Krzywe obojętności Ekonomiści używają pojęć związanych z maksymalizacją użyteczności do opisu preferencji ludzi. W poziom użyteczności (ang. utility ) uzyskiwany przez daną osobę jest wyrażany w kategoriach liczbowych. Niniejszy załącznik przedstawia alternatywne podejście do opisu osobistych preferencji, czyli krzywe obojętności. Zastosowanie ich pozwala uniknąć konieczności używania liczb do pomiaru użyteczności. Odkładając na bok rozważania o przypisywaniu użytecznościom konkretnych wartości liczbowych, które przez wielu studentów i ekonomistów jest uważane za założenie nierealne, krzywe obojętności (ang. indifference curves ) pomagają wyjaśnić logikę modelu. Czym jest krzywa obojętności? Ludzie nie mogą tak naprawdę przypisywać wartości liczbowych swoim poziomom zadowolenia. Mogą jednak określić (i to robią), jakie koszyki dóbr dają im większą, mniejszą lub taką samą satysfakcję. Krzywa obojętności pokazuje kombinacje dóbr, które zapewniają identyczny poziom użyteczności lub satysfakcji. Przykładowo przedstawia trzy krzywe obojętności, które reprezentują preferencje Lilii dotyczące wyboru między swoimi dwiema ulubionymi czynnościami: jedzeniem pączków i czytaniem książek. Każda krzywa obojętności (U l , U m i U h ) reprezentuje określony poziom użyteczności. Najpierw zbadamy znaczenie pojedynczej krzywej obojętności, a następnie przyjrzymy się całej grupie krzywych obojętności. Krzywe obojętności Lilii Lilia uzyskuje identyczną użyteczność ze wszystkich koszyków dóbr na danej krzywej obojętności. Wszystkie punkty na najwyższej krzywej obojętności U h , takie jak F, zapewniają większą użyteczność niż punkty takie jak A, B, C i D na środkowej krzywej obojętności U m . Podobnie dowolne punkty na środkowej krzywej obojętności U m zapewniają większą użyteczność niż jakiekolwiek punkty na najniższej krzywej obojętności U l . Kształt krzywej obojętności Na krzywej obojętności U m są zaznaczone cztery punkty: A, B, C i D. Ponieważ krzywa obojętności reprezentuje zestaw koszyków, które mają ten sam poziom użyteczności, Lilia musi uzyskać taką samą użyteczność, zgodnie ze swoimi preferencjami, z dwóch książek i 120 pączków (punkt A), z trzech książek i 84 pączków (punkt B), z 11 książek i 40 pączków (punkt C) lub z 12 książek i 35 pączków (punkt D). Uzyskałaby również identyczną użyteczność z dowolnego niezaznaczonego punktu położonego na tej krzywej obojętności. Krzywe obojętności mają mniej więcej podobny kształt w dwóch aspektach: 1) są ujemnie nachylone oraz 2) wypukłe w kierunku początku układu współrzędnych. Innymi słowy, są bardziej strome po lewej i bardziej płaskie po prawej stronie. Ujemne nachylenie krzywej obojętności oznacza, że Lilia musi zrezygnować z jednego dobra, aby uzyskać większą ilość drugiego dobra, jednocześnie utrzymując stałą użyteczność. Gdy na przykład punkty A i B znajdują się na tej samej krzywej obojętności U m , oznacza to, że zapewniają Lilii ten sam poziom użyteczności. A zatem, użyteczność krańcowa (ang. marginal utility ), którą Lilia uzyskuje dzięki, powiedzmy, zwiększeniu konsumpcji książek z dwóch do trzech, musi być równa użyteczności krańcowej, którą traci, gdy jej konsumpcja pączków zmniejsza się ze 120 do 84 – w rezultacie jej ogólna użyteczność nie zmienia się między punktami A i B. Nachylenie krzywej obojętności to krańcowa stopa substytucji (ang. marginal rate of substitution ), czyli relacja, według której dana osoba jest gotowa wymienić jedno dobro na drugie zachowując jednocześnie stały poziom użyteczności. Krzywe obojętności, jak np. U m , są bardziej strome po lewej stronie i bardziej płaskie po prawej. Powodem takiego kształtu jest malejąca użyteczność krańcowa – w miarę jak osoba konsumuje więcej dobra, użyteczność krańcowa z każdej dodatkowej jednostki maleje. Porównaj różne koszyki, które zapewniają Lilii taką samą użyteczność wzdłuż krzywej obojętności U m : koszyki A i B oraz koszyki C i D. W obu przypadkach (przy przesuwaniu się z punktu A do B oraz z C do D) Lilia konsumuje o jedną książkę więcej, ale między punktami A i B jej konsumpcja pączków spada o 36 (ze 120 do 84), a między punktami C i D spada tylko o pięć (z 40 do 35). Przyczyną jest to, że koszyki A i C są różnymi punktami początkowymi, a zatem charakteryzują się różną użytecznością krańcową. W punkcie A Lilia ma mało książek i dużo pączków. Tak więc jej użyteczność krańcowa z dodatkowej książki jest stosunkowo wysoka, podczas gdy użyteczność krańcowa z dodatkowych pączków jest stosunkowo niska — więc relatywnie duża liczba utraconych pączków jest potrzebna do zrównoważenia przyrostu użyteczności z dodatkowej książki. Jednak w punkcie C Lilia ma wiele książek i tylko kilka pączków. Przy takim punkcie początkowym jej użyteczność krańcowa uzyskana z dodatkowych książek będzie stosunkowo niska, podczas gdy użyteczność krańcowa utracona z ostatnich pączków będzie stosunkowo wysoka – więc względnie niewielka liczba utraconych pączków jest potrzebna do zrównoważenia przyrostu użyteczności z dodatkowej książki. Krótko mówiąc, nachylenie krzywej obojętności zmienia się, ponieważ krańcowa stopa substytucji — czyli ilość jednego dobra, która może być wymieniona na drugie dobro przy jednoczesnym utrzymaniu stałej użyteczności — również się zmienia na skutek malejącej użyteczności krańcowej (ang. diminishing marginal utility ) obu dóbr. Mapa krzywych obojętności Każda krzywa obojętności przedstawia koszyki zapewniające taki sam poziom użyteczności. Każdy poziom użyteczności ma swoją własną krzywą obojętności. Tak więc preferencje Lilii są reprezentowane przez nieskończoną liczbę krzywych obojętności leżących na wykresie obok siebie, mimo że na pojawiają się tylko trzy krzywe obojętności, odzwierciedlające trzy poziomy użyteczności. Innymi słowy, wykres nie przedstawia nieskończonej liczby krzywych obojętności; należy pamiętać, że taka ich liczba istnieje. Wyższe krzywe obojętności reprezentują wyższy poziom użyteczności. Na krzywą obojętności U l można traktować jako „niski” poziom użyteczności; Um reprezentuje z kolei „średni” poziom użyteczności, a U h – „wysoki”. Wszystkie koszyki z krzywej obojętności U h są preferowane w stosunku do wszystkich koszyków leżących na krzywej obojętności U m , a te z kolei są preferowane w stosunku do wszystkich koszyków z krzywej U l . Aby zrozumieć, dlaczego wyższe krzywe obojętności są preferowane w stosunku do niższych, porównaj punkt B na krzywej obojętności U m z punktem F na krzywej obojętności U h . Punkt F charakteryzuje się większą konsumpcją zarówno książek (pięć wobec trzech), jak i pączków (100 w porównaniu do 84), więc punkt F jest wyraźnie lepszy od B. Biorąc pod uwagę definicję krzywej obojętności, że wszystkie punkty na krzywej mają ten sam poziom użyteczności, to jeśli punkt F na krzywej obojętności U h jest preferowany w stosunku do punktu B na krzywej obojętności U m , to wszystkie punkty na krzywej obojętności U h muszą mieć wyższą użyteczność niż wszystkie punkty na krzywej U m . Mówiąc bardziej ogólnie, dla dowolnego punktu na niższej krzywej obojętności, takiej jak U l , możesz znaleźć punkt na wyższej krzywej obojętności, takiej jak U m lub U h , który charakteryzuje się większą konsumpcją obu dóbr. Ponieważ koszyk na wyższej krzywej obojętności jest preferowany w stosunku do koszyka na niższej krzywej obojętności, a wszystkie koszyki na danej krzywej obojętności mają ten sam poziom użyteczności, musi być prawdą, że wszystkie punkty na wyższych krzywych obojętności mają większą użyteczność niż punkty leżące na niższych krzywych obojętności. Argumenty o kształcie krzywych obojętności oraz o wyższym lub niższym poziomie użyteczności nie wymagają żadnych liczbowych szacunków użyteczności, ani przez konsumenta, ani przez kogokolwiek innego. Opierają się jedynie na założeniu, że gdy ludzie mają mniej jednego dobra, potrzebują więcej innego dobra, aby to zrekompensować i utrzymać stały poziom użyteczności, a jak ludzie mają więcej danego dobra, to użyteczność krańcowa z dodatkowych jednostek maleje. Biorąc pod uwagę te łagodne założenia, można wyznaczyć mapę krzywych obojętności do opisu preferencji dowolnej osoby. Krzywe obojętności konkretnego konsumenta Każda osoba określa swoje preferencje i użyteczność. Tak więc, o ile krzywe obojętności mają ten sam ogólny kształt – są ujemnie nachylone oraz bardziej strome po lewej stronie i bardziej płaskie po prawej – konkretny kształt krzywych obojętności może być inny dla różnych osób. Na przykład, pokazuje preferencje Lilii. Krzywe obojętności dla innych osób przechodziłyby prawdopodobnie przez inne punkty. Maksymalizacja użyteczności za pomocą krzywych obojętności Ludzie poszukują najwyższego poziomu użyteczności, co oznacza, że chcą być na jak najwyższej krzywej obojętności. Jednak ludzie są ograniczeni wysokością swojego budżetu, który pokazuje, na jakie koszyki dóbr ich stać. Maksymalizacja użyteczności na najwyższej krzywej obojętności Wróćmy do wyborów Lilii między książkami a pączkami. Załóżmy, że książka kosztuje 6 dolarów, pączek – 50 centów, a Lilia ma 60 dolarów do wydania. Ta informacja stanowi podstawę do wyznaczenia linii budżetowej, co pokazano na . Wraz z linią budżetową (ang. budget line ) pokazane są trzy krzywe obojętności z . Jaki koszyk dóbr maksymalizuje użyteczność Lilii? Na rysunku przedstawionych jest kilka możliwości. Krzywe obojętności i ograniczenie budżetowe Krzywe obojętności pokazują preferencje Lilii. Jej ograniczenie budżetowe, uwzględniające ceny książek i pączków oraz dochód, reprezentuje linia prosta. Optymalnym wyborem Lilii jest punkt B, gdzie linia budżetowa jest styczna do krzywej obojętności U m . Lilia miałaby większą użyteczność w punkcie takim jak F na wyższej krzywej obojętności U h , ale linia budżetowa w żadnym punkcie nie dotyka wyższej krzywej obojętności U h , więc nie stać jej na taki wybór. Koszyk taki jak G jest dostępny dla Lilii, ale znajduje się na krzywej obojętności Ul, a zatem daje mniejszą użyteczność niż koszyk B, który znajduje się na krzywej obojętności U m . Koszyk F z pięcioma książkami i 100 pączkami jest wysoce pożądany, ponieważ znajduje się na najwyższej krzywej obojętności U h spośród krzywych pokazanych na rysunku. Jednak jest nieosiągalny, wziąwszy pod uwagę ograniczenie budżetowe Lilii. Koszyk H z trzema książkami i 70 pączkami na krzywej obojętności U l jest marnotrawstwem, ponieważ znajduje się wewnątrz ograniczenia budżetowego, a Lilia jako osoba maksymalizująca użyteczność zawsze będzie wolała koszyk leżący dokładnie na linii ograniczenia budżetowego. Punkty B i G znajdują się na linii budżetowej. Jednak punkt G z sześcioma książkami i 48 pączkami leży na niższej krzywej obojętności Ul niż punkt B z trzema książkami i 84 pączkami, znajdujący się na krzywej obojętności U m . Gdyby Lilia miała zacząć od punktu G, a następnie zastanowić się nad krańcową użytecznością pączków i książek, uznałaby, że kilka dodatkowych pączków przy mniejszej liczbie książek sprawiłoby jej większe zadowolenie, co skłoniłoby ją do przejścia w kierunku preferowanego wyboru B. Biorąc pod uwagę osobiste preferencje Lilii, określone przez jej krzywe obojętności, oraz zestaw koszyków, na które ją stać, co jest determinowane przez ceny i dochód, punkt B będzie wyborem maksymalizującym użyteczność. Najwyższa osiągalna krzywa obojętności dotyka linii budżetowej w jednym punkcie styczności. Ponieważ istnieje nieskończona liczba krzywych obojętności (nawet wtedy, gdy tylko kilka z nich jest narysowanych na rysunku), to zawsze będzie istnieć krzywa obojętności, która dotyka linii budżetowej w jednym punkcie styczności. Wszystkie wyższe krzywe obojętności, takie jak U h , będą znajdowały się całkowicie powyżej linii budżetowej i chociaż punkty na takiej krzywej obojętności zapewniłyby większą użyteczność, nie są one osiągalne biorąc pod uwagę ograniczenie budżetowe. Wszystkie niższe krzywe obojętności, jak U l , przecinają linię ograniczenia budżetowego w dwóch różnych miejscach. Kiedy jakaś krzywa obojętności przecina linię budżetową w dwóch punktach, to nad nią znajdzie się inna, wyższa i osiągalna krzywa obojętności, która dotyka linii budżetowej tylko w jednym punkcie styczności. Zmiany dochodu Wzrost dochodu powoduje przesunięcie ograniczenia budżetowego w prawo. Na wykresie nowe ograniczenie budżetowe (ang. budget constraint ) będzie teraz styczne do wyższej krzywej obojętności, reprezentującej wyższy poziom użyteczności. Zmniejszenie dochodów spowoduje przesunięcie ograniczenia budżetowego w lewo i w efekcie będzie ono styczne do niższej krzywej obojętności, reprezentującej obniżony poziom użyteczności. Jeśli dochód wzrośnie np. o 50%, o ile dokładnie zmieni się konsumpcja książek i pączków? Czy konsumpcja obu dóbr wzrośnie o 50%, czy też ilość jednego dobra znacznie wzrośnie, podczas gdy ilość drugiego dobra wzrośnie tylko trochę lub nawet spadnie? Ponieważ osobiste preferencje i kształt krzywych obojętności są różne dla różnych osób, reakcja na zmiany dochodu będzie także inna. Na przykład, rozważmy preferencje Michała i Nataszy na (a) i (b). Każdy z nich zaczyna z identycznym dochodem w wysokości 40 dol., który wydaje na jogurty kosztujące 1 dol. i wypożyczane filmy kosztujące 4 dol. Obydwoje konsumenci mają zatem identyczne ograniczenia budżetowe. Jednak, wziąwszy pod uwagę preferencje Michała, które zostały odzwierciedlone przez krzywe obojętności, jego wybór maksymalizujący użyteczność przy początkowym ograniczeniu budżetowym ma miejsce, gdy jego linia budżetowa jest styczna do najwyższej możliwej krzywej obojętności w punkcie W, z trzema filmami i 28 jogurtami, podczas gdy wybór maksymalizujący użyteczność Nataszy przy początkowym ograniczeniu budżetowym to punkt Y z siedmioma filmami i 12 jogurtami. Krzywe obojętności Michała i Nataszy Michał i Natasza mają początkowo do czynienia z takim samym ograniczeniem budżetowym, tj. takimi samymi cenami i dochodem. Jednak krzywe obojętności, które ilustrują ich preferencje, są różne. (a) Początkowy wybór Michała w punkcie W obejmuje więcej jogurtów i mniej filmów, a Michał reaguje na wzrost dochodu głównie zwiększeniem konsumpcji filmów w punkcie X. (b) I odwrotnie, początkowy wybór Nataszy (punkt Y) obejmuje względnie więcej filmów, a jej reakcją na wzrost dochodu jest duże zwiększenie konsumpcji jogurtów. Nawet jeśli ograniczenie budżetowe jest takie samo, osobiste preferencje mogą prowadzić do różnych początkowych wyborów i do różnych reakcji w odpowiedzi na zmianę dochodów. Załóżmy teraz, że dochód Michała i Nataszy rośnie do 60 dol., więc ich ograniczenie budżetowe przesuwa się w prawo. Jak pokazano na (a), nowy wybór maksymalizujący użyteczność Michała jest w punkcie X i obejmuje siedem filmów oraz 32 jogurty — tj. Michał decyduje się przeznaczyć większość dodatkowego dochodu na filmy. Z kolei nowy wybór maksymalizujący użyteczność Nataszy jest w punkcie Z i obejmuje osiem filmów oraz 28 jogurtów, czyli Natasza decyduje się wydać większość dodatkowego dochodu na jogurty. Jak widać, podejście oparte na krzywych obojętności pozwala uzyskać szereg różnych odpowiedzi. Jeśli oba dobra są dobrami normalnymi, typową reakcją na wyższy poziom dochodu jest zakup większej ich ilości, chociaż dokładna skala przyrostu konsumpcji jest kwestią osobistych preferencji. Jeśli jedno z dóbr jest dobrem niższego rzędu, odpowiedzią na wyższy dochód jest zakup mniejszej jego ilości. Odpowiedzi na zmiany cen: efekt substytucyjny i dochodowy Wyższa cena dobra powoduje przesunięcie ograniczenia budżetowego w lewo, tak że będzie ono styczne do niższej krzywej obojętności reprezentującej obniżony poziom użyteczności. I odwrotnie, niższa cena dobra powoduje, że linia budżetowa przesunie się w prawo, tak że będzie styczna do wyższej krzywej obojętności reprezentującej zwiększony poziom użyteczności. Od osobistych preferencji zależy, jak bardzo zmiana ceny zmieni wielkość zapotrzebowania na każde dobro. Każdy, kto stanie przed podjęciem decyzji zmiany ceny, doświadczy dwóch powiązanych ze sobą efektów: substytucyjnego i dochodowego. Efekt substytucyjny (ang. substitution effect ) polega na tym, że kiedy dobro staje się droższe, ludzie szukają substytutów. Jeśli pomarańcze drożeją, miłośnicy owoców ograniczą konsumpcję pomarańczy i będą jedli więcej jabłek, grejpfrutów lub rodzynek. I odwrotnie, gdy dobro staje się tańsze, ludzie konsumują go więcej. Jeśli pomarańcze tanieją, ludzie uruchamiają swoje maszyny do wyciskania soku pomarańczowego i zmniejszają konsumpcję innych produktów spożywczych, w tym innych owoców. Efekt dochodowy (ang. income effect ) odnosi się do tego, jak zmiana ceny dobra zmienia siłę nabywczą dochodu. Jeśli maleje cena dobra, które kupujesz, to w efekcie siła nabywcza twojego dochodu rośnie – możesz kupić więcej towarów. I odwrotnie, jeśli cena kupowanego przez ciebie dobra rośnie, siła nabywcza dochodu maleje. (Jednym z powszechnych źródeł nieporozumień jest to, że „efekt dochodowy” nie oznacza zmiany rzeczywistego dochodu. Odnosi się do sytuacji, w której zmienia się cena dobra, a tym samym zmieniają się ilości dóbr, które można kupić za stałą kwotę dochodu. Być może bardziej trafnym określeniem „efektu dochodowego” byłby „efekt siły nabywczej”, ale termin „efekt dochodowy” jest powszechnie używany i tak go będziemy nazywać w niniejszym podręczniku). Ilekroć zmienia się cena, konsumenci odczuwają jednocześnie efekt substytucyjny i dochodowy. Przy wykorzystaniu krzywych obojętności można zilustrować efekt substytucyjny i dochodowy na rysunku. Na Ola wybiera między dwoma dobrami: wizytami u fryzjera i pizzą. Wizyta u fryzjera kosztuje 20 dol., pizza 6 dol., a Ola ma 120 dol. do wydania. Efekt substytucyjny i dochodowy Początkowym wyborem jest A, czyli punkt styczności między początkowym ograniczeniem budżetowym a krzywą obojętności. Nowy punkt optymalny to B, czyli punkt styczności między nowym ograniczeniem budżetowym a dolną krzywą obojętności. Punkt C jest punktem styczności między linią przerywaną, której nachylenie pokazuje nową wyższą cenę wizyt u fryzjera, a początkową krzywą obojętności. Efekt substytucyjny jest przejściem z punktu A do C, co oznacza mniejszą liczbę wizyt u fryzjera i więcej pizzy. Efekt dochodowy to przesunięcie z punktu C do B. Odzwierciedla on zmniejszenie siły nabywczej, co powoduje przejście z wyższej krzywej obojętności do niższej krzywej obojętności przy niezmienionych cenach względnych. Efekt dochodowy skutkuje mniejszą konsumpcją obu dóbr. Zarówno efekt substytucyjny, jak i dochodowy powodują mniejszą liczbę wizyt u fryzjera. Natomiast w przypadku pizzy efekty substytucyjny i dochodowy znoszą się, a wielkość konsumpcji pizzy się nie zmienia. Cena wizyty u fryzjera wzrasta do 30 dol. Olek zaczyna od koszyka A oferującego większy zestaw możliwości (ang. opportunity set ) i znajdującego się na wyższej krzywej obojętności. Po wzroście ceny wizyt u fryzjera wybiera on punkt B oferujący mniejszy zestaw możliwości i znajdujący się na niższej krzywej obojętności. Punkt B (2 wizyty u fryzjera i 10 placków pizzy) znajduje się tuż pod punktem A (3 wizyty u fryzjera i 10 placków pizzy). Oznacza to, że na skutek wyższej ceny wizyt u fryzjera Olek ograniczył tylko strzyżenie, pozostawiając konsumpcję pizzy niezmienioną. Na rysunku linia przerywana i punkt C służą do wyznaczenia efektów: substytucyjnego i dochodowego. Aby to zrozumieć, zacznij myśleć o efekcie substytucyjnym próbując odpowiedzieć na następujące pytanie: Jak Olek zmieniłby swoją konsumpcję, gdyby zmieniły się ceny względne dwóch dóbr, ale zmiana cen względnych nie wpłynęłaby na jego użyteczność? Nachylenie ograniczenia budżetowego reprezentuje relację cen dwóch dóbr. A zatem, nachylenie początkowej linii budżetowej jest określane przez początkową relację cen, zaś nachylenie nowej linii budżetowej jest określane przez nową relację cen. Mając to na uwadze, linia przerywana jest wstawiana tak, aby była równoległa do nowego ograniczenia budżetowego, więc odzwierciedla nowe ceny względne, ale jest styczna do początkowej krzywej obojętności, czyli reprezentuje pierwotny poziom użyteczności lub siły nabywczej. A zatem, przejście z punktu początkowego A do punktu C jest efektem substytucyjnym. Efekt substytucyjny pokazuje wybór, jakiego dokonałby Olek, gdyby ceny względne uległy zmianie (co jest odzwierciedlone przez różne nachylenia początkowej linii budżetowej i linii przerywanej), ale gdyby siła nabywcza nie uległa zmianie (co wynika z faktu, że obie linie są styczne do początkowej krzywej obojętności). Efekt substytucyjny zachęca ludzi do odchodzenia od dobra, które stało się relatywnie droższe – w przypadku Olka są to wizyty u fryzjera zaznaczone na osi pionowej – w kierunku dobra, które stało się relatywnie tańsze – w tym przypadku pizzy na osi poziomej. Dwie strzałki, po jednej na każdej osi, oznaczone literą „s” i reprezentujące „efekt substytucyjny”, pokazują kierunek tego ruchu. Efekt dochodowy to ruch z punktu C do B. Efekt dochodowy pokazuje, jak Olek reaguje na zmniejszenie swojej siły nabywczej przesuwając się z wyższej krzywej obojętności na niższą krzywą obojętności, ale utrzymując stałe ceny względne (linia przerywana ma bowiem takie samo nachylenie jak nowe ograniczenie budżetowe). W tym przypadku, gdy cena jednego dobra wzrasta, siła nabywcza spada, więc efekt dochodowy oznacza, że konsumpcja obu dóbr powinna zmniejszyć się (jeśli oba dobra są dobrami normalnymi, co jest rozsądnym założeniem, chyba że istnieją powody, aby sądzić inaczej). Dwie strzałki, po jednej na każdej osi, oznaczone literą „d” i reprezentujące „efekt dochodowy”, pokazują kierunek tego ruchu. Przeanalizujmy teraz razem efekty: substytucyjny i dochodowy. Gdy cena wizyt u fryzjera rośnie, Olek chodzi mniej do fryzjera zarówno z powodu efektu substytucyjnego, jak i dochodowego. Oba efekty powodują, że po wzroście ceny konsumpcja usług fryzjerskich maleje. Wzrost cen usług fryzjerskich nie wpływa natomiast na wielkość konsumpcji pizzy. Efekt substytucyjny wyższej ceny wizyt u fryzjera oznacza, że pizza staje się relatywnie tańsza (w porównaniu z usługami fryzjerskimi) i Olek kupuje więcej placków pizzy na skutek działania samego efektu substytucyjnego. Z kolei efekt dochodowy wyższej ceny usług fryzjerskich oznacza, że Olek chce konsumować mniej obu dóbr, czyli kupuje mniej placków pizzy na skutek działania samego efektu dochodowego. Jak pokazano na , w tym konkretnym przypadku efekty: substytucyjny i dochodowy w zakresie konsumpcji pizzy wzajemnie się znoszą, więc Olek ostatecznie kupuje taką samą liczbę sztuk pizzy jak na początku. Dla różnych osób siła efektów: substytucyjnego i dochodowego jest różna i zależy od ich indywidualnych preferencji. Na przykład, jeśli efekt substytucyjny Olka polegający na zmniejszeniu zakupu usług fryzjerskich i zwiększeniu zakupów pizzy będzie szczególnie silny i przeważy nad efektem dochodowym, wówczas wyższa cena usług fryzjerskich doprowadzi do zwiększonej konsumpcji pizzy. Ten przypadek zostałby narysowany na rysunku tak, że punkt styczności między nowym ograniczeniem budżetowym a odpowiednią krzywą obojętności znajdowałby się poniżej punktu B (na prawo od niego). I odwrotnie, jeśli efekt substytucyjny nie byłby tak silny i byłby słabszy od efektu dochodowego, Olek konsumowałby mniej obu dóbr na skutek wzrostu ceny usług fryzjerskich. W tym przypadku jego optymalny wybór po zmianie ceny znajdowałby się na nowym ograniczeniu budżetowym powyżej punktu B (na lewo od niego). Chociaż efekty: substytucyjny i dochodowy są często omawiane jako sekwencja zdarzeń, należy pamiętać, że zachodzą jednocześnie w wyniku jednego zdarzenia – zmiany ceny. Chociaż można je analizować osobno, oba efekty zawsze występują w tym samym czasie. Zastosowanie krzywych obojętności do wyboru między pracą a czasem wolnym oraz do wyboru międzyokresowego Krzywe obojętności mają zastosowanie do wielu wyborów dokonywanych przez gospodarstwa domowe, w tym do podziału czasu między czas wolny a pracę oraz do wyboru międzyokresowego między obecną a przyszłą konsumpcją. W przypadku wyboru między pracą a czasem wolnym, krzywe obojętności pokazują kombinacje czasu wolnego i dochodu, które zapewniają określony poziom użyteczności. W wyborze międzyokresowym krzywe obojętności pokazują kombinacje obecnej i przyszłej konsumpcji, zapewniające określony poziom użyteczności. Ogólne zasady co do kształtów krzywych obojętności – ujemne nachylenie oraz większa stromość po lewej niż po prawej stronie – pozostają takie same. Wybór między pracą a czasem wolnym Patrycja otrzymuje wynagrodzenie w wysokości 12 dol. za godzinę pracy, ale dostaje podwyżkę do 20 dol. za godzinę. Odejmując czas poświęcony na obowiązki rodzinne i spanie, może przeznaczyć 80 godzin tygodniowo na pracę lub wypoczynek. Jak pokazano na , najwyższy poziom użyteczności Patrycji przy jej początkowym ograniczeniu budżetowym znajduje się w punkcie A, gdzie linia ograniczenia budżetowego jest styczna do dolnej krzywej obojętności (U l ). W punkcie A Patrycja ma 30 godzin czasu wolnego, a więc pracuje 50 godzin i uzyskuje dochód 600 dol. tygodniowo (czyli 50 godzin pracy po 12 dol. za godzinę). Następnie Patrycja dostaje podwyżkę do 20 dol. za godzinę, co przesuwa jej ograniczenie budżetowe w prawo. Jej nowy, maksymalizujący użyteczność wybór występuje w punkcie, w którym nowa linia ograniczenia budżetowego jest styczna do wyższej krzywej obojętności (U h ). W punkcie B Patrycja ma 40 godzin czasu wolnego i pracuje 40 godzin, uzyskując tygodniowy dochód 800 dol. (czyli 40 godzin pracy po 20 dol. za godzinę). Skutki zmiany płacy Patrycja zaczyna od punktu A, czyli od punktu styczności między początkowym ograniczeniem budżetowym a niższą krzywą obojętności U l . Wzrost płacy przesuwa jej ograniczenie budżetowe w prawo, dzięki czemu może teraz wybrać punkt B na krzywej obojętności Uh. Efektem substytucyjnym jest przejście z punktu A do C. Efekt substytucyjny powoduje, że Patrycja wybiera mniej czasu wolnego, który jest relatywnie droższy, i osiąga większy dochód, który jest relatywnie łatwiejszy do uzyskania. Efektem dochodowym jest przesunięcie z punktu C do B. Efekt dochodowy w tym przykładzie prowadzi do większej konsumpcji obu dóbr. Ostatecznie, w tym przykładzie dochód wzrasta z powodu zarówno efektu substytucyjnego, jak i dochodowego. Natomiast czas wolny maleje z powodu działania efektu substytucyjnego, ale rośnie z powodu działania efektu dochodowego, co prowadzi – w przypadku Patrycji – do ogólnego wzrostu ilości czasu wolnego. Efekty: substytucyjny i dochodowy są narzędziem ułatwiającym analizę reakcji Patrycji na wzrost płacy godzinowej. Linia przerywana pozwala na oddzielenie tych dwóch efektów na wykresie. Efekt substytucyjny pokazuje, jak Patrycja zmieniłaby czas pracy, gdyby – pozostając na tym samym poziomie użyteczności – jej płaca wzrosła, czyli gdyby dochód był relatywnie tańszy, a czas wolny relatywnie droższy. Nachylenie linii ograniczenia budżetowego na rysunku przedstawiającym wybór między pracą a czasem wolnym (ang. labor-leisure diagram ) jest określone przez stawkę płacy. W ten sposób linia przerywana reprezentuje wybór między pracą a czasem wolnym według nowej stawki płacy. Linia ta jest jednocześnie styczna do początkowej krzywej obojętności, pokazującej początkowy poziom użyteczności lub „siły nabywczej”. Przesunięcie z początkowego punktu A do punktu C, który jest punktem styczności między początkową krzywą obojętności a linią przerywaną, sugeruje, że z powodu wyższej płacy Patrycja woli mieć mniej czasu wolnego i osiągać większy dochód. Strzałki oznaczone literą „s” na osi poziomej i pionowej pokazują zmianę czasu wolnego i dochodu wynikającą z działania efektu substytucyjnego. Efekt dochodowy polega na tym, że wyższa płaca, przesuwając linię ograniczenia budżetowego w prawo, umożliwia Patrycji osiągnięcie wyższego poziomu użyteczności. Efekt dochodowy to przesunięcie z punktu C do B. Pokazuje on, jak zmienia się zachowanie Patrycji w odpowiedzi na wyższy poziom użyteczności lub „siły nabywczej” przy takiej samej stawce płac (co przedstawia linia przerywana równoległa do nowej linii ograniczenia budżetowego). Efekt dochodowy, zachęcający Patrycję do konsumowania większej ilości czasu wolnego i uzyskiwania większych dochodów, jest zilustrowany strzałkami na osi poziomej i pionowej . Łącząc te efekty, reakcją Patrycji na wyższą płacę jest przejście z punktu A do B. W efekcie Patrycja uzyskuje większy dochód. Dzieje się tak zarówno dlatego, że efekt substytucyjny wyższych płac sprawił, że dochód jest relatywnie tańszy, tj. łatwiejszy do uzyskania, jak i dlatego, że efekt dochodowy wyższych zarobków umożliwił osiągnięcie większego dochodu i większej ilości czasu wolnego. Przejście z punktu A do B wiąże się również ze zwiększeniem ilości czasu wolnego, ponieważ zgodnie z preferencjami Patrycji efekt dochodowy, który zachęca do zwiększenia konsumpcji czasu wolnego, jest silniejszy od efektu substytucyjnego, powodującego mniejszą konsumpcję czasu wolnego. przedstawia tylko preferencje Patrycji. Inni ludzie mogą dokonywać odmiennych wyborów. Na przykład osoba, dla której efekty: substytucyjny i dochodowy dokładnie się równoważą w zakresie zmiany ilości czasu wolnego, w wyniku wzrostu płacy wybierze punkt taki jak D, leżący dokładnie powyżej początkowego punktu A, co oznacza, że wszelkie korzyści z wyższej płacy przejawiają się w postaci wzrostu dochodu, a liczba godzin pracy nie zmienia się. Jeszcze inna osoba, dla której efekt substytucyjny przewyższy efekt dochodowy w zakresie zmiany ilości czasu wolnego, może w wyniku wzrostu płacy wybrać punkt taki jak F, gdzie reakcją na wyższe zarobki jest przepracowanie większej liczby godzin i uzyskanie znacznie większych dochodów. Aby przedstawić te różne preferencje, wystarczy narysować krzywą obojętności U h tak, aby była styczna do nowej linii ograniczenia budżetowego w punkcie D lub F, a nie w punkcie B. Wybór międzyokresowy Robert zaoszczędził 10 000 dol. Myśli o wydaniu części lub całości pieniędzy na obecne wakacje, a resztę odłoży na kolejny duży wyjazd wakacyjny za pięć lat. W ciągu tych pięciu lat spodziewa się osiągnąć łącznie 80-procentową stopę zwrotu. pokazuje ograniczenie budżetowe Roberta i jego krzywe obojętności dotyczące wyboru między obecną a przyszłą konsumpcją. Najwyższy poziom użyteczności, jaki Robert może osiągnąć przy swoim początkowym międzyokresowym ograniczeniu budżetowym, występuje w punkcie A, gdzie Robert wydaje 6000 dol. na bieżącą konsumpcję i oszczędza 4000 dol. na przyszłość, spodziewając się, że wraz ze skumulowanymi odsetkami będzie miał 7200 dol. na przyszłą konsumpcję (tj. 4000 dol. bieżących oszczędności powiększonych o 80-procentową stopę zwrotu). Jednak Robert właśnie zdał sobie sprawę z tego, że jego oczekiwana stopa zwrotu była nierealistycznie wysoka. Bardziej realistycznym oczekiwaniem jest uzyskanie w ciągu pięciu lat łącznego zwrotu w wysokości 30%. W efekcie międzyokresowe ograniczenie budżetowe obraca się w lewo, tak że początkowy, maksymalizujący użyteczność wybór nie jest już dostępny. Czy Robert zareaguje na niższą stopę zwrotu oszczędzając więcej czy mniej, czy też taką samą kwotę? Myślenie przy pomocy efektów: substytucyjnego i dochodowego ponownie ułatwia analizę skutków zmiany stopy procentowej. Linia przerywana, która pozwala na oddzielenie efektu substytucyjnego i dochodowego, ma takie samo nachylenie jak nowa linia ograniczenia budżetowego, czyli reprezentuje nową stopę procentową, ale jest styczna do początkowej krzywej obojętności, aby utrzymać użyteczność lub „siłę nabywczą” na niezmienionym poziomie. Efekt substytucyjny ilustruje zmianę konsumpcji spowodowaną tym, że niższa stopa zwrotu czyni przyszłą konsumpcję relatywnie droższą, a obecną relatywnie tańszą. Przejście z początkowego punktu A do punktu C pokazuje, w jaki sposób Robert w odpowiedzi na niższą stopę procentową ogranicza konsumpcję przyszłą na rzecz konsumpcji obecnej bez zmiany poziomu użyteczności. Strzałki reprezentujące efekt substytucyjny na osi poziomej i pionowej ilustrują kierunek działania efektu substytucyjnego. Zgodnie z efektem substytucyjnym, na skutek niższej stopy procentowej Robert powinien zwiększyć konsumpcję bieżącą, a zmniejszyć konsumpcję przyszłą. Robert ma także do czynienia z efektem dochodowym. Niższa stopa zwrotu przesuwa linię ograniczenia budżetowego w lewo, co oznacza spadek użyteczności lub „siły nabywczej” Roberta. Efekt dochodowy (przy założeniu dóbr normalnych) powoduje spadek konsumpcji obecnej i przyszłej. Działanie efektu dochodowego w postaci zmniejszenia konsumpcji ilustrują strzałki znajdujące się koło litery „d” przy osi poziomej i pionowej . Krzywe obojętności i międzyokresowe ograniczenie budżetowe Początkowy punkt optymalny to A, będący punktem styczności między początkowym ograniczeniem budżetowym a początkową krzywą obojętności Uh. Linia przerywana jest równoległa do nowego ograniczenia budżetowego, czyli jej nachylenie odzwierciedla niższą stopę procentową, ale jest styczna do początkowej krzywej obojętności. Przesunięcie z punktu A do C jest efektem substytucyjnym: w przypadku obniżenia stopy procentowej przyszła konsumpcja staje się relatywnie droższa, a obecna konsumpcja – relatywnie tańsza. Efekt dochodowy to przesunięcie z punktu C do B i przedstawia zmniejszenie użyteczności lub „siły nabywczej”, co powoduje przejście na niższą krzywą obojętności Ul, ale przy takiej samej relacji cen. Efekt dochodowy oznacza mniejszą obecną i przyszłą konsumpcję. Przesuwając się z punktu A do B, efekt substytucyjny dla konsumpcji obecnej jest silniejszy niż efekt dochodowy, więc efektem całkowitym jest zwiększenie obecnej konsumpcji. Zauważ, że dolna krzywa obojętności mogłaby równie dobrze być styczna do nowego ograniczenia budżetowego w punkcie D lub F, w zależności od osobistych preferencji. Patrząc na oba efekty łącznie, efekt substytucyjny zachęca Roberta do zwiększenia konsumpcji obecnej i zmniejszenia konsumpcji przyszłej, ponieważ obecna konsumpcja jest relatywnie tańsza. Z kolei efekt dochodowy zachęca go do zmniejszenia zarówno obecnej, jak i przyszłej konsumpcji, ponieważ niższa stopa procentowa przesuwa go na niższy poziom użyteczności. Wziąwszy pod uwagę preferencje Roberta, efekt substytucyjny jest silniejszy, więc na obniżenie stopy procentowej reaguje on zwiększeniem konsumpcji obecnej i zmniejszeniem oszczędności, wybierając punkt B. Jednak inni ludzie mogą mieć odmienne preferencje. W wyniku obniżenia stopy procentowej mogą wybrać ten sam poziom obecnej konsumpcji i ten sam poziom oszczędności jak w punkcie D lub zdecydować się na zmniejszenie konsumpcji obecnej i zwiększenie oszczędności jak w punkcie F. W przypadku tych odmiennych zestawów preferencji efekt dochodowy zmiany konsumpcji obecnej jest relatywnie silniejszy, a efekt substytucyjny – relatywnie słabszy. Wyznaczanie efektów substytucyjnych i dochodowych na rysunku Krzywe obojętności są narzędziem analitycznym pozwalającym na zobrazowanie wszystkich koszyków dóbr zapewniających taką samą użyteczność. Eliminują potrzebę przypisywania wartości liczbowych poziomom użyteczności i pomagają naświetlić proces podejmowania decyzji dotyczących maksymalizacji użyteczności. Umożliwiają również szczegółową analizę efektów zmian cen, płac lub stóp procentowych za pomocą efektów: substytucyjnego i dochodowego. Jeśli sprawia ci trudność wyznaczenie na rysunku efektów: substytucyjnego i dochodowego, tak aby wszystkie punkty styczności wyszły poprawnie, przydatna może być poniższa procedura. Krok 1. Zacznij od narysowania ograniczenia budżetowego, pokazującego wybór między dwoma dobrami – powiedzmy cukierkami i filmami. Wybierz punkt A, który będzie optymalnym koszykiem dóbr, dla którego krzywa obojętności jest styczna do linii ograniczenia budżetowego – często wygodniej jest jeszcze nie rysować tej krzywej obojętności, jak na . Krok 2. Załóżmy teraz, że cena filmów się zmienia – powiedzmy: rośnie. W efekcie linia ograniczenia budżetowego obraca się do wewnątrz. Wiesz, że wyższa cena przesunie konsumenta do niższego poziomu użyteczności, reprezentowanego przez niższą krzywą obojętności. Ale na tym etapie narysuj tylko nową linię budżetową ( ). Krok 3. Kluczową czynnością w wyznaczeniu efektów: substytucyjnego i dochodowego jest wstawienie linii przerywanej, równoległej do nowej linii ograniczenia budżetowego. Linia ta jest narzędziem graficznym, które pozwala rozróżnić dwie zmiany: (1) zmianę konsumpcji dwóch dóbr wynikającą ze zmiany relacji cen — przy niezmienionym poziomie użyteczności — będącą efektem substytucyjnym; oraz (2) zmianę konsumpcji dwóch dóbr wynikającą z przejścia z jednej krzywej obojętności na drugą — przy niezmienionych cenach względnych — będącą efektem dochodowym. W tym kroku wstawiana jest linia przerywana. Zauważ, że linia przerywana znajduje się blisko początkowego punktu A, ale przez niego nie przechodzi, co pokazuje . Krok 4. Teraz narysuj początkową krzywą obojętności, tak aby była styczna zarówno w punkcie A do początkowej linii budżetowej, jak i w punkcie C do linii przerywanej. Wielu studentów uważa, że najłatwiej jest najpierw wybrać punkt C, w którym początkowa krzywa obojętności jest styczna do linii przerywanej, a następnie narysować początkową krzywą obojętności przechodzącą przez punkty A i C. Efekt substytucyjny to ruch wzdłuż początkowej krzywej obojętności na skutek zmiany ceny przy niezmienionym poziomie użyteczności, czyli przejście z punktu A do C. Zgodnie z oczekiwaniami, efekt substytucyjny prowadzi do spadku konsumpcji dobra, które jest stosunkowo droższe, co pokazuje strzałka „s” (substytucja) na osi pionowej, oraz do zwiększenia konsumpcji dobra, które jest relatywnie tańsze, na co wskazuje strzałka „s” na osi poziomej ( ). Krok 5. Mając na uwadze działanie efektu substytucyjnego, wybierz teraz maksymalizujący użyteczność punkt B na nowej linii ograniczenia budżetowego. Wybierając punkt B, zastanów się, czy efekt substytucyjny czy dochodowy ma mieć większy wpływ na dobro z osi poziomej (w tym przypadku cukierki). Jeśli punkt B wybierzesz tak, że będzie znajdował się dokładnie poniżej punktu A (jak pokazano tutaj), wtedy efekt dochodowy będzie dokładnie równoważył efekt substytucyjny w zakresie zmiany ilości dobra z osi poziomej. Jeśli wstawisz punkt B tak, że będzie leżał trochę na prawo od początkowego punktu A, wtedy efekt substytucyjny przeważy nad efektem dochodowym. Jeśli wstawisz punkt B tak, że będzie leżał trochę na lewo od punktu A, to efekt dochodowy będzie silniejszy niż efekt substytucyjny. Efekt dochodowy to ruch z punktu C do B. Pokazuje on, jak zmienia się wybór konsumenta w wyniku spadku siły nabywczej i zmiany poziomu użyteczności, przy niezmienionej relacji cen. W przypadku dóbr normalnych, ujemny efekt dochodowy oznacza mniejszą konsumpcję każdego dobra, co pokazuje kierunek strzałek „d” (efekt dochodowy) na osi pionowej i poziomej ( ). Ćwicząc rysowanie efektów substytucyjnego i dochodowego, przeanalizuj następujące warianty: 1) cena spada zamiast rosnąć; 2) zmiana ceny wpływa na dobro z osi pionowej lub na dobro z osi poziomej, 3) efekt substytucyjny przewyższa efekt dochodowy lub efekt dochodowy przewyższa efekt substytucyjny albo oba efekty są sobie równe. Ostatnia uwaga: pomocną linię przerywaną można też narysować jako styczną do nowej krzywej obojętności i równoległą do początkowej linii budżetowej, a nie styczną do początkowej krzywej obojętności i równoległą do nowej linii budżetowej. Niektórzy studenci uważają to podejście za bardziej intuicyjne. Otrzymane odpowiedzi dotyczące kierunku i względnych rozmiarów efektów: substytucyjnego i dochodowego powinny być jednak takie same. Kluczowe pojęcia i podsumowanie Krzywe obojętności wraz z linią ograniczenia budżetowego znajdują się na rysunku przedstawiającym równowagę konsumenta, który dokonuje wyboru między konsumpcją dwóch dóbr. Wszystkie punkty wzdłuż danej krzywej obojętności zapewniają ten sam poziom użyteczności. Wyższe krzywe obojętności reprezentują wyższy poziom użyteczności. Krzywe obojętności mają nachylenie ujemne, ponieważ jeśli użyteczność ma pozostać taka sama we wszystkich punktach wzdłuż krzywej obojętności, zmniejszenie ilości dobra z osi pionowej musi być skompensowane wzrostem ilości dobra z osi poziomej (i na odwrót). Krzywe obojętności są bardziej strome po lewej i bardziej płaskie po prawej stronie z powodu malejącej użyteczności krańcowej. Wyborem maksymalizującym użyteczność przy danym ograniczeniu budżetowym jest punkt styczności linii ograniczenia budżetowego z krzywą obojętności. Zmiana ceny dowolnego dobra wywołuje dwa efekty: substytucyjny i dochodowy. Efekt substytucyjny powoduje, że maksymalizująca użyteczność osoba będzie kupowała mniej dobra, które jest relatywnie droższe, a więcej tego, które jest relatywnie tańsze. Efekt dochodowy powoduje, że maksymalizująca użyteczność osoba będzie kupowała więcej obu dóbr, jeśli użyteczność wzrasta, lub mniej obu dóbr, jeśli użyteczność maleje (gdy oba dobra są dobrami normalnymi). W modelu wyboru między pracą a czasem wolnym, zmiana płacy wywołuje dwa efekty: substytucyjny i dochodowy. Efektem substytucyjnym podwyżki płacy jest zwiększenie dochodu, ponieważ zarabianie pieniędzy jest „tańsze”, i zmniejszenie ilości czasu wolnego, ponieważ zwiększył się jego koszt alternatywny. Efektem dochodowym podwyżki płacy jest zwiększenie ilości czasu wolnego i dochodu, ponieważ oba dobra są dobrami normalnymi. Efekty: substytucyjny i dochodowy spadku płac są dokładnie odwrotne. W międzyokresowym modelu wyboru konsumpcji w czasie, każda zmiana stopy procentowej wywołuje dwa efekty: substytucyjny i dochodowy. Efektem substytucyjnym wzrostu stopy procentowej jest zwiększenie przyszłej konsumpcji, ponieważ oszczędzanie pieniędzy staje się tańsze, a także zmniejszenie konsumpcji obecnej (wzrost oszczędności), ponieważ koszt alternatywny konsumpcji bieżącej, którym jest utrata przyszłej konsumpcji, jest większy. Efektem dochodowym wzrostu stopy procentowej jest zwiększenie zarówno obecnej, jak i przyszłej konsumpcji, ponieważ są to dobra normalne. Efekty: substytucyjny i dochodowy spadku stopy procentowej są dokładnie odwrotne. Pytania Jaki jest preferowany punkt na krzywej obojętności? Dlaczego krzywe obojętności mają nachylenie ujemne? Dlaczego krzywe obojętności są strome po lewej stronie i bardziej płaskie po prawej? Ile krzywych obojętności ma dana osoba? Jak rozpoznać, które krzywe obojętności reprezentują wyższy, a które niższy poziom użyteczności? Co to jest efekt substytucyjny? Co to jest efekt dochodowy? Czy „efekt dochodowy” wiąże się ze zmianą dochodów? Odpowiedź uzasadnij. Czy zmiana ceny wywołuje zarówno efekt dochodowy, jak i efekt substytucyjny? Czy zmiana dochodu wywołuje zarówno efekt dochodowy, jak i efekt substytucyjny? Czy może w niektórych przypadkach wystąpić tylko efekt dochodowy lub tylko efekt substytucyjny? Odpowiedź uzasadnij. Który efekt jest większy: dochodowy czy substytucyjny?

Business


Wartość zaktualizowana W zostało wyjaśnione, że ceny akcji (ang. stocks ) i obligacji (ang. bonds ) zależą od przyszłych wydarzeń. Cena obligacji zależy od przyszłych płatności, których oczekuje się z tytułu tych obligacji, w tym zarówno płatności odsetek, jak i spłaty wartości nominalnej. Cena akcji zależy od oczekiwanych przyszłych zysków osiąganych przez przedsiębiorstwo. Pojęcie wartości zaktualizowana (PV) (ang. present discounted value (PDV) ), które jest zdefiniowana jako kwota, którą kupiec powinien być skłonny zapłacić dzisiaj za strumień oczekiwanych przyszłych płatności, może zostać wykorzystane do obliczenia adekwatnych cen akcji i obligacji. Aby odnieść wartość zdyskontowaną do przyszłej płatności, zastanów się, jaką sumę pieniędzy musisz mieć dzisiaj, aby jej wartość zrównała się z określoną kwotą w przyszłości. Ta kalkulacja będzie wymagała stopy procentowej (ang. interest rate ). Na przykład, jeśli stopa procentowa wynosi 10%, płatność w wysokości 110 dol. za rok będzie miała wartość dzisiejszą równą 100 dol. — to znaczy, możesz wziąć 100 dol. dzisiaj i mieć 110 dol. w przyszłości. Najpierw pokażemy, jak zastosować wartość dzisiejszą do obliczenia wartości akcji, a następnie do obligacji. Stosowanie wartości zaktualizowanej do obliczenia wartości akcji Rozważmy przypadek spółki Babble, która oferuje lekcje emisji głosu. Dla uproszczenia powiedzmy, że założyciel Babble ma 63 lata i planuje przejść na emeryturę za dwa lata, kiedy to spółka zostanie rozwiązana. Spółka sprzedaje 200 akcji, a zyski mają wynieść 15 mln dol. w bieżącym okresie, 20 mln dol. za rok i 25 mln dol. za dwa lata. Wszystkie zyski będą wypłacane akcjonariuszom w formie dywidendy, gdy tylko zostaną one zrealizowane. Wziąwszy pod uwagę te wszystkie informacje, policzmy, ile inwestor zapłaci za akcje tej spółki? Inwestor finansowy, myśląc o tym, jaka jest dzisiejsza wartość przyszłych płatności, będzie musiał wybrać stopę procentową. Ta stopa procentowa będzie odzwierciedlać stopę zwrotu z innych dostępnych możliwości inwestycji finansowych, czyli koszt alternatywny zainwestowania kapitału finansowego, a także premię za ryzyko (tj. stosowana jest wyższa stopa procentowa, jeśli ta inwestycja wydaje się szczególnie ryzykowna). W tym przykładzie powiedzmy, że inwestor finansowy decyduje, że odpowiednia stopa procentowa do wyceny przyszłych płatności wynosi 15%. pokazuje, jak obliczyć dzisiejszą wartość przyszłych zysków. Dla każdego okresu, w którym świadczenie ma być odbierane, zastosuj wzór: Wartość dzisiejsza = Wartość przyszła otrzymana w określonym roku w przyszłości (1 + stopa procentowa) liczba lat t Obliczanie dzisiejszej wartości akcji Płatności od spółki Wartość dzisiejsza 15 mln dol. obecnie 15 mln dol. 20 mln dol. za 1 rok 20 mln dol./(1 + 0,15) 1 = 17,4 mln dol. 25 mln dol. za 2 lata 25 mln dol./(1 + 0,15) 2 = 18,9 mln dol. Razem 51,3 mln dol. Następnie zsumuj wszystkie dzisiejsze wartości uzyskane w kolejnych okresach, aby poznać ostateczną odpowiedź. Obliczona wartość dzisiejsza pozwala odpowiedzieć na pytanie, ile określona kwota w przyszłości jest warta dzisiaj, biorąc pod uwagę 15% stopę procentową. Zwróć uwagę, że poszczególne obliczenia PV należy wykonać osobno dla kwot otrzymanych w różnym czasie w przyszłości. Następnie podziel PV łącznych zysków przez liczbę akcji, w tym przypadku jest ich 200. A więc: 51,3 mln/200 = 0,2565 mln. Cena za akcję powinna wynosić około 256 500 dol. Oczywiście, w prawdziwym świecie oczekiwane zyski to tylko przypuszczenie, a nie twarde dane. Podjęcie decyzji o tym, jaką stopę procentową zastosować do dyskontowania, może być trudne. Należy wziąć pod uwagę zarówno potencjalne zyski kapitałowe z przyszłej sprzedaży akcji, jak i dywidendy, które mogą zostać wypłacone. Różnice opinii w tych kwestiach są właśnie powodem, dla którego niektórzy inwestorzy finansowi chcą kupić akcje, które inni chcą sprzedać: są bardziej optymistycznie nastawieni do przyszłości. Jednak koncepcyjnie wszystko sprowadza się do tego, ile jesteś gotów zapłacić dzisiaj, aby uzyskać strumień płatności w przyszłości. Stosowanie wartości zaktualizowanej do obliczenia wartości obligacji Podobna kalkulacja działa w przypadku obligacji. wyjaśnia, że jeśli stopa procentowa spadnie już po emisji obligacji, a inwestor ma zagwarantowaną wyższą stopę, to wartość rynkowa tej obligacji będzie większa. I odwrotnie, jeśli stopa procentowa wzrośnie po emisji obligacji, a inwestor ma jest zagwarantowaną niższą stopę, to obligacja będzie sprzedawana za mniejszą kwotę. Kalkulacja wartości bieżącej potwierdza te oczekiwania. Pomyśl o zwykłej dwuletniej obligacji. Została wyemitowana na 3000 dol. wartości nominalnej z oprocentowaniem równym 8%. Tak więc, po pierwszym roku obligacja przynosi odsetki w wysokości 240 dol. (czyli 3000 × 8%). Pod koniec drugiego roku obligacja daje 240 dol. odsetek plus 3000 dol. z wykupu wartości nominalnej. Oblicz, ile ta obligacja jest warta w chwili obecnej, jeśli stopa dyskontowa wynosi 8%. Następnie przelicz wszystko ponownie, aby sprawdzić, co się zmieni, jeśli stopy procentowe wzrosną, a właściwa stopa dyskontowa wyniesie 11%. Aby przeprowadzić te obliczenia, spójrz na strumień płatności otrzymywanych z obligacji w przyszłości i ustal, jaka jest ich wartość dzisiejsza. Obliczenia z zastosowaniem wzoru na wartość bieżącą przedstawiono w . Obliczanie dzisiejszej wartości obligacji, kwoty w dol. Strumień płatności (dla stopy procentowej równej 8%) Dzisiejsza wartość (dla stopy procentowej równej 8%) Strumień płatności (dla stopy procentowej równej 11%) Dzisiejsza wartość (dla stopy procentowe równej 11%) 240 płatność po pierwszym roku 240/(1 + 0,08) 1 = 222,20 240 płatność po pierwszym roku 240/(1 + 0,11) 1 = 216,20 3,240 płatność po drugim roku 3240/(1 + 0,08) 2 = 2777,80 3240 płatność po drugim roku 3240/(1 + 0,11) 2 = 2629,60 Razem 3000 Razem 2845,80 Pierwsze obliczenia pokazują, że dzisiejsza wartość obligacji o wartości nominalnej równej 3000 dol., wyemitowanej po stopie procentowej 8%, wynosi zaledwie 3000 dol. To tyle pieniędzy ostatecznie otrzymuje pożyczkobiorca. Obliczenia potwierdzają, że dzisiejsza wartość bieżąca dla pożyczkodawcy jest taka sama. Obligacja przenosi pieniądze w czasie, od tych, którzy chcą oszczędzać obecnie do tych, którzy chcą teraz pożyczyć, ale dzisiejsza wartość tego, co otrzymuje pożyczkobiorca, jest identyczna z dzisiejszą wartością tego, co zostanie spłacone pożyczkodawcy. Drugie podejście do obliczeń pokazuje co się stanie, jeśli stopa procentowa wzrośnie z 8% do 11%. Wysokość płatności odsetkowych wykazanych w pierwszej kolumnie, obliczone dla 8% stopy procentowej, nie ulegają zmianie. Jednak dzisiejsza wartość tych płatności, zdyskontowana teraz wyższą stopą procentową, jest niższa. Mimo że przyszłe płatności w dolarach, które są wypłacane z tytułu odsetek od obligacji, nie uległy zmianie, to osoba, która chce sprzedać obligację, stwierdzi, że wartość jej inwestycji spadła. I ponownie – obliczenia dokonywane w prawdziwym świecie są często bardziej złożone, m.in. dlatego, że zmienia się rynkowa stopa procentowa, ale i ryzyko związane z tym, czy pożyczkobiorca w ogóle spłaci pożyczkę. W każdym razie, cena obligacji jest zawsze dzisiejszą wartością strumienia przyszłych oczekiwanych płatności. Inne zastosowania Wartość zaktualizowana jest szeroko stosowanym narzędziem analitycznym poza światem finansów. Za każdym razem, gdy przedsiębiorstwo zastanawia się nad dokonaniem inwestycji w kapitał rzeczowy, musi porównać obecne koszty dokonania tej inwestycji z obecną zdyskontowaną wartością przyszłych korzyści z tej inwestycji. Gdy rząd rozważa instalację urządzeń zwiększających bezpieczeństwo na autostradzie, musi porównać koszty ponoszone w chwili obecnej z korzyściami uzyskanymi w przyszłości. Niektóre akademickie spory dotyczące polityki środowiskowej, np. o to, jak bardzo zmniejszyć emisje dwutlenku węgla ze względu na ryzyko, że mogą one doprowadzić do globalnego ocieplenia w przyszłości, wynikają z tego, w jaki sposób porównuje się obecne koszty kontroli zanieczyszczeń z korzyściami możliwymi do uzyskania w dłuższej perspektywie. Ktoś, kto wygra na loterii prawo do otrzymania ciągu płatności w czasie kolejnych 30 lat, może być zainteresowany poznaniem jego dzisiejszej wartości. Zawsze, gdy ciąg kosztów i korzyści rozciąga się od teraźniejszości do różnych momentów w przyszłości, wartość dzisiejsza staje się nieodzownym narzędziem analizy.

Business


Preface Welcome to Introductory Business Statistics 2e , an OpenStax resource. This textbook was written to increase student access to high-quality learning materials, maintaining highest standards of academic rigor at little to no cost. About OpenStax OpenStax is part of Rice University, which is a 501(c)(3) nonprofit charitable corporation. Our mission is to make an amazing education accessible for all. Through our partnerships with philanthropic organizations and our alliance with other educational resource companies, we’re breaking down the most common barriers to learning. Because we believe that everyone should and can have access to knowledge. About OpenStax resources Customization Introductory Business Statistics 2e is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 (CC BY-NC-SA) license, which means that you can non-commercially distribute, remix, and build upon the content, as long as you provide attribution to OpenStax and its content contributors, and distribute all derivatives under the same license. Because our books are openly licensed, you are free to use the entire book or pick and choose the sections that are most relevant to the needs of your course. Feel free to remix the content by assigning your students certain chapters and sections in your syllabus, in the order that you prefer. You can even provide a direct link in your syllabus to the sections in the web view of your book. Instructors also have the option of creating a customized version of their OpenStax book. The custom version can be made available to students in low-cost print or digital form through their campus bookstore. Visit the Instructor Resources section of your book page on OpenStax.org for more information. Art Attribution In Introductory Business Statistics 2e , most art contains attribution to its title, creator or rights holder, host platform, and license within the caption. For any art that is openly licensed, non-commercial users or organizations may reuse the art as long as they provide the same attribution to its original source. (Commercial entities should contact OpenStax to discuss reuse rights and permissions.) To maximize readability and content flow, some art does not include attribution in the text. If you reuse art from this text that does not have attribution provided, use the following attribution: Copyright Rice University, OpenStax, under CC BY-NC-SA 4.0 license. Errata All OpenStax textbooks undergo a rigorous review process. However, like any professional-grade textbook, errors sometimes occur. Since our books are web based, we can make updates periodically when deemed pedagogically necessary. If you have a correction to suggest, submit it through the link on your book page on OpenStax.org. Subject matter experts review all errata suggestions. OpenStax is committed to remaining transparent about all updates, so you will also find a list of past errata changes on your book page on OpenStax.org. Format You can access this textbook for free in web view or PDF through OpenStax.org, and for a low cost in print. About Introductory Business Statistics 2e Introductory Business Statistics 2e is designed to meet the scope and sequence requirements of the one-semester statistics course for business, economics, and related majors. Core statistical concepts and skills have been augmented with practical business examples, scenarios, and exercises. The result is a meaningful understanding of the discipline which will serve students in their business careers and real-world experiences. Coverage and scope Introductory Business Statistics 2e began as a customized version of OpenStax Introductory Statistics by Barbara Illowsky and Susan Dean. Statistics faculty at The University of Oklahoma have used the business statistics adaptation for several years, and the author has continually refined it based on student success and faculty feedback. The book is structured in a similar manner to most traditional statistics textbooks. The most significant topical changes occur in the latter chapters on regression analysis. Discrete probability density functions have been reordered to provide a logical progression from simple counting formulas to more complex continuous distributions. Many additional homework assignments have been added, as well as new, more mathematical examples. Introductory Business Statistics 2e places a significant emphasis on the development and practical application of formulas so that students have a deeper understanding of their interpretation and application of data. To achieve this unique approach, the author included a wealth of additional material and purposely de-emphasized the use of the scientific calculator. Specific changes regarding formula use include: Expanded discussions of the combinatorial formulas, factorials, and sigma notation Adjustments to explanations of the acceptance/rejection rule for hypothesis testing, as well as a focus on terminology regarding confidence intervals Deep reliance on statistical tables for the process of finding probabilities (which would not be required if probabilities relied on scientific calculators) Continual and emphasized links to the Central Limit Theorem throughout the book; Introductory Business Statistics 2e consistently links each test statistic back to this fundamental theorem in inferential statistics Another fundamental focus of the book is the link between statistical inference and the scientific method. Business and economics models are fundamentally grounded in assumed relationships of cause and effect. They are developed to both test hypotheses and to predict from such models. This comes from the belief that statistics is the gatekeeper that allows some theories to remain and others to be cast aside for a new perspective of the world around us. This philosophical view is presented in detail throughout and informs the method of presenting the regression model, in particular. The correlation and regression chapter includes confidence intervals for predictions, alternative mathematical forms to allow for testing categorical variables, and the presentation of the multiple regression model. Pedagogical features Examples are placed strategically throughout the text to show students the step-by-step process of interpreting and solving statistical problems. To keep the text relevant for students, the examples are drawn from a broad spectrum of practical topics; these include examples about college life and learning, health and medicine, retail and business, and sports and entertainment. Practice, Homework, and Bringing It Together give the students problems at various degrees of difficulty while also including real-world scenarios to engage students. Try It practice problems immediately follow many examples and give students the opportunity to practice as they read the text. Changes to the Second Edition The revision of Introductory Business Statistics has been undertaken with the support of many faculty adopters and student users. Most of the edits are focused on currency, clarity, accuracy, and belonging. The author made a number of additions in order to provide more support and practice opportunities for students; these include conceptual explanations, introductory text, new Try It exercises, and more detailed example solution steps. Also, dozens of examples and references have been changed in order to align with contemporary contexts and uses. Accuracy checking and errata resolutions resulted in corrections and clarifications, both in the main text and in the answers/solutions. Finally, the second edition includes several hundred edits related to gender, race, ethnicity, age, academic status, and societal issues, designed to present the most informed and inclusive material. OpenStax only undertakes revisions when pedagogically necessary, and we work to ensure that the text maintains its organization in order to ease transition for instructors. Many of the above changes have been made within problems and examples. However, in nearly all cases, the problems retain their original numbering, so that instructors and online homework providers can move to the new edition with minimal impact on their assignment structures. (This will not be the case for Try It exercises in many chapters, due to the addition of new exercises.) A detailed transition guide is available on the instructor resource page for this textbook. Answers to Questions in the Book Answers to Examples are provided directly under the question. Answers to Try it Questions are provided at the Student Resources page. Answers to an assortment of Practice, Homework, and Bringing it Together questions are available to students in the solutions section at the end of each chapter. All other answers to these questions are provided only to instructors in the Instructor Answer Guide via the Instructor Resources page. Additional resources Student and instructor resources We’ve compiled additional resources for both students and instructors, including Getting Started Guides, an instructor solution manual, and PowerPoint slides. Instructor resources require a verified instructor account, which you can apply for when you log in or create your account on OpenStax.org. Take advantage of these resources to supplement your OpenStax book. Community Hubs OpenStax partners with the Institute for the Study of Knowledge Management in Education (ISKME) to offer Community Hubs on OER Commons – a platform for instructors to share community-created resources that support OpenStax books, free of charge. Through our Community Hubs, instructors can upload their own materials or download resources to use in their own courses, including additional ancillaries, teaching material, multimedia, and relevant course content. We encourage instructors to join the hubs for the subjects most relevant to your teaching and research as an opportunity both to enrich your courses and to engage with other faculty. To reach the Community Hubs, visit www.oercommons.org/hubs/OpenStax . Technology partners As allies in making high-quality learning materials accessible, our technology partners offer optional low-cost tools that are integrated with OpenStax books. To access the technology options for your text, visit your book page on OpenStax.org. About the authors Senior contributing authors Alexander Holmes, The University of Oklahoma Barbara Illowsky, DeAnza College Susan Dean, DeAnza College Contributing authors Kevin Hadley, Analyst, Federal Reserve Bank of Kansas City Reviewers Birgit Aquilonius, West Valley College Charles Ashbacher, Upper Iowa University - Cedar Rapids Abraham Biggs, Broward Community College Daniel Birmajer, Nazareth College Roberta Bloom, De Anza College Bryan Blount, Kentucky Wesleyan College Ernest Bonat, Portland Community College Sarah Boslaugh, Kennesaw State University David Bosworth, Hutchinson Community College Sheri Boyd, Rollins College George Bratton, University of Central Arkansas Franny Chan, Mt. San Antonio College Jing Chang, College of Saint Mary Laurel Chiappetta, University of Pittsburgh Lenore Desilets, De Anza College Matthew Einsohn, Prescott College Ann Flanigan, Kapiolani Community College Nancy Foreman, West Los Angeles College David French, Tidewater Community College Mo Geraghty, De Anza College Larry Green, Lake Tahoe Community College Michael Greenwich, College of Southern Nevada Inna Grushko, De Anza College Valier Hauber, De Anza College Janice Hector, De Anza College Jim Helmreich, Marist College Robert Henderson, Stephen F. Austin State University Mel Jacobsen, Snow College Mary Jo Kane, De Anza College John Kagochi, University of Houston - Victoria Lynette Kenyon, Collin County Community College Charles Klein, De Anza College Alexander Kolovos Sheldon Lee, Viterbo University Sara Lenhart, Christopher Newport University Wendy Lightheart, Lane Community College Vladimir Logvenenko, De Anza College Jim Lucas, De Anza College Suman Majumdar, University of Connecticut Lisa Markus, De Anza College Miriam Masullo, SUNY Purchase Diane Mathios, De Anza College Robert McDevitt, Germanna Community College John Migliaccio, Fordham University Mark Mills, Central College Cindy Moss, Skyline College Nydia Nelson, St. Petersburg College Benjamin Ngwudike, Jackson State University Jonathan Oaks, Macomb Community College Carol Olmstead, De Anza College Barbara A. Osyk, The University of Akron Adam Pennell, Greensboro College Kathy Plum, De Anza College Lisa Rosenberg, Elon University Sudipta Roy, Kankakee Community College Javier Rueda, De Anza College Yvonne Sandoval, Pima Community College Rupinder Sekhon, De Anza College Travis Short, St. Petersburg College Frank Snow, De Anza College Abdulhamid Sukar, Cameron University Jeffery Taub, Maine Maritime Academy Mary Teegarden, San Diego Mesa College John Thomas, College of Lake County Philip J. Verrecchia, York College of Pennsylvania Dennis Walsh, Middle Tennessee State University Cheryl Wartman, University of Prince Edward Island Carol Weideman, St. Petersburg College Kyle S. Wells, Dixie State University Andrew Wiesner, Pennsylvania State University

Business


Introduction We encounter statistics in our daily lives more often than we probably realize and from many different sources, like the news. (credit: modification of work “New office” by Phil Whitehouse/ Flickr, CC BY 2.0) You are probably asking yourself the question, "When and where will I use statistics?" If you read any newspaper, watch television, or use the Internet, you will see statistical information. There are statistics about crime, sports, education, politics, and real estate. Typically, when you read a newspaper article or watch a television news program, you are given sample information. With this information, you may make a decision about the correctness of a statement, claim, or "fact." Statistical methods can help you make the "best educated guess." Since you will undoubtedly be given statistical information at some point in your life, you need to know some techniques for analyzing the information thoughtfully. Think about buying a house or managing a budget. Think about your chosen profession. The fields of economics, business, psychology, education, biology, law, computer science, police science, and early childhood development require at least one course in statistics. Included in this chapter are the basic ideas and words of probability and statistics. You will soon understand that statistics and probability work together. You will also learn how data are gathered and what "good" data can be distinguished from "bad."

Business


Definitions of Statistics, Probability, and Key Terms The science of statistics deals with the collection, analysis, interpretation, and presentation of data . We see and use data in our everyday lives. In this course, you will learn how to organize and summarize data. Organizing and summarizing data is called descriptive statistics . Two ways to summarize data are by graphing and by using numbers (for example, finding an average). After you have studied probability and probability distributions, you will use formal methods for drawing conclusions from "good" data. The formal methods are called inferential statistics . Statistical inference uses probability to determine how confident we can be that our conclusions are correct. Effective interpretation of data (inference) is based on good procedures for producing data and thoughtful examination of the data. You will encounter what will seem to be too many mathematical formulas for interpreting data. The goal of statistics is not to perform numerous calculations using the formulas, but to gain an understanding of your data. The calculations can be done using a calculator or a computer. The understanding must come from you. If you can thoroughly grasp the basics of statistics, you can be more confident in the decisions you make in life. Probability Probability is a mathematical tool used to study randomness. It deals with the chance (the likelihood) of an event occurring. For example, if you toss a fair coin four times, the outcomes may not be two heads and two tails. However, if you toss the same coin 4,000 times, the outcomes will be close to half heads and half tails. The expected theoretical probability of heads in any one toss is 1 2 or 0.5. Even though the outcomes of a few repetitions are uncertain, there is a regular pattern of outcomes when there are many repetitions. After reading about the English statistician Karl Pearson who tossed a coin 24,000 times with a result of 12,012 heads, one of the authors tossed a coin 2,000 times. The results were 996 heads. The fraction 996 2000 is equal to 0.498 which is very close to 0.5, the expected probability. The theory of probability began with the study of games of chance such as poker. Predictions take the form of probabilities. To predict the likelihood of an earthquake, of rain, or whether you will get an A in this course, we use probabilities. Doctors use probability to determine the chance of a vaccination causing the disease the vaccination is supposed to prevent. A stockbroker uses probability to determine the rate of return on a client's investments. You might use probability to decide to buy a lottery ticket or not. In your study of statistics, you will use the power of mathematics through probability calculations to analyze and interpret your data. Key Terms In statistics, we generally want to study a population . You can think of a population as a collection of persons, things, or objects under study. To study the population, we select a sample . The idea of sampling is to select a portion (or subset) of the larger population and study that portion (the sample) to gain information about the population. Data are the result of sampling from a population. Because it takes a lot of time and money to examine an entire population, sampling is a very practical technique. If you wished to compute the overall grade point average at your school, it would make sense to select a sample of students who attend the school. The data collected from the sample would be the students' grade point averages. In presidential elections, opinion poll samples of 1,000–2,000 people are taken. The opinion poll is supposed to represent the views of the people in the entire country. Manufacturers of canned carbonated drinks take samples to determine if a 16-ounce can contains 16 ounces of carbonated drink. From the sample data, we can calculate a statistic. A statistic is a number that represents a property of the sample. For example, if we consider one math class to be a sample of the population of all math classes, then the average number of points earned by students in that one math class at the end of the term is an example of a statistic. The statistic is an estimate of a population parameter, in this case the mean. A parameter is a numerical characteristic of the whole population that can be estimated by a statistic. Since we considered all math classes to be the population, then the average number of points earned per student over all the math classes is an example of a parameter. One of the main concerns in the field of statistics is how accurately a statistic estimates a parameter. The accuracy really depends on how well the sample represents the population. The sample must contain the characteristics of the population in order to be a representative sample . We are interested in both the sample statistic and the population parameter in inferential statistics. In a later chapter, we will use the sample statistic to test the validity of the established population parameter. A variable , or random variable, usually notated by capital letters such as X and Y , is a characteristic or measurement that can be determined for each member of a population. Variables may be numerical or categorical . Numerical variables take on values with equal units such as weight in pounds and time in hours. Categorical variables place the person or thing into a category. If we let X equal the number of points earned by one math student at the end of a term, then X is a numerical variable. If we let Y be a person's party affiliation, then some examples of Y include Republican, Democrat, and Independent. Y is a categorical variable. We could do some math with values of X (calculate the average number of points earned, for example), but it makes no sense to do math with values of Y (calculating an average party affiliation makes no sense). Data are the actual values of the variable. They may be numbers or they may be words. Datum is a single value. Two words that come up often in statistics are mean and proportion . If you were to take three exams in your math classes and obtain scores of 86, 75, and 92, you would calculate your mean score by adding the three exam scores and dividing by three (your mean score would be 84.3 to one decimal place). If, in your math class, there are 40 students and 22 are men and 18 are women, then the proportion of men students is 22 40 and the proportion of women students is 18 40 . Mean and proportion are discussed in more detail in later chapters. NOTE The words " mean " and " average " are often used interchangeably. The substitution of one word for the other is common practice. The technical term is "arithmetic mean," and "average" is technically a center location. However, in practice among non-statisticians, "average" is commonly accepted for "arithmetic mean." Determine what the key terms refer to in the following study. We want to know the average (mean) amount of money first year college students spend at ABC College on school supplies that do not include books. We randomly surveyed 100 first year students at the college. Three of those students spent $150, $200, and $225, respectively. The population is all first year students attending ABC College this term. The sample could be all students enrolled in one section of a beginning statistics course at ABC College (although this sample may not represent the entire population). The parameter is the average (mean) amount of money spent (excluding books) by first year college students at ABC College this term: the population mean. The statistic is the average (mean) amount of money spent (excluding books) by first year college students in the sample. The variable could be the amount of money spent (excluding books) by one first year student. Let X = the amount of money spent (excluding books) by one first year student attending ABC College. The data are the dollar amounts spent by the first year students. Examples of the data are $150, $200, and $225. Try It Determine what the key terms refer to in the following study. We want to know the average (mean) amount of money spent on school uniforms each year by families with children at Knoll Academy. We randomly survey 100 families with children in the school. Three of the families spent $65, $75, and $95, respectively. Try It Solutions The population is all families with children attending Knoll Academy. The sample is a random selection of 100 families with children attending Knoll Academy. The parameter is the average (mean) amount of money spent on school uniforms by families with children at Knoll Academy. The statistic is the average (mean) amount of money spent on school uniforms by families in the sample. The variable is the amount of money spent by one family. Let X = the amount of money spent on school uniforms by one family with children attending Knoll Academy. The data are the dollar amounts spent by the families. Examples of the data are $65, $75, and $95. Determine what the key terms refer to in the following study. A study was conducted at a local college to analyze the average cumulative GPA’s of students who graduated last year. Fill in the letter of the phrase that best describes each of the items below. 1. Population ____ 2. Statistic ____ 3. Parameter ____ 4. Sample ____ 5. Variable ____ 6. Data ____ all students who attended the college last year the cumulative GPA of one student who graduated from the college last year 3.65, 2.80, 1.50, 3.90 a group of students who graduated from the college last year, randomly selected the average cumulative GPA of students who graduated from the college last year all students who graduated from the college last year the average cumulative GPA of students in the study who graduated from the college last year 1. f 2. g 3. e 4. d 5. b 6. c Try It Determine what key terms refer to in the following study. A survey of athletes in a university was conducted to study the heights of athletes, in meters. Fill in the letter of the phrase that best describes each of the items below. Population ____ Statistics ____ Parameter ____ Sample ____ Variable ____ Data _____ the average height of athletes in the university the average height of athletes in the survey all athletes in the university all students in the university the height of one athlete a group of athletes randomly selected 1.82, 1.76, 1.69, 1.93 c b a f e g Determine what the key terms refer to in the following study. As part of a study designed to test the safety of electric automobiles, the National Transportation Safety Board collected and reviewed data about the effects of an automobile crash on test dummies. Here is the criterion they used: Speed at which cars crashed Location of “drivers” (i.e. dummies) 35 miles/hour Front Seat Cars with dummies in the front seats were crashed into a wall at a speed of 35 miles per hour. We want to know the proportion of dummies in the driver’s seat that would have had head injuries, if they had been actual drivers. We start with a simple random sample of 75 cars. The population is all cars containing dummies in the front seat. The sample is the 75 cars, selected by a simple random sample. The parameter is the proportion of driver dummies (if they had been real people) who would have suffered head injuries in the population. The statistic is proportion of driver dummies (if they had been real people) who would have suffered head injuries in the sample. The variable X = whether a dummy (if it had been a real person) would have suffered head injuries. The data are either: yes, had head injury, or no, did not. Try It Determine what the key terms refer to in the following study. A survey is conducted to check the time taken by a mobile for charging of battery from 50% to 100%. The criteria used to collect the data are: Wattage of charger used Type of mobile used 30 W Android We want to know the proportion of Android mobiles that are charged to 100% within 30 minutes. We start with a simple random sample of 200 mobiles. The population is all Android mobiles. The sample is the 200 mobiles, selected by a simple random sample. The parameter is the proportion of Android mobiles that are charged to 100% within 30 minutes in the population. The statistic is the proportion of Android mobiles that are charged to 100% within 30 minutes in the survey. The variable X = the number of Android mobiles that are charged to 100% within 30 minutes. The data are either: yes, charged to 100% within 30 minutes; or no, charged to 100% taking more than 30 minutes. Determine what the key terms refer to in the following study. An insurance company would like to determine the proportion of all medical doctors who have been involved in one or more malpractice lawsuits. The company selects 500 doctors at random from a professional directory and determines the number in the sample who have been involved in a malpractice lawsuit. The population is all medical doctors listed in the professional directory. The parameter is the proportion of medical doctors who have been involved in one or more malpractice suits in the population. The sample is the 500 doctors selected at random from the professional directory. The statistic is the proportion of medical doctors who have been involved in one or more malpractice suits in the sample. The variable X = whether an individual doctor has been involved in a malpractice suit. The data are either: yes, was involved in one or more malpractice lawsuits, or no, was not. Try It Determine what the key terms refer to in the following study. A study is to be conducted by a news agency to find the proportion of all truck drivers that have no points on their license. The agency selects 1000 truck drivers randomly from the directory of truck drivers and determines the number of truck drivers in the sample who have no points on their license. The population is all truck drivers present in the directory. The parameter is the proportion of truck drivers that have no points on their license in the population. The sample is the 1000 truck drivers selected randomly from the directory. The statistics is the proportion of truck drivers that have no points on their license in the sample. The variable X = the number of truck drivers that have no points on their license. The data are either: yes, they have no points on their license; or no, they have points on their license. Do the following exercise collaboratively with up to four people per group. Find a population, a sample, the parameter, the statistic, a variable, and data for the following study: You want to determine the average (mean) number of glasses of milk college students drink per day. Suppose yesterday, in your English class, you asked five students how many glasses of milk they drank the day before. The answers were 1, 0, 1, 3, and 4 glasses of milk. References The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/CrashTestDummies.html (accessed May 1, 2013). Chapter Review The mathematical theory of statistics is easier to learn when you know the language. This module presents important terms that will be used throughout the text. HOMEWORK For each of the following eight exercises, identify: a. the population, b. the sample, c. the parameter, d. the statistic, e. the variable, and f. the data. Give examples where appropriate. A fitness center is interested in the mean amount of time a client exercises in the center each week. Ski resorts are interested in the mean age that children take their first ski and snowboard lessons. They need this information to plan their ski classes optimally. all children who take ski or snowboard lessons a group of these children the population mean age of children who take their first snowboard lesson the sample mean age of children who take their first snowboard lesson X = the age of one child who takes their first ski or snowboard lesson values for X , such as 3, 7, and so on A cardiologist is interested in the mean recovery period of their patients who have had heart attacks. Insurance companies are interested in the mean health costs each year of their clients, so that they can determine the costs of health insurance. the clients of the insurance companies a group of the clients the mean health costs of the clients the mean health costs of the sample X = the health costs of one client values for X , such as 34, 9, 82, and so on A politician is interested in the proportion of voters in their district who think the politician is doing a good job. A marriage counselor is interested in the proportion of clients she counsels who stay married. all the clients of this counselor a group of clients of this marriage counselor the proportion of all their clients who stay married the proportion of the sample of the counselor’s clients who stay married X = whether a client stayed married yes, no Political pollsters may be interested in the proportion of people who will vote for a particular cause. A marketing company is interested in the proportion of people who will buy a particular product. all people (maybe in a certain geographic area, such as the United States) a group of the people the proportion of all people who will buy the product the proportion of the sample who will buy the product X = whether a person bought the product buy, not buy Use the following information to answer the next three exercises: A Lake Tahoe Community College instructor is interested in the mean number of days Lake Tahoe Community College math students are absent from class during a quarter. What is the population she is interested in? all Lake Tahoe Community College students all Lake Tahoe Community College English students all Lake Tahoe Community College students in the instructor's classes all Lake Tahoe Community College math students Consider the following: X = number of days a Lake Tahoe Community College math student is absent In this case, X is an example of a: variable. population. statistic. data. a The instructor’s sample produces a mean number of days absent of 3.5 days. This value is an example of a: parameter. data. statistic. variable. Average also called mean or arithmetic mean; a number that describes the central tendency of the data Categorical Variable variables that take on values that are names or labels Data a set of observations (a set of possible outcomes); most data can be put into two groups: qualitative (an attribute whose value is indicated by a label) or quantitative (an attribute whose value is indicated by a number). Quantitative data can be separated into two subgroups: discrete and continuous . Data is discrete if it is the result of counting (such as the number of students of a given ethnic group in a class or the number of books on a shelf). Data is continuous if it is the result of measuring (such as distance traveled or weight of luggage) Mathematical Models a description of a phenomenon using mathematical concepts, such as equations, inequalities, distributions, etc. Numerical Variable variables that take on values that are indicated by numbers Parameter a number that is used to represent a population characteristic and that generally cannot be determined easily Population all individuals, objects, or measurements whose properties are being studied Probability a number between zero and one, inclusive, that gives the likelihood that a specific event will occur Proportion the number of successes divided by the total number in the sample Representative Sample a subset of the population that has the same characteristics as the population Sample a subset of the population studied Statistic a numerical characteristic of the sample; a statistic estimates the corresponding population parameter. Survey a study in which data is collected as reported by individuals. Variable a characteristic of interest for each person or object in a population

Business