \\mid x \\in \\mathbf{Z}, x \\equiv i(\\bmod n)\\}, i=0,1, \\cdots, n-1 .\n$$\n例如, 模 2 的同余类共有两个, 即通常说的偶数类与奇数类.\n两个类中的数分别具有形式 $2 k$ 与 $2 k+1$ ( $k$ 为任意整数).\n在 $n$ 个剩余类中各任取一个数作为代表, 这样的 $n$ 个数称为模 $n$ 的一个完全剩余系,简称模 $n$ 的完系.\n换句话说, $n$ 个数 $c_1, c_2, \\cdots, c_n$ 称为模 $n$ 的一个完系, 是指它们彼此模 $n$ 不同余.\n例如, $0,1, \\cdots, n-1$ 是模 $n$ 的一个完系, 这称作模 $n$ 的最小非负完系.\n易于看到,若 $i$ 和 $n$ 互素, 则同余类 $M_i$ 中的所有数都和 $n$ 互素,这样的同余类称为模 $n$ 的缩同余类.\n我们将模 $n$ 的缩同余类的个数记作 $\\varphi(n)$, 称为欧拉函数, 这是数论中的一个重要函数.\n显然, $\\varphi(1)=1$, 而对 $n>1, \\varphi(n)$ 为 1 , $2, \\cdots, n-1$ 中与 $n$ 互素的数的个数.\n例如, 若 $p$ 是素数, 则有 $\\varphi(p)=p-1$.\n在模 $n$ 的 $\\varphi(n)$ 个缩同余类中各任取一个数作为代表, 这样的 $\\varphi(n)$ 个数称为模 $n$ 的一个缩剩余系, 简称模 $n$ 的缩系, 于是 $\\varphi(n)$ 个数 $r_1, r_2, \\cdots, r_{\\varphi(n)}$ 称为模 $n$ 的一个缩系, 是指它们模 $n$ 互不同余, 且均与 $n$ 互素.\n不超过 $n$ 且与 $n$ 互素的 $\\varphi(n)$ 个正整数称为模 $n$ 的最小正缩系.\n下面的结果, 由模 $n$ 的一个完 (缩) 系, 产生模 $n$ 的另一个完(缩)系, 用处很多.\n(10) 设 $(a, n)=1, b$ 是任意整数.\n若 $c_1, c_2, \\cdots, c_n$ 是模 $n$ 的一个完系, 则 $a c_1+b, a c_2+b, \\cdots, a c_n+b$ 也是模 $n$ 的一个完系;\n若 $\\left.r_1, r_2, \\cdots, r_{\\varphi(n)}\\right)$ 是模 $n$ 的一个缩系, 则 $a r_1, a r_2, \\cdots, a r_{\\varphi(n)}$ 也是模 $n$ 的一个缩系.\n由 (10)中的第一个断言可推出:\n(11) 设 $(a, n)=1, b$ 是任意整数,则有整数 $x$, 使得 $a x \\equiv b(\\bmod n)$, 并易知所有这样的 $x$ 形成模 $n$ 的一个同余类.\n特别地, 有 $x$ 使得 $a x \\equiv 1(\\bmod n)$. 这样的 $x$ 称为 $a$ 关于模 $n$ 的逆, 记作 $a^*$ 或 $a^{-1}(\\bmod n)$, 它们形成模 $n$ 的一个同余类, 从而有一个 $a^{-1}$ 满足 $1 \\leqslant a^{-1}